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Full text of "OEuvres de Fermat"

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LIBRARY  OF 
WELLESLEY  COLLEGE 


Préservation  photocopied 

with  funds  from  the 
Barbara  Lubin  Goldsmith 
Library  Préservation  Fund 


5n>-: 


ŒUVRES     • 


DE    FERMAT. 


PARIS.  -  IMPRIMERIE  GAUTIIIER-VUXARS  ET  EII.S, 
Quai  lies  Granils-A«î;iistins,  S.î. 


ŒUVRES 


DE    FERMAT 


PL'BLlKliS    l'AR    I.ICS   SOINS    KK 


MM.  PAUL  TANNEUY  et  CHARLKS  HKNKY 


sous   I.KS   AUSPICES 


nu     MINISTERE    DE     L'INSTRUCTION     PUBLIQUE. 


TOME  DEUXIEME. 

CORRESPONDANCE. 


PARIS, 


GAUTIHKR-VILLARS  ET  FILS,  IMPRIMKUUS-LIHKAIKLS 

nu    BlîlVEAll     DKS    LONGITUDES.    DE    L'ÉCOLE    P  O  L  V  T  E  C  11  N  1  O  l  E 

(Jiiai  fies  (jrai)ds-.\iigustins,  j'>. 
M  DCCC  XCIV 


RDOnq?  çULan 


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^ 


TABLE  DES  MATIÈRES 


DU  DEUXIÈME  VOLUME  (■). 


Avertissement. 


IX 


CORRESPONDANCE  DE  FERMAT. 


I. 

•aC  avril 

i636. 

II. 

mai? 

)) 

Ha. 

III. 


3  juin 


lllll- 

IV. 

■24  juin                » 

IVa. 
IV„. 

V. 

y.ijuin?              I) 

VI. 

1 5  juillet            » 

vil. 

août              » 

VllI. 

if)  août               » 

IX. 

9,3  août                11 

X. 

9,  septembre      » 

XI. 

iC)  .septembre      » 

XII. 

septembre?   » 

XIII. 

■i-i  septembre      u 

Ferma!  à  Mersenne 

Proposilio  Geostatica  Dnmini  de  Fermai. 

Premier  extrait  de  \' HamiDiiic  itnU'cracUc 
de  Mersenne 

Fermât  ;i  Mersenne 

Deuxième  extrait  do  Y  Harmonie  univer- 
selle de  Mersenne 

Extrait  des  Cn^iuita  l'Ii/sico-mallicmalica 
de  Mersenne 

Fermât  à  Mersenne 

Troisième  extrait  de  l'Harmonie  univer- 
selle do  Mersenne 

Quatrième  extrait  de  {'Harmonie  univer- 
selle de  Mersenne 

Nova  in  Mcxlianieis  tiieoremata  Duinini 
de  Format 

Fermai  l\  Mersenne V.M 

Fermât  à  ftobcrval 

Etienne  Pascal  et  Roberval  à  Fermât 

Fermât  à  Etienne  Pase  il  et  Uolierval. . . . 

Fermât  à  Mersenne 

Format  à  Roberval 

Fermât  à  Mersenne  (pour  S'^-Croix)  .... 

Fermât  à  Roberval 


M 
V 

> 

(i 

10 

V 

1 1 

I  > 

'7 


V 

23 

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27 

V 

3i 

V 

3". 

V 

5<) 

V 

57 

V 

'i>> 

.M 

G3 

V 

71 

(')  Les  lettres  majuscules  placées  devant  les  renvois  iniliquent  ([ue  la  pièce  a  ét^  imprimée  : 
V  dans  les  Varia  Opéra,  VV  dans  lo  Commercium  epiitoliciim  de  Wallis,  D  dans  les  Lettres  île 
Descartes,  P  dans  les  OEufres  Je  Pascal,  II  dans  la  Currespondancc  ilc  Hiiyi^ens;  pnlin  M  qu'elle 
est  tirée  de  sources  manuscrites. 


Kliiuat. 


II. 


VI 

XIV. 
XV. 

XVI. 


XVII. 

XVIII. 

XIX. 

XX. 

X\l. 

WII. 

XXIII. 

XXIV. 

x.w. 

XXV  Ins 

XXVI. 

XXVII. 

XXVlll. 

XXIX. 

XXX. 

XXXI. 


TAHL 


1 1  octobre 

ilViCi 

4  novembre 

» 

décembre? 

» 

7  décembre 

» 

i6  décembre 

» 

février? 

KiS; 

i  avril 

» 

2o  avril 

1) 

seplembre': 

'    .) 

octobre? 

» 

décembre? 

1, 

1 8  janvier?      i 

iG'iS, 

février? 

» 

2o  avril 

)] 

3  mai 

); 

jnm 

juin: 

juin-i 


XXXII. 

27  juillet 

1) 

XXXIII. 

10  août 

i> 

XXXIV. 

1 1  octobre? 

II 

XXXV. 

22  octobre 

1) 

XXXVI. 

2G  décembre 

II 

XXXVII. 

■>.o  février 

\i\\). 

XXWIII. 

mars  ? 

iGio. 

XX\VIII%.v. 

1  avril 

» 

P-S. 

-} 

)) 

XXXIX. 

mai  ? 

» 

XL. 

juin? 

H 

XLI. 

\  août 

l> 

XLII. 

août? 

H 

XLIII. 

août? 

» 

XLIV. 

18  octobre 

» 

XLV. 

•>.5  décembre 

)> 

XLVI. 

■iG  mars 

1G41. 

XLVII. 

i5  juin 

» 

XLVI  II. 

i5  juin? 

» 

XLIX. 

2  août 

1) 

L. 

(')  septembre 

» 

LI. 

10  novembre 

r(.',2. 

LU. 

1?  janvier 

iGi3. 

E  DES  MATIERES. 

Pages 

Robcrval  à  Fermai t V  75 

Fermât  ù  Uoberval V  8'5 

Objecta  a  Domino  de  Fermai  adversus 
propositionem  mecbanicam  Domini  de 

Uoberval V  87 

Fermât  à  Roberval V  H<) 

Fermai  à  Roberval V  y>. 

Fermât  à  Roberval V  100 

Roberval  à  l^'ermat V  io> 

Fermai  à  Roberval V  104 

Fermât  à  .Mersenne D  loG 

Doscarles  à  Mersenne  (  (ion  r  Fermai  )..    .  D  ii> 

Fermai  à  Mer:ienne I)  1 1  ('> 

Descartes  à  Mersenne I)  i2ii 

Fermai  à  Mersenne M  1 32 

Fermai  à  .Mersenne DM  i35 

Descaries  i't  Mersenne D  i38 

Billet  ajouté  à  la  lettre  précédente D  i4G 

Roberval  à  Format V  147 

Fermai  à  Mersenne M  i  '12 

Méthode  de  maximis  et  minimis  expli- 
quée  cl   envoyée   par    M.   Fermât  à 

M.  Descartes M  1 54 

Descaries  à  Fermai I)  i63 

Fermai  à  Mersenne M  1(14 

Descartes  à  Fermât. l)  1(17 

Fermai  à  Mersenne M  iGi) 

Fermât  à  Mersenne M  1 7G 

Fercnal  à  Mersenne M  17g 

Frcnielo  à  Merseime M  1 8> 

Format  à  Mersenne VM  1  S() 

Post-scriptum  qui  parait  appartenir  à  une 
lettre  antérieure  de  Fermai  a  Mer- 
senne   V  I  (j  I 

Fcrjnat  à  Mersenne  (fragment) M  i<)4 

Format  à  Mersenne V  i  <)  i 

Roberval  à  Format V  1 90 

Fermai  à  Roberval V  202 

Fermai  à  bVcnicle  (fragment) ....  M  20 5 

Fermai  à  Frcnicle V  20(1 

F'ermal  à  .Mersenne AI  212 

Fermai  à  Mersenne M  218 

Fermât  à  Mersenne M  220 

Fermai  à  Frcnicle  (extrait ) M  221 

Frcnicle  à  Fermai V  22() 

Frcnicle  à  Fermai V  232 

Format  à  Mersenne M  2.13 

Fermai  à  Mersenne .M  24  i 


TAULE    DES   M  AT  i  EUES. 


LUI. 

-/ 

iG4J, 

1,1V. 

27  janvier? 

» 

LV. 

16  février 

» 

LVI. 

7  avril 

» 

lA'll. 

•      ? 

» 

LVlll. 

3i  mai 

)) 

LIX. 

aoiil? 

» 

LX. 

1  seplemliro 

» 

LXI. 

f 

KVil 

LXII. 

■f 

lOi»; 

lAlll. 

4  juin 

i(i48 

LXIV. 

'.»  j>'iii 

» 

LXV. 

iH  aoûl 

» 

LXVl. 

»      » 

» 

lAVil. 


I.XVIII. 

■/o  aoûl 

iGjo 

LXIX. 

•f 

iG")4 

LXX. 

2()  juillet 

» 

LXXl. 

<j  aoûl 

» 

lAXIl. 

2.'i  aoûl 

II 

LXXIII. 

■29  aoûl 

11 

LXXIV. 

•i5  soptombro 

1) 

LXXV. 

■1-  oclobrc 

1) 

LXXVI. 

? 

1630 

LXXVll. 

juin 

t) 

LXXVll  bis. 

G  juillet 

.. 

LXXVllI. 

28  septembre 

» 

LXXIX. 

3  janvier 

165; 

LXXX. 

février? 

„ 

LXXXl. 

février? 

)) 

LXXXI  fus. 

mars 

» 

LXXXIl. 

20  avril 

.. 

LXXXllI. 

G  juin 

" 

LXXXIV. 

1  ")  août 

1) 

LXXXV. 

1»        n 

» 

LXXXVl. 

août 

„ 

LXXXVII. 

■■)  décembre 

1) 

LXXXVIII. 

12  décembre 

., 

LXXXIX. 

1  i  février 

l65^ 

xc. 

3  mars 

» 

XC  /hx. 

M)  mars 

1, 

Fermai  à  Carcavi V  24  7 

Fermai  à  iMcrsenno M  2ii) 

^'ermal  à  Merscnnc M  261 

Fermai  à  Merscnne M  253 

Fragment  d'une  lellre  de  Fermât  à  Alor- 

sennc  ou  à  Frcnicle M  2  )(i 

Fermai  à  Saint-Martin  (?);  fragment.. . .  M  2').s 

Fermai  à  Merscnne M  2(1" 

Fermai  à  Merscnne M  2()2 

Fermât  à  ("arcavi V  2G  > 

Fermai  à  Gassendi V  2G7 

Fermai  à  Merscnne;  fragmcni M  277 

Fermai  à  Séguicr M  27.S 

Fermai  à  C.ureau  de  la  Chambre M  27(1 

Note  de  Fermai  jointe  à  la  lettre  précé- 
dente   M  'So 

Fermai  à  Merscnne  ou  Auzout  {'!);  fi'ag- 

mcnt   1)  'Si 

Fermai  à  Carcavi M  2S4 

Fermai  à  Pascal 1'  2SS 

Pascal  à  Fermât V  2S1) 

Format  à  Carcavi P  xjij 

Pascal  à  Fermât V  3()<) 

Fermai  à  Pascal P  io7 

Fermai  à  Pascal P  3 10 

Pascal  à  l'ermat P  3 1 4 

Fermai  à  Carcavi  (traduction  d'une  lettre 

latine) M  ji'i 

Format  à  Carcavi  (e.\lrail) Il  320 

lluygcns  à  Carcavi  (extrait) Il  322 

Carcavi  à  Huygens  (cxlrail) 11  328 

Premier  défi  de  Fermai  aux  Miatliémati- 

ciens V  33  ' 

Fermai  à  Frcnicle;  fragment W  33  > 

Second  défi  de  Fermai  aux  malliémati- 

cicns V  33  i 

Boulliau  à  Format M  33G 

Fermai  à  nigby V  337 

Fermai  à  Digby V  34  1 

Fermai  à  Digby V  3  j  > 

Itemarques  sur  Y Aritlimétiquc  dc.t  infinis 

du  S.  J.  Wallis  (Fermai  à  Digby). ...  V  347 

Format  à  Cureau  de  la  Chambre 1)  3.0; 

Digby  à  P'ermal V  i») 

Digby  à  Fermai V  3(i  1 

Digby  à  Fermai V  3G3 

Fermât  à  Clerselior D  36,ï 

Format  à  Clerselior D  3G7 


VIII  TABLE  DES  MATIERES. 

PaRca 

XCI.                     7  avril            i658.     Fermai  à  Di^by W  37/4 

XCII.                  1 5  mai                »        Digby  à  Fermât V  379 

XCIII.                1 5  mai                »        Clerselier  à  Format D  38a 

XCIV.  lii  mai  »        Réflexions  ou  projet  de  réponse  à  la  lettre 

de  M.  de  Fermai  qui  conlietit  ses  ob- 
jcclions  sur  la  Dioplriquo  de  M.  Dcs- 

carles,  par  M.  Rohaull H  Sgi 

XCV.                   2  juin                »        Fermai  à  Clerselier 1>  3i)7 

XCVl.                     juin?              »        Fermai  à  Digby W  4')-'. 

XCVll.               iGjuin                »        Fermai  à  Clerselier D  /|o8 

XCVllI.              21  juillet             «        Lalouvcre  à  Fermai IW-dicacc  l^x'i 

XCIX.                -i\  août               )>        Clerselier  à  Fermai 1)  1 1 4 

C.                       !(>  février        iGJg.     Fermât  à  Carcavi P  43o 

CI.  août  »        Rclalion  des  nouvelles  découvertes  en  la 

science  des  nombres  (Fermai  à  Car- 
cavi)   H  43i 

Cil.                    aG  août               »        Fermai  à  Billy M  436 

cm.                        août"?             »        Fermai  à  Carcavi  (extrait) Il  438 

CIV.                        septembre?    »        Fermai  à  Carcavi  (exUail) 11  44 > 

CV.                         février        iGGo.     Format  à  Carcavi  (extrait) Il  445 

CVI.                        juin?              »        Fermai  à  Carcavi  (extrait) H  4'iG 

CVII.                   '5  juillet             »        Fermai  à  Pascal P  4  Jo 

CVllI.                 10  août               11        Pascal  à  Fermai V  4''o 

CIX.                        décembre       «        Fermai  à  Huygens II  452 

CX.                               ?          ifV'ii.     Format  à  Carcavi  (extrait) H  454 

CXI.                   1 3  décembre       »        Fermât  à  Séguier M  455 

CXII.                    i  janvier        iG(i2.     Fermai  à  Cureau  de  la  Cliauibre I)  457 

CXIII.                  G  mai                »        Clerselier  à  Format ; . .  D  4G4 

CXIV.                 i3  mai                 »        Clerselier  à  Fermai 1)  47-'- 

CXV.                 aimai                 »        Fermai  à  Clerselier D  482 

CXVI.                       ?                1GG4.     Fermai  à  M.  de*** V  485 

CXVll.  ?  »        Démonstration  dont  il  est  parlé  dans  la 

lettre  précédente V  489 

CXVIII.  ?  »        Saporta  à  Format Dcclicace  ^if^ 

Variantes  et  notes  critiques 5oi 

Errata 5i4 


FIN   DE    LA    TABLE    DES   MATlÈnES   DU    TOME    DEIXIESIE. 


AVERTISSEMENT. 


Dans  le  premier  Volume  de  celle  édilion  {Ai'erlisxcment,  p.  xxxiii),  nous 
en  avions  annoncé  deux  suivants  pour  la  Correspondance  de  Fermât,  landis 
que  nous  avons  réuni  en  un  seul  Tome  toutes  les  pièces  connues  de  celle 
correspondance,  en  dehors  de  celles  que  leur  caractère  nous  avait  déjà  fait 
publiei"  dans  les  Œùn^res  dicerses  ou  dans  leur  Appendice;  il  a  en  ciïel  été 
jugé  préférable,  contrairement  à  notre  i)lan  primitif,  de  laisser  en  dehors, 
ou  plutôt  de  réserver  pour  les  Volumes  du  Complément  en  préparation,  les 
diverses  lettres  adressées  par  exemple  à  Mersenne  par  Dcscarles,  ou  à  Digby 
par  Wallis  ou  lîrouricker,  et  qui  ont  dû  être  communifpiées  à  Fermât  sur  le 
désir  formel  ou  sous  l'aveu  tacite  de  leurs  auteurs.  Nous  n'avons  donc  admis, 
en  principe,  que  les  lettres  écrites  par  Fermai  ou  directement  adressées  à 
lui;  nous  n'avons  fait  d'exception  que  :  i"  pour  les  deux  lettres  de  Descartes 
à  Mersenne  (n"'  23  et  27)  qu'il  est  indispensable  d'avoir  sous  les  yeux  afin 
de  comprendre  les  polémiques  relatives  à  la  dioptrique  et  à  la  méthode  des 
tangentes;  2°  pour  une  lettre  de  Frenicle  à  Mersenne  (n"  38)  qui  était  iné- 
dite et  a  été  l'origine  des  relations  entre  Fermai  et  Fre"nicle;  3"  pour  deux 
lettres  échangées  entre  Carcavi  et  Huygens  (n""  77  bis  et  78),  qui  comblent 
en  partie  de  regrettables  lacunes  de  la  correspondance  entre  Pascal  et  Fermât 
sur  les  probabilités.  Enfin,  comme  indications  relatives  aux  nombreuses 
lettres  perdues  de  Fermai,  nous  nous  sommes,  dans  le  présent  Volume, 
bornés  à  quelques  notes  et  à  quatre  Extraits  de  X Harmonie  universelle  de 
Mersenne  annexés  aux  lettres  n°*  2,  3  et  h. 

N'ayant  pas  à  revenir  sur  les  questions  relatives  aux  sources  utilisées 
pour  notre  publication,  nous  pouvons  nous  borner  aujourd'hui  à  quelques 
remarques  louchant  les  dispositions  iy[)ographiques  cl  l'orthographe  que 
nous  avons  adoptées. 

Dans  le  but  de  faciliter  les  renvois  pour  les  trois  index  (des  noms  propres, 
de  la  langue  mathématique  de  Fermai,  des  matières)  qui  seront  insérés  dans 
le  Complément ,  après  la  traduction  des  Œuvres  latines,  nous  avons  sub- 


X  AVERTISSEMENT. 

divisé  les  lettres,  d'après  les  sujets  traités,  en  paragraphes  numérotés  par 
des  chid'res  gras  (égyptiens),  que  leur  forme  distingue  nettement  de  ceux 
qui  sont  empruntés  aux  sources. 

Ue  même  que  dans  le  premier  Volume,  nous  avons  clicrché  avant  tout  la 
commodité  de  la  lecture;  nous  avons  donc,  sans  aucun  scrupule,  multiplié 
les  alinéas  et  conformé  la  ponctuation  aux  habitudes  modernes. 

Pour  l'orthographe  française  {'),  nous  avons  en  principe  adopté  celle  du 
xvni"  siècle,  sauf  à  conserver  les  formes  constamment  usitées  du  temps  de 
Fermai  pour  les  mots  technitjues,  comme  méchanique,  quarré;  en  deiiors 
de  la  question  de  commodité,  nous  étions  forcément  conduits  à  cette  solu- 
tion, par  suite  de  l'impossibilité  absolue  où  l'on  se  trouve  de  reconstituer  la 
véritable  orthographe  de  Fermât. 

On  possède  de  Descartes,  par  exemple,  assez  de  lettres  autographes  pour 
(|u'il  soit  possilile  aujourd'hui  de  publier  son  énorme  correspondance  avec 
un  texte  conforme  à  l'orthographe  rationnelle  {^)  qu'il  adopta  vers  l'âge  de 
quarante  ans  et  qui  est  plus  ou  moins  défigurée  dans  l'édition  de  Clerselier; 
mais  pour  Fermât,  il  fallait  renoncer  à  toute  tentative  analogue.  11  nous  reste 
en  tout  de  lui  huit  autographes  en  français  (la  dédicace  à  Carcavi,  publiée  dans 
l'Avertissement  du  premier  Volume,  pages  xix-xx,  les  n""  04,  65,  60,  100,  102, 
109,  111  do  la  Corres[)ondance);  deux  seulement,  60  et  102,  dépassent  la  pro- 
portion de  simples  billets,  et  leur  ensemble  nous  permet  tout  au  plus  de 
conjecturer  que  Fermât  avait  une  orthographe  personnelle  dont  ou  pourrait 
marquer  quelques  traits  ('),  sans  pouvoir  affirmer  f|u'elle  fût  constante  (*), 
même  en  dehors  des  lapsus  de  plume,  auxquels  il  semble  avoir  été  quelque 
peu  sujet. 

Nous  avons,  en  tout  cas,  reproduit,  sans  les  modifier,  les  autographes  à 

(')  En  ce  qui  concerne  les  textes  latins,  nous  avons  suivi  les  mêmes  principes  que 
|)our  le  premier  Volume  (voir  l'Avertissement,  page  xxx). 

(2)  Nous  pouvons  ajouter  «  très  réformatrice  »,  d'aulanl  (jue  nombre  de  simplifications 
<]a'il  avait  Introduites  sont  encore  à  réaliser,  quoiqu'elles  soient  également  réclamées  par 
l'ctymologie  et  la  prononciation.  On  peut  prendre  comme  exemple  l'ortliographc  usuelle 
du  mot  même  auquel  se  rapporte  cette  note. 

(^)  Aucun  z  final;  le  l  final  conservé  au  pluriel;  la  forme  drincuder. 

{*)  On  trouve  hnncnr  et  honneur,  avance  et  ndvancc  dans  dos  lettres  difTércntes;  dans 
la  même,  commis,  mais  comissiou  et  coinissaire :  il  ne  faut  pas  faire  entrer  en  ligne  de 
compte  dans  une  autre  lettre,  esgalitc  et  égal  (page  437)-  Bans  le  second  mot,  l'acccnl 
peut  avoir  échappé  à  la  plume;  or,  à  cette  époque,  où  on  principe  on  accentuait  seule- 
ment les  finales  non  muettes,  é,  dans  le  corps  des  mots  et  surtout  pour  un  texte  manu- 
scrit, n'est  pas  une  forme  orthographique  réellement  dillérente  de  cs\  c'est  une  simple 
abréviation  dont  l'usage  est  arbitraire. 


AVERTISSEMENT.  x, 

noire  disposilion  (');  quant  au\  pièces  f|ui  ne  sont  connues  que  par  des 
copies  ou  par  l'édition  des  Varia,  l'orlliographc  des  sources  ne  présente 
certainement  aucune  auliicnticilé.  Nous  avons  déjà  dit,  dans  rAverlisscmeni 
du  premier  Volume,  (|ue  ceux  qui  ont  copié  au  xvir  siècle  les  écrits  de 
Fermât,  ne  se  sont  fait  aucun  scrupule  d'y  introduire  les  notations  algé- 
l)ii(iues  cartésiennes;  on  ne  peut  supposer  qu'ils  aient  respecté  l'ortho- 
j;rai)lie;  Arbogast  a  également  introduit  la  sienne  dans  les  copies  qu'il  a 
faites,  de  première  ou  de  seconde  main.  Le  texte  des  l'aria  piésente  enliu 
des  formes  spéciales  (^),  systémaliqueniciit  adoptées  et  qu'on  doit  attribuer 
à  l'imprimeur  beaucou])  plutôt  (lu'à  Samuel  Fermât. 

Dans  ces  conditions,  nous  avons  jugé  que  la  reproduction  des  différences 
purement  ortliographiqucs  entre  les  sources  et  notre  édition  serait  sans 
intérêt  véritable  pour  le  texte  français  (')  et  qu'elle  aurait  au  contraire  le 
grave  inconvénient  de  rendre  excessivement  pénible  l'étude  des  variantes 
f[ui  concernent  soit  le  sens  soit  la  forme  littéraire.  Nous  nous  sommes  donc 
limités  à  ces  dernières,  que  nous  avons  relevées  aussi  scrupuleusement  que 
possible. 

De  nous  deux,  M.  Paul  Tannery  s'est  plus  spécialement  chargé  de  soigner 


(')  Dans  le  n"  109,  déjà  publié  avec  l'orlhospaphe  de  Fermât  dans  la  Correspondance 
lie  Hiir^viix,  el  dont  nous  n'avons  pu  collalionner  nous-mêmes  l'original,  nous  avons 
inlroduil  les  formes  modernes;  d'autre  part,  dans  les  lettres  d'un  intérêt  scientifique, 
pour  ne  pas  compliquer  inutilement  la  lecture,  nous  avons  distingué  Vi  et  le  y,  Vu  et  le  i'. 
11  suffit  de  rappeler  ([ue,  dans  l'orllingraphe  ancienne,  les  différences  de  figure  pour  ces 
lettres  ne  correspondent  à  aucune  distinction  entre  la  voyelle  et  la  consonne.  La  fornicy 
sert  couramment  pour  les  majuscules  manuscrites,  arbitrairement  i)Our  les  minuscules 
finales;  Fermât  ne  parait  pas  avoir  eu  l'habitude  de  l'emiiloycr  dans  ce  dernier  cas.  La 
forme  c  est  régulièremeul  usitée,  dans  les  textes  manuscrits  et  imprimes,  pour  les  majus- 
cules et  les  initiales  minuscules,  la  forme  «  pour  les  médianes  el  finales  minuscules;  dans 
l'écriture  de  F'crmat,  ces  deux  formes  se  distinguent  très  difficilement. 

(-)  Dans  cette  édition,  la  reforme  de  l'orthographe  est  déjà  très  avancée;  Vi  et  le  y,  '  " 
el  le  i'  sont  dislingues;  l'*'  muette  est  remplacée  par  un  accent,  sauf  dans  In  verbe  t'irc  et 
dans  quelques  autres  mots  particuliers;  on  doit  noter  oint  pour  oient,  dans  les  finales  des 
verbes. 

(■^)  Nous  avions  entrepris  une  élude  spéciale  des- formes  orii}ograpliiqucs  des  Varin. 
dans  l'espérance  que  les  dillorcnces  qui  existent  d'une  lettre  à  l'autre  pourraient  jier- 
mcltre  de  distinguer  diverses  provenances  entre  les  copies  utilisées  par  Samuel  Fermai: 
par  exemple,  si  les  lettres  de  Fermât  à  Mersenne  formaient  deux  groupes  d'orthographe 
distincte,  on  devrait  en  conclure  qu'elles  proviennent  de  deux  collections  différentes.  Nos 
recherches  n'ont  pas  abouti;  les  formes  que  l'on  peut  considérer  comme  propres  aux 
sources  des  f'aria  sont  relativement  rares;  l'édition  est  trop  incorrecte  cl  les  différences 
orthographiques  trop  fréquentes  dans  une  mémo  lettre  pour  que  l'on  puisse  déduire  des 
conclusions  certaines. 


XII  AVERTISSEMENT. 

l'édition  tles  lellres  des  années  i636  ;i  i645;  M.  Charles  Henry  de  celles  des 
années  i64G  à  1664. 

Il  nous  reste  à  signaler  les  quelques  dilTérences  que  présente  le  classement 
des  pièces  de  la  correspondance  contenue  dans  ce  Volume  avec  la  liste  chro- 
nologique publiée  dans  le  Bulletin  des  Sciences  malhémaliqnes  de  juin  1890 
et  encartée  dans  le  Tome  premier  : 

1°  L'ordre  des  lettres  24  et  25  de  la  Liste  a  été  interverti;  la  seconde 
lettre  de  Fermât  à  Mersenne  sur  la  Dioptrique  a  été  en  effet  écrite  avant 
la  première  lettre  de  Descartes  sur  la  méthode  des  tangentes  {voir  ci-après 
page  1 16,  note). 

2°  La  lettre  28  de  la  Liste,  reconnue  comme  antérieure  à  la  lettre  26,  a 
pris  le  n°  25  bis,  et  a  été  remplacée  par  le  Hillet  publié  par  (]lerselier  comme 
annexe  à  la  lettre  27.  Il  j'  a  des  motifs  pour  croire,  que  ce  Billet  n'a  pas  été 
réellement  envoyé  à  Mersenne  avec  la  lettre  en  question. 

3°  La  pièce  38  de  la  Liste  a  pris  le  n"  38  bis,  pour  faire  place  à  la  lettre 
inédite  de  Frenicle  à  Mersenne  que  nous  avons  trouvée  dans  un  Volume  de 
la  Correspondance  de  Mersenne,  faisant  partie  du  fonds  Libri-Asliburnbam; 
celle  découverte  nous  a  induits  à  penser  que  le  Posl-scriplum  de  la  lettre  38  bis 
est  en  réalité  d'une  date  antérieure  à  cette  Lettre;  mais  celle  conjecture  ne 
nous  a  pas  paru  suffisamment  établie  pour  que  nous  détachions  ce  Fost- 
scriptum  et  en  fassions  une  pièce  à  part. 

4°  La  lettre  de  Iluygens  à  Carcavi  du  G  juillet  i656,  publiée  dans  la  Corres- 
pondance de  Huygens,  a  été  introduite  sous  le  n"  77  bis. 

5"  La  lettre  inédite  de  Boulliau  à  Fermât  a  été  introduite  sous  le  n°  81  bis. 
Nous  adressons  tous  nos  remerciements  à  M.  Lucien  Auvray,  de  la  Biblio- 
thèque nationale,  qui  a  bien  voulu  nous  la  signaler. 

6°  Les  deux  lettres  de  Fermai  renfermées  dans  la  pièce  90  de  la  Liste  ont 
été  désignées  sous  les  n°*  90  et  90  bis. 

En  résumé,  depuis  la  publication  du  Tome  premier  de  celte  édition,  notre 
recueil  de  la  Correspondance  de  Fermai  a  été  augmenté  de  deux  pièces  iné- 
dites; nous  renouvellerons,  avec  le  ferme  espoir  d'être  entendus,  l'appel  que 
nous  avons  déjà  fait  aux  savants  et  aux  amis  de  la  Science  qui  pourraient 
nous  fournir  de  nouveaux  documents  à  utiliser  dans  le  Complément  de  celle 
édition. 


CORRESPONDANCE  DE  FERMAT. 


l't.HMAT.   —    II. 


COKKESPONDANCË  DE  FERMAT. 


ANNÉE    1636. 


I. 
FERMAT  A  iMERSENiNE. 

SANRDI  2G  AVRIL   1636. 

(A    t"   lo-ii;    B    f"   l'y-ifi.) 

Mon  Rkvéuenu  Pfue, 

1-  Je  vous  reste  beaucoup  obligé  de  la  faveur  que  vous  me  laites 
espérer  de  conférer  par  lettres  ('),  et  n'est  pas  une  des  moindres  ol)ii- 
gations  que  j'aie  à  M.  de  Carcavi  qui  me  l'a  procurée.  Je  suis  marri  de 
ce  (|ue  sans  doute  ma  réponse  aux  points  de  votre  Lettre  ne  vous  satis- 
fera pas,  mais  j'aime  mieux  paroitre  ignorant  en  vous  répondant  mai, 
qu'indiscret  en  ne  vous  répondant  point  du  tout. 

2.  J'ai  toujours  cru  qu'il  étoit  bien  malaisé  de  secouer  et  détruire 
les  principes  des  Sciences,  car,  étant  fondés  sur  l'expérience  labo- 
rieuse de  ceux  qui  les  ont  recherchés,  il  semble  qu'il  est  bien  malaisé 
d'en  faire  de  plus  précises,  et  il  est  encore  plus  inutile  d'appeler  la 
raison  au  secours  des  sens,  puisque,  dans  ses  opérations,  elle  présup- 
pose toujours  celles  des  sens  exactes  et  véritables. 

(')  Il  est  clair  que  celle  Lellre  esl  la  première  que  Fermai  ail  écrilc  à  .Mcrsenne,  en 
répondant  d'ailleurs  à  une  Lellre  de  ce  dernier,  qui  esl  perdue. 


) 


h  (EUVIIES   DE  FERMAT.-   CORRESPONDANCE. 

3.  De  sorte  que,  par  mon  sontimoiit  cl  par  ces  raisons,  j'eslime  qu'il 
seroit  hion  malaisé  de  trouver  une  proportion  différente  de  la  double 
([ui  fit  l'octave  plus  exactement  que  celle-là.  Je  vous  avoue  bien  qu'il 
y  en  a  infinies,  qui  effectivement  feront  des  accords  différents  et  d(>s- 
quels  néanmoins  la  différence  ne  sera  pas  comprise  par  l'ouïe  la  plus 
délicate  qui  puisse  être;  et  de  là  on  pourroit  conclure  que  peut-être 
la  vraie  octave  ne  consiste  pas  précisément  en  la  proportion  double. 
.Mais,  puisque,  en  ce  principe  que  les  Anciens  nous  ont  baillé,  nous 
n'avons  juscjuesà  présent  su  découvrir  d'erreur  sensible,  rendons-leur 
ce  respect  de  le  croire  véritable,  jusques  à  ce  que  le  contraire  nous  ait 
apparu. 

4.  Peut-être  que,  comme  on  a  trouvé  des  lunettes  qui  rendent  vi- 
sibles les  choses  qui  ne  l'étoientpas  auparavant,  et  qui  nous  font  con- 
noitre  les  différences  les  plus  menues  et  les  plus  subtiles,  on  trouvera 
([uelque  instrument  qui  fera  tomber  les  sons  les  plus  procbes  sous  des 
différences  remarquables  et  sensibles  à  l'ouïe. 

5.  Or,  de  chercher  par  raison  pourquoi  l'octave  est  en  proportion 
double,  c'est,  ce  me  semble,  traiter  des  choses  hétérogènes  :  le  son  de 
l'octave  est  l'accident  et  la  qualité  de  la  proportion  double  qui  consiste 
en  quantité.  La  proportion  se  comprend  par  la  vue  ;  l'accord  (ju'clh^ 
fait,  par  l'ouïe;  et  ainsi  il  semble  qu'on  ne  sauroit  assigner  une  raison 
nécessaire  pourquoi  est-ce  que  l'un  convient  à  l'autre.  Car,  comme 
vous  savez,  les  raisons  démonstratives  s'arrêtent  toujours  entre  des  su- 
jets homogènes.  De  sorte  qu'il  vaut  mieux  laisser  décider  aux  sens 
toutes  les  questions  de  votre  Lettre,  que  d'altérer  des  maximes  reçues 
et  qu'on  ne  sauroit  convaincre  de  faux. 

6.  Il  y  a  bien  quelque  chose  sur  quoi  peut-être  je  pourrois  vous 
donner  des  raisons  plus  précises,  mais  ce  sera  une  autre  fois.  Je  me 
contenterai  cependant  de  vous  avoir  fait  voir  les  effets  de  mon  obéis- 
sance, bien  qu'ils  me  soient  désavantageux. 

1-  Vous  m'obligerez  beaucoup  de  me  faire  savoir  si  M.  de  Beau- 
grand  est  à  Paris.  C'est  un  homme  duquel  je  fais  une  estime  très  sin- 


I.  —  2G  AVRIL   1G3G.  a 

gulière  ;  il  a  l'osprit  morvi-illeuseinent  inventif,  ot,  je  crois  que  sa 
Géostaliquc  (')  sera  quelque  chose  de  fort  excellent.  Je  lui  écrirai  dî's 
((ue  vous  m'aurez  donné  de  ses  nouvelles. 

8.  Je  serai  aussi  bien  aise  d'apprendre  par  votre  moyen  tous  les 
Traités  ou  Livres  nouveaux  de  Mathématiques  qui  ont  paru  depuis 
cinq  ou  six  ans. 

9.  Je  vous  cnvoierai  Vhélice  (-)  que  vous  me  demandez,  par  la  pre- 
mière commodité. 

10.  Va  vous  dirai  cependant  ([ue  j'ai  rétabli  enlièriMuent  le  Traité 
d'Apollonius  :  De  locis planis  (^).  il  y  a  six  ans  que  je  donnai  à  IM.  Pra- 
des,  que  peut-être  vous  connoissez,  la  seule  copie  que  j'en  avois, 
écrite  de  ma  main.  Il  est  vrai  que  la  queslion  la  plus  dilTicile  et  la  plus 
belle,  (jut;  je  n'avois  pas  encore  trouvée,  y  manquoit.  Maintenant  le 
Traité  est  de  tous  points  accompli,  et  je  vous  puis  assurer  qu'en  toute 
la  Géométrie,  il  n'y  a  rien  d(!  comparable  à  ces  propositions.  J'en  ai 
fait  voir  quelqu'une  à  .M.  de  Beaugrand. 

11.  J'ai  trouvé  aussi  beaucoup  de  sortes  d'analyses  pour  divers  pro- 
blèmes tant  numériques  (|ue  géométri(jues,  à  la  solution  desquels 
l'analyse  de  Viète  n'eut  su  suffire. 

De  tout  cela,  je  vous  en  ferai  part  quand  vous  voudrez,  et  ce  sans 
nulle  ambition,  de  laquelle  je  suis  plus  exempt  et  plus  éloigné  que 
tous  les  hommes  du  monde. 

12.  Je  voudrois  pourtant  qu'il  vous  plût,  sans  me  nommer,  proposer 
aux  plus  habiles  de  delà  les  deux  questions  suivantes  à  soudre,  pour 

(')  .lonnnis  |  do  Beaugrand  |  Rcgi  Francia;  Doniui  |  Ilcgnoquo  ac  irrario  [  sancliori  a 
consiliis  secrclisque  |  Geostalice  |  scu  |  de  vario  pondère  graviiim  |  sccundum  varia  w 
lerraî  <  cenlro  >  |  inlervalla  |  DisserUlio  maUicmalica  |  .  —  Apud  Tussanum  Du  Bra\ , 
via  I  Jacobœa,  sub  Spicis  maluris  |  M. DC. XXX. VI.  —  (Bibl.  Nat.,  V  122,  f°).  —  I^  dé- 
dicace, à  Ricliclicu,  est  datée  du  20  avril  iGjC. 

(2)  Voir  ci-après  Lettre  III,  3. 

(')  Voir  Tome  I,  pages  3  à  5i.  —  Il  semble  que  la  proposition  que  Fermât  n'a  trouvée 
qu'en  dernier  lieu  soit  la  septième  du  Livre  I  (T.  I,  p.  24);  il  avait  en  ciTet  achevé  le 
Livre  II  dès  1G29.  Voir  ci-après  Lettre  X.Kl,  3. 


«  (EUVllES  ])E  FERMAT.  -  COHUESPONDANCE. 

i-c  qiK'  leur  solution  dépend  d'une  méthode  particulière  que  j'ai  trou- 
vée, de  laquelle  je  ne  ferai  plus  tant  d'état,  si  vous  trouvez  quelqu'un 
(|ui  les  puisse  soudrc  géométriquement  ('). 

Pi;i>i.\.  —  Data' sphœrœ  inscrihere  conum  rectum  onmitun  inscribcndo- 
nim  anihitu  maximum. 

Secunda  idem  proponit  de  cylindro  quod  superior  de  cono. 

Je  ne  prétends  pas  par  là  vous  exclure  du  nombre  de  ceux  qui  cher- 
cheront la  solution  de  ces  deux  questions. 

.l'attends  de  vos  nouvelles  et  suis,  mon  Révérend  Pitre,  votre  très 

humble  serviteur, 

Fehmat. 

A  Toulouse,  ce  26  avril  iC3(i. 


II. 

PROPOSITIO  GEOSTATICA 

P0.MIM  DE  FEHMAT  ("-). 

<  MU  1C3G  > 

(/■«.,  p.  i'|.i-i^',.) 

1.  Sil  rentrum  Tcrrœ  B  (fig.  i),  semidiameler  BA,  porlio  allcrius  semi- 
(liainrtri  BC,  et  fiât 

lit   AU  ad  I5<",        ila  pondus  appensttrn  in  C  ad  pondus  appensuni  in   A  : 


G — O 


Mo  potidcra  \,  (^  non  moveri,  sed  fieri  œquilihrium. 

(I)  T'oir  Tome  I  :  la  solution  analytique  de  la  première  de  ces  deux  questions, 
pages  l'i'i  et  sulv  ;  la  solution  géométrique  de  la  seconde,  envoyée  à  Mersenne  le  10  no- 
vemlirc  ili'i:*,  pages  107  et  suiv. 

{-)  Celte  proposition  a  été  envoyée  par  Fermât  à  Carcavi  (  !'oi>  ci-après  Lettre  VI,  2) 


II.  —  MAI    IC3C.  7 

Haec  autem  propositio  probatu  est  facillima,  vcstigiis  Archimcdis  (') 
insistendo,  et,  si  ncgelur,  stalim  domonsirahilur. 

2.  Hoc  supposito,  propositionem  sanc  mirabilem  indc  dcduciimis  : 
Ponalur  grave  in  punclo  N  (tig.  2)  intcr  puncta  A  et  B,  el  fiai 
iil  AB  ad  BN,       ita  pondus  N  ad  polentiam  K  : 
Aio  pondus  N,  junclo  axe  AN,  a  potcntia  R  i/i  punclo  A  coilocala  dcti- 

Fig   2. 

B 0 A_^, 

M 

r?e/j  e/,  si  minimum  augeatur  polentia  R,  sursum  lulli,  idcoque  quù  pro- 
pius  pondus  accedit  ad  ccntruni  Terra',  minorem  polentiam  ad  tollendum 
illud  requin. 

Hœc  est,  ni  fallor,  propositio  quam  Beaugrandus  (^)  in  sua  Geosta- 
(ica  demonstrât;  nos  eam  hac  ratione,  quae  sequitur,  demonstramiis. 

dans  une  Icllrc  perdue,  où  il  le  priait  sans  doute  de  la  communiquer  à  Mersenno.  Fermai 
l'avait  composée  avant  d'avoir  pris  connaissance  de  la  Gcostatique  de  Beaugrand,  par  con- 
séquent avant  la  lettre  suivante,  du  3  juin  i636  (voir  ci-après  III,  5). 

Mersenno  en  a  inséré  dans  son  Harmonie  universelle  une  traduction  assez  fidèle,  que 
nous  reproduisons  ci-après  (lU)-  Elle  permet  de  constater  une  confusion  dans  les  T'orw, 
où  les  trois  premiers  articles  sont  rattachés  à  la  pièce  V  ci-après,  et  où  le  titre  du  mor- 
ceau est  inséré  après  l'énoncé  même  de  la  proposition,  c'est-à-dire  avant  l'article  3  :  Siip- 
positi.i  et  coiiccssis  etc. 

(')  Si  l'on  compare  la  marche  que  suit  Archimède  (De  plnnonim  (rqailibriis,  I)  pour 
démontrer  le  principe  d'équilibre  de  la  balance,  on  reconnaît  que  Fermai  admet  eu  fait 
comme  postulats  : 

1°  Que  la  direction  de  la  gravité  passe  constamment  par  un  point  déterminé  hors  du  corps 
pesant,  à  savoir  par  le  centre  de  la  Terre; 

v."  Que  le  point  d'application  de  la  gravité  (au  moins  pour  un  corps  sphcrique  homo- 
gène) est  un  point  déterminé  de  la  figure  du  corps  pesant; 

3°  Que  l'effel  statique  de  la  gravité,  pour  un  corps  déterminé,  dépend  uniquement  de  la 
distance  de  son  centre  de  gravite  au  centre  de  la  Terre. 

Fermât  ne  suppose  pas  d'ailleurs  que  la  gravité  s'exerce  eu  dehors  de  la  sphère  ter- 
restre; dans  ces  limites,  ses  postulats  concordent  avec  l'hypothèse  ncvvtonienne,  si  l'on 
considère  la  gravité  comme  la  résultante  de  l'attraction  d'une  sphère  composée  de  couches 
concentriques  et  homogènes  sur  un  point  matériel  situé  à  son  intérieur. 

(»)  Voir  la  Lettre  I,  7.  La  Gcostatique  de  Beaugrand  a  pour  objet  de  démontrer  que  la 
gravité  (supposée  seulement  à  l'intérieur  de  la  sphère  terrestre)  varie,  pour  un  mémo 


8  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

3.  Suppositis  et  concessis  quihus  iii  demoiislralionc  uliniur,  ex 
praeccdontc  propositionc  et  ex  communibus  notionibus  desuinptis,  sit 
centrum  Terra3  C  {fig.  3),  semidiameter  CiV  in  qua  sumatur  punctum 

Fi-.  3. 

■? — ' — e ^ 


-»-R 


|{.  In  pnncfo  autoni  B  sit  quodvis  grave  appensum;  fiât  autem 

ul  rccla  CA  ad  reclam  CR, 
ita  pondus  in  R  appensum  ad  polonliain  aliquain,  ul  R. 

Aio  grave  B  a  potenlia  R  in  pnncio  Asiistineri  et,  si  angealnr  (|uantum- 
libet  potenlia  R,  pondns  lî  ab  liujusmodi  aueta  potenlia  in  pnneto  A 
collocala  snrsum  movcri. 

Producatur  enim  AC  in  D,  et  sit  (]D  «qualis  CB,  et  in  D  eollocetur 
pondns  ponderi  B  jequale.  Corporis  igitnr  e\  dnobus  gravibus  B  et  D 
«•onipositi  centrum  gravilatis  est  (1,  ideoqiie,  si  a  puncto  A  anferafnr 

corps,  |)roportionnellemciU  à  la  distance  de  son  centre  de  gravité  au  centre  de  la  Terre. 
(Vcst  donc,  en  fait,  la  môme  thèse  que  celle  do  Fermât,  quoi(pie  ce  dernier  établisse  une 
distinction  assez  subtile  {voir  ci-aprcs  Lettre  IV,  1).  Mais  la  démonstration  de  lieaui;ranil 
est  absolument  manquce  comme  fond  et  comme  forme,  et  elle  donnera  lieu,  dans  la  cor- 
rcsponilancc  entre  Mersenne  et  Descartes,  à  de  fréquentes  railleries  de  ce  dernier  contre 
le  gct>stntlcicn. 

(lettc  démonstration  revient  en  fait  à  admettre  que,  si  un  corps  pesant  est  suspendu 
par  un  fd  sans  gravite  à  l'extrémité  d'un  levier  parallèle  à  l'horizon  et  maintenu  d'ailleurs 
en  équilibre,  cet  équilibre  ne  sera  jamais  détruit,  quand  même  on  allongerait,  autant  ([ue 
l'on  \oudra,  le  fil  de  suspension  supposé  dirigé  vers  le  centre  de  la  Terre. 

L'erreur  d'une  pareille  thèse  est  aisée  à  reconnaître;  mais  il  convient  d'observer  ([u'à  la 
date  où  nous  sommes,  les  principes  do  la  Staticpic  no  sont  nullement  établis;  on  est  môme 
à  peine  d'accord  sur  les  conditions  d'étpiilibre  du  levier  actionné  |iar  des  forces  parallèles, 
car  la  question  qin  s'agite  est  précisément  do  savoir  si  les  postulats  d'origine  expérimen- 
tale sur  lesquels  repose  la  théorie  d'Archimède  sont  vrais  en  prenant  les  forces  do  gra- 
vité concourantes,  ainsi  qu'elles  le  sont  en  réalité,  ou  en  les  supposant  parallèles,  avec  le 
géomètre  do  Syracuse.  Beaugrand  admet  la  première  alternative  jus(]ue  dans  ses  consé- 
quences évidemment  erronées;  Fermât  suit  la  même  voie,  mais  avec  une  pruticnce  très 
caractéristique.  Kobcrval  défendra  l'hypothèse  d'Archimède  (ci-aprèx  Lettres  VIU,  XIV)  ; 
mais  Galilée  et  Caslelli,  quoique  déjà  en  possession,  comme  Uoberval,  du  principe  do 
l'équilibre  du  levier  actionne  par  des  forces  concourantes,  n'en  ont  pas  moins  pris  en  sé- 
rieuse considération  les  conclusions  de  Beaugrand  et  les  propositions  de  Fermât  {vnii-  ci- 
après,  Pièce  V,  note  G). 


n.  -   M  AI    1G3G.  !) 

|K)l('nlia  H,  qiuiiii  iccla  \l\  iiiliil  |)(>ii(l(M-('t,  cninl  ixmdcia  15  cl  I)  in 
a'(|iiilil)rio  o(  inaiichuiil. 

Si  aulciii  iii  A  collocoliir  pondus  dcorsum  Icndcns,  ]M)l(>nlia'  W  sur- 
smii  movcnti  ,TqiiaI(',  idem  es!  ac  si  a  punc(o  A  dcmaliir  potcnlia  II; 
iiaiM,  (inanliini  pntcnlia  lollil,  lanluindc-m  pondus  dcpriniil.  Cnlloccini- 
i;,'iliir  liiijusmodi  pondus  in  A  :  corpus  ii^ilur  coniposiluni  ex  |)(»lcn(ia 
H  collorata  in  A  cl  sursuni  Muivcnlc,  ex  poiulcre  A  deorsuni  Irndcnic 
et  ex  gravions  ]{  o(  I),  nil  in  lequilibrio  aul,  si  niavis,  non  inovc- 
l)ilnr. 

Ouuni  au(em  gravo  I)  si(  a-fjualo  gravi  15,  o(  ivcla  C.D  rocla^  CM,  cril 


cl. 


Ml  AC  ail   CI),       iia  AC  yil  Ci!, 

iil  poiulds   1!  ad  polfiiliain   I!   jii  A  colloialani, 
lia  pondus  I)  ad  pondus  in  A  deorsuni  Icndcns. 

(|(iiiil  ipsi  |{  polcnlia"  a'cjualc  jiosuinius.  ICsl  aulcui,  ex  liypollicsi, 

m  roda   AC  ad  CI5,       ila  pondns  I!  ad  pnicnliam   lî   in    \  ((dliicalani  : 

oril  igilur 

ut   AC  ad  C!),        ila  pondns  I)  ad  pondn^  in   A  dcni-sinu  Icndcns. 

Ouuni  ii;ilur  dislaulnc  pondcribiis  siul  rcciprocc  propo^li()llalc^, 
pondus  iu  A  dcorsuui  Icndcns  |»oudcri  D  anfuipondoraliil  ;  si  vcro  al) 
aM|uip()iulcranlilius  a'i|uipon(|iTaiilia  aufcranliii',  rciiqua  a'(|uip(tn(lc- 
raliunl  :  crgo,  si  ali  a'ijuilihiin  ex  polcnlia  II  iu  A  collocala  cl  siir>uni 
luovcnlc,  ex  poudcrc  in  A  dcoisuni  liMidcnlc  cl  poiulcrihus  I?  cl  I)  ((uu- 
posilo,  aufcralur  a'(fuililiriuin  ex  pnndcrihus  A  cl  I)  coniposiluni.  rcli- 
(]iia  aM|iiip(iii(lcraliuiil  au!  poliiis  iinii  inovciuinlur. 

Auicraiilur  igiliir  [loiidus  A  cl  pondus  I);  rcinaïudiil  polcnlia  W.  in  A 
collocala,  cl  pondus  I?,  ([iiod  proiiulc  polcnlia  H  dclincliil.  idco([iic.  si 
ruiniuià  augcalur  vi.  siirsiiiu  hdlil.  Oiiod  oral  dciuoiislraiidiiin. 


l'inMAi.  —  II. 


10  (KUVUKS   1)1-:   FEUMAT.  -  COllHESPONDAiNCi:. 


IIa. 

MiaiSliNNli,  Sciimde  PiirlU:  de  riliii-iiioiiic'  lliiU'crsclIc  (iCi'ij),  \\\\t\  Vlll  : 
De  l'iUililc  ilo  ril.ii'moaic,  (iro|).  wiii,  |):igos  (li  cX  siiiv.  (  '  ). 

.  .  .  Oi',  |)iiis(|iie  Monsieur  Fcrriinl,  Conseiller  au  l*arleuient  de  Tliohjse  el 
liès-excclleul  (iéoniètre,  m'a  donué  le  raisoiineuicut  qu'il  a  l'ail  sur  les  dilTé- 
rcuiles  pesaiileurs  des  poids,  suivant  (|u'ils  approclnMil  davantage  du  cenlre.... 
Je  veux  l'aire  |)arl  au  pnhlie  de  ses  pensées  sur  ee  siijel. 

Soil  donc  le  cenlre  de  la  T(Mrc  dans  la  lii,'rie  droile   VC  (//.;'■.  i),  an  poini  15; 


Fi;;.  .. 

G — ' O 


le  deuii-diauièlre  |{\;  el  !?(",  soil  une  poi'liou  île  l'antre  denii-ilianiélre.  Ht 
<|ue  le  poids  allaclié  au  point  (]  soil  an  |)oids  attaché  au  point  A  comuie  AI5 
à  lî(]  :  je  dis  (|ne  les  poids  A,  (]  seront  eu  éi|nilil)re.  Ceci  étant  posé,  il  eu 
ih'Mlnil  la  conclusion  précédente,  à  savoir  (|ne   la  pesanteiu-  d'un   eoi'ps  est 

d'anlaiit   moindre  c|n'il  s'approche  davantage  du  centre  de  la  'l'ei-re le 

mets  ici  le  raisonuemenl  entier  de  Monsieur  Fermai. 

Soil  donc  mis  U^  poids  entre  A  el  I!  an  poiiil  N  (//,:,■.  a);  el  connue  A<lî> 


l'i.'.    ■!. 


jrx- 


A 


K 

esl  à  l$N,  ainsi  soil  le  poids  iN  à  la  puissaïuc  II  :  je  dis  ipu-  le  poids  \,  i(jiirl 
à  A  |)ar  la  li:;ne  NA  (-),  esl  délenu  par  la  puissance  U  mise  au  point  A,  el 
(pie  si  l'on  anp;meule  laiil  soil  peu  la  puissance  lî,  elle  l'euléveia;  par  consé- 
quent, il  l'anl  luie  puissance  d'aïUaid  moindre  pour  l'enlever,  (]u'il  approclic 
davantage  du  centre  ilc  la  Terre. 

Ce  (|u'il  démonlre  eu  celle  façon  :  Oue  C  (/'o'-  >)  soil  le  cenlre  de  la  'l'ei  re, 

l''i^'.  :;. 

G — ^ — e (--^^ 


le  demi-diamélre  (".A,  au(|nel  soil  pris  le  puinl  1!,  dans  leipud  le  poiils  attaché 
soil  à  la  [uiissance  \\  comme  AC  à  CH  :  je  dis  (pie  le  poids  H  esl  soiilonii  |)ai" 

I  '  )  l'oir  la  note  ■?,  de  la  |)a.£;(3  (i,  .soeoiid  aliiicu. 
I  -  )  joiiU  à  I5A  pur  lu  ligue  HA  Alcrscnnc. 


m.  -  n  JUIN  i(;3G.  ii 

I;i  (uiissance  II  mise  en  \,  laqticllo  l'iMilèvera,  ytonv  peu  (|ii'oii  l'aiiiimcntc. 
C.nr  soil  |irol()iip:L>  AC  jus(|tics  à  I),  cl  que  CD  soil  égal  à  (",15,  t-i  (|iie  l'on  iiielir 
un  |iipi(ls  en  I>  égal  an  poids  H,  C  sera  le  centre  de  pesanteur  du  corps  com- 
posé des  deux  poids  H  et  1);  c'est  ponr(pioi,  si  du  point  A  l'on  ôlc  la  puis- 
sance r>,  les  poids  n  cl  I)  demeureront  en  écpiilibrc,  puisfpie  la  ligne  liA  ne 
l)ésc  point.  Kl  si  l'on  niei  le  poids  en  A  (pii  tende  en  lias,  égal  à  la  jiuis- 
sance  11  rpii  lend  en  liant,  l'on  l'ail  la  même  cliose  que  si  du  point  A  l'on  ôloil 
la  puissance  li,  puisque  le  ]K)i(ls  abaisse  anlanl  comme  la  puissance»  enlève. 

Oue  ce  [loids  soit  donc  mis  en  .\  ;  donc  le  corps  composé  de  la  puissanre  li 
posée  eu  A  et  tendant  en  haut,  du  poids  .\  tendant  en  has,  cl  des  poids  I! 
ei  I),  demeni'era  en  é(piilil)re.  Or  puisijue  le  poids  J)  est  égal  au  poiils  lî,  ci 
que  la  ligne  (;i)  est  égale  à  la  ligue  CH,  AC  est  à  CM  comme  A(^  à  (M)  ;  et  comme 
le  poids  lî  est  à  la  puissance  H  mise  en  A,  ainsi  le  poids  I)  au  poids  mis  en  .\ 
i|ui  lend  en  has  (lequel  ou  suppose  égal  à  la  puissance  U).  Or,  connue  A(]  esl 
à  (;i$,  ainsi  le  poids  15  à  la  puissance  l\  posée  en  A;  donc,  comme  AT,  ;i  ('.[), 
ainsi  le  poids  1)  an  poids  mis  en  A.  El  par  conséquent  le  [loids  mis  eu  A  sera 
eu  équililire  avec  le  ])oids  1),  puisque  les  distances  sont  en  proporti<ni  réci- 
pro(|ue  des  poids.  Mais  si  l'on  ôle  des  poids  qui  sont  é(iuilil)r(!s,  d'aulres 
poids  (pii  sont  aussi  en  équilibre,  ceux  (|ni  resteront  demeureront  aussi  en 
l'quililjre;  donc  si,  de  l'éfpiilihre  l'ait  de  la  puissance  U  mise  imi  A  cl  lendani 
en  liaul,  du  poiils  mis  eu  A  tendant  en  bas,  et  des  poids  15  et  I),  l'on  ôle 
l'équilibie  lait  des  poids  ,\  et  I),  les  [)oidsf|ui  resteront  demeurcroni  en  écpii- 
libre. 

Soient  ilonc  ùlés  les  poids  A  et  1),  la  puissance  II  mise  en  A  el  le  poids  {*> 
demeureront  en  équilibre,  el  parlant,  pour  peu  que  l'on  augmente  la  puis- 
sance II,  elle  enlèvera  le  poids  il  :  ce  qu'il  falloil  démontrer. 


II). 
FERMAT  A  MKRSENNI-:. 

MVHDI    3    JL'IN     l636. 

(  f'tt,    p.    I  Jl-129.) 

.Mon  Hi;vKr.i.M>  PÈiii:, 

1-  .ï'ai  reçu  voire  lellrc  avec  salist'actioii ,  piiisqu'cllo  conticnl  des 
reinarqucs  el  des  cKfiéricnccs  1res  singulières  :  j'en  ferai  l'esliiiie  (|iie 
je  dois  et  de  (ou(  ce  ([iii  me  viendra  de  voire  pari. 


12  «KUVUES    l)K    lEIlMAT.  -  COUHESPONDANCE. 

2.  ,li'  ii'iii  |)oiiil  vil  lie  livre  de  iiiiisi(nic  plus  nouveau  de  vous  (|ue 
celui  ([ue  vous  appelé/  Qiics/io/ts  /lanno/iif/iies,  (|ue  j'ai,  relié  avec  uu 
aulre  recueil  <le  (Jacslio/is  et  les  Merh'i/iif/iics  de  (jalila'i  (  '). 

3.  Si  la  déiuousIralioM  de  la  [iroposilion  de  l'iiéliee  (-)  n'éloil  pas 
de  graud  discours  el  d(;  grande  rcclierclie,  je  vous  l'euvoierois  préseu- 

(  I  )  Il  a  paru,  en  i()3.i,  dons.  Voliiincs  difrérents  do  Questions  du  P.  Mersonnc,  Ions  deux 
|)clit  in-oelavo. 

Lo  premier  —  A  Paris,  riiez  laques  Villery,  rue  Clopin  à  l'Escu  de  France,  et  au  coin 
de  la  rut"-  Daupliine  aux  trois  Perruques,  M.DC.XXXUIl.  Avec  Privilcf^c  du  lioj.  — 
Sans  nom  d'auteur  (le  privilèt;e,  du  t4  août  1(129,  est  délivré  au  U.  P.  M.  R.  M.  ;  l'aclievo 
(l'imprimer  est  du  i''  dccoiribre  1033)  —  contient  (Bibl.  Nal.  Imprimés  V  .>.iii,  Inven- 
taire V  i9'>.9-l/5)  :  4  A 

<i)  Questions  inouyes,  ou  Récréation  des  scavans.  Qui  contiennent  beaucoup  de  choses 
concernantes  la  Tlicorie  (Tliéoloi;ic"?),  la  Philosophie,  et  les  Mathématiques  (180  pages); 

/^)  Questions  harmoniques.  Dans  lesquelles  so:it  contenues  plusieurs  choses  remar- 
quables pour  la  Physique,  pour  la  Morale,  et  pour  les  autres  Sciences  (276  pages). 

Le  second  —  A  Paris,  chez  Henry  Guenon,  rue  Sainct  lacques,  prés  les  lacohins,  à 
l'image  Sainct  Bernard  M. DC.X XXIV.  Avec  Privilège  et  Approbation.  —  (Privilège 
d'aoiit  i(>34,  épitres  dédicaloires  signées  do  Mersonnc)  —  renferme  (Bibl.  Nat.  Imprimés 
V  ■'.(>7'5,  Inventaire  V  251Î0/1/2)  : 

(■)  Les  Questions  Thcologiqucs,  Physiques,  Morales  et  Mathématiques.  Où  chacun  trou- 
vera du  contentement  ou  de  l'exercice,  Composées  par  L.  P.  M.  (ajo  pages); 

d)  Les  Mcchaniques  de  Galilée  Malhomaticion  et  Ingénieur  du  Duc  de  Florence,  Avec 
Plusieurs  Additions  rares  et  nouvelles,  utiles  aux  Architectes,  Ingénieurs,  Fonteniers, 
Philosophes  et  Artisans.  Traduites  do  l'Italien  par  L.  P.  M.  M.  (&8  pages); 

e)  Les  Préludes  de  l'Harmonie  Universelle,  ou  Questions  Curieuses,  Utiles  aux  Prédi- 
cateurs, aux  Théologiens,  aux  Astrologues,  aux  Médecins  et  aux  Philosophes.  Composées 
par  L.  P.  M.  M.  {i->.t\  pages). 

C'est  évidemment  ce  second  volume  que  possède  Fermai  et  c'est  le  dernier  recueil  ic) 
ipi'il  désigne  improprement  sous  le  titro  de  Questions  harmoniques. 

(2)  Foir  Lettre  I,  9.  —  L'envoi  promis  ici  par  Fermât  ne  se  retrouve  pas  dans  ses 
Lettres  à  Mersenne,  mais  il  fut  fait  avant  le  4  novembre  iG3()  {voir  Lettre  XV,  6),  et 
d'autre  part,  en  rapprochant  les  extraits  ci-après  IIU  et  Illu  des  CEuvre»  do  Mersenne. 
on  reconnaît  aisément  que  ce  dernier  nous  a  conservé,  dans  le  second  de  ces  extraits, 
une  partie  du  travail  de  Format,  sulTisanle  |ioiir  que  l'on  puisse  en  apprécier  toute  l'im- 
portance. On  peut  constater  également  que  l'hélice  dont  parle  Fermât  dans  ses  Lettres  I,  9. 
et  III,  3  n'est  autre  que  celle  qu'il  désigne  sous  lo  nom  û' hélix  Galilci  (et  non  Jlaliani, 
fausse  leçon  de  Bossut)  dans  la  Solution  du  problème  proposé  par  Etienne  Pascal  (Tome  I . 
pages  73-74),  pièce  dont  la  date  semble  devoir  être  assignée  en  janvier  ou  février  1(137. 
(lelte  .tpirale  de  Galilée,  nom  probablement  donné  par  Mersenne,  peut  être  définie  la 
courbe  décrite,  relativement  à  la  Terre  supposée  animée  du  mouvement  de  rotation 
diurne,  par  un  point  matériel  pesant  tombant  librement  suivant  la  loi  do  Galilée.  Le  pro- 
blème de  cette  trajectoire  préoccupait  particulièrement  le  savant  Minime  et,  dès  sa  pre- 
mière lettre  à  Fermât,  il  avait  dû  lui  demander  ses  lumières  sur  cette  question.  —  Il  ne 
parait  pas  douteux  ijuc  l'écrit  perdu  ait  été  rédigé  en  latin. 


111.  -   ;}  .JUIN    103G.  1:5 

Iciiu'iil;  mais  elle  coiilioïKlra  aillant  (|uc  deux  des  |)liis  j^raiids  Tiailcs 
d'Arcliiiurdc,  de  sorte  que  je  vous  deniandc  un  peu  de  loisir  |)o(ir  cela 
et  eepi'udaul  vous  la  pouvez  tenir  pour  tri-s  vérilahle. 

4.  .l'en  dresserai  un  Traité  exprès,  on  je  vous  ferai  voir  de  nouvelles 
lieliees  aussi  admirables  qu'on  en  puisse  imajj;iner;  pour  vous  en 
donner  ravant-i^oùl,  en  voiei  une,  qui  est  peul-èlr'e  celle  lii^nc  (|iii' 
.Ménélans  appelle,  admirable  dans  le  Pappus  t^'  ). 

listo  hclix  AMB  (fig.  4)  iji  circula  C.NH,  ciijas  ca  sit  iiropriclcis  iil . 
(laclà  (ntalihcl  rcctà,  verhi  i;ra/ia  AMN,  /o(a  circidi  circumfcrcnlia  si/ 


ad  cjiisdcm  circamfcrcnliœ  jmrlioncm  NCB  ///  AU  (luadratum  ad  qua- 
dralum  AM. 

In  hoc  anlein  lave  hctiv  diffcrt  ah  Jiclicc  Arcliinu-dis  ijuod,  in  liclicc 
Arc/nmedis,  si/  a/  circum/ercn/ia  ad porlionem  NCB,  i/a  AB  ad  AM. 

Proniinciarntis  :  primo,  spa/iitm  sub  hélice  e/  rccla  AB  comprehensimi 
esse  dimidium  /o/ius  circtdi;  dcinde  {f/iiœ  es/  proprie/as  mirabilis),  spa- 
/iitin  c.v  prtmti  remln/inne  or/um  (/pind  hîc  si/  N)  ((iii;.  "i)  rsse  dimidium 


apa/n  .M  ex  secu/ida  iwolu/iuiie  orti;  spa/ium  vero  (\  ex  /eiiia  levolu/ione 

(')  l'i(ppu<:,  IV,  id,  otJillon  IIiiUscli,  page  270,  aO.    --  La  siipposlllon  do  Keiinat  csl  très 
peu  prohablc. 


t4  (KUVHKS    l)K   KKIIMAT.  -  COUr.ESl'ONDANCi:. 

nrhiin  esse  irfj utile  spalio  M,  et  omitia  ornriuio  drinccps  spnlia  c.r  (/i/ii'i/'."/ 
/■(■i-n/iilio/ic  or/a  i/ic/o  spalio  M  sirnililcr  esse  a-ipialia,  idrotpie  cl  inicr  se. 

.Il'  ci'dis  (|U('  vous  iirjivdui'ri'Z  (juc  ces  rcclicrclics  sdiil  Itcllcs,  mais 
j'ai  si  |»('U  (le  coiiimiiililc  d'en  (''ci'irc  les  (U'inoiislralioiis  (|ui  s(HiI  des 
|)liis  iiialaist'cs  cl  des  [iliis  ciiiliarrassri's  de  la  (ItMmu'd'ic,  (jtic  je  nie 
conlciilc  d'avoir  dccouvci't  la  vérilt-  cl  de  savoir  le  moyen  de  la  prouver 
liii'S(Hic  j'aurai  le  loisir  de  le  faire.  Si  je  |)uis  li'ouvei-  ([U(d([ue  occasion 
d'allci'  passeï'  Irois  (ui  (|ualre  iiM)is  ii  l'aris,  je  les  cm|)loicrai  ii  iiu'llrc 
par  ccril  loutes  mes  uouvidlcs  pensées  en  ces  ai'ls,  \\  (juoi  je  ptuirrai 
sans  d{Mile  èlre  beaucoup  aide  de  vos  soins. 

5.  .l'ai  vu  la  (jéoslatitpic  de  M.  de  15eaui;rand  (^'  )  cl  me  sins  donné 
d'ahord  d'avoir  trouvé  ma  ])cnsée  dill'éreute  de  la  sienne;  j'cslimc  (|uc 
vous  l'aurez  déjà  remar([né.  .le  lui  envoie  rranchcuH'ul  mon  avis  sur 
son  livre,  vous  assurant  (|uc  j'cslimc  si  fort  sou  es])ril  cl  ([u'il  m'en  a 
donné  de  si  i;randes  pr(Hives.  (|ue  j'ai  peine  ii  me  persuader  (|u'ayanl 
entrepris  nue  opinion  contraire  ii  la  sienne,  je  ne  nie  sois  éloi|j;iie  de  la 
véi'ité;  je  consens  pourtant  ([u'il  soit  mon  ju!<e  et  ne  vous  récuse  pas 
non  plus.  Et  pai'ce  (pie  j'ai  écrit  ii  la  liàte  la  démonstration  (|uc  ji'  vous 
envovai  cl  l'écrit  (|ue  je  lui  envoie  (  -  ).  je  meltrai  tout  au  net  ii  loisir  et 
làidicrai  même  de  trouver  de  iiouv(dles  raisons  pour  soutenir  mon  opi- 
nion, à  la(juollc  pourtant  je  ne  m'attacliorai  jamais  [lar  opiniâtreté  dès 
(|ii'il  me  fera  counoitrc  le  contraire. 

.le  suis  etc. 


C)  J'oir  Lollros  I,  7.  Il,  2. 

I-)  Écrit  de  Fermai  perdu,  eoinme  loulc  sa  correspondance  avec  BeaLiirrand.  —  l.n 
dcmonslralion  envoyée  ù  Mcrsenno  n'est  autre  que  la  pièce  précédente,  11,  ou  peut-être 
la  rédaction  en  fraocjais  de  la  môme  i)ièce,  IIa-  Cependant  on  no  [leut  conclure  du  lan^'a^;!' 
lift  Fermai  que  l'envoi  a  été  fait  direclenieiit  à  Mersennc  el  que,  jiar  suite,  il  v  aurait  eu 
une  lettre  perdue  inlermédiaire  entre  I  et  lit  {vnir  Pièce  II,  note  i  de  la  ]>age  G). 


iii,v  i:t  iii„.  -  :î  iiiN  i(;:ui.  i.i 


niv 


MKii.-iiCNXi:,  Scco/i(f<-  Partie  de  riliiniiniiic  (fiti\'iT.ic!!c  (Hiij),  Nouvelles  OliSerNalioiiH 
l'liysi(|iics  et  Malhéiiiali(|iics.  Première  Ohs.  paj^e  >.  : 

La  seconde  chose  ([ii'il  est  à  propos  de  rcinaii|uer  apparlieiil  à  la  demie 
cireoiiréi'eiue  dont  je  parle  an  même  lieu  (')  :  car,  outre  ce  (pie  j'ai  mojilré 
de  la  ligne  hélice,  par  hupudle  les  poids  deseendenl  snivani  rimai,'inalion  de 
(lalilée,  nn  excelleni  (iéomèlre  a  dcmoniré  les  propriélés  de  celle  liéliic, 
laquelle  lui  pourra  servir  d'occasion  pour  i(^sliUier  le  livre  de  Démclrins, 
Ttiçî  •fcxij.'j.v/M-j  iTTiiîTaTEcov,  doni  l'appus  (-)  a  parlé  dans  le  /|.  I.  de  ses  Collec- 
lions.  Je  dirai  senlenieni  (pi'il  y  remar(|ue  (')  une  raison  |ierpéluelle  de  i  ■") 
à  S  :  ceux  <pii  en  voudroiU  savoir  un  plus  j^rand  nombre  de  pailicularilés,  lc> 
peu\ent  espérer  de  cel  excellent  personnaj^'C.  Il  a  trouvé  plusieurs  anlre-- 
miuvcdles  hélices,  dont  l'iiiie  est  peut-être  l'admiraide  du  iMénélaiis  ('•),  de 
laipielle  le  premier  es|)ace  l'ait  par  la  première  rêvolniion  est  sous  donhie  de 
cidni  de  la  secondi^;  et  néanmoins  Ions  les  autres  espaces  suivans  produit- 
par  les  autres  révolutions  sont  é!,MUX  à  celui  de  la  secontle  révolution  cl  par 
conséquent  éf^aux  entre  eux.  Je  laisse  les  autres  propriétés,  dont  il  doiineia 
la  dénionstralion  i|uand  il  lui  plaiia. 


m,;. 

Mkhsicnni;.  Cogiti/lu  I'li\  sii(t-iniiilicin:ilt<(i  i  Mi.'i  i  i  —  liallislica,  page  Ij. 

1.  ('.uni  (ialiheus  exislimare  viderelnr  lapidcm  (posilà  lenà  nud^ili  t'I  solis 
niMiiiiu  supplentc)  usqiie  ad  terra-  cenirum  descendentem  moveri  per  semi- 
circiMuleienliani .  .  .  .  de  (pià  siqierius  {')  diclnm  est,  dcmonsiravit  acnlis- 
simus  (leometia  h.  I'"ermalius  non  esse  des(;ensum  illum  scniicircularcm , 
s(Mi  helicein  descriliere  pecnliareni,  qu:c  sit  sccunda  iiiler  setpienlcs,  quem- 
ailmoduni  piinia  est  Archimedea. 

(  '  )  Livr:'  Il  du  .\liiii\eiiicMl  des  Ciirps.  prop.  ni,  pai;cs  <j3  cl  suiv.  —  Ijalilcc  a\.ill  dit 
(  MiiiMJiii  S:\ti-iiii,  il'i'yj.,  p.  lit)  suiv.)  ipi'il  éUiil.  prubable  (pi'iiii  corps,  loiiiliant  sans  ciii- 
pOelieincnl  jiis<praii  eoiilre  de  lu  lerro,  décrirail,  en  tciiaiU  coinplc  du  niiiuvemciU  de  la 
terre,  une  denii-eireoiifcrcnce.  Mcrsciiuc  roluLail  cette  o|iiiiion. 

(  -  )  Paim'Is,  IV,  H\,  édition  Ilidlscli,  pa.Lje  ■>7i>,  -ii». 

(  ')  f'oir  ci-après  la  pièce  lllii,  2. 

(  '•)  /■<«/■  Leltic  III,  4. 

I  ■"' )  l'a.^e  ôo  des  J'uiUiMicit  de  .Mcrseiiac. 


10 


ŒUVIIKS   DE  FEIIMAT.  -  CORRESPONDANCE 


1.  Sit  igiliii-  lielix  AFR  (  Aa'.  6)  ii'lra  circuluni  B(".\  descripl;!,  ila  ul  scmpcr 
sil  eadem  ratio  circunilereiil'up  RCX  ail  arcuni  RC,  quse  est  linc;c  AR  ad  F(^ 
\ol  quadiati  AH  ad  qiiadraluin  FC,  vel  cubi  AR  ad  cubiim  FC,  vel  ciijiis- 
(■iMiHiiie  allciius  potcslatis  (')  AR  ad  similcm  poleslalem  FC,  régula  gcneralis 

Kis.  fi. 


datiir,  qiià  ralio  ciiculi  RCX  ad  spaliiirn  lineà  AH  ot  helicil)us  AF'R  comiiro- 
lic'iisiim  rcpeiialui-  (-). 

IIîc  apiioiio  ocio  hélices  qiiariim  majores  numeri  circiiltim,  minores  lielirem 
rel'eriml  : 


1. 

-)_ 

:i. 

!.. 

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a. 

7. 

s. 

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1  V! 

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if. 

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(•)< 

49 

l'iS 

:].   Ouilnis  placcl   addere    demonslralioiiem    amici    (^),   ipii    demoiisiravii 
iiiinam  desccnsùs  tJjraviiiiii    non    esse    circiilarem ,    siiriiciat    annulasse 


(  '  )  Piilcntia'  Mersciiiic. 

(-)  Mei'scniio  a  f;iil  ici  quelque  confusion;  les  spirales  qu'il  vicnl  de  définir  (int 
l'qiialion  polaire 

celles  auxquelles  se  rapporlenl  les  nombres  qui  suivenl  cl  dans  lesquelles  doit  li'uil 
figurer  comme  seconde  in  =  'D  la  Irajecloire  étudiée  i)ar  Format,  ont.  au  contraire; 
cqualion 


leurs 
pour 


W  —  o 
II 


Fermât  a  sans  doute  considéré  les  deux  classes:  pour  la  seconde,  le  rappciri  de  : 

.     ,       fP  '"       f/(0                          ,            ,                        .         <JH2                        ■,,1-'- 
de  la  spn-alc   I  0- — ,  au  secteur  de  cercle  correspondanl ,  est 

formule  dans  Itiquelle  rentrent  les  nombres  donnés  par  Merseniie. 

(  ■■>>  I.a  démonstration  qui  siiil  1  en  partie  seulement)  dans  le  texte  de  .Merscnne  no 
èire  attribuée  à  Kerniat. 


Ill-Ul 


IV.  -  24  JUIN   1C3C.  17 

lincam  iï-lani  ilesccnsùs  graviiim  rcclani  suh  polis  fiiiuram;  planam  heliceiu 
sub  iiHiualore;  el  in  omni  alio  loco  solidam  lielieein  super  coni  isoscelis 
suiicrflcie  descripiam,  cujus  basis  est  paralleliis,  à  quo  desceiisiis  incipit,  et 
verlex  ipsuin  tornp  contrum. 

k.  Oiiain  ilemonslrationcm  libciilcr  postulanlibus  communicabo,  (piemad- 
inodiim  aliam  elegantissiinani  à  I).  Fermalio  iuvenlam  et  ad  ipsnm  missani 
«lalihcuni  (•),  qiià  demonstral  spatiuin  al)  isia  comprcbensuni  belice  esse, 
vel  ad  circuli  seclorem,  vol  ad  loltim  circuliim  quibus  comprehendilur,  ut  8 
ad  i5;  quœ  proportio  ropcrilur  siiiiilitcr  iiilra  spalium  à  spirali  circa  coni 
supeiTiciem  descriptum  et  ipsam  coni  superficicm. 


IV. 
FERMAT  A  MERSENNK. 

MAltllI    24    Jll.N     l636. 

(  fa,  p.   122-1^3.) 

Mon  Rkvicrkm)  Pki'.r, 

1-  Je  suis  marri  de  n'avoir  pu  vous  faire  juc-eisément  comprendre 
mes  sontimens  (oucliant  ma  Proposition  Gèostatique  (-);  il  est  pourtant 
vrai  que  je  n'avois  garde  de  la  prendre  au  sens  que  vous  avez  cru,  car 
la  seule  raison  que  j'ai  em[)loyée  contre  l'opinion  de  31.  de  Beaugrand, 
c'a  été  celle-là  même  que  j'ai  (rouvce  dans  voire  Ledre,  de  sorte  que  je 

(1)  Galilée  répondit  à  cet  envoi  par  une  lettre  du  i5  juin  ilViS  à  Mersenne  dont  une 
traduction  française  se  trouve  dans  le  MS.  do  la  Hibl.  Nat.  fr.  nouv.  acq.  (V.>,o4  ;  dans  cette 
lettre,  Fermât  se  trouve  simplement  désigne  sous  les  termes  :  <>  votre  amy  ».  Dans  les 
manuscrits  de  Galilée,  on  ne  retrouve  aucune  autre  trace  de  rapports  entre  lui  et  Fermât 
que  ce  passage  d'une  lettre  d'Elia  Deodati  du  14  juillet  1637  : 

n  Al  Signer  Carcavi  essendo  tornato  di  fuora,  lio  dalo  la  leltcra  di  V.  S-,  délia  quale  è 
"  restalo  sodisfattissinio  per  la  soluzione  délie  objezzioni  fatte  avanli  dal  suc  amico,  il 
«  quale  anco  lui  dovrû  rcstare  appagato  quando  lo  vcdrà.  11  nome  suo  ô  M'  l'crmal,  C.on- 
»  sigliere  dcl  Parlamento  di  Tolosa,  dove  resiede.  «  (Bibliotliéiiue  Nationale  Centrale  de 
Florence.  —  AIM.  Galiléens,  P.  V.,  T.  vi,  f"  79".) 

Nous  devons  ce  renseignement  à  l'obligeance  de  M.  V.  Favaro. 

(-)  Ci-devant,  Pièce  II. 

Fermât.  —  \\.  3 


18  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

n'avois  garilo  de  toinlicr  dans  un  inconvénient  que  j'avois  prévu  et 
coudaniné. 

J'estime  dune  (|ue  fout  grave,  en  quel  lieu  du  inonde  qu'il  suit, 
lu)rniis  dans  le  centre,  pris  en  soi  et  absolument,  pèse  toujours  éga- 
lement, et  c'est  une  proposition  que  j'aurois  aisément  prise  pour  prin- 
cipe, si  je  ne  la  voyois  contestée.  Je  tàclmrai  donc  à  la  prouver;  mais, 
(|u'elle  soit  vraie  ou  non,  (;ela  n'empêche  |)as  la  vérité  de  ma  Proposi- 
tion, qui  ne  considère  jamais  le  grave  en  soi,  mais  toujours  par  relation 
au  levier,  et  ainsi  je  \w.  un>(s  rien  dans  la  conclusion  qui  ne  se  trouve 
dans  les  prémisses. 

Or  réquivo(|ue,  sans  donle,  est  venue  de  ce  que  je  ne  vous  ai  pas 
assez  expli(|ué  les  nouvelles  pensées  que  j'ai  sur  le  sujet  des  Mécha- 
ni([iics  et  les(jiH'lles  vous  verrez  grossièrement  crayonnées  sur  le  pa[>ier 
([lie  je  vous  envoie  ('  );  c'est  pourtant  ii  la  cluirge  que  vous  m'obligerez 
de  ne  les  communi([uer  à  [tersonne  et  que  vous  me  donnerez  le  loisir 
pour  en  l'aire  les  démonstrations  exactes  on  plulùt  pour  les  mettre  au 
nel,  cai'  (dies  sont  déjà  l'ailes. 

L'erreur  d'Arcliimi'de,  si  pourtant  nous  la  pouvons  nommer  ainsi, 
provient  de  ce  ({u'il  a  pris  pour  fondement  que  les  bras  de  la  balance 
arréteroienl,  ([uoi(|u'ils  ne  Cùsscnt  pas  parallèles  à  l'horizon,  de  quoi 
j'ai  démou(ré  le  contraire. 

Si  vous  examinez  de  nouveau  la  G""^  et  la  7'""  des  Equipondérans  (^^  ), 
vuns  Iruuverez  que  je  ne  me  trompe  pas  et  (jue  sa  démonstration  est 
tonte  l'ondée  sur  cette  su[)pusition. 

(lar  soit  le  levier  EDB  {Jig.  7),  duquel  le  centre  A,  celui  de  la 
terre  (',.  Archimèdc,  pour  démontrer  la  proportion  réciproque  des 
poids,  les  divise  en  parties  égales,  comme  \l,  et  les  attache  en  dis- 
lances égales  le  long  du  levier.  Or,  il  su[)|)ose  ([ne  le  centre  de  gi'avilé 
de  deux  poids  est  au  point  qui  divise  leur  intervalle  également,  et  cela 

(  '  )  Ci-api'os,  l'iècc  V. 

(2)  Ancm.MKDH,  De  pUtnoriiiit  rc<jiiililirii\  1  :  Les  propositions  (>  et  7  domoulrenl  la  réci- 
procité (les  rapports  entre  les  poids  suspendus  à  un  levier  en  cquilil)re  et  les  longueurs 
lies  bras  do  levier;  la  première  dans  le  cas  de  la  commensurabilité,  la  seconde  dans  le  cas 
do  rinconimensiirabilité  des  rapports. 


IV.  -    2't  Jl  I\   1C3G.  I!) 

ost  hicii  vrai  aux  doux  poids  qui  sont  autour  du  point  A,  parce  qiio  la 
ligno  AC  étant  perpendiculaire  au  levier,  les  poids  E  autour  du  point  A 
se  trouvent  également  éloignés  et  du  centre  du  levier  et  de  celui  de  la 
terre  et,  par  conséquent,  ils  se  trouvent  d'égale  inclination. 

Fig.  7. 


.Mais  si,  dans  le  même  levier,  vous  prenez  le  poini  D  qui  divise  l'in- 
lervalle  des  deux  graves  E  également,  en  ce  cas  le  point  plus  éloigné 
du  ceiilre  du  levier  est  aussi  le  |>lus  éloigné  du  centre  de  la  (erre,  et 
ainsi  le  point  D  avec  les  deux  poids  E  représente  une  balance,  de 
laquelle  les  bras  ne  sont  pas  paralli'les  à  l'horizon. 

Mais  si  la  descente  des  graves  se  laisoii  par  lignes  parallèles,  comme 
en  cette  figure  {fig.  8)  par  les  lignes  AC  cl  DN,  en  ce  cas,  la  proposi- 


Fi;;.  S. 


o  I  Q — e  :  o  B 


lion  d'Arcliimcde  scroit  vraie  :  ce  n'est  pas  que  dans  l'usage  elle 
man(|ue  sensiblement,  mais  il  y  a  plaisir  de  clicrclier  les  vérités  les 
plus  menues  et  les  plus  subtiles  et  d'ôter  (ouïes  les  ambiguïtés  (|ui 
pourroient  survenir.  C'est  ce  que  j'ai  fait  très  exactement  et  je  vous 
puis  assurer  que,  quoique  la  recherche  en  soit  bien  malaisée,  j'en  pos- 
sède toutes  les  démonstrations  parfaitement. 


•20  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

Soit  lo  ccnlre  de  lii  terre  A  i^fig-  9),  le  grave  E  au  point  E,  e(  le 
point  N  dans  la  superficie  ou  ailleurs,  plus  éloigné  du  centre  que 
le  point  E.  ,1e  ne  dis  pas  que  le  point  E  pèse  moins  étant  en  E  (|ue 
s'il  étoit  en  N,  mais  je  dis  que,  si  le  point  R  est  suspendu  du  point  N 

F'g-   !!■ 
N 


par  l(^  filet  NE,  la  force  étant  au  point  N  le  retiendra  jdus  aisément  (|ne 
s'il  étoit  plus  proche  de  la  dite  force,  et  ce,  en  la  proportion  (jne  je 


vous  ai  assignée. 


.le  crois  vous  avoir  suffisammeni  expli(|ué  ma  pensée  sur  ce  sujet. 

2.  Pour  la  ([uestion  (  '  )  des  nombres  dont  vous  me  parlez,  si  vous 
m'en  faites  part,  je  tâcherai  de  la  résoudre. 

3.  .renvoyai,  il  y  a  déjii  longtemps,  la  proposition  di's  parties  ali- 
quotcs  (-)  à  M.  do  lieaugrand,  avec  la  construction  pour  trouver  infinis 
nombres  de  même  nature.  S'il  ne  l'a  pas  pei'dne,  il  vous  en  fera  pari. 

4.  Je  vous  prie  de  relire  ma  proposition  des  graves  et  de  m'en  dire 
votre  avis. 

.!(>  suis  etc. 


.MicHSKN.NE,  Haniiiiiiic  Unk'cmdlr  (lOid),  Prérace  t;ciicrale  (page  9  nnn  numérotée). 

....  Or,  si  je  voulois  pailcr  des  iionuiics  do  grande  naissance  011  (|iialil(', 
qui  se  plaisent  lellemenl  on  celle  pai-lio  des  Matliomali(iues  qu'on  ne  saiiroit 
peiil-cU-c  leur  rien  eiiseij^ner,  je  rôpélerois  le  nom  de  celui  à  qui  le  livre  de 


(1)  ^o/>  ci-après,  Lettre  VI,  7. 

(-)  Foir  ci-après,  IVa  et  IVn,  deux  extraits  des  Uuvraires  de  Mcrsennc,  probableiiu'iit 
r-inprimlés  à  cet  écrit  perd»  (pie  Fermât  avait  envoyé  à  Beaugrand. 


IVn.  -  24.  JUIN  1G3G.  21 

l'Orgue  est  dédié  (')  cl  ajoiilerois  Monsieur  Fermât,  Conseiller  au  Parlenieni 
de  Tlioulouze,  auquel  je  dois  la  remarque  qu'il  a  faite  des  deux  nombres  ly^iç)*) 
et  i84i(),  dont  les  parties  aliquotes  se  rcl'onl  mutuellement,  comme  l'onl 
celles  des  deux  nombres  220  et  aS.');  et  du  nombre  672,  le(|uel  est  sous 
double  de  ses  parties  aliquotes,  comme  est  le  no[iibre  120;  et  il  sait  les 
régies  infaillibles  et  l'analyse  pour  en  trouver  une  infinité  d'autres  s(mii- 
blables. 


IV„. 

Mersense,  Seconde  Partie  de  l'Harnuiiiic  Uiiwcrselle  (ilV!;),  Nouvelles  OI>servalioil> 
Plivsiinies  el  MiUhcni;ili(]ucs,  [wgcs  ■>.()  cl  siiiv. 


XUI.    OBSERVATION. 

Dex  parlicx  alùjitoCes  de  no,  cl  des  noinhrcx  amiables. 

Il  faut  ajouter  à  ce  que  j'ai  dit  des  parties  aliquotes  des  nombres  dans  la 
dixième  remarque  de  la  première  l'rèl'ace  générale,  la  méthode  de  trouver 
le  nomjjre  semblable  à  120  dont  je  jiarle  au  lieu  sustlil.  Il  faut  donc  melire 
tant  de  nombres  de  suite  qu'on  voudra  en  raison  double  en  commençant  par 
■'.,  comme  sont  les  nombres  A,  B,  C,  U,  E,  F  : 

(i,     II,      I,      K,      L,     M, 

I,      3,     7,     i5,     3i,     63. 
A,     B,     C,      I),      E,      F, 

2,    4,    S,    i<i,   32,   r..',. 

N,     0,     P,      O.      R,      S, 
3,      5,     g,     17,     33,     65, 

desf]uels  l'unité  étant  ôtée,  l'on  fasse  les  nombres  (1,  II,  I,  k,  L,  Al,  cl  aux- 
quels l'unité  étant  ajoutée  l'on  fasse  les  autres  nombres  N,  0,  P,  O,  H,  S. 
Lorsriue  l'un  des  nombres  G,  II,  I,  K,  L,  M,  par  exemple  K,  divisé  par  le 
jionibre  N  du  dernier  ordre,  éloigné  de  (piaire  rangs  à  main  gauche,  i)roduira 
un  nombre  premier,  le  Iriple  de  ce  nombre  premier,  multiplié  par  le  iiondirc 
du  rang  du  milieu  qui  précède  K  immédiatement,  donnera  le  nombre  re(iuis  : 
comme  l'on  voit  en  i5  divisé  par  3  d'oij  vient  5  nombre  premier,  dont  le 
tiiple  !■">,  multiplié  par  8,  fait  120  qui  est  le  nombre  (|ue  nous  avons  donne 
dans  la  Préface  susdite. 

(  '  )  tlieiiiic  l'ascal. 


22  OEUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

L'uulre  exemple  se  voit  en  63,  lequel,  tlivisé  par  9,  produit  le  nombre  pre- 
mier 7  dont  le  triple  21,  multiplié  par  32,  fait  672,  qui  est  l'autre  nombre 
l'equis. 

Quant  aux  deux  nombres  dont  les  parties  aliquoles  se  refont  mutnelle- 
mcnl,  il  faut  aussi  mettre  les  nombres  qui  se  suivent  depuis  2  en  progres- 
sion géométiifjuc  : 

2,     4,     8,     16,     etc. 

et  puis  il  faut  écrire  des  nombres  triples  dessous 

6,     12,     24,     48, 

des()uels  l'unité  étant  ùtée,  restent 

5,     II,     23,     47, 

qu'il  faut  melire  dessus.  Il  faut  enfin  multiplier  6  par  12  en  ôtant  l'unité  pour 
avoir  71;  et  12  par  24,  moins  l'unité,  pour  |trodnire  287;  et  if]  pour  /(S,  moins 
i'uiiilé,  poui'  avoir  ii5i,  (ju'ii  faut  disposer  comme  on  les  voit  ici,  Jusipi'à 
riiiliiii 


^. 

>  >  1 

2.3, 

''.7. 

2, 

-1. 

8. 

16, 

6, 

!•?, 

24, 

48, 

7'. 

287, 

1  I  5i . 

I.,orsque  l'un  des  nombres  du  dernier  ordre  avec  son  opposé  et  le  précé- 
dent du  premier  ordre  seront  nombres  premiers,  l'on  trouvera  des  nombres 
semblables  à  ceux  dont  il  est  question.  Par  exemple,  le  nombre  du  dernier 
rang  71,  et  1 1  du  premier  ordre,  et  5  qui  le  précède  sont  nombres  premiers. 
(;eci  posé,  si  l'on  multiplie  71  par  4,  et  semblablement  5  et  1 1  par  le  même  4, 
l'on  aura  les  deux  nombres  284  et  220,  dont  les  parties  aliquotes  se  refont 
mutuellement.  De  rechef,  le  nombre  du  dernier  ordre  ii5i  est  nombre  pre- 
mier, aussi  bien  que  son  opposé  dans  le  premier  rang  47  et  le  précédent  23. 
il  faut  donc  multiplier  16  par  i  i5i,  et  puis  47  et  23  par  le  même  16  pour  avoir 
les  deux  nombres  requis  :  184 iC  et  17296;  et  ainsi  des  autres  jusques  à  l'in- 
iini. 


•2'*  JUIN   1G36.  î)3 


V. 
NOVA  IN  MECHANICIS  THEORRMATA 


Do.MiM   m:  Ki:nM\T. 


<C  Pièce  jmii le  à  In  lettre  précédente  ini  sreDiide  rédiicliim  eiti'Djee  à  Carcaci.  > 

(l'a,  p.  i'r.-'\ô.) 

1-  Fuiulanienta  .Mochaniccs  non  satis  accurata  trailidissc  Archimo- 
(Icm  lïiei'aiii  diuluiii  siispicatus  :  supposuissc  oiiiin  motus  gravium  dos- 
(■(Mulciiluini  iiitcr  so  parallelos  patot,  iiec  vcro  abs(|iio  liac  livpotliosi 
constare  possuut  ipsiiis  deinoiistratiouos.  Non  iiitilior  quidciu  Iiv|)o- 
tlicsiii  liane  ad  sonsuin  proxiiiie  accommoda l'i  ;  ((iiippo,  proptci'  ma- 
i,Miam  a  conlro  terra*  distaiitiam  |)ossunt  desccnsus  gravium  suppoiii 
[taralleli  non  sccus  ae  radii  solares.  Sed,  veritatom  intimam  et  aceura- 
lain  qmercntibns,  luec  non  satislaciuiit. 

(jcncralis  nempe  vectiuin  nalura  in  quolibet  mundi  loco  videturcon- 
sid(M'anda  etastruenda,  ideoque  nova  in  Mcclianicis  fundamonta  e  veris 
l't  proximis  piinci[)iis  aceersenda.  llnjus  novaj  Scientiic  proposiliones 
lanlnni  exhibenius,  demonstiationes  quum  libuerit  tradituri. 

2.  Duplex  igitur  vectium  genus  fingimus  aul  potins  considcrainus  : 
iinnm  cujus  motus  rectus  tanlum  est,  non  circularis;  aiterum  cujus 
extrenia  dcscribunt  circnlos.  De  secundo  hoc  qu;esi(um  tantuni  apud 
vetiM'es;  priinnm,  ([uod  longe  videtur  simplicius,  ne  agnoverunt  qui- 
deni. 

Singula  exemplis  illustramus,  et  prioris  quidem  eenlrum  idem  est 
enm  centro  terra',  [)osterioris  eenlrum  extra  eenlrum  lerric  necessario 
débet  collocari. 

3.  Sit  igitur,  in  sequenti  ligura  (/ig.  lo),  ccntrum  tcrrae  punctum 
A,  et  intelligatur  recta  CB  Iransire  per  punctum  A;  imo  et  ipsa  Cli  in- 


24  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

tclliiçaUir  esse  vcclis,  cl  in  piinclis  B  et  C  collocciilur  gravia  H  cl  (],  sil- 

(|IU' 

pondus  lî  ad  pondus  C       ul  recla  CA  ad  rectani  AB  : 

m . 


Aio  vccicni  V,\i  iiiansuruni  et  a-quilibrium  in  hoc  casii  constituturu 

Si  voro  dcniimiatiir  tanlispcr  grave  B,  iiiovchitiir  vcctis  in  rcctim 
])cr  contruni  A  ad  partes  B,  douer  pondéra  dislanliis  a  centro  sint  reei 
proce  proporlionalia. 


l'ig.    10. 

G — ^ O 

B  C 

Haec  vii prima proposilio  (')  enjns  res|)eeln  terra  ipsa  inagnns  veetis 
dici  polest,  ad  imitationem  Gilberli  ([ui  eam  inai^niini  magneleni  vocal. 

4.  Hoc  posilo,  mirabilius  qiiiddam  proponinuis  (-),  gravia  neinpe 
eo  facilius  tolli  a  polcntia  in  superficie  terr;v  ant  alibi  constituta,  (|uo 
propiora  f'nerint  ceniro  terno. 

Sit  centrnni  lerr;e  A  (//i;'.  1 1),  pundum  (",  exlra  centruni.  Jungatur 
recla  CA,  in  qua  sunipto  puncio  B,  collocelnr  grave  in  B.  Si  intelli- 
ganius  grave  B  per  lilum  aiit  axem  (IB  snspensum,  (b-tinebilnr  a  po- 
lcntia, in  (\  collocatà,  cnjns  |iroportio  sil  ad  pondus  B  ul  recla  x\B  ad 
rectam  AC. 

Indeque  facillinic  dedncitur  et  denionsiratur  gravia  in  centro  non 
ponderare;  cujus  rci  demonstrationeni  haclenus  qua^sitam  jam  novi- 
nins. 

Fig.   II. 
A__^ ^- 


.").  Secunduiu  vectiuin  genns  Archimedcuin  dici  polest;  sed  reci- 
proca  distantiarum  cum  ponderibus  proportio,  quam  in  vecte  simplici 
demonstravimus,  in  hoc  liabere  b)cuni  non  potest,  née  idoo  subsistcre 
sexla  et  septinia  Arcliimedis  propositio  ('). 

t  ')  Comparez  Pii'CC  H,  1. 
('■!)  Comparez  Pii'CC  U,  2. 
(')  F(H>  paye  i8,  nute  :>.. 


V.    ~  SV  JL'IX   lf)3C.  25 

Ita  igitur  coiitidonlcr  proiuiiitiaiiiiis  cl  vcclcm  ijicncralUcr  sivc  Ijia- 

cliia,  siv(>  in  diroctuin,  sivc  |)arall('l;i  liorizonli,  sivc  cliaiii  aniçnltiiii 

conslidiaiil,  considoraimis. 

lîna  (juippo  dcmonstralioiic  loluiii  cvinciiims  :  Sil  vcciis  cxlra  ccii- 

Inuii  (crrœ  DBC  (^Jîg.  12),  ciijiis  ccn(riim  B,  hrachia  BDot  HC,  conlnini 


i''i.'.  12. 


Icriu'  A.  Jun^raiiliii-  recta»  DA,  HA,  CA,  et  in  puiiclis  1}  et  C  colloeentiir 
i^ravia  sil(|iie  priipoilin  içravis  C.  ad  i,Mave  D  coniposita  ex  proportione 
recta-  DA  ad  reclam  CA  et  reeiproce  ex  angulo  CAB  ad  angulmn  BAD  : 
Aid  veclein  BDC,  a  |)iinclo  B  siispcnsuiii ,  niaiisiirimi  et  a'(|iiilil)riuiii 
cdiisliliitiiriini. 

liane  proposiiioncni,  sicnl  ci  rcliquas,  verissimam  asscveramus  (') 
cl.  (juum  lil)iieri[,  dein()n>lrali()nil)ns  ex  puriore  Ccometria  et  Pliysica 
licrivatis  conlirniabimus. 

6.  Indi'  palet  cornière  (ininino  Velcruin  de  centris  gravitaliun  defini- 
I  innés;  nniinin  (jnippc  corpus  pra'li'r  spluerani  potesl  reperiri  in  quo 
puuctnni  reperiatnr  a  quo  grave,  exti'a  centrniii  terra-  suspcnsuin, 
scrvel  eain  (|iiaiii  in  [)rincipio  Iialniciit  pcisitionein. 

Dcfmictnr  ergo  deincops  centrnni  gravitatisciijusqiie  corporis,  pnnc- 
Inm  inira  corpus  posiliiin,  (|uod  si  c(di;creat  cenlro  terra',  corpus  oain 


(,')  On  voit  que  I''ltiiuiI  suppose  pour  liHHiilibrc  tics  forces  coucou luulcs  npiiliepiécs  i\ 
un  levier  un  principe  qui  dillère  csscnticllemeiil  de  celui  (pii  ;i  éié  depuis  nniversellemeiii 
udoplé. 


lM.i:.MAr. 


u. 


26  OEUVRES   DE   FERMAT.  -  COURES  FONDA  NCE. 

scrvabit  qiiam  in  principio  liabuorit  positionem;  co  ciiim  soliim  casii 
habcnt  locuni  centra  gravitatis  ('). 

7.  Dcmonstrabitiir  otiain  ot  rcfollctiir  crror  UbaUli  (^)  et  aliorum, 
qui  oxistimant  libr*  bracbia,  licet  non  sint  parallela  horizonti,  sequili- 
iM-iinn  tamcn  constitutura. 

(  '  )  Nous  rc|)ro(luisoiis  ici  une  Iclire  relative  à  ce  sujcl  cl  imprimée  page  2o5  des  l'aria  : 
Il   Leitcra  dct  Sii^iior  IScncdclto  ('ddelli,  Abbiitc  dl  J'cronn,  at  Sigiii>r  di  ****. 

»  llo  IcUi  i  [icnsieri  soUillissimi  del  Si^'  (H  FcriiuU  iiUorno  al  centre  di  i^ravilà,  0  con- 
»  fesso  liheramenle  clio  mi  sono  parsi  belli  e  de^ni  di  qnello  sublime  intelletto,  che  mi  fn 
■1  celobrato  con  alla  Iode  dal  Signor  di  Beaugrand,  quando  passo  pcr  Roma,  e  vnglio  eredere 
"  che  ne  liabbia  assohita  dimostralione;  c  perche  il  Sig"  di  Beaugrand  mi  disse  di  havcre 
u  dimostrata  una  similc  proposilionc,  cioc  che  il  mcdcsimo  grave,  poslo  in  diverse  loiita- 
u  iianze  dal  conlro  doUa  Icrra,  pcsava  inognalmeuLe,  o  che  il  peso  al  peso  cra  como  la 
Il  distanza  alla  disLanza  dal  cenlro  dclla  Icrra,  io  nii  applicai  a  pensare  a  quesla  materia  v. 
•I  prelcsi  allhora  ili  haverc  rilrovala  la  dimostralione,  ma  dopo,  cssendo  mi  slate  promesse 
n  alcuiie  difficollà,  mi  ralTieddai  in  (piesta  specolatione.  RIi  ricordo  pero  clio  ancor  io  nn 
>i  dcduccvo  la  inedesima  conscguenza  che  deduce  ancora  il  Signer  di  Fermât,  cioè  che  il 
11  grave  che  haverà  il  suo  ccutro  di  gravita  col  cenlro  dclla  terra  non  haverà  peso  alcuno: 
»  c  di  piii,  c!ic  la  terra  lutta  non  ha  peso;  e  in  ollre  ne  cavai  che,  dcscendendo  un  grave 
«  verso  il  cenlro  dclla  terra,  non  solo  va  mulando  peso  di  momcnto  in  momcnto,  ma  (cosa 
u  che  puo  parère  più  maravigliosa)  il  suo  cenlro  di  gravita  si  va  conlinuamentc  movendo 
»  nella  mole  di  csso  grave;  di  |)iii,  che  un  grave  di  qualsivoglia  figura,  che  si  mova  in  se 
«  mcdcsimo  circolarmciile,  pure  va  conlinuamentc  uiulando  il  suo  centre  di  gravita;  e  |)cr 
■>  tanto  facilmcutc  concorro  con  il  Sig'  di  Kcriuat,  che  il  centre  di  gravita  non  sia  in  natura 
»  laie  quale  l'Iianuo  dcscrillo  conuincmcutc  i  Mcchanici.  E  se  io  credessi  che  le  mie  debo- 
u  lezze  polcsscro  essor  care  al  Siguor  di  Format,  gli  ne  maudarci  una  copia,  non  solo  per 
>i  riceverc  documenti  da  S.  Sig''°  111""',  ma  pcr  farc  acquisto  di  un  taie  e  tanto  padrone,  al 
u  quale  prego  V.  S.  I.  dedicarmi  servitore  di  singulari  devolione,  e  li  bacio  le  mani.  « 

(2)  GVIDIVBALDI  E  MARCIIIONIBUS  MONTIS  MECIIANICOUVM  LIBER.  —  Pisauri. 
Apud  llicrouymum  C.oucordiam,  M.D.LXXVII.  Cum  Liccutia  Supcriorum.  —  Fermai  vise 
la  Proposition  III  De  lihrd  de  Guidobaido  dol  Monte;  ce  dernier  cite,  comme  ayant  sou- 
tenu une  opinion  contraire  à  la  sienne,  lordanus  de  pondcribu.t,  Hjcrornniti.f  Cordanas 
de  <:ubliltlalc,  TSicaluwi  Tarlalca  de  quœiills-  et  inveiitioitibits. 


VI.   —   15  JUILLET   1636.  27 

VL 
FERMAT  A  MKRSENNE. 

.<    MARDI     15    JUll.LKT    1636    >     (') 

{lu.    p.    l'|j.) 

Mon  Hi.vKur.M)  l'iiu;, 

1-  Puisquo  j'ai  été  assez  heureux  pour  vous  oler  l'opiiiiou  que  vous 
aviez  eue,  que  j'eusse  suivi  eu  ma  Proposition  (-)  le  même  raisoune- 
uuMil  que  M.  de  Heau^raïul,  j'espcTe  (|u'avec  la  même  f'aeilité  je  vous 
oterai  tous  les  autres  scrupules. 

2.  Vous  avez  eru  (|ue  ma  proposiliou  (Moil  la  uiême  que  celle  de 
M.  de  Beaugraiid,  et  ce,  par  deux  raisons  :  l'une,  que  je  l'avois  écrit 
lorsque  je  l'envoyai  à  ■\i.  île  (larcavi;  l'aulrc,  (|u'(dle  semble  conclure 
la  même  chose. 

Pour  la  ]iremii're,  je  vous  réponds  (|ne,  lorsque  j'envoyai  la  dite 
proposition,  je  n'avois  pas  vu  encore  le  livre  de  M.  de  lieaugrand  et 
n'avois  su  si  ce  u'est  qu'il  écrivoit  du  divers  poids  des  graves  sccun- 
(liiin  varia  a  terra'  centra  i/iteryalla,  si  hien  ([ue  l;i-dcssns  j'imaginai  la 
|)ropositioii  que  vous  avez  vue,  et  crus  (jue  peu(-c(rc  ce  scroil  la  incmc 
(jue  celle  de  M.  de  Heaugrand,  et  l'écrivis  ainsi  ii  moiidil  siciii'  de  Car- 
cavi.  Mais  depuis,  ayant  vu  le  Livre  de  M.  de  IJeaugrand,  j'ai  liouvé 
(|U(>  son  opinion  estdillérente  de  la  mienne  en  ce  (|u"il  suppose  (|iic  le 
grave  en  soi  se  rend  ou  plus  pesant  ou  [)lus  léger  scdon  l'éloignemcnt 
ou  l'approche  du  centre. 

3.  Et  moi  je  soutiens  (en  quoi  je  répondrai  ii  votre  sccdudc  raison  i 

(')  Nous  avons  réuni  à  une  fin  de  leUre,  dalée,  des  manuscrits  A,  B,  une  icUre  liés 
courte,  non  datée,  des  Varia,  évidcninienl  écrite  sur  le  vu  de  la  réponse  de  Mersenne  à 
la  LcUre  IV. 

(2)  ruir  la  Pièce  II. 


28 


ŒUVRES  \)K  FEHMAT.  -  C0UI5ESP0M) AN(,K. 


(|ii'('ii  soi  il  ne  cliMiigc  |)i)ii)t  de  poiils,  mais  qu'il  csl  lirt'  avec  |)liis  on 
moins  de  foret',  ce  qui  csL  hit-ii  diflV'i'ciil  du  rcslc. 

Soit  \v  ('('lUrc  de  la  Terre  V.  {fiL^.  i3),   le  grave   i?  au   poiiil  H  el  le 
|ioinl  D  dans  la  siipertieie.  ^1.  de  Beaiigrand  (ieiil  (|m',  si  on   pi'se   le 


Fis 


()■ 


gi'ave  B  dans  le  [)oinl  B,  on  le  (rouvera  plus  léger  (|ue  si  un  le  pesé  an 
point  D.  Et  moi  je  dis  (|ne,  si  on  pèse  le  grave  B  dans  le  |)oint  |},  on  le 
trouvera  de  mènn'  |)oids  (jue  s'il  étoit  pesé  au  point  !),  el  (|u"en  loul 
eas,  quand  liien  e(da  ne  sei'oit  pas  (ear  ma  proposition  ne  dépend  nul- 
lement de  la  sienne),  que  le  grave  1}  sera  soutenu  plus  aisénu-nl  pai- 
une  puissanee  (|ui  sera  au  point  I)  que  par  une  autre  puissance  (|ui  en 
sera  plus  proche,  el  en  la  [M'oportioii  que  j'ai  assignée. 

4-  A  (»us  ne  devez  pas  douter  (jiH' ma  démonstration  ne  ciMudue  par- 
railenienl,  bien  <|n'il  semhle  (|ue  M.  de  Boherval  ne  l'a  pas  liouvéc  pré- 
cise. 

.le  vous  puis  donc  assurer  ([ue  loules  les  propositions  (|uc  j'ai  mises 
dans  UH)!!  écrit  ('  )  sont  parfaitement  vraies,  et  de  cela  je  n'en  veux 
jtas  être  cru  (|ue  lors(|ue  j'aurai  mis  |)ar  écrit  tontes  les  demonirations 
sur  cette  matière.  .le  suis  si  peu  amititieux  (|ne,  si  j'av(tis  trouve 
erreur  en  ce  que  je  vous  ai  écrit,  je  ue  terois  nulle  dillicnllé  de 
l'avouer. 

(A  IVb.  !!  !■"  2'>'°-  !li'».) 

5.  l'oui'  les  lieux  |)lans  (-)  et  la  |)roposilion  des  n(unl)res  (  '  ),  je 
vous  les  envoierai,  si  .M.  de  Bcangi'and  ne  vous  les  baille  |)as. 


('  )  (;'(>sL-à-ilirc  la  l^ii-cu  V. 
(M  r,nr  IxUi-o  I,  10. 
I  '  1  /"()/;■  I^ftlrc  IV.  3. 


VI.         15  JUILLET   IC3G.  -i!» 

6.  Je  n'ai  pas  cncort^  pu  cxainiiUT  les  propositions  (')  de  la  Iriser- 
lion  (le  l'angle,  ni  de  l'invention  dos  deux  moyennes  proportionnelles. 
(!e  seia  au  |)lus  lot. 

7-  A  la  (|uestion  numéri(|ue  (^),  je  réponds  qu'elle  )'eeoi(  intinies 
solnlions,  et  mènu'  plusieurs  manières  difl'éronies  de  la  résoudre.  Voici 
la  meilleure  et  la  [>lus  aisée  (|iie  j'ai  imaginée  : 

Soient  li'ouvés  deux  quarrés  des(|uels  la  somme  soit  (juairée,  cduime 
I)  et  iG;  ce  (|ue  je  n'enseigne  |»as,  pour  être  trop  trivial.  Soil  chacun 
d'eux  mulli|dié  par  un  même  nombnr  composé  de  trois  <|nari'és  senle- 
nu'ul,  comme  1 1.  (les  deux  [troduits  seront  99  et  17G  qui  satisrer(ui(  ii 
la  (|in'stion.  car  chacun  d'eux  et  leur  somme  sont  eom|)osés  de  (rois 
(juarrés  seulement  (^  ). 

Va  ainsi,  par  la  même  voie,  vous  eu  trouverez  infinis,  car,  au  lieu  de 
9  et  i(j,  vous  pouvez  prendre  ttds  autres  deux  quarrés  (jue  vous  vou- 
drez, (les(|uels  la  somme  soit  quarrée,  et  au  lieu  de  11,  lid  au(re 
nombre  (|ue  vous  voudrez  couiposé  de  trois  quarrés  seuiemen(. 

Si  vous  |»rencz,  au  lieu  île  1 1,  un  nombre  composé  de  (jua(re  quarro 


i  '  1  On  ne  roUuin c  plus  Iraco,  dans  lu  Correspondance  de  l'ermaL,  do  rus  l)roposilion^. 
On  pcnl  croire  (pi'il  s'agit  des  eonslrnelions  données  par  Dcscartes  dans  sa  C,co/iiclnc 
(éd.  llermann,  p.  7">-70')  pour  les  dcu\  célèbres  problèmes  de  la  Gc'oinélrie  anti(ini!.  Mer- 
senne,  à  ipii  elles  avaieiiL  été  eoMiiniini([iiécs  avant  la  publication,  les  imra  eavoy('es  ^'1 
t'erinal  sans  démonsi ration  et  snns  révéler  le  nom  de  leur  anteiir. 

(-)  C'est  1.1  qiiatricMne  des  cinq  (pn^stions  nniiv/rirpics  proposées  par  Sainte-Croix 
(André  .Ininean,  pri(Mir  de)  à  Descartes  en  avril  itJjS  (»'«//■  Lellres  (l(^  Dcscartes.  éd. 
Clerselier,  III,  74).  tille  était  ainsi  con(;ne  (pour  Deseartes  )  : 

Il  Trouver  deux  nombres,  eliaciin  iles(piels.  comme  aussi  la  somme  de  leur  agt;réj;al.  ne 
eonstc  que  de  trois  tétragonos.  J'ai  donné  3,  11,  14.  J'alteinls  que  (pielqn'un  \  satisfasse 
par  d'autres  nombres  ou  qu'il  montre  cpio  la  chose  est  impossible.  » 

La  première  solution  donnée  par  cet  énoncé  ne  parait  avoir  été  indiquée  à  l'"crniat  ipic 
dans  la  réponse  do  .Mersenne  à  la  Lettre  V(.  f'^oir  Lettre  X,  i. 

(')  B  ajoute  en  marge  les  ticcomposilions  suivantes  : 


1           i'.) 

i'J 

',) 

144 

1           l'.l 

■>.') 

!) 

iG 

'.)            ' 

•>.5 

81 

ili 

1         O'.l 

'.)'J 

'.)'.) 

17'' 

30  ŒUVRES  DE  FEUMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

sciileiiicnt,  comme  7,  cliaciin  dos  deux  produils,  ciisomhli'  leur  somme, 
seront  composés  de  quatre  quarrés  seulement. 

Oue  si  vous  voulez  non  seulement  deux  noml)res,  mais  trois  ou  tel 
nombre  que  vous  voudrez,  desquels  un  chacun,  ensemble  la  somme  de 
tous,  soient  composés  de  trois  ou  de  quatre  quarrés  seulement,  il  ne 
faudra  que  trouver  autant  de  quarrés  que  vous  voudrez  de  nombres, 
desquels  la  somme  soit  quarrée,  et  les  multiplier,  chacun  d'eux  ut 
supra. 

J'ajou(erois  la  démonstralion,  mais  le  temps  ne  me  le  permel  pas. 
Va\  lon(  cas,  vous  pourrez  l'aire  l'essai  sur  la  consiruclion  ((ue  je  vous 


envoie. 


8.  l-ll  vous  (lirai  (|ue  j'ai  trouvé  de  fort  belles  |)ropositions  sur  ce 
sujel,  comme  : 

.SV,  (le  deux  plans  sernblahlcs  ('),  l'un  est  compose  de  trois  <piarrés  seu- 
lement, l'autre  le  sera  aussi; 

el  plusieurs  autres. 

9.  .le  désirerois  (|ue  .M.  de  Koberval  travaillai  aux  queslioiis  ({iie  je 
vous  ai  |)roposées  (-). 

10.  .l'ai  achevé  tout  le  Trailé  De  loris  planis  ('),  oii  il  y  a  trente  ou 
([uaranle  propositions  toutes  tri's  belles. 

.le  suis,  mon  Révérend  Père,  voire  Iri's  alTeelioiiné  servileui', 

Feumat. 
A  Toulouse,  ce  1  j  j(jillul  lIJiij. 


(  '  )  Nojiibrcs  (|iii  sont  cuire  eux  clans  le  rapport  de  deux  earrés. 

(2)  /■(«'/■  la  Lettre  1,  12. 

(3)  Fuir  la  Lettre  1,  10. 


VII.    -   AOUT   1636.  31 

VII. 
FERMAT  A  ROBERVAL  ('). 

<  AOUT  1636  > 

(l'a,  p.  133-13/,.) 
MONSIELR, 

1.  Après  vous  avoir  rcmercit'^  do  la  faveur  que  vous  m'avez  faite  el 
fie  la  peine  que  vous  avez  prise,  je  répondrai  en  peu  de  mots  aux  objec- 
tions que  j'ai  trouvées  dans  votre  Lettre,  et  ce,  sans  aucun  esprit  de 
dispute  et  pour  vous  faire  seulement  approuver  la  vérité  de  mes  propo- 
sitions. 

2.  La  première  objection  {-)  consiste  en  ce  que  vous  ne  voulez  pas 
accorder  que  le  mitau  d'une  ligne  qui  conjoint  deux  poids  égaux  des- 
cendant librement,  s'aille  unir  au  centre  du  monde.  En  quoi  certes  il 
me  semble  que  vous  faites  tort  à  la  lumière  naturelle  et  aux  premiers 
principes  :  car,  puisque  ces  deux  poids  sont  égaux  et  qu'ils  ont  tous 
doux  mémo  inclination  pour  s'unir  au  centre  du  monde,  s'ils  n'ctoionl 
pas  empêchés,  il  est  clair  qu'ils  y  approcheront  tous  deux  également. 
Autrement,  ayant  supposé  les  poids  égaux  et  les  inclinations  au  centre 
égales,  vous  admettriez  néanmoins  plus  de  résistance  d'un  coté,  ce  <|ui 
seroit  absurde. 

Et  n'importe  d'alléguer  un  levier  horizontal,  lequel,  étant  pressé  par 
doux  forces  égales  aux  deux  bouts  horizontalement,  demeure  néan- 
moins  en  l'état  qu'il  est,  quoique  l'appui  qui  est  au  dessous  le  divise 
en  parties  inégales.  Car,  au  cas  de  ma  proposition,  la  vérité  de  mon 
principe  dépend  de  ce  que  les  deux  poids  (ou  puissances)  ont  naturel- 
lement inclination  au  centre  de  la  terre  ettendentlii;  etc'est  pourquoi. 

('>  Première  lellrc  do  Fermai  à  Roberval,  répondant  à  une  leUre  perdue  où  ce  dernier 
criliquail  les  propositions  de  la  Pièce  V,  ijui  lui  avait  été  conimuiiiquéc  par  Carcavi. 
(î)  Foir  Pièce  V,  2. 


32 


ŒUVRES   DK   FERMAT. 


CORRESPONDANCE 


n'avaiil  poiiil  d'avaiilagc  riiii  sur  l'aulrc,  ils  s'y  a|)|)r()cli('iil  Ions  deux 
('■galomcnt.  .Mais  en  r('s|»!'("c  dti  Irvicr  liorizoïilal,  les  deux  puissances 
des  cxlréniilrs  n'oni  anciiiic  iiirlinalion  nadiiidic  ii  l'apiiiii,  mais  ii 
s'approrlier  soiilcinrni  ;  cl  ainsi  l'appni  ne  doit  èlre  non  pins  considéré 
(|iie  s'il  n'éloit  poinl. 

Onli'c  ([ne  jamais  personne  n'a  doulé  qne  le  cenire  d'nn  tjrav*'  ne 
s'unit  an  centre  de  la  tei're,  s'il  n'éloit  empéclié;  or,  deux  graves,  joints 
par  nne  ligne  qui  conjoint  leurs  contres  de  gravité,  ne  sont  censés  con- 
>lilncr  ([u'nn  seul  grave,  dn([uel  le  centre  de  gravité  est  au  milan  de  la 
ligne  qui  les  conjoint  :  quelle  raison  donc  de  croire  (|n"il  s'arrête  ailleurs 
(]Uo  lorsquo  son  contre  sera  uni  à  celui  do  la  torro? 

Soient  les  doux  poids  égaux  A  et  IJ  {Jig.  1 4)  joints  pai'  la  ligne  AR, 


(t)B 


le  ccnire  d(>  la  lerre  C.  Qu'on  laisse  clioir  librement  les  poids  A  et  li; 
lorsque  le  |)oids  B  sera  au  centre  C,  ou  ne  peut  pas  dire  (|u'il  s'arrête, 
parce  (|ne  le  poids  A  gravitai  super  B  et  deslniit  a'rjinlihniirn.  Où  com- 
mencera donc  le  levier  AB  de  s'arrêter?  Vous  ne  sauriez  tronvei-  le 
comnionccment  de  son  repos  en  un  poinl  j)lutôl  qu'en  l'auti'e,  si  ce 
n'est  au  niitan,  parce  qu'il  se  ti'onve  pour  lors  également  eontrchaiancé 
de  Ions  côtés. 

Je  ne  sais  si  ces  raisons  seront  capables  de  vous  l'aire  <dianger  d'avis, 
mais  vous  me  permettrez  bien  do  vous  dire  que  vous  Ironverez  peu  de 
gens  ([ni  suiv(>nt  votre  opinion  cl  qui  no  m'accordent  ce  principe  :  c'est 
|)ourquoi  je  vous  conjure  de  nn^  dire  nettement  ce  qu'il  vous  en 
semble. 

3.   J.a  deuxième  objection  ('")  est  contre  la  nouv(dle  |)roportion  des 


■  )  J'uir  rièco  V,  5.  —   llobcrval  a,  ccUc  fuis,  raison  coiilrc  Fermai. 


VII.  -  AOUT   iG3G. 


■.ii 


aiii^li's  que  j'ai  découvortp,  contre  laquelle  pourlanl  vous  n'avez  rien 
(lit  (le  précis,  mais  seulement  que  vous  avez  démontré  que  la  propoi- 
lioi)  réciproque  des  poids  doit  être  expliquée  non  pas  par  les  angles, 
mais  par  les  sinus  de  ces  angles. 

Voici  la  démonstration  de  ma  proposition,  de  laquelle  vous  veire/. 
aisément  par  conséquent  celle  de  toutes  celles  que  vous  avez  vues  dans 
l'écrit  que  j'envoyai  ii  M.  de  Carcavi. 

Su  cenlriim  Urne  A  (fig.  i  ^),  vcclis  (INïi  porlio  circiili  centra  A  iitlcr- 
vtillo  AN  dcscripd,  CN,  NB  œquales  circumfcrcnliœ,  el  in  punctis  (',,  H 


(Cfjiia/id pu/ide/a.  Siippoin/nus  vectein  VW  a puitclu  %  siispcitsiiin  inancrc. 
idcnufue  accidcrc  si  i^raaa  œqiialia  i/i  (pdbiislihel punctis  hrachioram  (IN, 
N!}  colloccntur,  modo  liiijtismodi  punctci  ex  utriuptc  parte  a'qitaliter  d 
piinclo  X  dislenl  :  /icqiie  e/iitn  deslnient  a'qtdlibrium  pondéra  a'qualia  a 
rentra  terrœ  et  a  centra  rectis  si^'c  /ihrœ  œqtiu/iter  distantia. 

Sit  centra///  tc/'/œ  A  (  fig.   i()),  verlis  si\r  lih/'d  VAWCA),  iit  sapra,  cen- 


lru//i  sive  inedii//)i  lil/iœ  piincta/ii  B.  Collocetur pa/idas  B  in  puncto  B  aat . 


l'LRM.vr.  —   II. 


3'i  (EUVHES   m:  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

divisa  pondère  B  in  partes  œquales  K,  F,  15,  (!,  D,  collocenlur  eœ  parles  in 
piinclisVj,  V,  15,  (1,  D,  et  sinl  inlerval/aEV,  FB,  BC,  CD  œqua/ia.  Si/ppo- 
niiniis  pondus  B,  i/i  piincto  B  collocatum  et  a  puiicto  B  suspenstim ,  idem 
pondefare  ac  parles  lî,  F,  B.  C,  D  siiniil  siirnpta\  in  vecte  collocata'  et  ah 
eodeni  puncto  B  suspensa'. 

iKiid  iiempe  accidit  quia,  propter  cireulum  EI"B(]I),  partes  ponderis  B 
camdem  semper  servant  distantiarn  a  rentra  terra-  ac  po/idus  ipsuni  inte- 
^ruin  \\  :  quod  non  animadvertisse  et  descensus  gravium  parallèles  suppo- 
siiisse  errorein  peperil  Arelnmedeum. 

llis  suppasilis,  propositianem  nastram  demonstramus,  et  ecee  lanlùai 
rasuiii  m  quo  luin  redis  cenlnun.  liun  e.vtrema  a-qualiler  a  rentra  terra- 
dislant,  quia  lue  rasus  verilalcm  priaris  rectis  geostalici  non  supporiil .  de 
qua  rideris  a/nhigere. 

Sil  réélis  FIIN  (tig.  i- K  euj'us  centrum  H,  extrerna  F  et  N,  in  eadern, 
ipia puneluin  \\,  a  lerrq-  rentra  distantia.  Centra  A.  inlena/lo  AH,  deseri- 


halur  partio  eirculi  FHN,  rectis  exlrema  committens,  et  sil  grave  in  F  ad 
l^rave  in  N  ///  proporlione  reciproca  circuinferentiœ  HF  ad  circumferen- 
liain  UN  :  Aio  vecleni  FHN  a  punclo  H  suspensum  mansurum  et  œquili- 
hrium  en/istilulurum. 

liane  aulem proportionein  earndem  esse  qiur  angulorurn  ad  eentrum  A. 
patel  :  ex  conslructione  et  duobus  axiomalibus  pra-cedentihus  facillinie 
theorema  concludes. 


4.   La  hâte  du  courrier  nio  fait  finir  là,  parce  que  je  ne  doute  pas  f[ue 
vous  lie  puissiez  voir  la  conclusion  avec  un  peu  de  méditation. 


vin.  -  i(i  A  OIT  ig:](;.  :i:i 

Au  roslo,  je  vous  puis  assurer  que  le  l-ivre  (')  (|u'il  vous  ;i  pin 
ui'eiivoyer  est  ce  que  j'ai  vu  de  plus  ingénieux  sur  celte  uialii're  ;  mais, 
si  mes  propositions  sont  vraies,  de  quoi  peut-être  vous  ne  doulerez  pas 
toujours,  vous  m'accorderez  que  ce  mouvement  sur  les  [)lans  inclim'-s 
se  peut  prouver  encore  plus  précisément. 

(]e  n'est  pas  que  je  n'estime  autant  que  je  dois  votre  invention  ;  mais 
ce  (|ue  le  chancelier  Bacon  a  dit  est  bien  vrai  :  "  Mnlti pjitransihiml  cl 
aiigebilur  scient ia  ('-  ).  » 

Je  suis  etc. 


Mil. 
KTIENNlî  PASCAI.  KT  ROBERVAL  A  FERMAI. 

SAMKDl     1(5    AOUT    1 GISG    ('). 
(  'n,  p.   ij4-i3(>.  ) 

Monsieur  (  '). 

1.  Le  principe  (juc  vous  demandez  pour  la  (jéostatique  est  que,  si 
deux  poids  égaux  sont  joints  par  une  ligne  droite  ferme  et[  de  soi]  sans 

(  '  )  Il  s'a.Ljil  ùvidoiiiiiiciil  du  Traite  tic  Mcc/uiiiitiiec.  I>c\  /Kiiclx  \oiistciuts-  pur  dc\  puis- 
sance: sur  les  plans  inclinez  à  l'Horizon.  Dci  puissances  qui  siiusticnncnt  un  poiih  sut- 
pendu  à  deux  c/iordcs.  l'nr  G.  Vers,  de  liolien'al,  Professeur  Itoj'al  es  MntJicmatiijues 
nu  CoUè<^c  de  Maiitrc  Cerwiis  et  en  cliaire  île  Jiannts  nu  Collège  de  France,  inséré,  avec 
une  pa.ïiiuition  spéciale  (  ilc  i  à  36),  dans  ia  Seconde  Partie  de  l'Hin-nionic  unn^crsellr  du 
I*.  Mersennc  (  iGS;). 

(-)  CcUc  pensée,  tirée  d'un  lexle  du  prnpliélc  Daniel  (\ii,  4 )i  ^e  trouve  dans  le  iVoiv/;// 
organuin  (I,  a|)lior.  93)  sous  la  forme  :  Multi  pertrnnsibunt  et  multiplex  crit  scientia,  cl 
dans  le  Traite  J)c  dignitate  et  augmenta  scientiaruni  (I,  cap.  x,  3),  sous  la  suivante  : 
Plurinii  pcrtraiisibunt  et  aiigchitur  scieniiii.  Mais  Fermât  a  Icxtucllctncnt  reproduit  la 
léii;ende  d'une  vignette  au  frontispice  de  la  première  édilion  du  IVoi'um  Organum  (i6.>o), 
vi;,'nctle  qui  représente  un  vaisseau  francliissant  à  pleines  voiles  les  Colonnes  d'Hercule. 

(')  Réponse  à  lu  Lettre  VU.  Fermât  y  a  répli((ué  par  la  l,etlre  IX,  |iuis  à  nouveau  par 
la  Lettre  XI. 

(*)  Le  le.xte  de  cette  Lettre  a  été  restitué  d'après  le  manuscrit  de  la  liibliotliè(|ue  natio- 
nale, latin  ~i>A  f"  4o  suiv.  Les  mots  entre  crochets  [  ]  sont  des  additions  empruntées  à 
l'édition  des  l'aria.  Quant  aux  autres  leçons  de  cette  édilion,  (jui  représentent  tme  rédac- 


36  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

|)oi<ls  el,  qu'c'Caiil  ainsi  disposés,  ils  puissent  descendre  librement,  ils 
ne  reposeront  jamais  jusques  à  ce  que  le  milieu  de  la  ligne  (qui  est  le 
rentre  de  pesanteur  des  aneiens  )  s'unisse  au  centre  commun  des  choses 
pesantes. 

2.  Ce  principe,  que  nous  avons  considéré  il  y  a  longtemps,  ainsi 
([u'il  vous  a  été  mandé,  paroit  d'abord  fort  plausible;  mais,  quand  il 
est  question  de  principe,  vous  savez  quelles  conditions  lui  sont  requises 
pour  être  reçu  :  desquelles  conditions,  cette  principale  manque  au 
principe  dont  il  s'agit  ici,  savoir  que  nous  ignorons  quelle  est  la  cause 
radicale  qui  fait  que  les  corps  pesants  descendent  et  d'où  vient  l'origine 
de  cette  pesanteur.  Ainsi  nous  n'avons  rien  de  connu  assurément  de  ce 
qui  arriveroit  au  centre  où  les  choses  pesantes  aspirent,  ni  aux  autres 
lieux  hors  la  surface  de  la  terre,  de  laquelle,  pour  ce  que  nous  y  habi- 
tons, nous  avons  quelques  expériences  sur  lesquelles  nous  fondons  nos 
principes. 

3.  Car  il  se  peut  faire  que  la  pesanteur  est  une  qualité  qui  réside 
dans  le  corps  même  qui'  tombe;  peut-être  qu'elle  est  dans  un  autre,  qui 
attire  celui  qui  descend,  comme  dans  la  terre.  Il  se  peut  faire  aussi  et 
est  fort  vraisemblable  que  c'est  une  attraction  mutuelle  ou  un  désir 
naturel  que  les  corps  ont  de  s'unir  ens(mible,  comme  il  est  clair  au  fer 
et  à  l'aimant,  lesquels  sont  tels  que,  si  l'aimant  est  arrêté,  le  fer,  n'é- 
tant point  empêché,  l'ira  trouver,  [et|  si  le  fer  est  arrête,  l'aimant  ira 
vers  lui  et,  si  tous  deux  sont  libres,  ils  s'approcheront  réciproque- 
ment [l'un  de  l'autre],  en  sorte  toutefois  que  le  plus  fort  des  deux  fera 
le  moins  de  chemin. 

Or,  de  ces  trois  causes  possibles  de  la  pesanteur  [ou  des  centres  des 
corps],  les  conséquences  seront  fort  différentes,  ce  que  nous  ferons 
eonnoitre  en  les  examinant  ici  l'une  apri's  l'autre. 

lion  nouvelle  de  Hohei-val  faite  en  vue  de  l'impression  de  la  Correspondance  de  Fermât, 
elles  sont  reproduites  ci-après  dans  les  Fanantes.  Bossul  a  compris  cette  Pièce  dans  son 
édition  des  OEuvre.i  de  Blaiic  Pascal,  1779;  il  a  suivi  en  général  le  texte  des  Varia,  à 
part  les  changements  d'orthographe  cl  quelques  modifications  de  détail. 


VllI.   -   IG  AOUT   1G36.  :}7 

4.  Va\  premier  lieu,  si  la  première  est  vraie,  selon  l'opinion  com- 
mune, nous  ne  voyons  point  que  votre  principe  puisse  subsister  :  car, 
sur  ce  sujet,  le  sens  commun  nous  dit  qu'en  quelque  lieu  que  soit  un 
poids  [pri's  ou  loin  du  centre  de  la  terrej,  il  pèse  toujours  également, 
avant  toujours  [en  soi  |  la  même  qualité  qui  le  t'ait  peser  el  |  en  même 
degré.  Le  sens  commun  nous  dicle  aussi,  posée  celle  même  opinion 
première]  qu'alors  un  corps  reposera  au  centre  commun  des  choses 
pesantes,  quand  les  parties  du  corps  qui  seront  de  part  et  d'autre  du 
même  centre,  serontd'égale  pesanleurpour  conlrepeser  l'une  à  l'autre, 
sans  avoir  égard  si  elles  sont  peu  ou  heaucoup  légalement  ou  inéga- 
lement] éloignées  du  centre  [commun]. 

Soient  donc  les  deux  poids  égaux  A,  B  {//g-  i8),  joints  ensemble  par 
la  ligne  [droite]  ferme  et  [de  soi]  sans  poids  A15;  et  soit  C  le  point  du 

l'i-.  >8. 

0 ^ "—^ o 

A  B 

milieu  de  la  même  ligne  AB,  et  [soient]  D,  E,  des  autres  points  tels 
quels  dans  ladite  ligne  entre  les  poids  A,  B.  [Vous  demandez  ([u'on 
vous  accorde  que  les  poids  A,  B,  tombant  librement  avec  leur  ligne, 
ne  reposeront  point  jusqu'à  ce  que  le  point  du  milieu  C  s'unisse  au 
centre  commun  des  choses  pesantes.] 

Nous  accordons  que,  si  le  composé  des  poids  A,  B  est  mis  de  sorte 
([ue  le  pointe  convienne  avec  le  centre  commun  des  choses  pesantes, 
alors  le  tout  demeurera  en  équilibre.  Mais  il  nous  semble  aussi  (jui'  si 
II'  point!)  ou  E  convient  au  même  centre  commun,  en  sorte  cjue  l'un 
des  poids  en  soit  plus  proche,  pourvu  que  l'un  soit  entii'rement  d'une 
part  du  centre  et  l'autre  de  l'autre,  ils  contrepèseront  encore  et  demeu- 
reront eu  équilibre,  comme  par  le  [)oint  i),  puis(]ue  (  pour  nous  servii- 
de  vos  paroles  mômes)  ces  deux  poids  sont  égaux  et  ont  tous  deux 
même  inclination  pour  s'unir  au  [même]  centre  commun  [des  choses 
pesantes],  ctl'un  n'a  aucun  avantage  pardessus  l'autre  pour  le  déplacer 
de  son  lieu. 


38  (EUVKES   DE   FEKMAT.  -  COllRESPONDANCE. 

Oiic  si  rire  plus  proclio  (Hi  plus  éloigné  du  cciitro  pouvoil  élrc 
(|U('l(|uc  avantago,  ce  que  nous  uc  croyons  pas,  supposé  que  la  pesan- 
leur  l'éside  au  corps  même,  vous  trouvère/,  plus  de  gens  qui  croir(»n( 
(|U(>  l'avantage  est  de  la  part  de  celui  (|ui  est  plus  proclie  du  eeulie 
eomnuin  que  l'autre  :  ce  qui  loulefois  est  directement  contre  votre  sup- 
position. 

I<]|  ne  sert  de  rien  d'alléguer  le  centre  de  pesanteur  du  corps  AB, 
lc([U(d  centre,  selon  les  anciens,  est  au  milieu  ('  :  car  ce  ceutrc  n'a  été 
démontré  que  (jiiand  la  descente  des  poids  se  fait  par  des  lignes  paral- 
lèles, ce  qui  n'est  ])as;  et,  quand  il  y  auroit  un  lid  point,  ce  (|ui  ne 
peut  être  aux  corps  (|ui  tiennent  à  un  même  centre  commun,  il  n'a  pas 
été  démontré  et  ne  prouveroit  aucunement  que  ce  seroit  ce  point  là 
par  le(juel  le  corps  s'uniroit  au  centre  commun.  Même  cela,  jiour  les 
raisons  précédentes,  répugne  ii  notre  commune  connoissance  en  plu- 
sieurs ligures. 

Imi  tout  cas,  nous  ne  voyons  point  que  ce  centre  commun  des  anciens 
doive  être  considéré  autre  part  qu'aux  poids  qui  sont  pendus  ou  sou- 
tenus hors  du  lieu  auquel  ils  aspirent. 

5.  Ouant  ;i  la  conqtaraisou  qui  vous  a  été  l'aile  du  levier  horizontal, 
le<)uel,  étant  jiressé  horizontalement  aux  deux  houts  par  deux  forces 
ou  |)uissances  égales,  demeure  en  même  état  qu'il  est,  (die  nous 
semble  entièrement  semblable  au  levier  [précédent]  AU  pressé  aux 
t\('n\  houts  par  les  deux  poids  égaux  A,  B,  puisque  ces  poids  ne  pres- 
sent le  levier  (jue  par  la  (force  ou  |  puissance  (ju'ils  ont  de  se  porlei- 
vers  leur  centre  commun  i],  1)  ou  E. 

(lonime  si  le  levier  horizontal  est  AB  (Jïg.  i;))  et  les  forces  ou  puis- 

-G-^- 0« 

sauces  égales  A  jet]  B,  pressanthorizontalement  h^  levier  pour  le  porter 
à  un  certain  point  commun  C,  auquid  elles  aspirent  et  lequel  est  posé 
également  ou  inégalement  entre  les  mêmes  puissances  dans  la  ligne  AB; 


VlU. 


IG  AOUT  ig;)g. 


:v.) 


ics  forces,  pressant  également  le  levier,  se  résislcront  rime  à  l'andc, 
selon  notre  sens,  encore  même  que  l'une,  comme  A,  lui  plus  près  ([uc 
l'autre  du  poinl  commun  C  ainjucl  toutes  deux  aspirent,  l-'l  quand  le 
levier  ne  scroil  point  horizontal,  mais  en  telle  autre  position  (|ue  l'on 
voudra,  étant  considéré  [de  soi]  sans  poids  et  tontes  les  autres  choses 
comme  auparavant,  le  môme  elfet  s'ensuivra  sehui  noire  jugement  et 
la  comparaison  sera  enlii'rement  semhlahle  ii  celle  des  poids  (|ui  sont 
à  l'cntour  du  centre  commun  des  choses  [)esantes. 

6.  Nous  ajouterons  ici  ce  que  nous  pensons  en  ce  cas  diïs  poids  (|ni 
seroient  inégaux  joints  comme  dessus  ii  une  ligne  droite  ferme  et  |  de 
soi]  sans  poids,  pour  mieux  faire  paroitre  notre  sentiment. 

Soient  deux  poids  inégaux  A,  B(//^-.  20),  desquels  A  soit  le  moindre, 

¥h'.  20. 


e  \c 
<> 
e- 


et  soit  AB  la  ligne  ferme  qui  les  joint,  dans  laquelle  le  centre  de  pesan 
(eur  des  anciens  soit  le  point  C.  lequel  ne  sera  pas  au  milieu  de  1; 
ligne  AB.  Si  donc  on  pose  le  composé  des  poids  A,  B  de  sorte  (|n 
point  C  convienne  au  centre  commun  des  choses  pesantes,  nous  1 
pouvons  croire  qu'il  demeurera  en  cet  étal,  le  poids  A  étant  entii'i 
ment  d'une  part  du  centre  (des  choses  pesantes  |  et  [le  poids  |  B  j  entii-- 
rement]  de  l'autre  part.  Mais  il  nous  semble  que  le  plus  grand  poids  B 
doit  s'approcher  du  même  centre  [des  choses  pesantes,  jus(ju";i  ce 
(ju'une  partie  du  dit  poids  B  soit  au  delii  du  dit  centre  |  vers  A,  comme 
la  j)artie  D,  en  sorte  que  cette  partie  D  avec  [tout  le  poids]  A,  étant 
d'une  même  part,  contrepèsent  avec  la  partie  |  !*]  |  restante  île  l'autre 
part. 

1-  Outre  ce,  nous  avons  encore  une  instance  en  ce  cas  qui  seml)l(> 
conclure  que  la  figure  et  le  volume  et  encore  la  disposition  des  poids 


vo 


ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CO  liUESPONI)  ANGE. 


doit  être  conskléré,  d'aulant  qu'un  corps  pesant  semble  devoir  peser 
d'autant  moins  qu'il  occupera  une  plus  grande  portion  de  la  circonfé- 
rence l'ernie  passant  par  le  corps  et  décrite  alentour  du  centre  commun 
des  choses  ])esantes,  ce  que  nous  expliquerons  plus  amplement  ci 
après  sur  votre  second  principe  du  levier.  Or  vous  savez  qu'un  même 
corps,  sous  diffén^ites  ligures,  positions  ou  volumes,  peut  occuper 
|)lus  ou  moins  de  cette  circonférence  et,  s'il  y  a  cause  pour  laquelle  un 
même  corps  doive  moins  peser  proche  du  centre  qu'élant  plus  éloigné, 
celle-ci  en  est  peut-être  une,  étant  clair  (|ue,  quoi(iu'il  fût  toujours  de 
même  figure,  position  et  volume,  néanmoins,  étant  plus  proche  du 
centre,  il  occupera  une  plus  grande  portion  de  la  circonférence  susdite 
qu'étant  plus  éloigné.  Mais,  quand  cela  seroil,  nous  croyons  qu'à 
peine  scroit-il  possible  à  l'esprit  humain  d'assigner  les  proportions  de 
cetle  augmentation  ou  diminution  selon  les  dillerents  éloignements 
du  centre. 

8.  Si  la  seconde  ou  la  troisième  cause  possible  de  la  pesanteur  des 
corps  est  vraie,  il  nous  semble  que  l'on  en  peut  tirer  des  [mêmes]  con- 
clusions. 

Soit  le  corps  attirant  ABCD  {fig-  21)  [sphériqne  |,  ilu(|ucl  le  centre 

Kift.  31. 


soit  H,  et  que  la  vertu  d'attraction  soit  également  épandue  par  loules 
les  parties  du  corps  attirant,  et  soit  le  corps  attiré  L,  considéré  pre- 
mièrement hors  le  corps  attirant  en  A. 

Soit  menée  la  ligne  droite  AH,  à  laquelle  soit  un  plan  perpendicu- 


VIIl.    -    IG  AOUT   1636-  41 

lairc  EHD,  coupant  lo  corps  ABCD  en  doux  parties  [égales  et  pailaiilj 
d'égale  vertu.  Soient  aussi,  dans  la  ligne  AH,  niartfués  tant  de  points 
(|ue  l'on  voudra,  comme  K,  I,  par  lesquels  soient  menés  des  plans 
I  Fie,  GKB]  parallèles  au  plan  EHD,  coupant  le  corps  [attirant]  ABCU 
en  parties  inégales,  et  partant  d'inégale  vertu. 

I  Alors]  le  corps  [L]  étant  en  A  sera  attiré  vers  H  par  la  puissance  de 
tout  le  corps  ABCD  et,  le  chemin  étant  libre,  il  viendra  en  K,  là  où  il 
sera  attiré  vers  H  jiar  la  plus  [grande  et]  forte  partie  BDEG  [et  conlre- 
liré  vers  A  par  la  plus  petite  et  plus  foihle  partie  BAG];  il  en  sera  de 
même  (|uaiid  il  sera  venu  en  I,  où  il  sera  moins  attiré  (jue  quand  il  était 
en  K  ou  en  A;  toutefois  il  sera  contraint  de  s'approcher  toujours  du 
centre  H,  tant  qu'il  y  soit  venu,  et,  la  partie  (|ui  attire  diminuant  tou- 
jours et  celle  qui  retire  s'augmentant  [toujours],  il  sera  continucdle- 
ment  attiré  avec  moins  de  force  jusqucs  h  ce  qu'étant  arrivé  en  H,  il 
sera  également  attiré  de  toutes  parts  et  demeurera  en  cet  état. 

Si  cette  position  est  vraie,  il  est  facile  de  voir  ([ue  le  corps  L  pései'a 
d'autant  moins  (]n'il  sera  [plus]  proche  du  centre  H;  mais  son  poids 
ne  diminuera  pas  en  la  proportion  des  lignes  HI,  HK,  HA,  ce  que  vous 
connoitrez  assez  en  le  considérant,  sans  que  nous  vous  l'expliquions 
davantage. 

9-  Puis  donc  que  de  ces  trois  causes  possibles  de  la  pesanteur,  nous 
ne  savons  quelle  est  la  vraie,  et  que  même  nous  ne  sommes  pas  assurés 
(|ne  ce  soit  l'une  d'icelles,  se  pouvant  faire  [que  la  vraie  cause  soit  com- 
posée des  deux  autres  ou]  que  ce  [en]  soit  une  [tout]  autre,  de  laquelle 
on  tireroit  des  conclusions  toutes  différentes,  il  nous  semble  que  nous 
ne  pouvons  pas  poser  d'autres  principes  [pour  raisonner]  en  cette  ma- 
lii're  (|ne  ceux  desquels  nous  sommes  assurés  par  une  expérience  con- 
tinuelle assistée  d'un  bon  jugement. 

Quant  i(  nous,  nous  appelons  des  corps  également  ou  inégalement 
pesants,  ceux  (jui  ont  une  égale  ou  inégale  puissance  de  se  porter  vers 
le  centre  commun  [des  choses  pesantes],  et  un  même  corps  est  dit 
avoir  un  même  poids,  quand  il  a  Icuijours  cette  même  puissan('e  :  que 

FfnMAT.  —  n.  6 


V2 


ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


si  coHe  puissance  augmctilr  ou  diininup,  alors,  quoique  ce  soil  le 
même  corps,  nous  ne  le  considérons  plus  comme  le  même  poids.  Or, 
que  cela  arrive  aux  corps  qui  s'éloignent  ou  s'approchent  du  centre 
I  commun  des  choses  pesantes],  c'est  ce  que  nous  désirerions  bien  de 
savoir;  mais,  ne  trouvant  rien  qui  nous  contente  sur  ce  sujet,  nous 
laissons  cette  question  indécise  et  nous  raisonnons  seulement  sur  ce 
que  l(!s  Anciens  et  nous  en  avons  pu  découvrir  de  vrai  jusques  à  main- 
tenant. I  Voilà  ce  que  nous  avons  à  vous  dire  pour  le  présent  touchant 
votre  principe  de  la  Géostatique,  laissant  à  part  beaucoup  d'autres 
doutes  pour  éviter  prolixité  de  discours.] 

10.  Pour  la  nouvelle  proportion  des  angles  que  vous  mettez  en 
avant,  afin  de  la  démontrer,  vous  supposez  deux  principes,  desquels  le 
premier  est  vrai  et  l'autre  si  éloigné  d'être  vrai,  (|u'il  y  a  des  cas  où  il 
arrive  tout  le  contraire  de  ce  que  vous  demandez  [qu'on  vous  accorde 
pour  vrai]. 

Le  premier  est  tel  :  soit  A  (yfig.  22)  le  centre  commun  des  choses 
pesantes,  l'appui  du  levier  N,  et  du  centre  A,  intervalle  AN,  soit  décrite 

Kig.  11. 

N 


une  portion  de  circonférence  telle  quelle  CNB,  pourvu  que  l'arc  CN 
soit  égal  à  J'arc  NB;  et  soit  considéré  cet  an;  CN  [B]  comme  uni;  ba- 
lance ou  un  levier  [de  soi]  sans  poids,  qui  se  mène  librement  à  l'entour 
de  l'appui  N;  soient  aussi  des  poids  égaux  posés  en  C  [et]  B. 

Vous  supposez  que  ces  poids  contrepèseront  l'un  ii  l'autre  et  feront 
équilibre,  étant  balancés  sur  le  point  N;  et  [il]  semble  que  tacitement 
vous  supposez  encore  l'équilibre,  quand  les  bras  du  levier  NC  et  NB 
seront  des  lignes  droites,  pourvu  que  les  points  C  [et]  B  soient  égale- 
ment éloignés  du  centre  A,  et  les  lignes  NC  et  NB  soustendantes  ou 
cordes,  en  effet  ou  en  puissance,  d'arcs  égaux  NC,  NB. 


VIII.   -   16   AOUT  1636.  W 

Toutes  ces  choses  sont  vraies  en  général,  mais  nous  ne  les  erovons 
telles  que  pour  ce  que  nous  les  avons  démontrées  en  conséquence 
d'autres  j)rinçi])ês  (|ui  nous  sont  plus  familiers,  plus  clairs  et  plus 
connus. 

Toutefois,  en  particulier,  il  y  a  une  distinction  qui  doit  être  bien 
consi<lérée  et  est  ti'lle  :  Quand  les  arcs  NC  et  NB  sont  chacun  moindres 
(|n'uii  (|uart  de  circonférence,  le  levier  [CNB  chargé  des  poids  C  et  B] 
pi'se  sur  l'appui  N,  poussant  vers  le  centre  A  pour  s'en  approcher; 
(|uand  les  arcs  CN,  NB  {Jlg.  l'i)  sont  chacun  d'un  (juart  de  circonfé- 

Fig.  23. 


rence,  le  levier  CNB  chargé  des  poids  (J,  B  ne  pèse  nullement  sur 
l'appui  N,  d'autant  que  les  poids  sont  diamétralement  opposés,  et  par- 
lant le  levier  demeurera  de  même  sans  appui  [qu'avec  un  appui]; 
iMitin,  (juand  les  arcs  égaux  NC,  NB  sont  chacun  plus  grands  qu'un 
quart  de  circonférence,  le  levier  CNB,  chargé  des  poids  égaux  C,  B, 
|»i'se  sur  l'appui  N  poussant  vers  N  pour  s'éloigner  du  centre  A. 

H-  Si  ces  particularités  sont  bonnes,  il  s'ensuit  que  votre  second 
[irincipc  ne  peut  subsister,  ce  qui  paroitra  fort  clair  quand  nous  l'au- 
rons examiné  plus  particulièrement,  comme  il  s'ensuit  : 

Soit  donc  A  {Jig.  i(J)  le  centre  commun  des  choses  pesantes,  la 
balance  ou  le  levier  EFBCD,  dont  l'appui  est  B.  Soit  posé  un  poids 
comme  B,  tout  entier  au  point  B,  [)esant  de  toute  sa  force  sur  l'appui  B  ; 
ou  bien  soit  divisé  le  poids  B  en  parties  égales  K,  V,  B,  C,  D,  lesquelles 
soient  posées  sur  le  levier  aux  points  E,  F,  B,  C,  D,  étant  les  arcs  EF, 
FB,  BC,  CD  égaux  et  tout  l'arc  EFBCD  décrit  alentour  du  centre  A. 

Vous  supposez  que  le  poids  [B],  posé  tout  entier  au  point  B,  pèsera 


U  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

(le  niôinc  sur  l'appui  B  qu'étant  posé  par  parties  [égales]  aux  points  H, 
K,  B,  (],  D.  Cela  est  tellement  éloigné  du  vrai  qu(^  quelquefois  |  le 
poids  B,  ainsi  posé  par  parties  sur  le  levier,  ne  pèsera  plus  du  tout 
sur  l'appui  B;  ((uelqucfoisj,  en  lieu  de  peser  sur  l'appui  B  [pour  tirer 
le  levier]  vers  A,  il  pèsera  [tout]  au  contraire  sur  le  même  appui  [B] 
pour  s'éloigner  de  A;  et  fontt'lbis,  étant  ramassé  tout  entier  au  point  B 


il  pèsera  toujours  de  toute  sa  force  sur  l'appui  B  pour  emporter  le 
levier  vers  A  et,  en  général,  étant  [divisé  et]  étendu,  il  pi'sera  toujours 
moins  sur  l'appui  qu'étant  ramassé  au  point  B  [et  vous  supposez  qu'en- 
tier et  divisé,  il  pèse  toujours  de  même]. 

Toutes  ces  choses,  quoique  contraires  à  votre  supposition,  sont  dé- 
montrées en  suite  d(^  nos  principes,  et  nous  vous  en  pouvons  expliquer 
les  principaux  cas  par  vos  principes  mêmes. 

12.  Soit  derechef  A  (Jig.  24)  le  centre  commun  des  choses  i)esanles, 

Kig.  2/,. 


alentour  duquel  soit  décrit  le  levier  GBl)  qui  soit,  de  soi,  sans  poids  et 
prolongé  tant  que  de  hesoin  :  et  soit  B  le  point  de  l'appui,  auquel  si 
un  poids  est  posé,  nous  demeurerons  d'accord  avec  vous  (fu'il  pi-sera 


VIII.   -    16  AOUT   lG3f). 


4H 


lie  loiilc  sa  force  sur  l'appui  B,  U'([U('I  ap[)ui,  s'il  n'est  assez  fort,  rom- 
pra et  le  poids  s'en  ira  avee  son  levier  jus(|ues  au  centre  A. 

13.  Maintenant,  soit  divisé  le  poids,  premièrement  en  deux  |iarlie> 
égales  et,  ayant  pris  les  arcs  lHl  et  (]D,  chacun  d'un  <|uarl  de  circonfé- 
rence, afin  ([ue  tout  l'arc  CBD  soit  une  demie  circonférence,  soit  posée 
une  moitié  du  poids  en  1),  l'autre  en  il.  Lors  ces  deux  poids  C.  |et|  l). 
pesant  vers  A,  ne  feront,  point  d'autre  elfet  sur  le  levier  (".BD,  sinon 
qu'ils  le  presseront  également  par  les  [deux]  bouts  V.  [et|  D  [tour  le 
courber.  Supposant  donc  qu'il  est  assez  roide  pour  ne  pas  plier,  ils 
demeureront  [sur  le  levier]  de  même  que  s'ils  étoient  attachés  aux  bnuls 
du  diamètre  DAC,  sans  (ju'il  soit  besoin  de  l'appui  B,  sur  le(|U(d  le 
levier,  chargé  de  ses  doux  poids,  ne  fait  aucun  effort  :  quand  cet  a[»pui 
n'v  sera  pas,  le  tout  demeurera  de  même  (jue  quand  il  y  sera,  ce  (|ui 
est  assez  claii'. 

Que  si  le  poids  est  divisé  en  plus  de  deux  parties  égales  et,  (|u'élanl 
étendu  sur  des  portions  égales  du  levier,  deux  d'iccdies  parties  se  ren- 
contrent aux  points  (',  D,  [et]  les  autres  dans  l'espace  CBD,  celles  qui 
seront  en  C.  |  et  |  D,  ne  chargeront  point  l'appui  B;  quant  aux  iwitres. 
(dies  le  chargeront,  mais  d'autant  moins  (|ue  plus  elles  approcheront 
des  points  C,  D,  aux(juels  tinit  la  charge.  Ainsi,  il  s'en  faudra  beaucoup 
(|ue  toutes  ensemble  étendues  chargent  autant  l'appui  que  si  elles 
étoient  amassées  en  B;  [idles  ne  pèsent  donc  pas  de  mèmej. 

14.  Davantage,  soient  pris  les  arcs  égaux  BC  |  et]  BD  {//.iT-  ^5  ),  plu< 

FiK.  25. 


grands  chacun  (|\i'un  ([uart  de  circonférence,  et  soit  imaginée  la  ligiK 


ÏG  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

droite  DC.  Puis,  étant  divisé  le  poids  en  deux  parties  égales  seuicmeni, 
soit  attachée  l'une  en  C,  [et]  l'autre  en  D.  [Alors]  il  est  clair  (pie  le 
levier,  chargé  des  poids  C,  D,  pèsera  sur  l'appui  H;  mais  ce  sera  tout 
au  contraire  que  si  les  deux  poids  étoienl  amassés  en  B.  Car,  si  l'appui 
n'est  pas  assez  fort,  il  rompra,  et  les  poids,  emportant  leur  levier,  que 
nous  supposons  être  de  soi  sans  poids,  ne  cesseront  de  mouvoir  tant 
que  la  ligne  droite  CD  soit  venue  au  point  A,  le  levier  étant  monté  en 
partie  au-dessus  de  B,  au  lieu  de  s'abaisser  vers  A,  ce  qui  seroit  arrivé 
si  les  poids,  étant  amassés  en  B,  avoient  rompu  l'appui.  [Vove/  quelle 
difrérencelj 

15.   Enfin,  soit  le  levier  comme  auparavant  {/ig.  2G),  auquel  soient 
les  quarts  de  circonférence  BC,  BO  el,  de  part  et  d'autre  du  point  C, 


soieni  pris  des  arcs  égaux  CG,  CE,  chacun  moindre  qu'un  quart.  De 
même,  de  part  et  d'autre  du  point  D,  soient  pris  les  arcs  égaux,  entre 
eux  el  aux  précédents,  DH,  DF,  tous  commensurables  au  (juarl.  Soit 
aussi  divisé  tout  l'arc  EBF  en  tant  de  parties  égales  qu'on  voudra,  en 
sorte  (]ue  les  jioints  E,  C,  G,  B,  H,  D,  F  soient  du  nombre  de  ceux  qui 
font  la  division;  et  soit  divisé  le  poids  en  autant  de  parties  égales  que 
l'arc  EBF,  lesquelles  parties  de  poids  soient  posées  aux  points  de  la 
division  du  levier. 

Alors,  les  poids  qui  se  trouveront  posés  sur  les  arcs  EC  el  FD,  dé- 
chargeront autant  l'appui  B  qu'il  étoit  chargé  par  ceux  des  arcs  CG, 
[)H.  Ainsi,  (U)nsidérant  tous  ceux  qui  sont  sur  les  arcs  EG  et  FH,  ils  ne 
chargent  point  ra|)pui  [BJ,  lequel,  par  ce  moyen,  ne  sera  chargé  que 


VIII. 


16  AOUT   1G36. 


W 


par  cpux  qui  seront  sur  les  ares  GB,  BH;  el,  si  entre  BG  et  BH  il  u'v  a 
aucun  poids  (ce  qui  arrivera  quand  ces  arcs  BG  et  BH  ne  feront  chacun 
qu'une  partie  de  la  [susdite]  division  fdn  levier]),  alors  l'appui  [B] 
sera  entièrement  déchargé. 

Vovez  donc  combien  il  v  aura  de  diiTcrence  entre  les  poids  amassés 
en  B  et  étendus  [par  parties]  sur  le  levier  EBF.  Voyez  aussi  qu'un 
même  poids  [divisé  par  parties  et  étendu  sur  le  levier]  pèse  d'autant 
moins  sur  l'appui  B  que  plus  [grande  est  la  portion  qn']  il  oc('n[)e  de  la 
nu'ine  circonférence  décrite  alentour  du  point  A  | centre  commun  des 
choses  pesantes]. 

16.  .Maintcnaiil,  pour  venir  ii  votre  démonstration,  soit  le  levier  GIH 
{Jîg-  ■!'])■,  |du(|uel  I  l'appui  soit  I  et  que  les  extrémités  G,  R  et  l'appui  I 


soient  également  éloignés  du  centre  commun  [des  choses  pesantes]  A, 
alcntonr  duquel  soit  imaginée  la  portion  de  circonférence  GIR,  el  soit 
l'ait  (jue 

coiunie  l'arc  01  ;i  l'arc  IR,       ainsi  le  poids  \\  soil  au  poids  G. 

Vous  dites  que  le  levier  chargé  des  poids  G,  R  demeurera  en  équi- 
libre sur  son  appui  I;  quant  ;i  la  démonstration,  vous  suppose/  (pi'elle 
est  assez  facile  en  conséquence  des  deux  principes  précédents  et,  de 
fait,  si  les  principes  étoient  vrais,  il  ne  restcroit  pent-("tre  pas  beaucoup 
de  diniculté  et  la  chose  se  pourroit  à  peu  près  conclure  ainsi,  la  con- 
clusion étant  faite  selon  la  méthode  d'Archimède,  en  sorte  ((ue  les  arcs 
RE,  RM  soient  égaux,  tant  entre  eux  qu'à  l'arc  IG,  et  les  arcs  GB,  GM 
égaux,  tant  entre  eux  qu'il  l'arc  IR. 

I  Et  ]  soit  étendu  le  poids  R  également  depuis  E  jnsques  en  M  et  le 


48 


ŒUVHKS   DE   FERMAT. 


CORRESPONhANCE. 


poids  G  aussi  également  depuis  M  jiisqiies  en  B;  ainsi  les  deux  })oids 
G,  R  seront  également  étendus  sur  loul  l'arc  BGIMRE,  duquel  arc  les 
porlions  IB,  lE  étant  égales,  le  levier  BGIMRE  demeurera  en  équilibre 
sur  ra})|)ui  I  par  le  premier  principe. 

iVlais  le  poids  G,  étendu  depuis  B  jusques  en  M,  [)èse  de  même 
qu'étant  ramassé  au  point  G,  par  le  second  principe,  et,  parle  même 
])rincipe,  le  poids  R  pi-se  de  même,  étant  étendu  depuis  M  jusques  en 
E,  (|u'étant  ramassé  au  point  R.  Car  tous  ces  poids,  étant  ramassés  en 
G  cl  en  R,  pèseront  de  même  sur  le  levier  qu'élanl  élendus;  puis  donc 
(pi'élant  étendus,  ils  l'aisoient  équilibre  sur  le  même  levier,  ils  feront 
encore  équilibre,  étant  ramassés  en  G  et  eu  R. 

Mu  (;elte  démonstration,  tout  ce  qui  est  fondé  sur  le  second  principe 
l'eroit  les  mêmes  difficultés  que  le  principe  même  et,  parlant,  la  con- 
clusion ne  s'ensuit  pas  que  les  poids  G,  R  fassent  équilibre  sur  le  levier 
GIR. 

Nous  pouvions  nous  contenter  de  ce  (jtie  dessus,  croyant  que  vous 
serez  salisfail;  mais  nous  vous  prions  de  considérer  encore  deux  in- 
stances qui  sont  telles  : 

n.  Ea  première,  qu'an  levier  GIR  (y?^.  2(S),  l'angle  GIR  étant  droit 
et  |parlanl|   l'arc  GIR  une  demie  circonférence  [décrite  aiilour  de  A 

Fis.  2.S. 


cenire  commun  des  clioses  j)esanfes|,  si  [1']  on  pose  l'arc  GI  moindre 
<pie  l'arc  IR,  par  exemple  que  GI  soit  le  tiers  de  IR  et  le  poids  R  de 
20  livres,  il  faudroit  donc  en  G  Go  livres,  selon  vous,  pour  faire  équi- 
libre sur  le  levier  GIR  appuyé  au  |)oint  I.  VA  toutefois,  si  vous  mette/ 
des  |)oids  égaux  en  G  et  en  R,  ils  seront  diaméiralemeni  opposés  et 


VIII. 


IG   AOUT    1G3G. 


*9 


[partant  par  le  principe  de  la  Géostaliquc,  au  cas  du  dit  principe  ac- 
cordé par  vous  et  par  nous,  les  dits  poids  égaux]  feront  encore  équi- 
libre comme  s'ils  pesoient  sur  les  extrémités  du  diamètre  GR  vers  le 
centre  A;  et,  quand  il  y  a  une  fois  équilibre,  pour  peu  que  l'on  aug- 
mente ou  diminue  l'un  des  poids,  l'équilibre  se  perd.  Voyez  comme 
cela  se  peut  accorder  avec  votre  position. 

18.  La  seconde  instance  est  telle  :  soit  le  centre  [commun  des  choses 
pesantes]  A  {fig-  29),  alentour  duquel  soit  la  circonférence  GIR,  l'appui 


du  levier  I,  et  les  bras  IG,  IR,  desquels  GI  soit  le  moindre;  et  soit  pro- 
longée la  ligne  droite  lA  tant  qu'elle  rencontre  la  circonférence  en  B. 
Partant,  selon  vous,  il  faudra  en  G  un  plus  grand  poids  qu'en  R  et,  si 
l'on  prend  l'arc  IG  plus  grand  que  IR,  faisant  le  bras  du  levier  IC  et 
mémo  poids  en  G  qui  étoit  en  R,  il  faudra  en  G  un  plus  grand  poids 
qu'auparavant  [pour  faire  l'équilibre].  De  même,  prenant  l'arc  ID 
encore  plus  grand  (|ue  IC  et  faisant  le  bras  du  levier  ID  et  le  poids  D 
de  même  que  le  poids  G,  il  faudra  encore  augmenter  le  poids  G.  Ainsi, 
plus  le  bras  du  levier  qui  est  en  la  circonférence  IRB  aboutira  près  du 
point  B,  étant  chargé  du  même  poids,  plus  il  faudra  à  IG  un  grand 
poids  pour  contrepcser,  et,  selon  le  sens  commun,  raisonnant  h  l'ordi- 
naire, le  bras  du  levier  étant  [la  ligne  droite]  IB  [chargé  comme  des- 
sus], il  faudroit  en  G  le  plus  grand  poids.  Et  toutefois,  alors  le  poids 
qui  seroit  en  B,  pesant  vers  A,  feroit  tout  son  effort  sur  la  roideur  du 
bras  BI;  et  le  moindre  poids  qui  seroit  en  G  feroit  balancer  le  bras  IB 
vers  D;  et  pour  peu  que  le  poids  qui  sera  sur  le  bras  IG  fait  balancer  le 

KK.nMAT.  —  n.  7 


oo  (E  u  V i;  i<: S  1)  !•:  r \i  is  m  \  i'.  -  c < >  i«  h  k s  i* o n d a  n v. e. 

hras  IB  avoc  son  poids  vers  I)  (ce  ((ui  semble  ne  se  pouvoir  nier),  alors, 
encore  que  tant  G  (pie  H  sortent  de  la  circonférence,  on  conclura  une 
absurdité  manifeste  contre  votre  position. 

19.  Enfin,  !\Ionsieiir,  |)our  ce  que  l'expérience  de  tout  ce  que  dessus 
ru'  se  peut  faire  des  poids  naturels,  si  vous  voulez  prendre  la  peine  de 
la  faire  avec  des  artifici(ds,  supposant  [pour  levier]  un  petit  cercle  arti- 
ficiel, au  lieu  du  i^rand  cercle  natund,  et  des  puissances  qui  agissent 
|ou  aspirent]  vers  le  centre  du  petit  cercle,  au  lieu  dos  poids  qui  agi- 
roient  vers  le  centre  du  grand,  vous  trouverez  que  l'expérience  est  du 
tout  contraire  ii  votre  raisonnement. 

Si  nous  eussions  eu  du  temps  davantage,  nous  vous  aurions  envoyé 
c(>  (jU(;  nous  avons  établi  sur  ce  sujet  et  les  démonstrations,  mais  ce 
sera  au  premier  ordinaire. 

.20.  Si  vous  avez  agréables  les  communications  sur  le  sujet  de  la  Géo- 
métrie, en  hupielle  nous  savons  que  vous  excellez  entre  tous  ceux  du 
temps,  nous  vous  ferons  voir  de  notre  part  des  choses  que  peut-être 
vous  ne  mépriserez  pas.  Or  ce  que  nous  vous  proposerons  ne  sera  point 
par  forme  de  (juestions,  mais  nous  vous  envolerons  les  démonstrations 
en  même  temps  pour  en  avoir  votre  jugement. 

[Vous  nous  obligerez  aussi  de  nous  faire  de  vos  pensées.  Nous 
sommes,  etc.] 

IX. 

FERMAT  A  ETIENNE  PASCAL  KT  i\()Hf:HVAI.. 

SAMKIH    23    AOUT    1636    ('). 
(  fa,  p.  i3o-i32.) 

MKSsu:iJr.s, 

1-  .l'ai  lu  avec  grand  soin  le  jugemcMit  qu'il  vous  a  plu  me  donner 
des  propositions  que  j'avois  envoyées  à  M.  de  Gai'cavi  et,  comme  j'ai 

('  )  Prciiiièi'c  n''|ili(]uc  à  ki  Lcltrc  Vlll;  voir  purliciilii'rcmciU  10  el  11. 


I\.   -  23  AOUT  1C3G.  51 

reconnu  la  Ccrmoté  de  voire  raisonnemenl  jointe  avec  une  grande  ef 
profonde  connoissance  de  cette  matière,  j'ai  aussi  cru  que  vous  ne 
trouveriez  pas  mauvaise  ma  réplique  que  je  ferai  en  peu  de  mots,  et 
que  peut-être  je  tirerai  à  ce  coup  de  vous  le  consentement  (|ue  vous 
n'avez  pas  voulu  m'accorder  d'abord.  Et  je  ne  pense  pas  avoir  l)esoin 
de  m'excuser  des  erreurs  qu'il  vous  a  semhlr  (juc  j'avois  commises,  à 
(|uoi,  quand  je  ne  répondrois  que  par  la  hàlc  que  j'eus  d'écrire  à 
!\1.  de  Roberval  (M,  lequel  j'avois  prié  de  suppléer  ce  qui  ne  seroit  pas 
expliqué  assez  au  long,  j'aurois  peut-être  suffisamment  satisfait. 

2.  .Mais  pourtant  je  vous  déclare  (|ue  je  n'ai  jamais  cru  parler  que  du 
levier  moindre  que  le  demi-cercle  et,  si  j'ai  omis  de  l'écrire,  ma  ligure, 
(jui  n'en  rcprésentoit  que  celui-là,  réparoit  assez  ce  manquement, 
puisque  je  n'avois  pas  seulement  eu  le  temps  d'écrire  la  démonstration 
de  ma  proposition  sur  ma  dite  iigure.  Que  si  le  levier  est  plus  grand 
(jue  le  demi-cercle,  j'ajouterai  ii  la  tin  de  ce  discours  la  proportion 
qu'il  doit  garder;  il  me  semble  que  j'en  ai  assez  dit  pour  répondre  à  la 
plus  forte  des  objections  que  vous  faites  contre  mon  second  levier. 

3.  L'autre  qui  combat  mon  second  principe  a  été  prévue  par  moi,  et 
je  vous  avouerai  que,  quoique  ce  second  principe  soit  manifestement 
faux  et  qu'il  choque  mon  sentiment  sur  le  fait  du  premier  levier,  je 
l'avois  pourtant  industrieusement  et  à  dessein  mis  dans  ma  Lettre,  atin 
de  vous  faire  accorder  qu'un  grave  pèse  moins,  plus  il  approche  du 
centre  de  la  Terre,  ou,  en  me  niant  cette  vérité,  vous  obliger  d'accorder 
celle  de  mon  second  levier.  M.  de  (^arcavi,  à  qui  je  l'avois  écrit  quelque 
temps  auparavant  que  de  recevoir  vos  Lettres,  vous  le  témoignera  sans 
doute,  et  j'en  ai  tiré  du  moins  le  profit  que  vous  m'avez  accordé  qu'un 
grave  pèse  moins,  plus  il  approche  du  centre,  quoiqu'il  soit  malaisé  de 
déterminer  la  |)roportion  de  la  différence  de  ces  poids. 

4.  Je  me  contente  d'avoir  dit  ce  peu  de  mots  par  avance  et  viens  à  la 
démonstration  de  mon  second  levier,  après  vous  avoir  assuré  que 

(')  Voir  LcUrc  VII. 


52  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

jamais  homme  du  monde  ne  se  portera  avec  plus  de  bonne  foi  et  d'in- 
génuité que  moi  à  avouer  les  vérités  que  j'aurai  reconnues,  et  que  je 
crois  ma  proposition  tellement  vraie  que,  l'ayant  souvent  considérée 
de  divers  biais  et  à  diverses  reprises,  je  n'ai  jamais  pu  en  douter. 
Voici  les  vrais  principes  de  ma  démonstration  : 

AxiOMA  I .  —  Si  grave  quiescens  ab  aliqno  jnincto  saspendatur,  gravi- 
labit  super  lineam  rectam  punctum  suspensiunis  el  ccntrum  terrœ  conjun- 
gentem.  —  Palet  axiomaùs  veritas  quia  aliter  grave  non  quicsceret. 

AxiOMA  II.  —  in  vecle  circulari,  ci/Jus  dimidium  punctum  suspensionis, 
si  ex  utraque  parte  in  punctis  œqualium  sectionum  gravia  œqualia  collo- 
centur,  corpus  ex  omnibus  illis  gravibus  compositum  et  a  medio  illo  puncto 
suspensum  quiescet. 

AxioM.v  III.  —  In  vecte  circulari  semicircu la  minori,  cujus  centrum  est 
centrum  terrœ.  (^hoc  enim  in  nostro  vecte  semper  intelligendum),  si  punc- 
tum. suspensionis  inœqualiter  vectem  dividat  et  ex  utraque  parte  in  punctis 
œqualium  sectionum  gravia  œqualia  colloccntur,  non  manebit  corpus  ex 
omnibus  illis  gravibus  compositum,  sed  inclinabilur  vectis  ex  parte  majoris 
pnrtionis.  —  Hoc  patet  etiam  ex  vcstris  positionibus  :  quum  enim  lotus 
vectis  sit  semicirculo  minor,  si/ius  minoris  porlionis  erit  minor  sinu  majoris 
portionis.  ideoque  non  ne gabitis  inclinationem  fieri  ex  parte  majoris  por- 
lionis. 

His  suppositis,  exponatur  figura  continens  vectem  DEG  (fi g.  3o)  et  per- 


ficiantur  reliqua  juxta  prœparationcm  Archimedeam.  Grave  in  D,  dispo- 
situm  per  partes  œquales  in  porlioncs  BC,  CD,  DE,  EF,  gravitât  super 
rectam  DN  :  nam,  suspensum  a  puncto  D ,  per  secundum  axioma  quiescit  ; 
ergo,  per primum,  gravitât  super  DN.  Igitur.  sive  totum  sit  in  D,  sive  dis- 


IX.  -  23   AOUT   1G36.  53 

posilitm  per  partes  œquales  in  porliones  BC,  CD,  DE,  EF,  semper  super 
eamdein  reclam  DN  gravitât.  Similiter  grave  in  G,  sive  totum  sit  in  G,  sive 
per  parles  œquales  FG,  G II  disponalur,  semper  super  eamdcm  rcctam  GN 
gravilabit.  Quum  autem  gravia  per  partes  œquales  BC,  CD,  DE,  EF,  FG, 
GH  disposila  sint  œqualia,  gravilabit  aggregaturn  totius  gravis  super  rec- 
lam EN  :  ergo  patet  conclusio  aut,  per  deduclionem  ad  absurdum,  inde 
facillime  derivatur  ope  lertii  axiomalis. 

Eadem  certe  cral  Archimedis  ('  )  ratiocinatio  :  nam  reclœ  BD  (fig.  3i  ) 
centrum  gravitatis,  verbi  gratia,  in  C  constituit,  ut  probet  gravia  œqualia 

Kig.  3i. 
B  C  n       K       F 


in  punctis  B,  D  super  reclam  CN  gravUare,  quod  ille  supponit,  quum  m 
libra  tanlum  DEF  hoc  xterum  sit,  quœ  ad  reclam  EN  esl  perpendicularis, 
in  rcliquis  falsum,  quia  ad  angulos  mœquales  a  redis  à  centro  terrœ 
secanlur.  In  nostro  autem  vecle  hœc  difficultns  non  occurrit,  quum  semper 
et  in  quocumque  piinclo  rectœ  a  centro  terrœ  eum  normnliter  secent. 

Sit  libra  DCB  (tîg.  Sa),  centrum  terrœ  A,  centrum  lihrœ  C;  complealur 
circulas  centro  C,  intcrvallo  CB  descriptus  et  DEA,  BA,  CFA  jungantur. 
Jungatur  et  CE;  ponantur  in  punctis  B  et  \)  pondéra  œqualia  et  sit  an- 
guliis  ACD  major  angulo  ACB  :  Aio  libram  a  puncto  C  suspensam  ad 
partes  B  inclinari,  idquc  per  supposita  ah  Archimcdc. 

Pondus  a  puncto  D  ad  punctum  E  transférât  ur;  ex  Archimede ,  idem  est 
ac  si  pondus  esset  in  puncto  D,  quia  ponitur  in  recta  punctum  D  et  centrum 
terrœ  conjungenle  :  si  igitur  intelligatur  recta  CE  pondus  in  E  retinere. 
nianebunt ,  ex  Archimede,  brachia  Cl*]  et  CB,  quum  ponantur  manere  CB 
et  CD.  Igitur  anguli  ECF,  FCB  erunl  œquales  :  Iriangulum  enun  œqui- 

(')  Cp.  AnciliMÈDE,  De  pltiiwrum  (vquUibriis,  I,  6. 


54 


ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


rritrr,  in  cii/iis  extremis  œqualia  pondéra  coUoeanlur,  ?novetur  semper 
donec  perpendicalaris  horizond.  Iioc  est  recta  rerticem  ei  cenlrnm  terra- 
conjungens.  angulum  ad  verticem  hisccet,  quod  experientia  tcstatur.  An- 
giilus  autem  lîCB  duplits  est  anguH  ad  D  :  ergo  angulus  FC.B  angulo  I) 


Fis.  33. 


rsl  a'</ii<t/is.  l'arallelœ  igititr  erii/it  CA  et  DA,  quod  est  absurdum  :  non 
ergo  qtiieseil  lihra.  sed  ad  partes  Winclinatur,  quia  angulus  BCI<"  major 
est  angulo  E(iF,  ut patet. 

NOilii,  en  [xmi  do  mots,  ma  réplique  pour  le  second  levier.  liKinelle 
j'eusse  plus  élendiie  si  le  temps  me  le  permcttoit. 

5.  Que  si  le  levier  est  plus  grand  que  le  demi-cercle  comme  CAH 
{fig.  3'V)  duquel  le  point  de  suspension  est  k,  les  extrémités  (',,  B, 


alors  le  levier  ne  soutiendra  |)lus,  mais  sera  pressé  en  haut  par  ces 
deux  poids,  de  sorte  qu'il  faut  prendre  la  proportion  réciproque  des 


1\.   ~   23  AOUT   1636.  55 

deux  angl(;s  CND,  DNB,  apri's  avoir  prolongé  la  ligne  AN.  I.a  ilénion- 
stration  en  ost  aussi  aisée  tjue  celle  du  premier  cas. 

6.  Pour  le  premier  levier,  soit  le  centre  de  la  terre  B  (iig.  34),  les 
poids  égaux  .\  et  C,  et  la  ligne  IJC  plus  grande  que  BA.  Si  vous  m'ac- 
cordez ([ue  ce  |)oids  en  C  pi'se  plus  qu'en  A  ((|uoi(|ue  vous  csliniiez 


Fig.  34. 


C^nr 


-e 


(|u'il  soit  malaisé  d'en  déterminer  la  proportion),  mes  all'aires  sont 
laites  :  car  il  descendra  donc,  et  la  même  raison  avant  toujours  lieu 
jusques  ii  ce  (|ui'  la  ligne  (",B  soit  égale  ;i  BA,  il  ne  s'arrêtera  pas 
plus  tôt. 

El  que  cela  se  lasse  par  attraction  ou  autrement,  la  chose  est  iiidillé- 
rente.  Toutefois  je  vous  puis  assurer  que  je  puis  prouver  cette  même 
proposition  par  des  expériences  que  vous  ne  sauriez  contester  et  que 
je  vous  envolerai  au  long,  di's  que  la  commodité  me  le  permettra. 

7-  Cependant  voici  une  de  mes  propositions  géométriques,  puis(|u"il 
semble  que  vous  ayez  désiré  d'en  voir  : 

Si/  parabole  AB  (tig.  35),  cujiis  rerlc.v  A,  cl  circa  reclam  DA  stahilcm 
figura  DAB  circuniverlatitr.  dcscrihctur  conoides  paraholicum  Arrhimc- 

FiR.  35. 


(le  II  m,  ciijns  propnriio  ad  roniirn  ejiisdcin  l>asis  el  vcrlicis  eril  scsqniallera. 
(Ji/od  si  circa  slahilcm  \)\\  figura  DAB  circumverlalur,  Jicl  novurn  conoides 
cujus proporlio  ad  co/iu/n  ejusdem  hasis  el  verlicis  quœrebalur. 

Earn  nos  esse  ul  8  ad  j  derno/islrai'imus,  nec  res  vacahal  difjicullale. 
Imo  el  cenlnun  giinilalis  ejusdem  conoidis  imenimus. 


56  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

8.  J'ai  trouvé  beaucoup  d'autres  propositions  géométriques,  comme 
la  restitution  de  toutes  les  propositions  de  lacis  plants  ('  )  et  autres; 
mais  ce  que  j'estime  plus  que  tout  le  reste  est  une  méthode  pour 
déterminer  toutes  sortes  de  problèmes  plans  ou  solides,  par  le  moven 
de  laquelle  je  trouve  l'invention  (^)  maximœ  et  minimœ  in  omnibus 
omnino  prohlematibtts,  et  ce,  par  une  équation  aussi  simple  et  aisée 
que  celles  de  l'Analyse  ordinaire. 

9.  Il  y  a  infinies  questions  que  je  n'aurois  jamais  pu  résoudre  sans 
cela,  comme  les  deux  suivantes,  que  vous  pouvez  essayer  si  vous 
voulez  (')  : 

Datœ  sphœrœ  inscribere  conum  omnium  inscribendorum  ambitu  maxi- 
mum. 

Dalœ  sp/iœrœ  inscribere  cylindrum  omnium  inscribendorum  ambitu 
maximum. 

