Full text of "Œuvres de P.L. Tchebychef"

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CECURES 


DE 


P. L. TCHEBYCHER,. 


PUBLIÉES PAR LES SOINS. 


de MM. A. MARKOFEF et N. SONIN, 


MEMBRES ORDINAIRES DE L’ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES. 







: AAIBRAR 
Fr OFTHE 8 


UNIVERSHY 










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OF ; 
RSALIFORNIEZ 


TOME II. 


(Avec deux portraïts.) 





ST.-PÉTERSBOURK(. 1907. 


Commissionaires de l’Académie ImPÉRIALE des Sciences. 
J, Glasounof et C, Ricker à St-Pétersbourg; N, Karbasnikof à St-Pétersbourg, Moskou, Varsovie 


et Vilna; M, Klukine à Moscou; N, Oglobline à S.-Pétersbourg et Kief; E, Raspopof à Odessa; 
N, Kymmel à Riga; Voss’ Sortiment (G, W. Sorgenfrey) à Leipsic; Luzac & Cie à Londres. 





Prix: 17 Mrk. 50. Pf. 


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Imprimé par ordre de l’Académie Impériale des sciences. 
Mai 1907. _ $S. d’Oldenbourg, Secrétaire perpétuel. 


IMPRIMERIE DE L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES. 
Vass. Ostr., 9 Ligne, Xe 12. 


TABLE DES MATIÈRES DU TOME SECOND. 


PONS DR D Re es emo à doemé uns ee 
Rapport du professeur extraordinaire de l’université de St.-Péters- 


bourg Tchebychef sur son voyage à l’étranger.. ......... 


Résumé de la thèse sur l’intégration à l’aide des logarithmes . .. 


1. Des maxima et minima des sommes composées de valeurs d’une 
fonction entière et de ses dérivées. ................. 

2. Sur l'intégration des différentielles les plus simples parmi cel- 
les qui contiennent une racine eubique . # ............ 
CULOOA  L L RRNRNIRRS  AEEE 
4. Sur les fonctions analogues à celles de Legendre ......... 
5. Sur la détermination des fonctions d’après les valeurs qu’elles 
ont pour certaines valeurs de variables. .............. 

6. Sur les parallélogrammes .................. Ris 
#4 HD PODIIAISNE CADitfDeS Sd de dei 
nu mi onitos 
Ne oi. 2 
10. Sur les valeurs limites des intégrales ................. 
11. Sur les fonctions qui diffèrent le moins possible de zéro . ... 


. Sur l’interpolation des valeurs équidistants ............. 
. Sur les expressions approchées linéaires par rapport à deux 


nids. 


. Sur la résultante de deux forces appliquées à un seul point. . 
. Les plus simples systèmes de tiges articulées. . .......... 
. Sur les parallélogrammes composés de trois éléments et symé- 


POUR DE ADO D UN SN. 0... .. 


. Sur les parallélogrammes composés de trois éléments quel- 


RÉ ER Re 


. Sur les fonctions qui s’écartent peu de zéro pour certaines va- 


LR D his 0 Rd OU OO OP RAR RO 


. Sur les plus simples parallélogrammes qui fournissent un mou- 


vement rectiligne aux termes du quatrième ordre près . ... 


. Sur le rapport de deux intégrales étendues aux mêmes valeurs 


RE du LU du © Da Er Un | 


. Sur une série qui fournit les valeurs extrêmes des intégrales, 


lorsque la fonction sous le signe est décomposée en deux 
Une re nov aus sets 


162583 


PAGES. 
I—VI 
VII —XIX 
XX 
3—40 
43—47 
51—57 
61—68 
71— 82 
85—106 
109—126 
129—161 
165—180 
183—185 
189—215 
219—242 
245—264 
267—270 
273—281 
285—297 
301—331 
390 — 390 
309—374 
377—402 
405—417 


IV 


22, Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par 
des résidus IntBRTANR 7,50. Nue dencre 

23. Sur les résidus intégraux qui donnent des valeurs approchées 
Den DORMI sue eo me pate erseirees seu 

94. Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités . ..:........ 
25. Sur le système articulé le plus simple donnant des mouve- 
ments symétriques Dar FAPPOIE à UD AXO,.,......:.... 

26. Sur les expressions approchées de la racine carrée d’une va- 
2": riable par: def: FEAGRIONE SIMPIS. +. ,.7. 6. sue se ee «à. É 


27. Sur les sommes composées des valeurs de monûmes ds 


multipliés par une fonction qui roste toujours positive . 

98. Sur le développement en fractions continues des séries proté- 
dant suivant les puissances décroissantes do la variable . 

29. Sur les polynômes représentant le mieux les valeurs des fonc- 
tions fractionnaires élémentaires pour les valeurs do la va- 
riable contenues entre doux limites données ........... 

30, Sur les sommes qui dépendent des valeurs positives d’une 
fonction quelconque An EE Ole RENE PE \ 


NOTES ET EXTRAITS. 


Sur la limite du degré de la fonction entière qui RE à cer- 
! = IMOOB CONUIUUBS , 4 eu eme eee ro ass RO 
Sur la généralisation de la formule de M. Catalan et sur uno he 
mule arithmétique qui en résulte................... 

Sur une transformation de séries numériques 
D ne OS do nen ie ne dut da eme or tess à 
Sur les parallélogrammes les plus simples symétriques autour d’un 
1x0 


COL COR SES DEP DE VE DURS AE HE ON 2 eh 7, 


tire SPAS OS © 06. FE SUR, NAT MIA SN be st 6,6 015 0e 6 ee À + + ss e 


Ge dre. 4180) 0e 0 :#61:0110. 857010 +7" "0, Q"Æ 


Sur les exprossions te des intégrales définies par les 
autres prises entro les mêmes limites 
DR PO NOUOn des CONTRE. 2... .... 
Une machine arithmétique à mouvement continu............. 
Sur les fractions algébriques qui représentent approximativement 
la racine carrée d'une variable comprise entre les limites 
en ns us qe deu ve 
Sur la transformation du mouvement rotatoiro en mouvement sur 
certaines lignes, à l’aide de systèmes articulés . ...:.... 
Sur les sommes composées des coefficients des séries à à termes po- 
Du en dev à à eee des ce 
Règle de Tehebychef pour Pévaluation approximative des distances 
sur la surface do la Terre 


SOUS TS SUR Ces Los es dore ls 54 ee 


PAGES. 
421—440 
443—477 
4181-40 
495—540 
543-558 
.561—610 
613—666 
669—678 
681—698 

701 
702-704 
705-707 

De 

709—714 

715 
716—719 
720 
721724 
+708 
126739 
733—735 


?, 786 






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OFTHE 


UNIVERSITY 







*OF 
SSALIFORNIÈ 





NOTICE BIOGRAPHIQUE *). 


Traduit par M-me C. Jossa. 


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Pafnouty Lvovitch Tchebychef naquit le 14 mai 1821 dans la 
propriété de son père, le village d'Okatovo (district de Borovsk, gou- 
vernement de Kalouga). Sa famille était de vieille noblesse; son père 
était un homme instruit (selon les idées de ce temps-là) et jouissait 
d’une fortune considérable. 

L'instruction primaire, jusqu'à l'entrée à l’université, fut reçue 
par P. L. chez ses parents. La mère lui apprit à lire et à écrire et 
quelques autres matières, l’arithmétique et la langue française lui fu- 
rent enseignées par sa cousine germaine, À. K. Soukharef, personne 
très instruite et qui semble avoir joué un rôle important dans son 
éducation. 

En 1832 la famille Tchebychef se rendit à Moscou afin de pré- 
parer P. L. et son frère aîné à l’université. On prit les meilleurs 
maîtres de tout Moscou, entre autre le mathématicien alors bien 
connu Pogorelsky, dont Tchebychef déclarait dans la suite , l’Al- 
gèbre“ le meilleur manuel écrit en russe, comme étant ,le plus 
court“. 

À cette époque les talents mathématiques de P. L. se mani- 
festèrent définitivement et il arrêta son choix sur la faculté des 
mathématiques. 





*) Cette Notice est empruntée, presqu’en entier, d’un article (russe) de M, le prof. C. A. 
Possé inséré dans le Dictionnaire des écrivains et savants russes rédigé par M. Vénguerof ; 
cet article contient encore un aperçu des travaux de Tchebychef. 

Parmi d’autres aperçus de la vie et des travaux de Tchebychef on peut mentionner un 
article (russe) de M. le prof. A. M. Liapounoff inséré dans le t. IV de la IL série des Commu- 
nications de la Société mathématique de Kharkof et un travail (français) de M. le prof. A. Vas- 
silief sous le titre: «P. L. Tchebychef et son oeuvre scientifique» inséré dans le Bolletino 
di bibliografia e storia delle scienze matematiche pubblicato per cura di Gino Loria, 1898, et 


publié en allemand par B. G. Teubner à Leipzig. 
I 


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Entré à l'université de Moscou en 1837, Tchebychef écrivit au 
bout d’un an un ouvrage intitulé ,, Calcul des racines d’une équation“, 
qui lui valut une médaille d'argent et, prouvant les capacités du jeune 
auteur, tourna vers lui l’attention du professeur de grand renom 
N. D. Braschmann. Celui-ci devina un homme de génie dans son 
jeune élève et se mit dès lors à guider soigneusement ses occupa- 
tions et À le persuader constamment de se consacrer exclusivement 
aux mathématiques. A ce savant Tchebychef, ainsi que ses autres 
élèves, voua ur sentiment de profond respect et garda jusqu'à sa 
mort comme une quest une photographie que Braschmann luiavait 
donnée jadis. $ 

Tchebychef termina ses études N l’université en 1841. 

En 1840 une partie considérable de la Russie fut en proie à la 
famine et les affaires de beaucoup de propriétaires; entre autres des 
parents de Tchebychef, tournèrent trés mal. Toute la famille se vit 
obligée de s'installer dans ses propriétés et il devint impossible au 
père de donner à son fils de quoi subsister à Moscou. : 

Pour ne pas tomber dans la misère, un jeune homme, ayant ré- 
cemment terminé ses études à l’université, serait tout naturellement 
entré au service quelque part ou se serait procuré de leçons; mais 
Tchebychef ne fit ni l’un ni l’autre. Il considérait non sans raisons 
que ces occupations le détourneraient de sa science de prédilection et 
choisit la misère. Depuis 1841, n’ayant pas encore atteint sa majorité, 
P. L. ne recevait de son père que le logement gratuit dans sa maison 
à Moscou. Il s'installa dans cette maison avec ses deux frères, après 
avoir pris comme pensionnaires deux jeunes garçons, qui se prépa- 
raient à entrer au collège en même temps que les deux jeunes Tche- 
bychef. Pendant un certain temps il essaya de leur enseigner lui- 
même les mathématiques, mais ces leçons ne durèrent pas longtemps, 
car, de son propre aveu, il s’y montra pédagogue peu patient, se 
fâchant contre ses élèves et criant après eux. 

C'est à cette époque que parurent les premiers travaux scienti- 
fiques de Tchebychef et sa thèse de licence (ès sciences) ,, Essai d’une 
analyse élémentaire de la. théorie des probabilités" qu'il soutint à 
l'université de Moscou en 1846. es 

En 1847 Tchebychef s'installa à St. D où, après avoir 
soutenu sa thèse ,,De ae à l’aide des logarithmes“, il reçut 
l'emploi de professeur adjoint à l’université de St. Pétersbourg, à la 
place du professeur W.A. Ankoudovitsch. Cette thèse dont le sujet 


entra dans les travaux ultérieurs de Tehebychef, ainsi que son dis- 
I 


— Il — 


cours d'ouverture est conservée en manuscrit et accompagnée d’un 
résumé imprimé. Cette thèse valut à Tchebychef le droit de faire un 
cours à l’université; il fut nommé docteur en mathématiques en 1849 
pour sa troisème thèse qui fut son oeuvre célèbre ,,La théorie des 
congruences“- | 

Presque en même temps que Tchebychef, V. J, Bouniakov- 
sky, un des plus célèbres mathématiciens russes, qui était à cette 
époque académicien ordinaire de l’Académie des Sciences, entra à l'uni- 
versité de St. Pétersbourg comme professeur ordinaire. La chaire de 
mathématiques appliquées était alors occupée par un autre mathémati- 
cien non moins célèbre, J. J. Somof. Ces deux hommes, si éminents 
non seulement par leurs mérites scientifiques, mais aussi par leurs 
qualités morales, furent les premiers avec lesquels Tchebychef se 
lia à son arrivée à St. Pétersbourg et garda les meilleures relations 
jusqu’à leur mort. C’est surtout avec Bouniakovsky qu'il était lié 
et celui-ci, ayant aperçu dans Tchebychef une énorme force scienti- 
fique, l’attira À l’Académie des Sciences d’abord en qualité de son 
collaborateur dans l'édition des travaux du célèbre Euler, et puis 
comme membre (en 1853 Tchebychef fut élu adjoint et en 1859 — 
membre ordinaire de l’Académie des Sciences). 

La position pécuniaire de Tchebychef lors son installation à 
St. Pétersbourg était trés pénible. Les affaires de ses parents se trou- 
vaient en désarroi et il n'avait pour vivre que ses modestes appointe- 
ments de professeur-adjoint. Cette gêne le forçait d'être trés éco- 
nome; tel 1l est resté jusqu’à la fin de ses jours. 

La seule chose, pour laquelle il ne ménageait pas son argent, 
c'étaient les modèles des mécanismes de son invention; pour leur con- 
struction il dépensait des centaines et des milliers de roubles. Dès son 
enfance 1l aimait à construire différents appareils. Parti d'un joujou 
fait avec son canif, il arriva à la construction de sa fameuse machine 
arithmétique très-compliquée qui se trouve au Conservatoire des 
arts et métiers“ à Paris; beaucoup de ses appareils sont conservés à 
l’université de St. Pétersbourg et à l’Académie des Sciences. 

Tchebychef ne fréquentait qu'un cercle très étroit de connais- 
sances; le plus souvent il allait chez Bouniakovsky, où se réunis- 
saient beaucoup de mathématiciens, entre autres le célèbre M. V. 
Ostrogradsky. 

Dans sa jeunesse, Tchebychef allait souvent voir J. J. nos 
pour lui conter ses découvertes et pour mettre au profit la grande 


érudition de son collègue plus agé, afin de savoir, si la découverte 
| 7 


n'avait pas été déjà faite par quelque autre mathématicien. À en 
croire le frère de J. Somof, celà arrivait parfois. Il va sans dire que 
ce ne pouvait être qu’à l’époque où Tchebychef n'avait pas encore 
abordé les questions mathématiques que personne n’avait touchées 
avant lui et où il ne courait pas le risque d’être dévancé. Il est à 
remarquer que Tchebychef préférait les investigations originales à 
l'étude des travaux d’autres mathématiciens, des contemporains sur- 
tout. Ayant étudié à fond les oeuvres des grands mathématiciens 
Euler, Lagrange, Gauss, Abel etc., Tchebychef ne prêtait pas 
d'importance à la lecture de la littérature mathématique courante, 
affirmant que le trop de zèle à étudier les travaux des autres nuisaït 
à l'originalité des ses propres travaux. 

Les voyages à l'étranger furent les distractions favorites de 
Tchebychef. D'abord il entreprit ces voyages non pas pour se repo- 
ser, mais avec un but tout scientifique. Dans le rapport (reproduit 
plus bas) de sa mission à l'étranger on trouve la description de son 
voyage, de ses visites d'usines pour l'étude de la mécanique ap- 
pliquée, de la fréquentation des séances des sociétés scientifiques, et 
de ses entretiens avec les savants illustres de différents pays. 

Dans les années suivantes, Tchebychef, sans négliger le but 
scientifique des ses voyages, en profita aussi pour se reposer de 
ses occupations continuelles. Il aimait surtout à voyager en France, 
où il avait beaucoup de relations parmi les savants, allait aux con- 
grès et y faisait des communications sur ses découvertes scienti- 
fiques. 

Très-économe, Tchebychef descendait lors ses premiers voyages 
à Paris dans un hôtel très modeste (,,Hôtel Corneille“ vis-à-vis de 
l'Odéon), ne dinait que dans de petits restaurants et allait en omni- 
bus; ce n’est que beaucoup plus tard qu’il changea ses habitudes et 
même invita ses amis français À diner. 

Lorsqu'il restait pour les vacances en Russie, il passait l'été le 
plus souvent près de Reval à Catherinenthal. 

L'activité de Tchebychef comme professeur au sens propre du 
mot dura juste 35 ans, — de 1847 à 1882 (de 1847 à 1853 professeur 
adjoint, de 1853 à 1857 se professeur extraordinaire et depuis 1857 — 
ordinaire), et fut consacrée exclusivement à l’université de St. Pé- 
térsbourg sans compter un cours de mécanique de peu de durée au 
Lycée de l'Empereur Alexandre I. A diverses époques il fit des cours 
de géometrie analytique, d’algèbre supérieure, de théorie des nom- 
bres, de calcul intégral, de théorie des probabilités et de calcul des 


> Ÿ 


différences finies, de théorie des fonctions elliptiques et de théorie 
des intégrales définies. 

Tchebychef comme professeur était d'une rigueur pédantes- 
que; presque jamais il ne manquait, n'était Jamais en retard, mais 
ne restait pas une minute après l'heure, dût-1l interrompre la leçon 
au milieu d’une phrase. S'il lui arrivait de ne pas achever une dé- 
duction, il la reprenait depuis le commencement à la leçon suivante, 
si cette leçon né faisait pas une suite immédiate de la leçon précé- 
dente. Il précédait chaque calcul tant soit peu compliqué par une expli- 
cation de son but, et en indiquant la marche à grands traits. Il fai- 
sait son calcul presque toujours silencieusement de sorte que les étu- 
diants devaient le suivre à l’aide des yeux et non des oreilles. Le 
calcul se faisait assez vite et d’une manière très détaillée de sorte 
qu'il était facile d’en suivre la marche. Pendant les leçons Tcheby- 
chef faisait souvent des digressions du cours systématique, commu- 
niquait ses opinions et ses entretiens avec d’autres mathématiciens 
concernant les questions traitées pendant les leçons et expliquait 
l'importance comparée et la liaison réciproque des diverses questions 
mathématiques. Ces digressions animaient l'exposé, donnaient un re- 
lâche à l'attention tendue des auditeurs et éveillaient l'intérêt pour le 
sujet étudié. 

Les cours de Tchebychef n'étaient pas gros, mais substantiels, 
d’une exposé accessible et aisé à comprendre. 

Aux examens des étudiants Tchebychef n'était ni trop sévère, 
ni trop indulgent, mais toujours extrêmement retenu et courtois. Ses 
objections aux soutenances de thèses à l’Université concernaient tou- 
jours les questions générales sans toucher les détails et se distin- 
guaient par leur finesse et leur ingéniosité. 

Les mérites de Tchebychef comme professeur resteront tou- 
jours gravés dans la mémoire de ceux qui ont eu l’honneur de l'avoir 
pour maître. Il continuait d’instruire ses anciens élèves même après 
leur sortie de l’université. C'était lui qui guidait les premiers pas de 
ceux de ses auditeurs quis’étaient voués aux mathématiques, donnant 
de précieuses indications à tous ceux qui voulaient et savaient en ti- 
rer profit. 

Une fois par semaine à heure fixe, sa porte était ouverte pour 
tous ceux qui voulaient apprendre au grand mathématicien le résul- 
tat de leurs études et recevoir de lui quelque indication. Rarement le 
visiteur s’en allait sans emporter de nouvelles idées et sans être encou- 
ragé dans ses études. 


Un des mérites inoubliables de Tchebychef comme maître des 
mathématiciens russes fut, dans ses conversations scientifiques, de 
faire trouver à ses élèves, par ses travaux et ses indications, des su- 
jets féconds de recherches personnelles, et d'appeler leur attention 
sur des questions dont les résultats avaient toujours une certaine va- 
leur scientifique. : 

Tchebychef mourut dans sa 74-ième année, il vit les deux ju- 
bilés (celui de 25 ans et celui de 50 ans) de son activité scientifique, 
sans cependant les fêter. Toutes les tentatives de ses admirateurs et 
de ses élèves de souligner ces époques par quelque manifestation usi- 
tée furent declinées par le grand savant d’une façon très énergique. 

Sur la fin de Tchebychef on sait seulement qu'il avait con- 
tracté, quelques jours avant sa mort, une forme légère d’influenza, et 
tout en ne se sentant pas bien, n'avait pas pris le lit. | 

La veille de sa mort il reçut ses visiteurs à l'heure habituelle et 
personne ne croyait sa fin si proche. Le matin du 26 novembre 1894, 
en prenant un verre de thé assis à son bureau, il eut une faiblesse, 
et, après une courte agonie, succomba à une paralysie du coeur. 


RAPPORT 


du professeur extraordinaire de l'université de St. Pétersbourg Fohebyotref 
sur son voyage à l'étranger. 


Traduit par M-me C. Jossa. 





GKyprarr Muuucrepcrsa Haporxxaro Tpocs buenin. Macrs LXXVIIT. Orxbarenie IV, crp. 1-14). 





"Le 21 juin 1852, après avoir obtenu le passeport pour passer la 
frontière, je me suis embarqué sur un vapeur pour Stettin, où j'ai dé- 
barqué le 24 Juin et me suis rendu le même jour à Berlin. Suivant le. 
plan que j'ai tracé pour mon voyage, je n'ai passé à Berlin que 12 
heures et je suis parti pour Paris, choisissant le chemin le plus court. 
Passant près de Lille, j'ai cru nécessaire de visiter cette ville dans 
les environs de laquelle se trouve une quantité de moulins-à-vent. 
construits d’après le système hollandais et connus dans la Mécanique 
appliquée d’après les observations de Coulomb. L'instabilité du vent 
le rend inadmissible comme moteur dans les fabriques, où l'interrup- 
tion continuelle des travaux causerait des pertes considérables, mais, 
d'autre part, le vent nous présente le moteur le moins cher, c’est pour- 
quoi il est souvent employé pour moudre le grain, pour faire l'huile, 
pour piler le lin ete. Les moulins-à-vent de Lille sont particulièrement 
intéressants au point de vue dé la théorie actuelle du vent comme 
moteur: cette théorie vérifie ses résultats à l’aide des observations de 
Coulomb. Il faut constater cependant que la théorie et les observa- 
tions, tout en étant d'accord dans les traits généraux, diffèrent sé- 
rieusement dans le détail. Ainsi, d'après la théorie, l’inclinaison des, 
ailes du moulin-à-vent vers l’axe de rotation devrait diminuer conti-. 
nuellement en s’éloignant de leurs extrémités; au contraire, les obser- 
vations de Coulomb, faites sur les moulins-à-vent de Lulle, nous dé-, 


ENVIE 7 


montrent que la courbure de la surface des ailes suit une autre loi: 
au commencement l'angle formé par les éléments de l'aile et l'axe de 
rotation décroît en s’éloignant de l’extrémité de l’aile, mais, arrivé à 
une certaine limite, il commence à croître, de sorte que ses différences 
premières vont constamment en décroissant, tandis que la théorie 
enseigne qu'elles doivent s’accroître. Ce désaccord entre la théorie 
actuelle et les résultats de beaucoup d'observations faites par Cou- 
lomb sur les moulins-à-vent, dont la construction est tenue par les 
mécaniciens-praticiens pour modèle, nous suggère naturellement l'i- 
dée que, peut-être, certaines circonstances que la théorie actuelle ne 
prend généralement pas en considération, comme le changement de 
direction et d'intensité du vent sous l'influence de l'édifice même du 
moulin, la courbure de l’axe des ailes, etc., exercent une influence 
considérable sur la marche du moulin. En tenant compte de cela, on 
trouve aisément des expressions analytiques pour la quantité de tra- 
vail du moulin-à-vent et la forme la plus avantageuse de ses ailes; 1l 
n’y a que quelques constantes, différentes pour chaque type de mou- 
lin, qui restent inconnues. Pour vérifier ces expressions à l’aide des 
observations de Coulomb sur les moulins-à-vent de Lille, il faut avoir 
des données plus détaillées que celles qui suffisaient pour l'exposé de 
l’ancienne théorie des moulins-à-vent. C’est pourquoi en passant près 
de Lille j'ai trouvé utile de visiter cette ville et je suis resté deux 
jours à examiner les moulins-à-vent des environs. 

Le 28 juin je me suis rendu de Lille à Paris, où J'arrivai le soir 
même. À cette époque les études dans les hautes écoles étaient déjà 
finies; mais j'ai trouvé la plupart des professeurs À Paris, ce qui était 
d'une grande importance pour le succès de mon voyage, car, vu sa 
courte durée, il me fallait des renseignements sur place pour trouver 
immédiatement ce qui était d'intérêt principal pour mes études de la 
Mécanique appliquée et, outre cela, pour obtenir des recommandations, 
sans lesquelles on n'arrive pas à voir beaucoup de choses, ou on les 
voit d'une façon superficielle. 

Arrivé à Paris, je me suis adressé au célèbre géomètre Liouville, 
Membre de l’Académie des Sciences de Paris et éditeur d’un journal 
de mathématiques, auquel je collabore depuis 1842. Grâce à l’obli- 
geance de ce géomètre, j'ai trouvé l’occasion de lier connaissance avec 
les savants dont le concours était d’une grande importance pour le 
succès de mon voyage. 

D’après les renseignements que j'ai tirés des entretiens avec eux, 
j'ai conclu qu'il me serait utile d'employer une partie de mon séjour 


PRE IX — 


en France (ce séjour devait durer 3 mois) à examiner les machines et 
les modèles du ,,Conservatoire des arts et métiers“, À observer la con- 
struction des machines dans les usines de Paris et des environs, sur- 
tout dans celle de M. Cavé, connue par ses machines-à-vapeur À cylin- 
dres oscillants, et d’autres établissements mécaniques, présentant un 
intérêt particulier, ou se rattachant aux sujets de mes investigations 
de Mécanique appliquée; l’autre partie de mon séjour à l'étranger de- 
vrait être employée à voyager en France pour étudier divers objets 
intéressants, à visiter les usines métallurgiques d'Hayange, où sont 
fabriquées aussi diverses machines; les célèbres fabriques de papier 
des environs d'Angoulême; la fonderie de l'Etat de Ruelle etc., dont 
la visite ne me prendrait pas beaucoup de temps. 

Conformément à ce projet, j'ai étudié jusqu'au 8 août les objets 
se trouvant à Paris et aux environs. Ayant à ma disposition très peu 
de temps, que je devais partager entre le Conservatoire des arts et 
métiers“, les usines de M. Cavé et autres établissements touchant à 
la Mécanique appliquée, ainsi que le chemin de fer atmosphérique de 
St.-Germain, le chemin de Sceaux, reputé par sa sinuosité, la machine 
de Marly etc., je tâchais néanmoins d’enrichir mes connaissances théo- 
riques à l’aide d'entretiens avec les célèbres géomètres français. Je 
passais en conséquence les après-midis tantôt au ,, Conservatoire des 
arts et métiers“, tantôt aux fabriques, surtout chez Cavé, et les soi- 
rées étaient consacrées tant aux conversations avec M.M. Cauchy, 
Liouville, Bienaimé, Hermite, Serret, Lebesgue et d’autres savants, 
qu'aux études théoriques en rapport immédiat avec les données four- 
nies par l'examen des machines de différents systèmes, ou avec les 
questions d'Analyse, vers lesquelles mon attention était tournée par 
la conversation avec les savants. C'est ainsi que M.M. Liouville et 
Hermite m'ont suggéré l’idée de développer les principes sur lesquels 
fut jadis fondée ma dissertation, présentée en 1847 à l’université de 
St. Pétersbourg pro venia legendi. Dans cet écrit j'examinai le cas, où 
la différentielle à intégrer renferme la racine carrée d’une fonction 
rationnelle — le cas le plus simple et le plus fréquent dans les appli- 
cations. Mais il était intéressant sous plusieurs rapports d'étendre ces 
principes au cas d'un radical de degré quelconque. 

Ainsi dans le calcul intégral l’attention est surtout attachée à 
l'intégration des différentielles connues sous le nom de binomes; on 
propose pour cela un certain nombre de procédés particuliers, en expli- 
quant dans quels cas ces procédés réussissent. 

Excepté ces quelques cas on ne pouvait rien affirmer de positif 


EE, be — 


à propos de l'intégrale des différentielles binomes. Sont-ce nos procé- 
dés qui sont insuffisants, ou ces intégrales n'existent pas sous forme 
finie? On ne pouvait certainement trancher cette question à l’aide de 
procédés particuliers, si grande que soit la quantité des cas que ces 
procédés embrassent; il fallait un procédé général, embrassant tous les 
cas particuliers, et ce procédé se trouvait dans les principes dont j'ai 
parlé plus haut. 

Je me suis occupé du développement de ces principes pour dé- 
terminer les cas, où les intégrales des différentielles binomes existaient. 
sous forme finie, et ceux, où elles se présentent sous forme de trans- 
cendantes particulières. LE 

Mes recherches m'ont mené à la conclusion que les procédés par-. 
ticuliers proposés pour l'intégration des différentielles binomes.(algé- 
briques) embrassent tous les cas, où cette intégration est possible 
sous forme finie, et, par suite, la question de leur intégration sous forme 
finie doit être considérée comme résolue définitivement. Entre autres 
je suis arrivé À un théorème qui contient, comme un cas particulier, 
le fameux théorème d’Abel qu'il a laissé sans démonstration *). 

_ Des nombreux sujets d'étude qui se sont présentés pendant l’exa- 
men de différents mécanismes de transmission de mouvement, surtout 
dans la machine-à-vapeur, où l’économie du chauffage et la stabilité 
de la machine dépendent des procédés de transmission du travail de 
la vapeur, je me suis occupé surtout de la théorie des mécanismes 
connus sous le nom de parallélogrammes. En recherchant les moyens 
de tirer de la vapeur le maximum de travail dans le cas, où l’on exige 
un mouvement de rotation, Watt a inventé un mécanisme spécial pour 
transformer le mouvement rectiligne du piston en mouvement circu- 
laire du balancier, mécanisme connu sous le nom de parallélogramme. 
L'histoire de la Mécanique appliquée nous apprend que l’idée d'un 
pareil mécanisme fut suggérée au célèbre transformateur des machines- 
à-vapeur par l'examen d’un dispositif spécial, où la combinaison de di- 
vers mouvements de rotation formait des courbes dont quelques-unes 





#). . . . le théorème suivant très remarquable a lieu: «Lorsqu'une intégrale de la 


ie [EE —, où p et À sont des fonctions entières de x, est cxprimable par des logarithmes, 


on ù peut toujours l'exprimer de la manière suivante: 


[= 2+0VE 
p—avR 


où À est constant et .p et q des fonctions entières de x. Je me réserve de démontrer ce théo- 
rème dans une autre occasion. Abel, Oeuvres complètes, T. I, p. 65. 


étaient presque rectilignes. Mais nous ne savons pas, comment il est 
arrivé à la forme la plus avantageuse de son mécanisme et à la di- 
mension nécessaire de ses éléments. Les règles que suivait Watt dans 
la construction des parallélogrammes ne pouvaient garder leur sens 
pratique que jusqu’au moment, où l’on à reconnu la nécessité d’en chan- 
ger la forme; ce changement de forme demanda de nouvelles règles. 
La pratique et la théorie actuelle tirent cesrègles d’un principe suivi 
sans doute par Watt pour la construction de ses parallélogrammes. 
Les raisonnements que l’on fait pour démontrer ce principe ne peu- 
vent certainement soutenir aucune critique; il arrive souvent que les 
éléments du parallélogramme trouvés à l’aide de ce principe ne con- 
viennent pas en pratique, et il a fallu tracer des tables spéciales pour 
les corriger. 

On voit bien la nécessité de soumettre les parallélogrammes de 
Watt et leurs modifications à une analyse rigoureuse, substituant au 
principe en question les propriétés essentielles de ce mécanisme et les 
conditions de la pratique. Pour arriver à ce but je me suis mis à étu- 
dier les conditions dont dépendaient plusieurs des éléments de ce mé- 
canisme dans les machines des usines aussi bien que sur les bateaux- 
à-vapeur, et d'autre part — l'effet nuisible de l'irrégularité de sa 
marche, dont les traces étaient visibles sur les machines longtemps 
en usage. 

Me proposant de déduire les règles pour la construction des pa- 
rallélogrammes de la nature même de ce mécanisme, je me suis trouvé 
en présence de questions d'Analyse fort peu connues jusque-là. 
Tout ce qui est fait sous ce rapport est dû au Membre de l'Académie 
des Sciences de Paris, M. Poncelet, qui s’est créé un nom dans la Mé- 
canique appliquée; on emploie souvent les formules, trouvées par lui, 
pour calculer les résistances nuisibles des machines. La théorie du 
parallélogramme de Watt demande des formules plus générales et 
leur application ne doit pas se restreindre à l'étude de ces mécanismes. 
La Mécanique appliquée et les autres sciences appliquées contiennent 
beaucoup de questions pour la solution desquelles ces formules sont 
nécessaires. 

Comme j'avais très-peu de temps à ma disposition pour traiter 
un sujet de si grande étendue, je n’ai achevé que la première partie 
de mon Mémoire, qui a été présenté à l’Académie Impériale des Sci- 
ences. | 
La question des D éhnrannite de Watt est étroitement liée 
à la question de la construction des machines-à-vapeur sans balancier, 


— XI — 


c'est À dire — sans ce mécanisme. Le système de machines-à-vapeur 
de Cavé à cylindres oscillants est des plus remarquables sous ce rap- 
port. Cela me fit m'intéresser à sa fabrique. A l’aide de ces cylindres 
oscillants la composition de la machine-â-vapeur devient beaucoup 
plus simple. Mais la mobilité des cylindres présente beaucoup de diffi- 
cultés dans leur construction, surtout dans l’aménag'ement des soupa- 
pes. C’est surtout pour cette raison que je suivais avec un vif intérêt 
la construction de divers organes de ces machines, très avantageux 
dans certains cas. 

Outre la fabrique de M. Cavé, la collection de modèles de machi- 
nes du ,,Conservatoire des arts et métiers‘ (où se trouve entre autres 
le modèle d’une machine-à-vapeur très originale, inventée par le comte 
Roumiantzef), la machine mobile, achetée par le Gouvernement Fran- 
çais à Londres à l'Exposition Universelle, mon attention fut surtout 
attirée par deux machines: celle du chemin de fer atmosphérique de 
St.-Germain, et celle de Marly. Cette dernière présentait pour moi 
un intérêt tout spécial non seulement grâce à la combinaison ingéni- 
euse de plusieurs machines-à-vapeur, mais surtout parceque son tra- 
vail, consistant À élever l’eau à une hauteur considérable, est facile- 
ment déterminé par l'indication d’un manomètre ajouté aux pompes; 
en même temps d’autres manomètres déterminent la pression de la 
vapeur dans le cylindre et dans le condenseur. Cette machine prouve 
nettement l'influence que différentes conditions, généralement négli- 
gées par la théorie actuelle, exercent sur la quantité de travail. Ce 
n’est que d'observations pareilles que l’on peut espérer de tirer des 
formules déterminant avec une exactitude suffisante la quantité de 
travail de la machine-à-vapeur ainsi que les dimensions les plus avan- 
tageuses de ses parties. 

M'occupant ainsi des machines-à-vapeur, je ne négligeais pas, 
autant que le temps me le permettait, les roues hydrauliques. Le 
Conservatoire des arts et métiers“ me fournissait une collection nom- 
breuse de modèles de diverses roues, entre autres d’une turbine, qui 
se trouve dans un moulin à St.-Maur que j'avais visité trois fois. Cela 
m'a procuré l’occasion de trouver quelques données sur l'usage de ce 
moteur, qui n'est pas encore entièrement étudié théoriquement. 

En outre, le , Conservatoire des arts et métiers{‘, ainsi que les usi- 
nés que J'ai visitées, me fournirent d’amples matériaux concernant 
les différents mécanismes pour la transmission du mouvement et les 
machines déstinées À un travail spécial. Mon attention fut attirée 
entre autres par les machines d’un mécanicien très-intéressant Vau- 


LE — 


canson, par la machine arithmétique de Pascal, par des dispositifs 
pour l’élevation de l’eau, par des machines de filature de coton et de 
lin, et par des machines métallurgiques. 

Le 8 août je suis parti pour Metz. Je me suis arrêté pour quel- 
ques heures à Meaux pour y examiner les roues d’un moulin-à-eau, 
après quoi j'ai repris mon voyage pour Metz, où je suis arrivé le 9 août. 
Dans cette ville j’ai rencontré les Membres de la Commission Mathé- 
matique pour l'examen d'entrée à l'Ecole Polytechnique. Cette ren- 
contre m’a fourni l’occasion d'assister à cet examen. C’est à Metz que 
j'ai rencontré M. de Polignac, connu en France par ces recherches en 
Mathématiques. Lui et moi, nous nous sommes occupés des mêmes 
questions, — nous avons cherché la démonstration du postulat de 
Bertrand et d’autres propositions de ce genre, et en suivant des voies 
différentes, nous sommes venus à bout des difficultés, présentées par 
ces questions. Le 15 octobre 1849 M. de Polignac donnait à l’Acadé- 
mie des Sciences de Paris un rapport sur l'étude des séries spéciales 
nommées diatomiques et sur les applications qu’on peut en faire. Il 
disait en particulier être arrivé, en partant de ces séries, à démontrer 
rigoureusement que dans les limites a" et a"** il se trouve au moins 
un nombre premier. Quoique cela soit insuffisant pour faire la démon- 
stration du postulat de Bertrand, dans lequel les limites données sont 
plus étroites, même dans ces limites la présence d’un nombre premier 
ne pouvait être démontrée qu’à l’aide des procédés spéciaux. Les 
limites dans lesquelles on démontrait auparavant la présence d'un 
nombre premier étaient beaucoup plus larges. 

Les recherches de M. de Polignac ont attiré l’attention des Mem- 
bres de l’Académie des Sciences de Paris, surtout du géomètre Cauchy 
qui présenta à l’Académie, peu de temps avant mon départ de Paris, 
la seconde partie de ses recherches. Cependant en 1850 j'ai présenté 
à l’Académie des Sciences de St. Pétersbourg un article sur les ,nom- 
bres premiers“ contenant la démonstration du postulat de Bertrand; 
dans cet article j'ai démontré la présence des nombres premiers dans 
les limites plus étroites, et tout cela sans me servir des séries dia- 
tomiques. En publiant l’année suivante la première partie de son 
ouvrage, M. de Polignac compare, dans la préface, les procédés aux- 
quels 1l a eu recours avec ceux dont je me suis servi et insiste sur 
les avantages présentés par les séries diatomiques. Cette différence 
d'opinions sur le même sujet, très peu étudié jusqu’à ce temps, ex- 
plique bien le grand intérêt qui nous poussait l’un vers l’autre, et 
c'est à Metz que nous trouvâmes l’occasion de causer. — J'employais 


= IN — 


mes après-midis à causer avec M, de Polignac et les Membres de la 
Commission Mathématique, les célèbres géomètres Hermite et Serret, 
et les matinées étaient consacrées À la visite des usines de fer avec 
des fabriques de machines qui se trouvent en grand nombre près de 
Metz. Mon attention fut spécialement attirée par l'usine de Charles 
Wendel à Hayange connue pour son excellente PrÉPerAps de fer et 
sa construction de machines. Je suis resté à Metz jusqu’ au 16 août 
et je suis retourné à Paris le 17. 

