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Full text of "OEuvres de Fermat"

LIBRARY OF 
WELLESLEY COLLEGE 




Préservation photocopied 

with funds from the 
Barbara Lubin Goldsmith 
Library Préservation Fund 



ŒUVRES 



DE FERMAT. 



PAUIS. - IMPRIMERIE GAUTHIER-VIIJ.ARS ET FILS, 

Quai lies Grands-Augiistins, .^.ï. 



ŒUVRES 



DE FERMAT 



l'UllI-lKHS PAR I.KS SOINS 1)K 



MM. l'AlL JANNEUY kt CHARLES HENRY 



sous Lf;s AUSPICKS 



DU MINISTKRK \)K L'INSTRUCTION PUBLIQUE. 



TOME TROISIÈME. 

Traductions par M. Paul TANNERY : 

Dus KCHITS KT FHAGMENTS LATINS Ur FeBMAT; ?" IIK \.'//ncil I II III lioi'lllll 

DE Jacques de Bili.y; 
'■'>' DU Coniinerciuin ejiixtolicuiii de Wali.is. 




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r? A^ 4^'^zn 



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O' 



PARIS, 



GALITIIIER-VILLAUS ET FILS, IMPRLMEURS-LIRRAIRES 

DU BLKEAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE 1' O L YT E Cil N I Q I: E , 

Quai (les Graiids-Aiigustins, 5J. 

M UCCC XCVl 



RDDlflS Mfilbl 



\Vs)iVb&'^ 



^ - 



\v.\.^ 



J^atV ft.vfvo.Vv.c'*.- 










TABLE DES MATIÈRES 



DU TIÎOISIKME VOLUME. 



AVKIITISSHMENT IX 



PRE.AIIHIΠPARTIE. 

TRADUCTION DES ÉCRITS LATINS DE FERMAT. 

RusliLulion de deux Livres des lieux plans d'Apollonius de l'ei'ge : 

Livre I :> 

Livre II ■>.- 

Des conUicls spl\crii|ues 4'J 

Kraynicnts gcoiiiélricpies : 

Solution d'un iiroblénic proposé pur M. de l'ascal lij 

Deux porisuics 7 ' 

l'orisnies d'Euclidc : leur théorie renouvelée et présentée aux géomètres mo- 
dernes sous forme d'introduction 7 > 

l'roposition de M. de Fermât sur la parabole 7i) 

Démonstration du lieu à trois droites ^i 

Introduction aux lieux plans et solides 8") 

Appendice renfermant la solution des problèmes solides par les lieux yO 

Introduction aux lieux en surface lo» 

Dissertation en trois parties: sur la solution des problèmes de Géométrie pai' les 

courbes les plus simples et convenant en particulier à cliaque genre de problèmes. io() 

Mn.rimn et miiiiinn : 

I. Méthode pour la recherche du maximum et du mininuim l'.i 

Des tangentes des lignes courbes iv.» 

II. Centre de gravité du conoïde paraboliciue, d'après la mènie méthode r^i 

ill. Sur la même méthode : Je veux, an inin en de ma incthode, etc i->.('> 

IV. Méthode du maximum et du minimum i ji 

V. Appendice à la méthode du maxinmm et du minimum i Ui 

VI. Sur la même méthode : La tliéorie des lanj^cntex, elc 14" 

VU. Problème envoyé au R. T. Mer^cnno le lo novembre iGiï \\>^ 

VIII. Analyse pour les réfractions i4!) 

IX. Synthèse pour les réfractions i5i 

l'EnM.iT. - 111. it 



M TABLE DES MATIERES. 

l'a Cl* 

{Métlindc d'éliiniiintioii). Nouveau traitement en analytique des inconnues secondes 

cl d'ordre supérieur i "'7 

Appendice ù la méthode précédente ' ^9 

Sur le problème d'Adrien Romain if'i 

Ucponsc aux (jucslions de Cavalicri i<)!i 

Propositions à Lalouvérc ' T-" 

Diftcrtatioii géométrique : do la couiparaison des lignes courbes avec les lignes 

planes i ** i 

Appendice '^oi 

(Mcthndc (le <iundralure). Sur la transformation et la simplification des équations de 
lieux pour la comfiaraisou, sous toutes les formes, dos aires curvilignes, soit entre 
elles, soit avec les reclilignes; et, en même temps, sur l'emploi de la progression 
géométrique pour la quadrature des paraboles et hyperboles à l'infini aïO 

l'raginent sur la cissoïde a3S 

Observations sur Dioplianle vii 



SECONDE PARTIE. 

TRADUCTION DES LETTRES ET DES FRAGMENTS EN LATJN 

DE LA CORRESPONDANCE DE FERMAT. ♦ 

Lettre u" 3. Format à Mersenne, 3 juin ifiSG (fragments) ■>-- 

1) n° .'i. Nouveaux théorèmes do Mccaniipie x-x 

Il n° 7. Fermai à Robcrval, août i(i3G (fr.) '^Si 

11 n° 9. Fermai à Etienne Pascal et Roberval, 23 août i(i3G ( fr.) ■.»« i 

11 n° 12. Fermai à Mersenne pour Sainte-Croix, septembre iG36 ■>S(> 

11 n" 13. Fermai à Roberval, 9.2 septembre 1036 ( fr.) ny). 

11 n° 15. Fermai à Roberval, 4 novemlire iG36 ( fr.) d,i)3 

11 n° 16. Objections do M. de Fermai contre une proposition de Mécanique de 

M. de Roberval ■>\\l\ 

11 u" 17. Fermai à Roberval, 7 décembre i03G ( fr.) .>.()(■. 

11 n" 18. Fermai à Roberval, lO décembre iG36 (fr.) aijfi 

11 n" 19. Fermai à Roberval, février 1G37 (fr.) '\iw 

11 n" 3fl. Format à Mersenne, '^G décembre iG38 (fr.) 3o' 

11 n° 37. Fermai ù Mersenne, 20 février 1G39 (fr.) u 

u n° kl. Fermai à Roberval, août 1640 (fr.) 

11 n" 62. Fermât à Gassendi, 1646 » 

11 n" 67 . Fermai à Auzoul ? 1G48 3<)i) 

n° 68. Fermai à Carcavi, 20 août iGJo (fr.) ;ii(i 

11 n" 70. Pascal à Fermai, 20 juillet iG54 (fr.) n 

11 n" 79. Premier défi aux mathématiciens, 3 janvier lOJ; îi 1 



TAHLK Dl'S MATIKKES. vu 

l.clti(^ 11° 81 . Second défi aux malhcmalicicns, février 1657 Ji' 

i> n° Si. Format à Digby, i5 août 1G57 (Ir.) ji ! 

>' n° 8'J. Format à Digby, juin lOOS Si/i 

11 n" 100. Format à Carcavi, juin iGOo jii) 



TROISIEME PARTIE. 

TllADUr.TION DE VlNl'ENTUM NOrUM DU PÈRli: JACQUES DE BILLV. 

l'rélaco 3i > 

l'rouiière Partie. — Dos solutions en nomliro indéfini dans les doubles 0(iu. liions. . . Sv.S 

Seconde Partie. — Do la triple é<]uation et des solutions on nombre indofini 3()i> 

Troisième Partie, eoinpronant le procédé pour olileiiir des solutions en nombre indé- 
fini donnant des valeurs carrées ou cubi(iucs à des expressions où entrent plus de 
trois termes do degrés dilFérents >7l) 



QUATRIEME PARTIE. 

TRADUCTION DU COMMERCIUM EPISTULICUM DE WALLIS. 

Dédicace do Wallis à Kcneim Digby 4<>i 

1. Brounckcr à Wallis, 1 J mars 1007 ini 

2. Wallis à Brounckor, 17 mars i^'jj ii>4 

3. Brounckcr à Wallis, 9 juin 1GJ7 'loO 

4. Format à Digby, 30 avril 1(1)7 'inii 

î). Wallis à Digby, iG juin 1GJ7 » 

0. Digby à Wallis, i" août iG:)7 4i<' 

7. Wallis à Digby, i3 septembre iGi)7 i i->. 

8. Brounckcr à Wallis, 21 septembre I G ")7 /|iii 

!). W^allis à Digby, 7 octobre 1O57 117 

10. Brounckor à Wallis, i3 octobre 1GJ7 4 nj 

11. Format à Digby, 6 juin iG)7 4-!" 

12. Format 5 Digby, i5 août 1G57. — P. S » 

13. Brounckcr à Wallis, iG octobre 1G57 ^■i■?. 

li. Brounckor à Wallis, 1"' novembre 16J7 4'^ • 

15. Wallis à Brounckcr, 1°' décembre 1G57 '\f.'> 

IG. Wallis à Digby, 1"'' décembre 1G57 4^7 

17. Wallis à Brounker, 17 décembre iGi7 'i''7 



vin TAIÎLI': DES M\T1ERES. 

IS. Wiillis à Digby. iC) di'^ccmbre i(iJ7 1**" 

l'J. Wiillis à Brouiickcr, 3o jiinvier i())8 '(>.)" 

-2i). lirouncker i'i Wallis, aS levrior i()58 Soj 

-21 . Digby à Wallis, G février iG58 5o4 

±2. Fi-eniclc ;'i Digby, 3 février ifi'iS "'f>7 

-2:i . Wallis il Digby, 1 4 mars i (iJS "" i 

•li. lirouncker à Wallis, -li mai-s i658 '>■>>< 

-l'i. Digby à Wallis, 9.0 février 16'JH >' 

■i(i. Freniele à Digby. . . . février i6")S 5)ci 

'21 . Brounckcr à Digby, ?.i mars lôîS ') >(i 

iS. Wallis à Digby, -'.j mars 16 J8 5>~ 

•2'.). Wallis à Broiiiicker, 'it) mars iG J8 J4 1 

:iO. lirouncker à Wallis. iG avril iG")H 54(> 

:îI . Freniele à Digby, 1 1 avril iGW » 

'\2. Wallis à Brounckcr, ■,(■) avril iGJ8 5Ji 

III! . Sclioolcn à Wallis, 1 8 mars 1 G5S î> "> i 

.'! i . lirouncker à Wallis, 1 r mai 1 G58 .57 1 

li.'i. Digby à Brounckcr, i mai iGS.S j-f_ 

;!(i. Digby à Wallis, 4 mai iG38 ;-;i 

117. Fermai à Digby, 7 avril iC')8 ■'>-{> 

118. Freniele à Digby, 4 mai iGJS 177 

liO. Wallis à Digby, r') mai iG38 j-t, 

W. Wallis à Broimckor, «i mai iC58 584 

il . Digby à Wliite, 8 mai iG)S jtjo 

^~2. Digby à Wallis, 8 mai iGi8 mii 

il!. Freniele à Digby, 2 mai i658 Oij » 

il. Wallis à Digby, îo juin iG")8 J9S 

APPENDICE. 

i'i. Wallis à lirouncker, il jiiillel, iG58 (.01 

4G. Digby à Wallis, 19 juin iG')8 Ci>-.> 

n . Fermai à Digby, juin iG58 » 

Uéplique anonyme au Coinnicichini : 

Texte lalin 6oj 

Traduclion God 

lii I ata (J I I 



FIN DE H T\Bl.E DES JUTIKIIES DU TO.ME TROISIEME. 



AVERTISSEMENT. 



1. 

Comme il a été dit dans l'Averlissemciil, en lèle du Tome 1 de celle éili- 
lion, page xxxiv, la Commission de publication des Œuvres de Fermât n 
décidé qu'un Volume spécial serait consacré à des traductions des Ecrits el 
Fragments latins de Fermai, de ïlmc/itam novi/m du V. de Uilly, cnliu du 
Commerciiim epistolicum de Wallis. 

Si j'ai accepté la lâche ainsi déterminée, il ne m'en sera pas moins permis, 
je l'espère, de réclamer d'autant plus l'indulgence pour mon travail, <iue 
j'aurais désiré personnellement, pour une traduction des Ecrits de Fermât, la 
publication eu regard du texte. .J'estimais, en elTet, que, dans ces condilions, 
il eût été plus aisé de l'aire une œuvre plus utile el moins sujette à critique. 

Une traduction d'un auteur matliémalique peut être faite de deux l'acons. 
très dillérenles l'une de l'autre : ou bien elle sera rigoureusement conforme à 
la lettre et aux notations du texte, en sorte qu'elle puisse, au jtoint tie vue 
historique, le remplacer absolument pour ceux qui ignorent la langue origi- 
naire; ou bien elle reproduira seulement, avec toute la lldélilé possible, 
l'ordre des idées de l'auteur, mais en transcrivant ses notations et ses expres- 
sions techniques d'ajjrès le système courant; elle servira alors plus utilement 
|e mathématicien qui ne s'altaclie (|u'au fond du raisonnement, sans se pré- 
occuper de la foi-me des symboles. 

Le premier mode est nalurellemenl le seul aucjuel on puisse penser quand 
il s'agit d'un auteur contemporain; il n'exige d'ailleurs, de la part du traduc- 
teur, qu'une connaissance sulTisanle de la langue de cet auteur : il est donc de 
beaucoup le plus facile à suivre. Au contraire, si l'auteur à traduire est ancien 
ou déjà assez éloigné de nous pour que son système de notations soit cssen- 
liellemenl dilTérenl du nôtre, le second mode doit, en principe, être préféré. 

S'il s'agil, en ellet, du point de vue historique, aucune traduction ne peut, 
(|uoi qu'on fasse, équivaloir au texte, quand il est l'œuvre d'un génie vérita- 
blemenl créateur, tel que ceux (|ui méritenl d'être traduits. Car il n'y a pas à 



X AVERTISSEMENT. 

considérer que les iiolalions, il faut tenir compte des concepts; or ceux-ci 
sont intimement liés à la langue ilans laquelle ils sont l'orniulcs. Et ce n'est 
pas parce qu'un mathématicien, comme Fermât, se sera servi de deux langues, 
(pi'on aurait raison do penser que la maternelle a dû, |)our lui, être nalurel- 
lement l'instrument de ses conceptions; à une époque où l'iiislruclion se 
Taisait en lalin, où la presque totalité des Ouvrages malliématiques étaient 
composés dans celte langue, c'était celle-là qui servait principalement à 
penser en Matliémaiiques, et il ne me paraît pas douteux que Fermai n'ait 
conservé jusqu'à la lin de sa vie une liahiluiic qui est évidenle peiidaul la 
féconde époque de sa jeunesse {'). 

D'autre part, si l'on vise à avoir un texte réellement intelligible, si l'on veut 
taire œuvre véritable de traducteur, il faut bien remplacer par les termes 
lecliniqucs en usage ceux qui sont tombés en désuétude, il faut bien traduire 
aussi sous la forme moderne les notations obsolètes; sans quoi la tradui lion 
ne préseule, pour ainsi dire, aucun. avantage sur le texte, surtout lorsqu'il est 
en latin, puis(|ue la connaissance de cette langue est encore assez répandue, 
même parmi les malliémaliciens, auxquels il sulTil d'en savoir les premiers 
éléments et de posséder un vocabulaire très restreint. 

Mais, dans ce mode d'inlerprélation, la lâche du traducteur, s'il veut rester 
lidèle, présente de sérieuses difficultés; l'emploi de nouveaux termes tecb- 
nifiues, surtout leur substitution, souvent indiquée, à des périphrases (pii 
ah)urdissent le style, tendent à faire attribuer à l'auteur des concepts qui lui 
sont réellement étrangers et dont il |ieut être nécessaire de bien maripici- le 
défaut pour rendre compte de la véritable marche des idées; d'un autre cùlé, 
il arrive souvent (pie l'emploi des notations modernes fait apparaître inmié- 
diatement une conclusion qui, avec les anciennes, exige encore des dévelop- 
pements plus ou moins longs. On se trouve ainsi amené à des suppressions 
plus ou moins graves. 

lly a donc, etcela i)Ourainsi direà chaque inslani, à choisir entre deux ten- 
dances, dont ni l'une ni l'autre ne |)eut être sacrifice en principe : Cherchera 
être le plus clair |iossible en tenant compte des liabiludes modernes; suivre 
assez lidèlemcnt le te\te pour ne ]ias en donner une simple paraphrase. J'es- 
time que, dans une traduction en regard du texte, ces difficultés disparaissent 
l'ii grande partie; il est |)ossible alors de prendre plus de libertés et de viser 

(') Descartos, toiU au contraire, coiiuno mallicnialicicn, iravailla en français, sinon dès 
le début, au moins de très bonne heure, tandis qu'en Métaphysique, il trouve ccrlaine- 
iiiuiii plus coniniodo d'écrire ses Méditndwii, par exemple, en ialiu, de se servir d'une 
langue toute faite, plutôt que d'en créer une. 



AVERTISSEMENT. ^i 

aviiiu loin il la clurlé; le lecleur eslimmédialemenlavcili, par le voisinage du 
lexle, (le l'importance tles niodificalioiis apportées, cl il est, pour ainsi dire, 
invité, toutes les fois que la question peut l'intéresser, à comparer l'interpré- 
lalion avec les expressions de l'auteur. 

Dans une traduction puldiée séparément, et surloul dans un Volume sus- 
ceptible d'eue vendu isoléuienl, j'ai cru devoir lenir un plus grand comple 
(lu lexle de Fermai, et refondre par suite une traduction déjà complètement 
laite pour mon usage personnel. Je ne me dissimule pas que, du compromis 
(|uc j'ai essayé entre les deux tendances indiquées jjIus haut, il ne pouvail 
résulter une (euvre complètement satisfaisante au point de vue de l'un el de 
l'aulre des deux huis cherchés. Suivant ce que chacun désirera trouver dau- 
cette traduction, il me reprochera nécessairement, soit d'avoir trop conservé 
des formes anciennes, soil, au contraire, de ne pas les avoir assez respectées. 
Je ne pourrai répoudre qu'une chose, c'est que j'ai fait de mon mieux et que 
je suis le premier à reconnaître les imperfections inhérentes au système suivi 
ou pluiùl à i'ahseiice d'un système précis et rigoureusement ohservé. 

Les remarques que je viens de présenter ne s'appliquent pas entièrement 
aux autres Iraduclions qui suivent dans ce Volume celles des Écrits de Fer- 
mât. En pailiculier, pour Vlmantum no\iini du !•. de Billy, je ne crois miérc 
(|ue personne altache un intérêt spécial à l'élude des notations (') el de> 
formes de langage de cet auteur. Je n'ai donc conservé que les expressions 
typiques, comme celles de n'fiuihres vrais ou /aux (au lieu de positifs ou né- 
gatifs). Je n'ai eu, au contraire, aucun scrupule, i)ar exemple, à traduire tei- 
inùiiis an moyen de l'expression toute moderne du for/nc (algéhriquc), (pii 
lui correspond assez exactement. 

L'Im'ejiltim noi'um a, en toul cas, une importance réelle; il fait connaître, 
d'une faron bien détaillée, toute cette partie des recherches arithmétiques de 
Fermai, (pii intéressait le [iliis ses contemporains, tandis qu'aujourd'hui elle 
est à peu prés complétemenl négligée. L'Imentum est donc un complément 
d'autant plus essentiel des OEm-res de Fennai (ju'il donne la clef de nouibic 
des OOsenaiions sur DiophaïUc, et jjrésenle la solution de plusieurs pro- 
blèmes numériques réellement difficiles. Pour un Ouvrage secondaire de ce 
genre, que sa forme rend assez malaisément abordable dans le texte original, 
une réédition de ce texte eût été sans objet, une traduction peut rendre de 
véritables services. 



(•) Ce soiil celles de Format dans ses Obscn-ations sur Diopliniitc, c'esl-à-dire celles 
(pie Bachcl avail adopKies dans sa iraduclion lulinc de laulcur grec. 



XII AVERTISSEMENT. 

En ce qui concerne le Commcrcimn de VVallis, il ne s'agissait que de faire 
mieux connaître en France une série de lettres très impoilanles au point de 
vue liistori(|iic, mais qui est suffisamment répandue soit dans l'édition prin- 
(•,ei)S, soit dans celle des Œm'res de Wallia, pour qu'une réimpression fût 
sans intérêt ; d'un autre côté, ces lettres sont assez faciles à lire, les notations 
m'y jouent qu'un rôle tout à fait secondaire, et d'ailleurs se rapprochent déjà 
beaucoup des nôtres. Il me suffira de remarquer (|ue (pii voudra réellement 
connaître toutes celles qu'employait Wallis devra recourir aux sources; c'est 
ainsi, pour ne citer qu'un exemple, qu'au symbolisme : a to 6 pour désigner 
la dilférence, prise en valeur absolue, des deux nombres a et b, j'ai substitué 
le suivant : \a — b\. 

II. 

.l'ai à remercier les mathémaliciens qui ont bien voulu m'indiquer quelques 
fautes d'impression dans les deux premiers Tomes; elles sont signalées dans 
l'Errata à la fin de ce Volume. J'ai l'espoir que le même concours bénévole 
ne me fera pas défaut pour le Tome III, (jui sera suivi d'un Supplément d'une 
vingtaine de feuilles d'impression, renfermant, avec divers extraits concernant 
Fermât et tirés des écrits de Mersenncl et des Lettres de Descartes et de Huy- 
^ens, les index annoncés dans l'Avertissement du Tome I, index qu'il sera 
plus commode de manier dans un fascicule séparé. 

(^omme pièces nouvelles et inédites, je ne puis, jusqu'à présent, en 
annoncer que deux pour ce Supplément : i» la lettre à Mersenne de Cava- 
lieri, contenant les f|ueslions auxquelles Fermai a répondu par la Pièce 
insérée Tome I, pages 195 à 198; celte lettre de Cavalieri est datée du 23 no- 
\embre i64i; ■^.° une lettre sans date, mais postérieure à i65i, adressée à 
Fermai par un M. de Magnas et décrivant une aurore boréale, .le voudrais 
espérer qu'avant la fin de l'année 1896 quelque découverte plus importante 
permettra de combler une des nombreuses lacunes qui sulisistcnt malheu- 
reusemenl dans la correspondance du géomèlre de Toulouse. 

Avant de terminer, j'ai à signaler deux rectifications concernant les deux 
premiers Volumes, el qui sont assez importantes pour être mentionnées en 
dehors de l'Errata. 

Tout d'abord dans le second Volume, nous avons omis, pour la lettre de 
Fermai à J)igby, du i5 août 1657 (n"> 8ï de la Correspondance), un long post- 
scriptum que Wallis n'a inséré que dans la réédition de son Commercium. 
On le Irouvei'a ci-après pages 421-422. 

En second lieu, dans l'Avertissement, en tète du premier Volume (p. xix- 



WKHTISSEMENT. mm 

\x), iioiir rei)ro(liiiro le billet auloj;r;q)lie de Feriuiil conservé diiiis le \ d- 
liiiiu' -^ de la |{il)liollièi|ue de la \ille de Toulouse, je m'élais seivl dd 
leMe déjà )nili!ié par LIliri, en prenanl soin de le faire eollalioiniei' sur l'ori- 
ginal; celle précaution, on le verra, élail insiiflisanle. D'aulre pari, sur la loi 
d(^ JI. ("Iiarles Henry (|ui ariirmail {') l'identité des écritures d'après un lac- 
simile que lui avait adressé le bihliolhécairc de Toulouse et non, il est vrai, 
d'après l'original, j'ai indiqué Carcavi comme ayant écrit la note au bas du 
billet, comme étant par conséqucnl le destinataire. J'ai même, dans celle 
liypollièse, essayé d'expliriner l'éloge liyperbolicine dont l"ei-mat a gialilié ce 
destinataire, en lui olVranl les Massimi Sislcini de (ialilée. 

Des doutes m'élant survenus à ce sujet on raison de la ualui'e des nda- 
lions entre Galilée et Carcavi (-), j'ai demandé el oblenn la communication 
du N'olume de Toulouse, el j'ai tout d'abord reconnu (pie le texle de Fermât 
u'avail pas été exactement reproduit. Kn debors des dilTérences oi-tbogra- 
pbiques, il y en a une autre assez importante (parce (|u'elle prouve une sin- 
gulière intimité entre Fermai et celui auquel il s'adresse); la vérilabh- lec- 
tiir(; est indiquée en italique dans le texte nouveau que je dorme ci-après : 

« l'eusl esire croirés nous (jne pour me mettre eu réputation et per i)urgar, 
» comme on dit, la niala lama, ie preteiis m'eriger eu donneur de liures.N Oiis 
)i eu croirés ce fpi'il nous plairra, mais si c'estoil i)ar liasard uoslre pensée, 
» asxeiircx nous, mon clier. que nous n'aués pas loncbé an iiul. le ne songe 
» en nous olfranl les ilialogues Italiens du système de (ialilée cpi'a l'aire uiu' 
11 aclioii de iuslice, et a nous rendre maistre île l'ounrage d'un autbenr qui 
)i ne passeroil, s'il uinoil, (|ue pour uostre disciple. lîcceués, donc, ce pre- 
11 seul, comme nous estant deu, et ne me considérés |ioiul en ce rencontre 
11 comme un adroit negotialeur mais comme un bon iuge, qui rejette comnx- 
11 une tentation lidée de uostre grande el fameuse bibiiotlieipie et ne se 
Il souuieiil que de la passion qu'il a tl'estre tout à nous. » 

Suit, il'iuie écriture inconnue, la note : 

« Ce billet est de Monsieur de fermai coer an parlemani ipii ma fait presani 
1) de ce liiire. » 

( ' ) Hiclierclics sur les iiinimscrils di: Pierre, ih- Fernitil, |ia!^c i<i. 

(-) A\aiil mûinc de ((iiillcr Toulouse, Carca\i avait fonuè le iiiujcl de ddiiiiir une èili- 
tion des CSiavrcs de Galilée, et il a etUreleiui, dans ce l)iil. avec ce deiiiier, une (Uirres- 
|ioii(l,mce qu'il a piiursuivie étanl à Paris. Il esl des lors presque certain qu'il a possédé 
de bonne lioure le Dialogue des Altissiiin SLilcmi et (pie Fermai ne l'ignurail pas; d'autre, 
part, l'éloge livperlioliipie, adressé i'i un éditeur ou traducleur. aurait été une maladressi'. 

Kkiim.m. — lit. ^' 



Mv \vi:ktissi:ment. 

Lo Voliiiiio (|iii coiilienl co liillel ne présenle aucun indice f|ui puisse faire 
recoiinaîlre par (|ni il a élé possédé après lOla, dale de la morl de (ialiléc; il 
porle au ronlraire la niaf(|iie de la hiltliollièqiio du célèbre érudil l'eiresc, 
iniirl en iGij. Celle circonstance, el loul, aussi bien la rareté de cette édition 
de l'Onvraj^e condamné par l'aulorilé ecclésiastique, peuvent expliquer l'ex- 
picssion « adroit néi;ocialeur » dans le texte du billet de Fermât. 

(Jiiiinl à l'éciiliire de la nol(ï au bas du billet, elle oiVre avec celle de Cai- 
cavi des diUérenees assez marquées, ainsi que j'ai pu le eonslater en coui- 
|)araiit une htUre aulograpbe éerile i)ar lui à Mcrseune le 17 mars iG^S et 
aciuellement conservée à la Hiblotlièque nationale (français nouv. acq. 620'i-, 
p. ^.96). Mais, pour idenlilicr avec certitude celte écriture inconnue avec celle 
dnii ami inlime de Tennat, possédant une bibliollièqiie d'une cerlaine im|)or- 
lancc. J'ai l'ail de nombreuses tentatives qui sont restées infructueuses; je ne 
puis don(; souuKnire au lecieur que des probabilités. 

.le dois en loul cas lémoignei' ma profonde rccoruiaissance à deux amis (pii 
m'oni secondé avec ardeur dans celte rcclierclu^ el m'ont procuré des pbolo- 
i;raiibies de spécimens d'écritures difficiles à trouver, M. IJaillaud, direclem- 
de l'Observaloire de Toulouse, et M. Hocbart, de Bordeaux. 

La circonstance que d'une pari, après la mention « couseilIcM' au pailc- 
meiil », le siège de la cour ne se trouve pas indi(|ué; que d'un autre côté le 
Volume oll'ert pai' Fermai se relrouve actuellement dans la bililiolbèqiie di; 
Toulouse, fonl [ti'ésumer n priori fpjt' l'ami du grand géomètre babitait celte 
ville. Mais dans ce cas, il faut admeltre <iue l'éloge byperbolique est en fail 
une plaisiuilerie adi-essée à un inlime pour un molif dont nous n'avons )ias 
le secret, et d'aulre part, ;i moins de sup[»oser (jue l'écrilure ne soit celle 
d'un secrétaire (ce (pii r(!n(lrait le problème à peu près insoluble), on ne 
peut la rapproclier que de celle d'un seul personnage, (îaspard de Fieubel, 
(|ui fut nommé en i653 jiremier président du i)arlement de Toulouse, où il 
èlait auparavant procureur général. 

L'écrilure de i'ieubel est bien, au premier aspect, du même genre (pie 
celle des deux lignes au bas du billet de Fermai; toutefois, dans le détail, 
pour la forme de certaines lollres, il y a des différences sensibles; Fieubet a 
possédé, de fait, mie bibliolliè(pie importante; mais il est plus que douteux 
qu'il ail jamais élé assez inlime avec Fermai pour que celui-ci, s'adressant à 
ini procureur général, ait pu lui écrire « mon cber ». Et même un rapport 
secret de l'iulcndaut de Toulouse, adressé à Colbert en 16G0 {Correspon- 
dance ndniini.sirativL' sous le rè^ne de Louis A'IV, Tome II, page 853) signale 
l'crmat comme n'élaul pas des amis du |)remicr président. 



WKlîTlSSKMliNT. XV 

Si l'dii criirlc les iilDlils qui loiil ciniic que k' ddiialaiii' dcNiiil rliT 'rdu- 
ioiisain, il osl un ami ccrtaiucuicul Irrs iiilinic do Fermai aMi|uel on pciil 
|iciiser. C.'e.sl l'iliciiiie d'I'lsiiagiu'l, foiiM'ilIci- au pai leineiil de lîordeaux. cl 
lils du préàidciil Jean (l'I'lsiui^Miel, avec lequel ou l'a (larl'ois conloudu, el qui 
avait coiniueiicé à roriiier mie l)il)li()lliè(|iie cousidéralile. Krudil eu loule 
science, Eliemie d'Kspa,;,'uet ne s'esl pas seulenieul occupé, eiilri" nulles 
choses, coinuie son père, de piiilos(qdiie liri MK'liqiie, il léiissil assez hieii 
dans la laliricalioii des verres de luiielles aslrou(Uiiii|ues, p(pur cpie, dans 
une lellie inédile à lioidlian du î décemlire 16(17 (lîilil. iial. l'r. l'MVi, f" f'i'i 
verso) 'l'ito-Livio lîiiralliiii iiieiilioniie Aii/.oul et lui coiuiiie élaiit ceux ipii 
oui parliculiéreiiieiil réussi en France à olileuir des verres « esipiisilissiiiii ». 
iVe serait-ce pas là préciséineul la (•lelde l'éloi;'!' liypeilioli(|ue? 

Les spéciinoiis de sou écriture doiil AI. Ilocharl a pu me procurer nue 
pliolo^rapliie romonteiit à i63.j, c'esl-à-dire à une époi|ue sensihiemeiit 
aulerieiii-e à celle ilii cadeau de Fermai. Il iiy a pas de dillérenccs seusiiiles 
dans le détail, mais récriluie esl noiahleiiieni moins i^rosse, ce (|ui peul 
s'e\|)li(|uer par la dillerence de l'àye. 

F.n résumé, je considère la queslioii comme n'élanl pas résolue, maisj'es- 
lime (|ue la [irobahililé penche pour l'idenlilicalioii avec Etienne d'Espairiiet, 
cl je serais lente de rap|)roclier la date du liillet des d('riiières années de 
Fermai ('). 

I ' ) l'.-S. — .le dois à l'obligeance do .M. l'\u:nii le rci\scij;iieiiiçiil siiivaiit : D'après iiiie 
Icllri' lie Ileiiisiiis îi Léoimld do Médicis, en dalc du 4 mars iliOi ( publiée par Tar;;i()ni 
Tii/.zelLi dans ses Nulizii: tlcif/i n^s^raïKlimciill dellu sciviizc flsiclic (icciiduti in 'I'iisihiiki, 
l'iurcnco, 17X", |)ap^ 'oi), tiiilius, inlin-i'Ogé sur les niaiinscriLs inédits de Viètc, dont la 
(•(imninniealioii avait été promise aux Elzcvirs par Espagnol, aiirail ropondii que ce der- 
nier, loinbé en disgrâce, avait élo exilé do Bordeaux, et qu'il 11e savait plus où lo uouver. 
— (Ici exil dut Olr(; la conséquence du rôle assez important joué par Espagnol pendaiil la 
Fronde. S(! scrail-il, peiidanl plus ou moins loiigleiiips, relire à Toulouse? En iliOt, ee|>eM- 
daiil, il était rentré à liordeaux, et, ou iGliG, son fils aine, .leun, le remplaçait dans s;i 
charge (indicalious ipic je dois à un jeune ériidit bordelais, M. Dasl de IJoisviile, et (pi'il 
a tirées des .Archives déparlenicuUdus de la (iiromle). 



Paris, le ■>:> lévrier iSijt; 

l'.AL'l, TaNNKIIV. 



TRADUCTION 



i)i:s 



ÉCRITS LATINS DE FERMAT 



FthMAT. — III. 



HESTITITIOA 

lir.s 

DEUX LIVUES DES EÏEUV PEANS 

D'APOLLONIUS DE PERGE. 



LIVRE I. 



Ce quo sniU les lieux plans est cliose bien connue; ce sujet l'ut traité 
en deux livres par Apollonius, au témoignage de Pappus (fui. au début 
de son Livre VII, en donne les diverses propositions, mais dans un lan- 
gage passablement obscur ou du moins mal compris du traducteur 
( il ne m'a pas été possible d'examiner b^ manuscrit grec). C'est cette 
théorie, la plus belle, semble-t-il, de toute la Géométrie, que nous 
arrachons à l'oubli, pour opposer fièrement Apollonius traitant des 
Lieux [)lans, aux Apollonius français, bataves et iUyriens; car nous 
avons la contiance assurée qu'il n'y a pas d'ouvrage où resplendissent 
plus vivement les merveilles de la Géométrie; pour le faire avouer 
aussitôt, je commence immédiatement. 

Le^ propositions du Livre I sont les suivantes : 

I*R0I'0S1T10>' I. 

M Si on mené deux lignes, soit d' an point donné, soit de deux, et soit 
en lii^ne droite, soit parallèles, soit sous un a/is^/e donné, enfin ayant 



4. ŒLIVHKS I)K FERMAT. \Uh\ 

riilrr elles un rapport do/i/ie. ou comprenant un rectangle donné ; si l ex- 
trémité de l'une est sur un lieu plan donné de position, l'extrémité de 
l'autre sera également sur un lieu plan donné de position , tantôt du 
même genre, tantôt d'un genre différent, tantôt situé de même par rap- 
port à la ligne droite, tantôt de façon contraire. » 

On peut faciliMiiont diviser cette proposition en huit autn-s et cha- 
cune (le celles-ci en cas noinhreux. Le défaut de ponctuation senihle 
au reste avoir einharrassé le traducteur, et Pappus lui-même parait 
être (omhé dans l'ohscurité par trop de concision. Voici comment nous 
éclaircissons le tout, par notre division en huit parties. 

I. l'iioi'osiTioN. — Si d'un point donné on mène en ligne droite deux 
lignes dans un rapport donné, et (pie l' extrémité de l'une se trouve sur un 
lieu plan donné de position {c'est-à-dire une droite ou une circonférence 
de cercle donnée de position), l' e.rtrémilé de l'autre sera sur une droite 
ou une circonférence de cercle donnée de position. 

Soit A le point donné {fig- i), p;ir lequel on mène en ligne droite 
AU et AF dans un rapport donné. Soit par exemple le point 15 sur la 

Fig. I. 
H C B 1> 



[ 
A 



ligne droite HCBD donnée de position, je dis que le point F est aussi 
sur une droite donnée de position. 

Du point A, j'ahaisse sur la droite HD la perpendiculaire At], le 
point (] sera donné; je prolonge CA jusqu'en E, en prenant -''^ dans le 

rapport donné; Ali sera donné, donc le point E. Par le point E je 
mène GEF parallèle ;i la droite HD; elle sera donnée de position et 
passera par le point F, car toutes les droites, passant par un j)oiul 
donné et coupant deux parallèles, sont divisées dans le môme rapport. 



[5. fi] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 5 

Il est donc clair que toute droite passant par le point A et lerininéc aux 
parallèles données de position sera partagée dans le rapport donné. 
Soient maintenant donnés le point B {fig,. 2) et le cercle ICN dont 




le centre est A. Menez BA qui coupe la circonférence en I, et prolongez 



\\\ 



IB suivant BE, en sorte que le rapport ^rp; soit égal au donné. Conti 



BE 



Al 
ÈF 



\\\ 
ÏÏE' 



et de K 



nui'/, le prolongement jusqu'en F eu sorte que 

comme centre, avec FE comme rayon, décrivez la circonférence de 
cercle EDZ qui, d'après la construction, sera évidemment donnée de 
position. Je dis que toutes les droites passant par le point B et termi- 
nées de part et d'autre aux circonférences des cercles donnés de posi- 
tion seront partagées dans le rapport donné. 

Soit menée par exemple (HiD; joignez CA, DF. On a 



HE 



AI 
EF 



donc, |iar somme. 



H F 



Al(j=AC2 
ËF(T=FI))' 



D'ailleurs les angles ABC, FBD opposés parle sommet sont égaux, 
^es triangles sont donc semblables et par conséquent 



(,D 
BD 



lu 



c'ost-à-dire le rapport donné. 



Si donc du point donné B on mène deux droites, par exemple B(], 
BD, en ligne droite et dans le rapport donné, et que BC se termine ii 
une circonférence donnée de position, BD se terminera aussi ii une 
autre circonférence donnée de position. 

Si les droites sont prolongées jusqu'aux arcs concaves des cercles, 
la proposition reste vraie. 

Nous avertissons que dans nos démonstrations nous n'insistons pas 



ŒUVRES DE IMÎRMAT. If., 7] 

sur les détails évidents d'eux-mêmes, et que nous n'examinons pas les 
diiïérents cas qui peuvent se déduire sans difficulté de ce que nous 
avons dit. 

2. Proposition. - Si d'un point donné on mène dans le prolongement 
l'une de l'autre deux droites dont le rectangle soit donne, et que l'extré- 
mité de l'une se trouve sur un lieu plan donné de position, d en sera de 
même pour l'extrémité de l'autre. 

Soit A le point donné (Jig. 3), et en premier lieu une droite BC 
donnée de position; abaissez sur elle la perpendiculaire A(]; le point C 




sera donné. Prolongez cette perpendiculaire et soit CA x AE égal au 
rectangle donné. Sur AE comme diamètre, décrivez le cercle ADE. Je 
dis que toutes les droites menées par le point A et terminées d'un 
coté à la droite, de l'autre à la circonférence du cercle {qu'\ est évi- 
demment donné de position), seront partagées au point A en sorte que 
le rectangle de leurs segments soit égal ;i l'aire donnée. 

Soit en ed'ct, par exemple, la droite DAB; joignez DE. L'angle ADE 
inscrit dans un demi-cercle est droit et les angles BAC, DAE, opposés 
par le sommet, sont égaux. Les triangles DAE, ACB seront donc sem- 
blables et par conséquent BA x AD = CA x AE qui est donné. 

Si donc par le point A on mène, dans le prolongement l'une de 
l'autre, les deux droites AB, AD, et (|ue l'extrémité de l'une, ii savoir 



|7, SI LIEUX PLANS UAI'OLLONILIS. 7 

AB, se trouvo sur la droite BC donnée de position, l'extrémité de 
l'autre se trouvera sur un lieu plan, c'est-ii-dire le cercle ADE, donné 
de |)Osition. 

Soit maintenant donné le point V {fig. 4), avec le cercle BIGH de 
centre E; joignez EV; prolongez jusqu'en B, VB sera donné; prolon- 




gez de l'autre coté jusqu'en F en sorte que BV x VF soit égal au rec- 
tangle donné. Soit encore GV xVX égal à ce rectangle. Sur XF comme 
diamètre, décrivez le cercle XKFqui est évidemment donné de posi- 
tion. Je dis que les droites, passant par le point V et terminées aux 
deux cercles, sont partagées au point V en sorte que le rectangle de 
leurs segments soit é^al au rectangle donné. 

Soit par exemple menée AVKI, je dis que AV x VK est égal au rec- 
tangle donné. 

Soit pris le centre du petit cercle, que nous supposerons coupé 
en H par la droite AVKI; joignez RO, AE. Nous avons supposé 
GV X VX == BV X VF. Par conséquent ,... - ^- Componendo, pre- 
nant la moitié des antécédents, et comcrtcndo. 



eb(-^ea; 

EV 



OX(^OH) 

ov 



ŒUVRES DE FERMAT 



8, 0] 



Les deux triangles OYR, VHA ont de plus l'angle lîVA commun, ils 
seront donc semblables. 



Par conséquent : T7y = o,j 



ox/ vo 

EB Vl$ ^ AV BV 



EB\ VE -, . EB VE , 

ou TTiT I = T77-:- Mais ^j^ = ^— ; donc. 



,.,^. EB VB ^ AV BV 

par diiïerence, jjx "^ VX' BV "" XV 



IV 



(IV 



l'V 



, . (iv IV (iv IV 

Nous prouverons de même que y^ — j^ ou ncissim ^p = yj^ 

Mais y^ = y^ (les rectangles KV x VU, FV x VX, dans le cercle. 



VB 



VA 



étant égaux), et nous avons prouve que vrv = yu ' ''•^'i'^'' *^' ^'" *^'"''^' 
î^ = ~4- »onc KV X VA = FV x VB, rectangle donné. 

D'autre [tari, 'y = \ v' f^t P^"' suite IV <\ |{ = (IVxVX, rectangle 
donné. 

Par conséquent, si par le point V on mi'ne dans le prolongement 
l'une de d'autre deux droites AV, VK, dont le rectangle soit donné, et 
que l'extrémité de l'une, soit VA, se trouve sur un cercle donné de 
position, l'extrémité de l'autre se trouvera sur un lieu plan (le cercle 
XKF) donné de position. 

'.\. Pkoi'ositio.n. — .SV d'ii/i poiitl donné on mène sous tin angle donné 
deux lignes dans un rapport donné, et que l' extrémité de l' une se trouve 
sur un lieu plan donné de position, d en sera de même pour l'extrémité de 
Vautre. 

Soit H le point donné (y?g". )) et, en premier lieu, une droite AF 




donnée de position. La perpendiculaire HB abaissée sur elle sera 
donnée. 



in, 10 1 



LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 



Soit l'angle BHE égal à l'angle donné, et . dans le rapport donné. 

La droite HE sera donnée de position, ainsi ([ne le point E. De ce 
point E j'élève sur la droite HE la perpendiculaire indétlnie DEG; elle 
sera donnée d(! position. Prenant sur AF un point C (jueleonque, et 
joignant HC, je lais l'angle CHI égal au ^lonné : je dis qu(^ -nj est dans 
le rapport donné. 

En effet, les angles BHE, CHI étant égaux, si je retranche la partie 
commune CHE, les angles lîHC, EHI seront égaux. Ceux en B et E sont 

I f I > ML" 

droits; donc les triangles IIBC, HEl sont scmMables. Donc ^ — .jj'» 

.... 1115 ne , , , ,1 

et ricissim yj^ = -rTy : c est le rapport donne. 

111^ cil 

Si donc du point donné H on mène deux droites HC, Hl sous un 
angle donné CHI et dans un rapport donné, et si le point C de l'une H(] 
se trouve sur une droite donnée de position, l'extrémité de l'autre S(! 
trouve sur un lieu plan, la droite DG, dont la position est donnée, 
comme il a été prouvé. 

Si la première extrémité se trouve sur un cercle, soit A le point 




donné (/ig. G), lE le cercle donné de positioci. F son centre. Joignez 
FA (|ui coupe le cercle en I; soit un angle lAD égal au donné, et -rj- 
dans le rapport donné. AD sera donnée de position ainsi que le point D. 

De C comme centre, décrivez le cercle DB, 



Prolongez et soit tt; 

" Al) 



ItC' 



I'Eumat. 



Ml. 



10 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[10, 111 



qui ost évidemment donné de position. Soit pris sur le premier cercle 
un point E (juelconque; joignez EA; soit l'angle EAB égal au donné, 

et le point R sur le second cercle, je dis que |c^ est le rapport donné. 

Joignant FE, BC, on prouvera, comme ci-dessus, que les angles 
FAE, CAli sont égaux et, en raisonnant comme dans la proposition 1 

Al? \ t^ 

(^Migure), nue les triangles FAE, CAB sont semblables. Donc tt; = ttt' 
^ ^ I " Ah AU 

, • . ■ AF 1 , • I- AI AE p. , . AE , i i 

et i:icissim -r—, c est-a-dire -r-,- = ttï- Uonc le rapport -r-r, est le donne 
A(, AI) Ali ' ' A15 

et le sens de la proposition est évident, aussi bien que la consé- 
quence. 

4. PuoPOsrnoN. — Que d' un point donné on mène deux lignes sous un 
angle donné et telles que leur rectangle soit donné; si l'extrémité de l'une 
se trouve sur un lieu plan donné de position , il en sera de même pour 
l'autre. 

Soit G le point donné (/ig. 7) avec la droite AG donnée de position, 
sur laquelle j'abaisse la perpendiculaire GB; soit BGE l'angle donné 



A n 




et BG X GE l'aire donnée. Sur GE, je décris le demi-cercle GEF. Pre- 
nant sur la droite donnée de position un point quelconque D, je joins 
DG, et fais l'angle DGF égal au donné; je dis que DG x GF est égal ii 
l'aire donnée. 

Joignant FE, je prouverai, comme dans la proposition précédente, 
l'égalité des angles BGD, EGF; mais ceux en B, F sont égaux comme 
droits; on conclura la similitude des triangles BGD, EGF, l'égalité 



I 11, 1-2, 13] 



LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 



11 



des rectangles BG x GE, GD x GF, et la vérité de la proposition. Si 
donc, etc. 

Soit maintenant A {Jlg- B) le point donné, avec le cercle HGE 
donné de position. Je mène par son centre la droite AEH qui coupe la 



Fis:. 8. 




circonférence aux points E, H. Soit HAB l'angle donné, et HA x Al, 
aussi bien que EA x AB, égal à l'aire donnée. Le demi-cercle décrit sur 
IB (lequel est évidemment donné de position) satisfera à la question. 
En effet, menons par exemple GFA, et faisons l'angle GADC égal au 
donné. Je dis que les rectangles GA x AD et FA x AC sont égaux ii 
l'aire donnée. 

Gar, comme HA x Ai = EA x AB, on a -rrr = -rr • Mais, d'après le 

AL Al 1 

raisonnement de la proposition précédente, l'égalité des angles H.\G, 

BA(] est évidente; aussi bien, comme dans la proposition 2, on dé- 

, ■ f -, , IIA liA ^, . IIA FA , 

duira lacilcment — - = — r- Mais rrr- = -.vi' donc 
(lA AL (lA AE 



1<A 
ÀË 



DA 



d'où 



FA X AC = l)A X AL, le icclan^lc il onné, 



D'autre part : 



I$A AI) ,. , 



(îA X Al) -— IIA X Al, le leclaiiglc iloiiné. 



La proposition est ainsi entièrement établie; si donc, etc. 

Dans ce cas, j'ai pris le point A en dehors du cercle donné de posi- 



12 



ŒUVRES DE EEHIMAT. 



[i:i| 



tion ; mais on peut lo prendre au dedans, comme dans le second cas de 
la proposition 2. 

Les quatre propositions précédentes supposent un seul point donné, 
les suivantes deux. 

5. PiîOi'osiTiON. — Si par deux poiiils donnés on mène deux liij^ncs 
parallcics dans un rapport donné, et que l' extrémité de l'une se trouve 
sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'autre. 

Soient A, H (//;,'•. 9) les deux points, CBDK une droite donnée de po- 

■ Fis. 

C B n K 




sition, sur laquelle on abaissera la perpendiculaire AB. Soit HE paral- 
lèle à cette dernii're, et t..; 1(^ rapport donné; le point M sera donné. 

Menez par ce point FEG perpendiculaire à HE et parallèle à la droite 
donnée d(î position. Je dis que toutes les paralli'les, menées par les 
points A, H et terminées aux droites CD, FG données de position, 

seront dans le rapport donné 'j^..,- 

En effet, les angles BAD, EHG seront égaux, comme les droits en B, 
E; donc les triangles BAD, EHG seront semblables. Le reste est facile. 

Si donc des deux points A, H, on mène les parallèles AD, HG dans 
le rapport donné, et que AD se termine à une droite donnée de posi- 
tion, HG se terminera aussi à une droite donné(' de position, par con- 
séquent à un lieu plan. 

Dans la figure ci-contre {fig. 10), soient donnés les points A, Z et, 
de position, le cercle BC de centre E. Joignez AE coupant le cercle 

en B; menez à AE la parallèle ZN et soit ^^ dans le rapport donné. Pro- 



[i:i. M] 



LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 



13 



HL 



longe/ ZN jusqu'en I, -^ étant aussi tiaiis le rapport donné. Le cercle 

décrit de I comme centre, avec IN comme rayon, sera donné de posi- 
tion et satisfera à la (fuestion. 





En effet, si l'on mène les parallèles AC, ZD, rencontrant les cercles 
aux points C, I), j^' sera dans le rapport donné; car l'égalité des 
angles 1$AC, NZD ressort du premier cas de celte proposition; le reste 
résulte du second cas de la proposition 3. 

G. I'i\oi'osiiio,\. — Si par deux points donnés on tncnc deux [xiralh'lcs 
dont le rectangle soit donné, et que l'extrémité de l'une soit sur un lieu 
plan donné de position, il en sera de même pour l'autre. 

Soient donnés les deux points A, H {jig. ii), et de position la 
droite CE, sur laquelle on abaissera la perpendiculaire Ali. IMenez à 

Fig. M. 




cette dernière la parallèle IIG, et soit AB x IIG égal au rectangle 
donné. La droite HG sera donnée et le demi-cercle HGF décrit sur 
elle satisfera à la question. 



IV 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[15, 10] 



En eiïef, qu'on mène les parallèles quelconques AD, HF, et qu'on 
joigne GF. en reprenant les démonstrations précédentes, on conclura 
la similitude des triangles BAD, GHF et l'égalité de AD x HF au rec- 
tangle donné BA x HG. Si donc par deux points, etc. 

Dans le second cas, soient donnés les points A, B i^fii^- 12), et d(^ 
position le cercle IFGH. Soient menées AIH par son centre et la paral- 

Fis. 15. 





lèle BC; soient AI x BC et AH x BO égaux au rectangle donné; le 
demi-cercle décrit sur la droite OC satisfait à la question. 

En effet, si l'on mène les parallèles AFG, BED, les angles HAG, (]BD 
seront égaux et l'on démontrera l'égalité au rectangle donné de AGxBE 
et de AF x BD, comme dans le second cas de la proposition 4. 



7. l'uoi'osiiioN. — Si par deux points donnés on mène sous un angle 
donné deux droites dans un rapport donné, et (pie i extrémité de l'une 
se trouve sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour l'ex- 
trémité de l'autre. 

Soient donnes les points A, B (/^i,^ i3), et de position la droite IGH. 
Sur BA décrivez le segment de cercle ALB capable de l'angh" donné. 
Du point A abaissez sur la droite IH la perpendiculaire AG, que vous 
prolongerez jusqu'à sa rencontre avec la circonférence en L. Menez 



[10, 17] 



LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 



1.S 



A(i 



LBE, et soit —j^ dans le rapport donné. .Menez FEDC perpendiculaire 

à BR, et prenez sur l'are de cercle un point quelconque K, duquel 
vous mènerez, par A et 15, les droites KAH, KBD rencontrant en 11 



Ali 



m: 



et D les droites IH, F(",. Je dis (|ue jj^ est dans le rapport donne jr^ 

Fis. >3. 




Car. s'il en est ainsi, les triangles AGH, BIÎD seronl semblahles : 
donc les angles GAH, EBD seront égaux, ainsi (jue leurs opposés par 
le sommet KAL, KBL. IMais cette dernière égalité a lieu, puisque ces 
angles sont inscrits dans le même segment, et il est facile de remonter 
de l'analyse ii la synthèse. 

Si donc, |)ar deux points A, B, on mène deux droites AH, BD, sous 
l'angle donné IIKD << et ayant entre elles un rapport donné >, si 
l'extrémité de AH est sur la droite IH donnée de position, l'extrémité 
de BD sera sur la droite FC, donnée aussi de position, d'après la con- 
struction. 

Soient maintenant donnés les points A, B ( //g. i4), ot de position 
le cercle HF; sur AB décrivez le segment de cercle AKB capable de 
l'angle donné. Soit G le centre du cercle HF; joignez AHG, prolongez- 
la jusqu'à sa rencontre en K avec l'arc de cercle, menez KBE, et soit 
iyTT dans le rapport donné. Prolongez BE jusqu'en D, en sorte que . ', 

soit aussi dans le rapport donné. Le cercle décrit de I) comme centre 
sera donné de position et donnera la solution de la question. 

Si en effet on mène lAF, IB(^, les angles en A et B seront égaux, et 

AF 

le reste de la démonstration est facile; on voit aussitôt que rrp est dans 



l(i ŒUVRES DE FERMAT. (17, is| 

le raj)|)orl donné, et (pi'il en est de mênip si l'on prolonge los droites 
jus(|iranx arcs concaves. Si donc, etc. 



Fis- >'i. 




S. Piioi'osiTioN. -- si par deux points donnes on mène deux lignes 
sous un angle donné el dont le reetangle soit donné, ijue l'extrémité de 
V une soit sur un lieu plan donné de position, il en sera de même pour 
l'extrémité de l'autre. 

Soient donnés les deux points A, B (fig. i.5), et de position la 
droite Gl. Snr A15 décrivez le segment de cercle capable de l'angle 




donné; menez AU perpendiculaire sur Gl et prolongez-la jusqu'en F. 
.loignez FH, à prolonger jusqu'en C en sorte qu(* AH x 15G soit égal à 
l'aire donnée. Le cercle décrit sur la droite BC satisfera à la question. 
Kn (^ITet, si l'on prend sur l'arc un point quelconque E, et qu'on 
joigne KAl, VM\), Al x BD sera égal au rectangle donné. 



1 18, ini 



LIEUX PLANS DAPOLLONIUS. 



17 



La démonstration est la même que dans les cas qui précèdent. 
Soient maintenant donnés les points A, B {/ig- iG), et de position 
le cercle IKL. Sur AB décrivez le segment de cercle capable de l'angle 



Fis. .6. 




donné. Menez par le centre la droite ANI, à prolonger jusqu'en G; 
joignez GB, et prolongez en sorte que AI x BC et AN x Bl) soient 
éi;aux il l'aire donnée. Le demi-cercle décrit sur CD satisfera à la 
([iicstion; c'est-ii-dire (|ue si l'on prend un point quelconque coninu' 
Il cl (]u'on achève la construction de la ligure, comme ci-dessus, 
AK X BF et AL x BE seront égaux au rectangle donné. La démon- 
stration est la même que dans les cas précédents. 

Ainsi la [»roposition est établie, et le [)remier théori'me d'Apollonius 
ou de Pappus est éclairci. 

H faut remarquer que les cas pour lesquels nous avons indi(iué seu- 
lement des demi-cercles donnent en fait les cercles entiers; d'ailleurs 
les diverses situations des données engendrent des cas multiples qu'on 
pourra, ii Idisir, déduire facilement des précédents par des raisonne- 
ments immédiats. 

Pappus ajoute que le lieu plan, sur le(|uel se trouve l'exlrémilé de 
la seconde droite, est lantôl du même genre, lanlàl d'un ge/ire dij- 
fcrent. O qui est clair : par exemple, dans la proposition I, il est du 
même genre; car, si la première droite se termine à une droite, la 
seconde se termine aussi à une droite; et de même un cercle conduit 
l'iiiMAT. — m. -^ 



18 ŒUVRES DE FERMAT. [10,201 

à tin cercle. Diins la premii're partie de la proposition 2, au contraire, 

et dans plnsieiirs autres cas, le lieu est d'un genre dilTérent. 

Pappus ajoute aussi que le lieu est lanlôi situé de même par rapport 

à la /if(/>(' (Iroilc, et tanlàl de façon contraire, (^.es mots par rapport à la 

ligne droite n'oUVcnt aucun sens et je pense (ju'il faut les sup[irinier. 

.l'explique ainsi ce passage : tantôt le second lieu est placé d'une 

manii're contraire au premier; par exemple, si le premier est la partie 

convexe de la circonférence, le second sera la partie concave, etc. 

Des exemples de cette opposition sont donnés dans les propositions 

ci-dessus. 

PitoposmoN IF. 

« Si I on donne une ertrémitc d'une ligne droite donnée de position, 
l'antre sera sur une circonférence concai'e donnée de position. » 

Avec une jjareille leçon, la ])r()position est Causse; il faut, par 
exemple, aux mots donnée de position , suhstituer ceux-ci : donnée 
de grandeur, et le sens sera : si ion donne le diamètre et le centre 
d'un cercle, l'extrémité du diamètre sera sur un cercle donné de posi- 
tion, (le (|ui est évident de soi et ne mérite pas qu'on s'v arrête davan- 
tage. 

Proposiiio.n III. 

i( .S?, de deux points donnés, on mène deux droites qui se coupent sous 
un angle donné, leur point commun sera sur une circonférence concave 
donnée de position. » 

C-ette proposition est évidente de soi, car le segment capable de 
l'angle donné et décrit sur la droite joignant les deux points est 
donné, comme l'a enseigné Kuclidc dans les Éléments. 

PnoposiTioN IV. 

« Si, d'un triangle d'aire donnée, on donne la base de grandeur et de 
position, le sommet sera sur une droite donnée de position. » 

dette droite sera une parallide à la base; sa construction et tout le 
reste se tirent immédiatement du Livre I des Éléments. 



|2U] 



LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 



19 



Proposition V. 

« Si une droite est donnée de grandeur et parallèle à une droite donnée 
déposition, et qu'une de ses extrémités soit sur une droite donnée déposi- 
tion, l'autre extrémité sera aussi sur une droite donnée de position. » 

Soit DE {/ig. 17) une droite donnée de grandeur et parallèle à la 
droite AC donnée de position. L'extrémité D est supposée sur une 

KiR. 17. 




droite ^F donnée de position. Si par E vous menez BEG parallèle 
à AF, elle résout la question. 

En effet, toutes les droites, comprises entre ces deux parallèles et 
parallèles elles-mêmes à la droite AC donnée de position, sont éi^ales 
entre elles; ce qui est clair d'après la construction même. 

Si donc une extrémité de l'une d'elles est sur AF, l'autre sera sur 
Ht;, comme le veut la proposition. 11 est facile de l'étendre à des 
cercles. 

Soit en effet AB {fig. 18) une droite donnée de position, à laquelle 



Fi" 





est parallèle NO donnée de grandeur. Soit le point N sur la circoiil'é- 



20 QÎUVRES l)K FEUMAT. [30,211 

ronce du cercle CNM donné de position. Je dis que le point est sur 
un cercle donné de position. 

Soit E le centre du cercle CNM; je mène le diamètre parallèle à Ali 
et je le prolonge jusqu'en F, en sorte que CF = NO, la droite donnée. 
I^a droite CF sera donnée de position et de grandeur; je la prolonge 
on faisant FH = CD. Le cercle décrit sur FH résout la question, car le 
point sera sur sa circonférence. 

En eli'et, soit le point sur la circonférence du cercle FOP : les 
droites CN, FO, joignant les extrémités des parallèles égales CF, NO, 
seront égales et parallèles : donc les angles NCD, OFH seront égaux; 
mais il en est ainsi, puisque les droites CD, FH, égales (Mitre elles, 
sont parallèles aux droites NM, OP. 

La proposition de Pappus peut donc être conçue plus généralement 
comme suit : 

Si une droite, est donnée de grandeur el parallèle à une droite donnée 
de position, et qu'une de ses extrémités soit sur un lieu plan donné de 
position, r attire extrémité sera aussi sur un lieu plan donné de position . 

Proposition VI. 

« Si d'un point on mène, à deux droites parallèles ou concourantes 
données de position, deux droites sous des angles donnés, cl dans un 
rapport donné ou bien dont l'une, plus une droite dans un rapport donné 
avec l'autre, fait une somme donnée, le point sera sur une droite donnée 
de position. » 

Cette proposition comprend deux parties, dont voici \n première : 
Soient deux droites AE, AF (^g. 19) données de position et se cou- 
pant en A. Du point C, je leur mène deux droites CB, CD sous les 

angles donnés CBA, CDA. Soit donné le rapport -rrr- Je dis que le 
point C est sur une droite donnée de position. 
Joignez AC, BD; dans le quadrilatère ABCD, on a trois angles don- 

nés : ABC, ADC, BAD; l'angle BCD est donc donné. Le rapport ^ est 



[■>\,n] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 21 

aussi (lomié par liypollièsc, donc le triangle BDC est donné d'cspi'cc, 
donc les angles (]BD, CDB, donc par différence les angles ABD, ADB. 
Donc le triangle ABD est donné d'espèce, donc le rapport --r^; mais 
PP l'est aussi (puisqu'il esl prouvé que le triangle BDC est donné d'es- 
pèce), donc \jpr lésera. IMais BA est donnée de position, ainsi (|u^' le 
[)oint A; donc AC est donnée de position, et si sur cède droite on 

Fig. 19. 




prend un point quelconque, et qu'on mène de ce point aux droil(!s 

données des droites sous les angles donnés, on prouvera (|iii' les 

menées sont toujours dans le rapport donné. 

Second cas, lorsque les droites données sont parallèles : 

Soient les droites CA, CB (fig. 20), sous les angles donnés (;A1). 

CBF, et dans le rapport donné. L'angle CNB est donné, comme égal. 



Fis. 20. 



A 


D 


F Sj B 


E 


// 

l^ 





M 



il cause des parallèles, au donné CAD; donc le triangle CNB est don m 

CN , „ , CB 

-^\ mais, par Jiypothese, ^ 



CN > CB 

d'espèce, donc le rapport -^; mais, par hypothèse, -rr- estdonné; donc 



22 



OEUVRES DE FERMAT. 



[22, 23] 



-4t le sora, ot il est dus lors facile de prouver que G est sur une droite 
(lonnoo de position. 

Consiraction : Par le point B quelconque, je mené la perpondicu- 



AN 



IR 



iairc IBM; IB est donné. Soit jvjt^ = nry P''"' I*' pf»iiit M je mène aux 
deux données une parallidc qui satisfera à la question, comme il est 
facile de le démontrer. 

Si donc d'un [)oint l'on mène, à deux droites [)arallèles ou concou- 
rantes données de position, des droites sous des angles donnés etdans 
un rapport donné, le point sera sur une di'oite donnée de position. 

Voi('i maintenant la seconde partie de la proposition : 
Soient données les droites AC, A(j (,/ig'. 21), concourant en A. 
Moue/ AN faisant avec la droite AC l'autçle donné CAN, et ésrale à la 

Fia. 21. 




droite donnée. Menez NG parallèle i» AC, et soit KO(j l'autre angle 
donné. D'apri-sla première partie de cette proposition, menez (jE telle 
(|ue si, d'un point quelconque l'] pris sur cette droite, on mène ED, 
EF parallèles à KO, AN, elles soient dans le rapport donné; GE sera 
donnée de position, d'après ce (jui a été démontré. Prolongez FE jus- 
(|u"en B, FB sera donnée do grandeur, comme égale à la donnée AN, à 
cause des parallèles. Quel que soit donc le point E pris sur la droite 
(!E, si l'on mène do ce ()oint aux droites AC, AG les droites ED, EB 
sous les angles donnés, BE plus EF, à (jui ED est dans le rapport 
donné, fait la somme donnée, comme le veut la proposition. 

Si donc d'un point on mène, ii deux droites concourantes données 
de position, doux droites sous des angles donnés et (elles que l'une. 



[24] 



LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 



23 



plus une droilo ilaiis un rapport donné avec l'autro, fasse une somme 
donnée, le point sera sur une droite donnée de position. 



Pnoi'osiTioN \'II. 

« Soient en nombre quelconque des droites données de position, aux- 
quelles on rm'ne d'un point des liff/ies droites sous des angles donnés; 
si le produit d'une ligne donnée et d' une des menées, avec le produit de 
la ligne donnée et d'une autre menée, etc., est égal au produit d'une 
donnée et de la dernière des menées, le point sera sur une ligne droite 
donnée de position ( ' ) . » 

Cette proposition est une extension de la précédente; ce (]ni a été 
plus haut démontré pour deux lignes dans la première partie de la 
proposition VI est proposé ici comme ayant lieu [)our un nomltre 
(|uclconque. 

Soient AH, B(>, CA (Jig. 22) trois droites données de position e( 
formant un triangle; il faut trouver une droite, EK par exemple, sur 




iaciuelle prenant un point quelconque M, et menant de ce point les 
droites MR, MO, Ml, sous les angles donnés MRA, MOB, MIA, on ait 

OM-t-MI , ... 

— TjTj — dans un rapport donne. 

D'après la première partie de la proposition précédente, on trou- 
vera une droite sur la(|uelle prenant un point (juelconijue et mciiani 

(') Li |]';iilucliijii usl ac(uiiiiiiioilée au sons aiJmis par Ponnat ( voir t. I, p. >\. uolc i). 



24 Œ U V R E S I) K F R II M Aï . f M, îC l 

(lo ce poiiil des droites sur AB, BC, les menées soient dans le rapport 
donné. Cette droite est donnée de position, donc le point où elle ren- 
r.onlre AC, soitE. Si l'on mène de ce point EV, ED, parallèles à MO et 



M H. 



VE 



V I* 

d'après la construction, ^ sera dans le rapport donné. Prenant 

ensuite les droites AC et AB, par le même procédé, on trouvera un 
point K, tel que les droites KL, KZ, issues de ce point et sous les 
angles donnés, c'est-à-dire parallèles à MR, MI, soient dans le rapport 

K7 

donné. On aura donc aussi ït-t^ dans le rapport donné. Si l'on jointEK, 

un point quelconque pris sur cette droite satisfera à la question. 

Soit pris M par exemple, pour profiter de la construction déjà faite ; 
menez MF parallî'lc à BA, et MH parallèle à BC. Il faut prouver que 

OM + MI VE , . . .. , ^ , 

— MR — ^^ vn' *^^ est-a-dire le rapport donne. 

Menons encore KG parallèle à BA et supposons vrai ce que nous 

, ,, . . . MR MI-+-MO .... , 

voulons i)rouver. Nous aurons l'inssim ^^77 = — iT<-, — ; an'idendo : 
' Ll) hV 

MR-DE MI+MO-EV ... ..^ ., ^ iit • d* 

|Tp = ™^ Mais Mr étant parallèle a BA, on a 

EF = MR-DE; Mil étant parallèle à BC, EH = EV - MO. Donc 
IM-EH = MO + MI - VE. 

n . , EF IM-EH ... EF EP 

rar eonse(jU(Mit, y-r, = — ^w — ' vicissun : ^r^ — ^j.- = z^,, cotn-cr- 

, , IM-EH EV , , , . 

tcnao : — =rp — ~ kï»' '*' rapport donne. 

Mais par construction, si nous prenons les trois droites EH, EF, IM, 

VE KE , ,, I I - . KZ KE 

i>n ;i pTî — pvj' et I on a aussi dans le même '"ipport |ç.j = ^^^ et 

encore, iiuisque KG est parallèle à BA, ^ = t^\- 
' ' ' Ll' EM 

Par conséquent, les trois droites VE, KZ, EG sont proportionnelles 

u\7 VII 11^ I KZ-EV MI -EH ,, • 

aux trois HE, Ml, Er ; donc — ït^; — = irr; Mais nous avons 

E(i Er 

MI -EH EV , . , . -^ KZ-EV EV , 

prouve que — ^ — ~ fïï' '*^' '"^'PP^''^ donne. Donc — ^p — ~FT)' ' 

,1 .... KZ-EV EG , KZ (11) 

rapport <lnnne, et ncissnn : — =^ — ■ = ^- componendo •' wv = pir- 



120,27] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 25 

Mais, il cause des parallèles KG, BA, on a KL = DG. Donc vicissim : 

K/ F V 

jT-j^ = pT-, ce qui avait déjà été donné par la construction. 

Ainsi est établie la vérité d'une très belle proposition. Il est facile, 
en procédant de même, d'étendre la construction et la démonstration 
aux cas suivants, pour un nombre quelconque de lignes. Car, de même 
que la construction pour deux lignes donne la solution du problème 
pour trois, la construction pour trois lignes donne la solution pour 
(|uatre, la construction pour quatre donne la solution pour cinq, et 
l'application de la méthode se poursuit toujours de même indétini- 
ment. 

Proposition VIII et dernière. 

<( Si d'un point on mène sous des angles donnés, à des parallèles don- 
nées de position, des droites qui interceptent, à partir de points donnés 
sur les premières, des longueurs dans un rapport donné, ou produisant 
une aire donnée, ou dont la somme des carrés ou bien la différence des 
carrés soit égale à une aire donnée, le point sera sur des droites données 
de position . 

Si cette proposition était vraie, elle aurait quatre parties, mais nous 
n'avons trouvé qu'elle fût exacte que pour le rapport donné. Ecartons 
donc le reste, pour l'aire produite par les deux droites, pour la somme 
ou la différence de leurs carrés, et rejetons-le comme faussement 
inventé ou transporté d'ailleurs. 

Je propose donc comme suit le théorème corrigé : 

Si d' un point on mène sous des angles donnés, à des parallèles données 
de position, des droites (pii interceptent, à partir de points donnés sur les 
premières, des longueurs dans un rapport donné, le point sera sur une 
ligne droite donnée de position. 

Voici la construction : 

Soient AB, GC {fig. 23) les parallèles données. A, F les points 
donnés sur ces droites, BAH l'un des angles donnés, GFH l'autre. Les 
points A et F étant donnés, avec les angles à ces sommets, les droites 

FtRMVT. — Ml. 4 



20 ŒUVRES DE FERMAT. [27.281 

AH,FH seront données de position, par suite leur point de rencontre H : 
donc le point G où AH coupe la parallèle GC. Partagez GF en D en 

sorte que rr^; soit dans le rapport donné; l) sera donné. Joignez DH, 

cette droite est donnée de position. Je dis que la droite DH satisfait 

Fig. 23. 




à la question, c'est-à-dire que si on prend sur elle un point quel- 
conque I, (|u'on mène de ce point IB, lE, sous les angles donnés, le 

rapport des abscisses à partir des points A et F, c'est-à-dire ^pr' est 
égal au rapport donne, rr^- 

Soit (] le point de rencontre de BI et de la parallèle GF. Par construc- 
tion, IB est parallèle à AH, comme menée sous l'angle donné égal à 

HAB. De même lE est parallèle à HF; de plus, à cause des parallèles. 

PP .^ ., , , (iC (.1) . . . GC EF 

GL = AH; il reste a prouver nu(^ ftt = rrr. ou vicixstm tttv = rrr-- 

' ' Eh Uh (tI) l)t 



Mais cela est évident, car d'une part .-ïj- 
GC 



GC , ,. . Hl EF 
^^; de I autre jjî^^-p^,-. 



Donc prr; cst égal au rapport donné. 

U y a, tant pour cette proposition que pour les précédentes, de 
nombreux cas, qu'il est facile de trouver et d'ajouter; pourquoi nous 
y arrêter plus longtemps? 



[■l'J, 30 J 



LIEUX. PLANS DAPOLLONILS. 



27 



LIVRE H. 



Proposition L 

« Si des points donnés sont joints par des lignes droites à ii/i même 
point, et que la différence des carrés de ces droites soit une aire donnée, le 
point de concours sera sur une droite donnée de position. » 

Soient A et B (/ig- 2/1) les deux points donnés; soit une aire donnée 
quelconque plus petite que AB . Partagez AB en C, en sorte (jue 




AC- — CB- soit égal à l'aire donnée; élevez la perpendiculaire indé- 
finie CE. Prenez-on un point quelconque D. Joignez DA, BD. Je dis 
(|ue AD- — DB- est égal à l'aire donnée. 

C'est évident, puisque AD- - DB- = AC= - CB•^ 

Si l'aire donnée était plus grande que AB-, le point C tomberait en 
dehors de la droite AB. 

A cette proposition on peut rattacher les deux suivantes : 

Soient donnés quatre points A, B, C, D (Jig. aS) en ligne droite, et 
soit AB = CD. Prenez un autre point quelconque N; menez les quatre 
droites NA, NB, NC, ND. Je dis que 

AN^+ND*-(BN^4-ND)=:2AH x lU). 



28 ŒUVRES DE FERMAT. [30,3li 

Kn effet, menons la perpendiculaire NI, et supposons d'abord que le 
l)oint I tombe en dehors de la droite AD. Il est clair que, en raison de 

Fig. 25. 




NI' commun à tous les termes, 

AN^ + ND'- (BN^+ NC^) = XV-h ID'- (BP-r- CP). 

Mais (II, 4) (•) AI- + DI- = 2DP + AD=+2ADxDI, et par le 
même théorème BF + CI- = 2DF4-BD- 4- CD- + 2BDxDI + 2CDxDI. 

Aux deux derniers termes de cette égalité, puisque AB = CD, on 
peut substituer 2AD x DI. 

Donc 

APh- ID^- (BP+ CI)2= AU^- (RD^+ CD') = AD^- (BD^-t- AB-). 

Mais(II,4)(')AD^- (AB' + BD-) = 2AB x BD. 
La proposition est donc établie. 

Je n'ajoute pas les autres cas pour cette proposition, ni poui' les 
suivantes, car ce serait aussi fastidieux que facile. 

Si l'on joint un point à trois antres donnés en ligne droite, et fjtie ta 
somme des carrés de deux droites ainsi menées surpasse le carré de la troi- 
sième d'une aire donnée, le point sera sur une circonférence donnée de 
position. 

Soient A, B, C {fig- 26) les trois points donnés en ligne droite. Soit 
donnée une aire supérieure à 2 AB x BC. Prenez AI = B(], et soit l'aire 
donnée égale à 2AB x BC -H IV^. De I comme centre, avec IV pour 

( ' ) Renvoi aux lilémcnis d'Euclide. 



[31, 32] 



LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 



■29 



rayon, décrivez le cercle VNO. Soit un point N quelconque sur sa cir- 
conférence; joignez-le aux points donnés, par les droites NA, NB, NC.. 
Je dis que AN- + NC^ — NB- est égal ii l'aire donnée. 




Kn elTet, joignez IN; d'après la proposition précédente : 
AN^ -+- NC^ = IN^ + BN= -1- 2 AB X BC. 
Donc AN= + NC'^- NB^= IN^+ 2ABx BC et la proposition est établie, 

PltOPOSITlON IL 

c( Si l'on joint un point à deu-x autres donnés et que les droites ainsi 
menées soient dans un rapport donné, le premier point sera, soit sur une 
droite, soit sur une circonférence. » 

Soient donnés les deux points A, C {Jtg. 27), et supposons d'abord 
le rapport d'égalité. Prenez en B le milieu de AC; élevez BD perpen- 




diculaire; il est clair que, si l'on en prend un point quelconque D, on 
aura AD = DC. 

Supposons maintenant un rapport d'inégalité; soient A, B {Jig. 28) 
les deux points donnés, ^ le rapport donné. Soit cï = vii" ''^"'''t; AN 



30 ŒUVRES DE FERMAT. [32,33] 

otNB prenez la moyenne proportionnelle NO, et avec ce rayon décri- 
vez le cercle OVZ. Soit un point quelconque V sur la circonférence ; 

joignez VA, BV. Je dis que ces droites sont dans le rapport ^• 
En effet, joignons VN, et menons BI parallèle à VA. On a 

AN NV 



NO(=NV) "" NR 

Ce sont les côtés qui comprennent un même angle ANV dans les 
deux triangles ANV, BVN; ces triangles sont donc semblables et les 

Fis. 28. 




angles VAB, BVI égaux. Mais AVB, VBI le sont à cause des paral- 

AV VR 

lèles; donc les triangles AVB, VBI sont semblables ''t vïï ~ "m '^^*^* 

VRNVAN,. VB^/AN_ir\_AV^ ^ ^_!1 
m ~ NR ~ NV' '^ Kl- V^ NR ~ SV ~ VR^' VR ~ S ' ' 

la proposition est établie. 

Proposition III. 

« Si une droite est donnée de position en même temps qu'un point su/ 
elle, si de ce point l'on mène une droite limitée, que de l'extrémité de 
celle-ci on abaisse une perpendiculaire sur la ligne donnée de position, et 
que le carré de la menée soit égal au produit d'une donnée et de l'abscisse 
à partir soit du point donné, soit d'un autre donné sur la ligne donnée 
de position, l'extrémité de la menée sera sur une circonférence donnée de 
position . » 

Soit AB {Jlg. 29) la droite donnée de position, A le point donné sur 
elle. Il faut trouver une circonférence de cercle telle que, si l'on prend 



[33,34] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 31 

sur elle un point quelconque E, et qu'on abaisse la perpendiculaire 
El, AE- soit égal au produit d'une donnée et de AI (c'est ainsi (ju'on 
doit ici entendre l' abscisse, à partir du point donné). 

Soit AB la longueur donnée; sur AB je décris un demi-cercle; il est 
clair d'après la construction que AB x Al = AE*. 




Il y a plus de difficulté pour le second cas, à savoir quand l'abscisse 
part d'un autre point que A, comme dans l'exemple suivant : 

Soient donnés les deux points A, B {fig. 3o), et en outre un point E 
sur la même ligne droite. Soit AB la longueur donnée. Il faut trouver 




une circonférence de cercle, soit PIO, telle que si d'un point quel- 
conque I de cette circonférence l'on abaisse la perpendiculaire IR. 
AF = AB X ER, AB étant la donnée. 

Appliquons BA x AE sur la droite BA en excès d'un carré : soit la 
largeur AP — BO ( ' ). Le demi-cercle décrit sur PO satisfera à la ques- 
tion. 

Kn effet, AI" = AR^ + RF. Mais RF = PR x RO et, comme on le 
prouvera tout ii l'heure, 

PR X RO = AR X RB -H OA X AP {= BP x PA =: BA x AE). 

Donc AF = AR* -t- AR x RB + BA x AE, ou puisque 

AR^+ARx RB = BAx AR, AP=BAx AR + ABx AE. 

( ' ) C'est-à-dire construisons AP d'après la condition : AB x AP -h AP^ = BA x AE. 



32 ŒUVRES DE FERMAT. [35, 36] 

soit, réduisant encore ces deux rectangles en un seul, AI- = BAx ER. 
Il reste à prouver que PR x RO = AR x RB + PB x BO. 
En effet, en multipliant entre elles les parties : 

PR X RO = PA X RB-hPA X BO(=BO-) + AR x RB +AR x BO(=PA x AR). 

Mais PA X AR + PA X RB = PA X AB = AB X BO. Ajoutant B0^ on 
a AO X OB, c'est-à-dire PB x BO. Donc 



PR X RO = AR X RB -f- PB x BO. 



C. Q. F. D. 



Je ne poursuis pas les différents cas, désormais rendus très faciles. 
Cependant je ne crois pas devoir omettre celui où le point E ne se 
trouve pas au delà de A, comme ci-dessus. 

Soient donnés les deux points A et E {Jig. 3i), et la droite AB ; il 
faut trouver une circonférence de cercle commcNOR, telle qu'en prc- 

Fis. 3,. 




nant sur elle un point quelconque 0, et abaissant la perpendiculaire 01, 
A0= = BAxEI. 

Appliquons BA x AE sur la droite BA, en défaut d'une figure 
carrée ('). Nous aurons le point R; soit BN = AR. Le demi-cercle dé- 
crit sur RN satisfera à la question. La démonstration sera semblable à 
celle que nous avons donnée pour le premier cas. 

Proposition IV. 

« Si de deux points donnés on mène des droites à un point, et que le 
carré de l'une soit d'une aire donnée plus grand que dans un rapport 
donné avec le carré de l'autre, le point d' intersection sera sur une circon- 
férence donnée. » 

2 

(' ) C'est-à-dire construisons AR par la condition : AB x AR — AR = BA x AE. 



[35,36] 



LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 



AI 



33 



Soient A, B {fig. '5i) les deux points, yg 'e rapport donné, BA x AN 

l'aire donnée. Soit IZ moyenne proportionnelle entre NI et IB; avec ce 
rayon décrivez le cercle ZVR, prenez-en un point quelconque V, joi- 

X VB^= BA X AN (rapport et aire 



lîl 



gnez VA, VB. Je dis (|ue AV-- 

donnés). 

Soit en effet VA x AO = BA x AN; joignez OB, NV, VI et menez 

A V X VO _ AI 

NI VI 

*^^ VLi— \\) ~ ÎB ' ^'^ sont les côtés d'un même angle dans les trian- 
gles NIV, VBl, qui sont donc semblables; donc les angles VNB, BVF 



Fi". 33. 



BF parallèle à AN. Il faut prouver que 




sont égaux. Mais les angles VNB, VOB le sont comme inscrits dans le 

même segment (car puisque BA x AN = VA x AO, les quatre points 

N, B, V, sont sur un cercle); donc les angles VOB, BVF sont égaux. 

Mais les angles OVB, VBF le sont aussi à cause des parallèles. Donc les 

OV _ VB 
VB ~ BF 



triangles OBV, VBF sont semblables. Donc ^ = ttt^ = multipliant de 



AV 



part et d'autre par le rapport rrïr, on a 



VB 



AV VB AV AI AV OV AV x VO 

VB^'bf °" BF °" Ïb"=Vb''vb"= VB^ '• *-'• '■ "• 



Pappus parait avoir omis ici la proposition suivante qui est ana- 



logue : 



Si de deux points donnes on mène des droites à un point, et que le carre 
de l'une soit d'une aire donnée plus petit que dans un rapport donné avec 

Fermât. — Ul. 5 



3i ŒUVRKS DK FEKMAT. 1 3G, n | 

II- carré tir l'aulrc. le point d'inlcrsectioii sera sur une circonfcrcncc 
flonnée. 



AN 



aire 



Soient donnés les deux points A et H {Jlg- 33), le rapport -^. l'a 

BA X AT. Soif, entre TN, NB, la moyenne proportionnelle NL; avec ce 
ravon, (h'-crivcz la circonrérencc de cercle LYZ ; prenez sur elle un 
[)oin( quelconque Y, joijïncz YA, YB. Je dis que 

VA' + BA X ATidoniic) _ AN 
\\V- "NH" 

Soil en ellet YA x AB = BA x AT; joianez TY, RB, YN; menez BV 



V\'r. 33. 




parallèle ii .\Y; comme suite de Tégalilé YA x AB = BA X .\T, on 
prouvera (|ue les angles YTB, YRB soni égaux el on achi'vera coinnii' 
ci-dessus. 

Proposition V. 

(1 ^V de points donnés en nombre quelconque on mé//e des droites à 
an même point et que fa somme des carrés de toutes ces droites soit égale 
à une aire donnée, le point sera sur une circonférence donnée de posi- 
tion. » 

Soient d'ahord deux points A, \^{Jig. 3/|); menez la droite AB, prenez 
son milieu eu M; de E comme centre, avec un rayon quelconque VA, 
décrivez le cercle ION. Je dis que, quelque point que l'on prenne sur 
la circonférence : AO'-t- 0B'= 2(IE-+ AE-). 

En effet, joignez EO, abaissez sur elle les perpendiculaires BV, AZ. 
Dans le triangle AEO, A0-= AE^H- E0»+ uOEx EZ. Dans le triangle 



137,38] LIi:U\ PLANS D'APOLLONIUS. 35 

OKB. OE- + KH= = OB- + 2OE x EV(= 2OE x EZ). car EV = EZ. 
|»iiis(juc AE = EB. 

Ajoutant membro à incinbro : 

A<)^+ OIV^+ 2OE X EZ :^ (AE^+ EB=) (- aEA^) + 2E0M= 2IE*) + iOE x EZ. 



iMg. i'i. 




lU'traiicliant (le part et d'autre 2OEXEZ, il reste l'égalité annoncée, 
cl la [troposition est établie pour le premier cas. 

Soient donnés en ligne droite trois points B, D, K (/ig. 35) et soit 
BD > DE. Prenez CD = i(BD - DE). De C comme centre avec un 




rayon quelconque CA, décrivez le demi-cercle AMF, je disque, quelque 
point M que l'on prenne sur sa circonférence, MB^+ MD- + ME^ sera 
nue somme constante. 

En effet, joignez MB, MG, MD, ME; prenez EN = (]D et joignez 
MN. Puisque BD-DE = 3CD = 3EN, on a DN + 2GD = BD ou 
CN + CD = BD. Uetrancliez CD de part el d'autre : CN = BC. Puisque, 
d'antre part, CD==EN, d'après la seconde proposition de ce livre. 
CM- + MN- — (D.M^-+-ME-) est constant. Mais CM- est constant. Donc 
DM- + ME- fera une somme égale à MN* ou plus grande ou plus petite 



36 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[38, 391 

d'une quanLitc constante. Ajoutez de part et d'autre MB^; d'une part, 
jMB- + MD= + MES de l'autre BM- + MN- feront des sommes égales ou 
diirérentcs d'une quantité constante soit dans un sens soit dans l'autre. 
Mais, d'après la proposition précédente, BM^ + MN- est constant, 
pu isque B(] = CN, donc BM^ -f- DM^ + EM= est constant. c. o. f. d. 

Démonstration générale de la même proposition. — Soient d'abord deux 
points A, E {fig- 3G); joignez AE, prenez son milieu en C. Soit donnée 
une aire Z qui ne devra pas être plus petite que AC^-f- CE'; car si elle 
est égale à cette somme, il est clair que le point C seul satisfait à la 
(|uestion, et qu'il n'y en aura pas d'autre tel que la somme des carrés 
(les droites le joignant aux points A, E soit égale à Z. 

Fig. 36. 




Si Z > AC-+ (^E'S soit BG- égal à la moitié de la différence; de (1 
comme centre, avec CB comme rayon, je décris un cercle qui satisfait 
il la question, .l'omets la démonstration qui est trop simple et a été 
donnée par Pappus et autres. 11 ne faut pas s'arrêter trop longtemps 
aux choses faciles. 

\a-.\\\\v. i'our la méthode géséuale. — Soient (y7^. 3^) des points donnés 

Fig. 37. 

I" figure. 

2" figure. 



3' figure. 



A 


B C 


\> 








F. 


A 


B 


1) 


C 






E 


A 






1 — 


B 

— V— 


C 

— ( 


E 



A, B, C, E en nombre quelconque. Prenons une fraction Al) de la 
somme des droites terminées d'une part au point A, de l'antre aux 



[:i9, 40] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 37 

autros points donnés, fraction conditionnée par le nombre des points, 
à savoir le quart dans l'exemple choisi. Soit donc 

AD = |(AB4-AC + AE). 

La position du point D varie suivant les cas. Je dis que la somme des 
droites terminées par le point D et par les points donnes du côté du point A 
sera égale à la somme des droites terminées par le point D et par les points 
donnés du côté du point E. C'est-à-dire que l'on aura 

Dans la i" figure : ED = AD + BD -t- CD. 
Dans la 2' figure : ED + CD =r BD + AD. 
Dans la 3" figure : ED + CD + BD = AD. 

D'abord dans la 3" ligure, par hypothèse, 4 AD = AB -i- AC -+- AE ; 
retranchez de part et d'autre 3 AD, il restera d'un côté AD; de l'autre, 
retrancher 3 AD de AB + AC + AE est la même chose que de retran- 
cher AD de chacune des droites AB, AC, AE : il restera donc 

BD H- CD + ED = AD. c. q. f. u. 

Si l'on avait donné cinq points, on aurait d'un coté 5AD, de l'autre 
4 droites terminées à A et aux points donnés, etc. ; la méthode est tou- 
jours la même et s'applique indéfiniment. 

Dans la 2'' figure, 4AD = AB + AC -t- AE; retranchez de part et 
d'autre 3AD et ajoutez BD, vous aurez AD + BD = ED + CD. 

Dans la i"'*' ligure, 4AD = AB + AC + AE; ajoutez de part et d'autre 
BD + CD et retranchez 3 AD; vous aurez AD -f- BD + CD = DE. 

La méthode est la même pour un nombre quelconque de points 
jusqu'à l'infini, et la même conclusion sera tirée de quelque manière 
(|ue l'on fasse varier les cas. 

Second lemmk. — Soit faite sur la i" figure (y?^. 38) la construction 
précédente; je prends sur la même droite un point N quelconque. Je 
dis que la somme des carrés des droites terminées par les points donnes 
et par N dépasse la somme des carrés des droites terminées par les points 
donnés et par le point D, du carré DN pris autant de fois qu'il y a de 



38 ŒUVRES DE FERMAT. f'ii| 

[XHiUs donnés, soit 4 ilans l'oxemple choisi. Les 2^ et 3* ligures rcpr»'- 
scnloiit des cas (lifférents. 

Fig. 3S. 
A B C D E , 



D C E ,. 

— 1 — i — I 2" liKurc. 



DEC E , ,. 
— t 1 1 ,>• iigurc. 



Sur la première figure, en comparant cliaque carré à cliaque aulrc. 

on a 

AN^ -f- BN3+ CN^- (AUM- RI)^4- CU') 

= 3I)N'--t-2AD.DN + 2BD.DN-+-aCn.l)N 

on 

\N-'-4- RN=+CN'-=AD^H-RD2+CD^+3nN2 

+ qAI).DN-i- îRD.nN -H2CI).I)N; 

cela n!ssor( évidemment de la formation du carré du binôme avec le 

signe -+- . 

n'autre part : 

EN2 = El)2+ND'-2EI).DN, 

le (]ui ressort de la formation du carré du hinome avec le signe — . 
Par conséquent 

\N- + BN2 + CN'-+EN= = AD2+BI)'-i-CI)--t-ED-4-4DN^ 

+ 2A1).DN+2BD.DN + 2CD.IJN-2ED.1)N. 

Si donc nous prouvons que la somme des rectangles en plus est 
égale il celle des rectangles en moins, la vérité de la proposition sera 
établie, ii savoir que : 

\N^ -(- BN^ + CN'^ + EN- - ( AD- + RD- -\- C\r- + EI)^ ) = 4DN-. 

Il faut donc prouver que 2ED.DN = 2AD.DN + 2BD.DN + 2CD.DN, 
cm, en divisant tous les termes par 2DN, que l'on a l'égalité 

ED = AD + RD + CD. 

Or c'est ce qui a été démontré par le lemme précédent. 



lU. 4-2 1 



LIEUX PLANS D'APOLLONIUS, 



Mi 



Je ne m'arrête pas aux divers cas. — Si l'on donne cinq points, la 
somme des carrés des distances des points donnés au point N dé- 
passe de 5DN- la somme des carrés des distances des points donnés 
au point D : la démonstration est la même. 

Il ressort de là que la somme des carrés des dislances au point I) csl 
Miininia. 

Dans cet exposé, je n'ajoute pas une trop scrupuleuse oi)st'rvaliiiii 
des difTérents cas. La conclusion du second lemme se ramènera loii- 
jours il prouver que la somme des rectangles en plus est égale ii celli' 
des rectangles en moins, et la question sera ainsi ramenée au premier 
l(>mme. 

PuEMuaiF. l'r.oi'osniON gknkuai.k. — Soient, sur la même ligure, tou- 
jours donnés quatre points A, B, C, E sur la droite AE, el 

Al) = i(AB + AG + AE), 

IVaction conditionnée. On pr()[)Ose, étant donnée une aire Z, de trouver 
tut cercle, tel (juen prenant sur la circonférence un point (juelconiiuc. Ut 
somme des carres fie ses distances aux points donnés soit égale à l'aire 
donnée. 

Pour que le problème soit possible, il faut, d'apri's ce qui a été 
démontré, que l'aire Z > AD^ + BD' 4- CD'^ + ED^ 

Soit donc 4DN- égal ii l'excès de Z sur la somme des quatre carrés; 
le cercle décrit de D comme centre avec DN |)our rayon satisfera ii la 
question. 

En elfet, prenons d'abord le point N {fig. 39) de l'un el de l'autre 




coté. 



A N B » C N 

a été prouve par le second lemme que 

AN--t-NB' + CN5+EN'— AD'4-BD»4-CD2+ ED»+ ^DN'; 



ko ŒUVRES DE FERMAT. [42, 43] 

mais AD^ -h BD= + CD* + ED* + 4DN= = Z. Donc 

AN^-h BN-+ CN2+EN-=Z l'aire donnée. c. q. f. u. 

lilevcz maintenant la perpendiculaire DM et joignez AM, BM, CJVl, 

VM. Je (lis que la somme de leurs carrés est égale à l'aire donnée Z. 

JMi elVet 

AM' = AD' + DM=, 

BM'=BD'-+-DMS 

CM' = CD- + DM% 

EM' = ED' -+- I)M^ 
Donc 

AM^ 4- BM- + CM' + EM^ = AD^ + BD' + CD^ + ED' + 4 I>M' (= 4 DN^). 

Mais AD'^+BD= + CD* + ED- + 4DN= = Z (l'aire donnée). Donc 
AM- + BM* + CM' 4- EM* = l'aire donnée. c. o- r. u. 

Menons maintenant le point M (/ig- 4o) quelconque, et abaissons 




la perpendiculaire MO. On prouvera de même que 

AM' H- BM' 4- CM' + EM' =: 4 OM' + AO' + BO' + CO' +- EO'. 

D'après le second lemme, la somme de ces quatre derniers carrés 
est égale à la somme AD- + BD* -4- CD* + ED* + 400=. Donc 

AM'+ BM'+ CM'+ EM'= AD«-b BD'+ CD'+ ED'+ 40D'-t- 40M'. 

Mais 40D= + 40M* = 4DM* = 4DN% les rayons DM et DN étant égaux. 
Donc 

AM'+BM'+CM'+EM' 

= AD'-i-BD' + CD'+ED' + 4DN'=Z (l'aire donnée). n. y. k. u. 

Si l'on achève les cercles, la même démonstration s'appliquera pour 



|iî,«] LIEUX PLANS n'ArOLLONIlIS. ki 

ios autres dcmi-corclcs, et elle s'étendra à uii nombre de points (|ii('l- 
conques avec la même facilité de raisonnement; car les carrés DiM% 
DN-, DO- sont toujours pris autant de fois qu'il y a de points et la con- 
clusion est toujours juste. 

D'où suit un corollaire qui servira pour la proposition suivante : 
Soient des points donnés eu nombre quelconque, par exemple trois, 
A, B, K (Jig. 4')î trouver un cercle NM, tel qu'en prenant un point 




A N 



quelconque M sur ce cercle, et joignant AM, ILM, KM, ou ait par 
exemple 2AM- -1- BM- -1- EM- égal à une aire donnée. 

Dans ce cas, on construira AD = ! (AB -1- AE), car le point A joue 
ici le rôle de deux points et c'est comme si l'on disait : étant donnés 
quatre points A, A, B, E, trouver un cercle NM, tel qu'en prenant sur 
ce cercle un point quelconque M on ait AM- h- AM'- 4- BM- + EM- 
égal il une aire donnée. 

Il faut entendre ceci de même de tout autre point et de tout 
autre rapport de multiplicité. — Soit par exemple proposé (/i^: 42) 




A N 



B D 



AM- -t- 2BM--f-EM'- égal à une aire donnée; on prendra 

AD = {(2AH+AE). 

11 fallait faire cette remarque, mais elle n'a pas besoin d'une plus 
longue explication. 

Keiisiat. — ni. O 



4.2 ŒUVRES DE FERMAT. [ii, 45] 

SEcoNnE PROPOSITION. — Soiciit SUT la (Iroite AE {fig. 43) des points 
donnés en nombre quelconque, quatre par exemple, A, H, (\, K, et 
un point Q en dehors de la droite AE; on cherche un cercle, comme 
Ml, tel qu'en prenant sur ce cercle un point quelconque I, on ait 
AI- 4- RI- + CI- + l<]I- -h QI- égal h une aire donnée. 




Abaissez sur la droite AE la perpendiculaire QR et prenez AD, frac- 
tion conditionnée de la somme AR -t- AR 4- AC + AE (le cinquième 
dans ce cas où l'on donne cinq points). Elevez la perpendiculaire 1)0 
et abaissez sur elle la perpendiculaire QO. Prenez RK = ON, fraction 
conditionnée (ici le cinquième) de la droite QR, et soit l'espace donné 
égal h la somme AD- + RD- 4- BD= + CD- + ED^ -+- Z. 

Faisons Z= IDN-'-i- 0N-+ oNiAI- (4 étant le nombre des points 
donnés sur la droite AE, et 5 le nombre total des points donnés). Je 
disque le cercle décrit de N comme centre, avec NM comme ravon, 
satisfait à la question. 

En effet, prenez sur ce cercle un point quelconque I, joignez AI, 
RI, Cl. El, QI. Menez VIX parallèle à AE cl lY parallèle à OD; il 
est clair, d'après le corollaire de la proposition précédente, que 
4DI-H- Ol-rrr Z, Car le point D joue le rôle de quatre points; et puisque 
DN = iOD, il est évident que 4DI- 4- 01- = 4DN- + ON- + 5NM-. Mais 
4DN-4-ON-+5NM- = Z par construction. Donc 4DI- + 0I- = Z. 



115, 4G] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 43 

Mais 4I)I- = 4DX- + 4XI- ot Or' = 0X- + XI-. Donc 
Z = 4DX^=zz 41Y2) + X0^{- VQ2) -H5Xr^ 

Ajoutez (le part et d'autre AD- + RD- h- BD- -+- CD- + lîD-, vous aurez, 
dans le [iremier membre, l'espace donné, car, par hypothèse, il est 
égal à la somme de ces cinq carrés et de Z; dans le second membre : 
AI- -I- B|- -t- Cr--t- El- + QI-, somme qui sera donc égale à l'espace 
donné. 

En eiïet, d'après le second lemme : 

AD^ H- IW- -4- BD^ -H CD' + ED^ -t- 5 DY^ = AY^ -+- RY^ + BY^ + CY- + EY^ ; 

donc 

AD' H- RI)'- + BD' -i- CD= + ED' + /JIY- + VQ^ + 5 DY' 

= AY' -t- RY- + BY' + CY2 h- EY' + 4 IY- -î- VQ-. 

Si, à chacun des carrés AY-, BY-, CY-, EY-, on ajoute lY-, on aura 

Al'- H- BV- + Cl- + Er- -- A Y' + BY- + CY^ + EY- + 4 lY^ 
Donc 

AD--t- RD^-h BD"--i- CD=+ ED^-+- 4IY'-i- VQ'+ 5DY^ 
= AP+ BF-r^ CI^+ 1E'--+- RY^+ VQ-. 

Mais RY-( = VPj + Q\- = QI-. Donc 

AD^+ RD^+ BD--t- CD=4- ED-+ 41YM- VQ'+ 5DY- 
:^ AL + BP + CP + EP -h QP. 

IMais on a prouvé que le premier membre est égal à l'aire donnée; 

donc 

AP + BP -+- CP 4- El- + QP — l'aire donnée. c. q. f. u. 

On en déduira facilement que l'aire donnée est égale à 

AN' -H BN' -+- CN' --H EN' + QN= -+- 5 N\P, 

ce que nous avons omis comme évident. 

liicn plus le inèinc artifice peut s'appliquer à un nombre quelconque de 
points. 



kk ΠU V |{ ES DE F E R M AT. [ 'iG, M | 

Si par exemple on donne deux points Q, L (Jtg- 44) en dehors de la 
ligne, la construction s'achèvera comme on le voit, en prenant 

A1) = HAR-hAS + AIJ + AC-;-AE), puis DN = -i(QR + LS), 

et en faisant 

Taire donnée = AD^ h- RD' + Sl)^ -i- BD^ + CI)^ + ED^ 

-h 4DN2-t- N0^+ NP^-H 6NM^ 

On terminera de la même manière, le point D jouant toujours le rôle 

Fig. «. 




B C K 



de tous les points donnés sur la droite \E, et les points P, jouant le 
rôle des points Q, L. 

La méthode de construction et de démonstration est indétiniment 
la même. 

Mais, comme des cas multiples découlent de la différente position 
de la droite prise et passant par deux ou plusieurs points, mais pou- 
vant laisser les autres dans diverses positions de chacun de ses côtés, 
quoique pourchaque cas il y ait des abréviations spéciales, je préfère, 
comme spécimen du procédé, montrer plus généralement la construc- 
tion. 

Soient des points donnés en nombre quelconque A, H, C, I), E, F 



[■il, 48] 



LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 



45 



( fig- \5) sur la moine droite ou sur des droites différentes. Prenez 
dans le même plan une droite quelconque SR, qui laisse tous les points 



Fig. 45. 
P 







/ 




c 


I 


\ 
\ 








1 








Y _E 




B - 


;;;"'ô 


Ù'z: 




.. 


F 


/ 


V .. ■-- 


-■•\ 


-^ 


-- 


- 


/" 






c. 


H 






I 


^ 


M 


N 





lionnes du même côté; abaissez les perpendiculaires AG, BH, CI, DK, 
KiM, FN, prenez GL fraction conditionnée (dans ce cas, i) de 

r.n + GI -t- GK -H GM + GN ; 

élevez la perpendiculaire LO, et prenez LO fraction conditionnée (ici ^) 
de AG -f- BH + CI + KD + EM + FN. 
Soit l'aire donnée égale à 

AO--h [50-+ CO^-i- UO--H EO--f- FO=-t- 60P-; 

le carré décrit de comme centre, avec OP pour rayon, satisfera ;i la 
question; la démonstration est facile pour qui a étudié ce qui pré- 
cède. 

Proposition VI. 

« Si, de deux points donnés, on mène deux droites qui se coupent, et de 
leur rencontre une droite interceptant une abscisse à partir d'un point 
donne sur une droite donnée de position, si ta somme des carrés des pre- 
nuéres menées est égale au produit d une donnée et de l'abscisse, le point 
de rencontre sera sur une circonférence donnée de position. » 

.le donne la proposition comme on la trouve dans Pappus d'après la 
version de Fédéric Commandin, mais je ne doute pas qu'il n'y ait une 



46 ŒUVRES DE FERMAT. [48, 49] 

faute, soit dans le texte grec, soit dans la traduction. Voici le sens de 
la proposition : 

Soient deux points A, B {fig. 46) ; il faut trouver une circonférence 
comme NOB, sur laquelle on prend^-a un point quelconque (); en joi- 

Fig. 4'i. 




gnant OA, OB et en abaissant la perpendiculaire 01, on devra avoir 
l'égalité entre le produit de AI par une donnée et la somme AfP + OB-. 

Supposons d'abord que AB soit la droite donnée, cas assez simple. 

Prenez BN = ^AB, et décrivez sur BN un demi-cercle; il résoudra le 
problème, c'est-à-dire que si on y prend, par exemple, le point 0, on 
aura BA x AI = A0= + 0B% 

En elfet, AO- = AI-+IO-. Si donc de BA x Al on retranche 
AP H- !()=(= BI.IN), il reste BI x AN ou BI x NB à prouver égal :i 
OB'-, ce qui est évident d'après la construction. 

Second cas : la droite donnée est plus grande que AB, mais plus 
petite que 2AB. Nous allons donner la construction : 

Soient donnés les deux points A et B {fig. 47) et la droite Al <2AB, 
par hypothèse; il faut résoudre le problème proposé. 

Fig. 47. 




B I 2 



RI 



Prenez en N le milieu de AB : soit NR = -- (E restera compris 
entre AetB). Appliquez sur la droite BE le rectangle IB.BN en excédent 
d'une figure carrée ('); soit trouvée la largeur EV, prenez BZ = EV, et 
sur VZ décrivez le demi-cercle VLZ, je dis qu'il résout le problème. 

( I ) C'cbt-à-dire : conslniiscz EV d'après la condilioii IB.BN = BE.EV + EV-. 



LW, 50] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 47 

En efTot, joignez LA, LB et abaissez la perpendiculaire LO que nous 
supposerons, comme premier cas, tomber entre E et B. Il est clair, 
d'après la démonstration de la proposition III d'Apollonius [dans ce 
même Livre], que EO.OB -i- VE.EZ(:= NB.Bl) = 0L=. 

Ajoutez de part et d'autre OB-, il vient 

EB . 150 -h NB . BI z= 0L= + OB^ 

Doublez : aEB.BO + 2NB.BI (=-. AB.BI) = 2(L0=+ OB^). Ajoutez 
de part et d'autre 2NE.OB, il vient 

( ?. EB . BO -+- 2 NE . OB ) (= AB . BO ) -f- AB . BI 

= .'.(LO"-H- OB- ) + 2NE.OB (= IB.BO), 

d'après la construction. 
Retranchant de part et d'autre OB-, il reste 

AO . OB -h AB . Bl = 2 LO^ -t- OB^ + IB . BO. 

Retranchant de part et d'autre IB.BO, c'est-à-dire dans le premier 
membre de AB.BI, il reste AO.OB + AO.Bl ou en tout 

lO.OA — -iLO^-hOB^ 

Ajoutez AO^ de part et d'autre : 

LA.AO = AO^+OB2^-2LO-=AL^^-LB^ <;. q. k. u. 

Je passe les autres cas. 

PROPOSITlOîi VIL 

« Si, à l'intérieur d'un cercle donné de position, on a un point donné, 
par lc(picl on mène une droite; si l'on prend sur cette droite un point ex- 
térieur, et (pie le carré de la menée jusqu'au point donné à l'intérieur soit 
égal au produit de la droite totale et de sa partie extérieure, seul ou aug- 
menté du produit des deux segments intérieurs au cercle, le point /tris à 
l'extérieur sera sur une droite donnée de position. » 

(".efle proposition comprend deux parties : la première est dans 
Pappus (Livre Vil, i)rop. 159); la seconde se déduit facilement de la 



48 ŒUVRES DE FERMAT. [50,511 

première en ajoutant des termes égaux. Je donnerai seulement la dé- 
monstration de Pappus. 

Soit un cercle de diamètre AB {fig. 48); prolongez AB jusqu'il une 
droite quelconque DE qui lui soit perpendiculaire. 



Fig. .'48. 




Soit AF.FB = FG'. Je dis que, quel que soit le point K, si on le 
joint il G par une droite prolongée jusqu'en H, on aura HE.EK = EG-. 

Joignez AE, BL, l'angle en L est droit comme celui en F. Donc 
AE.EL = AF.FB4-FEv 

En eiïet ALB, comme droit, est égal au droit AFE; donc les quatre 
points L, B, F, E sont sur une circonférence; donc FA.AB = EA.AL. 
Mais AE- = AF- + FE-. et aussi AE^ --= AE.EL + EA.AL; de même 
AF^ = AF.FB+FA.AB. Donc AE.EL+EA.AL = AF.FB+FA.AB+FE^ 
Mais comme EA.AL = FA.AB, il reste AE.EL = AF.FB + FE-. Mais 
AE.EL = HE.EK et AF.FB = FG^ Donc HE.EK = EF= + FG-= EG=. 

Proposition VIII et DERMkiiK. 

Il El SI le même point est sur une droite donnée de position, et t/ue le 
ccrele ne snit pas dans les positions, les points des deux côtés du point 
donne seront sur une circonférence donnée de position. » 

Cette proposition est réciproque de la précédente, et la démonstra- 
tion peut en être facilement déduite en suivant une marche inverse. 

Je n'ajoute pas la distinction des différents cas ni les conditions de 
limites pour les données; tout cela ressort assez clairement de la con- 
struction et de la démonstration. 



DES CONTACTS SPHÉRIQUES. 



La théorie des contacts d'Apollonius de Perge a été élégamment res- 
tituée par l'Apollonius Gallus, masque sous lequel se cachait ce Fran- 
çois Vil'tc de Fontenay dont les admirables travaux en 3Iathématiques 
ont fourni de si heureux suppléments ii la Géométrie ancienne. Mais 
cette théorie des contacts a jusqu'à présent été bornée aux plans, et 
personne, que je sache, ne l'a poussée plus loin et ne s'est hasardé à 
l'élever aux problèmes sphériques. 

On va voir qu'on arrive dans cette voie ii de brillants problèmes et 
qu'on peut facilement obtenir une élégante construction pour les 
questions les plus ardues. 

Il s'agit en général de chercher une sphère passant par des points 
donnés ou touchant des sphères et des plans donnés. Tout le sujet 
sera épuisé en quinze problèmes. 

Problème I. 

Etant donnés quatre points, trouver une sphère passant par ces 
points. 

Soient donnés quatre points N, 0, M, F {fig. 49), par lesquels il 
faut mener une sphère. Prenant ad libitum trois de ces points N, 0, JM, 
au triangle NOM (qui est dans un même plan, d'après les Éléments), 
je circonscris un cercle NAOM, qui sera évidemment donné de gran- 
deur et de position. Il est clair que ce cercle NAOM est sur la surface 
de la sphère cherchée, puisque, si une sphère est coupée par un plan, 
la section est un cercle, et que, par les trois points N, M, 0, il ne passe 

l'ERMAT. — \\\. r 



50 



(EU VUES DE FERMAT. 



[5?, 51] 



([u'iin corclc, colui que j'ai coiistniit. Les points N, M, étant sur la 
surface de la sphi-re cherchée, le plan du triangle NMO coupera la 
sphère cherchée suivant le cercle NAOIM; nous en concluons donc 
que ce cercle est sur la surface de la sphère. 




Soit C le centre de ce cercle, j'y élève au plan du cercle la perpen- 
diculaire CRB; il est clair que le centre de la sphère cherchée est sur 
cette droite CB. Du point F j'abaisse sur CB la perpendiculaire FB (|ui 
sera évidemment donnée de grandeur et de position; par C je mène, 
parallèlement à FB, la droite ACD. L'angle BCA sera droit, mais, la 
droite BC étant perpendiculaire au plan du cercle, ACD sera dans ce 
plan et donnée de position. Donc ses points de rencontre A, D avec 
le cercle sont donnés. 

Supposons maintenant le problème résolu, et E le centre de la 
sphère cherchée, point qui se trouve sur la droite CB, comme nous 
l'avons déjà dit d'après Théodose. Je joins FE, AE, ED; ces droites 
seront égales, puisque par hypothèse F et par démonstration A et I) 
sont sur la surface de la sphère. Biais ces trois droites FE, AE, ED 
sont dans un même plan, puisque FB, ACD, parallèles, sont dans 
un même plan qui comprend aussi CB et par conséquent les trois 
droites FE, AE, DE. Si donc par les trois points donnés A, F, D on 
fait passer un cercle, son centre E sera sur la droite CB, et on aura 
dès lors le centre de la sphère cherchée, et la sphère elle-même. 



IV., 501 



CONTACTS SPIIEKIQUES. 



51 



PnoBLÈnE H. 

Etant donnés trois points et un plan, trouver une spliére passant j)ai 
les points donnés et tangente au plan donné. 

Soient donnés les trois points N, 0, M {f'g- 5o); le cercle MEON 
passant par ces points sera, comme il a été démontré, sur la surface 




de la sphère cherchée, et le centre de cette sphère sera sur la perpen- 
diculaire IBA au plan de ce cercle. Soit A le point de rencontre de 
IBA avec le plan donné ; ce point A sera donné de position. Du centre 
du cercle MEON, j'abaisse sur U\ plan donné la perpendiculaire ID; le 
point l) sera donné, donc la droite AD de grandeur et de position, 
donc de même les droites ID, lA. Donc le plan du triangle ADl est 
donné de position; mais celui du cercle MON est également donné de 
position, donc l'intersection FIE de ces deux plans sera donnée de 
position, donc les points E, F sur le cercle. 

Supposons maintenant le problème résolu et B le centre de la 
sphère cherchée; je joins BE, BF et je mène BC parallèle à II); le 
triangle ADI et la droite EIF étant dans un même plan, les droites EB, 
BF, BC y seront également. Mais ID est perpendiculaire au plan donné; 
doncBC, qui lui est parallèle, sera aussi perpendiculaire au plan donné. 



32 ŒUVRES DE FERMAT. [55,50] 

De plus, commo la sphôro chorchéc doit être tangente à ce plan 
donné AD, la perpendiculaire lîC, abaissée de son centre sur ce plan, 
donnera le point do contact C. Donc les droites BC, BE, BF seront 
égales, et il est prouvé qu'elles sont dans un même plan donné de 
position, plan qui comprend aussi la droite AD. 

Le probli'nne est donc ramené, étant donnés dans un même plan 
deux points E, F et une droite AD, à trouver un cercle passant par les 
deux points donnés et tangent à la droite donnée; ce problème a été 
résolu par Apollonius Gallus; donc le centre de la sphère B est donné, 
et tout est clair. 

Problème III. 

Etant donnes trois points et une sphère, trower une sphère passant par 
les points donnés et tangente à la sphère donnée. 

Soient donnés les trois points M, N, {fig- 5 1) et la sphère IG ; on 
a comme donné le cercle MON de la sphère cherchée. La perpendi- 




culaire FCB au plan de ce cercle contiendra encore le centre de la 
sphère cherchée. De I, centre de la sphère donnée, j'abaisse sur FB 
la perpendiculaire IB, qui sera donnée de position et de grandeur. Par 
le centre F, je lui mène la parallèle ED ; d'après ce qui a été démontré, 
elle sera dans le plan du cercle et les points E, D seront donnés. 



[ôG, 571 CONTACTS SPIIÉRIOUES. 53 

Supposons maintenant le problème résolu et C le centre de la sphère 
cherchée. Les droites IC, CE, CD seront dans un même plan donné, 
puisque I, E, D sont donnes. Le point de contact des deux sphères est 
d'ailleurs sur la droite qui joint leurs centres; donc la sphère cher- 
chée sera tangente ii la sphère donnée au point G, et IC sera supé- 
rieur du rayon 10 à la droite CE ou CD. De I comme centre, avec le 
rayon de la sphère donnée, je décris dans le plan donné des droites IC, 
CE, CD, un cercle qui passera par le point G et sera donné de gran- 
deur et de position. Mais les points E, D sont dans son plan. La ques- 
tion est donc ramenée à chercher, dans Apollonius Gallus, le pro- 
cédé pour, étant donné dans un mémo plan deux points et un cercle, 
trouver un cercle passant par les deux points donnés et tangent au 
cercle donné. 

Problème IV. 

Etant donnés quatre plans, trouver une sphère qui soit tan fiente à ees 
quatre plans donnes. 

Soient donnés les quatre plans AH, AB, BC, HG {Ji^: 53) que doit 
toucher la sphère cherchée. 

Soient deux plans AF, FD {fig. 52) tangents ii la même sphère; 




mcnons'lc plan BFHC qui bissecte leur angle; il est assez clair que le 
centre de la sphère tangente aux deux plans AF, FD se trouve sur 
le plan bissecteur, pour qu'il soit inutile de s'arrêter plus longtemps 
sur une chose si simple. Si les deux plans AF, FD étaient parallèles. 



51 



g:uvres de feumat. 



[.-.7, r,8i 

le centre de la sphère serait sur le plan parallèle coupant par moitié 
leur intervalle. 

Cela posé, puisque les deux plans CB, BA {fig. 53) sont donnés de 
position, le centre de la sphère cherchée est sur un plan donné de posi- 
tion, à savoir le bissecteur de l'angle des deux plans donnés CB, BA. 

Fis. ^^■ 




Mais, en raison des deux plans BA, AH, le même centre de la sphère 
cherchée est sur un autre plan également donné de position, et l'inter- 
section des deux plans donnés de position, qui bissectent, l'un l'angle 
des plans CB, BA, l'autre l'angle des plans BA, AH, donne une droite 
donnée de position qui passe par le centre de la sphère cherchée. Soit 
FE cette droite; on raison des deux plans AH, HG, le centre de la 
sphère cherchée est encore sur un autre plan donné de position, dont 
l'intersection avec la droite donnée de position FE, donnera un point I) 
qui est évidemment le centre de la sphère cherchée. Le reste est clair. 



Problème V. 

Etant donnes l rois plans et un point, trouver une sphère tangente aux 
plans donnes et passant par le point donné. 

Soient donnés les trois plans AB, BC, CD {fig. 54) et le point H ; il 
faut trouver une sphère tangente aux trois plans donnés et passant 
par le point H. Supposons le problème résolu. 

Les trois plans donnés, d'après le raisonnement de la proposition 
précédente, donneront de position une droite qui passe par le centre 



[58] CONTACTS SPIIERIQUES. 55 

de la sphère cherchée. SoitGE celte droite. J'abaisse sur elle, du point 
donné II, la perpendiculaire HI, qui sera donnée de position et de 
grandeur; je la prolonge jusqu'en F, en sorte que IF = IH; le point F 
sera donné. 

Fip. S',. 
B 




Le centre de la sphère cherchée est sur la droite GE, laquelle est 
perpendiculaire en I sur le milieu de la droite IIF, dont l'extrémité H 
est, par hypothèse, sur la surface de la sphère. L'autre extrémité K 
sera donc également sur la surface de la sphère; bien plus le cercle, 
décrit de I comme centre, avec IH comme rayon, dans le plan perpen- 
diculaire à GE, sera sur la surface de la sphère; or ce cercle est donné 
de grandeur et de position. Mais si un cercle de la sphère est donné 
de grandeur et de position, en même temps qu'un certain plan comme 
AB, d'après un corollaire facile de notre proposition H, la sphère pas- 
sant par le cercle donné et tangente au plan donné sera donnée. La 
question est en effet ramenée au problème H, et la solution est dès 
lors évidente. 

PitODLÈ.ME VI. 

Etant donnés trois plans et une sphère, trouver une sphère tangente à 
la sphère donnée et aux plans donnés. 

So ient donnés les trois plans ED, DU, BC {fig. 55) et la sphère RM ; 
il faut construire une sphère tangente à la sphère donnée et aussi aux 
trois plans donnés. 

Supposons le problème résolu et la sphère ERCA satisfaisant aux 
conditions, c'est-à-dire touchant la sphère en R et les plans aux points 
E, A, G. Soit le centre de cette sphère ERCA; joignez RO, EO, AO, 
CO; CCS droites seront égales. D'ailleurs OR passera par le centre M 



56 ŒUVRES DE FERMAT. [58,591 

(le la sphère donnée, et les droites KO, OA, OC seront perpendicu- 
laires aux plans donnés DE, DB, BC. Prenons OV = OG = 01 = OM, 
et par les points V, G, I, imaginons menés les plans VP, GH, IN pa- 
rallèles aux plans donnés ED, DB, BC. 




Puisque OR = OE et OM = OV, par dilTérencc, RM = VE. Mais RM, 
rayon de la sphère donnée, est donnée de grandeur; donc VE est aussi 
donnée de grandeur. D'ailleurs OE, perpendiculaire au plan DE, le 
sera au plan VP parallèle au plan DE; donc VE sera la distance des 
plans DE, PV. Mais il a été démontré que VE est donnée de grandeur, 
donc l'intervalle des plans parallèles DE, PV est donné, ainsi que la 
position de l'un d'eux DE, par hypothèse. Donc PV est aussi donné 
de position. On prouvera de même que les plans GH, IN sont donnés 
de position. Or les droites OV, OG, 01 sont perpendiculaires ii ces 
plans et égales ;i OM. Donc la sphère décrite de comme centre, avec 
OM pour rayon, sera tangente aux plans PV, GH, IN donnés de posi- 
tion. Mais le point M est donné aussi, comme centre de la sphère 
donnée. Ainsi la question est ramenée à celle-ci : Etant donnés trois 
plans PV, GH, IN et un point M, trouver une sphère passant par le 
point donné M et tangente aux plans donnés PV, GH, IN, c'est-à-dire 
que le prohlème est ramené au précédent. 

J'userai dans la suite du même artifice quand il n'y aura pas de 
points parmi les données, mais seulement des sphères et des plans, 
pour substituer un point donné à une des sphères. 



(GO] 



CONTACTS SPIIÉUIQUES. 



57 



Problème Vil. 

Etant donnés deux points et deux plans, trouver une sphère passant 
par les points donnés et tangente aux plans donnés. 

Soient donnés les deux plans AB, BC {/ig. 5G) et les deux points 
H, M; il faut trouver une sphère passant par les points H, M et tan- 
gente aux plans AB, BC. 

Je joins HM, je prends son milieu en I ; par le point I, qui est donné, 
je fais passer un plan normal à la droite; HM. Les points H, 31 étant 




sur la surface de la sphère, il est clair que le centre de la sphère est 
sur ce plan normal à IIM et passant par I, plan qui est donné de posi- 
tion, puisque la droite IIM et le point I le sont. 

Ainsi, à cause des points II et M, le centre de la sphère est sur un 
plan donné de position. Mais, à cause des plans AB, BC, par une dé- 
monstration déjà laite, il est aussi sur un autre plan donné, donc 
sur une droite donnée de position, soit GE. J'abaisse sur cette droite, 
de l'un des points donnés M, la perpendiculaire MF; elle sera donnée 
de grandeur et de position. Je la prolonge jusqu'en D en sorte que 
FD = MF. Le point D sera donné et, d'après une démonstration déjà 
faite, se trouvera sur la surface de la sphère. On a donc comme don- 
nées : trois points H, M, D par lesquels passe la sphère cherchée, cl 
le plan AB auquel elle est tangente; la question est donc ramenée au 
problème II. 



l'ennAT. 



m. 



58 ŒUVRES DE FERMAT. [GO,Gl] 

Avant d'aller plus loin, il faut établir quelques lemmes faciles. 
Li'MME I. — Soit le cercle BCD {fig. .J7) en dehors duquel je prends 
un point quelconque E; par ce point et le centre je mène la droite 
EDOB, puis une autre quelconque EGA. 11 est clair, d'après les Elé- 
ments, que AE.EC = BE.ED. 




Soit maintenant la sphère de centre et de grand cercle ACDB; 
si du même point E, par un point quelconque de la surface de la 
sphère, je fais passer une droite EGA jusqu'à sa seconde rencontre 
avec la surface sphérique, on aura encore AE.EG = BE.ED. 

Si en effet on imagine qu'autour de la droite BDE immobile 
tournent et le cercle et la droite EGA, les droites EG, EA restent inva- 
riables, puisque les points G, A décriront des cercles normaux sur 
l'axe. Par conséquent, dans tous les plans on aura AE.EG = BE.ED. 

Lemme II. — Soient dans un même plan deux cercles ADE, HLO 

Fis. SS. 




{Jlg. 58); par leur centre je fais passer la droite ACMP et je suppose 
rïv — ÏÏM ~ SÏÏ»' ^^^ '*^ point P je mène ad libitum une droite POLE!) 



IG1,62] CONTACTS SPHÉRIQUES. 59 

coupant les deux cercles, aux: points 0, L, E, D. Apollonius Gallus a 
démontré que l'on a 

AP.PQ = r,P.PIIr:rDP.PO = EP.PL. 

La vérité de cette proposition en sphériquc importe pour les pro- 
hlèinos suivants. Mais elle est évidente; car si, autour de l'axe AI* 
immobile, on fait tourner en même temps les deux cercles et la droite 
POLED, les droites PO, PL, PE, PD resteront invariables pour la raison 
donnée dans le lemme précédent; les rectangles restent donc aussi 
invariables et la proposition est vraie dans un plan quelconque. 

Lemme III. — Soient données deux sphères YN, XIM {fig- 09), par 



Fig. 59. 




les centres desquelles on fait passer la droite RYNXlMV ; je pose 

rayon YN YV ,-, ■ . at • • ^n-c 1 1 1 

-^ ^nrf = iTV Du point V, le mené VIS dans un plan quelconque, 

rayon XM VX r ' j 111 

et je pose SV.VT = RV.ViM. Si l'on décrit une sphère quelconque pas- 
sant par les points T, S et touchant une des deux sphères, elle tou- 
chera également l'autre. 

Supposons la sphère OTS, passant par les points T, S et tangente 
en à la sphère MX; je dis que la sphère YN sera également touchée 
par la sphère OTS. 



60 a<:uvRES de fermât. [63, g4] 

Je prolonge VO jusqu'à sa seconde rencontre en Q avec la sphère 
OTS. D'après le premier Icmme : QV. VO = SV.VT. Mais par construc- 
tion : SV.VT = RV.VM. Ce dernier rectangle, d'après le second Icmme, 
est égal au produit de VO et de la droite passant par V, et prolongée 
jusqu'à la rencontre de la sphère YN. Donc le point Q est sur la sur- 
face de la sphère YN : il est donc commun aux surfaces des deux 
sphères YN, OTS. 

Je dis maintenant que les deux sphères se touchent en ce point Q. 
Menons en effet par le point Vetun point quelconque de la sphère OTS, 
une droite quelconque dans un plan quelconque, soit VZ qui, prolon- 
gée, coupe les trois sphères aux points Z, D, H, K, P, B. D'après les 
lemmes I et H : 

ZV.VB (sphère OTS) = DV.VP (sphères XM, YN). 

Mais DV>VZ, puisque la sphère OTS touche extérieurement la 
sphère XM en 0, et que la droite qui coupe la sphère OTS la rencon- 
trera dès lors avant de rencontrer la sphère XM. Puis donc que 
DV.VP = ZV.VB et que ZV < DV, on aura PV < BV. Donc le point B 
est extérieur à la sphère YN. 

On prouvera, par un raisonnement pareil, que tous les points de la 
sphère enveloppante sont extérieurs, sauf le point Q. Donc la sphère 
OTS y est tangente à la sphère YN. c. q. f. d. 

La démonstration sera la même et aussi facile pour les contacts in- 
térieurs et dans tous les cas. 

Lemme IV. — Soient le plan AC {fig- Go) et la sphère DGF, dont le 
centre est 0; par le centre 0, je mène FODB perpendiculaire au plan, 
puis, par le point F, une droite quelconque coupant la sphère en G et 
le plan en A. Je dis que AF.FG = BF.FD. 

En effet, coupons la sphère et le plan donné suivant le plan du 
triangle ABF; soient, comme intersections, le cercle GFD sur la sphère, 
la droite ABC dans le plan. FB, perpendiculaire au plan AC, le sera à 
la droite AC. On a donc, dans un même plan, le cercle DGF et la 
droite AC, avec FDB passant par le centre du cercle et perpendicu- 



[01] CONTACTS SPIIÉRIQUES. (îl 

laire à AC. Si l'on joint GD, les angles en G, B sont droits; clone le 
<[uadrilatèrc A13DG est inscriptible. 





Fig 


60. 


A 


B 


\ 




p 


V 


\ 






Donc AF.FG = BF.FD, et la môme démonstration peut se faire pour 
toute autre section de la sphère. 

Lemme V. — Soient le plan ABD (Jig. Gi) et la sphère EGF de 
centre 0; par ce centre 0, je fais passer la droite FOEC perpendi- 




culaire au plan, et, dans un autre plan quelconque, je mène la 
droite FGHI. Soit IF.FH = CF.FE. Si, par les points I, H, je décris 
une sphère qui touche le plan AG, elle sera également tangente à la 
sphère EGF. 

Imaginons construite la sphère IHB, passant par les points I, H, et 
tangente en B au plan AC; je dis que les sphères EGF, IHB sont tan- 
gentes. 

Je joins FB; soit CF.FE = BF.FN; d'après le lemme qui précède, le 
point N sera sur la surface de la sphère EGF. Mais, par construction. 



G2 ŒUVRES DE FERMAT. [05] 

CF.FE = IF.FH; donc IF.FII = BF.FN. Donc le point N est sur la sur- 
face de la sphère IBH. 

Il faut maintenant prouver que les sphères EGF, IBH sont tangentes 
en N, ce qui est facile. Par le point F et un point quelconque de la 
sphère EGF, je mène FR qui rencontre la sphère IBH en M et en P, 
et le plan AC en K. D'après le lemme précédent, 

KF.Fi; — CF. l'E = IF.FH (par construclion) = I»F.FM. 

Mais si KF.FR= PF.FM, comme KF > FP (la sphère IBH étant tan- 
gente en B au plan AC), FR< FM; donc le point R est extérieur ;i la 
sphère IBH. Il en sera de môme pour tout autre point de la sphère EGF 
dans un plan quelconque des deux cotés du point N. Donc les sphères 
EGF, IBH sont tangentes en N. 

(]es lenimes quoique faciles sont très beaux, surtout III et V. Dans 
le lemme III, en effet, on a une infinité de sphères tangentes à la sphi-re 
XM et passant par les points T, S, mais il est prouvé que toutes ces 
sphères en nombre infini sont tangentes à la sphère YN. Dans le 
lemme V, pu adc même une infinité de sphères passant par les points I, 
H et tangentes au plan AC, et toutes ces sphères en nombre infini 
louchent la sphère EGF. 

("cci posé, il est facile de résoudre les autres problèmes. 

Prodlèhe VIII. 

litant donnés deux points, un plan cl une sphère, trouver une sphère 
passant par les points donnés et tangente au plan donné et à la sphère 
donnée. 

Soient donnés le plan ABC {fig- G2), la sphère DFE, et les points H. 
ÎM. Par le centre de la sphère donnée, j'abaisse sur le plan donné 
ABC la perpendiculaire EODB; je joins HE, et je pose BE.ED=HE.EG. 
Le point G sera donné. 

Etant donnés trois points H, G, M et un plan, on cherchera (pro- 
blème II) une sphère passant par les trois points donnés et tangente 
au plan donné. Elle résoudra le problème. 



[(;«] CONTACTS SriIÉlUQUES. g:{ 

Kilo passe en effet par les deux points donnés H, JM, et est tangente 
au plan ABC par construction et à la sphère DFE d'après le lemme V; 

¥\''. 62. 




en cHrl, puisque HE.EG = BE.ED, toute sphère passant par les deux 
poinis II et (j et tangente au plan ABC touchera aussi la sphère DEK. 



l'iiouLiiMi; I\. 



ElaiU donnes deux points cl deux sphères, trouver une sphère passant 
par les deux points donnés et tangente aux sphères données. 



Fis. 03. 




Soient données les deux sphères AB, DE {Jlg. G3) et les deux 



Gh. 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[67] 



points H, M. Jo mène AF par les centres des sphères données, et je pose 

— TTn = FI?; le point F sera donné; soit encore NF.FA = HF.FG, le 

))(tint G sera donné. 

Etant donnés trois points M, G, H et une sphère DN, on cherchera 
(problème III) une sphère passant par les trois points donnés et tan- 
gente à la sphère donnée DN; elle touchera aussi la sphère AB, d'après 
le lemme III, et ainsi le problème sera résolu. 

Problèmr X. 

Ela/U donnés un point, deu-x plans cl une sphère, tromper une sphère 
passant par le point donné et tangente à la sphère et aux deux plans 
donnés. 

Soient donnés les deux plans AB, BU {fig. 64), la sphère EGF et le 
point H. Du point 0, centre de la sphère donnée, j'abaisse sur un des 




deux plans donnés la perpendiculaire CEOF, et je pose CF.FE=1IF.FI. 
Les deux points II, I étant donnés avec les deux plans AB, BD, je 
(dierche (problème VII) une sphère passant par les deux points 
donnés et tangente aux deux plans donnés; elle touchera aussi la 
sphère (lemme V) et le problème sera résolu. 



[68] CONTACTS SPIIERIQUE.S. 65 

Problème XI. 

Etant donnés un point, un plan, el deux sphères, tromper une sphère 
passant par le point donné, et tangente au plan donné ainsi qu'aux deux 
sphères données. 

Un raisonnement semblable aux précédents ramènera la question 
au problème VIII, où l'on donne deux points, un plan et une sphère, et 
cela par le moyen du lemme V. On peut aussi se servir du lemme III 
pour ramener de même la question à ce problème VIII, mais par une 
autre construction. 

Problème XII. 

Etant donnés un point el trois sphères, trouver une sphère qui passe par 
le point donné et louche les sphères données. 

Je ne fais pas non plus la figure; car le lemme III ramène immédia- 
tement la question au problème IX où l'on donne deux points et deux 
sphères. 

Problème XIII. 

Etant donnés deux plans et deux sphères, trouver une sphère qui touche 
les plans donnés et les sphères données. 

Supposons le problème résolu. Si nous imaginons, concentrique 
à la surface sphériquc trouvée, une autre surface sphérique parallèle 
à une distance égale au rayon de la plus petite des sphères données, 
cette nouvelle surface sphérique sera tangente à des plans distants des 
donnés d'un intervalle égal à ce rayon de la plus petite sphère, et 
tangents également ii une sphère concentrique à la plus grande et 
dont le rayon différera de celui de la plus grande du rayon de la plus 
petite. 

Cette dernière sphère est donc donnée, de môme que les plans 
menés parallèlement aux donnés à une distance égale au rayon de la 
moindre sphère. Enfin la nouvelle surface sphérique passe par le 
centre de la moindre des sphères données, centre qui est donné. 

Fermât. — MI. 9 



66 ŒUVRES DE FERMAT. [GS, C9] 

Ainsi, par co iiirmo arlitii-r (jiic luuis avons ilrjii oniployo dans le \\vo- 
Moiuc' \\, la i|ni\stioii ost ranionco au jirol'lt'nu' X : Klant iIimiiu's un 
|)oint. doux plans et une sphi'rr. trcuivor olc. 

PROBLtMK \1\ . 

Etant donnes ttvts sp/téres et un plan, tramer une sphère tangente aux 
sphères et au phin donne. 

Par lo inonii' nioviMi (|ut' dans \c jirolili'nir \ 1 l'I dans 1(< piTcrtlont. 
on ramènera la question au problt'MU' M : iJaiil d.uuu' un poml. un 
plan et doux sphoros. eti-. 

Problème \\'. 

Etant données quatre sphères, trouver une sphère qui leur soit la/i- 
gente. 

Supposons le probliMiio résolu. Par la nicthode (|u'a eniplovin' A[iol- 
lonius Gallus pour ramoner le problème des trois cercles à celui ilnn 
point et de deux eercles. méthode que nous avons déjà employée aussi 
dans les problèmes précédents, nous ramènerons ce bel et célèbre 
problème au problème XII. où l'on donne trois sphères et un point. 

Ainsi nous avons achevé entièrement le travail proposé, et brillam- 
ment complété Apollonius Gallus; toutefois, pour ne pas allona;er in- 
définiment ce traité des contacts sphériques, nous avons négligé les 
cas divers, les limitations et les menus détails. 



[70, 71] 



FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 



67 



FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 



SOLUTION D'UN PROHLÈME PROPOSÉ PAR M. DE PASCAL. 



M. de Pascal a proposé : Dans tin triangle, élanl donné l'angle au 
sommet et le rapport de la hauteur à la différence des côtés, trom'er l'es- 
pèce du triangle. 

Soit AG {fig- 65) une droite donnée quelconque, sur laquelle (ni 
décrit le segment de cercle AIFC, capable de l'angle donné. La ques- 



G5. 




tion est ramenée à chercher un triangle dont on donne la hase A(>, 
l'angle au sommet AI(] et le rapport de la hantenr à la différence des 
cotés. 

Supposons le problème résolu ; soit AIC le triangh; cherché ; j'abaissi; 
la hauteur IB, je prends le milieu F de l'arc AFC. Je joins FA, FC et FI, 
j'abaisse sur AI, IC les perpendiculaires GO, FK; de F comme centre, 
avec AF pour rayon, je décris le cercle AHGEC, (juc les droites Gl, FI 



68 ŒUVRES DE FERMAT. [71,72] 

prolongées rencontrent aux points G, H, E. Enfin je joins GA. AFC au 

centre est double de AGC à la circonférence. Mais AIC = AFC dans le 

même segment. Donc AIC = 2 AGC. Mais AIC = AGC + 1AG. Donc 

IGA = lAG. Donc lA = IG. Mais, FK étant perpendiculaire du centre F 
sur GC, on a GK = KC. Donc Kl = ^(CI - IG) = i(CI - lA). 

Mais le rapport .. est donné, donc j^, et en multipliant de 

part et d'autre par AC, , .., • Mais AC.BI = AI. CO, le triangle AIC 

étant la moitié de chacun de ces deux rectangles. Donc le rapport 

AI.CO . , 

.,, ,,r est donne. 

AL . IK 

Mais, par hypothèse, AIC est donné, COI est droit par construction. 

ro 

Donc ACOI est donné d'espèce. Donc le rapport -^ est donné, donc 

AI.CO ,r • ., • . AI. OC , , . , AI.IC . , 

-^^p-jTT- 31ais j ai prouve que . .. .., est donne; donc . , . est donne. 

Maintenant dans le triangle isoscèle AFC, AFC est donné par hypo- 

thi?se, donc FAC, donc CIF son égal; mais FKI est droit, donc AFIK 

, . . 1. - 1 Kl , AC.IK 
est donne d espèce, donc jp. donc . • 

,,•... . AI.IC , , -, , AI.ÎC , j . ,, • 

Mais j ai prouve que . , .., est donne, donc ^ „ est donne. Mais 

CI . lA == CI . IG, puisque IG = lA, et CI . IG = HI . lE. Donc ^41 est 
donné. 

. ED 

Soit Y7T ce rapport donné : AC étant donnée, ED le sera; portons 

cette longueur sur le prolongement de HE, comme dans la figure. 

III. lE ED. ., x ,, • DE DE. IF „ HI.IE DE. IF 

ÂGÏÏF = AC (•••''PPO'-t donne). Mais ^ = j^^^.- Donc ^^, = ^^^ • 

Donc DE.IF = HI.IE. 

Mais j'ai prouvé que le triangle AFC est donné d'espèce; la base AC 
est donnée de grandeur; donc AF est donnée, donc son double HE. 

Aux rectangles égaux DE. IF, HI.IE, ajoutons de part et d'autre 



[7î, 73] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 69 

DE. IH. On aura DE. FH = DI . III. Mais, DE, FH étant données, DE. FH 
le sera; donc DI.IH; et ce produit appliqué sur la droite DH donnée 
de grandeur est en défaut d'une figure carrée ( ' ) ; donc IH est donnée, 
et par différence IF. Mais F est donné de position, donc le point I et 
tout le triangle AlC. Il est facile de remonter de l'analyse à la syn- 
thèse. 

Pour dissiper tous les doutes, il est aisé de prouver que le triangle 
cherché est semblable au trouvé AIC de la seconde figure {fig. 66) 




(ce triangle peut au reste avoir son sommet des deux côtés du point F, 
à égale distance de part et d'autre du point F; il sera le même d'es- 
pèce et de grandeur, la position seule sera différente). Si le triangle 
cherché n'est pas semblable au trouvé, la base restant la même, son 
sommet tombera entre les points F, I, ou entre les points I, A (le coté 
n'importe pas, car du coté FC on peut faire la môme démonstration 
avec le second triangle AIC.) 

Soit d'abord le sommet entre A et I, et supposons, s'il est possible, 
le triangle cherché semblable au triangle AMC. Je joins FM, et j'abaisse 

la perpendiculaire FP ; le rapport vj-p sera donné par hypothèse et par 
conséquent égal a T|T que nous avons prouve être égal au rapport 
donné; ce qui est absurde. 



(•) C'est-h-dire que 01.111 = DH.ni-IIP. 



70 ŒUVRES DE FERMAT. [73,71] 

En effet, dans les triangles rectangles FMP, FIK, M = I, donc ces 

triangles FIK, FMP sont semblables; mais FM>FI, donc MF > IK. 

MN IR 

Mais MN < IB, donc ^rrrr ne peut être ésal à jrr- 
^ MI' ' ° IK 

Si le point M tombe entre I et F, on prouvera que la hauteur est 
plus grande et la différence des côtés plus petite et cela par le même 
raisonnement; donc le rapport est différent. Si M est du côté FC, on se 
servira du second triangle AIC, et la démonstration sera la même. Il 
est ainsi inutile de s'arrêter plus longtemps à ces cas, et il est constant 
que le triangle cherché est semblable au trouvé AIC. Le problème est 
donc résolu. 

Je propose en revanche, s'ils le veulent bien, tant à M. de Pascal 
qu'à M. de Robcrval, de résoudre ce problème : 

En un point donné sur une spirale de Galilée, trouver la tangente. 

M. de Roberval sait ce qu'est cette spirale. 

J'ai résolu ce problème et j'en attends la solution d'hommes aussi 
savants qu'ils le sont; mais, s'ils le préfèrent, je leur communiquerai 
la mienne et même une méthode générale pour les tangentes des 
lignes courbes. 

Toutefois, pour ne pas paraître quitter les mains vides ce sujet des 
triangles, je puis proposer les questions suivantes : 

Etant donnés la base, l'angle au sommet et la somme de la hauteur 
et de la différence des côtés, trouver le triangle. 

Etant donnés la hase, l'angle au sommet et la différence de la. hau- 
teur et de la différence des côtés, trouver le triangle. 

Etant donnés la base, l'angle au sommet et le produit de la hauteur 
par la différence des côtés, trouver le triangle. 

Etant donnés la base, l'angle au sommet et la somme des carrés de la 
hauteur et de la différence des côtés, trouver le triangle. 

ainsi que beaucoup d'autres questions semblables que mes savants 
correspondants résoudront toutefois plus facilement, je pense, que le 



[74, 75] 



FRAGMENTS GEOMETRIQUES. 



problème ou théorème proposé sur la taugcnte à la spirale de Galilée. 
11 faut observer que, dans les questions sur les triangles, toutes les 
fois que le problème peut être résolu par les lieux plans, il ne faut pas 
recourir aux solides, mais mes savants correspondants le savent assez, 
et il était sans doute inutile de faire cette remarque. 



DEUX PORISMES 

(de PIEIinE DE FERMAT). 

PoRiSME I. — Etant données de position deux droites ABE, YBC 
{Jig- G^ ), se coupant au point B, et deux points A, D sur la droite AB1{, 
trouver deux points, par exemple 0, N, tels que si l'on en mène, brisée 
sur un point quelconque H de la droite YBC, une ligne OHN coupant aux 
points \ et y la droite ABD , on ait AI x DV égal à une aire donnée, 
savoir AB x BD. 

Fig. 67. 

,C 



A kJ 


\ DE 


v 


\^ 








Voici la construction porismatique d'Euclide qui représente la solu- 
tion la plus générale du problème. 

Soit pris quelconque le point 0; je joins AO qui coupe YBC en P, 
et, par 0, je mène OQ parallèle h ABD et rencontrant YBC en Q. .le 
mène également, parallèle à ABD, l'indéfinie PNM. Je joins QD (|ni 



72 ŒUVRES DE FERMAT. [B, 7G] 

coupe PNM en N. Je dis que les deux points 0, N satisfont à la ques- 
tion, c'est-à-dire que si l'on prend n'importe où sur la droite YBC un 
point H, et qu'on joigne OH, NH, qui coupent la droite ABD aux 
points I, V, on aura dans tous les cas AI x DV = AB x BD. 

PouiSME II. — Étant donné un cercle ABDC {/ig- 68) de diamètre AC, 
de centre M, trouver deux points E, N, tels que si l'on en mène, brisée sur 
un point quelconque D de la circonférence , une ligne EDN coupant le 
diamètre aux points Q, H, la somme des carrés de QD, DU soit au 
triangle QDH dans un rapport donné et que cette relation subsiste tou- 
jours généralement, quelle que soit la ligne brisée. 