J'entends  par  ambitum,  non  seulement  superficies  conicas  et  cylin- 
dricas,  mais  le  circuit  entier  composé,  au  cône,  du  cercle  de  la  base  et 
de  la  superficie  conique,  et  au  cylindre,  des  deux  cercles  des  bases 
et  de  la  superficie  cylindrique. 

Il  semble  que  ces  deux  questions  sont  nécessaires  pour  une  plus 
grande  connoissance  des  figures  isopérimètres  (''). 

10.  Cette  méthode  ne  sert  pas  seulement  à  ces  questions,  mais  à 
beaucoup  d'autres  et  pour  les  nombres  et  pour  les  quantités. 

Vous  m'obligerez  infiniment  de  me  faire  part  des  productions  de 
votre  esprit  et  de  me  croire  etc. 

(  ')  roir  Lettres  I,  10  et  VI,  10. 

(2)  To/r  Tome  I,  p.  i33. 

(3)  roir  Lettres  I,  12,  et  VI,  9. 

(')  Sujet  dont  s'occupait  RobervaL  Foir  Lettre  XIV,  11. 


X.  —  2  SEPTEMBRE  1C3G.  57 

X. 

FERMAT  A  .MEHSENNE. 

MAIIDI  2  SEI'TF.JIBRK    l636. 

C».    11.    I23-1-J,',.) 

Mon  RÉvr.REM)  Pkhk, 

1.  La  loKro  dont  vous  mo,parlcz  dansvotre  ck'rnii'rc  s'ost  sans  doulii 
•'•i,'ai'f('.  car  celle  que  je  viens  de  recevoir  est  la  seule  (|ui  m'es!  venue 
de|)uis  cinq  ou  six  semaines  de  voire  part. 

2.  Sui'  le  sujet  de  la(|uelle  {')  je  vous  dirai  (lUc,  (|uand  nous  parlons 
d'un  nombre  composé  de  trois  quarrés  seulement,  nous  enlendons  un 
nombre  (|ui  n'est  ni  (|uarré,  ni  composé  de  deux  quarrés;  et  c'est  ainsi 
(jue  Oiopliante  et  tous  ses  interprètes  l'entcMidenl,  lorsqu'ils  disent 
qu'un  nombre,  composé  de  trois  quarrés  seulement  en  nombres  en- 
licrs,  ne  peut  jamais  être  divisé  en  deux  quarrés,  non  [)as  même  en 
tVaclions.  Autrement  et  au  sens  que  vous  semble/,  donner  ;i  votre  pro- 
position, il  n'y  auroit  que  le  seul  nombre  de  3  qui  fût  composé  de  trois 
(|narrés  seulement  en  nombres  entiers;  car  : 

PremièremenI,  tout  nombre  est  composé  d'autant  de  (|uarrcs  entiers 
qu'il  a  d'uni  (es; 

Secondemenl,  vos  intuibres  de  1 1  et  1 1  se  trouvent  composés  chacun 
de  cinc]  (|uai'rés;  le  premier  de  1,  1,  i,  i,  r  ;  le  second  de  4,  4'  1.  '-  '• 

Oue  si  vous  entendez  (|ue  le  nombre  (jue  vous  demandez  soit  com- 
posé de  trois  quarrés  seulement  et  non  pas  de  quali'e,  en  ce  cas  la 
(jueslion  tient  plus  du  hasard  (jue  d'une  conduite  assurée  el,  si  vous 
m'en  envoyez  la  consiruclion,  peut-être  vous  le  ferai-je  avouer. 

(')  f'i)tr  Letlre  VI,  7.  —  D'apii's  Oescarles  (LcUres,  éd.  Clcrsclior,  III,  (i(Ji,  raulcur 
(le  la  question,  .Saiiitc-droix,  ileniaiitlail  (jiie  les  deux  noiubrcs  à  trouver  et  leur  somme 
lussent  eoiuposcs  de  trois  carrés  à  l'exclusion  de  (|uatre.  Il  n'\  aurait  dès  lors,  suivant 
Uescartes,  (juc  trois  solutions  :  i,  3,  G;  3,  ii,  i4;  3.  «i,  ^j. 

l'tRMAr.  —  n.  8 


58  ŒUVRES    DE   FEI'.MAT.  -    f.O  lili  ES  TON  I)  ANCE. 

Do  sorto  (jiic  j'jivois  satisfait  ;i  votre  j)r()[t(isiti(m  an  sens  de  ninpliaiilc, 
(|ui  sciiihlc  ('IrT  le  seul  adiiiissiMc  en  (•clic  sorte  de  (|iiesti()iis. 

Or,  qu'un  nombre,  composé  de  trois  ([narrés  s(nil(Mnent  en  nomlires 
eulicrs,  ne  puisse  jamais  être  divisé  en  dinw  (|narrés,  non  jias  même 
en  IVacitions,  personne  ne  l'a  jamais  encnre  démontré  et  c'est  ii  cpioi  je 
li"ivaille  et  crois  (|nc  j'en  viendrai  ii  l)ont.  Cette  connoissanre  est  de 
içrandissimc  usage  et  il  semide  (|ue  nous  ii'avoas  pas  assez  de  prin- 
cipes pour  en  V(?nir;i  I)i)ut;  M.  de  lieaugrand  est  en  cela  de  mon  avis. 
Si  je  puis  élendiM;  en  ce  point  les  hnrncs  de  r.Vritlim"li([ue,  vous  ne 
sauriez  croire  les  propositions  inerveillenses  que  nous  en  tirentns. 

3.  i'our  la  Proposition  s^costatiqiic.  (die  c-;(  (onle  l'ondée  sur  ce  prin- 
(•![)('  seul,  (]ue  deux  graves  égaux,  joints  par  une  ligne  Cerme  et  laissés 
en  liberté,  se  joindront  an  centre  de  la  terre  par  le  point  (|ui  divise 
égaltunenl  la  ligne  (jui  les  unit,  c'est-ii-dire  (|ne  ce  point  de  division 
s'unira  au  centre  de  la  terre.  .Messieurs  Pascal  et  de  {{(dx'i'val  ('). 
apri's  avoir  ro(-ouuu  (jue  tout  mon  raisonnement  est  fondé  lii-dessus 
et,  (ju'accordant  ce  ])rincipe,  ma  proposition  est  sans  dillicidtc,  m'ont 
nié  ce  principe,  (|ne  je  prenois  pour  un  axiome,  le  plus  (  lair  et  le 
plus  évident  (|n'on  jtent  demander;  ol)ligez-moi  de  me  dire  si  vous 
êtes  de  leur  sentiment.  Je  l'ai  |)Ourtant  démontré  depuis  peu  par  de 
nouveaux  [)rinci|)es,  tirés  des  expérieni'cs,  (|n'oii  ne  me  sauroit  con- 
tester, et  je  le  leur  envoierai  au  |)lns  t(')t. 

Je  suis  etc. 

(<)  loir  LcUre  Vltl,  1  cl  suiv. 


\l.   —  SI'PTKMHIU'    1G3C.  o!) 

XI. 

KKKMAT  A  HOHEHVAI.  ('). 

MVUDI     l(i    PECTKMttllK    id'Ui. 

IMo.Nsir.i  11. 

1.  ic  me  li'duvai  ces  jours  |)assrs  ii  la  caiapagno  l(iis(|U('  je  icpondis 
il  volix"  écril,  (|iir  j'avdis  pniiilaiil  luissr  cii  cctli'  villr.  I)('|)iiis  mon 
iiioiir,  je  l'ai  coiisidt'rc  plus  cxactcmciil  cl  vous  oiivoii'  la  r(''[»oiisc 
plus  |H('iisi'  il  (oiis  SCS  poiiils  çoiiccniaiil  le  premier  levier.  Si  vous  ne 
goùlc/  pas  mes  raisons  sur  le  secoiid,  vous  iirohlij^erez  Iteaueoup  de 
m'eiivovcr  la  démoiisdalioii  de  voire  proposition  suivaiil  l'opinion  oii 
vous  cics,  (jiie  les  1,'raves  ganlenl  la  proporlioii  réciproque  des  jter- 
peiidiculaires  lirées  du  cenlre  du  levier  sur  les  pendants,  el  de  huiuidlc 
je  douterai  tmijoiirs  jusques  à  ce  que  je  l'aurai  vue.  Je  vous  puis  poiir- 
lanl  assurer  ((ue  je  lu^  saurois  démordre  encore  de  la  mienne  el  qiril 
me  semble  que  vous  ne  sauriez  démuiilrer  la  voire,  au  moins  par  les 
principes  (|iie  nous  connoissons. 

2.  Le  principe  (|iie  je  vous  ai  demandé  pour  rélahlissemenl  de  mes 
propositions  i;éoslali(|iies  est  (|ue,  si  deux  poids  égaux  sont  joints  par 
une  ligne  droite  ferme  el  de  soi  sans  poids  et,  (|irélanl  ainsi  disposés, 
ils  puissent  descendre  lilircnicnl,  ils  ne  re[ioseroiit  jamais  jus(|ues  ii 
ce  (|iie  le  milieu  de  la  ligne  s'unisse  au  centre  (•omniuii  des  clioses 
pesantes.  Ce  principe,  qui  vous  a  semblé  plansilili'  d'abord,  a  eiitin 
e,liO(|iié  voire  opinion  sur  ce  principalement  (|iie  nous  ignorons  la 
cause  radicale  (|ui  fait  (jiie  les  corjts  graves  desceiideiit,  sur  (|Uoi  vous 
dites  ([n'il  y  a  trois  opinions  dillerenles  et  que,  de  toutes  les  irois,  les 
coiise(|ueiices  semblent  dilierciitcs. 

('  I  Sullc  à  lii  LcUro  I.\.  et  secoiido  réponse  ii  la  Lettre  VIII.  Duns  les  Paria,  l'iu-licle  7 
suit  iinmédialeiTieiU  le  n°  I.  —  La  réplique  de  Robcrval  est  |)crduc. 


GO 


ŒUVKES  DE   FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


3.  Je  ne  rt'-pi'lc  point  vos  mois  ni  vos  raisons;  je  inc  conhNitc  d'y 
irpondiT  i'[ /irifuo  m  la  prcmièi'i'  opinion. 

En  votro  tigur(>  (Jiff.  iS),  vous  dilcs  ([u'il  vous  snnidc  (juc.  si  le 
point  I)  ou  \i  convient  avoc  1<'  contre  commun  des  clioses  pesantes. 


Vvr.     ,S. 


o 


■O 


combien  ([ue  l'un  des  poids  en  soit  plus  proche  ([ue  l'autre,  ils  contre- 
pèseront  encore  et  demeureront  en  équilibre.  Puis(|ue,  dites- vous 
(pour  me  servir  de  vos  propres  termes),  ces  deux  poids  sont  égaux 
et  ont  tous  deux  même  inclination  de  s'unir  au  centre  commun  des 
(  lioses  pesantes,  l'un  n'a  aucun  avantage  sur  l'autre  pour  le  déplacer 
de  son  lieu. 

Or,  si  ce  raisonnement  est  bon,  voyez-le  dans  la  figure  suivante 
(fig.  30),  dans  laquelle  j'emploierai  les  mêmes  mots. 


Fig.  30. 
c 


Soit  le  centre  de  la  terre  D,  un  point  dans  sa  surface  ou  ailleurs  (!; 
soit  jointe  la  ligne  (-D,  et  soit  au  point  (]  attaché  le  levier  ]5(1A, 
duquel  les  bras  BC,  (]A  soient  égaux  et  les  poids  H  et  A  aussi  égaux, 
l'angle  B(]A  ferme.  S'il  n'y  avoit  point  le  poids  en  H,  la  ligne  C\ 
s'uniroit  à  la  ligne  (^D,  c'est-;j-dire  que  le  poids  A  s'approcberoil  du 
centr(>  D  autant  qu'il  pourroit;  et  tout  d(!  même  de  la  ligne  Bd. 

Soit  fait  l'angh'  B('d)  moindre  que  D(l\;  parle  précédent  raisonne- 
ment, le  levier  s'arrêtera  (ce  qui  est  contre  l'expérience),  puisqui^  les 
deux  poids  A  et  B  sont  égaux  et  ont  tous  deux  même  inclination  de 
s'unir  au  centre  D  sà'e  à  la  ligne  C-D,  et  l'un  n'a  aucun  avantage  sur 


\1.         10  SEPTEMinîR    lf):]G.  Gl 

l'autre  pour  le  (Icplaccr  de  sou  lieu.  Or,  de  môme  qu'en  ce  cas  l'cx- 
périt'ucc  nous  l'ail  voir  (|uc  ces  deux  poids  approi^heront  également 
du  centre  1)  et  de  la  ligue  CD,  il  ue  faut  [)as  douter  ([u'au  premier  cas 
ils  n'approcheul  également  du  centre  de  la  terre,  et  la  raison  de  toutes 
ces  deux  propositions  est,  qu'ayant  même  inclination  au  centre  et  ue 
pouvant  tous  deux  y  descendre,  à  cause  qu'ils  s'entr'empê(dient,  ils  v 
approchent  du  moins  également  :  autrement  la  force  de  celui  (jui  v 
approchcroit  davantage  seroit  plus  grande. 

4.    L'exemple  du  levier  horizontal  (Jig-  37)  ue  fait  rien  à  la  ques- 
tion :  car,  pour  marijuer  que  les  poids  1}  et  A  n'ont  pas  leur  inclina- 


FiK. 
C 


lion  au  point  C,  il  ne  faut  qu'oler  la  ligue  CD,  sur  laquelle  le  levier 
s'appuie,  et  le  levier  ne  restera  pas  de  demeurer,  s'il  est  pressé  par  les 
poids  A  et  l\  horizontalement,  de  sorte  que  le  point  (1  n'est  non  plus 
considérable  que  tel  autre  de  la  ligne  BA  que  vous  prendrez.  Et,  cela 
étant,  l'exemple  est  inutile,  parce  (|uc  la  principale  raison  de  mon 
principe  dépend  de  l'inclination. des  graves  au  (;entre  de  la  terre. 

5.  Ce  que  vous  ajoutez,  de  deux  poids  qui  seroicnt  inégaux,  joints 
comme  dessus  à  une  ligne  droite  ferme  et  de  soi  sans  poids,  n'est  non 
plus  recevable  :  car,  vous  accordant  que,  lorsque  vous  menez  un  plan 
perpendiculaire  n  la  ligne  qui  joint  les  deux  poids,  comme  vous  faites 
en  votre  figure  ('),  il  est  certain  qu'en  ce  cas  il  y  a  de  chaqu(>  coté  du 
centre  une  grandeur  égale;  il  arrive  pourtant  cent  cas  auxquels,  si 
vous  coupez  les  deux  poids  par  un  autre  plan  passant  par  le  centre,  les 


(1)  fmrjr-r.  w.  LeUlC  VIII.  6. 


(52  (KUVUES  DE   FEHMAT.  -  CO  U  HKS  1>()M)  \N  CK. 

;4i';iii(l(Miis  (|ni  seront  de  cliaqiir  cùlé  siM'oiil  iiiéiçalcs,  cl  ainsi  un  nirnic 
(•(>i'|)s  (Ml  rnéinc  Icmps  arrrlcra  et  n'ai'i'êlcra  pas. 

Va  n'ini|MMl('  de  iliic  (|n('  ce  plan  dnil  ('Ire  hinjoiirs  |)i'rpcntlii'Mlaii'c 
il  la  lii,nic  (|iii  joint  les  deux  graves,  (lar  vous  savez  (|M'au((Mir  du  ccnlrc 
liMis  cniliMils  siiiil  indillÏTiMis  ci  or/u/td  intclligiuititr  siirsum .  omnui 
(leorsiini. 

Il  l'anl  donc  ncccssaii'cniciil  iircndrr  le  repos  des  poids,  non  pas  de 
celle  Cacoii.  mais  de  la  pinpoilion  ré<i|ii()(|ue  siiivanl  jiion  seiilinienl. 

\(iil;i,  en  peu  de  mois,  la  réponse  ii  votre  preinii're  opinion,  (|ue 
j'eusse  pu  éleiidre  ilavanlage  et  tirer  nièuie  la  dénionslration  de  nioii 
princi|ie  de  rexpérieuce  (|ue  je  vous  ai  donnée,  comiiie  il  viuis  sera 
aisé  de  voir. 

6.  Si  la  seronde  opinion  est  vraie,  mon  piiiicipe  est  inCaillilile.  Car 
en  ce  cas  vous  dites  ([ne  le  coijis  pi'sera  (rautanl  moins  (|n'il  sera 
proche  du  centre,  mais  cette  (liiiiinuti(m  ne  sera  pas  en  la  raison  des 
éloi;i;iieiiiens.  Or,  puis(|u'nii  corps  pi-se  moins  en  ce  cas  ;i  mesure 
(lu'il  est  plus  proidie  du  centre,  diuic  il  sera  I(M1J(HI['s  pressé  par  le 
plus  éloigné,  jus(|ues  à  ce  ([u'ils  soient  également  éloignés  du  ceulre. 

\'\\\  la  Iroisii'ine  opinion  les  mêmes  raisons  sont  lionnes. 

Je  serai  liieii  aise  ((lie  .M.  Pascal  voie  ma  Lettre,  si  vous  ragrée/.. 

7.  l'ermellez-moi  de  cliaiiger  de  malii're  et  de  vous  demander  la 
(léinonstralion  de  celte  proposition  ([ue  j'avoue  rrancliement  (|ue  je 
n'ai  enciu'c  su  trouver,  (|uiii(|ue  je  suis  assuré  (in'elle  est  vraie  (')  : 

Siiiiimd  (iiKtdrdtorimt  a  diuihiis  récits  ralionalihiis  /(>fiL;i/ii(/inc  comiiwii- 

I  '  I  l^a  propD.silion  ([uc  Feniiiil  ('iioiiec  (Jaiis  le  laii^;ii;c  ciiclidicn  [)cmiI  s'expriinci-  c-.oiiimi; 
siiil  : 

Si  ti  cl  h  scinl  rationnels  cl  ipio  l'ciii  ail, 

II-  +  h-  =  j.  (  «  -!-  /)  ).r  H-  ./■-, 

.r  ('l  .(•-  secDiil  irralioniiels. 

\.'tip(>l(>nie  est  pioprcmiiiil  la  clillërcnce  de  deux  grandeurs  iiicoiuinonsiiraljlcs  ciilrc  elles, 
mais  doiU  les  carrijs  sont  ralioiiriels  (  Km'lide.  X.  7't  )  ;  .f  =  /( «  +  /;  1- -i-  tt- -+-  Ij-  —  (  r;  -t-  /;  ) 
sera  dès  lors  une  apotoine,  si  le  ladieal  csl  incomnionsiirable  avec  a  ■+■  b.  —  Voir  plus 
liiiii  Lettre  XIII.  8. 


siiralnlihits,  si  (i:l  dupltini  siimnta-  latcriuit  (inplicclur  cxccdciis  fii^tirà  qua- 
(Iralà.  Idhtiido  c.iccssùs  cnl  iipoloinc. 

Nous  ne  sawriiv.  cioirc  combien  la  si-ioncp  du  dixii'inc  Livre  d'Iùi- 
elide  es(  <léiectiieiise  :  je  veux  dire  ([ii(^  cette  eonnoissance  n'a  |ias 
eiirore  l'ait  de  grands  progri's  et  qu'elle  est  pourtant  de  i^raudis^iiue 
usai;e.  .l'y  ai  découvert  l)eaui'ou[»  de  uouv(dles  lumières,  mais  eneni-e 
la  moindre  chose  m'arrête,  comme  le  lliéorème  que  je  viens  de  vnns 
écrire,  qui  semble  d'al)ord  plus  aisé  i»  démontrer  qu'il  n'est  pas. 

J'attends  de  vos  nouvelles  et  suis  etc. 


FERMAT  A  MERSENNK. 
<  skptembue  oi;  octoiihf.  1():>(j.  > 

(.V  f"'  G-g,  14  1-  12"-. /■,".) 

Rr.vrr.i.MiK  I'ati  i\, 

1.  (Juamvis  id  ai^^am  ut  pro  Olulipo  Davum  (^  '  )  restituam,  cl  li- 
benlissime  protilear  quicslioncm  Domini  de  Sainte-Croix  ad  meam 
notitiam  {")  non  [)ervenisse,  liceat  tamen  numéros  ah  ipso  exhihi- 

('  ")  .Vllusioii  iui  \prs  igi  do  \ Aiidria  de  Tcrcncc  : 

\on  lierciR  inIaHe;,-o.  —  Non  r  hem.  —  Ilavns  suul.  non  OF.ilipuî. 

(-)  Il  csl  malaisé  de  délormincr  .si  la  (iiioslioa  dont  il  s'ai;il  ici  csl  bien  celle  doiil  il  est 
parlé  I.eUres  VI,  1.  et  .\,  2.  ainsi  (jne  plus  loin,  XII,  5,  ou  une  autre  des  ciiu|  ipicslions 
iiiiiiiériiiues  proposées  par  .S"  Croix  à  Descartes  en  avril  iGj8,  à  savoir  ; 

I.  TroiiK'cr  un  Ingonc  qui,  p'u<  un  tri^onc.  Irtruf^onc.  jassc  un  lctr<igi>nc,  cl  de  rcclwj . 
et  que  de  lu  somme  des  cotes  des  tctrii^oues  résulte  le  premier  des  tri^ones  cl  de  In  mulli- 
pliealion  d'elle  par  son  milieu  le  secoiul.  J'ai  donné  i5  et  r20.  J 'attends  que  quelqu'un  > 
stittsjassc  par  d'autres  nonihres  ou  qu'il  montre  que  In  chose  est  inipossdilc. 

II.  Trnin'cr  un  Irirerta/iglc  dont  chacun  des  eûtes  soit  l'aire  d'un  trirccta/iglc.  J'ai 
donne  'iio,  yio,  yjo.  J'attends  etc. 

III.  'J'rom-cr  un  ùarlong  ou  te'irago/ie  plus  sa  pleure  et  tel  que  l'aggfc'gat  du  dit  tétrii- 


Oi  ŒUVHES  DE  FERMAT.-  COHRESPONDANCE. 

(os  (  '  )  solutioiio  prohlcmatis  abs  te  propositi  compcnsarc,  et  qusestio- 
iies  aliquot  àpiotpaîaç  subjicere,  quaruni  enodationem  ad  nos  scrius 

^oiir  (■/  de  son  double  tciragoiic  fusse  ii/i  tetrir^oiie  dont  la  pleure  soit  le  bnrloiij^  ou  te- 
trnifotie  plus  sa  pleure.  J'ai  donne  >S.  J'attends  etc. 

IV.  (l'oir  ci-avaiil,  Lettre  VI,  7,  note.) 

V.  Ou  tleiiiande  aussi  un  nombre  dont  les  parties  aliijuoles  fassent  le  doidde  et,  pour  ce 
(ju'ou  eu  a  déjà  trois  qui  sont  120,  ()■]■?.  et  5^3776,  il  est  question  de  trouver  le  ipia- 
Irièiuc. 

Les  l'cnseii^nements  tiré.s  do  la  coircspoiulancc  de  De.scartcs  sont  eontrailietoircs;  dans 
une  lollrc  à  Morscnnc  du  22  juin  i638,  il  dit  (éd.  CIcrsclier,  H,  88)  : 

n  Je  serai  bien  aisc_  de  savoir  si  les  réponses  de  M.  Format  ont  satisfait  davanta.ïo 
ip  .\L  de  Sainte-Croix  que  les  miennes;  mais  pour  moi,  je  trouve  |)!aisant  ipic.  de  quatre 
•>  questions,  n'y  en  ay<iut  iju'une  qu'il  résout  à  peine  en  dunnant  un  nombre  qui  y  satis- 
••  l'ait,  il  ne  laisse  pas  de  faire  des  bravades  sur  ce  sujet,  disant  (pi'il  ne  se  contenic  |>as 
■>  de  résoudre  ces  questions  à  la  mode  de  M.  de  Sainte-Croix,  etc.,  et  en  ])roposc  uik^ 
:i  autre  toute  semblable  cl  même  qui  est  bien  plus  aisée.  » 

Le  'io  juin  iG3S  (éd.  Clerselier,  111,  ()2),  il  écrit  d'antre  part  à  iMcrscnnc  : 

"  .le  lui  ai  aussi  proposé  (à  Gillol)  la  cpiatrièmc^  ipiestion  de  M.  de  Sainte-Croix  qui  est 

I  de  trouver  deux  nombres  chacun  desquels,  comme  aussi  la  sonmie  de  leur  agrégat,  ne 

II  soil  (|uc  de  trois  tétragones,  à  cause  (juc  vous  me  mandez  (pic  c'est  celle  qui  et  semble 
)i  à  M.  de  Fermât  la  plus  dipicilc.  » 

On  doit  remarquer  que  la  (|uestion  II  de  Sainte-Croix  à  Uoscartes  a  d'abord  été  (>roposée 
par  Fermât  à  .Sainte-Croix  qui  la  résolut  (ci-après,  Lettre  XVIll,  3),  (pie  dos  (pialre 
autres,  la  (jucslion  V  avait  été  ])osée  par  Mcnscnno  dans  l'Épitrc  dédicatoire  de  ses  Pré- 
ludes de  l'Harmonie  universelle  en  i634  {voir  Lettre  III,  2),  avec  l'indication  du  nond)rc 
lao.  Fermât  trouva  le  nombre  672  (Lettres  XII,  4,  et  XIII,  4).  Le  troisième  nombre 
j»377('),  ipie  ne  donne  pas  la  métliode  de  Fermai  (lVn),  parait  avoir  été  trouvé  par  Sainle- 
Croix  à  \Lnc  date  postérieure  à  l'impression  de  la  Seconde  Ptirtic  de  l'Harmonie  univer- 
selfe  de  Merscnnc  (10:17). 

La  ipicslion  III,  qui  se  traduit  par  ré([uation 

.r2-4-2(.r2)5=  (.c2-i-.r)2, 

est  très  ai.sée  à  ré.soudrc,  et  il  est  improbable  que  ce  .soit  celle  devant  latpielle  Fermât  dé- 
clarait n'être  jias  un  Œdipe.  Il  n'en  est  pas  tout  à  fait  de  même  pour  la  ipiestion  I,  dont 
l'énoncé,  passablement  obscur,  semble  devoir  s'exprimer  par  les  trois  équations 


r(.r-Hi)  „         „ 

^"+p^  =  . 


(  IH-  .-)(.)•  -I-  r.  -I-  1) 


2 

.rf.r-;-  i") 

Il  (  //  -I-  I  ) 


avec  les  conditions  que  x,  j,  z  soient  entiers  et  p-  un  entier  de  la  forme 

I  '  )  Peut-être  comme  solution  de  la  question  II,  proposée  par  Fermât  à  Sainte-Croix. 
l'oir  noie  précédente. 


XII.    -   SEPTEMT.RE   163G.  65 

provcnturam  auguramur,  quidquid  poUiccatur  acutissimi  vir  ingonii. 

2.  Diim  igitur  diiricilioribus  numoris  tcntationcm  honostamus,  ut 
ipse  loqiiitur,  ita  proponimus  (')  : 

1  *'  huTnire  Iriangulum  rcclangidum  numéro,  rujas  arca  (vqnclur  qua- 
drnlo. 

2"  Dalci  siirnmà  solidi  suh  tnhus  laterihiis  triansitli  rcctnnsuH  numéro 
et  ipsuis  liypolenascv,  invenire  terminos  intra  quos  area  eonsistil. 

Noc  moveat  additio  solidi  et  longitiulinis;  in  proldcmatis  cnini  im- 
inoriris.  quanlilatos  omncs  sont  homogenoa',  ut  omnos  sciiint. 

.J"'  //ive/iire  duo  quadratoquadratos  quorum  summa  œquelur  quadra/o- 
quadralo,  aul  duos  cubos  quorum  summa  sit  euhus. 

4"  Invenire  très  quadratos  in  proportione  arithmetica,  ea  conditione  ul 
differentia  progressionis  sit  numerus  quadratus. 

3.  Quatuor  problomatis  duo  fhoorcmata  (-)  adjunginius,  qu;v,  a 
nobis  invenla,  a  I)oni°.  de  Sainte-Croix  demonstrafionem  exspectant 
aut,  si  frustra  speraverimus,  a  nobis  ipsis  nanciscentur.  Sunt  autem 
puleherrima  : 

i"  Omnis  numerus  cvquatur  uni,  duohus  aut  tribus  triangulis, 

uni,  2,  3  aul  4 qiiadralis. 

uni,  2,  3,  4  uut  5 pctilagoiiis, 

uni,  2,  3,  4,  ■'>  aut  6 hcxagonis, 

uni,  a,  3,  4,  •'J,  6  aut  7 Iieptagonix, 

et  eo  eonlinuo  in  i n finit um  progrcssu. 

Videtur  supponcre  Dio|)liantus  sccundam  partem  theorematis,  cam- 
(|ue  Bachctus  experientià  conatus  est  conlîrmarc,  sed  dcraonstratio- 

(  '  )  Dos  (jiiatrc  prnl)l(>mcs  proposés  ici  par  Fermai,  trois  sonl  insohiijk's.  f^oir  au  Tome  1 
les  Ohrrrffrliofix  sur  Diapliaitlc  :  pour  (i)  el  {4  ),  YO/'X.  XLV;  pour  (3),  VOtix.  II. 

1  -  )  Tour  le  premier  de  ces  deux  lliéorèmes,  voir  Tome  1,  l'Observation  XVIII  sur  Dio- 
pliante.  :  pour  le  secoiul,  cuinpeirrr  l'OI's.  XXVII. 

Fermât.  —  11.  9 


60  ŒUVRES  DE  FEIUIAT.  -  CORRESPONDANTE. 

iicm  non  attiilit.  Nos  propositinnoni  goneralissimam  ot  pulchcrrimam 
priini,  iiisi  fallor,  dcteximus  ot  pro  jure  synallagmatis  admitti,  nescio 
an  jure,  posliilaimis. 

li"  Octuplum  cii/us/ihr/  niimcri  unitatc  dcmimilum  rnmponitiir  ex  qua- 
tuor quadralis  taiilum,  non  so/um  in  intcgris,  quod  potucrunt  alii  vi- 
dissi',  scd  ctiam  in  fractis,  (juod  nos  demonstraturos  polliccmur. 

Et  ox  hac  propositione  mira  sanc  dt'dncinius,  qua",  si  in  proinptu 
f'iKM-int  Dom".  do  Sainte-(]roix,  saltoin  Hachoti  ingcnium  ot  oporani  vi- 
donfur  inutilitor  sollicitasso. 

4.  Priusquam  propositionom  lU^  cubis  a  to  propositaiii  constrnamus, 
ad  qusesitum  (')  do  numoro  {\-j-i  rospondoo  me  uniouni  illiim  non  oro- 
doro  proposito  salisfaciontom,  sod  hic  unus  post  120  in  nosira  mo- 
Ihodo  ocourril. 

In  hujusmodi  antom  quaîstionibus  nihil  impodit  (|Uominus  alius 
alià  molhodo  alios  numcros  ([lui'stioni  satist'aciontcîs  nanciscalur  :  hoc 
si  contigorit  Ooni".  do  Saintc-Ooix,  libontissinio  ab  00  accipionius  una 
cum  mothodo  (|na  usas  ost.  Sunt  onim  hnjiisinodi  qua'Slionos  pulclior- 
rimaj  ot  diiriciilimaî  ot  a  noniino,  qiiod  sciam,  hactonus  sohitaî;  infini- 
tas  autom  similos  peculiari  noiiis  molhodo  jam  constriiximus. 

5.  Quod  ad  qusstiononi  (^)  do  numoris  '\  ot  1  1  spoclat,  fatoinur  dif- 
fioilliniani  nobis  visam  ot  adhuc,  post  multa  tontanionta,  ignorari.  Et 
crodidorim,  donoc  contrarium  apparoat,  ojiis  solntionom  sorti  potins 
(|uam  arti  d(d)ori;  sod  maiim  falli  mo  quam  Dom.  do  Sainto-tiroix.  I^ljns 
solulionoin  si  dignotur  importiri,  viam  constriictionis  rogo  adjnngat. 

6.  Tnani  (h'  oubis  (jua*stionom  ita  eoncipimus  : 

Dalis  quollihcl  numeris  in  proporlinnc  quavis  arilhmctica.  ru/us  dijfc- 
renlia progrcssionis  et  iniments  lerminorutn  dcliir.  imcnire  su/nninm  eu- 
horum  ahs  omnibus. 


(')  J'oir  plus  luuit,  paire  0],  noie. 
{'-)  l'oir  Lcltrcs  VI,  7  cl  X,  2. 


\II.    ~   SEPTEMBRE   1630.  67 

1-   Pi'iimis  casiis  est  (|uum  prirnus  terminus  est  imitas  et  diiïereiitia 
progressionis  etiam  imitas. 

Exhibeandir  lumieri  iii  hac  progressione  qiiollilx't  : 

quadratum  trianguli  numerorum  îBcjuaturcubis  abs  omnibus.  IHiii  hoc 
exemple,  iii  quo  siint  ç)  luimeri,  triangulus  numerorum  est  4^  cujus 
quadratus  202.5  anjuatur  summ;e  cuborum  a  singulis. 

Haic  autem  propositio  in  hoc  casu  a  Baeheto  ('  )  et  aiiis  est  demon- 
strata;  sequentes  easus  nos  invenimus. 

8.  Sit  primus  terminus  unitas  et  dilTercntia  progressionis  numerus 
quivis,  ut  in  hoc  exempht  in  quo  4  l'^t  differentia  progressionis  : 

I .5.9. 13.17, 

sumo  trianguluni  nitimi  numeri  dilTerentia  progressionis  unitatedemi- 
nuta  aucti. 

Est  autem  210,  et  ejus  quadratum 

44100. 

Ab  eo  detraho  sequentes  numéros  : 

i"  Summam  totidem  cuborum  ab  unitate  in  [trogressione  naturaii 
ducentium  exordium,  quot  sunl  unitates  in  dillerentia  progressi(tnis 
unitate  deminuta,  eamque.  summam  ductam  in  numerum  terminorum. 

Numerus  autem,  qui  in  hoc  exempio  inde  eruetur  et  quem  diximus 

subtrahendum,  est 

180. 

2"  Detraho  tri|)luni  suiunue  totidem  (|uadratorum  al)  unitate  in  pro- 
gressione  naturaii  ducentium  exordium,  (|Uot  sunl  unitates  in  diffe- 
rentia  [)rogressionis  unitate  deminuta,  ilhui(|ue  ductum  in  summam 
numerorum  progressionis  datse. 

Numerus,  ([ui  in  hoc  exempht  inde  crncinr  et  ([uein  diximus  subtra- 
hendum, est 

1890. 

('  )  .Viippndix  ;id  liliriim  de  minicris  polygonis,  11.  iini|i.  Si. 


68  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

3°  Dotralio  triplum  summa;  totid(Mn  luimcrorum  ab  unitatc  in  pro- 
grossioiic  naturali  diiconlium  cxordiuin,  quot  sunt  unitates  in  difTe- 
rcntia  prognissionis  unitatc  dcminuta,  illudquc  ducluni  in  summam 
((uadratorum  abs  numcris  progressionis  data?. 

Numoriis,  qui  in  lioc  oxcmplo  indo  ornctur  et  quom  diximus  snbtra- 

hcndiim,  est 

10170. 

Snmnia  numororuin  auf'iM'ondorum  a  numoro  44'*»"  f^l  122/10.  rcli- 
quuni  3i8Go  :  quod  si  dividas  por  4.  dlircrcntiam  progrossionis,  habc- 
bis  summam  cuborum  abs  numoris 

1 .5.().  i3. 17, 
7965,  et  unilormi  in  infinitum  methodo. 

9.  Sed  nondum  constat  qua  rationo  invcniafur  summa  numororum  : 

I . 5.9. 1 3. 17, 

ncquo  quomodo  summa  quadratorum  ab  ipsis  invonialur  :  quod  ta- 
nion  ad  sccundam  et  tt'rtiam  operationom  pcrficicndum  est  lu'cossa- 
rium. 

Primum  illud  praistitit  Bachctus  (')  in  liboilo  /Je  numcris  niultangu- 
lis  :  sccunduin  ita  cxpodiolur. 

Sumatur  summa  lot  (|uadratorum  ab  unitatc  in  progrcssiouc  natu- 
rali, quot  sunt  unitatos  in  majore  progressionis  numéro  dilFerentia 
progressionis  unitate  dcminuta  aucto. 

Hoc  autcm  est  facile  et  ab  Archimode  (-)  in  libro  De  Spirnlibus 
traditum. 

Ab  ea  summa  : 

1°  Detrabe  summam  totidem  quadratorum  in  progrcssiouc  naturali 

(')  Coimncnlairc  ilc  Bachcl  siii'   les  propositions  IV  cl  V  Dinp/uruli  .tlc.iandrini  de 
inultaii'^uUs  numcris. 
(  ')  Arcliiiiiùdc,  De  iuicls  spirtdihus,  prop.  10,  donne  eOrcclivcmenl  la  sommation 


n(  Il  -(-  I  ) 


XII.   -   SEPTEMIUIE  1G3C.  G9 

al)  iinitalc  iiicipuMite,  qiiot  sunt  uiiitatcs  in  difloreiUia  progressionis 
unitate  demiiuita,  oainquo  suminam  ductain  in  nunicrum  tormiiiorum. 

?."  Dolrahc  diiplum  siiinma^  totidem  numcrorum  ab  unilafo,  quot 
sunt  unilales  in  dilî'erentia  progressionis  unitatc  dominula,  illiidcnic 
ductnm  in  summani  niimerorum  progressionis  datio. 

llis  ablatis,  reliquuni,  pcr  diirerenliam  |)rogressionis  divisuni,  dal)it 
suinniani  (juadratoruni  al)  omnibus. 

Ex  his  duobus  casibus  rcliqui  oinncs  nullo  aul  mininio  ncgolio  eli- 
cicntur  jnxta  pneccpta. 

10.  Sed  hic  luiTcre  noluinuis,  verùni  p.robleina  totius  lortasse 
Arithmelicos  pulchorrimuni  construximus,  quo  non  soluin  in  (juavis 
progressionc  sanimain  quadratorum  et  cuboruni  venamur,  sed  omnium 
omnino  potestalum  in  infinilum  mclhodo  gencralissima,  quadrafo((ua- 
dratoruni,  ([uadralocuborum,  cubocubornni,  etc. 

il.  Ut  aulcin  innolescat  Dom".  de  Sainte-(]roix  sphingem  me  aiit 
OEdipum  non  exspectare,  en  prol)lema  in  (juadratoquadratorum  pro- 
grcssu,  ([uod  ita  potcst  theorematicc  enuntiari  : 

Exponantur  (juollihi'l  numeri  in  progressionc  nalurali  ah  (inila/c  ;  si  a 
quadritplo  iillimi,  binario  auclu  <]  cl  ^  in  quadratum  tria/iguli  niimc- 
rorum  diiclo,  dcmas  summam  quadratorum  a  singulis.  fiel  quinlupltmi 
quadratoquadralorum  a  singulis. 

Exemplum  :  Expositis  numcris 

1.2.3.4, 

quadruplum  ultimi  binario  auctum  est  18,  quod  duci  débet  in  100, 
quadratum  trianguli  numerorum  :  fit 

1800. 

Ab  00  producto  dôme  summam  quadratorum  a  singulis,  qua-  est 

3o. 

Supcrcst  1770,  cujus  quinta  pars,  3j4,  a'quatur  quadratoquadratis  a 
singulis. 


70  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

In  (|ualibet  progrossione  siinilitor  prohiema  construcmus  imitando 
coiistructionem  pra'cedcntcm. 

Mothodum  gciicralcni  in  ([nihuslibot  in  infinilum  poteslatibus  tradc- 
iniis,  si  visum  fiicrit  aut  (il)i  aiit  Dom".  de  Sainte-Croix. 

12.  Intérim  addiniiis  propositionom  pulcherrimam  a  nobis  inven- 
tant  (pKO   nobis  hicem  (ledit  ad  hujusmodi  propositioncs  iiiviMiien- 

dasC): 

In  progressione  naturali  ultimus  niirnerus 
in  proximc  majnrcni  facil  daplutn  trianguli  collaterahs, 
in  triangidum  niimeri proximc  mnjoris facit  triplum pyramidis  coUalerahs, 
in  pyrainidcin  nurnen  proximc  majoris  facil  (juadruphim  Inangitlolnan- 

giili  collalcrabs, 
cl  câ  in  infinilum  iiniformi  mclltodo. 

(1)  yoir  Tome  I,  VOhfermtinn  XLVI  xur  Diophniite.  —  Il  est  1res  rcmarqiialilc  (juc 
celle  proposition  capilalc,  qui  donne,  de  fail,  la  composition  des  coefficients  du  l)inônie, 
après  avoir  clé  ainsi  commiuiiqiice  en  if)36  à  Mcrsennc,  à  Sainte-Croix  et  à  Roherval 
(ci-nprcs  Lcllrc  XV,  3),  soit  restée  assez  ii;nor6c  poarcpio  dix-luiit  ans  après,  l'ascal,  en 
la  retrouvant  sous  une  autre  fcirnie,  n'ait  eu  aucun  soupçon  de  la  très  grande  antériorité 
de  la  découverte  de  l'^erniat. 

On  lit  dans  le  Traité  det  ordre-  iiiiincriquex  ((JEuvrcs  de  Biaise  l'ascal,  édition  de  1779, 
t.  V,  pp.  G5-GC),  après  la  proposition  XJ  : 

«  Les  manières  de  tourner  une  même  chose  sont  infinies  :  en  voici  ini  illustre  exemple 
»  et  bien  glorieux  pour  moi.  Cette  même  proposition  que  je  viens  do  rouler  en  ]>lusieurs 
>)  sortes,  est  tombée  dans  la  pensée  do  notre  célèbre  conseiller  de  Toulouse,  M.  de  Fer- 
"  mat;  cl,  ce  qui  est  admirable,  sans  qu'il  m'en  eût  donné  la  moindre  lumière,  ni  moi  à 
»  lui,  il  écrivoit  dans  sa  province  ce  que  j'invcnlois  à  Paris,  heure  pour  heure,  comme 
.1  nos  lettres  écrites  et  reçues  en  même  temps  le  témoignent.  Heureux  d'a\oir  concouru 
u  en  celte  occasion,  comme  j'ai  fait  encore  en  d'autres  d'une  manière  tout  à  fail  étrange, 
'>  avec  un  homme  si  grand  et  si  admirable,  et  qui,  dans  toutes  les  recherches  de  la  plus 
»  sublime  géométrie,  est  dans  le  plus  haut  degré  d'excellence,  comme  ses  ouvrages,  que 
"  nos  longues  prières  ont  enfin  obtenus  de  lui,  le  feront  bientôt  voir  à  tous  les  géomètres 
»  de  l'Europe,  qui  les  attendent!  La  manière  dont  il  a  jiris  cette  mèiue  proposition  est 
»  telle  :  » 

»  Eli  la  progression  iifiture/le  rjin  ronimc/ire  par  l'unitc,  un  iionihrc  (juelco/irpie  ciniit 
i>  mené  danx  le  procluiinement  plus  grand  produit  le  double  de  son  triangle.   » 

I)  Le  même  nombre,  étant  mené  dans  le  triangle  du  prochainement  plus  granil.  pro- 
«  duit  le  triple  de  sa p\  rainide.  » 

"  Le  même  nombre,  mené  dans  la  pyramide  du  prochainement  plus  grand,  produit  le 
11   quadruple  de  son  triangulotriangulaire.  » 

))    Et  ainsi  à  l'in/iid,  par  une  méthode  générale  et  uniforme.  » 

»  Voilà  comment  on  peut  varier  les  énoncialions.  « 


XIII.    -  22  SEPTEMBRE   1G3G.  71 

13.   [)(■  triangulis  roclangulis  (')  |)ropositio  non  salis  pcrspicuo,  ut 

opinor,  in  tua  cpistola  est  conccpta  :  solvctur  a  nio  fortassc,  si  clarins 

proposucris. 

Addictissimus  tibi, 

Ferm.U'. 


XIII. 
FEMIAT  A  ROBERVAL. 

LUNDI  22  SEPTEMURF,   1C3G. 

(  f''a.,  p.  i.ifi-  107.) 

Monsieur, 

1.  Je  surs(M)irai  avec  votro  permission  à  vous  écrire  sur  le  sujet  des 
propositions  de  Méchani(|ue,  jusques  à  ce  que  vous  m'aurez  fait  la 
laveur  de  m'eiivoyer  la  démonstration  des  vôtres,  ce  que  j'attends  au 
plus  tôt  sur  la  promesse  (jue  vous  m'en  laites  (-). 

2.  Sur  le  sujet  de  la  méthode  Ç')  de  rnaxirnis  cl  minimis,  vous  savez 
que,  puisque  vous  avez  vu  celle  que  M.  Despagnet  vous  a  donnée,  vous 
avez  vu  la  mienne  que  je  lui  baillai,  il  y  a  environ  sept  ans,  étant  à 
Bordeaux. 

Et  en  ce  temps-là  je  me  ressouviens  (jue  M.  Philou  avant  reçu  une  de 
vos  lettres,  dans  laqu(dle  vous  lui  proposiez  de  trouver  le  plus  grand 
cône  de  tous  ceux  qui  auront  la  superficie  conique  égale  à  un  cercle  donne, 
il  nie  l'envoya  et  j'en  donnai  la  solution  à  M.  Prades  pour  vous  la 
rendre.  Si  vous  rappelez  votre  mémoire,  vous  vous  en  souviendrez 
[)eut-ètre,  et  que  vous  proposiez  cette  ([uesfion  comme  dillicilc  et  ne 

('  I  Aucune  uiilrc  ullusioii,  il;ins  la  Corrospunilance  ijui  nmis  reste  de  Feiiiuil,  n'esl  laite 
à  cette  (iropositiiHi.  Poul-être  .s'ai;il-il  do  la  (|iie.slion  I  de  Sainte-Croix  à  Uoscartes  (  voir 
plus  luiuL  i)agcs  03-04,  noie),  dont  l'énoncé  éni,i,'niatiipio  prétail  faciicmcnl  ù  confusion. 

(*)  Dans  une  réponse  perdue  à  la  Ictlrc  XI,  Iloberval  annonçait  sa  lettre  suivante,  .\IV. 

(')  ro/r  Lettre  IX.  8. 


72  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

l'ayant  pas  oncoro  tronvcc.  Si  jo  rcnrontro  parmi  mos  papi(M's  votro 
Icifrc,  (lue  je  gardai  pour  lors,  jo  vous  l'onvoicrai. 

3.  Si  M.  Dospagnet  no  vous  a  proposé  ma  inéthodo  (')  que  comme 
je  la  hii  baillai  pour  lors,  vous  n'avez  pas  vu  ses  plus  beaux  usages;  car 
je  la  lais  servir,  eu  diversifiant  un  peu  : 

i"  Pour  l'invenlion  des  propositions  pareilles  à  celles  du  conoïde 
que  je  vous  envoyai  par  ma  dernière  C)  ; 

•2"  Pour  l'invention  des  tangentes  des  lignes  courbes,  sur  lequel 
sujet  je  vous  propose  ce  problème  :  Ad  datuin  punctum  in  cnnchoidc 
Nicomedis  i/nrnirc  langcntcm  (')  ; 

■j"  Pour  l'invention  des  centres  de  gravité  de  tonte  sorte  de  figures, 
anx  figures  même  différentes  des  ordinaires,  comme  en  mou  conoïde  et 
autres  infinies,  de  quoi  je  ferai  voir  des  exemples  quand  vous  vou- 
drez!*). 

/("  Aux  problèmes  numéri(jues  auxquels  il  est  (piestion  de  j)arties 
aliquotes  (^)  et  qui  sont  tous  très  difficiles. 

4.  tresl  par  ce  moyen  (|ue  je  trouvai  (')-)■?.  duquel  les  parties  sont 
doubles  aussi  bien  que  celles  de  120  le  sont  de  iiîo. 

("/est  aussi  par  là  que  j'ai  trouvé  des  nombres  infinis  qui  font  la  même 
cbose  ([OC  220  et  284,  c'est-à-dire  (jue  les  parties  du  premier  égalent  le 
second  et  celles  du  second  le  premier.  De  quoi  si  vous  voulez  voir  un 
exemple  pour  tàter  la  question,  ces  deux  y  satisfont  : 

17296    cl     1841  G. 

.le  m'assure  que  vous  m'avouerez  (|ue  cette  question  et  celles  de  sa 
sorte  sont  très  malaisées;  j'en  envoyai  il  y  a  quelque  temps  la  solution 
à  M.  de  Beaugrand. 

(  ')  I<'oi-mal  paraît  ici  entendre,  par  sa  niétliodc,  le  procédé  de  siibsliliior  A  +  E  a  J 
dans  une  relation  en  .-/. 
(î)  f'oir  Lettre  IX,  7,  et  plus  loin  XUI.  6. 
(3)  f'oir  Tome  I,  p.  iGr. 
(*)  Foir  Tome  I,  p.  i30,  note  3. 
(5)  Folr  LeUre  IV,  3,  et  l'ièces  IVa.  IVu. 


XIII.  -  22  SEPTEMBRE  1630.  73 

J'ai  aussi  (rouvé  des  nombres  en  proportion  donnée  on  (pii  surpas- 
sent t\'ui\  noMiiiri'  donné  leurs  parties  aliquotes;  et  plusieurs  autres. 

5.  Voilà  ([uatre  sortes  de  propositions  que  ma  méthode  embrasse  et 
(|in'  |ieu(-èlre  vous  n'avez  pas  sues. 

Sur  le  sujet  du  i",  j'ai  quarré  infinies  figures  eomprises  de  lignes 
courbes  (');  comme,  par  exemple,  si  vous  imaginez  une  ligure  commis 
la  |)arabole,  en  telle  sorte  que  les  cubes  des  appli((uées  soient  en  pro- 
portion des  lignes  (|n'elles  coupeut  du  diamètre.  (]ette  ligure  ajipro- 
chera  de  la  parabole  et  ne  difl'ére  qu'en  ce  ([u'au  lieu  (|u'en  la  parabole 
on  preinl  la  proportion  des  quarrés,  je  prends  en  celle-ci  celle  des 
cubes;  et  c'est  pour  cela  que  M.  de  Beaugrand,  ii  (|ui  j'en  lis  la  propo- 
sition, l'appelle /var«/>o/c  solide. 

Or  j'ai  démontré  ((ue  cette  ligure  est  au  triangle  de  même  base  et 
hauteur  en  proportion  sesquialtèrc.  Vous  trouverez,  en  la  sondant, 
(|u'il  m'a  fallu  suivre  une  autre  voie  que  celle  d'Archiminle  en  la  (|ua- 
drature  de  la  parabole  et  que  je  n'y  tusse  jamais  venu  par  lit. 

6.  Puisque  vous  avez  trouvé  ma  proposition  du  conoïde  excellente, 
la  voici  plus  générale  {fig-  38)  : 


Fis.  38. 


Si  circa  rcclam  DA  parabole,  cujus  ver/ex  B  el  axis  BK  e/  appheata 
AF,  circumducalur,  fiel  eonoides  novœ  specici,  quo  secto  hifariam,  piano 
ad  axcm  recto,  dimidiuin  ipsius  ad  conurn  cjusdeni  hasis  el  allitadinis  esl 
ut  <S  ad  .) . 


(')  yoir  Tome  J,  pages  a5j  à  'iGG. 
Fermât.  . —  II. 


10 


7V  (EU  VUES    DE   FEI5M  \T.  -  (.0  RH  ESl'ONDANCE. 

Si  vcrô  plaiH)  sccclur  ml  axcin  rccio  iii(V(jiinlitei\  puUi  jxt  piiitcliini  !•], 
segment mn  comndis  AHdl']  ad  roimiii  cjusdem  hasts  cl  (dliliidi/us  est 

ul  i|iiiiilii|iliim  (|iinilinli  El)  (iiki  ciiih  i-c(I;hij,'ii1()  AEI)  bis 
el  r('cliU);;iil()  siil)  DE  iii  AE 

ad  qiiadi'.iti   El)  i|iiiii(ii{iliiiM, 

el  ricissi/n  scq//ir/iftifii  conoidis  \)(\Vj  est  ad  roriiun  e/usf/em  hasts  et  altitii- 

(h/iis 

ul  (|uiiiln|iliiiii  i|iiailiali  AE  iiiià  ciiin  r(nlaiiL;ulo  AEI)   bis 
et  rc'ctaii;;iilo  siil)  DE  iii  DE 

ad  r|iKidrali    \.Vj  i|iiiiiliipliiui. 

l'oiir  la  (IciiKHisIralioii,  (Uilri'  1rs  aides  (|ii('  j'ai  lirccs  de  ma  iiif- 
llioilc,  je  inc  suis  servi  des  cvlindi'es  inscrits  (^t  circoiiscrils. 

1-  .l'avdis  omis  le  |)rinei|)al  usaiic  de  ma  mélliode  (|ui  esl  poiii'  l'iii- 
veiilioii  des  lieux  plans  et  solides;  (die  m'a  servi  partie.ulièremenl  ii 
trouver  ce  lien  plan  ([lie  j'avois  auparavant  trouve  si  diUleile  (' )  : 

Si  a  f/tiotcn//if/iie  datts  pttiictis  ad  paiirtnin  itiitun  injlcctaitliir  rectic  et 
si/tt  spccies  ipar  ah  oiniithtis  fliml  dtilo  spatio  (Cfftiales.  piuictuin  voiiti/iiiet 
positio/ie  datant  ctrrinnferenttain. 

Tout  ce  (pie  je  viens  de  vons  dire  ne  sont  (pi'exemples,  car  je  vous 
puis  assurer  ({ne,  siir(diaenn  des  [xiiiits  pr(''ei'dents,  j'ai  tronv(''  nn  ti'(''s 
grand  noinhre  de  tri's  Indles  propositions.  Je  vous  envoierai  la  denum- 
stralion  de  celles  ([ue  vous  voudrez  :  permettez-moi  n(''anmoins  de 
vous  priei'  de  les  essayer  j)lut(')(  et  de  m'en  donnei'  votre  jugement. 

8.  An  reste,  depuis  la  dernii're  Lettre  ([lie  je  vons  t-crivis,  j'ai  Ironvi- 
la  (liMiionstralion  de  la  |)ro|)osili(Mi  (|ue  je  vous  i'aisois  (-).  Klle  m'a 
doniK-  grandissime  [xdne  et  ne  se  [iiTsente  [las  d'abord. 

.le  vons  conjure  de  me  l'aire  [lart  de  ([uelqu'une  de  vos  pens(!'es  el  de 
me  croire,  etc. 

C)  Voir  Tome  F,  |iasc  3;  { Lieit.v plans  d'.-lpolloiiiiii,  il,  V>}. 
( -)  Foir  LcUrc  XI,  7. 


XIV.   -    Il   OCTOnRE   1C3G.  75 

XIV. 

H015ERVAL  A  FERMAT  {'). 

sa.iii:di  11  ocToiiBE  1G3C. 

(/■«,  |i.  i3S-i'|i-) 
MOXSIF.UR, 

1-  Je  VOUS  envoie  la  (leiiionslcatioii  de  la  proposilidii  i'(iii(laiiieu(ale 
(le  iioirc  Mérliaiii(|iie,  ainsi  ([lie  je  vous  l'ai  [ironiise.  Kn  ([uoi  je  suivrai 
l'iirdre  eomiiiiiii  (re\|tli(niei'  auparavant  les  délinitions  el  |)rincipes 
des(niels  nous  nous  servons. 

2.  Nous  a|i|)(dons  en  général  um'  pi/issa/icc  relie  (jiialilé  par  le 
moyen  de  hupielle  (pi(d(|iie  eliose  (|iie  ce  soil  (end  ou  aspire  en  un 
aiilre  lieu  que  celui  oii  (die  esl,  soiî  en  bas,  en  liaul  ou  ii  (•("ilé,  soil  ipie 
celle  (pialilé  convienne  naliiridleinenl  à  la  chose  ou  ipTidle  lui  soil 
coinniiini(|uée  d'ailleurs.  De  la(|U(dle  détinilion  il  s'ensiiil  (|iie  linil 
poids  est  une  espi'ce  de  puissance,  piiisijue  c'est  une  ((iialilé  par  le 
moyiMi  de  la(|U(dle  les  corps  aspirent,  vers  les  [)arlies  inrerieiires. 

Souvent  nous  appidons  aussi  du  nom  de  puissance  la  même  (diose  à 
la(|uelle  la  puissance  convient  (commo  un  corps  pesant  est  appcdé  un 
poids),  mais  avec  cette  pré(;aution  (|iie  ce  soit  à  l'égaril  de  la  vraie 
|)uissance,  laquelle,  augmentant  ou  diminuant,  sera  appelée  plus 
grande  ou  moindre  puissance,  (|iioi(pie  la  chose  ;i  (jiioi  (die  convieiil 
demeure  toujours  la  inéine. 

Si  une  puissance  est  pendue  ou  arrêtée  à  une  ligne  llexilde  el  sans 
poids,  la(|ii(dle  ligne  soil  attaché(>  par  un  hoiit  à  (piid(|iie  arrêt,  en 
sorte  ([u'cdle  soutienne  la  puissance  tirant  sans  empéchemonl  contre 
celle  ligne,  la  puissance  el  la  ligne  prendroni  qu(d(|iie  position,  en 

(')  liopoiisc  à  l:i  LoUrc  XIII.  —  I.c  lexlc  do  la  présente  a  iHlS  connue  ccini  tlu  l.i 
I.cUic  VIII.  icsllliiù  d'iipii'S  lo  niaïuiscril  lii'  lii  liil)liotlièqiie  Nationale,  hiiiti  n"  7^:20,  f"  3i 
cl  .siii\ . 


76  ŒUVRES  DR  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

laquelle  elles  domeiireront  en  repos,  et  la  ligne  sera  droite  par  forée. 
Soit  icelle  ligne  appelée  le  pendant  ou  la  ligne  de  direction  de  la  puis- 
sanee;  e(  le  point,  par  letpiel  la  ligne  est  attachée  à  l'arrêt,  soit  appelé 
U\  point  d'appension,  lequel  pourra  être  quelquefois  au  bras  d'un  levier 
ou  d'une  balance;  et  lors  la  ligne  droite,  menée  du  centre  de  l'appui 
du  levier  ou  de  la  balance  jusques  au  point  d'appension,  soit  appelée 
h  distance  ou  le  bras  de  la  puissance,  laquelle  dislance  ou  bras  nous 
supposons  être  un(^  ligne  ferme  considérée  de  soi  sans  poids.  Davan- 
tage, l'angle,  compris  du  bras  de  la  puissance  et  de  la  ligne  de  direc- 
tion, soit  appelé  Vangle  de  direction  de  la  puissance. 

Premier  axiome.  —Après  ces  définitions,  nous  posons  pour  principe 
qu'au  levier 'et  ii  la  balance,  les  puissances  égales,  tirant  par  des  bras 
égaux  et  des  angles  de  direction  égaux,  tireront  également;  et,  si  en 
cet  état  elles  tirent  l'une  contre  l'autre,  elles  feront  équilibre;  que  si 
elles  tirent  ensemble  ou  de  même  pari,  l'elTet  sera  doublé. 

Si,  les  puissances  étant  égales  et  les  angles  de  direction  égaux,  les 
bras  sont  inégaux,  la  puissance  qui  sera  sur  plus  grand  bras  fera  plus 
d'effet. 

Comme  en  cette  première  ligure  {fig-  Sg),  le  centre  de  la  balance 


ou  du  levier  étant  A,  si  les  bras  AB  et  AC  sont  égaux  et  les  angles  AIJD, 
ACli  égaux,  les  puissances  égales  D,  E  tireront  également  et  feront 
équilibre.  De  même,  le  bras  AF  étant  égal  à  AB,  l'angle  AFG  à  l'angle 
ABD,  et  la  puissance  G  à  la  puissance  D,  ces  deux  puissances  G,  D 
tireront  également  et,  pour  ce  qu'elles  tirent  de  même  part,  l'effet  sera 


XIV.  -   H   OCTOBRE   1G3C.  77 

doublé.  Au  contraire,  la  puissance  G  ot  la  puissance  E  feront  é((ui- 
librc.  Par  le  même  principe,  les  puissances  I,  LcontrepèseronI  si,  ctaiil 
éiïaies,  les  bras  AK,  AH  sont  égaux  et  les  angles  AHI,  AKL  aussi  égaux. 
Il  eu  sera  de  même  des  puissances  P  et  R,  si  le  tout  est  disposé  de 
niétiie. 

Et  en  ce  cas  nous  ne  mettons  point  d'autre  dilTérence  entre  les  poids 
et  les  autres  puissances,  sinon  (jue  les  poids  tendent  et  aspirent  tous 
vers  le  centre  des  choses  pesantes,  elles  puissances  peuvent  être  en- 
tendues aspirer  vers  toutes  les  parties  de  l'univers  avec  autant,  plus  ou 
moins  de  force  (|ue  les  poids.  Ainsi  les  poids  et  leurs  parties  tirent  par 
des  lignes  de  direction  ([ui  toutes  concourent  à  un  même  point,  et  les 
puissances  et  leurs  parties  peuvent  être  entendues  tirer  de  telle  sorte 
que  toutes  les  lignes  de  direction  soient  parallèles  entre  elles. 

Deuxième  axiome.  —  En  second  lieu,  nous  supposons  qu'une  puis- 
sance et  sa  ligne  de  direction  demeurant  toujours  en  même  position  et 
le  centre  de  la  balance  ou  du  levier  de  même,  quel  (]ue  puisse  être  le 
bras  mené  du  centre  de  la  balance  à  la  ligne  de  direction,  la  puissance, 
tirant  de  soi  toujours  de  même  sorte,  fera  toujours  même  elTel. 

Comme  en  cette  seconde  figure  {fig.  4<>),  le  centre  de  la  balance 
étant  A,  la  puissance  B  et  sa  ligne  de  direction  BF,  prolongée  tant  que 

Fig.  \q. 


de  besoin,  à  laquelle  aboutissent  les  bras  AG,  AC,  AF.  En  cet  état,  soit 
que  la  ligne  BF  soit  liée  au  bras  AF  ou  AC  [ou  AG]  ou  à  un  autre  bras 
mené  du  centre  à  la  ligne  de  direction  AF,  nous  supposons  que  cette 
puissance  B  fera  toujours  un  même  effet  sur  la  balance;  et  si,  tirant 
par  le  bras  AC,  elle  fait  équilibre  avec  la  puissance  D  tirant  par  le  bras 


78  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

AE,  lors([irclli'  (ircra  parle  liras  AF  ou  AO,  clic  fera  oiicore  ('■([iiilibrc 
avec  la  imissaïu'c  I)  liraiil  par  le  liras  Alv 

Ce  principe,  ([iioi([iril  ne  soit  pas  (•xprcssémciU  dans  les  auteurs,  il 
est  néanmoins  nsiirpé  tacitement  [tar  Ions  ceux  qui  en  ont  eu  all'aire, 
et  l'expérience  le  confirme  constamment. 

Troisicnic  axiome.  —  lin  troisième  lieu,  nous  posons  que,  si  les  bras 
(l'une  balance  on  d'nn  levier  sont  directement  posés  l'un  à  l'autre  cl, 
(ju'étant  é^anx,  ils  soutiennent  des  puissances  égales  desqu(dles  les 
angles  de  dircclion  soient  droits,  ces  pnissances  pèseront  égalemcnl 
sur  le  cenirc  de  la  balance,  soit  (jn'ellcs  soieiil  procbc  iln  même  centre, 
soil  ((u'clles  en  soient  fort  éloignées,  soi!  ()uc  loiilcsdcux  soient  ramas- 
sées an  même  ccnire. 

(domine  en  la  (roisième  figure  (  //i;-.  '|i\  la  balance  étant  VA),  le 
centre  A,  les  bras  égaux  AD,  AE  soutenant  des  puissances  égales  M,  I, 


Fis-   \^- 
CAR 


G-  F  H 


(les(jn(dlcs  les  angles  de  direction  ADII,  AE!  soient  droits;  nous  suppo- 
sons (|ue  ces  |iuissaiu-es  I,  H  pi'seront  i\['  même  sur  le  centre  A  (|nc  si 
(dles  étoicnl  plus  prl's  du  même  centre  sur  les  distances  égales  A15,  Ad, 
et  encore  de  inèmc([ue  si  ces  mêmes  puissances  éloienl  ensemble  pi'ii- 
dnes  en  A,  ces  angles  tle  direction  étant  toujours  droits. 

l'rerniêrc  proposition.  —  Ces  princi[)es  posés,  nous  démontrerons 
lacilemeni,  imilan!  Archimède  ('),  (iiic  sur  une  balance  droite,  les 
puissances,  desquelles  et  de  tontes  leurs  |)artics  les  lignes  de  direction 
sont  parallèles  entre  (dles  et  perpendiculaires  à  la  balance,  conlre- 
pi'seront  et  feront  é([nilibre,  quand  les  mêmes  puissances  seront  entre 
(dles  en  proportion  récipro((ue  de  leurs  bras.  Ce  que  nous  pensons 
vous  être  aussi  facile  qu'à  nous. 

I  '  )  Ancm.MKDK,  De  plniwriini  (e{/iii/i//riis,  I,  G  cl  7. 


\1V.  -   11    OCTOIUIE    1G3G.  79 

Kn  suite  ilr  (iimi  ikiiis  (lémonlrcroiis  (•('((('  proposition  univcrsrilc,  ii 
la(|iii'li('  nous  butons. 

Deuxième  proposition.  —  \in  toute  iKihincc  ou  levier,  si  la  pro|)(U'- 
tioii  (les  puissanees  est  réciproque  à  celle  des  lignes  perpendiculaires 
menées  du  centre  ou  point  de  l'appui  sur  les  lignes  <le  direction  des 
puissances,  ces  puissances,  tirant  l'une  contre  l'autre,  l'eront  équilibre 
et,  tirant  d'une  même  pari,  elles  feront  un  pareil  ellet,  c'est-ii-din- 
(|u'elles  auront  autant  de  force  l'une  (]ue  l'autre  pour  mouvoir  la  ba- 
lance. 

Soit  eu  la  (|uatriéme  ligure  {^fig-  V-)  'i'  centre  de  la  balance  A,  le 
bras  AB  plus  grantl  (|ue  le  bras  AC,  et  soient  |ireniii'rement  les  lignes 


HE 


l'ig-  i! 


lie  direction  151),  CE  perpendiculaires  aux  bras  AH,  Ati.  par  lesquelles 
lignes  tirent  les  puissances  D,  K,  lesquelles  seront  des  poids,  si  on 
veut,  et  (|u'il  V  ait  même  raison  île  la  puissance  I)  ii  la  puissance  E  que 
du  bras  AC  au  bras  A15,  les  puissances  tirant  l'une  conire  l'autre,  .le  dis 
qu'elles  feront  é(|uilil)re  sur  la  balance  (]AI5. 

('ar,  soit  prolongé  le  bras  CA  jusques  en  T,  en  sorte  (jue  AF  soit 
égale  il  \\\,  et  soit  considérée  CAF  comme  une  balance  droite  de 
la(|uelle  le  centre  soit  A.  Soient  aussi  entendues  deux  puissances  (i  et 
H,  des([uellcs  et  de  toutes  leurs  parties  les  lignes  de  direction  soient 
parallt'Ies  ii  la  ligne  VAi;  et  ([ue  la  |)uissance  (1  soit  égale  ii  la  puis- 
sance I)  et  la  puissance  H  égale  à  la  puissance  E,  l'une,  savoir  G,  tirant 
sur  le  bras  Al"  et  l'autre,  savoir  11,  tirant  sur  le  bras  AC. 

Lors,  |)ar  la  premlè're  proposition,  les  puissances  G  et  H  feront  équi- 
libre sur  la  balance  CAF;  mais,  par  le  premier  principe,  la  puissance  D 
sur  le  bras  AB  fait  le  même  cfi'et  que  la  puissance  G  sur  le  bras  AF  : 


80  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

parlant  la  puissance  D  sur  le  bras  Wi  fait  (''quilibre  avec  la  puissanco  H 
sur  le  bras  AC  cl,  la  puissance  II  tiraul  ilc  même  sorlc  sur  le  bras  Ad 
(|ue  la  puissance  E,  par  le  uicmo  premier  axiome,  la  puissance  I)  sur  le 
bras  AI}  fera  é(|uilibrc  avec  la  puissance  1*]  sur  le  bras  AC. 

Maintenant  eu  la  cinquième  ligure  (Jig.  ^j),  soit  le  centre  de  la 
balance  A,  les  bras  AB,  A(^  les  lignes  de  direction  BD,  CE  nui  n(i 


soient  pas  perpendiculaires  aux  mêmes  bras,  et  les  puissances  D,  E 
tirant  par  les  mêmes  lignes  de  direction;  sur  lesquelles  lignes  soient 
menées  des  perpendiculaires  du  centre  A,  savoir  AF  sur  BD  et  AG  sur 
El];  et  que,  comme  la  ligne  AF  est  à  AG,  ainsi  soit  la  puissance  E  à  la 
puissance  D,  lesquelles  puissances  tirent  l'une  contre  l'autre.  Je  dis 
qu'elles  feront  équilibre  sur  la  balance  CAB. 

Car,  soient  entendues  les  lignes  AF,  AG  comme  les  deux  bras  d'une 
balance  GAF,  sur  lesquels  tirent  les  puissances  D,  E  |)ar  les  lignes  de 
direction  FD,  GE,  ces  puissances  feront  équilibre,  [)ar  la  première 
partie  de  cette  seconde  proposition;  mais,  par  le  second  axiome,  la 
puissance  D  sur  le  bras  AF  fait  le  même  elTet  que  sur  le  bras  AB,  et  la 
puissance  E  sur  le  bras  AG  fait  le  même  elfet  que  sur  le  bras  AC;  par- 
tant, la  puissance  D  sur  le  bras  AB  fait  équilibre  avec  la  puissance  E 
sur  le  bras  AC. 

Il  y  a  plusieurs  cas  suivant  les  chutes  des  perpendiculaires,  mais  il 
vous  sera  lacile  de  voir  que  tous  n'ont  ([u'unc  même  démonstration.  Il 
est  aussi  facile  de  démontrer  que,  si  les  puissances  tirent  de  même 
part,  elles  feront  même  elfet  l'une  que  l'autre,  et  l'elTet  des  deux 
ensemble  sera  double  de  celui  d'une  seule. 

J'attends  votre  jugement  sur  celte  démonstration  et,  si  vous  l'ap- 


\IV.  —    Il   Or/rOHHK   1G3G.  81 

prouvez,  nous  conununi([uorons  eiisuilc  des  conséqiioiices  (|ui  on  ilé- 
|>cn(l(Mi!. 

3.  J'ai  trouvé  la  démonslralion  (')  de  la  somnio  des  qnarrés  de  denx 
côlés  ralionaux,  eommensurables  en  longueur,  appliquée  au  double  de 
la  somme  des  eolés.  excédant  d'une  iigure  quarrée.  Mais,  puisque 
vous  l'avez  aussi  trouvée,  je  ne  vous  dirai  ici  que  mon  principal  fon- 
dement qui  est  que,  de  deux  nombres  (|uelcon(|ues,  la  somme  de  deux 
t'ois  le  quarré  du  premier,  deux  fois  le  quarré  du  second  et  deux  fois 
le  produit  des  deux  nombres,  n'est  pas  un  nombre  quarré,  d'autant 
que,  j)renant  les  moindres  nombres  de  leur  raison,  un  nombre  simple- 
ment pris  n'est  pas  quarré.  Si  nous  avons  Ions  deux  un  même  moyen, 
ceci  sul'til;  si  vous  en  avez  un  autre,  ee  que  vous  reconnoitrez  parce 
discours,  vous  me  ferez  faveur  de  me  l'apprendre,  et  moi  je  vous  écri- 
l'ai  le  mien  tout  au  lon^,  si  vous  le  désirez. 

4.  .l'ai  aussi  trouvé  la  tlénnuislralion  (-  )  de  votre  conoule  e(  celle  de 
votre  parabide  solide  et,  en  conséquence,  C(dles  d'une  infinité  d'autres 
pareilles,  quarréquarrées,  quarrésolides  etc. 

5.  .l'ai  trouvé  les  tangentes  de  toutes  ces  ligures  :  [)ar  exemple,  en 
la  parabole  solide,  la  portion  de  Taxe,  prise  entre  la  tangente  et  le 
sommet,  est  double  de  la  portion  du  nn-me  axe.  prise  entre  le  soMimct 
cl  la  ligne  appli({uée  de  l'attoucliement  ii  l'axe. 

6-  .l'ai,  par  le  même  moyen,  quarré  la  parabole  géométri(|utMnent, 
autrement  qu'ArcliiniiMJc. 

1-  \'A  je  me  trompe  fort  si  je  n'ai  rencontré  le  même  moyen  (juc 
vous,  me  servant  des  lignes  parallèles  à  l'axe  et  des  portions  de  ces 
lignes  prises  entre  les  paraboles  et  la  ligne  (jui  touclie  les  nu'mes  para- 
boles [)ar  le  sommet,  lesquelles  portions  se  suivent  en  la  raison  de 
l'ordre  nalurcd  des  nombres  quarrés  on  des  nombres  cubes  etc.  Or,  la 
somme  des  ijuarrés  est  toujours  plus  (|ue  le  tiers  du  cube  (|ui  a  j)0ur 

(I)  loir  LeUrc  XI,  7. 

^2)  f'oir  LcUrcs  IX,  7;  XIII,  3  cl  6. 

I'kHM  VT.    —    n.  Il 


82  ŒUVUES   DE  FERMAT.-  COURESPONOANCE. 

(•(■)(('■  lo  cot(''  (In  [)liis  grand  ((narrr,  et  la  mémo  somme  des  quarrés,  le 
plus  grand  étant  ùlr,  est  moindre  que  le  tiers  du  môme  euhe;  la  somme 
des  cubes  plus  (jue  le  (|uarl  du  quarréquarré  et,  le  plus  grand  cui)e 
été,  moins  qu(^  le  quart;  etc.  Si  par  ce  discours  vous  reconnoissez  ((ue 
ee  n'est  pas  votre  moven,  j'en  serai  d'autant  plus  réjoui  pour  ce  (|ue 
nous  eu  aurons  deux,  et  vous  me  ferez  la  faveur  de  m'envoyer  le  votre, 
faisant  le  même  de  ma  part. 

8.  Pour  les  tangentes  de  la  conclioïde,  je  les  ai  considérées  il  y  a 
longtemps,  comme  étant  déterminations  d'équations  (juarréquarrées. 
Sur  ce  sujet,  il  y  a  doux  points  en  la  conchoïde  par  les(|uels  ou  ne  peut 
mener  des  tangentes  :  je  vous  prie  de  les  considérer  et  vous  trouverez 
une  admirable  propriété  d'angles  au  sommet  l'un  de  l'autre  à  la  sec- 
tion d'une  ligne  droite  et  de  la  conchoïde  ('). 

9.  .l'estime  vos  propositions  (-)  des  nombres  et  celle  du  lieu  plan 
fort  difticilos;  ce  que  je  saurai  mieux  quand  j'aurai  eu  le  loisir  de  l(>s 
considérer,  comme  aussi  les  centres  de  gravité  des  ligures  susdites 
tant  planes  que  solides,  n'étant  pas  résolu  pourtant  de  m'obstiner 
après;  car  j'aimerai  mieux  tenir  de  vous  ce  que  vous  en  aurez,  si  vous 
l'avez  agréable. 

10.  .le  vous  prie  pourtant  de  me  mander  si  le  centre  de  gravité  de 
votre  demi-conoide  n'est  pas  ce  point  où  l'axe  est  divisé  de  sorte  (|iie 
l'un  des  segments  est  à  l'autre  comme  i  r  à  4,  pour  ce  qu'un  léger  rai- 
sonnement et  non  encore  bien  considéré  m'a  semblé  me  mener  à  cette 
raison  (''  ). 

H.  Une  autre  fois  je  vous  pourrai  mander  de  nos  propositions  ainsi 
(|ue  vous  le  désirez.  Pour  celte  heure,  que  je  n'emploie  à  écrire  ceci 
qu'un  temps  dérobé,  je  vous  envolerai  seulement  celle-ci  : 

De  deux  cônes  droils  égaux  cl  isopérimclrcs  étant  données  les  bases  iné- 
gales ou  les  hauteurs  inégales,  trouver  les  cônes. 

(  I  )  f'oir  Lclli'c  XIII,  3   —  Knlierviil  parln  ici  des  points  d'inflexion  de  la  tonclioïdc. 
("-)  t'olr  Lettres  XIII.  i  et  7. 
(^)  loir  ei-après  l-cttre  W.  5. 


\V.  -    k  NOVEMBRE   1G3C.  83 

Quand  je  dis  isopérimêlres,  j'entends  les  hases  y  comprises  ou  excep- 
tées, comme  vous  voudrez. 

Vous  en  aurez  la  solution  quand  il  vous  plaira,  si  vous  ne  voulez 
prendre  la  peine  de  la  trouver  vous-même,  et  je  vous  l'aurois  envoyée 
dès  maintenant,  n'éloit  que  je  crois  que  vous  désirerez  avoir  le  plaisir 
d'y  penser. 

Attendant  que  vous  me  fassiez  la  laveur  de  m'écrire.  je  demeu- 
rerai etc. 


\V. 
FERMAT  A  ROBERVAL. 

MARDI    k    NOVKMIIRE    1C3C. 

(la,  1,.   ,1fi-,47;l!f"2'».) 

Monsieur, 

1-  Me  réservant  à  vous  écrire  une  antre  l'ois  les  tlélanls  (|ue  j'ai 
trouvés  dans  votre  démonstration  (')  et  dans  votre  Livre  imprimé  (-), 
(|iie  j'espi're  vous  l'aire  avouer  [)ar  vos  propres  maximes,  je  me  con- 
leiilcrai  (le  répondre  présenlement  aux  autres  points  de  votre  Lettre. 

2.  Va  |)remit'rement  vous  saurez  que  nous  av(»ns  concouru  au  même 
rncditun  sur  le  sujet  de  la  somme  des  deux  quarrés  rationaux,  com- 
mensurahles  en  loni<ueur,  ap[)liquée  au  double  de  la  somme  des  côtés, 
excédant  d'une  tii^Mire  (|uarrée  (^). 

3-  Vous  vous  êtes  servi  aussi  d'un  même  mcdium  (^^)  (|uc  moi  en  la 
(juadrature  lies  |)araboles  solides,  quarréquarrécs  etc.  ii  l'infini;  mais 
vous  supposez  une  chose    [vraie]   de  la({uelle    vous   n'avez  possible 

(  '  )  Lcltrc  XiV.  2.  —  Kerniiil  annonce  les  objeclioiis  conlemies  d;m.s  lu  Pièce  XVI,  ci- 
après. 
(2)  Voir  LcUrc  VII,  4,  noie  i. 
(')  ^0(>LeUre  XIV,  3. 
(*)  Voir  LctlrcXIV,  7, 


84  ŒUVRKS  \)\l  FEIUIAT.  -  CORRESPONDANCE. 

[las  la  (léinonsiralion  pn-cisc,  qui  osl  ([iic  la  soinmo  dos  (juarrés  est 
plus  içrando  (|uo  le  liiM's  du  cube  (|ui  a  pour  cùlV'  lo  côté  du  plus  grand 
(liiarrc-;  la  sonimc  des  cuhos  plus  ((uo  le  quart  du  quarréquarn'';  la 
soinuio  des  (juarréquarrés  plus  qu'un  cinquièmo  du  quarrécuho;  etc. 

Or,  pour  démontror  cela  plus  généraicmont,  il  faut,  (''(ant  donné  un 
\wm\\ri' in  progrcssioiif  mil iirali.  trouver  la  somme,  non  seulement  de 
Ions  les  ((uarrés  et  cubes,  ce  que  les  auteurs  ((ui  ont  éci-il  ont  déjà 
l'ail  ('),  mais  encore  la  somme  des  quarréquarrés,  ((uarrécubes  etc., 
ce  (|ue  personne  ([ue  je  saidu'  n"a  encore  trouvé;  et  pourtant  cette  eon- 
noissance  est  l)(dle  et  de  grand  usage  et  n'est  pas  des  plus  aisées. 

.l'en  suis  venu  à  bout  avec  beaucoup  de  peine.  JMi  voici  un  exemple  : 

Si  quadnipliini  tnaiiini  iiitineri  biiutrio  aurliint  dacas  i/i  (juadraluni 
Iriangtili  luimcroriini,  cl  a  pnxliirio  dcmns  siinunarn  quadralorum  a  sm- 
gidis,  fiel  siinuiKi  (fiKidraloqiuidrnlnnun  (jiiuiliiplii. 

Il  semble  (|ue  Racliet,  dans  son  Traité  De  /itiincris  miiltangu/is  (-), 
n'a  pas  voulu  tàter  ces  (|ueslions  apri's  avoir  l'ait  C(dle  des  ([narrés  et 
(jes  cubes;  je  serai  bien  aise  ([ue  vous  vous  cKcrciez  pour  trouver  la 
méthode  générale,  pour  voir  si  nous  rencontrerons.  Kn  tout  cas,  je 
vous  olFre  tout  ce  que  j'y  ai  l'ait,  qui  est  tout  ce  qu'on  peut  dire  sur 
cette  matière. 

Voici  cependant  une  Iri's  Ixdie  proposition,  qui  peut-être  vous  y  ser- 
vira; au  moins  c'est  par  son  moyen  que  j'en  suis  venu  à  bout,  (rcstune 
ri'gle  qu(^  j'ai  trouvée  pour  donner  la  somme,  non  seulement  des 
triangles,  ce  qui  a  été  fait  par  Bachel  et  les  autres  ('),  mais  encore 
des  pvramides,  Iriangulolrianguloriim  etc.  à  l'infini.  Voici  la  propo- 
sition (■')  : 

UUimum  lattis  in  laliis  pruxime  majiis  facil  duplum  triangtili. 

(')  roir  LeUrc  XII,  10  cl  11. 

(2)  Voir  LcUrc  XII,  7,  nolo  i. 

C)  Bachel  [Appcndix  ad  libruni  de  itutncrU  poljgniii.i,  I,  prop.  18)  donne  la  somma- 
lion,  non  seulement  des  iriangles,  mais  en  général  des  polygones  de  même  genre  ayant 
pour  cotés  les  nombres  consécutifs  à  partir  de  l'unité. 

(■•)  Foir  Lettre  XII,  12. 


XV.   -   i  NOVEMIÎRE    163G.  85 

Ullimurn  laliis  In  Iriangulum  hitcris  proxime  majoris  farit  Iripliini  pv- 
ramidis. 

Ullanimi  lalas  in  pyramtdem  latcris  prn.vime  majoris  facit  /piadriipluni 
triangulotrian  guli. 

El  eo  m  i/tfinilnm  progressa. 

Toiitos  ces  propositions,  (juoiqiie  holios  do  soi,  m'oiil  servi  à  lioiivcr 
la  (]uad rat  lire  ([uo  jo  suis  bien  aise  ([uc  vous  oslimioz. 

4.  Je  voiulrois  avoir  assez  de  loisir  pour  vous  envovei'  les  proposi- 
(ioiis  des  iiomlires  (')  ([ue  vous  trouvez  si  diriieiles;  elles  le  soiU  en 
ellet  :  nièuie  Tartaglia  (-')  avoiteru  ([u'elles  u'éloient  point  trouvaltles 
|)ar  art.  J'en  ai  envoyé  la  construction  au  Père  Mersenne;  il  vous  la 
communiquera  si  vous  la  lui  demandez. 

5.  Je  vous  onvoierai  aussi  une  autre  fois  le  centre  de  gravité  ( ')  de 
toutes  ces  nouvelles  figures,  avec  la  méthode  générale  pour  le  trouver. 
Vous  savez  eependant  que  celui  du  demi-conoïd(>  divise  l'axe  en  pr(»- 
portion  de  i  [  à  >,  non  pas  de  i  i  ;i  f\,  comme  vous  aviez  cru,  et  (jiie 
celui  des  nouvelles  paraboles  divise  l'axe  en  proportion  pareille  ii  celle 
du  parallélogramme,  qui  a  pour  hauteur  l'axe  et  |)(iur  hase  celle  de  la 
figure,  il  la  figure  :  ou,  pour  mieux  dire,  le  diamètre  de  toute  parabole 
est  divisé  en  tel  point  [de  son  diamètre )  par  le  centre  de  gravité,  jeu 
sorte]  que  le  segment  d'en  bas  est  ;i  celui  d'en  haut  comme  la  figure  au 
parallélogramme  de  même  base  et  de  uiéme  hauteur. 

6.  Puisque  vous  avez  trouvé  la  démonstration  de  toutes  mes  propo- 
sitions, vous  m'obligerez  beaucou|)  de  prier  le  Père  Mersenne  de  voii'< 
donner  mes  iiouv(dles  hélices  ('),  desquelles  les  démonstrations  vous 
seront  aussi  aisées  que  ci'lles  du  conoide  et  des  paraboles.  11  m'écrit 
([n'oii  doute  de  didii  de  leur  vérité;  vous  la  lui  confirmerez,  s'il  vous 


(')  Voir  LcUre  XIV,  9  cL  Pièces  IVa,  IVu. 

(-)  Comparer  La  sccD/ida  parte  dcl  General  Tratlato  Ui  nuincri  cl  ntistire  de  Nicoln 
Tartaglia  (Venise,  i5JG),  lilj.  I,  cap.  IV. 
(')  Foir  Tome  I,  p.  i36.  —  Cp.  Leltre  XIV,  10. 
(*)  ^oi>  Pièces  IIIa,  IIIb. 


m  ŒUVIIES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

|)lail,  ('(  (U'sahusorez  Monsieur  ilp  ...  ('),  qui  semble  iic  les  avoir  pas 


crues. 


7.  Mais  il  n'en  faut  pas  demeurer  là.  ear,  pour  suppléer  tout  ce  (jui 
semble  manquer  dans  l'Arebimède  : 

E.vponalur parabole  ACDF  (fig.  44).  cujus  axis  DE,  hasis  AF,  CB  pa- 
rallcla  DE  et  ideo  perpcndicnlans  ipsi  AF.  Circa  reclam  DM  fixam  figura 


l^ig.   4'l- 


ADE  cufH'crsa  cunstiluit  conoides  Archimedcum  ;  circa  AEfixam  comli- 
litil  nostrum  conoides. 

Sed,  si  figura  ACB  circa  Alî  fixam  corwerlalur,  cons/iluiliir  porlm 
noslri  conoidis;  si  autem  circa  (]\i  fixam  fiai  conversio,  t/uœrilurproporlio 
/lovi  islius  conoidis  ad  conum  ejusdem  hasis  cl  alliludinis. 

Hoc  (iiilem  etiamper/ecimus;  imo  mirahilius  quiddam  im-enimus,  ellip- 
sdidcs  ciii  si  conum  œr/ua/em  inveneris,  dabimus  circtili  (juadrationem.  ~ 
Sed  Ikvc  allas. 

8.  Votre  question  des  eones  (-)  est  si  aisée  qu'il  seroil  inulile  de 
vous  en  écrire  la  solution. 

9.  Pour  les  tangentes  de  la  concboide  (M,  j'ai  peur  que  vous  aurez 
é(|uivo([ué;  car  voici  ma  proposition  qui  n'exclut  aucun  point,  laquelle 
j'ai  copié  sans  la  vérifier  sur  mon  manuscrit;  peut-être  que  c'esl  moi 
(|ui  aurai  failli,  je  vous  l'écrirai  la  premii're  fois. 


(  1  )  Bcaugrand?  f'oir  Lettre  XVIII,  4. 

C-)  Voir  Leure  XIV,  11. 

(  ^)  Voir  LeUie  XIV,  8.  —  Cp.  Tome  I,  p.  lOi. 


\VI.  -   DKCEMBRE   1G36.  87 

Eslo  conchois  ABC  (tîg.  /i5),  ru/us  po/tis  F.  inlervalliim  HA,  rf  m  eu 
tlaluin  punclum  B. 

Primiim  asscrimus  carn  in  inlcriora  convexarn  repra'sciitanddfn.  lied 
contrarium  Pappo  cl  Eitlocio  visum  fueril  ('). 


A 

Fig.  ',S. 

/ 

B                      ^~^--~, 

H 

/ 

f 

\l 

Deinde  langenlcm  i/a  (lucimus  :  Jnngatur  FIB  et  perpendicularis  BD 
i/e/nil/atur;  rcclangiilum  BFI,  unà  curn  quadralo  BD,  ad  rcriani  BD  (tp- 
pltccnliiret  facianl  laliludinem  DN;/ial 

lit   II)   ad  J)N,  ita   BD   arf  1)^  . 

■Iiincla  YB  langet  conchoidem. 

J'atlcmls  votre  réponse  et  suis  etc. 


XVI. 
OBJFXTA  A  DOMINO  DF.  FERMAT 

AnVKtlSUS  PROPOSITIONEM  MliCUANlCAM  DOMIxNt  DI-:  ItOBERVAL  {■'). 

<    DÉCF.MBRE     l636    > 

{l'a,  p.   i^T-i'|2.) 

Si  vera  essel  propositio  mcelianica  Doinini  de  lîohervai,  in  rcclc  ipio- 
lihcl  pondéra  perpendiculis  a  ecntro  veclis  in  lineas  direclioiuirn  deniissis 

(  '  )  Pappus.  IV,  22  (  éd.  IIiiUscli,  pp.  2^2  cl  24O),  lîiitociiis  (Coiniii.  iii  lib.  Il  de  s|iliirru 
ol  cylindro  :  Arcliinicdc.  éd.  Heiljci'g,  vol.  III,  pp.  117,  119,  120,  12'.)  n'iiidiipicnl  rien  sur 
le  sens  de  la  coiicavilé  do  la  conclioïde  :  l'observation  do  Fcnnal  no  porlc  donc  c|iio  sur  les 
figures  fautives  des  manuscrits  reproduites  dans  le  Pa|)pus  do  ('omniandin  ol  Aaw^  1rs  an- 
ciennes éditions  d'Arcliimcde  (p.  ox.,  celle  de  llivault,  Paris,  i(ii  j). 

(-)  Celte  Pièce  parait  avoir  clé  envoyée  à  t>arcavi,  au  cominencenienl  de  déconilirc  iii  Ui 
I  îKi//'  Lettre  WII,  1  )  comme  réplique  à  la  Lettre  XIV  de  Uobcrval. 


88  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

esse  rcciproce proportionalia  (t(l  aslnicndarn  qiiictcm,  non  posscl  sul)sis- 
Ici'o  |»r()|)oi'li()  i^rîivis  ad  potcntiain  in  piano  inclinato,  quam  in  Libello 
siio  ('  )  Irailidit.  Hoc  pcrspicuo  dcnionslramus  : 

In  prima  ligiira  (fig.  4<>K  <?slo  punclum  in  suporticic  telliiris  N, 
ccnlrnin  (cri-a'  H.  .Innclà  NH,  dncatur  ANGF  porpcndicularis  ipsi  HN, 


(|iiani  ([iiidcni  ANGF  ii  qui  stint  in  pnnclo  N  vocanl  parallelam  hori- 
/.oiili.  Kx|)onanliirs]»luera'  ([iiaruni  ccnlra  15,  ('.,  D,  qu;e  tangant  rectani, 
sivc  planiini  pcr  ANGF,  in  pnnclisN,  G,  F. 

Palet  priinum  sphicram  B  a  inininia  polcnlia  tnovori.  idqiio  Dominns 
de  IloIxM'val  non  diflilotur,  et  in  |)nneto  N  eollocatani  nianere,  sed  in 
nnllo  alio  totius  plani  puncto  idem  aecidil. 

Pei'lieiatnr  figura,  ut  hie,  vides.  Ue(-la  IIG,  conncctens  punctum  con- 
laelùs  G  et  centrum  ternv  H,  ad  reelam  (>G  facit  anguluni  obtusum, 
ideoqu('  splia>ra  C  ad  partes  GN  movehitur.  Idem  de  sphicra  D.  Sit  igitnr 
potentia  in  Z  retinens  splia'ram  G  per  motum  recta*  ANGF  parallelum, 
aul,  (juod  idem  est,  per  rectam  7A\.  Inteliigalur  vectis  ciijus  centrum 
tixnm  G  ;  duealnr  in  HC  pcrpendicularis  G!. 

Spli;cra)  C  motus  naturalis  est  pcr  rectani  GH;  motus  retinens  per 
GZ.  ad  (|uam  pcrpendicularis  est  GG  :  ergo,  ex  suppositis  Doniini  de 
Kditerval,  est  [rcciproce] 

Ml  recta  CI  ad  reclaiii  CC,     ila  potentia  retinens  in  Z  ad  sphaîram  (]. 
Qiiod  erat  demonstrandum. 


C)  11  s'agil  du  Traite  de  Mcchaiiique  do  llobeival.  l'nir  Leitrc  Vil,  4,  noie  i. 


Wll. 


7    DÉCEMIJHK  1G3G. 


S!l 


In  sphii'i'a  autt'iii  I)  major  rcquirotiir  polcnliaad  iiiinciuliiin  (i.(|ii(i 
inagis  (lislalii(  a  piinclo  N,  r<>  majore  potonlia  opns  cril,  (|iio(l  es!  mira- 
I)il('.  K\  siippositionc  aii(('iii  Domini  de  liohcival,  iiiin(|iiaiii  in  codcm 
piano  variai  proi»orli(>;  quod  qnàiii  lonptc  altcat  a  vcrilalc,  ipscvidoril. 

Sil  con (rum  terra'  li[ Jig.  /17),  plan u m  inclinalum  AdDIv  In  |)iinclis  A 
(i"(",  eamilem  potenliam  relinere,  poleral  forlasse  non  incon^rnum 


¥>■■ 


d/ 


\ 


videri  Domino  de  lloherval.  Sed,  dnclo  perpendiculo  HU,  ([uum  in 
[(nnclo  1)  sit  quies  et  minima  potentia  relineat,  (|uâ  ralione  eonstabil 
ipsins  proposilio? 

In  qnolilx'l  autem  piano  lialict  locnm  nostra  deinonstralio.  Omne 
qni|)pe  planum  alicui  liorizonti  invenietur  parallekim. 

Hae  proposition!'  evertitur  dcmonstratio  Domini  de  lioherval  et  l»re- 
vissimà  via  ad  ipsins  hypothèses  nova  [)roporlio  detei^itnr. 

Secundam  tiguram  addideramus,  ([uà  jndicium  noslrnm  de  ipsins 
nltima  [iro|)ositione  prodere  s[ieral»amus.  Sed  non  suppetil  lempiis. 


Wll. 

l'Kn.MAT  A  UOHKKVAL. 

iiiMA.Nciii;  7  ni'iCKMRiii;  iii.jii. 
(r-„,  |..  i'i7-i'|.s.) 
.MoNSIICI  II, 

1-  Apri's  vons  avoir  assnré  (|ne  je  n'ai  jamais  songé  de  sonli'nir  uni' 
npini(Hi  contre  mon  senlimenl  l't  (|ne  je  serois  ra\  i  (jue  votre  propo- 
h'i.ii.MAT.  —  n.  '  "^ 


90  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORHESPOND/VNCE. 

sition  niécliani(|iio  (')  tut  vraie,  afin  que  nous  ne  i'ussions  plus  en 
])oine  de  sonder  la  nature  par  cet  endroit,  je  m'en  remettrai  du  sur- 
plus à  la  lettre  (jue  j'écris  à  M.  de  Carcavi,  à  laquelle  j'ajouterai  seu- 
lement que  le  dernier  des  principes  dont  vous  vous  servez  pour  l'éta- 
hiisscmcnt  de  votre  proposition  ne  me  semble  du  tout  point  admissible 
et  que,  sans  aucun  esprit  do  contradiction,  j'estime  que,  pour  établir 
la  proportion  des  poids  qui  se  meuvent  librement,  on  ne  doit  pas 
avoir  recours  aux  forces  mouvantes,  et  qu'au  contraire  les  poids  libres 
doivent  servir  de  règle  à  tous  les  autres  mouvemens  violents;  et  c'est 
en  quoi  je  trouve  que  votre  principe  est  défectueux,  outre  qu'il  est 
apparemment  faux,  puisque  celui  dont  je  me  sers  en  sa  place  ne  |)eut, 
ce  me  semble,  être  contredit,  et  de  cela  j'en  fais  juge  qui  que  ce  soit. 

Sil  redis  BD(J  (fi g.  48),  ciijus  médium  D,  cenlrum  lerrœ  A.;  sit.  auteni 
recla  DA  vecti perpendicularis  et  sint  œqualia pondéra  B  et  C,  ad  centrum 


lerrw  per  reclus  BA,  CA  naturaliter  annucntia  ;  suspendatur  aittem  redis 
n  piincto  D  cl  a  qiMvis  potentia  retineatiir  :  Aio  idem  ponderare  B  cl  C, 
corpora  ila  constilitla  ar  si  amho  in  ptinclo  D  ah  eadem  pnlcnlia  dcti- 
ncanlur. 

Car,  puisque  la  ligne  BC  est  sans  |)oids  et  que  la  puissan(;e  (|ui  est 
en  D  abslraliit  a  cciilro,  où  au  contraire  les  poids  B  et  (\,  snc  sinl  m 
piinclis  B  cl  {],  sive  in  punclo  D,  tiergunt  ad  centrum  motu  opposilo. 
il  s'ensuit  clairement  que  la  puissance  qui  retiendra  les  poids  aux 
points  B  et  V.  les  retiendra  aussi  en  D,  et  vice  versa. 


;  '  )  roir  LeUre  XIV,  2,  cl  Pièce  XVI. 


WII.  -  7   DÉCEMBRE   1636.  91 

Et  n'importe  d'alléguer  qu'il  semble  que  le  mouvement  qui  se  fait 
par  des  puissances  parallèles  à  la  ligne  DA  est  aussi  bien  contraire  au 
mouvement  qui  se  fait  sursum  par  la  puissance  qui  retient  en  D  :  car, 

1°  Il  n'est  pas  si  probable  de  dire  qu'un  mouvement  violent  est  con- 
traire à  un  autre  mouvement  violent,  comme  de  dire  qu'un  mouvement 
violent  est  contraire  au  mouvement  naturel. 

2°  Le  mouvement  qui  se  fait  sur  les  lignes  parallèles  à  DA  se  fera 
sur  des  plans  incl.inés  à  l'iiorizon  et  desquels  la  proportion  sera  plus 
inconnue  que  le  principe;  de  sorte  que  ou  il  vous  faut  avouer  la  vérité 
de  mon  principe  ou  démontrer  le  voire.  Au  premicrcas,  je  vous  démon- 
trerai ma  proposition  de  mon  second  levier,  par  vos  propres  maximes; 
j'estime  que  vous  aurez  grande  difficulté  au  second. 

Vous  pouvez  encore  répondre  qu'il  n'est  pas  ici  question  des  mou- 
vemcns  qui  se  font  sur  des  plans  inclinés  à  l'horizon,  parce  que  vous 
supposez,  et  je  l'accorde  aussi,  qu'en  tout  mouvement,  si  la  force  qui 
retient  tire  à  l'oppositc,  l'équilibre  se  fera  lorsqu'elle  sera  égale  h  la 
force  qui  tire  au  contraire,  et  qu'ainsi,  la  puissance  en  D  tirant  à  l'op- 
positc, l'effet  de  votre  principe  s'en  ensuivra. 

Mais  je  réponds  que  votre  réponse  seroit  bonne,  si  la  puissance  qui 
est  en  D  étoit  divisée  et  placée  aux  points  B  et  G,  et  qu'elle  tirât  au 
contraire  par  les  mêmes  lignes  que  les  forces,  que  vous  supposez  en 
C  et  B,  meuvent.  Mais  cela  n'étant  pas,  excusez  mon  incrédulité  si  elle 
ne  se  rend  pas  à  vos  raisons,  lesquelles  je  soubaiterois  plus  fortes 
pour  pouvoir  librement  me  dédire  de  tout  ce  que  j'ai  fait  sur  ce  sujet, 
vous  protestant  que  jamais  homme  n'a  été  plus  docile  que  moi  et  que, 
lorsque  je  reconnoitrai  mes  taules,  je  les  publierai  le  premier  avec 
toute  franchise. 

2.  J'ai  été  bien  aise  de  voir  votre  remarque  sur  la  conchoïde  ('), 
et  vous  prie  de  m'en  donner  la  démonstration  et  vous  souvenir  que, 
lorsque  je  vous  écrivis  sur  ce  sujet,  je  le  fis  en  doutant  et  sans  exa- 
miner l'écrit  que  je  transcrivis  d'un  livre  où  je  l'avois  mis  il  y  avoit 

(>)  To/r  LcUre  XIV,  8. 


92  Œ(IVI{i:S   1)1'    l'KlîMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

qualrc  ans.  La  (•(iiisiriiclion  pourtant  convient  au  prohli'nic  et  an 
point  nirinc  de  voiro  proposition,  si  ollc  est  vraie,  l'c  que  j'attends 
(|iie  vous  nie  (■(uitiriniez. 

.le  vous  prie  aussi  me  l'aire  savoir  votre  senliuKMit  sur  les  autres  pro- 
positions ((lie  je  vous  ai  envoyées  et  votre  réponse  sur  les  autres  points 
(|(^  ma  (lei'nil're  Leil re  (  '  )  et  me  croire  toujours  etc. 


Wlll. 
FERMAT  A  UOBERYAI.. 

>UHIII    1<)    DfiCEMBRi;    lG36. 

(  /  it,    p.    ]  '|S-i  jl.) 


MONSIEUU, 


1.  Je  viens  (le  recevoi r  votre  J.eltre  tlu  29  novembre  (-),  pour  réponse 
il  laquelle  je  vous  dirai  que,  de  la  méthode  que  vous  ave/,  trouvée  pour 
donner  la  somme  des  ({uarrécubes  et  ((uarréquarrés,  je  ne  vois  point 
(|u'on  en  puisse  tirer  une  règle  générale  pour  l'invention  de  la  somme 
omnium  poteslalam  in  infinitum.  ce  qui  est  requis  à  la  solution  de  mon 
problème  (^).  (lar  vous  dites  seulement  qu'il  sera  aisé  de  trouver  les 
autres,  après  avoir  vu  celles  dont  vous  baillez  les  exemples:  mais  je 
demande  une  méthode  générale  qui  serv(\  ad  omncs  potcslales,  comme 
Vii'te  a  trouvé  celles  des  sections  angulaires  (*).  Vous  y  songerez,  s'il 
vous  plaît,  et  j'en  écrirai  cependant  l'invention  et  démonstration  (|ue 
vous  verrez  lors([u'il  vous  plaira. 

(!)  Lettre  XV. 

("-)  Celle  Lettre,  île  lioherval  ;i  Fcniial,  est  perdue. 
(»)  Foir  Lettre  XV.  3. 

('•)  tM'ancisci  VioUn  ail  an^iilares  secliones  llieoreiiinta  zaOoXr/.ojT:f.a  demonstrala  (ler 
.\le\aiuiruin  AiuJersDiiiiin.  —  l'iiges;  ■>87  à  îo',  de  l'édilion  dos  lil/evirs. 


XVÏII.  -  16  «ÉCKMIÎRE   IG3C.  93 

2.  Pour  co  qui  est  dos  nombres  et  de  leurs  parties  aliquot(>s  ('),  j'ai 
trouvé  nue  niétliode  générale  pour  soudre  toutes  les  questions  par 
algèltre,  do  quoi  j'ai  fait  dessein  d'écrire  un  petit  Traité,  .le  erois  ((ue 
vous  aurez  maintenant  vu  la  construction  des  deux  ([uc  j'ai  envoyés 
au  Père  Morsenne;  car  il  m'écrit  qu'il  vous  les  baillera.  Toutes  ces 
(]uestions  sont  Iri-s  difticilos,  comme  vous  savez,  el  n'ont  été  traitées 
par  personne. 

3.  ,1'ai  été  bien  aise  d'être  confirmé  par  votre  lettre  en  ro[»inion  (|uo 
j'avois  déjà  conçue  de  .M.  de  ■<  Sainte-Croix  >.  Il  est  pourtant  vrai 
(ju'il  doit  avoir  grande  expérience  dans  les  nombres,  car,  lui  ayant 
par  reutromiso  du  Père  Morsenne  proposé  une  question  que  personne 
do  ceux  à  qui  je  l'avois  proposée  n'avoit  encore  pu  soudro,  il  m'a 
envoyé  d'abord  les  nombres  qui  satisfont  à  la  question,  sans  pourtant 
expliquer  sa  construction.  La  question  est  (^)  : 

Jincnirc  tria  trlangula  rectangula  numéro,  quorum  arciv  consliluanl 
Iria  latcra  triait guli  rec/angu/i  numéro,  singuke  nempe  arca:  singulis 
lalerihus  sint  œqualcs. 

Je  vous  avouerai  ([ne  ce  problème  me  donne  beaucoup  plus  tic  [)eino 
(|u';i  M.  do  <^  Sainte-Croix  >.  Il  esl  vrai  que  les  nombres  (juo  j'ai 
trouvés  sont  dilférenls  des  siens  et  que  peut-être  ai-je  tenu  un  cbemin 
|tlns  diflicilo.  comme  vous  savez  que  ces  questions  ont  infinies  solu- 
tions. Peut-être  serez-vous  de  mon  avis,  si  vous  essavez  de  satisfaire  à 
la  proposition. 

4.  Vous  verrez  aussi  mes  spirales  (^),  desquelles  la  démonstration 
vous  sera  connue  tout  aussitôt  (car  elle  est  pareille  ii  celle  dos  nou- 
velles figures  (  '  )  que  j'ai  (juarrées  ou  auxquelles  j'ai  trouvé  des  cônes 


('  )  l'oir  Lellrc  XV,  4.  —  Les  deux  nombres  oiivoycs  au  Père  ML'rscuiie  sont  les  <iiniablc.\ 
f~>Sfi  Cl  l84l(j  (voir  IV,v  et  IVii). 
{-)  f'oir  OhscrviUion  XXIX  ?iir  Didiilianli-  fToine  I,  p.  Z-fA). 
(')  T'oir  I.oUre  XV,  6. 
(  ♦)  f'oir  LcUre  XIV.  4. 


94  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

égaux),  et  vous  m'avouerez  que  ces  propositions  n'illustrent  pas  peu 
la  Géométrie. 

Si  M.  de  Beaugrand  n'a  pas  eneoro  trouvé  la  démonstration  de  ces 
qiieslions,  vous  m'obligerez  de  lui  en  l'aire  part. 

5.  .le  lui  ai  écrit  rinvention  du  centre  de  gravité  de  toutes  ces 
nouvelles  tigures(')  par  une  méthode  particulière»,  qui  ne  suppose 
point  la  connoissance  de  la  quadrature,  ce  qui  vous  semblera  merveil- 
leuK  jusques  ii  ce  que  vous  l'aurez  vu.  Il  est  vrai  que  je  lui  ai  envoyé 
l'analvse  seulement  et  non  pas  la  composition  que  je  vous  éclaircirai 
une  aulre  l'ois,  parce  qu'elle  a  ses  dillicultés  et  ne  paroit  pas  d'abord 
pai'  celte  voie. 

.l'ai  trouvé  le  centre  de  gravité  de  la  parabole  sans  présupposer  la 
(|uadrature,  comme  a  fait  Archimèdc,  et  ainsi  on  en  peut  lircr  la  qua- 
(li'alurc  par  un  simple  corollaire. 

6.  Toutes  ces  propositions,  ensemble  celles  des  lieux  plans,  solides 
("1  ad  supcrfîciem,  (jue  j'ai  achevées,  et  celles  encore  des  j)arties  ali- 
((iioles  des  nombres,  dépendent  de  la  méthode  (^)  dont  M.  Despagnel 
ne  vous  a  |)u  l'aire  voir  qu'un  seul  cas,  parce  que,  depuis  que  je  n'ai 
eu  l'honneur  de  le  voir,  je  l'ai  Ijcaucoup  étendue  et  changée. 

7-  Les  tangentes  des  lignes  courbes  dépendent  aussi  de  là,  sur 
lequel  sujet  je  vous  proposerai  de  trouver  une  tangente  ii  un  point 
donné  en  la  seconde  conchoïde  de  Nicomi-de  (^). 


8.  An  reste,  je  suis  bien  aise  de  ce  que  vous  ayez  trouvé  la  démoii- 


(•)  Foir  I.eUro  XV,  5. 

(2)  T'oir  LoUro  XIII,  3. 

(')  Foir  LcUrc  XVll,  2.  —  La  seconde  conclioïdo  de  Nicomèdo  (Poppiv:,  éd.  llultseli. 

|i.  2(4,  '•  '9)  !)arait  correspondre  à  l'équalion  en  coordonnées  polaires  :  p  =  — —  —  /•',  en 

supposant  b<ia.  (La  Iroisièmo  et  la  quatriénic  répondraient  rcspeclivcment  aux  cas  : 
/>  —  ti;  h  >  n).  Mais  Fermai  entend  proljablemenl  ici  la  conclioïïie  du  cercle.  {Comparez 
Viélc,  Supplciiicntuin  Gcometriœ,  édition  des  El/.cvirs,  page  î.4o.) 


XVm.         IG  DÉCEMBRE   1636.  95 

slration,  comme  vous  dites,  de  ce  que,  supposé  qu'aux  paraboles  les 
scgmens  (')  de  l'axe  sont  entre  <nix  comme  les  parallélogrammes  aux 
mêmes  paraboles,  il  sera  vrai  aussi  qu'étant  tournées  sur  leurs  axes, 
les  centres  des  solides  seront  où  l'axe  est  divisé  en  raison  comme  les 
cylindres  aux  solides  (-  ). 

Car,  |»ar  la  voie  dont  j'ai  envoyé  un  exemple  à  M.  de  Beaugrand,  et 
que  je  mettrai  au  long  une  autre  fois,  j'ai  trouvé  la  démonstration  de 
l'antécédent  cl,  de  celle  du  conséquent,  que  vous  m'envoierez,  s'il 
vous  phiil,  j'en  tirerai  la  proportion  des  solides  paraboliques  à  leurs 
cônes,  qu'il  seroit  malaisé  de  trouver  autrement  ('').  Car  vous  trou- 
verez bien  la  proportion  de  ceux  qui  viennent^o*/  quadrala  aller natim, 
comme  quarréquarrés,  cubocubes  etc.,  de  quoi  vous  baillez  l'exemple 
au  premier;  mais  in  paraholis  cubicis,  ijuadratocubicis  cl  sic  altcniis  in 
inji/iilum,  melhodus  qiia  usi  sumus  non  dat  proportioncm  conoideôn  ad 
conos;  ex  nostra  aulein  methodo,  in  omnibus  omnino  conoidibus  imr- 
nunus  centrum  gravitalis  :  ergo,  ex  tua  propositiunc,  dabilur  proporlio 
eorum  ad  conos. 

Je  l'allends  donc  avec  impatience,  puisqu'elle  doit  servir  à  cet 
usage;  si  ce  n'est  que  vous  ayez  trouvé  la  proportion  des  conoïdes 
cubiques,  quadratocubiques,  etc.  à  leurs  cônes,  ce  que  votre  Lettre 
semble  marquer,  auquel  cas  je  vous  supplie  m'envoyer  lesdites  pro- 
portions. 

Ce  n'est  pas  que  je  doute  de  la  vérité  de  votre  proposition;  mais 
permettez-moi  de  vous  dire  que;  je  me  suis  délié  que  vous  en  eussiez 
trouvé  la  démonstration  et  que  j'ai  cru  seulement  que  vous  en  avez 
fait  l'expérience  aux  conoïdes  paraboliques  des  quarréquarrés,  cubo- 

(')  C'esl-à-dirc  que  le  cenu-e  de  gravité  de  l'aire  ni    y  dx  de  la  parabole  j'"  =  p.r 
divise  l'abscisse  x  dans  le  rapport  m-\-  \  ix  m. 
(, '-)  C'esl-à-dirc  que  le  centre  de  gravité  du  solide  tc  /    y'^Ux  engendré  par  la  parabole 

■)•"  =  px  divise  l'abscisse  x  dans  le  rap|iort  m  -i-  2  à  m. 

.       .  f- 

(')D  après  ce  passage,  Fermât  n  aurait  alors  possédé  la  quadrature  J  x-"' tU-  (pie  dans  le 

cas  où  m  est  pair. 


96  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

riihcs  de.  altcrnis.  IMais  hi  coniioissancc  quo  j'ai  clo  votre  savoir  fait 
(|U('  j'ospèro  (|iic  vous  me  détromperez. 

9.  Pour  ce  (jui  est  de  la  proportion  ('  )  du  solide  qui  se  fait  sur  un 
diamètre  de  la  parabole  parallèle  à  l'axe,  ma  construction  est  diiïcrenic 
<lr  la  votre  :  il  seroit  inutile  de  l'ajouter,  puisqu'elles  concluent  toul(^s 
i\v\\\. 

10.  Je  me  trouve  obligé  d'ajouter  un  mot  touchant  votre  proposi- 
lion  méchanique  (-),  parce  que  le  Père  Mersenne  m'écrit  qu'enfin  j'ai 
acquiescé  ;i  votre  opinion,  ce  que  pourtant  je  ne  saurois  faire  par  les 
raisons  que  vous  allez  voir,  et  vous  puis  assurer  que  jamais  je  ne  fus 
mieux  confirmé  en  la  proposition  de  mon  second  levier  (^)  que  je  le 
suis  maintenant,  car,  pour  celle  du  premier,  il  la  faut  établir  par 
de  nouveaux  principes,  puis()ue  vous  avez  nié  ceux  que  j'estimois  si 
(dairs. 

Si  votre  pi'incipe,  duquel  je  vous  ai  déjii  écrit  par  ma  dernière 
Lettre  ('').  est  vrai,  il  s'ensuit  manifestement  qu'un  même  corps  appro- 
chant du  centre  de  la  terre  changera  son  poids. 

///  secunda  figura  (tig.  49)  *''  vectis  CAB,  ciijits  incdiiim  A  curn  cc/ilro 
Icrrœ  N   pcr  reclain  AN,   ad  vcclcin   pcrpendiculai'cni .    iungaliir.    In 


piinctis  V.  et  ^pondéra  C.  et  B  cvqaalia  rnnsliliiaiititr  cl  sunilia .  (jiuv  ad 
rcnlriim  pcr  reclas  CN,  BN  anmiant. 

I  '  )  l*ro|)orlinn  au  cvliiiclrc  ou  ;ui  coiic  île  niôiiio  Inisp  cl  iiiêiuc  luiiiU'iir,  c'osl-;i-diri'  cii- 

(  -)  loir  Pu'-ce  \VI. 
(')  rmr  Pièce  V,  2  el  5. 
(■•  )  loir  LcUre  XVII,  1. 


Wlll.  -   10   DKCKMIîP.E   1(130.  i)" 

■SV  rcrLœ  NC,  NB  csscnt  ad  vccicrn  perpendicularcs,  polcntta  in  iV,  (Vifua- 
lis  duobiis pondcribitsW  et  (!,  ex  tuo principio  deliiicrel  l'cclcm.  Sed,  (puuii 
aagidos  m\k,  ^MS.  aciilos  efjîcinnt,  aat  eadem  aiil  tninor  aul  majorpo- 
lentia  requiretur  in  A  ad  airpàlibrinm. 

Si  eadem  polcn lia  facil  œr/udd/nti/n,  ventni  erit  prificipiiiin  qito  in  pne- 
cedenli  ad  te  epistola  usi  siunus  :  (piod  si  falearis,  slatim  vcctcm  iiostruru 
dcrnoiistrabimiis . 

Si  major  aul  nnnor  polcnlia  a'qudibiiiim  coiislitttil,  er^o.  in  primo 
casa,  qitô  niiniic/ilur  magis  angidi  rectarum  CN,  BN  rum  ix'clc,  rô  major 
reqiiireliir  ad  œquilibrium  potenlia  ;  in  secundo  casa,  minor.  Supra  pun<- 
Itini  A  idem  redis,  in  eadem  direclio/iis  liriea,  simililer  ponalur,  lU  in 
figura;  minuentur  {^)  anguli  lincarum  CN,  BN,  al  palet  :  tririabil  igiliir 
potenlia  a'quilibrii  in  A  couslilula,  ideoque  pondus  ex  gravibus  B  el  (", 
compositum,  pro  dii'ersa  a  terrœ  cenlro  dislanlia,  erit  eliam  diversitm. 

Primam  parlem  dilemmalis  quominus  fatcaris,  impedil  tua  proposilio  : 
(juippe,  hoc  dalo,  corruerel.  Falearis  igitur  ncccsseest,  aul  paient iam  i/i  A 
rariare  pro  diversilatc  angub)rum,  aul  eamdem  semper  esse  in  omni  an^u- 
lorum  acutorum  posilioiie,  sed  lamen  inœqualem  polenliœ  qua-  delincl 
potenlias  ad  vectem  perpendicularcs. 

Utrum  libcl  coacesseris.  manifestissimii  demonstratione  delegilur para- 
/ogis/niis.  quem  tu;r  dcmttnslralioni  irrcpsisse  nec  renias  quam  qaœnmiis 
palitiu-  dissimidare,  nec  lu  ipse  poleris  forlasse  difjiteri. 

11.  In  prima  jigura  (lig.  .k)),  quœ  est  quarta  luœ  proposilio/iis  {- ), 
/lis  verbis  ila  construis. 

«   Soit  1(!  cciilrc  de  la  Ijalaacc  A  etc.  (^voir  page  79,  ligac  1  o  à  page  <S(), 
ligne  '1  ). . . .  éijuililtrc  avec  la  puissance  K  sur  le  bras  A(].  » 
Hic  rertilur  cardo  tuw  demonstratioids. 
El  prim),  si  direns  m  omni  angulorum  aculorum  /Kisilione  eamdem 

(')  Ia'  loxlo  semble  corrompu,  iiiuis  ne  [icul  êlre  r6tai)li  sûrement,  la  fiijure  originale 
faisant  délaut.  Si  la  droite  CU  est  Iracco  au-dessus  du  point  A  (mpra),  les  angles  C  cl  U 
augmentent  (iiiii^cbunliir)  au  lieu  de  diminuer.  Avec  nu/ineiitur,  il  faudrait  infro,  cpii  esl 
la  leçon  la  plus  probaljlo  au  lieu  de  supra,  à  moins  que  la  figure  ne  fût  retournée. 

(2)  Comparez  en  effet  la. Ai'.  '12,  qui  est  la  (pialriôme  do  la  Lettre  XIV. 

l''i;nM.vT.  ^  H.  l3 


98  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

sernper  potenliam  requiri  ad  œquUibrium,  slalirn  demonstraho  mearn  de 
vecte  propositionem;  falearis  igitur  necesse  est,  variare  potenliam  proiil 


an  guli  variant. 


Fig.  5o. 

A 


Uis  posilis,  esto,  siplacet,  in  cxposila  figura  centrum  tcrrœ^  inquod 
rectœ  CE,  BD  dirigantur,  et  sint  in  punctis  E  ef  D  pondéra  seii  gravia  in 

proportione  data,  qiiod  quidem  liherum  esse  tua  mnuit  constructio. 

Imo  hue  tantum  ahs  te  tendilur  ut,  pcr  potentias  imaginarias  ah  omni- 
bus omnino  parlibus  izixpot.Xki^tjiç  moventes,  inveniatur  proportio  ponde- 
rum  in  vecte  quiescente  :  aliter  quippe,  quum  hujusmodi  poicnliœ  nulhbi 
in  rerum  natura  reperiantur,  inutiles  prorsus  essent. 

In  punctis  II  et  G  construis  potentias  pondcribus  E  et  D  œqualcs,  quœ  ah 
nmnibus  ipsarum  partihus  -ûapaXXYjXw;  moveant.  Potenliam  deinde  H 
polentiœ  E  œqualiter  movere,  concludis  pcr  primuni  tuoruni  axiomatum. 
quia  nempc  trahct  H  potentia  per  punctum  C  et  rectam  HC  perpendicula- 
rem  vecti;  traliet  etiam  pondus  E  per  eamdem  rectam  vecti  pcrpendicula- 
rrm  :  quum  igitur  œquales  potcntiœ per  eamdem  rectam  et  eumdem  angu- 
lum  moveant  et  circa  eamdem  a  vectis  cenlro  distantiam,  pondus  K  et 

*  imaginaria  H  potentia  œqualiter  trahunt. 

Id,  verisimile  quum  sit,  veritatem  intimam  quœrentibus  non  potest  non 
viderifalsissimum.  Pondus  in  M  sit  sphœricum,  verbi  gratia;  omnes  om- 
nino ipsius  partes  ad  centrum  N  tendant  per  rectas  in  eodeni  N  ccntro  con- 
currentes et  veclem  AC,  si  continuentur,  ad  angulos  acutos  sécantes  :  ergo 
potentia',  abs  C  ulrimque  œqualiter  remotœ,  intelligentur  veclem  ad  angu- 
los aculos  suis  motibus  sécantes.  Contra,  quum  partes  omnes  polentiœ  H 
-apaXAïiXwç  moveant,  intelligentur  polentiœ,  ahs  C  ulrimque  œqualiter 
remotœ,  ad  angulos  rectos  vectem  suis  motibus  sécantes. 


XVIll.  -   FEVIUEU  lG3(i.  99 

Quiun  igilur  partes  omnes  potentiœ  H  simid  sumptœ  œquenlur  partibus 
omnibus  polentiœ  seii  ponderis  E  sirnul  sumptis  {iota  cnim  potcntia  \\  loti 
ponderi  E  œquatur),  palet,  exjam  traditis, potentiariim  H,  E  /«  punctis  H 
et  E  inœqualem  esse  motiim;  quod  igitur  de  potenlia  H  eoncludit  demon- 
st ratio,  perperarn  ad  pondus  K  porrigtt. 

12.  S'il  me  rcstoit  du  temps  ou  du  papier,  j'ajoutcrois,  suivant  vodT 
ilt'sir,  la  démonstration  des  concs  isopérimètres  (').  (]e  sera  une  autre 
lois,  me  réservant  encore  de  vous  écrire  quelques  chose  de  plus  re- 
cherché sur  les  Méchaniques,  à  la  charge  que  vous  m'obligerez  de 
croire  que  je  n'aurois  garde  de  m'opiniàtrer  après  une  proposition,  si 
je  ne  la  croyois  véritable,  et  que  je  la  quitterai  un  moment  après  que 
de  nouvelles  raisons  l'emporteront  sur  les  miennes. 

Je  suis.  etc. 

(')  r,nr  Letlrcs  XIV,  11  cl  XV,  8. 


100 


ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


ANNEE    1G37, 


xi\. 

FERMAT  A  ROBHUVAL. 
<  FÉvnii-u  10:37  > 

(  f'a,  p.    iSi-iJi.  ) 


MONSIF.UI! , 


i-  Je  (rotivc  assez  do  loisir  pour  vous  envoyer  encore  la  conslruc- 
lion  (lu  lieu  plan  :  Si  a  cjunlcumquc  de.  ('),  que  je  liens  une  des  plus 
belles  propositions  de  la  Géométrie,  et  je  crois  que  vous  serez  de  mou 
avis. 

Sinl  data  quollihct  paiicla,  qidiujuc  rcrbi  qraUa,  A,  G,  l'\  11,  li  (tij<.  >  i  ) 

Fis.  ■')'• 
N 


(  iiam  pro|W)sitio  est  generalis),  quœrilur  circultis  ad  cujus  circuDifcrcii- 
liani  in  quolibet  piinclo  iiijleclcndo  rectas  a  datis  piinciis.  qiiadiala  om- 
nium sint  œqualia  spatio  dato. 

(  ')  T'o/r  Tome  I,  p.  3;,  la  proposition  V  du  Livre  II  des  Lieux  pUaii  il'JpoUo/iiics.  — 
C.p.  Lettre  XIII,  7.  —  La  présente  semble  n'être  qu'un  frai,'mcnl  d'une  Lettre  perdue. 


XI\.  -  FKVIUEU   1637.  101 

.Ilinganlur  puncta  qiucvis  A  cL  K  pcr  rectam  Af'^,  in  qiiani  ali  aliis 
[junotis  datis  cadant  perpcndiculares  GB,  HD,  FC.  Omnium  rcclaruin, 
punctis  datis  vcl  occursu  pcrpendicnlarium  etpuncto  A  forminatarum, 
sumatur  pars  conditionaria,  quintans,  verhi  gralia,  in  liac  specic  ; 
quintans  ergo  rcctarum  AB,  AC,  AD,  AE  simul  suniptarum  csto  AO,  cl 
a  piincto  0  exciletui"  porpendicularis  inlinita  ON,  a  qua  l'cst'cc^lui'  01 
pars  conditionaria  (quintans  nompe  pro  numéro  punctorum  datoruin  ) 
perpendicularinin  GB,  FC,  HD,  cl  intclligantur  jungi  rcctio  Al,  t;i.  FI, 
111,  Kl.  Ouadrata  islarum  quinquc  crunt  minora  spalio  dato  :  dcnian- 
tur  igitur  a  spalio  dato  et  supersit,  vcrhi  gratia,  Z  planum,  cujns  ([uiii- 
tans  (parsnempc  conditionaria)  sumalur  clin  quadratumM  rcdigatui-. 
('irculiis,  ccntro  I,  intervallo  M  dcscripUis  satisfacicl  proposilo  :  hoc 
t^st,  quodcumque  punclum  sumpseris  in  ipsius  circumfcrentia,  rccta- 
rum a  datis  punctis  ad  illud  punclum  duclarum  (jnadrala  cruni  aM[na- 
lia  spalio  dalo. 

Addcrcm  domonstrationcm,  scd  longa  sano  esl,  cl  maliiu  vcslruni 
amhorum  sollicilare  senium  ad  cam  invcniendam. 

2.  Non  soluni  aulcm  lias  propositioncs,  sed  omncs  omnino  de  loris 
p/a/iis  absolvi,  imo  locos  quaniplurimos  adinveni,  de  quibus  niliil 
scripscrat  A|)ollonius,  qui  lamen  sunt  pnicherrimi,  vcrbi  gratia  (')  : 

/Jalis  Irihits  jninrtis  in  rccla  A,  B,  G  (tig.  J2),  iiiveniiT  circiili  ci/ciim- 


ferc/itiam,  in  qua  siimcndo  fjuodlibct  punclitm.  ut  "S,  quadrata  A.\,  NB 
supcrcnl  qaadraUun  NC  spalio  dalo. 

(')   Voir  Tome  I,  p.  Il,  la  seconde  addition  de  Format  à  la  proposition  1  du  Livre  11  de» 
Lieux  plans:. 


lOi  (EUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

Do  lacis  solidis  et  ad  supcrficiem  multa  quoque  jam  sunt  détecta. 

(lasus  loci  plani  superioris,  non  adilo,  nam  patobunt  statini.  —  Si 
piincla  data  sinl  lantwn  tria  et  constituant  triangulum,  centruni  circidi 
localis  erit  centruni  gravitatis  illius  trianguli.  et  haec  propositio  singu- 
laris  satis  est  mira. 

3.  Scd  hic  non  moror.  Propositioncm  universalissimam  ita  consti- 
(iio  et  jam  construxi  (')  : 

Si  a  datis  quotlibel  punctis  injlectantur  rectœ,  et  exponantur  omnium 
species  in  data  proportione  crescentes  aut  déficientes,  erunt  species  ita 
aucicf  aut  deminutœ  dato  spatio  œquales. 

Kxemplum  :  Sint  data  tria  puncta  in  superiori  tigura  A,  B,  C,  et 
([na-rendus  circulus  in  cujus  circumferentia  sumendo  quodiibet  punc- 
tum.  ut  N,  quadrati  NA  dimidium,  vcrbi  gratia,  quadrati  RN  duplum 
et  quadrati  CN  triplum  simul  juncta  conficiunt  spatium  datum,  et  de- 
monstratio  ad  quamlibet  proportionem  et  quotlibet  puncta  porrigcnda. 

Hanc  propositioncm,  pulcherrimam  sanc,  vidctur  non  vidisse  Apol- 
lonius. 


XX. 

KOBERVAL  A  FERMAT. 

SAMEDI    h    AVRIL    1637. 
(fa,  p.  i52-:j3.) 

MoNSiEun, 

1.  Quoique  j'eusse  reçu  dès  lundi  dernier  votre  démonstration  du 
lieu  plan  (-),  néanmoins  mes  occupations,  tant  publiques  que  parti- 
Ci)  Généralisation  do  la  proposition  V  du  Livre  II  dos  Lieux  plans. 
(-)  J'nir  Lettre  XIX,  1.  —  Roberval,  dans  une  Lettre  perdue,  avait  demandé  la  démon- 
stration de  l'énoncé  donné  par  Fermât. 


XX.  —  4  AVRIL  1637.  103 

culièrcs,  no  me  permirent  point  de  la  considérer  jusques  îi  jeudi  i\\ir 
je  la  présentai  de  votre  part  à  l'assemblée  de  nos  mathématiciens,  (jiii 
étoit,  ce  jour-là,  chez  M.  de  Montholon,  conseiller,  où  elle  fut  reçue, 
considérée,  admirée  avec  étonnement  des  esprits,  et  votre  nom  élevé 
jusques  au  ciel,  avec  charge  particulière  à  moi  de  vous  remercier  au 
nom  de  la  Compagnie  et  vous  prier  de  m'envoyer  tout  d'une  main  la 
composition  du  lieu  solide  (')  avec  une  brève  démonstration,  alin  de 
faire  imprimer  les  deux  ou  sous  votre  nom  ou  sans  nom,  comme  vous 
le  voudrez;  en  quoi  nous  aurons  le  soin  d'étendre  plus  au  long  ce  qui 
semblera  trop  concis  pour  le  public. 

Cependant,  il  y  eut  débat  à  qui  auroit  votre  écrit  pour  en  tirer  copie, 
chacun  m'enviant  le  bonheur  de  la  communication  que  j'ai  avec  vous; 
mais  M.  le  président  Pascal,  h  qui  le  premier  je  l'avois  mis  entre  les 
mains  et  qui  l'avoit  lu  à  la  Compagnie,  donna  arrêt  en  sa  faveur,  se 
fondant  sur  la  maxime  :  qui  tenet,  tencal,  et  pour  faire  droit  aux  parties 
intéressées,  se  chargea  lui-même  de  leur  en  fournir  copie,  ordonnant 
que  puis  après  l'original  me  scroit  remis  entre  les  mains. 

Je  leur  avois  dès  auparavant  communiqué  la  construction  et  un 
nommé  M.  Le  Pailleur  avoit  trouvé  la  démonstration  particulière  pour 
trois  et  pour  quatre  points,  si  différente  de  la  vôtre  que  c'est  une  chose 
étrange.  Il  y  avoit  apparence  qu'avec  le  temps  il  eût  trouvé  une  démon- 
stration générale;  mais  il  confesse  que  cette  recherche  le  tuoit  et  qu'il 
vous  a  une  particulière  obligation  de  l'avoir  délivré  d'une  peine  presque 
insupportable. 

2.  Pour  moi,  je  ne  me  puis  promettre  aucun  loisir  que  trois  mois  ne 
soient  passés,  pour  être  délivré  de  mes  leçons  publiques  et,  quan<l 
j'aurois  ce  loisir,  je  ne  serois  pas  assuré  de  trouver  le  lieu  solide,  le- 
quel je  prévois  très  dillicilc.  C'est  pourquoi,  dès  maintenant,  je  vous 
ferai,  si  vous  voulez,  une  ample  déclaration  de  mon  impuissance,  afin 
(|ue,  sans  me  tenter  plus  longtemps,  et  qu'ayant  égard  aux  prières 
d'une  telle  Compagnie  que  celle  dont  je  vous  parle,  vous  nous  fassiez 

(  '  )  Le  lieu  solide  ad  très  et  quatuor  liiicaf.  f'oir  LcUre  XXI,  2. 


Kl'.  (EUVUES   DE  FERMAT.  -  GUlUlESPONDANCE. 

|iarl  (le  votre  invention,  qui  est  telle  que  le  grand  géonii'tre  (')  des 
sii'cles  passés  se  glorifioit  particulièrement  d'y  avoir  ajouté  la  [x-rlce- 
lioii,  en  ayant  reçu  l'invention  de  ceux  (|ui  l'avoient  précédé,  .luge/ 
combien  vous  avez  occasion  de  vous  glorifier  de  l'avoir  trouvée  en  i\\\ 
temps  auquel  elle  étoit  en  même  état  que  si  elle  n'avoit  jamais  été 
(•(umue. 

3.  Il  m'est  enfin  paru  quelque  Inmii're  pour  le  centre  de  gravité  des 
pai'aholes,  en  considérant  les  centres  des  parallélogrammes  circonscrits 
ciiiiime  s'ils  étoient  tous  posés  sur  une  même  hase,  différant  si'ulciucnl 
m  liauleur.  Mais,  comme  ces  lumières  me  viennent  au  malin  en  me 
levant  et  qu'il  faut  du  loisir  pour  les  éclaircir,  je  ne  me  puis  pas  pro- 
mettre tVvn  venir  à  bout  si  tôt.  Si  vous  me  délivrez  de  cette  peine,  je 
vous  en  aurai  l'obligation  entière. 

.le  suis  etc. 


X\l. 

FERMAT  A  IIOBERYAL(-). 

IXNDI   20   AVIIIL    !C37. 

(/n,  p.    i.J3-l.'i'|.) 
Mo.NSU".i:i!, 

1.  .le  ne  pus  pas  vous  écrire  [)ar  le  dernier  courrier,  à  cause  îles 
oi'cupations  auxquelles  je  me  trouvai  engagé;  je  prends  maintenant  la 
jdume  |)our  vous  témoigner  que  je  suis  beaucoup  obligé  à  ces  Messieurs 
a  (|ui  vous  avez  l'ail  voir  ma  proposition,  auxquels  vous  assurerez,  s'il 
vous  plait,  (jue  j'estime  beaucoup  plus  leur  approbation  (|ue  mon  ou- 
vrage, [.eur  savoir  est  si  connu  que  je  ne  puis  m'empéclier  d'être  glo- 

(  '  )  AiiuUonius,  préface  du  IJvre  I  dos  Coniques  (pa.sc  8  de  l'édilinn  llalicy). 
(  -)  Koponse  à  la  LcUre  ])rccédcnte. 


XXI.         20  AVRH,  1637.  105 

riciix  (l'avoir  écrit  et  invoiilé  quelque  eliosc  qui  leur  plaise.  Je  ne 
prétends  pas  par  là  vous  exclure  du  nombre;  au  contraire,  les  marques 
de  votre  savoir  m'étant  plus  particulièremeut  connues,  je  juge  par  là 
quels  doivent  être  ceux  qui  confèrent  avec  vous. 

2.  Au  reste,  je  vous  eusse  envoyé  les  lieux  solides  ad  très  et  quatuor 
lineas,  n'étoit  que  j'ai  cru  que  M.  de  Beaugrand  ne  fera  pas  difficulté 
de  hailler  à  M.  de  Carcavi  le  lieu  ad  très  lineas,  que  je  lui  envoyai,  il  v 
a  longtemps,  avec  la  démonstration  (').  Dès  que  vous  aurez  celui-là,  je 
vous  envolerai  l'autre.  Si  j'avois  retenu  copie  de  celui  ad  1res  lineas, 
je  n'eusse  pas  fait  difllculté  de  vous  l'envoyer;  mais,  ne  l'ayant  plus, 
j'ai  voulu  ménager  la  peine  qu'il  m'eût  fallu  prendre  à  le  refaire,  à  la- 
<}uclle  je  me  porterai  pourtant,  si  M.  de  Beaugrand  ne  le  baille  pas. 

3.  Vous  verrez  entre  les  mains  d(!  M.  de  Carcavi  les  deux  Livres  De 
locis planis  (-),  que  j'avois  promis  depuis  longtemps  à  M.  de  Beaugrand 
et  que  j'ai  à  dessein  envoyé  un  courrier  plus  tôt  que  je  ne  lui  avois  fait 
espérer,  afin  que  vous  puissiez  cependant  les  voir.  Vous  m'obligerez 
de  m'en  écrire  avec  franchise  votre  sentiment;  je  ne  doute  pas  que  la 
chose  n'eût  pu  se  polir  davantage,  mais  je  suis  le  plus  paresseux  de 
tous  les  hommes. 

Je  serai  bien  aise  que  vous  m'écriviez  aussi  quelles  de  ces  proposi- 
tions vous  étoient  connues  et  quelles  non,  et  en  cas  que  vous  en  ayez 
vu  quelqu'une,  principalement  du  deuxième  Livre,  si  elles  étoient  pa- 
reilles à  celles  que  vous  verrez.  Car  il  y  a  huit  ans  que  le  deuxième 
Livre  est  écrit  et  en  ce  temps  j'en  baillai  deux  copies,  l'une  à  M.  Des- 

pagnet,  conseiller  au  parlement  de  Bordeaux,  et  l'autre  à  M.  de si 

bien  que  peut-être  quelqu'une  de  ces  propositions  aura  été  divulguée. 
Peut-être  vous-même  ou  quelqu'autre  de  ceux  de  votre  Compagnie  en 
ont  fait  une  partie. 

Eclaircisscz-moi  de  tout  au  vrai  et  vous  m'obligerez  beaucoup  et  sur- 

(')  C'e.st  la  Pièce  publiée  Tome  I.  pages  87-89.  I,a  démnnslralion  du  lieu  nd  quiiiuor 
lliien.t  est  perdue. 

(')  l^oir  Tome  I,  pages  3  ù  ji. 

Klumat.  —  II.  M 


106  ŒUVRES   DE  FERM/VT.  -  CORRESPONDANCE. 

lout  que  votre  jugement  suive  toutes  ces  propositions,  s'il  vous  plait: 
je  l'attends  pour  réponse  à  celle-ci. 

4.  Au  reste,  quoi  qu'on  juge  digne  d'impression  de  moi,  je  no  veux 
pas  que  mon  nom  y  paroisse. 

Je  me  réserve  à  vous  entretenir  plus  amplement  une  autre  fois;  ce- 
pendant vous  saurez  qu'outre  les  lieux  plans  et  solides  qui  sont  dans 
Pappus,  j'en  ai  trouvé  grande  quantité  de  très  beaux  et  dignes  do  re- 
marque, que  je  n'ai  pourtant  osé  mêler  avec  ceux  d'Apollonius.  J'en  ai 
plus  de  cent  propositions  tri's  belles  et  particuliiîrement  des  lieux  so- 
lides et  ad superficiem,  mais  le  loisir  me  manque. 

Je  n'ai  pas  voulu  faire  le  grammairien  en  expliquant  au  menu  le 
texte  de  Pappus;  il  suflil  que  j'aie  pris  son  sens,  comme  je  crois  que 
vous  m'avouerez. 

J'attends  votre  réponscet  suis  etc. 


XXII. 
FERMAT  A  MERSENNE. 

<  SEPTEMBRE    1637   > 

(D,  111,37.) 

Mon  Révérend  Pèrf., 

1.   Vous  me  demandez  mon  jugement  sur  le  Traité  de  I)ioplri((iie  de 
M.  Descartes  (  '  );  il  est  vrai  que  le  peu  de  temps  que  M.  de  Reaugrainl 

('  )  Lo  prcmiui'  Volume  publié  par  Dcspiirles  :  —  Discours  \  de  la  Metlindc  |  pntir  bien 
conduire  sa  rnison,  et  clicrclwr  \  la  -vcrilc  tliiiis  les  sciences.  \  Plus  \  Ut  DiojXriqiie  |  les 
Météores  |  et  \  Iti  Ceomctrie  \  qui  sont  des  essais  de  cette  Méthode.  —  .-/  Leyde  \  De 
l'Imprimerie  de  laii  Maire  \  CI'J.I'J.CXXXVIl.  Aaec  Priuile'^e.  —  no  parvint  en  France 
ol  ne  fui  dlslribuc  (jiar  Merscnne)  (pio  vers  la  fin  de  1637.  Mais,  avanl  l'achèvement  de 
l'impression  et  à  l'appui  do  la  demande  du  privilège,  qui  fut  accorde  le  !\  mai.  Descaries 
avait  envoyé  un  exemplaire  au  Minime,  qui  le  communiqua  jiar  (larlies  à  diiïérentes  per- 
sonnes. (;'csl  ainsi  (]u'il  prit  l'avis  de  Fermât  sur  la  Dioptriijuc,  qui  parait  cependant  avoir 


XXII.  -   SEPTEMBRE  1637.  107 

m'a  donné  pour  le  parcourir  semble  me  dispenser  de  l'obligation  de 
vous  satisfaire  exactement  et  par  le  menu,  outre  que,  la  matière  étant 
de  soi  très  subtile  et  très  épineuse,  je  n'ose  pas  espérer  que  des  pen- 
sées informes  et  non  encore  bien  digérées  poissent  vous  donner  une 
grande  satisfaction.  Mais  d'ailleurs,  quand  je  considère  que  la  recherche 
de  la  vérité  est  toujours  louable,  et  que  nous  trouvons  souvent  à  tâtons 
et  parmi  les  ténèbres  ce  que  nous  cherchons,  j'ai  cru  que  vous  ne  trou- 
veriez pas  mauvais  que  je  tâchasse  à  vous  débrouiller  une  mienne 
imagination  sur  ce  sujet,  laquelle,  étant  encore  obscure  et  embarras- 
sée, j'éclaircirai  peut-être  davantage  une  autre  fois,  si  mes  fondemens 
sont  approuvés,  ou  si  je  ne  change  pas  moi-même  d'avis. 

2.  La  connoissance  des  réfractions  a  toujours  été  recherchée,  mais 
inutilement.  Alhascn  et  Vitellion  (  '  )  y  ont  travaillé  sans  avancer  beau- 
coup; et  ceux  qui  sont  venus  depuis  ont  très  bien  remanjué  que  tout 
se  réduisoit  à  établir  une  certaine  proportion,  parle  moyen  de  laquelle, 
une  réIVaction  étant  connue,  on  put  aisément  trouver  toutes  les  autres; 
de  sorte  que  tous  les  fondemens  de  la  Dioptrique  doivent  consister  en 
ce  point,  c'est-à-dire  en  la  convenance  et  au  rapport  qu'une  réfraction 
connue  a  à  toutes  les  autres. 

Cela  supposé,  il  a  été  nécessaire  que  ceux  qui  ont  voulu  établir  les 
jtrincipesdela  Dioptrique  aient  cherché  cette  convenance  et  ce  rapport. 

clé  envoyée  à  Toulouse  par  Bcuugrand  sans  son  aveu.  En  tout  cas.  Il  ressort  tic  la  fin  de  la 
présente  Lettre  que  les  autres  parties  ne  furent  pas  dès  lors  communiquées  à  Fermai,  et 
qu'il  ignorait  même  qu'elles  dussent  être  réunies  en  un  seul  Ouvrage. 

La  date  réelle  de  celle  Lettre  est  très  incertaine;  nous  l'avons  supposée  du  mois  de  sep- 
tembre, la  réplique  de  Descarlcs  (Lettre  XXIII  ci-après)  étant  ccrlainement  de  la  pre- 
mière quinzaine  d'octobre.  Mais  il  se  peut  très  bien  que  Mcrsenne  ait  gardé,  même  plu- 
sieurs mois,  la  Lettre  de  Fermai. 

Au  reste,  ce  dernier  n'avait  pas  été  prévenu  que  sa  critique  serait  communiquée  à  l'au- 
teur de  la  Dioptrique  et  il  se  plaignit  à  .Mcrsenne  quand  il  cul  connaissance  de  l'indiscrélion 
de  celui-ci  {Lettres  de  Descartes,  éd.  Clcrselier,  III,  ij,  p.  '.îijS). 

(')  0PT10.E  THESAvnvs.  —  Alliazeni  Arabis  libri  septcm,  nunc  priinùm  editi.  Ejusdem 
liber  de  crepusculis  et  nubium  ascensionibus.  Hem  Vitellionis  Thuringopoloni  libri  X.  — 
Oranes  instaurali,  figuris  illuslrali  et  aucti,  adjcclis  etiam  in  Alliazenum  commenlariis  a 
Federico  Hisnero.  —  Cum  prixilegio  Cœsareo  et  Kegis  GalliiE  ad  sexennium.  Basileae,  per 
lipiscopios,  M.D.LXXU. 


108  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORHESPONDANCE. 

Maurolic,  abbé  de  Mossinc,  en  son  Traité  posthume  De  lumine  et  iirn- 
hra  ('),  a  soutenu  que  les  angles  qu'on  appelle  d'incidence  sont  pro- 
portionaux  à  ceux  qu'on  nomme  de  réfraction.  Si  cette  proposition  étoit 
vraie,  elle  sulfiroit  pour  "nous  marquer  les  vraies  figures  que  doivent 
avoir  les  corps  diaphanes  qui  produisent  tant  de  merveilles;  mais, 
pour  ce  qu'elle  n'a  pas  été  bien  démontrée  par  Maurolic,  et  que  l'expé- 
rience môme  semble  la  convaincre  de  faux,  il  en  est  resté  assez  à 
M.  Descartes  pour  exercer  son  esprit,  et  pour  nous  découvrir  de  nou- 
velles lumières  dans  ces  corps,  qui,  pour  en  être  seuls  capables,  n'ont 
pas  laissé  de  produire  jusques  à  présent  de  grandes  obscurités. 

Son  Traité  de  la  Dioptrique  est  divisé  en  plusieurs  discours,  des- 
f(uels  les  principaux  sont,  ce  me  semble,  les  deux  premiers,  qui  par- 
lent de  la  lumière  et  de  la  réfraction,  pourcc  qu'ils  contiennent  les 
l'ondemens  de  la  Science,  dont  on  voit  ensuite  les  belles  conclusions  el 
conséquences  qu'il  en  tire. 

3.  Voici  à  peu  près  son  raisonnement  (-)  :  La  lumière  n'est  autre 
chose  ([ue  l'inclination  que  les  corps  lumineux  ont  à  se  mouvoir;  or, 
celte  inclination  au  mouvement  doit  probablement  suivre  les  mêmes 
lois  que  le  mouvement  même;  et  partant,  nous  pouvons  régler  les 
ellcis  (le  la  lumière  par  la  connoissancc  que  nous  pouvons  avoir  de 
ceux  du  mouvement. 

11  considère  ensuite  le  mouvement  d'une  balle  dans  la  réflexion  el 
dans  la  réfraction,  et  pour  ce  (|u'il  seroit  inutile  et  ennuyeux  de  copier 
ici  tout  son  discours,  je  me  contenterai  de  vous  marquer  simplemeni 
les  observations  que  j'y  ai  faites. 

4-  Je  doute  premièrement,  et  avec  raison,  ce  me  semble,  si  rin<di- 
iialion  au  mouvement  doit  suivre  les  lois  du  mouvement  même,  puis- 

(  '  )  Abbalis  Francisci  Maurolyci  Messanensis.  IMiolismi  do  luniinc,  eL  iimbra  ad  pcrspec- 
livam,  et  radiorum  incidentiam  facieiUes.  —  Diaphanoruiii  parles,  seu  Libri  très  :  in  quo- 
rum primo  de  perspicuis  eor[)oril)u.s,  iti  secundo  de  Iride,  iti  tertio  de  organi  visualis  struc- 
tura, et  eonspiciliorum  formis  agitur.  —  l'roblemata  ad  perspectivam,  et  Iridem  perliiicntia. 
■  —  Omnia  nuiic  priuuim  in  iuccm  édita.  —  Ncapoli,  ex  Typographia  Tarquinii  l.ongi. 
M.DC.XI.  Superiorum  permissu. 

(*)  Page  8  de  l'édition  originale  du  Traite  de  Descartes. 


XXII.   -   SEPTEMBRE   1637.  109 

(|iril  y  a  autant  do  difTércnco  de  l'un  à  l'autre  que  de  la  puissance  à 
l'acte;  outre  qu'eu  ce  sujet,  il  semble  qu'il  y  a  une  particulière  discou- 
veuance,  eu  ce  que  le  mouvement  d'une  balle  est  plus  ou  moins  vio- 
lent, il  mesure  qu'elle  est  poussée  par  des  forces  différentes,  lii  où  la 
lumière  pénètre  en  un  instant  les  corps  diaphanes  et  semble  n'avoir 
rien  de  successif.  Mais  la  Géométrie  ne  se  mêle  point  d'approfondir 
davantage  les  matières  de  la  Physi(|ue. 

5.  En  la  figure  {fig-  53)  par  laquelle  il  explique  la  raison  de  la  ré- 
flexion, page  i5  de  la  Dioptrique  ('),  il  dit  que  la  détermination  à  se 

FiK.  53. 


mouvoir  vers  quelque  côté  peut,  aussi  bien  que  le  mouvement  et  gé- 
néralement que  toute  autre  quantité,  être  divisée  en  toutes  les  partii's 
desquelles  on  peut  imaginer  qu'elle  est  composée,  et  qu'on  peut  aisé- 
ment imaginer  (|ue  celle  de  la  balle  (jui  se  meut  d'A  vers  B,  est  compo- 
sée de  deux  autres,  dont  l'une  la  fait  descendre  de  la  ligne  AF  vers  la 
ligne  CE  et  l'autre  en  même  temps  la  fait  aller  de  la  gauche  AC  vers  la 
droite  FE,  eu  sorte  que  ces  deux,  jointes  ensemble,  la  conduisent  jus- 
(|ucs  à  B,  suivant  la  ligne  droite  AB. 

Cela  posé,  il  eu  tire  la  conséquence  de  l'égalité  des  angles  d'inci- 
dence et  de  réfh^xioii,  ([ui  est  le  fondement  de  la  Catoptriqne. 

Pour  moi,  je  ne  saurois  admettre  son  raisonnement  pour  uiu'  preuve 
et  démonstration  légitime,  (^ar,  par  exemple,  en  la  figure  ci-jointe 
<^Jig-  54),  en  laquelle  AF  n'est  plus  parallèle  à  CB,  et  oii  l'angle  (\kV 

(')  Nous  reproduisons  lu  figure  donnée  par  Clersclier  dans  son  édition  des  l.ctircs  de 
Descartes,  tome  III,  page  171.  Dans  l'édilion  originale  de  la  Dioptrique,  les  lignes  B(i, 
GDK,  \)g  ne  sont  pas  tracées. 


110 


ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


est  obtus,  pourquoi  ne  pouvons-nous  pas  imaginer  que  la  détermina- 
tion de  la  balle  qui  se  meut  d'A  vers  B  est  composée  de  deux  autres, 
dont  l'une  la  fait  descendre  de  la  ligne  AF  vers  la  ligne  CE,  et  l'autre  la 
fait  avancer  vers  AF?  Car  il  est  vrai  de  dire  qu'à  mesure  que  la  balle 
descend  dans  la  ligne  AB,  elle  s'avance  vers  AF,  et  que  cet  avancement 

Kig.  54. 


doit  être  mesuré  par  les  perpendiculaires  tirées,  des  divers  points  qui 
peuvent  être  pris  entre  A  et  B,  sur  la  ligne  AF.  Et  ceci  pourtant  se  doit 
entendre  lorsque  AF  fait  un  angle  aigu  avec  AB;  autrement,  s'il  éloit 
droit  ou  obtus,  la  balle  n'avanceroit  pas  vers  AF,  comme  il  est  aisé  de 
coni|)rendre. 

(À'Ia  supposé,  par  le  même  raisonnement  de  l'auteur,  nous  conclu- 
rons que  le  corps  poli  CE  n'empêche  que  le  premier  mouvement,  ne  lui 
étant  opposé  qu'en  ce  sens-là;  de  sorte  que,  ne  donnant  point  d'em- 
pêchement au  second,  la  perpendiculaire  BH  étant  tirée,  et  HF  faite 
égale  à  HA,  il  s'ensuit  que  la  balle  doit  réfléchir  au  point  F,  et  ainsi 
l'angle  FBE  sera  plus  grand  que  ABC. 

Il  est  donc  évident  (jue,  de  toutes  les  divisions  de  la  détermination 
au  mouvement,  qui  sont  infinies,  l'auteur  n'a  pris  que  celle  qui  lui 
peut  servir  pour  sa  conclusion;  et  partant  il  a  accommodé  son  médium 
à  sa  conclusion,  et  nous  en  savons  aussi  peu  qu'auparavant.  Et  certes, 
il  semble  qu'une  division  imaginaire,  qu'on  peut  diversifier  en  une  in- 
finité de  façons,  ne  peut  jamais  être  la  cause  d'un  effet  réel. 

Nous  pouvons,  par  un  môme  raisonnement,  réfuter  la  preuve  de  ses 
fondemens  de  Dioptrique,  puisqu'ils  sont  établis  sur  un  pareil  dis- 
cours. 


XXII.  -   SEPTEMBRE    1637.  111 

6.  Voilà  mon  sentiment  sur  ces  nouvelles  propositions,  dont  les  con- 
séquences qu'il  en  tire,  lorsqu'il  traite  de  la  figure  que  doivent  avoir 
les  lunettes,  sont  si  belles,  que  je  souliaiterois  que  les  fondenieiis  sur 
lesquels  elles  sont  établies  fussent  mieux  prouvés  qu'ils  ne  sont  pas  ; 
mais  j'appréhende  que  la  vérité  leur  manque  aussi  bien  que  la  preuve. 

J'avois  fait  dessein  do  vous  discourir  ensuite  de  mes  pensées  sur  ci- 
sujet;  mais,  outre  que  je  ne  puis  encore  me  satisfaire  moi-même  exac- 
tement, j'attendrai  toutes  les  expériences  que  vous  ave/  faites  ou  que 
vous  ferez  ii  ma  prière,  sur  les  diverses  proportions  des  angles  d'incli- 
nation et  ceuK  de  réfraction.  Vous  m'obligerez  beaucoup  de  m'en  faire 
part  au  plus  tôt,  et  je  vous  promets,  en  revanche,  de  vous  dire  de  nou- 
velles choses  sur  cette  matière. 

Tout  ce  que  je  viens  de  vous  dire  n'einpèche  pas  que  je  n'estime 
beaucoup  l'esprit  et  l'invention  de  l'auteur;  mais  il  faut  de  commune 
main  chercher  la  vérité,  que  je  crois  nous  être  encore  cachée  sur  ce 
sujet. 

7.  Vous  m'avez  encore  envoyé  deux  Discours  ('),  l'un  contre  M.  de 
Beaugrand,  et  l'autre  de  M.  Desargues.  J'avois  vu  déjà  le  second,  qui 
est  agréable  et  fait  de  bon  esprit.  Pour  le  premier,  il  ne  peut  pas  être 
mauvais,  si  nous  en  retranchons  les  paroles  d'aigreur;  car  la  cause  de 
M.  de  lîeaugrand  est  tout-à-fait  déplorée,  .le  lui  écrivis  les  mêmes  rai- 
sons de  votre  imprimé  à  lui-même,  di-s  qu'il  m'eut  envoyé  son  Livre. 

(')  Le  Discours  do  Dosarguos  doit  t'Lre  son  premier  opuscule  sur  lu  perspeclivc  : 
E ceniplc  de  l'wic  dex  innnièrcs  universelles  du  S.  G.  D.  L.,  touchant  la  pratù/ur  de  la 
perspective  sans  cninhner  a'tcuii  tiers  poiiit,  de  dislanc}  ny  d'autre  nature  qui  soit  hors 
du  champ  de  l'oiivra;^e.  A  Paris,  eu  May  iGJG,  avec  Privilège  (Bilii.  Nat.  imprimés 
Viaa,  Inventaire  Vi5».7),  reproduit,  sons  un  titre  inexact,  pages  53-84  du  premier  Vo- 
lume des  OEuvrcs  de  Desargues  (éd.  Poudra,  Paris,  Leiber,  1864 ). 

Le  Discours  contre  Beaugrand  est  l'Ouvrage  :  Rsclaircisscment  d'une  partie  des  Parn- 
logis'iies  on  fautes  contre  les  loix  du  raisonnement  et  de  la  démonstration  que  Monsieur 
de  Beaugrand  a  commis  en  sa  prétendue  Démonstration  de  la  première  partie  de  la 
quatriesme  proposition  dç  son  Liure  intitule'  Geostatique.  Adresse'  au  mesine  Monsieur  de 
Beaugrand.  Par  Guy  de  la  Brosse,  Escuier  Conseiller  et  Médecin  ordinaire  du  Jioy,  et 
Intendant  du  lardin  Royal  des  Plantes  Medecinales  de  Paris.  —  A  Parii.  Chez  Jac- 
ques Dugast,  r:ie  .9.  Jean  de  Beauuais.  à  l'Olivier  de  Robert  Estienne  et  en  sa  hnntiqnr 
dans  la  court  du  Palais,  place  du  Change.  M. DC. XXXVII  (Bibl.  Kat.  imprimés  V  'j^,  In- 
ventaire V  i538). 


112  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

.raltends  la  faveur  (jue  vous  me  laites  espérer  de  voir  par  voire 
moyen  les  autres  Livres  de  M.  Descartes  et  le  Livre  de  Galilée  De 
mot  a  ('  ). 

Je  suis,  mon  Révérend  Père,  votre  très  humble  serviteur, 

Fermât. 


XXIH. 
DESCARTES  A  MERSENNE  POUR  FERMAT  (^). 

<    OCTOBRE    1687    > 

(D,  III,  39.) 

Mon  RiivÉnENi)  Pèue, 
1-    Vous  me  mandez  ([u'uu  de  vos  amis,  (|ui  a  vu  la  Dioplriqne,  y 

(')  Il  s'agit  de  l'Ouvrage  :  Dkcor.ri  e  dimostrazioni  malcnuiùche  inlorno  a  duc  nuovc 
scicitze  nttenenti  alla  Mecanica  e  i  inovinicntait  locali,  del  Slgiior  Galileo  Gcdilei,  fîlo- 
snfo  c  mateinatico  prbnnrio  dcl  serenissiino  Grand  Dura  di  Totcaiin.  — ■  Co/i  iina  Ap- 
pendice del  ccntro  di  grnvità  di  alciuii  snlidi.  —  qui  clait  alors  sous  ])resse  ù  Lcvde,  clioz 
l(îs  Elzcvii's,  et  qui  ne  parut  ([ue  l'annce  suivante,  en  i6j8. 

(-)  Réponse  à  la  Lettre  précédente.  La  date  indi(]uéo  dans  les  annotations  manu- 
snrilos  de  l'exemplaire  des  Lettres  de  Descaries  de  la  Bihliotlièqne  de  l'Institut,  qui  a  été 
utilisé  |)ar  Cousin  pour  son  édition,  est  celle  du  3  décembre  1637.  Mais  celte  réponse  de 
Di'seartcs  fut  adressée  par  lui  ù  Mersenne  en  mémo  temps  que  sa  Leitre  (CIcrselior,  III. 
18),  qui  cunmicncc  ainsi  : 

■I  Mon  Révérend  l'ère,  j'ai  été  l)ien  aise  de  voir  la  lettre  de  M.  de  Fermai  et  je  vous 
»  en  remercie;  mais  le  défaut  qu'il  trouve  en  ma  démonstration  n'est  qu'imaginaire  et 
11  montre  assez  qu'il  n'a  regardé  mon  Traité  que  de  travers.  Je  réponds  à  son  objection 
»  dans  un  papier  séparé,  afin  que  vous  lui  puissiez  envoyer,  si  bon  vous  semble,  et  si 
■>  vous  avez  envie  par  charité  de  le  délivrer  de  la  peine  qu'il  prend  do  rêver  encore  sur 
:•>  celte  matière ....   » 

Or,  dans  la  même  Lettre,  Descartos  dit  avoir  reçu  «  ces  jours  passés  »  quelques  ob- 
jections de  Froniondiis,  auxquelles  il  a  répondu  dès  le  lendemain.  Comme  la  lettre  de 
Lil)ert  Kroidmont  est  datée  du  i3  septembre  1C37  et  qu'elle  fut  transmise  à  Descartes  le 
i5  septcmlMC  par  Plcmpius  (Domela  Nieuwenlmis,  CommcnUilio  de  R.  Caric.sii  corn- 
nicrcin  cwn plnloxnpliis  hclgicis,  Louvain,  1828,  p.  gS),  il  faut  adopter  pour  les  réponses 
de  Descartes  à  Plcnijjius  et  à  Kromondus  (éd.  Clerselier,  II,  7  cl  8)  la  date  du  3  octobre 
donnée  par  l'édition  latine  d'Amsterdam  des  Lettres  de  Dcscarles,  et  non  pas  celle  du 
>7  no\cmbre  supposée  [lar  ranuotateur  anonyme  de  l'exemplaire  de  l'Institul. 

Dès  lors,  notre  Lettre  XXIII  doit  avoir  été  écrite  du  5  au  12  octobre  iGSt. 


XXIII.  -  OCTOBRE   1C37.  113 

trouve  quelque  chose  à  objccler,  et  premièrement  qu'il  doute  si  l'incli- 
nalion  au  moiivcmenl  doit  suivre  les  mêmes  lois  que  le  mouvement,  puis- 
quil  y  a  autant  de  différence  de  l'un  à  l'autre  que  de  la  puissance  à 
l'acte  ('). 

Mais  je  me  persuade  qu'il  a  formé  ce  doute  sur  ce  qu'il  s'est  imaginé 
que  j'en  doutois  moi-même,  et  qu'à  cause  que  j'ai  mis  ces  mots  en  la 
page  8,  ligne  24  :  «  car  il  est  bien  aise  à  croire  que  l'inclination  (^)  à  se 
mouvoir  doit  suivre  en  ceci  les  mêmes  lois  que  le  mouvement  »,  il  a  pensé 
(jue,  disant  qu'une  chose  est  aisée  à  croire,  je  vonlois  dire  qu'elle 
n'est  que  probable.  En  quoi  il  s'est  fort  éloigné  de  mon  sentiment;  car 
je  répute  presque  pour  faux  tout  ce  qui  n'est  que  vraisemblable, 
et  quand  je  dis  qu'une  chose  est  aisée  à  croire,  je  no  veux  pas  dire 
qu'elle  est  probable  seulement,  mais  qu'elle  est  si  claire  et  si  évidente, 
(\u\\  n'est  pas  besoin  que  je  m'arrête  à  la  démontrer;  comme  en  elTet 
on  ne  peut  douter  avec  raison  que  les  lois  que  suit  le  mouvement,  (|ui 
est  l'acte,  comme  il  dit  lui-même,  ne  s'observent  aussi  par  l'inclina- 
tion à  se  mouvoir,  qui  est  la  puissance  de  cet  acte.  Car,  bien  qu'il  ne 
soit  pas  toujours  vrai  que  ce  qui  a  été  en  la  puissance  soit  en  l'acte,  il 
(;st  néanmoins  du  tout  impossible  qu'il  y  ait  quelque  chose  en  l'acte 
qui  n'ait  pas  été  en  la  puissance. 

2.  Pour  ce  qu'il  dit  ensuite  {'■'),  qu'il  semble  y  avoir  ici  une  particu- 
lière disconvenance,  en  ce  que  le  mouvement  d'une  balle  est  plus  ou  moins 
riaient,  à  mesure  quelle  est  poussée  par  des  forces  différentes,  là  où  lu 
lumière  pénètre  en  un  instant  les  corps  diaphanes,  et  semble  n'avoir  rien 
de  successif ,  je  ne  comprends  point  son  raisonnement. 

Car  il  ne  peut  mettre  cette  disconvenance  en  ce  que  le  mouvement 
d'une  balle  peut  être  plus  ou  moins  violent,  vu  que  l'action  que  j(> 
prends  pour  la  lumière  peut  aussi  être  plus  ou  moins  forte;  ni  non 
plus  en  ce  que  l'un  est  successif  et  l'autre  non,  car  je  pense  avoir  assez 

(')  Folr  Lettre  XXII,  4. 

(')  Le  texte  de  \,\  Dioptrique  |)orte  :  l'aclion  ou  inclination. 

(5)  Fnir  Lettre  XXII,  4. 

Fermât.  —  II.  l5 


114  ŒUVRES  I)l<:  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

l'ait  (Mitoiulro,  parla  comparaison  tlu  l)àtoii  d'un  aveugle,  et  par  celle 
(lu  vin  qui  descend  dans  une  cuve,  que,  bien  que  l'inclination  à  se 
mouvoir  se  communique  d'un  lieu  à  l'autre  en  un  instant,  elle  ne 
laisse  pas  de  suivre  le  même  chemin  par  où  le  mouvement  successif 
se  doit  l'aire,  (jui  (>st  tout  ce  dont  il  est  ici  question. 

3-  Il  ajoute  après  cela  un  discours  qui  me  semble  n'être  rien  moins 
(ju'une  démonstration  (').  Je  ne  veux  pas  répéter  ici  ses  mots,  pour 
ce  que  je  ne  doute  point  que  vous  n'en  ayez  gardé  l'original;  mais  je 
dirai  seulement  que,  de  ce  que  j'ai  écrit  que  la  détermination  à  se 
mouvoir  peut  être  divisée  (j'entends  divisée  réellement,  et  non  point 
par  imagination)  en  toutes  les  parties  dont  on  peut  imaginer  qu'elle 
est  composée,  il  n'a  eu  aucune  raison  de  conclure  que  la  division  de 
cette  détermination,  qui  est  faite  parla  superlicie  CBE(y/^.  54),  qui  est 
i\n('  superficie  réelle,  à  savoir  celle  du  corps  poli  CBE,  ne  soit  (|u'ima- 
ginaire.  Et  il  a  fait  un  paralogisme  très  manifeste  en  ce  que,  supposant 
la  ligne  AV  n'être  pas  parallèle  à  la  superficie  CBE,  il  a  voulu  qu'on  put. 
nonobstant  cela,  imaginer  que  cette  ligne  désignoit  le  coté  auqu(d  cette 
superticie  n'est  point  du  tout  opposée,  sans  considérer  que,  comme  il 
n"v  a  ({uc  les  seules  perpendiculaires,  non  sur  cette  AF  tirée  de  travers 
par  son  imagination,  mais  sur  CBE,  qui  marquent  on  quel  sens  cette 
superficie  CBE  est  opposée  au  mouvement  de  la  balle,  aussi  n'y  a-t-il 
que  les  parallides  à  cette  même  CBE  qui  marquent  U'  sens  auquel  elle 
ne  lui  est  point  du  tout  opposée. 

4.  Mais,  afin  qu'on  voie  mieux  la  différence  qui  est  entre  nos  deux 
raisonnemens,  je  les  veux  appliquer  à  une  autre  matière.  J'argumente 
en  cette  sorte  : 

Premicrcmcnt,  le  triangle  ABC  (Jïg.  55)  peut  être  divisé  en  toutes 
les  parties  dont  on  peut  imaginer  qu'il  est  composé.  Secondement .  or 
on  peut  aisément  imaginer  qu'il  a  été  composé  des  quatre  triangles 
égaux  ADE,  FED,  EFB,  D(>F.  Troisièmement,  et  ensuite  il  est  aisé  ;i 

(')  /'()//•  LcUio  XXII,  5. 


XXIII.  -  OCÏOFmE  1G37. 


113 


cntondro  (|iio  los  trois  lignes  DE,  EF,  FD  marquent  les  endroits  où  ces 
(juatre  triangles  doivent  se  joindre  pour  le  composer.  Donc,  si  on  (ire 
ces  trois  lignes,  il  sera  réellement  et  véritablement  divisé  par  elles  en 
quatre  triangles  égaux. 

Voici  maintenant  la  façon  dont  il  argumente,  on  dn  moins  dont  il 
veut  que  j'aie  argumenté  : 

Le  triangle  ABC  peut  être  divisé  en  toutes  les  parties  dont  on  peut 
imaginer  (ju'il  est  composé.  Or  on  peut  imaginer  qu'il  est  composé  des 


quatre  triangles  inégaux  AHG,  IGH,  HCI,  IBG.  Donc,  si  on  lire  les  trois 
lignes  DE,  EF  et  FD,  elles  diviseront  ce  triangle  en  quatre  autres  qui 
seront  inégaux. 

Je  m'assure  que  quiconque  voudra  entendre  raison  ne  dira  point 
(|ue  ces  deux  argumcns  soient  semblables. 

5.  Mais,  de  quelque  qualité  que  soient  les  objections  qu'on  voudra 
l'aire  contre  mes  écrits,  vous  m'obligerez,  s'il  vous  plait,  de  me  les 
envoyer  toutes,  et  je  ne  manquerai  pas  d'y  répondre,  au  moins  si  elles 
ou  leurs  auteurs  en  valent  tant  soit  peu  la  peine,  et  s'ils  trouvent  bon 
que  je  les  fasse  imprimer  lorsque  j'en  aurai  ramassé  pour  remplir  un 
juste  volume.  Car  je  n'aurois  jamais  fait  si  j'entreprenois  de  satisfaire 
en  particulier  à  un  cbacun. 

Je  suis,  etc. 


116  (EUVRES   DE   FEKMAÏ.  —  CORRESPONDANCE. 

XXIV. 
FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

<    DÉCEMBRE   1687    > 
(n.  III,  /,o). 


Mon  Rkvkrem)  Pkuk, 

1.  J'ai  vu  dans  la  Letlrc  de  M.  Descartes,  que  vous  avez  pris  la  peine 
(le  ni'envoyer,  des  réponses  succinctes  qu'il  fait  aux  objections  que 
i'avois  formées  contre  sa  Dioptrique,  auxquelles  j'eusse  plus  tôt  ré- 
pondu si  mes  occupations  nécessaires  ne  m'eussent  empêché  de  le 
faire,  de  quoi  M.  de  Garcavi  sera  mon  garant.  Je  vous  proteste  d'abord 
(|ue  ce  n'est  point  par  envie  ni  par  émulation  que  je  continue  celte 
petite  dispute,  mais  seulement  pour  découvrir  la  vérité;  de  quoi  j'es- 
lime  que  M.  Descartes  ne  me  saura  pas  mauvais  gré,  d'autant  plus  que 
je  connois  son  mérite  très  émincnt,  et  (|ue  je  vous  en  fais  ici  une  dé- 
claration très  expresse.  J'ajouterai,  auparavant  que  d'entrer  en  niatiî're, 
{|ue  je  ne  désire  pas  (jue  mon  écrit  soit  exposé  à  un  plus  grand  jour 

(')  Le  Icxlc  de  celle  Lellrc  a  clé  révisé  sur  la  copie  faile  à  Vienne  par  Despeyrous 
d'après  les  originaux  de  Clersclier  (Bibl.  Nal.  MS.  français  nouv.  acq.  3?.8o,  fol.  29  à  34)- 
Elle  répond  à  la  Lcllre  XXIII  qui  précède. 

Sa  date  est  fixée  au  25  janvier  i638  par  l'annotalour  de  l'exemplaire  des  Lettres  de 
Descnrtes  de  la  Bibliothèque  de  l'Institut  (OEiivres  de  D.,  éd.  Cousin,  VI,  p.  38i),  et  de 
fait  Mcrsenne  ne  l'adressa  à  Descartes  que  le  12  février  i638.  Mais  il  la  lui  avait  annoncée 
dès  la  fin  de  décembre  lOSy,  en  même  temps  qu'il  lui  envoyait  des  écrits  mathématiques 
de  Fermai  (voir  ci-après  Lettre  XXV,  %'  note).  C'est,  eu  eiïet,  à  la  présente  Pièce  XXIV 
que  se  rapporte  le  passage  suivant  d'une  Lettre  de  Descartes  à  Mersenne  (éd.  Clersclier. 
III,  p.  429)  à  dater  de  janvier  i(')38  : 

«  .le  n'ai  pas  tant  de  désir  de  voir  la  démonsiration  de  M.  do  Fermai  contre  ce  que  j'ai 
écrit  de  la  réfraction,  que  je  vous  veuille  prier  de  me  l'envoyer  par  la  poste,  mais,  lors- 
qu'il se  présentera  commodité  de  me  l'adresser  par  mer,  avec  quelques  balles  de  mar- 
chandise, je  ne  serai  pas  marri  de  la  voir,  avec  la  Géoslaliquc  et  le  Livre  de  la  Lumière 
do  M.  de  la  Chambre  cl  tout  ce  qui  sera  de  i)areille  éloffe;  non  que  je  ne  fusse  bien  ai.sc 
de  voir  promptement  ce  qu'écrivent  les  autres  pour  ou  contre  mes  opinions  ou  de  leur 
invention,  mais  les  ports  de  lettres  sont  excessifs.  » 


WIV.  -    DECEMBRE   1637.  117 

que  celui  que  peut  soulTrir  un  entretien  familier,  de  quoi  je  me  contie 
à  vous. 

2.  Je  tranche  en  quatre  mots  notre  dispute  sur  la  réflexion,  laquelle 
pourtant  je  pourrois  faire  durer  davantage,  et  prouver  (juc  l'auteur  a 
accommodé  son  médium  à  sa  conclusion,  delà  vérité  de  laquelle  il  étoil 
auparavant  certain;  car,  quand  je  lui  nierois  que  sa  division  des  déter- 
minations au  mouvement  n'est  pas  celle  qu'il  faut  prendre,  puis<|U(' 
nous  en  avons  d'infinies,  je  le  réduirois  à  la  preuve  d'une  proposition 
t|ui  lui  seroit  très  malaisée.  Mais,  puisque  nous  ne  doutons  pas  que  les 
réflexions  ne  se  fassent  à  angles  égaux,  il  est  superflu  de  dis])uler  de  la 
preuve,  puisque  nous  connoissons  la  vérité;  et  j'estime  que  je  ferai 
mieux,  sans  marchander,  de  venir  à  la  réfraction,  qui  sert  de  but  ii  la 
Dioptrique. 

3.  Je  reconnois,  avec  M.  Descartes,  que  la  force  ou  puissance  mou- 
vante est  difTérenle  de  la  détermination,  et,  par  conséquent,  que  la  dé- 
termination peut  changer  sans  que  la  force  change,  et  au  contraire. 

L'exemple  du  premier  cas  se  voit  en  la  figure  de  la  i5^  page  de  la 
Dioptrique,  où  la  halle  poussée  du  point  A  au  point  B  {Jig.  ^3)  se  dé- 

Fi".  .i3. 


lourne  au  point  F,  de  sorte  que  la  détermination  à  se  mouvoir  dans  la 
ligne  AB  change,  sans  que  la  force  qui  continue  son  mouvement  soil 
(liininuée  ou  changée. 

Nous  pouvons  nous  servir  de  la  ligure  de  la  page  17  pour  le  second 
cas  {fig.  jG).  (lar,  si  nous  imaginons  que  la  halle  soit  poussée  du 
point  H  jus(|ues  au  point  B,  puis  (ju'elle  tombe  perpendiculairement 


lis  ŒUVRES  DE   FEIIMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

sur  la  Idile  C15E,  il  est  (''vident  qu'elle  la  traversera  dans  la  ligne  BG, 
e(  ainsi  sa  force  mouvante  s'alToihlira,  et  son  mouvement  sera  retardé 
sans  que  la  délermination  change,  puisqu'elle  continue  son  mouve- 
ment dans  la  même  ligne  HBG. 

I-is.  5r,. 


4.  Je  reviens  maintenant  à  la  démonstration  de  la  réf'raclion  sur  la 
mémo  figure  de  la  page  17. 

«  Considérons  (')  »,  dit  l'auteur,  «  que  des  deiijc  parties,  dont  on  peut 
imaginer  que  cette  détermination  est  composée,  il  n'y  a  que  celle  qui  fai- 
soit  tendre  la  halle  de  haut  en  bas  qui  puisse  être  changée  en  quelque 
façon  par  la  rencontre  de  la  toile,  et  que,  pour  celle  qui  la  faisoit  tendre 
vers  la  main  droite,  elle  doit  toujours  demeurer  la  même  qu'elle  a  été,  à 
cause  que  cette  toile  ne  lui  est  aucunement  opposée  en  ce  sens-là.  » 

5.  Je  remarque  d'abord  que  l'auteur  no  s'est  pas  souvenu  do  la  dif- 
l'éroncc  qu'il  avoit  établie  entre  la  détermination  (>t  la  force  mouvante 
ou  la  vitesse  du  mouvement.  Car  il  est  bien  vrai  que  la  toile  (IME  alFoi- 
blit  le  mouvement  do  la  balle,  mais  elle  n'empêche  pas  qu'elle  no  con- 
tinue sa  détermination  do  haut  en  bas,  et,  quoique  ce  soit  plus  lente- 
ment qu'auparavant,  on  ne  peut  pas  dire  que,  parce  que  le  mouvement 
de  la  balle  est  affoibli,  la  détermination  qui  la  fait  aller  de  haut  en  bas 
soit  changée.  Au  contraire,  sa  détermination  ii  so  mouvoir  dans  la 
ligne  Bl  est  aussi  bien  composée,  au  sens  de  l'auteur,  do  celle  qui  la 
fait  aller  do  haut  en  bas  et  de  colle  qui  la  fait  aller  de  la  gaucho  ;i  la 

(')  Texte  fie  la  Dioplriquc  :  Jit  considérons  aussi  (juc etc. 


XXIV.  -  DECEMBRE   1037.  119 

(Iroilo,    comme    I;i    prcmii'ro    tlétcrminatioii    à    se    mouvoir   dans  la 
lii-'iic  A13. 

6.  Mais  donnons  que  la  détermination  vers  BG,  ou  de  liaut  en  has, 
pour  parler  comme  l'auteur,  soit  changée;  nous  en  pouvons  conclure 
(jue  la  détermination  vers  BE,  ou  de  gauche  à  droite,  est  aussi  chan- 
gée. (]ar,  si  la  détermination  vers  BG  est  changée,  c'est  pource  qn'ii 
comparaison  du  premier  mouvement,  la  halle  qui  maintenant  se  dé- 
tourne et  prend  le  chemin  de  Bl,  avanc(^  moins  à  proportion  vers  B(J 
que  vers  BE  qu'elle  ne  faisoit  auparavant;  or,  par  ce  que  nous  suppo- 
sons qu'elle  avance  à  proportion  moins  vers  BG  que  vers  BE  qu'elle 
ne  iaisoit  auparavant,  nous  pouvons  aussi  dire  qu'elle  avance  à  pro- 
portion ilavantage  vers  BE  que  vers  BG  qu'elle  faisoit  auparavant;  si 
le  premier  nous  fait  comprendre  ([uc  la  détermination  vers  BG  est 
changée,  le  second  nous  peut  bien  faire  concevoir  (jue  la  détermina- 
tion vers  BE  est  aussi  changée,  puisque  le  changement  est  aussi  hieii 
causé  par  l'augmentation  (jue  par  la  diminution. 

7.  Mais  donnons  encore  que  la  détermination  de  haut  en  bas  soit 
changée,  et  non  pas  celle  de  gauche  à  droite,  et  examinons  la  conclu- 
sion de  l'auteur,  duquel  voici  les  mots  : 

«  Puisque  la  halle  ne  perd  rien  (  '  )  du  tout  de  la  détermination  quelle 
avoU  à 's'avancer  vers  le  côté  droit,  en  deux  fois  autant  de  temps  qu'elle 
en  a  mis  à  passer  depuis  la  ligne  ACjusques  à  HB,  elle  doit  faire  deux 
fois  autant  de  chemin  i^ers  ce  même  côté.  » 

8.  Voyez  comme  il  retombe  dans  sa  première  faute,  ne  distinguant 
pas  la  détermination  di'  la  force  du  mouvement;  et  pour  mieux  vous  le 
faire  entendre,  applitjuons  son  raisonnement  à  un  autre  cas. 

Supposons,  en  la  même  figure,  que  la  halle  soit  poussée  du  point  H 
au  point  B.  Il  est  certain  qu'elle  continuera  son  mouvement  dans  la 
ligne  BG  et  que  sa  détermination  ne  change  point;  mais  aussi  son 
mouvement  est  plus  lent  dans  la  ligne  BG  qu'il  n'éfoit  auparavant,  et 

('  )  Tcxlo  de  la  Dioptriqiic,  page  17  :  Et  puisqu'elle  ne  perd  rien  etc. 


120  ŒUVRES  DE  FERMAT.—  CORRESPONDANCE. 

néanmoins,  si  le  raisonnement  de  l'anteiir  étoit  vrai,  nous  pourrions 
(lire  : 

Puisque  la  halle  ne  perd  rien  du  tout  de  la  détermination  qu'elle 
avoit  à  s'avancer  vers  HBG  (car  c'est  toute  la  même),  donc,  en  aulan( 
(le  temps  qu'auparavant,  elle  fera  autant  de  chemin. 

Vous  voyez  que  cette  conclusion  est  ahsurde,  et  que,  pour  rendre 
l'argument  hon,  il  faudroit  que  la  halle  ne  perdit  rien  de  sa  détermi- 
nation ni  de  sa  force,  et  partant,  voilà  un  paralogisme  très  manifeste. 

9.  Mais,  pour  délruire  pleinement  la  proposition,  il  faut  examiner 
deux  sortes  de  mouvements  composés  qui  se  font  sur  deux  ligues 
droites. 

(Considérons,  par  exemple  {/ig.  Sj),  les  deux  lignes  DA  et  AO,  (|ui 
comprennent  l'angle  DAO  de  quelque  grandeur  que  vous  voudrez,  et 

l'i-.  57. 


imaginons  un  grave  au  point  A,  qui  descende  dans  la  ligne  ACD  en 
même  temps  que  la  ligne  s'avance  vers  AN,  à  telle  condition  qu'elle 
fasse  toujours  un  même  angle  avec  AO,  et  que  le  point  A  de  la  même 
ligne  ACD  soit  toujours  dans  la  ligne  AN.  Si  les  deux  mouvements,  de 
la  ligne  ACD  vers  AO  et  du  même  grave  dans  la  ligne  .\CD,  sont  uni- 
formes comme  nous  les  pouvons  supposer,  il  est  certain  qu(!  ce  mou- 
vement composé  conduira  toujours  le  grave  dans  une  ligne  droite, 
comme  AB,  dans  laquelle  si  vous  prenez  un  point,  comme  B,  duquel 
vous  tiriez  les  lignes  BN  et  BC  parallèles  aux  lignes  DA  et  AO,  lorsque 
le  grave  sera  au  point  B,  en  un  temps  égal,  s'il  n'y  eût  eu  que  le  mou- 
vement sur  ACD,  il  eût  été  au  point  C,  et  s'il  n'y  eût  eu  que  l'autre 
mouvement  tout  seul,  il  eût  été  au  point  N;  et  la  proportion  de  la  force 
qui  le  conduit  sur  AD  à  la  force  qui  le  conduit  vers  AO  sera  comme 
AC  à  AN,  c'est-à-dire  comme  BN  à  BC. 