Arrivé à Paris, J'ai repris mes travaux de Mécanique Fe. à 
En outre, M. Liouville s’était offert à m'exposer un abrégé de la nou- 
velle théorie des fonctions elliptiques, professée par lui au Collège de 
France. Jusqu'à ce temps cette théorie, si intéressante et si impor- 
tante par ses applications, ne consistait principalement que dans l'é- 
tude des procédés spéciaux, propres à elle. M. Liouville, célèbre par 
ses découvertes dans l'Analyse, eut l’idéé de baser cette théorie sur 
un principe général, déterminant l'importance des fonctions elliptiques 
entre les matières de l'Analyse pure. Sans s'arrêter sur la considé- 
ration des fonctions déterminées par une telle ou telle intégrale, 1l 
commence par l'étude des propriétés générales des fonctions, et les 
partage en deux classes: les fonctions bien déterminées et celles qui ne 
le sont pas complètement. | 

S'arrêtant sur les premières, qui sont les plus simples, 1l démon- 
tre quelques-unes de leurs propriétés générales; puis, passant au cas 
où elles sont périodiques, il démontre sur elles des théorèmes d’au- 
tant plus intéressants qu'ils ne dépendent aucunement ni de la forme 
des fonctions, ni de leur origine, mais uniquement de leurs propriétés 
essentielles, — détermination complète, continuité, périodicité. 

Partant de là, 1l fait une théorie des fonctions doublement pério- 
diques, les supposant partout bien déterminées. Il partage ces fonc- 
tions en classes, suivant le nombre des zéros et des infinis: il donne ces 
dénominations aux valeurs de la variable indépendante, qui, dans l’é- 
tendue d’une période, annulent la fonction ou la rendent infinie. Il 
démontre ensuite que le plus petit nombre de ces zéros et de ces in- 
finis est 2, et trouve l'expression de la fonction avec un nombre quel- 
conque des zéros et des infinis au moyen des fonctions, dans lesquel- 
les ces nombres ont la moindre valeur, c’est à dire sont égaux à 2. 
Ceci démontre l'importance des fonctions doublement périodiques à 
deux zéros et deux infinis. S'arrêtent sur ces fonctions, 1l recherche 
l'équation différentielle, à laquelle elle doivent satisfaire, en partant 
des propriétés générales des fonctions périodiques. L’équation qu’il 


e_—v— XV — 


trouve ainsi ést la même, qui sert à déterminer les fonctions ellip- 
tiques inverses de première espèce. C’est ainsi que M. Liouville passe 
des principes généraux aux intégrales elliptiques, qui ont d’abord 
attiré l’âttention des savants par léur forme et leurs différentes ap- 
-plications: c'est à une de cés applications qu’elles doivent leur nom. 
Jusqu'à présent les investigations de M. Liouville présentent. un 
intérêt purement théorique; .mais nous n'avons aucune raison d’ad- 
mettre qu'ici, ainsi que dans les autres parties de l'Analyse, un pro- 
fond coup d'oeil ne découvre quelque chose de nouveau, si variées 
que soient les investigations antérieures. ; 
:-: Outre la théorie des fonctions elliptiques de M. Liouville, j'ai 
trouvé l'occasion d'en connaître les principes fondamentaux élaborés 
par un autre géomètre français, M. Hermite. Les principes de ce géo- 
mètre sont inférieurs comme théorie à ceux de Liouville, mais ils leur 
sont préférables dans les applications, surtout dans les fonctions ellip- 
tiques de seconde et de troisième espèce, auxquelles les principes 
de Liouville ne peuvent être appliqués immédiatement. 
| Comme mon cours de l’université de St. Pétersbourg comportait 
entre autres matières la théorie des fonctions elliptiques, il m'était 
bien utile d'apprendre ce que les deux célèbres géomètres français 
avaient fait sur ce sujet. Il m'était aussi intéressant de vérifier mes 
propres idées sur la périodicité des fonctions en général. 

Le 28 août M. Liouville se rendit à Toul après m'avoir chargé 
de publier dans son journal deux de mes articles. Je passai les soi- 
rées à les rédiger, tout en continuant à m'occuper de Mécanique ap- 
pliquée. 

Le 16 septembre je suis parti à Angoulême connu par sa pro: 
duction de papier à lettre d'excellente qualité. En route j'ai trouvé 
l'occasion d'examiner une quantité d’objets très curieux touchant à 
la Mécanique, surtout la fabrique’ d'armes à Châtellerault. Je suis 
arrivé à Angoulême le 16 septembre au soir et j b suis resté jusqu'au 
26 septembre, 

Excepté les trois jours que j'ai mis à visiter Bordeaux (ce qui 
m'a procuré, entre autres, l’occasion de voir le pont suspendu sur la 
Garonne), j'aiemployé tout mon temps à étudier la fabrication du pa- 
pier à Angoulême et aux environs, surtout À la fabrique de M. Comte, 
avec lequel j'ai lié connaissance en route. J’ai visité en outre la fa- 
brique de canons de Ruelle, près Angoulême. A Coronne j'ai eu aussi 
l'occasion de visiter une fabrique de papier dont une partie était mise 
en mouvement par deux turbines. 


ES XVI = 


Le 28 septembre je suis rentré à Paris pour obtenir de notre 
ambassadeur l'autorisation d'aller en Angleterre, où je suis parti le 
2 octobre. R 

Arrivé à Londres, je me suis adressé aux deux géomètres an- 
glais, M. M. Sylvester et Cayley. C'est À l'amabilité de ces savants 
que je dois d’un côté les conversations intéressantes concernant dif- 
férentes branches des Mathématiques, — auxquelles je consacrais les 
soirées et les dimanches, pendant lesquels toutes les fabriques chô- 
ment, — et d’un autre côte la connaissance que j'ai faite avec le cé- 
lèbre ingénieur-mécanicien Gregory. Ayant appris le but de mon 
voyage et s'intéressant aux questions de Mécanique appliquée, qui 
étaient l'objet de mes recherches, il s'était offert À m'aider de trouver 
dans les fabriques de Londres tout ce qui m'était le plus indispen- 
sable. A cet effet il m'accompagna dans plusieurs fabriques, où 1l 
croyait pouvoir trouver des machines construites par Watt lui-même. 
Ces machines m'offraient le plus grand intérêt, comme données sur 
les principes suivis par Watt dans la construction de ses parallélo- 
grammes, et que je devais comparer aux résultats de mes recherches 
dont j'ai parlé plus haut. Il se trouva malheureusement qu’une des 
plus anciennes machines de Watt, longtemps conservée, en ces der- 
niers temps fut vendue pour être détruite; mais M. Gregory a eu la 
chance de trouver deux machines, qui, suivant les documents, avaient 
été refaites par Watt et sont gardées comme des raretés. En ce 
qui concerne la construction des machines, M. Gregory m'a conseillé 
de visiter les fabriques de Maudsley, de Nipper et de Penn, et sa re- 
commandation me fut d'une grande utilité. Outre plusieurs machines- 
à-vapeur de différents systèmes, j'ai vu dans la première de ces fabri- 
ques une machine rotative construite d’après le plan de Maudsley 
père lui-même. 

Londres ne possède pas un Musée pareil au ,, Conservatoire des 
arts et métiers‘, mais il possède un établissement d'un autre genre, 
qui aide beaucoup à répandre dans la population les connaissances 
en Technologie et en Mécanique appliquée, — c’est le ,, Royal Poly- 
technic Institution‘. Dans cet établissement se trouve une collection 
considérable de modèles qui ont rapport aux différentes branches 
de la Mécanique appliquée, ainsi que de différentes machines-à-va- 
peur. Plusieurs de ces machines sont en mouvement. Dans cet ,,In- 
stitution“ on expose diverses nouvelles inventions dont on démontre 
sur place l’utilisation. Dans un des salons est aménagé un énorme 
bassin constamment alimenté à l’aide de canaux; on y démontre la 


— XVI — 


mise en mouvement des roues hydrauliques, l'arrangement des éclu- 
ses, le mouvement des vaisseaux, l’organisation des travaux sous- 
marins etc. En outre, les expériences chimiques faites au laboratoire 
sont très intéressantes par leurs applications pratiques. Cet établis- 
sement est très visité par le public. 

Faute de temps, j'ai du me borner seulement à l'examen des 
objets que j'ai trouvés à Londres et aux environs. 

Le 14 octobre je suis parti de Londres pour Paris, où j'attendis 
des instructions du Lycée de l'Empereur Alexandre I pour l'achat 
de quelques appareils pour mon cours de Mécanique appliquée. Cela 
fait, j'ai profité de l’occasion pour aller, accompagné de M. Her- 
mite, voir M. Foucault et assister À ses expériences nouvelles; après 
quoi je suis parti le 22 octobre pour Berlin. Comme le chemin de 
Berlin passe près de Bruxelles, où se trouve une quantité d'objets 
ayant trait à la Mécanique appliquée, et où sont faites des leçons pu- 
bliques de cette science, j'ai résolu de visiter cette ville. N'ayant pas 
À ma disposition assez de temps, je me suis borné À visiter le Musée 
des machines, où se trouvent, entre autres, beaucoup de machines 
agricoles très intéressantes, et, en outre, beaucoup de modèles des ma- 
chines-à-vapeur de différents systèmes, ainsi qu'une machine rotative 
d’une construction spéciale. C’est encore ici que j'ai vu nombre de 
produits de l’industrie belge et assisté à une leçon de la Mécanique 
appliquée faite par M. Kent. Après avoir passé 3 jours à Bruxelles, 
j'ai continué mon voyage pour Berlin, où je suis arrivé le 26 octobre. 

Il m'intéressait beaucoup de faire la connaissance du célèbre géo- 
mètre Lejeune-Dirichlet. Parmi les investigations faites par ce savant 
en l'Analyse, la première place appartient à ses principes de l’appli- 
cation du calcul des infiniment petits À la recherche des propriétés 
des nombres. Maïs il n’a été publié jusqu’à ce jour qu’une certaine 
partie de ses recherches sur cette question; quant au reste de ses tra- 
vaux, nous n'en savons rien, excepté quelques résultats définitifs re- 
stés sans démonstration. Les investigations de M. Lejeune-Dirichlet 
m'intéressaient particulièrement, car je m’occupais des mêmes que- 
stions; dans mon article, présenté à l’Académie Impériale des Sciences 
de St.-Pétersbourg sous le titre ,,Sur la fonction qui détermine la to- 
talité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée“, j'ai dé- 
montré que la formule trouvée, par analogie, par Legendre pour dé- 
terminer la quantité des nombres premiers inférieurs à une limite don- 
née, devait être remplacée par une autre; ce résultat était d'autant 


plus inattendu que M. Lejeune-Dirichlet, parlant de ses recherches 
Il 


— XVIII — 


touchant cette question, ne dit rien de l’inexactitude de la formule de 
Legendre. 

Pendant mon séjour à Berlin je trouvai chaque jour l’occasion 
de m'entretenir avec ce géomètre sur les recherches susdites ainsi 
que sur d’autres points d'Analyse pure et appliquée. 

J’assistai avec un plaisir particulier à une de ses leçons sur la 

Mécanique théorique. | : 
| À Berlin j'ai appris, à mon grand regret, que, grâce aux gelées 
imprévues, la navigation au golfe de Finlande vient de cesser. Comme 
il ne restait que 10 jours jusqu’au terme de mon voyage, je courais 
le risque, en restant plus longtemps à Berlin, de retarder mon arrivée 
à St.-Pétersbourg. C’est pourquoi je suis parti le 30 octobre pour 
Tauroggen et je suis rentré à St-Pétersbourg le 7 novembre. 

C’est ainsi que j'ai profité de la permission Impériale de me 
rendre à l'étranger. La courte durée de mon voyage m'ôtant la pos- 
sibilité d’embrasser toutes les questions faisant l’objet de la Mécani- 
que appliquée, j'avais néanmoins étudié en détails les questions les 
plus importantes, ainsi que la construction des machines-à-vapeur de 
différents systèmes; le mouvement de ces machines suivant diverses 
conditions; les roues hydrauliques en général et en particulier les 
turbines; la construction des moulins-à-vent suivant le système hol- 
landaïs; différents appareils pour la transmission du mouvement, la 
fabrication du papier à lettre, le filage du lin et le travail du fer. En 
outre je me suis beaucoup intéressé à la disposition de différents ate- 
liers dans les fabriques, — ce qui est très important au point de vue 
pratique. 


ve ÉTE 


RESUME 
de la thèse sur l'intégration à l’aide des logarithmes. 


La 


Dans la théorie de l'intégration des différentielles irrationnelles, 
la première place appartient aux différentielles qui contiennent ration- 
nellement la racine carrée d’une fonction rationnelle. 


IE. 


Si ces différentielles ne s’intègrent pas sans l’aide des logari- 
thmes, on ne possède aucun procédé général d'intégration dans l’état 


actuel de l’Analyse. 
IIT. 


Un tel procédé est indispensable pour le perfectionnement de la 
théorie des fonctions d’Abel. 
IV. 


Il exige la solution de la question suivante: trouver des nombres 
entiers sous la condition que la somme de leurs produits par des quan- 
tités données (irrationnelles ou imaginaires) soit nulle, si c’est pos- 
sible; dans le cas contraire, démontrer l'impossibilité. 


+: 


Dans l'état actuel de la Théorie des nombres nous ne pouvons 
résoudre cette question que dans certains cas particuliers. 


VI. 


Cette question étant résolue, l'intégration se ramène à la déter- 
mination de fonctions à l’aide d'équations indéterminées. 


VIL. 


La solution de ces équations par la méthode des coefficients 
indéterminés présente de grandes difficultés. 


“VILL. 


_ La solution s'obtient à l’aide des fractions continues. 


1%, 


Le rapport des intégrales, à l’aide desquelles Jacobi détermine 
les indices des fonctions inverses d’Abel et d’autres de la même espèce, 
peut avoir une valeur irrationnelle et réelle. 


St-Pétersbourg, 
le 8 (20) mai 1847 r. 


4. 


DES MAXIMA ET MINIMA DES SOMMES 


COMPOSÉES DE VALEURS D'UNE FONCTION ENTIÈRE 
ET DE SES DÉRIVÉES 


(TRADUIX PAR M. N. DE KHANIXKOF.) 


(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIII, 1868, 
p. 9—42.) 


© nauborruuxs u naunenvuuxs berurunaxe CYMA, 


cocmabrennuxs use suareniü wrs not pyufuiu u CA npousboonuxe. 


(Ipuaroxenie x& XII rouy Sanncokr Huneparoperoï Aranemin Hayx®, Ni 8, 1867 r., 
cTp. 1—47.) 





Fa 


+ 


A 


ce 


(RE 0 


mt 


es 





TBRAR 
T'orFTHE à 


UNIVERSITY 





Des maxima et minima des sommes compo- 
sées de valeurs d’une fonction entière et de ses 
dérivées. 


——— 


$ 1 Le calcul des variations nous donne le moyen de déterminer les 
valeurs maxima et minima des intégrales uniquement dans le cas, où la 
forme des fonctions inconnues, renfermées sous le signe de l'intégration, 
est supposée entièrement arbitraire. Mais si, d’après la nature de la question, 
la forme de ces fonctions inconnues est limitée par quelques conditions, 
leur détermination, en vue de rendre maximum ou minimum une intégrale, 
ou en général une somme quelconque de leurs valeurs, exige des procédés 
particuliers. 

Nous nous bornerons ici à considérer le cas le plus simple de ce genre 
de questions; savoir, celui où la fonction inconnue est supposée entière et 
d’un degré déterminé, et où tous les termes de la somme proposée s’expri- 
ment au moyen de cette fonction, de ses dérivées et de la variable indépen- 
dante, et forment une fonction également entière et de forme déterminée. 

Ce cas mérite une attention particulière à cause de ses applications, 
qui comprennent, entre autres, la solution de la question de l’interpolation 
parabolique d’après la méthode des moindres carrés. 


$ 2. Soit 
Fa, 4:V; vs.) 


une fonction donnée et entière de la variable indépendante x, du polynôme 
inconnu 


y= A+ 4,%+....+ 4,2 + + + A © 


et de ses dérivées 
LA ', 
Y: Y ;. 
1* 


Désignons par 
%, , %, 9 Vs, . . + 


une série de valeurs quelconques de la variable indépendante x, que pour 
plus de simplicité nous supposerons différentes entre elles, et par 


D F(&, Yi, ÿ, AE rue) 
la somme des valeurs de la fonction 


Fay, 4,1) 


pour ces valeurs de la variable x. La valeur de cette somme dépendra de 
celle des coefficients 
Re di A 


m—1 
du polynôme 
y=A,+A,t+....+ A2 +....+A z 


m—1 ? 


et les valeurs de ces coefficients qui rendront la somme 


RL! / . 
DFE Yi Vs: Vs see. ë) 


un Maximum où un minimum, d'après les principes du calcul différentiel, 
seront données par les équations: 


d > F'(x;, Yi Yi's Yi”s° 4) 











44 en 
dZF(x;, Yi: CLÉELÉSRLDEET, 
dA, Fr 

d 2 F(re, Ye, Yes Yé's...) 
= 0, 


dA} 


dE F(x;, Yi, Yi3Ys",....) LS 
VA ré 
Mais comme les quantités 





2 


n’entrent pas dans la formule 


SF Y;) “. LL. a .) 


— 5 — 


indépendamment des fonctions y, y, Y',...., la dérivée de cette somme 
par rapport à À, s’exprimera en général ainsi: 














AZ (tS, Yi, Yi Ye) DS d Ft, Yis Yi, Yi.) 

dA, 7 el dA né 

V'dF(ai, Yi, Yi Yi. .) dy; + d F(x;, y:, Yi, Yé' re. .) dyÿ 
> dy; dA; Fe dy; 2” 





h d F(x;, Yi Yi’, re .… .) dy; 
dy; dAj PRES ER IN- 00 6 D 0 0.0 ©: 6. bb 6 € 


Or la forme de la fonction 

y=A+A%+....+ 4,2% +....+A x 
| et de ses dérivées 
Lomme À 


Mi Etp—i) A: 2 *, 


ÿ=1.4,+...,+14,47" 


f=t34+...: +410 — 1)4,2 + …—+(m— 1)(m—2)4,,,277, 





En mettant ces valeurs des dérivées 


dyi dyÿ dy: 
dA;’ dAy dAj''°" 
dans l’expression trouvée pour la dérivée 


dZF(r,Y,y Yi...) 
dA} 





et en désignant, pour abréger, les valeurs des dérivées 


dF(r,9,%,%,...): dF(t 9 9,y....) dFixv,y,4",....) 
dy , dy! , dy" , .. ‘9, 





pour æ quelconque par 


et pour z—%, par 
MEN Be. Li: 


nous aurons 


d D Fi, Yi Yi Yi 
dA] 





) \! l— \' 1 
> Mr + IN,%, STI) Pr, +. 
En déterminant, à l’aide de cette formule, les valeurs de la dérivée 


d 2 F(x;, Yi Yi) Yi. eu 
dA} 





pour 
0, 1,2. 2, 


nous verrons que les équations qui déterminent les valeurs des coefficiens du 
polynôme 
PA EAP FA dt 


qui rendent la somme 
ÙF(c, Vs) Que re ...) 


un maximum où un minimum, se réduisent donc à: 
Nr 0 — 
« *e. 
DU,T,+ N1Nat— oO, 
4 1 dm LE 1 


D'ur+ NoNa+ SN 12Pat= | 


D M. CHR DS (nm—1) N, EDS (m—1)(m—2) P,x, +4... —0. 


$ 3. Faisant, pour abréger, 
(G— 2%) (& — 2) (&— x)... (x — Ty _ 1) Re o (x) 


et désignant par 
ER He. 


les fonctions entières qu’on obtient en divisant les produits 
Mp(a), Noa), Pp(x),.... 
par o(x), nous remarquons que les fractions 


Mo'(x)  No'(x) Fy'(x) 
Cr Mt 7 








HAL, AR 
transformées en fractions simples, s’expriment ainsi: 


Mo (x) __ . Ng'(x) _ SEE à À, Pi, 
(x) eur +Ÿ o (x) =F+D +, p (x) =W+S te 


où, d’après notre notation (n° 2) 


ML EP. .: 








désignent les valeurs de | 
LP: PE CS 


quand on y fait x—#x,, et les sommations doivent être étendues à toutes 
les valeurs de x, depuis + = x, jusqu’à æ —%,. 
? 1 n 

Si, à l’aide de ces formules, nous déterminons la valeur de l’expresion 
Ne'(x) je P9'(x) 


2-7 
Mo (x) (x) (x) 
p(x) dx She —… NS 





nous trouverons qu’elle se réduit à 


Rd Pa Ur +> PR + : 
dx dx? RÉ d—a  (x—ax) (x —x) RAGE à 


où les termes 








av . dW 


UT un. 


expriment une fonction entière. Quant à la somme 


px M; ES N; ce 2 P; LE 
nou (ee —“@-ep:;" 


après y avoir transformé les fractions 








M; N; 2 P; 
D FOOT Ga." 








en séries 








M: 29 M: x: M:x2 
12 } = RUE en 
æ æ æ 


ee | 








N;29  2N;x; . 3N;xÿ 
DR nr + 





1.2.Pçaf 2.8 Pix; 8.4. P: x 
+ IT + 
xt x 


et après y avoir réuni les termes de dénominateurs communs, elle. nous 
donne la série suivante: 


-2M;x ZM;x;+ZEN;x ZM;x?+Z2N;x+2Z1.2P;x 
ue à —_Æ + _.. + 











Donc il résulte que les sommes 
0 
> Ms; 
0 
sure 


Dz+ NS 2Na,+ NN 1.2P,x;, 


Due m— Na + D (m—1)(m—2) Pr" +, 


sont les coefficients de 


1 


1 L 
x? x2? par RC am 


dans le développement de l’expression 
No’ (x) 2 Pg (x) 


Mo’ (x) (x) p(x) 
p (x) He Go dx? 








selon les puissances décroissantes de la variable x. Mais nous savons, d’après 
le n° 2, que ces sommes forment les premiers membres des équations qui 
déterminent les valeurs des coefficients du polynôme 


LE mMm—1 
y—=A+At+H....+ À, €  , 


pour lesquels la somme 
D Fe Vis Y Yi; stuu) 


devient un maximum ou un minimum, et nous concluons que ces équations 
s’obtiennent en réduisant à zéro les coefficients de 


1 1 1 


É 
x? x?) Per At CE R am 


dans le développement de l’expression 
No'(x) 3} Pe'(x) 


M? (x) (x) ? (x) 
(x) dx dx? 














suivant les puissances décroissantes de la variable x. Partant sous cette con- 
dition: 
L'expression 
No’ (x) Pe' (x) 
(1) Me &@)__ 4 p (x) 4 p(x) 
? (x) dx dx? re 











en 


avec une approximation poussée jusqu'aux puissances x" inclusivement, 


est égale à une fonction entière où M, N, P, .... sont, comme nous l’avons 
vu dans le n° 2, les dérivées partielles de la fonction F (x, y, y, y", ....), 
prises par rapport à y, Y,Y,.... 


$ 4. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que les coefficients 


du polynôme 
y= A+ A,2+ A, +....+ 4, 2 


étaient entièrement arbitraires: examinons maintenant le cas où le choix de 
ces coefficients est limité par plusieurs équations de la forme 


S'ÉG Yi Yi Yi ...)= 4%, 


D ÉG Vs) Vi Use +.) = y 


. . ou , . “ . . _ . . . . . . . , 


FAUNE bts LES 2 | TER EE" MN EE 


sont des fonctions entières quelconques de x, du polynôme y et de ses déri- 
, à (2 ? 

véesS y, y ,.... Nous supposerons d’abord que les sommes que nous 

venons d'écrire s’étendent aux mêmes valeurs de la variable x 


%;, Lo PTE 6 + PRE 


ainsi que la somme | 
D £G Yi) Vs; Y sus) 


dont on cherche la valeur maximum ou minimum. 


Par les propriétés connues des maxima et minima relatifs, les valeurs 
des coefficients 


qui rendent la somme 
S At, VU Vi d: ...) 


un maximum ou un minimum sous les conditions exprimées par les équa- 
tions 


D £G, Ya Ur hs .….)=@, 


: 1 \' LA r 
* DHACT Mods. )= 0, 


« 





. . . . . . . TA Lt . . . . h A 





RO T 


se déterminent en égalant à zéro les dérivées partielles prises par rapport 
à À,, À,,...., À, de la somme 


1! ES Por ! os 
DA (CALE 4, Yi HA (CAVANPEUR RÉ (Ds, Vs Yi» Y bein 


où les quantités À,, À,,.... sont des facteurs constants. 
Cette somme se ramène à la suivante: 


D AG Vas Ve à Yon) da LÉ (Gé Us Yo Ye see) da Po Us Ve pre) |, 
qui peut être remplacée par . 


| 0 Z 
D F(G; Yis Ygn Ygrrere) 
en supposant que 


F(x, y; ÿ', Ye) =f. (x, y; ÿ URRD EN 7, (x, Y; Y ÿ'.)rh Fa (x, y; ÿ Ni) Fee. 


Ainsi, d’après ce qui vient d’être exposé dans les n* 2 et 3 concer- 
nant les équations 


d 2 F(ti, Yi, Vis Vis...) 











A = 0, 

AZ Frs, Yi, Yi, Yi...) 2 
dA, nul 

a > F(x;, Yi) Yi’, Yi. nu ) de 0 
PT 


d'A 


nous concluons que, dans le cas actuel, les équations propres à déterminer 
les coefficients du polynôme 


—m— 2 M—1 


se réduiront à la condition trouvée à la fin du n° 3, en ne perdant pas toutefois 
de vue que la fonction 


F(x, Y,; ÿ Yi. Ha .) 
doit être remplacée par la somme 


A (@, Y; ÿ', J'ire) + À É(&, 7; Y; du) +2, £, (x, ÿ; ÿ, Led re 


où À, À,-... sont des facteurs inconnus constants. Cette condition nous 
donnera les moyens de déterminer les coefficients du polynôme 


y—= A+ At+ A+... .+ 4, 2%" 7, 


TL 


en fonction des facteurs À,, À,,.... En mettant enfin ces coefficients du 
polynôme y dans les équations (2), nous aurons autant d'équations qu’il y 
a de facteurs À,, À,,... ., d’où nous obtiendrons leurs valeurs. 


$ 5. Passons maintenant au cas où il s’agirait de rendre maximum ou 
minimum une somme 


 ? , 7 
RE N Vi ce) 
étendue aux valeurs 
Mons RM... 
mais de façon que le choix des coefficients du polynôme 


y= A+ A+ A+... +4,27 


soit limité par les équations de condition 


ù ! , 1! 
D (a, y, Y,y ES LL 
LT , 7 
dE, (x, Y YY 5...) =, 


? 


où les sommes s'étendent respectivement à toutes les valeurs de x: 


aus 0, b,,, LAS ., 
TC, Co Cgyee 


. . “ . . . . , 


différentes entre elles et différentes aussi des valeurs 
HA = &, das la, . L . . 


Pour réduire ce cas à celui que nous venons d'examiner dans le numéro 
précédent, nous remplacerons toutes ces sommes, étendues à différentes va- 
leurs de la variable #, par des sommes étendues aux mêmes valeurs de la 
variable indépendante. Pour y parvenir, nous poserons 


(& — a) (t— a) (&—a)....— (2), 


(@— D) (æ— d,) (&x— 0). ...— 9, (x), 


(t— c)(t—c)(x— c)....—=p(x), 


. . . ° . . . . - . . . . . e . . . . ? 


sk #4 


et 
D, (&) P,(x) p,(x)....—= p(r)— 


(&—a,)(x—a,)(x—a)….(a—b,) (x —b,) (a—0,)….(a—c) (à —c) (a —c)…, 
Puis nous déterminerons des fonctions entières | 
ARE, D. RSS. 
AR pp 
de manière à ce qu’elles satisfassent aux équations 
p (x) S = œ(x) T+p (x) p, (x) paf). ..., 


(3)  o'(x) S,—= (x) T,+o/(x) (x) p(x)...., 
p'(x) S,—= (x) T,+®,/(x) o,(t) p,(x)...., 


20.26" 5.0". 0 4 6 0 Nes REC SANT NS LS à 





Ces équations auront toujours une solution, car, par hypothèse, les ra- 
cines de l'équation @(2t)—0, égales ”à &,,°4,...., D, D,,..,., ©, 
Cas + + - ., diffèrent toutes entre elles; donc la fonction o (x) n’aura pas de 
facteur commun avec sa dérivée o (x). Il sera aisé de montrer, à l’aide de 
ces équations (3), que les sommes 


D PE,9,9,9,.), DS E(2,9,9,9), DE BE, 9, 8) 


étendues à toutes les valeurs de 


se réduiront: à la somme 


DANCE LE EE 
étendue uniquement aux valeurs de + — 4,, 4,, &, ....; à la somme 
\! ARS 
D (x, YY3Y,....), 


étendue uniquement aux valeurs de 4 —b,, b,, b,,....: à la somme 


dE, (x, UE ÿs ÿ';: . ‘} 


ET 


étendue uniquement aux valeurs de &—=c,, C,, C4, ...., et ainsi de suite. 
Pour le faire voir à l’égard de la somme 


 ! ; Ra IE 
D SP, (x, Y, YsY 3...) 
nous remarquons que, d’après l’équation 
p (x) 8 = px) To -+ po (2) P,(x) Pa(). . 
et d’après la manière dont les fonctions 


px), Po(X), P1(&), Pa(T), +. ., 


sont formées, la fonction S, deviendra zéro pour æ —b,, b,, b,,.... 
Ci Cay Cs + + « . ; C'est-à-dire pour les racines communes aux équations 


p(x) — 0 
et 


P,(&) Pa (x) . . . . — 0; 


car, pour ces valeurs de la variable x, la dérivée 9’ (x) ne pourra pas de- 
venir Zéro, n’ayant pas, comme nous venons de le dire, de facteur commun 
avec o (x). 

D'un autre côté, pour 


x = ad; , (PT (PE . L . L 9 
racines communes aux équations 

p(t) = 0, p (x) — 0, 
nous voyons que la dérivée 


p'(x) — 1%) Pi @ Pa (x)... Ar 





= @ (x) p,(2) p,(2).... + p'(x) p(x) e, (2)... + p (2) 9, (2) p, (x)... … 


se réduit au produit 
p'o(x) pi (2) pa(x) . . 


et par conséquent, en vertu de l’équation 
p (x) S— (x) T+p (2) px) par)... 
pour ces valeurs de x, ou bien pour æ = 4,, 4, &3,...., On aura 


AE 


ns LL 
D'où il est évident que la somme 
PR CET he 


étendue à toutes les valeurs de la variable x, 


Lt, 0, 0. 1: 0 D D 


se réduit à la somme 


On 
DAV.) 
étendue uniquement aux valeurs de 
x = a, , A; (7 . . . . 


Nous trouverons de même que les sommes 


4 #1 \ NU 
DEMI SEEN... 


étendues aux valeurs de la variable x, 


Le, 63e RS SU D. 


Se réduisent à la somme 
! " 
D, (x, Y»Y5Y 5°... «), 
étendue seulement aux valeurs de 


œ = b,, b,, 


b,, . . . . ? 
à la somme 


*&. (2 
> EG DUR 
étendue seulement aux valeurs de 


T—C,, Co C3 LL . e 9 


et ainsi de suite. 


DE pink 
\ ! ! " 
DE, (x, Y; Y3 9 he €), 


D &,(& y, y, 9). :..), 


dd 


it 


En remplaçant, d’après ce qui vient d’être dit, les sommes 


D P, (x, y, y; #; ....) 
DS EM d re : :-), 


SAP MAN SEE. .), 


étendues chacune à des valeurs différentes de la variable x, par les sommes 
étendues aux mêmes valeurs de la variable æ données par l’équation 


o(&) —0, 


nous concluons que dans ce cas les coefficients du polynôme 


re 2 m—1 
y= A+ Ax+ A+ ....+1À, 9 


se détermineront par la méthode indiquée dans le numéro précédent, quand 
on remplacera dans les formules de ce numéro les fonctions 


Luis, Liv, di... :.).. 
par les produits 


BG %1,1. Du.) SP (E,4y,y ,.:..), …. 


et par conséquent ils se détermineront par la condition établie à la fin du 
n° 3 si l’on y pose 


F(x,7,9,9,....)=8,B,(2,9,9,% 3...) +28 PB, (2, 9,y,y ,....) 
HS, P,(2,9,9,%....)+...., 


où À,, À, + « . ., Sont des facteurs constants, mais inconnus. 


En déterminant, pour cette forme de la fonction F (y, y, y, y", -...), 
la valeur des dérivées 





__4F(x, y, y, y...) 
M— dy ? 


__dF(x, y, y y". ce 
NN dy’ ? 





dF(x, y, y,y",....) 
P— ( , dy! ; 





PE, Ron EE 66 er 9 a End | 


eu LE 
et en désignant les dérivées partielles des fonctions 


P, (x, y, ÿ ÿ", .…. “À P, (æ, y, Y' UE RE LE: (x, Y; Y; y", .…. .), …. 
prises par rapport à 
AR FR APE 


par 
M, M, 1; ? 
N; 4 FA d, ? 
FX, F6; F,, ee à 


nous obtenons 
M=S,M,+iS M+2xs, M+ . 
N=SN+LSN+LSN + .... 
P=SP +uSP+AS EP + ...., 


Donc l'expression (1), qui duree le n° 3, doit être égale, . la va- 
leur cherchée du polynôme 


—— 2 m—1 
Y= A+ A,2+ A+, .. +4, 


à une fonction entière, avec une approximation poussée jusqu’à la puissance 
x" inclusivement, s’exprimera ainsi: 








Ë So Mo?) , So), So, MD) 
(x) 1 (x) 32 (x) 
So No ? (x) Si N, +" (x) SN; p(x) 
_d 0 M wi 4 00 +...) 
(4) dx 
Pie 0 A SP p'(x) À Se P,9'() | 
Fa p(x) 2) | 2 (x) 
x 





Mais les équations (3), qui servent à déterminer les fonctions S,, S,, 
S,,...., nous donnent 





So p' (&) __ T Po’ (x) Pi (x) pa (x)... 
(x) » o (x) 


8, 9x) __ Pr" (&) Po (x) Pe (2). 


LT] 





æ 


S29 a T4 P2/ (x) Po (x) Pi (x)... 
? (x) p(x) 








= 1 


OR y 


En remplaçant, dans les seconds membres de ces équations, © (x) par le 
produit 
Po (æ) P,(2) p,(&) . ..., 


nous aurons 











So p’ (x) __ Po (x) 
CT ras Po (Z) ? 
Si g'(x) __ pr (x) 
Te® ht? 
82 p'(x) p2 (x) 
(x) 2  p(x)? 


D'où l’on voit que les fonctions 


Sop (x)  Sip'(x)  S,p'(x) 
q(x) ? œ(x) ? Cu : : 





et 
Po (x) Pr’ (x) Pr (x) 


P6(2)? (2)  P)? "" 








ue diffèrent entre elles que par des parties entières. Donc, si dans l’expres- 
sion (4) nous mettons ces dernières fonctions à la place des premières, 
nous ne changerons que la partie entière de cette expression; quant au degré 
d’exactitude avec lequel cette formule représente une fonction, il restera le 
même, et par conséquent elle pourra toujours servir à déterminer le polynôme 


ER 2 \ m—1 
Yÿy= A+ At+A +... + À, € . 


En exécutant cette substitution nous obtenons l’expression suivante : 














M, po (x) À M, ®;' (x) M, o2/ (x) 
Po (&) 1 (x) 2  pa(x) 
No, Po (x) N, 9," (x) Ne P2” (x) 
a} go () TC) 2 po (&) He...) 
dx 
P5 Po (x) - P,9;'(x) P, ?> (x) 
né” Po (&) pe A Pi (x) De h9 P2 (x) ji 
dx? 





Cette expression, d’après ce qui vient d’être exposé, doit se réduire à une 
fonction entière, qui la représentera exactement jusqu’à la puissance — » 
de la variable x inclusivement, toutes les fois que le polynôme 

y= A+ At+A+....+ A, 2", 


aura des coefficients voulus pour que la somme 


(x, y; UE Yi PR? +) 


a ON 
devienne un maximum ou un minimum, sous les conditions 


Ù (x, y; ÿ "> .….)=@;, 
d &, (à, 7; ÿ vi: ...) = 


e. . . . . . . . . e . . , 


Nous sommes parvenus à cette conclusion en supposant que les séries 


a; ; UP (PE ee ee ee 2 9 
b., 1 b,, M, 7 LE | > à 
Ci» Co) Ca) ve 59 ? 


. . . . e . . . 


ne contenaient pas des termes égaux entre eux; mais, par la méthode des 
limites, il nous serait aisé de l’appliquer aussi au cas où ces séries auraient 
des termes communs. 


$S 6. Nous avons établi, dans ce qui précède, la condition qui sert à 
déterminer la valeur du polynôme d’un degré donné y, qui rend la somme 


DR TC NE Re 


un maximum ou un minimum, et nous n’avons fait que deux hypothèses con- 
cernant les coefficients de ce polynôme. D’après l’une, leurs valeurs étaient 
supposées arbitraires, et d’après l’autre, elles devaient satisfaire aux 
équations 


JE, 
DE, y; y, ÿ',. a )= Ge; 


. e. . . . . . € . . . . 1 


Dans ce dernier cas, la condition qui sert à déterminer le polynôme 
cherché contient des constantes inconnues À,, À,, ...., dont les valeurs se 
trouvent par les mêmes équations de condition auxquelles doit satisfaire le 
polynôme 7, et qui sont en nombre égal à celui des inconnues àX,, À, .... 

La détermination du polynôme y, limité par la condition de rendre la 
somme 


D Pol, Y; Y 3 Y'irs-)s 


un maximum Où un minimum, à de l’analogie avec la solution des questions 
semblables dans le calcul des variations. Dans le cas particulier, quand cette 
somme se réduit à une intégrale, le polynôme y, déterminé comme il vient 


su (D 


d’être dit, peut être considéré comme une valeur approchée de la fonction 
qu’on obtient à l’aide de la méthode des variations. Mais dans le calcul des 
variations la fonction cherchée, étant déterminée par une équation différen- 
tielle, s’obtient en l’intégrant par les méthodes connues, tandis que, dans le 
cas que nous examinons, la détermination du polynôme y exige des procédés 
spéciaux, car elle se réduit à une condition qui ne se laisse pas exprimer 
par des équations de formes connues. 