J'élève du centre M perpendiculairement au diamètre la droite MB. 

Je pose -yvj- égal au rapport donné. En V, j'élève VE perpendiculaire 

au diamètre et égale à VB; je prends MO = MV, et je mène ON égale et 
parallèle à VE. Je dis que les points cherchés sont les points E, N, c'est- 
à-dire que si l'on prend un point quelconque D de la circonférence, 
qu'on joigne ED, ND, qui coupent le diamètre aux points Q, H, on 

aura dans tous les cas le rapport -^^ — ;— rnïTï égal au donne, savoir 

' ' triangle QDII ^ 

4BV 

VM ■ 

On ne propose pas seulement de trouver la démonstration de ce 

porisme. Que les mathématiciens plus suhtils voient s'il n'y a pas en 

dehors de E et de N deux autres points qui puissent satisfaire au pro- 

bièmQ et s'il y a, comme dans le premier porisme, des solutions en 



|7(i. 77] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. * 73 

nombre indétini. Si je n'ai pas de réponse, je ne dédaignerai pas de 
venir au secours de la Géométrie sur le point où elle se trouvera en 
défaut. 



PORISMES D'EUCLIDE. 

LFA'Il ïnr.OI'.lK r,i:.\(H'VF.LKF, F.T IT.KSEMKE AlIX OFOMliïUKS MOUFJINKS 
SOLS FOKJIF l)'lNTr.01)Ur.TI0N. 

Au commencement de son Livre Vil, Pap[tus a énuniéré les Livres 
des géomètres anciens qui faisaient partie de l'ensemble analytique. 
Tous ces Livres sont perdus par l'eflet du temps, sauf le seul Livre 
d'Euclidc sur les Données et les (|uatre premiers des Conù/ues d'Apol- 
lonius; aussi les géomètres modernes ont-ils eu à faire de t'rands 
efforts pour réparer tant soit peu la perte d'Ouvrages, dont l'âge des- 
tructeur tendait à al)olir jusqu'à la mémoire. Avant tous, François 
Viètc, ce génie si subtil qu'on ne louera jamais assez, a heureuse- 
ment restitué les Livres d'Apollonius Sur les contacts dans un Livre 
unique qu'il a intitulé 1' « Apollonius Gallus ». Son exemple a excité 
Marino Ghetaldi et Willebrord Snellius à aborder des entreprises ana- 
logues, dans lesquelles ils ont assez réussi pour (jue, grâce à eux, 
nous ne regrettions plus guè're les Livres d'Apollonius De la section en 
rapport, De la section en produit. De la section déterminée. Des eo/nx-r- 
gences. Suivaient les Lieux plans, les Lieux solides et les Lieux en sur- 
face. Ces matières ont été traitées ii leur tour par des géomètres dont 
le nom n'est pas inconnu, et, quoique manuscrits et encore inédits, 
leurs travaux ne sont pas restés ignorés. 

Mais il reste encore, vierge de toute tentative et comme désespé- 
rante, la théorie des Porismes d'Euclidc. Pappus a beau alfirmer (lue 
c'était « une ceuvre pleine d'art et de la [)lus grande utilité pour la 
solution des j)roblèmes les [)liis obscurs », les géomètres de l'âge 
écoulé ou du temps actuel en ont ignoré jusqu'au nom, ou n'oni pas 

FERMAT. — Ml. 10 



74 ŒUVRES DE FERMAT. [77, 7S| 

même soupçonné de (luoi il s'agissait. J'ai longtemps tâtonné dans de 
profondes ténèbres, cherchant en vain comment relever la Géométrie 
de ce côté, jusqu'à ce qu'enfin « une lumière éclatante a frappé mes 
yeux et a dissipé pour eux l'obscurité de la nuit ». .le ne veux pas 
cacher jalousement à la postérité un spécimen de ma découverte à la 
fois ancienne et nouvelle, 'alors que l'astre de Suède brille sur toutes 
les sciences et que nous déroberions en vain comme des mysti'res les 
secrets des Mathématiques; il n'est en effet rien qui puisse échapper 
au clairvoyant génie de cette reine incomparable, et il ne nous est pas 
permis de cacher une théorie qui, nous pouvons à peine en douter, 
serait découverte au premier signe venu d'elle, comme inspiration ou 
comme ordre. 

Pour jeter donc la lumière sur toute cette (juestion des porismcs, 
j'ai choisi un certain nombre des plus remarquables propositions 
porismatiques, et je les présente avec confiance à l'attention et à 
l'examen des géomètres, pour bien faire connaître ce qu'est un 
|)orisme et quel en est surtout l'usage. 

POHISME 1. 

Soient deux droites ON, OC i^fig- G9) formant un angle au point 
e( données de position. Soient donnés également les points A et \\. 

Fig. 6ç). 




[)e ces points A, B, on mène les droites RE, AF, parallèles à 0(j et 
rencontrant NO prolongée aux points ]•], F. Ou joint AE qui rencontre 
('0 prolongée en D, et on joint aussi FB qui rencontre en C celle même 



[79] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 75 

droite CO. Si maintenant d'im jxiint (|iielcon(|iie de la droite ON, Vpar 
exemple, on mène les droites AV, IJV, soit S le point de rencontre de 
AV et de OC, R celui de BV et de la même droite OC, on aura toujours 
CR X DS = CO X DO, c'est-à-dire une aire donnée. 

PORISMIÎ II. 

Soit une parabole quelconque NAB {Jig. 70) et un de ses diamètres 
quelconque BEO. Je prends sur la courhe deux points ([uelconques D 

iMjr. -,"■ 




et N, desquels je mène des droites concourant en un autre point (|uel- 

coiHjue de la courbe, soit en D. Ces droites AD, DN couperont le dia- 

mèlre en des points tels que K, O ou G, Q. Les abscisses sur un même 

diamètre seront toujours dans un même rapport, c'est-à-dire (|u'on 

QB 



aura constamment 



Oli 



RE GR 

PonisME m. 
Soit un cercle ayant pour diami'Ire un(; droite AD {/îg- 71); j*^ mène 

l■i^,'- 71- 




il celle-ci une parallèle quelconque NM, rencontrant le cercle aux 
points N, M. Soient donnés ces points N, M; je mène arbitrairement de 



76 



ŒUVRES DR FERMAT. 



[SOI 



CCS points une ligne NBM hriséo sur lo cercle et qui coupe le diamètre 
en des points 0, V. Je dis que lo rapport . ■^". .^ est donné; ou bien 
que si l'on mène une autre ligne brisée NCM, coupant le diamètre aux 

, n c , AO.DV AR.DS 

points n, b, on aura touiours - , ., ,.,. = .^ ... t- 

II est facile d'étendre cette proposition aux ellipses, aux hyperboles 
et aux sections opposées. 

PORISME IV. 

Soit le cercle ICI! (Jig. 'ji), son diamètre IDH donné, son centre D, 
son rayon CD normal au diamètre. Soient sur le prolongement du dia- 




mètre deux points B, A donnés de telle sorte que AI = BH. Soit posé 

y-r = jT- et DR = DL ; les points R et L seront donnés. Qu'on joigne 

CA et qu'on prenne, égale à cette droite, AF perpendiculaire au dia- 
mètre. Soit enfin BG égale et parallèle à AF, et des points F, G-, menée 
brisée sur le cercle une droite FEG qui coupe le diamètre aux points M 
et N. Je dis que la somme RM--t- LN- est toujours égale à une même 
aire donnée. 



rsi] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 77 

En second lieu, avec les mômes positions, si l'on joint CL, que l'on 
prenne, égale h cette droite, LP perpendiculaire au diamètre, et qu'on 
tni'ne RZ parallèle et égale à LP; si des deux points Z et P on mène 
brisée sur la circonférence une ligne comme PVZ, coupant le diami'lre 
aux points K, T, la somme AT-4- BK- sera toujours égale à une autre 
aire donnée. 

PORISJIE V. 

Soit le cercle RAC (yîg-. 78), son diamètre RDC donné, son centre D, 
son rayon DA normal au diamètre. Soient pris arbitrairement sur ir 




diamètre, mais à égale distance du centre D, deux points Z, B. .loi- 
gnons AZ; menons, égale à cette droite, ZM perpendiculaire au dia- 
mètre et BO égale et parallèle à ZM. Qu'on mène, brisée sur la circonfé- 
rence, une ligne quelconque MHO, coupant le diamètre aux poials E. 

N; le rapport ^rian^lc EHN ^^''"^ ^"""'^ ^^ ^^^^ ^" rapport j^- 

Par l'énoncé de ces propositions, dont personne ne niera l'élé- 
gance et la beauté, on peut facilement reconnaître la nature même des 
porismes. Il est évident en effet qu'on peut, ainsi que le dit Pappus, 
les énoncer comme théorèmes ou comme problèmes. Je les ai énon- 
cées comme théorèmes; mais rien n'empêche de les transformer en 
problèmes. Par exemple le porisme V peut être conçu comme suit : 

Etant donné un cercle RAC de diamèlre RC, trouver aeux points ftl 
et 0, tels que si de ces points on mène, brisée sur la circonférence, une 



78 ŒUVRES DE FERMAT. [82,83] 

ligne quelconque MHO, on ait. toujours comme donné le rapport au 
triansle EHN de la somme des carrés des abscisses EH, HN. 

La construction résulte du théorème qui précède : si en efl'ct on 

])rcnd dans le rapport donné j7^> tout le reste s'ensuit. De la même 

manière, on peut, pour tous les autres porismes sans exception, trans- 
former facilement les théorèmes en prohlèmes. 

D'autre part, Pappus indique qu'au sens des géomètres postérieurs 
il Euclidc : « le porisme est en défaut, en ce qui concerne l'hypo- 
thèse, par rapport au théorème de lieu ». Gela révèle entièrement la 
nature spéciale du porisme et c'a été presque sans autre indice que 
celui fourni par ces mots que nous avons pénétré les secrets de cette 
matière. 

Lorsque nous cherchons un lieu, nous nous proposons de trouver 
une ligne droite ou une courhe qui nous est inconnue en tant seu- 
lement que nous avons à déterminer le lieu qu'occupe la ligne à 
trouver; mais quand nous partons d'un lieu supposé donné et connu 
pour en trouver un autre, ce nouveau lieu est appelé porisme par 
Euclidc, et c'est pourquoi Pappus a ajouté avec grande raison que les 
lieux eux-mêmes sont une espèce de porismes et qu'on leur donne ce 
nom. 

Comme seul exemple, nous allons appliquer notre définition à la 
figure du porisme V. La droite RC étant donnée, si l'on cherche une 
courhe quelconque telle que RAB dont la propriété soit qu'en ahais- 
sant d'un quelconque de ses points A la perpendiculaire AD, on ait 
AD- = RD X DC, nous trouverons que la courbe RAC est une circon- 
férence de cercle. Mais si, ce lieu étant déjà donné, nous partons de 
là pour en trouver un autre, par exemple, le problème du porisme V, 
ce nouveau lieu sera appelé /jomwe, comme tous les autres en nombre 
infini que la sagacité d'un analyste exercé peut imaginer et déduire de 
celui qui est déjà connu. 

Comme nous l'avons déjà dit, les lieux eux-mêmes sont des porismes ; 
il faut d'ailleurs corriger d'après le texte grec l'erreur du traducteur 



[83, 8i] FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 79 

de Pappus u cet endroit où il dit que : « L'Ouvrage des Porismes est très 
utile pour les résolutions des problèmes les plus obscurs et de leurs genres 
qui ne comprennent pas cette nature qui en fournit la multitude ■». Ces 
derniers mots, pour ainsi dire, n'offrent aucun sens; il faut recourir 
à Pappus lui-même dont le texte est le suivant, d'après les manu- 
scrits : 

nopî(7[/.aTa ÈaTi ■KoXkolq àiOpoia^a. cpiXoTS/voiaTov eîç rr^v àvâXua'.v 
Tûv à[jt.j3piÔ£aT£pwv 7rpopXy]|j.àTOiv xal Tàiv y^voiv àuïpîXYjUTOv ty)? ^uaecoç 
-ap£yo(X£VY]ç irXfjO&ç. 

Pappus dit que les porismes servent à l'analyse des problèmes plus 
obscurs et des genres, c'est-à-dire des problèmes généraux. Il résulte 
on effet de ce que nous avons dit que les propositions des porismes 
sont générales au plus haut degré. Puis il ajoute : « dont la nature 
fournit une multitude à peine compréhensible à l'esprit », mots par les- 
quels il indique ces solutions en nombre inlini du même problème, 
(|ui tiennent presque du miracle. 

A notre invention de ces théorèmes nu problèmes, s'ajoute une 
méthode particulière, dérivant de la pure Analyse, et grâce ii laquelle, 
avec les cinq porismes précédents, nous en avons trouvé, construit el 
démontré beaucoup d'autres. 

Si les savants accueillent avec faveur ce peu que nous donnons à 
litre seulement d'introduction et de prodrome d'une œuvre plus 
approfondie, nous pourrons un jour restituer la totalité des trois 
Livres des porismes, et, bien plus, pousser plus loin qu'Euclide lui- 
même et découvrir des porismes vraiment étonnants et qui jusqu'à 
présent sont inconnus, sur les sections coniques et sur d'autres 
courbes quelconques. 



PROPOSITION DE M. DE FERMAT SUR LA PARABOLE. 

J'ai proposé de décrire une parabole par quatre points donnés. 

Il y a deux cas, pour chacun desquels il faut d'abord poser le lemme 



SO ŒUVRES DE FERMAT. [84,85] 

suivant. SoitECBAD {fig. 7/i) une parabole dont le diamètre AF est 
donné de position; soient également donnés les points B, C de la 
parabole et l'angle des ordonnées sur le diamètre AF. Je dis que la 
|)arabole est donnée de position. 




.Menons les ordonnées BN, CN. Du point B donné, BN est menée 
sous un angle donné (puisqu'on donne l'angle des ordonnées) sur 
AF donnée de position; donc le point N est donné; de même M. Les 
droites BN, CM sont donc données de position et de grandeur. Mais 

,, , , , , , , , CM' MA . ,, . , 

d après la nature de la parabole, tt^ = jrj-r-> si I on suppose que A est 

le sommet do la parabole ou l'extrémité du diamètre. Le rapport -^r-r 



NA 



MN 

est ainsi donné, ou, dwidendo, le rapport ^rr^; mais MN est donnée, 

avec les points ^I et N, donc NA, donc le point A. Si d'ailleurs on pos(! 

;r,-ïY = -y-> Z coté droit de la parabole sera donné, les autres droites 

i'étant. Ainsi, on a donnés : le sommet A, le coté droitZ, le diamètre AF 
d(! position, l'angle des ordonnées. Donc la parabole est donnée de 
position (Apollonius, I, Sa). 

Cela posé, il est facile de construire le premier cas {fig. 75). Soient 
donnés les quatre points B, C, D, F; si on les joint par les droites BC, 
CF, FD, DB, ou bien aucune ne sera parallèle à l'opposée, ou bien, 
comme dans ce cas, on aura par exemple BC parallèle à DF. 

Prenons les milieux I, E de ces deux droites et supposons le pro- 
blème résolu; si on joint lE, qui divise par moitié deux parallèles, ce 
sera un diamètre de la parabole. Mais 1, E sont donnés, donc lE l'est 
de position, ainsi que l'angle DEI. On a donc donnés : le diamètre lE 



[85,86] FRAGMENTS f.ÉOMÉTRIOUES. 81 

de position, l'angle des ordonnées et deux points B, D de la parabole; 
donc la parabole DBACF est donnée de position. 




Le second cas est plus difficile : c'est celui où aucune des droites 
joignant deux des points donnés n'est parallèle a une autre. 

Soient donnés (Jif^- 7G) quatre points X, N, D, R, en sorte que si 
l'on joint XR, RD, DN, NX, aucune no soit parallèle à l'opposée. Sup- 



Fig. -,G. 




posons le problème résolu et tracée la parabole XANDBR satisfaisant 
il la condition proposée. Soient V le point de rencontre de XN, RU 
prolongées, IM, C les milieux de XN, RD. Menez par ces milieux les 
diamètres MA, CB qui rencontrent la parabole aux points A, B, et par 
ces derniers lAS, SB parallèles à XV, VR et se rencontrant en S. Je 
joins AB, j'en prends le milieu en P et je joins SP. 

l'EltMVT. - m. II 



82 ŒUVRES DE FERMAT. [80,871 

Cette construction faite, il est clair que lAS, menée par le sommet 
du diamètre MA parallèlement à l'ordonnée XN, est tangente à la para- 
bole en A. On prouvera de même que SB est tangente à la parabole 

XV VN AS- 
en B. Donc (Apoll., III, 17) irrryn ^ W\l-' ^^'^'^ '*^^ quatre points X, 

AT .^ n •. . I 1 . XV.VN , , , , AS^ , 

N, D, R étant donnes, le rapport ï7y-yT) est donne, donc ^^^r,' donc 

^-jj- Mais ASB est donné, comme égal, à cause des parallèles, au 

donné XVR. Ainsi, dans le triangle ASB, l'angle au sommet S est 
donné avec le rapport des côtés ^~■, donc ce triangle est donné d'es- 

pècc, donc SAB et le rapport r-y, donc, puisque AP = ^AB, le rap- 
port ^., est donné. Ainsi dans le triangle SAP, l'angle en A est donné 
avec le rapport des cotés ~; donc le triangle est donné d'espèce. 



donc PSA est donné. 

Ceci posé, SP, qui passe par le milieu de la corde AB joignant les 
points de contact des tangentes, sera un diamètre de la parabole 
(Apoll., II, 29). Mais, dans la parabole, tous les diamètres sont paral- 
lèles, donc le diamètre MA est parallèle à SP, donc lAM = ASP. Mais 

ASP est prouvé donné; donc lAM, et son alterne-interne NMA. Mais 
M, milieu de NX, donnée de grandeur et de position, est donné. Donc 
MA, diamètre, est donné de position avec l'angle des ordonnées AMN 
et les deux points N, D de la parabole. Donc, d'après le lemme, la 
parabole est donnée de position, et il est facile de remonter de l'ana- 
lyse à la synthèse. 

11 est clair que, dans ce dernier cas, deux paraboles satisfont au 
problème, car les droites DN, XR, supposées non parallèles, se ren- 
contrent, et alors, par le même raisonnement, on peut tracer une 
parabole qui résout également le problème. 



[87, 88] 



FRAGMENTS GÉOMÉTRIQUES. 



83 



DÉMONSTRATION DU LIEU A TROIS DROITES. 



Soient données de position trois droites formant un triangle : AM, 
MB, BA {fig- 77); soit un point quelconque duquel on mène sur 



F'S- 77- 




M I M 



les droites données les droites OE, 01, OD sous les angles donnés 
OEM, OIM, ODB. Soit enfin donné le rapport ^ . • Je dis que le 

lieu du point est une section conique. 

Prenez en Q le milieu de MB, joignez AQ et par menez à MB, MA 
les parallèles FOC, ON. 

Les trois triangles OEF, ODC, OIN sont donnés d'espèce : car, par 
hypothèse, les angles OEF, ODC, OIN sont donnés, et il en est de même 
de l'angle EFO égal au donné AMB, à cause des parallides; de OCD, 
égal au donné MBA; enfin de ONI, puisque ONB est donné comme 

OF 
égal à AMB à cause des parallèles. Donc le rapport -rr^ est donné; de 

même le rapport -ttv; donc le rapport t. • Mais, par hypothèse, 

, . EO.OD , , . , , , FO.OC , , ,, . 

le rapport ., est donne ; donc le rapport ., sera donne. Mais 



e rapport tt^ est donné, puisque le triangle OIN est donné d'espèce; 

lonc le rapport .^ ou ■■..^ sera donné (FM étant égal à ON). 
Si on partage AQ en U de telle façon qu'en menant UR paralit-h; 



81 ŒUVRES DE FERMAT. [88, R9| 

■ Mn I . UR= -, - 1 1 - l'O.OC . -.ri 

a Mii, le rapport jtv,-^ soit ogal au donne — i.Tr," (co qui est tacile, 

puisque l'angle MRU est donné), et si l'on fait passer par le point U 
une section conique ayant AQ pour diamètre et tangente en M, B aux 
droites MA, AB (ce qui est très facile et donnera d'ailleurs, suivant 
les différentes positions du point U, soit une parabole, soit une hyper- 
bole, soit une ellipse; je n'ajoute pas ce qui serait superflu, surtout 
pour vous); je dis que la section conique ainsi décrite passera par le 
point 0. 

Soit en effet P le point oii elle passera de l'autre côté. La droite UR, 
parallèle à l'ordonnée MB, sera tangente à la conique; donc, si celle-ci 

passe par le point (J, on aura — pv.— = ,rif, (Apoll., III, b). Mais, par 
construction, ~ = '^^^'^ Donc PF.FO = FO.OC ; donc FO = PC ( ' ). 

Or il en est ainsi; car, Q étant le milieu de MB, on a FX = XC; 
d'autre part, dans la conique, OX = XP; donc, par différence, 
FO = PC. 

Il est facile de remonter de l'analyse à la synthèse, par une démon- 
stration conduisant à l'impossible. 

f ' ) La conclusion devrait être PF — OC, ce qui revient au môme en retranciiant OP fie 
pari et d'autre. 



INTRODUCTION 



LIEUX PLANS ET SOLIDES. 



Que les anciens aient longuement traité des lieux, on ne peut 
en douter; nous le savons par Pappus, qui, au commencement du 
Livre VII, témoigne qu'Apollonius avait écrit sur les lieux plans, et 
Aristée sur les lieux solides. Mais, si nous ne nous trompons pas, la 
recherche des lieux ne leur était point sulfisamment aisée. Nous le 
conjecturons de ce fait que, pour nombre de lieux, ils n'ont point 
donné un énoncé assez général, ainsi qu'on le verra plus loin. 

Nous soumettons donc cette théorie ii une analyse qui lui est propre 
et particulière, et qui ouvre la voie générale pour la recherche des 
lieux. 

Toutes les fois que dans une équation finale on trouve deux quan- 
tités inconnues, on a un lieu, l'extrémité de l'une d'elles décrivant 
une ligne droite ou courbe. La ligne droite est simple et unique dans 
son genre; les espèces des courbes sont en nombre indéfini, cercle, 
parabole, hyperbole, ellipse, etc. 

Toutes les fois que l'extrémité de la quantité inconnue qui décrit le 
lieu suit une ligne droite ou circulaire, le lieu est dit plan; si elle 
décrit une parabole, une hyperbole ou une ellipse, le lieu est dit 
solide; pour d'autres courbes, on l'appelle lieu de ligne. Nous n'ajou- 
terons rien sur ce dernier cas, car la connaissance du lieu de ligne se 
déduit très facilement, au moyen de réductions, de l'étude des lieux 
plans et solides. 



86 ŒUVRES DE FERMAT. [92,03] 

II est commode, pour établir les équations, de prendre les deux 
quantités inconnues sous un angle donné, que d'ordinaire nous sup- 
poserons droit, et de se donner la position et une extrémité de l'une 
d'elles; pourvu qu'aucune des deux quantités inconnues ne dépasse 
le carré, le lieu sera plan ou solide, ainsi qu'on le verra clairement 
ci-après. 

Soit NZM ifig- 7B) une droite donnée de position, dont on donne le 




point N. Qu'on égale NZ à la quantité inconnue «, et la droite ZI 

(menée sous l'angle donné NZ!) à l'autre quantité inconnue e. 

Soit 

da -= be. 



Le point I sera une droite donnée de position. 

■ Donc le rapport - 



En efTet, on aura 



, — Donc le rapport - est donné, ainsi que 

l'angle en Z. Donc le triangle NIZ est donné d'espèce, donc l'angle INZ. 
Mais le point N est donné, ainsi que la position de la droite NZ. Donc 
NI sera donnée de position. La synthèse est facile. 

On ramènera à cette équation toutes celles dont les termes sont soit 
donnés, soit formés par les inconnues a et e, multipliées par des 
droites données ou bien prises simplement. 

z" -da — be. 



Soit posé z" = dr. On aura -r = "^ ■ 
' d e 

Soit pris MN — r; le point M sera donné et l'on aura MZ = /•— rt. 



193] 



LIEUX PLANS ET SOLIDES. 



87 



MZ 



Le rapport y- sera donc donné, ainsi que l'angle en Z. Donc le 
triangle IZM sera donné d'espèce, et en joignant MI, on conclura 
que cette droite est donnée de position. Ainsi le point I sera sur une 
droite donnée de position, et la nniênie conclusion se tirera sans difii- 
culté pour toute équation qui aura des termes en a ou e seulement. 

C'est là la première et plus simple équation de lieu, qui servira à 
trouver tous les lieux sur une ligne droite; par exemple la proposi- 
tion 7 du Livre I d'Apollonius Des lieux plans, qui pourra dès lors 
s'énoncer et se construire plus généralement. 

Cette équation renferme aussi la très belle proposition suivante, que 
nous avons découverte par son moyen : 

'c Soient, en nombre quelconque, des droites données déposition, aux- 
quelles on mène d'un même point des droites sous des angles donnés; si la 
somme des produits des droites ainsi menées par des données est égale à 
une aire donnée, le point d'où on les mène sera sur une droite donnée de 
position. » 

Nous omettons une infinité d'autres propositions, qui pourraient, ii 
bon droit, être opposées à celles d'Apollonius. 

Le second degré des équations de cette sorte se présente si ae = s", 
auquel cas le point I est sur une hyperbole. 

Menez NR (fig. 79) parallèle à ZI; prenez sur NZ un point quel- 

F'g- 79- 




conque, soit ]\I, par lequel vous mènerez MO parallèle à ZI. Con- 



88 ŒUVRES DE FERMAT. [94, U5] 

struisez le rectangle NMO égal à l'aire z". Par le point 0, entre les 
asymptotes NR, NM, décrivez une hyperbole; elle sera donnée de posi- 
tion et passera par le point 1, puisqu'on suppose ae, c'est-à-dire le 
rectangle NZI, équivalent au rectangle NMO. 

Ou ramènera à cette équation toutes celles dont les termes sont, soit 
donnés, soit en a, en c ou en ac. 

Ainsi soit d" -\- ae = ra -+- se. 

D'après les règles de l'art, on aura ra -+- se — ae - d". Formez un 
rectangle de deux côtés, qui donnent les termes : ra -h se — ae. Ces 
deux côtés seront a - s et r - c, et leur rectangle ra -h se — ae ^ rs. 

Si maintenant de d" vous retranchez rs, le rectangle 

(« — .0(/- — e) —cP'— rs. 

Prenez NO {fig. 8o) égal à s, et ND, parallèle à ZI, égale à /■. Par le 



Fig. Ho. 
D V X P 









I 




Y, 


-^ 


e 




/ 
/ 





îl 



point D, menez DP parallèle à NM; par le point 0, OV parallèle à ND; 
prolongez ZI jusqu'en P. 

Puis(|ue NO=.y et NZ - a, on a a ~ s =^07. — S?. De même, 
puisque ND = 7.V — r alZX ^e, on a r — e = PI. Le rectangle PV x Pi 
est donc égal à l'aire donnée d'' — rs; le point I est donc sur une 
hyperbole ayant PV, VO pour asymptotes. 

Si, en ell'et, prenant un point quelconque X et menant la paral- 
lèle XY, on construit le rectangle N\Y = d"—rs, et que par le 
point Y, entre les asymptotes PV, VO, on décrive une hyperbole, 
elle passera par le point I. L'analyse et la construction seront faciles 
dans tous les cas. 



[^5,00] LIEUX PLANS ET SOLIDES. 89 

Le degré suivant des équations de lieu se présente si l'on a «-" — c- 
ou si a^ est à c^ dans un rapport donné, ou encore si a^ + ae est à e^ 
dans un rapport donné. Enfin ce cas comprend toutes les équations 
dont les termes vont jusqu'au carré, et sont on a-, c- ou «c. 

Dans tous ces cas, le point I est sur une ligne droite, ce qui est très 
facile à démontrer. 

Si le rapport y,, " ' - est donné (y?»-. 8i), qu'on mène une 



Zl^ 



Fig. Si 




parallèle quelconque OR, le rapport "\ -' sera le même, 

comme il est très facile de le prouver. Le point I sera donc sur une 
droite donnée de position. 

Il on sera de même pour toutes les équations dont tous les termes 
seront affectés des carrés des inconnues ou de leur rectangle; il est 
inutile de détailler plus exactement les cas particuliers. 

Si aux carués des inconnues avec ou sans leur rectangle s'ajoutent 
des termes soit donnés absolument, soit produits d'une droite donnée 
par l'une des inconnues, la construction est plus difficile. Nous la 
ferons brièvement dans les différents cas, avec la démonstration. 

Si a- = de, le point 1 est sur une parabole. 

Soit (yfig- 82) NP parallèle à ZI; avec NP pour diamètre, décrivez la 
parabole dont le paramètre est la droite donnée d et dont les ordon- 
nées sont parallèles à NZ. Le point I sera sur cette parabole, qui est 
donnée de position. 

En effet, d'après la construction, le rectangle c/xNP — PI-, ou 
autrement ^/ x IZ = NZ^, et par suite de = a-. 

On ramènera facilement à cette équation toutes celles où tû se ren- 

FLnu*T. - 111. !?■ 



90 ŒUVRES F)E FERMAT. [9G, 07] 

contre avec des termes produits de c par des données, ou bien é- avec 
dos termes produits de a par dos données; il on sera de même, quand 

FiR. S2. 



p 






I 










,--'"/ 


































































y 










^ 










/■ 


/ 




e 




y' 


/ 








'^■^-""'''^^ ri 








V 






L 



l'équation comprendrait en outre dos termes absolument donnés. 

Soit 

e-=: da. 

Dans la figure précédente, avec N pour sommet, NZ pour diainôtro, 

décrivez la parabole dont le paramètre est d, ot dont les ordonnées 

sont parallèles ii la droite NP. Elle satisfera à la question, comme cela 

est évident. 

Soit 

h' — a"- -=. de ou, par conséquent, b'- — de ^= a'^ . 

Divisez h- par d; soit b'- = dr. On aura donc 

dr — de^a'- ou d(r — e)^=(7-. 

On aura ainsi ramené cette équation ii la précédente en substituant 
/■ — e. à e. 

Soit en elTet menée MN {fig. 83) parallèle à ZI et égale à r, et par 

Fi- 83. 




le point M, MO parallèle à NZ. Le point 31 est donné, ainsi que la 
position de la droite MO. D'après cette construction, 01 = /• — r. 
Doncf/xOI=^NZ- = MO-. 

La parabole décrite à partir du sommet M, sur le diamètre MN, avec 



[ 97, 9S ] 



LIEUX PLANS ET SOLIDES. 



91 



d comme paramètre et des ordonnées parallèles à NZ, satisfera à la 
question, comme il est clair d'après la construction. 

Si h- -\- a"- ^^ de, on aura de — h-^=ar, etc., comme ci-dessus. On 
construira de même toutes les équations scmblablement composées 
on a^ et e. 

Mais d^ se trouve souvent avec e- et des termes absolument donnés. 

Soit Ir — à- = e-. 

Le point I sera sur un cercle donné de position, si l'angle NZI est 
droit. 

Soit pris NM {fig- 84 ) égal ii h. Le cercle décrit de N comme centre, 
avec NM comme rayon, satisfera à la question, c'est-à-dire que quel 

Fig. 84. 



-j 

que soit le point I pris sur sa circonférence, ZF(oue-) sera égal à 

NM-^ou/-»^) — NZ'(ou fl-), comme il est clair. 

On ramènera \\ cette équation toutes celles qui ont des termes en à-, 

é-, et en a ou e multipliés par des données, pourvu que l'angle NZI 

soit droit, et en outre que le coelficient de ar soit égal à celui de e'-. 

Soit 

1)"- — 'ida — a- rr: e- -I- 2 re. 

Ajoutez de part et d'autre r' pour substituer <? + /• à c, vous aurez 

/•- -t- i- — ida — a- = e- + r'^ + 2re. 
A r" -H h'- ajoutez d-, pour substituer d -h ah a, et soit 

On aura 

p- — d- — 2da — a-^^r'-T-ù- — 2da — a-. 



92 ŒUVRES DE FERMAT. [98,99] 

car par construction 

Si maintenant, au lieu de a-\-d, on prend a, et si, au lieu de e -t- r, 
on prend e, on aura 

p- — fl'-T= C'-. 

L'équation sera ramenée à la précédente. 

On y ramènera par un raisonnement semblable toutes les équations 
pareilles. Grâce à ce procédé, nous avons construit toutes les proposi- 
tions du second Livre d'Apollonius Sur les lieux plans, et nous avons 
démontré que les six premières ont lieu pour des points quelconques, 
co qui est assez remarquable et était peut-être ignoré d'Apollonius. 

jMais soit — :^ — dans un rapport donné, le point I sera sur une 

ellipse. 

Soit pris MN — b. Avec M comme sommet, NM comme diamètre, 
N comme centre, décrivez une ellipse dont les ordonnées soient paral- 
lèles à la droite ZI et telle que les carrés des ordonnées soient aux rec- 
tangles des segments du diamètre dans le rapport donné; le point I 
sera sur cette ellipse. Car N.M- — NZ- est égal au rectangle des seg- 
ments du diamètre. 

On ramènerai! cette équation toutes celles où a- se trouve dans un 
membre, opposé à e'-' dans l'autre, sous un signe contraire, et avec un 
coellicicnt différent. Car, si les coefficients sont identiques et l'angle 
droit, le lieu sera un cercle, comme nous l'avons dit. D'ailleurs, quoi- 
que les coelficients soient les mêmes, le lieu sera une ellipse, si 
l'angle n'est pas droit. 

Si les équations comprennent en outre des termes produits de a ou 
e par des données, la réduction se fora néanmoins par l'artifice que 
nous avons déjà employé. 

SoiT — -^ — dans un rapport donné, le point I est sur une hyper- 
bole. 



[00, 101] 



LIEUX PLANS ET SOLIDES. 



93 



b- 



Mencz NO {fig. 85) parallèle à Zl ; soit ^^r— ^ dans le rapport donné. 
Le point R sera donné. Avec R comme sommet, RO comme diamètre, 



Fig. 85 




N comme centre, décrivez une hyperbole dont les ordonnées soient 
parallèles à NZ, et telles que la somme de RO- et du produit par RO du 

diamètre total [MR] soit à 01- dans le rapport donné -tt-- 

MOx()R-)-i\K^ 



Par conséquent, componendo, en prenant MN ~ NR, 



{)V 



est dans le rapport donné 
i\laisMOxOR+NR 
Donc 



b- -\- a 



= NO- = 7A- = <^= et 01- -f- b' = NZ-' (ou a'- ) + />^ . 
- = -77^) et, convertendo, — -, — est le rapport donné. 



b' 



Donc le point I est sur une hyperbole donnée de position. 

Le même artifice que nous avons déjà employé ramènera à cette 
équation toutes celles où figurent a- et e'- avec des termes donnés, 
soit simplement, soit en outre avec des termes produits de a ou c par 
des données, et où ir se trouve dans l'autre membre que c\ mais sous 
le même signe. Car, si les signes étaient contraires, on conclurait à un 
cercle ou ii une ellipse. 

L'équ.uion la plus difficile est celle où a'^ et c- figurent avec des 
termes en ae, et en outre des termes donnés, etc. 

Soit i- — 2a- = 2ae -+- C". 

Ajoutez de part et d'autre a- pour avoir a + e comme racine de l'un 
des membres : 



b-- 



lae ■ 



9!i- GÎUVUES DE FERMAT. [101,102] 

ka -\- e substituons e, par exemple, et, d'après ce qui précède, soit 
le cercle MI {fig. 86) satisfaisant à la question : c'est-à-dire que 

Soit VI = NZ .^ a. On aura ZV = e. 

Mais dans cette question nous cherchons seulement le point V ou 
l'extrémité de la droite e. Il faut donc voir et montrer sur quelle 
ligne se trouve le point V. 

Fijr. se. 




Soit MR parallèle ii ZI et égale à MN. Joignez NR que IZ prolongée 
rencontre en 0. Puisque MN = MR, NZ = ZO. Mais NZ = VI; donc, 
par addition, VO = ZI. Donc MN- - NZ= = V0\ Mais le triangle NMR 



N>P 



est donné d'espèce; donc le rapport ^ry~ est donné, donc le rapport 
donc le rapport y,.., _ y,. • Mais nous avons prouve que 



NO^' 






est donné. Mais les 



OV- = MN--NZ=; donc le rapport 

points N et R sont donnés, ainsi que l'angle NOZ. Donc le point V, 
d'après ce qui a été démontré précédemment, est sur une ellipse. 

Par un procédé analogue, on ramènera aux cas précédents tous les 
autres dans lesquels des termes en ae se rencontrent avec des termes 
les uns donnés, les autres en à- et <?% ou encore produits de a et de c 
par des données; la discussion de ces difl'érents cas est très facile, et 



[10^,103] LIEUX PLANS ET SOLIDES. 95 

la question se résoudra toujours par le moyen d'un triangle connu 
d'espèc.(!. 

Nous avons donc embrassé dans un exposé bref et lucide tout ce 
que les anciens ont laissé inexpliqué sur les lieux plans et solides ; par 
suite on reconnaîtra immédiatement quels lieux donnent tous les 
divers cas de la dernière proposition du Livre I d'Apollonius Des lieux 
plans, et on découvrira en général, sans grande difficulté, tout ce qui 
regarde cette matière. 

Comme couronnement de ce Traité, nous y ajouterons une très belle 
proposition, dont la facilité apparaîtra aussitôt. 

Etant données de position des droites en nombre quelconque, si d'un 
même point on mène à chacune d'elles une droite sous un angle donné, et 
que la somme des carrés des droites menées soit égale à une aire donnée, 
le point est sur un lieu solide donné de position. 

Un seul exemple suffit à indiquer le procédé général de construc- 
tion. 

Soient donnés deux points N et M {fig- 87), et soit à trouver le lieu 
des points tels que si l'on mène les droites IN, IM, la somme de leurs 
carrés soit au triangle INiM dans un rapport donné. 




Soit posé NM = b. Appelons c la droite ZI menée perpendiculaire- 
ment, et a la distance NZ. 

D'après les règles de l'art, — ^i ^"^^ ^^ rapport 

donné. 



96 ŒUVRES DE FERMAT. [103,104] 

En résolvant les positions d'après les règles exposées, la construc- 
tion se fera comme suit. 

Prenez en Z le milieu de NM; élevez en Z la perpendiculaire ZV; 

soit dans le rapport donné -rrrr; sur VZ décrivez le demi-cercle VOZ, 
inscrivez ZO = ZM et joignez VO. De V comme centre avec VO pour 
rayon, décrivez le cercle OIR. Si d'un point quelconque R pris sur ce 
cercle, on mène RN, RM, je dis que RN-+ RM- est au triangle RNM 
dans le rapport donné. 

Si cette découverte eût précédé notre restitution déjà ancienne-des 
deux Livres Des lieux plans, les constructions des théorèmes de lieux 
en eussent été rendues beaucoup plus élégantes; cependant nous ne 
regrettons pas cette production, quoique précoce et insuiïisamment 
mûrie. Il y a en eiïct pour la Science un certain intérêt à ne pas dé- 
rober à la postérité les travaux encore informes de l'esprit; l'ccuvre 
d'abord simple et grossière se fortifie et grandit par les nouvelles in- 
ventions. Il est même important pour l'étude de pouvoir contempler 
pleinement les progrès cachés de l'esprit et le développement spon- 
tané de l'art. 



APPENDICE A L'INTRODUCTION AUX LIEUX 

UENFERMANT LA SOUrnON DF.S l'UOBLÈMES SOLIDES l'AR LES LIEUX. 

Après la méthode pour trouver les lignes servant de lieux, il reste 
à chercher comment la solution des problèmes solides peut se déduire 
de ce que nous avons dit et cela de la façon la plus élégante. Dans ce 
but, il faut restreindre cette faculté des quantités inconnues de varier 
en dehors de leurs limites; car dans les lieux il y a une infinité de 
points qui satisfont à la question proposée. 

Le plus commode est de déterminer la question au moyen de deux 
équations de lieux; car deux lignes-lieux données de position se 



1104,105] LIEUX PLANS ET SOLIDES. 97 

coupent mutuellement, et le point d'intersection, qui est donné de 
position, ramène la question de l'indéfini aux termes proposés. 

Des exemples peuvent expliquer la chose hrièvement et clairement. 
Soit proposé a' 4- ha- =^ z"h. 

Il est commode d'égaler chacun des deux memhres de l'équation 
au solide hae, en sorte qu'en divisant ce solide, d'un côté par «, de 
l'autre par h, la question soit ramenée à des lieux. 

Puisque ainsi a^+ bcî^ =^ bac, on aura a- -\- ha = he. Comme il est 
clair d'après notre méthode, l'extrémité de e sera sur une parabole 
donnée de position. 

D'autre part z"h = hae; donc z"=^ae, et, d'après notre méthode, 
l'extrémité de c sera sur une hyperbole donnée de position. Mais 
nous avons déjà prouvé qu'elle est sur une parabole donnée de posi- 
tion. Elle est donc donnée de position, et il est facile de remonter de 
l'analyse à la synthitse. 

La méthode sera la même pour toutes les équations cubiques; car, 
en ramenant d'un côté tous les termes solides où figure a, de l'autre 
le solide entièrement donné ou encore en laissant avec ce dernier des 
termes solides en a ou en a'^, on pourra former une équation sem- 
blable à celle du cas précédent. 

Soit maintenant un exemple d'équations biquadratiques : 

Soit a' + h"'n + z-a- = (F, d'où a' = d'" - h" a - z-a\ 

Egalons ces deux membres à z'-c- . Puisijue «* = z-e-, en extrayani 
la racine carrée, a'^=^ze; l'extrémité de e sera sur une parabole 
donnée de position. 

D'autre part, puisque r/" — h'" a — z-a- = z^c-, en divisant tous les 

, ., c/'*' — h'" n .-, ■■ n' ■ , -.11 !• 

termes par C-, on a — —a- = c-. D.apres notre metliode, 1 ex- 
trémité de e sera sur un cercle donné de position. Mais elle est aussi 
sur une parabole donnée de position. Elle est donc donnée. 

Le même procédé peut servir à résoudre toutes les équations bi(|ua- 
dratiques; car, par la méthode de Yiètc (Cap. I : De ernend.), on peut 
faire disparaître le terme affecté du cube, et en disposant d'un coté le 

I'ki.jiat. — 111. 1-i 



98 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[105. lOG] 

bicarré inconiui, de l'autre le reste des termes, on résoudra la qucs- 
(ion |)ar une parabole et un cercle ou une hyperbole. 

Soit proposé comme exemple de trouver deux moyennes propor- 
tionnelles. 

Soient deux droites, h la plus grande, d la plus petite, entre les- 
([uelles il faut trouver deux moyennes proportionnelles. 

Soit a la plus grande de ces moyennes, on aura a' = Ird. Egalez les 
d(uix termes à bac. On aura d'un côté à- = be, de l'autre ac = bd. 

Par suite la question se résoudra par l'intersection d'une hyperbole 
et d'une parabole. 

Soit une droite (|uelconque OVN {/ig. 88) donnée de position, et le 
point donné sur cette droite. Soient données les droites h et d, entre 
les(|uelles il faut trouver deux moyennes proportionnelles. Supposons 
OV = n, et soit c la droite VM perpendiculaire à OV. 



Fin.. SS. 




D'après la première équation (a- = be), il est clair (|u'il faut dé- 
crire, avec le point comme sommet, b comme paramètre et un dia- 
mètre parallèle ;» ViM, une parabole dont les ordonnées soient paral- 
li'les il OV : cette parabole passera par le point M. 

D'après la seconde équation (bd=ae), soit pris sur la droite OV 
un point quelconque N; élevez-y la perpendiculaire NZ, el soit 
ON X NZ = /y^/. Elevez aussi la perpendiculaire OR. D'après nolvc. 
méthode dcsiieux, il fautdécrire une hyperbole passant par le |)ointZ 
et ayant pour asymptotes RO, OV; elle sera donnée de position et pas- 
sera par le point M. 



1107,108] LIEUX PLANS ET SOLIDES. 99 

Mais la parabole déjà décrite est aussi donnée de position et passe 
parle même point M; donc le point M est donné de position. Si on en 
abaisse la perpendiculaire MV, le point V est donné, donc la droite OV 
qui est la plus grande des deux moyennes proportionnelles que nous 
cherchons. 

Ces deux moyennes peuvent donc être trouvées par l'intersection 
d'une parabole et d'une hyperbole. 

Si l'on vent élever la question à une équation biquadratique, qu'on 
multiplie tous les termes par a : 

En égalant, d'après la méthode précédente, chacun des deux membres 
il b-e'-, on aura deux équations, à savoir a- = hc, et da = e'-, qui 
donneront chacune une parabole donnée de position. La construction 
des moyennes proportionnelles se fera donc ainsi par l'intersection 
(le deux paraboles. 

Ces deux constructions se trouvent dans Eutocius sur Archimède; 
elles s'expliquent immédiatement par cette méthode. 

Il est donc inutile d'employer les plarapléruscs climactuiucs de 
Viète. pour ramènera des équations quadratiques les biquadraliques 
uu moyen de cubiques à racine de deux dimensions. Car il est clair 
que les biquadratiques se résolvent avec la même élégance, la même 
facilité et la même rapidité que les cubiques, et il n'est pas possible, 
je crois, d'imaginer une solution plus élégante. 

Pour faire ressortir l'élégance de cette méthode, voici la cunslnu- 
tion de tous les problèmes cubiques et. biquadratùjues au moyen d'une 
parabole el d' un cercle. 

Soit a' — z"'a = ^/", d'oii a' = z"'a + d'". 

Formez le carré de la dllférencc de a- et de b- (ou d'un autre carré 
quelconque) : ce carré sera a^ -{-/'* — ib-a-. 

Ajoutez, comme supplément, à chaque membre de l'équation : 
b' — ib-.a-, on aura 

fl*+ b'—iU^a-— b'— ■2b-a-+z"'a + d". 



100 ŒUVRES DE FERMAT. [lOR, tO'.)| 

Soit 2/>-— n-, et égalons chaque membre de rcc|uatioii à Ji-c'-. 
On aura d'un côté, en prônant la racine carrée, a- — h- = ne et par 
suite l'extrémité de e sera sur une parabole, d'apri's notre méthode. 

De l'autre coté, on aura — — a'^ -+- '^ H =e-, et, d'après notre 

II- n^ II' 1 

méthode, l'extrémité de e sera sur un cercle. 

Ainsi la question est résolue par le tracé d'une parabole et d'un 
cercle. 

(]ette méthode s'étend facilement à tous les cas, tant cubiques que 
biquadraliques. Il faut seulement prendre soin d'avoir dans un membre 
a', dans l'autre le reste des l(;rmes quelconques, à condition qu'il n'y 
on ait pas en «'. Mais par V expurgation de Viète on peut toujours, 
dans une équation biquadratique, faire disparaître le terme alTecté 
du cube; la méthode reste donc la mémo dans tous les cas. 

Quant aux équations cubiques, la méthode de Vii'te en fait dispa- 
raître le terme affecté du carré; en sorte qu'(Mi multipliant tous les 
termes par a, on aura une équation biquadratique, où aucun terme 
ne sera affecté du cube; elle se résoudra donc par la méthode qui pré- 
cède. 

Il faut seulement prendre soin que, dans la seconde équation, on 
ait dans un membre a^, dans l'autre e-, sous des signes contraires, ce 
qui est toujours très facile. 

Pour parcourir tous les cas, soit encore 

a''—z"a''-z"'d. 

Formez le carré de a- moins un carré quelconque donné, soit />-, 
vous aurez a'^ + b'' — 2a'- b'K Ajoutez, comme supplément aux deux 
membres de l'équation, b'' — 2a'-b'-, on aura 

Pour faciliter la division, il faut, dans le second membre, prendre 
la différence entre 2b- et z", soit par exemple n-, et égaler chacun des 
deux membres à n^e"^, en sorte que l'on ait : d'un coté, a'- — b"^ = ne; 
de l'autre, -^ — a^ — ^^;- = e-. 



[109,110] LIKUX PLANS ET SOLIDES. loi 

Il faut remarquer ici qu'il faut avoir 2/'^> ;", autrement a- n'aurait 
pas le signe —, et, au lieu d'un cercle, nous trouverions une hyper- 
bole. Mais le remède est facile. En effet, nous prenons h- arliilraire- 
ment, par suite rien n'est plus simple que de prendre son doiihle 
supérieur à z". D'ailleurs notre méthode des lieux établit (|u'on a tou- 
jours un cercle lorsque dans un des membres de l'équation se trouve 
un des carrés inconnus avec le signe 4-, et dans l'autre membre, 
l'autre carré inconnu avec le signe — . 

Prenons, pour exemple de cette construction, l'invention des deux 
moyennes. On a a^ = h^d, d'où a'^^h^da. Ajoutez de |)art et d'antre 
//' — -lira-, il vient 

a' -\- b' — ib-a-^ //'+ 6- da — 2 a' b'. 

Soit liy- = /z-, et égalez chacun des deux membres à n-e^. 
. On aura d'un coté : a' — Ir = ne; l'extrémité de c est sur une para- 
bole. De l'autre : 1 — « — a- = e-; l'extrémité de c sera sur un 

cercle. 

Celui qui aura étudié ce qui précède n'essayera pas de ramener 
aux probli'mes plans, c'est-à-dire de résoudre par les droites et le 
cercle les questions des moyennes proportionnelles, de la trisection 
de l'angle et autres semblables. 



102 ŒUVRES DE FERMAT. [Ill] 



INTRODUCTION AUX LIEUX EN SURFACE, 

A MON AMI M. i)F CARCAVI. 



INnir couronner V Inlnxlitrlion aux lieux plans et solides, il reste ii 
traiter des lieux en surface. I.es anciens n'ont fait qu'indiquer ce sujet, 
mais n'ont pas enseigné de règles générales, ni même donné quelque 
exemple célèbre, à moins que ce ne soit enseveli depuis longtemps 
dans ces monuments de l'antiijue Géométrie où tant de précieuses 
découvertes ont été abandonnées sans défense aux insectes et souvent 
anéanties sans laisser aucune trace. 

Cette tliéorie est cependant susceptible d'une méthode générale, 
comme le montrera cette courte dissertation; plus tard, si nous en 
avons le loisir, nous éclaircirons davantage chacune des découvertes 
géométriques (jue nous avons jusqu'ici fait brièvement connaître. 

Les caractères que nous avons cherchés et montrés dans les lignes 
(îomme lieux peuvent être de même recherchés pour les surfaces 
pianos, sphériqucs, coniques, cylindriques ou pour celles des co- 
noïdes et sphéroïdes (') quelconques, si l'on établit tout d'abord les 
lemmes constitutifs de chacun de ces lieux. 

Posons donc le lemme suivant pour les lieux en surface plane : 

1. Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quel- 
conques que l'on voudra, et que i intersection de celte surface et de ces 

(') Uappeloiis qu'Arcliimcde avait appelé cDiioîdes les paraboloïdes elliptiques de révo- 
lution et les liypcrl)oloïdes de révolution (à deux nappes); splic'roldcs les ellipsoïdes de 
l'évolution. 



[li:!l LIEUX EN SURFACE. 103 

plans en nombre indéfini soil loujours une ligne droite, la surface en 
f/iicstion sera un plan. 

Pour les lieux eu surface spliériquc : 

2. Si une surface quelconque es/ coupée par autant de plans quel- 
conques que l'on voudra, et que l'intersection de cette surface et de ces 
plans en nombre indéfini soit toujours un cercle, la surface en question 
sera une sjdicre. 

Pour les lieux eu surface de sphéroïde : 

;}. Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quel- 
conques que l'on voudra, et que l'intersection de celte surface et d' un 
plan sécant soit tantôt un cercle, tantôt une ellipse, mais jamais une 
autre ligne, la surface en question sera un sphéroïde. 

Pour les lieux eu surface de couoide parabolique ou hyperbolique : 

1 . Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quel- 
conques que l'on voudra, et que l'intersection commune soit tantôt un 
cercle, tantôt une ellipse, tantôt une parabole ou une hyperbole, mais 
Jamais une autre ligne, la surface en question sera un conoïde parabo- 
lique ou hyperbolique. 

Pour les lieux eu surface couiquc : 

.'). Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quel- 
co/tques que l'on voudra, et que l'intersection commune soit tantôt une 
ligne droite, tantôt un cercle, tantôt une ellipse, tantôt une parabole 
ou hyperbole, et jamais une autre ligne, la surface en question sera un 
cône. 

Pour les lieux eu surface CYliudri(]ue : 

(). Si une surface quelconque est coupée par autant de plans quel- 
conques que l'on voudra, et que l' intersection commune soit tantôt une 
droite, tantôt un cercle, tantôt une ellipse, mais jamais une autre ligne. 
la surface en question sera un cylindre. 



lOi (KUVRES DE FERMAT. |1131 

Mais il se présente très souvent des lieux pour lesquels les sections 
sont (les droites, des paraboles et des hyperboles et aucune autre 
lii^ne, comme le montrera bientôt l'analyse de la question. Il convient 
donc ou plutôt il est absolument nécessaire pour celte étude de con- 
stituer une nouvelle espèce de cylindres ayant pour hases parallèles des 
paraboles ou des hyperboles cl pour côtés des lignes droites, parallèles 
entre elles, joignant les bases ainsi supposées, par analogie avec les 
cylindres ordinaires. De la sorte, aucune section plane d'un tel 
cvlindre ne sera un cercle ou une ellipse; ces nouveaux cylindres 
|)()urront d'ailleurs, comme les ordinaires, être droits ou obliques, 
suivant que le demandera l'analyse du lieu de la question proposée. 

Je répète que les problèmes de lieux conduisent nécessairement à 
de tels cylindres; leur invention et leur définition ne doivent donc 
pas être regardées comme inutiles. 

Bien plus, avant d'aller plus loin, je dirai que la construction d'Ar- 
cbimède pour les sphéroïdes et les conoïdcs ne sullit pas pour notre 
objet; les problèmes conduisent en elTct à en considérer d'obliques et 
non pas seulement des droits. 

De ce (]ue nous avons posé résultent tout d'abord de très beaux 
lieux en surface sphérique : 

Si de points donnés en nombre quelconque et dans des plans quel- 
conques, on mène des droites concourant en un même point, et que la 
somme des carrés des droites menées soit égale à une aire donnée, le point 
de concours sera sur une surface sphérique ou sur une sphère donnée de 
position. Nous pouvons, en effet, dire ici une sphère, à l'imitation 
d'Euclide et des anciens géomètres, qui ont appelé cercle la circon- 
l'érenco et non l'aire du cercle; en tout cas, c'est sur une surface de 
cette nature que se trouvera le point en question. 

Prenons en effet un plan quelconque donné de position et dans ce 
plan, suivant les règles données ailleurs pour les lieux plans et solides, 
cherchons le lieu des points dont la somme des carrés des distances 
aux points donnés soit égale à l'aire donnée. 

Otte recherche est facile : supposons le problème résolu et soit 



[113,114] LIEUX EN SURFACE. 105 

dans le plan considéré, la courbe NIP comme lieu {fig. 89). Abaissons 
sur ce plan, des points A, E, C donnés par hypothèse, les normales AB, 
EF, CD. Le plan étant donné de position, ces normales AB, EF, CD, 
abaissées des points A, E, C donnés, seront elles-mêmes données, ainsi 
que leurs points de rencontre B, F, D avec le plan. Prenons sur le 
lieu NIP un point quelconque I, et joignons AI, BI, El, IF, CI, DI. 




Les droites AI, El, Cl joignant aux points donnés A, C, E un point I 
du lieu, la somme des carrés de ces droites est égale à l'aire donnée. 
Si l'on en retranche les carrés des normales AB, EF, CD, lesquelles sont 
données, comme nous l'avons prouvé, la différence sera BF+FF-t-DI-, 
somme qui dès lors sera donnée. Or les points B, F, D sont donnés 
dans le plan supposé, ainsi que nous l'avons vu ; ainsi, on a des droites 
Bl, FI, Dl menées de points B, F, D donnés dans un même plan, 
droites concourant en un même point d'un lieu dans le même plan, et 
dont la somme des carrés est égale ii une aire donnée; d'après un 
théorème d'Apollonius que nous avons restitué depuis longtemps, on 
sait que le lieu NIP est un cercle donné de position. 

Une analyse absolument semblable donnera les mêmes consé- 
quences pour tout autre plan que l'on prendra; tous ces plans quel- 
conques, en nombre indéfini, donneront donc toujours des cercles 
comme lieux; d'après le lemme 2, la surface cherchée sera donc une 
sphère. 

En effet, quand nous cherchons un lieu en surfiice satisfaisant ii une 
question, rien ne nous empêche d'imaginer que la surface cherchée 



Keruat. — Ml. 



• 4 



106 ŒUVRES DE FERMAT. [114, 115] 

est coupée par le plan choisi. Mais ici la section ne peut être qu'un 
cercle, car nous avons prouvé qu'un cercle satisfait comme lieu à la 
même condition que la surface cherchée; il faut donc que ce cercle soit 
situé sur ladite surface. Il est donc clair que, dans le cas proposé, le 
lieu en surface est toujours coupé par un plan suivant un cercle, et 
par conséquent que c'est une sphère. 

On démontre de même les lieux suivants : 

Si de points en nombre quelconque, donnés dans un ou plusieurs plans, 
on me'ne des droites concourant en un même point, et que la somme des 
carrés d'une partie des menées soit à la somme des carrés des autres dans 
un rapport donné ou dans une différence donnée, ou plus grande ou plus 
petite d'une quantité donnée que dans un rapport donné ( ' ), le point de 
concours sera sur une sphère donnée de position. 

Des artifices analogues feront reconnaître une infinité de très belles 
propriétés de la surface sphérique. 

Soient, en nombre quelconque, des plans donnés de position ; si d'un 
même point on mène à ces plans donnés, sous des angles donnés, des 
droites dont la somme des carrés soit égale à une aire donnée, ce point 
sera sur la sur/ace d'un sphéroïde donné de position. 

Faisons l'analyse en prenant, suivant la méthode indiquée, un plan 
quelconque donné de position; cherchons-y, suivant les règles pour 
les lieux plans et solides telles que nous les avons autrefois exposées 
dans le plan, le lieu des points dont la somme des carrés des menées 
aux plans donnés sous les angles donnés est égale à l'aire donnée. 

La construction se présente immédiatement; le plan que nous avons 
pris est en effet donné de position aussi bien que les autres plans 
donnés; les intersections de ce plan choisi et des plans donnés seront 
donc également données. Les droites menées aux plans donnés d'un 
point quelconque du plan supposé recevront donc facilement une ex- 
pression analytique. Si l'on fait la somme de leurs carrés et qu'on 

(') C'ost-à-dire, ca général, soit une fonction linéaire. 



[115,110] LIEUX EN SURFACE. 107 

l'égale à l'aire donnée, l'analyse donnera comme lieu, dans le plan 
supposé, un cercle ou une ellipse, et sa marche même prouvera que 
dans aucun autre plan donné de position, quel qu'il soit, le lieu ne 
peut être d'une autre nature. Il est donc clair, d'après le lemme 3, 
que le lieu cherché, dont les sections sont seulement des cercles ou 
des ellipses, est un sphéroïde. 

Si la somme des carrés d'une partie déterminée des droites ainsi menées 
est à la somme des autres dans un rapport donné ou dans une différence 
donnée, ou si elle est plus grande ou plus petite d'une quantité donnée que 
dans un rapport donné, la surface cherchée sera celle d'un sphéroïde, 
d'un conoide, d'un cône ou d'un cylindre, etc., suivant ce qui sera in- 
diqué par l'analyse convenablement menée. 

Par exemple, si l'on donne le rapport, on aura en général une sur- 
face de conoïdc ; mais, si les plans donnés se coupent suivant des 
droites concourant en un môme point, la surface deviendra conique ; 
si les intersections des plans donnés sont parallèles, la surface sera 
cylindrique. On aura d'ailleurs soit un cylindre ordinaire, soit un des 
nôtres. 

La pratique découvrira immédiatement ce qui en est; je me borne à 
donner des indications générales et sommaires, pour que la trop 
grande multiplicité des exemples n'empêche pas de saisir clairement 
la méthode. 

J'ai réservé pour la dernière place un exemple du plan comme lieu, 
qui aurait peut-être dû occuper la première : 

Soient donnés de position des plans en nombre quelconque; si à ces 
plans on mène d' un même point, sous des angles donnés, des droites dont 
la somme soit égale à une droite donnée, ce point sera sur un plan donné 
de position. 

Coupons en effet, suivant la méthode indiquée, les plans donnés 
par un plan quelconque donné de position et cherchons-y le lieu sa- 
tisfaisant à la question, d'après la méthode donnée pour les lieux 
plans. Ce sera une ligne droite, comme le montrera l'Analyse, et il en 



108 ŒUVRES DE FERMAT. [116,117 

sera de même pour toutes les autres sections planes. Il est donc clair, 
d'après le lemme 1, que le lieu cherché est une surface plane. 

Si la somme d'une partie dèlerminèe des droites ainsi menées est à 
la somme des autres dans un rapport donné ou dans une différence 
donnée, ou si elle est plus grande ou plus petite d'une quantité donnée que 
dans un rapport donné , le point sera de même sur une surface plane 
donnée de position . 

D'ailleurs, dans les questions précédentes, si les plans donnés 
avaient été parallèles entre eux, le lieu eût été également une surface 
plane, ce qu'il est à peine nécessaire de remarquer. 

Comme couronnement, j'ajouterai encore une notable extension du 
lieu à trois ou quatre droites d'Apollonius : 

Soient trois plans donnés de position ; si d'un point donné on mène aux 
plans donnés, sous des angles donnés, des droites telles que le produit de 
deux d'entre elles soit au carré de la troisième dans un rapport donné, le 
lieu du point sera soit un plan, soit une sphère, soit un sphéroïde, soit un 
conoïde, soit une surface conique ou cylindrique ((les anciens ou nouvelle), 
selon la diverse situation des plans donnés. 

De même pour quatre plans, ainsi qu'il sera aisé de le voir. 

Les divers cas, les conditions-limites pour les données, les pro- 
blèmes ou théorèmes locaux en nombre infini que nous avons omis 
pour être plus bref, la démonstration des lemmes énoncés et tout ce 
qui aurait peut-être besoin d'une plus longue explication, sera facile- 
ment suppléé par tout géomètre soigneux et réfléchi qui aura lu cet 
écrit; désormais ce sujet, qui paraissait singulièrement ardu, est 
rendu aisé à comprendre. 

Toulouse, f) janvier iG/|3. 



[118] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 109 



SUR LA SOLUTION 

DES 

PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE 

PAR LES COURBES LES PLUS SIMPLES 

ET CONVENANT EN PARTICULIER V CHAQUE GENRE DE PROBLÈMES, 

DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 



PREMIERE PARTIE. 

Ce peut être un paradoxe que de dire que, même en Géométrie, 
Descartes n'était qu'un homme; mais, pour le reconnaître, que les 
plus subtils Cartésiens examinent s'il n'y a pas une imperfection dans 
la distribution faite par leur maître des lignes courbes en certaines 
classes ou degrés, et si l'on ne doit pas adopter un classement plus 
satisfaisant et plus conforme aux véritables lois de l'Analyse géomé- 
trique. Nous pensons pouvoir soulever cette question sans diminuer 
en rien la gloire d'un homme aussi illustre, car il est de l'intérêt de 
Descartes et de tous les Cartésiens que la vérité, dont ils se portent à 
bon droit comme les plus déclarés partisans, quoique parfois elle soit 
en désaccord avec leurs opinions, devienne manifeste pour tous, ou, 
si cette expression est trop générale, au moins pour les géomètres et 
les analystes. 

La distribution en classes déterminées des problèmes de Géométrie 
a paru nécessaire, non seulement aux anciens, mais aussi aux analystes 



110 ŒUVRES DE FERMAT. [118, 120] 

modernes. Qu'on propose d'abord les équations 

a + d^b ou a^+ba^z". 

Dans les termes de la première, l'inconnue ne dépasse pas la racine 
ou le côté, dans la seconde on trouve la seconde puissance ou le carré 
du côté inconnu; et toutes deux constituent ensemble le premier 
genre des problèmes, le plus simple. Ce sont là en edet les problèmes 
que les géomètres ont l'babitude d'appeler /j/an^. 

Le second genre de problèmes est celui où la quantité inconnue s'é- 
lève à la troisième ou à la quatrième puissance, c'est-à-dire au cube 
ou au bicarré. La raison pour laquelle deux puissances consécutives 
ne constituent, quoique diflérentes de degré, qu'un seul et même 
genre de problèmes, est que les équations quadratiques se ramènent 
facilement aux simples ou linéaires, par un procédé que les anciens 
connaissaient aussi bien que les modernes, et se résolvent donc facile- 
ment avec la règle et le compas. De même les équations du quatrième 
degré ou biquadratiqucs se ramènent aux équations du troisième 
degré ou cubiques, par la méthode qu'ont donnée Yiètc et Descartes. 
C'est en effet l'objet de cette suhtûe paraplérosc climatique de Viète 
que l'on peut voir dans son traité De emendatione œqualionum, 
Chap. VI, et l'artifice dont use Descartes en pareil cas est tout à fait 
semblable, quoiqu'il l'énonce en termes différents. 

De même l'analyste à la façon de Viète ou de Descartes pourra, 
quoiqu'un peu plus difficilement, ramener l'équation bicubique à la 
quadratocubique ou, si l'on veut, l'équation du sixième degré à l'é- 
quation du cinquième. Mais de ce que, dans les cas précités, où il n'y 
a qu'une seule quantité inconnue, les équations de degré pair s'a- 
baissent aux équations du degré impair immédiatement inférieur. 
Descartes a affirmé avec confiance (page 323 de la Géométrie qu'il a 
publiée en français) qu'il en était absolument de même pour les équa- 
tions renfermant deux quantités inconnues. Car telles sont toutes les 
équations constitutives de lignes courbes; or, dans ces équations, non 
seulement la réduction ou abaissement en question ne réussira pas. 



[120,121] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 111 

comme l'a aiïîrmé Descartes, mais encore les analystes le reconnaî- 
tront absolument impossible. Qu'on propose, par exemple, l'équation 
constitutive de la parabole biquadratiquc 



Par quel moyen abaissera-t-on au troisième degré cette équation du 
quatrième? Quclh paraplc'rosc climalique pourra-t-on imaginer? 

Je désigne comme Viète les quantités inconnues par des voyelles, 
car je ne vois pas pourquoi Descartes a fait un changement dans une 
chose sans importance et qui est de pure convention. 

Cette discussion ou cette remarque n'est nullement oisive ou inutile, 
comme le prouve la méthode générale par laquelle je ramène tous les 
problèmes, quels qu'ils soient, à un certain degré de courbes. 

Si l'on propose un problème où la quantité inconnue s'élève à la 
troisième ou à la quatrième puissance, nous le résoudrons parles sec- 
tions coniques qui sont du second degré. Si l'équation s'élève à la 
cinquième ou à la sixième puissance, nous pouvons donner la solution 
par des courbes du troisième degré; si l'équation monte à la septième 
ou à la huitième puissance, nous donnerons la solution par des courbes 
du quatrième degré, et ainsi de suite indéfiniment par un procédé 
identique. Il est évident par là que la question soulevée ne porte pas 
sur les mots, mais bien sur la chose elle-même. 

Soit proposé, par exemple : 

a«H-6^a = ;", ou si l'on veut a^ + b''' a — z'^ ; 

dans les deux cas, le problème sera résolu par les courbes du troisième 
degré ou cubiques, ainsi que Descartos l'a t'ait au reste. 
Mais si l'on propose 

a''+b''"a = z'"", ou encore a?+b'"a — z^'\ 

nous résoudrons le problème par des courbes du quatrième degré ou 
biquadratiques, ce que Descartes n'a pas fait ni jugé possible, puis- 
qu'il a cru que dans ce cas il fallait nécessairement recourir à des 



112 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[121, 122] 



courbes du cinquième ou sixième degré. Or c'est une faute en vraie 
Géométrie que de prendre, pour la solution d'un problème quelconque, 
des courbes trop complexes ou d'un degré trop élevé, en laissant les 
plus simples qui conviennent, et Pappus avant les modernes avait déjà 
remar([ué que c'est pécher réellement contre les règles de la Géomé- 
trie qti(^ do résoudre un problème par un genre de courbes qui ne lui 
convient pas. Pour éviter cette faute, il faut corriger Descartes et 
ramener chaque problème à son rang particulier et naturel. 

Page 322, Descartes affirme encore nettement que les courbes nais- 
sant de l'intersection d'une règle et d'une autre droite ou courbe sont 
toujours d'un degré ou genre plus élevé que la droite ou courbe de la 
figure, page 32i, dont elles dérivent {fig. 90). 



Fis- go- 




Mais imaginons, par exemple, au lieu de la droite CNK de ladite 
figure, page 32 1, une parabole cubique ayant pour sommet K et pour 
axe indéfini KLBA; qu'on achève la construction dans l'esprit de 
Descartes, il est clair que l'équation constitutive de cette parabole 
cubique sera 

a}=h'-e. 

On reconnaîtra aussitôt que la courbe EC provenant de cette suppo- 
sition n'a qu'une équation biquadratique; donc la courbe biquadra- 
tique est d'un degré ou genre plus élevé que la courbe cubique, selon 
la règle énoncée par Descartes lui-même, alors qu'il aifirmc au con- 



1123] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 113 

traire expressément (p. 323) que la courbe biquadratique et la cubique 
sont d'un même degré ou genre. 

Quant à notre métliode qui réduit tous les problèmes à l'infini, à 
savoir ceux d'équations do la troisième et quatrième puissance, ii des 
courbes du second degré; ceux de la cinquième et sixième puissance, 
au troisième degré; ceux de la septième et huitième puissance, au 
quatrième degré, et ainsi de suite indéfiniment, nous ne différerons 
pas de la communiquer à tous ceux qui regarderont comme un tort de 
dissimuler au préjudice de la vérité une erreur quelconque, fût-elle 
de Descartes. 

Qu'on ne s'arrête pas à ce que les problèmes qui montent à la 
seconde puissance, et ([ui sont de la même espèce que les problèmes 
du premier degré (étant appelés plans comme eux), ont besoin du 
cercle, c'est-ii-dirc d'une courbe du second degré. Cette objection 
trouvera sa réponse spéciale quand nous donnerons notre méthode 
générale pour résoudre tous les problèmes absolument par les courbes 
qui leur conviennent. 



SECONDE PARTIE DE LA DISSERTATION. 

Pour satisfaire à l'engagement que j'ai pris publiquement, je donne 
ma méthode générale pour la solution des problèmes quelconques par 
les courbes qui leur conviennent en propre. 

J'ai déjà dit, dans la première Partie de cette Dissertation, que les 
problèmes de deux degrés immédiatement consécutifs, par exemple 
3 et 4. ■"> et G, 7 et 8, 9 et lo, etc., ne réclament qu'un seul degré 
de courbes. Ainsi ceux des puissances 3 et 4 se résolvent par des 
courbes du 2*= degré; ceux des puissances 5 et G, par des courbes du 
3" degré, etc., à l'infini. 

Voici la manière d'opérer. L'équation donnée quelconque, qui ne 

renferme qu'une quantité inconnue, sera d'abord ramenée au degré le 

plus élevé, je veux dire le pair; puis on la débarrassera du terme où 

entre l'inconnue au premier degré. Gela fait, il restera une équation 

l'EiuiAT. — ni. l5 



tu (KIJVHES DE FERMAT. [t2i, 1251 

entre la quantité connue ou le terme donné d'une part, et de l'autre 
un membre inconnu dans chaque terme duquel entrera le carré de la 
racine inconnue. On égalera ce membre inconnu à un carré dont on 
formera la racine de façon qu'en égalant ledit carré avec le membre 
inconnu, on puisse éliminer autant que possible de degrés les plus 
élevés de la racine inconnue. Il faut d'ailleurs avoir soin que les divers 
termes de la racine du carré à former ainsi soient tous affectés de la 
racine ou quantité inconnue, et que le dernier de ces termes soit, en 
outre, affecté aussi d'une seconde inconnue. On aura ensuite par 
une simple division d'un côté, par l'extraction d'une racine carrée de 
l'autre, deux équations constitutives de courbes convenant au pro- 
blème donné, et leur intersection résoudra la question par la méthode 
que nous avons appliquée dès longtemps à la solution des problèmes 
])ar les lieux. 

Soit, comme exemple : «'' -i- 1>a^ -+- ="«' -t- (^/"'rt' + m" a'- — n'. 

Tous les problèmes qui montent à la cinquième ou sixième puis- 
sance peuvent être ramenés à cette forme. Car il suffit pour cela ou 
d'élever de la cinquième à la sixième puissance, ou de débarrasser 
celle-ci du terme en a, toutes choses suffisamment enseignées par 
Yiète et Descartes. 

On formera le carré de la racine : a^ + hac, et on l'égalera au pre- 
mier membre de l'équation. On aura ainsi 

Supprimant de part et d'autre a" et divisant par a% ce que l'on pourra 
toujours faire en observant la précaution indiquée pour l'emploi de 
la méthode, il reste 

équation qui donne, comme on le voit, une courbe du troisième degré. 

Mais, pour avoir la seconde équation et arriver facilement à la solu- 
tion du problème, il faut égaler aussi à l'autre membre de l'équation, 
//", le carré de a' + hac. 

Donc, en extrayant la racine carrée et appelant, par exemple, n" la 



[125,126] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 115 

racine carrée de ri", qui s'obtient facilement, on aura 

«'"= a' -h bae, racine du carré égalé au premier membre 
de la première équation donnée. 

Nous avons donc une seconde équation qui donne également une 
courbe du troisième degré. Qui ne voit maintenant que l'intersection 
des deux courbes trouvées donnera la valeur de a, c'est-à-dire la solu- 
tion du problème proposé? 

Si le problème monte îi la septième ou huitième puissance, on le 
posera d'abord sous la forme d'une équation de la huitième puissance, 
puis on débarrassera celle-ci du terme alfccté de la seule racine. Ola 
fait, soit après cette réduction permise et conforme à la méthode : 

On formera le carré à égaler aux deux membres de cette équation sur 
la racine 

a'' + \ba^+ d"ae. 

J'ai formé le second terme de cette racine du carré de façon que les 
deux puissances les plus élevées de l'inconnue a s'éliminent dans 
l'équation, ce qui est très facile. Kn égalant le carré de cette racine 
au premier membre de l'équation proposée, supprimant les termes 
communs et divisant par a-, on aura d'un coté l'équation constitutive 
d'une courbe du quatrième degré. Puis on extraira la racine carrée du 
second membre de l'équation proposée en premier lieu; soit p'" cette 
racine de ;"", on l'égalera à ci' -\- -, ba^ -\~ d" ae . Cette équation don- 
nera une autre courbe du quatrième degré et l'intersection de ces 
deux courbes donnera la valeur de a, c'est-à-dire la solution du pro- 
blème proposé. 

Il faut remarquer, au reste, que, dans les problèmes qui montent 
aux puissances 9 et lo, on devra former la racine du carré de façon 
qu'elle comprenne au moins quatre termes, de façon à éliminer les 
trois degrés les plus élevés de l'inconnue. 

Pour les problèmes montant aux puissances 11 et 12, la racine du 
carré à former doit avoir au moins cinq termes, dont on disposera de 



116 ŒUVRES DE FERMAT. [ne, 127 J 

façon à éliminer les quatre degrés les plus élevés de l'inconnue. 

Le procédé pour former ainsi la racine est toujours très simple; les 
analystes trouveront à l'essai qu'il sulfit absolument de la division ou 
application (pour employer les termes géométriques dans un sujet 
purement géométrique); les signes + et — n'apporteront au reste 
aucune difîlculté pour la pratique de la méthode. 

Comme d'ailleurs les problèmes qui montent à la seconde puissance 
sont réduits à la première par l'extraction de la racine carrée, cette 
méthode donne leur solution connue au moyen de lignes du premier 
degré ou de droites; on voit donc s'évanouir la vaine objection dont 
nous avons parlé dans la première Partie de cette Dissertation, si l'on 
suppose l'extraction de la racine carrée immédiatement connue pour 
toute espèce de problèmes. 

On a ainsi la résolution et construction exacte et la plus simple pos- 
sible des problèmes de Géométrie par des lieux naissant suivant les 
cas de courbes d'espèces différentes et convenant à ces problèmes. Au 
reste, l'analyste sera libre de faire varier ces courbes, sauf à rester 
toujours dans le genre naturel aux problèmes, en résolvant ceux du 
8'' et ']" degré par des courbes du 4"; ceux du lo*" et du rf, par des 
courbes du 5"; ceux du 12* et ii'par des courbes du G*' et ainsi de 
suite indéfiniment par une méthode uniforme. Au contraire, d'après 
Descartes, les problèmes des 8'^ et 7^ degré ont besoin de courbes des 
l'^ et d*"; les problèmes du 10'' ou du 9'', de courbes du 7* ou du H''; les 
probli-mes du 12'' ou du it*", de courbes du 9*^ ou du lo'', et ainsi 
de suite indéfiniment; les Cartésiens peuvent voir combien cela est 
loin de la simplicité et de la vérité géométrique, ou bien, si cela leur 
plaît, ils essayeront de nous contredire. 

(^ar nous cherchons seulement la vérité, et si elle est cachée quelque 
part dans les écrits du grand homme, nous aurons la plus grande joie 
à la reconnaître et à l'embrasser; car, pour employer une formule qui 
n'est point de moi, j'ai une si grande admiration pour ce génie extraor- 
dinaire, que j'estime plus Descartes lorsqu'il se trompe que beaucoup 
d'autres quand ils ont raison. 



[127, IW] DISSERTATION EN TROIS PARTIES. 117 

TROISIKÎME PARTIE DK LA DISSERTATION. 

Cela peut sulfiro pour la théorie générale; car les problèmes que 
Descartes donne comme résolubles au moyen de courbes d'un degré 
trop élevé, nous les avons heureusement abaissés par une méthode 
générale à des courbes d'un degré moitié moindre. Mais on doit com- 
prendre ceci en ce sens qu'il hut au moins ce degré pour toutes les 
questions absolument, car une infinité de cas spéciaux se prêtent ii un 
abaissement encore plus grand. Je veux donc aller plus loin et ramener 
l'analyse cartésienne, non seulement à des termes de degré moitié 
moindre, mais à des degrés 4 fois, 6 fois, loo fois, et indéfiniment 
moins élevés pour certains cas. On reconnaîtra mieux ainsi l'erreur 
de Descartes, et elle trouvera sa correction immédiate par l'analyse ; 
au reste, je désignerai, ce qui est plus commode, dans les degrés éle- 
vés, les puissances par les nombres que comportent leurs exposants. 

Soit proposé de trouver six moyennes proportionnelles entre deux don- 
nées. Soient /> et rf les deux données, a la première moyenne à trouver, 
on a l'équation a' = l>'''d. D'après Descartes, cette équation ne peut 
èlre résolue que par des courbes du 5'' ou du G'' degré. Dans la seconde 
Partie de cette Dissertation, elle est, avec toutes les autres de même 
nature, résolue généralement par des courbes du 4*" degré. Mais rien 
ne nous empêche de la résoudre par des courbes du 3" degré. Egalons 
en effet chacun des membres de l'équation au terme a'c-f/. Si, dans 
l'équation avec a\ on divise de part et d'autre part par a\ il vient 
e'd = a\ ce qui donne, comme on voit, une courbe du 3*^ degré. De 
l'autre coté, a'c-d = l/'d; divisant par d et extrayant la racine carrée, 
a-e = h\ ce qui donne également une courbe du i*" degré. L'inter- 
section de ces deux courbes donnera la valeur de a, c'est-à-dire la so- 
lution du problème proposé au moyen de courbes du 3'' degré. 

Soit proposé maintenant de trouver douze moyennes proportionnelles 
entre deux données; l'équation sera a" = h'-d. Descartes a pensé 
qu'elle ne peut se résoudre que par des courbes du 1 1'' ou 12'" degré. 



118 ŒUVRES DE FERMAT. [IM. 120] 

J'ai enseigné, en général, dans la seconde Partie de cette Disserta- 
tion, que toutes les équations de ce degré peuvent être résolues par 
des courbes du 7'' degré. Mais une recherche plus attentive donne 
immédiatement une solution élégante par des courbes du 5''; on peut 
même l'obtenir par des courbes du 4'". comme on le verra ensuite. 

Hgalons d'abord chacun des deux membres au terme a'cV/. Dans la 
première équation, avec «'\ divisant de part et d'autre par a\ il vient 
a'' = e''d, courbe du 5'' degré. Dans la seconde équation, avec />'-r/, 
divisant par d et extrayant la racine quatrième ou biquadratique, 
on a a-v^=^h\ courbe du 3*^ degré. Le problème proposé est ainsi 
résolu par deux courbes, l'une du V, l'autre du 3"' degré. 

Mais on peut résoudre ce problème encore plus facilement, c'esl- 
à-dire par des courbes du 4'' degré. Si, en elfet, on égale les deux 
membres à oV'V/, on aura d'un côté, en divisant par d\ a'' = eUl, 
équation d'une courbe du lY degré; d'autre part, en divisant par d et 
extrayant la racine troisième ou cubique : à^e =■- h'', ce qui donne 
aussi une courbe du 4" degré. Ainsi nous avons une construction facile 
par deux courbes du 4*" degré. 

Après ces exemples, on ne peut douter que V invention de io moyennes 
proportionnelles ne puisse s'obtenir par des courbes du 7" ou même du 
6'' degré. Égalons, en ed'ef, les deux membres de l'équation a^' = />"*c/ 
au terme commun a-''e''d; le problème sera ramené ii des courbes du 
7" degré. Par le terme commun a-^e''d, il le sera à des courbes du (>". 
De môme, Vinvention de 72 moyennes proportionnelles se fera par des 
courbes du \f degré, et il est clair, d'après ce qui précède, que l'on 
peut assigner un rapport plus grand que tout rapport donné entre le 
degré du problème et celui des courbes qui le résolvent. Quand les 
Cartésiens auront vu cela, je ne doute pas qu'ils ne reconnaissent la 
nécessité de notre remarque et de notre correction. 

Il faut observer qu'il convient souvent de changer la forme de 
l'équation pour que le degré soit susceptible d'une division commode 
en parties aliquotes. 11 sera inutile de répéter cette remarque. 

Qu'on propose, par exemple, Vinvention de 10 moyennes, c'est-à-dire 



[120,130] DISSEIIÏATION EN TROIS PARTIES. 119 

l'équation «" = /V'V/, on multipliera les deux termes par une droite 
donnée, z par exemple; l'équation deviendra a" z = h'"(Iz, et l'on 
arrive ainsi au nombre 12, qui permet facilement une réduction ou 
abaissement par ses parties aliquotes. En égalant chacun des deux 
membres à a^e\ on aura d'un coté l'équation «^= = e\ courbe du 
quatrième degré. De l'autre coté, en extrayant la racine bicarrée, soit 
celle-ci n'" par le terme donné b*''dz, on a a-e = n", courbe du troi- 
sième degré. Ainsi on trouvera dix moyennes par deux courbes, l'une 
du 4". l'autre du 3" degré, ce à quoi on est arrivé facilement par un 
petit changement de l'équation primitive. 

Je ne m'arrête pas aux autres abréviations que l'art fournira de lui- 
même aux analystes et qui sont en nombre intîni. J'ajoute toutefois 
que ce que je viens de dire s'applique non seulement quand la puis- 
sance inconnue se trouve sans aucun autre terme affecté d'un degré 
moins élevé, mais encore s'il y a des termes de degrés voisins du plus 
élevé, comme dans l'équation o'^-f- «a''^ -i- w«" h- /■«'" — h^-d. 

La solution de cette question, en prenant le même terme commun 
que ci-dessus, «V^o, sera aussi facile que celle de l'invention de 
12 moyennes entre deux données. Le môme artifice s'emploierait de 
même pour les équations d'autres degrés plus élevés. 

Cependant il faut remarquer que, dans les équations où se trouve 
seulement un terme inconnu dans un des membres, il faut que l'ex- 
posant de la puissance unique de l'inconnue soit un nombre premier, 
pour que l'on désigne par cet exposant le degré du problème. Si, en 
effet, l'exposant est composé, le problème se ramène immédiatement 
au degré des diviseurs. 

Si l'on demande, par exemple, H moyennes proportionnelles entre 
deux données, on aura l'équation a' — h^d. Dans ce cas, le nombre 9 
étant composé et ayant deux fois 3 comme facteur, le problème doit 
être regardé comme du troisième degré, et il l'est de fait. Si, en effet, 
on trouve deux moyennes proportionnelles entre les deux données, 
si ensuite on intercale de nouveau deux moyennes proportionnelles 
entre le premier et le second terme de la progression ainsi formée, 



120 ŒUVRES DE FERMAT. [l.îO, I3ij 

puis ontrc le second et le troisième, puis entre le troisième et le qua- 
trième, on aura (S moyennes entre les deux lignes proposées en pre- 
mier lieu. 

Si l'on demande maintenant i4 moyennes entre deux données, 
l'équation «'■ = />' V/ montre que le problème se ramène à deux autres, 
l'un (lu 3'\ l'autre du 5'' degré. 

On voit ainsi que l'exposant de la puissance unique doit être un 
nombre premier pour exprimer et représenter véritablement le degré 
du problème. 

Comme d'ailleurs je considère comme certain que /es nombres obtenus 
en ajoiilant l' unité, aux carrés successifs que l'on forme en partant de -i 
sont toujours premiers, tbéorème dont j'ai depuis longtemps annoncé la 
vérité aux analystes, je veux dire que les nombres 

3, 5, 17, 257, (35537, ..., à l'infini 

sont premiers; il n'y a aucune dilTicullé pour trouver un procédé per- 
mettant de construire un problème dont le degré soit dans un rapport 
plus grand que tout rapport donné avec le degré des courbes qui servent 
à le résoudre. 

Par exemple, soit proposé de trouver entre deux données 
2;)G moyennes proportionnelles, on aura l'équation rt-" = A-'S/; on 
égalera les deux termes à a-''"c"''d, et la question sera résolue |)ar des 
courbes du 17'' degré. 

Si Von cherchait 65530 moyennes proportionnelles, le problème 
serait résolu par des courbes du 257"^ degré, et ainsi de suite indéfini- 
ment, en abaissant le degré du plus grand nombre à celui du nombre 
immédiatement inférieur. Et qui ne voit qu'en deux nombres consé- 
cutifs, le rapport augmente indéfiniment? 

Les Cartésiens essayeront-ils encore de dissimuler l'erreur de Des- 
cartes? Quant il moi, je m'abstiens de rien prévoir : j'attends avec 
intérêt, mais sans rien ajouter de plus, ce qu'il adviendra à ce sujet. 



METHODE 



RECHERCHE DU MAXIMUM ET DU MINIMUM. 



Tdulc la llirorie do la roch('r(;lit' du maximum et du miuimuiii su|i- 
|)(is(' la posiliou de deux inconnues et la seule règle que voiei : 

Soit a une inconnue (juelconquc de la question (qu'elle ait une, 
deux ou trois dimensions, suivant qu'il convient d'apri'S l'énoncé). On 
exprimera la quantité maxinui ou miniiiia en a, au moyen de termes 
qui pourront être de degrés quelconques. On substituera ensuite 
(i -\- c à l'inconnue [)rimitive a, et on exprimera ainsi la (|uantilé 
maxima ou minima en termes où entreront a et c à des degrés quel- 
conques. On adégalcra, pour parler comme Diophante, les deux 
expressions de la quantité maxima ou minima, et on retranchera les 
termes communs de part et d'autre. Cela lait, il se trouvera que de 
part et d'autre tous les termes seront affectés de e ou d'une de ses puis- 
sances. On divisera tous les termes par e, ou par une puissance de c 
d'un degré plus élevé, de façon que dans l'un au moinsdcs termes de 
l'un (juelconque des membres e disparaisse entièrement. On suppri- 
mera ensuite tous les termes où entrera encore c ou l'une de ses puis- 
sances et l'on égalera les autres, ou bien, si dans l'un des membres il 
ne reste rien, on égalera, ce qui revient au même, les termes en plus 
aux termes en moins. La résolution de cette dernière équation don- 
nera la valeur de «, qui conduira au maximum ou au minimum, eu 
reprenant sa première expression. 

l'EuiiAT.— iM. 16 



122 (KUV m: S DE FERMAT. [134, 135 | 

Voici un exemple : 
Soit àpartai^rr /a ilrnilr A(! (/ig- 91) ci I'^ f« softe (juc AE X l'IC sait 



maxiinum. 



Fis- >)'• 



Posons A(- -= Z^; soit rt nn <les segments, l'aiilre sera h - a, cl le 
produit dont on doit trouver le maximum : ha — a-. Soit maintenant 
rt -f- r le premiei- serment de l>, le se(;ond sera h ^ a — c, el le produit 
(les segments : ha — a- -+- he — 'lae — e'- ; 

H ddil èlre a(U'gak' au prëccdenl : ha — a" ; 

Su[)priniant les termes r.ommuns : /«' 00 u ac + r'- ; 

Divisant Idus les termes : Ix^r^-ia 4- e; 

Supprimez c : ^ = 2<«. 

Pour résoudre le prohléme il faut donc prendre la moitié de h. 

W est impossible de donner une méthode plus générale. 



DES TAMiEXTES l)i:S LIGNES COUllBES. 



Nous ramenons à la méthode |)réeédente l'inventicm des tangenlt-s 
en des points donnés à des courltes queleonques. 

Soit donnée, par exemple, la parabole 15I)N {fig. [)">.), de S(uume( I), 



iMg. ;,■!. 




de (liami'lre OC; soit donné sur (die le point H, par lequel il laut UKuier 
la droite \\\i tangente ii la parabole et rencontrant h; diamètre en \l. 
Si l'on prend sur la droite 1?R un point quelconque O, dont on mène 



[135, no ] MAXliMA ET MINIMA. 123 

l'onldiiiu'c 01, en inéiiu' Iciiqts ([iic rordctniiéc HC du |i(tiiil H, on aura : 
HT-^dF' l'i''^'!"^'*' ''' ['"iiil Ocst exléi'ioiir ii la [)aralMi|i'. .Mais 

■TTp = î-jT,- > a caiist' uc la siiiiiliUKic des Iriaiiglos. Uuiic r >• .^,- 

Or le [)oiiil B est donné, donc l'ordonnée BC, donc le point (1, donc 
CD. Soit tlonc CD = r/. donnée. Posons Œ = a et (J=r; on aura 

(/ a- 

(l — e «- -h ('- — ■? (ic 

Faisons le [ii'odnit des moyens et des extrêmes : 

da"- -\- dc'^ — 2 dae > da- — a"-c. 

Adégalons donc, d'a[)rés la méthode précédente; on aura, en retran- 
chant les termes communs : 

du- — 1 dae <^'—-a-c, 

ou, ce qui l'cvient au môme : 

de- + rt- e on 2 dae. 

Divisez tous les termes par c : 

de -t- fl-txo ida. 

Supprimez de : il reste cr =-- -ida, donc : a = id. 

Nous prouvons ainsi que CK est double de CD, ce qui est conforme 
à la vérité. 

Celte méthode ne trompe jamais, et peut s'étendr(; à nombre de 
questions très b(dles; grâce à elle, nous avons trouvé les centres de 
gravité de figures terminées par des lignes droites et courbes, aussi 
bien que ceux de solides et nombre d'autres choses dont nous [lour- 
rons Irailcr ailleurs, si nous en avons le loisir. 

Quant à la quadi'ature des aires limitées par des lignes courbes el 
droites, ainsi ([u'an rapport que les solides qu'elles engendrent (uit 
aux cônes de même base et même hauteur, nous en avons déjà longue- 
ment traité avec M. de Roberval. 



1-24 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[13.'). 137] 



II. 

CENTRE DE GlUVITÉ DU mxoiDE PARABOLIQUE, 

D'APRÈS LA .MÈMIÎ .MrniODl'. 

Soit CBAV {fig. c)j) un connidc parnI)oli(iii(', nyaiil pour axe lA, et 
pour base un cercle de diami'tre (IIV. CJicrclions son centre de gravité 
par cotte méthode touionr-^ et toujours la inënie, qui nous a servi pour 




les inaxima, les minima et les tangentes des lignes courbes, et prou- 
vons ainsi, par de nouveaux exemples et [)ar un nouvel et brillant 
emploi de cette méthode, l'erreur de ceux qui croient qu'elle peut être 
en défaut. 

Pour pouvoir arriver à l'analyse, posons I.V = h. Soit le centre de 
gravité; appelons a la longueur AO inconnue; coupons l'axe lA par un 
plan quelconque BN, et posons IN = e, d'où N.\ ^= h — c. 

Il est clair ({ue, dans cette figure et les semblables (paraboles ou 

paraboliques), les centres de gravité, dans les segments retranchés 

par les parallèles à la base, divisent les axes dans un rapport constant 

(il est évident, en effet, que la démonstration d'Archimèdc pour la 

parabole [)eut s'étendn», |)ar un raisonnement identique, à toutes les 

paraboles et aux conoides paraboliques). Donc le centre de gravité 

du segment, dont NA est l'axe et BN le rayon de base, divisera AN en 

„ , NA I/V , b h~c 

un point comme h, en sorte (lUC -rrr = ttt' ou, en notes, - = —;.,-• 
' ' AE AO rt AE 



[137,130] MAMMA ET MIMMA. |o,j 

La i)()rlioii de l'axe sera donc AE = — -, — -, cl riiUorvalIc des deux 
(•(Milres de "ravilé, Ol'] = , • 

Soit ^I le centre de gravité de la partie restante CI5RV; il doit néees- 

sairoment tomber entre les points N, 1, à l'intérieur de la ligure, 

d'après le poslulalnin 9 d'Archiniède De œqutpondcrantibus, pnis([iie 

(1I5HV est une (igure enlièrenienl concave par rap[)orl à son intérieur. 

., . Partie CBUV EO n , I , i -, i i 

.Mais ^i>. .,-~rjrvïr = (T\ï' l»"i^"ii'L' (• l'^t l«-' centre de gravite de la 

ligure totale CAY et que K et M sont ceux des parties. 

Ordans le conoide d Arcniinede, ,,--. ...-r. = vr .-; = , , ; 

rarlicHAK i\A- b--\-e-—ibc 

, 1- 1 1 Parlic r.iJIiV 9.l>e — ('-- ,, . 
uonc, (lividcnao : ,,—.— ., .,, = r-, ;— ■ .Mais nous avons lu'oiive 

Punie CHRV OE ,. , -ibc — n'- \ " b 

ijnc -n — ■ — ■.^■.- = rrvr- )onc, cn no Cs, r^ r ,— = ; — 

' Parlie I5AU OM ' b- -^- c' — ■>. be OiVl 

,, , ,.,, b-nr-{-ftc^ — 2bae- 
(l on ().AI= 



2 b- a — bc- 

D'après ce ([ui a été établi, le point M est entre les points N et I; 
donc ().M<;OI; or, en notes, 01 = /> — n. La queslion est donc r.i- 
incnée à notre méthode, et l'on peut poser 

h-ar -h iic^ — '>. Ixiit"- 
b — a<^ -p, — , 

Miilli[dianl de part et d'antre par le dénominateur, et divisant 
par e : 

■?. b' — T //- a — b- c + bac oo //- a + ac'- — ■?. bac. 

Puis([u'il n'y a pas de termes communs, supprimons tous ceux où 
entre c et égalons les autres : 

2 b^ — >. b'- a r=i b- a y d'où 3a^^2b. 

„ , lA 3 AO ■^ 

Par conséquent ~— r= -, t-t — - = -. c. o. r. r. 

' AO ?. ()1 I 

La même métliodc s'applique à tous les centres de gravité d(! toutes 
les paraboles à l'intini, comme à ceux des conoides paraboliques. Je 
n'ai pas le temps d'indiquer, par exemple, comment on elicrcbera les 



12(i (EUVin:S l)i: FliUMAT. [13!). 1,1 j 

iHMili'cs (le graviU; dans noire cunoidc parabolique de révolution autour 
de l'ordonnée; qu'il siilPise de diro que, dans ce conoïde, le centre de 
gravité divise l'axe en deux segments (jui sont dans le rapj)ort Y- 



III. 

SUR LA MÊME MÉTHODE. 

Je veux, au moyen de ma méthode, partager la ligne donnée AC 
{fi g- ()\^ au point IJ, en sorte que AB- X BC soit le maximum de tous 
les solides que l'on peut former de la même façon en partageant la 
ligne AC. 

Fis. i/i- 

/. B, C 

I 

Posons, en notations algébiicjues, A(] = />, l'inconnue AB = <7; on 
aura B(] = /^ — a et le solide a'h — a^ doit satisfaire à la condition 
proposée. 

Prenons maintenant a -h e au lieu de a, on aura jiour le solide 

[n -h e)- (l> — e — n)^ ba'^ -+- be- +- 2 bac — a'' — 'iac''- — 3n-e — c'. 

.le le eom|)are au premier solide; a'-h — a\ comme s'ils étaient 
égaux, quoi(|u'en fait ils ne le soient point. C'est cette comparaison 
que j'appelle adégalilé, pour parler comme Diophante, car on peut 
ainsi traduire le mot grec Ttapia-OT-/]; dont il se sert. 

.le retranche ensuite de part et d'autre les termes communs, c'est- 
à-dire ha'- — a\ Cela l'ait, dans un membre il ne reste rien, dans 
l'autre on a be- ^ ibae — 'iaé- — '5d-e — e^ . 11 faut donc comparer 
les termes en plus et ceux en moins; on a ainsi une seconde adéga- 
lilé entre be'^ 4- ibae d'une part, Zaé- + 3«-e + e^ de l'autre. Divisons 
tous les termes par e, Vadégalité aura lieu entre be -+- iba et 
3ac 4- 3a- -l-fi*. Après cette division, si tous les termes peuvent 
encore être divisés par e, il faut réitérer la division, jusqu'à ce qu'on 



[111.1',.'] MAXIMA I:T MINIMA. 127 

ail un lcrm(> qui ne se prèle plus à crtlc division par e, ou, pour em- 
ployer le langage de Viète, qui ne soit plus aiïeeté de e. Mais, dans 
l'exemple proposé, nous Irouvons (|ue la division ne peut èlre réi- 
térée. Il faut donc s'arrêter là. 

Maintenant je supprime tous les termes affectés de e; il me reste 
d'une part -iha, de l'autre ?>a'-, membres entre lesquels il faut établir, 
non plus comme auparavant, une comparaison feinte ou une (idcgalilc. 
mais bien une véritable équation. Je divise de part et d'autre para; 

j'ai donc a/v := 3rt ou - = -• 
•' ai 

AC i 

Rcvenonsà notre question, etdivisonsAC en Ben sorte que 7^7= -^ 
' ^ AB •-( 

je dis que le solide AB' x BC est le maximum de tous ceux qui peuvent 

être formés sur la ligne AC, par une autre division quelconque. 

Pour établir lu certitude de cette uiéthode, je prendrai un exemple 
du Livre d'Apollonius, De la section délerminée , lequel au rapport de 
Pappus (Livre VII, commencement) renfermait des limitations dilli- 
ciles et notamment celle qui suit et que je considère comme la plus 
dilficile. Pa[)pus (Livre VII) la suppose trouvée et, sans la démontrer 
vraie, la regarde comme telle et en tire d'autres conséquences. Ko cet 
endroit, Pappus appelle un rapport minimum [jLova-/ôv xai èXây'.a-zov 
(singulier et minimum), parce que, si l'on propose une question sur 
des grandeurs données, et qu'elle soit en général satisfaite [)ar deux 
points, pour les valeurs maxima ou minima, il n'y aura qu'un |)oint 
(|ui satislassc. C'est pour cela que Pappus appelle minimum et 5Ûig-«- 
//Vr (c'est-à-dire unique) le plus petit rapport de tous ceux qui peuvent 
être proposés dans la question. Commandin doute en cet endroit de la 
signilication du terme aovayo; qu'emploie Pappus, parce qu'il ignore 
la vérité que je viens d'expliquer. 

Voici la proposition. — Soil une droite donnée OJIID {/ig- f)5) et sur 

celte droite t/uatre points donnes 0, il, I, D. //faut diviser le segment MI 

. , V ON X NI) . , . , . 

e/i it/i point :N, en sorte (jue ^^ rj.- soit u/i rapport plus petit (pie celui 

de deux autres rectangles semblables quelconques irrc, — -,-7- • 
° ^ ' MN X iM 



12« 



(EU VUE S DE F El! M AT. 



[142, 14'i] 



l'osons li's donnéos OM = h, D^I = -, iMI = ^-, et soit mainlcnaiil 
riiicnnmie ^^N = (7. On anra donc on no(alions 

ON X M) - i:; — ba + za ^ a\ ]\IN x NI = i'« — «=. 

Il I' I I I h:- — ha -\- :n — n- . . , ,-. i 

Il laul donc (luc le rapport soit le rilus ix-tit w. 

Ions ceux qui peuvent cire obtenus par une division quelconque de 
la droite î\il. 



"M, 



-V-" 



Substituons maintenani rt -+- c à «■ nous aurons le rapport 

bz- — ba — l)c + za -\- ze — a- — (•"- — 9. ne 
f^a 4- gc — rt'^ — e- — lac 

([ii'il laul comparer par odcgalilc au premier, c'est-à-dire qu'on inul- 
tipliora d'un côté le premier terme par le quatrii-me, de l'autre, le 
second par le troisième, et que l'on comparera les deux produits : 

{J'z — ba -^ za — a"-) { ga + gc — a'^ — c- — 2ac) 

lireiiiicr Icrriic dcrnior leriiie 

-— bzga — gl/a--\- gza- — ga'^ -\- bzgc — bagc 

+ z âge — a- gc — b z a- + ba^ — zn'--\- a ' 
-H b z C- ~\- bac''- — - rtfi- -f- a- c'- — •), b z ac 
-+- îha-e — 'îza'-c -+- 2a'e. 

D'autre part, 

{ga — a") {bz — ba — bc + zn -h zc — a-— e'-~ ■?.ac) 

si'L-oinl Icrme lioisiriiM- Iri-iiie 

:= bzga — gba- — gbnc -t- gza"- + gzac 

— ga' — gac- — '2ga- e — bza- -\- ba^ 

-+- ba-c — ; fl '■ — za'^c + a' + rt- c" 4- i « ' c. 

.le compare ces deux produits par adégalilé; reiranchani les (ermes 
communs et divisant par e, 

bzg — a- g — bzc -\- bac — zac — 2 bza — 2 za- -h iba- 
oo — gae — 3 ga- -+- ba- — za-. 



[144,1/15] MAXIMA ET MINIMA. 

Supprimant tous les termes où se trouve encore e, il reste 



121) 



■ibza — 2za--h 2 ba- =; — 2 gd^ + ba'- - 



a-. 



et, en transposant, 



— ba"- -\- za- 



ja'^ -i- ibza = bz ,i,' . 



En résolvant celle équation, nous trouverons la valeur de a ou de 
MN, par suite le point N, et nous vérifierons la proposition de Pappus, 

qui enseigne que, pour trouver le point IN, il tant taire „ = -|^p-; 

car la résolution de l'équation nous conduira h la même construction. 

Pour appliquer aussi cette même méthode aux tangentes, je puis 

procéder comme suit. Soit, par exemple, l'ellipse ZDN {fig- 96), 

Fig. 96. 




d'axe ZN et de centre R. Prenons sur sa circonférence un point 
comme D, menons par ce point la tangente DM à l'ellipse et l'or- 
donnée DO. Posons, en notations algébriques, la donnée OZ = Z» et 
la donnée 0N = ^; soit l'inconnue OM = a, en comprenant par OM 
la portion de l'axe comprise entre le point et le point de rencontre 
avec la tangente. 

Puisque DM est tangente ii l'ellipse, si, par un point V pris ad 
lihitum entre et N, je mène lEV parallèle à DO, il est évident que 
la ligne lEV coupe la tangente DM et l'fdlipse, soit aux points E et I. 
Mais, puisque DM est tangente à l'ellipse, tous ses points, sauf D, sont 

DO- DO- 
en dehors de l'ellipse, donc IV >• EV et -^^ > TW' ^'"'^' 'l'après la 



propriété de l'ellipse, 
0!VP 



1)0^ 



ZO.ON , p , , 1)0'- 

ZVTVN' ^^ l'anti'C part -p^ 



OM'- 
VM^' 



ZO.ON 
ZV.VN 



Donc ^r/Tr^T > 



VM* 



I ERMAT. 



m. 



130 Œuviii:s 1)1-: n:i',MAT. 

Sdil l'arliid'aii'c OV = c. nous aurons 

ZO . ( )\ = i.A', Z V . V\ — /y- — ie -H A-'' — c- 
0\I- = fl-, VM- r= a- -+- c- — 2 rfe. 



[I'i5, 117 I 



I)(ine 7 -, > -; 7. 

0:,' — oc -+- i;e — e- «- H- t- — 2 ac 



Si iloiii' on nuiltiplic Ir pri' 



Miinr tormo |iar le dernier et le second par le Iroisième, on aura 
hi^n- -+- l)^c- — 2 b'^au > b;^a- — hea"- -\- ,^eu'' — ci' <■-. 

pruililil ilu pi-emirr loniie (lar le Utfriiier 

Il faul ijiinr, siiivaiil nia nirtlimlc, ronipai'cr [)ai' adéîralité ci^s deux 
produils, relranclier ic (|ni leur est coniniuii et diviser ce ([ui reste 
|)ar r; on aura donc 

h^c — 2 b^a <^n — ba- + '^a"- — a'c. 

Supprimant les termes où reste c, 

— 2 /^i'rt oo — ba- -i- ira-, 

membres (|u'il faut égaler, d'après la inélhode. Transposant cdinnie il 
convient, on aura /></ — ^rt = "i-hg. 

On voit (ju(^ cette solution est la même que celle d'Apollonius, 

car, d'après ma construction, j)our trouver la tangente, il faut faire 

b-^ ob ZO-ON 2Z() ... ,, \ Il rv 11 

-- := — OU — TTïT — = -,TTF' taudis (juc, d après celle d Apollo- 



nius, il tant tain 



ON OM 

ZO ZM 



<A»T — ïï^- '1 ''^t clair que ces deux constructions 

OiN M:> ' 

reviennent au même. 

.le pourrais ajouter iiomliri' d'autres exemples, tant du premier ([iie 
du second cas de ma méthode, mais ceux-ci sullisent, et prouvent assez 
qu'elle est générale et ne tombe jamais en défaut. 

Je n'ajoute pas la démonstration de la règle, ni les nombreuses 
autres applications (jui pourraient en contirmer la haute valeur, 
comme l'invention des centres de gravité et des asymptotes, dont 
j'ai envoyé un exemple au savant M. de Hoberval. 



MAX[MA ET MINIMA, 131 

IV. 

MÉTHODE DU MAXIMUM ET MINIMUM. 

lui t'tiuliant la métliodo (le la syncrisc et de Vanastrop/ir de Viètc, et 
on poursuivant soigncuscinorit son application à la reelieiche de la 
constitution dos équations corrélatives, il m'est venu ii l'esprit d'en 
dériver un procédé pour trouver le maximum ou le minimum et pour 
résoudre ainsi aisément toutes les dillicultés relatives aux condilions 
limites, qui ont causé tant d'embarras aux géomi-lres anciens et mo- 
dernes. 

Les maxima et minima sont en ellet uniques et singuliers, comme 
le dit Pappus et comme le savaient déjà les anciens, (juoique Com- 
maiidin avoue ignorer ce (jiie signitie dans Pappus le terme ijL0va-/6ç 
(singulier). Il suit de hi (jiie, de part et d'autre du point conslitulil' 
de la limite, on peut prendre une é(|uation andiigue; que les deux 
équations ambiguës ainsi prises sont di's lors corrciatives, égales et 
semblables. 

Soit, par exemple, [)roposé do parlagir la dnnle h en sorte (jue le 
produit de ses segments soit maximum. Le point satisfaisant ii cette 
question est évidemment le milieu de la droite donnée, et le produit 

maximum est éical à -7-; aucune autre division de celle droite ni' don- 

a 

uera un protUiit égal a — • 

Mais si l'on propose de partager la même tlroile /> eu sorte (|ue le 
produit des segments soit égal à ;"(cetle aire étant iraitleiirs ii sup- 
j)oser plus petite que ^ji on aura deux points satisfaisant ii la ques- 
tion, et ils se trouveront situés île part et d'autre du point correspon- 
dant au produit maximum. 

SoitenciTetrt un des segments île ladroite h, on aura ha — «- = :", 
équation ambigué, puisque pour la droite « on peut prendre cliacunc 



132 ŒUVRES DE FERMAT. [158,149] 

(les deux racines. Soit donc l'équation corrélative be — e- =■ z" . Com- 
parons ces deux équations d'après la méthode de Viètc : 

ba — be ^^ n- — e-. 

Divisant de part et d'autre par a — e, il viendra 

b:= a -h e; 

les longueurs a et e seront d'ailleurs inégales. 

Si, au lieu de l'aire z", on en prend une autre plus grande, quoique 

toujours inférieure à —, les droites a et e différeront moins entre elles 

que les précédentes, les points de division se rapprochant davantage 
du point constitutif du produit maximum. Plus le produit des seg- 
ments augmentera, plus au contraire diminuera la différence entre a 
et r, jusqu'à ce qu'elle s'évanouisse tout à fait pour la division cor- 
respondant au produit maximum; dans ce cas, il n'y a qu'une solu- 
tion unique et singulière, les deux quantités a et e devenant égales. 

Or la méthode de Viète, appliquée aux deux équations corrélatives 
ci-dessus, nous a conduit à l'égalité 6 = a + e; donc, si e = a (ce qui 
arrivera constamment pour le point constitutif du maximum ou du 
minimum), on aura, dans le cas proposé, b = 2a, c'est-à-dire que, si 
l'on prend le milieu de la droite b, le produit des segments sera 
maximum. 

Prenons un autre exemple : Soù à partager la droilc b de telle sorte 
que le produit du carré de l'un des segments par l'autre soit maximum. 

Soit a l'un des segments : on doit avoir ba'- — a^ maximum. L'é- 
([uation corrélative égale et semblable est be'- — e^. Comparons ces 
deux équations d'après la méthode de Viète : 

ba- — bc- z=: a^ — e^ ; 

ilivisant de part et d'autre para — e, il vient 

ba + bc ^^ a^ + ae -t- e-, 

ce qui donne la constitution des équations corrélatives. 



[149,150] MAXIMA ET MINIMA. 133 

Pour trouver le maximum, faisons e = a; il vient 

2^a=:3a- ou 26^ 3a; 

le problème est résolu. 

Toutefois, comme pratiquement les divisions par un binôme sont 
généralement compliquées et trop pénibles, il est préférable, en com- 
parant les équations corrélatives, de mettre en évidence les dilTéronccs 
des racines, pour n'avoir à opérer qu'une simple division par cette 
différence. 

Soit il chercher le maximum de b-a — a\ D'après les règles de la 
méthode précitée, on devrait prendre pour équation corrélativi; 
h-e — e'. Mais puisque e, aussi bien que a, est une inconnue, rien ne 
nous empêche de la désigner par a -+- c; on aura de la sorte 

h-a -+- b-c — rt'— e' — 3rt-e — Ze'a 1= b-a • — a^. 

11 est clair que, si l'on supprime les termes semblables, tous ceux 
qui resteront seront affectés de l'inconnue e; ceux en a seul se 
trouvent en effet les mêmes de part et d'autre. On a ainsi 

b'' 6 = 6' +3 a'- € + 36'' a, 

et, en divisant tous les termes par e, 

b'' = e^-hia^--h3ae, 

ce qui donne la constitution des deux équations corrélatives sous cette 
forme. 

Pour trouver le maximum, il s'agit d'égaler les racines des deux 
équations, afin de satisfaire aux règles de la première méthode, dont 
notre nouveau procédé tire sa raison et sa façon d'opérer. 

Ainsi il faut égaler a iia -h e, d'où c = o. Mais, d'après la constitu- 
tion que nous avons trouvée pour les équations corrélatives, 

Z;' =r e- + 3 a^ -f- 3 ae ; 
nous devons donc supprimer, dans cette égalité, tous les termes alfec- 



134 ŒUVRES DE FERMAT. fl5l, 1521 

h's de c, coininc so n'tliiisanl à o; il rcslei'a />-:=, ')«'-, ('quatioii (jiii 
(Inmiora le inaxiiniiin clicrclir [miui' I(^ prddiiil dont il s'agit. 

Pour iiionlrcr plus {'om|)lMeiii('nt la griirralilo de celte douMe iiié- 
Ihode, eonsidéroiis de nouveaux genres d'éqnalions eorrélalivos dont 
Vii'te n'a pas traité et que nous cinpriiii((irons au Livre de \;\ Seclio/t 
(lélcrininéc d'xVpollonins (dans l'ap|)us. Livre VIL ])rop. (il), dont les 
l'ondilions de limites sont (>xpressénienl reconnues eoninie dilliciles 
|)ar Pappus. 

Soit la (boite BDIiF {Jig- 97), sur la(]tiellc on donne les pui/its V>, I), 
I'], V . Trouver entre les points D et M un point N tel que le rapport des 
produits RN X NF et DN x Nh] soit ininimuni. 

l'i.^' !)7- 



Posons Ulî = A, DF = :?, RI) — r/, l)N = «; il faut (jne le rappcu't 
(tz — (la -\- za — a- 



tta — a- 



soil niininiuni. 



Le rapport corrélalifseinblalde et égal est —- — , V > d'après 

notre j)reniii'rc uiélliode. h]galons les produits des termes moyens et 
dos extrêmes, nous aurons 

dzt>c — ilze"- — (tatie ^- d<ic--\- zabc — zac"^ — a- tic -)- a'^c- 

:= dzbci — rlza- — (lelxi + iten"--\~ zcba — zea"- — e-Art -I- c-o-. 

Supprimant les termes semhlahles et l'aisanl les transpositions conve- 
nahles : 

(Iztia — (Izbe -(- dca- — dae"- - - zcar + zaé- + «^ /«? — e"- bu =: dzci' — dze-. 

Divisant de part et d'autre par (^/ — c (ce (|ui sera (ri's l'acile, si l'on 

prend enseml)le les termes corrélatifs; ainsi ~ ^^ — -= dzb, cl d(! 

' (I — e 

même = dae, etc.; il est aisé de disposer les termes corré- 



[15?, 153] MAXIMA KT MINIMA. 135 

lalifs pour ol)tcM)ir oos divisions), on aura, après la division, 

dzb -t- dae — zoc -I- bac = dza -i- dzc, 

ôgalilé qui donne la constitution des deux é([ualions corrélatives. 

Pour passer do cette conslilution au inininiuin, il faut, d'apri-s la 
méthode, faire c = a, d'oii 

dzb + da- - :a- -h ba-z= 2dza; 

la résolution de celte équ^ilion donnera la valeur de «, pour laquelle 
le rapport proposé sera minimum. 

L'analyste ne sera pas arrêté par ce que cette é(|uation a deux ra- 
cines, car celle (ju'il faut prendre se trahira d'elle-même, ([uand ou ne 
voudrait pas la reconnaître. ^Féme avec des équations ayant plus de 
deux racines, un analyste tant soit peu sagace ])ourra toujours se servir 
de l'une ou île l'autre de nos méthodes. 

Mais il est clair, d'apri's l'exemple (|ne nous venons de traiter en 
dernier lieu, que la première de ces deux méthodes ser.i en général 
d'un emploi peu commode, par suite de ces divisions répété(!S par uu 
binôme. Il faut donc recourir à la seconde qui, quoique simplemeni 
dérivée de la première, comme je l'ai dit, procurera aux habiles ana- 
lystes une facilité surprenante et d'innomhrahles ahrévialious; hien 
plus, elle s'appliquera, avec une aisance et une élégance hien su(»é- 
rieures, à la recherche des tangentes, des centres de gravité, des 
asymptotes et autres questions pareilles. 

(Vest donc avec la même contiance (jue jadis, (jue j'allirme toujours 
aujourd'hui que la recherche du maximum et du minimum se raml'ue 
il celte règle uni(|ue et générale, dont l'heureux succès sera toujours 
légitime et non pas dû au hasard, comme cerlains l'ont pensé. 

Soil a une inconnue (ro/r page i2i, ligne G à ligne dernii're). . . au 
première expression. 

S'il reste encore quehju'un qui considère cette méthode comme dui' 
à un heureux hasard, il peut hien essayer d'en rencontrer un pareil. 



136 ŒUVRES DE FERMAT. [153,154] 

Quant à celui qui ne l'approuverait pas, je lui proposerai ce pro- 
blème : 

Élant donnés trois points, en trouver un quatrième tel que la somme de 
ses distances aux trois points donnés soit mtnima. 



V. 

APPENDICE A LA MÉTHODE DU MAXIMUM ET MINIMUM. 

Dans le cours des questions, il se présente souvent des radicaux; 
l'analyste ne doit pas alors hésiter à employer une troisième inconnue, 
ou, s'il le faut, à en poser un plus grand nombre encore; on pourra 
en effet de la sorte éviter les élévations aux puissances qui, en se 
répétant, compliquent d'ordinaire les calculs. L'artifice de cette mé- 
thode va être expliqué par les exemples (|ui suivent : 

Soit un demi-cercle de diamètre AB (Jig. 98), avec la perpendiculaire 
DC au diamètre. On demande le maximum de la somme AC 4- CD. 

Fig. 98. 




Soit l) le diamètre, posons AC = a ; on aura donc CD = \Jba — a'-. La 
question est ramenée à rendre maxima la quantité a + <^lm — a-. 

En appli(|uant les règles de la méthode, on arriverait à adégaler 
des expressions dont le degré serait trop élevé; désignons donc par o 
la quantité maxima; car pourquoi abandonnerions-nous l'usage adopté 
par Viète de représenter par des voyelles les quantités inconnues (' )? 

(') Pour conserver la notation de Fermât, tout en évitant la confusion avec le zéro, 
nous surmontons d'un trait la vovellc o. 



ll.i, loi] MAXIMA ET MINIMA. 137 



Nous aurons iloiic a -h \Jha — a- = o; donc o — n = \(ja — a-, ut en 
élevant au carré : 

u ->r a- — loa =- ba — a-. 

Cela l'ait, il faut elTectuer une transposition tie façon qu'un membre 
(le l'équation soit formé par le seul terme où o ligure ;i la plus haute 
puissance; on pourra dès lors déterminer le maximum, ce qui est le 
but de l'artitice. Cette transposition nous donne 

ba — -la--^ lod zz^ o . 

Mais par bypothès(^ o est la quantité maxima; donc o , carré d'une 
quantité maxima, sera lui-même un maximum; par conséquent, 

ha — là- — -^oa (expression égale ii o j sera un maximum. Il n'y tigurt^ 
d'ailleurs aucun radical; trait(uis-la, d'après la méthode, comme si u 
était une quantité connue. Nous aurons Vadcgalilè 



Supprimons les termes communs, et divisons les autres par e. 

Il -\- 2 W l^ 2 e -t- .'l (7. 

Supprimons -le d'après la règle; nous aurons 

b -+- io --- \(i, d'ofi i\a — b =z :>,« on iff — \ b =z o. 

Cette égalité étant établie par la méthode, il faut revenir;! la pre 
mière, dans laquelle nous avons posé a -\- sjba — a- — o. 
Mais nous venons de trouver o — 'in — ; b ; donc 



2 « — l b T- a -i- \i ba — a-, d'où a — \ b _ _ {^/bu — a-. 

Elevons au carré : 

a- ■+- \ b- — ba = ba ~ a-, 

d'où enlin 

ba — «'^ ^ b-; 

de cette dernière équation on tirera la valeur de a correspondant au 
maximum cherché. 

Ff.rmvt. - Ml. l8 



138 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[150, 15*1 

Nous pouvons omployor lo même artiticc pour trouver le cône de sur- 
face inaxima qui peut être inscrit dans une sphère donnée. 

Soient AD {Jig- 99) le diamètre de cette sphère, AC la hauteur du 
cône cherché, AB son côté, BC son rayon do base. Il faudra, d'après 
Archimède, que la somme AB x BC + BC- soit maxima. 



l'ii; 




Soit I) le diamètre; posons AC = «. Nous aurons AB -- y'^^'^' 
BC -- sjha -a-, 

AR X RC + RC- — \il?a--~ ha- + l>a — n\ 

Egalons cette somme à l'aire maxima, soit o : 



o -\- a- 



bn --- \ h'^a^ — ha-' 



Elevons au carré, etc.; la méthode que nous avons indiquée con- 

duira à une équation donnant o , et permettant ainsi de résoudre (■('!!(' 
que nous venons de poser. 

Cependant, dans l'exemple choisi, on peut obtenir la solution 
sans prendre une troisième inconnue; car on peut ramener le pro- 
blème à chercher, en se donnant la droite AB dans le triangle CBA, 

quel est le maximum du rapport —^, , et, dans ce cas, la 

méthode ordinaire est sulTisante. 

Soit h la droite donnée AB ; posons CB~a, nous aurons 

AC- ■- Ir ■■- d'^. Mais -. ,y, = . ,, ,; donc AD-=^ ,t --,• Or nous voulons 

AH- Al)^ b^ — n- 

que le rapport de ha -1- a'- à cette dernière expression soit maximum. 

Multiplions haut et bas par /y- -- a-\ le rapport 7- r^ — '- — , — r 

doit être minimum. Mais // est donné, comme puissance de la don- 
née h; donc la quantité h^a -+- b'^a' ba^ — «' doit être maxima. 



[157] MAXIMA ET MliNlMA. .139 

La méthode conduira à l'équation 

b^ + 2 //- « = 3 ha- -+■ 4 « '. 

dont le degré s'abaisse immédiatement (') : 

'l rt- — /jri -z b- ; 

la solution est dès lors évidente. 

Nous ne nous arrêtons pas davantage sur un sujet désormais éclairci ; 
on voit comment, en recourant à une troisième ou à une quatrii-me 
inconnue, et, s'il le faut, en multipliant encore le nombre des posi- 
tions auxiliaires, on peut se débarrasser des radicaux et de tous les 
autres obstacles qui peuvent arrêter l'analyste. 

Cependant, et quolcjuc l'invention des tangentes découle elle-même 
de la méthode générale, on peut remarquer que, dans certains cas, 
les questions de maximum ou minimum peuvent se résoudre plus 
élégamment et peut-être plus géométriquement, au moyen de la con- 
struction d'une tangente. 

Donnons-en un seul exemple, qui peut valoir pour plusieurs : 

Dans un dcnii-ccrclc FIJD {fig- loo), on mène la perpendiculaire. BE; 
on demande le maximum du produit FE X EB. 



l''i.'. 10(1. 



A^. 




Si, d'après notre méthode, on cherche à construire le rectangle 
FE X EB en s'en donnant la valeur, la question se ramène à décrire 
une hyperbole ayant pour asymptotes AF, F(], et pour la(|uellc le^ 
produits des abscisses FE par les ordonnées Eli aient la valeur donnée; 

(' ) En leiianl compte do la racine n -^ — b- 



lr^O ŒUVHES DE FERMAT. [ir,s, ivi] 

los points d'intorscction do, l'hyperbole et du demi-cercle salisfcront 
à la question. Mais, comme le produit Flî x EB doit être maximum, il 
s'agit en fait de construire une hyperbole qui ait pour asymptotes 
AF, FC et qui, au lieu de couper le demi-ccrclc, lui soit tangente, soit 
en 15; car les points de contact déterminent les quantités maxima ou 
minima. 

Supposons le probli'me résolu : si l'hyperbole touche le demi-cercle 
en 15, la tangente en H au demi-cercle sera également tangente à l'hy- 
perbole. Soit ABC celte droite. Elle est tangente à l'hyperbole en B et 
rencontre les asymptotes en A et C; donc, d'après Apollonius, AB — BC; 
par suite, FE = EC et AF — 2BE = 2AN. Mais, comme tangente au 
cercle, ]{A = AF; donc BA = 2AN, et à cause de la similitude des 
triangles, si M est le centre, MB = 2ME. Mais le rayon MB est donné; 
donc le point E le sera. 

On peutdemême ramener en général toute recherche de maximum 
ou de minimum à la construction géométriques d'uiKî tangente; mais 
cela ne diminue eu rien l'importance de la méthode générale, puisque 
la construction des tangentes en dépend, aussi bien que la détermi- 
nation des maxima et des minima. 



VI. 

SUR LA MÊME MÉTHODE. 

La théorie des tangentes est une suite de la méthode, dès longtemps 
publiée pour l'invention du maximum et du minimum, qui permet de 
résoudre très aisément toutes les questions de limitation, et notam- 
ment ces fameux problèmes dont les conditions-limites sont indiquées 
comme dilïiciles par Pappus (Livre VII, préf.). 

Les lignes courbes dont nous cherchons les tangentes ont leurs pro- 
priétés spécifiques exprimables, soit par des lignes droites seulement, 



[150,160] MAXIMA ET MINIMA. 1/tl 

soit encore par des courbes compliquées comme on voudra avec dos 
droites ou d'autres courbes. 

Nous avons déjà satisfait au premier cas par noire règle, (|ui, trop 
concise, a pu paraître dilTicile, mais cependant a été reconnue légi- 
time. 

Nous considérons en fait dans le plan d'une courbe ([uelconijuc 
deux droites données de position, dont on peut appeler l'une diamètre, 
l'autre ordonnée.. Nous supposons la tangente déjà trouvée en un point 
donné sur la courbe, et nous considérons par ndégaUté la propriété 
spécilique de la courbe, non plus sur la courbe même, mais sur la tan- 
gente à trouver. En éliminant, suivant notre théorie des maxima et mi- 
ninia, les termes qui doivent l'être, nous arrivons à une égalité (|ui 
détermine le point de rencontre de la tangente avec le diamètre, par 
suite la tangente elle-même. 

Aux nombreux exemples que j'ai déjà donnés, j'ajouterai celui de 
la tangente à la cissoïde, inventée, dit-on, par Dioclès. 

Soient un cercle dont les deux diamètres AG, BI {fig. loi) se cou- 
pent normalement, et la cissoïde IHG, à laquelle, par un quelconque 
de ses points, soit H, il faut mener la tangente. 




Supposons le problème résolu, et F l'intersection de CG et de la 
tangente HF. Posons DF = «, et, en prenant un point M (|uelcon([ue 
entre D et F, DE == <?. 

U après la propriété specitique de la cissoïde : vrrr = , „-> on aura 



1V2 ŒUVRES DE FERMAT. |i(,û, Kil] 

donc à exprimer analvtiqucment VadéîraUtc ~, •^ r^,^.^ EO étant la 
' ' ^ ^ EG EO 

portion de la droite EN interceptée entre M et la tangente. 

Soient la donnée AD = z, la donnée DG — n, la donnée DH = r, et, 
comme nous l'avons dit, l'inconnue DF = a, l'arbitraire DE -- e. 

On aura , 

E(î^r/i — e, EO = — - ' EN— v-/( — ze -\- ne — e- . 

a 

D'après la règle, il faut considérer la propriété spécifique , non 

NF EG 
pas sur la courbe, mais sur la tangente, et poser donc ~ — p-„-> EO 

étant l'ordonnée de la tangente, ou, en notations analytiques, 

Jz II — ze -h /le — e- n — e 

i^ ; 

/( — e ra — re 



carrant, pour se débarrasser du radical : 

zn — z e -h HP — e- « - -l- e- — a ne 

n' -\- e- me r- a- -\- r'' e"- -9.r''ae 

(I- 

ÎMultipliant tous les termes par a', et adègalant, d'après la ri-gle, le 
produit des extrêmes au carré du moyen, supprimant les termes su- 
perllus, conformément à la méthode, on aura enfin 

i za -\- lia =: îzn. 

D'où la construction suivante de la tangente : Prolongez le rayon CA 
du cercle donné jusqu'en V et prenez AV = AC. Divisez AD x Dd 
par VD, soit DF le quotient; joignez FH; vous aurez la tangente à la 
cissoïde. 

Indiquons aussi la façon de procéder pour la conclioide de Nicomcde, 
mais indiquons-la seulement pour ne pas être trop long. 

Soit la conchoïde de Nicomiide construite sur la figure ci-contre 
{fig- loi), comme elle l'est dans Pappus et dans Eutocius : 1 est le 
pôle, KG l'asymptote à la courbe, IHE la perpendiculaire à l'asym- 



[161, 1G2] 



MAXIMA ET MINIMA. 



U3 



ptolc, N un point donné sur la courbe, par lequel il faut men(;r une 



tançjenle NBA rencontrant lE en A. 




Supposons le problème résolu, comme ci-dessus. Menons NC paral- 
lèle à KG. D'après la propriété spécifique de la courbe, l.N — HE. 
Prenons un point quelconque, soit D, entre C et E, et menons par ce 
|)oint, parallèlement à CN, DB qui rencontre la tangente en B. Comme 
la [)ropriété spécifique de la courbe doit être considérée sur la tan- 
gente, joignons BI qui rencontre KG en M; on doit adégaler, d'après 
les règles de l'art, MB et HP]; on arrivera ainsi à l'équation cherchée. 
Pour cela, on posera, comme ci-dessus, CA = a, CD = e, EH = z, et 
on désignera de même les autres données par leurs noms. On trouvera 
l'acilement l'expression analytique de la droite MB, on Vadégalera, 
comme il a été dit, à la droite HE, et on résoudra la question. 

Ce que j'ai dit parait sulfire pour le premier cas. 11 est vrai qu'il y a 
une infinité d'artifices pour abréger.les calculs dans la pratique; mais 
on peut facilement les déduire de ce qui précède. 

Pour le second cas, que jugeait difficile M. Descartes, à qui rien ne 
l'est, on y satisfait par une méthode très élégante et assez subtile. 

Tant que les termes sont formés seulement de lignes droites, on les 
cherche et on les désigne d'après la règle précédente. D'ailleurs, pour 
éviter les radicaux, il est permis de substituer aux ordonnées des 
courbes, celles des tangentes trouvées d'après la méthode précédente. 
iMifin, ce qui est le point important, aux arcs de courbes on peut sub- 
stituer les longueurs correspondantes des tangentes déjà trouvées, et 



14'+ 



(EUVRES DE FERMAT. 



[1CÎ, 103] 

arrivera Vadc'galité, comme nous l'avons indiqué : on satisfera ainsi 
facilement à la question. 

Prenons comme exemple la courbe de M. de Roberval l^cycloïdc]. 

Soient HBIC (_/ig- io3) la courbe, C son sommet, CF l'axe; décri- 
vons le demi-cercle COMF, et prenons sur la courbe un point quel- 
conque, soit R, duquel il faut mener la tangente UB. 



Fi.'. .03. 




.Menons par ce point U, perpendiculairement à CDF, la droite \\y\D, 
cou[)anl le demi-cercle en M. La propriété spécifique de la courbe est 
(jue la droite RD est égale à la somme de l'arc de cercle CM et de l'or- 
donnée DM. Menons, d'après la précédente métbode, la tangente MA 
au cercle (le même procédé serait en effet applicable si la courbe COM 
était d'une autre nature). Supposons la construction opérée, et soient 
l'inconnue DR = a, les droites trouvées par construction : DA — h, 
MA = d; les données MD = r, RD = :;, l'arc de cercle donné CM = n, 
la droite arbitraire DK -- c. 

Par E menons EOA'^IN parallèle à la droite R.MD ; on a —— 



NIVOE' 



l'où NIVOE 



il faut donc adégaler (îi cause de la propriété spécifique de la 

courbe qui est à considérer sur la tangente) cède droite ~— ^ à la 

somme OE + arcCO. 

3îaisarcCO = arcCM-arcMO.Donc-'^--V)()EH-arcCM--arcM(). 

(i 

Pour obtenir l'expression analyti({ue des trois derniers termes, (oui 
en évitant les radicaux, on peut, d'après la remarque précédente, sub- 



1163, 1C5] MAXIMA ET MINIMA. 145 

stitucr, à OE, l'ordonnée EV de la tangente, et à l'arc MO, la portion de 

tangente MV qui lui est adjacente. 

Pour trouver l'expression analytique de EV, on a d'ailleurs 
b r ,, , „,, rb — re 

Pour celle de MV, à cause des triangles semblables, comme ci-des- 

b e ,, , .,,r de 

sus, -7 = rrî7, a ou IMV= -t-- 
(/ MV b 

Enfin on a posé arcCM == «. On aura donc analytiquemenl 

za — ze rb — re de 

^ h « — - - • 

a b b 

Multipliant, de part et d'autre, par ab : 

z ba — z be LTi rba — rae -\- biia — due. 

Mais, d'après la propriété de la courbe, z—r+n, donc zha—rba hbmt. 
Supprimant les termes communs, 

; be (y, rae + dae. 

Divisons par e; con)ine il ne reste ici aucun terme superflu, il ii'v a 

pas d'autre suppression à faire : 

, , ... r -\- d z 

zb ^:^ ra -\- dn, (I ou = -• 

a 

ni I .• PI MA + MD Kl) . . , .... 

Pour la construction, on fera donc — = jr^^; on-joiiidra BR 

qui touchera la courbe CR. 

,, • MA + MD MD . . . 1 . r 1 I r 1 

Mais comme — Tr^r — = -7t-t> ainsi qu il est facile de le démontrer, 

, r. . MO RI) , ^ . , ,. 

on peut taire -. jr = -rr^r, ou, pour que la construction soit plus élé- 
gante, joindre MC et lui mener RB parallèle. 

La même méthode donnera les tangentes à toutes les courbes de 
cette espèce. Nous avons indiqué il y a longtemps leur construction 
générale. 

Comme il a été proposé de trouver la langenle de la (fuadrataire ou 
quadratrice de Dinoslrale, voici comment nous la construisons d'après 
la méthode précédente. 

l'tnMAT. — III. IQ 



o 



s 



1^6 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[165, IC6J 

Soient AIB {fig- io4) un qiiarl do cercle, AMC la quadrataire, à la- 

f|iiclle il faut mener la tangente en un point donné M. Je joins MI; de 

I comme centre, avec IM comme rayon, je décris le quart de cercle 

MN a rc M D 
ZMD. cl, menant la perpendiculaire MN, je fais -.,. = — io"~' Rejoins 

MO qui sera tangente ii la quadrataire; que cela suffise. 



l"ig. io4. 




C D B 



Cependant il arrive souvent que la courbure change, comme dans la 
conchoïde de Nicomède (i*"" cas) et dans toutes les espèces, sauf la 
première, de la courbe de M. de Roberval (2* cas); pour pouvoir bien 
dessiner la courbe, il convient donc de rechercher mathématiquement 
les points d'inflexion, où la courbure devient concave de convexe, ou 
inversement. Cette question se résout élégamment par la méthode de 
maximis cl minimis, grâce au lemmc général suivant : 

Soit la courbe AHFG {fig- loj) dont la courbure change par exemple 
au point H. Menez la tangente HB, l'ordonnée HC; l'angle HBC sera le 
minimum entre tous ceux que la tangente fait avec l'axe ACD, qu'elle 
soit au-dessous ou au-dessus du point H, comme il est facile de le démon- 
trer. 

Qu'on prenne en effet, au-dessus du point H, un point M; la tan- 
gente en ce point rencontrera l'axe entre A et B, soit en N; l'angle en 
N sera donc plus grand que l'angle en B. 

De même, si l'on prend le point F au-dessous de H, le point D, oii 
la tangente FD rencontre l'axe, sera au-dessous de B, et la tangente DF 



lier,, 167] MAXIMA ET MINIMA. 147 

rencontrera d'ailleurs la tangente BH du côté de FH; l'angle en D sera 
donc plus grand que l'angle en B. 




Nous ne poursuivons pas tous les cas, nous indiquons seulement 
le mode de recherche, les formes des courbes variant indéfinimenl. 

Pour donc trouver, par exemple, le point H sur la figure, on cher- 
chera d'abord, d'après la méthode précédente, la propriété de la tan- 
genle en un point ([uelconque de la courbe. Puis, par la doctrine de 
maœimis e.l minirnis, on déterminera le point H tel qu'en menant la 

lie 

perpendiculaire HC et la tangente HB, le rapport ttk soit minimum. 

(>ar ainsi l'angle en B sera minimum. Je dis que le point H ainsi trouvé 
sera celui où commence le changement de courbure. 

La même méthode de inaximis el minirnis Aonno. iiL\\i'i\, par un arti- 
fice singulier, l'invention du centre de gravité, comme je l'ai indiqué 
autrefois à M. de Roberval. 

IMais, comme couronnement, on peut encore trouver les asymplvies 
d'une courbe donnée, recherche qui conduit à de remarquables pro- 
priétés pour les courbes indéfinies. Nous pourrons un jour les déve- 
lopper et les démontrer plus au long. 



U8 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[167, 1G81 



VII. 



PROBLÈME ENVOYÉ AU R. P. MERSENNE 



le lo novembre 16^15. 



Trouver le cylindre de surjace maxiina inscrit dans une sphère donnée. 

Soit donnée une sphère de diamètre AD {fig. io6), de centre C. On 
demande d'y inscrire le cylindre de surface maxima. 

Fig. 106. 




Supposons le problème résolu; soient DE le diamètre de base du 
cylindre, EA son côté (on peut en efTet donner cette position au 
cylindre, l'angle inscrit dans le demi-cercle étant droit). La surface 
du cylindre est proportionnelle à DE^ -f- 2DE.EA : il faut donc cher- 
cher le maximum de la somme DE^ + 2DE.EA. 

Si l'on abaisse la perpendiculaire EB, on a, d'uncpart,DE^=AD.DB; 
de l'autre, DE.E.\ = AD.BE. Nous avons donc à chercher le maximum 
de la somme AD . DB -1- 9. AD . BE, ou, en divisant les deux termes par 
la droite donnée AD, le maximum de la somme DB + 2BE. 

Cette question est facile : qu'on fasse CB = iBE, ou, ce qui revient 

CE 
au même, BC = -^> le point E satisfera au problème. Menons en effet 

la tangente EFqui rencontre en Fie prolongement du diamètre; je dis 
que la somme DB + 2BE est maxima. 

En effet, puisque CB = i BE, BE = iBF; donc BF = 2BE; donc 
DF = DBh-2BE; il est clair ainsi que la somme DB-4-2BE est 
maxima. 

Prenons en effet un point quelconque, soit 1, sur le demi-cercle, et 
abaissons la perpendiculaire IN; parle même point I, menons IG parai- 



IIGS, 170] MAXIMA ET MINIMA. U9 

Icle à la tangente et rencontrant le diamètre en G. Ce point G tombera 
entre les points F et D, autrement la parallèle GI ne rencontrerait 
pas le demi-cercle. En raison du parallélisme, on a tt^ = --^; mais 
FB = 2BE; donc GN = 2NI et, par suite, GD = DN + 2NI. Mais 
comme GD(== DN -+- 2NI) est inférieure à DF(= DB -+- 2BE), il s'en- 
suit que DB + 2BE est un maximum et que le cylindre cherché aura 
pour base DE et pour côté EA. 

I)F 

On prouvera, d'après ce qui précède, que le rapport ït^ est i;elui du 
plus grand au plus petit segment d'une droite divisée en moyenne et 
extrême raison. 

Nous pouvons d'ailleurs par le même procédé trouver et construire un 
cylindre de surface donnée. 

On ramènera en cITet la question à l'égalité entre la somme DN + 2 NI 
et une droite donnée, soit DG, qui, d'après la valeur trouvée pour le 
maximum, devra être au plus égale à DF. Menez GI parallèle à Ffi]; le 
point I satisfera ii la question et l'on pourra ainsi avoir tantôt deux 
cylindres, tantôt un seul répondant à la condition posée. 

Si, en effet, le point G tombe entre F et A, deux cylindres dilTérents 
satisferont au problème; mais si G tombe en A ou plus près de D, la 
solution sera unique. 



VIll. 

ANALYSE POUR LES RflFRACTIONS. 

Soit ACBI {fig. 108) un cercle dont le diamètre AFDB sépare deux 
milieux de nature différente, le moins dense étant du côté ACB, le 
plus dense du côté AIB. 

Soient D le centre du cercle et CD le rayon incident tombant sur ce 
centre du point C donné; on demande le rayon réfracté DI, ou autre- 
ment le point I par où passera le rayon après la réfraction. 

.\baissez sur le diamètre les perpendiculaires CF, IH. Le point C 



150 ŒUVRES DE FERMAT. [170, i7î] 

(Maiit donné ainsi que le diamètre AB et le centre D, le point F et la 
droite FD seront également donnés. Supposons que le rapport de la 
résistance du milieu plus dense à celle du milieu moins dense soit 
celui de la droite donnée DF à une autre droite m donnée en dehors 
de la figure. On devra avoir /?î-<DF, la résistance du milieu moins 
dense devant être inférieure à celle du milieu plus dense, par un 
axiome plus que naturel. 




Nous avons maintenant à mesurer, au moyen des droites m et DF, 
les mouvements suivant les droites CD et DI; nous pourrons ainsi 
représenter comparativement l'ensemble du mouvement sur ces deux 
droites par la somme de deux produits : CD.m + DI.DF. 
. Ainsi la question est ramenée h partager le diamètre AB en un 
l)oint H de telle sorte que si en ce point on élève la perpendicu- 
laire HI, puis qu'on joigne Dl , l'aire CD.//2 + DI.DF soit minima. 

Nous emploierons à cet eiïet notre méthode, déjà répandue parmi 
les géomètres et exposée depuis environ vingt ans par Hérigone dans 
son Cursus inatliematicus. Appelons n le rayon CD ou son égal DI, b la 
droite DF, et posons DH = a. Il faut que la quantité nm + nb soit 
minima. 

Soit, pour l'inconnue e, une droite arbitraire DO; joignons CO, 01. 
En notations analytiques : C0- = n'^ + e'^— nbe, et 01'- = «- + e^-l- 2«c; 
donc 



CO. m —-\jm- 11^-^ nt'-c^— ini^bc, 10. i = \fWn^+ b'^c'-h ib-ac. 

I.a somme de ces deux radicaux doit être adégalée, d'après les règles 
de l'art, à la somme mn -\- bn. 



1172,173) MAXIMA ET MINIMA. 151 

Pour faire clisparaitro les radicaux, on éliîvora au carré, on suppri- 
mera les termes communs et l'on transposera de façon à ne laisser dans 
un dos membres que le radical (|ui subsistera; puis on élèvera de nou- 
veau au carré; après nouveau retrancliement des termes communs de 
part et d'autre, division de tous les termes par e et suppression de 
ceux où c entrera encore, selon les règles de notre méthode généra- 
lement connue depuis longtemps, on arrivera, en ôtant les facteurs 
communs, à l'équation la plus simple possible entre a et m, c'est- 
à-dire qu'après avoir fait disparaître les obstacles opposés par les 
radicaux, on trouvera que la droite DH de la figure est égale ;i la 
droite m. 