XXIV.-  DÉCKMHRE   1C37.  121 

("/est  (If  ccltp  sorlo  ilc  iiKtiiVftiHMils  composas  ([uo  so  sorvoiU  Arclii- 
tiii'dc  cl  les  aiilrcs  anciens  en  la  composition  de  leurs  hélices,  des- 
(|uelles  la  principale  propriélé  est  (|ue  les  deux  forces  mouvantes  ne 
s'empêchent  point  mutuellement,  ains  demeurent  toujours  les  mêmes. 
.Mais,  pource  que  ce  mouvement  composé  ne  vient  pas  si  bien  dans 
l'usage,  il  le  faut  considérer  d'une  autre  fa«;on  et  en  faire  une  spécula- 
lion  parliculièrc. 

10.  Supposons  en  la  même  figure  un  grave  au  point  A,  le(|uel  en 
même  temps  est  poussé  par  deux  ftjrces,  dont  l'une  le  pousse  vers  .\() 
et  l'autre  vers  AD,  si  bien  que  la  ligne  de  direction  du  premier  mouve- 
ment est  .AO,  et  celle  du  second  est  AD.  S'il  n'y  avait  que  la  premii're 
force  toute  seule,  le  grave  se  trouveroit  toujours  sur  A().  et  sur  .\D  s'il 
n'y  avoit  que  la  seconde;  mais,  puisqiu' ces  deux  forces  s'empêchent 
et  se  résistent  mutuidlement,  supposons  (et  il  faut  se  souvenir  (|U(' 
nous  supposons  aussi  tous  ces  mouvements  uniformes,  car  aulreiuenl 
le  mouvement  composé  ne  se  feroit  pas  sur  des  lignes  droites)  que 
dans  une  minute  d'heure,  par  exemple,  la  seconde  force  fai(  ((ue  le 
grave  s'éloigne  de  sa  direction  AO  selon  la  longueur  NB,  qu'il  faut  dé- 
crire parallèle  à  AD;  car  le  grave  qui  est  emporté  sur  AD  parla  seconde 
force,  se  trouvant  empêché  par  la  première,  se  portera  toujours  et  s'a- 
vancera d'Avers  D  par  des  parallèles  à  AD.  Supposons  aussi  que,  dans 
la  même  minute  d'heure,  la  première  force  fait  que  le  grave  s'éloigne 
de  sa  direction  AD  selon  la  longueur  (Ai  parallèle,  par  la  précédenle 
raison,  ;i  la  ligne  AO.  il  est  (oui  certain  (jue  dans  une  miiiule  d'heure 
le  grave  se  trouvera  au  point  U,  qui  est  le  concours  des  deux  lignes  HN 
et  !}(].  r^e  mouvement  comj)osé  se  fera  donc  sur  la  ligne  AB,  et  nous 
|)ourrons  dire  que  le  grave  {tarconrra  la  ligne  AB  dans  une  minute. 

11-  Supposons  niainlenanl  (  //f^.  "iiS)  que  l'angle  DAO  soit  changé  et 
soit,  par  exemple,  plus  grand.  En  la  ligure  suivante,  les  mêmes  choses 
étant  posées  comme  auparavant,  je  dis  que,  dans  une  minute  d'heure, 
le  grave  s'éloignera  de  sa  direction  AO  selon  la  ligne  BN  égale  à  celle 
(|ue  nous  avons  ajqtelée  de  niéme  en  la  précédente  figure.  Car,  puisque 

Fkhsiat.  —  H.  l6 


122  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  C(^RRESPONDANCE. 

les  forces  sont  les  mêmes,  I;i  seconde  diminuera  également  la  détermi- 
nation de  la  première,  et  fera,  en  temps  égal,  éloigner  le  grave  de  sa 
direction  autant  comme  auparavant,  pource  que  c'est  toujours  la  même 
résistance.  Nous  conclurons  la  même  chose  de  la  ligne  lîC. 

FiK.  58. 


Le  mouvement  composé  se  fera  donc  ici  surla  ligne  AH,  et  la  ligne  AU 
sera  parcourue  comme  devant  en  une  minute  d'heure;  mais,  pource 
(juc,  dans  les  deux  triangles  ANB  de  la  premii-re  et  seconde  figure,  les 
cotés  AN  et  NB  de  la  première  ligure  sont  égaux  à  ceux  de  la  seconde, 
et  (]ne  les  angles  ANB  qu'ils  comprennent  sont  inégaux,  il  s'ensuit 
(|ue  les  bases  AB  seront  inégales  (et  par  conséquent  le  mouvemeni 
composé  sera  moins  vite  en  la  seconde  qu'en  la  première),  et  <|u'il  y 
aura  telle  proportion  de  la  vitesse  du  mouvement  composé  en  la  pre- 
mii're  figure  à  la  vitesse  du  mouvement  composé  en  la  seconde,  que  de 
la  longueur  de  la  ligne  AB  en  la  première  ii  la  longueur  de  la  ligne  AB 
en  la  seconde. 

12.  Je  prends  maintenant  un  point  ii  discrétion  dans  la  ligne  AB, 
comme  F,  duquel  je  tire  les  lignes  FE,  FG  parallèles  à  AO  et  à  AD. 

FE  est  à  CR  comme  FA  à  AR,     c'osl-à-dire  VCi  à  RN, 

comme  la  construction  nous  marque  :  donc 

FE  esl  à  FG  comme  CI5  à  RN. 


WIV.  —  DÉCEMBUE  1037.  12;! 

Or,  (Ml  la  précédente  figure,  les  lignes  BN  et  BC  sont  égales,  clia- 
l'iine  à  la  sienne,  aux  lignes  BN  et  BC  de  cette  seconde  figure,  et  nous 
j)OUvons,  par  un  même  raisonnement,  prendre  un  point  ii  discrétion 
dans  la  ligne  AB  de  la  premit/re  ligure,  pour  en  tirer  une  pareille 
i-onclusion  îi  la  précédente.  Donc,  quelque  point  que  vous  preniez 
dans  la  ligne  AB,  soit  de  la  première,  soit  de  la  seconde  figure,  les 
parallèles  seront  entre  elles  comme  t^B  à  BN,  c'est-ii-dire  toujours  en 
même  proportion. 

Du  i)oint  F  tirons  les  [lerpcndiculaires  FH,  FI  sur  les  lign(>s  A() 
et  AD.  Au  parallélogramme  GAlîlF,  les  angles  AGF,  AEF  seront  égaux 
comme  étant  opposés  :  donc  les  triangles  GFH  et  EFI  sont  écjuiangles, 
et  par  conséquence, 

comme  EF  esl  à  VG,     ainsi  FI  esl  à  Fil. 
Or 

FI  esl  à  l'H  comme  le  siiuis  île  ruiii;lc  DAF  est  au  sinus  de  rany,lc  OAF, 

cl  [)ar  conséquent,  faisant,  si  vous  vduIcz,  une  même  construction  cii 
la  premii're  figure,  vous  conclurez,  pour  éviter  prolixité,  que  le  sinus 
de  l'angle  DAB  esl  au  sinus  de  l'angle  OAB  en  la  premii're  figure, 
comme  le  sinus  de  l'au'de  DAF  au  sinus  de  l'ani^le  OAF  en  la  seconde 
figure  ('). 

13.  (>ela  ainsi  sup[)osé  et  démimtré,  considérons  la  figure  de  la 
page  2()  de  la  Dioptri(jue  (fig.  h)),  en  laquelle  l'auteur  suppose  que 
la  Italie,  avant  été  premièrement  [)oussée  d'A  vers  B,  est  poussée  de 
reeliet',  étant  au  pciint  B,  par  la  raiiuette  GBF],  (|ui  sans  doute,  au  sens 
de  l'auteur,  ])(Uisse  vers  BG  ;  de  sorte  que  de  ces  deux  niduveinents, 
dont  l'un  pousse  vers  BD  et  l'autre  vers  BG,  il  s'en  l'ait  un  troisième 
qui  conduit  la  balle  dans  la  ligne  Bl. 

14.  Imaginons  ensuite   une   seconde  figure  pareille  à  celle-lii,  en 

(')  Ou  voil  que  (lijsormais  Fcnnut  rcjoiuiail  |)lcuiemciil,  pour  la  composiliou  des  forces 
eoncouranles,  le  principe  du  pardllélograuimc  qu'il  avait  mis  eu  doute  dans  sa  discussion 
avec  Iloborval  sur  la  Gcostaliquc  (  voir  notamment  Pièce  XVI). 


1-2Ï 


ŒUVRES   DE  FERMAT. 


COl'.RESPONDANCE. 


I;i(|ii('ll('  la  foire  do  la  l)al!o  oL  celle  de  la  ra(|iiellc  soient  les  mêmes, 
et  (|iie  l'angle  D15G  soit  senlement  pins  grand  en  eetle  seconde  figur(>. 
Il  est  certain,  par  les  démonstrations  (|ne  nous  venons  de  faire,  qn'il  y 
aiiia  (elle  proporlion  dn  sinns  de  l'angle  Glil  au  sinus  de  l'angle  1151), 
en  la  Hgni'c  de  l'anhuir,  (|ne  du  sinus  de  l'angle  G15I  au  sinus  de 
l'angle  IRD,  en  cette  seconde  figure  que  nous  imaginons  èlre  décrile 

Fi-.  :„,. 


A 

/"  ,  7 

K, 

/ 

A- 

K 

C                    B 

\ 

y 

__.---^ 

' 

e(  (|ne  nous  omellons  pour  éviter  la  longueur,  là  où,  si  les  proposi- 
lions  <le  l'anleur  éloient  vraies,  il  y  auroi(  ((die  proportion  du  sinus  de 
l'angle  GBI)  au  sinns  île  l'angle  GBI,  en  la  ligure  de  l'auteur,  que  du 
sinns  de  l'angle  GBI)  au  sinus  de  l'angle  GBI,  en  code  seconde  figure 
(|ne  nous  avons  imaginée.  Or,  puisque  cette  proportion  est  différente 
de  l'antre,  il  s'ensuit  qu'(dle  ne  peut  pas  suhsister  ('). 

15.  D'ailleurs  la  principale  raison  de  la  démonstration  de  raulcur 
est  fondée  sur  ce  qu'il  croit  que  l(!  mouvement  composé  sur  Bl  est  tou- 
jours également  vite,  quoique  l'angle  GBI),  compris  sous  les  lignes  de 
direction  des  deux  for(;es  mouvantes,  vienne  à  changer  :  ce  qui  est 
faux,  comme  nous  avons  déjà  pleinement  démontré. 

16.  (À-  n'est  pas  que  je  veuille  assurer  qu'en  l'application  ([u'il  fai( 

C)  .\iiisi  Kerrnal  conclut  (pie,  si  l'on  doil,  avec  Dcscarlcs,  consiLlt-rcr  le  niouvemciil 
.siiivanl  le  rayon  r(;fract(i  comme  rcsiillaiil  du  moiiveniunl  suivanl  le  rayon  incident  cl 
d'une  action  suivant  la  normale,  la  |)roporlionalit(3  doil  exister  non  pas  entre  les  sinus  des 
ani^les  d'incidence  et  de  réfraction,  sin;  et  sinr,  mais  entre  sin(/  —  r)  et  sinr.  A  cet 
cllct,  il  su|)poso  iMi|)licilcmcnt  l'action  normale  iiid(;pendanlç  de  l'incidence.  L'iivpollii'se 
de  Doscartes  est  au  contraire  que  la  composante  parallèle  à  la  surface  d'incidence  ijarde 
la  môme  valeur  avant  et  après  la  rjfraction.  11  est  clair  (jn'a  priori  on  ne  peut  décider 
entre  ces  deux  suppositions. 


WIV.  —  DKCEMHHE    IG37.  lio 

(If  la  figure  (le  la  page  un  ii  la  réfrar-tiDii,  il  faillo  garder  ma  |ir(i|)iirlioii 
el  non  pas  la  sienne;  car  je  ne  suis  pas  assuré  si  ce  inouvenu'ut  ediu- 
pose  (luit  sei'vir  de  règle  à  la  réfrai^lion,  sur  la([in'Ile  je  vous  tlirai  une 
autre  lois  plus  au  long  mes  sputimenls. 

n.  J'ai  tendrai  la  réponse  (^  ')  ;i  cette  Lettre,  [)uis(|ue  vous  me  la  faites 
espérer,  et  serai  toujours,  mon  Uévérend  Pi-re,  voire  Iri-s  liumMe  ser- 
viteur. 

l/excusc  (|ue  vous  avez  vue  au  commencement  de  ma  lettre  me  ser- 
vira encore  sur  ce  que  je  ne  vous  ai  point  écril  de  ma  main. 

(')  Dcscartos,  n'iiy.iiil  Tcru  la  Ixllre  XXIV  i]ii';ui  laomeiU  où  il  avait  à  ilérciidre  coiiUc 
({(ihorval  sa  propre  crilic]iic  de  la  iiiclliodc  des  tangentes  do  Fermai  iroir  ci-après 
l.oUi-ft  XXV,  r"  noie),  ajoiila  le  iiK^nie  jaur  {t^.  février  if)38)  à  son  courrier  jioiir  .Mcr- 
scniie  une  I,ellre  S|)éeiale  sur  la  I)ioplri<|ue,  adressée  à  Mydori;e  (éd.  C.lerselicr,  111.  4'^)- 
.Mais  celle  réplique,  qu'on  Irouvcra  dans  le  Supplcinent  à  la  pré.senle  édition,  ne  fui  com- 
muniquée ù  Kcrnial  que  vers  le  mois  de  juin  iGjS,  alors  que  s'arran^eail  le  diUéreiid  soi' 
lu  niclliodc  des  tan^'cnles.  Descarlcs  ne  se  montraiil  pas  dispose  à  satisfaire  davantage 
Fermai  sur  la  queslion  de  la  réfraction,  la  discussion  en  fut  é|,'alemenl  susiiendue  |ionr 
n'être  reprise  c|uo  \in^t  ans  après,  cnlrc  Fermai  el  Clorselier.  La  présente  I.ellre  X\l\' 
lil  alors  l'objet  il'unc  rofulation  spéciale  {ci-aprcs  l'iècc  Xt^IV)  composée  par  Holiaull. 


1-20     «EUVUES  DE  FEKMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


ANNÉE  1638, 


XXV. 

DESCARTES  A  MERSENNE  ('  ). 

<    LUM)I    18    JANVIER    1CG8    > 

(D,  111,  5G.) 

Mon  Rkvkukm)  Pkue, 

i  Jo  scrois  Itioii  aise  de  no  rien  dire  de  FI^cmmI  ([ne  vous  m'avez 
eiivové  ("),  pouree  (|ne  j(^  n'en  saurois  dire  aueiine  cliose  (|ni  soil  ii 
l'avanlaiie  de  e(dni  qni  l'a  composé.  Mais  à  cause  que  je  rcconnois  (pie 
e'e>(  celui  nK'ine  (|ui  avoit  ci-devant  tàclR'  de  rtd'uler  ma  Dioptri([ue, 

(1)  LuUre  dosliii(ic  ;i  Formai  cl  (>nvoycc  à  iMcrseiiiK!  cii  iiiônio  temps  que  colle  (|iii  l,i 
piôcodc  (111,  5j)  dans  l'édition  CIcrsclier.  Au  lieu  de  l'adresser  à  Toulouse,  le  correspon- 
dant de  Descaries  la  montra  à  Robcrval  et  Étienno  Pascal  qui,  prenant  la  défense  de  la 
.Mclliodo  attaquée,  rédigèrent  une  Réplique  (perdue).  Elle  fut  envoyée,  le  8  février  iG3H, 
par  Mcrseunc  à  Dcseartes,  qui  répondit  vers  le  t.i  février  (éd.  Clerselicr,  III,  4i,  à  Mim'- 
.senne;  III,  .5-,  à  Mydorge)  on  faisant  appel  à  Mydorge  et  Hardy  comme  juges.  Le  2G  mais. 
-Mcrsenne  fit  part  ù  Ocscartcs  (([ui  répliqua  le  3  mai  par  la  Lettre  XXVll  ci-apros)  de 
nouvelles  objections  do  Roberval  et,  probablement  au  commencement  d'avril,  ce  dernier 
composa  une  seconde  Défense  de  la  Méthode  de  Fermât  (éd.  Clerselier,  III,  58).  Ainsi  fut 
(ingagé  ce  procèi  matlicmntique,  auquel  Fermât  resta  de  fait  étranger  pendant  toute  cette 
phase  {vuir  ci-après  Lettre  XXVI)  et  dont  les  pièces  seront  réunies  dans  le  Supplcmcut 
lie  la  présente  édition. 

Le  texte  de  cette  Lettre  XXV  a  été  revisé  d'après  une  copie  ancienne  dans  le  MS.  Bibl. 
N'ai.  fr.  n.  a.  'iifio,  f"»  53  à  56. 

(-)  L'envoi  fait  jiar  Mcrsenne  vers  la  fin  de  décembre  1G37  comprenait,  outre  l'ccrii 
dont  il  est  ici  question  {Melhodus  ad  disquirendain  iiiaxiiiKint  et  iniiiiinam.  —  De  l<iii- 
f;eiili/>iix  linearum  cun'arum.  Tome  I,  pages  (33  à  iSO),  Vlso'^oge  nd  locns  pianos  et 
xolidos  (Tome  I,  pages  91  et  suiv.),  qui,  formant  un  paquet  séparé,  ne  parvint  à  Descartes 
qu'un  peu  plus  tard.  Ces  pièces  avaient  été  remises  à  Mersenne  par  Carcavi. 


XXV.  -    18  JANVIER  1G38. 


127 


(i  que  vous  me  mandez  qu'il  a  envoyé  ceci  après  avoir  lu  ma  Géo- 
métrie; et  s'étonnant  de  ce  que  je  u'avois  point  trouvé  la  même  chose, 
c'est-ii-dirc,  comme  j'ai  sujet  de  l'interpréter,  à  dessein  d'entrer  en 
concurrence  et  de  montrer  qu'il  sait  en  cela  plus  que  moi;  puis  aussi 
à  cause  que  j'apprends  par  vos  lettres  qu'il  a  la  réputation  d'être  l'orl 
savant  en  Géométrie,  je  crois  être  obligé  de  lui  répondre. 

2.  Premièrement  donc,  je  trouve  manifestement  de  l'erreur  en  sa 
ri'gle,  et  encore  plus  en  l'exemple  qu'il  en  donne  pour  trouver  les 
contingentes  de  la  parabole  :  ce  que  je  trouve  en  cette  sorte. 

Soit  (fig-  Go)  BDN  la  parabole  donnée  dont  DC  est  le  diamètre,  e( 
(jue  dn  point  donné  H  il  t'aille  tirer  la  ligne  droite  BK  qui  rencontre 

Fis.  6o. 


DC  au  point  E  et  qui  soit  la  plus  grande  qu'on  puisse  tirer  du  même 
point  E  jusques  à  la  parabole  :  sic  enim  proponitur  quœrenda  maxima. 

Sa  règle  dit  :  statiialur  quilibel  quœstionis  terminus  esse  A  ;  je  prends 
donc  EC  pour  .1,  ainsi  qu'il  a  fait  :  el  invenialar  maxima  (à  savoir  BE) 
in  icrrninis  sub  A  gradu,  ut  libel,  involutis;  ce  qui  ne  se  peut  faire  mieux 
qu'en  cette  façon  :  Que  BC  soit  //,  le  ([uarré  de  BE  sera  Aq.+  lUj.,  à 
cause  de  l'angle  droit  BCE. 

Ponatur  rursum  idem  terminus  qui  prias  esse  A  -+-  E;  à  savoir  je  fais 
que  EC  est  .4  +  E  (ou  bien,  suivant  son  exemple,  A  —  E,  car  l'un 
revient  h  l'autre)  :  iterumque  im'cniatur  maxima  (à  savoir  BE)  in  ter- 
minis  sub  A  et  E  gradibus  ut  libet  cocfficientibus ;  ce  qui  ne  se  peut  mieux 
faire  qu'en  cette  sorte  :  Posons  que  CD  ait  été  ci-devant  I),  lorsque 

BC  étoit/?,  le  coté  droit  de  la  parabole  sera  ^'pi  à  cause  qu'il  est  ii  BC, 


128         aiuvuKS  1)1-:  feiîmat.  -  (.oiuU'Spondanci:. 

la  ligne  appliquée  par  ordre,  comme  BC  est.  à  VA)  le  segment  du  dia- 
ini'd-e  au(|uel  elle  est  appliquée,  ('/est  jtoiirqiioi,  maintenant  (|ue  Œ 

est  A  +  A",  DC  est  J)  +  /•;,  et  le  (piarre  de  B(,  est  —^ j^ — '- , 

([iii  étant  ajouté  au  quarré  de  Œ,  qui  est  Ar/.  -+-  A  in  /s  bis  +  Et/.,  il 
fait  le  ([uarré  de  BK. 

Ada'qiientiir  duo   houiogciica   ninxùnœ   œqitalia ;    e'esl-à-dire    que 
Af/.-hli'/.  soit  posé  égal  à 

/!>/.  -I h  - 1  q.  +    (  m  /:  lus  +  h  q.  : 

cl  dcrnplis  cnniinunihus,  il  reste 


Bn.m  hJ         ,  .     ,, ,  .  „ 

— '-— h   I  iM /;  lus -4- A'/,  cj;;! 


non. 


Applicen/iir  ad  II  etc.  ;  il  vient 


E/idaltir  K.  il  reste 


Bq.  .  . 

——  -+-  yl  l)is  c'j;nl  a  iii'ii. 


Ce  qui  ne  donne  point  la  valeur  de  la  ligne  A,  comme  assure  l'au- 
teur, et  par  conséquent  sa  ri'gle  est  fausse. 

3.  Mais  il  se  mécompte  encore  bien  [)lus  en  l'exemple  de  la  uiéme 
parabole,  dont  il  tâche  de  trouver  la  contingente.  Car,  outre  (|u'il  ne 
suit  nullement  sa  ri'gle,  comme  il  paroit  assez  de  ce  que  son  calcul 
ne  se  rapporte  point  à  celui  ((ue  je  viens  de  faire,  il  use  d'un  raison- 
nement qui  est  tel  que,  si  seulement,  au  lieu  do  parabole  viparaholcn, 
on  met  partout  en  son  discours  Jiyperbole  et  hypcrholen  ou  le  nom  de 
quelque  autre  ligne  courbe,  telle  que  ce  puisse  être,  sans  y  changer 
au  reste  un  seul  mot,  le  tout  suivra  en  même  façon  qu'il  fait  touchant 
la  parabole  jusques  à  ces  mots  :  ergo  ÇAl prohavimns  duplain  ipsiiis  (10, 
quod quidem  ita  se  hahct.  Nec  unqitam  fallit  methodus;  au  lieu  desquels 
on  peut  mettre  :  non  ideo  seqtiiuir  (Ai  dnplam  esse  ipsius  CD,  nec  unquam 


\\V.  -    18  JANN  IRll    l(i38.  1-2!) 

ila  se  liabel  alibi  qitain  in  parabole,  iihi  casii  ci.  non  ex  ri  prœmissarum 
rcrnm  ronchtdiliir  :  sernpeninc  failli  isia  mcthodtis. 

4.  Si  (•('(  aiilrur  s'est  ('loniu'  de  (■(>  (|iic  je  n'ai  |ioiiit  mis  de  t(dles 
rèi,des  en  ma  Géométrie,  j'ai  beaucoup  plus  de  raison  de  m'étonner  de 
ce  qu'il  a  voulu  t'ulrer  eu  liée  avec  de  si  mauvaises  armes.  .Mais  je  lai 
veux  bien  encore  doniu'i"  le  temps  de  remonter  à  cheval,  et  de  prendre 
toutes  les  meilleures  qu'il  eut  pu  choisir  pour  ce  combat,  qui  sont  (jue, 
si  on  chani^'c  (juel(|ues  mots  de  la  rciçle  (|u'il  propose  pour  Irouver 
nia.riuutnt  et  niinimain,  on  la  peut  rendre  viaie  et  est  assez  bonne. 

(le  (|ue  je  ne  pourrois  néanmoins  ici  tlire,  si  je  ne  l'avois  su  di's 
auparavant  (|ue  de  voir  son  l'écrit  :  car,  étant  tid  (ju'il  est,  il  m'eùl 
plutôt  enipéelié  de  la  Irouver  ([u'il  ne  m'y  eut  aidé.  Mais  encore  (|ue 
je  l'aurois  iijnoree  et  (|ue  lui  l'auroil  parfaitenn'iit  sue,  il  ne  nu'  semble 
[las  (]u"il  eùl  pour  cela  aucune  l'aison  de  la  conqiarer  avec  celle  ([ni  es( 
en  ma  (léometrie  loiu'hant  le  même  sujet. 


5.  {\iv  premii'renuMit  la  sienne  (  c'est-à-dire  celle  (|u'il  a  eu  envie  de 
Irouver)  est  telle  (|ue,  sans  industrie  cl  [)ar  hasard,  on  [leut  aisément 
tomber  dans  le  chemin  qu'il  faut  tenir  pour  la  rencontrer,  lequel  n'est 
autre  chose  qu'une  fausse  position  fondée  sur  la  façon  de  démontrer 
([ui  réduit  ;i  rimj)ossible  et  ([ui  est  la  moins  estimée  et  la  moins  inj^'é- 
nieusc  tic  toutes  celles  dont  on  se  sert  en  mathématique.  Au  lieu  que 
la  mienne  est  tirée  d'une  connoissancc  de  la  nature  des  équations,  qui 
n'a  jamais  été,  «(ue  je  sache,  assez  cxpli({uéc  ailleurs  (jue  clans  le  troi- 
sii'me  Livre  de  ma  Géométrie;  d(^  sorte  ([u'clle  n'eût  su  être  invcnlée 
par  uiH'  personne  qui  auroit  ignoré  le  fonds  de  l'algèbre,  et  (die  suit  la 
plus  noble  façon  de  démontrer  (|ui  [misse  être,  ii  savoir  celle  (|u'on 
nomme  a  pi  ion. 

6-  l'ois,  outre  cida,  sa  régie  [U'étcnduc  n'est  pas  univcrstdle  comme 
il  lui  semble,  et  elle  ne  se  [)eut  étendre  à  aucune  des  (ineslions  t|ui 
sont  un  [leu  dilticiles,  mais  seulement  aux  plus  aisées,  ainsi  qu'il 
pourra  éprouver  si,  a[»rés  l'avoir  mieux  digérée,  il  lâche  de  s'en  servir 
pour  Irouver  les  conlingcntes,  [tar  exemple,  de  la  ligne  courbe  Bl)\ 

Ikum  \t.  —  U.  1/ 


i:jo 


ŒUVRES  DE  FEUMAT.  —  CORHESPONDANCE. 


{fig-  (Ji)'  11"^  j*'  suppose  t'Irc  (elle  qu'en  (jiiel(|ue  lieu  de  sa  eireouré- 
roncc  qu'on  prenne  le  point  15,  ayant  lire  la  perpendiculaire  1J(",  les 
deux  eul)es  des  deux  lignes  B(]  et  (]!)  soient  ensemble  égaux  au  paral- 
lélépipède des  deux  niènies  lignes  BC,  CO  et  de  la  ligne  donnée  P. 

Fis.  'H. 


(A  savoir,  si  P  est  9  et  que  CD  soit  1,  BC  sera  f\,  pource  que  les 
cubes  de  2  et  de  '\,  (jui  sont  8  et  G'\,  font  72,  et  que  le  parallélépipède 
composé  de  9,  2  et  4  est  aussi  72.) 

Car  elle  ne  se  peut  appli(juer  ni  ii  cet  exemple,  ni  aux  autres  (]ui 
sont  plus  (liltieiles,  au  lieu  que  la  mienni!  s'étend  généralement  ii  (ous 
ceux  qui  peuvent  tomber  sous  l'examen  de  la  géoinétrie,  non  seule- 
ment en  ce  qui  regarde  les  contingentes  des  lignes  courbes,  mais  il 
est  aussi  fort  aisé  de  l'applicjucu"  à  trouver  maxirnas  et  ininimas  en 
toute  autre  sorte  de  problèmes;  de  façon  que,  s'il  l'avoit  assez  bien 
comprise,  il  n'auroit  jyas  dit,  après  l'avoir  lue,  que  j'ai  omis  celte 
matière  en  ma  Géométrie. 

7.  11  est  vrai  toutefois  que  je  n'y  ai  point  mis  ces  termes  de  niaximis 
et  minùnix,  dont  la  raison  est  qu'ils  ne  sont  connus  que  parce  qu'Apol- 
lonius en  a  fait  l'argument  de  son  cincjuième  Livre,  et  que  uion  des- 
sein n'a  point  été  de  m'arréter  à  expliquer  aucune  chose  de  ce  que 
((uelques  autrcis  ont  déjà  su,  ni  de  réparer  les  livres  perdus  d'Apollo- 
nius, comme  Vièle,  Saellius,  Maritius  Glietaldus  ('),  etc.,  mais  seu- 
biment  de  passer  au  delà  de  tous  cotés,  comme  j'ai  assez  fait  voir  en 
commençant  par  une  question  que  Pappus  témoigne  n'avoir  pu  être 
trouvée  [)ar  aucun  des  Anciens;  et  par  même  moyen,  en  composant  et 

(')  loir  Tome  I,  p.  3,  nolo  3. 


XXV.  -    18  JANVIER   1638.  131 

(Irtcrm'mant  (mis  les  lieux  solides,  ce  qu'Apollonius  chcrcli(»il  encore; 
puis  en  réduisnut  p;ir  ordre  toutes  les  lignes  courbes,  la  plupart  des- 
(]uclles  n'avoient  i)as  même  été  imaginées,  et  donnant  des  exemples 
de  la  (açon  dont  on  peut  trouver  toutes  leurs  propriétés;  puis  enfin, 
en  construisant  non  seulement  tous  les  problèmes  solides,  mais  aussi 
tous  ceux  qui  vont  au  sursolide  ou  au  quarré  de  cube;  et  par  méni(^ 
moven,  enseignant  à  les  construire  en  une  infinité  de  diverses  façons. 
D'où  l'on  peut  aussi  apprendre  à  déguiser  en  mille  sortes  la  règle 
(|iie  j'ai  donnée  pour  trouver  les  contingentes,  comme  si  c'étoient 
aulanl  de  règles  dilTérentes.  IMais  j'ose  dire  qu'on  n'en  peut  trouver 
aucune,  si  bonne  et  si  générale  que  la  mienne,  qui  soit  tirée  d'un 
autre  fondement. 

8.  Au  reste,  encore  que  j'aie  écrit  (')  que  ce  problème  pour  trouver 
les  contingentes  fût  le  plus  beau  et  le  plus  utile  que  je  susse,  il  faul 
reniar({uer  que  je  n'ai  pas  dit  pour  cela  (|u'il  fût  le  plus  difficile, 
comme  il  est  manifeste  que  ceux  (jue  j'ai  mis  ensuite  touchant  les 
ligures  des  verres  brùlans,  lesquels  le  présupposent,  le  sont  davan- 
tage. De  façon  (|ue  ceux  (jui  ont  envie  de  faire  paroitre  qu'ils  savent 
autant  de  géométrie  ((uc  j'en  ai  écrit,  ne  doivent  pas  se  contenter  de 
cbercher  ce  probli-me  par  d'autres  moyens  que  je  n'ai  fait,  mais  ils 
devroient  plutôt  s'exercer  à  composer  tous  les  lieux  sursolides,  ainsi 
(juc  j'ai  composé  les  solides,  et  à  expliquer  la  figure;  des  verres  brù- 
lans, lors(jue  l'une  de  leurs  superficies  est  une  partie  de  sphère  ou  de 
conoïde  donnée,  ainsi  que  j'ai  expliqué  la  façon  d'en  faire  (jui  aient 
l'une  de  leurs  superficies  autant  concave  ou  convexe  qu'on  veut,  et 
enfin  à  construire  tous  les  probli-mes  qui  montent  au  quarré  de  (juarrè 
de  ([narré  ou  au  cube  de  cube,  comme  j'ai  construit  tons  ceux  (jiii 
montent  au  ((uarré  de  cube. 

9.  I-lt  après  (ju'ils  auront  trouvé  tout  cela,  je  prétends  encore  qu'ils 
m'en  devront  savoir  gré,  au  moins  s'ils  se  sont  servis  à  cet  elfet  de  ma 

(')  Gcoinctric  lie  Dacitrtcf,  ccl.  lleniiaiiii.  Paiis;.  i8H(),  p.  35. 


13-2  ŒUVRES   DE   FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

GéoiiK'trio,  à  cause  (jircllo  contient  le  chemin  qu'il  faut  tenir  pour  y 
parvenir,  et  (jue.  si  même  ils  ne  s'en  sont  point  servis,  ils  ne  doivenl 
pas  pour  cela  prétendre  aucun  avantaj^e  par  dessus  moi,  d'aulanl  (|u'il 
n'v  a  aucune  de  ces  choses  que  je  ne  trouve  autant  (|u'elle  esl  trou- 
vaille, lorsque  je  voudrai  prendre  la  peine  d'en  l'aire  le  calenl.  Afais  je 
l'rois  pouvoir  employer  mon  tem|)s  ])lus  utilement  à  (l'aulres  choses. 
Je  suis  elc. 


XXV  bis  ('). 
FRRM.\T  A  MERSENNE. 

<    FfiVItlFU    1G38   > 

(A,  f"  .Tj-.iH,  I!.  I"  Ji"- ■!.>-.) 

Mon  lÎKVKr.KM)  Vi-wr., 

1.  J'ai  appris  par  votre  lettre  que  ma  répli([ue  (-)  à  î\[.  Descarte^ 
n'éloil  pas  goûtée,  que  même  il  avoit  trouvé  à  dire  à  mes  méthodes  de 
inaximix  cl  ini/iimis  cl  de  tangenttims  (■'),  en  ([uoi  pourtant  il  avoit 
trouvé  W^  de  Pascal  et  de  Roherval  de  contraire  sentiment.  De  ces 
deux  choses,  la  première  ne  m'a  point  surpris,  pourcc  (|ue  les  choses 
(le  physique  peuv(Mil  toujours  nous  fournir  de  doutes  et  enlrelenir  les 
disputes;  mais  je  suis  étonné  de  la  dernii-re,  puisque  c'est  une  vérité 
géométrique,  et  (|ue  je  soutiens  (JUiî  mes  méthodes  sont  aussi  certaines 
que  la  construction  de  la  i"^  proposition  des  Eléments.  Peut-être  (|ue 
les  ayant  proposées  nuement  et  sans  démonstration,  elles  n'ont  pas  été 

(')  IVéponse  incdilc  à  une  lettre  par  laquelle  Mcrscnnc,  sans  comiiuiniquer  ù  Fermai 
la  critique  de  Dcscarles  relative  à  la  Mclliiido  de  inariniix  cl  t)iin!inis,  c'est-à-dire  la 
l'iceo  XX.V,  liiiformait  ([uo  cette  critique  avait  donné  lieu  à  une  répliciuc  (perdue)  de 
Iloberval  et  de  Pascal,  envoyée  à  De-icartos  le  8  février  iG3S. 

(-)  Lettre  XXIV.  Mersennc  avait  parle  de  l'impression  produite  dans  son  cercle,  à  Paris, 
par  cette  Lettre,  non  pas  de  la  réplique  de  Dcscarles.  qu'il  n'avait  pas  encore  reçue. 

(^■j  Tome  I,  pages  i33  à  i3G. 


\\V  his.  —   FEVRIER   1G38.  1:5:5 

{'iilciidiics  ou  ([u'cUcs  oii(  paru  litip  aisées  ii  M.  Dcscark's.  qui  a  l'ail 
tant  (le  cliciiiin  et  a  piis  nue  V(»io  si  péiiiblo,  pour  ces  laiigoutos  dans  sa 
(M'onii'lric. 

2.  (Juoi  (|M"il  on  soit,  je  nv  nie  pi(jU('  pas  irôtro  cru  (juc  [tar  ceux  (|ui 
le  voudront,  et  vous  prolcslo  (juo  j'ainicrois  mieux  [U'ononcer  : 

.liimjiiin  clficari  do  nianiis  sciuiUiiP  ('),    . 

([ue  de  soulfi'ir  (|iie  lien  de  ce  (|ue  je  vous  ai  onvové  soit  imprimé  sous 
mon  nom,  ce  (|ue  je  vous  piie  d'empéelier  par  le  pouvoir  (|ue  vous 
avez  sur  tous  ees  Messieurs  qui  se  mêlent  de  cette  élude.  Je  ne  vous 
l'nvoierai  donc  [)Ius  rien  pour  M.  Deseartes,  puisqu'il  met  des  loix  si 
sévi'res  à  un  commerce  innoceni,  et  me  contente  de  vous  ilire  que 
je  n'ai  trouvé  encore  juM'soune  ici  (|ui  ne  soit  de  mon  avis,  (|ue  sa 
Diopfri(|ue  n'est  [las  prouvée.  Je  voudrois  seulement  savoir  si  dans 
Paris  on  croit  qu'il  ait  démontré  cKaclemenl  les  l'ondements  et  les 
[irincipes  de  la  réfraction,  et  particulii'rement  (|u'il  vous  plùl  me  l'aire 
pari  des  s(Milimenls  de  M.  3Iydorge  sur  ce  sujet,  et  de  ^l.  Desargues. 

3.  Voilà  [)our  ce  sujet,  l'our  les  manuscrits  de  Vii'te  (-),  il  n'y  a  (|ue 
fort  peu  de  chose  que  nous  n'eussions  pas  dans  les  imprimés  :  ce  sont 
seulement  des  exemples  plus  élendus  et  (|U(dques  pro[)ositions  de 
//ombres  ///idta//gt/laircs,  (|ui  se  trouvent  en  d'autres  livres,  de  sorte 
(|ue  l'impression  de  ses  (euvres  w'qw  proliteroit  gui'res.  Outre  que  je 
les  ai  reçus  de  M.  Despagnet,  à  la  charge  de  no  les  hailler  à  personne 
([ue  par  son  aveu. 

4.  Pnis(|ue  M.  de  Rohcrval  a  soutenu  ma  méthode,  je  lui  veux  faire 
encore  part  d'un  di-  ses  plus  beaux  usages  touchant  Vinvc/itio/i  descc/il/cs 
(le  gravilc,  puisque  M.  de  Reaugrand  no  les  lui  a  pas  haillés,  comme  je 
l'en  avois  prié.  Et  no  serai  pas  marri  (ju'on  propose  ii  M.  Descartes  l'in- 

(')  Vers  d'IIoraco,  Epodex,  XVII,  i. 

\^-)  On  voil  (juc  Mcrseniic  s'occupait  déjà  do  l'odiiiort  des  Œuvres  de  Vièlc,  imprimùc 
à  Lcyde  par  les  Elzevirs  eu  1G46  et  à  Ia(|ucllc  il  apporta  un  concours  efficace. 


i:3ï  ŒUVRES   DK  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

vcnlion  de  qiiolquos-uns  de  ces  centres  de  gravité.  Vous  iii'(d)ligere/,  de 
donner  eet  écrit  (')  à  M.  do  Roberval  et  de  m'envoyer  son  sentiment  iii- 
dessus,  et  s'il  croit  que  nons  soyons  obligés  d'envoyer  à  Levde,  pour 
avoir  la  solution  des  probli'nies  géométriques. 

Mon  Révérend  Pi're,  votre  (res  humble  et  1res  affectionné  serviteur, 

FriiMAT. 

5.  Je  (-)  serai  bien  aise  de  savoir  le  jugement  de  M"  de  Roberval  et 
de  Pascal  sur  mon  Isagoge  topique  et  sur  VAppencUx  (^),  s'ils  ont  vu 
l'un  et  l'autre. 

6.  Et,  pour  leur  faire  envie  de  quelque  chose  d'excellent,  il  l'aul 
étendre  les  lieux  d'un  point  à  plusieurs  in  injinitum  :  comme  par 
exemple,  au  lieu  qu'on  dit  d'ordinaire  : 

Trouver  une  parabole  en  laquelle,  prenant  tel  point  qu'on  voudra,  il 
produise  toujours  un  même  effet, 

je  veux  proposer  : 

Trouver  une  parabole  en  laquelle  prenant  tels  deux ,  trois ,  quatre . 
finq,  ete.  points  que  vous  votulrez,  ils  produisent  toujours  un  même  effet, 
et  ainsi  à  l'infini. 

(l'est  chose  que  j'ai  trouvée  et  plusieurs  au! res  par  l'aide  de  ces 
misérables  méthodes  qui  passent  pour  sophistiques.  Bien  [)lus,  je  |)uis 
encore  donner  la  résolution  de  celle  question  : 

Trouver  autant  de  lignes  courbes  qu'on  demandera,  en  chacune  des- 

(  '  )  11  s'agil  du  fragincnl  imprime  Tome  I,  pages  i3G  à  i3ç),  cl  pour  lequel  (page  i36, 
noie  3)  le  lo  avril  if)38  a  été  indiqué  à  tort  comuic  date  de  la  lettre  d'envoi. 

Pour  la  communication  antérieure  à  Bcaugrand,  i>oir  Lettre  XVIII,  5. 

{-)  Le  post-scriptum  qui  suit  se  retrouve  im|)rimé,  sauf  le  dernier  alinéa,  dans  les 
Lettres  de  Descartex  (éd.  Ciersolicr,  111,  page  383)  comme  Extrait  d'une  lettre  de  Fermât, 
inséré  dans  un  envoi  de  Mcrscnne  à  Descaries  (du  28  avril  ou  du  1"'  mai  i038).  11  s'y 
trouve  précédé,  dans  le  môme  Extrait,  du  premier  alinéa  de  l'ccril  Centnim  gravitaiù 
l>nraholici  conoidis  (Tome  I,  pages  130  à  i3()),  qui,  comme  on  l'a  vu  dans  la  note  précé- 
dente, fut  envoyé  par  Fermât  pour  Rol)erval,  dans  la  présente  lettre  à  Mcrscnne.  Il  est 
clair  que  lo  post-scriplum  était  également  destiné  à  Roberval. 

(')  Tome  1,  pages  91  à  110.  Ce  passage  prouve  que  \' Appciidix  est,  comme  Xlsoi^d^c, 
antérieur  à  la  pulilication  de  la  Géométrie  de  Doscarles. 


XWI.  —  -20  AVIUL   1G38.  135 

quelles  prenant  tel  nombre  de  points  qu'on  voudra,  tous  ces  points  ensemble 
produisent  un  même  effet. 

1-  J'()ul)liois  (le  vous  tlirc,  sur  le  siijt'l  de  hi  roulette  ('  )  de  M.  de  Wu- 
bcrval,  (|iie  je  crois  (|u'il  n'aura  pas  persisté  en  rdpniion  (|u'il  avoit. 
de  lui  avoir  donné  un  cercle  égal.  Je  vous  prie  de  le  savoir  d(.'  lui. 


XWI. 
FI<:U.MAT  A  iMERSENNK. 

MARDI  20  AVRIL  1G38  {-). 
(D.  III,  3fi.) 

.Mo.N  Rlvkuknd  Pi:i!I"., 

1.  Je  vous  suis  extrêmement  obligé  du  soin  que  yous  prenez  pour 
satisfaire  ma  curiosité,  m'ayant  bien  voulu  taire  part  d'une  Lettre  (jue 
je  trouve  très-excellente,  soit  pour  la  matière  qu'elli'  contient,  soi! 
pour  les  paroles  dont  on  s'est  servi  ;  c'est  celle  qui  est  signée  Petit  {^), 
qui  est  un  nom  inconnu  [)our  moi,  mais  qui  m'a  donné  un  très  grand 
désir  d'être  connu  de  lui  ;  je  serai  ravi  qu'il  vous  [ilaise  de  m'en  donner 
le  moyen,  et  j'ai  cru   que  ni  vous  ni  lui  ne  désapprouveriez  pas  la 

(')  Mcrscnno  avait  parle  à  Format  de  la  quadrature  de  la  cycloïdc,  obtenue  par 
Rolierval. 

C  )  L'aniiotaleur  anonyme  de  rcxcmiiluirc  des  Lcllrc.t  de  Dcacartcs  de  la  BiblioLliè(|iU! 
de  riiislitiil  prétend  que  la  date  ne  s'applique  qu'au  post-scri[)lnm  et  i|uo  le  corps  de  la 
lettre  remonte  au  26  novembre  1637.  Victor  Cousin,  dans  son  édition  des  OEuvrei  de  Dcx- 
carlc.1  (t.  VI,  p.  365),  adopte  la  niônic  opinion  qui  nous  paraît  insoulcnalile,  car  si  ('.lers(>- 
lier  a  commis  des  confusions  dans  les  lettres  qu'il  a  publiées  ti  après  les  minutes  non 
datées  de  Descartes,  ces  confusions  ont  résulté  uniipicmcnt  du  désordre  dans  lequel  se 
sont  trouvées  ces  minutes  à  la  suite  d'un  accident  où  elles  ont  failli  être  détruites.  Mais 
la  présente  lettre  était  évidemment  écrite  (en  coi)ic  par  Mersennc)  sur  un  seul  feuillet  et 
n'a  pu  souffrir  aucun  dérangement. 

(')  Mcrseime  avait  annoncé  à  Dcscarics  cet  écrit  do  IV'tit  dans  une  lettre  du  \2  lé- 
vrier i(">38  {Lettres  de  Descarics,  111,  p.  IQ").  11  le  lui  envoya  le  12  mais  (111,  p.  38ijl. 


l:j(i  (HLVUES  DE  FEUMAT.  -  C()[lRESPOM>ANCE. 

lilx'ilc  ([lie  j'ai  prise  d'effacer  sur  la  lin  (|uelqiies  paroles  qui  niar- 
(|ti()ien(  que  ses  ohjeclions  eonlre  la  Diopiriquc  de  M.  Descaries  éloienl 
plus  fortes  et  inoins  sujettes  à  répli(|ne  que  les  miennes.  Ce  n'est  pas 
(|ue  j'en  doute,  puis(|ne  j'ai  conçu  une  tri'S  grande  opinion  de  son 
e>prit;  mais  je  désire,  si  vous  l'agréez,  d'être  un  peu  mis  ii  l'écart,  et 
de  voir  tontes  ces  helles  disputes  plutôt  comme  témoin  (|ne  comme 
partie. 

2.  'S'oiis  ajoutei'cz  une  très  grande  obligation  à  toutes  celles  que  je 
vous  ai  déjà,  si  vous  me  procurez  la  vue  de  ce  Discours  que  l'auteur 
de  cette  helle  Lettre  promet  touchant  laréfrartion.  Et  si  j'osois  espérer 
la  communication  des  expériences  qu'il  a  faites,  peut-être  y  nuderois- 
je  de  la  géométrie,  si  je  les  trouvois  conformes  ii  mon  sentiment.  J'at- 
tendrai cette  satisfaction  avec  impatience,  et  vous  renvoierai  par  le 
premier  courriel'  son  éerit,  (|ue  je  retiens  pour  en  tirer  copie. 

3-  .l'attends  aussi  par  votre  faveur  les  réponses  (')  (|ne  M.  Descartes 
a  faites  aux  dilllcullésque  je  vous  ai  proposées  sur  sa  Dioplrique,  et  ses 
i'emar(|ues  (■)  sur  mon  Ti'aité  de  maxitnis  cl  inininiis  cl  de  tangenlihiis. 
S'il  y  a  qnelcjue  petite  aigreur,  connue  il  est  malaisé  (|u'il  n'y  en  ail, 
vu  la  contrariété  (|ni  est  entre  nos  sentiments,  cela  ne  vous  doit  point 
détourner  de  me  les  l'aire  voir;  car  je  vous  [troteste  que  cela  ne  fera 
aucun  eil'et  en  mon  espril,  (|ui  est  si  éloigné  de  vanité,  ([ue  M.  Des- 
i-artes  ue  sauroit  m'estimer  si  peu  qu(;  je  ne  m'estime  encoi'e  moins. 
Ce  n'est  |)as  (ju(!  la  complaisance  me  puisse  obliger  de  mi;  dédire  d'une 
vérité  que  j'aurai  connue,  mais  je  vous  fais  par  lii  connoilre  n\(M\  liu- 
nuMir.  Obligez-moi,  s'il  vous  plait,  de  ue  différer  plus  à  m'envoyer  ses 
écrits,  auxquels  par  avance  j(!  vous  promets  de  no  faire  point  de  ré- 
pli(|ue. 

4.  .l'ai   fort  vu  ces  jours  passés  M.  Despagnet,  avec  qui  je  vis  de 

1^')  /,t//rf.v?/(;  Z)eir«/'/c'i,  éd.  CIcrsclipr  :  Dosciirles  il  J\Iy(lori;c,  III,  4'î'.'iii  de  la  Icllix'lll, 
Hy  (p.  3i>.)  à  Mydorgc, 

(-)  Fdir  ci-aviiiit  LcUrc  XXV.  Mcrscnnc  aurait  i>u  communkiucr  aussi  dos  lors  à  Fer- 
mai les  autres  lettres  écrites  à  ce  sujet  ])ar  Descartes  {Lettres  de  J)cscfirlc\-,  éd.  C.lerse- 
lier  :  à  Merscnno,  lit,  4';  à  Mydorgc,  III.  ^i->;  à  Mydorgc,  lit,  '>y). 


WVI.  -   20  AVIÎIL    ir.:?8.  137 

longue  main  coininc  un  ami  intinii";  s'il  va  ;i  Paris,  coniinc  il  cspt'rf,  il 
vous  (lira  (|n"il  est  de  mon  avis  en  tons  les  |)i>li(s  Discnni's  qnc  j'ai  l'ails, 
sans  en  cxclnrc  la  l)io|)tri(|n(^. 

J'adcncis  (le  vos  nonvcllcs,  cl  suis,  elr. 

A  Toulouse,  ce  'o  avril  iG'JS. 

5.  Ouand  vous  voudrc/  ([uc  ma  politc  guerre  conire  ^I.  Descaries 
eesse,  je  n'en  serai  pas  marri  et,  si  vous  me  procurez  l'honneur  de  sa 
connoissance,  je  ne  vous  en  soi'ai  pas  peu  ohligé. 

6.  Onti'e  le  pa|iier  (-)  envoyé  à  U(  olierval)  et  P(ascar),  |)our  sup- 
pléer il  ce  qu'il  y  a  de  trop  concis,  il  l'aut  ([ue  AI.  Descartes  sache,  ((u'a- 
pri  s  avoii'  tiré  la  paralli'le  (|ui  concourt  avec  la  tangente  et  avec  l'axe 
ou  diami'tre  des  lignes  courites,  je  lui  donne  [)reiuii'rement  le  nom 
(|n'(dle  doit  avoir  comme  avant  un  de  ses  points  dans  la  tangente,  ce 
(|ui  se  lait  par  la  règle  des  proi)ortions  qui  se  tire  des  deux  triangles 
semhlaldes.  A[)r('s  avoir  donné  le  nom,  tant  ii  notre  parallèle  qu'il  tous 
les  antres  termes  de  la  question,  tout  do  mémo  qu'on  la  parabole,  je 
considi're  derocliorcetio  parallèle,  comme  si  le  point  qa'(dlo  a  dans  la 
tangente  étoit  en  elTet  en  la  ligne  courho,  et  suivant  la  [)ropriélé  spéci- 
li(|ue  de  la  ligne  courho,  je  compare  cette  parallèle  par  adeiid/i/é  avec 
l'autre  parallèle  tirée  du  point  donné  à  l'axe  ou  diamètre  de  la  ligne 
courho. 

Celte  comparaison  |»ar  adêgalitè  [)roduit  deux  termes  inégaux  (|ni 
enlin  produisent  l'égalité  (selon  nui  méthode'),  (|ui  nous  donne  la 
S(dulion  do  la  (juostion. 

l'-t  ce  (|u'il  V  a  do  merveilleux,  est  ((uo  ro|)ération  iu)ns  indique  si  la 

(')  Nous  avons  ranaclic  à  la  IcUrc  du  ut  aviii  i(i3S  le  l'i'ai;in('iU  suivaul  iloiil  les  copirs 
pur  Arbo^asl  poiicnl  sur  lo  brouillon  le  tilrc  :  ])c  iiuLvitnis  cl  iiii/tiiiiix,  pur  M.  rerinat  i-X 
lu  sousei'iplion  :  Fin;  sur  la  mise  au  net,  le  liO'n  :  Sur  lu  iitclhude  des  laiigc/iliw,  par 
Fcriniil.  11  a  déjà  clc  publié  par  M.  (lliurles  Henry  (Ilcclicrclivs.  pp.  iSj-i8'i)  d'après  le 
brouillon  dArboijasl  (lîibl.  Nal.  Ir.  n.  a.  3iS0,  1°  187),  le(piel  n'a  d'ailleurs  eu  entre  les 
mains  (pi'une  copie  de  Mersenue  en  partie  indécliiiïruble. 

(- )  l'iobablcMirnt  la  |>ièce  insérée  Tome  1,  payes  riG-i'ig.  /'o//-  lA'tIre  XW  I>l\\  4. 

Kkiimat.  —  II.  I  S 


138  ŒL'VUES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

ligne  courbe  est  convexe  ou  concave,  si  la  tangente  est  parallèle  à  l'axe 
ou  diamètre,  et  de  quel  coté  elle  (ait  son  concours  lorsqu'elle  n'est  pas 
parallèle;  ce  qui  serait  trop  long  à  décrire  parle  menu  ('),  et  suffit  de 
dire  que  nous  trouvons  des  équations  impossibles  pour  avoir  pris  lo 
concours  du  mauvais  côté,  etc.,  de  sorte  qu'il  paroît,  même  sans  faire 
im  plus  grand  discours,  que  l'équation  se  soudra  aisément  si  le  con- 
cours peut  exister  et  en  aussi  peu  de  temps  qu'on  puisse  imaginer. 


\XVI1. 
DESCARÏES  A  MERSENNK  (-). 

LL>DI    3    MAI     1G3H. 

(U,  m,  60.) 

Mon  Hkvkrkm)  Pékk, 

1.  Il  V  a  déjà  quelques  jours  que  j'ai  reçu  votre  dernière  du  -26  mars, 
où  vous  me  mandez  les  exceptions  (')  de  ceux  qui  soutiennent  l'Ecrit 

(')  A  parlir  ries  mois  c/  suffit,  le  lexle  csl  conjcclural.  Le  liroiiillon  d'Arboyusl  pcirle 
(les  mois  en  italique  sont  ceux  pour  lesquels  il  a  particulicrcnicnt  hcsilé)  : 

Il  El  suffil  lors  que  nous  trouvons  des  cqualions  impossibles,  nous  ayons  pris  le  con- 
cours du  mauvais  côlé  etc.  de  sorte  qu'il  pareil  même  sans  faire  un  plus  £;rand  retour. 
que  l'équation  .wit  toujours  aussi  .v(  le  concours  |)eul  exister  et  en  aussi  peu  de  temps 
qu  on  puisse  imaginer.  » 

Arbogasl  a  ajoute  on  note  :  «  11  me  pareil  que  celle  leçon  esl  véritable,  nous  n'eu  avons 
pas  mis  la  fin  dans  la  copie  au  net,  par  ce  que  nous  craignions  de  nous  lrom|)er.  » 

(-)  Le  texte  de  celle  lettre  a  été  corrigé  sur  l'original,  actuellement  conservé  à  la 
Bibiiollièquc  Victor  Cousin. 

(^)  Ces  exceptions  se  retrouvent  développées  dans  YEscrit  de  rjuclcjucs  amis  de  Mon- 
sieur de  Fermât,  imprimé  Lettres  de  Descartes,  éd.  Clersclier,  III,  58.  Mais  Descartes  ne 
l'avait  jias  encore  reçu  (voir  ci-après,  Lettre  XXl.K,  3);  c'est  donc  à  tort  que  la  noie  de 
l'exemplaire  de  l'Inslilut,  reproduite  i)ar  Cousin  {OEuvres  de  Descartes,  l.  VII,  p.  23). 
assigne  à  cet  ficrit  la  date  du  i5  mars  i638.  Il  ne  doit  avoir  été  envoyé  ipi'en  avril;  Des- 
cartcs  répondit  seulement  à  Mersenne  par  la  lettre  111,  5g  do  l'édition  Clersclier;  la  date 
du  i4  avril  i638,  indiquée  pour  cette  lellre  par  l'annotateur  anonyme  (OEtuTes  de  Des- 
cartes, éd.  Cousin,  t.  VII,  p.  35)  est  également  trop  reculée,  Roberval  n'ayanl  pas  encore 
eu  connaissance  de  celte  réponse  le  i"  juin  i638. 


XWII.  -  3  MAI  1638.  139 

(le  M.  Format  de  maxirnis  etc.  Mais  elles  ont  si  peu  de  couleur  que 
je  n'ai  pas  cru  qu'elles  valussent  la  peine  que  j'y  répondisse.  Toute- 
fois, pource  que  je  n'ai  point  eu  depuis  de  vos  nouvelles  et  que  je 
crains  que  ce  ne  soit  l'attente  de  ma  réponse  qui  vous  fasse  dilïérer  de 
m'écrire,  j'aime  mieux  mettre  ici  pour  une  fois  tout  ce  que  j'en  pense, 
atiii  de  n'avoir  jamais  plus  besoin  d'en  parler. 

2.  Premièrement,  lorsqu'ils  disent  qu'il  n'y  a  point  de  inaxima 
dans  la  parabole  ('),  et  que  M.  F.  trouve  les  tangentes  par  une  règle 
du  tout  séparée  de  celle  dont  il  use  pour  trouver  maximam,  ils  lui  font 
tort  en  ce  qu'ils  veulent  faire  croire  qu'il  ait  ignoré  que  la  règle  qui 
enseigne  ii  trouver  les  plus  grandes  sert  aussi  ii  trouver  les  tangentes 
des  lignes  courbes  :  ce  qui  seroit  une  ignorance  très  grossière,  à  cause 
(jue  c'est  principalement  à  cela  qu'elle  doit  servir;  et  ils  démenlent 
son  Écrit  où,  après  avoir  expliqué  sa  méthode  pour  trouver  les  plus 
grandes,  il  met  expressément  :  Ad  stiperiorem  mcthodum  imcntionent 
langentium  ad  data  puncta  in  lineis  quibuscumque  curvis  reditcimas  (-). 

H  est  vrai  (ju'il  ne  l'a  pas  suivie  en  l'exemple  qu'il  en  a  donné  lou- 
chant la  parabole,  mais  la  cause  en  est  manifeste,  (^ar,  étant  défec- 
lueuse  pour  ce  cas-là  et  ses  semblables  (au  moins  en  la  façon  qu'il 
la  propose),  il  n'aura  pu  trouver  son  compte  en  la  voulant  suivre,  et 
cela  l'aura  obligé  ii  prendre  un  autre  chemin,  par  lequel  rencontrant 
d'abord  la  conclusion  qu'il  savoit  d'ailleurs  être  vraie,  il  a  pensé  avoir 
bien  opéré  et  n'a  pas  pris  garde  à  ce  qui  manquoit  en  son  raison- 
nement. 

3.  Outre  cela,  lorsqu'ils  disent  que  la  ligne  EP,  tirée  au  dedans  de 
la  parabole  ('),  est,  absolument  parlant,  plus  grande  que  la  ligne  EB, 

(')  Voir  LeUrc  XXV,  lii:.  (m).  L'objcclion  de  Descartes  contre  lu  rèi,'le  de  Fermai  était 
que  pour  trouver  lu  luni;eiUc  BE  au  point  B  de  la  parabole,  il  fallait  clierclicr  le  inaxiinuni 
de  BE.  considéré  comme  droite  à  mener  du  |)oint  K  à  la  parabole.  Roberval  et  Pascal 
rc[)oiissaienl  à  bon  droit  ce  raisonnement. 

(-)  Foir  Tome  I,  page  i34,  les  deux  dernières  lignes. 

(')  Voir  fig.  Co,  page  127.  Il  faut  supposer  la  droite  EP  menée  de  E  ù  un  point  de  la 
parubole  plus  éloigné  que  B  par  rup|iorl  à  E. 


l'tO 


GÎLVHKS    Dl'    F  i:  KM  AT. 


COUHRSPONDANCE. 


ils  ne  (lisent  rien  (|ui  scrvo  à  leur  cniisc.  (Inr  il  n'est  |)as  rof|iiis  (in'cllc 
soil  la  plus  i,M'aiiili' al)S()liinicii(  |)rii'lini(,  mais  seulcincnt  (|ii'cllc  sdil  la 
plus  i^randc  sous  ccrlainos  condilicuis,  (^onime  ils  (Uil  LMix-uiriiies  (Iriini 
au  comuicncfmenl  do  riirril  (  '  )  (|u'ils  ui'oiit  cuvoyé,  i»ii  ils  discul  (|ui' 
colle  inveutinu  de  M.  F.  esl  toKcluuil  /es  p/us  ^ra/u/es  cl  les  moindres 
lignes  ou  les  plus  ffra/rls  cl  les  moindres  espaces  r/iir  l'on  puisse  mener  on 
faire  sons  certaines  conditions  proposées. 

Va  ils  ne  sauroieul  nier  que  la  ligne  1{I{  ne  soit  la  plus  içraudo  (|u'oti 
puisse  mener  du  poini  K  jusques  ii  la  [)araI)ole  sous  les  condilinns  (|ue 
j'ai  |)r()posées,  ii  savoir  qu'<!lle  n'aille  ([lu-  jusques  à  (die  sans  la  tra- 
verser, eomnie  ils  oui  assez  dû  eulendre  d(''s  le  premier' coup.  .Mais  pour 
l'aire  mieux  voir  (|ue  leur  excuse  n'esl  aucunement  valable,  je  (l(uinerai 
ici  un  autre  exem|)le  où  je  ne  |)arlerai  ni  d(>  tanj^cnte  ni  de  parabole, 
et  où  toutefois  la  r(''if|e  de  M.  F(>r.  manquera  en  nuMne  iacon  (|u'an 
pr(''C(''denl.  Aussi  bien  vous  vous  plaignez  quand  je  vous  envoie  du 
papier  vide,  et  vous  ne  m'avez  point  donn(''  d'autre  malii're  pour  rem- 
plir celt(^  l'euille. 

Soil  donn(''  le  cer(de  1M)N  {J'g-  ()'-i),  y\V  que  le  point  I']  (|ni  en  esl 
deliors  soit  aussi  (lonn(''  el  qu'il  t'aille  tirer  (bï  ex\  point  \\  vers  ce  cercle 


nue  ligne  droite,  eu  sorte  (|ue  la  partie  de  cette  ligne  ([ui  sera  bors  de 
ce  cer(de  entre  sa  circoni'(''rence  et  le  point  donn(''  E  soit  la  plus  grande. 
Voici  coinment  la  r(''gle  doiin(''e  par  .M.  Fer.  enseigne  (|u'il  y  faut  [)ro- 
ce'der. 

Ayant  meut';  la  ligne  HDN  |tar  le  centre  du  cercde  et  sa  partie   lOl) 
étani  nommcM'  H,  et  sa  partie  ON  (jui  est  le  diam(';tre  (''tant  C,  siatualiir 


I  '  1  Kci'il,  |ii'r(hi,  cinoyi''  |iiu-  iMci'sciiiic  ^'i  Desr;ii-U'S  li;  M  iï'\  ri(;|-  iliis. 


XWII.  -  3  MAI    IG38.  lil 

(jidlihcl  quœstùmis  terminus  esse  A  ('),  ce  qui  iio  se  peut  mieux  l'aire 
<[u'eii  uieuaut,  IJd  perpendiculaire  sur  DN  et  prenant  A  pour  (]|). 

/:/  irn-eniâ  maxirnâ  de.  Pour  trouver  donc  cette  inaxunai)}.  \\  savoir 
IJK.  puis(|ue  \)V,  est  A  et  DN  est  C,  le  (juarré  de  BC  est 

(  ill  C  —  .1  qiiad., 
e(  piiis(|ui'  r)(]  est  .1  et  DH  est  //,  le  ([uarré  de  ('R  es! 

Afj.  -+-  11(1.-+-  A  in  /.'  bis, 

le(|uel  joint  au  quarré  de  W.  lait  le  quarré  de  la  plus  i;rande  151-].  (|ui 

est 

t  ill  C  +  /?r/.+  4  iii^bis. 

l'onalKr  rursits  idem  (jui  pritts  lerminus  esse  A  +  /s,  Ueriimiiiie  iiive- 
iiiaiur  niaxima,  ce  (|ui  ne  se  peut  faire  autrement,  en  suite  de  ce  qui  a 
précède.  (|u'en  posant  .1  -+-  E  pour  DC.  Et  lors  le  (juarré  de  IJC,  est 

6'  in  .  /  +  C  in  H  —  A  q.  —    lin  K  liis  —  A''/.  ; 

puis  le  (|uarré  de  i\\  es! 

\q.  +  A\w  E  bis  H-  /w/.  +  Ufj.  4-  .(  in  B  bis  +  /-.'  in  //  bis, 

lecpiel.  elanl  joint  à  l'autre,  tait 

,1  in  il  -(-  E  in  6'+  lUj.  +   t  in  //bis  +  A' in  A*  bis 

])our  le  (|uarré  de  la  plus  grande  BE. 

A(hr(iiienlur.  c*est-ii-(lire  ((u'il  l'aul  poser 

I  in  C'h-  A'y.+  .l  in  A'bis  cL'al  i'i    t  in  C'  + A'in  €+  /lq.+  A  in  A' bis  -t- A'in  A  bj>. 

Et  (Icmplis  œqualilnis  (-).  il  reste 

/f  in  C  -+-  A'  in  A'  bis  i'v:i\\  ;i  rien, 

ce  (|ui  montre  manifestemenl  l'erreur  de  la  ri'gle. 

5.   I*;t  atin  ()u'il  ne  [)uisse  plus  y  avoir  personne  si  aveugli'  qu'il  ne 

(';  Dcscartos  l'cpi'ciid  siicccssivciiicnl,  l'ummc  dans  !;i   Lt'Uic  WV.   les  liilléiciili'.- 
phrases  (bi  U-xlc  de  lii  rc.i,do  dunnco  pur  t'cniiiiL  (Tome  1,  page  i33). 
(-)  l'VniKil  iiv.iit  dit  coiniwiniliiiK  (Tome  I,  p.  i33,  lj>:in;  {  on  remoiilaiil  ). 


\Ï2  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

la  voie,  je  dirai  ici  en  quelle  sorte  on  la  peut  corriger.  Car,  hieii  que 
j'en  aie  touché  un  mot  en  ce  que  j'ai  écrit  à  M.  Mydorge  ('),  il  y  est 
néanmoins  en  telle  façon  que  je  ne  désirois  pas  encore  que  tout  le 
monde  le  put  entendre. 

Premièrement  donc  à  ces  mots  el  inventa  maximâ,  il  est  bon  d'ajouter 
rel  aliâ  quâlihet  cnjus  ope possit postea  maxima  inveniri.  Car  souvent,  en 
cherchant  ainsi  la  plus  grande,  on  s'engage  en  beaucoup  de  calculs 
superflus. 

Toutefois  cela  n'est  pas  un  point  essentiel;  mais  le  principal  et  celui 
(jui  est  le  fondement  de  toute  la  règle  est  omis  en  l'endroit  où  sont 
ces  mots  :  Adœguentur  duo  homogenea  maximœ  aiit  minimœ  œqualia. 
lesquels  ne  signifient  autre  chose  sinon  que  la  somme  (|ui  explique 
maximani  in  lerminis  suh  A  gradu  ut  lihet  involutis,  doit  être  supposée 
égale  à  celle  qui  rexpli<|ue  in  terminis  sub  A  et  E  gradihus  ut  libct  coef- 
ficientd)us. 

Ht  vous  demanderez,  s'il  vous  plaît,  à  ceux  qui  la  soutiennent,  si  ce 
n'est  pas  ainsi  qu'ils  l'entendent,  avant  que  de  les  avertir  de  ce  qui  doit 
V  être  ajouté  :  à  savoir,  au  lieu  de  dire  simplement  adœquentur,  il  falloil 
dire  :  adœquentur  tali  modo,  ut  quantitas  per  istam  œquationem  inve- 
nienda  sit  quideni  una ,  cùin  ad  maximarn  aut  minimam  referlur,  sed 
una  cmcrgens  ex  duahus  quœ  per  eamdem  œquationem  possent  inveniri 
essentque  inœquales ,  si  ad  minorem  maximâ  rel  ad  majorem  mimmâ 
referrentur  (-). 

6.  Ainsi,  en  l'exemple  (jue  je  viens  de  donner,  ce  n'est  pas  assez  de 
chercher  le  (juarré  de  la  plus  grande  en  deux  façons;  mais  outre  cela, 
il  faut  (lii'c  : 

comme  ce  quarré,  lorsqu'il  est  A  iii  C  -f-  liq.  +  A  in  li  l)is, 

est  au  même  quarré,  lorsqu'il  osl.t  iii  6'  +  Cin  6'-t- /?</.+ ^1  in/ibis  +  ^iii/?bis, 

ainsi  C  in  yl  —  Aq.,  (|ui  est  le  quarré  de  RC, 

osl  à  C  iti  A  -)-  C  \\\  /s'  —  A  q.—  A  in  E  bis  —  Eq.,  qui  esl  aussi  le  même  quarré. 

C)  Lettres  de  Descnrtes,  éd.  Clersclicr,  IH,  57,  page  3oG. 

(2)  Descartes  essaye  de  ramener  la  mélliode  de  Fermât  à  la  sienne  propre,  c'csl-à-dirn 
à  la  recherche  de  la  condition  sous  laquelle  deux  racines  d'une  équation  deviennent  égales. 


XXVll.  -  3  MAI   1638. 


IW 


Puis  multipliant  le  premier  de  ces  quarrés  par  le  quatrifime.on  le  doit 
supposer  égal  au  second  multiplié  par  le  troisième,  et  après,  en  démê- 
lant cette  équation  suivant  la  règle,  on  trouve  son  compte,  ii  savoir  {|ne 

CD  est  -rrr-- Ti'  comme  il  doit  être. 

B  bis  +  C 

1-  Tout  de  même,  en  l'exemple  de  la  parabole  qui  avoit  été  pris  par 
M.  F.,  et  que  j'avois  suivi  en  mon  premier  Écrit  ('),  voici  comme  il 
faut  opérer  : 

Soit  BDN  {Jig.  Go)  la  parabole  donnée,  dont  DC  est  le  diamètre,  et 
(|uc  du  point  donné  B  il  faille  tirer  la  ligne  droite  BE,  qui  rencontre 

Fit;.  Oo. 


DC  au  point  E  et  qui  soit  la  plus  grande  qu'on  puisse  tirer  du  même 
point  E  jusques  à  la  parabole  :  —  à  savoir  au  dehors  de  cette  parabole, 
comme  ceux  qui  ne  sont  point  sourds  volontaires  entendent  assez,  de 
ce  que  je  la  nomme  la  plus  grande. 

Je  prends  B  pour  BC  et  D  pour  DC,  d'où  il  suit  que  le  côté  droit  est 
-y-^>  et  sans  m'arréter  à  chercher  la  plus  grande,  je  cherche  seulement 
l(^  quarré  de  BC  en  d'autres  termes  que  ceux  qui  sont  connus,  en  pre- 
nant .4  pour  la  ligne  CE,  et  par  après  en  prenant  A  -h  E  pour  la  mémo  : 
il  .savoir,  je  la  cherche  premièrement  par  le  triangle  BCE,  car 

,       ,.    „        .     •     é       r.       _  ^    Ain  B -h  E\n  7J 

comme  A  est  ii  B,     ainsi  A  -h  E  esta  -, > 

A 

(\n\  par  conséquent  représente  BC,  et  son  quarré  est 

-4<7.in  Bq.-h  t  \n  E  in  Bc/.  h'is  -+-  Eq.\n  Bq. 


A  g. 


(')  Lcurc  XXV. 


lU  (KUVHKS    DE   l'EUM  AT.  -  CO  1',  IÎES1M)NJ)A  NCi:. 

puis  je  la  clici'clii'  par  la  |)araljol(',  rar,  qiunid  KC  est  A  -+-  E,  \W.  csl 
I)  -+-  t'J,  cl  le  ([iiairé  de  15(1  l'st 

J!'/.  \n  f>  -{-  /Iq.  iii  /'," 

T) ' 

ijiii  (lui!  (''Ire  égal  au  pi't'rédcut,  à  savoir 

.(  in  /'J  in  /la.  Iiis  -\-  l-'ii.  in  ll/i.     .      ,  ,    llii.  in  E 
-     ^^- -   ..,ala       ' ^y-    . 

D'où  l'on  Irouvr,  en  suivant  la  règle,  (jue.l,  e'est-à-dire  (IK,  est  douhie 
de  />,  e'est-à-dire  (H),  eoiiinie  elle  doit  être. 

Or  il  est  ii  reMiai'(|uer  que  eette  eoudilioii  (|ui  eloit  omise,  est  la 
iiièiue  (|ue  j'ai  e\pli(|uée  (  ')  en  la  page  ')/|('),  eoiiinie  le  l'oiideiiienl  de 
la  méthode  dont  je  me  suis  servi  j)0ur  trouver  les  tangentes,  et  (|u"(dle 
est  aussi  tout  le  fondement  sur  le(|U(d  la  ri'gle  de  iM.  !•'.  doit  être 
a|)puyée;  en  sorte  ([ue,  l'ayant  omise,  il  fait  paroiti-e  ((u'il  n'a  trouvé 
sa  règle  (|u'îi  làtons,  ou  du  moins  ([u'il  n'en  a  pas  eoneu  elairemenl 
les  principes. 

Kl  ce  n'est  point  merveille  qu'il  l'ait  pu  former  sans  eela,  car  (die 
réussit  en  plusieurs  cas,  nonobstant  qu'on  ne  pens(^  point  ii  observer 
cett<'  condition,  à  savoir  en  ceux  oii  l'on  ne  peut  venir  à  l'équation 
(|u'eu  l'observant,  et  la  plu|)art  sont  de  ce  genre. 

8.  Pour  ce  qui  est  de  l'autre  article,  où  j'ai  re|)ris  la  façon  dont  se 
sert  M.  F.  pour  trouver  la  tangente  de  la  [)arabole,  vous  dites  qu'ils 
assurent  tous  (ju'il  faut  prendre  une  propriété  s|)écitique  de  l'Iiyper- 
bole  ou  de  l'ellijjse  pour  en  trouver  les  tangentes.  Kn  quoi  nous 
sommes  d'accord,  car  j'assure  aussi  la  même  chose  et  j'ai  apporté 
expressément  les  exemples  de  l'tdlipse  et  de  l'hyperbole,  (jui  eon- 
eluenl  très  mal,  [xmi'  montrer  (|ne  ;M.  Fermât  conclut  mal  aussi  tou- 
chant la  [)aral)ole  dont  il  ne  donne  point  de  propriété  spéciti([ue. 

Car  d(ï  dire  (-)  qu'il  y  a  plus  grande  proportion  de  CD  ii  Dl  <|ue  du 

(')  (ic'oinc'tric  lii'  IJusuiirU's,  cd.  llorriwiiiii,  paires  iO  cl  07. 
(2)  f'oir  ïonic  I,  iwgo  i3),  lignes  4  à  'J- 


XWII.  -  3  MAI  1G38.  US 

quarrc  de  BC  au  quarré  de  01,  ce  n'est  nullement  une  propriété  spé- 
cifique de  la  parabole,  vu  qu'elle  convient  à  toutes  les  ellipses  et  à  une 
infinité  d'autres  lignes  courbes,  au  moins  lorsqu'on  prend  le  point  0 
entre  les  points  B  et  E  comme  il  a  fait,  et  s'il  l'eut  pris  au  delà,  elle  eût 
convenu  aux  hyperboles.  De  façon  que,  pour  la  rendre  spécifique,  il 
ne  fiiUoit  pas  simplement  dire  sumcndo  quodlihel  punclum  in  rccla  BE, 
mais  il  y  falloit  ajouter  sivc  sumatur  illud  intra  puncta  B  et  E,  sivc  ultra 
punclum  B  in  lineâ  EB  productâ.  Et  cela  ne  peut  être  sous-entendu  en 
son  discours,  à  cause  qu'il  y  décrit  la  ligne  BE  comme  terminée  des 
deux  cotés,  à  savoir,  d'un  coté  par  le  point  B  qui  est  donné,  et  do  l'autre 
par  la  rencontre  du  diamètre  CD. 

Outre  cela  il  falloit  faire  deux  équations  et  montrer  qu'on  trouve  la 
même  chose  en  supposant  El  être  A  -\-  E,  que  lorsqu'on  le  suppose 
être  A  ~  E.  Car  sans  cela  le  raisonnement  de  cette  opération  est  im- 
parfait et  ne  conclut  rien. 

9.  Voilà  sérieusement  la  vérité  de  cette  affaire.  Au  reste,  pour  ce 
que  vous  ajoutez,  que  ces  Messieurs  qui  ont  pris  connoissance  de  notre 
entretien  ont  envie  de  nous  rendre  amis,  M.  Fermât  et  moi,  vous  les 
assurerez,  s'il  vous  plaît,  qu'il  n'y  a  personne  au  monde  qui  recherche 
ni  qui  chérisse  l'amitié  des  honnêtes  gens  plus  que  je  fais,  et  que  je 
ne  crois  pas  qu'il  me  puisse  savoir  mauvais  gré  de  ce  que  j'ai  dit  fran- 
chement mon  opinion  de  son  Ecrit,  vu  qu'il  m'y  avoit  provoqué.  C'est 
un  exercice  entièrement  contraire  à  mon  humeur  (jue  de  reprendre  les 
autres,  et  je  ne  sache  point  l'avoir  encore  jamais  tant  prati(jué  (ju'eii 
cette  occasion;  mais  je  ne  la  pouvois  éviter  après  son  défi,  sinon  en  le 
méprisant,  ce  qui  l'eût  sans  doute  plus  offensé  que  ma  réponse. 

Je  suis,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  très  alTectionné  serviteur, 

Descautes. 
Du  3  mai  i638. 


Fermât.  —  M. 


140 


ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


XXVIII. 
BILLET  AJOUTÉ  A  LA  LETTRE  PRÉCÉDENTE  ('). 

Pour  entendre  parfaitement  la  troisième  (-)  page  de  ma  lettre,  et 
par  même  moyen  le  défaut  de  la  règle  de  M.  de  Fermât,  il  faut  con- 
sidérer ces  trois  figures  (fig.  G3)  et  penser  que  lorsqu'il  dit  :  Sta- 
tualtir  idem  </m  priiis  Icrminus  esse  A  -h  E,  cela  signifie  qu'ayant  posé 
EC  pour  A  et  El  pour  .1  4-  E,  il  imagine  El  être  égal  à  EC,  comme  on 
le  voit  en  la  troisième  figure,  et  que  néanmoins  il  en  fait  le  calcul  tout 
de  même  que  si  elles  étoient  inégales,  comme  on  le  voit  en  la  pre- 
mière et  seconde  ligure,  eu  cherchant  premièrement  EB  par  VA]  (|u'ii 
nomme  .1,  puis  EO  par  El  qu'il  nomme  .1  +  E. 

Fi-.  63. 


Et  cela  va  fort  bien,  mais  la  faute  est  en  ce  qu'après  les  avoir  ainsi 
calculées,  il  dit  simplement  :  Adœquenlur.  Et  on  la  peut  voir  claire- 
ment par  la  première  figure  où  si  l'on  suppose  la  ligne  EO  (')  être 
égale  à  EB,  il  n'y  a  rien  qui  détermine  les  deux  points  B  et  0  à  s'as- 
sembler en  un  endroit  de  la  circonférence  du  cercle  plutôt  qu'en 
l'autre,  sinon  que  toute  cette  circonférence  no  fut  qu'un  seul  point, 
d'où  vient  que  toutes  les  quantités  qui  demeurent  en  l'équation  se 
trouvent  égales  à  rien. 

Mais  pour  faire  que  ces  deux  points  B  et  0  ne  se  puissent  assembler 


(  '  )  L'original  de  la  Lettre  précédente  a  fait  partie  de  la  collection  des  autograplics  do 
Oescartes  anciennement  conservée  à  rAcadomie  des  Sciences  et  volée  par  Libri.  Celui  du 
fragment  que  nous  colons  XXVIIl  n'y  figurait  pas;  il  n'est  donc  connu  que  par  Clcrselicr. 

(';  P'oir  plus  haut  XXVH,  5. 

(')  Addition  en  marge  :  «  Notez  que  je  suppose  ici  que  c'est  le  point  E  qui  est  donné 
cl  non  le  point  B.  » 


XXIX.  -   l"   JUIN    1638.  147 

qu'en  un  seul  endroit,  à  savoir  en  celui  où  EB  est  la  plus  grande  <|u'elle 

puisse  être  sous  la  condition  proposée,  il  faut  considérer  la  seconde 

figure  et,  à  cause  des  deux  triangles  semhiables  ECB  et  EIO,  il  faut 

dire  : 

coinme  EC  ou  IJC  esta  EB,     ainsi  El  ou  01  est  à  EO; 

au  moyen  de  quoi  ou  fait  qu'à  mesure  que  la  quantité  EB  est  supposée 
plus  grande,  la  quantité  EO  est  supposée  plus  petite,  ;i  cause  que  les 
points  E,  B,  0  sont  toujours  là  en  même  ligne  droite.  Et  ainsi  lorsque 
KB  est  supposée  égale  à  EO,  elle  est  supposée  la  plus  grande  qu'elle 
puisse  être  :  c'est  pourquoi  on  y  trouve  son  compte. 

Et  c'est  là  le  fondement  de  la  règle  qui  est  omis.  Mais  je  crois  que  ce 
seroit  pécher  de  l'enseigner  à  ceux  qui  pensent  savoir  tout  cl  qui 
auroient  honte  d'apprendre  d'un  ignorant  comme  je  suis;  vous  eu 
ferez  toutefois  ce  qu'il  vous  plaira. 


XXIX. 

ROBERVAL  A  FERMAT. 

HARDI    1"    JUIN    1C38. 
{  l'a,  p.   i54-i.')5.) 


MONSIELR, 


1.  Puisqu'il  est  vrai  qu'il  n'y  a  aucun  contentement  que  je  préfère 
il  celui  que  je  reçois  de  vos  lettres,  vous  devez  penser  que  les  occupa- 
tions qui  m'ont  empêché  de  vous  écrire  depuis  si  longtemps,  doivent 
avoir  été  bien  pressantes,  ayant  eu  la  force  d'interrompre  notre  entre- 
tien qui  m'est  si  cher  et  si  agréable. 

2.  Or,  pour  recommencer,  je  vous  dirai  que,  si  j'ai  entrepris  la  dé- 
fense de  votre  Traité  [de  minimis  et  maximis]  contre  les  objections  de 


lis  ŒUVRES  J)E  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

M.  Descartes  ('),  je  m'y  suis  senti  obligé  ou  plutôt  nécessité  par  mon 
génie,  qui  ne  peut  souiïrir  que  la  vérité  soit  tant  soit  peu  obscurcie, 
(ant  s'en  faut  qu'il  endure  qu'on  la  fasse  passer  pour  ce  qu'elle  a  de 
plus  contraire,  j'entends  pour  une  fausseté  accompagnée  de  paralo- 
gismes.  C'est  pourquoi  j'ai  grand  besoin  qu'au  lieu  de  me  remercier  (-) 
comme  vous  faites,  vous  m'excusiez,  tant  pource  qu'étant  foible,  j'ai 
osé  entrer  en  lice  contre  un  fort  adversaire  pour  vous,  que  pource  que 
je  l'ai  fait  sans  vous  en  avertir,  vu  que  vous  scmblicz  y  avoir  le  prin- 
cipal intérêt.  Mais,  en  effet,  c'est  l'intérêt  de  la  vérité  et  do  tous  ceux 
([ui  la  chérissent  :  c'est  pourquoi  j'en  ai  fait  le  mien  propre,  et  elle 
m'a  paru  si  claire  qu'elle  m'a  fait  passer  par  dessus  les  considérations 
de  ma  foiblcsse,  à  laquelle  j'ai  pensé  que  son  évidence  pourroit  sup- 
pléer assez  suffisamment.  J'espère  que  vous  recevrez  cette  excuse  et 
que  vous  me  ferez  l'honneur  de  croire  que  la  connoissance  que  j'ai  de 
votre  mérite,  m'a  tellement  acquis  à  vous,  qu'elle  m'a  fait  témoigner 
ce  zèle,  quoique  mon  insulfisance  seule  l'ait  pu  rendre  en  quelque 
sorte  indiscret. 

3.  M.  Descartes  n'ayant  pas  encore  reçu  mon  Écrit  (')  le  3  mai,  ce 
qui  est  pourtant  bien  tard,  a  fait  quelques  objections  nouvelles  de  peu 
de  conséquence.  Vous  les  verrez  dans  sa  Lettre  {")  que  le  Père  Mer- 
senne  vous  pourra  envoyer. 

Il  veut  trouver  la  tangente  d'un  cercle,  persistant  toujours  que  c'est 
la  plus  grande,  sinon  qu'il  y  ajoute  qu'elle  n'est  la  plus  grande  que 
sous  certaines  conditions  :  en  quoi  il  s'enferre  lui-même,  voulant  ré- 
futer votre  Ecrit  (^),  qui  parle  de  la  plus  grande  absolument,  par 
l'exemple  d'une  qui  n'est  la  plus  grande  que  conditionaircment. 

Il  est  vrai  que,  voulant  la  trouver  absolument  ou  la  moindre,  et, 
pour  ce  faire,  nommant  le  diamètre  ND  (Jig.  64)  C,  DE  /?,  et  DC  ou 

(  '  )  Foir  Lctlre  XXV. 

C')  Dans  une  Lettre  i)erdiic. 

(^)  Lettres  de  Dexcartes,  éd.  Clersclicr,  IIF,  58. 

{<-)  Lettre  XXVII. 

('')  Mctiiodus  ad  disquircndain  maximum  et  mmimam,  Tome  I,  j).  i33  et  suiv. 


XXIX.  -  1"  JUIN   1638.  149 

EC  A,  on  tombe  dans  uno  ai)surclité  que  C  -\-  B  his  est  égal  à  rien  ;  et, 
si  le  point  E  étoit  dans  le  cercle,  C  —  B  bis  seroit  égal  à  rien.  Mais  cette 
absurdité  montre  qu'il  ne  faut  pas  chcrcber  le  point  B  dans  la  circon- 
férence autre  part  ([ue  dans  la  ligne  DN,  savoir  au  point  N  pour  la 


plus  grande  et  au  point  D  pour  la  moindre  :  en  quoi  il  est  rcmar(|uable 
que  C -h  B  lus  est  la  somme  de  la  plus  grande  et  de  la  moindre,  et 
C  —  B  bis  est  leur  différence. 

Mandez-moi  quel  est  votre  sentiment,  car,  n'ayant  pas  encore  le 
loisir  de  considérer  bien  particulièrement  le  fonds  de  votre  méthode  el 
sa  démonstration,  il  se  peut  être  qu'elle  ne  contienne  des  mystères 
(|ui  me  sont  encore  cachés. 

4.  J'ai  trouvé  admirable  le  moyen  (')  par  lequel  vous  l'appliquez 
aux  paraboles  et  solides  paraboliques  pour  en  trouver  les  centres; 


mais,  le  voulant  éprouver  en  la  vraie  parabole,  j'ai  trouvé  qu'il  falloit 
changer  votre  raisonnement  qui  n'est  que  particulier  au  conoïde  pa- 

(  '  )  Centrum  grca-ildlis  paraliolici  coiioidis,  tome  I,  p.  |3G  et  suiv.  P'oir  Lettre  XXV  lus,  4. 


150  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

ralioliquo,  car,  ayant  l'espèce  de  la  ligne  EO  {Jîg.  G5),  vous  pouvez 
hien  dire  : 

connue  la  diiïéreiice  des  qnarrcs  lA  cl  AN  esl  au  quarré  de  AN, 
ainsi  la  ligne  EO  est  à  OM, 

ce  que  vous  ne  pouvez  pas  en  la  parabole  même  ('),  en  laquelle,  sui- 
vant ce  raisonnement,  il  faudroit  dire  : 

comme  la  différence  des  cubes  de  lA  el  AN  esl  au  cuhe  de  AN, 
ainsi  la  dilTércnce  des  quarrés  de  EM  et  MO  esl  au  quarré  de  MO, 

et  cependant  vous  n'avez  pas  l'espèce  ni  de  l'un  ni  de  l'autre  de  ces 
(juarrés. 

An  lieu  desquels  j'ai  dit  ainsi  : 

il  y  a  plus  grande  raison  du  cube  lA  au  culie  AN  que  du  f|uarré  El  au  quarré  01, 

ce  qui  réussit,  et  en  la  parabole  cubique  j'ai  dit  : 

il  y  a  plus  grande  raison  du  quarréquarré  lA  au  (piarréquarré  AN 
que  du  cube  El  au  cube  01, 
etc. 

Mais  le  raisonnement  est  autant  ou  plus  beau  et  plus  facile  par  les 
figures  qui  restent,  ayant  ùté  le  plan  parabolique  du  parallélogramme 
qui  le  comprend. 

J'ai  promis  à  M.  Mydorge  de  l'entretenir  sur  cette  invention  que  je 
ne  saurois  assez  admirer,  et  je  m'assure  que  M.  Pascal  en  fera  ses  ex- 
clamations ordinaires,  si  je  puis  la  lui  faire  voir,  comme  j'espère  (^), 
et  à  M.  Desargues. 

5.  Il  faut  aussi  que  M.  Descartes  la  voie,  afin  qu'il  nous  en  fasse  voir 
les  paralogismes  et,  puisque  vous  avez  trouvé  les  tangentes  de  sa 

(  ')  Hoberval  n'avait  pas  compris  toiiles  les  ressources  de  la  mclhode  de  Format. 
( -)  Depuis  quelque  temps,  Etienne  Pascal  avait  attiré  sur  lui  la  colère  de  Kicliclieu  et  il 
se  cachait,  pour  éviter  une  arrestation. 


\XX.  -  1"  JUIN   1638.  lot 

figure  ('  ),  qui  est  une  cspi'ce  d'ovale,  il  sera  bon  que  vous  lui  en- 
voyez, ou  nous,  si  vous  le  trouvez  meilleur.  Mais  prenez  garde  {|ue, 
par  le  même  point  donné,  il  peut  y  passer  deux  de  ces  ovales  et  par- 
lant y  avoir  deux  tangentes,  ce  que  j'espère  que  l'équalion  fera  décou- 
vrir. 

6.  J'v  Iravaillerois,  mais  je  suis  assuré  que  vous  y  réussirez  mieux 
que  moi,  joint  qu'il  me  faudroit  être  délivré  de  la  roue  à  laquelle  je 
suis  attaclié,  ayant  appelé  du  nom  de  roue  le  cercle  qui  roule  avec  les 
conditions  que  vous  savez  (-);  et  ayant  donné  un  nom  à  la  ligne 
courbe  que  décrit  un  point  delà  circonférence  pendant  une  révolution 
entière,  je  démontre  (jue  l'espace  compris  de  cette  ligne  courbe  <'t  de 
la  droite  qui  lui  sert  de  base,  sur  laquelle  la  roue  se  meut,  est  majiis 
dalo  quain  in  ralionc,  c'est  à  savoir  que,  de  cet  espace  en  ayant  olé 
l'espace  de  la  roue,  il  v  aura  même  raison  du  reste  ii  la  même  roue  (|ue 
de  la  base  de  l'espace  ii  la  moitié  de  la  circonférence  de  la  roue. 

D'où  il  s'ensuit  qu'en  la  roue  ordinaire,  de  laquelle  la  base  est  esti- 
mée égale  à  la  circonférence,  l'espace  dont  il  s'agit  est  triple  de  la 
roue;  et  si  la  base  est  double  de  la  circonférence,  l'espace  sera  quin- 
tu[)le  de  la  roue;  si  tri|)le,  septuple  :  et  ainsi  en  continuant  |)ar  les 
nombres  impairs. 

De  tout  ceci  je  vous  envolerai  par  le  premier  courrier  une  brève  dé- 
monstration, en  attendant  le  Traité  entier. 

Je  suis  etc. 


(')  La  courbe  .r'H-.)'=  a.ry.  —  l^'oir  Lolti'c  XXV,  6,  el  ci-après,  pièce  XXXI,  3.  — 
Il  faut  observer  que,  pour  prendre  à  la  leUre  l'énoncé  de  Descarlcs  et  en  l'absence  do 
convenlions  précises  sur  l'interprétation  des  signes  des  coordonnées,  Roberval  dcvail 
rejeter  les  branches  infinies  de  la  courbe,  comme  ne  faisant  pas  partie  du  lieu,  et,  au  con- 
traire, y  ajouter  dans  chaque  angle  autre  que  celui  des  coordonnées  positives,  un  Jolitim 
symétrique  do  celui  q\ie  forme  la  courbe  dans  ce  dernier  angle.  La  figure  d'ensemlile  du 
lieu,  figure  admise  au  reste  par  Descurtcs  lui-même,  justifie  dès  lors  le  nom  de  yahuid 
(nœud  de  ruban),  que  lui  donna  Roberval  (voir,  ci-après,  Lettre  XXXV).  Dans  la  phrase 
qui  suit,  ce  dernier  semble  faire  allusion  au  point  double  à  l'origine. 

(*)  Conditions  de  génération  des  cycloïdcs.  —  f^oir  IxttreXXV  lus,  7. 


152  ŒUVRES   DE  FERMAT.-    CORRESPONDANCE. 

XXX. 

FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

<  jLi>  1G38  > 

(A,  f"  27,  13,  f  2fi.) 

Mon  Révéuend  Père, 

1-  J'avois  déjà  fait  un  mot  d'écrit  pour  m'cxpliquer  plus  clairement 
à  !M.  Descartes,  sur  le  sujet  de  ma  méthode  de  maximis  et  minimis  et  de 
invenlioiic  tangentium,  lorsque  votre  dernière  m'a  été  rendue,  (jui 
contient  copie  de  la  réplique  (-)  de  M.  Descartes.  Je  ne  reste  pas  de 
lui  envoyer  ce  que  j'avois  déjà  fait  ('),  où  il  trouvera  sans  doute  de 
(|uoi  se  désabuser  de  la  croyance  qu'il  semble  avoir,  que  j'ai  trouvé 
cette  méthode  par  hasard  et  que  je  n'en  connois  pas  les  vrais  prin- 
cipes. 

2.  Il  a  déjà  franchi  qu'elle  est  bonne  pour  les  tangentes,  en  se  ser- 
vant d'une  propriété  spécifique  des  lignes  courbes,  ce  qu'il  dit  <<  ne  > 
pouvoir  être  sous-entendu  en  mon  écrit  latin;  en  effet,  je  n'aurois  ni 
sens  commun,  ni  logique  naturelle,  si  je  croyois  d'une  propriété  géné- 
rale en  tirer  des  particulières.  La  méthode  donc  est  bonne,  au  sens 
auquel  je  l'emploie  pour  les  tangentes. 

Et  n'importe  de  dire  qu'il  faut  faire  deux  opérations,  l'une  par  A+E, 
l'autre  par  A  —  E,  car  une  seule  suiRt  pour  la  construction,  quoique 
la  démonstration  que  je  n'ai  pas  encore  donnée,  tire  son  principal 
fondement  de  ce  que  A  4-  E  fait  la  même  chose  que  A  —  E. 

(')  LclUc  inédite,  envoyée  à  Mcrsennc  avec  la  Pièce  suivante  XXXI.  Mersenne  adressa 
le  tout  à  Descai'tes  le  20  juillet  iC38.  D'autre  part,  cette  Lettre  XXX  fut  écrite  sur  le  vu 
de  celle  de  Ucscartes  à  Mersenne,  du  3  mai  (ci-mn/it  XXVII),  (]uc  le  Minime  n'adressa  à 
Fermât  ((u'après  le  1°'' juin  (voir  Lettre  XXIX,  3).  Les  deux  Pièces  XXX  cl  XXXI  sont 
donc  de  la  lin  do  juin  ou  du  commencement  de  juillet  itJ38. 

(2)  Lettre  XXVII. 

(3)  La  Pièce  XXXI. 


\X\.  -  JUIN  1638.  153 

3.  Reste  de  dire  un  mot  de  la  méthode  sur  le  sujet  de  rinveiitioii 
maxirncv  et  mini/)HV,  laquelle  il  prétend  être  fautive  et  en  allègue 
l'exemple  suivant  : 

Du  point  D  {fig-  6G)  il  faut  tirer  DA  sur  le  cercle,  en  telle  sorte 
(|u'elle  soit  la  plus  grande  (|iii,  du  point  U,  puisse  être  menée  au  dit 


cercle  sans  le  franchir  (ce  qui,  en  effet,  ne  veut  dire  autre  chose  que 
chercher  la  tangente  AD). 

Si  nous  prenons  CN  pour  A,  et  DA  pour  la  plus  grande,  selon  la 
méthode,  nous  trouverons  une  équation  impossible,  d'où  il  conclut 
que  la  méthode  est  insuirisante. 

Je  réponds  que  je  n'ai  garde  de  prendre  DA  pour  la  plus  grande 
(bien  (|ue  la  limitation  de  M.  Descartes  semble  lui  pouvoir  donner  ce 
nom  ),  d'autant  (|ue  la  méthode,  n'agissant  que  par  la  propriété  spéci- 
rupie  du  cercle,  en  trouve  toujours  de  plus  grandes  qui  peuvent  être 
tirées  au  dit  cercle  jusques  au  point  B.  Mais  la  méthode  satisfait  d'ail- 
leurs à  cette  question,  qui  y  peut  très  facilement  être  réduite,  comme 
M.  Descartes  a  reconnu,  et  voici  comment  : 

Puisque  DA  touche  le  cercle,  DA  est  à  AC,  perpendiculaire,  en 
moindre  proportion  qu'aucune  autre  ligne  tirée  du  point  D  au  cercle, 
de  l'un  et  de  l'autre  coté  du  point  A,  n'est  à  la  perpendiculaire  tirée, 
du  point  auquel  elle  concourt  avec  le  cercle,  sur  le  diamètre;  ce  qui 
paroi t  d'abord. 

Cherchons  donc  par  la  méthode  un  point  au  cercle,  comme  A,  en 
sorte  que  [)A  ad  AC  /labeat  minimam  proportionem ;  dahitur  jntncliun  A, 
idcoquc  tan  gens. 

Voilà  la  raison  de  l'opération  de  M.  Descartes,  qu'il  n'a  pas  dite, 

l'tnmT.  —  II.      •  ■•io 


154.  ŒUVUKS  DE  FERMAT.  -  COR  HESPONDANM.E. 

Ia(|iielle  contirine  la  règle  (oui  à  (ait.  Hien  loin  d'y  remarquer  des 
«léfauls,  je  crois  qu'il  y  trouvera  plus  de  facilité  qu'à  la  sienne  ('  ) 


XXXI. 

MÉTHODE  DR  MAXIMIS  ET  MINIMIS 

EXPLIQUÉE  ET  ENVOYÉE  l'AU  M.  FERMAT  A  M.  DESCARTES  (  =  ). 

(A,  f- 60  à  fi;.) 

1-  La  méthode  générale  pour  trouver  les  tangentes  des  lignes 
courbes  mérite  d'être  expliquée  plus  clairement  qu'elle  ne  semble 
l'avoir  été. 

Soi!  la  courbe  donnée  ZCA  {fig.  G7),  de  laquelle  le  diamètre  soit 
(,V>.  Soit  encore  donné  dans  la  courbe  le  point  A,  duquel  soit  menée 
rappliijnée  AH  sur  le  diami'Ire.  Il  faut  chercher  la  tangente  AD,  de 
la(|uclle  le  concours  avec  le  diami'tre  prolongé  se  fait  au  iioinl  [). 

Les  lignes  Alî  et  W<,  sont  données;  supposons  que  BA  s'app(dlc  //, 
et  (jue  H(]  s'appelle  I).  Supposons  (jue  la  ligne  BD,  que  nous  cher- 
chons, s'appidlc  A.  Prenons  à  discrétion  un  point,  tel  que  E,  sur  la 
tangente,  du(|uel  soit  tirée  EF  parallèle  à  AB,  et  supposons  ([ue  la 
lii:ne  BF  soit  K. 


(')  La  LeUrc  osl  évirlcmmcnl  incomplète.  D'après  la  réponse  de  Dcscarles  à  .Merscnne. 
en  date  du  9.7  jiiilkH  iG38  (f.ettrcs  de  Descartes,  éd.  Clersciicr,  Ht,  fifi,  p.  374-375),  Fcr- 
Miat  y  aurait  répondu  à  la  (question  V  de  Sainte-Croix  {voir  p.  G'i.  note),  c'est-à-dire 
donne  le  nombre  i  47(')  3o4  H9G,  comme  quatrième  connu  dont  le  double  soit  éi;al  ;i  la 
somme  de  ses  parties  aliquntcs.  Dcscarles  ajoute  : 

«  ...  il  met  un  peu  devant,  louchant  la  quatrième  question  de  M.  de  Sainte-Croix 
{)'oir\\.  ■)9,  noie  2),  que  j'aurai  peut-être  l'ait  la  même  équivocpie,  qui  lui  arriva  la  pre- 
mière fois  qu'elle  lui  fui  proposée,  et  que  j'aurai  cru  ([u'il  suflisoit  que  les  nombres  cher- 
eliés  no  l'ussonl  ni  cpiarrés,  ni  composés  de  deux  ([uarrés,  bien  qu'ils  fussent  conqio.sés  de 
quatre,  ce  (jui  n'est  pas  pourtant  selon  le  sens  de  l'auteur  etc.  » 

{")  Pièce  jointe  à  la  précédente  {-voir  page  iSa,  note  1).  —  Elle  a  été  publiée  par 
-M.  Charles  Henry  dans  ses  Recherches  sur  les  manuscrits  de  Pierre  de  Fermai 
(  pa^es  184  à  189),  d'après  le  brouillon  d'.Vrbogast.  Celui-ci  ne  l'a  connue  que  par  une 
copie  de  Merscnne,  aujourd'hui  perdue. 


XXXI.  -  JUIN   1638. 


135 


i\  m?  T,        r.    j-r7  n  \l\  A —- fi  in  E       ,     ,  , 

Donc  Lr  sera  D  —  E,  rh  sora  -^ ,  et,  do  quelque  ualure 

(|U(!  soil  la  courbe,  nous  douiierons  toujours  les  njèuies  nouis  aux 
lignes  CF  et  Fii  que  nous  venons  de  leur  donner. 


delà  étant  fait,  il  est  certain  que  le  point  E  de  la  li^ne  EF,  étant  dans 
la  tangente,  sera  liors  de  la  courbe,  et,  par  conséquent,  la  ligue  EF  sera 
|tlus  grande  ou  plus  petite  que  l'appliquée  qui  s'appuie  à  la  courbe  du 
poinl  F  :  —  plus  grande,  lors([ue  la  courbe  est  convexe  en  debors, 
comme  en  cet  exemple,  et  jikis  petite,  lorsque  la  courbe  est  convexe 
eu  dedans;  car  la  règle  satisfait  à  toutes  sortes  de  lignes  et  déler- 
mine  mémo,  par  la  propriété  de  la  courbe,  de  quel  coté  elle  est  con- 
vexe. —  Quoique  la  ligue  FE  soit  inégale  ii  rappli([uée  tirée  du  jioinl  !•' 
il  la  courbe,  je  la  considi're  néanmoins  comme  si  en  effet  elle  éloit  égale 
il  rap|)liquée,  et  en  suite  la  compare  par  adéquation  avec  la  ligne  FI, 
suivant  la  propriété  spécifique  de  la  courbe. 

2.   Comme,  en  la  parabole,  par  exemple,  je  fais 

coiiiMic  BC  à  CF,     ainsi  HA  (jnarré  à  FEc|iiairé, 

ou  bien,  pour  éviter  les  fractions  et  la  diversité  des  lignes, 

comme  lîC  à  (]F,     ainsi  DD  (luarié  à  DF(|iiarré; 

car  c'est  toujours  la  même  cliose,  ii  cause  des  deux  triangles  sem- 
blables DBA,  DFE. 

Ou  bien  encore  je  pourrois  comparer  \v.  ((narré  FE  avec  le  rectangle 
c()m[)ris  sous  le  côté  droit  et  la  ligne  CF,  comme  si  ce  quarré  étoil  égal 
il  ce  rectangle,  ((uoique  en  elfct  il  ne  le  soit  pas,  puisque  ce  sont  seule- 


156  ŒUVRES  DE   FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

mont  les  appliquées  à  la  courbe  qui  oui  la  propriété  que  nous  donnons 
par  adéquation  à  la  ligne  FE. 

Ola  étant  fait,  j'()te  les  choses  communes  et  divise  le  reste  par  E. 
.ren"ac(>  tout  ce  qui  reste  mêlé  avec  E  et  égalise  le  surplus,  de  sorte  que, 
par  cetle  dernière  équation,  j(>  connois  la  valeur  de  .1  et  par  consé- 
quent la  ligne  BD  et  la  tangente. 

3.  Et  pour  faire  voir  (jue  la  méthode  est  générale,  et  ([u'elle  satis- 
fait avec  pareille  facilité  ii  toutes  sort(>s  de  questions,  nous  la  pouvons 
appliquer,  pour  servir  d'un  second  exemple,  à  la  ligne  courbe  pro- 
posée par  M.  Descartes  (  '  ). 

Suit  la  courbe  CA  (11g.  G8),  de  laquelle  la propriélè  est  telle  que,  quelque 
point  qu'on  prenne  sur  la  dite  courbe,  comme  A,  tirant  la  perpendicu- 

Fi".  G8. 


lairc  AB,  les  deux  cubes  (^B  cl  BA  soient  égaux  au  parallélépipède  com- 
pris sous  une  ligne  droite  donnée,  comme  N,  et  sous  les  deux  lignes  (]B 
et  BA. 

Supposons  que  la  chose  soit  déjà  faite,  et  une  construction  pareille 
il  la  précédente,  avec  les  noms  des  lignes  BD,  B(>,  BA,  (]F,  PE.  il  faudra 
comparer,  par  adéquation,  les  deux  cubes  (iF,  FE  avec  le  solide  com- 
pris, sous  A'^,  FC,  FE. 

Les  deux  cubes  de  (IF,  FE  sont  en  notes 

Dcub.  —  licub.—  Dq.  in  /i\3  -i-  D  iii  fCq.  3 

Bcuh.  in  Aciih.—  licub.  in  EcuIj. —  ficiib.  in  Aq.  in  /i'.S  -f-  Bciib.  in  A  in  lîq.  3 

Acub.  ' 


(1)  f'oir  LcLlrc  XXV,  6. 


XXXI.  -  JUIN   1638.  157 

le  solide  do  A^  CF,  FE,  en  notes,  est 

NinD'm  /i  m  A  —  Vin  i)  in /?iii  ^  —  /Vin/?  in /l  \nE  -^-  N\n  BinEf/. 

.Multipliant  tout  par  Acub.,  il  faut  comparer 

De.  in  Ac.  —  Ec.  in   le.  —  Dq.  in  E  in  Ac.  3  -t-  Z>  in  Etj.  in  .le.  3 

-h  lie.  in  .1  c.  —  Be.  in  Ec.  —  Be.  in  A/j.  \\\  E .o  -\-  De.  in  Aq.  in  Eq.  i 

avec 

yVin  D  in  />'  in    le.  —  Vin  D  in  B  in  /?  in  Aq. 

—  Vin  B  in  E  in  .Je.  +  Ain  B  in  /T»/.  in  A  q. 

Otous  les  choses  communes,  savoir,  du  premier  terme. 

De.  in  .-le.  +  Bc.  in  Ac., 

et  du  second, 

/Vin  />  in  /y  in  /le., 

(|ui  sont  égaux  par  la  propriété  de  la  ligne;  —  puisque  les  deux 
t.'uhes  De.  et  lie,  répondant  aux  cubes  des  deux  lignes  B(]  et  Wk, 
sont  égaux  au  solide  xVin  A>in  B,  ([ni  répond  \\  celui  de  la  ligne  donnée 
et  des  deux  lignes  BC  et  BA.  —  Divisons  le  reste  par  E  et  olons  ensuite 
tout  ce  qui  se  trouvera  mêlé  avec  E;  restera  enfin 

Dq.  in  A  lei'  -h  B  ciib.  ter       égal  ù       A' in  D  in  B  +  .l'in  B  in  A. 

et  ainsi  nous  aurons 

/Vin  D  in  Brrz  B  euh.  1er 


Dq.  1er  =  .A' in  B 


égal  ;i    A, 


ce  qu'il  falloit  chercher. 

Nous  avons  mis,  suivant  la  méthode  do  Vièlc('),  deux  lignes  =  [tour 
la  marque  du  défaut,  parce  qu'il  n'appert  point,  s'il  n'a  étédil  d'ail- 

(')  Kicte,  lu  AiLem  analylicen  Isagoge,  cap.  iv,  pruîc.  m  (lid.  Sciiootcii,  Le\(le.  Kl/.c- 
virs,  1640,  page  5)  : 

n  Cum  autem  non  proponiuir  uira  magniludo  sll  major  vel  minor,  cl  lamcii  subdiiclin 
>>  facionda  esL,  nola  dilTercnliie  csl  =  id  est,  minus  incerlo  :  ui  proposilis  A  (luadralo  pt 
1)  13  piano,  dilTcrcnlia  ei'it  A  ((uadratuin  =  li  piano,  vcl  li  phuiuni  =  .\  quadrulo.  u 


158  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

leurs,  quelle  est  la  proportion  des  deux  lignes  B  et  D,  ou  hien  BA  et 
BC,  données.  Car  il  peut  arriver  que  quelquefois,  suivant  la  diversité 
des  proportions  de  B  et  de  D,  la  ligne  courbe  sera  convexe  et  d'autres 
l'ois  concave;  quelquefois  encore  que  la  tangente  sera  parallèle  au  dia- 
mètre BC;  quelquefois  enfin  que  le  concours  avec  le  diamètre  se  fera 
de  l'autre  côté,  ce  qui  se  détermine  aisément  par  la  méthode  même, 
lorsqu'on  nous  donne  la  proportion  des  deux  lignes  données  BAetBC, 
comme  il  est  très  aisé  de  voir  et  de  faire  comprendre.  Lorsque  je  parle 
de  la  proportion  des  deux  lignes  données,  j'entends  leurs  valeurs,  en 
nombres  ou  sourds  ou  ralionaux;  car  autrement  on  sait  assez  que,  deux 
lignes  étant  données,  leur  proportion  est  aussi  donnée. 

4.  Il  parait  donc  que  ou  je  me  suis  mal  expliqué  ou  que  M.  Descartes 
a  mal  compris  mon  Ecrit  latin  (');  s'il  veut  (jue  ce  soit  le  premier,  je 
ne  le  lui  contesterai  gui're.  II  s'est  aussi  trompé  en  ce  qu'il  a  cru  que, 
pour  appliquer  la  méthode  de  maximis  el  minimis  à  l'invention  des 
tangentes,  il  l'alloit  chercher  une  ligne,  comme  AD  {fig-  ("'9),  menée. 


lin  point  A  donné,  sur  le  diamètre,  en  telle  sorte  que  AD  soit  la  plus 
grande  qui  puisse  être  tirée  du  point  D  ii  la  courbe.  M.  de  Roberval  (*) 
lui  a  déjà  fait  voir  la  raison  de  son  mécompte,  duquel  il  a  voulu  tirer 
celle  conséquence,  que  la  méthode  de  maximis  et  minimis  étoit  fautive 
el  avoit  besoin  d'être  corrigée,  en  (|uoi  il  s'est  aussi  bien  trompé  qu'au 
reste. 

5.  Mais  pour  lui  marquer  de  quelle  façon  la  méthode  de  maximis  cl 
minimis  peut  être  appliquée  à  l'invention  des  tangentes,  la  voici  : 


(')  Metliudiix  ad  disqnirciidain  maxiniont  et  miriiniani.  Tome  I,  I>age  l'iS. 
(2)  Lcttref  de  Descartes,  éd.  Cicrselier,  111,  58. 


\XX1.  -  JUIN  1638.  159 

Lo  point  A  étant  donné,  il  faut  avoir  recours,  non  pas  admaximani. 
puisqu'on  ne  trouvcroit  que  l'infini,  mni<,  ad  minimam.  Cherchons 
donc  le  point  0  dans  le  diamètre,  de  telle  taçon  que  la  ligne  OA  soit  la 
plus  courte  qui  puisse  être  tirée  du  point  0  à  la  courbe.  Le  point  0 
étant  trouvé  par  la  méthode,  joignez  les  deux  points  0  et  A  par  la 
ligne  OA,  et  tirez  la  ligne  AD  perpendiculaire  sur  OA.  Je  dis  ((ue 
la  ligne  AD  touchera  la  courb(!,  ■<  ce  >  dont  la  démonstration  est 
aisée. 

Car  si  AD  ne  touchoit  pas  la  courho,  une  autre  droite  la  loncheroil 
au  point  A,  laquelle  fera  son  concours  au  dessus  ou  au  dessous  de  I), 
et  tous  ses  points  seront  hors  de  la  courbe,  et  elle  fera  des  angles  iné- 
gaux avec  OA  au  point  A.  Si  donc,  sur  cette  touchante  supposée,  du 
point  0  l'on  tire  une  perpendiculaire,  elle  ne  rencontrera  pas  la  lou- 
chante au  [)oint  A,  mais  au  dessus  ou  au  dessous,  et  elle  coupera  la 
courbe  plus  tôt  (jue  d'arriver  ;i  la  touchante.  Donc  la  partie  de  cette 
perpendiculaire  comprise  entre  le  point  0  et  la  courbe  sera  plus  courte 
(|ue  la  perpcndicuLaire,  et  la  perpendiculaire  étant  plus  courte  (|ue  OA, 
à  cause  de  l'angle  droit,  il  s'ensuivra  (|ue  la  ligne  comprise  entre  la 
courbe  et  le  point  0,  faisant  partie  de  la  perpendiculaire,  sera  plus 
courte  que  OA,  laquelle  pourtant  nous  supposons  la  plus  courte  de 
toutes  celles  qui  du  point  0  peuvent  être  menées  à  la  courbe. 

Que  si  la  ligne  (]A  (/ig.  70)  est  convexe  en  dehors,  soit  la  tan- 


gente DA  sur  laquelle  soit  tirée  la  perpendiculaire  AO.  Il  paroit  par 
la  construction  que  M)  est  la  plus  courte  de  toutes  celles  (]ui  du 
point  0  sont  menées  à  la  courbe,  de  sorte  qu'en  cherchant  le  point  0, 
le  point  A  étant  donné,  on  trouve  aisément  la  tangente. 


160  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

6.  11  reste  donc  de  chercher  le  point  0  par  la  méthode. 

Soit  par  exemple  la  parabole  donnée  CIA  (fig.  67)  sur  laquelle  le 
point  A  soit  donné.  Je  i^eux  chercher  le  point  0,  en  sorte  que  OA  soit  la 
plus  courte  de  toutes  celles  qui  du  point  0  peuvent  être  menées  à  la  para- 
bole. 

Fis.  G- 


BC,  comme  ci-devant,  s'appellera  D,  et BA s'appellera/?,  le  coté  droit 
de  la  figure,  Z,  donné,  puisque  la  parabole  est  donnée.  Supposons  que 
()B  soit  A.  Donc  le  quarré  OA  en  notes  sera  Aq.  -+-  />q. 

Prenons  maintenant,  au  lieu  de  la  ligne  A  ou  OB,  OF  ou  A  +  E.  Si 
du  point  F  nous  menons  l'appliquée  FI,  son  quarré  sera  en  notes 

Z  \n  D  —  Ziii  /i', 

lequel,  ajouté  ;iu  quarré  de  OF,  fera 

A  q.  +  Ef/.  +  A  in  E  l)is  +  Z\i\  D  —  Z\\\  E, 

et  celle  somme  fera  le  quarré  de  01,  lequel  doit  être  plus  grand  (jue 
celui  de  OA,  puisque  son  coté  est  supposé  plus  grand  que  OA.  Compa- 
rons donc  en  noies,  par  adéquation,  les  quarrés  01  et  OA. 
Nous  aurons  d'un  côté 

y\q.+  Bq., 

el  de  l'autre 

yif/.  -h  Eq.  -^-  A  in  /i  bis  -\-  Z  \n  D  —  Z\n  E. 

Otons  les  choses  communes;  la  comparaison  restera  entre 

Eq.  -H  A  in  E  bis 

d'un  coté,  et 

if  in  É" 

de  l'autre;  car  Bq.  est  égal,  par  la  propriété  de  la  parabole,  à  Zin  />. 


XWI.   -   DE  MAXIMIS  ET  MINIMIS.  161 

Divisons  le  tout  par  E,  et  du  reste  olons  le  même  E  : 

A  l)is  sera  égal  à  Z, 

et  partant  A  ou  OB  sera  égal  à  la  moitié  du  côté  droit  de  la  parahole, 
et  la  tangente  est  trouvée. 

1-  C'est  ainsi  que  j'appliquois  ma  méthode  pour  trouver  les  tan- 
gentes, mais  je  reconnus  qu'elle  avoit  son  manquement,  à  cause  que 
la  ligne  01  ou  son  quarré  sont  d'ordinaire  malaisés  à  trouver  par  cette 
voie;  la  raison  est  prise  des  asymmétries  qui  s'y  rencontrent  aux  ques- 
tions tant  soit  ])eu  dilficiles,  et  qu'on  ne  peut  éviter,  puisque,  sur 
/)  —  E  en  notes,  il  faut  donner  un  nom  à  FI  aussi  en  notes,  ce  qui  est 
souvent  1res  malaisé. 

La  méthode  de  M.  Descartes  n'otc  pas  non  [)lus  tous  les  inconvé- 
nients, car  ohligeant  à  mettre  \!s<;  —  ec-f-  2e>'  —  vy  au  lieu  de  x,  et  le 
quarré  de  cette  somme  au  lieu  de  xx,  et  son  cube  au  lieu  de  x',  et 
ainsi  des  autres,  —  c'est  ainsi  qu'il  parle  ('  )  page  3^\-2,  —  si  on  lui 
propose  de  trouver  la  tangente  à  une  courbe,  en  sorte  que,  faisant  en 
sa  figure  MA  égal  à  v  et  CM  à  x,  on  ait  l'équation  suivantes  qui  expli(|Mi' 
l(!  rapport  qui  est  entre  .r  et  v. 


Oy''  -i-  Py  +  b-y--  -+.  l,-y^  +  h'' y  JO  .f'»  —  dx'>  —  J'.z''  —  d'' X'  —  d' x'  —  dKr, 

il  me  semble  qu'il  lui  sera  très  malaisé  de  se  desembarrasser  des  asym- 
métries (jui  se  rencontrent  en  cette  question  et  autres  semblables  et 
plus  difficiles  encore,  si  on  veut,  à  l'intini;  ce  que  je  serai  bien  aise 
(|u'ii  prenne  la  peine  d'essayer. 

8.  Puisque  donc  ces  deux  méthodes  paroissent  insuffisantes,  il  en 
falloit  trouver  une  qui  levât  toutes  ces  difficultés. 

Il  me  semble  avec  raison  (]ue  c'est  la  première  que  j'ai  proposée,  car 

(-F  restant  toujours  D  —  E,  et  FK,  1 >  je  ne  vois  ru'n  (|ui 

(')  Géométrie  de  Dcscarles,  éd.  Ilcniiann.  Paris,  iSKG.  page  33,  au  bas.  — Dans  la 
figure,  A  esl  le  somincl  iTiinc  courbe,  AxM  l'abscisse,  MC  l'ordonnée  couranlc;  Fermai 
noie  d'ailleurs  cxaclemcnl  les  coordonnées  comme  l'avait  fait  Dcscarles. 

I'lrmat.  —  II.  21 


IG2  (KUVUKS   DE  FERMAT.-   CORRESPONDANCE. 

nn|ircli('  (jii'dn   ne  [)uisse  le  coin  paroi-,  on  prenant,  si  vons  vonioz, 

,,        ,,  ,    n\n  -I  -/?in/i  ... 

I)  —  h  ponr  V  o( ponr  x,  sans  roneonfror  jamais  nue 

seule  asyininoh'io,  v\\  qnoi  oonsislo  la  faeiiilé  e(  la  porCedioii  i\i'  colle 
niolliode. 

9.  On  poiirrnil  ensnile  elierehor  la  converse  do  cotlc  proposition 
et,  la  [)ro[)riété  de  la  tangente  étant  donnée,  chorojii'r  la  coiirho  ;i  (|ni 
ootio  [iropriélé  doit  convenir  :  à  laquelle  queslion  aboutissent  eidlos 
dos  verres  l)riilants  proposées  par  M.  Descartes.  Jlais  cela  mérite  un 
discours  ;i  part  et,  s'il  l'agrée,  nous  eu  conférerons  quand  il  lui  plaira. 
Je  d(!siro  seulement  qu'il  sache  (juc  nos  questions  de  inaximis  cl  lui- 
nimis  et  t/c  laiigcnlibas  lincarinn  ci/n'aru/n  sont  parfaites  depuis  huit 
ou  dix  ans  et  ({ue  plusieurs  personnes  (jui  les  ont  vues  depuis  ciiu]  ou 
six  ans  le  peuvent  témoigner. 

S'il  désire  voir  l'apiilication  (')  (jue  je  lais  de  cette  inéihe  méthode 
pour  trouver  les  centres  de  gravité  des  espaces  compris  des  ligues 
courbes  et  de  leurs  solides,  je  la  lui  ferai  voir  el  lui  proposerai  cepou- 
daiit,  s'il  l'agrée,  (\('  trouver  le  centre  de  gravité  du  cnnoide  (jut  se  feiit 
lorsrjne  l<i  demie  parabole  (]BA  est  tournée  sur  son  applujuée  15 A,  el  celui 
aussi  de  tontes  ses  portions,  comme  aussi  la  proportion  (pi'elles  ont  an.v 
cônes  de  même  hase  et  de  mctne  hauteur  (-). 

(  '  )  Ccnlriiin  paroljolici  coitoiilis,  Toino  I,  p.  i3(i. 
(M  roir  IaHIics  IX,  7;  XIII.  6:  XV,  5. 


\\\11.  -  27  JUILLET  1638.  163 

\X\II. 

DESCARTF.S  A  FERMAT  ('). 

MAllDI  27  JllLr.KT   1038. 

(U.  111,  (m.) 
î\F().NSIKi:il, 

,)('  n'iii  [);is  eu  iiKiins  de  joie  tic  recevoir  la  I>e((re  (')  par  l;!(|iielle 
vous  uie  failes  la  faveur  de  nu'  jM'onictlre  votre  amilié,  que  si  clic  me 
veuoit  de  la  part  d'une  niaitrcsse  dont  j'aurois  passionnément  désiré 
les  bonnes  grâces  :  et  vos  autres  écrits  qui  ont  précédé  me  l'ont  sou- 
venir de  la  Hradamantc  de  nos  poêles  (M,  laquelle  ne  vouloit  recevoir 
personne  pour  serviteur  qui  ne  se  IVit  auparavant  éprouvé  contre  elle 
au  comltat. 

(]e  n'est  pas  toutefois  que  je  |)réten(l(>  nu-  comparer  à  ce  Roger  (jui 
éloit  seul  au  moiul(!  capable  de  lui  résister;  mais,  tel  ({ue  je  suis,  je 
vous  assurt;  que  j'honore  extrêmement  votre  mérite.  Kt  voyant  la  der- 
nière l'açon  (*)  dont  vous  usez  pour  trouver  les  tangentes  des  lignes 
courbes,  je  n'ai  autre  chose  à  y  répondre,  sinon  qu'elle  est  très  bonne 
l'I  ([ue,  si  vous  l'eussiez  expliquée  au  commencement  en  celte  façon, 
je  n'y  eusse  point  du  tout  contredit. 

(le  n'est  pas  (|u'(ui  ne  juil  [)roposer  divers  cas  (jui  obligeroient  à 
(dierclier  derecluT  d'autres  biais  pour  les  démêler,  mais  je  ne  doute 
point  (|ue  vous  ne  les  trouvassiez  aussi  bien  que  celui-là. 

11  est  vrai  que  ji'  ne  vois  pas  encore  pour  quelle  raison  vous  voulez 

(')  l.eUi'o  aiJrusscc  par  riiUcrinùdiairc  de  Mci'scnno,  eu  môme  Icnips  (|uo  celle  do  Ucs- 
cai'tes  au  .Minime  de  la  nioniu  date  (Clersclicr,  111,  GG),  dont  l'original  (liibl.  Nal.  fr.  n.  a. 
mGo,  f°  I  )'  V°)  porlc  en  mari;c  ces  mois  : 

«  .le  vous  umioyo  ma  IcUre  pour  iM.  de  Fermai  toute  ouuerle,  mais  vous  la  fermerez  s  il 
vous  plaisl  auaiit  ipie  de  lui  eiiuoycr  pour  la  Ijieiiscancc.  u 

(-)  Lellrc  perdue. 

(')  Expression  quclipio  jieu  singulière,  |)uisque  Uradamantc  cl  llogcr  apparlienncnl  à 
VOrlaïulo  iiKiniiirotn  do  Bcrni  cl  à  ÏOrlaiido  Jiirio.sii  de  IWriosle. 

{■')  l'air  Pièce  XXXI. 


16V  ŒUVUES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


()uc  votre  première  règle,  pour  clicrchcr  les  plus  grandes  et  les  moin- 
dres, se  puisse  appliquer  à  l'invention  de  la  tangente,  en  considérant 
la  ligne  qui  la  coupe  ii  angles  droits  comme  la  plus  courte,  plutôt  qu'en 
considérant  cette  tangente  comme  la  plus  grande,  sous  les  conditions 
(|ui  la  rendent  telle. 

(]ar,  pendant  qu'on  ne  dit  point  la  cause  pourquoi  elle  réussit  en 
l'une  de  ces  façons  plutôt  qu'en  l'autre,  il  ne  sert  de  rien  de  dire  que 
t(da  arrive,  sinon  pour  faire  inférer  de  là  que,  même  lorsqu'elle  réus- 
sit, elle  est  incertaine.  Et,  en  effet,  il  est  impossible  de  comprendre 
tous  les  cas  qui  peuvent  être  proposés  dans  les  termes  d'une  seule 
règle,  si  on  ne  se  réserve  la  liberté  d'y  changer  quelque  chose  aux  oc- 
casions, ainsi  que  j'ai  fait  en  ce  que  j'en  ai  écrit,  où  je  ne  me  suis  as- 
sujetti aux  ternies  d'aucune  règle,  mais  j'ai  seulement  expliqué  le  fon- 
dement de  mon  procédé  et  en  ai  donné  (juelques  exemples,  afin  que 
chacun  l'appliquât  après,  selon  son  adresse,  aux  divers  cas  qui  se  pré- 
senteroient. 

(À'pendanl  je  m'écarte  ici,  sans  y  penser,  du  dessein  de  cette  Lettre, 
lc(juel  n'est  autre  que  de  vous  rendre  grâces  très  humbles  de  l'olTre 
(ju'il  vous  a  plu  me  faire  de  votre  amitié,  laquelle  je  tâcherai  de  mé- 
riter, en  recherchant  les  occasions  de  vous  témoigner  que  je  suis  pas- 
sionnément, etc. 


XWIil. 
FERMAT  A  MERSENNE. 

MARDI   10  AOUT   1638. 

(A,    [""  21--J3,    B,  f   3-',    v.) 

Mon  RicviinEM)  Pèke, 

1-  Je  ne  vous  écris  h  ce  coup  que  pour  vous  remercier  très  humble- 
ment de  la  peine  que  vous  prenez  à  me  faire  part  des  curiosités  cjui 
(omhenl  en  vos  mains. 


WXIII.  -  10  AOUT   1G38.  Km 

Je  vous  renvoie  voire  Kcrit  Harmonique  ('),  duquel  je  vous  dirai 
une  au(re  fois  pleineuienl  mes  sentiments. 

Maintenant  je  me  trouve  sur  le  point  d'aller  à  la  eampagne,  |>oiir 
iiii(>  commission  de  ma  charge,  d'où  je  n'aurai  nulle  commodité  pour 
vous  écrire,  de  quoi  je  vous  demande  pardon  par  avance,  vous  conju- 
rant de  ne  rester  |)as  pour  cela  de  m'écrire  par  tous  les  courriers;  car 
j'ai  baillé  ordre  pour  l'aire  (jue  vos  leKics  me  soient  rendues,  lesquelles 
vous  mettre/,  au  bureau  en  la  forme  ordinaire. 

2.  J'adends  surtout  avec  impatience  de  voir  rétracter  M.  Descartes 
du  jugement  qu'il  avoit  fait  de  ma  méthode,  et  de  l'impossibilité  ((u'il 
s'étoit  tiguré  qu'elle  avoit,  j)Our  résoudre  la  question  de  sa  figure,  de 
laquelle,  sans  doute,  il  a  maintenant  vu  les  tangentes  (-). 

3.  Vous  direz,  s'il  vous  plait,  à  M.  de  IloI)crval,  que  j'ai  trouvé 
celle  ( ')  qui  lui  manquoit  pour  les  connoitre  toutes,  et  que  je  satis- 
ferai il  ses  autres  ([uestions  à  mon  retour. 

4.  i'our  les  nombres  des  parties  aliquotes  ('),  si  j'ai  loisir,  je  met- 
trai par  écrit  ma  méthode  analytique  sur  ce  sujet  et  vous  en  ferai  part, 
.le  trouve  que  M.  Frenicle  se  tient  fort  caché  et  ne  veut  pas  découvrir 
son  artifice,  .le  n'en  fais  pas  de  même,  car  vous  savez  assez  avec  quelle 
liberté  j'étale  toutes  mes  pensées. 


(,')  Les  LcUi'CS  ([iii  siiiveiil  ne  rciifcniic;il  rien  au  sujet  de  col  ÉcriL  llarmoniiiiic,  (|iii 
dcviiil  ôti'C,  iioii  pas  de  Morsciinc,  mais  d'un  de  ses  currcspondaïUs,  |ieiil-ùlrc  Baunius, 
de  Harlem  {Lettres  âc  De.icttricv,  éd.  Cicrsclior,  lit,  (j8,  p.  SgS),  peul-ètre  Gandais  (ibid.. 
II,  07,  p.  4  i8). 

( -)  /'(«>  Pièce  X.KXI,  3.  —  l'ernuil  n'a  pus  encore  regu  la  lellre  de  Descartes,  XX.KIi. 

^•■')  roir  Lettre  XXX-V,  2. 

( '•  )  roir  page  i54,  note  i.  —  Dès  le  i^'inai  if)38  (Lettres  de  Dexcfirtes,  éd.  Clcrso- 
lier,  111,  G8,  |i.  jy),  Mcrscnne  avait  demandé  à  Descarlcs  une  règle  pour  trouver  des 
nombres  ayant  un  rapport  donné  avec  la  somme  de  leurs  [larties  aliquotes.  Le  1 3  juillet 
(ilnd.,  II,  8i),  p.  388),  Doseurtos  avait  envové  au  Minime  sept  nombres  satisfaisant  à  cette 
condilion  pour  les  rapports  -J  ou  |.  Frenicle  fit  faire  à  ce  sujet  une  Communication  à  Des- 
cartes (('/,'«/.,  Il,  (ji,  Lellre  de  Descartes  à  Mersenne  du  ij  novembre  i038,  p.  408-409), 
et  lui  adressa  ensuite  directement  une  Lettre,  à  la((uelle  Descartes  répondit  {ibid., 
II.  .j'i). 


IGC  G'  UNI!  !•:  S   1)  E   F  E  H  M  AT.  -  C  0  It  I!  E  S 1'  0  N  D  A  N  C  E. 

5.  Je  lirai  le  Galilui  (')  on  mon  voyage,  ;i  quoi  je  n'ai  pu  encore 

vaquer,  à  cause  des  occupations  de  la  tin  du  l'arlemenl.  Souvenez-vous 

(le  in'écrire,  bien  que  vous  ne  receviez  pas  de  mes  lellres,  el  croyez- 

nidi,  mon  Révérend  Père, 

Voire  (ri's  luiml)le  serviteur, 

FlCIlJIAT. 
A  Toulouse,  ce  10  unûl  i(i3S. 

<  l'.-S.  >  6.  1mi  relisant  une  de  vos  Lettres,  j'ai  trouvé  que  vous 
me  demandiez  ma  pensée  sur  la  ([uestion  25  des  MécJianiqucs  d'Aris- 
lole  (■).  Si  vous  cherchez  parmi  vos  papiers,  vous  Irouverez  (jue  je 
vous  l'ai  envoyée,  il  y  a  longtemps,  (oui  au  long. 

7-  Pour  les  centres  de  gravité,  il  y  a  plus  de  deux  ans  (|ue  je  les  ai 
envoyés  ii  M.  de  Roherval.  des  figures  mêmes  auxquelles  .^I.  Des- 
ear(es(')(lit  les  avoir  trouvés  et  desquelles  on  peu!  dériver  tous  li's 
autres. 

(^ar  celui  de  la  parahole  quarrée,  <|ui  est  l'ordinaire,  divise  l'axe  en 

deux  parties  qui  sont 

comme  3  à  ■?.; 

la  cubique, 

comme  4  l\  3; 

(  '  )  I.CS  Diirorsi  imprimés  ù  I.cydo  en  iG3S.  l'oir  |i;ii;o  i  la,  noie  i . 

(-)  i(  On  dcmanilc  poun|uoi  deux  cercles,  l'un  plus  grand,  l'aulrc  plus  pelil.  pliicés 
1)  concentriquement,  parcourent  des  longueurs  égales  lorsqu'on  les  fail  rouler  ensemble, 
))  tandis  que  les  longueurs  parcourues  par  les  cercles  roulant  isolément  sont  dans  le  rap- 
11  jiort  de  grandeur  (des  diamètres)  des  deux  cercles;  pounpioi,  d'autre  part,  quand  ils 
11  sont  adaptés  concentriquement,  la  longueur  i)arcouruo  dans  le  roulement  est  égale 
11  tantôt  à  celle  que  parcourrait  le  petit  cercle  roulant  seul,  tantôt  à  celle  (]uc  parcourrail 
11  le  grand  cercle.  » 

Dans  les  explications  qu'il  donne  à  es  sujet,  Aristote  admet  que  la  longueur  parcourue 
par  un  cercle  qui  roule  est,  après  un  tour  complet,  égale  à  la  circonférence  de  ce  cercle  : 
mais  il  n'arrive  pas  à  définir  cinétiquement  le  glissement,  et  fait  intervenir  des  considéra- 
lions  dynami(iues  qui  sont  en  réalité  étrangères  à  la  question. 

(')  Lettrex  <lv  Dcicnrte^,  éd.  Clenselier,  II,  89,  Lettre  à  Merscnne  du  i3  juillet  i(i3s, 
pages  38(1-387.  —  Fermât  avait  énoncé  la  règle  générale,  pour  trouver  le  centre  de  gra- 
vité d'une  aire  de  parabole  do  degré  quelconque,  dans  sa  Lettre  à  Roberval  du  4  novembre 
jfi3G  {voir  XV,  5). 


\\\1V.  —  Il   OCTOlîRl'    IG:î8.  I(j- 

l:i  (|iiarr(''(|u;irréo, 

comme  .J  à  4; 

la  siirsoliilc, 

comme  G  à   >, 

cl  ainsi  il  riiirmi. 

I"]t  ce  (|U('  vous  Irouvorcz  de  plus  incrvoilloux,  c'est  que  ces  (|ues- 
(ioiis  se  (rouvent  par  ma  mélhode  de  mnxintis  et  minimis  ('),  comme 
'1.  lie  lli)!)erval  vous  fera  voir,  et  ii  M.  Descaries. 


XXXI V. 

DKSCARTES  A  FERMAT  (-). 

<  li;m)i  11  ocToiiiii!  1(J3S  > 

(D,  m,  (i'i). 

MoNSlELIl, 

1-  Je  sais  liieii  (|iie  mon  approhation  n'est  point  nécessaire  pour 
vous  l'aire  juger  (juelle  opinion  vous  devez  avoir  de  vous-même,  mais 
si  elle  y  peut  contrihuer  quelque  chose,  ainsi  que  vous  me  faites  l'hon- 
neur de  m'écrire  (■'),  je  pense  être  obligé  de  vous  avouer  ici  franche- 
ment (|ue  je  n'ai  jamais  connu  personne  (jui  m'ait  lail  paroitre  (|u'il 
sù(  (ant  que  vous  en  (Géométrie. 

2.  La  tangente  de  la  ligne  courhe  (|ue  décrit  le  mouvement  d'iiiie 
roulette,  (|ui  est  la  derniiM-e  chose  que  le  Révérend  Père  Mersenne  a 
pris  la  peine  de  me  communiquer  de  votre  pari,  en  est  une  [)reuve 
très  assurée.  Car,  d'autant  (ju'elle  semhle  dépendre  du  rapport  (|ui  esl 

(')  f'oir  l'Kcril  Ccnlruin  ^ravilatu  parabo'.ici  coiioidi\,  Tniuc  1,  pago  i3G. 

(-)  D.ms  une  LcUro  à  Mcrscnnc  du  i5  novembre  iG'iS,  Descarlcs  (éd.  Clerselicr,  11,".»', 
j).  4o6-.'i07)  dii  lui  avuir  adrcssù  une  Lettre  pour  l'ermat  cinq  semaines  auparavant,  dans 
un  paquet  qui  devait  arriver  à  Paris  environ  la  mi-oetobrc.  Il  s'agit  évidemment  de  celle- 
ci,  (|ui  a  donc  élc  mal  datée  du  i.'>  septembre  par  l'annotateur  anonyme  do  l'exemplaire 
de  l'Institut. 

(')  Dans  une  Lettre  perdue. 


168  OEUVRES  DE  FERMAT.-  COHUESPONDAN'CE. 

cuire  une  ligne  droite  et  une  circulaire,  il  n'est  pas  aisé  d'y  a|)|(li(|iier 
les  ri'gles  qui  servent  aux  autres,  et  iM.  de  Roborval  qui  l'avoit  propo- 
sée, qui  est  sans  doute  aussi  l'un  des  premiers  géoinl^tres  de  notre 
siècle,  confessoit  ne  la  savoir  pas  et  mènie  ne  coiinoilre  aucun  nioy(M) 
pour  y  parvenir ('). 

Il  est  vrai  que  depuis  il  a  dit  aussi  qu'il  l'avoit  trouvée,  mais  c'a  été 
justement  le  lendemain,  apri's  avoir  su  (|ue  v(»us  cl  moi  <  la  >  lui 
envoyions,  et  une  marque  certaine  qu'il  se  mécomploit  est  qu'il  disoil 
avoir  trouvé  en  même  temps  que  votre  construction  étoit  fausse, 
lorsque  la  hase  de  la  courbe  étoit  plus  ou  moins  grande  que  la  circon- 
férence du  cercle  :  ce  qu'il  eut  pu  dire  tout  de  même  de  la  mienne, 
sinon  qu'il  ne  l'avoit  pas  encore  vue,  car  elle  s'accorde  eniii'remcnt 
avec  la  vôtre  (-). 

3.  Au  reste,  Monsieur,  je  vous  prie  de  croire  (jiu-,  si  j'ai  témoigné 
ci-devant  n'approuver  pas  tout-;i-fait  cei'taines  choses  particulières  ((ui 
vonoient  de  vous,  cela  n'empcche  point  que  la  déclaration  (|ue  je  viens 
de  faire  ne  soit  très  vraie.  Mais  comme  on  remarque  plus  soigneuse- 
ment les  petites  pailles  des  diamans  que  les  plus  grandes  taches  des 
pierres  communes,  ainsi  j'ai  cru  devoir  regarder  de  plus  près  ii  ce  qui 
venoit  de  votre  part  que  s'il  fut  venu  d'une  personne  moins  estimée. 

Et  je  ne  craindrai  pas  do  vous  dire  que  celte  même  raison  me  con- 
sole, lorsque  je  vois  que  de  bons  esprits  s'étudient  à  reprendre  les 
(dioses  que  j'ai  écrites,  en  sorte  qu'au  lieu  de  leur  eu  savoir  mauvais 
gré,  je  pense  être  obligé  de  les  en  remercier,  (le  (|ui  peut.  c(>  me 
semble,  servir  à  vous  assurer  que  c'est  vérilablemeul  et  sans  liction 
(|ue  je  suis,  etc. 

(1)  Lettres-  de  De.tcnrtcx,  cil.  Clcrsdier,  III,  (ii,  |i.  3Jo.  —  Dans  celle  Lelli'o  à  .Mcr- 
sennc,  du  a3  août  if>3S,  Descarlos  donne,  ])oni'  la  langenle  en  nn  poiiil  donné  d'une  c;  - 
iduïde  ordinaire,  allongée  ou  raccourcie,  la  conslruction  fondée  sur  la  considéraiion  du 
eenirc  instantané  de  rotation. 

(2)  Cp.  Lettres  de  Descartes,  II,  gi,  p.  4oo-ioi.  —  La  construction  de  l'ernial.  pour  la 
tangente  a  la  cycloïde,  fut  envoyée  par  Mcrscnnc  à  Descartes  le  ii  septembre  i03S.  — 
rair,  ])our  celte  conslruction,  Tome  1,  p.  iG3. 


XXXV.  -  22  OCTOBRE  1G38.  1G9 

XXXV. 

FERMAT  A  MERSENNE. 

VENDREDI  22  OCTOBIIE   1G38. 
(A,  f"39-4'r,  B,  f-  io"-i2".) 

1-  Je  reprends  le  style  géométrique  après  vous  avoir  parlé  d'af- 
faires ('). 

Premièrement,  je  vous  renvoie  le  sentiment  de  M.  Descartes  sur  la 
Géostatique  (-),  et  vous  conjure  de  me  faire  part  de  tout  ce  que  vous 
avez  de  lui. 

2.  Après  cela,  je  satisferai  ii  la  question  de  la  tangente  du  galand 
parallèle  à  l'axe  ('),  c'est-ii-dire  qui  fasse  un  angle  de  45  degrés  avec 
la  droite  donnée  par  position. 

Pour  satisfaire  à  cette  question,  qui  semble  d'abord  malaisée  et  qui 
l'a  paru  ii  M.  de  Roberval,  car  je  n'ai  pas  encore  vu  la  solution  de 
M.  Descartes  ('),  je  me  suis  servi  de  la  méthode  de  mon  Appendix  ad 
locos  ('),  de  laquelle  l'usage  en  plusieurs  rencontres  est  miraculeux, 
pour  éviter  les  asymmétries  et  cette  longueur  d'équations  qui  sem- 
blent ne  devoir  jamais  prendre  fiu. 

Soit  donné  le  galand  NSQR  (Jig-  71),  la  droite  donnée  par  positiou 
DNOP,  et  la  ligne  Z  donnée  de  grandeur. 

La  propriété  du  galand  est  que,  quel  point  que  vous  preniez,  comme 

(  '  )  Le  commcncemcnl  de  ccUc  Letlre  inédite  est  perdu. 

(-)  La  LcUro  do  Descartes  à  Mcrscnne  (éd.  Clerselicr,  l,  yZ)  du  i3  juillet  i(i38  :  Exa- 
men de  la  quesUon,  savoir  si  un  corps  pèse  plus  ou  moins,  étant  proche  du  centre  de  la 
terre,  qu'en  étant  éloigne. 

(3  )  f'ucr  Lettre  XXXIII,  3.  —  C'était  Roberval  qui  avait  posé  cette  question,  après  avoir 
donné  le  nom  de  galand  (nœud  de  ruban)  à  la  courbe  proposée  par  Descartes  et  dont  il 
avait  étudié  lu  forme. 

(*)  Cette  solution  se  trouve  dans  la  Letlre  de  Descartes  à  Mcrscnne  du  aS  août  i63s 
(éd.  Clersclier,  III,  C5,  p.  354-357).  Comparez  la  Lettre  du  lî  novembre  (Clcrselier,  II, 
92;  Cousin,  VIII,  p.  G). 

(5)  Tome  I,  page  io3-i[o. 

Fkrmat.  —  U.  22 


170  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

S  ou  11,  le  solide  sous  Z  in  NO  in  OS  est  égal  aux  deux  cubes  NO  et  OS  ; 
ou  bien  le  solide  sous  Z  in  NO  in  OR  est  égal  aux  doux  cubes  NO  et  OR. 
Il  faut  trouver  la  tangente  SD,  par  exemple  du  coté  d'en  haut,  qui  tasse 
l'angle  SDO  égal  à  la  moitié  d'un  droit. 

Fig.  71. 


Soit  fait.  Par  ma  méthode  des  tangentes  ('),  si  NO  est  appelée  l),  et 
OS,  /y,  la  ligne  OD  sera  égale  à 

B ciib.  bis  —  D  cul). 
Z\t]  B  —  /Jq.  lei-    ' 

et  si  la  tangente  étoit  du  côté  d'en  bas,  la  ligne  OD  seroit  égale  à 

Dcitb.  —  B  cul),  bis 


Vq.  ter  —  Z'in  B 

Mais  nous  n'avons  besoin  que  de  la  première  équation,  puisque  nous 
ne  travaillons  qu'au  premier  cas. 

Supposons  que  NO,  inconnue,  s'appelle  A,  et  que  OS  s'appelle  E, 
nous  aurons,  pour  la  ligne  OD, 

E  cub.  bis  —  yl  cul). 
Z  in  E  —  Aq.  1er 

Or,  puisque  l'angle  D  est  demi-droit  et  que  l'angle  0  est  droit,  les 
lignes  OD  et  OS  seront  égales;  il  faudra  donc  que 

E  cub.  bis  — A  cub „ 

-^7-. — r-, j — ; soit  égal  a  E, 

Z  m  h  —  Aq.  ter  ° 

et,  par  conséquent, 

E  cub.  bis  —  A  cub.    sera  égal  à    Zin  Eq.  —  Iq. in  E  1er. 

(  •  )  rnir  Pièce  XXXI,  3. 


XXXV.  -  22  OCTOBRE  1638.  171 

Or,  par  la  propriété  de  la  ligne, 

A  cal/,     esl  égal  à     Z  in  .1  m  E  —  E  cub. 

Nous  aurons  donc  (') 

E  cub.  —  Z  in  A  In  E     égala     Z  in  Eq.  —  Aq.  ]i\  E  1er. 

Divisons  le  tout  par  E,  nous  aurons 

Efj.  —  ZinA     égala    ZinE—  iq.[c\\ 

et  enfin 

Eq.—ZinE     égala     Z  in  A  —  Aq.  icr. 

Et  partant,  nous  avons  un  lieu  elliptique,  et  le  point  S  est  ad cllipsin 
posilione  dalarn;  sed  esl  eliam  ad  curvarn  positione  datam.  Ergo  dalur 
par  l'intersection  de  ces  deux  lieux  et  par  ma  méthode  topique  (  ■). 

Par  la  même  facilité  on  fera  la  résolution  du  second  cas.  Mais,  pour 
rendre  la  proposition  générale,  vous  pourrez,  par  la  morne  méthode, 
faire  l'angle  D  égal  à  tel  angle  que  vous  voudrez,  ou  hien,  ce  qui  est  la 
même  chose,  faire  que  la  ligne  DO  soit  à  la  ligne  OS  en  proportion 
donnée. 

En  voilà,  à  mon  avis,  assez  pour  vous  témoigner  que  je  ne  tiens  pas 
caché  ce  que  je  sais. 

3.  Pour  /a  tangente  de  la  roulette  (^),  bien  loin  d'en  faire  un  invs- 
tère,  je  vous  veux  faire  comprendre  qu'il  n'y  a  point  de  question  île 
celte  matière  qui  puisse  m'échapper.  Vous  saurez  donc  que  cette  même 
méthode  dont  je  me  sers  pour  les  tangentes  des  lignes  courbes,  lorsque 
leurs  appliquées  ou  les  portions  de  leur  diamètre  ont  relation  à  des 

(')  Fermât  commet  ici  une  faute  de  calcul.  Les  premiers  termes  dos  équations  sui- 
vantes devraient  être  E  cub.  ter;  Ef/.  ter;  Eq.  1er.  Le  lieu  est  donc  un  cercle  et  non  un 
ellipse. 

(2)  Fb(>  plus  loin  9,  une  seconde  solution,  cgalomont  imparfaite.  Fermai  n'a  pas  re- 
connu, comme  l'avait  fait  Descaries,  que  le  iiroblème  particulier  est  pian;  il  n'avait, 
semble-t-il,  cherché  que  des  méthodes  générales. 

(5)  Fuir  Lettre  XXXI V,  2. 


172 


ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


lignes  droites,  me  sort  aussi,  avec  un  peu  il(^  changement  pris  tie  la 
nature  de  la  chose,  à  trouver  les  tangentes  des  courbes  dont  les  appli- 
quées ou  les  portions  de  leur  diamètre  ont  relation  à  d'autres  courbes. 

4.  Je  vous  en  ai  déjà  l'ait  voir  l'exemple  en  la  roulette.  En  voici  un 
autre  en  ioK'alc  (')  de  laquelle  le  sphéroïde  est  au  cylindre  circonscrit 
comme  le  double  du  diamètre  à  la  circonférence  du  cercle,  laquelle  j'en- 
voyai (lernii'rement  à  ]M.  de  Roberval. 

Soit  l'ovale  GARD  {fig.  72)  et  l'axe  GD  autour  duquel  se  décrit  le 


Fig.  72. 


sphéroïde.  Soit  le  cercle  NOIS,  coupé  à  angles  droits  par  les  deux  dia- 
mètres OS  et  NU,  duquel  la  circonférence  soit  double  de  l'axe  GD,  en 
sorte  que  le  quart  OU  soit  égal  au  demi-axe  FD.  Soit  le  point  R  en  l'o- 
vale, duquel  il  faut  tirer  la  tangente. 

Tirons  la  perpendiculaire  BE  et  faisons  la  portion  du  quart  01  égale 
à  FE;  tirons  au  cercle  la  tangente  IR  qui  coupe  le  diamètre  NU  au 
point  R.  Faisons  EC,  en  l'ovale,  double  de  IR.  La  ligne  BC  touchera 
l'ovale. 

5.  En  voici  un  autre  exemple  : 

Soit  la  parabole  lïlDAG  (y7^.  78),  de  laquelle  l'axe  AG  et  le  sommet  A. 
Soit  une  autre  courbe  ABF  de  même  axe  et  sommet,  et  que  BG,  appliquée, 
soit  égale  à  la  portion  de  parabole  DA,  et  l'appliquée  FG  égale  à  la  por- 
tion de  parabole  EA,  etc.,  à  l'infini.  Il  faut  trouver,  au  point  B  de  cette 
nouvelle  courbe,  une  tangente. 

(')  Cotlc  courbe,  évidemment  imaginée  par  Fermât,  a  pour  équation  rapportée  aux 
axes  FA,  FD  :  y  =  a  i/  cosy-  >  b  étant  le  rayon  du  cercle  auxiliaire  NOIS. 


XXXV.  -  22  OCTOBRE   1C38.  173 

Soif  tirée  l'appliquée  BDC.  SoitO  \c/ociisàc  la  parabole.  Faisons 
comme  OA  +  AC  à  AC,     ainsi  le  (luarré  BC  au  quarré  CN. 
La  ligne  BN  touchera  la  courbe  FBA. 


6.  Voilà  deux  exemples  aisés,  lesquels  vous  pourrez  proposer  i» 
soudre,  si  vous  voulez,  avant  que  de  faire  voir  les  solutions.  Mais, 
pour  le  suivant,  je  le  propose  à  M.  de  Roberval  et  encore,  si  j'osois, 
à  M.  Descartes  : 

Soient  autant  de  courbes  que  l'on  voudra  de  même  sommet  B  (fig.  74). 
comme  JiE,  BD,  BF,  BA,  données  par  position,  et  soit  marquée  une  autre 


F'S-  7^ 


courbe  de  même  sommet,  comme  MB,  en  sorte  que  les  appliquées  de  cette 
dernière,  comme  MC,  soient  moyennes  proportionnelles  entre  la  somme 
des  portions  des  autres  courbes,  AB,  BF,  BD,  BK,  et  la  somme  des  appli- 
quées AC,  F'C,  DC,  EC.  Il  faut  trouver  une  tangente  à  un  point  donné  de 
cette  dernière  courbe. 

Si  vous  voulez  que  les  quatre  courbes  de  mon  exemple  soient  un 
cercle,  une  parabole,  une  hyperbole  et  une  ellipse,  j'y  consens,  ii  la 
charge  que  vous  croyiez  que  je  donnerai  la  solution  en  tout  nombre  et 
en  toute  espèce  de  courbes  données,  et  ce  sans  aucune  asymmétric,  ce 
qui  semble  merveilleux. 

7-  Avant  que  de  quitter  la  Géométrie,  je  vous  donne  encore  une  spé- 


ilk  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

culation  qui  semble  être  excellente  et  qui  allonge  infiniment  l'étrivièro 
au  Wen^hn:  Si  a  quotcumquepunctis{'),hq^io\\e'fa\  trouvée  en  cher- 
chant les  lieux  ad supcrjiciem  (')  : 

(Vestque,  après  avoir  trouvé  un  cercle  qui  satisfasse  à  la  question 
d'Apollonius  in  piano,  comme  par  exemple  :  Soient  (fig.  75)  les  points 

Fis.  l'r'. 


donnés  F,  G,  H,  E,  D  et  le  cercle  trouvé  ABC  en  sorte  que,  quel  point  que 
vous  preniez  en  sa  superficie,  comme  A,  les  quarrés  FA,  GA,  HA,  DA,  EA 
soient  égaux  à  un  espace  donné,  je  dis  que  :  5/  autour  du  point  1  comme 
centre,  vous  décrivez  une  spJiére  de  laquelle  le  cercle  ABC  soit  un  des 
grands,  quel  point  que  vous  preniez  en  la  superficie  de  la  sphère,  d  satis- 
fera à  la  question  du  lieu. 

.l'ai  trouvé  ensuite  beaucoup  de  choses  merveilleuses  sur  le  sujet  des 
lieux  ad superficicm,  mais  je  ne  puis  pas  vous  dire  tout  ii  la  fois. 

8.  Le  quadrilatère  (")  de  M.  de  Roberval,  que  je  n'ai  pas  cru  si 
pressé  que  la  tangente  du  gahind,  sera  différé  au  premier  voyage. 

9.  Il  faut  que  je  vous  die  encore  qu'on  peut  trouver  la  tangente  de 
45  degrés  au  galand  (^)  par  une  voie  qui  semble  plus  géométrique. 
Car,  là  où  ma  précédente  solution  a  employé  la  ligne  courbe  du  galand 
pour  trouver  le  point  cherché  par  l'intersection  du  galand  et  d'une 
ellipse,  cette  autre  voie  n'emploie  que  les  sections  coniques. 

(')  rojrLeUre  XIX,  1. 

(2)  Comparer  Tonw  \,  \^.  ii3. 

C)  Problèmu  proposé  à  Descartes  par  Morsennc,  comme  n'ayant  pas  été  résolu  par 
Roljcrval  {Lettres  de  Dacartc.i,  éd.  Clerselicr,  111,  05,  du  aï  août  i638;  p.  357)  : 

«  Los  côtés  AD  et  AE  du  quadrilatère  ADCE  étant  donnés  avec  l'angle  DAE  et  la  lon- 
»  gucur  de  la  diagonale  AC,  et  enfin  la  proportion  qui  est  entre  les  deux  lignes  AG  et 
1)  AH,  perpendiculaires  sur  les  eûtes  inconnus  CD  et  CE,  il  faut  chercher  le  reste.  » 

C")  Foir  plus  haut,  2. 


XXXV.  -  22  OCTOBRE   1638.  175 

Supposons  que  Z  {/ig.  76),  le  côté  droit  du  galand,  est  inconnu,  et 


que  AD  est  une  ligne  donnée  nommée  li,  que  DB  est  inconnue,  nom- 
mée A.  Donc  le  côté  droit  sera 

A  ciib.  -t-  B  euh. 


D\n  A 

Par  ma  méthode  des  tangentes,  la  ligne  DN  qui  concourt  avec  la 

tangente  sera 

B  in  A  ci/b.  l)is  —  Bqr/, 

A  euh.  —  B  cub.  bis 

laquelle  il  faut  faire  égale  à  .4.  Nous  aurons  donc 

Aqq.  — B  cub.\nAh\s        égala        B  in  A  cub.  bis  —  Bqij., 

et  eu  tin 

B  \n  A  cub.  hh -^  B  eub.  in  A  h\s  — A  qq.        éf;al  à        Bqq., 

laquelle  équation,  pour  trouver  la  valeur  de  A,  se  peut  résoudre  ou 
|)ar  ma  méthode  topique,  ou  par  telle  autre  qu'on  voudra. 

Or,  A  étant  connue,  le  coté  droit  Z  sera  connu,  et  si  le  galand  donné 
est  différent  de  celui-ci,  il  faudra  faire  : 

comme  lo  côté  droit  île  celui-ci  à  la  ligne  AJ)  ou  B  donnée, 
ainsi  le  cùlé  droit  du  galand  donné  à  une  autre  ligne 

qui  déterminera  un  point  semhlable  au  point  D,  et  la  question  est 
faite. 

S'il  y  a  manque  en  la  supputation,  vous  la  corrigerez,  car  je  n'ai  pas 
seulement  le  loisir  de  relire  ma  lettre. 


176  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

10.  Pour  Galilée  ('),  j'avois  commencé  de  l'examiner  par  le  menu, 
et,  si  j'ai  du  loisir  assez,  je  continuerai. 

Lorsqu'il  parle  do  la  proportion  de  la  vitesse  en  la  descente  qui  se 
f'ail  en  un  même  ou  divers  milieux  par  des  corps  difîérents,  vous  trou- 
verez que  son  expérience  qui  précède  contredit  sa  règle  qui  suit. 

Je  vous  entretiendrai  une  autre  fois  plus  à  loisir,  bien  que  l'oisiveté 
de  la  campagne  vous  ait  présentement  fait  voir  une  lettre  plus  longue 
((ue  je  n'avois  desseigné. 

Je  suis,  mon  Révérend  Père,  votre  très  humble  serviteur, 

Ff.hmat. 
Ce  22  octobre  iG38. 

11.  Puisque  mes  deux  vers  (-)  ont  eu  votre  approbation,  en  voici 
deux  autres  de  même  main  qu'on  estime  ici  plus  que  les  premiers  et 
desquels  vous  me  direz,  s'il  vous  plait,  votre  sentiment  : 

Optato  palriani  afflictam  Delphine  beavil 
Ilcx  Justus  :  niinqiiam  jusLior  illc  fuit. 


XXXVI. 
FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

DIHANCilE  26  DÉCEMBRE  1638. 
(A,  l-  23-24;  B,  f°  2J  V".) 

1.  Pour  les  nombres,  je  peux  trouver  par  ma  méthode  foutes  les 
questions  des  parties  aliquotes  (''),  mais  la  longueur  des  opérations 
me  rebute  et  la  recherche  des  nombres  premiers,  h  laquelle  toutes  ces 

(  '  )  roir  Lettre  XXXIH,  5. 

(-)  Ces  vers  de  l'ermat  ne  sont  pas  connus. 

(')  Cette  Pièce  e.st  un  extrait  d'une  Lettre  perdue,  déjà  publié  par  M.  Charles  Henry 
{Kcclwrclws-,  etc.,  p[).  177-178)  d'après  le  brouillon  d'Arbogast,  qui  d6ri\e  d'une  co]iic  de 
Mersennc. 

C-)  ro/r  Lettre  XXXm,  4. 


XWVl.  -  2G  DECEMHRE  1G3S.  177 

questions  aboutissent.  Sur  lequel  sujet  je  ne  sais  point  de  méthode 
que  la  vulgaire,  sinon  qu'il  suffît  de  faire  la  division  jusques  ;i  la  plus 
petite  racine  quarrée  du  nombre  donné,  car  si  on  n'a  point  trouvé  de 
diviseur  jusque  lii,  on  n'a  garde  d'en  trouver  de  plus  grands,  pource 
(|ue  leur  ((uolient  scroit  moindre  que  la  racine  quarrée,  ce  qui  est 
impossible,  par  l'expérience  qu'on  aura  déjà  faite. 

2.  Pour  la  (îéométrie,  comme  toutes  les  courbes  et  les  tang(;ntes 
qui  sont  de  la  juridiction  de  la  méthode  de  M.  Descartes  le  sont  aussi 
de  la  mienne,  et  particulièrement  lorsque  la  comparaison  des  portions 
du  diamètre  aux  appliquées  est  mêlée  de  lignes  courbes,  je  m'en 
démêle  aussi  aisément  que  des  simples  tangentes.  De  quoi  je  vous  ai 
déjii  donné  quelques  exemples,  vous  priant  d'en  proposer  les  (|ues- 
tions  et  principalement  le  dernier  exemple  ('  ),  sur  quoi  vous  ne  m'a- 
vez pas  répondu.  Obligez-moi  donc  de  savoir  si  les  messieurs  de  Paris 
en  peuvent  donner  la  solution,  et  je  vous  envolerai  tout  aussitôt  la 
mienne. 

3-  nien  plus,  je  donnerai  inlinies  tangentes  de  courbes  dont  la  pro- 
portion est  pleine  d'asymmétries. 

Soit  la  courbe  DNl^  {fig-  77),  le  diamètre  NF,  l'appliquée  (|uel- 

Fis.  '.-.. 


con(|ue   DF.  Supposons  (jue  NF  étant  appelée  A,   l'appliquée  DF  soit 


lat.  (It,i.  4-  À)/.)  +  lat.  (D'i.—  .1'/.)  +  lat.  (/?in  A   -  -ly.) 


,    icub. —  fl  in  A  (i.X 
lat.  ( j^ '-\  -+-  lat. 


Aqq.  -t-  l)(l.  in  Al/. 


liq.+  A.,. 


h',  demande  une  tangente  au  [)oint  I). 


(  I  )  r„lr  Lcttie  XXXV.  6. 
Ikrmat   —  n. 


178  (EUVUES  UE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

Ma  méthode  les  donnera,  et  infinies  de  pareille  nature,  etc.,  quand 
hicii  la  ligne  DF  seroit  composée  de  centinomies  ou  plus  grand  nombre 
de  ternies. 

.le  ne  dis  rien  que  je  n'exécute  dès  qu'on  m'aura  témoigné  qu'on  ne 
le  sait  pas. 

4.  .le  proposerai  le  reste  après  que  vous  m'aurez  envoyé  les  papiers 
de  M.  Descartes  (').  Cependant  j'étends  encore  ce  problème  local  ail 
superficicm  (^)  qui  enchérit  sur  le  plan  d'Apollonius,  et  le  ciMicois 
ainsi  : 

Si  a  quolcumque  punclis  dalis  in  quibuslibel  planis  ad  piuirtiini  iinttin 
injlcctantur  rectœ,  et  sint  species,  quœ  ah  omnibus,  data  spalio  (vquales, 
pitnctitm  ad  injlexinncm  sphœricam  superficiem  positione  datam  con- 
f  in  gel. 

La  construction  se  dérive  aisément  de  celle  que  je  donnai  il  y  a  long- 
temps du  lieu  plan.  Et  M.  de  Roberval  le  pourra  trouver  d'abord  et 
avouera  qu'il  y  a  l'ort  peu  de  propositions  de  Géométrie  qui  valent 
celle-ci. 


(')  Probablenioiil  les  iinporlaïUes  Lettres  do  Descartos  à  Mersennc,  du  27  juillet  iG3S 
(Clci'sclier,  Ill,6('i),  du  Vi  août  (111,  G))  et  du  ij  novendire  (11.  \]i). 
{■')  /-Vw  Lettre  XXXV,  7. 


WXVII.  -  20  FÉVRIER  1639.  179 


ANNÉE    1639. 


XXXVII. 

FERMAT  A  IMERSENNE  ('). 

DIHANCDE   20    FÉVRIER    1G39. 

{B,i'2  v.) 

1-  Vous  m'avez  envoyé  36o  duquel  les  parties  aliquotes  sont  au 
même  nonvbrc  comme  9  à  4.  l't  moi  je  vous  envoie  2016  qui  a  la  même 
propriété. 

2.  Je  viens  maintenant  au  défi  des  plus  grands  géomètres  du 
monde  (-). 

Pour  première  question,  proposé  : 

iC  — 6N        égala        4°  et  la  valeur  il'iN,  4. 

et  encore 

iC  -t-  4N        égal  à        80,  où  N  est  encore  4, 

ils  demandent  la  méthode  pour  trouver  la  racine  en  pareilles  questions 
sans  aller  à  tâtons. 


(  ')  Extrait  inédit  d'une  Lettre  perdue. 

(-)  Descartes,  dans  sa  Lettre  à  Mersenne  du  9  février  iGSg  (Glorselier,  II,  97,  p.  45o), 
répond  à  ces  mêmes  questions.  La  seconde  et  la  troisième  lui  avaient  été  adressées  le 
■25  janvier;  il  les  désigne  comme  étant  d'un  M.  Dounot.  La  première  ne  lui  fut  envoyée 
que  par  le  courrier  suivant. 


180  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

Je  vous  réponds  avec  Viète  {' )  que  ceux  (|ui  feront  cotte  recherche 
sans  employer  les  artifices  déjà  connus  excruciahiint  se  frustra  et  honas 
haras  malhematices  quam  colent  dispendio  perdent . 

3.  Ils  proposent  ensuite 

iC-SQ  +  igN        éfçal  à         i4. 

et  après  avoir  déterminé  que  \c  problème  est  ambigu  et  (binné  trois 
valeurs  de  la  racine,  savoir  2,3  —  v'ii,  3  -+-  \j'i,  ils  ajoutent  :  Qui  dederit 
quartam  solulionem,  portento  erit  simile. 

En  quoi,  sans  préjudice  de  la  grammaire,  ils  pèchent  autant  contre 
les  Mathématiques,  qui  nous  enseignent  qu'il  est  impossible  qu'en  ce 
cas  et  autres  pareils,  il  y  ait  quatre  solutions.  Car  il  est  très  certain 
qu'un  problème  ne  peut  recevoir  pour  le  plus  qu'autant  de  solutions 
que  son  plus  grand  terme  a  de  degrés,  et  ainsi  ils  ont  fait  eux-mêmes 
ce porlentum  d'avoir  proposé  une  question  impossible. 

4.  Mais  la  troisième  proposition  contient  sans  doute  la  plus  forte 
attaque,  qui  semble  d'autant  plus  considérable  que  le  moyen  dont  Viète 
s'est  servi  pour  soudre  pareilles  questions,  lequel  il  appelle  syncrisis 
en  son  Traité  De  rccngnitione  ccquationum  (  -  ),  est  défectueux  et  ne  dit 
pas  tout. 

Voici  la  dernii're  question  : 

iC— 9Q-i-i3N         Ki\.         y/aSS  — i5. 

Quœritur  i  N.  IIoc  prohlema  recipit  très  solutiones  quarum  cxhibimus  pri- 
niam,  scilicct  "i  —  \J-i,  quœ  satisfacit  exacte. 

Si  rcliquas  duas  dcderim,  ero  illis  magnus  Apollo. 

Hfe  suiil  :  prima  3-i-y/i8,.      secunda  3  — y/'S. 

I  '  )  ViKTK  (éd.  Sclloolcii,  I.cvdo,  Elzovirs.  iGJC)),  De  cmendalinne  œquationum.  cliap.  I, 
|).  i2()  : 

«  ltai|uo  OKcniciaruni  se  frustra  et  bonas  horas  .Matlicmatices  quam  colebanl  dispendio 
.)  al)sum|)scrunl.  » 

(-)  Ihul.,  jiagcs  11)4  cl  suiv. 


WWII.  -    20  FÉVRIER   163Î).  t8l 

Si  cela  ne  sulfit,  je  donnerai  une  méthode  générale  (  '  )  pour  toutes 
solutions  pareilles,  Lufuelle  réussit  sans  nulle  peine,  et  n'a  pas  les  dé- 
fauts de  C(dle  de  Viète,  qui  (ist  très  fâcheuse  à  cause  des  divisions, 
parficulii'renient  aux  exemples  un  peu  malaisés,  comme  celui  dont  est 
ques(ion,  (|ue  les  analystes  communs  ne  sauraient  soudre  par  la 
syncrise. 

* 

(')  f'oir  Lclli-o  XXXVIIl  hfi.  4. 


182  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


ANNEE   1640. 


XXXVIII. 
FRENICLE  A  MERSENNE  (')• 

<    MARS    16i0    > 

(  Fr.   11.  a.  (i2o4 ,  f°    !29.) 

Mon  Révérend  Père, 

1.  Puisque  vous  desirez  que  je  vous  rafraîchisse  la  mémoire  de  l'en- 
tretien que  nous  eûmes  dernièrement  ensemble  touchant  les  nombres 
des  tables  magiques,  je  vous  dirai  que  ce  que  M.  Fermât  vous  en  a 
envoyé  est  fort  peu  de  chose,  car  il  n'y  a  presque  rien  hors  de  ce  qu'il 
peut  avoir  vu  dans  Stiphelius,  Spinula  et  la  vieille  Clavicule  (^),  et 
que  la  méthode  qu'il  dit  avoir  pour  les  construire  n'est  autre  que  celle 
qu'ils  enseignent,  encore  qu'elle  ne  soit  pas  d'eux  :  laquelle,  pour  ce 
qui  regarde  les  impairs,  est  la  plus  noble  qui  se  sauroit  trouver  et  est 
si  facile  que  ce  n'est  qu'un  jeu  d'enfant,  et  n'y  a  pas  grand  sujet  de  se 
tant  glorifier  pour  l'avoir  apprise  dans  un  livre. 

(')  Leltro  inédite  qui  fut  communiquée  à  Fermât  et  à  laquelle  il  répondit  par  la  sui- 
vante, XXXVIII  bis. 

(-)  Arillimctica  intégra,  authore  Michacio  Siife/io,  cum  pr.Tfatione  Piiilippi  Mchineh- 
llionis.  —  Norimbcrgic  apud  Joli.  Petrcjum.  Anno  Christi  MDXLIII.  Cum  gratia  et  privi- 
légie Cacsareo  atque  Uegio  ad  scxennium. 

Franciscus  Spiiiola  est  cité  dans  les  Dcliciœ  pliysicomatlicmatk-tv  de  Daniel  Schw enter, 
Nuremberg,  162C,  comme  s'ctant  occupé  des  carrés  magiques.  Lo  seul  Ouvrage  imprimé 
qui  soit  connu  avec  ce  nom  d'auteur  (P.  Francisci  Spinulœ  Mediolaiiensi.s  0/)e/-rt, Venise, 
i5G3)  est  un  Volume  de  vers  latins  où  ne  se  trouve  aucune  allusion  <i  ce  sujet. 

Nous  n'avons  pu  déterminer  non  plus  quel  Ouvrage  Frenicle  désigne  sous  le  nom  de 
vieille  Clavicule;  il  s'agit  peut-être  d'un  tirage  sans  lieu  ni  date  de  l'Écrit  tliéosophiquc 
Clm'icula  Salomoiiis  fllii  David. 


XXXVIII.  -  MARS  1640.  183 

2.  S'il  savoit  quelque  chose  de  uouveau  pour  les  pairs,  il  vousdcvroit 
avoir  envoyé  une  table  du  quarré  de  i8  ou  22  ou  pour  le  moins  de  i/j, 
qui  a  servi  de  borne  ii  Bachet  ('),  et,  quand  il  l'aura  fait,  nous  avoue- 
rons qu'il  y  sait  quelque  chose. 

3.  Ce  qu'il  vous  a  envoyé  n'est  pas  digne  d'un  honnête  homme 
comme  lui,  mais  est  plutôt  l'occupation  d'un  écolier  et,  s'il  veut  s'em- 
ployer il  un  exercice  qui  lui  soit  plus  convenable,  sans  sortir  de  cette 
matière,  qu'il  dispose  les  nombres  d'un  quarré  en  telle  sorte  que  toutes 
les  lignes  et  diagonales  soient  égales  et  que,  telles  enceintes  qu'on 
voudra,  et  non  plus,  en  étant  ôtées,  le  quarré  qui  restera  soit  de 
même  nature  (|ue  le  premier. 

Par  exemple,  que  22  soit  donné  pour  le  côté  du  quarré  magique; 
on  demande  que,  ce  quarré  ayant  les  conditions  requises,  on  en  puisse 
ôter  trois  enceintes  et  que  le  quarré  restant,  qui  aura  iG  cellules  de 
côté,  soit  encore  magique;  et  qu'olant  deux  enceintes  de  celui-ci, 
le  quarré  restant,  qui  aura  12  cellules  de  chaque  côté,  soit  encore 
magique;  et  que  de  celui-ci,  en  étant  une  enceinte,  le  quarré  restant, 
qui  aura  10  de  côté,  soit  encore  magique;  et  que  du  premier  quarré 
de  22,  tel  autre  nombre  d'enceintes  qu'on  en  veuille  ôter,  le  quarré 
restant  ne  soit  plus  magique. 

4.  Davantage,  il  se  peut  aussi  étudier  à  taire  de  ces  tables  qui  aient 
une  partie  de  leurs  cellules  vides  et  néanmoins  que  toutes  les  lignes, 
colonnes  et  diagonales,  soient  égales  tant  en  la  quantité  des  nombres 
qu'en  la  somme  d'iceux. 

Par  exemple,  s'il  y  a  en  la  table  quarrée  i44  cellules,  qu'il  n'y  en 
ait  que  60  ou  autre  nombre  possible  de  remplies  de  nombres  consécu- 
tifs et  qui  commencent  par  tel  qu'on  voudra,  et  qu'en  chaque  colonne, 
ligne  et  diagonale,  il  y  ait  5  nombres,  la  somme  desquels  soit  égale  par 
tout. 

5.  Mais  s'il  veut  sortir  des  quarrés  et  s'appliquer  aux  solides,  il 
pourra  considérer  les  nombres  disposés  en  telle  sorte  qu'ils  forment 

('  )  Problèmes  plaisans  et  délectables  qui  se  font  par  les  nombres.  —  A  Lyon,  MDCXXIV. 


184.  (EUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

les  trois  facos  extérieures  d'une  pyramide  triangulaire  ou  tétraèdre, 
e(  faire  que  les  dits  nombres,  étant  en  [)rogression  donnée,  Cassenl 
foules  les  enceintes  égales  entre  elles. 


Par  exemple,  que  la  somme  des  nombres  représentés  par  /,  ///,  n,  o, 
[),  (j,  r,  s,  t  soit  égale  à  celle  de  c,  /",  g,  h,  i,  X-.  et  à  celle  de  r,  />,  d  :  et 
que  les  lignes  a,  r,  e,  /;  a,  h,  g,  o  e(  a,  d,  i,  r  soient  égales  entre  elles 
en  valeur  comme  elles  le  son(  en  longueur  en  (Géométrie;  et  que  les 
(rois  lignes  de  chaque  enceinte  soient  égales  entr<'  (dles,  c'est-à-dire 
l'une  il  l'antre,  jusques  à  où  il  se  peut;  et  déterminer  à  quelles 
enceintes  doit  linir  l'égalité  susdite. 

(le  seront  là  des  occupations  qui  méritent  ancunemenl  qu'il  s'y 
emploie  et,  quand  il  y  aura  satisfait,  on  lui  découvrira  des  choses  (|ui 
sur|tasseront  d'autant  celles-ci  que  c(dlcs-ci  surpassent  ce  qu'il  vous 
a  envoyé. 

6.  .le  vous  dirai  aussi  que,  s'il  ne  veut  pas  sortir  des  plans,  je  lui 
|)ourrois  demander  un  hexagone  rempli  de  nombres  consécutifs,  (|ui 
ait  même  somme  eu  chacun  de  ses  côtés  et  des  lignes  (jui  vont  du 
centre  à  la  circonférence. 


/ 


WXVIII.  -    iMAIlS   IGVO.  185 

Par  exemple,  que  les  nombres  représentés  par  o,  n,  m;  m,  /,  /■;  X-, 
/,  //;  //,  /,  s;  s,  r,  q;  </,  p,  o,  comme  aussi  par  a,  b,  o;  a,  c,  m;  a,  d,  /■; 
a,  e,  h\  a,  g,  s  et  a,  f,  y,  eussent  chacun  leur  somme  égale;  e(  en 
onlre,  qu'otant  (juelques  enceintes  de  ladite  figure,  sous  les  eoiidi- 
fions  déduites  au  quarré,  la  même  égalité  demeurât  encore. 

Vous  remarquerez,  s'il  vous  plaît,  que  la  quantité  de  lettres  qui  sont 
ici  ne  sert  que  d'exemple,  et  ne  s'ensuit  pas  d'icelle  qu'on  puisse  faire 
ces  choses  sous  la  quantité  qu'elles  représentent,  car  elles  ne  servent 
que  pour  les  donner  mieux  à  entendre. 

7-  Pour  ce  qui  est  des  nombres  dont  il  veut  renouer  la  conl'érence, 
on  attend  encore  la  solution  de  ceux  qu'on  lui  a  envoyés  autrefois,  et 
de  celui  que  vous  avez  encore  envoyé  depuis  peu  ('),  duquel  il  doit 
d'autant  plus  facilement  venir  à  bout,  qu'il  a  trouvé  la  démonstration 
de  tout  ce  qui  concerne  les  parties  aliquoles. 

8.  Et  s'il  trouve  que  ce  soit  peu  de  chose  pour  lui,  qu'il  vous  envoie 
un  nombre /^rt/j/Jn'/  qui  ait  20  lettres  ou  le  prochainement  suivant,  atin 
de  ne  point  sortir  de  ce  qu'il  sait  avec  perfection,  et  j'estime  qu'il  en 
viendra  d'autant  plus  facilement  à  bout,  qu'il  pourra  sur  tout  ce  (jue 
dessus  consulter  l'oracle  de  ce  grand  démon  dont  vous  nous  avez  tant 
fait  de  fête,  lequel  nous  tiendrons  pour  bon  ange  et  des  plus  blancs, 
s'il  y  satisfait.  Encore  que,  s'ils  étoient  versés  en  ces  malières-là 
comme  le  sont  vos  Sainte-Croix  et  Frcnicle,  cela  leur  serviroit  plutôt 
d'ébattement  que  de  travail,  vu  qu'il  y  a  longtemps  qu'ils  ont  trouvé 
et  considéré  ces  choses-lii. 

Voilà,  mon  Père,  si  j'ai  bonne  mémoire,  un  raccourci  de  tout  l'en- 
tretien que  nous  eûmes  ensemble  avant-hier. 

.le  suis,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  affectionné  serviteur, 

Frexicle. 

(M  Comparer  les  LcUres  XXXVI,  1  et  XXXVII,  1.  Freniclc  fuit  allusion  à  une  corrcs- 
l)ou(]ance  perdue,  qui  |iaraît  avoir  surtout  coneerné  les  nomijres  en  relation  donnée  avec 
la  somme  do  leurs  parties  aliquotcs. 

fehmat.  —  n.  24 


I8(J  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

XXXVIII  bis. 
FERMAT  A  MERSENNE. 

DIMANCHE    1    AVRIL    ICiO. 

{fa,  p.  l'jS-i'jfi.) 

Mon  Ri:viir,E>n  Père, 

1-  Je  vous  dois  deux  réponses  pour  les  deux  dernières  Lettres  que 
j'ai  reçues  de  votre  part  et  que  j'ai  trouvées  toutes  deux  en  môme 
temps  à  mon  retour  de  la  eampagnc;  le  sujet  de  la  première  concerne 
Monsieur  Desargues  et  celui  de  la  seconde  Monsieur  de  Freniclc. 

2.  Je  suspends  la  réponse  aux  questions  de  Monsieur  Desargues, 
jusques  à  ce  que  j'aurai  vu  par  votre  faveur  le  troisième  Livre  des 
(ioniques  de  Monsieur  Mydorge  et  les  autres  ('),  s'il  y  en  a  d'im- 
primés depuis  les  deux  premiers  qui  sont  les  seuls  que  j'ai  en  mon 
pouvoir.  Je  vous  promets  alors  de  m'étendrc  sur  tout  ce  qu'il  semble 
que  vous  desirez  de  moi,  et  cependant  je  suis  obligé  de  vous  dire  que 
j'estime  beaucoup  Monsieur  Desargues  et  d'autant  plus  qu'il  est  lui 
seul  inventeur  de  ses  Coniques;  son  livret,  qui  passe,  dites-vous,  pour 
jargon,  m'a  paru  très  int(dligible  et  très  ingénieux  (^). 

(')  Les  deux  premiers  Livres  des  Coniques  de  Mydorge  avaient  été  publiés  en  i6ii 
sous  le  litre  : 

Claudii  Mydorgii  palricii  Parisini  Prodromi  Catoptriconim  et  Diopiriconim  sive  Coni- 
coruui  operis  ad  abdita  radii  rcdexi  cl  rcfracti  mysteria  pr.xvii  et  faceni  prœfcrcnlis  Libri 
prinius  cl  secundus.  D.  A.  L.  G.  —  Parisiis,  Ex  typograpliia  I.  Dcdin,  via  Nucuin,  sub 
signo  Irium  Columbarum,  M.DC.XXXI.  Cum  privilegio  Régis  (in-folio). 

Les  deux  suivants  furent  ajoutés  dans  la  réédition  de  if)3g  : 

Claudii  Mydorgii....  Libri  quatuor  prioros.  D.  A.  L.  G.  —  Parisiis,  Ex  typograpliia 
I.  Dedin,  via  Nucuni,  sub  insigni  parvi  Sculi,  M.DC.XXXIX.  Cuni  privilegio  llegis. 

(')  11  s'agit  du  Brouillon  project  d'une  atteinte  aux  cucnemen.9  des  rencontres  d'un 
cône  avec  un  plan,  par  le  S.  G.  D.  L.,  dont  rédilion  originale,  imprimée  à  Paris  en  ifiSg, 
est  introuvable  (Œuvres  de  Desargues,  éd.  Poudra,  I,  pages  97  à  23o).  —  La  correspon- 
dance do  Fermât  ne  contient  aucune  autre  indication  sur  les  questions  que  lui  avait  posées 
Desargues. 