Pour montrer comment des polynômes peuvent être déterminés à l’aide 
de ces conditions, examinons le cas très-simple où les fonctions 


P, (x, y; ÿ, Ye 2e en 
ALAN PA D WE CBS 
D,(E,. 4.4, Winsrs), 


ne contiennent y qu’à une puissance qui ne dépasse pas la seconde, ses dé- 
rivées 
4 1! 
y 2 y 3 ER] 


à une puissance qui ne dépasse pas l’unité, et avec des coefficients qui ne 
dépendent que de la variable x. 
Dans ce cas les dérivées 


RO L'ACAUA ANUS OUR) dx, y,y',y",....) 
M= o (#3: FE , à == 1 . , es 








ne contiendront pas y, Y,...., et y ne s’y trouvera qu’à la première 
puissance. Quant aux dérivées 








N, — d P, (x; 7; Y', Fr ° R N. 22 d æ, (æ, y; y’, AT di ) 








dy , 1 dy REC | 
— dPo(r, y y y",....) Fe (æ, y, y’, y”,....) 
Fi = at , PR ; 2 dy" 2 CR 
elles ne contiendront pas du tout y, y, y’, .... Partant l'expression 
Mo o' (x) M, pr’ (x) À M, 2’ (x) 
Po (&) 1 q,(x) 2 2(x) ner 


N, Po (x) N, 9” (x) N, p2/ (x) 
A M A + À 4 0) +... 
dx 





—_——_——_— 


Po (&) . L' @,(x) 2 (x) 
dx? 


e{RN@,) Ba @,) Ba, 
—- 





2* 


os 


qui d’après le n° 5, moyennant le polynôme cherché 


Mm—1 
J= A++... + AT, 


doit devenir égale à une fonction entière jusqu’au terme en #7” inclusi- 
vement près, se réduira au binôme 


À Ms d 
dans lequel w et v sont fonctions de la seule variable indépendante x. 
Ainsi, dans ce cas, la recherche du polynôme 


y= A+ At+....+ 4, 2" 


assujetti à la condition de rendre la somme 


D EM ro) 


un maximum Ou un minimum, se réduit à la détermination d’un polynôme y, 
de degré m—1, tel que le binôme wy—v, jusqu’au terme en æ ” inclu- 
sivement près, soit une fonction entière. Nous allons montrer que les poly- 
nômes qui jouissent de cette propriété s’obtiennent facilement à l’aide de la 
série que j'ai publiée dans mon Mémoire intitulé: Développement des fonc- 
tions en séries à l’aide des fractions continues *). 


$ 7. Nous avons établi dans ce Mémoire, qu’en développant une fonc- 
tion quelconque « en fraction continue 


en désignant, de plus, par 


ses fractions réduites, par 


les différences 


et par 





*) T. I, pages 617—636. 


su É 

les fonctions entières qu’on obtient à l’aide de la formule 
o,=(—1)"" Ba, (0,0—E0,v), 

nous aurons pour développer la fonction v d’après les valeurs 


E, , k, , 1, F:# 6: 0 
la série que voici 


(5) v—=Ëv+0,R +0,R,+0,R8,+.... 


où E désigne la partie entière de la fonction, et où l’on admet que « et » 
sont des fonctions développables suivant les puissances entières et décrois- 
santes de la variable x. 


Pour déterminer, à l’aide de cette série, le polynôme 


y=A+At+A+....+ A4, 27 7, 
au moyen duquel la différence 
UY—V, 
est réductible à une fontion entière, exactement jusqu'aux termes en #7” 


inclusivement, désignons par 


Ou 
le dernier dénominateur des fractions convergentes 


7 
MO ND | 


dont le degré soit inférieur à », et par 


Mr: 


h--12° 


r 


Me Pate fr Pr 


les quotients et les restes obtenus par la division du polynôme y par Q du 


premier reste », par Qu du second reste par ER et ainsi de suite. 


En égalant les dividendes aux produits des quotients par diveseurs 
ajoutés aux restes, nous obtenons une suite d'équations 


y=E,Q, nr, r,=E, +7, = Oro ei Q,+r.. 


1 u—1 be 1)°°° 


En éliminant des équations les restes 


Var Tunarteee Vas Ve 


D 


et en observant que le dernier reste 7,, qu’on obtient par la division de 
l’avant-dernier reste par Q, — 1 est zéro, nous sommes conduits à l’expres- 
sion de y que voici | ( 


Jr, 0, Ke, +80; + F0. 


Mais comme notre polynôme cherché 


——— 2 Line À ; 
y= A+ A4t+ A+... +4, 8 à 


ne sera jamais d’un degré supérieur à » — 1, il est évident que la fonction 
Me qui s’obtient par la division de y par Q ne pourra pas être d’un degré 
plus élevé que celui de | 





et par conséquent son degré sera inférieur à celui du quotient 


Qu. 
Qu ? 


est d’un degré supérieur à 7% — 1. 





car, par hypothèse, Q 


bu +1 
Quant aux fonctions 


PF. PUS Sim 


U—1? L—2? : 
leurs degrés seront inférieurs à ceux des quotients 


0. D, à. 
Qu MS 


car elles résultent de la division des restes 





A Vo) 


NO r 


1 
par 


LE  .. RE: Qn Q,; 


et ces restes eux-mêmes obtenus par la division de y par 


0 0... Den 


et ainsi de suite, seront nécessairement de degrés inférieurs à ceux de 


Qu Qishns 21y Ge 
Pour déterminer les facteurs 


RE 


p—11"* L 


eg LE 


1 


dans le développement de y par la formule 


(6) y=F,Q,+E +... +EQ+rF0Q,,; 


u—1 Vu—1 


nous observons que le binôme 
Uy—V, 


devient, en y substituant pour y sa dernière valeur, et en y exprimant v par 
la formule (5), 


uy—v—# Qu+F. ,Q, ;u+....+FQu+F Qu 
Po — ©, R,—0,R,—0,R,...., 
d’où, en y remplaçant 
Qu, Q,_,u,...., Qu, Qu, 
par leurs valeurs déduites des égalités | 


BE, = QLu—?,, Paix cou Nu 


p—1?° °°°) 


nous obtenons la formule que voici 


UYy—0 = —E,+r LE, St, 
+(F—-0)k+(E—v)R,+........... + 
(Œ pi Ou) E,_,+(F nu Op) E,—0 F4 


En examinant cette nouvelle expression de la différence 


UY —V, 
nous voyons que ses termes 


—Do+rPÉPP ES Ep CP UE EP 


forment une fonction entière, et que les autres, comme il est aisé de le voir, 
sont tous de puissances négatives qui vont en décroissant. En effet, confor- 
mément à notre notation, 


BR =Qu—#,, R=Qu—?P,,...., R_,= Q,_u—#P 
R,=Qu—E,, R,,,=Q,,;u—#P,,,........ RP NL sg, 
et ces restes, d’après les propriétés des fractions réduites, sont de degrés 
égaux à ceux des fractions 
ne 
@2° Qs? RAT ENT Qp ? Qu +1? Quest? 


En rapprochant ces considérations de ce qui a été dit, dans le numéro 
précédent, sur les fonctions sur 


ME. AE 





RAR: ce 


et, dans le Mémoire cité, sur les fonctions 
@,, Dos O3), 0:29 Oui? O1 Out? à 0:09 


il devient évident que dans les derniers termes de la formule 


(F,— 0) R,+(F,—0,) R+....+(F, ,—0,_)R, ,+ 
(E-0) Be, AR à nee ee - , 


les facteurs de 
Dis D le ee 


seront des fonctions entières de degrés inférieurs à ceux de 


Q Qs Qu Qui Qu-+2 L 
Q ? QU Qu—1” Qu ? CRM RSS. 








Donc le premier de ces termes (F,—o,) R, sera d’un degré inférieur 


À 1 1 dd Le 
à 7e Ep 74 et ne sera pas inférieur à -—; le second terme (F, — w,) À, 
1 2 1 2 
Re . 1 E à pr Ro 
sera d’un degré inférieur à & GTE et ne sera pas inférieur à Q*" 
2 3 2 


3 
Fe 1 1 
le terme © R sera d’un degré inférieur à Ÿ#+2 = 
ot PL HF ; 8 Qui Qu+2  Qu+1 
et ne sera pas inférieur à g. et ainsi de suite. 
+2 
D'où il résulte que dans l’expression ci-dessus trouvée pour le bi- 
nôme 








UYy—V 
la partie fractionnaire sera exprimée par la série 


(F—o,) £,+(F—0,)R,+....+(F,.,—0,,) 2. ,+ 
re) R,—o R TR le Ver PS ds Aile NN MIN TaIN is 9: à ; 


BH1 +1 


où les puissances des membres vont en décroissant. Donc le degré d’exacti- 
tude avec lequel notre binôme se réduit à une fonction entière sera déter- 
miné par le degré du premier de ses termes qui ne devient pas zéro. 

À l’aide de ce résultat, il nous sera aisé de trouver les valeurs des 
fonctions ; 


FE RSR RE 


qui entrent dans l’expression (6) du polynôme cherché, ou de nous con- 
vaincre de son impossibilité. 
Les termes 


(F,— 0.) R,, (F,—0;) Forsccess (EF Te M 0, À 


be p—1? 


ER, RER 


comme nous venons de le voir, ne peuvent être de degrés inférieurs à ceux 


des fractions 
1 1 1 


@? Qs° …..., Qu? 
donc ils ne peuvent être d’un degré inférieur à 


—n+1. 
D 


car, d’après notre notation, dans la suite des dénominateurs 


@; Q Que.) Q, 


il n’y en aura pas un seul d’un degré supérieur à »m — 1. Ainsi la différence 
ne peut se ramener à une fonction entière wy—v qui la représente 
exactement jusqu’au terme contenant la puissance 4”, que dans le cas où 
tous ces termes disparaissent, ce qui entraîne forcément les équations sui- 
vantes: 


F,—o,=0, F—o,—=0,...., EF, ,—o,_,—=0 
qui nous donnent 
(7) ms eo. Fe 
Avec ces valeurs des fonctions 


CA EC ROS HS 


l'expression ci-dessus trouvée pour la partie fractionnaire du binôme 


Uy—V 
se réduit à la série 


- Où, comme nous venons de le voir, les termes 


o R ER 


+1 7 +1? Ours LUE ee LOTIR 
_ sont de degrés inférieurs à ceux des fractions 


1 1 
Queer” : Quest 


et par conséquent inférieurs à 





‘ne 
car, d’après notre notation, les dénominateurs 


Mo: 


ER ue 


( 


ne sont pas de degrés inférieurs à ». Nous voyons ainsi que pour réduire 
l'expression ci-dessus trouvée de la différence 


UY —V 


à une fonction entière qui la représente exactement jusqu'aux termes où la 
variable æ est à la puissance — #, il est nécessaire et suffisant de donner 
aux fonctions 
Fi HE A 

les valeurs (7) et de rendre la puissance du membre 
A Œ—o,) fi 
inférieure à — ". 

Mais comme, d’un autre côté, pour que le polynôme cherché, repré- 
senté par la formule 


y=FQ, +0, +... dun dE Put DU A 


reste, comme l’exigent les conditions de la question, d’un degré qui ne soit 
pas supérieur à », il est nécessaire et suffisant qu’avec les valeurs (7) des 
fonctions F,, F,,...., F,_,, le terme F,, Q, ne soit pas d’un degré supé- 
rieur à »#—1, car tous les autres, comme il est aisé de le voir, seront de 
degrés inférieurs à » — 1. 

En effet, conformément à ce qui vient d’être dit, les degrés des facteurs 


F=0,;, ec, 57, —ao 


seront inférieurs à ceux de 


&  @ du 
GARE Fans Qu" 


F0, F0,...., F0, 


ne contiendront que des termes de degrés inférieurs à 


@ 4 RSR Qu 


et par conséquent inférieurs à la puissance 


donc les produits 


Mm—1 . 


T ) 


car, d’après notre notation, tous ces dénominateurs des fractions réduites 
de « ont des degrés moindres que m— 1. 


En vertu de quoi nous concluons que le polynôme cherché y sera donné 
par la formule 
J=FQ+H0+... +8, ,0,, +70, DSL 


ou 
F,=o,, Fun, y —=0 


p—1 pu —1? 


En DIS ve 


et où le facteur Æ, est une fonction entière déterminée par les conditions 
suivantes: 


La puissance du produit F, Q, ne surpassera pas m — 1, et la puis- 
sance du produit (F,—w,) li, ne surpassera pas —m— 1. 
Or, d’après notre notation, 
BE, nd Q, Het, 
de plus, d’après les propriétés des fractions réduites, 
Q,u—E#, 
étant du même degré que la fraction 


1 
Qu +1 





2 


on peut, en déterminant le facteur _. par la méthode que nous venons 





d’exposer, remplacer ZX par la fraction é 
B Qu +1 


Ceci nous permet d’exprimer les conditions qui déterminent le facteur 
F, de la manière suivante: 


La puissance du produit F, Q, ne surpassera pas m —1, et la puis- 


à F,—-v 
sance du quotient ES ne surprassera pas — mm — 1]. 
L+1 


Quant aux fonctions 


Ds gs Meteo.) 


elles s'expriment généralement, comme nous l’avons dit dans le numéro pré- 
cédent, ainsi: 


o,=(—1)""" Eg,(Qv—EQ 
Ayant déterminé à l’aide de cette formule les valeurs 


QYS LE e 9 U—1 


et les ayant mises, conformément à (7), à la place de 


AL Cr 


H—1? 
dans l’expression du polynôme cherché y, nous obtenons pour celui-ci la 
formule que voici: | 

y=0 +0, 0,+....+o,_, Q, ,+F0, 


où le facteur F,, doit satisfaire aux conditions que nous venons d’énoncer. 
Nous allons donc nous occuper, dans le numéro suivant, de la manière 
de déterminer F, sous ces conditions. 


DR; : KES 


$ 8. D’après notre notation, 


Qu 
est le dernier dénominateur de la suite 


PR RO a 


dont le degré est inférieur à #; par conséquent le dénominateur 


(RS 


sera ou du degré m», ou d’un degré supérieur à m. Dans le premier cas, 
comme il sera aisé de le faire voir, il n’y aura qu’une valeur de nu propre 
à satisfaire aux conditions qui limitent le choix de cette quantité, c’est-à- 
dire qu’il faudra que Æ, soit égal à ®,,; dans le second cas, ou il n’y aura 
pas du tout de valeur de 2; qui satisfasse à ces conditions, ou bien F, 
s’exprimera au moyen d’une fonction à plusieurs coefficients arbitraires. 


En effet, d’après les conditions qui déterminent la fonction Hi le degré 
du produit F, Q ne pourra pas surpasser #— 1, et celui du quotient 


F —0 RS £ 24 
“_Fne surpassera pas —#»— 1, où le dénominateur Q est de la 
U +1 u +1 


puissance ». Ainsi quand le numérateur sera entier et différent de zéro, le 
degré du quotient 





Fi — où 





Qu+1 


sera nécessairement supérieur à —"— 1. Donc, dans ce cas, on est forcé 
d'admettre que 

F,—o,=0; 
ou bien 


= 0:: 
FE, He 


Ensuite, d’après ce qui a été dit précédemment, le degré de la fonction w 
est inférieur à celui de 


[PA 


Qu+1 


Qu ? 





donc, en donnant à F,, la valeur 6, NOUS rendons la puissance du produit 


EF be @ 
inférieure à celle de 


Q 
Qu Qu Que 





de (90 


et par conséquent inférieure à celle de x”, car, dans le cas que nous exami- 
nons, le dénominateur Q@,,, est du degré m. 
D'où il résulte que si Q 


ui 85 du degré m, on peut toujours faire 


F,=0,, 


et qu'aucune autre valeur de ce facteur P ne satisfera aux conditions 
établies dans le numéro précédent. 


Dès lors, dans ce cas, le polynôme cherché y ne peut avoir qu’une 
seule valeur, et elle sera déterminée par la formule que nous venons d'écrire, 
c’est-à-dire par 


y=0, Q, +0, Q, +... A ner, 


pourvu que nous y fassions 


F,=0,. 


Passons maintenant au cas où le dénominateur Q ua 65 d’une puis- 
sance supérieure à #. Conformément aux conditions qui déterminent le fac- 
teur ur le produit Fe Q,, doit a. d’un degré qui ne soit pas supérieur à 


m— 1, et le degré du quotient EE Fu % ne doit pas surpasser — » — 1, ou 
U+1 


bien, ce qui est la pers chose, le facteur ne doit pas avoir un degré 


supérieur à celui de =———, et le degré de la ue Fes — ©, ne doit pas 





D b 
surpasser celui de Qu, Or cette ropriété est évidemment exprimée par les 
mi p 


deux équations suivantes: 





(8) F,=Cr+QGr "+... 
et 
LA à LEA M Vs] 
(9) M + ...., 
où y désigne la puissance de la fonction —— a , Ÿ, Celle de la fonction im 
(T3 


et les quantités 


ON dd 0)... 


? 


sont des coefficients indéterminés. 
L’élimination de x, à l’aide de ces deux équations nous donne 


+ Cr + Cr +.. . MIT IR ET”. ..., 


équation qui ne peut être satisfaite par aucune valeur des coefficients 


Cis Cuy...., C, C”,...., si le degré de la fonction o,, surpasse v et v.. 


or D 


D'où il est aisé de voir que si la puissance de ©, est supérieure à v et v., 
il est impossible de satisfaire aux conditions qui déterminent F, dans l’ex- 
pression du polynôme cherché, et par conséquent, dans ce cas, notre problème 
n’a pas de solution. Dans le cas contraire, quand la puissance de ©, n’est 
pas supérieure au moins à l’un des nombres v et v,, la valeur du facteur 2 
sera facile à trouver, et, comme il est aisé de le voir, elle sera déterminée, 
ou par la seule équation (8) ou par la seule équation (9), selon que v sera 
ou ne sera pas < v,. 

+ effet, mettons l’expression de F,, donnée par l’équation (8), dans 
la formule (9), nous aurons 

Cr + Cr + .... —w, = C'21+ C'et + PRE 

Si le nombre v est inférieur au nombre v,, le degré de la première partie de 
cette équation ne surpassera pas celui de la seconde, car si v << v, la puis- 
sance de la fonction w, ne peut être supérieure à v,, puisque dans ce cas, 
contrairement à l’hypothèse, cette puissance serait supérieure aux deux 
nombres v et v,. Donc, par un choix convenable des coefficients C”’, C”,...., 
on pourra toujours satisfaire, dans ce cas, à l’équation 


Qr'+C0r +... 0er Car 


RS RE 
quels que soient les coefficients ©, C,,.... du premier membre de cette 
équation. 


De même si v n’est pas < v,, l'équation (9) nous donne 


F,=0,+ CRIE PINE SE, 
et, en y laissant tous les coefficients arbitraires, nous obtenons une valeur 
de F, qui satisfait à l’équation (8) si l’on donne des valeurs convenables 
aux coefficients C, C,,.... 


Aïnsi, il est bien établi que toutes les fois que le degré de la fonction 


wo, n’est pas supérieur au moins à l’un des deux nombres v et v, (degrés 
. m— ; . . 

des fonctions ee et er) la valeur du facteur F,, satisfaisant aux con- 

ditions du numéro précédent, peut être trouvée. De plus, la valeur de a 


sera déterminée par l’équation 


F,=0Cz +02 "+... 
ou par l’équation 
E,=0,+ Gaei Or + Nr 


HE”. ES 
selon que l’on aura v < v, ou bien v = v,. Quant aux coefficients 


AE 1200 © VAS AR 
Or. 
ils restent arbitraires. 


$ 9. Pour donner un exemple, cherchons à determiner le polynôme 


FE 2 s mMm—1 
J=A VA TH A+... + A, 2x 


sous la condition de rendre maximum ou minimum la valeur de la somme 


T1 
D > (un —f (&)) 0 (x), 
étendue aux valeurs 
T—=L,, Lo, Lg, . 


Nous commencerons par supposer que le choix des coefficients 


RS SE NRA 


m—1 


du polynôme cherché y n’est limité par aucune condition particulière, et 
puis nous traiterons le cas où la valeur d’un de ces coefficients 


NL À... 2 


m—1° 
est donnée. 

La première hypothèse, avec les valeurs réelles de +,, &,, æ,,.... et 
l’invariabilité de signe de la fonction (x), nous donnera la formule déjà 
connue de l’interpolation parabolique d’après la methode des moindres carrés 
dans les cas ordinaires; la seconde, avec les mêmes conditions pour les quan- 
tités x, 2, %3,.... et la fonction O(x), nous conduira aussi à une formule 
d’interpolation parabolique d’après la méthode des moindres carrés, mais 
dans les cas particuliers où l’un des coefficients de l’expression y est assu- 
jetti à la condition d’avoir une valeur donnée. 


Si dans les formules du n° 2 nous faisons 


F(,y,9,y,....)=(y—f(x)) 0(x), 
nous trouverons 


d , J9 f TETE 
= EME = (y —f(a)) 0 (@) 











dE(x,y,y’,y”,....) 
P — ? dy! Enr 006 0, 


MAS | Poe 
Avec de telles valeurs des fonctions 
HN 5. 


et dans l’hypothèse que le choix des coefficients du polynôme n’est limité 
par aucune condition spéciale, nous aurons à remplir né le n° 3 la con- 
dition suivante: 


L'expression 
(y — (a) 0 (0 


doit être réductible à une fonction entière, avec une approximation poussée 
jusqu'au terme x" inclusivement. 


Désignant par 
d@), D... D) DC) Puei(h - 


les dénominateurs des réduites qu’on obtient en développant la fonction 





0 (x) g'(x) 
p (x) 
en une fraction continue 
L 
Lo di + ; 
. 4 - Ne 1 
Qui + 1 
Qu. IR LES 


et supposant que dans la suite des fonctions 


Ÿ, (x), ®, (x), EE à . (x), d (x), | SR (x), me 
la dernière fonction d’un degré inférieur à » soit 


Ÿ., (&), 


nous trouverons que le polynôme 
y=A+At+ A+ ....+14,,0 
qui satisfait à cette condition, sera donné par la formnle 
y= a) +od(+.... +0, 9, ,(@) +8, 4,0), 


où les facteurs 


 dS 


seront déterminés par la formule 


at n—1 Yn (2) F (@) 0 (æ) '(x) FT ba (x) f(x) 0 (x) p'(x)\. 
o, = (— 1) Ec.( (x) Ë (x) } 








et le facteur FE d’après le n° 8, n'aura qu’une valeur déterminée 


7 = — 
F, = ®,; 


si la fonction 4,_,(x) est du degré m». Dans le cas contraire, si notre pro- 
blème admet une solution, c’est-à-dire si la somme 


d > (if)? 0(x,) 


peut devenir un maximum ou un minimum, le facteur Æ, contiendra plu- 
sieurs coefficients indéterminés et sera donné par l’une des formules 


MS y ÿ—1 
F,=Cx+Cz  +...., 


F,=0,+ CEE CET +. ..., 


où v et y, désignent les degrés des fonctions 


ami Dur @) 
DU)? enr 





Comme précédemment, on appliquera la première de ces deux formules si 
v << v,, et la seconde dans le cas de v5v,. Quant au critérium qui permet 
de reconnaitre que notre problème a une solution ou n’en a pas, nous avons 
déja vu ($ 8) que le facteur F, qui satisfait aux conditions de notre pro- 
blème n’existe que dans le cas où le degré de la fonction w 
moins l’un des nombres v, v.. 


n ne surpasse au 


Quand les quantités 


Vs Les D 


19 29 + SOUL. 


ont des valeurs réelles, et que la fonction 
O(&) 


ne change pas de signe, la fraction continue, qu’on obtient en développant 
l'expression 
0 (x) (x) 
px) ? 


comme il est connu, sera de la forme 


1 


DT ZTrtE + E 


Az+B, +. 


a 


où À,, B,, À,, B,,.... sont des quantités constantes *). Dans ce cas les 


fonctions 
Q;) ose.) nr... 
ont pour valeurs 


4 =A,2+B,, 4 —=42+8B,,....,0,—=4,2+B,, 
et les dénominateurs 


PQ), L(),...., 4,0), 9, @), bre... 


des fractions réduites de l’expression 


0 (x) æ’(x) 
px) ? 
seront de degrés 


0,1,....,Mm—2, m—1, m,.... 


Comme dans ce cas le dernier dénominateur d’un degré inférieur à , 
est (x), et celui qui le suit immédiatement, c’est-à-dire Ÿ,,,, (x), est du 
degré m, d’après ce qui a été établi, le polynôme cherché y sera donné par 
la formule 


y—= 0%, (x) +o,4,(t)+....+o, 4%, (x) +0, (x). 


Mettons à la place de g, sa valeur = À,% + B, dans la formule du 
° 7 qui sert à calculer les facteurs 


nous aurons 


— Qu 1 es Et,z a B,) (2 (x) ES p Fe) 4 Ÿn (x En nos "(x 2) 


Si nous désignons par U la fonction entière qu’on obtient en divisant 
le produit 








Ÿ, (&) F(æ) 0 (x) p'(x) 
par œ(x), nous aurons, par notre notation 


E* (æ).f (æ) 0 (x) (x RE à 
(x) M 








*) Voyez le Mémoire intitulé: Recherches sur les fractions continues (T. TI, pag. 203— 
+230). Du reste cela résulte aussi de ce que æ,, 2, æ3,.... étant réels, 0(x) conservant toujours 
le même signe, notre problème a toujours une solution, quel que soit "m, car cela suppose d’après 
le n° 8 que dans la série ÿ, (x), ÿ, (x),...., il y aura toujours un dénominateur du degré m, et 
que par conséquent il s’y trouvera des dénominateurs de tous les degrés, ce qui n’est possible 
que quand la fraction continue dont il s’agit a la forme que nous venons d’indiquer. 


UE 











et 
Yn (x) f (x) 6 (x) p'(x) __ bn (@)F (21) 0 (1) … Va (ta) (t2) 0 (2) 
Es — FF n re 1 Br n CE 2 PE 
= U + N'J (25)9 (x) Ÿn Go 
TX — Tj 


d’où nous tirons 








Yn (æ) f(x) 6 (æ) ?'(x) E Yn (ra) (t6) 0 (cs) o (x) 
p(x) (x) 


= DAE0Edn(D 


T — Xj 





Ainsi l'expression trouvée ci-dessus pour le facteur ©, se réduit à la sui- 
vante : 





a, = (— Ses LEA x + B,) N'J (œ5) 0 (x) ) Don Ce) 


ZT — 


Cette formule peut s’écrire ainsi: 


© =(— 1" K(4 +2) 'AEe0 0 (ea (ed 
n n z 3 


ss 
æ 





Le terme placé sous le signe E est du degré zéro; donc, en faisant x — oo 
nous aurons sa partie entière, et nous trouverons ainsi: 


1 


o,=(—1)" 4, D f() 0(x) 4, (x). 
En calculant d’après cette formule les valeurs des facteurs 
ion © 


m—1? On 


et en les mettant dans l’expression du polynôme y, nous obtiendrons la for- 
mule que voici: 


= AD T)0 (x) 4). 4 (@)—A4, fa) 0()b,(x). (+ … 
LA 1 4, fa), (c) À LT G}+-D" T4, f(x) dx) (x) Da(Z). 


C’est ainsi que l’on détermine le polynôme du degré »m— 1 qui rend 
maximum ou minimum la somme 


. : (y,— f(&,)) 0(x;), 


3* 


ie D 


étendue aux valeurs réelles de x et dont le facteur Y(x) ne change pas de 
signe. 

Cette formule sert pour l’interpolation parabolique, d’après la méthode 
des moindres carrés, quand il n’existe aucune condition particulière relative 
à ses coefficients. 


$ 10. Passons maintenant au cas où dans le polynôme cherché 


CRE 2 mMm—1 
y= A+ À t+A,2+....+14, 2 


le coefficient de z°, où / est un des nombres 0, 1, 2,....,#—1, est sup- 
posé donné. 

La condition que le coefficient de x, dans le polynôme y, doit être 
égal à un nombre donné peut être exprimée par l'égalité 


D +, (æ, y; UE “> .. .)=4@, 


pourvu toutefois qu’on n’étende cette somme qu’à la seule valeur de la va- 
riable +, x — 0, et que la fonction 


D, (4,9, Y,Y 0.) 


Pers dl : : 
se réduise à un seul terme J = Dans ce cas, d’après la notation du 
“A 


n° 5, nous aurons 


et toutes les dérivées partielles de 


(2, %,9%,....)=Y 


prises par rapport à y, y, y”, y',.... seront zéro, excepté la seule déri- 
vée par rapport à y, qui sera égale à 1. 

Supposant, comme ci-devant, que la somme qu’on se propose de rendre 
un maximum Où un minimum est 


“e 
D 5 (y—f(@) 0() 
et qu’elle s’étend aux valeurs de la variable x, telles que 


%;, Lo) Tasse. 


GE 47: 


nous aurons, en conservant la notation du n° 5, 











P,(&, 9 Ye) = 7 (y— f(x) 0 (x), 
M, EP d)  (y —f(x)) 0 (a, 
Fa 4 Po (2, CE Ps). 
P — a Po (x, "_ ») 0, 
A 
(Gt —x,) (x —%) (t—%x)....— 09, (x). 


Avec ces valeurs des fonctions 


Mo, Nos Pi,-..., Po(t), P1(t) 


et ayant en vue la remarque que nous venons de faire sur les dérivées par- 
tielles de la fonction 
/ 4 
À (x, Ys YsY >: .….) = 
prises par rapport à y, Y,....,Y,...., le polynôme cherché sera déter- 
miné, d’après le n° 5, par la condition suivante: 





L'expression 
(y — f (a) 6 (a) @/ (x) a 
y — f (x)) 6 (x) 9 (x La a 
Po (x) + dx! 


doit se réduire à une fonction entière avec une approximation poussée jusqu’au 
terme x" inclusivement. 

Comme cette expression, après la différentiation et la multiplication 
indiquées, se réduit à la différence 





0(æ) Po’ (x) ,, (= 0 (x) Po’ (x) ___ 1.2.. en), 


Po (x) Po (©) ati 


pour déterminer le polynôme y nous devons, conformément à ce qui a été 
dit au n° 7, développer en fraction continue l’expression 


0 (x) Po’ (x) 
Po(x) ” 


En nous bornant à examiner le cas où toutes les valeurs de 


ic. 


D 


sont réelles, et où la fonction 
O (x) 


ne change pas de signe, nous aurons, d’après ce qui à été dit dans le nu- 
méro précédent, 


0 (x) ®o (x) 1 


= + 1 
Po (&) D XrsE + 


A2T + B, + 


où À,, B,, À,, B,,...., sont des constantes. 
Ce développement de la fonction 


0 (x) Po’ (x) 
Po (€) 


nous donnera la suite de dénominateurs des réduites 


(UM (x), Ya (x), RS Pr D, (x), (Un (x), Ne. (x), on Le 
qui seront de degré 
0, 1,....m—2, m—1, m,... 
Comme le dernier dénominateur de degré inférieur à » est d,, (x), et 


comme celui qui le suit immédiatement, d,,,., (x), est de degré », le poly- 
nôme cherché 


y= A,+A%+....+ A, 2% 
d’après le n° 8, s’exprimera par 
y=0%,()+o,p{(r) + ....+0, 9%, ,() +0, 4, (@). 


Mais comme dans le cas que nous examinons 


QU = À,2%+ B,;, Nn=A2+2,, id 





t Q, = q, (x), @, ÊTES d (x), nr SNS. sa ete , 
€ S 
y —1(@) 0(æ) 8 (&) __ 1.2... 
Po (x) ali 9 


nous aurons, d’après le n° 7 , pour déterminer les facteurs 


nor Op Vo 


9) me) 18h) | 
[( Po - ali da (x) | 


M ff) 0 (x) po (&) _1.2....1.h 
| Et "NC E De at+1 ) La a | 


la formule que voici: 





o,=(—1)"K(U,z+8,) 





se 00 


ce qui peut être. écrit ainsi: 








o, = (— 17! Eee fs f (&) 0 (x) Po’ (2) Ÿn (& .. Lente) 


Po (t) Po (X) 
n—1 es (x) _T} Ya (x) 


Mais, d’après ce qui a été établi dans le numéro précédent, l’expression 


Fus+s,) (eee prete ete) 


Po (x) Po (x) 








se réduit à 























Fe. 
A, DT) 0x) Ye) 
et la fonction b, (x), développée par la série de Maclaurin, nous donne 
Yn (&) __ Ÿn (0) Yn! (0) F4," (0) 
ic REP Er + a; UE EUX SE p” SE 
À +1 Fa 1+- : 
up (Pro. Drnr: 5) Ÿn 2(0)+..…; 
par conséquent 
See © A NE A 1.2....(+1) (+2) În ENS 


et la différence 


Dh (&) tn À da (x) 
al+1 al +1 

se réduit à la série 
Ÿn! (0) 1 Pnl—1(0) 1 





s FN  L2....H{—-1)a 
En multipliant cette expression par 4,2 + B, et en rejetant dans ce produit 


An Ÿn} (0) By Yn (0) Any nl 1(0)\ 1 
F4 + (Re 0 4 Sn), 





les termes où la variable æ a des exposants négatifs, nous aurons pour la 
valeur de 
ÿn AE Yn (&) 
Ems+s) (28 R) 


An Ÿn! (0) 
CEUANE 2 


l'expression 


PURE huis 


Par conséquent la formule qui sert à déterminer ©, se reduit à 
SRLPRRT ee, | 
o,=(— 1)" 4,(S f(x) d(x) (x) —ùx (0). 
Ayant déterminé d’après cette formule les valeurs des facteurs | 


“ès 


OPEREE  _e On) 


et les ayant mises dans l’expression du polynôme cherché 


y—=0,%, (x) + 0, 4, (x) + st +0, _ 4, _.(@) +, 4, (#), 


nous verrons qu’il se réduit à 


y = A (D FD 0) Ce) — à hr (0)) di (@) 
— 1, (SF) 0@) hr) — à h/(0)) bi(e) +... 
+ (DT 4,(D fe) 0) 4, @)— 4,1 (0), 


où À, est une constante inconnue qui, dans notre cas, sera déterminée par 
la condition que le coefficient de z° doit avoir une valeur donnée. 


On trouvera aussi de la même manière l’expression du polynôme y, 
dans le cas où plusieurs de ses coefficients sont donnés, et les autres sont 
déterminés par la condition de rendre maximum ou minimum la somme 


DE (y—f&) 0(), 


étendue à des valeurs données de la variable x. 









FIBRA RNQ 
OT: à 
UNIVERS ii Y 


OF 
RCALIFORN\È 


A 


SUR L'INTÉGRATION 


DES DIFFÉRENTIELLES LES PLUS SIMPLES 


PARMI CELLES QUI CONTIENNENT UNE RACINE CUBIQUE 


(TRADUXT PAR A. V. VASSIXLIERF.) 


Os unmespupobaniu npocmrtüuuxe Oucbhepenuiarobe 


codepauu hyéurechii hopene. 


(Maremaruuecxiä Côopauxz. T. II. 1867 r., corp. 71—78.) 





ee 


Sur l'intégration des différentielles les plus 
simples parmi celles qui contiennent une 
racine cubique. 


Dans le mémoire: Sur l'intégration des différentielles qui contiennent 

une racine cubique *) il a été montré par quelles fonctions le plus simples 
0 

VER F4 

on y a supposé que le radical VAR n’a pas de diviseur rationnel et que le 


terme algébrique de l'expression de l’intégrale LE dx a été chassé. 





s'exprime l'intégrale ( dx sous forme finie lorsque cela est possible; 





Le calcul de ces fonctions qui conduisent à la détermination de l’inté- 

le ! = 
grale ee 
radical VR en fraction continue; c’est ce qui a conduit Abel dans son mé- 





dx correspond, comme il est facile de voir, au développement du 


moire connu sur ce sujet à l’expression de l’intégrale Êe dx par les fonc- 
p+qvVR 
p—aVR 

En appliquant ce procédé aux exemples, Abel trouve quelques cas 
particuliers de l’intégrabilité de la différentielle 


tions de la forme À log 


Ax + B 
Va + aa? + bx + c 








dx, 
sous forme finie. 


On peut, d’après le mémoire cité plus haut, procéder de la même ma- 
nière par rapport aux différentielles qui contiennent une racine cubique. 
Aiïnsi, en appliquant notre méthode à la différentielle 


V 23 + ax + b 





*) Tome I, pag 563—608. 


+ À 


nous trouvons que, outre le cas où la fonction 4° + ax + b à un facteur 
multiple, cette différentielle s’intègre sous forme finie dans les suppositions 
suivantes 


1 5 0 
b? 1 
2) PT Saad 
2 | 
3) ES TE HT, 


Dans tous ces cas l’expression de l’intégrale 


[= — in 


Ÿ23 + ax + bd 


est donnée par la formule générale 
K log Lo (VAR) .@°* (x VAR). p% (œ° VA) |, 


où ÆX est un facteur constant, « une des racines imaginaires de l’équation 
a — 1 — 0; la fonction ? (VA) se ramenant au produit 


bd (VR).4, (VR)....4,_,(VR), 
dont les facteurs 


L(VR), 4, (VR),...., 4, (VR), 


déterminés successivement l’un au moyen de l’autre, ont, comme il est fa- 
cile de voir, dans le cas 

R = 2 + ax + b, 
les valeurs suivantes: 


e % © w D» © 0 © 0 9 0,0 à © © © ee + + © eo + + » © 6 #6 + © de 9 0e 0 6 0 0e © 0 + |» 01:67:41 0;01:8:0 0 


ve 0 eo 20e dt, Se eee 0 © 0 0e © ve » 0 pe © 05 0 0 be vin. de" 0 pp GS 6 nn vs Re TOM R.T 0 0 


Le nombre &., qui exprime combien des facteurs 


PVR), 4, (VR),.….… 


entrent dans l'expression de la fonction (YA) peut avoir toutes les gran- 
deurs de zéro à l'infini. 


La supposition 


s’obtient dans le cas 
= 1 


et dans ce cas n0$ formules donnent 





[= de = K log [o (V2). (a VAR). qi (a VR)], 


où 
? (VR)=2— Ve + ar. 
La supposition 


a lieu quand 
u — 2, 


et dans ce cas la fonction ® (V2) qui entre dans l’expression de l’intégrale 


Er mreer Ya3 + ax + d X + aX + 4 
au moyen de la formule 


K log Le (VAR). o° (x VA). o%° (a2 VR)] 
a la forme suivante 


Q(VR)=(a— VR) {a+ 3(2+2)(3%r++) 


+ |x—3 (8 + 1) (x) VR + VR). 


Dans le cas 


on à la même valeur de y et, par conséquent, la même forme de la fonction 
o (VAR). 