Par conséquent, pour trouver le point de réfraction, il faut, ayant 
mené les droites CD et CF, prendre les droites DF cl DU dans le rap- 
port de la résistance du milieu plus dense à celle du milieu moins 
dense, soit dans le rapport de h à m. On élèvera ensuite en H la per- 
pendiculaire HI au diamètre; elle rencontrera le cercle en I, point où 
passera le rayon réfracté; et ainsi d'ailleurs le rayon, passant d'un 
milieu moins dense dans un plus dense, s'infléchira du coté de la [)er- 
pendiculaire : ce qui concorde absolument et sans exception avec le 
ihéoriMne découvert par Descartes; l'analyse ci-dessus, dérivée de 
notre principe, donne donc de ce théorème une démonstration rigou- 
reusement exacte. 



IX. 

SYNTHÈSE POUR LES RÉFRACTIONS. 

Le savant Descartes a proposé pour les réfractions une loi qui est, 
comme on dit, conforme à l'expérience; mais, pour la démontrer, il 
a dû s'appuyer sur un postulat absolument indispensable à ses raison- 
nements, à savoir que le mouvement de la lumière se ferait plus faci- 
lement et plus vite dans les milieux denses que dans les rares; or ce 
postulat semble contraire à la lumière naturelle. 



15"2 



ŒUVRES DE FEmiAT. 



[173, 17/)] 

lin cliercliant, pour é(ai)lir la véritable loi des réfractions, à partir 
du principe contraire, — ii savoir que le mouvement de la lumière 
se l'ait plus facilement et plus vite dans les milieux rares que dans 
les denses, — nous sommes retombés précisément sur la loi que 
Descartes a énoncée. Est-il possible d'arriver sans paralogisme à une 
même vérité par deux voies absolument opposées, c'est une (|ues[ion 
que nous laissons à examiner aux géomètres assez subtils pour la 
résoudre rigoureusement; car, sans entrer dans dévalues discussions, 
la possession assurée de la vérité nous sulFit et ik^s l'estimons pré- 
férable il une plus longue continuation de querelles inutiles et illu- 
soires. 

Notre démonstration s'appuie sur ce seul postulat que la nature 
opère par les moyens et les voies les plus faciles et les plus aisées. Car 
c'est ainsi que nous croyons qu'il doit être énoncé et non pas comme 
on le fait d'ordinaire en disant que la nature opère toujours par les 
lignes les plus courtes. 

En eiïet, de même qu'en spéculant sur les mouvements naturels 
des graves, Galilée en mesure les rapports aussi bien par le temps 
que par l'espace, de même nous ne considérerons pas les espaces ou 
les lignes les plus courtes, mais celles qui peuvent être parcourues 
le plus facilement, le plus commodément et dans le temps le plus 
/;ourl. 

Cela supposé, soient deux milieux de nature diUerenle (J'g- 109) 



Vip. 109 




séparés parle diamètre ANB du cercle AHBM, le milieu le moins dense 
étant du côté de M, le plus dense du coté de H; menons de M vers H 



(174,175) MAXIMA ET MINIMA. 153 

los lign(>s quelconques MNH, JMllH, brisées sur le diauiètrc aux points 
N et H. 

La vitesse du mobile sur MN dans le milieu rare étant plus grande, 
d'apri's l'axiome ou le postulat, que la vitesse du même mobile sur NH, 
et les mouvements étant supposés uniformes dans ehacun des deux 
milieux, le rapport du temps du mouvement sur MN au temps du 
mouvement sur NH sera, comme ou sait, le produit du rapport de MN 
il NH et du rapport inverse des vitesses sur NH et sur MN. Soit donc 

. vitesse sur MN MN lomps sin- MN IN 

P"*t^ -■-. sfTT = -<-r' 011 aura — ' ^rn =^ ^^tt.- 

' vitesse sur Nil iNl leuips sur NU Mil 

On prouvera de même que si le rapport de la vitesse dans le milieu 

rare a la vitesse dans le milieu dense est r,,,-! on aura ' rr,, = rm- 

Ul' temps sur lUl IIU 

n. . -1 -, temps sur MNH IN + MI 

i) ou il suit que , ' ^^,, = ,-j, — r— • 

' temps sur MlUl Pl{ -+- Hll 

Or, puisque c'est la nature qui dirige la lumière du point M vers le 
point H, nous devons chercher un point, soitN, par lequel la lumière, 
en s'infléchissant ou se réfractant, parviendra dans le temps le plus 
court du point M au point H; car on doit admettre que la nature, qui 
mène le plus vite possible ses opérations, visera d'elle-même ce 
point-là. Si donc la somme IN -!- NH, qui mesure le temps du mouve- 
ment sur la ligne brisée MNH, est une ([uantité miniina, nous aurons 
atteint notre but. 

L'énoncé du théorème de Descartes donne ce minimum, comme 
nous allons aussitôt le prouver par un véritable raisonnement géomé- 
trique et sans aucune ambiguïté. Voici en efTet cet énoncé : 

Si du point M on mène le rayon MN, que du même point M on abaisse 

J)N 

la perpendiculaire MD, puis que l'on prenne ,,',- dans le rapport de la 

plus grande vitesse à la moindre, (ju'entin on élève en S la perpendi- 
culaire SH.et que l'on mène le rayon NH, la lumière incidente au 
point N dans le milieu rare se réfractera dans le milieu dense du coté 
de la perpendiculaire vers le point H. 

C'est ce théorème qui est en accord avec notre Géométrie, comme 
il résulte de la proposition suivante purement géométrique. 

1m;iim»i. — 111. ^-'J 



15i ŒUVRES DE FERMAT. [175, I7G] 

Soit le cercle AHBM, dont ANB est un diamètre et N le centre; sur 
la circonférence de ce cercle je prends un point M quelconque, je 
mène le rayon MN et j'abaisse sur le diamètre la perpendiculaire IMD. 

Soit donné d'autre part le rapport j^> en supposant DN > NS; on S 

j'élève au diamètre la perpendiculaire SH qui rencontre la circonfé- 
rence au point 11; je joins ce point au centre par le rayon HN. Posons 

DN MN . ,. , ,^, ^Tj, , ' . > I- 

^fTT.- = ^rrr; le dis nue la somme IN -i- NU est minima; c est-a-dire que 

Nh NI ■• ' ^ 

si l'on prend un autre point quelconque, R par exemple, sur le rayon 
NB, que l'on joigne MR, RH et que l'on fasse ^ == j^p^, on aura 
PR + RH > IN ^- NH. 

n I j' . e ■ MN '^N DN NO ,, , , . 

Pour le démontrer, faisons jp^ ~ nô ^ NS ~ Nv' *^'' ^ ^^^'' 

par construction, puisque DN est plus petit que le rayon MN, on aura 
NO < NR; de même, puisque NS < ND, on aura NV< NO. 

Cela posé, on a, d'après Euclide : MR' = MN' + NR' + ?.DN.NR: 

MN NR 
mais puisque, par construction, -r-^ = ^^jt) on a MN.NO = DN.NR; 

donc 2MN.NO = 2 DN.NR; donc MR' =^ MN^ + NR' + 2 MN.NO. 
Mais, puisque NR > NO, NR' > NO' ; donc 

MRï> MN2 + N0-+ 2MN.NO. 

Mais la somme MN' ■+- N0--4- 2MN.NO = (MN -+- NO)'. Donc 

MR > MN -+- NO. 

f., , , , ,. DN MN NO , 

D autre part, par construction, ^ = -jr|-ï- = ^i donc 

DN _ MN + NO 
NS ~ IN +NV ■ 

,, . . DN MR , MN+NO MR ^ »,n ^ mm m^ 

Mais on a aussi ^ = j.j^; donc ..; — ^^ = .^, • Or MR > MN -+- NO; 

donc aussi RP>IN + NV. 

Il reste à prouver que RH > HV; car, s'il en est ainsi, il est clair que 
PR 4- RH > IN + NH. 



[177.178] MAXIMA ET MINIMA. 155 

Or dans lo triangle NHR, d'après Euclidc, 

HH-=HN2-i-NR=-2SN.NR. 

., . ... MN(=NH) NU . I)N NO , 

Mais par construction rr^ = jj-r, et -r-- — -rr^; donc, ex œquo, 

HN NR 

^^ = ^. DoncHN.NV = NS.NRetaHN.NV = -2SN.NR; donc 

Nt> i\V 

UH= = HN= + NU' - a UN . N V. 

Mais on a prouvé que NR-> NV-; donc 

HU'>HN-+NV=-2nN.NV. 

Or HN- + NV- - 2HN.NV= HV'-', d'après Euclidc; donc HR-> HV- et 
HR > HV. Ce qu'il restait à prouver. 

Si l'on prend le point R sur le rayon AN, quand même les droites MR, 
RH se trouveraient dans le prolongement l'une de l'autre, comme dans 
la ligure suivante (y?^. iio), — la démonstration étant d'ailleurs indé- 

Fis. iio. 




pendante de ce cas particulier, - le résultat sera le même, c'est-ii-dire 

que l'on aura toujours PR + RH > IN + NH. 

., . . , MN UN , 1)N" NO -, , , • 

raisons, comme ci-dcssus, jp- = iCTT <^i "SJc = sTy'' '' ^^^ '^'•^"' M"'" 

RN > NO et NO > NV. 

MR- = MN- -h NR- - -DN.NR. A 2DN.NR on peut, d'après le même 

raisonnement que ci-dessus, substituer 2MN.NO; d'ailleurs NR-> NO '; 

doncMR->MN^ + NO-- 2MN.NO. Mais 

MN-+NO- 2MN.N0ruM0^ 

Donc MR^ > MO- et MR > MO. 



lo6 ŒllVHES I)K FERMAT. [I7S, 170 1 

,v , /T , , "N MN NO , 

1) autre part, on a, par (•onstruclion, >;< = "|]«- = ivy ; donc, 

• ■ • Mi^ NI . ,. • , , MO IV , 
rici.ssim : ^y = ^^ > et an'idendo : — ^- = v^j^> et vicissim : 

M(l ON DN _ MR 
fV' " W ~NS " IIP' 

Mais on a prouvé que MU > MO; donc PR > IV. Il reste à prouver, 
pour établir la proposition, que RH > UN + NV; ce qui est très facile 
d'après ce qui précède. 

Kn eiïct RH^= HN- + NR= + 2SN.NR; à 2SN.NR on peut substi- 
tuer, comme on l'a vu, 2IIN.NV; d'ailleurs NR->NV-. Donc 

Iin-> \\W-\- NV^-t- o.UN.NV; 

donc, comme ei-dessus, HR > IIN + NV. 

Il est donc certain que la somme des deux droites PR, RH, quand 
même elles ne formeraient qu'une droite uniijue PRH, est toujours 
supérieure à la somme IN + NH. c. o. r. d. 



[181,182] MÉTHODE D'ELIMINATION. IS"/ 



NOUVEAU TRAITEMENT EN ANALYTIQUE 



INCON^^llES SECONDES ET D'ORDRE SIIPËRIEOII. 



La rcduetioiïaux premières des inconnues secondes et d'ordre supé- 
rieur, opération de la plus haute importance en Algèbre, trouve sou 
rondement dans la seule proportion de la double équation, à réitérer 
autant de l'ois qu'il est besoin, ainsi que le montre la marche elle- 
même de la question. 

Soit proposé 

rt^+e^— ;'" et ha + e"- -\- de-^ II'-. 

Pour ramener la seconde inconnue à la première, voici les règles : 

Faites passer dans un membre de l'équation tous les termes où 
entre la seconde inconnue. Ainsi, dans l'exemple choisi, 

(le n' 4-e' = ;'", lirez: z"'-a^-e^\ 

de ba -+- >•"- -h de _- /<-, «- — ba =z e- -i- de. 

De la sorte dans cha(|ue équation les termes en e, c'est-à-dire ceux où 

entre la seconde inconnue, constituent un des membres de l'équation. 

Si cette équation double est ramenée à une proportion, on aura 

z'" — a' : e' : : n- — ha : e- + de. 

Kn égalant le produit des extrêmes à celui des moyens, tous les 
termes seront divisibles par c, la seconde inconnue, ce qui est évi- 
dent, puisque e figure dans le second et le quatrième membre de la 
proportion. 



158 OEUVRES DE FERMAT. [isî, is:)] 

On aura 

;'"eî_ rt^ig^-t- c""rft' ~ a'' de -: «-e'— ljae\ 

Divisez par e jusqu'à ce qu'un terme soit entièrement débarrassé de e : 

z"'e - a^e + z'"d- a^d— n-e"— hae\ 

Cela fait, cette nouvelle équation sera, par rapport à la seconde 
inconnue, d'un degré moins élevé que la plus haute des deux pro- 
posées en premier lieu. On voit en effet que dans la plus haute des 
deux premières proposées entre e\ dans cette dernière, le terme le 
plus élevé par rapport à c est en e'-. 

Il ne faut pas s'arrêter ici, mais réitérer la proportion sur la double 
équation, jusqu'à ce qu'on ait ramené la seconde inconnue au premier 
degré, afin d'éviter tout radical. 

Préparons donc cette dernière équation de la manière prescrite et 
formons un membre de l'équation avec tous les termes en e, quels 
qu'ils soient; on aura 

z'^d^n'd-^ir-e--^ bat-'-- z"'c-+-a^e. 

Des deux premières équations, la moins élevée donne, comme nous 
l'avons dit : 

n- — ba ^= c'- -+- de. 

Ramenez encore cette double équation à une proportion 

:"'c? — a'oT: n"- e^ — bae- - z"'e + a'c :: n- — ba : e' + dc. 

Kgalons le produit des moyens à celui des extrêmes; tous les termes 
pourront être divisés pave, comme on l'a montré. On aura 

z"'de'--h z"'d'e - a^de-'—a^d^e 

^i-n'-e'--n''-bae-~n'-z"'e-hn'-a''e-ban''e^+b'-a^e'-:=bz"'ae ^ ba'e. 

Divisant tout par c, il vient enfin 

z"'de 4- z"'d-^a'de - a^d'- 

r=n''c - n-bac - n- z"^ -\- n-a^— ban^-e -+- b^a-e -f- bz"'a — ba'\ 

Cela fait, cette nouvelle équation est encore, relativement à la 



[I8.i, 18',| MÉTHODE D'ELIMINATION. 15!) 

seconde inconnue, al)aisséc d'un degré. Si l'on fait passer dans un 
membre de l'équafion tous les termes où entre c, on a 

zzz II' c — «- bac — ban'^c -4- b'a-e — z"'de -\- a^ de. 

Il n'y a pas lieu d'aller plus loin, puisque la seconde inconnue ne 
se trouve plus qu'au premier degré, si bien que, par une simple divi- 
sion, on aura la relation de fi à la première inconnue. Ainsi 

_ :,»>di~n'd-+nr-z"'^n-'-a'-bz"'a^ba'' 
II' — ri- ba — n'^ba + b-a' — z'"d-ha^d 

Pour ramener la recherche des deux inconnues à celle d'une seule, 
il faut reprendre une quelconque des deux équations primitives; la 
moins élevée est plus convenable pour que le degré de l'équation 
finale ne monte pas trop haut. 

Ainsi nous avons dans une des deux équations primitives : 

ba + e- + de ^ n'-. 

Au lieu de c on substituera sa valeur trouvée qui est exprimée au 
moyen soit de termes connus, soit de la première inconnue qui ici 
est a. Puis on ordonnera l'équation par rapport à cette première 
inconnue. Il est clair que la seconde sera éliminée, qu'on sera arrivé 
il une équation libre de tout radical et que la méthode est générale. 

Si en effet on proposait plus de deux inconnues, la méthode, réitérée 
autant qu'il le faudra, exprimera par exemple la troisième en fonction 
de la première et de la seconde, puis la seconde en fonction de la pre- 
mière, toujours par le même moyen. 



APPENDICE A LA METHODE PRIÎCKDENTK. 

La méthode précédente permet en Algèbre une élimination com- 
plète et absolue des radicaux. L'unique procédé que l'on ait jusqu'à 



160 ŒLVRES PE FERMAT. [1S4. 1S5J 

|)r('sont prtssrili' pcinr cott(^ ('■liniinalmn. li- rlimatisme symétriqur de 
Viète, cst loin d'être une inveiUion sutlisante et assez elficace. 
Qu'on propose par exemple 



\ ba- — a" -h \/ a- -i- ca -^ \ d'à — «'• + Vo" — a-=i n. 

Comment l'analyste à la façon de Vii'te pourra-t-il se deliarrasser de 
radieaux île eette sorte? La dilRculté ne crnilra-t-ell(^ pas. plus il pous- 
sera son travail? Enfin, fatigué et désespéré. n'impli>rera-t-il pas de 
l'Analyse une lumière nouvelle? 

Elle est clairement fournie par la méthode précédente. Je ne ilon- 
nerai qu'un seul exemple très court; car. le prineipe une fois dévoile. 
tout le reste apparaît sans la moindre diiriculte. 

^oit propose \za- — a' ■+- v« -\- h-a = a. 

D'abord on ordonnera l'équation de façon à en constituer un memlire 
avec un seul radical. 



Soit donc d — v'a'-î- b'a = \ïzar -ar. 

Cela fait, on désignera tous les radicaux, excepté celui qui a été 
rejeté seul dans un membre de l'équation, par des inconnues secondes, 
ou d'ordre supérieur, si besoin est. 

Posons donc, par exemple : \ a' -!- b'-a = e. 

On arrive ainsi au procédé de la méthode précédente, à la propor- 
tion de la double équation. On a en effet : r/ — r = \izu- — a". 

Elevant les divers membres au cube, d^-\-'5dc- ~'5d-(' — c^ = :a- — a'; 
mais, par hvpothèse. c^ = a^ -f- h-a. 

On a donc une double équation; dans eha(|ue équation, il faut, 
d'après la méthode, faire passer dans un même membre tous les termes 
où entre la seconde inconnue. On aura donc 

za- — a^ — d*—3de-—3d'-e - e\ a^-^-b-n — c'. 

On réitérera l'opération jusqu'à ce qu'on arrive à exprimer la seconde 
inconnue au moyen de la première. Cela fait, on substituera à e sa 
nouvelle valeur, dans une quelconque des équations primitives que 
l'on ordonnera; on aura résolu la question. 



(' 



1180] METHODE D'ELIMINATION. IGl 

Je n'ajoute rion île plus, ce serait inutile; je ne m'arrête pas aux; 
superfluités. Qui ne voit en ciïet que tous les termes irrationeis 
peuvent être de même représentés, si une seconde inconnue ne sullil 
pas, par des troisièmes, quatrièmes inconnues, et indéiinimeni ? 
Auquel cas on considérera d'abord comme seconde la quatrième on 
dernière, et les autres provisoirement comme première inconnue on 
comme termes connus, jusiju'ii ce qu'on ait entii-rcment éliminé cette 
dernière inconnue et ramené les équations ii ne contenir que la pre- 
mière, la seconde et la troisième. Puis par le même moyen on réduira 
la troisième inconnue à la seconde et h la première, et la seconde ii la 
premii're, comme nous l'avons déjà indiqué. 

Il n'y a donc aucune irrationelle qui résiste à l'élimination parcell 
méthode, dont l'usage est surtout précieux, intiispcnsable même, dan> 
la résolution numérique des équations. Kn effet, aussitôt les irralio- 
nelles éliminées, l'artitice de Yii'te sera applicable pour l;i rriherclie 
numéri(jue des racines; si la question ne peut être résolue en noinlires 
exacts, on aura des solutions aussi approchées qu'on le voudra. Au 
contraire, tant (ju'il v a des irrationelles, il est impossible d'arriver 
aux solutions approchées. 



U.m: uEciiEKciiF. plus approfondie a montré que l'on pouvait déduire 
de là une méthode très remarquable pourla |)leine et parfaite connais- 
sance des lieux en surface, comme aussi pour les problèmes où l'on 
lionne au ilébnt de la question plus d'éléments que n'en réclame la 
détermination de la construction du problème. 

Pour expliquer ceci plus clairement, il y a certains problèmes (|ui 
ne reconnaissent qu'une position inconnue, et qu'on [)eut ap[)eler 
(léterniiiiés, pour les distinguer des problèmes de lieux. Il y en a cer- 
tains autres qui ont deux positions inconnues et ne peuvent jamais 
être ramenés à n'en avoir qu'une seule : ce sont les problèmes de 
lieux. Dans les j)remiers problèmes, nous recherchons seulement un 
point unique, dans les derniers, une ligne. .Mais si le problème pro- 
posé admet trois positions inconnues, il s'agit de trouver, pour satis- 

l'LIlJIAT. — Ul. 2 1 



16-2 (j:[Vr,F,> |)K ri:i!MAT. [1S71 

t'airo il la qiioslion. non pins siuilcnii'iil un |Miint lùi uni^ lii^no. mais 
IiiiMi une surface entière; de là naissent les lieux en surface, etc. 

De nicmo que dans les premiers problèmes les données suffisent 
pour drterniiner la (|ueslioii, dans les seconds il m;iii(|ur une donni'e 
pour la deleraiination; dans les troisièmes il en mancjuc deux. Mais 
il pi'ul se faire que, de même que dans ces cas les données sufTisent ou 
sont m iionilii'e insnirisant. au conlrairr lian^ d'aiilrcs, les dnniu''es 
soient snrahondantrs et eu exeès. Un exemple rendra la chose claire. 

Sur la droite AC ( fi^. ()\ ) donurc, on donne le pmdiiil AB x BC et 
la dilïérence des carrés AB^ — BC-. 

A B. Ç 



11 l'-l clair que dans ce cas il va plnsde données ([ue n'eu réclament 
la détermination et par conséquent la solutiiui de la (jiieslion. (k^pen- 
dant ces problèmes se présentent très fréquemment, surtout en Phy- 
sique et dans les arts manuels; tous peuvent se traiter, grâce à noire 
méthode, par une simple division, sans recourir à des extractions de 
racine, ii quidque degré que puissent monter les équations. 

Soit proposé, par exemple, dans une certaine question : 

rt'-l- h-a = c'-d, 

et en même temps, parce que nous supposons la question surabon- 
danle (c'est le nom que nous donnons à ces problèmes, de même que 
nous avons. pour habitude d'appidcr dcficienls l(>s proldi'uies de lieux) : 

Ramenez cette double écination ii une proportion, en Irailaut. par 
l'application de la méthode <|ue nous avons enseignée, notre niii(|ue 
inconnue, ici «. comme nous avons fait ci-dessus la seconde, ou bien 
celles d'ordre supérieur, et réitérons l'opération jusqu'à ce que la 
valeur de a puisse s'obtenir par une simple division, et être exprimée, 
non plus au moyen de l'inconnue première, mais bien en termes entiè- 



[188] MÉTHODE DKLIMINATION. 1C:i 

rcnirnt coiiiuis. On aura iiiio sdlulmn ti-('s siiiipli' du pniIjh'Mno. cl 
raiialyslL' ne scia plus ciul)ari'assc par les équalious quadratiques, 
fubicjui's. liiquailrali(|uos. olc 

Vdici, conimc couronneincnl , la solution dès simple (|ue nodc 
niélhodo donne de ee fameux prohli-me : 

EUinl donnes luic ellipse et un jxitnl en deliors de son pUui . eoiiper par 
un pliin. de façon que la seelion soi/ un cercle, la surface coiiupie avant 
pour sommet le point donné et pour hase i ellipse donnée. 

Lesgéomi'tres ramènenl la (jueslion ii prendre «'////>//«//; ciiKj points 
sur l'idlipse, ;» joindi'e ces points par tics droites au sommet de la 
surface conique, et à <lt'crire un cercle passant (lar ces cin(| droites; 
ils trouvent ainsi que le problème est solide. .Mais, puistjue sur Fei- 
lipse le nombre des points est indctini, si an lii'U de cinq, on en jirend 
six, le |)robli'me sera surabondant, (^t on arrivera ;i une double é([ua- 
tion, (|ni donnera finalement l'inconnue par une simple division. 

De niP.uic, si l'on donne une coiu'Ik' (|uelcoii(jue plane, on un lieu 
en surface, quel qu'en soit le di'grc. ou pourra trouver les diamètres 
et les axes et même, dans la surface-lieu, toutes les courbes constitu- 
tives du lieu en surface, etc. 

Soit, par exemple, une surface coni(|ue dont le sommet soit donné 
et (jui ait pour base une parabnle ou une (dlipse cnlii(|ue on biqiiadra- 
ti(jue, ou de qucbjuc degré supérieur, en allani inscjuii l'iutini. Lue 
telle surface peut être coupée au inoviui de notre metliode de façon ii 
obtenir une courbe quelconque qui puisse être tracée sur cette" sur- 
face d'après sa nature, et la solution du problème sera toujours très 
simple. 

Je n'ajoute rien sur les tangentes des courbes ni sur les autres et 
nombreuxusagesde cette métliode. (|ui se [)résenleronl d'eux-mêmes à 
la réilcxion attentive du cberclieur anaivsto. 



IGl ŒUVKES DE FEUMAT. [US!), l'Jii 

SUR LE 

PROBLÈME D'ADRIEN ROMAIN. 



Au riiks ILLUSTRE CiinisTiAN IIUYriENS. 



liln examinant plus attentivement, l'année doinièrc, la célrhrc 
réponse de François Viète au problème d'Adrien Romain, et en tom- 
bant sur ce passage du Cbapitrc VI où ce subtil matbématicien avance 
ne pas savoir si Adrien lui-même a bien connu \:\ formation et les pro- 
|)riétés de l'équation qu'il a proposée, j'ai commencé à douter (jue 
Viète de son côté eût bien donné et découvert une solution sulli- 
sammcnt générale de cette fameuse équation. 

Adrien Romain proposait en elTet, suivant l'énoncé corrigé |>ar 
Vièle, de trouver la valeur de la racine de l'équation algébrique : 

.\')j- — 3-95, i-^+ 9") GS.I.t"' — 1 13 Sjoo,/' H- 781 i375,r' — 'O^^i 207r>^" 
+ I oj.'îo 607.5 .r"— 1 32G7 6280 j;-'" -t- 3 8494 2375 j;" — 4 8849 4 1 25. z'" 
+ 48384 i8oo.r-'-3 7865 88oo.r-^3-t-2 3Go3or).52.r"— i 17679100^" 
4- 4G95.5-00.1--'— 1494 5o4o.r'' + 3764560^?"— 74o259j-^'' 
-h 1 1 I i5o.r^' — I 23oo.r''-4- 945a:" — 45x"+ .r"^r u/i nombre doniir. 

Il est certain que Viète a fait une très élégante et très savante réduc- 
tion de ce problème, suivant son liabitude, en employant les sections 
angulaires et qu'il a construit, page 3i8 de l'édition elzéviriennc, une 
Table importante qu'il est aisé d'étendre indéfiniment à un nombre 



[ino, 1)1] PROBLEME D'ADHIEN ROMAIN. IGo 

({uolcoiuiuc (le termes en continuant à appliquer la métliode dont il 
s'est servi; cette Table permet de reconnaître quelle équation corres- 
pond à une division spéciale des angles. 

Ainsi, si l'on prend d'abord, dans les rangs impairs, x^ — 'ia- el 
qu'on égale cette expression à un nombre donné qui soit au plus égal 
à 2, la question se ramène à la trisection de l'angle. Si ensuite on égale 
j;^ — j.r'+ jx à un nombre donné qui soit au plus égal à 2, la ques- 
tion se ramène à diviser un angle en cinq parties égales. Si c'est 
x'' — nx^-h- i^\x^ — jx que l'on égale encore à un nombre donné au 
plus égal il 2, il s'agira de prendre la septième partie d'un angle; si 
l'on continue indéfiniment la Table de Viètc selon la méthode qu'il a 
donnée, le premier membre de l'équation proposée par Adrien sera le 
4 j" terme de la Table, et la question sera ramenée à prendre la 45" partie 
d'un angle donné. 

Mais il faut observer que, dans toutes ces équations, la méthode de 
Viète et l'emploi des sections angulaires ne sont applicables qu'aux 
cas où, comme nous l'avons dit, le nombre donné, auquel on égale 
une quelconque des expressions algébriques de la Table, ne dépasse 
pas 2; si au contraire ce nombre donné est supérieur à 2, aussitôt tout 
ce mystère des sections angulaires devient inutile et ne rend plus 
aucun service pour la solution de la question proposée. 

Cependant Adrien avait proposé en général de résoudre l'équation 
en s'en donnant le second membre; il faut donc recourir à un autre 
moyen qu'aux sections angulaires de Viète. 

Si l'on propose tout d'abord, comme premier cas, d'égaler x^ — 3a; 
il un nombre donné qui soit au plus égala 2, la question, comme nous 
l'avons déjii indiqué, se ramène à la trisection de l'angle; si, au con- 
traire, on égale x'' — 3x à 4 ou à tout autre nombre supérieur ii 2, 
l'équation proposée est résolue par les analystes au moyen de la 
méthode de Cardan. Mais, dans les autres cas suivants, la solution 
peut-elle être obtenue indéfiniment par des extractions de racines, 
voilii ce que les analystes n'ont pas encore essayé; mais pourquoi ne 
pas faire progresser l'Algèbre de ce côté, surtout sous vos auspices. 



IfJG ŒUVRES DE FERMAT. [101. 102J 

illuslrc Huygons, vous donl tous les savants honorent à juste titre le 
hrillant mérite? 

Soi! donc proposé d'égaler a?* — j.r^ -f- 5j? à /j ou à tout autre 
nombre supérieur à li. Dans ee cas, la méthode de Vii'le est inappli- 
cable; mais nous pouvons allirmer hardiment, pour l'ésoudre généra- 
lement le problème d'Adrien, (jue pour toutes les expressions de la 
Table précitée, toutes les fois que le nombre donné est supérieur ii 2, 
la question proposée peut être lacilement résolue par des extractions 
de racines. 

Nous avons en elFet remarqué, bien plus nous avons démontré (|ne, 
dans tous ces cas, la question peut être ramenée, de même qui> dans 
l'équation cubi(|ue, à une (juadralique par une racine cubique, selon 
la méthode de f.ardan et de Viète; si l'équation est du cinquième 
degré, à une quadratique par une racine du cin([uième degré; si l'é- 
(|nali()n est du septième degré, ;i une (|uadratique par une ra(;ine du 
septième degré, et ainsi de suite indéGniment. 

Soi! , par exemple, -r ' — Ir = '\. Tous savent que la méthode précitée 

donne la racine : x = y - + V ' + V - — y/i- 

Mais proposons, dans l'exemple d'Adrien ou de Viète, d'égaler 
.r' — 5.ï-^ — ~)x à 4 ou à lotit antre nombre [)lus grand (|ue 2. 

Par une méthode qui est générale et (jni s'appli(|uera indéfiniment 
il tons les cas de la Table, nous supposerons que la racine cherchée 
est de la forme ■ — ^^ ; en opérant la substitution, nous verrons tou- 

y 

jours se détruire réciproquement les termes qui s'op|)osent :i la simple 
résolution de la question par une extraction de racine; par exemple, 
dans le cas proposé, la racine sera y 2 + V^ + V ^ — \/3. 

Si l'on prend la septième expression dans la Table de Vii'le (je 
veux dire celle dont l'exposant de la plus haute puissance est 7), soit 

V" -4- I 

et (jue l'on imagine, comme ci-dessus, x ^ ^ > tous les termes 

s'opposant 'a la solution par extraction de racine se détruiront de 



10?, l'J3] IMSOBLÈMt: DAIMUKN HOMAIN. 107 



mèmc, et l'on (roiivtM'a potirla racine chorrlirc : y a + \/'S + y 2 - y' 5. 
et ainsi de suite à Tinlini. 

("/est ce (|ne V(ius pourrez non seulenicuL reconnaître par l'ex[)é- 
riencr, mais aussi démontrer, aussitôt (|uo vous le désirerez; car e'csl 
une propriété spé('ifi([ue de loiiles les é(|ua(ions que l'on ])eul former 
avec la Talde di' Vii'te, (|ue leurs solutions s'ohtiennent toujours par 
de simples extractions de racines, lorsque le terme connu est supérieur 
il 2. 

Or le nomlire donné, auquel peut être éi,'alée une expression analy- 
tique de la Table, peut être soit 2. soit plus petit que 2, soit plus grand 
que i. 

Dans le premier cas, la racine chercliée est toujours 2. 

Dans le second, la question se ramène, d'après Viète, aux sections 
angulaires. 

Dans le Iroisil'me, (die se résout l'aeilement au moyen de notre mé- 
thode, c'est-à-dire par des extractions de racines. 

Ainsi, si l'on prend l'expression analytique proposée par Adrien : 

la racine cherchée sera x = y 2 -1- ^l'i -+- y 2 — \/'i . 

Nous n'avons pas ii nous arrêter plus longtemps sur un sujet désor- 
mais écdairci par des exemples sulfisants; ou ])eut toutefois remar(|uer 
([lie l'extraction de la racine du '( "i^ degré, ou l'invention de quarante- 
([uatre moyennes pro[)ortionn(dles entre deux quantités données, peut 
se ramener tri-s l'aeilement à l'extraction successive de deux racines 
cul)i([ues et d'une racine du ")" degré, ce que montrent sulfisamment 
les diviseurs "i et j) du nombre I"); "i en elfct correspond à une racine 
du 5" degré, et (j ii l'extraction de deux racines cubiques, puiscjue <) 
est le carré de 3, exposant du cube. 

Ainsi, l'invention de deux moyeunes pro[)orLionn(dlcs réitérée deux 
fois et celle de quatre moycnues, opérée une seule fois, fournisseni 
((uarantc-quatre moyennes et résolvent notre question, de même que 



ni8 ŒLVHES DE FEU M AT. [11(41 

Viètc a ramené la division de l'angle en 'ij parties égales, ce qui esl le, 
problème d'Adrien, à une é(juation cubique réitérée deux fois et à une 
é(|uali()U du 5* degré, c'es(-à-dire :i une double Iriseclitui e( ii une 
seule division eu />. 

Je n'ajoute rien sur les solutions multiples de ré(|uation ou ques- 
tion proposée; j'ai seulement donné celle (]ui se présente en premier 
lieu, me réservant ii traiter :i loisir des auli'es dont la discussion 
demande plus de travail. 

Adieu, linmme illustre, aimez-moi. 



[195,196] QUESTIONS DE CAVALIERI. 1C9 



RÉPONSE AUX QUESTIONS DE CAVALIERI. 



Il y a longtemps qu'à l'exemple d'Archimèdc pour sa parabole, j'ai 
carré toutes celles en nombre indéfini dans lesquelles les abscisses sont pro- 
portionnelles aux ordonnées élevées à une puissance quelconque, (^ctlc 
découverte, que j'ai été le premier à faire, a été communiquée à 
I\I. de Bcaugrand et à d'autres; cependant je dois dire que Al. de Ro- 
berval, qui, sur mes indications, s'était attaqué à ces questions, en a 
trouvé de lui-même la solution, et a ainsi donné une preuve de l'heu- 
reuse perspicacité de son génie en Mathématique. 

J'ai également trouvé les centres de gravité de ces figures et de 
celles qui en dérivent; j'ai employé à cet effet cette méthode qui m'ap- 
partient et grâce à laquelle j'ai aussi bien construit les tangentes des 
courbes quelconques, ainsi que leurs asymptotes, enfin tous les pro- 
blèmes qui se rapportent à la recherche du maximum et du mini- 
mum. 

Mais arrivons à la question : le savant Bonaventure Cavalieri de- 
mande ce que l'on peut dire des quadratures précitées. J'ai établi une 
ri'gle générale qui donne la solution, non seulement quand il y a rap- 
port constant entre l'abscisse et une puissance de l'ordonnée, mais 
aussi quand le rapport est donné entre une puissance quelconque de 
l'abscisse et une puissance quelconque de l'ordonnée; voici l'énoncé 
i^énéral. 

Soit une figure parabolique quelconque EAF {fig- iri), et suppo- 

C\' EC 
sons, par exemple, .^ = t-j^- Je prends les exposants des puissances, 

tant des ordonnées que des abscisses : l'exposant est '\ pour le bicarré 

Febmat. — Ml. 22 



170 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[190, 197 J 

le l'ordonnée; 3 pour le cube de l'abscisse. Je dis donc que le rapport 
lu parallélogramme EH à l'aire de la figure EAF est le même que celui 
le la somme des exposants des deux puissances à l'exposant de la 



Fig. III. 
A 



T)/ 


B \ 





puissance des ordonnées. Ainsi, dans l'exemple proposé, le rapport 
du parallélogramme à la figure inscrite sera de 7 à 4. 

Dès lors, si, par exemple, .-^ = -^ , l'exposant de l'abscisse étant 

simplement l'unité, le rapport du parallélogramme à la figure sera de 
5 à 4. 

Il en sera de même indéfiniment pour toutes les figures de ce 
genre. 

Donc on peut alFirmcr ce que le savant Gavalieri ne proposait 
qu'avec doute, k savoir que s'il y a rapport constant entre les puis- 
sances des ordonnées et la simple longueur de l'abscisse (ou avec le 
coté, comme disent les analystes), le rapport du parallélogramme h la 
figure est de 2 à I pour le triangle, de 3 à 2 pour la parabole simple, 
de 4 à 3 pour la parabole cubique, de 5 à 4 pour la biquadratique, et 
ainsi de suite indéfiniment. 

Si maintenanl, en laissant fixe la droite CA, on fait tourner la fîs;ure 
autour d' elle de façon à engendrer un solide, le rapport du cylindre lîH 
à ce solide se trouvera comme suit : 

Le cylindre est au solide dans le rapport de la somme du double de 
l'exposant de la puissance de l'abscisse et de l'exposant de la puis- 
sance de l'ordonnée à ce dernier exposant. 

Soit, par exemple, |^ — jt-t^- L'exposant du carré de l'abscisse 

est 2, dont le double est 4; ajoutant 3, exposant de la puissance de 



[197,198] QUESTIONS DE CAVALIERI. 171 

l'ordonnée, on a 7; le rapport du cylindre au solide est donc de 7 à 3 
(exposant de la puissance de l'ordonnée). 

Par là, j'ai répondu à la seconde question. 

Les centres de gravité ào toutes ces figures, tant planes que solides, 
divisent le diamètre dans le rapport soit du parallélogramme à la 
figure plane, soit du cylindre au solide. 

Si l'on fait tourner la figure autour de KF, le solide engendré n'est 
plus simple comme précédemment, mais composé. Cependant un 
habile géomètre peut facilement établir une proposition simple entnî 
ce solide et le cylindre circonscrit. Je pourrai le montrer plus longue- 
ment et avec des preuves à M. Cavalieri, s'il le désire. 

Mais quand il demande si des courbes de ce genre, en dehors du 
triangle et de la parabole, peuvent être des sections coniques, il 
semble ne pas penser à leurs propriétés spécifiques; il est lout aussi 
impossible qu'elles soient des sections coniques qu'il est impossible 
que la section de la sphère par un plan soit une parabole, une hyper- 
bole, ou une ellipse. 

Je lui demanderai en grâce de vouloir bien nous envoyer d'itali*' 
quel([ues problèmes. 



172 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[199, 2(10] 



PROPOSITIONS A LALOUVERE. 



1. 

Soit une parabole BAD {fig. 1 12) dont AC est l'axe, BC une ordon- 
née, AE le paramètre. On demande le rapport de la courbe AB à la 
droite BC. 

Kig. 112. 





Soit l'hyperbole MLO de centre G, d'axe transverse FL égal au para- 
mètre AE de la parabole. Soit LN l'axe de cette hyperbole, dont nous 
supposerons le paramètre égal à l'axe transverse, en sorte que pour 
toute ordonnée on i\\l MN- = FN.NL. En G, élevons la perpendicu- 
laire GH égale à l'ordonnée BC de la parabole; menons HM et LI, 
parallèles it GN et GH et par M, point de rencontre de HM et de l'hy- 
perbole, menons l'ordonnée MN. 

.le dis que le rapport de la courbe parabolique AB à la droite BC est 
le même que celui du quadrilatère MHGL (formé par les droites MG, 
HG, GL et la courbe ML) au rectangle IG. 



II. 

Soit donnée (fig. 1 13) la parabole BAD; soient AC son axe, BC une 
ordonnée, AE le paramètre; on fait tourner la figure parabolique BAC 



[vîUO, 201] 



PROPOSITIONS A LALOUVERE. 



173 



autour de l'ordonnée BC; trouver la mesure de la surface courbe du 
solide engendré. 

Je construis l'hyperbole MNH ayant HI pour axe, en prenant si»n 
axe transverse HF égal au quart du paramètre de la parabole, c'est- 
à-dire de la droite AE, et en faisant le paramètre de celte hyperbole 

FiR. ii3. 





égal il son axe transverse, en sorte que, pour une ordonnée quel- 
conque, on ait IM'- = FI.IH. Je prends HI égale ii l'axe AC de la para- 
bole et je mène l'ordonnée IM. Du produit de CA par l'arc parabo- 
lique BA, je retranche l'aire hyperbolique IMH; je construis le carré 
égal à la différence. La diagonale de ce carré sera le rayon d'un cercle 
égal à la surface courbe du solide engendré par la rotation de l'aire 
ABC autour de l'ordonnée BC. 

III. 

Soit une demi-parabole quelconque AC (Jig- 1 14)» de sommet A et 
d'axe AB; de cette courbe j'en déduis d'autres en nombre indéfini 
comme AF, AE, AD, etc. 



Fis. ii-i. 




B N A 

Voici la loi de leur formation : pour la courbe AF, l'ordonnée BF est 



174 ŒUVRES DE FERMAT. [201, '202 J 

égale à l'arc de courbe parabolique CA, et si je prends un autre point 
quelconque, comme N, par lequel je mène l'ordonnée NP, cette ordon- 
née NP est de même égale à l'arc de parabole AO. Pour la courbe EA, 
l'ordonnée EB est égale à la courbe FA du second degré et toute autre 
ordonnée QN est de même égale à l'arc PA de la même courbe du 
second degré. De même, pour la courbe AD, l'ordonnée BD est égale 
à la courbe EA du troisième degré, et toute autre ordonnée NR à 
l'arc QA de la même courbe du troisième degré ; et ainsi de suite indé- 
finiment. 

Je dis que toutes ces courbes en nombre indéfini se trouvent dans 
un rapport donné avec la parabole simple primitive; voici comment 
on peut énoncer le théorème général : 

Qu'on prolonge indéfiniment la parabole primitive AC par les points 
M, L, K, par exemple, et de même son axe par les points G, H, I, en 
nombre aussi grand que l'on voudra, en prenant BG = GH = HI = AB 
l'axe, et en menant les ordonnées GM, HL, IK : 

Le rapport de la courbe parabolique AM à la courbe AF du second 
degré est celui de l'ordonnée GM à l'ordonnée BC. 

Le rapport de la courbe parabolique AL à la courbe AE du troisième 
degré est celui de l'ordonnée HL à la droite BC. 

Le rapport de la courbe parabolique AK à la courbe AD du quatrième 
degré est celui de l'ordonnée Kl à la droite BC. 

Et ainsi de suite indéfiniment. 

Si l'on fait tourner les figures AMG, AFB autour des ordonnées GM, 
BF, le rapport de la surface courbe engendrée par la figure AMG tour- 
nant autour de GM à la surface courbe engendrée par la figure AFB 
tournant autour de BF est égal au rapport de GM' à BC. 

De même le rapport de la surface courbe engendrée par la figure ALH 
tournant autour de HL à la surface courbe engendrée par la figure 
AEB tournant autour de BE sera égal au rapport de HL' à BC. 

Et ainsi de suite indéfiniment. 



[202, 203] 



PROPOSITIONS A LALOUVÉRE. 



175 



IV. 

Soit BA i^fig. ii5) une dcmi-cycloide dont on déduit une autre 

courbe DA par la condition que le rapport des ordonnées ^ ou ^, 

soit constamment égal à un rapport donné. Des géomètres ont dé- 
montré que la demi-cycloïde BA est double de la droite AC, diamètre 
du cercle générateur de la cycloïde. On demande la relation des courbes 
AD à d'autres lignes soit courbes, soit droites. 

Fig. Il 5. 




B D 



Voici notre énoncé général : Si ces nouvelles courbes se trouvent, 
comme sur la figure ci-dessus, entre la cycloïde et le diamètre du 
cercle générateur, toutes ces courbes AD et leurs parties seront égales 
à des arcs de parabole; si ces nouvelles courbes sont au contraire 
extérieures i> la cycloïde, comme dans la figure ci-après i^fig- iiO), 
toutes ces courbes AD et leurs parties auront un rapport donné à la 
somme d'une droite et d'un arc de cercle. 

Sur la première ligure (7?g-. 1 15), le théorème général peut être Ibr- 

mule comme il suit. Construisez AM pour la condition — ^rr-:^ — = TW' 

prenez A comme sommet d'une parabole ayant AM pour paramètre et 
AC pour axe; soit G le point de rencontre de cette parabole et du pro- 
longement de la droite BDC, H le point de rencontre avec le prolonge- 
ment de la droite FEO. Le rapport de la courbe parabolique AG ii la 

courbe AD sera donné; on aura en effet -r-r- = tt^. — rrrr^; et le rapport 

AU- uL — \Ai' ' • 

des arcs AH et AE sera le même. 

Si l'on fait tourner les figures : ACG autour de l'ordonnée CG, ADG 
autour de la droite DC, le rapport des surlaces courbes engendrées 
sera égal au rapport des courbes AG et AD. Il en sera de même pour 



17G ŒUVRES DE FERMAT. [î03, 204] 

les parties de figure AOH, AEO, si on les fait tourner autour des 
droites OH, OE. 

Pour l'autre figure {fig. 1 16), dans laquelle la courbe AD est exté- 

< 1 II AU • r ■ CD^-CB^ AC , . , , , 
rieure a la cycloide Au, je lais — -^^ — = -r^rj. et je prends la lon- 
gueur AM sur la même direction que AC; sur cette droite AM, je 

Vv'. iiG. 




décris un demi-cercle qui sera coupé aux points G et H par les droites 

TM>r^ i-cn n /arcAG + GC\' /arc AH + HO X" HC' 

DBC, liFO. On aura i-r; — = r-r^ — = ttt^^ — ^^ïTi' rap- 

\ arc Al) y \ arcAE / 1)(.^— CB^ ' 

port donné. 



Soit la parabole AC {^fig- 117). de sommet A, d'axe AB, d'or- 
donnée CB; de la courbe parabolique CA j'en déduis d'autres en 




Fig. 117. 



nombre indéfini CD, CE, CF, par la même méthode que précédem- 
ment (y?^. 1 14), sauf que cette fois je les fais toutes passer par l'extré- 
mité de la même ordonnée, au lieu de les faire toutes passer par le 
sommet. 



[205,200] PROPOSITIONS A LALOUVÈRE. 177 

l.a propriété de ces nouvelles courbes sera donc qno, si l'on mène 
GUIOM parallèle à l'axe AB, la droite BD interceptée en D par la 
courbe CID du second degré sera égale à l'arc de parabole AC, et la 
droite GI égale à l'arc de parabole CH; la droite BK interceptée en E 
par la courbe du troisième degré sera égale ii l'arc DIC du second 
degré et ainsi de suite indéfiniment pour les courbes et leurs arcs. 

Je dis que tontes ces courbes (^1), EC, FC, etc. sont égales à des arcs 
de paraboles primitives ou simples, qui seront toutefois (liirérentes de 
celles qui ont été précédemment égalées aux courbes dérivées. Voici 
le théorème général : 

Je construis la parabole RP, ayant pour axe RQ = AB l'axe de la 
première parabole, et pour paramètre RV, double du paramètre AN. 
Je dis que l'arc RP de cette parabole est égal à la courbe (^ID. 

Si, avec RQ = AB pour axe, on prend le paramètre RV = 3 AN, l'arc 
parabolique RP sera égal à la courbe COE. 

Si, toujours avec RQ = AB pour axe, on prend le paramètre 
RV=4AN, l'arc parabolique RP sera égal à la courbe CMF. 

VI. 

Si, antonr des droites AB, BD, BE, BF, on (ait tourner les figures 
ACB, DCB, ECB, FCB, etc., on peut construire un cercle équivalent à 
cliacune des surfaces courbes des solides ainsi engendrés, avec aulant 
d(> fa(;ilité que l'on peut constrnire un cercle représentant la surface 
courbe du conoide paraboli(|ne engeiulré par la rotation de la para- 
bole AB autour de l'axe AB. Je n'ajouterais pas cette dernière con- 
struction que j'apprends avoir déjà été trouvée (sans avoir cependant 
connaissance de ce qui a été écrit par d'autres snr ce sujet), si le pro- 
cédé n'était pas général et ne s'étendait pas très aisément à tous les 
conoides engendrés autour des axes BD, BE, BF par ces nouvelles 
courbes en nombre indéfini. 

Si l'on fait tourner (^fig. 1 17) la courbe CD autour de la droite BD, 
voici comment on trouvera la surface courbe du solide engendré : 

Construisez, d'après la méthode ci-dessus, la courbe parabolique Ri* 

I'ermat. — UI. .?.3. 



178 



(EliVRES DE FERMAT. 



1206, 207 1 



('■i,';il(' à la cmii-hc CID, cl faites (oiirner coKc parabole RI' autour de la 

I -, ,,^ ,^ siiif. conoïdc HPQ VQ , , , , 

droite KO. On aura — ,. -, — nTrr,; = ttt, ' ranport des ordonnées. 

Si l'on construit de niènic la parabole RP égale à la courbe (]()R, on 



aura encore 



siirC. coiiDidc lU'Q 
.surf, colloïde EOCB 



PO 

Y,Ty) et ainsi de suite indétiniiuent. 



VII. 

Soit maintenant (/iff. m8) la parabole FBAD d'axe EA , d'or- 
donnée KE. On demande la mesure de la surface courbe du solide 
engendré par la rotation de la figure ABFE autour de l'axe AE. 

Fiff. M S. 




Prenez AC égal au quart du paramétre; construisez l'ordonnée CA\: 
prenez EH = A(^, (U construisez l'ordonnée GH, puis le carré é(|uiva- 
lentii (;BGH, ce qui est facile d'après Archiméde. F^a diagonale de ce 
carré équivalent h CBGIi sera le rayon du cercle équivalent à la sur- 
face (;ourbe du conoïde FAD engendré autour de l'axe AE. 

VIll. 

Le subtil géomètre qui :i récemment démontré l'égalité de la spirale 
à la parabole aurait pu concevoir le théorème plus généralement et 
établir une comparaison entre un nombre indéfini de spirales et de 
paraboles d'espi'ces diirérentes, grâce à la proposition suivante qui 
peut être énoncée île façon à servir d'exemple général : 

Soit sur \n/ig. 3S du Livre de Dcttonville (/ig. 119), une spirale 
d'espèce quelconque, c'est-à-dire, telle ([ue le rapport d'une puissance 
(|U(dcon(|ue du rayon AB à la même puissance du rayon At] soit égal 



[207, -îdsi l'HO POSITIONS A LALOUVl^RK. 17!) 

;ui rapport tl'iiiic puissance quelconque de la circonlerence totale 
BKiS]} à la puissance semhlahle de l'arc K81{. 

l'ip;. 119. 




(Construise/ la parabole dont la demi-base ou la dernière ordonnée 
RP soit égale au rayon AB, et dont l'axe AR soit égal à une fraction de 
la circonférence totale BE8B, fraction ayant pour numérateur l'expo- 
sant de la puissance du rayon AB, et pour dénominateur la somme 
des exposants de la puissance du rayon AB et de la ])nissance de la 
circonférence BE8B; ({u'eiilin les [)uissances des ordonnées de la 
parabole, ayant pour exposant la somme de ceux des puissances du 
rayon AB et de la circonférence BK8B, soient entre elles dans le même 
rapport que les puissances des a])scisses dont l'exposant est celui de 
la circonférence BEHB. Je dis que la spirale et la parabole ainsi coii- 
slruites seront toujours égales entre elles dans tous les cas. 

Par exemple, soit d'abord la spirale d'Arcbimède et la parabole 

, AB cire. HE8B ,, , • , , , .,,„ 

simple : -r— r = ,.,,,, • (.oiisiruisez la |)arabole AOP avant pour 

(lernièr(! ordonnées RP=AB, et pour axe AR une fraction de la cir- 
conférence BE8B, ayant pour numérateur l'exposant de la puissance 
du rayon AB (ici r) et pour dénominateur la somme des exposants des 
puissances du rayon et de l'arc (ici 2; car dans ce cas l'exposant de la 
puissance de l'arc est i). Ainsi l'axe AR devra être ^ de la circonfé- 
i-ence constitutive de la spirale, et dans la parabole, une puissance de 
l'ordonnée RP ayant pour exposant la somme de ceux des puissances 
(lu rayon et de l'arc (ici 2) doit élre à la puissan(;e semblable de l'or- 
donnée ()Q comm(- une puissance de l'abscisse AR avant |K)ur expo- 



180 ŒUVRES DE FERMAT. [208,2091 

sant celui do la circonférence BE8B (ici i) est à la puissance sem- 
hlablo de l'abscisse AG, c'est-à-dire que l'on doit avoir • ( j^) = '^X" 

La courbe parab(dique PQA et la spirale BCDA seront égales. 

^ . , , AR2 cire. BESR „ ,, , 

Supposons maintenant : -rr^ = ,,u,, • Dans ce cas 1 exposant 

' ' AL' arc h8H ' 

(le la puissance du rayon AB est 2, celui de la puissance .<lc la circon- 
férence est r. La parabole se construira suivant la règle ci-dessus : 
l'ordonnée RP sera prise égale au rayon AB, l'axe AR = f cire. BE8B, 
enfin (tttt ) = ç-j- Cette parabole et la spirale correspondante seront 

égales. 

o -, AR cire. RE8B ,^ , 1 1 r 1 ■ m» 

Soit encore : rp: =■ — =— r— • Dans la parabole, 1 ordonnée RI' 

'^'' arcESB" 

sera prise égale au rayon AB, l'axe AR = !, cire. BKiSB, et entin 

\-fr\) ~ ( fT) ■ " ^ *"""'* toujours égalité entre la parabole el la s|)i- 
rale. 



o -, f ^ I 1 AR^ circ.RESR , , , , 

Soit enlin dans la spirale : .-..-, = — ; dans la parabole 

^'' arrE8R 

correspondante et égale ;i cette spirale, on aura, comme toujours, l'or- 
donnée RP = AB, l'axe RA = ? cire. BE8B, et enfin pour le rapport 

des ordonnées et des abscisses : ( yt^ ) = ( ft ) • 

La métliode sera indéfiniment la même pour comparer les spirales 
et les paraboles d'espèce quelcon(|ue. Il n'y aura d'ailleurs aucune 
dillicullé pour égaler des arcs de spirale augmentés ou diminués avec 
des arcs de la parabole correspondante. D'après ce (]ui précède, il y a 
h l'intérieur d'un même cercle une infinité de spirabis différentes d'es- 
|)èce et de longueur; bien ])lus, il v en a une infinité qui surpassent 
la circonférence du cercle, ce que l'on peut compter parmi les mer- 
veilles de la Géométrie. Cependant il n'y en a pas qui ne soit infé- 
rieure à la somme de la circonférence et du rayon, et il n'y en a pas 
qui ne soit |)lus grande (jiie le ravon. 



[-•11,212] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 181 

DE LA COiMPARAISON 

DES LIGNES COURBES AVEC LES LIGNES DROITES. 
DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 



Jamais encore, <(iie je sache, une ligne courbe purement géomé- 
Irique n'a été égalée par les géomètres à une droite donnée. Ce qu'en 
(•nVt un subtil mathématicien anglais a récemment découvert et dé- 
montré, que la cycloïde primaire est quadruple du diamètre du cercle qui 
l'engendre, parait devoir se limiter, d'après l'avis des plus savants 
géomètres. Ils pensent en cflet que c'est une loi et un ordre de la 
nature qu'on ne puisse trouver une droite égale ii une courbe, i» moins 
de supposer d'abord une autre droite égale à une autre courbe, cl 
prenant cet exemple de la cycloïde, ils montrent qu'il en est ainsi 
dans ce cas. Je ne le nie pas; il est clair en effet que le tracé de la 
oycloïde suppose l'égalité d'une autre courbe avec une droite, ii savoir 
celle de la circonférence du cercle générateur de la cycloïde avec la 
droite qui est la base de la cycloïde. Mais on va voir ci-dessous ce 
qu'il en est de cette loi de la nature qu'ils établissent, et combien il 
est dangereux sur un ou deux faits d'expérience d(i conclure aussitol 
un axiome. Je vais en effet démontrer ['égalité à une droite d'une 
courbe véritablement géométrique et pour la construction de laquelle on 
n'a à supposer aucune égalité semblable d'une autre courbe avec une 
droite, (;t je traiterai toute la question aussi brièvement que pos- 
sible. 

Proposition I. 

Soit {fig. 120) une courbe quelconque AHMG concave zvrs un même 
côté, par exemple une des paraboles en nombre infini, dont les langejites 



182 



(laiVIlKS l»K F i: Il M AT. 



[21?, 112] 

reiiconlrenl en dehors de la courbe la hase AF et l'axe KG. Je prends sur 
une courbe de celle nature un point quelconque II par lequel je mène la 
tangente \^K; sur celle-ci je prends, de côte et d'autre, les points K, I, 
d'oii j'abaisse IB, KD perpendiculaires sur la base AF et coupant la 
courbe aux points R, M. Je dis que le segment HI de la tangente est plus 
petit (jue l'arc de couj-be \\\\, qu'au contraire le segment HK de la même 
tangente est plus grand que l'arc de courbe HM. 




TV B C D li F 



En cflet, piiis(jii(', par liypothose, la tangente Kl rencontre la hase 
AF en dehors de la courhe, l'angle CHI que fait la perpendiculaire HG 
il la hase avec la tangente HI est plus petit (|n'un droit, et par con- 
séquent la perpendiculaire ahaissée de H sur la droite Bl tomhera 
en V au-dessus des points B, R, 1. On en conclut que HV < HI et que 
HI est plus petit que la droite qui joint les points H, R. Donc, n for- 
tiori, HI est plus petit que l'arc de courbe HR sous-tendu par cette 
droite qui joint les points H, R. Premier point qu'il fallait démontrer. 

.le dis maintenant que le segment Kli est plus grand que l'arc de 
courhe HM. Du point K je mène à la courbe la tangente KN, et j'abaisse 
la perpendiculaire NE. Il est prouve, par ce qui précède, que 
KN < arc NM. Mais, d'après Arcbimède, la somme des tangentes 
HK + KN>arcHN. Donc segment HK>arcHM. Second point qu'il 
fallait démontrer. 

Il n'y a pasii objecter que la tangente menée du point K peut tomber 
au delà du point G. Car, dans ce cas, on peut prendre un autre point 
entre K et M, et employer le raisonnement précédent. 

Il suit de lii que, si des points K, I on abaisse sur l'axe des perpen- 



[213,21.] DISSEIITATION GEOMEÏRIOUE. 18:î 

(liculairos qui coupent la courbe en 0, P, on aura, dans le cas de la 
figure, m > arc HO et HK < arc HP. 

Si l'on imagine en elf'et la ligure retournée, en sorte que l'on prenne 
l'axe comme hase, et la base comme axe, la démonstration sera non 
seulement semblable, mais absolument identique. 

Il, RKSiiLTK enfin de la construction même (jue, si lîC = (]D, on a les 

segments des tangentes HI = HK. Ce qu'il est important de remai'- 

(|uer. 

Proposition II. 

Pour mesurer les lignes courbes, je ne me servirai pas de lignes 
inscrites et circonscrites h l'exemple d'Archiméde, mais seulement de 
circonscrites formées par des segments de tangentes; je démontrerai, 
en elfet, qu'il y a deux séries de tangentes, l'une plus grande que la 
courbe, l'autre plus petite, et les analystes verront que la démonstra- 
tion par les circonscrites seules est beaucoup plus facile et pins élé- 
gante. 

Je (lis donc qu'il esl possible, suivant l'esprit de la méthode d'Archi- 
mèile, de circonscrire à une quelconque des courbes précitées deux fiqures 
composées de droites, et dont l une surpasse la courbe d'une différence 
inférieure à un intervalle donné quelconque; dont l' autre soit au contraire 
plus petite que la courbe d'une différence également inférieure à un inter- 
valle donné quelconque. 

Soit {Jig. l'^.i) iine ((ueli'on(|U(' d(!S courbes précitées : j(; partage 
la base AG en un nombre (|uelconque de parties égales, AH, B{], VA). 



Fij;. 121 ( 3). 



M 1 




Dli], EF, KG; par les points 15, V, U, E, K, j'élève les perpendiculaires 
HQ, (^V, DZ, ER, FM, qui rencontrent la courbe aux points P, T, Y. 
N, 0. Je mène les tangentes AQ, PV, TZ, YR, NM, 01. 



184 



(EUVRES DE FERMAT. 



[2Ki, 215] 

D'après la premu're proposition : tangente AQ>arcAP; tangente 
PV^arePT; etc.; enfin tangente 01 > arc OH. Donc la figure formée 
par tous les segments des tangentes AQ, PV, TZ, YR, NM, 01 est plus 
grande que la courbe. 

Mais soient la même courbe {fig- 122) et la base AG divisée en 
autant de parties égales aux points H, C, D, K, F. En ces points B, (], 




D, E, F, j'élève encore des perpendiculaires BR, CQ, DO, EL, FI, qui 
rencontrent la courbe aux jioinls S, P, N, M, K. Au point S, je mène 
la tangente ST jusqu'il la rencontre avec la perpendicul-aire AT; puis 
aux points P, N, M, K, II, les tangentes PR, NQ, MO, KL, HI, ren- 
(;ontrant les perpendiculaires BS, CP, DN, EM, FK aux points R, Q, 0, 
L, I. D'après la première proposition : tangente ST <C ai'c AS ; tangente 
PR<arcPS; etc.; enfin la parallide à la base, IIl<arcKH. Donc la 
figure, formée par tons ces segments de tangentes ST, PR, NQ, MO, 
KL, HI, sera plus petite que la courbe. 

Mais, d'après le corollaire de la proposition I, les segments pris sur 
les deux cotés des (angentesen un point de la courbe, et correspondant 
de part et d'autre ii des segments égaux de la base, sont égaux entre 
eux. Par conséquent, puisque les courbes des figures 2 et 3 sont sup- 
posées égales ou plutôt comme ce n'est qu'une même courbe (!t que, 
si nous avons tracé deux figures, ce n'a été que pour éviter la confu- 
sion, on a : tangente ST (3' figure) = tangente PV (2* figure) : le 
point S (3" figure) étant identique à P (2^ figure), et les segments AB, 
BC de la base étant égaux de part et d'autre dans les deux figures, les 
segments pris des deux cotés sur la tangente et correspondant à ces 
segments égaux de la base doivent en effet être égaux, c'cst-ii-dire que 
ST (3« figure) = PV (2* figure). 



[215, 3in] DISSEHTATION GÉOMÉTRIQUE. 185 

On prouvera de même que PR ( 3' tigure) = TZ (2'' figure); etc. 
pour les autres segments. Il n'y aura que le premier de la 2'' figure et 
le dernier de la 3" qui ne seront pas égaux à quelque segment sur 
l'autre tigur(^ Donc l'exeès de la figure 2 sur la figure 3 est égal ii 
celui lie la tangente AQ (2*^^ figure) sur la tangente IH ('.'>" figure). 
Mais, il cause du parallélisme, IH est égal ii un segment de base, F(j ou 
AU. puisqu'on suppose tous ces segments égaux dans les deux figures; 
donc la 2'' figure, composée de tangentes et plus grande que la courhe, 
surpasse la 3*^^ figure, composée de tangentes et plus petite ([ue la 
courbe, de l'excès de la tangente AQ sur le segment AB de la hase (jui 
lui correspond ( 2'' figure). 

Si donc nous voulons circonscrire ;i la courbe deux figures, l'une 
plus grande, l'autre plus petite, et dont la diirérence soit plus petiti^ 
qu'une quantité donnée quelconque, la construction sera tri^s facile. 
La tangente au point A i/fff- 121) est donnée d'après la méthode des 
tangentes déjii connue, donc l'angle QAB est donné; mais l'angle Q1$A 
est droit; donc le triangle QAB est donné d'espèce, donc le rapport 

-rv7- Il faut doue régler la division de la base en sorte que la différence 

AQ — AB soit plus petite ({u'une droit(! donnée quelconque; pour cela, 
il sullil de clierclier deux droites dans le rapport donné et dont la dif- 
férence soit plus petite (|ue la droite donnée : problème facile. On 
prcîudra ensuite un segment quelconque AB de la base, avec la seule 
condition qu'il soit au plus égal ii la plus petite des deux droites satis- 
faisant audit problème. 

Nous aurons ainsi trouvé deux ti^çures circonscrites ;i la courbe, 
l'une plus grande, l'autre plus petite (jue cette courbe, et telles que la 
diirérenc(; de ces figures soit inférieure ii un intervalle donné quel- 
conque; (i fortiori, l'excès de la plus grande des circonscrites sur la 
courbe et celui de la courbe sur la plus petite des circonscrites seront 
chacun plus petits encore. 

On voit donc (jue notri^ méthode par double circonscription ouvre 
un accès facile ii la inétliode d'Archimède, (juand il s'agit de la mesuri; 

Fi;iiUAi. - III. ••i'i 



18G ŒUVRES DE FERMAT. [2t(i,îl71 

i\cs lignes coiirbos. Il sulfit de l'avnir dit une l'ois et de l'avoir dé- 
montré. 

Cela posé, j'affirme hardiment qu'on peut trouver une courbe vraiment 
géométrique égale à une droite donnée. Cette courbe est une des paraboles 
en nombre infini, sur lesquelles nous avons spéculé il y a déjà longtemps; 
c'est celle où les cubes des ordonnées sur l'axe sont proportionnels aux 
carrés des abscisses de l'axe. Pour que les géomètres n'aient pas à douter 
de mon affirmation, voici la démonstration en peu de mots. 

Proposition 111. 

Soient {Jig- i23) IMIVA la parabole dont je inens de parler, A son 
sommet, AN son axe, 1 un point qucleonque pris sur la courbe. Si je mène 




M R 



les perpendiculaires ou ordonnées sur l'axe MN, \Y , j' aurai constamment 
jjT- = rrr^j- Il faut prouver que la courbe MI A est égale à une droite 

donnée. 

AN- NM 
Je pose Y»p = vi)-' AD étant pris perpendiculaire à AN; il est clair 

que AD sera le paramètre de la dite parabole, c'est-à-dire que 
ADxAN'-' = NM^ et que, si l'on prend un autre point I, on aura 
encore pour le cube de l'ordonn ée : AD x AF' -^ IF' . Cela n'a pas besoin 



1^17, -'l'Jl DISSERTATION GEOMETRIQUE. 187 

(le démonstration, et nous n'avons pas à nous arrêter à ce qui est trop 
facile. 

.Te mène la tangente au point I, soit lOE, E étant son point de ren- 
contre avec l'axe AN. D'après la méthode des tangentes, on aura 

r' i » n ■ . EE 3 1 EE" o 

h A ~ 2AK, par conséquent -.^. = -> donc -,,, = y- 
' ' Ar ■>. Ar- 4 

.le prends Cl) — - AD, et le milieu B du reste CA; on aura 

l)A __ 9 _ EP 
AR 4 ^ ÂE-' 

Donc AD X AF^' -- ¥\i- x AB. Mais AD x AF= ^ IK'; donc 

EE- lE 

AB X EF- = IF ' . Donc jpj = rj-, > ci componcado (comme EF- h- IF- -- IE-) : 

lE^ _ IE-4- AR 
IF- " AR 

Si je mène du point 1, perpendiculairement sur la hase, la droite IH, 

si je trace une autre perpendiculaire quelconque GQVO, rencontrant 

l'ordonnée IF en Q, la courhe en V, et la tangente en 0, les triangles 

,,111 . 10 IK ,. , 10"- lE- 

semhlahles donneront ,-t^- — tjtt- = ,,, > d ou .,-- = n,T- 

1(J( — ilvf) Ir llii- 11" 

., . lE^ lE+AR r, 10- lE-t-VR , ,. , , 

Mais T-r-; ^^ — -. r^ Donc rs-;,, =^ — rr; — ' rclalion constante aiic ii- 

Ib- AR IKi- AR ' ' 

fnc proposais de démontrer. 

II. SUT de là que, si sur le prolongement de MN on prend NX -= AB, 

on a toujours tt-tt, ou (pour la tangente et le segment de base de l'autre 

côté, qui, il cause des parallèles, donnent toujours le même rapport) 

iTtïT ~ w ^iii" HX = IF -t- AB et NX -- AB, ce (lui est évident d'a- 
ntl- iNa ' 

près la construction, puisqu'il cause des parallèles on a HN — IF, et 

qu'on a pris NX = AB. 

Proposition IV'. 

Soit (Jig- i'i\) AXE cette parabole dont la propriété, comme nous 
avons dit, est que les cubes des ordonnées soient proportionnels aux 
carrés des abscisses sur l'axe. Soient AI l'axe, El la base ou demi- 
base; l'axe AI et l'ordonnée lE étant donnés, on trouvera, comme ci- 
dessus, le paramètre AD, dont on retranchera le neuvième, CD; après 



188 



(El VUES DE FERMAT 



(fiioi on prendra lo milieu 15 du reste AC. Je divise la base El en autant 
(le parties égales que l'on voudra KF, FG, (jH, Ul; aux points F, G, H, 
j'élève les perpendiculaires FX. GY, IIZ, qui rencontrent la courbe 
aux points X, Y, Z. Par les points E, X, Y, Z. je mène les tangentes 
ER, XS, YT, ZV qui rencontrent le prolongement des perpendiculaires 
FX, GY, HZ, lA aux points R, S, T, V. Enfin je prends, sur le prolon- 
gement de El, IK^- AR. 



Fi-. i2'| Cl). 



V 



/•4 



./' 



V 



/ 



,^^ 



yv. 



11 résulte de la proposition précédente et de son corollaire que l'on 
a jjï, = ^^; de même ^.,p = j.p ^^, - ,^; enfin ^,v = k, • 

Cela posé, eu K j'élève KL perpendiculaire sur EK. et je prends 
KL — Kl — AR. .l'imagine maintenant qu'avec K comme sommet, KE 
|)()ur axe, on décrive la parabole simple ou parabole d'Archimède, de 
paramètre KL. Soit KMQ cette parabol(\ j'élève jusqu'à sa rencontre 
les perpendiculaires EQ, FP, GO, HN, IJM (jui en seront évidemment 
les ordonnées, et qui seront dans le prolongement des perpendicu- 
laires FX, GY, etc. 



Comme nous l'avons déjà dit. 



FiF 



Kl 



Mais, en multipliant les 



IIK [IK.KL 



deux termes par KL, on a ..y = .., '■" ; or, d'après la nature de la 

parabole d'Archimède, HK.KL^HN"; d'ailleurs IK.KL = KL-, puisque 

,, . ^^ „, p. \\W ZV- „ UN ZV 

1 on a pris KL -- Kl. Donc ^^„ := y.^- Donc j>y = ,Tf 



r-M.îîîl DISSERTATION (lÉOMÉTRIOUh:. 180 

Nous prouverons do même que l'on aura, entre les tangentes et les 

, . , , YT r.O XS FP ,. El{ EO 

ordonnées, l.-s rapports : ^-^ = j-^-; ^,^. =:. j^; entin ,,,p = ^. 

^f ZV UN . , , , , . , . , , . 

iMais, puisque jjj = j^r' en égalant le produit des extrêmes a celui 

des moyens, on a NH.HI --^ KL.ZV. Do même, OG.GH =^ KL.YT, et 
PF.FG ^ KL.XS, entin EQ.KF = KL. EU. 

Mais pourquoi s'arrêter plus longtemps sur une question aussi 
facile, lorsque nous arrivons ainsi immédiatement à la méthode d'Ar- 
chimèdc? En inscrivant et en circonscrivant les tii'uros au seirment 
parabolique, la somme de tous les rectangles QE.EF, PF.FG, OG.GH, 
iNH.HI, représentera le segment parabolique EQMI; la somme des tan- 
gentes ER, XS, YT, ZV, en redoublant la circonscription, conformé- 
ment aux règles de notre méthode, représentera la courbe même 
EXYZA. Donc le segment parabolique EQMI est égal au produit de KL 
par la courbe EXA. Or le segment parabolique EQMI est donné en 
reotiligncs, puisque Archimède a carré la parabole et par consé- 
quent ses segments. Donc le produit KL x EXA est donné; mais KL 
est donné, donc la courbe EXA, et l'on pont trouver une droite qui lui 
soit égale. c. o. v. i». 

Si quelqu'un trouvait cependant cette démonstration trop rapide, je ne 
refuse pas de donner à part le raisonnement complet, en suivant les traces 
d'Archimède; ceux qui estiment que ce qui précède ne suffit pas pourront 
lire et examiner le raisonnement qui suit : 

Il faut prouver que le segment parabolique EQMI = KL x EXA. 
Posons, d'après Archimède, EQMI = Kl^ x p. KL et [3 sont donnés. 

Si nous prouvons que ^ == EXA, notre proposition sera établie. 

.le dis donc que ^— EXA. Si en elFet elle n'est point égale ii cette 

courbe, elle sera ou plus grande ou plus petite. Soit d'abord ^ > EXA 
ot soit, dans cette hypothèse, S leur difTéronce. 

D'après la proposition H, nous pouvons circonscrire ii la courbe EXA 
une figure composée de segments de tangentes et (jui soit supérieure 
il la courbe d'un intervalle moindre que â. Supposons cette circon- 



190 



ŒUVRES DE FERMAT. 



I 22^ 2'2iî 1 



scription ofTectiiéc et représentée dans une ligure à part {fig- t25), 
marquée cinquicme en chiffre romain, où cet ensemble de segmenls 
de tangentes, ER + XS + YT + ZV, d'après ce qui a été démontré, 
est plus grand que la courbe EXA. Mais on suppose également p plus 
grande que cette courbe, et l'excès de la figure circonscrite sur la 
courbe est inférieur ii celui de j3 sur la courbe. Donc la ligure circon- 
scrite est plus petite que p. Donc le produit de KL par la circonscrite 

\>\S. is.S (V). 




est inférieur à KL x p. Mais KL x ^ est égal au segment parabo- 
lique EQMI. Donc le produit de KL par la circonscrite est inférieur 
il ce segment parabolique EQMI. 
Or nous avons prouvé que 

KLx ER-QExEF, 
KLxXSrrPF X Ff., 
KL X YT = or, X (IH, 
KLxZV = NIlxUL 

Donc, en sommant, le produit de KL par la figure circonscrite est 
égal il la somme QE x EF + PF.FG + OG.GH + NH.HI. Si mainte- 
nant, sur les droites FP, GO, HN, IM qui décroissent continuellement 
il mesure qu'elles se rapprochent du sommet de la parabole, on 
abaisse, des points Q, P, 0, N, les perpendiculaires (parallèles ;i la 



|2>3, 224J DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 191 

hase) Qy, PO, OX, No, il est clair <[iie le rectangle QEFy =. QE.EF; 
(le même OF =- PF.FG ; XG = OG x GH; enfin (pH^NII.HI. Donc le 
produit il(^ KL par la circonscrite est égal à la somme des rectangles 
YR. OF, a g, çH. 

IMais nous avons prouvé que ce produit de KL par la circonscrite est 
inférieur au segment parabolique EQMI. Donc 

yE + OF + >.(1 + oH < EQMI ; 

ce qui est absurde, puisque la somme forme une figure composée 
(le rectangles, évidemment circonscrite au segment j)arabolique, et 
])ar conséquent supérieure. Donc (3 n'est pas plus grande que la 
courbe EXA. 

Nous allons prouver qu'elle n'est pas plus petite. Supposons en 

eflet ^ < EXA, et soit S l'excès de la courbe sur la droite j3. 

Girconscrivons à la courbe sur une figure {fig. 12G) séparée (^dési- 
gnée comme cinquième en caractère grec) une suite de segments de 




tangentes inférieure à la courbe EXA, mais en sorte que l'excès de la 
courbe sur elle soit inférieur à 0. Soit cette suite de serments de tan- 



gentes : XR ^ YS + ZT 



AV. 



Comme l'excès de la courbe sur p est égal à 0, et (jue l'excès de la 
même courbe sur la figure circonscrite est moindre que ô, la circon- 
scrite sera plus grande que j3, donc son produit par KL sera plus 



192 ŒUVRES DE FERMAT. [«'i, 23ii 

grand que lo segment parabolique EQMI. Mais, d'après ce qui a été 
démontré, le produit de KL par la circonscrite est égal à 

PF X FE + ()G X r,F -H Nil x HG 4 MI x IH. 
En effet, ^-1, = ^; donc KL x XR --- PF x FE, et ainsi de suite 

r E KL 

pour les autres. 

Puisque le produit de KL par la circonscrite est plus grand que le 
segment parabolique EQMI, la somme des rectangles 

PF.FE + OG.GF + NII.r.II + MI.III 

est supérieure à ce segment parabolique. Mais si on mène les [terpen- 
diculaircs (parallèles à la base) Py, OO, NA, IMcp, qui rencontrent les 
ordonnées à l'intérieur de la parabole (car les ordonnées croissent ii 
mesure qu'elles s'éloignent du sommet), les rectangles ainsi construits 
PE, OF, NG, Mil seront respectivement égaux aux précédents. Donc 
la somme PE -+- OF-i- NG -i- Mil sera supérieure an segment parabo- 
lique. Ce qui est absurde, car ces rectangles PE, OF, NG, MH compo- 
sent une figure inscrite dans le segment parabolique et par conséquent 
plus petite. 

Donc p n'est pas inférieure à la courbe EXA. Ne lui étant ainsi ni 
supérieure, ni inférieure, elle lui est égale. C'est ce que nous avons 
voulu démontrer longuement pour écarter tout scrupule. 

Di; <;f, oui a ivnc nÉMONTUi':, ressort que l'on peut établir avec la même 
facilité l'égalité entre un segment parabolique quelconque EQPF, re- 
tranché du premier, et le produit de la donnée KL par la courbe E.\. 
Si donc on donne sur la base un point quelconque F, comme, d'apri's 
Archimède, le segment parabolique EQPF est donné en rectilignes, le 
produit KL x EX est donné ; mais KL est donné, donc l'arc EX. Par 
conséquent, si l'on donne sur la base un point quelconque F, il est 
clair que l'arc de courbe correspondant est donné et qu'on peut assi- 
gner une droite qui lui soit égale. 

Il, n'y ,\ pas à objecter que, pour trouver une droite égale à la 
courbe EXA, il semble falloir construire une parabole simple, ce qui 



r22r,,226] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 1!».{ 

rendrait le problème solide. Car le tracé de cette parabole n'est sup- 
posé que pour rechercher la vérité et faire régulièrement la démon- 
stration; rien n'empêche qu'on ne dissimule ce tracé imaginaire de 
parabole, et qu'on ne fasse le calcul en ne laissant apparaître que des 
droites et des cercles. Sauf erreur, voici ce calcul. 

Soit {fig. 127) la courbe parabolique DAC, telle que les cubes des 
ordonnées DB et NM soient proportionnels aux carrés des abscisses de 
l'axe, BA, AM. On donne la hauteur AB, et la demi-base BD, ou la base 
totale DBC. Je dis que la droite prouvée égale à la courbe DAC est 
donnée par un calcul véritablement géométrique. 

Fij;. .27 (6). 



N/- 




Soit AO le paramètre de cette parabole, qui est donné avec l'axe et 
l'ordonnée, comme il a été montré plus haut; j'en retranche la neu- 
vième partie EO. Je prends égale au reste AE la droite YK, que je pro- 
bmge de KX égale à l'ordonnée ou demi-base DB. Sur YX comme dia- 
mètre, je décris le demi-cercle YTX et, prenant en II le milieu de YK, 
j'y élève la perpendiculaire UT qui rencontre le demi-cercle en T. Je 
prends UV égale à UT, et sur VX comme diamètre je décris le demi- 
cercle VQX jusqu'à la rencontre duquel j'élève du point U la perpen- 
diculaire UQ. Sur les droites TU, UQ, je décris les demi-cercles TPR, 
UGQ, et j'y inscris les cordes TP, UG égales ii UY. Je joins UP, QG et j(î 

1- I . arcDAC aQG^ . . . , 1 ■ c ;. 

dis que le rapport . .. , = tv^xTi ^^ P^"" conséquent est donne. Soil 



Kerxat. — \\\. 



ID'i. 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[ÎÎG, ÎÎ7] 



3RP- DC 
donc posé —rrrr-, -- TTf- La droite IH donnée par cette construction sera 
1 aQd- III ' 

égale à la courbe parabolique DAC. 

Si cette construction d'ailleurs ne concorde pas avec la démonstra- 
tion précédente, il faut la corriger d'après cette dernière. 

Si cette propriété de notre courbe parabolique ne suffît pas pour la 
l'aire placer par les géomètres au rang des objets particulièrement, 
remarquables de leur Science, ce qui va suivre lui assurera peut-être 
ce rang. Car qu'y a-t-il de plus singulier que de voir, d(; cette seule 
courbe, en dériver une infinité d'autres dilTérentes de cette première 
et dilTérentes entre elles, et qu'on démontrera néanmoins être égales à 
des droites données? Voici la proposition générale : 

Soient ( /ig. 1 28) CiVlA no/rc courbe parabolique. AB sa hauteur, (]]i sa 
demi-base; sur cette courbe, on en formera d'autres en nombre infini de 



.5S (7). 




cette façon. Si ion mène perpendiculairement à la base des droites quel- 
conques DMNL, EKIH, coupant la courbe aux points M, K, la nouvelle 
courbe CNKi à former de cette première sera de telle nature que DN soit 
égale à l'arc correspondant CM de la première courbe, El à l'arc CMK de 
la première courbe , et de même pour toutes les autres perpendiculaires. 
Cette nouvelle courbe CNIG sera différente d'espèce de la première. 

On formera sur cette seconde courbe une troisième CLHF, en sorte que 
DL, EH soient respectivement égales aux arcs CN, CNl de la seconde 
courbe. Sur la troisième, on formera de la même façon une quatrième, sur 
la quatrième une cinquième, sur la cinquième une sixième, et ainsi de 



[227, 2?91 DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 195 

suite à l'infini. Je dis que toutes ces courbes CNIG, CLHF, etc. à l' infini 
seront, de même que la première parabolique CMKA, égales à des droites 
données. 

Il faut remarquer que toutes ces courbes, en nombre indéfini, sont 
purement géométriques, et, cependant, on ne peut leur appliquer cette 
prétendue loi de la nature, dont j'ai parlé au commencement de cette 
Dissertation. Quoique, en effet, on suppose les droites DN, El égales 
aux arcs CM, CMK, elles n'en sont pas moins posées comme égales à 
des lignes droites, d'après la démonstration précédente. Car, soit 
donné un point quelconque D, d'après ce qui précède, une droite 
égale à l'arc CM est donnée; donc la droite DN posée par construction 
égale il l'arc CM doit être considérée comme une droite véritablement 
donnée et non supposée égale à un arc. De même pour les autres. 
Donc la courbe CNIG est véritablement géométrique, et une l'ois que 
nous aurons démontré qu'elle est égale ii une droite donnée, il s'en- 
suivra que la courbe qui en dérive, CLHF, est aussi purement géomé- 
trique, et de même toutes les autres indéfiniment. 

La démonstration est facile en posant d'abord une proposition qui 
soit générale pour toute cette question. 

Proposition VI. 

Soient {fg- 1 29) une courbe quelconque ONR, de la nature des précé- 
dentes, dont est le sommet, OVI iaxe (^ou l'ordonnée, car la démon- 
stralion est la même dans les deux cas). Je forme sur elle une autre 
courbe OAIÎ, telles que ses ordonnées soient égales aux arcs correspon- 
dants de la première courbe; c'est-à-dire VA = UN, lE -^ OR, et ainsi de 
suite. Je mènerai comme suit la tangente en un point donné de cette 
nouvelle courbe. Soit M le point donné, je mène l'ordonnée El qid coupe 
la première courbe en R. Je mène en ce point R la tangente RC à la pre- 
mière courbe. Cette tangente rencontre l'axe au point C. Je pose 

T77 = TTT' et je joins ER. Je dis que KR est tangente en M à la nouvelle 
Cl lU •' •' ' ^ 

courbe EAO. 



I9G ŒUVRES DE FERMAT. [229] 

En ciTet, si je prends sur l'axe un point quelconque V, et si je mène 
l'ordonnée VNA coupant la première courbe en N, la tangente RC 
en S, la seconde courbe en A, enfin EB en Y, il me suffît de prouver 
<|ue l'on a toujours VY>VA, pour établir que EB ne coupe pas la 
nouvelle courbe du côté du sommet. Or cette preuve est facile à 
donner. 

Fig. 129 (8). 




Z P FD 



En effet, VA =. ON = ÔK - NR. iMais RS < UN. suivant le corollaire 
de la première proposition. Donc OR — RS > OR — RN. Mais 
VY -- OR — RS, comme nous allons le prouver tout à l'heure. Donc 
VY (ordonnée de EB) > VA (ordonnée de l'arc OAE). Donc tous les 
points de EB du côté du sommet sont extérieurs à la courbe; donc EB 
ne coupe pas la courbe du côté du sommet. 

Mais je dis qu'elle ne la coupe pas davantage plus bas. Je prends en 
effet un point quelconque H, par lequel je mène l'ordonnée HZ, qui 
coupe la première courbe en D, le prolongement de RC en F, la seconde 
courbe en Z, le prolongement de EB en Q. Si je prouve qu'en tous cas 
HQ > HZ, j'aurai prouvé que tous les points de EB, même au-dessous 
de E, sont extérieurs à la courbe, et par suite la droite EB sera dé- 
montrée toucher la seconde courbe au point E. 

HZ = OD = OR + RD, par construction. Mais RF > RD, suivant le 
corollaire de la première proposition, RF étant un segment inférieur 

de la tangente RC. Donc OR + RF > OR + RD. Mais OR + RF = HQ, 

comme nous allons le prouver tout à l'heure, et OR + RD =:; HZ, par 



(-'30,231] DISSERTATION GEOMETRIQUE, 197 

construction. Donc en tous cas HQ > HZ. Donc la droite EB est tan- 
gente en E à la seconde courbe. 

Rkste a l'KoiJVEK en premier lieu que OR — RS = VY. 

Je mène EM parallèle à l'axe et rencontrant en M le prolongement 



de VY. Par construction, rj7 = Ty 



, j . El YV _ YiM . RC _ RS 
IB "^ VR ~ MÉ' ^^ Cl " VI '■■ 



donc 



YM RS 
ME 



Yj-- Mais, il cause des parallèles, ME = VI; donc YM = RS. 



VI 



Mais aussi EI = VM; donc El — MY — VY. Or, par construction, 
EI=:ÔR. Donc OR-MY(=RS) = YV. Premier point qu'il fallait 
démontrer. 

On raisonnera de même au-dessous de l'ordonnée El. Menant EP 
parallèle à l'axe, on prouvera que QP — RF. 

En ciret,^ou§Sou§J = ^ou|ï- Mais PE = IH; donc QP ^ RF. 

lt> Un Jrr. Li in. 

D'ailleurs HQ = HP + PQ ; HP = lE = OR; PQ = RF, comme on vient 
de le démontrer. Donc OR -i- RF = HQ. Second point qu'il fallait 
démontrer. 

11 est donc prouvé que EB est tangente ii la seconde courbe au 
point E, ce qu'il fallait démontrer. 

Soit maintenant (/Ig. i3o) notre courbe parabolique GKA, de hau- 

Fig. i3o (9). 




H i a 



teur AE, de demi-base GE, de paramètre AD. Soient, comme précé- 
demment, CD = jAD, et B le milieu de AC. De cette première courbe 



198 (EUVRES DE FERMAT. [2:il, 23î] 

j'en forme une autre à partir du point G, soit GNS, qui rencontre en S 
l'axe de la première, la propriété de cette nouvelle courbe étant que, 
si l'on prend un point quelconque F et que l'on élève la perpendicu- 
laire FKN qui rencontre les deux courbes en K et N, on ait toujours FN 
égal à l'arc GK de la première courbe. Menons KM parallèle à la base 
et, par ce même point K, TKH tangente à la première courbe et ren- 
contrant l'axe en T, la base en H; par le point N de la seconde courbe, 
menons la tangente RNXI, qui rencontre la base en 1; enfin des deux 
points R, X, pris arbitrairement de part et d'autre sur cette tangente, 
abaissons sur la base les perpendiculaires XY, RV. 

D'après ce qui précède, on a constamment, quelle que soit la tan- 

. jrr,, KT- KL- FE^^AR KT^ Kll- , 

gente Kl, -,^, ou ^^, -^ -^^— ; mais j^iî^^-j^j^ " h^' ^' cause 

des parallèles; donc j = — ^^tt D autre part, d après la propo- 

sition précédente, r.., = -y-^ car les cotes sont proportionnels, 

comme le démontre cette proposition; donc les carrés le sont égale- 

, r, NF= FE-hAR , (NF^-i-Fr)(— NP) FEn-aAR 

ment. Uonc-„v7 ^ — . ,.- — ; componenao : r,.. = .. 

l'I- AH ' H- A 15 

.. . NI- RN^ . . NX- , . ,, , . . , 

Mais ï,.7 — -pyT. et aussi — i,^: î donc, si I on prend un point quel- 
conque N sur la seconde courbe, le rapport des carrés du segment d(^ 
(angente et du segment de base correspondant, soit d'un côté, soit de 

l'autre, sera — . Si donc je prolonge la base GEde EO - 2 AH. 

qu'en j'élève la perpendiculaire OP -- AB, on aura toujours, pour 

notre seconde courbe : ^ r-, ou tv.>, = — -• 

Cela posé, il est clair que les autres courbes en nombre indéfini, 
qu'on tracera comme nous l'avons indiqué, sont de telle nature que, 
par exemple, dans la troisième, le rapport des carrés du segment de 

la tangente et du segment de base correspondant sera -.t . 

en prenant F au point où tombe la perpendiculaire abaissée du point 
de contact sur la base. 



[J:î3.'-'31] J)ISSERTATI0N GÉOMÉTRIQUE. 199 

Dans la quatrième courbe, le même rapport des carrés des segments 

correspondants do la tangente et de la l)ase sera — -tty — ' ^^ ainsi de 
suite indéfiniment. 

La démonstration est toujours la même et s'applique évidemment 
en tous cas. 

Ceci établi, il est facile d'arriver au théorème général. 

Proposition Vil. 

Soient (Jig. i3i) KA notre courbe parabolique, AI son axe, IK sa 
demi-base. Je forme sur elle la seconde courbe EXYZO de telle sorte. 




commejc l'ai dit plus haut, qu'une ordonnée quelconque FX soit égale 
à l'arc de la première courbe interceptée par cette ordonnée ou per- 
pendiculaire. Je divise la base en un nombre quelconque de parties 
égales EF, FG, GII, III; aux points F, G, H, j'élève des perpendicu- 
laires qui coupent la seconde courbe aux points X, Y, Z. Soient AD le 
parami'tre de la première courbe, CD sa neuvième partie, B le milieu 
du reste AC. Soit, dans le prolongement de la base, IK ~ 2AB et, 
élevée en K, la perpendiculaire KL — AB. Par le point K, sur l'axe KE, 
j'imagine décrite la parabole simple ou d'Archimède ayant KL pour 



200 ŒUVRES DE FERMAT. |?34, iXJ] 

paramètre; soit KMOQ cette parabole; par les points E, F, G, H, I, 
j'élève des perpendiculaires à la base qui rencontrent cette parabole 
aux points Q, P, 0, N, M. 

D'après le corollaire de la proposition précédente, comme EXO est 
la seconde courbe dérivée de la première, c'est-à-dire formée par le 
procédé que nous avons déjà indiqué plusieurs fois, si l'on y prend 
un point quelconque Y, et que l'on mène le segment de tangente YT, 

on a —,.2 = i/i'" Mais, en multipliant de part et d'autre par KL, 

C.K r.K X KL . ,, , , , , , III 

1^ = — j^j-j — ) et, d après la nature de la parabole simple, 

yi'i (î()2 YT (i() 

GK X KL = GO". Donc rrrr; = T^-TT. et Tm = , r' ou, en égalant le pro- 

(ill- KL- <iH KL " ' 

duit des extrêmes à celui des moyens, GO x GH = KL x YT. 

Si l'on mène les autres tangentes ER, XS, ZV, rencontrant les per- 
pendiculaires en R, S, V, on prouvera de même que 

QE X EF ^ KL X ER, l'F x FG - KL x XS ; 

et ainsi de suite indéfiniment. 

D'où, en ramenant à la méthode d'Archimède par le même procédé 
que dans la proposition IV, on conclura que le segment parabolique 
EQMI est égal au produit de KL par l'arc EXO de la seconde courbe. 
De même pour les autres segments paraboliques : par exemple, 

segm. EQPF = KL x EX; segm. EQOG = KL x EXY; et ainsi de suite 
indéfiniment. 

Or tous ces segments paraboliques sont donnés en rectilignes par 
la quadrature de la parabole qu'Arcliimède a démontrée; KL est éga- 
lement donné. Ou a donc également comme données tant la seconde 
courbe totale EXO que les arcs EX, EY, etc., interceptés sur elle par 
les perpendiculaires élevées aux points F, G, etc. 

Pour égaler à une droite donnée la troisième courbe, la construc- 
tion sera la môme, sauf que l'on prendra IK = 3AB; pour la quatrième 
courbe, IK — 4AB; et enfin on établira, entre toutes les courbes à 
dériver indéfiniment de la première, cette relation : que deux quel- 



[235,236] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 201 

conques seront entre elles comme les segments paraboliques de même 
hauteur d'une même parabole, dont les distances au sommet de la 
parabole sont d'autant de fois le paramètre qu'il y a d'unités dans les 
ordres des courbes comparées entre elles. 

Soient par exemple i^fig- i32) EMA notre courbe parabolique, AF 
son axe, EF sa demi-base, AD son paramètre, CD le neuvième de ce 

Fig. i33 (11). 





dernier, B le milieu du reste AC. Je forme de cette première courbe 
la seconde EOS, telle que, si l'on prend un point quelconque N sur la 
base, NO, perpendiculaire à la base, et qui rencontre les courbes M, 0, 
soit égale à l'arc E>I de la première courbe. Je forme ensuite de la 
seconde courbe la troisième EVR, où NV est égale à l'arc EO de la 
seconde courbe. De la troisième EVR je forme la quatrième EXL, où 
NX est égale à l'arc EV de la troisième courbe. Soit à part la parabole 
simple ou d'Archimède, d'axe indéfini GKQY, de sommet G, de para- 
mètre GH = AB. On demande par exemple le rapport de la quatriènm 
courbe EXL à la primitive EMA. 

La première de ces deux courbes étant du quatrième ordre, je prends 
sur l'axe l'abscisse GY = 4GII et, sur son prolongement, YO = EF 
(demi-base); je mène les ordonnées YT, OÀ. 

La seconde des deux courbes à comparer étant du premier ordre, 
je prends sur l'axe l'abscisse GK égale au paramètre pris une seule 

FEnMAT.— III. 26 



202 ŒUVRES DE FERMAT. [53G. 237] 

fois et, sur son prolongement, KQ = EF (demi-base) ; je mène les ordon- 
nées Kl, QP. D'après ce qui a été démontré et conformément à la règle 

générale, 

segm. parai). YT>,9 _ (i^i" courbe )EXL ^ 
segm. parai). KIPQ ~ (i" courbe )EMA 

Mais, d'après Archimcde, le rapport des segments paraboliques est 
donné, donc celui des courbes est donné ; mais la première est donnée, 
comme il a été démontré; donc la quatrième est donnée, et l'on peut 
assigner une droite donnée qui lui soit égale. D'ailleurs cette relation 
constante peut, si l'on veut, être accommodée en langage géométrique, 
en écartant la parabole et on se servant seulement de la règle et du 
compas. 

Enfin qui ne voit que ce qui a été prouvé et réduit en règle pour les 
courbes totales vaut pour les arcs de ces courbes à comparer entre 
eux, au moyen de segments paraboliques ayant pour hauteur les seg- 
ments de la demi-base qui correspondent aux arcs de courbes? 

Je n'ajoute rien sur les solides engendrés par ces courbes en nombre 
infini, ni sur leurs surfaces courbes, ni sur les centres de gravité de ces 
lignes, de ces solides ou de ces surfaces; car les métbodes générales 
données à cet égard par de célèbres géomètres ne laissent rien ignorer 
là-dessus une fois connue la propriété spécifique de la courbe donnée, 
quoiqu'en beaucoup de cas il ne soit pas inutile que cbacun fasse 
usage de sa propre industrie. 

Mais, avant de terminer cet écrit, il me vient à la pensée d'examiner 
la proposition suivante : 

Soient (Jïg. i33) COA notre courbe parabolique, A son sommet, Ali son 
axe, CB sa demi-base. On peut en former une infinité d'autres courbes 
de la manière déjà indiquée, mais non pas, comme auparavant, du côté 
de la base, au contraire de celui du sommet. Soient donc formées ainsi 
les courbes AIF, AGE, etc. indéfiniment, sous celte condition que, si ion 
prend sur l'axe un point quelconque D et que l'on mène à l'axe la per- 
pendiculaire DOIG, qui coupe les courbes aux points 0, I, G, la droite DI 



[237,238] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 203 

pour la seconde courbe soil égale à l'arc AO de la première, la droite DG 
pour la troisième, égale à l'arc AI de la seconde, et ainsi de suite indéfi- 
niment. Toutes les courbes de cette sorte différeront d'espèce non seule- 
ment entre elles et par rapport à la première AOC, mais elles différeront 

Fig. i33 (12). 




aussi de celles que nous avons formées du côté de la base. On demande si 
les courbes AIF, AGE, etc. à l'infini sont égales à des droites données ou 
bien à d'autres courbes (' ). 

Que les géomètres le cherchent, ils verront grandir encore la mer- 
veille. Il est certain que si les méthodes dont ils se servent pour 
mesurer les courbes sont générales et suffisantes, comme ils l'alfir- 
ment, et comme je ne prétends pas dès lors le mettre en doute, ils 
reconnaîtront la chose au premier coup d'œil et ils épargneront un 
travail superflu à un géomètre déjà fatigué. 

S'ils trouvent quelques points trop concis dans les démonstrations 
précédentes, je les prie au reste d'y suppléer ou de m'excuser. 



(') Dans la note de la page 237 du Tome I, il a été dit par inadvertance que les 
diverses courbes en question pouvaient être superposées par simple translation. De fait, 
ce sont des développées d'hyperboles, rentrant dans l'équation générale 

{ny -\- b)'^ — nx' = b* , 

OÙ /( représente l'ordre de dérivation à partir de la développée de [)arabole, j ' = rtx2, ^^v^o 
donne celle équation, si l'on fait « = o et /i = —a. 



204. 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[■23S, 239] 



APPENDICE A LA DISSERTATION 

SUR L\ COMPARAISON DES LIGNES COURBES AVEC LES LIGNES DROITES. 

Pour répondre à la dernière question posée dans la Dissertation, il 
parait convenable d'établir d'abord les propositions suivantes. 

PnOPOSITION I. 

Soient {Jig. i34) deux courbes AIF, 3Z8 dont les axes AE, 87 soient 
é<^aux entre eux. Je mène des ordonnées en nombre quelconque égale- 
ment distantes du sommet dans les deux figures. Soient, par exemple, 
BM, CI, DH, EF les ordonnées de la première, 4T, 5Z, 69, 78 celles 
de la seconde; AB, distance au sommet de l'ordonnée BM, est suj)- 
pusée égale à 43, distance au sommet de l'ordonnée 4 T. De même, on 
suppose CA = 53, DA = 63, enfin EA = 73, supposition déjà faite. 




Si les ordonnées sont toujours aux longueurs interceptées sur l'axe par 
les tangentes comme les lignes correspondantes de l'autre figure (c'est- 
à-dire si, menant les tangentes d'un coté aux points F, H, I, M, de 
l'autre aux points 8, 9, Z, T, on a toujours par exemple : 



ordonnée FE 



ordonnée 87 



sous-tangente KE sous-tangente 72' 
ordonnée 1)11 ordonnée 69 



sous-tangente pour le point II sous-tangente pour le point 9' 



[239,240] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 205 

et ainsi pour les autres), je dis que les deux courbes AlF, 3Z8 soiu 
égales, ou plutôt semblables et identiques, les ordonnées d'une figure 
étant égales à celles de l'autre également distantes du sommet. 

Menons en effet sur la première figure, par les points H, I, M, les 
segments de tangentes HO, IN, MR, rencontrant les ordonnées aux 
points 0, N, R; sur la seconde figure, les segments de tangentes qV, 
ZY, TX, rencontrant les ordonnées aux points V, Y, X. On suppose 

FF S"7 

ÏT77 = — • Mais les andes en E, 7 sont droits; donc les triansrles FEK, 

EK 72 o ' / o ' 

872, semblables; donc ^ = ^- Mais, si l'on prolonge les ordon- 

Mi r^ ,' • » n ^^ FG .82 8P I 

jusqu en G, 09 jusqu en V, ^ — irr^> et — = ■^; donc 

FG S P 

jTp = Y~" ^^^^ DE = 67, puisque EA = 73, et DA = 63; donc 

FG = 8P. 

On prouvera de même pour les autres segments de tangentes que : 
HO = 9V, IN = ZY, MR = TX. 

Donc la série des tangentes de la première figure est égale ii la 
série des tangentes de la seconde, d'où, par la méthode d'Archimèdc 
de réduction à l'impossible, on conclura facilement l'égalité des 
courbes AlF et 3Z8, premier point à établir, ainsi que l'égalité des 
arcs correspondants : FH = 89, HI = 9Z, etc. 

Reste à prouver que les ordonnées de l'une des figures sont égales 
à celles de l'autre. 

D'après la supposition faite, les ordonnées sont, de part et d'autre, 
dans le même rapport avec les sous-tangentes; donc les angles GFE, 
P87, formés par les tangentes et les ordonnées, sont égaux. De même 

OHD = vJ^G, NIC = YZ5, RMB = XT^. D'ailleurs, tous les arcs de la 
première courbe, FH, HI, IM, MA sont respectivement égaux aux arcs 
de la seconde, 89, 9Z, ZI, 13, et l'inclinaison do ces arcs est constam- 
ment la même de part et d'autre (car l'inclinaison des courbes est 
mesurée par celle des tangentes qui font toujours, comme nous 
l'avons prouvé, des angles égaux dans les deux figures). Donc 1rs 
courbes AMIFH, 3TZ98 sont non seulement égales entre elles, mais 



206 ŒUVRES DE FERMAT. [240,241] 

encore semblables, et si on imagine qu'on les superpose, elles coïnci- 
deront entièrement, et auront donc, aussi bien que leurs axes, leurs 
ordonnées égales ou plutôt identiques. C'est le second point qu'il fal- 
lait démontrer. 

Proposition II. 

Soient {Jig- i35) deux paraboles de même nature AOD, XI G, 

d'axes AC, XF, de demi-bases DC, GF; soit par exemple : gr— , = TTVi' 

et de même -j^ = ^tt^; nous restons ainsi sur notre parabole, quoique 
la proposition soit générale. Si les axes sont proportionnels aux dcmi- 



Fig. i35 (2). 





bases, c'est-à-dire si tt^ = ^) je dis que ces deux paraboles sont dans 
le rapport de leurs axes ou bien de leurs demi-bases, c'est-à-dire que 

courbe AOD AC ^. CD 

j — ^-f-r = :r^ ou bien = — -, 

courbe Xld XI' UV 



ces deux derniers rapports étant égaux par supposition. 

La démonstration est facile. Je partage chaque axe en un même 
nombre quelconque de segments, soit deux seulement pour éviter la 
confusion et la prolixité. Soit donc B le milieu de l'axe AC, Y celui 
de l'axe FX; je mène les ordonnées BO, YI, puis en D, 0, les tan- 
gentes DN, OM, dont la première rencontre en E l'ordonnée BO, la 
seconde en V la parallèle AV aux ordonnées; de même sur l'autre 
ligure, je mène aux points G, I les tangentes GK, IS, qui rencontrent 
en H, R l'ordonnée Yl et la parallèle XR. 



1242,243] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 207 

Par supposition, j^ = ç!^; d'autre part, d'après la nature de la 

, , C\ 2 , FX 2 , DC GF , 

parabole, r^. = tj» et ; ^^r^ = ^j donc 7^ = t^î donc 

' sous-lang. LN 3 sous-lang. tK 3 CN rK 

les triangles DNC, GKF sont semblables; donc s^ = ^- Mais 

DN _ DE f GK _ GH , DE _ G II 

NG ~ GB '^ KF ~~ FY ' "'^ Giî ~ FY ' 

,. , . OV IR 

On prouvera de même que -^rr = yy' 

Les segments de l'axe, AB, BC d'une part, XY, YF de l'autre, étant 
égaux entre eux, en sommant les segments de tangentes, on aura 

OE + OV GII -H IR 



AG XF 

Mais la somme des segments, DE + OV, dont on peut multiplier le 
nombre autant qu'on le voudra, représente, par la réduction à l'im- 
possible, comme on l'a déjà indiqué et prouvé, la courbe totale DOA; 
de même la somme GH + TR, dont on peut aussi multiplier le nombre 
des termes à volonté, représente la courbe totale GIX. Donc 

courbe DOA courbe GIX 

axe AG ~ axe XF ' 

vicissim cl converlendo : 

axe AG base DG courbe DOA 

axe XF base GF courbe GIX 

Proposition III. 

Soit (/ig. i36) AO une courbe d'axe AG, de base CO; imaginons 

formée sur elle une courbe de même axe et de même sommet, dont les 

ordonnées soient proporlionnellcs à celles de la première courbe, c'est- 

. ,. Iiasc CO Ri^ onlonnéc (le la r" DE . ■ ip • . c^- 

a-dire t -^ — .-ttt j -. — ; — ; = y-^, etc., indeiiniment. .S; 

base GV^ ]{K ordoiiiiee de la i" DN 

e/i un point quelconque de la première courbe, on mène la tangente OH 

rencontrant l'axe en II, ci que l'on prolonge CO jusqu'à la rencontre 

de la seconde courbe en \,je dis que la droite qui Joint V, H est tangente 



208 ŒUVRES DE FERMAT. [243,244] 

à la seconde courbe, et que les tangentes qui se correspondent sur les deux 
courbes coupent toujours l'axe au même point. 

Fig. i36 (3). 




En effet, menons les ordonnées BPR, DEN, rencontrant les courbes 
en P, R,E, Net les droites OH, VH ou leurs prolongements en Q,S,F, M. 
Si nous prouvons que BS, menée au-dessus de CV, est toujours plus 
grande que RR, et que DM, menée au-dessous, est aussi plus grande 
que l'ordonnée DN, il sera clair que la droite MVSH est tangente à la 
seconde courbe en V. 

Or, par construction, tttf = jyïï' *^^' ^^ raison du parallélisme des 



RR 



. , CO RQ , RP 
même point, ^^ — gg-; donc 



roites COV, BQS, que coupent les trois droites CH, OH, VH, issues d'un 

RO ... Rl^ Rt{ 
— = ^;mcissim^^ = ^. 

Mais, OQH étant tangente à la première courbe en 0, BQ>BP; 
donc BS >> BR. Ce qu'il fallait prouver en premier lieu. 

La démonstration est la même pour l'ordonnée menée plus bas. En 

ro DF 

effet, on suppose r^F = ïy>j' d'autre part, à cause des parallèles, 

^=:5Z; donc ^ = ^- Mais DE<DF; donc DiN<DM. Donc 
MVSH est tangente en V à la seconde courbe. 



Lemme pour ce qui suit. 

Soit {fig- i37) notre parabole GIA, d'axe AE, de demi-base EFG, 
de tangente GH. Construisons sur le même axe AE une autre para- 
bole FNA, telle que l'on ait pour la demi-base : EF-= jEG-, et de 



[245,240] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 209 

même pour les ordonnées quelconques : NO-=:iOr-. Soient AD le 
paramètre de la première parabole GIA, CD sa neuvième partie, B le 
milieu du reste. Je mène en F la tangente FH à la seconde parabole; 
elle rencontre l'axe au même point H que la tangente à la première, 




d'après la proposition précédente, ou bien d'après la nature de ces 



EA 



paraboles, puisque l'on a pour l'une et pour l'autre •* prj-, = t;- Je dis 



ÏAH 



FE2 

En effet, d'après la proposition 111 de la Dissertation, r^yr^ = t^tt- 
^ ii.li- Jiii 

Prenant la moitié des antécédents, comme ^GE- -^ EF^ par supposi- 

EF^ lAH 

tion. 



FE- 



EU^ ~ GE 

Nous prouverons de même que, si FE^ = iGE^ . , 
même pour les rapports des carrés : {, }, etc. à l'intini. 

Puisque, pour le rapport ^, nous avons prouvé que .,.., 



AB 



De 



EG 
EF^ \A\i 



componendo , 
FH= iAB + GE 



FE^-(-EIPW=FH-) lAn+GE 



Ell^ 



GE 



• Si EF^ : 



; SI Et- = |GE-, on aura p-,T^ = 



GE 

^GE°, on aura 
t-EG 



-; et ainsi 



EH^ ~ GE j - — — ,— ' — ""■" £ip — ^^^ 

de suite indéfiniment, cette relation ayant d'ailleurs lieu pour toute 

ordonnée. 

Proposition IV. 

Cela posé, nous découvrons sans difficulté le théorème général. 

Soient (y?^". i38) notre parabole AC, AB son axe, BC la demi-base; 
soient formées sur elle les autres courbes en nombre inlini AD, AE, 



FEnUAT. 



ni. 



210 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[24G, 247] 



AF, tcllos que, si l'on mène une ordonnée quelconque BCDEF, Bl) 
soit toujours égale à la première courbe CA, Bli à la seconde AD, BF 



Kig. 1 38 (.'.). 



1 
Ah 


/K^'^ 


A 
Z 





à la troisième AE, et qu'il en soit de même pour toutes les courbes et 
toutes les ordonnées. Je dis que chacune de ces courbes AD, AE, 
AF, etc. à l'infini, est toujours égale à une droite donnée, de même 
que cela a lieu pour les courbes que dans la Dissertation nous avons 
construites du coté de la base par un procédé analogue. 

Voici le théorème général : Soit construite à part (Jig. iSq) la para- 
bole 03M absolument égale et semblable à la parabole AC, ayant par 




conséquent son axe MN-= AB, sa demi-base ON^BC; c'est seule- 
ment pour éviter la confusion que nous faisons une figure à part. Soit 
NP-^'2NM\ NQ==3NI\P, NR= = /4NM-, et ainsi de suite indéfini- 
ment. La demi-base ON restant la même, je construis, par les sommets 
P, Q, R, des paraboles de même nature que la parabole 03M ou AC; 
soient 04P. 05Q, OGR, etc. ces paraboles. 



I2iî, îM] DISSERTATION GÉOMÉTRIQUE. 211 

h' dis que la parabole 04P = courbe AD, que la parabob» 
OoQ — courbe AP], que la parabole 06R — courbe AF; et ainsi de 
suite indéfiniment. 

Comme, en cfict, dans nos paraboles O'JP, 05Q, 06R, si l'on 
mène l'ordonnée 23'i5(J. <>n «i toujours, d'après la nature de ces para- 
boles, 

ON^ NP= ON^ NQ^ ŒV' _ mv- 

( 42 )•' ~ ( P 2 y' ' râ2 )' "^ ( Q 2 )-^ ' {&r'f ~ ( lT7)^ ' 

il est clair, d'après ce qui a été démontré dans la Dissertation, que 
chacune de ces paraboles est égale h une droite donnée; par suit<', 
notre théorème général une fois démontré, il s'ensuivra que chacune 
des courbes AD, AE, AF est égale à une droite donnée. 

Voici la démonstration du théorème général : Soient AS le para- 
mètre de notre parabole, SY son neuvième, V le milieu du reste. Aux 
points C, D, E, je mène aux nouvelles courbes les tangentes CI, DH, 
EG, (|ui rencontrent l'axe aux points I, H, G. D'après ce qui a été 

démontré dans la Dissertation (prop. III) : ...r — \r,.; compnnendo : 

Uj; — — .. , .Mais, d après la Dissertation (prop. VI ) : . - = y -, 

BH étant la sous-tangente de DH; donc vttt^ — * — rrr, — ; componendo : 

ÎTTjj = ryp Mais, u après la même proposition, .v.^ = -r-r,^ JsG 

., ,1 , . I i^n 1 BE^ AV + 2RC 
étant la sous-tangente de EG ; donc rr^.-^ = rr-. 

Nous prouverons de même que, si l'on mène à la courbe EA l'or- 
donnée ZTK, coupant en lia courbe CA, et que l'on imagine au point K 

I , , . , I Ai.'n K^'-' AV + 2ZT . 

la tangente a la courbe AKE : . ,. , = — ,>.., , et 

" (.sous-iuiijjeiilo (le K)- Zl 

cela, quel que soit le point K. 

Soit tracée {fig- i^o) sur une figure à part, pour éviter la confu- 
sion, cette même courbe AKE, qui sera désignée dans cette figuri; 
nouvelle par ^pX. Soient donc la base XS — EB, la tangente Xy ~ EG, 
l'axe Gp — BA, la sous-tangente <5y=:BG, l'ordonnée v^ -- ZK. De 



212 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[■Î'i9, 250] 

cette courbe Xçp, j'en forme une moindre Ou^, telle que les carrés de 
ses ordonnées soient moitié des carrés dos ordonnées de la première 
courbe; ainsi oO- = ^Sa-, vii^--^v^^, etc. Je mène à cette nouvelle 
courbe les tangentes Gy, ■n:7, aux points 0, u. 



Fi" 



i3S f5). 




Fig. l'io (5) 




D'après la proposition III ci-dessus, il est clair que les tangentes Oy. 
Xy rencontrent l'axe au même point y; de même les tangentes en o, ir 
rencontrent l'axe au même point 7, puisque les ordonnées des deux 
courbes sont en rapport constant. 

.Te trace encore à part (Jig. i/ji) une parabole de même nature que 
OM, OP. etc., d'axe 98 = MiN =: AB = pS; de demi-base 0^ = NO v/| ou 
BC v/|. Soit y 1 1 9 cette parabole dont je forme une autre courbe 912J', 
de même axe 98, mais dont l'ordonnée 8(|/ = arc/^i 1 9; l'ordonnée 
10 1 1 12 -- arc 1 1 9, et de même pour les autres. 




Fig. .4' (5). 




Il faut prouver en premier lieu que les courbes 0-::j3 et (|/i29 sont 
les mêmes, c'est-à-dire absolument égales et semblables. Voici com- 



[250,252] DISSERTATION GEOMETRIQUE. 213 

RE'^ ï^'- AV-+-9,CR 
ment. Nous avons prouvé que ^^ ou v^ = ,.. ' ' - Prenant la 

moitié des antécédents, comme nous avons supposé OS^— . ^Xo*. 

or- iAV + CR ^, , . ... 

^^ — - — ^Tfi Nous prouverons de même, pour une autre ordonnée 

0-/- CR ' ' 

quelconque uv, = tttu — > etc. 

11 faut maintenant examiner si la courbe 'j'i^g jouit de la même 
propriété. Voici comment on y arrivera. 

Dans la courbe 7 119. dont la demi-base y8 = BC\/l, ^^ ^ny^ti 

89 = AB, d'après le lemmc précédent, si l'on mène les tangentes yp, 

, . , I (87)' 4AV . (ypY- iAV-f-CR 
•|a aux points ■/_. ■]/ : ^^, = ^; componendo, ^^ = ^-^^ 

De même, si l'on suppose la droite 910 — AZ, c'est-îi-dire si les 
points 10 et Z sont à égale distance du sommet, le rapport du carré de 

la tangente en 1 1 au carré de la sous-tangente sera - — ' - ■ Mais 



/ iriN <'/°)' (4^8)' * 1 •' tana:ii 

(prop. VI) : ré^î = roi-.' et de même 



sous-lanK 1 1 sous-lang 1 2 

n {']'8r- 4AV-+-R(: 

Mais, sur l'autre figure (/ig. 140), nous avons prouvé que 
ï"^ — ^ — Tvr, ; donc, dans les deux courbes u> 120, OtiS, rr- = ir- 

07- LU ~ •' '^ Sa dy 

La même relation aura lieu pour tous les autres points; on prouvera 

de même, par exemple, que = — > etc. 

'^ in sous-tangi2 vj 

Donc (Appendice, prop. I) les courbes 912'^, Oît^ ayant même axe 

et leurs ordonnées étant aux sous-tangentes constamment dans le 

même rapport que leurs correspondantes de l'une à l'autre courbe, 

ces courbes seront égales entre elles ainsi que leurs demi-bases et les 

ordonnées à égale distance des sommets. 

Mais, par construction, la demi-base '.j;8 = y 1 19; donc 7119 --OS. 

Mais Go = oXv/I; donc la courbe parabolique X,ii9~SXv/|. Mais 
ok = BE et, dans la construction des courbes dérivées de la pre- 
mière AC, on suppose BE = AD. 



214 ŒUVRES DE FERMAT. [25?, îS'i] 

Donc parab. 5(^ 1 1 9 — yi AD. Mais on a aussi y^i iç)-= yJ'-0^\*, 
car la base y^H == v'iBC == y/^NO, et l'axe 89 r^ AB == NM r.. y/ÎNP. Les 
paraboles O4P, 7 119 étant de même nature, et l'axe et la base de 
la parabole X' '9 étant respectivement dans le rapport \/~ avec l'axe 
et la base de la parabole O/jP. on aura aussi {Appendice, prop. Il ) 
parab. ^ 1 1 9 = V^pa^^b. O/j P. Puisque nous avons ainsi prouvé que 
la parabole /, 1 1 9 est dans le rapport \j-., soit avec la parabole 4 P. 
soit avec la courbe AD, la courbe AD et la parabole O4P seront 
égales, c. y. f. ». 

On prouvera de même que la courbe AE et la parabole t P sont 
égales. 

.. (f . BE^ AV-(-2RC 1 ... 1. , ■ ^ , 

bn etiet, vtt,- - - — -, — , comme il a ete démontre ; componcnao etc., 

¥AV AV-f-3BC ,. . ^^. . ,„, Ef.^ BF^ 

,,-(-. " iTT^ J>1ais (Dissertation, prop. VI): î,-tt, ~ -, . rr-r,; 

R(r- UL ^ '11/ j{(,2 (soiis-lang t )^ 

RF'- AV-H3BC 

donc ; ; .T-; = j,- 

(sous-langp)- BC 

Pour la suite, nous suivrons de point en point la démonstration pré- 
cédente, sauf que dans la figure à part {//g. i4"). après avoir pris 
Xâ — BF, on prendra SO -- y/^^ BF ou v'I^^; bi courbe Xçj3 sera égale ii 
la courbe FA, et Oti^ sera de telle sorte que ses ordonnées suivent le 

rapport des bases —■ 

Dans l'autre figure à part {/ig. i4')' où sont les courbes 9117,, 
9 i2'|,on prendra comme ci-dessus 9 8 --:NM--AB-j3S, mais ensuite la 
base 8y — y/^ON = v'il^CB. La parabole 7 119 sera de même nature 
que les paraboles CTA ou 3 M. On en formera la courbe (|> 129 dont 
les ordonnées S'\i, 10 12 seront, comme ci-dessus, égales aux arcs 79, 
119, et on prouvera, comme ci-dessus, que les courbes ^ttO, 9 i i 7, 
sont égales et semblables, c'est-à-dire identiques. 

On conclura l'égalité des bases OS, (|;8; par suite la base '\>S ou 
la courbe 9 1 1 x= y/^SX — y/^BF ^ y/~ courbe AE. Mais on aura dé- 
montré précédemment que parab.y 11 9 rr yiparab. 5 Q. Donc la 
courbe AE et la parabole 5 Q seront égales. 



|25'i] DISSEKTATION GEOMETUIQUE. ^ito 

On emploiera lo mémo raisonnement pour les cas subséquents, et 
l'on établira ainsi la vérité générale du théorème. 

Qui aura lu attentivement la Dissertation précédente et cet Appen- 
dice reconnaîtra aussitôt les principaux fondements de notre méthode 
et verra qu'on en déduit très facilement la mesure des courbes. 



21C ŒUVRES DE FERMAT. 



SUR LA TRANSFORMATION 



SIMPLIFICATION DES ÉQUATIONS DE LIEUX, 

POlll L\ COMPARAISON SOUS TOUTES LES FORMES 
DES AIRES CUUVILIGNES, SOIT ENTRE ELLES, SOIT AVEC LES KECTILIGNES, 

KT UN MEME TEMPS 

SUR L'EMPLOI DE LA PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE 

l'OUIl LA QUADRATURE DES PARABOLES ET HYPERBOLES A l'iNFINI. 



Archimèdo n'a employé la progression géométrique que pour la 
seule quadrature de la parabole; dans ses autres comparaisons entre 
quantités hétérogènes, il s'est borné à la seule progression arithmé- 
tique. Est-ce parce qu'il avait trouvé que la progression géométrique 
se prêtait moins bien ii la quadrature? Est-ce parce que l'artifice par- 
ticulier dont il s'est servi pour carrer avec cette progression la pre- 
mière parabole peut dilTicilement s'appliquer aux autres? Quoi qu'il 
en soiL, j'ai reconnu et éprouvé cette progression comme très féconde 
en quadratures, et je communique volontiers aux géomètres modernes 
mon invention qui permet de carrer, par une méthode absolument 
identique, et paraboles et hyperboles. 

Toute cette méthode dérive d'une seule propriété bien connue de 
la progression géométrique, c'est-à-dire du théorème suivant : 

Etant donnée une progression géométrique dont les termes décroissent 
indéfiniment, la différence des deux termes de la raison de cette progrès- 



iroC] MÉTHODE DE QUADRATIIHE. 217 

sion est au plus petit des deux comme te plus grand de toits les termes de 
la progression est à la somme de tous les autres jus(/u à l'infini ( ' ). 

Cela posé, soit d'abord proposée la quadrature des hyperboles : 
Je définis hyperboles des courbes d'espèces variant à l'intini, qui, 
comme DSEF (/ig. i/j-). ont cette propriété que, si l'on suppose, sous 

Fis- ''r- 




A G n M 



un angle donné quelconque RAG, les asymptotes UA, AC que l'on 
peut prolonger indéfiniment comme la courbe elle-même, et (jue 
si l'on mène parallèlement à l'une des asymptotes et comme on le 
voudra les droites GE, HI, ON, MP, RS, etc., on aura toujours le 
même rapport entre une puissance déterminée de AH et la même puis- 
sance de AG d'une part, et une puissance de GE (semblable ou diffé- 
rente par rapport à la précédente) et la même puissance de HI, 
d'autre part. J'entends par puissances, non seulement les carrés, 
cubes, bicarrés, etc., dont les exposants sont 2, 'i, 4, etc., mais aussi 
les racines simples dont l'exposant est 1 . 

Je dis (pir toutes ces hyperboles à l' infini, sauf une seule, celle d'Apol- 
lonius ou la première, peuvent être carrées au moyen d'une progression 
géométrique par une méthode uniforme et constante. 

Soit par exemple l'hyperbole dont la propriété est détinie par l'éga- 



( ' ) Soii S la somme des termes d'une progression géométrique décroissant indcliiii- 
mcnt dont le plus grand terme est a, et la raison q — - ; comme 7 < 1, c > n. Fermât 



énonce la relation 



-^ ; d'où l'on tire immédiatement S — a- — 

s - - a i' ■ « 



II 



l''i:iiMAr. 



III. 



218 ŒUVRES DE FERMAT. [?n7. 2581 

114" f V i^ k- Hl 

lifé conslanto dos rapports ^^^ = -^^^ et ^|j, = ^y^^ etc. Je dis que 
l'ospaco indéfini qui a pour base GE et qui est limité d'un côté par 
la courbe ES, de l'autre par l'asymptote indéfinie GOR, est égal à une 
aire reclilignc donnée. 

Imaginons les termes d'une progression géométrique décroissant 
indéfiniment; soient AG le premier, AH le second, AO le troi- 
sième, etc. Supposons que ces termes soient assez rapprochés les 
uns des autres pour que, suivant la méthode d'Archimède, on puisse 
adégaler, comme dit Diophanle, ou égaler par approximation le paral- 
lélogramme rectiligne GE x GH au quadrilatère mixtiligne GHIE; 
nous supposerons de plus que les premiers intervalles GH, HO, 
OM, etc. des termes progressifs soient suIRsamment égaux entre 
eux, pour que l'on puisse facilement employer la méthode d'Archi- 
mède de réduction à l'impossible, par circonscriptions et inscrip- 
tions. H suffit de faire cette remarque une fois pour ne pas s'obliger 
à revenir et à insister constamment sur un artifice bien connu de tous 

les géomètres. 

AG AH AO . AG GH HO 

(.ela pose, puisque ^,i =:. ^,- - Xm' ^" ''^"'■•'' ^"''' AÏÏ ^ ÏÏÏ") = ÔM' 

pour les intervalles. Mais, pour les parallélogrammes, 

EG X G H _ Hl X HO 
Hl X lïO " N(r>^OM' 

en effet, le rapport des parallélogrammes ' ' J est composé des 

, GE , Gir ,,.,., GH AG 

rapports |."j- et ïttt; mais, comme nous I avons indique, vj | — yu', 

, , , EG X GH , . , , GE , AG „. , 

donc le rapport rr- rrrr est compose des rapports jj.- et . .j- 1) autre 

, . GE H.\2 AO -, 1 1 

part, par construclion, ttj -:= rr— ou p— i par suite de la proporlio- 

nalité des termes; donc le rapport .'.'- ' r est composé des rap- 

, AO , AG . AO , . , 

ports -rrr et TT, ; mais r-.^ est compose des mêmes rapports; on aura 

j , . , ,,., GExGH OA HA 

donc pour le rapport des paralleloerammes : 7^, fin = rr, = tt^- 

1 ' ' ' ^ Hl X HO AH AG 



I ?58, 250 ] M É T 1 1 1) E DE Q U ADR A T U R E. 219 

, . ill X UO AO 

On prouvera de même que tt^ — tt^ = ,rr- 

Mais les droites AO, HA, GA qui constituent les rapports des paral- 
lélogrammes, forment, par construction, une proportion géométrique ; 
donc les parallélogrammes en nombre indéfini Glî x GH, HI x HO, 
ON X NM, etc. formeront une progression géométrique continue dont 
la raison sera ttv- Par suite, selon le théorème constitutif de notre 

A(r 

méthode, GH, différence des deux termes de la raison, sera au plus 
petit terme GA, comme le premier terme de la progression des paral- 
lélogrammes, c'est-à-dire comme le parallélogramme EG x GH, à la 
somme de tous les autres parallélogrammes en nombre indéfini, ou 
autrement, suivant Vadéqualion d'Archimède, à la ligure limitée par 
HI, par l'asymptote HK et la courbe INI) prolongée indéfiniment. 

,, . . ,, . . ,11 , -^,, IRi TiE X Cil 

Mais, si 1 on mullinlic les deux termes par Gl*., tt-t — .-.ir — tt-t-; 

' • (lA dij X w.\ 

donc GE X GH est à cette figure indéfinie dont la base est HI comme 
GE X GH est à GE x GA. Donc le parallélogramme GE x GA, qui est 
une aire rectiligne donnée, osl adégal à la figure précitée; si l'on 
ajoute de part et d'autre le parallélogramme GE x GH, qui, par suite 
des divisions indéfiniment poursuivies, s'évanouira et se réduira à 
rien, on arrive à cette vérité qu'il serait facile de confirmer par une 
démonstration plus prolixe, menée à la façon d'Archimède : que dans 
ce genre d'hyperbole, le parallélogramme AE est équivalent à la figure 
comprise sous la base GE, l'asymptote GK et la courbe ED indéfini- 
ment prolongée. 

Il est facile d'étendre cette invention ii toutes les hyperboles définies 
ci-dessus, sauf la seule exception que nous avons indiquée. Soit en 

eiiet une autre hyperbole ayant pour propricîte que ytv -^ p-ri' *''''^- 
pour les autres ordonnées. 

Prenons, comme ci-dessus, une série indéfinie de termes eu pro- 
gression; on démontrera de même que les parallélogrammes EH, 10, 
MN, etc. forment de même une progression indéfinie; mais, dans (;e 
cas, le rapport du premier parallélogramme au second, du second au 



220 ŒUVRES DE FERMAT. [259,200] 

troisième, etc. sera ;,,.. ce nue montrera immédiatement la composi- 

(jA ' ' 

tion des rapports. Donc le parallélogramme EH sera à la figure comme 
OG à GA. ou, en multipliant les termes par GK, comme OG x GE à 
GE X G A : vicissim OG x GE est à EH ou GE x GH comme GE x GA à la 

,. ,, . 0(1 xGE OG 9. j' r i • , i, 

fiffure. Mais nr; — tt,.- = tttt ou - par adéquation ; car les intervalles 

voisins de la base sont, par construction, sensiblement égaux entre 
eux. Donc, dans cette hyperbole, le parallélogramme EGA, qui est 
ésal à une aire rectilisne donnée, sera le double de la tisfure com- 
prise sous la base GE, l'asymptote GR et la courbe ESD indéfiniment 
prolongée. 

La démonstration sera la même dans tous les autres cas; il n'y 
a que pour la première hyperbole, c'est-à-dire la simple ou celle 
d'Apollonius, que la méthode est en défaut. La raison en est que 
les parallélogrammes EH, 10, NM y sont toujours égaux; les termes 
constitutifs de la progression, étant dès lors égaux entre eux, ne 
donnent aucune différence, et c'est précisément la différence qui 
fait tout le mystère de cette affaire. 

,1e n'ajoute pas la démonstration que, dans l'hyperbole commune, 
les parallélogrammes en question sont toujours égaux; la chose se 

voit immédiatement et dérive aussitôt de cette propriété de l'espèce 

„ . . GE HA 

(jue 1 on a toujours ^^ — p-r-' 

Le môme moyen carre toutes les paraboles sans qu'il y en ait cette fois 
une seule qui, comme pour les hyperboles, échappe à noire méthode. 

Je ne donnerai qu'un exemple, celui de la première parabole, celle 
d'Apollonius; sur ce modèle, on pourra faire toutes les démonstra- 
tions pour les paraboles quelconques ii l'infini. 

Soit AGRC une semi-parabole première {^fig- i43), de diamètre CB, 

de demi-base AB. Si l'on prend les ordonnées lE, ON, GM, etc., on a 

, . k\V- RC lE^ EC , - r- r ■ 1- ■ i 

toujours -™j -- Y\V 7j\2 ■" r\' ^^^- " ' miini, d après la propriété 

spécifique de la parabole d'Apollonius. 
D'après la méthode, imaginons les droites BC, EC, NC, MC, HC, etc.. 



Iffin, 202] METHODE DE QUADRATURE. 22 J 

formant une progression indéfinie. Les parallélogrammes AE, IN, OM, 
GH formeront aussi, comme on l'a prouvé ci-dessus, une progression 
indéfinie. 

Fit,'. .'|.'>. 




Pour connaître le rapport des parallélogrammes AE, IN, il faut, 

d'après la méthode, recourir à la composition des rapports. 

Or le rapport des parallélogrammes AE et IN est composé des rap- 

, AU . RE ,, . AR^ ne • . nn . /^T- 1 

ports jjj- et j^- Mais, puisque ^^j — t^i si entre BC et CE on prend 

la moyenne proportionnelle CV, de môme entre EC et NC la moyenne 

proportionnelle YC, les droites BC, VC, EC, YC, NC formeront une pro- 

.|, RC R(? , RC AR^ 

gression géométrique, etl on aura :^ — ^^j donc, puisque ^r^ = ^vï' 

AR RC y , . 1 , , ,,,, AE , 

-pp = yj-,- Far conséquent, le rapport des parallélogrammes jrr est 



lE 



VC 



IN 



, , , RC VC EC , , . RE 

compose du rapport r^ ou ^rr ou ^7^ et du rapport -rrj^ ou, comme 



on I a prouve plus iiaut, tttt; mais un rapport compose des deux ^p 



CE 



FC ne 

et ~ est égal au rapport j^^r^; donc le rapport des parallélogrammes 



CY 



CY 



-j^ = —' et par conséquent, d'après le théorème constitutif de notre 



RY 



méthode, le rapport du parallélogramme AE à la figure IRCHE est yr^ 



YC 



et celui du même parallélogramme AE à la figure totale AIGRCB est 



RY 



,TT> BC étant le diamètre total. Mais, si l'on multiplie de part et 



r.c 



•222 ŒUVRES DE FERMAT. [:G2, îf,3] 

d'autre par AB, T-T - -rrr — tttt; or AB x BC est le parallélogramme BD, 

obtenu en menant AD parallèle au diamètre et en la prolongeant jus- 
qu'à la rencontre en D avec la tangente CD; donc le rapport du paral- 
lélogramme AE à la tigure semi-parabolique ARCB est le même que 

celui des parallélogrammes AB x BY et BD; donc —r, — '-ry~ -- -\rr;-- 

., . .„ . .„ ... AE RE , RE ARCB 

Mais Ah ayant AB pour cote, yu jj^ = rry; donc t-^ — — 1.|,~' ou 

RI) RY 

converlendo, . ,,,,,, — tt^- Mais, à cause de Vadéfralilé A^.?, droites BV. 
A n ( J ) n 1*, ° 

VE, EY, dill'érences des termes de la progression, mais supposées sen- 
siblement égales par suite de la division en un très grand nombre de 

parties très petites, tt^t -- -• Le rapport du parallélogramme BD à la 

ligure est donc le rapport de 3 à 2, ce qui est d'accord avec la quadra- 
ture de la parabole donnée par Archimède, quoiqu'il se soit autre- 
ment servi de la progression géométrique. Si d'ailleurs j'ai trouvé 
nécessaire de changer sa méthode et de prendre une autre voie que 
la sienne, c'est que je suis assuré qu'en suivant exactement les traces 
de ce grand géomètre, on reconnaîtra que l'emploi de la progression 
géométrique est stérile pour la quadrature des autres paraboles en 
nombre indéfini, tandis que pour toutes ces paraboles sans exception 
la démonstration et les rcsles générales sont immédiatement données 
par notre procédé. 

Soient, pour ne pas laisser lieu au doute, AIGC {fig. i/|'i) la parabole 
dont j'ai parlé dans ma Dissertation sur la comparaison des lignes courbes 
avec les lignes droites, AB sa base, BC son diamètre, lE, IC ses ordon- 

nées telles que l'on ait tf:, -= -irrr:;- Qu'on imagine le reste de la con- 

struction comme ci-dessus, c'est-à-dire la progression indéfinie des 
droites BC, EC, NC, MC, etc. et celle des parallélogrammes AE, IN, 
OM, etc. 

Prenez entre BC et EC les deux moyennes proportionnelles VC, RC; 
de même, entre EC et CN, les deux moyennes proportionnelles SC, TC. 



l.;i;'i, ii;r>] 



MÉTHODE DE QUADRATURE. 

ne Ec 



2-23 



Comme, par construction, j"; -- ^", les lignes BC, VC, RC, EC, SC, 
rC, NG seront en progression. 



Fis. .1 



D'ailleurs 



AR' 




jg3 — p.,j — iT^- Mais, dans la progression des sept pro- 
portionnelles BC, VC, RC, EC, SC, TC, NC, la première, la troisième, 
la cinquième et la septième forment aussi une progression continue. 
Donc : : BC : RC : SC : NC, et en prenant le premier, le second et lo 

, •• , 1 ,, H ■ R<> R(? 

quatrième terme de cette nouvelle proçjression, ^;, == , -,. ; mais nous 

\U: AR' , AR' luy ,, , AR RC 
avons prouve que ^rrr -= -..^■, donc -^^ = ï^^, d ou 



RC^ 



IK 



UC 



AE 



AR RE RC RC 

-11? X EN «" uc >< W: 



Mais lo ra])port des parallélogrammes 

,. .,, RE RC\ 

uisque d ailleurs r,», --- \^.i • 
' LiN EL/ 

D'autre part, dans les sept proportionnelles, on prenant la pre- 
mière, la troisième, la quatrième et la sixii'me, on a ^,,4 = .-ppr'; donc 

AJ RC RC RC , _AE RT 

"IN ~ KC ^ 'fC " TC' "'^ KiCË ' T(;' 



EC 



TC ' 



Donc, d'après ce (jui a été démontré, le rapport du parallélogramme 

en multipliant de part et d'autre 



à la lii^urc : 



AE 
AICR 



RT 
RC 



AR X RT 

AR X RC' 
RD 



AR X RT 



par AR; virissi//i et cnmer/cndo : . , -,,, = -— r-- = ,,-;, en raison de 

A1(>R AR X RE RE 

la communauté du coté AB. Mais BT comprend cinq intervalles : TS. 

SE, ER, RV, VB qui, à cause de notre méthode logarithmique, sont 



22i ŒUVRES DE FERMAT. [2G5, îGfii 

censés égaux entre eux; BE en comprend trois : ER, RV, VB; donc, 
dans ce cas, le rapport du parallélogramme BD à la figure est de 5 h 3. 

On peut de là tirer facilement une règle universelle. Il est clair en 
effet que le rapport du parallélogramme BD à la figure AICB est toujours 
égal au rapport de la somme des exposants des puissances de l'ordonnée 
et de l'abscisse à l'exposant de la puissance de l'ordonnée. Ainsi, dans 
cet exemple, la puissance de l'ordonnée AB est le cube, l'exposant 3; 
celle de l'abscisse est le carré, exposant i. On doit avoir, ainsi que 
nous l'avons établi comme règle constante, le rapport de la somme 
3 -f- 2 ou 5 à 3, exposant de l'ordonnée. 

Pour les hyperboles, on trouve aussi facilement une règle univer- 
selle. Dans une hyperbole quelconque {fig- i4-) ^^ rapport du parallélo- 
gramme BG à la figure indéfiniment étendue RGED sera égal au rapport 
de la différence de l' exposant de la puissance de l' ordonnée et de celui de 
lapuissance de l'abscisse à l'exposant de la puissance de l'ordonnée. Soit, 

par exemple, r^ — ^'^; la différence des exposants du cube et du 

' JrV 111" 

carré, 3 — 2 — i; l'exposant de la puissance de l'ordonnée, qui est au 
carré, est 2. Dans ce cas le ra|)port du parallélogramme à la figure 
sera de i à 2. 

Pour ce qui regarde les centres de gravité et les tangentes des 
hyperboles et paraboles, leur invention, dérivée de ma Méthode de 
maximis et minimis, a été communiquée aux géomètres modernes, 
il y a déjà environ vingt ans. Les plus célèbres mathématiciens de la 
France voudront bien sans doute le faire savoir aux étrangers, afin 
que dans l'avenir il n'y ait point de doute à cet égard. 

Il est uemarquable combien le travail des quadratures peut être 
avancé par la théorie qui précède; car elle permet de carrer facile- 
ment une infinité de courbes auxquelles n'ont jamais pensé les géo- 
mètres tant anciens que modernes. Nous allons condenser brièvement 
ces résultats sous certaines règles. 

Soit une courbe dont la propriété conduise à l'équation suivante : 

//- — a-= e- (on voit immédiatement, que celte courbe est un cercle). 



1207,268] MÉTHODE DE QUADRATURE. 225 

On peut ramcnor la puissance do, l'inconiuic e^ à une racine par 
une division (application ou parabolisme). Nous pouvons en effet 
poser 

car on est libre d'égaler le produit de l'inconnue u par la connue h 
au carré de l'inconnue c. On aura donc alors 

h- — a-z= bii. 

Mais le terme hit peut être décomposé en autant de termes qu'il y en a 
dans l'autre membre ilo l'équation, tout en afTectant ces termes des 
mêmes signes que ceux de l'autre membre. Posons donc 

bu =. bi — by, 

eu représentant toujours, comme Viète, les inconnues par des voyelles. 

Il viendra 

b''-—a''=bi—br. 

Egalons chacun des termes d'un membre au correspondant de l'autre. 

On aura 

b-^bi d'où i^b sera donné, 

— a^:= — by ou a-=:by. 

Le point extrême de la droite y sera sur une parabole primaire. Ainsi, 
dans ce cas, tout peut être ramené à un carré; si donc on ordonne tous 
les f- sur une ligne droite donnée, leur somme sera un solide recti- 
lignc donné et connu. 

Soit maintenant proposée la courbe dont l'équation est 

«'-I- ba-= f\ 

Qu'on applique «' à une aire donnée, soit par exemple : c' = ù'-u. 
La droite ;/ pouvant être composée de plusieurs inconnues, soit 

a ' + ba- = b- i -{- b-f. 

Egalons terme à terme, savoir : 

a^z^ b-i, 011 aura une paraljole sous un cuLie cl une racine. 

ba-^: b-f, on aura une parabole sous un carré et une racine, 
c'esl-à-dire primaire. 

hEiiMAT. — m. 29 



226 ŒUVRES DE FERMAT. [20S, 2G0] 

Or ces lieux paraboles sont carral)les; donc la somme des e' ordon- 
nés sur une droite donnée formera un là-plan cju'on pourra facile- 
ment égaler à des quantités rectilignes du même degré. 

S'il y a dans l'équation un plus grand nombre de termes, aussi 
bien (|ue s'ils sont composés avec différentes puissances de l'une ou de 
raulr(; inconnue, ils n'en pourront pas moins d'ordinaire être traités 
par la même méthode, au moyen de réductions légitimes. 

Il est donc clair que si dans la première équation : Ir — a- = c-, au 
lieu de e-, nous substituons /v/<, nous pouvons considérer comme un 
plan la somme de tous les u, ordonnés sur une ligne droite, et la 
carrer. En effet la somme des u n'est autre chose que celle di^s e'\ 
divisée par une droite donnée h. 

ï)o même dans la seconde équation, la somme des a n'est antre 
chose que celle des c\ divisés par le carré donné b-. 

Donc, aussi bien dans le premier que dans le second cas, la somme 
des II fait une figure égale à une aire rectiligne donnée. 

(<es opérations se font ^pnv synércse et s'accomplissent, comme il est 
clair, au moyen de paraboles. 

.Mais on n'obtient pas moins de quadratures yt^v diérèse, au moyen 
d'hyperboles, soit seules, soit unies à des paraboles. 

Soit proposée, par exemple, la courbe ayant pour équation 

h' -+- !/■' n + n" 
n' 

On peut de même poser e* = /»//, ou bien, pour avoir de part et 
d'autre trois termes dans chaque membre de l'équation 



Il viendra 



bu ^ bo -^- bi -\- by. 



r= bo -\- bi-v- by et, égalemeiil. lormc ;i tcrnio : 



i" 4 =l>o-, multinliant i)ar a'' des deux cotés, h^ — a''bo; divisant 

n' '■ ' 

par h; b''^a''<), équation d'une hyperbole. On sait en effet (jue les 



[27U,27ll MÉTHODE DE QUADIIATUHE. 227 

équations constitulivos des hyporbolos ronfcrmcnt dans un membre 
une quantité donnée, dans l'autre le produit de puissances des deux 
inconnues. 