XXXVIIl   bis.  —    l-  AVRIL   1640.  187 

3.  Pour  Monsieur  de  Krcniclc,  ses  inventions  en  Aritliniéti(|ue  me 
ravissent  et  je  vous  déclare  ingénument  que  j'admire  ce  génie  qui, 
sans  aide  d'Algèbre,  pousse  si  avant  dans  la  connoissancc  des  nombres 
entiers,  et  ce  que  j'y  trouve  de  plus  excellent  consiste  en  la  vitesse 
de  ses  opérations,  de  quoi  font  foi  les  nombres  aliquotaires  qu'il 
manie  avec  tant  d'aisance.  S'il  vouloit  m'obliger  de  me  mettre  dans 
quelqu'une  de  ses  routes,  je  lui  en  aurois  très  grande  obligation  et  ne 
ferois  jamais  ditHculté  de  l'avouer,  car  les  voies  ordinaires  me  lassent 
et,  lorsque  j'entreprends  quelqu'une  de  ces  questions,  il  me  semble 
(juc  je  vois  devant  moi 

Magnum  maris  œquor  arandum  (  '  ). 

à  cause  de  ces  fréquentes  divisions  qu'il  faut  faire  pour  trouver  les 
nombres  premiers.  Ce  n'est  pas  que  mon  analyse  soit  défectueuse, 
mais  elle  est  lente  et  longue  pour  ce  regard  et  j'ose  dire  sans  vanité 
(}ue,  si  je  pouvois  l'accompagner  de  cette  facilité,  je  trouvcrois  de  fort 
belles  choses.  Je  voudrois  avoir  mérité  par  mes  services  la  faveur  que 
je  lui  demande  et  ne  désespère  pas  même  de  la  payer  par  quelques 
inventions  qui  peut-être  seront  nouvelles  à  Monsieur  Frenicle. 

(U,  f  3r°)  {'). 

4.  Pour  la  méthode  que  j'oppose  à  la  syncrise  ('),  ce  n'est  seuh'- 
ment  que  pour  éviter  les  divisions  qui  sont  souvent  très  fâcheuses  en 
cette  sorte  de  questions. 

Soit,  par  exemple  : 

bda  —  ha"- — a'         œq.         •:'°'-. 

(^etle  équation  peut  avoir  trois  solutions,  desquelles  soit  par  exemple 
Il  l'une  qui  soit  donnée.  11  faut  trouver  les  autres  deux. 

(')  Virgile,  Enéide,  II,  780  :  Longa  libi  cxsilia  cl  vustum  maris  œciuor  arandum. 

(2)  Le  fragment  qui  suit  est  inédit;  il  est  reproduit  d'après  l'extrait  de  la  Lettre  du 
i"  avril  1G40,  que  contient  le  manuscrit  Vicq-d'Azyr-Boncompagni.  U  est  très  improbable 
que  les  notations  algébriques,  dans  lesquelles  dominent  les  habitudes  cartésiennes,  soient 
réellement  celles  de  Fermât. 

(3)  Foir  Tome  I,  page  147,  note  3.  —  Comparer  Lellrc  XXXVll,  4. 


188  ŒUVRRS  DE  FERMAT.-  CO UU ESPONI) ANCE. 

l'uiir  V  pai'VLMiir,  il  est  lU'cossaii'o  de  haisser  cette  équation  tl'un 
degré,  ce  que  Viète  fait  par  division  et  M.  Descartes  aussi;  voici 
comme  j<^  procî'de  : 

n  est  égal  à  a\  or  il  y  a  deux  lignes  égales  à  a,  inégales  à  n.  Posons 
(|ue  l'une  de  ces  deux  lignes  soit  n  +  r,  et  faisons  maintenant  IVMjua- 
lion  comme  si  //  +  c  éloit  a,  nons  aurons 

bdn  -(-  bdc  —  Jte-  —  c^  —  bii"-  —  2  hnc  —  3  ne"-  —  11^  —  3  /(-  e  ;e(|.  :*"'■. 

Or,  puisque  a  est  égal  à  n,  donc 

bda  —  ba"-  —  à^     sera  égal  \\     bdn  —  bn'- —  n"^ . 

-Mais 

bda  —  ba"-—  a^         csl  ét;n[  à         ^'■°'-, 

par  la  première  équation;  donc 

bdn  —  bn" —  «'         csl  égal  à         :;•'"'•. 

Otez  donc  d'un  côté  de  la  seconde  équation  Ixln  —  hn-  —  «',  et  de 
l'autre  coté  :;'"',  il  restera 

bdf  —  bc"- — e'' — nbnc — Znc- — "in-e         œq.         o. 

Va,  le  tout  divisé  par  e,  qui  est  une  division  simple  et  non  composée 
comme  celle  do  Viète  et  des  autres,  restera 

bd — be  —  e- — ■i.bn  —  "inc  —  3/i-         ;rf[.         o 

et  ainsi  l'équation  ne  sera  que  quarrée  et,  lors(|ue  e  sera  connu,  en  y 
ajoutant/?,  vous  aurez  la  ligne  cherchée. 

(]e  n'est  pas  que  j'estime  beaucoup  ceci,  ni  que  j'aie  tout  dit  en 
vous  donnant  ce  seul  exemple,  mais  c'est  seulement  pour  la  facilité  de 
l'opération. 

5.  Je  viens  aux  propositions  des  quarrés  (')  :  sur  quoi  je  vous  puis 
protester  que  je  n'ai  jamais  vu  ni  Stiphelius  ni  cette  C/ai'icule  cl  ne  sais 

(I)  f'oir  LcUro  XXXVIII,  1  à  3.  —  Ici  reprend  le  texle  donné  par  les  ï'aria.  Le  carré 
magiipic  e^t  inédit. 


XWVllI   his.  -   l"'   AVUIL   IGVO. 


189 


ce  que  CCS  livres  conticnnciiL  cl,  pour  faire  voir  (jnc  j'ai  vu  peul-èlrc 
plus  loin  qu'eux  et  satisfaire  i>  la  semonce  de  31.  Freniclc,  je  vous 
envoie  le  (|uarré  de  i/j  aux  conditions  requises,  du()uel,  si  vous  otez 
deux  enceintes,  le  restant  sera  aussi  quarré  aux  conditions  requises 
et,  si  vous  ôtez  encore  deux  enceintes  de  ce  restant,  ce  qui  restera  sera 
encore  quarré  aux  mêmes  conditions. 


56 


iG 
iJG 

5;  178 
71  li) 
85   1 1 1 


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169 
196 


Le  premier  (juarré  fait  eu  ces  lignes  1379;  le  deuxième  fait  985 ;  le 
troisième  Aut  jqi. 

6.  Or,  ne  doutez  point  que  je  ne  possède  la  méthode  générale  pour 
faire  toute  sorte  de  quarrés  en  cette  sorte  et  aux  conditions  (ju'ôtanl  (el 
nombre  d'enceintes  qu'on  voudra,  le  restant  soit  encore  quarré,  etc. 


1!)0  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

!Mais,  à  n'ôter  qu'une  seule  enceinte,  je  crois  la  question  impos- 
sible :  à  quoi  peut-être  M.  Fronicle  ne  prit  pas  garde  ('),  lorsqu'il  me 
proposa  d'ôter  trois  enceintes  de  22,  et  puis  deux  du  restant,  et  puis 
nue  du  restant.  Car,  aux  deux  premiers  cas,  la  question  est  faisable 
en  beaucoup  de  manières,  mais  au  troisiijmc  je  ne  l'estime  point  pos- 
sible :  de  quoi  la  raison  dépend  de  ma  règle,  laquelle  je  n'ai  pourtant 
ni  trouvée  ni  cherchée  que  lorsque  j'ai  reçu  la  Lettre  de  M.  Freniclc, 
cl  c'est  pour  cela  que  je  ne  détermine  pas  absolument  l'impossibilité 
de  ce  cas,  jusqu'à  ce  que  j'aurai  eu  encore  quelques  jours  pour  y 
songer  de  nouveau. 

7.  Mais  ce  que  je  trouve  de  plus  beau  en  ma  règle,  et  que  je  ne 
crois  pas  avoir  été  touché  ni  par  Stiplielius  ni  par  aucun  autre,  est  que 
je  puis  déterminer  en  combien  de  façons,  et  non  plus,  chaque  quarré 
peut  être  disposé  aux  conditions  requises,  comme  par  exemple,  s'il 
m'est  permis  de  demander  à  31.  Frenicle,  en  combien  de  sortes  diffé- 
rentes 22  peut  être  rangé. 

8.  Je  passe  bien  plus  outre,  et  passant  aux  solides  qui  le  sont  effec- 
tivement, j'ai  trouvé  une  règle  générale  pour  ranger  tous  les  cubes  à 
l'intini,  en  telle  façon  que  toutes  les  lignes  de  leurs  quarrés,  tant  dia- 
gonales, de  largeur,  de  longueur  que  de  hauteur,  fassent  un  même 
nombre,  et  déterminer  outre  cela  en  combien  de  façons  dilférentcs 
chaque  cube  doit  être  rangé,  ce  qui,  me  semble,  est  une  des  plus 
belles  choses  de  l'Arithmétique. 

Vous  en  trouverez  un  exemple  (-)  sur  le  cube  G^,  à  coté  du  quarré 
<le  i/|. 

Il  faut  ranger  les  quatre  quarrés  qui  font  la  solidité  du  cube,  en  telle 
façon  que  le  premier  soit  dessous  ;  le  deuxième  soit  mis  sur  le  premier, 
en  telle  façon  que  53  soit  sur  4  et  56  sur  i;  il  faut  ensuite  mettre  le 
troisième  sur  le  deuxième,  en  telle  façon  que  On  soit  sur  53  et  57 

(  '  )  Foir  LeUre  XXXVIII,  3.  —  Comparer  LcUre  XL,  3. 

(-)  Les  carres  ci-après  se  trouvaient,  ainsi  que  le  carre  magique  reproduit  plus  haut  (5), 
transcrits  sur  une  feuille  détacliée;  ils  ne  sont  pas  non  plus  donnés  dans  les  Varia. 


XXWIII   bis.  —   1"  AVRIL  IG'jO.  191 

sur  5G;  et  enfin  il  faut  mettre  le  quatrième  sur  le  troisième,  en  sorte 
que  i3  soit  sur  Go  et  iG  sur  57.  Cela  étant  fait,  vous  aurez  un  cuhe 
qui  sera  divisé  en  douze  quarrés,  lesquels  se  trouveront  tous  disposés 
aux  conditions  requises;  il  y  aura  en  tout  72  lignes  dilférenles,  cha- 
cune desquelles  fera  une  même  somme,  savoir  i3o. 


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4i 

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22 

1 
44 

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37 

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58 

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9.  Vous  voyez  combien  ceci  est  au-dessus  du  tétraèdre  et  de  l'hexa- 
gone (')  de  M.  Frenicle,  desquels  le  premier  n'est  pas  solide  en  effet, 
mais  par  fiction  seulement,  quoique  j(ï  ne  doute  pas  qu'il  ne  puisse 
être  haussé  en  solide;  mais,  dans  ces  deux  propositions,  il  y  a  beau- 
coup de  nombres  superflus  dans  les  entre-deux  des  lignes  qui  abou- 
tissent ou  au  sommet  ou  au  centre,  ce  qui  fait  qu'elles  ne  sont  pas  si 
parfaites  que  la  mienne,  en  laquelle  je  puis  encore  ôter  les  enceintes 
requises  et  faire  que  le  restant  demeure  aussi  cube,  etc. 

Je  soumets  pourtant  le  tout  à  mondit  S''  de  Frenicle  et  crois  que,  si 
j'avois  l'honneur  d'être  connu  de  lui,  il  auroit  omis  quelques  paroles 
qui  sont  dans  sa  Lettre.  Je  ne  resterai  pas  de  lui  assurer  l'estime  que 
je  fais  de  lui  et  de  le  conjurer  de  me  faire  part  de  sa  méthode. 

10.  Pour  le  solide  de  la  roulette,  je  le  réduirois  bien  à  des  solides 
plus  simples,  mais  à  des  sphères,  cônes  ou  cylindres  qui  soient  créés 
par  des  lignes  droites  données,  il  me  semble  qu'il  est  impossible. 

Excusez  si  le  papier  me  manque,  etc. 

11-  l'.-S.  Depuis  ma  Lettre  écrite  (-),  un  de  mes  vieux  papiers  m'est 

(')  Voir  LcUrc  XXXVIII,  5  cl  6. 

(^)  Ce  posl-scriptiirn  parait  appartenir  à  une  Lettre  antérieure  et  avoir  élc  l'occasion 
(le  la  Lettre  XXXVIU  de  Frenicle. 


192  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

(ombr  cil  inain,  lequel  contient  une  observation  sur  le  problème  XXI 
(lu  Livre  de  Bachet,  imprimé  à  Lyon  en  1G24,  et  qui  porte  pour  litre  : 
Prohlcmes  plaisans  et  délectables  qui  se  fonl  par  les  nombres. 

Voici  l'endroit  (');  il  propose  de  ranger  en  quarré  les  nombres  con- 
sécutifs en  progression  arithmétique,  en  sorte  que  tous  les  rangs, 
tant  de  liant,  de  bas  que  des  cotés  et  ])ar  les  diami'tres,  fassent  une 
même  somme,  de  quoi  il  baille  une  règle  générale  pour  les  quarrés 
impairs,  et  avoue  n'en  avoir  pu  trouver  aucune  pour  les  pairs,  mais 
avoir  fait  seulement  plusieurs  observations  particulières,  par  le  moyen 
desquidles  il  a  rangé  les  pairs  jusques  ;i  if\^\. 

Or,  pour  la  règle  des  quarrés  impairs,  je  dis  premièrement  (ju'idlc 
n'est  pas  de  son  invention,  car  elle  est  dans  l'Arithmétique  de  Car- 
dan (-);  mais  d'ailleurs  elle  ne  résout  la  question  que  d'une  seule 
façon,  qui  le  jient  être  en  plusieurs.  Je  dis  donc  : 

1°  Que  ma  méthode  range  les  quarrés  pairs  et  impairs  à  l'infini; 

2"  Qu'elle  les  range  en  toutes  les  façons  possibles,  lesquelles  aug- 
mentent comme  les  combinaisons,  à  mesure  que  les  quarrés  sont  plus 
grands; 

3°  Que  la  règle  des  pairemcnt  impairs  n'est  pas  dilTéronte  de  e(dle 
des  pairemeut  pairs,  mais  bien  la  même,  quoique  Bachet  ait  cru 
((u'olles  dévoient  être  dilfércntcs. 

Voici  un  exemple  de  ma  méthode  : 

Il  range  le  aj  d'une  seule  façon,  n'y  sachant  autre  chose,  et  voici 

romme  il  le  range  : 

1 1     ■it\      7     xo      3 

4  i>.  7.5  8  16 

17  5  i3  9A  9 

10  iH  I  i/|  22 

2?  f>  '9  2  i5 

(  ')  IVigcs  ()0  cl  suivanlcs  de  l'cdilion  originale. 

(2)  Praclica  nrii/mieticn  et  mcnsuraiiJi  siiigiilaris  {}\\\an,  rj39),  réimprimcc  dans  le 
quatrième  lome  de  l'cdilion  dos  Œiuvrcs  de  Cardan  en  10  volumes  (Lyon,  iCC3).  —  Car- 
dan y  donne,  sans  règle  de  eonslrucUon,  sept  carres  magiques  (de  3*  à  9')  qu'il  attribue 
aux  sept  |ilanctcs  et  appelle /5/«/(eïrt;>e.f.  Il  parait  les  avoir  empruntes  à  Agrippa  dcNcttes- 
lieym  {De  occulta  p/ii/nsnp/iia.  Cologne,  i533). 


\\\'lllJ>is. 


1"  AVRIL   lOiO. 


l'ja 


Km  voici  trois  autres  que  j'ai  choisis  j)arini  plusieurs  que  ma  nié 


lliode  enseigne 


1  l 

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i<)  j  1  !  2  1  7 

u>  I  s  I  I  >.  ■>.  i 

■2  1  G  17  4  I> 


Il  range  le  3G  ii  tâtons  d'une  seule  façon,  comme  s'ensuit  : 

0     !•.      î    34     15      I 

7  11  27  -28  s  3() 

I  <)  I  i  I G  1 5  2'i  •).  i 

18  20  -22  '2  1  17  i3 

■l'y  29  10  9  'G  12 

!G  5  33  4  •>.  il 

Hn  voici  une  autre  parmi  plusieurs  que  ma  méthode  fournit:  si  li 
lenips  ne  me  manquoit,  je  vous  en  envoierois  demi-douzaine  : 


')  3 1  4  31  35 

14  18  22  21  i3 

2G  7  9  10  3o 

Il  ô  27  28  12 

20  24  là  iG  19 

!>  G  34  3  I 


2! 

■'•9 
8 


Mais,  parce  qu'on  pourroit  croire  que  la  règle  n'a  qu'un  seul 
exemple,  lorsque  les  diamélrauv  demeurent  les  ménu-s,  voici  qui  fait 
voir  le  contraire  :  c'est  un  exemple  de  ma  méthode  du  G4,  différent  de 
ci'lui  de  IJachet,  et  (jui  garde  néanmoins  les  diamétraux  : 


I  7  G  Go  Gi  59  58 

iG  10  5i  52  53  54  i5 

17  4-  19  4>  4i  22  18 

jo  3J  38  28  29  27  3i 

3'.  'G  3o  3G  37  35  39 

41  23  43  21  20  46  12 

5G  jo  II  i3  12  i4  55  49 

57  G3  G2  5432  G4 


j  > 

2) 
■i 


l'tRMVT. 


I9i  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

En  voilà  assez  pour  donner  de  l'exercice  à  M.  Frenicle,  car  je  ne 
sais  guère  rien  de  plus  beau  en  l'Arithmétique  que  ces  nombres  que 
quelques  uns  appellent/)/a/?<?/«rio^,  et  les  autres  magicos;  et  de  fait  j'ai 
vu  plusieurs  talismans,  où  quelques  uns  de  ces  quarrés  rangés  de  la 
sorte  sont  décrits,  et  parmi  plusieurs  un  grand,  d'argent,  qui  contient 
le  /|9  rangé  selon  la  méthode  de  Bachet,  ce  qui  l'ait  croire  que  personne 
n'a  encore  connu  la  générale  ni  le  nombre  des  solutions  qui  peuvent 
arriver  à  chaque  quarré. 

Si  la  chose  est  sue  à  Paris,  vous  m'en  éclaircircz;  en  tout  cas,  je  ne  la 
dois  qu'à  moi  seul. 

Je  suis  etc. 


XXXIX. 

FKRMAT  A  MERSENNK  ('). 

<    MAI?.1CV0    > 

(B,  1-6  V".) 

1-  Je  trouve  plusieurs  abrégés  pour  trouver  les  nombres  parfaits  (-) 
et  je  dis  par  avance  qu'il  n'y  en  a  aucun  de  20  ni  de  21  caractères,  ce 
qui  détruit  l'opinion  de  ceux  qui  avoient  cru  qu'il  y  en  avoit  un  dans 
l'enceinte  de  chaque  dixaine;  comme  un  depuis  i  jusques  à  10,  un 
autre  depuis  10  jusques  à  100,  un  autre  depuis  100  jusques  à  1000,  etc. 
Ce  qui  n'est  pas  vrai,  comme  il  paraît  par  cet  exemple;  car  depuis 
10  000  000  000  000000000  jusques  à  la  dixaine  suivante,  il  n'y  en  a 
pas  un,  ni  depuis  la  suivante  à  la  prochaine  non  plus. 

2.  Je  passe  à  ma  proposition  (^)  de  ranger  les  quarrés.  Vous  pouvez 
vous  assurer  que  j'en  possède  absolument  la  méthode,  aussi  bien  que 

(')  Ce  fragmoiil inédit,  de  date  incertaine,  semble  avoir  fait  partie  d'une  Lettre  envoyée 
à  Mcrsenne  par  Fermât  avant  qu'il  en  eût  reçu  la  réponse  de  Frenicle  à  la  précédente. 

(2)  Foir  Lettre  XXXVIII,  8.  —  Comparer  ci-après  Lettre  XL,  6. 

(3)  Comparer  Lettres  XXXVIII  bis,  7,  et  XL,  2. 


XL.  -   JUIN  16i0.  195 

celle  des  cubes,  et  pour  vous  montrer  jusques  où  va  la  connaissance 
(jue  j'en  ai,  le  quarré  de  8,  qui  est  G4,  se  peut  disposer  en  autant  de 
laçons  (litl'érontes,  et  non  plus,  qu'il  y  a  d'unités  en  ce  nombre 

I  oo4  1 44  995  344, 

ce  qui  sans  doute  vous  effraiera,  puisque  Bachet  et  les  autres  que  j'ai 
vus  n'en  donnent  qu'une  seule. 

Je  rangerai  de  même  tous  les  quarrés  et  cubes  à  l'infini  et  détermi- 
nerai en  combien  de  façons  et  non  plus,  avec  la  démonstration. 

3.  Pour  savoir  si  M.  Frenicle  ne  procède  point  par  tables,  proposez 
lui(')de 

Trouver  un  triangle  rectangle  duqueli  aire  soit  un  nombre  quarré  ; 
Trouver  deux  quarréquarrés  desquels  la  somme  soit  quarréquarréc  ; 
Trouver  quatre  quarrés  en  proportion  arithmétique  continue  ; 
Trouver  deux  cubes  desquels  la  somme  soit  cube; 

S'il  vous  répond  que  jusques  à  un  certain  nombre  de  cbillVes  il  a 
éprouvé  que  ces  questions  ne  trouvent  point  de  solution,  assurez-vous 
qu'il  procède  par  tables. 


XL. 
FKRMAT  A  MERSENNE. 

<    JLIN?    IGVO.    > 

('■a,  p.   176-, 78.) 

Mon  RiivÉuEND  Pkiu:, 

1.  J'ai  re(;u  avec  grande  satisfaction  votre  lettre  accompagnée  de 
(•(•Ile  ('-)  de  M.  Frenicle,  qui  me  confirme  en  l'estime  que  je  faisois  de 

(■)  roir  Lclti-c  XII,  2,  011  Format  proposait  déjà  à  Sainlc-Croix  trois  de  ces  problèmes 
impossibles,  et  un  dernier  analogue  au  troisième  de  la  présente. 
(-)  En  réponse  à  la  Lettre  XXXVIII  liif. 


I9G  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

lui.  J'v  réponds  succinclomont  ot  pn'mii'romoiil,  sur  ce  qu'il  a  doulé 
([uc  j'eusse  une  méthode  générale  pour  ranger  tous  les  quarrés  pairs  à 
l'infini.  Je  vous  prie  de  l'assurer  du  contraire,  car  il  est  très  certain 
(|u'il  V  a  plus  de  dix  ans  que  je  la  découvris  et  en  donnai  dî's  lors  des 
exemples  sur  des  quarrés  plus  hauts  que  ceux  de  Bacliet,  comme 
M.  Despagnet  vous  pourroit  témoigner. 

2.  11  est  vrai  que  je  n'avois  pas  songé  de  déterminer  exactement  en 
comhien  de  façons  ces  quarrés  pouvoient  être  ordonnés,  et  j'avoue  que 
je  n'avois  pas  vu  toutes  les  manières  qui  y  conduisent,  puisque  je  dou- 
(ois  même  que  le  quarré  put  demeurer  magique  en  levant  nue  seule 
enceinte  (');  mais,  ayant  trouvé  une  ri'gle  pour  les  ordonner  eu  beau- 
coup de  façons,  je  crus  qu'elle  les  coutenoit  toutes,  ce  qui  me  semble 
excusable,  puisque  je  vous  envoyai  ma  Lettre  aussitôt  après  la  première 
méditation  que  j'eus  fait  sur  ce  sujet. 

3.  Depuis  (jue  j'ai  reçu  la  dernière  de  M.  rrenicle,  j'ai  aussitôt  dé- 
couvert que  la  question  du  quarré  de  22  éloit  de  ma  portée  e(,  pource 
((ue  l'opération  seroit  trop  longue  qui  consiste  ;i  ranger  le  quarré  de 
22  en  telle  sorte  que,  levant  trois  enceintes,  il  reste  magique,  et  du 
restant  encore  deux  et  qu'il  demeure  magique,  et  puis  une  seule  du 
reste  ii  la  même  condition,  je  me  contenterai  pour  ce  coup  de  vous  en- 
voyer le  carré  qui  reste  après  les  trois  premiin-es  et  les  deux  secondes 
enceintes  ôtécs,  duquel  si  vous  levez  une  seule  enceinte,  le  reste  de- 
meure magique,  comme  vous  verrez. 

Pource  que  le  temps  me  manque,  je  diffère  à  vous  envoyer  les  cinq 
enceintes  qui  manquent  pour  parfaire  le  quarré  entier  de  22,  jusques 
au  départ  du  prochain  courrier  (-). 

Après  cela  vous  devez  croire  que,  dès  que  j'aurai  loisir,  j'irai  aussi 
avant  sur  ce  sujet  qu'il  est  possible. - 

(')  Comparer  Lellros  XXXVIII  bis;  6  et  7,  cl  .XXXl.Y,  2. 
(')  La  Lcllrc  ainsi  annoncée  l'ait  défaut. 


XL.  -   JUIN   16?r0. 


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3Gi 

3G2 

3G3 

3G4 

3G) 

3GG 

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338 

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299 

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1-i. 

27  î 

21 1 

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20S 

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2")0 

231 

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233 

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257 

2')8 

23; 

a-tO 

■2l'J 

■J'28 

229 

2  5  2 

2J3 

-'•J4 

2  j  ') 

234 

23  j 

23G 

2^9 

204 

•214 

20G 

20; 

277 

27G 

273 

27  i 

212 

21 3 

271 

281 

182 

■9' 

3oi 

3oo 

iS(j 

188 

187 

2(jG 

■29  J 

29  i 

iS3 

3o3 

"71 

3i') 

323 

32>. 

■  6i 

iG5 

iGG 

1G7 

3>7 

3iG 

1  7(1 

3.1 

30,) 

34  G 

'17 

14G 

34-0 

34. 

'11 

313 

lii 

I  |0 

337 

33G 
358 

jjg 

3  Go 

12 1 

123 

122 

121 

1  ■>() 

119 

3G7 

3GS 

4.  Pour  co  qui  est  des  cubes  ('),  je  n'en  sais  pas  plus  que  M.  Kre- 
niclc,  mais  pourtant  je  puis  les  ranger  tous  à  la  charge  que  les  diago- 
nales seules  des  quarrés  que  nous  pouvons  supposer  parallèles  ;i  l'ho- 
rizon seront  égales  aux  cotés  des  quarrés,  ce  qui  n'est  pas  peu  dr 
chose,  en  attendant  qu'une  plus  longue  méditation  découvre  le  reslc 
Je  dresserai  celui  de  8,  10  et  12  ii  ces  conditions,  si  M.  ?>enich'  nif 
l'ordonne. 

5.  Pour  les  quarrés  qui  ont  des  cellules  vides  (-),  j'y  travaillerai  au 
plus  tôt. 

6.  Ce  que  j'estime  le  plus  est  l'abrégé  (^)  pour  l'invention  dc^ 
nombres  parfaits,  à  quoi  je  suis  résolu  de  m'attacher,  si  M.  Frenidc 
ne  me  fait  part  de  sa  méthode. 


(')  Knir  Lettre  XXXVIII  Ins.  8. 
r-)  Toi/- Lettre  XXXVllI,  4. 
(3)  Tmr  Lettre  XXXIX,  1. 


198  ŒUVRES  DE  FERMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

Voici  trois  propositions  que  j'ai  trouvées,  sur  lesquelles  j'espère  de 
(aire  un  grand  bâtiment  : 

Les  nombres  moindres  de  l'unité  que  ceux  qui  procèdent  de  la  pro- 
iiçression  double,  comme 

1         2         3  i  s  6  7  8  9  10  II  U  13 

I     3     7     i.j     3i     63     127     2J,")    5ii     1023     2047     ^oqS    8191     etc., 

soient  appelés  les  radicaux  des  nombres  parfoits,  pource  que,  toutes 
b's  fois  qu'ils  sont  premiers,  ils  les  produisent.  Mettez,  au  dessus  de 
(!es  nombres,  autant  en  progression  naturelle  :  i,  2,  3,  4.  5,  etc.  qui 
soient  appelés  leurs  exposants. 

(^ela  supposé,  je  dis  que  : 

1°  Lorsque  l'exposant  d'un  nombre  radical  est  composé,  son  radical 
est  aussi  composé.  Comme,  parce  que  G,  exposant  de  G3,  est  composé, 
je  dis  que  G3  est  aussi  composé. 

■2°  Lorsque  l'exposant  est  nombre  premier,  je  dis  que  son  radical 
moins  l'unité  est  mesuré  par  le  double  de  l'exposant.  Comme,  parce 
i\uo  7,  exposant  de  127,  est  nombre  premier,  je  dis  que  12G  est  mul- 
tiple de  i4- 

3°  Lorsque  l'exposant  est  nombre  premier,  je  dis  que  son  radical  ne 
peut  être  mesuré  par  aucun  nombre  premier  que  par  ceux  qui  sont 
plus  grands  de  l'unité  qu'un  multiple  du  double  de  l'exposant  ou  que 
le  double  de  l'exposant.  Comme,  parce  que  1 1,  exposant  de  2047,  est 
nombre  premier,  je  dis  qu'il  ne  peut  être  mesuré  que  par  un  nombre 
|)ius  grand  de  l'unité  que  22,  comme  23,  ou  bien  par  un  nombre  plus 
grand  de  l'unité  qu'un  multiple  de  22  :  en  effet  2047  n'est  mesuré  que 
par  23  ou  par  89,  duquel,  si  vous  ôtez  l'unité,  reste  88,  multiple 
de  22. 

Voilà  trois  fort  belles  propositions  que  j'ai  trouvées  et  prouvées  non 
sans  peine  :  je  les  puis  appeler  les  fondements  de  l'invention  des 
nombres  parfaits.  Je  ne  doute  pas  que  M.  Frenicle  ne  soit  allé  plus 
avant,  mais  je  ne  fais  que  commencer,  et  sans  doute  ces  propositions 
passeront  pour  très  belles  dans  l'esprit  de  ceux  qui  n'ont  pas  beaucoup 


XLI.  -   k  AOUT  1640.  19!) 

épluché  ces  matières,  et  je  serai  bien  aise  d'apprendre  le  senlimenl 
de  M.  de  Roberval. 

1-  An  reste,  vous  on  moi  avons  équivoque  de  quelques  caractères 
au  nombre  que  j'avois  cru  parfait  ('),  ce  que  vous  connoitrez  aisé- 
ment puisque  je  vous  baillois  137438953/171  pour  son  radical,  lequel 
j'ai  pourtant  depuis  trouvé,  par  l'abrégé  tiré  de  ma  troisième  jjropo- 
sition,  être  divisible  par  223;  ce  que  j'ai  connu  ii  la  seconde  division 
que  j'ai  faite,  car,  l'exposant  dudit  radical  étant  37,  duquel  le  double 
est  74,  j'ai  commencé  mes  divisions  par  149,  plus  grand  de  l'unité  que 
le  double  de  74;  puis,  continuant  par  223,  plus  grand  de  l'unité  que 
le  triple  de  74,  j'ai  trouvé  que  ledit  radical  est  multiple  de  223. 

De  ces  abrégés  j'en  vois  déjà  naître  un  grand  nombre  d'autres  et  mi 
par  di  veder  un  gran  lume. 

Je  vous  entretiendrai  un  jour  de  mon  progrès,  si  M.  Frenicle  me 
vient  au  secours  et  m'abrège  par  ce  moyen  ma  recherche  des  abrégés. 
Kn  tout  cas,  je  vous  conjure  de  faire  en  sorte  que  M.  de  Roberval  joigne 
son  travail  au  mien,  puisque  je  me  trouve  pressé  de  beaucoup  d'occu- 
pations qui  ne  me  laissent  que  fort  peu  de  temps  ii  vaquer  ;i  ces 
choses. 

Je  suis  etc. 


XLI. 
ROBERVAL  A  FERMAT. 

SAMEDI  h   AOUT  164-0. 
(  /"rt,  p.  i65-i66.) 

Monsieur, 

1-  Encore  que  depuis  près  de  trois  ans  je  n'aie  eu  llionneur  d'a- 
voir commerce  avec  vous,  je  n'ai  pourtant  pas  été  privé  entièrement 

(')  Probablement  dans  la  partie  perdue  de  la  Ixltre  XXXIX - 


■im  ŒUVIIES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

•  lu  plaisir  qiio  je  rerois  de  vos  spéculations  mathématiques,  car  le  Père 
.Mcrsenne  m'a  fait  la  faveur  de  me  communiquer  la  plupart  des  lettres 
(|ii'il  a  reçues  de  vous  depuis  ce  temps  là,  dans  lesquelles  j'ai  reconnu 
nne  augmentation  continuelle  et  tri's  sensible  en  la  beauté  et  solidité 
de  vos  pensées,  auxquelles  il  n'y  a  rien  que  d'admirable,  soit  sur  le 
sujet  de  la  Géométrie  ou  de  l'Arithmétique. 

2.  Sur  tout  je  suis  ravi  de  votre  invention  de  minimis  et  maximis  e( 
du  moyen  (')  par  lequel  vous  l'appliquez  à  la  recherche  des  tou- 
chantes des  lignes  courbes,  et  ne  crois  pas  que  jusques  ici  il  se  soit  vu 
rien  sur  ce  sujet  qui  ne  cédât  de  beaucoup  à  ce  que  vous  nous  en  avez 
donné.  Car  l'invention  de  M.  Descartes,  à  laquelle  j'assigne  le  premier 
lieu  après  la  votre,  n'en  approche  que  de  bien  loin,  parce  que,  quoi- 
<[u'elle  puisse  être  rendue  universelle,  ce  qu'il  n'a  pas  fait  et  le  pourra 
maintenant  à  l'imitation  de  votre  dernière  addition,  toutefois  elle  est 
sans  comparaison  plus  longue,  plus  embarrassée  et  plus  difTicile. 

3-  Je  vous  dirai  que  j"ai  d'autant  plus  admiré  votre  invention  qu'à 
peine  croyois-je  que,  pour  trouver  les  touchantes  des  lignes  courbes 
qui  n'ont  rapport  qu'à  d'autres  courbes  ou  partie  à  des  droites  etpartie 
à  des  courbes,  on  pût  s'en  servir,  ce  que  M.  Descartes  avoue  de  la 
sienne  sur  le  sujet  de  la  roule.lte  et  autres  lignes  pareilles,  lesquelles 
pour  cette  considération  il  rejette  de  la  Géométrie  (-)  :  sans  raison, 
puisqu'à  l'imitation  de  votre  dernière  addition,  sa  méthode  peut  éîre 
ren<lue  universelle  comme  la  votre,  mais  avec  une  difficulté,  laquelle 
bien  souvent  ne  se  pourroit  presque  surmonter  par  un  esprit  humain. 

4.  Cette  opinion  fut  cause  que,  quand  je  vis  que  vous  aviez  trouvé 
les  touchantes  de  la  roulette  (')etque  vous  assuriez  avoir  la  règle  uni- 
verselle pour  toutes  les  lignes  courbes,  je  crus  qu'elle  ne  pouvoit  être 
autre  que  celle  que  j'avois  inventée  au  temps  même  que  j'inventai 
cette  roulette,  laquelle  règle  ou  méthode  je  n'avois  encore  commu- 

(')  Voir  le  Traite  Doctrinam  taiigeniiuni.  Tome  1,  paires  i58  à  1C17. 
( -)  Gcoméirie  de  Deseartcs,  éd.  lleniianii,  l'aris,  1886,  page  iG. 
(3)  roi>  Lettre  XXXIV,  2. 


\L1.  —   4   .\()LT    IGVO.  201 

iii(|ii('M'  il  pcrsoniu',  iirélaiit  coiilciitc  d'en  avoir  (iéiiioiilrr  Ic^;  ('(h'Is  ii 
.M.  l'asfal  (Ml  la  taiii^'ciitc  do  la  '/uiidralricc qui  se  (rouvoit  des  plus  dil'li- 
cilcs,  V  joii^'iianl  la  dt-iiioiistratioii  géoiurtriqiio.  comme  a  fait  Arclii- 
iiii'dc  en  celle  de  la  spirale,  la([iieile  jtar  ma  mélliode  s'expédie  en  deux 
mois. 

5.  J'avois  (ait  la  même  chose  en  la  cissnïdc  et  avois  démonlré,  de 
plus,  (jue  ces  deux  liiçues  courbes  sont  infinies  de  leur  nature  et  (uil 
des  asymptotes  parallèles  entre  elles  ('),  ee  (|u'on  m'a  assuré  avoir 
été  déjà  démontré  par  un  auteur  dont  on  ne  m'a  pu  dire  le  nom. 

6.  J'ai  aussi  démonlré  I(>s  tangentes  des  lignes  eourlies  qui  se 
décrivent  avec  un  compas  sur  la  superficie  d'un  cylindi'e,  puis  se 
réduisent  en  plan,  et  en  général  celles  de  toutes  les  courbes  qui  on( 
pu  venir  à  ma  connoissam^e;  et  cette  métliode  est  lellement  diU'érente 
de  la  voire  (contre  ma  première  opinion)  qu'elles  ne  se  ressemblent 
en  l'icii  ([n'en  la  conclusion. 

7-  Depuis,  M.  Mydorge  faisant  qu(dqiies  difti('uUés  sur  la  vôtre,  je 
lui  en  donnai  la  solution,  et  en  même  temps  je  lui  ouvris  les  principes 
de  la  mienne  et  lui  en  lis  voir  un  essai  en  la  cissoïde.  Si  je  sais  (|ne 
vous  l'ayez  agréable,  je  vous  en  écrirai.  Klle  n'est  pas  inventée  avec 
ville  si  subtile  et  si  profonde  géométrie  (jue  la  votre  ou  celle  de  M.  Des- 
earles  et,  parlant,  (die  pareil  avec  moins  d'arlifice;  en  récompense, 
elle  me  semble  plus  simple,  plus  naturelle  et  plus  courte,  de  sorte 
que,  pour  toutes  les  louchantes  dont  j'ai  parlé,  il  ne  m'a  pas  même 
été  besoin  de  inetlre  la  main  ;i  la  plume. 

8.  Depuis  celte  invention,  je  me  suis  appliqué  aux  lieux  solides  ad 
1res  cl  (id  (luatuor  liiieas,  lesquels  j'ai  enlièrement  restitués,  quoique, 
[tour  n'y  rien  oublier,  il  ne  faille  guère  moins  de  discours  qu'aux  six 

{')  Itolicrviil  semble  avoir  ccinsidcio  la  cissoUle  nummc  coiii|irciuiiit  la  combe  symé- 
Lri(]iie  ([lie  l'on  oblienl  en  cliangcaiiL  lo  signe  de  c  dans  l'équalioii  ^■^(a  —  .r)  =  («-H  x)'. 
Il  est  probable  que  les  aiicions  cnlondaienl  cgalcmcnL  dans  le  môme  sens  leur  définition 
de  ceUe  courbe,  mais,  pas  plus  ipie  pour  la  (piadralricc.  ils  n'a\  aienl  considéré  les  brandies 
en  dehors  du  cercle  .r--t-  i  -  =  «-. 

Tkrsiat.  —  II.  26 


•202  ŒUVUES    1)K   FERMAT.—  COH  UESl'()M)AN(,i:. 

Iircmicrs  Kivros  des  Klémonts.  C'osl  do  (nmi  je  vous  oiilreliciidrai  uik! 
auh'o  l'ois,  parco  qu'il  va  quchjue  clioso  qui  nie  semble  le  lurrilcr. 

9-  iMisuile  j'ai  considéré  la  percussion,  le  mouvement  e(  les  andcs 
cU'ets  que  cause  quelque  impression,  soit  violente  ou  naliirelle,  en  (|uoi 
je  ne  crois  pas  avoir  ma!  employé  le  temps,  puisqu'on  une  malii're  si 
épineuse,  encore  ai-je  découvert  quel(|ue  chose  de  i^^rande  utililé,  ii  ce 
(|iie  je  pense,  et  laqu(dle  je  pourrai  peu(-é(re  augnienler  avec  le 
(emps. 

10.  J'ouhliois  pres(|ue  à  vous  dire  que  les  nombres,  doiil  vous  ave/, 
déjà  découvert  des  pro[)riétés  admirables,  contienruMit  de  i^'rands  niys- 
((■res;  mais,  pour  les  mieux  découvrir,  il  l'audroit  être  plusieurs 
ensemble,  d'accord  et  sans  jalousie,  et  desqncds  le  génie  iVil  nalinvdle- 
menl  porté  ;i  cette  spéculation,  ce  qui  est  très  dilTicile  à  rencontrei'. 
Si  ce  sujet  vous  plait,  ou  quel(|u'un  de  ceux  dont  j'ai  parlé  ci-dessus, 
je  prendrai  aussi  plaisir  à  le  considérer  plus  particulii'rement,  espé- 
rant que  vous  me  l'erez  part  de  vos  inventions,  de  quoi  je  vous  sup|)lie 
en  qualité  de  etc. 


XMI. 
FKR.MAT  A  ROBRRVAI.. 

<    AOUT    KVlO    > 
(  ya,  p.  i()i-i(i  '.) 
Mo.NSU  111, 

1-  Apri's  vous  avoir  remercié  de  vos  civilités  (')  et  protesté  que 
je  serai  ravi  d'avoir  des  occasions  à  vous  plaire,  je  vous  supplierai  de 
me  faire  part  de  votre  invention  sur  le  sujet  des  tangentes  des  lignes 
courbes  et  encore  de  vos  spéculations  méchaniques  sur  la  percussion, 

(')  Ilc()Oiisc  à  lu  Lcllre  précédente,  XLI. 


XLIl.  ~  AOUT    IG'iO.  20:i 

|Miis(|ii('  vdiis  me  faih's  c'sjx'rcr  la  coiiimiuiiration  de  vos  pensées  cii 
(•(•Ile  iiialii'i'o. 

2.  Après  cela,  je  vous  tlirai  que  iM.  rrenicle  m'a  tloiiné  depuis 
(|uel(jue  temps  l'envie  de  découvrir  les  mysti-res  des  nombres,  en  quoi 
il  me  semble  qu'il  est  extrêmement  versé.  Je  lui  ai  envoyé  (')  les  belles 
propositions  sur  les  [)rogressions  géomélri(|ues  (|ui  commencent  ii 
l'unité,  les<[nelles  j'ai  non  seulement  trouvées,  mais  encore  démon- 
trées, bien  (|ue  la  démonstration  en  soit  assez  cacliée,  ce  ([ue  je  vou> 
prie  d'essayer,  puis(|ue  vous  les  avez  vues. 

3.  Mais  voici  ce  (|iie  j"ai  découvert  (-')  depuis  sur  le  suji'l  de  la  pro- 
posilidu  12  du  cin(|uiéine  Livre  de  Diopbante,  en  quoi  j'ai  suppléé  ce 
(|ue  I5acbet  avoue  n'avoir  pas  su,  et  rétabli  en  même  temps  la  corrup- 
tion du  texte  de  Diopbante,  ce  qui  seroit  trop  long  à  vous  déduire.  Il 
suffît  «lueje  vous  tloune  ma  proposition  etque  je  vous  fasse  plutôt  sou- 
venir (jue  j'ai  aulrelbis  démontré  (^)  qn'///(  nombre  moindre  de  l'iinile 
(jit'un  multiple  du  (jualermdrc  n'est  niquarré,  ni  composé  de  deux  quarrès, 
ni  en  entiers  ni  en  fractions.  J'en  demeurai  pour  lors  là,  bien  (|u'il  y  ail 
beaucoup  de  nombres  plus  grands  de  l'unité  (ju'un  multiple  du  quater- 
naire, qui  pourtant  ne  sont  ni  quarrés,  ni  composés  de  deux  quarrés, 
comme  21,  33,  y-,  etc.,  ce  qui  a  fait  dire  à  Bacliet  sur  la  division  pro- 
posée de  21  en  deux  (|uarrés  :  (piod  quidem  impossibile  est,  ut  reor,  càm 
is  ncque  quadratus  sit,  neque  suaptc  naturel  compositus  ex  duohus  qua- 
dratis,  où  le  mot  de  reor  marque  évidemment  qu'il  n'a  point  su  la 
démonstration  de  cette  impossibilité,  laquelle  j'ai  eutiu  trouvée  cl 
comprise  généralement  dans  la  proposition  suivante  : 

4.  .SV  un  nombre  donne  est  divisé  par  le  plus  grand  quarrè  qui  le  me- 
sure, et  que  le  quotient  se  trouve  mesuré  par  un  nombre  premier  moindre 

(  1  )  /  «(>  I.cllrc  .\L,  6. 

(2)  l'air  Tome  I,  Ohsenfiliiiiif  XXV  et  XXVI  siir  Dioiilianlc. 

(  •■)  Celle  proposition  avait  été,  en  môme  temps  que  le  second  tliéoiénic  énoncé  Lettre  XII, 
3,  envoyée  par  Mersennc  à  Descartes,  le  'ii  mars  i638,  comme  démonlrcc  par  Fermât. 


■n)\         ( j;  i :  \  Il  K  s  I)  !•:  r  k  i«  m  a  t.  -  (^  (  )  n  u  e  s  im  )  n  i)  ,\  \  c  !•.. 

(h'  iu/iilc  (]uun  nuiltiple  du  (juaternairr,  le  nombre  donné  n'esl  ni  quanr. 
ni  composé  de  deux  quarrés,  ni  en  entiers,  m  en  fracUons. 

Exemple  :  Soit  (Ioiiik'!  S/i.  Le  plus  grand  quarré  qui  le  mesure  est  4- 
le  quotient  2r,  le(juel  est  mesuré  par  3  ou  bien  par  7,  moindres  de 
l'unité  qu'un  multiple  d(!  !\.  Je  dis  que  iS'i  n'est  ni  quarré,  ni  composé 
de  deux  quarrés,  ni  en  entiers,  ni  en  fractions. 

Soit  donné  77.  Le  plus  grand  quarré  qui  le  mesure  est  l'unité;  le 
(|Uotient77,  qui  est  ici  le  même  que  le  nombre  donné,  se  trouve  me- 
suré par  II  ou  par  7,  moindres  de  l'unilé  (ju'iin  multi[)le  du  (]uater- 
naire.  .le  dis  que  77  n'est  ni  (|uarré,  ni  composé  de  deux  quarrés,  ni  en 
entiers  ni  en  ('raclions.  Etc. 

Je  vous  avoue  francbement  que  je  n'ai  ri(>n  trouvé  en  nombres  (jui 
m'ait  tant  plu  que  la  démonstration  de  cette  proposition,  et  je  serai 
bien  aise  que  vous  tassiez  etlort  de  la  trouver,  quand  ce  ne  seroit  que 
])Our  apprendre  si  j'(>s(ime  plus  mon  invention  qu'idie  ne  vaut. 

5.  J'ai  démontré  ensuite  celte  proposition,  qui  sert  à  l'invention  des 
nombres  premiers  : 

Si  un  nombre  est  composé  de  deux  quarrés  premiers  entre  eux,  je  dis 
(pi  il  ne  peut  être  divisé  par  aucun  nombre  premier  moindre  de  l'unité 
<pi  un  multiple  du  quaternaire. 

('omme,  par  exemple,  ajoiilez  l'unité,  si  vous  voidez,  à  un  ((uarré 
pair,  soil  le  quarré  10  oon  oooooo,  le({U(d  avec  1  fait  roooo  000  001 . 
Je  dis  que  looodoooooi  ne  peut  être  divisé  |)ar  aucun  nombre  pre- 
mier moindre  de  l'unilé  ((u'un  multi|)le  de  '\,  et  ainsi,  lorsque  vous 
voudrez  éprouvei'  s'il  est  nombre  premier,  il  ne  faudra  point  le  diviser 
ni  par  '5,  ni  |»ai'  7,  ni  par  i  i,  et*;. 

6.  Si  ne  faul-il  ])as  oublier  tout  à  l'ail  la  (iéouiéli'ie.  Voici  ce  (|n'on 
m'a  proposé  et  (jiie  j'ai  trouvé  tout  aussitôt  : 

Pcr  dalum  extra  vel  intra  parabolen  punctum,  rectum  ducere  qme 
(d)scindat  segmentum  a  parabole  œquale  dalo  spatio.  Et,  si  punctum  sil 


\LI1I.  —  AOl  T    1C40.  -iO.l 

Hilnt paraholen,  dclcriniiiarc  nununu'ii  (jitod  a  paniholc  pcr  dirhim  piinc- 
liini  (ihscindi  possil  spaliiiin. 

Si  vous  lie  rciicDiilri'/  pas  d'aljord  la  (■«iislriictioii,  je  vous  IVrai  ]iai-| 
(le  la  iiiicnnc. 

J'aKciids  (11-  vos  iioiivcllos  (■[  suis  clc. 


rKH.MAT  A  FHKNICLEC). 

<    AOUT?     Kj'iO    > 

(A,  f"  :'■'.) 

1.  Soit  par  ox('ni|il('  la  prorriM'ssiou  tioiililc  depuis  le  Miiairc  avcr  ses 
exposants  au-dessus  : 

1        2        n  V  .i  6  T  8  '-1  P*  H  li  H  IV  !'■  I '■ 

■>.    \    8    iG    ?-i'>.    6'|    n8    2.")0    .")i2    \oi!\    v>'\^    'i'i')'>    Si<)>.    HiJS'i    .î-ijfiS    (i.V).îi) 

Je  dis  ([ue,  si  vous  aui^mioutez  les  noiiihres  de  la  |)roiri'essiou  de 
l'unité,  et  (|ue  vous  i'assie/  >,  ^  ().  i  j,  etc..  tous  les  dits  nombres  pro- 
gressifs ainsi  augmentés,  qui  se  trouveront  avoir  pour  exposants  des 
nombres  (jiii  ne  sont  pas  de  la  tlile  progression  double,  seront  nondu'es 
eomoosés. 


(le 


2.    lîien  qu'on  puissi'  faire   une   analomie  partimlière  (]ui  e>l  lro| 
longue  il  déerire,  il  sulTit  de  vous  l'aire  ei)tn[)rendre,   dans  l'exeni 
qui  suit,  la  proposition  ([ne  j'y  ai  faite  : 

Soit  le  iiom!)re  progressif  augmenté  de  l'unité  Hi;)).  diiqiii'l  l'expo- 
sant est  I '5  nombre  premier.  Je  dis  (jin',  si  vous  divise/.  Sii))  par  !,  le 

(')  Ki'iij^m.'nl  |iiil)lic  |)iu-.\l.  Cil.  \hn\f\  (licclicrilicn  vif.,  p.  ii)«-iç)J  )  d'<ipi\"S  li"  liroiiillon 
d'Arboi^isl.  11  poilo  siii'  la  copio  un  ncl  le  litre  :  Sur  les  nombres  proiiicrs  dt-  l'rriniil  à 
Frcniclc,  cl  la  iiR'iiliou  :  D'uprcs  In  copie  de  Mcrsciiiic. 


iOb  (KUVIiES   DK   FKKMAT.  -  CO  HUESl'ONDANCE. 

(|iiu(ienl  ne  pourra  ('Irc  divisé  que  par  un  nombre  (|ui  surpasse  de  l'u- 
uilé  ou  le  double  de  l'i  exposant  susdit,  ou  uu  uuilliplo  dudit  double 
de  I  i,  etc.,  à  l'iutiui. 

Que  si  l'exposant  est  un  nombre  composé,  qui  pourtant  ne  soit  pas 
un  de  ceux  de  la  progression  double,  je  puis  trouver  tous  les  diviseurs 
fort  aisément. 

3.  Mais  voici  ce  que  j'admire  le  plus  :  c'est  que  je  suis  (juasi  pi'r- 
snadé  (')  que  tous  les  nombres  progressifs  augmentés  de  l'unité,  des- 
quels les  exposants  sont  des  nomltres  de  la  progression  double,  sont 
nombres  premiers,  comme 

3     :.      17     ■>.:)7     6553;     4291967.197 

et  le  suivant  de  20  lettres 

'  *^  '1  V'>  7  '1  '1  073  709  .").")  I  G 1 7  ;     cil'. 

Je  n'en  ai  pas  la  déuH)nstralion  exacte,  mais  j'ai  ex<-lu  si  grande 
quantité  de  diviseurs  par  démonstrations  inl'aillibles,  et  j'ai  de  si 
grandes  lumières,  qui  établissent  ma  pensée,  (|ue  j'aurois  peine  ii  me 
dédire. 


XI.IV. 
IT:U.\iAT  A  FHKNICIJ'. 

Ji;i:iii   18  ocroiiiiK  IGVO. 

Mo.Nsnau, 

1-   i.es  vacations,  qui  m'ont  éloigné  de  Toulouse,  m'ont  en  même 
temps  éloigne  de  mon  devoir  et  empêché  d(!  vous  écrire  plus  lot  depuis 

I  ')  C'csL  là  lo  jiliis  ancien  énoncé  donné  par  Formai  de  la  célèlirc  proposilion  donl  Hiilcr 
Il  reconnu  la  fausseté,  l'oir  Tome  I,  page  i3r,  note  i.  Le  sixième  nombre  (-i^'-i-i)  indiipu' 
ici  par  Format  comme  premier  est  divisilile  jiar  (i.\\.  Le  septième  (2"''^  1)  est  divisible 


par  'j.-  i  1 


I  '77- 


XLIV.  -  18  OCTOIJUK   IGiO.  -mi 

la  dcrni(''re  de  vos  leltros  en  date  du  21  septembre  (').  Je  tacherai  di- 
réparer  par  celle-ci  la  longueur  de  l'altcntc  et  commencerai  par  la 
liberté  que  je  prends  de  vous  dire  que  je  n'ai  point  vu  encore  aucune 
proposition  de  votre  part  que  je  n'eusse  plus  tôt  trouvée  et  consi- 
dérée; et  afin  de  vous  rendre  vous-même  juge  de  cette  vérité,  et  vous 
ôter  en  même  temps  le  scrupule  que  vous  pourriez  avoir,  que  je  n'en 
use  comme  quelqu'un  de  ceux  du  lieu  oii  vous  êtes,  qui  s'atlrihuc 
impunément  les  inventions  d'autrui,  apri's  qu'elles  lui  ont  été  com- 
muniquées, je  commencerai  par  la  proposition  ('-)  de  la  ditTérencc  de 
deux  quarrés,  que  vous  trouverez  dans  Hachet  sur  le  Diopliante,  an 
commentaire  de  la  proposition  11  du  deuxii'me  Livre,  en  même  façon 
que  vous  me  l'avez  envoyée,  vous  avouant  pourtant  que  l'application, 
que  j'estime  beaucoup,  est  toute  vôtre  et  que  je  l'ai  apprise  de  vous. 

2.  Pour  le  sujet  des  progressions,  je  vous  avois  envoyé  par  avance  (  '  ) 
les  propositions  qui  servent  ii  déterminer  les  parties  des  puissances  —  1 , 
et,  par  ma  seconde  Lettre  ('),  je  vous  avois  fait  comprendre  que  j'avois 
considéré  toutes  les  propositions  qui  servent  aux  puissances  -f- 1,  de 
(juoi  je  m'étois  contenté  de  vous  donner  deux  exemples,  dont  l'un  étoil 
démontré  par  moi  et  par  conséquent  connu  nécessairement,  et  l'autre 
ne  m'étoit  point  entièrement  connu  par  raison  démonstrative,  bien 
que  je  vous  assurasse  que  je  n'en  doutais  pas. 

Or,  pour  venir  ii  la  connoissancc  de  ce  dernier,  quoiqu'imparfaite 
encore  et  non  achevée,  je  ne  le  pouvois  sans  avoir  plus  tôt  examiné 
et  prouvé  par  démonstrations  toutes  leurs  propositions  contenues  en 
votre  dernière,  ce  que  vous  n'aurez  nulle  peine  de  croire,  puisque  le 
seul  exemple  que  je  vous  envoyai  le  marquoit  assez,  auquel  j'ajoutois 
(ju'en  toutes  progressions  on  pouvoit  déterminer  les  diviseurs  com- 
muns et  généraux  avec  pareille  aisance. 

Mais  je  vous  avoue  tout  net  (car  par  avance  je  vous  avertis  que, 

(')  Lcltrc  perdue. 

(-)  Construction  de  deux  carrés  entiers  ayant  une  difîérence  donnée. 

(3)  Foir  Lettre  XL,  6. 

('')  Lettre  XLIIL 


208  (KUVHi:S    \)\:   FKUMAT.  —  COIîHIlSIMJNDANCI-:. 

coiiiinc  je  ne  suis  pas  capahlc  tic  m'allrihiior  plus  (|U('jc'  no  sais,  je 
(lis  avec  lurme  IVancliisr  ce  <|U(' jo  ne  sais  pas)  que  je  n'ai  pu  encore 
(léiuoiilrer  l'exclusion  de  tous  diviseurs  en  celte  belle  proposition  (|ne 
je  vous  avois  envoyée  et  que  vous  m'avez  coiitirniée,  touchant  les 
nombres  3,  j,  17,  2")-,  (IjVJy,  etc.  (>ar,  bieu  (|ne  je  réduise  l'exclu- 
sion  à  la  plupart  des  nomjjres  et  (|ue  j'aie  même  des  l'aisons  probables 
pour  le  reste,  je  n'ai  pu  encore  démontrer  nécessairement  la  vérité  de 
iM'ttc  [)ropositiou  ,  de  laquelle  ponrtant  je  ne  doute  non  |)lus  à  cette 
lieiire  ([ih'  je  faisois  anparavant.  Si  vous  en  avez  la  ])reuve  assurée, 
vous  m'obliif(M'ez  de  me  la  communiqiUM';  car,  après  cela,  lien  ne 
m'arrêtera  eu  ces  matii'res. 

3.  Reste  il  vous  parler  de  la  pro|)osili(ni  t'oudann'utale  des  parties 
aliquotes,  laquelle  m'étoil  t(dlemenl  conuue  (jue  je  vous  l'avois  eu- 
voyée  par  la  |)remière  letti'e  (jne  je  vous  écrivis  ('),  laquelle  on  m'a 
dit  depuis  s'être  égarée.  Pourtant,  si  le  Pi're  Mersenne  veut  prendre  le 
soin  de  la  l'aire  (du-rclier  dans  le  bureau  de  la  poste,  elle  se  trouvera 
dans  un  paquet  que  j'adressois  à  .'\i.  ...  (-'  ). 

Outre  que  cette  pro|)osition  est  si  naturelle,  qu'il  est  impossible  de 
déterminer  et  de  trouver  la  moindre  chose  sur  ce  sujet,  qu'elle  ne  se 
préseute  d'abord;  de  sorte  (juayant  depuis  fort  longtemps  trouvé  et 
envoyé  les  propositions  des  deux  nombres  i~ '2()(J  et  18  '(iGet  autres 
pareilles  ('),  il  falloitijar  nécessité  que  j'eusse  passé  par  la  ilile  pro- 
position. 

Pour  votre  application,  il  me  semble  qu'elle  n'ote  j)as  la  longueur 
(jiieje  trouvois  en  cette  sorte  de  ({uestious,  qui  est  la  seule  dilliculté 
(juc  j'y  ai  toujours  rccounue;  sinon  que  je  ne  l'aie  pas  bien  comprise, 
de  quoi  je  vous  prie  m'avertir  et  me  rendre  certain. 

4.  11  me  semble  après  cela  ([u'il  m'importe  de  vous  dire  le  fonde- 


(  ')  LeUrc  perdue,  iiui  doil  avoir  été  éeiile  eiilre  les  LeUres  XL  el  XIJll. 

I  '^)  Cai'cavi? 

(3)  f'oir  l'iccc  IVa- 


XLIV.  -  18  OCïOnUE   IC'.O.  20!) 

mont  sur  lo(jucl  j';i|tpiiic  los  ilémoiisiradoiis  de  tntil  rc  (lui  coiiccriic 
les  progressions  gôomôlriqucs,  qui  est  loi  : 

Tout  nomhrc  premier  (')  nipsiire  inraillii»loinent  une  des  puis- 
sances —  I  de  (juelque  progression  (jue  ce  soit,  et  l'exposant  de  la 
dite  puissance  est  sous-mniliple  du  nombre  premier  donné  —  i;  (>(. 
après  qu'on  a  trouvé  la  première  puissance  qui  satisfait  ii  la  (|uestion, 
toutes  celles  dont  les  exposants  sont  multiples  de  l'exposant  de  la  pre- 
mière satisfont  tout  de  même  à  la  question. 

Exemple  :  soit  la  progression  donnée 

I         •  3  V  S  6 

3     (j     ■}.-     8i     a/jo     ^iij     clc. 

avec  SCS  exposants  en  dessus. 

Prenez,  par  exemple,  le  nombre  premier  i3.  Il  mesure  la  troisième 
puissance  —  i,  de  hufuelle  3,  exposant,  est  sous-multiple  de  12,  qui 
est  moindre  de  l'unité  que  le  nombre  i3,  et  parce  (|ue  l'exposanl 
di^  7'2C),  qui  est  (>,  est  multiple  du  premier  exposant,  qui  est  3,  il  s'en- 
suit que  i3  mesure  aussi  la  dite  puissance  729  —  i. 

Et  cette  proposition  est  généralement  vraie  en  toutes  progressions 
e-t  en  tous  nombres  premiers;  de  quoi  je  vous  envoierois  la  démonstra- 
tion, si  je  n'appréhcndois  d'être  trop  long. 

5.  Mais  il  n'est  pas  vrai  que  tout  nombre  premier  mesure  une  puis- 
sance -f-  I  en  toute  sorte  de  progressions  :  car,  si  la  j)remière  puis- 
sance —  I,  (jni  est  mesurée  par  le  dit  nombre  premier,  a  j)our  expo- 
sant un  nombre  impair,  en  C(^  cas  il  n'y  a  aucune  puissance  -1-  i  dans 
toute  la  progression  qui  soit  mesurée  par  le  dit  nombre  [iremier. 

Exemple  :  parce  ([n'en  la  progression  double,  2']  mesure  la  puis- 
sance —  I  (|iii  a  pour  exposant  11.  le  dit  nombre  23  ne  mesurera 
aucune  puissance  -1-  1  de  la  dite  progression  ii  l'intini. 

Que  si  la  prcmii're  puissance  —  1  qui  est  mesurée  par  le  nonibi'c 

(  ')  C'est  de  cet  énoncé  qu'a  été  lircc  hi  proposilioii  connue  sous  le  nom  ilc  Tlicorciiiit 
(If  h'cnnal,  ii  savoir  que  si  p  est  premier  cl  ne  diviso  [las  i?,  il  divise  «''-'  —  i. 

Feiimat.  —  n.  -^7 


:>10  ŒUVRES   DE   FERMAT.  -  COURESPONDANCE. 

premier  donné  :i  ponr  exposant  nn  noinl)i'c  pair,  en  ce  cas  la  puis- 
sance +  1  qni  a  pour  exposant  la  moitié  tludit  premier  exposant  sera 
mesurée  par  le  noml)re  ])remier  donné. 

6.  Toute  la  diCticulté  consiste  à  trouver  les  nombres  ])remiers  qui 
ne  mesurent  aucune  puissance  +  i  en  une  progression  donnée  :  car 
cela  sert,  par  exemple,  à  trouver  quels  des  nombres  premiers  mesurent 
les  radicaux  des  nombres  parfaits  et  à  mille  autres  clioses,  comme,  par 
exemple,  d'oii  vient  que  la  '^7^  puissance  —  i  en  la  progression  double 
est  mesurée  par  22!).  En  un  mol.  il  faut  déterminei'  ([uels  nombres  pre- 
miers sont  ceux  qui  mesurent  leur  premii're  puissance  —  i  en  telle 
sorte  que  l'exposant  de  la  dite  puissance  soit  nn  nombre  impair,  ce 
«|ue  j'estime  fort  malaisé,  en  attendant  un  plus  grand  éclaircisscmenl 
de  votre  part  et  qu'il  vous  plaise  d'étendre  cet  endroit  de  votre  lettre, 
où  vous  dites  qu'apri-s  avoir  trouvé  que  le  diviseur  doit  être  multiple 
+  I  de  l'exposant,  il  y  a  aussi  des  règles  pour  trouver  le  quantii-me 
des  dits  multiples  +  i  de  l'exposant  doit  être  le  diviseur. 

7.  Voici  une  mienne  proposition  ((juc  ])eut-ètre  vous  aurez  aussi 
trouvée)  que  j'estime  beaucoup,  bien  (ju'elle  ne  découvre  pas  tout  r.v 
que  je  cberclic,  que  sans  doute  j'acbèverai  d'apprendre  de  vous  : 

En  la  progression  double,  si  d'un  nombre  (juarré,  généralement 
parlant,  vous  ôlez  2  ou  8  ou  32  etc.,  les  nombres  premiers  moindres 
de  l'unité  (|u'un  multiple  du  quaternaire,  qui  mesureront  le  reste, 
feront  l'efTet  re([uis. 

Comme  de  2j,  qui  est  un  quarré,  ôtez  2;  le  reste  2'>  mesurera  la 
1  1"  puissance  —  i. 

Otez  2  de  /jt),  le  reste  47  mesurera  la  l'i"  puissance  —  i. 

Olez  2  de  220,  le  reste  223  mesurera  la  3^'  puissance  —  1  ;  etc. 

En  la  progression  triple,  si  d'un  nombre  quarré  itl  supra  vous  ùtez 
3  ou  27  ou  2'(3  etc.,  les  nombres  premiers  moindres  de  l'unité  qu'un 
multiple  du  quaternaire,  qui  mesureront  le  reste,  feront  reiïet  requis. 
(]omme  : 

Otez  3  de  ij,  le  reste  22  est  divisé  par  11,   qui  est  premier  et 


\L1V.  -  18  OCTOP.U  !•:   lO-iO.  211 

iiioiiidrc  (le  l'unih''  furuii  mtilliplc  du  (jualiM'iiairc;  aussi  it  mesure 
la  ./  puissauco  —  i. 

Ole/.  3  (le  i2i;  lo  resie  ii8  est  mesuré  par  ji)  mouulre  de  l'uiiilé 
(ju'dii  multiple  du  quateruaire;  aussi  .">()  mesure  la  2(f  puissauco  —  i. 

l'ji  la  |»rogressi()u  (juadruplc,  il  faut  olcr  4  ou  G'i  ou  lo-^'i,  ele.  ;i 
l'iuliiii  eu  toutes  progressious,  eu  procédant  de  même  façon. 

8.   J'ajouterai  encore  cette  petite  proposition. 

Si  d'un  (juarré  vous  otcz  2,  le  reste  ne  peut  être  divisé  par  aucun 
nombre  premier  (jui  surpasse  nu  quarré  de  2. 

(lomme  prenez  pour  qnarré  1  oooooo,  duquel,  été  2,  reste  ;);)<,)  ;);)i^- 
Je  dis  que  le  dit  reste  ne  peut  être  divisé  ni  par  1 1,  ni  [)ar  8  ),  ni  par 
227  etc. 

Vous  pouvez  é[)rouver  la  même  règle  aux  (|uarrés  impairs  et,  si  je 
voulois,  je  vous  la  rendrois  belle  et  générale;  mais  je  me  contente  de 
vous  l'avoir  indiquée  seulement. 

9-  Avant  que  linir,  vi)ici  une  autre  [)roposition,  hniuclle  vous  four- 
nira peut-être  quelque  application,  comme  vous  y  êtes  très  heureux. 

Si  un  nombre  est  mesuré  par  un  autre  et  (]iu'  le  nombre  divisé  soit 
(Micore  divisé  parmi  autre  nombre  moindre  (|ue  le  [)remier  diviseur, 
eu  ce  cas,  si  vous  ùtez  du  (juotient  de  la  seconde  division,  multiplié 
par  la  différence  des  deux  diviseurs,  le  reste  de  la  seconde  division,  ce 
(|ui  restera  sera  mesuré  par  le  premier  diviseur  (  '  ). 

Exemple  :  121  est  mesuré  par  1 1 .  Divisez  encore  121  par  7  ;  b'  ([uo- 
tient  sera  17  et  le  reste  de  la  division  2. 

.Multipliez  le  quotient  17  par  4,  dilTêreuce  du  premier  et  du  second 
diviseur,  et  du  produit  (J8  (Mez-eu  2;  reste  GG  qui  sera  aussi  mesuré 
par  r  i,  premier  diviseur. 

10.  Que  si  le  second  diviseur  est  plus  grand  que  le  premier,  en  ce 

(')  ("cst-ù-dire  que  .si  l'on  a 

(I  =  tifj  =  A,  y,  -H  r, 

si  l'on  a  i>  hi'.  b  divise  71  (i  —  &,)  —  r.  Si  au  contraire  b  <  h^,  b  divise  71  (/'i  —  b)  -!-  r. 


212  ŒUVRES  DE  FEUMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

cas,  si  vous  ajoutez  au  quotient  de  la  seconde  division,  multiplié  par 
la  dilTérenco  des  deux  diviseurs,  le  reste  de  la  seconde  division,  ce 
(|ui  restera  sera  mesuré  par  le  premier  diviseur. 

Kxemple  :  1 77  est  mesuré  par  ':).  Divisez  encore  1 17  par  /j  ;  le  quo- 
tient sera  29  et  le  reste  de  la  division  i. 

Ajoutez  au  quotient  -29,  multiplié  par  la  dilTérencc  des  diviseurs 
(qui  ne  change  ici  rien,  jiarcc  que  c'est  l'unité),  le  reste  de  la  dite 
division,  qui  est  i;  la  somme  3o  sera  aussi  mesurée  par  3,  premier 
diviseur. 

J'ai  déjii  trop  écrit  et  il  me  semble  qu'il  est  temps  que  vous  parliez, 
aj)rl's  avoir  cmplové  si  mal  votre  temps  à  lire  cette  longue  lettre,  qui 
vous  confirmera  que  je  suis  etc. 


XLV. 
FERMAT  A  ÎMERSENNE. 

MAHDI    23    «finRMItlIE    IGVO. 

(A,  f"'  IL.-I3  iij,  Li,  f"  iç).) 

Mon   Ri.viT.ENn  Pi.r.K, 

1-  Je  languissois  dans  l'attente  de  vos  lettres  et  de  M.  de  Frenicle. 
Je  suis  bien  aise  (ju'il  approuve  ce<jiu^  j'ai  fait  (');  et  afin  qu'il  ne  soit 
l)lus  en  doute  de  ce  que  je  lui  demande,  voici  trois  questions  que  je 
lui  propose,  pource  que  les  spéculations  que  j'y  ai  faites  ne  me  satis- 
font pas  pleinement  : 

1°  La  raison  essentielle  pourquoi  3,  5,  17,  257,  etc.  à  l'infini,  sont 
toujours  nombres  premiers; 

2°  Qu'il  me  donne  quelqu'un  de  ses  autres  moyens  pour  trouver 

(  ')  Lu  réponse  de  Frenicle  à  la  LcUrc  XLIV  esl  perdue. 


\LV.  —  25   DECKMltUI':   IGiO.  213 

il  rintiiii  dos  nombres  premiers   de   tels   noml»res   de   figures   qu'on 
voudra. 

Sur  quoi  je  voudrois  olre  éclairci  si  nue  de  mes  pensées  est  vraie, 
qu'en  la  progression  d'un  noml)r(!  pair,  eomme  G,  toutes  les  puissances 
-+- 1  de  la  progression  qui  ont  |)our  exposant  :  1,2,  4,  8,  iG,  cte.  sont 
nombres  premiers,  si  elles  ne  sont  pas  mesurées  par  un  de  eeux-ci  :  j, 
5,  17,  267,  ete.;  laquelle  proposition,  si  elle  est  vraie,  est  de  tri's  grand 
usage. 

Si  je  puis  une  fois  tenir  la  raison  fondamentale  que  3,  j,  17,  ete. 
sont  nombres  premiers,  il  me  semble  que  je  trouverai  de  Iri's  belles 
choses  en  cette  matière,  car  déjà  j'ai  trouvé  des  choses  merveilleuses 
dont  je  vous  ferai  |)arl,  après  que  j'aurai  eu  votre  réponse  et  celle  de 
M.  Frcnicle. 

3°  Je  lui  demande  un  moyen  plus  général  que  celui  que  j'ai  inventé 
|)our  savoir  quels  sont  les  multiples  de  l'exposant  utiles  à  la  division. 

Après  cela,  je  travaillerai  aux  propositions  que  vous  me  demandez. 

2.  Sur  le  sujet  des  triangles  rectangles  ('),  voici  mes  fonde- 
ments : 

i"  Tout  nombre  premier,  qui  surpasse  de  l'unité  un  multiple  du 
quaternaire,  est  une  seule  fois  la  somme  de  deux  quarrés,  et  une  seule 
fois  l'hypoténuse  d'un  triangle  rectangle. 

2°  Le  môme  nombre  et  son  quarré  sont  chacun  une  fois  la  somme 
de  deux  quarrés  ; 

Son  cube  et  son  quarréquarré  sont  chacun  deux  fois  la  somme  de 
deux  quarrés; 

Son  carrécube  et  son  cubecube  sont  chacun  trois  fois  la  somme  de 
deux  quarrés; 

Etc.,  à  l'infini. 

3"  Ce  même  nombre  étant  une  fois  l'hypoténuse  d'un  triangle  rec- 
tangle, son  quarré  l'est  deux  fois,  son  cube  trois,  son  quarréquarré 
<juatrc,  etc.  à  l'infini. 

(')  Comparer,  Tome  I,  \ Oh-icrvation  VU  sur  DlnphaïUc. 


•21V 


(EU  VUES   DE   FERMAT.-  CO  U  llESl'ONl)  A  NCE. 


V  Klaiit  donné  un  nomI)i"(s  pour  savoir  (■onil)i('n  do  lois  il  osl  l'Iiv- 
|»()léniisc  d'un  triangle  rectangle,  divisez-le  |)ar  tous  les  nombres  pre- 
miers, ])lns  grands  de  l'unité  qu'un  multiple  du  quaternaire,  qui  le 
mesurent.  Puis  rangez  les  exposants  des  puissances  dos  dits  nombres 
pi'omiers  qui  mesurent  le  nombre  donné,  en  tel  ordre  ([uo  bon  vous 
semblera,  l'un  apri's  l'autre.  Multipliez  le  premier  par  le  second  deux 
l'ois,  et  à  cela  ajoutez  la  somme  du  premier  et  du  second;  puis  multi- 
pliez cette  dernière  somme  doux  fois  par  le  troisième,  et  ajoutez  au 
produit  tant  la  dite  dernière  somme  que  le  troisii'ine,  etc.  ;i  l'inlini. 
[.a  dernière  sonune  marquera  ;i  combien  do  triangles  le  nombi'o  donné 
peut  servir  d'hypoténuse. 

Los  noinl)i'es  premiers  qui  sont  moindres  do  l'unité  (|u"nn  multiple 
du  ([uaternaire,  ni  2,  non  plus  que  leurs  puissances,  ne  l'ont  rien  ii  la 
question,  et  n'augmentent  ni  ne  diminuent  b;  nombre  des  dits  trian- 
gles rectangles. 

Soit,  par  exemple,  un  nombre  donné  mesuré  par  ;'),  par  le  ([narré  de 
l'î,  par  lo  cube  de  17,  et  par  le  cube  aussi  do  2(). 

Nous  aurons  quatre  diviseurs  dont  les  oxposanis  de  leurs  puissances, 
ijui  mesurent  lo  nombre  donné,  sont  : 


.le  multiplie  le  premier  par  lo  second  doux  fois  :  viendra  ]  ;  ajonlez-v 
lo  premier  et  le  second  :  viendra  7.  .le  multiplie  7  par  lo  troisième  3 
deux  Ibis  :  viendra  /|2,  au(juel  ajoutant  7  et  3,  c'est  "i 2.  .le  multiplie 
")2  par  lo  quatrième  (qui  est  3)  deux  fois  :  viendra  3  12,  auquel  ajou- 
tant ri  et  3,  viendra  3G7. 

.le  dis  donc  ([ue  le  nombre  donné  sera  rbvi)oténuso  de  3G7  triangles 
rectangles  et  non  plus. 

j"  Pour  Irouver,  par  exemple,  lo  moindre  nombre  de  tous  ceux  (jui 
sont  3()7  fois  seulement  l'hypoténuse  d'un  triangle  rectangle,  je  double 
lo  nombre  donné  et  au  dit  double  j'ajoute  l'unité  :  viendra  735,  du- 
(juel  je  prends  tous  les  diviseurs  séparément.  Quoiqu'un  nondiro  me- 
sure et  par  soi  cl  par  ses  puissances,  j'entends  tous  les  diviseurs  qui 


\LV 


•2:i   DECKMIîRE    IGiO. 


■2lo 


sont  iioml)r('s  premiers;  le  dit  nombre  se  trouve  donc  divisé  aux  diles 
conditions  par  3,  ."i,  7,  7.  .l'ùto  do  chacun  des  dits  diviseurs  l'unilé  e( 
prends  lu  nioilié  du  reste  :  viendra  i,  1,  3,  3. 

Il  i'aut  donc  prendre  ([uatre  nombres  premiers  plus  grands  do  l'unité 
(lu'un  multi[)le  du  quaternaire,  et  [irendre  leurs  puissances  exposées 
|)arles.di(s  quatre  nombres.  1mi  ([uoi  faisant,  vous  satisferez  à  la  question 
généralement  eu  mulli[iliaut  les  dites  (jualre  puissances  entre  elles. 

Que  si  vous  voulez  le  moindre  nombre  satisfaisant  à  la  ([uestion,  il 
faudi'a  |)rendre  les  quatre  plus  petits  nombres  premiers  de  la  (jualité 
requise,  (|ui  sont  :  ">,  i3,  17,  29,  et  pour  leurs  puissances,  il  faut  (|ue 
celle  du  plus  petit  ait  le  [dus  grand  ex[)osant,  et  ainsi  des  autres.  Nous 
prendrons  donc  le  cube  de  ">,  le  cube  de  i3,  le  quarré  de  17,  et  29,  et 
multipliant  tous  les  uns  par  les  autres,  nous  aurons  le  moindre  nombre 
d(^  tous  ceux  (|ui  servent  d'hypoténuse  à  3()7  triangles  rectangles  et 
non  plus. 


3.  11  s'ensuit  de  là  que  si  le  double  du  nombre  donné,  plus  i,  est 
nombre  premier,  en  ce  cas  le  nombre  cherché  ne  peut  être  divisé  (|ue 
par  un  seul  nombre  premier  [)lus  grand  de  l'unité  (ju'un  multiple  du 
(|uaternaire. 

Comme  si  vous  demandez  un  nomltre  (jui  serve  d'hypoténuse  ii 
20  triangles  rectangles  et  non  plus,  pource  que  /jt  est  nombre  pre- 
mier, il  faut  prendre  la  20''  puissance  d'un  nombre  premier  de  la  ([iia- 
lilé  requise. 

Vous  trouverez,  par  consé(juence  aisée,  un  nombre  qui  ait  autant  di' 
diviseurs  dilférents  que  vous  voudrez  et  ([ui  puisse  satisfaire  à  la  ques- 
tion, lors({n'elle  est  possible.  J'entends  des  diviseurs  de  la  (jualité 
re([nisc,  car  vous  y  en  pouvez  mettre,  (M)mme  nous  avons  dit,  autant 
(|ui'  vous  voudrez  de  ceux  qui  sont  moindres  de  l'unité  qu'un  multi[ile 
de  '|,  ou  bien  2  et  telle  de  ses  puissances  que  vous  voudrez. 

•le  vous  écris  ceci  si  fort  à  la  hâte  (jue  je  ne  prends  pas  garde  si  je 
fais  des  fautes,  et  omets  beaucoup  de  choses  dont  je  vous  dirai  le 
menu  une  autre  fois. 


21G  ŒUVRES  DE  FERMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

4.  Pour  la  question  des  ellipses  ('),  elle  se  déduii'a  fort  aisément  de 
ce  que  vous  venez  de  voir,  car  la  queslion  va  lii  à  trouver  an  nombre 
f/ui  serve  d'hypoténuse  à  12  triangles  et  non  plus,  de  telle  qualité  que  la 
dite  hypoténuse  ait  plus  grande  proportion  au  plus  grand  des  deux  autres 
eôtés  que  le  dit  plus  grand  au  moindre  :  e'est-:i-dire  que  cliacun  des  dits 
triangles  soit  comme,  par  exemple,  2;),  21,  20.  Ce  qui  est  aisé,  et 
ayant  trouvé  le  dit  nombre,  son  quarré  sera  le  demi-diamè(r(>  des 
ellipses. 

Il  le  faut  ([uarrer,  alin  que  la  perpendiculaire  sur  le  foyer  soit  un 
nombre  entier.  J'en  dis  assez  pour  me  Aure  entendre  à  M.  Frcnicle. 

5.  J'ajoute  encore  qu'une  toute  pareille  règle  à  la  précédente  des 
hypoténuses  sert  à  celte  question  : 

Etant  donné  un  nombre,  déterminer  eombien  de  fois  il  est  la  différence 
de  deux  nombres  desquels  le  produit  est  un  lunnbre  quarré. 

Et  n'y  a  que  cette  différence,  qu'en  cette  question  tous  les  nombres 
premiers  hormis  2  sont  utiles,  ce  qui  n'est  pas  en  la  précédente  des 
hvpoténuses. 

(lonime,  si  un  nombre  est  mesuré  par  3  et  par  le  quarré  de  ">,  les 
e\|»()sants  étant  i  et  2,  multipliez  le  premier  par  le  second  deux  fois, 
il  (juoi  ajoutant  leur  somme,  viendra  7.  Vous  pouvez  donc  assurer  que 
7  )  est  7  fois  la  différence  de  deux  nombres  desquels  le  produit  fait  un 
(|  narré. 

l'our  avoir  le  plus  petit,  vous  userez  de  même  voie. 

Or,  pour  trouver  tous  les  triangles  et  aussi  les  dits  nombres  en  cette 

(')  l'oir  sur  colle  queslion,  anlérieurcineiil  proposée  par  Frcnicle  ii  Dcscartes,  les  Let- 
tres de  ce  dernier,  du  20  décembre  i638  (éd.  Clersclier,  II,  i)5),  du  9  février  i63()  (II,  97), 
du  3o  avril  1G39  (lit,  Sj)-  Frcniclo  avait  demandé  de  conslruire  sur  le  môme  grand  axe 
(  ?.(z)  un  nombre  délerminc  d'ellipses  telles  que  pour  chacune  la  distance  des  foyers  (2c) 
lui  supérieure  au  pclil  axe  (a^j  cl  qu'on  pûl  exprimer  en  nombres  entiers  le  grand  axe, 

le  petit  axe,  la  distance  (a  —  c)  d'un  foyer  au  sommet  voisin,  et  l'excès  (  )>  sur 

la  distance  des  foyers,  de  la  distance  do  l'un  d'eux  à  l'exlrémité  de  l'ordonnée  passant 
par  l'aulre. 


XLV.  -  2;j  Diici: Miiiti-:  ig\o.  217 

(|ii('sli()n,  la  (■li(>s<'  osl  assfz  aiscc,  de  (|ii()i  je  vous  ('crirai  srpart'rncnl, 
si  vous  voulez. 

De  coite  dcriiiiTe  ((iioslioii,  on  peu!  (ii-cr  riiivoiilioii  (i'liy|MTl)oles 
au  lieu  (l'elli[ises,  ('!<■. 

Dès  (]ue  M.  (le  l'Vciiirle  m'aura  eeiit,  je  lui  doiinei'ai  des  piojiosi- 
lioiis  (|ue  je  ju^c.  sans  me  llaKer,  ([u'il  eslimeia  im'oiii[)aialdeuieul 
plus  bidies  (|ue  ((uil  ce  doiil  mous  avous  eucoïc  paile. 


Je  suis. 


Mou  névéreiul  l'cic, 


Voire  lii's  liuiulde  siuvileii 


Fr.i;.M\T. 


A  Tdiiliiiisc,  fc  '^'i  (l(''ci'iiiliio  i(V|(). 


FLRaiAT.  —   IL 


q8 


•218  ŒUVRES  DE  FEUMAT.  -  COHUESPONDANCE 


ANNÉE  IGil. 


XLVI. 

fer:maï  a  mersenne  ('). 

MAfll)!    2(j    MARS     Kiil. 

(A,  f"  34;  B,  f°  2\  w) 

Mon  Rkvkuum)  Pkue, 

1-  Les  occupations  que  les  procès  nous  donmMit  sur  la  (èlc  iii'onl 
ompèché  de  pouvoir  lire  à  loisir  les  Traités  (-)  que  vous  m'avez  l'ail  la 
faveur  de  in'envoyer.  Je  me  réserve  d'y  vaquer  avec  soin  aussitôt  apri's 
Pâques,  et  ce  sera  alors  que  je  vous  satisferai  et  vous  marcjuerai  avec 
liberté  mes  sentiments. 

2.  Je  suis  toujours  dans  l'attente  de  la  réponse  de  M.  de  Frcnicle  (■'), 
et  en  tout  cas,  vous  m'obligerez  de  me  renvoyer  ma  démonstration  (  '  ) 
pource  que  je  n'en  ai  point  gardé  de  copie.  Comme  aussi  je  serai  bien 
aise  qu'il  vous  plaise  m'envoycr  ma  copie  d(>  mon  Isagof;e  ad  locos,  de 

(  '  )  I.eUrc  iiuMlilc. 

(')  Mersciinc  lïiisail  alors  notaiiinipiit  clixiilcr  {/.ellrct  fie  Dcscarlcs,  cil.  l^lersolier.  Il, 
4i,  (lu  28  ocLoIm'c  i(>40  à  Mcrscunc;  MS.  B,  f"  21)  v"cl  siiiv.,  lettre  iiic-dilc  do  l'iijos  à  Mei'- 
sennc  du  9  mai  iG^i),  avec  l'opuscule  de  Fermai  Doctmmin  tnngcittiuin  (Tome  I,  p.  1 J8 
et  sulv.)  :  t"  uu  Traite  des  cercles  qid  se  font  dons  l'eau;  ■?"  un  autre  piuir  le  moih'cniriii 
jotiriuilicr  de  la  terre;  3"  la  lettre  de  Ueaugrand  contre  Dcsargucs  (  O/ùhtcs  de  Desar- 
•^iies,  éd.  Poudra,  II,  p.  355  et  sinv.). 

(  3  )  Ucponsc  à  la  Lettre  XLV  ? 

(')  Dcnioiistration  perdue. 


\I.V1.  -   -2(1   MAlîS    ICil.  2Ji) 

son  Append'uv  ot  lie  irncntione  la/igciilluiu  in  ciirvis  (  '),  in'olaiil  ciiga^r 
envers  M.  Despagncl  de  les  lui  faire  voir. 

3.  h]xciisez  riinportunilc  à  la([iielle  je  me  trouve  eugai^é  par  ma  ne- 
jj;ligence.  ^'oi^•i,  eu  revauclie  (l(>  la  peiue  (jik'  je  vous  «loiiue,  une  Itelle 
|)roposilion  tirée  de  mes  Lieux  ad  siipiTjiciem  (-)  et  ([ui  u'esl  (|u'une 
suite  d'une  des  [)roposili(His  du  Traité  entier  : 

Soil  nue  sphère  donnée  et  en  icellr  dècril  un  solide  rèffidier.  Je  dis  //ne, 
SI  roits  j>re/iez  un  point  à  discrétion  dcins  toute  la  sitperjieie  de  la  spliére, 
et  (pie  de  ce  point  vous  tiriez  des  lignes  à  tous  les  angles  du  solide  régulier, 
les  (juarrès  de  toutes  ces  lignes  pris  e/ise/nhle  seront  égaux  à  un  espace 
donné. 

Couiine,  si  vous  ou  désire/  un  exemple,  soit  une  s[)lu're  donnée  et 
en  icelle  décrit  un  tétraèdre.  Je  dis  que,  si  vous  prenez  un  point  ii  dis- 
crétion dans  toute  la  surface  de  la  splii-re,  et  que  de  ce  point  vous 
tiriez  quatre  lignes  aux  quatre  angles  du  tétraèdre,  les  quarrés  de  ces 
([uatre  lignes  pris  ensemble  feront  un  espace  qui  sera  double  du 
([uarré  du  diamètre  de  la  sphère.  Vie. 

i-a  démonstration  n'est  pas  malaisée  et  se  lire  facilement  de  celle 
d'une  autre  proposition  que  j'envoyai  il  y  a  longtemps  à  M.  de  Ro- 
l)erval(^'). 

.le  suis,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  très  alfectionné  serviteur, 

Fkiimat. 

A  TuiiliHisc,  ce  uG  mars  iGii. 


(')  /'(wrTomc  I,  pa;,'cs  91  cl  siiiv.;  io3  cL  siiiv.;  i  iS  et  siiiv.;  le  (Icrnier  tilre  doil  eu 
effet  designer  l'écrit  DoctriiKwi  taitgciuiwn. 

(2;  Voir  Tome  I,  pages  1 1 1  et  suiv.  L'énoncé  qui  suit  est  \\\\  cas  particulier  du  tliéoréuie 
général  :  .Si  a  tjuntcuinque  puiictix.  page  11 3. 

(3)  P'^oir  Lettre  XIX. 


2-20  ŒUVRES   DE  FERMAT.  —  CORRESI'ONDANCE. 

XLVIl. 
FKR.MAT  A  IMKRSENNR  ('). 

SAMl'DI    13   JLIN    IGVI. 

(A,  f'  1^;  B,  f»  \j  y.) 

Mon  Rr,vr.uF,Nn  Piiu;, 

1.  Je  tâche  (le  contenlor  ass(»7,  arnplemont  la  curiosité  do  M.  i\v  Trc- 
niclc  par  la  Lettre  (}ue  vous  trouverez  dans  votre  paquet  {-).  il  m'a 
pourtant  demandé  la  solution  d'une  (juestion  (^)  que  je  diffère  de  lui 
envoyer  jusqu'à  ce  ([ue  je  serai  de  retour  à  Toulouse,  me  trouvant  pré- 
sentement à  la  campagne  où  j'aurois  besoin  de  heauconp  de  temps 
pour  l'cfaire  ce  que  j'ai  écrit  sur  ce  sujet  et  que  j'ai  laissé  dans  mon 
cabinet. 

Voici  pourtant  un  échantillon  de  cette  question  générale,  ([ue  vous 
lui  pourrez  faire  voir  par  avance  : 

I^ln  la  progression  de  5,  tous  les  nombres  |)remiers,  qui  sont  dillé- 
renls  par  l'unité  d'un  multiple  de  iii,  mesurent  seulement  les  puis- 
sances —  I.  Tels  sont  :  i  i,  i3,  23,  37,  etc. 

En  la  même  progression,  les  nombres  premiers,  qui  sont  diirérents 
par  )  d'un  multiple  de  12,  mesurent  les  puissances  +  1.  Tels  sont  :  5, 
17,  19,  etc. 

En  la  progression  de  .'"),  tous  les  nombres  premiers,  qui  finissent  par 
I  on  par  ç),  mesurent  seulement  des  puissances  —  i.  Tels  sont  :  1  i, 
19,  etc. 

Ceux  qui  finissent  par  3  ou  par  7  mesurent  des  puissances  + 1 .  T(ds 
sont  :  7,  i3,  17,  etc. 

Vous  aurez  une  autre  fois  la  règle  générale  en  toute  sorte  de  pro- 
gressions. 

(  ')  Lcllre  inédite. 

(2)  Foir  Pièce  XLVIII  ci-après. 

(3)  f'oir  I.cltrcs  XLVIII,  12  et  XLIX,  12. 


XLVIll.  —  15  JUIN  1C41.  221 

2.  .rallciuls  aiainteiiant  (|iril  vous  plaise  ni'cnvovor  la  copie  de  mes 
Traités  (')  que  jo  vous  ai  si  souvent  demandée  pour  M.  Despagnet. 

Je  suis,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  très  aiïectionné  serviteur, 

Fkkjiat. 

(^c  i5  juin  i(i  Ji . 

3.  Depuis  avoir  écrit  la  lettre  de  .M.  Frenicle,  j'ai  trouvé  la  dernière 
(|ues(ion  (|ue  je  lui  lais  (^)  : 

Eta/il  donne  un  nombre,   dctcnni/wr  combien  de  fois  il  peut  èlrc  la 
somme  des  deux  pe/its  côtes  d'un  triangle  rectangle. 

S'il  la  veut,  je  lui  en  ferai  part,  et  serai  cependant  bien  aise  de  voir 
sa  solution. 


XLVIII. 

FERMAT  A  FRENICLE  (»). 

<  15  jLiN  IGVI  > 

(15,  f-  26  v-'-aS  r.j 

1-  La  proposition  fondamentale  des  triangles  rectangles  est  (jue  tout 
nombre  premier,  qui  surpasse  de  l'unité  un  multiple  de  '\,  est  com- 
posé de  deux  quarrés  C). 

{')  roirX.'Mra  XLVI,  2. 

(2)  roir  Lellic  XLVIII,  11. 

(')  Celle  pièce  incdile,  rcproduile  d'après  une  copie  qui  ne  porte  ni  adresse  ni  dalc,  no 
doii  êlre  eoiisidcrcc  que  comme  un  extrait  d'une  Lettre  de  Fermai.  (Jette  Lettre  était  évi- 
dcmnient  adressée  à  Frenicle,  dont  nous  avons  la  réponse  (ci-après  XLl.X.),  datée  du 
2  août  1041.  Le  post-scriptiun  de  la  Lettre  XLVII  ci-avant,  adressée  à  Mersennc  le  i5  juin 
iG.'ii,  prouve  d'ailleurs  que  le  présent  extrait  a  luen  été  fait  sur  la  Lettre  pour  F'reniclc, 
mise  par  F'ermal  dans  le  paquet  envoyé  à  cette  date  au  Minime.  L'auteur  de  l'extrait  n'a 
copié  que  ce  qui  lui  a  paru  avoir  un  i[itérét  nialliématiqne  et  a  négligé  toutes  les  transi- 
tions d'une  question  à  l'autre. 

(*)  rnir  Lettre  XLV.  2. 


■2-21  (EUVUES    DE   FKUMAT.  -  COH  UESPOND  ANCE. 

2.  La  mélliodc  pour  trouver  les  Iriangles  composés  en  conséquence 
(les  pi-iniilifs  est  dans  les  l.ivi'es  {'),  ou  s'en  jieul  tirer  aisément  : 

Soit  le  nom!)re  donné  (ij,  le((uel  je  trouve  être  l'iiypoténuse  de 
(|uatre  Iriangles,  par  la  régie  déjà  envoyée  (-).  Les  nombres  premiers 
de  la  (|nalilé  re(|uise  qui  lo  composent  sont  "i  et  i'>.  Le  lriangl(>  (  M  de 
")  est  f),  ^|,  3;  celui  de  1 3  est  i3,  12,  "i. 

Je  multiplie  la  hase  12  par  la  base  \,  vient  'iH;  |)uis  le  petit  <'oté  "i  par 
l'autre  '3,  vient  ij;  et  dercclicf  12  par  3,  en  croix,  vient  3G;  puis  \ 
])ar  j,  vient  :^o. 

La  somme  des  deux  premiers  produits  et  ladillérence  des  deux  se- 
conds l'ont  les  deux  petits  cotés  d'un  des  triangles  cherchés,  qui  sera 
par  conséquent  :  ()">,  G3,  id. 

Kl  dereidief  la  somme  des  deux  derniers  produits  et  la  diiïérenci' 
des  deux  premiers  sont  les  deux  petits  côtés  d'un  autre  des  triangles 
cherchés,  qui  sera  partant  :  0 "i,  5(),  33. 

(Que  si,  au  lieu  de  i3,  i:^,  .■),  vous  aviez  pris  le  même  3,  4.  n  i'h 
l'aisanl  la  même  opération,  vous  n'eussiez  trouvé  qu'un  seul  triangle 
(|ui  est,  en  mon  précédent  cxcmjde  :  2,'),  i\,  7.) 

Les  deux  autres  triangles  sont  semblables  aux  deux  premiers  et  se 
Ibnl,  l'un  en  multipliant  les  côtés  du  premier  par  l'hypoténuse  du 
second,  et  l'autre  en  multijjliant  les  côtés  du  second  par  l'hypoténuse 
du  premier;  ils  sont  donc  :  Gj,  .^2,  3();  G;"),  Go,  2:"). 

3.  Cette  méthode  est  générale,  de  sorte  que  toute  la  difliculté  con- 
siste à  trouver  les  triangles  primitifs,  lorsque  le  nombre  premier  (|ui 
leur  sert  d'hypoténuse  est  donné,  et  cette  question  se  réduit  à  la  sui- 
vante déjà  proposée  (')  : 

lùant  donné  un  nomhre  premier  qui  surpasse  de  l'unité  un  multiple 
de  1,  trouver  les  deux  quarrés  qui  composent  le  dit  nombre. 

(')  Fermai  va  simplemeiU  eu  cfTcl  exposer  la  méthode  de  Dioplianlc,  III,  22,  pour  con- 
struire quatre  triangles  ayant  une  môme  hypoténuse. 

(2)  Dans  la  Lettre  XLV,  2,  4°- 

(3)  Le  triangle  ijui  a  J  pour  hypoténuse. 

{')  Probablement  dans  un  passage  non  conservé  de  la  présente  Lettre. 


\L\  III.  -    15  JUIN   IGil.  223 

Car  si  l'on  n'a  ces  deux  quarrés,  on  ne  sauroit  trouver  le  triangle 
priniilif.  Mais  ce  problème,  de  trouver  ces  deux  quarrés,  est  aussi  mal- 
aisé que  de  tâtonner,  et  l'ordre  de  la  proposition  précédente  est  gran- 
dement didicile. 

4.  Soit  un  nombre  impair  donné,  comme  i5,  les  couples  des  nom- 
bres sous  lesquels  il  est  produit  sont  i ,  t ,^  et  3,  5.  Chacun  de  ces  deux 
couples  le  fait  être  un  des  petits  cotés  d'un  triangle  rectangle,  car  le 
premier  couple  (')  produit  le  triangle  :  1 13,  1 12,  i5;  et  le  second 
couple  produit  le  triangle  :  17,  iT),  8  (j'entends  des  triangles  non  com- 
posés). 

Au  premier  de  ces  triangles,  10  est  le  plus  petit  coté,  au  second,  le 
moyen .  On  demande  quelle  est  la  proportion  des  deux  côtés  qui  produisent 
un  nombre  impair,  au-dessus  de  laquelle  le  dit  nombre  impair  soit  le  petit 
côté,  et  au-dessous  le  jnoyen . 

Je  réponds  qu'il  est  impossible  de  le  déterminer  exactement  en 
nombres  entiers,  parce  que  l'équation  d'algèbre  produit  des  nombres 
irrationaux,  quoiqu'on  en  puisse  approcher  ii  l'infini  de  plus  en  plus 
par  nombres  entiers. 

Par  exemple  :  si  les  deux  côtés  qui  produisent  l'impair  sont  entre 
eux  en  proportion  moindre  que  de  i'\i[\ii'i  à  loooooo  ou  égale,  le 
nombre  impair  fera  le  moyen  côté;  que  si  les  deux  côtés  qui  produisent 
l'impair  sont  en  proportion  plus  grande  que  de  i\if\ii^  à  loooooo 
ou  égale,  le  nombre  impair  fera  le  petit  côté. 

On  peut  approcher  ces  deux  proportions  à  l'infini,  mais  non  en 
termes  précis;  elle  sera  (-)  en  termes  irrationaux,  savoir  de  i  à  i  -1-  Rq. 
de  2. 

5.  il  y  a  des  triangles  qui  se  peuvent  diviser  en  deux,  et  subdiviser 

(  '  )  En  thèse  générale,  suivant  le  langaiic  do  Diopliante,  nn  triangle  rectangle  en  noml)ix' 
",  II,  c,  est  dit  formé  des  deux  nombres  p  cl  <[,  si  l'on  a 

a  =  p--hq-,         1/ =  p- — fj^,        c  =  2pf/, 

relations  qui  entraînent  l'égalité  a- =  Ii--t-c-.  Mais  ici.  comme  Format  vent  des  nombres 
premiers  entre  eux  et  que  a,  h,  c  seraient  pairs,  il  prend  leurs  moitiés. 
(-)  Format  renverse  la  proportion  (ju'il  a  indiquée  plus  haut. 


±lk  (EU VUES   DE  FERMAT.-  COHURSPONDANCE. 

ni  qiialrc,  si'izc  et  ainsi  (ant  que  l'on  vcul,  toiiles  los  lignos  des  divi- 
sions demeurant  commensurahles  en  nombres  entiers  ('). 

Si  l'on  entend  que  l'aire  du  triangle  est  double,  comme  C(dle  de  17, 
1"),  <S,  (jui  est  double  de  l'aire  de  i':>,  12.  "i,  cela  est  aisé  et  se  peut 
ainsi  énoncer  : 

Eta/il  donnés  deux  nombres  entiers.  Iroinrr  deux  triangles,  dcsqiie/s 
les  aires  soient  en  proportion  de  deux  nombres  donnés. 

Il  y  a  quatre  ri'gles  pour  soudrc  cette  question  en  ce  sens  (-). 

6.  Il  V  a  des  triangles  dont  les  moindres  cotés  ne  dilTèrent  jamais 
que  de  l'unité,  comme  3,  /|,  :");  20,  21,  2(),  les(|uels  se  forment  sur 
un  des  termes  par  règle  infaillible  à  l'infini,  ("ar  il  ne  faut  qu'ajoutei- 
le  double  de  l'hvpoténuse  à  la  somme  des  deux  autres  côtés,  et  le 
tout,  ajouté  au  moindre  coté,  fait  le  côté  moindre  du  triangle  re(juis. 
Ajoutez-y  l'unité,  vous  aurez  le  moyen. 

Exemple  :  le  double  de  29  est  .58;  ajoutez-y  la  somme  des  deux  petits 
côtés,  savoir  /(i,  vient  99,  auquel  ajoutez  20,  qui  est  le  petit  côté; 
vient  I  H),  auquel  ajoutez  l'unité,  vous  aurez  1  19  et  120  pour  les  deux 
moindres  côtés  du  triangle  requis,  qui  sera  :  119,  120,  iCm). 

L'bypoténuse  s(^  fait  du  triple  de  l'iiypoténuse  et  du  double  de  la 
somme  des  deux  autres  côtés.  Le  triple  de  l'bypoténuse  est  Hy,  le 
double  de  la  somme  des  autres  côtés  82,  lcqu(d,  avec  87,  fait  169,  qui 
est  l'bypoténuse  requise. 

Nous  avons  donc  tiré  du  triangle  :  20,  2t,  29,  celui-ci  :  119,  120, 
1G9;  de  celui-ci,  nous  en  tirerons  un  autre  i>  l'infini. 

Même  métbode  pour  trouver  un  triangle,  la  diiïérence  des  moindres 
côtés  duquel  soit  un  nombre  donné.  J'omets  les  règles  et  les  limita- 
tions pour  trouver  tous  les  possibles  de  la  qualité  requise,  car  la  règle 
est  aisée,  en  supposant  les  fondements. 

7.  11  y  a  des  triangles  auxquels  le  moindre  côté  est  toujours  diffé- 
rent d'un  quarré  de  cbacun  des  deux  autres,  comme  20,  21,  29. 

(  '  )  roir  LcUrc  XLIX,  4. 

(2)  f'oir  rOb.servation  XXIX  sur  Dioplianlo  et  ci-après,  10,  la  première  de  ces  règles. 


XLVIII.  ~  lo  JUIN   1641.  2-2.") 

Trouvez,  par  la  précédente,  un  triangle  non  composé,  les  cotés 
nioiiifires  duquel  diderent  par  un  (juarré,  comme  20,  21,  29  ou  tel 
autre. 

S'il  a  les  qualités  requises,  il  en  laut  tirer  deux  de  celui-ci  par  la 
méthode  précédente,  et  le  second  qui  viendra  satisfera  à  la  propo- 
sition. 

Va  s'il  n'a  pas  les  conditions  requises,  le  premier  qui  s'en  tirera, 
]iar  la  précédente,  satisfera  à  la  proposition. 

Comme  :  3,  4,  j  ne  satisfait  qu'à  la  précédente  et  non  à  celle-ci.  Le 
premier  qui  s'en  tirera  y  satisfera,  à  savoir  :  29,  21 ,  20,  et  si  de  cettui- 
ci  vous  en  tirez  un,  viendra  119,  120,  rGf),  qui  ne  satisfait  pas  à  cette 
question;  mais  celui  qui  s'en  tirera,  à  savoir  :  98:"),  G97,  ()()G,  et  ainsi 
à  l'infini,  alternativement,  y  satisfera. 

8.  11  y  eu  a  d'autres  qui  pris  par  couples  ont  leurs  dilTérences  rela- 
tives (')  comme  1 1,  Go,  Gi  et  1 19,  120,  1G9. 

Pour  les  former,  il  faut  trouver  trois  quarrés  en  proportion  arithmé. 
lifjue,  qui  sont  par  exemple  :  i,  2^,  /JO-  Formez  l'un  des  triangles  de 
la  somme  des  côtés  des  premier  et  deuxième  quarrés  et  du  coté  du 
second,  et  formez  l'autre  triangle  de  la  somme  des  deux  côtés  du 
second  et  du  troisième,  et  du  côté  du  deuxième,  vous  aurez  les  deux 
triangles  requis. 

Autre  exemple  (-)  :  Soient  exposés  les  trois  quarrés  en  proportion 
arithmétique  49.  >(J9.  289. 

Les  deux  triangles  se  formeront  de  20  et  7  et  de  3o  et  7,  et  seront 

4/19,  35 1,  280;        1)49.  ^^''   i^o- 

9.  Trouver  un  nombre  qui  soit  autant  de  fois  qu'on  voudra  polygone 
et  non  plus (^). 

(')  C'esl-à-dirfi  deux  triangles  reelangles  en  nombres  (<7.  />,  r  )  («11  '-'it  C|  ),  lois  que 
l'on  ail  a  —  6  =  /y,  —  r,  el  /'  —  c  =  ai  —  /i^. 

(-)  Fermât  commet  dans  cei  exemple  une  erreur  de  plume.  Car,  d'après  sa  règle,  ayant 
les  carrés  7-,  l'i^,  172,  il  devait  former  les  triangles,  l'un  de  7  -h  i'3  =  20  et  de  i3,  l'autre 
de  i3  -t-  17  =  3o  cl  do  i3:  il  aurait  ainsi  trouvé  les  triangles  5^9,  ''no,  l'ii  cl  loGy,  780, 
731,  satisfaisant  au  problème  propose,  foir  ci-après,  XLIX,  6. 

(')  Question  proposée  par  Fermai  à  Frenicle.  /"o/r  Lettre  XLIX,  7. 

Fermât.  —  U.  29 


•2-2G  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  COIIRESPON  1) ANGE. 

10.  Trouver  deux  triangles  dont  les  aires  soient  en  proportion 
donnée  (' ). 

Voici  la  règle  la  plus  élégante  : 

Soient  les  deux  n(unbres  qui  expriment  la  proportion  donnée,  a  et  h. 
I.es  deux  triangles  se  forment  :  le  premier,  de  a  bis  +  h  et  de  a  —  h; 
le  second,  de  h  bis  -t-  a  et  de  a  —  h. 

Vous  aurez  donc  deux  triangles  qui  seront  par  leurs  aires  en  pro- 
portion donnée,  (^ar,  si  vous  les  demandez  de  5  à  3,  les  deux  triangles 
se  formeront,  le  premier  de  i3  et  2,  le  second  de  1 1  et  2,  et  les  deux 
triangles  seront  :  i~'\,  iG5,  52  |  i2j,  117,  /j/|. 

H.  Etant  donné  un  nombre,  trouver  combien  de  fois  il  peut  être  la 
somme  des  deux  petits  cotés  d'un  triangle  rectangle  {'' ). 

12.  Règle  pour  déterminer  les  nombres  premiers  qui,  eu  foute  pro- 
gression, mesurent  les  puissances  —  i  seulement,  ou  +  i  aussi  (^). 


XLIX. 
FRENICLiî  A  FERMAT  {'). 

VENDItFDI    2    A01:T     IGVI. 

(r„,  p.  i(;i-ir,s.) 

Monsieur, 

1.  J'étois  dans  l'impatience  de  savoir  votre  retour  à  Toulouse,  pour 
me  donner  l'iiouneur  et  le  contentement  de  continuer  nos  conférences, 
lorsque  le  Révérend  Père  Mersenne  m'en  a  donné  avis;  j'espère  qu'elles 
dureront  plus  longtemps  que  je  ne  pensois,  parce  qu'il  est  survenu 
quelque  cbose  qui  m'arrête  ici. 

(  ')  loir  plus  luml,  5. 

(2)  Qucslioii  proposée  pai'  l'ermat  à  P'rcnicle.  rwVLcUreXLVlI,  3,  cl  XIJ.K,  9. 
1')  Question  proposée  par  Frcuiclc  à  Fermât,  /'o/r Loltrc  XLVII,  1,  et  XI-IX,  12. 
(,')  Hépoiise  à  la  Lettre  précédente,  XLVIII. 


\IA\.  —   2  AOLlï   \6!v\.  2-27 

2.  J'.ii  millo  remcrcicmcnls  à  vous  faire  do  la  lirnilation  des  côlés 
([110  vous  m'avoz  envoyée  ('),  laquelle  vérilablement  je  prise  f'or(.  J'a- 
vois  hien  reconnu  que  la  proportion  étoit  irrationelle  et  pour  cola  jo 
ni't'lois  contenté  des  raisons  do  lo  à  2/1  et  à  2"),  mais  vous  l'entendez  ici 
il  l'infini.  J'avois  cru,  par  la  lecture  de  votre  précédente  (-),  par 
laquelle  vous  mandiez  qu'il  étoit  aisé  de  la  trouver,  que  vous  préten- 
dissiez de  donner  une  raison  ralionclle  pour  celte  limitation;  c'est  ce 
qui  m'avoil  l'ait  dire  que  peul-èlro  ne  la  trouveriez-vous  pas  si  lacilo, 
])arcc  que  jo  la  savoi,8  être  impossible. 

Jo  sais  que  l'Algèbre  do  ce  pays-ci  n'est  pas  propre  pour  soudro  ces 
questions,  ou  pour  le  moins  on  n'a  pas  encore  ici  trouvé  la  manii'ro  de 
l'y  appliquer  :  c'est  ce  qui  me  fait  croire  que  vous  vous  êtes  fabriqué 
depuis  i)eu  quelque  espèce  d'Analyse  particulière  pour  fouiller  dans  les 
secrets  les  })lus  cachés  des  nombres,  ou  que  vous  avez  trouvé  quelque 
adresse  pour  vous  servir  à  cet  elfot  do  colle  que  vous  aviez  accoutumé 
d'employer  à  d'autres  usages. 

Si  la  démonstration  de  cette  limitation  étoit  courte,  vous  m'oblige- 
riez beaucoup  de  me  l'envoyer  :  car,  si  elle  est  trop  longue,  je  ne  vou- 
drois  |ias  (juo  vous  vous  détournassiez  do  vos  études  à  cette  occasion. 

(lotte  mémo  raison,  de  i  à  1  +  v/2,  se  peut  aussi  appliquer  ii  la  [)ro- 
|)or(i(in  dos  cotés  des  quarrés  qui  composent  l'hypoténuse,  mais  on  un 
sons  contraire  à  C(dui  dos  parties  plus  prochaines  du  coté  impair, 
comme  aussi  elle  se  peut  appliquer  aux  nombres  qui  composent  la 
moitié  des  côtés  pairs,  au  moine  sens  qu'aux  parties  des  impairs. 

3.  Je  viens  maiiilonant  à  ce  qui  regarde  les  triangles. 
Lesiiiélhodes  (■')  que  vous  donnez,  tantpourtrouver  les  quarrés  ([ue 

les  côtés  des  triangles  qui  appartiennent  aux  hypoténuses  composées, 
sont  véritablement  fort  belles,  et  vous  avez  la  méthode  de  si  bien  dis- 
poser vos  règles,  que  cela  leur  donne  une  certaine  grâce  qui  les  fait 
encore  agréer  davantage,  mais  elles  ne  suivent  pas  mon  intention,  car 

(')  nùrXLWn,  4. 
( -)  IxUrc  iicrdiic. 
(3)  ^o(/-XI.VIII,  2. 


2-28  ŒUVRES   DE   F EUM AT.  —  COR RESPOND ANGE. 

je  n'ai  point  entondn  qu'on  se  servit  des  quarrés  ni  des  triangles  des 
parties  des  hypoténuses  composées,  mais  seulement  des  dites  parties. 
Par  exemple,  je  demand(^  une  manière  de  trouver  que  G)  est  com- 
posé des  quarrés  64,  I  et  49.  iG,  supposant  seulemiMil  qu'il  a  5  et  ilî 
pdur  les  parties  premières,  sans  employer  à  cet  elTet  les  quarrés  4  et  i . 
ni  les  cotés  3  et  4.  non  plus  que  C(HI\  qui  appartiennent  ii  i3. 

4.  Des  quatre  propriétés  des  triangles  que  je  vous  avois  proposées, 
vous  avez  fort  bien  trouvé  la  deuxième  (');  pour  les  trois  autres,  vous 
n'avez  pas  suivi  mon  intention.  Partant,  il  faurque  je  m'éelaircisse 
plus  que  je  n'avois  t'ait. 

La  première  est  facile  (-)  :  Que  le  triangle  rectangle  soit  AMV. 
(Jig.  78);  il  le  faut  diviser  en  deux  triangles  ABD,  ADC  avec  la  per- 

Fie.  78. 


pendiiMiIaire  AD;  et  derechef  le  triangle  ADC  en  deux  triangles  EDC, 
IvD.\  par  la  perpendirulairc  DE  et  l'autre  pareillement  ABD  en  deux, 
savoir  ADF,  BDF,  par  la  perpendiculaire  DF;  et  derechef  les  triangles 
UDF,  ADF,  ADE,  DEC  par  les  autres  perpendiculaires  FO,  FI,  EL,  EX; 
et  continuer  ainsi  tant  qu'on  voudra  et  faire  que  foutes  les  lignes  et 
sections  d'icelles,  comme  AL,  LI,  ID,  BO,  OD,  DN,  NC,  soient  nombres 
entiers. 

5.  Vous  donnez  par  après  (')  les  triangles  dont  le  moindre  côté  est 
différent  d'un  quarré  de  chacun  des  deux  autres  :  je  sais  bien  que  la 


(>)  LeUre  XI.VIII,  6. 
(>)  LeUreXLVIlI,  5. 
(»)  Leilre  XLVIII,  7. 


\\A\.  —   2  AOUT   IGil.  229 

moitié  (le  ceux  qui  ont  i  pour  diHérencc  do  leurs  petits  cotés  oui 
aussi  cette  propriété,  savoir  ceux  (jui  commencent  par  un  nombre 
pair  ('),  mais  je  n'altcndois  pas  (juc  vous  dussiez  vous  servir  de 
ceux-lii,  espérant  que  vous  donneriez  le  moyen  de  les  trouver  t(»u>: 
et,  atiu  d'exclure  les  susdits,  on  pourroit  ainsi  proposer  le  problènu-  : 

Donner  toux  les  triangles  qui  ont  un  quarré pour  différence  de  leur  petit 
côté  à  chacun  des  dciLV  autres  côtés,  en  sorte  que  l'une  des  différences  ne 
puisse  pas  mesurer  l'autre. 

6.  Pour  l'autre  propriété  des  triangles  (-),  qui  est  d'avoir  un  auln- 
triangle  relalif  en  dillercuces,  en  sorte  que  la  dilTérence  des  deux 
grands  cotés  du  premier  soit  celle  des  deux  petits  cotés  du  second, 
et  la  différence  des  deux  petits  côtés  du  premier  soit  celle  des  den\ 
arrands  côtés  du  second,  comme  on  voit  aux  triani^les  : 

'  19 


(9 
1 1         Go 


Gi 


"9 


'69, 


VOUS  n'avez  pas  considéré  altentiveaient  cette  pro[)osition ,   car  li 
triangles  que  vous  donnez  : 


449 


98 


i8o 


949 


98  43 1 

8 J  I  4>0, 


n'ont  pas  cette  propriété,  mais  en  ont  une  autre,  qui  est  que  les  grand> 
côtés  de  chacun  ont  pareille  différence,  savoir  9.S,  et  en  outre  que  Ic^ 
deux  hypoténuses  ont  pareille  différence  que  les  deux  grands  côtés. 
-Mais  ce  n'est  pas  ce  que  je  demande,  car  aux  triangles 


1 1         Go 


Gi 


19 


cl 


"9 


'<J9r 


vous  voyez  que  120  et  iGf)  n'ont  pas  même  différence  que  Go  et  ()i ,  ni 
G[  et  1G9  même  dllFérence  que  Go  et  120.  Il  faudroit  donc,  pour  satis- 
faire à  la  question,  qu'en  vos  triangles  il  y  eût  môme  différence  de  .'(  'i<) 
à  3ji  que  de  8")i  à  120,  et  de  3  u  à  280  que  de  919  ii  8Ï1 . 


(  '  )  C'est-à-dire  dont  le  plus  petit  côté  est  pair. 
(2)  Lettre  XLVlll.  8.  f'oir  les  notes. 


2:50  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

7-  Vous  mo  proposez  par  aprcs  (')  de  trouver  un  nombre  qui  soil 
polygone  autant  de  foh  qu'on  rouclra  et  non  plus. 

.le  vous  (lirai  qu'il  y  a  quelques  anuées  que  je  m'étois  mis  à  la 
rcelierehe  de  cela,  mais  à  peiuc  cus-je  commcucé.  que  je  m'avisai 
(|ue  les  fii,nires  qui  sout  maintenaut  en  usage  sont  si  extravagantes, 
lorsqu'on  les  veut  mettre  en  pratique,  j'entends  quand  on  les  veut 
représenter  avec  des  jetons  ou  des  points,  qu'on  les  nommeroit  plus  à 
propos  chimères  ou  grotesques  que  figures,  lesquelles,  si  elles  ne  sont 
entièrement  régulières,  au  moins  doivent-elles  en  approcher  le  plus 
(|ue  faire  se  peut. 

Cela  l'ut  cause  que  je  quittai  ce  que  j'avois  commencé  pour  me 
mettre  à  réformer  ces  figures,  et  Dieu  m'a  fait  la  grâce  d'y  réussir  en 
([uelque  façon,  car  j'ai  trouvé  une  manière  de  faire  des  ligures  régu- 
lières en  nombres  d'une  infinité  de  sortes,  et  d'autres  aussi  qui  n'ont 
point  iViin^\^is  ingrcdiens,  de  tant  de  côtés  qu'on  voudra.  J'ai  ensuite 
considéré  quelques-unes  de  leurs  propriétés  et  ce  qui  dépend  d'icelles, 
de  sorte  que  je  ne  me  suis  pas  beaucoup  arrêté  aux  figures  communes, 
que  je  nommerois  plutôt  progressions  de  triangles  que  figures,  à  cause 
de  l'assemblage  des  triangles  par  lequel  elles  sont  formées.  Je  crois 
bien  que  ce  n'est  pas  de  ces  nouvelles  figures  dont  vous  voulez  parler, 
car  possible  ne  vous  en  étes-vous  pas  encore  avisé;  mais  pour  les  com- 
munes, on  peut  considérer  votre  question  en  deux  manières  : 

8.  La  première,  si  le  nombre  demandé  est  plusieurs  fois  polygone, 
de  telle  sorte  qu'il  enveloppe  tous  les  polygones  inférieurs,  c'est- 
ii-dire  que,  si  ce  nombre  est,  par  exemple,  heptagone,  il  doive  aussi 
être  hexagone,  pentagone,  quarré  et  triangle.  Et  ainsi,  pour  avoir 
un  nombre  qui  fût  sept  t"ois  polygone,  il  en  faudroit  donner  un  qui  fût 
figure  de  <),  8,  7,  G,  5,  \  et  3  côtés;  ce  qui  seroità  la  vérité  fortdillicile, 
et  il  faudroit  un  nombre  fort  grand  pour  y  satisfaire,  car  les  nombres 

(')  fuir  LcUre  XLVllI,  9.  CoUe  question  dérive  de  celle  qui  termine  le  Livre  Des 
nnml)rcs  polygones  de  Diophaiite.  I-'crmal  ne  parait  pas  être  jamais  arrivé  à  une  solution 
qui  l'ait  satisfait. 


XLIX.  -   2  AOUT   IG'tl.  231 

qui  sont  seulement  triangles,  quarrés  et  pentagones  deviennent  incon- 
tinent fort  grands,  et  c'est  à  cela  que  j'avois  commencé  à  travailler. 

jj'autrc  considération  est  qu'un  nombre  soit  polygone  en  plusieurs 
façons,  sans  se  soucier  si  les  polygones  sont  de  suite  ou  non.  Je  n'ai 
pas  encore  recherché  cela;  si  vous  l'avez  trouvé,  vous  m'obligerez  ilc 
me  le  communiquer. 

9.  L'autre  (|uestion  que  vous  me  laites  (')  contient  deux  problt-mes  : 
L'un  de  choisir  un  nombre  qui  soit  la  somme  des  deux  pelils  côtés  de 

tant  de  triangles  qu'on  voudra  et  non  plus; 

L'autre  est  de  déterminer  à  comhie.i  de  triangles  un  nombre  donné  est 
la  somme  des  deux  petits  côtés. 

Pour  soudre  ces  problèmes,  il  faut  considérer  que  tout  nombre  pre- 
mier, différent  de  l'unité  d'un  nombre  divisible  par  8,  est  la  somme 
des  deux  petits  côtés  d'un  triangle,  et  tout  nombre  qui  est  la  somme  des 
lieux  petits  côtés  d'un  triangle  auquel  les  côtés  sont  premiers  entre  eux, 
diffère  de  l'unité  d'un  nombre  divisible  par  8. 

Sur  ces  fondements,  il  faut  faire  la  même  chose  avec  ces  nombres 
qu'on  feroit  sur  les  nombres  premiers  pairement  pairs  -t-i,  pour 
trouver  ce  qui  est  requis  par  les  problèmes,  si  on  demandoit  des 
hypoténuses  au  lieu  de  la  somme  des  deux  petits  côtés.  Il  seroit 
superflu  de  déduire  cela  plus  au  long  :  intelligenti  loquor. 

10.  Si  votre  méthode  est  autre  que  celle-là,  vous  m'obligerez  de 
me  la  communiquer,  et  aussi  de  quelle  façon  se  pourroit  trouver  le 
triangle,  ayant  seulement  la  somme  de  ses  petits  côtés  sans  avoir  les 
quarrés  et  doubles  quarrés  dont  elle  est  la  différence.  Car  ces  sommes 
ont  cette  propriété  d'être  toujours  deux  fois  la  dillérence  d'un  quarré 
et  d'un  double  quarré;  et,  si  cette  somme  est  un  nombre  composé 
d'autres  de  même  nature,  comme  ii()  composé  de  17  et  7,  il  sera 
({uatre  fois  la  différence  d'un  quarré  et  d'un  double  quarré. 

Il  faudroit  aussi  trouver  la  même  chose  pour  l'enceinte  entière  des 
triangles  que  pour  la  somme  des  deux  petits  côtés. 

(')  f'oir  LcUic  XLVIll,  11. 


■m  ŒUVKES  DE  FEUMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

H.  Sur  le  sujet  des  triangles,  voici  ce  que  je  vous  proposerai 
encore  : 

[hie  hypoténuse  composée  étant  donnée  avec  les  quarrés  premiers  entre 
cii.r  (pii  la  composent  par  leur  addition ,  trouver  ses  parties. 

(Jue  22  1  soit  l'hypoténuse  donnée  avec  les  quarrés  qui  la  composent, 
savoir  :  loo,  121  et  19G,  2^,  il  faut  trouver  par  le  moyen  d'iceux  (|ue 
22]  a  i3  et  17  pour  parties. 

12.  .l'attends  de  vous  la  manière  (')  de  trouver  les  nombres  pre- 
miers qui  ne  mesurent  que  les  puissances  —  i  en  toute  analogie,  et 
[irincipalement  en  celle  de  2. 

.le  suis  etc. 


L. 
FRENICLI^.  .V  FERMAT  {-). 

VE^DRED1    G    SEI'TEMIIllE    Ki'll. 

(la,    p.    ir.y-|-;:j.) 

MONSIFAIR, 

1.  Votre  règle  (■')  pour  trouver  les  triangles  pareils  ti  i  i,  (Jo,  Oi  et 
I  i(),  120,  iG(),  est  fort  bonne;  je  m'étois  seulement  arrêté  à  l'exemple, 
sans  la  considérer  autrement. 

2.  .Mais  celle  que  vous  mettez  ensuite,  pour  les  triangles  dont  le 
moindre  coté  dillere  d'un  qiiarré  des  deux  autres  ('),  sert  ii  la  vérité 
pour  trouver  quelques-uns  de  ces  triangles,  mais  non  |)as  pour  les 
trouver  tous,  ainsi  que  vous  prétendez  :  car,  prenant  tous  les  nombres 
qui  sont  en  proportion  comme  le  (juarré  4-  i  de  quelque  nombre  an 

I')  AWrLcltre  XLVII,  1. 

(^)  Kôponsc  à  unu  Lollro  pi-rdm",  par  lacjucllo  l'Y'niiat  avait  rùpliiiuc  ;'i  la  précOdeiilc, 
XLIX. 
(  •■>)  Voir  Lclires  XIA'Ill.  8  cl  XLIX,  6. 
(■•)  Cp.  LcUre  XLIX,  5. 


L.  -  G  SEPTEMBRE  IC'^1.  233 

double  —  2  du  mônu'  nombre,  on  ne  Irouvera  pas  les  triangles  (|ni  se 
font  par  29  et  12  ou  par  Go  et  2f)3,  et  une  infinité  d'autres;  mais  on 
les  trouvera  tous  par  la  règle  (jue  vous  mettez  en  l'écrit  particulier  (') 
que  vous  avez  envoyé,  qui  se  fait  mettant  pour  un  des  nombres  consti- 
tutifs du  triangle  un  nombre  composé  de  deux  quarrés  premiers  entre 
eux  et  de  divers  ordres. 

Et  cette  dernii're  méthode  sert  ii  trouver  tous  les  primitifs  dont  les 
côtés  des  quarrés  (-)  sont  comme  d'un  nombre  impair  à  un  autre 
nombre.  Par  exemple,  on  trouvera  par  iceile  qu'il  y  a  deux  triangles 
oïl  les  cotés  des  quarrés  sont  comme  de  G5  ;i  un  autre  nombre,  et  dont 
le  moindre  côté  est  différent  d'nn  quarré  des  deux  autres  :  savoir  les 
deux  qui  sont  laits  de  Gj  et  il  et  de  G5  et  n\  et  les  autres  qui  sont  en 
même  proportion. 

Mais  si  on  vouloit  tous  les  triangles  primitifs  dont  les  racines  des 
quarrés  sont  comme  d'un  nombre  pair  à  un  impair,  comme  par 
exemple  de  Go  à  cjuelque  autre  nombre,  on  n'y  pourroit  pas  satisfaire 
par  cette  seconde  règle,  sinon  après  un  long  tâtonnement  ('),  et  la 
première  règle  ne  donne  que  la  raison  de  Go  à  18G1  ;  mais  il  y  a  encore 
trois  autres  proportions,  outre  cellc-lii,  qui  ont  toutes  Go  pour  un  de 
leurs  termes. 

.l'ai  deux  règles  différentes  dont  chacune  donne  tous  les  triangles 

(  ')  licril  |)er(Jii.  —  La  première  règle  de  Fermai  consiste  à  prendre  pour  les  nombres 
servant  à  former  le  triangle  rectangle  {voir  page  2-^.3,  note  1) 

p  =  r-^  l,  q  =  ir  —  1. 

La  seconde  règle  à  prendre,  r  et  *■  étant  premiers  entre  eux, 

/<  =  r^  -4-  .f  2 ,  q  =:  Oiir  —  ,f  )  .v. 

(^)  Freniclc  appelle  ici  aUcs  ou  racines  des  quarre's  les  nombres  servant  à  former  le 
triangle  rectangle,  désignés  par/;  et  q  dans  la  note  prcccdenlc. 
C)  Si  l'on  pose 

/■2-+-I 

P  =  —^         et         ,;  =  /•  —  1 , 

et  que  l'on  fasse  7  =  60,  on  aura 

/•  =  G I ,         y)  =  1 80  r . 

Les  trois  autres  proportions  sont 

Oo,     29'i  ;         Go,     aGg;         Go,      t'jj. 
l'tnsiAT.  —  n.  .3o 


234  ŒUVHES  DE  FEHMAT.  -  COUUESPON  D  ANCE. 

susdits,  avec  celte  ilifTércncc  que  l'une  regarde  la  proportion  qui  coni- 
iiieiice  par  un  pair  et  l'autre  celle  qui  couiinence  par  un  impair. 

Va  celle-ci  n'est  pas  beaucoup  din'érente  de  votre  dernière  ('),  car, 
ayant  pris  un  triangle  primitif,  je  me  sers  de  son  livpolénusc  pour  le 
premier  ternie,  et  pour  l'autre,  j'ote  d'un  des  cotés  du  triangle  la  dif- 
rci'eiice  de  l'autre  côté  à  l'hypoténuse. 

Kxemple  :  Que  20,  21,  29  soit  le  triangle,  29  le  premier  terme;  pour 
l'autre,  j'ôte  de  20  la  dillérencc  de  2t  à  29,  ou  de  21  la  diirércnce  de  20 
il  2(),  e(  restera  12.  On  aura  donc  2()  et  12  dont  les  quarrés  compose- 
ront le  triangle  cherché. 

3.  Vdlrc  première  règle  (-  )  pour  trouver  (rois  quarrés  en  proportidu 
arithmétique  a  le  même  défaut  ([ue  la  précédente,  car  on  ne  les  peut 
|)as  trouver  tous  par  icidle.  Par  exem[)le,  on  ne  trouvera  pas  les  quar- 
l'és  de  I,  2(),  1 1 ,  ou  de  17,  53,  -l'.i.  .Mais,  par  la  proposition  que  vous 
mettez  en  l'écrit  particulier,  on  les  peut  tous  comprendre. 

Vous  [louviez  aussi  donner  aisément  par  la  première  règle  le  troi- 
sième <|uarré,  sans  obliger  ;i  prendre  la  diiïérencc  des  deux  (juarrés 
trouvés.  (jOmme  :  en  l'exemple  que  vous  apportez,  le  q narré  —  2  de  "i 
est  2'5;  le  quarré  suivant  +1  est  37  :  si  on  veut  avoir  le  troisii-me 
nombre,  il  faut  ajouter  à  37  le  double  de  ),  et  on  aura  /17. 

Si  on  prenoit  4.  son  quarré  —  2  est  iZi  ;  le  quarré  suivant  -i-i  est  2(j, 
au(|uel  ajoutant  8,  double  de  4.  <>'i  aura  3'|.  Les  trois  nombres,  étant 
réduits,  sont  7,  i3,  17. 

La  méthode  dont  je  me  sers  pour  trouver  ces  trois  quarrés  propor- 
tionaux,  est  tout  autre  que  celle-là  (^),  et  voici  comme  on  procède 
pour  les  avoir  tous  : 

(  '  )  CeUe  règle  de  l'ronicle  revient  en  etîet  à  la  seconde  de  Fermai. 

(')  Cf.  LeUre  XLVIil,  8.  —  La  règle  générale  de  Fermât,  parait  avoir  consisté  de  fuit  à 
prendre  pour  les  racines  des  trois  carrés  les  noml)res  r-  —  a.f-,  /■- h- 2 r.f -1- 2  v^, 
/■-  t-  irs  -h  2.f2.  La  première  règle  revenait  à  su|)poser  .f  =  i . 

(•■')  Cette  règle  de  Frenicle,  revenant  à  prendre  ponr  les  racines  des  trois  carrés  en  pro- 
gression arithmétique  les  nombres  /:>'—  ■>.j>rj  —  (f-,  />-+  7-,  p"-  +  2/1(7  —  tj^,  concorde  en 
réalité  avec  la  règle  générale  de  Fermât  (ixiir  note  précédente),  si  l'on  a  />  =  /•  + v  cl 
7  =  ■■<■ 


L.  -  (i  SEPTKMnni':  ici.  235 

l/liypotiMiuso  (lo  (oui  triangle  primilif  sera  le  côté  du  movcii  qiiarrr; 
la  (lid'érciu'c  dos  deux  côtés  du  triangle  sera  le  moindre  (•ôfé,  et  leur 
somme  sera  le  plus  grand. 

Exemple  :  Que  le  triangle  soit  u8,  4  n  -J>^-  Le  moyen  côté  sera  l'iiv- 
pofénusc,  53;  la  dilTérence  de  28  à  4,'),  qui  est  17,  sera  le  moindre,  et 
leur  somme,  73,  sera  le  plus  grand.  On  aura  donc  17,  53,  73  pour  les 
racines  des  quarrés  clierchés. 

Va  si  l'on  prend  tous  les  triangles,  commençant  par  le  premier:  i, 
'l,  "),  on  aura  fous  les  dits  quarrés. 

4.  Apri's  cette  règle  générale,  j'en  ai  considéré  deux  parliciilii-res. 
dont  l'une  est  celle  que  vous  proposez  en  l'écrit  particulier,  savoir  que, 
1(!  moindre  des  trois  quarrés  demeurant  toujours  le  même,  on  ait  les 
deux  autres  en  une  infinité  de  façons,  et  ii  laquelle  vous  croyez  que  je 
n'ai  pas  pris  garde,  quoiqu'il  y  ait  déjii  longtemps  que  je  l'ai  trouvée, 
lorsque  je  travaillois  aux  triangles  rectangles  : 

Car  tout  nombre  et  chacun  d'iceux  est  la  diiïérence  des  deux  moin- 
dres côtés  d'une  infinité  de  triangles; 

Et  tout  nombre  premier,  dilTérentde  l'unité  d'un  multiple  de  8,  ou 
composé  desdils  nombres  premiers  seulement,  est  la  diirércnce  des 
moindres  côtés  d'une  infinité  de  triangles  rectangles  primitifs. 

l'^l,  y  ayant  des  voies  certaines  pour  trouver  tous  les  triangles  qui 
ont  une  même  dilTérence  on  leurs  moindres  côtés,  on  aura  aisément 
tous  les  quarrés  susdits. 

Sur  quoi  il  faut  remarquer  que,  si  le  nombre  proposé,  qui  doit  être 
la  racine  du  moindre  quarré  des  trois  et  qui  doit  être  la  dillerencc  des 
deux  petits  côtés  du  triangle,  n'est  divisible  que  par  un  seul  nombre 
premier  diiïérent  de  i  d'un  octonaire,  comme  sont  7,  49.  343;  17, 
289,  etc.,  le  nombre  sera  la  difierence  des  petits  côtés  de  deux  trian- 
gles qu'on  peut  nommer  surprimài/s,  pourcc  qu'ils  sont  primitifs  des 
primitifs,  car  d'iceux  dépend  l'infinité  des  autres  triangles,  et  ces  deux 
triangles  sont  toujours  les  moindres  dont  l'un  commence  par  un  pair 
et  l'autre  par  un  impair,  et  d'iceux  se  forme  l'infinité  des  autres. 


23G  ŒUVRES  DE  FERMAT.—  CORRESPONDANCE. 

Voici  la  manière  dont  je  me  sers  :  si  je  veux,  par  exemple,  avoir 
Ions  les  triangles  (jui  ont  7  de  différence  entre  leurs  moindres  côtés, 
je  cherche  les  deux  premiers  triangles  qui  ont  cette  différence,  et 
trouve  "),  12,  i3  et  8,  i j,  17.  ,1e  prends  les  racines  des  quarrés  de 
chaque  triangle,  savoir  3,  2  et  4.  i.  ot  mets  chaque  couple  en  tête 
d'une  colonne.  J'ai  donc  pour  le  premier  :  3,  2.  Pour  avoir  le  triangle 
suivant,  je  prends  la  plus  grande  racine  du  premier  pour  la  moindre 
du  second,  savoir  3,  et  pour  la  plus  grande  je  prends  le  double  de  la 
plus  grande  du  premier,  plus  la  moindre.  Ainsi  j'aurai  8,  qui  est 
double  de  3,  -1-  2.  Ce  8  sera  la  moindre  racine  du  troisième  triangle, 
et  la  plus  grande  du  dit  troisième  sera  19,  qui  est  double  de  8,  -i-3.  On 
fera  la  même  chose  à  l'autre  couple  4.  '.  «"t  on  poursuivra  aussi  loin 
(|u'on  voudra. 


3. 

2. 

Is. 

I . 

8. 

3. 

9- 

f 

•9- 

8. 

22. 

9- 

46. 

'9- 

53. 

22 . 

Ayant  donc  tous  les  triangles  qui  ont  7  pour  différence  de  leurs 
moindres  côtés,  il  sera  facile,  par  ce  qui  a  été  dit  ci-devant,  de  trouver 
tous  les  quarrés  arithmétiquement  proportionaux,  dont  le  moindre 
est  49- 

Si  le  susdit  moindre  quarré  étoit  divisible  par  deux  nombres  pre- 
miers de  même  nature  que  les  susdits,  il  y  auroit  quatre  souches  dont 
tous  les  triangles  dépendroient. 

S'il  étoit  divisible  par  trois  nombres  premiers,  il  y  en  auroit  huit, 
qui  ne  dépendroient  point  l'un  de  l'autre. 

Etc. 

Ainsi  iGi,  composé  de  7  et  23,  est  la  différence  des  petits  côtés  des 
triangles  surprimilifs  : 


19.  180.  181.  I  60.  221.  229  I  279.  44o.  '^2 


et       4oo.   56 I.   68g, 


et  de  chacun  d'iceux  on  peut  faire  une  infinité  de  triangles  primitifs 
qui  auront  le  même  iGi  pour  différence,  et  partant,  le  quarré  de  i(Ji 


L.  -  G  SEI'TEMimE   1G4I.  237 

sera  le  moiiulrc  qiiarré  dos  trois  proportioiiaux  en  une  infinité  de 
sortes. 

Il  faut  excepter  l'unité  de  ce  qui  a  été  dit,  car  elle  sert  bien  de  dilTé- 
rertce  à  une  infinité  de  triangles,  mais  elle  n'a  qu'une  seule  souche, 
qui  est  le  triangle  3,  4.  J,  d'où  dépendent  tous  les  autres. 

On  aura  donc  les  quarrés  proportionaux  (')  dont  les  racines  sont 

ici  : 

7.  i3.  17. 
7.  73.  io3. 
7 .  42.5.  Goi . 
35o3. 


.477. 


7.  17.  3^. 

7  •  97  -  1 37 • 

7.  5G.).  799. 

7.  39.93.  46.57. 


et  on  les  peut  continuer  tant  qu'on  voudra  en  continuant  les  trian- 
gles. 

Voilà  donc  pour  la  première  chose  qui  appartient  aux  dits  quarrés. 


5.  La  seconde  est  de  trouver  les  dits  trois  quarrés  en  telle  sorte 
qu'ils  soient  comme  enchaînés  l'un  à  l'autre  et  que  le  dernier  et  plus 
grand  des  trois  soit  le  premier  des  trois  suivans  :  comme  on  peut  voir 
en  ces  colonnes,  la  fabrique  descjuelles  je  vous  envoierai  au  premier 
voyage;  toutefois  j'estime  que  par  l'inspection  vous  la  jugerez  aisé- 
ment. 

I.  29.  4i 
4i.  85.  ii3. 
I i3.  173.  217. 
217.  293.  353. 
353.  44'>-  5'^'  • 
ôai .   G29.   721 . 


I . 

D. 

7  • 

y  * 

i3. 

17. 

'7- 

25. 

3i . 

3i. 

4.. 

49 

49- 

61. 

71 

/ 

85. 

97- 

97  • 

ii3. 

127 

7- 

'7 

20. 

23. 

37 

'.7- 

47- 

G  5 

79- 

79- 

loi 

119. 

"9- 

■  45 

1G7. 

167. 

'f)7 

223. 

11  y  a  aussi  des  voies  pour  avoir  les  différences  égales  desdits  quar- 
rés :  car,  en  la  première  colonne,  si  on  multiplie  2^  par  les  sommes  de 
tous  les  quarrés,  lesquelles  sommes  sont  i,  5,  i],  3o,  etc.,  on  aura 


(')  Frciiiclo   reprend   la   construction   do    trois   carrés   en  progression  arithmétique 
d'après  les  séries  de  triangles  commençant  par  5,  12,  i3;  8,  i5,  17. 


■im  (KUVIÎES   l)l<:   FKUMAT.  —  COr.l'.KSPONDANCi:. 

les  (lifrércncps  des  quarrés,  cl  on  la  s('C(M1(1o  cdIoiuic,  il  faudroil  tnul- 
liplior  ■2^\  par  les  sommes  des  seuls  quarrés  impairs. 

Il  V  a  d'antres  choses  à  considérer  lii-dessiis,  que  je  n'ai  pas  mainle- 
nanl  le  loisir  de  déduire  plus  au  long. 

6.  Me  voici  Miaiiilenant  ii  l'endroit  de  votre  Lettre ,  au(|U(d  vous 
parlez  des  nombres  ([ui  sont  la  somme  des  deux  petits  colés  d'un 
I  riaugle  (')<'!,  sur  ce  sujet,  je  vous  dois  oler  de  l'opinion  (]ne  vous  avez 
(|ne  je  ne  susse  pas  que  chacun  de  ces  nouihres  peut  servir  de  dillé- 
rence  à  une  infinité  de  (jnarrés  et  de  donides  (|uarrés.  Vous  vous  êtes 
l'onde  sur  un  avertissement  que  j(^  donnois,  que  les  dits  nombres  sont 
toujours  deux  l'ois  la  dilTérence  d'un  quarré  et  d'un  double  quarré; 
mais  je  n'ai  ])as  dit  (ju'ils  fussent  seulement  deux  f((is  la  dillérence 
d'un  quarré  et  d'un  double  quarré,  comme  vous  croyez  avoir  In.  Il 
faudroit  avoir  bien  peu  de  pratique  aux  nombres  pour  ne  s'être  pas 
aperçu  d'abord  que  7  est  quatre  fois  la  dillérence  entre  de  fort  petits 
nombres  :  savoir  entre  i  et  8,  2  et  9,  18  et  2."),  2j  et  32.  K(  je  ne  vous 
ai  pas  coté  cela  pour  une  propriété  des  dits  nombres;  mais,  vous  ayant 
demandé  le  moyen  de  trouver  le  triangle  dont  un  nombre  donné  est  la 
somme  des  côtés,  sans  avoir  les  quarrés  et  doubles  quarrés  dont  il  est 
la  dillérence  (-),  il  falloit  vous  avertir  (]ue  les  dits  nombres  éloicnl 
toujours  deux  fois  la  différence  d'un  quarré  et  d'un  double  quarré. 

('ar  il  y  a  deux  couples  dont  je  me  sers  pour  avoir  le  dit  triangle, 
l'ar  exemple,  pour  avoir  le  triangle  dont  7  est  la  somme  des  deux 
(•ôtés,  je  me  sers  de  i  et  iS,  et  de  2  et  9.  Et,  pource  que  j'étois  pressé, 
je  n'eus  pas  le  loisir  de  m'éclaircir  davantage.  Je  n'entends  pas  que  les 
dits  couples  soient  2,  9  et  iH,  2),  comme  vous  avez  cru,  mais  r,  S  cl 
2,  9;  et  ce  (jue  j'observe  en  ceci  est  que  les  dites  sommes  sont  deux 
fois  la  différence  d'un  quarré  et  d'un  double  quarré,  en  chaque  couple 
desquels  il  y  a  un  nombre  moindre  que  la  dilTérence  donnée  :  savoir, 
il  un  des  couples  le  quarré  est  moindre,  et  à  l'autre  couple  c'est  le 

(  '  )  /'oir  Lcllrcs  XLVIII,  11,  el  XLIX,  9. 
(2)  roirLearc  XLIX,  10. 


L.  -  G   SEPÏEMiniE    IGVI.  iJ'J 

(Idiiltlc  (juarrr.  Cela  s'ohservo  loujours  ainsi;  ol  aux  noinbros  (|ui  smil 
composés  (lo  deux  n(>iiil)ros  prciniors,  coiiimc  i  k),  il  a  quatre  C()ii|tlcs, 
dont  nn  des  nombres  est  moindre  que  119.  El  voilà  la  méthode  dont 
je  me  sers  pour  voir  quels  sont  les  couples  utiles  pour  faire  les  Iriaii-. 
gles,  car  ce  sont  ceux  anx(|n(ds  un  des  nombres  est  moindre  (|ne  la 
dill'érence. 

Ainsi,  à  i-j,  les  deux  couples  utiles  sont  i,  i8  et  8,  2"),  à  cliaenn 
des(jn(ds  (îouples  il  y  a  un  nombre  nioimlre  que  17,  et,  selon  voire  mé- 
thode mémo,  on  se  servira  aussi  bien  de  1,18  que  de  ■?."•>,  8.  (lar  si  ii 
2"),  8,  on  prend  2  et  la  dillérence  de  5  à  2,  de  même  à  1,  18,  on  aura  J 
el  la  ilillerenee  de  i  ii  '3,  et  on  aura,  en  l'une  et  l'autre  sorte,  les  mêmes 
nombres  2,  3. 

De  même,  si  on  donnoit  iGr,  on  anroit  </ //a /rc  couples,  savoir  : 

I.    iGa  I  8.    1G9  I  81  .    ixT.  1   128.   2S9, 

à  chacun  desquels  il  v  a  un  nombre  moindre  que  iGi. 

l'^t,  pour  trouver  les  triangles,  je  me  sers  des  rarines  des  doubles 
(|uarrés,  car  elles  sont  les  racines  des  quarrcs  qui  composent  l'hypii- 
(énuse.  Ainsi  ii  17,  on  aura  2  et  3,  racines  des  doubles  quarrés  8,  18  ; 
mais,  quand  il  y  en  a  (jualre,  comme  à  iGi,  je  prends  les  extrêmes,  sa- 
voir 9,  8,  et  celles  du  milieu,  2,  i  r,  qui  donneront  les  triangles  :  17, 
1  W,  I  'i>,  et  \\,  1 17,  12). 


1 . 

iG>. 

I  . 

9 

iGy. 

8 

i3. 

2 

81. 

■2\l 

9- 

II 

2S9. 

128 

'7- 

8 

l'dur  avoir  le  coté  pair  du  triangle,  il  faut  prendre  le  double  tlu 
(luit  des  racines  susdites  des  doubles  quarrés  :  ainsi  le  double 
[lar  8  est  i  'l'i.  et  b'  double  de  2  par  1 1  est  4'i- 

Mais  pourlecr)té  impair,  on  prend  le  produit  des  racines  des({n 
simples  :  ainsi  i  par  17  donne  17,  et  9  par  i3  donne  i  17,  le  |)re 
[xuir  le  triangle  17,  l'i'i,   l'i"),  le  second  pour  1 '(•  '17»  i^^- 


pro- 
de  9 

arrés 
■mier 


240  (EU VUES   DE   FEKMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

7-  Vous  voyez  si  j'ai  eu  raison  de  dire  que  les  uomhres  susdits  sont 
la  dilTérence  de  deux  couples  quand  ils  sont  premiers,  et  de  quatre 
couples  lorsqu'ils  sont  divisibles  par  deux  nombres  premiers.  Mais  ce 
(|ui  le  montrera  encore  mieux  est  la  façon  de  trouver  tous  les  couples 
dont  un  des  dits  nombres  est  la  différence  :  car,  selon  ma  méthode, 
il  est  nécessaire  d'avoir  ces  deux  couples  qui  font  comme  deux 
souches. 

hACmple  :  On  me  demande  tous  les  quarrés  et  doubles  quartes  dont  -j 
est  la  différence.  Je  cherche  les  deux  couples  utiles  à  chacun  desquels 
il  y  a  un  nombre  moindre  que  7;  j'aurai  i,  8  et  9,  2.  Je  prends  leurs 
racines  et  en  fais  deux  colonnes  séparées  comme  on  voit  ici  : 


Quarrés.      Doubles  c|uarrés 


Ouarrc's.      Douli'.es  quarrés. 


1 

2 

3 

1 

5 

3 

5 

4 

1 1 

8 

i3 

9 

27 

".» 

3i 

2>. 

G5 

4<i 

7J 

53 

i5; 

1 1 1 

181 

128 

et  mets  en  cha(|ue  colonne  les  racines  des  (juarrés  d'un  coté  et  celles 
des  doubles  quarrés  de  l'autre.  J'ai  donc  d'un  coté  1,2;  pour  avoir  les 
racines  des  couples  suivans,  je  prends  la  somme  de  1,  2,  qui  est  .3, 
pour  la  racine  du  double  quarré,  et  la  somme  des  racines  des  deux 
doubles  quarrés  prochains  pour  la  racine  du  quarré.  Ainsi  la  somme 
de  1 ,  2  est  3,  et  celle  de  3,  2  est  .^  :  j'ai  donc  .5  et  3.  Pour  le  Iroisième 
couple,  la  somme  de  5,  3  est  8,  celle  de  8  et  3  est  11.  On  poursuit 
ainsi  autant  qu'on  veut,  et  l'autre  colonne  qui  commence  par  3,  i,  se 
fait  de  môme. 

A  chaque  colonne  la  rangée  de  main  droite,  dont  les  nombres  sont 
pairs  et  impairs  alternativement,  contient  les  racines  des  doubles  quar- 
rés, lesquels  sont  plus  grands  que  les  quarrés,  lorsque  la  racine  du 
double  quarré  est  paire,  comme  i,  2  et  1  1,  8;  mais  le  double  quarré  est 
moindre  quand  sa  racine  est  impaire,  ce  qui  a  lieu  lorsque  le  moindre 
quarré  des  deux  qui  composent  l'hypoténuse  du  triangle  dont  la  dite 


L.  —  6  SEPTEMBRE   IGil.  2il 

dilÏÏTonco  est  la  somino  des  cotés,  csl  impair,  comme  à  3,  4,  5;  mais 
c'est  le  rebours,  quand  le  moindre  quarré  est  pair,  comme  au  triangle 
.^  12,  i3. 

8.  Je  laisse  le  reste  pour  le  premier  voyage,  auquel  je  vous  envolerai 
aussi  la  méthode  dont  je  me  sers  pour  former  les  triangles  relatifs  en 
différence  ('),  comme  ii,  (Jo,  Gi  et  1 19,  120,  109;  car  je  ne  me  sers 
pas  des  trois  quarrés  proportionaux. 

Voici  seulement  ce  que  je  vous  proposerai  : 

I"  Trouver  le  moindre  nombre  qui  soit  autant  de  fois  qu'on  voudra,  et 
non  plus,  la  somme  de  deux  quarrés  (-). 

1"  Trouver  un  triangle  auquel  le  double  du  quarré  du  petit  côté  étant 
vlé  du  quarré  de  la  différence  des  deux  moindres  côtés,  il  reste  un  quarré. 
Par  exemple,  si  le  triangle  cherché  étoit  7,  2'|,  2j,  il  faudroit  qu'ôtant 
98  de  289,  le  reste  191  fût  un  quarré. 

3"  Trouver  un  nombre  qui  serve  d' hypoténuse  à  tant  de  triangles  qu'on 
voudra,  et  non  plus  à  chacun  desquels  le  produit  du  moindre  côté  par 
l'hypoténuse  soit  plus  grand  que  le  quarré  du  moyen  côté. 

/("  Trouver  les  bornes  des  proportions  que  les  racines  des  quarrés  consti- 
tutifs des  triangles  doivent  avoir  l'une  à  l'autre,  afin  que  les  triangles 
aient  la  propriété  du  troisième  problème. 

Pour  ceci,  il  y  a  autant  de  danger  que  les  racines  pèchent  en  excès 
qu'en  défaut,  mais  elles  ont  un  espace  assez  grand  pour  s'égayer,  et 
elles  ne  sont  pas  gênées  comme  à  l'autre  limitation  que  vous  m'avez 
envoyée.  Si  les  racines  sont  en  proportion  double  ou  moindre,  on  si 
elles  sont  en  proportion  triple  ou  plus  grande,  les  triangles  n'auront 
pas  la  dite  propriété.  Entre  ces  deux  proportions,  il  y  a  un  grand  espace 
qui  contient  une  infinité  de  proportions  propres  à  ces  triangles,  lequel 
pourtant  n'est  pas  si  grand  que  la  dilTérence  et  intervalle  des  propor- 
tions double  et  triple,  mais  est  un  peu  plus  rétréci. 

(>)  T'oir  Lettres  XLVIII,  8,  et  XLIX,  6. 

(-)  Foir  l'Observation  VII  sur  Diopliantc,  t.  I,  p.  2<)C. 

II.   —    FtRHAT.  >>' 


')'.•) 


(K II  via: s    DE   Fi:i{MAT. 


COKUKSPONDANCE. 


9.  Vous  n'avez  pas  pris  içai'dc  (|ue  je  vous  avois  proposé,  par  ma 
précédente  ('),  de  taire  la  niémecliosc  de  l'enceinte  entière  du  triangle, 
(|ue  vous  deinandie/  di'  la  sotnine  des  deux  moindres  cotés. 

Je  suis  etc. 


(I)  l.ciiriî  \I.I.\,  10. 


L[.  —   10  NOVEMlîIlK    IGV-2.  -2V3 


ANNÉE    1(M2. 


Ll. 
FERMAT  A  MKKSENNR  {'). 

LL.MIl    10    NOVHMUnK    lGi2. 

(A,  f"  3..;  lî,  f'  17  r.) 

Mon  Ri;vi;i\em)  PÈr.i;, 

1.  Bien  que  la  coRto  du  refus  do  M.  le  Cliauetdier  {-)  me  dure,  je 
iKï  veux  pas  rester  de  vous  obéir  et  chorelier  (ouïes  les  occasions  à 
vous  donner  des  preuves  de  mon  alfection  et  de  mou  service. 

2.  .l'ai  ie(.'U  ces  jours  passés  une  lettre  de  .M.  de  Carcavi,  par  la(|U(dle 
il  me  demande  une  question  que  ^F.  de  Robei'val  a  résolue  et  à  laquelle 
il  a  attaché  cet  éloge  :  Magni  (juidem  facicnda  invcnlio,  scd  maxiini  de- 
monslratio  gcometrica,  ncc  adeo  facdis  ah  analysi  ad  synllicsin  redressas, 
tit  quidam  irnperiti,  re  non  salis perspccta,  exisliniarunt. 

Cela  m'a  obligé  d'y  travailler  et  de  l'envoyer  par  le  précédent  cour- 
rier à  M.  de  Carcavi  ;  mais,  pource  que  peut-être  il  ne  se  souviendroit 
pas  de  vous  en  faire  part  et  ({ue  même,  en  l'écrivant  à  la  hâte,  il  m'a 
semblé  que  j'y  ai  mis  quelque  chose  de  superllu,  je  vous  l'envoie 
comme  elle  doit  être  (^). 

(  ')  LeUrc  inédile. 

(*)  Il  s'agil  d'une  nouiinaliun  quaUcndail  FcrinaL  {l'oir  Lcllic  LU,  2),  probablenicnl 
pour  sorlir  des  chambres  des  cn(iuélcs  et  entrer  dans  celle  de  l'édit. 

(')  La  pièce  dont  il  s'agit  est  imprimée  dans  le  tome  I,  p.  1G7  et  suiv.  La  (luestion  ré- 
solue par  Robcrval  et  traitée  par  Ferniut  est  la  construction  du  cylindre  de  surface  raaxima 
inscrit  dans  une  spliére  donnée. 


2\\  (EUVUES   DE  FEUMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

3.  J'alloiiils  a[)rès  cela  le  Livre  nouveau  de  rAnglois(')  et  vous  con- 
jure de  ne  vous  rel)uter  pas  de  quoi  je  ne  vous  ai  pas  envoyé  mon  juge- 
ment de  l'autre.  Vous  savez  mes  raisons,  que  je  vous  ai  déjà  allé- 
guées. 

4.  Vous  m'obligerez  de  me  dire  pourquoi  je  n'ai  pas  eu  réponse 
de  M.  de  ("hampbon,  et  de  baiser  les  mains  de  ma  part  à  MM.  de  My- 
dorge  et  Desargues. 

5.  Souvenez-vous  de  la  communication  des  écrits  d((  ^\.  Frenicle, 
pour  l'amour  duquel  j'ai  travaillé  après  les  nombres,  et  je  m'assure 
que  je  vous  persuaderai  quebjuc  jour  que  mon  travail  n'a  pas  été 
inutile. 

6.  Je  ne  sais  pas  en  quelle  posture  je  serai  dans  l'esprit  de  M.  de  La 
CJiambre  depuis  que  la  commission  de  Castres  a  si  mal  réussi. 

Je  suis,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  très  affectionné  serviteur. 

Fermât. 

(^e  10  novembre  i64a. 

Tournez  pour  le  problème  ('). 

(')  Dans  la  correspondance  de  celle  époque  enlro  Dcscarles  et  Aferscnnc,  l'expression 
de  «  l'Anglois  »  désigne  Hobbes,  qui  a  donné  en  1642  la  première  édilion  de  son  De  cive; 
on  y  Irouve  également  mentionne  un  autre  auteur  de  la  même  nationalité,  Thomas  Wliile 
(  Fiius),  qui  publia,  la  même  année,  ses  De  muiido  dinlo^i  très,  où  Dcscarles  était  critiqué. 
C'est  peut-ôlre  l'ouvrage  sur  lequel  Fermât  refusait  de  donner  son  jugement. 

(2;  Foir  page  précédente,  note  3. 


LU.  -  ANNEE  1G43.  2i5 


AiNNÉE    1643. 


\A\. 
FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

MARDI    1:5    JA.\Vli;il    I(jV3. 

(A,  f-  i3-ifi.) 

Mon  RiivKiiENb  Pi:uf., 

1-  J'envoyai  par  le  dernier  courrier  mon  Isagoge  ad  locos  ad  supcr- 
Jiciem  (^)  à  M.  de  Carcavi,  de  laquelle  il  ne  manquera  pas  de  vous  l'aire 
part.  Vous  y  trouverez  des  propositions  aussi  belles  que  laGéométrie  en 
puisse  produire  et,  bien  que  mon  discours  soit  concis,  il  m'a  semblé 
que  je  n'en  devois  pas  dire  davantage,  s'agissant  d'une  méthode  géné- 
rale de  laquelle  les  exemples  et  l'usage  peuvent  être  iniinis. 

Je  m'imagine  même  que  cette  matière  n'a  pas  été  exactement  comme 
des  anciens;  car,  qu'y  a-t-il  dit  dans  tous  leurs  Livres  en  fait  de  lieux, 
qui  vaille  la  propositÏDn  suivante,  par  exemple? 

Dalis  quollihel  punclis  in  uni)  vel  dwersis  planis,  inwnire  sphœrarn,  in 
cujus  superficie  sumendo  quollibel  punclum  et  ah  eo  dncendo  reclas  ad 
puncla  omnia  data,  quadrala  ductarani  simid  sumpla  œquenlur  spafio 
dalo  ('). 

Et  toutefois  la  construction  en  est  aisée  par  ma  méthode,  et  non  seu- 
lement cette  proposition  a  été  par  moi  découverte,  mais  la  voie  géné- 

(  ')  Lcllrc  inédile. 

(,')  Tome  I,  p.  III  clsuiv.  Celle  Jsagogc  est  en  eiïeldalce  du  G  janvier  iG43. 

(■■)  Cp.  Tome  I,  p.   1 13  :  Si  a  quotcuniqiie  punctii  etc. 


■2\V,  ŒUVRES  DE  FEllMAÏ.  -  CORRESPONDANCE. 

raie  pour  en  trouver  infinies.  Vous  nie  direz  votre  sentiment  de  mon 
petit  Traité,  et  celui  de  MM.  les  autres  savants. 

2.  Cependant  n'oubliez  pas  de  ni'envoyer  le  livre  que  vous  m'avez 
promis  ('),  ni  de  me  dire  pourquoi  je  n'ai  pas  eu  de  réponse  de  M.  de 
(".hampbon. 

Kn  attendant  que  vous  preniez  votre  temps  de  parler  pour  moi  lors- 
(jue  l'occasion  s'en  offrira,  je  vous  prie  de  savoir  de  J\[.  de  La  Chambre 
(ju'est-ce  qui  empêcha  ma  nomination  l'année  passée,  et  me  donner 
avis  de  la  réponse  qu'il  vous  fera  là  dessus,  afin  que  je  sache  s'il  a  joué 
de  içalimatias,  ou  s'il  a  eu  véritablement  pensée  de  m'obliger. 

3.  La  proposition  dn plus  grand  cône  en  superficie  qui  peut  èlre  insrril 
en  la  sphère,  et  que  j'avois  demandée  à  M.  de  Koberval  par  la  voie  de 
iAI.  de  Carcavi  en  revanche  de  celle  du  cylindre  qu'il  m'avoit  deman- 
dée (-),  ne  m'a  pas  été  encore  envoyée.  S'il  me  l'envoie,  je  vous  en 
ferai  part;  mais  ce  n'est  pas  à  dire  que  je  ne  sois  en  état  de  vous  la 
faire  tenir,  s'il  ne  me  relève  pas  de  ce  travail  par  sa  construction. 

4.  La  proporlion  du  cône,  que  le  triangle  cquilaléral  faiL,  à  la  sphère 
(^st  aisée,  puisque  les  deux  termes  sont  donnés  en  même  espèce  de 
corps,  car  la  sphère  peut  se  réduire  en  un  cône  par  les  propositions 
d'Archimède.  Or,  quand  les  deux  termes  sont  donnés,  vous  ne  doutez 
pas  (|ue  la  proportion  ne  soit  donnée;  vous  n'ignorez  pas  la  mélhode 
de  mettre  toutes  proportions,  quoi(|ue  irrationelles,  en  nombres  entiers 
et  approchés  si  près  qu'on  voudra.  Néanmoins,  si  vous  voulez  celle-ci 
de  moi,  en  tel  nombre  de  figures  de  chiffre  qu'il  vous  plaira,  je  vous 
la  dresserai. 

5.  Vous  m'obligerez  de  m'envoyer  les  épitaphes  de  feu  M.  le  Cardi- 
nal que  vous  trouverez  les  meilleurs,  à  la  réserve  de  celui  qui  finit  : 

Plaudenle  corona.  Valctc  dixit, 

que  j'ai  déjà  vu. 

(")  Fuir  Lettre  LI,  3  et  4 
C-)  Voir  LcUre  LI,  2. 


LUI.  -  ANNEE  1643.  -IV? 

Je  suis  (lo  lout  mon  c(cur,  mon  Révérend  Père, 

Votre  elc, 

Feujiat. 

A  Toulouse,  ce  i3  janvier  iCiî. 

6.  Je  vous  prie  île  presser  M.  de  Carcavi  pour  le  l'appus  manuscrit, 
e(  pour  les  propositions  que  M.  de  Saint-Martin  a  de  M.  Frenicle  ('). 


LUI. 
FERMAT  A  CARCAVI  (-). 

<  1G43  > 

(Trt,    p.    178.) 
MONSIEUU, 

1.  Vous  m'obligez  toujours  et  je  connois,  dans  la  continuation  de 
vos  soins,  celle  de  votre  affection,  de  quoi  je  vous  rends  mille  grâces. 

Pour  la  Géométrie,  je  n'ose  pas  encore  m'y  attacher  fortement 
depuis  mon  incommodité  :  je  n'aurai  pourtant  pas  beaucoup  de  peine 
il  trouver  les  deux  de  vos  propositions  (');  pour  celle  de  la  parabole, 
je  ne  l'ai  pas  examinée,  ni  tentée. 

2.  Je  remets  tout  ceci  à  ma  première  commodité;  mais,  de  peur  que 
vous  ne  m'accusiez  de  n'envoyer  rien  de  mon  invention,  je  vous  envoie 
trois  nombres  parmi  plusieurs  autres  que  j'ai  trouvés,  dont  les  parties 
aFKjuotes  font  le  multiple. 

(')  f'oir  Lcllrc  IJV,  3  el  4. 

(2)  Nous  avons  conservé  à  cette  Lettre,  dont  la  date  est  incertaine,  le  numéro  qui  lui 
a  élc  assigné  dans  la  Table  du  Tome  I,  page  43(j;  mais,  après  nouvel  examen,  elle  nous 
parait  avoir  été  écrite  entre  la  Lettre  LVIII  du  3i  mai  1643  et  la  Lettre  LIX  non  datée; 
elle  peut  donc  n'être  pas  antérieure  au  mois  d'août  i6/|3. 

(')  Ces  propositions  paraissent  bien  différentes  de  celles  dont  il  est  parlé  Lettre  LIV,  1. 
Nous  n'avons  pu  trouver  d'autres  renseignements  ni  sur  les  unes,  ni  sur  les  autres. 


2i8  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

I.c  nombre  suivant  est  sous-triple  de  ses  parties  aliquotes  : 

i4  9^2  123  276641  920. 
Celui-ci  est  sous-quadruple  : 

I  802  582  780  370  364  661  760, 

et  celui-ci  aussi  : 

87  934  476  737  668  o55  o4o. 

Puisque  je  me  trouve  sur  cette  matière,  en  voici  deux  que  j'ai  clioisis 
parmi  mes  sous-quinluples  : 

l.e  premier  se  produit  des  nombres  suivants  multipliés  entre  eux  : 

8888608,  2801,  2401,  2197,  2187,  i33i,  467,  307,  289,  241,  125,  61,  4',  3r, 

cl  l'autre  se  produit  des  nombres  suivants  multipliés  entre  eux  : 

134217728,  243,  169,  127,  120,  ii3,  61,  43,  3i,  29,  19,   II,  7. 

Kn  voici  encore  un  sous-double  de  ses  parties,  de  mon  invention, 
lequel,  multiplié  par  3,  fait  un  sous-triple  :  le  dit  nombre  est 

5i  001  180  160. 

3.  (]'est  parmi  quantité  d'autres  que  j'ai  trouvés,  que  j'ai  choisi 
par  avance  ceux-ci  pour  vous  en  faire  part,  afin  que  vous  en  puissiez 
juger  par  cet  échantillon.  J'ai  trouvé  la  méthode  générale  pour  trouver 
(ous  les  possibles,  de  quoi  je  suis  assuré  que  M.  deRobervalsera  étonné 
cl  le  bon  Pi're  Merscnne  aussi;  car  il  n'y  a  certainement  quoi  que  ce 
soi(  dans  toutes  les  Mathématiques  plus  diincile  que  ceci,  et  hors 
M.  de  Frcnicle  et  peut-être  M.  Descartes,  je  doute  que  personne  en 
connoisse  le  secret,  qui  pourtant  ne  le  sera  pas  pour  vous,  non  plus 
que  mille  autres  inventions,  dont  je  pourrai  vous  entretenir  une 
autre  fois. 

4.  Va  pour  exciter  par  mon  exemple  les  savants  du  pays  où  vous 
èles,  je  leur  propose  (  '  )  de  trouver  autant  de  triangles  en  nombre  qu'on 

(')  /'oir  l'Observation  XXIFI  sur  Dioplianlc.  —  Cp.  Lettre  LVIII,  3. 


LIV.  -   JANVIER    1643.  2W 

l'oudra  de  même  aire,  ce  que  Diophante  ni  Viète  n'ont  trouvé  que  pour 
(rois  seulement. 
Je  suis,  etc. 


LIV. 
FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

<    iJ"    JANVIER    1043    > 

(A,  f"  33;  B,  (°  l'i  v°.) 

Mon  RiivCT.END  Pèue, 

1  Je  vous  rends  mille  grâces  de  votre  souvenir  et  des  proposi- 
tions (^)  que  vous  m'avez  fait  la  faveur  de  m'envoyer. 

délies  de  la  parabole,  de  l'hélice  et  du  conoïde  paraboli(jue  son!  si 
visiblement  fausses  que  ce  seroit  perdre  le  temps  que  de  les  réfuter. 
.Néanmoins,  si  vous  me  l'ordonnez,  je  le  ferai. 

2.  Je  m'imagine  que  vous  avez  vu  maintenant  mes  Lieux  ad  super- 
Jiciem  ('  ).  Pourvu  qu'on  ne  m'écrive  pas  qu'on  les  savoit  auparavant 
(|ue  d'avoir  vu  mon  Discours,  comme  on  a  ci-devant  fait  de  quehjues- 
unes  de  mes  pièces,  je  serai  assez  satisfait  ;  du  reste,  vous  et  ceux  qui 
les  verront,  en  serez  les  juges. 

Je  dois  maintenant  répondre  aux  deux  (juestions  numéri([ucs  de 
•M.  de  Saint-Martin  ('). 

3.  La  première  est  de  tromper  trois  triangles  reclangles  desquels  les 
aires  fassent  les  trois  côtés  d'un  triangle  rectangle  (■"). 

(')  Lolli'o  incdilc,  non  dalcc,  mais  qui,  iiiteriiiciliaire  cnlrc  la  I^eltio  IJI  du  i3  jansicr 
cl  la  L(Htrc  LV  du  iG  février  164Î,  doit  ôlrc  du  27  janvier  ou  du  3  février,  jours  de  cour- 
rier. Nous  avons  supposé  la  première  de  ces  deux  dates. 

(2)  Nous  n'avons  trouve  aucune  autre  indication  sur  ces  propositions. 

(5)  Foir  Lettre  LU,  1. 

(*;  Fuir  Lettre  LU,  6. 

(5)  rtiir  rObservalioii  XXIX  sur  Diophante,  Tome  I,  p.  3-2 1. 

FtnMAT.  —  11.  32 


tioO  QiUVRES  DP.  F  EIIMAT.  -  CO  KUESl'ON  I)  ANCI^:. 

I.cs  trois  triangles  qu'on  tlomando  sont  ccnx-ci  : 

2'lo5,  2897,  196.     22l3,  2205,  188.     23o5,  23o3,  9G. 

S'il  on  vont  d'antros  qui  satisfassent  à  la  qnestion,  je  lui  en  puis 
(bnrnir  infinis  et,  s'il  veut  ma  méthode  pour  les  trouver,  je  lui  eu  ferai 
part.  (Cependant  il  pourra  éprouver  si  les  trois  que  je  lui  envoie  satis- 
font à  ladite  question. 

4.  La  seconde  question  est  celle-ci  (')  :  Un  nombre  élanl  donné, 
délerrniner  combien  défais  il  csl  la  différence  des  côtés  d'un  triangle  qui 
ail  un  quarré pour  différence  de  son  petit  côté  aux  deux  autres  côtés.  Le 
nombre  qu'il  donne  est  iSoitioi  cSoo. 

Je  réponds  qu'en  l'exemple  proposé,  il  va  2^3  triangles  (jni  satisfont 
il  la  question,  et  qu'il  n'y  en  peut  pas  avoir  davantage. 

La  méthode  universelle  dont  je  lui  ferai  part,  s'il  me;  l'ordonne,  est 
belle  et  digne  de  remarque,  bien  que  je  ne  doute  point  que  M.  Frenielo 
ne  lui  ait  baillé  tout  ce  qui  concerne  ces  questions. 

Je  ne  vous  envoie  ces  deux  solutions  que  pour  vous  faire  voir  que 
les  mystères  numériques  de  I\L  Frenicle  me  doivent  être  communiqués 
aussi  tôt  qu'à  tout  autre,  et  que  M.  de  Saint-Martin  n'y  doit  pas  faire 
difficulté. 

5.  Je  vous  prie  m'envoyer  au  plus  (ot  le  livre  que  vous  m'avez  pro- 
mis (-),  et  faire  en  sorte  que  .^I.  de  Carcavi  me  fasse  copier  la  réponse 
pour  (|ue  je  la  puisse  voir. 

Je  prendrai  la  liberté  d'écrire  par  la  première  commodité  à  M.  d(> 
Saint-Martin  sur  l'occasion  de  ces  deux  questions  qu'il  a  voulu  m'ètre 
proposées. 

Cependant  je  vous  prie  me  croire  toujours,  Monsieur, 

Votre  très  humble  et  très  afTectionné  serviteur. 


Fermât. 


(  '  )  Cp.  Lettre  L,  2. 

(')  Cp.  Lettres  LI,  3  et  LU,  2. 


LV.  -  IG   KÉVniKU    1G'»3.  231 

6.  Vous  ne  nréciivoz  pas  à  quoi  il  a  tenu  que  je  n'aie  pas  eu  de 
l'épouse  (le  3F.  l'abbé  de  Champbon  (')  depuis  si  longtemps,  ni  si 
vous  avez  j)arlé  à  M.  de  La  Chambre,  du(|uel  je  voudrois,  avanl  (|ue 
rien  lenter  pour  moi,  que  vous  sussiez  à  (|uoi  la  eliiise  tint  l'année 
j)assée. 


LV. 

FERMAT  A  .AIEUSliNMi  (  =  ). 

i.iNDi   10  Ff;viiiEn   ICÏ3. 

(A,   f'-    .7-. S;    B,   f'    :;:.   \°.) 

Mon   Rkvkrenu  Pi.iiK, 

1-  Je  vous  remercie  de  vos  soins  ;i  reiidroil  de  .M.  de  La  ('dianiltre,  cl 
il  lui-même  de  ceux  (lu'il  [>rit  ii  Lyon  pour  moi.  M.  de  Marmiesse,  noii'e 
avoeat-général,  m'ayaiit  confirmé  ce  que  vous  venez  de  in'écrire.  lors- 
([u'il  sera  temps,  je  ne  doute  point  (pi'il  n'ait  assez  de  crédit  pour  l'aire 
tenir  celte  vieille  promesse  que  M.  le  Cdiancelier  a  l'aile  depuis  si  long- 
temps en  ma  faveur  (^). 

2.  Je  suis  bien  aise  que  mes  solulions  (*)  aient  [du  ii  .\l.  de  Sainl- 
.Marlin;  idles  sont  purement  de  mon  invention,  et  M.  de  Krenicle  le 
pourra  assurer  que  j'ai  trouvé  par  ma  méthode  la  solution  de  tout  ce 
({u'il  m'avoit  proposé  sur  pareil  sujet.  (]e  n'est  pas  qu'il  ne  l'eut  trouvé 
sans  doute  longtemps  auparavant,  mais  j'ai  eu  assez  de  bonheur  [)oiir 
découvrir  par  d'autres  voies  ou  quelquefois  par  les  mêmes  ce  qu'il  me 
proposoit,  et  je  crois  que  les  démonstrations  de  toutes  ces  proposi- 
tions pourront  malaisément  Venir  d'ailleurs  que  de  moi,  si  je  ne  me 
trompe. 

(M  Cp.  I.eUres  LI,  4.t  6:  l.ll.  2. 
C-)  Lellro  inédilc. 

i')  Cp.  LcUrcs  LI,  1;  l.ll,  2:  LIV.  6. 
0)  foir  Letlic  LIV.  3  el  4. 


25-2  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

3.  Si  M.  de  Saint-Martin  est  exercé  aux  questions  des  nombres, 
voici  ce  que  je  prends  la  liberté  de  lui  proposer  en  revancbe  de  ses 
deux  questions  : 

Trouver  deux  triangles  rectangles  dont  les  aires  soient  en  raison  donnée, 
m  sorte  que  les  deux  petits  côtés  du  plus  grand  triangle  diffèrent  par 
l'unité. 

Trouver  deux  triangles  rectangles  en  sorte  que  le  contenu  sous  le  plus 
grand  côté  de  l'un  et  sous  le  plus  petit  du  même  soit  en  raison  donnée  au 
contenu  sous  le  plus  grand  et  le  plus  petit  côté  de  l'autre  (  '  ). 

Après  qu'il  aura  résolu  ces  deux  questions,  je  lui  en  fournirai  de 
plus  dilRciles. 

4.  Que  s'il  croyoit  que  les  solutions  des  deux  que  je  lui  ai  données 
ne  soient  pas  de  moi,  il  m'obligera  de  choisir  des  plus  dilTiciles  qui 
sont  résolues  dans  les  écrits  qu'il  a  de  M.  Frcnicle,  et,  si  je  n'en  lais 
pas  la  solution,  je  consens  de  ne  voir  point  le  dit  travail  de  M.  Frenicle, 
que  je  désire  plutôt  voir  pour  apprendre  quelles  sont  les  questions, 
que  pour  la  solution  qu'il  en  donne.  Ce  n'est  pas  que  je  ne  l'estime 
beaucoup,  mais  c'est  que  je  m'imagine  que  je  n'aurai  pas  beaucoup 
de  peine  ;i  la  trouver. 

Si  je  puis  trouver  du  loisir  pour  satisfaire  au  désir  de  M.  de  Saint- 
iMartin  sur  le  sujet  de  ma  méthode  de  maximis  et  minimis  et  sur  celle 
dont  je  me  sers  \\  la  résolution  de  ses  questions  numériques,  je  serai 
ravi  de  lui  plaire  et  ;i  vous  qui  me  l'ordonnez. 

5.  Pour  les  lignes  courbes  auxquelles  vous  m'écrivez  que  M.  de  Ro- 
berval  a  trouvé  d'autres  lignes  égales,  sur  lequel  sujet  vous  m'allé- 
guez l'hélice  (-),  j'appréhende  qu'il  y  aura  de  l'équivoque.  11  semble 
d'abord,  par  la  raison  des  inscrites  et  circonscrites,   que  l'hélice 

(')  Voir  l'Observation  XXX  sur  Diopliante. 

i"^)  Ce.  passage  donne  une  date  pour  la  découverte  par  Roberval  de  l'égalité  entre  la  lon- 
gueur des  arcs  de  la  spirale  d'Archimède  et  ceux  d'une  parabole,  égalité  démontrée  plus 
lard  par  Pascal.  Voir  Tome  I,  p.  206,  note  1. 


LVl.  -  7  AVIUL   1(JV3.  -20:5 

(rArcJiiinède  est  ia  moitié  de  la  circoni'érencc  du  cercle  (|iii  sert  ii 
la  décrire,  et  c'étoit  une  pensée  que  j'avois  eue  il  y  a  fort  loni^tenips. 
mais  je  me  détrompai  d'abord.  Si  c'est  celle  de  M.  de  Hoherval,  je  m'as- 
sure qu'il  ne  sera  pas  longtemps  de  même  avis,  et  qu'il  n'aura  besoin 
que  d'une  seconde  réflexion  pour  se  dédire. 

Je  suis  en  peine  de  savoir  des  nouvelles  de  M.  de  (larcavi;  vous 
m'obligerez  de  m'en  donner  et  de  me  croire,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  très  aflectionné  serviteur, 

Feumat. 

A  Toulouse,  ce  16  février  1G43. 


LVI. 
FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

MARDI   7    AVRIL    iGi3. 
(A,  f"  19-20;  B,  t"  -12  v.) 

Monsieur  mon  Revéuend  Pèue, 

1.  Vous  n'eûtes  pas  de  mes  lettres  par  le  dernier  courrier,  à  cause 
d'une  petite  absence  qui  m'a  tenu  huit  jours  à  la  campagne  pendant  la 
fête.  Vous  aurez  maintenant  la  réponse  que  je  fais  k  M.  de  Brulart  ('•') 
jointe  à  celle-ci;  je  l'ai  écrite  à  la  hâte,  comme  vous  verrez,  et  c'est  la 
raison  qui  m'oblige  à  vous  prier  qu'il  n'en  soit  pas  fait  de  copie  et 
qu'elle  ne  sorte  pas  d'entre  les  mains  de  M.  de  Brulart. 

('  )  Lcllre  inédile. 

(^)  Le  personnage  désigné  dans  les  Lettres  LIV  et  LV  sous  le  nom  de  Saint-Martin 
s'appelait  Pierre  Bruslart  de  Saint-Martin  et  était  collègue  de  Carcavi  au  Grand-Conseil. 
Il  semble  qu'ici  il  s'agit  encore  de  lui  (  Cp.  LV,  4). 

La  réponse  dont  parle  Fermai  est  perdue;  on  voit  qu'elle  concernait  sa  méthode  de 
niaximis  et  mininns. 


■loï  Œ  U  V  lî  !•:  s   J)  E   F  E  II  M  AT.  -  C  (  )  Il  U  E  S  P  0  N  DA  N  C  E. 

{'a'  n'est  pas  que  ce  que  j'y  ai  mis  ne  puisse  être  expliqué  assez  aisé- 
uienl.  mais  il  v  a  ([uelque  petit  équivoque  où  on  me  pourroit  accusée 
lie  négligence,  comme  lorsque  j'ai  dit  que  les  deux  derniers  termes  de 
I'é(|ua(ion  (|ui  se  trouvent  mesurés  par  E  sont  en  plus  grande  raison 
(jw'aucuns  autres  qui  leur  soient  relatifs  dans  les  plus  hautes  puis- 
sances. On  pourrait  dire  (ju'ù  le  prendre  corwerte/ulo ,  ils  sont  en 
moindre  raison  qu'aucuns  autres  de  leurs  relatifs;  mais  c'est  en  ma 
règle  et  en  mon  raisonnement  toute  la  même  chose,  et  les  mêmes  con- 
sé(juences  se  déduisent  de  l'un  et  de  l'autre. 

Il  V  ])onrr(»it  encore  avoir  équivoque  en  ce  que  j'ai  dil  :  que  non 
seulement  A  —  I^  doit  donner  la  même  équation  que  A-f-E,  mais 
encore  (jU(\  si  A  +  E  donne  moins  que  A,  A  — E  doit  aussi  donner 
moins  (|ue  A.  Car  il  semble  d'abord  que,  si  A  —  E  donne  la  même 
é(nialion  ([ue  A  +  E,  qu'il  est  infaillible  que,  l'un  donnant  moins  (|ue 
A,  l'autre  donnera  de  même  moins  que  A;  ce  qui  pourtant  n'est  pas 
e[  (ju'il  me  semble  avoir  suirisamment  explifiné  par  l'exemple  que  j'ai 
ajouté. 