Dans tous ces cas o reste une quantité constante et a les valeurs sui- 
vantes: 


1) —2X pour b—0, 2) —6XK, pour 5 ——% et 
9EV—S8 1 V—3 





Mais l'application du procédé qui a été donné par nous pour l’inté- 
gration de la différentielle 


Te. 


sous forme finie, n’est pas bornée à ces résultats particuliers et à d’autres 
semblables; ce procédé de l'intégration mérite toute l'attention d’autant 
plus qu’il donne la condition nécessaire pour que l'intégrale 


he 
puisse être exprimée sous forme finie. En effet, pour qu’il soit possible d’ex- 


primer l'intégrale 





[ A 
V 23 + ax + bd 


sous forme finie, il est nécessaire qu'au moins l’une des équations 


27 b? 
Ne ti 


b2 \2 b2 
8(%) Xt+ 67 (X°+92X)— 1 


? 


puisse être satisfaite par une quantité X qui est rationnelle en _ 
En appliquant cette condition aux cas mentionnés de l’intégrale 





[ à, 


Y a3 + ax + bd 


nous trouvons que la quantité 


a les valeurs suivantes: 
1 1 
0, — +, —. 


V—3 
18 





b2 
Pour les deux premières valeurs de 3 l'équation 


en se réduisant à 
1 

a ; DR 
St 2 EL 


: ; 2 
a évidemment une solution rationnelle en De 


. nn 
Pour la dernière valeur de . l'équation 


se ramène à 





ie AT 


. . s 2 € 
qui ne peut être satisfaite par une valeur rationnelle en = Re 
Mais dans ce cas l'équation 


3(%) xt 6 5 (X'+2X)= 1 
se réduit à l'équation 
3(— +) xt 6 (— SES) ox) = 1, 


et cette équation, comme il n’est pas difficile de s’en assurer, est satisfaite 
par 


8 _, V—3 
ee MR Sp PR 
X=—3+ 
: 1, V—8, 
ce qui s'exprime rationnellement en — — SE ETS à savoir 
b? 


est rationnelle, pour qu’il soit possible d'obtenir l’intégrale 


[= — dx 


Y'a + ax + bd 


sous forme finie il est nécessaire, d’après ce qui précède, qu’au moins une 
des équations 


2 
xt = T7 LAS 0 


4 a 


8%) X'+ 6% (X°+2X)= 1, 


ait une racine rationnelle. 


D’après cela on reconnait facilement l'impossibilité d’obtenir sous 
forme finie plusieurs intégrales de la formule 





[ Ê dx. 


V'a3 + ax +0 














d 


SUR UN MÉCANISME 


(TRADUIT PAR X. W. MESTSCHERSKY.) 


(Lu le 8 (20) octobre 1868.) 


Os oOnons Mmexanusmnrs. 


(3anucxx Huneparopcxoë Axaremin Hayx®, T7. XIV, 1868 r., crp. 38—46.) 














ras 
É Le 


vd ja SA 


à 














Sur un mécanisme. 


— 


Dans le mémoire intitulé: Théorie des mécanismes connus sous le nom 
de parallélogrammes *), nous avons montré, de quelle manière par les appro- 
ximations successives on peut trouver avec un degré désiré d’exactitude les 
dimensions les plus avantageuses des éléments du parallélogramme de Watt 
ainsi que d’autres mécanismes du même genre, qui réalisent le mouvement 
peu différent du mouvement rectiligne. 

Nous avons réduit cette question par le développement en séries à la 
détermination des fonctions entières, qui s’approchent le plus de zéro, et 
nous avons traité dans un mémoire spécial sous le titre: Sur les ques- 
tions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des 
fonctions **) la détermination des fonctions entières et fractionnaires, rem- 
plissant cette condition. 

Cela suffit pour trouver les solutions approximatives; mais pour la 
résolution exacte il faut appliquer la même analyse aux fonctions irration- 
nelles, qui se présentent dans ce cas. 

L'application aux fonctions irrationnelles du théorème général que 
nous avons démontré dans le second des mémoires cités à l’égard des expres- 
sions, qui se rapprochent le plus de zéro, est intéressante sous plusieurs 
rapports, et comme un des résultats de telle application nous allons montrer 
la construction d’un mécanisme remarquable tant par sa simplicité que par 
la précision, avec laquelle il réalise le mouvement rectiligne. 

Ce mécanisme est composé des mêmes éléments articulés de la même 
façon que le parallélogramme réduit de Watt; il ne diffère de celui-ci que 
par les directions des leviers, qui tournent autour des axes fixes: ils sont 
dirigés du même côté et se croisent. 

On prend les leviers de la même longueur et le point, qui exécute le 
mouvement désiré, se trouve au milieu de la bielle, c’est-à-dire, de l'élément 
relié aux extrémités des leviers par les charnières. 





*) T. I, p. 111—148. 
**) T. I, p. 273—378. 
4* 


DR nn 


En appliquant le théorème mentionné plus haut à la fonction, qui dé- 
termine le mouvement de ce point, nous trouvons, que son mouvement s’ap- 
proche le plus possible du mouvement rectiligne dans l’étendue plus ou 
moins considérable sous les conditions suivantes: 

1) La distance des axes de rotation des leviers doit être égale au tiers 
de la longueur de tous les trois éléments du mécanisme, c’est-à-dire, de deux 
leviers et de la bielle. 

2) La longueur de la bielle doit dépasser le quart de celle des leviers. 

A mesure que diminue l’étendue, où l’on désire réaliser le mouvement 
approché du mouvement rectiligne, la longueur de la bielle doit de plus en 
plus s’approcher du quart de celle des leviers et en même temps avec une 
plus grande précision on obtient le mouvement rectiligne. 

La longueur de la bielle est déterminée par l’équation: 


2 (5 — 2a) (2a + 1) (4a — 1) 
ta (a + 2}? , 





où l’on désigne par a la longueur de la bielle et par Z celle de la corde de 
l’arc, qu'on cherche de rendre s’écartant le moins possible d’une ligne 
droite. (On prend pour l’unité la longueur des leviers). 

Il est facile de se convaincre que cet arc sera compris tout entier 
entre deux parallèles dont la distance aux axes de rotation des leviers est 
égale respectivement à 


4 4 4a — 1} 
VFa—-dG+a, VrGi—d(2+0+ CES 


Soit en effet CAA,C, (fig. 1) le mécanisme considéré, où AC— 1, 








Pur. 1. 


V 

















cC 


À,C,—=1 sont deux leviers, qui tournent autour des axes C'et C,, AA, = a 
la bielle, dont le point milieu M exécute le mouvement désiré. 


BE 


D’après ce que nous avons dit, la distance CC, des axes de rotation 
des leviers AC et À,C; doit être égale à 


AC+ AC + AA, _2+a 


— 


3 3 





En élevant du milieu de CC; la perpendiculaire OX et prolongeant les 
droites CC, et AA, jusqu’à leur rencontre au point VW, et considérant le 
triangle MXV, le rectangle MXOY et les triangles ACV et A,C;V, nous 
obtiendrons pour la détermination des distances du point M aux droites CV 
et OH les équations suivantes: 


MX = MV sin OVM; 
MY —OX—= OV — MV cos OVM; 
AC?=(MV—AM}Ÿ+(0V+-0Cÿ—2 (MV—AM) (0V+OC) cos OV; 
A,CP=(MV+A,M}+(0V—0Cÿ—2 (MV+A,M) (0V—OC;) cos OVM. 


En posant 


; M 
sin Ts 


et observant que, d’après ce qui a été dit plus haut, 


ACT AGE 1, 


AM= AM —*, 
OC = 00, = =", 





nous trouvons des équations ci-dessus: 


: axe / ee 7) 














(1 + 2a)? 














3(2+a)a Les 
+ s2) (1— 82) S2 
Rs 3a 
2) Mr V  _ ; 
8(2+a)a 


En déterminant d’après la formule (1) les valeurs des différences 


4 

MX°—: (1— 0) (2+ 0) 
et 
4 4a — 1} 
MX'— + (1—0) 2+a) — 


ÉNR 


on trouve, qu’elles se représentent respectivement sous la forme: 

















a(r-te2) (md 





(1 + 2a)? 


SERRES 
3 (2+a)a 


par suite le produit 


CUx— + (Go (2+0] [5 (0 +0 | 


est égal à 


É (s: es == :) (s: __ (da ne =) . ”  . | 











Ra (2+a)a/" 














(1 + 2aŸ 


PA Sole arte ANR 
3(2+a)a 


retire T 


pour toutes les valeurs réelles de S est positif et le facteur 


4a — 1 
En mes 
5 (2+a)a 


pour SK > — De = est négatif, le produit 


.. 2+0)] [M$ (1-0 C+0—- | 


reste négatif lorsque S? varie depuis O jusqu’à d’où il résulte que 
les facteurs 





MX? — À (1— a) (2 +0), 


4 4a — 1} 
MX — 5 (1 — 0) (2 +0) — 


doivent être de signes contraires; par conséquent la valeur de 


MX? 


SR 


doit être comprise entre les quantités: 


_ (1 — a) (2 + a), 


4 4a — 1} 

5 A —a) (2 + 

On voit de là que la distance du point M à la droite CC, depuis 
1 


S= 0 jusqu'à S— age sera comprise entre les limites 





V5 G—0 +0), 


1/ 4 4a — 1} 
AE (1 — a) BH) + ap 





par suite le point AZ ne sortira pas de l’espace limité par les droites paral- 
lèles à CC, , dont les distances à CC, sont égales à 





y+ (1 — a) (2 + à), 


4 4a — 1} 
Vra—96+0 + EX. 





D'ailleurs d’après la forme du mécanisme considéré le mouvement du 
point M est le même de part et d’autre de la droite OH; c’est pourquoi 


l’arc de la courbe décrite par ce point, lorsque S? croît depuis O jusqu’à 
4a — 1 
(2 + a) a? 
OI et la corde soutendant cet arc est égale à la double distance de ses 
extrémités à OX. 
Cette distance d’après la formule (2), où l’on pose 


sera disposé de la même manière de part et d'autre de la droite 


4a — 1 
Rose 
5 7 (@+a)a? 


peut être représentée sous la forme 








Ur (5 — 2a) (1 + 2a) (4a — 1), 
UY=Y 4 (2+ a}? ? 


par suite 








= 2 EE 
A 4 (2+ a}? ? 


d’où, élevant au carré, on obtient 


ee (5 — 2a) (1 + 2a) (da — 1) 
(2 + a}? . 





M 


Ainsi nous nous assurons que pour la valeur de /, satisfaisant à cette 
équation, l’arc soutendu par la corde /, dont le milieu se trouve sur la 
droite OH, est réellement compris tout entier entre deux droites parallèles 
indiquées plus haut. 

Toutes les fois lorsque la quantité a diffère peu de + , la distance de 


ces parallèles est petite et par conséquent l’arc que nous considérons 
s’écarte peu d’une ligne droite. 


Mais à mesure que a s'éloigne de Z, la distance des parallèles aug- 


mente et la courbure de l’arc devient de plus en plus grande. 

Pour une valeur de a plus grande que 0,546 *) (ce qui correspond à 
L> 1,222) ces écarts sont si considérables que l’arc se courbe à ses extré- 
mités vers la droite OX, en vertu de quoi les points de cet arc les plus 
éloignés de la droite OZ ne se trouvent plus à ses extrémités, mais à cer- 
taine distance d’elles. 

Pour faire voir avec quel degré de précision le mécanisme traité réa- 
lise le mouvement approché du mouvement rectiligne dans l’étendue assez 
considérable, nous appliquons les formules obtenues au cas 


= 0,64, 


ce qui à lieu dans le parallélogramme de Watt, dont le fonctionnement a 
été examiné par P rony, qui l’atrouvé bien satisfaisant. (Annales des mines. 
Tome XII). 

En résolvant l’équation 





ne (5 — 2a) (1 + 2a) (4a — 1) 
(2 + a} à 


où l’on fait ! — 0,64, on trouve 


"a= 0,327. 


Substituons cette valeur de a dans les expressions, qui déterminent 
les distances des parallèles aux axes de rotation des leviers: 





VE (1 — a) (2 + a), 


4 4a — 1} 
V5G—0 (2 + 0) + ge 








*) C’est une racine de l'équation (a? — 6a +- 2) (2a — 5) (24 + 1) — a (4a — 1) — 0, 
4a — 1 


qu'on obtient, en égalant à zéro la dérivée de MY? par rapport à S et posant S? — TRE 





NT 
on trouve alors que ces distances sont égales respectivement à 


0,83428, 
et à 
0,83457. 


Donc la distance des parallèles est égale à 
0,83457 — 0,83428 — 0,00029. 


D’après les calculs de Prony le parallélogramme de Watt dans la 
machine à vapeur, où le bras du balancier était de 2,515” de longueur, 
donnait les déviations, qui atteignaient 0,002" ou 0,00079, si l’on prend 
pour l’unité la longueur du bras du balancier. 

Tandis que lorsqu'on se sert du mécanisme que nous avons examiné 
les écarts ne surpasseront pas, comme nous venons de trouver, 0,00029, ce 
qui fait moins que la moitié du nombre 0,00079. 

Notons en dernier lieu que la construction connue, qui sert à passer 
du parallélogramme réduit de Watt au parallélogramme complet, s’applique 
sans aucun changement au mécanisme que nous avons considéré; de cette 
manière on obtient le parallélogramme complet de Watt ayant un tige- 
guide, qui est dirigé en sens contraire et coupe le balancier. 

Le parallélogramme de cette espèce est représenté sur la figure 2, où 
le point AZ décrira la courbe, qui, comme on voit de ce qui précède, s’écar- 


Pur. 2. 


C 


tera moins de la droite verticale, que celle qu’on obtient dans le cas de la 
disposition ordinaire du tige-guide À,, C,,. 

Mais quand la forme du parallélogramme de Watt est modifiée de la 
manière indiquée, la courbe décrite par le point M, comme on voit de la 
figure, fait avec le balancier AC un angle trop aigu, ce qui présente un 
inconvénient très important. 





SUR LES FONCTIONS ANALOGUES 
À CELLES DE LÉCGENDRE 


(TRADUXT PAR A. V. VASSILIEF.) 


© hynhuiaxe 
nodoËnUuXE hynhuiane letandpa. 


{8anucxu Huneparopckoë Axaremin Hayx®, Tr. XVI, 1870 r., crp. 131—140.) 





a 


Sur les fonctions analogues à celles de Le- 
gendre, 





La propriété remarquable des fonctions de Legendre 
nn Aires 
qui conduit facilement au développement en série de la forme 
A4,X,+4,X,+A,X,+...., 


se déduit, comme on sait, d’une manière très simple de l’expression de 
l’intégrale 








+] 
1 1 
dx *). 
V 1 — 2x + 82 V 1 — 2x + 1? 


1 
En effet on a, d’après la définition de ces fonctions, 


1 
VI 2sx+ 52 
1 
V1— tx + 8 
donc l'intégrale 





=X,+X s+X,s+....; 





= X, +X i+ ZX À +...., 








+ 1 
1 1 
V1—9sx+5s? V 1 — 2x ++? 
— 
est égale à l’intégrale 


+ 1 
farxeexes ….)(X +Xt+X Ë+....) dx, 
1 





*) Legendre, Exercices de calcul intégral, T. IL, p. 250. 


la quelle se ramène, si l’on ouvre les parenthèses, à la somme suivante du 
nombre infini des termes: | 


Mais en déterminant la valeur de cette intégrale sous forme finie, nous 
trouvons qu’elle s’exprime par la formule 


+ à 1+V st 
vi Fi—va 
qui se développe en série procédant suivant les puissances du produit st; 
par conséquent, dans le développement de cette intégrale il n'existe pas 


termes de la forme 
APT: 


où » est inégal à ». 
En comparant entre elles ces deux expressions de la même intégrale 








+ 1 
1 1 
dx 
E. V1— 2x +1? : 
— 1 


nous remarquons que leur identité suppose l'égalité 


+ 1 
fax, dx = 0, 


— 1 


pour toutes les valeurs de » et de "» inégales entre elles. 
De la même manière l’intégrale plus générale 


+ 1 
F'(s, x).F (t, x) 
qu) Jess Gap 0 


— 1 





où 





T— 2x + 04) (1—s+V1—25x+ 5)" 
V1—9sx +5? 





F (s, (ter 


(G+t+VT=r 6) (1 + VTT +6) 
V1—2tx+t? 





F'(t, x) — 


ke 


se ramenant à l’intégrale 
1 


À 
(2) : FRHL (] — ste) de, 
0 





2h (1— 2)4 (1— st22) 


ee 0 


qui se développe en série procédant suivant les puissances du produit sf, 
montre que les fonctions entières de la variable x 


CH ss 
qui s’obtiennent par le développement des expressions 


(1 HaRVI= Bars) (1— s5+ V1 — 25 + s)" 


V 1 — 9267 + 5? 





? 


(G+t+VT= 2x 6) (—t+v1— 2x 2)" 
V1—2tr +t? 





en séries 
TT s+ Ts +...., 
T+Ti+TE+...., 


vérifient l’équation 





+1 
TT ea 
(3) Â + ah A —æÿf dx = 0 


pour toutes les valeurs de » et de » inégales entre elles. 


Quant à la réduction de l’intégrale (1) à la forme (2), elle s’effectue 
facilement si l’on fait disparaître de la facon usitée les radicaux contenus 
dans les fonctions F(s,x), F(t,x). 

En effet, en posant 





(4) V1—95x+s$— V 95 y, 
nous trouvons que 
1 2 
(5) = —ÿ 
et 








Vi—am+n=Vire ss op 


En faisant le dernier radical égal à l'expression 


V 24 (y +), 
et en posant 
1 + 52 1+ 12 
(6) —— Ge —— = $, 
nous obtenous 
B—a—u? 
y Se DAT 2 


et 
(7) Vie V (yen y 2. 





ue 


En portant la valeur de y dans les expressions (4), (5) du radical 





V1—2 sx + s° et de la variable x, nous avons 


ns 
Vi—2s+s=y 21-24, 


St B — à — u?\2 
moe 2u 








Cette dernière égalité, d’après (6), peut être écrite plus succinctement 
ainsi: j 


"41% 
X = a— (5) . 


2u 


D'après ces valeurs de la variable x et des radicaux 








V1—2m+r8. Vis 
nous trouvons que | 





dr PMR ne et om Pam De 








2u5 2u ? 
À B — «x — u?2\? À 
__ [4 1) w2 —(B— 0 — u?)?}} 
re (2u)2À | 
__GVariuss-e-#)} (OVariu—6-+ 010) 
es &y2À ? 
He — B— ax—u?2\27h 


__[B— a — 02)? — 4 (a — 1) #2] 
a QuyE 





__(B—a—w2—2Va—iu) (B—a—u2+2Va—iu) 
1: 4h uw? , 





[1 +R ET [is + et 


























2u 2u 
F(s, 2) — a 
V 28 ———— 
2u 
À +p—1 À 
9 1+s 1—s B 
2 u+B—a—u? | [2 usa] 
. [ V2s V2s 
En À+p—1 ; 
2 2 u\+B—1 (B — x — uw?) 
EPA OA 2—À RS DR 21H 
Listen ie] Dies RE] 
F(t, x) — | 
— B—a+u? 
LE er ous 
; (2 Eu 5 a+ | [ours -aru] 
FL ya y à 





À+p—1 


2 ? g\t+h—1 (B — à + u?) 


D = 


Mais en remarquant que d’après (6) 


RU A à l1—8s 
1+t 
Verre VB— 1= V5 


nous pouvons écrire les dernières expressions de F(s, x), F(t, x) plus 
succinctement ainsi: 








(8) 





À +p—1 











PRÉ: Caisse] [ovaiuss es] 
F(s, x) — Hal 7 ; 
2 2 +1 (B — à — w?) 
H— 
[evBeiu+s uw] [eVB—iu+ Ba eur] 
FE. = GET k 


ue DUB 0 + ut) 
En multipliant ces quantités 

F(s, x), F(t, x), dx 
__et en divisant leur produit par les quantités 
(+2), (1— a), 


nous trouvons après la réduction des facteurs communs du numérateur et 
du dénominateur que la différentielle 


F(s, x).F (t,) sa 
(+ æh (1 — x)M 





s'exprime ainsi: 


À+u—1 DRE À D PRERRE 
À+p 2 U+IVB+lIu+B—« u+2VB—l1u+-B—0 Fu 
2°" (86) 
œ 


—w7—2Va—lu +8 — uw 








u+2Va+lu—B+a u 


Mais, en décomposant le numérateur et le dénominateur des fractions 


u+2VB+lu+B— 0 u+2VB—lu+B—0x 


W+IVarliu—Bru —nw—2Va—1+B—0 








en facteurs linéaires, nous remarquons que la première, après la réduction 
par 

u+Vi+ls+Va+-l, 
se ramène à 





Uu+VB+1—Vatrl, 
u—VB+1+Vo+]l? 








ot 


ns 
et la seconde, après la réduction par 


u+ VB—1+Va—]1, 
se ramène à 





u+VB—1—Va—]l, 
VI VE Ni 








en vertu de quoi l’expression de la différentielle 





F'(s,x).F (t,x) 
Ga} (1— 2) dx 


se ramène à la suivante qui est la plus simple: 








À+u—1 À \ 
2) HH (sf) 2 (ri ren) (EE rt) du 
u—VB+1+Va+l LE QU ne QE ee "a 














__ Pour trouver les limites de la quantité w, correspondant aux limites 
de l'intégrale 





+ 1 
F'(s,x).F (t,x) 
Jess Qi —a)f 


— 1 


nous remarquons que d’après (1), (4) et (6) la quantité « s’exprime par x 





ainsi: 

u—= VB—x—Va—x; 
d’où, en prenant t——1 et x— +1, nous trouvons que la valeur de « 
correspondant à æ = — 1, est 





u—VB+I1—Va+l, 
et celle qui correspond à x — + 1 est 
u=VB—1—Va—]1. 


D’après cela, l’intégrale 


+ 1 
F'(s,x).F (t,x) 
Je + (ap À 


— 1 





s'exprime ainsi: 


























u 


VB—1—-Va—1 
À+p—1 À 
2H (ct) 2 (Event) (re es 
u—VB+I+V art) \VB—I1—-Va—1—-" 





VB+1—Va+1 


nm — 


Cette intégrale, comme il n’est pas difficile de remarquer, se simplifie 
u 
FEsi—Vatrl. 


En faisant cette substitution et en remarquant qu’aux valeurs 





considérablement par l’introduction de la variable v — 





u=œVB+1—Varl, u—VB—1—Va—]1 


correspondent 





Lens Sesthieté: 
es. RSS Bree Sad us 5 








nous trouvons que cette intégrale se ramène à la forme suivante 


: À+ RE v+1\ v+y\# do 
o ÉCAOÉE 
1 





où 





CR Ya—i 
MR Er ect 








— quantité qui d’après (8) s’exprime au moyen de s et de # par la formule 





y Va __(—0V%-0—9V% 
l+é _l+s (+pV2s—(1+s)V 2% 





VA V2 


En réduisant la dernière fraction par 





V9s—V 95, 
nous trouvons 
: __1+Vst 
Re 


On voit ainsi que l'intégrale (9), à laquelle se réduit l’integrale (1), 
est une fonction du produit st. Pour obtenir cette intégrale sous une forme 
plus simple, nous posons 


1+Vstz 
(10) TT Vi Vas! 





ce qui donne 
FR. V st dz 





(1— Vst 2)? 
do 2 V st dz _ 2V st de 
v (+vVsz)(1—Vstz)  1—ste2? 
ER. LL very...  1—6t: 





PR AE, TV. Vus : 
5* 


0 


En portant ces valeurs dans l’expression de l'intégrale (9) et en re- 
marquant que d’après (10) aux valeurs de v 





__VB—I1—Va—I1 
HV qe de PR arr à 








v—=1, v—=?} 


correspondent 


nous trouvons que l'intégrale considérée se ramène à l’intégrale suivante: 
; | : 
D HRH1 (1 — sts)l d 
A (2) (1 — 8622) 


0 





ce qu’il fallait montrer. 


5, 


SUR LA DÉTBRMINATION DES FONCTIONS 


D'APRÈS LES VALEURS 


QU'ELLES ONT POUR CERTAINES VALEURS DE VARIABLES. 


(XRADUXX PAR C. A. POSSÉ.) 


O6 onpedrsreni hynhuii NO SHATCHIAME, 


fomopus OHTS UMIEIOME NPU nrhomopuxé benurunaxs nepe.nrennoti. 


(Maremarunuecxif Cé6opauxs. T. IV, 1870 r., crp. 281—245.) 





Sur la détermination des fonctions d’après les 
valeurs qu’elles ont pour certaines valeurs de 
variables. 


$ 1. La formule de Lagrange donne l'expression d’une fonction 
d’après »n de ses valeurs 


Mod. .:<i,4 


12 n? 


qui correspondent à » valeurs différentes de la variable 


T—=L,, Type.) Le, 


dans le cas où w représente un polynôme dont le degré n’est pas supérieur 
à n— 1. 

Cauchy a donné une formule pour la détermination de la fonction 
dans le cas où elle représente une fraction 


N 
D ? 
D étant un polynôme dont le degré ne surpasse pas une limite donnée À et 
N un polynôme dont le degré n’est pas supérieur à n — À — 1. 
En passant aux fonctions irrationnelles, nous remarquons que la plus 
simple parmi elles représente la racine de l’équation du second degré 


w+ Lu— M= 0, 
L et M désignant des polynômes de degrés les plus petits possibles. 
Nous allons montrer que ce dernier cas, ainsi que le cas de 


AJ 
ANS 13 
peut être traité au moyen du dévéloppement en fraction continue d’une 


même expression avec la seule différence que dans le cas de 


re 


la question se résout à l’aide de l’application ordinaire des fractions conti- 


nues, tandis que le cas de 
w+ Lu— M—= 0 


demande l’application spéciale dont nous avons parlé dans la lettre à M, le 
professeur Braschmann *). 
$ 2. En abordant la détermination d’une fonction « de la forme 


N 
= D 
d’aprè 
près ses » valeurs 


Us % u 


F + EM DE teà n? 


correspondant à » valeurs différentes de la variable 


= X,, Li, À 


n°? 


nous remarquons que les équations qui déterminent les polynômes N et D 
s’obtiennent en égalant à zéro la différence 
uD—N. 
pour 
TA, Laye.) Le 
La différence 
u D — N 


peut être remplacée dans ce calcul par la différence 
CDN, 


‘où U désigne un polynôme entier de degré n— 1 ayant pour æ—4,, 
L,.... 2, des valeurs égales à celles de la fonction cherchée #, polynôme— 
qui, d’après la formule de Lagrange, se représente par l’expression 


R U Uo Un 
role re recorded: 








où 
(1) pit) —=(t—x,) (t—).... (&—x,). 
L’annulation de la différence 

UD—N 
pour * valeurs différentes de la variable 


T = X,, Bye T,, 


constitue la condition nécessaire et suffisante pour la divisibilité de cette 
différence par 
(x) —(t—x,) (x—7,).... (&—2x,), 





+) T. I, p. 611—614. 


TE 
d’où il suit l’égalité suivante: 
(2) UD—N=po(x) W, 


W étant une fonction entière. 


Cette équation sera satisfaite par un nombre infini de systèmes des 
fonctions D, N, W et chacun de ces systèmes donne une fraction 


| qui pour 


se réduit à 
AS NS VUS dE 


Si l’on restreint le choix des fonctions NN et D, comme le fait Cauchy, par 
la condition que le degré de D ne soit pas supérieur à à, et celui de N ne 


surpasse pas »— À — 1, nous remarquons que dans ce cas le degré de N 
sera plus petit que celui de da. et de ©, o (x) étant, d’après (1), du 
degré n. L’équation (2), étant divisée par o(x) D, donne: 


EPP RE. 
p@) D Do(x) 


où, d’après ce qu’on a remarqué à l’égard du degré de N, le degré du se- 
: ; 1 1 
cond membre sera plus petit que celui de +; et de Fee 


Donc, la fraction 


W 
D 
donnera l’expression approchée de 
U 
te (x) 
aux termes près d’ordre de 
1 
D? x 
et de 
SR ETES 
D x\+1° 


La première de ces approximations n’est possible, comme on le sait, 


que dans le cas où la fraction 
se 
D 


est une des réduites de l'expression 





? (x) 
qu’on obtient en la développant en fraction continue. La seconde exige que 


# 


PROG, à che 


dans la série des réduites successives la fraction —- soit suivie par une 


fraction dont le dénominateur est de degré plus grand que }, par ce que 
l’approximation fournie par une réduite quelconque se détermine par l’unité 
divisée par le produit des dénominateurs de cette réduite et de la suivante. 


On voit d’après cela que la fraction 


W 
D ? 


où, d’après la condition, le degré de D n’est pas supérieur à à, sera la der- 
nière des réduites de l’expression 


p (x) 


ayant un dénominateur dont le degré ne surpasse pas À. 
Représentant par 








et par 


la série des réduites successives, où 


(3) f = 0, Pt Pd P,=P,_., EEE, 
| Qo—= 1, dd. Q,=9, dr chat Q,= Q,_, UE 
et supposant que 
Fu 
Qu 


est la dernière dans la série 


Po Pi le 


Qo? Q,? EN 


ayant un dénominateur Q, de degré non supérieur à }, nous aurons, d’après 
ce qui précède, 
(4) Des Qi 


nn TE mue 
C’est ainsi qu’on trouve le dénominateur D de la fraction cherchée 
N 
= TH 


et la fonction W qui, D étant connu, détermine, à l’aide de l’équation (2), 
le numérateur N de la même fraction. 


$ 3. Il est facile de même de montrer que le numérateur N peut être 
déterminé immédiatement par le développement en fraction continue de 
l'expression 





(x) 


En effet, d’après nos notations, la fraction continue provenant du dé- 
veloppement de cette expression est 


1 





1 
+ 


+ — 
UE) G+- 





Qi; do Ge «. Étant les quotients obtenus dans les divisions successives de 
o (x) par U, de U par le premier reste, du premier reste par le second etc. 
Or, en désignant par 

M, 1, .... 


les restes dans ces divisions, nous remarquons qu'ils seront liés entre eux 
et aux fonctions q (x), U, 4, Ga, 3, .. par les équations 


p(x) = Ua, + k,, 

U=—R,q, + L,, 

(6) | Hé hr a 
1 — Lo 3 + ls; ; 
R;_,= RL, id +R. 





Mettant dans la première de ces équations la valeur de U tirée de la 
seconde, nous aurons 


o (x) = (R, 9, + R;) Q+BR=R (Qg+1l) +R; 


et remplaçant d’après (3) 


CAE on ad PO à 
par 


Q, @;; 


er 
nous trouvons ne 
(a) =2Æ, Q, + R, Q.. 


Or, d’après (3), on a 
PQ P=], 


nous pouvons donc écrire la seconde des équations (5) ainsi: 


U=R,P, +R, Pr. 
Les égalités 
p(x)—=R, Q,+ RQ, 


U=RP+EL,.P, 
où l’on remplace, d’après (3), Q, et P, par | 


Q— dit FE 
et, d’aprés (5), À, par 
By + À, 03 
donnent 


? (x) ad (R; ei R, q3) @ + E, (Q, — @ 43) 
U—(R,+ À, 93) P,+ R3 (P3 — 93) 
ce qui se réduit à 
o(2) = À,Q,+ RQ, 
U=R,r,+k,P,. 


Remplaçant ici, d’après (3) et (5), les fonctions 


Qss Per Ra 
par 


dd PB, REBA, 


et réduisant, on obtient 
pa)=R, 0, +R, 
U=SR,E£+A&r. 


En procédant ainsi nous trouverons en général 


& f p(&) — 2. Q,+R;Q,,; 


+1 1 i+1° 


ST 
L’élimination de À,,, entre ces équations donne 
UQ,—q(x) P,=R,(Q,F,,—0Q,,,P). 
et comme, en vertu des propriétés des das. on à 
OP, P=(— 1) 
on reduira l'égalité précedente à celle qui suit: 
mt UQ—g@ B=(—1YR,. 
En ÿ posant i—= y et remarquant que, d’après (4), 
Q=D, E,=W, 
on trouve 
; UD—e(x) W=(—1YR,, 
ce qui donne, étant comparé avec (2), 
(8)  — (— 1} R,.. 
On voit de là qu’un des restes 
D DE ii: 


pris avec le signe + ou — sera égal au numérateur N de la fraction 
- cherchée 


di 
U= +. 
Comme le signe avec lequel E, est égal à N se détermine par le signe 
de (— 1)° il sera + ou — selon que y est pair ou impair. 


$ 4. Dans la série des restes 
M. de D... 


qu’on obtient dans les divisions successives de o(x) par U de U par le 
premier reste, du premier reste par le second etc., il est facile d’indiquer 


le reste R,, qui, d’après (8), donne la valeur du numérateur N de la fraction 
cherchée 


ER 
=. 


Remarquons pour cela que, d’après nos notations ($ 3), le reste LE, cor- 
respond au quotient g, auquel correspond à son tour dans la fraction continue 








la réduite 


dont le dénominateur fournit, d’après (4), la valeur du dénominateur D de la 
fraction cherchée. On voit d’après cela que E, est le reste dans la dernière 
division nécessaire pour obtenir la réduite 


F, 


Qu 
et par conséquent, d’après (4), la valeur de D. 
D'ailleurs, il est aisé de montrer que dans la série 


HR 0. 


le reste E, est le premier dont le degré est inférieur à n — À. 


En effet, comme le degré de À, est plus grand que celui de X,,, et 
le degré de Q,,, plus grand que celui de @,, le degré du produit 


k; Q; 
BR. Q;. 


En vertu de cela, d’après l'équation (6), le produit À, Q,,, sera de dégré 
égal à celui de o(x) ou æ", donc le degré de R, sera égal à celui du quotient 


est supérieur au degré de 


an 





Qit1" 


En posant = y et remarquant que, d’après le $ 2, Q,,, est la pre- 


mière fonction dans la série 


Qi 0 


dont le degré est supérieur à À, nous concluons que k, est le premier dans 
la série des restes 


U+-1 


RoR nn 


dont le degré est moindre que le degré de F; c’est à dire moindre que n —à. 


TD : 


On voit d’après cela que pour déterminer le numérateur et le dénomi- 
nateur de la fraction cherchée 


] 
dl’ 


il faut prolonger les divisions successives de (x) par U, de U par le pre- 
mier reste, du premier reste par le second etc. jusqu’à ce qu’on arrive à un 
reste de degré inférieur à x» — à. Le dernier reste avec le signe + ou — 
sera le numérateur N; quant au dénominateur D—@,, on l’obtiendra à 
l’aide des quotients q,, 4,.... q, que donnent ces divisions, au moyen des 
formules (3); le signe avec lequel le dernier reste est égal au numérateur 
N sera + ou —, selon que x, le nombre de toutes Les divisions, sera pair 
ou impair. 

$ 5. Passons maintenant au cas où la fonction « représente la racine 
de l’équation 

+ Lu— M—= 0. 


Pour que la fonction « ayant les valeurs 


W; VU; . . . . k (77 
pour 
Ph) Anis 
satisfasse à l’équation 


+ Lu— M—= O0, 
il faut et il suffit que pour les mêmes valeurs de x on ait 
U?+ LU— M—=0, 


U étant ($ 2) une fonction entière de degré n— 1 et ayant les mêmes va- 
leurs que w pour x = %,, æ,,.... æ,. Cela se réduit à l'égalité 


(9) U+ LU—M=o(x) W, 
où 
pit) =(t—4,) (x—x,).... (&—2,), 


et W une fonction entière inconnue, Tout système de fonctions Let M pour 
lequel cette égalité peut être satisfaite par une fonction entière W conduit 
à une équation 

w + Lu—M=0 


à laquelle satisfait une fonction w prenant les valeurs %,,%,,.... 1, pour 
D=%, L3,.... 2, et le nombre de ces équations est infini. Ayant en vue 


MUR peus 


les équations les plus simples, nous allons chercher celle dans laquelle le 
degré de Z ne surpasse pas une limite donnée À, M étant en même temps 
du degré le plus petit possible. 


L’équation (9) se réduit aisément à la forme 


U RE A Peu à 
(0) TC Ua TTL 


qui fait voir que la différence 


représente la valeur de 
U? 


p (x) 


aux termes près d’ordre de la fraction 


et, par conséquent, pour que M soit, conformément à ce qui précède, de 
degré le plus petit possible, il faut que la différence 


PRE à 
p (x) 


représente le plus près possible la valeur de 


Or, la détermination des polynômes Z et W sous cette condition est 
justement l’objet de cette application spéciale des fractions continues dont 
il s'agissait dans la lettre mentionnée ci-dessus. En appliquant au cas actuel 
la formule y établie pour la détermination du polynôme X, nous trouvons 
que le polynôme Z se détermine par la série suivante 


(Es, Qo? — 4 EoQv) Q—(Eg Q,v—9 EQ@v) Q+...., 


où 


et 


ont le même sens que dans les paragraphes précédents. 


es DT 


Cette série arrêtée au dernier des termes dont le degré ne surpasse 
pas À, donnera le polynôme cherché Z. Supposant que ce terme soit 


+(Eo., Qu v — Qui E@,») (A 


et désignant pour abréger une expression de la forme 


Bo. Q;v — g,,, EQ,v 


[A] 


par 
12 
nous aurons d’après ce qui précède 


L= 0, Q—o, Q,+....+(—1) 0,0. 


Quant à la fonction W, la formule de la lettre mentionnée qui détermine le 
polynôme Ÿ, donnera d’après nos notations, pour l’expression de W la for- 
mule suivante: 


= —Eo+o, P,—0, P+....+(—1# o, P,. 


Pour déterminer le polynôme X mettons dans l’équation (10) les 
expressions trouvées des polynômes Z et W, ainsi que le développement de 


la fonction 
U2 
(x) 


V—=— 
en série procédant suivant les valeurs 


ee: U 
F 5@ %—h; so À —h...., 
qui aonne 


U? U U 
— 3 @ — 0 + É Q—P)—0 (5 Q—P)+. +0 

On en tire, en multipliant par œ(x) et réduisant, l’expression suivante du 
polynôme M: 
M—(-1)'0, [0 Q,.1-9@)P, 1] +(<1) "0, ,,100,..—0P,,,]-+—. 
Or, remarquant que d’après (7) 

U ÈS eh - (x) Fi = (— | 3 26 ns 

UQ ..— o(x) P,,, = (— | k.., 


L+-2 


RO 


C’est ainsi qu’on détermine les polynômes Z et AZ conduisant aux équations 
les plus simples de la forme l'exe: dns 
+ Lu—M—=0 


auxquelles peut satisfaire une fonction « qui prend les valeurs 


VU, Uoy ... Un 


pour 


6, 


AUR LES PARAULÉLOGRAMMES, 


(Dédié à l'Ecole Impériale technique.) 


(TRADUIT PAR G. X. SOUSXLOF.) 


© NAPARACAOCPAMMAXE. 