2° — p ou — ^= hi. Multipliant par «' et divisant par h de part et 

d'autre : lj'' = a^i, équation d'une hyperbole diiïérente de la précé- 
dente. 

3" -7 ou a-= Ijy; équation d'une parabole. 

On voit donc que, dans l'équation proposée, la somme des u ordon- 
nés sur une droite donnée est égale à une aire rectiligne donnée; car 
la somme de deux hyperboles carrables et d'une parabole donne une 
aire égale à un rectiligne ou à un carré donné. 

Rien n'empêche au reste de diviser séparément, comme on l'a fait, 
chacun des termes du numérateur par le dénominateur. Le résultat 
est en ciTet le même que si l'on divisait en une l'ois par le dénomina- 
teur le numérateur entier composé de trois termes. Cette division 
séparée permet de comparer facilement chaque terme d'un des 
membres de l'équation à son corrélatif dans l'autre. 

Soit propose encore : ^ — = e- . 

Posons e' = b-u, ou bien, à cause des deux termes du membre cor- 
rélatif, c^ = h^i — fy-y. On aura : 

1° -^ = — = b-i; multipliant par a- et divisant par b-, Z* ' = a-i, 
équation d'une hyperbole carrable. 

2° — = b'^y, multipliant [)ar a^ et divisant par b'-, b*^=a^y, équa- 
tion constitutive d'une hyperbole carrable. 

Si donc on revient à la première équation, on aura, dans ce cas, 
donnée en rectilignes la somme de tous les e'\ ordonnée sur une 
droite donnée. 

Mais rien n'e.mi>êciie d'aller plus loin dans le travail des quadratures. 

Soit (^g. i45) une courbe quelconque ABDN, de base HN, de dia- 
mètre HA; soient CB, FD les ordonnées sur le diamètre, BG, DE les 
ordonnées sur la base. Nous supposerons que les ordonnées dé- 



228 ŒUVRES DE FERMAT. [271,272] 

croissent constamment de la base au sommet, comme dans la tigure : 
c'est-à-dire HN > FD ; FD > CB, et ainsi de suite. 

Fis. .-'|5. 




La figure formée par les carrés do HN, FD, CB, ordonnés sur la 
droite AH, c'est-à-dire le solide CB'xCA... + FD*xFC... + NH-xHF, 
est toujours égale à la figure formée par les rectangles BG x GH, 
DE X EH doublés et ordonnés sur la base HN, c'est-à-dire au solide 
2BG.GH.GH... + 2DE.EH.EG, etc., la série des termes de part et 
d'autre étant supposée indéfinie. Or, pour les autres puissances des 
ordonnées, la réduction des termes sur le diamètre aux fermes sur la 
base se fait avec la même facilité, et cette observation conduit à la 
«fuadrature d'une infinité de courbes inconnues jusqu'ici. 

En elTet, la somme des cubes de HN, FD, CB, ordonnés de méuKï 
sur la droite AH, sera égale à celle des produits : BG.GH-, DE. EH-, 
triplés et ordonnés de même sur la droite HN, c'est-à-dire que le 1>i- 
plan CB'.CA. ..-i- DF'.FC.-f-HN'.HF sera égal à la somme des bi- 
plans 3(BG.GH-.HG...+ DE.EH-.EG). 

De même la somme des bicarrés de HN, FD, CB, ordonnés sur la 
droite AH, sera égale à (7Mrt//-cyf«.« celle des bi-plans BG.GH'.. .DE. EH', 
ordonnés de même sur la droite HN. 

De là dérivent, comme on va le voir, une infinité de ([uadratures. 

Soit, par exemple, cette courbe ABDN, dont on donne la base HN et 
le diamètre HA. Appelons analytiquement b le diamètre donné HA, 
rfla base donnée HN, eune ordonnée quelconque FD, a une coordonnée 
quelconque HF, et soit, par exemple, />- — a- = c- l'équation consti- 
tutive de la courbe (qui sera un cercle). D'après le théorème général 



[273, ?74] MÉTHODE DE QUADRATURE. 229 

qui précède, la somme tles e-, oriloiuiés sur la droite b, est égale à la 
somme des produits HG.GIÎ, doublés et ordonnes sur la droite HN 
ou d; mais la somme des e-, ordonnés sur b, est égale, comme on l'a 
prouvé plus haut, ii un rectiligne donné; donc la somme des produits 
HG.GB, doublés et ordonnés sur la base d, forme une aire rectiligne 
donnée; si l'on prend la moitié, la somme des produits HG.GB, ordon- 
née sur la base d, formera de même une aire rectiligne donnée. 

Pour passer facilement, et sans embarras de radicaux, de la pre- 
mière courbe à la nouvelle, nous devons employer un artifice qui est 
toujours le même, et dans lequel consiste notre méthode. 

Soit HE.ED un quelconque dos produits à ordonner sur la base; 
comme nous appelons analytiquement e l'ordonnée FD ou sa paral- 
lèle HE, a la coordonnée FH ou sa parallèle DE, nous appellerons ea le 
[)roduit HE.ED. Egalons ce produit ea, formé de deux droites incon- 
nues et indéterminées, à bu, c'est-;i-dire au produit de la donnée b 
[)ar une inconnue n, et supposons (|ue u soit égale ;i EP prise sur lu 

même droite que DE; nous aurons — - = «. Mais, d'après la propriété 

spécifique de la |)reniière courbe : b- — a'- = e- ; substituant à a sa 

nouvelle valeur — , il viendra b' c- — b- u^ = c* ou, en transposant, 

b- e- — e'' =^ b- ir , équation constitutive de la nouvelle courbe HOPN, 
dérivée de la première, et pour laquelle il est prouvé que la somme 
'des bu ordonnés sur b est donnée. Divisant phr b la somme des u or- 
donnés sur la base, c'est-ii-dire la surface HOPN, sera donnée on rec- 
lignes, on aura donc sa quadrature. 

Soit, comme second exemple, ba- — a' = e' l'équation constitutive 
de la première courbe. La somme dos r' ordonnés sur le diamètre b 
est donnée, donc la somme dos produits HE-.ED ordonnés sur la base. 

.Mais HE-.ED est en expression analytique c'a; égalons ce produit à 

/ji II 
b-u, et supposons, comme ci-dessus, EP = m. On aura -^„- =«; si 

donc, au lieu de a, on substitue sa valeur — -y et qu'on suive les 
règles de l'analyse, on aura b'' u' c- — c' ^ b'u\ équation constitutive de 



230 ŒUVRRS DE FERMAT. [27/., î75] 

la nouvelle courbe HOPN dérivée de la première, et pour laquelle la 
somme des produits b'-u, ordonnés sur la hase d, est donnée. Divisant 
par //-', la somme des u ordonnés sur la base d sera donnée, donc la 
quadrature de la figure HOPN. La méthode est générale et s'étend à 
tous les cas indétiniment. 

Mais il faut remarquer et observer avec soin que, pour les transfor- 
mations de courbes dont les ordonnées au diamètre décroissent vers 
la base, les analystes doivent suivre un autre procédé qui diffère du 
précédent. 

Soit {fig. 146) la courbe primitive IVCBTYA, de diamètre AI, d'or- 
données MV, NC, OB, PT, QY. Cette courbe est supposée telle que ses 



Fig. i4G. 



~^^^ 


Y 




\ 








F 


o\ 




y 

V 


_^^^ 



ordonnées MY du côté de la base décroissent jusqu'il la base, en sorte 
que MV<NC; que, d'autre part, du cùté de A, la courbe s'infléchisse 
suivant CBYA, en sorte que CN>BO, BO > PT, PT>QY, etc., en 
sorte que l'ordonnée niaxima soit CN. 

Si, dans ce cas, nous cherchons la transformation des carrés MV-, 
NC- eu produits sur la hase, nous ne les comparerons plus aux pro- 
duits IR.RV, comme précédemment. Car le théorème général suppose 
(jue la somme MV-...-I-NC- est égale ii celle des produits VG.GN. 
|)uisque CN, l'ordonnée maxima, peut et doit être regardée comme 
base par rapport à la courbe dont le sommet est I. Il faut donc, dans 
une courbe dont les ordonnées décroissent vers la base, comparer les 
carrés MV-...NC- aux produits GV.GN, c'est-ii-dire, pour arriver sur 
cette figure à une équation analytique : si nous posons MI = RV = a, 
MV = RI = e et CD = GR = = donnée (cette droite menée parallèle- 



[275,277) MÉTHODE DE QUADRVTUr.E. 231 

mont au diamctro par rcxtréinitc de l'ordonnée maxima est facile ii 
trouver par nos méthodes), on aura GV.GN = ::<^' — ae; par suite, la 
somme des carrés MV-...NG- jus(iu'à l'ordonnée maxima sera com- 
parée à la somme des produits ze — ac, ordonnés sur la base ID. La 
somme des autres carrés CN-, BO-, PT'- sera comparée à la somme des 
[)roduits YF.FN, soit en expression analytique ac — zc. Cela établi, on 
dérivera facilement de la première courbe une nouvelle sur la base; 
on observera la même règle pour toutes les autres puissances des in- 
connues. 

Pour bien monlrci' (jue notre méthode fournil de nouvelles (juadra- 
turcs, dont aucun des modernes n'a encore jamais rien soup(;onné, 
soit proposée la courbe précédente, dont l'équation est 

lr'<, - />'■ 



Il a été prouvé que la somme des c' est donnée en rectilignes. I{n 
les transformant sur la base, on aura, d'après la méthode précédente, 

— - =a; substituant la nouvelle valeur de a, et achevant les calculs 

c 

suivant les règles, on arrivera ii la nouvelle équation e^ -\- ii' ^= l/ci/. 
(jui donne une courbe du coté de la base. C'est celle de Schootcn, qui 
en a donné la construction dans ses Miscellanca, section XXV, page 49^- 
La figure courbe AKOGDCH de cet auteur sera donc facilement car- 
rable d'après les règles précédentes. 

Il y a également lieu de remarquer que, des courbes dont la somme 
des puissances des ordonnées se trouve donnée, on jx'ut déduire des 
courbes facilement carrables, non seulement sur la base, mais aussi 
sur le diamètre. Supposons, par exemple {fig- l'p), l'équation consti- 
tutive déjà prise Ir — a- = e'-; non seulement on en dérivera une nou- 
velle courbe sur la base ayant pour équation h'-e'- — c'' = h'-ir, mais 
(encore une nouvelle courbe sur le diamètre en égalant la puissance de 
l'ordonnée e'- à un produit />//. Car la somme des produits bu, ordonnés 
sur le diami'tre, sera donnée; donc, en divisant par b la somme 
des a ordonnés sur le diamètre, on aura la (|ua(lrature de la courbe 



232 ŒUVRES DE FERMAT. [277, 27S] 

drrivée de la primitive sur le diamètre, et dont l'équation sera 
//- — rt- = hu. Il est évident que cotte nouvelle conrhe sur le diamètre 
est une parabole. Une transformation de cette sorte, non seulement 
donne des courbes nouvelles dérivées des premières, mais conduit 
l'acilement des paraboles aux hyperboles et des hyperboles aux para- 
boles, comme l'essai le fera voir. 

Mais, de même que des courbes où est donnée la somme de puis- 
sances des ordonnées, l'analyse précédente dérive des courbes où la 
somme des ordonnées simples est donnée, de même, de courbes où 
est donnée la somme des ordonnées, on arrive facilement à des 
courbes où est donnée la somme des puissances des ordonnées. 

Soit, comme exemple, la courbe dont l'équation est fre- — c^ = ù'-u-, 
équation où, comme je l'ai établi, la somme des ti est ibinnée. Si l'on 

ne , I , • , - Il I ce 

pose II — -j-j et qu on sui)stitue a u sa nouvelle valeur j-, on aura 

Ire'-— ('''=^à'c'-, et, en divisant tous les termes par e-, ù'- — c'- =z a'- , 
ou bien l/- — a'- = c'-. Dans cette nouvelle courbe, qui est un cercle, la 
somme des e'- sera donnée. 

Si de la première courbe où est donnée la somme des ordonnées, on 
veut en déduire une nouv(dle où soit donnée la somme de leurs cubes, 
on se servira toujours de la même méthode, mais en prenant des puis- 
sances conditionnées des inconnues. 

Ainsi, soit proposée la courbe que nous avons plus haut déduite 
d'une autre et dont l'équation est /r'^«-f?-' — e" = Z»"//', et où il est 
établi que la somme des u, c'est-à-dire des ordonnées, se trouve 
donnée. 

Pour en déduire une nouvelle courbe où la somme des cubes des 

ordonnées soit donnée, on posera u = -^> et on substituera à u sa 

nouvelle valeur; en opérant conformément aux règles de l'art, on aura 
l'équation ha'- — a' = e'\ qui donnera une courbe où la somme des c\ 
<''est-à-dire des cubes des ordonnées, se trouve donnée. 

("ette méthode, non seulement conduit à la connaissance d'une in- 
finité de quadratures jusqu'à présent ignorées des géomètres, mais 



1278,279] MÉTIIODK DE QUADRATURE. 233 

encore fait découvrir une infinité de courbes dont on obtient les qua- 
dratures en supposant celle de courbes plus simples, comme le cercle, 
riiyperbole, etc. 

Par exemple, dans l'équation du cercle b- — a-= e-, on a, données 
en rectiiignes, les sommes de toutes les puissances des ordonnées 
dont l'exposant est pair, carrés, bicarrés, bicubes, etc. Quant à la 
somme des puissances à exposant impair, comme celles des c^, e\ 
elle n'est donnée en rectiiignes que si l'on suppose la quadrature du 
cercle. Il est facile de démonlrer ce que je viens de dire et de le 
réduire en règle, comme corollaire de la méthode qui précède. 

11 arrive aussi souvent que, pour trouver la mesure d'une courbe 
proposée, il faille réitérer l'opération deux fois ou plus souvent 
encore. 

Soit proposée, par exemple, la courbe déterminée par l'équation 
suivante : 

Si la somme des e est donnée, ainsi que la droite b, on aura aussi 
comme donnée celle des rectangles bc. En inversant la méthode que 
nous avons exposée au début de cette Dissertation, posons be = o- , 

d'où -r = c. Substituant à e sa nouvelle valeur, il viendra 



Nous-avons là une première opération, inverse de celle indiquée an 
début de la Dissertation, et qui a conduit à une nouvelle courbe où il 
reste à chercher si la somme des o- est donnée. 

Il faut donc reccuirir ii la seconde méthode qui de la somme des 
carrés des ordonnées conduit à la somme des ordonnées simples. 

D'après la méthode précédente exposée en seconde ligne, posons 

-^ =: rt et substituons à a la nouvelle valeur que lui assigne cette 

o 
méthode. Il viendra b' — b-o'- ^^ b-ir, et divisant tous les termes 

par //-, b^- --(r^=ir, écjuation du cercle. La somme des // est donc 
donnée, si l'on suppose la quadrature du cercle. 

l'F.muT. — m. 3o 



231 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[Î80, 281] 

Si nous remontons à la première courbe : b^ = a-e-hb-e, il en 
résulte que l'aire de cette courbe peut être carrée en supposant la 
quadrature du cercle, et nous sommes facilement et rapidement 
arrivés à cette conclusion par notre analyse, au moyen de deux 
courbes différentes de la précédente. 

L'utilité de tout ce qui précède sera immédiatement reconnue par 
un analyste subtil, tant pour l'invention de droites égales ii des 
courbes, que pour nombre d'autres problèmes qui n'ont pas encore 
été assez approfondis. 

Soient (Jig. i48) AB une parabole primaire, CB son axe, CD l'or- 
donnée égale à l'axe CB et au paramètre BV. Prenez BP, PL, LG 



K 



Fis. ■48. 



S X 



l 


N 


R 


V 


^^^ 


1 






/ 


D 


/" 


M 


« 


/' 





P B 



égales entre elles et ii l'axe CB, et portées sur son prolongement. 
Menez à CD les parallèles indéfinies BX, PS, LO (qui seront données) 
et par un point quelconque F de la courbe, menez à l'axe la paral- 
lèle FXSOK rencontrant les droites BX, PS, LO aux points X, S, 0. 

Faites enfin 
DR 



faites 



— J7T — ou 7,7^ = Tvr-- Prenant de même les points D, K, 
Su au Uiv ' 

RN , EQ OM . . , • , p II I L- 

jT^ = ^.- et 7~ = j^- Imaginez par les points G, H, I, K, . . . 

une courbe indéfinie qui aura pour asymptote la droite indéfinie LO. 
Cette courbe GHIK est celle dont l'espèce est définie par l'équation 
précédente, b'^ = a'- e -{- b- e . Je dis donc, d'après la réitération indi- 
quée ci-dessus des opérations analytiques, que l'aire KIHGLMNO, qui 
se prolonge indéfiniment du coté des points K, 0, est égale au double 
du cercle ayant pour diamètre l'axe BC. C'est ainsi que nous avons 
immédiatement résolu cette question que nous proposait un savant 
fféomètre. 



[281,282] MÉTHODE DE QUADRATUHE. 235 

Par la même mélhode j'ai carré la courbe de Dioclès ou plutôt j'ai 
ramené sa quadrature à celle du cercle. 

Mais le redoublement des opérations est surtout élégant lorsque 
l'analyse passe des plus hautes puissances des ordonnées aux plus 
basses, ou au contraire des plus basses aux plus hautes ; cette méthode 
s'applique en particulier pour trouver la somme des ordonnées dans 
une courbe quelconque proposée, ainsi qu'à beaucoup d'autres pro- 
blèmes de quadratures. 

Soit proposée, par exemple, la courbe dont l'équation est 

i- — a- =: e-, 

et qu'on voit immédiatement être un cercle. On demande la somme 
des cubes des ordonnées, c'est-à-dire la somme des c^. 

Si la somme des e' est donnée, on peut, par les méthodes précé- 
dentes, en raison de la nature de la puissance, déduire de cette courbe 
une autre sur la base, où la somme des ordonnées soit donnée. Soil 

posé, d'après la méthode, -,- = a. Substituant à a sa nouvelle valeur, 
il vient Ire'' — r»" = h'' o'- , équation d'une courbe où, dans l'hypothèse 
que la somme des e' de la première courbe est donnée, la somme des <> 
sera donnée. 

Puisque, dans cette nouvelle courbe, la somme des o est donnée, on 
peut en dériver une troisième où Ton cherche la somme des carrés des 
ordonnées, et non celle des cubes comme dans la première courbe. 
D'après notre mélhode pour les carrés, nous poserons, comme on l'a 

vu, j- — o; d'où b'-c^ — 6" = b-é'u-. Divisant tout par e-, il viendra 

Ire- — e' = b- ir , courbe où la somme des c'- doit être donnée. PartanI 
de cette courbe, cherchons-en une où soit donnée la somme des ordon- 
nées; posons par exemple e'--— //y; la dernière équation deviendra 
hy — „>'"= "". Si donc, dans la précédente, la somme des c- est donnée, 
dans celle-ci on aura celle des bv, donc celle desj. 

Or dans cette dernière courbe, qui est évidemment un cercle, la 
somme des j est donnée, en supposant toutefois la quadrature du 



230 ŒUVRES DE FERMAT. [282, 28'i] 

cercle; donc, en remontant de cette derniiire courbe, où finit notre 
analyse, à la première, il est clair que dans le cercle la somme des 
cubes des ordonnées est donnée, si l'on suppose la quadrature du 
cercle. De même pour les puissances cinquième, septième et les 
autres de degré impair indéfiniment, comme il est facile de le voir. 
Seulement le nombre des courbes se multiplie à mesure que s'élève 
le degré de la puissance dont il s'agit. On passera sans difficulté de 
l'analyse à la synthèse et au véritable calcul de la figure à carrer. 

Au reste, il arrive souvent qu'il faut étrangement promener l'ana- 
lyse par un très grand nombre de courbes pour arriver a la simple 
mesure pour une équation de lieu proposée. 

Soit par exemple : — —^ — = e-. 

Supposons donnée la quadrature de la figure correspondant à cette 
équation i la somme des a est donc donnée, donc celle des ha, et si 

l'on pose ba = o'-, celle des o'- . On aura d'ailleurs a = — , d'où l'équa- 
lion z^ = 6'-. 

De cette nouvelle courbe, par l'autre méthode que nous avons indi- 
(|uée si souvent, on en déduira une troisième. La somme des o- étant 

donnée, posons ^:r = e, on aura l'équation = = ir. 

o o'" 

C'est la troisième courbe où l'on aura la somme des o, et par con- 
séquent des u. Mais si la somme des a est donnée, on aura, d'après la 

première méthode, celle des produits bu. Soit bu = j-, d'où j- = u, 

nous aurons 1 équation = = y , quatrième courbe ou sera 

o'" 

donnée la somme des j^. Par la méthode ordinaire, déduisons-en une 

autre; soit — = o; achevant les calculs suivant les règles de l'analyse, 

b''y''i- — />■')'" = i"\ cinquième courbe où sera donnée la somme des 
y, donc celle des /. 
Maintenant, par la méthode contraire, déjii souvent employée, cher- 



[-28'!, '85] MÉTHODE DR QUADRATURE. 2;)7 

chons une autre courbe où l'on connaisse la somme des carrés îles 

ordonnées; soit y- =y (car à défant de voyelles rien n'empêche de 

reprendre celles qui ont déjà été employées), on aura b'^a' — «"= />-/', 
sixième courbe où la somme des r est donnée. 

Ramenons aux racines par la méthode connue et déjà employée 
|)Iusieurs fois; soit j- = hc; on aura la somme des be donnée, et une 
septième courbe />-«' — a" = //'(;'-, où la somme des c est donnée, 
donc celle des a. 

De là on en déduira une autre, où la somme des carrés des ordon- 
nées sera donnée. 

Posons, d'après la méthode, -j- — e, d'où b'-a'' — a''' = b'^a'-o'-. Divi- 
sant tous les termes par a-, il vient b-a'- — a" = b'-o'-, équation d'une 
huitième courbe où la somme des a- est donnée. Ayant la somme des 
a-, on peut déduire enfin une autre courbe où l'on ait la somme 
des ordonnées. Soit a- = bu, on aura bu — u'- = o- , dernière équation 
qui donne une neuvième courbe, où la somme des u est donnée. Mais 
cette dernière courbe est évidemment un cercle et la somme des u n'y 
est donnée qu'en supposant la quadrature du cercle. Donc, en remon- 
tant à l'équation de la première courbe, la quadrature en sera donnée 
si l'on suppose celle de la dernière courbe ou du cercle. 

Nous avons ainsi employé neuf courbes différentes pour arriver à 
la connaissance de la première. 



2:i8 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[285, 286] 



FRAGMENT SUR LA CISSOÏDE. 

SoiL la cissoïdc EAPS {fig. 149) dans lo demi-cercle LVABE, dont 
H est le centre, LE le diamètre, HA le rayon perpendiculaire au dia- 
mètre; soit LR la. droite perpendiculaire au diamètre et asymptote de 
la cissoïde. 

Fig. 149. 




Je dis que l'aire comprise entre EL, la cissoïde EAPS et son asym- 
ptote LB prolongées indéfiniment est triple du demi-cercle LAE. Si 
donc on fait la même construction dans l'autre moitié du cercle, l'en- 
semble des deux aires, dont E formera le point saillant, sera égal au 
triple du cercle total. 

La démonstration, loin d'être pénible, est assez élégante. 

Je prends sur le diamètre deux points I, G quelconques, mais de 
part et d'autre du centre et à même distance; on aura donc HI = HG, 
ejl par suite LI = GE. En I et G j'élève des perpendiculaires qui ren- 
contreront la cissoïde aux points P, Y, le cercle aux points V et B. 
Par ces derniers points, V, B, je mène les rayons HV, HB et les tan- 



[286,288] MÉTHODE DE QUADRATURE. 2:5i» 

gentcs VM, BD, qui rencontreront le diamètre en M, D. Au delà de 1, 
je prends une très petite longueur IK arbitraire, et au delà de G. 
GF = IK; en K et F, j'élève au diamètre les perpendiculaires KN, FG 
qui rencontreront les tangentes aux points N, G, desquels j'abaisserai 
sur les droites VI, BG les perpendiculaires NO, GQ. 

Cela fait, il est clair que Taire de la cissoïde est égale à la somme de 
tous les rectangles PI x IK et YG x GF que l'on peut construire de la 
sorte; ces rectangles ont des bases égales, Kt = GF, et leurs hauteurs 
sont les ordonnées à angle droit de la cissoïde. Mais, d'après la pro- 

VI IF 

priété de cette courbe, rp = jr^; d'autre part, IE = 1H + HE= IH + IIV; 

IV lE 

donc ni — rru — ïtt- Maintenant les triangles HVI,VMI,VNO donnent 
IH + llV El' ° 

IV _ NO , KI(=NO) _ lE ,, , 

lU-hllV ~ NV-i-VO' NV-+-VO ~ IP' "''" 

IP X IK = lE X NV -H lE X VO. 

D'un autre côté, d'après la propriété de la cissoïde, tttj = ,4t7- Mais 

uh. (il 

GE = HE — HG = HB — HG; donc ^yr-. — '-rrr^ = ^tt;- Mais, en raison 

I5U — il(j II i 

de la similitude des triangles, on aura aussi 

DG QC GF 



1' 



liH - IIG " BC - BO HC — BQ' 

.n en conclura que YG x GF = GE x BC - GE x BQ. 

Mais comme par construction HI = HG et Kl = GF, on aura évidem- 
ment VN = BC et VO = BQ. Par conséquent, si l'on prend les deux 
rectangles correspondants, 

PI X IK -h YG X GF[= YG X IK] 
= IExNV + GExBC[=LI x NV] + lE x VO -GE x RQ[= GE x BO]; 

mais 

lE X NV -)- LI X NV = LE X NV, 
et 

lE X VO - GE X VO = IG X VO - alll X VO = 2VX x VO; 

donc 

PI X IK -t- YG X IK = EL X VN -h 2 VX X VO. 



■l'ti) 



ŒUVRES DE FERMAT. 



['2S8] 



Or la soininc des produits du diamètre EL par les segments VN des 
tangentes dans le quart de cercle LVA représente le produit du dia- 
mètre par le quart île circonférence LVA, c'est-à-dire le double du 
demi-cercle LAH; d'autre part, la somme des rectangles aVX x A^O 
ou, si l'on mène OZQ parallèle au diamètre, des rectangles 2VX x XZ 
représ(!nte le demi-cercle LAK. 

Donc l'aire de la cissoide qui est équivalente à la double série de 
ces rectangles vaut évidemment le triple du demi-cercle. 



[m] OBSERVATIONS SUR DIOPIIANTE. 2il 



OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 



I. — Porismes de Bachet, Livre III, définition 6. 

n Un triangle rectangle en nombres (c'est-à-dire l'cnsemblo de trois nombres ratio- 
nels il, II, c, lies par la relation : n^= h'--hc-) est dit forme des deux nombres p et fj, si 
l'on a 

a=p--h'j-, b = p- — q-, c = 2.pq. « 

Nous pouvons former un triangle avec trois nombres en progression 
arithmétique, en le composant, selon cette définition G, avec le terme 
moyen et la diiïérence de deux termes; car le produit des trois termes 
et de la différence sera égal ii l'aire dudit triangle, et, par suite, si 
la différence est l'unité, l'aire du triangle sera représentée par le pro- 
duit des trois termes. 

2. — Diophante, II, 8. 

« Résoudre en nombres rationels l'équation indéterminée : .1:''-^-/-= a''-. » 

Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux 
cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance 
quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré; 
j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que 
cette marge est trop étroite pour contenir. 

;i. - Diophante, II, 10. 
« Ucsoudre : x'--^- r'^— ti"-^ 0-. u 

Un nombre, somme de deux cubes, peut-il être de même partagé en 
deux autres cubes"? C'est là un problème difTicile dont la solution a 

Fermât. — III. 3l 



2V2 ŒUVRES DE FERMAT. [?9î, 2i)3] 

(•(M-tainomentété ignorée par Bachct et par Viète, peut-être par Dio- 
|)lianle lui-même; je l'ai résolu plus loin dans mes Notes sur le pro- 
l.li-n.e IV, 2. 

A. — Diophanle, III, 10. 

.l';ii indiqué, dans ma Note sur le problème V, ;)0, coninicnt on 
peut trouver quatre nombres tels (|ue la somme de deux (juelconques 
d'enli-e eux, augmentée d'un ncmibro donné, fasse un carré. 

r;. — Diophante, III, H. 

i( Uosoudre le |)rolilcnic précéiieiU, on siip|)osoiil « iu'i;iilif. » 

Ma Note sur V,.'îl montre comment on peut trouver qnalre nombres 
t(ds que la somme de deux quelconques d'entre eux, diminuée d'un 
nombre donné, fasse un carré. 

G. — Diophante, III, 17. 
Il Rcsouilrc : Tf ■+- .r +_) = Di X^ -i-J + - = n 1 -•»■ -t- : + •'■ = D • » 

11 y a dans Diopbanteun autre problème, V, 5, sur le même sujet (' ). 
(.lependant on ne sait pas s'il a omis, tout en le connaissant, le pro- 
blème suivant ou s'il n'en avait pas, plus probablement, donné la solu- 
tion dans un de ses treize Livres : 

Trouver trois carrés tels (jue le produit de deux (juelconques d'entre 



ei 



ux, augmente de la somme des deux mêmes carrés, fasse un carré. 



Je puis donner de ce problème des solutions en nombre indéfini. En 

, , , . , 3 .5o.1 384 aoigali , ,. 

VOICI une, nar exemple; les trois carres : — ^ri — > — ^n — > i- salis- 

' ' 2o3 l\o\ loi 4oi 

l'ont il la condition proposée. 

On peut d'ailleurs aller plus loin et étendre la question de Dio- 

(' ) V, 3, Diophante suppose que les inconnues du problème III, 17 sont des carrés ; il 
ajoute de plus les conditions : xy + 2 = D, y^ + x = D, "■'' + j = D. 



[293, -294] onSEnVATIONS SUU DlOl'HANTK. '2/t3 

pliante. Ainsi j'ai traité généralement le pi'obli'nie suivant et je puis 
en l'ouriiii' îles solutions en nombre indélini : 

Troiacr (juatrc nombres tels que le produit de deux f/ue/eo/if/inx 
d' entre eut, augmenté de la somme des deux mêmes nombres, fasse un 
carré. 

On eherchcra, d'après V, 5, trois carrés tels que le produit de deux 
quelconques d'entre eux, augmenté de la somme des deux mêmes carrés, 
fasse un carré. Soient par exemple les trois carrés don nés par Diophan le: 

a") G ) I f)() , . , . . 

— ■> - -> -^-; nous les prentirons pour les trois premiers nombres de 
!» 9 9 

notre problème; soit x le quatrième; en formant son produit avec 
chacun des précédents et en ajoutant la somme des deux fadeurs, 
nous aurons 



.i.'l ■?ft 




-3 G'i 




20.) loG 


-- .1- -\ z 


= a, 


- - .i- H ■ z 


= n, 


.'•+ -^ =r □; 


y 9 




9 9 




9 9 



équatiorf triple, que j'ai enseigné à traiter dans ma Note sur VI, 2i. 

7. — Commentaire de Bachet sur Diophante, III, 22. 

Tiiiil iKimbi'c |trcmier, de la forme \n -+- i, est une seule fois l'hv- 
poténuse d'un triangle rectangle; son carré l'est deux fois, son cube 
trois, son bicarré (|ualrc, et ainsi de suite indéliniment. 

].(" inéinc nombre premier et son carré sont, d'une seule façon, 
somme de deux carrés; son cube et son bicarré le sont de deux façons; 
sa cinquième et sa sixième puissance de trois façons, et ainsi de suite 
indéliniment. 

Si un nombre premier, ((ui soit la somme de deux carrés, est multi- 
|)lié par un antre nombre premier, qui soit également la somme de 
deux carrés, leur produit sera, de deux façons différentes, somme de 
deux carrés; si le multiplicateur est le carré du second nombre pre- 
mier, le |)rotluit sera somme de deux carrés de trois façons diffé- 
rentes; si le multiplicateur est le cube du second nombre premier, le 



2ÏÏ ŒUVRES DE FERMAT. [20'i, 290] 

produit sera somme de deux carrés de quatre façons diflerentes, ot 
ainsi de suite indéfiniment. 

II est, d'après cela, facile de déterminer de combien de façons diffé- 
rentes un nombre donné peut être hypoténuse d'un triangle rectangle. 

On prendra tous les diviseurs premiers de ce nombre qui seront de 
la forme f\n -\-\; par exemple 5, j3, 17. 

Si le nombre donné est divisé par des puissances de ses facteurs 
premiers, il faut d'ailleurs prendre ces puissances au lieu du facteur 
simple; supposons par exemple que le nombre donné soit divisé par lo 
cube de 5, par le carré de i3 et par 17 simplement. 

On prendra les exposants de tous les facteurs, à savoir : pour 5, l'ex- 
posant 3 du cube; pour i3, l'exposant 2 du carré; pour 17, l'unité 
simple. 

On ordonnera, comme on voudra, lesdits exposants; soit, par 
exemple, l'ordre 3.2. i. 

On multipliera le premier par le second, on doublera et on ajoutera 
la somme du premier et du second; il vient 17. On multipliera 17 par 
le troisième, on doublera et on ajoutera la somme de 17 et du troi- 
sième; il vient 52. Le nombre donné sera hypoténuse de 52 triangles 
rectangles différents. Le procédé sera le même quel que soit le nombre 
des facteurs et quelles que soient leurs puissances. 

Les autres nombres premiers, qui ne sont pas de la forme !\n-\- i, 
ainsi que leurs puissances, n'ajoutent ni ne diminuent rien au nombre 
qu'il s'agit de trouver. 

Trouver un nombre premier qui soit hypoténuse d^ autant de façons que 
l'on voudra. 

Soit il trouver un nombre qui soit hypoténuse de sept façons diffé- 
rentes. 

Je double le nombre donné 7; il vient 14. J'ajoute i, ce qui fait i5. 
Je prends tous les diviseurs premiers de i5, qui sont 3 et 5. Je 
retranche l'unité de chacun d'eux, et je prends la moitié des restes; 
j'ai I et 2. Je prends maintenant autant de facteurs premiers que 



[2%, 297] OBSERVATIONS SUR niOPIIANTE. 2W 

j';ii ici de nombres distincts, à savoir doux, et je mulliplic entre enx 
ces facteurs premiers en les aiïectant des exposants i et 2; pourvu que 
CCS facteurs premiers soient de la forme ^in-h \, j'aurai ainsi (en mul- 
tipliant l'un par le carré de l'autre) un nombre satisfaisant à la ques- 
tion proposée. 

Il est dès lors facile de trouver le nombre minimum (jui soithvpo- 
ténusc d'autant de façons que l'on voudra. 

TroiH'cr un nombre qui soit somme de deux carrés d'autant de façons 
que l'on voudra. 

Soit proposé de 10 façons; je prends tous les facteurs premiers du 
double 20: j'ai 2.2.5. De cbacun de ces nombres je retranche l'unité; 
il vient 1.1.4. J'aurai en conséquence à prendre trois nombres pre- 
miers de la forme /jn + i, par exemple, les nombres 5, i3, 17; à 
cause de l'exposant '\, je prendrai la quatrième puissance de l'un de 
ces nombres, je la multiplierai par les deux autres, et j'aurai ainsi le 
nombre cherché. 

Il est d'après cela facile de trouver le nombre minimum qui soit 
somme de deux carrés d'autant de façons qu'on le voudra. 

Pour reconnaître de combien de façons différentes un nombre donné 
est somme de deux carrés, voici la méthode. 

Soit proposé le nombre 32."). Ses diviseurs premiers, de la forme 
l\n -\- 1, sont : 5 par son carré, i3 simplement. Je prends les expo- 
sants : 2. I. J'ajoute leur produit à leur somme, ce qui fait 5; j'ajoute 
l'unité, ce qui fait G; je prends la moitié, 3. Le nombre donné sera 
somme de deux carrés de trois façons différentes. 

Si l'on a trois exposants, par exemple : 2.2.1, voici comment on 
opérera. Je prends le produit des deux premiers et j'ajoute leur 
somme, ce qui fait 8. Je multiplie 8 par le troisième et j'ajoute la 
somme des facteurs, ce qui fait 17. J'ajoute enfin l'unité, ce qui fait 
18, dont la moitié est 9. Le nombre proposé sera somme de deux 
carrés de ne///" façons différentes. 

Si le dernier nombre dont on aurait à prendre la moitié se trouvait 



■2Mj (EUVRES DR l'EP.MAT. [297,2!)8] 

iiii|)air, on on rolranchcrait. l'unilù, oL l'on priMulrail la nioilié dn 
roslo. 

Le prohiiimc snivant peut encore être proposé : Trouver un nombre 
entier doiil la somme avee un entier donné fasse un carré et (jut , 
(V autre pari, soif ilivpoténuse d'autant de triangles reetangles que l'o/i 
roudra. 

La question est (lilficile. Si, par exemple, on demande de trouver 
nn noml)re qui soit 2 fois Iwpoténuse, et qui, augmenté de 2, lasse un 
i-ai'ré, 2023 est un nombre satisfaisant à ees eonditions, et il y en a 
nue infinité d'autres, comme 3j(J2, etc. 

8. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 2. 

rc I. Puni- résoudre; .r^H-) = = rj^— /'■', on posera ■>■=— j^—li, y = a r-- 

^/'-t- (y' «'-I- </' 

Pour (|iie les deux nombres .r, r soient posilifs, il f:uil (pie l'on ait rO'^- 'il'^. » 

1mi réitérant l'opération, il est facile de s'alTrancliir de la condition 
et de résoudre généralement aussi bien cette question (|ue les sui- 
vantes, ce (|ue n'ont pu faire ni Bachet, ni Viète lui-même. 

Soient donnés les deux cubes Gl et 12"); on en demande deux autres 
dont la somme soit égale à la différence des deux cubes donnés. 

D'après le procédé donné par Bachet pour son problème 3, page sui- 
vante, on cherchera deux antres cubes dont la différence soit égale à 

(•(die des deux donnés. Bachet a donné ces deux cubes, .1" " ; et 

■y.-io 047 

.'"'^ --• Par construction, leur différence est égale à la différence des 
■'-00047 

deux cubes donnés; mais, après les avoir trouvés par l'opération indi- 
(|uée pour le probli-me 3, comme le double du moindre ne dépasse 
pas le plus grand, on peut les transporter dans les données du pro- 
blème 1. 

On aura ainsi deux cubes donnés, cl on en cherchera deux autres 
dont la somme soit égale à la différence des donnés; la condition iudi- 
(|uée pour le problème l étant satisfaite, la solution s'obtiendra sans 
difficulté. Mais la différence des deux cubes trouvés par le problème .'5 



[■•os, î'.)9] OBSEKVATIONS SUlt I)I() PUANTE. 2V7 

esL 0'^i\\c. à la tliiréreiice dos doux cultes priiuilivoinciit donnos (i'i cl 
12); ainsi rien n'empècho de construire doux eiihes doul la soniine 
soiL égale à la différence des donnés G4 et iiîj.co (|ui sans doute éton- 
nerait Bachot lui-même. 

Bien plus, si l'on passe circulairemcnl [)ar les trois problèmes et 
(|u'on réitère indétiniment les opérations, on aura une infinité de 
couples de cubes satisfaisant ii la même condition; en eiïot, après 
avoir trouvé en dernier lieu nos deux cubes dont la somme soit éi^ale 
à la diiïérence des donnés, nous pouvons (problème 2) en ebereber 
deux autres dont la diirérencc soit égale ii la somme de nos deux 
cubes, c'est-à-diro à la diflercnce do ceux primitivement donnés; de 
la dilTérencc nous repasserons à la somuK^ et ainsi de suite indétini- 
ment. 

0. — Même commentaire. 

« -2. Pcnir rosouurc : .r^ — y^ = a^ -h li-' , ou posera .c = r;-l-n, )■ = — ,- — //. 

Il' — /;' " if> — w' 

:î. l'on r résoudre : .r^ — y^^n' — h^ ou iioscro .r = — ; 1). y = -z y. — «. 

Pour que j: Cl j soient posilifs, il l';uil ([ue a^ C 'i-l''^- » 

La condition, imposée pour la solution do ce problème ;}, n'est 
pas légitime, ainsi que je le montrerai en opérant comme pour \v. pro- 
bli'me 1. 

Bien plus, d'après ce qui précède, je résoudrai heureusement le 
problème suivant, dont Bachot a ignoré la solution : 

Partager un nombre, somme de deux cubes, en deux autres cultes, 
et cela d'une inlinilé de façons, en répétant continuellement les opé- 
rations, comme je l'ai indiqué ci-dessus. 

Ainsi soit à trouver doux cubes dont la somme soit égale ;i celle des 
deux cubes 8 et i. Je chercherai d'abord (problème 2) deux cubes 

dont la difTérence soit égale à la somme des donnés; je trouverai -ir,-— 
et In^- Comme le double du moindre dépasse le plus grand, on est 
ramené au problème 3, d'oii l'on passera au problème 1, et on aura 
dès lors la solution. 



2't8 ŒUVRES DE FERMAT. [290, 300] 

Si l'on on veut une seconde, on repassera par le proldème 2 et 
ainsi de suite. 

Pour montrer que la condition posée par le problème 3 n'est pas 
légitime, soit à trouver, étant donnés les deux cubes 8 et i, deux 
autres cubes dont la différence soit égale à celle des donnés. 

15acliet dirait, sans doute, que le problème est impossible; je n'en ai 

pas moins trouvé, par ma méthode, les deux suivants dont la diiïé- 

,, „ , , , ■^o?4 284G25 198 [385 '31 6 

r(>nce est 1 = — i. (.es deux cubes sont — 7^ — 5-7^ — et -^. — —7-^ — > 
' G128/107 6i'2S487 

, , . ,1 265 , I 9.56 

et l(>urs racines sont — ^^^ et —^^• 

10. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 11. 

,.3 _^_ y-3 

n Baciiet ; Résoudre ^ — =0, en supposant que a soil des formes p- ou ip-. » 



C.ette condition doit être complétée de la façon que j'ai indiquée 
plus loin pour celle du problème suivant |Obs. 12 1. Il n'y a pas à 
s'étonner que Bachet n'ait pas aperçu la méthode générale, qui est 
réellement dilficile; mais il aurait au moins dû avertir le lecteur que 
celle qu'il donne est seulement particulière. 

11. - Diophante, IV, 12. 

u Résoudre : x^ — J^=x — y. » 

Si l'on cherche deux bicarrés dont la différence soil égale à celle de 
leurs racines, on pourra résoudre la question en employant l'artilice 
de ma méthode. 

Qu'on cherche, en eiïct, deux bicarrés dont la ditrércnce soit un 
cube, et tels que la dilTérence de leurs racines soit i. On trouvera, 

par la première opération, les racines ——et —-'Le premier de 

ces deux nombres étant affecté du signe — , on réitérera l'opération 

suivant ma méthode, en égalant la première racine à ic— -, la 



[:î01,302] observations SUK DIOPIIANTE. 2W 

seconde a x -\ . et l'on obtiendra ainsi des nombres positifs satis- 
faisant au problème. 

12. — Commentaire de Bachet sur Diophante, IV, 12. 
« Baciiet : Résoudre = a, on supposant a des l'ormcs p- ou 3/j-. » 

La condition n'est pas légitime, parce qu'elle n'est pas générale. Il 
faut ajouter « ou que le nombre exprimant le rapport soit multiple 
d'un carré par un nombre premier de la forme 'in -h i (comme 7, 
i3, 19, 37, etc.), ou par un produit de nombres premiers de celte 
forme (comme sont les produits 21, 91, etc.) ». La démonstration et 
la solution du problème dépendent de ma méthode. 

13. — Diophante, IV, 17. 
« Résoudre : x, + Xa + .rj = D , .r f -t- j-j = Q , ^i -1- -^3 = D , xj h- .ri = Q . » 

O problème peut, peut-être, se résoudre plus élégamment comme 
suit : 

Posons x,^ jc, X2= 2x -h j , en sorte que x1 + x.^ = \j- Pour x^, 
choisissons arbitrairement le coelficient de x et le terme constant, de 
façon que j?!; -H iPj = D ; par exemple soit a-, = f\x -+- 3. 

On a ainsi satisfait ii deux conditions; il faut encore que l'on ait 

■a:"! + -l'a -t- -2^3 = D et x^H-.r, = ^■ 
Mais 

X, + .r, -t- .rj ^ 7 x 4- 4 , j-^ + a-, = i6j;-+ aSx -t- 9, 

On a donc une double équation oii les termes constants sont carrés, 
dont la solution est facile par suite, en ramenant ces termes ;i être 
égaux à un même carré. 

Par le même procédé, on peut étendre le problème à .4 nombres 
et même ii autant que l'on voudra; il suffît de faire en sorte que la 
KERHiT. — ni. 32 



250 QÎUVRES DE FERMAT. [302, 303] 

somme des termes indépendants de x, dans les expressions des divers 
nombres, fasse un carré; ce qui est très facile. 

li. — Diophante, IV, 18. 

« Résoudre : .ri -l- .r, -l- jtj = D , .r^ — .r^ = D , -ri — .^3=0, .rj — .r; = D . » 

I.e mode de raisonnement que j'ai employé pour la précédente 
question permet de résoudre également celle-ci et de l'étendre à 
autant de nombres que l'on voudra. 

l.'i. — Diophante, IV, 20. 
(I Résoudre : .ri.Ti-i- i = D > .r.>.r3-l- i = lH , .'■j.r, + i = D • " 

Soit proposé de trouver trois nombres tels que le produit de deux 
(|uelconques d'entre eux, augmenté de l'unité, fasse un carré, et que, 
de plus, cliacun de ces trois nombres eux-mêmes, augmenté de 
l'unité, fasse un carré. 

J'ajouterai une solution de cette question, qui a déjii été traitée. 

Soit une solution indéterminée du présent problème de Uiopbante. 
choisie de telle sorte que, pouric, et j:.,, les termes indépendants de 
.r, augmentés chacun d'une unité, fassent des carrés. Soient, par 
exemple, les trois nombres indéterminés : 

iGg i3 722.5 85 

j 184 36 5 184 06 

11 est clair qu'ils fournissent une solution de ce problème IV, 20; 
il faut de plus maintenant satisfaire aux conditions 

or, H- 1 — n . .T2 -1- 1 =; n , .a-a + > = n . 

c'est-à-dire à une triple équation, qu'il sera facile de résoudre par ma 
méthode, le terme indépendant de x, après l'addition de l'unité, se 
trouvant carré dans chacune des expressions. 



[3U3, 3U5] OBSERVATIONS SLR DIOPHANTE. 251 



IG. — Diophante, IV, 21. 

« Rcsoiidro : .r,.r2 + i= H , .ri.ra + i = D , .ri-ri + i = D . .ro.r3 + i= n : ■i:i.v<,-i-i= D , 
.r3.ï;4-i- I = n . » 

Cherchez d'ahord trois nombres tels que le produit de deux quel- 
conques d'entre eux, augmenté de l'unilc, fasse un carré; soient, par 
exemple, les nombres 3, i, 8. 

Cherchez maintenant un quatrième nombre tel que son produit 
par chacun des trois nombres déjà trouvés fasse un carré après addi- 
tion de l'unité. Soit j; ce nombre; on aura 

3j;'-|-i = C, xH-i = n, Sx +1 = 11], 

triple équation dont la solution s'obtiendra par la méthode que j'ai 
inventée. Voir ma Note sur le problème VI, 24. 



17. — Diophante, IV, 23. 
Résoudre : .ri. rj.ca-i- .ri = n , .ri.r^.rs-H .r» = D , .ri J-j.rj + .rj = D • » 

Ce problème peut se résoudre non seulement sans le lemme de Dio- 
phante, mais môme sans double équation. 
Posons 

nous satisferons à deux des conditions du problème. 

Pour obtenir x.,, il faut maintenant diviser x\x..x.j, c'est-ii-dire 
.r- — 2.r, par x^x.,, c'est-ii-dire 2x; il viendra x.j = r,x — i, et, en 
l'ajoutant ■àx,x.,x.j, nous aurons 

, 3 

X- ^ - X — 1 =: □ . 
•2 

11 faut d'ailleurs que la valeur de x dépasse 2, en raison des posi- 
tions déjà faites; on formera donc la racine du carré n, en retranchant 



252 ŒUVRES DE FERMAT. [305,306] 

(le a; un nombre arbitrairement choisi qui soit plus grand que 2. Le 
reste est évident. 

18. — Commentaire de Bachet sur IV, 31. 

a BvciiRT (proposition empirique) : Tout nombre est soit carré, soit somme de 2, 3 ou 
4 carrés entiers. » 

Bien plus, il y a une proposition très belle et tout à fait générale 
que j'ai été le premier ;i découvrir : 

Tout nombre est : soit triangle, soit somme de 2 ou 3 triangles; 

Soit carré, soit somme de 2, 3 ou 4 carrés; 

Soit pentagone, soit somme de 2, 3, 4 ou 5 pentagones; 
et ainsi de suite indéfiniment, qu'il s'agisse d'hexagones, d'heptagones 
ou de polygones quelconques; cette merveilleuse proposition pouvant 
s'énoncer en général en raison du nombre des angles. 

Je ne puis en donner ici la démonstration, qui dépend de nom- 
breux et abstrus mystères de la Science des nombres; j'ai l'intention 
de consacrer à ce sujet un Livre entier et de faire accomplir ainsi à 
cette partie de l'Arithmétique des progrès étonnants au delîi des 
bornes anciennement connues. 

10. — Diophante, IV, 35. 

a Résoudre : .r, -+- .r^ + .1-3 = G, .Ci .rj -+• .ra = D , -ri .r., — i'j = D ■ " 

On peut opérer plus facilement comme suit : Partagez arbitraire- 
ment en deux nombres le donné G; soient, par exemple, les parties 
■) et I. Divisez par le nombre donné. G, le produit de ces parties, 
diminué de l'unité, c'est-à-dire 4; il vient f. Retranchez ce quotient 
tant de 5 que de i; les deux restes ^ et i peuvent être pris pour les 
deux premières parties du nombre ii partager; la troisième sera dès 
lors ^. 



[3UC, 308] OBSERVATIONS SUR DIOPIIANÏE. 23:5 



20. — Commentaire de Bachet sur Diopbante, IV, 44. 

<i Résoudre : (j7,-1- x,-)- .r3).r,= ; {.Vi-h .r.>-h .i:,) .r.,= ^-; (,r,-i- j-2+ ,r3).r3= y'S 

nvcc la condition que a soit entier, .r,, .r.,, .rj, p, y pouvant être sim|ilcment rationcls. 
Si l'on pose .r, + .r-y-h .V3= x- cl (i = .r-- — z^, on arrive ù la condition 



a(a -I- i) 



= 7.Z-X 



2 .,,3 ■ 



d'où (2ï -1-1)2= lOcî.fî— S-/^— H3''-i-i. 



On résoudra en égalant cette dernière expression ù (4^-'^ — S)''; mais a ne peut guère 
être obtenu entier ([u'cn prenant o = i. .> 

Bachet n'a pas fait des essais sufrisamment rigoureux. Prenons en 
elfct [pour y'J uii cube arbitraire dont la racine soit de la i'ornic 
3 /i -I- I . 

Nous aurons, par exemple, a égaler 2x- — 34/1 à un triangle ^-^^ — - 

et iGx-— 2701 à un carré [(2a + i)-]; or on peut, si l'on veut, prendre 
pour racine de ce carré -{X — 3, etc. 

Rien n'empêche, en effet, de généraliser la méthode et de prendre 
au lieu de 3 un autre nombre impair tout à fait quelconque, sauf à 
choisir le cube en conséquence. 

21. — Commentairâ de Bachet sur Diophante, IV, 45. 
n Diophante enseigne dans ce problème à traiter la double cfjiiaiinn 
a.r H- /^ = D T "1 -î^ -f- /'i = n 1 

pour le cas où a et ^^i sont différents et où d'ailleurs le rapport de a h a^ n'est pas un 
carré, mais en supposant que l> et l'i soient des carrés inégaux; IJacliet montre que la 
solution est également possible, b cl l>\ étant quelconques : 1° si, en supposant « > <?i. 
le rapport de ab^ — bai à a — aj esl carré; -2" si, avec la môme liypoilièse oy-rit, le 
rapport de a, b — //[« à a, est carré. « 

Mais que l'on propose, par exemple, la double équation 

2.r-i-5 = G, 6x-t-3 = n; 

on pourra prendre les carrés iG = 9.x -1-5, 3G = Gx 4- 3; cl il y en a 
une infinité qui satisfont de même à la question. Il n'est pas d'ailleurs 



■25i ŒUVRES DE FERMAT. [308,3091 

(lifRcilo (le donner une règle générale pour les problèmes de ce genre, 
on sorte que les conditions posées par Bachet sont à peine dignes de 
lui, car on peut aisément étendre à une infinité de cas, bien plus à 
tous les cas possibles, ce qu'il n'a trouvé que pour deux cas seule- 
ment. 

22. - Diophante, V, 3. 

n llcsoudrc Xi-Cj-l-fl = □ , .rj.r3 + « = □ , .r3.r,+ « = □ , .r|+« = □ , j-2-Hr/ = □ , 

De cette solution, il est facile de déduire celle de la question sui- 
vante : 

Tramer quatre nombres tels que le produit de deux quelconques d'entre 
eux, augmenté d'un nombre donné, fasse un carré. 

Soient pris en effet, pour trois de ces nombres, ceux qu'on aura 
trouvés pour le problème de Diophante et qui satisferont dès lors, en 
outre, à la condition que chacun d'eux, augmenté d'un nombre donné, 
fasse un carré. Soit a? + i le quatrième nombre ii chercher; on aura 
une triple équation facile à résoudre par ma méthode. Voir la Note 
sur le problème VI, 24. 

Nous aurons ainsi une solution de la question proposée par Bachet 
sur III, 12, et outre que le procédé est plus général, il a sur celui de 
Bachet cette supériorité que les trois premiers nombres, augmentés 
chacun du nombre donné, donnent des carrés. 

Toutefois, je ne sais pas encore si le problème peut être résolu en 
posant la condition que le quatrième nombre, augmenté du donné, 
fasse également un carré; c'est une recherche qui reste à faire. 

2;i. — Diophante, V, 8. 
u Construire trois triangles rectnngles numériques donl les aires soient égales. » 

Mais peut-on trouver quatre ou même un plus grand nombre, allant 
jusqu'à l'infini, de triangles de même aire? Rien ne parait s'opposer 



|M0, 311) OBSERVATIONS SUIl DIOPIIANÏE. 25o 

à ce que cette question soit possible; elle est donc à examiner plus 
profondément. 

J'ai résolu le problème; bien plus, pour un triangle donné quel- 
conque, j'en fournis une intinité ayant la même aire. Soit, par 
exemple, G l'aire du triangle 3.4-5, en voici un autre de même 

aire : —■- > ou, si l'on veut le môme dénominateur : 

lo 7 70 

49 1200 1201 
70 70 70 

Voici le procédé qui peut, sans exceptions, s'appliquer indéiini- 
ment. Soit un triangle quelconque, d'hypoténuse z, de base h, de 
hauteur f/. On en déduira un autre triangle non semblable, mais de 
même aire, en formant ce nouveau triangle avec les nombres ;- et 
ibd, sauf il diviser par iz-lr ~ 2zd'- les expressions du quatrièm<' 
degré qui représentent les cotés. Le triangle ainsi obtenu aura tou- 
jours une aire égale à celle du triangle dont il dérive. 

Du second triangle ainsi déterminé, on en déduira, par la même 
méthode, un troisième; de ce troisième un quatrième; du quatrième 
un cinquième, et on aura ainsi une série indéfinie de triangles dis- 
semblables et de môme aire. 

Pour que l'on ne doute pas qu'il soit possible d'en donner plus 
de trois, à ceux de Diophante : 40.42.58, 24.70.74, ij. 11 2.11 3, 
j'en ajoute un quatrième dissemblable et de même aire : hypolé- 

1412881 , 1412880 , , 1681 

nuse -, — ; base 3 — : hauteur — :-• 

iibg 1189 1189 

Si l'on réduit tous ces nombres au même dénominateur, on aura, 

en entiers, les quatre triangles suivants de même aire : 

j" 47560, 49 9.38, 68962; 

2."' 28 536, 83 23o, 87986; 

S» 17835, i33 168, 134357; 

4° 1681, I 412880, 1412881. 

On pourra en trouver une infinité de même aire en poursuivant 
l'application du procédé, et dès lors étendre le problème suivant de 
Diophante au delà des bornes où il l'a restreint. 



25G ŒUVRES DE FERMAT. [311,314] 

Voici, obtenu par un autre procédé, un triangle dont l'aire est le 
sextuple d'un carré, comme celle du triangle 3.4-5 : 

2896804, 7216803, 7776485. 

24. — Diophante, V, 9. 

'< Trouver Irois nombres tels que lo carré de chacun d'eux, soil aujjmentc, soit diminue 
de la somme des trois nombres, fasse un carre. » 

D'après ce que j'ai dit ci-dessus, il est clair que je puis résoudre le 
'problème : 

Trouver aidant de nombres que l'on voudra, tels que le carré de chacun 
d'eux, soit augmenté, soit diminué de la somme de tous ces nombres, fasse 
un carré. 

Bachet n'a probablement pas connu la solution de ce problème; 
sans quoi il aurait généralisé la question de Diophante, comme il Ta 
lait pour IV, 31 et ailleurs. 

2.). — Commentaire de Bachet sur Diophante, V, 12. 

" Dûules sur la question de savoir si un nombre qui, comme 21, n'est ni carré, ni 
somme de deux carrés entiers, peut être partagé en deux carrés. » 

Le nombre 21 ne peut être partagé en deux carrés fractionnaires. Je 
])uis le démontrer très facilement; plus généralement aucun nombri' 
divisible par 3, mais non par 9, ne peut être somme de deux carrés, 
soit entiers, soit fractionnaires. 

26. — Même Commentaire. 

« Sur les conditions imposées au choix du nombre donné a pour la possibilité du [ini- 

blèmc : 

jc ^- j = I , a _j- ,r = □ , „ ^_ j =: Q . „ 

Voici la vraie condition, c'est-ii-dire celle qui est générale et qui 
exclut tous les nombres ne pouvant être choisis : 

Il faut que le nombre donné ne soit pas impair, et que la somme 



[314,315] 013SEUVATIÔNS SUU niOPHANTE. '257 

de son double et de l'unité, après division par le plus grand carré qui 
y entre comme facteur, ne puisse pas être divisée par un nombre \)V('- 
micr qui soit inférieur d'une unité à un multiple de l. 

27. — Commentaire de Bachet sur Oiophante, V, 14 

« Sur les conciliions imposées au choix du nombre donné n pour la possibililc du pm- 
blome : 

■c -f- J -+- c = I , a + .r = G> «+/ = n, «+; = C-" 

La condition posée par Bachet n'est, elle-même, pas satisfaisante : 
bien plus, il n'a pas fait ses essais avec assez de soin, car sa règle 
n'exclut pas le nombre 37, qui ne peut cependant être pris. 
Voici comment on doit concevoir la véritable condition : 
Prenons deux progressions géométriques suivant la raison l\, et 
dont les premiers termes soient i et 8; superposons-en les termes 
comme suit : 

I, 4, 16, G^, 9,50, 1024, 4096, clc, 
8, 32, 12S, 5i2, 2048, 8192, 327G8, etc. 

Je considère d'abord le premier terme de la seconde progression, 8 ; 
il faut (|ue le nombre donné ne soit ni le double de i (terme super- 
posé à 8), ni égal à la somme d'un multiple de 8 et du double de i. 

Je considère en second lieu le second terme de la seconde progres- 
sion, 32, et je prends le double du terme 4 superposé; j'ajoute ii ce 
double, 8, la somme des termes qui précèdent dans la même progres- 
sion, celle du dessus (dans ce cas, cette somme se réduit ;i l'unité); 
j'ai ainsi 9. 

Prenant donc les nombres 32 et ç), je dis que le nombre donné ne 
doit être ni 9, ni la somme de 9 et d'un multiple de 3.>.. 

Je considère maintenant le troisième terme de la seconde progres- 
sion, 128; je prends le double, 32, du nombre iG superposé; j'ajoute 
la somme des termes antécédents dans la même progression du haut, 
c'est-à-dire i et 4; j'ai 37. Prenant donc les deux nombres 128 et 37, 
je dis que le nombre donné ne doit être ni 37, ni la somme de 37 cl 
d'un multiple de 128. 

Keuhat. — Ul. 33 



■im ŒUVRES DE FERMAT. [315,317] 

Jo considère encore le quatrième terme de la seconde progression; 
le même procédé me donne les nombres .ji2 et i/|C). Il faudra donc 
(|ue le nombre donné ne soit ni 1/19, ni la somme de 1^9 et d'un mul- 
tiple <le J12. 

Voilà la méthode uniforme dont l'application doit se poursuivre in- 
définiment, et qui n'a pas été indiquée par Diophante dans sa généra- 
lité, ni reconnue par Bachet lui-même; les essais de ce dernier ont 
même été fautifs, non seulement pour le nombre 37, comme je l'ai 
déjà indiqué, mais aussi pour 149 et les autres, qui tombent égale- 
ment dans les limiles des essais qu'il déclare avoir faits [jus- 
qu'à 325]. 

!28. — Diophante, V, 19. 
n Rcsoiuire : 
(./:,-H.r,+ .r3)3 — .r,= 3^, (x,H- ,r,-l- j-jj'i— r.,= aj, {.r,-i- .r.,-h .r^)' — .1-3= oi'\. a 

Ou bien le texte grec est corrompu, ou bien Diophante n'a pas 
exprimé le moyen par lequel il a obtenu sa solution. Bachet croit qu'il 
a été aidé par le hasard, ce que je n'admets guère, car je pense que sa 
méthode n'est pas difficile à retrouver. 

Il s'agit de trouver un carré plus grand que 2, mais plus petit que 3, 
et dont la différence avec 3 se partage en trois cubes ('). 

Prenons, pour racine du carré cherché, une expression composée 
d'un terme en x et de — i, par exemple : x — i. Si je retranche de 3 
le carré de cette expression, il reste : 2 -+- 2x — x-, qu'il s'agit de 
décomposer en une somme de trois cubes de façon que l'équation se 
réduise à deux termes de degré consécutif. 

On peut y arriver d'une infinité de façons : soit i — r,x la racine de 
l'un des cubes; pour celle du second, prenons i-hx, afin que la 



( ' ) Si, d'après la marclio de Diophante, on pose X[ -+- xj + x^ = ;, ai = — , a, = — . 

c(i= —, on arrive à la condition z^i'i ) = 1 . Diophante suppose 

/«n \ rn\ m:, m\ j 

— 7 -+- - , H r <i; le carré — ■ doit donc -satisfaire aux conditions indiquées par 

m\ m\ m\ z^ t r 

Kermat. 



[317,310] OBSERVATIONS SUR DIOPTIANTE. 259 

somme de ces deux cubes donuc ix pour le terme du premier degré; 
la raciuc du troisième ne devra comprendre qu'un terme en x, qu'il 
faudra d'ailleurs aiïectcr du signe —, pour que la valeur de x reste 
dans les limites assignées; mais il ne sera pas dilTicile de choisir le 
coolTicient de ce terme en .r de manière que la solution tombe eiïecti- 
vement entre les limites en question. 

Cela fait, il est clair que notre premier cube sera plus petit que 
l'unité, comme nous le désirons; au contraire, le second est plus 
grand, et le troisième est affecté du signe — ; il s'ensuit qu'il faut 
trouver deux cubes dont la somme soit égale à la différence du second 
et du troisième; nous arrivons ainsi, comme Diophante, ii sa seconde 
opération. 

« Mais nous avons », dit-il « dans les Porismes, que la différence 
de deux cubes quelconques est aussi la somme de deux cubes. » 

Ici Bachet est de nouveau embarrassé et, comme les Porismes de 
Diophante lui font défaut, il soutient qu'il y a là un problème qui 
n'est possible que sous une certaine condition; il enseigne en elfet ii 
partager en deux cubes la différence de deux cubes, mais seulemeni 
lorsque le plus grand des cubes donnés surpasse le double du plus 
petit, et il avoue franchement qu'il ignore comment on peut en général 
partager en deux cubes la différence de deux cubes quelconques. J'ai 
exposé plus haut, à propos du problème IV, 2, la solution générale de 
cette question et des autres relatives au même sujet. 

2!). — Diophante, V, 24. 

ti Trouver trois carrés tels ([uc le produit dos trois, |)liis l'un quelconque d'entre eux, 
fasse un carré. Le jiroblèmc est ramené à trouver trois triangles rectangles tels (|uc le 
rapport du produit des bases au produit des liautcurs soit carré. » 

Voici comment je restitue et j'explique la méthode de Diophante. 
qui n'a pas été comprise par Bachet. 

Ayant pris comme premier triangle : 3, 4. 5, pour lequel le produit 
des côtés de l'angle droit est 12, Diophante dit : « On est ramené ii 
chercher deux triangles tels que le produit des cotés de l'angle droit 



2G0 ŒUVRES DE FERMAT. [319,3^0] 

il(> l'un soit 12 fois le produit des cotés de l'angle droit de l'autre. » 
i.a raison en est que si l'on multiplie entre eux ces deux produits, on 
aura un nombre plan semblable à 12, et que dès lors, en multipliant 
ce dernier nombre par 12, on aura un carré, ce que demande le pro- 
blème proposé. 

Diopbantc continue : « Or l'aire de l'un de ces triangles sera 12 fois 
celle de l'autre », ce qui est évident de soi-même. « Mais au lieu de 
\i fois, on peut prendre 3 fois »; en effet, 3 étant le quotient de 12 
par le carré '1, la multiplication générale des bases et des hauteurs 
donnera toujours un carré, puisque, si l'on divise un carré par un 
carré, le quotient est encore un carré. 

La suite du texte de Diophante ne donne pas la solution cherchée, 
mais je la restituerai comme suit : 

Dans le cas proposé, on formera l'un des deux triangles des nom- 
bres 7 et 2, l'autre des nombres 5 et 2. Le premier triangle aura son 
aire triple de celle du second, et leur couple satisfera à la question. 

Au reste, pour trouver deux triangles rectangles dont l'aire soit 
dans un rapport donné, voici la règle générale. 

Soit - le rapport donné, en supposant /•>.v. On formera le plus 
grand triangle des nombres 2/- + s et /• — .9, le plus petit des nombres 
/■ -+- is et r — ^. . 

On peut encore former les deux triangles des manières suivantes : 

Le premier de 2r — ^ et /• 4- s, le second de 2,v — r cl r -h s; 

Le premier de Gr et 2/- — v, le second de /(/• + :? et 4^— 25; 

Le premier de r -+- ^\s et -ir — 4^, le second de ijs et ;• — 2^. 

On peut déduire de ce qui précède une méthode pour trouver trois 
triangles rectangles dont les aires soient proportionnelles à trois nom- 
bres donnés, pourvu que la somme de deux de ces nombres soit qua- 
druple du troisième. 

Soient donnés, par exemple, les nombres r, s, t, et supposons 
/•-!-/ = 4^- 0" formera les trois triangles comme suit : le premier de 
'• -1- '|.9 et 2r — 1^, le second de G^ et r — is, le troisième de 4* + ' ^^ 
'\s — 2/. (J'ai admis /> /.) 



[321, :iî4i OBSERVATIONS SUR DIOPIIANÏE. -201 

On peut également en tirer un moyen de trouver trois triangles 
rectangles en nombres, tels que leurs aires forment un triangle rec- 
tangle. 

On ramènera en elFet la question à trouver un triangle pour lequel 
la somme de la base et de l'hypoténuse soit quadruple de la hauteur. 
Ce problème est facile, et le triangle cherché sera semblable au sui- 
vant : 17, I j, H. Quant aux trois triangles, les nombres générateurs 
seront : pour le premier, 4o et 2; pour le second, 47 <^t -; pour le 
troisième, 4^^ Pt i • 

Enfin on aura également le moyen de trouver trois triangles don( 
les aires soient proportionnelles à trois carrés donnés, en supposani 
que la somme de deux de ces carrés soit quadruple du troisième. On 
pourra aussi trouver de même trois triangles ayant leurs aires égales; 
enfin nous pouvons construire d'une infinité de façons deux triangles 
rectangles, avant leurs aires dans un rapport donné, en multipliani 
l'un des termes du rapport ou les deux termes par des carrés don- 
nés, etc. 

30. — Diophante, V, 25. 

« Trouver trois carrés, tels que le produit des trois, moins l'un quelconque d'entre eux, 
fasse un carré. Le problème est ramené à trouver trois triani;les rectangles tels que li' 
rapport du produit des hypoténuses au produit des hauteurs soit carré. » 

De même que pour le précédent, Bachet a traité ce problème en 
laissant de coté la méthode de Diophante, qui reste donc à éclaircir et 
à expliquer. Il s'agit à cet effet de trouver deux triangles rectangles 
tels que le produit de l'hypoténuse et de la base dans l'un de ces trian- 
gles soit dans un rapport donné avec le même produit pour l'autre 
triangle. 



Cette question m'a longtemps tourmenté, et quiconque essayera de 
la résoudre pourra reconnaître qu'elle est vraiment didicile; j'ai enfin 
découvert une méthode pour la solution générale. 

Soit il chercher deux triangles tels que le produit de l'hypoténust; 
par la hauteur, dans l'un de ces triangles, soit double du même pro- 
duit dans l'autre. 



2G2 ŒUVRES DE FERMAT. [324,325] 

Soient a et 1) les nombres générateurs de l'un des triangles, a et d 
ceux (le l'autre. 

Pour le premier, le produit de l'hypoténuse et de la hauteur sera 
2 ha' -^ ib^ a ; 

Pour le second, le même produit sera 2r/a'+ -id'a. On demande 
que le premier de ces produits soit double du second : par consé- 
quent 

ba^ + />■* rt =; 2 d<i' -h 2 rPa. 

Divisant tous les termes par a, 

ha- A- b^ = 1 da'' + id^; 
transposant : 

■id^ b^ =1 brr- — 1 da\ 

Pour résoudre la question, il faut donc que le (juotient de -id' — />' 
par h — id soit un carré. 

Il s'agit par suite de trouver deux nombres, h et d, tels que l'excès 
du double du cube de l'un sur le cube de l'autre donne un carré, si 
on le divise ou si on le multiplie (car cela revient au même) par l'ex- 
cès du double du second sur le premier. 

Soient 37 + 1 l'un de ces nombres et i l'autre. L'excès du double 
du cube du premier sur le cube du second est i + Go; -i- iix'- 4- 2^:'; 
l'excès du <louble du second nombre sur le premier est i —x. \a' 
produit de i -h ùx -+- 6a;- -i- -ix^ par i — x doit être un carré. Or ce 
produit est \ -{- ^x -- l\x^ — ix\ qu'on peut égaler au carré de 
i -T-'ix ~ '^x'-. Le reste n'olTre plus de difTiculté. 

Pour étendre cette méthode au cas d'un rapport quelconque, il 
sulfira de prendre, pour l'un des nombres, la somme de x et de l'excès 
du plus grand terme du rapport sur le moindre ; pour l'autre nombre, 
ce même excès; c'est ce que nous avons fait au reste pour le rapport 
de 2 à I. De cette façon en effet le terme indépendant de x dans le 
produit final sera un carré, et l'équation pourra se traiter facilement; 
sa solution conduira à deux nombres représentant h et d et l'on 
remontera ainsi au problème primitif. 

Rn revoyant ce que j'ai écrit ci-dessus sur cette question de Dio- 



[325,320] 0I5SERVATI0NS SLR DIOPHANTE. -Ml 

phanle, j'ai été sur le jxiiiU de tout effacer parce qu'eu réalité ce 
n'est pas elle qui se rauiène au problème dont j'ai exposé la solution ; 
cependant, si je nie suis trompé en réduisant une question à une 
autre, cette dernière n'en est pas moins valablement résolue; mou 
travail a donc été plutôt mal placé que perdu et je laisse tel (|ui'l ce 
que j'ai écrit dans la marge. 

Quant il la question même de Diophante, je l'ai soumise à un nouvel 
examen et en employant toutes les ressources de ma méthode, j'ai 
enfin obtenu la solution générale; toutefois je ne vais donner qu'un 
exemple, dont les nombres montreront suffisamment par eux-mêmes 
que ce n'est point le hasard, mais une méthode régulière qui a permis 
de les trouver. 

Diophante propose en fait de chercher deux triangles rectangles, 
tels que le produit de l'hypoténuse par la hauteur pour le premier 
soit au même produit pour le second dans le rapport de 5 ;i i. 

Voici deux triangles satisfaisant à 

rreniier triangle. Second triangle. 

Hypolémiscs -18 '^iî ("'Co 109, 4'. r,M\ 7 Ja <):J8, 

Bases 'M'> o83 779 3og, 4' 990 695 480, 

HaïUeius S-». 472 ,(75 58o, 7394200038. 

31. — Diophante, V, 30. 
« Rcsoudrc .r? h- .r^ -^ « = D , ■'^i -1- .r| -1- « = D , .r; -1- .rj H- « = D . " 

Grâce à ce problème, nous obtenons la solution d'une question (|ui, 
autrement, paraîtrait très difficile : Etant donné un nombre, en trou- 
ver quatre tels que leurs sommes deux à deux, augmentées du nombre 
donné, fassent des carrés. 

Soit donné le nombre i 3 ; on commencera par chercher, d'après la 
solution de Diophante, trois carrés tels que leurs sommes deux à deux, 
augmentées du nombre donné, fassent des carrés. Soient ;), -^,, ^x[ 
ces trois carrés; on prendra, pour le premier des quatre nombres 
cherchés : x- — iS; pour le second : Gx + 9 (9 étant l'un des carrés 
trouvés et G, coefficient de x, le double de la racine de ce carré); d'à- 



'2Gk ŒUVRES DE FERMAT. [320,327] 

pri's le même procédé, on prendra pour le troisième nombre : 
Ix + ,^, cl pour le quatrième : \^x -+- ^. 

Grâce à ces positions, on satisfait ;» trois des conditions de l'énoncé; 
car si l'on (ait la somme du premier nombre et de l'un quelconque 
des trois suivants, et que l'on ajoute i5, on a un carré. 

Il faut encore qu'on ait des carrés en ajoutant i5 soit à la somme 
du second et du troisième, soit ii celle du troisième et du quatrième, 
soit à celle du second et du quatrième. Nous aurons ainsi une triple 
équation, qui sera facile à traiter, parce que, grâce ii la construction 
.dont nous avons emprunté l'artifice au problème de Diophante, dans 
chacune dos expressions à égaler à un carré, le terme constant sera 
un carré, et qu'il n'y aura en outre qu'un terme en x. Voir à ce sujet 
ce que j'ai dit sur le problème VI, 24. 

,"52. — Diophante, V, 31. 
■( Uésoiidrc .r\ -i- .c?, — <7 = H , .il -+- ''j — « = □ , -rj h- .r] - « = D • » 

Un artifice analogue îi celui que nous avons employé sur la précé- 
dente question, pour trouver quatre nombres tels que leurs sommes 
deux à deux, augmentées d'un nombre donné, fassent des carrés, 
peut servir pour passer de la présente question de Diophante à la 
recherche de quatre nombres tels que leurs sommes deux à deux, 
diminuées d'un nombre donné, fassent des carrés. 

On prendra pour le premier nombre : x- -h le nombre donné; pour 
le second, on ajoutera le premier carré trouvé d'après Diophante ;i 
un ternie en x ayanJ; pour coefficient le double de la racine de ce 
carré; etc. Le reste est évident. 

33. — Diophante, V, 32. 
« Résoudre : .r} -r- .v'i -i- jJ = D ■ 

Pourquoi ne cherche-t-il pas deux bicarrés dont la somme soit un 
carré? C'est que ce problème est impossible, comme notre méthode 
de démonstration peut le mettre hors de doute. 



1327,329] OBSERVATIONS SUR DIOTHANTE. 265 

3t. — Diophante, VI, 3. 

Il Trouver un iri.iiiglc rectangle en nombres, dont l'aire, augmcnU'e d'un nombre donné, 
fasse un carré. » — Viète avait supposé à tort, comme le remarque Bachel, que le nombre 
donné devait être la somme de deux carrés. Dans les problèmes suivants, Faire doit c^trc 
diminuée ou retranchée d'un nombre donné. 

Voici sans doute l'origine tle l'erreur de Vicie : cet illustre savant 
aura égalé l'aire à la difTércnce de deux bicarrés ('), comme a:* — i, 
[)Oiir en faire un carré, en y ajoutant le quintuple d'un carré, j élanl 
le nombre donné. 

Ce dernier nombre étant somme de deux carrés, on peut en eiïel 
trouver un carré, dont le (|iiintuple, diminué d'une unité, fasse un 
carré. Prenons pour racine de ce carré à quintupler .r -i- i (le coeiïi- 
cicnt de x pourrait être pris différent de l'unité); le quintuple du 
carré sera 5x--i- 100; + 5; en ajoutant l'aire, x'' — i, on a la somme 
x*-h5x-+ iox-t-4, à égaler à un carré, ce qui est aisé, le terme 
indépendant de .r étant carré, par suite de l'hypothèse ajoutée comme 
condition. 

Mais Viète n'a pas vu (jue le problème peut se résoudre tout aussi 
bien en prenant pour l'aire, non pas .r* — i, mais i — r' ; car alors la 
question se ramène immédiatement ii faire que le nombre donné, "i, 
(), ou tout autre quelconque, multiplié ])ar un carré, fasse un autre 
carré, après addition de l'unité; ce qui peut se résoudre très facile- 
ment et sans exception, puisque l'unité est un carré. 

J'ai résolu cette question, ainsi que les deux suivantes, par une 
méthode particulière, qui permet, si nous cherchons, par exemple, 
un triangle dont l'aire, augmentée de 5, fasse un carré, de donner un 
tel triangle en nombres minimi : |, ^, ^' ; l'aire est 20, et en ajou- 
tant 5, donne le carré 2J. 

( ') C'est efTectivement la marche que suit Diophante, et qui revient à supposer carré le 
rapport dos deux nombres générateurs du triangle. La solution de Viète (Zcict., V, !)) 
est présentée sous forme synthéti(|uc et correspond à une combinaison particulière : le 
nombre donné étant supposé de la forme rî + .çî, il prend pour nombres généralcur.-i 
(/• -1- i)' et (r — .f )2 et divise les côtés du triangle par ï{r + s)(r — .i)^ 

Feomat. — ni. ot| 



206 ŒUVRES DE FERMAT. [3.9, 3:sij 

Mais ce n'est pas ici la place de développer le principe et l'emploi 
de cette méthode; la marge n'y sufllrait pas, car j'aurais bien des 
choses à dire à ce sujet. 

33. — Diophante, VI, 6. 

<( Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, augmcnlée de l'un des côtes de l'angle 
droit, fasse un nombre donné. » 

(]c problème et les suivants peuvent être résolus autrement : 
Qu'on forme, pour celui-ci, un triangle avec le nombre donné et 
l'unilé, et qu'on divise les côtés par la somme du nombre donné et 
de l'unité, les quotients constitueront le triangle cherché. 

:!(). — Diophante, VI, 7. 

Il Trouver un triangle rectangle, tel iino l'aire, diminuée de l'un des côtés de l'angle 
droit, lasse un nombre donné. » 

Qu'on forme un triangle avec le nombre donné et l'unité, et qu'on 
divise les cotés par la différence du nombre donné et de l'unité, on 
aura le triangle cherché. 

Au reste, cette question est susceptible d'une infinité de solutions, 
par le procédé qui nous permet d'en trouver indéfiniment aux doubles 
équations de cette sorte; j'ai indiqué plus bas l'emploi de ce procédé, 
sur la question 24. 

Bien plus, on aura de même une infinité de solutions pour les 
quatre questions suivantes, ce qui n'a été reconnu ni par Diophante, 
ni par Bachet. Mais pourquoi ni l'un ni l'autre n'ont-ils pas ajouté le 
problème que voici ? 

Trouver un triangle rectangle, tels que l' un des côtés de l'angle droit, 
diminué de l'aire, fasse un nombre donné. 

Ils semblent bien n'en avoir pas connu la solution, parce qu'elle 
n'est pas immédiatement fournie par la double équation; cependant 
on peut la trouver aisément avec notre méthode. 

Ce troisième cas peut être de même ajouté aux questions suivantes. 



f:i3l,332] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 267 

37. — Diophante, VI, 8 et 9. 

« Trouver un triangle reclani;lc, tel que l'aire, augmentée (diminuée) de la somme des 
côtés de l'angle droit, fasse un nombre donné. » 

Avec notre méthode, on pcufajouter le problème que voici : 

Trouver im triangle rectangle tel que la somme des côtés de l'angle 
droit, diminuée de l'aire, fasse un nombre donné. 



38. - Diophante, VI, 10 et H. 

« Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, augmentée (diminuée) de la somme de 
l'hypoténuse et d'un des cotés de l'angle droit, fasse un nombre donné. » 

Avec notre méthode, on peut ajouter le problème que voici : 

Trouver un triangle rectangle tel que la somme de i hypoténuse et 
de l'un des côtés de l'angle droit, diminuée de l'aire, fasse un nombre 
donné. 

On ajoutera de même le suivant aux commentaires de Bachet ('). 

Trouver un triangle rectangle tel que l'hypoténuse, diminuée de l'aire, 
fasse un nombre donné. 

39. — Diophante, VI, 13. 

a Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, augmentée de l'un ou de l'autre des 
deux côtés de l'angle droit, fasse un carré dans les deux cas. » 

Diophante ne donne, comme satisfaisant à ce problème, que des 
triangles d'une seule espèce; notre méthode fournit une infinité de 
triangles d'espèces différentes, lesquelles dérivent successivement de 
la solution de Diophante. 

Soit, en effet, déjii trouvé le triangle 3.4 -j satisfaisant à cette con- 
dition « que le produit des deux cotés de l'angle droit fasse un carré, 

(I) « Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, augmentée (diminuée) de l'hypo- 
ténuse, fasse un nombre donné. r> 



2G8 ŒUVRES DE FERMAT. [332,333] 

si on lui ajoute le produit du plus grand de ces deux côtés par leur 
diiïérence et par l'aire du triangle ». Il s'agit d'en déduire un autre 
jouissant de la même propriété. 

Soient 4 le plus grand coté de l'angle droit du triangle cherché et 
3 -H a- le plus petit. Le produit des deux cotés de l'angle droit, si on 
lui ajoute le produit du plus grand des deux côtés par leur diiïérence 
et par l'aire du triangle, fera 30 — i2a- — Sx-, expression qu'il faut 
égaler à un carré. D'un autre côté, les cotés 4 et 3 + x étant ceux de 
l'angle droit d'un triangle rectangle, la somme de leurs carrés doit 
faire un carré; or cette somme fait 25 + 6a: -i- .i", seconde expres- 
sion qu'il faut aussi égaler à un carré. 

On a donc une double équation, qu'il est facile de résoudre, savoir 

36 — i2x — 



40. — Diophante, VI, 14. 

« Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, diminuée de l'un ou de l'autre des deux 
côtés de l'angle droit, fasse un carré dans les deux cas. « 

Avec notre méthode, on pourra résoudre la question suivante qui, 
autrement, est très difficile : 

Trouver un triangle rectangle tel que chacun des deux côtés de l angle 
droit, diminué de l'aire, fasse un carre. 



41. — Diophante, VI, 15 et 17. 

a Trouver un triangle rectangle, tel que l'aire, diminuée (augmentée) soit de l'iiypo- 
ténusc, soit de l'un des doux côtés de l'angle droit, fasse un carré. » 

On peut, avec notre méthode, essayer la question suivante qui, 
autrement, est très difficile : 

Tromper un triangle rectangle tel qu'en retranchant l'aire, soit de l'hy- 
poténuse, soit de l'un des côtés de l'angle droit, on ail toujours un carré. 



[333,335] OBSERVATIONS SUR DIOPIIANTE. 2C!> 

i2. — Diophante, VI, 19. 

(I Trouver un triangle rectani^Ie, lel que le périmclrc en soit un cube et que la soninic 
lie l'aire et de l'hypoténuse fasse un carré. 

I) ... Il faut trouver un carré qui. augmenté de 2, fasse un cube. ... « 

Peul-il y avoir, en nombres cnliers, un autre carré que a5 qui, aui;- 
monté do 2, fasse un cube? Cela parait certainement au premier abord 
dilFicile à discuter; cependant, je puis prouver, par une démonstra- 
tion rigoureuse, que 2:") est liien le seul carré entier qui soit inférieur 
à un cube de deux unités. En nombres fractionnaires, la méthode de 
Bachet fournit une infinité de tels carrés, mais la théorie des nombres 
entiers, qui est très belle et très subtile, n'a pas été connue jusqu'il 
présent, ni par Bachet, ni par aucun auteur dont j'aie vu les écrits. 

■43. — Commentaire de Bachet sur Diophante, 'VI, 24. 
Il Ce commentaire est consacré à la théorie de la double éqtiaiion. u 

Là OÙ ne suffisent pas les c'quations doubles ou ûiTrXoiaoTrjTE?, il laul 
recourir à des équations triples ou Tpi-Xoia6Tï]T£ç, découverte qui m'ap- 
partient et qui conduit à la solution d'une foule de très beaux pro- 
bliîmes. 

Soit, par exemple, à égaler ii des carrés les expressions 

j; -H 4, 2x-t-4, 5x-t-4, 

il y a là une équation triple qu'il est aisé de résoudre par l'intermé- 
diaire d'une équation double. 

Si, en effet, on substitue à x une expression qui, augmentée de \, 
fasse un carré, par exemple x- -1- 4-^' 'c^ trois expressions ci-dessus à 
égaler à des carrés deviendront 

.r'+4j^-+-4, 2x'-(- 8j- H- 4, 5j;-+ 20X -t- 4. 

La première est un carré par construction; il reste .donc à satisfaire 
aux conditions 

20:- + Sx H- 4 = D. â.c'-i- 20X-H 4 = D, 



270 (EUVRES DE FERMAT. [3:î5, 33i;] 

(;'cst-à-dire à une équalion double qui, à la vérité, ne fournira qu'une 
solution unique, mais de cette solution on pourra en tirer une autre, 
<le cette seconde une troisième, et ainsi de suite indéfiniment. 

A cet effet, lorsqu'on aura trouvé une valeur pour x, on substi- 
tuera il .T le binôme formé de x plus la valeur qui vient d'être 
obtenue. Ce procédé fournira une infinité de solutions dérivant clia- 
cune de la précédente et venant s'ajouter aux antérieures. 

C'est grâce à cette invention que nous pouvons donner une infinité 
de triangles de même aire, ce que Diopbante semble n'avoir pas su 
faire, comme il ressort de son problème V, 8, où il cherche seulement 
trois triangles de même aire pour résoudre le problème suivant avec 
trois inconnues; mais cette dernière question, d'après la découverte 
(|ui m'est due, peut être étendue ii un nombre indéfini d'inconnues. 

a. — Même Commentaire. 

A ce traité des équations doubles, nous pourrions faire de nom- 
breuses additions sur des points ignorés des anciens et aussi bien des 
modernes. Mais il suffira, pour établir l'importance de notre méthode 
et en montrer l'usage, de résoudre ici la question suivante, dont la 
difficulté est incontestable. 

Trouver un triangle rectangle en nombres, tel que l hypoténuse soit un 
carré, ainsi que la somme des côtés de l'angle droit. 

Le triangle cherché est représenté par les trois nombres suivants : 

4687298610289, 4565486027761, I 061 652 293 520, 

et il est formé des deux nombres 2 15090J et 24G792. 

J'ai, par une autre méthode, trouvé la solution de cette autre ques- 
tion : 

Trouver un triangle rectangle en nombres, tel gue le carré de la diffé- 
rence des côtés de l'angle droit, moins le double carré du plus petit de ces 
côtés, fasse un carré. 



[337,340] OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 271 

Le triangle ijy.5, 1S17, ijG, formé des nombres 39 et 2, esl un de 
ceux qui satisfont à la question. 

J'ajoute d'ailleurs avec confiance que les deux triangles ci-dessus 
sont les petits en nombres entiers qui satisfassent aux questions pro- 
posées. 

Voici quelle est ma méthode : Cherchez, suivant le procédé ordi- 
naire, la solution de la question proposée. Si, après l'achèvement des 
calculs, l'opération n'aboutit pas, parce que la valeur à donner à l'in- 
connue se trouve aiïectée du signe — et doit être resardée comme 
plus petite que zéro, j'alfirmc hardiment qu'il ne faut pas désespérer 
et rester à bayor, comme dit Viète, mais comme il l'a fait après les 
anciens analystes; il faut au contraire essayer de nouveau la question 
en substituant à l'inconnue le binôme x moins le nombre trouvé dans 
la première opération comme valeur affectée du signe de soustrac- 
tion. On aura ainsi une nouvelle équation qui conduira ii une solution 
en nombres vrais. 

C'est par ce moyen que j'ai résolu les deux questions ci-dessus; 
autrement elles sont très difficiles. J'ai de même montré qu'une 
somme de deux cubes peut être décomposée en deux autres cubes, et 
j'ai donné la construction qui peut nécessiter la réitération de l'opé- 
ration jusqu'à trois fois; il arrive en effet souvent que la vérité cher- 
chée oblige l'analyste le plus habile et le plus industrieux à recom- 
mencer plusieurs fois le calcul, ainsi que l'expérience le fera aisément 
reconnaître. 

i). — Problème 20 de Bachet sur Diophante, VI, 26. 

« Baciicl. — Trouver iiii triangle rectangle dont l'uiro soit un nombre donne. » 

L'aire d'un triangle rectangle en nombres ne peut être un carré. 

Je vais donner la démonstration de ce théorème que j'ai découvert; 
je ne l'ai pas trouvée au reste sans une pénible et laborieuse médita- 
tion; mais ce genre de démonstration conduira à des progrès mer- 
veilleux dans la science des nombres. 



272 ŒUVRES DE FERMAT. [3/iO, ;!4i] 

Si l'aire d'un triangle était un carré, il y aupait deux bicarrés dont 
la dilTcrcnce serait un carré; il s'ensuit qu'on aurait également deux 
carrés dont la somme et la différence seraient des carrés. Par consé- 
quent, on aurait un nombre carré, somme d'un carré et du double 
d'un carré, avec la condition que la somme des deux carrés, qui ser- 
vent à le composer, soit également un carré. Mais si un nombre carré 
est somme d'un carré et du double d'un carré, sa racine est également 
somme d'un carré et du double d'un carré, ce que je puis prouver sans 
difficulté. On conclura de lit que celte racine est la somme des deux 
côtés de l'angle droit, d'un triangle rectangle, dont l'un des carrés 
composants formera la base, et le double de l'autre carré la bauteur. 

Ce triangle rectangle sera donc formé par deux nombres carrés, 
dont la somme et la différence seront des carrés. Mais on prouvera que 
la somme de ces deux carrés est plus petite que celle des deux pre- 
miers dont on a également supposé que la somme et la différence 
soient des carrés. Donc, si on donne deux carrés dont la somme et la 
différence soient des carrés, on donne par Va même, en nombres en- 
tiers, deux carrés jouissant de la même propriété et dont la somme 
est inférieure. 

Par le même raisonnement, on aura ensuite une autre somme plus 
petite que celle déduite de la première, et en continuant indéfiniment 
on trouvera toujours des nombres entiers de plus en plus petits satis- 
faisant aux mêmes conditions. Mais cela est impossible, puisqu'un 
nombre entier étant donné, il ne peut y avoir une infinité de nombres 
entiers qui soient plus petits. 

La marge est trop étroite pour recevoir la démonstration complète 
et avec tous ses développements. 

Par le même procédé, j'ai découvert et démontré qu'il n'y a aucun 
nombre triangulaire, sauf l'unité, qui soit un bicarré. 



[:î41,3«1 observations SUU DIOIMIANÏH:. 273 

i(>. — Commentaire de Bachet sur Diophante Nomb. polyg 9. 

.1 TroiivcM' un polygcnio, le coLé en olaiit ilimno, ot inversement, u 

.l(! inotlrai ici, sans démonstration, une proposition très bcllo et très 
rcinarquablo que j'ai découvortc : 

Dans la progression naturelle commençant à l'unité, le produit 
il'nn nombre quelconqu(^ par le nombre immédiatement supérieur 
lait le double du triangle du premier nombre; si le multiplicateur est 
le triangle du nombre immédiatement supérieur, on a le triple de la 
pvramidc du premier nombre; si c'est la pyramide du nombre immé- 
iliatement supérieur, on a le quadruple du triangulotriangulaire du 
premier nombre; et ainsi de suite indéfiniment, suivant une règle 
nnif'ornic et générale. 

J'estime qu'on ne peut énoncer sur les nombres de tliéorème qui 
soit plus beau ou plus général. .le n'ai ni le temps ni la place d'en 
mettre la démonstration sur celte marge. 

i7. — Bachet, Appendice, II, 27. 

c( I = i'. j H- 5 = 2', 7 -4- 9 -t- i I = j^, i3 -+- i5 -H 17 + 11) = 4^1 •■■. " 

Voici comment j'énoncerai cette proposition d'une façon plus géné- 
rale : 

Dans toute progression constitutive de polygone, l'unité constitue 
la première colonne ; la somme des deux nombres suivants, diminuée 
du premier triangle multiplié par l'excès sur 4 du nombre des angles 
du polygone, forme la seconde colonne; la somme des trois nombres 
suivants, diminuée du second triangle multiplié par l'excès sur 4 du 
nombre des angles du polygone, forme la troisième colonne; et ainsi 
de suite indéfiniment, suivant la même loi ('). 

(') Soit la progression arithmclique commençanl à l'unité, et de raison /r — i.i, 
i + (A-— 2), i^7.(/. — ■'.), .... I -f- (h — i)(/i — ■.».), i-i-«(/i' — 2), ...: le «'"'" poly- 

Ferm\t. — ni. 35 



27k ŒUVRES DR FERMAT. [3421 

i8. — Bachet, Appendice, II, 31. 

Il suit <le là que lo produit du cube du plus graud nombre |(««)' | 
par lo nombre des termes [n] est plus petit que le (juadruple de la 
somme des cubes [2"(/2a)^]. 

sonc ili- /. niiLjles est la somme des ii proiniors termes 

Si, diiMs kl miimo pi'oi;rossioii, du désigne par S„, la somme dos m termes qui siii\oiii 

, /;/(//( — I ) 

les ; premiers, on aura 

Dès lors, d'après Fermai, la m "" colonne, terme qu'il a fori;é : 

,,'"('« — I ) r /« ( /« — 1 ) ( /.■ — -2 ) I 
■{li — \) ~ = m m H -_ ; 



'/n - -'tu 



c'est le produit par m du poly.gone ayant m pour cote. 

En supposant k = 4, le polygone ayant m pour côté devient lo carré m''-, et la coloniu; 
C,„= m'; on retrouve donc comme cas particulier le tliéorcme énoncé par liaclict et qui 
élail déji\ connu dans l'antiquité. 



TRADUCTION 

DES LETTRES ET DES FRAGMENTS EN LATIN 

J)ANS LA COKHESl'ONDANΠDE FERMAT. 



TRADUCTION 



DES LETTRES ET DES FRAGMENTS EN LATIN 



DANS LA CORRESPONDANCE DE FERMAT. 



N" 3 ('). 
(LcUre de Fermât à Mersenne. du 3 juin iG36.) 

4. ... Soit dans le cercle CNB {fig. 4) la spirale AMB dont la pro- 
priété soit telle que, si l'on mène une droite quelconque, par exemple 
AMN, le rapport de la circonférence totale du cercle à l'arc NCB soit 
égal au rapport de AB^ à AM^ 

Fig. 4 




Cette spirale dilTere de celle d'Archimède en ce que, dans cette 
dernière, c'est au rapport de AB à AM que se trouve égal le rapport 
de la circonférence à l'arc NCB. 

Je dis que l'aire comprise entre la spirale et la droite AB est la 
moitié de l'aire du cercle; en second lieu, et c'est là une propriété 
bien remarquable, que l'aire engendrée par la première révolution, 



(') Pour le n" 2 de la Correspondance (Proposition géosiaiique), voir la tradiiclion par 
Mersenne, Tome II, pages lo et ii. 



278 ŒUVRES DE FERMAT. - CORnESPONDANCK. [13,23] 

aire marquée N {Jig. ,^), est la moitié de l'aire M engendrée par la 
seconde révolution, tandis que l'aire C engendrée par la troisième 




révolution est précisément égale à cette aire M, et qu'il en est de 
même' pour chacune des autres aires engendrées par les révolutions 
suivantes; toutes ces aires consécutives sont donc égales entre elles. 



N" ;■ 



NOuvEAi^x Tin:or,i:MF.s df, jifcamoue. 

I'\tl M. IIK FKRMAT. 

1. Il y a déjà longtemps que je soup(,'onnais qu'Archimède n'a pas 
établi avec assez de rigueur les fondements de la Mécanique; il est 
(■lair en efTet qu'il suppose parallèles entre eux les mouvements de 
chute des graves et, sans cette hypothèse, ses démonstrations ne 
peuvent subsister. Je ne nie pas au reste qu'elle ne soit en accord, 
autant qu'on peut le désirer, av(>c l'expérience sensible; car, en 
raison de la grande distance du centre de la Terre, on peut sup- 
|)Oser parallèles les lignes de chute des graves, de même qu'on sup- 
pose que les rayons solaires sont parallèles entre eux. Mais, pour qui 
recherche la vérité intime et précise, une pareille hypothèse ne peut 
être satisfaisante. 

Il semble donc qu'il faille considérer en général, pour un lieu quel- 
conque du monde, les propriétés des leviers, et, pour les déterminer, 
recourir, en Mécanique, à de nouveaux fondements empruntés à des 
principes immédiatement vrais. J'énoncerai seulement les proposi- 
tions de cette nouvelle science, me réservant de donner les démon- 
strations en temps et lieu. 



[23,24] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 27ÎI 

2. J'imagine ou plutôt je considère deux genres de leviers : l'un 
dont le mouvement est seulement rectilignc, non pas circulaire: 
l'autre dont les extrémités décrivent des cercles, et qui est le seul 
dont les anciens se soient occupés; ils n'ont pas, an contraire, 
reconnu le premier, qui pourtant semble beaucoup plus simple. 

J'éclaircis par des exemples les propriétés de ces deux genres; le 
centre du premier doit être supposé le même que celui de la Terre, 
tandis que le centre du second doit au contraire être nécessairement 
situé en dehors de ce centre. 

3. Soient donc {fig- lo) A le centre de la Terre, CB une droite qu'on 
imagine passer par ce centre et constituer un levier; en H et C je sup- 
pose des poids B et C en sorte que l'on ait :: poidsB : poidsC :: CA : AB. 
Je dis que le levier CB, dans ces conditions, restera en équilibre. 

Fig. 10. 

G — ^ O 

B C 

Si, au contraire, on diminue tant soit peu le poids B, le levier se 
mouvra en droite ligne vers le côté B, tout en passant toujours par le 
centre A et ce mouvement continuera tant que les distances au centre 
ne seront pas dans le rapport inverse de celui des poids. 

NoiVà van première proposition, d'après laquelle on peut dire que la 
Terre est un grand levier, en imitant Gilbert qui l'appelle un grand 
aimant. 

4. Cela posé, j'énonce une autre proposition plus singulière, à 
savoir que les graves seront d'autant plus facilement soulevés par 
une puissance (agissant soit sur la surface de la Terre, soit ailleurs) 
qu'ils seront plus près du centre de la Terre. 

Kig. II. 

A_e f 



Soient A ce centre {Jlg- 1 1), C un point en dehors. Je joins CA dont 



280 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [2'i, 25] 

je prends un point quelconque B. Si en ce point j'imagine un poids B 
qui soit suspendu par un fil ou une tige CB, la puissance en C néces- 
saire pour le soutenir sera à ce poids B dans le rapport AB : AC. 

De là on déduit très facilement et l'on démontre que les graves ne 
pèsent point au centre de la Terre, proposition que l'on a, au reste, 
déjii cherché à prouver. 

5. Le second genre de leviers peut être désigné par le nom d'Arc/u- 
méde; mais le rapport inverse entre les distances et les poids (démontré 
pour le levier simple) ne peut avoir lieu ici et, par conséquent, les 
propositions VI et VII d'Archimède ne peuvent subsister. 

C'est ce que j'alfirmc avec confiance. Je considère au reste ce levier 
en général, que les bras soient ou non dans le prolongement l'un do 
l'autre, qu'ils soient parallèles à l'horizon ou inclinés sur lui. 

Une seule démonstration résout toute la question : Soit, en dehors 
du centre de la Terre A, un levier DBC (ftg. la) de centre B, de bras 



Kiï 



^^ 




BD et BC. Menons les droites DA, BA, CA et supposons des graves 
placés en D et C en sorte que l'on ait 



poids C 
poids D " CA 



DA anple BAD 

v; . 

angle CAB 



.le <lis que le levier DBC, suspendu au point B, restera en équilibre. 
J'affirme la vérité absolue de cette proposition, comme celle des 
précédentes, et je suis en mesure de l'établir par une démonstration 
tirée de la Géométrie et de la Physique la plus pure. 



125,20.33] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 281 

6. l'ar là tombent entii'remont les détinitions dos centres de i^ra- 
vité d'après les anciens; on ne peut en effet trouver, si l'on excepte 
la s[)lii're, aucun corps qui ait un point tel qu'en suspendant par ce 
point le corps en dehors du centre de la Terre, il i,'arde la position 
<|u'on lui donne. 

Il convient donc de définir le centre de gravité d'un corps coninic 
un point situé à l'intérieur de ce corps et tel que, si on le fait coïn- 
(•ider avec le centre de la Terre, le corps garde la première position 
([u'on lui donne; c'est, en efTet, le seul cas où il y ait réellement un 
centre de gravité. 

1. Kntin je puis montrer (!t réfuter l'erreur de Guidobaido et autres 
(|ui croient que le levier peut être en équilibre, même si les bras ne 
sont pas parallèles à l'horizon. 

N" 7. 

(Lettre de l-'ermat ù Roberval, août iC3(j.) 

3. . . . Soient A le centre de la Terre (/ig. i5), CNB un levier sui- 
vant un arc de cercle décrit de A comme centre avec AN pour ravon. 




Je suppose égaux les arcs CN, NB et, placés en C, M, des poids égaux. 
J'admets que le levier CB, suspendu en N, restera en équilibre et 
(lu'il eu sera de même si d'autres poids égaux sont placés en d'autres 
points quelconques des bras CN, NB, pourvu que ces points d'attache 
soient à égale distance de part et d'autre du point N; en efTct, des 

Kkrmat. — IH. 36 



■282 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE. [33, 3^] 

poids égaux également distants, d'une part, du centre de la Terre, 
d'autre part, du centre du levier ou de la balance, ne peuvent détruir(^ 
l'équilibre. 

Soient encorQ A le centre de la Terre {/ig- lO), EFRCD un levier en 
arc comme ci-dessus, de centre ou milieu B. Qu'on place un poids lî 
en B, ou que, le divisant en poids égaux E, F, B, C, D, on place ces 
parties aux points E, F, B, C, D à des intervalles EF, FB, BC, CD 



Kig. .6. 
1» 



égaux, j'admets que le poids B, placé en B et supporté par ce point B, 
y pèsera autant que l'ensemble des parties E, F, B, C, D placées sur 
le levier suspendu en B. 

Il en est ainsi parce que, EFBCD étant un arc de cercle, les parties 
du poids B sont toujours à la même distance du centre de la Terre 
que le poids total B. L'erreur d'Archimèdc consiste à n'avoir pas fait 
cette remarque et à avoir supposé parallèles les lignes de chute des 



(-es suppositions faites, je puis démontrer ma proposition. Voici 
seulement le cas dans lequel le centre du levier est à la même distance 
([uc ses extrémités du centre de la Terre (ce cas ne suppose pas la 
vérité du principe du premier levier géostatique, vérité que vous 
paraissez mettre en doute). 

Soit FHN {fig. 17) un levier dont le centre H et les extrémités F, N 
sont à la même distance du centre de la Terre A. De A comme centre, 
avec AH pour rayon, je décris l'arc de cercle FHN qui relie les extré- 
mités du levier. Si l'on a :: Poids F : Poids N::Arc HN:Arc HF, je 
dis que le levier FHN, suspendu au point H, restera en équilibre. 



[3'., 5Î] 



THADUCTION DES PIECES LATINES. 



283 



Il est, clair que le rapport des arcs est le même que celui tics angles 
au centre A; il vous sera facile, d'après la construction et les deux 




axiomes qui précèdent, d'arriver à la conclusion du théorème. 



N'^ 9. 

(Lellre île Format à Élicnne l'uscal el Robcrval, du ^j août 1030.) 

4 Axiome I. — Si un grave en repos est suspendu en un point 

quelconque, il pèse suivant la ligne droite qui joint le point de sus- 
pension au centre de la Terre. La vérité de cet axiome est évidente, 
car autrement le grave ne peut être en repos. 

Axiome II. — Dans un levier en arc de cercle, suspendu par son mi- 
lieu, si de part et d'autre du point de suspension et en des points ii 
égale distance on place des graves égaux, le corps composé de tous ces 
graves et suspendu par son milieu restera en repos. 

Axiome III. — Dans un levier en arc de cercle, moindre qu'une 
demi-circonférence et ayant pour centre celui de la Terre (ce qu'il faut 
toujours supposer dans mon levier), si le point de suspension divise 
inégalement le levier, et que de part et d'autre du point de suspen- 
sion, sur les points d'une division du levier en parties égales, on place 
des graves égaux, le corps composé de tous ces graves ne demeurera 
pas en repos, mais s'inclinera du coté du plus grand bras. Ceci est 
évident, même dans vos hypothèses ; car, si le levier est plus petit que 
la demi-circonférence, le sinus du plus petit arc sera plus petit que le 



•28'i 



(EUVRES DE FERMAT.— CORRESPONDANCE. [02 M] 



sinus du plus grand arc; vous ne nierez donc pas que l'inclinaison 
ne se fasse du coté du plus grand arc. 

("cla supposé, représentons par une figure le levier DEG {^fîg- 3<0 
et achevons la construction à l'exemple d'Arcliimède. Lc-grave en 1), 
si on le divise en parties égales suivant les arcs BC, CD, DE, EF, 
[lésera toujours suivant la droite DN; car si D est le point de suspen- 
sion, l'ensemble reste en repos (axiome II); donc il pèse suivant DN 
(axiome I). Donc, soit que le grave soit tout entier en D, soit qu'il soit 
distribué également par parties sur les arcs BC, Ci), DE. lîF, il pèse 
toujours suivant la même droite DN. 




De même, le grave en G, qu'il soit tout entier en ce point, ou (ju'il 
soit distribué par parties égales sur les arcs FG, GIÏ, pèsera toujours 
suivant la droite GN. Mais, comme les graves disposés sur les arcs 
égaux BC, CD, DE, EF, FG, GH sont égaux, l'ensemble total pèsera 
suivant la droite EN; la conclusion s'ensuit évidemment, ou bien il 
est aisé de l'établir par une réduction à l'absurde, en se servant de 
l'axiome III. 

Il est certain qu'Archimèdc a raisonné d'une façon tout à fait sem- 

Fig. 3,. 
B c n E F 




blable; car il prend, par exemple, en C {fig. 3i) le centre de gravité 
de la droite BD pour prouver que des graves égaux, situés en B, D, 



[53,51] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. 285 

pèsent suivant la droite CN; mais l'hypothèse qu'il fait à cet égard 
n'est vraie que pour la halance DKF perpendiculaire à la droite EN : 
elle est fausse pour les autres qui sont rencontrées sous des angles 
inégaux par les droites issues du centre de la Terre. Dans mon levier, 
cette dilHculté ne se présente pas, puisque toujours et en tout poini 
la droite issue du centre de la Terre le rencontre normalement. 

Soient DGB une balance {Jig- 32), A le centre de la Terre, G celui 

I''ig. 3-.. 




de la halance; décrivez le cercle de centre G et de rayon GB. Joignez 
DEA, BA, GFA et GE. Supposez en B et D des poids égaux, et soi! 
l'angle AGD plus grand que l'angle AGB; je dis que la balance, si elle 
est suspendue au point G, s'inclinera du coté de B, et cela suivant les 
suppositions mêmes d'Archimède. 

Transportons en eifet le poids D en E; d'après Archimède, le poids 
agit toujours comme s'il était en D, puisqu'il reste sur la droite joi- 
gnant le point D au centre de la Terre. Si donc on suppose qu'il est 
retenu en E par la droite GE, les bras CE et GB seront en équilibre, si 
l'on suppose que GB et GD soient en équilibre. Les angles EGF, FGB 
seront donc égaux, car un triangle isoscèle, aux extrémités duquel on 
place des poids égaux, doit se mouvoir tant que la perpendiculaire à 
l'horizon, c'est-à-dire la droite qui joint le sommet au centre de la 
Terre, ne bissecte pas l'angle au sommet; c'est au reste ce dont té- 
moigne l'expérience. Mais l'angle EGB est double de l'angle en D ; donc 
l'angle FGB est égal à l'angle en D. Donc les droites GA, DA sont 
parallèles, ce qui est absurde; donc la halance ne restera pas en équi- 



28G ŒUVRES DE FERMAT. - COll RESPONDAIN CE. [.V,, 55, C3, M] 

libre, mais elle s'inclinera du côté de B, puisque l'angle BCF est évi- 
demment plus grand que l'angle ECF. 

7. Soit une parabole AB {fig- 35) de sommet A; si l'on fait tourner 
la ligure DAB autour de la droite DA prise comme axe tixe, on engen- 
drera le conoïde parabolique d'Arcbimède, dont le volume est ii celui 
du cône de même base et de même sommet dans le rapport de 3 ii 2. 

Fig. 35. 




Mais si l'on lait tourner la même figure DAB autour de la droite DB 
prise comme axe, on engendre un conoïde d'un nouveau genre; on 
demande de trouver le rapport de sou volume à celui du cône de 
même base et de même sommet, question qui n'est pas sans dilFi- 
culté. 

J'ai démontré que ce rapport est celui de 8 à 5; j'ai également 
trouvé le centre de gravité du même conoïde. 



N" 12. 

(Lettre do Fonnat à Mcrseiiue pour Sainte-Croix, septembre iG36.) 

Mon Rèvkuend Pkre, 

1. Quoique j'aie à dire que je ne suis point un OEdipe, mais un Dave, 
et que j'avoue très volontiers que je ne suis point parvenu à résoudre 
la question de M. de Sainte-Croix, je vous demanderai la permission 
de vous adresser, en échange des nombres qu'il a divulgués, la solu- 
tion de votre problème, et de lui proposer à mon tour quelques ques- 
tions qu'il ne débrouillera pas, je crois, de si tôt, malgré les promesses 
qu'il vous fait et la singulière puissance de son esprit. 



[r,5, CG] TRADUCTION DES PIECES LATINES. 287 

2. Pour rendre donc l'épreuve plus lionorable, ainsi qu'il le dit, 
en choisissant des problèmes plus dilRciles, voici ceux que je pro- 
pose : 

1° Trouver un triangle rectangle en nombres, tel que son aire soil 
un carré. 

■i" Etant donnée la somme de l'hypoténuse d'un triangle rectangle 
en nombres et du produit des trois côtés, trouver les limites entre 
lesquelles l'aire se trouve comprise. 

Ne vous étonnez pas de l'addition d'une longueur et d'un solide; 
car dans les problèmes numériques, comme on le sait, toutes les 
quantités sont homogènes. 

3" Trouver deux bicarrés dont la somme soit un bicarré ou deux 
cubes dont la somme soit un cube. 

4" Trouver trois carrés formant une progression arithmétique dont 
la raison soit également un carré. 

3. A ces quatre problèmes, j'ajouterai deux théorèmes que j'ai 
découverts et dont j'attendrai la démonstration de M. de Sainte- 
Croix. Si mon attente est vaine, je donnerai cette démonstration. 
Les deux propositions sont d'ailleurs très remarquables : 

1° Tout nombre est la somme de i, 2 ou 3 triangles; de i, 2, 3 ou 
f\ carrés; de i, 2, 3, 4 ou 5 pentagones; de i , 2, 3, /|, 5 ou G hexa- 
gones; de I, 2, 3, 4. 5, 6 ou 7 heptagones; et ainsi de suite indéfini- 
ment. 

Diophante parait supposer la seconde partie de ce théorème et 
Bachet s'est efforcé d'en confirmer la vérité par l'expérience, mais il 
n'a pas donné de démonstration. Je crois avoir été le premier îi décou- 
vrir cette proposition si générale et si belle; mais je ne sais pas si je 
puis, à titre de réciprocité, demander qu'elle soit admise. 

2" Si l'on retranche l'unité du produit par 8 d'un nombre quel- 
conque, on a un nombre qui est seulement somme de quatre carrés, 
non seulement en entiers, ce que d'autres peuvent avoir reconnu, 
mais même en nombres fractionnaires, ce queje m'engage à démontrer. 



288 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE. [GG, G?] 

Cotte proposition entraîne des conséquences rennarquablcs, qui 
])ouvf'nt être à la main do M. de Sainlo-Croix, mais semblent en tout 
cas avoir inulilement lente le génie et les eirorls de Bachot. 

4. Avant de résoudre la question que vous avez proposée sur les 
cubes, je répondrai à ce que vous me demandez pour le nombre G72, 
que je ne crois nullement qu'il soit le seul ii satisfaire à la condi- 
tion imposée; mais, avec ma méthode, c'est le seul qui se présente 
aprc's I 20. 

Cependant, dans les questions de ce genre, rien n'empêche qu'avec 
une autre méthode on ne rencontre d'autres nombres satisfaisant ii la 
condition proposée; si M. de Sainte-Croix en a de la sorte obtenu 
d'autres, je serais très heureux qu'il voulût bien me les communiquer 
en même temps que sa méthode. Les questions de ce genre sont, en 
cïïct, très belles et très dilficiles et personne, que je sache, ne les a 
encore traitées; j'ai obtenu, par un procédé particulier, des solutions 
pour un nombre indéfini de questions. 

5. Quant au problême sur les nombres 3 et 11, j'avoue qu'il me 
|)araîl des plus diiïîciles et qu'après beaucoup de tentatives je n'en 
possède pas encore la solution. Je croirais, jusqu'il preuve du con- 
traire, que cette solution est plutôt due au hasard qu'à la Science; 
mais je me trompe probablement plutôt que M. de Sainte-Croix. S'il 
consent ;» faire connaître les nombres qu'ij a trouvés, je lui deman- 
derai d'ajouter le procédé suivi pour les construire. 

6. Enfin, pour votre question des cubes, voici comment je la con- 
çois : 

Etant donnés autant de nombres en progression arithmétique que 
l'on voudra, et connaissant la raison de la progression et le nombre 
des termes, trouver la somme de leurs cubes. 

7. Premier cas : le premier terme est i, et la raison de la progres- 
sion est également l'unité. 



[G7, G8] THADUCTION DES PIÈCES LATINES. 289 

Soient proposés autant de nombres que l'on voudra, par exemple 

I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; 

la somme do leurs cubes est égale au carré du triangle ayant le 
nombre des termes pour côté. S'il y a 9 termes, C(îmme dans le cas 
proposé, le triangle est /(t, et son carré, 2020, sera égal à la somme 
des cubes. 

Cette proposition, pour ce premier cas, a été démontrée par Bacliet 
et par d'autres; les cas suivants ont été trouvés par moi. 

8. Si le premier terme est l'unité, la raison de la progression étant 
un nombre quelconque, par exemple 4 dans la progression 

I, 5, 9, i3, 17, 

je prends le triangle ayant pour coté la sonîine du dernier terme et' 
de la raison moins l'unité. Ce triangle est 210 et son carré 44ioo- 

De ce carré, je retranche : 

i" La somme des cubes d'autant de nombres commençant à l'unité 
et dans la progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de 
la progression moins i; cette somme doit être, d'autre part, multipliée 
par le nombre des termes. 

Dans l'exemple proposé, le produit ii soustraire d'après cette règle 
est 180. 

2° Le triple de la somme d(ïs carrés d'autant de nombres com- 
mençant à l'unité et dans la progression naturelle, qu'il y a d'unités 
dans la raison moins 1 ; ce triple doit être, d'autre part, multiplié par 
la somme des termes de la progression donnée. 

Dans l'exemple proposé, le nombre à soustraire d'après cette règle 
est i8()o. 

3" Le triple de la somme d'autant de nombres commençant à l'unité 
et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison moins i; 
ce triple doit, d'autre part, être multiplié par la somme des carfts des 
termes de la progression donnée. 

kermat. — m. 37 



290 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [GS, C9] 

Dans l'exemple proposé, le nombre à soustraire d'après celte règle 
est lo 170. 

Ainsi la somme des nombres à retrancher de 44 '0'> est 12240; le 
reste est 3i8Go; je le divise par 4. raison de la progression, et j'ai 
ainsi le nombre -fr^ij!) qm est la somme des cubes des nombres i, 5, 9, 
i3, 17. 

La méthode s'applique toujours de la même façon et dans tous 
les cas. 

9. Mais je n'ai pas encore dit comment on doit calculer tant la 
somme des nombres i, 5," 9, i3, 17 que la somme de leurs carrés, ce 
qui est indispensable pour effectuer la seconde et la troisième opé- 
ration. 

La règle pour le premier calcul est donnée par Bachet dans son opus- 
cule Des nombres polygones; quant au second, on opérera comme suit : 

Prenez la somme des carrés d'autant de nombres commençant à 
l'unité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la somme 
du plus grand terme de la progression et de la raison moins i. 

Le calcul de cette somme est facile, d'après ce qu'Archimède en a 
dit dans son livre Des spirales. 

De cette somme retranchez : 

i" La somme des carrés d'autant de nombres commençant à l'unité 
et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de la 
progression moins t. Vous aurez multiplié cette somme par le nombre 
(les termes; 

2° Le double de la somme d'autant do nombres commençant à l'u- 
nité et en progression naturelle, qu'il y a d'unités dans la raison de 
la progression moins i. Vous aurez multiplié ce double par la somme 
<les termes de la progression donnée. 

Après ces soustractions, vous divisez le reste par la raison de la 
progression, et vous aurez la somme des carrés des termes. 

Des ^ègles données pour ces deux cas vous pourrez immédiatement 
ou sans grande difficulté déduire celles qui s'appliquent aux autres. 



[00,70] TUADUCTION DES PIÈCES LATINES. 291 

10. Au reste je n'ai pas voulu m'arrètcr là, mais j'ai résolu le pro- 
blème qui est peut-être le plus beau de toute l'Arithmétique, c'est-à-dire 
celui (lii l'ou cherche, pour une progression quelconque, non plus 
seulement la somme des carrés ou des cubes des termes, mais celle 
des puissances quelconques, pour tous les degrés jusqu'à l'infini, 
bicarrés, carrécubes, bicubes, etc.; la méthode étant aussi générale 
([ue possible. 

H. Pour que M. de Sainte-Croix sache que je n'attends à cet égard 
ni un sphinx, ni un OEdipe, voici la solution du problème pour la 
somme des bicarrés. On peut l'énoncer comme suit sous forme de 
théorème : 

Soient pris à partir de l'unité autant de nombres que l'on voudra 
en progression naturelle; si l'on ajoute i au quadruple du dernier el 
qu'on multiplie la somme par le carré du triangle qui est la somme 
des nombres, après avoir retranché du produit la somme des carrés 
(les termes, on aura le quintuple de la somme de leurs bicarrés. 

Exemple : Soient pris les nombres i, 2, 3, 4; en ajoutant 2 au qua- 
druple du dernier, on a 18, qu'il faut multiplier par 100, carré du 
triangle somme des nombres; du produit 1800 on retranche la somme 
des carrés des termes, c'est-à-dire 3o. Il reste 1770, dont le cin- 
quième, 354, est égal à la somme des bicarrés. 

Je résous de même le problème pour une progression quelconque, 
en imitant la construction qui précède. 

Si vous ou M. de Sainte-Croix le désirez, je vous communiquerai 
la méthode générale pour les puissances quelconques jusqu'à l'infini. 

12. En attendant, j'ajouterai une très belle proposition que j'ai 
trouvée et qui m'a fourni la lumière pour les questions de ce genre : 

Dans la progression naturelle, on a le double du triangle ayant 
pour coté le dernier nombre, en multipliant celui-ci par le nombre 
immédiatement supérieur; on a le triple de la pyramide ayant pour 
côté le dernier nombre, en multipliant celui-ci par le triangle du 
nombre immédiatement supérieur; on a le quadruple du triangulo- 



-292 ŒUVRES DR !• EHM AT. - COHUESPONDANCE. [70, 7'ij 

(riangle du dernier nombre, en multipliant celui-ci par la pyramide 
du nombre immédiatement supérieur; et ainsi de suite à l'infini, par 
une méthode uniforme. 

13. Pour votre proposition des triangles rectangles, elle me semble 
énoncée dans votre lettre avec quchjuc peu d'obscurité; je la résou- 
drai peut-être, si vous me la proposez plus clairement. 

Votre tout dévoué, 
Fkkmat. 



(Lettre ilc Kcnnat à Roberval, du ï}, septembre if)3(ï.) 

6... Si autour de la droite DA {fig. 38) on (ait tourner la para- 
bole qui a B pour sommet, BF pour axe et AF pour ordonnée, on 

Fiff. M. 




engendre un conoïde d'une nouvelle cspi'ce qui est tel que, si on le 
partage en deux parties égales par un plan perpendiculaire ii l'axe de 
rotation, sa moitié sera au cône de même base et de même hauteur 
dans le rapport de 8 ;i ,). 

Si au contraire on le coupe en deux parties inégales par un plan 
perpendiculaire ii l'axe de rotation, soit en E par exemple, le rapport 
du segment de conoïde ABCE au cône de même base et de même hau- 

5EI)'-l-2AE.ED-hI)F.AE . , . , , 

leur sera r-pTT^ ; et de même le rapport du segment 

de conoïde DCE au cône de même base *et de même hauteur sera 

5 AE' + ». AE . El) + 1) E ■ DE 

5AE^ 



ISO, STl 



TKADUCTION DKS PIÈCES LATINES. 



2i):î 



N'' 15. 
(Lcllrc (II! Fci-mal a Holierval, du 4 novembre ifiJO.) 

7. Soit la parabole ACDF (/-. /,',) d'axe DE, de hase AK. Menons 
nne droite CB parallèle ;i l)K et par suite perpendiculaire à AK. Si l'on 
l'ait tourner la figure ADE autour de DR comme axe, on engendre le 
eonoïde d'Arcliimède; autour de AE comme axe, on a au contraire 
mon eonoïde. 

Si maintenant on fait tourner la tigiirc A(]B autour de Ali comme 
axe, on aura un segment de mon eonoïde; mais autour de (^B comme 
axe, on engendrera encore un eonoïde d'une autre espèce. On demande 
le rapport de son volume ii celui du cône de même hase et de nn'me 
hauteur. 




J'ai résolu ce problème : j'ai même trouvé mieux, un ellipsoïde le) 
([ue si vous trouvez le cône de même volume, je donnerai la (juadra- 
ture du cercle. Mais ce sera pour une autre fois. 



9. Soit AB(" ( /ig. /j j) une conclioïde de pôle B et d'intervalle HA. 
Soit li un point donné sur cette conchoïde. 

Fijr. 'i5. 




Je dis en premier lieu (juc cette courbe doit être représentée con- 



29i ŒUVRES DE FEI5MAT. - CORRESPONDANCE. [S7, 88] 

vexe vers le bas de la figure, quoique Pappus et Eutocius aient jugé 
(lidcremmcnt. 

En seconil lieu, je construis comme suit la tangente : Joignez FIH, 
abaissez la perpendiculaire BD; construisez DN par la condition 

BF xFI + RD' = ]{D xDN 

. nv 1 • . H> BD 
cl l)\ par la suivante : Tpr; 



DN 



DY 



La droite YB sera tangente à la conchoïde. 



N" 16. 



Objections dk M. de Fermât contre une proposition mécanique 

DE M. DE ROBERVAL. 



Si cette proposition mécanique de M. de Uoberval était vraie, que 
dans un levier quelconque les poids doivent être, pour l'équilibre, 
en raison inverse des perpendiculaires abaissées du centre du levier 
sur les lignes de direction, la proportion qu'il donne, dans son Traité, 
entre le grave et la puissance sur le plan incliné, ne pourrait sub- 
sister. Je le démontre manifestement : 

Soit (Jig- 'it)) un point N sur la surface de la Terre, H le centre de 
la Terre. Je joins NH, et je mène ANGF perpendiculaire à HN; cette 

Ki;,'. 40. 




droite ANGF est une des parallèles à l'horizon pour ceux qui sont au 
point N. Soient enfin des sphères de centres B, G, D, tangentes en N, 
G. F il la droite ou au plan par ANGF. 



[88,80] TU.\I)UCT[ON DES PIÈCES LATINES. 2!»o 

lîa premier lieu, il est clair que la sphèro B sera mise en mouve- 
ment par une puissance aussi faible que l'on voudra, ce que M. de Ho- 
herval ne nie pas; que, d'autre part, si elle est placée au point N, 
elle y sera en équilibre; mais, au contraire, elle n'y restera en auCun 
autre point du plan. 

Achevez la figure comme ci-contre. La droite HG, qui joint le 
pointde contact G au centre H de la Terre, fait un angle obtus avcct^tl; 
donc la sphère G se mettra en mouvement dans le sens GN. 11 en sera 
de même pour la sphère D. Soit donc en Z une puissance retenant la 
sphère G par une tendance parallèle ii ANGF, c'est-à-dire suivant 7à'.. 
Imaginez un levier de centre fixe G et abaissez sur HG la perpendicu- 
laire GI. 

La tendance de la sphère G au mouvement naturel est dirigée sui- 
vant GH, celle qui la retient est dirigée suivant GZ, droite à laquelle 
GG est perpendiculaire. Donc, d'après l'hypothèse de M. de Koherval, 
GI :GG : : PuissanceZ : Poids G. c. q. r. d. 

Mais pour retenir la sphère D, il faudra une puissance supérieure, 
et cette puissance devra être d'autant plus forte que la sphère sera 
plus éloignée du point N (ce qui est remarquable), tandis que M. de 
Koherval admet que le rapport de la puissance au poids ne varie pas 
|)our un plan donné. Il peut voir combien cela est éloigné de la vérité. 

Soient {fig. 47) B le centre de la Terre, ACDK un plan incliné. Qu'en 

Kiï. /.i. 




.\ et en G la puissance nécessaire pour retenir le grave soit la même, 
cela [louvait paraître rationel aux yeux de M. de Hoberval. 

.Mais, si l'on abaisse la perpendiculaire BD, puis(|u'il y a équilibre 



•296 ŒUVRES DE FERMAT.- CORRESPONDANCE. [80,.in,9.,] 

CM I) et que la puissance qui y retient est aussi faible que l'on voudra, 
rommcnt sa proposition peut-elle subsister? 

i\[a démonstration est d'ailleurs valable pour un plan quelconque, 
car tout plan est parallèle à un certain horizon. 

Ainsi ce qu'a démontré M. de Roberval est renversé et une voie 
1res facile s'ouvre pour établir une nouvelle proportion en rapport 
avec ses hypothèses. 

.le voulais ajouter une seconde figure pour exposer ce que je pense 
de sa dernière proposition, mais je n'ai pas le temps. 

N" 17. 

(Lellre (la Fernint à Itoberval du 7 dccenibre ifijO.) 

1. . , Soient lîDC un levier {fig. 4^^). D son milieu, A le centre de 
la Terre, DA perpendiculaire au levier. Soient en B et C des poids 




égaux, tendant naturellement vers le centre de la Terre suivant les 
droites BA, CA; que le levier soit suspendu en D et maintenu par une 
puissance quelconque; je dis que les corps B et C pèsent autant que 
s'ils étaient réunis en D (ît soutenus par la même puissance. 



N" 18. 
(LeUrc de Fermât à Koberval du iG décembre iC36.) 

8. . . Pour les paraboles cubiques, carrécubiques et ainsi de suile 
indéfiniment de deux en deux puissances, la méthode dont je me suis 
servi ne donne pas le rapport desconoïdes aux concs; j'ai au contraire 



['J5, 97] TRADUCTION DES l'IÉCES LATINES. 297 

une méthoilo qui donne le centre de gravité pour tous les conoïdes 
sans exception; votre proposition permettrait donc de trouver leur 
rapport aux cônes. 

10... Soit un levier CAB {^fiti- lo)' do'it le milieu A est joint au 
centre N de la Terre par une droite AN perpendiculaire au levier. 
Soient en C et B des poids C et B égaux et semblables, qui tendent 
vers le centre suivant les droites CN, BN. 

D'après votre principe, si ces droites NC, NB étaient perpendicu- 
laires au levier, celui-ci serait maintenu en équilibre par une puis- 
sance en A égale à la somme des poids B-et (". JMais, puisque ces 
droites font des angles aigus NCA, NBA, il faut en A pour l'équilibre 
une puissance qui sera soit la même, soit plus petite, soit plus 
grande. 




Si la même puissance détermine l'équilibre, le principe dont je me 
suis servi dans ma dernière lettre est vrai; or, si vous accordez ce 
principe, la démonstration de la proposition de mon levier s'ensuit 
immédiatement. 

"S'il faut une puissance soit plus grande, soit plus petite, dans le 
premier cas, cette puissance devra être d'autant plus grande que les 
angles des droites CN, BN avec le levier seront plus petits; dans le 
second cas, elle devra être d'autant plus petite. Soit supposé comme 
sur la ligure, au-dessus du point A, le même levier suivant la même 
direction; les angles des lignes CN, BN augmenteront évidemment; 
donc la puissance nécessaire en A pour maintenir l'équilibre variera 
avec la distance au centre de la Terre, et par suite le poids composé 
des deux graves B et C variera lui-même avec cette distance. 

l'EnlIAT. — \\\. 38 



•2!)S 



ŒUVHES DE FERMAT. 



[■.17, '.1,SJ 

Vous ne pouvez accorder la promiorc partie du dilemme, sans que 
votre proposition ne tombe aussitôt; il vous faut donc admettre, ou 
l)ien que la puissance en A varie avec la valeur des angles ou bien 
(|ue, tout en étant toujours la même quelle que soit la valeur de ces 
angles, clic est diirércnte de la puissance qui soutiendrait le levier si 
la direction des poids était perpendiculaire ii celui-ci. 

Quelle que soit l'iiypotlièse que vous choisissiez, il sera prouvé 
très clairement que dans votre démonstration s'est glissé un paralo- 
gisme que la vérité que nous cherchons ne permet pas de dissimuler 
et que peut-être vous-même devrez reconnaître. 



H. Sur la première ligure {Jig- 5o), qui est la (|ualri('me de vodc 
Lettre, voici ce que vous dites (') : 

C'est là-dessus que repose toute votre démonstration. 

Fig. .'m. 
C A K 



Mais en premier lieu, si vous dites que, pour toute valeur des angles 
égaux, la puissance nécessaire à l'équilibre est toujours la même, je 
démontrerai immédiatement ma proposition du levier; il vous faut 
donc accorder que cette puissance varie avec les angles. 

Ceci admis, soit sur la figure N le centre de la Terre, où concourent 
les droites CK, BD, et soient en K et D des graves dans le rap])orl 
lionne, ce qu'on est libre de supposer, d'après votre construction. 

Au reste elle n'a pour objet que de trouver le rapport des poids sur 



(') l'uir le lexlc français, t. Il, p. -9, ligne 10 à page 80, ligue 4- 



[.is.'.i'J] THADUCTION DES PIÈCES LATINES. 2!)!» 

le levier en équilibre au moyen de puissances imaginaires qui pour 
toutes leurs parties agissent toujours suivant une même direction ; cai' 
autrementdes puissances de ce genre, qui n'existent nullement daiis 
la nature, seraient absolument inutiles. 

Vous supposez en H et G des puissances égales aux poids E et D et 
agissant pour toutes leurs parties suivant une mémo direction. Puis 
vous concluez, par votre premier axiome, que les elTets des puissances 
H et E sont égaux; la puissance H agissant en G suivant HC perpendi- 
culairement au levier, et le poids E agissant suivant la même perpen- 
diculaire, ces puissances étant égales, agissant suivant la même 
droite, suivant le même angle sur le levier et ii la même distance de 
sonoenlre, l'action du poids E ne peut, suivant vous, diflerer de celle 
de la puissance imaginaire H. 

Si vraisemblable que paraisse cette conclusion, elle ne peut que 
paraître Irt's fausse ii qui recberche la vérité intime des clioses. 

Supposons, par exemple, que le poids E soit spliérique; toutes ses 
parties tendent vers le centre N suivant des droites qui concourent ii 
ce centre et dont les prolongements rencontrent le levier AG sous des 
angles aigus. Par conséquent, elles forment un ensemble de puis- 
sances agissant de part et d'autre du point C ii des distances égale> 
deux il deux, suivant des distances obliques par rapport au levier. 
Au contraire, toutes les parties de la puissance H étant supposées 
agir suivant une même direction, elles forment un ensemble de puis- 
sances agissant de part et d'autre du point C h des distances égales 
deux il deux, mais suivant des directions normales par rapport au 
levier. 

Or, puisque la somme de toutes les parties de la puissance H est 
égale il la somme de toutes les parties de la puissance ou poids E 
(puisqu'on suppose que la puissance H est égale au poids E), il s'en- 
suit, d'après ce qui a été établi, que les effets des puissances H et E 
agissant en H et E sont inégaux; par suite, ce que notre démonstra- 
tion conclut justement pour la puissance H est étendu à tort au 
poids E. 



300 



ŒUVRES DE FERMAT. 



[100, 101] 



N" 19, 

(Leltrc de Fermât à Roborval, de février iGS;.) 

1. Soient donnés autant de points que l'on voudra, par exemple 
cinq, A, G, F, H, E {fig. 5i) (mais la proposition est générale), on 
demande de trouver un cercle tel que, si d'un point quelconque de la 
circonférence on mène des droites aux points donnés, la somme des 
carrés de ces droites soit égale a une aire donnée. 

Je joins deux points quelconques A, E; des autres points donnés 
j'abaisse sur la droite AE les perpendiculaires GB, HD, FC. Je prends 
une fraction conditionnée, le cinquième dans l'exemple choisi, de la 
somme de tous les segments limités sur AE d'un coté par le point A, 
<!(' l'autre par les points donnés ou les pieds des perpendiculaires; 
ainsi soit AO = |(AB -f- AC + AD -i- AE); en j'élève une perpendi- 
culaire indéfinie ON sur laquelle je prends 01 égale à la même frac- 
tion conditionnée par le nombre des points (ici un cinquième) de la 
somme des perpendiculaires GB, F(^, HD. Je suppose enfin menées 

Fig. 5i. 
M 

H 



les cinq droites Al, GI, FI, HI, El. La somme de leurs carrés doit être 
inférieure à l'aire donnée; retranchez-la donc de cette aire et soit par 
exemple Zp' la différence. Prenez-en le cinquième (c'est-ii-dire la frac- 
tion conditionnée) et construisez le carré équivalent M-. Le cercle 
décrit de I comme centre, avec M pour rayon, satisfera à la question; 
c'est-à-dire que, quelque point que vous preniez sur sa circonfé- 
rence, la somme des carrés des droites qui le joignent aux points 
donnés sera égale à l'aire donnée. 



[101,102] THADUCTION DES PIÈCES LATINES. 301 

J'ajouterais bien ia démonstration, mafs elle est assez longue; et je 
préfèro vous inviter tous deux à la clicrcdier. 

2. Je n'ai pas seulement trouve ces propositions, mais en général 
toutes celles des lieux plans, et même beaucoup de lieux dont Apol- 
lonius n'a rien écrit et qui cependant sont très beaux. Par exemple : 

Ktant donnés trois points A, B, C {/ig- >2) en ligne droite, trouver 
une circonférence de cercle telle que, si l'on en prend un point N 
quelconque, AN'-t- NB- — NC- soit égal à une aire donnée. 

J'ai éiçalement fait de nombreuses découvertes sur les lieux solides 
et en surface. 

Je n'ajoute pas les cas du premier lieu plan ci-dessus; ils se dis- 
tinguent immédiatement. Si les points donnés sont au nombre de 
trois seulement et forment par suite un triangle, le centre du cercle 
formant le lieu est le centre de gravité de ce triangle, proposition sin- 
gulii'rc et assez remarquable. 

Fi?. 52. 




3. .Mais je ne m'arrête pas là. J'établis la proposition sous une 
forme très générale et j'en ai fait la construction : 

Trouver le cercle lieu des points tels que si l'on joint l'un d'eux ii 
autant de points donnés que l'on voudra, et que l'on augmente ou 
diminue dans un rapport donné chacun des carrés des droites ainsi 
menées, la somme des carrés ainsi augmentés ou diminués soit égale 
à une aire donnée. 

Exemple : Soient donnés, sur la figure précédente, les trois points A, 
]}, C; on demande un cercle tel que, si l'on prend sur sa circonférence 
un point N quelconque, jNA^+ 2BN-4- 3CN- par exemple, fasse une 



:{02 ŒUVRES DE FEUMAT. [178, isn, '2U',, 2(,7J 

iiiro tlonnéo. Etendre la cofistniclioii à un nombre quelconque de 
|)oints et à des coeffîeients quelconques. 

Apollonius ne semble pas avoir connu cette proposition qui est cer- 
lainement très belle. 

N° 36. 

(I.cUre iJe Fermai à Morsenne, du ■>(') (léceml)rc i(iJ8.) 

4. Si autant de points donnés que l'on voudra sont joints it un 
même point par des droites et si la somme des carrés de ces droites 
est égale à une aire donnée, leur point de concours sera sur une sur- 
face de sphère donnée de position. 

N" 37. 

(Lcttro de Fermât à Mersonne, du lo Tévrier r()'5().) 

4. '< X^ — CjX- -h i3x = yJ-liiS — lii. 

On demande la valeur de x. Ce problème reçoit (rois solutions dont 
n(uis donnons la première, 3 — \f2, qui satisfait exactement à la ques- 
lion. Qui donnera les deux autres sera pour nous un grand oracle. » 

(a's deux autres solutions sont : 3 4- \'i8 et 3 — \/8. 

N" 42. 

(Lcttro de Fermai à lloberval. août idjo.) 

6. I*ar un point donné à l'extérieur ou à l'intérieur d'une para- 
Ixde, mener une droite qui détermine un segment de parabole d'aine 
(b)nnée. Si le point est intérieur à la parabole, déterminer l'aire 
niinimaqui peut être ainsi retranchée de la parabole par une droite 
passant par le point donné. 

N" G2. 

(Lettre de Format à Gassendi, ifijO?) 

1. Galilée a défini mouvement uniformément a.ccéléré celui dans 
le(]uel, il partir du repos, les accroissements de vitesse sont égaux 
pour des temps égaux. 



f2GS, 200] TRADUCTION DES PIECES LATINES. :W$ 

Quant à celui dans locjucl les accroissements tle vitesse seraient 
égaux pour îles espaces parcourus égaux, il dit qu'il convient d'au- 
tant moins pour représenter le mouvement de chute des graves, que, 
suivant celle hypothèse, le mouvement se ferait dans un instant, 
comme il pourrait, dit-il, le démontrer trçs facilement. 

On peut, pourvu qu'elle soit vraie, accorder à ce perspicace Ivn- 
céen la conclusion (|u'il n'a pas démontrée. Mais s'il a, du premier 
coup d'œil, vu ou cru voir dans l'ohscurité la démonstration, on ne 
s'étonnera pas qu'elle soit réclamée par ses lecteurs, qui ne sont pas 
lyncéens. 

Pour maintenir donc l'honneur de Galilée et pour faire qu'il n'y ail 
plus de doute sur sa proposition et qu'on n'en dispute plus en invo- 
«fuant des raisons seulement prohahles, je vous envoie cette démon- 
stration suivant la méthode d'Archimède. 

2. Si autant de droites que l'on voudra, issues d'un même point, 
sont en progression géométrique continue, leurs din'érences seront 
également en progression suivant la même raison. 

Soient, par exemple, les droites AF, BF, CF, DF, EF, etc. {fig- 7<) ) 
<'n progression continue, leurs dilTérences AB, B(], CD, DE seront en 
progression suivant la même raison. 

Pis- 79- 
n r n F 



En cfTet, si AF:BF:: BF:CF, et que l'on retranche rcspcctivemeni 
chacun des deux derniers termes du premier qui lui correspond, on 
aura dans le même rapport AB iBC : : AF : BF, et de même pour les 
autres. On projuvera de même que AF : (>F :: AB : CD; (|ue 



DF: DF::I{C:I)E, elc. 



3. Si l'on imagine un point se mouvant de F vers A {fig- 8o) d'un 
mouvement continuellement accéléré suivant le rapport des espaces 
[)arcourus, et que l'on prenne une série de longueurs en progression 



•'50i ŒUVRES DE FERMAT. [îCO, 270] 

continue, comme AF, BF, CF, DF, EF, etc., le temps dans lequel l'es- 
|)ace DE sera parcouru sera égal au temps du parcours de l'espace DC; 



Fis- 80. 



R M N ,0 V X 
Z 



en un mot, chacun des espaces ED, DC, CB sera parcouru dans un 
même temps. 

4. Je prouverai d'abord que les espaces CB, BA sont parcourus dans 
1(^ même temps, d'après l'hypothèse faite sur le mouvement. 

Si le temps pour AB n'est pas égal en effet au temps pour BC, il sera 
soit plus grand, soit plus petit. * 

Supposons-le d'abord plus grand. Le rapport du temps pour AB au 
temps pour BC sera donc celui d'une longueur plus grande que BF à 
15F. Soit Z cette droite, on aura : Temps AB : TempsBC : : Z : BF. 

Prenez entre AF, BF autant de moyennes proportionnelles RF, MF, 
NF qu'il faudra pour que la plus petite, soit NF, soit inférieure à Z. 
Qui ne voit que ce résultat sera nécessairement atteint soit par l'in- 
sertion d'une seule moyenne, soit par le redoublement de l'opération 
effectué autant que de besoin? 

De la sorte, AF, RF, MF, NF, BF forment une progression continue, 
et, comme on a AF : BF : : BF :CF :: AB :BG, on peut continuer la 
même progression suivant le même rapport, de façon à avoir un même 
nombre de termes BF, OF, VF. XF, CF, de BF ii CF. 

Ceci posé, considérons chacun des espaces AR, RM, MN, NB, et 
comparons-les respectivement aux espaces BO, OV, VX, XC, chacun 
à chacun, c'est-à-dire AR à BO, etc. 