Mais,  pour  ê>ter  tout  équivoque,  lorsque  j'ai  dit  que  A  — E  doit 
donner  la  même  équation  que  A  +  E,  j'entends  que  par  la  position 
d(ï  A  —  E.  en  suivant  ma  méthode,  on  doit  trouver  A  égal  à  nue  même 
(jtiantilé  que  si  nous  employons  A-f-E  par  la  même  méthode.  .Mais, 
lors(|ne  j'ai  ajouté,  en  la  seconde  condition,  que  si  A-f-E  donne 
moins  que  A,  A  —  E  doit  de  même  donner  moins  que  A,  j'entends 
(jue  si,  par  la  position  de  A -h  E,  les  homogènes  qui  représentent  le 
plus  grand  sont  moindres  que  les  homogènes  qui  représentent  le  plus 
grand  en  la  position  de  A  seul,  de  même,  en  la  position  de  A  —  E, 
les  homogènes  qui  représentent  le  plus  grand  doivent  être  moindres 
(|ue  les  homogi'ues  qui  représentent  le  plus  grand  en  la  posilion  de  A 
seul. 

Voilà  ce  (juc  j'ai  cru  vous  devoir  dire  sur  ce  sujet,  (^ar  pour  rendre 
la  chose  entièrement  claire  et  parfaitement  démontrée,  il  faudroit  un 
Traité  entier,  que  je  ne  refuirai  pas  de  faire,  dès  que  je  pourrai 
trouver  du  loisir  assez  pour  cela. 


LVI.  —  7  AVRIL   lG't3.  S.m 

2.  J'îiKonds  la  solulion  de  quolquos-unos  ilc  mes  qiipsliotis  niiiiir- 
riques  ('),  cl  vous  prie  de  m'apprcndre  quand  est-ce  que  i\I.  Frenicle 
sera  de  retour  à  Paris,  et  si  M.  de  Sainle-Croix  est  en  état  de  soiidre 
des  questions. 


3.  Pour  les  parties  aliquotes,  j'ai  découvert  des  choses  excellentes 
et  je  puis  vous  envoyer  quelques  multiples  de  mon  invention  autres 
(|ue  ceux  que  vous  avez  mis  dans  la  préface  du  petit  Livre  Des  l'cnsccs 
(le  Galilée  (-),  et  pour  ne  vous  laisser  plus  en  doute  que  je  ne  possi-de 
la  voie  in(aillil)le  de  ces  questions,  j'ai  relu  ces  jours  passés  une  ques- 
tion que  vous  me  faisiez  par  ordre  de  ^I.  Frenicle,  dont  je  vous  envoie 
présentement  la  solution. 


4.  Vous  me  demandiez  donc  quelle  proportion  a  le  nombre,  (|iii  se 
produit  des  nombres  suivants,  avec  ses  parties  aliquotes  : 

2 1 4  7/18  3G4  8oo  000,    II,    19,  [\?t,   61,   83,   iGg,    223,   33i,   879,   Goi,   j.'jj.   ydi, 
i2or,    7019,    823543,    61631817-,    CTiGi,     100  S9J  598 1G9. 

Vous  me  demandiez  ensuite  si  ce  dernier  nombre  est  premier  ou 
non,  et  une  méthode  pour  découvrir  dans  l'espace  d'un  jour  s'il  est 
premier  ou  composé. 

A  la  première  question,  je  vous  réponds  que  le  nombre  qui  se  lait 
de  tous  les  nombres  précédents  nuiUipliés  entre  eux,  est  sous-quin- 
tuple  de  ses  parties. 

(')  rnir  Lettre  LV,  3. 

(-)  Les  nouvelles  pensées  de  G.ililce,  malliemalicion  el  ingénieur  du  duc  de  I''lorcn(<'. 
où  il  est  traité  de  la  proportion  des  mouvemcnls  naturels  et  violents  el  de  tout  ce  qu'il  y 
a  de  plus  subtil  dans  les  Mcchaniques  et  dans  la  Physique.  Où  l'on  verra  d'admirables 
inventions  el  demonslralions  inconnues  jusqu'à  présent.  Traduit  d'Italien  en  François.  — 
A  Paris,  chez  Henry  Guenon,  rue  Sainl-lacqucs,  à  l'Image  de  S.  Bernard,  près  des 
lacobins,  M.DC.XX.KIX.  Avec  Privilège  du  Iloy. 

Dans  la  préface  de  ce  volume,  Mersennc  ne  donne  d'après  Fermai  que  les  nombres  déjà 
insérés  dans  caWa  às\' Harmonie  univcrscUa  do  i63G  [vnir  Pièce  IVa).  U  en  a  ajoulô  divers 
autres  dus  à  Sainle-Croix,  Descartes  (un  excellent  Gcnmeire),  Frenicle  {un  e.rcellcnt 
etprii),  au  reste  sans  aucune  désignation  par  nom  propre. 


•256  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

A  I;i  seconde  question,  je  vous  réponds  que   le  dernier  de   ces 
nombres  est  composé  et  se  fait  du  produit  de  ces  deux  : 

898423     et     ii2  3o3, 
qui  sont  premiers  (  '  ). 

Je  suis  toujours,  mon  Révérend  Père, 

Votre  très  humble  et  très  affectionné  serviteur. 

Fermât. 

A  Toulouse,  ce  7  avril  i043. 


LVII. 

FRAGMENT  D'UNE  LETTRE  DE  FERMAT  (^). 

<     IGW    > 

(A,  f74.) 

Tout  nombre  impair  non  quarré  est  différent  d'un  quarré  par  un 
quarré,  ou  est  la  différence  de  deux  quarrés,  autant  de  fois  qu'il  est 

(')  Sur  le  problème  ainsi  pose,  il  était  aisé  de  trouver  la  composition  du  dernier  nombre. 
\in  effet,  si,  pour  trouver  le  rapport  du  produit  à  la  somme  des  parties  aliquotes,  on  part 
du  premier  nombre  qui  est  2'*  x  3^,  on  remarque  (|ue  2'"  a,  pour  somme  de  ses  parties 
aliquotes,  223  X616318177.  Le  second  de  ces  deux  facteurs  correspond  de  même  à  la 
somme  2  x  7' x  898(23.  Ce  dernier  facteur  ne  se  retrouvant  pas,  comme  les  précédents, 
parmi  ceux  ilu  produit  proposé,  il  est  naturel  d'essayer  de  diviser  par  lui  le  dernier 
nombre  donné,  dès  que  l'on  ignore  si  celui-ci  est  premier.  Par  conséquent,  quelque  mé- 
thode que  possédât  Formai  pour  rechercher  si  un  nombre  est  premier  ou  non  {voir 
Pièce  LVII),  il  est  improbable  qu'il  ait  employé  cette  méthode  et  fait  des  calculs  plus  longs 
que  ceux  que  nous  avons  indiqués. 

(")  Le  fragment  qui  suit  a  été  publié  par  M.  Charles  Henry  (RcclwrclicK  etc.,  p.  191) 
il'après  le  brouillon  d'.Vrbogast,  transcrit  d'une  co|)ie  perdue  de  Mersenne.  11  ne  renferme 
(]ue  l'exposé  d'une  méthode  pour  la  recherche  des  diviseurs  d'un  nombre,  en  commençant 
|)ar  les  plus  grands,  et  répond  ainsi  à  une  question  faite  par  Mersenne  pour  le  compte  de 
Kronicle  {C.p.  LVI,  4)  et  sur  laquelle  les  correspondants  de  Fermât  ont  dû  revenir.  Mais 
la  copie  d'Arbogast  porte  le  titre  :  Des  noinhres  des  parties  aliquotes,  qui  semble  indiquer 
(pie  ce  fragment  faisait  partie  d'une  communication  beaucoup  plus  étendue,  adressée  soit  à 
Mersenne,  soit  à  Frcnicle.  Dans  ce  cas,  la  date  en  serait  probablement  postérieure  à  celle 
que  suppose  le  rang  assigné  à  celte  pièce  pour  la  rapprocher  de  la  Lettre  LVI. 


LVII.  —  lGi3.  237 

composé  de  deux  nombres,  et,  si  les  quarrés  sont  premiers  entre  eux, 
les  nombres  compositeurs  le  sont  aussi.  Mais  si  les  quarrés  ont  entre 
eux  un  commun  diviseur,  le  nombre  en  question  sera  aussi  divisible 
])ar  le  même  commun  diviseur,  et  les  nombres  compositeurs  seroni 
divisibles  par  le  coté  de  ce  commun  diviseur. 

Par  exemple  :  4^  (^"st  composé  de  5  et  de  f),  de  3  et  de  ij,  de  i  et  d(> 
Vj-  Partant,  il  sera  trois  fois  la  difTérence  de  deux  quarrés  :  savoir  de 
/\  et  de  /(9,  qui  sont  premiers  entre  eux,  comme  aussi  sont  les  compo- 
siteurs correspondants  5  et  9;  plus,  de  3G  et  de  81,  qui  ont  <)  pour 
commun  diviseur,  et  les  compositeurs  correspondants,  3  et  i  j,  ont  le 
coté  de  9,  savoir  3,  pour  commun  diviseur;  enfin  4  *  o^l  la  différence 
de  484  et  529,  qui  ont  i  et  45  pour  compositeurs  correspondants. 

Il  est  fort  aisé  de  trouver  les  quarrés  satisfaisants,  quand  on  a  le 
nombre  et  ses  parties,  et  d'avoir  les  parties  lorsqu'on  a  les  quarrés. 

Cette  proposition  se  trouve  quasi  tout  par  tout.  On  en  pourrait  quasi 
autant  dire  des  paircments  pairs,  excepté  4.  avec  quelque  petite  mo- 
dification. 

(]ela  posé,  qu'un  nombre  me  soit  donné,  par  exemple  2027GJ1  281, 
on  demande  s'il  est  premier  ou  composé,  et  de  quels  nombres  il  est 
composé,  au  cas  qu'il  le  soit. 

J'extrais  la  racine,  pour  connoitre  le  moindre  des  dits  nombres,  e( 
trouve  45029  avec  4o44o  de  reste,  lequel  j'ote  du  double  plus  i  de  la 
racine  trouvée,  savoir  de  90009  :  reste  49(^19.  lequel  n'est  pas  quarré. 
parce  que  aucun  quarré  ne  finit  par  19,  et  partant  je  lui  ajoute  900G1, 
savoir  2  plus  que  900J9  qui  est  le  double  plus  i  de  la  racine  45  029. 
Et  parce  que  la  somme  139680  n'est  pas  encore  quarrée,  comme  on  b> 
voit  par  les  finales,  je  lui  ajoute  encore  le  même  nombre  augmenté 
de  2,  savoir  90063,  et  je  continue  ainsi  d'ajouter  tant  que  la  somme 
soit  un  quarré,  comme  on  peut  voir  ici  (').  Ce  qui  n'arrive  qu'à  io4o4oo, 
qui  est  quarré  de  1020,  et  partant  le  nombre  donné  est  composé;  car 
il  est  aisé,  par  l'inspection  des  dites  sommes,  de  voir  qu'il  n'y  u  au- 

(')  Fermât  avait  dû  elTectuer  en  marge  les  calculs  indiqués,  qui  n'ont  pas  été  repro- 
duits snr  la  copie. 

Fermât.  —  M.  33 


238  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

cune  qui  soit  nombre  quarré  que  la  dernière,  car  les  quarrés  ne 
peuvent  souffrir  les  finales  qu'elles  ont,  si  ce  n'est  499944  qui  néan- 
moins n'est  pas  quarré. 

Pour  savoir  maintenant  les  nombres  qui  composent  20276J1281, 
j'ote  le  nombre  que  j'ai  premièrement  ajouté,  savoir  90  oGi ,  du  dernier 
ajouté  90081.  Il  reste  20,  à  la  moitié  duquel  plus  2,  savoir  à  12,  j'a- 
joute la  racine  prcmi(\remenl  trouvée  45029.  La  somme  est  4jo4i> 
auquel  nombre  ajoutant  et  otant  1020,  racine  de  la  dernière  somme 
io4o4o<>,  on  aura  4Go(ji  et  4^1021,  qui  sont  les  deux  nombres  plus 
prochains  qui  composent  2  027()5i  281.  Ce  sont  aussi  les  seuls,  pourcc 
que  l'un  et  l'autre  sont  premiers. 

Si  l'on  alloit  par  la  voie  ordinaire,  pour  trouver  la  composition  d'un 
tel  nombre,  au  lieu  de  onze  additions,  il  eut  fallu  diviser  par  tous  les 
nombres  depuis  7  jusqu'à  41021. 

Plusieurs  abrégés  se  peuvent  trouver,  comme  lorsqu'on  ne  fait 
qu'une  additiou  au  lieu  de  dix,  aux  endroits  où  les  sommes  ont  leurs 
finales  quarrées,  quand  les  compositeurs  sont  beaucoup  éloignés  l'un 
de  l'autre. 


LVIIl. 
FERMAT  A  <  SAINT-MARTIN  >('). 

DIMANCHE    31    MAI     lGfj3. 

(C,  f  9v".) 

1.   Donner  le  sixième  triangle  qui  a  i unilè  pour  différence  de  ses  deux 
petits  côtés. 

(')  Fragment  incdil  d'uno  lettre  perdue.  Il  porte  comme  litre,  dans  le  manuscrit  : 
«  E.vlrnicl  d'une  Ira  du  îi  ma/  iG'iî  à  M.  DF.  »,  co  qui  indiquerait  Frcnicle  comme  le 
destinataire.  Mais,  si  l'on  compare  la  Lettre  L  de  Frenicle  à  Fermât,  il  est  très  impro- 
bable que  le  premier  ait  proposé  au  second  deux  questions  dont  il  lui  avait  auparavant 
donné  une  solution.  Il  est  établi  d'autre  part,  par  les  lettres  suivantes  (LIX  et  LX),  que 
les  questions  énoncées  par  Fermai  dans  la  présente  (3)  étaient  projiosées  à  S'-Marlin  et  à 
Frenicle.  Le  destinataire  elTectif  fut  donc  plutôt  S'-Martin  et  la  confusion  s'explique  d'ail- 
leurs facilement. 


LVIII.  -   31    MAI    16V3.  250 

Donner  le  second  triangle  qui  a  pour  différence  de  ses  deux  petits 
côtés  7. 

Pour  la  première  question,  le  premier  triangle  qui  a  pour  cliiïércnce 
de  ses  deux  côtés  l'unité,  lequel  est  :  3,  4,  5,  donne  aisément  tous  les 
autres  par  ordre,  et  voici  comme  je  procède  : 

Du  double  de  la  somme  de  tous  les  trois  côtés,  ôtez-en  séparément 
les  deux  petits  côtés,  et  ajoutez-y  le  plus  grand  côté,  vous  aurez  le 
second  triangle,  lequel  par  la  même  règle  donnera  le  troisième,  celui- 
là  le  quatrième,  etc.  à  l'intini. 

Pour  avoir  donc  le  second,  prenez  le  double  de  la  somme  des  trois 
côtés  du  premier,  qui  est  i'\  ;  ôtez-en  séparément  les  deux  petits  côtés, 
restera  20  et  21,  et  ajoutez  à  24  le  grand  côté,  viendra  29.  Nous  aurons 
donc  pour  le  second  triangle  :  20,  21,  29;  le  troisième  sera  :  i  k),  120. 
i()Q,  et  le  sixième  :  2.3  GGo,  23GGi,  33  4Gi. 

2.  La  seconde  question  a  la  pareille  solution  :  il  y  a  deux  triangles 
fondamentaux  qui  ont  7  pour  différence  de  leurs  petits  côtés,  savoir 
.^,  12,  i3,  et8,  ij,  17.  De  chacun  de  ceux-là  se  forment  tous  les  autres 
à  l'inlini  par  la  méthode  précédente. 

Par  exemple,  le  double  de  5,  12,  i3  est  Go;  ôtez-en  séparément  les 
deux  petits  côtés,  5  et  12,  restera  48  et  55;  ajoutez  à  Go  le  plus  grand 
côté,  viendra  73.  Donc  nous  aurons  pour  le  premier  triangle  :  ,48, 
55,  -3. 

Do  même  8,  i5,  17  donnera  G5,  72,  97.  Etc.  à  l'infini. 

Je  sais  bien  qu'on  pourroit  réduire  ces  questions  à  trouver  combien 
de  fois  et  l'unité  et  7  sont  la  différence  d'un  quarré  et  d'un  double 
quarré;  mais  il  faudroit  en  ce  cas  deux  opérations,  et  il  me  semble 
plus  commode  d'en  user  d'une  seule. 

3.  Je  vous  propose (')  : 

I"  Trouver  un  triangle  rectangle  duquel  le  plus  grand  côté  soit  un 
quarré  et  la  somme  des  deux  ou  trois  autres  soit  quarrée. 

(')  f^oir  pour  CCS  questions  :  i°  l'Observation  XLIV  sur  Diophanlc;  2"  l'Observa- 
tion XXIII;  3°  les  LeUres  LIX,  2,  cl  LX,  2. 


■H'A)  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

■2°   T/oiaer  qualre  triangles  de  même  aire. 

.'>"  Un  triangle  duquel  l'aire,  ajoutée  au  rjuarrc  de  la  somme  des  deux 
petits  côtés,  fasse  un  quarré. 


LIX. 

FERMAT  A  MERSENNE  ('). 
<  AOUT  l()i3  > 

(A,  f'  3-;-3K;  B,  f-  22i>"  r.  ) 

.Mon  RÉVKnnxi)  Pkkk, 

1.  Vous  m'écrivez  que  la  proposition  do  mes  questions  impos- 
sil)les(-)  a  fàclié  et  refroidi  MM.  de  Saint-Martin  et  Frenicio,  et  que 
(;'a  été  le  sujet  qui  m'a  rompu  feur  communication.  J'ai  pourtant  it 
leur  représenter  que  tout  ce  qui  paroft  impossible  d'abord  ne  l'est  pas 
pourtant,  et  qu'il  y  a  beaucoup  de  proldi'mes  desquels,  comme  a  dit 
autrefois   Arcbimède,  où/.   îOaéOooa  tw   TtpcÔTw    çav£\rra  /povoj  rr]v 

Vous  vous  étonnerez  bien  davantage  si  je  vous  dis  de  plus  que  toutes' 
les  questions  que  je  leur  ai  proposées  sont  possibte^s  et  que  j'ai  décou- 
vert leur  solution.  Ce  n'est  pas  qu'elles  ne  soient  très  malaisées  et  que, 
pour  les  soudrc,  il  ne  faille  faire  quelque  démarche  au  delà  du  Dio- 
phante  et  des  Anciens  et  Modernes.  Mais,  comme  toutes  les  inventions 
n'arrivent  pas  et  ne  se  produisent  pas  en  même  temps,  celle-ci  est  du 
nombre  de  celles  dont  la  méthode  n'est  pas  dans  les  Livres  et  que  je 
puis  attribuer  au  bonheur  de  ma  recherche. 

2.  Et,  afin  que  je  ne  vous  tienne  pas  plus  longuement  en  suspens, 

(')  Lettre  inédite,  dont  la  date  approximative  est  indiquée  par  celle  de  la  suivante. 

(2)  Les  questions  de  la  Lettre  LVIII,  3. 

(3)  Préaniijule  du  Traité  De  tincis  spiralilnis.  Fermât  a  cité  de  mémoire;  dans  le  texte 
d'Arcliimède,  au  lieu  de  t'λ  npoiioi.  on  lit  h  àp/î. 


MX.  -    VOUT    lGi;î.  2CI 

j'ai  résolu  toutes  los  (|uestions  que  j'ai  proposées  à  ces  Messieurs,  doiil 
je  ne  vouseotcrai  maintenant  qu'un  exemple,  pour  leiiroler  seulemenl 
la  mauvaise  impression  qu'ils  avoient  conçue  contre  moi,  comme  leur 
ayant  proposé  un  amusement  et  un  travail  inutile,  h'  choisirai  pour 
mon  exemple  une  des  plus  belles  propositions  que  je  leur  ai  faites  ('  )  : 

Trouver  un  triangle  duquel  le  plus  grand  côté  soit  quarrc,  et  la  soinnir 
des  deux  autres  soit  aussi  quarrée. 

Voici  le  Iriani^le  : 

'1687298610289,     .'1  565  .'186027  761,     1061  652  293  520. 

3.  S'ils  veulent  la  solution  de  quelqu'une  des  autres  questions,  je  la 
leur  envolerai  dès  qu'ils  voudront;  ils  n'ont  (|u'à  me  marquer  celle  on 
celles  qu'ils  désirent. 

Il  iaut  proposer  les  autres  à  soudre  à  (;eux  qui  disent  (comme  M.  de 
C.arcavi  m'a  écrit)  que  j'ai  trouvé  ma  métliode  de  ma.rima  et  miitiniu 
par  hazard.  Car  peut-être  ne  croiront-ils  pas  que  j'aie  trouvé  ces  (|ues- 
tions  à  tâtons  et  par  rencontre.  iM.  Hardy  est  un  de  ccux-li». 

Vous  m'obligerez  de  saluer  M.  de  Saint-.Martin  de  ma  part.  Peul-èlre 
(jue,  pour  l'amour  de  lui,  je  mettrai  par  écrit  mes  inventions  sur  Dio- 
pliante,  où  j'ai  découvert  plus  queje  ne  m'étois  jamais  promis.  La  mé- 
tliod(!  pour  soudre  les  questions  que  je  lui  ai  proposées  est  un  échan- 
tillon de  mon  travail. 

Je  serai  bien  aise  que  M.  de  Freniclc  souiïre  le  renoucment  ^\v 
notre  commerce. 

4.  M.  (le  Carcavi  vous  fera  part  de  quelques  nombres  sous-multiples 
que  je  lui  ai  envoyés  (-). 

j'en  ai  trouvé  quantité  d'autres  et  la  méthode  générale  pour  trouver 
tous  les  possibles. 

5.  N'oubliez  pas  de  presser  M.  de  La  Chambre  ( ')  et  de  le  faire  agii' 

(')  Comparer  l'Observalion  XLIV  sur  Dioplianlc. 

(2)  rojVLeUrc  LUI,  2. 

(»)  Cp.  Lettres  LL  1  el  6;  LU,  2;  LIV,  6. 


202  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

d(!  la  bonne  façon.  S'il  me  considère,  comme  il  fait  semblant,  celte 
petite  affaire  vaut  faite. 

Je  suis,  mon  Révérend  Père,  votre  etc. 

Fermât. 

6.  Le  théorème  que  vous  m'avez  proposé  de  la  part  du  géomi^tre  de 
("hâlons  ('),  marque  qu'il  n'a  pas  fait  grand  progrès  en  l'Algèbre,  car 
les  plus  médiocres  ne  peuvent  pas  douter  que  ce  théorème  ne  soit  gé- 
néralement vrai. 

Si  MM.  de  Saint-Martin  et  de  Frenicle  veulent  renouer  le  commerce 
des  lettres,  nous  vous  ferons  voir  des  choses  nouvelles  et  qu'il  ne  faut 
pas  chercher  dans  les  Livres. 

Si  M.  de  La  Chambre  n'agit  pas  bientôt  et  avec  affection,  je  songerai 
à  ne  l'employer  plus. 


LX. 
FERMAT  A  MERSENNE  ('). 

MARDI    !'•'■    SEPTEMBRK    1C4-3. 

(A,  f°  3i;  B,  t'27  ter.) 

Mon  Révérend  Père, 

i-  J'ai  vu,  par  la  lettre  de  M.  de  Saint-Marlin,  que  mes  questions 
lui  ont  paru  impossibles  (')  et  à  M.  Frenicle  aussi. 

C'est  une  marque  infaillible  de  la  dilTiculté  qu'ils  y  ont  trouvée  ; 
pourtant,  non  seulement  elles  sont  toutes  faisables,  mais  j'en  ai  décou- 
vert la  solution  et,  afin  qu'ils  n'en  doutent  pas,  j'ajouterai  à  la  solution 

(')  Nous  n'avons  trouvé  aucune  indication  sur  ce  géomètre,  ni  sur  son  problème. 

(')  Lettre  inédite. 

(')  roir  LeUres  LVIU,  3,  et  LIX,  1. 


L\.  -  1"  SEPTEMBRE  1G43.  '203 

de  la  question  que  je  vous  envoyai  dernièrement  ('),  qui  étoit  : 

Trouver  un  triangle  dont  le  plus  grand  côté  soit  quatre,  et  la  somme 
des  deux  autres  soit  aussi  quarrée, 

celle  de  la  suivante,  qu'ils  ont  tout  de  môme  jugée  impossible  : 

2.  Trouver  un  ttiangle  duquel  l'aire  ajoutée  au  quarré  de  la  somme 
des  deux  petits  côtés  fasse  un  quarré. 

Voici  le  triangle  : 

205769,     190  2S1,    783-20. 

3.  La  troisième  étoit  : 

Trouver  quatre  triangles  de  même  aire. 

Mais,  pource  que  M.  de  Saint-Martin  m'écrit  qu'il  espère  de  venir  ii 
bout  de  celle-là,  je  ne  vous  donnerai  point  la  solution  présentement, 
seulement  vous  dirai-jc  qu'après  qu'il  en  aura  trouvé  quatre,  je  lui  en 
ferai  voir  cinq  et,  s'il  m'invite,  une  méthode  générale  pour  trouver 
autant  de  triangles  qu'on  voudra  de  même  aire;  ce  qui  vous  fera  peut- 
être  étonner  de  ce  que  Diophantc  et  Viète  (■)  n'ont  proposé  ni  fait  la 
question  qu'en  trois  seulement. 

Si  M.  de  Saint-Martin  ne  m'écrivoit  qu'il  est  allé  faire  un  voyage,  je 
lui  récrirois  sans  remise.  Vous  m'obligerez  de  m'apprendre  quand  il 
sera  de  retour,  afin  que  je  satisfasse  à  mon  devoir,  et  cependant  je 
vous  prierai  de  lui  faire  voir  cette  lettre  avec  ma  précédente  ('),  afin 
qu'il  connoisse  que  je  ne  lui  ai  rien  proposé  dont  je  ne  sois  venu  à 
bout. 

Je  serai  bien  aise  que  M.  Freniclc  voie  ces  miennes  solutions,  de 

quoi  je   me  confie  à  vous   et  suis  toujours,  mon    Révérend  Père, 

votre  etc. 

Fermât. 

A  Toulouse,  i  septembre  i643. 

4.  Je  n'ai  pas  bien   compris  le  théorème  de  Torricelli  en  votre 

(')  ;^ot>  LeUre  LIX,  2. 

(')  DiopliaïUo,  Aritliméliqucs,  V,  8;  Viète,  Zeletic,  IV,  11. 

(3)  La  Lettre  LL\. 


■26k  (EOVKKS   DE  FEIIMAT.  -  COHUESPONDANCE. 

l.cUrc  (');  vous  m'obligerez  de  l'étendre  un  pou  plus  cl  de  faire  bien 
la  figun». 

(')  Torricclli  nvail  coinimini(|iié  en  i()13  au  T.  Niccroii  un  ecilain  nombre  de  proposi- 
lious  (pi'il  lit  ijnpiimci'  l'aiiiii'e  suivanlo  dans  ses  Opéra  gcimielrUa.  La  plus  remarquable 
l'.oiiccrnail  le  volume  de  révolulioii  eugendré  par  une  hyperbole  éipiilaliM'c  lournanl  autour 
(le  son  asymptote;  Torricolli  énoueait  que  ce  volume,  à  |)artir  d'une  ordonnée  déterminée, 
est  fini.  Dans  une  lettre  adressée  par  Mcrsenne  à  Torricelli  le  23  décembre  i643  (Disce- 
/loli  di  Cdiilco,  t"  XLI,  1°  9  r°  ),  et  publiée  dans  le  liullctiiiio  Iloiicompngni,  VIII,  p.  420, 
un  lil  : 

r'  (Marissimiis  i;eometra  Scnalor  Tliolosanus  Fermatius  libi  per  me  sequens  problema 
solvendum  |)roponil,  quod  tuo  de  conoidc  acuto  infinité  icquivaleat  : 

»  Invoniro  Iriangulum  reclangulutn  in  numeris,  cujus  latus  majus  sit  (|uadratum,  summa- 
que  duorum  aliorum  etiam  sit  quadratum.  denique  summa  majoris  et  medii  lateris  sit  eliam 
ipiadralum. 

»  E\enq)li  gratia  :  in  triangulo  3,  4,  5,  oporlet  j  esse  numeruni  quadratum;  deinde 
summa  4  cl  3,  lioe  est  7,  forci  numenis  cpiadratus;  denique  summa  ■')  et  4.  Iioc  est  y,  cssel 
ipiadrata....  >' 


L\I.  -    1644.  26a 


ANNÉE   1644. 


L\l. 

FERMAT  A  CAKCAVI  (*). 

<  lOii  > 

('«•  ['•  ';^-"79-) 
MoNsiF.ur., 

1.  Je  suis  marri  de  la  porte  du  paquet  de  M.  de  Saiul-Martin.  Je  lui 
('•crivois  sur  le  sujet  des  nombres  et  lui  faisois  part  de  quehjues  propo- 
sitions et  surtout  de  la  suivante,  que  .M.  Freniclc  m'avoit  autrefois 
proposée  (-)  et  qu'il  m'avoua  tout  net  ne  savoir  point  : 

Traîner  un  triangle  rectangle,  auquel  le  quarrc  de  la  différence  des 
deu:r  moindres  cotés  surpasse  le  double  du  q narré  du  plus  petit  coté  d' un 
nombre  (juarré. 

Je  lui  avouai  aussi  pour  lors  (jue  je  n'en  savois  point  lasululion  el 
que  je  ne  voyois  pas  même  de  voie  pour  y  venir,  mais  depuis  je  l'ai 
trouvée  avec  autres  infinies.  Voici  le  triangle  (')  : 

i.")6,     loi  7,     iSaô. 

il  sert  à  la  suivante  question,  pour  laquelle  M.  Freniclc  se  melloil 
en  peine  de  ce  préalable  : 

Tromer  un  triangle  rectangle,  duquel  le  plus  grand  côté  soit  quarré  et 
le  plus  petit  diffère  d'un  quarré  de  chacun  des  deux  autres. 

{ '  )  l-a  (laie  de  ceUe  Ixllrc  est  présumée  d'après  celle  de  l'édilioii  dcTliéoii  de  Smyriie. 
donnée  par  Boulliaii. 

(-)  Voir  Lettre  1.,  8.  —  On  peut  constater  la  perle  de  deux  Lettres  échangées  entre 
Fermai  et  Freniele  à  la  suite  de  eette  Lettre  L. 

(')  Cp.  l'Observation  XLIV  sur  Diophante. 

Ikrmvt.  —  U.  3i| 


26G  ŒCVHES   \)K   FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

Si  vous  jugez  à  [)roj)Os  de  l'aire  part  de  celle  proposilion  à  mon  dit 
Sieur  de  Saint-Martin,  je  m'en  remets  à  vous;  je  ne  resterai  pas  de  lui 
récrir(>  par  la  première  voie. 

2.  J'ai  donné  à  Monsieur  l'Archevêque  (')  un  petit  mémoire  de  cor- 
rections sur  le  Theon  Sfnyr/ia'us,  que  je  crois  qu'il  envolera  à  l'auteur 
avec  le  manusci'it  de  l'Astronomie  (- ).  Je  serai  ravi  que  cette  occasion 
me  serve  à  élr(>  connu  de  ]\f.  Boulliau,  de  qui  le  mérite,  étant  connu 
il  (ont  le  monde,  m'a  élé  pleinement  conlirmé  par  ce  nouveau  travail 
sui' le  Tliéon,  où  j'ai  parliculii'rement  admiré  la  correction  du  décret 
de  Timothée,  qui  ne  pouvoit  être  due  qu'à  une  main  de  cette  im|)or- 
larice. 

.le  suis  etc. 


I  I)  (Charles  de  MniiU-liiil,  ni'cliovOi|iio  lie  Toulouse.  —  ['oui-  les  eorrcelious  pro|)osocs 
|ii\r  l'"orinat  au  Icxto  cililé  par  Boulliau,  vnir  Tome  1,  Appondicp,  VIII,  paiics  373-37G. 

(')  Dans  les  prolégomènes  de  son  J^trononila  p/a'lolaka  (ifi^ii),  p.  20,  Boulliau  dit  on 
circt  avoir  entre  les  mains  ce  manuscrit  do  la  seconde  partie  do  l'ouvrage  de  Tliéon,  que 
.Monlclial  avait  mis  à  sa  disposition;  mais  il  ne  le  publia  pas.  Ce  manuscrit,  entré  vers 
1-1)0  à  la  Bibliotlièquc  Itûyalo  (fonds  grec  n"  1821),  ne  fut  utilisé  qu'en  1SI9  par  Th. -II. 
Martin  :  Theoni.i  Sinyriiœi  Pliiloiiici  lilicr  de  .Istrunoiiiui. 


LXIl.  -   IGVG.  207 


ANNÉE    1646, 


lAlI. 

FERMAT  A  GASSENDI  ('). 

<   JGVC?  > 

(  l'a,  p.  501- 20 '|.) 

1.   l'romuUiavit  Galiiciis  niotum  unifonuilor  acceleralum  ossc-  ciiin 


('  )  Celle  pii-cc  a  été  iinprimco  cii  premier  lieu  dons  l'édi lion  de  Lyon  (iG58)  des  Œuvres 
de  Gassendi,  l.  VI,  ]ip.  54i-5.'i3,  ainsi  que  le  mcnlionnc  an  rcslc  la  noie  snivanle  des 
Faria  : 

«  Ila.'c  epislola  Ty|)is  ediia  fuil  lonio  G  Opcnim  Gassendi  iiiler  cpislolas  ad  eiim  scri- 
plas.   1) 

Kllc  porlc  comme  inlilulé  dans  les  f'arin  : 

"  Vire  Clarissimo  Dom.  Gasseiido  l'elrus  de  Fermai  S.  P.  —  Do  proportiono  ([iiâ  graxi.i 
decidcntia  acceleranUir.  » 

Elle  est  snivic  dans  les  f'arin,  p.  ao4,  de  la  |)ièce  suivante  : 

«  Lcllrc  lie  Monsieur  Gassendi  à  Mnusieur  de"" 

1)  Monsieur, 

"  Il  y  a  déjà  quelque  temps  que  Monsieur  le  Président  do  DonneviUe,  s'clanl  donne  la 
»  peine  de  me  venir  voir,  me  laissa  un  écrit  de  Monsieur  de  Format  touchant  l'accroissc- 
u  ment  de  vitesse  qui  esl  en  la  eheulc  des  corjis,  cl  parce  ipic  je  n"ay  point  eu  l'iiouneui" 
u  de  le  revoir  depuis,  et  que  je  ne  sçay  point  son  logis  pour  le  luy  jiouvoir  rendre,  etquo 
'I  d'ailleurs  il  me  semble  qu'il  me  dit  en  passant  (pi'il  avoil  charge  de  vous  le  remettre 
»  après  qu'il  me  l'auroit  monstre,  je  me  suis  advisé  de  vous  l'envoyer  sans  plus  altondrc. 
»  avec  les  1res  humbles  remerciemcns  que  je  dois  à  mondil  sieur  do  Format  de  la  bonté 
>•  qu'il  a  elie  de  m'en  donner  la  conmuinicalion.  Il  scroil  superflu  de  vous  dire  combien 


:2C8  ŒUVRES   DE  FERMAT.—  CORRESPONDANCE. 

qui,  a  quieto  rccodens,  tcmporibus  aequalibus  a'qualia  coleritatis  mo- 
iiiciita  sihi  supcraddit  ('). 

Imiim  vero  qui  jcqualiltus  spatiis  «qualia  celeritatis  momcnta  silii 
superaddil,  adeo  non  convenire  motui  gravium  descendcntium  airir- 
riiat  iil,  ex  00  supposito,  mnUim  iii  iiistanli  fiori  doducat  et,  ut  sihi 
persuasit,  facillime  demonstret. 

Sed  concedatur,  si  placet,  viro  porspicaci  et  Lync«o  indemoustrata 
conclusio,  dummodo  sit  vera.  Dcmonstrationcm  enim  dum  primo  sta- 

liin  ohtulu 

Aut  videt,  aiil  vidisso  piilnl  per  niibila  {^), 

uiiiil  iiiirum  si  loctoribus  minus  utiquc  LyiicaMs  parum  vidcalur  satis- 
fVcisse. 

Ut  igitur  constet  suus  houor  Galileo,  neque  amplius  de  ipsius  illa- 
(ione  ambigatur,  aut  ralionibus  tantiim  probabilibus  disputetur,  pru- 
posilionem  ipsam  more  Archimedeo  hic  demoustratam  babebis. 

2.  Si  quotlibel  rcclœ,  ad  unum  punctum  concurrentes,  exponnntitr  in 
conlinua  proportionc,  carum  inlermtla  eriint  in  cadem  ratione. 

»  j'en  suis  satisfait,  puisque  comme  vous  sçavcs  mieux  que  tout  autre  rien  ne  peut  partir 
Il  d'ime  telle  main  (]ui  ne  soit  parlait  en  tout  point.  Je  suis,  etc.  u 

D'autre  part,  les  raria  (page  vi  non  numérotée)  reproduisent  la  mention  iionorifirpic 
suivante  ; 

(I  Samuel  Sorl/erius  in  prœjatioiic  Opcrum  Gassendi. 

»  Potrum  Fermatium  lam  longo  intcrvallo  Vietam,  Diopliantum  et  Pylliagoreos  omncs 
u  post  se  relinquentem.  » 

Cette  mention  se  trouve  effectivement  page  3G  (non  numérotée)  do  la  Notice  de  Sor- 
liière. 

La  présente  lettre  n'est  pas  datée;  mais  on  peut  la  rapporter  vraisemblabicment  ;'i 
l'année  164G;  c'est  la  date  de  l'ouvrage  in-4  de  Gassendi  :  De  proportionc  qua  grt/fia  diii- 
dcntiii  accdcranlur  Epislolœ  III  quihiis  respondetiir  tid  cpisto/as  Pétri  Cnzrœi  (  OEinTes, 
lome  111,  p.  564  ).  Fermât  fera  allusion  dans  les  u"'  LXXXIl  et  LXXXIIl  à  la  même  ques- 
tion. 

(')  C'est  la  définition  qu'on  trouve  commentée  dans  la  Giornata  tcrza  des  Discorsi  <■ 
dimostrazioin  malenialiche  intorno  a  due  nuovc  Scicnze  nttcitenli  alla  incccanica  et  ino- 
viinenti  loeali.  Leyde,  iG38,  4°i  P-  '58.  (Cf.  Opère  di  Galileo  Galilei,  éd.  Albcri,  tome  ,XI1I, 
p.  i55.) 

(  -j  Virgile,  Enéide,  VI,  V)^. 


LXII.  -    I6i6.  -M) 

Vorhi  gralia,  siiit  rccla»  {J^o-  79)  AF,  BF,  CF,  DF,  EF,  otc.  in  coiili- 


Kig.  71). 
n  r  n 


lUKi  proportione,  eruni  iiilervalla  ipsarum,  AB,  BC,  CD,  DE,  in  cailcni 

rationc. 

Est  enim 

ni  lola  AF  ad  lotam  BF, 

ila  al)lata  BF  a  priore  ad  CF  ablalaiii  a  poslerioro. 
Ers!0 

ila  reliqna  AB  ail  reliquam  BC  ul  lola  ad  tolani,  lioc  csl,  ut  AF  ad  BF, 

et  sic  de  cœtcris. 

Eailcni  raliono  dcmonstrabimus 

Ul  AF  ad  CF,       ila  esse  AB  ad  Cl), 
ni  BF  ad  DF,       ila  esse  I5C  ad  DF, 

3.  Si  inlelligaliir  motus  a  puncto  F  (fig.  8o)  versus  punriiim  A  eo/i- 
tinue  accelcralus  sccundutn  ralioncm  dccursorwn  spaliorum,  et  erpo- 

V\'i.  8o. 
B  C  D        E 


It    M     N           0   V  X 
Z 


nanlur  quollihct  continue proporlionales  ut  AF,  BF,  <^  CF,  DF,  >  \\V,  de. , 
tcmpus  in  quo  mobile percurrct  spatium  DIÎ  erit  œqualc  tempon  in  quo  ulciii 
molnle percurrct  spatium  DC  ;  dcnique spatia  omnia  VS),  D(^  CB  codcm  tcin- 
pore  singula  percurrcntur . 

4.  Dcmonstrabimus /;/7>/îo  spatia  CB,  BA  coilcni  tcmporc  in  siippd- 
sito  motii  porcnrri. 

Si  oniin  dwapus  per  AB  non  est  œqualc  lempori  per  BC,  cril  vd  tna- 
jns  vol  minus. 


270  Π U  V  I{  E  S  DE  F  E  II  M  AT.  -  C  0  IU{  E  S  i>  0  N  D  A  N  C  M. 

Sil  primum  majus,  si  Hcri  potest.  Krgo 

Icmptis  pcr  AB  est  ad  tcmpus  pcr  \iC 
ul  aliqua  rccla  major  ipsà  BF  ad  ipsaiii  BF. 

Sit  roda  illa  Z  :  orgo  est 

ul  lciiii)us  per  AB  ad  lompiis  pcr  B(;,       ila  rccla  Z  ad  rcclam  BF. 

Siiiiiaiidir  intcr  rodas  AF,  BF,  lot  niodia}  iii  continua  proportiono, 
ni  RF,  MF,  NF,  doncc  minor  ex  ijisis,  ut  NF,  sit  minor  quain  rocta  Z  : 
quod  quidom  nocessario  cventurum,  vel  ex  sola  medi;e  invonliono 
ojusquc  itorata,  quoties  opus  fucrit,  opcrationo,  quis  non  vidcl? 

lîrunt  orgo  continuio  proporli(uiales  roctse  AV,  RF,  MF,  NF,  BF  ; 
cil  ni  autom  sit 

ut  AF  ad  BF,       ita  l!F  ad  CF,       cl  ila  AB  ail   lîC, 

crgo  potorit  conlinnari  proporti(t  su!)  eodcni  nunicro  Icnninoruni,  ut 
sint  etiam  proportionales  BF,  OF,  VF,  XF,  CF,  idcjuo  in  oadoin  supo- 
rionim  rationo. 

Mis  ita  [)0sitis  et  constructis,  considcrcnlur  et  coniparciUnr  singnla 
s|)atia  AR,  RM,  MN,  NB  singulis  spaliis  BO,  0\,  VX,  XC,  singnla  ncnipc 
singulis,  hoc  est,  spalium  AR  spatio  BO. 

Si  igitur  pcr  spatium  AR  fuorit  motus  nniformis  juxla  graduni  vclo- 
cilalis  in  puncio  R  acquisitum,  <[  et  pcr  spatium  BO  moins  nniformis 
juxla  gradum  volocitalis  in  puncto  B  acquisitum  ]>, 

lompus  per  AR  ad  lem[Mis  pcr  BO  couipoiicrclur 
e\  ralioiic  spalii  AU  ad  spalium  150 
et  (vicissim)  ex  ratiorie  vclocilalis  per  B  ad  velocilalcm  pcr  H  : 

(]uod  notissimnm  est  et  Galilcus  ipso  dcmonsiravit,  proposiliono  quinlà 
Trarlaliis  de  moin  cpquahili  ('  ). 

At 

ut  spalium  AB  ad  spatium  BO,  ila, 

(  '  )  «  Si  duo  mobilia  opquabili  motii  fcranliir,  sint  larncn  vclocilales  inacqualcs  cl  iiuT- 
(jiiiilia  spBlia  poracta,  ratio  tomporum  cnniposita  erit  c\  ralionc  spaliormn,  et  ex  ralionc 
vciocilaliim  contrarie  sumplaruni.  o  (  Dixcorsi  e  diinosirazioin  malcmatirlic,  Levde,  i6!>8, 
p.  l'j^;  Opère  di  Cati/co  Cnlilci,  éd.  Allièri,  t.  Xlll,  p.  i52.) 


LXII.  -    IG'jG.  271 

por  priinam  proposilionein, 

recta  AF  ad  icclani  15F, 

et 

til  velocilas  pcr  D  ail  volocilatern  per  It,   ila, 

ox  supposUa  iiiolùs  accclerali  juxia  s|)alia  docursa  dcliiiitioiic, 

roda  I>F  ad  rcclain  lU"; 
crgo  tcmpus  por  AR,  lioc  casii,  ad  Icinpus  pcr  BO  coniponorotnr 

ex  ratioiic  AF  atl  lîF  cl  ex  rationc  I5F  ad  RF; 
cssol  igidir 

leiiipiis  pcr  AH  ad  leinpiis  pci"  150  ul  recla  AF  ad  icclam  HF. 

Dcindo,  si  per  spatium  RM  fiorot  moins  uiiifoniiis  jiixta  gradniu 
velocitalis  <]  iii  puiiclo  M  acquisitiim,  cl  per  spatium  OV  niodis  iini- 
formis  jiixta  gradiim  velocilatis  >  iii  <|punct()>  0  acquisiluni . 
càdoin  ralioiio  prol)al)itiir 

leiiiptis  pcr  Ml!  ad  Icmpiis  per  OV  esse  ul  recla  RF  ad  rcclam  MF. 

Simililor,  coiisidorando  voloci(alos  puuclorum  N  et  V,  oril 

lenipiis  [icr  MN  ad  lenii)ns  per  VX  ul  MF  ad  NF. 

Dcuique,  considerando  veioeilales  punctorum  13  et  X  in  ullimis  s|ia- 

liis,  erit 

tcmpus  pcr  NO  ad  tcin]His  pcr  \C.  ut  NF  ad  l'.F. 

Sed  oniiies  cjusmodi  rationes,  nempc  AF  ad  RF,  RF  ad  MF,  MF  ad 
NF,  NF  ad  RF,  ex  constructioiie  sunt  eiedem  :  ergo 

tcmpus  ouuiium  inotuum  pcr  tolam  AH 
ad  lempus  oniuium  motuum  pcr  totam  Iî(] 

in  iilrisquo  spatiis  ita  ut  diximns  considcratorum 

est  ut  recta  AF  ad  UF,     sive  NF  ad  BF. 

Sed  tcmpus  moti^is  accclerati  [ter  AR  est  minus  tempore  mollis  pcr 
AR  uniformis  juxla  velocitatem  in  R  :  cîiiu  enim  a  puncto  R  uscjiic  ad 
punctum  A  perpeluo,  ex  hypothesi,  velocilas  crcscat,  ergo  a  punclo  R 
ad  punctum  A  cilius  per  motuni  accelcralum  pervenitur  quàm  si  v(d(i- 


27-2  G2UVRES   I)K  FKUMAT.  -   CO KRESPONl) ANCI-:. 

«•itas  acquisita  in  R  cail(Mii  ot  miil'ormis  iisqiic  ad  punctum  A  porscvt'- 
raii'l. 

Kadcm  rationo  probahitur  lempiis  mcilùs  accclcrati  per  RM  ossc 
inimis  tomporc  iiiolùs  uiiiformis  por  RM,  si  vclocitas  ipsiiis  iiltiiiK» 
ipsiiis  spatii  M  pimclo  rcspondeat. 

Oeniquo  constat  nintiim  por  fotani  AB  acccloratum,  ut  tict  liypo- 
Ihcsis,  minori  tcniporo  ficri  quàm  motum  alinin  ficlilium  ox  motilnis 
iiniforniihus,  jiixla  vclocitaLes  ultimis  spaliorum  AR,  RM,  MN,  NR 
punctis  respondontcs,  coiripositiini. 

Af  oontra  tcmpiis  motùs  accclorati  pcr  BO  est  majiis  tomporc  niolùs 
iiniformis  per  BO,  considerali  juxta  volocitatom  puncti  B,  quia  vclo- 
citas a  puncto  B  ad  0  sempor  croscit  in  niolu  acccicralo,  juxta  liypo- 
thosin,  ot  ininor  scmper  est  velocitalo  qu«  rospondct  pnnclo  B. 

Undc  pari  raliocinio  concludetur  motum  pcr  tolain  BC  acccloratum, 
ut  fict  livpothcsis,  majori  tomporc  fîcri  qnàm  nioluni  illnm  tictitium  ox 
niotibus  uniformihus,  juxta  volocilalos  primis  spatiornni  BO.  OV,  YX, 
XC  punctis  rospondontos,  compositum. 

Ciim  orgo  tcmpiis  motùs  accclorati  por  AB  sit  minus  tomporc  motùs 
illius  tictitii  poroamdom  AB,  et  contra  tcmpus  motùs  accelcrati  por  B(] 
sit  majus  tomporc  motùs  illius  fictitii  per  camdom  BC,  crgo 

ininor  est  ratio  temporis  moins  accelcrati  pei-  AB 
ad  tempos  motùs  accclorati  per  BC 
quùm  temporis  molûs  ficlilii  per  Alt 
ad  lenipus  moliis  lictilii  per  H(>; 
sed, 

m  tempus  motfis  accelerali  per  AB  ad  lenipus  moins  uccelerali  per  \W,, 
lia  posuimus  esse  rectani  Z  ad  rectam  BF, 

ot 

ut  tempus  molùs  ficlilii  pcr  AB  ad  tempos  niolùs  ficlilii  pcr  BC, 

lia  dcmonslravimus  esse  NF  ad  BF  : 
orgo 

minor  est  ratio  recla"  Z  atl  rectam  BF  cpiàni  recta;  NF  ad  eanidcni   BF, 
(jucd  est  absurdum,  cùm  recta  Z  sit  major  rectà  NF. 


L\II.   -   IGVC.  273 

Krgo  lempus  niotùs  accclerati  por  AB  non  est  majiis  (cmpore  motùs 
accelerafi  pcr  BC. 

Eàdom  facililate  prohabinuis  lempus  niolùs  per  AB  accelerati  non 
esse  minus  temporc  motùs  accelerati  per  BC. 

Sit  enim  minus,  si  fieri  potest  :  erit  igitur 

m  lempus  molûs  per  AB  accelerati  ad  lempus  molùs  accelerati  pcr  B(", 
ila  recla  niinor  ipsà  BF  ad  ipsam  I$F. 

Ksto  itaque  recta  iila,  niinor  quàm  BF,  G  et  sit 

lempus  molûs  accelerati  per  AB  ad  lempus  molûs  accelerati  per  BC 
ul  G  ad  rectam  BF, 

et  inter  rectas  BF,  CF  exponatur  continue  proportionalium  séries 
quarum  maxima  OF  sit  major  quàm  G.  Eodem  quo  usi  sumus,  in 
superiori  demonslrationis  parte,  ratiocinio,  conferendo  spatia  in  ipsà 
AB  inter  similes  proportionales  intercepta  cum  spatiis  BO,  OV,  VX, 
XC,  mutemus  solummodo  velocitates  uniformes  et  fingamus,  verhi 
gratia,  motum  per  AR  uniformcm  iieri  juxta  gradurn  velocitatis  in 
j)uncto  A  acquisitae;  motum  vero  uniformem  per  BO  tieri  juxta  velo- 
citatem  acquisitam  in  puncto  0;  et  sic  in  reliquis  spatiis,  in  quil)us 
patet  omnes  velocitates  per  AB  uniformes  augeri,  velocitates  vero  per 
BC  uniformes  minui,  contra  id  quod  in  priore  demonslrationis  parle 
fuerat  usurpatum. 

(^oncludelur,  ut  supra, 

lempus  molùs  iuijusmodi  uniformis  por  AU 
ad  lempus  molûs  uniformis  per  liO 
esse  ul  recla  BF  ad  reclam  AF  : 

duin  enim  augentur  velocitates,  tempora  motuum  miniiunUir. 
Siiuiliter 

lempus  molûs  uniformis  per  BM  ad  lempus  molûs  uniformis  per  0\ 

eril  ul  MF  ad  MB. 

l'tnMAT.    —    11.  >*•* 


■m  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

Dcnique 

tempus  motùs  fictilii  illius  per  AR  ex  uniformilius  composili 

ad  lempus  molûs  ficlilii  per  RC  ex  iiniformibus  pariler  compositi 
cril  ul  UF  ad  AF, 

cùm  omnes  rationes  sintesedem,  hoc  est,  ut  OFad  BF,  per  primam  pro- 
positionem. 

Tempus  aiilein  motùs  accélérât!  per  AB  est  majus  temporc  motùs 
illius  fîctitii  ex  uniformibus  compositi,  cùm  supposucrimus  iii  nio- 
tibus  uniformibus  auctas  fuisse  velocitatcs,  quœ  nimirum  in  hoc  casu 
primis  spatiorum  AR,  RM,  etc.  punctis  rcspondent;  sed  et  tompus 
motùs  accelerali  per  BC  est  minus  tempore  motùs  tîctitii  ex  unifor- 
mibus compositi,  quia  hic  velocitatcs  minuuntur  et  ultimis  spatiorum 
BO,  OV,  etc.  punctis  rcspondent  :  ergo 

major  est  ralio  lemporis  motùs  accelerali  per  <  AB 

ad  tempus  motùs  accelerati  per  >  BC 

qnàm  lemporis  motùs  fictilii  per       AR 

ad  tempus  motùs  fictilii  per       RC. 

Sed 

ut  tempus  motùs  accelerali  [)er  AR  ad  tempus  molûs  accelerati  per  RC, 
ita  est  recta  G  ad  rectam  RF, 

ex  suppositionc;  ut  autem 

tempus  motùs  fictilii  per  AR  ad  tempus  motùs  fictilii  per  WC. 
ila  recta  OF  ad  RF, 

ex  demonstratione  :  ergo 

recta  G  ad  reclam  RF  majorem  proporlionem  liai)et 
quùm  recta  OF  ad  rectam  BF, 

quod  est  absurdum,  cùm  recta  G  sit  minor  rectà  OF,  ex  conslruc- 
(ione. 

Non  ergo  tompus  motùs  accelerati  per  AB  est  minus  tempore  motùs 
accelerali  per  BC;  sed  nec  majus,  ut  supra  demonstratum  est  :  erf^o 
est  œquale. 


LXII.  -    1646.  275 

Ivulcm  rationc  patot  tcrnpus  motùs  accélérai!  per  CD  aoquari  lempori 
inolùs  accelerati  per  AB,  et  tcmpori  molùs  accélérât!  per  BC,  e(,  con- 
linuat!s,  si  placet,  in  intinitiim  rationibus,  omnia  omnino  spalia  codcin 
I  empare  percitrri. 

5.  Mis  positis,  tertiâ proposilionc  inenlem  Galilei  revelamus  aut  pro- 
positionis  voritatcm  astruimus. 

Inteliigatur  motus  gravium  descendenliuiii  a  quicle  ex  punclo  A 
{fig.  8i)  usque  ad  piinctum  H,  verbi  gralia,  et  stipponatur,  si  fier i 


Fi^'.  8i. 
G 


polest,  re/ucùatem  gravis  cadenlis  accelerari  Juxfa  ralionem  spationtin 
(tecursorum.  Ponalur  motus  jam  factus  ab  A  usquc  ad  H  lempore  unius 
miiuili  aut  altero  quovis  tempore  determinato,  et  siipponatur  motus 
contiiuiari  usque  ad  punctum  K  :  Aio  molumpir  HK//m  //;  inslanti. 

Si  eiiim  uiotus  per  HK  non  (iat  iu  iustanti,  fiet  in  tempore  aliquo 
determinato,  quod,  [ler  ali([uem  numerum  multiplicatum,  excedet 
lem[)us  in  derursu  spalii  AH  insumptum;  ponalur  numerus  multi- 
plicans  "i,  ila  ut  Icmpiis  motùs  per  HK  (jidnqaies  sumplum  excédai 
lempus  molùs  per  AH. 

Redis  KA,  HA  sumatur  terlia  proportionalis  GA  et  loties  conli- 
nuelur  proportionalium  séries,  donec  spaliorunï  iulcrccptorum  nu- 
merus excédât  numerum  5;  fiant  crgo,  ex  proportionalibus  conti- 
nuatis,  scx,  verbi  gralia,  spatia  ultra  punctum  H,  ()u;e  sint  HG,  GF, 
Kli,  KD,  DC,  CB. 

Ergo  lempus  molùs  per  HG,  per  praeccdcnlem,  est  œqualc  tcmpori 
motùs  per  HK. 

Similiter  lempus  molùs  per  GF  est  a,'quale  lempori  molùs  per  HK. 

Uenique  motus  per  totam  HB  fiet  in  tempore  quod  ad  lempus  per 
HK  eril  sexluplum  ;  a(  lempus  temporis  per  HK  quinluplum  est  majus 
tempore  motùs  per  AH  :  ergo  a  fortiori  lempus  motùs  per  HB  tempore 
molùs  per  totam  HA  est  majus.  Quod  est  absurdum. 


276  ŒUVRES   DE  1  EHMAT.  -  COIU{ESI>ON I) A NCE. 

l'j'go  vcra  romanet  Galilei  illalio  quainvis  cam  ipsc  non  dcmoM- 
strai'it. 

6.  lla'c  hrovitcr  cL  familiarilcr,  Clarissimc  Gasscndo,  scripsiiniis, 
no  tihi  in  postcruin  faccssat  ncgolium  aut  Cazr.Tus  aut  quivis  alins 
Galilei  adversariiis,  ot  in  inimeiisum  cxcrcsrani  vohimina,  qu;o  unicà 
denioiislralioiic,  vcl  l'alonlibus  ipsis  auclorii)us,  aut  dcstrucntnr  aul 
inutilia  cl  supcrdua  oIRcicnlnr.  Valc. 


LXIII.  -  JEUDI   h  JUIN   1G48.  'IT, 


ANNEE    1648. 


LXIII. 
FERMAT  A  MERSENNlî  ('). 

JEiDi  i  jui.N  lCi8. 

(15„2V».) 

\()i('i  la  construction  de  la  question  des  trois  triangles  (/uoni/a  <irc(f 
constiliiuiit  Iria  /niera  Iriangnli  rccla/igiili  /iii/zicro  (-). 

Trouvons  un  triangle  do  telle  sorte  (jue  la  somme  de  l'hypoténuse 
(•(  de  l'un  des  cotés  soit  quadruple  de  l'autre  coté. 

{'a'  qui  est  fait  ainsi.  Soit  le  dit  triangle  :. 

K      S      T 
17      i5     8 

Foriuahuiitiutria  lri(in<iula  rectan"tila  : 

o  et 

priinuin      abs      It-t-4S     et     iW —  'iS, 
sec  II  ud  II  m  a  Os  GS         et        It  —  2  S, 

lertium       abs      4S4-T     et     /|  S  — 2  T. 


(')  l'Yagmciil  de  IcUrc  inédit. 

(-)  Cp.  rOI)Scrvulion  X.KIX  sur  Dio|iliaiilc. 


■n»  (J'IJVHES  DE  FEUMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

Hoc  est  :  in  hoc  cremjdo  in  specie  formabitur  : 

primuiit  (i/is  /(()  cl  9., 
seciiiidiiDi  abs  !fi  et  i, 
Icrliiini       abs 


F.XIV. 
FKKMAT  A  SÉGUIKR  ('). 

MARDI    9    JUIN    1G'|8. 

(Bill.  nal.  fr.  1738H,  f°  74  ,■».) 

Monseigneur, 

.le  sçai  que  la  vertu  et  le  sçauoir  sout  les  seules  recommandaliuus 
qui  peuueut  obtenir  vostre  protection,  et  que  c'est  sans  cloute  auec; 
Irop  de  confiance  que  je  prcns  la  liberté  de  vous  demender  une 
içracc  (■)  (|ue  i'aduoue  n'auoir  pas  méritée.  Mais  ie  sçai  aussi,  Mon- 
seigneur, (|ue  vous  aués  assés  de  bonté  pour  conter  parmi  les  bonnes 
(|uali(és  l'inclination  de  les  acquérir.  C'est  la  seule  qui  ne  m"a  iamais 
abandonné  et  mon  ambition  a  tousiours  esté  assés  bardic  pour  me  faire 
considérer  les  belles  lettres  comme  une  conqueste  aisée  en  mesme 
lemps  que  ie  sentois  bien  et  que  l'expérience  m'a  faict  cognoistre 
qu'elle  esloit  au  dessus  de  mes  forces.  C'est  donc  a  des  mouvements 
imparfaicts  et  au  désir  seul  de  mériter  quelqu'une  de  vos  faneurs  que 
ie  vous  coniure.  Monseigneur,  d'accorder  celle  que  M.  do  la  Cbambrc 
a  voulu  prendre  le  soin  de  vous  demender  de  ma  part.  Si  ie  ne  suis  pas 

(')  Piililice  par  M.  Cliarles  Henry  (Recherches,  p.  63)  d'après  l'original  doiU  nous 
roi)roduisons  l'orthographe. 

(')  Lo  «9  août  1648  Fermai  fut  député  à  Castres  «  pour  tenir  cl  desservir  séance  do  la 
chambre  de  l'édit  avec  les  présidents  el  conseillers  de  la  religion  prétendue  réformée  » 
(  Histoire  fféiirrale  du  Lnns;iwdoc,  tome  XIV,  Toulouse  1876,  col.  îoG);  c'est  peut-être 
cette  nomination  qui  faisait  l'objet  de  la  présente  requête. 


L\V.  -  MAHDI   18  AOUT   1018.  27!) 

(•;i|)able  de  m'en  rendre  digne  a  l'aduenir,  ie  la  recognois(rai  du  moins 
par  le  respect  aiiec  lequel  ie  vous  estrc  toute  ma  nie, 

.Monseigneur, 

Vostre  très  humble,  très  obéissant 
et  très  obligé  seruiteur, 

Ff.b,mat. 

.V  Tolose  le  9  iuin  \ù^S. 

(  Jdres.ie.) 

A  Monseigneur 

Monseigneur  le 

Chancelier. 

A  Paris. 


LXV. 

FRR.MAT  A  LA  CHAMBRE  (Martln  CUREAU  de)  ('). 

MARDI    18    AOUT    1648. 
(Bib.  Xal.  fr.  i73(jo,  t"  iij  r°.) 

MoNSiEi;n, 

,Ie  ne  vous  ai  point  entretenu  iusqu'ici  d'affaires  publiques,  mai>. 
pourcc  que  les  véritables  mouvements  d'un  arrest  que  le  parlement  a 
donné  n'ont  pas  esté  peust  estre  eognus  chez  Monseigneur,  i'ai  dressé 
un  mot  d'escrit  ou  vous  le  treuueres,  ie  vous  l'expose  sur  l'asseurânce 
que  i'ai  et  de  vostre  prudence  et  de  l'honneur  que  vous  me  faictes  de 
m'aymer.  Il  ne  verra  qu'autant  de  iour  que  vous  voudrcs,  outre  que  ma 
|)olilique  est  très  f'oible  et  très  bornée,  ie  ne  prêtons  par  là  vous  faire 
|)ar(dstre  que  mon  zèle  pour  le  seruice  du  roi  et  mon  respect  pour  lc> 
volontés  de  .Monseigneur.  Si  cest  cscrit  ne  peut  pas  seruir  a  cela 

('  )  Publicc  par  M.  Charles  Henry  (Recherche.'!,  p.  G;)  d'après  l'autographe. 


280  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

nifsmo,  excusés  du  moins  mes  fautes  et  faictes  moi  la  grâce  de  les 
tenir  cachées  et  de  me  croire  tousiours, 

Monsieur, 

Vostic  très  humble  et 

très  obéissant  seruiteur. 

Fermât. 
A  Tolose  le  i8  août  1648  (<). 

(  .1  dresse.) 

A  Monsieur 

Monsieur  de  la  Chambre 

chez  Monseigneur  te 

Chancelier. 

A  Paris. 


LWI. 
NOTK  DE  FERMAT 

JOINTE    A    I.A    LETTRK    PRÉCÉDENTE     {'). 
(Hil).  Nat.  fr.  17390,  f°  ii3.) 

li'arrest  que  le  parlement  de  Tolose  a  donné  par  lequel  il  est  inhibé 
de  leuer  les  tailles  a  main  armée  et  par  logements  efTectifs  de  gens  de 
guerre,  a  esté  si  nécessaire  dans  la  conionture  présente,  qu'il  n'y  auoit 
apparament  que  ce  seul  remède  pour  faire  subsister  le  calme  dans  la 
prouince  de  Guienne  qui  est  dépendante  de  ce  ressort. 

Le  bruit  qui  s'estoit  espandu  par  toutes  les  villes  que  le  roi  alioit 
quitter  les  arrérages  des  impositions  et  accorder  une  diminution  con- 
sidérable de  la  taille  courante  faisoit  supporter  au  peuple  aucc  tant 

(')  Celle  siiseriplioii  est  presque  entièrement  effacée  :  la  date  a  clé  inscrite  an  verso 
par  les  commis  de  Sésnicr. 
(  -)  Publiée  par  M.  Charles  Henry  {Recherches,  p.  GS)  d'après  l'autographe. 


LXVI.  -   MARDI  18  AOUT   1G4.8.  281 

(rimpaliencc  oos  ordres  seiicros  de  logements  elTeclifs  (ju'il  se  taisoil 
de  loiUs  coslés  des  conspiralioiis  et  des  attroupements  contre  les  iiri- 
gades,  et  des  rebellions  si  notables  qu'elles  eussent  sans  doute  tramé 
de  plus  grands  souslcvements  si  le  parlement  n'eust  suspendu  par  son 
arrest  ces  ordres  violents  qui  sont  contre  les  ordonnances  et  contre 
riuimanité  mesnie,  s'il  faut  ainsi  parler.  Depuis  ce  temps  là  on  n'a 
point  cessé  de  donner  des  arrests  pour  procurer  en  toute  diligence  le 
payement  des  tailles,  on  a  niesnie  taché  d'empescher  diuers  abbus  pra- 
tiqués par  les  commis  qu'on  a  descouuerl  (|ui  faisoient  faire  des  quit- 
tances antidatées  pour  s'approprier  {)ar  ceste  voye  les  deniers  royaus 
li  les  diui'rlir  a  leur  profil  ;  le  parlement  en  a  faiet  informer,  a  donné 
arrest  et  comission  là  dessus,  bref  il  n'a  rien  omis  pour  ce  regard.  J'ai 
esté  le  premier  qui  ai  eu  quelque  cognoissance  des  voyes  obliques  et 
({ui  ai  suggéré  à  quelques  uns  de  la  Grande  (Chambre  l'arrest  ([ui  est 
donné  sur  ce  subject. 

Je  ne  laisse  pas  de  vous  aduouer  (|ui'  ces  remèdes  sont  lenis  et  ([ue 
le  pavement  des  tailles  l'est  encore  d'advantage,  depuis  (|ue  cesie 
grande  rudesse  de  l'exaction  a  cessé,  la  raison  est  claire,  la  pauureté 
est  si  generalle  et  si  grande,  et  les  charges  si  liantes  que  des  (|ue  ceste 
ciiiistrainte  armée  a  cessé,  rien  ne  |)aroist  d'assés  fort  pour  faire  payer 
les  contribuables,  les  saisies  qui  estoient  l'extrême  dans  les  voyes 
réglées  commencent  de  n'elfrayer  plus  et  sont  plustost  des  menaces 
(|ue  des  cou[)s. 

11  faut  pourtant  haster  les  leuees  et  donner  pr(un[)tement  an  roi  un 
secours  si  iuste  et  si  nécessaire.  Il  me;  semble  que  l'expédient  le  plus 
plausible  et  le  plus  aisé  seroit  d'auoir  une  déclaration  du  roi  qui  por- 
lasl  permission  a  toutes  les  communautés  d'em|)runter  les  sommes 
nécessaires  a  concurrence  des  tailles  courantes  et  (|ui  declarast  les 
sommes  empruntées  audici  elfect  priuilegiees  a  tontes  debtes  desd. 
communautés  comme  destinées  au  i)ayement  des  charges  courantes. 
Il  est  très  probable  (jne  tout  l'argent  de  la  prouince  abouliroit  lii, 
pource  que  la  fréquence  des  banqueroutes  est  cause  que  ceux  qui 
ont  de  l'argent  avmeni  mieux  le  garder  que  le  bazarder.  (>s(e  decla- 

l'ERMAT.    —    n.  ôi) 


282  Œ  U  V  R  E  S  I)  E  F  E  R  M  AT.  -  (]  0  U  II  E  S 1»  0  N  J)  A  N  C  !•:. 

ratii)!!  signée  du  registre  du  parlement  seroit  une  asseuranee  eiitierc 
|»our  les  créanciers  et  si  le  roi  aeeordoit  quelque  remise  pour  l'auanee, 
toutes  les  communautés  aecourroient  en  foulle  pour  emprunter  les 
deniers  nécessaires  et  les  payer  tout  aussi  lost  aux  receueurs.  On 
|)Ourroit  mesme  enjoindre  au  parlement  d'enuoyer  des  comissaires 
dans  toutes  les  uilles  pour  laciliter  lesd.  [)ayements,  et  si  sa  maiesté 
iugcoit  qu'il  fust  important  pour  le  bien  de  son  estât  de  se  scruir  de 
ce  mesmo  moyen  pour  faire  approcher  les  deniers  de  l'an  iG^jQ,  l'exé- 
cution n'en  seroit  pas  apparamcnt  malaisée. 


lAVII. 
FERMAT  A  iAIERSKNNi']  (?). 

I'ltAGMENT('). 
1G48. 

(  I),  m,  83.) 

Asymmctrias  in  Algebraïcis  omnino  tollere,  opus  arduum  nec  salis 
liactenus  ab  Analystis  tcntatum. 

Dentur,  vcrbi  gratia,  termini  asymmetri  plures  quatuor  et  secundum 
artis  pnecepta  proponantur  asymmetria  liberandi.  Vix  est  ut  ab  hujus- 
modi  tricis  expédiât  se  Analysta  :  dum  crescet  labor,  angebitur  dilli- 
cultas  et  fiitigatus  tandem,  nibil,  post  rcpetitas  sxqiius  operationes, 
aut  profecisse  se  aut  promovisse  deprehendet.  An  itaquc  ha'rebit  Ana- 
lysis  et  asymmetriis  undique  obruta  conticcscet?  Videant  eruditi  et 
methodum  huic  negotio  conducibilem  inquirant. 

(')  Tiré  (l'uiio  I^ottre  do  Dcscartes  à  M***,  dalc-c  du  i8  décembre  i648,  où  ce  fragmenl 
est  précédé  des  mots  :  Foici  maiiUenwtl  le  billet  de  M.  de  Fermât,  et  suivi  d'une 
réponse  do  Descaries  à  la  question  posée.  La  parlic  latine,  qui  dans  l'édition  Clerselier 
est  composée  en  italiques  avec  les  lullres  de  l'équation  en  minuscules,  est  traduite  en 
français  (édition  Cousin,  tome  X,  p.  1C9). 


LWII.  -   IG'tS.  28:i 

Fi'oponatiir  iii  cxempluni  : 

liiliis(|{  in  A  —  A  (|iia(].)  -H  1;U.(Z  quad.  -t-  Din  A  +  A  (juad.) 

4-  lai. (M  iii  A)  +  lal.(l)  (|iiad.—  A  f|ua(l.), 
—  lat('re(H  in  A  +  A  (luail.)         icqnaii         H -(- A. 

()|)CTf(iir  si'ciiiulurn  praeccpta  arlis  Aiialysta  et  alj  asymmctria  pm- 
|>()sila  se  cxix'diat,  aiit  arlis  iiicfficaciain  falcadir  ('). 

Il  me  sciiililo  (|U('  les  illiislrt's  cii  cctlo  Sciciuc  ne  sauroicnt  prendre 
un  |)lus  digne  et  plus  nécessaire  emploi  que  cidui  d'aplanir  ces  dilli- 
cuilés.  Pour  les  y  exciter,  vous  leur  pourriez  dire  par  avance  que  j'ai 
fait  ({uelque  progrès  en  cette  matière  et  qu'il  y  a  beaucoup  à  décou- 
vrir et  il  inventer;  vous  pourriez  même  en  écrire  en  Italie  et  en  Hol- 
lande, afin  que  la  prophétie  du  Chancelier  d'Angleterre  s'accomidisse  : 
Miilti pprtransibuiit  et  atigebiliir  scieiitia  (*). 

(  '  )  l'oir  Tuiiic  I,  p.   181-188. 
(-)  /'()//•  plus  haut.  p.  3">.  unie  '.. 


28i  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


ANNÉE   1G50. 


LXVIll. 
FERMAT  A  CARCAVI  ('). 

SAMEDI    20   AOIIT    1650. 

(Bilil.  nal.,  lut.  iit<)G,  l"'  ■>',-!>:)  ) 

Monsieur, 

1-  Ma  lettre  par  malheur  fut  envoyée  trop  tard  la  semaine  dernière 
au  messager  d'Aurillac;  vous  la  recevrez  seulement  par  celui-ci  avec 
la  pénitence  que  je  me  suis  enjoint  à  moi-mém*^  pour  payer  ce  retar- 
dement, c'est-à-dire  que  je  n'ai  point  voulu  différer  à  vous  envoyer  ma 
méthode  générale  pour  le  débrouillcment  des  asymmctricsÇ-).  l.es  fêtes 
m'ont  (ont  à  propos  donné  le  loisir  nécessaire  pour  y  vaquer;  je  vous 
envoyé  mon  original  par  pure  paresse  et  vous  prie  me  le  renvoyer  au 
plus  lot  ou  bien  un  autre  à  votre  choix.  Vous  ménagerez  mes  intérêts 
comme  vous  l'entendez;  ils  consistent  seulement  à  me  laisser  la  satis- 
faction (j'use  à  dessein  d'un  mot  adouci)  d'avoir  dévoilé  une  malii-rc 
(|ui  n'étoit  pas  connue,  ce  que  diverses  questions,  que  je  vous  ai  pro- 
posées à  diverses  fois  et  dont  pas  une  solution  n'a  jamais  été  donnée, 
prouvent  assez  suffisamment. 

2.  Mais,  si  vous  voulez  avoir  le  plaisir  tout  entier,  proposez  hardi- 
ment à  trouver  la  tangente  d'une  courbe  dont,  par  exemple,  la  pro- 

(  ')  Publiée  par  M.  Cliarlcs  Henry  {Recherches,  p.  igS). 

(^)  (^esl  la  mclhodc  d'élimination  des  radicaux,  exposée  tome  I,  )>.  181-188. 


LXVIII.  —  SAMEDI  20  AOUT   1G50.  285 

priété  soit,  en  prônant  A  pour  l'appliquée  et  E  pour  la  portion  du  dia- 
mètre (|ui  lui  correspond  : 

Lalusciih.  ('Atj.\ti\  —  Ac.)-i-lat.qtnirl.qii(id.{'lij)l./>l.—  \)q.  in  15  in  A -H  A -77.) 
-(-  lat.  ijiiad.  (H  in  A  —  A7.)  +  lat.  (juad.  cub.  {\qc.  —  B77.  in  A). 

[lœc  omnia  quatuor  hoinogenea,  quœ,  in  hoc  casu,  su/H  reclœ,  œqucn- 

lur 

B  +  A  -  E. 

Quœnlur  langcns  ad  punctum  daturn  in  carra  cujus  saperior  œt/ua/ilas 
proprielalem  speci/icam  reprœsentat . 

Que  fera  en  ce  rencontre  la  méthode  de  M.  Descartes  que  vous  savez 
être  infiniment  plus  embarrassée  que  la  mienne?  mais  que  fera  encore 
la  mienne,  si  les  asymmétries  ne  sont  otécs? 

Pour  les  oter,  la  méthode  que  je  vous  envoyé  en  vient  à  bout  sans 
nulle  dillicullé.  car,  qw  donnant  à  chacune  des  lignes  irrationelles  le 
nom  d'une  seconde  racine,  tierce,  quarte  etca?t.,  on  vient  toujours  :i 
des  doubles  égalités  lesquelles  se  réitèrent  jusques  à  ce  que  l'applica- 
tion (ou  la  division)  ùte  la  dernière  de  ces  racines,  puis  la  pénultième, 
et  ainsi  en  rétrogradant  jusques  à  ce  que  toutes  les  nouvelles  racines 
inconnues  que  vous  aurez  jtriscs  à  discrétion  aient  entièrement  dis- 
paru, et  pour  lors  il  vous  restera  une  équation  sans  asvmmétrie  en 
laquelle  il  n'y  aura  de  racines  inconnues  que  les  deux  premières  A 
et  E,  qui  n'auront  cjue  changé  de  degré  à  cause  des  multiplications  fré- 
quentes et  nécessaires  à  chaque  opération,  et  cette  équation  exempte 
d'asymmétrie  représentera  la  propriété  spécifique  de  la  courbe. 

Or,  (jiiand  nous  avons  la  propriété  spécifique  de  la  courbe  sans 
asvmmétrie,  ma  méthode  de  langenlibus  donne  la  tangente  très  sim- 
plement et  par  la  seule  application  à  tous  les  cas  généralement,  soit 
(|ue  la  propriété  spécifique  aie  relation  à  des  lignes  droites  seulement, 
soit  qu'elle  l'aie  aussi  à  des  courbes.  Et  partant,  en  joignant  les  deux 
méthodes,  la  tangente  de  la  question  proposée  se  trouve  par  l'applica- 
tion simple,  ce  qui  semble  merveilleux. 


•28G  (J'.  L  V  l«  E  S   1)  K   F  E  W  M  AT.  —  C  O  11  H  E  S IM  )  N  I)  A  N  C  E. 

.le  n'ajouto  pas  l'opéralioii  onlii're,  pomro  (]ii('  la  longueur  du  (la- 
vail  me  lasscroit,  mais,  on  un  mot,  il  sulFit  que  vous  voyez  1res  daire- 
nieut  le  progrès  el  la  fin  de  l'ouvrage;  ce  que  je  crois  avoir  é(é  in- 
connu jusques  à  présent,  puis(|ue  M.  Descartes,  que  je  nomme  avec 
tout  le  respect  qui  est  dû  à  la  mémoire  d'un  si  merveilleux  homme, 
])roposoit  comme  une  diinculté  insiirnionlahlc  la  <|uestion  suivante  : 

Jùa/il  donnés  r/itatre points  et  une  ci)urhe,  en  Inquelle  prenant  un  jxtint 
à  discrétion,  les  droites  menées  de  ce  point  aux  quatre  donnés  fassent 
une  somme  donnée,  trouver  un:'  tau^e/ite  à  {/ue/eonr/ue  poi/it  donné  de 
cette  courbe. 

ainsi  (jue  je  puis  faire  voir  par  une  de  ses  lettres  (').  Pourtant,  mes 
méthodes  jointes  ensemhie  en  donnent  la  solution  simple,  et  l'cqjéra- 
tion  <  se  fait  >  en  se  jouant. 

Vous  comprenez  parla  que  le  principal  el  plus  considérahie  ell'ef  de 
cette  méthode  paroit  aux  tangentes  de  toutes  sortes  de  lignes  courhes 
il  l'infini,  puisque  les  tangentes  s'y  trouvent  toujours  |)ar  application 
simple,  et  après  cela  aux  questions  que  j'appelle  al/ondantes,  qui  se 
résolvent  aussi  par  la  seule  division,  sans  aucune  extraction  de  racines 
et  ca't. 

3.  Mn  voilà  trop  pour  une  seconde  lettre,  mais  je  suis  d'humeur  à 
vous  l'aire  paroitre  ce  que  peut  notre  ancienne  amitié.  Peut-être  (|ue 
ces  petits  éclaircissements  serviront  à  ce  ()u'il  y  aura  de  tro[»  concis 
dans  mon  écrit  latin,  quoique  je  ne  doute  point  qu'après  que  vous  el 
messieurs  à  qui  vous  le  communiquerez  y  auront  un  peu  rêvé,  ils  n'en 
trouvent  l'intelligence  et  la  pratique  aisée. 

.îe  n'ai  qu'à  vous  avertir  que  l'ordre  des  pages  de  mon  petit  Traité 
i>sl  marqué  par  chiffres,  et  qu'il  y  a  un  endroit,  en  la  page  septième, 
qui  semble  défectueux,  qui  pourtant  ne  l'est  pas,  et  il  faut  tout  écrire 
comme  un  sens  continu,  ainsi  que  vous  comprendrez  d'abord. 

l')  Celle  lollre  n'a  pas  clé  conservée. 


LWllI.  ^   -10  AOUT   IGoO.  -287 

Jo  vous  ri'itoi'c  encore  (lue  je  vous  reiivoierai  vos  écrits  de  mes 
Traités  au  |)lus  tôt  avec  le  Livre  de  M.  Gaignières  ('),  sinon  que  vous 
en  trouviez  à  Paris  un  autre  exemplaire,  auqu(d  cas  vous  m'obligerez 
de  le  bailler  à  mondit  S''  Gaignières,  et  j'en  rembourserai  le  prix  au 
messager  ([ni  vous  porte  mes  lettres. 

Je  suis,  Monsieur,  votre  du  tout  acquis  scrvit(>ur, 

KF.r.MAT. 
A  Casi.i'os,  l'c  20  iiDiU  i(i)i) 


(  '  ;  l.a  siiilc  (le  la  phrase  luoutro  qu'il  s'agit  d'un  ouvrage  j»r(jté  par  Gaignières.  Celui-ci 
n'est  pas  Kogcr  de  Gaignières  dont  les  collections  ont  enrichi  la  Bil)liotlio(|uc  du  roi,  puiscpie 
ce  célèbre  colleclionueur  est  no  vers  1G44,  mais  sans  doute  son  père  Aimé  de  Gaignières, 
secrétaire  du  duc  de  Bcllcgarde,  gouverneur  de  Bourgogne.  (.Léopold  Dclislc,  Le  cahiiict 
(les  tiit//iii\crih-,  Tome  1,  p.  33).) 


2,S8  (EUVHES   DE   EEUMAT.  -  CO  [UlESPOND  A  NC  K. 


ANNÉE   1654. 


LXIX. 

FERMAT  A  PASCAL  ('). 
165  V. 

{OEuffcs  lie  Pascal,  177*),  I\',  p.  ^(^l'-^V--) 

MossiF.un, 

Si  j'cnfrcpivnds  île  faire  un  j)niiit  avec  un  seul  dé  eu  liuil  coups;  si 
uuiis  couvenons,  après  que  l'argent  est  dans  le  jeu,  ([U(^  je  ne  joiu/rai 
pas  le  premier  coup,  il  faut,  par  mon  j)rincipe,  que  je  tire  du  jeu  ,!  du 
total  pour  être  désiulérossé,  à  raison  dudit  premier  coup. 

Oue  si  encore  nous  convenons  après  cela  que  je  n(!  jouerai  pas  le 
s(M'ond  coup,  je  dois,  pour  mon  indemnité,  tirer  le  G'""  du  restant,  tjui 
est  ^  du  total. 

i']!  si  a|)rès  c(da  nous  convenons  que  je  ne  jouerai  pas  le  Iroisil'me 
coup,  je  dois,  pour  mon  indemnité,  tirer  le  (')""■  du  restant,  qui  est  f'^ 
du  total. 

Va  si  apri's  cela  nous  convenons  encore  (|ue  je  ne  jouerai  pas  le  (|iia- 
trii'me  coup,  je  dois  tirer  le  G"""  du  restant,  qui  est  ;^',t  du  total,  et  je 
conviens  avec  vous  que  c'est  la  valeur  du  ((uatrii'iue  coup,  supposé 
(ju'on  ait  déjà  traité  des  précédents. 

i\Iais  vous  me  proposez  dans  l'exemple  dernier  de  votre  lettre  (je 

(1)  «  Imprimée  pour  la  promicrc  fois.  Cctlc  Lcltrc;  esl  sans  dalc  dans  la  copie  (pip  j'en 
ai;  elle  paroit  répondre  ù  une  Icllre  de  Pascal  (]iie  je  n'ai  pu  recouvrer.  »  (Note  de 
Jins.iut.)  —  L'éditeur  des  OEuvrcs  de  Vancal  a  d'ailleurs  placé  celle  LeUre  entre  celles 
nnuiérnlées  ci-après  LXXIV  cl  LXXV. 


L\X.  -  29  JUILLET  lGa4.  289 

mets  vos  propres  (ormes)  que  si  j'entreprends  de  trouver  le  six  en  liiiil 
coups  et  que  j'en  aie  joué  trois  sans  le  rencontrer,  si  mon  joueur  me 
propose  de  ne  point  jouer  mon  (|uatrième  coup  et  qu'il  veuille  me 
désintéresser  à  cause  que  je  pourrois  le  rencontrer,  il  m'appartiendra 
7^  de  la  somme  entière  de  nos  mises. 

Ce  qui  pourtant  n'est  pas  vrai,  suivant  mon  principe,  (^ar,  en  ce  cas, 
les  trois  premiers  coups  n'ayant  rien  acquis  ii  celui  qui  tient  le  dé,  la 
somme  totale  restant  dans  le  jeu,  celui  qui  tient  le  dé  et  qui  convient 
de  ne  |»as  jouer  son  quatrième  coup,  doit  prendre  pour  son  indemnité 
;,  du  total. 

Va  s'il  avoit  joué  ([uatre  coups  sans  trouver  le  point  cherché  et  qu'on 
convînt  qu'il  ne  joueroit  pas  le  cinquième,  il  auroit  de  même  pour  son 
indemnité  ^  du  total.  Car  la  somme  entière  restant  dans  le  jeu,  il  ru- 
suit  pas  seulement  du  principe,  mais  il  est  de  même  du  sens  naturel 
que  chaque  coup  doit  donner  un  égal  avantage. 

Je  vous  prie  donc  que  je  sache  si  nous  sommes  conformes  au  prin- 
cipe, ainsi  que  je  crois,  ou  si  nous  dilTérons  seulement  en  l'applica- 
tion. 


Je  suis,  de  tout  mon  c(eur,  etc. 


Fi:ii.>iAT. 


LX\. 
PASCAL  A  FERMAT. 

MERCREDI     -Î'J     JlILl.ET      1054. 


.Mo^sIF.u^., 


1-  L'impatience  me  prend  aussi  bien  qu'à  vous  et,  quoique  je  sois 

encore  au  lit,  je  ne  puis  m'cmpècher  de  vous  dire  que  je  reçus  liiei' 

au  soir,  de  la  part  de  M.  de  Carcavi,  votre  lettre  sur  les  partis,  que 

j'admire  si  fort  que  je  ne  puis  vous  le  dire.  Je  n'ai  pas  le  loisir  de 

11.  -  1  iRM,\T.  37 


•290  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

m'étcndrc,  mais,  en  un  mot,  vous  avez  trouvé  les  deux  partis  (')  des 
dés  et  des  parties  dans  la  parfaite  justesse  :  j'en  suis  tout  satisfait,  car 
je  ne  doute  plus  maintenant  que  je  ne  sois  dans  la  vérité,  après  la 
rencontre  admirable  où  je  me  trouve  avec  vous. 

J'admire  bien  davantage  la  métbode  des  parties  que  celle  des  dés; 
j'avois  vu  plusieurs  personnes  trouver  celle  des  dés,  comme  M.  le  che- 
valier de  Méré,  qui  est  celui  qui  m'a  proposé  ces  questions,  et  aussi 
.M.  de  Roberval  :  mais  M.  de  Méré  n'avoit  jamais  pu  trouver  la  juste 
valeur  des  parties  ni  de  biais  pour  y  arriver,  de  sorte  que  je  me  trou- 
vois  seul  qui  eusse  connu  cette  proportion. 

2.  Votre  méthode  est  très-sùrc  et  est  celle  qui  m'est  la  première 
venue  à  la  pensée  dans  cette  recherche;  mais,  parce  que  la  peine  des 
combinaisons  est  excessive,  j'en  ai  trouvé  un  abrégé  et  proprement  une 
autre  méthode  bien  plus  courte  et  plus  nette,  que  je  voudrois  vous 
pouvoir  dire  ici  en  peu  de  mots  :  car  je  voudrois  désormais  vous  ouvrir 
njon  cœur,  s'il  se  pouvoit,  tant  j'ai  de  joie  de  voir  notre  rencontre.  Je 
vois  bien  que  la  vérité  est  la  même  ii  Toulouse  et  à  Paris. 

Voici  à  peu  près  comme  je  fais  pour  savoir  la  valeur  de  chacune  des 
parties,  quand  deux  joueurs  jouent,  par  exemple,  en  trois  parties,  et 
chacun  a  mis  32  pisloles  au  jeu  : 

Posons  que  le  premier  en  ait  deux  et  l'antre  une;  ils  jouent  mainte- 
nant une  partie,  dont  le  sort  est  tel  que,  si  le  premier  la  gagne,  il 
gagne  tout  l'argent  (jui  est  au  jeu,  savoir  G'\  pistoles;  si  l'autre  la 
gagne,  ils  sont  deu,v  parties  à  deux  parties,  et  par  conséquent,  s'ils 
veulent  se  séparer,  il  faut  qu'ils  retirent  chacun  b'ur  mise,  savoir  cha- 
cun 32  pistoles. 

(  I  )  l'arii  signifie  ici  réparlilioii  eiUrc  des  joueurs,  d'après  leurs  chances  nilalives,  de 
la  masse  des  enjeux,  dans  le  cas  où  le  jeu  esl  abandonné  avant  sa  fin. 

Le  parti  des  de'i  dont  il  s'agit  ici  parait  avoir  clé  simplement  demandé  dans  le  cas  oii 
cckii  (pii  tient  les  dés  a  parié  d'amener  un  point  déterminé  en  un  nombre  de  coups  convenu 
(i)0(>  Lettre  LXIX  et  ci-après,  LXX,  7). 

Quant  au  parti  des  parties,  la  question  est  clairement  exposée  ci-aprcs  (2  à  6).  Com- 
parer, à  la  suite  du  Traité  du  triangle  arithmétique  de  Pascal,  l'application  i]ui  en  est 
faite  à  ce  même  problème  (OEuitcs  de  Pascal,  édition  de  1779,  V,  p.  ii). 


LX\.  -   20  JUILLET    IGoi.  291 

Considérez  donc,  Monsieur,  que,  si  le  premier  gngne,  il  lui  appar- 
tient G/|;  s'il  perd,  il  lui  appartient  32.  Donc,  s'ils  veulent  ne  point 
hasarder  cette  partie  et  se  séparer  sans  la  jouer,  le  premier  doit  dire  : 
«  Je  suis  sûr  d'avoir  32  pistoles,  car  la  perte  même  me  les  donne;  mais 
»  pour  les  32  autres,  peut-être  je  les  aurai,  peut-être  vous  les  aurez,  le 
»  hasard  est  égal.  Partageons  donc  ces  32  pistoles  par  la  moitié  et  me 
»  donnez,  outre  cela,  mes  32  qui  me  sont  sûres.  »  11  aura  donc  4^^  pis- 
toles et  l'autre  lO. 

Posons  maintenant  que  le  premier  ait  f/ewa;  parties  et  Vautre  poinl, 
et  ils  commencent  à  jouer  une  partie.  Le  sort  de  cette  partie  est  tel 
que,  si  le  premier  la  gagne,  il  tire  tout  l'argent,  G4  pistoles;  si  l'autre 
la  gagne,  les  voilà  revenus  au  cas  précédent,  auquel  le  premier  aura 
deii.v  parties  et  l'autre  une. 

Or,  nous  avons  déjii  montré  qu'en  ce  cas  il  appartient,  à  celui  qui  a 
les  deux  parties,  48  pistoles  :  donc,  s'ils  veulent  ne  point  jouer  cette 
])artie,  il  doit  dire  ainsi  :  «  Si  je  la  gagne,  je  gagnerai  tout,  ({ui  est  G^; 
))  si  je  la  perds,  il  m'appartiendra  légitimement  4^  :  donc  donnez-moi 
»  les  48  qui  me  sont  certaines,  au  cas  même  que  je  perde,  et  partageons 
»  les  iG  autres  par  la  moitié,  puisqu'il  y  a  autant  de  hasard  que  vous 
»  les  gagniez  comme  moi.  »  Ainsi  il  aura  48  et  8,  (jui  sont  jG  pistoles. 

Posons  enfin  que  le  premier  n'ait  q\i  une  partie  et  l'autre />oi>?^  Vous 
voyez.  Monsieur,  que,  s'ils  commencent  une  partie  nouvelle,  le  sort  en 
est  tel  que,  si  le  premier  la  gagne,  il  aura  deux  parties  à  point,  et  par- 
tant, i)ar  le  cas  précédent,  il  lui  appartient  5G;  s'il  la  perd,  ils  sont 
partie  à  partie  :  donc  il  lui  appartient  32  pistoles.  Donc  il  doit  dire  : 
«  Si  vous  voulez  ne  la  pas  jouer,  donnez-moi  32  pistoles  qui  me  sont 
»  sûres,  et  partageons  le  reste  de  "ÏG  par  la  moitié.  De  5G  ôtez  32, 
»  reste  24;  partagez  donc  al  par  la  moitié,  prenez-en  12  et  moi  12, 
»   qui,  avec  32,  font  44-  " 

Or,  par  ce  moyen,  vous  voyez,  par  les  simples  soustractions,  que, 
pour  la  première  partie,  il  appartient  sur  l'argent  de  l'autre  12  pis- 
toles; pour  la  seconde,  autres  12;  et  pour  la  dernière,  8. 

Or,  pour  ne  plus  faire  de  mystère,  puisque  vous  voyez  aussi  bien 


•2!)2  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

tout  à  découvert  ot  que  je  n'en  faisois  que  pour  voir  si  je  ne  me  troni- 
|)ois  j)as,  la  valeur  (j'entends  sa  valeur  sur  l'argent  île  l'autre  seule- 
ment) de  la  dernière  partie  de  deux  est  double  de  la  <  dernière  >■ 
partie  de  trois  et  quadruple  de  la  dernière  partie  de  quatre  et  oetuple 
de  la  dernière  partie  de  cinq,  etc. 

3.  Mais  la  proportion  des  premières  parties  n'est  pas  si  aisée  à 
trouver  :  elle  est  donc  ainsi,  car  je  ne  veux  rien  déguiser,  et  voici  le 
problème  dont  je  faisois  tant  de  cas,  comme  en  effet  il  me  plait  fort  : 

Etant  donné  tel  nombre  de  parties  qu'on  voudra,  trouver  la  valeur  de 
la  première. 

Soit  le  nombre  des  parties  donné,  par  exemple  8.  Prenez  les  huit 
premiers  nombres  pairs  et  les  huit  premiers  nombres  impairs,  savoir  : 

2,     4,     6,     8,     10,     12,     i4,     i6 

et 

I,     3,     5,     7,      9,       II,     i3,     i5. 

.Mulli|)liez  les  nombres  pairs  en  cetti^  sorte  :  le  premier  par  le  second, 
le  produit  par  le  troisième,  le  produit  par  le  quatrième,  le  produit 
par  le  cinquième,  etc.;  multipliez  les  nombres  impairs  de  la  même 
sorte  :  le  premier  par  le  second,  le  produit  par  le  troisième,  etc. 

Le  dernier  produit  des  pairs  est  le  dénominateur  et  le  dernier  pro- 
duit des  impairs  est  le  numérateur  Aq  la  fraction  qui  exprime  la  valeur 
de  la  première  partie  de  huit  :  c'est-à-dire  que,  si  on  joue  cliacun  le 
nombre  de  pistoles  exprimé  par  le  produit  des  pairs,  il  en  appartien- 
droit  sur  l'argent  de  l'autre  le  nombre  exprimé  par  le  produit  des 
impairs. 

Ce  qui  se  démontre,  mais  avec  beaucoup  de  peine,  par  les  combi- 
naisons telles  que  vous  les  avez  imaginées,  et  je  n'ai  pu  le  démontrer 
par  cette  autre  voie  que  je  viens  de  vous  dire,  mais  seulement  par 
celle  des  combinaisons.  Et  voici  les  propositions  qui  y  mènent,  qui 
sont  proprement  des  propositions  arithmétiques  touchant  les  combi- 
naisons, dont  j'ai  d'assez  belles  propriétés  : 


L\\.  -  29  JUILLET  IGS't.  293 

4.  Si  (l'un  iionihiT'  (jiiolcoiiquc  de  loUres,  par  cxoinple  do  iS  : 

A,     n,     C,     I),     E,     F,     (i,     II, 

vous  en  prenez  toutes  les  combinaisons  possibles  de  4  lettres  et  ensuite 
toutes  les  combinaisons  possibles  de  5  lettres,  et  puis  de  G,  de  7  cl 
de  8,  etc.,  et  qu'ainsi  vous  preniez  toutes  les  combinaisons  possibles 
depuis  la  multitude  qui  est  la  moitié  de  la  toute  jusqu'au  (oui,  je  dis 
(|ue,  si  vous  joignez  ensemble  la  moitié  de  la  combinaison  de  4  avec 
chacune  des  combinaisons  supérieures,  la  somme  sera  le  nombre  tan- 
tième de  la  progression  quaternaire  à  commencer  par  le  binaire,  qui 
est  la  moitié  de  la  multitude. 

Par  exemple,  et  je  vous  le  dirai  en  latin,  car  le  français  n'y  vaut 
rien  : 

.SV  quotlibet  Utterarurn,  verbi  gratia  octo  : 

A,     n,     c,     I),     E,     F,     G,     H, 

sumarUur  ornnes  combinaliones  quafernani.  quinqnenarii,  senarii,  etc. , 
iisquc  ad  oclonarium,  dico,  si  jungas  .dimidiurn  combiiiationis  qualer- 
narii,  neinpe  35  (^dimidiurn  70),  ciim  omnibus  combinai ionibiis  quin- 
qnenarii, nempe  5G,  plus  omnibus  combinationibus  senarii,  nempe  28, 
plus  omnibus  combinationibus  seplenarii,  nempe  8,  plus  omnibus  combi- 
nationibus octonarii,  nempe  i ,  factum  esse  quartum  numerum  progres- 
sionis  quaternarii  cujus  origo  est  1  :  dico  quartum  numerum,  quia  4  octo- 
narii dimidium  est. 

Sunt  enim  numeri  progressionis  quaternarii,  cujus  origo  est  2,  isti  : 

2,     8,     Sa,     128,     5i2,     etc., 

quorum    1  primus   est,    8   sccundus ,    Si   tertius  et   128   quartus  :   cui 
1 28  œquantur 

-+-  35  dimidium  combinalionis  \  lilleraruni 
-t-  56  combinalionis  5  littcrarum 
-h  28  combinalionis  6  lilleraruni 
-f-    8  combinalionis  7  litlerarum 
-+-    I  combinalionis  8  littcrarum. 


294.  OÎUVHES  DE  FERMAT.  -  COIIUESPONDANCE. 

5.  Voilà  la  première  proposition  qui  est  purement  arithmétique; 
l'aulre  regarde  la  doelrinc  des  parties  et  est  telle  : 

Il  l'aul  dire  auparavant  :  si  on  a  une  partie  de  ^,  par  exemple,  et 
qu'ainsi  il  en  manque  '\,  le  jeu  sera  infailliblement  décidé  en  8,  qui 
est  double  de  4- 

La  valeur  de  la  première  partie  de  5  sur  l'argent  de  l'autre  est  la 
fraction  qui  a  pour  numérateur  la  moitié  de  la  combinaison  de  f\  sur  H 
(je  prends  /|  parce  qu'il  est  égal  au  nombre  des  parties  qui  manque, 
et  8  parce  qu'il  est  double  de  4)  et  pour  dénominateur  ce  même  numé- 
rateur plus  toutes  les  combinaisons  supérieures. 

Ainsi,  si  j'ai  une  partie  de  5,  il  m'appartient,  sur  l'argent  de  mon 

joueur,  -^  :  c'est-à-dire  que,  s'il  a  mis  128  pistoles,  j'en  prends  35  et 

lui  laisse  le  reste,  r)3. 

Or  cette  fraction  ^  est  la  même  que  celle-là  :  :j3v,  laquelle  est  faite 
120  '  004       ' 

par  la  multiplication  des  pairs  pour  le  dénominateur  et  la  multiplica- 
tion des  impairs  pour  le  numérateur. 

Vous  verrez  bien  sans  doute  tout  cela,  si  vous  vous  en  donnez  tant 
soit  peu  la  peine  :  c'est  pourquoi  je  trouve  inutile  de  vous  en  entre- 
tenir davantage. 

6.  Je  vous  envoie  néanmoins  une  de  mes  vieilles  Tables;  je  n'ai  pas 
le  loisir  de  la  copier,  je  la  referai. 

Vous  y  verrez  comme  toujours  que  la  valeur  de  la  première  partie 
est  égale  à  celle  de  la  seconde,  ce  qui  se  trouve  aisément  par  les  com- 
binaisons. 

Vous  verrez  de  même  que  les  nombres  de  la  première  ligne  aug- 
mentent toujours;  ceux  de  la  seconde  de  même;  ceux  de  la  troisième 
de  même. 

Mais  ensuite  ceux  de  la  quatrième  diminuent;  ceux  de  la  cin- 
quième, etc.  Ce  qui  est  étrange. 


LXX. 


29  JUILLET  lGo4. 

Si  on  jonc  cliacim  206  en 


295 


(i 

parties. 


i™  p.Ti'iie  . 


■i'  partie. 


3''  partie. 


•g  ■""   1   r  parlie. 


j"  partie. 


G'  partie. 


■i-\ 


parties. 


r.3 

70 

G3 

7" 

jG 

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les  2 

premières  parties 

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les  3 

premières  parties. . . . 

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les  4 

premières  parties 

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les  5 

|)romièrcs  parties. . . . 

2)8 

les  G 

premières  parties. . . . 

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5 
partie.s 


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2  )G 

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7.  Je  n'ai  pas  le  temps  de  vous  envoyer  la  démonstralioii  d'une  dilli- 
culté  qui  étonnoit  fort  M.  ■<  de  Méré  >,  car  il  a  très  bon  esprit,  mais 
il  n'est  pas  géomètre  (c'est,  comme  vous  savez,  un  grand  défaut)  et 


296  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

iiK'im'  il  ne  comprend  pas  qu'une  ligne  mathématique  soit  divisible  à 
l'intini  et  croit  fort  bien  entendre  qu'elle  est  composée  de  points  en 
nombre  fini,  et  jamais  je  n'ai  pu  l'en  lirer.  Si  vous  le  pouviez  faire, 
on  le  rendroit  parfait. 

Il  me  disoit  donc  (ju'il  avoit  trouve  fausseté  dans  les  nombres  par 
lelte  raison  : 

Si  ou  entreprend  de  faire  un  six  avec  un  dé,  il  y  a  avantage  de  l'en- 
I reprendre  en  4,  comme  de  G71  à  Ga'). 

Si  ou  entreprend  de  faire  sonnés  avec  deux  dés,  il  y  a  désavantage 
de  l'entreprendre  en  2]. 

Va  néanmoins  2^  est  à  3G  (qui  est  le  nombre  des  faces  de  deux  dés) 
comme  '1  à  G  (qui  est  le  nombre  des  faces  d'un  dé). 

Voilà  quel  étoit  son  grand  scandale  qui  lui  faisoit  dire  hautement 
(]ne  les  propositions  n'étoient  pas  constantes  et  que  l'Arithmétique  se 
(lémentoit  :  mais  vous  en  verrez  bien  aisément  la  raison  par  les  prin- 
cipes où  vous  êtes. 

Je  mettrai  par  ordre  tout  ce  que  j'en  ai  fait,  quand  j'aurai  achevé 
des  Traités  géométriques  où  je  travaille  il  y  a  déjà  quelque  temps. 

8.  .t'en  ai  fait  aussi  d'arithmétiques,  sur  le  sujet  desquels  je  vous 
supplie  de  me  mander  votre  avis  sur  cette  démonstration. 

.le  pose  le  lemme  que  tout  le  monde  sait  :  que  la  somme  de  tant  de 

nombres  qu'on  voudra  de  la  progression   continue  depuis   l'unilé, 

comme 

I,    2,    3,    4, 

étant  prise  deux  fois,  est  égale  au  dernier,  .],  mené  dans  le  prochaine- 
ment plus  grand,  5  :  c'est-à-dire  que  la  somme  des  nombres  contenus 
(|ans  A,  étant  prise  deux  fois,  est  égale  au  produit 

A  in  (A  +  i). 

Maintenant  je  viens  à  ma  proposition  : 

Duorum  quorumlibet  cuborum proximorum  differenlia,  unilale  deinplù , 
sextupla  est  omnium  numerorum  in  minoris  radice  contenlorum. 


LX\.  -  29  JUILLET   165i.  297 

Si/i/  duœ  radiées  l{,  S  unitale  dijferenles  :  dico 

/f"—  S^  —  I  œquari  summœ  numcroriim  i/i  S  conlcnlorum  sexies  siimplœ. 
Eleniin  S  rocctur  A  :  ergu  It  est 

A+i. 
Igittir  cubus  radicis  II,  scu  .4  +  i ,  csl 

Cuhus  vcro  S,  seu  A .  est 

A\ 

l'I  Itornm  differenlia  esl 

3. 1-+ 3.1-1-1% 

id  est  Ji'  —  S^  ;  igi/ur,  si  au/eratnr  imitas, 

3  4'- -h  3.1       av/.      /,'3_si_,. 

Scd  dupluin  sii/nmœ  numerorum  in  A  seu  S  conleitluniin  av/iiattir,  rx 

Icmmale, 

A  in  {A  ■+- 1),       lioc  est       ,(-4-  A  : 

igUiir  sexluplum  summœ  numerorum  in  A  contentorum  œquatur 

3. P -h  3.-1. 
Sed 

3.42 -i-  3,1         œq.  /?î— S'-,; 

iisitur 

o 

IP — .S'  —  I   œq.  sexliiplo  summœ  nunieroruni  in  A  scu  S  contentorum. 
Quod  erat  demonslrandum . 

On  ne  m'a  pas  fait  de  difficulté  là-dessus,  mais  on  m'a  dit  qu'un  ne 
m'en  laisoit  pas  par  cette  raison  (]uo  tout  le  monde  est  accoutumé  au- 
jourd'hui à  cette  méthode;  et  moi  je  prétends  que,  sans  me  taire 
i^râce,  on  doit  admelde  cette  démonstration  comme  d'un  genre  excel- 
lent :  j'en  attends  néanmoins  votre  avis  avec  toute  soumission. 

Tout  ce  que  j'ai  démontré  en  Arithmétique  est  de  cette  nature. 

Fermât.  —  U.  38 


298  ŒUVKES   DE  FERMAT.  —  CORHESPOiNDANCE. 

9.   Voici  ciicoro  ilcux  diiriciiltés  : 

J'ai  démontré  une  propositinn  plane  en  me  servant  du  cube  d'une 
lii^ne  comparé  au  cube  d'une  antre  :  je  prétends  que  cela  est  purement 
iîéométri(|uc  cl  dans  la  sévérité  la  plus  grande. 

De  même  j'ai  résolu  le  prohli'me  : 

/Je  quatre  plans,  quatre  points  et  quatre  sphères,  quatre  quelconques 
étant  donnés,  trouver  une  sphère  qui,  touchant  les  sphères  données,  passe 
par  les  points  donnes  et  laisse  sur  les  plans  des  portions  de  sphères  ca- 
pables d'angles  donnés. 

et  celui-ci  : 

De  trois  cercles,  trois  points,  trois  lignes,  <C  trois  >  quelconques  étant 
donnés,  trouver  un  cercle  qui,  louchant  les  cercles  et  les  points,  laisse  sur 
les  lignes  un  arc  capable  d'angle  donné. 

J'ai  résolu  ces  proldi-mes  plainement,  n'employant  dans  la  construc- 
tion que  des  cercles  et  des  lignes  droites;  mais,  dans  la  démonstration, 
je  me  sers  de  lieux  solides,  de  paraboles  ou  hyperboles  :  je  prétends 
néanmoins  qu'attendu  que  la  construction  est  plane,  ma  solution  est 
plane  cl  doit  passer  pour  telle. 

f/cst  bien  mal  reconnaître  riioiineur  que  vous  me  faites  de  sonfirir 
mes  entretiens  que  de  vous  importuner  si  longtemps;  je  ne  pense 
jamais  vous  dire  que  deux  mots,  et  si  je  ne  vous  dis  pas  ce  que  j'ai  le 
plus  sur  le  cœur,  qui  est  que,  plus  je  vous  connois,  plus  je  vous  admire 
et  vous  honore  et  que,  si  vous  voyiez  à  quel  point  cela  est,  vous  donne- 
riez une  place  dans  votre  amitié  à  celui  qui  est.  Monsieur,  votre  etc. 


LXXI.  -  9  AOUT   1654.  299 

LXXI. 
FERMAT  A  CARCAVI  ('). 

DIUANCIIE    9    AOUT    105^. 
(CEtmen    de    Pascal.     IV,    p.    /|4^  -  4  i'>- ) 
MONSIF.liR, 

1-  J'ai  été  ravi  d'avoir  eu  des  scntiinenfs  conformes  ii  ceux  de 
.M.  Pascal,  car  j'estime  infiniment  son  génie  et  je  le  crois  très  capable 
do  venir  à  bout  de  tout  ce  qu'il  entreprendra.  L'amitié  qu'il  m'olTre 
m'est  si  chère  et  si  considérable  que  je  crois  ne  devoir  j)oint  faire  dif- 
ficulté d'en  faire  quelque  usage  en  l'impression  de  mes  Traités. 

Si  cela  ne  vous  choquoit  point,  vous  pourriez  tous  deux  procurer 
celle  impression,  de  hujuclle  je  consens  que  vous  sovez  les  maîtres; 
vous  pourriez  éclaircir  ou  augmenter  ce  qui  semble  trop  concis  et  me 
décharger  d'un  soin  que  mes  occupations  m'empêclient  de  prendre.  Je 
désire  même  que  cet  Ouvrage  paroisse  sans  mon  nom,  vous  remettant, 
à  cela  près,  le  choix  de  toutes  les  désignations  qui  pourront  marquer 
le  nom  de  l'auteur  que  vous  qualifierez  votre  ami. 

2.  Voici  le  biais  que  j'ai  imaginé  pour  la  seconde  Partie  qui  con- 
tiendra mes  inventions  pour  les  nombres.  C'est  un  travail  qui  n'est 
encore  qu'une  idée,  et  que  je  n'aurois  pas  le  loisir  de  coucher  au  long 
sur  le  papier;  mais  j'enverrai  succinctement  à  M.  Pascal  tous  mes 
principes  et  mes  premières  démonstrations,  de  quoi  je  vous  réponds  à 
l'avance  qu'il  tirera  des  choses  non  seulement  nouvelles  et  jusqu'ici 
inconnues,  mais  encore  surprenantes. 

Si  vous  joignez  votre  travail  avec  le  sien,  tout  pourra  succéder  et 

(')  L'autographe  de  celte  lettre  a  fait  partie  de  la  Collection  Benjamin  Fiilon  et  a  passé 
en  vente  le  i6  février  1877  (Inventaire  des  autographes  et  des  dncunwnls  limioriques 
composant  la  collection  de  M.  Benjamin  Fiilon,  séries  I  et  II.  Paris,  Etienne  Cliarava\ , 
'^7/1  P-  9-'o)-  On  trouve  reproduit  dans  ce  catalogue  le  §  i  de  cette  lettre,  et  de  plus, 
facsimilés,  la  signature,  la  date  et  les  mots  «  Voslre  1res  humble  et  1res  obéissant  servi- 
teur »,  ces  derniers  supprimés  dans  l'édition. 


300  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

s'achcvor  dans  pou  de  temps,  et  cependant  on  pourra  mellrc  au  jour 
la  première  Partie  que  vous  avez  en  votre  pouvoir. 

Si  y\.  Pascal  goûte  mon  ouverture,  qui  est  principalement  fond«''e 
sur  la  grande  estime  que  je  fais  de  son  génie,  de  son  savoir  et  de  son 
esprit,  je  commencerai  d'abord  à  vous  faire  part  de  mes  inventions 
numériques.  Adieu. 

.le  suis,  Monsieur,  votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur, 

Fkumat. 

X  Toulouse,  ce  <j  août  1O54. 


LXXIl. 
PASCAL  A  FERMAT. 

LUNDI    2V    AOUT    1G5V. 

(fa,  p.   iS'i-i.SS.) 

MONSIEIIU, 

1-  Je  ne  pus  vous  ouvrir  ma  pensée  entii'rc  touchant  les  partis  de 
plusieurs  joueurs  par  l'ordinaire  passé,  et  même  j'ai  quelque  répu- 
gnance à  le  faire,  de  peur  qu'en  ceci  cette  admirable  convenance,  qui 
étoit  entre  nous  et  qui  m'étoit  si  chère,  ne  commence  à  se  démentir, 
car  je  crains  que  nous  ne  soyons  de  ditférents  avis  sur  ce  sujet.  Je 
vous  veux  ouvrir  toutes  mes  raisons,  et  vous  me  ferez  la  grâce  de  me 
redresser,  si  j'erre,  ou  de  m'affermir,  si  j'ai  bien  rencontré.  Je  vous  le 
demande  tout  de  bon  et  sincèrement,  car  je  ne  me  tiendrai  pour  cer- 
tain que  quand  vous  serez  de  mon  côté. 

Quand  il  n'y  a  que  deux  joucuvs,  votre  méthode,  qui  procède  pai- 
les  combinaisons,  est  très  sûre;  mais,  quand  il  y  en  a  trois,  je  (;rois 
avoir  démonstration  qu'elle  est  mal  juste,  si  ce  n'est  (|ue  vous  y  procé- 
diez de  quelque  autre  manière  (jue  je  n'entends  pas.  Mais  la  méthode 
que  je  vous  ai  ouverte  et  dont  je  me  sers  partout  est  commune  à 


LXXII.  -  24   AOUT  1G5'*.  301 

(outcs  les  conditions  imaginables  do  toutes  sortes  de  partis,  an  Ii(Mi 
(|iie  celle  des  combinaisons  (dont  je  ne  me  sers  qu'aux  rencontres 
particulières  où  clic  est  plus' courte  que  la  générale)  n'est  bonne  ([n'en 
ces  seules  occasions  et  non  pas  aux  autres. 

Je  suis  sûr  que  je  me  donnerai  à  entendre,  mais  il  me  faudra  nn 
[)pu  de  discours  et  à  vous  un  peu  de  patience. 

2.  Voici  comment  vous  procédez  quand  il  y  a  </ej/j;  joueurs  : 
Si  deux  joueurs,  jouant  en  plusieurs  parties,  se  trouvent  en  cet  étal 
([u'il  manque  deux  parties  au  premier  et  Irais  au  second,  pour  trouver 
le  parli,  il  faut,  dites-vous,  voir  en  combien  de  parties  le  jeu  sera  dé- 
cidé absolument. 

Il  est  aisé  de  supputer  que  ce  sera  en  quatre  parties,  d'où  vous  con- 
cluez  qu'il  faut  voir  combien  quatre  parties  se  combinent  entre  deux 
joueurs  et  voir  combien  il  y  a  de  combinaisons  pour  faire  gagner  le 
premier  et  combien  pour  le  second  et  partager  l'argent  suivant  ocllr 
proportion.  J'eusse  eu  peine  à  entendre  ce  discours-lii,  si  je  ne  l'eusse 
su  de  moi-même  auparavant;  aussi  vous  l'aviez  écrit  dans  cette  pen- 
sée. Donc,  pour  voir  combien  quatre  parties  se  combinent  entre  doux 
Joueurs,  il  faut  imaginer  qu'ils  jouent  avec  un  dé  à  deux  faces  (puis- 
(|u'ils  ne  sont  que  deux  joueurs),  comme  à  croix  et  pile,  et  qn'il> 
jettent  quatre  de  ces  dés  (parce  qu'ils  jouent  en  quatre  parties);  cl 
maintenant  il  faut  voir  combien  ces  dés  peuvent  avoir  d'assiettes  dil- 
férentes.  ("ela  est  aisé  à  supputer  :  ils  en  peuvent  avoir  ^e?':^  qui  es! 
le  second  degré  de  quatre,  c'est-à-dire  le  quarré.  (]ar  ligurons-nons 
qu'une  des  faces  est  marquée  a,  favorable  au  premier  joueur,  cl 
l'autre  b,  favorable  au  second;  donc  ces  quatre  dés  peuvent  s'asscoii' 
sur  une  de  ces  seize  assiettes  : 


a 

a 

a 

a 

a 

(i 

a 

a 

b 

b 

b 

b 

b 

h 

b 

h 

a 

a 

a 

a 

h 

b 

b 

b 

a 

a 

a 

a 

b 

b 

b 

1, 

fi 

a 

h 

b 

a 

a 

b 

b 

a 

a 

b 

b 

a 

a 

h 

b 

il 

h 

a 

b 

a 

b 

a 

b 

a 

b 

a 

b 

a 

b 

II 

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1 

1 

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1 

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1 

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1 

1 

1 

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30-2  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

et,  parce  qu'il  manque  deux  parties  au  premier  joueur,  toutes  les  faces 
(]ni  oui  deux  a  le  font  gagner  :  donc  il  en  a  i  i  pour  lui;  et  parce  qu'il 
y  manque  trois  parties  au  second,  toutes  les  faces  où  il  y  a  trois  h  le 
peuvent  faire  gagner  :  donc  il  y  en  a  j.  Donc  il  faut  qu'ils  partagent  la 
somme  comme  1 1  à  5. 

Voilà  votre  méthode  quand  il  y  a  deux  joueurs;  sur  quoi  vous  dites 
que,  s'il  y  en  a  davantage,  il  ne  sera  pas  difficile  de  faire  les  partis 
par  la  même  méthode. 

3.  Sur  cela,  Monsieur,  j'ai  à  vous  dire  que  ce  parti  pour  deux 
joueurs,  fondé  sur  les  combinaisons,  est  très  juste  et  très  bon;  mais 
(jue,  s'il  y  a  plus  de  deux  joueurs,  il  ne  sera  pas  toujours  juste  et  je 
vous  dirai  la  raison  de  cette  dilTcrence. 

Je  communiquai  votre  méthode  à  nos  Messieurs,  sur  quoi  M.  de  Ro- 
berval  me  fit  cette  objection  : 

Que  c'est  à  tort  que  l'on  prend  l'art  de  faire  le  parti  sur  la  supposi- 
tion qu'on  joue  en  quatre  parties,  vu  que,  quand  il  manque  deux  par- 
lies  à  l'un  et  trois  à  l'autre,  il  n'est  pas  de  nécessité  que  l'on  joue 
quatre  parties,  pouvant  arriver  qu'on  n'en  jouera  que  deux  ou  trois,  ou 
à  la  vérité  peut-être  quatre; 

Et  ainsi  qu'il  ne  voyoitpas  pourquoi  on  prétendoit  de  faire  le  parti 
juste  sur  une  condition  feinte  qu'on  jouera  quatre  parties,  vu  que  la 
condition  naturelle  du  jeu  est  qu'on  ne  jouera  plus  dès  que  l'un  des 
joueurs  aura  gagné,  et  (|u'au  moins,  si  cela  n'étoit  faux,  cela  n'étoit 
pas  démontré,  de  sorte  ^\n\\  avoit  quelque  soupçon  que  nous  avions 
fait  un  paralogisme. 

Je  lui  répondis  que  je  ne  me  fondois  pas  tant  sur  cette  méthode  des 
combinaisons,  laquelle  véritablement  n'est  pas  en  son  lieu  en  celte 
occasion,  comme  sur  mon  autre  méthode  universelle,  à  qui  rien 
n'échappe  et  qui  porte  sa  démonstration  avec  soi,  qui  trouve  le  même 
parti  précisément  que  celle  des  combinaisons;  et  de  plus  je  lui  dé- 
montrai la  vérité  du  parti  entre  deux  joueurs  par  les  combinaisons  en 
cette  sorte  : 

N'est-il  pas  vrai  que,  si  deux  joueurs,  se  trouvant  en  cet  état  de 


LXXII.  —  2'i.  AOUT   ICoi.  30:? 

l'hypotlièsc  qu'il  manque  deux  parties  à  l'uu  et  trois  îi  l'autro,  con- 
viennent maintenant  de  gré  à  gré  qu'on  joue  quatre  parties  complètes, 
c'est-à-dire  qu'on  jette  les  quatre  dés  à  deux  faces  tous  à  la  fois,  n'est- 
il  pas  vrai,  dis-je,  que,  s'ils  ont  délibéré  de  jouer  les  (|uatre  parties, 
le  parti  doit  être,  tel  que  nous  avons  dit,  suivant  la  multitude  des  as- 
siettes favorables  ii  chacun? 

Il  en  demeura  d'accord  et  cela  en  eflet  est  démonstratif;  mais  il 
nioit  que  la  même  chose  subsistât  en  ne  s'astreignant  pas  'a  jouer  les 
quatre  parties.  Je  lui  dis  donc  ainsi  : 

N'est-il  pas  clair  que  les  mêmes  joueurs,  n'étant  pas  astreints  ii 
jouer  <  les  >  quatre  parties,  mais  voulant  quitter  le  jeu  dès  que  l'un 
auroit  atteint  son  nombre,  peuvent  sans  dommage  ni  avantage  s'as- 
treindre à  jouer  les  quatre  parties  entières  et  que  cette  convention  ne 
change  en  aucune  manière  leur  condition?  Car,  si  le  premier  gagne 
les  deux  premières  parties  de  quatre  et  qu'ainsi  il  ait  gagné,  refusera- 
t-il  de  jouer  encore  deux  parties,  vu  que,  s'il  les  gagne,  il  n'a  pas 
mieux  gagné,  et  s'il  les  perd,  il  n'a  pas  moins  gagné?  car  ces  deux  que 
l'autre  a  gagné  ne  lui  suffisent  pas,  puisqu'il  lui  en  faut  trois,  et  ainsi 
il  n'y  a  pas  assez  de  quatre  parties  pour  faire  qu'ils  puissent  tous  deux 
atteindre  le  nombre  qui  leur  manque. 

Certainement  il  est  aisé  de  considérer  qu'il  est  absolument  égal  et 
indifférent  à  l'un  et  à  l'autre  déjouer  en  la  condition  naturelle  à  leur 
jeu,  qui  est  de  finir  dès  (ju'un  aura  son  compte,  ou  déjouer  les  quatre 
parties  entières  :  donc,  puisque  ces  deux  conditions  sont  égales  et  in- 
différentes, le  parti  doit  être  tout  pareil  en  l'une  et  en  l'autre.  Or,  il 
est  juste  quand  ils  sont  obligés  de  jouer  quatre  parties,  comme  je  l'ai 
montré  :  donc  il  est  juste  aussi  en  l'autre  cas. 

Voilà  comment  je  le  démontrai  et,  si  vous  y  prenez  garde,  cette  dé- 
monstration est  fondée  sur  l'égalité  des  deux  conditions,  vraie  e( 
feinte,  à  l'égard  de  deux  joueurs,  et  qu'en  l'une  et  eu  l'autre  un  même 
gagnera  toujours  et,  si  l'un  gagne  ou  perd  en  l'une,  il  gagnera  on 
perdra  en  l'autre  et  jamais  deux  n'auront  leur  compte. 

4.  Suivons  la  même  pointe  pour /row  joueurs  et  posons  (ju'il  manque 


:50i  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

it/ic  parlic  au  promicr,  qu'il  eu  mauque  deux  au  second  cl  deux  au 
Iroisièmc.  Pour  faire  le  parli,  suivant  la  même  méthode  des  combinai- 
sons, il  faut  chercher  d'abord  en  combien  de  parties  le  jeu  sera  dé- 
i-idé,  comme  nous  avons  fait  quand  il  y  avoit  deux  joueurs  :  ce  sera  en 
trois,  car  ils  ne  sauroient  jouer  trios  parties  sans  que  la  décision  soil 
arrivée  nécessairement. 

Il  faut  voir  maintenant  combien  trois  parlies  se  combinent  entre 
Irois  joueurs  et  combien  il  y  en  a  de  favorables  à  l'un,  combien  à 
l'autre  et  combien  au  dernier  et,  suivant  cette  proportion,  distribuer 
l'argent  de  même  qu'on  a  fait  en  l'hypothèse  de  deux  joueurs. 

Pour  voir  combien  il  y  a  de  combinaisons  en  tout,  cela  est  aisé  : 
c'est  la  troisième  puissance  de  3,  c'est-à-dire  son  cube  27.  Car,  si  on 
jette  trois  dés  à  la  fois  (puisqu'il  faut  jouer  trois  parties),  qui  aient 
chacun  trois  faces  (puisqu'il  y  a  trois  joueurs),  l'une  marquée  a  favo- 
rable au  premier,  l'autre  b  pour  le  second,  l'autre  c  pour  le  troisième, 
il  est  manifeste  que  ces  trois  dés  jetés  ensemble  peuvent  s'asseoir  sur 
27  assiettes  différentes,  savoir  : 


a 
a 
tt 

1 

a 
a 
h 

1 

a 
a 
c 

i 

a 
b 
a 

a 
b 
h 

1 

a 
b 
c 

a 
c 
(i 

1 

a 
c 
b 

1 

a 
c 
c 

b 
a 
a 

b 
a 
h 

1 

b 
a 
c 

b 
b 
a 

•i 

b 
b 
h 

>. 

b 
b 
c 

b 
c 
a 

b 
c 
b 

■2 

b 
c 

c 

c 
a 
a 

c 
a 
b 

1 


c 
a 
c 

I 

c 
b 
a 

1 

c 
b 
b 

c 

b 

c 

3 

c 
c 
a 

1 

3 

c 
c 

b 

3 

c 
c 
c 

3 

Or,  il  ne  manque  qnunc  partie  au  premier  :  donc  toutes  les  as- 
siettes où  il  y  a  un  a  sont  pour  lui  :  donc  il  y  en  a  i(). 

Il  manque  deux  parties  au  second  :  donc  toutes  les  assiettes  où  il  y 
a  deux  b  sont  pour  lui  :  donc  il  y  en  a  7. 

Il  manque  deux  parties  au  troisième;  donc  toutes  les  assiettes  où  il 
y  a  deux  c  sont  pour  lui  ;  donc  il  y  en  a  7. 

Si  de  lii  on  concUioit  qu'il  faudroit  donner  à  chacun  suivant  la  pro- 
portion de  19,  7,  7,  on  se  tromperoit  trop  grossièrement  et  je  n'ai 
garde  de  croire  que  vous  le  fassiez  ainsi;  car  il  y  a  quelques  faces 


LWII.  —  aV   AOUT   1G5^.  305 

favorables  au  prcmior  cl  au  second  (nul  ensemble,  comme  abh,  car  le 
premier  v  trouve  un  a  qu'il  lui  faut,  et  le  second  deux  b  qui  lui  man- 
quent; et  ainsi  ace  est  pour  le  premier  et  le  troisième. 

Donc  il  ne  faut  pas  compter  ces  faces  qui  sont  communes  à  deux 
comme  valant  la  somme  entière  ;i  chacun,  mais  seulement  la  moitié, 
('ar,  s'il  arrivoit  l'assiette  ace,  le  premier  et  le  troisième  auroienl 
même  droit  ii  la  somme,  ayant  chacun  leur  com[»te,  donc  ils  partage- 
roient  l'argent  par  la  moitié;  mais  s'il  arrive  l'assiette  aab,  le  premier 
gagne  seul.  Il  faut  donc  faire  la  supputation  ainsi  : 

Il  Y  a  i3  assiettes  (|ui  donnent  l'entier  au  premier  et  G  qui  lui  don- 
nent la  moitié  et  8  (jui  ne  lui  valent  rien  :  donc,  si  la  somme  entière 
est  une  pistole,  il  y  a  i'5  faces  ([ui  lui  valent  chacune  une  pistole,  il  y  a 
()  faces  qui  lui  valent  chacune  ';  pistole  et  <S  (jui  ne  valent  rien. 

Donc,  en  cas  de  parti,  il  faut  multiplier 

i3  par  une  pistole,  f|ui  font i3 

6  par  une  denii,     qui  font 3 

8  par  zéro,  qui  font o 

Somme...     27  Somme...      iG 

et  diviser  la  somme  des  valeurs,  iG,  par  la  somme  des  assiettes,  27, 
(jui  fait  la  fraction  ^^/l,  qui  est  ce  qui  appartient  au  premier  en  cas  de 
parti,  savoir  iG  pistoles  de  27. 

Le  parti  du  second  et  du  troisième  joueur  se  trouvera  de  même  : 

Il  y  a    4  assiettes  ipii  lui  valent  1  pistole  :  multipliez. . .     t\ 
Il  y  a    3  assiettes  ipji  lui  vaieiil  .r  pistole  :  multipliez. . .      1  ^ 
El        io  assieltes  cjui  ne  lui  vuIlmiI  rien o 

Somme...     27  Somme...     ")  ^ 

Donc  il  appartient  au  second  joueur  j  pistoles  et  \  sur  27,  et  autant  au 
troisième,  et  ces  trois  sommes,  ."i  :,,  5  ^  et  iG,  étant  jointes,  font  les  27. 

5.  Voilà,  ce  me  semble,  de  quelle  manière  il  faudroit  faire  les  partis 
par  les  combinaisons  suivant  votre  méthode,  si  ce  n'est  que  vous  ayez 
(juelque  autre  chose  sur  ce  sujet  que  je  ne  puis  savoir.  Mais,  si  je  ne 
me  trompe,  ce  parti  est  mal  juste. 

La  raison  en  est  qu'on  suppose  une  chose  fausse,  qui  est  qu'on  joue 

ItnuAT.  —  11.  3i) 


30G  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

on  trois  parties  infailliblement,  au  lieu  que  la  condition  naturelle  do 
ce  jeu-là  est  qu'on  ne  joue  que  jusques  à  ce  qu'un  des  joueurs  ait 
atteint  le  nombre  de  parties  qui  lui  manque,  auquel  cas  le  jeu  cesse. 

Ce  n'est  pas  qu'il  ne  puisse  arriver  qu'on  joue  trois  parties,  mais  il 
peut  arriver  aussi  qu'on  n'en  jouera  qu'une  ou  deux,  et  rien  de  nécessité. 

Mais  d'où  vient,  dira-t-on,  qu'il  n'est  pas  permis  de  faire  en  cette 
rencontre  la  même  supposition  i'einte  que  quand  il  y  avoit  deux 
joueurs?  En  voici  la  raison  : 

Dans  la  condition  véritable  de  ces  trois  joueurs,  il  n'y  en  a  qu'un 
qui  peut  gagner,  car  la  condition  est  (jue,  dès  qu'un  a  gagné,  le  jeu 
cesse.  Mais,  en  la  condition  feinte,  deux  peuvent  atteindre  le  nombre 
de  leurs  parties  :  savoir,  si  le  premier  en  gagne  une  qui  lui  manque, 
et  un  des  autres,  deux  qui  lui  manquent;  car  ils  n'auront  joué  que 
trois  parties,  au  lieu  que,  quand  il  n'y  avoit  que  deux  joueurs,  la  con- 
dition feinte  et  la  véritable  convenoient  pour  les  avantages  des  joueurs 
en  tout;  et  c'est  ce  qui  met  l'extrême  différence  entre  la  condition 
feinte  et  la  véritable. 

Que  si  les  joueurs,  se  trouvant  en  l'état  de  l'iiypotlièse,  c'est-à-dire 
s'il  manque  une  partie  au  premier  et  deux  au  second  et  deux  au  troi- 
sième, veulent  maintenant  de  gré  à  gré  et  conviennent  de  celte  condi- 
tion qu'on  jouera  trois  parties  compli'les,  et  que  ceux  qui  auront 
atteint  le  nombre  qui  leur  manque  prendront  la  somme  entière,  s'ils 
se  trouvent  seuls  qui  l'aient  atteint,  ou,  s'il  se  trouve  que  deux  l'aient 
atteint,  qu'ils  la  partageront  également,  en  ce  cas,  le  parti  se  doit  faire 
comme  je  viens  de  le  donner,  que  le  premier  ait  iG,  le  second  5^,  le 
troisième  /vt»  de  27  pistoles,  et  cela  porte  sa  démonstration  de  soi- 
même  en  supposant  cette  condition  ainsi. 

Mais  s'ils  jouent  simplement  à  condition,  non  pas  qu'on  joue  néces- 
sairement trois  parties,  mais  seulement  jusques  à  ce  que  l'un  d'entre 
eux  ait  atteint  ses  parties,  et  qu'alors  le  jeu  cesse  sans  donner  moyen 
à  un  autre  d'y  arriver,  lors  il  appartient  au  premier  17  pistoles,  au 
second  5,  au  troisième  5,  de  27. 

Et  cela  se  trouve  par  ma  méthode  générale  qui  détermine  aussi 


LXXllI.  -  2S)  AOUT   1034.  307 

qu'cii  la  comlition  prccédciUo.  il  en  faut  iG  au  premier,  5^^  au  second, 
et  5{r  au  troisième,  sans  se  servir  îles  combinaisons,  car  elle  va  par- 
tout seule  et  sans  obstacle. 

6.  Voilii,  ÎMonsicur,  mes  pensées  sur  ce  sujet  sur  lequel  je  n'ai 
d'autre  avantage  sur  vous  que  celui  d'y  avoir  beaucoup  plus  médité; 
mais  c'est  peu  de  cliose  à  votre  égard,  puisque  vos  premières  vues  sont 
plus  pénétrantes  que  la  longueur  de  mes  cITorts. 

Je  no  laisse  pas  de  vous  ouvrir  mes  raisons  pour  en  attendre  le  jugi'- 
mont  de  vous.  Je  crois  vous  avoir  fait  connoitrc  par  lit  que  la  méthode 
des  combinaisons  est  bonne  entre  deux  joueurs  par  accident,  comme 
elle  l'est  aussi  quelquefois  entre  trois  joueurs,  comme  (juand  il 
manque  une  partie  à  l'un,  une  \\  l'autre  et  deux  ii  l'autre,  parce  qu'en 
ce  cas  le  nombre  des  parties  dans  lesquelles  le  jeu  sera  aclievé  ne 
sulfit  pas  pour  en  faire  gagner  deux;  mais  elle  n'est  pas  générale  et 
n'est  bonne  généralement  qu'au  cas  seulement  qu'on  soit  astreint  ;i 
jouer  un  certain  nombre  de  parties  exactement. 

De  sorte  que,  comme  vous  n'aviez  pas  ma  méthode  quand  vous 
m'avez  proposé  le  parti  de  {)lusieurs  joueurs,  mais  seulement  celle 
des  combinaisons,  je  crains  que  nous  soyons  de  sentimens  différens 
sur  ce  sujet. 

Je  vous  supplie  de  me  mander  de  quelle  sorte  vous  procédez  en  la 
recherche  de  ce  parti.  Je  recevrai  votre  réponse  avec  respect  et  avec 
joie,  quand  même  votre  sentiment  me  scroit  contraire.  Je  suis  etc. 


LXXIII. 
l'EUMAT  A  PASCAL  ('). 

SAMEDI    29    AOUT    1G5V. 
(OEiwc!  de  Pascal,  l\\  p.  !^3b-'^^■^.) 

Monsieur, 
1-  Nos  coups  fourrés  continuent  toujours  et  je  suis  aussi  bien  que 

(')  CcUe  lettre  a  été  écrite  par  Fermai  avant  qu'il  eût  rcgu  la  précédente. 


308 


ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


vous  dans  r;ulniiration  de  quoi  nos  pensées  s'njustcnt  si  oxacLcmcnl 
qu'il  seml)le  qu'elles  aient  pris  une  même  route  et  l'ait  un  même  clie- 
min.  Vos  derniers  Traités  du  Triangle  aràhmèliquc  et  de  son  applicalion 
en  sont  une  preuve  authentique  :  et  si  mon  calcul  ne  me  trompe,  votre 
onzième  conséquence  ('  )  couroit  la  poste  de  Paris  à  Toulouse,  pendant 
que  ma  proposition  dos  nombres  figurés,  qui  on  cfTet  est  la  même, 
alloit  de  Toulouse  à  Paris. 


(  '  )  La  onzième  conséquence  du  Traité  du  Irlaii^le  nrù/nticlii/iic  csL  énoncée  ainsi  : 
C/iaijue  cellule  de  la  dividcnte  est  diiublc  de  celle  qui  la  précède  dans  sim  rang  paral- 
lèle ou  perpendiculaire. 

Pascal  appelle  cellules  de  la  dividente  celles  que  la  bissectrice  de  l'angle  droit  du 
triant;Ie  traverse  diagonalonient  :  par  exemple  les  cellules  G,  <\,  G,  P,  p. 


I 

1 

I 

I 

1 

1 

I 

I 

I 

■•■.,  'V 

3 

'l 

j  5 

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36 

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70 

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(i 

ni 

ÔG 

r^Q, 

/ 

■jS 

«1 

S 

30 

9 

La  proposition  des  nombres  fip:urés  de  Fermât  est  celle  de  \' Observation  X LTl  sur  Dio- 
phante  et  de  la  lettre  XII,  12  (  voir  plus  haut,  page  70,  note  i).  La  onzième  conséquence  du 
Traité  du  triangle  aritlnnciique  de  Pascal  ne  correspond  de  fait  qu'à  la  première  partie 
de  la  proposition  de  l'^ermat,  à  savoir  que  m{m  -t-  i)  est  le  double  du  triangle  de  ciité  m  : 
pour  retrouver  dans  l'œuvre  de  Pascal  le  reste  do  cette  proposition,  il  faut,  à  la  onzième 
conséquence,  ajouter  la  douzième,  etc.,  en  mettant  d'ailleurs  celle-ci  sous  la  forme  de  la 
proposition  XI  du  Tridlé  des  ordres  numériques. 


F.XXin.  -  -iO   AOUT    IGo/...  30!) 

Je  n'ai  i^'anlc  de  faillir  tandis  (|ii('  je  r(Mi(,'(»nlr(M'ai  do  code  sorlc.  cl 
je  suis  persuadé  (|ue  le  vrai  moyeu  pour  s'enipèclier  de  faillir  est  relui 
(le  concourir  avec  vous.  Alais,  si  j'en  disois  davantage,  la  chose  lieu- 
droit  du  couipliment,  et  nous  avons  hauui  cet  ennemi  des  conversa- 
tions douces  et  aisées. 

Ce  seroit  maintenant  à  mou  tour  ii  vous  débiter  quehju'une  de  mes 
inventions  numériques;  mais  la  fin  du  parlement  augmente  mes  occu- 
ltations, et  j'ose  espérer  de  votre  bonté  que  vous  m'accorderez  un  répit 
juste  et  quasi  nécessaire. 

2.  (À'pendaut  je  répontirai  à  votre  question  des  trois  joueurs  (|ui 
jouent  en  deux  parties.  Lorsque  le  premier  en  a  une,  et  que  les  autres 
n'en  ont  pas  une,  votre  première  solution  est  la  vraie,  et  la  division  de 
l'argent  doit  se  faire  en  17,  ,")  et  '>  :  de  quoi  la  raison  est  manifeste  et 
se  prend  toujours  du  même  principe,  les  eomhinaisons  faisant  voir 
d'abord  que  le  premier  a  pour  lui  17  hasards  égaux,  lorsque  cliacun 
des  <:^deux  >  autres  n'en  a  (jue  ">. 

3.  Au  reste,  il  n'est  rien  à  l'avenir  que  je  ne  vous  communique 
avec  toute  franchise.  Songez  cependant,  si  vous  le  trouvez  à  propos,  à 
cette  proposition  : 

Les  j)uissances  quarrées  de  2,  augmentées  de  l'unité,  sont  toujours 
des  nombres  premiers. 

Le  quarré  de  2,  augmenté  de  l'unité,  fait  5  qui  est  nombre  premier. 

Le  quarré  du  ([uarré  fait  iG  qui,  augmenté  de  l'unité,  fait  17, 
nombre  premier. 

Le  quarré  de  iG  fait  2jG  qui,  augmenté  de  l'unité,  fait  2J7,  nombre 
premier. 

Le  quarré  de  2jG  fait  G5  53G  qui,  augmenté  de  l'unité,  fait  G5  537, 
nombre  premier. 

Fit  ainsi  à  l'intini. 

C'est  une  [troitriété  de  la  vérité  de  laquelle  je  vous  réponds.  La 
démonstration  en  est  tri's  malaisée  et  je  vous  avoue  que  je  n'ai  pu 


310  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

iMicdro  la  trouver  pleinement;  je  ne  vous  la  proposerois  pas  pour  la 
chercher,  si  j'en  étois  venu  à  bout  ('). 

dette  proposition  sert  à  l'invention  des  nombres  qui  sont  à  leurs 
parties  aliquotes  en  raison  donnée,  sur  quoi  j'ai  l'ail  des  découvertes 
considérables.  Nous  en  parlerons  une  autre  fois. 


.le  suis,  Monsieur,  votre,  etc., 

A  Toulouse,  le  99  août  iGJi. 


Ff-umat. 


LXXIV. 
FERMAT  A  PASCAL  (-). 

VENDREDI  25  SEPTEMBRE  Hi'6k. 

{OEurres   île  Pascal,    IV,    p.    !t^~-'i'\i  ■) 

MoNsiEiin, 

1-  N'appréhendez  pas  que  notre  convenance  se  démente,  vous  l'avez 
confirmée  vous  mémo  en  pensant  la  détruire,  et  il  me  semble  qu'en 
répondant  à  M.  de  Robcrval  pour  vous,  vous  avez  aussi  répondu  pour 
moi. 

Je  prends  l'exemple  des  trois  joueurs,  au  premier  desquels  il  manque 
une  partie,  et  à  chacun  des  deux  autres  deux,  qui  est  le  cas  que  vous 
m'opposez. 

Je  n'y  trouve  que  17  combinaisons  pour  le  premier  et  j  pour  chacun 
des  deux  autres  :  car,  quand  vous  dites  que  la  combinaison  ace  est 
])onne  pour  le  premier  et  pour  le  troisième,  il  semble  que  vous  ne 
vous  souveniez  plus  que  tout  ce  qui  se  fait  après  que  l'un  des  joueurs 
a  gagné,  ne  sert  plus  de  rien.  Or,  cette  combinaison  ayant  fait  gagner 
le  premier  dès  la  première  partie,  qu'importe  que  le  troisième  en 

(')  f'oir  Tome  I,  j).  i3i,  et  Tome  11,  p.  aoG. 
(2)  Ucponsc  à  la  lettre  LXXII. 


LWIV.  -  25  SEPTEMBRE  IGaV.  :5U 

gagne  deux  ensuite,  puisque,  quand  il  en  gagneroit  (rente,  tout  (;ela 
scroit  superflu? 

(^c  qui  vient  do  ce  que,  comme  vous  avez  très  bien  remarqué,  celle 
fiction  d'étendre  le  jeu  à  un  certain  nombre  de  parties  ne  sert  qu'à 
faciliter  la  règle  et  (suivant  mon  sentiment)  h  rendre  tous  les  basards 
égaux,  ou  bien,  plus  intelligiblement,  à  réduire  toutes  les  fractions  à 
une  même  dénomination. 

■  Et  atin  que  vous  n'en  doutiez  plus,  si  au  lieu  de  trois  parties,  vous 
étendez,  au  cas  proposé,  la  feinte  jusqu'à  quatre,  il  v  aura  non  seu- 
lement 27  combinaisons,  mais  81,  et  il  faudra  vdir  combien  de  com- 
binaisons feront  gagner  au  premier  une  partie  plus  lot  que  deux  à 
cbacun  des  autres,  et  combien  feront  gagner  à  cbacun  des  deux  autres 
deux  parties  plus  tôt  qu'une  au  premier.  Vous  trouverez  que  les  com- 
binaisons pour  le  gain  du  premier  seront  5i  et  celles  de  cbacun  des 
autres  deux  i.^  ce  qui  revient  à  la  même  raison. 

Que  si  vous  prenez  cinq  parties  ou  tel  autre  nombre  qu'il  vous 
plaira,  vous  trouverez  toujours  trois  nombres  en  proportion  de  17, 
5,5. 

Et  ainsi  j'ai  droit  de  dire  que  la  combinaison  ace  n'est  que  pour  le 
premier  et  non  pour  le  troisième,  et  que  cca  n'est  que  pour  le  troi- 
sième et  non  pour  1(>  premier,  et  que  partant  ma  règle  des  combi- 
naisons est  la  même  en  trois  joueurs  ({n'en  deux,  et  généralement  en 
tous  nombres. 

2.  Vous  aviez  déjà  pu  voir  par  ma  précédente  (')  que  je  n'bésitois 
point  à  la  solution  véritable  de  la  question  des  trois  joueurs  dont  je 
vous  avois  envoyé  les  trois  nombres  décisifs,  17,  5,  5.  iAIais  parce  (jue 
31.  <  de  >  Roberval  sera  peut-être  bien  aise  de  voir  une  solution  sans 
rien  feindre,  et  qu'elle  peut  quelquefois  produire  des  abrégés  en 
beaucoup  de  cas,  la  voici  en  l'exemple  proposé  : 

Le  premier  peut  gagner,  ou  en  une  seule  partie,  ou  en  deux,  ou  en 
trois. 

(•)  LeUrc  LXXllI,  2. 


312  ŒUVRES   DE   FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

S'il  gagne  en  une  seule  partie,  il  faut  (ju'avec  un  dé  qui  a  trois 
faces,  il  rencontre  la  favorable  du  premier  coup.  Un  seul  dé  produit 
trois  hasards  :  ce  joueur  a  donc  pour  lui  ^  des  hasards,  lorsqu'on  ne 
joue  qu'une  partie. 

Si  on  en  joue  deux,  il  peut  gagner  de  deux  façons,  ou  lorsque  le 
second  joueur  gagne  la  première  et  lui  la  seconde,  ou  lorsque  le  troi- 
sième gagne  la  prcmii're  et  lui  la  seconde.  Or,  deux  dés  produisent 
f)  hasards  :  ce  joueur  a  donc  pour  lui  -  des  hasards,  lorsqu'on  joue 
deux  parties. 

Si  on  en  joue  trois,  il  ne  peut  gagner  que  de  deux  façons,  ou 
lorsque  le  second  gagne  la  première,  le  troisième  la  seconde  et  lui 
la  troisième,  ou  lorsque  le  troisième  gagne  la  première,  le  second  la 
seconde  et  lui  la  troisième;  car,  si  le  second  ou  le  troisième  joueur 
gagnoit  les  deux  premières,  il  gagneroit  le  jeu,  et  non  pas  le  premier 

joueur.  Or,  trois  dés  ont  27  hasards  :  donc  ce  premier  joueur  a  -^  des 
hasards  lorsqu'on  joue  trois  parties. 

La  somme  des  hasards  qui  font  gagner  ce  premier  joueur  est  par 

conséquent  v»  -  ft  — .  ce  qui  fait  en  tout  --• 

1  o     ()         27  '  27 

Et  la  règle  est  bonne  et  générale  en  tous  les  cas,  de  sorte  que,  sans 
recourir  à  la  feinte,  les  combinaisons  véritables  en  chaque  nombre 
des  parties  portent  leur  solution  et  font  voir  ce  que  j'ai  dit  au  com- 
mencement, que  l'extension  ii  un  certain  nombre  de  parties  n'est 
autre  chose  que  la  réduction  de  diverses  fractions  à  une  même  déno- 
mination. Voilà  en  peu  de  mots  fout  b;  mystère,  qui  nous  remettra 
sans  doute  en  bonne  intelligence,  puisque  nous  ne  cherchons  l'un  et 
autre  que  la  raison  et  la  vérité. 

3.  J'espère  vous  envoyer  à  la  Saint-Martin  un  Abrégé  de  tout  ce 
(jue  j'ai  inventé  de  considérable  aux  nombres.  Vous  me  permettrez 
d'être  concis  et  de  me  faire  entendre  seulement  à  un  homme  qui  com- 
|)rend  tout  à  demi-mot. 

("-e  que  vous  y  trouverez  de  plus  important  regarde  la  proposition 


LXXIV.  —  23  SEPTEMBRE  1  C54.  313 

<|ii('  tout  nombre  ost  composé  tl'iin,  de  deux  ou  de  trois  triangles; 
d'un,  de  doux,  do  trois  ou  do  quaire  quarrés;  d'un,  de  deux,  de  trois, 
de  quatre  ou  do  cinq  ])onlagonos;  d'un,  do  doux,  de  trois,  do  quatre, 
lie  cinq  ou  de  six  hexagones,  et  à  l'infini  ('). 

Pour  y  parvenir,  il  faut  démontrer  que  tout  nombre  premier,  qui 
surpasse  de  l'unité  un  multiple  do  ^\,  est  composé  do  deux  quarrés, 
comme  .'),  i3,  17,  29,  37,  etc. 

Étant  donné  un  nombre  premier  de  cette  nature,  comme  53,  trouver, 
par  règle  générale,  les  deux  quarrés  qui  le  composent. 

Tout  nombre  premier,  qui  surpasse  de  l'unité  un  multiple  de  3, 
est  composé  d'un  quarré  et  du  triple  d'un  autre  quarré,  comme  7,  i3, 
19,  3i ,  37,  etc. 

Tout  nombre  premier,  qui  surpasse  de  i  ou  de  3  un  multiple  de  8, 
est  composé  d'un  quarré  et  ilu  double  d'un  autre  quarré,  comme  i  i. 
17,  19,  4i,  /|3,  etc. 

Il  n'y  a  aucun  triangle  en  nombres  duquel  l'aire  soit  égale  ii  un 
nombre  quarré  (-). 

(^-ela  sera  suivi  d(!  l'invention  de  beaucoup  do  propositions  (jue  Bachot 
avoue  avoir  ignorées,  et  (|ui  manquent  dans  le  Diopbante. 

Je  suis  persuadé  que  dos  (|ue  vous  aurez  connu  ma  l'aoon  de  démoii- 
Irer  en  cette  nature  de  propositions,  elle  vous  paroitra  belle  et  vous 
donnera  lieu  de  l'aire  beaucoup  de  nouvelles  découvertes;  car  il  faul, 
comme  vous  savez,  que  miilti pciiranscant  ut  atigcatitr  scientia  ('). 

S'il  me  reste  du  temps,  nous  parlerons  ensuite  des  nombres  ma- 
gi(]ues,  et  je  rappellerai  mes  vieilles  espèces  sur  ce  sujet. 

Je  suis  de  tout  mon  cœur,  Monsieur,  votre,  etc., 

FK.nJlAT. 

Ce  23  septembre. 

Je  souhaite  la  santé  do  M.  do  (larcavi  comme  la  mienne  et  suis  tout 
il  lui. 

(')  Foir  IxUre  XII,  3. 
(')  Foir  LcUro  XII,  2. 
I  ')  Foir  plus  haut  p.  35,  noie  2. 

l'EHBAT.  —    M.  '  40 


31V  ŒUVRES    l)K   l'RHMAT.  —  CORllESPONDANCE. 

Je  vous  écris  de  la  campagne,  et  c'est  ce  qui  retardera  par  aventure 
mes  réponses  pendant  ces  vacations. 


LXW. 

PASCAL  A  FER:\IAT  ('). 

MARDI  27  OCTOBnE  ICo'i-. 

{OEmres  de  Pnscnl,  IV,  p.  !^'^^.) 


MONSH'.I  I!, 


Votre  dernii're  lettre  m'a  parfaitement  satislail.  J'admire  votre  mé- 
thode pour  les  partis,  d'autant  mieux  que  je  l'entends  fort  bien:  elle 
est  entièrement  votre,  et  n'a  rien  de  commun  avec  la  mienne,  et  arrive 
au  même  but  facilement.  Voilà  notre  intelligence  rétablie. 

.Mais,  Monsieur,  si  j'ai  concouru  avec  vous  eu  cela,  cherchez  ailleurs 
(|ni  vous  suive  dans  vos  inventions  numériques,  dont  vous  m'avez  l'ail 
la  grâce  de  m'envoyer  les  énoncialions.  Pour  moi,  je  vous  cou  l'esse 
(]ue  cela  me  passe  de  bien  loin;  je  ne  suis  capable  que  de  les  admirei', 
et  vous  supplie  très  humblement  d'occuper  votre  premier  loisir  ii  les 
achever.  Tous  nos  .Messieurs  les  virent  samedi  dernier  et  les  esli- 
mi-rent  de  tout  leur  cœur  :  on  ne  peut  pas  aisément  support(M'  l'al- 
leu te  de  choses  si  belles  et  si  souhaitables.  Pensez-y  donc,  s'il  vous 

plail,  et  assurez-vous  que  je  suis,  etc. 

Pascal. 

l'aris,  27  octobre  10)4- 

(  '  )  Ré]ionsc  ù  la  LcUie  i)réc6dcntc. 


F.XXVI.  -    1C56.  3i:i 


ANNÉE    1650. 


lAXVI. 

FERMAT   A    CARCAVI    (' ). 

1036. 

(13iU.  Nat.  Ir.  log'ib,  X-Vll,  p.  7S-S'|.) 

<  Monsieur  >, 

1.  J'ai  rerii  un  très  graïul  conlentemenl  de  vos  Icllrcs  du  19  du  mois  passr, 
lesquelles  m'onl  été  rendues  il  y  a  deux  jours,  el  je  me  liens  lorl  obligé  à  la 
civilité  de  M.  Pascal,  duquel,  si  l'eslime  que  j'en  ai  pouvoil  être  plus  grande, 
elle  seroil  augmentée  par  tant  de  démonstrations  ([ue  j'en  ai  rcrucs.  Je  vous 
prie  donc  (vous  qui  m'avez  fait  l'honneur  de  me  faire  connoîlre  une  personne 
si  savante)  de  lui  témoigner  le  respect  et  l'estime  que  j'ai  pour  lui,  cl  que,  si 
j('  ne  puis  pas  correspondre  avec  les  effets  à  tant  de  grâces  qu'il  lui  a  i)lu  de 
me  faire,  je  ne  manquerai  pas  au  moins  d'y  satisfaire  avec  ma  bonne  volonté 
que  j'ai  voulu  vous  faire  connoître  présentement  par  la  réponse  que  je  vous 
envoie  de  ce  (ju'on  m'a  proposé.  Le  temps  est  court;  mais,  n'espérant  pas  de 
jiouvoir  la  semaine  [irocliaine  avoir  la  commodité  de  m'appliquer  à  de  sem- 
blables s[)éculalions,  je  suis  contraint  de  vous  en  dire  mon  sentiment  sur  le 
champ. 

2.  Il  est  bien  vrai  qu'il  me  déplaît  que  d'abord  je  ne  suis  pas  du  sentimenl 
de  M.  Pascal  touchant  l'Analyse  spcciose,  de  laquelle  je  fais  plus  grand  cas 

(  '  )  Celle  Ictue  a  été  publiée  pour  la  première  fois  par  M.  Charles  Henry  (Rcclterclu-s, 
\i.  197-200)  d'après  une  copie  sans  date,  sans  adresse  et  sans  signature.  La  date  de  iG3G 
a  été  attribuée  à  cette  lettre  à  cause  des  allusions  aux  jansénistes  el  molinisles,  el  au 
séjour  de  lluygens  à  Paris  (|uc  le  savant  holUuidais  quitta  le  3o  novembre  i655  (OEihtcs 
compUten,  \,  p.  367).  Le  texte  n'est  qu'une  traduction  passablement  incorrecte  de  l'ori- 
ginal qui  élail  rédigé  en  latin,  comme  on  peut  le  conclure  d'après  les  nombreux  mots  di' 
cette  langue  que  le  traducteur,  parfois  embarrassé,  a  transcrits  dans  l'interligne. 


:î1G  œuvres  de  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

(lue  lui,  el  .j'ose  dire  que  les  preuves  que  j'en  ai  sont  si  pjrandes  que  non  seu- 
lement elles  me  persuadeiil,  mais  elles  m'obligent  d'en  faire  une  estime  l)ien 
grande.  J'avoue  que  le  retour  en  est  bien  souvent  difficile;  mais,  parce  que, 
cpiand  j'ai  fait  exactement  l'analyse,  je  suis  aussi  sûr  de  la  solulion  du  ])ro- 
hlème  comme  si  je  l'eusse  tiémontré  par  synllièse,  je  ne  me  soucie  pas  ([uel- 
(piefois  d'en  chercher  la  construction  la  plus  aisée,  me  persuadant  ce  qu'eu 
tme  autre  occasion  M.  Pascal  (')  dit  :  non  case  par  labori  prœmiiun.  Mais,  en 
cela  comme  en  toutes  autres  choses,  je  laisse  volontiers  ([ue  chacun  suive  sou 
|)ropre  scntinuMit. 

3.  Je  viens  au  problème  des  <  cercles  >  tangens  dont  on  désire  une  plus 
grande  explication.  Aussitôt  que  vous  me  l'envoyâtes,  il  me  souvint  que 
j'avois  songé  à  cette  matière  en  cherchant  le  lieu  que  déciiroit  le  centre 
d'un  cercle  qui  touclieroit  deux  autres  cercles  donnés,  ou  un  cercle  donné  el 
une  ligne  donnée,  etc.,  et  que  j'avois  démontré  que,  quand  deux  cercles  sont 
égaux  <et  qu'>ils  se  doivent  toucher  avec  un  antre  cercle  qui  les  enferme  ou 
([ui  les  exclut  tous  deux,  le  lieu  est  la  ligne  droite  qui  les  divise  également  et 
(|u'elle  est  perpendiculaire  à  la  ligne  qui  tmit  les  centres  des  cercles  donnés; 
mais,  quand  ils  sont  inégaux  et  qu'il  faut  qu'ils  se  touchent  comme  ici-dessus, 
alors  le  lieu  est  hyperbole  ou,  pour  mieux  dire,  il  est  les  sections  opposées, 
les  foyers  desquelles  sont  les  centres  des  cercles  donnés  el  le  cùté  transveis 
égal  à  la  différence  des  semidiamètres  des  dits  cercles. 

Or,  dans  le  cas  dans  lequel  il  faudra  inclure  l'un  et  exclure  l'autre  en  le 
touchant,  les  sections  opposées  ont  les  foyers  comme  auparavant,  mais  le 
côté  transvers  est  l'aggrcgé  et  non  pas  la  différence  des  semidiamètres. 

Je  passe  les  autres  problèmes  que  j'ai  démontrés  en  celle  matière,  parce 
qu'ils  ne  sont  pas  à  propos  pour  nous;  mais  je  dirai  seulement  en  passant 
(|ue,  quand  les  donnés  sont  un  cercle  el  une  ligne  droite  qui  le  coupe,  le  lieu 
est  à  deux  paraboles  qui  ont  toutes  deux  pour  foyer  le  centre  du  cercle  donné 
lyX  passent  par  les  intersections  du  dit  cercle  el  de  la  ligne  donnée. 

Ainsi,  en  recevant  vos  lettres,  je  m'aperçus  (|u'cn  laissant  une  détermina- 
tion dans  le  problème  de  M.  Pascal  (^),  il  se  feroit  local,  en  la  manière  ici- 
dessous  : 

Etant  donné  un  cercle  et  une  ligne,  trouver  un  autre  cercle  qui,  touchant 

(')  Dans  les  écrits  connus  de  Pascal,  on  ne  trouve  guère  qu'une  expression  analogue  : 
od  illa,  quœ  plus  affermit  fruclus  quant  Inboris,  verge/iles,  mots  qui  terminent  le  De 
rmmeririi  nrdinibus  trnctatus. 

(2)  Comp.  Lettre  LXX,  9. 


LXXVI. 


IGoG. 


317 


le  tloiinc,  soit  coupa  par  la  ligne  en  sorte  que  le  sei^inent  soit  capable  d'un 
angle  donne. 

Soit,  le  cercle  ABG  {fig.  82)  donné,  la  ligne  <  EF,  le  >  centre  I);  soii  hi 
perpendicuhiirc  DBII  et  (lu'on  fasse  l'angle  IIDG  égal  à  l'angle  donne. 
Menant  GO  perpendiculaire,  (pie  ci-aprés  on  coupe  lîll  en  1'  dans  la  raison 
Gl)  à  1)0,  et  qu'on  [irolonge  la  ligne  1)I[  en  Q  en  sorte  que  la  raison  1)0  à  IIO 
soit  la  même  que  celle  du  (juarré  GO  au  quarré  Gl)  avec  le  rectangle  IIDO. 

FiR.    S3. 


Qu'après,  par  le  point  Q,  on  tire  les  angles  IIQK,  HQS  égaux  à  l'angle 
donné,  et  que  par  le  point  P,  autour  des  asymptotes  QS,  QK,  on  décrive 
l'hyperbole  IPX. 

Je  dis  qu'elle  satisfera  à  la  proposition,  c'est-à-dire  que  le  cercle  quel- 
(■on(pic  qui,  ayant  son  centre  sur  ladite  liyperhole,  touchera  le  cercle  donné, 
sera  aussi  coupé  par  la  ligne  donnée  en  sorte  que  son  segment  soit  capable 
de  l'angle  GDO.  Mais  cela,  on  ne  le  doit  entendre  qu'en  cas  que  l'angle 
donné  soit  aigu,  puisque,  s'il  est  droit,  le  lieu  est  la  ligne  droite  <donnéc>, 
comme  il  est  clair,  et  que,  s'il  est  obtus,  le  lieu  est  aussi  une  hy])erbole,  mais 
il  y  a  alors  quelque  peu  de  mutation  dans  la  construction.  —  Mais  il  n'est  pas 
nécessaire  de  dire  tous  les  détails. 

Cela  étant  supposé,  on  peut  facilement  résoudre  le  problème  par  les  lieux 
solides  en  cas  quelcon(iue,  c'est  à  dire  en  décrivant  cette  dernière  hyperbole 
et  les  autres  sections  opposées  dont  j'ai  parlé  ici-dessus,  puisque  leur  inter- 
section donnera  toujours  le  centre  du  cercle  qu'on  cherche. 

Mais,  parce  que  le  problème  est  plan  et  craignant  le  scrupule  des  géo- 
mètres, je  l'ai  résolu  alors  par  les  lieux  plans  généralement;  mais,  parce  qu(^ 
je  m'aperçus  que  la  construction  en  éloll  beaucoup  embrouillée,  je  choisis 


;h8 


a<:UV|{ES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


au  plus  facile  les  donnés  et  je  les  appliquai  en  nombres;  el  c'est  tout  ce  que 
je  vous  envoyai  alors  el  je  ne  vous  enverrai  autre  chose,  parce  que  le  susdit 
Monsieur  ne  veut  pas  la  solution  simplement  analytique,  mais  qu'il  veut  aussi 
une  construction  gentille  et  facile,  laquelle  je  n'ai  pas  pour  à  cette  heure  le 
loisir  (le  la  chercher. 

4.  Pour  ce  qui  est  de  l'autre  <  problème  >  de  cinq  lignes  données  ('),  je 
ne  sais  pas  qui  lui  a  dit  que  je  l'estime  facile.  Je  ne  crois  pas  vous  avoir  écrit 
une  telle  chose,  puisque  je  m'aperçus  alors  qu'on  pouvoil  venir  difficilement 
à  l'équation  et  qu'après  fpi'on  l'auroit  trouvée,  la  conslruclion  en  seroit 
beaucoup  embrouillée.  Vous  me  ferez  la  faveur  de  le  dire  à  M.  Pascal  el  je 
songerai  à  cela  rpiand  j'aurai  plus  de  loisir. 

5.  .le  viens  au  pioblème  de  miniinis  avec  lequel  le  dit  Monsieur  dit  qu'il  a 
résolu  plusieurs  auli'es  problèmes.  C'est  ce  que  je  crois  facilement,  parce 
(pie  ma  méthode  s'étend  aux  mêmes  et  m'apprend  que  le  plus  souvent  en 
CCS  pioblémes  le  (loiiil  du  minime  est  centre  du  cercle  ou  de  la  sphère  f|iii 
satisfait  à  ce  qu'on  propose.  Je  dis  le  plus  soin'cnt,  parce  (pie  je  n'ai  [las  le 
loisir  de  les  examiner  tous  el  je  suis  certain  qu'en  celui-ci,  dont  M.  Pascal 
ne  parle  point,  bien  (|u'il  soil  local  ad  circuliim,  le  [loiiit  du  minime  n'est 
pas  le  centre  du  cercle  : 

l'Jlaiit  donnr  qitclconqne  nombre  de  points  en  une  lii^ne  droite,  comme  A, 
(',,  D,  E,  F,  Cl,  H  (  At'-  ^•^)>  trouver  un  autre  comme  l,  duquel  menant  les 
liâmes  lA,  IC,  11),  lE,  IF,  ICi,  IR,  l'assemblage  des  quarrés  des  dites  lignes  ait 
au  triangle  AIR  la  raison  minime  de  toutes  les  possibles. 

l'ig.  83. 
I 


A     C     D     E 


C'est  à  quoi  je  voudrois  prier  M.  Pascal  de  me  faire  la  faveur  d'appliquer 
sa  méthode. 

6.  Après,  <pour>  le  lieu  du  problème  duquel  il  dit  que  dépendent  tous 
les  lieux  plans  proposés  par  lui,  je  n'ai  pas  voulu  manquer  de  le  chercher  el 
aussitôt  j'ai  trouvé  que  c'était  un  cercle,  en  la  manière  ci-dessous  : 

Soit  donnée  la  ligne  droite  AR   {fig-  84)   coupée  utcumque  en  C  el  qu'il 
(•)  Pout-êlre  un  problème  ayant  rapport  à  \ hcxagramme  de  Pascal. 


LWV  I. 


1656. 


31!) 


faille  Irotncr  le  lieu  sni-  Ic/i/el  élanl  pris  le  poiitl  1),  et  étant  tirées  les 
li^'iies  I)A,  DH  et  les  j>arallèles  CE,  CF,  les  rectangles  ADE,  UDF  pris 
citscnible  soient  égaux  au  quarré  de  la  ligne  donnée  '/.. 

On'oii  décrive  sur  la  ligne  AH  le  demi-cercle  A(iB  cl  f|ii"après,  élevanl  la 
|)eipeMdiculaire  CG,  on  lire  la  ligne  GlI  égale  à  la  ligne  Z  et  terminée  à  la 
ligne  AH  allongée  s'il  le  faut.  Je  dis  que,  si  du  centre  C,  avec  la  distance  ('.II, 
on  décrit  le  cercle  III),  il  sera  le  lien  rpi'on  clierche. 

Fi.'.  8',. 


Nous  pouvez  proposer  à  M.  Pascal,  avec  les  mêmes  données,  de  trouwr  le 
point  1),  en  sorte  /[ue  les  deux  rectangles  DAE,  DBF  soient  égaux  au  (juarré 
de  la  <  ligne  >  /  donnée  :  c'est  ce  ijne  j'ai  trouvé  en  un  même  temps. 

7.  J'ai  eherclié  le  lieu  de  cet  antre  :  Etant  donnés  autant  de  cercles  qu'on 
voudra  et  une  ligne  droite,  trouver  un  point  duquel  nirnaut  des  tangentes 
aux  cercles  donnés  et  une  perpendiculaire  à  la  ligne  donnée,  les  quarrés  des 
tangentes  aient  à  la  perpendiculaire  une  raison  donnée,  et  j'ai  trouvé  (ju'il 
peut  être  ellipse,  parabole  ou  hyperbole  selon  la  diversité  des  données.  Mais 
il  seroit  trop  long  d'écrire  tout,  car  il  f;Kidroit  faire  un  livre  et  non  pas  nui' 
lellre;  je  mettrai  ici  seulement  pour  essai  la  délerininalioii  f|ui  est  i|ue, 
toutes  les  f(jis  (pie  la  raison  donnée  sera  la  même  que  la  raison  du  nombre 
•les  cercles  donnés  à  l'unité,  le  lieu  sera  parabole;  si  elle  est  pins  petite,  il 
sera  ellipse,  et  si  elle  est  plus  grande,  il  sera  liy|)erbole. 

8.  \a'  porisnie  des  anciens  à  la  description  des  sections  coniques  me  senihir 
très  joli,  mais  je  n'ai  pas  le  loisir-  de  les  examiner  jiour  à  cette  heure;  je 
conserverai  le  tout  pour  un  meilleur  temps,  comme  aussi  de  vous  parler 
des  quarrés  qiu;  ces  Messieurs  ap|)el!ent  magiques,  desrpu'ls  M.  Pascal  l'ail 
(piei(|U(>  mention  dans  sa  lettre. 

9.  J'y  ajoute  seulement  t|ue  vous  dites  le  vrai  (|uand  vous  dites  (|u  il  viim> 
souvient  qtic  je  vous  ai  parlé  autrefois  des  deux  moyennes,  parce  (|u'il  v 
a  longtemps  ([ue  j'ai  trouvé  la  méthode  de  les  trouver  en   ime  infinité  de 


320  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

Tarons  (j'cnlends  par  les  lieux  solides);  mais,  entre  tous,  ceux  là  m'ont  plu 
davantage  qui  résolvent  le  problème  per  circulum  et  cllipsim  :  c'est  ce  cpie 
je  vous  prie  de  proposer  à  M.  Pascal  pour  savoir  s'il  lui  est  peut-être  arrivé 
tout  de  même, 

10.  Je  vous  [)rio  de  me  donner  quchpics  nouvelles  des  jansénistes  et  moli- 
iiistcs,  comme  aussi  quel(|ue  objection  qu'on  fait  à  M.  Descartes;  et  je  vou- 
drois  savoir  en  quel  estime  M.  Ilugenius,  gentilliomme  bollandois,  est  auprès 
lie  ces  Messieurs.  Il  a  imprimé  plusieurs  petits  livres  de  Géométrie  (')  et  il  a 
demeuré  (|uelque  temps  à  Paris. 


LXXVII. 

FERMAT  A  CARCAVI  (-). 

JUIN  1C5C. 

[Corresp.  Huyg.,  11°  301.) 

....  1-  Si  A  et  B  jouent  avec  deux  dés  eu  sorte  que,  si  A  amèuc 
G  points  en  ses  deux  dés  avant  que  B  en  amène  7,  le  joueur  A  gagne 
el,  si  H  amène  7  avant  que  A  ait  amené  <G>>,  le  joueur  B  aura  gagné, 
et  de  plus  le  joueur  A  a  la  primauté,  l'avantage  de  A  à  B  est  comme 


(  I  )  Christiani  Ilugcnii,  Const.  F.,  Tlicorcinala  de  quadraliira  hyperboles,  eilipsis  el  cir- 
ciili,  ex  dato  porlionum  gravitatis  centre,  qiiibus  subjiincta  est  'EÇETaat;  Cycloniclfiie  CI. 
\lii  Gregorii  a  S.  ViiiceiUio  edil;c  aiino  CK)  13  CXLVII,  Lui,'d.  Hatavorum,  iG5i,  4".  —  De 
circuli  magnitudine  inventa  :  accedunt  ejusdem  Problemalum  quorundam  illustrium  con- 
struclioncs.  Lugd.  Balavorum,  iG54,  4". 

(')  Cette  pièce  est  un  extrait  adressé  par  Carcavi  à  Iluygcns.  Dans  la  lettre  d'envoi,  du 
■x'i  juin  iGjG,  Carcavi  écrivait  (Cnrre.sp.  Niif^.,  n"  300)  : 

«  M.  do  Fermât  m'a  envoyé,  il  y  a  déjà  quelques  jours,  la  solution  de  ce  que  vous  aviez 
Il  proposé  touchant  le  parti  des  jeux,  el  vous  verrez  par  l'extrait  que  je  vous  fais  de  sa 
»  lettre  qu'il  a  la  démonstration  générale  de  ces  sortes  de  questions,  el  conclurez  certai- 
»  nement  avec  nous,  non  seulement  pour  la  résolution  de  ce  problème,  mais  aussi  pour 
»  quantité  de  plusieurs  autres  très  belles  spéculations  que  nous  avons  vu  de  lui,  tant 
»  en  ce  qui  concerne  les  nombres  que  pour  la  géométrie,  que  c'est  un  des  plus  grands 
»  génies  de  notre  siècle.  Je  tâche,  il  y  a  déjà  longtemps,  d'en  tirer  ce  que  je  puis  pour  le 


LWVll.  -  JUIN   IGoG.  321 

2.  Si  le  joueur  A  a  la  prcniii-ri'  lois  la  priiiiaiilr  et  onsuito  le  joueur  15 
ail  aussi  la  priuiauté  la  seeoude  fois,  et  aiusi  alhM'nalivemeut  (au(|uel 
cas  A  poussera  le  dé  la  preiuii're  l'ois,  et  [)uis  13  deux  t'ois  de  suite,  et 
puis  A  deux  l'ois  de  suite,  et  aiusi  jusques  à  la  tin),  eu  cette  espi'ce 
le  parti  du  joueur  A  est  à  ecdui  du  joueur  15  eouiuie  u)3j  )  à  i-j.-i-G. 

3.  Oue  si  le  joueur  A  joue  prcmièremeut  deux  fois  et  le  joueur  U 
trois  fois,  puis  le  joueur  A  deux  (bis  et  ensuite  le  joueur  B  trois  l'ois, 
et  aiusi  ii  l'inliui  (|ue  le  joueur  A  qui  eouiuience  ne  joue  jamais  (|ue 
deux  coups  et,  que  le  joueur  B  eu  joue  trois  (supposant  toujours 
(jue  A  cherche  à  ramener  G  et  B  7),  le  parti  de  A  à  B  est  comme  -j-iMni 
à  «7^)1. 

4.  Ia's  questions  diversitient  et  la  méthode  change  au  jeu  de  caries. 
Par  exemple,  je  propose  : 

Si  trois  joueurs  A,  B,  C  parient  avec  J2  cartes  (qui  est  le  nomhre 
d'un  jeu  complet)  que  celui  qui  aura  plus  tôt  un  cd'ur  gagnera,  en 
supposant  que  A  prend  la  i'"  carte,  B  la  2*  et  C  la  y,  et  que  ce  même 
ordre  est  toujours  gardé  jusques  à  ce  que  l'un  ait  gagné; 

5.  Si  deux  joueurs  jouent  ii  prime  (')  avec  4i'  cartes,  l'un  entre- 
prend de  ramener  prime  dans  les  quatre  premières  cartes  qui  lui 

i>  (lomior  :ui  ihiI)!!^  ol  j'en  iivdis  fait  la  iirii|insiliuM  a  M.  <lo  Selioolpii  jiour  y  ciiijiloyer  les 
»  KIzovirs,  mais  les  cliuscs  ne  so  trouverenl  |ias  disposées  pour  nous  procurer  celle 
»  salisfaelioii.  » 

«  Kn  ce  (lui  concerne  Messieurs  Pascal  el  Desargues,  ....  le  premier  avoil  déjà  irouvé 
kl  solulion  de  votre  proposition  et  me  doit  donner  au  premier  jour  celle  de  toutes  les 
autres  qui  sonl  dans  l'extrait  de  celle  lettre  de  M.  de  Fermai.  »  .... 

La  question  posée  pur  lluygcns  est  la  dernière  de  son  Trailé  J)c  rnliori/iiit  in  Itido 
aleœ  qu'il  venait  de  terminer  en  brouillon  el  d'envoyer  (le  G  mai  iG)('ij  à  Scliooten  pour 
que  ce  dernier  en  aclicvàl  la  mise  en  latin.  Elle  est  ainsi  coneuc  : 

l'noPOSlTIo  XIV.  —  .SV  c^'ïj  et  alùis  diuihus  tesscris  tillcnintini  jnciiiinus  liac  coiid'uiniic 
m  ego  vlncain  shnul  atque  scpleiiarhiin  jaciain,  illc  vcro  (juaiii  prtmuin  sciiariiim  jacial. 
ita  videlicct  ut  ip.ti  priiiiwn  Jactuin  concedttin,  iin'cnire  rationcin  mcœ  ad  ipsiiLi  sorlem. 
(Fr.  a  Schoolen,  Excrcit/itionum  mathcmnlicarum  liber  V,  conlincns  seclioncs  triginta 
miscellaneas.  Lugd.  Balavorum,  1G57,  in-4°i  P-  53:i.) 

(')  Voir  ci-après,  LX.WII  bis.  6. 

l'EnSUT.  —  II.  4' 


Mi  lEUVUKS    l)h:   FERMAT.-  COUlt  ES  IM)M)ANCE. 

seront  baillées  e(  l'autre  parie  (jue  le  premier  ne  réussira  pas,  (juel 
est  leur  parti  ? 

6.  Toutes  ees  questions  ont  des  niétliodes  et  des  règles  diiïérenti's. 
Si  on  n'en  |)ent  venir  ii  hont,  je  vous  les  expli(|uei'ai  tontes  avec  leurs 
démonstrations;  la  plus  subtile  et  la  plus  malaisée  est  celle  du  vrai 
parti  de  l'cUii  (jni  lient  le  dé  au  jeu  de  la  cliance  contre  les  autres  (  '  ). 

7.  Soit  encore,  si  vous  voulez,  deux  joueurs  (jui  jouent  au  pi(|uet; 
le  premier  entreprend  d'avoir  trois  as  en  ses  douze  premii'res  caries; 
(|U(d  est  le  parti  de  celui-ci  contre  l'antre  (|ui  |>arie  qu'il  n'aura  poini 
l(N  trois  as? 


LXWII  hù. 
HUYGENS  A  CAHdWI  ('). 

JKllDl    (J    JIMLI-KT     1036. 

(Concx/K  (le  Hny^cn.s,  n'  IIOS.) 

....  1.  J'av  veu  par  la  solution  ((ne  Monsieur  de  Kermat  a  l'aile  de 
UKin  Pr(d)leme  ( ')  qu'il  a  la  nuMliode  univers(dle  pour  lrouv(>r  tout  ce 
(|ni  a[)parlient  à  cette  malicM'c,  ce  (|ue  je  desirois  seulement  de  scavoir 
en  la  proposant.  J.a  mesmo  raison  de  3()  à  3i  est  dans  le  Irailé  (jue  j'ay 
envové  à  Monsieur  Sclioten  il  y  a  i>  mois  :  dans  le  mesme  il  v  a  aussi 
un  Tlieoreme  duquid  je  me  sers  dans  toutes  ces  ([iieslions  des  partis 
du  jeu;  et  je  le  mellray  icy,  parce  (|u'autreiiienL  je  ne  pourrois  pas 
vous  faire  voir  (|ue  je  suis  venu  à  bout  des  Problèmes  que  !\fonsieur  de 
i-'ermat  a  pi'0|)osez,  le  calcul  de  (jnelques  uns  d'entic  icenv  eslani  si 
long(|neje  n'ay  j)as  assez  de  patience  pour  en  reclier(dier  le  dernier 

(')  Il  s'agit  probul)lomonl  do  la  qucslion  exposée  I.uUre  LXXVIII,  3. 
(-)  lîxlralt  communiqué  à  l'crniat  cl  à  l'ascal  {voir  ci-aprcs  LXXVIII,  1)  cl  répoiiilaiil 
à  la  pièce  prccédcnic,  I^XXVIl. 
(•')  Foir  Vikcc  LXXVII,  1. 


LWVII  Ins.  —  (i  .IllLLKT    Hi.ïG.  3-23 

lU'iMliiil  ;  c'i'st  |ioui(|ii(>y  dans  i-ciix  la,  après  vous  avciir  oxpiicjiK'  le  (li(- 
llii'orcinc,  je  me  (■oulcnlci'ay  do  iiicKie  la  iiiclliodc  par  laqiudlc  l'on  v 
pi'iil  parvenir. 

2.    Le  Tlieorenie  esl  eedui-cv  : 

Si  le  nombre  des  lia/ards  qu'on  a  pour  avoir  h  soi!  p,  et  le  nombre 
lies  ha/artls  (|u'on  a  [lour  avoir  c  soil  y,  eela  vaut  aiilanl  (|iie  si  l'on 


avail 


!>  +  <! 


Par  exemple  si  j'avois  2  iia/.ards  pour  avoir  r-,  de  ce  (|ni  est  mis  au 
jeu  (i  "t  liazards  pour  en  avoir  ->  je  mulliplie  tt  par  2  e(  -  par  "i.  Puis 
j'adjduste  ensemble  les  produils  (|ui  sont  t.  et  -;  la  somme  est  -jr, 
la(|uelle  je  divise  par  "i  +  a,  c'est  -  ;  tliuit  j'ay  ,-•  Je  dis  (|u'il  m'a|)par- 

lient  -r-  de  ee  (ini  esl  mi>  an  jeu. 
.12  '  •' 


3.  La  [»reniiere  des  ([ueslions  de  .Monsieur  de  Fermât  ('  )  est  t(dle  : 
A  et  15  jouent  à  2  de/,.  A  i,'aignera  en  amenant  (">  points.  1{  i^aii^nera  en 
amenant  7  [)oints.  A  [)oussera  le  dé  la  [ircmière  l'ois,  et  puis  B  deux  lois 
de  suite  ol  puis  A  deux  l'ois  de  suite,  et  ainsi  jus(|ues  à  ee  (|ne  l'un  ou 
l'antre  ait  ii;aigné. 

PdUi'  taire  les  partis  je  nommeray  (/  ee  (|ui  est  mis  au  jeu,  et  je  met- 
Iray  .v  pour  la  pail  (|ni  en  ap[)artient  au  joueur  A. 

Or  il  est  évident  (|ne,  (|uand  .V  auia  l'ail  le  premier  coup  et  1$  ses 
deux  coups  de  suile,  et  encore  A  l'un  de  ses  deux  t'oups,  sans  (|ue  nv 
l'un  ny  l'autre  ail  rencontré,  (|ue  aloi's  A  aura  derecliel'  la  mesme 
a[i|iarence  pour  gaigner  (|u'il  avoil  des  le  commencement,  et  (|ne  par 
conséquent  il  luv  appartiendra  di'reidnd'  la  mesino  part  de  ce  «|ui  est 
mis  au  jeu,  c'est  à  dire  a". 

Partant,  lors(|iie  .V  vient  à  l'aire  le  premier  de  ses  deux  coups  de  suile, 

il  aura 

■")  iKizarils  pour  nvoir  d, 

ol  3i  liazards  pour  avoir  ,r, 
C)  Pièce  LXXVII,  2. 


32i 


ŒUVllES   DE  FERMAT.-  (^()  l'JlESPOND  ANCE. 


car  de  30  divers  coups  que  produisent  i  dez,  il  y  en  a  ">  de  (i  poiiils, 

c'est  à  dire  qui  luv  donnent  d  ou  ce  qui  est  mis  an  jeu,  et  '5 1  (|ni  luy 

l'ont  manquer  les  (1  |ioints,  et  ainsi  luy  donnent  j-,  le  mellanl  en  estât 

d'avoir  encore  un  coup  à  l'aire  devant  (|ue  le  lonr  de  1$  soit  venu.  .Mais 

5  liazards  pour  avoir  ^/ )       i      ,        ,      ,  i     ,i  i       , 

,    ,         ,'  valent  autant  par  le  llieoreme  i)recedent  (ine 

el  .-il  iiazards  ]ioin' avoo' .»•  )  '  '  ' 

T„  ''^--  C^ecy  es!  donc  la  part  de  A  lorsfjue  A  fait  le  premier  de  ses 

deux  coups  de  snile. 