Tpyxx Broparo crbsra pyccxux BR ecrecrBoucnnrarere“ BB MocxBh, nponcxoxuBImaro 
C& 20-ro no 80-e agrycra 1869 roxa. 1870 r. Orxbuz Texxouorix x lpaxruwecroë 
Mexanuxu. Crp. 9—80, 


6*+ 





Sur les parallélogrammes. 


(Dédié à l’Ecole*Impériale technique). 


$ 1. Jusqu’à présent on n’emploie en pratique que trois parallélo- 
grammes différents: les deux parallélogrammes de Watt, réduit et complet, 
et le parallélogramme connu sous le nom du mécanisme d’Evans. Mais il est 
possible de composer beaucoup de mécanismes semblables qui fournis- 
sent le mouvement plus ou moins approchant du mouvement rectiligne. 
Dans les séances de l’Académie Impériale des sciences de St.-Pétersbourg 
(18 oct. 1861, 8 oct. 1868) et de la Société mathématique de Moscou 
(18 nov. 1867) nous avons parlé de la construction des parallélogrammes 
qui par leur précision surpassent tous ceux qu’on emploie aujourd’hui. 
Maintenant nous montrerons, comment on peut construire différents paral- 
lélogrammes qui produisent le mouvement rectiligne avec l’approximation 
aussi grande que l’on voudra. Nous allons voir qu’avec le même nombre 
d'organes que celui du parallélogramme complet de Watt il est possible de 
construire un parallélogramme qui fournit le mouvement rectiligne exact 
jusqu’au 13-e degré, tandis que les parallélogrammes de Watt et le méca- 
nisme d’Evans ne produisent ce mouvement qu'avec l’exactitude qui ne va 
que jusqu’au 5-e degré; quant aux parallélogrammes, proposés par nous, leur 
degré d’exactitude balance entre 6 et 8. Un tel parallélogramme, comme on 
va voir, présente d’ailleurs cet avantage que, tout en conservant dans son 
jeu la précision encore suffisante pour la pratique, il peut remplacer par ses 
organes la bielle et la manivelle pour exécuter la transformation du mouve- 
ment rectiligne alternatif en mouvement rotatoire continu. En parlant de 
différents parallélogrammes nous ne considèrerons que les mouvements infi- 
niment petits, pour lesquels le degré de précision des parallélogrammes 
… peut être défini avec une facilité particulière; pour passer des mouvements 
infiniment petits aux mouvements finis il faudra faire quelques changements 


dans les dimensions des organes. Ces changements seront en général peu 
sensibles, si les limites pour le mouvement du parallélogramme sont assez 
rapprochées; alors on peut évaluer ces changements à l’aide de séries par la 
méthode que nous avons exposée dans le mémoire: Théorie des mécanismes 
connus sous lenom de parallélogrammes *). Mais pour le dernier des cas men- 
tionnés, quand le parallélogramme remplace par ses organes la bielle et la 
manivelle, on aura besoin d’un procédé tout à fait particulier parce que dans 
ce cas qui s’écarte trop de celui des mouvements infiniment petits l’emploi 
de séries n’est pas efficace. Nous examinerons ce cas particulièrement et 
nous donnerons toutes les formules qui s’y rapportent. 


$ 2. Les mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes peuvent 
être considérés généralement comme des systèmes de droites qui se meu- 
vent dans un plan et qui sont liées entre elles à l’aide des charnières; ces 
dernières empêchent aux. points d’intersection des droites de glisser sur 
celles-ci, mais elles permettent aux angles faits par ces droites de varier. 
D'ailleurs quelques unes des charnières sont invariablement liées à certains 
points du plan de manière que les droites correspondantes ne peuvent que 
pivoter sur ces points fixes. En désignant par # le nombre des droites dont 
Ie parallélogramme est composé, par » le nombre des joints liant deux droites 
entre elles.et par v celui des pivots fixes, on aperçoit que la position sur le 
plan de chacune des # droites du système considéré est défini par trois 
grandeurs (par exemple, on peut prendre pour ces grandeurs les deux coor- 
données d’un bout de la droite avec son inclinaison sur l’axe des abscisses). 
De l’autre côté chacune des n charnières, unissant les deux droites, et 
chacun des v pivots fixés au plan fournissent deux équations entre les gran- 
deurs qui définissent la position du système considéré (savoir: l’accouplement 
de deux droites par une charnière suppose l’égalité des coordonnées de deux 
points appartenants à ces deux droites; le pivotement d’une droite sur un 
point fixe du plan suppose que les coordonnées de ce point sont connues). 
On voit ainsi que la position de tous les points du système se définira par 
3m grandeurs, liées entre elles par 2 (nv) équations et par conséquent le 
nombre des variables indépendantes s’ exprimer par la différence 


3m — 2 (n + v). 


Mais ce nombre doit être égal à l’unité pour que les points du système 
considéré ne puissent se mouvoir que sur les trajectoires déterminées, 
comme cela doit avoir lieu pour les parallélogrammes; donc 


(1). 8Mm— 2 (n + v) —1. 


”: 





*) T. I, pag. 111 — 148. 


ss D on 


De l’autre côté on aperçoit: 1) que le système considéré ne doit pas se 
mouvoir librement dans un plan et 2) que toutes les droites qui appartien- 
nent au système doivent être liées entre elles. 

Le premier point suppose nécessairement l’existence des pivots .. 
par conséquent, v > 0. 

Le second point suppose que #», le nombre des charnières, est plus 
grand que »— 2, parce que »m—2 joints ne suffisent pas évidemment pour 
lier une à une toutes les droites du système. Mais de l’équation (1), pour 
n > mMm— 2, on trouve 

| = ER ee 

On voit ainsi que 2, 7 sétitire re charnières, doit satisfaire aux iné- 
galités suivantes: 


(2) -. Le: LIRE D 


8 3. En prenant dans légihttos am == 2 (nv) = 1 les nombres * m 
et n +1 pour des inconnus et en la résolvant, on trouve pour m.et n +0 
les valeurs suivantes: 


m=l,n+v=l; m=3 nn 04; m=5,n +0—=7, AT. I. 
| En considérant les premières valeurs de »# et de n + v: 
. A 
on aperçoit que sue (2) pour M—= 1 il faut avoir 


v > 0, v<——2, 


ce qui suppose que  — 1. Donc en ce cas le parallélogramme dégénère en 
une droite pivotant sur un de ses points. — Ainsi on trouve le mouvement 
circulaire qui ne peut remplacer le mouvement rectiligne qu’avec l’approxi- 
mation du second degré. En passant aux valeurs suivantes de » et de 


n +, On à 
_ n+o 4. 


Le après (2) pour m — 3 on trouve 
ie A RE 7e TS — 5, 
cela suppose que v à une des valeurs suivantes: 


0 —=4À, vi—2. 


Mais d’après l’équation: 
n+v=4, 


à ces valeurs de v correspondent les valeurs suivantes de n: 
n=3, n = 2. 
Donc pour »m=— 3 on aura 


v=]l, n=3, 


ou v—2, n—=2. 


Dans le premier cas le système considéré consiste en une droite qui 
pivote autour d’un de ses points et qui est articulée avec deux autres droites 
à l’aide de trois joints ou, ce qui revient au même, le système n’est qu’un 
triangle qui tourne autour d’un point fixe, situé sur un de ses côtés. Aiïnsi 
tous les points ne peuvent se mouvoir que sur les cercles et par conséquent 
ne peuvent fournir le mouvement rectiligne qu'avec l’approximation du 
2-e degré. : 

Dans le second cas, quand 


m==3, vi RS, 


le système considéré consiste en deux droites qui pivotent sur deux points 
fixes et qui sont articulées avec la troisième par deux joints. C’est le plus 
simple système des parallélogrammes qui peuvent produire le mouvement 
rectiligne avec l’exactitude plus grande que celle du 2-e degré; savoir: le 
parallélogramme réduit de Watt, le mécanisme d’ Evans et le parallélogramme 
que nous avons proposé l’année passée. Les deux premiers parallélogrammes 
fournissent le mouvement rectiligne exact jusqu’au 5-e degré; le dernier 
jusqu’au 6-e degré. 
Dans le troisième groupe des valeurs pour » et nv on a 


Mm—=5, n+0—=7, 
et d’après (2) pour »# — 5 on trouve 
v>0,0< 4, 


D'où il est clair que v, le nombre des pivots fixes, ne peut avoir que 
les valeurs suivantes: 
v= 1, v=2, v=3, 


Mais d’après l’équation 
n+v—=7 


FT 


on trouve qu’à ces valenrs de » correspondent les valeurs snivantes de la 
quantité n: 
n—=6, n=5, n=4. 
Les premières valeurs de v et de n 
VE n=—=06 


correspondent au cas, lorsque les 5 droites sont liées par 6 charnières et 
tournent autour d’un point fixe, situé sur l’une d'elles. Ainsi ces droites 
représentent un système invariable et tous leurs points ne peuvent décrire 
que des cercles. 

Pour 

v=2,.1—=5 

on trouve des parallélogrammes qui consistent en deux droites, qui pivotent 
sur des points fixes et sont articulées avec les trois autres droites à l’aide 
de 5 joints; ainsi sont construits le parallélogramme de Watt et le parallé- 
logramme que nous avons proposé sous le nom du parallélogramme modifié 
de Watt*). Le premier de ces parallélogrammes fournit le mouvement recti- 
ligne exact jusqu’au 5-e degré, le second — jusqu’au 7-e degré. 

En conservant la même combinaison des pièces comme celle du paral- 
lélogramme de Watt, mais en leur don- 
nant une autre direction on trouve le pa- Fig. 1. 
rallélogramme que nous avons mentionné 
à la fin de notre mémoire portant le titre 
«Sur un mécanisme» **). Si l’on donne aux 
organes du dit parallélogramme des dimen- 
sions convenables, il fournira le mouve- 
ment rectiligne exact jusqu’au 6-e degré. 
Si l’on combine les organes de la même 
manière comme dans le parallélogramme 
modifié de Watt, mais en changeant leur 
direction, on trouve le parallélogramme 
représenté sur la fig. 1. Ce parallélo- 
gramme, comme il n’est pas difficile de 
le montrer, neut produire le mouvement 
rectiligne exact jusqu’au 6-e degré; pour 
cela les dimensions de ses organes doivent 
être évaluées de la manière suivante. 

Si l’on prend pour unité des longueurs celle de la droite BC pivotant 





C’ 





*) T. I, pag. 533 — 538. 
**) T. II, pag. 51 — 57. 


ARS RE 


sur le point C et si l’on pose GF=f, BF=—h (la longueur de ces droites 
est arbitraire), on trouve pour toutes les autres parties du parallélogramme 
et pour le point À, situé sur H droite AF et exécutant le mouvement désiré, 
les formules suivantes: 








gp =0=nf ee. . 
; ; DE patol 4159 
Hilo 400 Jets nes Du iv 
GC= li 
AB=IISP TE ZE Hi. 


On choisit la position du point C”, pivot de la droite C’E, de telle 
manière que dans Ja position moyenne du. parallélogramme la droite DE 
se confonde avec la droite CD et le pentagone EDBFG dégénère en un 
rectangle. 


$ 4. Passons maintenant aux dernières valeurs de © ke de n, possibles 
pour 
m = 5. 
Ces valeurs sont | 
1 V= SI MEET, 


elles donnent, comme on va voir, des parallélogrammes particulièrement 
remarquables par la précision de leur jeu. Comme v = 3, il y a dans ces 
parallélogrammes trois droites pivotant sur des points fixes; toutes ces droi- 
tes doivent être liées entre elles à l’aide de deux autres droites; donc ce 
n’est possible que dans le cas où du moins l’une des deux droites qui unis- 
sent les autres est immédiatement articulée avec deux droites pivotant sur 
les points fixes; ces deux droites qui pivotent sur les points fixes et la droite 
qui les unit nous désignerons pour plus de brièveté par l'expression: la 
première partie du parallélogramme; quant aux autres droites, celle qui 
tourne autour d’un point fixe et celle qui unit cette dernière avec la pre- 
mière partie, elles seront désignées par lerpreniqne la seconde partie du 
parallélogramme. | NES 
Le parallélogramme dont nous avons parlé dans la séance de FR société 
mathématique de Moscou le 18 novembre 1867 appartient à la catégorie 
._ des parallélogrammes mentionnés. Sa première partie est le parallélogramme 
réduit de Watt; sa seconde partie est ainsi construite que dans la position 
moyenne du parallélogramme les trois droites qui pivotent sur les points fixes 
deviennent parallèles entre elles, tandis que les deux droites qui les unis- 


Lu DE à 


sent se confondent en une seule, perpendiculaire aux premières. Ce parallé- 
logramme (fig. 2), comme on peut le montrer par des calculs, fournit le 
mouvement rectiligne exact jusqu’au 8-e degré, si dans les dimensions de ses 
organes sont trs les conditions 18] LT 
suivantes : 
‘1) Toutes les trois droites BC, 
CD, CE qui pivôtent sur les points 
fixes CC, G”: doivent être égales. 

: :9) Les distances du point: 4, 
exécutant le mouvément désiré aux 
bouts F, E du segment FE doivent 
avoir des grandeurs suivantes: 


APTE 


F 
D 
A 

Er 

ee 


BF? — DF? 
APPRT-TEn 


RRRTÉER ARS (PE DEN 

$ 5. On peut construire beaucoup de parallélogrammes de la dite 
catégorie en. variant l’aspect de la première partie et en donnant aux 
droites de la seconde partie des directions différentes. Pour que les pa- 
rallélogrammes ainsi construits produisent le mouvement rectiligne avec la 
precision désirée, il faut que leurs organes satisfassent aux certaines équa- 
tions qu’on trouve facilement: pour chaque cas particulier. Mais ces équa- 
tions sont assez compliquées et' leur nombre augmente avec le degré de 
précision du par allélogramme; c’est pourquoi Ja résolution de ces équations 
présénte d’insurmontables difficultés, quand on veut obtenir des parallélo- 
grammes qui : se dsangaent par la PrÉCROn particulière de ne jeu. Cette 
seconde partie du D droite qui pivote sur un Hot fixe et 
la droite qui unit celle-ci avec le reste du a satisfont aux 
conditions suivantes: 

= 1) La seconde droite est deux fois Fe A que la première; elle 
est divisée en deux parties égales par la charnière qui l’unit avec la première. 

2) Un bout de la seconde droite fournit le mouvement voulu, l’autre 
bout est articulé avec le reste du parallélogramme. 

3) Dans la position moyenne du parallélogramme le bout de la seconde 
droite, celui qui exécute le mouvement désiré, coïncide avec le pivot de la 
première droite. : 

. Quand ces conditions sont remplies par la scconde partie du parallélo- 
gramme, celui-ci produit, comme il n’est pas difficile de s’en convaincre, le 


RS on 


mouvement rectiligne exact jusqu’au degré 21 + 1, si sa première partie 
fournit ce mouvement avec la précision qui va jusqu’au degré À et si la di- 
rection du dit mouvement se confond avec celle des droites de la seconde 
partie du parallélogramme dans sa position moyenne. 

En effet, soient (fig. 3) CB, CD 
et CB’, AD’ les deux positions des 
Z | droites appartenant à la seconde partie 
du parallélogramme; la première cor- 
respond à la position moyenne du pa- 
rallélogramme, quand le point À exé- 
cutant le mouvement voulu coïncide 
avec le point C, pivot de la droite CB'; 
la seconde correspond au moment, 
quand le point À a décrit l’arc infini- 
ment petit C4 et quand le point L), dirigé en son mouvement par la pre- 
mière partie du parallélogramme, a décrit l’arc infiniment petit DD. 
D’après ce qu’on a dit, la droite CD sera tangente à l’arce DD parce que 
cette droite représente la direction du mouvement du point D. 

Unissons les points À avec C, C avec D” par les droites AC, CD’, éle- 
vons du point C la perpendiculaire CZ à la droite CD et des points À, D' 
abaissons les perpendiculaires Aa, D'B sur les droites CL, CD. 

Par hypothsèe, on a 


Pur. 3. 








AD' = CD = 2CP/, 

AB'= B' 1’; 
on voit ainsi que l’angle AC est droit; mais, comme d’après la construc- 
tion l’angle LCD est aussi droit, les angles AC&, D'CD sont égaux; donc 


les triangles rectangles ACx, D'CD sont semblables. La similitude de ces 
triangles conduit à l’équation 

4e : :pD 

“40 T7 CD'? 
d’où l’on aura pour Aa, déviation du point À de la droite CZ, l'expression 
suivante: 


; AC , 


Du triangle rectangle CD'B on a 


; CD*'= CR? + BD”; 
mais, comme 
CB—=CD—8D 
et 
CD = AD, 


SN — 


l'expression précédente donnera: 
CD? = (AD — BD} + BD*. 
En apercevant que du triangle rectangle ACD' on a: 
CD* — AD° — AC!, 
on conçoit de cette équation que 
AD*— AC? = (AD —$D} + BD”, 
d’où, en ouvrant les parenthèses et en réduisant, on aura 
— AC? = — 2AD'-6D + BD°+$BD*°. 
Dans cette équation AD’ est une quantité finie, mais les quantités AC, 
BD, 8D' sont infiniment petites et l’ordre d’infiniment petit BD'est plus haut 
que celui d’infiniment petit BD), parce que la droite CD est tangente à l’arc 
DD; donc l’équation précédente suppose que BD est infiniment petit du 
second ordre par rapport à AC. Mais, par hypothèse, D’ est infiniment 
petit de l’ordre À par rapport à BD, parce que l’arc DD, décrit par le 
point D, représente la droite CD avec la précision qui va jusqu’au degré À. 


Par conséquent, le segment 8D° par rapport au segment AC sera infiniment 
petit de l’ordre 2?, donc de l’équation trouvée 


AU Dry 
A = "CD BD 
on conclut que Aa, déviation du point À de la droite ZC, sera par rapport 
à AC infiniment petit de l’ordre 21 +1.  : 
$ 6. En se basant sur ce qu’on vient de Fe 


demontrer, on peut très facilement augmenter 
la précision des parallélogrammes en y ajou- 
tant le système des deux droites dont on à 
parlé auparavant. Ainsi, du parallélogramme 
réduit de Watt qui produit le mouvement 
rectiligne exact jusqu’au 5-e degré on passe 
à celui qui est représenté sur la fig. 4; ce 
dernier, si les conditions posées en $ 5 
sont remplies, fournira le mouvement recti- 
ligne avec la précision qui va jusqu’au 1 1-e 
degré. Ce parallélogramme consiste en trois 
droites BC, B'C', BC” qui pivotent sur 
les points fixes C, C”, C”, et en deux droites 
articulées avec celles-ci à l’aide des trois joints P, B', B”; le bout À de la 
droite AD exécute le mouvement voulu. Exactement de la même manière 
on passe du mécanisme d’Evans, produisant le mouvement rectiligne exact 








Ï 
| 
| 
| 
l 
A 


— 94 — 


jusqu’au 5-e degré, au parallélogramme qui est représenté sur la fig. 5 et qui 
peut fournir le mouvement rectiligne exact aussi 


a : jusqu’au 11-e degré. Ce parallélogramme présente 
B" les mêmes organes que le précédent; la différence 

ne se manifeste que dans la position des points 

B’ fixes C', C”, sur lesquels pivotent les droites 


| B'C, B"C" et dans la position du joint D unis- 
= sant es droites AD et B'B". On a vu au $ 3 
c' qu'avec les mêmes pièces que ceux du parallélo- 
gramme réduit de Watt et. du mécanisme d'Evans 
on peut composer le parallélogramme dont la 
précision ira jusqu’au 6-e degré. Si l’on ajoute 
à ce parallélogramme les deux droites satisfaisant 
aux conditions qu’on a exposées dans le para- 
graphe précédent, on aura le parallélogramme qui fournira le mouvement 
rectiligne exact jusqu’au 13-e degré. Le parallélogramme ainsi construit 
est représenté sur la fig. 6. Il consiste aussi 
en cinq droites dont les trois BC, B'C’, BC" 
pivotent sur les points fixes C, C”, C”, et les 
deux autres BB", AD sont liées avec les 
premières à l’aide des trois charnières BP, 
B', B”, Le mouvement en question est 
fourni par le bout libre de la droite AD, 
Ce parallélogramme ne diffère du premier 
de ceux qu’on a décrits que par la position 
des points fixes C’, C” , Sur lesquels pivotent 
les droites BC", B"C". 

Le parallélogramme mentionné produit le ro rectiligne . avec 
la précision qui va jusqu’au 13-e degré; donc d’après $ 5, si l’on le combine 
avec deux autres droites, on peut construire un parallélogramme fonction- 

nant avec la précision qui ira jusqu’au 27-e degré; en y ajoutant encore 
deux droites on augmente le degré de la précision jusqu'à 55.etc. Mais, 
comme nous regardons la précision qui va jusqu’au 13-e degré comme tout 
à fait suffisante pour la pratique, nous nous arrêterons au dernier des paral- 
lélogrammes mentionnés et nous n’examinerons pas les parallélogrammes 
plus compliqués. 

$ 7. Comme le degré de précision, avec laquelle ce parallélogramme 
fournit le mouvement rectiligne est poussé si loin, le segment de la droite 
produit par le mécanisme considéré, avec la précision suffisante pour la pra- 
tique, peutavoir la longueur assez considérable relativement aux dimensions 




















CT C / 


: 
[ 
: 
| 
} 


ds OÙ 


des organes du parallélogramme. Si l’où garde la longueur des droites 4Bs 
BC, mais si l’on augmente la longueur de la 
trajectoire du point À en haut et en bas du point 
C (fig. 7), on parviendra à ce que la droite BC 
exécute un demi-tour au côte droit de la droite : 
LM qui passe par le point C' et qui est perpen- 
diculaire à la droite CC”. Si, d’ailleurs, on mo- 
difie les positions des points C”, C” en les dispo- 
sant symétriquement des deux côtés de la droite 
LM (fig. 8), toutes les positions du parallélo- 
gramme seront symétriques par rapport à la même 
droite ZM. Donc à une oscillation du point À 
entre les limites extrêmes dont on a parlé tout à l’heure correspondront 6 éga- 
lement et le demi-tour du segment BC au côté droit de la ligne LM, et le 
demi-tour du segment BC au. côté 
gauche de ZM. Par conséquent, les 
points C”, C”, pivots des droites BC", 
B"C", étant ainsi disposés, à la révo- 
lution complète de la droite BC autour 
du point C correspondra l’oscillation 
du point À d’une limite extrême à 
l’autre et le retour de ce point à sa 
première position. Le degré de préci- 
sion que possèdent les parallélogram- 
mes de l'espèce considérée est poussé 
si loin qu'il devient possible de faire 
suffisamment approchée de la ligne. 
droite toute la trajectoire décrite par 
le point À pendant la révolution complète du segment BC autour du point C. 
- On atteint ce but, comme le montrent les calculs, si l’on donne aux organes 
du parallélogramme les dimensions évaluées comme il suit: 

«On prend pour unité-des longueurs-celle des droites B°C’, B"C" qui 
pivotent sur les points C’, C”; alors la longueur a de la droite B’B” liée 
avec celles-ci et la distance b entre les points C”, C” s’exprimeront ainsi: 


(3) PE 5 


) 
15 1 3 
Fe ne Le PE A 
Vs 8042 0+(8— 0) y: pres 
3 
; 14+ Vaso 
(4) b — 


15 À 3 
Cons 26 8 a ff tn db = © 6? 
V® 20 + 2, 6 + (8 6) V1 +50 


PM Te | 








Fig. 8. 
































A. CE 


où o est le sinus-versus de l’angle de l’inclinaison de la droite BB” sur la 
droite C’C” dans la position extrême du parallélogramme; les segments CB, 
AB, BD et AD sont définis par l’équation: 


AD 1 
(5) BC—AB=BD=% =, 


où / est égal à la longueur du pas du point À, qu'on peut trouver à l’aide 
de la formule 











(u + 6) 6 (2 — 0) 
(6) =aY A+ 1} ; 
D YERAMÉ à 
en posant 
| 3-5 
7) : 
( __4—(a+d} 
ei 2ab À 


Le point D, où la droite B'B” est articulée avec la droite AD, doit 
être pris au milieu du segment B'B"; il faut choisir la position du point C, 
sur lequel pivote la droite BC de manière, que dans la position moyenne 
du parallélogramme, quand les droites B’B” et CC” deviennent parallèles, 
le point D coïncide avec le point C». 


$ 8. Il n’est pas difficile de montrer que pour le parallélogramme ainsi 
construit les déviations du point À de la droite ZM pendant la révolution 
complète du segment BC autour du point C ne surpasseront pas la limite 
suivante: 


8/7 
15 VM, 


où M est la valeur maximum qu’atteignent les fractions 


2 
Qu — 20 + — Ds — 4 


A +1—s} (ET —s) @—s)! 





2 
Du 26 + — DNS — 68 


2 u (le + 5) (ST — «| (2 — 5) 





entre s—0ets=0. 
Nous commencerons la démonstration par la recherche des formules 


qui définissent la position du point D (fig. 9) pour les inclinaisons diverses 
de la droite B'B” sur la droite 
C'C”. On prend la droite C’C” 
pour l’axe des abscisses, la droite 
LM pour celui des ordonnées et 
le point O, intersection de ces 
droites, pour l’origine des coor- 
données; alors, comme, d’après ce 
qu’on a dit, les points C”, C” sont 
disposés symétriquement par rap- 
port à la droite ZM, on aura: 
C'O= CO 
et par conséquent 
CO=C'O—=+CC'= + b. 


En prolongeant la droite B'B” jusqu’à son intersection avec l’axe des 
abscisses au point V, on aperçoit que les coordonnées du point D à l’aide 
des longueurs des segments DV, OV et de l'angle B'VC"— a s'expriment 
ainsi : | 





x = OV — DV cos«, 
y= DV Ssina. 
De l’autre côté on voit que 
BV—DV+DB'; B'V = DV — DB"; 
C'V= OV —O0C'; C"V = OV + 0C”; 


d’où d’après les équations: 


on déduit: 


BV=—DV+$; B'V=DV—<; 
C'P—=0V—?; c'r=0ov+?; 


mais, comme on a pris pour unité des longueurs celle des droites B'C', B°C”, 
les triangles C'B'V, C”B"V donnent 


1=(DV+ Sj+(or—?)—2{(D7+ 5) (or — 


1=(D7—<$) + (07 +2) (Dr— S)(or + 


SUR, 


En résolvant ces équations par rapport aux quantités DV, OV et en 
posant pour abréger 





x 
MERS 

4— (a+ b} 
2ab ? 


on trouve 











DP=d1 — 
= — (À + 1 — 
s À s) = _) Re 
= sai )/ Pis | 
ss ie 
EN +) #20 


En introduisant ces valeurs pour DV et OV dans les expressions déjà 
obtenues pour les coordonnées x et y du point D et en remarquant que 
l'équation 











1 — cos a — 5 
donne 
cosæ— 1—5, sina — Vs(2 —s), 


MEN. (u+ 58) s(2 — 5) 
EE?  . ; 
U+s 

= + (+1 s) VE 


Ainsi s'expriment les coordonnées du point D à l’aide de sinus-versus 
de l’angle qui mesure l’inclinaison de la droite BB” sur la droite CC”. 

$ 9. En abordant la détermination des déviations du point À de la 
droite LM, mènons du point À la droite Aa perpendiculairement à la 
droite ZM: la longueur de cette perpendiculaire représente la déviation du 
point À de la droite ZM. Pour déterminer cette longueur abaissons du 
point D la perpendiculaire DD’ sur l’axe des abscisses et du point C'éri- 
gons la perpendiculaire CP à l’axe des ordonnées; les segments C5, DD’ 
seront les coordonnées du point D; donc, d’après les expressions pour x 
et y qu’on a déduites dans le $ 8, on aura 


a (4 + 5) s(2 —s) 
BV g 
DD = + st l'—< Vs 
2À 


on trouve 




















ce (ON — 


. En annulant dans la dernière de ces expressions la quantité s—1— cos « 
et en remarquant que cela a lieu, lorsque les droites B°B”, C'C” devien- 
nent parallèles et le point D d’après le $ 7 coïncide avec le point C, on 
trouve pour la détermination du segment OC la formule suivante: 








a 30 FE + a Te 
2À : 


D'ailleurs, en unissant le point C avec D par la droite CD et le point 
A avec C par la droite AC, on conçoit que d’après l'égalité des segments 


($ 7): 
BC— AB = BD, 


l'angle ACD est droit; done, comme l’angle «C'à est aussi, d’après la con- 
struction, un anglé droit, les triangles rectangles AU«, DCS sont semblables; 
par conséquent: 


24 Do 
FAC D: 
ce qui nous donne 
AC 
(8) Aa = Di CD . 


Mais DS — DD'— D'S et Di—CO; d'où, en introduisant les valeurs 
trouvées pour CO, DD, on déduit 


L+s _— 
= (+1 Va — + V2y 


ou, ce qui revient au même: 











D rous 
+ 





2X 


En multipliant ici le numérateur et le dénominateur par la somme 





A+1—s) Vu+s+Vu (A + 1 — 275) , 
on trouve VE, 


Ds A+ 1— 8) (u + 8) — p(A + 1) — 2h) QU 


Vs s| a +l1—s) Va +s+ Vu (A + n)] 








d’où, ouvrant les parenthèses du dénominateur, on obtient l'expression 
suivante: 


Di=< Qu 2À— 2)42 + (A 17 — 9n) s 


TIRE TE ie ViQr=n)] 
7% 











— 100 — 
En introduisant dans les expressions pour les quantités auxiliaires À et pe 


b 4 — b? 
1 b— er? 








2ab 
les valeurs de a et b trouvées au $ 7, on aperçoit que ces quantités 
s’expriment ainsi à l’aide de o: 
3 
= 1+ 4 — 26 it 
m—=4—0+2 Vi—25+5 g 
donc 
u—21—2—=—0, 
(9) 
gé ( + 1} — 2u — Rs, 


et l'expression trouvée pour DS se transforme de ie manière suivante 


L 3 — a+ À o?s 
Di — 


Len 








—s [a+ 1—s)Vars+ Vu ((À +1)? — | 
Pour passer au ol facteur 

AC 

CD 


de l’expression de Ax donnée par la formule (8), on aperçoit que AC 
comme cathète du triangle rectangle ACD est égal à 





VAD' — CD: 
donc 
AC _ AD 0 VAD?— CD? = fn —1. 
(D ee 0) 
Mais d’après le $ 7 
AD = + |; 
et d’après la construction 
CD > C, 
où 
CS — OD' = x, 


Par conséquent, on trouve 


F4 START LT = 
AC (5) ê 3 
sp 


— 101 — 


d’où en mettant pour x sa valeur trouvée dans le $ 8, on aura 


| (À + 1}? 
AC V 4 Lu æ s) e 
CD < (u+s)s8(2—s)  ‘? 


expression qu’on peut écrire de la manière suivante: 


V= (Rs) -su+0 (2 — 5) 
Vs (mu + 5) (2 —s) 

















AC 
CD < 





Mais d’après l’équation (6), qui détermine la longueur du pas /, 
l’expression 





BP [+ 1)? 
°c ( _ ) —s)—s (ue + 8) (2 —s) 
s’annule pour s—50, ce qui suppose que cette expression est divisible par la 
différence s— ©. En ouvrant ici les parenthèses et en divisant par s — 0, 
on trouve le quotient: 
+ (+ 0 — 2) S+(u + 5 —2) s—i— 2u, 
où d’après (9) 
po —2—2À. 


Par conséquent, on peut remplacer cette expression par le produit des 
deux facteurs suivants: 
2 
72 


(&—s) (2m — 2à + — 2) s— st), 


donc l’inégalité déjà trouvée se transforme en celle qui suit: 








AC . Ve- s) (eu -no+ 2Xs — s.) 
CD Vs(u+-s) (2 — 5) s 





$ 10. La déviation Aa du point À de la droite LM étant égale au 
produit 











AC 
: D : CD 
0 
So s2+ Lots 
s far vues + Va(a 17 —2%)] 
et 





AO, Ve—o(ou—2ro+ 52m) 
0D < rio 








— 102 — 


On voit que Ax sera plus petit que le produit de ces deux expressions; 
mais ce produit peut être décomposé en deux facteurs suivants: 


ne. ct) V5 —5) 


A+1—s)Vu +8+ Va (+12 — 2e)" 


V Qu—2Xs + Le 2h — 8° 
® À +1} 
(ST -s)w+9e 0 


En s’arrêtant au premier de ces facteurs, on aperçoit que l'expression 











& 








(s— os got) Vs(o—s) 
après être élevée au carré, donne 


27 14 1 9 
6 5 2 #4 7 gs Don 0 
Ls 308 + 0°5 IS +0 m6 5) 


où le polynôme en parenthèses est égal au carré du polynôme 


9 


3 | 1 
NS 2 ds PNR ee 3 
s r 08. 00 
moins 
06 
322 ? 


donc cette expression peut être représentée comme il suit: 





06 3 ‘8 2 9 2 1 3 3 
VS (8 — Sos + es — 0°). 


D'où l’on conclut que les valeurs numériques de cette expression ne 
surpassent pas la limite 
66 _ 03 
Vi Tr #i° 


D'ailleurs on aperçoit que le dénominateur du facteur considéré 





A+ 1—s) Va +s+ Vu (+1) — 225) 


est plus grand que la double valeur du plus petit des deux termes 





A+ 1—s) Vu+s, Vu (A+ 1) — 228), 


— 105 — 


par conséquent, ce dénominateur sera plus grand que la plus petite des 
deux quantités: 





2A+1—5s) Vu+s, 2 Va ((A + 1) — 225). 


Mais on a déjà remarqué que le numérateur du facteur considéré ne 


surpasse pas la limite 
co 
32? 


donc ce facteur sera plus petit que la plus grande des fractions suivantes: 
o3 


82 LS 03 
20+1—s)Vu+s  64Ü+1—s)Vu+s 





? 


oi 
‘82 où 


2 Vu((A +1)? — 2Xs) Va (A + 1)? — 2às) 











par conséquent, son produit par le Second facteur 


ï Qp— ho + À — Dhs — 51 
F \ +1} 
PV (É-u+9e-0 


sera plus petit que le plus grand des produits: 


2 
: 2u—2)0 + me — 2h — s? 
=— ; 
G4(+1—5s)Vp+s V (CT - s)@& +5) 2 — 5) 


. < 2 —2À0 + £ — 2hs — s? 
4 VR(A+iP—2s) ? (F Hi s) (&+s)(2— 3)" 


qu’on peut réduire comme il suit: 


av 2u—2À0 + = — 2hs — 52 
128 Ù 
. A +1— (LS) (u+-s) (2 — s) 


2 
a 2u—2)0 + TT 2hs — s? 
158 2 2 à 
Le 21p ET — s) (ue + 5) (2—s) 















































— 104 — 


Mais, comme s ne peut avoir que les valeurs entre s—0 et s — 0, la 
plus grande de ces deux quantités ne surpassera pas la limite 


4 /Sr 
TE VM, 


où l’on a désigné par M la valeur maximale qu’atteignent les expressions 


RP = 
2u—2)0 + Pa do 2à1s — 8? 


(À + 1 — s} (ET s) (14 + 5)? (2 —5) 





2 
21—2À6 + se — 92)s —s? 


2} (ST _ ) (u + s)(2—5s) 








pour les valeurs de s entre s—0 et s—a; par conséquent, la quantité 
trouvée sera la limite pour les valeurs de Aa, déviation du point À de la 
droite LM, ce qu’il fallait démontrer. 


$ 11. Pour donner un exemple de l’application des formules que nous 
avons déduites et pour montrer en même temps le grand degré de précision, 
avec laquelle le parallélogramme considéré fournit le mouvement rectiligne, 
posons | 
RSR 


En faisant dans les formules (3) et (4) qui défiuissent a et b 














v=\|; 
on trouve 

=—— : — 0,30992; 

35 

1 36 

= 6 —0,76831 

359 35 

64 64 


En mettant ces valeurs par a et b dans les expressions (7) qui déter- 
minent les valeurs des quantités auxiliaires À et x, on trouve 


) — 076881 
T— 0,30992 





— 2,47902, 


___ 4—(0,30992+- 0,76831)2 
2.0,30992.0,76831 





— 5,95804. 


— 105 — 


Pour ces valeurs de à, p, a et pour o —1 la formule (6) qui définit la 
longueur du pas / donne 


. (5,95804+1).1.2—1) 
— 0,30992 V ar — 068099. 
2.247902 











Pour cette valeur de Z les équations (5) nous donnent 





BO—= ES = 0,17025, 


AB= % — 0,17025, 





BD = TE — 0,17025, 





AD = — 0,34049. 





Telles doivent être les dimensions des diverses pièces du parallélo- 
gramme que nous avons décrit, si l’on donne à la quantité a la valeur 1. 


La déviation du mouvement rectiligne dans ce parallélogramme d’après 
le $ 8 sera plus petite que 
ao 
128 VM, 
où M est la valeur maximale que peuvent atteindre les fractions 


2 
Qu — 20 + — 29 — #2 








(À +1— 5} (pu + (LT s)e—o 


2 
Qu — 200 +7 — Dhs — 4° 








2)u (ue + 5) ES ER —s) (2— 5) 
pour s variant entre 0 et os —1. 


En mettant dans les expressions de ces fractions les valeurs de 0, 4, À, 
uv, / et en s’arrêtant aux deux décimales, on trouve que les fractions consi- 


dérées sont égales à 
11,79 — 4,96 s — s? 
(3,48 — 5)? (5,96 + 5)? (2,44 — s) (2 — 5) ? 





11,79 — 4,96 s — 52 
29,54 (5,96 + s) (2,44 — s}? (2 — s)” 





— 106 — 


Ces fractions comme il n’est pas difficile d’aperçevoir vont en crois- 
sant de s—0 jusqu’à s — 1; donc entre ces limites leurs valeurs maximales 
correspondent à s — 1. En faisant 


he 


on trouve que la première fraction s’approche de 0,0136 et la seconde frac- 
tion—de 0,0137. La dernière quantité, comme la plus grande, sera donc la 
valeur maximale que peuvent atteindre les fractions dans l'intervalle entre 
s—0 ets —1; par conséquent, d’après nos désignations 


M = 0,0137. 
En mettant cette valeur de M avec les valeurs de o, « dans la formule 


as …/ 7 
Ds VM, 
on trouve que les déviations du mouvement parfaitement rectiligne dans le 
cas que nous avons examiné seront plus petites que 


0,30992.15 -/ 127 
53 — V0,0137 = 0,000283, 


ce qui ne fait pas même 0,00042 de la longueur du pas Z = 068099, tandis 
que dans le parallélogramme de Watt qui fut l’objet des recherches de Prony 
(Annales des mines T. XII) les déviations surpassent 0,00060 de la longueur 
du pas *). 

D'où l’on conçoit qu’un pareil parallélogramme comme effectuant im- 
médiatement la transformation du mouvement rectiligne alternatif en mou- 
vement circulaire continu peut suppléer dans les machines à vapeur aux 
parallélogrammes employés aujourd’hui ainsi qu’à la bielle avec la manivelle. 
Remarquons pour conclure que dans ce cas le rapport des vitesses se montre 
égal à celui que peut fournir seulement la manivelle de la longueur infi- 
niment grande. 