Si, sur l'espace AR, le mouvement était uniforme selon le degré de 
vitesse acquis on R, et si, sur l'espace BO, le mouvement était égale- 
ment uniforme suivant le degré de vitesse acquis en 0, on aurait 

Temps pour AR AR Vilesse en R 

! ! ^= y^ , 

Temps pour RO RO Vilesse eu R 



[270,272] THADLCTION DKS PIKCKS L\TIi\ES. 305 

ce qui est l)ien connu et a, au reste, été démontré par Galilée iiii- 
iiiéinc, prop. 5 du Traité du inouveincnl uniforme. 

Mais, par la première proposition, AU :B0 ; : AF : BF, et d'après 
l'hypotlièse de l'accélération du mouvement suivant les espaces : 
Vitesse en B : Vitesse en R : : BF : RF. Donc 

Temps pour AU _ AF HF _ AF 
temps pour ÎTo ~" ÏÏF ^ HF ~ KF* 

Si maintenant on suppose, sur l'espace RM, un mouvement uniforme 
suivant le degré de vitesse acquis en M, et, sur l'espace OV, un mou- 
vement uniforme suivant le degré de vitesse acquis en 0, on prouvera 

de même que 

TempsMIl : TempsOV :: \\V : MF. 

De même, considérant les vitesses aux points N, V : 
TempsMN : Temps V\ :: MF : NF. 

Knfin, considérant les vitesses aux points B et X pour les derniers 

espaces : 

TempsNB : Temps \C :: NF : BF. 

Mais, d'après la construction, les rapports AF : RF, RF : MF, MF : NF, 
NF:BF sont égaux.; par suite, en sommant les temps suivant AB et 
suivant BC, le rapport de ces temps totaux pour des mouvements dé- 
finis comme nous l'avons dit sera égal au rapport AF : RF ou NF : BF. 

Mais le temps du mouvement accéléré sur AR est inférieur au temps 
du mouvement uniforme sur AR avec la vitesse en R; en elTct, par 
hypothèse, la vitesse croît continuellement de R à A; donc, dans le 
mouvement accéléré, le mobile va plus vite de R en A que s'il par- 
courait l'espace RA avec la vitesse qu'il a en R. 

On prouvera de même que le temps du mouvement accéléré sur RM 
est inférieur au temps du mouvement uniforme sur RM, avec une vi- 
tesse correspondant à celle acquise au point extrême M. 

Enfin on établira que, pour le mouvement accéléré sur la ligne 
totale AB, suivant l'hypothèse faite, le temps sera moindre que pour 
KtBMAT. — m ■ ^9 



300 ŒUVRES DE FERMAT. [î72, Î73] 

ce mouvcmont imaginaire composé de mouvements nniformcs, avec 
(les vitesses correspondant à celles acquises aux points extrêmes des 
espaces AR, RM, MN, NB. 

Mais, au contraire, le temps du mouvement accéléré sur RO est plus 
long que celui du mouvement uniforme sur RO avec la vitesse au 
point R, parce que la vitesse croît toujours de à R dans le mouve- 
ment accéléré, d'après l'hypothèse; elle reste donc toujours inférieure 
à la vitesse correspondant au point R. 

En raisonnant de même, on conclura que, suivant l'hypothèse faite, 
le mouvement accéléré sur la ligne totale ]}C demandera un temps plus 
long que le mouvement imaginaire composé de mouvements uni- 
formes avec les vitesses correspondant aux premiers points des 
espaces RO, OV, VX, XC. 

Ainsi le temps du mouvement accéléré sur AR est moindre que le 
temps du mouvement imaginaire sur AR, et au contraire le temps du 
mouvement accéléré sur RC est })lus grand que le temps du mouve- 
ment imaginaire sur RC; donc le rapport des temps des mouvements 
accélérés sur AR et RC est moindre que le rapport des temps des mou- 
vements imaginaires sur les mêmes lignes AR et RC. Mais le premier 
de ces deux rapports a éti' supposé égal à celui des droites Z:RK; le 
second a été démontré égal ii celui des droites NI' ; RF. Donc 

Z:I!F<N1' :1{1', 

ce qui est ahsurde, puisque Z > NF. 

Donc le temps du mouvement accéléré sur AR n'est pas plus grand 
((ue celui du mouvement a::céléré sur RC. On démontrera avec la 
môme facilité que le temps du mouvement accéléré sur AR n'est pas 
plus petit que celui du mouvement accéléré sur RC. 

Supposons-le en effet plus petit s'il est possible; le rapport des 
temps des mouvements accélérés sur AR et RC sera donc égal à celui 
d'une droite inférieure à RF et de RF. Soit G cette droite inférieure à 
RF, et par suite : Temps AR : Temps RC : : G : RF. 

Entre RF et CF intercalons une série de moyennes proportionnelles 



[273,274] TRADUCTION DES PIÈGES LATINES. 307 

dont la plus grande OF soit plus grand(î que; G. En employant le 
même raisonnement que dans la première partie de la démonstration, 
et en comparant les espaces sur AB entre les extrémités des moyennes 
avec les espaces analogues BO, OV, VX, XC, en changeant toutefois 
ios-vitesses uniformes, et en supposant, par exemple, que le mouve- 
ment sur AR se fasse avec le degré de vitesse acquis en A; que le mou- 
vement sur BO se fasse avec la vitesse acquise en 0, et de même pour 
les autres espaces; il est clair que toutes les vitesses sur AB seront 
augmentées par la substitution des mouvements uniformes, tandis 
que sur BC elles seront diminuées, contrairement ii ce qui avait lien 
d'après les suppositions de la première partie de la démonstration. On 
conclura dès lors que le rapport des temps des mouvements uniformes 
sur AR et BO est égal à celui de RF h AF, puisque, si les vitesses aug- 
mentent, les temps diminuent. 

De même, pour les mouvements uniformes : 

TempsHM : TempsOV : : M F : MI{, 

et enfin le rapport des temps des mouvements imaginaires composés 
de mouvements uniformes sur AB et BC sera égal au rapport RF : Al', 
puisque tous les rapports des temps partiels sont égaux à ce même 
rajyjort, qui vaut d'ailleurs OF:BF, d'après la première proposition. 

Mais sur AB le temps du mouvement accéléré est plus grand que le 
temps du mouvement imaginaire composé de mouvements uniformes, 
puisque nous avons supposé (jue, dans ces mouvements uniformes, 
les vitesses sont augmentées (on a pris en elTet celles (|ui répondent 
aux premiers points des espaces AR, RM, etc.); au contraire, sur BC le 
temps du mouvement accéléré est moindre que le temps du mouve- 
ment imaginaire composé de mouvements uniformes, les vitesses dans 
ce cas étant diminuées et répondant aux derniers points des espaces 
BO, OV, etc. 

Donc le rapport du temps des mouvements accélérés sur AB et BC 
est supérieur au rapport des temps des mouvements imaginaires sur 
les mêmes droites AB et BC. Mais le premier de ces deux rapports est 



308 (EUVRES J)E FERMAT. [m, î'^i 

supposé égal au rapport G: BF; le socoud a été démontré égal au rap- 
port OF : BF; donc G : BF > OF : BF, ce qui est absurde, puisque 
(î <^ OF, par construiMion. 

Par conséquent, le temps du mouvement accéléré sur AB n'est pas 
inférieur au temps du mouvement accéléré sur BC; mais nous avons 
prouvé qu'il n'est pas non plus supérieur; donc ces deux temps sont 
égaux. 

Par la même raison, il est clair que le temps du mouvement accéléré 
sur CD est é^al à celui du mouvement accéléré, soit sur AB, soit sur 
BC, et, en continuant indéfiniment le même raisonnement, que tous 
les espaces sans exception sont parcourus en des temps égaux. 

5. (]ela établi, une troisième proposition va révéler la pensée de 
Galilée ou montrer la vérité de son alfirmation. 

Imaginons le mouvement d'un grave tombant du point A, où il est 
en repos, jusqu'en H (/îg- 8i), par exemple, et supposons, s'il est ])os- 

Fig. 8.. 
B C D R F G n 



sible, que la vitesse de cbute s'accélère en raison de l'espace déjà par- 
couru. Admettons que le mouvement de A à H ait demandé une mi- 
nute ou tout autre temps déterminé, et supposons que le mouvement 
se continue de H en K; je dis que le mouvement sur HK se fera en un 
instant. 

Si, en elTet. il ne se fait pas en un instant, il demandera un certain 
temjjs déterminé, qui pourra être multiplié par un nombre tel que le 
produit dépasse le temps employé pour parcourir AH. Supposons que 
ce multiplicateur soit 5, c'est-;j-dire que 5 fois le temps du mouve- 
ment sur HK fasse plus que le temps du mouvement sur AH. 

Prenez GA troisième proportionnelle aux droites KA, HA et conti- 
nuez la série des proportionnelles suivant la même raison jusqu'à ce 
que le nombre des espaces entre leurs extrémités surpasse ri; soient 



[•27.-., Î7G, Î82] THAÏ) UCT ION DES PIECES LATINES. 300 

par exemple au delà du point II six espaces donnés par celte progres- 
sion continue, HG, GF, ¥E, ED, DC, CH. 

(]ommc on vient de le démontrer, le temps du mouvement sur H(j 
est égal au temps du mouvement sur HK; il en est de même du mou- 
vement sur GF, etc. Donc le temps du mouvement sur HB sera six fois 
le temps du mouvement sur HK; mais cinq fois le temps du mou- 
vement sur HK fait plus que Je temps du mouvement sur AH; donc, 
a fortiori, le temps du mouvement sur HB dépasse le temps du mou- 
vement sur HA, ce (|ui est absurde. 

Donc l'assertion de Galilée est vraie, quoiqu'il ne l'ait pas démon- 
trée. 

6. Je vous ai écrit, illustre Gassend, en termes brefs et familiers, 
voulant seulement vous éviter de nouvelles difficultés de la part de 
Cazré ou de tout autre adversaire de Galilée; on en viendrait ainsi à 
des volumes sans fin, alors qu'une seule démonstration peut, de 
l'aveu même des auteurs, renverser leur travail ou le rendre inutile 
et superflu. 

N° 67. 

(Lellre do Fermât à Aiizoul"? i6iS.) 

Faire toujours disparaître les irrationelles dans les équations algé- 
briques est une opération diflîcile et qui jusqu'à présent n'a pas été 
sufllsamment travaillée par les analystes. 

Supposons, par exemple, plus de (|uatre radicaux dans une équa- 
tion dont il faille faire disparaître les irrationelles suivant les règles 
de l'art. L'analyste ne ])ourra guère se tirer d'embarras; |>lus il pous- 
sera ses calculs, plus la difficulté augmentera, jusqu'à ce (jue, fatigué 
de répéter sans fin les opérations, il reconnaisse qu'il n'a rien changé. 
L'Analyse doit-elle s'arrêter à cet obstacle et se laisser ainsi imposei- 
silence par les irrationelles? H faut que les savants étudient cette 
question et découvrent une méthode satisfaisante. 



:M0 œuvres de FERMAT. [2S3, 28i, 293] 

Soit proposé par exemple : 

\lbn — a'-+ ^=2-1- da -t- a'- -¥- \J ma -Y- \Jd- — a- — \/ra + a- ^= h -h a . 

Que l'analyste opère sur cette équation suivant les règles de l'arl el 
qu'il se débarrasse des radicaux, ou bien qu'il reconnaisse l'insulli- 
sancc des règles. 

N" 68. 

(Lcltrc (lo Fermât à Carcavi, du 20 aoiil iGJo.) 

2. Soit quatre termes irrationcls homogènes, dont la somme soit, 
tians le cas proposé, égalée à une droite, suivant ré(|uation 

'{/:■■ a — n-'-i- (//>'• — d-On -+- a' -h \J ba — n-+ \/a''' — h' a z= h -h a — c. 

On demande la tangente en un point donné de la courbe dont celte 
è(]nation [en a et c] représente la propriété spécifique. 

N" 70. 

(LcUrc de Pascal à Formai, du ■>t> jiiillel i03i.) 

4. Soit un nombre quelconque de lettres, par exemple les huit A. 
H, {], 1), E, F, G, H; formez-en toutes les combinaisons 4 à 4, .'5 à 5, 
() à 6, jusqu'à celle des 8. Je dis que, si l'on ajoute à la moitié dn 
nombre des combinaisons 4 à 4 (savoir 3 ^ moitié de 70) le nombre 
d(-s combinaisons .) à 5 (qui est 5G), celui des combinaisons G à G 
( (]ui est 28), celui des combinaisons 7 à 7 (qui est 8), enfin celui des 
combinaisons 8 à 8 (c'est-à-dire i), on a le quatrième terme de la pro- 
gression géométrique commençant à 2 et ayant 4 pour raison ; je dis 
1(! (|uatrièmc, parce que 4 est la moitié de 8. 

l.es termes de cette progression géométrique, commençant à -2 el 
ayant 4 pour raison, sont en effet: 2, 8, 32, 128, 012, etc. Le 1"' est 
2, le 2^ est 3, le 3* est 32 et le 4'' "^st 1 28 ; or 

laS =: 3 j + 5G + 28 + 8 + I ; 

ce terme est ainsi la somme des nombres des combinaisons de 4. 5, G, 
7 et 8 lettres. 



i:%, 21)7, 333] TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. :jll 

8. ... r.,a (.Unéronco tic deux cubes consécutifs quclcon(|ues, diiiii- 
iiuéo (le l'uuité, est égale au sextuple de la somme des uouibrcs ju^- 
(|u'à la racine du [)lus petit cube inclusivement. 

Soient R et S les deux racines, qui diiïèrent d'une unité; je dis que 
|{' _ S' — I est égale au sextuple de la somme des nombres depuis i 
jusqu'à S. 

Soit S = a, et par suite R = a + i, 

11' ou (rt 4- i)^= rt'-(- 3a-+ 3rt + i ' Cl S' ou «'=«•'. 
La diirérence R' — S'= '>a- 4- 3a -f- i\ et en retranchant l'unité, 

Mais, d'après le Icmmc, le double de la somme des nombres depuis 
I jusqu'à S ou a est a{a -+- i) ou a'- -I- a. Donc 3a'- -+- 3a sera le sex- 
tuple de celte somme. 

Or 3a- 4- 3rt = K' - S' - i ; donc R-' - S' - i est le sextuple de la 
somme des nombres depuis i juscju'à S ou a. c. o. v. n. 

N" 79. 
l'ur.MiF.r, i)i,ri aux M.\riii:M.VTir,u;NS, ' 

3 JANVIER 1657. 

H. Proposez, si vous le voulez bien, à Wallis et aux autres mallié- 
niaticiens anglais, la (juestion numérique suivante : 

1. Trouver un cube qui, ajouté à la somme de ses parties ali([U()tes 
fasse un cube. 

2. Par exemple, 343 = 7 '. Les parties aliquotes de ce nombre sont : 
1 , 7, l;); si l'on ajoute 3/(3 à leur somme, on a /|Oo = 20-. On demande 
un autre cube ayant la même propriété. 

3. On demande aussi un nombre carré (jui, ajouté à la somme de 
ses parties aliquotes, fasse un cube. 



M-l ŒUVRES DE FERMAT. [33!, 3:^0 ) 

J'attends la solution <le ces questions; si elle n'est fournie ni par 
l'Angleterre, ni par la Gaule Belgique ou Celtique» elle le sera par la 
Narhonnaise, qui l'offrira à Sir Digby et la lui dédiera en gage d'une 
amitié naissante. 

N" 81. 

SECOKD DÉFI AUX MATHÉMATICIENS, 

rEvitiEK IGûT. 

Il est à peine quelqu'un (|ui propose des questions purement arith- 
métiques, il est à peine quelqu'un (|ui sache les résoudre. Est-ce 
parce que l'Arithmétique a plutôt été traitée jusqu'à présent au 
moyen de la Géométrie que par elle-même? C'est la tendance qui 
apparaît dans la plupart des Ouvrages tant anciens que modernes, 
et dans Diophante lui-même. Car s'il s'est écarté de la Géométrie un 
peu plus que les autres en astreignant son analyse à ne considérer 
(|ue des nombres rationels, il ne s'en est pas dégagé tout à fait, 
comme le prouvent surabondamment les Zélétiques de Viète, dans 
lesquelles la méthode de Diophante est étendue i» la quantité con- 
tinue, et par suite à la Géométrie. 

Cependant l'Arithmétique a un domaine qui lui est propre, la 
(héorie des nombres entiers; cette théorie n'a été que très légère- 
ment ébauchée par Euclide et n'a pas été assez cultivée par ses suc- 
cesseurs (à moins qu'elle n'ait été renfermée dans ces livres de Dio- 
phante, dont l'injure du temps nous a privés); les arithméticiens 
ont donc à la développer ou à la renouveler. 

Pour éclairer leur marche, je leur propose de démontrer comme 
théorème ou de résoudre comme problème l'énoncé suivant; s'ils y 
parviennent, ils reconnaîtront au moins que des questions de ce 
genre ne le cèdent ni pour la subtilité, ni pour la difficulté, ni 
pour le mode de démonstration, aux plus célèbres de la Géométrie : 

Etant donné un nombre non carré quelconque, il y a une infinité 
de carrés déterminés tels qu'en ajoutant l'unité au produit de l'un 
d'eux par le nombre donné, on ait un carré. 



|:i35, 34'i, 34G] T R A I) U CTl ON D E S P 1 ÈCES L AT INES. 313 

Par exemple, on donne 3, nombre non carré, 

3 X i^-i- r= 4 (carré), 
3 X i6 -4- I = 49 (carré). 

Au lieu des carrés i et iG, on peut trouver une infinité d'autres 
carrés satisfaisant h la condition proposée, mais je demande une 
ri-gle générale, s'appli({uant à tout nombre non carré quelconque 
([ui peut être donné. 

On demande par exemple un carré, tel qu'en ajoutant l'unité à son 
produit par 149 ou par 109 ou par 433, etc., on ait un carré. 

N° 84. 

(LeUi'C de Fermai à Digby, du i5 aoilt 1657.) 

4. Un nombre, somme de deux cubes, étant donné, le partager eu 
deux autres cubes. 

Ce problème n'a été résolu par Diophante que pour les carrés; il ne 
l'a pas essayé pour les cubes, au moins dans les livres qui nous 
restent de son grand Ouvrage. 

Par exemple, je propose le nombre 28, somme des deux cubes 
I et 27. 

Il s'agit de partager ce nombre 28 en deux autres cubes rationels et 
de donner la solution générale de ce problème. 

8. Diophante a proposé de partager un nombre carré en deux car- 
rés, et de même, étant donné un nombre, somme de deux carrés, de 
le partager en deux autres carrés. 

Mais ni lui ni Viète n'ont essayé d'élever la question jusqu'aux 
cubes; pourquoi hésiter ou différer de traiter une proposition pour 
laquelle l'honneur de la solution a été réservé aux analystes mo- 
dernes? 

Je propose donc de « partager un nombre cube en deux cubes 
rationels »; de même : « Étant donné un nombre, somme de deux 
KtRMAT. — in. 4o 



:$l'i. (l'UVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [340, W2, IDij 

ciihcs, le partager en deux autres cubes rationels », et je 'voudrais 
savoir ce qu'où pense de ce problème en Angleterre et en Hollande. 

N" 96. 

( LclU-c (ic! Fermai ù Oigliy, juin lOiS.) 

1. Que les très illustres S"^* Vicomte Brouncker et Jolin Wallis aient 
enlin donné des solutions légitimes des questions numériques que 
j'avais proposées, je le reconnais volontiers; bien plus, j'en suis très 
beureux. Cependant, si vos éminents correspondants n'ont pas voulu 
avouer (]ue les questions proposées les aient jamais embarrassés, 
môme un seul moment, j'aurais désiré qu'au contraire ils aient bien 
voulu reconnaître de prime abord que ces problèmes étaient dignes 
d'être étudiés en Angleterre; leur triomphe eut été d'autant plus 
éclalant que la lutte eut paru plus dilficile. On peut faire cette conces- 
sion il la fierté d'une nation aussi illustre et aussi féconde en grands 
génies; mais pour agir désormais en toute franchise, si les Fran(;ais 
avouent que les Anglais ont satisfait aux questions proposées, que 
les Anglais à leur tour reconnaissent que ces questions valaient bien 
la peine de leur être proposées, et qu'ils ne dédaignent plus d'exa- 
miner attentivement et de pénétrer la nature des nombres entiers, 
([u'enfin ils appliquent la puissance et la subtilité de leur esprit à de 
nouveaux progrès dans cette théorie. 

2. Pour qu'ils me l'accordent plus volontiers, je leur proposerai 
un exemple tiré de Diophante et de son célèbre commentateur 
Rachct. 

Dans la plupart des questions des Livres IV et V, Diophante sup- 
pose que tout nombre entier est ou bien carré ou bien somme de 
deux, de trois ou de quatre carrés. Dans son commentaire sur le pro- 
blème IV, 31, Bachet avoue qu'il n'est pas parvenu à démontrer com- 
plètement cette proposition. René Descartes lui-même, dans uni- 
lettre qui sera prochainement publiée et dont j'ai eu récemment con- 



[403,'iOil TRADUCTION DES PIÈCES LATINES. :il.i 

naissance, avoue ingénuemcnt qu'il ignore la démonstration et déclare 
i|iic le chemin pour y parvenir lui paraît des plus difficiles et des plus 
embarrassés. Je ne vois donc pas que l'on puisse douter de rim|)ur- 
lancedc cette proposition. Or j'annonce ii vos éminents correspondants 
(|Me j'en ai trouvé une démonstration complète. 

Je pourrais ajouter nombre de propositions très célèbres dont je 
possède également la preuve irréfutable; par exemple : 

Tout nombre premier, de la forme 4« + i, est somme de deux car- 
rés; ainsi 5, i3, 17, 29, 37, ^i, etc. 

Tout nombre premier, de la forme 3^ -f- r, est somme d'un carré 
et du triple d'un autre carré; ainsi 7, i3, 19, 3i, 37, 43, etc. 

Tout nombre premier, de la forme Sn -+- i ou S/i ■+- 3, est somme 
d'un carré et du double d'un autre carré; ainsi 3, 11, 17, 19, /ji, 
43, etc. 

Quant à la proposition de Bachet ci-dessus, je l'ai proposée autre- 
fois généralisée à M. de Sainte-Croix, et j'ai également la démonstra- 
tion pour cette extension que voici : 

Tout nombre entier est soit triangle, soit somme de 2 ou 3 triangles ; 
soit carré, soit somme de 2, 3 ou 4 carrés; soit pentagone, soil 
somme de 2, 3, 4 ou 5 pentagones; soit hexagone, soit somme de 2, 
3, 4. 5 ou G hexagones; et ainsi de suite en continuant indéfini- 
ment. 

3. Tous ces théorèmes que j'ai découverts comme une infinité 
d'autres concernant les nombres entiers, et dont je possède des dé- 
monstrations générales, je pourrais les proposer à vos éminents cor- 
resîpondants et leur créer ainsi au moins quelque occupation. Mais il 
sera plus dans la franchise de ma nation do leur soumettre au con- 
traire des énoncés dont j'avouerai que j'ignore la démonstration, quoi- 
que je sois persuadé de leur vérité. 

On sait qu'Archimède n'a pas dédaigné de travailler sur des propo- 
sitions de Conon qui étaient vraies, mais non prouvées, et qu'il a su 
les munir de démonstrations d'une haute subtilité. Pourquoi n'espère- 



316 OEUVRES DE FERMAT. - COHRESPONDANCE. ['m, m] 

r;iis-jo pas un seniblal>Ic secours de vos éminents correspondants, 
[tourquoi, Conon français, ne trouverais-je pas des Archimèdes 
anglais? 

I" Toutes les puissances du nombre 2, ayant pour exposant un des 
(erines de la progression géométrique suivant la raison du même 
nombre 2, donnent des nombres premiers, si on leur ajoute l'unité. 

Soit la progression géométrique suivant la raison 2, avec ses expo- 
sants : 

12 3 4 5 7 8 ■ 

9.. 4. 8. iG. 32. 6ft. 128. 2,56. 

r^e premier terme 2, augmenté de l'unité, fait 3, nombre premier. 

Le second terme 4. augmenté de l'unité, fait 5, nombre premier. 

Le quatrième terme iG, augmenté de l'unité, fait 17, nombre 
{)remier. 

Le liuitième terme 256, augmenté de l'unité, fait 207, nombre 
premier. 

Prenez en général toutes les puissances de 2, dont l'exposant est 
un ternie de la progression, il en sera de même. Ainsi, le seizième est 
()5 536; ajoutant i, on. a 65 53^, qui est premier. De cette façon, on 
peut déterminer et calculer sans dilRculté un nombre premier plus 
grand (|ue tout nombre donné. 

Je demande une démonstration de cette proposition, qui est certai- 
nement très belle, que je crois très vraie, et grâce à laquelle on peut, 
comme je viens de le dire, résoudre immédiatement un problème 
autrement très difficile, savoir : étant donné un nombre quelconque, 
trouver un nombre premier qui soit plus grand. Et cela donnera peut- 
être à vos éminents correspondants la clef pour pénétrer tout le mys- 
tère des nombres premiers, c'est-à-dire étant donné un nombre quel- 
conque, reconnaître, par la voie la plus facile et la plus courte, s'il 
est premier ou composé. 

2" Le double de tout nombre premier, de la forme 8« — r, est 
somme de trois carrés. 

Soit un nombre premier quelconque de la forme 8« — i, comme 7, 



[505,4001 TRADUCTION DES PIECES LATINES. 317 

23, 3i, 47. etc.; je dis que chacun des doubles i4, 4^. G2, 94, est 
somme de trois carrés. 

J'alFirmc que cette proposition est vraie, mais seulement à la façon 
de Conon, attendant qu'un Archimède la démontre. 

3" Si l'on fait le produit de deux nombres premiers, terminés par 
3 ou par 7, et de la forme t\n -+- 3, ce produit sera la somme d'un carré 
et du quintuple d'un autre carré. 

• Tels sont les nombres 3, 7, 23, 43, 4?. <J7. etc. Prenez-en deux, par 
exemple 7 et 23; leur produit iGi est la somme d'un carré et ducjuin- 
tuple d'un autre carré. En elTct iGi = 81 -t- 5 x 16. 

Je dis que cette proposition est vraie en général et j'attends seule- 
ment la démonstration. D'ailleurs le carré de chacun de ces nombres 
est également somme d'un carré et du quintuple d'un autre carré, ce 
que je propose également de démontrer. 

4. Pour ne pas paraître trop pauvre en démonstrations, j'ajouterai 
une proposition que je puis prouver : 

11 n'y a aucun nombre triangle, sauf l'unité, qui soit un bicarré. 

Tout le monde sait que les triangles sont : i, 3, 10, i5, 21, 28, 3G, 
45, etc. 

11 n'y a absolument dans toute cette série, indéfiniment prolongée, 
aucun bicarré, sauf l'unité. 

5. Enfin, pour ne pas paraître me réfugier dans les nombres faute 
de propositions géométriques, en voici quelques-unes, qui ne rougi- 
ront pas de se montrer en Angleterre. Les deux premières sont tirées 
de ma restitution des porismes d'Euclide. 

Soit sur le diamètre AB {fig. 90) le demi-cercb; ANB; prenez en N 
le milieu de la demi-circonférence ANB, joignez NA, NB, et élevez en 
.\, B les perpendiculaires AD, BC, égales à AN ou NB. Prenez sur la 
demi-circonférence un point quelconque E, joignez DE, EG, qui cou- 
peront le diamètre aux points et V. Je dis que dans ce cas on aura 
AV- -I- BO- = AB^ 



318 ŒUVRES UE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [4(i(i, 407) 

Dans mon Traité, j'ai énoncé ce théori'mc ou problème sous une 
(orme plus générale, mais, pour le moment, il suffit de ce cas parti- 
culier. 




Soient une parabole quelconque AMC {fig- 91), A, B deux points 
([uelconques pris sur cette parabole, MN un diamètre quelconque. 
Prenez sur la parabole un autre point quelconque C et joignez-le à A 
l'I H. Vous couperez ainsi le diamètre toujours dans le même rapport. 




C-ar si vous prenez un autre point quelconque, tel (jue D, vous aurez 
MO : OV:: Ml : IN; les segments interceptés sur le diamètre seront 
toujours dans le même rapport. 

Voilà des propositions que j'ai découvertes et démontrées et (jue 
j'offre en échange du théorème sur le tronc de cône oblique. 



6. Mais je n'hésite pas au reste à proposer aussi en cette 'matière 
aux Anglais des questions que je n'ai pas encore complètement ré- 
solues. 

I']|ant donnés des points, des droites et des cercles, trouver une 



I 107, 408, 4'.ci TKADUCTION DES PIECES F.ATINES. :U!) 

parabole ({ui passe par les points tloniiés el louche les droiles ou les 
eereles don nés. 

il sullitde quatre données. Parexcmple : Etant donnés deux points, 
une droite et un cercle, trouver une parabole qui passe par les points 
donnés et soit tangente à la droite et au cercle donnés. Il y a en toul 
quinze problèmes. 

Je propose la même chose pour les ellipses ou les hyperboles; mais, 
dans ce cas, il faut cinq données, points, droites ou cercles : ce <fui 
lait en tout 21 problèmes. 

Dans mon Traiié des conlacls spliéri(jues, j'ai autrefois traité les pro- 
bliimes analogues pour la sphère et notamment résolu avec bonheur 
l.i question suivante : Étant données quatre sphères, en trouver une 
cinquième qui soit tangente aux quatre sphères dor>nées. 

Vous pourrez trouver ce Traité complet chez M. de Carcavi. 

.l'inviterai enfin vos éminents correspondants à mettre de coté tant 
soit peu les formules de l'Analyse et ;> traiter les probli^mes de Géo- 
métrie par la méthode d'Euclide et d'Apollonius, car il est à désirer 
que l'on ne voie pas se perdre peu à peu, dans les constructions et les 
•démonstrations, cette élégance à laquelle visaient surtout les anciens, 
comme le prouvent assez les Données d'Euclide et les autres livres 
d'Analyse énumérés par Pappus, livres dont j'ai jadis complété la res- 
titution en ajoutant aux travaux de Viète, de Ghctaldi et de Snellius 
mes Traités des lieux plans, des lieux solides et de ligne, des lieux en 
surface et des porismes, Traités que M. de Carcavi a également tous 
entre les mains. 

N" 106. 

(Lettre (Je Fermât à Carcavi, juin 1660.) 

1. En supposant la quadrature de l'hyperbole, on peut obtenir un 
cercle de surface équivalente à la surface courbe engendrée par la 
rotation d'une parabole autour d'une ordonnée. 

Soit donnée la parabole AD {fig. qS) ayant AE pour axe, DE pour 
ordonnée ou demi-base, ABC pour coté droit. On demande de con- 



320 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [440,447] 

slruire un cercle donl la surface soit équivalente à celle de la surface 
courbe du solide engendré par la rotation de la figure ADE autour de 

l'ordonnée DE. 

Fig. 95. 

ABC 



Prenez en B la moitié du côté droit AC, prolongez l'axe AE d'une 
droite EF égale à AB ou à la moitié du côté droit, et joignez DF. Con- 
struisez à part {fig. 96) une droite IQ égale à l'axe AE et prenez-en 
le double IR. Faites FE ou AB : DF :: QI : QH, et par le point H 



yG. 




inonez HG perpendic+daire à HIR et égale à DE. Décrivez une hyper- 
bole IG ayant I pour sommet, IR pour axe transverse, Q pour centre et 
passant par le point G. Décrivez également à part une autre hyper- 
bole ayant pour axe transversc MN égale au quart du côté droit de la 



[l'IX] 



TKADUCTION l)l<:S l'IKCKS LAIINKS. 



■■il\ 



[laraltolc (c'csl-ii-ilirc ((iic .MN = |A(]), pour centre V, cl pour colc 
(lroi( OVI' égale à l'axe Iraiisvorsc. Soient iMK celte hyperbole, M son 
sommet, ML son a\e (|n'on [)rolongera jns([irii ce (|n'il soit égal ii l'axe 
X\\ (le la parabole, enlin LK la [)erpen(licnlaire on ordonnée en L. 
(Construisez un carré égal ;i l'excès du rectangle OH X H(i sur la 
somme des deux aires hyperboli(|ues lOlI, MKL, dont on sup[)Ose la 
quadriiture. La diagonale de ce carré sera le rayon du cercle é((uiva- 
lent à la surface courbe dont nous cherchons la mesure. 



2. Soit la cycloidc primaire ANIF (.Ao- 97) à'nxc AD, de demi- 
base L)K. (Ciinstruisez ii l'intérieur ou à l'extérieur d'autres courbes 
telles que leurs ordonnées soient dans un rapport constant av(M- celle 
de la cveloïde. 




Par exemple, GFI), HIC, .MNB étant des ordonnées de la courbe 
extérieure AMIKj, je suppose que le rapport (11) : DF est donné et que 
l'on a GD ; DF ;: IKC : Cl : : MB : UN. De luème pour la courbe inté- 
rieure AUOK, je suppose donné le rapport FD : DE avec l'égalité des 
ra|)ports FU : DE : : IC : CO : : NB : RB. 

.le dis (|ue les arcs des courbes extérieures, comme AMHG, sont tou- 
jours égaux à la somme d'une droite et d'un arc de cercle; que les 
arcs des courbes intérieures, comme AROE, sont toujours égaux ii 
des arcs de paraboles primaires ou d'Archimède. 

Je vous commnniquerai, dés que vous le désirerez, l'énoncé du 
théorème général et sa démonstration. 



I'I,RMAT. 



UI. 



Al 



TKADUCTION 

IIK 

L'INVENTTJM XOVUM 

Dr l'ùiK Jachijks ih: 151 LLV. 



NOUVELLES DÉCOUVERTES 



LA SCIENCE DE L'ANALYSE, 

recueillies pau le névéueni) père jacques de billy, 

pkRtre ue i.a société de Jésus, 

dans les diverses lettres qui lui ont été envoyées, a différentes époques, 

par monsieur pierre de fermat, 

conseiller au parlement de toulouse. 



Savant lkcteur, 

Il sulTît qu'en UHc do cet Ouvrage apparaisse le nom de Formai, 
pour que vous atlondiez quelque chose de grand; un tel homme n'a 
rien pu imaginer qui soit petit, rien même qui soit médiocre; son 
esprit était illuminé de tant de clartés qu'il ne souffrait rien d'ohscur; 
vous eussiez dit un soleil qui on un instant dissipe les ténèbres, et 
dont les rayons innombrables portent une éclatante lumière au siùn 
même des abîmes, .lusqu'ii présent Diophanlc a provoqué, et cela à 
juste (itre, une admiration universelle; mais, pour grand qu'il soil, rv 
n'est (|u'nii pygmée par rapport ii notre géant, qui a accompli le tour 
immonsi^ du monde mathématique et parcouru de nouvelles régions 
inconnues ;i tout autre; Viote a été célébré par tous ceux qui, pendant 
notre siècle, se sont occupés des opérations algébriques, et pour la 
renommée de quelqu'un il suffit qu'on puisse dire de lui que, dans 
l'Analvse, il a [lénétré la pensée de cet auteur; Viète cependant n'a 
pas atteint le sommet de la Science, comme le montreront les nom- 
breux exemples développés ci-après; si Claude-Gaspar Bachet n'avait 
pas été pour moi un intime ami, je n'en aurais pas moins une con- 



:J26 ŒUVRES DE FERMAT. 

slaiilc admiration pour la singulière subtilité de son analyse; ses tra- 
vaux sur Diophante montrent assez clairement jusqu'à quel point sa 
vue était pénétrante dans les questions numériques; cependant elle 
est encore faible si on la compare à celle de notre Linceo, qui lui dé- 
voile ce qu'il y a de plus abstrus. 

Mais pour ne pas recommander par son nom seul ce petit Traité, je 
veux dès maintenant dire en quelques mots quelles récentes décou- 
vertes lui sont dues et quelle en est la portée. En premier lieu, il y a 
certaines équations doubles diiriciles pour lesquelles les analystes 
n'ont pu jusqu'à présent trouver qu'une solution unique; lîacliet lui- 
même alfirme qu'on ne peut en trouver deux, tandis que Fermât va en 
donner tout à l'heure une infinité, sans être arrêté par les nombres 
Taux et plus petits que zéro qui se présentent souvent dans les calculs 
de ce genre; il les soumettra en elTet à un subtil traitement qui les 
réduit immédiatement à des nombres vrais. En second lieu, personne, 
(|ue je sache, n'a encore résolu d'équation triple, à moins de l'avoir 
d'avance formée artificiellement et combinée de telle sorte que la solu- 
tion en apparaisse immédiatement, même aux yeux dcs-novices; Fer- 
mat a trouvé une méthode singulière pour résoudre les équations arbi- 
trairement proposées de ce genre, en exceptant un seul cas ((ue nous 
indiquerons ci-après. En troisième lieu, qui jamais a donné autant de 
solutions que l'on veut pour les expressions composées de cinq teinies 
de degrés successifs? Qui, des racines primitives, a su en tirer de déri- 
vées du premier ordre, du second, du troisième, et ainsi de suite 
iiuléfiniment? Personne sans doute; à Fermât seul appartient cette 
découverte. Il n'a pas puisé ces inventions dans les ouvrages d'autrui, 
comme ont coutume de le faire certains arrangeurs, il les a tirées de 
son propre fonds, élaborées lui seul; et puisqu'il m'a fait l'amitié de 
me les communiquer dans ses lettres, je crois devoir les livrer à l'im- 
pression, en commençant par reproduire textuellement, pour ne dé- 
vier en rien de sa pensée, un abrégé de toute sa méthode, auquel il a 
donné pour titre : Appendice à la Dissetiation de Claude-Gaspar litic/iri 
sur les doubles équalions de Diophante. Voici ses propres paroles : 



TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 327 

« Le subtil et savant analyste Bachet a distingué assez heureuse- 
ment, à propos de la question YI, 24 de Diophanle, les divers modes 
et cas de l'équation double; cependant il n'a jtas moissonné tout le 
(■hamp ouvert devant lui; en elFet, rien n'empêche de donner des solu- 
tions en nombre indéfini pour les problèmes auxquels il n'en trouve 
(ju'une ou deux tout au plus. Bien plus, il est aisé d'accomplir ce pro- 
grès et d'obtenir ce résultat par une opération facile. 

» Soit proposé le sixième mode qu'il détaille assez j)rolixemonl 
pages 4^9 ot l\l\o; tous les cas qu'il a énumérés ('), grâce au pro- 
cédé que je vais indiquer, sont susceptibles d'une infinité de solu- 
tions qui dérivent successivement de la première, si l'on réitère indé- 
finiment la même analyse. 

» Voici ce procédé : Cherchez la solution de la question proposée, 
selon la méthode ordinaire, c'est-à-dire celle de Bachet ou de Dio- 
phante; ayant ainsi obtenu une valeur numérique de l'inconnue, re- 
commencez l'analyse, en prenant, pour valeur de la nouvelle inconnue, 
.r plus le nombre trouvé précédemment comme solution. Le problème 
se trouvera ainsi ramené à une nouvelle équation double dans laquelle 
les termes indépendants de x se trouveront carrés, en vertu de l'emploi 
de la premii're solution; par suite la diiïérence entre les deux expres- 
sions se trouvera composée seulement de termes en x- et en x, c'est- 
à-dire de degrés consécutifs; cette nouvelle équation double pourra 
donc se résoudre d'après la méthode de Diophante ou de Bachet. La 
seconde solution ainsi obtenue permettra, par le mémo artifice, d'en 
calculer une troisième, celle-ci une quatrième, et ainsi de suite indé- 
finiment. 

» Cette remarque, qui a échappé à Diophante, à Bachet et même à 
Viète, comble la plus grave lacune que présente actuellement l'ana- 
lyse de ces questions. IMais le principal intérêt de ma découverte res- 



(') Le sixième mode de Baciiel correspond à l'ensemble des diiïérents cas pour lesquels 
il obtient une solution do l'équation double sous sa forme générale : 

ax'^-\- bx -i- c = ^, a'x2-i- i'x -t-c'= □ . 



328 ŒUVRES DE FERMAT. 

sort surtout dans les problèmes, pour lesquels la première analyse 
donne, comme valeur de l'inconnue, un nombre affecté du signe — , 
et qu'il faut par suite regarder comme plus petit que zéro. Ma méthode 
s'applique en elTet dans ce cas, non seulement aux problèmes qui se 
traitent par des équations doui)ies, mais à tous en général, comme on 
peut le reconnaître à l'essai. 

» Voici la façon d'opérer : Cherchez, suivant le procédé ordinaire, 
{voir \Migc ■2-] i , lignes GàiG) une solution eu nombres vrais. » Ici 
s'arrête cet Appendice de Fermât. 

Voici maintenant la matière de mon petit Traité; il est divisé en 
trois Parties : la première concerne les solutions en nombre indéfini 
des doubles équations, solutions qui peuvent d'ailleurs se présenter, 
soit avec le signe -t-, soit avec le signe — ; la seconde Partie s'élève 
aux triples équations et révélera des secrets dont jusqu'à présent on 
n'a rien soupçonné; la troisième enfin aborde le probli;me de -rendre 
égale à un carré une expression formée de cinq ou quatre termes, et 
donne le moyen d'obtenir des racines en nombre indéfini, (jui déri- 
vent successivement des primitives. 



PREMIERE PARTIE. 

BES SOLUTIONS EN' NOJUUIE IXDÉEIM DANS LES DOUBLES ÉOUATIONS. 

1. U convient tout d'abord de rappeler brièvement la méthode ordi- 
naire pour traiter une double équation. Voici en quoi consiste cette 
méthode : On prend la différence des deux expressions qui doivent 
séparément être égalées à un carré; on choisit deux facteurs dont le 
produit forme cette différence, puis on égale soit à la plus grande 
expression le carré de la demi-somme des facteurs, soit à la plus petite 
expression le carré de la demi-différence des facteurs; on obtient ainsi 
la valeur de la racine qui, substituée à l'inconnue dans chacune des 
deux expressions, donnera des nombres carrés. Je vais donner des 



TUADUCTION J)E LIN VENT U M NO VU M. 32!t 

oxcmpli's pour (rois cas seulement, les autres pouvant être aisément 
ramenés à ceux-là. 

2. Premier cas : Les expressions à égaler à un carré sont composées 
seulement d'un terme en x et d'un terme indépendant, comme les 
deux suivantes : 

2.1- -I- 12 = n, 2.r-t-5 = G. 

La dilTérence de ces deux expressions est 7 = 7 x i; la somme des 
fleux facteurs est 8, et le carré de la demi-somme est id. J'égale donc 
i() = 2a;-»- I 2, d'où 2pour la valeur de a: dans cha()ue expression. Autre- 
ment la différence des mêmes facteurs est G, le carré de la demi-dille- 
rence est 9, que j'égale a la plus petite expression, 2a:-f- >; d'où la 
même valeur a- = 2. 

Les deux expressions donnent nécessairement, par substitution, les 
carrés iG et 9. 

3. Second cas : Les expressions sont composées de termes en x-, 
en .r, et indépendants; de plus les coeiïicients de x^ sont carrés. Par 
exemple : 

La dilTérence est iG.r -h iG = 4 x (4*" + 4); la somme des facteurs : 
\x -+- 8, le carré de la demi-somme : 4-^' + i^'^ + i^- En égalant ii la 
première expression, on aura j- = 2. 

Uemarquez que dans ce cas, parmi les couples, en nombre indélini. 
des facteurs dont le produit donne la différence ci-dessus, il faut 
choisir celui où le coefficient de x est double de la racine carrée du 
coefficient de x- dans chacune des deux expressions (on le suppose 
le même dans l'une et dans l'autre); c'est ainsi que nous avons pris 
'tx, pour que le carré de sa moitié fasse 4^°- 

Les deux expressions donnent, après substitution, les carrés G'j 
et iG. 

4. Troisième cas, celui qu'il importe surtout de remarquer, car c'est 
i't;iiMAi. — ui. 42 



330 ŒUVRES DE FERMAT. 

celui qui nous servira le plus souvent : Dans chacune des deux expres- 
sions, le terme indépendant de a; est un carré; ce peut d'ailleurs être 
le mémo carré, ou bien il peut différer de l'une à l'autre, comme si 
l'on a, par exemple, 

^2_8x + i6=a, 3.r=— 48^ + G4 = D• 
,Mais alors on divisera le plus grand carré par le moindre, G^ par (G, 
et l'on multipliera la plus petite expression par le quotient /\ ; on aura 
ainsi deux expressions, dans lesquelles les termes connus seront des 
carrés égaux : 

4.r'— 32x-+-6/i = n, 3x2— 48^ + 6^ =n- 

Leur différence x^-h iGx ^x(x -+- iG). Remarquez que je prends iG 
comme terme connu du second facteur, parce que c'est le double de 8 
(jui est la racine du carré commun aux deux expressions. La somme 
des deux facteurs est 2.x -h id; le carré de leur demi-somme est 
>r- + iGo; H- G4; je l'égaie à l\x'- — 3ix -\- G!\; et j'obtiens a; = iG. 
D'où, en substituant dans les expressions proposées, les carrés i.Vj 
et G'|. 

Règle générale pottr ohlenir en nombre indéfini des solutions 
de doubles équations. 

5. Prenez la valeur de la racine obtenue par la méthode ordinaire, 
et joignez-la 'ax, en lui maintenant son signe, soit -l-, soit — ; substi- 
tuez à X cette nouvelle expression de la racine dans les termes de la 
double équation donnée; vous aurez de nouvelles expressions à égaler 
à un carré; cherchez alors la valeur de x par la méthode ordinaire, 
suivant le troisième cas que je viens de donner et sur lequel j'ai 
appelé l'attention; cette nouvelle valeur, qui rend carrées les nou- 
velles expressions formées, devra maintenant être jointe à la première 
valeur obtenue, en tenant compte des signes + ou — ; on obtiendra 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 331 

iiiiisi une seconde valeur de x rendant carrées les expressions primiti- 
vement proposées. 

6. Soit par exemple la double équation (') 

^x-hi = \J, j;-— 2x4- i=zQ. 

Kn dehors de la solution immédiate a; = 2, on trouvera encore, par la 

méthode ordinaire, x = j- ic. vais me servir de ces deux valeurs pour 

en tirer d(! nouvelles solutions; je prendrai, en premier lieu, suivant 
la règle, comme nouvelle représentation de l'inconnue, x -\- 2. Sub- 
stituant à X dans la première expression égalée à un carré, c'esl- 
à-dirc lix -+- i, j'ai 4-^ -H 9 (si en effet x devient x -+- 2, ^x deviendra 
4.r-i-8 et en ajoutant i, terme connu de l'expression, il vient 
4a7-t-f)). De même, substituant x -\- 1 h x dans la seconde expres- 
sion, a;* — 20- 4- 1, on aura à égaler îi un carré la nouvelle expression 
a;^ -f- 2 X- -I- 9 (-). Si l'on en retranche la précédente, c'est-à-dire 
'ix -+- 9, et qu'on achève l'application ii cette double équation de la 

règle ordinaire, on obtiendra x^-~-'> ^^ y ajoutant 2 (puisque la 

nouvelle représentation de l'inconnue est ,r h- 2), on aura y- comme 
nouvelle valeur de l'inconnue pour le système proposé. 

, 3 

1. Je veux maintenant, de 1 autre valeur y, en déduire une nou- 

4 

3 
velle; je prends pour inconnue x -h y, et je substitue cette représen- 
tation il X dans les expressions /i-^ + • l't x-—'2x-}-\; il vient 
\x -h A et J-- — ^ — I — 77- Les termes indépendants de x étant carrés 

(') Billy prend absurdcment poui- seconde expression : .r^ — -i.v + i, qui est idcntique- 
mcnl un carré. 
(') Erreur de calcul, le résultat de la substitution étant x'-hzc-hi. Néanmoins la 

valeur — satisfait à la double équation, par suite de la circonstance signalée dans la note 

précédente. 



332 ŒUVRES DE FERMAT. 

(le part et d'autre, la double équation pourra être résolue comme il a 
été dit n''4 pour le troisième cas; on trouvera x = —, et en ajoutant 

j (puisqu'on a pris x -h j pour représenter l'inconnue), on obtiendra 
— ^ comme nouvelle valeur de l'inconnue dans le système proposé. 



8. Nous avons ainsi des secondes valeurs dérivées des premières; 
de ces secondes on peut en tirer des troisièmes en employant exacte- 
ment le même procédé. Ainsi, soit à dériver une troisième valeur de 

la seconde — ; j'ajoute celle-ci à x, de façon à représenter l'inconnue 

4 ■' •' 

par ic-f- — > que je substitue à x dans les expressions 4-^-^-i ft 
x'- — 2.x -h i, ainsi que j'ai déjà expliqué; j'obtiens ainsi 

4 .r -H 3G cl .c- H X + -^ , 

'2 U) 

expressions où les termes indépendants de x sont carrés; j'en déduis 

82450078808 ., . ,35 ,, , , . . ,,. 

•^ = ,, 00 — ; 1 aioule -7-, d après la position pour I inconnue, 

4528002821 ' •• J 4 1 1 ' 

, ., . Il • 318G240667 , • u ,•. • 1 1 

et I ai, pour celle-ci, h , ,., . » valeur qui, substituée dans les 

■' ' 201 244347*3 ' 

expressions proposées, donnera des nombres carrés ('). 

'9. On voit ainsi qu'on peut trouver un nombre indéfini de solu- 
tions; les premières en procurent en elTet du second ordre, celles 
du second ordre en procurent du troisième et ainsi de suite indéfini- 
ment. Dans l'exemple donné, nous avons de la sorte obtenu cinq solu- 
tions différentes, et des dernières on peut de même en tirer de nou- 
velles; par conséquent, toute double équation a un nombre indéfini 
de solutions, c. q. f. d. 

(') Billy aurait dû supprimer les facteurs communs; il aurait trouvé ainsi pour l'in- 

1 1 35 9r5i2 8o8r>7 „ ,. , ..... -u - 

connue la valeur : . = ■ Ces divers exemples no peuvent être attribues 

4 ''■i7''9 JI07O 

à Fermai. 



TRADUCTION DE L'INVRNTUM NOVUM. 3:1:5 

// ne faul pas se décourager, si l'on rencontre comme soliiliOn 
(les nombres faux ou plus petits que zéro. 

10. Il arrive assez souvent que les calculs conduisent à des nombres 
faux; dès lors, faute d'expérience, on perd aussitôt courage et on se 
figure être tombé sur un cas d'impossibilité. J'allîrme, au coniraire, 
avec notre Fermât, que même alors on peut déduire une solution du 
résultat obtenu. 

11. Soit, par exemple, proposée la double équation 

— 2j; + i = n, 2.r-— 4-^ 4- I — n. 

F-a métliode ordinaire conduit à la valeur j- = — 4, qui, substituée 
dans les expressions, donne efTectivement les carrés positifs 9 et 4;). 
Cette solution est, je l'avoue, un faux nombre; cependant elle peul 
servir à trouver des nombres vrais. Prenez x — 4 comme nouvelle 
position de l'inconnue, et substituez dans les expressions proposées: 
(dles deviendront — 20; -4- 9 et ix^ — lox + 49 (en elTct puisque -ix 
donne ix — 8, si l'on retranche ce binôme de i, comme l'exigi^ le 
signe —, il viendra pour la première expression transformée 9 — -ix; 
de même ix" devient 2j;- — iGj' -H Sa; l\x donne 4-^'— 16, qu'on 
doit retrancher de 2.r- — i6.r -1- 32 après avoir ajouté i à ce tri- 
nome, selon la composition de l'expression primitive; on a ainsi 
■IX- — -lox -\- \c)). Dans les expressions transformées, les termes 
indépendants de x sont carrés; la méthode de Diophante permel 
donc de trouver une valeur de x; j'en retrancherai 4. puisque j'ai 
pris X— 'y pour représenter l'inconnue; j'aurai ainsi une solution 

^ — ■ "\ pour le système proposé. Ainsi le faux nombre a permis d'en 
jg 100049 ' •' '^ ' ' 

trouver un vrai (jui satisfait au problème, comme on peut le vérifier. 

12. Soit encore proposée la double équation 

8.^-= -H 16 j.- jh 4 -- n, i^V- + 4 r + 4 = D. 



•■iV* ŒUVRES DE FERMAT. 

On Irouvera facilomcnt les solutions — 2 et — — ; mais, comme ce 

7 

sont lie faux nombres, je prends x — 1 comme nouvelle position de 
l'inconnue; je substitue ii x dans les expressions proposées et j'ai les 
transformées 

pour lesquelles la méthode de Bachet donne la valeur x =^ ~; j'en 

retranche 2 (puisque j'ai posé x — ■> pour l'inconnue) et j'ai, pour le 

système proposé, la nouvelle solution, 4- — • Un faux nombre en a 

donc procuré un vrai satisfaisant ;i la double équation. 11 en est de 
même poui' tout autre faux nombre, et l'on peut même obtenir par 
l'intermédiaire d'un faux nombre une infinité de solutions, au moyen 
de dérivations successives. 

13. Je prendrai pour Iroisii'me exemple la double équation 

2^:"+ 2X + I =3 □, 2 x' -(- 6j; 4- I = D- 

La méthode ordinaire donne la solution —4: '' fau( donc recom- 
mencer l'opération, après avoir substitué x — ^ s x cl avoir ainsi 
(iblenu les expressions transformées 

2.r^ — i4t"-1-2.) cl 2X- — iOJ:-t-<j. 

(^omme les termes indépendants de x sont carrés de part et d'aiilre. 
la méthode de Diophante fournit une valeur de x pour ces dernières 
(expressions; j'en retranche 4> d'après la position prise pour l'in- 
connue, et j'ai ainsi pour le système proposé la solution vraie et 

, , , 864 2 1 3o4 II i> , I 1 ■ » • I 

réelle H — rrrh Il ne huit donc pas se décourager s il arrive que 

986^1999 • ° ^ 

l'on rencontre de faux nombres; les exemples qui précèdent montrent 

comment on peut en tirer des nombres vrais. 



TRADUCTIOiN DE LINVENTUM NOVUM. WXt 

l'oitr ce. procédé de résolution des doubles équations, il faut que la di(fé- 
rencp des expressions égalées à des carres soit formée d'un ter/ne en .r- 
et d'un terme en x. 

14. Il arrive souvent que, dans les doubles équations à résoudre, la 
dillérencc des expressions soit constituée seulement par un terme 
en X. Si, par exemple, on a 

en retranchant la seconde expression de la première on a, pour dif- 
Cérence, 20-. Il peut arriver aussi que la différence soit formée d'un 
terme en x et d'un ternie connu; si l'on a, par exemple, 

9X-— 2r.r H- i5 = n. g.c-— 48x -1- 24 — □, 

suivant que l'on supposera que la première expression soit la plus 
grande ou la plus petite (ce qui est assez souvent indifférent) la dil- 
terence sera ■2'jx — 9 ou — 2-jx-h 9. Mais, pour appliquer la méthode 
de Fermât, il faut avoir soin que la différence des expressions soil 
formée d'un terme en x- et d'un terme en x, autrement le calcul 
n'aboutirait nullement à fournir une nouvelle solution; pour que 
d'ailleurs la différence soit constituée d'un terme en x'- et d'un teruK^ 
en X, il faut ramener ii l'égalité les termes connus, qui sont carrés, 
en [trocédant comme je l'ai montré plus haut (n° 4). 

15. Soit proposée, par exemple, la double équation 

La méthode ordinaire donne ^ = — 2; il faut donc, d'après le procédé 
de Fermât, substituer x — ■2'ix x, ce qui donnera pour les expressions 
transformées : x'- — 'dx -+- 4 et x- — x -\- i. Si l'on prend la différence 
■2x — 3 ou 'S — '2x (suivant que l'on suppose que la première expres- 
sion est la plus petite ou la plus grande) et si l'on décompose cette 
différence en facteurs, de quelque façon que l'on s'y prenne, l'on 



WG (EUVRES DE FERMAT. 

n'avancera en rien. Pour parvenir au i)ut tlésiré, il est nécessaire de 
ramener les deux expressions à avoir le même carré pour terme connu ; 
pour cela, on divisera le plus grand carré par le moindre et on multi- 
pliera parle quotient l'expression où figure le moindre carré. Ainsi, 
dans l'exemple proposé, divisez 4 pîii" i. multipliez par le quotient [\ 
l'expression a-- — .r + i; vous aurez les deux expressions disposées 
])our être traitées par notre procédé : [\x- — l\x + '\ et x- — 'ix -^ i\. 

16. Soit encore proposée la double équation 

.r5-8,r + iG = n, 3a-- -4-/,8,r -(- G4 = D • 

La méthode ordinaire (') donne la vaIeura-= iG. Il faut donc sub- 
stituer .r + iG à a- dans les deux expressions qui, ainsi transformées, 
deviennent 

■t"--^ l'.yx -h 2J6 = □, 3.r'+ \[\'\x + i6oo = n • 

On ne peut pas prendre pour différence ix- + \iox + ^it\\, puis- 
qu'il serait impossible d'arriver ainsi à la solution. Que faut-il donc 
faire? Ce que nous avonsdéjii indiqué et répété : divisez iGoo par ajG 
et multipliez par le quotient -^- l'expression x- -^ il\x + ?.jG; le pro- 
duit -j-x- -f- i5oa- 4- iGon avec l'autre expression 3a-'-' + \\'\x + iGdo 

donne un système dont la différence sera formée de termes en .r* 
cl x\ il sera donc possible d'obtenir une nouvelle solution. 

(V procédé est applicable à la solution non seulement de la double 
équation, mais aussi d'autres équations quelconques. 

n. C'est un champ très fertile que celui que nous avons commencé 
à cultiver; car la méthode de Fermât peut fournir une infinité de 

(') Billy s'est encore trompé ici, probablement en prenant la sobition du n° -l pour un 
système où la valeur absolue des cocITicients est la même. Cette solution satisfait ici acci- 
dentellement ; mais, en opérant la substitution dans la première expression (la(|uclle au 
reste est identiquement un carré), Billy a do plus commis une erreur de calcul, puisqu'il 
aurait dû trouver : .r--i- -x'^.i- + i44- 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 337 

solutions non seulement pour les doubles équations, mais encore 
pour les autres. Soit par exemple proposé de trouver un nombre dont 
le produit par 12, retranclié de la somme de 8 fois son carré et de 8, 
fasse un cube. Soit a; ce nombre; il faut que 8a;-— 12.^; + 8 fasse un 
cube. Prenons 1 — x pour racine de ce cube ; on aura 

8 — l^x-^-&x^ — a;'= Sj;*— 12^ -h 8, d'où a; =r — 2, 

faux nombre qui satisfait à la question. Pour en avoir un vrai, substi- 
tuons X — ikx dans l'expression proposée 8a;- — 12a; + 8; la trans- 
formée sera 8.r^ — 44-^^ + 64 à égaler à un cube. On prendra pour 

racine de ce cube 4 — —^(4 étant la racine cubique de G4, terme 

connu de la transformée, — x est le quotient obtenu en divisant 44-^'» 

terme en a; de la transformée, par 3 fois le carré de la racine cubique 4. 
c'est-à-dire par 48). En formant le cube du binôme ci-dessus, j'ai 

64 — 44-^ H — T^' ^a;'àégaleràla transformée 8a;- — 44-^ + ^4. 

d'où je tire x = 2 -%it-- Si je retranche 2, puisque j'ai pris a; — 2 pour 

représenter l'inconnue, j'aurai pour celle-ci la valeur -%t- • C'est le 

nombre cherché; si l'on forme son produit par 12 et si on le retranche 

de la somme de 8 fois son carré et de 8, on obtient le cube — ^,~> 

1771001 

dont la racine est 

121 

18. Supposons encore qu'on demande un triangle rectangle dont 
l'aire, ajoutée à l'hypoténuse, fasse un carré. Je forme ce triangle 
des nombres a; -f- 1 et a;; les côtés seront 2.x- -h 2.x -*- i, 2a- + i, 
2a;- -+- 2a;. J'ajoute l'aire 2a;' -1- 3x- 4- x ii l'hypoténuse 2.r^-+- 2a; h- i; 
j'ai 2a;' -+- 5x^ -\- 3x -\- 1 A égaler à un carré. En prenant pour racine 

de ce carre i -\ — a-, j obtiens a; = — -„- • 

2 ^ o 

Substituons donc ^^ ^ à a; dans l'expression à égalera un carré; 
l'EBHiT. — ni. 43 



338 ŒUVRES DE FERMAT. 

nous arriverons, pour la valeur de l'inconnue dans les premières posi- 

. , 2673 
lions, a — y- • 

19. De même, si l'on demande un triangle rectangle dont l'aire, 
ajonlée ii l'un des cotés de l'angle droit, fasse un carré, vous formerez 
("0 triangle comme il a été dit sous le numéro précédent; vous ajou- 
terez l'aire ix^ -\-3x'- -h x au côté 2,r+i. On trouvera .r = — j^- 

Substituez donc ,r — i» -i' dans l'expression à égaler à un carré. La 
transformée sera 

3 , 5i 4o „ ■ /7 5' 



4 52 256 \i6 28 

'( la valeur de l'inconnue primitive ^-^, d'où le triangle cherché 

' 1 000 '-' 

10988674 G927424 853oo5o 
"^8624 ' 2458624 ' 2458624 ■ 



Nouvelle méthode pour la solution des doubles équations. 

20. Soit proposée la double équation 

25.r^H- 4j^ — 6 = □ , 9J-^-i-2oj" — G^n. 

La méthode ordinaire consiste ii ramener à l'égalité, par le procédé 
indiqué au n" 4, les coefficients de x^. Toutefois cela n'est pas néces- 
saire; on peut prendre immédiatement la différence i6ic-— i6a^-, puis 
la décomposer en deux facteurs tels que la somme des termes en .r 
soit lox (double de la racine de i^x-). (]es facteurs seront 8.r et 
ix — 2; en égalant à la première expression iSx- -\- l\x — (j, (jue 
nous avons supposée la plus grande, le carré de la demi-somme de ces 

facteurs, on trouvera j: = -• 

2 

21. Supposons maintenant la double équation 

1 2 ; „ 1 2 1 o 

x^ a;-t-i2i = n, x'^— 26x -+- 121 — n . 

9 9 



TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 339 

Los termes connus sont des carrés ceaux; ladiiïorence, — x- — — .r, 

9 9 

doit d'après la méthode ordinaire, être décomposée en deux facteurs 

- — X et -;— X — 22, ce qui fournit une solution. Fermai prend les fac- 
99 fai ' 1 

, 8x , 14 122 1,1 ,22 122 , Il 

leurs ^Y £"1 Y"*' V ^'^ '' ^'^"^f'™'^ ^^^ "T-^' û^ '-'•^' i^arre de la 

moitié de celte somme étant éffalé à — x"^ a;-t-i2i. on obtient 

° 9 9 

658 
Jî = -,— • 

22. Soil encore à résoudre la double équation 

i69.i---H ôy^Gx -+- 169 = n , -x- -\- 10a; + 169 t= [j . 

On peut en obtenir trois solutions; la première en prenant la dill'é- 
rence des deux expressions, qui est i68a;^ + 5736a-, et en la décom- 
posant en deux facteurs dont le binôme aura pour terme connu 26, 
c'est-à-dire le double delà racine de 169; c'est là la méthode ordi- 
naire. En second lieu, on peut ramener à l'égalité les coefficients 
carrés de a;^, en multipliant par 169 les trois termes de la seconde 
expression, comme je l'ai expliqué au n° 4. En troisième lieu, on 

1 !■ i / L 2368 I , , 
peut prendre comme tacteurs ilix et 120? h , dont la somme, 

comme terme en v. aura 26x, c'est-à-dire le double de la racine de 

169X-. C'est là la méthode de Fermai qui donne la valeur ,r = — sëg"' 

23. On pourra dire que celle méthode est ingénieuse, mais inutile, 
en tant qu'elle procède seulement avec des facteurs trouvés par arli- 
fic(î et combinés de telle façon que leur produit donne la différence 
des expressions à égaler à des carrés et que dans leur somme figure 
un terme double de la racine du terme en x- de la plus grande des 
deux expressions. Mais on ne peut faire celte objection que si l'on 
ignore que c'est celle méthode qui a fourni la solution d'un très beau 
et très difficile problème, lequel a fait le tourment de tous les ana- 
lystes et qui serait demeuré sans réponse, si par son procédé Fermai 



3i0 ŒUVRES DE FERMAT. 

ne ('li( arrivé à délier le nœud gordien. Celui qui accuserait cette mé- 
thode d'inutilité peut au reste voir la solution de divers problèmes 
donnés ci-dessous n"*45, 47, 48, 50. Il est d'ailleurs facile de recon- 
naître comment on doit former les facteurs en question; il suffît on 
effet de prendre le double de la racine du coefficient de x- dans la 
plus grande des deux expressions, et de partager ce double en deux 
nombres dont le produit fasse la dilTérence des coelficients do x'-. 
Ainsi dans le premier exemple on prend lo; on le partage en deux 
nombres dont le produit est iG. On trouve ainsi Set 2; de mémo pour 
les autres cas. 

Après (/lie l'Analyse a trouvé les solutions primitives, on cji obtient 
de nouvelles en réitérant l'opération. 

24. Il arrive assez souvent que dans un problème le calcul conduise 
h de faux nombres; j'ai déjà montré ci-dessus comment l'artifice ana- 
lytique de Fermât remédie il cet inconvénient, mais je vais donner 
aussi un moyen singulier dont les résultats sont innombrables : ce 
moyen c'est l'opération réitérée; toutefois, pour qu'elle aboutisse, il 
faut emprunter à l'Analyse les nombres primitifs ii prendre dans la 
seconde opération. 

25. Soit, par exemple, à chercher un triangle rectangle dont l'hy- 
poténuse soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle 
droit. Je forme ce triangle des nombres simples a; + i et a;; les trois 
cotés seront dès lors : ix- + ix -\- \ , 2x -\- \ , nx- -+- ix. Il faut égaler 
il des carrés, d'une part l'hypoténuse ix- -^ "xx + \ ; de l'autre, la 
somme des côtés de l'angle droit : 2a;- -+-4^ + 1. La méthode ordi- 
naire donne la valeur a? = -• Les deux nombres générateurs du 

triangle seront donc et '-■, ou, si l'on prend les numérateurs 

seulement, pour avoir des entiers, — 5 et — 12, d'où le triangle : 
169. 1 19.120. J'infère de là que, pour résoudre le problème, il fallait 
d'abord trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse fut un carré. 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 341 

en même temps que la différence des cotés de l'angle droit. Cette con- 
clusion résulte forcément de l'analyse qui précède et ce triangle est : 
1G9. 119.120, formé de —5 et —12 ou de +5 et -i-12. Je réitère 
donc l'opération et je forme le triangle cherché des nombres .x + 5 
et 12. J'arrive ainsi, grâce à ce triangle primitif, comme on le verra 
plus clairement sous le n°45, à une double équation qui ne donnera 
plus de faux nombres, mais bien des nombres vrais. 

26. Soit encore à chercher un triangle rectangle tel que le produit 
de l'hvpoténuse et de la somme de l'un des côtés de l'angle droit et de 
la moitié de l'autre fasse un carré, après que de ce produit on aura 
retranché l'aire du triangle. Je le forme des nombres simples i et 
a; -I- i; les cotés seront x- + nx + i; x"- ^ ix% ix + 1. J'ai donc à 
multiplier x- -\-ix + 1 par x" -\- 3.r -f- 1 , et à retrancher du produit : 
x"* + 5a;' -I- Qx- + 8a; + 2, l'aire : x^ + 3a;- + 2a;. Le reste 

est à égaler ii un carré; je prends pour ce carré 

et j'obtiens a; = — -• Si nous nous arrêtions ici, le second coté du 
•■ 2 

triangle, a;'- -1- 2a;, serait plus petit que zéro et la solution inaccep- 
table. Je réitère donc l'opération en formant le triangle des nombres 
a; -I- I et 2; les cotés sont dès lors : x"^ -\- ix -\-^; a---i-2a; — 3; 
4a; -1-4; lo produit de l'hypoténuse par la somme de l'un des cotés 
et de la moitié de l'autre, donne, après retranchement de l'aire, 
a;* -I- 4a;^ -I- 6a;' 4- 20a; -f- I que j'égale au carré (i -1- loa; — a;-)^; 

23 

j'obtiens ainsi un nombre vrai, a;= -^- D'après les positions, il faut 
donc former le triani^le des nombres -r et 2, ou, en prenant des 

o 

entiers, 29 et 12. Les cotés du triangle cherché seront 985.G97.696. 

Nous serions arrivés au même résultat en substituant x à a; dans 

3 



342 ŒUVRES DE FERMAT. 

l'équation x'' -f- /[.v^ -+- 6j7^ -i- 6 jt -i- 2 = g. qui dcvionl par cetlo sul»- 

slitulioii .r' + 2a;' + -x"^ -i- - x -h -^ — O, soit (7 ^ 5 x — x^] ; d'oi'i 
2 2 10 \4 / 

x= — En retranchant -> j'ai -- pour la valeur de l'inconnue dans 
12 2 ■' lî ' 

les premières positions, d'après lesquelles j'aurai en conséquence à 

former le triangle des nombres entiers 29 et 12. 

27. Soit enfin à chercher un triangle rectangle dont l'hypoténuse 
soit un carré, aussi bien que la différence des cotés de l'angle droit. 
Si je prends les nombres .r + i et i pour générateurs du triangle, les 
côtés seront : .r^ -h ix -h 1; x"^ -h ix; 2X -h 1. Retranchez le dernier 
2X -h 2 du moyen x'--h2x; j'ai la différence : x" — 2. qui doit être 
égalée à un carré, aussi bien que l'hypoténuse x'- -h 2x -h 2. Cette 

double équation me donne x = ^; par suite, d'après les positions, 

5 
les nombres générateurs du triangle seront — -^ et i, ou, en faisant 

disparaître le dénominateur, — 5 et + 12. On pourrait réitérer l'opé- 
ration pour trouver le triangle demandé, mais on remarquera qu'il est 
immédiatement fourni par la formation de 5 et 12. On a en effet ainsi 
le triangle rectangle 1G9.1 19.120 dans lequel l'hypoténuse est un 
carré, aussi bien que la différence des cotés de l'angle droit. 

liachel trouve une impossihiUté là où Fermai donne une solution facile. 

28. Je dois avouer qu'à la vérité la méthode ordinaire donne une 
intinitc de solutions pour nombre de questions, quand, par exemple, 
dans la double équation, les expressions sont formées de termes en x 
différents et d'un même terme connu carré; il est aisé, en effet, dans 
ce cas de trouver autant de solutions que l'on veut; c'est pourquoi 
Rachet, dans ses remarques sur Diophantc, VI, 24, après avoir donné 
une solution unique par son second mode de solution des doubles 
équations, en fournit une inhnité par son quatrième mode. Mais il y a 
d'autres doubles équations moins maniables pour lesquelles les mé- 



TRADUCTION DE LINVENTUM NOVCM. 3W 

thodcs ordinaires iic fournissent qu'une snluUoii ou deux au plus; et 
par suite, le célèbre commentateur dcDiophante dit, au même endroit, 
qu'on ne peut obtenir (|u'une solution unique lorsque les expres- 
sions sont composées de trois termes et que leur difrérence n'en com- 
porte qu'un seul; ou bien lorsque les expressions sont formées l'une 
de trois termes, l'autre de deux seulement, le terme carré étant d'ail- 
leurs le même de part et d'autre; ou enfin lorsque les expressions 
sont seulement formées d(^ dtnix termes, l'uiii' d'un terme en œ'' et 
d'un connu, l'autre d'un terme en .r et d'un connu; il ajoute encore 
qu'il y a deux solutions lorsque les coelFicicnts de x- et les termes 
connus sont des carrés. Tout en respectant ce grand matliématicicn, je 
puis dire que dans tous les cas qu'il a ainsi énumérés la méthode de 
Fermât procure une infinité de solutions; les exemples suivants voni 
le faire voir clairement. 

29. Soit tout d'abord la double équation 

.r- -h 3a- -H 7 — G , j- — 5 .r M- 7 r= n • 

La dillërence des expressions ne comprend qu'un seul terme, Sx; et 
l'on trouve x = '5. Bachet, avec sa méthode, chercherait inutilement 
une autre solution. Mais qu'on substitue x-i-3 k x, les expressions 
transformées deviennent x'- -h c)x -h i5 et x--\-x-i-i; les termes 
connus étant carrés, on peut toujours résoudre ce(t(! double équa- 
tion; si l'on rencontre de f;iux nombres, il n'y a pas à s'en effrayer, 
car j'ai déjà donné plus haut le moyen d'en déduire des vrais. 

30. Comme second exemple, je prendrai la double équation 

OÙ il n'y a que deux termes dans la seconde expression, et que lîachel 

5 . 5 

a résolue en donnant la valeur unique : x = y Substituez a: + 7 à j-; 

T 4 4 

les expressions transformées sont 4-^^' + ^-^ -+- 1 et 4^' -1- ^5x -+- 23 ; 

les termes connus étant carrés, on peut trouver une seconde solution 

42o5 
qui sera -i^yy- 
'344 



3W ŒUVRES DE FERMAT. 

31. Soit, pour troisième exemple, la double équation 

vous trouverez deux solutions, qui sont ~ et — p; on peut en déduire 

une infinité d'autres en substituant a; -t- -rr ou a? h — ^— à x; je me con- 
tente de donner cette indication. ^ 

32. Enfin Bachct dit que l'on trouve deux solutions pour les doubles 
équations où les coefficients de x- et les termes connus sont des carrés, 
comme dans celle-ci : 

Les méthodes ordinaires donnent en effet les solutions ^ et y Mais si 

i 4 

l'on en demande davantage, Bachet s'arrête, tandis que notre Fermât 
se dégage aisément de la difiiculté, et fournit une infinité de valeurs, 
.l'ajoute que, même dans ce cas, Bachet ne donnera pas toujours deux 
solutions; sa méthode n'en fournit, en effet, qu'une seule pour telle 
double équation, comme 

Bien plus, il arrivera souvent qu'il ne pourra même en donner une 
seule comme pour la double équation 

x^— Gj:--f- 7 =n, a;'-— 2a^ + 7 =G, 

4 4 

où la valeur sera affectée du signe —.J'ai déjà dit comment la méthode 
de Fermât donne toujours une infinité de solutions, même quand on 
tombe sur de faux nombres. 

33. Diophante, IV, 29, étant arrivé à l'équation 

Bachet dit qu'elle ne peut être résolue que de deux manières, en choi- 
sissant la racine du carré de façon à éliminer avec les termes en x^ et 



TUADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 345 

les termes connus, soit les termes en x, soit les termes en x'\ de faron 
que dans l'équation finale il ne reste soit que des termes en x'^ et en x'-, 
soit que des termes en x- et en x. Il trouve ainsi seulement les valeurs 

- et -^ pour a*. Fermât en trouve au contraire une infinité, et en pre- 
mier lieu il élimine aussi les termes en x'- de façon à laisser subsister 
dans l'équation soit seulement les termes en x'' et x^, soit le terme 
en X et le connu. D'autre part, Bachet remarque que si l'on prend 
pour racine du carré : 3x- -\-Gx — i, on tombe dans l'inconvénient 
d'égaler à zéro -x'yx'- -\- [\ox'. Cet inconvénient n'arrête pas Fermât. 
En troisième lieu, chaque valeur trouvée est pour lui la source d'une 
infinité d'autres, comme je l'ai déjà expliqué. 

34. Enfin Bachet, sur Diophante, IV, 28, dit qu'il est impossible 
d'égaler à un cube 8j;' -— x- + %x — i; il en donne comme raison que 
l'on ne pourrait prendre que le cube {ix — i)' afin d'éliminer le 
terme en x^ et le terme connu; mais, avec tout le respect que je lui 
dois, cela est inexact; car tout d'abord on peut prendre le cube 
'8 \' . . . . 549 



. ^x — i] et trouver ainsi x = y-^- En second lieu, rien n'empêche 
de prendre le cube (2x — i)', car, si l'on trouve ainsi x = — -^ on 

peut faire une substitution en partant de cette solution. Au reste, je 
développerai plus longuement ces questions dans ma troisième Partie. 

Fermai a dépassé Viéte. 

35. Viètc a nié trop précipitamment qu'il fût possible de partager 
un nombre, somme de deux cubes, en deux autres cubes; Fermât (') 
enseigne comment ce problème peut être résolu d'après le commentaire 
de Bachet sur Diophante, IV, 2 (ce dont pourtant Bachet lui-même ne 
s'était pas aperçu). Soit en effet 9, somme des deux cubes 8 et i, ;i 
partager en deux autres cubes. On cherchera d'abord deux cubes ayant 

(I; l'oir ci-dessus, Obscrvutioits sur Diophante, 8 et 9, pages 24O et suiv. 
Fermât. — m. 44 



3VG ŒUVllES DE FERMAT. 

pour différence 9; ;i cet effet, on a])pliqucra la règle suivante : Faire 
le produit de chacun des deux cubes 8 et i par trois fois la racine de 
l'autre; diviser les deux produits par la différence des cubes; ajouter 
la plus grande racine au plus petit des deux quotients; retrancher 
la plus petite racine du plus grand quotient; la somme et la diffé- 
rence ainsi obtenues donneront les racines des cubes cherchés. Dans 

I' I 1 • ■ • . 1 ^^ . '7 1 u 4913 , 

1 exemple choisi, ces racines seront donc — et — ; les cubes -~^ et 

-T-f'T' En second lieu, deux cubes étaiit donnés, on peut en calculer deux 

autres ayant la même différence; voici la règle à cet effet : Faire le pro- 
duit de chacun des deux cubes donnés par trois fois la racine de 
l'autre; diviser les deux produits par la somme des deux cubes; 
retrancher la plus petite racine du plus grand quotient et la plus 
grande racine du plus petit quotient; les restes seront les racines des 
cubes cherchés. Mais ceux qu'on a trouvés en dernier lieu ont pour 
différence 9; les autres cubes ayant la même différence 9 auront donc 

188470 ,36520 , , ,6605500842626230 , 

pourracines — 5--^ et — 5 — . et ces cubes seront ^,0-^7 >-o v/,-, — - et 
^ 90091 90591 708542637646471 

48707103808000 T7 P -1 , • •• '1 i I 

Qo g/ ro c/c , — l'-ntin il V a une troisième resle pour trouver deux 

738 542 637 646 47 1 " 01 

cubes dont la somme soit égale à la différence de deux cubes donnés; 

la voici : Faire le produit de chacun des deux cubes donnés par trois 

fois la racine de l'autre; diviser ces deux produits par la somme des 

deux cubes; retrancher la plus petite racine du plus grand quotient et 

le plus petit quotient de la plus grande racine; les restes seront les 

racines des cubes cherchés. Or nous avons trouvé en dernier lieu 

deux cubes ayant 9 pour différence; si l'on cherche, par la règle 

ci-dessus, deux cubes dont la somme soit égale à cette différence, 

, 1-11 I 243 617 733 qqooq4 836 43i 
on trouvera pour leurs racines les nombres „ ,. .''. ^,. ., ^, — 

• 609623830676137297449 

487 267 171 714 352 336 56o 
609 623 835 676 1 37 297 449 

36. Viète a résolu très habilement le problème proposé par Adrien 
Romain à tous les mathématiciens de l'univers, mais il ne l'a fait qu(> 



TRADUCTION DE L'INVENTUjM NOVUM. 3i7 

dans le cas où le nombre auquel doit être égalée l'expression proposée 
est inférieur à 2; il a d'ailleurs employé les sections angulaires, ce en 
quoi il a montré toute la puissance de son génie et ce qui lui a attiré 
une renommée immense et universelle. Mais notre Fermât (') a résolu 
le même problème dans le cas où le nombre donné est supérieur à 2, 
e( où alors les sections angulaires ne peuvent être d'aucun secours. 
Soit, en effet, à égaler à un nombre donné quelconque l'expression 
\3x — 37900;' + f)5G3/ia;^ etc., telle que l'a proposée Adrien Romain; 
c'est bien là en effet à quoi revient le problème, ainsi que Viète l'a 
reconnu et a corrigé l'énoncé. Soit G 4- \i'ii le nombre donné, supé- 
rieur à 2 par conséquent; Fermât affirme que la valeur protogène de 
l'inconnue peut être facilement représentée au moyen de racines uni- 
verselles et qu'elle est dans ce cas 



* ' I - 4 s / _ = 

Si maintenant le nombre donné est 4. Fermât affirme que la valeur 

de l'inconnue sera y 2 -h y/3 -+- V2 — v/3, et il obtient ainsi des solu- 
tions pour tous les nombres supérieurs à 2, quels qu'ils soient, alors 
(fue, même en employant les solutions angulaires, Viète n'en pourrait 
donner une seule. 

3T. Viète, Zelet. V, 9, a traité peu lieureusement le problème de 
Diopbante, VI, 3. Ce problème consiste en effet à trouver un triangle 
rectangle tel que la somme de son aire et d'un nombre donné fasse un 
carré, tandis que Viète l'a restreint au cas où le nombre donné est 
somme de deux carrés. 

Formata donné une infinité de solutions pour un nombre proposé 

quelconque. Soit, par exemple, le nombre 3, un des triangles cher- 

, , 2441 889 1807825 34 

ches sera ,^ „ ^ • . 7.^ ^ • 7- • 
410 160 4'C 100 4o 

(') A oi> ci-dessus pages 1G4 à 168. 



3i8 ŒUVRES DE FERMAT. 

Fermai dépasse Diophantc sur nombre de points. 

38. Diophantc, V, 8, donne le moyen de trouver trois triangles rec- 
tangles dont l'aire soit égale; mais, si l'on en demande davantage, il 
peut d'autant moins satisfaire à la question, qu'il n'a jamais indiqué 
le procédé pour trouver un triangle rectangle de même aire qu'un 
triangle rectangle donné. Format résout ces deux problèmes par une 
même opération. Soit, par exemple, à trouver un triangle rectangle 
dont l'aire soit G, comme celle du triangle rectangle 3.4.5. Soit 3 un 
des côtés d'un certain triangle rectangle; x->rf\ l'autre coté; la somme 
des carrés de ces cotés donne x- -i-8.r-h25 pour le carré de l'hypoté- 
nuse; cette expression doit donc être égalée à un carré. D'autre part. 

3 
l'aire de ce triangle, -a: + 6, doit être G fois un certain carré (puisque 

l'on demande que l'aire soit G). Donc le sixième de l'aire ci-dessus 
doit faire un carré, et il en doit être de mémo du produit de ce 
sixième par 3G. On doit donc égaler à un carré CjX + 3(5. On a ainsi 
une double équation 

où les termes connus sont carrés; on trouvera donc facilement pour .r 

, , 6o53o4oo ,, , , aSqGSol ,, , •.• i i- i 

la valeur t^^—. — > d ou a; -t- 4 = ,• ^ — ; 1 autre cote de 1 ansh; 

21600409 2 4o5boi " 

droit est 3; la somme des carrés de ces côtés fait un carré dont la 
racine sera l'hypoténuse, ^ , , ^. ^ ; nous avons ainsi le triangle rec- 

, 7776485 2896804 o 1 , i> • 1 . I ]• 

tansle , . ,. t'-^t — 3, dont 1 aire sera le sextuple d un certain 

° 2400601 2400601 ^ 

, , . 724 20' 1 . I • . 801 T,- • 

carre, a savoir ' , . ,. — , dont la racine est -^r^ — Divisons par cotte 

2400601 lOOI ' 

racine chacun des côtés du triangle rectangle que nous venons de 

, , . , , , , 12 06 1328935 4 4Q2q43oo4 4653 

trouver, nous aurons le triangle cherche — -, — jTTrj-r V ' /■,■ ,c --^t^^» 

" 20471664)1 2047 166 45 1 801 

dont l'aire est G. On remarquera que nous avons trouvé ce triangle en 

partant du triangle donné 3.4-5; mais celui que nous avons trouvé 



TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 3W 

peut, par le même procédé, nous on fournir un troisième, colui-ci 
un quatrième, et ainsi de suite indéfiniment. Voici, au reste, quatre 
triangles rectangles ayant pour aire 840; le premier étant BSy^o./^■l, 
le second 74.24.70, le troisii'me ii3.i5.ii2, le quatrième sera 

■in 60C) oç)6 56896 2'î6o6o8o 
19024 19024 19024 

39. Diophante, VI, 6, tombe sur la double équation 

X'^-1-I=:a, 14x4-1= □. 

Elle peut être résolue de deux manières, qu'on suppose d'ailleurs que la 
première expression soit la plus grande ou la plus petite des deux. On 

trouvera pour œ les deux valeurs — et ■^; demandez-en une troi- 

' 7 2I58 

sièmc à Diophante, il ne la donnera pas. Fermât peut en fournir une in- 

r,/ 

tinité; par exemple, substituons j;+ — à a; dans les deux expressions 

X- -hieli^x + 1 , la transformation donnera les expressions suivantes 

48 62.5 , , , , , , 
a-'- H a; + -^ et ii\a; -h 4o, dont les termes connus sont carres; on 

peut donc les résoudre par la méthode connue et l'on y trouvera pour 

, , 1 323 258ot 1 2.5o A • , 24 1 ,• 1 

X la valeur rr-; — ^ ,. , , , • Aioutez —, vous aurez pour solution de 

iaS 2id0i4 144 7 

I I I I . ,. , 20892660706 

la double équation proposée H e — ^^-? — - — s- 

' '^ '■ 2507510299008 

40. Diophante, après les problèmes VI, 15 et 17, a omis un troi- 
sième cas, la recherche d'un triangle rectangle tel que si l'on 
retranche son aire soit de l'hypoténuse, soit de l'un des côtés dv 
l'angle droit, on ait un carré; problème d'une rare subtilité que Dio- 
phante n'a omis, comme je l'ai dit, que parce qu'il est arrivé à de 
faux nombres dont il n'a pu se tirer. Fermât en donne une solution 
très remarquable; tout d'abord il reconnaît par son analyse qu'il faut 
trouver un triangle rectangle tel que le produit de l'hypoténuse par la 
somme de l'un des cotés de l'angle droit et de la moitié de l'autre. 



:}oO ŒUVUES DE FERMAT. 

lionne un carré, après soustraction de l'aire; il trouve ensuite ce 
triangle, par le raisonnement elles calculs que j'ai indiqués plus haut, 
n" 26, où j'ai dit que le triangle 985.G97.69G satisfaisait à la condition 
proposée. En troisième lieu, il multiplie les côtés de ce dernier 
Iriangle par l'inconnue, et prend ainsi pour le triangle cherché : 
t)i^jx.Gc)-]x.Gr)Gx, dont l'aire est 2\i5jGx-. Retranchons-la de l'hy- 
poténuse 985a; et du côté 69737, et égalons à des carrés les restes : 
r)H"):r;— 2'i2 jjGx'^ et 697^7 — 2^\i5~}Gx'-. Prenons enfin pour ce der- 
nier carré celui de 697a;, et posons en conséquence 

485 8o9J"':= 697 JT — 242 556 cr^; 

on aura x = — tt-- et le trlansle primitivement cherché sera 
io4d ° '■ 

985 697 6q6 
1045 1045 1045 

Voilà où Diophante n'a jamais pu arriver. Nous donnerons encore plus 
loin nomhrc d'autres exemples de problèmes qu'il a omis, parce qu'il 
n'a pu les résoudre. 

Douze problèmes sur l' application des méthodes indiquées ci-dessus. 

41. Les exemples que nous avons déjà donnés constituent autant 
de problèmes très difRcilcs, que l'Algèbre ordinaire est impuissante à 
résoudre. Ainsi le premier (n° 6) relatif à l'équation double 

4x-t-i = G, jr-— aa-H-i — n. 

pourrait s'énoncer comme suit : Trouver un nombre plus grand que 8, 
dont le quadruple ajouté à l'unité, fasse un carré, et dont le carré, 

augmenté de l'unité, mais diminué du double du nombre, fasse éga- 

35 
lement un carré. Le nombre cherché sera -r- 

4 

Le second exemple (n" 11) peut être proposé comme suit : Trouver 
un nombre dont le double, retranché de l'unité, donne un carré, et 
dont le quadruple retranché de l'unité ajoutée au double du carré du 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 351 

nombre, fasse également un carré. D'où l'équation double 

I — 2 X ^ G . I — 4 -^ -I- 2 .r- := n , 

, , , ,. 5333240 

et la solution r, — ; — t-- 
39 100 049 

lintin le troisième exemple (n" 12), celui de l'équation double 

8j;=-Hi()x + 4 = G, 2J:-+4.r + 4 = n. 

jieut être proposé comme suit en problème : Trouver un nombre tel 
qu'en le multipliant par iG, ajoutant 8 fois son carré et le nombre 4, 
on ait un carré, et que d'autre part, son quadruple, augmenté du 
double de son carré et en plus du nombre 4. fasse un carré. 

La solution sera — • 

7 

J'omets les autres exemples pour aborder quelques autres questions 
plus brillantes. 

Trouver indéfiniment deux nombres tels qu'en retranchant leur produit 
soit de l'un quelconque des deux, soit de leur somme, soit de leur dif- 
férence, on ait toujours un carré. 

42. Soient a; et i — j; ces deux nombres, positions qui satisfont aux 
deux premières conditions; reste à satisfaire également aux deux der- 
nières. Je suppose que x soit le plus petit des deux nombres; si l'on 
retranche leur produit, x — x-, de leur différence 1 — 2X, on a pour 
reste : x'- — 3x' + i. Si l'on retranche le produit des deux nombres de 

leur somme, i, on a d'autre part le reste x^ — x -^1. En égalant les 

3 
deux restes à des carrés, on a par la méthode ordinaire : a- = 5; les 

3 5 
deux nombres cherchés seront donc o et ô- Je substitue maintenant 

o o 

3 
X- -)- ^ à a; dans les expressions des deux restes ci-dessus; les transliu- 



mees seront 



r' ' r -^ ^+9 — n r'- '> r -^- ' — n 

I 04 4 04 



Comme les termes connus y sont carrés, on peut trouver, pour ces 



3o2 ŒUVRES DE FERMAT 

, p , I2 45q20o600 r^ • , , 3 , , 

transformées, x= \ — p^-^-. En ajoutant ^, on aura la valeur 

21979801^360 •• 8 

(le l'inconnue dans les expressions primitives, et on obtiendra ainsi' 

I 1 1 ^-^O 875 197 .535 117 7 15 r> 1 I , . 1 

les deux nombres -tt^,^ — ^ et -^, — ^-^ — De la valeur trouvée en der- 
784992912 784992912 

nier lieu, on peut d'ailleurs déduire une troisième valeur, de cette 
troisième une quatrii-me, et ainsi de suite indéfiniment. 

Voici deux autres nombres satisfaisant à la question : '"''.' et 

4 1449 
5i 865' 

Trouver indéfiniment trois nombres tels qu'en retranchant Surproduit, 
soit de l'un quelconque d'entre eux, soit de l'une quelconque de leurs dif- 
férences, soit (lu produit du moyen par l'un des extrêmes, soit du carré 
du moyen, on ait toujours un carré. 

43. Posons a;, i, i — ic pour les trois nombres cherchés. Leur pro- 
duit, X — X-, laisse un carré si on le retranche, soit du premier, soit 
du troisième, soit de l'excès du second sur le premier, soit de l'excès 
du second sur le troisième. 

Pour satisfaire aux autres conditions, il suffit d'ailleurs que l'on ait 

a?- — .r -(- 1 = n , a?- — 3 a- -t- I = n , 

expressions identiques à celles de la question précédente. On trouvera 

donc j = 5) et les trois nombres seront 3, 8, 5, en supposant 8 pour 

dénominateur commun. De même les trois suivants: io4i(i. 5i 8G5, 
4 1 4^19 (avec 5 1 865 pour dénominateur commun) ; ou encore les trois : 
249 87J 197, 784992912, 535 1 17 715 (avec 784992912 pour déno- 
minateur commun) satisferont aussi au problème. 

On aurait pu le proposer sous cette forme : Partager 2 d'une infinité 
de façons en trois parties, telles qu'en retranchant le produit des trois 
de chacune d'elles, de chacune de leurs difTérences, du produit de la 
moyenne par chacune des extrêmes, enfin du carré de la moyenne, 
on ait toujours un carré. En effet, pour chaque ternaire des nombres 



TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 353 

ci-dessus, la somme des trois nombres est toujours 2. Remarquez 
d'ailleurs que par partie moyenne, je n'entends pas celle qui est plus 
petite que la plus grande et plus grande que la plus petite, que je tiens 
seulement compte de l'ordre de situation, tel qu'il a été observé ci- 
dessus. 

Trouver indéfiniment deux nombres tels que si l'on retranche la différence 
de leurs carrés, soit du plus grand, soit du plus petit, soit de leur diffé- 
rence, on ait toujours un carré. 

44. Soit I — IX la somme des deux nombres, ix leur dilTérence; 

ces nombres seront donc - et 2a',,et la différence de leurs carrés 

2 2 

sera ix — 4a;*. Qu'on la rctrancbe, soit de la somme, soit de la diffé- 
rence, elle laissera toujours un carré. Mais il faut encore qu'il en soit 
de même si on la retranche soit de l'un, soit de l'autre des deux 
nombres. On aura donc la double équation 

[^x--~■îx -\r - = n, 4-y'— 4-2- + - = n. 

2 2 



et l'on trouvera a; = ^ • Les deux nombres cherchés seront - et -7 • 
48 2 24 

Pour en trouver une autre paire, on substituera x -\- j~ô à a; dans les 

deux expressions ci-dessus, et l'on poursuivra l'opération suivant les 
règles données plus haut, sans se laisser arrêter par la rencontre de 
faux nombres, car j'ai dit comment on peut les ramener ii de vrais 
nombres. 



Trouver deux nombres dont la somme fasse un carré et dont la somme 
des carrés fasse un bicarré. 

45. Ce problème est tout h. fait le môme que celui que nous avons 
énoncé ci-dessus : Trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse 
soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit; notre 
Ferwat. — in. 45 



354. ŒUVRES DE FERMAT. 

Fermât l'a d'ailleurs proposé à nombre tle savants mathématiciens 

sans qu'il ait été résolu par eux. On partira du triangle primitif 

trouve ci-dessus (n°25), à savoir: 1G9.1 19.120, qui est formé des 

nombres 5 et 12. Si l'on forme un nouveau triangle avec les nombres 

■r -h 5 et 12, il aura pour cotés : x'- -h lox-hiGc), a;* -(- loj? — 1 19, 

24.^ + 120. Or il faut égaler à des carrés tant l'hypoténuse : 

x" -\- 10X -+- 169, que la somme des cotés de l'angle droit: x^-j-3^x-{- i . 

Si l'on multiplie cette dernière somme par 1G9, la double équation 

sera 

i69>r^+ 5-]^6j- + 169 r= □ , x--\- lo.r + 169 = n ; 

c'est celle qui a été traitée au n" 22. On a donc a; = — '* .^J ; d'où, 
• 20 oob 

d'après les positions prises pour les deux nombres générateurs, on 
aura le triangle cherché 

4687298610289. 4565486027761. 1 061 652 293 520, 

dont l'hypoténuse est un carré, aussi bien que la somme des cotés de 
l'angle droit. Dès lors les deux cotés de l'angle droit sont deux nombres 
dont la somme est un carré et dont la somme des carrés est un bi- 
carré. C. (.). V. T. 



Trower un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un carré 
et qu'en y ajoutant un multiple donné de l'autre coté de l'angle droit, 
on ait encore un carré. 

46. Soit 3 le multiplicateur donné. Formons le triangle des nombres 
.r -I- I et I ; les cotés seront : x' -f- ix -+-2, a;^ + ix, ix -h 2. Multi- 
plions ce dernier côté par 3 et ajoutons le produit, 6a; + 6, au côté 
intermédiaire; il vient x'- + 8a; -1- 6 qui doit être un carré, en même 
temps que le côté intermédiaire : x'--i-2x. En résolvant la double 

équation à la manière ordinaire, on trouvera x = — , et, d'après les 

positions, le triangle cherché sera, en nombres entiers : 3 1 3. 25. 3 12. 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 355 

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un carré 
et qu'en en retranchant un multiple donné de l'autre côté de l'angle 
droit on ait encore un carré. 

47. Soit encore 3 le multiplicateur donné : on partira, comme 
triangle primitif, de celui qui a été trouvé dans la question précé- 
dente : 3i3.25.3i2. Les nombres générateurs en sont i3 et 12; on 
formera, en conséquence, le triangle cherché des nombres x— (3 
et 12. Les côtés seront : x- — 26a? -+- 3i3, a;- — 260; + 25, il\x — 3i 2. 
Multiplions le dernier par 3 et retranchons le produit du côté inter- 
médiaire, il reste a;- — 98a' + 961, qui doit être un carré, en même 
temps que le côté intermédiaire, a;- — 26.r + aS. On a donc une 
double équation, pour laquelle il convient, suivant ce qui a été dit 

au n" 4, de multiplier la seconde expression par ^; on aura ainsi 

()6l , 24986 r ^ - o c ^ 

■^.v'- ^?— .r + gCi^n, .r'--98.r-!-96i = [:]. 

La différence des deux expressions est 

q36 , 22536 26 /36 11 268 

2-^ 25 5 \ 5 00 

T^ c- . ■ I' 1- • ■ 27 681 73i , , 

hn continuant a 1 ordinaire, on trouvera a; = ' „ ., — ; les nombres 

3ib 570 

X — i3 et 12, si l'on chasse le dénominateur, deviendront en entiers 
235/12921 et 3 820440- On en formera le triangle cherché : 

568 864 871005 84 1. 539673367418641. 179888634 210480. 

Je donnerai plus loin (Partie III, n" 36) une solution du même pro- 
blème par une autre méthode. 

Trouver un triangle rectangle tel que l'hypoténuse soit un carré et 
qu'en retranchant d'un des côtés de l'angle droit un multiple donné 
de l'autre côté on ait un carré. 

48. Soient a; + 1 et i les nombres générateurs du triangle; les 
côtés seront : a;-^-2a;^-2, a;' -1- 2a;, 2a; + 2. Si l'on retranche le 



356 ŒUVRES DE FERMAT. 

double de ce dernier côté, c'est-à-dire l\x -\- l\, de x--\-ix, il res- 
tera X- — IX — /( qui devra être un carré, en même temps que l'hy- 
poténuse : X- + nx -\- ■}.. Cette double équation donne x = — -^•, par 
suite :t; + 1 et i, en chassant le dénominateur, auront les valeurs 
entières —.5 et 12, dont on forme le triangle : 1G9.1 19.— 120. Recom- 
mençons donc l'opération, en prenant, pour nombres générateurs du 
triangle, x — 5 et 12. Les cotés du triangle seront : x- — loa; -f- 109; 
X- — lax — \\c); 2![X — 120. Si l'on retranche du coté intermédiaire 
le double du dernier côté, le reste a;"— 58a; + 121 devra être un 
carré, de même que l'hypoténuse x" — loa; -h 169. En multipliant le 

reste a;-— 58x-f-i2i par le carré — > on aura comme expressions 
ramenées à avoir un même carré pour terme connu : 

160 „ q8o2 „ - ^ „ 

— -x^—- ;j; + i6q = n, d"-— io.r -h 160 = □ . 

121 12 1 

La différence des deux expressions est 

48 , 85q2 2 /24 42q6\ 

121 121 II \ 1 1 • ' / 

En égalant à la plus grande expression le carré de la demi-somme des 

facteurs, on trouvera x = ,,. , - .' , ce qui, d'après les positions, con- 

40040 ' ' ' 

(luira au triangle 

19343 o46 1 13329. '8 732 4i8 687 921 . 4 821 817 4oo4oo, 
lequel satisfait à la question. 

Trouver un triangle rectangle tei qu'un des côtés de l'angle droit soit un 
carré et qu'en ajoutant à l' hyooténuse un multiple donné de l'autre 
côté de l'angle droit on ait encore un carré. 

49. Soit 2 le multiplicateur donné. Si l'on forme le triangle des 
nombres x + i et 1, ses côtés seront : x- + ix -{- 1; x- -^ -ix; 
2a; + 2. Supposons que le côté intermédiaire, x'-^ix, soit un 
carré, et ajoutons à l'hypoténuse le double, l\x -h !\, de l'autre côté; 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 357 

la somme x- -h 6x -{- 6 doit être également un carré. On a donc 

D'où X ^ j- En nombres entiers, x + \ cl x deviendront 5 et 4. qui 
forment le triangle cherché : 4i-9-4o- ^^^ résoudra par là môme le 
problème suivant : Trouver un triangle rectangle tel qu'un dos côtés 
de l'angle droit soit un carré et qu'en ajoutant à l'hypoténuse soit 
l'autre côté simplement, soit son double, on ait toujours un carré. Ce 
triangle est, en elFct, celui que l'on vient de trouver : 4i.9.4o. Si l'on 
faisait ajouter à l'hypoténuse, soit l'autre côté simplement, soit son 
quintuple, on aurait le triangle 3o.iG.34, formé des nombres 5 et 3. 

Trouver an triangle reclan glc tel qu'un des côtés de l'angle droit soit 
un carré et qu'en retranchant de l'hypoténuse un multiple donné de 
l'autre côté de l'angle droit on ait encore un carré. 

50. Soit encore donné le multiplicateur 2. Prenons comme triangle 
primitif celui qui a été trouvé pour la question précédente : 4i-9-4o, 
formé des nombres 5 et [\. D'après l'analyse qui précède, on for- 
mera le triangle cherché des nombres a; — 5 et 4. Les côtés seront : 
X- — iox -^ [^i; x- — 100^-1-9; %x — [\o. Egalons à un carré le côté 
intermédiaire : x- — ioj^ + q; d'autre part, retranchons de l'hypoté- 
nuse le double du dernier côté, 8a; — 4o; et égalons à un carré le 
reste, qui est a;- — 2Gj; -h 121. La double équation 

semble pouvoir se résoudre de plusieurs manières, mais on n'en trou- 
vera guère qui procure une solution cfTcctive, à moins de recourir à 
la nouvelle méthode exposée, n" 20 et suivants. Si l'on ramène, en 
ctfet, à l'égalité les termes carrés connus, en multipliant la seconde 

expression par — > on aura la double équation sous la forme 
121,1210 

X^ X-1-I2l^n. -C — 26x-4-I2I = n- 

9 9 



358 ŒUVRES DE FERMAT. 

I.a différence des deux expressions est 

112 „ 976 8 f ^^ , '^-^ 

9 9 3 V 3 i 

\i\\ égalant à la première expression le carré de la demi-soninne des 

658 , , 1 ,c '^93 , 

tactcurs, on trouvera x= -^. et en en retranchant 5, on aura -^- Les 

nombres générateurs du triangle seront par suite 493 et i32, et di's 
lors le triangle cherché sera 2G0473.225G25. i3oi52. 

On résoudra de même le pfohième suivant : Trouver un triangle 
rectangle tel que l'un des cotés de l'angle droit soit un carré et qu'en 
r(^tranchant de l'hypoténuse, soit l'autre coté pris simplement, soit 
son double, on ait toujours un carré. Ces conditions sont, en elTet, 
satisfaites par les nombres donnés ci-dessus, et il ne faut pas dire que 
celle que nous venons d'ajouter est sans objet, comme remplie d'elle- 
même dans tout triangle; car si elle est effectivement remplie pour 
tout triangle (primitif), il n'en est pas de même pour leurs multiples; 
ainsi, dans le triangle 624.576.240, l'un des côtés de l'angle droit 
est bien carré, de même que l'excès de l'hypoténuse sur le double de 
l'autre côté; mais la somme de l'hypoténuse et de cet autre côté, pris 
simplement, n'est nullement un carré. 

Trouver un triangle rectangle tel que ion ait un carré en retranchant 
l'aire du carré de la somme des côtés de l'angle droit. 

51. Soient x et 1 les deux côtés de l'angle droit; la somme de leurs 
carrés, x--h\, fera le carré de l'hypoténuse et si, du carré de la 

somme des mêmes côtés, on retranche l'aire du triangle, qui est -> 

3 
on a pour reste x--h-x + i à égaler de même à un carré. Cette 

55 . . 55 , 

double équation donne x = ~ j^- Je substituerai donc x — '^^ l\ x 

dans les deux expressions égalées à des carres; les transformées 

seront 

, iQ i36q _ , 55 5320 ^ 
24 23o4 24 23o4 



TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 359 

En multipliant la première par -j^> je ramènerai à l'égalité les 
termes carrés connus, et j'aurai les deux (expressions 

5329 , ioi25i 5329 . 55 5329 

1869 32856 23o4 24 23o4' 

dont la difl'érence est 

3960 ^ 2 1 63 36 / 1 1 o 2 1 63 \ 

736^ ''''"' i^^-3^'^^(^^'^'~2664J' 

On en déduira j; =^ i—z — 77; en retranchant 73. on aura, pour la 
5250744 4° 

valeur de l'inconnue dans les premières positions, ' ,.,' • Les cotés 

1 '^ 129540 

de l'angle droit, qui ont été posés égaux à j; et à i, seront donc en 
nombres entiers SgôSS et (29648, et l'hypoténuse 135577. C'est le 
triangle cherché. 



Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit carré, 
aussi bien que la somme des côtés de l'angle droit et que, si l'on re- 
tranche le double de l'aire de l'un ou de l'autre des côtés de l'angle 
droit, on ait toujours des carrés. 

52. Soient a; et i —x les cotés de l'angle droit; le double de l'aire 
estiT — a;^; si on le retranche de l'un et de l'autre des deux côtés, on 
a les carrés x- et x^ — 2j: -+- i. D'autre part, la somme des côtés est le 
carré i. Il faut encore que le second côté, i — x, soit un carré, aussi 

bien que la somme des carrés des côtés, c'est-ii-dire ix- — 20: + i . On 

. 4o I , • I 1 1 . 1 40 9 4' 

trouvera x =^ -r-- Le triangle ciierche sera donc -r-'y-'i-- 
49 49 49 49 

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soil un cube 
et que, si l'on en retranche l'aire, il reste un carré. 

53. Soient x et i les côtés de l'angle droit; de la sorte l'un d'eux 
sera cube; de ce cube, je retranche l'aire -x. 11 reste i x (lui ibiil 



360 ŒUVRES DE FERMAT. 

êtro égalé à un carré, en môme temps que x'^-hi. Cette double équa- 
tion me donnant x = ^, je substitue x — ^ à x dans les deux 

expressions égalées à des carrés; les transformées sont : 
36 1 I . 544 i24 6oq „ 

225 2 225 50D25 

I.es termes connus y sont carrés; je les ramène à l'égalité et j'ai ainsi 

^, 544^ ^ 124609 ^ 13460 9 '^^6°9 ^_p|^ 

225 50625 ' 50625 162450 

La difTérence des deux expressions est 

268 i5q / 268 i5q\ 

^' ,■ ,r x — x-x. \x ■ ■ 

162450 \ 162450/ 

,. , 187917462543 ., , , 272 , , 

J en conclus x= ^' ■' ^ „ — ^—■, 1 en retranche -^ pour trouver la 

00970928200 ■• 225 ^ 

valeur de l'inconnue dans les positions primitives; j'ai ainsi 

90032 607 1 19 
80970928 200 

et le triangle cherché sera 

121 087412 881 90082607119 
80 970 928 200 80 970 928 200 



SECONDE PARTIE. 

DE LA TRIPLE ÉQUATION ET DES SOLUTIONS EN NOMBRE INDÉFINI. 

1. 11 est vulgaire de rendre égales à des carrés deux expressions rem- 
plissant certaines conditions; mais jusqu'à présent il a été inouï de le 
faire pour trois expressions. Fermât assure cependant hardiment que 
non seulement cela est possible, mais qu'il est même facile d'y par- 
venir; il donne à cet égard des règles précises qui, pour être appli- 
quées, demandent seulement qu'il y ait un même carré dans chacune 



THADUCïlON DE LINVENTUM NOVUM. 3G! 

des expressions; elles peuvent d'ailleurs comprendre, soil des termes 
en X et des termes connus, soil des termes en x" vl en .-r. 



Règle générale pour résouilre les triples équations. 

2. Si vous avez trois expressions ii égaler ii des carrés, et que le 
lerme carré soil le même dans les trois, prenez pour l'inconnue la 
soîiiine d'un lerme en x'- et d'un terme en x, dont les coenicients 
soientdéterminés de façon qu'en multipliant cette somme par le coef- 
ficient du terme en x dans une des expressions données, et en ajou- 
tant le terme connu de la même expression, on ait identiquement un 
i-arré. Substituez à x cette nouvelle position de l'inconnue dans les 
deux autres carrés, vous aurez ainsi une double équation ordinaire, 
d'où vous tirerez une valeur de x satisfaisant aux trois équations 
transformées; substituez cette valeur dans les termes en x- et en .;• 
(jue vous avez posés pour représenter l'inconnue, vous aurez ainsi la 
valeur cherchée satisfaisant à la triple équation proposée. 

3. Soif, comme exemple, la triple équation 

I H- .r = n , I -t- 3 a- = D , I -h 5 X = iH . 

.le représente l'incoiinne par .z---i- 2J\ binôme qui, si on le uiultiplie 
par 1, coefficient de x dans la première expression, fait x- -+- nx, et 
apii's addition de i, donne le carré j- -f- 2,r -i- i = (.r -i- i)-. Je sub- 
stitue x'- ->r IX il X dans les deux autres expressions, i + 2.r et 
I -(-.') J-; j'ai ainsi les deux transformées 

2J--4- ^.r + I = □ , 5.r=-i- ioj: H- 1 z= n . 

que je traite par la méthode ordinaire; la dilférence des expressions 
est 3.r- -f- Ga- = 3.r x (j^ + 2). Kn égalant le carré de la demi-somme 
des facteurs, e'esf-ii-dire f\x- + [\x -^ \ , ;i la pins grande expressi(m 
5.r- 4- loj' + I , j'obtiens la valeur ,r = — G (faux nombre qni donne 
des carrés dans les trois expressions transformées). Je la substitue 
dans la représentation de l'inconnue, c'est-à-dire dans .r--f- -ix. Pour 

l'KnsiAT. — U[. 4G 



302 GîUVKES DK F EU M AT. 

cela je prt'iuls le carré do — G, qui ost 3(5; je l'unis au double de — (i, 
e'est-à-dire l\ — 12. J'ai ainsi -t- 2/|, valeur de x pour les trois expres- 
sions primitives, qui donnent en eiïet les trois carrés : 2j, .'(9, 121, en 
prenant a: = 2 j. 

4. Soit encore la triple équation 

2.r + 4 = n, 3x-!-4 = n, G,r-i-4 = n. 

.le représente l'inconnue par -x'-+-2x, de façon qu'en niultiplianl 

par 2 j'aie x- -+- [\x qui, ajouté à /|, fait le carré x'- -\- [\x + ■{. (Conti- 
nuez comme ci-dessus, vous trouverez pour solution de la triple é(|Uii- 

1 120 

lion X = 

02y 

5. De même encore, si l'on propose la triple équation 

on substituera x'- -f- (Jx ax ci l'on aura trois expressions transformées 
dont la première sera identiquement un carré; les deux autres, traitées 
suivant la métbode ordinaire pour la double équation, conduisent ii la 

, . l5l2 

solution 

121 

5/ les termes connus sont des carrés diffèrenls, il n'y a pas plus de difficulté 
pour résoudre la triple équation. 

6. Qu'on donne, en effet, la triple équation 

on ramènera les trois carrés à l'égalité, et on poursuivra comme je l'ai 
expliqué. 11 est d'ailleurs facile de ramener les (rois carrés a l'égalité 
en faisant leur produit; la triple équation précédente deviendra de la 

sorte 

3C.r + 36 = n, 27a; + 3G — n, 8xH-36 = D. 

\l\\ effet, comme dans la première expression on a multiplié le terme 



THADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 3U3 

coiiiui, 1, par 3(), il faut do même multiplier par 36 le cnelficient do a- 
dans la même expression ; pour la seconde, le terme connu, /|, est mul- 
tiplié par () pmir obtenir 'M); il faut donc multiplier par 9 le coefïi- 
cient i de x. Kntin le dernier carré, (), doit être multi[)lié par 4 pour 
donner 3G; il faut donc, dans la même expression, multiplier par 4 le 
coellicicnt 2 de x, ce qui donne Sx. D'ailleurs la triple équation trans- 
formée conduit à la solution x = -,,— tt-; la même valeur satisfera dès 
lors à la (juestion proposée. 

La nivrnc rcgle s'élenil au cas où des cocjjlcicnls de x 
seraient négalifs. 

1. Par exemple, soit proposée la triple é(|ualion 

i + .r = n. i — 9..r = a, i-t-5.r = n- 

Vm substituant x^ -+- 'ix à x, on aura la transformée 

I>a première expression étant identiquement un carré, il suffit de 

considérer les deux autres, nui conduiront à la valeur x ^ — > d'où, 

' 1 1 

pour la triple équation proposée, la solution 

On peut obtenir des solutions en nombre indéfini 
pour les triples équations. 

8. .le vais le montrer par un exemple; j'ai dit plus haut (n° 3) que 
la valeur x = — (> satisfait à la double équation 

■.>..r--t- 4-1" H- 1 = n , 5x^+ I0.2- -f- I =[j . 

Je substitue a- — G à a* dans les deux expressions ci-dessus et j'ob- 
tiens ainsi les transformées 

- , r „ 242 ., 2420 , „ 

\ix^—i)ox->r\2\ — [2, -, — X- T— a;*H- 121 = D- 

49 '19 



:5G/^ ŒUVRES DE F EU M AT. 

La méthode ordinaire me donne pour solution un certain nombre. 

dont j'ai à retranclier G (puisque j'ai substitué a- — G à a-); j'obtiens 

. 1 1 5o4 38.") 8i() ,^ , , ■ • • ■,■ / n ^\ 

ainsi ~, — ttttt; Comme les trois expressions primitives (n" 3) 

14710J8J219 ' ' ^ ' 

étaient .r -1- i , -ix -v- \, ki- -+- 1 et qu'on avait substitué .2-- + -ix à x, il 

faut maintenant que je prenne le carré du nombre trouvé ci-dessus, 

et qn<' j'y ajoute le double du même nombre : j'obtiens ainsi la valeur 

470056 770 72q 578397 ■564 • ,• r -, i-,- 

./• = ^^^V^ — " .' Z r — ..,. , ,, ; qui satisfait aux conditions proposées. 
2 1 o ^7 1 90J o 1 .) 099 ibi go I ' ' ' 

car avec cette valeur 

_ '2G2ao768o35y 

34 o36 53 1 067 \- 

i4 71C 382 219 

5o 708 537 341 



.j j- + I = 



i4 716 382 219 



Lorsque, dans une triple équatio/i, le jdus grand coefficient de l' inconnue 
est égal à la somme des deux autres, la solution est impossible par la 
méthode ci-dessus ( ' ). 

9. Soit, par exemple, la triple é(|uation 

2X + I— n, 3j^-(-i = n, 5.r + i — D- 

Substituons ix'' + -ix à x, pour que la premii're expression se Irans- 
formi^ dans le carré 4-^^' + /| J' + i. Les deux autres expressions, après 

M) Pans iiiio note sur un de ses ninmiscrils conservés à la Bibliolli('(|iic île Dijon 
( Ms. ^Glv'. folio 21 verso), le Père do Billy revendique pour hii-ménie en ces lorines la 
reinar()iie de ce cas d'impossibilité : 

« Anno iGGo jun. 27, Domiinis do Fermai, Senator Parlamenti Tholosani, si^nificavil 
niilii habere se inethodiim gcncralcni resolvendi triplicatas a'qiialilales in qiiibus occiir- 
nint lanlum (piadrati cl radiées cl ninnenis (niadraloriim osl qiiadralus : ni si .l'qnenlnr 

ipiadralo 

lAA-f-îA, 4AA+6A, <jAA + 6A, 

polesl variari quomodolibet numéros radicum. Egocorrexi Dominum de Fermai eloslcndi 
quod, si duo minores numeri radicum œquentur majori, impossibilis est solulio per ipsius 
mclhodum : quod ipse postea fassus est ingénue se non animadverlisse. « 



TIIADUCTION DE I/INVENÏUM NOVUM. 3()ï 

siihslilulion, de vie mien l 

G .r -+()./• + I 3= ;^ , 1 ^■- H- I o .r -i- I =1 L] • 

Si l'on traite cotte double équation par la métliotle ordinaire, on 
aura, comme solution des transformées, x^ — i, valeur qui, sulisli- 
luée dans la représentation 20;-+ a.r de l'inconnue, donne o, c'est- 
à-dire la négation de tout nombre positif. 

10. On doit dire la même chose pour toute autre triple équation de 
même sorte. Remarquez cependant que j'ai dit que, dans ce cas, la 
solution est impossible par la méthode que j'expose, car on peut pro- 
|K)ser nombre de triples équations du même genre qui, en elles-mènu-s, 
ne seront pas impossibles; par exemple la suivante 

où, en substituant la valeur. r = 3, on trouve les carrés iCi, '19, (i'i. 

11. Il faut encore observer avec notre Fermât que la triphî équation 

est impossible ii la fois dans son essence et au point de vue de la 
méthode; dans son essence, parce qu'on démontre qu'il ne peni v 
avoir quatre nombres carrés en progression arithmétique, ce ([ui, 
dans le cas d'une solution, aurait pourtant lieu, en prenant l'iinilé 
comme le premier de ces quatre carrés; au point de vue de la mé- 
thode, parce que, quand bien même la triple équation serait jiossible 
en elle-même, on ne peut la résoudre parla méthode exposée ci-dessus, 
puisque le plus grand coelficient de l'inconnue est égal à la somme des 
deux autres. 

12. Kniin, il faut entendre l'exception comme n'ayant lieu que si le 
ternie connu est un même carré dans les trois expressions; car autre- 
ment, si les termes connus étaient des carrés dllférents, le plus grand 



:5GG ŒUVlîES DE FERMAT. 

coelHcient de x peut très bien être la somme des deux autres; par 
exemple, pour la triple équation 

,11] I I 269 o.So 

notre mi-thoue donne la valeur x = ,, „ • 

Une triple e^/ualion peut encore se résoudre sî les expressions sont exclu- 
sivement composées de termes en x' et en x, pourvu que les coefficients 
de X- soient des carrés (positifs^. 

13. Soit, par exemple, la Iriple équation 

a-'^-^x = 0, x--\-2x = n, x--h 5x = a; 

on peut ramener les expressions à ne renfermer que des termes en x 
ou connus, et l'on obtient ainsi la triple équation déjà traitée plus 
bant 

pour laquelle x= a'j. En divisant l'unité par cette valeur, j'aurai la 
solution cherchée pour la question proposée, savoir — • La raison en 

est que si, dans la triple équation primitive, je substitue - h x, la pre- 
iniiM-e expression, x--{-x, deviendra -^ -\ — : la seconde, -^ h — ; 

' x' x X- X 

la troisième, —, -\ — _■ Mais, en les égalant à des carrés, je puis les mul- 
tiplier par X-, ce qui me donne 

x-hi = a, 2j- + i = n, 5j:--hi=:n- 

\in elFet, le produit d'un carré par un carré est toujours un carré. De 
la sorte, la triple équation constituée avec des termes en x- et en x a 
été ramenée à une triple équation constituée avec des termes en x ou 

connus; comme d'autre part on a substitué - à a-, il v a lieu de diviser 

' X " 

l'unité par la valeur obtenue pour a; dans la transformée. 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 307 

14. Soit proposée la triple équation 

4 .r- -4- 2 .1- =: n , 4-ï^' -+-6x ^ n , 4-1''+ 9-ï^ = D ; 
011 la convertira en la suivante : 

2.rH-4 = u, 6j; + .'i=:n, 9^ + \—a, 

pour laciuelle on trouvera ir= --^; divisant l'unité par cette valeur, 
1 ' 2209 1 

on aura ^~^ comme solution de la triple équation proposée. De même, 

si l'on a 

.r-+2J^C 4'i" -H 3 j = n 7 i6j;- + gj; ^ G , 

la conversion donnera 

2x-+-i=:n. 3j; + 4 = n. ()j^ -+- tC> = n, 

,, , I io656 ... ... ., ... .,1 '"'^q 1 

(I ou X = -^ ; SI I on divise 1 unité par cette valeur, ~ sera la 

a.29 ' II0D2b 

solution cherchée. Soit enfin 
la conversion donnera 

vC--t-J:=:Q, 3j;-(-4=n, 2J;-4-9=:;n, 

cl ou j.' — .•. ,— ; divisant I unité par cette valeur, on aura \. ' ■ 
744769' 1 269280 

comme solution de la triple équation proposée. 

15. Remarquez que l'on peut abréger les calculs dans le cas où les 
coefficients des termes en x'- sont les mêmes, mais différent de l'unité, 
en les ramenant précisément à l'unité sans toucher aux coefficients des 
termes en x-; on n'aura (ju'à diviser plus tard la valeur trouvée pour .i' 
par le carré donné comme coefficient des termes en œ'-. Ainsi, soit pro- 
posé 

9J7--I- gxmQ, 9a,--+24x = n, 9J;* + 72^: = Q ; 

substituons x- à c)x- sans toucher aux termes en x, il vient 

x--i-9J" = [], .r'-f- 24j? — □, x-+72.r = n, 



;?68 ŒUVRES DE FEUMAT. 

(r(iiia,- = 3. Divisant par lo carré 9, nnns aurons >, comme solution de 

la liiplc équation proposée. Si Fou divisait la même valeur 3 par le 

3 
rarré i(j, on aurait — : comme solution de la ti'iple énuation 
ib ' ' 

i6.r--h g.î- — n. i6.r--f- 24.f = D . iG.i-- -h 72 j: = l] ; 

il en sera de même dans les autres cas semblables. 

.1// moyen de la triple écfualion, on peut résoudre des et/ un t ion s 
quadruples, quintuples, etc. à l'infini. 

16. Soil proposée, par exemple, la quadruple équali(ui suivante 

o.ox -h 61 = □ , io,r-+-iG = n, Sx-l-l^n, 2.r + i=D. 

Si l'on ramène à l'égalité, comme il a été dit, les termes carrés, on a, 
comme nouvelles conditions, 

2o.r + 6/4 = n, 48j? + 64 = n, i38r-t-G4 = n; 

substituez - J" + a- à x et traitez par la métbode indiquée la double 

équation qui restera ii satisfaire, vous obtiendrez, comme solution, 
.S]2() (en dehors de '|, solution immédiate). 

n. Ou peut de même combiner une quintuple équation avec des 
coefficients différents pour les termes en x et divers carrés comme 
termes indépendants, en s'arrangeant de façon que, les carrés étant 
ramenés à l'égalité, on ait trois expressions identiques et deux autres 
distinctes, comme par exemple : 

•>,r + i = n, 8.r + 4 = IIl, 32.2: + i6=n. lox + Ç>^ — \2, 36.r-H256=n; 

I , , 10 177 024 

on aura comme valeurs 4 et ' „ • 

^ 1018 081 

On combinera de la même façon une équation centuple et ainsi de 

suite indéfiniment. 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 3Gi» 

D'après ce (jui />rècéde, il esl facile de résoudre d'une injlnilé de façons 
des queslions que Diophanle et Bachel ne résolvent que par des pro- 
cédés 1res compliqués. 

18. Soil proposé 

jf + iG — n, 2j;"+i6 = G- 

Substituez x'- h- Sx à x, ce qui, pour la première expressiou, elouncra 
le carré. r- 4- Sx -h iG = (j7-i-4)"- La seconde deviendra 2a;--f-i6a;-i-i(') 
(|u'iui égalera, par exemple, au carré de 4 — 2a; (le coefficient de j- 
pouvant être pris arbitrairement). On trouvera x =^ iG; comme ou a 
substitué a;--;- Sx, ou prendra i(r+8 xiG:=384, et l'on aura la 
s(du(ioii cliercliée. 

19. Soit proposé encore 

1 6 — -r = □ , 1 G — .") .c = □ . 

Substiluez Sx — x'-, les transformées seront j- — Hj; -f- iti cl 
"i.r- — '\ox -+- iG : la première est un (-arré ; il reste donc seulemeut a 

éiçaler la seconde à un carré, soit à celui de A — 1^'^ ^l'cù -J' = -■ 

(^(luimc on a substitué Sx — x', on prendra 8x— — ( — ) = -— • 

^ Il V 1 1 / I a I 

20. Sdit encore, comme troisième cas: 

ic> -ir X — o, i6 — .ï.- = n. 

Substituez x'- -+- Sx; les transformées sont : la [(remièrc iG -i- iS.^' + .r-, 

(|ui est un carré; la seconde iG — Sx — x^ à égaler à un cairé, soil 

8 
celui de \ — 2x; d'où x = t:- Puisqu'on a substitué a- + Sx, ou [)reu- 

dra, oiiur la solution cliercbéc :iSxr-l-(T)=:-rr- 

Douze qui'slions conceraanl ce qui a élè exposé jusqu'ici 
dans celte seconde Partie. 

21. Tous les exemples que nous avons donnés sont autant de [iro- 
blèmes résolus. J'en in(li(|uerai un seul : Trouver un nombre, dilférent 

l'ERM.tT. — lu. -17 



:i70 ŒUVKKS DE FERMAT. 

(le '2\, ol toi qu'en iijoiilaiil l'unité ii son simple, à son double et à son 
([uiii(u|)le, on ail trois carrés. On (l'ouvera ci-dessus, sous le titre des 

I • I • !./■ • ' , «\ 1 1 47OQ'J(>77O7?.0â7S397'264 

solutions en nombre indéfini ( n" 8) le nombre -^ — ' ^ / ^ r >~r 

^ -' 216^71 9o:> 01 5 699000901 

satisfaisant à ces c(mditions. 15ien ]ilus, si l'dii veut proposer la (|iies- 

lion en nombres entiers, on pourra l'énoncer comme suit : Trouver un 

carré entier autre que l'unité, tel qu'en y ajoutant le simple, le double 

ou le quintuple d'un certain nombre entier, on ait trois carrés. Mais 

j'ajoulerai encore ici d'autres problèmes nouveaux. 

Troiwer trois cubes tels qu'en ajoutani leur somme à des nombres 
proporlionels à ces cubes on ait trois carrés. 

22. Prenez les trois premiers cubes i, 8, 27, dont la somme est 3G: 
ajoutez-la aux produits par.r de chacun des trois cubes; vous aurez 

3G-i-.r = n, 36 4-8.r--n, 36 + 27x = n;' . 

remplacez x par x-~\-^1x, ce qui donnera, jiour transformée de la 
])remière expression, le carré (j?-i-G)-. lin achevant l'opération, on 

220 330 , , ,,. 

aura —rri comme valeur de 1 inconnue. 

5329 

Trouver un nombre différent de [\ et tel (jucn ajoutant à cinq carrés en 
progression géométrique ses produits par 2, 8, 3-2, 20, 3G, o/? ait des 
carrés. 

23. Prenez les carrés i, '\, iG, G/J, 2jG; vous aurez une quintuple 
équation 

n-2.r:=n, 4+8.r=n, irn-32j-=G. 6'i-H2o.r=n, i'iÇ, + z&x=u- 

Ramenez ii l'égalité les termes carrés, les transformées des expressions 

sont 

256 + 5i2.r, 25G+5i2j, 2j6 + r)i2jc, soG -1- Soo-, 256-1-36.1:; 

c'est donc comme si l'on avait seulement une triple équation; la mé- 



TUADUCTION DK LINVENTUM NOVUiM. 371 

llioik' ci-dessus (n" n) (Idiiiic a; = ^J "' . solution do la nuinlunlo 

ctiualioii [)0si'(' loul d'abord. 

Trouver trois /io/)ihres carres Icis (ju'en ajoulanl leur somme, à chacune 
de leurs racines on ait des carrés. 

24. Choisissez trois earros dont la souiine soit uu carré et tels ([ue la 
plus grande racine soit supérieure à la somme des deux autres; tels 
sont /|, 3G, 8i, dont la somme est 121. Prenez pour les trois carrés 
(•herchés f\x'^, 3().z-, Sio.-'-; leur somme, ajoutée séparément à chacune 
lies racines, donne 

121 -T-H- 2.C := □ , I 21 .r-4- 6.r = □ , I 2 1 ^''-t- g.r ^ r] . 

On Irouvera a- = ~ — (voir n" 14); en substituant cette valeur dans 

02 ()20 

les expressions ci-dessus, on trouvera des nombres carrés, et le pnt- 
bli-me sera résolu. 

Trouver trois carrés différents tels //ucn leur ajoutant trots nomhres 
en proportion harmonique, on ait trois autres carrés. 

25. Il l'aut avoir soin que le plus grand des trois proportionels hai- 
moniques soit supérieur à la somme des deux autres; on pourra de la 

sorte poser 

i-H2x = u, 4-t-3.i' = n, iG + G.rT-n; 

on, (Ml réduisant les ternies carrés à l'égalité suivant la méthode ci- 
dessus, 

iG-i-32J = G, i6H-i2.r — n, iG-i-6.r— D- 

Remplacez x par j. x'- -^ - x al achevez l'opération comme nous l'avons 
indique {Cf. n" 14), vous trouverez pour solution de la première équa- 

1 4761 



372 ŒUVRES DE FERMAT. 

Trouver trois nombres tels que ht différence des deux plus grands soi/ 
dans un rapport donné à la différence des deux moindres, et que, 
d'autre part, leurs sommes deux à deux fassent des carrés. On donne 
le rapport de 3 à i . 

26. C'est la question IV, 45 de Diopliante, et il n'y en a pas que cet 
auteur ait traitée d'une façon plus prolixe et plus embrouillée. Prenez 
un carré arbitraire, /^ par exemple, ])0ur somme du nombre moyen et du 
moindre; soit 2 -h x \{', moyen, 1 — x le moiiulre; leur difl'érence sera 
■2.r; si on la triple (puisque le rapport donné est de 3 à 1), on aura Gx 
e(, en ajoutant le nombre moyen, on aura le plus grand ■2-h'jx. Il faut 
tle plus que la somme du plus grand et du moyen, c'est-à-dire 1 -+- Sx, 
et la somme du plus grand et du plus petit, c'est-à-dire 4 4- ijx, fassent 

des carrés. Remplacez x par — -+- :^.r, de façon qu'en multipliant par (> 

(coeiïicient de a,' dans la seconde expression, on ait j'- -t- 4-^. dont la 
somme avec 4 fera le carré (2 -f- x)-; en multipliant la nouvelle forme 
de l'inconnue par 8 (coelficient de x dans la première expression), et 

ajoutant 4. on aura 4 + ir*^ "*" ^ '^' '^ égaler à un carré dont on peut 
former la racine d'une infinité de façons. Soit par exemple (2-\-j.vj . 
On obtiendra une valeur qui, substituée dans l'expression de la pre- 
mière inconnue, donnera — : les trois nombres cberchés seront > 

121 lui 

121 121 



Trouver deux nombres tels que leur somme, soit augmentée, soit diminuée 
de la différence de ces nombres ou encore de la différence de leurs carrés, 
fasse toujours un carré. 

27. Soient - + .r et x ces deux nombres; leur diiïérence, aussi 

■2 2 

bien que la différence de leurs carrés, sera -ix. Il faut ilonc que la 



THADUCÏION DE LINVENTUM NOVUM. 373 

soinmo (les doux nombres, plus ou moins 2.r, fasse un carr»'. On a 
donc la double équation 

Hemplaccz a; par ~.v'^-i-x, de façon qu'en multipliant celle expres- 
sion de l'inconnue par 2 et en ajoutant l'unité, on ait, d'une part, 
1 + 2J7 + j-^ (jui est un carré; de l'autre, 1 — 2.r — .r- à éiçaler à un 

carré, soit à (i — 3cr)-; d'où x = ^- Comme on a remplacé x par 
-x^-h X, on prendra - ( ï ) + ^ = ^> valeur d'où l'on déduira, pour 

les nombres cherchés, d'après les positions, ^ et — • 

' 1 5o jo 



Trouver quatre nombres dont trois soient carrés et tels que le produit de 
deux quelconques d'entre eux, augmenté de l'unité, fasse un carré. 

28. On cherchera d'abord, d'après Uiophante, V, 27, trois cariés 
tels que le produit de deux quelconques d'entre eux, augmiMité de 

l'unité, fasse un carré; tels sont -^1 -7-» -^- Ces trois carrés étant i)ris 

ib 4 isi 

pour le premier, le second et le troisième des nombres cherchés, soit 
X le quatrième ; dès lors, les produits du premier nombre par le se- 
cond, du second par le Iroisii-me, du troisième par le premier donnant 
des carrés, si on les augmente de l'unité, il sulfit qu'il en soit de même 
pour les produits du quatrii-mc par chacun des trois premiers; on a 
donc les conditions 

Q 2.") 256 

^,cH-i:=n, -7-A--t-i = a, -^.r + 1 — n. 

10 4 o' 

Remplacez, suivant la règle, j; par — x- + — ; dans la première ex- 
pression ^.r devienl J-^ + 2a^ qui, augmenté de l'unité, donne b' 
carré (a; -\- 1)-; elfectuant la substitution dans les deux autres exprès- 



374 ŒUVRES DE FERMAT. 

sions, 011 aura la (loiiblc t'([iialion 

/ioo „ 800 MOqf) S|()2 _ 

3G 3G 73<j 7Jy 

(lii les ItTinos iiulépendaïUs de x sont carrés (aussi bien que h's coel- 
ticicnls de .r'-); on pourra di's lors la résoudre par la méthode ordi- 
naire, et en déduire la valeur de l'inconnue ou du quatrième nombre 
eberi'hé. 

Trouver un Irianglc reclan gk tel que k produil de l' hypolcnasc par la 
somme des côtes de l'angle droit soit un carré, aussi bien que les sommes 
obtenues en ajoutant au carré de l'iiypotcniise, soit le double de celle-ci, 
soit r un ou l'autre des entés de l'angle droit. 

29. Prenez un triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré 
aussi bien que la somme des cotés de l'angle droit (première Partie, 
n" 45); multipliez par .r chacun des côtés de ce triangle, vous arriverez 
il ce que vous cherchez. 

Kn eiïet, le produit de l'hypoténuse par la somme des côtés de l'angle 
droit sera un carré; si, d'autre part, au carré de l'hypoténuse, on ajoute 
séparément le double de celle-ci, puis l'un et l'autre des côtés de 
l'angle droit, on aura une triple équation, qui se résoudra comme il a 
été dit an n" 16. 

Tromper un triangle rectangle tel que l'on ait un carré, en ajoutant au 
carré du périmètre, soit un quelconque des côtés de l'angle droit, soit 
un multiple donné de V hypoténuse. 

30. Soit proposé, comme multiple donné de l'hypoténuse, le double; 
prenons, pour le triangle cherché, "ix, l\x, 5x. On aura 

|/;.1.^--4- 3.r = a, i{il,a;--]-'\x=n, i/i/i.i---l-ioa-= C- 

l*]ii procédant comme il a été dit au n" 13, on trouvera x = — — ^j 
el le tri: 



, , , , /)563 608:4 7605 

lan^ie cliercJie sera .77 — rj-' 01 — rr' tj — tt' 
^ 31ai-i-i 34.! 144 34214!) 



THADUCTION UE LINVENTUM NOVUM. Tto 

Trouver un triangle rectangle tel que ion ait un carre en inuUiplianl 
l' hypoténuse par la différence des côtés de V angle droit, aussi bien qiéen 
ajoutant au carré du périmètre, soit un quelconque des côtés de l'angle 
droit, soit un multiple donné de l'hypoténuse. Soit proposé, comme mul- 
tiple donné, le double. 

31. Prcnoz, pour (rianglo primitif, 1 19, i 20, 1G9, dont riiypotémiso 
rst un carré, aussi hicn que la didércncc des cot»!s de l'angle droit. 
Multipliez par x chacun de ces côtés; leur somme sera [\o%x; en ajou- 
tant séparément ii son carré chacun des cotés de l'angle droit et le 
double de l'hypoténuse, on aura 

166464.^^+119,1 — 0. 166464^^-t- laoj — □ , 166 464.2^° -H 338. r = [j; 

le reste est facile d'ajuTs le n° 13. 

Trouver un triangle rectangle tel que ion ait un carré en multipliait un 
des côtés de iangle droit par la différence entre iaire et ce côté, aussi 
bien qu'en ajoutant au carré du périmètre, soit un quelconque des cèités 
de iangle droit, soit un multiple donné de ihYpoténuse. 

32. Prenez (première Partie, n" 53) un triangle rectangle don! un 
coté de l'angle droit soit l'unité, et d(nit la diU'érence entre l'aire el 
cette unité soit un carré ('); multipliez par x (diacun des cotés, 
prenez le carré de, périuii'trc et ajoutez-y séparément chacun des côlés 
de l'augh^ droit et le multiple proposé de l'hypoténuse; la s(dulioii 
s'achèvera d'après ce qui a été dit au n" 13. 



(') Celle soliilion est cvidciniiiciil erronée; soil a^ = //--hi le li-iuiigle priniilif .siiiiposé 
où I — - csl un carré; le triangle, ctierciié d'après les indications de Billy, satisfait à la 

condition xix — ) = D ; c'est-à-dire que le produit de l'un des colés de l'angle drnii 

par la didérencc entre ce cote et la moitié de l'autre (non pas l'aire) est un carré. 



376 ŒUVUES J)E FERMAT. 

Troiacr un triangle rectangle tel (jne l'on ait un carré en multipliant 
un des côtés de l'angle droit par la somme de ces deux côtés, aussi bien 
qu'en ajoutant au carré du périmètre un quelconque des trois côtés du 
triangle. 

33. Prenez un triangle rectangle dont la somme des côtés de l'angle 
droit et l'un de ces eotés soient des carrés; par exemple, le triangle 
'ici, ç), f\\. Multipliez cliacun des côtés para; et ajoutez-les séparément 
au carré du périmètre; vous aurez 

Le problème pourra ainsi être résolu. Il ne faut pas dire au reste ({u'il 
y ait là une contradiction avec, la remarque des n"" 9 et suivants, 
d'après laquelle la méthode de Fermât ne s'applique pas au cas oii le 
plus grand des coelficienfs de œ est égal à la somme des d(!ux autres ; 
(|uelqu'un pourrait croire qu'il y a encore plus impossibilité lorsque 
le plus grand coefTicieiit est inférieur à la somme des deux autres; 
mais du moment oii il y a inégalité, quelle qu'elle soit, le problème est 
possible, comme tout patient analyste pourra le i*ecnnnaitre. 

TROISIÈME PARTIE 

rOMI'KKN.^NT LK l'ROCÉDK l'OUIl OliTENIU DIÎS SOLUTIONS EN NOMBUF. INDÉFINI 
DONNANT DF.S VALEUP.S CAUr.ÉES OU CUBIQUES A DES EXPRESSIONS OU ENTIIENT 
PLUS DE TROIS TERMES DE DEGRÉS DIFFÉRENTS. 

1. Je traiterai ici particulièrement des expressions comprenant les 
cinq termes en a-*, .x-'', x', x et le constant; mais, à cette occasion, je 
parlerai aussi des expressions de quatre termes. Ces termes pourront 
d'ailleurs être, soit tous positifs, soit entremêlés de termes négatifs; 
l'objet proposé est de donner à ces expressions des valeurs carrées 
(|)our celles de cinq termes) ou cubiques (pour celles de quatre), et 
cela d'une infinité de façons; or, en général, on peut dire qu'il est né- 
cessaire, pour les valeurs carrées, que au moins le coellicient du terme 



TUADLICTION DE LINVENTUM NOVUM. 377 

en .r'' <iu le terme constanl soit un carré; pour les valeurs cubiques, 
(|U(' 11' eoelficient du terme eu x' ou le ternie coustaut soit un cube. 

l'égaler à un carré une expression composée de cinq termes 
et où le coefficient de x'' seul soit un carré. 

2. Il faut tout d'abord avoir soin que les coefTicients de x'', a--' et x- 
soient les mêmes dans l'expression proposée et dans le développenienl 
du carré qu'on lui égale. Pour cela, on prendra tout d'abord la raeiru' 
carrée du terme en a*^ pour former le premier terme de la racine du 
(;arré cbercbé ; puis on divisera le coelFicient du tenue en x'^ par le 
double du premier eoelficient ainsi trouvé, et en multipliant le quo- 
tient par X, on aura le second terme de la racine du carré cherebé ; 
après (juoi on prendra la différence entre le carré du eoelficient île ce 
second terme et le coefficient de x'^ dans l'expression proposée; on 
divisera par le (btuble du eoelficient du premier terme, et l'on aura 
ainsi le troisième terme de la racine du carré cbercbé, celui qui esl 
indépendant de j:. En égalant le carré de cette racine trinonu" ii rex|)res- 
sion proposée, on obtiendra la valeur de l'inconnue. Ainsi soit proposé 

x'+ !\x^+ 6.X---I- 2.Z- -!- 7 = n ; 

en observant les riîgles qui viennent d'être exposées, on prendra, pour 
le carré à égaler à cette expression, 

{x--^ 2x + i) = o-'-l- 4-r'+ 6.r-+ 4-2^-1- '; 
l'équation donnera x^ ^, et en substituant dans l'expression pnqx)- 
sée, on aura le carré 2.t() ('). 

( ') Les règles de Billy reviennent, étant proiiosco l'expression 

«-.r' -h b.c^ 4- Cl- -t- dx -)- c — C 
;"i lui égaler 

/ - — \' 

\ tix^- X-. '— ; = (r-x''^bx^+cx'--\- -^-i—,-! ^.c+ - — -—— — '-■ 

\ V. « -Kl J 8(î' ()4fi'' 

Les ternies en c*, .z;^, x"- s'éliminant, on a pour .r une valeur ralionelle, 

■'^ ~ •^tt'-\b(\u''-c — //•!) — 8a'rfj' 
Fermât. — UI. 48 



378 ŒUVKÈS J)Ë FEU M AT. 

Egaler à un carre une expression composée de cinq termes, 
et où le terme constant seul soit un carré. 

3. Il faut remarquer que dans ce cas, contrairement au précédent, 
(es ternies qu'on doit rendre égaux de part et d'autre sont le constant 
et ceux en x otar'. On prendra donc, pour premier terme de la racine 
du carré à égaler, la racine du terme constant de l'expression proposée ; 
on divisera par le double de cette racine : en premier lieu, !<• coelfi- 
cient de x dans l'expression proposée, et l'on aura l(> coefficient du 
second terme de la racine cherchée; en second lieu, la dilTérence entre 
le coelTicient dear- dans la proposée et le carré du dernier cocfTicient 
trouvé : on aura ainsi celui dcir- dans la racine du carré à égaler. En 
formant ce carré et achevant l'opération, on aura la valeur de l'in- 
connue. Soit, par exemple, proposée l'expression 

io.r'+ 4-*''+ igx'-t- dx + 9 = n ,' 

en observant les règles qui viennent d'être exposées, on prendra, pour 



le carre a égaler: 



l'équation donnera ar = 2, et en substituant dans l'expression propo- 
sée, on aura le carré 289. 

Egaler de différentes façons à un carré une expression composée de 
cinq termes, et où le terme constant est carré en même temps que le 
coefficient de x*. 