Le  coup  d'auparavant  c'est   quand  15  fait  le  dernici'  de  ses  deux 

conps,  et  parce  ([u'il  i^aigne  en  amenant  7   points  lesquels  se  ren- 

<;onlrcnt  en  (i  façons  diiïérenles  et  <|u'alors  .\   perd,    ilon(|ues   ii  ce 

coup  A  aura 

G  liazards  |H)or  avoir  o  on  rien, 

•    ■"'"'+ 3  i.c 
el  3()  Iiazards  pour  avoir 


Mi 


car  son  (our  sera  venu  de  l'aire  deux  coups  de  suite;  lesqucds  liazards 

I  •     •  I       .    .1   ■       •  I       .    i.')0(/+ q3o./'      .,  ,  , 

nai'  le  précèdent  tneoi'cmc  valent  i •  (^ecy  est  donc  la  part 

I  I  ,  .^p  ^  I 

lie  A,  lors(|ne  15  fait  le  dernier  de  ses  2  coups  de  suite. 
Quand  donc  15  l'ail  le  [ireinier  de  ses  2  coups,  A  anra 


ce  qui  vaut 


()  lia/.ards  pour  avoir  o, 
3o  liazards  pour  <  avoir  > 

[\Mod  -\-  27900./- 
46(356 


I  096 


Quand  donc  A  l'ait  le  premier  coup  de  tous,  A  aura 

.")  liazards  pour  avoir  el, 

.,    ,  ,  .    '4">oof/+ 27900. r 

3i  liazards  iiour  avoir ,,.,.,,.  ' ; 

'  4*>6ob 

Ti-ji'iod  -\-  864900. r 


ce  qni  vaut 


1 6796 I 0 


,,  ,  ,      ,  ,  ,         ,      1       -      1  •    io35.")     .    ,  .^ 

Lecy  est  donc  égal  a  x,  et  partant  x  égal  a  .^-rrry  <  "  >• 


o3.5.ï 


Le  parti  du  joueur  A  est  donc     ^' '  de  ce  qui  est  mis  au  jeu,  el  le 


LXXVIl   bi.s.  -  G  JUILLET   1G3C.  3-io 

rcslc  —rpr-  est  le  parlv  di\  15,  el  l'un  csl  à  l'autre  comino       '''■>  (iiii  soiii 
li's  mosiiios  nonihros  do  Moiisioiir  de  Ivrinat. 


4.  Dans  la  sccoiulc  question  (')  où  il  suppose  qu(>  le  joueur  A  joue 
preuiiereiiieiit  deux  fois,  et  puis  le  joueur  b  trois  lois  et  ensuile  le 
joueur  A  <^  deux  l'ois  et  puis  le  joueur  15  >  trois  l'ois,  la  méthode  esl 
(ont  il  l'ait  seinhlalde,  et  j'y  trouve  aussi  les  uu'suies  luunhres  (|ue 
Monsieur  de  l'"enual,  mais  (|u'il  les  faut  transposer  :  c'est-ii-dire  que 
le  party  de  A  esl  ;i  eelui  d{'.  15  comme  H^l")!  ii  ■j2)(')0,  au  lieu  (|u'il  a 
mis  ■y'j'îdo  ;i  Sj.'j  ">  i . 

5.  La  troisième  esl  (-)  quand  trois  joueurs  A,  IJ  et  C  parient  avee 
lonles  les  ")2  cartes  que  celuy  qui  aura  plus  tost  un  cœur  gaignera,  el 
que  l'on  suppose  ([ue  A  prend  la  première  carte.  15  la  seconde,  (1  la 
Iroisieme  el  ainsi  consécutivement  jusquos  à  ce  (|ue  l'un  ait  gaigné. 

Il  y  a  1 3  cœurs  parmy  ces  "i-j  cartes,  c'est  pourquoy  s'il  arrivoil  (|ue 

lonles  les  autres  3()  fussent  prises  selon  ledit  ordre  sans  (|ue  personne 

eust  reuconiré  un  cœur,  alors  ce  seroit  le  tour  du  joueur  A  (hi  prendre 

et  il  anroil  gaigué  asseurcment.  Quand  donc  Vu  prend  la  (renle-nen- 

vieme  carte,  au  cas  que  jusques  là  personne  n'ait  reuconiré,  il  esl 

certain  que  A  aura  l'i  hazards  pour  avoir  perdu  et  i  hazard  pour  avoir 

lout  ce  (jui  est  mis  au  jeu,  que  j'appelleray  </  comme  devant.   Or, 

d'avoir 

i3  liaziirds  pour  avoir  o, 

cl   1  iia/.artl    pour  avoir  (/, 

e(da  vaut  —  par  nostre  théorème;  d'iey  je  cognois  que,  quand  15  prend 
la  trente-huitième  carte,  A  aura 

i3  liazanls  pour  avoir  o, 

el   •!  hazards  pour  avoir  — ;  i/ 
'1 


(')  Piùco  LXXVII,  3. 
(2)  IMècc  LXXVII,  4. 


3-2(i  (EUVKF.S    l)K   FKI'.M AT.  —  COKllESPON J) ANCK. 

(  i''cs(  (|ii;m<l  15  nian(|ii('  de  roncontiMM-  un  cœur,  car  alors  c'est  ii  C  (l(< 

iircndrc  la  Ircnlc-iicuvicmc  )  ;  lesciucls  liazards  valcul  — zd. 
1  .'  '        1  1,,., 

Ouand  A  |)rcnd  la  Ircutc-scplicmc,  A  aura  donc 

i3  li.iznrds  poui'  a\()ir  d, 

ol    3  hazards  pour  ;ivoii  — r> 
1(1.) 

Cl'  <|ui  vaut  -——({. 

'  I  O.So 

Ainsi  en  i'crulan(  (oiisjours  d'une  carie  l'on  seaiira  ii  la  tin  la  pari 
de  A,  lorsqu'il  prend  la  première  de  loules,  cl  de  la  mesnie  nianiei'e 
se  trouvera  le  parly  île  15.  et  le  reste  sera  celiiy  de  (1. 

6.  I.a  i|ualrienie  est  (  '  )  (|nanil  deux  join-urs  jouent  ii  la  prime  avec 
'|o  earles  et  que  le  joueur  A  entreprend  de  ramener  prime,  et  15  parie 
que  A  ne  réussira  pas  dans  les  ([uatre  [»remier(!s  earles.  L'on  m'a  dit 
que  d'avoir  prime  c'est  avoir  /|  earles  dillereutes,  ii  seavoir  une  de 
rliasque  sorte,  .le  t  l'ouve  donc  que  le  parly  de  A  est  ii  celui  de  H  comme 
inoi);i  8  I ')(),  de  sorte  que  Ton  |)eut  bien  parier  S  contre  i  que  (juel- 
qu'iin  n'amesnera  pas  |ii-irue. 

1-  La  cin(|uieme  et  dernière  question  {')  est  (|iianil  deux  joueurs 
jouent  au  piquet  et  que  le  premiei'  entreprend  d'avoii'  '!  as  dans  ses 
diui/e  premières  cartes  et  (|ue  l'autre  parie  (|u"il  ne  les  aura  pas.  l*our 
résoudre  c(dle-cv,  je  supposeray  (|u'il  jirerul  ses  i  ii  earles  une  ;i  une, 
car  il  n'impoi'te  aurunement.  S'il  arrive  donc  (|ue  celiiy  (jiii  l'euli'e- 
prenil  avant  pris  i  i  cartes  ail  desja  rencontré  2  as,  il  y  aura  parmi  les 
25  eartes  (jui  reslenl  encore  ■?.  as,  el  partant  il  aura  en  ee  cas  2  hazards 
pour  avoii'  tçaigné,  c'est  j)Our  avoir  d,  el  2'î  hazards  pour  avoir  o,  i''esl 

à  dire  pour  perdre  :  ce  qui  vaut  ^.  d. 

(1)  t'ièco  LXXVIl,  5. 
y')  l'ièco  LXXVIL  7. 


Î.WVII    Ins.   -  G   .ILILLKT    ICoG.  327 

(jii;ni(l  il  a  pris  lo  caries,  s'il  a  l'cnconlrt'  2  as,  il  aura  donc 

'.  Ii:i/.;\r(ls  ]i(iiir  :ivi>ii'  d, 
i'\    '.'x  liazards  [loiir  avoir    -.  cl,  c'est  |)()iir  a\i)ir  sciilcniciil  ?  as  en  1  1  caries; 


les(iiiels  lia/.anls  valent  ^d. 
•  j'.j 

.Mais  (|iiaiiil  il  a  pris  10  caries,  s'il   n'a   encore  (|ne  1  as,   il  v  aura 
[larniy  les  -A')  restantes  j  as;  c'est  pomajuoy  alors  il  anra 


3  lia/ards  iiour  avoir  —rd,  c'esl  iioni'  avoir  2  as  en  1  1  ciiiles, 
2.) 

et   î?t  luizarils  pour  avoii'     o,     c'est  pour  avoir  1  as  en  11  caries, 

car  avec  cecv  il  ne  sçauroit  i^a^ner;  lesquels  hazards  valenl  -^.  d. 
Quand  il  a  pris  9  caries,  s'il  a  2  as,  il  aura 

2  liazartls  pour  avoir  d, 
el  20  liazards  pour  avoir  ~-.  d,  c'esl  pour  avoir  senlcineiil   >.  as  en  10  carte 

les(|uels  liazards  valenl  ^^~^d. 

-Mais  ayant  pris  ç)  caries,  s'il  n'a  encore  qu'i  as,  il  aura 

3  luizaids  pour  avoir  -r^d,  c'est  1  as  (mi  10  caries, 

Ô2-> 

3 
l't  24  liazards  pour  avoir  Tr^d,  c'esl  1  as  en  10  caries, 

02.) 

ce  (iiii  vaut  -r^.-d. 
'  .S77.J 

Va  eulin  si  parmi  ses  9  cartes  il  n'a  encore  aucun  as.  il  aura 


4  liazards  pour  avoir  -„— ^  d,  c'esl  1  as  <mi  10  cartes, 
Si) 

el  23  liazards  pour  avoir  o,  c'esl  pas  1  as  eu  10  caries, 

car  alors  il  ne  sçauroil  jraif;iier. 


lesquels  liazards  valent  [r-^f/. 

\  8770 

Ainsi  par  celle  méthode  en  reculant  tousjours  d'une  cari/-  je  sc;ui- 


:12S  (KUVHKS   I)K  FEUMAT.  —  COlîUESl'ONDANCi:. 

niv  il  la  lin  la  part  du  joueur  A,  lors(ju'il  n'a  encore  pris  aucune  carie 
et  ([ue  par  conséquent  il  n'a  pas  encore  i  as  :  laquelle  ayant  ostée 
(le  r/,  le  reste  sera  la  part  du  joueur]}.  C(>  qu'il  l'allnil  trouver. 

8.  Si  j'estois  bien  informé  de  l'eslal  de  la  question  au  jeu  de  la  chance 
(|ue  iMonsieur  de  Fermât  dit  cstrc  la  plus  malaisée  ('),  j'essayerois 
aussi  de  la  résoudre.  Pour  celles  (jue  je  viens  de  traiter,  je  vous  prie, 
.Monsieur,  de  me  faire  la  faveur  de  les  communi(|uer  à  iMonsieur  JVIilon, 
et  (|ue  je  puisse  seavoir  si  ce  que  Messieurs  de  Kcrniat  et  Pascal  en 
auront  trouvé  sera  conforme  à  ce  que  j'en  expli(|ue.  Je  desii'e  aussi 
fort  de  sçavoir  s'ils  ne  se  servent  pas  du  mesme  tlieoi'cnie  (|ue  nioy. 


LXXVlll. 

CARCAVl  A  HUYGENS  (-). 

.IKUm    28    SEPTEMCRK    10.50. 
(Corm/i.   Huyg.,  i\°  XiCi.) 

MONSU'.IU, 

1-  H  y  a  déjii  longtemps  que  j  ai  fait  voir  ;i  Messieurs  de  Fermai  cl 
Pascal  ce  que  vous  aviez  pris  la  peine  d'envoyer  ii  M.  Mylon  et  ii  moi 
(ouclianl  les  partis  (^),  mais  je  n'ai  pu  me  donner  l'honneur  de  vous 
faire  réponse,  la  chose  n'ayant  pas  dépendu  absolument  de  moi  et  la 
commodité  de  ces  Messieurs  ne  s'étant  pas  toujours  rencontrée  avec  le 
désir  que  j'avois  de  vous  satisfaire. 

M.  Pascal  se  sert  du  même  principe  que  vous  et  voici  comme  il 
l'énonce  : 

S'il  y  a  tel  nombre  de  hasards  qu'on  voudra,  comme  par  exemple  10 

(')  l'ièceLXXVII,  6. 

(«)  Publiée  pour  la  première  fois  par  M.  Cliarlcs  Henry  (Pierre  de  Corctu'f.  p.  i8). 

(S)  Foir  la  LeUrc  prccédenlc. 


LXXVllI.  -    28  SEPTEMBRE   1G5C.  329 

(|ui  donnent  cliacun  3  pistoles  et  qu'il  y  en  ait  2  qui  donnent  chacun 
4  pistoles,  et  qu'il  y  en  ait  3  qui  ôtcnt  chacun  3  pistoles,  il  faut  ajou- 
ter toutes  les  sommes  ensemble  et  les  hasards  ensemble,  et  diviser  l'un 
par  l'autre.  Le  quotient  est  le  requis,  ce  (jui  revient  ii  une  même  énon- 
ciation  que  la  votre. 

2.  Mais  il  ne  voit  pas  comment  cette  règle  peut  s'appliquer  ii 
l'exemple  suivant  : 

Si  on  joue  en  six  parties,  par  cxeni[tle  du  piquet,  une  certaine 
somme  et  qu'un  des  joueurs  ait  deux,  trois  ou  ([uatre  parties  et  que 
l'on  veuille  ([uitter  le  jeu,  ([uel  parti  il  faut  faire  quand  un  a  une 
partie  ;i  point,  ou  deux  ou  trois  etc.  ;i  point,  ou  bien  (juand  un  a  deux 
j)arties  et  l'autre  une,  etc.? 

\-J  le  dit  S''  Pascal  n'a  trouvé  la  ri'i^le  ijue  lorscju'un  des  joiu'urs  a 
une  partie  h  point  ou  ((uand  il  en  a  deux  ;i  point  (lors(|ue  l'on  joue  en 
plusieurs  parties),  mais  il  n'a  pas  la  règle  générale.  Voici  son  énoncia- 
tion  (  ')  : 

Il  appartient  à  celui  qui  a  la  première  partie  de  tant  (|u'on  voudra, 
|)ar  exemple  de  six,  sur  l'argent  du  perdant,  le  [iroduit  d'autant  dr 
premiers  nombres  pairs  que  l'on  joue  de  parties,  excepté  une,  divisé 
par  le  [troduit  d'autant  de  premiers  «ombres  impairs.  Le  premier  pro- 
<luit  sera  la  mise  du  perdant,  le  second  produit  sera  la  part  (]ui  en 
appartient  au  gagnant. 

Par  exemple,  si  on  joue  en  1  parties,  prenez  les  >  premiers  nom- 
bres [tairs  :  2,  !\,  G;  multipliez  l'un  par  l'autre,  c'est  /jS;  prenez  les 
!  premiers  im[)airs  :  i,  3,  ">  ;  le  produit  c'est  i  ">  qui  a[iparliendront  au 
gagnant  sur  l'argent  du  perdant,  si  on  a  mis  chacun  ]S  |)istoles. 

Cette  règle  sert  pour  la  première  et  la  seconde  partie,  celui  (|ui  en  a 
deux  ayant  le  double  de  celui  qui  n'en  a  (ju'une.  Il  en  a  la  démonstra- 
tion, mais  (ju'il  croit  très  dillicilc. 

(')  Comp.  l.cllrc  LXX.  3.  —  L'cnoncc  de  Carcavi  csl  mal  couru  et  en  désaccord  avec 
l'exemple. 

l'KnMAT.   —    II.  '  42 


330  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

3.  Voici  une  autre  proposition  qu'il  a  faite  à  M.  de  Fermât,  laquelle 
il  juge  sans  comparaison  plus  (Jifficile  que  toutes  les  autres  : 

Deux  joueurs  jouent  à  cette  condition  que  la  chance  du  premier 
soit  1 1  et  celle  du  second  i/|;  un  troisième  jette  les  trois  dés  pour  eux 
deux  et,  quand  il  arrive  1 1,  le  premier  marque  un  point  et,  quand  il 
arrive  j/i.  lo  second  de  son  côté  en  marque  un.  Ils  jouent  en  12  points, 
mais  à  condition  que,  si  celui  qui  jette  le  dé  ramène  1 1  et  qu'ainsi  le 
premier  marque  un  point,  s'il  arrive  que  le  dé  fasse  r4  le  coup  d'après, 
le  second  ne  marque  point,  mais  en  ote  un  au  premier,  et  ainsi  réci- 
proquement, en  sorte  que,  si  le  dé  amène  six  fois  11  et  le  premier  ail 
marqué  six  points,  si  en  après  le  dé  amène  trois  fois  de  suite  i/|,  le 
second  ne  marquera  rien,  mais  otera  trois  points  du  premier.  S'il  ar- 
rive aussi  en  après  que  le  dé  fasse  six  fois  de  suite  i/j,  il  ne  restera 
rien  au  premier  et  le  second  aura  trois  points,  et  s'il  amène  encore 
huit  fois  de  suite  i4  sans  amener  11  entre  deux,  le  second  aura 
II  points  et  le  premier  rien;  et  s'il  amène  quatre  fois  de  suite  11,  le 
second  n'aura  que  sept  points  et  l'autre  rien;  et  s'il  amène  cinq  fois 
de  suite  i/|,  il  (')  aura  gagné. 

La  question  parut  si  difficile  à  M.  Pascal  qu'il  douta  si  M.  de  Fermât 
en  viendroit  ii  bout,  mais  il  m'envoya  incontinent  cette  solution  : 

Celui  qui  a  la  chance  de  11,  contre  celui  qui  a  la  chance  1 4 ,  peut  parier 
1 1 5G  contre  i ,  mais  non  pas  1 1 57  contre  i  ; 

et  qu'ainsi  la  véritable  raison  de  ce  parti  étoit  entre  les  deux;  par  où 
.VI.  Pascal  ayant  connu  que  M.  Fermât  avoit  fort  bien  résolu  ce  qui  lui 
avoitété  proposé,  il  me  donna  les  véritables  nombres  pour  les  lui  en- 
voyer et  pour  lui  témoigner  que  de  son  coté  il  ne  lui  avoit  pas  proposé 
une  chose  qu'il  n'eût  résolue  auparavant.  Les  voici  : 

i5o     09 '1     635     2f)G     999     r>  I 
129     7/1G     337     890     62  j. 

Mais  ce  que  vous  trouverez  de  plus  considérable  est  que  le  dit  S""  de 

(  '  )  Lisez  :  le  second. 


LXXVIII.  -  28  SEPTEMBRE  1656.  331 

Formai  LMi  a  la  démonstration,  comme  aussi  M.  Pascal  de  son  cùlé,  hicn 
(|n'il  y  ait  apparence  qu'ils  se  soient  servis  d'une  diflerente  métiiodc. 

4.   J'ai  envoyé  voire  livre  (')  à  M.  de  Fermai,  dont  il  rend  1res 

humbles  grâces  et  vous  remercie  Iri-s  humblement  de  celui  ([uc  vous 
ave/,  eu  la  boulé  de  me  donner 


(  '  )  11  s'agil  ici  d'exemplaires  clos  |u'omiei's  opuscules  de  Huygcns  (luiir  ci-dessus, 
page  320,  note  i),  adressés  i)ar  lui  à  Claude  iMylon  pour  Carcavi  et  Fermai  (Corrcsp. 
Hiir^-,  11°  2il7,  .'iOC,  308,  .'(10)  aux  soins  de  François  Henry,  avocat  au  rarlemeni  de 
Paris. 

Nous  ne  reproduisons  pas,  dans  la  lellre  de  Carcavi,  qucUpies  passages  étrangers  à  .-ies 
iclalions  avec  F'crmat  et  Pascal. 


332  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 


ANNEE    1657. 


LXXIX. 

PREMIER  DÉFI  AUX  MATHÉMATICIENS  ('). 

MEIICRKDI    3    JA>V1ER    1657. 

A 

f  Connu,  rp.,  n"  33.) 

l'rohlcmala  duo  mathcinalica,  lanqiiant  indiasolttbilia  Gallix,  Anglis,  Ilol- 
landis,  ncc  non  cœteris  Eiiropœ  !\lalltcmaticix  propoxila  a  D"°.  de  Fernidt . 
Régis  Consiliario  in  Tolosano  Parlanicnto, 

Caslris  Parisios  ad  D"'".  Claudiuni  Martinum  Laiircndciiiini .  Doctoreni 
Medicum,  transmissa  3  nonas  Janttar.  iGSj,  accepta  verd  i?.  Kal.  Febr. 

PliOlîl.KM.V   Pr.iis. 

1.  Iiîvcnire  cubiim  qui,  atlditiis  omnibus  suis  parlibus  aliquotis. 
(uinticiat  quadratum. 

2.  Ut  numcrus  'i\'i  est  cubus  a  ialere  7.  Omnos  ejus  partes  aliquola' 
sunt  :  I,  7,  ^19,  quœ,  adjunct;e  ipsi  3:'i3,  conficiunt  numorum  4"^'>.  qui 
est  quadratus  a  laterc  20.  Quteritur  alius  cubus  cjusdcm  natura;. 

(  '  )  Le  titre  qui  précède  la  rédaction  A  du  Défi  semble  avoir  été  composé  par  Willcin 
Borecl,  Ambassadeur  de  Hollande  en  France  de  iG5o  à  1O68,  lequel,  le  2O  janvier  ifijj. 
adressa  la  pièce  à  Golius  pour  Scliooton  à  Leyde. 

Le  titre  de  la  rédaction  B  est  do  la  main  do  Tliomas  Wliite,  qui  servait  d'interinédiairo 
<Mitre  Digliy  et  Brouneker;  celui-ci  rerut  le  défi  le  4  mars  1657,  et  le  transmit  le  Icnile- 
iiiain  à  Wallis. 

L'expression  :  Gallia  Cellica,  dans  cette  seconde  rédaction,  prouve  que  le  défi  avait  été 
également  adressé  à  Frcnicle,  probablement  i)ar  une  lettre  directe  de  Fermai  à  ce  der- 
nier. 


LXXX.  -  FÉVRIER  1637.  :m 

Pl',OI!I.E.M\    PoSTr.lUUS. 

3.  QiKiM'iliu'  etiaia  iiimienis  quadraius  <|iii,  addilus  omnibus  siiIn 
|)arlil)iis  aliquolis,  conliciat  luimoruiii  cuttiiiit. 

B 

( /'«,  p.  i8S;  Comrn.  ej>.,  n**  1.) 

-(  cliaUciigc  froin  M.  Fermât  for  D.  M'alUs.  ivilli  llte  hcarly  cominendalioits 
of  Lhe  messager,  Tliomas  Wkite. 

Pr()l)ona[iir  (si  placoO  Wallisio  cL  rcliqiiis  Aiigliic  MatIiomalici> 
sc(jiu'ns  (lUiPstio  numorica  : 

I 11 V cuire  etc.  {ut  supra  1). 

Exempli  gratia,  luiincrus  34'3  est  culnis  a  latcrc  7.  Omiics  ipsiu^ 
partes  otc.  {ut  supra  2). 

QuaM-ilur  etc.  (///  supra  3). 

Has  solutionos  exspoctamus;  qiias,  si  Anglia  aiil  Galliie  IJcIgica  cl 
(A'Hica  lion  dcdcrint,  dabil  Gallia  NarboïKMisis,  casque  in  pignus  nas- 
centis  aniiciliro  D.  Digby  nlTcret  et  dicabit. 


L\X\. 

Fl-:ilMAT  A  FRKNICLE  ('). 

<    FftVRIKR    1G37    > 

(Comm.  rj/.,  n"  3-');  Correspondance  de  Ifuygeiis,  n°  311.) 

Tout  nombre  non  quarré  est  d(^  telle  nature  qu'on  peut  trouver  in- 
linis  (|uarrés  par  lesquels  si  vous  multipliez  le  nombre  donné  et  si 
vous  ajoutez  l'unité  au  produit,  vienne  un  quarré. 

(')  O.Uc  pièce  est  un  cxtrail  envoyé  d'abord  par  CI.  Mylon  à  Iluygens  à  la  suite  d'une 
lettre  datée  du  ■>  mars  iGSy;  Iluygens  le  renvoya  le  9  mars  à  Scliootcn. 


;{3'i  ŒUVRES   DE  FERMAT.—  CORRESPONDANCE. 

Kxcmplc  :  3  est  un  nombre  non  qiiarré,  lequel  multiplié  par  i,  qui 
l'st  quarré,  fait  3  et,  en  prenant  l'unité,  fait  4t  qui  est  quarré. 

I.e  même  3,  multiplié  par  iG,  qui  est  quarré,  fait  48  et,  en  prenant 
l'unilé,  fait  .]c),  qui  est  quarré. 

Il  y  en  a  infinis  qui,  multipliant  3,  en  prenant  l'unilé,  fontpareil- 
h'mcnt  un  nombre  quarré. 

.le  vous  demande  une  règle  générale  pour,  étant  donné  un  nombre 
non  quarré,  trouver  dos  quarrés  qui,  multipliés  par  le  dit  nombre 
lionne,  en  ajoutant  l'unité,  fassent  des  nombres  quarrés. 

Quel  est,  par  exemple,  le  plus  petit  quarré  qui,  multipliant  Gr,  en 
prenant  l'unité,  fasse  un  quarré? 

Item,  quel  est  le  plus  petit  quarré  qui,  multipliant  109  et  prenant 
l'unité,  fasse  un  quarré? 

Si  vous  ne  m'envoyez  pas  la  solution  générale,  envoyez-moi  la  par- 
ticulière de  ces  deux  nombres  que  j'ai  choisis  des  plus  petits,  pour  ne 
vous  donner  pas  trop  de  peine. 

Après  que  j'aurai  reçu  votre  réponse,  je  vous  proposerai  quelque 
autre  chose.  Il  paroit,  sans  le  dire,  que  ma  proposition  n'est  que  pour 
trouver  des  nombres  entiers,  qui  satisfassent  à  la  question,  car,  en  cas 
de  fractions,  le  moindre  arithméticien  en  vicndroit  à  bout. 


LXXX[. 

SECOND  DÉFI  DE  FERMAT  AUX  MATHÉMATICIENS  ('). 

FÉVRIER    1C57. 

{  ^'rt,  p.  190;    Coinm.  cp.,  n°  8.) 

Qusestiones  pure  arithmeticas  vix  est  qui  proponaf,  vix  qui  intel- 
ligat.  Annon  quia  Arithmetica  fuit  hactenus  tractatageometricèpotius 

(  '  )  Celle  pièce,  qui  pose  le  même  problème  que  la  Lellre  précédenle  LXXX  à  Fre- 
iiicle,  fut  reçue  par  Brounckcr,  de  la  part  de  Digby  cl  par  l'inlcrmédiaire  de  Thomas 
Wliile.  en  mars  iGS-. 


LXXXI.  -   FEVRIER   1G57.  335 

quàm  aritlimcticô?  Id  sane  innuunt  plcraquc  et  Vcterum  cl  Recon- 
(ioriini  voluinina;  itiiiuit  et  ipso  Diophantus  (').  Qui  licct  à  Geomelria 
paulo  niagis  quàm  cœtcri  disccsscrit,  dum  Analyticen  numcris  tantuiii 
ratioiialil)us  adstringit,  eam  tamen  partein  Gcometrià  non  omninii 
vacare  probant  satis  superque  Zetetica  Vietaca,  in  quibus  Diopbanli 
methodus  ad  quantitatcin  continuam,  idcoque  ad  Geometriam  porri- 
gitur. 

Doctrinam  itaque  do  nunieris  integris  tanquam  poculiare  sibi  ven- 
dicat  Arithinetica  patrimonium;  eam,  apud  Euclidcm  leviter  duntaxat 
in  Elementis  adumbratani,  ab  iis  auteni  qui  seculi  sunt  non  satis 
excultam  (nisi  forte  in  iis  Diophanti  libris,  quos  injuria  temporis 
abstulit,  delitescat),  aut  promovcre  studeant  'ApiOp.Y]-:ixàiv  Twaroeç  aul 
renovare. 

Quibus,  ut  prœviam  luccm  prœferamus,  theorema  scu  problenia 
scqucns  aut  demonstrandum  aut  construendum  proponimus;  boc 
autcm  si  invcnerint,  fatebuntur  hujusmodi  qujestiones  nec  subtili- 
tatc,  nec  dilficultate,  nec  ratione  demonstrandi,  celebrioribus  ex 
Geometria  esse  inferiores  : 

Dalo  quovis  numéro  non  quadrato,  dantur  infcniti  qiiadrati  qui,  in 
datuni  numerum  ducli,  adscilà  unilalc  conficianl  quadralum. 

Exemplum.  —  Datur  3,  numerus  non  quadratus;  ille,  ductus  in 
quadratum  i,  adscità  unitate  couticit  4.  qui  est  quadratus. 

Item  idem  3,  ductus  in  quadratum  iG,  adscità  unitate  facit  49  qui 
est  quadratus. 

Et,  loco  I  et  iG,  possunt  infiniti  quadrati  idem  pra'stantcs  inveniri; 
sed  canonem  generalem,  dalo  quovis  numéro  non  quadralo,  inqui- 
rimus. 

Quœratur,  verbi  gratia,  quadratus  qui,  ductus  in  149.  aut  109,  aiil 
433,  etc.,  adscità  unitate  conficiat  quadratum. 

(')  Voir  lo  Ti-dilc  des  nombres  polygones.  —  l'ermat  vise  d'ailleurs  Ic^fait  que  Oiu- 
phanlc  admel,  pour  ses  proljlèmcs,  les  solutions  en  nomljros  fraclioiinaires. 


33G  ŒUVRES  DE  FERMAT.-   CORRESPONDANCE. 

LXXXI  bh. 
BOULLIAU  A  FERMAT  ('). 

MARS   1657. 

(Bib.  Nat.  fr.  iSoîO,  f°  5i.) 

lUuslrissiino    ac   erudilhximo   viro   Domino   de   Fermât, 
in  suprema  Ciiiia  Tholosana  consitiario,  Matlicmatico 

TÔJ  Trivu 
Ismael  Bidlialdus  S.  P.  D. 

liane  (le  Porisinalibus  scriptiuiiculam  (-),  Yir  111""",  siinul  cuin  aliis 
paiicis,  circa  (heorcmala  aliquot  gcometrica,  mcis  luciihralionibiis, 
cum  Mathcmaticis  iioslra^  jptalis  communicarc  ot  publici  juris  l'acMM'c 
stafui;  cam  vcro  roni  cùni  occasionc  cnuliti  simul  ac  sublilis  opiisculi 
lui  do  Porismatibus,  quod  aniio  siip(M"iore  (^)  ad  amicos  (nos  hue 
(ransmisisti,  aggrcssus  sim,  To  antosignanum  soqiior;  qiiod  mihi  (b-- 
i-ori  ac  glori;c  vcrlit.  Til)i  onini,  Vir  exiiiiie,  qnàm  studiosc  io  colani 
aliquatciuis  significarc,  tain  iiiibi  gratiim  ac  jucuiiduin  csl,  ut  occa- 
sioncni,  si  nata  opportune  non  fuissot,  muUis  curis  studioque  vehc- 
nienti  redemissein.  Omnes  equidem,  ([uibus  virtutcs  (ua'  nota"  sunt, 
ingonii  judiciique  aeunicn  probatuni,  nierito  le  suspiciunt  ac  eele- 
l)rant  :  nec  soli  per  Gallium  qui  vivunt,  vcrùm  per  universain  Europam 

I  ')  Lettre  inédite,  dniil  nous  devons  l'indication  à  M.  Lucien  Auvniy,  de  la  Bihliotlièi|ne 
iiationaic.  liUc  est  publiée  d'après  la  minute  de  lioullian. 

(-)  Il  s'agit  (le  l'Ouvrage  de  Boullian,  dont  le  titre  est  donné  Tome  I,  page  77,  note  2. 
Comparer  avec  la  présente  Lettre  l'extrait  inséré  dans  la  Note  |irécitée. 

(')  IJans  V Ex-crcitatio  de  Poriiiiialibu:!  (voir  Tome  I,  p.  77,  note,  ligne  10  en  renion- 
tanl),  Uoulliau  dit  oiilc  biciiiiiuin;  mais  celte  expression,  qui  indique  la  fin  de  i()5i,  semble 
se  rapporter  à  l'envoi  à  Paris  par  Fermât  de  |)ropositions  détachées  comme  les  Porismatu 
duo  (Tome  1,  p.  73  à  76),  retrouves  dans  les  papiers  do  Pascal.  L'opuscule  Porumatum 
Euclideorum  sic.  (Tome  I,  p.  76  à  84),  ici  désigné  expressément,  n'aurait  clé  commu- 
niqué au  contraire  qu'en  iG5G  {anno  superiorc).  11  y  a  donc  lieu  de  corriger  dans  ce  sens 
ce  que  nous  avons  dit  sur  la  date  de  cette  communication  Tome  I,  page  78,  deuxième 
alinéa  de  la  note. 


LXXXII.  -  20  AVRir.  1657.  337 

laudes  tuas  illi  praedicant,  quibus  nomen  luum  innotuit;  atque  in  Italia 
dum  cgi,  Bonavcnturam  Cavallcrium  Bononiœ,  et  Evangi^lislam  Torri- 
celluni  Florontiœ,  summos  hujus  nostri  stcculi  Mathematicos,  aiidivi 
£Opï][xaTa  tua  sublimes  mentis  ta;c  cirectiones,  quarum  copia  ipsis 
facta  erat,  mirantes  summis(jue  laudibus  oxtollcntes.  Inter  iilos 
itaque,  qui  Te  toto  animo  colunt  et  venerantur,  me  recense;  utque 
officium,  tenue  quamvis,  acceptum  gratumque  Tibi  sit,  hoc  mihi 
perfice.  Et  qute  cum  paucis  hactenus  communicasti,  prtestantissimos 
animi  tui  partus,  omnium  utilitati  et  commodo  ut  serviant,  in  pu- 
blicum  cmitte.  illosque  diutius  comprimero  uoli.  Vale  Vir  111'"''. 

Scribcbam  Lutetise  Parisior.  die  Martii  (GJ7. 


LXXXII. 
FERMAT  A  DIGBY. 

VENDREDI    20    AVKK.    1057. 

(  IVi,  p.  iSg-iijo;  Comni.  ep.,  n°  'i.  ) 

Monsieur, 

1.  Puisque  vous  voulez  que  les  complimens  cessent,  soit  fait;  il  me 
sulfit  de  vous  assurer  une  fois  pour  toutes  que  vous  vous  êtes  très- 
justementacquis  un  pouvoir  absolu  sur  moi  et  que  je  ne  perdrai  point 
d'occasion  à  vous  le  témoigner. 

J'ai  lu  V  Arithniclica  in/ini(orum['  )  de  Wallisius  et  j'en  estime  bcuiu- 
foup  l'auteur;  et,  bien  que  la  quadrature  tant  des  paraboles  qu(^  des 
hyperbqles  infinies  ait  été  faite  par  moi  depuis  fort  longues  années  et 

1  '  )  Johannis  W'allisii  SS.  Tli.  D.  Geometrine  l'rofessoris  Saviliani  in  celeberriinâ  Acade- 
mia  Oxoiiicnsi  Arillimetica  infinitonini  sivc  Nova  methodiis  ini]iiiren(li  in  (îui'vilinconini 
i|iiadruluram  aliaqiio  difliciliora  Matlieseos  Prohicmata;  Oxonii  lypis  Loon.  Liclifield  Aca- 
domia;  Ty|)Ogia|)lii.  Impcnsis  Tlio.  Kobiiison,  Aniio  iGJG.  ïid  pages  iii-j". 

II.   —    FtBHAT.  \i 


338  ŒUVHES   DE   FE UM AT.  -  COUIIESPONDANCE. 

que  j'en  aio  autrefois  entreteuu  l'illustre  Torricelli  ('),  je  ne  laisse  pas 
(l'estimer  l'invention  de  Wallisius,  qui  sans  doute  n'a  pas  su  que 
j'eusse  préoccupé  son  travail. 

2.  Voici  une  de  mes  jiropositions  aux  ternies  où  je  la  eoneus  en 
l'envoyant  à  Torricelli  : 

Soient  les  deux  droites  SKU  et  KOK^/Ti,'.  8j)  et  soient  décrites  les 
courbes  EdUQ  d'un  côté  et  DA13(]  de  l'autre,  en  forme  d'hyperboles 


B^ 

A 

n 

c 

0 

p 

Ç_^'^ 

^^"--^ 

dont  les  asymptotes  soient  les  droites  premièrement  données.  Soient 
encore  tirées  AG,  15H,  [.arallides  à  SKU,  et  les  droites  HN.  .V.M.  f.L.  III. 
parallèles  à  KOF. 

Vm  l'hyperbole  ordinaire,  le  rectangle  NP  est  égal  au  rectangle  .MAO; 
mais  supposons  maintenant  que  le  produit  du  quarré  UN  et  de  la 
droite  W  soit  égal  au  |)roduit  du  (jnarré  MX  et  de  la  droite  A()  :  en  ce 
cas,  la  courbe  sera  une  nouv(dle  hyperbole  dont  la  propriété  sera  (|ue 

(';  Duiis  une  IcUre  perdue,  probablement  de  la  fin  de  lOJG,  et  qui  semble  avoir  été  la 
seule  que  [""crmat  ait  adressée  à  Torricelli.  Elle  dut  répondre  à  une  communication  à  la- 
quelle Torricelli  fait  allusion  dans  la  partie  inédite  de  sa  lettre  à  Hobcrval  du  7  juillet  i()4G. 
dans  celle  à  Mersennc  du  nièuic  jbïir  {Bullclli/io  yio/ii-oiiipa^iii,  VIII,  paires  4oo-4o4)  <:l 
dans  celle  à  Carcavi  du  H  juillet  lOlti  {Mcmoric  dclUt  lîcale  Accadeinia  tlei  Liiicci, 
Vj,  îo  juin  i88u).  Dans  la  première  de  ces  lettres  (  Bibl.  Nat.  lai.,  iinjCi,  f"  lO  v°i,  on 
lit  : 

n  Ih'pcrbolaruni  Tlicorcniala,  i[u;b  mitto  ad  III'".  De  Fermât,  ut  judiciuin  subcaut,  num 
Il  cnm  parabolis  salteui  ali(|ua  c\  parte  conferri  possint,  viderc  poteris.  Si  nuius  liypcr- 
i>  boke  primarix'  (pjadralura  tamdiu  (pia;sita  est,  nos  [)ro  una  inliuitas  dauius.  » 

(".es  tliéorèmes  ont  été  do  fait  envoyés,  avec  la  lettre  du  8  juillet  1O4G,  à  Carcavi,  (pii 
avait  conniiuni(|uc  à  Torricelli  des  propositions  do  l'^crmal  sur  les  nombres.  Le  géomètre 
italien  connaissait  d'ailleurs,  au  moins  par  les  Ca^itata  de  Mcrseune  (iG41):  les  travaux 
de  Fermât  sur  les  paraboles  de  divers  degrés  {voir  Tome  I,  page  nji,  note  1  ). 


LXWll.  -   20  AVRIF,   1G57.  339 

le  parallélogramme  BI  sera  égal  à  l'espace  compris  sous  la  base  151!  el 
les  deux  courbes  BAOF,  FKGH,  qui  vout  à  l'infini  du  cùlé  de  F. 

Que  si  le  |)roduit  du  cube  BN  et  de  la  droite  HP  est  égal  au  produit 
du  cube  XS]  et  de  la  droite  AU,  en  co  cas,  ce  sera  une  autre  hyperbole 
dont  la  propriété  sera  que  le  parallélogramme  BI  sera  double  de  l'es- 
pace compris  dans  la  base  BH  et  les  deux  courbes  en  montant,  /// 
supra. 

Et  par  régie  générale,  si  le  produit  d'une  puissance  de  BN  [)ar  une 
puissance  de  BP  est  égal  au  {)roduit  d'une  pareille  puissance  de  .MA 
par  une  pareille  de  A()  (en  supposant  celles  di"  BN  et  MA  [»areilles 
entre  elles,  comme  aussi  celles  de  BP  et  de  AO  aussi  pareilles),  le 
parallélogramme  BI  sera  à  la  figure  prolongée  à  l'infini  ii/  siipni, 
comme  la  différence  de  l'exposant  de  la  j)uissancc  de  B.\  avec  l'expo- 
sant de  la  puissance  de  BP  est  à  l'exposant  de  la  puissance  de  BP. 

De  sorte  qu'il  suit  de  là  qu'en  l'hyperbole  ordinaire  l'espace  de  la 
figure  prolongée  à  l'infini  n'est  point  égal  à  un  espace  donné,  parce 
que  l'exposant  des  puissances,  étant  le  même,  ne  donne  aucune  dif- 
l'érence;  et,  pour  faire  <(ue  l'espace  de  la  dite  figure  prolongée  à  l'in- 
fini soit  égal  à  un  espace  donné,  il  faut  que  l'exposant  de  BN  soit  plus 
grand  que  celui  de  BP,  comme  il  est  aisé  d(^  remarquer. 

3.  Tout  ceci,  quoiqu'énoiicé  un  peu  diversement,  se  peut  tirer  du 
livre  de  Wallisius;  mais  il  n'a  pas  fait  une  spéculation  sur  ces  figures, 
de  laquelle  il  sera  sans  doute  bien  aise  d'être  averti  et  qui  peut  passer 
pour  un  des  miracles  de  la  Géométrie.  Je  l'ai  autrefois  donnée  à  Tor- 
rieelli  aussi  bien  que  la  précédente;  c'est  : 

Gomme  il  arrive  que  quelquefois  l'espace  prolongea  l'infini,  comnH> 
BADFEGH,  est  aussi  infini,  comme  en  l'hyperbole  ordinaire,  et  ({uel- 
quefois  fini,  comme  en  celles  dont  les  exposants  de  BN  surmontent 
ceux  de  BP,  on  demande  si,  lorscjue  le  dit  espace  prolongé  à  l'infini 
est  égal  à  un  espace  fini,  il  a  un  centre  de  gravité  fixe  et  certain. 

Or,  il  arrive  une  chose  merveilleuse  en  cette  recherche  etlaquelhî 
j'ai  découverte  et  démontrée,  c'est  que  quelquefois  le  dit   espace. 


340  OEUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

quoique  fini,  n'a  point  do  centre  de  gravité  fixe,  et  quelquefois  il 
en  a. 

Car,  par  exemple,  lorsque  le  produit  du  quarré  BN  et  de  la  droite 
BP  est  égal  aux  produits  semblablemcnt  tirés,  la  figure  BADFKGH  pro- 
longée il  l'infini,  qui  en  ce  cas  est  égale  au  parallélogramme  BI,  n'a 
pourtant  aucun  centre  de  gravité. 

Mais,  si  le  produit,  par  exemple,  du  cube  BN  et  de  la  droite  BP,  est 
égal  aux  produits  semblables  et  semblablemcnt  tirés,  en  ce  cas,  non 
seulement  l'espace  de  la  figure  prolongé  à  l'infini  est  égal  à  un  espace 
donné,  qui  est,  comme  nous  avons  dit,  la  moitié  du  parallélogramme 
BI,  mais  encore  cette  figure  prolongée  à  l'infini  a  un  centre  de  gravité, 
qui  va  en  ce  cas  en  la  ligne  PF  coupée  en  telle  sorte  au  point  0  ([ue  la 
ligne  PO  soit  égale  :i  la  ligne  KP;  et  ce  point  0  sera  le  dit  centre  de 
gravité  de  cette  figure  prolongée;»  l'infini. 

Si  Monsieur  VVallisius  veut  avoir  la  démonstration  de  cette  proposi- 
tion et  de  la  ri>gle  générale  pour  trouver  les  dits  centres  de  gravité,  je 
vous  l'cnvoierai  pour  lui  en  faire  part. 

4.  Pour  ce  qui  regarde  la  quadrature  du  cercle  dans  son  dit  Traité, 
je  n'en  suis  pas  pleinement  persuadé,  car  ce  qui  se  déduit  par  com- 
])araison  en  Géométrie  n'est  pas  toujours  véritable. 

5.  Je  ne  vous  parle  ni  de  votre  Livre  ('),  ni  de  celui  de  Tbomas 
Anglus(^):  ne  sulor  ultra  crepidam.  Vous  êtes  souverain  en  Physique  et 
je  vous  reconnois  pour  tel  :  j'espère  pourtant  au  premier  voyage  vous 
entretenir  de  la  proportion  que  gardent  les  graves  dans  leur  descente 

(')  Il  s'agit  sans  doulft  de  :  Two  Trcaliscs  in  Lhe  onc  of  wliicii  Tiio  Nature  of  bodics, 
in  iho  olher  lhe  Nature  of  niau's  soulc  is  look'ful  intn  in  way  of  discovcry  of  tiic  immor- 
lality  of  rcasonabie  soûles,  ^fuyfj;  ojaiv  àÇ''(o;  Xdyo'j  ■/.a.-^maJfliL:  oXv.  SuvaTov  £ivai  av:u  tt);  toG 
SXou  çûoii.);;  animœ  naturam,  absque  totius  nalura,  sufficienter  cognosci  possc  existimas':' 
rialo  in  Phœd.  At  Paris,  Printed  by  Gilles  Blaizol.  MDCXLIIII  wiih  Privilcdgc.  C'est  le 
Cliapitrc  X  (p.  76-8O)  qui  est  consacré  à  la  pesanteur. 

(2)  Il  s'agit  de  :  Euclides  pliysicus  sive  de  principiis  naturjc  Stœclieidca  E.  Au- 
thore  Thoma  Anglo  Ex  Albiis  East-Saxonum.  Londini  prostant  apud  Joliannem  Crook. 
MDC.L.VII. 


LXXXIII.  -  6  JUIN    1G57.  34.1 

naturelle,  de  quoi  vous  avez  traité  dans  votre  Livre  que  Monsieur  Bo- 
rd (')  m'a  fait  la  faveur  de  nie  faire  voir. 
Je  suis.  Monsieur,  votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur, 

Fermât. 

A  r.aslrcs,  le  20  avril  1057. 


LXXXIII. 
FERMAT  A  DIGBY. 

MEIICRF.UI  6  JUIN   1G57. 

{l'a,  p.   rij?  ;   Coinm.  rp.,  r,"  11.) 

MOKSU'.LT,, 

J'ai  reçu  votre  dernière  lettre  la  veille  du  départ  de  ^L  Borel,  qui 
no  me  donne  quasi  pas  le  loisir  de  vous  faire  un  mot  de  réponse. 

Vos  deux  lettres  anglaises  (^)  m'ont  été  traduites  par  un  jeune  .4//- 
glois  (\yn  est  eu  cette  ville  et  qui  n'a  point  connoissance  do  ces  matières, 
de  sorte  que  sa  traduction  s'est  trouvée  si  peu  intelligible  que  je  n'y  ai 
pu  découvrir  aucun  sens  réglé,  et  ainsi  je  ne  puis  vous  résoudre  si  ce 
Mylord  a  satisfait  à  mes  questions  ou  non.  Il  me  semble  pourtant,  au 
travers  de  l'obscurité  de  cotte  traduction  bourrue,  que  l'auteur  des 
lettres  a  trouvé  mes  questions  un  peu  trop  aisées,  ce  qui  me  fait  croire 
qu'il  ne  les  a  pas  résolues. 

Et  parce  qu'il  pourroit  équivoquer  sur  le  sens  de  mes  propositions, 
j'ai  demandé  un  nombre  cube  en  nombres  entiers,  lequel,  ajouté  à 
toutes  ses  parties  aliquotes,  fasse  un  nombre  quarré. 

J'ai  donné  par  exejnplc  343,  qui  est  cube  et  aussi  nombril  entier, 

(')  Probablement  le  médecin  du  Roi,  Pierre  BorcI,  né  à  Castres  vers  1C20  cl  fiNÔ  à 
Paris  depuis  iG53. 

{'^)  Lettres  de  Brouncker  écrites  en  mars  i()'>7  et  qui  sont  [)erdues.  Elles  répondaient 
aux  défis  de  Fermât  (Pièces  LXXIX  et  LXXXI);  l'analyse  s'en  Iroiive  dans  la  Lettre  n°  9 
du  Coiniiwrciuin  epistollcum. 


:5.V2  (KUVRES   DE  FERMAT.-  COUUESPON DANCE. 

I('([iirl,  ajouté  ii  (ouïes  sos  parties  aliquotes,  fait  /ioo,  (jiii  est  un 
nombre  (juarré;  et,  parce  que  cette  question  reçoit  plusieurs  autres 
solutions,  je  demandi^  un  autre  nombre  cube  on  entiers,  qui,  joint  à 
toutes  ses  parties  ali(]Uotes,  fasse  un  nombre  quarré. 

h]lsi  le  Mvlord  lîrouncker  répond  qu'en  entiers  il  n'y  a  que  le  seul 
nomiire  313  qui  satisfasse  à  la  question,  je  vous  promets  et  à  lui  aussi 
de  le  désabuser  en  lui  en  exliibant  un  autre. 

Je  demandois  encore  un  quarré  en  entiers  (jui,  joint  à  toutes  ses 
parties  aliquotes,  fasse  un  cube. 

Pour  la  question  proposée  dans  l'Hcrit  latin  (')  que  je  vous  envoyai, 
elle  est  aussi  en  nombres  entiers,  et,  |)artant,  les  résolutions  en  frac- 
lions,  lesquelles  peuvent  être  d'abord  fournies  a  quolibel  de.  tmio 
aiilltmctico,  ne  me  salisferoient  pas. 

Je  suis  avec  respect.  Monsieur,  votre  très  luunbb^  et  tri's  obéissant 

serviteur, 

Fr.nsiAT. 

A  (^iisln.'S,  le  Cl  juin  iCiJj. 

Je  vous  parlerai  de  la  descente  naturelle  des  corps  pesants  dès  que 
j'aurai  un  |)eu  plus  de  loisir  (-). 


LXXXIV. 

l'ERMAT  A  DIGBY. 
iwKnniiKDi    15    AOiiT    1 6.^)7. 

[CuTiim.  ep.f   II"  l'2;  f'a.j  p.   lyr-iy^.) 
MONSTI'IK, 

1.  J'ai  reçu  avec  joie  et  satisfaction  votre  dernier  paquet  et,  quan<l 
il  ne  contiendroit  autre  nouvelle  que  celle  de  votre  convalescence  et 

(  ')  La  pièce  lAXXI. 

('-)  Ce  post-s(Tipliim.   cmpnmlô  au  Inmo  II   do  l'édition  des  OKuvres  do  Wallis  (Ox- 
ford, i6<)>,  in-f°),  inaucpic  dans  l'cdiliiin  du  Cnmiiiercium  deiG58.  — Cf.  Lollre  LXXXII,  5. 


LXXXIV.  -  15  AOUT   1657.  343 

(lu  retour  de  votro  sanlé,  c'est  un  bien  si  grand  et  si  considérable  pour 
tous  ceux  qui  aiment  les  belles-lettres,  (jn'ils  ne  peuvent  en  recevoir 
un  plaisir  médiocre. 

2.  .l'ai  reçu  la  co|)ie  de  la  lettre  de  Monsieur  Wallis  ('),  que  j'es- 
time comme  je  dois,  et  j'avoue  (|ue  ses  fii^ures  sont  les  mêmes  que 
les  miennes  et  (|ue  ses  conclusions  pour  leur  quadrature  sont  aussi 
les  mêmes;  mais  sa  façon  de  démontrer,  (|ui  est  fondée  sur  induction 
plutôt  ([ue  sur  un  raisonnement  à  la  mode  d'Arcliiméde,  fera  quel([ue 
peine  aux  novices,  (jui  veulent  des  syllogismes  démonstralifs  depuis 
le  commencenu'nt  jus(ju':i  la  lin.  (',e  n'est  pas  que  je  ne  l'approuve; 
mais,  toutes  ses  propositions  pouvant  être  démontrées  riâ  orcUnariâ, 
légitima  et  ArchiinedeA  en  beaucoup  moins  de  [)aroles  que  n'en  con- 
tient sou  livre,  je  ne  sais  pas  pour([uoi  il  a  préféré  cette  manii-re  par 
notes  algébrifiues  à  rancienne,  (|ui  est  et  plus  convaincante  et  plus 
élégante,  ainsi  ([ue  j'es[)ère  lui  faire  voir  à  mon  premier  loisir. 

Je  voudrois  (ju'ensuile  il  eût  déterminé  les  centres  de  gravité  de  ces 
hyperboles  infinies,  en  distinguant  celles  qui  en  ont  d'avec  celles  (jui 
n'en  ont  pas  (-);  car,  tandis  qu'il  dira  (jue  la  chose  lui  est  connue  et 
qu'il  n'eu  a  [)as  voulu  charger  son  livre,  il  ne  me  persuadera  pas,  et 
d'autant  plus  que  la  proposition  générah;  sans  démonstration  me  suf- 
lira  de  sa  part.  Kt  je  vous  réponds,  à  l'avance,  qu'idle  ne  sauroit  con- 
tenir plus  de  huit  on  dix  lignes;  dès  (ju'il  me  l'aura  envoyée,  je  lui 
ferai  part  di^  ma  spéculation  sur  ce  sujet  et  de  ma  façon  de  démon- 
trer. 

3-  Pour  les  questions  des  nombres,  j'ose  vous  dire,  avec  respect  et 
sans  rien  rabattre  de  la  haute  opinion  (jue  j'ai  île  votre  nation,  (jue  les 
deux  lettres  de  Mvlord  IJrouncker  (^^),  (|Uoi(jue  obscures  à  mou  égard 
et  mal  traduites,  n'eu  contiennent  point  aucune  solution;  ce  n'est  pas 
(|uc  je  prétende  par  là  renouveler  les  joutes  et  les  anciens  coups  de 

(  '  )  Cf.  rÉpilrc  V  du  Conwicrciuin  dalcc  du  G  juin  iG  i;  cl  rcpondaut  a  la  l.ctlrc  L\X.X.II. 
(-)  Cf.  ri';i)ilro  XVI  du  Comnwrciuin,  réponse  do  Wallis  datéu  du  m  novembre  1G57. 
(■')  P'oir  iwgc   Mt,  noie  1. 


:5i4  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

lances  que  les  Anglois  ont  autrefois  faits  contre  les  François  :  mais,  sans 
sortir  de  la  métaphore,  j'ose  vous  soutenir,  et  à  vous,  31onsicur,  plus 
justement  qu'à  fout  autre,  qui  excellez  aux  deux  métiers,  que  le  ha- 
sard et  le  bonheur  se  mêlent  quelquefois  aux  combats  de  science  aussi 
bien  qu'aux  autres,  et  qu'en  tous  cas  nous  pouvons  dire  que  non 
omnis  fert  omnia  telliis  (  '  ). 

Je  serai  pourtant  ravi  d'être  détrompé  par  cet  ingénieux  et  savant 
seigneur  et,  pour  lui  témoigner  que  notre  combat  ne  sera  point  à  ou- 
trance, je  me  relâche  dans  la  question  suivante,  que  je  m'en  vais  lui 
proposer,  de  la  rigueur  de  mes  premières  questions  qui  ne  vouloient 
que  des  nombres  entiers  :  il  me  suffira  qu'ils  soient  rationaux  à  la 
mode  de  Diophante.  (Le  nom  de  cet  auteur  me  donne  l'occasion  de 
vous  faire  souvenir  de  la  promesse  qu'il  vous  a  plu  me  faire,  de  recou- 
vrer quelque  manuscrit  de  cet  auteur,  qui  contienne  tous  les  treize 
livres,  et  de  m'en  faire  part,  s'il  vous  peut  tomber  en  main.) 

4.  Voici  la  nouvelle  question,  ou  pour  Mylord  Brouncker  ou  pour 
Monsieur  Wallis,  que  j'écris  en  latin  suivant  votre  ordre  (^-)  : 

Daliim  numeriim  ex  duobus  numeris  ciihis  composilum  dividerc  in  duos 
alios  numéros  cubas. 

liane  proposidonem  in  quadratis  tanlum  exsequutus  est  Diophanlus,  in 
cubis  ne  tenlavit  quidern,  in  iis  sallem  libris  qui  ad  nos  de  majore  ipsius 
opère  pcrvenerunt. 

Excmpli  gralia,  proponalur  numcrus  28  ex  duobus  cubis  i  cl  27  coni- 
posilus. 

Oporlet  dictum  numerum  28  in  duos  alios  cubos  ralionales  dividcre  cl 
propositionis  solutionem  generaliter  prœslare. 

Je  consens  que  M.  Frcnicle  l'entreprenne;  je  suis  persuadé  qu'il  ne 
la  trouvera  pas  si  aisée  que  les  autres,  que  je  savois  être  de  sa  juridic- 
tion. Je  l'estime  extraordinairement  aussi  bien  que  vous,  mais  pour- 

(')  Allusion  à  Virgile,  Eclog.  IV,  3i)  :  omnis  fcrct  omnia  tellus. 
(2)  Cf.  Observation  IX  sur  Diopliante. 


LXXXIV.  -  13  AOUT  1G37.  3'*5 

t.'inl  ce  que  je  vais  ajouter  l'étonncra.  si  vous  prenez  la  peine  de  le  lui 
communiquer. 

5.  Je  lui  avois  écrit  qu'il  n'y  a  qu'un  seul  nombre  quarré  en  entiers 
(|ui.  joint  au  binaire,  fasse  un  cube,  et  que  ledit  quarré  est  2j,  auquel 
si  vous  ajoutez  2,  il  se  fait  27,  qui  est  cube  (')•  H  a  peine  à  croire  cette 
proposition  négative  et  la  trouve  trop  hardie  et  trop  générale. 

Mais,  pour  augmenter  son  étonnement,  je  dis  que,  si  on  cherche  un 
quarré  qui,  ajouté  à  4,  fasse  un  cube,  il  n'en  trouvera  jamais  que 
deux  en  nombres  entiers,  savoir  4  et  121.  Car  4  ajouté  à  4  fî'it  8  qui 
est  cube,  et  121  ajouté  à  4  f^'it  i25  qui  est  aussi  cube.  l\Iais,  après 
cela,  toute  l'infinité  des  nombres  n'en  sauroit  fournir  un  troisième  qui 
ait  la  même  propriété. 

Je  ne  sais  ce  que  diront  vos  Anglois  de  ces  propositions  négatives 
et  s'ils  les  trouveront  trop  hardies  :  j'attends  leur  résolution  et  celle  de 
.M.  Freuicle,  qui  n'a  pas  répondu  à  une  longue  lettre  que  M.  Borcl  lui 
rendit  de  ma  part.  De  quoi  je  suis  surpris,  car  je  lui  répondois  exac- 
tement à  tous  ses  doutes  et  lui  faisois  quelque  question  de  mon  chef, 
dont  j'attends  la  solution. 

Je  suis  avec  grand  respect.  Monsieur,  votre  très  humble  et  tri's 

obéissant  serviteur, 

Ff.kmat. 
A  Castres,  le  li  août  1G57. 

6.  J'oubliois  de  vous  dire  que  M.  Borel  a  écrit  à  son  père  que 
M.  l'Ambassadeur  de  Hollande  s'étonnoit  de  quoi  je  n'avois  pas  ré- 
pondu à  M.  Schooten  qui  prétend  avoir  résolu  mes  questions  et  m'en 
avoir  proposé  d'autres;  mais  je  vous  assure  que  je  n'ai  rien  vu  de  sa 
part  et  que,  si  vous  m'en  envoyez  copie,  j'y  répondrai  (^). 

1-  J'ai  mis  la  proposition  un  peu  plus  générale  dans  la  page  sui- 

(')  Cf.  Observation  XLII  sur  Diophantc. 

(')  La  ré[)onso  de  Seliooton  au  premier  Défi  (Pièce  LXXIX)  fut  adrosséo  par  lui  lo 
17  février  1(07  à  l'Ambassadeur  do  Hollande,  Willem  lloreol.  Elle  est  insérée  dans  la 
Lettre  n°  33  du  Commcrciuin  epistolicum  et  dans  la  Correspondunrc  de  Hiifgcns,  n°'  377 
Cl  378. 

FtniiÀT.  —  11.  44 


3VG  (EUVllES  DE  FERMAT.-  COUUESPONDANCE. 

vanto  où  elle  me  somblo  oLrc  mieux;  on  la  peut  concevoir  pour  M.  Fre- 
niclp,  qui  aime  les  nombres  entiers,  en  ces  termes  : 

Trouver  deux  nombres  cubes  dont  la  somme  soit  cid)c, 
et 

Trouver  deux  nombres  cubes  dont  la  somme  soit  égale  à  deux  autres 
nombres  cubes. 

8.   Proposuil  Diophantus  ('  )  : 

Datum  numerum  quadratum  in  duos  quadratos  dividerc; 
item  : 

Datum  numerum  ex  duobus  quadratis  compositutn  in  duns  nlios  qua- 
dratos dividcre. 

Quœstionem  aulem  ad  cubos  eveherc  nec  ipse  nec  Viela  tentavit  :  quidni 
igitur  famosam propositionem  et  recentioribus  réservât am  Analystis  expe- 
dire  aut  dubitemus  aul  diffcrcmus  ? 

Proponatur  itaque  : 

Datum  numerum  cubuni  in  duos  cubos  rationales  dividere  ; 

item  : 

Datum  numerum  ex  duobus  cubis  composilum  in  duos  alios  cubos  ratio- 
nales dividere, 

et  inquiratur  quid  eâ  de  re  Anglia,  quid  Hollandia  censeat. 
(')  67'.  Observations  11  et  111  sur  Dioplianlc. 


LXXXV.  —  15  AOUT   1657.  347 

LXXXV. 

FERMAT  A  DIGBY  ('). 

lîE.MARQUES  SUIl  L'AUITIIMÉTIQUE  DES  INFINIS  DU  S.  J.  WALLIS. 

MERCREDI    15    AOUT    l(i5~. 
(Comm.  ep.f   n"  13;  /""u.,  p.   i()3-ii)G.) 

I.  En  son  Epitrc  il  déclare  comment  il  s'est  mis  à  la  recherche  de 
la  quadrature  du  cercle  et  dit  que  quelques  vérités,  qui  ont  été  dé- 
couvertes en  Géométrie,  lui  ont  donné  l'espérance  qu'elle  se  pourroil 
trouver.  Ces  vérités  sont  : 

Que  la  raison  des  cercles  intinis  du  cône  aux  infinis  du  cylindre  est 
connue,  savoir  celle  du  cône  au  cylindre  qui  a  même  base  et  hauteur; 
et  pareillement  la  raison  des  diamètres  desdi(s  cercles,  savoir  celle  du 
triangle  qui  passe  par  l'axe  du  cône  au  parallélogramme  qui  passe  par 
l'axe  du  cylindre; 

Comme  aussi  on  a  la  raison  du  conoïde  parabolique  au  cylindre  cir- 
conscrit, et  celle  de  la  parabole  au  parallélogramme  qui  passent  par 
leurs  axes,  qui  sont  comme  l'assemblage  des  diamètres  des  cercles  in- 
finis qui  composent  Icsdits  solides; 

De  plus,  qu'on  a  aussi  trouvé  la  raison  des  ordonnées  (tant  au 
triangle  qu'au  conoïde  paraboli(|ue  ou  parabole),  qui  sont  les  dia- 
mètres desdits  cercles. 

D'où  il  conclut  que,  puisqu'on  a  trouvé  aussi  la  raison  de  la  sphère 
au  cylindre  circonscrit,  ou  celle  de  l'infinité  des  cercles  parallèles, 
dont  on  peut  concevoir  que  la  sphère  est  composée,  à  pareille  multi- 
tude de  ceux  (|ui  se  peuvent  feindre  au  cylindre,  on  [)ourra  aussi 
espérer  de  pouvoir  découvrir  la  raison  des  ordonnées  en  la  sphère 
ou  au  cercle  ii  celles  du  cylindre  ou  quarré,  savoir  la  raison  des  dia- 

(')  Pièce  apporlcc  par  Wliilc  à  Broiincker  en  nràme  temps  que  la  |)réc6dento  (premiers 
jours  d'octobre  1C57).  Wallis  répondit  (à  Digby)  par  la  Lettre  16  du  Commcrciuin. 


34.8  ŒUVUES  DE  FEIIMAÏ.  —  CORUESI'ONDANCE. 

mi-trcs  des  cercles  infinis  qui  composent  la  sphî're  aux  diamèlres  dos 
cercles  du  cylindre.  Ce  qui  scroit  avoir  la  quadrature  du  cercle. 

Mais,  de  même  qu'on  ne  pourroit  pas  avoir  la  raison  de  tous  les  dia- 
mètres pris  ensemble  des  cercles  qui  composent  le  cône  à  ceux  du 
cylindre  circonscrit,  si  on  n'avoit  la  quadrature  du  triangle;  non  plus 
(|ue  la  raison  des  diamètres  des  cercles  qui  composent  le  conoïde 
parabolique  h  ceux  (jui  font  le  cylindre  circonscrit,  si  on  n'avoit 
la  quadrature  de  la  parabole  ;  ainsi  on  ne  pourra  pas  connoitre  la 
raison  des  diami^tres  do  tous  les  cercles  qui  composent  la  sphi're  ii 
ceux  des  cercles  qui  composent  le  cylindre  circonscrit,  si  l'on  n'a  pas 
la  quadrature  du  cercle.  Car,  de  demander  la  raison  qu'il  y  a  entre  les 
diainî'tros  de  tous  les  cercles  parallèles  qu'on  peut  concevoir  en  la 
spbi're  (lesquels  diamètres,  pris  tous  ensemble,  no  sont  autre  chose 
qu'un  cercle)  et  ceux  dos  cercles  qu'on  peut  feindre  au  cylindre  cir- 
conscrit (lesquels  font  un  quarré  circonscrit  audit  cercle),  cela  n'est 
autre  chose  que  de  demander  la  raison  du  cercle  au  quarré  circon- 
scrit. 

II.  En  la  même  Epilro  ('),  après  avoir  posé  une  suite  de  nombres, 

savoir  : 

I,     6,     3o,     i4o,     G3o, 

il  demande  le  terme  moyen  qui  doit  être  mis  entre  i  et  G.  Je  réponds 
que,  si  on  a  égard  ii  la  suite  entière  des  dits  nombres,  on  ne  peut  poser 
aucun  terme  moyen  entre  les  dits  i  et  G,  pource  qu'en  cette  suite  les 

(')  Si,  dans  la  suilc  do  Wallis,  on  considi-rc  l'unitc  comme  élanl  le  Lcrme  de  rang  <i.  k- 
Icrme  de  rang  //  sera 

1  „  =    ■ ; ; 2", 

I  .-2.  .  .(/(  —  l)/l 

cl  l'on  peut  aussi  poser 

■n 

T„=  — - — 22"-^'/     coi-".vd>-,      ou  ijien      T„  = 


1' 


z^"^'ilz 


d'où 


LXXXV.  -   lo  AOUT   IC57.  349 

nombres  ne  font  pas  une  proportion  continue,  mais,  en  aillant  de 
façons  que  l'un  est  comparé  à  l'aulre,  autant  font-ils  de  proportions 
difl'ércntcs;  de  sorte  que  ce  sont  plusieurs  proportions  ou  progressions 
disjointes  et  ainsi,  quand  on  prendroit  un  terme  moyen  entre  i  et  G, 
il  n'auroit  rien  de  commun  avec  les  autres  nombres. 

Toute  la  proportion  ou  suite,  qu'on  peut  remarquer  entre  ces  nom- 
bres, consiste  au  rapport  qu'ont  entre  eux  les  nombres  dont  ils  pro- 
viennent par  multiplication,  aux(juels  on  voit  une  espèce  de  progres- 
sion arithmétique.  Néanmoins  il  ne  sçauroit  passer  aux  nombres 
susdits,  en  telle  sorte  que,  par  icelui,  on  puisse  donner  un  terme 
moyen  cuire  deux  des  nombres,  qui  ait  correspondance  à  toute  la 
suite. 

Au  contraire,  la  propriété  même  de  cette  progression  fait  qu'il  n'y 
en  peut  avoir;  voici  comment  : 

Les  nombres  donnés 

1,     6,     3o,     i4o,     63o 

sont  produits  par  les  suivants  en  multipliant  : 


ou  les  équivalents 


'>  2  •> 

q ->        4  -'        M  ïï^ 
1  2  o 


G  10  l4  l8 

1234 


En  ces  nombres,  qui  servent  à  faire  les  donnés,  il  est  facile  de  voir 
où  est  le  rapport.  Il  consiste,  aux  premiers,  en  la  seule  augmentation 
du  dénominateur  de  la  fraction  qui  y  est  jointe,  ce  qui  fait  diminuer  les 
nombres  d'autant  plus  qu'ils  s'éloignent  du  premier  terme,  savoir 

de  i;  et  aux  seconds 

0  10 

I,     -)     — )     etc., 

1  2 

qui  sont  les  mêmes  en  autres  termes,  les  numérateurs  des  fractions 
augmentent  de  4  <^t  l^s  dénominateurs  de  l'unité,  ce  qui  fait  pareille- 
ment diminuer  les  nombres  tant  plus  la  progression  avance  :  en  sorte 


350  ŒUVRES  DE  FEIliMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

que  celui  qui  est  le  plus  proche  du  premier  terme  i,  savoir  l\-  ou  -> 
qui  vaut  G,  est  le  plus  grand  de  tous. 

Il  faut  aussi  remarquer  que  le  rapport  des  nombres  de  la  dite  pro- 
gression n'arrive  pas  jusques  au  premier  terme  i,  ou  plutôt  ne  com- 
mence pas  dès  le  premier  terme,  mais  au  second  seulement,  qui  est  sa 
borne.  De  sorte  que,  si  on  vouloit  augmenter  les  termes  de  la  dite 
progression,  en  la  changeant  et  mettant  un  nombre  moyen  entre  le 

premier  et  le  second  terme,  savoir  entre  i  et  l\-  ou  ->  il  ne  faudroil 
pas  avoir  égard  ii  i,  mais  aux  autres  nombres 

2  2 

3'      ^4' 


2  2  2 

4  -  )    4  -  >    4  ^  '    4  ■ 


ou  à  ces  autres  qui  sont  les  mêmes  : 

6        ro        i4        iS 
-)      —  I      ^5-)      -1-', 
13  3  4 

car  cette  progression  n'auroit  pas  de  suite,  si  on  la  commcnçoit  par  i. 
Puis  donc  :  qu'il  ne  faut  pas  avoir  égard  au  premier  terme  i,  qui  n'a 
rien  de  commun  avec  les  nombres  de  la  dite  progression,  mais  aux 
autres  seulement;  et  qu'ils  augmentent  à  mesure  qu'ils  aj)prochent  du 
|)remier  terme  1  :  il  s'ensuit  que  le  nombre,  qu'on  prendroit  entre  i 

el  '\  -  ou  -I  seroit  plus  grand  (|ue  h*  dit  -  ou  G,  et  il  faudroit  multiplier 

le  premier  terme  i  par  ce  nombre  moyen  qui  seroit  plus  grand  que  G, 
pour  avoir  le  moyen  terme  enire  les  deux  premiers  des  nombres  pre- 
mièrement donnés,  qui  sont  i  et  G  (car  les  dits  nombres  donnés 

I,     G,     3o,     i4i),     63o 

n'ont  point  d'autre  rapport  ou  liaison  que  celle  qu'ils  empruntent  de 
leurs  multiplicateurs,  autrement  ils  n'en  ont  aucune).  Et  ainsi  on  au- 
riiit  un  nombre  plus  grand  que  G  pour  le  moyen  terme  d'entre  i  et  G  ; 
ce  qui  est  absurde. 

De  là  s'ensuit  qu'on  ne  peut  donner  le  moyen  terme  entre  i  et  G,  en 


LXXXV.  -  15  AOUT  1G57.  351 

tant  qu'ils  sont  compris  en  la  suite  ou  progression  des  nombres  :  i ,  (S, 
3o,  i4o,  Gjo. 

On  peut  inférer  de  là  que  la  ligne  courbe VC  {Jîg.  8G)  (')  n'est  point 
égale  on  elle-même  et  qu'elle  ne  peut  provenir  d'aucun  mouvement 
continu  qui  soit  égal  ou  réglé,  mais  de  plusieurs,  dillerens  suivant 
ses  parties;  et  que  c'est  une  ligne  composée  de  portions  de  plusieurs 
courbes  comprises  entre  les  parallèles  ;i  l'axe  YX  de  la  figure.  Car,  en 

l'i'-.  SG. 


icelle,  il  est  bien  nécessaire 'que  la  moyenne  ligne  tirée  entre  la  jjrc- 
mière  et  la  seconde  parallèle,  savoir  entre  i  et  G,  soit  moindre  que  G. 
Mais,  outre  que  celte  moyenne  ligne  seroit  de  différonlc  longueur  sui- 
vant la  nature  et  la  propriété  de  cette  portion  de  la  courbe  VC,  (jui  n'a 
rien  de  commun  avec  les  autres  portions,  comme  a  été  dit,  elle  n'au- 
roit  rapport  qu'avec  les  deux  ternies  i.  G,  et  non  pas  avec  les  autres, 
ni  avec  les  moyennes  qu'on  auroit  tirées  entre  deux,  si  on  prenoit  le 
tout  conjointement. 

ni.  En  la  première  proposition  le  dit  sienr  Wallis  propose  une 
suite  de  quantités  commençant  par  o  (qui  représente  le  point)  et  qui 
se  suivent  en  progression  aritbmétique,  et  chercbe  quelle  raison  il  y 
a  entre  la  somme  des  dites  quantités  et  la  somme  d'autant  de  termes 
égaux  à  la  plus  grande  des  données. 

Le  moyen  qu'il  donne  pour  trouver  cette  raison  est  de  prendre 
les  sommes  de  diverses  quantités  de  nombres  commençant  par  les 
moindres,  puis  comparer  les  raisons  les  unes  aux  aulres  et  inférer 
de  lit  une  proposition  universelle. 

On  se  pourroit  servir  de  cette  méthode,  si  la  démonstration  de  ce 

(')  La  figure  ne  se  trouvant  pas  dans  le  Cowmercium,  nous  la  rostiluons  d'après 
V Arit/inwtiia  iiijînitorum  de  Wallis  {Opéra  inathematica,  Oxford,  ifigï,  in-f°,  tome  I. 
P-  477). 


352  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

qui  est  proposé  étoit  bien  cacliéc  et,  qu'auparavant  de  s'engager  à  la 
ehercher,  on  se  voulut  assurer  à  peu  près  de  la  vérité;  mais  il  ne  s'y 
faut  fier  que  de  bonne  sorte  et  on  doit  y  apporter  les  précautions 
nécessaires.  Car  on  pourroit  proposer  telle  chose  et  prendre  telle 
règle  pour  la  trouver  qu'elle  seroit  bonne  à  plusieurs  particuliers 
et  néanmoins  seroit  fausse  en  effet  et  non  universelle.  De  sorte  qu'il 
faut  être  fort  circonspect  pour  s'en  servir,  quoiqu'en  y  apportant  la 
diligence  requise,  elle  puisse  être  fort  utile,  mais  non  pas  pour 
prendre,  pour  fondement  de  quelque  science,  ce  qu'on  en  aura 
déduit,  comme  fait  le  sieur  Wallis  :  car,  pour  cela,  on  ne  se  doit 
contenter  de  rien  moins  que  d'une  démonstration,  et  principalement 
au  sujet  de  la  proposition  dont  il  s'agit,  dont  la  solution  et  démon- 
stration est  fort  facile. 

Voici  comme  on  démontrera  que  les  dites  quantités  proposées,  étant 
jointes  ensemble,  font  la  moitié  d'autant  de  quantités  égales  à  la  plus 
grande  d'icellcs  : 

Soient  exposées  des  quantités  ou  nombres  qui  commencent  par  le 
point  ou  par  o,  et  qui  se  suivent  en  progression  arithmétique;  et 
soient  celles  de  la  première  ligne 

r  Quantités  données o  n  b  c  d 

1°  Quantités  égales  à  la  |)kis  grande  des  données.. . .     d  d  d  d  d 

y  Excès  des  plus  grandes  par  dessus  les  données. . .     d  c  h  a  o 

Puisque  les  quantités  données  sont  en  progression  arithmétique,  le 
troisième  terme  b  surpassera  le  second  de  pareille  quantité  que  le 
second  (savoir  a)  surpasse  le  premier  qui  est  o;  mais  l'excès  de  a 
par  dessus  o  est  a  :  et,  partant,  toutes  ces  quantités  se  surpasseront 
l'une  l'autre  de  proche  en  proche  selon  la  quantité  du  second  terme  a. 
Et  si  on  prend  les  quantités  de  deux  en  deux,  laissant  une  d'icelles 
entre  deux,  comme  sont  a,  c,  ou  h,  d  de  la  première  ligne,  leur  diffé- 
rence sera  le  troisième  terme,  comme  il  est  évident.  Et  de  même,  si 
on  les  prenoit  de  trois  en  trois,  elles  auroient  le  quatrième  terme  c 
pour  leur  différence. 


LXXXV.  —  15  AOUT   1G57.  353 

!)(!  là  il  s'ciisui(  ((uc,  si  on  prend  aiil.inl  de  (ornios  éi,'aiix  au  plus 
i^M'and  ((M'iiic  r/dos  ([iiaiililés  données,  coiiinie  en  la  seconde  Iii:;ne,  leur 
excès  par  dessns  les  quantités  données  sera  égal  aux  dites  (|naiitilés 
données,  comme  on  [le]  voit  en  la  troisième  ligne.  Car  l'excès  de  d 
par  dessus  la  plus  grande  des  quantités  données,  savoir  par  dessus  <•/, 
est  t),  qui  est  le  premier  terme  des  quantités  données;  l'exci's  du 
même  <l  par  dessns  le  terme  précédent  c  est  le  second  ferme  a,  comme 
il  a  été  montré,  savoir  pourcc  que  les  deux  quantités  c  et  d  sont  pro- 
l'iiaines;  et  ensuite  l'excès  de  d  par  dessus  h  sera  h,  et  ainsi  des 
autres,  jusques  à  ce  qu'entin,  étant  au  premier  terme  o,  l'excès  de  d 
par  dessus  icelui  sera  le  uième  d. 

Va  ainsi  la  ligne  des  excès,  qui  est  la  troisième,  sera  égale  ;i  la  pre- 
mière (jui  contient  les  quantités  données;  mais  la  première  et  la  troi- 
sième ligne  étant  jointes  ensemble  (savoir  les  quantités  données  étant 
jointes  aux  excès  des  quantités  de  la  seconde  ligne  par  dessus  celles 
do  la  })rcmière,  qui  sont  les  données),  font  la  dite  seconde  ligne,  qui  a 
chacun  de  ses  termes  égal  au  plus  grand  de  ceux  de  la  premii're  :  par- 
tant la  seconde  ligne,  ou  le  plus  grand  terme  des  données  pris  autant 
de  fois  qu'il  y  a  de  termes,  sera  douhic  (1(^  la  première  ligne,  c'est 
à  dire  des  quantités  données.  Ce  qu'il  falloit  démontrer. 

IV.  En  la  seconde  proposition,  il  requiert  que  le  premier  terme  soil 
o  et  le  second  i .  Autrement  il  dit  ([ue  mudcratio  est  adlnhcndci. 

A  cela  je  dis  (jue,  si  on  commence  par  o,  quelque  nombre  qu'on 
n)ette  pour  le  second  terme,  la  somme  d'autant  de  l'ois  le  plus  grand 
terme  sera  toujours  double  des  quantités  données.  Car,  si  pour  a,  h, 
c,  d  on  prend  (juelques  nombres  qu'on  voudra,  qui  soient  en  progres- 
sion arithmétique  depuis  le  premier  terme  o,  cela  succédera  toujours 
en  la  même  sorte,  ainsi  (ju'il  a  été  ci-devant  démontré. 


l'iinMAT. 


35.V  ŒUVUl'S   DE   FEKMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

EXXXVI. 
FERMAT  A  DK  LA  CHAMBRE. 

AOUT     1657. 

(D.   III,  5o). 

A  Toulouse,  le  mois  d'août  iG')7. 
Monsieur, 

1-  Jo  n'avois  garde  de  vous  obéir  lorsque  vous  m'ordonniez  de  rece- 
voir votre  Livre  (')  sans  le  lire.  Le  présent  (jue  vous  m'en  avez  fait  est 
une  marque  trop  précieuse  de  l'amitié  dont  vous  m'honorez;  mais  sa 
lecture  m'a  fait  concevoir  l'idée  de  cette  amitié  comme  un  bien  qui  mé- 
rite d'être  conservé  avec  soin,  avec  respect  et  avec  estime.  Et  pour  vous 
le  faire!  voir,  je  ne  vous  parlerai  point  de  vos  autres  spéculations  de 
Physique,  quoiqu'elles  soient  pleines  d'un  raisonnement  très  solide  et 
1res  subtil;  il  me  suHira  de  vous  entretenir  un  peu  sur  la  matière  de 
la  réllexion  et  de  la  réfraction,  quand  ce  ne  seroit  qiie  pour  réparer 
par  (;ette  lettre  la  perte  d'un  Discours  que  je  vous  avois  adressé,  il  y  a 
<léjà  quelques  années,  sur  ce  même  sujet  et  que  j'ai  su  n'être  point 
venu  en  vos  mains.  Ce  qui  m'y  confirme  est  que  j'entre  par  là  dans 
(|ucl(jue  société  d'cqunion  avec  vous,  et  j'ose  même  vous  assurer  par 
avance  que,  si  vous  souffrez  que  je  joigne  un  peu  de  ma  géométrie 
à  votre  physique,  nous  ferons  un  travail  à  frais  communs  qui  nous 
mettra  d'abord  en  défense  contre  M.  Descartes  et  tous  ses  amis. 

2.  Je  rcconnois  premièrement  avec  vous  la  vérité  de  ce  principe, 
que  la  nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus  courtes.  Vous  en 
déduisez  très  bien  l'égalité  des  angles  de  réflexion  et  d'incidence,  et 
l'objection  de  ceux  qui  disent  que  les  deux  lignes  qui  conduisent  la 

(M  l.a  l.iiniièro  à  Monsuii^iiour  l'Kminontissimo  Cardinal  Mazann  |)ar  le  sieur  De  La 
Chambre,  conseiller  du  Roy  en  ses  Conseils  et  son  .Médecin  ordinaire.  A  Paris,  clic/. 
I'.  Uocolet,  Inip.  et  Lih.  ord.  du  lloy;  au  Palais,  on  la  gallerie  des  Prisonniers,  aux  Armes 
(lu  lîoy  et  do  la  Ville.  MDCLVII,  avec  Privilège  du  Itoy  (440  pages  in-4°). 


LXXXVl.  -  AOUT   ICo-.  555 

vue  ou  la  lumière  dans  lo  miroir  concave  sont  très  souvent  les  plus 
longues,  n'est  point  considérable,  si  vous  supposez  seulement,  comme 
un  antre  principe  indisputable,  que  tout  ce  qui  appuie  on  qui  fait 
terme  sur  une  ligne  courbe,  de  quelque  nature  qu'elle  soit,  est  censé 
appuyer  ou  faire  ferme  sur  une  droite  qui  touche  la  courbe  au  point 
où  la  rencontre  se  fait:  ce  qui  peut  être  prouvé  par  une  raison  (l<'  pby- 
sicjue  aidée  d'une  autre  de  géométrie. 

I^e  principe  de  Physique  est  que  la  nature  fait  ses  monvemenis  |iar 
les  voies  les  [»lus  simples.  Or,  la  ligne  droile  étant  plus  simple  (jue  la 
circulaire  ni  (jue  pas  une  autre  courbe,  il  faut  croire  (|ui'  le  mouve- 
ment du  rayon  qui  tombe  sur  la  courbe  se  rapporte  j)liil6l  à  la  droile 
qui  louche  la  courbe  (|u'ii  la  courbe  même. 

Premièrement,  parce  que  cette  droile  de  l'attouchemenl  est  plus 
simple  que  la  courbe;  secondement  (et  c'est  ce  qui  s'emprunte  de  la 
(iéométrie),  parce  que  aucune  droite  ne  peut  tomber  entre  la  courbe 
et  la  touchante,  par  un  principe  d'Euclide.  De  sorte  ()uc  le  mouve- 
ment est  justement  le  même  sur  la  droite  (jui  touche  que  sur  la 
courbe  qui  est  touchée. 

Va,  cela  supposé,  on  ne  peut  jamais  dire  (|ue  les  deux  droites  (|iii 
conduisent  la  lumière  ou  le  rayon  soient  quelquefois  les  plus  longues 
aux  miroirs  concaves,  parce  qu'en  ce  cas  même  elles  se  trouvent  les 
plus  courtes  de  toutes  celles  (jui  peuvent  se  réfléchir  sur  la  droite  qui 
louche  la  courbe.  Et,  par  conséquent,  il  ne  faut  ni  supposer  (pie  la 
nature  agisse  par  contrainte  en  ce  cas,  ni  conclure  qu'elle  suive  nue 
autre  manière  de  mouvement  que  celle  qu'elle  pratique  aux  miroirs 
plans  et  en  toute  autre  espèce  de  miroirs.  De  sorte  que  voilà  voire 
principe  pleinement  établi  pour  la  réflexion. 

3.  Mais,  puis(|u'il  a  servi  à  la  réflexion,  pourrons-nous  en  tirer 
quelqu'usage  pour  la  réfraction?  Il  me  semble  que  la  chose  est  aisée 
ti  (]u'un  peu  de  géométrie  nous  pourra  tirer  d'alTaire. 

Je  ne  m'étendrai  point  sur  la  réfutation  de  la  démonstration  de 
.M.   Descaries.  Je  la  lui  ai  autrefois  contestée,  à  lui,  dis-je,  vivenli 


35r>  ŒUVRES   DE  EEUMAT.  -  COUUESPONDANCE. 

(ilque  seitlicnii,  comme  cliHoit  Marlial  ('),  mais  il  ne  inc  satisfit  jamais. 
L'usage  de  ces  mouvements  composés  est  une  matière  bien  délicate 
et  qui  ne  doit  être  traitée  et  employée  (|u'avec  une  tri-s-grande  |)ré- 
caution.  Je  les  compare  à  quelques-uns  de  vos  remèdes,  qui  servent 
de  poison  s'ils  ne  s(mt  l»ien  et  dûment  préparés.  11  me  snlllt  donc,  de 
dire  en  cet  endroit  ((ne  M.  Descartes  n'a  rien  jtronvé,  et  que  je  suis  de 
votre  sentiment  en  c(;  que  vous  rejetez  le  sien. 

Mais  il  faut  [)asser  plus  outre  et  trouver  la  raison  de  la  réfraction 
<lans  notre  principe  commun,  qui  est  que  la  nature  agit  toujours  par 
les  voies  les  [)lus  courtes  et  les  plus  aisées.  Il  semble  d'abord  que  la 
cliose  ne  peut  point  réussir  et  que  vous  vous  êtes  fait  vous-même  une 
objection  qui  [)aroit  invincible.  ÙAv{fig.  87)  puisque,  dans  la  page  3ir) 

Fis.  ^1- 


de  votre  Livre,  les  deux  lignes  CB,  BA  qui  contiennent  l'angle  d'inci- 
dence et  celui  de  réfraction,  sont  plus  longues  que  la  droite  AD(]  (|ui 
leur  sert  de  base  dans  le  triangle  ABl^,  le  rayon  de  (\  en  A,  qui  con- 
tient un  chemin  plus  court  que  celui  des  deux  lignes  (]B,  BA,  devroit, 
au  sens  de  notre  principe,  être  la  seule  et  véritable  route  de  la  nature, 
ce  qui  pourtant  est  contraint  à  l'expérience.  Mais  on  peut  se  défaire 
aisément  de  cette  diiriculté  en  supposant,  avec  vous  et  avec  tous  ceux 
(|ui  ont  traité  de  celte  matière,  que  la  résistance  des  milieux  est  dillé- 
rente,  et  (ju'il  y  a  toujours  une  raison  ou  proportion  certaine  entre 
ces  deux  résislanc(;s,  lorsque  les  deux  milieux  sont  d'une  consistance 
certaine  et  qu'ils  sont  uniformes  entre  eux. 

Ne  vous  étonnez  })as  de  ce  que  je  parle  de  résistance,  après  (|ue  vous 


(')  MviiTiAL,  Éju^r.,  I,  II.  ').  —  J'oir  les  Lcllrcs  XXII  et  XXIV. 


LXXWl.  -  AOUT   1G57.  :l}7 

avez  décide''  (|iio  le  niouveiiu'iit  do  la  liimièro  se  fait  en  un  instant  (M 
(|uc  la  réfraction  n'est  causée  que  par  l'antipathie  naturelle  qui  est 
entre  la  lumière  et  la  matière.  Car,  soit  (jue  vous  m'accordiez  que  le 
mouvement  de  la  lumière  sans  aucune  succession  peut  être  contesté  cl 
que  votre  preuve  n'est  pas  entièrement  démonstrative,  soit  (|u'il  faille 
passer  par  votre  décision,  à  savoir  que  la  lumière  fuit  l'ahondancc  de 
la  matii-re  (jui  lui  est  ennemie,  je  trouve,  mémo  en  ce  dernier  cas, 
([ue,  puisque  la  lumière  fuit  la  matière  et  qu'on  ne  fuit  que  ce  ((ui  l'ail 
peine  et  (jui  résiste,  on  peut,  sans  s'éloigner  de  votre  sentiment,  éta- 
lilir  de  la  résistance  où  vous  établissez  de  la  fuite  et  de  l'aversion. 

Soit  donc,  par  exemple,  en  votre  figure  le  rayon  (^15  qui  change  d(^ 
milieu  au  point  B,  où  il  se  rompt  pour  se  rendre  an  point  A.  Si  ces 
deux  milieux  étoicnt  les  mêmes,  la  résistance  au  passage,  du  rayon 
par  la  ligne  CM  scroit  à  la  résistance  au  passage  du  rayon  par  la 
liiçne  BA  comme  la  lii'ne  CB  à  la  lii'ne  BA.  Car,  les  milieux  étant  les 
mêmes,  la  résistance  au  passage  seroit  la  même  en  chacun  d'eux  et, 
par  conséquent,  elle  garderoit  la  raison  des  espaces  parcourus.  D'où 
il  suit  (jue,  les  milieux  étant  différents  et  la  résistance  par  conséquent 
différente,  on  ne  peut  plus  dire  que  la  résistance  au  passage  du  rayon 
par  la  ligne  CB  soit  à  la  résistance  au  passage  du  rayon  par  la  ligne  BA 
comme  la  ligne;  (^B  ii  la  ligne  BA;  mais  en  ce  cas  la  résistance  par  la 
ligue  CB  sera  à  la  résistance  par  la  ligne  15A  comme  CH  h  une;  autre 
ligne  dont  la  raison  à  la  ligne  BA  exprimera  celle  des  eleux  résistances 
didérentes. 

Comme  :  si  la  résistance  par  le  milieu  A  est  double  de  la  résistance 
par  le  milieu  C,  la  résistance,  par  CB  sera  ii  la  résistance  par  BA  comme 
la  ligne  (]B  au  double  de  la  ligne  BA;  et  si  la  résistance  par  le  milieu  t'- 
est double  de  la  résistance  parle  milieu  A,  la  résistance  par  (^B  sera 
à  la  résistance  par  BA  comme  la  ligne  CB  à  la  moitié  de  la  ligne  BA. 
De  sorte  ([n'en  ces  deux  cas,  les  deux  résistances  par  CB  et  par  BA, 
étant  jointes,  pourront  être  exprimées  :  ou  i)ar  la  ligne  CB  jointe  à  la 
moitié  ele  la  ligue  BA,  ou  par  la  ligne  CB  jointe  au  double  de  BA. 

Vous  vovez  déjà  sans  doute  la  conclusion  de  ce  raisonnement  :  car. 


.î.iS  ŒUVRES    Itl'    FKKMAT.  -  COKHKSFONDANCE. 

M)it'iit  donnés,  [)ar  cxtuiiiilc,  les  deux  points  C  et  A  en  deux  milieux 
(lilTérenls  séparés  par  la  ligne  IJD  et  qui  soient  de  telle  nature  que  la 
résistance  de  l'un  soit  douhle  de  celle  de  l'aulre;  il  faut  clicrcher  le 
point  B  auquel  le  rayon,  qui  va  de  (-  en  A  ou  d'A  en  C,  soit  coupé  ou 
rompu. 

Si  nous  supposons  (]ue  la  chose  est  déjà  faite,  et  que  la  nature  agit 
loujours  par  les  voies  les  ])liis  courtes  et  les  |)his  aisées,  la  résistance 
par  eu,  jointe  à  la  résistance  par  BA,  contiendra  la  somme  des  deux 
résistances,  et  cette  somme,  pour  satisfaire  au  principe,  doit  être  la 
moindre  de  toutes  celles  qui  se  peuvent  rencontrer  en  quelqu'autre 
point  que  ce  soit  de  la  ligne  DB.  Or  ces  deux  résistances  jointes  sont 
(>n  ce  cas,  comme  nous  avons  prouvé,  représentées  :  ou  par  la  ligne  CJî 
joinle  à  la  moitié  de  BA,  ou  par  la  même  ligne  CB  jointe  au  double 
de  BA. 

\/,\  (|uestion  se  réduit  donc  à  ce  problctne  di;  Géométrie  : 

■  litaul  donnés  les  <lcux  points  C  el  A  et  la  droite  DB,  trouver  un  point 
dii/is  la  droite  DB  aiif/iiel  si  vous  conduisez  les  droites  CB  et  BA,  la  somme 
de  (Ai  et  de  la  moitié  de  BA  contienne  la  moindre  de  toutes  les  sommes 
pareillement  prises,  ou  bien  <jue  la  somme  de  iWS  et  du  double  de  BA  con- 
tienne la  moindre  de  toutes  les  sommes  pareillement  prises; 


et  le  point  B  qui  sera  trouvé  par  la  construction  d(!  ce  problème  sera 
le  point  où  se  fera  la  réfraction. 

Vous  voyez  par  là  qu'il  faut  (|uc  le  rayon  se  coupe  et  se  rompe 
lorsque  les  milieux  sont  diflcrents.  Car,  bien  que  la  somme  des  deux 
lignes  CB  et  BA  soit  toujours  plus  grande  que  la  somme  des  deux 
lignes  CD  et  DA  ou  que  la  toute  CA,  néanmoins  la  ligne  CB,  joinle  à 
la  moitié  ou  au  double  de  BA,  peut  être  plus  courte  que  la  ligne  CD 
jointe  à  la  moitié  ou  au  double  de  DA. 

Je  vous  avoue  que  ce  problème  n'est  pas  des  plus  aisés;  mais, 
puisque  la  nature  le  fait  en  toutes  les  réfractions  pour  ne  se  départir 
pas  de  sa  façon  d'agir  ordinaire,  pourquoi  ne  pourrons-nous  pas  l'en- 
treprendre? 


(II- 

(•  le 


LXXXVli.  -  5   DECKMBKt;   1057.  :«!» 

Je  vous  garantis  j)ar  avance  que  j'en  ferai  la  soliilidn  ([naïul  il  vdiis 
plaira  et  qui'  j'on  (ircrai  même  des  conséquences  qui  établiront  s( 
dément  la  vérité  d(>  notre  opinion.  J'en  déduirai  d'aljord  :  (jn 
rayon  perpendii'uiaire  ne  se  rompt  point;  (|ue  la  lumière  se  rotupl 
dès  la  première  surface  sans  pins  changer  le  liiais  qu'elle  a  |)ris;  (|U(' 
lo  rayon  rompu  s'approche  quelquefois  de  la  perpendiculaire,  et  ([iTil 
s'en  éloigne  quelque  autre  fois,  il  mesure  qu'il  passe  d'un  milieu  laie 
dans  un  plus  dense  ou  au  contraire;  et  en  un  mot,  (|ue  cette  opinion 
s'accorde  exactement  avec  toutes  les  apparences.  De  sorte  que,  si  elle 
n'est  pas  vraie,  on  peut  dire  ce  que  disoit  Galilée  eu  un  sujet  dille- 
reiit,  que  la  nature  semhie  nous  l'avoir  ini\V\ri'o.  pcr  pigliani  s^iDro  di 
noslri  i^hinbizzi  (  '  ). 

Mais  j'ai  tort  de  ne  songer  pas  que  le  sujet  de  cette  lettre  ne  devoil 
être  qu'un  remerciment.  Je  vous  conjure,  .Monsieur,  d'excuser  sa  lon- 
gueur, quand  ce  ne  seroit  (|ue  par  l'intérêt  que  vous  y  avez,  et  de  la 
recevoir  en  tout  cas  conune  un  témoignage  de  l'estime  ([iie  j'ai  pour 
votre  savoir  et  du  resp(!et  avec  lequ(d  je  suis,  Afonsieur, 

Voire  très  luimhle  et  très  afTectionué  s(;rvileur. 

Fkkmat. ' 


LXXXVli. 

DIGBY  A  Fl^RMAf. 

MEKCREDI    5     DfiCE.MBItU     IG.'i/. 

(  la.,  p.  19G-197.) 

Monsieur, 


Je  me  donnai  l'honneur  de  vous  écrire  le  19  du  mois  passé.  Depuis 
•e  temps-lii,  j'ai  été  en  Normandie  et  ;i  mon  retour  j'ai  trouvé  la  Lettre 

(  I  )  Nous  n'uvons  pu  retrouver  le  lexlc  auquel  csl  cniiiruiUoc  ccUe  eiUtioii. 


360         G^.uvni:s  dk  fermât.  -  coiirespondanci:. 

qno  vous  iii'jivc/  l'ail  riionnour  de  m'écrirc  du  17  du  même  mois  ('), 
doiil  je  vous  ronds  (rès-liumhles  grâces  et  m'estime  très-heureux  de 
vous  servir  dans  le  commerce  qui  est  entre  vous  et  Monsieur  de  Fre- 
nicle,  il  qui  je  uionlrai  aussi  votre  Lettre  et,  comme  vous  y  parlez  de 
noire  (lliancclier  Bacon,  cela  me  fil  souvenir  d'un  autre  Ix'au  mot 
(ju'il  dit  en  ma  présence  une  l'ois  ;i  l'eu  ■\Ionsieur  le  Duc  de  Huc- 
kingliam. 

C'éloit  au  commencement  de  ses  malheurs,  ipiand  l'assemhlée  des 
l']lats,  (jue  nous  appelons  le  ParlemenI,  enirepril  de  le  ruiner,  ce 
(|n'elle  fil  ensuile  :  ce  jourlii,  il  en  eut  la  première  alarme,  .l'ètoisavec 
le  Duc,  ayant  diuè  avec  lui;  le  ('hancelier  survint  et  l'entretint  de 
l'accusation  qu'un  de  ceux  de  la  (^liamhre  Basse  avoit  présentée  contre 
lui,  et  il  supfdia  le  Duc  d'employer  son  crédit  auprès  du  Uoi  pour  le 
maintenir  toujours  dans  son  esprit.  Le  Duc  lui  répondit  <{u'il  étoitsi 
l)ien  avec  le  Roi  leur  maître,  qu'il  n'étoit  pas  hesoiii  de  lui  rendre  de 
hons  ofliciis  auprès  de  Sa  Majesté  :  ce  ({u'il  disoit,  non  pas  pour  hi 
refuser,  car  il  l'aimoit  heaucoup,  mais  pour  lui  faire  plus  d'honneur. 
Le  (Chancelier  lui  répondit  de  Iri'S-honne  grâce  qu'en  ellel  il  croyoit 
être  parfaitement  hien  dans  l'esprit  de  sou  ^hiitre,  mais  aussi  qu'il 
avoit  toujours  remar(|ué  que,  pour  si  grand  que  soit  un  feu  et  pour  si 
l'ortement  qu'il  hrùle  de  lui-même,  il  ne  laissera  pourtant  pas  de  brûler 
mieux  et  d'être  plus  beau  et  plus  clair,  si  on  le  souffle  comme  il  faut. 

De  même  j'ai  dit  à  Monsieur  Frenicle  que,  pour  si  grand  feu  d'esprit 
(|u'il  ait  et  quelque  merveilleux  que  soit  son  génie  pour  la  science  des 
nombres,  son  feu  scroit  plus  brillant,  s'il  le  vouloit  exciter  ou  aug- 
menter par  l'étude,  par  la  lecture  des  anciens  et  par  la  conversation. 

H  vous  honore  infiniment  et  dit  que  jamais  homme  n'a  approché  de 
votre  fond  de  science;  il  m'a  apporté  ce  matin  un  écrit  pour  vous  l'en- 
voyer. Je  l'ai  fait  copier  ])ar  mon  secrétaire,  car  vous  ne  l'auriez  pu 
lire;  il  écrit  d'ordinaire  sur  des  lambeaux  de  papier  et  si  vite  qu'il  n'y 
a  que  lui  même  qui  puisse  lire  son  écriture. 

(  '  )  Cctlc  IcUre  csl  perdue. 


LXXXVIIl.  -    1-2   DÉCEMBRE   1657.  3(51 

Vous  aurez  vu,  par  ma  (lerniorc  Irdrc,  que  j'ai  roru  celle  (')  (]ue 
VDUS  me  fites  riioiiiieui'  de  m'éerire  lors(|uc  vous  é(iez  à  la  campagne. 
Au  lieu  lie  vous  laisser  passer  le  litre  do  paresseux  que  vous  vous 
donnez  injustement,  j'admire  infiniment  la  facilité  et  la  présence  avec 
la([uelle,  au  milieu  de  vos  ij;randes  occupations,  vous  exprimez  sur  le 
champ  vos  profondes  et  subtiles  pensées.  Je  vous  supplie  de  croire 
(|ue  j'honore  vos  rares  talons  et  que  je  voudrois  que  mes  actions  vous 
|)risscnt  témoigner  mieux  que  mes  paroles  à  quel  point  je  suis  etc. 


LXXXVIII. 
DIGBY  A  FERMAT. 

MERCREDI     12    DÉCEMBRE    IG57. 

(/-,<,   p.    1,17.) 

Moxsiiiuu, 

Depuis  {jue  je  me  suis  donné  l'honneur  de  vous  écrire  une  lelhc 
du  ")  de  ce  mois  (-),  je  reçus  celle  que  vous  m'avez  l'ait  la  laveur  de 
m'éerire  du  2")  du  passé  (^),  dont  je  vous  rends  Irès-hnmhles  grâces. 
l'allé  me  fut  rendue  comme  j'élois  ii  table  avec  Monsieui'  Kreni(de  ii  (|ni 
je  la  montrai  cl,  y  ayant  papier  et  encre  sur  le  bull'el,  je  le  priai  de 
vous  écrire  ({uelquo  petit  mot  sur  ce  (|ne  vous  y  disiez  sur  son  sujet;  je 
vous  envoie  son  écrit. 

il  me  fait  souvenir  fort  souvent  d'un  aumônier,  (ju'avoit  le  léu  roi 
d'Angleterre,  qui  étoit  un  des  plus  élo(juens  prédicateurs  de  son  temps 
et  Iri's-suhtil  théologien;  mais,  depuis  que  la  guerre  fut  commencée, 
il  n'y  avoit  plus  moveu  de  h;  faire  prêcher  ou  parler  de  sa  science  :  il 
n'avoit  d'autres  idées  eu  son  imagination  que  de  machines  do  guerre 

(  ')  Ces  lettres  tic  Di.ï;by  et  do  Fermât  sont  perdues. 
(-)  La  lettre  qui  iiréeède. 
(■')  Lettre  perdue. 

l'tiuuT.  —  n.  4^ 


3()2  ŒUVRES   DE   FEUMAT.  -  COIIRESPON  I) ANCE. 

cl  (les  stratagèmes  pour  prendre  des  villes,  en  quoi  il  n'entendoil  rien 
du  tout. 

Ainsi  Monsieur  Freniele  ne  me  veut  entretenir  d'autre  ehose  (|ue  de 
la  théologie  mystique  et  de  ses  pensées  sur  le  franc-arbitre  ou  sur  la 
prédestination,  quittant  le  rang  qu'il  pourroit  posséder  d'un  des  plus 
grands  mathématiciens  du  siècle  pour  un  d(!s  moindres  théologiens. 
Car  c'est  bien  tard  de  commencer  la  physique  et  la  théologie  après 
l'âge  de  cinquante  ans  :  je  dis  la  physique,  parce  qu'il  est  malaisé 
d'être  un  grand  théologien  si  on  n'est  un  solide  physicien  et  si  on  n'a 
une  véritable  connoissance  de  la  nature,  dont  le  sommet  sert  de  base  ii 
la  grâce. 

Mais  je  dois  bien  prendre  garde  de  m'engager  en  ce  que  j'entends 
aussi  peu  et  encore  moins  que  lui  ;  je  reviens  à  ce  que  je  sais  de  science 
certaine,  dont  je  vous  ferai  démonstration  évidente  toutes  les  l'ois  (|ue 
l'occasion  s'en  présentera,  et  c'est  que  je  suis  etc. 


LXXXIX.  -   13   FEVRIER   1638.  ;5(i:{ 


ANNÉE   1058. 


LXXXIX. 

niGBY  A  FERMAT. 
MKRnnKDi   13  hf.vniER  1058. 

{fa,  ],.  i07-"jS-) 
MONSIEUU, 

Je  suis  sur  le  poinl  d'iMilrcr  eu  carrosse  pour  aller  à  Rouen,  dont  je 
ne  crois  pas  revenir  de  ([uinze  jours  ou  trois  semaines.  C'est  pourquoi, 
di's  (|ue  j'eus  recuvotre  paquet  du  -ir  tlu  passé  (').  j'allai  chez  M.  Cler- 
sidier  et,  n'ayant  pas  moyen  de  lui  faire  faire  des  copies  de  vos  écrits 
avant  mon  départ,  je  crus  que  vous  trouveriez  bon  que  je  les  lui  con- 
tiasse  sur  la  parole  (pi'il  me  donna,  de  vous  les  rendre  fidèlement  di"s 
(|u'il  auroittiré  copie  de  ce  qu'il  lui  faut.  C'est  un  fort  honnête  homme 
et  fort  votre  serviteur;  il  m'a  dit  qu'il  se  donneroit  l'honneur  de  vous 
écrire  par  cet  ordinaire. 

Au  reste,  Monsieur,  quand  bien  je  demcurerois  ici,  je  ne  serois  pas 
assez  vain  pour  accepter  la  charge  que  vous  voudriez  m'imposer  :  elle 
<'st  Inqj  pesante  pour  ma  foibicsse.  Je  sais  trop  bien  (-) 

(|ui(l  feiro  récusent, 

Oiiiii  valciiiil  lunneri 

ixinr  pouvoir  être  arbitre  entre  deux  grands  personnages;  il  faut  aller 

(  '  )  Lclire  perdue,  i'i  laquelle  élaieiU  jointes  des  copies  demandées  par  Clersclier  pour  la 
publication  des  Lettres  de  Descaites.  Foir  Lettre  XC  ci-après. 
(  ^  )  IIoRVCi;,  ^rl  poétique,  39-40. 


361  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

•lu  p;iir  avec  oux.  C.rassiis  s'acquiUa  liion  mal  de  cette  fonction  entre 
César  et  Pompée,  n'ayant  pas  les  reins  aussi  forts  qu'eux. 

Il  est  vrai  que  ceux  qui  sont  clans  les  vallées  peuvent  discerner  la 
hauteur  des  plus  grandes  montagnes  pour  en  avoir  de  l'admiration; 
mais,  pour  bien  juger  de  ce  qu'il  y  a  au  sommet  de  quel((u'une  d'elles, 
il  faut  être  monté  aussi  haut  sur  une  autre.  Vous  me  permettrez  donc 
(le  vous  dire  avec  le  grossier  Pahcmon  (')  : 

Non  noslniiii  intcr  vos  tanlas  componcre  lites. 

Et,  pour  ce  qui  est  de  la  chaleur  avec  laquelle  vous,  IMonsieur,  et 
M.  Descartes  avez  soutenu  vos  sentimens,  je  ne  serois  pas  d'avis  d'eu 
rien  oter  ou  changer,  pourvu  qu'il  n'y  ait  rien  qui  soit  ollensanl,  ce 
(|u'on  ne  peut  i)résumer  de  deux  aussi  grands  hommes  et  ii  quoi 
M.  Clerselier  prendra  garde.  Car,  de  vouloir  étouffer  ce  petit  feu  bril- 
lant et  étincelant,  ce  seroit  oter  beaucoup  de  la  grâce  et  de  la  force  à 
une  contestation  d'esprit  et  de  science,  et  c'est  une  des  raisons  pour- 
quoi les  disputes  aux  Universités  des  Suisses  sont  si  peu  agréables, 
leur  manière  d'argumenter  étant  bien  éloignée  de  la  vivacité  des  ba- 
cheliers de  la  Sorbonnc  qui  pressent  avec  véhémence  et  avec  chaleur  : 
car  cette  chaleur  provient  d'un  feu  qui  ne  brùle  pas,  mais  qui  semble 
donner  la  lumière  et  la  vie  comme  c(dle  du  Soleil. 

Je  ne  saurois  m'empéchcr  de  vous  envoyer  (juelques  vers  que  le 
plus  grand  génie  de  notre  ile  pour  les  Muses  ('-)  écrivit  au  Chancelier 
Bacon,  (jui  étoit  son  grand  ami  et  que  vous  témoignez  être  fort  le  vôtre 
en  le  citant  souvent.  Je  vous  dirai  comment  je  les  ai  rappelés  en  ma  mé- 
moire :  l'autre  jour,  m'entretenant  avec  une  personne  de  grand  mérite 
de  vos  rares  qualités,  je  lui  récitai  ces  vers  y  mettant  votre  nom  au 
lieu  de  celui  de  Baco.  11  en  voulut  avoir  une  copie  :  je  la  lui  fis  tran- 
scrire par  mon  secrétaire  sur  le  brouillard  que  j'en  fis  à  la  hâte;  il 


(1)  Virgile,  J-iclos.,  lit,  io8. 

(-)  Nous  n'avons  pu  retrouver  ces  vers  ni  dans  Shakespeare,  ni  dans  aucun  des  grands 
poêles  contemporains.  Au  reste,  il  s'agit  probablement  d'une  pièce  latine. 


XC.  -  3  MARS  1658.  3«5 

vous  ou  auroitfait  aussi  une  copie  s'il  eût  été  chez  moi,  mais  je  viens 
(le  l'euvoyer  chez  M.  l'Amhassadcur  d'Angleterre  ('). 
Je  suis  etc. 


XC. 
FFilRMAT  A  CLERSELIEU  Ç'). 

DIMANCHE    3    MAIIS     i(i38. 

(Bill.    nat.    fi-.    n.   a.    SîS»,   f»   35;    D.    HI,   43.) 

MoxsiEiir., 

J'ai  reçu  votre  lettre  (^)  avec  les  deux  copies  des  écrits  de  M.  Des- 
caries sur  le  sujet  de  notre  ancien  démêlé. 

Je  voudrois  hien,  Monsieur,  vous  satisfaire  ponctuellement  en  ce 
(|ue  vous  semhlez  souliailer  que  je  refasse  mes  réponses  d'alors  (jui 
se  sont  égarées  (');  mais,  comme  je  hais  naturellement  tout  ce  ((ui 
choque  tant  soit  peu  la  vérité,  et  qu'il  me  seroit  aussi  malaisé  de 
rajuster  ce  vieux  ouvrage  (|u';i  un  peintre  de  refaire  mon  portrail 

(')  Nous  trouvons  au  vol.  (il)  de  la  Corrcspondaiico  //iigtcterrc  conservée  aux  Arcliivcs 
(lu  Miuislèrc  (Jcs  alfaircs  ctraiigcrcs  la  preuve  iiuc  l'ambassadeur  d'alors  s'a|)pelail 
Lokard. 

(^)  Le  texte  de  cette  lettre  est  établi  principalement  d'après  une  copie  du  tcniiis  coll.i- 
lioiinéo  à  Vienne  par  Despoyrous  et  qui  présente  plusieurs  passai;es  inédits  publiés  par 
i.ibri  {Journal  des  Siiiuails,  i8i5,  [ip.  GSO-GSy  ).  —  Ouoi(]ue  datée  du  3  mars,  elle  ne  fut 
envoyée,  d'après  le  post-scri|)tum,  (]ue  le  lo,  avec  la  lettre  suivanle. 

(})  Lettre  annoncée  dans  la  |)récédentc  de  Digby,  et  qui  est  perdue.  Les  écrits  de 
Descartes  sur  la  I)ioptri(iue  qui  l'accompagnaient  étaient  :  la  lettre  à  Merseune  (ci-n>ui/it 
XXIll)  et  la  lettre  à  iMydorgc  {Doc,  III,  4')-  f'""'  plus  haut,  |)agc  laj,  note  i. 

(^)  Ce  langage  parait  l'ellèt  d'un  malentendu;  Clerselicr  ])ossédait  bien  les  deux  lettre.^ 
de  Fermât  à  Mcrsenne  sur  la  Dioptriquc  {ci-avant  XXII  et  XXIV),  mais  il  aura  cru  à  des 
répliques  postérieures  de  Fermât;  celui-ci  aura  compris  que  les  lettres  perdues  dont  on 
lui  parlait  étalent  celles  auxquelles  Descartes  avait  réjwndu  et  que  nous  venons  de  men- 
tionner. Il  n'avait  certainement  pas  rouvert  la  discussion;  toutefois  il  nous  manipie  des 
lettres  de  lui  à  Merseune  en  iG38,  où  il  avait  touché  incidemment  la  question  de  la  Diop- 
triquc, comme  dans  les  Pièces  XXV  hia,  1  et  XXVI. 


:5()(>  ŒUVRES  DE  FEKMAT.  -  CORRESI»ONI)ANCE. 

d'alors  sur  mon  visage  d'à  présont,  j'ai  cru  qu'il  valoit  mieux  vous 
(■'i-rire  tout  de  nouveau  une  lettre  (jui  contiendra  mes  raisons  d'op- 
position et  vieilles  et  nouvelles,  et  c'est  à  quoi  je  travaillerai  pour  la 
huitaine  ('). 

J'entre  dans  vos  sentiments  pour  ce  qui  concerne  l'impression  ;  il  y 
faudra  changer  les  termes  les  plus  choquants  et  les  plus  aigres,  mais 
n'y  l'aire  point  autrement  de  grand  changement,  et  de  cela  je  m'en 
remets  à  vous.  Monsieur  de  Carcavi  vous  fournira  sans  doute  mon 
traité  de  maximis  et  minimis ;  il  l'a  de  toutes  façons,  c'est-à-dire  avec 
démonstration  et  sans  démonstration,  et,  puisqu'il  est  question  d'in- 
struire ou  de  désahuser  le  puhlic,  il  sera  hon  de  l'insérer  dans  votre 
recueil  avec  une  lettre  de  M.  Milon  ou  de  quelque  autre  de  vos  fameux 
géomètres  qui  éclaircisse  la  chose  et  qui  prépar(^  les  lecteurs  ii  en- 
tendre la  dernii're  lettre  de  M.  Descartes  (^),  par  laquelle  il  m'écrivit 
(comme  vous  verrez)  qu'il  étoit  satisfait  de  ma  géométrie. 

Pour  la  question  de  Diop(riqiie,  je  vous  proteste,  sans  nulle  feintise, 

que  je  souhaite  de  m'être  trompé;  mais  je  ne  saurois  ohtenirsur  moi, 

en  façon  quelconque,  que  le  raisonnement  de  M.  Descartes  soit  une 

iléinonstration,  et  même  qu'il  en  approche,  .le  vous  envoierai  dans 

huit  jours  la  lettre  (jui  éciaircira  mes  doutes  sur  cette  matière.  VA  je 

suis  de  tout  mon  cœur.  Monsieur,  Votre  très  humhle  et  très  ohéissant 

serviteur, 

Fkrmat. 

A  Toiiloii.«o,  ce  3  mai's  rOJS. 

.l'ai  retenu  cette  lettre,  (|ui  étoit  prête  à  vous  élre  envoyée  dès  la 
semaine  passée,  parce  que  j'ai  cru  que  M.  Dighy,  parla  voie  duquel 
j'ai  pris  la  liberté  de  vous  écrire,  ne  seroit  pas  encore  de  retour  à 
Paris.  Vous  recevrez  donc  les  deux  conjointement  et,  si  la  seconde 
est  un  peu  trop  longue,  assurez-vous.  Monsieur,  que  j'ai  mis  peine  ii 
raccourcir,  et  que  je  pouvois  dire  beaucoup  plus  que  je  n'ai  fait.  Je 

I  '  )  Foir  la  Letlre  suivante  XC  bis. 
I  -  )  Foir  Lettre  X.\XII. 


XC  bis.  -  10  M  A  II  s   IG08.  :WT 

rajoulrr;ii  un  jour,  si  les  i^ôonK'trcs  de  Paris  soulieiinciU  la  dt-uMMi- 
slratioM  (le  M.  DescarU'S. 

Il  ne  sera  pas  malaisé  par  les  r('pli(jiic's  de  ]M.  Descartes  de  supposer 
ce  que  j'aurois  dit  au  contraire,  et  ma  dernière  <  lettre  >■  le  ((oi- 
tiendra  à  peu  près. 

Vous  me  renvoierez  mes  écrits  (')  ([uand  vous  voudrez;  je  n'en  ai 
point  de  hâte. 


XC  bU. 

FERMAT  A  (:jj<:ksi<:likr. 

LIMANCIIK    10    .MAKS     1038. 

(D.,  m,  4'i.) 

IMoNsiEun, 

1-  Les  conclusions  (jui  se  peuvent  lirer  de  la  proposition  (|ui  sert 
de  rondement  à  la  Dioptrique  de  M.  Descartes  sont  si  belles  et  doivent 
naturellement  produire  de  si  beaux  effets  dans  tous  les  ouvrages  de 
l'art  qui  regardent  la  réfraction,  qu'il  seroit  à  souhaiter,  non  seule- 
ment pour  la  gloire  de  notre  défunt  ami,  mais  l)ien  plus  pour  l'aug- 
mentation et  embellissement  des  sciences,  que  cette  proposition  fut 
véritable  et  qu'elle  eût  été  légitimement  démontrée,  et  d'autant  plus 
(ju'elle  est  de  celles  dont  on  peut  dire  que  iniilla  sunt  fulsa  probaln- 
liora  vcris.  Je  veux  même  passer  plus  outr(^  et  la  comparer  à  ce  fameux 
mensonge  dont  il  est  parlé  dans  le  Tasse,  et  (jue  ce  poète  assure  être 
|)lus  beau  que  la  vérité  : 

QiKiiido  Siirii  il  vcro 
Si  licllo,  elle  si  possa  a  li  [ireporro?  ('-) 

Je  commence  par  là.  Monsieur,  afin  de  vous  faire  eonnoitre  tjueje 

(' )  Il  s'agit  probablcniciU  d'écrits  niatliémaliques  conserves  d'ailleurs;  mais  mous  ue 
pouvons  préciser  lesquels. 
(2)  Jarusalem  délàrde.  II,  22  : 

Magiiaiiiuia  incnzugiiij.  or  quaiuio  è  il  vero  etc. 


:î(iS  ŒUVRES  DE   l<  E  fl  M  AT.  -  C  0  H  II  E  S  P  0  N 1)  A  N  C  E. 

sd'ois  ravi  que  le  dilTérond  que  j'ai  en  autrcrois  sur  ce  sujet  avec. 
AI.  IJeseartes  se  lermiuâl  :i  sou  avau(ai,^e.  J'y  Irnuverois  mou  coinple  eu 
toutes  l'aeous  :  la  i^'loire  d'uu  ami  que  j'ai  iutiuiuient  estimé  et  qui  a 
passé  avec  raisou  [tour  uu  des  grauds  hommes  de  sou  temps;  l'étaldis- 
semeut  d'une  véiilé  pliysique  des  |)lus  importantes;  et  l'exéculiou 
aisée  des  eiïels  uierveilleux  ((ui  s'en  pourroicut  infaillil)lemen(  dé- 
duire. Toutcida  me  vaudroit  iucomparaldcment  mieux  (|u'un  i^^aiii  de 
cause,  (juaud  mcuie  je  devi'ois  compter  pour  rien  le 

Mccum  certassc  fei-cUii-  ('), 

doni  les  amis  de  M.  Descartes  peuvent  toujours  raisonnablement  con- 
soler ses  adversaires.  Je  me  mets  donc,  Monsieur,  eu  la  posture  d'un 
homme  qui  veut  être  vaincu;  je  le  déclare  liautement  : 

Jninjnm  cfficaci  do  nianus  seicntiiT  C^). 

.Mais,  parce  que  les  démonstrations  sont  des  raisons  forcées  cl,  (|u';i 
moins  d'être  convaincu  [lar  (dies,  ou  \\\'n  sauroit  être  persuadé, 
\(ivous,  M(Hisieur,  si  le  cousentement  des  lecteurs  peut  échap[)er  i) 
notre  auteur,  et  si  nous  pourrons  nous  défaire  aisément  des  objections 
(|ui  semhlent  lui  pouvoir  être  op[)osées.  Il  faut  pour  cela  suivre  sa  dé- 
nionstralion  mot  pour  mol,  et  il  sulfira  d'eufermer  par  des  parenthèses 
ce  ([ui  ne  sera  point  à  lui  et  ([ue  j'ajouterai  du  mien. 

2.  Voici  doue  comme  il  parle  sur  la  tin  de  la  page  iG  de  sa  Diop- 
li'i(|ue  IVançoisc  (")  : 

Il  Kl  {tremièrcment,  supposons  qu'une  halle,  poussée  d'A  vers  li 
»  (Jig-  TiO),  rencontre  au  point  B,  non  plus  la  superficie  de  la  (erre, 
»   mais  une  toile  CIîE  qui  soit  si  foihie  et  si  déliée  <jue  cette  halle  ait  la 

I  1  )  Ovide,  Mciu/ii.,  XIII,  io. 

(■-)  Horace,  Epodcs,  XVII,  i. 

r'')  Discours  do  la  mcLliode  (loiir  hien  conduire  sa  raison  cl  clicrclior  la  vérité  dans  les 
.•Sciences  :  idus  la  l)ioplri(iiie,  les  Météores  et  la  Géométrie,  qui  sont  des  essais  de  cetle 
.Métliode.  A  Loydc,  de  l'imprimerie  de  lan  Maire,  (M'J  T.)  C  XXXVU  :  avec  privilège,  p.  iG 
',  ','■  pagination  de  l'Ouvrage). 


XC   bis.  —  10  MARS   1G58.  369 

»  force  de  la  rompre  et  de  passer  tout  au  travers,  en  perdant  seule- 
»  ment  une  partie  de  sa  vitesse,  à  savoir,  par  exemple,  la  moitié.  Or 
»  cela  posé,  afin  de  savoir  quel  chemin  elle  doit  suivre,  considérons 
»  de  rechef  que  son  mouvement  diflëre  entièrement  de  sa  détcrmina- 
»  tion  à  se  mouvoir  plutôt  vers  un  côté  que  vers  un  autre,  d'où  il  suil 
»   que  leur  quantité  doit  être  examinée  séparément;  et  considérons. 


Fis.  50. 


»  aussi  que,  des  deux  parties  dont  on  peut  imaginer  que  (^elte  déter- 
»  ininalion  est  composée,  il  n'y  a  que  celle  qui  faisoit  tendre  la  balle 
"  de  haut  en  bas  qui  puisse  être  changée  en  quelque  façon  par  la  rcn- 
')  contre  de  la  toile,  et  que,  pour  celle  qui  la  faisoit  tendre  vers  la 
»  main  droite,  elle  doit  toujours  demeurer  la  même  qu'elle  a  été,  à 
»  cause  que  cette  toile  ne  lui  est  aucunement  opposée  en  ce  sens  là.  ■> 

3.  (^.Mais  ce  raisonnement  n'esl-il  pas  un  peu  opposé  au  sens  com- 
num?  L'extension  qu'il  en  fait  de  la  réflexion  à  la  réfraction  n'est-elle 
pas  aussi  un  peu  forcée?  En  la  page  i3,  il  suppose  que  la  balle  va  tou- 
jours d'égale  vitesse,  tant  en  descendant  qu'en  remontant,  qu'elle  con- 
tinue son  mouvement  dans  un  même  milieu  (');  il  en  déduit,  en  la 
page  I  >,  que  la  rencontre  de  la  terre  (-)  peut  bien  empêcher  la  déter- 
mination qui  faisait  descendre  la  balle  d'A  vers  CE,  à  cause  qu'elle 


(')  «  Mais  afin  de  ne  nous  embarrasser  point  en  des  nouvelles  difficullcs.  supposons 
i|iic  la  lerre  est  i)arfailement  plalle  cl  dure,  et  que  la  balle  va  lousjours  d'csgalc  vitesse, 
tant  en  descendant  qu'en  remontant...   » 

(-)  «  El  en  suite  il  est  aysé  à  enlondro  que  la  rencontre  de  la  terre  no  ]>cut  empesciici' 
que  l'une  de  ces  deux  déterminations  et  non  point  l'autre  en  aucune  façon.  » 

Fermât.  —  II.  ^7 


■MO 


ŒUVRES  DE  FERMAT.—  COU HES l'ONI) ANGE. 


occupe  tout  l'espace  qui  est  au  dessous  de  Clî,  mais  qu'elle  ne  peu! 
point  empêcher  l'autre  qui  la  faisoit  avancer  vers  la  main  droite,  vu 
(|u'clle  ne  lui  est  aucunement  opposée  en  ce  sens-là;  d'où  il  infère 
réi^alité  des  ansiles  de  réflexion  et  d'incidence. 


A 

/-               H               \ 

F 

/ 

/ 

\ 

tr 

C           i; 

\              E 

]/ 

y^ 

D 

K 

Mais  quand  bien  ce  raisonnement  seroit  véritable  en  la  réflexion, 
((uelque  sceptique  scrupuleux  n((  man()uera  point  d'alléguer  (|u'il  y  a 
trois  circonstances  en  la  réfraction  qui  doivent  changer  la  consé- 
(|uence,  ou  du  moins  servir  d'empêchement  à  la  recevoir  sans  nou- 
v(dle  preuve  : 

Premièrement,  en  la  figure  de  la  page  17  ou  en  c(dle  de  la  page  itJ  ('), 
la  balle  ne  continue  pas  son  mouvement  d'une  égalé  vitesse,  puisque, 
par  la  supposition,  elle  perd,  par  exemple,  la  moitié  de  sa  vitesse  dès 
le  point  B. 

Secondement,  elle  ne  passe  pas  toujours  par  un  même  milieu, 
comme  il  paroit  en  la  flgurc  de  la  page  18. 

Et  enfin  la  détermination  qui  la  faisoit  aller  de  haut  en  bas  n'est  pas 
loul  à  fait  empêchée  par  la  rencontre  de  la  toile  on  de  l'eau,  mais 
changée  seulement  ou  diminuée. 

Or,  (jue  la  conséquence  soit  la  même  nonobstant  la  diversité  de 
ces  trois  circonstances,  il  sera  malaisé  qu'un  médiocre  logicien  le 
l)uissc  accorder.  Il  alléguera  pour  excuse  de  sa  logique  scrupuleuse, 
((u'il  n'a  pas  cru  se  faire  grande  violence,  lorsqu'en  la  flgure  de  la 
page  I  j  (y/g'.  .')3)  il  a  donné  les  mains  que  la  détermination  de  la 

(')  A  CCS  figures  correspond  ccUo  que  nous  avons  rcproduile  plus  liaul  sous  le  n"  ."Kî. 
d'ajjrès  l'édition  des  Lettres  de  Descartes,  de  Clorselier. 


XC   //(.S-.  —    10  MARS    1658.  371 

g.iuchc  il  la  droite  restoit  la  même,  puisque  la  balle  allant  toujours 
(le  même  vitesse  pouvoit  conserver  l'une  de  ses  visées  ou  détermina- 
tions lors(|ue  l'autre  seule  étoit  empêchée;  que  d'ailleurs  le  mouve- 
ment se  f'aisoit  dans  un  même  milieu;  et  qu'enfin,  la  détermination 
de  haut  en  bas  étant  enfii'rement  empêchée,  il  n'y  avoit  pas  grand  mal 
de  consentir  que  celle  de  la  gauche  î»  la  droite  restât  tout  entière  : 
eomme,  quand  on  perd  un  œil,  on  dit  que  la  vertu  visive  se  conserve 
entière  en  celui  qui  reste. 

Mais,  en  la  rélVaction,  tout  y  est  différent.  Veut-on  y  obtenir  le  con- 
sentement de  notre  sc('[)tique  sans  preuve?  I>a  détermination  de  la 
gauche  ;i  la  droite  denieiirera-t-elli'  la  même,  l()rs(|ue  tontes  les  rai- 
sons ([ui  le  lui  avoieiil  (lersuadé  en  la  réflexion  se  sont  évanouies? 
Mais  ce  n'est  i)as  tout  :  il  a  sujet  d'appréhender  l'équivoque  et,  lors- 
(|u'il  aura  accordé  que  cette  détermination  de  gauche  i»  droite  demeure! 
la  même,  il  a  occasion  de  soupç,^onncr  que  l'auteur  le  chicanera  sur 
l'explication  de  ce  terme.  Car,  quoiqu'il  ait  protesté  que  la  détermina- 
tion est  différente  de  la  puissance  qui  meut,  et  que  leur  quantité  doit 
être  examinée  séparément,  si  notre  sceptique  lui  accorde  en  cet  en- 
droit que  cette  détermination  de  gauche  h  droite  demeure  la  même  en 
la  réfraction,  c'est-à-dire  qu'elle  conserve  la  même  visée  ou  direction, 
il  va  apparence  que  l'auteur  voudra  l'obliger  ensuite  à  lui  accorder 
([ue  la  balle,  dont  la  détermination  vers  la  droite  n'est  i)oint  changée, 
s'avance  autant  et  aussi  vite  vers  la  droite  qu'elle  faisoit  auparavant, 
(juoique  sa  vitesse  et  le  milieu  par  oii  elle  passe  soient  changés. 

Mais  parce  qu'il  ne  paroit  pas  sitôt  qu'on  veuille  lui  faire  une  si 
grande  violence,  il  ne  croit  pas  être  encore  temps  de  se  départir  du 
respect  qu'il  doit  au  nom  de  M.  Descartes,  et  il  veut  bien  lui  avouer, 
sur  sa  seule  parole,  que  cette  détermination  vers  la  droite  demeurera 
la  même,  pourvu  qu'il  ne  se  parle  point  du  temps  que  la  balle  doit 
emplover  ii  s'avancer  de  ce  coté  là  :  parce  que  M.  Descartes  même  a 
avoué  que  la  force  qui  meut  et  la  détermination  sont  deux  quantités 
(|ui  n'ont  rien  de  commun,  et  qu'elles  doivent  être  séparément  exa- 
minées). 


372  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

4.  «  Puis,  ayant  décrit  du  centre  B  le  cercle  AFD  et  tiré  à  ans^les 
droits  sur  GBE  les  trois  lignes  droites  AC,  HB,  FK,  en  telle  sorte  qu'il 
V  ait  deux  fois  autant  de  distance  entre  FE  et  HB  qu'entre  HB  et  A(', 
nous  verrons  que  cette  balle  doit  tendre  vers  le  point  I.  Car,  puis- 
qu'elle perd  la  moitié  de  sa  vitesse  en  traversant  la  toile  CBE,  elle 
doit  employer  deux  fois  autant  de  temps  à  passer  au-dessous,  depuis 
15  jusques  à  quelque  point  de  la  circonférence  du  cercle  AFD,  qu'elle 

Fis.  56. 


a  fait  au-dessus,  à  venir  depuis  A  jusques  à  B.  Et,  puisqu'elle  ne  perd 
rien  du  tout  do  la  détermination  qu'elle  avoit  à  s'avancer  vers  le  côté 
droit,  en  deux  fois  autant  de  temps  qu'elle  en  a  mis  à  passer  depuis 
la  ligne  AC  jusques  à  HB,  elle  doit  faire  deux  fois  autant  de  chemin 
vers  ce  même  côté  (').  » 

5.  (C'est  ici  le  guet-apens,  et  la  trop  grande  crédulité  de  celui  qui 
avoit  franchi  tous  ses  scrupules  sur  le  premier  article,  reçoit  en  cet 
endroit  une  nouvelle  attaque.  L'auteur  a  sujet  d'espérer  que,  puisque 
notre  sceptique  lui  a  déjà  accorde  que  la  détermination  vers  la  droite 
resloit  la  même,  il  ne  doit  pas  le  dédire  non  plus,  que  cette  détermi- 
nation ou  cette  visée  et  direction  vers  le  côté  droit  ne  soit  également 
vite  et  n'avance  toujours  autant  qu'elle  faisoit  auparavant. 

Mais  le  sceptique  commence  à  n'entendre  plus  raillerie  et,  s'il  a  con- 
senti de  bonne  foi  que  la  détermination  vers  la  droite  ne  changeoit 

(I)  Discours  de  la  méthode, etc.  A  Leyde,  CIOIDCXXXVIII,  p.  i8  (a"  pagination). 


XC  bis.  -    10  MARS   1688.  37:î 

pas,  il  proteste  qu'il  n'est  point  engage  à  consentir  qu'en  cliani^eanl  dr 
milieu  elle  fasse  toujours  un  égal  progrès,  puisque  l'auteur  a  si  sou- 
vent et  si  solennellement  assuré  que  la  détermination  et  la  force  mou- 
vante sont  tout  à  fait  différentes  et  distinctes;  et  pour  se  confirmer  en 
son  doute,  il  ajoute  que  si,  dans  la  figure  de  la  page  17,  la  balle  étoil 
poussée  depuis  H  jus(jucs  ii  B,  et  qu'elle  continuât  son  mouvement  vers 
BG,  le  raisonnement  de  celui  qui  diroit  : 

«  La  détermination  de  la  balle  sur  la  route  HBG  n'est  point  changée 
au  point  B,  car  clic  est  la  même,  et  le  mouvement  perpendiculaire  se 
continue  dans  la  même  ligne  IIBG;  donc  cette  balle  avance  autant  et 
aussi  vile  au  dessous  de  B  qu'elle  faisoit  auparavant.   » 

ce  raisonnement,  dis-jc,  scroit  ridicule,  parce  que  la  détermination  ou 
direction  du  mouvement  diffère  de  sa  vitesse. 

Pourquoi  donc  notre  sceptique  sera-t-il  obligé  d'accorder  gratuite- 
ment et  sans  preuve  que  le  mouvement  qui  se  fait  vers  la  droite  dans 
la  figure  de  la  page  18  avance  également  vers  le  dit  coté  droit,  apri-s 
qu'il  a  changé  de  milieu?  Ce  n'est  pas  que  cette  proposition  ne  puisse 
être  vraie,  mais  elle  ne  l'est  qu'au  cas  que  la  conclusion  que  M.  Des- 
cartes en  lire  soit  véritable,  c'est-à-dire  que  la  raison  ou  proportion 
pour  mesurer  les  réfractions  ait  été  par  lui  légitimement  et  véritable- 
ment assignée.  Il  ne  l'a  donc  pas  prouvée  par  une  proposition  si  dou- 
teuse et  si  peu  admissible. 

En  un  mot,  (|uand  toutes  les  oppositions  qu'on  peut  faire  à  son  r;ii- 
sonnement  seroient  fautives,  peut-il  faire  passer  pour  véritable  ce  qui- 
n'est  ni  axiome,  ni  déduit  par  une  conséquence  légitime  d'aucune  pr(i- 
mière  vérité?  Les  démonstrations  qui  ne  forcent  pas  de  croire  ne  peu- 
vent point  porter  ce  nom.) 

Va  croiriez-vous.  Monsieur,  que  si  la  proposition  de  M.  Dcscarles 
étoit  démonstrativement  prouvée,  son  évidence  et  sa  clarté  n'eussent 
pas  percé  les  ténèbres  de  mon  entendement,  pendant  vingt  années  qui 
se  sont  écoulées  depuis  notre  ancien  démêlé,  puisque  je  vous  ai  pro- 
testé, dès  le  commcncemenfdo  ma  lettre,  que  je  travaille  sincèrement 


Mk  (KUVUES  DE  FERMAT.  —  COR RESPON I) ANGE. 

il  ino  lircr  d'erreur,  el  que  je  ne  cherelie  qu'un  lionnèle  préLexle  ii  nie 

rendre?  Je  serois  même  ravi  d'établir  l'honneur  de  M.  Desearles  aux 

(li'pens  du  mien,  et  je  voudrois,  s'il  m'étoit  possible,  en  recoiinoissant 

la  vérité  de  sa  preuve,  ajouter  avant  que  de  finir  : 

Se  cl.ii'a  vidciidaiii 
Oljtiilit  et  piira  |icr  noclem  in  liice  rcfiilsil  (  '). 

Il  en  sera  pourtant  ce  que  M.  le  chevalier  IVighy  et  vous.  Monsieur, 
trouverez  bon.  .Te  vous  soumets  à  tous  deux  ma  logique  et  ma  malbé- 
niatique,  et  je  consens  ii  ce  que  vous  en  Cassiez  un  sacritic(>  ii  la  mé- 
moire de  cet  illustre,  qui  n'est  plus  en  état  de  se  défendre;  mais,  jus- 
([ues  h  ce  que  vous  ayez  prononcé,  je  prétends  que  la  véritable  raison 
ou  proportion  des  réfractions  est  encon^  inconnue  et  (|ue  O^wv  h 
Yoûvaai  xa-rat  (^),  en  compagnie  de  tant  d'autres  vérités  (|ue  l'avenir 
découvrira  peut-être  mieux  que  n'a  pu  faire  le  passé. 

Excusez  ma  lonarueur  et  faites  moi  l'honneur  de  me  croire,  Mon- 
sieur.  Votre  trJ's  humble  et  très  alTectionné  serviteur. 


•KUMAT, 


XCI. 

FERMAT  A  DlGin'. 

DiMANcnKTAViiii.  IG.'jS. 

[Comm.  en.,   37.) 

MoNsn:i;r,, 

1-  .l'ai  reçu  les  nouvelles  solulions  de  la  proposition  (')  de  .Mon- 
sieur Wallisius,  que  Monsieur  Frcnicle  a  ajoulées  aux  premières,  .le 

(■  '  )  Virgile,  Éiiéidc.  Il,  58()-Ji)o. 

(-)  Homcrc,  Iliade.  XVII,  5i4. 

(3)  II  Trouver  deux  nombres  entiers  carrés  lois  que  les  somincs  foniires  \m\v  chacun 
d'oux  cl  par  ses  parties  aliquoles  soient  ég.ile.s.  u 

luette  question  avait  été  proposée  parWiillis  dans  sa  Lettre  à  Digl)y  du  21  luivcudnc  idj; 
(Comm.  iG).  Les  solutions  de  Frenicle  sont  dans  sa  Lettre  à  Digliv  {Comm.  3i)  i]ue 
KrouncWcr  reçut  le  5  avril  iG58. 


XCl.  -  7  AVUIL   1G58.  375 

suis  ravi,  aussi  itirn  (|iic  vous,  do  raiiondaucc  et  fertilité  do  son  cspril 
et  do  lu  grande  facilité  qu'il  s'est  ae(iuisc  on.  ces  matières.  Je  ni'étois 
contenté  do  donner  doux  solutions  on  nombres  premiers  onlro  eux, 
et  avois  soulemenl  indiqué  qu'on  ponvoit,  par  ma  méthode,  étendre 
la  question  à  trois,  quatre,  cinq  et  plusieurs  nombres  de  même  nature. 
Mais,  i)nisquo  Monsieur  Frcniele  m'a  si  avantageusement  préoccupé,  je 
n'ajoute  plus  rien  à  son  travail,  et  je  consims  que  ma  petite  et  maigre 
solution  demeure  en  vos  mains. 

2.  Après  avoir  reçu  la  lettre  de  Monsieur  Wallisius  ('),  je  suis  tou- 
jours surpris  de  quoi  il  méprise  constamment  tout  ce  qu'il  no  sait  pas. 
Les  questions  en  nombres  entiers  ne  sont  point  de  son  goût.  Il  s'ima- 
gine que  je  ne  sais  point  les  centres  de  gravité  des  hyperboles  infi- 
nies, et  il  semble  promettre  sur  la  fin  la  ([uadrature  de  l'hyperbole, 
c'est-à-dire  de  celle  d'Apollonius  :  car,  pour  toutes  les  autres,  ni  lui 
ni  moi  no  l'ignorons  pas. 

,1e  lui  réponds  succinctement  : 

3.  Promioromont  à  ce  qu'il  dit  que  je  fais  grand  cas  des  proposi- 
tions négatives,  comme  qu'il  n'y  a  que  le  seul  quarré  2j  qui,  ajouté 
il  2,  fasse  un  cube  vn  nombres  entiers;  et  encore  qu'il  n'y  a  que  les 
deux  (]uarrés  '\  et  121  qui,  ajoutés  à  4.  fassent  des  cubes,  aussi  on 
entiers  (-).  Il  dit  (|uo  ce  sont  dos  propositions  ordinaires  et  iieqitc 
rnajiis  quid  aitl  grandius  insinuant  qiiam  si  dicerem  cuhicuhum  milliini 
in  integris  esse  vel  eliam  qtiadraUim  qui,  numéro  dijunclus,  ejficial  qua- 
draUun,  ....  vel  cliarn  nullus  in  integris  cubos  esse  qui  ah  invicem  disteiil 
numéro  viccnario  nec,  prœler  8  et  27,  qui  distenl  numéro  19,  etc.  ;  . . . , 
cujusmodi  in/iumeras  delerminationes  negatwas  in  promptu  esset  commi- 
nisci. 

Je  réponds  que  je  ne  fais  point  cas  de  toute  sorte  de  propositions 
négatives;  par  exemple,  celles  qu'il  rapporte  et  infinies  de  telle  nature 
ne  sont  que  des  amusements  d'un  arithméticien  de  trois  jours,  et  leur 

(')  Lettre  16  (lu  Conintercium  epistolicuni.  (f-'oir  la  note  qui  précède.) 
(»)  roi>  Lettre  LXXXIV,  5. 


3-r>  ŒUVRES  DE  FERMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

raison  est  d'abord  connue  cliam  lippis  cl  tonsoribiis  (').  De  sorte  que 
d'en  inférer  de  là  qu'il  faut  faire  peu  de  compte  de  toutes  sortes  de 
propositions  négatives,  voyez,  Monsieur,  quelle  logique!  Mais  je  ne 
veux  point  d'autre  preuve  que  celles  que  je  vous  ai  proposées  sont  du 
liant  étage  et  dignes  d'être  recherchées,  c'est  que  ni  lui,  qui  s'estime 
(ant,  ne  les  a  pas  encore  démontrées,  ni  Monsieur  Freniclc  même,  que 
je  mots  au-dessus  de  lui,  sans  lui  faire  tort;  et  ce  dernier,  qui  connoit 
merveilleusement  les  mystères  les  plus  cachés  des  nombres,  ne  les  a 
pas  méprisées. 

4.  Mais,  parce  que  les  nombres  entiers  ne  plaisent  pas  à  Mon- 
sieur Wallisius,  en  voici  une  autre,  à  laquelle  il  pourra  s'occuper  et 
en  laijuelle  je  n'exclus  point  les  fractions  (-)  : 

//  n'y  a  aucun  triangle  rectangle  en  nombres  dont  l'aire  soif  quarrèe. 

5.  Et,  pour  lui  faire  voir  qne  le  défaut  de  connoissance  de  celle 
sorte  de  questions  Ini  fera  quelquefois  concevoir  plus  grande  opi- 
nion de  ses  forces  qu'il  n'en  doit  raisonnablement  avoir,  il  dit  qu'il 
ne  doute  point  que  le  Mylord  Brouncker  ne  résolve  les  deux  (|ues- 
lions  (•')  : 

Datum  numcrum  cuhum  in  duos  cuhos  rationales  dividere, 

et 

Datum  numcrum  ex  diiohus  cuhis  composilum  in  duos  alios  cuhos  ratio- 
nales dis'idere  ; 

je  lui  réponds  (jn'il  pourra,  par  aventure,  ne  se  méconipter  pas 
en  la  seconde,  quoiqu'elle  soit  assez  difficile,  mais  que,  pour  la 
première,  c'est  une  de  mes  propositions  négatives  que  ni  lui  ni  le 
Seigneur  Rrouncker  ne  démontreront  peut-être  pas  si  aisément.  (]ar  je 
soutiens  qu'il  ny  a  aucun  cube  en  nombres  qui  puisse  être  divise  en  deux 
cubes  rationaux. 

(  '  )  Horace,  Sat.  I,  vi,  3. 

(')  Problèmo  impossible.  —  Observation  XI.V  sur  Diopluinle. 

(  3)  Foir  Lellrc  LXXXIV,  4  cl  8.  —  Observations  II  et  IX  sur  Dioplianle. 


XCl.  -  7  AVRIL   1058.  377 

Pour  la  seconde  question,  elle  n'est  pas  d'une  extrême  ditriculté  et, 
pour  lui  témoigner  que  je  veux  même  la  lui  proposer  en  cas  dos  plus 
aisés  en  prenant  un  petit  nombre,  je  me  contente  que  lui  ou  Mylord 
Hrouncker  divisent  le  nombre  9,  qui  est  composé  des  deux  cubes  8  et 
I,  en  deux  autres  cubes  rationaux.  S'il  rejette  cette  proposition,  qui 
n'est  pas  des  plus  dilTiciles,  je  n'oserai  plus  leur  en  proposer  ni  en 
entiers  ni  en  fractions. 

6.  Pour  son  canon  ad  iinmiendos  quadratos  qui,  ducli  in  datiim 
niuncrum  non  quadralum,  adscila  luiilatc,  conficianl  quadraluin,  je  ne 
sais  pas  [)()urquoi  il  doute  que  celle  invention  nous  paroisse  malaisée, 
puisqu'il  n'est  point  d'algébriste  novice  qui  ne  trouve  sa  règle  d'a- 
bord. Mais  ma  question  en  entiers  est  si  fort  au  dessus  de  ces  petites 
règles  de  irii'io,  que  iM.  Frenicle  l'a  jugée  digne  de  l'occuper,  et  c'est 
tout  dire,  il  a  si  exactement  répondu  à  tout  le  reste  qui  regarde  les 
questions  numériques  que  j'aurois  tort  d'ajouter  (juelque  chose  du 
mien  à  ses  réponses  (  '  ). 

1-  Pour  ce  qui  regarde  les  centres  de  gravité  des  hyperboles  inti- 
nies  et  la  ri'gle  pour  distinguer  celles  qui  en  ont  de  celles  qui  n'en  ont 
pas  ■<  je  répondrai  ]>  que  je  l'avois  résolu  pleinement  et  envoyé  tant 
à  Torricelli  qu'aux  géomètres  de  Paris  dix  ans  avant  l'impression  du 
livre  Aritlimelica  infinilontm  ('-).  S'il  ne  m'en  veut  pas  croire,  les 
Hoberval  <'l  les  Pascal,  qui  ont  toutes  mes  propositions  sur  ce  sujet 
depuis  plusieurs  années,  b^  pourront  désabuser. 

8.  La  promesse  qu'il  l'ait  sur  la  quadrature  de  l'hyperbole  s'exécu- 
tera sans  doute  comme  celle  du  cercle  :  la  voie  qu'il  tient  eu  se  ser- 
vant tle  certaines  progressions,  inter  quorum  lerminos  uilerpolatwnern 
(fu(vrii ,  est  de  ces  méthodes  qui  aboutissent  à  trouver  une  chose  aussi 
ditlicile  que   celle   (ju'ou  a  p(Uir  but  de  chercher.    Ohscurum  autcrn 

(')  Disby  avait  tout  d'abord  comnmijiqiic  à  Frenicle  la  leUro  de  Wallis  du  '.i  no- 
vembre 1GJ7  et  Frenicle  avait  rédigé  en  réponse  une  épitre  latine  à  Di,i;by,  datée  dn 
3  lévrier  i())S  (Camin.  cp..  22). 

(2)  Jmr  Lettre  LXXXII,  2. 

FtnuAT.  —  11.  48 


378  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

cxplicare  pcr  ohscuriiis,  malœolechnia  est,  comme  a  très  bien  dit  notre 
Viète  ('). 

Mais  pour  lui  faire  voir  que  je  ne  manque  pas  de  théorèmes  effec- 
tifs ettri's  beaux  en  la  véritable  hyperboTe  d'Apollonius,  voici  un  pro- 
blème dont  je  puis  donner  la  construction. 

Soit  {fig.  88)  l'hyperbole  d'Apollonius  ABC,  ses  asymptotes  31N0; 
soient  (irées  les  deux  parallèles  à  NO,  les  droites  MA,  HH.  Je  propose 
la  figure  AMHB  contenue  sous  l'hyperbole  et  sous  les  droites  AM,  MH, 
Hl$.  Il  la  faut  diviser  <  par  >  une  parallèle  aux  bases  comme  Qll,  en 
sorte  (juc  le  s(>gment  RQHB  soit  au  restant  AMQR  en  raison  donnée. 


Ce  problème  sera  construit  par  moi  bien  plus  tôt  que  M.  Wallisius 
ne  donnera  la  quadrature  de  l'hyperbole  d'Apollonius. 

Kn  voilà  de  reste  pour  ce  coup.  Ce  n'est  pas  pour  faire  un  démêlé 
formel  avec  M.  Wallisius,  mais  c'est  seulement  pour  me  justificM'  à 
vous,  consentant  que  vous  ne  lui  envoyiez  que  ce  qu'il  vous  plaira  du 
contenu  en  celte  lettre.  J(^  ne  réponds  pas  aux  dernières  réponses, 
parce  (jue  ce  n'est  pas  moi  qui  lui  avois  fait  les  objections  auxquelles 
il  répond. 

.le  suis,  Monsieur,  Votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur, 

Ff.«m.\t. 

A  Toulouse,  le  -  avril  i (;'')«. 


(')  VliiTiî,   Ad  Adnaiii   Romani  pvohlcina   rcxpoiisnni,   Ca|i.   V. 
I.eydc,  lO.jd,  p.   Jog.  —  Le  mot  outem  w  été  ajouté  |)ar  Fermai. 


—   Édition    Ëlzcvir 


XCII.  -    15  MAI   1658.  379 


XCII. 
DIGBY  A  FERMAT. 

MËHCREDI  15  MAI  1G58. 

{  A'rt,   p.    loS-'înn.) 

Iii""  Sic.   Pauuon  r.oV", 

Avroi  tomulo  (rinfastidirc  troppo  V.  S.  IlUistrissima  cou  luiova  Ict- 
tora,  so  la  sua  ultima  delli  4  dol  corroiitt^  non  m'avosso  rccata  cagionc 
(qnantiinquc  in  soggctto  di  poco  riliovo)  di  rondcrio  qiialchc  picciola 
sorvitii  0  piii  presto  ossoquio  o  conformità  alli  suoi  commandi;  avcndo 
imparato  dal  savio  clio,  comc  c'è  tempo  di  parlare,  vi  lo  è  ancho  del 
silenzio;  e  dallo  spiritoso  Pot'ta  Tosco  ('),  che 

11  silcntio  ancor  siiole 
Havcr  pricglii  o  parole. 

Ma  Ici  avcndomi  fatto  l'onore  d'ordinarmi  di  mandaric  un  de'  niiei 
lil)i'i  (lolla  Physica  in  Ingicse  (-),  non  i'iio  voluto  lasciar  andare  senza 
acoompagnamento  di  questc  poche  righe,  per  ringraziarla  délia  sua 
tanta  compiacenza  in  dire  che  ha  intento  di  (rascorrerlo,  per  avvez- 
zarsi  cosi  alla  nostra  rozza  favella;  rozza  in  quant'al  suono  ed  ingrata 
air  orecchia  non  avvezza  ad  essa,  ma  f'orse,  quanto  alla  copia,  pro- 
]irielà,  ed  energia  dclT  espressioni,  ed  ail'  eleganza  e  politezza  in  ogni 
altrn  génère,  che  non  cède  punto  aile  più  eleganti  e  stiinate,  ne  délie 
volgari,  ne  délie  dotte,  che  ahhinn  mai  avuto  prattica  nel  mondo,  (! 
che  nelle  poésie  cli<^  ahhiamo,  non  solo  va  del  pari,  ma  avvanza  di 
gran  lunga  li  migliori  o  Toscani,  o  Latini,  o  Greci;  eccettuando  péri) 
neir  Kroica  Omero  c  Virgilio,  i  qnali  dui,  senza  contrasto,  son  t'uori 

(')  Nous  n'avons  pu  retrouver  l'aiilciir  de  ces  beaux  vers. 

(-)  Il  s'agit  sans  doute  du  |)rcmior  des  T'iro  trenthes  cites  ci-dessus,  page  )i'>, 
note  I.  Digby  parle  plus  loin  d'une  traduction  (latine?)  de  ce  Livre,  faite  à  Paris,  mais 
clic  ne  parait  pas  avoir  été  inipriniéc.  t'Uait-rlie  entre  les  mains  de  Fermai,  qui  ne  savait 
pas  l'anglais? 


380  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

d'ogni  comparaziono  con  tutti  do  i  socoli  dopo  loro,  o  perô  prudcntc- 
mentc  feco  quel  Grammatico  ardito  Giulio  Scaligero  (che  niaggior  opi- 
teto  non  gli  posso  concodor  io,  quantunque  i  pedanti  moderni  gl'afTig- 
gliino  il  titolo  invidioso  di  divino  Critico),  chc  in  vece  di  far  censura 
dcir  ultimo  0  forse  il  minore  di  essi,  gl'  crosse  un  altare.  Onde  vera- 
mento  aile  volte  lamento  la  sorte  che  ci  ha  fatti 

l'ciiitus  toto  divisos  orbe  Britannos  (  '  ). 

poi  che  ahbiamo  parecchie  composizioni  poctiche  le  quali  meritareh- 

bono  la  lucc  cd  il  godimento  universalc,  e  per  le  quali  capire,  ho 

conosciuto  quattro  pcrsone  di  spiriti  suhlimi  ed  ingegnosissimi  (dui 

Francesi,  e  dui  Italiani),  che  per  aver  visto  dellc  grossière  interpro- 

tazioni  in  prosa  di  certi  carmi  Inglesi,  si  sono  applicali  con  fervore  a 

studiare  nostra  lingua,  per  bcver  alla  schietta  fonte  delle  noslro  acque, 

le  ([uali  hanno  poi  confcssato  avergli  più  sedato  la  loro  sete  in  simile 

materia,  chc  qualsivoglia  abondante  hume  di  altra  rcgione  in  terra 

ferma.  Per  conformarmi  dunque  al  voler  di  V.  S.  I.,  ho  messo  in 

niano  dcl  messaggiero  di  Tolosa  lunedi  passato  un  involto  contenendo 

il  mio  detto  libro,  dcl  quale  vcramente  non  ne  avcva  più  copia  ap- 

presso  di  me,  avendo  per  cii)  scritlo  in  Inghilterra,  dovc  è  stato  ris- 

lampato  questo  trattalo  tre  o  quattro  volte  in  ambedue  le  Università 

di  Oxonio  e  Cantabrigia;  e  poi  che  Ici  si  vuole  penare  di  dar  un' 

occhiata  a  questo  mio  componimento,  mi  rallcgro  molto  che  cii)  sia 

nella  lingua  nella  quale  io  l'ho  conceputo,  per  csser  che  quantunqu(î 

il  traduttore  sia  slato  uomo  dottissimo,  e  la  sua  traduzione  cssami- 

nata  per  tutto  il  ("ollegio  dei  Dottori  Inglesi  di  questa  Cittài,  tutti 

valenti  Teologi  i  quali  la  fecero  fare  per  servir  allô  studio  di  tutti  i 

loro  seminarii,  nientedimeno  egli  è  cosa  certa,  che  ci  è  gran  differenza 

tra  l'original  ed  il  transcritto,  in  quanto  al  vigor  deH'cspressione,  e 

credo  che  dopo  aver  vissuto  sempre  in  nostra  corte  polita,  e  conver- 

sato  continuamentc  co'l  Bacone,  il  Seldeno  c  altri  maggiori  lumi  délia 

(  '  )  VlUGII.ll  Eclog.  f,  V.  67. 


XCII.  -  15  MAI   1658.  381 

nostra  Patria,  non  si  stimarcbbc  vanità  in  nie  s'io  mi  attribuissi  lo 
scriver  corrcttameiilc  in  Ingicsc.  E  (juando  io  Ceci  il  prinno  discgno 
di  questo  discorso,  godevo  di  tranquillitii  assai  |)er  spicgar  con  mag- 
gior  chiarczza  cib  chc  volova  dire,  cssendo  chc  lo  f'eci  nelio  spazio  di 
quelli  quasi  dui  anni  cli'io  fui  continuamentc  su'l  marc  :  durante  il 
([uale  è  bon  vcro  cbe  quasi  ogni  giorno  ebbi  occasione  di  prepararmi 
a  combattere  con  la  mia  flotta  (cssendo  nel  mar  Mediterraneo  circon- 
data  dalle  forze  Francesi  e  Spagnuolc  ('),  con  chi  avevamo  allora 
guerra,  e  anche  dalle  Vinoziane),  nientcdimeno  mi  avvanzava  tanto 
tempo,  ch(!  se  non  fosse  stato  chc  per  evilar  il  tcdio  (ancorchè  il 
comando  del  Rc  fu  il  mio  primo  motivo),  mi  accingcvo  ogni  giorno 
con  premura  a  mctter  qualche  cosa  in  carta,  di  modo  chc  posso  con 
ragione  dire  corne  quel  più  dotto  e  gentil  cavagliero  di  tutta  la  nazion 
Castigliana  c  prcncipc  de'  loro  Poeli,  Garcilasso  de  la  Vcga  (-)  : 

Entre  las  armas  (ici  sangrienlo  Marie 
lliirtè  (ici  liempo  esla  brève  siima, 
Tomando  liora  la  spada,  liora  la  pluma. 

Ma  poi  che  Ici  si  dcgna  voler  veder  de  i  mcschini  parti  del  mio  sté- 
rile ingcgno,  ho  volsuto  farle  parte  ancnra  d'un  altro  trattaticiuolo  chc 
ho  composto  intorno  ail'  infallibilità  délia  Rcligionc  Catolica,  per  dar 
soddislazionc  a  un'  de'  maggiori  gcnii  ch'  io  abbia  mai  conosciulo,  e 
che  finalmente  l'ha  convinto  (').  Perdit'  lui  non  si  contenlava  di  con- 
siderar  Iddio  come  un  Legislatore,  che  volesse  dimostrarc  il  suo  potere 
con  dar  prcmii  o  penc  secondo  una  volontà  imperiosa,  senza  niolivo 
ragioncvole  fondato  in  natura,  c  pcrb  bisognb  pcnctrar  nella  Hlosofia 


(')  Les  croisières  de  Digl)y  dans  la  Méditerranée  avec  deux  hàlimouts  armés  en  course 
remonlaleiit  à  iC'.S. 

(-)  Ces  vers  se  trouvent  dans  l'Kglogue  HI.  Digby  suiiprimc  entre  le  premier  et  le 
second  le  vers  suivant  : 

Ilo  aprii-is  li.i)  i|uicii  su  furnr  ciinlraslc 

{Obra\  de  Garcilciso  de  la  Fc^a  illiiscradrix  cou  notas-.   En  Madrid,   Ml)('.(>  LWXVIII. 
P-  97-98)- 

(')  "  A  Discourse  conccrning  Infalliliility  in  lleligion,  uriltcn  by  sirKcnelmc  Digby 
to  tlie  Lord  George  Oigby,  eldest  sonne  of  tlie  Earle  of  Bristol  n.  l'uris,  i(Oi>, . 
in-ivt. 


38-2  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

(Iclla  Hcligionc,  c  perché  ossa  sia  necessaria  a  gl'  uomini.  In  una 
parola,  hisognb  combaUere  in  lui  tnUc  lo  maggiori  forze  de'  più  dotti 
Sociniani  (la  piii  terrihil'  setta  d'Eretici  cho  sia  mai  stata),  nel  che 
l'arc  ho  qui  impiegato  (ntlo'l  vigore  dcl  mio  dcbhoie  ingogno  in  una 
strada  non  calcata  d'altri,  e  tuttc  lo  |tiu  squisitc  cspressioni  che  so 
délia  lingua  nostra,  o  non  ne  feci  stampare  so  non  3o  copie  per  dar 
ad  amici  confident!.  Gli  mando  ancora  un  altrn  trattato  Ingicse,  cho 
ha  fatlo  gran  romoro  in  Inghiitcrra  e  che  niolti  vogliono  attrihuire  a 
me,  aiicor  clie  sia  soUo  il  nome  de!  Signor  Bianchi  (conosciuto  sotto 
titoio  di  Thomas  Anglus),  por  esser  che  i  senlimenti  deirAulor  e  li 
miei  siano  precisamcnte  gl'istessi  (').  Dimando  pordono  do'l  mio 
lanto  importunarla,  e  la  riverisco,  elc. 


\cm. 

CLERSELIER  A  FERMAT  (  =  ). 

MF.ROREni     15    MAI    1G38. 

(P.,  lir,  4:1;  Bilil.  Xat.  fr.  .'iaSo,  11.  aci|.,  f-  43-50.) 
MoNSIKUli, 

1.  .le  ne  veux  pas  m'arrèter  i)oaucoup  à  vous  faire  des  excuses 
d'avoir  tant  tardé  à  faire  réponse  aux  deux  vôtres,  l'une  du  3*'  et 
l'autre  du  lo*'  mars  dernier,  pource  que  je  me  persuade  que  vous 
croirez  aisément  qu'il  m'a  fallu  des  obstacles  invincibles  pour  m'em- 
pêcher  do  satisfaire  à  temps  à  des  témoignages  si  obligeans  do  votre 
sulfisanco  et  de  votre  civilité.  En  efTot,  une  maladie  qui  m'a  détenu 
dans  le  lit  presque  tout  ce  temps-là,  et  qui  m'a  ôté  le  moyen  de  pou- 

(  ')  Tliomas  AA'liilc,  en  dehors  de  ses  ouvrages  latins,  publiés  sous  le  nom  de  'l'honuis 
.■Ini^liis.  a  composé  un  grand  nombre  de  Traites  en  anglais.  Uigby  désignait  peut-otrc 
celui  i|ui  parut  à  Londres  en  iGV),  sous  le  titre  :  The  Crouinh  of  Obédience  and  Cn- 
vernmenl . 

i  -\  Réponse  à  la  Lettre  XC  liis. 


XCllI.  -  15  MAI    1058.  383 

voir  occuper  mon  esprit  à  des  considérations  si  relevées,  est  la  véri- 
table cause  qui  m'a  empêché  de  vous  témoigner  plus  tôt  ma  recon- 
noissancc. 

Mais  tout  cela  seroit  peu,  si  je  pouvois  aujourd'hui  répondre  ii  tous 
les  doutes  de  votre  sceptique,  et  satisfaire  pleinement  aux  diflicultés 
(jue  vous  proposez  dans  votre  dernière;  car,  comnic  elles  ne  dépen- 
dent point  du  temps,  la  réponse  n'en  seroit  de  rien  moins  meilleure  et 
convaincante,  pour  n'être  pas  venue  à  temps.  Néanmoins,  pourvu  (|ne 
ce  soit  à  vous,  IMonsieur,  que  j'aie  affaire,  et  non  point  ii  votre  scep- 
tique, dont  l'humeur  seroit  trop  diflicile  à  contenter,  je  me  promets 
de  pouvoir  éclaircir  la  plupart  de  ses  doutes,  et  de  faire  voir,  si  je  ne 
me  trompe,  si  clairement  en  quoi  il  s'est  mépris  dans  ses  raisonne- 
mens,  que,  vous  prenant  vous-même  pour  l'arbitre  de  nos  did'érens 
et  pour  le  juge  de  nos  conclusions,  j'espère  que  vous  reconnoîtrez  la 
subtilité  des  siennes  et  la  vérité  des  miennes,  c'est-ii-dirc  de  celles  de 
M.  Descartes. 

2.  Premièrement,  je  ne  vois  point  que  le  raisonnement  que  fait 
M.  Descartes,  à  l'occasion  de  sa  tigure  (')  de  la  page  17  de  sa  Diop- 
trique,  soit  aucunement  opposé  au  sens  commun,  ni  que  l'extension 
qu'il  en  fait  de  la  réflexion  à  la  réfraction  soit  forcée.  Car  la  même 
raison  qui  lui  a  fait  conclure  en  la  page  1  j  ({uc  la  terre  CBK  ('-)  ne 
pouvoit  empêcher  que  la  détermination  de  haut  en  bas,  et  non  point 
celle  de  gauche  à  droite,  pource  qu'elle  est  entièrement  opposée  à  la 
première  et  point  du  tout  à  la  seconde,  la  même  lui  a  dû  faire  con- 
clure, dans  la  figure  de  la  page  17  ou  18,  que  la  détermination  de  haut 
en  bas  pouvoit  bien  être  changée  en  quelque  façon  par  la  rencontre  de 
la  toile  ou  de  l'eau,  mais  point  du  tout  celle  qui  fait  tendre  la  balle 
vers  la  main  droite,  à  cause  que  l'eau  ou  la  toile  est  en  quelque  façon 
opposée  il  l'une  et  point  à  l'autre. 

Je  vous  prie  de  remarquer  ici  la  façon  de  parler  de  M.  Descartes  (car 

(  '  )  Foir  fig.  ■)G.  paire  ifii). 
(-)  Foir  lig.  )3,  i)agc  i-o. 


38V  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

c'est  de  là  que  dépend  en  partie  la  solution  de  tous  les  doutes  de  votre 
sceptique)  :  il  ne  dit  pas  simplement  que  la  détermination  de  haut  en 
bas  peut  être  cliangée  par  la  rencontre  de  la  toile,  mais  seulement 
qu'elle  peut  être  changée  en  quelque  façon  ('  ). 

(lar  en  efl'et  elle  n'est  pas  tout-;i-fait  changée,  puisque  la  halle  con- 
tinue de  descendre,  mais  elle  est  changée  en  quelque  façon,  en  tant 
(|ue  c'est  changer  en  quelque  façon  la  détermination  qu'un  mobile 
avoit  à  avancer  vers  un  certain  côté,  que  de  fair(^  que  dans  le  même 
temps  il  n'avance  pas  tant  vers  ce  cùté-lii  qu'il  faisoit  auparavant  :  ce 
^\\^\  change  la  (juanlifé  de  sa  détermination. 

3.  De  plus,  les  trois  circonstances  que  remarque  votre  sceptique, 
|)()ur  l'empêcher  d'admettre  celle  conséquence,  ne  la  peuvent  aucu- 
neiiient  inJirmer.  Car,  que  la  vitesse  soit  diminuée,  que  le  milieu  soit 
changé,  et  que  la  détermination  de  haul  en  bas  ne  soit  pas  tout-à-fait 
empêchée,  mais  que  la  balle  continue  de  descendre,  tout  cela  ne  doit 
point  apporter  de  changement  à  la  détermination  de  gauche  à  droite, 
à  la(|uellc  pas  une  de  ces  circonstances  ne  s'oppose  et  ne  met  obstacle, 
puisque  celte  détermination  peut  demeurer  la  même  quoique  la  vi- 
tesse soit  changée,  une  même  détermination  pouvant  être  jointe  à  dif- 
férentes vitesses. 

Le  milieu  ne  peut  aussi  apporter  aucun  changement  à  cette  déter- 
mination, puisqu'il  lui  est  également  facile  de  s'ouvrir  et  faire  pas- 
sage d'un  côté  que  d'un  autre  dans  le  milieu  qu'elle  parcourt.  Et  bien 
()ue  la  balle  continue  de  descendre  et  qu'elle  ne  remonte  pas  comme 
en  la  rétlexion,  cette  détermination  vers  la  main  droite  se  peut  aussi 
bien  faire  et  maintenir  en  descendant  qu'en  remontant. 

.lusques  ici  votre  sceptique  auroit,  ce  me  semble,  tort  de  ne  vou- 
loir pas  accorder  que  la  détermination  de  gauche  à  droite  demeure;  la 
même  en  la  réfraction,  après  en  être  demeuré  d'accord  sans  diiïiculté 
en  la  rétlexion.  Et  il  ne  doit  point  appréhender  qu'on  le  chicane  sur 
l'explication  de  ce  terme,  (;t  qu'on  l'oblige;  à  rien  avouer  qu'on  ne 

(  '  )  î^dir  le  Icxlo  de  Dcscurtes.  page  3C9. 


XCllI.   -   15  MAI   1C58.  385 

prouve  et  (|ui  ne  soit  tiré,  par  une  coiiséquoncc  légitiiiic,  de  ce  (in'oii 
a  avancé  aiiparavant ,  M.  Dcsoarics  ayant  troj)  soli^nciiscnicnt  lait 
rcmanjiUT  la  tliflV'i'oncc  qu'il  y  a  entre  la  détermination  et  le  nioii- 
vemeiil,  on,  comme  vons  dites,  la  puissance  (|ui  ment,  pour  s'en 
onidier. 

4.  Mais  voici  le  point  qui  elFarouche  votre  sceptique,  et  (jui  lui 
l'ait  perdre  ce  peu  de  respect  qu'il  semhloit  encore  porter  au  nom 
de  M.  Doscartes.  (l'est  à  ce  coup  ([u'il  dit  n'entendre  plus  raillerie,  et 
(jue,s'il  a  consenti  de  hnnne  foi  (jue  la  détermination  vers  la  droite  ne 
ehani^'eoit  pas,  il  proteste  qu'il  n'est  point  engagé  à  consentir  (|iie  la 
halle,  changeant  de  milieu,  fasse  toujours  un  égal  progrès  et.  coinnu- 
il  dit  un  peu  auparavant,  aille  aussi  vite  vers  la  droite,  après  qu'il  a  été 
supposé  que  la  halle  au  |)oint  B  perd  la  moitié  île  sa  vitesse,  et  que 
iM.  Descartes  a  si  solenncdiement  assuré  que  la  détermination  et  la 
force  mouvante  sont  tout-à-fait  difTérentes  et  distinctes. 

Mais  ne  voyez- vous  [)as  que  ce  ({iii  empêche  votre  sceptique  de 
donner  les  mains  à  cela  est  qu'il  ne  distingue  pas  assez  lui-même 
la  détermination  d'avec  la  force  mouvante  ou  la  vitesse,  et  (|u'il  les 
confontl  ensemhie,  croyant  (|ue  la  division  ou  la  perte  (jue  l'une 
soull're,  à  savoir  la  vitesse,  se  doive  ressentir  par  l'autre,  ii  savoir 
|)ar  la  détermination  vers  la  main  droite,  (|uoi([ue  rien  ne  se  soit 
op[»osé  qui  ait  pu  changer  ou  diminuer  la  quantité  de  la  détermina- 
lion  (|ne  la  halle  avoit  ii  avancer  vers  ce  coté-là?  Car,  s'il  avoit  hien 
pris  garde  ii  ce  (|ue  dit  M.  Descartes,  il  n'auroit  pas  de  peine  à  com- 
prendre que,  la  vitesse  étant  diminuée  de  moitié  [au  point  ]J],  la 
détermination  de  gauche  à  droite  demeurant  toujours  la  même  [en  ce 
point-là  I  qu'(dlc  a  été  [auparavant[,  il  est  nécessaire,  pour  accorder 
cette  vitesse  à  cotte  détermination,  ([ue  la  halle  suive  la  ligne  HF. 

Kt  (juoi(jue,  dans  la  route  qu'elle  prend,  en  des  temps  égaux,  elle 
fasse  autant  de  chemin  ou  (ju'clle  avance  autant  vers  la  droite  qu'elle 
faisoit  au|)aravaut,  et  qu'ainsi  elle  conserve  toujours  la  même  déter- 
mination ((u"(dle  avoit  à  avancer  vers  [ce  côté]  là,  il  ne  s'ensuit  |)as 

l'KnMi  T.  —    [I.  'i9 


380  ŒUVRES   DE   FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

(ju'ollc  aille  aussi  vite  qu'elle  faisoit  auparavant  (ce  que  votre  scep- 
li(|ue  semble  avoir  toujours  appréhendé  qu'on  lui  voulût  faire  ae- 
corder),  puisque  M.  Descartes  avoue  lui-même  qu'il  lui  faut  le  double 
de  temps  pour  faire  autant  de  chemin  qu'auparavant.  Mais  comme, 
dans  la  route  qu'elle  est  obligée  de  prendre,  elle  incline  plus  qu'elle 
ne  faisoit  vers  la  droite,  elle  ne  laisse  pas  d'avancer  autant  vers  ce 
côté-là,  quoiqu'elle  aille  deux  fois  moins  vite. 

Et  c'est  à  mon  avis  ce  qui  fait  la  beauté  et  la  force  tout  ensemble  du 
raisonnement  de  M.  Descartes,  de  faire  voir  quelle  doit  être  dans  cède 
rencontre  la  route  véritabh*  que  doit  prendre  la  ball(%  qui  ne  peut 
être  autre  que  celle  qu'il  a  expliquée  en  ce  lieu-là,  pour  se  rapporter  à 
la  détermination  vers  la  droite  ([u'elle  doit  garder,  et  à  la  perte  de  la 
vitesse  qu'elle  a  souH'ertc  en  \i. 

5.  Mais  ce  qui  le  plus  a  abusé  votre  sceptique  est  un  raisonnement 
très  spécieux  à  la  vérité,  et  très  capable  de  surprendre  les  autres  et  de 
faire  qu'on  y  soit  surpris  soi-même,  si  l'on  n'y  prend  garde,  niais  qui 
pourtant  est  faux  et  contre  l'intention  de  M.  Descartes.  Ce  raisonne- 
ment est  que,  comme  M.  Descartes  sur  la  figure  de  la  page  17  dit  que, 
la  détermination  vers  le  côté  droit  étant  la  même,  quoique  le  mouve- 
ment de  la  balle  soit  diminué  de  moitié  au  point  H,  en  deux  fois  autant 
de  temps  elle  doit  avancer  deux  fois  autant  vers  la  droite  ('),  donc 
a  pari,  dit  votre  sceptique,  posé  (|ue  la  balle  soit  poussée  perpendicu- 
lairement depuis  H  jusques  à  B  et  (ju'elle  continue  son  mouvement 
vers  BG,  la  détermination  de  la  balle  sur  la  route  BG  n'étant  point 
changée  au  point  B  et  demeurant  la  même,  puisque  le  mouvement 
perpendiculaire  se  continue  dans  la  même  ligne  HBG,  en  deux  fois 
autant  de  temps  elle  doit  avancer  deux  fois  autant,  et  aussi  vite  au 
dessous  de  B  qu'elle  avoit  fait  auparavant  au  dessus  :  ce  qui  est  absurde, 
puisque  l'on  suppose  que  la  balle  au  point  B  a  perdu  la  moitié  de  sa 
vitesse. 

Véritablement,  si  la  conséquence  qu'il  infère  étoit  bien  tirée  de  ce 

(I)  roir  le  texle  do  Dcscai'les,  |i:igc  372. 


XCIII.  -   15  MAI   IG08.  387 

qu'a  avancé  M.  Descartes,  je  conclurois  comme  lui  ((lie  !\I.  Descartes 
se  seroit  trompé  dans  son  raisonnement,  thi([uel  il  s'ensuivroi(  une 
telle  absurdité. 

Mais  aussi  M.  Descartes  dit  tout  autre  chose  que  ce  que  votre  scep- 
tique lui  veut  faire  dire  :  car,  quand  il  a  dit  que  la  détermination 
qu'avoit  la  halle  ii  avancer  vers  le  coté  droit  demeuroit  la  même,  et 
(]ue  par  conséquent  en  ileux  Ibis  autant  de  temps  elhî  dcvoit  taire 
deux  lois  autant  de  chemin  vers  ce  coté- là,  il  a  conclu  cela  de  ce 
que,  hien  qu'on  suppose  (|ue  la  halle  au  point  15  perde  la  moitié  d(^ 
sa  vitesse,  néanmoins  elle  ne  |)erd  rien  dn  tout  de  la  quantité  de  la 
détermination  qu'elle  avoit  il  s'avancer  vers  le  coté  droit,  ii  la(|uelle 
la  toile  n'est  aucunement  opposée  en  ce  sens-là.  et  à  laquelle  se  doit 
et  se  peut  accommoder  la  vitesse  qui  reste  en  la  halle  (car  autrement 
la  halle  rejailliroit  au  lieu  de  pénétrer  la  toile),  pour  faire  en  sorte 
que  sans  déroger  à  la  perte  qu'elle  a  soufferte  et  qu'allant  moins  vite, 
elle  ne  laisse  pas  d'avancer  autant  vers  le  coté  droit  ((u'elle  eût  fait  si 
elle  n'eût  rien  perdu  de.  sa  vitesse. 

Mais  j)eut-()n  dire  la  même  chose  de  la  détermination  d'une  halle 
(|ne  l'on  suppose  tomher  perpendiculairement  sur  la  même  toile,  à  sa- 
voir que  la  superficie  sur  laquelle  (die  tombe  ne  lui  est  aucunement 
opposée  en  ce  sens-là,  et  qu'en  perdant  la  moitié  de  sa  vitesse,  elle  ne 
perd  rien  du  tout  de  la  quantité  de  la  détermination  qu'elle  avoit  à 
s'avancer  vers  le  c('ité  où  elle  visoit,  et  que  la  vitesse  ((ui  lui  reste  se 
doit  et  se  [teiit  accommoder  avec  cette  détermination,  pour  la  faire 
avancer  en  un  temps  égal  sur  la  même  rout(;  autant  qu'elle  eût  fait 
si  (dl(>  n'eût  rien  perdu  de  sa  vitesse?  (lertainement  personne  ne  dira 
(|ue  ce  cas  soit  semhlahle  au  premier,  et  par  conséquent  la  conclusion 
n'en  peut  être  pareille. 

6.  Aussi  tout  le  défaut  [du  raisonnement]  de  votre  scepti(|ue  ne 
vient  ([ue  de  ce  qu'il  n'a  pas  pris  garde  que  la  même  superticie  CdJE, 
en  laquelle  la  halle  an  point  H  perd  la  moitié  de  sa  vitesse,  est  aussi 
en  même  temps  opposée  îi  la  détermination  de  haut  en  has,  soit  (|ir(dle 


388  (EUVRES   DE  FERMAT.  -  CO  IIRESI'ONI)  ANCE. 

soit  perpeiulicuhiirc  ou  non.  En  sorte  que,  quoique  la  halle  continue 
•le  descendre  et  même  qu'elle  descende  dans  la  même  ligne  quand 
elle  a  été  poussée  perpendiculairement,  on  ne  sauroit  pas  dire  ([ue 
cède  (lelerniinalion  vers  le  bas  soit  la  même,  mais  elle  est  changée  en 
quelque  façon,  ainsi  que  dit  M.  Descartes.  Car  la  halle  ne  descend 
plus  avec  la  même  ([uantité  de  détermination,  puisque  dans  un  temps 
égal  elle  ne  va  pas  si  loin  qu'elle  étoit  déterminée  d'aller  avant  qu'(dle 
eût  perdu  la  moitié  de  sa  vitesse,  ce  qui  est  un  changement  en  la 
détermination  qu'elle  avoit  à  avancer  v(^rs  ce  côté-là. 

Va  si  vous  y  prenez  garde,  tous  les  changemens  de  détermination 
qu(!  -M.  Descartes  a  dit  s'ensuivre  eu  la  halle  du  changement  de  sa 
vitesse  ou  de  la  force  qui  la  pousse  ou  qui  l'arrête  en  B  (selon  les  dit- 
férentes  suppositions  qu'il  l'ait),  ont  tous  été  en  la  détermination  de 
haut  en  bas,  et  non  point  en  celle  de  gauche  à  droite,  à  cause,  comme 
il  dit  en  la  page  17,  ligne  i3  ('),  que  des  deux  parties  dont  on  peut 
imaginer  qu(^  la  détermination  de  la  balle  sur  la  route  AB  est  com- 
posée, il  n'y  a  que  celle  qui  faisoit  tendre  la  balle  de  haut  en  bas  qui 
puisse  être  changée  en  quelque  façon  par  la  rencontre  de  la  toile. 
Mais,  à  plus  forte  raison,  cette  toile  peut-elle  faire  changer  la  déter- 
mination perpendiculaire  à  laquelle  elle  est  entièrement  opposée,  qui 
est  simple  et  qu'on  ne  peut  pas  dire  être  composée  de  deux,  ii  l'une 
desquelles  elle  ne  soit  point  du  tout  opposée,  ainsi  qu'elle  ne  l'est 
point  à  celle  de  gauche  à  droite,  quand  la  balle  est  poussée  de  biais 
suivant  la  ligne  AB. 

Or,  quel  changement  peut-il  arriver  en  cette  détermination  de  haut 
en  bas,  que  celui  qu'a  expliqué  M.  Descartes?  à  savoir  que  cette  balle, 
en  continuant  de  descendre,  avance  tantôt  plus  et  tantôt  moins  vers  le 
bas  qu'elle  ne  faisoit,  selon  le  changement,  c'est  à  dire  l'augmentation 
ou  la  diminution  que  sa  vitesse  a  reçue  en  B,  et  selon  le  rapport  que 
cette  vitesse  a  eu  avec  la  détermination  vers  le  côté  droit,  qui  a  dû 
toujours  demeurer  la  même,  comme  j'ai  dit  plusieurs  fois,  c'est  à  dire 

I  '  )  Foir  le  texte  de  Dcscarle.';,  page  3G9. 


XCIll.  -    15  MAI    lf)o8.  389 

(jiii  ;i  ilii  taire  (|ii('  la  halle  ait  toujours  autant  avancé  de  ce  eoté-lii 
(|n'elle  avoit  fait  auparavant. 