*) La limite de ces déviations diminue rapidement avec la diminuation de o. Ainsi 
pour 6— _ a —0,29533, bd = 0,76415, 1 — 0,59676, cette limite est plus petite que 
0,00014; pour 6 — FL quand a = 0,28648, b — 0,76175, 1 — 0,53716 cette limite est plus petite 
que 0,00007, 


DU RÉGULATEUR CENTRIFUGE, 


(TRADUIT PAR G. CG. SOUSLOF.) 


© uenmpobréfenomns peryramopre. 


Oruers x ph, HPOHSHECEHHHA BE TOPKECTBCHHOME CO6pauix Muneparopckaro 
Mocxogcxaro Texamuecxaro Vunxumra 8-ro cexra6pa 1871 roxa. 





Du régulateur centrifuge. 


$ 1. On connaît aujourd’hui plusieurs régulateurs centrifuges, dont la 
vitesse de rotation reste la même quelle que soit la position de la douille ou 
du manchon mobile. Mais cette propriété, si importante dans la pratique, 
n’est atteinte qu’en ajoutant de nouveaux organes au régulateur centrifuge 
de Watt au détriment de la simplicité de sa forme primitive. Certainement, 
l’un des moyens les plus simples de rendre isochrone un régulateur consiste 
à le munir d’un ressort, comme l’a fait Foucault pour son appareil; mais 
pour que l’isochronisme fût parfait dans ce cas, il faudrait que l’action du 
ressort suivit, invariablement et avec une rigueur absolue, une loi déter- 
minée, condition qu’on ne saurait réaliser dans la pratique. Quant aux mé- 
canismes qu’on a cherché de rendre isochrones sans l’aide d’un ressort, leur 
complication les exclut de tout emploi utile. Mais s’il est impossible de 
rendre le régulateur de Watt rigoureusement isochrone, en lui conservant 
_sa forme primitive, il est, d’ailleurs, facile de remarquer que le degré de 
ses écarts de l’action des régulateurs parfaits dépend de la dimension et de 
la disposition de ses organes. Donc, avant de le compliquer dans le but de 
le rendre plus isochrone (l’isochronisme absolu n'étant pas réalisable en 
pratique) il est nécessaire de déterminer le plus grand degré d’approximation 
à l’isochronisme parfait que peut atteindre le régulateur centrifuge sous sa 
forme la plus simple. Les recherches du genre de celle que nous venons 
d'indiquer se réduisent à une question d’analyse semblable à celle qui se 
présente dans le problème de déterminer la forme la plus avantageuse du 
parallélogramme de Watt, et elles établissent, comme on va le voir, qu’en 
donnant des dimensions et des dispositions convenables aux différents orga- 
nes du régulateur de Watt on s'approche de l’isochronisme parfait en tel 


— 110 — 


degré, qu’il est superflu de compliquer encore le mécanisme pour atteindre 
ce but définitivement. En effet, le degré d’approximation à l’isochronisme 
absolu pour le régulateur de Watt peut être poussé si loin qu’il est douteux 
qu’on puisse obtenir des résultats plus satisfaisants en construisant réelle- 
ment même des appareils parfaitement isochrones. 

$ 2. En considérant le régulateur 
centrifuge de Watt (fig. 1), nous sup- 
: poserons que les tiges portant des 
sphères oscillantes sont prolongées au 
delà de leur point d'attache à l’axe 
vertical du régulateur, et qu’elles sont 
articulées par leurs bouts sur les bras 
qui soutiennent le manchon mobile, 
comme cela se fait souvent dans la 
pratique. Pour plus de généralité nous 

ne nous bornerons pas au cas où les 

tiges sont droites, mais nous les sup- 
poserons brisées et formant un certain 
angle &. Nous désignerons pour plus 
de brièveté par l’expression: première 
partie de la tige, sa partie supérieure 
et nous prendrons sa longueur pour 
unité. La partie inférieure de la tige 
depuis le point d'attache à l’axe du régulateur jusqu’au centre de la sphère 
oscillante sera désignée par l’expression: seconde partie de la tige, et sa lon- 
gueur sera r, Nous noterons © la vitesse angulaire de rotation, en général, 
et sa valeur normale dite de régime par ©,. L’angle d’inclinaison de la pre- 
mière partie de la tige sur l’axe vertical du régulateur pour sa vitesse de 
rotation normale ©, sera désigné par 9, et sa valeur pour toute autre vi- | 
tesse © sera @ + «, de façon que « sera la mesure de la variation de cet 
angle pour tout écart de la vitesse © de sa valeur de régime ©,. 

Si l’on forme d’après le principe des vitesses virtuelles l’équation 
d'équilibre entre la force de gravité, agissant constamment sur le manchon 
mobile et sur les sphères oscillantes, et la force centrifuge développée par 
leur rotation avec la vitesse ©, on obtient l’équation que voici: 


Fig. 1. 











P [i+ Fe A Ps | sin (® + &) = 2r [Sr cos (ÿ—-9-—a) sin (b—@—a), 


Vm?—sin? (p+-«) 


où l’on a pris pour unité de poids celui d’une des sphères oscillantes et où 
P est le poids du manchon, "» étant la longueur des bras. 


— 111 — 


En tirant de cette équation la valeur de «*, on trouve : 








cos (p +- «) L 
liée Vs (e + 2) sin (g + &) P — 2r sin (ÿ — ? — 0) 





2 sin (4 — sr en (Ur ec) 


En divisant par w”, on aura 
































cos (p + «) ; 7: 
gs [eee — sin (p+a)— sin (4 — — à) 
©? __. sin 2(b—p— x) î 
ou bien 
cos (p + «) , s 
ti [2 TR Ras sin (+ x) — À sin (d — ? — à) 
00  Bsin2(b—p— ax) ? 
en posant 
| @r :à ap F4: 
(1) E À, BE PR - 2 
Or, comme par hypothèse 
CR 
pour 
Er 
il est clair que la fonction 
[Li urnes MP sin (o + «) — À sin (} —  — «) 
(2) Vm? — sin? (p +- «) 
B sin 2(L —@—a) 


deviendra 1 pour &« — 0. 

Mais l’isochronisme parfait du régulateur n’est atteint, comme on a 
vu, qu’à la condition que la vitesse angulaire © conserve toujours sa valeur 
©, quelle que soit la position du manchon mobile et, par conséquent, quelle 
que soit la valeur de l’angle & qui détermine cette position; la fonction (2) 
devient alors nécessairement égale à l’unité. Or, quoique cette fonction ne 
satisfasse rigoureusement à cette condition pour aucune valeur des con- 


stantes 
À, B, m, d, 9, 


qui entrent dans son expression, néanmoins, par un choix convenable de ces 
valeurs ses écarts de l’unité peuvent être rendus très petits pour toutes les 
valeurs de « usitées en pratique. Par conséquent, le régulateur centrifuge, 
dont les paramètres À, B, m, Ÿ et © auront ces valeurs, différera très peu 
d’un régulateur rigoureusement isochrone. 


— 112 — 


$ 3. Quand on détermine les paramètres d’une fonction donnée de 
façon à rendre minima ses écarts d’une valeur constante quelconque pour 
toutes les valeurs possibles que puisse prendre, entre certaines limites, la 
variable indépendante, il faut distinguer deux cas: 1° quand ces limites 
sont infiniment rapprochées entre elles; 2° quand leur différence est une 
quantité finie, plus ou moins considérable. Les valeurs des paramètres, obte- 
nues dans la première hypothèse, comme nous l’avons fait voir dans notre 
mémoire intitulé: Zhéorie des mécanismes connus sous le nom de parallélo- 
grammes *) offrent une première approximation et permettent d’obtenir fa- 
cilement leurs valeurs plus exactes, dans la seconde hypothèse, par une 
méthode exposée dans ce mémoire. 

En nous arrêtant au premier cas, où les limites de « sont infiniment 
rapprochées et, par conséquent, diffèrent peu de zéro, nous remarquerons 
que le degré d’approximation de l’expression 








Lies el CAP | sin (p + «) — À sin (4 — p — a) 
m 


2— sin? (p +- «) 
B sin 2 (b —p— a) 





à l’unité est déterminé par la plus petite puissance de « dans le développe- 
ment de la différence: 


[a+ Ch | in 62 — 4 ain (he — 0) 


Vm? — sin? (p + &) 
B sin 2 (4 — — «) 








— 1 





suivant les puissances ascendantes de &. 
En développant cétte différence en série suivant les puissances de & 
et en égalant à zéro les coéfficients de , 


LEGER, 


on obtient cinq équations qui devront être satisfaites pour que la plus petite 
puissance de « dans ce développement soit 5, ce qui est l’approximation 
maximum de la fonction (2) de l’unité, car ces cinq équations nous don- 
neront les valeurs de tous les cinq paramètres qui entrent dans l’expression 
de cette fonction. 

La solution des équations ainsi obtenues nous a fourni les valeurs 
suivantes pour À, B, m, ÿ, o, à savoir: 


A = 0,84713, 
B=0,65616, 





*) T. I, pag. 111 — 143. 


— 113 — 


m=— 1,81271, 
he 1010" 
o— 58°46. 


En mettant ces valeurs dans la formule (2), nous obtenons une expres- 
sion qui ne différera de l’unité que par des termes contenant & à la cinquième 
puissance et à des puissances supérieures à 5; donc cette fonction pour les 
valeurs de & peu sensibles (comme c’est toujours le cas en pratique) restera 
toujours peu différente de l’unité. En effet, si l’on calcule la valeur de la 
dite expression pour différents «, on trouve que la différence entre la fonction 
(2) et l’unité n’atteint la valeur de 0,001 que pour &a—14°40" et ne 
s’abaisse jusqu'à — 0,001 que pour æ ——13°50", tandis qu’à mesure 
que la valeur numérique de « devient plus petite, cette différence diminue 
très rapidement, c’est-à-dire à peu près comme la cinquième puissance de «. 

D'autre part, en calculant *) l’élévation du manchon pour 


æ— 14°40", a——13°50, 


on trouve qu'il s’élève de 0,62 de la longueur de la première partie du 
bras, que nous avons prise pour unité, pendant que & varie de 14°40' jusqu’à 
— 13°50". Mais au fur et à mesure que ces valeurs limites de æ se rap- 
prochent, la hauteur de l’élévation du manchon diminuera presque propor- 
tionnellement à la première puissance de «, comme on peut le montrer par 
des calculs. Il en résulte que si l’on donne aux différentes parties du régula- 
teur de Watt les dimensions et les dispositions pour lesquelles le rapport + 
devient égal à l'expression trouvée, on rendra ce mécanisme très peu diffé- 
rent d’un régulateur parfaitement isochrone, car dans ce cas,: comme on 
vient de le voir, le rapport a restera toujours entre 1+0,001 et 1—0,001 
pour toutes les positions du manchon sur la longueur de 0,62, et par suite 
la différence o —w, sera comprise entre 0 et — 0 Mais si l’on 
diminue la portée des déplacements du manchon de 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 de 
sa valeur première, les limites de la différence o — ©, diminueront pro- 
portionnellement à 
0,97:.0,8%: .0,77:.0.6°, 


donc elles seront réduites aux valeurs: 
Æ 0,000290,; + 0,000160,; + 0,000080,; + 0,00004w,. 


$ 4. Quoique les limites trouvées pour les écarts de la vitesse angu- 
Jaire © de sa valeur de régime ©, soient assez rapprochées, néanmoins on 








*) Par l'expression cos ( + à) + Vm? — sin? ( + &). 


à — 114 — 


peut encore les restreindre et même considérablement. Ces limites, comme 
on vient de voir, correspondent au cas, où l’on détermine les paramètres 
qui entrent dans l’expression (2), en supposant que la variable « est infini- 
ment petite. Quand on passe du cas, où « reste infiniment petit, à celui, où « 
diffère de zéro par une quantité finie, mais peu sensible, on est en état, à 
l’aide des méthodes exposées par nous dans le mémoire mentionné, de 
rendre ces limites 2— 16 fois plus petites. Mais comme les valeurs trou- 
vées pour les quantités À, B, m, %, © fournissent l’approximation tout-à- 
fait suffisante pour la pratique, nous ne nous arrêterons pas à l'évaluation 
des paramètres qui donnent l’approximation encore plus grande. Remarquons 
seulement, que pour les valeurs de 


: ; ps B, m, d, ©, 
ainsi trouvées, la différence 
; [+ cos (+ a) | sin (o + a)— À sin (d — p— a) 
— 1— | 


w? Vam? — sin? (p + à) 
w0? es | | B sin 2(b——4) 











— 1 


s’annule pour cinq valeurs différentes de «; par conséquent, cinq positions 
différentes du manchon mobile correspondront à une même vitesse angu- 
laire &,- Quant aux valeurs des paramètres 


À, B, m, ?; Ÿ, 


pour lesquelles à chaque vitesse angulaire ne correspond qu’une seule posi- 
tion du manchon, on peut les trouver par la méthode exposée par nous 
dans le mémoiré mentionné, seulement on doit ici au polynôme qui diffère de 
zéro le moins possible sans restrictions suppléer le polynôme qui diffère de 
zéro le moins possible en croissant continuellement, ou en décroissant. Si l’on 
détermine les différents polynômes qui satisfont à cette condition, on trouve 
que celui qui est nécessaire pour le cas présent peut être représenté par la 
formule: | 


Lu + 5 5(a — xp)? %1 + Go \? 5(a&, — xp) y + Xp) 
(a <) 18 RE RD 0e JE D Ci 





où l’on à désigné par «,, «, les limites des valeurs de la variable « pour 
lesquelles le polynôme inconnu 


aÿ + aa + bai + co? +- da + e, 


« 


diffère de zéro le moins possible en continuant toujours à croître ou à 
décroître; à l’aide de ce polynôme les limites qu’on a trouvées dans le $ 3 
pour des écarts de l’expression (2) de l'unité, peuvent être diminuées dans 
le rapport 4 : 9. 


— 115 — 


$ 5. En se bornant à la première approximation, on aura d’après le $ 3: 





| 4 084713, 
-B—0,65616, 
m = 1,31271, 
d —119°10", 
— 58°46, 
où d’après (1) 
2r &p? r? 
(3) A=+, B— _. 


De ces équations on tire 


2B 
r = 2 


DS > ou Of AE 
2 us ÊTA 


23 
9 


en mettant pour À et B les valeurs trouvées, on obtient: 
r = 1,54906 ss P=3,65719 … 


Nous avons ainsi tout ce qu’il faut pour déterminer les dimensions de 
toutes les pièces du régulateur. 
Supposons, par exemple 


les formules ci-dessus nous donnent 
r=1,72115; P—4,06355. 


Si l’on fait une épure du régulateur centrifuge conformément aux va- 
leurs trouvées 7, », Ÿ, on apercevra que cet appareil aura la forme repré- 
sentée sur la fig. 2, où CD et CE sont ce que nous avons nommé les pre- 
mières parties des tiges; leur longueur est prise pour unité ($ 2); AC et BC 
sont les secondes parties des tiges, dont la longueur » est égale pour notre 
exemple à 1,7 2115; DPF, EF sont les bras soutenant la douille 7; leur lon- 
gueur est constamment égale à 1,31271;l1es angles ACE, BCD formés pas les 
premières et les secondes parties des tiges ont chacun 119°10°. Quant aux 
angles FCD, ECF qui mesurent l’inclinaison des premières parties des tiges 
sur l’axe du régulateur, ils auront chacun 58°46” pour la vitesse normale 
de rotation du mécanisme. 

Le régulateur centrifuge ainsi composé aura ses tiges dirigées en haut, 


comme cela se voit sur la figure 2; les centres de ses sphères oscillantes se 
8* 


PRSBRAR re 
OFTHE 


116 


trouveront élevés au dessus des points d’attache des tiges à l’axe du régula- 
teur. En outre ce mécanisme se distinguera du régulateur de Watt dans sa 
forme habituelle par le poids P de la douille qui sera toujours plus con- 
sidérable que celui des sphères oscillantes. Ainsi dans notre exemple 
P=4,06355; donc le manchon sera plus de 4 fois plus lourd qu’une sphère. 


Fig. 2. 


F 





Remarquons encore que les secondes parties des tiges doivent être recour- 
bées (comme cela est indiqué sur la figure 3) pour que leur mouvement 
n’entrave pas le jeu des premières parties des tiges. En recourbant ainsi les 
tiges il faut observer que les centres des sphères doivent être rigoureuse- 
ment à la distance r du point C et que l’angle entre les premières et les 
secondes parties des tiges doit être égal à 119°10°. 


$ 6. Jusqu'à présent nous n’avons pas examiné l’action des masses des 
tiges et des bras, comme c’est toujours l’usage dans la théorie des régula- 
teurs centrifuges; mais, ayant en vue un si grand degré d’approximation à 
l’isochronisme, nous ne pouvons pas nous dispenser de considérer l’influence 
de ces parties du mécanisme. En introduisant dans l'équation de l'équilibre 
l’action de la pesanteur et de la force centrifuge sur les particules des tiges 
et des bras, on trouve pour le rapport _ une expression qu’on peut mettre 
sous la forme (2) du $ 2, si seulement la distribution des masses dans les 
tiges et les bras satisfait à une certaine condition. Il n’est pas difficile de 
donner à cette condition une expression analytique tout-à-fait rigoureuse, 
mais pour les besoins de la pratique, à cause de cette circonstance que les 
masses des tiges et des bras sont peu sensibles relativement à celles des 
sphères oscillantes, elle peut être exprimée avec la précision suffisante 
comme il suit: 


— 117 — 


«Si l’on donne au bras EF (fig. 3) séparé du manchon F une telle di- 
rection que la projection de son bout F sur le plan du régulateur *) coïncide 


Fig. 8. 








avec le point C, il faut que le moment d'inertie de la tige entière ACE 
avec le bras EF qui y est attaché soit le même relativement aux deux 
plans qui sont perpendiculaires au plan du régulateur et qui font âvec la 
droite AC au point À les angles égaux chacun à >. 

Quand chacune des deux tiges avec le bras qui y est attaché satisfait 
à la condition exposée et quand leurs masses sont peu sensibles relativement 
à celles des sphères oscillantes, on peut mettre l’expression pour le rap- 
port _ sous la forme (2) avec la précision tout-à-fait suffisante pour la 


pratique, si l’on pose: 


ne un 2 +M)Y, 
o— £ ACE + arcsin LT 





Fos 2r+2(p+p;)X. 


(4) 1 2 y, 








où p est le poids d’une tige; p, — celui d’un bras; b est la distance entre le 
centre de gravité d’un bras et son point d’attache au manchon; X et Y 





*) Le plan qui passe par l’axe du régulateur et par les centres des sphères oscillantes 
s’appelle le plan du regulateur, 


— 118 — 


sont les coordonnées du centre de gravité; €, n — les bras d’inertie *) rela- 
tivement aux plans yz, z& d’une tige avec le bras correspondant, quand 
celui-ci a pris la direction indiquée. On prend pour l’axe des x la droite AC: 
l’axe des y est une droite perpendiculaire à la première et située sur le 
plan du régulateur; l’axe des z est perpendiculaire à ce dernier plan (fig. 3). 

Par r on a désigné la distance entre le centre À et le point C. 
L’angle ACE mesure l’inclinaison de ce segment sur la première partie de 
la tige ACE, Ainsi, après avoir considéré l’action des masses des tiges et 
des bras, on peut mettre l'expression pour la quantité _ sous la forme pré- 
cédente (2) et l’on construira un régulateur qui même sous l’action de ces 
masses diffèrera très peu d’un appareil rigoureusement isochrone, si l’on 


donne aux paramètres 
À, B, m, Ÿ, 9, 


les valeurs trouvées au $ 2. En mettant ces valeurs pour À, B, Y dans les 
formules (4), on aura les trois équations suivantes: 


L ACE + arcsin 22#PDXY 119010 





0,84713 P 
se miX so 84718, 
(5) 4 |; P+ Pr: | 





6. 12+(p+m) (n? — 6?) = 0 65616 
Rae ? 


20 
/ Fri Pi 





qui remplaceront celles du $ 5. Quant aux quantités » et ©, elles resteront 
les mêmes. 

$ 7. Pour donner un exemple et pour montrer, comment on doit faire : 
l'application des formules déduites, supposons qu’on a besoin de construire 
un régulateur centrifuge, pour lequel 


Nous avons pris partout pour unité des longueurs celle de la première 
partie de la tige; donc g, l’accélération de la pesanteur, sera un nombre 
plus ou moins grand dépendant de la longueur du segment pris pour unité. 
Par conséquent, on peut toujours choisir la longueur de ce segment de ma- 
nière que le rapport | 
93 6? 
9 


" ZM, +2 M, +... JM ++... 

*) C'est à dire 1 tit pi ares les Ter 1° M + 2° Mo ; 

do auanttés M+M+... ? V M+M+... ? 

où l’on a désigné par M,, M,;... les masses des particules de la tige avec le bras correspon- 


dant et par &i, Yi, 215 Los Vos #2 «+. les coordonnées des particules M,, M,,... 

















— 119 — 


prendra la valeur 0,9 indépendamment des valeurs que prennent la vitesse 
angulaire w, et lacsAléretiôn 9. 

En commençant l'évaluation des diverses parties du régulateur, nous 

négligeons d’abord, dans la première approximation, l'influence des masses 

des tiges et des bras; donc dans les formules (5) on peut poser 


p=0, p, =0. 


Or pour ces valeurs de p, de p, et pour £5 — 0,9 des expressions (5) 
on tire les résultats suivants: 


£ ACE=119°10), 
+ = 0,84713, 
0,9: © —0,65616. 
La solution des deux dernières équations nous donne: 


P— 4,063, 
r — 1,721. 


P est le poids de la douille, si l’on a pris pour unité des poids celui 

d’une sphère oscillante; par r est dé- 
signée la distance entre le centre de 
la sphère et le point d’attache de la 
tige à l’axe du régulateur. 
j Pour évaluer ces quantités plus 
exactement, cherchons la position ap- 
proximative du centre de la sphère 
relativement à la première partie de 
la tige, position qui correspond aux 
valeurs déjà trouvées pour r et pour 
l’angle ECA. Prenons donc une droite 
quelconque ÆC' pour la première partie 
de la tige et sa longueur pour unité; me- 
nons (fig. 4) une droite AC inclinée sur 
celle-ci sous l’angle a 119°10° 
et faisons 


Fig. 4. 





Le point A sera la position du &, 
centre de la sphère dans la première 
approximation; le point C indiquera la position du noi d'attache de la tige 


— 120 — 


à l’axe du régulateur, et toute la ligne brisée ACEÆ sera située au plan du 
régulateur. En menant du point À les deux droites AG, AG, qui font avec 
la droite AC les angles CAG, CAG,, ayant chacun 45°, et en construisant 
sur ces droites les deux plans P, P,, perpendiculaires au plan du régula- 
: teur, on trouve les deux plans du $ 6: relativement à ces plans doivent être 
égaux les moments d’inertie de la tige avec le bras qui y est attaché et qui 
a pris une telle direction que la projection de son bout libre sur le plan du 
régulateur coïncide avec le point C. Ainsi tout le bras sera situé, évidem- 
ment, plus près du plan P que du plan ?,, et la même chose aura lieu 
pour EC, la première partie de la tige. Donc l’égalité déjà mentionnée des 
moments ne peut subsister qu’au cas où il y a sur la seconde partie de la 
tige des points situés plus près du plan P, que du plan P; mais alors cette 
partie de la tige doit être menée en bas au delà de la droite AC, car, les 
angles CAG et CAG, étant égaux, tous les points de cette droite sont équi- 
distants des plans P et P.. D'où il est clair que la courbure des tiges (fig. 3), 
qui leur donne la possibilité de se mouvoir librement, est en même temps 
nécessaire pour qu’on puisse satisfaire à la dite condition de l'égalité des 
moments tout en laissant droits les bras et les premières parties des tiges. 
Au fur et à mesure que les points de 
la seconde partie de la tige s’abaissent 
au delà de la droite AC la différence 
de leurs moments d'inertie relative- 
ment aux plans Pet P, augmente con- 
stamment, donc après quelques tâtonne- 
ments successifs il ne sera pas difficile 
de donner à ces points une telle po- 
sition que l'égalité pour les moments 
d'inertie de toute la tige avec le bras 
soit atteinte. Evidemment, nous pou- 
vons arriver à ce but en donnant à la 
tige des formes différentes. Ainsi, en 
supposant que le fil central de la tige 
(fig. 5) consiste en deux droites Cm, 
An, unies par l’arc mn du cercle qui 
les touche, et en laissant droites les 
premières parties des tiges avec les 
bras, nous avons trouvé que lorsque 
les sphères oscillantes ont au diamètre 
0,8, l'égalité des moments est assurée, si l’on a observé les conditions 
suivantes: 








+ 
(4 
| 4 


& 


— 121 — 


1) L’angle ECm que font au point C les fils centraux de la première 
et de la seconde partie de la tige a 198°; la longueur du fil droit Cm est 
égale à 0,5; le rayon de l'arc mn est égal à 0,6. 

2) La seconde partie de la tige CmnA, là où elle reste droite, doit 
avoir la largeur égale à une certaine quantité constante À. Mais la largeur 
de la partie recourbée de la tige va en croissant du commencement de la 
courbure jusqu’au milieu où cette largeur devient égale à _ À; après quoi 
elle commence à décroître et à la fin de la courbure revient à sa valeur 
première À. La loi de la variation qu’éprouve la largeur de cette partie de 
la tige est telle que les fils extérieurs sont représentés par le arcs des cercles. 

3) La largeur de la première partie de la tige près du point C est 
égale à À; mais dans la direction vers le bout Æ cette largeur diminue uni- 
formément et au point Æ devient égale à L À. 

4) Sur toute l’étendue de la tige l’épaisséur reste constamment égale 
à une quantité quelconque y. 

5) La surface des sections des bras reste sur toute leur étendue égale 
à 0,52 À. 

6) La charnière qui sert à joindre la tige au bras (par cette expression 
on désigne tout ce qui est situé à l’endroit où la tige et le bras se touchent, 
et qui surpasse les limites prescrites pour la longueur, la largeur, l’épais- 
seur des tiges ou la surface de leurs sections) renferme 0,13Au de nos 
unités cubiques. | 

Quand nous avons parlé de la figure du fil central Cnm.A de la seconde 
partie de la tige, nous n’avons rien dit de la longueur de l’arc #n et du 
segment #4, parce que la longueur de ces lignes est définie par cette cir- 
constance que la droite An représente une tangente à l’arc mn, menée du 
point À. Quant aux cercles qui définissent la figure des fils extérieurs de la 
partie recourbée de la tige on peut les déterminer facilement, si l’on con- 
naît la largeur de cette partie à ses deux bouts et au milieu, comme nous le 
montrerons plus loin (S 9). 

Remarquons encore que les proéminences et les échancrures des tiges 
près de C, leur point d’attache à l’axe du régulateur, n’influencent pas con- 
sidérablement l’égalité des moments, dont nous nous occupons, car en cet 
endroit pour chaque point la différence des distances aux plans P et P, est 
peu sensible. On peut dire la même chose de ce bout du bras qui est arti- 
culé avec la douille, parce que l’égalité des moments ne doit subsister qu’au 
cas où la projection du bout considéré sur le plan de la figure coïncide avec 
le point C, ce qui suppose l'égalité de ses distances aux plans P et P.. 

$ 8. Si l’on s’arrête au cas, où les tiges, les bras et les charnières qui 
les joignent sont construits conformément à ce qui était dit, et si l’on évalue 


— 122 — 


dans cette hypothèse les quantités p, p,, Y, €, n, p qui entrent dans les for- 
mules (5), on trouve 
p =13,8g, X#0,292, 


p= 2,5%, Ÿ=—0,205,. 


n—t2=0,044, p= <-. 

“Ici l’on a pris pour unité des poids celui de la sphère oscillante; dans 

le cas considéré, cette sphère a, comme nous l'avons vu, le diamètre égal à 

0,8 et, par hypothèse, est faite de la même matière que les tiges, les bras 
et les charnières. | 

En mettant les valeurs trouvées dans les expressions (5) et en substi- 

tuant au rapport _. sa valeur 0,9, on a les équations suivantes qui déter- 

minent r, Pet l’angle ACE: 3 


| 2r + 9,6 À | 
(6) Pros — 084718, 
r2+ 0,72) 
09 Tasse 
+ . 6,7 À A le] ! 
(7) £ ACE + arc:sin ris p — 119 10. 


En divisant la première de ces équations par la seconde, on obtient: 


2r+ 9,61 __ 0,84713 
(r?+ 0,72 hu)-0,9 —  0,65616 ? 





ce qui donne l’équation suivante pour r: 


72— 1,72124r7 = 7,5 y; 
d’où il suit 





r — 0,86062 + V0,860622 + 7,5 À. 


Si l’on développe cette expression en série et si l’on s’arrête au pre- 
mier degré de À, on trouve 


(8) r = 1,7212 +44). 


Pour passer à l’évaluation de ? nous remarquons que l’équation (6) 
nous donne: 


SPA 9,6Àu , 
PH Es + osirs 





— 123 — 


si l’on y met pour 7 sa valeur, trouvée plus haut, on en déduit 
(9) P— 4,0636 + 19 àu. 


“ Ayant évalué la quantité P, nous tirerons de l’équation (7) la valeur 
de l’angle ACE,; enfin, connaissant cet angle et le segment AC—+r, nous 
trouverons la position du point À, centre de la sphère oscillante. 

Ainsi, avec la précision suffisante pour la pratique, se détermineront 
la tige et le poids du manchon. Quant aux bras, leur longueur #, comme 
on l’a vu ($ 5), reste toujours égale à 1,31271; la surface de leurs sections, 
par hypothèse, ne varie pas sur toute l’étendue des bras et reste égale à 
0,521u. Mais, évidemment, on ne changera rien dans les conditions de 
l’équilibre, si l’on considère les particules de la douille qui avoisinent le 
bras comme n’appartenant pas à celle-ci, mais au bout du bras qui y est 
attaché. De la même manière on peut attribuer à l’autre bout du bras une 
partie des masses, qui sont destinées à former le joint, articulant le bras 
avec la tige. 

D'ailleurs, il n’est pas difficile de remarquer que, grâce à cette circon- 
stance que les bras ont une masse peu sensible, les changements dans la 
distribution de la matière sur leur étendue n'influencent pas considérable- 
ment le mouvement du régulateur, si seulement le centre de gravité des 
bras conserve sa première position. D'où il suit, que dans la construction 
des régulateurs il n’est pas indispensable d’observer strictement notre sup- 
position relativement aux sections des bras: on peut augmenter la masse 
des bras aux frais de celle du manchon et des charnières. 

$ 9. Pour donner un exemple de l'application des formules trouvées 
plus haut, posons que les quantités À, m qui déterminent d'aprés $ 8 la 
largeur et l’épasseur de la tige, ont la valeur suivante: 


1=0,16; um — 0,12. 
En mettant ces valeurs dans les expressions (8) et (9), on trouve 


r = 1,7212 + 4,4-0,16-0,12 — 1,8057: 
P= 4,0636 + 19:0,16:0,12 — 4,4283. 


Si l’on introduit ces valeurs pour P,), w dans l’équation (7), on obtient: 


6,7-0,16:0,12 F 
LACE + arc: "SN Terre: LAS — 119°10'; 





des où, en remarquant que 


6,78-0,16-0,12 
0,84715:4,4283 





| arc: sin —= arc-sin 0,0345 = 1°58, 
on déduit 


L ACE + 1°58 —119°10", 


— 124 — 


ce qui nous donne 
L ACE = 119°10— 1°58 — 117°12’. 


Pour commencer l'évaluation des différentes parties de la tige nous 
choisissons, d’après ce qu’on a dit au $ 7, la longueur de la première partie 
de la tige et traçons la droite ÆC (fig. 6) ayant cette longueur. En prenant 


Fig. 6. 


- 
d n" 
TA 
F2 
- 
+ 
- 








EC pour unité, menons par le point C sous l’angle ECm, ayant 198°, la 
droite Cm égale à 0,5. Au bout de ce segment au point » érigeons la per- 
pendiculaire #0 et faisons la égale à 0,6; d’après ce qu’on a dit au $ 8, le 
point 0 sera le centre du cercle dont l’arc représente la partie recourbée 
du fil central de la tige. D'ailleurs, si du point C on mène la droite AC 


Fig. 7. 





inclinée sur la droite CÆ sous l’angle 117°12’ et si l’on fait AC—r=1,8057, 
on trouvera le point À, position du centre de la sphère oscillante; la tan- 
gente An du cercle 0, menée du point À, détermine le point », bout de la 
partie recourbée du fil et commencement de la dernière partie droite #4. 
Ainsi se déterminera le fil central de la tige tout entière. 


— 125 — 


Pour passer à la construction des fils extérieurs, menons (fig. 7) les 
normales au fil central ZCmnA par les points Æ, C, m, n, À et par le point 
S, milieu de l’arc mn. Sur ces normales, de l’un et de l’autre côté du fil 
central, prenons des segments égaux à la moitié de la largeur de la tige 
dans l’endroit considéré ($ 7), en faisant 


EE, = EE, = 2:27 3à1—0,06, 
CC, = CC, => À = 0,08, 
Ce, = Ce, =; À = 0,08, 
MM, = My = _ À = 0,08, 
SS, = 88, = -+À1—0,10, 
ny = M3 = À = 0,08, 
AA, = 424 = _ À = 0,08. 
Si l’on mène par les points 
E,, C;, 
G, M, 
M À; 
E,, C;; 
Car M) 
Nes À 
les droites et par les points 
Mo Si M 
Nas Jar Ma 


les arcs des cercles, on obtient le contour des fils extérieurs de la tige. 
Remarquons ici que, si l’on élargit la tige près du point C, ce qui est 
nécessaire pour l’attacher à l’axe du régulateur, cette circonstance n’influ- 
encera pas considérablement nos équations, car dans le voisinage du point C 
les coordonnées de tous les points (fig. 3) ont une grandeur peu sensible. 
Par conséquent, on peut élargir la tige au point C autant qu’il est néces- 
saire pour sa solidité. Mais, quand on augmente la masse au bout Æ de la 
tige pour y former une charnière, il ne faut pas perdre de vue que le vo- 
lume de toute la charnière aux bouts de la tige et du bras doit être égal à 


0,13 À, 


—— 1926 — 


ce qui pour À = 0,16; w — 0,12 donne 
0,002496. 

_ Quant à l’autre bout de la tige, sur lequel est fixée la sphère oscil- 
lante, on trouvera l’endroit de la tige où celui-ci touche la surface de la 
sphère, si l’on mène par le point À,'lieu du centre. de la sphère, dans la di- 
rection »A la droite AZ, égale à 0,4, c’est-à-dire au rayon de la sphère. 

Pour passer aux bras remarquons que leur longueur d’après le $ 5 
reste toujours égale à » — 1,31271. De l'expression 


0,52 À, 
pour : | 
1= 0,16, m—0,12, 


on trouve qu’au cas considéré la surface des sections des bras doit être égale 
à 0,01. Nous avons supposé que les sections restent les mêmes sur toute 
l'étendue des bras, mais, comme on a remarqué dans le $ 8, il est permis de 
modifier la distribution des masses sur l’étendue-des bras-à condition que le 
ÿ centre de gravité conserve sa-première position. Donc au lieu du 
bras avec les sections identiques sur toute son étendue on peut 
en prendre un qui consiste en deux barres parallèles, liées au 
milieu par une troisième petite barre transversale (fig. 8): le 
centre de gravité du bras ainsi construit se trouvera aussi au 
milieu de sa longueur. Si le poids du bras devient plus grand que 
celui qui correspond aux sections uniformes ayant la surface égale 
à 0,01, il faut, comme on l’a déjà vu, enlever une moitié du poids 
surabondant de celui de la douille et l’autre moitié de celui de la 
charnière qui joint le bras à la:tige. En agissant ainsi avec les 
deux bras, on ne devra ôter à chacune des deux charnières que la 
moitié de l’excès du poids d’un seul bras, mais au poids du 
manchon P — 4,4283 il faudra enlever tout ce poids surabondant. 

L’epaisseur de la tige, comme on l’a vu, est égale par hypothèse, à 
bp — 0,12 sur toute son étendue. 


Fig. 8. 

















ee 


MÉMOIRE SUR LES ENGRENAGES, 


(TRADUIT PAR I. W. MESTSCHKHERSKY.) 


© syÉtamuxe honecaké. 


—————————————— 


Oruers x p'ÉUX, NPOUSHECHHHA BB TOPKECTBEHHOME CO0paxix Vmneparoperaro 
Mocxogekaro Texauuecxaro Vauamma 10 cenraôpa 1872 roya. 


Revue Universelle des Mines, T. 88, 1875, p. 528—546. 


en 
Fs er 
Lx 
EE 





Sur les engrenages *). 


——————— 


$ 1. Dans les recherches théoriques sur le tracé des engrenages on 
suppose ordinairement donnée la forme du profil de la dent de l’une des 
roues et on en déduit celle du profil de la dent de l’autre. On peut trou- 
ver ainsi une infinité de différentes formes des engrenages, mais il n’y en 
a que très peu, qui sont employées dans la pratique. Pour que la pratique 
puisse, sans se borner à ces formes particulières, se servir de telle forme qui 
est la plus avantageuse dans le cas donné, il faut avoir une méthode géné- 
rale pouvant donner un moyen facile pour tracer les profils des dents d’un 
couple des roues qui satisfont le mieux aux exigences de la pratique. Si l’on 
veut tracer les profils des dents mathématiquement exacts, on rencontre 
des obstacles insurmontables, mais la pratique n’exige pas cette rigueur; pour 
lui suffisent les procédés approximatifs, qui consistent en ce, qu’on donne 
aux faces et aux flancs des dents la forme des arcs de cercle convenablement 
choisis. Quand on n’a en vue que les profils des dents en ares de cercle 
(ces profils peuvent en général remplacer tous les autres avec une approxi- 
mation suffisante pour la pratique), la question de la détermination de la 
forme des dents le mieux satisfaisant aux exigences de la pratique devient 
considérablement simplifiée, parce qu’il ne s’agit alors que de déterminer 
les centres et les rayons des quelques cercles. En étudiant le mouvement 
des engrenages profilés en arcs de cercle, on voit qu’ils ne peuvent jamais 
donner lieu à l’invariabilité du rapport des vitesses angulaires, qui présente 
une condition nécessaire pour que le mouvement de l’engrenage soit regulier; 
par suite en déterminant le profil de ces engrenages il faut se proposer pour 
but de diminuer autant qu’il est possible les irrégularités du mouvement 





*) Ce mémoire a paru en français sous le titre: «Mémoire sur les engrenages par M. 
Tchebycheff. Traduction de MM. Dwelshauvers-Dery et Couharevitch.» dans la «Revue uni- 
verselle des mines» 1875, pp. 523—546; la traduction de M. Mescherskiy se distingue de la 
précédente en ce qu’elle reproduit de plus près le texte original. 