4. Tout d'abord on peut former la racine du carré à égaler, de façon 
à éliminer les termes constants, ceux en x et en x\ Ainsi soit pro- 
posé 

x'' -\- !\X^ + 10X° + lOX + IZIz'Oi ■ 

Formez (i -+- loa; -h a?-)- = i -+- lox -t- 102a;- + nox'^ -+■ x'' ; les termes 
de trois degrés disparaissant, il restera l'équation —920;-= iGa;', d'où 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 37!) 

X = — '— = J-- En substituant dans l'expression j)i"oposée, on aura 

I , 1/10625 

le carre — ;-^- 

5. En second lieu, on peut former la racine de façon à éliminer les 
termes constants et ceux en x et x-. Ainsi soit proposée la mènu' 
expression 

On prendra (i -h lox — f\5x'-)-; en développant le carré et en établis- 
sant l'équation, il ne restera que les termes en x" qIx", de degrés im- 
médiatement consécutifs; on tirera donc j:;=-vô; la substitution 

I I . 27.4 706 

donne le carre y^r-^ — 
64 009 

6. Troisièmement, on peut former la racine de façon à éliminer les 
termes constants et ceux en x^ et x*. Soit toujours la même expres- 
sion 

.c'+ '\jr^-+- lOj-'-i- 20a- H- I = n • 

On prendra (x- -h -ix + i)'- ; il ne restera dans l'équation que les 
termes en x'- et x; et l'on tirera x= — '\, d'où la valeur carrée 81 pour 
l'expression proposée. 

7. Quatrièmement, on peut former la racine de façon à éliminer les 
termes en .r', x*, x'-. Soit encore 

x' + .'|./-'' + loa-- + 20a; -i- I = [7] . 

On prendra (^a;- 4- .i.r -f- 3)^; après élimination, il restera seule- 
ment des termes en x ou constants; on en tirera x—i, d'où, pour 
l'expression proposée, la valeur carrée 3G. 

8. Cinquièmement, on peut former la racine autrement que nous ne 
l'avons fait plus haut, de façon à éliminer les termes constants et ceux 
en X et x'' . Avec la même expression, on pourra égaler 

(1-1- loj; — X-)-, 



380 ŒUVRES DE FEU M AT. 



ct l'on aura x= --) d'où, pour l'expression proposée, la valeur f — ^ J • 

9. Sixièmement, on peut aussi former la racine autrement que nous 
ne l'avons fait plus haut, de façon h éliminer les termes constants et 
ceux en .r' et x\ Ainsi on pourra, avec la môme expression, former 
l'équation 

d'où ,r = — 3, et, pour l'expression proposée, la valeur carrée 4- 

10. Je laisse de coté les autres racines que l'on pourrait former, 
comme — x- — 2 j; — 3, i — 2<r — x' , x- ~ \ o.r — i , 4 J-t-'^ — i o j; — i , 
— I — 20- — .r'-; car, si elles donnent des solutions, ces dernières ne 
tlilTèrent pas de celles que nous avons déjà obtenues. 

Ce que sont les solutions dérwées et comment on les obtient, 

H. Il y a deux sortes de solutions : les unes, en clfet, sont primi- 
tives; les autres, dérivées. Les primitives sont celles que l'on déduit 
immédiatement de l'expression proposée < comme celles que nous 
venons de calculer; les dérivées sont celles qui proviennent des primi- 
tives; elles peuvent d'ailleurs être du premier degré, si elles sont im- 
médiatement déduites des primitives; du second degré, si elles sont 
déduites de dérivées du premier degré; du troisième degré, si elles 
sont déduites de dérivées du second degré, et ainsi de suite indéfini- 
ment. Remarquez d'ailleurs que de solutions fausses on peut en tirer 
de vraies et inversement, comme on le verra clairement ci-après. 

Déduire les solutions dérivées du premier degré d'une solution primitive 

quelconque. 

12. Ajoute/ à X la solution primitive, avec son signe -i- ou — ; sub- 
sliluez à l'inconnue le binôme ainsi formé dans les divers termes qui 
composent l'expression proposée; égalez le résultat de cette substitu- 
tion à un carré dont on formera la racine comme il a été dit ci-dessus; 



TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 381 

iijdiilcz la valeur qui en viciuira pour x à la solution primitive, vous 
aurez aiusi la sohiliou dérivée que vous eliereliez. 

Soi(, [lar exemple, ii trouver une solution dérivée du premier (l(^gré 
p<iur l'expression proposée ci-dessus 

.r' -H '\ .r^ + lo.r- + 20 j; -t- 1 = Q ; 

prenez —3, l'une des solutions primitives; ajoutez-la ii x, vous avez 
.r — 3, ([ue vous substituez à x dans les termes x'' , /|.r% \ox-, 2o.r, et 
vous ajoutez le terme constant, comme ci-après : 



.l-i 


x'' — i2.i.'''-i-,54-r' — io8.j'-f- 81 

-1- \.i' — 0G./-+ lo.S.r — 108 

+ lo.i'- — Co.r -t- ()<) 

+ 20 X — (■><> 

-H 1 


4-r-' 

lo.r- 

■20./' 






ToUil 


.!:'• — 8 .t' -+- 28 .(■' — |().r -f- ,'| 



13. Celte somme doit être égalée à un carré; formez-en la racine 
comme suit : x- - 1.^'— 2; il viendra x =^ -; comme on a substitin'" 

V — 3, retranchez 3 de -> il reste - comme valeur de x dans l'expres- 
si(ui proposée; la substitution de cette valeur donnera comme résultat 

- m- 






14. On peut encore égaler la même somme au carré de (x- — 1 ox-h-i), 
d'où X = —-; retranchant 3, reste -^ comme valeur deuilans rexpr<'s- 



■>ioii proposée, et celle-ci deviendra 



«I 



'9' 
., 9 



15. Prenez le carré de (2 — loj; — a^'-); il viendra a' = — -^\ relran- 



:;,s 



chant 3, vous aurez la s(dution — — qui donnera ii l'expressicm [iro- 
posée la valeur "^ , c est-a-dire ~- ■ 

' 2401 V 49 / 



:J82 ŒUVRES DE FERMAT. 



16. Quatrièmement, prenez le carré de (2 — loa* — 18a;-); il vien- 

3'20 



I 368 ,, . , 1 , ■> I I ,• i337 

(Ira a; = — ^j-^» d (lu, relraneliant 5, vous aurez la solution — -—j- 



On pourrait encore former les carrés 

(.r^— -1.r-l- 2)- 01 (— x-+/i.r— 2)'-, 

mais ils conduiraient à la valeur x = 3, d'où, en retranchant 3, la so- 
lution o, qui est illusoire et hors de notre propos. 

n. J'ai dit, d'autre part, que l'on avait également comme solution 
primitive —4; <^'i pci't <^le même en tirer des solutions dérivées, en 
suhstituant x — 4 à x dans l'expression proposée 

.r '• + 4 -f' + ' o .1 ■ + 20 .r + 1 , 

ton! comme on a suhsiitué x — Z dans cette expression. 
Le résultat de la substitution sera 

.r ■• — 1 2 ./-^ -I- 58 a-' — 1 2 '1 J^ • + 8 1 = D • 

Hn prenant pour carré (.r- —ijx — 9)-, vous obtiendrez la scdution )r- 

Le carré ix' ^.z' + n) donnera la solution ^.- Le troisième carré 

V 9 / •5'' 



42-7 ,\-,. .. 86 507 /■,-., , ■. ( 62 „\- 

X -^^—^ x^ \ lournit ^., ... ( ' ). Le quatrième (9 x — x-\ 



62 

729 } 43 0J9 

"55 
donne — ^- On pourrait encore former les carrés (x:- — Ga- + 0)- ou 
20 1 ' ^ 

('— j-'+ (Sx — 9)-, mais on en tirerait a- = 4, d'où la solution o, qui 

nous est inutile. 

18. Comme solution primitive, nous avons encore r-- Substi- 

4 

o 

Inons donc x — ^- à x\ l'expression proposée deviendra 

1 1 15 . 733q 1 40625 



(' ) Billv donne la valeur crroncc : —nr^ — ■ 

4jC39 



TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 38J 

Vous obtiendrez les solutions : 

10 375 \^ 



-r par le carre x- -x 

3 ' V 2 lO 



-7-. par le carre Lr- -x -\ — — 

jb ' \ 2 ib / 

144 23:^ , . /■ , 7339 375 V 
■ , . par le carre x-+ ^—^ x ~ ; 

1 , /37r) 733o 45 075 o33 .,\ ,. 

(•ntm le carre [ -^. ^^-r-^x-t-^ — , . „ . 3;- en tournira une (iiia- 

\ 16 700 02 734 370 / ' 

trième. 

19. Voilà pour les solutions primitives affectées du signe — ; on 
procédera de même pour celles qui ont le signe +. Ainsi, comme 4-1 
est une solution primitive, on substituera a: -|- i et on aura la trans- 
formée 

.r' + 8x'-i- 28x'-<-5C.x-+-36 = n. 

D'oi^i les nouvelles solutions : 

- - - - par le carre ( a.- -h -r^ .r -t- 6 1 ; 

H- „- par le cai're [x- r,-J" — 6 ; 

39 \ ••> / 



'77' 1 ■ r '4 '4 ,\' 

-74r7- par le carre b -1- -„- x h ./■- . 

:)6i \ 3 27 / 



1 1 



20. (A)mnie autre solution primitive, nous avons ^J sul)sliluoii> 
donc X + -^; la transformée, obtenue comme il a été dit au n" 12, sera 

56 - 1212 , 12 aoo 47 52^ 

x'-{- -^ x^-\ x--\ x-H ~ — =n . 

39 27 81 

I 1 , • 1 ■ • - , ' O 1 , / „ 28 2 1 8 \ - 

Les solutions dérivées seront : -5- par le carre 1 jr+ -^x + 



3 i"" ■--"'■- V 3-^ ' 9 

•jS ^ ^ 2l8\= ^ __^_, ,^ ^^_,_, f ^^_ , 28 _ ^ -..^ 

y 



par le carre \—x-— -ttX -\ j ; i par le carre [x- -\- -^x 

,. 120Q78 , , /218 3o5o ,\ 

<'nlin j^ par le carre h -, — x — x^ 

1 10 633 ' \ 9 327 / 



38V G-: U VUES DE FERMAT. 

21. Enfin, la derniers solution primitive conduira à la siibsUtution 
«le .i' -h ^) et en égalant la transformée de l'équation proposée à un 
carré, dont on An-niera diversement les racines, comme on l'a fait iionr 
les précédentes, on obtiendra de même de nouvelles solutions." 

Obtenir les suhtliuns dérivées du second degré, celles du troisième, 
du quatrième, etc. à l'infini. 

22. De même que les solutions primitives nous ont fourni des solu- 
tions dérivées du premier degré, de même les dérivées du premier 
degré j)euvent nous fournir des dérivées du second degré. Ainsi. 
puisque nous avons - comme solution dérivée du premier degré, nous 

substituerons x -\ — ''ax dans l'expression proposée 



2 



x' -\- !\x^ -\- \o x"- + 10 X -^ \\ 



le résultat de cette substitution sera x"" + Ga-^ + — j-- h — '-x + -^- • 

Nous l'égiilerons au carré (x''-\-'ix+-r-)'' ''' ncms obtiendrons 

ainsi la solution — — > qui est dérivée du second degré, puisqu'elle 
provient d'une solution dérivée du premier degré. 

23. De cette solution du second degré nous pouvons en dériver 
encore une autre, toujours par le même procédé. A cet effet, on substi- 
tuera X — ~ i\ X dans l'expression proposée; le résultat de; cette sub- 

., ,. , , .,., ., iof)i „ fJqt^ô i3'|G8o ,,, , 

stitution est x^ — ibx^ h —x- ^^ x h ,,— ^: on I égalera au 

2 2 i6 " 

carré ix- — \Ç)X ^ j , ce qui donnera -J^ comme valeur de x; en 

relrancbanl -^, on aura, comme valeur correspondante dans l'expres- 
sion proposée, ■—-> solution dérivée qui est du troisième degré, puis- 
qu'elle provient d'une solution dérivée du second degré. On pourra de 
même obtenir des solutions dérivées du quatrième degré, du cin- 
quième, du sixième, et ainsi de suite indéfiniment. 



TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 385 

Egaler à un carré ane expression composée de cjuatre termes, poinvit 
quelle comprenne an terme, soit indépendant de x, soit en x'', 
lequel soit carré. 

24. Soit proposé : 20a;' -+■ jx- -+- liox + iG = n . 

Prenez (4 + oa?) pour racine du carré; vous aurez des deux côtés • 
les mêmes termes en x et indépendants, et vous obtiendrez x=j 
comme solution. Cela posé, de cette solution vous en dériverez une 
autre, en substituant à x, comme précédemment, x -h i dans l'expres- 
sion proposée 200;^ -h Sx'' -h 'lox -h 16; le résultat de cette substitu- 
tion est 20 x^ -\- G5 X- -h iio,r + 8i; on doit l'égaler à un carré, dont 



on formera comme ci-dessus la racine (9 H a;). On trouvera, comme 

112 3i 

valeur de 37, dans la transformée, „— > et, dans la proposée, — tt-- 

En troisième lieu, de cette solution dérivée du premier degré, on en 
déduira une du second degré, en substituant x — k-; on aura, comme 
résultat de cette substitution, une nouvelle transformée que l'on éga- 
lera au carré ( — H — - Z ^) > et l'on arrivera, comme solution du 
V729 3609 J 

, , . . I 1 177 Soi 355 266 
second degré, a la valeur -^ ^ • 

^ 2110 oio 722 

25. Supposons maintenant le terme en x' carré, et soit proposé : 

a:'+ 4.Î"' — 3j;--t- 2x = n- 

Prenez pour racine du carré : (x'^ -\- 2.x), de façon à éliminer les 
deux termes de plus hauts degrés. Il viendra : 70;- =2^;, d'où, en 

dehors de l'unité qui est une autre solution, la valeur x=-- On 

^ 7 

pourra donc substituer à x, soit x -h --^ soit x -h i, pour obtenir des 
racines dérivées. 

26. L'absence d'un des termes intermédiaires n'empêche pas d'égaler 
à un carré une expression composée de quatre termes. Ainsi l'expres- 
sion iG + 24a;" + i6a;^ -I- Sx* peut être égalée au carré (4 + 3a;-)^, 

Fekjiat. — 111. 49 



38G ŒUVPxES DE FERMAT. 

co qui donne x = !i, d'où l'on pourra substituer :r + 4 pour obtenir 
une solution dérivée. 

De même, si l'on propose a;^ + Gooa;'+ Soooa- -t- 5oooo, on for- 
mera le earré (œ- -+- 3oo)-, et l'on obtiendra a; = 5. On pourra donc 
substituer j; + 5 pour obtenir une solution dérivée. 

0/1 peut cgciler à un cuJic une expression composée de quatre termes, 
pourvu que le terme indépendant de x, ou bien te coefficient de x\ 
soit un cube. 

2T. A cet effet, si le terme indépendant de x est un cube, on en 
prendra la racine cubique comme terme indépendant de la racine du 
cube à égaler. On divisera ensuite, par le triple carré de cette racine 
cubique, le coefficient de x dans l'expression proposée, et on aura ainsi 
le coefficient de x dans la racine du cube à former; la racine cubique 
et le quotient doivent d'ailleurs être affectés des signes convenables. 
Ainsi soit proposé d'égaler à un cube l'expression ix^ + x"^ -\- 3x-+ i; 
on prendra, pour racine de ce cube, 1+^7(1 étant la racine cubique 
de l'unité, et x le quotient de l>x pour 3, qui est lé triple carré de i). 
En égalant à l'expression proposée le cube de cette racine, à savoir 
x^ + 3a;- + 3a; 4- I , on aura x = 1, et en substituant x -{- -2. a x, on 
pourra obtenir la solution dérivée. 

28. Si c'est le coefficient de x^ qui est un cube, on prendra sa racine 
cubique comme coefficient de x, et en divisant par le triple carré de 
cette racine le coefficient de x- dans la proposée, on aura le terme 
indépendant. Ainsi soit proposé d'égaler à un cube 

8a?'+ 24.r'+ 2x -(- 48; 

on prendra, pour racine du cube, 20;+ 2 (2a; étant la racine cubique 
»le 8a;' et 2 le quotient de 24 par 12, triple du carré de 2); le cube de 
cette racine sera 8a;' + 24a;^4- 24a;+ 8; en l'égalant à la proposée, 

on obtiendra a?= — , et l'on passera ensuite au calcul des solutions 

dérivées. 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 387 

Si le coejficicnt de x^ cl le terme indépendant sont tous les deux des cubes, 
il Y a trois manières d'égaler à un cube l'expression proposée. 

29. Soit proposé, par exemple, d'égaler à un cuhex^-\--2x--\-l\x-hi. 
Si nous prenons, pour racine du cube, x -\- i (c'est-à-dire la somme 
des racines cubiques des deux termes cubes), on aura à égaler l'ex- 
pression proposée h. x' -h -ix' -h 3x -h i, d'où .r = i. Nous pouvons 

encore prendre, pour racine du cube, x -h ~ de façon îi éliminer li's 

termes des deux degrés les plus élevés; l'équation ne subsistera di's 
lors qu'entre les termes des deux degrés inférieurs, et l'on en déduira 

a; = -• Enfin on peut prendre (ï-i-^x\ de façon qu'au contraire 



il ne subsiste dans l'équation que les termes des deux degrés supé- 
rieurs; on obtiendra ainsi la solution a;= — ^; chacune de ces (rois 
racines primitives fournira des dérivées, comme ci-dessus. 

Réserve sur ce qui vient d'être dit. 

30. Toutefois il peut arriver qu'une expression composée de quatre 
termes, dont l'un des extrêmes est cube ou dont les deux extrêmes sont 
cubes, ne puisse pas être égalée à un cube; c'est dans le cas où, après 
la réduction des termes semblables, l'équation subsiste entre trois 
termes (') ou bien où l'on n'a plus qu'un seul terme égalé à zéro. 
Ainsi soit proposé : i -1- 3a' -f- 3x- -+- 4-c' ; on ne peut procéder autre- 
ment (|u'en formant le cube (i + o-)^; mais l'équation se réduit ii 
3a;^ = o; il est donc impossible d'égaler à un cube l'expression pro- 
posée. De même, soit proposé : x^ -+- ix- + 3a; + i ; on ne peut trouver 
qu'une seule solution immédiate et primitive, en prenant, comme ra- 
cine du cube, ^ + 0; car si l'on prenait a; + i, on aurait a;- = o. Pour 

(') Il esl clair que ce n'est pas à supposer. 



388 ŒUVRES DE FERMAT. 

un motif semblable on ne peut égaler à un cube l'une ou l'autre des 

expressions 

.r' — 3.r^ — ^jc — I, x^ — 3 .i-- + 3 j? + i . 

L'équation se réduit toujours à celle d'un seul terme au zéro. 

Douze questions sur ce qui a été enseigné dans cette troisième Partie. 

31. Ce que j'ai dit jusqu'à présent fournit une riche matière, d'où 
l'on peut, comme d'une mine d'or, tirer un trésor de problèmes sans 
fin. Ainsi on peut demander un nombre tel qu'en le prenant 20 fois, 
ajoutant 10 fois son carré, 4 fois son cube et enfin l'unité, on ait un 
carré. Si l'on demande en outre que ce nombre soit plus grand que 8 H 
plus petit que 10, il faudra nécessairement, d'après ce qu'on a vu plus 
haut (n° 23), partir de la solution primitive — 3, en dériver une autre 

du premier degré : -; puis une du second degré : ; enfin celle du 

troisième : -^> qui satisfait à toutes les conditions proposées. Mais ce 
sont d'autres questions que je veux résoudre ici. 

Trouver en nombres ralionels entiers un triangle rectangle, tel que 
son hypoténuse soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de 
l'angle droit. 

32. J'ai déjà (première Partie, n° 45) résolu ce problème par la 
double équation ; mais comme il peut être abordé également au moyen 
d'une expression composée de cinq termes, je vais le traiter de cette 
seconde manière. D'après ce que j'ai dit à l'endroit précité, je forme 
le triangle des nombres a; 4- 5 et 12; les côtés sont par suite : 

a;'-i- lox + 169, a;^-)-io^ —119, 24-ï^-f-i20. 

L'hypoténuse : 3;-+ loa; + 1G9 et la somme des côtés de l'angle 
droit : x^ -h 3/|a; -h i doivent être des carrés; <C le produit de ces deux 
expressions, soit a;* + 44^;' -l- 5ioa;- + 67560; + 1G9, doit donc être 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 389 

Q Q 

un carré > que je forme en prenant pour racine i3 + — -^-c — a;^; il 

, 204807.5 „, , , -,'1' - I •.• -1 

vient X = - — Tfé-- l) ou, pour les cotes, u après les positions ci-dessus, 

les nombres i 061 652 298 52o, 4 565 486 027 761 , 4 687 298 610 289, 
qui sont les mêmes que ceux trouvés précédemment. 

Trouver un triangle rectangle tel que ion ait un nombre donné en 
retranchant l'aire de la somme de l'hypoténuse et de l'un des côtés 
de l'angle droit. 

33. Soit 4 1(^ nombre donné. Cherchons d'abord un triangle rec- 
tangle tel que l'on ait un carré en retranchant le quadruple de l'aire 
du carré de la demi-somme de l'hypoténuse et d'un côté. 

Soient œ -h i et a; les nombres générateurs du triangle; les côtés 
seront : ix- -h 2x4-1; ix -h i; ix--h ix. La somme de l'hypoténuse 
et du côté suivant est ix- -1- '\x -+-2; sa moitié est x- -\- ix -+- 1, dont 
le carré a?* -+- l\x^ -+- 6j;- + l\x -^ v, diminué de quatre fois l'aire, c'est- 
à-dire de 8a;' H- 1 2a;- -1- [\x, laisse comme reste x* — l\x^ — 6a;- -1- i . 
Égalons ce reste au carré (a;^ — 2a; -i- i )^ — a;* — 4a;' -l- 6a;- — 4a; -4- i . 

L'équation donne a;= ^- D'après les positions, les deux nombres 

générateurs du triangle seront 5 et ^j. ou, en prenant seulement les 

numérateurs, 4 et i; ils donnent le triangle 17, i5, 8. Prenez ces 
nombres comme coeflîcients do x. Les cotés du triangle cherché étant 
ainsi supposés être 17a;, i5a;, 8a;, nous aurons l'équation 

32.T ^ 6oa;-rr 4, d'où a?=^' 

Le triangle cherché a donc pour côtés -^> -^1 ^) et il satisfait à la 

condition proposée. Cette question a été omise par Diophantc après 
ses problèmes VI, 10 et H. 



:?90 ŒUVRES DE FERMAT. 

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côte de l'angle droit soit un carré 
et qu'en y ajoutant un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit 
on ait encore un carré ('). 

34. Soit 3 lp multiplicateur donné. Formons le triangle des nombres 
;r + I et I ; les côtés seront x- -^ ix -{- 2, a;- + aa-, ix -\- 1. Multi- 
plions ce dernier coté par 3 et ajoutons le produit, Ga? -1- 6, au côté 
intermédiaire, il vient j:- 4- Sa- H- 6 qui doit être un carré, on même 
temps que le côté intermédiaire. Faites le produit de cette somme, 
a?-*-)- 8ic 4- 6, par le côté intermédiaire, a;- -t- 2a;; vous avez 

à égaler à un carré, soit à 

(x-+5x ) =.r'4- iox'-4- 22J?'— i5j" -H ^• 

Il vient ic = — • 9 

12 

D'après les positions, le triangle cherché sera en nombres entiers : 
3i3, 25, 3 12. La même solution peut être obtenue par la double équa- 
tion 

a.-^+ 8,r + 6 — D, x''--\-ix = \2- 

Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l' angle droit soit un carré, 
et qu'en en retranchant un multiple donné de l'autre côté de l'angle 
droit on ait encore un carré. 

35. J'ai déjà donné une solution de ce problème (Part. 1. n" 47), 
mais par une autre méthode. Soit donc proposé de retrancher du côté 
qui est carré le triple de l'autre côté de façon à obtenir un carré. Pre- 
nons comme triangle primitif celui qui vient d'être trouvé pour la 
question précédente, savoir 3i3, 2.1, 3 12, formé des nombres i3 et 12. 

Formons le triangle cherché des nombres a; — i3 et 12; les côtés 

(') Cf. Part. I, n"46. 



TRADUCTION DE L'INVENTLM NOVUM. 391 

seront X- — 260; + 3i3; x'- — iGx -t- 25; 24^-' — 3i2. Retranchons du 
côté intermédiaire le triple du dernier, il reste a;'- — 980: + 9G1 qui 
doit être égalé à un carré, aussi bien que le côté intermédiaire 
X- — iGx -t- 25. Égalons en conséquence à un carré le produit de ces 
deux expressions, savoir x'' — 124-2''^ -f- 3534^;-— -i-j l^SGx -^ 24025, 

et formons la racine de ce carré : x- J-^x -h i55. De l'équation 

27 681 73 1 , , ., , . ,, , I 

on tirera a; = ,, ^ ,, — ; les nombres a; — i3 et 12, si 1 on chasse les 
618370 

dénominateurs, deviendront 23542921 et3 82o44*>; et en formant de 

ces nombres le triangle demandé, on aura les cotés 

568 864 87 1 oo5 84 1 , 539673367418641, 179888634210840, 
satisfaisant à la question. 

Trouver un triangle rectangle tel que i hypoténuse soit un carré et qu'en 
retranchant d'un des côtés de l'angle droit un multiple donné de 
l'autre côté, on ait un carré. Soit 2 le multiplicateur donné ('). 

36. Prenez ic + i et i comme nombres générateurs du triangle; les 

cotés seront : x'- + ix -h 2; x--h ix; ix + 2. On devra donc avoir 

x--\-2x + i—n et, en retranchant du coté intermédiaire le double 

du dernier coté, x'- — ix — 4=n. Cette double équation donne 

'7 ■• . 1 ■ » 5 , 12 

a; = — • par suite x -{- i et 1 deviennent et — , ou, en ne pre- 

1 2 * 1212 ^ 

nant que les numérateurs, — 5 et 12, dont on forme le triangle pri- 
mitif 169, 1 19, 120. 

Il faut dès lors recommencer l'opération, en prenant pour nombres 
générateurs du triangle a; — 5 et 12; les côtés seront : x- — ioa;-h 1G9; 
X- — loa-- — 1 19; l'^x — 120. Si l'on retranche du côté intermédiaire 
le double du dernier côté, soit [\6x— 240, le reste x^ — 58a; + 121 
devra être un carré, de même que l'hypoténuse x"^ — \ox + 169. Ega- 
lons à un carré le produit de ces deux expressions, c'est-ii-dire 

(') Cf. Part. I, iiMS. 



392 ŒUVRES DE FERMAT. 

a:' — 68a;^ + 870a;-— [1012a: -4- 20449 et formons la racine de ce 

carre : i43 7^ a- + a;-; il viendra a;= .^7-. • Mais nous pouvons 

' itfi 40040 

aussi suivre une autre voie, en ramenant les deux expressions à avoir 
un même carré pour terme connu, on aura 

1^^2_??^^ + ,69 = n el .r^-iO:r + 169 = 0. 

121 121 

!•«.. Il ■ ;. '|8 ■. 85q2 , , 

I.a diilerencc des doux expressions est — x- —x, et on peut, 

I 121 121 ' 

comme on l'a vu Part. I, n°21 et suiv., la décomposer en deux facteurs 

2 , 2/4 42q6 ■ , ■ , - 1 1 4 -^Q 3 455 j^, 

— jjct— a; — ^-^ qui conduisent a la valeur x= .■' ,^ • U après 

1 1 1 1 1 1 ' 40 040 ' 

les positions, le triangle cherché sera en nombres entiers : 

19 343 o4Gi 13329, 18732418687921, 4821817400400. 

Trouver deux nombres tels que le produit de leur somme par la somme 
de leurs carrés soit un cuhe. 

37. Soient a: et 2 — a: les deux nombres cherchés; leur somme, 2, 
multipliée par celle de leurs carrés, qui est aa^-— 4-^^ + 4. donne 
4a;-— 8a; 4- 8, qui doit être un cube. Formez la racine de ce cube : 

2 _ '^x, et égalez-le à /\x- — Sx -hS; il viendra .2;= — ^- Je substitue 
en conséquence x — - h x dans l'expression 4^" — 8a- + 8 ; la trans- 
formée est 4^^ — 44-^ -+- 125.. le l'égalerai au cube Ui—-^x), et j'au- 
rai ainsi 

, ,, 58o8 , 85i84 , . ,, r 

125 — 44 •^ H F^ — -, ET-F =4-ï^"— 44'2^-t- «25, 

1125 421 075 

d'où X— ^° "" ; je retranche de cette valeur -. puisque j'ai substitué 
85 184 ■" 2 ' ' "' 

X — -; j'ai pour valeur de x dans les premières positions — ^.- Si, 

d'après la position pour le second nombre cherché, je retranche cette 

valeur de 2, il reste — ^• 
21 296 



TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 393 

Remarque/, : i" que les numérateurs 2679'^ et 13799 s-itisfont à la 
question. 

3° Que l'on a résolu de fait le (iroblème suivant : Partager le nombre 2 
en deux parties, de faeon que le double de la somme des carrés des 
parties soit un cube. 

3" Que l'on peut résoudre de la même façon cette autre (jueslion : 
Trouver deux nombres tels qu'un multi[)le (|uelconque de la somme de 
leurs carrés fasse un cube. Ainsi, si l'on demande que le quintu|)le de 
la somme îles ileux carrés fasse un cube, vous [)Oserez j; et 5 — x pour 
les racines cbercbées et vous continuerez comme ci-dessus. 

Enfin de (Ttte solution on peut déduire également celle d'un tri's 
beau pr(d)léme : Trouver deux nombres tels (|ue leur dilTérenc(> soit 
égale à la différence de leurs bicarrés. Si l'on prend en elTet les deux 
nombres trouvés ci-dessus, 26793 et 15799, et, comme dénominateur 
commun, la racine du cube produit |)ar la multiplication de leur somme 
et de la somme de leurs carrés, racine qui est 34 54o, on aura les deux 

nombres cliercues ..■ ' et ,,-rh-- 

Troiwcr deux triangles rectangles ayant une même différence entre leurs- 
moindres côtés, et tels que le plus grand côté de l angle droit de l'un 
de ces triangles soit égal à i hypoténuse de l'autre. 

38. Forme/, le ()remier triangle des nombres a; et i; les côtés seroni 
.r'--+- r, .r- — I, ix. Doue le second triangle aura x- -\- i comme plus 
grand côté de l'angle droit, et le plus petit s'obtiendra eu retranchani 
la diirérence des deux moindres côtés du premier triangle, c'est-ii-tlire 
x'- — IX — r, ce qui donne 2.x -h 2. Reste à satisfaire à la condition 
(x- -h i)- -h (2x -h 2)- = U- En développant, j'ai comme somme des 
carrés ^'' + Gj;'- -f- 8j: -f- 5 que j'égalerai à (j;--i-3)-, ce qui donne 

x^ -+- Gx'- + o = .r' -f- 6x'- -h 8x -+- 5. D'où x = -■ 
•' 2 

D'après les positions, en chassant le dénominateur, les nombres 

entiers générateurs du premier triangle sont i et 2, mais le premier 

m. — Ff.rm»t. 3o 



:{94 GÎUVRES DE FERMAT. 

csl, iniï'riciiriiu socoiid, en sorte que l'on aurait un nonibro faux (-oinmc 
coté (lu triangle, ee qui est absurde. Il faut donc, pour remédier à cet 
inconvénient, recommencer l'opération, en formant le triangle des 
nombres x -+- 1 et 2. 

Les côtés du premier triangle seront donc j:;'-+ -2 a- -h 3;x'--+- 2j' — 3; 
^x + 4. et les moindres côtés du second x' -h 2J- 4- 5; f\x +- 12. La 
somme des carrés de ces deux derniers côtés fait 

,r' + 4 .i' + 3o j-- + 1 1 6.r + I Gg, 

et doit être un carré. On peut en former la racine de plusieurs façons. 

l'renonsf i3-f-^.r — x- ) ; l'équation donner = — -^tf"- Les nombres 

entiers générateurs du triangle seront, d'après les positions et en 
chassant les dénominateurs, — f)7() et 1092. On peut s'en servir 
comme si tous deux étaient vrais et former le triangle des nombres loi)', 
et()7r). On aura ainsi les deux triangles 

2i5o9o5, 2i38i36, 284028, 
2i65oi'j, 21 50905, 2/(6792, 

(jui satisfont ii la question. 

Troiwer deux triangles rectangles ayant une même somme pour les cotés 
(le l'angle droit et tels que l'hypoténuse de l'un soit égal/- du plus 
grand côté de l'angle droit de l'autre. 

39. Formez le premier triangle des nombres x -^ i et i; les côtés 
senuit : x'- + 2X ->r'j.;x- + nx; ix -{- ■?.. Le plus grand côté de l'angle 
droit du second triangle sera égal ii l'hypoténuse .r-+ 2.2-1-2, et, si on 
le retranche de la somme des côtés do l'angle droit du premier triangle, 
il restera -ix pour l'autre côté du second triangle. La somme des carrés 
des côtés de l'angle droit de ce triangle fera dès lors 

x'-H-'i.r'-f- i2x-4-8.r-|-4. 



TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 3!tô 

Je régale au carré (jr 4- ua* + /|)'- = a;' + /|a;^ -I- 12a;- + iGj; 4- 16; il 
vient .r = • 

•y, 

3 , , 

Je siiljstiliierai, par suite, x à x dans I expression 



.r'-f-4.r'-Hi2,r'+8.r+ 4; 



, , p . , j „ la ., 2() lOQ , • I». 1 

la Irarisiormeo est x — ix -\ x- •- x a ~ et le I oL'alerai au 

2 2 10 '' ^ 

carré i-^ '^x + x-\ ; l'équation me donne a? = ^; si j'en retranclie 

- I j'ai -^ pour valeur de x dans les premières positions. Par consé- 

■'. 2b * 

quent, en nombres entiers a; 4- i et i deviennent, si je chasse les déno- 
minateurs 2() et 2() qui engendrent le premier triangle cherché iSiy, 
iGj, ihtS. On en déduira le second : ij2j, iny, lÔG. 

On peut arriver autrement à la solution en partant de la valeui' 

3 
.r = trouvée en premier lieu. Si on la substitue dans les expres- 
sions X -h I et I , on aura en entiers : — i et ■>.. On prendra dès lors 
comme nombres générateurs x — i et 2 et l'on recommencera l'opéra- 
tion. Les côtés du premier triangle seront a;'- — 2a: 4- '> ; x- — 7.x — 3 ; 
/4a; — 4 ; les côtés de l'angle droit du second : x- — -ix 4- 5 ; !\x — 12, 
la somme des carrés de ces derniers fera a:" — 4a"' 4- 3oa;-— r i()a'4-i(jr) 

et on l'égalera au carré ( i3 — --^a' 4- x''\ ; d'où x = -„ • Dès lors, en 

entiers, a; — i et 1 deviennent 29 et 2('), c'est-à-dire les nombres trou- 
vés ci-dessus et conduisant aux mêmes triangles. 



Trouver un tridtiglf rectangle dunl l' hypoténuse soit un carré, et tel que 
la somme de l'un des côtés de l'angle droit et d'un multiple donné de 
l'autre côté soit également un carré. 

40. Soit 2 le multiplicateur donné. Formons le triangle (dierché d<'s 
nombres x et 1; les côtés seront a-' 4- i , a-^ — i , 2a-; ajoutons l\x, 
double du dernier côté, au premier côté de l'angle droit; il vient 
ar 4- .\x — I qui doit être un carré aussi bien que l'hypoténuse a-4- 1 . 



39f) (EUVRES DE FERMAT. 

La (lilïï'ronco do ces doux cxpn^ssions est 2 — ^x, ot l'on (roiivora, par 

5 
snito, la valoiir a:" = — • Mais .i- tloil ('ti'c plus t^raiid (ni(> l'uiiito; il faut 

(Idiic r(>cominoiic('r ropcralion. on jironant pour nombres générateurs 
.»■ + 5 et I 2. 

Los oùtos seront : .r- + lo.r + 169; x'^ -{- lox — 119; 24.^-1-120. 
Ajoutons au coté intermédiaire le double du dornior, c'est-à-dire 
/jS.r -I- 240; il vient x'- -+- 5iSj- +121 (|ui doit être un carré aussi bien 
que l'hypoténuse .r'- -1- loa; -+- iGt). Egalons à un carré le produit do ces 
deux expressions, soit .r^ + G8j;' -f- 870a,'- -1- 1 ioi2.r -+- 20449. «"t f(>''- 

/ ,0 55o6 6262703 \- 

nions ce carre : if\5 -\ ^—-x — ~ — x^ ; on trouvera 

V ' 143 2924207 / 

1 P91 730 029 642 496 

80670 462 287 36o 

Los nombres entiers formant le triangle seront 2 i4j 082 34i 079296 
ot 368045 54744*^320; il est facile de le calculer. 

Trouver un bicarré tel que son triple, ajouté à un autre bicarré 
que l'unité, fasse un carré. 

41. On demande (|ue le second bicarré soit dillerent d^' l'unité, 
parce qu'autrement la question serait tro|) facile, puiscjue l'on a 
3 X I + I = 4 t^t 3 X 16 -I- I = 49- Je prends pour racine du bicarré 
cherché le nombre x — \ . Son i)icarré est x* — 4-^^^ + 6a" — l\x 4- 1 . 
Triplant et ajoutant^;', j'ai \x'' — 120;'-!- \'6x'- — 12a- -1- 3, que j'égale 

an carré ( 20^'- — 3 j- 4- j\ , d'où .r = -r-- D'après les positions, on 



4/ 8 

nombres entiers, la racine du bicarré sera 3; en triplant ce bicarré, 81, 
et on ajoutant le bicarré 14641 du numérateur 11. on aura 1^1884, 
c'est-ii-dire 122-. 

On peut aussi prendre le double de 3, c'est-à-dire 6, tripler son bi- 
carré et ajouter 22' (bicarré du double do ii); on aura 238 i44 '"i 
'|88-. 



TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 397 

De (iH'ino, on triplant 3 ot i i, ro (jui donne 9 et 33, 
3 X 9' + 33'' = I 2o5 604 r= 1098- ; 
cl ainsi de suite indélininienf . 

Trom'cr un triangle rectangle tel que l'on ail un carre en ajoutant 
le carré de l' hypoténuse à un multiple donné de Faire. 

42. Soit 2 le nuilliplicateur donné. Formons le (riani^de des nombres 
j; et 1; les côtés seront: x-+\;x-— i; 2j-; le carré d(^ l'hypoténuse 
esta;* -f- ix"^ -\- i; en ajoutant le double de l'aire, c'<'st-à-dirc 2a;' — ix, 
yMx''-\-ix^-\-ix-—'2,x-\-i que j'éiçale au carré (.2'^ + .2" -t- - 

vient a; ^ y; mais, cette valeur n'é(ant pas supérieure ii i, on ne peiil 
former le triangle sans tomber sur des nombres Taux; il faut doiii' 
recommencer l'opération en substituant x -\~ - [i x dans l'expression 

égalée à un carré. 

i, c . .1 01 3i„ q 160 .,,, 

La translormee est x^ -+- 3j*' + -^x- ^a; h — r^ ((ue 1 égalerai an 

8 lO 25b ' •■ ° 

■ /'3 Q 5o77 .,\^ ,1 ■ , /,x 2o5r?. 54-1 • , , > . 

carre (~(. — \x-\ ^^r- . Il vient (') x= -, — —; ajoutant -, . a 

\iD 26 2197 / -' 20949^20 •' 4 

cause de la substitution, on aura, comme valeur de. r dans les premières 

■ , ■ 6 437 456 , , . ... 1,1 .1 

positions L — ~ — r^- Les deux nombres générateurs du triangle rectangle 

' 5 237 280 ^ n n 

seront donc en entiers 6437456 et 5237280. Il v a un cas uni(|iic 
pour lequel le problème est impossible ('-). 

Trouver un triangle rectangle tel que l'on ait un carré en retranchant 
l'aire du carré de l'un des côtés de l'angle droit. 

43. Formez ce triangle des nombres ,r — i et 4; b'^ cotés seroni : 
■ic' — 2.r + 17; .V- — IX — i5; 8a; — 8. Kn retranchant son aire, 

(') Les nombres (Hii suivent sont cnlacliés d'une erreur rie calcul; il faut corriger 

22 '*.02 54 4 

■'• = ) ce nui pour les nombres ^cnéralcurs du triangle donne G 85q o50 el 

20 94;) 120 ' ' '^ - •' '' 

5237280, ou en nombres niinimi, 571GG3 el 430 44o. 

(*) Celte rcmar(|ue parait se rapporter au cas où le multi|)licateur donné est 8. 



:i!)8 (KUVHES DK F i: Il M AT. 

'[.f' — ]-2.f- — "»-2,r H- ()0, (In carrr du second cuit', c'csI-à-diiM' de 
r" — '\.r' — -li'}.!-- -hOo.i- -h'.-i') , il reste .i-' — S.r^— i '[.Ï---+- 1 i a./'-i- i(')j, ii 

eLÇidei'ii lin ejirré, soit à {■!''— '[i' — ii)'. Il vient r = -■ Je snli- 

-.lilne n;n' snilc .;• '- dans l'expression it éL'aler à nii earré ; la Irans- 

Inrrnee est .i' — ><S.r'H ^ .r- .r H -^ • Je I eLMle au carre 

■?, ■>. i<> 

/ ., !S5\- ,, . , 54^3 . . , , i."( , , , 

.;■-— i<).r ,~ ) • il vient .r = --j^ ; SI le relianclie — a cause de la 

\ • '] J ■ ib.) •' ■'■ 

-^nlisliliition, pnis l'unité, d'apiès les |)(isiti(ins, les niunhres i^énér;;- 
lenisdn liian!j;le rectangle seront en entiers (iooi et j.y.^o. Le trian;^le 
cliercllé sel") '|i2in'|()i, '^xiSi j(Jor, 'ij ')l>.\ A\n. 



TRADUCTION 



DU 



COMMERCIUM EPISTOLICUM 



Dk WALL I s. 



CORRESPONDANCE 

nÉCEMMKST KCIIANGÉE 

SUR CEUTAINES OUESTIONS MATHÉMATIQUES 

entre les très nobles 

l.oun William Vicomte Bhoinckkr, Anglais, 
Sir Kknei.m Duiov, chevalier, Anglais, 
M. Fekmvt, conseiller au Parlement de Toulouse. 
M. Fremcle, gcntiUiomme, de l'aris, 

et 

SiK .liiiiN Wai.lis, professour de Géométrie à Oxford, 

M. TuvNs Van Schootiîn, professeur de Malliématiqucs à Lcydo, 

et autres. 



K(liio(^ par .loJMi Wallis, ddcteur de Théologie, professeur eu la chaire do Gcouiélrie 
de Savilc à la très célcbio Académie d'Oiford. 



Oxford, imprimé par A. Lichfield, typographe de l'Académie, 
aux frais de Th. Rohiiison, i65S. 

[Réédite dans le Tome second des OJÎuvrcs de Wallis, Oxford, iiig'î.] 



DEDICACE 

DE 

JOHN WALLIS 

AU TRÈS ILLUSTRE I-T TRÈS NORLK 

SIR KENELM DIGBY, 

CIlEVALIKIl KN ANGLIvTEIUlK. 



Très illustre f.t très nodle chevalier, 

Chaque fois qu'à part moi je repense aux multiples olilij;ations que je vous 
ai, je désespère cnlièremenl d'égaler mes litres à vos faveurs; il ne me reste 
pas mt-me à compter pouvoir, pour de tels bienfaits, acquitter ma dette de 
remcrcîments. J'oserais plutôt me croire capable de triompher de toute autre 
difficulté, que de celle de vous témoigner une reconnaissance digne de vous 
ou égale à mon devoir. En tout cas, je dois considérer comme im honneur' 
insigne, inappréciable, que votre faveiu' ail daigné venir me chercher sans 
(|ue j'aie eu à l'implorer et quand j'étais loin d'y prétendre; mais bien plus, 
vous m'avez de vous-même recommandé, moi et mes travaux, à d'autres per- 
sonnages de premier ordre; el pour mes inlérêls vous avez montré autant de 
soliiciliule, pour ma renommée, déployé autant de zèle, (pie s'il se lut agi de 
vous-même. 

Ainsi donc cela est de vous, cela vous est entièrement imputable, (|ue j'aie 
été appelé à corres|)ondre avec vous el en même temps avec ces autres per- 
sonnages illustres; que vous ayez obtenu d'elles à mon endroit de tels éloges, 
qu'ils dépassent tout ce que je pouvais, je ne dis pas me promettre, mais 
es|)érer d'elles; qu'il me sera impossible de me les arroger, sans enfreindre 
les règles de la modestie. Si en elTct, pour nous conformer à vos désirs, nous 
avons, le très honorable V^icouite Drouncker et moi, abordé quelques pro- 
blèmes, tant d'Arithmétique que de (îéométrie, proposés par les célèbres 
Fermai el Erenicle (f|ue la France, ainsi que vous le dites, estime les pre- 
miers en ces sujets); si nous en avons donné la solution, nous ne prétendons 
jioint pour cela, je dirai mieux : nous n'avons jamais espéré ni nous faire 

KtllSHT. — Il 1. '1 



U»i ŒLVRES DE FERMAT. 

li;iitcr (l'ifei'ciiles ou de Samsoris, ni vous voir mettre au rang des premiers 
maîtres lie ce siècle ('), éloges par lesquels des hommes aussi supérieurs f|ue 
nos corresjjondanls ont su nous faire rougir. Je parle pour moi du moins; 
car je ne voudrais eu rien rabaisser les litres du très noble et très savant 
Vicomte. 

Mais de telles iiersoniies ont droit, elles aussi, à des remercimenis que je 
NOUS prie de leur adresser en mon nom, pour avoir daigné in'lionorcr de leur 
commerce et me traiter avec tant de bienveillance; car il ne faut nullcmcnl 
tenir compte de quelques expressions, parfois un j)eu sévères, échappées 
dans le cours des discussions, .le voudrais les |)rier à niori tour de vouloir 
bien excuser ce ([ue nous avons pu, le très honorable Vicomte et moi, éciire 
«le notre côlé un peu iio|) libremeiil; si, de même, nous avons manqué à leur 
accorder tous les titres au\(]ucls a droit leur rang, c'est que j'ignore les 
usages et les dignités de leur pays; j'aurai, bien contre mon gré, commis 
iHie faute à l'égai'd de personnes aussi illustres et aussi émitientes. 

J)e vous enfin, très illustre Chevalier, de vous que, rendu toujours plus 
audacieu-x par voire faveur même, nous avons lanl de fois fatigué, c'est de 
l'indulgence que je réclame, non pas un éloge. Ne dédaignez pas, je vous en 
prie, d'accepter l'offre que je vous fais de ce qui vous appailieni, car presque 
Ion! en a élé écrit par vous ou à vous. 

Mais vous avez, nous h; proclamons, également droit à la reconnaissance 
publiipie pour avoir, celte fois comme ailleurs, défendu avec aillant d'ar- 
«leur la nation anglaise, montré autant de souci pour sa gloire; à |)art du 
moins cette erreur pardonnable d'avoir api>elé, pour lutter contre de pareils 
athlètes, un champion aussi chélif, aussi |)cu exercé que moi. (Jar si, en cette 
alVaire, je ne m'en suis pas tiré trop malheureusemenl, je ne \oudrais pas 
qu'on jugeât des forces des Anglais sur rèchantillon de ma faiblesse. 

Adieu, très insigne Seigneur, puissiez-vous rester longtemps encore l'actif 
promoteur des belles-lellres et l'ornemeiil de la nation anglaisi". 

(M Expressions de l'reiiiclc. — l'oir ci-après les Lcllrcs il, 42 cl 13. 



COllUESPONDANCE 



nECEMMF.NT ECIIAXGKK 



SUR CERTAINES QUESTIONS MATHÉMATIQUES. 



LETTRE I. 
Vicomte niiou.NCKF.K a John Wai.ms, a Oxford. 

Votre lettre du 22 f'évrier/4 mars, clarissimc professeur, me fait 
profondéinentseiitircombien je vous suis redevable et par quels liens, 
plus forts de jour eu jour, vous m'attachez à vous; car la bienveillante 
acception que vous avez daigné donner à la liberté, dont j'ai usé à 
votre endroit est pour moi un véritable bienfait dont je vous rends 
grâces du fond du cœur. Vous trouverez dans ce pli un papier (|ue 
j'ai reçu hier de IM. White et qu'il m'a prié de vous faire parvenir. La 
proposiliun est, je crois, plus dilHcile qu'elle ne parait au premier 
abord; car, autrement, elle ne mériterait guère le titre que je lui vois 
donné. En tous cas, je ne doute point que vous n'en trouviez promp- 
tcment la solution, qu'obtiendra peut-être aussi quelque jour 

Votre très fidèle et très respectueux ami, 
Brounckeu. 

j/i5 mars iGJG/j. 

Le papier inclus clait ainsi conçu : 

« Défi (le M. Ferma/ pour M. Wallis avec les rives recommandations 
du messager, Thomas White. » 

( Voir la [)ièce 79" de la Correspondance de Fermai. Tome II, page '5'Vi ; 
traduction, Tome 111, j)age 3i (.) 



W* ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

LETTRE II. 
Joa.N Wallis a vicomte Rrounckkii, a Londres. 

Très honorable IMylortl, j'ai reçu la nuit dernicrc votro leUrc datt'o 
(le la veille, et en même temps le papier inclus de M. Fermât. La ques- 
tion est à peu près du même genre que les probli^mes posés d'ordi- 
naire sur les nombres dits parfaits, dé/îcients, ou abondants; ces pro- 
blèmes, et autres de même espèce, ne peuvent guère ou ne peuvent 
pas du tout être ramenés à une équation générale, embrassant Ions 
les cas. Quoi qu'il en soit au reste de celui dont il s'agit, il me trouve 
trop absorbé par de nombreuses occupations, pour que je puisse lui 
consacrer immédiatement mon attention. Mais je n'en ferai pas [uoins, 
poui' le moment, cette réponse : 

Le seul et même nombre i satisfait aux deux demandes. 

Qu'il me soit également permis de proposer une question sem- 
blable : 

Trouver deuv nombres carrés tels (jue, si l'on ajoute à chacun d'eux 
ses parties aliquotes, on ait la même somme. 

Par exemple : i G -h «S + 'j + 2 -f- 1 = 3 1 = •:> 5 -+- ") + i . 
Il s'agil de trouver un autre couple semblable. 
Je soubaite la meilleure santé ii Votre Seigneurie, je l'assure de 
l'empressement de mon respect, et je vous prie de voir en moi. 

Très bonorable Mylord, 
De Votre Seigneurie le très obéissant serviteur, 

.1. Wai.i.is. 

O\foi'(l, 7/17 mars i(i5()/7. 

Immédiatement après l'échange des lettres qui précédent, on remit à 
Mylord vicomte linmucker une troisième question {' ) de la par! du même 

( ' ) La i)icce Si de la Correspondance de Fermât, t. II, p. :VJi, I. Kl, p. jia. 



COMMERCIUM DE WALLIS. 405 

.)/. Ferma/, qui semblait ainsi abandonner les premières , résolues dans 
l uilen'alle, parak-il, par M. Fre/iicle. Mylord indiqua la solution de cette 
troisième (jueslion, en même temps que celles des deux précédentes, sous 
une forme très brève, dans un écrit qu'il remit à M. White, lequel lui 
avait transmis le message; ce fut. Je crois bien, dans ce même mois de 
mars. M. Whilcjit parvenir cet écrit à Paris; mais comme Mylord Vicomte 
n'en a conservé aucune copie, nous ne pouvons l'insérer ici textuellement ; 
le sens en sera toutefois reproduit ci- après. Lettre fX. Il s'ensuivit que 
nous ne nous attachâmes plus dès lors à une solution ultérieure des ques- 
tions précédentes, que leur auteur lui-même nous paraissait négliger, 
puisqu'il leur avait substitué un troisième problème, dans lequel il mettait 
plus de confiance; or ce problème avait été, presque ausiilèit, résolu par 
Mylord Vicomte. 

LHTTRE lil. 

VicoMTK I>roii.\(:ki:ii a John NVallis. 

La lettre ci-incluse, clarissi me professeur, a été écrite par JM. Fermât 
au très illustre chevalier Kenelni Digby et m'a été remise la nuit der- 
nière pariM. Wliitc; j'ai cru devoir saisir la première occasion pour 
vous l'envoyer. 

Que M. Fermât ne soit pas encore pleinement persuadé de la vérité 
dt' volr(^ quadrature du cercle, je le crois sans peine; car, si je ne me 
trompe, il n'a regardé votre Traité (\uh la légère. Autrement il me 
semble (pi'il eut remarqué, dans les propositions loi, 102, lo'j, lo'i, 
io5, 1(^ contraire d(! ce (ju'il parait vouloir donnei- ii entendre, en par- 
lant de ses hyperboles infinies, à savoir que vous n'auriez pas considéré 
ces ligures. 

Mais ce qu'il dit de leurs centres de gravité indique bien (ju'il mérite 
vraiment la réputation qui est venue jusqu'il nous, et je crois qu'il 
vous sera aussi agréable qu'à moi de voir la démonstration et la règle 
générale qu'il annonce à ce sujet. 

Comme cet envoi est autographe, j(! crois que M. White s'attend ii 



400 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

ce que je le lui rende; je vous jiric donc, clarissime professeur, de le 
retourner à 

Votre très fidèle et tri's respectueux ami, 

Br.oiNc.KF.n. 

, îr) mai _, , 
Londies i()j7. 

LETTRE IV 

( iiK-liisc ilans la prccudento ). 

Fkiuivt \ Kenei.m Diciiv, i:hevalif.ii i:n Angi.eterue, a I'ahis. 
Do Castres, le 20 avril lOJj. 
(Voir la Correspondance de Fermât, n" 82, t. Il, p. '^'^■]. ) 

LETTRIi: V. 

John Wali.is au tii(;s iluisthe ciievai.ieu Siu Ke.nelm Difinv. 

Ce n'est pas pour moi, très nohle et très savant chevalier, une mince 
récompense de mon travail que de vous voir daigner examiner par 
vous-même le modeste fruit de mes dernières veilles et, comme s'il en 
valait la peine, demander ii son sujet le jugement d'autrui. Le nom 
célèbre de Digby, le parfait savoir de celui qui le porte, ne peuvent 
être ignorés de personne, après les écrits (pour taire le reste) que 
vous avez donnés au publie et qui sont pleins d'une science univer- 
selle; ce n'est donc pas une petite gloire que d'avoir pu, sinon satis- 
faire entièrement un tel homme, au moins accomplir un travail qu'il 
estime assez pour ne pas le dédaigner entièrement. Mais ce qui 
rehausse le plus votre insigne clémence, compagne de la véritable 
noblesse, c'est que vous avez comblé de cet honneur immérité un 
homme tout à fait obscuret quevousne connaissiezaucunement d'ail- 
leurs. 

Ainsi par cette lettre que vous a écrite le très noble I\I. Fermai, ot 



CO M MER CIL M DE WALLIS. W7 

(|Uo, dans voire parfaite courtoisie, vous m'avez fait communiquer 
pariVJ. White, obligeance qui me fait votre débiteur, j'apprends que 
vous avez et demandé et obtenu le jugement de Fermât sur mon 
Ouvrage. J'en dois également de la reconnaissance à ce très noble 
savant, qui a daigné parcourir ce Traité, qui en a porté un jugement 
assez bonorable pour moi, cntin qui veut bien estimer et l'œuvre et son 
auteur; je ne puis qu'apprécier hautement cette faveur d'un tel 
homme, si habile eu mathématiques. 

Votre très noble Correspondant pense que je n'ai aucunement eu 
vent de ce qu'il avait dès longtemps trouvé sur la quadrature des para- 
boles et des hyperboles; cela est si vrai que, si je m'en souviens, je 
n'avais même jamais entendu prononcer le nom de Fermai (laissez- 
moi confesser ingénument mon ignorance), avant que ce que j'ai 
publié sur ce sujet n'eût été écrit depuis longtemps ou même déjà 
imprimé; sans quoi je n'aurais pas dissimulé ce que j'en aurais pu 
savoir. Je regarde même comme un privilège d'avoir pu, par là, con- 
naître un tel savant, et suis bien loin de vouloir rien diminuer de ses 
inventions; je voudrais bien plutôt le voir mettre au jour et ne pas 
cacher jalousement au monde savant les découvertes qu'il garde à part 
lui, et qui, j'en suis bien persuadé, sont tout à fait excellentes. 

Mais pour ce qu'en contient sa présente lettre, j'ai bien peu à dire. 
Les nouvelles hyperboles, comme il les appelle, carrées par lui, ce sont 
précisément les figures dont, dans mon Arilkmr/ique des infinis, j'ai 
enseigné la quadrature prop. 102; de même celle de ma prop. 103 est 
une véritable hyperbole, comme je l'ai indiqué prop. 95. Quant à celles 
qu'il exclut comme n'étant pas susceptibles d'être carrées, je les ai 
également exclues pro(). 104; car lui et moi parlons exactement des 
mômes. Toutefois (je ne sais s'il y a sulfisamment fait atlcnlion), ces 
courbes de la prop. lOi ne dilfèrent point de celles de la prop. 102; 
elles leur sont au (contraire identiques, sauf qu'elles sont prolongées 
do l'autre côté; ce (|uej'ai indiqué prop. 105. 

J'ai également montré comment il se fait que, parmi de telles figures 
prolongées à l'infini, les unes sont infinies en grandeur, les autres 



V08 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

■sont au contraire de grandeur finie et par conséquent peuvent être 
égalées à des aires finies; le scholie de la prop. lOl donne, si je ne 
me trompe, la raison naturelle et immédiate de cette merveilleuse 
propriété; cette raison est-elle bien la même qu'assignait Fermât, 
écrivant à Torriceili? Je ne pourrais le dire, à moins de connaître ce 
qu'il disait. 

Cependant, si votre très noble Correspondant voulait bien indiquer, 
soit sa méthode de quadrature des paraboles ou des hyperboles, soit 
encore ce crilcriiim qui distingue dans les figures de ce genre les infi- 
nies des finies, j'entends la véritable raison de cette propriété, cela 
me ferait le plus grand plaisir. Car si ma méthode m'a suffi, comme 
je l'ai dit, pour ce double objet, je n'ai pas coutume d'avoir pour mes 
découvertes tant de prétentions, ni tant de partialité non plus, que je 
croie pour elles devoir négliger celles des autres. 

.le ne puis penser autrement pour les spéculations qui concernent 
le centre de gravité, sujet que j'ai, à dessein, complètement omis. En 
effet, ces mêmes principes dont je me sers permettent de déterminer 
sans difficulté le centre de gravité, tant des paraboles de tout genre 
(juc de la plupart de toutes les autres figures, planes ou solides; j'ai 
même eu un moment l'intention de m'y arrêter; mais, pour ne pas me 
|)erdre dans les digressions, pour ne pas trop rompre le fil des théo- 
rèmes et fatiguer le lecteur par l'excessive variété d'une matière entre- 
mêlée, j'ai cru devoir m'abstenir entièrement de cette spéculation 
comme de bien d'autres qui auraient eu leurs attraits. Je me suis con- 
tenté d'indiquer parfois du doigt (dans les scholies) ce que j'omettais 
à dessein, et souvent je n'ai même pas donné ces indications. 

Votre très noble Correspondant veut bien promettre courtoisement, 
pourvu que j'en exprime le désir, de me communiquer ses décou- 
vertes il ce sujet. Qu'il croie bien qu'a moins qu'il y trouve quelque 
ennui, il me ferait de la sorte le plus grand plaisir; car je ne puis 
attendre de lui rien que de parfait et de sublime. 

Enfin, pour la quadrature du cercle que j'ai donnée, il indique 
qu'il n'en est pas pleinement persuadé, remarquant particulièrement 



COMMERCIUM DE WALLIS. W9 

(|uc ce qui se déduit par comparaison en Géométrie ne procède pas 
toujours sans s'écarter parfois de la vérité. J'admets sans peine qu'il 
garde quelque défiance là-dessus, tant qu'il n'aura pas plus soigneu- 
sement examiné la question; je n'ignore pas qu'on est là sur une 
pente glissante et où un faux pas se fait bien vite. Mais précisément 
parce que je le savais très bien, j'ai été d'autant plus prudent et atten- 
tif, j'ai cherché à être aussi clairvoyant que possible tout le long du 
chemin pour ne pas me laisser surprendre de la sorte et entraîner 
dans quelque erreur. Aussi, j'en ai la confiance, mes précautions ont 
été telles que je ne me suis nulle part servi d'aucune comparaison 
qui ne puisse supporter l'examen géométrique et qui ne soit assise 
sur le fondement d'une légitime démonstration. J'ai bien pu ne pas 
toujours en donner les prolixes développements; je cherchais à m'é- 
pargner un travail pénible, à éviter l'ennui au lecteur; mais ce qui 
peut arrêter, je suis en mesure de le suppléer facilement. 

Quant au fond de la question, ce qui fait d'ailleurs que je ne suis 
pas trop inquiet sur la vérité de mes propositions, c'est que le très 
honorable Seigneur William vicomte Brouncker, si compétent dans la 
matière et dont j'aurais dû faire mention, dans les termes les plus 
élogieux, à la prop. 191, ayant entrepris une vérification numérique 
et conduit son calcul jusqu'au dixième rang, a trouvé que tout allait 
à souhait. Car il a obtenu pour le rapport de la circonférence au dia- 
mètre 

plus que (le 3, l 'i i'9 26535 69. . . . ) 

; il I, 
moins que de 3, i4i59 aôôSG gO. . . . ( 



ce qui concorde avec les nombres de Ludolf Van Keulen et autres; 
de plus, dans toute la suite du calcul, il a trouvé, comme il le fallait, 
un rapport alternativement en excès et en défaut; je ne doute donc 
pas que je ne sois arrivé à un résultat véridique. 

Voilà ce que je crois, très noble Chevalier, devoir dire sur la bîttre 
de Fermât; vous pourrez lui en faire part, si vous le jugez à propos. 
Il me reste, après vous avoir témoigné ma reconnaissance pour l'hon- 

KicnMAT — III, •"'■« 



k\0 ŒUVRES DE FERMAT. - TR AOUCTIONS. 

neur que vous avez bien voulu me faire, après vous avoir fait mes 
meilleurs souhails, h me déclarer, 

Très noble Seigneur, 
Voire très respectueux et très obéissant 
.1. Wallis. 

Oxford, O/ifi juin lO');. 

LETTRE VI. 

Kknim.m Dir.Dv a .)oll^ Wali.is. 

Tm'.s iioNORK r.T illijstue Monsieur, 

La lettre que vous m'avez fait la faveur et l'bonneur de m'écrire le 
G juin est arrivè(\ pour moi dans cette ville quand j'en étais absent, 
et, immédiatement après mon retour, j'ai été pris d'une maladie (reste 
d'une plus forte que j'ai eue à Poitiers) et de la sorte empècbé jus- 
(|u'à présent de vous adresser ces humbles remcrcîments et de m'ac- 
quitter des respectueux égards que je vous dois. Et maintenant que 
je suis hors d'alfaire, je me trouve dans la crainte de rester bien au- 
dessous ou de ce que je désire ou de ce que je dois faire. Car, à consi- 
dérer que la mesure de toute civilité ou reconnaissance est à prendre, 
soit de la dignité de la personne qui la rend, soit du mérite de celui 
qui la reçoit, je trouve de part et d'autre une disproportion si énorme 
(pour le cas qui se présente à moi), qu'il n'y a ni obséquiosité de lan- 
gage, ni politesse d'expressions qui puisse en faire la balance, .le ne 
m'embarquerai donc pas moi-même dans cette tâche impossible; mais, 
voyant ([ue c'est simplement votre bonté qui vous a disposé à être 
ainsi bienveillant et favorable pour moi, j'aurai recours à celte même 
bonté, en vous suppliant d'accepter la profession que je vous fais ici 
en toute vérité et sincérité, que, de même que j'honore très haute- 
ment vos grands talents et mérites, ainsi que les nobles productions 
de votre puissant et savant esprit, qui fait de vous l'honneur de notre 
nation et l'envie de toutes les autres, de même je vous al'tribue le 



COMMERCIUM DE WALLIi^. Ml 

droit de me commander toujours tout ce (jui pourra dépondre d(! moi 
pour votre service et en toute occasion je l'accomplirai avec une aussi 
prompte exactitude ([ue vous pouvez le désirer du plus dévoué ami el 
serviteur que vous ayez. 

Ma santé ne m'a pas permis d'écrire à M. Format jusqu'à hicr(') 
(jour de poste pour Toulouse); je lui ai d'ailleurs envoyé alors copie 
de la lettre ((uo vous m'avez adressée. Ce que je recevrai do lu! on 
retour, je vous en donnerai aussitôt connaissance, et je me considère 
comme très heureux et très honoré d'élre l'intermédiaire de la com- 
munication (mtre deux aussi grands personnages. Je compte que 
M. Wliito vous enverra la copie de la dernière lettre do M. Fermât à 
moi (-), copie que je lui adresse maintenant pour qu'avant do vous la 
l'aire parvenir, il la montre à Mylord Urouncker, dont il y est l'ail 
mention. Je crois assez que les lettres de Mylord n'ont pas été hien 
traduites à M. Format. Mais quant à son doute, que la solution de son 
problème par Mylord ne serait pas bonne, parce qu'il l'a traité à la 
légère, ce n'est pas un bon argument, comme M. do Frenicio l'a mon- 
tré par expérience. Car, ce même problème lui élant montré comnu! 
un défi à tous les mathématiciens de l'Europe, il donna immédiate- 
ment à la personne qui le lui apportait quatre solutions (en quatre 
nombres dilTérents), et il lui en envoya six autres le lendemain matin 
et, de plus, à résoudre un problème tiré de son fonds, problème oii 
l'autre trouvera, je crois, une rude besogne pour lui. 

Je ne dois pas prendre congé de vous, avant de vous avoir dit un 
mot ou deux de votre digne collègue, le Docteur Ward. Il y a déjà 
([uob|ue temps que j'avais entendu parler di' son livre contre 
M. Ilobbos, et M. White l'avait envoyé par ici pour moi, pendant que 
j'étais on Languedoc; mais je no l'avais pas vu jusqu'à présont, où je 
viens do le dévorer d'un bout à l'autre avec beaucoup de plaisir et do 
contentement. Seulement, là où il lui a plu do parler avantageusement 
do moi au delà do mon mérite (excessivement au delà), le sang m'a 

(') Maidi 3i juillcl ri"/);. 

(-) N" 8:j (Je la Correspondance de I''eriiiai, L. Il, p. ili- 



412 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

monté aux joues; j';ii rougi de honte de ne pouvoir répondre à l'idée 
qu'il éveillait de moi, et la honte étant une sorte de chagrin, vous 
croirez aisément que ces éloges immérités doivent m'ètre pénibles. 
Pourtant, ii vous confesser la vérité, je ne peux pas me sevrer telle- 
ment de la vanité que je ne sois ému et charmé (et cela très profondé- 
ment) par tout ce que dit favorablement de moi un homme si instruit 
et si excellent. 

Je terminerai ce point (jui le concerne en vous suppliant de lui 
olfrir mon très humble service (car, je pense, vous le voyez souvent), 
avec de très vifs et respectueux remercîments pour son excessive, civi- 
lité à mon égard, comme aussi avec l'assurance que je l'estime et 
honore de tout mon cœur. C'est un illustre triumvirat que vous deux 
et le Docteur Wilkins exercez en littérature et en tout genre de mérite. 
Vos noms sont fameux au loin; j'entends parler de vous de divers 
côtés, mais jamais avec plus d'abondance ou plus d'affection que par 
M. White, que vos bontés ont rendu entièrement vôtre et qui l'ex- 
prime amplement en toute occasion. Mais je vous détourne trop de vos 
grandes et multiples occupations; je vous en demande instamment 
pardon et vous assure que je suis et me montrerai toujours. 

Illustre Monsieur, 

Votre très Jiumble et très obéissant serviteur, 

Ki:nelm Dicdy. 
Paris, le i"' aoùl 1(07. 



LETTRl*: VU. 
.loiiM Wallis a Ke.nelm Di(ir.v. 

TnKs Noni.K MoNSiEun, 

Sur le vu de votre lettre si courtoise du i''' août, que j'ai eu l'hon- 
neur de recevoir il y a deux jours, il n'est pas aisé de dire combien je 
me suis trouvé surpris, sachant combien peu j'ai mérité d'une si noble 



COMMEUCIUM DE WALLIS. 413 

main et quelle chétive part m'était due de ce que vous vous êtes plu à 
m'attribuer si libéralement. Je fus honteux, je l'avoue, de penser 
combien peu je pouvais prétendre à cet honneur que vous me faisiez 
et j'aurais profondément rougi, si la soudaineté de la surprise ne m'a- 
vait pas autant stupéfait. Et quand j'ai pensé à vous répondre, j'ai 
trouvé que vous m'aviez prévenu de telle sorte, en disant tant de ce 
(jue je devrais vous dire, qu'à moins de transcrire et de vous retourner 
vos propres mots (de meilleurs, je ne pourrais), il ne me reste rien à 
répliquer. Et même je n'oserais pas, de peur de profaner, avec ma 
plume trop rude, ce langage, que je ne puis prétendre à imiter. Si 
vous vouliez seulement me faire assez de faveur pour relire attentive- 
ment la copie de votre propre lettre, et en interpréter la plus grande 
partie comme dite par moi en reconnaissance de ces politesses que je 
ne pouvais mériter et en désaveu de ces mérites que je ne puis m'at- 
tribuer, vous y trouveriez une meilleure réponse, en un langage plus 
convenable à votre noble personne, que vous ne pouvez certainement 
l'attendre de moi sous aucun rapport. Car, quoicjue je ne puisse me 
vanter d'aucune adresse ii la paume, je sens très bien que je ne puis 
souffrir, fût-ce au plus grand risque pour moi, qu'un langage si obsé- 
quieux, de telles expressions d'obligeante bonté, restent devant moi, 
sans que je les retourne à la môme main dont elles me viennent; et, 
quoique je ne sois pas capable de les retourner avec cette grâce et 
cette dextérité qui ont accompagné leur envoi, je vous supplie hum- 
blement de croire que ce n'est pas par défaut quelconque de réalité 
d'affection ou de bonne volonté que je reste on dessous de ce que je 
dois il quelqu'un que j'honore autant. 

Je dois avouer que je n'ai pu sans ressentir une agréable satisfaction 
(^ricque cniin mihi cornea fibra est) (') me voir moi-même si haute- 
ment honoré, malgré mon indignité, sous d'aussi beaux traits tracés, 
([uoique si peu ressemblants, par une main si excellente; ainsi parfois 
les dames se plaisent à voir leurs portraits les flatter. J'en aurais été 

('; « Jo n'ai pas des enirailles de corne «. 



M\ ŒUVRES DE FEllMAT. - TRADUCTIONS. 

(•xtrémemcnt fier, sans la conscience que j'ai du peu de ressemblance 
de ma propre personne; car l'autorité du si galant homme à qui j'ai 
cette obligation est capable de donner crédit à son opinion sur moi. 

Dès le retour ici des deux autres personnes auxquelles vous voulez 
bien m'unir dans votre bonne opinion, le docteur Wilkins et le doc- 
teur Ward, je leur ferai connaître combien ils vous sont redevables de 
l'honneur que vous leur faites. Pour le moment, je puis seulement, 
d'après le grand respect que je sais qu'ils ont pour vous, vous assurer 
(ju'ils sont entièrement vos serviteurs. FA nous devons tous nous 
reconnaître extrêmement endettés envers iM. White qui s'est plu, non 
seulement ii juger si favorablement de nous, mais encore à nous repré- 
senter à vous sous des traits assez flatteurs pour (ju'ils aient obtenu 
une place si avantageuse dans votre opinion. 

Le problème dont vous parlez, proposé par M. Fermât comme défi 
•1 tous les mathématiciens de l'Europe, est, je suppose, celui dont j'ai 
reçu de Lord Brouncker une copie en ces termes : 

(Ko(> Correspondance de Termat, n" 7'J B, t. II, p. 333; t. III. 

p. 3ii.) 

A ce problème je ne donnai, pour le moment, d'autre solution que : 

Le seul el même nombre \ salis/ail aux deux demandes; j'ajoutai 
d'ailleurs, comme renvoi, un autre problème de même nature, que 
vous trouverez ii l'essai, si je ne me trompe, aussi difficile que les 
deux de Fermât : 

Trouver deux nombres {voir plus haut, p. 4o4. lignes iG à 19) ... 
couple semblable. 

D'ailleurs j'ajoutais que je regardais des problèmes de cette na- 
ture, dont il est aisé d'imaginer un grand nombre en peu de temps, 
comme demandant plus de travail qu'ils n'offrent d'usage ou de diffi- 
culté. 

Depuis lors je n'y ai pas davantage repensé ;*car je fus précisément 
alors obligé de m'absenter, par la mort d'un ami intime, et, avant 
mon retour, j'appris que Mylord Brouncker avait résolu les deux ques- 
tions et aussi une troisième sortie de la même main et à laquelle. 



COMMERCIUM DE WALLIS. /»lo 

laissant aller ses premières demandes, M. Fermât paraissait s'atta- 
cher davantage, comme plus importante que les précédentes. Mais 
ce problème ayant été reçu et ayant trouvé réponse, avant que j'en 
eusse eu avis, je regardai comme inutile pour moi de m'occuper 
d'une chose déjà faite. Ce qu'était la solution du dernier problème 
par Sa Seigneurie, je ne suis pas capable de le dire, ni davantage ce 
qu'était le problème lui-même; car je n'ai copie ni de l'un, ni de 
l'autre. Mais je connais si bien Sa Seigneurie et sa dextérité toute 
spéciale en choses de cette nature, que j'ai une très forte présomp- 
tion en faveur de l'exactitude avec laquelle il a du procéder en cette 
affaire. 

Quanta cette autre lettre de M. Fermât ii vous-même, de laquelle 
vous m'informez que je puis attendre une copie de M. White, elle ne 
m'est pas encore parvenue; il est possible qu'elle se trouve mainte- 
nant entre les mains de Mylord Brouncker, ii qui elle devait être com- 
muniquée en premier lieu. Je ne puis que vf>us olfrir, pour cela 
comme pour toutes vos autres nobles faveurs, mes très humbles 
remerciments, n'étant pas capable de vous donner quelque revanche 
qui vaille; mais vous n'avez comme récompense que la conscience de 
votre généreuse inclination à combler de faveurs ceux dont vous ne 
pouvez attendre aucun retour. 

J'ajouterai seulement quelques mots avant de baiser vos nobles 
mains. Ce n'est rien (|ue ceci : puisque vous avez bien voulu vous 
donner la peine et ;i nous l'honneur, d'établir communication écrite 
entre .Al. Fermât et moi, je n(! regarderai pas comme tout à fait incongru 
d'ajouter ici un théorème ((ue, si vous le jugez à propos, vous pourrez 
lui envoyer à démontrer; non pas en défi, ni comme une matière de 
difficulté extraordinaire, je ne le prends pas pour tel; mais la solu- 
tion, s'il ne la connaît pas déjà, lui suggérera probablement un joli 
ensemble de spéculations (|ui seront peut-être bien venues pour lui. 
Voici ce théorème : 

Soit un tronc de pyramide ou de cône, limité entre deux plans 
parallèles, tel que la plus grande base soit égale au carré de la 



'lie GÎUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

droite A, la plus petite an carré de la droite K, et dont la hauteur 
soit F. Je dis que, si avec A et E (ou leurs égales) comme cotés, on 
construit un angle de 120", qu'on complète le triangle et qu'on y cir- 
conscrive un cercle, le carré du rayon R de ce cercle multiplié par la 
hauteur du tronc, (R'F), donnera le volume du tronc. 

Quant à la démonstration, comme tout ce en quoi je puis jamais 
être capable de vous servir, vous pouvez la demander à votre gré à 
celui qui réputé à grand honneur d'être et de compter pour, 

Très noble Monsieur, 

Votre affectionné et très humble serviteur, 

John Wallis. 

Oxford, j/ij seplembi-c 165;. 



LKTTRE VIII-. 
VicOMTR Brolncker a Sir Wallis. 

.l'ai reçu hier, clarissime professeur, votre lettre du 5 courant {'), 
comme aussi celle à Sir Kenelm Digby que je lui ferai parvenir le 
|)lus tôt possible. Quant à celle dont vous me parlez comme envoyée 
par Sir Kenelm Digby à M. Whitc, pour nous la communiquer, je ne 
l'ai pas encore reçue et je n'en avais jusqu'alors eu aucune connais- 
sance. Dès que je l'aurai entre les mains, j'aurai soin de vous la trans- 
mettre. 

En attendant voici la troisième question de Fermât que vous me 
demandez, et aussi le précis de la réponse que j'y ai faite; quant au 
texte même, je ne puis le reproduire, n'en ayant retenu à part moi 
aucune copie, comme je l'aurais fait, si j'avais pu croire que M. Whito 
enverrait cette réponse telle quelle. Vous pourrez, si vous le jugez ii 

(') Celte leUi-c manque. 



COMMERCIUM DE WALLIS. Ml 

propos, transniottrc la solution en latin, pour(|iio la lani^iic ani,Mais(î 
ne suscite plus de nouvelles plaintes ou de nouveaux embarras. 

Tout en vous remerciant de vos nouvelles faveurs, aussi bien ([ue 
des précédentes, je veux vous dire combien je suis vraiment, 

Cdarissime Professeur, 

Votre ami très lidide et votre très liumble serviteur, 

BuOlNC.KF.Ii. 

I l'-ii septembre \G5-. 

L'c'cri/ (/(' M. Fcr/tuU élail ainsi conçu : (Je ne l'ai reçu (iaillcars (jhc 
plus lard , la Irltrc prècèdenh: n'en contenant que la dernière partie, 
c'est-à-dire l'énoncé même du problème). 

(]'oir la Correspondance de Fermât, n" 81, tom(> II, pai;'e 'i'V| ; 
tome 111, page 3iy..) 

LETTUR l.\. 
John Wai.i.is a Kenei.m Dir.iiv. 

Tr.i'S NoisLF. Mo.Nsuau, 

Après vous avoir envoyé ma dernière lettre, datée du jî septembre, 
j*ai reçu du très honorable Mylord Vicomte Brouncker, avec la solu- 
tion qu'il eu a donnée, le problème que M. Fermât lui a envoyé, ("omme 
il se peut faire, ainsi que vous le soupc^-onne/, que cette solution ait été 
mal exposée h M. Fermât, je crois bon de la reproduire ici, pour l'of- 
frir avec cette lettre à Votre Seigneurie. 

l'roblèine de M. Fermai. 

Etant donné un nombre (|ue!c(>iu|ue non carré, il va une intinilé 
de carrés déterminés dont le produit par ce nombre, étant augmenté 
de l'unité, fait un carré. 

Exemple :3x iG + i = /i9 = 7X7. 

On demande la règle générale pour trouver les carrés de cette sorte. 

Kebmit. — m. •>>> 



^il8 ŒUVni:S DE FERMAT. - TFÎADUCTIONS. 

Voici doux l'oglcs de ce genre : la première est tle Mylord Vicomte 
Hroiinckcr. 

Soient /< un nombre donné quelconque (carré ou non carré, entier 
ou fractionnaire); c/ un autre carré quelconque (entier ou fraction- 
naire) dont la racine soit /•. Soit enfin d la différence entre c/ et /;, à 
savoir soit y — n, soit n -- c/. 

Hi-c.i.i'. : ^Y ~ Vrf) ^^^ ^"^ nombre carré, dont le produit par /?, 

'. • <- 1 1» •«■ P-. • 47 t\qii -^ d- 

etant augmente de I unité, lait un carre, n-' -+- 1 = -'—,., 

o a- a- 

En elfet : 

'l 7" -^ (l- !\qn -^ q"- ~ 1 (fil -h- « ' q"' 4- iqn -(- « - / 7 "I- " \ ' 

d- </- — \qn H- /(■' '/*'" ^i/w -+- «- \ q — n } 

La seconde règle, qui est de moi, est un peu plus générale quant à 
la forme du procédé; mais elle revient au même, quant aux nombres à 
trouver. 

Soient tt un nombre donné quelconque; a un nombre quelconque 
arbitrairement cboisi; </ un carré quelconque et m son quotient par 
n; p un autre nom!)re quelconque; enfin f/ la différence (en valeur 

absolue) entre -,- et pu. 

llùcir, : -rr est un nombre carré dont le produit par n, étant aug- 

., , ,, ■,./.•, . ma nian-\-d- 

mente de 1 unité, tait un carre, n-— H- i — — s, 

d- «- 

En cflct : 

m"- a"- I o , / "*'T \ ■ 

,, ,.- , -<- - nian -v- p- n- / f- pu \ 

man -^ d- _ ifayo- ■.', ._/ 4/^ l 

~d- "" m- a' r 2 o ~ \ '"" / 

ibp- 2 ^ l\p ' ' 

Il y a lieu de remarquer ce que Mylord Vicomte Brouncker a ajouté 
à sa solution. 

Au sujet des deux premières questions de M. Fermât, il a observé 
que non seulement le nombre i y satisfait également, mais aussi (au 
cas où les fractions seraient admises) le quotient du nombre i par la 



COMMEIICIUM DE WALLIS. V19 

sixième puissance de tout nombre entier; en eiïet, ce quotient est à 
la fois carré et cube et il n'a aucune partie aliquofe. 

D'autre part, la première question est satisfaite, non seulement 
par le nombre 3\3, indiqué par M. Fermât, mais encore par le quo- 
tient du même nombre divisé par la sixième puissance de tout entier, 
par exemple -—-■ En effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas 
d'autres parties actuelles que celles qui sont dénommées comme l'est 

le tout, le cube ci-dessus •-- n'aura pas d'autres parties aliquotesque 

I 7 /|0 I ,1 ... . I 343 ,. , 4oo , 

;-' ,-7' ,/ ' lesquelles, aioutees au même nombre --^^ tont^, nombr(ï 
O4 O4 ():( ■ •• 04 ()4 

carré. 

Voilà donc, très illustre Seigneur, le précis de ce qu'avait depuis 

longtemps répondu à ces problèmes le très lionorablc Vicomte. Il me 

reste, si ces remarques importunes doivent vous occasionner quelque 

dérangement, à implorer humblement pardon pour, 

Très illustre Seigneur, 
Votre très respectueux et tout dévoue 

John Wali.is. 

,.^ . , 77 seplcmbrc ,. 
Oxiord, — ; iOjv. 

7 OClOUIX' 



I.ETTRI-: X. 

\ ICOMTK HliOU.NCKKl; A .îdllN WaI.I.IS. 

Clarissime Professeur, j'ai reçu hier les deux lettres ci-incluses, 
apportées par 31. White de la [)art de Sir Kenelin Digby. Il m'en a 
montré une troisième, où il était dit (|ue lAl. Frenicle méprise l'Ana- 
lyse ou du mains l'estime très peu; (|u'il a d'ailleurs résolu une des 
propositions mentionnées dans les lettres ci-incluses. 

("est, si je ne me trompe, cette même question dont nous avions 
déjà entendu parler, mais que nous n'avions pas vue, à savoir : 

Trouver deux nombres cubes dont la somme soit égale :> deux 
autres nombres cubes. 



k20 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS. 

Voici les solutions de M. Frcnicle : 

1729:1^ 9^-t- 10':- 1^-+- 12% 4io4 = 9'+ l5^r= 2'+ l6\ 

l3832r l8'+20^": 2-'4-24', ^2832 = I 8' + 3o ' = .',^ + 32^ 

39312" I S'' 4- 33'=: 2' -H 34', ',0033= 16' 4- 33^=9'+ 34'. 

20683 := '9'+ 2^'—. lo'-f- 27^ 

.Mais quant à la dernière partie de la proposition : Tromcr deux 
nombres cubes dont la somme soil cube, il n'en est rien <lit. 

Après avoir lu les lettres ci-jointes, j'ai jugé à propos d'arrêter 
votre dernière à Sir Kenehn l)ig!)y, si toutefois il n'est pas déjii trop 
tard; j'ai écrit dans ce but à M. Wliite. Je voudrais y substituer une 
réponse plus complète au problème de M. Fermât, que celui-ci pose 
maintenant sur les seuls nombres entiers, ce qu'il n'avait pas fait 
auparavant. Je vous ferai savoir avant peu ce que pense à ce sujet 

Votre très fidèle ami et très attaché serviteur 

Brounckf.r. 

^|\3 octobre 1(157. 

LETTRE XI 

(iiiirluso ilans la prucùdcnti', corniiu' lëlait aus^i la snivanic, ). 
KkIUIAT a IVENKHI DKiCY. 

De Castres, le juin \i\')-. 
(Voirhx CoiTcspondance de Fermât, n"83, t. II, p. i\i.) 

LETTRE XII. 

Feuiiat a Kenei.m Digby. 

De Castres, le ô août i(ri7. 
( Fo/r la Correspondunce de Fermai, n" 84, t. II, p. 3\2.) 



COMMERCIUM DE WALLIS. 421 

< P. S. {') >. En relisant ma loUre, j'ai trouve que je devois 
ajouter un mot sur le sujet de la descente naturelle des graves. 

J'ai toujours cru l'opinion de Galilée très probable et très ingé- 
nieuse; elle < n'a > point pourtant < de > démonstration, et la 
nature, qui est mille fois plus subtile que les esprits des hommes, 
pourroit parvenir k sa fin < par > une infinité de proportions diiïé- 
rentes de celle de Galilée et que l'expérience ne pourroit jamais con- 
vaincre de fausseté. C'est ce qu(^ je me charge de démontrer quand 
vous voudrez; mais, parce que la voie de Galilée est la plus simple, il 
est vraisemblable, non démonstrativemcnt, mais probablement, que 
la nature suit cette sorte de mouvement. 

Cotte matière a produit des disputes sans tin entre défunt M. Gas- 
sendi et un jésuite nommé le Père Cazré, sur ce que ce dernier soute- 
noit que les vitesses ou vélocités d'un (-) corps qui descend gardent 
la proportion des espaces parcourus, contre le sentiment de Galilée, 
qui soutient que cette proposition est si absurde que, si elle étoit 
vraie, il s'ensuivroit que le mouvement se feroit en un instant. 

Galilée ne se contente pas d'en demeurer là, mais il prétend dé- 
montrer que, si cette proposition étoit vraie, le mouvement se feroit 
en un instant. Le Père Cazré assure que Galilée ne l'a point démontré, 
et .M. (iassendi au contraire que << la > démonstration de Galilée est 
très parfaite, et, sur cette contestation, ces deux grands personnages 
ont fait de gros volumes, qui lassent la patience des lecteurs. 

J'ai tranché tout ce différend en trois ou quatre pages; et première- 
ment je fais voir que l'opinion du jésuite est fausse, mais que pour- 
tant Galilée n'a point démontré qu'elle produisit comme une consé- 
quence nécessaire ce mouvement instantané, de sorte qu'en cet article 
le Pi're Cazré n'a point de tort. Mais enfin, pour les mettre d'accord 



('; Ce pnft-scripliiin qui ne ligiiro pas dans la promicre édition dn Commercimn a été 
inséré dans la seconde, avec cette noie : 

I Scqucnlcm appendicem, ciim siinilibns aliquot. ut qiiin rem liic agitatani non spncla- 
I ant, in edilione jjiiina omibiinus, scd liic ntcunquc rcponinius, ne videur (iuic([iiam suIj- 
licerc vellc]. 

(-1 D'nnJ des \V. 



422 (EU VUES DE FERMAT.- TUADUCTIOXS. 

ot rendre en même temps office à ces deux grands hommes (Galilée et 
Gassendi) et donner du secours à la vérité, je démontre, par la voie 
légitime et selon la manière d'Archimède, que si la proposition du 
jésuite étoit vraie, le mouvement se feroit en un instant, et qu'ainsi 
Galilée a eu raison dédire que cette proposition produiroit par consé- 
quence le mouvement instantané, quoiqu'en elTct il n'ait pas démon- 
tré la vérité de cette conséquence; ce que j'ai fait dans mon écrit, que 
j'envoyai à feu M. Gassendi pendant sa vie et dont M. Carcavi (que 
vous trouverez logé à l'hôtel de Liancourt, rue de Seine, au faubourg 
Saint-Germain) garda la copie ('). Si vous avez la curiosité de la voir, 
je no doute pas qu'il vous la communique, dès que vous lui ferez voir 
ma lettre. Mon écrit finissoit par ces mots : IIujiis itaque unicœ dernon- 
slralionis beneficio toi et tanta prœclarorurn virorum volumina aut rrfel- 
lenlur atil inutilia et superjlua ejficienlur. 

LETTRH XIII. 

Vicomte Bhol'nckf.ii a .Ioiin Wali.is. 

La présente lettre, Clarissime professeur, n'a pour objet que de 

vous informer que le papier de Fermât ci-inclus m'a été apporté par 

Al. White, hier après-midi, pour que je vous le fasse parvenir; il 

l'avait oublié en envoyant les autres. 11 demande au reste qu'on lui 

rende et ce papier et les autres. 11 me reste à vous prier de continuer 

votre amitié à 

Votre très tldèle et très respectueux, 

Br.oiiNC,Ki:u. 

G/iG oclolire iCi;. 

• (' ) Il s'agit du w" 02 do la Correspondance de Fermit. Si l'on rapproche do ce pas- 
sage la lettre do Gassendi à Moiisienr do ***, cpd a été roprodnilc tome 11, page ■j.Ci;, 
noie 1, il devient clair que c'est à Carcavi que fut adressée celte lettre, et que si ce der- 
nier communiqua l'original de Fermât à Gassendi, il se le fit remettre. La copie que 
Gassendi s'en fil faire et sur laquelle la lettre a été publiée en premier lieu existe d'ail- 
leurs dans le manuscrit do la Bibliothèque Nationale, latin nouv. acq. 1G37, f" 7O1. Elle 
porte, sous forme de note, l'adresse « De la Poterie, chez Monsieur de Monlmor >•, qui 
est celle d'un commensal et quasi-secrétaire de G.issondi. 

11 semble que Fermât n'avait pas conservé de minute et qu'il cite de mémoire (assez 
inexactement (piant à la forme, ce (pii se comiirend dès lors) la dernière phrase de son écrit. 



COMMERCIUM DE WALLIS. 



V23 



UF.MAnQlîES sur, I. AUITIIMKTIOUE DES INEIMS nU S. .1. WALLIS. 

( Voir la Correspondance de Fermât, n " 85, Tome II, page ■i^']-) 

LETTRE XIV. 

Vicomte Biiolnckeh a John Wallis. 



(IlAIUSSLME I'UOFESSEUR, 

Après avoir reçu la lettre de M. Fermât, que je vous ai récemment 
adressée, et qui limite aux seuls entiers le problème auparavant pro- 
posé, j'y ai quehjue peu réfléchi et je trouve que les carrés en nombre 
intini qu'il demande (ceux dont le produit par un nombre donné non 
carré, étant augmenté de l'unité, fait un carré) tombent dans une série 
comme suit : 



Savoir 
tic même 



2 X Q : 2 X 5 
8 X Q : I X 5 

i8xQ:/lx33 
Sa X Q : 3 X 33 

3 x Q : 1 x 3 
I ?. X Q : 2 X 1 3 
9,7 X Q : 5 x5i 
48xQ: ixi3 



7.5 X Q : 3 X Ji - X 5i — X . 



■^ X Q : 4 X 1 7 



5 aq 160 

X 57; X 5^ X 5—7 X . 

o oj 204 

.5 „ 20 „ i6q 

X 5^ X :7^ X j X . 

" -> "> 204 



33 



121 



X 33 „-, X 33 — ^ X . . . , 
34 II 55 

33 liai 

X 33 ^^ 4- 33 — ^ X . . . , 

04 I I JD 

,3 îi 4i 

X 3v X 3-^ X ott-, x . 

4 10 oo 

,i3 „i8i 
X iS—r X i3 — ^ X . . ., 
'4 '9^ 

X 5l ^r- X . . ., 
52 

„i3 „i8i 
X i3-v X i3 — p X . . ., 
.4 195 



'7 



3o5 



^'778X'73-j ><• 



k-Vx 



ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 



^ I 17 3oo 

20 X Q : 2 X f 7 - X 1 7 — j X 17 t;— r X . . . , 
I 18 i-y.i 

„ I 17 3o5 

SoxQ:ix,7-x.7-gX.73^ x..., 

„ ,, I 8q 88. 

oXO:2X Q-X Q-' X q-^ xq — — X . . . , 

^f ^10 '99 ^980 

, n. ' 8q 881 

2^xQiX q-X q — X q- xq X . . . , 

■^i ''10 -^99 -^980 



96 X Q : 5 X 97 - X . . . . 



Dans CCS séries, le numérateur de chaque fraction est égal à son 
dénominateur diminué du dénominateur immédiatement précédent, 
et le dénominateur est égal au numérateur du terme précédent réduit 
en fraction impropre. 

Si l'on connaît la série correspondant à un nombre quelconque 
non carré, on peut en déduire la série correspondant au multiple de 
ce non-carré par un carré quelconque; il sulïit de diviser. la série 
trouvée par la racine du carré multiplicateur. 

Quant aux deux premiers termes de chaque série, il faut les trouver 

gr;ice ii notre règle générale ^j^; j'entends que, toutes les fois que c/- 

est une partie aliquote de l\(/, ou d partie aliquote de 2r, on a un 
carré entier satisfaisant à la question. Autrement, si l'on substitue 

,, :i (/ ou nien - a r (!t que I on aie par suite a = \(/ — n\ --- \— — n , 
c'est toules les fois que 77 - « ou r/ est une partie aliquote du 
nombre — ou ir, ou encore, en multipliant de part et d'autre par c-, 

toutes les fois que \a- — ne- 1 est une partie aliquote de ■2(i('. 

La question est donc ramenée à trouver un carré dont le produit 
par le nombre donné non-carré dillère d'un certain autre iiarré d'une 
partie aliquote du double produit des racines; ce qu'on pourra cher- 
cher par une induction convenablement établie. 



COMMERCIUM DE VVALLIS. 425 

Voilà ce qui, sur cette question, se présente pour le moment à l'es- 
prit de, 

Clarissime professeur. 

Votre très fidèle et très respectueux ami, 

Brouncker. 

■>.-x octobre 

1657. 



1" novembre 

LETTRE XV. 

John Wallis a Vicomte HROLNCKEn. 

Voici enfin, très illustre Seigneur, ce qu'après mon retour (car 
Vous savez que j'ai été quelque temps absent) j'ai cru, on somme, 
devoir rédiger comme réponse aux Remarques et aux Lettres de 
M. Fermât; si Votre Seigneurie le juge îi propos, clic pourra le faire 
parvenir au très illustre Digby, à qui l'écrit est adressé. Ne vous 
étonnez pas toutefois ou ne regardez pas comme une faute, si j'y ai 
omis certaines choses qui peuvent paraître au moins aussi ou même 
plus importantes que certaines autres qui y sont insérées; je l'ai fait, 
d'une part, pour que la lettre ne fût pas trop volumineuse, de l'autre, 
parce que j'ai pensé qu'il ne fallait pas tout dévoiler en même temps. 

Ainsi j'ai cru devoir taire (pour commencer par ce qui vous appar- 
tient) la série des racines, exposée dans votre dernière lettre du 
22 octobre, que vous m'écriviez lorsque je me préparais à partir d'ici. 
Ce n'est point que je la considère aucunement comme négligeable, 
alors qu'elle est pleine de subtilité, comme le sont toujours vos inven- 
tions, et qu'elle est entièrement digne de la sagacité de votre esprit. 
Mais c'est que je crois qu'il suffit de ce que j'ai mis sans en parler; 
car le problème ne demande pas tous les carrés, mais seulement des 
carrés en nombre infini, et je juge qu'il sera peut-être plus avanta- 
geux de réserver pour plus tard l'énoncé de cette série. 

Il ne faudrait pas d'ailleurs que Fermât pensât qu'en donnant 
maintenant des carrés en nombre infini, nous croyons que ce sont 
là tous ceux que l'on puisse donner; je me suis mis en garde de 
KiinMAT. — Ml. 54 



426 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

ce coté, cil lui en promettant encore davantage, s'il en demande 
d'autres. 

.l'ai jugé l)on de taire également les méthodes, soit de vous, soit 
de moi, pour obtenir par induction le premier carré et sa racine; la 
partie du problème, relative aux carrés à donner en nombre infini, 
m'a en effet paru beaucoup plus considérable; d'autre part et sur- 
tout je n'ai guère vu de moyen d'exposer clairement ces méthodes, 
en sorte qu'elles soient facilement comprises par autrui, sans un 
appareil de mots et d'exemples que cette lettre ne me paraît pas 
pouvoir comporter. Si Fermât s'arrête Ih-dcssus, nous pourrons faire 
cette exposition à part ('). Pour le moment, il suffit de dire en général 
(|u'il faut regarder à ce que d ou \n — q\ soit une partie aliquole du 
nombre ir, ou bien \na-— c-\ partie aliquote du nombre lae. Et, en 
effet, alors les carrés que donnent nos règles seront entiers. 

Quant au centre de gravité et à ce que réclame Fermât de moi à ce 
sujet (-), vous verrez qu'il manque beaucoup de choses que je vous ai 
déjà exposées là-dessus. Ainsi vous trouverez une proposition que je 
vous avais énoncée sous une forme plus générale, limitée ici plus par- 
ticulièrement, de façon à satisfaire seulement à ce qui était demandé, 
à savoir le centre de gravité des hyperboles infinies de Fermât (pour 
employer son langage) dans la situation même qu'il leur a donnée. 

J'ai omis ce qui concerne le centre de gravité dans les paraboles et 
les paraboloïdes ('') de tout genre (qu'il ne demande pas); de même 
dans les hyperboles sous une autre situation; de même dans les semi- 
paraboles, scmi-paraboloïdes et semi-hyperboles (infinies) de même 
genre. 

.le l'ai fait pour ne pas trop m'étendrc dans un exposé dépassant ce 
qui était demandé; d'un autre coté, j'ai préféré énoncer tout d'abord 
ces questions à Fermât sous forme de problèmes; car elles ne me 
paraissent nullement inférieures à ses demandes. 

(') Voir ci-après la Lollre XVII. 

(-) Tome II, page 343 (Lctlrc XII du Commcrcium). 

(') Wallis entend çav paraboloïdes les paraboles de degré supérieur. 



COMMERCIUM DE WALLIS. V27 

Aii reste tout cela est, cii tout cas, laissé à votre jugement, et si 

vous croyez qu'il faille ajouter ou changer ([uelque chose, ce sera 

lait par. 

Très illustre Seigneur, 

Votre très humble serviteur, toujours pièt 
à vous obéir. 



J. Wm.i.is. 



,, p ,21 novemlMc .. 

Oxford, ~- - , iCj7. 

i" octobre 



LETTRE XVI, 

iiifliise dans l.i priifùjeiile. 

.Ioii> Wallis a Keni;i.m Digbv. 

Tuts NoiiLU Skigxeur, 

Depuis que je vous ai envoyé ma dernière lettre du mois de sep- 
tembre ('), le très honorable Lord Brouncker m'a communiqué ses 
solutions des problèmes de Format. Après les avoir vues, j'ai été 
amplement confirmé dans l'opinion que j'ai émise en ma lettre pi'é- 
cédente. Quoi (ju'il en soit de l'écrit qui aurait été mal traduit ii 
Fermai, comme vous l'avez dit, écrit (jue je n'ai jamais vu et dont 
je ne puis aucunement juger, ces solutions sont telles, à mon avis, 
(ju'clles répondent très exactement aux demandes. J'ai donc cru ile- 
voir vous les adresser aussitôt, après les avoir mises eu latin, afin (|ue 
désormais une mauvaise interprétation ne puisse tromper personne; 
je vous ai ainsi fait, le même mois, l'envoi d'une seconde lettre ('-), 
mais je l'ai fait revenir, ayant reçu dans l'intervalle les lettres de 
Fermât, et désirant répondre ;i ce qui s'y trouve indiqué à nouveau. 

trest donc dans le mois suivant, en octobre, que j'ai reçu, de la part 
de votre Seigneurie, les deux lettres que lui a écrites M. Fermât en 
date du G juin et du i.) août, puis quelques jours après ses Ikmarques 

(') LoLlrc VII. 
(2) Letlro IX. 



428 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS. 

sur mon Arithmétique des Infinis; nouveaux bienfaits dont vous me 
r,onil)lez sans cesse. Mais il ne me reste aucun espoir d'échapper aux 
liens de la reconnaissance, qui me tient enchaîné à vous; je n'ai plus 
d'autre refuge que votre clémence; je n'ai, comme unique ressource, 
(jue de la supplier d'accepter mes très humbles rcmerciments pour 
tant de faveurs, et de me continuer, malgré mon indignité, l'affection 
que vous voulez bien me montrer. Puis, sans vous arrêter à de trop 
longs préambules, je me mettrai aussitôt à répondre à ces lettres, 
apriïs vous avoir cependant demandé excuse si mon importun bavar- 
dage interrompt vos sérieuses occupations. 

La première lettre de Fermât se plaint de la difficulté de saisir ce 
qu'a voulu dire le très honorable Vicomte dans sa solution des pro- 
blèmes; la faute en est attribuée à une mauvaise traduction de l'an- 
glais. 

Pour éviter de nouvelles plaintes de ce genre, j'ai cru devoir em- 
ployer, en m'adressant à vous, la langue latine, qui n'a pas besoin de 
traduction : je l'ai fait d'ailleurs pour le cas où vous jugeriez à propos 
de communiquer cette lettre elle-même. 

Mais Fermât ajoute qu'autant qu'il peut en juger au travers des 
nuaiies de cette obscure traduction, le très honorable Lord n'aurait 
nullement satisfait à sa question. Je crois précisément le contraire, et, 
il moins que Fermât n'ait pas bien encore compris ces solutions, je ne 
vois pas sur quoi il pourrait, soit en douter, soit le dissimuler. 

Le premier problème était double. 

Trouver un cube (p. 3i i , lignes 21 à 27) fasse un cube. 

.l'ai répondu sur ce problème que le nombre i satisfait aux deux 
questions; il est, en elTet, à la fois carré et cube, et il n'a pas de par- 
ties aliquotes. 

Lord Vicomte Brouncker a ajouté à cette solution qu'on pouvait 
également satisfaire aux deux questions (dans le cas où les fractions 
seraient admises), au moyen du quotient du nombre i par la sixième 
puissance de tout nombre entier; d'autre part, que la première des 



COMMERCIUM DE WALLIS. V29 

deux questions seulement pouvait aussi èlre résolue au moyen du 
quotient de 343 par un semblable diviseur, par exemple -rrr' 

En effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas d'autres parties 
actuelles que celles qui sont dénommées comme l'est le tout, le cubt^ 

ci-dessus -^ n'aura pas d'autres parties aliquotes que ^f h^ 'df' 'p^" 

quelles, ajoutées au même nombre -wr^ 'ont --rr' carre de -^■ 
' ■• 64 t)4 8 

A la vérité, Fermât s'explique maintenant en disant qu'il ne sera 
satisfait que par un nombre entier. Mais, même ainsi, on ne peut nier 
qu'il ne lui ait été donné satisfaction. Car, en dehors du nombre 343 
énoncé dans le problème, il n'en demande i\uun seul autre, et il no 
promet d'en donner lui-même qu'M« seul autre, (/e demande un 
autre, etc.; et s'il répond qu'en entiers il n'y a que le seul nombre 343, je 
vous promets de le désabuser en lui en exhibant un autre) ('). Or nous 
avons donné un entier satisfaisant au problème, à savoir le nombre i . 

Si je n'en donne pas d'autres, ce n'est pas que j'estime qu'il n'en 
existe point; mais c'est qu'il n'en demande pas davantage et que je ne 
juge pas l'affaire de telle conséquence (car à quoi bon?) qu'elle soit 
digne d'une recherche minutieuse, et encore moins que l'Angleterre 
tout entière, avec les Gaules Celtique et Belgique, qu'il provoque 
toutes ensemble, se livrent exclusivement ii cette étude. La question 
n'est pas plus importante, du moins à mon sens, que celle que je 
pourrais poser avec une pareille ostentation, en donnant deux nom- 
bres carrés, i6 et 25, qui font la même somme, si à chacun d'eux on 
ajoute ses parties aliquotes : 

l6 + 8 + 4H-2 + I=:3l = 25-h5-1-I, 

et en demandant deux autres carrés jouissant de la même propriété. 
Fermât peut, s'il le veut, s'attaquer à ce problème, ou, s'il le préfère, 
le négliger; mais je n'y attache pas une telle importance que je l'en 
juge plus habile, s'il réussit, ou moins, dans le cas contraire. 

(') Lellre de Fermât à Uigby du G juin iCij. Tome II, page 3^?., ligne 3 à 7. 



WO ŒUVllES DR FERMAT.- TRADUCTIONS. 

L'autre problème élail ainsi conçu : 

hllanl donne un nombre (page 3 12, ligne 3 en rem., à page 3i3, 
ligne 7) qui peut être donné. 

Lord Vicomte Brouncker a fait usage d'une règle de ce genre, qu'il 
a munie de sa démonstration. 

Soient n un nombre (page /ii8, ligues 3 à 10) = {,r_ryi 

.l'ai voulu eu ajouter une autre de mou crû, un peu plus générale 
quant au mode de procéder, mais revenant au même, pour le fond. 
Elle est également munie de sa démonstration. 

Soient n un nombre donné (page \i^, lignes il\ à 20) 

En effet. 



mail 


+ - 


III- 
1 6 p- 




man 


+ p- 


n'- 








in- 


a"-- 


man -+- p"- 


■ n- 






m'- 


, rt'- 


I 

-h — 
0, 


mail -+- 


p"- «' 


1 
\ 


/ ma 


+ 


pn 




; a- ■ 


1 


man + 


p'-n'- 


ma 
\t\P 


— 


pn 



Fermai peut choisir de ces deux règles celle qu'il lui plaira; il est 
clair qu'elle répondra à la question proposée. S'il en désire davantage, 
nous lui en promettons autant qu'il en voudra, mais elles coïncideront 
avec les deux ci-dessus, (jui fournissent, en effet, non seulement des 
carrés en nombre infini, mais tous les carrés possibles qui jouissent 
de la propriété demandée. 
g On doit d'ailleurs lui faire remarquer que la limitation, que le 
nombre d(uiné ne soit pas carré, est superflue, dans les termes où la 
question est posée. (]ar la règle s'applique aussi bien aux nombres 
carres qu'aux non carrés. 

Knfin il n'y aurait pas plus de difficulté s'il avait dit, en général, 
e/i ajoutant un nombre carré (juelconquc, et non pas en ajoutant l'unité. 
il ne resterait, en effet, (|u'une simple opération à faire, qui serait 



COMMERCIUM DE WALLIS. V31 

de multiplier, par ce carré à «ajouter, le nombre carré clouiié par les 
règles précédentes. 

Ainsi soit h- le carré à ajouter. 

Avec la première règle, au lieu de ^, il faut prendre ^-^• 
Avec la seconde, au lieu de —rj, il faut prendre — ,,— • 

a- ^ d- 
On a, en elFet, de la sorte, d'une part -^^ ^f>'i Jiî l'autre 

,,.„.,/.2 

- b-, nombres carrés. 



d' 

Voilà ce que je vous avais écrit dans cette lettre dont je vous ai 
parlé, mais que j'ai cru devoir faire revenir, en raison des nouvelles 
indications que Fermât donne seulement aujourd'hui. Il y a, en elTef, 
lieu de compléter quelque peu ce (jui précède, eu égard à la nouvidle 
limitation requise, dont il n'était nullement fait mention dans l'énoncé 
antérieur. 

Format dit maintenant (ju'il a voulu parler des seuls carrés entiers, 
non des fractionnaires; qu'en fractions, les solutions sont si faciles 
qu'elles peuvent être fournies a quolibet de trivio arithmetico ( '). 

En tout cas c'est déjà quelque chose que votre très noble correspon- 
dant reconnaisse enfin que la question qu'il avait posée est de celles 
que peut l'acilemcnt résoudre quilibct de Irnio arhlimelicus ; il n'y a 
guère qu'il en jugeait tout autrement et pensait même qu'elle n'avait 
pas été résolue par le très honorable Vicomte, parce <[ue celui-ci ne 
l'avait pas trouvée dillicile (-). Cependant on pourrait peut-éire se 
demander si Fermât lui-même, pour ne pas parler de (jinUbci de ticio 
arillimelicus, avant l'énoncé de nos règles, en connaissait une générale, 
donnant non seulement des carrés en nombre infini, nuiis tous les 
carrés possibles, tant entiers que fractionnaires; s'il pouvait démon- 
trer que cette règle était l(dlc. 

(') « Par le premier venu des ealculaleurs de la rue. » 

('-) Il est singulier que Wallis oppose ciilre elles, comme successives, deux déclarations 
de Fermât contenues dans la mémo lettre du juin 1GJ7 (l'iccc 11° 8^ de la Correspon- 
dance). 



132 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

Mais je ne sais si nous ne pourrions nous plaindre avec quelque 
raison de ne pas avoir été loyalement traités. Qu'il s'agît d'entiers, il 
n'en était pas soufflé mot dans l'énoncé de la question; rien ne nous 
pouvait faire deviner que nous avions à la comprendre ainsi. Dans le 
long préambule mis en tête, Fermât cite Diophante et égale au moins, 
s'il ne les préfère, ses questions arithmétiques aux problèmes géomé- 
triques des autres; il se donne comme imitant Diophante dans la ques- 
tion qu'il propose. Mais partout, chez Diophante, comme nombres 
carrés on entend indifféremment les entiers et les fractionnaires. Qui 
donc, même après avoir regardé Diophante plus ou moins rapidement,, 
pouvait soupçonner ou bien qu'il n'y a pas de carrés, à part les entiers, 
ou bien qu'une question ainsi proposée devait être entendue des seuls 
entiers? Nous avons donc résolu la question proposée au sens de ses 
fermes, tout à fait comme ils devaient être compris, et ce n'est pas 
notre faute, si, quand Fermât entendait les seuls entiers, il s'est ex- 
primé autrement ('). 

Mais puisqu'il propose maintenant sur les entiers celte question qu'il 
avait auparavant proposée simplement sur les carrés; en d'autres 
termes, puisque, cette question étant résolue, il en pose une nouvelle, 
nous voulons bien le suivre encore sur ce terrain. Nous allons donc 
aborder ce 

Nouveau problème : Faire la même chose pour les nombres entiers. 

Nous remarquons d'abord que la question ainsi limitée est moins 
générale qu'auparavant, et il est immédiatement clair qu'il faut, ainsi 
que le fait Fermât, la restreindre au moins à des nombres donnés non 
carrés. 

Si en effet, d'une part n, de l'autre ^. sont des nombres carrés 
entiers, -Jj- sera aussi un carré entier, et comme ^^ + i doit être 

(') Wallis semble de fait avoir à peine regardé le préambule du second défi (Pièce 
n' 81 de la Correspondance). Dans le deuxième alinéa, en effet, Fermât pose très claire- 
ment la question comme concernant les nombres entiers et comme différant en cela des 
problèmes conservés de Diophante. 



COMMIÎUCIUM DE WALLIS. W3 

carré, on aurait deux nombres carrés entiers qui ne dilîéreraicnt (juc 
(le l'unité, ce qu'on sait être absolument impossible. 

Dans le cas où la chose est possible, nos règles donnent non pas 
les seuls, mais cependant tous les carrés entiers. Elles donnent on 
(^fiTot tous les carrés demandés possibles, tant entiers que fraction- 
naires. Pour ne pas paraître parler au hasard, je vais le démontrer. 

Soit/- un carré quelconque satisfaisant à la condition proposée; 
on aura nf- + i égal à un carré, soit /-. 

Prenons maintenant /• = ~j^' ï^ "^''^ M^"^/" ^i""'' ^?' qui' donne la 
règle ci-dessus exposée. On a en elfet : q — r- — "^ "^ ' ■ Mais 
nf- + I = /-. Donc /-' — i — /(/- et n — ■ Par conséquent, 



d=\ 



l'^^.il-^ 



r- 



p 



2 / qr 2 

~P~ 



et par suite, comme ir — 



2/ r: 2 



2/zj:2 2/3t2 






ou l)icn 



P 



.^ 4V 



Ainsi la règle précitée fournit le carré /-, c'est-ii-dire un carré 
quelconque satisfaisant à la condition proposée. 

(La démonstration se ferait de même, mulalisniulandis, [)Our l'autre 
règle.) 

La règle précitée fournit donc une infinité de nombres carrés satis- 
faisant il la condition proposée et d'ailleurs, dans le cas où la chose 
est possible (c'est-ii-dii'e si le nombre donné est non-carré), une infi- 
nité de carrés entiers. 

Il faut, de plus, que ^f — /- soit entier et il faut fournir une infi- 
nité de tels carrés. 

Pour cela, parmi le nombre infini que donne la règle, on choisira 
arbitrairement un carré entier quelconque, satisfaisant ii la condition 
FiiiiMAT. — m. 55 



43i ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS. 

proposée, et qu'on peut d'ailleurs trouver de toute autre façon; grâce 
à ce seul carré, on en fournira une infinité d'autres, comme suit : 

Soit/-, par exemple, ce carré; par conséquent nf'-+ i = /-. 

2 //sera la racine d'un autre carré satisfaisant à la condition pro- 
posée. De la même manii're, connaissant ce second carré, on trou- 
vera la racine d'un troisième carré, puis d'un quatrième, d'un cin- 
quii'me, etc., à l'infini. 

Exemple : Le nombre 3, multiplié par le carré i, si l'on ajoute l'u- 
nité, fait un carré. 

3xn-i = 4. 

Le double produit do i et 2, racines des carrés i et 4» <'Sf 
2X1X2 = 4» <iui sera racine du nouveau carré 16 satisfaisant à la 
condition proposée. 

Et comme 3 x 16 -1- i -z 49» 

2 X 4 X 7 = 56 sera racine d'un nouveau carré 3i36 satisfaisant éga- 
lement à la condition. 

Comme d'autre part 3 x 3i36+ 1 = 9409, carré de 97, 

2 X 56 X 97 = 10864 sera encore la racine d'un nouveau carré satis- 
faisant il la condition. 

Et ainsi de suite. On aura donc une infinité de carrés entiers satis- 
faisant il la condition. 

Je n'ignore pas d'ailleurs qu'en dehors de ces carrés on en peut 
encore trouver d'autres; par exemple 

3 X 7.ih + I = 676 ■= aG", 

et autres que nous pouvons également fournir en nombre infini. Ainsi 
tous ne peuvent pas être immédiatement induits de la sorte d'un seul; 
mais on ne demandait pas cela; car il n'a pas été proposé de fournir 
tous les carrés entiers satisfaisant à la condition, mais d'en fournir en 
nombre infini, ce que nous avons fait. 

Fermât voudra-t-il changer encore les termes de sa question pour la 



COMMEUCIUM DK WALLIS. 



435 



proposer sous une troisit'iiic forme? dcniaïulera-L-il que les carrés 
entiers satisfaisant à la condition soient fournis, non pas sculemeni 
en nombre infini, mais absolument tous? Gela, nous pouvons également 
le faire. 

Qu'il en soit d'ailleurs ainsi que je l'ai dit, pour ne pas parler vai- 
nement, je vais le démontrer. 

Il a déjà été prouvé que -'- satisfait à la condition ; reste donc à faire 

(|ue ^ — /■ soit un nombre entier, par suite ([ue sa racine ^' =/ 

soit un nombre entier, ou autrement, que r/= | « — y | soit une [larlie 
aliquotcdu nombre 2r. 

Or il peut se faire ({UC2r, et di's lors47. "^' ^'*'* P'^^ entier; substi- 
tuons donc il q, -ir> et il r, -• Nous aurons 

' c' c; 



/-- 



ir 



lac 



I V " " 



Ainsi, /sera un nombre entier toutes les fois que \a^ — iie"^ \ sera une 
partie aliquotc du nombre lae; en d'autres termes, toutes les fois 
que la dilTérencc entre un carré et le [jroduit d'un autre carré par le 
nombre donné sera partie aliquotc du double produit des racines de 
ces carrés. 

Or ceci peut arriver de mille manières difl'érentes, mais a évidem- 
ment toujours lieu en particulier, si cette dilTérence est i ou 2; car 1 
est partie alicjuotc de tout nombre entier, et 2 l'est du nombre; lac. 

C'est ce qui arrive évidemment dans notre cas. Puisqu'cn effet, sui- 
vant la condition exigée, /i/--i-i = /-, la différence /- — ///- sera 1; 
si donc par cette différence on divise 2/7. le ([U(»tient sera le nombre 
entier 2//, et ce sera par suite un nouveau nombre/ satisfaisant ii la 
condition. Et ainsi de suite indéfiniment. c. o. \ . it. 

Je crois superflu d'en dire plus long sur cette question, ([uoique 
j'aurais beaucoup de choses prêtes à ajbutcr; mais je crains déjii de 
m'étre trop étendu. 



43G 



ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 



Une autre question proposée par Fermât (') n'est parvenue que tar- 
divement entre mes mains. L'énoncé en est : 

Trouver deux nombres cubes dont la somme soit égale à celle de deux 
autres nombres cubes. 

Il me suffira d'en dire quelques mots. Elle a été, à ce que j'ap- 
prends, résolue de diverses façons par M. Frenicle; j'ai vu quelques- 
uns de ses nombres; Fermât les ayant déjà reçus, il est inutile que je 
les répète. J'en ajouterai d'autres qui viennent d'ici. 



3'+ 36^' 
l'-f-S-' 

6-' H- 10^ 



■2']' 



-(4; 



-I- 



«i 



-(!)' 



= 8' 



= 3' 



^- ' 



i6- 



6'+ 48' 



36' 

27' 



ï)'= 



+ 5», 

+ 60', 
+ 45', 



-f4 



io'+8o' 



4o' 



32'-+- 66' 
20M- 54' 



45' 



73'' 



+ ^7r 



3o'- 
60'- 

4'- 



66' 

■48' 



-18' 

= 38' 

= 4' 
= 8' 
= 36^ 



+ 68% 
+ 48', 
+ 68', 
+ i36', 



4o', 



3; 



9% 



3o'-i-8i' 


= 57' 


+ 72'. 


48'+ 99' 


-= 273 


t- 102-', 


5'-(-6o-' 


= 45' 


+ 5o'. 



-T- 
2 / 



4 



Si ces nombres ne suffisent pas, j'en fournirai autant qu'il le vou- 
dra; et cela si facilement qu'en une beurc de temps j'en promettrais 
bien cent, entiers ou fractionnaires, à son gré. Ce que j'ajoute poui' 
qu'il ne dise pas encore qu'il ne veut que des nombres entiers, alors 
que l'énoncé de la question ne fait nullement mention d'entiers. 

Après avoir résolu ces questions, et si du moins votre très noble 

(') Voir ci-avanl la Lellrc X du Commcrciiini, page 4 '9- — Wallis se coiiteiilc ici de 
donner des noinhres proportionnels à ceux de celte Lettre, calculés par Frenicle, sur le 
vu do la question de Fermât (Lettre du i5 août 1657, n" 8i de la Correspondance, T ). 



COMMERCIUM DE WALLIS. 4-37 

correspondant trouve qu'il ait désormais suIRsammont éprouvé nos 
forces, je voudrais le prier de ne pas trouver mauvais et de ne pas, 
noli plus, attribuer à quelque épuisement de notre vigueur là-dessus, 
que nous ne nous montrions pas à l'avenir très préoccupés de ré- 
soudre des questions de ce genre. Il semble les aimer singulièrement, 
mais j'avout> (à dire ce qui en est) que, pour mon compte du moins, 
("Iles n'ont pas un attrait si puissant que je sois porté à leur consacrer 
beaucoup de temps ou de travail, et que je ne les estime pas assez 
importantes, pour que, négligeant les autres recherches en Géométrie, 
qui me plaisent davantage, je me détourne vers ces spéculations sur 
les nombres. Qu'il ne croie pas toutefois qu'en parlant ainsi je veuille 
en rien diminuer la juste gloire que mérite son habileté dans la pour- 
suite* de ces mêmes spéculations; je voudrais plutôt l'exhorter, s'il 
Irouve dans ces matières quelque secret intéressant pour l'avance- 
ment général de la Science, à le publier ouvertement dans un Traité 
iiiéthodique. Mais ce que je veux faire comprendre est seulement ceci 
([ue, ne pouvant m'occuper également de tous les sujets, je m'attache 
<le préférence à ceux qui me séduisent davantage et me semblent avoir 
une utilité, tandis que je laisserai aux autres ce qui peut leur plaire 
au contraire plus qu'à moi; ainsi les uns et les autres pourront jouir 
chacun de son domaine. 

Ce sera ma réponse aux nouvelles questions qu'il propose mainte- 
nant ('), par exemple : 

Partager un nombre cube en deux cubes rationels; 

Et partager un nombre, somme de deux cubes, en deux autres 
cubes rationels. 

Si le très honorable Vicomte Brouncker veut s'y essayer (et, s'il 
essaye, je ne doute pas qu'il n'obtienne un heureux succès, en tant du 
moins que la nature de la chose peut le permettre) ou si quelque autre 
a le même désir, je ne veux aucunement l'en détourner; mais moi du 
moins, je n'en ai ni le temps, ni l'intention. 

(') LcUro du I j iioùl iGJ;, u" Si do la Correspondance , 4 cl 8, ci-avanl, p. 343. 



438 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

Il ne m'a certes pas été désagréable, sur le désir exprimé par votre 
très noble correspondant, d'engager une, deux fois la lutte avec lui 
et de descendre dans son arène; mais cet illustre savant n'attend pas, 
sans doute, qu(! je continue toujours le même exercice, et que, 
comme si je n'avais rien autre cbose à faire, j'aborde sans oesse de 
nouvelles questions, perpétuellement renaissantes. 

J'en dis autant pour ses récentes propositions négatives, que : 
en deliors de 25. il n'y a aucun autre nombre carré entier (jui, aug- 
menté de 2, fasse un cube; ni, en debors de 4 et 121, aucun qui, aug- 
menté de 4' fasse un cube. Si cela est vrai ou non, je ne m'en soucie 
pas extrêmement, alors que je ne vois pas quelle grande conséquence 
peut en dépendre. Je ne m'appliquerai donc pas à le recbercber. Kn 
tout cas, je ne vois point pourquoi il en fait montre comme de cboscs 
d'une bardicsse étonnante et qui doivent stupéfier soit M. Frenicle, 
soit aussi les Anglais; car de telles déterminations négatives sont très 
fréquentes et nous sont familières. Les siennes n'avancent rien de 
mieux ou de plus fort que si je disais : 

11 n'y a pas (en entiers) de cubocube (j'entends une sixième puis- 
sance) ou même de carré qui, ajouté à 62, fasse un carré. 

Ou : En dehors de /j, il n'y a aucun carré qui, ajouté au nombre 12, 
fasse un bicarré. 

Ou : En debors de iG, il n'y a pas de bicarré qui, ajouté à 9, fasse 
un carré. 

Ou : Il n'y a pas en entiers de cubes dont la différence soit 20, ni, à 
part 8 et 27, dont la différence soit 19. 

On : Il n'y a pas de bicarrés entiers dont la différence soit 100, pas 
|)lns (pour le dire en une fois) qu'aucun autre nombre pair, à moins 
([u'il ne soit divisible par 16. 

Il est facile d'imaginer d'innombrables déterminations négatives 
de la sorte. 

Pour ce qui concerne mon Arithméliqnc des Infinis, dont il parle 
dans la même lettre, il avoue que les propositions que j'ai découvertes 
sont les mêmes que les siennes; sauf donc que je n'ai pas parlé du 



COMMEHCIUM DE WALLIS. Wfl 

centre de gravité, remarque sur laquelle je reviendrai tout à l'iieurc, 
j'aurais ainsi produit ce que, dans la première lettre que j'ai vue de 
lui ('), il vantait comme miracles de la Géométrie. Il n'y a en effet 
rien de ce qu'il indiquait dans cette lettre que l'on ne puisse voir dans 
mon Traité, comme je l'ai montré en citant les endroits. 

Mais, à ce qu'il semble, il regrette (reproche que je n'aurais jamais 
présumé devoir être dirigé contre moi) que la méthode dont je me sers 
ne soit pas celle qui prouve seulement la vérité des découvertes par 
démonstrations ajoa^o^i^we^ ou réductions à l'impossible (comme elles 
sont fréquentes chez Archimède et comme il convient d'en user si l'on 
veut moins se faire comprendre qu'admirer du lecteur); que ce soit 
au contraire cette méthode (|ui montre en même temps la marche des 
recherches. 

S'il me rappelle l'exemple d'Archimède, exemple qui, à vrai dire, 
m'eût suffisamment justifié, si j'avais voulu employer la même mé- 
thode de démonstration, je ne crois pourtant pas que votre savant cor- 
respondant ignore que les hommes les plus sérieux et les plus doctes 
regrettent précisément, et sont bien près de considérer comme un 
défaut, qu'Archimède ait caché de la sorte les traces de ses procédés 
de recherche, comme s'il avait voulu par jalousie priver la postérité 
des moyens de découvertes, tout en voulant lui arracher l'aveu de ce 
qu'il avait trouvé. Mais Archimède n'a pas été le seul; la plupart des 
anciens ont tellement dérobé aux yeux de la postérité leur Analytique 
(car il est hors de doute qu'ils en avaient une) qu'il a été plus facile 
pour les modernes d'en inventer une nouvelle de toutes pièces (ce qui 
a été fait dans le dernier siècle et dans celui-ci) que de retrouver les 
traces de l'ancienne. 

J'aurais certes plutôt attendu des remerciments qu'une accusation, 
pour avoir indiqué ouvertement et loyalement non seulement où j'étais 

(I) Dans la Lcllio du 20 avril 1G37 (11° 8:2 do la Corrapondancc, T. Il, p. 33<)), Fermai 
n'applic[ue précisément cette expression de miracles qu'aux propositions relatives aux 
centres de gravité des aires comprises entre les hyperboles et leurs asymptotes. 11 est 
d'ailleurs le premier à dire que ses énoncés sur la quadrature des mômes aires peuvent 
se tirer de l'Ouvrage de W'allis. 



WO ŒUVRES DE FERMAT. -^ TRADUCTIONS. 

arrivé, mais encore quelle route j'avais suivie; pour ne pas avoir été 
rompre le pont sur lequel j'avais passé le fleuve; d'autres peuvent le 
faire, mais on s'en plaint assez. 

Votre très noble correspondant avance encore que certaines de mes 
propositions peuvent être démontrées par la méthode d'Archimède. Je 
n'en doute nullement; j'ai même indiqué plusieurs fois (Arithm. In- 
fin., pag. 38, 83 et ailleurs) qu'il était facile de le faire; mais j'ai dit 
aussi pourquoi je ne l'avais pas fait moi-même; il n'a donc pas sujet 
de s'enquérir des raisons du choix do ma méthode, quand je les ai in- 
diquées dans le cours de mon Ouvrage. 

Il n'y a guère, je crois, personne, je ne parle pas des arithméticiens 
(te trivio, mais aucun géomètre un peu exercé (à plus forte raison 
quelqu'un de tel que lui) qui ne puisse facilement, sur mes démon- 
strations, en forger (ïapagogiques et semblables à celles d'Archimède. 
Aussi, pour sa promesse de le faire lui-même, je n'ai certes pas à 
dédaigner son travail lii-dcssus, mais aucune nécessité ne l'oblige à 
se charger d'une telle entreprise, alors que ce qu'il annonce devoir 
faire a déjà été précisément accompli par Cavalicri, dans son Traité 
De l'usage des indwisililes dans les puissances cossiques ('). Cependant, 
s'il veut apporter son suffrage, je n'ai pas ii le récuser. 

Si enfin il repousse comme une forme de preuve illégitime l'indue-, 
tion, qui a été suffisamment employée tant par les Anciens que par les 
i\lodernes, plus souvent peut-être qu'il pourrait le penser de prime 
abord; s'il veut même écarter l'emploi des notes algébriques, partout 
répandues aujourd'hui, je n'ai certes pas à être aucunement préoccupé 
de rédiger une apologie sur ce chef. J'ai agi dans mon droit, suivant 
la voie qui me plaisait; il a de même le plein droit d'en suivre une 
autre, s'il le préfère; mais je ne doute pas que ce qu'il blâme, d'autres 
le loueront. 

Il reste encore un point que je dois prendre surtout à cœur; j'ai, ;i 
propos du centre de gravité, à dégager ma parole et ii détruire l'accu- 

(' ) De iisii coriinrlc/n iridh'isil)ilium in potcstatilnis cotdcit csl le titre de la quatrième 
dos six E.tercltatioiies i^eometricd' publiées par Cavalieri en 1647. 



COMMERCIUM DE WALLIS. kki 

sation de fausseté qu'à la vérité votre très subtil correspondant ne 
porte pas vraiment contre moi, mais qu'il semble réserver dans ses 
doutes. 

J'avais dit, dans ma lettre du 6 juin, que les mêmes principes dont 
je me sers dans V Arithmclique des Infinis permettent de déterminer 
sans difliculté le centre de gravité tant des paraboles de tout genre, 
que de la plupart des autres figures, planes ou solides; que, toutefois, 
pour ne pas me perdre dans des digressions, j'avais à dessein omis 
toute cette spéculation sur le centre de gravité. A cela votre très noble 
correspondant réplique qu'il n'en sera pas persuadé, et qu'il désire 
dès lors (comme si j'avais particulièrement énoncé ce point) ({ue je 
détermine les centres de gravité dans les hyperboles infinies, en dis- 
tinguant celles qui en ont d'avec celles qui n'en ont pas. Il demande 
(ju'au moins j'envoie la proposition générale, même sans démonstra- 
tion. Sinon, il laisse penser qu'il me regardera comme ne connaissant 
nullement une chose que pourtant, d'après lui, j'aurais avancé con- 
naître; enfin il n'enverra pas auparavant ses spéculations qu'il a pro- 
mises depuis longtemps, de peur sans doute que je n'y trouve quelque 
chose que je ne sache pas déjà. 

Je ferai donc ce que demande votre très noble correspondant, tant 
pour ne pas paraître accusé justement de mauvaise foi, que pour qu'il 
voie que ce qu'il considère comme des merveilles, dont il se croit 
peut-être le seul possesseur, m'appartient en fait également. Bien 
plus, ce qu'il ne demande pas, j'ajouterai, suivant mon habitude, et la 
méthode de recherche et la démonstration; il verra ainsi qu'elles pro- 
cèdent directement de l'art d'invention que j'ai exposé. Je ne suis pas 
pour moi si jaloux de mes découvertes que je ne les communique pas 
aux autres, et je ne serai nullement fâché si le très savant Fermât y 
apprend quelque chose qu'il n'aurait pas remarquée. Je le laisse d'ail- 
leurs libre de faire ou non connaître les spéculations auxquelles il 
fait allusion et ses procédés de démonstration; je ne réclamerai pas 
l'exécution de sa promesse, s'il la regrette. 

Ses hyperboles infinies ne sont autres que les figures construites sui- 

KEtlMAT. — III. 36 



44-2 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

vant les séries que j'appelle réciproques, et dont j'ai enseigné la qiia- 
dralure prop. 102, 103, 104, 105 Arùhm. I/tJ/'/i.; 'f^ï tléjà montré cette 
identité et il la reconnaît lui-même. 

Soit donc, par rapport à la droite infinie AAo (/tg. i), une figure de 
ce genre répétée, de part et d'autre, de telle manière qu'il y ait con- 



Fig. I. 



A 


M 


V.__^ 


à ' " 




C 






/X^^" 



gruence entre AoBD et A^bcl, par exemple. La figure double ainsi 
formée est celle que Fermât appelle hyperbole infinie (') et dont il 
demande le centre de gravité. 

Comme les droites parallèles ;i Ao (en dessous et au-dessus) for- 
ment une série réciproque, dont par conséquent l'indice est négatif, 
soit — p\ comme, d'autre part, les moitiés sont proportionnelles aux 
lignes entières, et que par conséquent les milieux de ces droites, ou 
leurs centres de gravité, doivent être regardés comme suspendus :t la 
balance Ao à des distances du point A (supposé le centre de la ba- 
lance) proportionnelles aux grandeurs des droites elles-mêmes; les 
moments, dont la raison est composée de celle des grandeurs et de 
celle des distances, formeront une série ayant pour indice — ip. 

Ainsi la figure totale est au parallélogramme inscrit D/^, comme i 
est à — p + I, et la somme des moments de l'une est à la somme des 
moments de l'autre, comme i à — 2/> + i. Mais le centre de gravité du 



(') Format no s'esl pas en réalité exprimé d'une fai;on si impropre: mais la figure de 
Wallis n'en répond pas moins à celle du Tome II, page 338. —Le nombre /; de Walliscsl 
l'exposant de_>" dans l'équalicn //".r = A de l'Iiyperljole io rajjporlée aux axes Ao (des x) 
et Kd (des j). D'autre part %i figure loialc comprend le rectangle M^bd. 



COMMERCIUM DE WALLIS. U3 

parallélogramme est, comme on sait, en son point milieu; le parallé- 
logramme Db doit donc être regardé comme suspendu en M, milieu 
de AA, dont la distance à A est AÎM = -Ai. 

2 

Mais le poids de la figure totale, dans sa position ('), étant au poids 
du parallélogramme, dans sa position, comme i à i — 2/j, si l'on prend 
sur l'autre bras de la l)alancc, la droite AP étant ii AM comme i à 
I — 2p, le parallélogramme suspendu en P fera équilibre à la figure 
totale suspendue comme auparavant. D'autre part, la grandeur de la 
figure totale étant à celle du parallélogramme comme i à i — /?, si l'on 

fait = -—;, C étant sur l'autre bras que P, et les distances étant 

I — p A( , ^ 

réciproquement proportionnelles aux grandeurs, ce point C sera le 

centre de gravité de la figure infinie, si toutefois il y en a un. 

I AP 

Mais, dans le cours de l'opération, on a dû prendre = -t-ïî? 

' ' i — 2/j AM 

il est donc clair (jue, pour (ju'il y ait un point P, il faut que l'on ait 

ip<i on p<-- 

^ ' 2 

Autrement i — ip serait nul ou moins que rien, et dès lors il n'y 
aurait nulle part ni point P, ni point C. 

Ainsi nous avons trouvé, pour toutes les hyperboles infinies de 
Fermât, qui en ont, le centre de gravité, et nous avons distingué 
celles qui en ont d'avec celles ([iii n'en ont point. Ce (jui était 
demandé. 

J'ajouterais bien davantage sur le centre de gravité, tant de ces 
figures, que d'autres formées de différentes façons; n'était que Fermât 
borne là sa demande, et que je dois me souvenir que j'écris une 
lettre, non un volume. 

Mais, si jusqu'à présent je me suis conformé à ses ordres, je lui 
demanderai en retour de traiter la même question sur ses hyperboles, 
dans le cas où les courbes, de part et d'autre de l'axe, ne seraient pas 
des hyperboles de même espèce, et cela en général. 

C) C'csl-ù-dire le momenl par rapport à A. 



w* 



ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 



Par exemple : Que, dans la figure AoBD {/ïg- 2), infinie au sens de 
Fermai, on inscrive autant de parallélogrammes AG que l'on voudra; 



./ 



Fis 



E e\ H ]/, 

■ /g 



de même, dans la ligure Aobd, autant de parallélogrammes A^ que 
l'on voudra ; mais que d'un coté on ait 



et de l'autre 



FG X GH = BD X BE, 



/g X ff/i = Od X be 



On demande de trouver le centre de gravité de la figure totale, si 
toutefois il en a un, et de déterminer, en général, quelles figures de 
ce. genre en ont un et lesquelles n'en ont pas. 

S'il avoue qu'il ne le peut faire, je m'engage à donner la réponse. 

Enfin, et après ses autres lettres, j'ai reçu à part du même Fermât 
quatre Remarques sur mon Arithmétique des Infiais. Je pourrais sans 
inconvénient les passer sous silence, si votre illustre correspondant 
ne pouvait penser que je le dédaigne; en tout cas, je suis porté à croire 
qu'il a écrit ces Remarques à la hâte et sans grande réflexion, que 
peut-être même, s'il a lu aujourd'hui le reste de l'Ouvrage, il préfére- 
rait ne pas les avoir faites; tant on y reconnaît mal la pénétration d'un 
si grand homme, tant tout y est àTrpofroiovuaa ('). 

I. Dans l'Epitre, en tète de V Arithmétique des Infinis, j'expose l'his- 

(') Ne loucliant pas à la qucslion dont il s'agit. — Les Remarques en question forment 
la pièce n° 85 do la Correspondance de Fermât. 



COMMERCIUM DE WALLIS. kka 

toirc de mes recherches et notamment comment j'ai appliqué à mon 
sujet la Méthode des Indivisibles de Cavalieri. En effet, de même que : 

La raison de la somme de tous les cercles dont se compose (au sens 
de Cavalieri) le conoïde parabolique à la somme d'autant de cercles 
du cylindre est la raison du conoïde lui-même au cylindre; et que la 
raison des sommes respectives de tous les diamètres de ces cercles est 
la raison de la parabole au parallélogramme; raisons qui sont connues 
l'une et l'autre; 

Que la raison de la somme de tous les cercles dans le cône h celle 
de tous les cercles dans le cylindre est la raison du cône au cylindre, 
et que la raison des sommes respectives des diamètres de ces cercles 
est la raison du triangle au parallélogramme; raisons qui sont encore 
connues l'une et l'autre; 

De même, la raison de la somme de tous les cercles dans la sphère à 
la somme de tous les cercles dans le cylindre est la raison de la sphère 
au cylindre, et la raison des sommes respectives des diamètres de ces 
cercles est la raison du cercle au parallélogramme; ce que Fermât 
d'ailleurs ne nie aucunement. 

Mais ici la première raison est connue depuis longtemps, la 
seconde ne l'est pas. J'ai donc dit que je me proposais de cher- 
cher si par quelque moyen je pourrais, en partant de celle qui est 
connue, arriver à celle qui est inconnue jusqu'à présent. 

Fermât réplique : « Mais elle ne peut être connue, à moins de con- 
naître la quadrature du cercle. » Ce qui est parfaitement juste; carrer 
le cercle c'est précisément trouver cette raison, et du moment où je 
me proposais de la chercher, je me proposais de chercher la quadra- 
ture du cercle. Au reste, je l'ai dit là-même en propres termes. 

II. J'avais dit, après avoir indiqué la formation de la série des 

nombres 

I, 6, 3o, i/jo, 63o, . . ., 

que je cherchais quel terme moyen devait être intercalé entre i et G. 

Il répond que le moyen géométriquement proportionnel ne satisfait 

pas à la question, comme n'ayant pas correspondance avec les autres 



V46 ŒUVRKS DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

termes tlo la progression. Ce qui est jusle, puisque la série exposée 
n'esl pas formée de termes en proportion géométrique; le moyen 
terme cherché ne peut donc être un moyen géométriquement propor- 
tionnel. 

Mais quand il infère, de ce que le moyen géométriquement propor- 
tionnel ne convient pas, qu'aucun autre ne peut convenir, il n'y a pas 
même là une ombre de raison; pas plus que s'il avait avancé la même 

chose sur la série 

I, G, II, i6, .... 

Personne n'ignore qu'entre i et G on doit intercaler le moyen 

terme 3-> non pas comme moyen géométriquement proportionnel, 

mais comme le moyen que comporte la série d'après sa nature, c'est- 
à-dire le moyen arithmétiquement proportionnel. 
De même, dans la série des nombres triangulaires 

I, 6, 1.5, .... 

si quelqu'un alfirmait qu'entre i et G il ne peut y avoir de moyen 
terme comporté par la série, par ce motif que ni le moyen arithmé- 
tique, soit 3-) ni le moyen géométrique, soit y/G, ne conviennent, 

il est certain qu'il se mécompterait puisqu'il y a un terme intermé- 
diaire, le nombre triangulaire 3 que comporte la série; de môme 
qu'entre 6 et i5 on doit intercaler lo. 
Si maintenant dans la série 

1 , 3, 6, 10, 1 5, ... 

on demande quel terme intermédiaire convient entre i et 3, j'ai 

montré, page 175, que c'est i ^• 

Mais, comme l'interpolation dans de pareilles séries revient tri's 
fréquemment dans tout le Livre, surtout depuis le scholie de la pro- 
position 16r) jusqu'à la fin; comme c'est, en fait, l'objet principal de 
tout l'Ouvrage, il eut été impossible, s'il l'avait lu entièrement et 



COMMERCIUM DE WALLIS. h.'*7 

([u'il eût tant soit peu réfléchi, qu'il pensât que je voulais parler de 
moyen géométrique proportionnel. 

Au reste, j'ai entrepris, entre autres, l'interpolation de cette même 
série 

et j'ai montré, proposition IG7, que le terme moyen ;i intercaler entre 
I et6 est 20; ce que signifie ce symbole, je l'ai complètement expliqué 
sur la proposition 191 ('). 

III. J'avais dirigé la recherche dans le premier lemmc (prop. l) de 
telle sorte qu'elle fût conforme ii la marche ti suivre dans les autres 
lemmcs semblables, mais plus compliqués, des propositions 19, 39, 
43, etc., et qu'ainsi elle pût les éclairer. 

Fermât montre, par une longue discussion, (|u'il est capable de 
donner une autre démonstration. Je n'en aurais douté en aucun cas; 
car qui donc, même arithméticien de trivio (ii plus forte raison un tel 
homme) peut ne pas savoir prendre la somme d'une progression arith- 
métique? Je ne pense pas qu'il se figure que je serais dans ce cas; je 
le renverrais à la Prop. 2 Con. SecL et à la proposition 45 du Cha- 
pitre XXVII de ma Malhcsis Universalis. 

Je dois faire remarquer à votre très subtil correspondant que, dans 
l'endroit dont il s'agit, je ne m'occupe pas de démontrer la proposi- 
tion (]ue j'ai énoncée, mais du moyen de découvrir la chose demandée, 
comme si elle était inconnue; je veux, par cet exemple de recherche 
dans une question facile, préparer à des recherches semblables dans 
des questions plus difficiles. 

S'il avait voulu que sa remarque portât, il aurait dû montrer qu'il 
n'y avait pas là une méthode légitime de chercher une chose inconnue; 
il ne l'a point fait; il avoue même qu'elle est utile pour chercher des 
choses cachées, toutefois avec les précautions nécessaires. Mais il ne 
niera pas, je pense, (juc la quadrature du cercle, que je cherchais 



(' ) Le symbole □ do Wallis signifie le rapport du carré du diamètre ù la circonférence 
voir, Tomo II, la noie do la page 3.i8. 