Et  partant,  tant  s'en  faut  (|ue  l'absurdité  (ju'avoit  voulu  inférer 
votre  sceptique  suive  hien  de  ce  (jii'a  dit  M.  Descaries,  (|u'au  eon- 
(rairl'  il  se  trouve  que  c'est  lui-même  (jui,  au  lieu  d'un  bon  argument, 
s'est  embarrassé  dans  un  sophisme,  en  supposant  que  la  détermina- 
tion de  la  balle  dans  une  chute  perpendiculaire  étoit  la  même,  au 
même  sens  que  celle  de  gauche  à  droite  est  dite  être  la  même  ([uand 
la  halle  tombe  obliquement. 

7-  Que  si,  après  cela,  vous  j)rencz  la  peine  d'examiner  la  réponse 
que  M.  Descartes  a  fait  lui-même  au  rest(!  des  diiVicullés  (jue  voire 
sceptique  lui  a  autrefois  proposées  par  l'entremise  du  Révérend  Père 
Mcrsennc,  et  auxquelles  il  satisfit  alors  par  une  lettre  qu'il  adressa  ii 
M.  Mydorge  ('),  dont  je  vous  ai  uagui-re  envoyé  la  copie,  vous  trou- 
verez que  ce  (|u'il  dit  est  véritable,  à  savoir  que  votre  scepti(|ue  s'esl 
trompé,  pour  avoir  parlé  de  la  composition  du  mouvement  en  deux 
divers  sens,  et  inféré  de  l'un  ce  qu'il  avoit  seulement  prouvé  de 
l'autre. 

Je  ne  répète  point  ici  ce  qu'il  en  a  dit;  car,  outre  qu'il  scroit  inu- 
tile, comme  j'en  étois  là,  un  de  mes  amis,  appelé  M.  Rohault,  savani 
mathématicien  et  des  mieux  versés  (jue  je  connoisse  en  la  philosophie 
de  M.  Descartes,  m'est  venu  apporter  une  réponse  qu'il  a  faite  à  votre 
lettre  au  Père  Mcrsennc  (-),  pensant  (jue  M.  Descartes  n'y  avoit  [loinl 
répondu  (car  je  ne  lui  avois  point  montré  cette  lettre  à  M.  Mydorge), 
et  que  vous  n'eussiez  reçu  d»;  lui  aucune  réponse,  voyant  (|ue  dans  la 
lettn^  ([ue  vous  m'avez  fait  l'honneur  de  m'écrire,  laquelle  je  lui  avois 
fait  voir,  vous  continuez  vos  premières  dilficultés,  et  que  dans  c(dle  ii 
M.  de  la  (chambre  vous  dites  avoir  autrefois  contesté  à  M.  Descartes  sa 
démonstration  touchant  la  réfraction,  à  lui,  dites  vous,  và'enli  a/t/i/r 
sen/ienli,  mais  qu'il  ne  vous  satisfit  jamais  (■'). 

(')  f^oir  la  nolo  de  la  page  i?'). 

(2)  Lettre  XXIV.  —  Cette  réponse  de  RoIkuiIi  est  \,i  Pièce  XCIV  ci-aprc.-. 

('  )  P'oir  ci-dessus  page  jo-jjG. 


390  (EUVKES   DU  FERMAT.-  (:01{  l'.ESPONDANCR. 

Et  pourcc  qu'il  ontcnd  boaucoiip  mioiix  quo  moi  toutes  cos  ma- 
tiiïrps,  et  qu'il  a  répondu  article  par  article  à  tous  ceux  de  votre  dite 
lettre,  je  m'abstiendrai  de  vous  ennuyer  davantage  par  mon  discours, 
afin  de  vous  laisser  plus  de  temps  pour  examiner  la  réponse  (|u'il  a 
l'aile  à  votre  lettre.  S'il  me  l'eût  apportée  plus  lot,  il  nous  auroit  tous 
deux  soulagés  :  moi,  d'écrire  d'un  sujet  qui  passe  mes  forces,  et  vous, 
de  lire  une  si  mauvaise  lettre.  Mais,  comme  c'en  étoit  déjà  fait,  je  n'ai 
pas  voulu  perdn^  ma  peine  et  j'ai  pensé  qu'il  valoit  mieux  vous  fati- 
guer de  cette  lecture,  et  vous  donner  par  même  moyen  des  preuves 
du  soin  où  je  m'étois  mis  de  m'acquitter  de  ce  (|ue  je  vous  devois, 
(|ue  de  vous  laisser  venir  la  pensée  (|ue  je  m'en  serois  |»eul-éth' 
oublié,  et  que  j'aurois  été  bien  aise  qu'un  antre  m'en  eut  déchargé. 

Au  reste.  Monsieur,  je  vous  prie  d'excuser  ce  (jui  |)eut  m'élre 
écliap|)é  de  libre  en  rép(jndanl  ii  voire  sceptique,  .l'aurois  agi  ave(; 
loiit  aulre  respect  si  mon  discours  se  fût  adressé  à  vous;  mais,  bien 
loin  de  craindre  (|ue  pour  c(da  vous  me  refusiez  justice,  je  [irends 
tnérne  l'assurance  de  vous  demander  (|U(dque  grâce.  H  y  a  des  ren- 
ccuitres  où  un  peu  de  faveur  n'olfense  point  l'équilé  et,  si  dans 
celle-ci  vous  vous  mettez  de  mon  parti,  je  puis  vous  assurer  (|u'en 
toute  aulre  je  serai  entièrement  ii  vous,  et  (|ue  vous  pourrez  (aire 
élal  d'avoir  toujours  j)rèt  en  moi.  Monsieur, 

Vn  Iri's  humble  el  Iri-s  obéissant  serviteur, 

C.i.r.usF.MFj; . 

l'yiis.  co  l 'i  iiini  il)"iS. 


\C1V.  -   lo  MAI    1058.  :W1 


\CIV. 


REFLEXIONS  OU  PROJET  DE  RÉPONSE  A  LA  LETTRE 
DE  M.  DE  FERMAT 

QUI  CONTlliNT  SES  OBJECTIONS   SUK   L\   DIOl'TUIQUE   DE  M.   DESCARTES. 

PAR  M.  ROIIAULT. 

15  Mil  1658. 

(D..  III.  4(i;  r.il.l.  u:it.  fr.  HÎSO,  11.  an].,  f-  5i-5r..) 

Je  ne  sais  si  le  Pi-re  IMersenne,  à  qui  cette  lettre  (')  étoit  a(.lrcssé<', 
l'a  eomnuiniquéc  à  ÎM.  Deseartes,  ou  si,  l'ayant  reeiie,  ses  occupalions 
l'ont  empêché  d'y  faire  réponse.  Toutefois  il  paroit  n'y  avoir  |)oint 
réponilu,  parce  que  M.  de  Fermât,  qui  l'avoit  écrite  il  y  a  environ 
vingt  ans,  répète  encore  à  peu  près  les  mêmes  dilficultés  dans  une 
lettre  qu'il  a  écrite  depuis  peu  à  un  de  mes  amis  de  cette  ville  (■').  Je 
m'en  vais  essayer  de  suppléer  quelques  réponses  tirées  de  l'intention 
de  .M.  Descartes,  et  pour  le  faire  plus  commodément,  je  ne  me  propo- 
serai aucun  ordre  que  celui  qui  est  dans  les  articles  ou  sections  de  la 
lettre  que  j'examinerai  séparément. 

AuT.  1".  —  Le  premier  article  ne  contient  qu'un  compliment  dont 
l'humeur  civile  de  iM.  de  Fermât  honoroit  M.  Descartes,  et  dont  sa 
mémoire  lui  est  encore  red(>vable. 

Ain.  2'.  Je  /ranc/ic,  etc.  —  Quoique  AL  Descaries  accommode  son 
incdium  à  sa  conclusion,  et  qu'il  divise  son  mouvement  en  certaines 
déterminations  plutôt  qu'en  d'autres,  on  ne  le  doit  non  plus  trouver 
étrange  que  si  un  géomètre  se  sert  d'une  construction  plutôt  (jue 
d'une  autre  pour  l'exécution  d'un  problème;  et  l'on  ne  conteste 
jamais  la  voie  qu'il  choisit,  pourvu  qu'il  vienne  à  bout  de  ce  (ju'il 
entreprend. 

(')  La  Leltre  XXIV  ci-avanl  :  les  articles  dislingiiés  par  Roliaiill  soiil  i(lenliqiio.s  avec 
ceux  du  iuimérulat;e  de  noire  cdiLion. 
(2)  La  Lettre  XC  lus  à  Clerselier. 


392  (EUVHKS   DE  FEUMAT.   -  COURESPON 1) ANGE. 

Au  rosto,  M.  Dt'scartos  a  dii  divisor  son  mouvL'meiit  on  uno  dctor- 
niination  perpendiculaire  à  la  surface  devers  laquelle  il  étoil  mu  et 


en  une  délerniinatinn  parallèle  à  la  même  surface,  parce  que,  eetl 
dernière  ne   rencontrant  aucune  opposition,  il  étoit  assuré  (]u'elle 
dcvoit  demeurer  la  même;  ce  qui  lui  étoit  un  moyen  de  conclure  une 
vérité  plus  aisément  qu'il  n'eût  pu  faire  en  suivant  une  autre  méthode. 

Ar.T.  3'.  Je  rcco/inois,  etc.  —  IM.  de  Fermât  semble  favorisera.  Des- 
eartes,  en  avouant  qu'il  est  de  son  sentiment  touchant  la  diirérencc 
qu'il  établit  entre  le  mouvement  et  la  détermination,  et  tâchant  même 
de  le  prouver.  (Cependant  il  semble  aussi  qu'il  y  ait  de  l'adresse, 
pource  qu'il  impute  à  M.  Descartes  une  opinion  ([u'il  désavoueroit, 
à  dessein,  comme  on  pourroit  croire,  de  s'en  servir  dans  la  suite. 

(]'est  dans  le  second  exemple,  où  il  assure  ([u'une  balle,  poussée  du 
point  H  au  point  \i  perpendiculairement  sur  la  surface  CBE,  ne  perd 
pas  de  sa  détermination,  à  cause,  dit-il.  ([n'en  pénétrant  l'eau  ou  la 
toile,  elle  continue  à  se  mouvoir  dans  la  même  lii^ne  droite. 

.Mais  il  doit  considérer  (|ne  la  détermination  d'un  mobile  doit  être 
réputée  changer,  non  seulement  quand  il  quitte  la  ligne  dans  laquelle 
il  se  mouvoit  auparavant,  ou  quand  il  se  meut  à  contre-sens  dans  la 
um'-uic  ligne,  mais  encore  en  se  mouvant  du  même  sens  dans  la  mém(^ 
ligne  droite,  pourvu  que  ce  soit  [plus  ou]  moins  loin  qu'il  n'étoit  dé- 
terminé d'aller  en  ce  sens-là.  El  c'est  en  cette  troisième  façon  que  la 
quantité  de  la  détermination  de  la  balle  est  devenue  moindre,  autant 
(|ue  le  mouvement  :  aussi  la  surface  CAiK  étoil  autant  op|)osée  à  la 
première  que  la  liaison  des  parties  l'étoit  à  l'autre  :  c'est  pourquoi  il 
faut  réputer  comme  nul  cet  exemple  qui  n'étoit  (|ue  ])our  prouver  une 
vérité  (jue  les  deux  parties  ne  contestent  point. 

.le  ne  daignerois  d'observer  que  M.  de  Fermât  appelle  force  ou  puis- 
sance mouvante  ce  que  M.  Descartes  appelle  le  mouven)cnt,  parce  qu'il 
ne  paroît  pas  dans  la  suite  de  la  lettre  que  cette  différence  soit  d'au- 
cune conséquence. 

ApiT.  4''.  Je  reviens  maintenant,  etc.  —  (]el  article  ne  contient  (|ne 
(juelques  paroles  de  M.  Descartes. 


XCIV.  -  15  MAI   1C58.  393 

Art.  5'.  Je  remarque  d'abord,  etc.  —  Le  manque  de  mémoire  qui  est 
ici  imputé  à  M.  Descartes,  est  fondé  sur  la  croyance  que  M.  de  Fermât 
a,  que  la  détermination  de  haut  en  bas  [de  l'exemple]  de  la  page  17  de 
la  Dioptriquc  n'est  point  changée,  qui  est  une  erreur  semblable  à  celle 
qui  a  été  désavouée  dans  la  remarque  sur  l'article  3^  Et  il  ne  sert  de 
rien,  pour  prouver  sa  pensée,  de  dire  que  la  détermination  dans  la 
ligne  BI  est  composée  en  partie  de  celle  qui  fait  aller  le  mobile  do 
haut  eu  bas,  comme  [étoit]  celle  qui  le  faisoit  auparavant  mouvoir 
vers  le  même  côté  dans  la  ligne  A15.  11  y  a  [en  cela]  de  l'équivoque, 
et  encore  qu'on  remarque  toujours  une  détermination  de  haut  en  bas. 
la  seconde  est  autre  que  la  première,  de  même  que  dix  écus  sont  une 
autre  quantité  d'écus  que  quinze  écus,  encore  que  ce  soit  toujours  d(>s 
écus. 

Akt.  6"'.  Mais  donnons  que,  etc.  —  Après  que  M.  de  Fermât  accorde, 
comme  par  forme  de  passe-droit,  une  chose  qui  est  de  devoir,  il  s'ef- 
force de  prouver  que  M.  Descartes  ne  s'est  pas  aperçu  que  la  délermi- 
nation  de  gauche  à  droite  étoit  aussi  changée;  ce  qui  véritablement 
infirmerait  sa  démonstration.  La  raison,  dit-il,  est  qu'on  ne  sauroit 
dire  que  la  détermination  de  haut  en  bas  soit  changée,  sinon  parce 
<|ue,  depuis  que  le  mobile  se  meut  dans  la  ligne  151,  sa  quantité  n'a 
plus  la  même  raison  avec  celle  de  gauche  à  droite,  qu'elle  avoit  quand 
il  étoit  porté  dans  la  ligne  AB. 

Je  ne  sais  si  M.  de  Fermât  parle  ici  tout  de  bon,  d'autant  qu'il  rai- 
sonne comme  une  personne  qui,  après  avoir  porté  quinze  écus  dans 
l'une  de  ses  pochettes  et  trente  dans  l'autre,  et  en  ayant  perdu,  par 
je  ne  sais  quel  accident,  quelques-uns  des  quinze,  reconuoilroit  cette 
perte  par  cela  seulement  que  ce  qui  lui  reste  des  quinze  n'est  plus  la 
moitié  de  la  somme  qu'il  a  de  l'autre  coté,  après  quoi  il  vient  à  croire, 
pour  se  consoler,  que  celte  dernière  est  augmentée,  parce  qu'elle  fail, 
en  récompense,  plus  du  double  de  celle  d'où  il  trouvoit  d'abord  à 
redire. 

M.  Descartes  raisonne  d'une  autre  façon,  sans  pourlanl  le  faire 
autrement  (|u'un  jeune  homme  <jui  n'auroit  pas  appris  le  cinquième 

TtliMAT.  —  M.  5o 


3%  ŒUVRES  DE  FEUMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

l/ivre  des  Eléments  d'EucIidc.  Car,  comme  celui-ci  jugeroit  qu'il 
auroit  perdu  quelques-uns  des  quinze  écus,  en  comparant  ce  qui  lui 
resteroit  avec  ce  qu'il  avoit  auparavant  dans  la  même  pochette,  et  ne 
se  soucieroit  pas  de  les  comparer  avec  les  trente  de  l'autre,  de  même 
M.  Descartes  juge  du  changement  arrivé  en  la  détermination  de  haut 
en  has,  parce  que  sa  quantité  n'est  plus  la  même,  depuis  que  le  mobile 
est  au  dessous  de  la  surface  CBE,  qu'elle  étoit  quand  il  étoit  au  dessus. 
Et  il  a  raison  d'assurer  que  la  détermination  de  gauche  à  droite  n'est 
pas  changée,  parce  que  sa  quantité  est  la  même,  le  mobile  étant  dans 
la  ligne  BI,  qu'elle  étoit  quand  il  étoit  porté  en  AB. 

AuT.  ^^  Mais  donnons  encore,  etc.  —  Outre  que  M.  de  Fermât 
accorde  encore  ici  gratuitement  une  chose  qu'il  auroit  tort  de  con- 
(estcr,  comme  il  se  voit  dans  la  remarque  précédente,  cet  article  ne 
contient  que  quelques  paroles  de  M.  Descartes. 

Art.  8^  Voyez  comme  il  retombe,  etc.  —  ]M.  Descartes  est  ici  accusé 
de  retomber  pour  la  seconde  fois  dans  une  même  faute,  manque  de  se 
ressouvenir  qu'il  y  a  dilTérence  entre  la  détermination  et  le  mouve- 
ment. Mais  cette  accusation  n'est  fondée  que  sur  ce  que  M.  de  Fermât 
prend  un  peu  rigoureusement  les  paroles  de  M.  Descartes  :  car,  quand 
il  dit  ces  mots  :  elle  doit  faire  deux  fois  autant  de  chemin  vers  le  même 
côté,  cela  ne  signifie  pas  que  la  balle  se  meuve  dans  une  ligne  deux 
fois  plus  grande  qu'auparavant,  mais  que,  quelle  que  soit  cette  ligne, 
elle  doit  tellement  être  inclinée  vers  la  droite  que  la  balle  avance  de 
ce  côté-là  deux  fois  plus  qu'elle  n'avoit  fait.  C'est  le  sens  qu'il  falloit 
donner  aux  paroles  de  M.  Descartes,  au  lieu  de  l'autre,  par  lequel  on 
prétend  qu'il  confond  deux  choses  diverses;  et  son  intention  étoit 
assez  évidente  parce  que  pendant  qu'il  dit  que  la  quantité  de  la  dé- 
termination devient  double  dans  le  même  temps,  il  suppose  que  le 
mouvement  n'est  que  simple,  c'est  ii  dire  que  le  mobile  parcourt  une 
ligne  égale  ii  celle  qu'il  avoit  parcourue  auparavant. 

Ce  qui  suit  de  cet  article,  et  l'absurdité  que  M.  de  Fermât  y  conclut, 
n'est  pas  au  désavantage  de  M.  Descartes,  qui  nieroit  que  la  détermi- 
nation de  haut  en  bas  demeure  la  même,  suivant  ce  qui  a  é(é  dit  dans 


XCIV.  -  lo  MAI   IG08.  395 

la  remarque  sur  le  3"^  article,  et  ainsi  tout  cet  appareil  de  raisonnement 
s'en  va  en  fumée. 

Ai'.T.  9.  10,  11,  12.  —  Je  passe  pour  vrai  tout  ce  que  contiennent  ces 
articles;  mais  je  crains  qu'ils  ne  fassent  point  du  tout  au  sujet. 

Anr.  13''.  Cela  ainsi  suppose,  etc.  —  M.  de  Fermât  estime  que,  dans 
la  pai,'e  110  de  la  Dioptrique,  la  supposition  de  M.  Descartes  est  que 
l'accroissement  d'un  fiers  de  mouvement  qui  arrive  à  la  balle  soit  sim- 
plement de  liant  en  bas  ou  selon  la  ligne  BG,  au  lieu  que  c'est  le 
mesurer  dans  la  ligne  qu'elle  a  à  décrire  ou  parcourir  actuellement. 
Kt  cela  est  assez  aisé  à  entendre,  parce  que,  si  cela  étoit,  M.  Descartes 
n'auroit  pas  supposé,  comme  il  a  fait,  la  force  du  mouvement  de  la 
balle  être  augmentée  d'un  tiers,  mais  il  auroit  supposé  la  détermina- 
tion de  liant  en  bas  être  augmentée  d'un  tiers,  et  n'auroit  rien  supposé 
du  mouvement.  Il  ne  faut  donc  pas  dire  qu'à  son  sens,  la  balle  qui  se 
ment  en  Bl  s'y  meuve  d'un  mouvement  composé  de  celui  qu'elle  avoit 
vers  BD  et  d'un  autre  vers  BG  dont  on  veuille  qu'il  suppose  la  quan- 
tité être  du  tiers  plus  de  ce  qui  étoit  en  AB,  mais  bien  que  le  mou- 
vement actuel  de  la  balle  soit  d'un  tiers  plus  vile  qu'auparavant, 
laissant  au  raisonnement  à  définir  quel  changement  doit  suivre  de  là 
en  la  détermination  de  haut  en  bas. 

Art.  14".  Imaginons  ensuite,  etc.  —  Ce  que  M.  de  Fermât  conclut 
dans  cet  article  est  vrai  dans  sa  supposition,  laquelle,  comme  je  viens 
de  remarquer,  étant  diirérenle  de  celle  de  M.  Descaries,  il  ne  faut  pas 
s'étonner  s'ils  établissent  tous  deux  des  proportions  différentes  des- 
(|uelles  par  conséquent  l'une  ne  sauroit  détruire  l'autre. 

AuT.  IS".  D'ailleurs  la  principale  raison,  etc.  —  Il  est  vrai  que 
iM.  Descartes  entend  que  le  mouvement  d'un  mobile  accroît  toujours 
d'une  pareille  quantité  en  pénétrant  un  même  milieu,  quoiqu'il  tombe 
sur  la  surface  avec  des  inclinaisons  dilTérentes.  Et  cela  est  bien  rai- 
sonnable, puisque  la  facilité  de  se  mouvoir  dépend  de  la  nature  du 
corps  que  l'on  suppose  tel  qu'il  se  peut  ouvrir  pour  faire  passage 
aussi  facilement  vers  un  coté  que  vers  un  autre,  cl  que  de  l'inclinaison 
(lu  rayon  d'incidence  dépend  seulement  la  détermination  à  la  quantité 


30G  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

(le  laquelle  les  diverses  chutes  pourront  apporter  do  la  variété  selon  le 
rapport  qu'auront  entre  elles  la  détermination  et  la  vitesse.  Ce  que 
M.  de  Fermât  ajoute  ensuite  et  qu'il  dit  avoir  démontré  être  faux  n'est 
vrai  que  dans  la  supposition  qu'il  croyoit  être  celle  de  M.  Descartes, 
mais  qui  pourtant,  comme  j'ai  montré,  en  est  fort  différente. 

Art.  16".  Ce  n'es!  pas  que,  etc.  —  M.  de  Fermât  avoue  qu'il  n'est 
])as  certain  s'il  faut  suivre  sa  proportion  plutôt  que  celle  qu'il  tâche 
de  combattre.  Mais  je  ne  fais  pas  difficulté  d'avouer  qu'il  faudroit 
retenir  la  sienne,  si  l'accélération  ou  le  ralentissement  du  mouvement 
dépendoit  de  la  seule  surface  commune  aux  deux  corps  dans  lesquels 
le  mobile  se  meut  :  mais  parce  que  cette  surface  ne  saurolt  que  dé- 
tourner le  mouvement  et  que  c'est  le  second  corps  qui  le  facilite  ou 
(|ui  l'empêche,  on  doit  retenir  celle  de  M.  Descartes. 

Nous  saurons,  quand  il  plaira  à  M.  de  Fermât,  les  pensées  qu'il  a 
touchant  la  réfraction;  mais  je  puis  déjà  dire  par  avance  que  ce  que 
vous  m'en  avez  fait  voir  d'ébauché  dans  sa  lettre  à  M.  de  la  Chambre 
m'a  paru  fort  ingénieux  et  digne  de  lui  (  '  ). 

Si  vous  lui  faites  voir  ceci,  je  vous  prie  de  lui  taire  mon  nom,  ou,  si 
vous  trouvez  à  propos  de  le  lui  déclarer,  je  vous  prie  aussi  qu'il  sache 
que  ce  n'est  pas  d'aujourd'hui  que  le  bruit  de  son  nom  est  venu 
jusquesàmoi;  que  j'honore  beaucoup  son  mérite,  et  que  je  tiendrai 
à  honneur  s'il  me  daigne  faire  la  grâce  de  me  mettre  au  rang  de  ses 
très  humbles  serviteurs. 

(I)  Lettre  I.XXXVI. 


XCV.  -  -2  JUIN   1638.  397 

\C\. 
FKR.MAT  A  CLKRSELIER  ('). 

DIMANCHE  2  jL'ix   KiaS. 

(D.,  III,  '17;  lîib.  nat.  fr.  3380,  n.  acf[.,  f"  57-Gi.) 

■MoNSiEun, 

1-  .le  suis  si  passionné  pour  la  gloire  de  31.  Descartes  que  vous  ne 
pouvez  m'ohliger  plus  sensiblement  qu'en  combattant  les  opinions  du 
scc[)tique  qui  s'oppose  à  ses  sentiments.  Mais  prenez  garde,  Monsieur, 
i[u'il  importe  de  conduire  votre  travail  jusquesau  bout,  et  de  renverser 
l'iilii'rcrnent  sur  leurs  auteurs  tout  ce  que  vous  appelez  ou  paralo- 
gismes  ou  sophismes.  Il  ne  sulTit  pas  de  dire  que  le  sens  de  !\F.  Des- 
cartes a  été  mal  pris  par  ceux  qui  le  reprennent;  il  faut  prouver  que 
l'explication  que  vous  lui  donnez  va  tout  droit  et  sans  détour  à  sa 
conclusion,  et  qu'entin  sa  preuve  est  démonstrative. 

2.  Nous  avions  cru  que  la  balle  qui  conserve  sa  direction  et  sa  route 
ne  perd  point  sa  détermination,  et  nous  l'avions  avec  (|uelque  raison 
inféré  de  la  différence  que  M.  Descartes  établit  entre  le  mouvement  et 
la  détermination.  Mais,  sans  nous  empresser  davantage  à  prouver  la 
conséquence  que  nous  tirions  de  son  raisonnement,  nous  nous  tenons 
pour  sullisammcnt  avertis  de  sa  pensée  et  de  la  vôtre,  qui  veut  «  que  la 
détermination  d'un  mobile  soit  réputée  changer,  non  seulement  quand 
il  quitte  la  ligne  dans  laquelle  il  se  mouvoit  auparavant,  ou  quand  il  se 
meut  à  contre-sens  dans  la  même  ligne,  mais  encore  en  se  mouvant  du 
même  sens  dans  la  même  ligne  droite,  pourvu  que  ce  soit  moins  loin 
(ju'il  n'étoit  déterminé  d'aller  en  ce  sens-là. 

VA  c'est  en  cette  troisième  façon  »,  dites-vous  (-),  «  que  la  quantité 
de  la  détermination  de  la  balle  est  devenue  moindre  autant  que  le 

(')  Réponse  aux  Lettres  XCIII  et  XCIV. 
C-}  Lettre  XCIV,  3. 


398  (E  U  V  R  E S  D  E  F  E  R  M  AT.  -  C  0  R  R  E  S  P  0  N 1)  A  N  C  E. 

mouvement  »,  lorsqu'elle  se  meut  sur  la  ligne  HBG  de  la  page  17  de 
la  Dioptrique  (').  Mais  prenez  garde  que  ce  ne  soit  tomber  dans  la 
pétition  du  principe. 

Vous  entendez  donc,  dans  la  page  17,  que  la  toile  n'étant  aiicu/if- 
mev// opposée  à  la  détermination  de  gauche  ii  droite,  ces  paroles  veulent 
dire  que  cette  détermination  avance  autant  vers  la  droite  qu'elle  faisoit 
auparavant.  C'est  ce  que  je  nie  et  qu'il  faut  prouver  :  car,  bien  que  la 
toile  n'empêche  point  que  la  balle  n'avance  toujours  vers  la  droite, 
elle  ne  laisse  pas  d'avancer  vers  la  droite,  soit  que  ce  progrès  soit 
plus  lent,  soit  qu'il  soit  plus  vite  qu'auparavant.  Or,  de  cela  seul  que 
la  toile  n'empêche  pas  le  progrès  vers  la  droite,  vous  en  inférez  que  ce 
progrès  doit  être  justement  le  même,  c'est  à  dire  ni  plus  ni  moins  vite 
(ju'auparavant.  C'est  donc  aÎTïjtxa  aîTf,[Aa':o?,  et  il  faut  de  deux  choses 
l'une  :  ou  que  le  incdium  soit  le  même  que  la  conclusion,  ou  que  la 
conclusion  en  soit  mal  tirée. 

Peut-être  direz-vous  que  le  mot  aucunement  fait  tout  le  mystère,  et 
qu'en  disant  que  la  toile  ne  lui  est  aucunemenl  opposée  en  ce  sens-lii, 
tout  le  reste  s'en  déduit  aisément.  Mais  il  eu  faut  toujours  revenir  là  : 
si  par  le  mot  aucunemenl  vous  entendez  que  la  toile  n'empêche  pas 
que  la  balle  ne  continue  sa  marche  vers  la  droite  et  que  son  progrès 
ne  se  fasse  également  et  en  temps  égal,  je  le  nie  et  c'est  ce  ([u'il  faut 
prouver;  si  vous  entendez  que  la  toile  ne  lui  est  aucunement  opposée, 
c'est  à  dire  qu'elle  n'empêche  pas  que  la  balle  ne  continue  d'avancer 
vers  la  droite,  sans  assurer  encore  si  sou  progrès  doit  se  faire  en  temps 
égal,  vous  ne  trouverez  jamais  votre  compte  dans  la  conclusion. 

D'où  il  suit  clairement  que  M.  Descartes  a  voulu  donner  des  paroles 
pour  des  choses,  et  qu'en  traitant  deux  propositions  différentes  sur  le 
sujet  de  la  réflexion  et  de  la  réfraction,  il  a  voulu  accommoder  son 
raisonnement  à  la  première  qu'il  savoit  et  à  la  seconde  qu'il  a  peut- 
être  trop  légèrement  crue. 

3.  Ce  n'est  pas,  comme  je  vous  a  i  déjà  souvent  protesté,  que  sa  pro- 

(  '  )  Voir  fig.  fid,  page  1 1 8  ou  399. 


XCV.  -  2  JUIN    1658. 


399 


poilioii  (les  réfractions  no  puisse  êlre  viaic;  mais  j"ai  du  moins  à  vous 
(lin-  que  je  ne  la  liens  du  tout  poinL  [)r()uvée.  et  qu'en  tout  cas  vous 
avez  trop  de  complaisance  en  faisant  semblant  d'approuver  ma  pensée 
sur  ce  même  sujet  ('),  puisque,  si  ce  que  j'ai  écrit  là  dessus  à  i\r.  de  la 
(Chambre  est  véritable,  ce  que  M.  Descartes  croit  avoir  démontré  est 
nécessairement  faux,  ces  deux  opinions  étant  tout  ii  fait  contradic- 
toires et  incompatibles. 

]Mais  supposons,  si  faire  se  peut,  que  la  proposition  de  M.  Descaries 
soit  véritable.  Il  faut  du  moins  pourvoira  ce  que  rien  n(^  se  démenfe 
dans  les  suites,  et  c'est  aux  amis  du  défunt  ii  prévoir  tous  les  cas  qui 
pourroienl  faire  peine  à  la  vérité  supposée  de  cette  proposition.  Kn 
voici  un,  par  exemple,  ([u'il  vous  faudra  tâcher  de  résoudre. 

Supposez,  dans  la  page  17,  que  la  balle  rencontre,  au  lieu  de  la 


Fi''.  50. 


toile  ou  de  l'eau,  un  corps  dur  et  impénétrable,  et  que,  lorsque  la 
balle  arrive  au  point  B,  elle  ne  laisse  pas  de  perdre  la  moitié  de  sa 
vitesse.  Car  cette  supposition  est  possible  cl,  quoique  le  corps  CHKne 
contribue  rien  à  la  diminution  de  ladite  vitesse  (comme  il  fait  en 
l'exemple  de  M.  Descarte^,  lorsque  c'est  de  la  toile  ou  de  l'eau),  néan- 
moins nous  pouvons  imaginer  et  supposer  que,  lorsque  la  balle  arriviï 
au  point  B,  elle  j)erd  justement  la  moitié  de  sa  vitesse,  sans  nous 
mettre  en  peine  d'où  provient  cette  diminution,  puisque  le  même 
M.  Descartes,  en  la  page  20,   suppose  ou  imagine  au  point  B  un(^ 


(  '  )  Lettre  XCIV,  16. 


400  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

nouvelle  puissance  qui  augmente  le  mouvement  ou  la  vitesse  de  la 
halle  :  de  sorte  que  je  ne  crois  pas  que  les  amis  de  M.  Descartes  soient 
assez  injustes  pour  nier  que  cette  supposition  puisse  être  non  seule- 
ment imaginée,  mais  réduite  en  acte. 

Cela  supposé,  il  ne  faut  que  transporter  le  raisonnement  de  M.  Des- 
cartes au  dessus  du  plan,  et  on  pourra  dire  avec  lui  que,  pour  savoir 
le  chemin  que  la  halle  doit  prendre,  il  faut  considérer  que  son  mouve- 
ment diffère  entièrement  de  sa  détermination  à  se  mouvoir  plutôt  vers 
un  côté  que  vers  un  autre  :  d'où  il  suit  que  leur  quantité  doit  être 
examinée  séparément. 

Considérons  aussi  que,  des  deux  parties  dont  on  peut  imaginer  que 
cette  détermination  est  composée,  il  n'y  a  que  celle  qui  faisoit  tendre 
la  halle  de  haut  en  bas  qui  puisse  être  changée  par  la  rencontre  du 
])lan  CBE,  et  que,  pour  celle  qui  la  faisoit  tendre  vers  la  main  droite, 
elle  doit  toujours  demeurer  la  même  qu'elle  a  été,  à  cause  que  ce  plan 
ne  lui  est  aucunement  opposé  en  ce  sens-là. 

Puis,  ayant  décrit  du  centre  B  le  cercle  AFD  et  tiré  à  angles  droits 
sur  CBlî  les  trois  lignes  droites  AC,  IIB,  FE,  en  telle  sorte  qu'il  y  ait 
deux  fois  autant  de  distance  entre  FE  et  HB  qu'entre  HB  et  AC,  nous 
verrons  que  cette  halle  doit  tendre  vers  le  point  du  cercle  où  la 
ligne  FE  coupe  le  cercle  au  dessus  du  plan;  ce  point  peut  être  désigné 
|)ar  la  lettre  0. 

Car,  puisque  la  halle  perd  la  moitié  de  sa  vitesse  en  rencontrant  le 
plan  au  point!}  et  qu'elle  ne  peut  point  le  traverser  par  la  supposition, 
elle  doit  employer  deux  fois  autant  de  temps  à  passer  au  dessus  de- 
puis B  jusques  à  quelque  point  de  la  circonférence  du  cercle  AFD, 
(ju'elle  a  fait  à  venir  depuis  A  jusques  à  B.  Et,  puisqu'elle  ne  perd 
rien  du  tout  de  la  détermination  qu'elle  avoit  à  s'avancer  vers  le  côté 
droit,  en  deux  fois  autant  de  temps  qu'elle  en  a  mis  à  passer  depuis  la 
ligne  AC  jusques  à  HB,  elle  doit  faire  deux  fois  autant  de  chemin  vers 
ce  même  côté,  et  par  conséquent  arriver  à  quelque  point  de  la  ligne 
droite  FE  au  même  instant  qu'elle  arrive  aussi  à  quelque  point  de  la 
circonférence  du  cercle  AFD.  Ce  qui  seroit  impossible  si  elle  n'alloil 


XCV.  -  -2  JUIN   1C58.  401 

vers  0,  d'autant  que  c'est  le  seul  point  au  dessus  du  plan  CBE  oii  le 
cercle  AFD  et  la  ligne  droite  FE  s'entrecoupent. 

Si  ce  raisonnement,  qui  est  justement  le  même  que  celui  de  M.  Des- 
cartes, on  le  transportant  seulement,  ne  conclut  pas,  pourquoi,  de 
grâce,  celui  de  M.  Descartes  conclura-t-il?  Ce  qui  est  démonstration 
au  dessous  deviendra-t-il  paralogisme  au  dessus?  Je  ne  crois  pas  que 
vous  soyez  do  ce  sentiment  et  que  vous  vouliez  donner  tout  au  seul 
nom  et  à  l'inspiration,  s'il  faut  ainsi  dire,  de  M.  Descartes. 

4.  Cela  étant,  passons  à  la  figure  de  la  page  19,  et  supposons  de  même 
que  le  plan  CB  est  un  corps  dur  et  impénétrable,  et  que  la  balle,  arri- 
vant au  point  B,  diminue  de  sa  vitesse  en  telle  sorte  que  la  ligne  FE, 
étant  tirée  comme  on  l'exemple  précédent,  ne  coupe  point  le  cercle  AD. 


Otle  balle,  par  la  supposition,  ne  peut  point  pénétrer  au  dessous 
du  plan.  Elle  no  peut  non  plus  se  réfléchir  à  angles  égaux,  car  sa  dé- 
termination vers  la  droite  ne  seroit  point  la  même.  Enfin,  quelque 
angle  que  vous  proniez  pour  sa  réflexion  au  dessus  du  plan,  son  pro- 
grès vers  la  droite  sera  toujours  moindre  (ju'auparavant.  Voire  même 
quand  vous  la  feriez  rouler  sur  le  diamètre  GB  en  ligne  droite,  sa  dé- 
termination vers  la  droite  changeroit  encore,  comme  il  se  voit  ii  l'œil 
et  comme  il  se  déduit  clairement  de  la  supposition  :  car  il  faudroit 
qu'au  même  temps  que  la  balle  arrive  à  quelque  point  de  la  circon- 
férence, elle  arrivât  ii  quelque  point  de  la  droite  FE,  ce  qui  est  impos- 
sible. 

Que  deviendra  donc  cette  balle?  C'est  à  vous,  Monsieur,  et  aux  amis 

Fermât.  —  11.  31 


4.02  ŒUVRES  DE  FERMAT.-   CORRESPONDANCE. 

de  RI.  Descartes,  à  lui  fournir  un  passeport  et  à  lui  marquer  sa  route 
en  la  faisant  sortir  de  ce  point  fatal.  J'en  dirois  davantage  si  je  n'ap- 
préhendois  de  passer  dans  votre  esprit  pour  un  homme  qui  auroit 

envie  de 

Barbara  vellero  morUio  Iconi  ('). 

J'attends,  Monsieur,  votre  réplique  ou  celle  de  M.  Rohault,  que  j'es- 
time comme  je  dois;  et  je  vous  assure  à  l'avance  que  je  ne  cherche 
que  la  vérité  sans  chicane,  et  que  je  suis  de  tout  mon  cœur,  Monsieur, 
votre  très  humhle  et  très  aiïectionné  serviteur, 

Ff.kmat. 


XCVl. 
FERMAT  A  KENELM  DIGBY  (  =  ). 

{Coiiim.  ep.,  11°  XLVII.) 

1.  Illustrissimos  Viros  Vicecomitem  Brouncker  et  Johannem  Waili- 
sium  quaestionum  numericarum  a  me  propositarum  solutioncs  tandem 
dédisse  légitimas  libens  agnosco,  imo  et  gaudeo.  Noluerunt  Viri  Cla- 
rissimi  vel  unico  momento  impares  sese  aut  -i^TTovaç  qua'slionibus 
proposilis  confiteri;  mailem  ipsos  et  quœstiones  ipsas  dignas  iabori- 
bus  Anglicis  statim  agnovisse  et,  postquam  adepti  ipsarum  solutiones 
fuissent,  triumphum  eo  illustriorem  egissc  quo  certamen  magis  arduum 
apparuisset.  Contrarium  ipsis  visum  est;  id  sane  gloriœ  illustrissima." 
et  ingeniosissima»  nalionis  condonandum.  Vcrùm,  ut  deinceps  ingénue 
utrimque  agamus,  fatcntur  Galli  propositis  quœslionibus  salisfecisse 
Anglos;  sed  fatcantur  vicissim  Angli  qua'stiones  ipsas  dignas  fuisse 
quœ  ipsis  proponerentur,  nec  dedignentur  in  posterum  numerorum 

(')  Martial,  livre  X,  cpigr.  go. 

(-)  Envoyée  par  Digby  à  Wallis,  le  19  juin  iG58. 


XCVI.  -  JUIN  1658.  Wi 

integrorum  iiaturam  accuratius  examinarc  et  introspiccre,  imo  et  doc- 
trinam  istam,  quà  pollent  ingenii  vi  et  subtilitate,  propagaro. 

2.  Quod  ut  ab  illis  libentius  impetremus,  Diophanlum  ipsuin  <>l 
celebcrrimum  illius  interpretem  Baclietum  ad  auctoritatcm  rci  pro- 
ponimus. 

Supponit  Diophantus  in  picrisquc  Libri  IV  cl  V  quœstionibus  nunie- 
riini  omnem  integrum.  vel  esse  quadratum  vel  ex  duohiis  aiit  tribus  aiH 
quatuor  quadratis  compositum.  Id  sibi  Bachetus,  in  commcntariis  ad 
qasestioncm  xxxi  Libri  IV,  perfccta  dcmonslratione  assequi  nonduni 
licuisse  fatetur.  Id  Renatus  ipsc  Descartes  incognitum  sibi  ingénue 
drclarat  in  epistola  quadam,  quam  propedicm  edendam  acccpimus, 
imo  et  viam,  quahucpcrveniatur,  dilRcillimam  et  abstrusissimam  esse 
non  difîitetur  (').  Car  igitur  de  propositionis  illius  dignitate  dubite- 
nius,  non  video.  Ejus  tamen  pcrfectam  demonstrationem  a  me  inven- 
tam  moneo  Viros  Clarissimos. 

Possem  et  plerasquc  adjungerc  propositioncs  non  solum  celebcrri- 
mas,  sed  et  firmissimis  demonstrationibus  probalas;  exempli  causa  : 

Omnis  numerus  primus  qui  unitate  superat  (juatcrnarii  multipli- 
ccm,  est  compositus  ex  duobus  quadratis.  Hujusmodi  sunt  5,  i3,  17, 
29,  37,  41.  etc. 

Omnis  numerus  primus  qui  unitate  superat  Icrnarii  multiplicem,  est 
compositus  ex  quadrato  et  triplo  alterius  quadrati.  Taies  sunt  7,  i3, 
19,  3i,  37,  43,  etc. 

Omnis  numerus  primus  qui  vel  unitate  vel  tcrnario  superat  octo- 
narii  multiplicem,  componitur  ex  quadrato  et  duplo  alterius  quadrali. 

Taies  sunt  3,  1 1,  17,  19,  4i.  4^.  ^'l*^- 

Sed  et  praicedentcm  Baclieti  propositionem  generaiitcr  olim  Domino 

(  1  )  Leurcs  de  M''  Descartes,  éd.  Clcrselicr,  III,  66,  p.  365  :  «  Mais  pour  ceThcorcmc,  qui 
est  sans  doulo  l'un  des  plus  beaux  qu'on  |)uissc  trouver  touclianl  les  nombres,  je  n'en 
sçav  point  la  démonstration,  et  je  la  juf;c  si  difficile  (luo  je  n'ose  cnlrcprcndrc  de  la  clicr- 
clier.  »  (Lettre  à  Merscnne,  du  ■.',;  juillet  i038.)  Descartes  parle  du  tlicorème  général 
énoncé  dans  la  Lettre  do  Format  pour  Sainte-Croix  (ci-dessus  XII,  3)  et  rappelé  ci- 
après. 


kOk  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

de  Sainle-Croix  proposuimus  ('),  cjusquo  demonstrationcm  non  igno- 

ramus. 

Omnis  numerus  intcger  :  vel  est  triangulus  vel  ex  duobus  aiit  tribus 
triangulis  compositus;  est  quadratiis  vel  ex  duobus,  tribus  aut  (|iia- 
tuor  quadratis  compositus;  est  pentagonus  vel  ex  duobus,  tribus,  (|ua- 
luor  aut  quinque  pentagonis compositus;  esthexagonusvelex  duobus, 
tribus,  quatuor,  quinque  vcl  sex  hexagonis  compositus;  et  sic  uni- 
formi  in  infinitum  enuntiatione. 

3.  Haîc  omnia  et  alia  infinita  quœ  ad  numéros  intcgros  spectant, 
quseque  a  nobis  et  inventa  et  generaliter  dcmonstrata  sunt,  possemus 
et  proponere  Viris  Clarissimis  et,  proponendo,  negotium  saltem  ali- 
quod  ipsis  facessere.  Sed  ingenuitatem  gallicam  sapienl  magis  propo- 
sitiones  aliquot  quarum  demonstrationcm  a  nobis  ignorari  non  diUi- 
temur,  licet  de  earum  vcritate  nobis  constet. 

Meminimus  Arcbimedem  non  dedignatum  propositionibus  Cononis, 
veris  quidem,  sed  tamcn  indemonstratis,  ultimam  manum  imponere, 
earumque  veritatem  demonstrationibus  illis  subtilissimis  contirmare. 
Cur  igitur  simile  auxilium  a  Viris  Clarissimis  non  exspectem,  Conon 
sciiicet  Galiicus  ab  Archimedibus  Anglis? 

t"  Potestates  omnes  numeri  2,  quarum  exponentes  sunt  termini 
progressionis  geometricse  ejusdem  numeri  2,  unitate  auctae,  sunt  nu- 
meri primi  (-). 

Exponatur  progressio  geomctrica  2,  cum  suis  exponentibus  : 

1.  2.     3.       4-       5.       6.         7.         8. 

2.  4.     8.     16.     32.     64.     128.     2.56. 

Primus  terminus  2,  auctus  unitate,  facit  3,  qui  est  numerus  pri- 
mus. 

Sccundus  terminus  4,  auctus  unitate,  facit  j,  qui  est  pariter  nume- 
rus primus. 

(')  roir  Lenrc  XII,  3. 
(2)  A-o/r  Lettre  XLIll,  3. 


XCVI.  -  JUIN  1658.  405 

Quartus  terminus  iG,  auctus  unitato,  facit  17,  numerum  primiim. 

Octavus  terminus  256,  auctus  unitate,  facit  257,  numerum  primnni. 

Sume  gencralitcr  omnes  potestates  2,  quarum  cxponentcs  sunt  nii- 
meri  progrcssionis,  idem  accidet.  Nam,  si  sumas  deinde  decimum  sox- 
tuni  terminum,  qui  est  65536,  ilh;  auctus  faciet  65537,  numerum 
primum.  Hoc  pacto,  potest  dari  et  assignari  nulio  negotio  numerus 
primus  dato  quocumquc  numéro  major. 

Quivritur  demonstralio  illius  propositionis,  pulchrœ  sane,  sed  et 
verissimie,  cujus  ope,  ut  jam  diximus,  problema  alias  diiïiciilimum 
soivi  statini  potest  :  Dalo  quovis  numéro,  invenire  numerum  primum  dalo 
numéro  majorem.  Hujus  clavis  beneficio  reserabunt  Portasse  Viri  (]la- 
rissimi  mysterium  omne  de  numeris  primis,  hoc  est  :  Dato  numéro 
t/uons,  imenire  via  brevissima  et  facillima  an  sit  primus  vel  composilus. 

■2"  Deinde  :  Duplum  cujuslibet  numeri  primi  unitate  minoris  <[uam 
multiplex  octonarii,  componitur  ex  tribus  quadratis. 

Esto  quilibct  numerus  primus,  unitate  minor  quam  octonarii  multi- 
plex ut  sunt  7,  23,  3i,  47f  etc.;  eorum  duplex  est  i/(,  46,  62,  94  :  com- 
ponitur ex  tribus  quadratis. 

Propositioncm  illam  veram  asserimus,  sed  Cononis  modo,  nondum 
aut  asserentc  aut  demonstrantc  Archimede. 

3°  Si  duo  numeri  primi,  desinentes  aut  in  3  aut  in  7,  et  quatcrnarii 
multiplicem  ternario  superantes,  inter  se  ducantur,  productum  com- 
ponitur ex  quadrato  et  quintuplo  alterius  quadrati. 

Taies  sunt  numeri  3,  7,  23,  43,  47.  (^7.  ctc-  Sume  duos  ex  illis. 
exempli  gratia,  7  et  23;  quod  sub  iis  fit,  161,  componctur  ex  quadrato 
et  quintuplo  alterius  quadrati.  Nam  81,  quadratus,  et  quintuplum  16 
a>(|uantur  161. 

Id  verum  asserimus  generalitcr  et  demonstrationem  tantum  exspec- 
tamus.  Singulorum  autem  ex  ipsis  quadrati  componuntur  ex  quadrato 
et  quintuplo  alterius  quadrati  :  quod  et  demonstrandum  proponitur. 

4.  Sed  ne  demonstrationibus  nimium  fortassc  dccsse  videamur,  se- 
quentem  propositioncm  et  asserimus  et  possumusdcmonstrare. 


WG  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

Nullus  numcrus  triangulus,  practer  unitatem,  a^quatur  numéro  qua- 
(Iratoquadrato. 


Sint  trianguli,  ut  norint  omnes, 


10. 


21.     28.     36.     /i5- 


clc. 


Nullus  omnino,  fiicta  in  infinitum  progressione,  praîter  solam  uni- 
tatem, erit  quailratoquadratus. 

5.  Ne  autem  ad  numéros  integros  déficiente  Geometria  videamur  con- 
fugisse,  en  aliquot  propositiones  geometricas,  qua'  Angliam  invisere 
non  crubcscent.  Priores  duas  ex  restituta  a  nobis  Porismatum  Eucli- 
deorum  Geometria  excerpsimus. 

p]sto  semicirculus  ANB  {fig.  90)  super  diametro  Alî.  Bisecetur  in  N 

Fig.  90. 


semicircumferentia  ANB  et,  junctis  NA,  NB,  a  punctis  A  et  B  exci- 
tentur  perpendiculares  AD,  BC,  ipsis  AN,  NB  œquales.  Sumpto  quo- 
libet in  semicircumferentia  puncto,  ut  E,  junctis  rectis  DE,  EC  occur- 
rentibus  diametro  in  punctis  0  et  V,  aio  duo  quadrata  AV,  BO  simul 
sumpta  esse,  in  hoc  casu,  sequalia  quadrato  diametri  AB. 

Generalius  in  Tractatu  nostro  hoc  prohlema  aut  Iheorema  proponc- 
bamus,  sed  in  prœsens  spéciale  hoc  sufTicit  (  '  ). 

Esto  parabole  quasvis  AMC  i^fig-  91),  in  qua  sumantur  duo  qu?e- 
libet  puncta  A  et  B  et  diameter  qusevis  MN.  Sumatur  quodcumque 
aliud  punctum  in  parabole,  ut  G,  a  quo  ad  puncta  A  et  B  jungantur 

(')  Voir  Tome  I,  p.  8i  :  Porisma  quintum. 


XCVI.  -  JUIN  IG08. 


W7 


rcctœ  diametrum  sécantes.  In  eadcm  scmpcr  rationc  socahitnr  dia- 
meter.  Nam,  sumpto  alio  quovis  pnncto  D,  erit 

MO  ad  OV     ui     Ml  ad  IN, 

et  semper  similes  abscissa;  a  diametro  in  cadem  crnnt  rationc  ('  ). 

Fia'-  9'- 


Hsec  a  nobis  et  inventa  sunt  et  demonstrata,  quœ  àixot[3ata);  pro 
theorcmate  f'rusti  conici  ofTerimus  (^). 

6.  Sed  et  quœ  nondum  ex  omni  parte  compléta  sunt,  tentanda 
Anglis  proponerc  non  dubitamus. 

Datis  punctis,  rectis  aut  circulis,  invenire  parabolen  quae  pcr  data 
puncta  transeat  et  datas  rectas  aut  circulos  contingat. 

Dari  autem  quatuor  ex  istis  suHîcit.  Exempli  gratia  :  Datis  duobus 
punctis,  recta  et  circulo,  invenire  parabolen  qua;  per  data  puncta 
transeat  e(  rectam  circulumque  datos  contingat.  Unde  emergunt 
quindecim  problomala. 

In  ellipsi  aut  hyperbole  idem  proponalur;  sed  eo  casu  debent  dari 
(|uinque  aut  puncta  aut  rectse  autcirculi  aut  qutedam  ex  islis  numéro 
qninque,  et  inde  emergunt  21  problcmata. 

Nos  olim  in  Tractatu  De  contactibus  sphtcricis  similia  in  spha-ra 
expedivimus  et  tandem  féliciter  problema  sequens  construximus  : 
Datis  quatuor  spha;ris,  invenire  quartam  qua^  quatuor  datas  con- 
tingat (^).  Tractatum  integrum  pênes  Dominum  de  Carcavi  invenies. 

(')  f^oir  Tome  I,  p.  7'j  :  PorLsmn  secuiidum. 

(2)  Cubatiire  du  troue  de  cône  ol)liquc,  dans  la  lettre  XXIIl  du  Conimercium  cpistnlicum 
(de  Wallis  à  Digby,  le  4  mars  iG58,  v.  s.)- 
(')  Voir  Tome  I,  p.  69. 


408  (KUVHES  DE  FERMAT.—  CORRESPONDANCE. 

Moncinus  tantiim  Viros  Clarissimos  ut,  sepositis  tanlispcr  speciebus 
Analysées,  prohiemata  gcometrica  via  Euclidea  et  Apolloniana  ex- 
sequantur,  ne  pereat  paulatim  clegantia  et  consfruendi  et  demon- 
strandi,  cni  pra;cipue  operam  dédisse  vcteres  innuunt  salis  et  Data 
Euclidis  et  alii  a  Pappo  enuinerati  Analyseos  libri;  quos  omni  ex 
parle  jam  olim  supplevimus  dum  opcribus  Vietse,  Ghetaldi,  Snellii 
Traetatus  nostros  De  locis  planis,  De  locis  solidis  et  linearibus.  De 
Incis  ad  siiperiiciem,  et  De  porismatibiis  adjecimus  (')  :  quos  omnes 
habet  dictus  Dominus  de  Carcavi. 


XCVII. 
FERMAT  A  CLERSELIER. 

DIMANCHE   IG  JUIN    1658. 

(D.,  Iir,  48;  Bibl.  nat.  fr.  3280,  nouv.  acq.,  f"'  Oi-GS.) 

Monsieur, 

1.  Nous  laissâmes  dernièrement  la  balle  de  M.  Descartes  en  belle 
peine  (").  C'est  dans  la  figure  de  la  page  19  de  la  Dioptrique,  où  elle 
f'aisoit  tous  ses  efforts  pour  sortir  du  point  B  à  l'honneur  de  M.  Des- 
cartes; mais  elle  y  trouva  toutes  les  issues  fermées  en  suivant  le  rai- 
sonnement de  cet  auteur,  et  même  nous  ne  pouvons  lui  donner  pré- 
sentement de  secours,  si  nous  ne  faisons  changer  de  biais  à  sa  logique. 

Reprenons  la  figure  de  la  page  ij  {fig.  53)  et  supposons  que  la 
balle  qui  va  dans  la  droite  AB  diminue  sa  vitesse  par  moitié  en  arrivant 
au  point  B. 

Si  elle  continuoit  dans  le  même  milieu,  et  que  le  plan  CBE  ne  lui  fût 
point  opposé,  elle  iroit  toujours  en  ligne  droite  vers  D,  avec  cette  dif- 
férence pourtant  qu'elle  emploieroit  depuis  B  jusques  à  D  le  double 

(  '  )  Foir  Tome  I,  pages  3  ;  91  ;  m  ;  76. 
(2)  /^o(>- ci-dessus  la  fin  do  la  lettre  XCV. 


\CVI1.  —  IG  JUIN   1C5S.  409 

dii  Icmps  qu'elle  avoit  mis  depuis  A  jusques  à  B.  Mais  si,  en  suppo- 
sant la  mémo  diminution  de  vitesse  au  point  B,  nous  supposons  que 
le  plan  CBE  impénétrable  à  la  balle  se  trouve  maintenant  entre  deux 
et  empêche  que  la  balle  ne  passe  au  dessous,  je  dis  qu'elle  se  réflé- 
chira aussi  bien  à  angles  égaux  que  si  la  vitesse  et  le  mouvement 
dcmeuroit  le  même. 

Fi-r.  53. 


(^ar,  puisque  l'interposition  du  plan  n'empêche  que  l'une  des  parties 
dont  la  détermination  est  composée,  et  que  celle  de  gauche  à  droite 
reste  la  même,  donc  la  balle  avancera  autant  vers  la  droite  qu'elle 
eût  fiiit  au  dessous,  si  le  plan  n'eut  pas  empêché  sa  route.  Or,  si  le 
plan  CBE  ne  faisoit  point  d'obstacle,  la  balle,  qui  diminue  sa  vitesse 
par  moitié  au  point  B,  meltroit  le  double  du  temps  depuis  B  jusques 
à  I)  qu'elle  avoit  mis  depuis  A  jusques  à  B,  cl  lorsqu'elle  seroit  au 
point  U,  elle  auroit  avancé  vers  la  droite  jusques  en  E;  elle  mettroil 
donc  le  double  du  temps  à  s'avancer  depuis  B  jusques  à  E  qu'elle  avoit 
fait  à  s'avancer  depuis  C  jusques  à  B.  Et  il  y  a  même  raison  de  AB 
à  BC  que  de  BD  à  BE,  parce  que  les  angles  ABC,  DBE,  sur  les  deux 
droites  AD  et  CE,  sont  égaux,  et  par  conséquent  les  triangles  ABC. 
DBE  semblables. 

Nous  pouvons  faire  le  même  raisonnement  au  dessus,  si  du  point  E 
nous  élevons  la  perpendiculaire  EF,  et  dire  que,  lorsque  la  balle  sera 
à  un  des  points  de  la  circonférence,  comme  F,  elle  y  aura  mis  le 
double  du  temps  qu'elle  avoit  mis  depuis  A  jusques  à  B.  puisque  b- 
plan  que  nous  supposons  maintenant  entre  deux  ne  fait  rien  de  nou- 
veau qu'empêcher  la  détermination  de  haut  en  bas.  Et  partant,  la 
détermination  de  gauche  à  droite  sera  pour  lors  marquée  par  le  même 

Kemlit.  —  H.  52 


MO  ŒUVHES   DE  FEKMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

point  E,  et  par  conséquent,  comme  FB  à  KB,  ainsi  la  droite  AU 
sera  à  BC.  D'où  il  suit  que  les  angles  ABC,  FBE  seront  toujours  égaux 
tic  quelque  manière  et  en  quelque  proportion  que  la  vitesse  ou  le 
mouvement  changent. 

2.  Si  M.  Descartes  eût  pris  garde  qu'en  quelque  manière  que  lavitessc 
change  au  point  B,  la  réflexion  ne  laisse  pas  de  se  faire  à  angles  égaux, 
il  n'eut  pas  été  en  peine,  ni  ses  amis  non  plus,  de  tirer  la  halle  du 
point  B,  où  ils  l'ont  [vue]  malheureusement  engagée  dans  l'exemple 
de  ma  dernière  lettre.  Il  n'eût  pas  soutenu  que,  la  vitesse  venant  à 
changer  au  point  B,  la  halle  ne  reste  pas  d'avancer  vers  la  droite 
autant  qu'elle  faisoit  auparavant.  Il  n'eût  pas  déduit  d'un  fondement 
non  seulement  incertain,  mais  encore  faux,  sa  proportion  des  réfrac- 
tions, et  enfin  il  n'eût  pas  esquivé,  dans  la  figure  (')  de  la  page  19, 
de  déterminer  sous  quel  angle  la  halle  étant  au  point  B  se  réfléchit 
vers  le  point  L. 

Car,  quoiqu'il  paraisse,  par  son  discours  et  par  l'inspection  même 
de  la  figure,  qu'il  a  entendu  que  cette  réflexion  se  fait  à  angles  égaux, 
il  a  laissé  un  petit  scrupule  dans  l'esprit  des  lecteurs,  qui  peuvent 
raisonnahlement  douter  si,  dans  l'exemple  de  M.  Descartes,  la  halle 
diminue  sa  vitesse  au  point  B  ou  non.  Si  elle  la  diminue,  la  réflexion 
ne  se  pourroit  pas  faire  à  angles  égaux,  en  suivant  le  raisonnement  de 
-M.  Descartes.  Que  si  la  balle  ne  diminue  point  sa  vitesse  au  point  B,  y 
a-t-il  rien  de  plus  contraire  aux  lois  inviolables  de  la  pure  Géométrie, 
(|ui  ne  veut  point  qu'on  puisse  aller  d'une  extrême  à  l'autre  sans 
passer  par  tous  les  degrés  du  milieu? 

3.  Or,  M.  Descartes  et  ses  amis  soutiennent  que  la  halle,  qui  est 
poussée  sur  l'eau  ou  sur  la  toile,  diminue  sa  vitesse  également  en 
toutes  les  inclinations,  lorsqu'elle  la  traverse,  et  que  cette  diminution 
se  fait  dès  le  point  B.  Comment  donc  peut-on  concevoir  que,  dès  le 
premier  angle  où  elle  se  réfléchit,  sa  vitesse  ne  diminue  point  du  tout, 

(')  i'oir  fig.  89,  p.  4o<- 


\CVII.  -  IG  JUIN   1C58.  411' 

et  qu'il  n'en  puisse  pourtant  être  pris  aucun  plus  grand  auquel  elle  ne 
(liniinue  d'une  certaine  quantité  qui  soit  toujours  la  môme?  Ne  scroit-il 
pas  {)lus  géométrique  et  plus  naturel  de  soutenir,  dans  le  sentiment  de 
i\F.  Descartes,  que  la  diminution  de  la  vitesse  se  fait  inégalement,  que 
cette  diminution  est  la  plus  grande  de  toutes  en  la  chute  perpendi- 
culaire d'il  vers  B  et  qu'elle  se  rend  toujours  moindre  à  mesure  que 
les  inclinations  varient  jusqu'à  ce  qu'elle  devienne  nulle?  ce  que 
M.  Descartes  a  peut-être  cru  arriver  lorsqu'elle  se  réfléchit.  Mais, 
parce  que  nous  venons  de  prouver  que,  soit  que  la  vitesse  augmente 
ou  qu'elle  diminue  au  point  B,  la  réflexion  ne  reste  pas  de  se  faire  ii 
angles  égaux,  nous  ne  devons  pas  nous  mettre  en  peine  de  rechercher 
plus  soigneusement  la  conduite  secrète  dont  se  sert  la  nature  en  affoi- 
blissant  la  vitesse  de  la  balle  ou  également  ou  inégalement  à  mesure 
que  les  inclinations  viennent  à  changer. 

4.  Mais  que  deviendra  le  raisonnement  qui  se  doit  faire  au  dessous 
du  plan  CBE,  en  la  page  17,  par  exemple?  Il  sera  le  même  que  le  précé- 

Fi.'.  5G. 


dent  :  car,  que  la  vitesse  diminue  au  point  B  ou  par  la  rencontre  de  la 
(oile,  ou  par  quelque  autre  voie  qui  vienne  d'ailleurs,  c'est  tout  la 
même  chose.  Et  puisqu'en  la  ligure  de  la  page  17  la  balle  perce  la  toile 
et  qu'au  point  B  la  vitesse  diminue  par  moitié,  elle  ne  peut  jamais  avoir 
la  détermination  vers  la  droite  pareille  à  celle  qu'elle  auroil,  s'il  n'y 
avoit  point  de  toile  et  que  pourtant  la  vitesse  diminuât  par  moitié  au 
point  B,  (|u'en  continuant  toujours  sa  route  vers  la  droite  ABD. 


/d-2  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

Vous  répliquerez  :  Mais,  à  ce  compte-là,  la  détermination  de  haut 
on  bas  ne  changeroit  pas  non  plus  par  la  rencontre  de  la  toile.  Je 
l'avoue,  et  pour  oler  et  éclaircir  pleinement  cette  difficulté,  il  ne  faut 
(|ue  dire  que  vous  ne  tirerez  jamais  autre  chose  du  raisonnement  des 
mouvements  et  des  déterminations  composées  de  M.  Descartes,  sinon 
(|ue  la  réflexion  se  fait  toujours  ii  angles  égaux  et  que  la  pénétration 
(lu  second  milieu  se  doit  toujours  faire  en  ligne  droite.  A  quoi  même 
se  rapporte  ce  que  vous  dites  dans  votre  dernier  écrit  ('),  que  la  balle  a 
toujours  une  même  aisance  à  pénétrer  le  second  milieu  en  toutes  sortes 
d'inclinations;  d'où  il  doit  suivre,  dans  l'application  du  raisonnement 
deiVl.  Descartes,  qu'en  toute  sorte  de  cas  la  réflexion  se  fera  h  angles 
égaux,  et  que  la  pénétration  se  fera  de  même  en  tous  les  cas  en  ligne 
droite,  le  mouvement  du  dessous  en  ligne  droite  suivant  les  mêmes 
lois  et  répondant  justement  au  mouvement  du  dessus  à  angles  égaux. 

.Mais  il  n'y  aura  donc  point  de  réfraction?  me  direz-vous.  Je  réplique 
que  le  mouvement  de  la  balle  et  la  réfraction  ne  se  ressemblent  que 
par  la  comparaison  imaginaire  de  M.  Descartes,  et  qu'au  pis  aller,  si 
le  détour  de  la  balle  en  passant  par  le  second  milieu  est  véritable,  il 
eu  faut  chercher  la  raison  ailleurs  que  dans  la  composition  des  mouve- 
ments, qui  ne  produira  jamais  en  ce  rencontre  qu'un  cercle  dialec- 
tique. 

De  quelque  biais  que  vous  le  preniez,  il  faudra  examiner  les  prin- 
cipes secrets  dont  se  sert  la  nature  en  produisant  la  réfraction,  et  si 
celui  que  j'ai  touché  dans  ma  lettre  à  M.  de  la  (Chambre  (-)  ne  vous 
plaît  pas,  je  souhaite  qu'il  vous  en  vienne  de  meilleurs  dans  l'esprit, 
et  que  cette  vieille  dispute  aboutisse  enlin  à  la  pleine  et  entière  dé- 
couverte de  la  vérité. 

Je  suis  de  tout  mon  cœur.  Monsieur, 

Votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur, 

Fermât. 

(•)  Pièce  xr.iv,  15. 
(î)  LelLre  LXXXVI. 


XCVIH.  -  -21   JUILLET   ICiS.  4.13 

XCVIII. 
LALOUVÈRE  A  FERMAT  ('). 

21    JUILLET    1G58. 

ÀinpUsximn  Doniinn  de  Fermât  in  Supreina  Curia  Toloaana 
Scnatori  inlegerrimo. 

Doecin  mine  dics  sunt  (Sonator  intcgorrime)  cùm  priniùm  legi  ii  To 

milii  oblatam  nohilissimi  ot  doctissimi  Aiinnynii  lypis  cditain  Epis- 

(olaiii,   (jiui'  à  prœstanlissiniis  toto  Orhe  Geomelris  postulat  solutio/ictn 

quanuidain  proposilionitrn   circa  cycloidem   ejusque  centra    qravitatis. 

Ego  liccl,  nicai  tciuiilatis  inilii  pruhè  conscius,  norim  qiùiin  longo 

posl  inagnos  illos  viros  inlcrvallo  iii  Geomctrarum  qiialiumcuinqiic 

nuincro  lociiiii  toncaiii;  quia  (aiiu-ii  quid  de  ([luesitis  illis  in  niciitcni 

niilii  veiiircl  promcrc  à   Te  tune  jussus  sum,  inalui  tcmcritatis  quàni 

obsoquii  Tibi  non  pronipti  [)r;eslituli  noniine  accusari.  En  igitur  quas 

circa  probleinata  cjusmodi  medilatus  sum  viginti  omnino  proposi- 

tioncs.  Tu  qucin  omnes  Europai  Mathcinatici  uicriLo  suspiciunt,  si 

quid  poi'pcratn  scriptum  sit,  aut  si  quid  scriptis  desit,  cmonda  vol 

sup[)b>,    modo  tamen  judiciorum   })ublicorum   occupationcs  quibus 

longé  uLilius  dislincris,  id  patiantur.  Hâc  cmendationc  vol  ctiam  sup- 

plcmcnto  iidcns  nostcr  hic  libclius  prodibit  in  vnigus  intrepidi',  qua- 

proplor  Te  luijus  spei  plenus  adit,  ab  eo  nempe  missus  qui  pluribus 

nominibus  jamdiu  Tibi  est 

Addictus  ex  animo  servus 

An'tonius  Lalol'f.u.v  Socielatis  Jesu. 

Tolosano  in  Collegio  XII  Kal.  Aug.  lOJS. 

(  '  )  Dédicace  fie  l'opuscule  :  De  Cycloide  GalUcci  et  TorriccUii  l'mposuiones  viginli 
Autore  Antonio  Laloucra  Sociclatii  Jesu,  imprimé  à  Toulouse  eu  i058  (rarissime,  doul 
un  exemplaire  esl  conservé  liibl.  nat.;  Imprimés,  lléscrve  V,  83  j  A).  —  Reproduite  en 
tôle  du  premier  livre  de  l'Ouvrage  :  Vetcruin  Gcometria  promula  in  scptcin  de  Cjctoidc 
tibros,  public  par  Lalouvére  en  iGCo. 


klk  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

XCIX. 
CLKRSELIER  A  FERMAT. 

MERCREDI    21    AOUT    1G58. 

(D,  ni,  /|9.  DiM.  Xat.  fr.  3380,  nnOv.  ao<|.,  f-  fifi-77.) 

Monsieur, 

1.  Je  mo  trouve  aujourd'hui  plus  empêché  à  répondre  que  je  n'élois 
la  dernière  fois  :  aussi  avez-vous  changé  de  condition  et,  de  juge  que 
vous  étiez,  vous  êtes  devenu  partie.  Quand  je  n'avois  qu'il  défendre 
devant  vous  \;\  cause  de  M.  Descartes  contre  votre  sceptique,  je  ne  nn' 
promcttois  pas  un  succès  moins  favorable  que  celui  que  j'ai  eu  :  j'avois 
une  bonne  cause  à  défendre,  des  subtilités  ii  éclaircir,  et  un  juge  clair- 
voyant pour  m'cntcndre  et  prononcer.  Mais,  quand  je  vous  considère 
descendu  de  votre  siège  pour  vous  porter  vous-même  partie  contn; 
celui  que  je  défends,  le  respect  que  je  vous  dois  en  quelque  état  que 
vous  paroissiez,  la  grande  estime  que  j'ai  toujours  conçue  de  vous  et 
(|ui  s'augmente  en  moi  ii  mesure  que  vous  vous  faites  davantage  con- 
noitre,  et  le  peu  d'usage  que  j'ai  dans  la  matière  que  nous  agitons  ii 
(comparaison  de  celui  que  vous  vous  y  êtes  acquis,  tout  cela  m'étonne 
et  fait  que  je  ne  sais  encore  quelle  issue  me  promettre  de  tout  ce  dé- 
mêlé. 

.Te  vous  dirai  pourtant  d'abord  que,  si  je  voulois  agir  avec  moins  de 
i'ranchise  que  ne  m'oblige  l'honnête  procédé  que  vous  gardez  avec 
moi,  je  pourrois  user  d'une  exception  qui  paroîtroit  peut-être  légi- 
time et  reccvable,  en  vous  accordant  tout  ce  que  vous  dites  et  pré- 
tendant que  tout  cela  ne  fait  rien  contre  M.  Descartes  et  ne  combat  en 
aucune  façon  sa  doctrine  de  la  réflexion  et  des  réfractions. 

Car  je  veux  que  la  balle  de  la  figure  de  la  page  19  de  la  Dioptrique, 
selon  la  supposition  que  vous  faites  dans  votre  première  lettre  ('),  se 

i'j  /'()//■  Lettre  XCV,  p.  40  >• 


XCIX.  -  21  AOUT   1658.  41o 

trouve  empêchée  (comme  vous  dites  sans  doute  agréablement)  à  trou- 
ver quelque  issue  pour  prendre  sa  route;  et  je  veux  même  ([ue  le  pas- 
seport que  vous  lui  avez  donné  par  avance  dans  votre  seconde,  de  peur 
([ue  nous  n'eussions  pas  assez  de  crédit  pour  lui  en  fournir  un,  et  même 
<|ue  la  route  que  vous  avez  eu  la  honte  de  lui  marquer  en  cet  en- 
droit ('),  lui  fut  si  aisée  et  si  commode  qu'elle  ne  fil  point  difficulté  de 
la  suivre,  que  pourroit-on  conclure  de  lii  contre  M.  Descartes?  lequel 
n'ayant  apporté  en  ce  lieu-là  les  exemples  de  la  balle  que  pour  expli- 
(|uer  certains  efl'ets  particuliers  de  la  lumière,  à  savoir  celui  de  la 
réflexion  qui  se  fait  toujours  à  angles  égaux,  et  celui  de  la  réfraction 
qui  se  fait  toujours  de  même  sorte  dans  un  même  milieu  et  qui 
change  selon  la  proportion  qui  est  entre  le  milieu  d'où  elle  sort  cl 
celui  ou  elle  entre,  ce  qui  fait  que  tantôt  elle  s'approche  et  tantôt  elle 
s'éloigne  de  la  perpendiculaire  :  qui,  dis-je,  n'a  eu  aucune  occasion 
d'expliquer  le  cas  que  vous  proposez,  pource  qu'il  n'a  aucun  rapport  à 
son  dessein. 

2.  Il  n'y  en  avoit  que  trois  qui  y  pussent  servir,  et  il  les  a  tous  trois 
expliqués  et,  ii  mon  avis,  d'une  manière  si  claire  et  si  simple  qu'il  n'v 
a  que  ceux  qui  veulent  plus  que  lui  qui  y  trouvent  de  la  difficulté. 

Le  premier  cas,  qui  explique  la  réflexion,  est  celui  d'une  balle  qui, 
étant  poussée  suivant  la  ligne  AB,  rencontre  de  biais  dans  son  chemin 
un  corps  dur,  impénétrable  et  inébranlable.  Qu'y  a-t-il  de  plus  simple 
et  de  plus  clair  que  cette  balle,  qui  ne  perd  rien  de  sa  vitesse,  doit 
rejaillir  à  angles  égaux,  c'est-ii-dire  remonter  aussi  vite  qu'elle  est 
descendue  et  avancer  autant  qu'elle  faisoit  vers  le  coté  où  ce  corps  dur 
n'est  point  du  tout  opposé? 

Le  second,  qui  se  rapporte  à  la  réfraction  lorsqu'elle  s'éloigne  de  la 
perpendiculaire,  est  celui  de  la  même  balle  qui,  étant  poussée  comme 
dessus,  rencontre  aussi  de  biais  un  autre  milieu,  dans  lequel  elle 
pénètre  et  qui  lui  fait  perdre  une  partie  de  sa  vitesse.  Quoi  de  plus 
clair  et  de  plus  simple  que  de  dire  que  cette  balle,  ne  pouvant  plus 

(')  ^'<«>Lcllic  XC.VII,  1,  2. 


k\li  ŒUVRES  DK  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

aller  si  vite  qu'elle  faisoit,  doit  pourtant  conserver  la  détermination 
qu'elle  avoit  auparavant  à  avancer  vers  un  certain  coté,  à  laquelle  ce 
milieu  n'est  aucunement  opposé,  et  à  quoi  la  perte  qu'elle  a  souflertc 
en  sa  vitesse  ne  résiste  point  et  se  peut  accommoder?  Pourquoi  vou- 
loir (d)liger  celte  balle  à  taire  plus  qu'elle  ne  doit,  puisque  la  nature 
ne  lait  rien  en  vain? 

Enfin  le  troisième  cas,  qui  se  rapporte  à  la  réfraction  lorsqu'elle 
s'approche  de  la  perpendiculaire,  et  le  seul  qui  restoit  à  M.  Descartes 
à  éclaircir,  s'explique  heureusement  par  la  même  halle  qui,  étant 
poussée  comme  auparavant,  rencontre  aussi  de  biais  dans  son  chemin 
un  autre  milieu,  dans  lequel  elle  pénétre  avec  une  égale  facilité  de 
tous  côtés  et  qui  augmente  sa  vitesse  d'une  certaine  quantité.  Que 
peut-on  penser  de  plus  simple  et  de  plus  naturel  que  de  dire  que  celle 
halle,  devant  aller  plus  vite  (ju'elle  ne  faisoit  selon  (|U(dqu'une  de  ses 
directions,  n'avance  pourtant  ]ias  davantage  selon  celle  à  laquelle  ce 
corps,  par  qui  sa  vitesse  a  été  augmentée,  n'est  point  du  tout  op[)Osé? 

3.  Le  cas  que  vous  proposez  outre  cela  dans  votre  première  lellre  est 
superflu  et  ne  peut  servir  à  expliquer  aucun  de  ces  phénomènes  de  la 
lumii're.  Et,  par  conséquent,  il  n'est  ici  d'aucune  considération  et, 
quelque  inconvénient  qui  en  put  suivre,  cela  ne  pourroit  préjudicier  à 
ce  que  M.  Descartes  a  auparavant  prouvé,  et  par  quoi  il  a  expliqué  si 
intelligiblement  ces  elTets  merveilleux  de  la  lumière  (|ui  ne  laisse- 
roient  pas  d'èlre  vrais  et  tels  qu'il  les  a  démontrés,  quand  voire  sup- 
position seroit  difficile  à  expliquer  par  ses  principes,  ce  que  je  ne 
déscspi-re  pourtant  pas  de  faire,  et  quand  elle  se  devroit  expliquer 
suivant  les  vôtres,  ce  que  je  n'estime  pas. 

Mais,  pource  que  c'est  en  ceci  que  consiste  toute  noire  question,  il 
faut  que  j'éclaircisse  une  fois  un  point  qui  vous  semble  n'avoir  pas 
été  prouvé  par  M.  Descartes,  à  cause  que  sa  preuve  n'est  |)as  pure- 
ment géométrique,  mais  qu'elle  est  en  partie  fondée  sur  quel(|ues 
principes  de  la  nature  si  clairs  qu'ils  ne  demandent  aucune  expli- 
cation. 


XCTX.  -  21  AOUT  1658.  417 

4.  Ces  principes  sont  :  i°  que  chaque  chose  demeure  en  l'état 
qu'elle  est  pendant  que  rien  ne  la  change;  2°  que,  lorsque  deux  corps 
se  rencontrent  qui  ont  en  eux  des  modes  incompatibles,  il  se  doit  véri- 
tablement faire  quelque  changement  en  ces  modes  pour  les  rendre 
compatibles,  mais  que  ce  changement  est  toujours  le  moindre  qui 
puisse  être;  3°  qu'un  corps  ne  peut  résister  ou  causer  du  changement 
dans  un  autre  qu'en  tant  qu'il  lui  est  opposé. 

Ainsi  donc,  si  une  balle  se  meut  d'A  vers  B,  dans  la  figure  (')  de  la 
page  i5,  avec  une  certaine  vitesse,  elle  continuera  toujours  d'aller 
avec  la  même  vitesse  vers  ce  côté-l;i  si  rien  ne  la  change.  Mais  si  vous 
lui  opposez  le  corps  dur,  impénétrable  et  inébranlable  CBE,  pource  que 
les  modes  de  ces  deux  corps,  l'un  qui  veut  conduire  la  balle  vers  D  et 
l'autre  qui  s'oppose  à  cette  route,  mais  qui  ne  s'oppose  point  à  sa  vi- 
tesse, sont  incompatibles,  il  faut  qu'il  arrive  du  changement  en  un 
de  ces  modes,  mais  le  moindre  qui  puisse  être.  C'est  pourquoi  la  balle 
changera  de  détermination  et  gardera  sa  vitesse,  et  d'autant  que  le 
corps  CBE  n'est  opposé  qu'à  l'une  des  deux  déterminations  dont  il  est 
vrai  que  celle  de  la  balle  est  composée  eu  égard  au  corps  CBE  sur 
lequel  elle  tombe,  à  savoir  à  celle  qui  la  faisoit  descendre  et  non  point 
à  celle  de  gauche  à  droite;  ce  corps  ne  peut  apporter  de  changement 
qu'à  celle-là  et  non  point  à  l'autre,  à  laquelle  il  n'est  point  opposé. 
C'est  pourquoi  il  oblige  la  balle  à  remonter  et  la  laisse  continuer  à 
s'avancer  vers  la  droite  comme  elle  faisoit  auparavant  :  à  quoi  il  ne 
change  rien,  le  mode  de  son  corps  n'ayant  rien  d'incompatible  et  d'op- 
posé à  celui-là. 

II  ne  faut  plus  ajouter  à  ce  raisonnement  que  ce  qui  appartient  à  la 
Géométrie,  et  la  preuve  sera  achevée.  Si  vous  n'appelez  pas  cela 
preuve  démonstrative,  je  ne  sais  plus  de  quelles  raisons  il  se  faudra 
servir  pour  en  composer  une;  mais,  pour  moi,  je  me  contente  de  pa- 
reilles démonstrations. 

Or,  le  même  raisonnement  que  je  viens  de  faire  se  peut  accommoder 

(')  /V^.  53,  p.  409. 

n.  —  Fermât.  •*•* 


U8  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

à  la  figure  de  la  page  17  et  à  celle  de  la  page  19  et  à  tous  les  cas  qui  se 
peuvent  proposer,  et  je  n'y  vois  rien  de  différent  que  les  différentes 
suppositions  :  à  savoir  que  le  corps  CEE  tantôt  est  dur  et  tantôt  liquide, 
tantôt  pénétrabic  et  tantôt  impénétrable;  que  la  vitesse  tantôt  diminue, 
tantôt  augmente  et  tantôt  demeure  la  même;  et  que  la  balle  tantôt 
continue  de  descendre  et  tantôt  est  obligée  do  remonter,  et  même  que 
tantôt  on  peut  opposer  un  corps  au  cours  de  la  balle  et  tantôt  non. 

5.  Examinons  maintenant  ces  cas  l'un  après  l'autre  suivant  ces  prin- 
cipes, et  voyons  ce  qui  en  doit  arriver;  et  je  m'assure  que  l'on  ne  trou- 
vera point  que  la  chose  doive  aller  comme  vous  dites,  mais  bien 
comme  dit  M.  Descartes,  et  cela  répondra  en  même  temps  à  toutes  vos 
nouvelles  difficultés. 

Premièrement,  vous  dites  fort  bien,  au  commencement  de  votre 
seconde  lettre  ('),  que  si  l'on  suppose  que  la  balle  qui  va  dans  la  ligne 
droite  AB  diminue  sa  vitesse  par  moitié  en  arrivant  au  point  B,  elle  ira 
toujours  en  ligne  droite  vers  D,  si  elle  continue  d'aller  dans  le  même 
milieu  et  que  le  plan  CBE  ne  lui  soit  point  opposé  :  avec  cette  diffé- 
rence seulement,  qu'elle  emploiera  depuis  B  jusques  ii  D  le  double  du 
temps  qu'elle  avoit  mis  auparavant  depuis  A  jusques  à  B,  et  cela  à 
cause  qu'un  corps  doit  toujours  demeurer  dans  le  même  état  où  il  est 
ou  auquel  on  suppose  qu'il  soit,  si  rien  ne  le  change.  Or,  n'y  ayant 
rien  qui  change  en  la  balle  que  la  vitesse,  ni  rien  par  quoi  la  détermi- 
nation doive  être  altérée  plus  d'un  côté  que  d'un  autre,  tout  cela  fait 
qu'elle  doit  continuer  dans  la  même  ligne,  et  aller  seulement  moins 
vite  selon  cette  détermination  :  de  même  que,  lorsqu'un  corps  tombe 
perpendiculairement  de  l'air  dans  l'eau,  il  continue  d'aller  suivant  la 
ligne  perpendiculaire  et  va  seulement  d'autant  moins  vite  que  sa 
vitesse  est  diminuée  à  la  rencontre  de  l'eau. 

Si  pourtant  j'eusse  été  d'humeur  à  vouloir  chicaner  (ce  qui  ne 
m'arrivera  jamais  lorsque  j'aurai  affaire  à  une  personne  d'honneur  et 
de  mérite  comme  vous),  j'aurois  pu  nier  que  le  cas  que  vous  proposez 

(1)  LeUreXCVII. 


XCIX.   -  21  AOUT  1658.  419 

fût  concevable  et  admissible  :  à  savoir  qu'un  mobile,  sans  changer  de 
milieu,  puisse  tout  d'un  coup  passer  d'une  vitesse  à  une  autre  sans 
passer  par  les  degrés  d'entre  deux.  Ce  que  vous  dites  vous-même 
être  contraire  aux  lois  inviolables  de  la  pure  Géométrie  et  qui 
même  est  contraire  à  cette  loi  de  la  nature,  qui  est  que  chaque  corps 
continue  toujours  de  demeurer  dans  le  même  état  autant  qu'il  se 
peut,  et  que  jamais  il  ne  le  change  que  par  la  rencontre  des  autres.  Le 
moyen  donc  de  concevoir  qu'un  corps  puisse  tout  d'un  coup,  étant 
arrivé  au  point  B,  perdre  la  moitié  de  sa  vitesse,  lorsqu'il  ne  se  ren- 
contre rien  qui  la  lui  puisse  faire  perdre!  Mais  je  veux  bien  vous 
accorder  toutes  vos  suppositions  et  ne  vous  rien  nier,  que  ce  qui  ne 
se  pourra  absolument  admettre  à  moins  de  renverser  toutes  les  lois  de 
la  nature  et  toutes  les  notions  claires  et  simples  qui  sont  en  nous. 

6.  Passons  à  votre  seconde  supposition,  qui  est  à  mon  gré  une  des 
plus  adroites  que  l'on  pût  faire  en  ce  genre  et  dont  sans  doute  j'aurois 
eu  peine  d'apercevoir  la  subtilité,  n'étoit  qu'étant  accoutumé  à  suivre 
des  voies  fort  simples  dans  mes  raisonnements,  je  me  défie  de  tout  ce 
que  je  vois  qui  s'en  écarte. 

Vous  supposez  après  cela  que,  la  balle  perdant  comme  auparavant 
la  moitié  de  sa  vitesse  au  point  B,  le  plan  GBE  impénétrable  se  trouve 
entre  deux  et  empêche  que  la  balle  ne  passe  au-dessous;  et  vous  dites 
que  la  balle  réfléchira  aussi  bien  à  angles  égaux  que  si  la  vitesse  ou  le 
mouvement  demeuroit  le  même.  Et  certainement  je  confesse  que  vous 
le  prouvez  d'une  manière  la  plus  ingénieuse  qu'il  est  possible;  mais 
permettez-moi  aussi  de  vous  dire  qu'elle  est  captieuse  et  souffrez  que 
je  vous  fasse  voir  en  quoi  je  pense  que  vous  vous  êtes  mépris. 

Quand  en  l'exemple  ci-dessus  je  suis  demeuré  d'accord  que  la  balle, 
perdant  au  point  B  la  moitié  de  sa  vitesse,  ne  laissoit  pas  de  continuer 
son  chemin  suivant  la  ligne  BD,  avec  cette  seule  différence  qu'elle 
alloit  de  moitié  moins  vite,  c'a  été  pource  que,  ne  changeant  point  de 
milieu  et  aucun  plan  ne  lui  étant  opposé,  on  ne  pouvoit  pas  dire  que 
la  détermination  de  la  balle  suivant  la  ligne  AB  fût  composée  de  deux 


420  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

déterminations,  non  plus  que  lorsqu'une  balle  tombe  perpendiculai- 
rement sur  un  plan.  Mais  ici,  où  vous  supposez  que  le  plan  CBE  lui  est 
opposé,  il  est  certain  qu'à  son  égard  la  détermination  de  la  balle  sur 
la  route  AB  est  composée  de  deux  déterminations,  l'une  qui  la  fait 
descendre  vers  lui,  et  l'autre  qui  la  fait  avancer  vers  la  droite  ou 
horizontalement,  et  que  le  plan  s'oppose  à  celle-là  et  non  point  à 
celle-ci. 

7-  Maintenant,  de  deux  choses  l'une  :  ou  vous  supposez  qu'après  que 
la  balle  est  venue  avec  deux  degrés  de  vitesse,  par  exemple,  depuis  A 
jusques  à  B,  étant  au  point  B  elle  rencontre  le  plan  CBE  qui  lui  fait 
perdre  la  moitié  de  sa  vitesse;  ou  bien  vous  supposez  que,  sans  que  ce 
plan  y  contribue,  ayant  perdu  la  moitié  de  sa  vitesse  au  point  B,  elle 
rencontre  le  plan  CBE.  Et  si  j'ai  bien  compris  le  sens  de  votre  seconde 
lettre,  c'est  principalement  à  ce  dernier  cas  qu'elle  se  rapporte;  mais 
remarquez  encore  ici  en  passant  que  je  vous  accorde  plus  que  je  ne 
devrois  :  car  le  moyen  de  concevoir  qu'une  balle  perde  la  moitié  de 
sa  vitesse  au  point  B,  sans  la  rencontre  d'aucun  corps  qui  la  lui  puisse 
faire  perdre  ! 

8.  Au  premier  cas,  il  est  aisé  de  voir  qu'il  ne  faut,  comme  vous  avez 
fait  dans  votre  première  lettre  ('),  que  transférer  le  raisonnement  de 
la  figure  de  la  page  17  au  dessus  du  plan,  et  dire  que,  puisque  la  balle 
ne  perd  rien  du  tout  de  la  détermination  qu'elle  avoit  à  avancer  vers 
la  droite,  elle  doit  (toutes,  les  autres  conditions  étant  gardées)  arriver 
au  point  0,  ainsi  que  vous  avez  fort  bien  remarqué.  C'est  pourquoi  je 
n'aurois  garde  de  dire,  comme  vous  faites  :  «  Pourquoi  de  grâce  le 
raisonnement  de  M.  Descartes  conclura-t-il  au-dessous,  s'il  ne  conclut 
pas  au-dessus?  Ce  qui  est  démonstration  en  un  cas  deviendra -t- il 
paralogisme  en  l'autre?  »  Non  sans  doute  :  l'un  et  l'autre  conclut 
également  bien. 

9-  Au  second  cas,  la  balle  peut  suivre  la  route  que  vous  avez  mar- 
(>)  Lettre  XGV,  p.  400. 


XCIX.  -  21    AOUT  1638.  421 

quée  dans  votre  seconde  lettre  ('  ),  et  réfléchir  toujours  à  angles  égaux, 
de  quelque  manière  et  en  quelque  proportion  que  la  vitesse  ou  le  mou- 
vement change  au  point  B  :  mais  non  pas  à  la  vérité  par  la  raison  que 
vous  dites.  Car  la  même  proportion  ne  doit  pas  être  gardée  par  unt- 
balle  qui,  rencontrant  de  biais  un  plan  impénétrable,  est  obligé(î  de 
réfléchir,  que  celle  qui  est  gardée  par  une  autre  balle  que  l'on  sup- 
pose nen  point  rencontrer,  et  qui  doit  suivre  les  mêmes  lois  quf 
celle  qui  en  rencontre  perpendiculairement,  à  cause  qu'une  balle  qui 
ne  rencontre  aucun  plan  n'a  qu'une  seule  détermination  :  elle  ne  va  ni 
à  gauche  ni  à  droite,  au  lieu  qu'une  balle  qui  tombe  de  biais  sur  un 
plan  Y  va  toujours  avec  deux  déterminations,  à  l'une  desquelles  ce 
plan  est  opposé  et  à  l'autre  non  :  et  cette  circonstance  en  doit  changer 
l'effet,  selon  les  principes  ci-devant  posés. 

Fig.  53. 


A 

/               H               \ 

F 

A 

\ 

^ 

\ 

C                 B 

\              B 

// 

D 

K 

Mais  voici  comme  la  balle  peut  suivre  la  route  que  vous  avez  mar- 
quée, et  réfléchir  ii  angles  égaux  :  à  savoir  il  faut  supposer  que  la  balle, 
étant  au  point  B  et  ayant  perdu  la  moitié  de  sa  vitesse  (ou  telle  autre 
quantité  qu'il  vous  plaira),  commence  à  ce  point  B  ii  suivre  la  route 
qu'elle  suivroit,  si  elle  avoit  commencé  à  se  mouvoir  à  ce  point-là  avec 
la  vitesse  qui  lui  reste.  Or  il  est  constant  que  si,  sans  avoir  égard  à  la 
ligne  AB  qu'elle  a  parcourue  avec  deux  degrés  de  vitesse,  ellecom- 
mençoit  à  se  mouvoir  en  B,  avec  la  vitesse  qu'on  suppose  qui  lui  reste 
et  [suivant]  la  direction  qu'elle  a  véritablement  au  point  B,  elle  iroit 
vers  D  avec  un  degré  de  vitesse  [et  y  arriveroit]  en  deux  fois  autant  de 
temps  qu'il  lui  en  a  fallu  pour  venir  d'A  en  B,  si  rien  ne  s'opposoit  l\ 

(')  To/r  Lettre  XCVII,  1. 


422  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

son  mouvement.  Et  si,  au  lieu  do  lui  opposer  le  plan  impénétrable  et 
inébranlable  CBK  au  point  B,  on  le  lui  opposoit  au  point  D,  il  est  évi- 
dent, par  ce  que  nous  avons  dit  ci-dessus,  que  ce  plan  l'empêchant 
seulement  de  passer  outre  et  non  point  d'avancer  vers  la  droite,  et  ne 
diminuant  ni  n'augmentant  la  vitesse  avec  laquelle  elle  seroit  venue 
vers  lui  depuis  B,  elle  rcjailliroit  vers  g  et  feroit  un  angle  de  réflexion 
gDK  égal  il  celui  d'incidence  BDG,  lequel  se  trouveroit  égal  à  celui 
de  la  première  incidence  ABC.  Or  est-il  qu'il  doit  arriver  au  point  B  le 
même  changement  en  la  détermination  de  la  balle  que  celui  qui  arrive- 
roit  au  point  D  si  le  plan  CBE  lui  étoit  opposé  en  ce  point-là,  puisque 
dès  le  point  B  la  balle  a  toute  la  même  vitesse  et  la  même  détermina- 
tion qu'elle  auroit  au  point  D  après  avoir  parcouru  la  ligne  BD. 

10.  Et  partant,  la  balle,  selon  votre  supposition,  doit,  au  point  B, 
rejaillir  suivant  un  angle  égal  a  celui  d'incidence  :  non  point,  comme 
j'ai  dit,  par  la  raison  que  vous  dites,  car  il  n'est  pas  vrai  que,  l'inter- 
position du  plan  CBE  n'empêchant  que  l'une  des  parties  dont  la  dé- 
termination est  composée,  celle  de  gauche  à  droite  reste  la  même 
qu'elle  étoit  quand  la  balle  n'avoit  aucun  plan  qui  lui  fût  opposé; 
car,  en  ce  dernier  cas,  la  balle  n'avoit  qu'une  détermination,  et  l'on  ne 
])eut  pas  dire  qu'elle  avançoitvers  la  droite.  C'est  pourquoi  la  conclu- 
sion que  vous  en  tirez  n'est  pas  non  plus  véritable. 

Donc,  dites-vous,  la  balle  a  dû  avancer  autant  au-dessus  vers  la 
droite  qu'elle  eût  fait  au-dessous  si  le  plan  n'eût  pas  empêché  sa 
route;  et  comme,  lorsqu'elle  seroit  au  point  D  au-dessous,  elle  auroit 
avancé  en  deux  moments  vers  la  droite  depuis  B  jusques  en  E,  de  même 
aussi,  pour  avancer  en  deux  moments  autant  au-dessus  vers  la  droite, 
elle  doit  aller  au  point  F  qui  est  autant  avancé  vers  la  droite  que  le 
point  D,  et  qui  coupe  le  cercle  au-dessus  en  même  proportion  que  D 
le  coupe  au-dessous,  et  fait  un  angle  de  réflexion  égal  ii  celui  d'inci- 
dence. Car  toute  cette  proportion  de  gauche  ii  droite  que  vous  dites 
devoir  être  gardée  au-dessus  comme  elle  eût  été  au-dessous,  si  le  plan 
CBP]  n'eût  pas  empêché  sa  route,  n'est  qu'une  proportion  imaginaire, 


XCIX.  —  21  AOUT  1658.  4-23 

puisqu'au-dossous,  quand  il  n'y  a  aucun  plan  inlcrposé,  la  balle  n'ti 
aucune  direction  vers  la  droite,  cette  direction  ou  détermination  vers 
la  droite  étant  toujours  relative  au  plan  qu'on  lui  interpose.  Et  par 
exemple,  si  le  plan  CBE  lui  eût  été  opposé  d'un  autre  sens  comme  en 
cette  figure,  où  seroit  tout  votre  raisonnement  vers  la  droite?  Mais  cela 
doit  arriver  dans  votre  supposition  même  et  dans  toule  autre,  par  la 

Fig   92. 


raison  que  j'ai  dite,  qui  est  conforme  aux  lois  de  la  nature  et  aux  prin- 
cipes ci-devant  établis. 


11-  Pour  éclaircir  encore  ceci  davantage,  supposons  pour  troisième 
cas,  comme  a  fait  M.  Descartes  à  la  fin  de  la  page  19  de  la  Diopirique('), 
que  la  balle,  ayant  été  premièrement  poussée  d'A  vers  13,  rencontre  au 
point  B  le  plan  CBE  qui  augmente  la  force  de  son  mouvement  ou  sa 
vitesse  d'un  tiers,  en  sorte  qu'elle  puisse  faire  par  après  autant  de 
cbcmin  en  deux  moments  qu'elle  en  faisoit  en  trois  auparavant.  Et  il 

Fig.  ç)3. 


suit  manifestement  qu'elle  doit  rejaillir  en  F,  puisque  la  déterminal 


ion 


(I)  Mais  faisons  encore  ici  une  auire  supposilion  et  pensons  que  la  balle  ayanl  été 
premièrement  jioussced'A  vers  B  esl  poussée  de  rechef  étant  au  point  B  par  la  raquette 
(".BE,  qui  augmente  la  force  de  son  mouvement,  par  exemple,  d'un  tiers,  en  sorte  qu'elle 
l)uisse  faire  par  après  autant  de  chemin  en  deux  moments  qu'elle  en  faisait  en  trois  aupa- 
ravant. (La  Dinptriqiw,  p.  19-20). 


424.  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

Vers  la  droite  ne  peut  être  augmentée  par  le  plan  CBE  à  laquelle  il  n'est 
aucunement  opposé  :  et  non  pas  en  K,  comme  elle  devroit  faire,  si 
votre  raisonnement  étoit  véritable,  mais  qui  ne  le  peut  être,  puisqu'il 
est  contraire  aux  lois  de  la  nature  et  même  contre  l'expérience,  qui 
nous  montre  que  la  réflexion  d'une  balle  et  celle  des  autres  semblables 
corps,  qui  ne  sont  pas  parfaitement  durs  ou  qui  tombent  sur  d'autres 
qui  alToiblissent  leur  mouvement,  ne  se  fait  jamais  à  angles  égaux. 
Ainsi  les  balles  les  plus  molles  ne  rebondissent  pas  si  haut  ni  ne  font 
pas  des  angles  [de  réflexion  |  si  grands  que  celles  qui  sont  plus  dures. 
Et  remarquez  que,  puisqu'il  est  naturellement  aisé  de  concevoir 
que,  pour  fain^  que  la  réflexion  se  fasse  à  angles  égaux,  le  mouvement 
ne  doit  en  aucune  façon  être  augmenté  ni  diminué  par  la  rencontre  du 
plan,  il  semble  que  la  raison  nous  doive  aussi  naturellement  porter  à 
croire  que,  lorsque  ce  plan  l'augmente  ou  la  diminue,  l'angle  de  ré- 
flexion doit  être  à  proportion  ou  plus  grand  ou  plus  petit  que  celui 
d'incidence,  et  non  pas  qu'il  doive  toujours  être  égal,  comme  il  suit 
de  votre  raisonnement  qui  pour  cela  vous  doit  être  suspect,  quoiqu'il 
soit  très  ingénieux. 

12.  Mais,  me  direz-vous,  que  deviendra  donc  la  balle  dans  la  suppo- 
sition que  j'ai  faite  à  la  fin  de  ma  première  lettre  ('),  à  l'occasion  de 
la  figure  de  la  page  19?  car  c'est  ici  le  point  de  la  difficulté,  et  enfin  il 


Fig. 

89. 

H 

A 

\ 

F 

( 

\ 

:            B 

•.., 

l 

E 

^--„_G 

. 

^ 

la  faut  tirer  de  ce  point  fatal  où  elle  paroît  malheureusement  engagée. 
C'est  aussi   ce  que  je   prétends    faire  maintenant,    à  l'honneur  de 


(')  Lettre  XCV,  4. 


XCIX.  —  21   AOUT   IG08.  125 

M.  Doscartesetsans  faire  changer  de  biais  à  sa  logique,  en  me  servant, 
dans  le  cas  que  vous  proposez  ici,  du  même  raisonnement  dont  je  me 
suis  déjà  servi  quand  j'ai  passé  à  votre  seconde  supposition. 

Si  donc  la  balle,  étant  arrivée  au  point  B,  rencontre  de  biais  le  plan 
dur,  impénétrable  et  inébranlable  [CBEJ,  et  qu'elle  perde  à  ce  point  R 
une  telle  partie  de  sa  vitesse  que  la  ligne  FK,  étant  tirée  comme  aux 
exemples  précédents,  soit  hors  du  cercle  AD,  je  dis  que  :  ou  vous  en- 
tendez que  le  plan  CBE  contribue  à  la  perte  de  sa  vitesse,  ou  vous  en- 
tendez qu'il  n'y  contribue  rien. 

S'il  n'y  contribue  rien,  on  ne  peut  pas  concevoir  autre  chose  sinon 
(|ue  la  balle,  après  avoir  perdu  les  deux  tiers,  par  exemple,  de  sa 
vitesse,  et  ayant  dans  cet  état  une  direction  déterminée  à  aller  vers  D 
en  un  certain  temps,  à  proportion  de  la  force  ou  de  la  vitesse  qui  lui 
rest(\  et  par  conséquent  d'avancer  aussi  suivant  cette  force  d'une  cer- 
taine quantité  vers  la  droite  à  l'égard  du  plan  CBE  qu'on  lui  oppose, 
lequel  pourtant  n'est  point  opposé  à  cette  direction  vers  la  droite,  elle 
doit  rejaillir  étant  au  point  B  comme  elle  feroit  au  point  n,  ainsi  (|ue 
j'ai  dit  ci-dessus.  Et  voilà  la  route  que  je  lui  aurois  marquée,  qui  se 
trouve  conforme  ii  la  votre,  mais  par  une  autre  raison  qui  ne  m'oblige 
[loinl  à  changer  de  logique. 

î\Iais  remarquez  que  cette  sup[»osition  même  est  impossible,  qu'une 
balle  perde  les  deux  tiers  de  sa  vitesse  sans  la  rencontre  d'aucun  corps 
(jui  la  lui  puisse  faire  j)erdre. 

Que  si  niainlciiant  le  corps  CBE  contribue  à  la  [lerte  de  la  vitesse, 
cela  ne  se  peut  faire  en  supposant  le  corps  CBE  parfaitement  dur,  im- 
pénétrable et  inébranlable.  Car  le  mouvement  de  la  balle  ne  peut  être 
diminué  par  la  rencontre  d'un  corps,  qu'en  tant  que  la  balle  lui  trans- 
porte d(>  son  mouvement;  et  si  elle  lui  en  transporte,  C(da  ne  se  [)eul 
faite  (|ue  du  sens  anqu(d  le  corps  CBE  lui  est  opposé  et  par  consé{|nenl 
elle  ne  lui  peut  transporter  de  son  mouvement  que  selon  cette  partie 
de  sa  direction  qui  la  fait  tendre  vers  lui,  et  jamais  la  lencotiire  du 
corps  CBE  (qne  l'on  doit  supposer  parfaitement  uni  )  ne  peut  diminuer 
sa  direction  vers  la  droite  ou  parallèle.  Or  il  est  aisé  de  conclure  que, 
Iermat.  —  w.  54 


WG  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

si  la  balle  au  poiiU  B  a  transporté  au  corps  CB1<]  tout  le  mouvement  qui 
la  faisoit  tendre  en  bas,  elle  doit  continuer  son  mouvement  parallèle 
et  r(uiler  sur  lui  eu  avançant  autant  vers  la  droite  qu'elle  faisoit  aupa- 
ravanl. 

13.  Que  si,  nonobstant  cela,  vous  voulez  contre  toute  raison  faire 
cette  supposition  impossible,  qu'elle  perde  une  telle  partie  de  sa  vi- 
tesse au  point  B  qu'elle  ne  puisse  plus  avancer  autant  vers  la  droite 
qu'elle  faisoit  auparavant,  et  par  conséquent  qu'elle  ait  aussi  perdu 
une  partie  du  mouvement  qui  la  faisoit  avancer  vers  la  droite,  alors 
je  vous  dirai  qu'elle  roulera  sur  le  diamètre  avec  la  vitesse  qui  lui 
reste,  tout  de  même  que,  lorsque  vous  supposez  que  sans  rencontrer 
aucun  plan  elle  vient  à  perdre  de  sa  vitesse,  elle  doit  continuer  son 
cbemin  dans  la  même  ligne  droite  qu'elle  avoit  commencé  à  parcourir. 
Va  ainsi  il  arrivera  le  même  à  cette  balle  que  si,  ayant  été  mue  avec 
une  certaine  vitesse  le  long  du  j)lan  CBE,  il  arrivoit  qu'étant  au  point  B 
(par  une  supposition  impossible  et  sans  aucune  cause),  elle  vînt  à 
jterdre  une  partie  de  sa  vitesse  :  elle  conlinueroit  son  cbemin  sur  le 
même  plan  avec  la  vitesse  qui  lui  resteroit. 

Mais  remarquez  que,  pour  trouver  quelque  cbose  de  défectueux  aux 
raisonnements  de  M.  Descartes,  il  eu  faut  venir  à  des  suppositions 
impossibles,  et  partant  ce  ne  seroit  pas  merveille  quand  d'une  impos- 
sibilité posée  il  s'ensuivroit  une  absurdité. 

14.  Par  tout  ce  que  dessus,  il  paroit  que  tout  ce  que  vous  dites  dans 
votre  seconde  lettre  (')  tombe  de  soi-même  et  n'a  pas  besoin  de  ré- 
[)onse  :  à  savoir  que,  «  si  M.  Descartes  eût  pris  garde  qu'en  quelque 
manière  que  la  vitesse  cbange  »,  c'est-à-dire  augmente  ou  diminue 
»  au  point  B,  la  réflexion  ne  laisse  pas  de  se  faire  à  angles  égaux,  il 
n'eût  pas  été  en  peine,  ni  ses  amis  non  plus,  de  tirer  la  balle  du  point  B 
où  ils  l'ont  [vue]  malheureusement  engagée  dans  l'exemple  de  ma  der- 
nière lettre.  Il  n'eût  pas  soutenu  que,  la  vitesse  venant  à  changer  au 

(')  KoiVLeUre  XCVll,  2. 


XCIX.  -  21    AOUT  IC58.  427 

point  B,  la  balle  ne  reste  pas  d'avancer  vers  la  droite  autant  qu'elle 
faisoit  auparavant  et  n'eut  pas  déduit,  d'un  fondement  non  seulement 
incertain,  mais  encore  faux,  sa  proportion  des  réfractions  ». 

Tout  cela,  dis-je,  n'étant  plus  appuyé  d'aucunes  raisons  valables,  se 
détruit  de  soi-même,  aussi  bien  que  ce  que  vous  ajoutez  à  la  fin  de  la 
même  lettre  (  '  )  :  à  savoir  que,  le  second  milieu  se  pouvant,  comme  j'ai 
dit,  ouvrir  avec  une  égale  facilité  de  tous  cotés  pour  faire  passage  à  la 
balle,  et  que  la  balle  ayant  toujours  une  même  aisance  à  pénétrer  le 
second  milieu  en  toutes  sortes  d'inclinaisons,  il  doit  suivre,  dites-vous, 
«  dans  l'application  du  raisonnement  de  M.  Descaries,  qu'en  toute 
sorte  de  cas  la  réflexion  se  fera  ii  angles  égaux  et  que  la  pénétration  se 
fera  de  même  en  tous  les  cas  en  ligne  droite,  le  mouvement  de  dessous 
en  ligne  droite  suivant  les  mêmes  lois  et  répondant  justement  au  mou- 
vement de  dessus  ii  angles  égaux  ». 

15.  Car,  si  je  me  suis  assez  bien  fait  entendre,  vous  devez  maintenant 
tirer  d'autres  conclusions  que  celles-là  des  principes  de  M.  Descartes  et 
devez  aussi,  si  je  ne  me  trompe  moi-même,  avoir  reconnu  l'erreur  du 
raisonnement  duquel  vous  les  aviez  tirées.  Et  partant  ne  dites  plus  que 
le  mouvement  de  la  balle  et  la  réfraction  ne  se  ressemblent  que  par  la 
comparaison  imaginaire  de  M.  Descartes;  car  c'est  peut-être  la  plus 
juste  et  la  plus  claire  que  l'on  puisse  apporter  pour  l'expliquer.  Mais, 
pour  cela,  il  faut  considérer  la  balle  sans  pesanteur,  sans  grosseur,  sans 
figure  et  sans  changement  en  sa  vitesse  dans  toutes  les  lignes  qu'elle 
parcourt  :  toutes  lesquelles  choses  peuvent  causer  une  infinité  de 
variétés  dans  la  réflexion  et  la  réfraction  d'une  balle,  mais,  pourcc 
qu'elles  n'ont  point  de  lieu  en  l'action  de  la  lumière  [à  laquelle  se 
doit  rapporter  tout  ce  qu'il  dit],  M.  Descartes  ne  les  a  point  considérées 
dans  le  mouvement  de  cette  balle  dont  il  parle. 

Et  principalement  il  n'a  point  considéré  cette  circonstance  que  je 
vous  prie  de  remarquer,  qui  est  la  plus  commune  et  qui  peut  donner 
le  plus  d'occasion  de  douter  de  ce  qu'a  dit  M.  Descartes  :  c'est  ii  savoir 

(•)  ro/r  I^eUrc  XCVII,  4. 


V28  ŒUVRES  DE  FERMxVT.  -  CORRESPONDANCE. 

(|U(>,  il'autant  quo  le  milieu  que  parcourt  une  balle  lui  ùte  pour  l'ordi- 
naire à  tous  moments  une  partie  de  sa  vitesse  par  le  transport  qu'elle 
lui  en  fait,  de  là  arrive  qu'une  balle  peut  avoir  perdu  au  point  de  la 
rédexioM  la  moitié  (ou  plus  ou  moins)  de  la  vitesse  qu'elle  avoit  au 
commencement,  et  qu'elle  ne  laissera  pas  de  réflécbir  à  angles  égaux, 
il  cause  (ju'aii  monient  qu'elle  vient  à  toucher  le  plan,  sa  vitesse  a  déjà 
été  diminuée  par  le  milieu  qu'elle  a  parcouru,  et  que  la  direction 
(|M'elle  a  abirs  uc  laisse  pas  de  la  déterminer  d'aller  suivant  la  même 
ligne  où  sa  première  direction  la  portoit  quand  elle  est  sortie  de  la 
main  ou  de  dessus  la  raquette,  pourvu  que  sa  [lesanteur  ou  sa  grosseur 
nu  sa  figure  n'aient  rien  changé  en  cela. 

16.  (le  ([ue  je  dis  de  la  vitesse,  quand  le  milieu  la  diminue,  se  doit 
aussi  entendre  quand  elle  est  augmentée  à  tous  moments  par  sa  pesan- 
teur :  comme,  lorsqu'une  balle  tombe  le  long  d'un  plan  incliné,  elle 
rejaillira  aussi  alois  à  angles  égaux,  encore  que  sa  vitesse  se  trnuve 
augmentée  au  point  de  la  réflexion  :  et  cela  par  la  même  raison,  à 
savoir  que  cette  augmentation  ne  lui  vient  pas  du  plan,  mais  qu'elle 
l'avoit  avant  que  de  le  rencontrer. 

Ktainsi  vous  vovez  combien  les  principes  de  M.  Descartes  sont  fermes 
et  ses  raisonnements  bien  suivis;  ce  qui  montre  que  la  véritable  raison 
des  réfractions  se  doit  tirer  du  mouvement  et  des  déterminations  com- 
posées, en  les  examinant  comme  M.  Descartes  a  fait.  Et  sans  mentir, 
M.  Descartes  étoit  un  homme  de  trop  bon  sens  et  ([ui  prenoit  garde 
de  trop  près  aux  choses,  pour  tomber  dans  des  fautes  ou  visibles  ou 
grossières  ;  et  il  me  semble  qu'il  nous  a  donné  sujet  d'avoir  assez  bonne 
opinion  de  lui  pour  croire  plutôt  que  nous  nous  méprenons  en  ne 
comprenant  pas  son  sens  et  ses  raisons  que  non  pas  de  croire  qu'il  se 
soit  trompé,  au  moins  quand  l'erreur  où  nous  croyons  qu'il  soit  tombé 
est  apparente  et  grossière. 

17.  J'ajouterai  seulement  que,  puisque  les  diverses  expériences  qu'a 
faites  ici  M.  Petit  (que  vous  connoissez)  en  toutes  sortes  de  corps 


XCIX.  —  21    AOUT    1658.  V2!) 

Iiiinspaivnts  s'accordent  loutes  avec  la  jn'oportion  que  M.  Descartes  a 
trouvée,  il  est  aussi  à  croire  que  les  raisons  qui  la  lui  ont  fait  trouver  sont 
véritables  :  car  le  moyen  d'arriver  en  tant  de  dillérenls  cas  si  justement 
au  vrai  par  un  même  raisonnement,  si  ce  raisonnement  étoit  faux! 

Que  si,  après  tout  cela,  vous  ne  voulez  pas  admettre  les  conclusions 
que  j'ai  tirées  des  principes  (jue  M.  Descartes  a  établis,  recevez  au 
moins  pour  vraies  les  conclusions  de  cette  lettre  et  croyez  que,  si  mes 
raisonnements  sont  fautifs,  les  protestations  de  mon  cœur  sont  sincères 
(juand  je  v<uis  assure  que  je  veux  être  etc. 


:$0  ŒUVUliS   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


ANNEE    1659. 


c. 

FERMAT  A  CARCAVI  ('). 

DIMANCHE    1(j    FÉVRIER     1C59. 

(CEiii'res  lie  Pascal,  IV,  |i.  '|'|f^.  lîilil.  nal.,  imprimiîs,  Réserve  V,  SSg.) 

MONSIKL'U    MON    CHKR    MaITRF., 

.1(1  suis  oinbarassc  en  affaires  non  géométriques;  je  vous  envoyé 
pourlant  un  pelil  escrit  que  le  Perc  Lalouvcrc  m'a  fait  porter  ce 
malin  (-). 

J'ai  reçeu  le  Traitté  de  M.  Pascal  (^)  depuis  deux  jours,  et  n'ai  peu 
(>neore  m'ap|diquer  sérieusement  à  le  lire;  j'en  ai  pourtant  conçeu  une 
grande  opinion,  aussi  bien  que  tout  ce  qui  part  de  cet  illustre. 

Je  suis  tout  à  vous, 
Feumat. 

A  Tulose,  1(1  iG  février  iGJg. 

I  ')  L'iiiilo.^r.iplic  (ie  celte  leUre  esl  colle  en  l(Me  d'un  rccncil  des  opnscnles  im|iriniés 
de  Pascal  conserve  à  la  Bibliollicque  nationale. 

('-)  11  s'agit  d'une  réponse  datée  du  i5  février  cl  faite  par  I^aloiivère  an  Poxi-srripiiini 
du  -il)  janvier  à  la  Sitilc  <lc  t'Iiixloire  de  la  roulette.  Celte  réponse  est  insérée  dans  la 
yclcruDi  Ceonwlria  proniotii  in  septcni  de  Cjcloidc  lihrii.t,  puliliée  par  Lalonvére  en  lOGo. 

(')  Lettres  de  A.  Uettonville  contenant  qnelqiies-mies  de  ses  inventions  en  Géoméliic. 
—  .\  Paris,  elle/  Gnillannic  Desprez,  rue  S'-Jucipies,  à  l'Imago  S'-Prospcr.  MIK'.I.IX. 


CI.  —  AOUT   1C59.  h-M 

CI. 
FERMAT  A  CARCAVI. 

AOUT    iCoi). 
(  Corrcsp.  lliiyg.,  n°  C51.) 

UEUTION  DES  NOUVELLES  DÉCOUVERTES  EN  LA  SCIENCE  DES  NOMBRES  (M. 

...  1.  Et  pour  re  que  les  méthodes  ordinaires,  qui  sont  dans  les 
Livres,  étoicnt  insuiïisantes  à  démontrer  des  propositions  si  difficiles, 
je  trouvai  enfin  une  route  tout  i»  l'ail  singulière  pour  y  parvenir. 

J'appelai  celte  manière  de  démontrer  la  descente  infinie  ou  indé- 
finie, etc.;  je  ne  m'en  servis  au  commencement  que  pour  démontrer 
les  propositions  négatives,  comme,  par  exemple  : 

Qu'il  n'y  a  aucun  nombre,  moindre  de  l' unilé  qu  un  multiple  de  3,  (jui 
soit  compose  d'un  quand  et  du  triple  d'un  autre  quarré; 

Qu'il  n'y  a  aucun  triangle  rectangle  en  nombres  dont  l'aire  soil  un 
nombre  quarré  (-). 

La  preuve  se  fait  par  à-ayojyrjV  d^  àoûva-ov  en  cette  manière  : 
S'il  y  avoit  aucun  triangle  rectangle  en  nombres  entiers  qui  eiil  s(ui 
aire  égale  ii  un  quarré,  il  y  auroit  un  autre  triangle  moindre  q(u; 
celui-là  qui  auroit  la  mémo  propriété.  S'il  y  en  avoit  un  second, 
moindre  que  le  premier,  qui  eût  la  même  propriété,  il  y  en  auroit,  par 
un  |>areil  raisonnement,  un  (roisii'me,  moindre  que  ce  second,  qui 
auroit  la  même  propriété,  et  enfin  un  (juatrième,  un  cinquième,  etc. 
à  l'infini  en  descendant.  Or  est-il  qu'étant  donné  un  nombre,  il  n'y 
en  a   [)oint  infinis  en   descendant  moindres  que  celui-là  (j'entends 

(')  Piihliùe  pour  la  première  fois  par  M.  Charles  Henry  (Her/icrc/ics,  p.  9.i3-2i6), 
d'après  une  copie  do  la  main  do  Iluygens.  CeUe  pièce  avait  élé  envoyée  «  depuis  peu  » 
par  Fermai  à  Carcavi,  lors(|uo  celui-ci  la  communiqua  li  lluygens,  le  i4  août  iliSg. 

(-)  roir  Observ.  XLV  sur  Diophantc. 


'i3-2  ŒLVllES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

parler  toujours  dos  uombrcs  entiers).  D'où  on  eonclut  qu'il  est  donc 
impossible  qu'il  y  ait  aucun  triangle  rectangle  dont  l'aire  soit  quarrée. 

On  infère  de  là  qu'il  n'y  en  a  non  plus  en  fractions  dont  l'aire  soit 
quarrée;  car,  s'il  y  en  avoit  en  fractions,  il  y  en  auroit  en  nombres  en- 
tiers, ce  qui  ne  peut  pas  être,  comme  il  se  peut  prouver  par  la  descente. 

Je  n'ajoute  pas  la  raison  d'où  j'infère  que,  s'il  y  avoit  un  triangle 
rectande  de  cette  nature,  il  v  en  auroit  un  autre  de  même  nature 
moindre  que  le  premier,  parce  que  le  discours  en  seroit  trop  long  et 
(|ue  c'est  là  tout  le  mystère  de  ma  méthode.  Je  serai  bien  aise  que  les 
Pascal  et  les  Roberval  et  tant  d'autres  savans  la  cberchent  sur  mon 
indication. 

2.  Je  fus  longtemps  sans  pouvoir  appliquer  ma  méthode  aux  ques- 
(ions  affirmatives,  parce  que  le  tour  et  le  biais  pour  y  venir  est  beau- 
coup plus  malaisé  que  celui  dont  je  me  sers  aux  négatives.  De  sorte  que, 
lorsqu'il  me  fallut  démontrer  que  tout  nombre  premier,  qui  surpasse  de 
l'unité  un  multiple  de  f\ ,  est  composé  de  deux  quarrés  (  '  ),  je  me  trouvai  en 
belle  peine.  Mais  enfin  une  méditation  diverses  fois  réitérée  me  donna 
les  lumières  qui  me  manquoient,  et  les  questions  affirmatives  pas- 
sèrent par  ma  méthode,  à  l'aide  de  quelques  nouveaux  principes  qu'il 
v  fallut  joindre  par  nécessité.  Ce  progrès  de  mon  raisonnement  en  ces 
questions  affirmatives  est  tel  :  si  un  nombre  premier  [)ris  à  discrétion, 
qui  surpasse  de  l'unité  un  multiple  de  4.  n'est  point  composé  de  deux 
(juarrés,  il  y  aura  un  nombre  premier- de  même  nature,  moindre  que  le 
donné,  et  ensuite,  un  troisième  encore  moindre,  etc.  en  descendant  à 
l'infini  jusques  à  ce  que  vous  arriviez  au  nombre  5,  qui  est  le  moindre 
d(î  tous  ceux  de  cette  nature,  lequel  il  s'eusuivroit  n'être  pas  composé 
de  deux  quarrés,  ce  qu'il  est  pourtant.  D'où  on  doit  inférer,  par  la 
<léduction  à  l'impossible,  que  tous  ceux  de  cette  nature  sont  par  con- 
séquent composés  de  deux  quarrés. 

3.  11  y  a  infinies  questions  de  cette  espèce,  mais  il  y  en  a  quelques 

(  '  )  /■«(>  Observ.  VU  sur  Dioplianto. 


CI.  —  AOUT  1G59.  W:j 

autres  qui  demandent  des  nouveaux  principes  pour  y  appliquer  la  des- 
cente, et  la  recherche  en  est  quelquefois  si  malaisée  qu'on  n'y  peut 
venir  qu'avec  une  peine  extrême.  Telle  est  la  question  suivante  (|uc 
Bachet  sur  Diophante  avoue  n'avoir  jamais  pu  démontrer,  sur  le  sujet 
de  laquelle  M.  Descartes  fait  dans  une  de  ses  lettres  la  même  déclara- 
tion, jusques  là  qu'il  confesse  qu'il  la  juge  si  (liffîcile  qu'il  ne  voit 
point  de  voie  pour  la  résoudre  ('). 

ToiU  nombre  est  qnarrc  ou  composé  de  deior,  de  trois  ou  de  quatre 
quarrés. 

Je  l'ai  enfin  rangée  sous  ma  méthode  et  je  démontre  que,  si  nu 
nombre  donné  n'étoit  point  de  cette  nature,  il  y  en  auroit  un  moindre 
qui  ne  le  seroit  pas  non  plus,  puis  un  troisième  moindre  que  le 
second,  etc.  à  l'infini;  d'où  l'on  infère  que  tous  les  nombres  sont  de 
cette  nature. 

4.  Celle  que  j'avois  proposée  ii  IM.  Frenicle  et  autres  (^)  est  d'aussi 
grande  ou  même  plus  grande  dilttculté  :  Tout  nombre  non  quarré  est  de 
telle  nature  qu'il  y  a  injîrns  quarrés  qui,  multipliant  ledit  nombre,  font 
un  quarré  moins  i.  Je  la  démontre  par  la  descente  appliquée  d'une  ma- 
nière toute  particulière. 

J'avoue  que  M.  Frenicle  a  donné  diverses  solutions  particulières  cl 
M.  Wallis  aussi,  mais  la  démonstration  générale  se  trouvera  par  la 
descente  dûment  et  proprement  appliquée  :  ce  que  je  leur  indique,  afin 
qu'ils  ajoutent  la  démonstration  et  construction  générale  du  théorème 
et  du  problème  aux  solutions  singulières  qu'ils  ont  données. 

5.  J'ai  ensuite  considéré  certaines  questions  qui,  bien  que  négatives, 
ne  restent  pas  de  recevoir  très  grande  dillîculté,  la  méthode  pour  y 
pratiquer  la  descente  étant  tout  à  fait  diverse  des  précédentes,  comme 
il  sera  aisé  d'éprouver.  Telles  sont  les  suivantes  : 

//  n'y  a  aucun  cube  divisible  en  deux  cubes  ('). 

(  '  )  f'oir  la  noie  de  la  pasic  403. 
(«)  Foir  Pièces  LXXX  cl  LXXXI. 
(')  Foir  Observ.  II  sur  DiopliaïUe. 

Kebmat.  —  II.  33 


434  ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

//  n'y  a  qu'un  seul  quarré  en  entiers  qui,  augmenté  du  binaire,  fasse 
un  cube.  Le  dit  quarré  est  25. 

//  n'y  a  que  deux  quarrcs  en  entiers,  lesquels,  augmentés  de  4,  fassent 
un  cube.  Los  dits  quarrés  sont  4  et  121  ('). 

Toutes  les  puissances  quarrées  de  2,  augmentées  de  l'unité,  sont 
nombres  premiers  (^). 

Cette  dernière  question  est  d'une  très  subtile  et  très  ingénieuse 
recherche  et,  bien  qu'elle  soit  conçue  aiïirmativement,  elle  est  néga- 
tive, puisque  dire  qu'un  nombre  est  premier,  c'est  dire  qu'il  ne  peut 
être  divisé  par  aucun  nombre. 

Je  mets  en  cet  endroit  la  question  suivante  dont  j'ai  envoyé  la  dé- 
monstration à  M.  Frcnicle,  après  qu'il  m'a  avoué  et  qu'il  a  même 
témoigné  dans  son  Écrit  imprimé  (^)  qu'il  n'a  pu  la  trouver  : 

Il  n'y  a  que  les  deux  nombres  1  et  -j  qui,  étant  moindres  de  l'urnté 
qu'un  double  quarré,  fassent  un  carré  de  même  nature,  c'est-à-dire  qui 
soit  moindre  de  l'unité  qu'un  double  quarré. 

6.  Après  avoir  couru  toutes  ces  questions,  la  plupart  de  diverse  na- 
ture et  de  différente  façon  de  démontrer,  j'ai  passé  à  l'invention  des 
règles  générales  pour  résoudre  les  équations  simples  et  doubles  du 
Diophante. 

On  propose,  par  exemple, 

2Q  +  7967  égaux  à  un  quarré. 

J'ai  une  règle  générale  pour  résoudre  cette  équation,  si  elle  est  pos- 
sible, ou  découvrir  son  impossibilité,  et  ainsi  en  tous  les  cas  et  en  tous 
nombres  tant  des  quarrés  que  des  unités. 

(')  roir  Lettre  LKXXIV,  5.  Cf.  Observ.  XLII  sur  Diophante. 

(2)  roir  Lcllic  XCVI,  3,  1°. 

(')  Cet  Écrit,  aujourd'liui  introuvable,  était  intitulé  Solulio  duorum  pmblcmalum  de, 
dédié  à  Kenelm  Digby,  et  commençait  comme  suit  :  /i'ii  libi,  Vir  Illustrissime,  Luictia 
prœhet....  Deux  exemplaires  en  arrivèrent  eu  Hollande,  pour  Schooten  et  Ihiygens,  le 
■26  octobre  1657.  lîn  Angleterre,  Brouncker  en  reçut  un  seulement  en  décembre. 


CI.  —  AOUT   1659.  W5 

On  propose  cette  équation  double  : 

2N -<- 3         et        2!V  +  5  égaux  chacun  à  un  quarré. 

Bachet  se  glorifie,  en  ses  Commentaires  sur  Diophante  ('),  d'avoir 
trouvé  une  règle  en  deux  cas  particuliers;  je  la  donne  générale  en 
toute  sorte  de  cas  et  détermine  par  règle  si  elle  est  possible  ou  non. 

J'ai  ensuite  rétabli  la  plupart  des  propositions  défectueuses  de  Dio- 
phante et  j'ai  fait  celles  que  Bachet  avoue  ne  savoir  pas  et  la  plupart 
de  celles  auxquelles  il  paroit  que  Diophante  même  a  hésité,  dont  je 
donnerai  des  preuves  et  des  exemples  à  mon  premier  loisir. 

7.  J'avoue  que  mon  invention  pour  découvrir  si  un  nombre  donné 
est  premier  ou  non  n'est  pas  parfaite,  mais  j'ai  beaucoup  de  voies  et  de 
méthodes  pour  réduire  le  nombre  des  divisions  et  pour  les  diminuer 
beaucoup  en  abrégeant  le  travail  ordinaire.  Si  M.  Frenicle  baille  ce 
qu'il  a  médité  là  dessus,  j'estime  que  ce  sera  un  secours  très  consi- 
dérable pour  les  savans. 

8.  La  question  qui  m'a  occupé  sans  que  j'aie  encore  pu  trouver 
aucune  solution  est  la  suivante,  qui  est  la  dernière  du  Livre  de  Dio- 
phante De  mullangulis  numeris. 

Dalo  numéro,  invenire  quoi  modis  mullangulus  esse  possit. 

Le  texte  de  Diophante  étant  corrompu,  nous  ne  pouvons  pas  deviner 
sa  méthode;  celle  de  Bachet  ne  m'agrée  pas  et  elle  est  trop  difficile 
aux  grands  nombres.  J'en  ai  bien  trouvé  une  meilleure,  mais  elle  ne 
me  satisfait  pas  encore. 

9.  Il  faut  chercher  en  suite  de  cette  proposition  la  solution  du  pro- 
blème suivant  : 

Trouver  un  nombre  qui  soil  polygone  autant  de  fois  et  non  plus  qu'un 
voudra,  et  trouver  le  plus  petit  de  ceux  qui  satisfont  à  la  question. 

(  '  )  Fuir  Observ.  XLIV  sur  Diophante  et  VJppendii  à  cette  Observation. 


WG  ŒUVRES   DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

10.  Voilii  sommairem(Mit  le  compte  de  mes  rêveries  sur  le  sujet  des 
nombres.  Je  ne  l'ai  écrit  que  parce  que  j'appréhende  que  le  loisir 
d'étendre  et  de  mettre  au  long  toutes  ces  démonstrations  et  ces  mé- 
thodes me  manquera;  en  tout  cas,  cette  indication  servira  aux  savans 
pour  trouver  d'eux-mêmes  ce  que  je  n'étends  point,  principalement  si 
.M.M.  de  Carcavi  et  Frenicle  leur  font  part  de  quelques  démonstrations 
parla  descente  que  je  leur  ai  envoyées  sur  le  sujet  de  quelques  propo- 
sitions négatives.  Et  peut-être  la  postérité  me  saura  gré  de  lui  avoir 
fait  connoître  que  les  Anciens  n'ont  pas  tout  su,  et  cette  relation  pourra 
passer  dans  l'esprit  de  ceux  qui  viendront  après  moi  pour  tradilio 
lampadis  adfdios,  comme  parle  le  grand  Chancelier  d'Angleterre  ('), 
suivant  le  sentiment  et  la  devise  duquel  j'ajouterai  ('-)  : 

Multi  pertransibunt  et  augehitur  scientia. 


Cil. 

FERMAT  A  BILLY('). 

20  AOUT  1659. 

(Biljliolhèi|ne  nationale,  latin  8Goo,  fol.  i3,  autographe.) 

Mon  Révérend  Père, 

Je  suis  bien  aise  que  mes  solutions  vous  ayent  pieu  et  je  vous 
remercie  des  éloges  que  vous  me  donnés,  bien  que  je  recognoisse  do 
bonne  foi  que  vous  en  usés  avec  un  peu  trop  de  profusion.  Peust- 
estre  serés  vous  plus  surpris  de  ce  que  vous  allés  lire  sur  le  subject  de 
vostre  nouvelle  question  que  vous  énoncés  en  ces  termes  : 

Treuver  trois  nombres  dont  le  solide  estant  osté  de  chacun  d'eux  et  de 


(  ')  Bacon,  De  dignitate  et  angmcntis  scienlinrum,  L.  VI,  cap.  i. 

(')  Voir  page  35,  note  -2. 

(»)  Publiée  pour  la  première  fois  par  Libri  {Journal  des  Savants,  iSSg,  p.  548). 


eu.  —  2G  AOUT  lGû9.  W" 

chacune  de  leur  différence,  et  du  produicl  du  second  par  le  premier  ou 
par  le  dernier,  ou  du  quarré  du  milieu,  il  se  fasse  tousjours  un  (/uarrè. 

3  5 

Ces  trois  nombres  sont  5>  i,  ^^ 

o  o 

Vous  adjoustés  cnsuittc,  après  avoir  cstendu  vostre  méthode,  que 
vous  ne  croyés  pas  qu'il  y  aist  au  monde  trois  autres  nomlires  qui  satis- 
fassent il  la  question,  et  vous  désirés  estre  esclairci  par  moi  si  vous 
vous  trompés  en  cette  créance. 

Je  vous  respons,  mon  Père,  que  cette  question  reçoit  infinies  solu- 
tions et  que  la  double  esgalité  à  laquelle  vous  la  réduisez  : 

lAA  — A+i     Cl     lAA  — 3A4-1, 

chacun  desquels  termes  doit  estre  faict  égal  ii  un  quarré,  peut  estre 
résolue  en  infinies  manières. 

Je  vous  advouc  que  la  méthode  dont  je  me  sers  pour  cela  n'est  pas 
dans  les  livres,  et  que  c'est  une  de  mes  inventions  qui  a  quclquesf'ois 
estonné  les  plus  grands  maistres  et  particulièrement  Monsieur  Frenicle, 
que  j'estime  très  profond  dans  la  cognoissance  des  nombres.  Mais, 
puisqu'il  semble  que  Diophante,  Viete,  Bachet  et  touts  les  autres 
autheurs  dont  les  ouvrages  sont  venus  jusques  à  moi,  n'ont  sçu  qu'une 
seule  solution  en  cette  nature  de  questions,  je  ne  suis  point  surpris 
que  vous,  mon  Père,  quoyque  d'ailleurs  très  habille  par  l'adveu  de 
touts  les  sçavants,  n'ayés  point  tenté  d'estendre  vostre  cognoissance  au 
dessus  de  celle  que  donnent  les  livres. 

Vous  changerés  sans  doute  d'advis  par  mon  indication,  et  vous  ne 
croirés  pas  cette  nouvelle  descouverte  indigne  de  vostre  recherche, 
principallement  lors  que  je  vous  asseurcrai,  comme  je  fais  à  l'ad- 
vance,  que  ma  méthode  est  generalle  et  qu'elle  sert  à  résoudre  un 
nombre  infini  de  questions  qui  ont  esté  jusqu'ici  entièrement  aban- 
données. 

Voici  trois  nombres  différents  des  vostres  qui  satisfont  îi  vostre  ques- 
tion et  qui  peust-estre  vous  donneront  l'accès  aux  solutions  infinies. 


438  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

Le  premier  de  ces  trois  nombres  est  ^  l-c'  'c  second  est  i,  le  troi- 

r  5i8b5 

sieme  est  .  „,.î:- 

Je  suis  de  tout  mon  cœur.  Mon  Révérend  Père,  vostre  très  humble 

et  très  acquis  serviteur. 

Fermât. 
A  Tolose,  le  26  A'  iGSg. 

(Adresse)  :  Au  révérend  père,  le  père  liilly,  de  la  compagnie  de  Jésus, 
à  Dijon. 


cm. 

FERMAT  A   CARCAVl    ('). 
<  AouT  1659.  > 

{Correspondance  Huy^ens,   n'   699.) 
(Bihl.  Nat.  fr.  i3o'|0,  f°  130.) 

...  Si  la  ligne  spirale  n'est  pas  égale  à  la  parabolique,  elle  sera  ou 
plus  grande  ou  plus  petite. 

Soit  premièrement  plus  grande,  s'il  est  possible,  et  que  l'excès  de  la 
spirale  sur  la  parabole  soit  égal  à  X,  dont  la  moitié  soit  Z. 

Soient  inscrites  et  circonscrites  h  la  parabole  et  à  la  spirale  des 
figures  comme  en  la  précédente  (^),  en  sorte  que  la  diflerence  entre  les 
inscrites  soit  moindre  que  Z,  et  que  la  difTérence  entre  les  circonscrites 
soit  aussi  moindre  que  Z  ;  nous  aurons  cinq  quantités  qui  vont  toujours 

(')  Publiée  pour  la  première  fois  par  M.  Charles  Henry  ( Rechcrclies ,  p.  174-176). —  Co 
fragment,  envoyé  par  Carcavi  à  Huygens  dans  une  lellrc  datée  du  i3  septembre  1659,  esi 
le  développement  du  dernier  théorème  de  VEi^aliié  entre  lex  lignes  spirale  et  parabolique 
démontrée  à  la  manière  des  anciens,  laquelle  fait  partie  des  Lettres  de  A.  Detlonville 
(Œuvres  de  Pascal,  V,  pp.  421  à  453).  La  démonstration  de  Pascal,  beaucoup  plus  brève, 
est  faite  également  par  l'absurde,  mais  sans  hypothèse  sur  le  sens  de  l'inégalité  entre  la 
spirale  et  la  parabole. 

(*)  Fig.  38  des  Lettres  de  Dettonville;  voir  ci-après  fig.  gS. 


cm.  -  AOUT   1G59.  439 

en  augmentant,  savoir  :  l'inscrite  en  la  parabole,  la  parabole,  la  circon- 
scrite il  la  parabole,  la  spirale,  et  la  circonscrite  à  la  spirale. 

Car  il  appert  que  la  seconde,  qui  est  la  parabole,  surpasse  son 
inscrite  et  que  la  circonscrite  ii  la  parabole  surpasse  la  parabole. 

Or  il  paroit  que  la  quatrit^me  quantité,  qui  est  la  spirale,  surpasse 
aussi  la  circonscrite  à  la  parabole  :  car,  puisque  (')  l'inscrite  en  la  para- 
bole dilTere  de  la  circonscrite  îa  la  même  parabole  d'une  ligne  moindre 
qup  Z  (ainsi  que  M.  Dettonville  l'a  démontré),  a /oriton  la  parabole 
même  diffère  de  la  circonscrite  de  moins  que  Z.  Or,  par  la  supposition, 
la  parabole  est  moindre  que  la  spirale  et  la  diiïérence  est  2Z.  Donc, 
puisque  la  différence  entre  la  parabole  et  sa  circonscrite  est  moindre 
que  la  différence  entre  la  môme  parabole  et  la  spirale,  la  circonscrite  à 
la  parabole  sera  moindre  que  la  spirale. 

Laquelle  spirale  étant  aussi  moindre  que  sa  circonscrite,  il  paroit 
que  ces  cinq  quantités,  à  commencer  par  l'inscrite  en  la  parabole,  vont 
toujours  en  augmentant. 

Mais  puisque  l'inscrite  en  la  parabole  diffère  de  la  circonscrite  d'une 
ligne  moindre  que  Z,  et  que,  par  la  construction,  la  circonscrite  sus- 
dite il  la  parabole  diffère  aussi  de  la  circonscrite  à  la  spirale  d'une  ligne 
moindre  que  Z,  donc  l'inscrite  en  la  parabole  diffère  de  la  circonscrite 
il  la  spirale  d'une  ligne  moindre  que  2Z. 

Nous  avons  donc  la  première  et  la  cinquième  de  ces  cinq  quantités, 
qui  sont  la  plus  petite  et  la  plus  grande,  qui  diffèrent  entre  elles  de 
moins  que  de  2Z.  Donc,  a  fortiori,  la  seconde  et  la  quatrième,  qui 
sont  la  parabole  et  la  spirale,  diffèrent  d'une  ligne  moindre  que  2Z  et 
par  conséquent  moindre  que  X;  ce  qui  est  contre  la  supposition. 

Donc  la  spirale  n'est  pas  plus  grande  que  la  parabole. 

Qu'elle  soit,  s'il  est  possible,  moindre  que  la  parabole,  et  que  l'excès 
soit  X  ou  2Z.  Il  faut  faire  les  inscriptions  et  circonscriptions  comme  en 
la  précédente  partie  de  la  démonstration.  Nous  trouverons  ici  cinq 
quantités  qui  vont  toujours  en  diminuant  :  la  circonscrite  à  la  para- 

(')  D'après  le  corollaire  qui,  dans  les  Lettres   de  Dettonville,  précède  immédiatemeiit 
le  théorème  repris  par  Fermât. 


JW  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

i)ole,  la  parabole,  l'inscrite  en  la  parabole,  la  spirale,  et  l'inscrite  en  la 
s|)irale. 

La  première  paroit  évidemment  plus  grande  que  la  seconde  et  la 
seconde  que  la  troisième. 

Or  on  voit  aussi  (jue  la  troisième,  qui  est  l'inscrite  en  la  parabole, 
surpasse  la  spirale  :  car,  puisque,  par  la  démonstration  de  M.  Detton- 
ville,  l'excès  de  la  circonscrite  ii  la  parabole  sur  l'inscrite  en  la  para- 
bole est  moindre  que  Z,  a  fortiuriV oxchs  de  la  parabole  sur  son  inscrite 
est  moindre  que  Z. 

Or,  la  parabole  étant  plus  grande  que  la  spirale,  et  son  excès  sur 
la  dite  spirale  étant,  par  la  supposition,  iZ,  la  parabole  surpasse  la  spi- 
rale d'une  plus  grande  quantité  que  celle  dont  elle  surpasse  l'inscrite 
en  la  parabole,  et,  partant,  l'inscrite  en  la  parabole  est  plus  grande  que 
la  spirale. 

Nous  avons  donc  cinq  quantités  qui  vont  toujours  en  diminuant, 
savoir  :  la  circonscrite  ii  la  parabole,  la  parabole,  l'inscrite  en  la  para- 
bole, la  spirale",  et  l'inscrite  en  la  spirale.  Or  la  circonscrite  à  la  para- 
bole dilTère  de  son  inscrite  de  moins  que  Z,  et  l'inscrite  en  la  dite  pa- 
rabole diiïère  aussi,  par  [la  construction,  de  l'inscrite  en  la  spirale  de 
moins  que  Z.  Donc  la  circonscrite  îi  la  parabole,  qui  est  la  première 
(les  cinq  quantités  et  la  plus  grande,  diffère  de  la  dernière  des  dites 
quantités,  qui  est  la  plus  petite,  d'une  ligne  moindre  que  aZ.  Donc,  o 
fortiori,  la  seconde  quantité  diffère  de  la  quatrième,  c'est-k-dire  la  pa- 
rabole de  la  spirale,  de  moins  que  de  2Z,  c'est-à-dire  de  moins  que 
de  X  :  ce  qui  est  contre  la  supposition. 

D'où  il  résulte  que  la  spirale  n'est  pas  plus  petite  que  la  parabole;  et 
partant,  puisqu'elle  n'est  ni  plus  petite,  ni  plus  grande,  elle  est 
égale,  ce  qu'il  etc. 


CIV.  -   SEPTEMBRE   1C59.  Ul 

CIV. 

FERMAT  A  CARCAVI   ('). 

<    SEPTEMBRE    1G59    > 

{Corrcspont/unce  Ilnyi^'ens,  n"  700.) 
(Uibl.  nal.  fr.  i:lo'|0.  f»  LlO-liO.) 

1-  J'envoyai  raiiiiée  passée  à  M.  Krenicle  la  démoiislration  par  la- 
(|iielle  je  prouvuis  qu'il  n'y  a  aucun  nombre  que  le  seul  7  qui,  étant  le 
double  d'un  quarré  —  i,  soit  la  racine  d'un  quarré  de  la  même  nature, 
car  'iç)  est  le  double  d'un  quarré,  2.),  —  i. 

2.  Je  veux  même  que  !M.  de  Zulicliem  voie  que  cette  comparaison  des 
lignes  spirales  et  paraboli([ues  se  peut  rendre  plus  générale,  et  peut- 
clre  sera-t-il  surpris  de  lire  la  proposition  suivante,  dont  je  lui  garantis 
la  vérilé  : 

Vax  la  tigure  'i8  de  M.  Dettonville  (fg-  ^i),  on  ])eut  considérer  les 
spirales  quarrées,  cubiques,  quarréquarrées,  etc.,  tout  de  même  que 
les  paraboles  cubiques,  quarréquarrées,  etc. 

Si  la  s[)irale  ordinaire,  en  laquelle  comme  toute  la  circonférence  ii  la 
portion  E813,  ainsi  la  droite  BA  ii  la  droite  AC,  se  compare  avec  la  pa- 
rabole ordinaire  en  laquelle  comme  la  droite  RA  ii  la  droite  GA,  ainsi 
le  (juairé  d(^  la  droite  RP  est  au  (juarré  de  la  droite  ()Q,  et  le  rapport 
est  tel  : 

Si  AR  est  faite  égale  à  j  de  la  circonférence  totale,  et  l'appliquée  RP 
au  rayoïi  AR,  la  ligne  parabolicfue  PQA  sera  égale  à  la  s[)irale  BCDA, 
comme  le  démontre  M.  Dettonville. 

Mais  en  prenant  la  spirale  quarrée,  (jui  est  celle  du  second  genre, 
en  laquelle  comme  toute  la  circonférence  est  ii  la  portion  E8B,  ainsi 

(')  Piihlice  pour  la  première  fois  par  M.  (Hiurlcs  Ucnr){/{cc/icrc/ies,  p.  17G-177).  —  Cet 
(•\trail,  envoyé  par  Curcavi  ù  Iluygous  en  mémo  temps  ipie  lo  précédent,  provient  d'une 
lellre  postérieure  de  Fermai. 

FtnM.iT.—  u.  56 


Wî  (ECJVRES   DE  FERMAT.  -  COUIIESPON  DANCE. 

le  quarré  du  rayon  AH  est  au  (juari-é  tlu   rayon  XC,  ou  prul  la  cdin- 


parer  avec  la  parabole  cubique,  qui  esl  la  parabole  du  second  genre, 
Soit  tait,  en  la  parabole  cubique,  l'axe  AU  égal  aux  f  de  la  eirconfé- 


CIV.  -   SEPTEMBRE  lGo9.  VW 

rciico  lolalo,  et  r;i|t|)Ii([iiéc  RP  aussi  égale  au  rayon  AR;  ia  parabole  Al' 
(lu  second  genre  sera  égale  à  la  spirale  du  second  genre  RCDA. 

Si  la  spirale  est  cubique,  il  la  faudra  comparer  avec  la  parabole 
(|uarréquarrée,  et  faire  les  ^  de  la  circonférence  totale  égaux  ii  l'axe  AU 
de  la  parabole  quarré(]uarrée,  et  l'appliquée  RP  toujours  égale  au 
rayon  AR. 

La  parabole  quarréquarrée  PQA,  du  troisième  genre,  sera  égale  ii  la 
spirale  cubique  du  troisième  genre  en  laquelle  comme  toute  la  circon- 
férence à  la  portion  K8R,  ainsi  le  cube  du  rayon  AR  au  cube  du 
rayon  AC;  et  à  l'intini,  en  augmentant  toujours  chaque  numérateur  cl 
dénominateur  de  la  fraction,  de  l'unité  : 

L'axe  (le  la  paraliole  ordinaire  élant  ...  i  de  la  circotiférciicc. 

L'axe  de  la  parabole  cubique f  de  la  iiiùuic  circoniéronce, 

L'axe  de  la  ]>arabole  quarréquarrée   ...  f 

L'axe  de  la  iiarabolc  ([uarrécubique   ...  4 

l'uis I,  etc. 

D'où  il  est  aisé  de  conclure  qu'il  y  a  des  spirales  dans  celte  progres- 
sion (|ui  s(uil  plus  grandes  que  la  circonférence  du  cercle  qui  les  pro- 
duit, mais  qu'elles  sont  toujours  moindr(>s  (jue  la  somme  de  ladite 
circonférence  et  du  rayon. 

Voilii  un  paradoxe  géométrique,  sur  lequel  peut-être  M.  Dettonville 
et  M.  de  Zulichem  n'ont  pas  encore  rêvé.  En  tout  cas,  je  les  supplie  de 
croire  que  je  ne  l'ai  point  de  personne,  et  que  ma  méthode  dont  vous 
avez  le  chilfrc  longtemps  avant  que  le  Livre  de  M.  Dettonville  parût, 
est  la  source  de  beaucoup  d'autres  belles  découvertes  sur  le  sujet  des 
lignes  courbes  comparées,  ou  avec  des  droites,  ou  avec  d'autres  lignes 
courbes  de  diverse  nature.  Je  vous  en  dirai  j)eul-étre  un  jour  qui  vous 
surprendront. 

3. -M.  de  Zulichem  désire  encore  savoir  si  ma  méthode  s'étend  à  trou- 
ver la  dimension  des  surfaces  courbes  des  conoides  et  des  sphéroïdes. 
Vous  pouvez  l'assurer  que  oui,  et  qu'elle  va  encore  bien  plus  loin.  Il 
m'entendra  assez  lorsque  je  lui  assurerai  : 

i"  Que  je  n'ai  point  vu  aucune  de  ses  prcqiositions  sur  ce  sujet; 


U4.         Œuvin:s  ue  fermât.-  correspondance. 

2"  (Jue  la  surface  du  conoïdc  parabolique  autour  de  l'axe  se  trouve 
|)ar  la  règle  ot  le  compas  et  est  un  problème  plan  ; 

Que  les  surfaces  des  conoïdes  bypcrboliques  et  spliéroïdes  su|tpitscnt 
la  quadrature  de  l'byperbole  et  quelques  fois  de  l'ellijjse, 

Kt  qu'enfin  le  conoïde  parabolique  autour  de  rappliqué(>  fait  une 
surface  courbe  qui  suppose,  pour  être  exactement  mesurée,  la  (|uadra- 
Inrc  de  l'iiyperbole. 

Je  puis  même  donner  une  ligne  droite  égale  ii  toute  portion  de  para- 
b(de  donnée,  en  supposant  la  quadrature  de  l'byperbole,  c'est-à-dire  de 
l'espace  byperbolique. 

.l'ajouterois  tontes  les  constructions  de  mes  j)ropositii>ns,  mais  le 
loisir  me  manque. 


CV.  -  FEVRIER   1660. 


ANNÉE    1660. 


CV. 
FF.R.MAT  A  CARCAVI  ('). 

<  FÉVRIER   1600  > 

(Corresp.  Huyg.,  n"  7'2Î.) 

...  Oi»  peut  considérer  les  roulettes  allongées  ou  raccourcies  d'une 
autre  manière  que  n'a  fait  M.  Dettonville  : 

Supposez  qu'en  la  roulette  ordinaire  les  seules  appliquées  soient 
allongées  ou  raccourcies  proportionnellement,  c'est-à-dire  que,  l'axe 
demeurant  le  même,  chacune  des  appliquées  est  augmentée  de  la 
moitié  ou  bien  raccourcie  de  la  moitié,  auquel  cas  il  se  produit  des 
courbes  nouvelles  :  celles  des  appliquées  allongées  sont  au  dehors  de 
la  roulette  et  celles  des  appliquées  raccourcies  sont  au  dedans. 

Je  dis  que  toutes  les  roulettes  allongées  en  ce  sens  sont  égales  à 
la  somme  d'une  ligne  droite  et  d'une  circulaire,  et  que  toutes  les 
roulettes  accourcies  au  même  sens  sont  égales  à  des  courbes  para- 
boliques. 

Par  exemple,  soit  une  roulette  allongée  dont  les  appliquées  soient 
aux  appliquées  de  la  roulette  naturelle  comme  le  diamètre  d'un 
quarré  à  son  coté,  je  dis  que  cette  roulette  allongée,  prise  tout 
entière,  c'est-ii-dire  des  deux  cotés,  et  que  par  la  construction  vous 
voyez  être  plus  grande  que  la  naturelle,  est  égale  à  la  circonférence 

(')  Fragment  envoyé  par  Carcavi  à  Hujgcns  le  G  mars  iG6o.  —  l'ublio  i)our  la  pro- 
niicre  fois  par  M.  Cli.  Henry  (Pierre  de  Carcnff,  p.  3i). 


>*\n  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

(lu  ciM-cle  généraleur  de  la  roulctlc  naUirelle  et  au  doublo  de  sou  dia- 
iiii'lrc. 

Je  pùiiri'uis  ajouter  le  théorème  général  pour  tous  ces  cas,  c'est- 
;i-dire  pour  l'invention  des  paraboles  égales  aux  roulettes  accourcies 
et  pour  l'invention  de  l'agrégé  des  droites  et  des  circulaires  égales 
aux  allongées.  Mais  ce  sera  pour  une  autre  fois.  Ma  méthode  générale 
ne  dépend  que  du  chifi're  que  je  vous  envoyai  l'année  passée,  avant 
(|ue  j'eusse  vu  le  Livre  de  M.  Deltonville. . . . 


CVI. 

fI':h.mat  a  carcavi  (•). 

<jiiN  1GG0> 

...   1-   Data  quadralurà  hyperboles,  datur  (•ir(  iilus  a'([ualis  superti- 
liei  eurvie  paraboles  circa  aj)plicatain  rotatte. 

Sit  dala  parabole  AD  { /li^-  9')),  eujus  axis  \K,  applicala  seu  sctni- 


basis  [)\i,  rectum  latus  ABC.  QuaM-itur  circulus  a;qualis  superficie! 
nirva'  solidi  quod  ex  rotalione  figune  ADE  circa  a[iplicatam  01']  (an- 
(liiain  imniobilem  circumduc(;e  conticilur. 


(')  Fragmeuts  envoyés  par  Carcavi  à  Huygens  le  25  juin  1G60.  —  Publics  pour  la  pre- 
mière fois  par  M.  Cii.  Henry  (Pierre  de  Crircao ,  p.  33-34  )• 


CVI.  —  JUIN   1G60. 


U7 


Bisccctur  latus  roctiim  AC  in  15  et  axi  AR  pnnatiir  in  dircclnni 
recla  EF  aeqiialis  roctae  AB  sou  diniidio  roc(i  laloris,  cl  jungalur  l)K. 

Kxponaliir  soparatini  rocta  10  ( fig.  r)G)  a-qualis  axi  AE,  cnins 
ilupla  sil  roda  IH;  tiat 

m   ri-:  sive  AH     ;i(I     I)F,         ilii  rctia  01  ad  roctani  Qll, 

et  a  puncto  H  diicatiir  HG  perpendiciilaris  ad  HIR,  et  fiai  HG  a^pialis 
rectai  DE.  Per  piuulum  I  lanquam  verliccm  describaliir  liyporbolc 
iiijus  Iransversum  laliis  sil  recta  IR,  ccnlruiu  O,  et  Iranseat  hyperbole 
per  punetum  G  et  sit  IG. 

DescribaUir  item  alla  hyperbole  separatim  {fig.  9G),  cujiis  Iransver- 
sum latus  .MN  sit  a'quale  quart*  parti  recli  paraboles  laleris,  hoc  esl 

Fi-.  9(i. 


9 


(juartic  parti  recta'  AC;  centrum  vcro  sil  V,  l'cctuin  laUis  OVP 
aH|uale  Iransvcrso  latcri.  Sil  auteni  hyperbole  i(a  descripla  .MK. 
cnjns  vertex  M,  axis  ML  qui  continuelur  donec  recta  ML  sit  a-qualis 
axi  paraboles  AE,  et  ducalur  perpendicularis  seu  applicala  LK.  A  rec- 
tangulo  sub  QH  in  HG  deducantur  duo  spatia  hyperbolica  IGH,  MKL, 
(juoruni  quadratura;  supponuntur,  et  (juod  su|)ererit  a'quelur  qua- 
drato. 


W8  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  COIIRESPON  UANCE. 

Diagoiiia  istiiis  quadrati  crit  radins  circuli  superficiel  ciirv»,  cujus 
dimensionem  qiiaM'imus,  seqiialis  (  '  ). 

2.  Ks(o  cvelois  primaria  ANIF  {fig-  97),  cujus  axis  Al),  somi- 
hasis  1)F,  et  ab  cà  formentur  aliie  curvte  vel  extra  ipsani  vel  luira, 
quarum  applicat;e  slut  scinper  lu  eâdcm  ratione  data  ad  applicatas 
j)rlinariai  cycloidis. 

••"ig-  UT- 

A 


Exempli  gratia,  lu  curva  extoriori  AMHG  ducantur  applicatu'  GFI), 
HIC,  MNB;  ratio  autem  (ID  ad  DF  sit  data  et  sit  semper  cadem  qu;e  HC 
ad  Cl  et  MB  ad  BN.  lu  curvà  autem  interiori  AROE,  ratio  FI)  ad  I)K  sit 
data  et  sit  seuiper  eadem  qua»  IC  ad  CO  et  NB  ad  RB. 

Dico  oontingerc  ut  curvic  exterlores,  (jualls  est  AMHG,  slut  scnij)cr 
;e(juales  aggregato  linea;  clrcularis  et  linesc  recta;;  curva;  autem  iiite- 
riorcs,  (jualis  est  AROIÎ,  slut  semper  ;equales  parabcdis  primariis  sive 
Arclilmedeis. 

Theorematls  geueralis  eiumciatiouem ,  quaudo  voiuei'is,  exliilxdio, 
iuio  et  deiuousli'alioiiem  (-). 


{Cnncspotnîtincv  llinî^cfts,  n"  7.j(i.) 

•  >.  Pour  me  sauver  un  |>cn  de  l'aceusalion  de  }A.  de  Znlyelieni,  (|ni 
(lit  ((ue  mes  spirales  n'ont  jias  des  propriétés  qui  soient  anlremenl  con- 
sidérables (^),  vous  pourrez,  si  vous  voulez,  lui  proposer  celle  (|ni  suit  : 

(  '  )  Cnmptircr  la  l'roiiosilinil  II  i'i  Lali)iivi',re,  l.  l,  p.  'loo. 
f -)  Comparer  la  proposilion  IV  à  Laloiivèrc,  I.  I,  p.  ■t.o-x  et  suiv. 

(  ■' )  LcUi'c  (le  lliiviJîcns  à  Carcavi  du  i<j  février  iCiCo  {Corr.  Hiif^..  ii°  'l'i'i}  :  «  La  coiii- 
paraison  des  aulnes  sortes  de  spirales  avec  les  lignes  paraboloïdcs  cpie  donne  .M.  de 


CVI.  -  JUIN   ICGO.  /.W 

Soil  le  forolo  HCDM  {fig.  98),  duquel  le  centre  A  et  le  ravoii  AU,  et 
soit  la  spirale  BOZA  de  laquelle  la  [)rni)riétc  soit  telle  : 

HA  esl  à  OA  comme  le  quaiTé  tW  loiile  la  circonrérciice  lUJDMH 
an  (|iiarré  de  la  porlion  île  la  même  eiiTonférence  ('DMIÎ. 

(]e(le  spirale,  par  mon  (liéorème  général,  est  égale  à  une  parabole  en 
laquelle  les  cubes  des  appliquées  sont  eu  même  raison  (|ue  les  (juarrés 
des  portions  de  l'axe,  laquelle  parabole  est  égale  à  une  ligne  droite. 

Fig.  nS. 


J'espère  que  cette  propriété  suffira  pour  me  réconcilier  avec  M.  Zuly- 
ehem  e(,  puisque  je  lui  ci'de  tous  mes  droits  sur  les  surfaces  courbes 
des  sphéroïdes  et  conoides,  j(>  souhaiterois  qu'en  revanche  il  m'iudi- 
(|uàt  s'il  sait  aucune  surface  courbe  égale  à  un  quarré  par  voie  pure- 
ment géométrique  et  pareille  ;i  celle  d(Uit  je  me  suis  servi  en  donnant 
des  droites  égales  à  des  courbes. 


Koriiial  est  viM'ilahlc,  mais  non  pas  furt  difficile  à  Irciiurr  a|ircs  i|ii(.'  la  prcmièiT  esl 
roiiinie,  cl  jt!  m'étoiiiic  qu'il  prend  plaisir  à  inventer  des  lignes  nonvelles  cpii  n'ont  pas 
anlrcnienl  des  propriétés  (lignes  de  eonsidéralion.  »  C-p.  la  Pièee  CIV. 


l'"tnMAT. 


4S0  (EUVRES   DE  FEUMAT.  -  COllUESl'ONnANCE. 

CVII. 
FERMAT  A  PASCAL. 

DIMANCIIK     25     JUILLET      IGCO. 

(OF.iwn-.s  ,1c   Poscii/,    IV.    p.    '|'|).  ) 

MoNSiEim, 

Dès  que  j'ai  su  qui"  nous  sommos  plus  proclirs  l'un  de  l'aufro  que 
nous  n'étions  auparavant,  je  n'ai  pu  résister  à  un  dessein  d'amitié  dont 
j'ai  prié  M.  de  Carcavi  d'être  le  médiateur  :  en  un  mot  je  prétends  vous 
embrasser  et  eonverser  ({uelques  jours  avee  vous;  mais,  parée  que  ma 
santé  n'est  guiu'e  plus  forte  (jue  la  viMre,  j'ose  espérer  qu'en  eette  con- 
sidération vous  me  t'erez  la  grâce  de  la  moitié  du  chemin,  et  (|ue  vous 
m'obligerez  de  me  marquer  un  lieu  eulre  Clermont  et  Toulouse,  lu'i  je 
ne  manquerai  pas  de  me  rendre  vers  la  fin  de  septembre  ou  le  cimi- 
mencement  d'octobre. 

Si  vous  ne  prenez  pas  ce  parti,  vous  courrez  hasard  de  me  voir  chez 
vous  et  d'v  avoir  deux  malades  («n  même  temps.  J'attends  de  vos  nou- 
velles avec  impatience  et  suis  de  tout  mon  co'ur. 

Tout  il  vous. 


Fkumat. 


A  ToiiloMSu,  le  ">  J  juillet  iIKio. 


CVIII. 
PASCAL  A  FERMAT. 

MAItlH     10    AOIIT     1060. 
{OKiirres  ilc  Pascal,    IV,  p.  Vl'i-'ll^-) 


MoNsnajR, 

Vous  êtes  le  plus  galant  homme  du  monde  et  je  suis  assurément  un 
de  ceux  ({ui  sais  le  mieux  reconnoitro  ces  qualités-là  cl  les  admirer 


CVIII.  -  tO  AOUT   1C60.  /i51 

intiniinent,  surtout  quand  elles  sont  jointes  aux  talents  qui  se  tiduvcnt 
singulièrement  en  vous.  Tout  cela  m'oblise  à  vous  témoigner  de  ma 
main  ma  reconnoissance  pour  l'offre  que  vous  me  laites,  quelque 
[»einc  (|ue  j'aie  encore  d'écrire  et  de  lire  moi-même;  mais  l'honneur 
qu(i  vous  me  faites  m'est  si  cher  que  je  ne  puis  trop  me  hâter  d'y 
répondre. 

Je  vous  dirai  donc,  Monsieur,  que  si  j'étois  en  santé,  je  serois  V(dé  ii 
Toulouse  et  que  je  n'aurois  pas  souffert  qu'un  homme  comme  vous 
eût  l'ait  un  pas  pour  un  homme  i-omme  moi.  Je  vous  dirai  aussi  que, 
quoique  vous  soyez  celui  de  toute  l'Europe  que  je  tiens  pour  le  plus 
grand  géomètre,  ce  ne  seroil  pas  cette  qualité-lii  qui  m'auroit  attiré, 
mais  que  je  me  figure  tant  d'esprit  et  d'honnêteté  en  votre  conversa- 
tion que  c'est  pour  cela  que  je  vous  rechercherois. 

(".ar,  pour  vous  parler  franchement  de  la  Géométrie,  je  la  trouve  le 
plus  haut  exercice  de  l'esprit  :  mais  en  même  temps  je  la  connois  pour 
si  inutile  que  je  fais  peu  de  différence  entre  un  homme  qui  n'est  que 
géomi'tre  et  un  habile  artisan.  Aussi  j(^  l'appelle  le  plus  beau  mélier 
du  monde,  mais  enfin  ce  n'est  qu'un  métier,  et  j'ai  dit  souvent  qu'elle 
est  bonne  pour  faire  l'essai,  mais  non  pas  l'emploi  de  notre  force. 

De  sorte  que  je  ne  ferois  pas  deux  pas  pour  la  Géométrie  et  je  m'as- 
sure que  vous  êtes  fort  de  mon  humeur.  Mais  il  y  a  maintenant  ceci  de 
plus  en  moi  que  je  suis  dans  des  études  si  éloignées  de  cet  esprit-là 
qu'à  peine  me  souviens-je  qu'il  y  en  ait.  Je  m'y  étois  mis,  il  y  a  un  an 
ou  deux,  par  une  raison  tout  à  fait  singulière,  à  laqutdle  ayant  satis- 
fait, je  suis  au  hasard  de  ne  jamais  plus  y  penser. 

Outre  que  ma  santé  n'est  pas  encore  assez  forte,  car  je  suis  si  foible 
que  je  ne  puis  marcher  sans  bâton  ni  me  tenir  à  cheval,  je  ne  puis 
même  faire  que  trois  ou  quatre  lieues  au  plus  en  carrosse.  C'est  ainsi 
<]ue  je  suis  venu  de  Paris  ici  en  vingt-deux  jours.  Les  médecins  m'or- 
donnent les  eaux  de  Bourbon  pour  le  mois  de  septembre,  et  je  suis 
engagé,  autant  que  je  puis  l'être,  depuis  deux  mois  d'aller  de  lii  en 
Poitou  par  eau  jusqu'à  Saumur,  pour  demeurer  jusqu'à  Noèl  avec 
;M.  le  duc  de  Roannès,  gouverneur  de  Poitou,  qui  a  pour  moi  des 


ia-2  ŒUVIIKS   DE   FERMAT.-  CO  URESPOND  ANGE. 

sentimcns  que  j(>  ne  vaux  pas.  Mais,  comme  je  passerai  par  Orléans 
en  allant  à  Saumur  par  la  rivière,  si  ma  santé  ne  me  permet  pas  de 
passer  outre,  j'irai  de  là  à  Paris. 

Voilà,  Monsieur,  tout  l'état  de  ma  vie  présente,  dont  je  suis  obligé 
(le  vous  rendre  compte  pour  vous  assurer  de  l'impossibilité  où  je  suis 
de  recevoir  l'bonneur  que  vous  daignez  m'offrir  et  (|ue  je  souhaite  de 
t(mt  mou  c(eur  de  pouvoir  un  jour  reconnoitre,  ou  en  vous,  ou  en 
Messieurs  vos  enfants,  auxquels  je  suis  tout  dévoué,  ayant  une  véné- 
ration particulière  pour  ceux  qui  porlent  le  nom  du  premier  homme 
du  monde. 

Je  suis,  etc.  Pascal. 

De  Bicnassis,  le  lo  août  iGfio. 


CIX. 
FERMAT  A  HUYGENS('). 

DÉCEMBRE    1000. 
(  (\)rrr.y>oilti(ltu-r  tir  H.iyi^riin^    II"  8"!^.) 

MONSIEtT,, 

J'ai  appris  avec  joie,  mais  non  sans  quelque  espèce  de  jalousie,  que 
mes  amis  de  Paris  ont  l'honneur  de  vous  posséder  depuis  quelque 
temps.  Je  vous  assure.  Monsieur,  que,  si  ma  santé  étoit  assez  forte 
pour  les  voyages,  j'irois  avec  grand  plaisir  prendre  ma  part  de  leur 
bonheur.  Ce  n'est  pas  d'aujourd'hui,  ni  par  la  relation  seule  de  M.  de 
Carcavi,  que  je  suis  persuadé  de  vos  qualités  tout  extraordinaires.  J'é- 
tois  à  vous  avant  que  vous  fussiez  en  France  et,  lorsqu'on  m'a  demandé 
mon  sentiment  de  votre  Saturne,  j'ai  répondu  hardiment  et  sans  même 

(  '  )  Publiée  pour  la  première  fois  par  M.  Charles  Ilenrj'  {Reclicrchct,  p.  77-7S).  —  Car- 
cavi remit  ccUc  Ictlrc  à  Iliiygcns,  alors  à  Taris,  lo  27  dccciubrc  iGGo.  L'aiilographe  csl 
conserve  à  la  Bibliothèque  de  l'Université  de  Lcyde,  manuscrit  Iluygens,  3o. 


CIX.  -  DECEMBRE   1660.  433 

l'avoir  encore  vu  que,  puisqu'il  partoit  de  votre  main,  il  ne  pouvoit 
manquer  quoi  que  ce  soit  à  sa  perfection.  Vos  autres  ouvrages  que  j'ai 
vus  et  admirés  m'ont  obligé  d'en  parler  de  la  sorte  et  j'ai  en  plus  de 
raison  d'en  user  ainsi  que  celui 

Oui  iuiiu|uaiii  visœ  flagralial  aiiinrc  puella:  (')• 

Votre  grande  et  juste  réputation  est  le  seul  et  véritable  garant  de 
tous  vos  livres.  Il  me  tarde  de  les  voir  et  de  me  contirmer  par  leur  lec- 
ture au  jugement  que  j'en  ai  fiiit  par  avance  et  en  la  passion  que  vos 
autres  écrits  m'ont  donnée,  d'être  toute  ma  vie  avec  grand  respect, 
Monsieur,  votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur, 

Feumat. 

(•  )  Jiivéiial,  SaL.  IV,  1 13. 


454. 


ŒUVRES  DE  FEUMAÏ.  -  CORRESPONDANCE. 


ANNÉE   1661. 


ex. 

"ERMAT  A  C  ARC  AVI  (  '  ). 
1061. 

{Conrsp.   Hiiyf;.,   irll'l!).) 


...  Soit  la  courbe  de  Diock'  RCRG  (Jlg.  <)9)  et  BDF  d(*  l'autro  coté  dti 
cercle,  ([iii  a  cotte  propriété  comme  qu'en  prenant  quelconque  point 


rig-  99- 


Hi|G 


au  cercle,  comme  N  ou  Q,  les  quatre  lignes  AO,  ON,  OB,  ()i\l  sont  con- 


(')  Ki'aiîiiiciil  ciivoyù  par  Carcavi  à  lliiygens,  le  i"' janvier  iGCd,,  en  môme  temps  que 
le  niorc.oa\i  lai  in  De  cistoiclc  imprimé  Tome  I,  p.  ^SS-aSS.  —  Il  a  (Hé  publié  pour  la  pro- 
inièrc  l'ois  par  M.  Cli.  Henry  {Pierre  de  Carcat'f,  p.  y.y). 


C.W.  -    13  DECEMHHE   IG61.  V55 

liinu'iiKMit   itroportioiincllcs  cl  de,   mémo   les   ([iiatrc   lii^ncs  AP.   PQ, 
PB,  PR. 

•    Or,  cotte  courbe  s'étend  des  deux  cotés  à  l'infini,  et  la  droite  HAE, 
qui  touche  le  cercle  en  A,  est  son  asyin[)tote. 

La  proposition  est  que  tout  l'espace  GRBDF,  compris  entre  la  courbe 
et  l'asymptote  étendue  à  l'infini,  est  triple  du  cercle  générateur  AC.BD. 

J'ai  aussi  la  niesure  des  solides,  des  centres  de  gravité  des  portions, 
et  de  tout  b;  reste. . . . 


CXI. 
FERMAT  A  SKGLIIER  ('). 

MVRDl     \'.\    DftClOIlllIK     KiGI. 
(IJilil.  Xat.   IV.   .7.i(,S.  f"   ',Si.) 

AIoNSl-.KINF.Ur., 

J'ai  desia  pris  la  liberté  d'aller  tout  droit  à  v(uis  sans  me  servir  d'au- 
cune recommandation  estrangere  pour  vous  demender  grâce  et  iuslice 
pour  mon  fils(-).  Il  a  depuis  peu  trailléd'un  office  de  con"''en  la  Chambre 
des  rcquestes  de  ce  parlement  que  i'ai  cy  devant  excercé.  Il  vous  sera. 
Monseigneur,  iuslifié  par  actc^s  qu'il  a  l'aage  et  le  temps  de  la  postula- 
tion requis  par  les  ordonnancc^s.  Et  quoique  son  traitté  soit  antérieur 
au  regicnu'nl  de  Sa  Maiesté  (|ue  nous  venons  de  recevoir,  il  ne  restera 
pas.  Monseigneur,  de  vous  |)roduire  toutes  les  preuves  ((u'il  exige,  et 
d'y  adiouster  mesme  la  sousmissi(W)  contenue  dans  ladite  déclaration. 
Je  n'ai.  Monseigneur,  a  vous  demender  que  la  dispense  de  la  |)resenta- 
tioii  ([u'il  vous  doit  taire  en  personne  de  touts  ses  actes  aux  termes  de 
ce  règlement.  Je  n'implore  pour  cela  que  vostre  cognoissance  et  vostre 

(')  Publiée  pour  la  iiroiiiiére  fois  par  M.  Charles  Henry  d'après  l'autographe  (  He- 
clierrlics,  p.  70-7:*). 

('-)  ClémoiU-Samucl.  fils  aiiié  de  b'oniial.  Son  cadcl,  Jcaii,  rcrul  les  ordres  et  devint 
archidiacre. 


456  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

meinoiro,  et  io  no  doubto  pas  ([ucMonsiour  do  La  Chaniliro  no  vittis  fasse 
souvonir,  Monsoignour,  quo  mond.  iils  vous  rondist  ses  respects  on  per- 
sonne en  l'année  mil  six  cens  cinquanlc  sept,  et  que  Monseigneur  le 
Duc  de  Sulli  ne  vous  dise  quelque  parolle  favorable  pour  une  famille 
qui  vous  est  entièrement  dévouée  et  qui  vous  est  acquise  avec  toute 
dépendance.  J'attens  cette  seule  grâce  de  voslre  honte  et  suis  avec  très 
grand  respect 

Monseigneur 

Votre  très  humble  et  1res 
obéissant  serviteur 

Fkrmat. 
A  Tolosc.  le  i'5  (Icc.  iGOi. 


CXII.  -   1  JANVIEH   1C62.  i57 


ANNÉE    1662. 


CXII. 
FERMAT  A  C.  DE  LA  CHAMBUE. 

DIUANCUE    1    JANVIEH    1662. 

(  D.,  III,  5c  ;  Cvrrespoitddnoc  HiijgeuSy  n"  990.  ) 
Bibl.  Nat.  fr.  n.  a.  3280. 

Monsieur, 

1-  Il  est  juste  de  vous  obéir  et  de  terminer  entin  par  votre  entremise 
le  vieux  démêlé  qui  a  été  depuis  si  longtemps  entre  M.  Descartes  et  moi 
sur  le  sujet  de  la  réfraction,  et  peut-être  serai-je  assez  heureux  pour 
vous  proposer  une  paix  que  vous  trouverez  avantageuse  ti  tous  les 
deux  partis. 

Je  vous  ai  dit  autrefois,  dans  ma  pnimière  lettre  (  '  ),  que  M.  D(!scarles 
n'a  jamais  démontré  son  principe;  car,  outre  que  les  comparaisons  ne 
servent  guère  à  fonder  des  démonstrations,  il  emploie  la  sienne  à 
contre-sens  et  suppose  même  que  le  passage  de  la  lumière  est  plus  aisé 
par  les  corps  durs  que  par  les  rares,  ce  qui  est  apparemment  faux.  Je 
ne  vous  redis  rien  du  défaut  de  la  démonstration  en  elle-même,  quand 
bien  la  comparaison  dont  il  se  sert  seroit  bonne  et  admissible  en  cette 
matière,  pource  que  j'ai  traité  tout  cela  bien  au  long  dans  mes  lettres 
à  M.  Descartes  pendant  sa  vie,  ou  dans  celles  (jue  j'ai  écrites  à  M.  Cler- 
sclier  depuis  sa  mort  (-). 

(  '  )  Lcllrc  LXXXVI. 

(2)  Les  Lettres  à  Merseiinc  XXII  et  XXIV,  à  Clerselicr  XC,  XC  Ins,  XCV,  XCVII. 

Fermât.  —  II.  5" 


458  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

2.  J'ajoute  seulement  qu'ayant  vu  le  même  principe  de  M.  Dcseartes 
dans  plusieurs  auteurs  qui  ont  écrit  après  lui,  leurs  démonstrations, 
non  plus,  ne  me  paroissent  point  recevables  et  ne  méritent  point  de 
porter  ce  nom  :  Hérigone  (')  se  sert,  pour  le  démontrer,  deséquipondé- 
rants  et  de  la  raison  des  poids  sur  les  plans  inclinés  ;  le  Père  Maignan  (^) 
y  veut  parvenir  d'une  autre  manière.  Mais  il  est  aisé  de  voir  qu'ils  ne 
démontrent  ni  l'un  ni  l'autre,  et  qu'après  avoir  lu  et  examiné  avec 
soin  leurs  démonstrations,  nous  sommes  aussi  incertains  de  la  vérité 
des  principes  qu'après  avoir  lu  M.  Descartes. 

Pour  sortir  de  cet  embarras  et  tâcher  de  trouver  la  véritable  raison 
de  la  réfraction,  je  vous  indiquai  dans  ma  lettre  que,  si  nous  voulions 
employer  dans  cette  recherche  ce  principe  si  commun  et  si  établi,  que 
la  nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus  courtes,  nous  pourrions  y 
trouver  facilement  notre  compte.  Mais  parce  que  vous  doutâtes  d'abord 
que  la  nature,  en  conduisant  la  lumière  par  les  deux  cotés  d'un  triangle, 
puisse  jamais  agir  par  une  voie  aussi  courte  que  si  elle  la  conduisoit 
par  la  base  ou  par  la  soustendante,  je  m'en  vais  vous  faire  voir  le  con- 
traire de  votre  sentiment  ou  plutôt  de  votre  doute,  par  un  exemple  aisé. 

3.  Soit,  en  la  figure  à  pari  {fig-  loo),  le  cercle  ACBG,  duquel  le  dia- 
mètre soit  AOB,  le  centre  0  et  un  autre  diamètre  GOC.  Des  points  G 
et  G  soient  tirées  les  perpendiculaires  sur  le  premier  diamètre,  GH, 
CD.  Supposons  que  le  premier  diamètre  AOB  sépare  deux  milieux  dif- 
férents, dont  l'un  qui  est  celui  de  dessous,  AGB,  soit  le  plus  dense  et 
celui  de  dessus,  AGB,  soit  le  plus  rare,  en  telle  sorte,  par  exemple, 
que  le  passage  par  le  plus  rare  soit  plus  aisé  que  celui  par  le  plus  dense 
en  raison  double. 

(')  Cursus  malhcmalicvis  lomus  quinlus,  Paris,  chez  Simeon  Pigct,  MDCXLIV,  p.  17,9- 
i3o.  Axiome  V  :  «  Les  puissances  de  pénétrer  divers  mediuins  diaplianes,  qu'ont  les 
rayons  optiques,  s'augmentent  ou  diminuent  proportionnellement  par  la  mutation  des 
médiums  ;  et  il  y  a  mesme  proportion  entre  les  puissances  des  rayons  d'incidence  et  de 
réfraction  qu'entre  les  pressemens  qu'ils  recevroient  des  poids  égaux  s'ils  en  souste- 
noient.  u 

(")  Perspectiva  horaria  seu  de  liorographia  gnomonica  tum  theoretica  tum  practica 
libri  quatuor.  Rome,  1648;  in-fol.,  pages  631-647. 


CXII.  -  I  JANVIER   1662.  459 

Il  suit  de  cette  supposition  que  le  temps  qu'emploie  le  mobile  ou  la 
lumière  de  C  en  0  est  moindre  que  celui  qui  les  conduit  de  0  en  G,  et 
que  le  temps  du  mouvement  de  C  en  0,  qui  se  fait  dans  le  milieu  le 
plus  rare,  n'est  que  la  moitié  du  temps  du  mouvement  de  0  en  G.  Et 
par  conséquent  la  mesure  du  mouvement  entier  par  les  deux  droites  CO 

Fig.  100. 


et  OG  peut  être  représentée  par  la  somme  de  la  moitié  de  CO  et  de  la 
totale  OG;  de  même,  si  vous  prenez  un  autre  point,  comme  F,  le  temps 
du  mouvement  par  les  deux  droites  CF  et  FG  peut  être  représenté  par 
la  somme  de  la  moitié  de  CF  et  de  la  totale  FG. 

Supposons  maintenant  que  le  rayon  CO  soit  lo,  et  par  conséquent  le 
diamètre  total  COG  sera  20;  que  la  droite  HO  soit  8,  la  droite  OD  soit 
aussi  8;  et  qu'enfin  la  droite  OF  ne  soit  que  i.  Je  dis  qu'en  ce  cas  le 
mouvement  qui  se  fait  par  la  droite  COG  se  fera  en  un  temps  plus 
long  que  celui  qui  se  fait  par  les  deux  côtés  du  triangle  CF,  FG. 

Car  si  nous  prouvons  que  la  moitié  de  CO,  jointe  à  la  totale  OG,  con- 
tient plus  que  la  moitié  de  CF  jointe  à  la  totale  FG,  la  conclusion 
sera  manifeste,  puisque  ces  deux  sommes  sont  justement  la  mesure 
du  temps  de  ces  deux  mouvements.  Or  la  somme  de  la  moitié  de  CO 
et  de  la  totale  OG  fait  justement  i5,  et  il  est  évident  par  la  construc- 
tion que  la  droite  CF  est  égale  à  la  racine  quarrée  de  117  et  que  la 
droite  FG  est  égale  à  la  racine  quarrée  de  85.  I\Iais  la  moitié  de  la  pre- 
mière racine,  jointe  à  la  seconde,  fait  moins  que  — >  et  -^  sont  encore 

^       A  4 

moindres  que  i5.  Donc  la  somme  de  la  moitié  de  CF  et  de  la  totale  FG 


4G0  ŒUVRES  DE  FERMAT.—  CORRESPONDANCE. 

ost  moindre  que  la  somme  de  la  moitié  de  CO  et  de  la  totale  OG,  et  par- 
tant le  mouvement  par  les  deux  droites  CF,  FG  se  fait  plus  tôt  et  en 
moins  de  temps  que  par  la  base  ou  soustendante  COG. 

4.  Je  suis  venu  jusqucs-là  sans  beaucoup  de  peine,  mais  il  a  fallu  por- 
ter la  rechercbe  plus  loin  et,  parce  que,  pour  satisfaire  à  mon  principe, 
il  ne  suffit  pas  d'avoir  trouvé  un  point  comme  F,  par  où  le  mouvement 
naturel  se  fait  plus  vite,  plus  aisément  et  en  moins  de  temps  que  par  la 
droite  COG,  mais  [quj'il  faut  encore  trouver  le  point  qui  fait  la  con- 
duite en  moins  de  temps  que  quelque  autre  que  ce  soit,  pris  des  deux 
côtés,  il  m'a  été  nécessaire  d'avoir  en  cette  occasion  recours  à  ma 
méthode  de  maximis  et  minimis ,  qui  expédie  cette  sorte  de  questions 
avec  assez  de  succès. 