9 


— 130 — 


de l’engrenage, qui proviennent de la variabilité plus ou moins considérable 
du rapport des vitesses angulaires. 

Tel est notre objet; nous allons montrer, comment on trouve, en satis- 
faisant aux exigences de la pratique, la forme des faces et des flancs des 
dents de l’engrenage profilé en arcs de cercle, pour laquelle les irrégula- 
rités du mouvement de l’engrenage sont les moindres possibles. 

$ 2. Soient: C, C, (fig. 1) les centres des roues dentées (que nous appel- 


Fig. 1. 








lerons en abrégé: la roue Cet la roue C), et de leurs circonférences pri- 
mitives, À — CD, R, = CD les rayons de ces dernières; p = AD, p, — BD 
les rayons des arcs de cercle DE et DPF, dont le premier est le profil de 
la face de la dent de la roue C et le second celui du flanc de la dent de la 
roue C;; À et B les positions respectives des centres de cesarcs au moment, 
où leur point de contact est sur la ligne des centres CC au point D; À, et 
B, les positions de ces centres à un autre moment, lorsque les ares sont en 
contact au point quelconque G. Les angles ACA, = à et BC B, — 4 sont 
ceux, dont les roues C'et C; tournent en même temps que le point de con- 
tact des dents se déplace de D en G. L’angle y. est une fonction de À que 
nous désignerons par F(); la dérivée de cette fonction Æ” (À) représentera 
alors le rapport des vitesses angulaires des roues C'et C correspondant 
aux différentes valeurs de À — ACA.. 

Pour À=0 on a 4 —0, donc la fonction F(À) devient nulle quand 
À = 0; d'autre part il est facile de voir que pour cette valeur À = 0 la dé- 


rivée F” (À) doit être égale à 2. En effet, quand À — 0, le point de contact 
1 


— 131 — 


des dents est sur la ligne des centres au point D; donc le rapport des vi- 
tesses angulaires des roues C'et C, pour cette valeur de À, comme il suit 
d’une propriété générale des engrenages, est égal à 22 — À. mais nous 
P P 8 D 8 ? 8 C,D ES 
avons vu que ce rapport est égal à la dérivée FÆ’(À), par conséquent 
R 
F()= R, pour À = 0. : 


Avant d'examiner les irrégularités du mouvement des roues C'et C,— 
inévitables, quand les dents sont profilées en arcs de cercle, — remarquons 
que dans le cas considéré, où les rayons des circonférences primitives sont À 


et À,, le rapport des vitesses angulaires devrait être constant et égal à + , 
de manière qu’à un déplacement À — ACA, de la roue C devrait corre- 
spondre un déplacement angulaire _ À de la roue C, mais le déplacement 
réel de cette roue, comme nous avons posé plus haut, est égal à u = F(à); 
par suite la différence 


FQ)— 3 À 


représente l’erreur dans le déplacement de la roue C, correspondant au dé- 
placement angulaire À de la roue C.. 


Or, nous venons de voir que F{(À) s’annule pour À — 0, donc pour 
cette valeur de À la différence 


devient nulle également. Pour les autres valeurs de À cette différence n’est 
pas nulle en général, maïs elle s’écarte plus ou moins de zéro pendant que 
À croît de zéro jusqu’à sa limite Z qu’elle atteint, lorsque les extrémités Æ 
et F des arcs DE et DF, profils des dents, sont en contact. 


Donc pour diminuer autant que possible les irrégularités du mouve- 
ment de l’engrenage considéré il faut choisir les arcs de cercle DE et DF 
de manière que la différence 


FQ)— + 2 


s’écarte le moins possible de zéro, tandis que À varie entre les limites 
Ass O8 À 


La détermination exacte des arcs de cercle DE et DF, qui rempli- 
raient cette condition est excessivement difficile à cause de la complication 


de la forme de la fonction F(À); mais, si l’on se borne à une approximation 
9* 


— 132 — 


suffisante pour la pratique, on pourra bien se débarrasser des difficultés, pro- 
venant de la complication de la fonction F(À), en substituant à l’expression 


FQ)— 7 À 


son développement suivant les puissances ascendantes de À; puisque entre 
les limites O et / l’angle À est toujours fort petit, on n’a pas besoin de 
prendre un nombre considérable de termes de ce développement; pour la ré- 
solution des questions, qui se présentent dans la pratique, il suffit, comme 
on verra, s’arrêter à la troisième ou à la quatrième puissance de À, de ma- 
nière que l’expression de la différence 


FQ)— +2 


1 


prendra la forme de l’un des deux polynomes suivants: 


KL +KN+K1+K,, 
ou 
XV +kKN+K  +Kd+K,. 


$ 3. D’après ce qui précède, la détermination des arcs DE et DF, qui 
forment le profil de l’engrenage le plus régulier, se réduit à la recherche 
des coefficients des polynomes 


K, +k f+K 1+kK,, 
KNM+K +K + K 1+kK,, 


pour qu’ils se rapprochent le plus possible de zéro entre des limites don- 
nées de À. Ces polynomes ressemblent à ceux qui se présentent, quand on 
cherche la meilleure forme du parallélogramme de Watt: ceux-là ne diffè- 
rent de ceux-ci que par quelques particularités, résultant de ce que nous 
avons remarqué plus haut par rapport aux valeurs de la fonction F(À) et de 
sa dérivée F’(À) pour À —0. La fonction F(À)_s’annule pour À — 0, donc 
dans le développement de la différence 


FQ)— À 


n'existe pas le terme, qui ne contient pas À; la dérivée F”(À) pour À == 0 


devient égale à F par conséquent le coefficient de À dans ce développe- 


— 133 — 


ment est égal à zéro. Il s’en suit que nos polynomes prennent l’une des deux 
formes: 
K, + K,\, 


KM +K,+X,N. 


Dans ces derniers polynomes comme dans ceux qui se rapportent à la 
théorie du parallélogramme de Watt, le premier coefficient étant supposé 
connu, les autres doivent être choisis de manière que les valeurs des poly- 
nomes s’écartent le moins possible de zéro entre les limites À — 0 et À—1. 
D’après ce qui a été démontré dans notre mémoire intitulé: Théorie des mé- 
canismes connus sous le nom de parallélogrammes *), la détermination de 
tels polynomes dans le cas général n’est possible qu’à l’aide des fonctions 
elliptiques, mais dans le cas des polynomes du troisième et du quatrième 
degré elle est très facile. En s’arrêtant aux millièmes dans les valeurs des 
coefficients, on trouve que les polynomes prennent les formes suivantes: 


K, (8 — 0,8947X), 
K, (M — 1,5597X5 + 0,578/?X) *#) 


Ces polynomes entre les limites À— 0 et À =7 s’écartent de zéro 
moins que tous les autres de la même espèce, cependant il n’est pas difficile 
de voir que leur écart de zéro devient le plus grand, lorsque À atteint sa va- 
leur limite /, par conséquent dans les engrenages, où les variations du rap- 
port des vitesses angulaires s’expriment par les polynomes ci-dessus, la 
poussée est la plus defectueuse au moment, où une dent échappe et où la 
suivante va se remettre en prise à la ligne des centres. Cette circonstance 
est très desavantageuse dans la pratique, qui exige, qu’à la fin comme au 
commencement de la prise le rapport des vitesses soit le même; c’est pour- 
quoi il faut remplacer les polynomes, trouvés plus haut, par les autres, qui, 





*) T. I, pag. 111—148. 
**) Les expressions exactes de ces polynomes sont: 


K, (A5 — alX?), 


Apl.. (13p?—4)72 
K, (a Pas 12 : 


où a est déterminée par l'équation: a5 +- 2 (@—1)=0, 





a= 5 +Vip+Vr+2pV1—p. 


sé — 


s’écartant le moins de zéro entre les limites À — 0 et À —{, s’annuleraient 
non seulement pour À—0, mais aussi pour À={/. D’après le $ 9 du mé- 
moire précité on trouvera les polynomes cherchés, si l’on remplace / par 


_—. dans l'expression écrite plus haut du polynome du troisième degré et 


par _—. dans celle du polynome du quatrième degré. On obtient ainsi 


K,(X— 7), 
K,(X— 1,638/X+ 0,63872X), 


polynomes, qui serviront à déterminer les profils des dents remplissant la 
condition que le rapport des vitesses angulaires aie la même valeur nor- 
male à la fin ainsi qu’au commencement de la prise et qui pendant la durée 
de la prise s’écarte les moins possible de cette valeur. 


4, Nous commencerons par le cas, où dans le choix des profils des 
dents, les exigences de la pratique étant satisfaites, il ne reste qu’une quan- 
tité disponible, qu’on peut déterminer de manière, que les irrégularités du 
mouvement de l’engrenage soient les moindres possibles. Dans ce cas, en 
nous arrêtant à la troisième puissance dans le développement de la diffé- 
rence 

R 
F() — R À 
nous devons poser 
(1) FQ)— HA RM —IN). 
1 


Or, en vertu de la nature de la fonction F(à), le premier membre de 
l'équation (1) peut être réduit toujours à la forme suivante exacte jusqu’à 2° 


K,+K,X, 


comme nous l'avons vu au $ 3; donc l’équation (1) nous donne une relation 
entre les coefficients K, et K, et, par conséquent, aussi entre les quantités, 
qui déterminent le profil cherché. 

Pour obtenir cette relation nous pourrions trouver l'expression de la 
fonction F(À) et puis comparer les coefficients de 2? et de À° dans les deux 
membres de l'équation (1), mais on peut procéder plus simplement, en re- 
marquant, que l’équation (1) différenciée donne 


FO F — K,(3X — 210) 


— 135 — 


ce qui suppose avec une approximation jusqu’à ?, que la différence 
/ R 
FA— 


devient nulle pour À — 0 r— sl 
La première valeur À — 0, annule toujours la différence 


' R 


comme nous l’avons vu au $ 2; l’annulation de cette différence pour 
2 He ne 
À; nous servira à trouver la relation entre les quantités, lesquelles 


contient la fonction F (À). 


Dans ce but rappelons que, d’après le $ 2, la dérivée F”(À) représente 


le rapport réel des vitesses angulaires des roues considérées et la fraction 


LE — la valeur normale de ce rapport; si donc la différence 
z 


, E 
FQ)— 7 


2 , 
s’annule pour À —--/, c'est qu'à ce moment le rapport des vitesses angu- 
laires a sa valeur normale et par conséquent la normale commune aux deux 
profils en prise passe par le point de contact D des circonférences primi- 
tives sur la ligne des centres CC. Or, il est facile de trouver l’inclinaison 
de la normale commune sur la ligne des centres dans la position, où 
1-1, ce qui servira à établir la relation entre les quantités qui déter- 


minent le profil cherché. 


$ 5. Conservant les mêmes notations que dans la figure 1, nous 
aurons (fig. 2): CD=R, CD—=R, les rayons des circonférences primitives, 
AD=e0, BD—»,, les rayons des arcs de cercle DE et DF, À et B les po- 
sitions des centres des arcs DE et DF au moment, où leur point de con- 
tact est sur la ligne des centres CC, au point D; À, et B, les positions re- 


spectives de ces centres après une rotation de l'angle À — ACA, — + de la 


roue C, quand la normale commune 4,B, aux profils D,E, et D,F,, comme 
il est dit au paragraphe précédent, passera par la point de contact primitif 
D; soient: r — AC = À,C et les angles 


L—ACD, N—ADC, v—=ADA,. 


— 136 — 


Le triangle À, DC donne la relation 





AC. sin A,CD 
tang (ADC— ADA) = os 4,0D? 


Fig. 2. 








en employant les notations adoptées on a donc 


rsin(z— 1) 

















tang (N— v) — 5 
B—reos(r +1) 
3 
ou 
s 2 
tang N— tango rsin(z— 21) 
1+tang N.tang v B—rcos(z— +1) 
En résolvant cette équation par rapport à tang v, on trouve 
[R—res(z À) ] tang N — r sin (z-i) 
tang v — 5 : ) 
R—ros(1—+1)+rsin(z—#1)tang N 
ou 
Rsin N=rsin (z+N-21) 
(2) tang v = TE 
R 008 Nr cos | L+ N—) 


Développant ici 


sin (N+L— 5), cos (N+L— 2) 


— 137 — 


suivant les puissances ascendantes de ?, on exprime par les séries suivantes: 
le numérateur 


Rsin N— rsin(L+ N)+ 2 r cos(L+N).1+<7rsin(L+N).P+...., 
et le dénominateur 


ER cos N — r cos(L + N)— <rsin (L+N).1+ +7 cos (L+N).P+.... 


Mais du triangle ACD on tire 


CD. sin ADC — AC. sin CAD. 
CD. cos ADC'+ AC. cos CAD — AD, 


d’où, en remplaçant l’angle CAD par 
x — (ADC + AOD), 
avec les notations adoptées on reçoit 


Rsin N=—rsin(L+N), 
RcosN—rcos(L+N) = ep, 


ce qui réduit les expressions trouvées du numérateur et du dénominateur 
dans la formule (2) aux formes suivantes plus simples: 


À (RcosN—e) ++ RsinN.P+.... 
o—+RsinN.i++(RcosN—p)l+. ... 
En divisant la première de ces séries par la seconde on trouve 
+ cos N—1)1+ 5 + (À cos N — 2) sinN.P+...., 


et par suite, d’après l'équation (2), la valeur de tang v exacte jusqu’à la 
deuxième puissance inclusivement sera 


— 138 — 
Mais l’approximation admise permet de remplacer la tangente par son 
arc, ce qui donne 


(8) _o=5(* cosN—1)1+< (2 cos N — +) sin N.P. 


Telle doit être la variation de l’inclinaison de la normale commune aux 
profils en prise après une rotation de l’angle ACA, = <2 de la roue C, 
pour que cette normale passe par le point de contact des circonférences pri- 
mitives lorsque ACA, ={ ce qui doit avoir lieu pour l’engrenage con- 
sidéré, 

Cela posé, il est facile de trouver une relation entre les quantités 


P; Pis N, 


qui déterminent les ares DE et DF; à cet effet il faut connaître la valeur 
de v pour des valeurs quelconques de 


Pr Pis N. 


C’est ce que nous allons chercher. 


$ 6. Soient (fig. 3) À et B les positions des centres des arcs consi- 


Fig. 8. 








B, 


dérés, quand leur point de contact est sur la ligne des centres; 


ACD=L, ADC=N, CD=R, CD=R,, 


— 139 — 


A, et B, les positions des centres des arcs après que la roue C'a tourné de 
l’angle quelconque ACA, = À, 


ACD=L—}), AD,C=N—7v; 


soient aussi BCD = M et u l'accroissement de cet angle correspondant à 
l’angle de la rotation ACA, — À de la roue C'; alors 


B,CD=M+v. 
Pour obtenir l’équation qui détermine la valeur de v pour une valeur 


quelconque de À, projetons le polygone C4,B;C,; sur la direction de la ligne 
des centres et sur une perpendiculaire à cette direction; nous aurons 


A, C.cos À, CD + A, B, cos A, D,C+ BC, cos B,C, D — CC, 
A,0 sin À,CD — À, B, sin À, D,C +-B, C, sin B,C D —0, 
d’où, en remarquant que 
AC=7r, BG=r, AB=er+e, CG=R+ 


ACD=L—X, AD,C—N—v, DCE, =M+, 


on trouve 


rCoS(L— À) +(p+0p,)cos(N—v)+r,cos(M+p)—=R+R,, 
rsin(L— À) —(o + p,)Sin(N— 0) +7, sin(M+p)= 0. 


Éliminant (M+- y) entre ces équations, on a: 


r=[R +R, — 7 cos(L — À) —(e +0) cos (N — v)|* 


+ [—r sin(L— à) + (9 +0.) sin(N—v)f, 
ou en supprimant les parenthèses 


r=(R+R) + (+0) +7? + 27 (0 + 0,) cos (L + N— À — 0) 


— 2(R + R,) [r cos (L—)) + (p + 0,) cos (N—v)]. 


— 140 — 


Pour les valeurs particulières À — 0, v — 0, cette égalité devient: 


r=(R+R)}+(o +0) +17 + 2r(p+p,) cos (L+ N) 
—2(R+R,) [r cos L+(e + 0,) cos N]. 


Soustrayant cette équation de la précédente, on obtient 


cos(N—v) — cos N _ cos(L—À)—cosL __ 0 


Ccos(Læ+ N—À—v)—cos(L+N) 
Tr p+Pi 


RE+R, 





Pour en déduire la valeur de l’angle v développée suivant les puis- 


sances ascendantes de l’angle À posons 


v=Ki+kN +... 


et déterminons les coefficients X,, K,,.... 
En portant cette expression de v dans l’équation précédente et déve- 











loppant suivant les puissances de À, nous aurons 
sin(L+N) sin N sin L | 
PR,  (Æ, + 1) — RE 
2sin(L+N)K,—cos(L+N)(K,+1} Leg 
R+E, }2 ? 
+ TZ. HR... 
__2sin N.K, — cos NK?, cos L 
r P+P 








d’où pour la détermination des coefficients X;, X, on tire les équations 





























suivantes : 
sin (ZL +- N) sin N ain Le, 
E+Rk; sp r a à 
2sin(L+N) K,— cos (L+N) +1) 2sinN.Æ,— cos N.K? cosL 
E+R, r PHP — ? 
qui donnent 
sinZ sin(Læ+N) 
_P+P R+R, 
1 sin(L+N) sinN’? 
E+R, Fr: 
cos (L + N) 9. CON D, cos L 
“RER UD r # P+P 








K,=— ( - 
E+R, r ) 


OM 
Afin de chasser de ces expressions les angles 
L— ACD et L+ N = ADC+ ACD 


remarquons, que le triangle ACD donne 


sin ACD — Te sin ADC, 


sin (ADC+- ACD) — sin CAD = % sin ADC; 





CD — AD.cos ADC 
cos ACD — PT k 





cos (ADC + ACD) = — cos CAD = — AD — ee ane 


ou, d’après la notation adoptée, 
sinZ—® sin N: sin(L+N)— À sin N; 


N LE 
cosL = PT; GORE NT) ET, 


En portant ces valeurs de 
sin L, sn(L+N), cosZL, cos(L+N) 


dans les expressions précédentes des coefficients X,, K,, on trouve, toutes 


les réductions faites, 


__ Rp — Rip, 
K—%, (p + p1)? 


@—R cos N)(K, +1? +(R+ R;) [cos Ne + RES | 


PCR 0 “+ Pi 
K— 2R, sin N 





Telles sont les valeurs des coefficients X, et X, de la série 
(4) 1=Ki+KX—+...., 


qui donne la valeur de l’angle v correspondant à une valeur quelconque de 
Pangle À pour toutes les valeurs de 


@s Pur Ne 


$ 7. En posant dans la formule trouvée 


_— 142 — 


nous aurons la valeur correspondante de l’angle v 


Or dans le cas de l’engrenage die tonne la Pan (3) ($ 5) 
cette valeur particulière de v est 


s(S cos N — 1) 1+< . (È cos N — 2) sin N. À. 
Comparant ces pe valeurs du même angle on obtient une équation, 


qui, étant divisée par —- er prend la forme 
(5) K,—* cos N + 1 ++ [K,— + (£ cos N—;) sin N\ F0, 


où X, et X, ont les valeurs indiquées au $ 6. 
La valeur de X,, comme nous avons vu, est très simple: 


__ Ep — Re 
(6) K, _ R(b+p;)° 


Quant à l’expression de la valeur de X, elle peut être considérable- 
ment simplifiée en vertu de l’approximation, à laquelle on se borne. 


Remarquons que dans le calcul de cette valeur on peut négliger même 
les premières puissances de Z, puisque cette quantité n’entre comme facteur 
que dans le dernier des termes retenus. En outre, d’après 2 (5), si 
l’on néglige le second terme, on a 


(7) | K,— + cos N + 1 —0, 


équation, à l’aide de laquelle on simplifie facilement l’expression de la va- 
leur K,. 


En effet le numérateur de cette expression, X, étant remplacé par la 
différence 


. cos N— 1, 
devient 


(e +R, cos N) À cos N— 2 (R+R) À cos N+ FE (Re, cos N). 


P+P1 


— 143 — 
Mais la formule (7), d’après (6), donne 


Bn—Me ER SR 
MCE TA : cos N+ 1— 0, 


formule, qui se réduit à 


R 
(8) B+R _Eh oo N 
p+P0) PP1 





En remplaçant le facteur 
RE+R;, 
P+e1 





dans le dernier terme de l’expression précédente par 


ÆER cos M, e 
PP 
on la réduit à la suivante: 
R?2R R+R)R R?2R 
[SE cos? N — P+RE se N+ ER | cos ie 
(9 2 Pr 
qui après la substitution 


RR; (0 + p:) cos N 


PPr 
au lieu de 
R+R, 
. devient 
. (1 — cos N) cos N 
PP1 
. Ou 


2 : 
_ sin? N.cos N. 
1 


Remplaçons ici 
cos N 
PP: 





d’après la formule (8) par 


FER: 
p+p1 RR° 





et nous aurons 


R(R+R;) : 0 
a SIN 
PTS sin N, 


expression réduite du numérateur de X,, donné à la fin du $ 6. 


— 144 — 


Par suite on obtient pour la détermination du coefficient K, la formule 
suivante très simple: 


R R+k 
(9)  K=% ES sin N. 





Portant les valeurs trouvées de À et X, dans l'équation (5) et rem- 
plaçant dans son dernier terme, d’après (8), 


ÆE.cos N 
e 





par 
R+kR 
ER, p+p:? 





on obtient, la réduction faite, 








_E+kR pm 1 (Bi +2) p —(R+2R)) Ne 
(10) cos N Be Sos 2E nr F sin N./— 0. 


$ 8. Cette équation exprime une propriété géometrique très-simple 
des arcs de cercle qui forment les profils de la face et du flanc de la dent 
de l’engrenage considéré. Mais avant de la faire ressortir cherchons la for- 
mule qui sert à déterminer les longueurs de ces arcs. 

Conservant les notations précédentes des arcs DE, DF et de leurs 
centres À et B au moment, où le point de contact des dents est sur la ligne 
des centres, soient (fig. 4) D Æ, D,E,, À,, B,, les positions extrêmes des 


Fig. 4. 








arcs et de leurs centres au moment, où les dents vont se quitter, ce qui 
correspond, comme on l’a vu, à la rotation de l’angle AC A4,—1 de la roue C. 


— 145 — 


Traçons la droite AE; l’angle CAE est égal à CA,E,, parceque À et 
À, de même que Æ et Æ, représentent les mêmes points de la roue C' dans 
ses deux positions; donc l’angle DAE qui est égal à CAE — CAD sera égal 
aussi à CA, H— CAD; or 


CA H=— rt — A CH— À HC, 


CAD = 7r— ACD — ADC, 
donc 
DAE = ACD — A,CH + ADC — A, HC. 


D’après nos notations: 
ACD — A,CH = ACA, =, 
ADC— A HC—= N—(N—+) = v, 
où la valeur de » s’obtient de la formule (4) pour À —{; il s'ensuit, que 
si nous appellons w l’angle DAEF, qui détermine la longueur de l'arc DE, 
profil de la face de la dent de l’engrenage considéré, on a pour la valeur de 


cet angle 
o—=l+v—=(K +1)/+K,F, 


ce qui, après la substitution des valeurs de Æ, et X, trouvées au $ 7, se ré- 
duit à la forme suivante: 


R+XR, op R R+R, . 
11 w — om cit ce 1 sin N./. 
( ) k, + P; 2R, p+e, 








A l’aide de cette expression de l’angle w — DAE il est facile à faire 
voir, que l’équation (10) représente une simple propriété géométrique de 
l'arc DE, à savoir: 

«Au moment où le point de contact des deux dents est sur la ligne des 
centres, le point extrême Æ de l’arc DE (fig. 5) se trouve sur la circonfé- 
rence, qui passe par le point D) de contact primitif et par les extrémités P 
et P, des deux arcs DP et DP, des circonférences primitives, qui corre- 
spondent à l’angle de rotation de laroue C' pendant la durée de la prise des 
arcs DE et DPF». 

Pour le démontrer traçons la circonférence, passant par les points D, 
P et P,, et la corde DE; soit Æ, le point de leur intersection; cherchons la 
longueur DE. 


D’après nos notations 


ADC=N; DAE=v, DCP=I, CD=R, CD=R,, 
10 


— 146 — 


et l'angle DC P, est celui dont a tourné la roue C; pendant toute la durée 
de la prise des arcs DE et DEF, de sorte que 


DGP= » DOP= à l. 


1 


Fig. 5. 











Menons par le point D la droite DG perpendiculaire à CC, et DT 
perpendiculaire à AD; ces droites étant tangentes aux arcs DP, DP, et 
DE respectivement font avec les cordes de ces arcs les angles 


1 1 1 
PDG=—- DCP, PDG—=- DC P,, EDT— - DAE, 
ou d’après les notations adoptées 
M É- VAE. 
PDG=; PDG = ;%; EDT = >. 


Quant à l'angle GDT, ses çôtés étant perpendiculaires à ceux de l’angle 
ADO, on a GDT— ADC et par suite GT = N. 


On en déduit : 


PDP, = PDG + PDG = ++ 2% À, 


P,DE, — GDT— GDP, — EDT=N— = 1—, 


PDE, = GDT+ PDG—EDT=N+5—?, 


— 147 — 


D'autre part ayant | 
DOPET, DOP ET! 
DES, DER, 


on trouve les JRESCNES des cordes DP et DP: 


PCD 


DP—92.CD.sin De —2R sin + 


DP, =2C,D.sin _ — 2À, sin ce 


FY 1 
Connaissant les longueurs de ces cordes ainsi que les angles qu’elles 


forment avec la corde DE,, on trouve facilement la longueur de cette der- 
nière à l’aide de l’équation: 


DP.sin(P DE) — DP, sin(PDE,)+ DE, sin(PDP)) = 


qui a lieu pour trois cordes quelconques passant par un même point de la 
circonférence. 


En y portant les valeurs trouvées des longueurs de DP et DP, et des 


angles P DE,, PDE,, PDP,, on obtient pour la détermination de la lon- 
gueur de DE, l'équation suivante: 


(12) 2Rsin + sin(N— 2 — +) 2R, sin msn (N+s-S)+ DE, sin (+ + +2) O. 
Pour en déduire la longueur de DE, avec une approximation du deuxième 
ordre, développons les deux premiers termes jusqu’au troisième ordre et le 
facteur de DE, jusqu’au deuxième; nous aurons: 





R+R, (R+R,)R 3, [A2 Fe br: 
or DE, I ES cos NP [ER ÉTEUS 6 |sin NF 


d’où 
DE, = RoosN.l+R {5 +0) sin NL, 


Remplaçant w par sa valeur (11) on trouve 


DE = RcosN.l+R Rien AO SN: A 
GR, (b + P1) 





expression exacte jusqu'à la deuxième puissance de Z inclusivement de la 
longueur de DF,, qui détermine la position du point Æ,, où la circonférence 


passant par les trois points D, P, P, est coupée par la corde DE, 
10* 


— 148 — 


En déterminant d’après les formules trouvées plus haut la longueur de 
la corde DE, on voit qu'avec une approximation dn deuxième ordre on peut 
remplacer cette corde par l’arc DE et par suite exprimer sa longueur par 
le produit 


p . @. 
A l’aide de la formule (11) on trouve 


R R ; 
DE—EER 2075 Be Re ar 
R P+Pi 2R, p+P 








Nous aurons donc pour la différence des longueurs des cordes DE et 
DE, l'expression suivante exacte jusqu’à la deuxième puissance de /: 


DE— DE, — 








(* Pi — RcosN) ___E GR+R,)n —(2R +R)e sin V.P. 
BR p+p 5R P+Pi | 


Comparant cette expression avec le premier membre de l’équation (10) 
on voit, qu’elle ne diffère de celui-ci que par un facteur — /R; par suite en 
vertu de l’équation (10) on a 


DE— DE, =0, 


donc le point Æ, coïncide avec le point Æ, qui est par conséquent sur la cir- 
conférence considérée, ce qu’il fallait démontrer. 


$ 9. Répétant relativement à l’arc DF, profil du flanc de la dent de la 
roue C,, tout ce qui vient d’être dit relativement à l'arc DE, profil de la 
face de la dent de la roue C, on arrive aux formules, qui se déduisent des 
formules précédentes en remplaçant des lettres relatives à la roue C par 
celles relatives à la roue C, et réciproquement. 

Quant à la quantité /, qui représente l’angle de la rotation de la roue 
C' pendant la prise des arcs DE et DPF, il faut la remplacer par 


parce que la roue C! en même temps tourne de l’angle = L dans le sens opposé. 
1 


Au lieu de l’angle w — DAE, qui mesure linclinaison réciproque des 
rayons AD et AE passant par les extrémités de l’arc DE, nous aurons 


o, = DPF 


— 149 — 


avec le signe — à cause de la position inverse des rayons BD et BF, pas- 
sant par les extrémités de l’are DF. 


L’équation (11) deviendra par ces changements 





(13) a, l— = — sin N.P; 
1 


l'équation (10) reste la même, quand on passe de l’arc DE à l’arc DPF; ces 
deux équations nous conduisent au même résultat relativement à l’arc DF, 
que nous avons obtenu dans le paragraphe précédent relativement à l’arc 
DE, c’est à dire, l’extrémité F est située sur la circonférence passant par 
les points D, P et P.. 

On arrive ainsi à la conclusion suivante, concernant l’engrenage con- 
considéré: 

«Au moment, où le point de contact des dents est sur la ligne des 
centres, les cinq points suivants sont sur une même circonférence: les extré- 
mités des profils de la face de l’une et de la partie vive du flanc de l’autre 
des deux dents qui sont en contact sur la ligne des centres, les points des 
circonférences primitives qui viennent à la ligne des centres à la fin de la 
prise de ces dents, et le point de contact des circonférences primitives». 

Cette propriété n’est exacte que jusqu’à la troisième puissance de /, 
puisque en déterminant les positions des différents points nous avons négligé 
dans nos formules les puissances de / supérieures à la seconde. Mais cette 
approximation est suffisante dans la pratique en vertu de la petitesse de la 
quantité /, qui représente l’angle de la rotation de la roue pendant la prise 
d’un couple des dents de l’un ou de l’autre côté de la ligne des centres. 

En se basant sur les formules (11) et (13), on peut trouver une autre 
propriété de l’engrenage considéré. Ces formules étant ajoutées donnent 


ER + ER, l 
0 ent o, —= PP ; 
mais d’après nos notations 


© = DAE, w, = DPF, | = DCP, 


et comme nous avons remarqué plus haut 


donc l’équation trouvée se réduit à la suivante: 


DAE + DBF= DCP + DC P.. 


rm ES 0 


Considérant les angles que forment les cordes des ares DP, DP,, DE 
et DF avec leurs tangentes DG et DT, on voit que 


PDG= + DCP, PDG—+ DCP, 


EDT—; DAE, FDT—-= DBF, 


par suite l’égalité précédente donne 


EDT + FDT = PDG + P,DG, 
d'où 
EDF=PDP,, 


c’est-à-dire que les cordes des arcs DE et DF font entre elles le même 
angle que les cordes des ares de retraite DP et DP,; les points P, P,, F, 
E étant situés sur la même circonférence passant par le point D, il en ré- 
sulte, que les droites PP, et EF sont égales entre elles. 


On peut énoncer cette propriété de l’engrenage considéré comme il suit: 
| g 


«La distance entre les extrémités des profils de la face de l’une et de 
la partie vive du flanc de l’autre des deux dents, dont le point de contact 
est sur la ligne des centres, est égale à la distance des points des circonfé- 
rences primitives, qui viennent à la ligne des centres à la fin de la prise de 
ces dents». : 


Puisque dans le tracé des engrenages, on donne les circonférences 
primitives et les arcs de retraite et d'approche, on pourra toujours, d’après 
ce que nous avons montré plus haut, tracer la circonférence, où doivent 
être situées les extrémités des profils de la face et de la partie vive du flanc 
des deux dents et on connaîtra la distance de ces extrémités au moment, où 
les dents sont en contact sur la ligne des centres. 


Soient (fig. 6) C'et C; les centres des circonférence primitives, D le 
point de leur contact. Ayant en vue de déterminer le tracé des profils des dents 
des roues C'et C, portons les longueurs DP et DP, des arcs d’approche sur 
les circonférences primitives; puis traçons la circonférence passant par les 
points D, P, P,, sur laquelle doivent se trouver les extrémités Æ et F des 
profils de la face et de la partie vive du flanc des dents au moment, où le 
point de leur contact et sur la ligne des centres; la distance de ces extré- 
mités doit être égale à PP,. Quant au choix de la position des points Æ et 
F'sur la circonférence, il dépend des exigences de la pratique: plus ces 
points seront éloignés du point D, plus longue sera la dent de la roue C'et 
plus profond sera le creux de laroue C\; en même temps sera plus mince le 


— 151 — 


bout de la dent de la roue C et plus étroit près du fond le creux de la 

roue C;. 

Après avoir choisi les positions des points Æ et F sur la circonférence 
et la direction de la normale commune aux profils des dents en contact au 


Fig. 6. 








point D, nous aurons les profils cherchés, en traçant par le points D et Æ, 
D et F les arcs de cercle, ayant au point D la normale choisie. 


$ 10. Passons maintenant au cas, où l’on dispose de deux quantités 
dans le choix des arcs de cercle formant les profils des dents, en vue de 
diminuer autant qu’il est possible les irrégularités, qui sont inévitables une 
fois que l’engrenage est profilé en arcs de cercle. 

Développant la différence: 


FO— FR) 


suivant les puissances ascendantes de À jusqu’à la quatrième puissance, on 
trouve, que d’après le $ 3 cette différence se réduit au polynome: 


K, (M — 1,638 N° + 0,638 ZX). 


D'où il suit que pour déterminer les valeurs de À, qui annulent la dé- 
rivée 
0 R 
FO— x 
on à l’équation: 
AN — 1,638.3.0X + 0,638.2./71 = 0. 


dont les racines sont: 


A0, à—0,3657, À —0,8657. 


— 152 — 


On conclut de Ià, d’après le $ 4, que la normale commune aux profils 
des dents en contact passe par le point de contact des circonférences primi- 
tives pour les valeurs suivantes de l’angle À: 


A — 0, À— 0,365, À — 0,865. 


Les équations qu’on peut déduire de cette circonstance dans le cas 
considéré s’obtiennent facilement, comme nous le verrons, si l’on fait usage 
de l’angle v, variation de l’inclinaison de la normale commune aux profils 
des dents en contact ($ 5) sur la ligne des centres. 

Cherchant d’après la formule (4) les valeurs de v correspondant aux 
trois valeurs de À ci-dessus trouvées, on remarque, que la première est 
nulle et les deux autres sont de la forme: 


v—=Kd+k,h, 
où il faut poser successivement 
À=0,3657, À = 0,865. 
En désignant ces deux valeurs de v par v, et v, nous aurons 


v, = 0,365 K,1+-0,365°K,P°, 
Va = 0,865 Xl + 0,865? X,l?. 


Soient, conformément aux notations précédentes, C'et © (fig. 7) les 


Fig. 7. 








3, 


centres des circonférences primitives, CD — R, C;D = R, leurs rayons; À 


— 153 — 


et B les centres des arcs de cercle DE et DPF, lorsque leur point de con- 
tact est sur la ligne des centres; AD = p, BD — bp, les rayons de ces arcs; 
AC=+r, BC,=r, les distances des points À, B aux centres C, C;;, ADC=—N 
l'angle, qui mesure linclinaison de la normale commune aux arcs DE et 
DF sur la ligne des centres. Si À, et B, sont les positions des centres des 
arcs DE et DF au moment, où le décroissement de l’angle de l’inclinaison 
de la normale commune aux dents sur la ligne CC, est égal à v,, la droite 
A,B, représente la position de cette normale, correspondant à À—0,365 /; 
et par suite elle doit passer par D, point de contact des circonférences pri- 
mitives. 
Considérant les triangles CAD, CAD, C:BD, C:B,D, où d’après nos 
notations 
Abe AC=r, BO=BCE=r,; 
4D=p; BD=0,, AB= AB, =p+Pp,, 
CD=R, GD=K,, ADC= BDC = N, 
A, DC= B, DC = N —v,, 
et posant 
AD — A, D = B,D — BD =h, 

nous aurons les égalités suivantes: 


—=gp+R—20RcosN, 
= (9 — h) +R? — 2 (9 —}) R cos(N — »v,), 
r=0) +R — 20,8, cos N, 
r=(e +h)P+R—2(p, + h)R, cos(N—v.), 


qui, après l'élimination de 7 et r,, nous donnent: 
+ R— 20R coSN—(p— 1h) +R? — 2 (p —h)R cos(N — v,), 
+R —20,R.co8N—(0, ++ R°—2 (0, +h)R, cos (N— »v,). 


Pour éliminer de ces équations la quantité À on peut les résoudre par 


rapport à 
p—het p,+h 


et ajouter les résultats. 
On arrive ainsi à l’équation: 
p+p, —(R +R.) cos (N—v,) — 
Ve®—2Re coSN+ R?coS(N—v,) + Vo—2R,0, cos N-+-R,* cos? (N—v.), 








— 154 — 


qui peut être réduite à la forme: 


0+o, —(R+R,) cos (N—v,) — 





Ve — R cos N}° + Re? [cos’(N — v,) — cos N] 





+ V(e,—R, cos NŸ + R;'[ cos (N — v,) —- cos” N|. 
Posons pour abréger 


082 (N — v,) — cos? N 
(14) : TN —4, 





ce qui donne 


cos(N—v)—cosNV1++#,, 
et nous pourrons écrire l’équation précédente comme il suit: 


po —(R+R)cosN V1+4, — 








V{e —R cos N)°+ R? co N.t, + V(o,—R, cos N) + R° cos N.4.. 


Développant les radicaux suivant les puissances de £,, on ramène tous 
les termes dans le premier membre; divisant par {,, on trouve: 


























ER? cos N es BR cos N PS RP 
p—Rcos N p, — À, cos N 1 
sense ta se’ “nl 
+ 5 re Rem + ER | 
he ia let olanet 0 die re ouate Dunes ie siennes 
Faisons pour abréger 

(5) p 2 Ra F = À, Pi LE gs F, 

et l’équation ci-dessus prendra la forme nivanies 

RX+RY+R+R —1(RX+RY+-R+R)E] À 


++ (RX+RI+R+R)H+... 


En répétant les mêmes opérations pour l’angle v,, qui correspond à 


— 155 — 


l'angle de la rotation À = 0,865 /, pour lequel la normale commune doit 
passer aussi par le point D et posant: 





2(N—0.)— cos? N 
(17) cos? ( me le cos —+,, 


nous obtenons l’équation 


RX+RY+-R+R—S-(RX+RY +R+R)t 
(18) k À 1 2 à 
++ (RX+RP+R+R) +... 


analogue à l’équation (16). 