U8 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

entre autres, ne soit chose assez cachée; il n'indique nullement, 
(l'autre part, que j'aie employé cette méthode avec assez peu de pré- 
caution pour commettre une erreur; je ne vois donc pas à quel titre 
il peut justement blâmer ma méthode de recherche. 

Voulait-il qu'après avoir légitimement découvert la chose, je la con- 
tirmasse a posteriori par des démonstrations apagogiques? J'ai sulli- 
samment dit pourquoi je ne le faisais pas, tant à la proposition 2, Con. 
Secl. qu'à la proposition 43, Arilh. Infin. et ailleurs. C'est que je n'en 
sentais pas le besoin, et je ne le sens pas encore. 

IV. Enfin, lorsque, sur la proposition 2, il indique que la restric- 
tion serait laite à tort, votre clarissime Correspondant se trompe abso- 
lument sur le sens de ce que j'ai dit; il n'a pas assez fait attention à 
mes paroles. 

.l'ai affirmé cette proposition dans toute sa généralité, et je crois 
l'avoir démontrée généralement, en tant que besoin était; en tous 
cas, elle ressort de la recherche précédente. Oui, il est universelle- 
ment vrai, et je l'ai universellement affirmé, qu'une somme de termes 
arithmétiquement proportionnels, commençant à o (série qui sera 
toujours comme o, i, 2, 3, ...) quel que soit le second terme, sera 
toujours, comme i est à 2, à la somme d'autant de termes égaux au 
plus grand. Et cela est vrai sans aucune restriction. 

Mais j'avais ajouté, à titre d'explication ou, si l'on veut, comme 
corollaire : 

Si l'on pose a pour le nombre des termes, / pour le dernier, ([uel 

que soit le second, la somme de tous les termes sera -al, c'est-à-dire 
' 2 

la moitié du nombre des termes (-«) multipliée par le dernier 
terme (/). 

Cela est encore affirmé sans restriction. Mais j'ajoutais : 

Si d'ailleurs le second terme est i (et autrement, il n'en serait pas 

de même), le nombre des termes sera /-i-i, c'est-à-dire supérieur 

d'une unité au dernier terme. Dès lors la somme des termes sera 

— - /; car dans ce cas vaudra autant que -a, la moitié du 



COMMEIÎCIUM DE WALLIS. 4i9 

nombre des termes, laquelle, multipliée par /, le dernier terme, doit 
donner la somme totale. 

Or que dans ce cas, le seul que j'aie énoncé sous restriction, il 
l'aille bien en faire une, votre très savant Correspondant ne peut le 
nier. S'il est vrai que, par exemple, dans la progression 

O, I, 2, 3, 4, 

dont le second terme est i, le nombre des termes est /-t-i, c'est- 
à-dire /| -I- I = 5, dans une autre, dont le second terme ne soit pas i, 

comme 

o, 2, (\, 6, 8, 

le nombre des termes n'est pas /+ i, c'est-à-dire 8 + i, mais bien 

8 

- + I = D. 

Or mes expressions ne peuvent avoir aucun autre sens, et on ne 
peut les interpréter autrement sans leur faire une violence excessive. 
Car, après avoir affirmé en général qu'M«e somme de termes arilhmé- 
liquemenl proportionnels et commençant à o est à la somme d'autant de 
termes égaux au plus grand comme i est à 2, j'ai immédiatement ajouté 
iMi toutes lettres : A savoir, si le premier terme est o, le second i {car 
autrement la conclusion devrait cire modifiée), et si le dernier est l, la 

somme sera / (car, en ce cas, le nombre des termes sera l + \)\ ou 

autrement (en posant a pour le nombre des termes, quelle que soit d'ail- 
leurs la valeur du second) ~al. 

Cela est dit si clairement qu'il est étonnant que quelqu'un, pourvu 
((u'il y fasse sullisamment attention, puisse le mal comprendre. On n(^ 
peut donc qu'attribuer à la précipitation qui l'a entraîné, que votre 
illustre Correspondant ait pu se méprendre sur ce que je voulais 
dire, alors qu'il a d'ordinaire une telle pénétration et une telle tinesso 
d'esprit. 

Voilà ce que je pense devoir dire sur ces Remarques, pour ne pas 
paraître les mépriser. Mais si Fermât a depuis trouvé assez de loisir 
pour examiner à nouveau ces questions et pour y réfléchir un peu 
itnHAT. — ni. ^7 



hm ŒUVRES DE F EU M AT. - TUA DUC T IONS. 

plus attentivement, je ne doute pas qu'il n'ait déjà de lui-même 
trouvé satisfaction. 

Votre très noble Correspondant a pris plaisir à provoquer en champ 
clos (on peut le voir dans ses lettres), non pas un ou deux malhéma- 
licicns du commun, mais et l'Angleterre tout entière, et. la Ikdgiquc 
et le reste de la Gaule, sauf la Narbonnaise; il ne trouvera dès lors pas 
mauvais, je crois, (}ue nous lui rendions la pareille; et cela, non pas 
sur une bagatelle, mais sur une question oîi personne ne puisse nier 
(]ue le nœud ne soit digne d'une telle main, ni, s'il le dénoue, que la 
chose en valait la peine. Je ne veux donc pas parler de la question par 
laquelle j'ai répliqué ;i sa premii^'c et qui est de même nature; ce 
n'est pas un sujet qui me semble mériter une anxieuse application. Je 
ne pense pas davantage à la question du tronc de cône; comme je l'ai 
dit alors, je ne l'ai pas proposée comme diincile, mais comme élé- 
gante. Pas davantage à celle qu'il a rappelée dans sa lettre, ii savoir : 

Etant donnée la série des nombres 

I, 6, 3o, \[\o, 63o, clc, 

trouver entre i et (> le terme intermédiaire que comporte la série. 

(cependant c'était là, à le proposer pour la première fois, un pro- 
blème sulfisamment ardu, puisque mémo encore votre très noble (^or-- 
respondant le considère comme insoluble. Mais puisque j'en ai déjii 
donné la solution dans un livre publié par moi, je n'ai pas à le pro- 
poser de nouveau. 

Toutefois j'en choisirai un tout semblable; à savoir : 

Etant donnée la série des nombres 

5 3i 20() 1/(71 1062.") 

I, ,:■) 5-) —7-' ".tt; — ' ' Clc, 

() 00 140 Ojo 2772 

troui-er entre i et j: le terme intermédiaire que comporte ta série. 

Qu'il ne pense pas là-dessus, comme il semble l'avoir fait pour 
l'autre série, que je demande une moyenne géométrique pas plus 



COMMEIICIUM DE WALLIS. 451 

qu'une moycnue aritlnnctique; je ne lui demande pas de tant s'appli- 
quer pour trouver — ou \/,-; il s'agit d'un terme convenant à la na- 
ture de la série et ayant correspondance avec tout l'ensemble. H ne 
lui sulllra pas non plus de dire que ni la moyenne géométrique, ni la 
moyenne arithmétique ne conviennent à la série; car on ne demande 
pas quel terme ne convient point, mais quel est celui qui convient. 

Qu'il ne croie pas non plus que je lui propose cela comme plaisan- 
terie, et que ce soit une bagatelle; s'il résout légitimement cette ques- 
tion, je promets en retour un enjeu assez précieux, lu quadrature de 
l'hyperbole. Et si la Gaule Narbonnaise ne le peut, ce sera fourni ii 
quehjue jour par l'Angleterre, grâce à la faveur divine. 

Mais il y a déjà trop longtemps que j'ennuie votre Seigneurie, et 
({uc, rendu trop audacieux par votre clémence, j'enfreins les lois de 
l'urbanité; et cela à tel point que je ne pourrais, sans une faute nou- 
velle, im[)lorer le pardon de celle que j'ai commise. I\lais du moins il 
nie reste l'espoir que, dans votre insigne complaisance, vous daigne- 
rez interpréter avec assez de bienveillance ce que j'ai pu mal faire, 
pour (jue je ne sache pas trouver auprès de vous un meilleur avocat 
(jue vous-même, un meilleur défenseur, soit de moi, soit de notre 
nation. C'est dans cet espoir que j'ose encore, m'appuyant sur votre 

faveur, me dire. 

Très insigne Seigneur, 

Votre très obéissant et très respectueux, 

J. Wai.lis. 

, „ , xi iiovenilirc „ , 
Oxford, 1 — i(>37. 

J ni cru à pr-opos d' ajouter ici, pour (pie lu question tout entière soit 
plus complètement exposée au lecteur, ce (pii aètèindupic. ci-dessus comme 
omis ou change dans la lettre précédente, au sujet du centre de gravité 
(voir page /j/ii, ligne 4. " P'''gc 444. ligne ii : suit une première 
rédaction). 

Fermât exige de moi que je fournisse le centre de gravité dans 
toutes les hyperboles infinies (jui peuvent en avoir un, et que je dis- 



!^o■î ŒUVRES UE FEllMAT. - ÏR AD.UCTIONS. 

lingue celles qui en ont d'avec celles qui n'en ont pas. Il désire qu'au 

moins j'envoie la proposition générale, même sans démonstration. 

Je ferai ce que demande votre très noble Correspondant, et même, 
ee qu'il ne demande pas, j'ajouterai la démonstration; il verra ainsi 
(lu'elle procède directement de l'art d'invention que j'ai exposé. 

Voici la proposition : 

Si il l'axe AD (^g. 3), dont le sommet est A, se trouve rapportée 
(des deux cotés), une ligure soit plane, soit solide, dont les ordon- 




nées (soit des droites, soit des surfaces planes semblables) forment 
une série de termes soit égaux, soit suivant les premières, secondes, 
troisièmes, etc. puissances, soit suivant les sous-secondes, sous-troi- 
sièmes, etc., soit quelque autre série formée de tels termes combinés 
entre eux comme on voudra, soit enfin une série réciproque de l'une 
(]uelconque des précédentes (ce qui comprend ce qu'il appelle hyper- 
boles infinies); (jue l'on divise l'axe AD au point C, en sorte que ^ 
soit égal au rapport de l'unité ii l'indice de la série augmenté de 
l'unité; C sera le centre de gravité de la ligure. 

Si la série est telle que l'axe puisse être divisé de la sorte, la figure 
aura un centre de gravité; autrement, non. 

Pour que l'axe puisse être ainsi divisé, il faut que l'indice de la série 
soit plus grand que — i; autrement non. 

Suit la démonstration : 

Supposons d'abord que le point A du sommet soit au centre de sus- 
pension de la balance, et que l'axe AD soit dirigé suivant les bras de 
cette balance. 



COMMEUCIUM 1)J-: WALLIS. 45:î 

Soit/j riiulicc lie la sério suivant laquelle procèdent les ordonnées 
(droites ou surfaces planes); cette série sera donc, comme t à/> h- i, 
à la série des termes égaux correspondants, en partant de A. 

Il est clair, d'autre [)art, que leurs distances au sommet, donc au 
centre de la balance, sont proportionnelles aux abscisses (ou plutôt 
sont ces abscisses même); c'est donc une série de termes de la i)n'- 
mièrc puissance, dont l'indice est i. 

Or la raison des moments entre eux est composée de la raison des 
grandeurs et de celle de leurs distances au centre de la balance. La 
série des moments, composée dès lors des deux séries correspon- 
dantes, aura donc pour indice p -hi, qui est la somme des indices des 
séries composantes. 

Par conséquent, la somme de tous les moments (c'est-à-dire le poids 
de la figure entière ainsi suspendue) sera ii la somme d'autant de 
moments égaux au dernier (c'est-à-dire à la figure correspondante; 

formée de termes égaux, et suspendue en D) dans le rapport ^■ 

Si donc, sur l'autre bras de la balance, on prend le point P en sort(.' 

AP I 

que -7-,. = > et qu'on v suspende cette figure correspondante 

' A D /^ -h 2 • V 1 o 1 

formée de termes égaux, elle fera équilibre à la figure proposée, sus- 
pendue comme auparavant, et le centre de gravité des deux poids 
ainsi suspendus sera le point A. 

Si donc on supprime le poids suspendu en P et qu'on prenne C, eu 

sorte que = -rrr (c'est-à-dire les distances dans le rap[»ort in- 
verse des grandeurs), ce point sera le centre de gravité du second 
poids. 

.Mais AP= — ^AD; donc AG = ^^^^ AP = ^^^^ AD ; dès lors 

/> +2 I p + 2 

CD = AD et TTTT = c. Q- r. i>- 

p H- 2 (-1) I 

Si maintenant /> est — i ou < — i (comme — 2,-3, etc.), p -h i 
(c'est-à-dire alors — i-f-i, — 2 + 1, — 3 + 1, etc.) sera soit o, soit 
moins que.o; il n'aurait donc aucun rapport avec l'unité. 

D'où ressort la distinction. 



VaV ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS. 

Format dira peut-être : « De cette manière on trouve bien le centre 
(le gravité (entre autres) des mômes figures que j'appelle hyperboles 
infinies, mais non pas dans la morne situation. » Kn efTot, il ne les sup- 
pose pas prolongées à l'infini di-s deux côtés du diamètre limité AD, 
mais dos doux côtés du diamètre infini Ao; or c'est dans cette position 
([u'il demande le centre de gravité. 

.l'avoue que cela est vrai; mais je réponds que ma spéculation n'est 
pas moins curieuse que l'autre, et si je ne me trompe, elle est nou- 
vollo ; je ne sache pas du moins que Format ou quelque autre l'ait déjà, 
jo no dis pas atteinte, mais seulement entreprise. Au reste, afin qu'il 
ne so plaigne pas que jo ne lui aie point donné satisfaction, puisqu'il 
«lemandait le centre de gravité dans une autre situation, jo no roCn- 
sorai pas de m'astreindre à lui répondre, même sur ce point. 

Les droites parallèles à AAû {Jig- i) (tant dessous que dessus) for- 
mont une série réciproque d'une directe dont l'indice sera /;, par 



l'iff. 1. 



A 


M 


V.___^ 


A . 


P 


C 




/ 



oxeniple. Cette série réciproque aura donc pour indice — [>■ domino 
d'autre part les moitiés sont proportionnelles aux enti(îrs, les moitiés 
<lc c-cs droites parallèles formeront de même une série d'indice ~ p; 
et par conséquent les milieux de ces droites ou leurs centres do gra- 
vité devront être regardés comme suspendus ii la balance Ao à dos dis- 
tances du centre de la balance A, proportionnelles aux grandeurs dos 
droites elles-mêmes. Donc les moments, dont la raison est composée 
do colle des grandeurs et de celle des distances au centre de la balance. 



COMMERCIUM DE WALLIS. V5.Ï 

seront cux-inômes cil raison double des grandeurs; ils l'ornicronl donc 
une série réciproque d'indice — ip. 

Ainsi la ligure totale sera au parallélogramme inscrit comme \ ii 
— p + i; et la somme des moments de l'une sera à la somme des mo- 
ments de l'autre (dans cette situation) comme i à — -ip -\- t. Mais le 
centre de gravité du parallélogramme est, comme on sait, en son point 
milieu, le parallélogramme inscrit doit donc être regardé comme sus- 
pendu au milieu di; AA, soit en M, dont la distance au centre de la 

hahmce est AM = - AA. 

Mais le poids de la ligure totale, dans sa position, étant au poids du 
parallélogramme inscrit, dans sa position, comme i à — ip + i, si 
l'on prend sur l'autre bras de la balance, au delà du centre A, la 
droite AP qui soit à AM comme i à — ip -+- i, le parallélogramme 
suspendu en P fera é(|uilibre à la ligure totale suspendue comme 

auparavant. D'autre part, la grandeur de la ligure totale étant à celle 

I Al* 

du parallélogramme comme i à —i)-h\, si l'on fait = --t) 

' ° ' — /> + 1 A(. 

(\ étant pris sur l'autre bras que P, et les distances étant réciproque- 
ment proportionnelles aux grandeurs, ce point C sera le centre de gra- 
vité de la figure proposée. 

Mais AP= ' AM et AC = ^-^^^ AP = ~ ^ '^ ' AM. Par 

— 2/^4-1 1 — ip -H I 

conséquent, 

I — 3/> _ AM 
T— p ^ AC ' 

Il faut donc que i >> ip ou /> < -> autrement i — -ip serait nul, ou 

même moins que rien. 

Je dis donc (^seconde, proposition^ que : 

Si de part et d'autre de l'axe inlini Ao, dont le sommet est A, se 
trouve une ligure plane, telbî que, par rapport ;i l'axe conjugué DA«/, 
limité de part et d'autre et également prolongé à partir de son mi- 
lieu A, les ordonnées forment une série réciproque quelconque (dont 
l'indice sera, en tout cas, négatif), — c'est là ce que Fermât appelle 



VoC ŒUVRES J)E FERMAT. - TRADUCTIONS. 

hyperboles infinies, — si l'on prend un point C, tel que le rapport thi 
double de l'indice de la série plus l'unité au même indice, plus l'unité, 
soit celui de AM (distance du sommet au point milieu du parallélo- 
içramme inscrit) à AC (pris du même coté sur l'axe Ao), ce point C sera 
le centre de gravité de la figure, si toutefois elle en a un. Or elle en 

aura un si l'indice de la série est supérieur à • , autrement, non. 

On peut remarquer au reste que le même mode de raisonner s'appli- 
(|uerait absolument, même si les deux semi-hyperboles DAc, dko, au 
lieu d'être disposées des deux côtés de la droite Ao, de façon \\ pro- 
duire une figure hyperbolique infinie en pointe, comme ici, étaient 
situées de part et d'autre de la droite DB, mise en coïncidence avec db, 
de façon à produire une figure avec creux. Au lieu de chercher, comme 
tout il l'heure, le point C sur la droite Ao, on le chercherait de la 
même manière, mais sur la droite DB prolongée. 

On arriverait encore au même résultat pour une figure composée de 
deux semi-paraboles ou semi-paraboloïdes, semblables et semblable- 
nient placées, soit de façon à être tangentes à Ao au sommet commun, 
soit à avoir DB comme base commune. On aura, en effet, toujours 

!/'-+-! . 1 -, - AM .. . DM 

— ci^al soit a -r-v soit a 7777- 

/< + ! ^ AO DL 

De la sorte il est surabondamment donné satisfaction aux demandes 
de Fermai; mais il eût été facile, en partant des mêmes principes, de 
déterminer le centre de gravité, non seulement dans les paraboles ou 
paraboloïdes entières, mais aussi dans les semi-paraboles et semi- 
paraboloïdes; bien plus, dans la moitié des figures de l'espèce que 
Fermât appelle hyperboles infinies; ce à quoi je ne sais s'il a jamais 
pensé. 

J'entends la figure formée par les droites AD, DB limitées, Ao in- 
finie, et une seule courbe. En effet, ayant trouvé les points C, tant sur 
la droite AD que sur la droite Ao, si l'on en mène des parallèles à AD 
et il Ao, leur point de rencontre sera le centre de gravité de cette 
figure. 

D'où l'on conclura facilement de même, si besoin est, le centre de 



COMMEUCIUM DE WALLIS. ,V37 

gravito dans une figure formée tlo semi-paraboles de ce genre ou semi- 
liyperboles infinies, mais disseniblaiiles. 

Ca qui vienl d'être montré au sujet des hyperboles planesâde ce 
genre peut être étendu également (mutatis mulandis) aux figures 
solides formées, lorsque les ordonnées sont des surfaces planes sem- 
blables parallèles et rapportées ii des parallèles boit à AD, soit ii ko. 
Mais je dois me souvenir qu'en ce moment j'écris une lettre et non pas 
un Traité complet. 

LETTRE XVII. 

John Waii.is a \'ic(»mte ISrouncker. 

Très illustre Seigneur, puisque vous le demandez (et je ne puis 
qu'obéir à de tels commandements de votre part), je vais formuler, 
aussi brièvement que possible, la méthode de rechercher les nombres 
requis pour la solution du problème de Fermât, telle que nous l'avons 
prati(|uée jusqu'à présent; j'indiquerai en même temps et le fonde- 
ment de cette méthode et, lii où il conviendra, les divers abrégés des 
opérations, puisque, autrement, la recherche peut tourner en lon- 
gueur. 

Le problème demande que : étant donne un nombre quelconque non 
carré, soit n, on troia'c un nombre carré, soit a-, tel que son produit par 
le nombre donné, étant augmenté de i unité, fasse un carré, soit 

De plus, il fa ut fournir une infinité de carrés tels que a'-, quel que soit le 
nombre non carré n qui soit proposé. 

Alors qu'il n'était nullement question de nombres entiers, nous 
avions déjà résolu ce problème en fournissant tous les possibles, tant 
entiers (jue fractionnaires. .M. Fermât a ajouté après coup qu'il ne 
voulait que des entiers; ainsi il a demandé qu'on fournisse une infinité 
de carrés entiers satisfaisant à la condition. C'était changer complète- 
ment le problème primitivement proposé en un autre d'une tout autre 
l'iiniiAT. — m •)b 



kaS ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

nature. Néanmoins, j'ai cru devoir admettre ce changement et aborder 
la question en nombres entiers. Voici le résultat : 

.l'ai^jugé devoir partir de la règle générale précédemment énoncée. 
A savoir, si nous appelons n un nombre donné quelconque (carré ou 
non carré, entier ou fractionnaire); q un carré quelconque; d sa dif- 
férence avec n; ^ sera un carré requis. Nous avons déjà démontré 
antérieurement que non seulement cette ri'gle est vraie et donne une 
infinité de carrés satisfaisant ;i la condition, mais encore qu'elle 
donne absolument tous les possibles tant entiers (jue fractionnaires. 

Cela posé, pour la nouvelle condition ajoutée, il suffit de faire que 

^, et par conséquent sa racine ~, soit un nombre entier, ou autre- 
ment que d soit une partie aliquote du nombre 2R. Toutes les fois, en 
effet, qu'il en est ainsi, le carré fourni par la règle est évidemment un 
nombre entier. 

Or, ayant un entier de ce genre, une méthode sûre en donne aussi- 
tôt une infinité d'autres, pour ne pas dire tous; ce qui sera exposé 
plus loin. Cependant, comme il peut se faire, ce qu'il ne faut pas 
dissimuler, que 2R soit un nombre fractionnaire, même quand ^ est 
entier, nous poserons 



R = 



el, par conséqiicnl, 



s- 



et aussi 



rf = 1 17 — Il 



Ainsi ce sera la même chose de diviser soit 2R par d, soit -^ par 
— — ' ou, en multipliant de part et d'autre par r-, 25r par |/?/'- — .v-|. 

Par conséquent, si, d'une manière quelconque, on trouve, entre le 
produit du nombre n proposé par un carré quelconque et un autre 
carré, une différence qui soit une partie aliquote du double produit 
des racines de ces deux carrés (c'est-à-dire si | nr- — s- \ est partie ali- 
quote du nombre is7-), le quotient de ce double produit par cette dif- 
férence donne un nombre entier, racine du carré cherché. 



COMMEIICIUM DE WALLIS. ioîl 

Vous direz : Mais comment trouver ce carré dont il faut partir, el 
(|ui, multiplié par n, doit différer d'un autre carré d'une partie ali- 
quotc de ce double rectangle? C'est ce que je vais exposer maintenant 
à ma façon. 

L'entier « proposé étant non carré, soit le carré entier immédiate- 
ment supérieur 

Si l'on multiplie le nombre n par un carré quelconque, soit a-, on 

aura 

na'-^ c'a- — ba- =z (en)- — b.a-. 

C'csl-à-dire que le nombre donnée, multiplié par le carré du nombre», 
donne pour produit le carré du même nombre a pris autant de fois 
(|u'il y a d'unités dans la racine du carré immédiatement supérieur au 
nombre donné, moins le carré de ce même nombre a, après sa multi- 
plication par la différence entre le nombre donné et le carré immé- 
diatement supérieur. 

Par exemple, soient : n = ■y et, par suite, 

t" = 3 ^ y/ç) et /> =r C- — Il ^ 2. 

Quel que soit maintenant le nombre pris pour a, on aura 

na"-^ c-a- — ba"-^ (en)" — b.a-, 

c'est-à-dire 

7«-:= (3rt)- — la-. 

Si nous prenons dès lors, pour a, les nombres successifs : i, 2, 3, 
'1, etc., on aura un Tableau comme celui ci-contre, où il est clair que 
les nombres a du premier membre : t, 2, 3, 4, etc., étant en progres- 
sion arithmétique, les nombres ca du second membre : 3, G, 9, 12, 
suivront également une progression arithmétique, dont la raison con- 
stante sera c= 3, et enfin les nombres ba- qui viennent en troisième 
ligne, 2, (S, 18, 32, etc. (multiples égaux de nombres carrés consécu- 
tifs), auront des différences suivant une progression arithmétique dont 



mO ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

la raison sora 2 h : 



n 


.«' = 


(c«)' 


-h.a"- 


7 


.1- = 


3- 


— 2 

6 


7' 


.2' = 


6= 


- 8 

10 


1 ■ 

1 ■ 


,3^' = 


9= 
12'- 


— 18 

-32 


1- 


,.j- = 


i5^ 


— m 



Va\ clfet, on sait que les carrés consécutifs se forment par l'adtli- 
(ion continue des nonil)rcs iin[)airs 1 -1- 3 4- "> -f- 7, etc. 

I =1, 
/i = 1 + 3, 
() = I + 3 + .'), 
iG = I + 3 + 5 -)- -, 



Par suite, leurs différences croissent suivant une progression arith- 
métique de raison 2; dès lors leurs équimultiples auront des dilTé- 
rences croissant suivant une progression arithmétique dont la raison 
sera ré(jnimultiple de 2. On a, en efTot, évidemment 

kb — \b + T,b, 

() /> = 1 ^ + 3 /< -I- 5 b. 



De ce fondement dépendent toutes les relations qui suivent pour 
les progressions arithmétiques, et il sera inutile de le répéter davan- 
tage par la suite. 

Cela posé, si /» = !, il est clair que le nombre a=^\ est un des 
carrés cherchés; car alors 

na^^ c'a'- — ba°--^c-—i: 



COMMERCIUM DE WALLIS. iUl 

C'est ce qui arrive pour les nombres 3, 8, i5, etc., inférieurs d'une 
unilé à un carré. 

Si maintenant h est supérieur ii l'unité, il est clair (jue ha' l'est 
également, et (ju'on chercherait vainement le nombre i dans la co- 
lonne correspondante des nombres à retrancher (quoique, ainsi 
([u'on le dira plus loin, il puisse s'y trouver parfois un nombre qui v 
conduise). 

Il faudra donc passer à une seconde colonne et de là à une troisième, 
une quatrième, etc., suivant les exigences de la question, jusqu'à ce 
([ue l'on trouve enfin le nombre t dans quelque colonne, ou du moins 
un autre nombre qui y conduise, comme je l'expliquerai plus loin. 

Or on passera à une colonne suivante, dès que, dans la colonne 
considérée, le nombre à retrancher sera égal ou supérieur au double 
de la racine du carré adjacent. Alors on prendra la racine immédiate- 
ment inférieure, et l'on diminuera le nombre à retrancher de la somme 
des deux racines : 

7. 1-=: 3- — 2 

6 
7.2'-= G-— 8 
10 

7.3-= 9-— 18= 8-— I, 
1/1 8 

7. 4' = 12^ — 32=ril- — 9 
18 12 

7.5^ = 15''— 5oi=i4^— 21 

16 

7.6' = = i72-37r=i6-^- 4, 

i4 

7-7' = = '9'- >8 

18 

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, relatif au nombre 7, on trouv(! à la 

troisième ligne 

7.3^=9'- 18. 

(Jr 18 est double de la racine de l'adjacent 9; par suite dans la co- 



kGi ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS. 

lonne suivaiile, à 9-— 18, je substitue 8-— i, et je rencontre immé- 
diatement, comme nombre à retrancher, 1 que je cherche. Dès lors, h^ 
carré du nombre 3 est un des carrés cherchés; et, en elTef, 

7.3^ = 7 X9 = G3 = 8^-i. 

Si je continue dans hi même colonne, je trouve à la sixième ligne 
17- — 37, à quoi je substitue dans la colonne suivante, iG- — 4. 
puisque 

1 7 - — I (r = 1 7 -4- 1 6 i::: 33 = 87 — /i 

(et ainsi toujours. Car la différence de deux carrés immédiatement 
consécutifs est égale à la somme de leurs racines). 
Je vois donc ainsi que 

7.6-= 252 := 16- — 4- 

t)r, comme le nombre à retrancher, 4- c^t partie aliquote de la 
racine adjacente i(J, il est clair que ce même nombre 4 est, a fortiori, 
partie aliquote du double produit des racines G et iG. Si donc je divise 
par 4 le nombre 2 x G x iG = 192, le quotient 48 sera racine d'un 
autre carré cherché. En ellet, 

7.48- ^ 7 X 23o4 =16128 = 127-— I. 

On a donc ainsi un autre carré cherché; mais immédiatement au 
début, nous avions, dans la première colonne, 

7X 2- = G5-8, 

on il est clair que le nombre à retrancher 8 divise le double produit 
de 2 et G; 

2x2x6 = 24 cl — ?=3, 

o 

racine d'un carré déjà trouvé. 

Encore dans la même colonne, quatrième ligne, on a 

7.4-= 12^— 32, 

et comme le quotient par 32 de 2 x 4 x 12 = 9G est 3, on retrouve 
pour la troisième fois la racine du même carré déjà connu. En y fai- 



COMMEUCIUM DE WALLIS. 163 

s;int attention, on reconnaîtra que cette colonne donne souvent coup 
sur coup le même résultat, car il se présente à toutes les lignes paires 
ou dont le rang est multiple de deux. Mais bien plus, dès la première 
ligne où le nombre à retrancher, 2, est partie aliquote du double pro- 
duit 2 X I X 3, le quotient est encore ce même nombre 3; toutes les 
lignes de la première colonne devront donc fournir cette même racine 
pour le carré cherché. 

Il faut noter que non seulement les différences G, 10, i/|, 18, etc. 
de la première colonne, mais encore celles de la seconde, 8, 12, iG, 
20, etc., de la troisième, i/j, 18, 22, 26, etc. et ainsi de suite dans 
toutes les autres, sont en progression arithmétique, avec la même, 
raison \ que dans la première; il est donc très facile de prolonger 
une colonne quelconque, sans avoir à s'embarrasser d'aucune extrac- 
tion de racine. 

D'autre part, ces mêmes différences, prises obliquement, comme 
10 et 8, i4 et 12, ou 18, iG, i/j, etc. sont toujours en proportion 
arithmétique, et leur commune différence est toujours 2 (ce qu'on 
reconnaîtra d'ailleurs, mulatis mutandis, quel que soit le nombre // 
proposé). 11 est donc de même facile de passer de colonne à colonne. 

Il l'est encore, pour les mêmes raisons, de donner ii volonté un 
nombre quelconque, dans une colonne quelconque, sans calculer les 
intermédiaires, ou encore, si cela parait expédient, d'effectuer les 
opérations par bonds. Mais tout cela se présente de soi-même à qui 
a une pratique suffisante de la nature de la progression arithmé- 
tique, et il n'est pas besoin de le prouver plus longuement. 

Au reste, ce que j'ai montré jusqu'à présent, en prenant le carré c- 
plus grand que le nombre n proposé, arrive également en prenant le 
carré inférieur. Je ne veux pas dire que l'on obtienne immédiatement 
le nombre cherché (comme dans le premier cas oîi l'on a y.3- = 8- — i), 
mais on a une dilTérence partie aliquote du double produit (comme, 
quand sur 7. 2" = G'-— 8, on a trouvé le nombre 8 partie aliquote du 
double produit 2 x 2 x G, d'où l'on déduit le quotient 3 comme racine 
d'un carré cherché). Kn effet, il est simplement requis que la dilfé- 



tT- 



VO'* G::UVRES DE FEllMAT. — TRADUCTIONS. 

ronce \nr- — ,v'- 1 divise le double produit 2/-^, sans qu'il y ait nécessité 
(jue ///•- ou s- soit le plus grand des deux termes; c'est donc la même 
chose, pour la question, que nr'- soit supérieur ou inférieur d'une 
unité à un carré. 

Par exemple, soit proposé le nombre i3, 

na-^ (rrt)-H- ba''- 
i3.i= 32+ 4 
12 
6- 4- 16= f+ 3 

'4 
etc. 10--+- 17 

22 
i32-+-39 = i/i5+ 12 
■4 
i7^+3G = i82+i. 

On trouvera, ii la cinquième ligne, quatrième colonne (ou troisième 

il jtarlir de la première), 

i3.5-=i8' + i. 

Or I, difTcrencc des nombres i'î.5- et 18^ divise le double pro- 
duit 2 X :^ X 18 = 180, et donne pour quotient 180. (]e sera donc la 
racine d'un des carrés cherchés. 

Kn eiïet, 

I 3 X I 80- =r /|2 I 200 = 6:49- — I . 

Si entin, jusqu'il présent, nous avons pris pour c'- le carré soit immé- 
diatement supérieur, soit immédiatement inférieur au nombre donné, 
cela est tout à fait arbitraire et sans nécessité; car tout autre carré 
supérieur ou inférieur eût donné les mêmes résultats; ce qu'il faut 
également entendre de ce qui suit. 

Il semble que de la sorte nous ayons suirisamment traité la première 
[tartie du problème, ii savoir la recherche d'un au moins des carrés 
demandés. Car, s'il en existe un, il est impossible qu'on ne le trouve 
pas ainsi, par l'un ou l'autre mode, ou au moins par le premier. 

Mais, comme il peut parfois être long d'y arriver, à moins d'em- 



COMMERCIUM DE WALLIS. 4Go 

ployer un abrégé, il conviont, pour faciliter le calcul, d'enseigner, 
entre beaucoup, quelques abrégés de ce genre. 

I/un, (|ui est excellent, a déjà été indiqué; il se présente lors(|ue la 
diiïéreuce | «r- — s'- 1 divise le double produit irs. (kda arrive toujours 
(|uand cette difi'érencc est soit i, soit 2, c'est-à-dire si nr'- est supé- 
rieur ou inférieur, de 1 ou de 2, par rapport à un carré quelconque 5-, 
car 1 divise tout nombre et 2, tout nombre pair, donc irs. Mais cela 
se présente souvent aussi pour d'autres différences. 

En voici un autre : à moins de rencontrer ha- = i dans la [)reniiéro 
colonne, ce qui résout immédiatement la question, pour trouver i 
comme nombre à retrancber, il faut passer aux colonnes suivantes 
et en prendre une ou plusieurs, comme j'ai dit. Mais quel (\uii soit le 
rang de la colonne où l'on trouvera i, de ce rang connu on déduira 
aussitôt la racine du carré clierché. En effet, si, dans la première 
colonne, la racine du carré essayé est ca, elle sera, dans la seconde, 
ca — t, dans la troisième, ca — 2, etc. Cela est évident dans le pre- 
mier mode du procédé, où l'on prend le carré c- immédiatement supé- 
rieur à n; quant au second mode, j'en parlerai plus loin. 

Ainsi, il est clair que la racine du carré, dans une colonne quel- 
conque, est inférieure à la racine du carré correspondant dans la pre- 
mière colonne, d'autant d'unités qu'il y a de rangs d'une colonne à 
l'autre; appelons d cette distance ou différence. La racine du carré 
dans une colonne quelconque sera ca — d et son carré 

c- a- — -2 cela -+- (i- 

étant, par rapport au carré c-a-, supérieur du nombre ■2cda — d-, il 
faudra diminuer d'autant le nombre à retrancber ha- pour retrouver 
en tous cas la même différence na-. Ainsi ce nombre à retrancber 
sera ha'-— -icda-^-d-. Mais je voudrais que ce nombre ainsi déter- 
miné soit I. Il faut donc poser 

ba"- — 2 cda + c/^ = i , 

et, hansposanl, 

d- — I = îcda — ha-, 

lU. — l'KIlMAT. ^9 



VGC ŒUVRES !)E FERMAT. - T1{AI)UCT10NS. 

d'où 

d- — I r>. cd 

et résolvant ré(|ii;i{ion 

cd IT'Tl- — l«r- -+- h cd ±. \^^'iF— lid'- + h cd ±: JJTd^ h 

"^T-^ 17^ = 1 ^- h 

à cause cl(> c'- — /i + h, d'où c' — b z= n et c"-d- — hd- = nd'- . 

Ainsi, connaissanl d, on connailra a. 

(Ida posé, ponr connaître d, il Caiit cliercliei-, de la même manière 
(jue l'on a montré pour «, nn carré dont le produit par le nombre 
donné, étant aM;;mçnté dn nombre h (jni a été ])ris, fasse un carré, en 
sorte que \lnd'--\- b soit un nombre rationel entier. Cela peut paraître 
à première vue aussi dilficile que la première rechercbe proposée; 
mais, en l'ail, il y aura un grand abrégé, parce que d (nombre des 
colonnes suivant la preu)ière) sera toujours moindre que a (nombre 
des unités dans la racine du carré clierclié), comme cela est évident. 
On parviendra donc ])lus lot au nombre à retranclier b qu'au nombre 
il retranclier i. 

Par exemple : soit proposé le nombre i3 et, par suite, soit 

10.1 — I — o. 

On ne trouvera pas i avant la ligne i8o, où 

i3. 180-:= G/|9'- — I, 

et par conséquent a -~- i8a. ;\Iais on retrouvera le nombre à reirancber 
b = ':j, au moins dès la ligne 7 1 , car 

I 3.7 I -r= ■îjG' — 3, 

et par conséquent <•/= 71, d'où l'on conclura a = 180, comme précé- 
demment. Le calcul est donc abrégé de plus de moitié. 

Si cependant il arrivait, ce (|ui peut se fair(' parfois, que le 
nombre d, ainsi trouvé en premier lieu, donnât un nombre a, non 
pas entier, mais fractionnaire, et par snite impropre à la question 



COMMEIiClUM l)i: WALLIS. W" 

|)ro[)0;u''o, on en clierclicrail un second, on incnie tin (roisiome, enfin 
(|iio!(in';iutre d donnant « enlier. (]e (ju'il Huit aussi entendre pour ce 
(|iii suit. 

Que si cette réduction des o|)crations ne parait pas encore assez satis- 
faisante, et (ju'on ne parvienne ([u'avec trop de lenteur au nonihre d 
lui-iiièine, dans ce cas sa recliei'clie peut aussi être abrégée par le même 
artifice. Précédemment, [)our trouver it, nous avons elierclui le rang 
lie la colonne renfermant le nombre îi retrancher prescrit i ; mainte- 
nant il faut chercher le rang de la colonne renfermant le nombre :i 
retrancher l>. Or, comme, à cause de c- — // + />, on a 

lid-^z c'-tl- — l/d', 

! 

et que b; nombre ii retrancher hd- est trop grand (ii moins (jue l'on 
n'ait /* = i) puisque celui (|u'ou cherche est h, il faut diminuer le 
carré c'-d- (comme nous avons tout à l'heure diminué le carré c-n'-), 
de façon (|iie le nombi'e à retrancher, étant diminué d'autant, devienne 
éi^al à /j. 

Ainsi, de même qu'à la racine» ca du carré nous avons substitué 
en — d, à cd nous substituerons maintenant cd — r, e étant le raui,' de 
la colonne où l'on trouvera h\ nombre à retrancher Ij. La dill'érerice 
des carrés de ces racines sera -iccd — c-, et en la retranchant du 
nombre bd-, il restei'â 



(I ou 

l't 



Id'- 


-- 


■i ced -1- c- 


--_: /., 


e- — 


b 


^ 2 ced — 


bd' 


h 


b 


2 ce , 


- d'. 



et, rés;jlvant l'éiiuation. 



ce ± \lc- e- — bc- -+- b- ce ± \ iie'^ -h 



b " b 

Par exemple : soit proposé le nombre 1 3, on trouvera à la ligne 2S, 

i3. 28-^ 101- — 9, 
et, comme 9 = />-, on aura c = i>8, d'où r/ = 71 et a = 180. Ainsi le 



h 08 ΠLl V n E S DE F R H !\F A T . - T R A U C T 1 N S . 

Ii'avail, (l('jà l'éduiL auparavant de la liL,'iic t8o à la ligne 71. se fi'ouv(> 

iiiainicnani rrduit à la ligne 28. 

.Mais la inéine méthode peut encore le réduire davantage. En ell'et, 
on montrera de la même manière, s'il est besoin, comment cette 
réduction doit se faire, et de même que l'on a trouvé 

cd ± \J nd- -h l> _ ce ± \/ /ic- -h b- 



— Cl, 



= d. 



on trouver; 



cf±\,'nP-hiï' 



■ ■rr -h l//(o'-_J- /,'* 



= c. 



/, —- 



et ainsi de suite. 

Ainsi on est ramené à ceci : en commençant à procéder comme pré- 
cédemment, on observera si l'on rencontre comme nombre à retran- 
cher, soit I, soit 2, soit quelque autre diviseur du double produit 'irs 
ci-dessus mentionné (car dès qu'un tel cas se présente, la question 
est aussitôt résolue, comme il a été dit); soit encore h ou une de ses 
puissances quelconques, Ir, />', etc. Si l'on rencontre ainsi l>, on anra 
d; si l'on rencontre b"^, on aura e; si h^,/ el ainsi de suite. 

Un de ces nombres étant connu, on anra évidemment les autres en 
l'étrogradant, à moins qne l'on ne trouve ainsi des nombres fraction- 
naires; dans ce cas, il faudra, comme je l'ai indiqué, poursnivic 
encore la recherche commencée. 

Par exemple, soit proposé, comme auparavant, « = il, 



I.l.I 


V- 






2 


8-2- !■>. 

IV- 07 =11-^- ', 






.'1 


,(P-.',S---.i.V^- .7 
elc. 19-— .!(] 








■l'.'y- — ()i --- 'V!- 


- i(i 






:>(;■- - 


-■h 






3()2- 


-GSn 


= -if)- — 9 
33^- 3(i 
37-— G9 
4 1 - — 1 08 



.',0-^ 



COMMEliClLIM 1)K WAI.LIS. IM) 

On trouvera, à la lirçnc ii, colonne ([nalii(''in(> à partir de la pi'e- 

inière, 

i3. 1 1-= ^o- — 2-, 

et, comme ici 27 = h\ on aura /"= 1 1 , d'oii c = -28, </ = -j \ , a = 180. 

Mais nous négligeons, dans la première colonne, tant î à la premièni 
ligne, qne 27 à la troisième; dans la colonne 'i après la premiiîre, 
ligne 8, nons négligeons 9; [)arce (|ne l'un (|nelcoiu[ne de ces nombres 
donnerait a fractionnaire (de lait o ou r, ou — )' et [)ar (;onsé(]uent 
im()ro[ire ii la ([ueslion. 

Ainsi l'opération a élé réduite de 181) ;i 11. Avec le nombre pro- 
posé, on ne peut d'ailleurs ohtenir une nouv(dle rédu(iion, à moins 
de [lasser à des colonnes antérieures. En elTet, |)nis({ne l'on a /= i i, 
comme j'ai dit, on doit le trouver à la ligne 11, colonne \ après la 
première; car ,:,'■= '1, et l'on a d'ailleurs 

l3./|2=: 1-^—81; 

mais ou ne peut trouver cette puissance dans aucune des colonnes ci- 
dessus; il l'audrait prendr(! celle ([ui est immédiatement antérieure ;i 
la première, puis(|ue 17 = (t'a)^-f-i. I,a même chose esta dire, a fm- 
tlori. des nombres suivants h, i, etc. 

On peut, il est vrai, prendre g = 8'i, puisque 

10.04-=:; 000- — bl, 

et que ce nombre donne, en elTet, aussi bien /'= 11 que /= 21», mais 
on voit qu'il se trouve plus lard (|ue le /cherché. 

11 n'est peut-être pas sans intérêt de noter ([ne, de même que si l'on 
(ïoniiait (/. par cxem|)le, on peut en déduire a, de même réciproque- 
ment, si l'on connaît a, on peut en déduire d; de même pour les au- 
tres, lin eiïet, comme on l'a montré, 

0(1- — r>, C(ln -t- f/- rn I ; 

d'où, ord(Uinanl et résolvant l'é(|ualion, 

_ cd ± \Jiid- -t- b 



!iio a:uvuES de fermât. - tuaductions. 

comme on l'a déjà vu, cl 

d =ica ± \l nn--\- i . 

!)c même, puisque 

bd- — 2 ccd + e- = b, 

on aura à la fois 



, ce±Jii(:--b-lj' , ,, / — 7;- -7 

c/= ^ cl. cz=cd±\Jiid-+ ù; 

b 

cl ainsi de sui(e. 

Mais il s'ensuit aussi que 

ba-=c cl semljlal)lemeiu bd ^ f, lie ^= ,ç, etc. 
Imi eiïcl, puisque 

cd ± \/iid--h b 
a = , 

(in aura 

ba -^ cd ± \Jiîd'^ + b Tnc, 

cl de même pour les autres. 

Il V a touferois à faire ciîtle dislinclion que le sii^'uc, qui est double 
dans les deux cas, doit être pris de deux façons dillercntes, le supé- 
rieur convenant mieux à la question |)our l'une des quantités, l'infé- 
rieur pour l'autre. Par exemple, si l'on prend 

ba =:: cd — \/ nd' + b , 

(I sera un nombre fractionnaire, à moins que h ne divise le nombre 
r/— \^/nd'-hO, ou bien, s'il est entier, il se trouverait encore plus 
lard que d ou c, dans la reclierclie dont il s'agirait. Au contraire, si, 
pour c, on prenait la plus grande quantité 

e ^z cd + \/iid' -+- b , 

quoi(jue dans ce cas le nombre soil bien entier, comme il est plus 
i^rand que a, il n'arriverait que plus tard, dans la recherche faite pour 
le trouver le premier. 

Ce qu'on vient de dire pour « et e s'applique également ;i c/ et/, ;i 
.'et g; de. 

Ainsi, si [»ar exemple, après avoir trouvé e, on remonte par les éga- 
lités ci-dessus à r/et à a, il faut prendre les quantités les plus grandes; 



COMMEItCIUM ])E WALLIS. 471 

si, an contraire, on veut avoir les suivantes/, i,s elc., on prend les 
moindres, comme mieux appropriées à la question. 

Les procédés abrégés, que nous venons d'indiquer pour chercher 
na- inférieur d'une unité à un carré (et en prenant dès lors c'-'^ n), 
s'appliquent de même, mulatis jnulandis, si l'on veut chercher /?fl- ou 
iir- supérieur d'une unité à un carré (en prenant pour c- le carré im- 
médiatement iulericur) ou encore ncr ou nr, avant avec un carré une 
différence de 2, en plus ou en moins. Quoiqu'on effet, dans ce cas, li- 
nc soit pas le carré cherché en premier lieu, il le donnera toutefois, 
comme j'ai dit plus haut. Les relations se présentent ainsi : 

iKi- iiifi} rieur ,l' une uiiitii na- siipcriciir d'une unité 

à un currc. à un ciiiré. 



/ = 



cd 


±\Jnd^ 


'■ H- 


. /, 




b 






ce 


± s/nc' 


H- 


b- 




b 






<^.r 


±K'"r 


+ 


b' 




b 






Ci; 


± \Jn,:;- 


'-f- 


b- 




b 






cil 


±\inli- 


H- 


b- 



_ \lud' 


— b 


-cd 




b 




d-^'""' 


-+- b- 


— ce 




b 




c ~ ^'"■'' 


- b' 


-<■/ 


.^"^^ 


b 


— ''.- 


J — 


b 




,r— ^'"''' 


— Ir' 


-ch 


r> — 


b 





na- inférieur de deux u/iilé.s. nn- supérieur de deu.v unités 






cf 


-+- 


b 


-+- 


âV.-' 




c.i' 


^^ 


b 






/= 


V/«A' 


■-!- 


■>.b- 


ch 


± 


b 








\,'nh' 


-1- • 


>.b- 



a 


— 


\lnd- 


- ■>.!, 


-cd 




b 




d 


^ne'- 


-^■>.b' 


— (■(,' 




b 






\''>f' 


— ■>. Il' 


— <■/ 






b 




I 


\ "A" 


■+ ib' 


-c:,'- 


\înh' 


b 






— ■>. Ir' 


-ch 



hl-l ŒUVRES DE l'EKMAT. - TRADUCTIONS. 

On procédorait, de iviênic, pour chercher rm- diiïérant d'un carré 
d'un n(unl)re qucdcouque, en plus ou on moins. J'entends en tant que 
hi chose est possihh*,car il n'est pas universellement vrai que pour un 
nombre quelconque, même non carré, son produit par un carré entier 
puisse avoir, soit en plus, soit en moins, une différence donnée quel- 
conque avec un carré. Mais comme, dans la question posée, il est cer- 
tain que I et 2 divisent toujours 1rs, que cela n'est pas de même 
assuré ou universellement constant pour les autres nombres, il sulllra 
de porter son attention sur ce qui suit : à savoir si, en insliluantle 
calcul indiqué, on trouve /ta- ayant avec quelque carré [lour difTérence 
le nombre 1 ou 2, ou quelque autre partie aliquote du double produit 
des i-acines; ou bien inférieur à un carré du nombre h (différence 
entre le nombre donné et un carré plus grand), ou d'une (|uelc(>n(|ue 
de ses puissances, ou du double d'une quelconque de ses puissances; 
ou encore supérieur à un carré du nombre b (différence entre le 
nombre donné et un carré plus petit), ou de son double ou d'une 
puissance quelconque impaire de^ou du double d'une telle puissance; 
ou enfin, dans le même cas, inférieur d'une puissance paire de ^ou de 
son double. 

Si, en effet, quelqu'une de ces circonstances se présente, on aura, 
soit le nombre a, racine du carré cherché ou qui le fournira immédia- 
tement, soit quel((u'un des nombres cl, c, /, qui, par rétrogradation, 
conduiront à a, ;i moins que le nombre a ainsi trouvé ne soit fraction- 
naire, au(juel cas il faudra pousser plus loin la recherche, comme il a 
été dit. 

Par exemple, soit proposé le nombre n = 1/19, et soit pris 

c = i2 cl jiar coiiséiiiienl b = i.\r) — i44 = ^; 

on trouvei'a, à la ligne 17 de la colonne Iroisii'me ou 2 après la pre- 
mière (car il n'est pas nécessaire d'aller plus loin), 

et dès lors, comme G2") — Z**, on aura ;>■=: i-^, d'oîi, en rétrogradant, 



COMMERCIUM DE WALLIS. 473 

on trouvera 

/=82, c =: 397, d^=iQ22, enfin a ou r = gSoS. 

Le produit de ce dernier nombre par n dépasse un carré d'une 
unité; car 



149X9805 =12900870725 = 113582 H-l^ri'i+l. 

Le double produit 

irs ^ 2X 9805 X 1 1 3582, 
divisé par 

Il r'^ — i' =: I , 

donnera 

21 13761020, 

racine du carré cherché dont le produit par n ou 149 sera inférieur 
d'une unité au carré du nombre 

258oi74i449' 

On aurait obtenu le même résultat si, passant la ligne 17, on 
était allé jusqu'à la ligne 82 ou 897, etc., où l'on aurait eu/= 82 
ou e = 397, etc. 

Ainsi, dès la ligne 17, nous avons le nombre qui, par la méthode 

exposée, conduit au nombre cherché, lequel est passablement élevé, 

puisque le plus petit des carrés satisfaisant à la question doit être écrit 

avec 19 tigures. C'est 

4467980649671440400, 

carré de 

21 13761020, 

comme je l'ai dit; et ce carré, multiplié par 149, est inférieur d'une 

unité à 

6607 2986 1 80 1 o446 1 960 1 , 

carré du nombre 

25801741449. 

En voilà sans doute bien assez sur les procédés d'abréviation de 
la recherche; je n'ignore pas qu'on peut ajouter encore d'autres 
remarques, qui abrégeraient cette abréviation même; mais je crains 
d'être trop prolixe. 

Kkiiuat. — ui. 60 



'4.1k ŒUVIÎES DE FERMAT.- TRADUCTIONS. 

.l'avais pensé iiotammont à indiquer une autre méthode abrégée. Il 
s'agit de montrer comment nous pourrions poursuivre par sauts l'in- 
vestigation dont j'ai parlé, ce qui peut être utile, quand elle traîne en 
longueur, comme cela arrive parfois; de la sorte il ne serait pas méine 
besoin, en certains cas, d'examiner une ligne sur loo. Mais cela ne 
me parait pas nécessaire, et je ne dois pas en mettre trop; ou bien, 
si vous désirez que je traite aussi ce point, ce sera pour une autre 
fois. 

Désormais, ayant longuement exposé la méthode de recherche d'un 
carré quelconque propre à notre objet, (;'cst-à-dire tel (|ue son pro- 
duit par un nombre donné, étant augmenté d'une unité, fasse u\\ 
carré, il reste à montrer comment nous en fournirons ensuite uiir 
intinilé de même (>spècc, pour ne pas dire tous les possibles. L;i- 
dessus je serai aussi rapide que possible, car je n'ai pas à être pro- 
lixe, en vous exposant ce qui est de vous. 

Comme je l'ai déjà dit plus haut, toutes les fois que la différence 
I /«/•- — 5- 1 est une partie aliquole du double produit 1rs, le quotient 
de ce dernier par cette différence sera la racine d'un carré satisfaisant 
à la question. 

Soit donc déjà connu (par la recherche ci-dessus développée) un 
carré quelconque satisfaisant à la question et que nous désignerons 
par r^. Puisque dès lors, par hypothèse, nr- -h i est un carré, soit .v- 
ce dernier. On a donc 

n r- -\- i :z^ s- , d'où \/if- — .s- | ^ 1 . 

Comme i divise tout nombre entier, il est clair que cette dill'c- 
rence, |/ir- — .y-| = 1 , divise le double produit 2.rs; clic quotient résul- 
tant de cette division sera la racine d'un second carré satisfaisant à la 
question. Grâce à ce second, on en déduira de la même façon un troi- 
sième; de celui-ci un autre, et ainsi de suite à l'intini. 

Toutefois, si cette solution satisfait largement à la question, de 
fournir une infinité de carrés de l'espèce, elle ne donne pas absolu- 
ment tous les possibles. 



COMMERCIUM DE WALLIS. i75 

Par ox(Mii|)k', soit donné le nombre 3, la racine dn premier carré 
sera i ; on en déduira pour celle du second 4. puis successivement 

56, io864, 408855776, ..., 

et cependant on passe sur de nombreux carrés intermédiaires, à savoir 

ceux des racines i5, 209, 7<So, 291 1, 4o545, i5i3iG, 5647 19, 2107 ')()(), 

7865521, 29354524, 109552575. 

(^es racines intermédiaires seront fournies par la règle suivante : 
Soient n le nombre donné, r la racine du premier ou plus pelil 

carré satisfaisant îi la question, supposée trouvée par la métliode 

exposée ci-dessus, et / = 2 \jnr- -\- i , 

la racine (lu premier sern .. . /■ ou /xi, 

celio du second » ... r x. (, 

» ilu U'oisiomc » ... /■ x (i- — i)- 

» du quatrième » ... /• x (<^ — H)» 

» du cin(|uièiiu' » ... /• x {^' — 3i'-'-i), 

et ainsi de suite, selon la série ci-con(re : 



/■ x 1, 




/XI, 


', 




l. 


l 1 , 




", 


i^-2l, 




^; 


l'-zr--^ 


1, 


y. 


f - 4 ^' + 


3/, 


z. 


i' — 5 i* + 


Ç,i--i, 


(', 



La construction de cette série se reconnaît de prime abord; il sullil 
d'indiquer que les coefficients sous-entendus, sinon inscrits, des pre- 
miers termes sont les unitaires i, i, i, etc.; ceux des seconds les 
linéaires 1, 2, 3, etc., engendrés par l'addition successive di-s uni- 
taires \-\-i-h\, etc.; ceux des troisièmes termes sont les triangu- 
laires I, 3, 6, etc., formés par l'addition successive des linéaires 
I -h 2 -f- 3, etc.; ceux des quatrièmes termes sont les pyramidaux i. 



476 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS. 

/(, lo, etc., formés par l'addition successive des triangulaires 
1 + 3 + 6, etc., et ainsi de suite. 

Ou bien si, ht, f^ — i, /' — it, etc., nous substituons t, u, x, etc., 
on aura 

u ^ tl — I , 
JC r:^ la — /, 

y ^ Ix — u. 



c'est-à-dire que chaque terme est le produit par t du terme immé- 
diatement précédent, si l'on retranche de ce produit le terme pénul- 
tième. 

Ou enfin (figuration qui pourra trouver des préférences) la série 
aura la forme suivante (voir Lellra XIV) : 

Pour le nombre donné 3 : 

3 par le carré de ixS-xSyxS-^xS— tx3 -^— x . . . ; 
I 4 13 00 209 

ou pour 2 : 

, , , ~ ' f. 5 - 2C) - '6q . qSâ 

2 par le carre de axa- x 5 - x a ^ x r» — 7 x 5 -^— — x . . . . 
I 3d 204 '•09 

Ici connaissant, comme précédemment, la première et la seconde 
racine, on forme les autres de telle sorte que, dans les fractions suc- 
cessives, le numérateur de chacune soit égal à son dénominateur 
moins le dénominateur immédiatement précédent, et que cha(|U(' 
dénominateur soit égal au numérateur du terme immédiatement 
précédent réduit en fraction impropre. 

Si ce que je viens de dire ne suffisait pas surabondamment pour la 
question à traiter présentement, on peut encore ajouter ce qui suit. 

Si l'on a trouvé une série quelconque comme ci-dessus, convenant 
pour un nombre non carré donné, par exemple n = 2, on aura immé- 
diatement les séries convenant aux multiples du même nombre par 
un carré quelconque, soit à nni-; pour cela, il suffit de diviser la série 
des racines déjà trouvées par la racine m de ce carré. 



COMMERCIUM DE WVLLIS. 



477 



Ainsi 


'on 


a : 






" 


2 |)ar U\ 


carré de 


2 X 5 - 


„ 5 ^29 
-^ ^ ô^ ^^ 35 


X5'^9x5«'; 
204 1189 


8 


» 




IX 5- 


1 r 5 r 20 

î>< ^ 6^ ^ 3^ 


. 169 . 985 

X f X ^^3- 

2o4 1189 


i8 


» 




4 X 33- 


■x 33 ^^x33'-!i 

1 34 II30 


X..., 


Sa 


»' 




3x 33- 


1 ,, 33 „„ 1121 
i>^ ^^ 34 ^^^.55 


X..., 


5o 


» 




14x197 


I 107 
-x.97 4-^x..., 




72 


B 




2 x 33 


ix 33 '^x33"J' 
1 34 ii55 


X..., 


98 


» 




10x197 


I 197 
7Xi97 7-ggX..., 




128 


)) 




5i x . . ., 






162 


» 




i54o X . . ., 






200 


)) 




7 X '97 


I 197 

7X.97,g8X..., 




242 


» 




1260 X . . ., 






288 


» 




1 X 33 


^x 33 ^Jx33"!! 

1 34 1100 


X.. ., 


c'est-à-d 


ire 






V 








2 


pyr le carré 


de 2. 12.70.408.2378. 


i386o , 






8 


» 


I . 6.35. 2o4 . 1 I 89 . 


6930. . . ., 






18 


» 


1) 4 • " ' 36 . » 


4620. . . ., 






32 


» 


)) 3. » 102. 1) 


3465 






5o 


» 


« » 1 4 ■ » " 


2772 






72 


» 


)i 2 . » 68 . » 


23lO. . . ., 






98 


» 


» » 1 . » » 


1980 — , 






128 


» 


» » » 5 1 . » 


» 






162 


» 


» » « » » 


1 540 ..... 






200 


» 


» » 7 . *> » 


i386..... 






242 


» 


» » )) » » 


I 260 . . . . , 






288 


}) 


1) I . » 34 • » 


1 io5 



X..., 



X 



11 est facile de voir que la division en question peut s'etl'eclucr 
tantôt sur tous les termes, tantôt en les prenant de deux en deux, 



'i7S ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

on (le trois en (rois, ou do quatre en quatre, cinq on cin([, etc. De 
Miêmo pour les autres nombres. 

Il ne sera pas mauvais d'avertir do ce que j'ai déjà indique plus 
liant, (|noiquo la cliose soit étrangère au sujet ii traiter présente- 
nienl. 

Si, dans la ((uostion proposée, au liou de dire, étant augmenté de 
l'iiiiité. on avait dit : étant augmenté d'un nombre carré quelconque. 
soil /-, les séries des carrés que nous venons de trouver seraient à 
iiinltiplier par ce carré k-, ou, ce qui revient au même, les racines dos 
larrés seraient ii multiplier par k. 

Par exemple : étant donné le nombre n = 2, on demande que na- 
soit inférieur d'une unité à un carré. On aura alors 

na-^= 2 par le carré do a. 12.70. . . . 

Mais si l'on demandait que na'- soit inférieur du nombre 9 à un 
carré, on aurait 

11(1"-^='?. par 9 fois le carré (le 2.12.70.... 

dette série fournit une infinité de carrés satisfaisant toujours à la 
condition proposée, toutefois elle ne les donne pas toujours tous. 
Celte remarque doit sufTiro. 

Voilà les principales choses qui m'ont semblé à dire sur ce sujet; 

je les ai réunies dans ce résumé pour obéir à vos ordres. Il me reste 

à vous prier d'excuser avec bonté ce qui pourra n'étro pas on fout 

conforme à votre désir, et de ne pas vous lasser de continuer vos 

faveurs accoutumées. 

Très insigne Lord, 

au très respectueux serviteur de votre Seigneurie, 

Joii.N Wali.is. 
O.xford, 7/17 décembre 1G37. 

J'avais déjà écrit tout le reste, quand l'idée m'est venue d'ajouter 
encore, sous une forme tout à fait différente de celle ci-dessus, votre 
méthode de rechercher le premier carré. ( Voir Lettre XIX.) 



r.OMMEHCIUM 1)K W.\I,L!S. 



\1U 



Soil, par exemple, proposé le iioaibro non carré //-=i», e[ soil <r li 
carré cherché, tel que i3rt--i- i soit carré. On aura 

i3a--i- I --- Qrt- -1- Gai) -i- b- 



i «' + 1 --.: Qah H- l>' : 



1)11 l)ien 

par conséquent 

lb> a> b. 
Soit a = b -j- c; et, par suite. 



ou bien 



/> = c ^ f/ 



= d^r 



d = e+ f 



'■ = G/ + - : 



/=.^ + /' 



ibc + \c- -T- 1 = 3i- ; 
?, c > /> >• 6\ 

■2c---t- ■icd+ .'|C--4- I = 3c'+ 6c£/+ 3(/-, 
3c'--^i — 4«/4-3(P; 

2 rf > f > (/. 

3 (/- -t- a de i- 3 e- 4- I ^ 4 f^' + -'i '^/c + 3 ^Z'' , 
■'. de + 3 c' + I = 4 d'' ; 
^.e ^ d> c. 

■2 c'- -;- -2 c/ 4- 3 e- ■ f- 1 = 4 <-"- -H 8 e/ -h 4/") 
7/> e > 6/. 

36/= +. 2/i' + i'^ + . rrr 36/' + 6/^ + hf. 

2S'>/>i'-- 

6.^' 4- G J,'/i + ^^- -M -- 4é'" -^ *^a ^' + 'l '''• 

S^-'-i- I — - 2 -/i-i- 4A-; 

2/i> ir>//. 



480 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

3h-^-i-6/H+Zi--+- 1 = 2A2+ 2/((-f- 4/i-, 
lilii-V- 3j'+ I = 11-, 

2/ = /i, « = I. 

Par conséquent, 

« = I, h^^ 1, g^ Z, / = 5, c =1 33, 

(/ rr 38, C=r7l, 6=109, a=l8o. 

On procédera de la même façon pour toul nombre donné non 
carré. 

LETTRE XVIII. 
John Wallis a Kenelm Digby. 

Très illustre Seigneur, 

J'ai reçu avant-hier soir très tard et j'ai parcouru hier le Traité de 
M. Freniclc sur h^s problèmes de Fermât, Traité que votre Seigneu- 
rie a récemment adressé au très honorable Lord vicomte Brouncker, 
et que ce dernier a bien voulu me communiquer; je ne l'avais pas vu 
auparavant et je n'en avais même jamais entendu parler, avant d'avoir 
reçu à ce sujet la lettre du très honorable vicomte. 

Il est certain, d'après ce Traité, que son clarissime auteur, ou bien 
n'a pas vu, ce que j'aime mieux croire, la lettre que je vous ai adres- 
sée à Paris, ou qu'il n'a pas loyalement agi : dirai-je avec nous ou avec 
notre nation? 

Il commence tout d'abord par insulter notre nation, et non pas elle 
seulement, mais aussi les Belges et même les autres nationaux de 
France. 

« Voici », dit-il, « que Lutèce vous fournit, très illustre Seigneur, 
» la solution de problèmes que ni vos Anglais, ni les Belges, n'ont 
» aucunement pu procurer ; la Gaule Celtique est fière d'enlever la 
>> palme à la Narbonnaisc, etc. » 

Et bientôt après, il répète à plusieurs reprises, que « la plupart des 



COMMEUCIUM DE WALLIS. kSi 

» autres mathémalicions, tant d'Aiigloterre que do Batavie, s'atta- 
» client à les résoudre », ou mémo « y dépensent leurs sueurs », mais 
qu' << il a vainement attendu quelque chose des Anglais ou des Ba- 
» taves, quoique la plupart aient sué là-dessus », et autres phrases 
pareilles. 

Pour les Français et les Bataves, ce qu'il convient d'en dire, j'ai 
d'autant moins à m'en soucier que j'ignore davantage ce qui s'est fait 
chez eux; mais, pour vos Anglais, je puis en parler. 

Tout d'abord, quand les Anglais n'auraient rien l'ait sur la question, 
on n'aurait pas pour cela à triompher de notre nation ; car il n'y a pas 
un de ses mathématiciens sur cent qui ait, jo ne dis pas, sué à résoudre 
ces problèmes, mais les ait seulement abordés, ou même (jui on ail 
entendu parler. Je ne sache pas, en cflet, ii part Lord vicomte Broun- 
cker et moi, qu'il y ait en Angleterre un mathématicien qui v ait 
dépensé une petite heure, ou même qui y ait pensé tant soit peu; au 
moins tous ceux que je connais, d'après mes informations actuelles, 
les ont absolument ignorés ou bien ne s'en sont pas occupés. Si leur 
très noble auteur a pu dire dans une lettre particulière qu'il les propo- 
sait à tous les mathématiciens de l'Europe, il ne faut pas croire que 
tous, je ne dis pas : se soient aussitôt mis ii la besogne, mais même en 
aient eu immédiatement connaissance. 

Quant à nous doux, nous avouons qu'il peut bien se faire que votre 
clarissime correspondant ait résolu ces problèmes, au moins les deux 
premiers, avant l'un ou l'autre de nous. A cela, il n'y a rien d'étonnant 
puisqu'il les aurait résolus deux mois avant qu'il en fut rien parvenu 
ici. Il dit, en eilot, avoir trouvé la solution dès le 23 janvier (nouveau 
style), alors que ces problèmes, quoiqu'ils semblent m'ètre adressés 
personnollcmont, n'ont pas été vus de l'un de nous doux avant le 
'[ mars (vieux style), soit huit semaines entières, moins deux jours, 
plus tard. Ce fut lii, au reste, la date de leur arrivée de Paris à Lon- 
dres, et ils ne i)arvinront ii Oxford qu'un [x-u plus tard. 

Ce que nous avons fait sur ce sujet, il est inutile do le répéter lon- 
guement à nouveau, puisque je vous l'ai dojii ex[)osé Ix plusieurs 
kerjut. — m. 6i 



/1.82 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS, 

reprises dans mes lettres précédentes. Toutefois, comme cela se trouve 
épars et mêlé h d'autres clioses (car le même M. Fermât nous a posé 
d'autres questions et nous avons répondu sur plusieurs points de plus 
d'importance), il parait utile de faire le résumé de ce que j'ai déjà 
écrit à ce sujet, et de le donner ii voir d'ensemble, pour qu'on puisse 
juger combien ii tort on croit triompher de nous ou de notre nation. 
D'ailleurs, comme on semble parfois accuser notre lenteur, j'ai cru 
bon de marquer les dates. 

Les deux premiers problèmes étaient conçus en ces termes : 

Proposez- (voir page 3 1 1 , n" 79, ii page 3 1 1, ligne 4 ) • • • • d'une amitié 
naissante. 

Pour qu'on ne nous accuse pas de lenteur, je dirai que M. White, 
qui devait nous apporter ce papier de Paris, l'a remis ii Londres à Lord 
vicomte Brouncker, le 4 mars (vieux style); celui-ci l'envoya le lende- 
main il Oxford, où il arriva le G mars, le soir à une heure avancée. J'y 
lis aussitôt une réponse, en sorte qu'elle pût être emportée par le 
courrier partant le lendemain de grand malin pour Londres. Voici le 
résumé de cette réponse: 

Les questions proposées sont ;i peu près du même genre que celles 
que l'on pose sur les nombres dits parfaits, déficients ou abondants, et 
ne peuvent guère dès lors, ou ne peuvent pas du tout être ramenées à 
une équation générale embrassant tous les cas. Mais le seul et même 
nombre i satisfait aux deux questions, puisqu'il est à la fois carré et 
cube, et que d'ailleurs il n'a pas de parties aliquotes. J'ajoutais en 
même temps un problème très semblable à ces questions, et pour 
lequel je n'ai encore rien reçu comme réponse. 

Trouver deux (îWrp. 4o4t lignes iG à 19) semblable. 

A ma solution, le très honorable vicomte ajouta ensuite la sienne, ii 
savoir : non seulement le nombre i, mais (au cas où les fractions 
seraient admises) le quotient du nombre i par la sixième puissance 
de tout nombre entier; et, de plus, pour la première question, le quo- 



COMMEHCIUM DE WALLIS. 483 

tient du nombre 3^3 divisé de la même façon, par exemple, ^7-- En 
effet, un nombre fractionnaire n'ayant pas d'autres parties actuelles 
que celles qui sont dénommées comme le tout, le cube ci-dessus ~- 
n'aura pas d'autres j)arties aliquotes que ^j ^> — ;> lesquelles, ajou- 
tées au même nombre ^> font -^-r» nombre carré. Ainsi ni M. Fre- 

04 d4 

nicle, ni M. Fermât ne peuvent dire qu'aucun Anglais n'ait satisfait 
aux questions, puisqu'au contraire les seuls qui les aient abordées, au 
moins que je sache, les ont résolues. 

Comme cette solution était immédiate et qu'on ne demandait qu'un 
seul nombre de l'espèce, je n'ai pas jugé ii propos de poursuivre des 
recherches dans l'infinité des nombres. La question ne me paraissait 
pas d'assez grande importance pour l'exiger, et l'eussé-je voulu fairc^, 
je n'en aurais pas eu le loisir. Car le problème me surprenait.au milieu 
des occupations les plus pressantes et alors que je me disposais ii 
partir pour assister à l'enterrement d'un frère que je venais de 
perdre. 

Je n'étais pas encore de retour (mon absence dura deux semaines, ' 
si je me souviens bien) que, dans un entretien à Londres avec le lord 
vicomte, j'appris de lui que, dans l'intervalle, il avait déjii reçu, du 
même M. Fermât, une autre question, dans laquelle l'auteur avait une 
plus grande confiance, tandis qu'il semblait abandonner les autres, 
déjii résolues, à ce qu'on sait maintenant, par M. Frcnicle; le lord 
avait répondu à cette question et donné, avec les précédentes, cette 
réponse à M. White; celui-ci les envoya immédiatement ii Paris, comme' 
on peut le rccounaitre, et l'on ne peut non plus sur ce point nous 
reprocher un re(ard. 

Or celte troisième question, après le préambule (It est à peine 
quelqu'un qui propose des questions purement arithmétiques, il est à peine 
quelqu'un qui sac/te les résoudre, etc.), était conçue en ces termes : 

Etant donné un nombre non carré quelconque, il y a une infinité de 
carrés déterminés, tels qu'en ajoutant l'unité au produit de l'un d'euv 



484. ŒUVRES DK FERMAT. — TRADUCTIONS. 

par le nombre donné, on ait un carré Mais je demande la règle géné- 
rale s' appliquant à tout nombre non carré quelconque qui peut être 
donné, pic. 

Cette règle générale qu'on demandait l'ut fournie par le très honoré 
vicomte, et appuyée de sa démonstration. 

Soient « un nombre donné quelconque (carré ou non carré, entier 
ou fractionnaire); q un autre carré quelconque (entier ou fraction- 
naire); d la dilTérencc entre netq; à savoir soit n — q, soit q — n. 

Uègle : n-—- -\- i est un nombre carré. En effet, 



/j r/ liqn -\- il- q- -\- i i/n -^ n- / q -^ n 



'\q !ifl'i + 'I 

d- d- q"- — xqil + li' \q — Il 

Que cette solution soit légitime, personne n'en doutera, à moins 
qu'il ne la comprenne pas; et la démonstration, qui n'était pas récla- 
mée, est certainement tout aussi régulière. Cependant, pour qui serait 
embarrassé des notations analytiques, la voici en d'autres termes : 

Si le quadruple d'un carré quelconque est divisé par le carré de sa 
. différence avec le nombre proposé, le quotient sera le carré cherché; 
car son produit par le nombre proposé, étant augmenté de l'unité," fera 
un carré. 

J'ai envoyé moi-même à Paris une autre règle semblable, mais plus 
tard, car alors je n'avais pas eu pleine connaissance de la question. 

Soient n un nombre donné quelconque; a un nombre quelconque 
arbitrairement choisi, par lequel on divise un carré q quelconque, ce 
qui donne le quotient m. Soit, d'autre part, o le quotient de m par [\p 
(c'est-à-dire par le quadruple d'un nombre quelconque); soit enfin d 
la différence entre oa et pn. 

— TT' disais-je, est le carré cherché. En effet, 
a- ' 



(l- o'a- ->- l-man -\- p- n'^ f oa + pn 



d- d' o'a- — ^nian -\- p'^ II- \oa — pn 

Que Format prenne l'une ou l'autre de ces règles, il n'aura pas seu- 
lement une infinité de carrés, mais bien tous les carrés possibles 



COMMERCIUM I)E WALLIS. VSo 

onlicrs ou fractionnaires, dont le produit par le nombre donné (d'ail- 
leurs carre ou non carré, car il n'y a pas do raison pour restreindre 
aux seuls non-carrés la question ainsi posée), étant augmenté de 
l'unité, fera un carré. Et cela même a déjii été démontré par nous, 
comme suit : 

Soit/- un carré possible quelconque (satisfaisant ii la question); 
on aura donc, par hypothèse, «/■+ i égal ii un nombre carré, soit /-. 
Prenons maintenant 



\^=^r 



on aura, disais-je pour la première régie. 



Va, en effet. 






-r-- 



/- hI a / -I- I 



Mais 

par conséquent. 



Dès lors 



,<p + i^P: 



l'--x— np 



et 









V-ziiil + \ l- 



r 



■?J: 



r 



Mais, comme 2/- = 



/ 



2/zp2 2/rp2 ir 

■ —lï- -J--7r' 



c'est-ii-dire 



P 



P- 



.'17 



0. Q. F. 1). 



La même cliose peut être prouvée de même, s'il est besoin, pour 



l'autre règle. 



Ainsi nous avons donné la règle générale demandée pour obtenir, 
étant donné un nombre quelconque, une infinité de nombres carrés 



V8G ŒUVRES I)K FI' KM AT. - TllADUCTIONS. 

dont le produit par le nombre donné, étant augmenté d'une unité, 
fasse un carré. On ne peut donc nous accuser de ne pas avoir résolu le 
problème. 

Je montrais encore, par surcroît, que la question se serait résolue 
avec la même facilité si, au lieu de l'unité, on eût proposé d'.njouter 
un nombre carré quelconque, par exemple, //-. Il eut suffi, au lieu de 

^> de prendre ^i-. Mais c'était là un bors-d'reuvre, puisqu'on ne 

demandait que ce qui est donné par la première règle; or celle-ci fut 
envoyée à Paris, aussitôt après la réception de la question, toujours 
dans le mois de mars, si je ne me trompe; on ne peut donc nous 
reprocher ni de ne pas avoir résolu le problème, ni d'y avoir mis 
quelque retard. 

La vérité est que ce fut seulement au mois d'octobre que j'eus com- 
munication d'une Lettre écrite par Fermât à Votre Seigneurie, où il 
faisait entendre, d'une part, qu'il n'avait pas bien saisi ce qu'avait 
voulu dire le Lord Vicomte (car il n'avait pas bien compris les solu- 
tions, écrites en anglais, puisqu'elles étaient adressées à M. White, 
un Anglais, et il n'avait pu trouver quelqu'un assez au courant de ces 
questions pour lui faire une traduction fidèle); d'autre part, il vou- 
lait que les questions proposées fussent entendues des seuls nombres 
entiers; c'était là changer absolument l'état de la question, car jus- 
qu'alors il n'avait pas été soufflé mot d'entiers; enfin il proposait 
nombre d'autres questions, tout à fait étrangères à la précédente, et 
auxquelles il demandait une réponse, qui lui a été donnée. Mais à 
cette époque j'étais occupé d'autres affaires, et sur le point de faire 
un voyage, en sorte qu'il ne m'était pas possible de me mettre à cette 
besogne avant mon retour, en novembre; ce fut donc dans ce mois 
(par la lettre que je vous adressai le 21 novembre) qu'il fut longue- 
ment répondu sur les uns et les autres points, tant en mon nom qu'en 
celui du très honoré Vicomte. Pourvu donc qu'on nous fasse grâce 
sur ce délai si court et en tous cas indispensable, il n'y a encore là 
aucun reproche à nous faire. 



COMMERCIUM DE WALLIS. 187 

Si d'ailleurs votre illustre correspondant a mal compris notre langue, 
le problème n'en a pas été, pour cela, moins résolu, et on ne peut pas 
plus reprocher au très honoré Vicomte d'avoir écrit en anglais à un 
Anglais qu'il votre illustre correspondant d'avoir rédigé en français 
presque tout ce que nous avons vu de lui. 

Qu'enfin il limite maintenant aux seuls carrés entiers ce qu'il avait 
proposé sur les carrés en général, cela ne peut nullement nous faire 
tort. Car nous ne pouvions deviner qu'il fallait entendre ainsi la ques- 
tion, surtout quand il disait qu'il y cherchait à imiter Diophante, chez 
lequel par nombres carrés il faut toujours entendre indistinctement 
les entiers et les fractionnaires. 

Admettons pourtant qu'il s'agisse de nombres entiers. Nous disons 
que, même dans ce cas, les questions sont résolues. Car pour la pre- 
mière et la seconde nous avons donné le nombre i, entier qui satis- 
fait il l'une et ii l'autre. Quant ii la troisième, nous avons donné la 
règle générale demandée, qui fournit tous les carrés satisfaisant ii la 
question, soit entiers, soit fractionnaires. 

Fermât peut nous dire qu'il voulait seulement des entiers et qu'il 
les voulait en nombre infini; mais quoique auparavant je n'en eusse 
rien su ni rien pu soupçonner, il lui a été donné satisfaction même 
sur ce point, comme il ressort de ma lettre de novembre. 

Nous avons, en effet, montré que la proposition ainsi entendue est 
moins générale que dans les termes où elle était proposée tout 
d'abord, et qu'il faut la limiter au moins aux nombres non carrés, 
ainsi que l'a fait Fermât. Car si, en effet, n est carré entier, comme 

-7T' ^-yr sera aussi un carré entier, et sa différence avec un autre 

carré entier ne pourra être la seule unité. 

Nous avons montré de même que, dans le cas où l'on peut donner 
un certain carré remplissant la condition prescrite, on peut aussi eu 
trouver une infinité d'autres, et nous avons indiqué comment, d'un 
seul connu, les autres se déduisent en nombre infini. C'est là un 
point qui ne paraîtra pas ii négliger, même, je crois, à M. Frenicle, 



(|U0 



.s- 



'^88 (EUVUES J)E FERMAT.- TRADUCTIONS. 

f|ui a passé tniit cola sous silence (quoique ce semble tMre la princi- 
|)ale partie du prohlènie); qui n'a donné aucune démonstration de 
théorème, ni aucune construction de problème se rapportant à ces 
carrés à fournir en nombre infini; or nous avons donné et démon- 
stration et construction. 

De même nous avons montré comment, dans l'intinité des nombres 
carrés que donnent nos règles ci-dessus, nous distinguons les entiers 
des fractionnaires. 

En effet, toutes les fois que — est un nombre entier, c'est-à-dire 

loules les fois que d- est une partie aliquote du nombre L\q, et dès 
lors en prenant les racines, d ou \q — n\ une partie aliquote du 

nombre 2R, ou encore, si l'on pose y = — et R = -, puisqu'il peut 

se faire que «7 et R soient des nombres fractionnaires, toutes les fois 

est une partie aliquote du nombre ^> ou, en multipliant 

de part et d'autre par r^, toutes les fois que la différence | nr- — s"- \ est 
une partie aliquote du double rectangle irs\ toutes les fois, disais-je, 
que cela arrive, le carré donné par la règle énoncée est un nombre 

entier, dont la racine est ^ — '-^ — ^^ 

\nv~s-\ 

Or ceci a lieu de diverses façons et en particulier de la suivante : 
1 nr- — 5- 1, différence entre le produit par le nombre donné d'un carré 
(juelconque et un autre carré quelconque, sera soit i, soit 2. Car i 
divise tout nombre entier et 2 tout nombre pair, tel que 2/-.?. 

Et cette seule règle renferme l'ensemble de tout ce qu'a donné 
là-dessus M. Frenicle. Car le nombre de la quatrième colonne de sa 
Table est précisément le nombre r, puisque son carré, multiplié par 
le nombre //, diffère en plus ou en moins d'avec un autre carré (qui 
sera 5-), soit de 1 ou de 2, soit au moins d'une partie aliquote du 
nombre 1rs. Ainsi trouver le nombre de sa quatrième colonne, c'est 
justement trouver notre nombre /•; or il n'enseigne nulle part com- 
ment on peut le faire et il laisse ainsi toute la question non résolue; 
il ne donne que des exemples sur les nombres particuliers non carrés 



COMMERCIUM DE WALLIS. W.) 

jusqu'à i5o, mais ne donne nullement ce qu'exige le problème, c'est- 
à-dire la règle applicable à un nombre donné quelconque. Quant aux 
préceptes que renferment les dix pages suivantes, et qui enseignent 
à trouver, d'après le nombre de la quatrième colonne, celui (ju'on 
cberche dans la seconde colonne, nous les renfermons tous ensemble 

dans celui-ci : que -, — —. est le nombre cbercbé, c'est-à-dire celui 

dont le carré remplit la condition proposée. 

Quant à l'abrégé qu'il indique comme particulier aux nombres paire- 
ment pairs, c'est-à-dire divisibles par 4 (cas où il n'a pas recours aux 
nombres de la quatrième colonne), nous avons montré en général que 
cet abrégé s'applique aux nombres divisibles non seulement par /j, 
mais encore par tout carré quelconque. 

Tout cela, avec d'autres choses se rapportant au même sujet, a été 
déjà longuement exposé soit dans ma dernière Lettre de novembre à 
Votre Seigneurie, soit dans celle (XVII) que j'ai écrite peu après 
au Lord Vicomte Brouncker, avant d'avoir en tout cas, remarquez-le 
bien, vu le Traité de M. Frenicle; vous recevrez une copie de cette 
Lettre en même temps que la présente. 

Je ne voudrais pas au reste que vous pensiez que, dans ce qui pré- 
cède, j'aie voulu manquer en rien aux très illustres et très nobles 
Fermât et Frenicle, rabaisser leurs travaux ou leurs connaissances en 
la matière; je respecte, comme il convient, des personnages aussi 
éminents, mais j'ai voulu vous montrer que vous n'avez pas non plus 
à rougir des Anglais vos compatriotes. Je laisse à Votre Seigneurie 
à apprécier ce qui a été fait sur la question tant par le très honoré 
Vicomte, qui a joué le rôle principal dans l'affaire, que par moi qui 
suis intervenu comme suppléant et qui reste 

De Votre Seigneurie le très respectueux 

John Wai.ms. 
Oxford, 16/26 décembre 1O57. 

FF.nWAT. — ni. 62 



490 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

LETTRE XIX. 

.lllllN Wm.I.I'^ a VlCOMTK RrOUNCKHR. 

Voici, tn''s illustre Scigiiour, ce que je pense sur la seconde méthode 
de l'induction ii instituer, méthode que je crois devoir développer un 
peu plus longuement que je ne l'ai déjà fait (voir l'Appendice à la 
Lettre XVII). Ce n'est pas que vous n'ayez suirisamment saisi mes 
brèves indications (un m(»t vous aurait suIR); mais puisque la chose 
doit être soumise à d'autres yeux, (jui peuvent être moins familiers 
avec ces questions, je crois utile, et il me semble que vous-même le 
réclamez, de donner une explication un pou plus développée. 

Je reprends donc le même exemple qu'auparavant : étant donné un 
nombre non carré n = i3, dont le produit par un carré a^ doit être 
inférieur à un carré d'une unité, il s'agit de trouver ce carré a'. 

Puisque, par hypothèse, i3a- + i est un carré entier (le problèinc 
étant désormais posé pour des nombres entiers), il est clair que ce 
carré doit être inférieur à (4a)-=i(3«\ supérieur à (3a)- = 9a^ 
Si en effet a est entier, on a évidemment 

i6(7'-> iSrt^-i- i>9rt-. 

Soit donc ce carré ou bien (3a + b)- ou bien (4a — /-')', en sorte que 
h soit la différence de la racine du carré cherché avec celle du carré 
immédiatement supérieur ou inférieur. 

Il est indifférent de prendre l'une ou l'autre expression; choisis- 
sons la première. 

Ainsi 

i3a'- -h i = (ia + by- = ga'' + 6ab + b'- 

ct, supprimant de part et d'autre les termes égaux, 

f,a-+i — Gab-J,- b\ 
Cela posé, il est évident que la quantité h est inférieure ;i a, supé- 
rieure à a, c'est-à-dire que 

■2b> a> 0. 



COMMERCIUM DE WALLIS. Wl 

Si, en eiïct, l'on avait b = a, on aurait 3a + ^ = 4«. noniI)ro déjà 
reconnu comme trop fbrt; donc h<^a. Si, au contraire, on avait b= - a 
et dès lors a = 2b, on aurait, à cause de l'équation 4«"4- i = Gab-hb- 
posée ci-dessus, 

ce (|ui ne peut avoir lien en aucun cas. Par conséquent ^ >• - et 

■2l>-> a> b. 

Puisque l'on a donc 2/>> «>/>», on peut arbitrairement de la même 

façon poser 

soil n := 2 h — c, soil a^^O-i-c, 

en sorte que c soit la difl'érence entre a et soit 2b, soit b. Le choix 

entre ces deux positions étant libre, prenons a = b -h r et par suite. 

en raison de l'équation 

4a--t- I = 6«i 4- Z*- 

poséc ci-dessus, 

et, supprimant les termes égaux, 

aie + 4c"+ 1 = 3^'. 
D'où l'on conclut, comme ci-dessus, 

2C > ^ > c. 
De même, posant b =:^ c -h d, on conclura 

2d>c>d. 

Posant c == d -h e, 

2 e > (^ > e, 

ainsi qu'on peut le voir en opérant suivant l'exemple déjà donné. 
Posant enfin c? = e +/, on a 

d'où, évidemment, 

7/>e>6/. 



kO-2 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

Si, en efTot, on avait e = 7/, on aurait 

(6e/+ 4/-) =46/^ = ^9/'+ > = (e^+ 0, 

tandis que le premier membre de l'égalité est plus petit. Au contraire, 
dans le cas de c = 6/, on aurait 

(6e/+ 4/^) = W= 36/^+1 = (e"-+i); 

le premier nombre est au contraire plus grand. Dès lors e est supé- 
rieur à G/et inférieur à 7/. De même pour les autres relations. 

11 ne faut pas d'ailleurs croire qu'il faille de nombreux essais pour 
reconnaître ces limites, comme 7/ et G/, entre lesquelles doit être 
compris le nombre e, il ne faut pas redouter que cette rechercbe ne 
devienne fastidieuse. Cette crainte s'évanouira si l'on remarque que 
l'une des limites est pour ainsi dire toujours obtenue en divisant le 
coellicicnt du produit par le coeffîcient du carré dont on cliercbe les 
limites. Ainsi, dans l'exemple en question, 

en divisant par 1, on a le quotient G; par conséquent G/ sera une 
limite ou au moins le nombre immédiatement voisin de celle-ci. Si 
l'on fait l'essai en remplaçant c par G/, d'où Ge/par 3G/-, on aura 

6e/+ 4/'= 4o/S nombre plus grand que 36/=+ i = (e'-t- 1); 

il est donc clair que ^c est plus grand que/, ou e>G/. Que de même 
r > 7/, cela est aussi évident; car, posant e = 7/, 

6e/H-4/-=46/- plus pclil i|iie 49/'+ i = (e'-t- i)- 

Ainsi on connaîtra les limites 

et de même dans les autres cas. 

Mais il est évident que les dilTérenccs h, c, cl, etc. sont des nombres 
entiers et qu'elles décroissent continuellement; on arrivera donc néces- 
sairement à une certaine différence de cette suite (au plus tard si elle se 



COMMERCIUM DE WALLIS. W:i 

réduit à i) qui sera une partie aliquote de la précédente. C'est tout de 
même ainsi que, dans la réduction des fractions à leur plus simple 
expression, c'est-à-dire dans la recherche du plus grand commun divi- 
seur, suivant la proposition VII, 2 des Éléments d'Euclide, en divisant 
successivement les diviseurs par les restes, on arrive au même résultat ; 
cette recherche est, en effet, tout à fait voisine de celle dont il s'agit 
ici. Di'S qu'on sera arrivé à ce point, au lieu de limites comme 

7/>e>6/, 

on aura une égalité. Ainsi dans l'exemple proposé, lorsqu'on arrive à 

4 /(«' + 3 r -!- I ^ 3 Ir, 

si l'on prend h = ii, car h est évidemment, d'après cette équation, 
supérieur à /, 

4 /i« + 3 «^ 4- I ^ 8 r -h 3 t- -4- 1 :=: I I <- -1- I r:= ( 3 /i- ) = 1 2 J-, 

équation qui peut évidemment avoir lieu, si l'on pose t = i . La valeur 
du nombre i est ainsi déterminée. En revenant sur nos pas, on en 
déduira la valeur des différences h, g, f, e, d, c, b, et enfin de a = uSo, 
racine du carré qu'on se proposait de chercher. 

Ceci doit suffire pour expliquer la forme du procédé. 

Il est facile de conclure de là la vérité du théorème : Etant donné 
un nombre quelconque non carré, on peut déterminer un certain 
carré, dont le produit par ce nombre, étant augmenté de l'unité, fasse 
un carré, et l'on déduira de là une infinité de tels carrés, comme nous 
l'avons antérieurement démontré (XVI). Mais cela est vrai, non pas 
seulement si l'augmentation est d'une unité, ainsi que l'énonce Fer- 
mat, mais si elle est d'un nombre carré quelconque, comme nous 
l'avons d'ailleurs prouvé antérieurement. Car, de même que, par 
exemple, en proposant d'égaler à un carré i3a*-i-i, on arrive à 
I II'- -H I = i2i-, d'où i-= i; si l'on avait posé tout d'abord i3a--i- 9, 
on serait arrivé à iir+9 = i2r, d'où {'^ = 9, et l'on calculerait à- 
par rétrogradation, comme ci-dessus. De même, pour tout autre carré 
ajouté au lieu de i ou de 9. 



\9k ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

Mais si l'on ajoutait un nombre quelconque, j'entends non carre, le 
théorème ne serait plus universellement vrai, ainsi que nous l'avons 
déjà avancé et qu'il est facile de le prouver. Mais, dans le cas où la 
chose est possible, on résoudrait la question tout h l'ait de la même 
façon, en substituant, au lieu de i, ce nombre possible quelconque. 

On doit également remarquer qu'on procéderait encore tout à fait 
de même, si, au lieu d'ajouter un nombre quelconque, on devait 
retrancher un nombre quelconque (possible, bien entendu). On sub- 
stituerait seulement à + i, — i ou tout autre nombre possible. Cette 
remarque est essentielle pour ce qui va suivre. 

Jusqu'ici nous avons sans doute sulfisamment mis en lumière ce qui 
a un rapport nécessaire à la question. Mais nous ajouterons d'autres 
développements qui peuvent rendre les calculs plus aisés. 

En premier lieu, nous avons dit plus haut qu'il est indifférent de 
poser au début, soit 

ou bien 

Cela est vrai absolument; cependant il est avantageux de choisir la 
position pour laquelle h est le plus petit. Ainsi dans l'exemple pro- 
posé, où il est clair que i3a-+ i est plus près de iGa" que de 9^-, 
puisque la différence" est d'un côté 4a'+i. de l'autre 3a- — 1, il es( 
plus avantageux de poser 

i3n'-j-i = i6a-— 8a/^ + i'. 
De même, pour ce que nous avons dit ensuite que, en posant 

on trouve a plus grand que b, mais plus petit que 2 /y, et que l'on peut 
poser indifféremment 

soit ar= 2b ~ c, soit a = b-\-c; 
quoique cela soit absolument vrai, il est cependant préférable de 



COMMERCIUM DE WALLIS. W5 

choisir la position à laquelle correspond la moindre valeur de c. El 
puisqu'ici a est évidemment plus voisin de b que de 26, on posera 
avec plus d'avantage 

a =1 b -h c qiio a=zil> — c. 

11 faut entendre la même chose pour les autres différences d, e, f, elc. 

La raison en est toujours la même; il s'agit de ramener à l'unité ces 
différences h, c, d, etc., toujours décroissantes. On y arrivera plus 
vite, en prenant toujours les plus petites différences et non les plus 
grandes. Ce qui peut s'appliquer aussi \\ la méthode connue de réduc- 
tion des fractions à leur plus simple expression par la recherche du 
plus grand commun diviseur. Cette remarque se présente d'elle-même, 
si l'on fait la moindre attention, quoique je ne croie pas qu'on ait cou- 
tume de s'y conformer. 

L'exemple ci-dessous montre sulfisamment qu'il résulte du procédé 
indiqué un abrégé notable. Le calcul est d'un tiers plus court, pour le 
même nombre i3, que si l'un prend toujours, comme auparavant, les 
différences les plus grandes. Dans ce cas, on doit le continuer jus- 
qu'à i; ici il sullit d'aller jusqu'à/: 

o 12c- — 1 2 c(/ -H 3 f/- + 1 = 8 c- — [\cd-\-Zc- 

%ab-b^--^Za^--^ c = %d-e "^ """ ' 

o I, ^ _ ^ „ /, Donc c =_ ■>. 

ib>a>ib Cl^d'-iQdc -t- e^-i- I ^ 64rf^-8f/e-3d' 



a =z 1. b -\- c 



3rf-+ I ^ 8rfe — e- 



,(i/;!-H8ic--i-rr-.I2i'--i-I26c+3c'-. 3 O f/ > 2 g 

3 i- + I = /) ^c 4- 3 (,•- d ■= -ie + f 

ic>b>c 12e' -h 12e/ -H 3/' -H 1 = i6eî -)- 8e/ - e'- 



d ~ :< 
r = 38 

bT-.'j^ 

a ;= 1 8n 



b ^1C — d 



4e/-^3/^=r3e 



Pour prouver maintenant que cette méthode peut servir non seule- 
ment pour chercher des nombres petits ou ordinaires, mais même des 
nombres suffisamment considérables, nous en montrerons l'essai sur 
le nombre proposé, non carré, 109, qui demande le plus grand carré 



49(5 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

(le tous ceux que traite M. Frenicle, et pour lequel celui-ci avoue 

n'avoir pu trouver la solution, que M. Fermât lui a communiquée. On 

aura 

« = 109, 

logn'-H I = iooa''-i- loab -\- b^, 

prt^H- I nr 20ab -h b^, 
36 > rt > 2^, 
a = 2 6 H- c, 
36^2+ 36ic4-9c'+i = 4o6'+2oic + ;;-, 
i6ic4-9C-= 5b^ — I, 
4c>if'>3f, 
h zz^ [\C — d, 
64 c=— i6c^+ 9C-= 80C-— tiOcd+ 5d'^— 1, 

2[\Cd—5d''::z 7 c-— I, 

^d>c>5d, 
c ^ id + e. 



d'où l'on conclut 

/ = 20/H + « r= 17 4o5 432, 

/,■ = ■il + m = 35 662 389, 

<■ — 4/»' +' — 160054988, 

/( = 3< — A- = 444 5o2 575, 

g— 5h -\-i = 2 382 567 863, 

f^ jg —h^ 16233472466, 

e := 7/ 4-^= 116016875125, 

d=z 5 e — /=; 563 85o9o3 iSg, 

c= 3rf -1- e = 1807569584602, 

6= 4c — rf=;6 666 427 435 249, 

(7= 2^ -1- c =i5 i4o424 455 100. 

Nous voyons ainsi que le nombre a, racine du carré cherché, a au 
moins i4 iigures, que son carré en a au moins 27 (nombre passable- 
ment élevé) et qu'il a réclamé 22 positions. On ne peut guère nier que 
sa détermination ne soit passablement abrégée, ou égard à la nature 
de la question. 

Mais il y a encore un autre abrégé qui peut souvent supprimer au 



J = 


* , 


.r z= 2 j = 


2, 


(' =; 4 .r + J = 


9. 


t =3c — a- = 


25, 


s = 5 < + 1' r= 


i34, 


r = 7 ■? — t — 


9'3, 


7=7'--+-^ = 


6 525, 


p =5^-r = 


3i 712, 


=5p -hrj = 


101 661, 


n =4o —p=: 


374932, 


»i =^ 2 /i -t- = 


85i525, 



COMMEUCIUM DK WALL[S. W" 

iiioins lu moitié du travail, grâce à la règle aiitcTicuromcnt éiioncL'c, 
à savoir que si la dili'ércnco entre le procUiit du iKunbre proposé par 
uu certain carré et uu autre carré quelconque est une partie ali(|uole 
du double produit des racines de (;es carrés, le ([uotieut de celte divi- 
sion sera la racine du carré cherché. Or cela arriv(^ nécessairement 
toutes les t'ois que la dilFérencc^ est i ou 2; si doue on trouve un carré 
dont le produit par le non-carré donné soit, par ra[)|)ort ii un autre 
carré, en excès de l'unité ou de 1, ou eu défaut de 2, il est évident (|ue 
l'on pourra en déduire le carré cherché. Or cela arrive très souvent 
dans les opérations, surtout quand il s'agit de nombres uu peu lorts, 
pour lesquels surtout il y a besoin d'abrégés. 

Par ex(Miiple, prenons, comme tout à l'heure, // — ij; puiscju'en 
posant 

\on' -k- I r^ I G rt- — 8 ah -h h-, 
on arrive à l'équation 

d'où l'on conclut 

2 f > ^ > c, 

si l'on avait posé tout d'abord i3«- — i, ou serait arrivé à 

3 //- — 1 = 4 l>c + 3 c-; 
d'où l'on aurait conclu 

2f=:/>, C=:l, — ■^., II-.-'). 

Le carré de ce dernier nombre donnant avec i3 un produit supérieur 
d'une unité au carré du nombre 18. il s'ensuit que 180 = 2x^X18 
est le véritable nombre ti cherché, celui dont le produit du carré pa 

i'^ sera inférieur d'une unité à un carré, à savoir GV.) . 

De même, pour le nombre proposé 109, en opérant comme ci-des 
sus, c'est-à-dire eu [tosant 

1 09 (';■-+ i ^z \ooa- -+- y.oal) + />'-, 

on arrive :i 

1G/.7 + 5/- - q/.^— 1, d'où Zl>l.>il; 

iMHll.M. - lu. t>-5 



ar 



498 (EUVUES DE l-ERMAT. - TUA DICTIONS. 

mais il est clair que si l'on eût posé en eonimencanl lOQfl-— i. on 
serait arrivé à 

i6/./ + 5/-= g/.'-h I, d'où /,->./, l—i, 

et, en rétrogradant, a = 85 1 52.5, nombre dont le carré, multiplié par 
109, sera supérieur d'une unité ;i un carré. On en conclura, de la façon 
expliquée, que le nombre a cberché, dont le carré multiplié par 109 
est inférieur d'une unité à un carré, a pour valeur i5 1/40424 455 100. 
Ainsi le calcul, qui a été poussé jusqu'à y, pouvait être arrêté à /. 
De même, pour le nombre non carré proposé /\'S5, si l'on pose 

en poursuivant les opérations suivant la marcbc prescrite, on arrivera 

à l'équation 

80-+ 1 = 38o/j + 9/j-, d'où h/>> o> lip. 

Par conséquent, si au début j'avais posé 433rt- — 1, j'aurais 

80- — I r^ iSoj) ■+- ()fj-, d'où 5/j = '), /> = I , " = 5, etc.; 

/, 1::- 4' —m: : (ioi, e = 4./ + o'=^ '.i 309 442, 

i x:;i3X -I- / =; 7 975, </ :=: 3e — f ^^ G3Gi 385, 

/i ^-- 24-1-/4^: ifiSJi, C'-^2d-he=^ i5o322i2, 

i,' = 3 /( — < = 4 1 (J78, l) z=z ^ c -h d :rz 66 4<jo 233, 

y =1- 1 4 à' — /' := 5GG (j4 1 , (7 =^ .5 6 -)- f = 347 Li>i3 3-7; 

d'où a = 3474*^-^377, nombre dont le carré 120744(^97 291 324 129, 
multiplié par 433, donne 52282453927143347857 qui surpasse 
d'une unité le carré du nombre 7230GG0G84. Par conséquent, 

5 025 0G8 784 834 899 7 30, 

double produit des racines 3474'^3377 et 7230G60G84, est le 
nombre a primitivement chercbé, dont le carré 

25 25 1 3 1(3 292 322 ogS 858983939617 172 869 69G, 

multiplié par 433, donne 

ioy33 819954575467 506940 045 854 235 802 578868, 



/J zzz 


'> 


\r: jp 1= 


5, 


/( — 40 +/-> = 


2 1 , 


nir^ 211 -i- :^ 


4-, 


/ := 3 ni -T- It ■—- 


1G2, 



r.OMMEHCIUM 1)K WALLIS. W9 

qui est inférieur d'une unité au carré de lo'î 5()4 907 85'| 28GGf).'j 713. 
Ainsi le carré cherché, d'au moins 38 figures, se découvre après i5 po- 
sitions, en continuant h's opérations jusqu'il p seuhMncnt. 

Je m'arrêterais ici. sans une ou deux remarques qu'il me reste ii 
ajouliM" comme bon poids; non (|u'elles soient en rien nécessaires au 
sujet, mais parce qu'elles n'en seront peut-être pas moins intéres- 
santes. 

\\n premier lieu, quoique l'abrégé qui vient d'être exposé tout ii 
l'heure pour trouver a au moyen d'un a ou a accessoire (dont le carré, 
multiplié par n, soit supérieur d'une unité à un carré), d'où l'on passe 
il V(i vrai (^dont le carré, multiplié par«, soit inférieur d'une unité ;i 
un carré); quoique cet abrégé soit absfdument valable et pratique, si, 
néanmoins, il plaisait de le négliger et de poursuivre le travail com- 
mencé jusqu'à ce (|ue l'on arrive à Va véritable, il sera facile d'y par- 
venir sans calculs pénibles parce que les mêmes équations reviennent 
dans le même ordre. Par exemple, pour le nombre pris ci-dessus loç), 
après avoir trouvé les équations qui concernent a, h, c, d, etc. jus(|u';i 
m (qui a pour valeur 85i ,^2.5, c'est-ii-dire celle de l'a ou a succédané), 
on retrouvera les mêmes équations pour m, n, o, />, etc. qu'aupara- 
vant pour a, h, c, d, etc., en exceptant toutefois les deux dernières 
pour X et y, auxquelles on s'arrêtera, mais qui, si l'on ne veut pas 
s'arrêter là, n'en seront pas moins reconnues conformes à celles pour 
k et /. Ainsi le calcul institué pour trouver les équations pourra être 
arrêté dès (|ue l'on sera arrivé ii / ou m (c'est-à-dire au point où l'on 
dèlcruMuerait l'a ou a accessoire). Celui (|ui voudra employer ce 
moyen pourra donc, sans grande perte de temps, négliger l'abrégé (|ni 
a été indiqué en dernier lieu. 

L'autre remarque que je voudrais faire est celle-ci. Nmis avons jus- 
(|u'à présent exposé le mode de recherche "de la racine du premier 
carré, grâce à laquelle on peut très facilement, suivant la série anté- 
rieurement exposée, trouver successivement les racines de tous les 
carrés en nombre infini. Mais, si l'on ne voulait pas employer cette 
série, on pourrait obtenir les racines de ces autres carrés par le iiiénie 



500 (E LVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

procédé qui sert à détcriiiincr la première (toutefois avec un travail 
un peu plus long). Il sulFirait de continuer les opérations commen- 
cées jusqu'à ce que l'on arrive à la racine du second, troisième, qua- 
trième carré. 

Ainsi, j)ar exemple, prenons, comme ci-dessus, n = i3. Etant arri- 
vés à l'équation 

l\ef + 3/-=:^ 3e'-— i, 

nous en avons conclu ci-dessus que l'on pouvait poser (■= -if, en sup- 
posant d'ailleurs/= i, et de lii en rétrogradant, nous en avons déduit 
les autres valeurs jusqu'à celle de a, racine du premier carré. Mais si, 
au contraire, on pose/>-i, on aura e<2/el, par suite, posant 
c = r>.f — g, il faudra poursuivre jusqu'à ce que l'on retombe de nou- 
veau sur une équation semblable, ce qui aura lieu quand on arrivera 
à /, m, et, en ellet, on trouvera 

Posant alors m --~ \ , on aura l = ■ini = -2, d'oii, en rétrogradant, 
a = :î33G4n, racine du second carré. Mais si, au contraire, on pose 
encore, non pas m — i , mais m>-i, on aura l<:^7.m. Posant donc 
/= -1111 — n, il faudra poursuivre jusqu'il ce (|ue l'on retombe encore 
sur une é(|uation semblable, savoir 

/)/•.? H- 3.«-= 3/-— I, 

d'où posant v = i , on aura 7 = 2 et « = 3o32G |5/[0. Si l'on posait 
autrement s'^ i, procédant toujours de même, on aurait la racine du 
quatrième carré, puis celle du cinquième, etc., ad libitum, 

« =: 1 3 ; 

;»"_8«— o r^ I 3G9, f :::r.^g — /( = I77G961 

/ :^ im — n = a STiS, c ^ if — :; =l 0820282 

le ::---il -\-m— 0/185 (3. d--ic^f— 8417025 



s— 1, 




/•= 2, 




17 - 2 /• -h .? = 5 


a. 


p..%q — r= 38, 




—ip — fj— 71, 




« ~ 2 -1- p — 1 80 


A. 



(" r_. 8Â" — / =: 49332, f ^- .Srf-v <? = 64 019 91 8, 

Il = 21 — U = 921 59, i 1= 2 C — (l - I I 9 G22 3 1 I , 

g ~- 1 1l -^ i ^rz 233 G'|0 1$. « r^ 2 ^ -t- f r= 3o3 264 5/|0 c 



COMMEUCIUM DE >YALLIS. 30 1 

Au ros(o, pour <•(> calcul, comme auparavant, dès que l'on aura 
(»b(onu le premier (t, les opérations seront facilitées par le retour 
constant des équations semblables, comme on le voit dans l'exemple 
ci-dessus, où l'on a tant les a vrais (que j'appellerai A, B, C, etc.) que 
les a succédanés (que je désigne par les lettres a, p, y. etc.), c'est- 
à-dire tous ceux dont les carrés, mulli|)liés par le non-carré donné, 
sont soit inférieurs, soit supérieurs d'une unité par rapport à un carré. 
Si, en effet, là où par exemple se trouve i- == i, on jxise /= r, on aura 
a, la première racine, là où est ti\ si, au contraire, au lieu de .v = i, 
on pose w — I, on aura, là où cst^, « — B racine du second carré, de 
même que l'on a maintenant a = C racine du troisième carré. Au con- 
traire, en répétant toujours les mêmes opérations, on obtiendra D, E, 
F, etc., tant que l'on voudra. Ce qui, mulalis mutandis. doit aussi être 
entendu de a, p, y, o, etc. 

On peut cependant remarquer que de même que de a, lorsqu'il est 
connu, on peut, par la ri'glc donnée ci-dessus, déterminer A (puisque 
de i3 X T" — i8'-= I, on conclut 2 x 5 x iS = iHo = A), l'on pourra 
par A connaître B; par [î, C; par V>, D; ])ar y. K; pJtr C, F, etc. Le 
plus souvent, il en est absolument de même; il n'y a que parfois une 
légère différence. Ainsi par exemple si l'on prend le non-carré 21, et 

par conséquent 

y I a- -t- I =^ '.5 fl- — \oab + //' 

on bien = iGa--t- Sab-^tj-, 

nous aurons dans un cas les nombres 1.2. j. 12 on bien 1.2. 3. 5. 12, 
dans l'autre i .2.7. 1 2 ou i. 2.,") .7 .12 ou bien encore 1.^.3.0.7.12, 
suivant que nous prendrons de différentes façons les différences soit 
addilives, soit soustractivcs, soit des deux sortes. Mais en tout cas on 
aura « = 12 pour la première racine; et les autres s'obtiendront suc- 
cessivement en poursuivant comme ci-dessus. On remar(|uera cepen- 
dant que non seulement les carrés des nombres A, B, C, etc., mul- 
tipliés par le donné 21, sont inférieurs d'une unité par rapport à 
un carré, mais que les j)roduits par 21 des nombres a, jî, y, etc. 
sont supérieurs à un carré, non pas cette fois d'une unité, mais du 



502 ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS. 

moins d'une partie aliquntc du double produit dos racines des deux 
carrés, partie qui peut servir, comme on l'a vu. à trouver la racine 
d'un carré cherché. Par exemple, 

/i a- = 2 1 X 2' r= 84 =81 -I- 3 — 9- -(- 3. 
Donc 

5 — 12 — A racine chercliee, 

et de même pour les autres. Ainsi a fera connaitre A; A, B; p, C; ]{. 
l); y, E, etc. Et il en sera ordinairement de même pour les autres 
nomI>res. Toutefois il peut arriver que l'on ait seulement A, H, 
(1. etc. Mais il n'y a pas à s'arrêter plus longuement à ce sujet. 



i -^ lo/i — 4' -— 1 26^)9, 
/.■ — li — ll^r. 23978-^. 



./= ,, 


(- — loa — h - 1 15, 




C --■?.(l :::; 2 a. 


/— 2t' — fll- 218 


p. 


/) = 2C + (/= 5, 


^'— 2/-1-6' - 55l, 




i7 rr 2 /> + r =1 n A . 


/(= 9.g+f—lZ20 


R 









/ = 2 k 4- / = 6o6o5 , 
m - 2/ -h/.— 1 45 188 C. 



Voilà, très illustre Lord, ce qui m'a paru devoir être dit pour expli- 
(|uer cette solution du problème de Fermât. 

Ainsi le très noble Fermât (pour en finir) a son problème résolu 
])ar une méthode si multiple à la fois et si heureuse que je ne crois pas 
(ju'il ait pu être traité plus complètement, je ne dis pas par M. Fre- 
nicle, le(|uel a déjii publié ce qu'il a fait là-dessus, mais par Fermât 
lui-même. Je ne veux pas aller plus loin, car je ne pense point que ni 
l'un ni l'autre prétende triompher soit de nous (au moins de Votre 
Seigneurie), soit de notre nation. Mais il me reste à féliciter Votre 
Seigneurie ([ui, provoquée par le très noble Fermât à un couj) de lance 
littéraire, a su maintenir sans tache l'ancienne gloire acquise autre- 
fois par les Anglais contre les Français, qui a su prouver que les 
champions de l'Angleterre sont aussi puissants dans la science que 
dans la guerre. Votre très n(d»Ie adversaire a pu croire que ces ma- 



COMMEHCILIM DE WALLIS. 503 

litTcs lui claicnt réservées et qu'elles seraient inaccessibles pour les 

autres (car toute terre ne porte pas tout fruit); il avoue cependant qu'<7 

sera pourtant ravi d'être détrompé par cet ingénieux et savant Seigneur; 

il aura donc, lui aussi, à vous féliciter. Pour moi, je ne puis que vous 

rendre très humblement grâces d'avoir jugé digne d'être appelé à 

prendre part à cette victoire. 

Très insisne Lord, 

V'otre très humble et très obéissant serviteur, 

John Wallis. 
Oxford, 20/30 janvier iGiy/S. 

LETTRE XX. 

Vicomte lînouNCKEii a .Ioii.n Wallis. 

Monsieur, j'ai reçu hier de Sir Keiielm Digby, avec les deux ci- 
jointes, une lettre à mon adresse qui ne renfermait que des compli- 
ments et un renvoi aux deux autres. Je ne suis pas fâché de voir 
qu'en somme le désir que M. Frcnicle a évidemment de nous faire 
toute l'opposition possible, n'aboutit qu'à des objections aussi tri- 
viales que celles que renferme sa Lettre. Mais je regrette que sa pas- 
sion l'ait égaré au point qu'il se soit exprimé aussi incivilement. Ses 
arguments sont si faibles qu'ils méritent à peine une réponse. Sa chi- 
cane sur votre solution par le nombre i est bien mauvaise; car 
chacun sait que quelques-uns sont de l'opinion que i n'est pas un 
nombre; mais ceux-là même savent tout aussi bien (jue, dans l'opi- 
nion des autres, il en est un. Et (jue soit IM. Fermât qui a proposé le 
problème, soit M. Frenicle, (jui fait maintenant cette objection, aient 
pris I comme nombre, cela est évident d'après leurs écrits. Mais que 
i fût une solution telle que l'attendait l'auteur du problème, per- 
sonne ne peut le supposer, et cette solution n'était pas donnée comme 
telle, mais plutôt pour montrer combien le problème, tel qu'il était 
énoncé, pouvait être facilement résolu; il aurait du être conçu autre- 
ment ou bien il fallait faire l'exception. Quant à la chicane contre 



oO'i. ŒUVHES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

ma solution , elle provient de ce qu'il n'en a pas saisi le sens que 
vous ave/ pleinement exprimé; car autrement il n'aurait aucun motif 
pour son objection, les parties aliquotes étant restreintes aux parties 
actuelles exclusivement. Que je ne me sois à aucun égard mis d'ac- 
cord avec l'exemple 343, cela est parfaitement vrai ; mais le probli'uie 
ne le demandait nullement et il est tout aussi vrai qu'aucune de ses 
solutions ne s'y rapporte davantage. Car si le cube i n'a pas de parties 
aliquotes, aucun des siens n'est cube de nombre premier, comme dans 
l'exemple donné 343 est cube de 7 nombre premier. Quelques amis, 
en compagnie desquels je suis maintenant, ne me permettent pas de 
vous dire autre cbose, sinon que je suis. 

Monsieur, votre très lidèlc ami et serviteur, 

BnoL'KCKF.n. 

18/9.8 février rn5-/S. 

LRTTRK XXI 

(joiuto, ainsi ipio la suivaiili', à ccllo i|iii précùilc). 
KlîNKLM Dir.RY A JoilN WaI.LIS. 

Très honoré Monsieur, je puis sembler être un de ces débiteurs (|ui 
se sont mis si fort en retard qu'ils ne peuvent espérer satisfiiire leurs 
créanciers ni oser se présenter devant eux; car il y a maintenant près 
de quatre mois que j'ai reçu votre très obligeante Lettre du 3 sep- 
tembre dernier (vieux style). Je pourrais m'excuser, et avec vérité, 
sur ce que j'ai longtemps été hors do la ville, et imputer ainsi mon 
silence à ce motif. Mais il n'y a là qu'une excuse (|ui, pas jjIus que 
l'embarras des déplacements ou le dérangement des voyages, ne peut 
être alléguée pour justifier suffisamment la vingtième partie du retard 
que je mets à reconnaître humblement, comme je le dois, l'excessive 
laveur et les politesses infinies de cette noble et généreuse Lettre. Le 
plus sage pour moi est aussi le moyen le plus candide; c'est d'avoir 
recours à la pleine et absolue vérité, qui ne manquera jamais de sou- 
tenir ([ui l'aime, aussi longtemps que s(>s intentions sont sinci'res et 



COMMEUCIUM DE WALLIS. 50o 

respectueuses. Qu'elle fasse donc valoir ce moyen en ma faveur! Les 
obligeantes expressions de votre Lettre étaient tellement hors de pro- 
portion ou de possibilité pour mon mérite que je jugeai que des remer- 
ciments purs et simples seraient un troj) mince retour pour une si 
haute faveur. .le fus désireux de mettre en compte avec moi quei- 
(|uc autre qui put vous offrir quelque chose d'assez agréable pour 
pouvoir rendre bienvenue ma Lettre y servant d'introduction. D'apri-s 
cela, j'envoyai à M. Fermât votre ingénieux et noble théorème sur 
le segment d'une pyramide ou d'un cône, le priant de m'en donner 
la démonstration pour que je pusse vous la transmettre. Et là-dessus, 
jusqu'à ce que j'eusse sa réponse, je différai do. vous écrire, car je 
pensais qu'il me l'enverrait par le premier ou le second courrier. 
Mais, depuis ce temps, je n'ai rien eu de lui que des excuses succes- 
sives, me remettant toujours à la prochaine fois. Il est vrai que j'étais 
précisément tombé sur l'époque du déplacement des juges de Castres 
à Toulouse, où il est juge suprême à la Cour souveraine du Parlement ; 
et depuis, il a été occupé par des causes capitales de grande impor- 
tance, dans lesquelles il a fini par donner une sentence qui a fait 
beaucoup de bruit et a été très applaudie; il s'agissait de la condamna- 
tion au feu d'un prêtre ayant abusé de ses fonctions. Cette affaire vient 
seulement de finir et l'exécution s'en est ensuivie. Mais ce qui peut 
être une excuse pour un autre ne l'est pas pour M. Fermât, qui est 
incroyablement vif et pénétrant en tout ce qu'il entreprend. Aussi, 
si pendant tout ce temps il n'a pas donné la démonstration de votre 
théorème (ni aucune autre réponse, mais seulement de grands éloges 
et applaudissements, toutes les fois que je lui ai écrit à ce sujet), ce 
m'est maintenant une preuve évidente qu'on fin de compte je ne dois 
pas en attendre de lui. Je nedoisdoncpasespérerde voir ma soif sur ce 
point satisfaite autrement que par votre obligeance; et pour cela, quand 
j'aurai le plaisir de vous rendre mes devoirs à Oxford, je vous deman- 
derai humblement cette démonstration. Car certainement, dès que je 
serai de retour en Angleterre (ce qui, je l'espère, ne sera pas long), 
un des premiers voyages que j'ai l'intention de faire est celui de ce 
l'LBJiM. — ni. 64 



OÛ6 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

célphrc séjour dos lAIiises cl des sciences les plus profondes, afin que 
je puisse vous témoigner de vive voix la grande estime et l'extrèmo 
respect que j'ai pour vous, afin que je puisse également recevoir la 
faveur de saluer, sur voire présentation, vos dignes cl nobles col- 
lègues et amis les Docteurs Wilkins et Ward, que j'honore inlini- 
menl. 

Comme j'étais ainsi désespéré de recevoir ce qne j'attendais de 
M. Fermai, et que je me résolvais donc à rompre mon silence, cl à 
vous supplier humblement de l'excuser, en vous en disant la véri- 
table cause, j'ai reçu de vous une nouvelle faveur : votre très obli- 
geante Lettre du 21 novembre dernier, qui ne m'est arrivée que très 
tardivement, par suite, à ce que j'ai compris, de l'absence de Londres 
de Mylord Brouncker et aussi par le fait de JM. White; car elle n'est 
parvenue ici que par la dernière poste. M. Frenicle était à diner avec 
moi lorsqu'on me l'apporta; là-dessus quelques affaires indispen- 
sables me forcèrent à m'absenter pour quelques heures; pendant ce 
temps, je la lui laissai à sa disposition, après l'avoir seulement par- 
courue rapidement à part moi. A mon retour, je trouvai qu'il avait 
écrit à la hâte et dans ma chambre, où je l'avais laissée, quelques 
réflexions sur la première partie de votre Lettre, et sous forme d'une 
épitrc adressée à moi-même; il se réservait d'ailleurs de m'euvoyer 
ou m'apporter ses considérations sur la seconde partie de ce jour-là 
en huit; car il allait quitter la ville le lendemain matin pour quatre 
ou cinq jours. J'ai longtemps discuté avec moi-même pour savoir si 
je vous enverrais ou non son écrit, où il exprime des sentiments si 
différciils des vôtres. En dernier lieu deux raisons m'ont convaincu 
que le mieux serait de vous l'envoyer; d'une part, il désirait très 
sérieusement que je le fisse; si je ne l'avais pas fait et que dès lors vous 
n'eussiez pas su quoi y répondre, il aurait pu mal juger votre silence 
et se complaire dans la croyance à son avantage dont, je ne doule 
pas, vous ne serez pas longtemps à le détromper. D'un autre côté, 
la variété des opinions entre des hommes éminents et savants ne fait 
pas peu pour le progrès de la Science, en donnant occasion de décou- 



COMMERCIUM DE WALLIS. 507 

vrir de profondes et abstruses vérités. J'ai donc fait copier par mon 
secrétaire cette Lettre adressée à moi (car elle était écrite tellemenl 
il la hâte par une main française que vous n'auriez jamais été capable 
de la lire) et je vous l'envoie ci-incluse, comme je ferai pour sa pro- 
ihaine, aussitôt que je l'aurai reçue. 

Après vous avoir si longtemps importuné à ce coup, je serais trop 
blâmable, si je prolongeais davantage votre ennui, en vous faisant 
une apologie de mon procédé. Je ne puis mieux l'amender qu'en ne 
continuant pas à mal faire; je coupe donc court, en marquant moi- 
même que je suis vraiment, 

Noble et illustre Sir, 

Votre très humble et très affectionné 
serviteur et admirateur, 

Kenelm Digby. 

Paris, 6 février i658. 
(Nouveau style.) 

LETTRE XXII 

(jointe à la prucdJonte) 
DE FllEMCLE A KeNEI.M DiGDV. 

Il me parait véritablement étonnant, très illustre Seigneur, que des 
mathématiciens, d'ailleurs éprouvés, aient pu se méprendre dans leur 
réponse aux deux problèmes numériques du clarissime M. Fermât, sur 
les cubes et carres à ajouter à toutes leurs parties aliquotes; qu'ils 
n'aient pas hésité à présenter pour la seconde et la troisième fois l'unité 
comme une solution, ainsi qu'on peut le voir dans la lettre du claris- 
sime Wallis, datée d'Oxford le ii novembre, que vous avez bien voulu 
me donner h lire. Car quel arithméticien, même du vulgaire, même 
des apprentis les plus novices, ne rougirait pas de donner cette solu- 
tion, quand bien même l'unité résoudrait parfaitement la question? 
C'est qu'elle contient en soi tous les degrés et toutes les figures des 
nombres, en sorle que, sans être nombre elle-même, elle les reprc- 



508 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

sente tous en quelque sorte; mais aux problèmes dont il s'agit, l'unité 
elle-même ne peut satisfaire. En voici les énoncés : 

I. Trouver un cube (p. 3i i, lignes 21 à 21) propriétés. 

II. On demande aussi (p. 3i i, lignes 2G à 27) cube. 

Ainsi on demande un nombre qui ait des parties aliquotes; mais un 
nombre est une pluralité d'unités, et l'unité elle-même n'est pas un 
nombre; elle ne résout donc pas la question, où l'on demande un 
nombre, non jjas quelconque, mais qui ait des parties aliquotes qui 
puissent lui être ajoutées et qui soit de même nature que le nombre 
3Z|3, dont les parties sont énumérées. Mais quelles sont les parties de 
l'unité? Il est clair que si elle n'en a pas, ainsi que l'avoue Waliis lui- 
même, elle n'est aucunement de la même nature que le nombre 3^3, 
cube ayant des parties aliquotes, qui, ajoutées à ce nombre, en don- 
nent un autre carré. 

Si d'ailleurs on veut, pour les parties des nombres, aller jusqu'aux 
fractions, l'unité, comme aussi bien tout nombre quelconque, a une 
infinité de parties (si l'on prend les fractions comme des parties) que 
dès lors on ne peut additionner. On est donc si loin de la question que 
je suis stupéfait et honteux de voir un pareil savant, non seulement 
accepter cette réponse comme une solution, mais encore la louer cl 
l'approuver; bien plus, oser affirmer que cette prétendue solution 
répond très exactement aux questions. 

Venons maintenant à l'autre solution du très noble mylord Brounc- 
kcr, par des nombres fractionnaires, cl examinons si elle peut être 
admise. 

J'ai dit plus haut que si l'on reçoit les fractions comme parties, on 
peut à tout nombre, entier ou fractionnaire, assigner une infinité de 
parties. 

On ne peut donc faire aucune addition de ces parties. Si, par 

exemple, on prend pour le cube -—-y pourquoi, à côté des parties énu- 

. . I 7 4q ... 1 I I 

merees, ^7' é?' ^r?» "c P^s compter tout aussi bien ^. —:, 3, etc., 
04 04 d4 ' ' Sa 16 8 

7 7 7 343 

5-) -~, ~> etc., ou même — tt? Car il n'est nullement besoin, pour 

.-ST 16 8 128 " 



COMMEHCIUM DE WALLIS. 500 



avoir des parties, de conserver toujours le même dénominateur. En 

lécs, 
343 



regard de celles qui sont données, —> ^» gy) il en ressort nécessaire- 



ment, pour le même nombre -^rr^ d'autres : -> j-i ^7^ qui, ajoutées 
' ' 64 7 /I9 343 1 J 

aussi avec ce nombre, ne donneront pas un carré. 

343 
Mais quand il n'y aurait pas pour -^ d'autres parties à considérer 

légitimement que celles qui ont été données et qui gardent le même 
dénominateur, qui ne voit qu'il n'y a là que ce même nombre 3/(3 
donné par M. Fermât, sauf un tout petit changement, et que la solu- 
tion est absolument dérivée de la sienne? Si, étant donné le triangle 
rectangle 3.4.5, on en cherchait un autre pareil, suiïirait-il, comme 
solution légitime et digne d'un homme de science, de fournir son 
multiple 6.8.10? Pourquoi aussi ne pas, de même, donner avec des 
fractions un nombre carré qui, ajouté ii ses parties, fit un cube? Il n'y 
a pas évidemment d'autre motif, si ce n'est que M. Fermât n'a pas. 
[)ourle carré, donné d'exemple comme pour le cube. Mais maintenant 
que, dans l'opuscule écrit en latin et qui, très noble Seigneur, vous 
est dédié, se trouve un carré satisfaisant à la question, il sera facile, 
par le même moyen, en divisant ce carré par des carré-cubes, d'en 
fournir autant qu'on voudra. 

Je ne suis pas plus satisfait du motif allégué pour ne pas fournir 
plusieurs cubes : parce que Fermât, dit-on, n'en demande pas plu- 
sieurs. Quant à regarder ce problème comme ne valant pas la peine 
de recherches ultérieures, cette dernière excuse pourrait être admise, 
si l'on n'avait pas consacré ses veilles à la question avant de feindre 
qu'on la néglige. Il y a dans cette ville de très cminents mathémati- 
ciens, qui, quoique nommément provoqués par M. Fermât à la solu- 
tion de ces problèmes, ont préféré se taire plutôt que de faire quelque 
réponse déplacée (seul Frcnicle les a abordés et en a obtenu la solu- 
tion ; chacun peut se glorifier de ce qui lui est particulièrement donné; 
il a cela, d'autres ont autre chose; il faut reconnaître qu'on peut dire 
franchement : Nous ne pouvons pas, tous, faire toutes choses); mais ce 
silence n'a causé aucun préjudice à leur réputation. Mais quand Wallis 



olO ŒUVRES J)E FERMAT. - TRADUCTIONS. 

présente h plusieurs reprises l'unité connime étant le cube cherché, cl 
qu'il néglige d'en rechercher d'autres, parce que Fermât n'en demande 
pas plusieurs, il est inexcusable, puisqu'en donnant l'unité, il no 
donne en fait aucun cube. Il est d'ailleurs aisé de déprécier ce à quoi 
on ne peut atteindre; mais il ne convient guère à un professeur de 
Mathématiques de demander à quoi peuvent être utiles ces problèmes; 
on pourrait tout au plus nous pardonner ce langage à nous, qui ne 
faisons pas profession de ces sciences, mais nous y exerçons pour 
notre seul plaisir. 

On aurait aussi bon droit de demander à Wallis à quoi bon, et pour 
quel profit, la peine qu'il a prise si longtemps à la recherche malheu- 
reuse de la quadrature du cercle, ou même à la composition de son 
Arilhmcliquc des infinis; rien de tout cela ne peut servir à aucun usage 
mécanique; mais à quoi bon presque toute la Géométrie et l'Arithmé- 
tique, si l'on excepte quelques faibles parties, d'ailleurs les plus vul- 
gaires, et que méprisent les savants, tandis qu'elles servent aux calculs 
des géodètes, des arpenteurs, des marchands, ou des praticiens des 
deux architectures, et autres pareils? Car tout le reste, plus secret et 
plus précieux, ne regarde que la subtilité et la perfection de la Science ; 
mais c'est le propre de l'intellect humain que de rechercher la vérité, 
il n'y a pas d'autre motif qui ait engagé tant d'hommes éminents à 
s'adonner à l'étude, et l'on ne peut traiter d'inutile, en Science, l'ac- 
(juisilion d'aucune vérité. 

Allant plus loin, je vois qu'il propose un problème assez élégant; il 
demande, en effet, les nombres carrés qui ajoutés, chacun à la somme 
de ses parties aliquotes, font le même nombre ; comme sont iG et 25, 
dont chacun, ajouté à la somme de ses parties, fait 3i. ]Mais il semble 
avoir proposé là, ii peu près au hasard, la première question qui lui 
venait à l'esprit, comme s'il avait cru que Fermât eût procédé de la 
sorte en posant ses problèmes; je demande donc à Wallis s'il a de tels 
carrés, ou du moins s'il sait d'une façon certaine et démonstrative 
qu'il y a ou qu'il n'y a pas, dans toute la multitude des nombres, d'au- 
Ires tels carrés premiers entre eux que iG et 25. Après cela, il aura 



COMMEUCIUM DE WALLIS. oit 

uiio réponse; car il ne doit pas ignorer si ce qu'il propose est impos- 
sible ou non, et un mathématicien ne propose pas à la légère et sans 
mûr examen ce qui lui passe tout d'abord à l'esprit, à moins qu'il ne 
le fasse, pour son instruction, sur des questions qu'il aurait vainement 
essayé de résoudre. 

Au reste, si, dans cette première partie, Wallis n'a guère réussi, il 
n'a guiirc été plus heureux dans le reste; il l'a même été encore moins, 
alors qu'il donne comme solutions différentes des nombres multiples, 
et que n'ayant rien fait que multiplier par 2, 3 ou un autre nombre, il 
se vante d'avoir montré Ui-dessus une suffisante preuve de ses forces, 
fi me serait très facile de le faire ressortir avec nombre d'autres absur- 
dités; mais je n'ai pas maintenant le foisir de tout discuter en particu- 
lier; cependant votre bonté et vos faveurs me font tellement votre 
esclave que je ne puis refuser aucun travaif pour accomplir vos ordres 
ou me prêter h vos désirs; vous me trouverez donc toujours tout prêta 
vous obéir. Je vous salue. 

l'aris, 3 fùvrior iGJ8. 

LETTRE XXm. 
JouN Wallis a Kkmelm Digdy. 

Très iitustre Seigneur, votre fettre datée de Paris, G février style 
nouveau, m'est arrivée fe 19 février vieux style, au moment où j'allais 
me coucher, envoyée par le très honoré vicomte Brouncker, qui l'avait 
reçue la veille, en même temps que la lettre y incluse de M. Frenicle à 
vous : dès le lendemain, je préparais ma réponse, mais j'ai différé de 
l'envoyer jusqu'à présent, parce que vous me faisiez espérer, ponr la 
semaine suivante, l'envoi d'une autre lettre que nous n'avons pas 
encore reçue; je croyais donc pouvoir répondre à tout ensemble, et 
cela d'autant plus que, quand vous avez écrit votre dernière, vous 
n'aviez pas encore reçu, comme il semble bien, la mienne datée du 
2G décembre, ni môme celle que vous a envoyée un peu auparavant le 
vicomte Brouncker. Je ne puis faire autrement que de vous remercier 



ol2 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

Irt's humblement de la très grande faveur dont vous continuez à m'ho- 
norer, et me féliciter, en même temps que notre Oxford, de l'espoir que 
vous nous donnez de dissiper bientôt par votre présence la tristesse 
que nous cause la mort de votre si savant ami Longbain; perte presque 
irréparable, survenue le 9 février à la suite d'une pleurésie. Voilà, en 
bien peu de temj)S, trois hommes incomparables, Armagh, Selden, 
I.ongbain, disparus au grand dommage de la Science et aux amers 
regrets de l'Angleterre. 

Quant il la lettre du très noble Frenicle, que renfermait la vôtre, je 
suis embarrassé pour répondre. Car s'il s'agit d'injures, j'aime mieux 
me taire que de donner la réplique. 

Que le nombre i n'ait pas de parties aliquotes, cela n'est pas nou- 
veau et je ne l'ignorais pas. Mais que i ne soit pas cube, qu'il ne soit 
pas nombre, j'aurais bien pu croire que quelque autre l'eût dit, mais 
non pas Frenicle, qui l'a déjii donné et comme nombre et comme cube. 
Car, si la renommée ne m'a pas trompé, il a fourni, pour un autre pro- 
blème de Fermât, i et 1 728 comme deux nombres cubes dont la somme 
est égale à celle des deux cubes rooo et 729. Il l'appelle encore nombre 
ilans le livre qu'il a publié et que j'ai la reconnaissance de devoir à 
voire obligeance. Page G : « Soient posés, dit-il, les deux nombres 1 
et 7 » à un endroit où il parle de cette même question. Il l'appelle 
carré, page 17, en reproduisant les paroles de Fermât, dans l'exposi- 
tion de la secon<le question : « Le carré i, multiplié par 3, après addi- 
tion de l'unité, fait 4. » EL Frenicle, page 21 ii la fin, confirme cette 
expression par ses propres termes, qui énoncent la même chose. De 
même, page 23, « produit de .') par le carré i » ; page 25, ligne 19 : « Ac 
nombre 7 multiplié par le carré 1 », et, ligne 23 : « Le plus petit nombre 
sera donc carré, à savoir c),et le plus grand, 1 1 , multiplié par le carré i . » 
De même, en d'autres nombreux endroits. Comment donc, s'il avoue 
<]u'il est carré, niera-t-il qu'il soit cube? ou bien si, pour les claris- 
simes MM. Fermât et Frenicle, il est aussi bien nombre que carré et 
cube, je ne vois pas pourquoi il ne le serait pas pour nous. 

Quand nous ne serions, moi et le très honoré Vicomte, quedcsar///*- 



COMMEIICIUM DE WALLIS. 313 

méticiens du vulgaire ou mémo des apprcnlis les plus novices, nous no 
pouvons bien comprendre ce qui pcul étonner, faire rougir ou rcndr." 
stupéfait cl honteux yolvG cXAv'iiSMXia Correspondant. Le problème pro- 
posé était bien de trouver un cube tel qu'ajouté à la somme de toutes 
SOS parties aliquotos il fit un carré. Or je dis que r est cube, qu'au 
moins Freniclc doit le tenir pour tel, et qu'ajouté à la somme de toutes 
SCS parties aliquotcs, qui sont nulles, il vient toujours i, qui est aussi 
carré. On demande aussi un carré tel qu'ajouté à la somme de toutes 
ses parties aliquotos, il fasse un cube. Or je dis que i est encore carré 
(du moins il doit être carré pour Format et pour Frenicle, puisqu'ils 
l'ont assez souvent alFirmé comme tel), et qu'ajouté à la somme de ses 
parties aliquotos, qui sont nulles, il vient toujours i, (jui est cube. 
Pourquoi donc craindrions-nous d'alTirmer non pas deux, trois fois, 
mais quatre, cinq, s'il le faut, qu'un seul et mémo nombre i satisfait 
aux deux questions? 

J'ignore absolument ce qui peut émouvoir la bile de votre clarissime 
(Correspondant, qui n'a pas été mis en cause, je ne dis pas provoqué, 
et avec qui, quand j'ai écrit la lettre qu'il attaque, je n'avais jamais eu 
aucune affaire; dont je n'avais jamais vu b' Livre, dont je n'avais rien 
entendu dire; que je suis donc bien loin d'avoir blessé on quoi que ce 
soit. Ce n'est pas parce que, soit lui, soit Format, ce dont je ne puis 
douter, attendaient quelque autre nombre, ou parce que lui-même (ce 
que j'ignorais alors) on avait donné d'autres, qu'ils doivent être fâchés 
de voir (ju'on leur fournit ce nombre inattendu, que Format, pro[)0- 
sant le problème, n'avait pas prévu, et contre lequel il m' s'était donc 
pas précautionné, ou que Frenicle, dans sa solution, n'a pas aperçu el 
n'a donc pas produit. C'est de même que Format n'a sans doute pas 
prévu et que Frenicle n'a pas découvert que la troisiiMuc question 
pouvait être résolue par des fractions; que, par suite, il demandait 
simplement descrt/rei, alors (ju'il ne voulait que des carrés entiers. 

Pour ce que dit votre clarissime Correspondant dos parties ali([uotes 
d'un nombre fractionnaire, sur ce que nous avions seulement avancé 
bypothétiquement (à savoir si Format y admettait aussi des parties ali- 

Ieiimvt. — Ml. C5 



01* 



ŒUVUES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 



qiiotes), je ne veux pas déterminer s'il faut l'attribuer à la chaleur de 

sa passion ou plutôt à sa liàtc; mais j'ai bien peine à croire qu'il ait 

3/'3 
réfléchi posément, lorsque, comme parties aliquotes du nombre '-7-,- ^ 

il demande qu'on compte ^1 -^^ 5> etc., ou encore -„-) -~, ^> etc., 

' 7 '\9 
non moins que .-^71 7^1 prf • 
1 64 64 04 

Que ces parties ne doivent pas être regardées comme aliquotes (pas 
même pour la quantité continue, et non seulement pour la disconti- 
nue), cela est certain tant par Euclide, Vil, déf. 3 et 4, que par V, 
déf. 1, où, pour la nature de la partie (aliquote), il est spécifié qu'elle 
doit mesurer le tout, c'est-à-dire que, prise un certain nombre de fois, 
elle doit lui devenir égale; or cela n'a pas lieu pour celles qu'il pro- 
pose. Par exemple, le nombre ^1 pris G fois, est inférieur au nombre 

343 

-—; mais, pris 7 fois, il lui est supéri(Mir. 11 n'en est donc pas une 

O4 

partie aliquote, mais bien aliquante, ou, autrement, il en est plusieurs 
parties, suivant le langage d'Euclide; de même pour les autres. Quant 

il ~> qu'il prétend de même être une partie aliquote du même nombre 

343 

-T7-) on peut, il vrai dire, soutenir cela sous un meilleur prétexte, puis- 

(|u'il faut au moins l'admettre pour la quantité continue, au même 

titre que - sera tenu pour partie aliquote du nombre i, ou - pour 

partie ali({uote du nombre 3. Mais pour la quantité discontinue, on ne 
doit pas l'admettre. De même, en effet, que celui qui compte comme 

unités 343 (ou — j suppose séparées en acte ces unités, mais non 

. • 343 

pas les moitiés ou autres parties des unités, de même pour -r^^ celui 

qui compte les (\^^"'^^ suppose ces G4'"" (en tant que comptes) sépa- 
rés en acte et dénombrables ; mais il ne fait pas cette supposition 
pour les 128'"*' qu'on peut bien dire exister en puissance et comme 
mesurables (de même que les moitiés dans les unités), mais non pas 
distingués en acte. 



C0MMi:iiciLiM ni: wallis. sis 

Si j'ai négligé de pousser plus loin la solution du problème proposé, 
j'en ai donné plusieurs fois les motifs. Si votre clarissime Correspon- 
dant n'y ajoute point de foi, on ne peut guère croire qu'il le fasse alors 
(lue je les répéterais encore à nouveau. 

Mais, puis«]u'il insisie d'un(^ façon si importune, en allant presque 
jus(|u'aux injures, j)our le cas où je ne le ferais point, je veux bien 
(pour la première fois) lui donner satisfaction en abordant sérieuse- 
ment cette question du cube dans le sens où il la prend. Il verra ainsi 
que ses mystères des parties aliquotcs ne nous sont pas inaccessibles 
et il n'aura pas à répéter son : « Il est facile de déprécier ce que l'on 
ne peut atteindre. » Nous disons donc : 

1. Il est clair (ju'une puissance quelconque d'un nombre premier, 
ajoutée à la somme de ses parties aliquotes, est la somme d'une pro- 
gression géométrique (soit i .R.R'.R'.etc), dont le premier terme (A) 
est I, tandis que la racine ou raison commune de la progression (R) 
est ce nombre premier, et que le nombre des termes (T) est supérieur 
d'une unité à l'exposant de la puissance en question. 

2. On sait également qu'en général {voir notre Mathesis unkcrsalis. 
prop. (.iH, Cbap. 33) la somme d'une progression géométrique es! 

|>T [ 

r A; (|ue, par conséquent, dans le cas présent, oîi A = i, elle sera 



li 



3. De même, puisqu'il s'agit d'une puissance cubi(|ue, et dès lors 
)"'*■, G'"", f)'"*^ ou autre, dont l'exposant est divisible par 3, il est claii' 

(|ue le nombre T des termes, en tant que supérieur d'une unité à l'ex- 
posant de la puissance proposée, sera \, 7, 10 ou quelque autre nombre 
supérieur d'une unité ;i un multiple de 3. 

4. Si donc nous divisons la puissance V"". 7'"". lo"'", etc. d'un 
nombre premier quelconque, diminuée d'une unité (à savoir R^— i), 
par l'excès sur l'unité du même nombre premier (soit R— 1), nous 



516 GiUVIlES DE FEllMAT. - TUAI) UCTIONS. 

aurons la somino d'une certaine puissance cubique (3"'% G"'^ 9"", etc.) 
(le ce nombre, et des parties aliquotes de cette puissance. 

5. Traitant d'après cette ri^-gle tous les nombres premiers plus petits 
(jue 100, je trouve que, pour le nombre 2, le cube ajouté à ses parties 
aliquotes est i5 = 3 x 5; que son cubocube (ou puissance G'"^), aug- 
uienté de même, est 127 nombre premier; que la 9""" puissance, aug- 
mentée de même, est io23 = 3 x 1 1 x 3i. 

De même pour les autres, suivant le Tableau ci-dessous, où les 
sommes avec les parties aliquotes sont décomposées en facteurs pre- 
miers. 