Dés  que  j'ai  voulu  entreprendre  cette  analyse,  j'ai  eu  deux  obstacles 
à  surmonter  :  le  premier,  que,  bien  que  je  fusse  assuré  de  la  vérité  de 
mon  principe,  qui  est  qu'il  n'y  ait  rien  de  si  probable  ni  de  si  apparent 
que  cette  supposition,  que  la  nature  agit  toujolirs  par  les  moyens  les 
plus  aisés,  c'est-à-dire  ou  par  les  lignes  les  plus  courtes,  lorsqu'elles 
n'emjjortent  pas  plus  de  temps,  ou  en  tout  cas  par  le  temps  le  plus 
court,  afin  d'accourcir  son  travail  et  de  venir  plus  tôt  ii  bout  de  son 
opération  (ce  que  le  précédent  calcul  confirme,  d'autant  plus  qu'il 
paroit  que  la  lumière  a  plus  de  difficulté  à  traverser  les  milieux  denses 
que  les  rares,  puisque  vous  voyez  que  la  réfraction  vise  vers  la  perpen- 
diculaire dans  mon  exemple,  ainsi  que  l'expérience  le  confirme,  ce  qui 
pourtant  est  contraire  à  la  supposition  de  M.  Descaries),  néanmoins 
j'ai  été  averti  de  tous  côtés,  et  principalement  par  M.  Petit,  que  j'estime 
infiniment,  que  les  expériences  s'accordent  exactement  avec  la  propor- 
lion  que  M.  Descartes  a  donnée  aux  réfractions,  et  que,  bien  que  sa 
démonstration  soit  fautive,  il  est  à  craindre  que  je  tenterai  inutilement 
d'introduire  une  proportion  différente  de  la  sienne,  et  que  les  expé- 
riences qui  se  feront  après  que  j'aurai  publié  mon  invention  la  pour- 
ront détruire  sur  l'heure. 

Le  second  obstacle  qui  s'est  opposé  à  ma  recherche  a  été  la  longueur 


CXII.  -  1   JANVIER   16C2.  /^61 

et  la  (liffîculté  du  calcul,  qui,  dans  la  résolution  du  problème  dont  je 
vous  parlai  dans  ma  lettre  et  que  je  vous  témoignois  n'être  pas  dos  plus 
aisés,  présente  d'abord  quatre  lignes  par  leurs  racines  quarrées  et 
engage  par  conséquent  en  des  asymmétries  qui  aboutissent  à  une  tri-s 
grande  longueur. 

Je  me  suis  défait  du  premier  obstacle  par  la  connoissance  que  j'ai 
qu'il  y  a  infinies  proportions,  différentes  de  la  véritable,  qui  approchent 
d'elle  si  insensiblement  qu'elles  peuvent  tromper  les  plus  habiles  et 
les  plus  exacts  observateurs.  Ainsi  n'y  ayant  que  le  second  obstacle  à 
vaincre,  je  m'étois  résolu  très  souvent  d'employer  la  bien-aimée  (') 
Géométrie  (c'est  ainsi  que  Plutarque  l'appelle)  pour  vous  satisfaire  et 
pour  me  satisfaire  moi-même.  Mais  l'appréhension  de  trouver,  après  une 
longue  et  pénible  opération,  quelque  proportion  irrégulière  et  fan- 
tasque, et  la  pente  naturelle  que  j'ai  vers  la  paresse,  ont  laissé  la 
chose  en  cet  état,  jusqu'à  la  dernière  semonce  que  M.  le  Président 
[de  ]  Miremont  vient  de  me  faire  de  votre  part,  que  je  prends  pour  une 
loi  plus  forte  que  ni  mon  appréhension  ni  ma  paresse  :  si  bien  que  je 
me  suis  résolu  de  vous  obéir  sans  autre  retardement. 

5.  J'ai  donc  procédé  sans  remise  en  vertu  de  l'obédience,  comme 
parlent  les  moines,  à  l'exécution  de  vos  ordres,  et  j'ai  fait  l'entière 
analyse  en  forme,  dans  laquelle  le  désir  passionné  que  j'ai  eu  de  v(ins 
satisfaire  m'a  inspiré  une  l'outc  qui  a  abrégé  la  moitié  de  mon  travail 
et  qui  a  réduit  les  quatre  asymmétries  que  j'avois  eu  en  vue  la  jire- 
mière  fois  à  deux  tant  seulement,  ce  qui  m'a  notablement  soulagé. 

IMais  le  prix  de  mon  travail  a  été  le  plus  extraordinaire,  le  [ilus 
imprévu  et  le  plus  heureux  qui  fut  jamais.  Car,  après  avoir  couru  par 
toutes  les  équations,  multiplications,  antithèses  et  autres  opérations  de 
ma  méthode,  et  avoir  enfin  contlu  le  problème  (|ue  vous  verrez  dans 
un  feuillet  séparé  (-),  j'ai  trouvé  que  mon  [)i-incipe  donnoit  justi'ment 

(')   Plutarque,  Marcellus,  XIV,  5  :  Tf,'/  yip  àya::(i)[i£vr|V  xaûtr//.... 

En  fait,  il  s'agil  dans  ce  passage,  relatif  à  Arcliimcde,  de  Mécanique,  non  de  Géométrie. 

(*)  Voir  V Anal/sis  ad  refractioncs,  t.  I,  p.  170  et  siiiv. 


462  ŒUVRES  DE  FERMAT.-   CORRESPONDANCE. 

et  précisément  la  même  proportion  des  réfractions  que  M.  Descartes  a 
établie. 

J'ai  été  si  surpris  d'un  événement  si  peu  attendu,  que  j'ai  peine  à 
revenir  de  mon  étonnement.  J'ai  réitéré  mes  opérations  algébraiques 
diverses  fois  et  toujours  le  succès  a  été  le  même,  quoique  ma  démon- 
stration suppose  que  le  passage  de  la  lumière  par  les  corps  denses  soit 
plus  malaisé  que  par  les  rares,  ce  que  je  crois  très  vrai  et  indispu- 
table,  et  que  néanmoins  M.  Descartes  suppose  le  contraire. 

Que  devons-nous  conclure  de  tout  ceci?  Ne  sufiiroit-il  pas.  Monsieur, 
aux  amis  de  M.  Doscartes  que  je  lui  laisse  la  possession  libre  de  son 
théorème?  N'aura-l-il  pas  assez  de  gloire  d'avoir  connu  les  démarches 
de  la  nature  dans  la  première  vue  et  sans  l'aide  d'aucune  démon- 
stration? Je  lui  cède  donc  la  victoire  et  le  champ  de  bataille,  et  je  me 
contente  que  M.  Clerselier  me  laisse  entrer  du  moins  dans  la  société 
de  la  preuve  de  cette  vérité  si  importante,  et  qui  doit  produire  des  con- 
séquences si  admirables. 

6.  J'.ijoute  même,  en  faveur  de  son  ami,  qu'il  semble  que  cette  grande 
vérité  naturelle  n'a  pas  osé  tenir  devant  ce  grand  génie,  et  qu'elle  s'est 
rendue  et  découverte  à  lui  sans  s'y  laisser  forcer  par  la  démonstration, 
il  l'exemple  de  ces  places  qui,  quoique  bonnes  d'ailleurs  et  de  difiicilc 
prise,  ne  laissent  pas,  sur  la  seule  réputation  de  celui  qui  les  attaque, 
de  se  rendre  sans  attendre  le  canon. 

Je  vous  annonce  donc,  Monsieur,  j'annonce  à  M.  Clerselier  et  à  tous 
les  amis  de  M.  Descartes  qu'il  ne  tiendra  plus  à  l'incrédulité  des 
géomètres  qu'on  ne  doive  attendre  les  merveilles  que  M.  Descartes  a  fait 
espérer  avec  raison  de  ses  lunettes  elliptiques  et  hyperboliques, 
pourvu  qu'on  puisse  trouver  des  ouvriers  assez  habiles  pour  les  faire 
et  pour  les  ajuster. 

Il  resteroit  encore  une  petite  difficulté  que  la  comparaison  de  M.  Des- 
cartes semble  produire.  C'est  qu'il  ne  paroît  pas  encore  pourquoi  la 
balle  qui  est  poussée  dans  l'eau  n'approche  pas  de  la  perpendiculaire, 
ainsi  que  la  lumière;  mais,  outre  qu'on  pourroit  soupçonner  que  la 


CXII.  -   1  JANVIER   1C62.  iG3 

réflexion  se  mêle  dans  cet  exemple  à  la  réfraction,  et  que  la  figure  ou 
la  gravité  peuvent  contribuer  à  la  différence  de  ce  mouvement,  je  n'ai 
garde  d'entrer  dans  une  matière  purement  physique.  Ce  scroit  entre- 
prendre sur  vous.  Monsieur,  qui  en  êtes  le  maître,  et  faire  irruption 
dans  votre  domaine. 

Je  finis  donc  après  vous  avoir  déclaré  que  je  consens,  si  vous  le 
trouvez  à  propos,  que  l'accommodement  entre  les  Cartésiens  et  moi 
soit  publié  dans  les  Académies,  [et]  après  vous  avoir  conjuré  de  rece- 
voir au  moins  l'effet  de  ma  prompte  obéissance  pour  une  preuve  cer- 
taine et  plus  que  démonstrative  de  la  passion  avec  laquelle  je  suis. 
Monsieur,  votre  très  humble  et  très  obéissant  serviteur, 

Fermât. 
A  Toulouse,  le  i  de  l'an  1662. 

P.  S.  Si  vous  persistez  toujours  à  n'accorder  pas  un  mouvement 
successif  à  la  lumière,  et  à  soutenir  qu'il  se  fait  en  un  instant,  vous 
n'avez  qu'à  comparer  ou  la  facilité  ou  la  fuite  et  résistance  plus  ou 
moins  grande,  à  mesure  que  les  milieux  changent.  Car  cette  facilité  ou 
cette  résistance  étant  plus  ou  moins  grande  en  différents  milieux,  et  ce 
en  une  proportion  diverse  à  mesure  que  les  milieux  différent  davan- 
tage, elles  pourront  être  considérées  en  une  raison  certaine  et  par  con- 
séquent tomber  dans  le  calcul  aussi  bien  que  le  temps  du  mouvement, 
et  ma  démonstration  y  servira  toujours  d'une  même  manière. 

Je  n'ai  pas  étendu  mon  opération  tout  entière  :  et  il  n'a  pas  été 
nécessaire,  puisque  ma  méthode  est  imprimée  tout  au  long  dans  le 
sixième  tome  du  Cours  mathématique  d'Hérigone  et  que  j'en  ai  assez 
dit  pour  être  entendu.  Si  vous  m'ordonnez  de  parcourir  tous  les 
détours  de  l'analyse  en  forme,  je  le  ferai  et  je  n'aurai  pas  même  beau- 
coup de  peine  à  faire  la  démonstration  par  la  composition,  c'est-à-dire 
en  parlant  le  langage  d'Euclide. 


4G4  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

CXIII. 
CLERSELIER  A  FERMAT. 

SAMEDI  6  MAI  1G62. 

(D.,  III,   52.) 

Monsieur, 

No  croyez  pas  que  ce  soit  à  dessein  de  troubler  la  paix  que  vous  pré- 
sentez à  tous  les  Descartistes,  que  je  prends  aujourd'hui  la  plume  à  la 
main.  Los  conditions  sous  lesquelles  vous  la  leur  offrez  leur  sont  trop 
avantageuses,  et  à  moi  en  particulier  trop  honorables,  pour  ne  la  pas 
accepter;  et  si  tous  ceuK  qui  ont  jamais  eu  des  démêlés  avec  leur 
maître  étoient  aussi  sincères  que  vous,  vous  la  verriez  bientôt  établie 
partout  au  contentement  de  tous  les  partis. 

Il  y  avoit  encore  deux  sortes  d'esprits  à  satisfaire  au  sujet  de  la 
réfraction  : 

Les  uns,  peu  versés  dans  les  Mathématiques,  qui  ne  pouvoient  com- 
prtMidre  une  raison  prise  de  la  nature  des  mouvemcns  composés,  et 
vous  leur  avez  fait  entendre  raison,  en  leur  proposant  un  autre  prin- 
cipe plus  plausible  en  apparence  et  plus  proportionné  à  leur  portée,  ;» 
savoir  qu((  la  nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus  courtes  et  les 
pins  simples; 

J^es  autres  qui  y  étoient  trop  adonnés  et  qui  ne  pouvoient  se  rendre 
aux  raisons  pures  et  sim[)les  de  la  métaphysique,  qu'il  faut  pourtant 
nécessairement  joindre  avec  celles-là  pour  leur  donner  la  force  de  la 
conviction,  et  vous  leur  avez  ôté  cet  obstacle  en  conduisant  votre  prin- 
cipe par  un  raisonnement  purement  géométrique. 

Et  comme  ces  deux  sortes  de  personnes  étoient  sans  doute  beaucoup 
plus  en  nombre  que  les  autres,  vous  méritez  aussi  sans  difficulté  une 
plus  grande  part  dans  la  gloire  qui  est  due  à  une  si  belle  et  si  impor- 
tante découverte. 

Je  ne  vous  l'envie  [loint,  Monsieur,  et  vous  promets  de  le  publier 


(.\ni.  -  0  MAI    IG62.  'iC5 

pai((>ii(  cf  (le  coiifosscM'  liautement  ([uc  je  n'ai  rien  vu  de  plus  ingé- 
nieux ni  (le  mieux  (rouvé  (|ne  la  (iéinnnsiration  (|ue  vous  avez  ajjpor- 
{ée.  Pormottez-moi  seulement  de  vous  dire  ici  les  raisons  (|u'un  l)es- 
cartiste  un  peu  zélé  pourroil  alléguer  pour  maintenir  l'iionneur  et  le 
droit  de  son  maître,  et  pour  ne  pas  relâcher  si  tôt  ;i  un  autre  la  posses- 
sion 011  il  est,  ni  lui  céder  le  premier  pas. 

1-  Le  [)rineipe  (jue  vous  prenez  pour  l'ondenienl  de  votre  <lémon- 
stration,  à  savoir  que  la  nature  agil  (oujours  par  les  voies  les  plus 
courtes  et  les  plus  simples,  n'est  (|u'un  principe  moral  i-l  non  point 
physi(jue,  qui  n'es!  point  et  (|ui  ne  peul  élre  la  cause  d'aucun  ellet  de 
la  nature. 

Il  ne  l'est  point,  car  ce  n'est  point  ce  principe  (|iii  la  fait  agir,  mais 
bien  la  force  secrète  et  la  vertu  (jui  est  dans  chaque  chose,  qui  n'est 
jamais  détcrminét^  à  un  (el  ou  tel  effet  par  ce  principe,  mais  par  la 
force  qui  est  dans  toutes  les  causes  qui  concourent  ensemble  à  une 
même  action,  et  par  la  disposition  qui  se  trouve  actuellement  dans  Ions 
les  corps  sur  lesquels  cette  force  agit. 

l^t  il  ne  le  peut  être,  autrement  nous  su|)[)oserions  de  la  c(uinois- 
sance  dans  la  nature  :  et  ici.  par  la  nature,  ncnis  entendons  seulement 
cet  ordre  et  cette  loi  établie  dans  le  nnuide  l(d  qu'il  est,  laquelle  agit 
sans  prévoyance,  sans  choix,  et  par  une  détermination  nécessaire. 

2.  (^e  même  principe  doit  mettre  la  nature  en  irrésolution,  ii  ni' 
savoir  ;i  quoi  se  déterminer,  quand  elle  a  ii  faire  passer  un  rayon  de 
lumière  d'un  corps  rare  dans  un  plus  dense.  (]ar  je  vous  demande 
s'il  est  vrai  (|ue  la  nature  doive  toujours  agir  pai'  les  voies  les  plus 
courtes  et  les  plus  sim[des.  puis(|ue  la  ligne  droite  est  sans  doute  el 
plus  c(uirte  et  plus  siuiple  (|ue  pas  une  autre,  (|uand  un  rayon  de  lu- 
mière a  à  partir  d'un  point  d'un  corps  rar-e  pour  se  terminer  dans  un 
|)(tint  d'un  corps  dense,  n'y  a-t-il  pas  lien  de  l'aire  hésiter  la  nature,  si 
vous  voulez  (|n'(dlo  agisse  parce  [)rincipe  à  suivre  la  ligne  droite  aus- 
sitôt ([lie  la  rom|)ue,  puisque  si  celle-ci  se  trouve  plus  courte  en  temps, 

Kmout.  —  II.  ')() 


466  ŒUVRES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

l'autre  se  trouve  plus  courte  et  plus  simple  en  mesure?  Qui  décidera 
donc  et  qui  prononcera  là-dessus? 

3.  Comme  le  temps  n'est  point  ce  qui  meut,  il  ne  peut  être  non  plus 
ce  qui  détermine  le  mouvement,  et  quand  une  fois  un  corps  est  mù  et 
déterminé  à  aller  quoique  part,  il  n'y  a  nulle  apparence  de  croire  que 
le  temps  plus  ou  moins  bref  puisse  obliger  ce  corps  à  changer  de  déter- 
mination, lui  qui  n'agit  point  et  qui  n'a  nul  pouvctir  sur  lui.  Mais 
comme  toute  la  vitesse  et  toute  la  détermination  du  mouvement  de  ce 
corps  dépend  de  sa  force  et  de  la  disposition  de  sa  force,  il  est  bien 
plus  naturel  et  c'est,  ;i  mon  avis,  parler  plus  en  physicien  de  dire, 
comme  fait  M.  Descaries,  que  la  vitesse  et  la  détermination  de  ce  corps 
changent  par  le  changement  qui  arrive  en  la  force  et  en  la  disposition 
de  cette  force,  qui  sont  les  véritables  causes  de  son  mouvement,  (|ue 
non  pas  de  dire,  comme  vous  faites,  qu'elles  changent  par  un  dessein 
que  la  nature  a  d'aller  toujours  par  le  chemin  qu'elle  peut  parcourir 
plus  promptement,  dessein  qu'elle  ne  peut  avoir,  puis(ju'elle  agit  sans 
connoissanee,  et  qui  n'a  nul  elTet  sur  ce  corj)s. 

4.  (]omme  il  n'y  a  que  la  lign(!  droiti^  qui  soit  déterminée,  il  n'y  a 
aussi  ({ue  cette  ligne-lii  seule  où  la  nature  tende  dans  tous  ses  mouve- 
mens  et,  bien  (jue  parfois  un  corps  par  son  mouvement  décrive  actuel- 
lement une  autre  ligne,  néanmoins,  ii  considérer  l'un  après  l'autre 
tous  les  points  qu'il  a  parcourus,  ils  sont  plutôt  les  points  d'autant  de 
lignes  droites  qu'il  quitte  successivement  que  ceux  d'une  ligne  courbe 
qu'il  tende  à  décrire,  et  il  les  a  plutôt  parcourus  comme  tels  qu'autre- 
ment, puisque,  sitôt  que  ce  corps  est  laissé  et  abandonné  à  la  force  qui 
le  meut  en  chaque  point,  il  se  porte  à  suivre  la  ligne  droite  à  laquelle  ce 
point  appartient,  et  pointdutoutla  ligne  courbe  qu'il  a  décrite  (y/'^.  loi). 

Cela  étant,  s'il  est  question  de  porter  un  rayon  de  lumière  du  point  M 
au  point  H,  il  est  certain  que  la  nature  l'envoiera  tout  droit  par  la 
ligne  MH,  si  cela  se  peut,  et  de  fait,  (juand  le  milieu  est  semblable  et 
égal,  elle  n'y  manque  jamais.  Mais  (juand  le  milieu  par  où  la  lumière 


CXIII.  -  G  MAI    16G-2.  iG7 

passc  change  do  nature  et  oppose  plus  ou  moins  de  résistance  à  son 
passage  et  à  son  cours,  qui  fera  changer  sa  direction  à  la  rencontre  de 
ce  milieu?  Que  peut-on  soupçonner  qui  en  soit  la  cause? 


Fis-  101. 


La  brièveté  du  temps?  Nullement.  Car,  quand  le  rayon  MN  est  par- 
venu au  point  N,  il  lui  doit  être  indifférent,  suivant  ce  principe,  d'aller 
à  tous  les  points  de  la  circonférence  BHA,  puisqu'il  lui  faut  autant  de 
temps  à  parvenir  aux  uns  qu'aux  autres,  et,  cette  raison  de  la  brièveté 
du  temps  ne  le  pouvant  emporter  alors  vers  un  endroit  plutôt  que  vers 
un  autre,  il  y  auroit  raison  qu'il  dût  plutôt  suivre  la  ligne  droite.  Car. 
pour  choisir  le  point  H  plutôt  que  tout  autre,  il  faudroit  supposer  (jue 
ce  rayon  MN.  que  la  nature  n'a  pu  envoyer  vers  là  sans  une  tendance 
indéfinie  en  ligne  droite,  se  souvint  qu'il  est  parti  du  point  M  avec 
ortlre  d'aller  chercher,  à  la  rencontre  de  cet  autre  milieu,  le  chemin 
qu'il  put  parcourir  en  moins  de  temps  pour  de  là  arriver  en  H  :  ce 
qui,  à  vrai  dire,  est  imaginaire  et  nullement  fondé  en  Physique. 

Qui  fera  donc  changer  la  direction  du  rayon  MN  (quand  il  est  par- 
venu au  point  N)  à  la  rencontre  d'un  autre  milieu?  sinon  celle  qu'al- 
lègue M.  Descartes,  qui  est  que  la  même  force  qui  agit  et  qui  meut 
le  rayon  MN,  trouvant  une  autre  disposition  à  recevoir  son  action  dans 
ce.  milieu  que  dans  l'autre,  ce  qui  change  la  sienne  à  son  égard,  con- 
forme la  direction  de  ce  niyon  à  la  disposilion  (|u"elle  a  pour  lors?  Kl. 
pource  qu'au  point  de  rencontre  de  cet  autre  milieu,  c'est  la  seule 
force  qui  porte  le  rayon  en  bas.  qui  se  ressent  de  la  diversité  à  recevoir 
son  action,  qui  est  entre  le  milieu  d'où  il  sort  et  celui  où  il  entre  (celle 
qui  le  porte  à  droite  ne  s'en  ressentant  point,  à  cause  que  ce  milieu  ne 


468  (EUVHES    DR    FERMAT.  -  COIi  H  ESPONI)  ANGE. 

lui  csl  aucunement  opposé  en  ee  sons-là),  le  changemeni  qui  arrive  à 
la  faeon  dont  l'action  de  la  force  qui  le  porte  en  bas  est  rec^-ue  dans  ce 
point  de  rencontre,  change  aussi  la  direction  du  rayon  et  le  l'ait  dé- 
tourner du  côté  où  il  est  attiré,  s(don  la  proportion  qui  se  trouve  alors 
entre  l'action  d(^  (;ctt((  force  et  celle  de  l'autre,  lilt  cela  me  semble  si 
clair  qu'il  ne  doit  j)lus  rester  aucune  difficulté. 

5.  S'il  semble  apparemment  plus  raisonnable  de  croire  que  la  lu- 
mière trouve  plus  aisément  passage  dans  les  corps  rares  que  dans  les 
denses,  ainsi  que  vous  le  supposez,  fondé  sur  l'expérience  de  tous  les 
(^orps  sensibles  qui  l'ont  sans  doute  plus  libre  dans  ces  sortes  de  mi- 
lieux, il  est  aussi,  ce  me  semble,  plus  raisonnable  de  croire  que  les 
corps  qui  entrent  dans  des  milieux  qui  font  plus  de  résistance  à  leur 
passage  que  ceux  d'où  ils  sortent,  comme  vous  suppose/  que  les  corps 
denses  font  à  la  lumière,  s'efforcent  de  s'en  éloigner  et  ne  s'y  enfon- 
cent que  le  moins  qu'ils  peuvent. 

(^e  que  l'expérience  confirme  :  ainsi,  quand  une  balle  est  poussée  de 
biais  de  l'air  dans  l'eau,  bien  loin  de  continuer  son  mouvement  en 
ligne  droite,  et  beaucoup  plus  de  s'enfoncer  davantage  en  approchant 
de  la  perpendiculaire,  elb^  s'en  éloigne  autant  qu'elle  peut  en  s'appro- 
chant  de  la  superficie.  Et  vous  avez  fort  bi(Mi  reconnu  la  force  de  cette 
objection,  que  vous  appelez  pourtant  légère,  mais  que  vous  ne  sauriez 
résoudre  que  par  le  principe  de  M.  Descartes,  qui  ruine  entièrement 
le  vôtre. 

Car  si,  i)ar  votre  principe  môme,  la  balle  doit  s'éloigner  de  la  per- 
])endiculaire,  pourquoi  la  lumière  s'en  approcbe-t-elle?  Et  si  la  balle 
n(^  suit  pas  votre  principe,  comme  en  effet  elle  ne  le  suit  pas,  pour(|uoi 
la  lumière  le  suivra-t-elle?  Cela  ne  fait-il  pas  plutôt  voir  que,  dans  l'un 
et  dans  l'autre  exemple,  la  nature  n'agit  pas  par  votre  principe? 

6.  Celte  voie  que  vous  estimez  la  plus  courte  parce  qu'elle  est  la 
plus  prompte,  n'est  qu'une  voie  d'erreur  et  d'égarement  que  la  nature 
ne  suit  point,  et  ne  peut  avoir  intention  de  suivre.  Car,  comme  elle  est 


CXIII.  —  6  M\I   16G2.  4C!) 

déterminée  en  toiil  ce  (lu'elle  fait,  elle  ne  tend  jamais  (|u'à  conduire 
ses  mouvemens  en  ligne  droite. 

Et  ainsi,  si  vous  voulez  que  d'abord  elle  tende  d'M  vers  H,  elle  ne 
peut  s'aviser  de  dresser  un  rayon  vers  N,  pource  que  ce  rayon  de  soi 
n'y  tend  nullement;  mais  elle  dressera  son  rayon  vers  U  et,  ce  ravon 
étant  là  une  fois  parvenu,  qui  est  le  plus  droit,  le  plus  court  et  le  plus 
bref  de  tous  ceux  qui  peuvent  tendre  à  ce  [)oint,  pour  aller  mainte- 
nant d'R  en  H,  le  plus  droit  encore,  le  plus  court  et  le  plus  bref  est 
d'aller  tout  droit  vers  H.  Et  ainsi,  si  la  nature  agissoit  par  votre  prin- 
cipe même,  elle  d(^vroit  aller  directenienl  d'iM  vers  H;  car  d'un  coté 
elle  est  nécessitée  à  diriger  d'abord  son  rayon  vers  U,  et  de  là  votre 
principe  même  la  porte  vers  H. 

1-  Va,  bien  que  vous  ayez  très  clairement  démontré,  suivant  votre 
supposition,  que  le  temps  des  deux  rayons  MN,  NH,  pris  ensemble,  est 
plus  bref  que  celui  de  deux  autres,  quels  qu'ils  soient,  pris  aussi  en- 
semble, ce  n'est  pourtant  pas  la  raison  de  la  brièveté  du  temps  qui 
porte  ces  deux  rayons  par  ces  deux  lignes. 

f.ar  seroit-il  bien  possible  qu'un  rayon  (]ui  est  déjà  dans  l'air,  qui  a 
déjà  sa  direction  toute  droite  et  qui  ne  tend  nullenienl  ailleurs,  silot 
qu'on  lui  oppose  de  l'eau  ou  du  verre,  s'avisât  de  se  détourner  ainsi 
(ju'il  l'ait,  pour  le  seul  dessein  d'aller  justement  chercber  un  point  oii 
son  mouvement  composé  soit  le  plus  bref  de  tous  ceux  qui  y  peuvent 
aller  du  lieu  de  son  départ?  Cette  raison  seroit  bien  méta[iliysi(fue 
pour  un  sujet  purement  matériel. 

Ne  doit-on  pas  plutôt  croire,  ainsi  (|ue  j'ai  déjà  dit,  (|ue  comme  c'est 
la  force  du  mouvement  et  sa  détermination  qui  ont  conduit  ce  rayon 
dans  la  première  ligne  qu'il  a  décrite,  sans  que  le  temps  y  ait  rien  con- 
tribué, c'est  le  cbangement  qui  arrive  dans  celte  force  et  dans  cette 
détermination  qui  lui  fait  prendre  la  route  de  l'autre  qu'il  a  à  décrire, 
sans  (|ue  le  temps  y  contribue,  puisque  le  temps  ne  produit  rien? 

8.  Enlin  la  dilTérence  que  je  trouve  entre  M.  Descartes  et  vous  est 


470  (EUVRES  DE  FERMAT.-  COKRESPON  OANCE. 

que  vous  ne  prouvez  point,  mais  que  vous  supposez  pour  principe,  que 
la  lumière  passe  plus  aisément  dans  les  corps  rares  que  dans  les 
denses;  au  lieu  que  M.  Descartes  prouve,  et  ne  suppose  pas  simple- 
ment, ainsi  que  vous  dites,  que  la  lumière  passe  plus  aisément  dans 
les  corps  denses  que  dans  les  rares. 

Car,  posé  votre  principe  et  posé  encore  que  la  nature  agisse  tou- 
jours par  les  voies  les  plus  courtes  ou  les  plus  promptes,  vous  con- 
cluez fort  bien  que  la  lumière  doit  suivre  le  chemin  qu'elle  tient  dans 
la  réfraction;  lii  où  M.  Uescartcs,  sans  rien  supposer,  se  sert  seule- 
ment de  l'expérience  même  pour  conclure  que  la  lumière  passe  plus 
aisément  dans  les  corps  denses  que  dans  les  rares,  et  donne  en  même 
temps  le  moyen  de  mesurer  la  proportion  avec  laquelle  cela  se  fait. 
Va,  pource  qu'il  jugeoit  bien  que  l'expérience  journalière  que  nous 
avons  du  contraire  pourroit  nous  donner  lieu  de  nous  en  étonner,  il 
en  rend  la  raison  physique  dans  la  vingt-troisième  page  de  sa  Diop- 
trique,  h  laquelle  on  peut  avoir  recours. 

Mais,  s'il  est  vrai  que  la  lumière  passe  plus  difTicilcment  dans  les 
corps  rares  que  dans  les  denses,  comme  la  raison  alléguée  en  ce  lieu-lii 
par  M.  Descartes  semble  le  prouver,  et  s'il  est  vrai  aussi  que  la  nature 
n'agisse  pas  toujours  par  les  voies  les  plus  promptes,  comme  l'exemple 
de  la  balle  qui  passe  de  l'air  dans  l'eau  le  justifie,  adieu  toute  voire 
démonstration. 

Et  même,  comme  vous  dites  avoir  autrefois  proposé  vos  dilficultés  ii 
M.  Descartes,  à  lui,  dites-vous,  viventi  atque.  senlienli('),  sans  que  ni 
lui  ni  ses  amis  vous  aient  jamais  satisfait,  ne  pourroit-on  pas  aussi  dire 
qu'il  vous  a  fait  réponse  de  son  vivant,  et  ses  amis  depuis  sa  mort? 
tihi,  inquam,  viventi,  et  nisidicere  ncfas  esset,  adderem  :  et  non  intrlli- 
genti,  puisqu'il  y  en  a  qui  se  persuadent  de  la  bien  entendre. 

Ht  entin,  comme  vous  dites  que  la  nature  semble  avoir  eu  cette  défé- 
rence et  cette  complaisance  pour  M.  Descartes  de  s'être  rendue  ii 
lui  et  lui  avoir  découvert  ses  vérités  sans  s'y  laisser  forcer  par  la 

I  '  I   J'oir  ci-dessus,  pages  JSi-'liG. 


ex  m.  -    13   MAI    ICG2.  471 

ilémonsiration,  ne  peut-on  pas  dire  que  vous  avez  forcé  la  Géomélrie, 
loule  sévère  qu'elle  est,  à  vous  en  fournir  une  par  le  moyen  de  cette 
double  fausse  position? 

Après  quoi  je  laisse  aux  plus  sévères  et  plus  clairvoyans  natura- 
listes à  juger  qui  de  vous  deux  a  le  mieux  rencontré  dans  la  cause 
(|u'il  a  assignée  à  la  réfraction.  Cela  n'empêche  pas  qu'à  considérer 
les  choses  d'une  autre  façon,  je  ne  sois  d'accord  avec  vous  que  la 
nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus  courtes  et  les  plus  promptes. 
(>ar,  comme  elle  n'agit  que  par  la  force  qui  l'emporte  nécessairement 
et  qu'elle  est  toujours  déterminée  dans  son  action,  elle  fait  toujours 
tout  ce  qu'elle  peut  faire;  et  ainsi,  (juelqne  route  qu'elle  prenne,  c'est 
toujours  la  plus  courte  et  la  plus  prompte  qui  se  pouvoit,  eu  égard  à 
toutes  les  causes  qui  l'ont  fait  agir  et  (jui  l'ont  déterminée. 

Après  vous  avoir  ainsi  proposé  ce  ([ui  me  fait  persister  dans  mes 
premiers  sentimens,  je  ne  laisse  pas  de  me  sentir  obligé  de  me  rendre 
et  d'acquiescer  en  quelque  façon  aux  vôtres;  et,  bien  loin  de  vous  dis- 
[)uter  la  gloire  d'entrer  dans  la  société  de  la  preuve  d'une  vérité  si 
importante,  je  pense  avoir  trouvé  un  moyen  qui  vous  doit  mettre  tous 
deux  d'accord,  en  laissant  à  chacun  la  part  qui  lui  appartient. 

Il  semble  que,  comme  la  lumière  est  la  |)lus  noble  production  de 
la  nature,  elle  la  laisse  aussi  agir  d'une  manière  la  plus  régulière 
(!t  la  plus  universelle,  et  qu'elle  a  lait  (pie  dans  son  action  tout  ce 
qu'elle  emploie  de  principes  dans  toutes  les  autres  causes  se  rencon- 
Irent  tous  ensemble  dans  C(dle-ci. 

Ainsi,  pourcc  que  les  mouvemens  des  autres  corps  dépendent  de 
la  force  qui  les  meut  et  de  la  détermination  de  cette  force,  la  lumièr(% 
suivant  ces  lois,  tantôt  se  continue  en  ligne  droite  et  tantôt  s'en  écarte, 
en  s'approchant  ou  s'éloignant  de  la  perpendiculaire.  Mais  pourc(!  que 
nous  voyons  aussi  que  la  nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus 
courtes,  il  falloit  que  la  lumière  s'accommodât  à  cette  loi. 

M.  Descartes  a  fait  voir  que  la  lumière  suit  dans  la  réfraction  les  lois 
ordinaires  du  mouvement  de  tous  les  corps,  et  vous,  Monsieur,  avez 
fait  voir  que,  quoique  la  lumière  semble  dans  la  réfraction  prendre  un 


W2  ŒUVRES   DE  F  EU  M  AT.  -  CORRESPONDANCE. 

détour  et  s'ouhlicr  qu'elle  doit  agir  par  les  voies  les  plus  eourtes,  elle 
observe  néanmoins  ecttc  loi  avec  une  exactitude  si  grande  qu'on  n'y 
sanroit  rien  désirer. 

Va  ainsi  l'on  peut  dire  que  vous  avez  travaillé  conjointement  avec 
M.  Desearles  à  justifier  en  cela  la  nature  et  à  rendre  raison  de  son 
procédé  :  lui,  par  des  raisons  naturelles  et  communes  à  tous  les  corps; 
et  vous,  Monsieur,  par  des  raisons  mathématiques  tirées  de  la  plus 
pure,  et  plus  fine  Géométrie. 

VA  même,  comme  cette  preuve  géométrique  étoit  la  jdus  dilHcile  à 
trouver  et  à  démêler,  je  veux  bien  que  vous  l'emportiez  par  dessus 
lui,  et  dès  ii  présent  je  signe  et  souscris  à  une  éternelle  paix  avec 
vous,  et  ne  veux  plus  désormais  contester  sur  l'inctricacité  de  votre 
jirincipe  cl  sur  la  didérencc  qui  est  entre  le  votre  et  le  sien,  puisqu'il 
conclut  une  même  chose  et  nous  enseigne  une  même  vérité. 

.le  suis,  etc. 


CXIV. 
CLERSELIKR  A  FERMAT. 

SAMEDI   13   MAI    16G2. 

(11.,  m,  r,:;.) 

MoNSiKur., 

1.  C'est  par  l'ordre  d(^  l'Assemblée  qui  se  tient  toutes  les  semaines 
chez  M.  de  Montmort,  que  je  vous  écris  aujourd'hui  pour  vous  faire 
une  amende  honorable  d'un  méchant  mot  latin  que  j'ai  mis  dans  la 
lettnî  que  je  me  donnai  l'honneur  do  vous  écrire  il  y  a  huit  jours,  dont 
je  lui  fis  la  lecture  mardi  dernier.  Ce  fut  la  seule  chose  qu'tdle  y  (rouva 
à  redire,  et  je  l'avois  bien  senti  moi-même  en  l'écrivant  :  aussi  avois-jc 
tâché  de  l'adoucir  par  le  correctif  qui  le  précède.  Cependant,  nonob- 
stant cela,  j'en  reçus  une  réprimande  publique,  et  aussitôt  je  me  pro- 
posai de  vous  en  faire  mes  excuses  au  premier  ordinaire,  ce  que  j(!  fais 


ex  m.  -  6   M\I    lGG-2.  4.73 

aujourd'hui  d'autant  i)liis  volontiers  qu'outre  que  par  cette  soumission 
je  vous  ferai  connoitre  l'ingénuité  de  mon  procédé,  cela  me  donnera 
aussi  occasion  de  vous  dire  quelque  chose  que  je  fus  obligé  de  répli- 
quer il  quelques  objections  qui  me  furent  faites  par  quelques-uns  de 
l'Assemblée,  afin  de  rendre  la  pensée  de  M.  Descartes,  touchant  la 
réfraction,  plus  claire  par  un  exem])le  familier  et  qui  est  tout-à-fait 
propre  au  sujet. 

Si  je  n'avois  point  été  si  impatient  que  de  vous  envoyer  une  chose 
qui  étoit  prête  il  y  avoit  plus  de  quinze  jours  et  que  l'engagement 
que  j'avois  m'avoit  obligé  de  faire  voir  dès-lors  ii  M.  de  la  ('.hambre, 
j'aurois  évité  le  reproche  de  la  Compagnie  et  ne  serois  j)as  tombé  dans 
cette  faute.  Mais  j'eus  pour  qu'il  me  fallût  encore  dilTérer  plus  long- 
temps d'en  parler  à  l'Assemblée,  qui  avoit  déjà  remis  par  deux  fois  la 
lecture  que  je  lui  en  voulois  faire,  pource  qu'elle  vouloit  aussi  avoir 
en  même  temps  les  sentimens  de  M.  Petit,  qui  lui  avoit  fait  con- 
noitre, dès  la  première  fois  que  votre  lettre  parut  devant  elle,  qu'il 
avoit  plusieurs  choses  à  dire  et  contre  ce  que  vous  écrivez  à  M.  de 
la  (Chambre  et  contre  ce  que  M.  Descartes  a  écrit. 

Pour  moi,  qui  ne  m'étois  pas  trouvé  à  l'Assemblée  quand  votre 
lettre  y  fut  lue  la  première  fois,  et  qui  me  dispensois  alors  souvent 
de  m'y  trouver,  à  cause  de  quelques  affaires  plus  importantes  que  la 
détention  de  M.  de  la  Haye,  mon  gendre,  me  donnoit  pour  poursuivre; 
à  la  cour  sa  liberté,  je  ne  l'eus  pas  plus  tôt  vue  que  je  crus  être 
obligé  d'y  faire  réponse,  comme  étant  une  suite  des  petits  démêlés 
(|ue  nous  avions  déjà  eus  autrefois  ensemble  sur  la  même  matière,  et 
parce  aussi  que  vous  me  faites  l'honneur  de  me  nommer  i)ar  trois  fois 
dans  votre  lettre  et  de  sembler  m'y  convier. 

J'avois  donc  préparé  ma  réponse  le  plus  tôt  que  j'avois  pu,  et  pen- 
sois  la  faire  voir  à  la  Compagnie,  mais  elle  ne  le  jugea  pas  à  propos, 
pour  ne  point  prévenir  M.  Petit  dans  la  repartie  qu'il  avoit  promis  de 
vous  faire.  Mais,  craignant  que  cela  n'allât  trop  en  longueur,  je  im> 
résolus  de  moi-même  samedi  dernier  de  vous  l'envoyer  avant  ([uc  (b; 
l'avoir  fait  voir  à  la  Compagnie,  de  ()ni  j'ai  reçu  les  avis  trop  lard  pour 
Ikrmat.  -  11.  Co 


Mh 


ŒUVRES   DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 


m'empécher  de  tomber  dans  cette  faute,  mais  non  pas  pour  vous  en 
faire  mes  excuses  et  vous  en  demander  le  pardon. 

Et  pour  le  mériter  en  quelque  façon,  souffrez  que  je  m'explique  un 
peu  plus  au  long  que  je  ne  fis  la  dernière  fois,  pour  vous  faire  com- 
prendre ce  que  je  pense  de  la  pensée  qu'a  eue  M.  Descartes  touchant 
la  réfraction. 

2.  Il  est  certain  qu'à  considérer  tout  seul  le  rayon  AB,  en  tant  qu'il 
est  dans  l'air,  il  ne  va  ni  à  gauche  ni  à  droite,  ni  en  haut  ni  en  bas, 
mais  toute  sa  tendance  est  d'aller  vers  D  et  n'a  (ju'uue  seule  direction. 
Mais  sitôt  qu'on  lui  oppose  un  autre  milieu,  par  exemple  CBE,  dans 
lequel  il  soit  obligé  de  passer,  on  peut  dire  et  il  est  vrai  qu'à  l'égard 
de  ce  milieu  il  a  diverses  tendances.  Car  si  on  le  lui  oppose  direcle- 
ment,  sa  chute  est  perpendiculaire  et  n'a  qu'une  direction  à  son  égard  ; 
mais  si  on  le  lui  oppose  de  biais,  comme  il  est  dans  la  page  17  de  la 
I)ioptrique(/7^.  102),  alors  ce  rayon  à  son  égard  a  une  double  direction  : 

Fis;.   102. 


l'une  qui  le  fait  tendre  vers  lui,  qui  est  de  haut  en  bas;  et  l'autre  qui  le 
porte  de  gauche  à  droite,  à  laquelle  ce  milieu  n'est  point  du  tout  opposé. 
Et  si  on  le  lui  opposoit  d'une  autre  façon,  la  même  direction,  qui 
maintenant  est  de  gauche  à  droite,  pourroit  être  celle  qui  le  porteroit 
vers  lui,  et  l'autre,  celle  à  laquelle  ce  milieu  ne  seroit  point  opposé. 
Et  selon  que  ce  milieu  est  plus  ou  moins  incliné  à  ce  rayon,  les  deux 
tendances  ou  directions  qu'il  a  à  son  égard  sont  diverses  et  j)euvcnt 
avoir  l'une  à  l'égard  de  l'autre  diverses  proportions. 


CXIV.  -  13  MAI    1CC2.  47.Ï 

3.  IMais  quand  je  parle  do  tendance,  de  direction  ou  de  détermination, 
ne  vous  allez  pas  imaginer  que  j'entends  parler  d'une  direction  sans 
force  et  sans  mouvement,  ce  qui  seroit  chimérique  et  impossible,  ne 
pouvant  y  avoir  de  direction  sans  mouvement  ou  sans  effort;  mais  j'en- 
tends par  ce  mot  de  direction  ou  de  détermination  vers  quelque  en- 
droit toute  la  partie  du  mouvement  qui  est  déterminée  à  aller  vers  cet 
endroit-là. 

Donc,  selon  que  le  milieu  est  plus  ou  moins  incliné  au  ravon,  la 
force  qui  à  son  égard  le  porte  vers  un  certain  endroit  peut  être  plus 
ou  moins  grande  que  celle  qui  le  porte  vers  l'autre.  Par  exemple,  si 
l'angle  ABC  est  égal  à  l'angle  ABH,  les  deux  parties  du  mouvement, 
dont  l'une  le  porte  en  bas  et  l'autre  à  droite,  sont  égales;  s'il  est 
moindre,  sa  force  est  moindre;  et  s'il  est  plus  grand,  elle  est  plus 
grande. 

4.  Mais,  quelle  que  soit  l'inclination  du  rayon  sur  le  milieu,  il  y  a  tou- 
jours une  partie  de  la  force  de  son  mouvement  à  laquelle  ce  milieu  est 
opposé  et  une  autre  à  laquelle  il  ne  l'est  point.  Or,  tandis  que  le  rayon 
est  dans  l'air,  la  proportion,  quelle  qu'elle  soit,  qui  est  entre  ces  deux 
parties  du  mouvement  que  nous  supposons  uniforme,  le  porte  dans  la 
ligne  AB  et,  tandis  que  rien  ne  la  change  ou  tandis  qu'elles  changent 
en  gardant  toujours  entre  elles  une  même  proportion,  le  rayon  va  tou- 
jours en  ligne  droite. 

Mais  lorsque  le  rayon  AB  de  la  page  17  étant  j)arvenu  au  pointB ren- 
contre un  autre  milieu,  si  ce  milieu  ne  présente  pas  au  rayon  la  même 
facilité  à  se  laisser  pénétrer  qu'avoit  l'air,  il  doit  arriver  du  change- 
ment au  cours  du  rayon,  à  cause  que  ce  milieu  n'est  opposé  qu'à  la  dé- 
termination ou  à  la  partie  du  mouvement  qui  le  porte  vers  lui,  et  non 
point  à  l'autre,  et  s'il  présente  moins  de  facilité  au  passage  du  rayon 
que  ne  fait  l'air,  la  résistance  qu'il  apporte  à  la  partie  du  mouvement 
qui  tend  vers  lui,  et  non  point  à  l'autre,  laquelle  en  ce  point  de  ren- 
contre demeure  précisément  la  même,  fait  que,  n'y  ayant  plus  la  mémo 
proportion  entre  ces  deux  parties  du  mouvement  qui  toutes  deux  en- 


klù  ŒUVRES  DE  FEllMAT.  -  COKRESPOND ANGE. 

semble  portoient  auparavant  lo  rayon  dans  la  ligne  AB,  elles  doivent 
lui  faire  changer  de  détermination  et  le  porter  vers  le  point  où  tend  la 
direction  qui  s'ajuste  avec  la  proportion  qui  se  trouve  alors  entre  elles, 
et  ainsi  le  faire  éloigner  de  la  perpendiculaire. 

Que  si,  au  contraire,  le  milieu  qu'on  oppose  au  rayon  AB  présente 
plus  de  facilité  à  son  passage  que  ne  fiiisoit  l'air,  cette  nouvelle  facilité 
qu'il  apporte  et  qui  n'est  ressentie  que  par  la  partie  du  mouvement 
([ui  tend  vers  lui,  et  non  point  par  l'autre,  comme  j'ai  déjii  dit,  doit 
changer  sa  direction,  à  cause  que  cela  change  la  proportion  qui  est 
entre  les  deux  parties  dont  le  mouvement  entier  de  la  halle  est  com- 
posé, et  le  détourner  par  conséquent  vers  la  perpendiculaire,  ce  qui 
arrive  quand  un  rayon  de  lumière  passe  de  l'air  dans  de  l'eau  ou  dans 
du  verre. 

5.  Et  pour  faciliter  la  compréhension  de  tout  ceci  par  un  exemple  aisé, 
représentez-vous  un  corps  sphérique  bien  dur  et  bien  poli,  mis  sur 
une  planche  très  dure  aussi  et  très  polie  dont  le  bout  s'appuie  sur  l'ex- 
trémité d'une  table,  en  sorte  que  la  planche  soit  inclinée  sur  la  tahh^ 
et  fasse  un  angle  aigu  avec  elle.  Il  est  certain  que  ce  mobile  roulera  sur 
cette  ])lanche,  et  ce  d'autant  plus  ou  moins  vite  que  la  planche  sera 
moins  ou  plus  inclinée  sur  cette  table.  Mais,  quel  que  soit  le  mouve- 
ment du  mobile  sur  cette  planche,  il  est  certain  qu'à  l'égard  de  la  table 
il  a  deux  déterminations  :  l'une  qui  le  j)orte  vers  elle,  par  laquelle  il 
descend;  et  l'autre  qui  le  porte  vers  l'une  des  murailles  de  la  chambre, 
par  laquelle  il  avance  de  ce  côté-là. 

Et  il  est  si  vrai  qu'il  a  ces  deux  impressions,  qu'il  les  garde  encore 
toutes  deux  lorsqu'il  est  en  l'air  hors  de  la  planche;  et  s'il  ne  lui  en 
restoit  qu'une  quand  il  est  hors  de  dessus  la  planche,  il  ne  suivroit  que 
celle-là  seule;  par  exemple,  il  tomberoit  perpendiculairement  à  terre 
sitôt  qu'il  a  quitté  la  planche,  s'il  ne  lui  restoit  que  celle  de  sa  chute. 

Mais  considérez  ce  qui  arrive  au  mobile  quand  il  est  au  point  où  il 
quitte  la  planche,  et  vous  verrez  qu'il  arrive  la  même  chose  à  la  lu- 
mière quand  elle  passe  de  l'air  dans  l'eau.  Et  parce  qu'alors  la  partie 


CXIV.  -  13  MAI   16C2.  477 

(lu  mouvement  qui  porte  le  mobile  en  bas  trouve  plus  de  facilité  ou 
moins  de  résistance  à  son  action,  quand  il  est  hors  de  dessus  la  planche 
et  dans  l'air,  qu'elle  n'avoit  quand  il  étoit  sur  la  planche;  et  que  celle 
qui  le  porte  vers  la  muraille  demeure  la  même  (bien  que  ce  soit  encore 
la  même  force  totale  qui  pousse  en  ce  point-là  le  mobile,  et  que  la  force 
des  deux  parties  de  son  mouvement  prises  séparément  soit  la  même), 
néanmoins,  pource  que  la  proportion  qui  étoit  auparavant  entre  la 
facilité  ou  la  résistance  que  préscntoit  le  milieu  a  ces  deux  forces  est 
changée,  et  que  dans  ce  point  de  sortie  il  trouve  plus  de  facilité  pour 
descendre  qu'auparavant,  sans  qu'il  en  trouve  ni  plus  ni  moins  pour 
aller  vers  la  muraille,  pour  cela  il  arrive  qu'il  ne  suit  plus  la  direction 
de  la  ligne  qu'il  avoit  parcourue  sur  la  planche,  mais  qu'il  en  prend 
une  autre,  laquelle  est  proportionnée  au  plus  de  facilité  qui  se  trouve 
alors  en  l'une  de  ses  forces  plus  qu'en  l'autre.  Ce  qui  fait  que  le  mo- 
bile, en  quittant  la  planche,  s'approche  de  la  perpendiculaire,  comme 
fait  aussi  la  lumière  en  entrant  dans  l'eau,  pour  la  même  raison. 

Et  c'est  à  mon  sens  une  des  choses  des  plus  aisées  à  concevoir  qu'il 
est  possible,  et  c'est  aussi  à  mon  avis  tout  ce  qu'a  voulu  dire  M.  Des- 
cartes au  sujet  de  la  réfraction.  Je  ne  prétends  pas  néanmoins  pour 
cela  vous  avoir  persuadé  :  il  suilit  que  je  me  sois  donné  à  entendre, 
afin  que  vous  ne  croyiez  pas  que  je  suive  aveuglément  M.  Descartes  ou 
que  je  vous  contredise  de  gaieté  de  cœur.  Je  vous  ressemble  en  ce 
point  que  je  n'aime  et  ne  cherche  que  ia  vérité,  et  cette  conformité  que 
j'ai  avec  vous  me  fait  espérer  que  vous  ne  me  désavouerez  pas,  quand 
je  m'avouerai  partout,  etc. 


/'.  5.  Pour  éclaircir  davantage  cette  matière,  j'apporterai  encore  ici 
"un  exemple  qui  résout  à  mon  avis  la  plupart  des  difficultés  que  l'on 
peut  faire  sur  ce  qu'a  dit  M.  Descartes  touchant  la  réfraction  dans  sa 
Dioptrique. 

II  est  constant  par  l'expérience  que,  de  quelque  façon  que  la  boule  A 
soit  poussée  au  point  B  par  les  boules  C,  D,  E,  F,  G,  et  quelles  que 


478  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

soient  les  difTérontes  déterminalions  dont  on  peut  supposer  que  celle 
de  leur  route  soit  composée,  elles  la  pousseront  toujours  vers  H 
{f'g-  '03). 

Premièrement,  pour  la  houle  K,  il  est  clair  qu'elle  la  doit  pousser 
vers  II,  puisque  la  houle  A  s'oppose  totalement  à  sa  détermination; 
mais  ce  qui  est  clair  pour  la  boule  K  doit  pareillement  être  entendu 
des  autres,  qui,  bien  qu'elles  viennent  de  biais  vers  la  boule  A,  ne  la 

Fi;;.  io3. 


touchent  au  point  H  et  ne  la  poussent  qu'en  tant  qu'elles  descendent 
vers  H,  et  non  point  en  tant  qu'elles  vont  vers  I  (ou  vers  K).  (l'est 
pourquoi  elles  ne  sauroient  imprimer  d'autre  mouvement  à  ce(t(' 
boule,  sinon  de  la  faire  aller  vers  H.  Or,  quoique  les  déterminations 
des  boules  D  et  F  soient  opposées,  en  tant  que  l'une  va  à  di'oite  <'t 
l'aud'c  à  gauche,  elles  ne  le  sont  point  en  tant  qu'elles  descendent 
et  ainsi  elles  doivent  produire  sur  la  boule  A  un  même  efTel,  qui  est 
de  la  pousser  vers  H. 

Mais,  si  nous  supposons  que  la  boule  A  soit  dure  et  immobile,  (ouïes 


ex  IV.  ~  13  MAI  1GG2.  W9 

ces  boules,  après  l'avoir  rencontrée,  seront  contraintes  de  changer  la 
détermination  qu'elles  avoient  d'aller  vers  H  en  celle  d'aller  ou  de 
réfléchir  vers  J.,  et  de  garder  les  autres  si  elles  en  avoient,  auxquelles 
elle  ne  peut  apporter  de  changement,  à  cause  qu'elle  ne  leur  est  point 
opposée  en  ce  sens-là  :  et  ceci  explique  la  réflexion  à  angles  égaux. 

Que  si  nous  supposons  que  ces  boules  aient  communi(|ué  de  leur 
mouvement  à  la  boule  A,  ce  ne  peut  être  qu'au  sens  qu'elle  leur  est 
opposée,  et  partant  ce  ne  peut  être  que  le  mouvement  vers  H  qui 
puisse  recevoir  de  l'altération,  et  non  point  celui  vers  1  (ou  vers  K), 
lequel  par  conséquent  doit  demeurer  le  même  et  en  son  entier.  Si  bien 
que  ces  boules  perdant  au  point  B  de  la  force  qui  les  détermine  h  aller 
vers  H  et  ne  perdant  rien  de  celle  qui  les  détermine  à  aller  vers  I,  elles 
sont  contraintes  de  se  détourner  et  de  prendre  en  ce  moment  une  aulre 
direction,  laquelle  elles  gardent  toujours,  quelque  résistance  que  le 
milieu  apporte  après  cela,  qui  peut  bien  les  faire  aller  moins  vite,  mais 
non  pas  changer  leur  direction,  à  cause  qu'il  peut  bien  être  opposé  à 
leur  vitesse,  mais  non  point  à  la  direction  qu'elles  ont  prise,  puisqne 
nous  supposons  qu'il  est  également  facile  ou  difficile  à  s'ouvrir  on 
pénétrer  de  tous  côtés.  Et  cela  explique  la  réfraction  qui  s'éloigne  de 
la  perpendiculaire. 

Que  si  au  contraire  nous  supposons  que,  ces  boules  étant  au  |)oint  li, 
la  boule  A  leur  cède  plus  aisément  et  les  entraine,  pour  ainsi  dire,  vers 
H,  cela  fait  que  ces  boules  descendent  plus  vite,  mais  cela  ne  change 
rien  à  leur  mouvement  vers  la  droite  (ou  vers  la  gauche)  auquel  elle 
n'est  point  opposée.  Et  ainsi  ces  boules,  au  moment  qu'elles  sont  au 
point  B,  étant  plus  disposées  à  aller  vers  H  qu'elles  n'étoient  aujia- 
ravant,  et  n'étant  ni  plus  ni  moins  disposées  qu'elles  éloient  à  aller 
vers  I,  elles  doivent  changer  de  direction  et  la  garder  ajjrès  l'avoir 
prise.  Et  cela  explique  la  réfraction  vers  la  perpendiculaire. 

Et  pour  faire  voir  que  la  résistance  plus  ou  moins  grande  du  (:orps 
du  milieu  n'y  fait  rien  et  ne  change  point  la  détermination  que  la  boule 
prend  au  point  B,  considérons  ce  qui  peut  arriver  à  la  boule  A  selon  les 
dilférens  cas  qu'on  peut  s'imaginer.  Par  exemple,  si  la  boule  E  tombe 


480  ŒUVHES  DE  FERMAT.  -  CORRESPONDANCE. 

perpendiculairement  sur  A  et  qu'elle  lui  communique  la  moitié  de  son 
mouvement,  où  ira-t-elle?  Sans  doute  qu'elle  ira  vers  H,  et  la  force 
qu'elle  reçoit  en  ce  moment  ne  la  peut  déterminer  à  aller  que  vers  là  : 
mais  est-ce  à  dire  qu'en  allant  vers  H  elle  décrira  en  deux  momens 
une  ligne  aussi  longue  qu'a  fait  E  en  un  moment?  Oui  sans  doute,  si 
vous  supposez  que  le  milieu  qu'elle  parcourt  lui  donne  passage  aussi 
facilement  qu'avoit  fait  l'autre;  mais  si  ce  milieu  lui  résiste  davantage, 
elle  en  décrira  une  plus  courte,  comme  aussi  elle  en  peut  décrire  une 
égale  ou  même  une  plus  longue,  si  ce  milieu  résiste  autant  ou  moins  ii 
la  force  qu'elle  a  reçue. 

Que  si  nous  supposons  que  c'est  l'une  des  autres  boules  C,  D,  F,  G, 
qui  rencontre  A  au  point  H,  il  s'ensuivra  la  même  chose,  ii  savoir 
qu'elle  sera  contrainte,  par  la  force  qu'elle  recevra,  de  prendre  sa 
détermination  vers  II  comme  auparavant,  au  moment  même  qu'elle 
en  est  touchée.  Et  la  qualité  du  milieu  ne  changera  point  cette  déter- 
mination, sinon  qu'ayant  reçu  moins  de  force,  parce  que  n'étant  tou- 
chée que  de  biais  elle  n'est  pas  poussée  par  toute  la  force  de  la  boule 
qui  la  louche,  elle  ira  moins  vite. 

Que  si  nous  supposons  que  la  boule  A  étoit  déjà  en  mouvement  et 
se  mouvoit  vers  I,  la  chute  de  l'une  de  ces  boules  sur  elle  n'apporte 
aucun  changement  à  la  détermination  qu'elle  avoit  à  aller  vers  là, 
c'est-à-dire  à  toute  la  force  de  son  mouvement  qui  la  déterminoit  à 
aller  vers  I,  et  partant  elle  doit  continuer  d'y  aller  comme  elle  faisoit 
auparavant.  Mais  elle  doit  aussi  aller  en  même  temps  vers  le  côté  où  la 
détermine  l'impression  qu'elle  a  nouvellement  reçue  par  la  chute  de 
l'une  de  ces  boules,  si  bien  que  dès  ce  moment  elle  doit  prendre  sa 
direction. 

.Alais  si  nous  supposons  que  le  milieu  où  elle  se  trouve  après  cela  lui 
résiste  davantage  que  ne  faisoit  l'autre,  cela  ne  change  point  la  déter- 
mination qu'elle  a  prise,  mais  fait  seulement  qu'elle  le  parcourt  moins 
vite  qu'elle  n'auroit  fait.  Car  enfin  la  proportion  qui  étoit  en  ce  moment 
entre  ses  deux  forces  l'a  déterminée  à  aller  quelque  part,  et  quelque 
facilité  ou  dilficulté  qu'apporte  ensuite  le  corps  du  milieu  qu'elle  doit 


ex  IV.  -   13   MAI    160-2.  /^81 

parcourir,  comme  ollo  est  égale  en  (ont  sens,  cela  ne  peut  rien  changer 
à  la  déterminalion  (ju'elle  a  prise  en  sa  superficie,  et  ne  la  doit  ni  plus 
ni  moins  détourner. 

I']|  la  même  proportion  est  ici  gardée  qu'entre  de  forts  ou  de  foibles 
mouvemens  également  proportionnes.  Par  exemple,  que  la  boule  A 
soit  poussée  par  deux  forces  égales  vers  B  et  vers  C  en  mémo  temps, 
(|U(>  doit-il  arriver  si  elle  est  dans  l'air?  Il  arrivera  que  ces  deux  forces, 
ayant  un  grand  eflet  sur  elle,  la  pousseront  en  un  moment  jusques 
en  D.  JMais  si  elle  étoit  dans  l'eau,  alors  ces  deux  forces,  n'ayant  pas 
un  si  grand  effet  sur  (die,  ne  la  pousseront  que  jusques  en  K,  mais 
(die  ne  changera  point  pour  cela  de  direction. 


Fiff.  lo^ 


\ 

E 

Kt  ce  que  je  dis  de  la  houle  A,  qui  est  poussée  par  des  forces  égales 
dans  deux  milieux  différens,  se  doit  entendre  tout  de  même  de  t(uile 
autre  sorte  de  [iroportion  qui  soit  entre  ces  deux  forces  :  savoir  est  que 
la  diversité  du  milieu  ne  change  point  la  direction  à  laquelle  les  forces 
(jii'clle  a  la  déterminent  au  premier  moment,  mais  peut  seulement 
changer  sa  vitesse. 

Par  exemple,  que  la  boule  A  soit  poussée  en  même  temps  par  deux 
forces  dont  l'une  la  pousse  du  double  plus  fort  vers  C  que  l'autre  ne 
fait  vers  B,  qiu'  doit-il  arriver  si  elle  est  dans  l'air?  Il  arrivera  que 
ces  forces,  ayant  un  grand  effet  sur  elle,  la  pousseront  en  un  moment 
jusques  en  D.  Mais  si  elle  étoit  dans  l'eau,  alors  ces  deux  forces  n'avanl 
]»as  un  si  grand  ellet  sur  elle,  mais  ne  laissant  pas  de  l'avoir  de  tous 
côtés  proportionné  à  leur  force,  i)arce  que  l'eau  s'ouvre  également  de 
tons  c(")lés,   ne  la  pousseront  (jue  jusques  en  E;   mais  elle  ne  clian- 

l'i  IIJIAT.   —    II.  6l 


i82  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

géra  point  pour  cela  de  direction,  laquelle  elle  prend  dès  le  premier 
moment. 

Et  ainsi,  ayant  égard  aux  premières  suppositions  que  fait  M.  Des- 
cartes, lorsqu'il  se  sert  de  l'exemple  d'une  balle  pour  expliquer  la 
réflexion  et  la  réfraction  dans  le  chapitre  second  do  sa  Dioptrique, 
c'est-à-dire  supposant  que  ni  la  pesanteur  ou  la  légèreté  de  la  balle, 
ni  sa  grosseur,  ni  sa  figure,  ni  aucune  telle  cause  étrangère  ne  change 
son  cours,  ce  qu'il  dit  ensuite  est  véritable  :  c'est  à  savoir  qu'il  ne  finit 
considérer  que  la  détermination  que  prend  la  balle  au  moment  qu'elle 
est  au  point  B,  sans  se  mettre  en  peine  de  ce  qui  peut  arriver  de  chan- 
gement en  sa  vitesse  dans  le  milieu  qu'elle  parcourt  par  après,  pource 
que  c'est  seulement  au  point  B  qu'elle  est  contrainte  de  changer  de 
direction,  à  cause  du  changement  qui  arrive  en  ce  point  dans  la  pro- 
portion qui  est  entre  les  deux  forces  qui  composent  tout  son  mouvo- 
inont;  et  la  direction  qu'elle  a  une  fois  prise  au  point  B,  elle  la  garde 
par  après  et  la  suit  plus  ou  moins  vite  selon  le  plus  ou  moins  de  résis- 
tance du  milieu. 


cxv. 

FERMAT  A  CLERSELIER. 

UIMANCHE   21    MAI    1CG2    ('). 

(D.  m,  54.) 

Monsieur, 

Vos  deux  lettres  des  sixième  et  treizième  de  mai  (')  m'ont  été  ren- 
dues en  même  temps.  Elles  me  font  plus  d'honneur  que  je  n'en  devois 
raisonnablement  attendre,  et,  bien  loin  que  vos  mots  latins  m'aient 
choqué,  je  suis  persuadé  que,  dans  la  supposition  de  votre  sentiment 

(')  L'cdilioii  Clcrselier  donne  la  date  du  12  mai  probablement  fautive  par  suite  d'une 
interversion  à  l'impression. 
(2)  Lettres  CXIII  et  CXIV. 


CXV.  -  21   MAI   1CG2.  W;î 

sur  le  sujet  de  la  démonstration  de  M.  Descartes,  il  n'y  en  a  point  de 
l)lus  véritables  en  aucun  endroit  de  vos  lettres. 

Car  si  cette  démonstration  est  dans  les  règles  des  démonstrations 
certaines  et  infaillibles,  il  n'est  rien  de  plus  vrai  sinon  que  ceux  qui 
n'en  sont  pas  convaincus  ne  l'entendent  point.  La  qualité  essentielle 
d'une  démonstration  est  de  forcer  à  croire,  de  sorte  que  ceux  qui  ne 
sentent  pas  cette  force,  ne  sentent  pas  la  démonstration  même,  c'est 
à  dire  qu'ils  ne  l'entendent  pas. 

Je  n'attribue  donc.  Monsieur,  qu'à  un  excès  de  courtoisie  et  de  civi- 
lité cet  adoucissement  que  Messieurs  de  votre  Assemblée  vous  ont  in- 
spiré, et  je  vous  en  rends  très  humbles  grâces. 

Pour  la  question  principale,  il  me  semble  que  j'ai  dit  souvent  et  à 
M.  de  la  Chambre  et  à  vous  que  je  ne  prétends  ni  n'ai  jamais  prétendu 
être  de  la  confidence  secrète  de  la  Nature.  Elle  a  des  voies  obscures  et 
cachées  que  je  n'ai  jamais  entrepris  de  pénétrer;  je  lui  avois  seule- 
ment offert  un  petit  secours  de  géométrie  au  sujet  de  la  réfraction,  si 
elle  en  eût  eu  besoin.  Mais  puisque  vous  m'assurez,  Monsieur,  qu'elle 
peut  faire  ses  affaires  sans  cela  et  qu'elle  se  contente  de  la  marche 
que  M.  Descartes  lui  a  prescrite,  je  vous  abandonne  de  bon  cœur  ma 
l)rétendue  conquête  de  physique,  et  il  me  sulRt  que  vous  me  laissiez 
en  possession  de  mon  problème  de  géométrie  tout  pur  et  m  abstraclo, 
par  le  moyen  duquel  on  peut  trouver  la  route  d'un  mobile  qui  passe 
par  deux  milieux  différents  et  qui  cherche  d'achever  son  mouvement 
le  plus  tôt  qu'il  pourra. 

Et  je  ne  sais  pas  même  si  la  merveille  ne  sera  point  plus  grande, 
en  supposant  que  j'ai  mal  deviné  le  raisonnement  de  la  Nature;  car 
peut-on  s'imaginer  rien  de  plus  surprenant  que  ce  qui  m'est  arrivé? 
J'écrivis,  il  y  a  plus  de  dix  ans('),  à  M.  de  la  Chambre  que  jccroyoisque 
la  réfraction  se  devoit  réduire  à  ce  problème  de  géométrie,  et  j'étois 
pour  lors  tout-à-fait  persuadé  que  l'analyse  de  ce  problème  me  donnc- 
roit  une  proportion  différente  de  celle  de  M.  Descartes.  Et  néanmoins, 

(1)  Fai)i-il  lire  «  six  ans  »?  La  lettre  LXXXVI  n'est  pas  antérieure  à  165;. 


48V  (KUVUEft   1)1-:   FERMAT.  -  COUUESPONIUNCE. 

en  leiitant  le  problème,  qui  est  assez  difricilc,  dix  ans  après,  j'ai  (rouvé 
justement  la  même  proportion  que  M.  Descartes. 

Si  i*ai  dit  un  mensonge,  n'ai-je  pas  quelque  raison  de  prétendre  (jue 
c'est  un  de  ces  mensonges  fameux  desquels  il  est  dit  dans  le  Tasse, 
comme  je  vous  ai  déjà  écrit  (')  : 

yiumdo  saià  il  vcro 
Si  l)ollo,  clic  si  pi)ssa  a  li  proporre? 

Kn  voilà  de  reste,  je  croise  les  armes.  Permettez-moi  seulement,  s'il 
vous  plait,  d'assurer  ici  M.  Chanut  et  M.  l'abbé  d'Issoire,  son  tils,  de 
mon  obéissance  très  humi)le  :  je  n'ai  pas  l'bonneur  d'être  connu  du 
père,  niais  pourquoi  serois-je  le  seul  de  toute  l'Europe  (|ui  n'aurois 
pas  une  entière  vénération  pour  lui? 

Je  suis,  Monsieur, 

Votre  (rcs  luimble  et  (rès  obéissant  serviteur, 

Fi:i!>lAT. 

(')  Foir  ci-dessiis,  page  ^67. 


CWI.  -    IGOV.  iSÏ 


ANNÉE    16G4. 


cxvi. 

FERMAT  A  M.  DE  ****. 
IGOV. 

(  lu,  p.   i5li.) 
3l0NSir.LT,, 

Puisque  M.  de parle  et  que  vous  l'ordonnez,  vous,  Monsieur,  de 

(jui  la  réputation  est  si  grande  et  si  bien  établie,  je  laisse  éveiller  ma 
Géométrie,  qui  dormoit  depuis  longtemps  dans  un  profond  repos  cl, 
pour  entrer  d'abord  en  matière,  je  veux  bien  vous  conter  l'intrigue  df 
notre  Dioptrique  et  de  nos  réfractions,  en  forme  d'histoire,  afin  de 
vous  laisser  le  jugement  libre  et  que  vous  puissiez  prononcer  sans  pré- 
occupation. 

Dès  que  j'eus  vu  le  Livre  de  feu  M.  Descartes  et  que  j'eus  examiné 
avec  quelque  attention  la  proposition  qui  sert  de  fondement  à  sa  Diop- 
trique et  qui  établit  la  proportion  des  réfractions,  je  soup(;onnai  sa 
preuve;  sa  démonstration  me  sembla  un  véritable  paralogisme  : 

Premièrement,  parce  qu'il  la  fonde  sur  une  comparaison  et  que 
vous  savez  que  la  Géométrie  ne  se  pique  guère  de  ces  figures,  les  com- 
paraisons y  étant  encore  plus  odieuses  que  dans  le  commerce  du 
monde; 

Secondement,  parce  qu'il  suppose  que  le  mouvement  de  la  lumière, 
qui  se  fait  dans  l'air  et  dans  les  corps  rares,  est  plus  malaisé  ou,  si  vous 
l'aimez  mieux  ainsi,  plus  lent  que  celui  qui  se  fait  dans  l'eau  et  les 
autres  corps  denses;  ce  qui  semble  choquer  le  sens  commun  ; 


480  ŒUVRES  DE  FERMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

Et  enfin,  parce  qu'il  prétend  que  l'une  des  directions  ou  des  déter- 
minations du  mouvement  d'une  balle  subsiste  tout  entière  après  la 
rencontre  du  second  milieu. 

.l'ajoutois  même  quelques  autres  raisons,  qu'il  seroit  ou  superflu  ou 
ennuyeux  de  vous  déduire.  Il  vit  mes  écrits,  il  y  répondit  et,  après 
plusieurs  réponses  et  répliques  de  part  et  d'autre,  nous  nous  sépa- 
râmes comme  le  prévenu  et  le  témoin,  l'un  dans  l'alfirmative,  l'autre 
dans  la  négative,  ([uoique  j'eus  enfin  des  lettres  de  sa  part  pleines  de 
civilité. 

Depuis  sa  mort,  M.  de  la  Cbambre,  ayant  publié  son  Traité  de  la  lu- 
mière et  m'ayant  fait  l'honneur  de  me  l'envoyer,  je  pris  occasion  de  lui 
écrire  la  lettre  que  vous  avez  vue  (  '  ),  dans  laquelle  je  lui  témoignai  que, 
pour  nous  garantir  des  paralogismes  en  une  matière  si  obscure,  je  ne 
voyois  point  de  moyen  plus  assuré  que  de  chercher  les  réfractions  dans 
cet  unique  principe,  que  la  nature  agit  toujours  par  les  voies  les  plus 
courtes,  sur  le  fondement  duquel  je  lui  indiquai  qu'on  pouvoit  cher- 
cher par  géométrie  le  point  de  réfraction,  en  le  réduisant  au  problème 
ou  théorème  que  vous  savez.  Mais,  parce  que  j'en  jugeai  l'invention 
très  difficile  et  très  embarrassée,  puisque  ces  questions  de  maximis  et 
tninimis  conduisent  d'ordinaire  à  des  opérations  de  longue  haleine  et 
(jui  se  brouillent  aisément  par  une  infinité  d'asymmétries  qu'on  trouve 
sur  son  chemin,  je  laissai  lii  ma  pensée  pendant  plusieurs  années,  en 
attendant  que  quelque  géomètre  moins  paresseux  que  moi  en  fit  ou  la 
découverte  ou  la  démonstration. 

Personne  ne  voulut  entreprendre  ce  travail;  cependant  je  recevois 
des  lettres  de  M.  de  la  Chambre  de  temps  en  temps,  par  lesquelles  il 
me  pressoit  d'ajouter  la  géométrie  ii  mon  principe  et  de  faire  la  démon- 
stration en  forme  du  véritable  fondement  des  réfractions.  Ce  qui  me 
rebutoit  à  l'avance  étoit  l'assurance  que  M.  Petit  et  autres  m'avoient 
donnée,  que  leurs  expériences,  qu'ils  avoient  souvent  réitérées  pour 
mesurer  les  réfractions  et  dans  l'eau  et  dans  le  cristal  et  dans  le  verre 

(  '  )  La  lettre  LXXXVI. 


CXVI.  -  166i.  487 

et  dans  beaucoup  d'autres  liqueurs  dilTérentes,  s'accordoient  très  pré- 
cisément avec  la  proportion  de  M.  Descartes;  de  sorte  qu'il  me  sem- 
bloit  inutile  d'en  aller  chercher  quelque  autre  par  mon  principe, 
puisque  la  nature  elle-même  s'expliquoit  si  clairement  en  sa  faveur. 

L'objection  que  vous  me  faites  dans  votre  Ecrit  ne  me  faisoit  nulle 
peine  et  j'y  avois  déjà  répondu  dans  ma  lettre  à  M.  de  la  Chambre  par 
cette  raison,  que  tout  ce  qui  appuie  ou  fait  ferme  sur  quelque  point 
d'une  ligne  courbe  est  censé  faire  ferme  ou  appuyer  sur  la  ligne  droite 
qui  touche  la  courbe  audit  point;  et  ainsi,  quoique  la  somme  des 
deux  lignes  de  réflexion  soit  quelquefois  la  plus  grande  dans  les  mi- 
roirs concaves,  sphériques  ou  autres,  elle  est  toujours  la  plus  petite 
de  toutes  celles  qui  peuvent  tomber  sur  la  ligne  ou  sur  le  plan  qui 
touchent  les  miroirs  au  point  de  la  réflexion,  et  cela  n'a  pas  besoin  de 
plus  grande  preuve,  M.  Descartes  le  supposant  ainsi  aussi  bien  que 
moi. 

Toute  la  dilficulté  se  réduisoit  donc  à  ce  qu'il  me  paroissoit  que 
j'avois  à  combattre,  non  seulement  les  hommes,  mais  encore  la  na- 
ture. Néanmoins  les  dernières  instances  de  M.  de  la  Chambre  furent 
si  pressantes  que  je  résolus,  il  y  peut  avoir  environ  deux  ou  trois  ans, 
de  tenter  le  secours  de  mon  analyse,  m'imaginant  qu'il  y  a  une  infi- 
nité de  proportions  différentes  entre  elles  dont  les  sens  ne  sauroient 
vérifier  la  diversité,  et  qu'ainsi  j'en  trouverois  peut-être  quelqu'une 
qui  approcheroit  de  celle  de  M.  Descartes  et  qui  pourtant  ne  seroit  pas 
la  même. 

Je  fis  mon  analyse  en  forme  par  une  méthode  qui  m'est  particulière 
et  qu'llérigone  a  fait  autrefois  imprimer  dans  son  Cours  mathématique. 
Je  surmontai  toutes  les  asymmétrics  avec  peine,  et  voilà  que  tout  à 
coup,  à  la  fin  de  mon  opération,  tout  se  débrouille  et  il  me  vient  une 
équation  très  simple  qui  me  donne  justement  la  même  proportion  de 
M.  Descartes. 

Je  crus  sur  l'heure  avoir  équivoque,  car  je  ne  pouvois  me  figurer 
qu'on  aboutit  à  une  même  conclusion  par  des  routes  tout-à-fait  oppo- 
sées, M.  Descartes  supposant,  pour  un  des  moyens  de  sa  démonstra- 


/|.88  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

lion,  que  lo  mouvement  de  la  lumière  trouve  plus  de  résistance  dans 
l'air  que  dans  l'eau,  et  moi  supposant  tout  le  contraire,  comme  vous 
verrez  dans  la  copie  de  ma  démonstration,  que  j'ai  tâché  de  refaire  de 
mémoire  pour  vous  satisfaire  pleinement,  mon  original  ayant  été  en- 
vové  à  M.  de  la  Chambre,  suivant  ma  paresse  ordinaire. 

Je  refis  donc  pour  lors  la  question  à  diverses  reprises,  en  changeant 
les  positions,  et  je  trouvai  toujours  la  mémo  conclusion,  ce  qui  m<' 
contirma  deux  choses  :  l'une,  que  l'opinion  de  !\I.  Descartes  sur  la  pro- 
porlion  des  réfractions  est  très  véritable;  et  l'autre,  que  sa  démonstra- 
tion est  très  fautive  et  pleine  de  paralogismes. 

Messieurs  les  Cartésiens  virent  ensuite  ma  démonstration,  qui  leur 
fut  communiquée  par  M.  de  la  Chambre;  ils  s'opiniàtrèrcnt  d'abord  à 
la  rejeter  et,  quoique  je  leur  représentasse  tout  doucement  :  qu'il  leur 
devoit  suffire  que  le  champ  de  bataille  demeurât  à  M.  Descartes,  puis- 
(jue  son  opinion  se  trouvoit  véritable  et  confirmée,  quoique  par  des 
raisons  différentes  des  siennes;  que  les  plus  fameux  conquérants  ne 
s'estimoient  guère  moins  heureux,  lorsque  la  victoire  leur  étoit  pro- 
curée par  les  troupes  auxiliaires,  que  si  c'étoit  par  les  leurs;  ils  ne 
voulurent  point,  dans  les  premiers  mouvements,  entendre  raillerie  :  ils 
vouloient  que  ma  démonstration  fut  fautive,  puisqu'elle  ne  pouvoit 
pas  subsister,  sans  détruire  celle  de  M.  Descartes,  qu'ils  entendoient 
mettre  toujours  hors  du  pair.  Mais,  comme  les  plus  habiles  géomètres 
(jui  virent  la  mienne  sembloient  y  donner  leur  approbation,  ils  me 
firent  enfin  compliment  par  une  lettre  de  M.  Clersclier,  qui  est  celui 
(jui  a  procuré  l'impression  des  lettres  de  M.  Descartes.  Us  crièrent  au 
miracle  de  quoi  une  même  vérité  s'étoit  rencontrée  au  bout  de  deux 
chemins  entièrement  opposés  et  prononcèrent  qu'ils  vouloient  bien 
laisser  la  chose  indécise  et  avouer  qu'ils  ne  savoient  à  qui  donner  la 
préférence,  de  M.  Descartes  ou  de  moi,  sur  ce  sujet  et  que  la  postérité 
en  jugeroit. 

C'est  à  vous,  Monsieur,  qui  êtes  sans  doute  destiné  par  votre  mérite 
extraordinaire  à  avoir  grand  commerce  avec  elle,  à  l'informer,  si  vous 
le  jugez  il  propos,  de  ce  célèbre  démêlé  ou,  si  vous  aimez  mieux  placer 


CWII.  -  16C4. 


48!) 


ce  petit  Écrif  parmi  vos  papiers  inutiles,  j'y  consens  et  tout  m'est  in- 
différent. 

Mais  il  n'en  est  pas  de  même  de  la  très  humble  prière  que  je  vous 
fais  de  me  croire,  etc. 


ex  VII. 


Démonstration  dont  il  est  parlé  dans  la  lettre  précédente. 

Soit  la  droite  AFM  {fig.  io5),  qui  représente  la  séparation  de  deux 
différents  milieux;  que  l'air  soit  du  coté  de  B  et  l'eau  du  côté  de  H.  Le 


Fig.  io5. 


rayon  de  lumière,  qui  doit  aller  du  point  B,  qui  est  en  l'air,  vers  le 
point  F,  où  commence  le  milieu  de  l'eau,  se  rompt  et  va  vers  H,  s'ap- 
prochant  de  la  perpendiculaire,  suivant  les  expériences  connues  et 


vulgaires. 


M.  Descartes  détermine  ce  point  H  en  telle  sorte,  qu'en  tirant  une 
perpendiculaire  du  point  B  sur  la  ligne  AFM,  qui  soit  BA,  il  fait  que  la 
ligne  AF  est  à  la  ligne  FM  comme  la  résistance  d'un  des  milieux  à  celle 
de  l'autre,  bien  qu'il  entende,  contre  mon  sens,  que  la  résistance  est 
plus  grande  dans  l'air  qu'elle  ne  l'est  dans  l'eau. 

Soit  donc  la  plus  grande  résistance  représentée  par  la  ligne  AF  et  la 
moindre  par  celle  de  FM,  et  par  conséquent  la  ligne  AF  plus  grande 
que  FM.  Soit  élevée,  du  point  M,  la  perpendiculaire  MH  qui  soit  cou- 

Krrmat.  —  II.  62 


490  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

pée  en  H  par  le  cercle  dont  le  centre  est  F  et  le  rayon  FB,  si  bien  que 
les  droites  BF  et  FH  seront  égales  :  Je  dis  que  le  rayon  BF,  venant  à  se 
rompre  par  la  rencontre  de  l'eau,  ira  vers  H. 

Car,  puisque,  par  mon  principe,  la  nature  agit  toujours  par  les  voies 
les  plus  courtes,  si  je  prouve  qu'en  passant  par  les  deux  droites  BF 
et  FH,  elle  y  emploie  moins  de  temps  qu'en  passant  par  aucun  autre 
point  de  la  droite  AM,  j'aurai  prouvé  la  vérité  de  la  proposition. 

Or,  puisque  je  présuppose  que  le  mouvement  dans  l'air  est  plus 
aisé  et  par  conséquent  plus  vite,  le  mouvement  de  B  en  F  se  fera  en 
moins  de  temps  que  celui  de  F  à  H  et,  pour  régler  la  véritable  propor- 
tion, il  faut  faire 

comme  AF  à  FM  (qui  sont  les  mesures  des  résistances),       ainsi  BF  à  FD, 

et  les  deux  droites  DF  et  FH  seront  les  mesures  du  temps  qui  sera  em- 
ployé de  B  à  F  et  de  F  à  H  :  savoir,  la  droite  DF  sera  la  mesure  du  mou- 
vement par  BF,  qui  est  plus  vite,  et  la  droite  FH  sera  la  mesure  du 
mouvement  par  FH,  qui  est  plus  lent,  et  ce,  suivant  la  proportion  de 
BF  il  FD,  ou  de  HF,  qui  est  égale  ii  BF,  ii  la  même  FD. 

Si  je  prouve  donc  que,  quelque  point  que  vous  preniez  des  deux 
côtés  de  DF,  la  somme  des  deux  droites  DF,  FH  est  toujours  plus  petite 
que  deux  droites  prises  au  même  sens,  j'aurai  ce  que  je  chercbois. 

Soit  donc  premièrement  du  côté  vers  M  le  point  0.  En  joignant  les 
droites  BO  et  OH,  et  faisant 

comme  BF  à  DF,      ainsi  BO  à  CO, 

je  dois  prouver  que  la  somme  des  deux  droites  CO  et  OH  est  plus 
grande  que  celle  de  DF  et  FH;  et  en  prenant  de  même  quelqu'autre 
point,  comme  V,  de  l'autre  côté  vers  A,  je  dois  aussi  prouver  qu'en 
joignant  les  deux  droites  BV  et  VH,  et  faisant 

comme  BF  à  DF,      ainsi  BV  à  YV, 

la  somme  des  deux  droites  YV  et  VH  est  plus  grande  que  celle  des 
deux  droites  DF  et  FH. 


CXVII.  -  1G64.  491 

Pour  y  parvenir,  je  fais 

comme  BF  à  AF,      ainsi  FO  à  FR, 
(<( 

comme  la  même  15F  à  FM,       ainsi  FO  à  FI. 

Puisque  BF  est  plus  graude  que  AF,  donc  FO  est  plus  grande  que  FR 
et,  puisque  AF  est  plus  grande  que  FM,  FR  est  aussi  plus  grande 
([ue  Vï.  et  il  parait  même  que 

Vl\  est  à  FI       comme  AF  à  l'M; 

car,  puisque,  parla  construction, 

comme  AF  est  à  FI$,      ainsi  FU  à  F"0, 
Pt 

comme  Flî  à  l'M,      ainsi  FO  à  FI, 

donc,  ex  ccquo, 

comme  AF  à  FM,      ainsi  FR  est  à  FI. 

Je  dis  donc  que  les  deux  droites  CO  et  OH  sont  plus  grandes  que  les 
deux  droites  DF  et  FH.  Car,  par  Euclide,  au  triangle  amhlygone  FHO, 
la  somme  des  deux  quarrés  HF  et  FO  est  égale  à  la  somme  du  quarré 
HO  et  du  rectangle  MFO  pris  deux  fois;  or,  puisque  nous  avons  fait 

comme  HF  ou  FH  à  FM,       ainsi  FO  à  FI, 

donc  le  rectangle  sous  les  extrêmes  HFI  est  égal  au  rectangle  sous  les 
moyennes  MFO,  et  le  rectangle  HFI  pris  deux  fois  est  égal  au  rec- 
tangle MFO  pris  deux  fois  :  nous  avons  donc  la  somme  des  deux 
quarrés  HF  et  FO  égale  à  la  somme  du  quarré  HO  et  du  rectangle  HFI 
pris  deux  fois.  Mais  le  rectangle  HFI  pris  deux  fois  est  égal  au  rec- 
tangle HIF  pris  deux  fois  et  au  double  quarré  de  IF;  et  le  quarré  HF, 
par  le  même  Euclide,  est  égal  au  rectangle  HIF  pris  deux  fois  et  aux 
deux  quarrés  HI  et  IF  :  nous  avons  donc,  d'un  côté,  le  quarré  HI,  le 
quarré  IF,  le  rectangle  HIF  deux  fois  pris  et  le  quarré  F"0  égaux  au 
quarré  HO,  au  rectangle  HIF  deux  fois  pris  et  au  quarré  FI  pris  deux 
fois.  Otez  de  part  et  d'autre  le  rectangle  HIF  deux  fois  et  le  quarré  FI  : 
reste,  d'un  côté,  le  quarré  HI  avec  le  quarré  FO  égaux  aux  deux  quar- 


W-2  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

rés  HO  et  IF.  Mais  le  quarré  FO  est  plus  grand  que  le  quarré  FI, 
puisque,  par  la  construction,  FO  est  plus  grande  que  FI  :  donc  le 
(|uarré  HO  est  plus  grand  que  le  quarré  HI,  et  partant  la  droite  HO  est 
plus  grande  que  la  droite  HI. 

Si  je  prouve  ensuite  que  la  droite  CO  est  plus  grande  que  les  deux 
droites  DF  et  FI,  il  restera  prouvé  que  les  deux  CO  et  OH  sont  plus 
grandes  que  les  trois  DF,  FI  et  IH,  ou  que  les  deux  DF  et  FH  :  je 
prouve  donc  le  requis. 

Dans  le  triangle  amblygone  BFO,  par  Euclide,  le  quarré  BO  est  égal 
il  la  somme  des  quarrés  BF  et  FO  et  au  double  rectangle  AFO;  mais, 
puisque  nous  avons  fait,  par  la  construction, 

comme  RF  ù  FA,     ainsi  FO  à  FR, 

donc  le  rectangle  sous  BF  et  FR  est  égal  au  rectangle  AFO,  et  par  con- 
sé([uent  le  quarré  BO  est  égal  aux  quarrés  BF  et  FO  et  au  rectangle 
sous  BF,  FR  deux  fois  pris.  Mais  le  quarré  FO  est  plus  grand  que  celui 
de  FR,  puisque  la  ligne  FO  a  été  prouvée  plus  grande  que  la  ligne  FR  : 
donc,  si  vous  substituez  le  quarré  de  FR  au  lieu  de  celui  de  FO,  le 
quarré  BO  sera  plus  grand  que  les  deux  quarrés  BF,  FR  et  le  rec- 
tangle BFR  deux  fois  pris.  Mais  ces  dernières  sommes  sont  égales, 
par  Euclide,  au  quarré  des  deux  droites  BF  et  FR  prises  comme  une 
seule  :  donc  la  droite  BO  est  plus  grande  que  la  somme  des  deux 
droites  BF  et  FR.  Mais  nous  avons  prouvé  que 

|{F  est  à  IF  comme  AF  à  FM,     c'est  à  dire  comme  RF  à  FI), 

qui  est  la  mesure  de  la  diversité  des  mouvements  :  donc, 

comme  la  somme  des  deux  anlécédents   RF  et  Fl{ 
est  à  la  somme  des  deux  conséquents  DF  et  FI, 
ainsi  RF  à  FD. 


Or 
donc 


RO  est  à  OC  comme  RF  à  FD  : 

comme  RO  est  à  OC, 
ainsi  la  somme  des  deux  droites  RF  et  FR 
est  à  la  somme  des  deux  droites  DF  et  FI. 


CXVII.  -  1664.  493 

Mais  nous  avons  prouve  que  la  droite  BO  est  plus  grande  que  la  somme 
des  deux  droites  BF  et  FR  :  il  est  donc  vrai  que  la  droite  CO  est  plus 
grande  que  la  somme  des  deux  droites  DF  et  FI,  ce  qu'il  falloit  prouver 
en  second  lieu. 

Il  n'y  a  donc  aucun  point  du  coté  de  M  par  où  le  rayon  puisse  passer 
sans  y  employer  plus  de  temps  que  par  le  point  F.  Il  reste  h  prouver  la 
même  chose  au  point  V. 

Si  l'on  fait,  comme  ci-dessus, 

comme  BF  à  FA,     ainsi  FV  à  FN, 
et 

comme  la  même  BF  à  FM,     ainsi  FV  à  FX, 

NF  sera  à  XF  connue  AF  à  FM,     c'est  à  dire    comme  BF  à  FI), 

par  la  preuve  précédente,  et  chacune  de  ces  deux  droites  NF  et  XF 
sera  plus  petite  que  VF,  par  ce  qui  a  précédé. 

Il  faut  prouver  que  la  somme  des  deux  droites  YV  et  VU  est  plus 
grande  que  la  somme  des  deux  droites  DF  et  FH. 

Je  considère  premièrement  que,  par  Euclide,  dans  le  triangle  ambly- 
gone  VFH,  la  somme  des  quarrés  HF  et  FV  et  du  rectangle  MFV  pris 
deux  fois  est  égale  au  quarré  VII;  mais,  puisque,  par  la  construction, 
il  a  été  fait 

comme  BF  à  FM,     ainsi  FV  à  FX, 

donc  le  rectangle  BFX  ou  le  rectangle  HFX  (puisque  BF  et  FH  sont 
égales)  est  égal  au  rectangle  MFV  :  nous  avons  donc,  d'un  côté,  la 
somme  des  quarrés  HF  et  FV  et  du  rectangle  HFX  pris  deux  fois  égale 
au  quarré  HV.  Mais  le  quarré  FX  est  moindre  que  le  quarré  FV  :  donc 
la  somme  des  quarrés  HF,  FX  et  du  rectangle  HFX  pris  deux  fois  est 
moindre  que  le  quarré  HV.  Or  cette  somme  est  égale  au  quarré  fait 
des  deux  droites  HF  et  FX  comme  d'une  seule,  par  Euclide  :  donc  la 
somme  des  deux  droites  HF  et  FX  est  moindre  que  HV,  et  HV  est  plus 
gl-ande  que  ces  deux  droites  HF  et  FX. 

Si  je  prouve  donc  que  la  droite  YV  est  plus  grande  que  la  droite  DX. 
il  restera  prouvé  que  la  somme  des  deux  YV  et  HV  est  plus  grande 
que  la  somme  des  trois  DX,  XF,  FH,  c'est  à  dire  que  des  deuxDF,  FH. 


kOh  ŒUVRES  DE  FERMAT.-  CORRESPONDANCE. 

Pour  faire  cette  dernière  preuve,  je  considère  le  triangle  anii)ly- 
gone  BVF  auquel,  par  Euclide,  les  deux  quarrés  BF  et  FV  sont  égaux 
au  quarré  BV  et  au  rectangle  AFV  pris  deux  fois;  or,  puisque,  par  la 
construction,  nous  avons  fait 

comme  DF  à  FA,     ainsi  VF  à  FN, 

donc  le  rectangle  BFN  est  égal  au  rectangle  AFV,  et  partant  la  somme 
des  deux  quarrés  BF  et  FV  est  égale  à  la  somme  du  quarré  BV  et  du 
rectangle  BFN  pris  deux  fois.  Or  le  rectangle  BFN  pris  deux  fois  est 
égal  au  rectangle  BNF  pris  deux  fois  et  à  deux  fois  le  quarré  FN  : 
donc  la  somme  des  deux  quarrés  BF  et  FV  est  égale  à  la  somme  du 
quarré  BV,  du  rectangle  BNF  pris  deux  fois  et  du  quarré  de  FN  pris 
deux  fois.  Or  le  quarré  BF  est,  par  Euclide,  égal  au  quarré  BN,  au 
quarré  NF  et  au  rectangle  BNF  pris  deux  fois  :  nous  avons  donc  la 
somme  des  quarrés  BN,  NF,  FV  et  du  rectangle  BNF  pris  deux  fois 
égale  à  la  somme  du  quarré  BV,  du  rectangle  BNF  pris  deux  fois  et  du 
quarré  de  FN  pris  deux  fois.  Otez  de  chaque  côté  le  rectangle  BNF  pris' 
deux  fois  et  le  quarré  NF  :  il  restera  donc  que  le  quarré  de  BN  et  le 
quarré  FV  seront  égaux  aux  quarrés  BVet  FN.  Or  le  quarré  FVest  plus 
grand  que  le  quarré  de  FN,  par  la  construction  :  donc  le  quarré  BV  est 
plus  grand  que  celui  de  BN,  et  partant  la  droite  BV  est  plus  grande  que 
la  droite  BN. 

Mais  nous  avons  prouvé  que 

comme  la  droite  RF  est  à  FD,     ainsi    NF  est  à  FX  : 

donc 

comme  la  droite  RF  est  à  FN,     ainsi  sera  DF  à  FX, 

et,  par  la  conversion  des  raisons,  ^ 

comme  RF  à  RN,     ainsi  sera  DF  à  DX, 

et 

comme  RF  à  DF,        ainsi        RN  à  DX. 

Mais  nous  avons  fait 

comme  RF  à  DF,        ainsi        RV  à  YV  : 

donc 

comme  RV  à  W,     ainsi  sera  RN  à  DX. 


s 


CXVII.  -  1CG4.  495 

Mais  nous  avons  prouvé  que  BV  est  plus  grande  que  BN  :  donc  YV  le 
sera  plus  que  DX. 

Or  il  a  été  déjà  prouvé  que  VH  est  plus  grande  que  les  deux 
droites  HF  et  FX  :  donc  il  est  pleinement  prouvé  que  les  deux 
droites  YV  et  VH  sont  plus  grandes  que  les  trois  DX,  XF  et  FH,  ou 
que  les  deux  DF  et  FH,  et  ainsi  la  démonstration  est  complète. 

Il  suit  de  là  qu'en  posant  mon  principe,  que  la  nature  agit  toujours 
par  les  voies  les  plus  courtes,  la  supposition  de  M.  Descartes  est 
fausse,  lorsqu'il  dit  que  le  mouvement  de  la  lumière  se  fait  plus  aisé- 
ment dans  l'eau  et  les  autres  corps  denses  que  dans  l'air  et  les  autres 
corps  rares. 

Car,  si  cette  supposition  de  M.  Descartes  étoit  vraie  et  que  vous 
imaginiez  qu'en  ma  figure  l'air  est  du  côté  de  H  et  l'eau  du  côté  de  B, 
il  s'ensuivroit,  en  transposant  la  démonstration,  que  le  rayon  qui  par- 
tiroit  du  point  H  et  rcncontreroit  l'eau  au  point  F,  se  romproil  vers  B, 
parce  que,  le  mouvement  par  l'air  étant  plus  lent  selon  la  supposition 
de  M.  Descartes,  il  seroit  mesuré  par  la  droite  HF,  et  celui  qui  se  fait 
dans  l'eau  seroit  mesuré  par  la  droite  FD,  comme  étant  plus  vile,  de 
sorte  que,  les  deux  droites  HF,  FD  étant  les  plus  petites,  la  réfraction 
se  fcroit  vers  B,  c'est-à-dire  que  le  rayon  s'écarteroit  de  la  perpendi- 
culaire, ce  qui  est  absurde  et  contre  l'expérience. 

Si  la  situation  des  deux  points  B  et  H  change  dans  les  deux  lignes  BF 
et  FH  prolongées  de  part  et  d'autre  autant  que  vous  voudrez,  la  démon- 
stration aura  lieu  et  vous  le  verrez  de  vous-même. 

•Te  n'ajoute  point  l'analyse,  car,  outre  qu'elle  est  longue  et  embar- 
rassée, il  vous  doit  sulTîre  que  le  retour  que  vous  venez  de  lire  est 
court  et  purement  géométrique. 

Il  suit  de  tout  cela  que,  lorsque  les  deux  points  B  et  F  sont  donnés, 
ou  bien  H  et  F,  on  peut  trouver  aisément  le  problème  par  les  plans; 
mais,  lorsqu'on  donne  deux  points,  comme  B  et  H,  et  qu'on  veut  cher- 
cher par  eux  le  point  de  réfraction  dans  la  ligne  ou  plan  qui  sépare  les 
deux  milieux,  en  ce  cas  le  problème  est  solide,  et  ne  se  peut  construire; 
qu'en  y  employant  des  paraboles,  des  hyperboles  ou  des  ellipses.  Mais, 


WG  ŒUVRES   DE  FERMAT.  —  CORRESPONDANCE. 

comme  cette  invention  n'est  guère  malaisée  à  un  géomètre  médiocre, 
en  demeurant  d'accord  du  fondement  et  de  la  proportion  sur  laquelle 
il  doit  travailler  et  que  je  vous  ai  déjii  expliquée,  je  n'ai  garde  de 
douter  que  vous  la  trouviez  d'abord,  vous,  Monsieur,  qui  êtes  si  fort 
au-dessus  du  commun. 

Outre  que,  ne  s'agissant  proprement,  dans  la  question  que  vous  me 
faites,  que  d'apprendre  quelles  sont  les  voies  de  la  nature,  j'y  ai  déjà 
satisfait,  et  que  cette  grande  ouvrière  n'a  pas  besoin  de  nos  instru- 
mens  et  de  nos  macbines  pour  faire  ses  opérations. 


CXVIII. 
SAPORTA  A  FERMAT  ('). 

A  MONSIEVR  I  FERMAT  |  CONSEILLER  DV  |  ROY  AV  PARLEMENT  | 
DE  TOLOSE.  I 

MoNSIEVR, 

le  vous  rends  ce  qui  est  vostre  :  cette  traduction  que  ie  vous  pré- 
sente du  Traicté  de  Torricelli  du  mouvement  des  eaux  est  à  vous,  parce 
que  vous  m'avés  fait  l'bonncur  de  m'exhorter  à  y  travailler,  et  que  vous 
m'avez  fait  cognoistrc,  qu'elle  ne  pouvoit  mieux  paroistre  en  public, 
qu'en  suite  du  Traicté  de  la  mesure  des  eaux  courantes  de  Castelli, 
(|u'il  recognoist  pour  son  Maistrc,  et  sur  les  démonstrations  duquel 
il  appuve  presque  toutes  ses  propositions.  Mais  elle  vous  appar- 
tient, MoNsiEvu,   à  un  plus   iuste  tiltre,  puisque  cet  ouvrage,  qui 

(  '  )  Dédicace  do  l'ouvrage  iiililulc  : 

Traiclc  du  |  mouvement  des  |  eaux  d'Evangcliste  |  Torricelli  Malliema  |  ticien  du  Grand 
Duc  I  de  Toscane.  |  Tiré  du  Traicté  du  mesme  Autheur.  |  du  mouvement  des  corps 
pesans  qui  descendent  |  naturellement,  et  qui  sont  jetiez.  A  Castres,  |  Par  Bernard  Rar- 
conda.  Imprimeur  |  du  Roy,  de  la  Chambre  de  l'Edicl,  de  la  dite  |  Ville  et  Diocèse.  1664. 

Ce  Traité  est  joint  à  celui  de  Benedctto  Caslclli  dans  le  volume  publié  jiar  Saporla 
(  voir  Tome  I,  p.  362)  ;  la  dédicace  adressée  à  Format  occui)e  les  pages  59  à  Gi  du  dit 
volume. 


C XVI 11.  -  IGGl.  W7 

a  esté  composé  par  vu  des  plus  sçavans  Mathématiciens  d'Italie, 
sur  vnc  matière  tres-curieuse,  et  toute  nouvelle,  ne  pouvoit  mieux 
estre  exposé  aux  yeux  du  public,  que  soubs  la  faveur  de  celuy  que 
tous  les  plus  grands  Mathématiciens,  ie  ne  dis  pas  de  la  France  seule- 
ment, mais  aussi  de  toute  l'Europe  admirent,  et  révèrent  d'vne  façon 
toute  particulière.  Lors  qu'ils  ont  des  difficultez  dans  ces  sciences 
abstruses,  dont  les  inventions  admirables  font  voir  et  l'excellence,  et 
la  divinité  de  nostrc  ame,  ils  recourent  à  vous,  IMonsievu,  comme  à 
l'Oracle  qui  dissipe  en  un  moment  les  ténèbres  qui  les  envelopoieni 
auparavant.  S'ils  ont  quelque  dispute  entre  eux  sur  (|uelque  point, 
dont  ils  ne  puissent  pas  s'accorder,  ils  vous  choisissent  pour  l'Arbitre 
de  leurs  dilferens,  et  ils  se  soumettent  avec  respect  à  la  décision  (|ue 
vous  en  faites.  Tous  les  sçavans  en  toute  sorte  de  Literature  vous  con- 
sultent sur  les  passages  difficiles  qu'ils  rencontrent  dans  les  livres, 
le  pourrois  rapporter  un  grand  nombre  d'excellentes  remarques  que 
vous  avez  faites  sur  Synesius,  sur  Frontin,  sur  Alhenéc  et  sur  |)lu- 
sieurs  autres  Auteurs  et  les  esclaircissemens  que  vous  avez  donnez  a 
des  lieux  obscurs  qui  n'avoient  pas  esté  entendus  par  les  Scaligers,  les 
(lasaubons,  les  Petaus,  et  les  Saumaises.  Enfin  il  semble,  Monsuvi!, 
que  vous  estez  né  pour  gouverner  l'Empire  des  Lettres,  et  pour  estre 
le  Souverain  Législateur  de  tous  les  Sçavans.  Si  i'avois  dessein  de  faire 
votre  Panégyrique,  j'estalerois  icy  toutes  les  cognois'^ances  que  vous 
avez,  qui  sont  capables  de  rendre  les  hommes,  et  plus  doctes,  et  plus 
gens  de  bien.  le  parlerois  de  vostre  iugement  dans  les  affaires  du 
Palais,  ou  vous  avez  passé  la  plus  grande  partie  de  vostre  vie,  et 
ou  vous  avez  fait  paroistre  tant  d'intégrité,  et  tant  de  suflisance  en 
l'administration  de  la  Justice,  qu'il  y  a  de  quoy  s'estonner,  qu'ayant 
acquis  toutes  les  qualitez  d'un  grand  luge,  vous  ayez  peu  acquérir  vne 
parfaite  intelligence  de  tant  d'autres  choses,  qui  sont  si  différentes  de 
cette  sorte  d'estude.  le  pourrois  dire  avec  vérité  que  la  force,  et  l'es- 
tendué  de  vostre  génie,  a  surmonté  toutes  les  difficultez  qui  décou- 
ragent, ou  ([ui  arrestent  les  autres  :  que  vous  comprenez  comme  en 
vous  iouaiit,  ce  (|ui  occupe  l'attention  des  plus  subtils,  et  que  vous 

l'LnMAT.  -   II.  63 


l'.is         ( K u  V 15 1: S  I)  I-:  F k  ii m  at.  -  c o h  lu: s i» o n d  a  n ci:. 

pciicli'c's  ilaiis  ]»cu  (le  ioiirs,  cl  avoc  pou  do  i)oiiio,  les  iiialiorcs  les  plus 
(lillicilcs,  qui  travaillont  les  cspi'ils  les  plus  vifs,  et  les  plus  solidos, 
(losaMiK'Cs  onliorcs.  Mais  i'ou  dis  trop,  Monsievr,  pourvoslrc  inodostic, 
quov  que  ie  n'on  die  pas  assoz  pour  voslro  morito,  n'y  pour  la  passion 
(|U('  i'av,  do  vous  tosmoignor,  coiuliion  io  suis. 

\I0.\S1KVU, 

Vosiro  fros-huml)lo  et 

(ros-oboissant  serviteur, 

S.M'Or.TA. 


VARIANTES  KT  NOTKS  CIUTIOUIÎS. 


LISTE  DES  SOURCES. 


A    =  Manuscrit  Arbogust-Boncomiiagiii   (-voir  ïuiiic  1,   Avcrlisscincut,  [i.  xxil)- 

A'  =  Brouillons  J'Arbogast,  ilans  le  MS.  Bibl.  n.it.  fr.  n.  a.  SsSo  (1°*  91  à  98,  120  à  192). 

B    =  Manuscrit  Vicq-d'Azyr-Boncompagni  [voir  "ïomc  I,  Avei-tissemcut,  p.  xxvii). 

C    =  Copie  (les  manuscrits  <Ic  Clerselicr,  prise  à  Vienne  par  Dcspeyrous,  dans  le  MS.  Bibl.  nat.   fr. 

n.  a.  3280  (1'°'  25  à  go). 
1)    =  Édition  des  Lettres  de  M.  Descartes  par  Clerselicr,  Tome  III.  Paris,  1(1(17. 
E    =  Commercium   epistoliciim  de  Wallis,  Oxford,  i(i5H. 
V    =  MS.  Bibl.  nat.  fr.  n.  a.  6>oi 

0  =  Gassendi  Opéra  omnin^  édition  de  Lyon,   i6')8. 

Il    =  Correspondance  de  Hiiygeiis,    publiée    par    la   Société    hollandaise    des    Sciences    (  l,a    Haye. 
1888  etc.). 

1  =  MS.  Bibl.  nat.  latin  8600. 
K    =  MS.  Bibl.  nat.  latin  11  196. 

L     =  Lalouvère,  yeterum  Geometna  proinola  in  seittem  de   Cyc/oide   lihris,  Toulouse,  i(i(ii). 

M    =  MS.   Bibl.  nat.  fr.   17888. 

N    =MS.  Bibl.  n.it.  fr.  17390. 

0    =MS.  Bibl.  nat.  fr.  17898. 

I'    =  OF.ufres  de  Pascal,  édition  de  1779. 

1"   =  Recueil  d'opuscules  de  Pascal,  Bibl.  nat.  inip.  Rcser\e  V,  8.)9. 

U    =MS.  Bibl.  nat.  fr.  20945. 

Il   =  MS.  Bibl.  nat.  latin  722(1. 

S     =  Traité  de  la  mesure  des  eaux  courantes  de  Castelli,  Iraduclion  Saporla,  Castres,   i(>(i.'|. 

T    =  MS.  Bibl.  nat.  fr.  i3o26. 

la—  Kdition  des  f'aria  Opéra  de  Fermât,  1679. 

X    =  MS.  Bibl.  nat.  fr.  n    a.  5i6o. 


VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES 


(•) 


Lkttkiî  I.  3.  ligne  I  par  ces  B,  pour  ces  A  i  feront  B,  feroicnl  A  10  jusqu'à  A  6,  -1 
sera] A  tijonic  pour  7,  -2  une  om.  A  9,  1  envoicray  B,  enverrai  A  10,  8  de  oui.  A 
H,  3  sceu  B,  pu  A     i  ce  om.  A. 

\\(yo,  p.  i43).  Les  paragra|)lies  1  et  2  forment  la  fin  des  Nova  in  Mai/wnmiicis 
theoremata  (Pièce  V).  \\  9,  ;20  (/«,  i',4)  :2(i  DjAD  28  Qnod  erat  demonstranduni  | 
GEL). 

m  {Fa,  ii\).     4,  10  itajAB  (Fa.  it>.). 

\V  {Fa,  ii-i).  P.  18,  18  la]ie  2o(/rt,  laS)  26  proportion]  proposition  P.  20. 
5  la] que  la 

V  (^«,  i4-2).  3,  2ipsa  CB]ipsaAB.  P.  24,  0  8)0.  P.  25,  G  et|in  (^w,  i43)  7CJI) 
*  D]C  7,  3  constitutura].  Le  fragment  continue,  dans  les  Fiiria,  par  les  paragraphes  I 
et  2  de  noire  Pièce  II. 

VI  {Fa,  ii3).  2]1.  2,  5  la  première]le  premier  4,  9  l'avouerj/rt  njoiile  ,lo 
suis  etc. 

La  suite  se  trouve  intitulée  dans  A  :  F/nf^mrni  d'une  lettre  à  Mersenne  {le  comnwucc- 
mciit  maitt/ue);  dans  B  :  Fragment  d'une  lettre  de  M.  Fermât  du  li  juillet  i63G.  5,  2 
baille  A,  envoyé  B  6,  2  proportionnelles  om.  A  7,  11  pouves  B,  pourrez  A  P.  30,  .'> 
trois  ou  deJ2  ou  B.     8,  1  Et  B,  .le  A.     B  omet  la  date. 

Vil  {Fa,  i33).  P.  32,  i:i  lelles  P.  33,  9  NB]CB  11  gravia|;Equalia  {Fa,  \i\). 
P.  34,  10  eccejcum  li  FI1N]F1I,  in  -k  N].M  {de  même  il).  IG  FllN JFIIM  (rff;«e///f  18,i 
17  I1F]MG     18  HN]11A. 

VIII  {Fa,  124)-  Snacription  :  A  Paris,  le  iG  aoust  i636.  2,  1  que]lequel  4/o  des- 
quelles conditions,  au  principe  dont  il  s'agit,  la  principale  manque,  sçavoir  G  d'où  vient] 
quelle  est  7  cette]leur  *•  Ainsi...  les  corps  3,  5]  ce  qui  n'étant  point  en  nôtre  connois- 
sancc  (comme  il  faut  librement  avouer,  et  en  cecy,  et  quasi  en  toutes  les  autres  choses 
physiques;  il  est  évident  qu'il  nous  est  impossible  de  déterminer,  co  qui  arriveroit  au 
centre  où  les  choses  pesantes  aspirent,  ny  aux  autres  lieu.x  hors  la  surface  de  la  terre, 
sur  laquelle,  parce  que  nous  y  habitons,  nous  avons  quelques  expériences  assez  con- 
stantes, desquelles  nous  tirons  ces  principes  en  vertu  desquels  nous  raisonnons  en  la  Sle- 
clianique. 

(')  Lt:s  chilTrcs  égyptiens  (gras)  dL-sijjucnt  les  paragraphes  des  lettres,  à  niuiiis  qu'ils  ne  soient 
précédés  d'un  1'.,  au([ucl  cas  ils  indii|ueDt  la  page;  les  lignes  sont  comptées  à  partir  de  la  première 
du  paragraphe,  si  elle  est  dans  la  même  page;  autrement  à  partir  de  la  première  de  la  page. 


.Ï02  VAKIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES. 

La  diversité  (les  o|)inions  louchant  l'origine  do  la  posanteiir  des  corps,  aucune  des- 
quelles n'a  estéjusqucs  icy  ny  démontrée  ni  convaincue  de  fausseté  par  démonstration  est 
un  ample  témoii^nage  de  l'ignorance  humaine  en  ce  point. 

{l'a,  125).  La  commune  opinion  est,  que  la  pesanteur  est  nne  qualité  qui  réside  dans 
le  corps  même  qui  tombe. 

D'autres  sont  d'avis  que  la  descente  des  corps  procède  de  l'attraction  d'un  autre  qui 
attire  celuy  qui  descend,  comme  [le  globe  aj.  P)  de  la  terre  [paroit  attirer  une  pierre  qui 
tombe  nj.  P].  Il  y  a  une  troisième  opinion  qui  n'est  pas  hors  de  vraysemblance;  que  c'est 
une  attraction  mutuelle  outre  les  cor[>s,  causée  par  un  désir  naturel  que  ces  corps... 

3,  îi  clairjévidcnl  6/7  lo  fer  ne  l'ctanl  pas,  l'ira  trouver  12  seront...  quelque  lieu  4,  3] 
sont  fort  ditrérenles,  particulièrement  de  la  première  et  des  autres,  comme  nous  fairons 
voir  en  les  examinant. 

Car  si  la  première  est  vrayc,  le  sens  commun  nous  dicte  qu'en  quelque  lieu... 

4,  ^  poids]  corps  ])esant  *  pèse]  posera  10  avoir  égard]  considérer  11  centre  com- 
mun]. Jddiiioii  :  Si  cette  première  opinion  est  véritable,  nous  ne  voyons  point  que  le 
principe  que  vous  demandez  pour  la  Gcostatique  puisse  subsister.  12  Car  soient  deux 
poids  15  A  cl  B  19  Nous...  équilibre  21].  Suivant  cette  première  opinion,  nous  accor- 
dons que  si  le  point  C  est  uny  au  centre  des  choses  pesantes,  le  composé  des  |>oids  Ali 
demeurera  immobile  véritablement.  22  au]avpele  *•  centre  commun  des  choses  pesantes, 
combien  que  l'un  des  poids  en  soit  plus  proche  que  l'autre,  ils  contrepeseronl  (24). 
2r)  comme  par  le  point  C  omix.  2(i  paroles  mêmes]  propres  termes  27  pour]de  28  par 
dessus]  sur  P.  38.  Le  premier  alinéa  est  nmù.  8  car  il  n'a  pas  esté  démontré  que  le 
point  C  soit  le  centre  de  pesanteur  du  composé  .\R,  .sinon  lorsque  la  descente  des  corps  se 
fait  naturellement  par  des  lignes  parallèles:  ce  qui  est  contre  vos  suppositions  et  les 
nôtres,  et  contre  la  vérité,  et  même  nous  ne  voyons  pas  qu'aucun  corps,  horsmis  la 
Sphère,  ail  un  centre  de  pesanteur,  posée  la  définition  de  ce  centre  selon  Pappus  et  les 
autres  .\utlieurs  :  et  quand  il  y  en  auroil  un  en  chaque  corps,  il  ne  paroit  pas  (et  n'a 
jamais  esté  démontré)  que  ce  scroit  (12).  13  commun]des  choses  pesantes  1.*»  figures] 
addition  :  comme  en  la  seconde  des  deux  figures  suivantes.     16  commun] de  pesanteur. 

5,  I  du]d'un  3  méinc]r  *  uous]vous  i  semblable]  pareille  *  AB|(/'rt,  12G) 
(puisque  vous  le  voulez  appeler  ainsi)  d'autant  que  ces  poids  ne  pressent  (5/6)  7  C,  D 
mi  E  omis  9  le  porter] se  porter.  P.  39,  2  près] proche  3  C  omis.  6  jugement] /rt/T» 
de  l'alinéa  est  omise. 

6,  1  en  ce  cas  desjsuivanl  cette  première  opinion,  de  3  pour...  sentiment  omis. 
i  Soient  donc  deux  *  A  et  B  5  dans  laquelle  le  point  C  soit  le  centre  de  pesanteur  du 
composé  des  corps  AB,  selon  les  anciens;  ce  point  C  ne  sera  pas  (6)  7  pose] met 
9  qu'iljque  ce  composé     13  contropèsenl  avecjsoit  de  même  pesanteur  que 

7,  Paragraphe  omis. 

8,  1.  Si  la  seconde  opinion  louchant  la  cause  de  la  descente  des  poids  est  véritable, 
voiey  les  conséquences  qu'on  en  peut  tirer,  selon  nôtre  jugement.  Soit  (i)  6  les  parties 
du  même  corps,  en  sorte  que  chacune  selon  sa  puissance,  lire  à  soy  le  corps  attiré,  ainsi 
ipie  supposent  les  Auteurs  de  celle  opinion. 

Sur  cette  position,  le  sens  commun  nous  dicte  que  les  distances  et  autres  conditions 
estant  pareilles,  les  parties  égales  du  corps  attirant  attireront  également,  et  les  inégales, 
inégalement. 


VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES.  303 

Soil  donc  le  corps  allirc  L(6)  8  menée] mcme.  P.  41,  2  marques] pris  6  puis- 
sancojverlu  entière  7  là  oiijou  étant  10  venujparvenu  11  toujours  est  place  après 
sera  12  eljmais  13  retire]contrctire  li  Torcc]  vertu  17  mais  celle  diminulioii  ne 
sera  pas  en  la  raison  des  li!,'ncs  HA,  IIK,  III,  ce  que  vous  connoitrez  en  le  considérant 
sans  autre  explication. 

Si  la  troisième  opinion  de  la  descente  des  corps  est  véritable,  les  conclusions  que  l'on 
(^rt,  127)  en  peut  tirer  sont  les  mômes,  ou  fort  approchantes  de  celles  que  nous  avons 
tirées  do  la  seconde  opinion.  Suit  le  paragraphe  9. 

9,  3  d'icelles] d'elles  5  conclusions] conséquences  7  desquels  l'expérience  assistée 
d'un  bon  jugement,  nous  a  rendus  certains. 

Pour  ces  considérations,  dans  nos  conférences  de  Mechanique  nous  appelions  des  poids 
égaux  ou  inégaux  ceux  tpii  ont  égale  (10)  11  un  même  corps  est  ditjnous  entendons  un 
même  corps  P.  42,  3  arrive  ou  non  i  ce]cl)ose  5  contente] satisfasse  6  et  nous  rai- 
sonnons] raisonnans    7  en  omis. 

10,  1  Pour]Ouant  à  3  et  l'autre] mais  l'autre  est  9  et  soit  considérée  la  circonférence 
(;NB  10  méne]remue  12  contrepèseront  l'un  à  l'autre  et  omis.  15  seront ]seroint  * 
poinlsjexlremitez  10  éloignées.  P.  43,  2  pour  les  avoir  démontrées  par  des  principes 
qui  nous  sont  plus  clairs  et  plus  connus  (  l)  5  distinctiou  à  faire,  laquelle  est  de  grande 
considération.  Sçavoir  que  quand  ((j)  9  mais  quand  *  d'un] un  13  enfin ]flnalement 
13  vers  N]  vers  P. 

11,  1  Si  eïc.jCelte  distinction  estant  vraye  comme  elle  est,  vostre  second  principe  ne 
peut  subsister,  ce  qui  paroîlra  assez  par  l'examen  d'iceluy. 

Vostre  second  principe  est  tel.  Soit  A  (4).  S  est  B] est  D  G  force] puissance 
8  D.K^'rt,  128)  P.  44,  1  poséjmis  0  s'éloigner] éloigner  le  levier  8  en  général] généra- 
lement 11  quoique  contraires  à  votre  supposition  omis.  12/13  et  nous  vous  en  expli- 
querons les  principaux  cas  que  vous  connoistrcz  véritables  sans  aucune  démonstration. 
Suit  le  paragraphe  12. 

12,  2  et  omis.    4  demeurons    P.  45,  1  force] puissance. 

13,  6  bouls]extrémités  10/12  et  quand  cet  appuy  sera  esté,  le  tout  demeurera  de  même 
qu'avec  l'appuy,  ce  qui  est  assez  clair.  I.")  alors  est  ajouté  ai.'aiit  celles.  19/20  que  lors- 
qu'elles sont  ramassées  en  B. 

14,  1/2  chacun  plus  graïKl  P.  46,  1  DC]CD  i  ramassez  (de  même  9)  8  Bjvers  P 
ajoute,   -k  ce  qui  scroit  arrive]  comme  il  arriveroit 

15,  2  les] des  G  qu'on] que  l'on  9  aux  points] sur  les  parties  13  (Fa,  129)  it  Ainsi, 
considérant] Partant  -k  sont]seront  *  ils  o//jj.v  14  chargentjcliargeront.  P.  47,  1  sur 
l'arc  GBIl  5  aura]  a  -k  ramassez  9  même  omii.  10  Addition  :  Cette  dernière  consi- 
dération pourroit  bien  estre  cause  qu'un  même  corps  [leseroit  moins,  plus  proche  que 
plus  éloigné  du  centre  commun  des  choses  pesantes  ;  mais  la  proportion  de  ces  pesan- 
teurs ne  seroil  nullement  pareille  à  celle  des  distances,  et  seroil  peul-eslre  ires  difficile 
à  examiner. 

16,  3  éloignés  de  .V  centre  commun  G  GI  est  à  9  assez  omis  •  des]  de  vos  10  les] 
ces  lO/li  restcroit  aucune  difficulté  1 1  à  peu  près  o/?;w  11/12  ainsi.  Soit  faite  la  pré- 
paration suivant  la  méthode  d'Archimedo  13  E\Q  (de  même  dni/s  la  suite  du  para- 
graphe). P.  48,  2/3  duquel  etc.]  lequel  arc  sera  quelquefois  moindre  que  la  circonfé- 
rence entière,  quelquefois  égale  à  icelle,  et  quelquefois  plus  grand.  El  d'autant  que  les 


oOl  VAHIANTES   ET   NOTES   CRITIQUES. 

poriinns  m,  IQ  sont  Cigales,  3  BGIflQ  4  par  le  premier  principe  sur  l'appuy  1.  7  pèse] 
po^é  8  Car  Ions  ces]  Partant,  puisque  ces  deux  9  poseront]  pèsent  *  puis  donc  jet 
10  faisoioiU]  font  *  môme  omà-.  I.'i  feroit]  reçoit  lipas|point  Ki  pouvons  17/1!)  in- 
slances  dont  la  proniicre  est  telle.  Au  levier  GIR,  soit  l'angle  GIR  droit 

18,  1  Soil  A  le  cciitre  'i.komix.  3  GI  |  soit  (/ «,  l'in)  0  l'on] on  0/7  faisant. .  .R  | 
mellanl  en  C  le  même  poids  qui  estoit  en  R  9/10  faisant...  CJfaisant  ID  estre  le  bras 
du  levier  et  mettant  en  D  le  même  poids  qui  estoit  en  C  12  à  IG]en  G  13/li  raison- 
nant à  l'ordinaire]  par  le  raisonnement  ordinaire     16  seroit]sert     18  fait] fasse    P.   50, 

1  (ce  qui  est  facile  à  démontrer)  2  de]liors  2/3  on  conclura  quelque  chose  do  cho- 
(]uant  de  votre  position. 

19,  1  parce  que  *  tout  omis.  2  faire  pir  des  hommes,  des  poids  à  l'égard  do  leur 
centre  naturel  3  la  faire  alentour  d'un  centre  artificiel,  supposant  r;/6  agiroient]  tendent 
7  conforme  à  ce  raisonnement    8/10  Alinéa  omis. 

20,  l  agréable  decnntinuer  nos  communications  sur  ce  sujet  ou  sur  celuy  de  la  (ïeo- 
metrio  2/i  ceux  de  ce  temps,  nous  tâcherons  ,\  vous  donner  contentement  :  et  ce  que 
nous  vous  proposerons    .t  car  nous  vous  en  envoyorons 

l.\.(/«,i3o)    3(/"W,i3i).     P.  53,  18  ACn]  ad  CD    21  CD| .  Igitur  (/'«,  i3' )•     P-  54. 

2  horizontis  6,  1  terre]  lettre  7.  3  parabola  i/M  conois  parabolicus  archimcd.Tus 
(■>  novus  conois    9,  0  composé  )com|)ris. 

\(l'(t,  r>;5)    2,  l.">  quatre.  I  en  (/^rt,  i>.'i).    3.  ."i  de  Pascal 

Xl(rrt,  i30.  1,  12  prin|cipes(ra,  i3J)  3,  I  i  BC.V]BC,CA  4,  Glaomù.  7  |  parce 
que  {Fa,  i30)    5,  3  menez] niez 

XII  (B  a  comme  titre  :  Epislola  Dmi  de  l'"eriuat  ad  R.  P.  Morsennum.)  1,  1  Oavum] 
damnum  A  P.  64,  I  te]se  A  2,  2  ita]sic  A  7  problemaiis  B,  problematibus  A  (dr 
même  3,  I)  !»  quadratoquadrata  A  3,  3  ipsis  rf'/jf'/t' B  i  pulcherrimi  A  P.  66,  2  ad- 
mitti  om.  B.  i  dimiuiitum  B  (de  même  plus  loin)  7  ex  his  propositionibus  B  {peut-être 
mieu.r).  4,  1  abs  te  A  *  construimns  A  7  contingerit  A  7,  7  «oaîjiçjaj  B  (A  «  cor- 
n^'ê  e/i  marne).  8,  10  exordium  corrigé  de  origincm  B.  *  B  donne  en  marge  le  calcul 
des  nombres  i8o  et  iSçjo.  plus  loin  de  10170  (avec  une  erreur)  et  de  7</)>.  P.  68,  10  abs] 
corri:;é  en  à  par  A.  9,  ()/7  De  niultangulis  numeris  A  it  majori  AB  U  1"  om.  B 
P.  69,  7  omnibus]  numeris  B.  9  prfECcpta  J  qu.-usita  AB.  10.  1  nolumus  B  2  Arithme- 
tiirie  A  3  \cnim\\r\  corrigé  de  invenimus  A  U,  ■'>  aucto|aucli  AB  8  c.\emplum]B 
ajoute  :  i.'î.3.4.  10  auclum]aucti  AB  11  et  fit  B  13  et  superesl  B  P.  70,  2  pnpce- 
dentis  A  î«-  B  donne  les  calculs  en  marge.  12,  2  \\\L-(im]rorrigc  de  ansam  B  9  eâ]sic  A 
13.  B  ajoute  la  souscription  :  Au  Ucverond  père  .Mer.senne  minime. 

XIII  {Ta,  i3G)  3,  -4  r]  Premièrement  7  in|conchoide  {fa,  i3y)  4,  3  dcs]de 
5.  3  r]  premier    P.  74,  9  in]et 

XIV.  (Texte  d'après  R;  leçons  de  Fa,  i38).  1,  2  promis  2,  2  en] vers  7  la  partie 
inférieure  8  chose  mémo  12  quoijqui  K  boutlpoint  P.  76,  10  de  direction  omis. 
l.S  doublé] double  19  cette] la  21)  bras  AB,  AC  23  deux  o/«(x.  P.  77,  1  double  4  et 
omù  10  forces  *  Ainsi]  Aussi  12  être  |  entendues  {Fa,  139)  14  supposons] posons 
21  AC,  AG  P.  78,  20  demonstrons  P.  79,  1  demonslrons  t)  menées  omis.  19  enten- 
dues] imaginées  *  cl  omis.     P.  80.  2  sorte  sur  le  bras  AC  omis    3  E]sur|le  bras  AC 


VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES.  505 

tijoiilc  (J'a,   il»)    *    nxioinc]  principe      13    riUriKlucs]  imaginées      10    axiome]  princi|)e 
2.")  fin  (lu  texte  lie  II.      9  (  l'a.  \\\) 

XV  (AV^  lifi).  3,  3  vous  iU[i\ms,<i7.\roiiimencemeiit  dans  \i  d'un  Exlraict  d'une  lellic 
(lu  iiii"''  no''™  iG3G  à  M.  Kobei'val  pour  la  quadrature  de  la  parabole.  *  vrayc  Fn.  oin. 
B.  *  possible  pas  B,  pas  peut  cstrc  Fo.  1'.  84,  2  graiule  om.  l'a.  f>  plus  "/".  Fa. 
l'J  qui  est  tout  ce  qu'on  peut  B,  qui  comprend  entièrement  tout  ec  ipii  se  peut  Fa. 
P.  85,  7  la  quadrature  B  (^MJ.v'nrrfVe  à  ce  moO,  les  quadratures /'«.  5,  i  ct|que(^'V/. 
147)  8/9  de  son  diamètre  et  en  sorle  partiisscnt  des  additions  suspectes.  7,  5  conoidom 
(de  marne  (i)    10/11  EUipsioidcm     1>.  87,  8  11)]  111)   •   nV]l)I 

XVi  (Fa.  141).  1'.  88,  10  Intelligitur  17  G1]UC  1'.  89,  :i  ACDE]ACDC  7  BU|KI) 
10  (r«,  i4v.)- 

XVII  (Fa,  147).     P.  90,  IJ  CA|naluralitcr  (Fa,  i.\8)    P.  91,  8  desqucls]duquel 

XVIII  (^fl,  I  j8).  1,  11  vous]  verrez  (/rt,  I  îs))  3,  ^  Le  nom  Sixïn[c-Croh  est  rei)ipt<icé 
par  des  points.  P.  95,  14  conoïdum  23  (^o,  1  Jo)  P.  97,  20  (r«,  i3i)  P.  98,  U11C]HA 
21  eadem    22  AC]IC  -k  sccantes]stantcs. 

XIX  {Fn,  i:3i).     P.  101,  3  puncto|  A  (/«,  \ji)     11  IM  omis.     P.  102,  11  BIX. 

XX  {Fa.  i3?,)-     !'•  103,  li  (fa,  i53) 

XXI  {Fa,  i5J).     3,   1  de  omis  après  iM.  {de  même  2)     3  avec  |  franchise  {Fa,  \']\) 
XXU  (D).     P.  108,  2  et  3  qu'on] qu'il 

XXIV  (Variantes  de  D;  texte  de  G).  1,  ii  me  sera  garand.  2,  10  de  venir  sans  mar- 
chander 3.  7  qui  continue]de  4.  1  Je  viens  5,  7  sa  détermination  6,  7/9  or. ..  aupa- 
ravant].Mais  10  (|u'elle  ne  faisoit  auparavant;  Et  si  13  le]co  7,  3  à/.'e.vc.,dcC  7  ce 
Desc.,\iiC  8,  3  entendre] comprendre  0  changera  P.  120,  1  pourrions  D,  pouvions  C 
9,  I  la]  sa  7  la]  cette  19  c'csl-à-dirc]ou  P.  121,  S  parce  que  10,  13  le  portera 
17  tout  omis.  11.  Vi  do  même  nom  12,  3  FA  est  à  AB  c'est  à  dire  comme  FG  à  BN 
,3  CB  est  à  BN  P.  123,  4/.">  conclusion  pareille  7  CB]BGest  9  Maintenant  <7/o«/e«i'««/ 
Du  10  égaux]  cntr'cux  ajouté.  12  conséquent  17  preinière]  précédente  19  UAF|esl 
ajouté.  14,  1  ligure]  force  P.  124,  0  cettcjla  12  (iu'elle]que  cclle-ey  15,  ."•  pleine- 
ment omis. 

XXV  (Variantes  de  D;  texte  de  X).  1,  2  pourco  que...  soit]  parce  qne  je  n'en  S(.au- 
rois  parler  autant  que  je  voudrois  4.  celuy-là  tncsme  *  tâche]  entrepris.  2,  3  contin- 
gentes] tangentes  *•  trouve]  prouve  Fig.  Go.  La  ligne  01  n'est  pas  tracée  dans  X;  les 
lettres  algéljriques  qid  suii'eitt  j  sont  en  minuscule.  \"t  iterumque. .  .  BE  om.  X  18  B.  et 
le  costé  P.  128,  0  maxime  10  X  ajoute  en  note  :  11  dit  qu'il  faut  mettre  viis  a priori/nis 
diversis  ou  per  dii'crsum  médium  ou  quelque  choso  de  semblable  pour  rendre  la  règle 
bonne.  3,  1  bien  encore  *  môme  omis.  2  tangente  7  autre  omit.  9  ergo  proba- 
viinus  CE  P.  129,  1  se  om.  X.  4,  7  est  omis.  10  encore  que] quand  12  eût  eu 
13  même  L),  premier  X.  6,  3  tangentes  P.  130,  6  sont]  font  *  font  D,  est  aussy  X. 
Il  tangentes  7,  o  autres]  Aulheurs  P.  131,  0  de]  du  9  tangentes  10  n'en  peut  D. 
n'eut  peu  X.     8.  2  tangentes     8  que  j'ay  fait     13  cube  du  cube     10  quarré  du  cube 

XXV  bis  (A,  B).  1.  l  MM.  Pascal  A  3  parce  que  A  0  des  doutes  A  9  construc- 
tion] denionslration  A  2,  12  i)lùl  de  me  A  3,  3  propositions  de  A  4,  1/2  je  veux  en- 
core lui  faire  part  A     3  les]le  A     P.   134.  1  quelqu'un  A    2  M.  Uoberval  A    5,  2  de 

l'ERMAT.   —    II.  ^  64 


506  VARIANTI'S   ET   NOTKS   f.U  ITI  O  U  i: S. 

nm.  D  6,  :2  Et  par  exemple  1),  Coinmo  par  exemple  U  i  parabole]  par  exemple  nj.  1! 
*  tel]  quelque  D  iO/ll  C'est...  sophistiques  om.  I)  10  ces  H,  mes  A  13  que  l'un  A. 
qu'on  BD   *  demandera]  voudra  D    P.  135.   1  tels  nombre.^  I). 

XXVI.     6,  7  le  A,  ce  A'     l.'i  l'égalilc  A,  Ci,'alilé  A'     P.  138.  3  déduire  par  le  menu   \. 
décrire  pour  le  moment  A'. 

XXVIII  (D).     P.  146,  9  le.sjla 

XXI.X  {l'n,  p.  i54).     2.  2  de  niiiiiniis  et  uiiiiiiiiis  ciilrr  pnrenllic.ira.     3,  7  lui-mè  |  me 
{l'a.  r>5)     P.  149,   I,  2,  0,  7  B  bisjli'î.     P.  150.  .j  pouvez  J  prouve/.     6,  8  dat()]dalà 

XXX  (A,  B).  2,  9  son  A.  un  B  3.  G  Iraucliir  A,  traverser  B  10  comme  B,  ce  que  A 
24  punctum]  Dernier  mot  de  B. 

XXXI  (A,  A').     P.  155.  9   satisfait ]rrtmV,;-,/c  s'étend  A'      13  en  suite  A.  de  suite  A' 

2.   1   par  exemple  A,  sini|ile  .V     P.  156,   4  avec]  aux  AV'     3,  2  pareille]  fo/v7;'('  de 

egalle  A'    iJ  courbe] corrf^'c  de  convexe  A'    10  soit  A,  est  .\'   *    pareille  A,   cgalle  A' 

nde"aller 
Il   avec  A,   en  conservant  A'     12  par  adéqualion  A,  pour     ,   ""  (.sic)  A'.     P.  157. 

'         ada-cpiare 

9  Otant  A'     13/li  les  deux  cubes  om.  A     10  Divisant  A'    -k    étant  A'     17  avec]aux  A' 

19  nous  aurons  A,  on  aura  .\'     P.  158,  3  sera  A,  soit  A'  {de  même  -i)     ,">  fera  A,  lasse  A' 

6  aisément  A,  ainsi  A'    10  car  autrement  A.  aux  autres  .\'    4,  7  de  om.  A'    5,  1  </<•] 

des  A'    P.  159,  G  ligne  («f.  OA)  A,  droite  A'.    P.  160,  3  en  sorte  A,  de  sorte  A'     li  fera 

A',  sera  .V   *   OI]Oli!  (de  même  IG)  A.\'     P.  161,  ligne  dernière,  le  dénominateur  A  est 

omis. 

XXXIII  (A,  B).  1.  2  prene/.lavez  prise  A.  P.  165.  7  j'ai  baillé]je  lai.sse  3.  2  con- 
noilre]ro/Tt^'e  de  trouver  B.  5.  3/4  croyez-moi  om.  A  ^\  humble  serviteur]  etc.  A. 
7.  6  parties  B,  portions  A.     P.  167.  8  de  om.  A. 

XXXV  (A,  B).  1,  1  vous  om.  B  2.  8  cette  longueur  B.  ces  longueurs  A  10  par  li. 
de  A  12  que  (après  point)  om.  B.  P.  170,  12  que  (après  et)  om.  B  P.  171,  12  Ou 
fera  avec  la  môme  facilité  \.     3,  2  je  veux  vous  A.     4,  1   en  (après  exemple)  B,  de  A 

2  eu) de  A  5,  3  mêmes  A  S  trouver  B,  mener  A  P.  173,  1  focus  B,  foyer  A  6,  2  de) 
d'en  A  3  encore  om.  B  G  marquée  B.  imaginée  A  7  sommet  om.  B  *  iMB].M.\  P.  174. 
1  semble  êlrejest  A  *  l'estrivière  B,  l'affinité  A  2  punclis]elc.  ^7.  A  7  superficie] /i/.ir( 
a  corrigé  en  périphérie.  10  que  quel  point  que  AB  *  preniez)  prendrez  A  9,  1  trou- 
ver] mener  A  P.  175,  ligne  avant-dernière  :  S'il  y  a  manque  en  B,  Si  j'ai  mancjué  ici  A. 
P.  176,  il")  trouvères  B,  trouvez  .\     9  Votre,  etc.  A  17»/  omet  le  rette  de  la  lettre. 

XXXVI  (AB).  1.  2  les  longueurs  A,  3  rebutent  A  P.  177.  .'i  leur] le  A  G  les  expé- 
riences A  *  faites  A.  2,  I  comme] etc.  A  3  particulièrement] en  particulier  .-V  i  aux] 
«u  B  *  dc]des(lites  A  7  le  dernier  exemple]  la  dernière  B  *  sur  quoijquoique  A 
7/8  m'avez]  m'ayez  A  8  de  me  faire  savoir  A  3.  l  appelle  A  6  ci  suiv.  lat.]latus  B 
P.  178,  2  oujen  .\    4,  1  proposerai  A,  réserve  B     2  j'étends  encore]jc  cède  à  donner  A 

3  renchérit  A  *  et]jc  A    9  dérive ] déduit  .\    10  lrouvcr]savoir  A    11  valent]  vallût  A. 

XXXVII  (B).    4.  7  /;^Jv^-28i 

XXXVIII  bis  (/''«,  17.3).  6,  2  sorte]  de  (fa,  174)  *  tel)  le  B  3  encore  om.  B  *  etc. 
om.  B.  P.  190,  2  à  quoi...  possible  (5/G)  om.  B  G/7  reigle  que  je  n'ay  trouvée  que 
lorsque  B      9/10,  de  ce  cas...    nouveau  om.  B      7,   1/3  reigle,  c'est  que  je  puis  B 


VAHIANTES   ET  NOTES  CRITIQUES.  507 

•t/C  comme...  ranijé  om.  H.  8.  1  l)iin  ont.  U  *  et  B.  en  f'tt.  *  sont  f'n,  font  B 
G  ce  qui  est,  ce  me  suniblo,  une  /'«.  8  cul)(^  do  soixiiiiLc-iiuiilrc  II  8/9  à  coté  du  quane 
de  1.1  om.  B  11  le  deuxième  ]  le  a'""  B,  et  le  second  Fti.  P.  191,  4  et  il  y  aura  f'n. 
i/.">  l'iiiicune  dcsinielles  H,  desquelles  cliacuiie  /''«.  *  B  oincl  les  paro^rojilws  9  et  10. 
I'.  192,  2  en  B.  o)n.  J'a.  \)  et  (léleetid)les]etc.  B  *  le.s  om.  B.  -i  Voicy  B,  Voycs  Fa. 
■k  l'endroit  où  il  fa.  G  de  haut  en  lias  qu'à  coté  fa.  9  avoir  seulement  fait  Va.  W  je 
dis  o/«.  B  X-  qu' om.  B  13  mais  T'a,  et  B  *  la  |  iiueslion  (Fa,  175)  15  1°  om.  Fa. 
21  clic  devoit  être  dilTérente  Va.  23  le  25  Fa,  le  qiiarré  de  JB  *  voicy  B,  voyez  Fa. 
I'.  193,  13  un  a\ilro  B  Fa.  I.'i/IG  si  le  lem|is...  dcnii-douzaiue  om.  B.  2G  néan- 
liidiiisj  pourtant  Fa.     P.  194  {Fa,  I7())- 

XXXIX  (B).     3,  i  (luarréquari'cs]  (lu.irrcz  *  quarrcqnaiTce]quarréc. 

XL  (l'a.  170,  B).  P.  196.  3  -le  vous  prie  etc.]  B  romincncc  ici  comme  .luit  :  Asseurez 
M'  Kreniclc  qu'il  y  a  plus  de  dix  ans  que  j'ay  une  méthode  générale  pour  ranger  tous  les 
(juarrés  pairs  à  l'infiny,  mais  je  n'avois  |)as  songé  (2, 1  ).  2,  TJ/G  beaucoup  de]  plusieurs  B 
7/8  afirès  ma  1"  nicditalion  sur  ce  suhjet  B  3,  2  ([uarré  ai  B  Fa.  10  Parce  ([ue  Fa. 
*  je  diil'èrc  à  vous] je  ne  vous  puis  B  11  entier  om.  B  U/H  jusques. . .  possible  om.  B 
13  {Fa.  177).  P.  197,  9  3oo]o()3  Fa  10  3V.9.J223  Fa  4,  3  de  qnarré  Fa  4/3  de 
cliDsco///.  U  3  qu'une. ..  reste]|)lus  do  méditation  B  (/(/(  ome/ /rt //// f/f /V</j//ea  6,  1  cet 
abbregé  Fa.  P.  198,  7  radicaux  des  om.  Fa.  *  parce  que  Fa.  9  Fa  omet  les 
iiomhrcs  \.  ^>.  10  leurs  o«;.  B  21/22  ou  que  le  double  de  l'exposant  om.  B  28/29  Voilà. . . 
a|)pelerj  Je  |uiis  a[)pclcr  ces  3  propositions  que  j'ay  dcnionstrccs  B  29  de  l'invention  om. 
B.     7.   13  et  n'abbrege  Fa.     13  je  |  me  {fa,  178). 

Xl.l  {Fa,  iG")).     2,  2  rappH(iucrcz     7,  8  me  |  me  {Fa,  iGG) 

XI.U  {J'a.  iGi.  B).  3,  1  B  commr/icc  ici  :  Voici  ce  ([ue  cl  oiiwl  depuis.  5  que  je  vous 
donnejcpie  vous  voyez  f  ((.  8  là  pour  lors  Fa.  S/9  ait  beaucoup  dejayc  des  B  10  ne 
sont  (piarrés  B  P.  204.  i  bien  om.  B  13  proposition]  B  omet  le  reste  de  l'alinéa. 
5  .'J/i  je  dis  (|u'  om.  B     7  (piairé  |  {IH,  iGi)     6  Paragraphe  omis  dans  B. 

XLIII  (AA').    1,   i/2  avec  ses  cxpositeurs  au-dessus  rejeté  après  les  nombres  de  la  pni- 

ro 
"rcs'iioii  AA'.     G   fassiez  A,  faites  A'   ■*   Iciushiue  tous  A'     7  (sic)  A,  trouvent 

'  '  trouvent 

y     2,  3  la  progr.  que  j'y  ai  fait  A'     P.  206.  3  de  ceux] des  termes  A'    3,  3  le  dernier! 

est  remplace  par  2 1  A'. 

.\MV  {Fa,  1G2,  B  en  partie).  P.  207,  Il  deuxiôuic]3  Fa.  2  Commencement  dans  B 
d'an  Exlraict  d'autre  lettre  du  18  octobre  iGio  à  M'  Fr.  i/3  de  quoi  je  m'étoisjm'étant  B 
3  vous  en  donner  B  G  «/à'.  .•  demonstré,  n'ayant  cncor  la  demonstraon  de  l'autre,  duquel 
néaiilmoins  je  suis  asseurc.  Après  cela  je  vous  fliray  le  fondement  sur  lequel  j'appuie  les 
progressions  (P.  209,  2)  B  P.  208,  10  vous|  m'obligerez  (Fa,  iG3)  P.  209,  2  progres- 
sions] [iroposilions  P'a.  8  tout  om.  Fa.  12  scsjleurs  B  13  nombre  de  i3  Fa.  16  ex- 
[insaiit  3  Fa.  17  puissance  de  -x)  Fa.  20  trop  oiti.  B  6,  3  quels  des  B,  (jue  les  deux 
ta.  7  et  en  telle  Fa.  ■  10  d'étendre  B,  deffendre  Fa.  12  -t-i] — iB  *  le  quantièmejla 
(juantité  B  7,  1  mienne  proposition  B,  de  mes  proposiliims  Va.  1/2  B  omet  la  paren- 
llicsc  et  3  l'incidente  (pie  .--ans  doute...  de  vous.  3  quc|sans  (Fa,  l64)  10  la  23°]la 
30"  B  12  ut  su|)ra]cominc  dessus  B  13  premiers  et  moindres  Va.  P.  2H,  1  du  qua- 
lernairejdc  4  ^  "-  3  est  om.  B.  i  qu'un  multiple  du  quaternaire]  etc.  Fa.  5  ou 
1024  ]om.  Fa.     8,  2  aucun]  un  B     4  Fa  donne  les  nombres  loocoo  et  99998     5  dit  om.  B 


508  VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES. 

6  l'a  cl  B  donnent  le  nombre  1117,  li  en  niar^c  171.  9  sciilemonl  om.  U  9.  Ij"!  la- 
quelle...   licureux  oni.   B.      4    divisé] mesure  B  (divisé  en  mar^r)      Ti    secondclî"'"  1! 

7  mesuré J divisé  B  10  lejcc  B  11  reste  06  quijle  rcsle  C6  ra.  P.  212,  ti  cl  om.  B 
f>  diviseurs]divisions  f'n     10  B  omet  le  dernier  alinéa. 

XLV  (AB).     1,  3  voici  A,  voyons  B     4  que  j'y  ai  faites  A,  que  j'en  ai  fait  B     P.  213,  l 
tel  nombre  A     7  AB  intercalent  7  entre  5  et  17.     2,  3  :  B  omet  i".     P.  214,  3  des  (jua- 

10     125   nr.G  766.', 

ternaires  A  10/17  Rédaction  de  B  :  Soit  par  exemple  un  nombre  donné  ■x'i  01  Ij3\  i ■>.'>. 
Los  nombres  premiers  plus  grands  de  l'unité  qu'un  multiple  du  quaternaire  qui  le  mesurent 
sont  5.  i3,  17,  ^.g,  en  i>rcmier  par  5,  par  le  quarré  do  i3,  par  le  cube  de  17  et  par  le  cube 
de  29.  (Eu  note.  Nota  que,  de  ces  doux  nombres,  le  premier,  savoir  10  12.')  o56  76G5  sert 
pour  l'exemple  où  il  dit  qu'il  faut  diviser  par  5,  par  le  quarré  de  i3,  par  le  cube  de  17  et 
par  le  cube  de  9,9:  et  l'autre,  savoir  ?,3  oiG  3).  i-.>,5  est  le  plus  petit  nombre  servant  au 
même  effet,  mais  il  le  faut  diviser  par  99,  le  quarré  do  17,  le  cube  de  i3  et  do  5).  2i  qui 
est  o/«.  A  28  par  exemple  om.  B  30  j'ajoute]  adjouxtanl  B  32  et  par  soi  om.  B  P.  215. 
7  (m  om.  B.     avant  3,  B  intercale  ce  qui  suit  : 


3 

3 

■'. 

1 

5 

i3 

'7 

■^9 

'.5 

■^'97 

989 

■-"-O 

ï(3  016  32  1-25  est  le  nombre  produit  do  la  multiplication  de  ces  4  puissances  l'une  par 
l'autre,  qui  est  le  moindre  de  tous  ceux  qui  peuvent  servir  d'hypotlienusc  à  367  triangles 
rectangles.  3,  2  qu'en  ce  cas  B.  5,  13  B  a  en  marge  :  Le  plus  petit  est  /i5.  14  on]  de  A 
P.  217.  rJ  de  om.  A,  ijin  cwant  le  dernier  alinéa  a  la  souscription  sous  celle  forme  :  à 
Tolose,  ce  25  de.  1640  Mon  Ucvercnd  Porc,  Votre  etc.  Fermât 

XLVl(AB).  1,  1  tête  A,  fête  B  2  à  A,  avec  B  2.  2  ma  B,  une  A  P.  219,  1  son  A. 
mon  B    3,  10  facilement  A,  aisément  B    20  humble  etc.  A.     22  mars  A.  may  U 

XLVII  (AB).  1,  9  pourrez  lui  A  19  les  B,  des  A  21  toutes  sortes  A.  2,  4/.'>  Votre  etc. 
Format  A. 

XLVIII  (B).      P.  222,  II  sera] seront     P.  223.  20  et  22  B  donne  le  nond/re  10000000. 

P.  225,  8  parla  précédente  est  placé  après  requises  (7)    8,  4  Formes  de  l'un    .'>  du  1  et 

2  quarré     P.  226,  i  a  et  h\  K^a  et  h  (sic). 
5   s 

XLIX  (  Va,  iGO).  P.  227,  20  /^  signe  y/'  est  omis.  P.  228  (fa.  167)  .''i  les  quarrés] 
le  quarré    A,  8  EDA  omis.     12  ID][0    P.  230,  1  i  d'autres  |  aussi  (f^a,  iGH). 

L  (  Va,  169).  P.  233,  8  des  quarrésjdu  quarré  10  des  omis.  3.  3/4  le  quarré  P.  235. 
4  (f'n,  170)  4,  7  Carjipie  10  racine  moindre  du  quarré  de  3  5,  2  l'un  à|l'autre  (f^a. 
171)  P.  239.  i  en  rem.  le | double  ( ^^ff,  172)  8,  10  des  trianglesjdu  triangle  2  en  rem. 
pas  I  si  (/''rt,  173) 

LI  (AB).  1,  2  chercher] saisir  A  2,  7  parce  que  A  8  en  écri\;ant  A  9  ai  om.  .V  3,2 
de  ne  pas  vous  rebuter  A  4,  i  eu  de  réponse  A  6,  4,  Votre  etc.  Fermât  A  rjui  omet  la 
dernière  ligne. 

LIV(AB).  2,  1  vous  avez  maintenant  reçu  A  o  scrozjsoient  A  P.  250,  0  la  dite  B. 
la  A  4,  9  ait  A,  aye  B  5,  1  prie  de  m'envoyer  A  4/.")  par  la  première  commodité  rejeté 
après  Saint-Martin  A    7  prie  de  me  croire  A    8/9  Votre  etc.  Fermât  A. 


VARIANTES  ET  NOTES  CRiTIOUES.  509 

LV  (AB).  2,  G  par  autres  voies  A  3,  9  cl.  plus  pntii  B  4,  2  dos  B,  les  A  3  (pi'il  a 
oin.  A.     5,  I  (]c  om.  A     P.  253,  G  M.  Carcavi  A     8/9  Voire  clc.  Fermât  A. 

LVI  (AB).  1,  4  jointe  à  celle-ci  B,  comte  de  Cellcry  A  P.  254,  G  le] les  A  7  aucun 
autrcAB  8  en  o/«.  A  10  11  pourrait  encore  y  avoir  A  15  pourtant]  toutefois  A  2.  1  qucl- 
qu'unes  A 

LVU  (AA').  P.  257,  13  quasi  tout  A',  presque  utile  A  P.  258,  ."i  premièrement] pré- 
cédemment 

LIX  (AB).  1,  1  B  commence  comme  mit  :  Je  vous  dis  que  toutes  les  (piestions  que  j'av 
proposées  a  Mess"  de  St-Martin  et  Kronicle  sont  possibles  (9)  2  cl  de  Frenicle  A  1 1  du"| 
de  B     H  livrcsjlieux  corri^^c  de  livres  B.     P.  261,  G  Trouver  wu.  B,  entre  crochets  A   * 

duquel  A,  auquel  B  9  B  «  c// /««r-c  .■  v^-aiG  5o  17  ||  5  627  i38  3/i  v.Si  ||  v/a372i5(j  3,  10  je 
om.  B     13/14  Alinéa  omis  B. 

LX  (.\B).  1,  1  B  commence  comme  suit  :  Non  seulement  les  ipicstions  que  j'ai  propo- 
sées a  M"  de  St-.\lartin  et  Frenicle  sont  toutes  faisables  (4)  :i  à  om.  B  P.  263.  1/4  de 
cette  seconde  ([ueslion  a  celle  cpie  je  vous  envoyai  dernièrement  qu'ils  ont  B  3,  G  invite 
A,  irrite  B  10  B  omet  cet  alinéa  et  le  sidi'anl  et  rejette  la  date  :  De  Tliolosc,  i.S.iCîS, 
après  le  paragraphe  4    4.  1  en  A,  sur  B    P.  264,  1  |>lus  om.  A   *  bien  B,  tirer  A. 

LXI  (Ta,  178).  1,  2  le|sujet  (Ta,  179)  11  Va  donne  le  nombre  1G17.  2.  1  Bul- 
liaud. 

LXIl  {J'a.  201).  P.  268,  13  hicjlicic  (G)  P.  270,  3  ad  |  lompus  ( /V7.  202)  G  AFjNK 
iFa)  7  NF  après  utjAF  (l'a).  P.  271,  10  et  13  tonipus  per]  motus  per  (G),  ad  tciu- 
pusjad  motum  (G)  17NF]MF(/V0  20XC]XE(ra)  21AF]AB(r«)  P.  272,  9 
et  17  respondentes]rcspondenlis(G)  29  ut  tempus  |  motus  (^w,  2o3)  P.  273,  13  velo- 
citates  uniformes] vclocitatis  uniformis  (G)  5,  2  verita  |  tem  (/7?.  204)  6,  1  brevi- 
ter]succincte  (G)    2  facessatjfacescat  (G). 

LXIll(B).    P.277,  li    U4-4SJU-1-S. 

LXVU  (D).     P.  282,  3  en  rem.  deprelicndct]de(ir,Tlicndet. 

LXX  {fa.  179).      P.    291,   .4  perte]  même  (fa,  180)      3,    18   de]des      22    le]  les 

4,  7  avec  !(/'«,  181)  5,  13  le  omis  *  et  h]et  de  la  P.  296,  13  (Va,  182).  8,  4 
continue] continuée  P.  297,  2  œquarijocq.  9,  13  leslignesjla  ligne  *  Les  deux  tables 
insérées  à  la  fin  du  n"  6  sont  composées  page  i83  des  fa  sous  le  titre  suivant  :  Table 
dont  il  est  fait  mentio/t  dans  la  Ijcttre  précédente. 

I.XXI  (P).     1,  4  ne  devoir  point]  ne  point  devoir 

LXXIl  (fa,  184).    2,  à  la  fin  de  la  page.  Le  tableau  est  placé  en  manchette  et  disposé 

verticalement;  la  i""  et  la  iG"  des  combinaisons  sont  reportées  au  milieu  de  la  ligne  ainsi  : 

aaaa        „    „„_     „  ,  ,  .. 

^^1^^        P.  302,   G  quand]  il  (Fa,  i85)     P.  304,   4  avons  ]  fait  (l'a.  18G)     P.  304,   le 

tableau   est  composé  verticalement  dans  le  texte.      P.   305,  22  de  même  :  ]  [l'a.  1871 

5,  2  que](iui    6,  8  trois  [joueurs  (/^rt,  188). 

LXXIV  (P).     P.  312,  13  des] de. 

LXXVI  (0).  3,  6  avecjdans  11  et  14  foycrsjfeux  P.  317,  8  qu'après  parjaprcs 
dans     13  et  IG  s'il  estjétant      IG  le  lienjil     19  les  licnxjle  lieu     P.  318.   1   au  plus 


510  VARIANTES   ET  NOTES  CRITIQUES. 

facile  les  donnésjle  plus  facile  donné  P.  319,  ii  icrmince  ajlcrminéc  dans  7,  1  J'ai 
cherche  pour  le  lieu  9  si  elle  est  jilus  polilejs'il  est  plus  pclil  10  si  elle  esl  plus 
grande] s'il  est  plus  grand     P.  320,   1  les  lieux  solides] le  lieu  solide. 

LXXVll  (11).    4,  1  Lcs]le. 

LXXVIII  (II).  2,  j  »n]oii  3,  9  au]dn  28  I7.i]i22  erreur  typn^^rapliiquc,  corrigée 
dtiiis  les  Additions. 

lAXIX.  2,  3  cubus]culius  numer'.is  (/"rt). 

LX.XX  (II,  E).  P.  334,  9  nombres  oinix  (II);  13  des  plus  pclils  (E),  du  plus 
pelil  (11). 

LXXXII  (lî,  A «,  i8g).  2,  1  où](iuc  (li,  /  a)  3,  1  quoiqu'énoncc]  quoique  non  si  (E) 
P.  840,  ri  I  (''t;alo  au  {Fa,  190)  5,  1  i)arlc  ni]parlc  pas  ni  (E)  3  voyage  vous]  voyage  de 
vous  (/VO     P.  341,   1-2  liorcl]  Bourcl  (E). 

l.XXXlll  (E,  fa.  igi).  l'a  donne  la  dale  du  -lo  juin  1G37.  —  Le  posl-scripUim  do 
celle  li'ltrc  esl  la  seule  différence  qu'il  y  ail  cnlrc  l'édilion  originale  cl  la  réimpression 
du  Coiiiiiicrchiin  dans  le  loinc  11  des  (Jliuvres  complèles  de  Wallls. 

LXXXIV  (  li,  f'ti,  r<ji).  2,  8  mais  j  (/«,  192)  3,  ■!  point  (E)  omis  l'a  6,  !  (l'a.  19'i  1 
u   (pii]  qu'il  (/"(()      P.  346,   Ln  dernière  ligne  omise  clans  l'ti. 

LXXXV  (E,/«,  193). P  348,  (;  corn  |)o  I  seul  (/'«,  19,0  p.  349,  Oenlre]cn(E,  /"«j  9  il 
iiiiiis  (E,  l'a)  21  de]à(E,  l'a).  P.  351,  1  sont  I  compris  {l'a,  igS)  1  en  rem.  pourroitj 
(louvoil  (E,  Fa)  P.  352,  20-22.  Dans  le  tableau  de  E  el  des  Fa,  les  Icllrcs  algc- 
bri(pies  suivent  les  nuiucros  d'ordre  et  précèdent  le  lexle  qui  e.\iilique  leur  signification. 
P.  353,  M)  (l'a.  19G). 

I.XXX\1I  (t'a,  p.  19G).     p.  360,  30  si  vile]  qu'il  [l'a,  p.  197). 

LXXXIX  (Fa.  p.  197).     P.  363,  \\\-\'i  homme  |el  (Fa,  p.  19S). 

.XC  (C,  D).  P.  366,  8  dc|)uis  «  .Monsieur  de  Carcaxi  »  jusqu'à  l.'J  «  géométrie  »  inclu- 
sivemeiil  ojnis  dans  D.  C  pondue  aiui^i  1,'i-lG  :  «  ...  de  ma  géoniélrie  pour  la  question 
de  dioplriquc.  Je  . . .  u     20  je  omis  dans  C.     P.  367,  'A-'i  alinéas  omis  dans  D. 

XCZ-A- (C,  0).     3,  3  en]  dans  (D)     7A]AE. 

XCI  (E).     P.  375,  3  premiers] premières    P.  378,  li  formel] formé. 

XCII  (Fa,  19S).  P.  379,  22  mai  ha  ]  vulo  (Fa,  199).  P.  380,  24  tradullorej  Iradollore 
2G  teologi  ijllieologii  P.  381,  1  allrihuissijallribuissé  12  di  modo  chc  posso]demodo 
clie  poslo    17  spada,  hora]si>ada  horo    P.  382,  3  ncl  che  j  {Fa,  aoo). 

XCIll  (  TcNle  do  C,  variantes  de  D).  1,  3  pourco  que]  parce  que  P.  383,  I  occuper 
mon  esprit  à  des  considérations]  allachor  mon  esprit  à  des  s()éculations  7  nieiliourejre- 
<-evable  1 1  je  ]  il  ((,'.)  12  mépris]  luy-niesmo  aj.  3,  13  dans  le  milieu  (prdle  parcourt  omis.  15 
.maino/H/'iP.  385.  t  diies,  la  t)uissance](litcs,  entre  la  détermination  el  la  |)uissancc  4,  3 
raillerie]  de  raillerie  11/12  de  donner  les  mains  à  cela]  d'y  consentir  el  d'y  donner  les  mains 
^  D)  12  ses  mains  (C).  Il  la  division  ou  la  porte]la  perle  17  changer  ou  diminuer]  rien 
/liniinucr  (C.)  20/23  Les  mots  entre  eroeliels-  sonl  des  ocldilions  de  \).  *  pour  accorder.  .  . 
ijélerminalion  omis.  *  J/irès  lil  (ligne  23)  D  eontiniie  :  pour  faire  que  la  détermination 
qu'elle  di)il  prendre  se  rapporte  à  la  vitesse  ou  à  la  force  qui  luy  reste  cl  qui  la  cnm- 


VARIANTES   ET  NOTES   CRITIQUES.  511 

inence  en  B.  2i/23  elle  fasse  autant  de  clicmin  ou  qu'  omis  20  clic  conserve  toujours 
et  môme  omis  'il  là]  ne  soit  point  cliangéc «y.  5,  1  ce  (|ui  le  plus  a]ce  qui  a  le  plus 
I'.  387,  i  dit|a-t-il  dit  11  à  laquelle  dcterniinalion  12/13  à  laquelle  se  doit...  la 
\itcssc]  laquelle  se  doit...  à  la  vitesse  la/li  (car  autrement. . .  io\\c)  omis  U  pour 
faire  mn/if/iic  dniis  C.  23/21  s'avancer  vers  le  cote. . .  détermination] s'avancer  vers  G 
et  que  cette  détcrminalion  se  doit  et  se  peut  accommoder  avec  la  vitesse  qui  lui  reste 
6,  2  il  n'a]il  seinl)lc  n'avoir  *  la  môme]  cette  3/4  aussi  en  même  lc;nps]  toujours  4 
(lu'ellc  I  que  la  chute  P.  388,  1  non  ]  qu'elle  ne  le  soil  pas  4  mais  elle  est]  ayant  clé  6 
la  môme  quantité  dc]une  pareille  11  de]qni  arrive  en  12  de]en  *  la  pousse  ou  qui 
l'arrête]  l'avaneo  ou  qui  la  relarde  21  de  deux  autres  28  c'est  à  dire  selon  ajouté  29/30 
sa  vitesse  a  rcruc  en  B  et  selon  le  rapport  ipie  ectle  vitesse  a  eu  avec]  cette  vitesse  a 
eue  avec  (C)  30  a  eu]s'est  trouvée  avoir  I'.  389,  4  suive  bien]soit  une  suite  .1  d'un 
bon]de  faire  un  bon  7,  12  mieux]plus  P.  390,  2  à  tous  ceux  do  votre  dite' lettre]  à 
votre  dite  lettre  (D),  à  tous  ceux  de  votre  dernière  lettre  (C)  4/.^i  qu'il  a  faite  à  voire 
letlre]qu'il  y  a  fuite  12  qu'un  autre  m'en  eût  décliart;é]dc  m'en  décharger  sur  un  autre 
ir;  si  mon  discours  se  fut  adressé  à  vous] si  j'eusse  eu  alfairc  à  vous.  18  dans]  en  19 
vous  vous  mettez  de  mon]  vous  prenez  mon    20  toute  autre  occasion.  21  prôt  ]  tout  prôt. 

XCIV  (Texte de  C,  variantes  de  D).    Itih'i.KxioNs. . .  Rouwlt]  RiiPONSiî  dic  .M.  Iîoii.mi.t 

A    L\    LETTRE    DE  M.    DE  FeR.M  \T   PAGE  1 78    QUI    CONTIENT  SES  ANCIENNES  OBJECTIONS    SUIl    \.\ 

Dioi'TRiQUE  DE  MONSIEUR  Descartes.  P.  391,  9  OU...  reçuo]et...  vue  10  Toute- 
foIsjMais  13  de  celte  ville  omis  14/17  vais  essayer...  séparément] vas  donc  essayer 
d'y  répondre,  |)iiisque  vous  le  désirez.  Et  pour  le  faire  plus  commodément,  je  suivrai  de 
point  en  i)oint  tous  les  articles  de  sa  leltre  (pic  j'examinerai  les  uns  après  les  autres. 
18  Art.  i""]Arl.  i".  J'ai  vu,  etc.  19  l'humeur  civile  de  omis  -k  honoroitja  voulu 
honorer  20  est  encore] sera  toujours  21  Quoicpie]  Quand  *  accommode]  auroit  accom- 
modé 22  divisejauroit  divise  *  son  mouvement  en  certaines  déterminations  plulôl 
qu'en  d'autres] la  détermination  du  mouvement  d'une  certaine  manière  |ilulôt  que  d'une 
autre  23  doiijdcvroit  2i  se  scrtjs'étoit  servi  26  choisitja  choisie  *  vicnne]soil 
venu  27  cnlrcprendjavoil  cnlre|)ris.  P.  392,  1  son  mouvementjla  détermination  de 
la  balle  qui  se  meut  dans  la  ligne  AB  1/2  détermination ](iui  fût  2/3  surface...  sur- 
face] superficie  CBIÎ  et  en  une  autre  qui  lui  fût  parallèle  3/i  cette  dcrnière]celle-ei 
5  ce  que  lui...  unejet  cela  lui  a  été  un  moyen  de  trouver  la  G  [dus  aisément] qu'il 
cherchoit,  ce  -k  n'eùt]auroit  *  en  suivantjs'il  eut  suivi  U  pourcejparce  *  désa- 
voueroitjn'a  pas  12  comme  on  pourrait  croirejce  semble  *  s'en  servir] contre  lui 
ajouté  13  pas] rien  du  tout  *  sa  détermination] la  détcrminalion  qu'elle  avoit  à  avancer 
vers  BG  16  à] de  21  [plus  ou]  addition  de  D  comme  les  autres  mots  cuire  crochets 
dans  la  suite  du  tr.rte  2i  aussi...  conséquence  (li.i^ne  31)  omis  33  quelques  pa- 
roles] le  texte.  P.  393,  2/3  (pie...  a] qu'a  Monsieur  de  Fermât  S  désavouée  dans 
la  remarijuc]  remarquée  H  accorde]  semble  avoir  accordé  15  (|ui  est  de  devoir]  qu'il 
auroit  eu  tort  de  contester  17  aussi  changécjaussi  bien  changée  que  celle  de  liaul  en 
bas  18  infirmeroitjrcndroil  nulle  *  raiscuijciu'il  en  apporte  c'est  parce  «•(/'««/e  -ik-  es\.  omis 
2i  commejferoit  ajouté  *  porléjmis  2S  après  quoi  il  vient  à  croircjet  (pii  après  cela 
20  que  celte  dernière] do  sa  perle,  viendroit  à  croire  que  la  somme  qu'il  avoit  de  l'aulre 
côlô  30/31  celle  d'où. . .  redirejdo  l'autre  32  sans  pourtant. . .  d'Euclide  (P.  394,  l)]el 
à  pou  près  comme  pourroit  faire  un  jeune  homme  qui  sans  avoir  jamais  appris  ce  que 
c'est  que  proportion,  sauroit  simplement  compter.  P.  394,  2  ijuchpics  uns  des] une 
partie  de  ses  3/4  et  ne  se  soucieroit  pasjsans  se  soucier  10  cnjdans  la  ligne. 
11/12  outre  que...  ici]M.  de  Fermât  semble  encore  accorder  ici     12  auroit  tortjauroil 


312  VARIANTES  ET  NOTES  CRITIQUES. 

aussi  lorl  13  dans] par  *  Cet  article...  parolcsjce  qu'il  y  a  de  plus  dans  cet  article 
n'est  que  le  propre  texte  10/17  manque  de  se  ressouvenir  qu'il  y  a]pour  ne  s'ôtre  pas 
souvenu  de  la  10  prend J ici  (7/o«(e  20  dit  ces  mots  :  elle]dit  que  la  balle  21  se 
meuvejdoive  se  mouvoir  22  plus]aussi  ■*•  soit  cette  ligncjsoit  la  longueur  de  cette 
ligne  23  elle  doit  tellement  être  inclinée  vers  la  droitcjla  détermination  vers  la  droite 
doit  tellement  s'accommoder  avec  la  vitesse  qui  lui  reste  24  plus  qu'elle  n'avoil]  autant 
qu'elle  avoit  *•  C'est  le  sens  J  C'est  là  le  sens  2")  au  lieu  de  l'autre]  et  non  pas  celui 
26/28  et  son  intention. . .  temps] cela  étoit  assez  évident  puisque  là  môme  29  n'est  que 
simple] total  de  la  balle  est  diminué  de  moitié.  Le  rexte  de  l'alinéa  manque.  32  n'est 
pas  au  désavantage  de] ne  fait  rien  contre  *  nieroit]tout  franc  ajouté  33  a  été  dit  dans 
la  remarque] a  été  remarqué  P.  395,  1  le  3'-'  article]  l'article  troisième  3  que  contien- 
nent]qui  est  contenu  dans  4  je  crains  (ju'ils  no...  sujct]cela  ne  fait  rien  du  tout  au 
sujet  et  n'a  servi  (pi'à  tromper  M.  de  Fermât  qui  y  parle  du  mouvement  composé  en 
un  antre  sens  que  n'a  fait  M.  Descartes  8  le]à  le  12  il  omis  12/13  la  détermination. . . 
élre](iuc  la. . .  est  13  rien  supposé]pas  parlé  li  mouvement] total  ajouté  *  à  son 
sens]  au  sens  de  M.  Descaries  16  autre]  nouveau  16/17  dont  on  veuille...  du]  qui  augmente 
d'un  17  plus  de  ce  qui  étoit  en  AB]la  force  qu'elle  avoit  déjà  en  ce  sens  là  18  soit]cst 
2 i/2;i  (lesquelles...  l'une] l'une  desquelles  par  conséquent  30  pu isipie  la]  puisque  l'augmen- 
tation de  vitesse  ou  la  *  dc]à  *  mouvoirjque  le  mobile  acquiert  au  point  de  rencontre 
qui  sépare  les  deux  milieux  ajoute  *  nature  du...  ajoute  (,P-  396i  ■^)]  nature  du  second 
milieu  laquelle  no  change  point  mais  est  toujours  la  même  dans  toutes  les  inclinaisons. 
Et  la  princi|(ale  faute  que  commet  ici  Monsieur  de  Fermât  est  fondée  sur  ce  qu'il  croit 
que  le  mouvement  composé  en  Bl  n'est  pas  toujours  également  viste,  comme  s'il  déi)en- 
iloit  de  la  direction  ou  détermination  des  deux  forces  mouvantes,  au  lieu  que  c'est  à  elle 
à  s'accommoder  à  la  force  du  mouvement,  lequel  est  composé,  et  non  pas  la  détermina- 
tion, et  c'est  ce  qui  a  tromi)é  M.  de  Format  et  qui  lui  a  fait  faire  tous  ses  faux  raisonne- 
ments :  et  c'est  peut  être  encore  ce  qui  rem|)ôchc  à  présent  de  recevoir  la  démonstration 
de  M.  Descartes.  Aussi  ce  qu'il  ajoute...  P.  396,  7  certain  s'il  fauljassuré  qu'il  faille 
10  de  la  seule  surface. . .  retenir  (i3)]  ici  de  l'angle  compris  sous  les  lignes  de  direction 
des  deux  forces  mouvantes  :  mais  parce  qu'il  dépend  de  la  nature  du  second  milieu  que  le 
corps  a  à  parcourir,  de  faciliter  ou  de  retarder  son  mouvement,  il  est  évident,  ce  me 
semble,  que  l'on  doit  retenir  16  vous  m'en...  d'ébauchéjj'en  ai  vu  21  honore]estime 
22  me  daignejdaigne  me 

XCV  (Texte  de  C,  variantes  de  D).  2,  10  moinsjplus  ou  moins  P.  399,  11  peinejde 
la  peine  13  balle]  AB  «/oKie  (C)  P.  400,  !">  transporter]  transférer  21/22  ce  point...  O] 
c'est-à-dire  au  point  0  31  même  côté]  môme  coté  là  P.  401,  4  transportant]  transférant 
*  seulement] au-dessus  du  plan  ajouté  3  démonstration]  une  démonstration  6  paralo-- 
gismojim  i)aralogisme  4,  10  CB]CF  (C);  tes  mots  en  ligne  droite  omis  li  arrivât] 
aussi  ajouté.     P.  402,  7  à  l'avance]  par  avance 

XCVI  (E).     P.  404,  1  Sainte-Croix] Sainte-Croisé 

XCVH  (Texte  de  C,  variantes  de  D).  1,  1  belle]  grande  8  par] de  P.  409,  7  inter- 
position] interprétation  2,  6  reste]  laisse  4,  6,  8par]de  9vers]dans  P.  412,  13,  14du]de 

XCIX  (Texte  do  C,  variantes  de  D).  1,  21  de  la  réflexion] touchant  la  reflexion 
*•  et  des  réfractions  jet  la  réfraction  P.  415,  4  fournir]  obtenir  2,  3  veulent  plus  que 
lui  I  veulent  trop  subtiliser  D,  voient  plus  que  lui  C  *  trouvent]  puissent  trouver  Ti  de] 
du  C  P.  416.  2  un  certain  cùléjle  coté  14/IS  selon  quelqu'une  de  ses  directions]  aupa- 
ravant   irj   celle]  celle  détermination      3,   12  une  fois]  pour  toutes  ajouté     4,  10  vers 


VARIANTES  ET  NOTES   CRITIQUES.  513 

ce  cùlc  làjdans  la  môme  ligne  12  vciil  conduire  la  balle  vers  DJtcnd  de  It  vers  1) 
*  vers  D]  vers  BD  (C)  22  à  remonter  J  de  remonlcr  28  prcnve]  une  preuve  5,  2  en 
omis  8  par]  de  20  pcrpendicidairej  de  sa  cluite  P.  419,  3  d'enlrcjqui  sont  entre 
6.  3  d'apercevoir]  à  apercevoir  P.  420,  -i  déterminations]  autres  7,  2  par  exemple  omis 
10/11  puisse  faire]  fasse  8,  9  une  démonstration  10  un  paralogisme  P.  421,  7/8  et... 
pcrpendiculaiiemenl  omi.i  U  voici]  voyez  (C)  17  à  ce  point  lt]là  P.  422,  1/2  impéné- 
trable Cl  inébranlable  omis  P.  424,  9  [de  rénexion]  addition  de  1);  de  inàuc  pour  les 
mots  mis  par  ta  suite  entre  cmclwts  IG  toujours  étreJOlre  toujours  P.  425,  11  par 
exemple  omis  13  égard ] égal  (C)  23  puisse  fairejfasse  27/28  transporte] transfère 
{deuxjoh)  30  transporter] transférer.  P.  426,  1  transporté] transféré  P.  428,  4  ou  plus 
ou  moins]  par  exemple    G  sajia    16,  13  visibles] légères  (C>    P.  429,  2  aussi  ow/,c 

CI  (II).  P.  432,  r;  commejcar  2,  10  esl]étoit  4,  8  je  omis  P.  434,  i  un  omis 
6,  (i  iÇ)]i  quarrcz    8  ou  découvrir] ou  de  découvrir    P.  435,  8,  G  elle  omis. 

<:il  (1,  fol  3.1).    P.  437,  8  Pôrclque  (f"  34  verso).    30  vous  |  donneront  (f°  35) 

cm  (11).  P.  439,  5  que] qui  est,  8  l'a] a  9  de  la] de  sa  P.  440,  10  et  omis  21  de 
la  dernière]  des  dernières. 

CIV  (II).  1,  3  soitjayt  com;^'ee/!«o;e.  2,  11  6Q]5Q  IS  le  o»uV  P.  443,  1  para- 
bole] parabolique    9/10  du  rayon]  de  la  droite    l.">  quarrécubique] cubique. 

t:vi  (II).    1,  3  parabole] parabola. 

ex  (II).     P.  455,   1   P(J]PO  corrigé  en  note. 

CXII  (Texte  de  C,  variantes  de  [)).  1,  7  carjqu'  10  dursjdenses  (peut-cire  mieux) 
2,  3  non  plus] que  la  sienne  ryWc  9  des  principes] du  princijje  10  trouverjdécouvrir 
P.  459,  2c;4  dcOjd'O  18  du  temps  o/wi- C.  4,  o  [qu'J  w^.  C.  8  cette  sorte] ces 
sortes  12  qui  est]  et  17  précédent]  présent  18  paroit]  par  là  nyouic  P.  461,  IG  [de] 
mq.C  5,  6  lantomi'i-  P.  462,  1  des] aux  9  suiriroit]sullira  6,  G  rendrejà  lui  ^/yw/^c 
0  géomètres] hommes  (C)  *  les] ces 

CXIII  (D).  3,  ri  point  omis  P.  468,  5  celle  de  l'autre]  au  lieu  de  ces  mots  l'annota- 
teur anonyme  de  Ve.vemploire  de  l'Institut  a  écrit  ceux-ci  :  o  le  plus  ou  moins  de  facilité 
à  recevoir  son  action  qui  est  entre  les  deux  milieux  ». 

r.XlV  (D).    P.  480,  32  a] ont. 

CXV  (D).    P.  484,  C  saràjil  sarà 

CXVI  (Va.  i3G).    P.  486,  2G  desjde    P.  487,  3  aller  |  chercher  (Va,  iSy) 

CXVII  (Fa,  i58).  P.  491,  2';  et  |  aux  (Fa,  iSg)  P.  494,  9  égal  |  au  (Fa,  i6o) 
U  liNFjUNX     18  KV]FN  (la  première  fois)     19  FN]FV    P.  495,  30  comme  BjC.O.B. 


Fermât.  —  II.  65 


514  ERRATA. 


ERRATA. 


Tome  I. 


D'après  les  lectures  définitives  des  éditeurs  de  la  Correspondance  de  Huygens,  \\°  947. 
il  faut  : 

Page  189,  ligne  7  :  Au  lieu  de  suhvenlrc  crpii,  lire  subvcreri  cepi. 

»  191,  ligne  i5  :  Au  lieu  de  hoc,  lire  «ov. 

1)  193,  ligne  3  :  Au  lieu  de  anafyticœ,  lire  analytico. 

»  194,  ligne  2  :  Au  lieu  de  primogenitam,  lire  primigcniam. 

u  3-25,  ligne  3  :  Au  lieu  de  — i,  lire  ■+- 1. 

Tome  II. 

Page    8,  ligne  dernière  de  la  note  :  Au  lieu  de  /lotc  G,  lire  6,  note;  c'est-à-dire  page  2O. 

note  I. 
»      Sg,  litre  courant  :  Lire  16  septembre  i63C. 
»     83,  ligne  5  :  Au  lieu  do  avoir,  lire  d'avoir. 
u     99,  titre  courant  :  Au  lieu  de  février,  lire  ifi  décembre. 
»    II 5,  ligne  I  :  Lire  DE,  EF  et  FD. 

»    161,  litre  courant  :  Au  lieu  de  De  maximis  et  minimis,  lire  Juin  i638. 
»   282,  note  1  :  Après  M***,  ajouter  :  {prohahlemcnt  Auzont). 
»    3'52,  ligne  3  :  Au  lieu  de  on  doit  y,  lire  on  y  doit. 
»   335,  (Corrigez  le  numéro  de  la  page,  marquée  555. 
))    308,  ligne  8  :  Au  lieu  dcye  dcvrois,  lireye  ne  dcvrois. 
u   388,  ligne  i5  :  Au  lieu  de  il  dit,  lire  il  a  dit. 
»   435,  ligne  2  :  Au  lieu  de  9.N  +  5,  lire  3N  +  5  (Hemarquer  qu'avec  ces  coefficients 

l'équation  double  est  impossible). 
»  43r>,  Cil,  ligne  3  :  Au  lieu  de  fol.  i3,  lire  lettre  i3. 
»  438,  note  2  :  Au  lieu  do  fîg.  93,  lire  fig.  94. 
»  452,  ligne  8  en  rem.  :  Au  lieu  de  non,  lisez  non  pas. 
»   47>,  litre  courant  :  Au  lieu  de  i3  mai  1662,  lire  6  mai  16C2. 
>)  473,  titre  courant  :  Au  lieu  de  CXIII.  6  mai  )GC2,  lire  CXIV,  i3  mai  1662. 


FIN  DU  TOME  DEUXIÈME. 


16642       Paris.  —  Imprimerie  Gauthier-Villars  et  fils,  quai  des  Grands-Auguslins,  55. 


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P  A 

2003 

(ôo) 


DATE 

DUE 

GAYLORD 

PRINTEOINUSA 

WELLESLEV   COLLEGE   LIBRARY 


3  5002  03395  7379 


Science  qQA  3  . F35  ISSla  2 

Fermât,  Pierre  de,  1601- 
1665. 


OEuvres  de  Fermât