Culic ajoutij à la somme 



lîacinc. 


île ses parties aliqnote: 


1 


3x5 


■>.x> 


1-^7 


.iXjxa 


3xiix3i 


,>.X'2X?X>. 


Higi 


•/XV>.X-2X>.X '. 


3x5xi7X2J7 


'» 


•2XÏX9.X j 


■JxS 


1093 


;x3x'i 


aX'2Xi 1x11 xOi 


i 


2X2XjXIj 


"»X > 


19531 


5x Jx J 


2X3 X 1 iX7ixV>.i 



lacinc. Culio augiuontc. Raciiio. Ciilie augnicnli'. 

7 axaxîxaxjx J 47 2X2X2X2X2x3x5x i3x 1 

II 2X2X)!x3x()i 53 2X2x3x3x3x5x7Si 

i3 2X'-x:)X7Xi7 59 2X2X2x3x5x17 1 1 

17 2X2x3x3x5x29 Gi 2X2x3ixi8Ci 

19 2X2X2x5xiSi (>7 ■ 2X2X2x5x 17x4 io 

23 2X2X2X2x3x5x53 71 2X2X2X2X3x3X2521 

29 2X2x3x5xi2i 73 2X2x5xi3x37X i 1 

3l 2X2X2X2X2X2X13x37 79 2X2X2X2X->X5X !l21 

37 2X2x5x2(io3 (') 83 2X2X2x3x5x7Xi3x "1 1 

/|i 2X2x3x7X29:}<29 89 2X2x3x3x5x17X23! 

43 2X2X2x5x5x11x37 97 2x2x5x7x7x911 



Olui qui le jugera utile pourra, de la même manière, faire cette 
détermination pour les cubes de davantage de nombres premiers ou 
pour d'autres puissances cubiques de ceux-ci. 

6. Il est clair, d'après un tel examen de ces cubes, qu'il n'y en a 
aucun qui seul puisse satisfaire à la condition proposée, à l'exception 
de I et du cube du nombre 7. Comme en effet il n'y a pas de nombre 
premier, sauf i, qui puisse être carré, on ne peut attendre un autre 
carré, si ce n'est là où tous les facteurs sont par paires; ce qui a bien 
lieu pour le nombre 7, où l'on a 2.2.2.2.5.5; mais nulle part ail- 
leurs. 

(') Dans la seconde édition, 26o3 est remplace par le produit 19 x 137. 



COMMEUCIUM ])!•: WALLIS. S17 

7. Ainsi, pour avoir un autre carré égal ii la somme d'un cube et de 
ses parties aliquotes, à moins d'examiner les cubes d'autres nombres 
premiers ou d'autres puissances de ceux-ci, il faut prendre un cube 
formé par les puissances cubiques de deux ou plusieurs nombres pre- 
miers. 

8. Si l'on multiplie entre elles <les puissances quelconques de deux 
ou plusieurs nombres premiers, le produit augmenté de ses parties ali- 
quotes est égal au produit des puissances composantes, augmentées 
chacune de ses parties aliquotes. Si, par exemple, on multiplie 
«' + a- -t- a 4- I par />- + /> -f- i , on aura la somme du nombre «' Ir et 
de ses parties aliquotes; en multipliant par c+ i, on aura la somme 
du nombre aV/-'c et de ses parties aliquotes. Ce qui peut d'ailleurs 
s'étendre en général à deux nombres quelconques premiers entre 
eux. 

9. Par conséquent, un cube formé de deux ou plusieurs des cubes 
ci-dessus (pourvu qu'ils ne proviennent pas du même nombre pre- 
mier), après addition de ses parties aliquotes, sera égal au produit des 
cubes composants, augmentés de même. Par exemple, le cube du 
nombre ■?., ainsi augmenté, est i5 = 3x5; celui du nombre 3 est 
'|o = 2 X 2 X 2 X 5; donc le cube du nombre G ou 2 x 3, ainsi aug- 
menté, sera égal au nombre Goo = i j x io = 3 X > X 2 x 2 x 2 x ">. 
De même pour les autres. 

10. Dès lors, pour qu'un cube ainsi composé, augmenté de ses par- 
ties aliquotes, fasse un carré, il faut prendre des cubes composants 
tels qu'en prenant tous les facteurs premiers de ces cubes ainsi aug- 
mentés, ils soient doubles, ou autrement que chacun de ces facteurs 
premiers se présenti; un nombre pair de fois. 

H. Or, parmi les facteurs des cubes augmentés ci-dessus, les nom- 
bres premiers l\\, 71, 127, 137, 181, 233, 2")7, 281, l\i\, 449» 52i, 
9'|i, 1093, i7.'n, 18G1, 2J2I, 2Go3('), 3 121, 8191 et i953i ne se pré- 

( ' ) Ce noml)rc ^.Goj a ctc supprimé dans la seconde cdilion, qui a ajoulé 137. 



ol8 ŒUVIU:S DE FEIIMAT. - TRADUCTIONS. 

sentent qu'une fois; il est donc clair que les cubes où ils figurent, c'esl- 
ii-(lire les cubes des nombres 19, 29, 'i-j, ^'i, jq, Gi, G7, 71, 73, 79, 
89, 97, le second, le quatrième et le cinquième cube du nombre 2, le 
second cube de 3, et le second et le troisième cube de 5 doivent être 
immédiatement éliminés comme impropres à la question (tant que 
l'on ne fera pas le calcul pour encore pins de cubes), puisqu'il ne 
pourra y avoir de paire de ces facteurs dans aucune combinaison des 
l'ubes ci-dessus. Mais si l'on élimine le cube du nombre (ii, il faudra 
aussi éliminer le troisième cube du nombre 2, puisque le facteur 3i 
ne se rencontre pas ailleurs. A la suite de cette dernii'rc élimination, 
il faudra faire celle du cube de \'^, dont le facteur 11 n'aura plus de 
pareil; car il ne se rencontre nulle part ailleurs que dans le troisième 
cube du nombre 3, où il est déjà en double. Après cette élimination, 
on fera encore celle du cube du nombre 3i , où 37 sera désormais soli- 
taire. Enfin on éliminera le cube de 17, car nulle part ailleurs on ne 
trouve 29 solitaire (car il est double pour le cube de f\ 1). 

12. Des cubes qui restent, il est clair que celui de i, qui ne cbange 
rien dans la multiplication, est inutile pour la composition. De même 
celui du nombre 7, où les facteurs de la somme sont tous par paires; 
toutefois quand nous aurons trouvé un autre cube satisfaisant au pro- 
blème, ce cube de 7 pourra nous servir, puis()ue son produit avec 
l'autre satisfera également, un carré, multiplié par un carré, donnant 
un carré (remarque qui doit d'ailleurs s'entendre de deux cubes quel- 
ronques premiers entre eux et satisfaisant au problème); en atten- 
dant toutefois cet autre cube, il faut écarter celui de 7, dont les fac- 
teurs étant tous par couple, ne peuvent s'accoupler avec aucun autre 
facteur solitaire. 

13. lilxaminons donc les autres cubes séparément. Le facteur 53 ne' 
se rencontre que pour les nombres 23 et 83; il est donc clair qu'il faut 
combiner les cubes de ces nombres ou bien les éliminer tous deux. 
Mais, en réunissant les facteurs en regard de chacun d'eux, on trouve, 
en dehors de 2 pris six fois, 3, 5, 53 pris chacun deux fois, les soli- 



COMMEUCIUM DE WALLIS. 519 

tairps 2, 7, i3; on cherchera donc ailleurs des facteurs pour les cou- 
pler. Comme i3, parmi les facteurs déjà éliminés, ne se rencontre que 
pour 47 et 5, essayons ces deux nombres; si aucun ne réussit, il faudra 
éliminer 83 et 23. 

Au nombre /17, ou trouve, outre les paires 2, 3, 5, i3, 17 ({ui, 
réunis aux trois solitaires précédents 2, 7, i3, couplent bien 2 et i i, 
mais donnent désormais comme solitaires 3, 5, 7, 17. Réunissons-les 
aux facteurs en reiçard de i3, où l'on peut seulement espérer de cou- 
pler 17, comme là 5, 7, 17 sont solitaires, il ne reste plus que > 
d'isolé. Si nous lui cherchons un double dans les facteurs au nombre 
/|i, 7 restera solitaire sans espoir désormais de compagnon; si nous 
prenons les facteurs pour 5, i3 sera de même cette fois abandonné ii 
lui seul. Allons au nombre 11, il restera comme solitaires 2 et (li; 
pour le dernier de ceux-ci, nous pouvons bien trouver un compagnon 
dans le troisième cube du nombre 3, mais 2 n'en restera pas moins 
isolé sans espoir d'appareillage. Au premier abord, on pourrait croire 
(|u'ou peut recourir au premier cube de 3, mais on doit se l'interdire, 
puisque le troisième cube du même nombre 3, qui a déjà été pris, com- 
prend le premier. Si enfin (seul espoir cjui nous reste), pour trouver 
un compagnon au solitaire 3, nous allons au nombre 2, il viendra 
comme solitaire 5; et cherchant, pour coupler celui-ci, au premier 
cube de 3 (le seul ([ui, n'ayant pas encore été rejeté, puisse nous 
donner espoir), il restera le nombre 2 solitaire et sans espoir de com- 
pagnon; car, pour la raison déjà indiquée, on ne peut recourir au troi- 
sième cube de 3 pour trouver le second de la paire. Ainsi il ne reste 
aucun moyen, comme le prouve l'inspection du tableau; donc, des 
nombres 47 et 5, le premier ne réussit pas. 

Il reste donc à essayer le nombre 5 pour trouver, s'il est possible, 
des compagnons aux solitaires 2, 7, i3 ci-dessus mentionnés. Or on y 
trouve, outre les doubles, les solitaires 3, i3 qui, réunis aux soli- 
taires 2, 7, i3, laissent encore comme solitaires 2, 3, 7. D'ailleurs 7 
ne se trouve nulle part ailleurs qu'aux nombres i3 et 4'. tlont aucun 
des deux ne peut satisfaire. i3, en efl'et, laisserait solitaire sans espoir 



320 ŒUVKES J)E FEHMAT. - TRADUCTIONS. 

(lo compagnon le nombre 17, qui nous rejetterait inutilement au 
nombre 47 déjà écarté. 4i. 'in contraire, permettrait de doubler les 
nombres 3 et 7, mais 2 resterait toujours solitaire sans espoir de 
compagnon, si ce n'est par les nombres 3 ou 11, séparément et non 
ensemble; or 3 laisserait comme solitaire o, auquel on ne peut trouver 
de compagnon que par 2, qu'il faut abandonner sans espoir, car il 
laisse à son tour le solitaire 3, et nous renvoie inutilement à 1 1 comme 
seul moyen de trouver le compagnon cherclié. On no peut davantage 
prendre 1 1 au lieu de 3 pour coupler le facteur 2; car il resterait alors 
comme solitaires 3 etGr, et si pour le dernier on peut se procurer un 
double au troisième cube de 3, pour le premier, 3, il n'v en aura pas; 
car on ne peut l'espérer de 2 qui laisserait 5 à abandonner solitaire. 
Ainsi, tout pesé, il est certain qu'on ne peut trouver de ressources ni 
])ar ,j ni par 47; il faut donc éliminer et le nombre 83 et tout aussi 
bien le nombre 23. 



14. Prenons maintenant le nombre l\-j; on y trouve, outre les 
doubles, les facteurs solitaires 2, 3, j, 1 3, 17; or 1 3 ne se rencontre 
j)as dès lors ailleurs qu'au nombre 5, ni 17 ailleurs qu'au nombre i3; 
il est donc clair qu'il faudra soit combiner ensemble les cubes do 5, 
i3 et 47, soit les éliminer tous ensemble. 

Or 5 fournit les facteurs solitaires 3, i3, et le nombri; i3, les (ac- 
teurs solitaires 5, 7, 17, tandis que 47 nous donnait les facteurs 
solitaires 2, 3, 5, i3, 17. Réunissant tous ces fa(;teurs, il reste, en 
dehors de ceux qui se doublent par la réunion, les solitaires 2 et 7. 
Parmi les nombres non éliminés, 4' est désormais le seul où l'on 
trouve 7; il faut donc combiner ce nond)re avec les trois autres, ou les 
éliminer tous quatre ensemble. 

ÏMais 4'. outre les doubles, donne les facteurs solitaires 3 et 7, qui, 
réunis aux précédents 2 et 7, permettent de doubler 7, mais laissent 
encore comme solitaires 2 et 3, auxquels il faut désormais chercher 
des compagnons. On peut les trouver de deux manières difl'érentes, 
sans plus. 



COMMERCIUM DE WALLIS. 521 

En premier lieu, le nombre ii fournit, outre les doubles, les fac- 
teurs solitaires 2, 3, 61 qui, unis aux précédents 2 et 3, les doublent, 
en ne laissant comme solitaire que 61, pour lequel on trouvera un com- 
pagnon au troisième cube de 3, où 61 est le seul facteur solitaire. Par 
conséquent, si avec les quatre cubes des nombres précités 5, i3, /|i, 
47, on combine celui du nombre 11 et le troisième cube ou la neu- 
vième puissance du nombre 3, le cube formé par cette combinaison, 
étant augmenté de la somme de toutes ses parties aliquotes, fera un 
carré dont les facteurs premiers seront les mêmes que ceux des cubes 
composants augmentés de même; ces facteurs premiers seront donc : 
■2 seize fois, 3 quatre fois, 5, 7, i r, i3, 17, 29, 61 deux fois. 

D'ailleurs si ce même cube, ainsi trouvé, est multiplié par le cube 
du nombre 7, le produit sera encore cube et, augmenté de ses parties 
aliquotes, il fera un carré qui aura de plus que le précédent les fac- 
teurs 2 quatre fois, et 5 deux fois. 

D'ailleurs le cube ainsi composé ne laisse d'intact, parmi ceux du 
Tableau ci-dessus, que le cube i qui ne change rien, et le cube du 
nombre 2 qui, augmenté de ses parties aliquotes, fait 3x5, nombre 
non carré; en effet, le premier cube du nombre 3 se trouve compris 
dans le troisième et ne peut rentrer dans la combinaison; dès lors il 
est clair que le cube ainsi composé ne peut plus être combiné avec 
aucun de ceux du Tableau, en sorte que le produit ainsi formé, étant 
augmenté de ses parties aliquotes, fasse un carré. 

En second lieu, on peut cependant compléter autrement le cube 
formé par la combinaison de ceux des nombres 5, (3, 4i> 47> qui» 
comme j'ai dit, laissent comme solitaires les facteurs 2 et 3; mais il 
faut cette fois laisser de coté le cube du nombre 11 et dès lors le troi- 
sième cube de 3, qui doivent être, comme ci-dessus, pris ensemble ou 
écartés ensemble, h c^use du facteur 61 qui ne se trouve pas ailleurs. 
Le cube du nombre 2 fournira les facteurs solitaires 3 et 5, et le pre- 
mier cube du nombre 3 les facteurs solitaires 2 et 5; de la sorte, les 
facteurs solitaires précédents 2 et 3 trouveront des compagnons, et 5, 
rencontré de part et d'autre, sera doublé. Ainsi, en combinant avec les 

Febm*t. — III. 66 



o22 OlUVRES de FERMAT. - TRADUCTIONS. 

cubes dçs nombres 5, i3, 4i. 4? ceux d(^ 2 et île 3, on aura un cube 
qui, augmenté de ses parties aliquotes, fera un carré dont les facteurs 
premiers, les mômes que ceux des cubes composants augmentés de 
même, seront : 2 quatorze fois, 3 et 5 quatre fois, 7, i3, 17 et 29 deux 
fois. 

Le même cube, multiplié par celui de 7, donnera encore un cube 
jouissant de la même propriété, et aux facteurs du carré déjà énu- 
mérés, il faudra ajouter 2 quatre fois et 5 deux fois. 

D'ailleurs le cube ainsi composé ne laisse d'intact dans le Tableau 
que celui du nombre 11, à écarter, comme on l'a dit, à moins que l'on 
en prenne en même temps le troisième cube de 3, ce que l'on ne peut, 
puisque le premier cube de 3 est déjà entré dans la combinaison. Il 
est donc clair que le cube ainsi formé ne peut plus être combiné avec 
aucun de ceux du Tableau de manière à en donner un nouveau satis- 
faisant à la condition imposée. 

Mais il est également manifeste que les facteurs solitaires 2 et 3 qui 
restent, comme j'ai dit, après la combinaison des cubes de 5, i3, 4i. 
47, ne peuvent trouver de compagnons que par le cube de 11 avec le 
troisième cube de 3, ou par le cube de 2 avec le premier cube de 3; 
car il n'en reste après ceux-là plus d'autres que les cubes de i et 7, 
dont ni l'un ni l'autre ne peuvent satisfaire. Ainsi il n'y a pas d'autres 
manières de compléter ce cube, en dehors de celles qui ont été indi- 
quées. 

15. En écartant d'ailleurs les cubes des nombres 5, i3, /[i, 47 qui, 
comme on l'a montré, doivent être soit pris ensemble soit mis de côté 
ensemble, il est impossible de composer avec ceux qui restent le cube 
demandé. En effet, si l'on écarte, pour les raisons précitées, les cubes 
de I et de 7, il ne reste que ceux de 2 et de 1 1 ," avec le premier et le 
troisième cube de 3. Si l'on prend le cube de 1 1 et le troisième cube 
de 3, puisqu'on doit les prendre ou les écarter ensemble, à cause de 
61 qui s'y trouve des deux côtés et n'est nulle part ailleurs, il restera 
comme solitaires 2 et 3, qui ne peuvent être doublés tous deux par le 



COiMMERCIUM DE WAF.LIS. 523 

cube de 2, tandis que le premier cube de 3 ne peut être admis, puis- 
qu'on a déjà pris le troisième. Qu'on écarte au contraire le cube*de 1 1 
et le troisième cube de 3, les deux qui restent, celui de 2 et le pre- 
mier de 3, ne peuvent évidemment, par leur combinaison réciproque, 
satisfaire à la condition imposée; les facteurs 2 et 3 resteraient en 
effet solitaires. 



16. Ainsi, tout considéré, il est établi que, parmi les cubes du Ta- 
bleau, il n'y en a pas de simples, sauf ceux de i et de 7, qui, ajoutés ii 
la somme de leurs parties aliquotes, fassent des carrés. Il n'y eu a pas 
non plus de composés de ces mêmes cubes, qui jouissent de ladite 
propriété, si ce n'est les quatre déjà indiqués, dont le premier est 
formé du produit des cubes des nombres 5, i3, /|i , 47. 1 1-3, 3, 3; le 
second, des mêmes et du cube de 7; le troisième, des cubes de 5, i3, 
4i, 47> 2.3; le quatrième, des mêmes et du cube de 7. 

Celui qui voudra davantage de cubes de ce genre et le croira utile 
pourra, de la même façon que nous avons fait pour les nombres pre- 
miers inférieurs à 100, examiner davantage de nombres premiers, ou 
du moins davantage de leurs puissances. Qu'il me sulTise en tout cas 
d'avoir donné la véritable métbode de rechercbe, afin que Frenicle 
apprenne que, si j'ai négligé cette question plus toi, ce n'est point par 
impuissance. 

Ayant d'ailleurs effectué les calculs, je trouve que les quatre cubes, 
composés ci-dessus, sont identiquement les mêmes que les quatre don- 
nés par M. Frenicle, et peut-être trouvés par le même procédé. 

La méthode exposée pour la question du cube, qui, ajouté à ses 
parties aliquotes, fait un carré, peut, mutalis mutandis, s'appliquer 
entièrement à l'autre question du carré, qui, ajouté à ses parties ali- 
quotes, fait un cube. On examinera, à cet effet, aussi loin que l'on 
voudra, les puissances quadratiques (2'"*, 4"'. (J'"% etc.) des nombres 
premiers pour voir quel nombre on obtient, pour chacune d'elles, en 
l'ajoutant à ses parties aliquotes, et comment ce nombre est composé 
en facteurs premiers; puis, on combinera ces puissances quadrati(|ues 



52i 



ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 



en sorte que les facteurs premiers qui leur correspondent puissent se 
grouper, non plus par 2, comme tout à l'heure, mais par 3. 

Entin la même clef, maniée avec intelligence, révélera d'autres 
mystères semblables sur les parties aliquotes; je les laisse à ceux qui 
se plaisent à s'exercer sur ce sujet. 

Quant à la question que j'ai proposée, d'ailleurs en passant, et non 
pas à M. Frcnicle, mais à M. Fermât, à savoir de deux nombres carrés 
qui, ajoutés à leurs parties aliquotes, fassent le même nombre (par 
exemple iG et 25), je dirai que, quand !\I. Frenicle s'informe de la 
possibilité, il s'informe de ce qui est demandé. Il m'est indifférent ou 
bien qu'il résolve le problème, ou qu'il le montre insoluble (les deux 
cas compteront également pour une solution légitime), ou encore qu'il 
le néglige entièrement; car je n'y attache pas grande importance et, 
qu'il le résolve ou non, il n'y gagnera, ni n'y perdra grande gloire. 
Cependant puisqu'il le demande, qu'il sache que la question que j'ai 
proposée est susceptible de solution et que je le sais d'une façon cer- 
taine. 

Enfin, pour le théorème que j'avais proposé depuis longtemps et 
dont vous n'attendez plus, dites-vous, la démonstration d'ailleurs que 
de moi, je mettrai ici, d'après votre désir, et ce théorème et sa démon- 
stration. 

Théorème. — Soit un ironc {pAgcl[i5, ligne pénultième) .... le volume 
du tronc (page 4iG, ligne 5). 

Démonstration. — Soit X la différence des droites A et E (/ig- 4)' 

Fig. 4- 





X Al E 

c'est-à-dire X = A — E. Posons ^ = -^ ^ g; S sera la hauteur totale 



COMMERCIUM DE WALLIS. 525 

de la pyramide (ou du cône), P celle de la partie retranchée du côté du 
sommet. Par suite, SA- sera le triple de la pyramide ou du cône, PE- 
le triple de la partie retranchée; enfin SA-— PE" sera le triple du 

tronc restant. 

F V FF 

Mais on a S = -^. P = ^; donc le triple du tronc 

FA' — FE' A^ — R' 
SA^- PE'-= ^ = \-\ *"• 

Or A^ - E' = (A- + AE + E^) X (A - E); donc 
A' — E' 



E 



= A'-+ AE-f-ES 



et le triple du tronc sera (A- + AE -t- E-) x F. 

Mais, si l'on forme le triangle comme il a été dit, soient T sa base et 
R le rayon du cercle circonscrit, on aura T^ égal d'une part à 

A''' + AE -f- E% 

de l'autre à 3R-, égalités qui seront démontrées tout à l'heure. Par 
conséquent le triple du tronc sera T^F ou 3R^F; donc R-F sera le vo- 
lume du tronc. , c. q. k. d. 
Quant à ce qui reste à prouver, à savoir que 

A»-+-AE4-E^=T-=3RS 

voici comment je procède : 

Si le triangle est inscrit dans le cercle, comme on l'a dit, l'angle 
formé par les côtés A, E est un angle à la circonférence de 120"; il 
comprend donc un arc de 240°, et la droite T qui ferme le triangle est 
corde d'un arc de 240°, donc d'un de 120° (dilTérence avec le cercle 
entier); c'est donc le côté du triangle équilatéral inscrit; donc 
T- = 3R% 

Mais, d'autre part, on montrera que 

A»+AE-t-E'=3R^ 
Si la droite A est considérée comme sous-tendant l'arc simple, la sous- 



526 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

A' • 
tcMulante de l'arc triple sera 3A — |t^- Si, au contraire, E est la sous- 

tendante de l'arc simple, celle de l'arc triple sera 31Î — j^- Mais c'est 
une seule et une même corde, soit C, qui sous-tend, soit l'arc 3A, soit 
l'arc 3E. Puisqu'on effet A -+- E forme le tiers du cercle, 3 A + 3E fera 
le cwcle entier. Dès lors la corde, qui d'un côté sous-tend 3A, sous- 
lendra de l'autre SE, différence entre le cercle entier et 3A. On aura 
donc 

A3 pS 

3A-^,=C = 3E-j^,; 

d'où 

3R=A-A^ ^SR'iE — E\ 

SR^A — 3R2E=:A' —E\ 

3R5 = ^5;^^^ =A^-+-AE + E^ c. Q. K. 1). 

A — t, 

On peut abréger comme suit, sans employer la droite T, dont il n'a 
été fait usage que pour plus de clarté. 

Puisque — ^ — = — r-, — = — rr. — > on a, pour le triple du tronc 
^ r l' A l' l'j * ' 

A-E A— E 

de cône, 

FA^-FE' _ A^-E^ 
. A-E - A-E '^'• 

Mais, à cause de l'angle de 120", la somme des ares A + E fait le 
tiers du cercle; donc 3 A -t- 3E fera le cercle entier, donc 3 A et 3E au- 
ront la même sous-tendante, et, par suite, 

^ V — — — 3F — — . 

Donc 3R-A - A' = 3R=E - E' ou 3R-A - 3R=E = A^ - E\ et 

A'— E^ 
A — E 

Donc le triple du tronc de cône sera 3R'F, et le tronc de cône R'F. 

c. o. F. n. 

Il me reste à vous demander pardon de ma prolixe importunité et à 



COMMERCIUM DE WALLIS. 527 

vous supplier, si vous le voulez bien, do ne pas dédaigner de continuer 
votre amitié à celui que vous vous êtes gagné, et qui est. 

Très illustre Seigneur, 

Votre très humble et très dévoué serviteur, 

John Walus. 

Oxford, 4/i4 mars 1657/8. 

Pour l'allusion de votre très noble Correspondant à ma recherche 
malheureuse de la quadrature du cercle, je ne saisis pas bien ce qu'il 
prétend. Voici la quadrature que j'ai donnée : 

Le produit des carrés des nombres impairs, 3, 5, 7, 9, etc. à l'intini 
est au produit des mêmes carrés diminués chacun d'une unité, comme 
le carré du diamètre est à l'aire du cercle. 

En quelque point d'ailleurs que l'on veuille arrêter cette multipli- 
cation de carrés, on tombera entre les limites suivantes : Si le produit 
des carrés est multiplié par la racine carrée de la somme de l'unité et 
de la partie aliquote de celle-ci, qui a pour dénominateur la racine du 
dernier carré, on a une quantité trop forte; si, au contraire, le déno- 
minateur est la même racine augmentée d'une unité, on a une quantité 
trop faible. Ainsi 

q X a5 X 4q X 81 X v/i T 

■ — r^ — 7- est plus sranu que le rapporl du carre au cercle, 

8 X 24 X 4» X 80 10 1 11 

9 X 9.5 X 49 X 81 X \/i ^ 



8 X 24 X 48 X 80 



est, au contraire, plus petit. 



J'ajoute que ce rapport est également celui du rectangle des axes 
conjugués ou d'un parallélogramme quelconque circonscrit à l'aire de 
l'ellipse. 

Si votre très noble Correspondant regarde cette quadrature comme 
fausse, qu'il la réfute, s'il en est capable. Qu'il montre, veux-je dire, 
que le rapport du cercle au carré du diamètre est plus grand ou plus 
petit que ce que j'ai assigné. Mais s'il n'a voulu faire qu'une insinua- 
tion moins grave, parce que cette quadrature ne lui plait pas ou qu'il 



528 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

la juge indigne de son estime; je veux lui rappeler ses paroles: « Il est 
facile de déprécier ce qu'il n'est pas possible d'atteindre », ou plutôt 
celles-ci : « Si vous savez quelque chose de mieux, donnez-nous-le de 
bon cœur. » 

LETTRE XXIV. 

Vicomte Brouncker a Joiin Wallis. 

Sir, je vous envoie ci-joint une copie (lettre XXVII) de ce que j'ai 
écrit à sir Kenelm Digby, après avoir lu attentivement les autres let- 
tres, qui viennent de lui ; je désirerais que ma réponse partît avec votre 
dernière, ou au moins la suivit, si vous avez déjà fait l'expédition. Je 
n'ai pas le temps de vous rien dire, si ce n'est, ce que je ne puis ou- 
blier, de vous assurer encore que je suis, 

Sir, votre très fidèle ami et serviteur, 

BUOUXCKER. 

iZj-f.Z mars 1G57/8. 

LETTRE XXV 

(jointe .linsi que la suivante à celle qui précùdo). 

Kenelm Digdy a John Wauis. 

J'espère que vous avez déjà reçu ma lettre que je vous envoyais le 6 
de ce mois, et dans laquelle j'avais enfermé copie d'un écrit à moi 
adressé, que M. Frenicle avait rédigé à la hâte, immédiatement après 
avoir vu la lettre dont vous m'avez fait le plaisir de m'honorer le 2 1 no- 
vembre dernier, et qui est restée si longtemps en route. Cet écrit ne 
contenait que ses réflexions sur la première partie de votre lettre, le 
temps ne lui permettant pas d'en mettre davantage. Le lendemain 
matin, il quitta la ville pour quelques jours; mais, à son retour, il me 
demanda à étudier de nouveau votre lettre, et le matin suivant me la 
rapporta avec le papier ci-inclus, en réponse à la seconde partie. Il l'a 
rédigé comme s'il était écrit par une personne tierce, et il désirait me 



COMMERCIUM DE WALLIS. 529 

voir cacher son nom; c'est pour qu'on ne puisse pas croire qu'il fasse 
vanité de posséder des connaissances extraordinaires dans une Science 
dont il prétend être très ignorant, n'y ayant jamais eu aucun maître et 
ne l'ayant même que peu étudiée, mais s'en étant seulement occupé 
pour se récréer et satisfaire à la propension de son génie. IMais moi qui 
fais profession de candeur et manières franches en toutes choses et 
pour toute personne, je ne voudrais pas que vous restiez à ignorer qui 
est votre antagoniste, du moment où je le connais. Or, quoiqu'il ne 
soit, à son idée, qu'un très mince mathématicien, aujourd'hui, pour la 
partie qui concerne les nombres, toute la France (même l\r. Robcrval 
et M. Fermât, de même que M. Descartes quand il vivait) le reconnaît 
comme le maître, supérieur aux autres à une énorme distance. Et sur- 
tout, ce qu'ils font avec beaucoup de travail, nombre de circuits et 
d'opérations, il le fait immédiatement au vu de la question, sans opé- 
ration, comme s'il avait une connaissance intuitive de ces choses, et 
tout son embarras est pour le mettre sur le papier. Cependant j'ai 
longtemps débattu en moi-même si je vous enverrais ou non ces deux 
derniers papiers; car, quoique les expressions y soient modestes et 
courtoises en comparaison de ce que les savants hommes de ce pays 
écrivent l'un contre l'autre (comme vous pouvez le voir dans les 
disputes entre Gassend et Descartes, Morin et Gassend, Descartes et 
Fermât, Fermât et Frenicle), je réfléchis qu'elles sont plus aigres qu'il 
n'est d'usage en Angleterre, et que celles que j'emploierais certaine- 
ment, dans un cas semblable, pour une différence d'opinion. Mais ce 
qui a principalement fait pencher la balance pour me décider a été la 
considération que, si je ne vous faisais pas voir ce que ces personnes 
disent contre vous, et que par suite vous ne leur répliquiez pas, elles 
pourraient penser qu'elles triomphent de notre nation et de notre Uni- 
versité, ce que, j'en suis sûr, vous empêcherez bien, dès que vous sau- 
rez ce qu'on objecte contre vous. D'autre part, j'ai pensé qu'il rentre 
dans les égards que je vous dois et que je professe ii votre endroit, que 
vous soyez informé de quoi que ce soit que j'apprends et qui vous con- 
cerne. 

rEiniAT. — Ml. 67' 



530 OÎUVKES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

Il m'est dur d'arrêter ma plume quand je cause avec vous, tant j'ai 
de plaisir à garder, présente à ma pensée, une personne aussi émi- 
nente. Mais je ne dois pas tant m'aimer moi-même que j'abuse, pour 
ma satisfaction, de votre patience et de votre fatigue. Je ne veux donc 
pas vous incommoder plus longtemps aujourd'hui, si ce n'est pour 
prendre congé de vous en vous baisant les mains, et en restant 

Votre très humble et très affectionné serviteur, 

Kenelm Digby. 

Paris, 20/10 février iGSy/S. 

M. Frenicle désire beaucoup savoir quelle solution vous donnez au 
problème que vous proposez vous-même; vous pourrez voir alors ce 
qu'il pense à ce sujet. 

LETTRE XXVI. 
Frenicle a Kenelm Digby. 

J'aurais préféré, très illustre Seigneur, garder le silence sur ce qui 
reste encore, dans la Lettre du Clarissime Wallis, ii discuter touchant 
les nombres, et ne pas avoir ;> m'arrêterii chaque détail; mais, puisque 
vous attendez de moi que je vous fasse connaître mon opinion sur ces 
questions, il ne serait pas juste d'éluder vos désirs. 

Il s'agit maintenant d'un autre problème du Clarissime Fermât. 

Tout d'abord Fermât (comme le dit la Lettre de Wallis) expose en 
ces termes un certain théorème : 

Étant donné un nombre non carré quelconque, il y a une infinité de 
carres déterminés tels qu'en ajoutant l' unité au produit de l'un d'eux par 
le nombre donné, on ait un carré. 

11 donne comme exemple le nombre 3 dont le produit par le carré i 
ou iG, étant augmenté d'une unité, fait le carré 4 ou /19; il aflirme 
qu'il y a une infinité d'autres carrés dont le produit par 3 satisfait à 
la même condition. Or, pour trouver ces carrés, Wallis donne une 
méthode légitime. 



COMMERCIUM DE WALLIS. 531 

A la vérité, pour les carrés servant au nombre '6, il a mis un nombre 
pour un autre; mais cette erreur est excusable, car elle vient non de 
rii^norance, mais d'une inadvertance; il a en elFet multiplié 56 x 97 
non par 2 suivant la règle, mais par 3. Il faut donc, au lieu de 

3x56x97 = 16296, lire 2 X 56 X 97 = 10864 (')■ 

Mais, soit dit sans le fâcber, cette affirmation, qu'il y a une infinité 
de carrés dont le produit, par 3 ou un autre nombre non carré, donne 
ainsi un carré, c'est le théorème énoncé que Fermât dit avoir démontré 
et qu'il n'avance que pour l'exemple et le préambule; ce n'est point le 
problème qu'il demande de résoudre. Car ce qu'il s'agit de trouver, ce 
sont les carrés qui, multipliés par un nombre quelconque non carré, 
donnent, par l'addition de l'unité, des carrés, de même que les pro- 
duits par 3 des carrés 1 et 16, après addition de l'unité, donnent 
des carrés. Il est d'ailleurs assez clair par là que les carrés demandés 
doivent être entiers. 

Certainement Wallis pourrait s'excuser si Fermât n'avait proposé 
aucun exemple ou s'il avait indiqué des nombres fractionnaires aussi 
bien que des entiers. Mais l'exemple n'étant donné qu'en entiers, il 
était assez compréhensible que la question portait sur des entiers, 
ainsi que Fermât l'a plus tard expressément déclaré. Ne demandait-il 
pas des nombres tels que 3 et iG? Il est donc bien clair que Wallis 
cherche des équivoques pour éluder le problème, qu'il a choisi ce qui 
était le plus facile et s'est dérobé devant ce qui était le plus ardu. 

Mais on demandait des nombres carrés et je ne vois rien dans la 
solution que des species, lettres ou caractères, dont plusieurs ne me 
sont pas familiers, et qui représentent les nombres et les carrés, sans 
que les carrés demandés soient aucunement exprimés; tous, au con- 
traire, restent inconnus; je ne vois donc pas qu'on ait satisfait à la 
question qui demandait certains carrés déterminés. En effet, Fermai 
proposait, comme exemple pour les autres à chercher, de donner les 

(') f'oir page 434, ligne 18, où je n'ai pas conservé dans la traduction [l'indication du 
lapsus ultérieurement corrigé. 



332 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

carrés dont le produit par les nombres Gi, 109 ou 127, étant aug- 
menté d'une unité, fait un carré. Et certainement, si tous les carrés 
quelconques étaient également faciles à trouver, comme cela arrive 
pour les fractionnaires, il n'eût pas choisi ces nombres-là plutôt que; 
d'autres. 

Maintenant, pour les entiers, que nous donne Wallis? En (ont cas, 
aucun carré de ceux qui sont demandés, à savoir dont le produit par 
un nombre autre que 3, pris comme exemple par Fermât, étant aug- 
menté de l'unité, fait un carré. Il reconnaît que la règle donne non 
|)as les seuls carrés entiers, mais tous indistinctement, tant entiers 
que fractionnaires. Sans doute, s'il avait trouvé une méthode ()our 
séparer les entiers des fractionnaires, il aurait résolu la question. 
3Iais il va une infinité de fractionnaires pour chaque entier, et les 
carrés entiers sont en très petit nombre par rapport aux fraction- 
naires; si donc il n'y a pas une méthode quelconque pour opérer la 
séparation et qu'il faille livrer au hasard une pareille recherche, e'esl 
comme si l'on donnait à chercher une perle ou un diamant dans tout le 
sable de la mer, ou comme on dit communément, une aiguille dans 
une meule de foin. Si, au contraire, Wallis a une certaine méthode qui 
puisse servir à trouver les carrés pour les différents nombres, puisque 
dans l'opuscule latin de Frenicle ces carrés sont donnés pour chaque 
nombre non carré jusqu'à i5o, qu'il poursuive jusqu'à 200, ou s'il n'a 
pas le loisir de pousser aussi loin, que le clarissime savant s'exerce 
seulement sur le suivant iji; je ne parle pas de 3i3 qui, peut-être, 
serait au-dessus de ses forces; autrement je ne serai jamais persuadé 
qu'il a obtenu la solution du problème, qu'il a en général tous les 
carrés pour chaque nombre on du moins un carré pour un nombre 
quelconque; car je n'en demande qu'un soit pour i5i, soit pour 3i3. 
il dit qu'il démontre (juc sa méthode donne tous les carrés; mais il 
ji'y a pas de meilleure démonstration que de fournir les nombres eux- 
mêmes, surtout quand ou en demande aussi pou. 

Ou bien qu'il fasse, par quelque méthode certaine, la déduction 
des carrés qui servent pour les nombres Gi et 109 et qui sont dans 



COMMERCIUM DE WALLIS. 533 

les colonnes 2 oL 3 du Tableau de l'opuscule précité de Fronicle; ou 
encore qu'il rcclierchc les nombres de la colonne ^\ dudit Tableau , 
nombres grâce auxquels il esl, 1res facile de construire les carrés; 
ceux-ci se trouvant dans le Tableau, il y a certainement beaui:oiip 
moins de dillicultés pour ce que je lui propose ici. 

Reste la dernière solution de Wallis, dans la(|uelle il donne, de 
nombreuses manières diirércntes, deux cubes dont la somme est égale 
il celle de deux autres cubes. Cette question doit éti'e très facile, car 
vous savez qu'elle a été résolue de diverses fa(,'ons aussi aisément; 
cependant, quoi(|ue Wallis ait donné de nombreux couples de cubes. 
il n'en a pas fourni d'autres que ceux qu'il a déduits, par une sim[)le 
multiplication ou division, de ceux que vous lui avez communiqués 
comme venant de Frenicic. Pourvu que vous ayez un original de 
votre l.ettre ii Wallis qui renfermait ces cubes, vous reconnaître/. 
aisément qu'on trouve, parmi eux, les cin(( combinaisons suivantes 
sur les([uelles repose tonte la série des cubes donnée par Wallis : 

Racines des cubes. 

i" I -t- 12 = 9 -+- 10, 

■f." 2 + 16 =: 9 + i5, 

3" 10 + 27 = 19 + 0,4, 

'\" 2 + 34 = 1 J + 33, 

5° 9 + 34=16 + 33. 

Les vingt-deux autres, en eirel, (]ui suivent ci-après sont celles (|ne 
Wallis dit différer de celles de Frenicic; or, à coté île cliacunc d'elles, 
a été indiqué le numéro de celle des combinaisons ci-dessus qui lui a 
donné naissance et le nombre par lequel, pour la coustruc'tion île ses 
cubes, Wallis a multiplié ou divisé les cubes qu'il avait reçus de votre 
main; le mot m marqu(! la multiplication, le mot/>a/-la division. 



a3!i. 



ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 



(1. H +(:.36 =0.27 +C. 3i>, i" on 3, C. i+C. 6 =C. 4i + C. 5, 



par 



1 -H 


8 = 


4i + 


7 h 


2" par 2, 


6-t- 


10 := 


'J 


-H 


lof. 


2" 


en ?„ 


I -+- 


•7 =^ 


7K 


'6|, 


4° par 2, 


5 + 


II 1= 


5 


-H 


n|, 


4° 


par 3, 


H + 


17 = 


8 + 


i6^ 


5° par 2, 


3 + 


5^ = 


3 


+ 


5, 


2° 


par 3, 


8 -H 


64 ^ 


36 + 


60, 


2" en 4, 


6 + 


48 = 


27 


+ 


45, 


2° 


en 3, 


3 + 


, , 1 


II + 


H, 


5» par 3, 


10 + 


80 = 


a5 


-+- 


75. 


2° 


en 5, 


■") -1- 


40 = 


22 1 4- 


37f. 


2° en 2i, 


32 + 


66 = 


18 


-h 


68, 


.5° 


en 2, 


.>.o -t- 


54 = 


38 + 


48, 


3" en 2, 


3o + 


66 rr-. 


4 


-+- 


68, 


4" 


en y. 


(io -J- 


l32 = 


8 -H 


i36, 


4° en 4, 


4 + 


48 = 


36 


-f- 


40, 


," 


on 4. 


S + 


6i- 


3i + 


9. 


3" par 3, 


3oH- 


81 = 


57 


+ 


72. 


3" 


en 3, 


.',8 + 


99 = 


27 + 


102, 


.5" en 3, 


5 + 


60 = 


45 


-+- 


5o, 


1" 


en :"). 



Vous n'avez donc pas à vous étonner s'il s'engage si facilement à 
fournir jusqu'à cent combinaisons pareilles dans l'espace d'une heure. 
Quoi de plus facile que de multiplier ou de diviser ainsi de petits 
nombres? Une seule combinaison do cubes en fournira très aisément 
plus de mille sans aucun embarras. Car, dans cette opération, il n'y a 
pas d'autre fatigue, il n'y a pas d'autre recherche subtile ou d'autre 
habileté que de multiplier les termes d'une combinaison donnée 
quelconque, soit par exemple la première i, 12 = 9, 10, par chaque 
nombre 2, 3, 4. 5, successivement aussi loin qu'on voudra aller; ou 
bien, ce qui est encore plus facile, que de diviser par chaque nombre 
les racines des cubes, ainsi que l'indique le Tableau suivant, et cela à 
l'infini; sans qu'il y ait aucun besoin de multiplication ou de division, 
si l'on ne veut pas faire les réductions. 



' 


T2 


_ 9 


10 


2 


2 


2 


2 


1 


12 


9 


10 


3' 


3 


~ 3' 


3 


I 


12 


._. 9 


10 


4' 


4 


4' 


4 


1 


12 


__9 


10 


;i 


5 


"" 5' 


5 



COMMERCLUM DE WALLIS. 535 

II n'y avait donc pas besoin d'embrouiller de telle façon ces cinq 
combinaisons de cubes, ii moins qu'il ne voulût déguiser davantage 
ses solutions factices et dérivées d'autres connues. II eût mieux fait ou 
de garder absolument le silence ou de donner quelques combinaisons 
nouvelles et non multiples d'autres connues; ce qui était d'ailleurs 
très facile à trouver, comme les suivantes, données aussi par Frenicle 
et dans lesquelles les termes n'ont aucune commune mesure : 



C. 3o + C. 67 = C. 5i -f- C. 58, 



C. 17-+-C. 


39 = 


C. 


26 -)-C. 


3o, 


12 + 


4o = 




3l -H 


33, 


12 + 


5i = 




38h- 


43, 


8 + 


53 = 




29 -H 


5o, 


17 -t- 


55 = 




24 -+- 


54, 


9 + 


58 = 




22 -H 


^7. 


3 + 


60 = 




22 -+- 


59. 



42 + 


69 = 


56-H 


6., 


17 + 


76 = 


38 -h 


73, 


5-H 


76 = 


48 + 


69, 


r5 + 


80 = 


54 + 


7'. 


5i + 


82 = 


64 4- 


75. 



Il ne lui convient donc pas de se vanter d'avoir prouvé ses forces 
dans des choses aussi insignifiantes, qui mériteraient à peine quelque 
éloge il de petits enfants, ou du moins il n'a pas k les faire prendre 
pour un effort gigantesque. 

Au reste, il me parait avoir reculé devant la solution de ces pro- 
blèmes où il n'y a aucune ambiguïté sur la nature des nombres entiers 
ou fractionnaires, comme : Diviser un nombre cube donné en deux cubes 
rationels, et Diviser un nombre, somme de deux cubes, comme 28, en 
deux autres cubes rationels, problèmes où il est assez clair qu'on ne 
peut toujours satisfaire à la question en nombres entiers, où il faut 
donc aussi employer les fractions. 

Voilà, très noble Seigneur, ce qui m'est venu ii l'esprit au sujet 
des solutions données par Wallis aux questions numériques de Fer- 
mat; voilii ce que j'en pense, mais que je n'aurais jamais entrepris 
d'exposer, si je n'avais pas voulu obéir à vos ordres, auxquels vous me 
trouverez toujours absolument préparé. Je vous salue. 



330 ŒUVHIÎS DE FEHMAT. - TRADUCTIONS. 

l.ETTUE XXVH. 

VicoMiK DnoiNnKi'ii a Kfxhi.m Dic.iiv, 

Sir, il y a onviron quinze jours ou trois semaines que j'ai reçu la 
lettre du G février, dont vous vous êtes plu à m'iionorer, et pour 
laquelle je vous remercie très huniMcment. Et liier j'ai eu votre lettre 
du 20/10 février i()j(S/7 au D"" Wallis, dont, avec la liberté que vous 
Mie donnez, j'ai pris connaissance en même temps que de celle de 
M. Krenicle (ju'eilc renferme. J'ai appris de la sorte que vous n'aviez 
|tas encore reçu la dernière lettre du D'' Wallis, écrite, je crois, Iri'speu 
de temps après la mienne, qui a eu la bonne fortune d'arriver entre 
vos mains; cependant à l'absence de M. Wbite, le D' Farrar s'était 
(diargé de vous l'aire sûrement parvenir cette lettre du D"' Wallis. 

Autrement je suis assuré (|ue M. Frenicle aurait omis au moins la 
plus grande partie de ce qu'il lui a plu de dire dans ses deux écrits; 
car cette lettre vous présente une métliode bien aisée, claire et (cer- 
taine pour la solution en entiers du problème en question ; car, quoique 
M. Frenicle se plaise à dire : « Puisque dans l'opuscule latin de Fre- 
nicle ces carrés sont donnés pour cliaque nombre non carré jusqu'à 
I ;")(), (|u'il poursuive jusqu'à 200, ou, s'il n'a pas le loisir de pousser 
aussi loin, que le clarissime savant s'exerce seulement sur le sui- 
vant I h; je ne parle pas de 3i3, qui peut-être serait au-dessus de ses 
forces; autrement, etc. », dans l'espace d'une beure ou deux au plus 
ce malin, en employant la métbode exposée dans celte Lettre, j'ai 
trouvé que 



3 [ 3 X 7 1 7o(J!55 — r =:; 1 2(iS(J23G8 , 



et ensuite que 
c'est-à-dire 



3i3 X (2 X 7170GSJ X 1268623(38) , 



3i3 X i8i938oi58J64i6o -j- 1 z— 32188120829134849 , 
c(> que je crois pouvoir me contenter de vous écrire, afin que M. Vrc- 



COMMERCIUM DE WALLIS. 537 

nicle puisse savoir par là qu'il ne manque rien pour la parfaite solu- 
tion de ce problème, il ne me reste maintenant, noble Sir, qu'à vous 
assurer que mon père et ma mère ne peuvent pas, qu'aucun autre ne 
peut qlus vous honorer et vous estimer, ou être plus lier de votre 
amitié que ne le fait celui qui est. 

Sir, votre très humble et très fidèle serviteur, 
Brounc.kf.k. 

i3/23 mars 1657/8. 

LETTRE XXVIII. 
John Wali.is a Ke.nelm Digby. 

Très illustre Seigneur, j'avais déjà répondu à la Lettre en date du 
6 février, dont vous m'avez honoré, et en même temps à celle de Fre- 
nicle qui s'y trouvait renfermée, avant de recevoir les suivantes du 
20/10 février, qui m'arrivent à cette heure. Je reconnais en même 
temps et à mon grand regret que, lorsque vous avez envoyé ces der- 
nières, vous n'aviez pas encore reçu celle que je vous avais adressée 
on date du 2G décembre. Si M. Frcnicle l'avait vue, il n'aurait certai- 
nement pas écrit, sinon sa première lettre, au moins sa dernière, ou 
en tout cas la plus grande partie de celle-ci. 

En ce qui regarde le problème de M. Fermât, sur les carrés en 
nombre infini, dont le produit par un non-carré est inférieur d'une 
unité à un carré, et quant au théorème préliminaire, nous avons et 
démontré le théorème et résolu le problème; tous les deux étaient 
proposés, du moins à nous; je ne sais pas s'ils l'ont été de même à 
Freniclo, mais il n'a pas à me reprocher d'avoir traité ce théorème 
hors de propos. En tout cas, nous avons résolu le tout, non seulement 
en fractions, mais aussi en entiers. Une fois, en efTet, que Fermât a 
eu pi'écisé sa question, en la bornant aux entiers, nous avons enseigné 
à séparer ceux-ci des nombres iVaclionnaires, et nous avons fait tout 
ce que réclame aujourd'hui Frcnicle; ce qu'il ne niera plus, une fois 
qu'il aura vu cette lettre du 26 décembre. Nous n'avons pas donné 
kebu\t. — ni. 68 



538 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

seulement les règles, ce qui pourtant eût sulTi, mais nous en avons 
aussi montré l'application, non pas à la vérité sur les nombres Gi, 
lOf), 127, qui avaient été, ce semble, proposés à Freniclc, mais bien 
sur d'autres qui ne sont en rien plus faciles, 109, 1/19, /|33, que 
Fermât nous avait proposés. Lord vicomte Brouncker vient également 
d'appliquer ces règles au nombre 3i3, que Freuicle nous a proposé 
comme insurmontable. On le fera avec autant de facilité pour 1 u et 
pour tout autre. Freniclc ne doutera plus, quand il aura reçu la lettre 
ci-dessus mentionnée, que nous ne soyons parfaitement maîtres de 
toute dilficuUé là-dessus. 

Quand il avance que, pour fournir diverses combinaisons de cubes, 
par couples dont les sommes fussent égales, je me suis borné à mul- 
tiplier ou à diviser par un môme nombre quelques autres combinai- 
sons de ce genre, il dit une cbosc qui est parfaitement vraie, mais il 
n'a pas à me la reprocber, puisque lui-même m'a précédé dans cette 
voie. Voici, en elFet, les nombres qui m'étaient communiqués comme 
venant de lui. 

(1) . 1729= 9' H- 10'= l'+ 12', 

(2) 4'o4= 9'+ i5^= 2'+ 16% 

(3) i3832= i8'-i-2o'=z2'-f-24S 

(4) 32832- 18^+30'= 4^-1- 32% 



Il est clair que les nombres des combinaisons 3 et 4 'H' sont autre 
cliose (jue des éqnimultiples de ceux des combinaisons i et 1. Si Fre- 
niclc n'ignore pas que la chose est facile, il ne voudra pas, je l'espère, 
prétendre que je ne pouvais le savoir. Si l'on connaît de fait une seule 
combinaison de ce genre, déduite de l'inspection de la Table des 
cubes, ou choisie parmi celles que Freuicle a indiquées, ou enfin 
obtenue de quelque autre manière, il est certain que l'on pourra im- 
médiatement en fournir une infinité. Que l'on ait, en edet, par 
exemple, 

rt' -4- i(' r= C' -h cP, 



COMMERCIUM DE WALLIS. 539 

on aura aussi 

fl» gS _i_ ^3 (,3 -- (.i (.i _(_ ^i f,i^ 

quel que soit le cube e\ entier ou fractionnaire. De même, si un cube 
quelconque peut être partagé en deux autres, un cube donné arbi- 
traire pourra l'être également; car si, par exemple, 

U' •= c' -t- d\ 

on aura 

b^ e^ = c'^ e^ -\- d-^ e^ . 

J'ajoute qu'il en est de même pour la question que j'ai proposée. 
Ainsi, par exemple, iG et 25, ajoutés cbacun à ses parties aliquotes, 
donnent des sommes égales; il en sera dès lors de même de iGe- et de 
25e-, quel que soit e'^, pourvu que, d'une part, c'- et iG, de l'autre, e- 
et 23, soient des nombres premiers entre eux; cliosc que, j'en suis 
persuadé, M. Frenicie sait parfaitement. 

Quant à la faute de calcul qu'il signale, je la reconnais; je l'avais 
déjîi remarquée depuis longtemps et corrigée sur ma minute; si elle 
ne l'a pas été sur la lettre même, il n'y a lii qu'un lapsus dû à la trop 
grande précipitation de ma plume, et n'importe qui peut le corriger 
d'après le contexte. S'il en trouve d'autres pareils, j'espère qu'il les 
excusera de même, à charge de revanche. Car il a commis une sem- 
blable erreur, si je ne me trompe, page 4 de son Inquisilio. Pour le 
second cube, il met G53359 au lieu de G533.J9 pour le compte des 
parties aliquotes. Or là le lecteur n'est pas averti i»ar le sens de la 
phrase, et l'erreur ne peut être remarquée que par quelqu'un qui 
sache calculer les parties aliquotes d'un grand nombre et reprennes 
l'opération di-s le début. 

Enfin, pour le problème de Fermât, du nombre cube qui, ajouté à la 
somme de ses parties aliquotes, fait nu carré, je l'ai débrouillé dans 
ma dernière lettre en date du 4 mars; votre très noble Correspondant 
n'a donc [)his à insister sur ce sujet. Pour (|ue d'ailleurs il ne me 
reproche pas encore de donner seulement les méthodes, et non des 
nombres qui, au moins, soient différents des siens, j'ai mis ci-dessous 



540 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

six cubes tels que, ajoutés chacun avec leurs parties aliquotes, ils 
donnent des carrés : 

Racines des cubes. Racines des carrés. 

2x3x5xi3x 17x81 x^ix 191 2'^x3'x5''x7Xi3xi7X29-x37 

2x3x5x7X i3x 17x31x41 X 191 2'*x3^x5'X7X i3x 17X29-X37 

3'x3x I IX i3xi7x3ix:4ix 191 2"x3'x5 X7X 1 ix i3x 17x29^x37x61 

3'x5x7Xi 1x13x17x31x41x191 2'^x3'x5^X7Xiixi3xi7X29'x37xGi 

17x31x47x191 2'° X 3' x.')xi3x 17x29x37 

7x17x31x47x191 2"'x3^x5'xi3x 17x29x87 

J'ajoute que le second et le quatrième de ces cubes satisfont à la 
question des deux cubes posée par Frenicle, au bas de la page 3 de son 
Inquisilio. 

Ce que je pense des recherches de ce genre sur les nombres, je l'ai 
déjà dit, et je ne répète pas à quel point c'est malgré moi que je m'y 
laisse entraîner. C'est là, il est vrai, une excuse que je ne devais pas 
invoquer quand il s'agissait de satisfaire aux sollicitations pressantes 
de deux clarissimcs savants, et, avant tout, d'exécuter vos ordres. Mais 
cependant, si je puis le dire sans les blesser, je ne vois pas ce qui 
j)Ourrait mieux profiter réellement à la Science que l'exposé métho- 
dique qu'ils pourraient faire au monde savant de ce qu'ils regardent 
comme leur appartenant en propre, plutôt que de proposer à d'autres, 
ainsi qu'ils l'ont fait, de trouver à nouveau ce qu'ils pensent avoir in- 
venté; ils ne retireraient pas moins de gloire d'une façon que de 
• l'autre. Je vous salue, très noble Seigneur, et je vous prie de continuer 
à accorder vos faveurs à 

Votre très humble et très obéissant serviteur, 

John Wallis. 

0.\ford, 15/25 mars iGSy/S. 

Sir, je vous demande la permission d'ajouter un mot. Nous avons 
pensé à publier toute cette Correspondance que nous venons d'avoir 
en France, si toutefois vous donnez votre approbation à cette idée et 



COMMERCIUM DE WALLIS. oil 

si vous la croyez bonne (l'avance prise sur nous par M. Frcnicle nous 
fait juger la chose nécessaire); toutefois, il peut convenir d'oinettrc! 
dans vos lettres un ou doux passages, où vous établissez une compa- 
raison entre ... et ..., et dont je ne sais pas si vous ne regrelteriez pas 
la pui)lication. Si vous voulez bien m'honorer de vos ordres, j'aurai 
soin de m'y conformer exactement. 

LETTRE XXIX. 

Wallis a Vicomte Brouncker. 

Il y a quatre jours, très illustre Seigneur, que je vous ai envoyé 
une réponse ii la seconde lettre de M. Frenicle ; j'ai écrit cette réponse 
il la hâte après diner le jour mémo où j'ai reçu la lettre, le courrier 
devant partir dès le lendemain matin; je n'ai donc eu le temps de 
vous rien dire à ce sujet. A quel point M. Frenicle épluche, rabaisse, 
raille et méprise tout ce qui vient de nous, vous n'avez pas besoin 
([u'on vous le fasse remarquer, et qu'il le fasse d'ailleurs sans motif, 
vous le savez très bien. Faut-il l'attribuer au caractère de l'homme ou 
à celui de sa nation, je ne le rechercherai pas; je pense même (ju'il 
est préférable de ne pas faire attention à ce qui regarde ses procédés; 
car aux yeux des hommes sérieux, au moins en Mathématiques, tout 
cela n'a aucune signification, et tout cela s'évanouira, de son propre 
aveu, dès qu'il aura vu nos lettres précédentes, si du moins vous avez 
transmis celle que je vous ai adressée le 20 janvier, et qui déve- 
loppe amplement l'appendice de celle du 17 décembre. 

Vous vous souvenez, je pense, de la chaleur qu'il a mise, dans sa 
première lettre, a repousser notre réponse aux deux premières ques- 
tions de Fermât; il soutenait qu'en indiquant Yunilé, je ne donnais ni 
un carré ni un cube. Vous pouvez donc voir combien il est peu d'ac- 
cord avec lui-même, quand dans sa seconde lettre, comme s'il avait 
oublié sa cavillation, il donne à son tour l'unité comme un cube, puis 
comme un carré, une et deux fois. 

Vous n'ignorez pas non plus avec quelle confiance il se persuade 



512 ŒUVRES DE FERMAT. - TlîAD UCTIONS. 

(|uc nous n'avons pu, que nous ne pouvons encore résoudre à son sens 
ni CCS deux questions de Format, ni môme la troisième; comment il 
nous insulte en vérité, triomphant de nous et s'en jouant comme d'en- 
lants. 

Mais vous savez aussi combien vaine est cette confiance, -puisque 
nous avons satisfait, même à son sens, à toutes ces questions. Pour 
ma part, j'attendrai en silence qu'il sonne sa retraite, quand il aura 
reconnu qu'il a sonné la marclie triomphale avant la victoire. Cepen- 
dant vous pourrez ajouter à ma dernière lettre, si vous ne l'avez pas 
encore expédiée, ces deux nombres qu'il demande, dans le cas où 
votre lettre antérieure se serait perdue par quelque hasard : 



3i3 X i8t9 3Soi58 564 i6o -i- i r= 82 188 120 829 1 34 849 , 



-2 



I ')! X i4o 634 693 -+- 1 -^ I 728 148 o4o . 

Mais vous pouvez voir que les soupçons du clarissime savant ne se 
rapportent pas seulement aux questions de Fermât, mais aussi aux 
nôtres. Il désire absolument savoir ce que j'ose atfirmer sur le pro- 
blème que j'ai proposé en passant, des deux carrés qui, étant ajoutés 
chacun awa ses parties ali.quotes, font la même somme; il nous croit 
peut-être assez peu dégrossis pour ne pas comprendre nos propres 
questions, il ne fait pas seulement cette réclamation dans sa première 
lettre, mais il y revient par l'intermédiaire du très noble Digby. Vous 
vovez ce que j'ai dit là-dessus, quoique je pense qu'il est à la charg(' 
de celui qui résout le problème, de déterminer si la question est sus- 
ceptible ou non de l'être; mais comme il m'interrogeait là-dessus, j'ai 
répondu qu'elle est soluble; j'ajouterai même, s'il le veut, qu'elle est 
soluble à son sens. De plus j'ai montré que non seulement iG et 25, 
nombres que j'avais donnés, satisfont à la question, mais qu'il en est 
de même des équimultiples de ces nombres par un carré quelconque 
premier avec chacun d'eux, comme, par exemple, 16x9 et 2j x 9, 
ou encore iG x 49 ^^ 25 x 49' etc. 

11 répondra peut-être que cette solution n'est pas légitime et ne 



COMMERCIUM 1)1- WALLIS. oi3 

convient pas à un homme de science. Mais pourquoi cela? Parce qu'elle 
est facile et qu'elle revient simplement à multiplier par 2, 3 ou quel- 
([u'autrc nombre, etc. Mais un problème n'en est pas moins résolu, 
pour être Aicilement résolu. 11 dit qu'étant donné le triangle rec- 
tangle 3, 4. 5 (c'est-à-dire un triangle dont les côtés soient respective- 
ment proportionels aux nombres 3, /j, 5), si l'on en demandait un 
autre pareil (entendant dont les cotés fussent exprimables en nombres 
rationels), il ne suffirait pas de fournir le multiple G, 8, 10 : peut-être 
bien, car alors ce ne serait pas un triangle d'espèce différente, mais 
bien identique, puisque si les côtés sont respectivement proportionels 
aux nombres 3, f\, 5. ils le sont également à G, 8, 10, etc. : cependant 
si, étant donnés les trois nombres 3, 4. 5, dans lescjuels le carré de 
l'un est égal à la somme des deux autres, on en demandait d'autres 
pareils, on répondrait très bien et tout à fait en mathématicien, que 
les doubles, les triples, les quadruples et les autres équimultiples 
quelconques de ces nombres ont la même propriété; car on ne peut 
nier (|ue ce ne soient là à' autres nombres. Et celui qui ne voudrait pas 
tic cette réponse devrait l'exclure par une condition expresse, ou 
autrement on le regarderait comme ayant proposé sa question d'une 
façon imparfaite et peu exactement; car les problèmes mathématiques 
sont de droit strict, comme le sait bien le clarissime savant. Il est cer- 
tain qu'au contraire celui qui saisit la possibilité d'une réponse aisée 
ne doit pas être accusé de l'avoir fait; il faudrait plutôt le traiter àv. 
peu clairvoyant, s'il ne le faisait pas. Et en vérité, si le clarissime 
savant ne reconnaît pas la vérité de ce que je dis, je ne puis que 
m'étonner de sa subtilité. Quant à moi, s'il avait ainsi répondu à mon 
problème, comme je n'avais pas exclu cette réponse, je serais si loin 
de ne pas la considérer comme satisfaisante, qu'au contraire j'attri- 
buerais à une simple inadvertance qu'il ne la fit pas. C'est absolument 
comme si, à qui demanderait un nombre divisible par 2 et par 3, il 
donnait 12G, i32, en négligeant G et 12. 

Mais si vous me demandiez vous-même s'il n'y a pas encore d'autres 
carrés, en dehors de iG, lo et leurs équimultiples, qui jouissent de la 



5W ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS. 

même propriété, jo vous répondrais ouvertement, très illustre Sei- 
gneur, et même si vous jugez bon de ne pas le tenir plus longtemps 
dans rinceYtitudc, je ne refuse nullement que vous informiez Frenicle 
qu'il y en a encore d'autres et en très grand nombre, en sorte que je 
ne suis nullement tenu de les donner. Mais, pour ne pas paraître dire 
cela sans preuve, j'ajoute que les carrés des nombres 8 x 3 x 37 et 
2 X 19 X 29, ajoutés cbacun à ses parties aliquotes, font la même 
somme; ce qui sera de même également vrai pour leurs multiples par 
un carré quelconque premier avec chacun d'eux. 

Uacines dos carrt's. Somme ilos carrés et de leurs parties. 

8 X 3 X 37, i27Xi3x 3 X 7 X 67, 

2 X 19 X 29, 7 X 3 X 127 X i3 X 67. 

De même 

3x4x11X19x37, i3x3ix 7 x 19 x 3x127x3x7x67, 
7 X 8 X 29 X 67, 3 X 19 X 127 xi3x67X 3x7x7x31. 

Si Frenicle se plaint encore que ces carrés ne soient pas deux à 
deux premiers entre eux, je ne vois pas ce que cela peut faire pour 
la question dont il s'agit, en tant qu'ils ne sont pas équimultiples de 
16 et 25, et ce sont, je crois, les seuls qu'il prétendait exclure; mais 
en voici deux autres, premiers entre eux : 

( 2 X 3 X 5 X 37)-, 7 X i3 X 3i X 3 X 7 X 67, 

(29x67)% i3 X 67 X 3 X 7 X 7 X 3i. 

Deux autres encore, premiers de même entre eux : 

(3x5x11X19x37)^, i3 x 3i x 7 x 19 x 3x127x3x7x67, 
(7x8x29x67)% 3x19x1 27 xi3x 67 X 3x7X7x3i. 

Si, en dehors de ceux-là et de leurs multiples (comme je l'ai dit), 
on en désire encore d'autres, on peut les chercher à peu près par la 
même méthode {mulatis mutandis) que celle que j'ai employée pour 
rechercher un cube qui, ajouté à ses parties aliquotes, fit un carré. Si 
jamais ceci tombe sous les yeux de Frenicle, il donnera, je crois, son 



COMMERCIUM DE WALLIS. 5V5 

assentiment ot à l'avenir, ses jugements seront plus réservés; il ne 
pensera plus que ce qui lui appartient soit tellement à lui que d'autres 
ne puissent v parvenir; c'est ainsi que, si je ne me trompe. Fermât a 
déjà reconnu ce qui on est. 

Quant à ce qui regarde ces deux très nobles savants. Fermât el 
Frenicle, et les relations que nous avons jusqu'ici eues avec eux, rela- 
tions dans lesquelles leur premii're attente a sans doute été trompée, 
ils me paraissent, autant que j'en puis juger par leurs lettres, d'un 
caractère opposé. Pardonnez-moi, si je vous exprime librement ma 
pensée, contiant dans votre indulgence accoutumée. Je crois Frenicle 
plus adonné à l'Arithmétique, recherchant les questions particulières 
(qui ne se ramènent que très difficilement ou même ne peuvent s(! 
ramener à une équation universelle, embrassant tous les différents 
cas), et spécialement celles qui concernent les parties ali((uotes; aussi 
a-t-il laissé sans y toucher tout ce que nous av(»ns fait en Géométrie. 
Fermât au contraire n'est pas moins habitué aux questions géomé- 
triques; il recherche des règles générales ou des théorèmes univer- 
sels; et peut-être reconnaitrait-il plus volontiers le mérite d'un adver- 
saire. Peut-être l'un a davantage la gravité des Espagnols, dont il est 
voisin, l'autre la vivacité française. Je reconnais volontiers la péné- 
tration de leur esprit et leur haute valeur; cc|)endant (quoi (ju'on 
puisse penser de moi), je ne crois pas (ju'ils aient à dédaigner notre 
nation, si ce n'est en ce que nous serions moins fanfarons. 

Vous voyez, très insigne Seigneur, avec quelle liberté j'en use avec 
vous, grâce à votre bonté qui me le permet. Mais il ne faut pas que 
cette liberté semble dégénérer en une trop grande licence, et je ces- 
serai de vous importuner plus longtemps, quand j'aurai fait profes- 
sion d'être. 

Très illustre Seigneur, 

Votre très humble, très obéissant 
et très respectueux 

Joii.N Wai.i.is. 
Oxford, 19/29 mars iGS; 8. 
lU. — Fehhat. (ifj 



oW ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

LETTRE XXX. 

Vicomte Rrounckeu a John Wallis. 

Sir, les pnpiors quo jo vous adresse ci-joint m'ont été envoyés, 
depuis un jour, parlcD' Scarlirougli. J'imagine, à les voir, que M. Fre- 
niele a chez lui une grandcTable de nombres (carrés, cubes, etc.) avec 
la décomposition en facteurs premiers de la somme de chacun d'eux et 
de ses parties aliquotcs; ce qui lui rend aisées de pareilles solutions, 
presque à la simple inspection, en suivant d'ailleurs la méthode que 
vous avez dernièrement indiquée pour résoudre ces problèmes et qui 
est universellement applicable à tous ceux de même nature. Mes hom- 
mages à votre femme, et soyez bien assuré que je suis, 

Sir, votre très fidèle ami et 
humble serviteur, 

BnOUNC.KKR. 
G/if) avril iCiSS. 

LETTUE XXXI. 

Fremcle a Kenelm Digdy. 

Voici, comme vous me l'avez demandé, très honoré Chevalier, 
((uelqucs solutions du problème du clarissime savant Wallis; il n'y 
a pas là toutes celles qui se sont présentées à moi, car elles sont si 
nombreuses que je n(> serais pas parvenu à les écrire. Pour plus do 
brièveté, j'avais jugé à propos de réduire le calcul à peu de nombres 
qui devaient me les fournir; mais de ce peu de nombres j'ai vu sortir 
tant de solutions si variées que j'ai été obligé d'y mettre une borne, 
car les premières en faisaient naître toujours de nouvelles, indéfini- 
ment diversitiées; de la sorte, je n'ai pu, en aussi peu de temps, les 
ranger dans l'ordre que jo m'étais proposé, ce que je ferai, avec l'aide 
de Dieu, au premier jour. 

Voici quel était le problème : Trouver deux carrés, tels que chacun 



COMMEKCIUM DE WALLIS. 5W 

d'eux, ajouté avec toutes ses parties aliquoles, fasse une même somme. 
(^ommo exemple étaient donnés les carrés iG et 21, dont chacun, 
ajouté à ses parties aliquotes, fait 3i. On en demande d'autres sem- 
blables. 

Ainsi on ne demande qu'un couple d'autres carrés, ce qui ne pré- 
sente évidemment aucune difficulté, si, pour ce problème, on admet 
les carrés multiples. Or Wallis n'aurait pas, pour lui, le droit de les 
refuser, puisque pour un certain problème de M. Fermât, relatif à un 
nombre, somme de deux cubes, à décomposer en deux autres cubes 
(comme 1729, somme des deux cubes i et T72S, peut être décomposé 
en deux autres cubes ']■>.() et 1000); puisque, dis-je, pour la solution 
de ce problème très facile, il s'est contenté de fournir des multiples 
de nombres communiqués. 

Voici donc une règle qui permettra de résoudre facilement le pro- 
blème de M. Wallis. Qu'on multiplie les carrés iG et 25 par un autre 
carré quelconque impair et non divisible par 5; on aura deux nou- 
veaux carrés satisfaisant à la question. Ainsi les carrés des nombres 
12 et i5, 28 et 35, 3Get45, !\\ et 55, 52 et G5, etc., forment des so- 
lutions. Qu'on ajoute, en effet, i» ses parties aliquotes chacun des 
(Uirrés i44 et 225, on a pour somme 4f>3. Les carrés 784 et 1225 font, 
de même, 17G7. Les carrés i 29G et 20-25 feront, toujours chacun avec 
les parties aliquotes, la somme 375 1; et ainsi des autres. Mais cette 
solution est indigne d'un mathématicien, et la question, entendue 
dans ce sens, est telle qu'elle n'aurait pas dû être proposée. Il faut 
donc croire que, dans son problème, M. Wallis a eu une autre inten- 
tion, et qu'il s'attend à une autre solution, sans pouvoir consentira 
celle-ci. 

Supposons donc le problème proposé comme suit : 

Trouver deux carrés premiers entre eux, tels que chacun d'eux, 
ajouté avec ses parties aliquotes, fasse une même somme. 

Voici maintenant les cotés de carrés satisfaisant à la question. 

Si, en effet, on ajoute à ses parties le carré du nombre J2G, on a 
pour somme 187 i3i; de même, le carré du nombre \o-j, ajouté à ses 



548 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

parties, donne la même somme i8- i3i. Après les six premiers con- 
l)ies, cette somme est donnée par ses facteurs. 

|N. lî. — Il a paru désirable, pour la commodité du lecteur, de ré- 
soudre en leurs facteurs les nombres composés donnés par Frenicle, et. en 
même temps, de /aire disparaître quelques fautes; on pourra ainsi, plus 
aisément, se rendre compte de tout le procédé et en examiner l'applica- 
tion. \ 

Somme. 



>'\ 12G 457 5i3 
(= ■>.7. ii).37.C>i .73.3(17) 



Ciitus dus carrés. 


Somme. 


Cùtus (les carrés. 


3>C> 




i4(j 3i I 


(=•>.. i63) 


187131 


( = ii.47--283) 


40; 


(=3.7^19.67) 


147823 


(- '••3:) 




(= i3.83.i37) 


G-27 




301 232 


(= 3.11.19) 


6->8 749 


(= •>,'. 107. ^ii) 


74'.) 


(= 3.7.13.19.127) 


4'.)7 '73 


(-;.io:) 




(^ "J-137-191) 


I.'jlO 




11 1408 


( = ■> . 5 . 1 j 1 ) 


.i 980 801 


(= 2*.3.ii .211) 


1S09 


(= 3. 7-. 31.1093) 


.83 .69 


(= 3^C7) 




(= 7. 137. 191) 


i3oC() 




343 9') 2 


(^ -2.17. 139) 


3o7 4r.4 339 


(^21.7.37.83) 


14 001 


(^ 3.7.13.37.61.499) 


5<>7 4 1 9 


1^- 3.13.359) 




1= ii.i(i3.>.83) 


10 fiSG 




724 I 52 


(= 2.3.i3.i37) 


3i4 8:.8 27i 


(— (^.J. 1 I . l3.2l 1) 


173")! 


(= 3.72.13.37.01.73) 


' 1 !|3 94 1 


(=347.573) 




(^ 7.19.47-10') 



3, 3i, 37, 49, 73, 1 '7. i(>9 



3, "9. 3i, 37, 49. 73, i(")9 



3'- 7- '9' 

9- 49' '"'7. 73, 3()i, :'.07 



3- 1 >- 

7, 9. 19, 3i , 37, (il. I '7, i()9 



[suii'aient ici 27 autres paires de carrés.] 

On peut trouver davantage de couples de carrés, mais il vaut mieux 
passer à autre chose; car on peut obtenir la même somme en ajoutant 
à leurs parties, non soulcmentdcs carres pris deux à deux, mais aussi 
des carrés pris trois à trois, quatre à quatre, cinq à cinq, six à six, etc. 
et d'ailleurs premiers entre eux. J'appelle premiers entre eux des 
carrés pris trois à trois, quatre à quatre, etc., quand aucun nombre 



COMMERCIUM DE WALLIS. 5i9 

ne peut les diviser tous. Ainsi les carrés 9, iG, 2^tj, 824 seront dits 
premiers entre eux, parce qu'il n'y a aucune mesure commune aux 
quatre, quoiqu'il y en ait trois qui aient 9 comme commune mesure. 

ylsscnihla^cs de Iroif carres. 
Cotés ili'S carit'S. Si>miiic. 

2( ■> SjS (— •'-. 1 1 . jj. iji) 1 jj 1 Ji 7J3 i33 (— 3-.73. iij. Ji .Gj. ioi)3) 
•294 80; ( = 33.67. ir.3) 
307 /S J ( = 5.11.37.1)1) 

Côtés (lus Ciirrcs. Snnimi'. 

■)S97:54 ( — ■'..3'.G7. i(i3) 3i i8() 3o4 n(ii I47 [nombre inexact, auquel 
(ii4 )7o (—•>.."). 11.37. lu) '1 f''"'' subsliUior 

73()-;iG3 (—- 3'. 1 1 .37.(17) ijSaoCa 9.71 931 1= 3-.7*. iy.3i.()7. 1093)] 

\siinaient 2(j autres groupes de 3 carrés. \ 

Il me reste encore bien d'autres assemblages de trois carrés satis- 
faisant à la question et que j'ai bien trouvés, mais qne le défaut de 
temps ne m'a pas permis de ranger de façon, tri's noble Seigneur, à 
vous les présenter; de môme, pour les assemblages de quatre, cinq, 
six, etc., que vous recevrez, quand ils seront prêts, avec ceux de trois 
précités; cependant, pour vous donner au moins un ou deux exem- 
ples de ce qui; je vous promets, je mettrai ceux-ci en attendant les 
autres. 

Axseniblni^cs de quatre carres. 

Côtés des cai'rés. 

(9.-.7.I07 =) «9960 Somme : 'o 4 '.I -'19 = 3.7. i3. 19.01 . i/>.7 

I 2-. 3. 1 I . 19 =) ^OoS \^sid\'aicnl trois autres asseinhUiges par 

I ! . :") . 1 1 . 1 9 — ) 3 1 3 j f/tiatre. ] 

I j.7. 107 =) 3745 

. lssci>i/ila^;cs par cinq. 

'39 9 '4 38 1 710 (= ■.),.3. 3. 1 r . i3. 19.S). 137. 1 ji I 
iCJ 47'* '77 890 (= v. .5.7. 1 i .47. i<)7- i5i .■>.S3 ) 
i()7 i8(> 334 770 ( = 2. ).7. i3.83. 107. 137. 1 )i) 
198 i\i 772 ()3i (= 3^.7 1 1 .47.C7. 107.283 ) 
200 291 4 1 3 i'i3 (— 3'. 7. 13.67.83. 107. 137 ) 

Somme i3. 27.31 .37.(11 .73. 127. !()! .3(17. 11)93. 2 in I 

(') Frciiiclc avait donnô, par lautc de copie, 279C1. 



550 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

Asscni/zlir^rs jxir si.r. 

79 ''**8 99i l'io f= 2.3.5. 1 1 . I <) . 2Ç) . i- A'i- . i Jy i 
»2 7iHo7fiorA (— v-.li. 1 1 . 1 j.io.îj.nji .)")()) 
<j-5 07') a()('){io ( = ■).. j.7.2<j.47.*)7-i<>7. i-'o) 

98813 i|Ov- 11 (^ 9.-.7.r>.:(7.io7 i()i .:îj9) 

io'5 397 593 or") ( — 3. '). 1 I . ij. 19. 17. 191 .3)9) 
i'2i iiCi l-'.j 3()j (= ). 7. 13.37. 107. 191 .3 ")9) 

Somme 19. ■)7. 37. (il .('>7. l'^j. 199.9^1 .2197. .j/loi 

Voici d'autres assemblagos de carrés par deux, trois, etc. 

\.suwaient ici de nomhreu.r assemblages de carrés eiimyés plus tard, à 
sa\'oir : par deux, (>; par trois, 62; par quatre, 20; /)ar cinq, j; par 
six, 5; puis, par deux, .") ; par trois, 5; par quatre, 7; f)ar cinq. 3; 
par six, G; par sept, /j ; par huit, i ; /^ar neuf, i ; /«/?>, /?rtr cinq, 1 ; /j(7/- 
.vjj-. 3; par sept, 2; /ja/- /(;»>, 2; par neuf , 3; /?«/• f//.7-, 2; />ar oz/^c, i; 
/wr douze, 2; /?rtr treize, 2; /^ar quatorze, i; /wr quinze, i; />«r r//j:- 
/u'h/, I. ^'rtt c/v/ *a«.v intérêt de les reproduire tous, pour ne pas remplir 
plusieurs feuilles de nombres; cependant, j'en ai relevé le compte, pour ne 
pas paraître vouloir faire tort à l'auteur.] 

\ll s'est d'ailleurs, dans la Lettre XLIII, excusé sur la hâte de so/i tra- 
vail de nombreuses fautes de calcul ou de plume, qui se sont glissées dans 
ses chiffres; cette excuse est d'autant plus valable qu'une partie de ces 
fautes peut être du fait du copiste. Remarquons toutefois que Frenicle 
s'est écarté de la règle qu'il nous avait proposée, à savoir que les carrés fus- 
sent premiers entre eux. Cela n'a pas lieu pour les siens; quand, par 
exemple, il propose un groupe de si.r- carrés, il regarde comme su/Jisant 
qu'aucun même nombre ne divise tous les six, tandis qu'il n'y aura pas un 
seul couple de deux carrés premiers entre eux (ainsi qu'on le reconnaîtra 
immédiatement et comme lui-même l'avoue); c'est de la sorte qu'il a pu 
donner autant de groupes. En ce qui me concerne, dans mes solutions de 
la Lettre XXIX, pour composer les racines des carrés, je n'ai employé que 
les nombres premiers inférieurs à 1 00, jugeant i/iutde d aller plus loin ; et, 
dans ces limites, il n'y a pas d'autres combinaisons que celles que J'ai 
données. Toutes celles que Frenicle a données, ainsi que je l'ai vérifié, 



COMMERCIUM DE WALLIS. 531 

comprennent au moins un facteur premier supérieur à \oo et pouvant 
aller jusqu'à prés de joo (comme si pour des nombres inférieurs la com- 
binaison était impossible) . C'est ainsi qu'il a pu fournir autant de solu- 
tions. I 

LETTRE XXXII. 
John Wai.lis a Vicomte Biiou.nckkh. 

Vous avez eu la bonté de m'envoyer et j'ai reçu la semaine dernière, 
tr»">s illustre Seigneur, les solutions données par Frenicle au problème 
(|ue j'avais jadis proposé sur les deux carrés qui font la même somme 
par l'addition avec leurs parties aliquotes. Je vois par là que le très 
noble savant a non seulement résolu cette question, mais qu'il y a 
pris beaucoup plus d'intérêt que je n'avais fait moi-même. 

Sa première solution est la même que ma première; car un carré 
impair non divisible par .) est exactement la même chose qu'un carré 
qui soit à la fois premier avec iG et a^'cc 25. 

Quant aux autres solutions, je crois qu'elles ont absolument la 
même origine que les miennes, qu'elles ont été trouvées par une 
méthode tout à fait semblable ou du moins à peine meilleure. 

Si ces solutions sont si nombreuses, il ne faut guère s'en étonner, 
du moment où il a jugé l'affaire digne de ses peines. Car si je ne me 
trompe, et comme vous le pensez aussi, il doit avoir à sa disposition 
une Table sufiîsamment étendue donnant jusqu'à peut-être 5oo ou 
même au delà les carrés, cubes (peut-être même d'autres puissances) 
des nombres premiers, avec la décomposition en facteurs de la somme 
de chacun et de ses parties aliquotes; de la sorte il est facile, de la 
manière que j'ai indiquée, d'obtenir un certain nombre de solutions. 
Qu'après en avoir trouvé sulfisamment, une personne aussi sagace 
puisse, en les combinant, transformant et mêlant ensemble de diverses 
façons, en déduire beaucoup d'autres, on ne peut en douter, dès que 
l'on sait de combien de manières on peut transposer sept ou huit 
lettres ou changer les rangs d'autant de cloches. Quoi qu'il en soit, je 



552 ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS. 

suis convaincu que la découverte de ce mystère, qui nous appartient, 
et d'où, avec ces problèmes, en découlent une infinité d'autres, ne 
sera pas moins agréable aux mathématiciens que ne le serait, sans 
l'indication de la méthode, l'énoncé de mille nombres de la sorte. 

Au reste, je n'ai jamais pensé que Prenicle ne résoudrait pas cette 
question que j'avais proposée d'ailleurs à un autre que lui. Puisqu'il 
avait dès longtemps résolu celles de Fermât, il n'était pas douteux 
(|u'il ne réussit aussi facilement sur la mienne, qui dépendait du 
même principe. 

En tout cas, j'aurais préféré qu'il se fut au moins épargné la peine 
de former en nombres les racines des carrés par la multiplication suc- 
cessive des facteurs qu'il a évidemment trouvés tout d'abord; car il 
aurait été d'autant plus facile d'examiner, si on l'eût voulu, les 
nombres qu'il a donnés, ce qui ne peut maintenant se faire qu'en 
détruisant son travail; mais je ne m'embarrasserai pas de cet examen, 
qui n'est pas si important. Peut-être a-t-il craint que, s'il avait exposé 
la chose aussi simplement, j'en eusse conclu sa méthode qu'il croyait 
que j'ignorais. 

D'autre part il lui a plu de changer la question que j'avais pro- 
posée, en introduisant la condition que les carrés à donner soient 
premiers entre eux. H a voulu ainsi éviter qu'on eût la grande facilité 
de donner les multiples de iG et 20, qui satisfont à la question, par 
un carré quelconque premier avec l'un et l'autre. Je ne regrette pas 
absolument cette condition, mais j'ai deux motifs pour ne pas la 
regarder comme tout à fait nécessaire. En premier lieu, la limitation 
dont il s'agit exclut plus de carrés qu'il ne faut, car il est clair que, 
même étant connus iG et aS comme satisfaisant à la question, il y a 
beaucoup d'autres carrés, même non premiers entre eux, dont la 
recherche n'est en rien facilitée par cette connaissance ou même par 
celle d'autres carrés premiers entre eux. Ainsi je le fais juge s'il est 
en rien plus facile de trouver 8 x 3 x 37 et 2 x 19 x 29 ou bien 
3 X 4 X 1 1 X 19 X 37 et 7 X 8 X 29 X G7 que j'ai donnés, quoiqu'ils 
ne soient pas premiers entre eux, que s'ils l'étaient. En second lieu. 



COMMERCIUM DE WAF.LIS. 353 

quoique la chose soit facile pour Frcniclc (on tant qu'il sait qu'un 
nombre formé de deux ou plusieurs nombres jjremiers entre eux, si 
on l'ajoute à ses parties aliquotes, donne une somme égale au produit 
de ces nombres premiers entre eux, augmentés chacun de ses parties 
aliquotes; ce qui est le principal mystère dans les questions de ce 
genre), celui qui ignore ce principe n'aura pas plus de facilité pour 
reconnaître, comme propres à la question, les équimultiples des 
nombres donnés plutôt que d'autres carrés premiers entre eux; au 
contraire, celui qui connaît le principe n'aura pas beaucoup plus de 
facilité pour trouver la méthode de recherche applicable aux autres 
carrés premiers entre eux. 

Enfin il donne non seulement des assemblages par deux, mais par 
trois, quatre, cinq, etc. Mais le très noble savant sait très bien que, à 
part la peine du calcul, il n'y a là rien do nouveau [lar rapport îi la 
question que j'ai proposée; les assemblages de (rois, (|uatre, etc., 
voiro même de cent, se trouvent en ellot jiar la mémo méthode abso- 
lument que ceux de deux; et mémo, dans le petit nombre do ceux ((iio 
j'ai indiqués, il trouvera trois carrés remplissant la condilioii dont il 
s'agit; savoir ceux do 3 x 'i X m x i() x 3;, de 3 x j X 1 1 x rç) x 3; 
et de 7 x 8 x 29 x 0-, puisque chacun d'eux, ajouté à ses parties 
aliquotes, donne comme somme 

3x3x7X7Xi3xi9x3ixG7Xi27. 

Il n'y aurait non plus rien do nouveau si ce que j'ai |»ro|)osé pour les 
carrés l'eût été pour les cubes, bicarrés, etc.; si ce que j'ai proposé 
pour l'égalité des sommes l'eut été pour leur relation dans un rap|»orl 
donné (possible). Dans des cas de ce genre, le calcul peut être plus 
long avant que le but soit atteint, mais les solutions dépendent tou- 
jours du même principe, et sont à oborclier toujours par le même pro- 
cédé; ce que sait parfaitement notre si sagace Correspondant. Cela 
peut au reste s'appli([uor aux autres questions de ce genre en nombre 
intini. 

Il me reste encore ii vous dire que je viens précisément de recevoir 

l'ERMAT. — m. 70 



534. ŒUVRES J)E lEUMAT. - TRADUCTIONS. 

de Hollande une lettre que m'a écrite M. Schooten et que je crois 
devoir communiquer à V. S. Après l'avoir lue, je suis absolument 
<lans la croyance que la méthode dont s'est servie M. Frenicle pour 
la solution de la troisième question de Fermât (celle du carré dont le 
produit par un nombre donné non carré soit inférieur d'une unité à 
un carré) ne vaut pas celles qui ont été données d'ici, au moins la 
seconde. Je vois en oiïct qu'il a hésité sur le donné non carré 109, ce 
(jui est clair même d'après son traité imprimé, où il dit que le carré 
qui se rapporte à ce nombre lui a été communicjué par M. Fermât; je 
vois aussi que cette méthode montrée, semble-t-il, à M. Huygcns, lui 
a paru tellement pénible qu'il a reculé devant l'application; la notre 
au contraire est si commode qu'en très peu de temps elle peut fournir 
des nombres très considérables. Mais de fait je n'ai pas encore vu celte 
méthode de Frenicle, qu'il a jugé à propos de taire dans son Traité 
imprimé, et je n'en puis parler que par conjectures; je ne veux don(^ 
faire aucune affirmation téméraire. Quant ;i la lettre de Schooten, s'il 
plait à V. S. qu'elle soit jointe aux nôtres lors de l'impression de 
celles-ci (ce qui me paraît intéressant et ce qu'il désire lui-même), je 
vous prie de me le faire savoir et m'empresserai d'accomplir, autant 
que possible, votre vœu, comme. 

Très illustre Seigneur, 

A'^otre très obéissant et très respectueux 

John Wallis. 

Oxford, i3/23 avril iG58. 

LETTRE XXXIII. 

François Schooten a J. Wali.is. 

Clarissime savant, l'exemplaire de la première partie de vos OEuvres 
mathématiques que vous m'avez destiné, en même temps qu'un autre 
pour Huygens, m'a été parfaitement remis par M. Thrommje; je vous 
en fais mes meilleurs remerciments, tandis que j'ai le chagrin de voir 
que mes Exercilationes ne vous ont pas été remises, quoique, au 



COMMERCIUM DE WALLIS. oao 

moment où elles ont paru, j'en aie donné un exemplaire à l'imprimeur, 
qui (levait l'envoyer à Londres avec d'autres et le faire de là parvenir 
à Oxford à votre adresse et en mon nom. Je suis très heureux d'ap- 
prendre qu'elles ne vous ont pas déplu, et que vous avez également 
apprécié ce que le très nohle Huygens a ajouté ii la fin sur les raison- 
nements dans le jeu de dés. Votre jugement à cet égard nous est, plus 
que mille autres, un clair garant que nous n'avons ni l'un ni l'autre 
mal employé nos efforts en essayant soit de rétablir soit de pousser 
plus avant les Mathématiques. Mais surtout je suis charmé du mutuel 
accord qu'on peut immédiatement remarquer entre vos écrits et les 
miens, comme en autres choses sur ce que nous avons dit l'un et 
l'autre des progressions et où l'on dirait que nous nous étions com- 
muniqué nos pensées à l'avance. 

Vous me parlez des questions de Fermât proposées l'année dernière 
à tous les mathématiciens de l'Europe. Voici ce qui m'est arrivé à ce 
sujet. Ce fut le 2G janvier de l'année passée que le très illustre ï\r. Guil- 
laume Boreel, député auprès du Roi de France Très Chrélien par les 
Provinces-Unies, envoya de Paris aux professeurs de Mathématiques 
(II- l'Académie de Leyde une lettre (jui renfermait deux questions 
numériques avec ce titre (') : 

« Deux problèmes mathématiques proposés, comme s'ils étaient in- 
solubles, aux mathématiciens de France, d'Angleterre, de Hollande et 
du reste de l'Europe, envoyés le 3 janvier i6~)-] par M. de Fermât, 
(Conseiller du Roi au Parlement de Toulouse, à M. Claude Martin de 
Laurendièrc, Docteur Médecin, et reçus par celui-ci le 21 janvier. « 

« Pr.EMiEU l'UOiiLÈME. — Trouver un cube (voir page 3i i, lignes 21 à 
25) .... propriété. » 

« Second problème. — On demande (voir page 3i t, lignes 2(3 à 27) 
.... un cube. » 

Cette lettre fut reçue par M, Golius le 7 février, la veille du jour où 

(') Foir la Pièce 79 de la Correspondance de Fermât, T. II, p. 33-2. 



oo(i ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS. 

il devait déposer les fonctions de Recteur Magnifique; il l'ouvrit on 
ma présence seulement le 1 1 du même mois. J'y fis alors la réponse 
suivante et aussitôt après l'avoir communiquée à M. Golius, je l'a- 
dressai le 17 février audit M. Boreel à Paris, avec une lettre de trans- 
mission et deux problèmes sur le même sujet que je proposais en 
retour à M. Fermât ( ' ). 

« Réponse aux questions proposées aux mathématiciens de toute 
l'Europe par M. de Fermât, Conseiller du Roi au Parlement de Tou- 
louse. » 

« Pour résoudre la première question, où il s'agit de trouver un 
nombre cube dont la somme avec les parties aliquotes fasse un carré, 
je cherche à partir de l'unité 4, 7, 10, i3 ou davantage de nombres 
en proportion continue (en augmentant successivement de 3 leur 
nombre), tels que leur somme fasse un carré; le dernier des termes 
proportionels sera le cube demandé. Quant au second terme propor- 
tionel, je prends successivement les différents nombres premiers, en 
commençant par les plus faibles. » 

« Puisque les proportionels 

1.2.4.8, 1.3.9.27, 1.5.25. i2r) 

donnent comme somme les nombres l'ï, 4o. i5G, qui ne sont pas 
carrés, ayant pris pour seconds termes de ces séries les nombres pre- 
miers 2, 3, 5, je prends maintenant pour second terme le nombre 
premier 7 et j'ai les proportionels : i.7./)9.343, dont la somme est 
'|oo, carré de coté 20. Je trouve ainsi que 343 est de tous le plus petit 
cube qui satisfasse à la question ; c'est d'ailleurs celui qui a été donné 
par M. de Fermât. Prenant ensuite toujours quatre proportionels dif- 
férents, et employant successivement tous les nombres premiers de 2 
il 97, je n'ai rencontré aucun autre carré que celui déjà indiqué; et 
j'ai reculé dès lors devant la poursuite de ces calculs, ne pouvant 

(.') La Lettre qui suit se trouve également publiée (en latin) dans le Tome II des OEucres 
complètes de Cliristiaan Huygens (n" 377 de la Correspondance). 



COMMERCIUM DE WALLIS. 557 

d'ailleurs reconnaître une voie plus abrégée pour parvenir sûrement au 
but {'). .. 

» Si l'on prend de même sept proportioncls 

I. 2. 4. 8. i6. 32. G4., 
1.3.9. 27. 81. 243. 729., 
etc.; 

les sommes 127, 1093, etc. ne sont pas carrées; mais je n'ai pas eu le 
courage d'entreprendre de plus longues recherches sur 7 proportionels 
et la fatigue des calculs m'a de même empêché de les tenter sur 10, i3, 
16 ou plus de proportionels. Mais je n'en ose pas moins juger que, 
quoique les cubes en question doivent être en nombre infini, à ce que 
je pense du moins, personne ne peut en trouver facilement au delà 
d'un certain nombre, comme 5 ou G, eu égard à la grande distance (jiii 
les sépare. » 

« M. de Fermât reconnaîtra d'ailleurs que le moyen de trouver ainsi 
ces nombres est infaillible, dès qu'il saura que, pour déterminer les 
proportionels précités, je me sers des expressions analytiques a', a", 
a", a'-, etc., ou s'il s'agit de nombres ayant 10, 27, 89, 48, 5i, (i3, 
(J9 ou 7J etc. parties aliquotes, je me sers, en outre des notations pré- 
cédentes, de celles-ci : a'^b^, a^b^, a'b'\ a'^b'', a'-b\ a^lPc^ ou a'^b\ 
a^b^ ou a''b'\ etc., comme pouvant être utiles pour cette affaire, c'est- 
à-dire pour représenter les nombres cubes à trouver. Mais, comme ces 
expressions indiquent, pour trouver les nombres cherchés, des calculs 
encore plus fastidieux, je ne crois guère que celte voie puisse être 
heureusement tentée. Mais je n'ajouterai rien, car, en dehors des 
moyens indiqués, il n'en existe pas pour trouver certainement ces 
nombres, à moins que M. de Fermât n'ait peut-être imaginé, pour 
établir les égalités, quelques abrégés qui pourraient diminuer singu- 
lièrement l'embarras de cet examen; il ferait certes, en les communi- 
quant, une chose qui me serait très agréable. » 

(') Les mots en italique sont indiqués comme à supprimer. 



558 ŒUVRES DE FEHMAT. - TUADUCTIONS. 

« Do mémo pour résoudre la seconde question, où on demande un 
carre Ici que sa somme avec ses parties aliquotes fasse un cube, je 
('herclie à partir de l'unité 3, 5, 7, 9, 11, i3, etc. ou davantage (en 
augmentant toujours par 2) de nombres en proportion continue, tels 
({ue leur somme fasse un cube, et, pour second terme, j'essave un 
nombre premier quelconque, comme il est indiqué par 

1 .a. a-, 1.(7 .a-, a^. a''.!. a. a-. a'. a''. a'^. a'', etc. » 

Si, en effet, cette somme est un cube, le dernier proportionel sera le 
carré cbercbé. Ainsi je me sers de a-, a\ «", ta, a'", etc. pour trouver 
les nombres ayant 2, 4, 'j- S, 10 parties aliquotes, ou bien encore de 
a'-h^ pour ceux qui en ont 8, de a*h- pour i4 parties, a"!/' pour 20, 
«'//' pour 2.'\, n'-h'-c' ou a^b' pour ^G parties, etc. Mais, comme ces 
dernières expressions correspondent à des modes de recberches de 
plus en plus difficiles pour ces carrés, j'ai peine ii croire qu'elles puis- 
sent servir lieureusement pour parvenir au but proposé. » 

)) En montrant l'existence de tous ces modes, par lesquels il est évi- 
dent que l'on peut certainement obtenir les nombres cherchés, pourvu 
qu'on ne recule pas devant le travail d'examiner successivement, 
comme j'ai dit ci-dessus, tous les nombres premiers en commençant 
|)ar les plus petits, j'espère avoir satisfait pleinement au désir du cla- 
rissime Fermât. » 

« Ecrit il Leyde, le 17 février iG.in, par moi, François van Scbooten, 
professeur de Mathématiques à l'Académie de Leyde. « 

Suivent (') deux problèmes du même genre, proposés en retour à 
M. de Fermât : 

« Premier prodlème. — Trouver deux cubes dont la somme fasse un 
cube ou, s'il ne peut les obtenir, montrer que le problème est impossible. » 

« Deuxième PROBLÈME. — Montrer si l'on peut, ou non, trouver d'autres 
nombres parfaits que ceux que fournit la méthode d'Euclide (IX, prop. 
dern.), c'est-à-dire la progression suivant ta raison double. » 

( ' ) Pièce 378 de la Correspondance de Hiirgeiix. 



COMMKIICIUM UE WALIJS. 35!) 

Voilà co (juo j'ai rôpondii alors, et les questions que j'ai proposées à 
mon tour. 

En traitant ees questions, je m'étais seulement proposé d'indiquer à 
leur auteur la façon dont elles devaient être résolues. Il scrafaeile à 
votre perspicacité de reconnaître que j'atteignais ce but, puisqu'on ne 
|)eut donner aucun nombre ([ui ne soit pas soumis à quelqu'une des 
conditions précitées (comme on peut le déduire de mes Exercita- 
lioncs, section 3), ou ne puisse être trouvé par les modes indiqués. 
Quant aux nombres eux-mêmes, ils ne me paraissaient pas avoir tant 
de valeur (jue la méthode pour les trouver certainement ne dût sulTire 
à M. de Fermât. C'est aussi ce que j'avais surtout en vue pour les deux 
problèmes ajoutés par moi, en sorte que, si les nombres cjue je deman- 
dais ne se rencontraient pas aisément, il sulTit de montrer l'impossibi- 
lité du premier problème, et de prouver que le second ne peut être 
résolu i)ar un moyen différent de celui d'Euclide. Mais à fout cela, 
rien que je sache ne m'a été répondu par M. Fermai, on dn moins au- 
cune réponse ne m'est parvenue; je n'ai pas cru cependant devoir 
aucunement le presser à ce sujet, afin de ne pas sembler prétendre à 
une grande gloire pour la solution d'un problème qui n'a évidemment 
aucun usage, ni aucune utilité. Ainsi je ne sais même pas si M. de Fer- 
mat a reçu ou non ma réponse, ni quel jugement il a porté sur elle 
dans le cas où il l'aurait reçue. 

J'avoue d'ailleurs qu'à cette époque il ne m'est venu à l'esprit aucun 
des abrégés qui auraient pu, comme je le croyais, servir à diminuer 
considérablement le travail; c'est pour c(da que je disais à Fermât, 
qui, sans aucun doute, devait posséder ces abrégés avant tout autre, 
que, s'il en connaissait de généraux touchant cette matière, il ferait 
une chose très digne de reconnaissance s'il voulait bien nous les com- 
muniquer. 

Après avoir ainsi résolu les questions de Fermât, j'ai cru devoir les 
communiquer au clarissime M. Hudde et lui proposer de les résoudre. 
Voici ce qu'il me répondit, le 23 février, d'Utrecht où il était alors : 
« Quant aux questions proposées par M. Fermât et à la solution que 



o(iO ŒUVRES DE FERMAT. - THADUCTIONS. 

» vous en avez donnée, j'avoue que les problèmes ne me déplaisent 
» pas, mais qu'il n'en est pas de même de la raison par laquelle vous 
» vous elTorcez de me persuader que je dois, moi aussi, m'efforcer 
» d'en chercher la solution; à mon avis, ce qui est le plus nécessaire 
» et utile doit passer avant ce qui l'est moins; si donc j'ai encore 
» (juelque loisir h consacrer ii la Science, j'ai la confiance de pouvoir 
» le dépenser sur des questions, non seulement beaucoup plus utiles, 
» mais aussi beaucoup plus générales et plus intéressantes, cl qui 
» semblent promettre une gloire plus brillante au savant qui les étu- 
» diera. Aussi je n'ai pu prendre sur moi de m'appliquer à la solution 
» de ces problèmes; cependant, pour l'amour de vous seul, je me suis 
» résolu, au détriment de tous mes autres travaux, ii leur consacrer la 
» journée d'hier pour vous faire part de ce que je parviendrais ii dé- 
» couvrir, pour l'abrègement du travail, et cela dans le cas où vous 
» n'auriez pas encore envoyé votre réponse à Paris. ' 

» Voici la règle que j'ai choisie entre beaucoup et que j'emploierais 
» pour la solution de la première question, où il s'agit de trouver un 
» nombre cube, tel qu'ajouté ii toutes ses parties aliquoles, il fasse un 
» carré. Qu'on prenne un carré (en commençant par les plus petits), 
» tel que son double, moins l'unité, soit un nombre premier; que de 
» ce dernier nombre on retranche i, et qu'on multiplie le reste par le 
» carré que l'on a pris, ou bien, ce qui revient au même, par la plus 
» grande moitié de ce nombre premier. Si, en ajoutant i au produit, 
» on a un carré, le nombre premier précité sera le côté du cube 
» cherché. 

« Par exemple : 



COMMEHCIUM DE WALLIS. 



5G1 



Racine. Carré. 



Doullll! 






le carré 


carré 






on la 


moins 1 . 


Noiribri; 




plus grande 


— 


premier 


par 


moitié 


NoEiilirc 


moins 




(lu nombre 


proniiLT. 


l'unité 




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,[01 
[llus 



donne 



/ )"). carré; d 
le coté 



1"). carré; donc 7 esl 
é du cube 
demandé. 



\ ne donnent pas ilo 
' carré. 



» Los places vides dans ce Tableau sont celles ([iii ne correspondent 
» pas à des nombres premiers, comme le demande la règle; mais, ce 
» qui peut-être excitera votre étonnement, tous les nombres corres- 
» pondant ii ces places sont divisibles soit par 7, soit par 17. Kn tous 
)) cas, si j'ai bien calculé, il est certain par là (|u'au-dessous du 
» ntmibre cube de i iSo, soit i ^20 873 000, il n'v a ({u'un seul cube, 
» 343, qui satisfasse à la question, en ne comptant toutefois que ceux 
Il (|ui ont trois parties ali((uo(es, c'est-à-dire ceux auxquels la règle 
» est appropriée. 

» En ell'et, le premier nombre que nous trouverions ensuite esl su- 
» périeur à i i.5o, tandis que le côté 7 du cube 3i'j, Irouvé par le pre- 

Fermat. — Ml. 7 I 



502 ŒUVRES DE FERMAT. TRADUCTIONS. 

» mier carré, est précisément celui du cube donné par l'auteur comme 
» satisfaisant au problème. 

» Maintenant, quand je pèse vos paroles : Prenant ensuite, etc. 
» (p. 556/7) ... sûrement au but, je n'ai aucun doute que le procédé 
» que j'ai indiqué ne soit plus facile pour atteindre le résultat proposé, 
» puisque je suis arrivé à i i5i en une heure et demie environ; et, si 
» j'avais eu sous la main votre Catalogue des nombres premiers, je me 
» serais épargné à peu près la moitié du travail. Aussi il vous sera 
» facile, si vous le jugez intéressant, de poursuivre la recherche pour 
» des nombres encore plus grands. 

» Le calcul suivant indique comment j'ai trouvé cette règle : 

)) Soit a' le nombre cube à trouver, a étant un certain nombre pre- 
» mier. 

» Les parties aliquotes de ce cube sont i, a, a', dont la somme 
» avec rt' fait i -h a -h a' -h a'' , qui doit être égale à un carré. 

» Posons donc 

1 -h a + a- -\- a^ = [{i -^ a) b]- ; 
» divisant, de part et d'autre, par t + a : 

I + n- = ( I + rt ) ^- ; 

» d ou = />- OU a — I H = Ir. 

I -H (7 n + I 

» Mais, puisque a doit être un nombre premier, - pourra être 

» divisé par 2 (haut et bas). D'ailleurs cette fraction, ajoutée à l'cn- 
>) tier rt — I, ne pourra, comme il le faut, donner un carré, si son dé- 

» nominateur - + - n'est pas lui-même un carré. On tire de là une 

» grande simplification, puisque tout d'abord il sulfit de fiiire que 

))- + - soit carré, c'est-à-dire que « + i — ?.□ ou « = ■2n — i. C'est 

» de là que j'en viens à dire dans ma règle : Qu'on prenne un carre 

» tel que son double moins l'unité soit un nombre premier, et que je passe 

» celui qui n'a pas cette propriété, comme ne pouvant servir pour le 

» but proposé. Cet artifice permet de diminuer singulièrement le tra- 



COMMERCIUM DE WALLIS. 5G3 

» vail, non seulement pour a\ mais encore pour les autres expres- 
» sions. » 

» Voilà, mon très cher ami, à quoi mon temps s'est dépensé, en 
» sorte que, pour la solution de l'autre probliime, je n'ai rien qui vaille 
» la peine de vous être communiqué, non plus que pour les autres 
» modes de chercher les cubes, soit par a", a', a'-, etc., soit par «'/>'', 
» dans les cas où les parties aliquotes ne forment pas une progression, 
» comme dans les précédents. » 

Quand j'ai reçu cette Lettre, j'avais déjà envoyé la mienne à Paris; 
mais j'apprenais qu'entre i et 1520875000 on ne peut trouver aucun 
cube, sauf celui déjà connu 343, en se servant de la voie la jdus 
facile, celle de a^; les autres voies par n", a", etc. ou a^W, a^l>\ etc., 
devant être regardées comme plus dilliciles, nous avons pensé, moi et 
31. Golius, qui s'était également proposé de résoudre ces problèmes, 
devoir nous abstenir de recherches numériques ultérieures, jugeant 
que nous pouvions mieux employer de bonnes heures aux Mathéma- 
tiques. 

Peu de temps après, à savoir le 9 mars, j'ai reçu de la Haye une 
lettre du très noble Huygens, laquelle en renfermait une autre à moi 
adressée de Paris par 31. Mylon, jurisconsulte, et en même temps une 
page redemandée depuis par Huygens, qui m'écrivait là-dessus (') : 

« Voici une lettre pour vous de notre ami Mylon, et aussi une page 
» dont il a voulu que je prisse également connaissance; je vous 
» prierai, en raison des questions de M. de Fermât, de me la ren- 
» voyer à votre commodité. » 

Voici ce que contenait cette page (-) : 

« M. de Fermât a proposé à tous les arithméticiens par M. Digby, 
» 1. Trouver un cube {voir page 3i i, lignes 21 à 25) .... la même 
» propriété. 

( ' ) f'oir Corrcspondunce do Huygens, n" 375. 
(-) l'oir Con-cs[iontl;iiicc de lliiyycns, u" 37.i. 



vm ŒUvr.ES de fermât. - traductions. 

)) "2. On demande aussi {voir page 3i i , lignes 26 à 27) ... . fasse 
» lin cube. 

» !\1. de Freniclc a résolu ces questions et M. Martin, qui en a les 
)i solutions, les l'ait iin|)rimer, à ce qu'on m'a dit. 

). Depuis ( ' ) peu M. de Fermât a écrit ceci à M. de Frenicle. 

|Suit la pièce LXXX de la Correspondance de Fermât, Tome II, 
])age 333.] 

» A quoi Î\I. de Frenicle a envoyé l'ordre qu'il tient pour résoudre 
» ces questions, dont le calcul est extrêmement long. » 

Vm répondant là-dessus à Huygens et à Mylon, je priai M. Mylon de 
])résenter àM. Frenicle mes très respectueuses salutations et en même 
temjis j'envovai la page 42G de mes Excrcilaliones, page (jue je venais 
d'avoir imprimée et où l'on peut voir conibien je lui portais d'égards, 
à ce point que, pour ces questions auxquelles mes autres études ne 
m'avaient pas permis de consacrer assez de temps, je témoignais que 
j(^ lui concédais volontiers la j)almc. Mylon répondit le 12 avril (-), et 
le 21 du même mois (•^), Huygens m'envoya de la Haye cette réponse, 
oîi, entre autres choses, il disait : 

« J'envoie à !\I. de Zuyicchem les pensées de M. Frenicle touchant 
» les propositions numériques de M. île Fermât et vos solutions, et le 
» prie de vous en faire part. » 

Voici quelles étaient ces pensées de iM. Frenicle (*) : 

« M. Frenicle trouve que c'est plus tôt fait d'examinei' tous les 
Il cubes de suite pour voir ceux qui satisfont (qui est la (|uestion 
» proposée par M. de Format) que de se servir de la méthode de 
1) M. Schootcn. Néanmoins, pour s'en servir, il donne ce théorème : 

» Il n'y a aucune puissance dont la racine soit un nombre |)remiei' 

{' ) (^orrosponilaiicc de Huygens, n" 1(71. 
(2) Foir Correspondance de Huygens, n" 382. 
( ') loir Correspondance de Huygens, n° 380. 
t*) Correspondance de Huygens, n" 383. 



COMMERCILIM DE WALLIS. oG5 

» et l'exposant un nombre impairenicnt pair, (jiii puisse avoir un 
» quarré pour la somme de ses parties. 

» Donc M. Schooten doit exclure ces nombres de sa méthode. Il en 
» peut oncort! exclure beaucoup d'autres, savoir ceux où les propor- 
» tionelb^s sont en multitude impaire, car leur somme ne sera point 
» un quarré et n'a pas besoin d'être examinée, si le nombre de la pro- 
» portion n'est pareil à '](), ujc) et autres dont il se trouve fort peu, 
» se trouvant plusieurs milliers de nombres où il n'y en a (|ue cin(( 
» ou six. 

» Davantage le second nombre de la proportion continuelle doit 
» être un de cette progression (') 

I. 7. 4'- 289. iSgS. iSiip. 473^1, 
« . 0. c . d, 

» et entre ceux-là il n'y aura que ceux (|ui auront ces deux pro- 
» priétés : 

» La première, que ce soit un nombre premier; 

I ' ) En cellf progression 

() fois fi — I =T h, 

(S h — « = r, 

(i c — /; — (■/, 

Ole 

Los nombres de la préi'.éiicnLo [irogrcssion se Irouvcnl encore unlreniciU par la seule 
aïklilion, comme en celle (jui suit, en laquelle il n'y aura que ceux de la colonne // ipii 
sonl vis-à-vis des impairs do la colonne g qui soient utiles. 



La construction de celte Table est 
aisée par addition, car 

I -f- I l'ont f. en g 

■i s- I foiil :! en // 

3 -f- ■). font 3 en g 

5 -t- i font 7 en // 

7 -:- ) font li en g 

12 -r- ') font 17 CTl /( 

etc. 



1 


1 


>. 


3 


5 


7 


l:>. 


17 


■■".» 


/.> 


70 


•CJ 


l(ji) 


•23;, 


408 


'77 


<)85 


,i93 


■..■!78 


3303 


■)74'l 


.S 1,9 



( iVo/e (/(• l-'reinctr. ) 



5GC ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

» La seconde, qu'il soit moindre de l'unité qu'un double quarré. 

.) Or, par les lettres finales et autres propriétés des doubles quarrés, 
» on peut voir aisément qu'il n'y en a aucun qui puisse satisfaire, 
» outre 7, si le cube n'a plus de Go lettres. 11 se trouve par ces 
» deux propriétés qu'il n'y a que deux nombres à examiner s'ils 
.) sont doubles quarrés pour aller jusqu'à la racine de ce cube de 
.) Go lettres. Et cet examen est d'ajouter i et prendre la racine 
)) quarrée de la moitié, car les autres ou sont composés ou leurs 
» finales montrent qu'ils ne sont pas doubles quarrés moins i. 

» M. Frenicle propose ce problème : 

» Trouver un nombre triangulaire, dont le sextuple plus i soit nombre 
n cube. 

» J'écris de l'autre part ce que j'ai pu tirer sur-le-champ de M. de 
)) Frenicle, touchant les propositions numériques de M. de Fermât; 
» je vous supplie d'en faire part à M. Schooten, etc. 

» Voici la solution de M. de Frenicle pour les nombres suivants :' 



Pour i3 c'est le quarrc de 649 

» 19 » " 170 

i> ly » » 33 

» 21 » » 5.5 

» '«S » I) 24 

)) 29 11 quarréquarré de. . . 99 

)) 3i » quarré de i52o 



Pour 33 c'est le 


quarré de 


» 37 


)) 


)) 


« 4' 


» 


» 


., 43 


» 


» 


,, 47 


» 


» 


.. 53 


n 


)} 


» 5<) 


» 


H 



<'.3> 

73 
V.049 
34S>. 

48 

(')fi9.49 

53" 



» Pour 61, c'est le quarré de i76G3i90'i9, lequel quarré, étant 
» diminué de i, donne le quarré de 22G 153980. Or le quarré qui 
» satisfait ii Gi a 19 (') lettres, quoiqu'il n'étoit besoin, pour le 
» trouver par la méthode de M. Frenicle, que de 54i8, i i/|i8, 23718 
» et 29718. 

» Pour 109. il n'y en a point au-dessous de 25 lettres. 

» Pour 127, c'est le quarré de 4 730624. >> 

Lii-dessus, Huygens ajouta ce qui suit : 

« Je vous laisse à examiner ce que Mylon m'a écrit des pensées 

( I) Lise/. 17. 



COMMERCIUM DE WALLIS. 567 

» de M. Frcnicle sur la question proposée par M. Fermât. Il parait 
» donner, pour la recherche des cubes dont il s'agit, certains abrégés 
» importants, plus peut-être que vous n'aviez cru qu'on put les 
» trouver, mais il conviendrait de rechercher sur quelles raisons il 
» s'appuie. Quant à l'autre question, proposée par Fermât, trouver 
» un quarré dont le produit par un nombre donné, étant augmenté 
» de l'unité, etc., je l'avais résolue par une certaine règle indiquée 
» pour cela. J'estime que c'est la même dont Frenicle s'est servi pour 
» trouver les nombres que Mylon m'a envoyés, mais le travail était 
» immense et tel que je n'aurais pas voulu l'entreprendre. » 

Quelque temps après, savoir le i8 mai, Mylon m'écrivait la lettre 
suivante (') : 

'( Monsieur, j'ai fait voir à M. de Frenicle votre petit papier imprimé 
» dont il vous remercie. Un de ses amis veut ici faire imprimer le défi 
» de M. de Fermât et la solution du dit S'" de Frenicle. H y prétend 
» joindre la vôtre avec les abrégés, exclusions et théorèmes de son 
» ami. J'ai prié qu'on ne le fit pas sans savoir votre volonté. Prenez 
1) donc la peine de me mander, par la voie de M. de Zuylechem (puis- 
» qu'il a cette bonté), si vous trouverez bon d'être nommé ou non, ou 
» si vous ne désirez pas que votre solution soit imprimée. Je tâcherai 
» de faire suivre en cela votre intention, étant, etc. » 

Au-dessous se trouvait ce qui suit (-) : 

« M. de Frenicle vous envoie ces théorèmes sur votre dernière ques- 
» tion : 

« 1. Pour les nombres pairs parfaits, il n'y en a aucun que ceux 
» qui se trouvent par la méthode donnée par Euclide. 

1) 2. Pour les impairs, s'il y en a aucun, il doit être multiple d'un 
» quarré par un nombre premier, pairement pair plus i. 



( ' ) Comparez Correspondance do Huygcns, n" 388. 
(-) Comparez Correspondance de Huygens, n" 389. 



568 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

» TiiKORÈME. — Il n'y a aucun quarré qui, multiplié par 19, surpasse 
)) do l'unité un quarré multiplié par 7. » 

Je répondis par la lettre suivante ( ' ) : 

« Monsieur, puisque vous avez eu la bonté de me mander qu'un des 

» amis de M. Frenicle veut faire imprimer le défi de M. de Fermât et 

» la solution dudit S'' de Frenicle, et qu'il prétend d'y joindre aussi 

» la mienne avec ses abrégés, exclusions et théorèmes que M. de Fre- 

» nicle a inventés pour la raccourcir, je n'ai pas voulu manquer de 

» vous en remercier et de vous écrire que tout ce qu'on fera me sera 

» agréable, soit qu'on l'imprime ou non. Car, n'ayant employé guère 

» de temps pour la chercher et remarquant qu'il eût fallu faire grande 

» opération pour trouver les nombres requis, je me suis contenté d'y 

» enseigner seulement les chemins par lesquels je voyois clairement 

» que les mêmes nombres, s'il y en avoit plusieurs tels, se dussent 

» trouver infailliblement, en cas qu'on voulût prendre la peine d'exa- 

I) miner généralement de suite tous les nombres qui y pourroient 

» aucunement servir, sans penser particulièrement quels nombres en 

» fussent exempts, de même comme a fait M. de Frenicle; de sorte 

» que ma méthode n'étant que analytique, c'est-à-dire expliquant 

» comment on peut par le moyen de l'Algèbre découvrir les chemins 

» par lesquels ces nombres peuvent être cherchés, je serois d'avis 

» que, si on la veut faire imprimer, l'on y ajoutât ces mots : 

» Moyen analytique de chercher ces nombres, trouvé par François de 

» Schooten, ou bien 

» Suit le mode de recherche de ces nombres par V Algèbre, comme la 

» trouvé Fr. de Schooten . 

') Ce qui la feroit plus recommandable, seroit d'y ajouter de plus 

» les abrégés, exclusions et théorèmes de M. de Frenicle, afin que 

» cela ne semble pas être trouvé pour rien, mais y serve pour embel- 

» lissement et plus grande perfection de cette matière. Je vous en 

( ') Cette Lettre de Schooten esl en français, sauf les mots imprimés en italique. 



COMMERCIUM DE WALLIS. 509 

» laisse tout le pouvoir. Dans ma solution, jo voudrois bien que ces 
» mots on fussent effacés : 

» ne pouvant d'ailleurs reconnaître une voie plus abrégée pour par- 
» venir sûrement au but, 
» et au lieu de ces mots 

» à THoins que M. de Fermât n'ait peut-être imaginé pour établir les 
M égalités quelques abrégés, etc. 
» j'aimerois plutôt ceux-ci : 

» à moins que M. de Fermât n ait peut-être imaginé pour établir les éga- 
» lues quelques abrégés généraux (qui en tout cas ne se sont pas pre- 
» sentes à mon esprit). 

» En finissant, je demeure, etc. » 

De Leyde, ce 29 de mai 1657. 

Les choses en étaient là quand enfin parut à la lumière le Traité in- 
titulé : Solution de deux problèmes, etc., et qui est, je pense, le même 
que celui dont vous m'avez parlé dans votre Lettre; le susdit ambassa- 
deur prit soin de nous en faire expédier deux exemplaires, le 26 oc- 
tobre, l'un pour moi, l'autre pour Huygens. Dès que je l'eus vu, je ne 
pus que m'étonner de l'orgueil île l'auteur, qui, dans son avant- 
propos, adressé à M. Digby, ne rougit pas de s'exalter en ces termes : 

Très illustre Seigneur, voici que Paris donne cette solution de problèmes 
que ni vos Anglais, ni les Belges n'ont aucunement pu trouver; la Gaule 
celtique est Jîère d'enlever la palme à la Narbonnaise, etc. 

et autres semblables plus loin; comme si ce fût une affaire d'État que 
de connaître ces nombres et que chacun dût attacher tant d'impor- 
tance à cette solution qu'il ne sut où employer plus utilement son 
temps. A voir le titre même, je n'ai pu ne pas ressentir une certaine 
indignation en voyant l'auteur de ce Traité y amener une certaine In- 
quisition sur ma solution; car je n'avais jamais attendu de France au- 
cune Inquisition; et je croyais même l'auteur trop sensé pour faire ou 
laisser faire, sur une chose aussi indifférente et de si faible impor- 
Fkrmat. — ui. 72 



570 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

tance, rien de pareil contre quelqu'un qui ne lui avait, que je sache, 
fait aucune offense; qui, au contraire, avait témoigné des plus grands 
égards pour lui. 

Peu après que ce Traité fut parvenu dans mes mains, je reçus de la 
Haye une lettre de l'illustre Huygens, à qui, comme je l'ai dit plus 
haut, un autre exemplaire avait été envoyé de Paris. Dans cette lettre, 
il me disait entre autres choses (') : 

« Les problèmes de Frenicle vous ont été, je n'en doute pas, cn- 
» voyés par l'auteur. En les voyant, je ne puis que m'étonner de la 
» diversité des goûts des humains. » 

Mais, quant à ce qu'y affirme l'auteur, que la plupart des mathéma- 
ticiens tant d'Angleterre que de Hollande s'occupent de la solution de 
ces prohlèmes, en ce qui concerne les Hollandais, je ne connais guère 
personne qui ait jugé intéressant de les aborder; au contraire, les 
plus exercés, à qui je les avais proposés, n'ont semblé y reconnaître 
aucun usage ni aucun profit, et personne ne s'est trouvé parmi eux 
qui ait estimé assez la gloire à en retirer pour vouloir prendre la 
peine de rechercher la solution. 

Vous me demandez, très honorable Monsieur, à quel point on s'est 
franchement comporté avec moi dans cette affaire; je crois que ce qui 
précède suffit pour vous le faire connaître. J'ai cru devoir vous tout 
exposer, avec plus de longueurs peut-être que n'en réclamait le sujet, 
surtout parce que j'ai compris à votre lettre que vous aviez l'intention 
de faire imprimer tant vos solutions que les lettres que vous avez 
reçues à cette occasion. J'estime que la mienne, ou au moins une 
partie, rentrera dans votre plan et dans votre narration. Si donc vous 
croyez devoir en imprimer quelque chose, vous ne le ferez certaine- 
ment pas contre mon gré. 

J'ai cru devoir communiquer à Huygens ce que vous avez remarqué 
sur la lune de Saturne et sur l'aspect de cette planète; il y pourra 

(I ) Le -23 novembre iGJ; (Correspondance de Huygens, n° 431 ). 



COMMERCIUM DE WALLIS. 571 

reconnaître votre soigneuse et excellente application sur cette matière, 

de laquelle il est lui-même, je crois, attentivement occupe pour le 

moment. Mais, pour ne pas vous retenir trop longtemps, je mets fin à 

cette lettre, en vous souhaitant tout bonheur et toute prospérité. 

Adieu, 

Votre très affectueux et très respectueux, 

Fr. de Scuooten. 

Leyde, le 18 mars i658. 

St. grég. 

Je suis heureux que vos remarques sur le texte de Pappus, d'après 
les manuscrits grecs, correspondent exactement à mes conjectures. Si 
je les avais connues plus tôt, j'aurais pris soin do faire imprimer en 
même temps ce véritable sens de Pappus, ce qu'il faut maintenant 
réserver pour la prochaine édition, s'il y a lieu d'en donner une. Ce- 
pendant je vous remercie à cette occasion et vous recommande de tout 
cœur au Dieu qui peut tout donner. Encore une fois adieu. 

LETTRE XXXIV 

(à laquelle étaieat jointes les quatre suivantes). 

Vicomte Brounckeii a Siii John Wallis. 

Sir, étant pressé, je ne puis que vous adresser les lettres ci-jointes 
comme elles me sont arrivées, et vous dire qu'ayant résolu, dans le 
propre sens qu'il lui donne, cette proposition qu'il semblait estimer la 
plus difficile, je ne me regarde pas comme obligé en aucune façon 
d'essayer la solution de ces autres qu'il envoie, comme présumant que 
la précédente aurait dépassé mes forces. Autrement, je ne les regarde 
pas comme si difficiles, et je crois que si j'en avais le désir et le loisir, 
il pourrait aussi là-dessus recevoir pleine satisfaction de. 

Sir, votre fidèle et humble serviteur, 
Brouncker. 

i/ii mai i658. 



572 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

Quant à co qu'il dit concernant vous-même, je ne pense pas que 
cela mérite la moindre réplique. Le lecteur sera sans doute pleinement 
satisfait par co que vous avez déjii dit. 



LETTRE XXXV. 

Kenelm Digby a vicomte Brouncker. 

Mylord, j'ai reçu il y a deux jours la lettre que votre Seigneurie a 
bien voulu m'ccrirc le i3 mars, et, on même temps, deux autres du 
docteur Wallis à moi, et une du mémo à votre Seigneurie. Je vous fais 
mes très humbles et très sincères remercîments pour la votre, que j'ai 
reçue avec un excès d'allégresse, de joie et de respect; en premier 
lieu, pour votre excessive civilité et bienveillance ii mon égard; en- 
suite, pour votre noble et savante réponse à la requête de JM. Frenicle. 
Maintenant, ni lui, ni M. Format n'auront plus à chicaner ni votre Sei- 
gneurie, ni le docteur Wallis; j'écris, î» ce dernier, longuement (eu 
égard à la dilficulté que j'éprouve maintenant pour écrire beaucoup), 
et je prends la liberté de vous demander de bien vouloir lui faire 
remettre ma lettre, que je laisse ouverte, pour que vous puissiez y 
jeter les yeux à votre fantaisie. 

Mais surtout, Mylord, je vous félicite de tout cœur pour l'heureuse 
étoile qui a présidé à votre naissance, et qui, dans une qualité et un 
rang si élevés, vous a gratifié aussi d'une part si excellente d'intelli- 
gence que vous pouvez être justement envié par les plus éminonts do 
ceux qui font leur tâche de l'étude et de la Science. Ma lettre ci-jointe 
pourra faire connaître à votre Seigneurie avec quel retard j'ai reçu la 
dernière lettre du docteur Wallis. Si vous voyez le D' F., je vous prie 
de lui reprocher la précaution hors de propos qui lui a fait garder si 
longtemps cette lettre. Si je n'étais pas tout h. fait épuisé (tant je suis 
débile maintenant) par ma lettre au D' Wallis, votre Seigneurie ne 
serait pas si facilement délivrée à cette fois de l'embarras que je lui 
cause; mais la raison que je viens de dire m'empécho de poursuivre 



COMMERCIUM DE WALLIS. 573 

plus longtemps, si ce n'est pour baiser humblement votre main et me 

(lire, 

Mvlord, votre très humble et très obéissant serviteur, 

Kenelm Digby. 

Paris, 4 mai iG58. 

LETTRE XXXVI 

(jointe à la precuilente). 

Kenelm Digdy a John Wallis. 

Très cligne et très honoré Monsieur, la lettre que vous m'avez (ait 
la faveur de m'écrire le 2G décembre ne m'est parvenue que tout der- 
nièrement, en même temps qu'une autre écrite, vers la même époque, 
par vous à mylord Brouncker; celui-ci semble les avoir remises au 
D"" F. pour me les envoyer, par ce motif que M. White n'était pas alors 
à Londres. Le docteur (comme toujours quand on se met à négliger) 
garda la lettre par devers lui jusqu'à ce que, plusieurs mois après, ayant 
été informé de la chose, je lui écrivis, le priant d'aller trouver Mylord 
et s'accuser devant lui de son oubli, pour me disculper moi-même, et 
en même temps de m'envoyer immédiatement la lettre. 

Il me la fit, en effet, parvenir par le premier courrier, en me disant 
qu'il avait été voir Mylord pour me décharger de tout blâme de négli- 
gence ou de manque de respect. Je vous déclare, ainsi que je le fais ii 
tout autre, quand l'occasion s'en présente, que j'admire singulière- 
ment le grand fonds qui vous fournit (comme il ressort de votre ré- 
ponse immédiate) une si étonnante abondance de matière que, dans 
l'espace d'une nuit, vous écrivez plus que n'aurait fait un autre en un 
mois entier. On admire justement saint Jérôme, pour avoir achevé en 
une nuit le Traité qu'il nous a laissé contre Jovinien; mais vos ré- 
ponses numériques étaient sur tel sujet, demandaient telle méthode 
pour le traiter, qu'un effort beaucoup plus prolongé eut dû être 
attendu. On peut comparer cela ii un til qui est couramment et aisé- 
ment tiré du lin qui le donne tout prêt; ce fil glisse et se tord par le 
facile travail de la simple rotation du rouet. Mais chaque trait de votre 



574 ŒUVRES DE FERMAT. — TRADUCTIONS. 

plume demandait, dans cette occasion, une nouvelle taille de pierre en 
forme dans le bloc brut, pour assembler la voûte que vous bâtissiez; 
assemblage qui, pour la moindre partie, réclamait l'exactitude la plus 
stricte et la plus parfaite dans le tout et dans le détail. Là-dessus l'ad- 
miration est justement acquise à l'aisance avec laquelle vous avez ac- 
compli ce travail d'Hercule, en vous jouant vraiment. Quand je le con- 
sidère sous ce rapport, je suis en vérité troublé d'avoir quelque peu 
contribué à vous en charger (quoique je n'aie été qu'un instrument 
passif); mais à le voir sous une autre lumière, à reconnaître ce qui en 
est en vérité, je veux dire combien peu il vous a coûté, quel progrès 
il a réalisé et quel honneur en rejaillira sur notre nation, j'avoue alors 
que je suis heureux de l'opposition qu'on vous a faite; non que j'ap- 
prouve l'aigreur qui, parfois, accompagne les disputes, et spécialement 
en Mathématiques (où l'on ne doit considérer que la démonstration, les 
parties ne devant s'occuper que du seul sujet en question). Mais le 
genre et le style de ce pays leur fournit une excuse; on y est d'ordi- 
naire dans les discussions très aigre ou plutôt méchant (à mon sens), 
de part et d'autre, et si vous n'aviez pas été un étranger, et, de fait, 
quelqu'un pour qui ils ont une grande estime, ils auraient encore été 
moins sans gène ii votre égard, car, à leur compte, tout ce qu'ils disent 
dans ce goût n'est qu'une ronde et habituelle familiarité, loin de toute 
injure ou offense. M. Fermât m'a envoyé, il y a quelque temps, une 
lettre où il revient sur quelques points de vos envois antérieurs; il 
s'en rapportait à ma discrétion pour vous communiquer ce qu'il écri- 
vait. 

Aussi longtemps qu'il m'a laissé le choix, je ne vous en ^i point 
envoyé copie ; mais maintenant, par le dernier courrier, il me demande 
de le faire; je vous adresse donc une transcription de cet écrit. Certai- 
nement vous avez la satisfaction d'avoir affaire en même temps aux 
deux plus grands hommes de France (de l'aveu de tous les plus émi- 
nents), et je ne doute pas que vos dernières lettres des 4 et i5 mars 
(que j'ai reçues précisément ce matin, en même temps qu'une de vous 
du même temps à Mylord Brouncker) ne vous assurent de leur part et de 



COMMERCIUM DE WALLIS. 575 

celle de tout le monde une pleine et entière déférence. Quoique, depuis 
que j'ai reçu ces lettres, je n'aie eu que le temps de les parcourir 
rapidement, tandis que de tels morceaux ont besoin d'être examinés 
sérieusement et à loisir (spécialement pour un joueur aussi faible que 
moi dans ces parties), je vois assez la lumière qui y éclate pour la sa- 
luer comme un Soleil, non pas à son lever, mais à son midi en culmi- 
nation, au plus haut point du zénith. J'ai la confiance que ces derniers 
écrits ne susciteront plus de chicanes contre eux; je vais tout aussitôt 
m'empresser de les envoyer ;i M. Fermât et ii M. Frenicle, et je vous 
transmettrai de même immédiatement ce qu'ils m'en diront. 

Votre précédente lettre, celle qui est restée si longtemps dans les 
mains du Docteur F., a été envoyée par le dernier courrier à M. Fre- 
nicle, qui est dans cette ville, mais que mon indisposition ne me 
permet pas d'aller voir moi-même. Il m'a répondu un mot par mon 
homme, me disant qu'il écrirait à cette occasion quelque chose que 
j'aurais aujourd'hui avant le départ de la poste pour Londres. Je vais 
garder mon paquet ouvert jusqu'au dernier moment, qui n'est pas 
bien éloigné, et si quelque papier me vient de M. Frenicle, je le com- 
prendrai dans l'envoi. 

Je vous fais donc mes très humbles et sincères remercîmcnts pour 
la belle démonstration que vous avez bien voulu m'envoyer. En vérité, 
elle m'a infiniment plu et je suis sûr qu'elle plaira de même à tous 
ceux qui la verront. Je vous aurais demandé la permission de la rendre 
publicijuris en la faisant imprimer, mais le post-scriptum de votre lettre 
du if) mars me fait connaître que vous avez l'intention de publier C(! 
qui s'est passé entre vous et ces Messieurs, par mon entremise ; si vous 
le faites, j'espère et désire très vivement que cette excellente produc- 
tion de votre seul cerveau trouve là une place, qui sera certes plus 
belle et honorable si elle est accompagnée de plusieurs sœurs du 
même père et assistée d'un cortège venant des familles des deux plus 
riches seigneurs de cette nation en ce genre de trésors, que si elle se 
présentait toute seule sans compagnie ni entourage. Quant à ce que 
vous avez bien voulu me demander très civilement et très obligeam- 



576 ŒUVHES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

ment mon avis à l'occasion de la publication do ces lettres, je ne puis 
que vous remercier très humblement de votre égard par moi. Si j'a- 
vais imaginé qu'elles devaient survivre à leur lecture par vous, moi 
qui les écrivais, comme si j'avais été à converser avec vous de vive 
voix, j'y aurais certes marqué avec plus de soin et d'attention le res- 
pect que je professe pour vous. 

Si ma santé et ma force me le permettaient, je vous entretiendrais 
de diverses particularités que je suis obligé de remettre à une autre 
fois, quoiqu'on vérité vous puissiez raisonnablement trouver cette 
lettre assez longue et fastidieuse pour avoir plutôt besoin de pardon 
et d'excuse; mais j'ai tant de plaisir à vous entretenir qu'il me coûte 
beaucoup d'en finir. Comme je viens seulement de me relever d'une 
maladie qui m'a retenu près d'un mois dans mon lit, je ne suis pas 
capable d'écrire plus longtemps; c'est d'ailleurs la première fois 
depuis que je suis levé, que j'emploie ma plume pour une affaire 
do quelque importance. En envoyant hier votre lettre à M. Format, 
j'ai été obligé d'employer la main do mes secrétaires. Je vous sou- 
haite tout bonheur et, prenant respectueusement congé de vous, je 

demeure. 

Digne Monsieur, 

Votre très humble et très obéissant serviteur, 

KeNELM DlGBY. 

Paris, 4 mai iG58. 

LETTRE XXXVII 

(renfermée, avec la suivante, dans la précédente). 

Fermât a Kenelm Digby. 

Toulouse, 7 avril iG58. 
( Voir la Correspondance de Fermât, n° 91, Tome II, page i']^-) 



COMMEHCIUM DE WALLIS. 577 

LETTRE XXVIII. 

Freniclf. a Kenei.m Digby. 

Je m'étais proposé, très illustre et tri-s honoré Soigneur, de ne plus 
rien écrire à propos de ces disputes qui me sont fastidieuses et aux- 
quelles je répugne grandement; cependant, cette fois encore, j'ai cru 
devoir vous adresser quelques remarques pour vous faire comprendre 
que le clarissime Wallis, dont je connaissais déjà la science, me fournit 
surtout un sujet d'étonnement, quand je vois qu'un homme aussi péné- 
trant a pu s'oublier assez lui-même pour donner des solutions telles 
que celles qu'on lit dans sa lettre du 21 novembre et qu'il soutient 
encore comme légitimes. Il n'a pas d'ailleurs à me reprocher de ne 
pas avoir d'estime pour lui ou pour ses œuvres; il en est tout autre- 
ment; mais si j'ai eu de lui une opinion autre que celle qu'il méritait, 
qu'il s'en accuse lui-même; car c'est bien lui qui avait été la cause 
de cette fausse appréciation, en présentant comme choses sérieuses 
de vraies plaisanteries, s'il m'est permis de le dire. Sans doute il 
n'avait pas voulu appliquer sérieusement son esprit sur ces matières; 
car, à voir ses dernières solutions et sa dernière lettre, je le reconnais 
comme très habile et très perspicace, quoique trop attaché \\ défendre 
les opinions qu'il a une fois émises; il ne réfléchit pas combien il est 
habituel aux hommes de se tromper et combien il est honnête et 
louable de reconnaître son erreur et de s'abstenir d'un entêtement 
hors de saison. 

Qu'il n'estime pas non plus que j'aie prétendu triompher de lui ou 
lui faire quelque insulte; mais ma réponse à sa lettre était bien en 
rapport avec celle-ci; aussi suis-je prêt à lui donner satisfaction pour 
tout ce que renferment les deux épîtres dont il se plaint et à montrer 
qu'elles ne contiennent rien qui ne s'appuie sur des raisons qu'il faille 
admettre, rien qui ne réponde justement à sa lettre précitée du 21 no- 
vembre. Il n'a pas à m'objectcr que j'ai dû avoir une fausse opinion de 

FtllMAT.— ui. 7^ 



578 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 

lui, puisque je n'ai pu le juger autrement que par ses œuvres : « A leurs 
fruits vous les connaîtrez ». Et il n'y a pas de mathématicien qui ne 
juge que, du moment où je ne gardais pas un silence absolu, j'aie l'ait 
preuve à son égard de plus de courtoisie qu'il n'était en droit de s'y 
attendre. Et en vérité, si dans ces réponses il y a quelque chicane, 
elle a eu au moins cette utilité qu'elle a pu faire connaître en partie 
ce qu'il vaut vraiment, soit à moi, soit aux autres qui ont vu sa der- 
nière lettre, car c'a été pour lui un aiguillon qui l'a forcé ;i examiner 
plus attentivement les questions et ii s'en rendre maître. Il est clair 
en effet désormais qu'il possède la troisième de Fermât et la sienne; 
quant aux deux premières de Fermât, il reste un doute jusqu'à ce qu'il 
ait fourni, en dehors de l'unité, un autre cube et un autre carré qui, 
ajoutés il leurs parties, fassent l'un un carré, l'autre un cube, ou 
jusqu'à ce qu'au moins il résolve le problème posé pages 3 et 4 de 
y Inquisilion de Freniclc sur la solution de Schooten et trouve en nom- 
bres les trois cubes et le carré exprimés analytiquement. 

Le clarissime Wallis doit aussi faire attention à ne pas prendre le 
silence de Fermât comme la reconnaissance qu'il a eu satisfaction et 
qu'il admet de pareilles solutions; car il en est tout autrement. Ce 
silence vient de ce que Fermât le voit seulement attaché à ces solu- 
tions non acceptables et qu'il préfère le laisser dans cette fausse 
estime et dans la vaine joie ({u'elles lui donnent plutôt que-d'essayer 
en vain de le détourner d'elles. 

Enfin, dans la dernière lettre du clarissime Wallis du 19 mars, il y a 
un point où il ne me paraît pas agir franchement, quand il soutient 
que de mes deux épitres précitées la seconde contredit la première, 
puisque, dit-il, la seconde reçoit l'unité comme cube et comme carré, 
la première la rejette. La première en effet ne refuse nullement à 
l'unité le caractère de cube ou de carré qui lui est communément 
attribué; mais, comme l'unité n'a pas de parties, on nie qu'elle puisse 
être présentée comme le cube ou le carré cherché, qui doit être ajouté 
à ses parties, qui doit donc en avoir. Si donc dans la première on dit 
que Wallis, en donnant l'unité, n'a pas donné un cube, il est plus 



COMMERCIUM DE WALLIS. 579 

clair que le jour qu'il faut entendre, non pas que l'unité n'est pas un 
cube absolument parlant, mais bien qu'elle n'est pas un cube satis- 
faisant à la question. 

En ce qui concerne ces solutions, qui sont tellement faciles qu'il 
suffise pour les trouver de multiplier par 2 ou 3 un nombre donné, je 
ne sais si, dans votre Angleterre, on a coutume de les admettre; mais 
ici on ne le ferait pas, et s'il est vrai que le problème est imparfaite- 
ment proposé quand on peut y satisfaire de la sorte, contre la pensée 
de l'auteur, cependant nous ne croyons pas qu'il faille astreindre les 
mathématiciens à faire leurs propositions avec une précaution absolue, 
surtout quand elles viennent de savants comme l'est hors de doute le 
très docte Fermât et quand elles sont énoncées seulement ii la hâte et 
pour faire plaisir; c'est ii celui qui donne la solution à la fournir juste 
et digne d'elle-même. Si quelqu'un proposait au contraire un pareil 
problème, ayant en vue une solution aussi simple, on prendrait cela 
pour une injure; car le proposant paraîtrait tenir son correspondant 
pour tout à fait inhabile, à sembler regarder comme suffisant de lui 
proposer ce qu'on ne devrait pas même demander à un enfant. 

Voilà, très illustre Seigneur, ce que j'ai cru devoir vous faire remar- 
quer; vous saurez par là ce que je pense maintenant du clarissimc 
Wallis, comme vous savez que c'est malgré moi, sur votre invitation 
et forcé par vous (car pour moi vos désirs sont des ordres), que j'ai 
porté un jugement sur sa lettre, et que je serai d'ailleurs et toujours 
votre très attaché et tout dévoué. Adieu. 



LETTRE XXXIX. 
John Wallis a Kenklm Digdy. 

La lettre que vous m'avez envoyée, très noble Seigneur, en