Des équations (16) et (18) on déduit les valeurs de X et Y; en suite à 
l’aide des formules (15) on trouve les valeurs de 9 et p,, rayons des arcs de 
cercle formant les profils des dents. 


$ 11. Pour faciliter la résolution des équations (16) et (18) nous né- 
gligerons d’abord les termes contenant les puissances de #, et é, supérieures 
à la première. Nous aurons pour les valeurs approchées de X et Y les 
équations: 


RX+RY+R+R—T(RX+RY+R+R)h—=0, 
RX+RY+R+R—+(RX+RI+R+R)t—=0 
qui se réduisent aux équations suivantes: 


REX+RY+R+E, —=0, 
RX+RY+R+R —0. 


On déduit de la première 


| R ER 


Substituant cette valeur de Y dans la seconde on arrive à l’équation: 


EX'+R,(—+ X—7— 1)+R+R,—0, 


qui, les réductions faites, aura la forme: 


(R,— R) X°— 3RX?— 3 (R+R)X—R—2R, —0. 


— 156 — 


Cette équation a deux racines égales à — 1 et la troisième, qui est 
égale à 
ER Le un 2R, 
E, Er kA É 





Or, remarquant que d’après la première des formules (15) X ne peut 
devenir égal à — 1 que si le rayon p devient nul, on conclut que les ra- 
cines égales à — 1 ne sont pas admissibles dans notre problème; donc il 
faut prendre pour la valeur cherchée de X la racine 


R+2R, 
E,—R 4 





_ Substituant cette valeur de X dans l'équation (19) on trouve 





Telles sont les premières valeurs approchées de X et de Y. Pour les 
déterminer avec plus d’exactitude, posons: 


X = + pre 


R;, — : ? 


ne. 
[rites 





(20) 





où « et BG sont les quantités négligées dans la première approximation. 

Introduisant ces nouvelles valeurs de X et de Y dans les équations 
(16) et (18) et supprimant les termes, qui contiennent les puissances des. 
quantités &, 6, , é, supérieures à la première, on obtient: 











Ra+ RÉ [R(E) a R (Ge) la | 
Rat 
+5 CR (er (Rene l 

Ra + R,ÿ—* (R(ER) a+ ne) sl4 
=(. 

+ SR (ES) +2 (ET) +2 +2] 





Si l’on se borne à la première puissance de 4, et &, dans la détermi- 
nation des valeurs de «& et 5, les deux équations précédentes donnent immé-. 


diatement l’équation 
Ra+ Rp = 0. 


— 157 — 
Pour obtenir une seconde équation simple entre & et $ soustrayons 
l’une de l’autre les mêmes équations et, supprimant le facteur commun 


_ (é — t), nous aurons: 


ER +2R,\ RE) à 
FER) een) 


+ [2 (EE ) + R, (à +) + KR + R, | (é, + ét). 











Remplaçant dans cette éqiétion 


On à 








a((E)- Ne 


ER 
+ LR (Re) + À, ( +) +R+R 4 (é, + su 








d’où l’on tire 
R,(R+2R,)(R, +2R) 








re 2(R, —R} (é + to), 
et par suite 
R(R+92R)) (R, +22) 
p— TR — RP (+). 


En portant ces valeurs de « et BG, exactes jusqu’à la première puis- 
sance de é, et {, dans les formules (20), on obtient avec le même degré d’ap- 








proximation: 
x = res Us (, Eh 
rss Re ie 4) |. 
2(R 3 


$ 12. Substituant les valeurs trouvées de X et Y dans les formules 
(15), on aura pour la détermination des valeurs p et p, les équations sui- 
vantes: 








Ecos N __R+2R, [1 + + + t)] 
p—RcosN  R—R 3 
R, cos N = & [1 + pe +1) |. 


Si l’on se borne aux termes du premier ordre relativement à £, et é,, 
on en tire: 





3RR, cos N [1 — (R, + 28) (ti + to) 
F7 RER. MR | 


3RR, cos N [1 — (R + 2R;) (t1 + to) 
PTT Par CREER) 





— 158 — 


Quant à la valeur de la somme {, +4, qui entre dans ces formules, 
on remarque que les expressions (14) et (17), étant développées suivant les 
puissances de v, donnent avec approximation jusqu’à la deuxième puissance 


__2cos N.sin N 


UN, one ps = — en = 2tang Nu. 


he cos? N 
Mais d’après le $ 10 on a avec approximation jusqu’à la deuxième 


puissance de / 
v, = 0,365 K,l, v, = 0,865 Kl, 


donc avec la même approximation 
tt, —2(0,365 + 0,865) X,tang N.{ = 2,460 K, tang N.4, 


où d’après (6) 


Ep, — Re 
K, — 1 1 
1 R(b+0)) 


Si dans cette expression de X, on remplace 9 et 0, par leurs valeurs 
trouvées ci-dessus, on a avec approximation jusqu’à la première puissance de 
t, et 4, exclusivement 


et par suite 
___ 2,460 R—R; 
1+Fh = A 





tang N.I 


= 0,820 : tang N.1. 
1 





Substituant cette valeur de £, +4, dans les expressions des valeurs de 
e et », trouvées plus haut, nous obtenons 





= ur [140,187 RES tang N.1|, 





her FR; 
___3RR, cos N E +2R 
A RAR [1— 0,137 A l tang N.i|. 


Tels sont donc les rayons des arcs de cercle, dont l’un forme le pro- 
fil de la face de la dent de la roue C'et l’autre celui du flanc de la dent de 
roue C:. 


$ 13. Pour déterminer les longueurs de ces arcs, on a d’après le $ 8 
avec approximation jusqu’à /° 


© —=(K, +1) + Ki, 


— 159 — 


où w est la longueur de l'arc de cercle, profil de la face de la dent de la 
roue C;, supposant que le rayon de cet arc est pris pour l’unité, et les 
coefficients À; et K, d’après le $ 6 ont les valeurs suivantes: 





__ Ep, — Re, 
Br R, (o+p1)? 





è R—p0cos 
—Rcos N)(K, +1 +(R+R Ê N.K2+#- 
(o cos N)(K, +1}? +(R +-2R,) | cos + ee | 


K,— 2R,snN 





Remplaçant & et p, par leurs valeurs trouvées dans le $ 12, nous sup- 
primons les termes contenant, comme facteurs, /? dans l’expression de Æ, et 
t dans celle de X,; nous aurons ainsi: 


R+2R, 


Ki SR, 





(1—0, 137 en tang N. ) 


Kg — (&+ 22) (R; + 2R) 
Ep 18R,2 





tang N. 


Après la substitution de ces valeurs dans l’expression ci-dessus de w 
on obtient avec approximation jusqu’à 5 








ere [1 (eo 137) > Ne tang N./ | 1. 


Remplaçant dans cette formule © par — ©,, { par — _ l, R par R,, 
1 


e par p, et réciproquement on parvient d’après le $ 9 à la formule pour dé- 
terminer la longueur de l’arc de cercle, qui forme le profil du flanc de la 
dent de la roue C: 





_R+2R [1 — 


ET —(5—0,137) tang N./| 1à 


a, res 


où w, désigne la longueur de l’arc, son rayon étant pris pour l’unité. 
On en déduit que la somme 


+ @, 
est égale à 
R+R, u 
R; 
et le produit , 
2. ©) 


avec approximation jusqu’à /° se réduit à 


RcosN. 1-4 28) sin V./2. 
(l 


— 160 — 


Cette expression est la même que celle de la corde DE, ($ 8), qui ré- 
sulte de la formule 





DE = RcosN.l+R (+ 1) sin N.!, 


après la substitution de la valeur de w. On conclut de là, que dans le cas 
présent subsistent les propriétés que nous avons demontrées ($ 8, $ 9) pour 
le cas, où dans le choix des arcs de cercle formant le profil de l’engrenage 
il n’y a qu’une seule quantité dont on peut disposer pour diminuer les irré- 
gularités du mouvement. 


Nous avons vu dans le $ 9 que dans ce cas on peut modifier suivant 
les exigences de la pratique la direction de la normale commune aux dents 
qui sont en contact sur la ligne des centres, sans changer les positions choi- 
sies sur la circonférence DPP, (fig. 6) pour les extrémités des profils de la 
face de la dent de la roue C'et de la partie vive du flanc de la dent de la 
roue C;. Au contraire, dans le cas que nous examinons à présent la position 
de ces extrémités définit complétement la direction de la normale commune 
mentionnée, puisque d’après le $ 8 (fig. 5) on a: 


N=GDT=GDE + EDT = GDE+ 2. 


En portant l'expression connue de w, où o et p, doivent être rempla- 
cés par leurs valeurs, on trouve une équation, qui détermine l'angle N, si 
l'angle GDE est donné. Si l’on a égard à ce fait que c’est dans ce cas no- 
tamment que l’on obtient la plus grande régularité possible avec des engre- 
nages profilés en arcs de cercle, on conclura de ce qui précède que toutes 
les fois, lorsqu'on choisit la direction de la normale commune AB confor- 
mément aux exigences de la pratique, il faut chercher donner à cette nor- 
male la direction qui s’écarte le moins possible de celle que l'équation 
précédente fait connaître. 


Les valeurs trouvées de w et w, avec approximation jusqu’à / donnent 
uw, __R,+2R 
w 7 R+2R) 
or d’après le $ 8 (fig. 5) 
© = DAE = 2EDT, : 
o,= DBFè 2FDT, 





donc on a avec approximation jusqu’à la première puissance de L 


FDT __R,+2E 
EDIT +5 





— 161 — 


D'où il ressort que, si la normale commune aux dents en contact AB 
a la direction indiquée, leur tangente commune DT divisé l’arc EF en deux 
parties, qui sont entre elles dans le rapport 


E, +2R 
E+2R,? 


ce rapport étant exact jusqu’à la première puissance de /. 


On en déduit une construction géométrique très-simple pour détermi- 
ner approximativement la direction de la tangente DT, correspondant à 
celle de la normale AB, pour laquelle les irregularites du mouvement de 
l’engrenage considéré deviennent les moindres possibles. 

Remarquons pour terminer, que les angles que les cordes PD et P,D 
(fig. 5) font avec le diamètre passant par le point D ont pour valeurs appro- 
ximatives jusqu’à /?, respectivement: 


E+2kR,,; R+2R 
de oo À 





En comparant ces valeurs avec celles des angles 
FrDG= GDP, — 2, 


qui résultent des formules trouvées, on remarque qu’elles sont respective- 
ment égales avec approximation jusqu’à la deuxième puissance de /. On voit 
de là, qu’avec ce degré d’approximation le diamètre du cercle DPP,, pas- 
sant par le point D, fait avec les cordes DP et DP, des angles respecti- 
vement égaux à ceux, que la tangente DT aux arcs DE et DF doit faire 
avec le cordes DE et DF, pour que l’irregularité de la transmission du 
mouvement par l’engrenage soit réduite au minimum possible. 


11 





a 


SUR LES QUADRATURES, 


(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX, 1874, 
p. 19—34.) 


Lu au Congrès de l’Association française pour l’avancement des Sciences, à Lyon. 
Séance du 25 août 1873. 


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Le An arr eme Qi + : Pi : . 














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Sur les quadratures. 


1. Dans l’Ouvrage très-important que M. Hermite vient de publier 
sur l'Analyse mathématique, l’illustre géomètre donne une nouvelle formule 
pour évaluer approximativement la valeur de l’intégrale 





1 
LG) Gy, 
Vient 





Dans cette formule toutes les valeurs de la fonction (x) entrent avec un 
même coefficient; c’est ce qui apporte une différence essentielle entre la 
formule de M. Hermite et celle de Gauss, et ce qui en rend très-commode 
l'application numérique. L’utilité des formules approximatives de ce genre 
m'engage à présenter quelques réflexions sur la recherche de ces for- 
mules. 

Nous supposerons que, la fonction F(x) étant donnée, on cherche à 
exprimer le plus près possible les intégrales de la forme 


Î F(&) o(x) da, 


quelle que soit la fonction o (x), par la formule 


ko (&,) + o(æ) + .… +o(x,)], 


où 4, %,, %,,...4, sont des valeurs qui ne dépendent pas de la fonction 9 (x). 
Comme cette formule ne contient que » + 1 quantités #, x,,x,,...4, dont 
on puisse disposer, il est impossible de l’identifier avec la valeur de l’inté- 
grale , 


Î F@) o (x) dx 


— 166 — 


au delà des termes qui contiennent les » premières dérivées de la fonction 
(x), et, par conséquent, on aura 


(1) Î Fe) @ (2) de-k[e (c,)--9 (2)... (0) 1h PE (0), pt (0)... 


en designant par k,, 4,,... les coefficients de 9"*%(0), o"**?(0),... dans 
l'expression de la différence 


[Fe @ de —H[e()+ç() +... 0 (mc) 


que l’on trouve en développant, d’après la formule de Maclaurin, la fonc- 
tion o(x) sous le signe de l'intégrale et les valeurs o(x,) o(&,), ..., o(x,) 
qui sont hors ce signe. 


2. Pour trouver, d’après la formule (1), que l’on suppose possible, la. 
valeur du coefficient # et les valeurs %,, &,, ...,æ, de la variable x, nous 
remarquons que cette formule, dans le cas particulieur où 





pa—=——, 


z étant une quantité quelconque, se réduit à l'égalité 








[ 2 dr H( PLAN + = 


E—X 2—% Va. 2 —Xn 
1.2.3...(n+1)k,2 + 1.2.8...(n+9)k2 +4... 


où 4, k,,k,,...,%,,%,..., 2, sont des valeurs qui ne dépendent pas de z. 
D'autre part, en dénotant par f (#) le produit 


(2—x,) (—2)...(—2x,), 
on a 


Es ci eg yolp ani ae 
fe) 2-0 2—%x dis 2—Xn°? 





et, par suite, la formule précédente se réduit à celle-ci: 





+1 
F 4 1:39. M 122... k 
(2) [ 2 de = kO + : UE L + Et 24... 


{ UNIVERSITY |) 


CALIFORN\È 






— 167 — 


En multipliant cette formule par z et en remarquant que, pour z = co, les 
valeurs 











+1 
A] FO y = FE Gy, 
2— à 
La RAA 
—1 
UE "3 1 1 
FT yet z æ a ui 22 rl 
1— — 1— — | Pre 
z 2 z 
1.2.3...(n+1)k, 1.2.3... (n+2)k 
an F1 Ù an +2 ? 








sont respectivement égales à 
4-1 
[ F(x) da, NN 0 0 
ne | 


on parvient à cette égalité 
+1 


| F(x)dr =, 
Last : 
ce qui nous donne, pour la détermination du coefficient k, la formule sui- 


vante: 
+1 


k—=| F(x) dx. 


a 


8. Pour déterminer la fonction 


fa =(Ee—x,) (2 —2%)...(2—2,), 


nous remarquons que la formule (2), étant intégrée par rapport à z, nous 
donne 





? 


+1 

FA AE 28... 1)% 
Î Flog (e — x) de = log D — RE RE DR 
+ 


où C'est une constante, et de là on trouve 


1.2.3...nk, 1.2.8...(n—+1)k 
ken F1 M: ken +2 me 


f (2) Fa = 





1 H 
— $ F(x)log(z — x) dx 
k —1 


Comme la fonction cherchée 
(a) =(e— 2%) (2 —2)...(e—2%,) 


est de degré » et que l’expression 





1.2.3...nk, 1.2.8...(n—+1)k 
ken FI ur ken F2 me 


Ms 


ne différe de 1 que par les puissances de z inférieures à 2°", il est clair 


que la partie entière du premier membre de la formule trouvée est égale 
à la fonction f (2), et que, par conséquent, on aura 


+1 
$ F(x)log(z — x) dx 


ou 


(3) f (e)= CBe* se 


en désignant par Æ la partie entière de la fonction mise sous ce signe. Dans 
cette formule, la valeur de la constante #, comme nous l’avons vu, est don- 
née par l’équation 


1 

(4) k=-[ F(x) dx. 
Quant à la constante C, on trouvera aisément sa valeur en remarquant 
que le coefficient de z", dans la fonction cherchée, est égal à 1; mais nous 


n’insisterons pas sur la recherche de la valeur de cette constante, vu qu’elle 
peut être toujours supprimée sans modifier l’équation 


1 +1 
— $ F(x)log(z — x) dx 


f(e) = CEe” © = 0, 


dont les racines présentent les valeurs de x,, &,,..., æ, dans la formule en 
question 


+1 
| Fe) dr =h[o(x) + 9 (2) +. .+@(x,)]. 
4, Passant aux applications, nous ferons d’abord 
1 
bniemtt 
ce qui est le cas de M. Hermite, et où l’intégrale 
+1 
Î F(x) q(x) dx 
cer | 


se réduit à 


— 169 — 


Pour cette valeur de F(x), on trouve 











+1 sr sé 
Î Fa) log(e—) de =[ ER dr =r ne 
Le Le 


donc, d’après (4), 


T 
=; 


et, d’après (3), l'équation f(2)==0, qui détermine les valeurs de x,, &,,..., 
se réduit à 


n? 


2+V2—1 
DIE 


n 
Ee —0 mm LEE) = 0, 


résultat identique avec celui de M. Hermite, vu que la partie entière de la 
fonction 


2+Væ#—1\ 
2 
est égal à 
gn=1 COS (n arc cos 2). 


5. Pour montrer une autre application des formules que nous venons 
de donner, nous poserons maintenant 


r)= EX, 
ce qui est le cas où l’intégrale 


se réduit à 


intégrale pour laquelle Gauss a donné sa formule de quadrature. 
Comme on trouve 


[ d—2, Ÿ og (e — 2) de og ETES — 2 


1f—1 ? 


+1 
on conclut, d’après le n° 3, que la valeur approchée de l'intégrale [ o(x)dz 
—1 
sera donnée par la formule 


k[p(x,) + 0 (x,)+.. Se o(x,)|, 


— 170 — 


. 2 $ ; 
quand on fait ë — —, et que l’on prend pour +,, x,,..., x, les racines 


n 
de l’équation 


n (8 (2 +1 #1 2) n (241) 
TE LI 2 
Ee te. —=0 ou —— tt 
{ —1) ? 


équation qu’on peut mettre, par le développement en séries, sous la forme 
suivante : 


ñn n ñn 


7 2.88 4.62 6.78 ‘‘' 
(5) Es" e 0, 








6. En donnant à » les valeurs les plus simples, telles que 
h=2, 3, 4:05; 6 7, 


on trouve que, pour ces valeurs de #, l’équation (5) devient respectivement 


té 
3 ST 
2 RE Rai? 
? L 
RS TS rnis 
£ s +23 —=0, 
POSE PEER 
6 72 ? 
1 1 
6 4 3 LURER 
nn Ne à 106 — 0; 
fl 119 149 
GRR a CAE Vip  HÉLAN Er Et = 
F 6 . 560 ? 6480 ? 0, 


et, en resolvant ces équations, on obtient les systèmes suivants des valeurs 


de4,,4,,.:.,4;: 


n = 2. 
x, = —0,577350, 
t, = +0,577350; 


#==5,; 
a, = —0,707107, 
= 9, 


x, = + 0,707107; 


n = 4 
æ, = —0,794654, 
%, = — 0,187592, 


x, = + 0,187592, 
2, = + 0,794654; 


n—=0.. ” 
x, —= —0,832497, 
%, = —0,374541, 
%—= 0, 


a, = + 0,374541, 
2, — + 0,832497; 


= 0. 
4, = —0,866247, 
%a = — 0,422519, 
. & = — 0,266635, 


a, = + 0,266635, 
z, = +0,422519, 
x, = + 0,866247; 


ne 7, 
x, = — 0,883862, 
x, = — 0,529657, 
%3 = — 0,323912, 
æ,—= O0, 


x. = +0,323912, 
æ, = + 0,529657, 
x, = + 0,883862. 


— 172 —. 
Avec ces valeurs de x,, x,,..., x, , la formule 
_ [o (x) + pts) +... + o(x,)] 


donne l’expression approximative de l'intégrale 


qui, dans certains cas, est plus commode pour les applications que ne l’est celle 
de Gauss; car, dans cette dernière formule, les valeurs o (x,),o(x,),.…, p(x,) 
entrent munies de divers coefficients. Comme notre expression de l’inté- 


grale | 9 (x) dx n’est exacte que jusqu’aux termes en 9 "#1 (0), **2 (0)... 
on devra y prendre, en général, plus de termes que dans la formule de 
Gauss. Néanmoins, dans le cas où les ne à de p(z,), p(æ&), ..., o(x,), 
d'aprés lesquelles on détermine l’intégrale ke o (x) dx, sont affectées d'erreurs 


inconnues, notablement plus grandes que colle qui résulte des termes rejetés, 
la formule approchée que nous venons de trouver doit être préférée à celle 
de Gauss même par rapport au degré de précision, vu que, dans cette for- 
mule approchée, la somme des carrés de coefficients, à cause de leur égalité, 
a la plus petite valeur possible. 


7. Revenant au cas résolu par M. Hermite, nous remarquons que 
l'intégrale 


_e@. 
V1 x — x? da 





pour æ — cos 0 se réduit à 


T 
[ + (cos 8) db; 
0 


donc la formule donnée par lui peut avoir des applications trés-utiles dans 
la recherche des valeurs approchées du premier terme du développement de 


(cos Ü) en série 
À, + À, cos 0 + 4, cos 20 +... 


Pour trouver une expression pareille du coefficient À,, on devrait faire, 
dans les formules du n° 3 





F' (x) = 





Vi?" 


+ 
Or, pour cette valeur de F'(x), l’intégrale { F(x) dx, qui entre dans 
1 


les formules du n° 3, se réduit à zéro, ce qui fait voir clairement que, pour 


— 173 — 


le cas en question, ces formules ne sont pas applicables. Nous allons mon- 
trer le parti qu’on peut cependant tirer, dans ce cas, de la méthode exposée 
plus haut. 

En remplaçant, dans l’intégrale 


la fonction œ(x) par son développement en série 


0 æ” (0 "(0 
AO CPE OPEL E ES 


le terme du résultat qui contient (0) s’annule toutes les fois que l’in- 
+1 

tégrale | F(x)dzx est égale à zéro; mais il n’en est plus ainsi, évidemment, 
1 


de son expression sous la forme 


k|9 (m) + p(t)+...+œ (x,)] 


à moins qu’on ne prenne, dans cette formule, la moitié des termes avec le 
signe —, Nous allons donc chercher à exprimer la valeur approchée de l’inté- 
grale 


dans la supposition de 


par la formule 


k [o (æ,) Se P (La) Prsir o(x,,) THE ? (&,,.) FETE ? (e,.,.)— FATE ES (x...) 
où il y a » termes avec le signe + et » termes avec le signe —. 
8. Comme, dans la formule 


ko()+o(m)+...+o(x,)—0o(x,,,)—9(2,,,)—...—09(x2,)], 


y A 2m VAIOUES, SAVOIT: À, 2, 0, ..., 2, D ar Dar : c : à Tan 
dont on peut disposer, et que par sa composition, le terme en @(0) s’an- 


+1 
nule, on peut identifier cette formule avec l'intégrale [ F(x)(x) dx 
1 


jusqu’aux termes qui contiennent les 2»m+-1 premières dérivées de o(x), ce 
qui nous donne l’équation 


ÎF (x) o(x)dx—k [p(x) +9 (x). + Q(T,,)—9 LR eue (Tao) —9 (Zm)] 
+ k, LEO) + k, DATE (0) +... 


— 174 — 


En suivant la même marche que dans les n*® 2, 3, nous trouverons, 
d’après cette équation, les valeurs des quantités k, &,,x,,...,4,,. En 
effet, posant 





9 (x) — —, 


l'équation précédente se réduit à celle-ci: 


= 














T F(x) 1 1 1 1 1 1 
Aie ) TZ Fe on re Ca Er ane 7 
[4 4 #( —n 3 TT 2m 2 Tmtri 2—Xm+2 ic) 
1.2.3...(2m+2)4 . 1.2.3...(2m—+3)k, 
Z2MmF3 ne 22m F4 ms 





Faisant ensuite 
he) =(2—%) (2—2)...(e—2x,), 


é (2) = _—_ Cu Von ) (e nas ui RUE. (& Mr Lim) 


et remarquant que, pour ces valeurs de f, (4), f, (2), on a 

















(2 Fr. 1 1 
bE _ + + ——, 
Jo (2) Z—%; Z — Lo 2 — Lm 

(2 1 1 1 
ñ@ — + +... + ; 
Ji ( 2 —Lm+1 2 —Lm+2 Le 


on peut mettre l’équation sous la forme suivante: 














+1 
F(x) Me Jo (2) (2m + 2)4, 
fais —$ lea Es 
1.2.3... (2m<+3)ko 
+ RFA ne PES 
d’où, en intégrant par rapport à z, on tire 
; F (x) log (2— x) de = log LE  — De = JL 


1.2.8... (2m<+2)k 
22Mm+3 





La constante introduite par l’intégration se réduit à zéro, vu que tous 
les termes s’annulent pour z — co 
D’après cette équation et en faisant, pour abréger, 


1.2.38...(2m+1)k, __ 1.2.8...(2m+2)ke 
k = L,, ke — L,, 








— 175 — 


on trouve 
l'+1 
= L, 2722 I, 328... FT $ F{(x)log(z — x) dx 
—1 


Jo (2) : RL 


_ Les fonctions f, (2), fi (2) ) étant de même degré, la fraction 5e Fe est du 


degré zéro; de plus, l’expression 


SE L, g72m—2 —L, gT2Mm—3 Fra 


ne diffère de 1 que par les puissances de z inférieures à z 7°"; 
fo(e) 


séquent, l’équation trouvée nous montre que la fraction 7. 2e diffère de 
1 


: par con- 


l’expression 
1 +1 
—$ F(x)log(z — x) dx 
k +1 
e 


que par les termes qui renferment les puissances de z moins élevées que 
: : : : 1 

3—2m—1 et, par suite, moins élevées que le degré de la fraction op Car 
1 

la fonction f, (z), comme nous l’avons vu, n’est que du degré m. Mais, on le 


sait, la fraction 2e ne peut donner une valeur approchée d’une fonction 


quelconque exacte jusqu’à l’ordre de [ F OP à moins qu’elle ne soit l’une 
des fractions convergentes qu’on trouve par le développement en fraction 
continue, et que le quotient complet, correspondant à cette fraction conver- 
gente, ne soit dépourvu du terme en — En partant de là, il est aisé de 
trouver et la constante k et les fonctions f(z), f.(+), qui déterminent les 
valeurs de 2, %,,...,4 4 %,n- À cet effet, on déve- 
loppera l’expression 


m) " m+1? Ton ete 4 


1 +1 
+: F(x) log (z — x) dx 
—] ÿ 
€ 


en fraction continue, en s’arrêtant au quotient qui correspond à une fraction 
convergente dont les termes sont du degré ». Égalant à zéro le coefficient 
de _ dans l'expression complète de ce quotient, on aura l'équation qui dé- 
terminera la valeur de Ja constante k#, et, en mettant la valeur de k ainsi 
déterminée dans deux termes de la fraction convergente, on aura les fonc- 
tions cherchées f, (2), fi (2). 

9, Pour montrer, sur un exemple, l’usage de ce que nous venons 
d'exposer, supposons qu’il s’agisse de trouver l’expression approximative de 
l'intégrale 


— 176 — 
Pour cela on posera, dans les formules du numéro précédent, 
FX) = 2. 


Pour cétte valeur de F(x), on obtient 





+1 +1 
Î F(x)log(s— x) dx = | æ log (2— a) dx = log; 
Gest à muad ‘ 


PT 


1 1, +1 ss 
True DTA 10 = er 





(9 — € 


En développant la dernière expression en fraction continue, on trouve 


que le quotient complet, correspondant à une fraction convergente dont les 
termes sont du premier degré, est égal à 


Bke+1— (5h) + . 
et que cette fraction est égale à 


3kz — 1 
8kz + 1? 


d’où nous concluons que, dans l’expression approximative de l’intégrale 


par la formule 
k [? (&)— 9? (æ,)] 
on doit prendre, pour k, une racine de l’équation 
_ k — = = 0, 
et, pour x,, %,, respectivement, les racines des équations 
3k32—1—0, 3k24+1—=0. 


On trouve ainsi deux valeurs de k: 


5 5 
k=+V, k=—V; 


et deux systèmes des valeurs de z,, x, : 


— 177 — 


mais de ces doubles valeurs de 4, x, x,, il ne résulte évidemment qu’une 
seule valeur de l’expression cherchée, savoir: 


EL VD-e(-V5] 


Pour trouver une expression approximative à quatre termes de l’in- 
tégrale 


on prendra le quotient de la même fraction continue qui correspond à la 
fraction convergente dont les termes sont du second degré. Comme la valeur 
complète de ce quotient s’exprime par la série 


5832 k4 — 945 k2 + 35 & 


es 
10542 TE" Et hs 4 





et qu’il correspond à la fraction convergente 


270 ke? 22 — 90 ke + 10 — 54 K? 
270 &2 22 +- 90 kz + 10 — 54 K2? 





on trouvera les valeurs de la constante Æ et de x, æ,, %, 4, par les 
équations 
5832 k4— 945 K+ 35 — 0, 


270 k? 22 — 90 ke + 10 — 544? — 0, 
270 &? 8? + 90 ke + 10 — 54 42 = 0. 


En les résolvant, on parvient à ces deux expressions approximatives 
de l’intégrale en question 


0,23937[p(0,89224)+@(0,50030)—9(—0,50030)—p(—0,89224)], 
et 
0,32363 [p (0,84905)+@(0,18093) — © (—0,18093)—œp(—0,84905)]. 
10. En passant à la recherche des expressions approximatives de 
l'intégrale 


uv, 


T 
“A 
J cos Op (cos 0) dû ou Î 7? (x) dx, 


se | 


— 178 — 


nous poserons dans nos formules 


1 — x? 





Pour cette valeur de F(x) on obtient 





+1 . FRS RER 
[ F(x) log (2 — x) dx = [ —— log (2— x) dx = —r(3— V2 —1), 
has | a | 


LT FEI d La vai 
PE (x) log (2 — x) dx et 2— 1) 
€ = € 


Développant la dernière expression en fraction continue, on trouve les 
fractions convergentes 


4kz — 7 48k222 — 19kxz + n°? — 12K? 
Akon’ A8k222 + 124nc + n2 — 19k2° ° ‘ ‘? 





qui correspondent aux quotients complets 


720k4— 6GOn2k2+ nt 1 


1242 — nr? —.—$ k 
20(2—7)%  & °°"? 


12% 





Akz + x — 





he lie 
&£ 


d’où, d’après le n° 8: 1°, pour la détermination de k, x,, æ, dans l’expres- 
sion approximative de l’intégrale 


T 
[ cos 0 © (cos 0) dû 
: 0 


par la formule 


k [9 (a) — + @)] 
résultent ces équations 


19k#—rm—0, A4kz—m—0, 4ke+nx—0; 


et 2°, pour la détermination d’une expression semblable à quatre termes, 


les équations 
720 k4— 60 r°k? + 7 — 0, 


AS 28 — 19kne+m — 124 — 0, 
48 2 22 + 192 knz + r°— 12 — 0. 


Les expressions approximatives de l'intégrale 


T 
Î cos 0 o (cos 0) db, 
0 


— 179 — 


que l’on obtient d’après ces équations, se réduisent à celles qui suivent: 


Fa 0 p (cos 9) = 7e {p (cos 0,) — p[cos (x +-0,)]}, 


T 
2! cos 0 (cos 0) dû — 
0 


_0,151765% {p(cos 0,) +- æ (cos 0,) — p[cos (x + 0,)] — p[cos(x + 0,)]}, 


où 
D e00, mi Las") 


On trouverait des expressions plus approchées de l'intégrale 
ur 
Î cos 0 © (cos 6) dB, 
0 


en prenant plus de termes dans la formule 
k [o (x) si P (x) ONE RO dE 9 (x) RES ® (2,1) — P Gi) MRC UT ET P (&,m)]: 


Nous n’insisterons pas sur la recherche de ces formules; nous re- 
marquerons seulement que, en remplaçant dans toutes ces formules les ter- 
mes de la forme ® (cos 0,) par 


Loan) 


où / est un nombre entier, on obtient les expressions approximatives de 
l'intégrale 








ie 
[ cos 79 o(cos 0) d0. 
0 


Aïnsi, en partant des formnles précédentes, qui donnent les valeurs 
approchées, à deux et quatre termes, de l’intégrale 


T 
| cos 0 @ (cos 0) d6, 
0 
on passerait aux expressions approximatives à 2/ et 47 termes de l’intégrale 


Re | 
[ cos {0 p(cos 6) db, 
0 





*) Hormis cette expression, il existe une autre aussi aux quatres termes, où 
k = 0,245562 x, 0, = 240, 0, = 840, 


12* 


— 180 — 


expressions qui peuvent être présentées ainsi: 


u=2 


Ai 2 Co: 2 (cos Se) 


De >: (— 1} Le (cos + ru) Le (cos re) |, 


où les signes de sommations s'étendent à mu — 0, 1, 2,..., 2/— 1. 





40, 


SUR 


LES VALEURS LIMITES DES INTÉGRALES. 


(Liouville. Journal de mathématiques pures et appliquées. II série, T. XIX, 1874, 
p. 157—160.) 


Lu au Congrès de l’Association française pour l’avancement des Sciences, à Lyon. 
Séance du 27 août 1873. 


er 


is 


Ré 


HS 


Le 


de 


Ne 





Sur les valeurs limites des intégrales. 


Dans un Mémoire très-intéressant, sous plus d’un rapport, que M. Bien- 
aymé a lu à l’Académie des Sciences, en 1833, et que l’on trouve imprimé 
dans les Comptes rendus, et reproduit dans le Journal de Mathématiques 
pures et appliquées de M. Liouville (2-e série, t. XIT, 1867), sous le titre: 
Considérations à l'appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabi- 
lité dans la méthode des moindres carrés, l’illustre savant donne une méthode 
qui mérite une attention toute particulière. 

Cette méthode consiste dans la détermination de la valeur limite de l’in- 


tégrale 
a 
] f(x) dx 
0 


d’après les valeurs des intégrales 


A 


| re dx, | x f(x) dx, [+ f(a) ni: 


vo 0 


où À > a et f(x) une fonction inconnue, assujettie seulement à la condition 
de garder le signe + entre les limites d'intégration. La démonstration simple 
et rigoureuse de la loi de Bernoulli, que l’on trouve dans ma Note sous le 
titre: Des valeurs moyennes *), n’est qu’un des résultats que l’on tire aisé- 
ment de la méthode de M. Bienaymé, et d’aprés laquelle il est parvenu lui- 
même à démontrer une proposition sur les probabitités, d’où la loi de Ber- 
noulli découle directement. 

En cherchant à tirer tout le parti possible sur les valeurs limites de 


l'intégrale 
b 
] f(x) dx 
a 





T. I, p. 687— 694. 


— 184 — 


des valeurs des intégrales 


B 


ro as Î «re ar, ] # re an, [a ro a, 


où l’on a 
id. Hr0 


et où f(x) reste positive, je suis parvenu à reconnaître que ces recherches 
conduisent à des théorèmes d’un nouveau genre, concernant le développe- 


ment de l’expression 
B 


| f(x) dx 
Z—x 
A 


en fraction continue, qui joue un si grand rôle dans la théorie des séries. 
Voici, par exemple, un de ces théorèmes: 


Si _e est une des fractions convergentes de 


B 
z2—x ? 
A 


que l’on trouve en développant cette expression en fraction continue 





/ 


1 





42 + 8 + : 





SHELL DEP TT ET EAN 
el que 


de oies 


soient les racines de l'équation 
ÿ(a)= 0, 


rangées suivant leur grandeur: toutes les fois que la fonction f(x) reste 
positive entre les limites x — À, x — B, la valeur de l'intégrale 


ên 
f(x) dx 
#l 
surpasse la somme 
p (2141) ? (2742) a a P(Zn—2) P(En—1) 








Ÿ’ (2141) Ÿ (2142) ie à Ÿ' (n —2) si Ÿ’ (2n—1) 


— 185 — 
et reste au-dessous de celle-ci: 


g(21) ® (2141) ? (2n—1) ? (Zn) 
d'en D'un "Yen D  Ÿ En) 








Comme exemple des problèmes qu’on parvient à résoudre par cette 
méthode, je citerai celui-ci: 

Étant donnés la longueur, le poids, le lieu du centre de gravité et le 
moment d'inertie d’une droite matérielle de densité inconnue et variable 
d’un point à l’autre, trouver les limites les plus proches du poids d’un : 
tronçon de cette droite. 

En supposant qu’il s'agisse d'évaluer le poids d’un tronçon de la ligne 
compté d’un de ses bouts, dont la distance du centre de gravité est égale 
à d, et en désignant par !, p la longueur et le poids de la ligne entière, 
par 4 son moment d'inertie autour de l’axe passant par son centre de gra- 
vité et perpendiculaire à celle, par +, z la longueur et le poids du tronçon 
en question, on parvient à cette solution: 

Tant que x est au-dessous de 


k 
: a {— d)p? 
le poids z reste compris entre 
kp : 
D M Hope 
dans le cas où x surpasse 
k 
d +- D 
ce poids reste entre les limites 
d—x}?p?., 
PO Gp 


enfin, si x reste compris entre 


k k 
î—dp et d+ 


d — 


la valeur de ce poids est comprise entre les quantités 


@—D(—-Dp+k à (da (— dpt 
Ta < TU —%) « 








nee, 


S des 





44, 


SUR LES FONCTIONS 
QUI DIFFÉRENT LE MOINS POSSIBLE DE ZÉRO. 


(XRADUXT PAR M. N. XKHANXKOF.) 


(Liou ville. Journal des mathématiques pures et appliquées. IT série, T. XIX, 1874, 
p. 319—846.) 


© hynhuiaxe, nauncHre yhaonmoumuxor OM HYAA. 


(UHpuroxenie x5 XXII romy Sanucoxe Huneparopcroï Araremiux Hayxe, N 1, 1878 r., 
ctp. 1—32.) 


(Uuraxo 8H 3achxaniu Pusuko-Maremaruxecxkaro Orxbreuis 28 xox6pa 1872 r.) 





Sur les fonctions qui diffèrent le moins pos- 
sible de zéro. 


1. J’ai montré, dans le Mémoire Sur les fonctions semblables à celles 
de Legendre*), comment le procédé que ce géomètre a employé **) pour éta- 
blir la propriété fondamentale des fonctions connues sous son nom pouvait être 
étendue à d’autres fonctions, plus compliquées, qu’on obtient en développant 
l'expression 


(1 ps + VT— 2er + 52) (1—s-+V1—257+ 52)" 


V1 — 25% + 82 





en une série de la forme 
T+Ts+Ts+...... 


Jacobi, dans son Mémoire intitulé: Untersuchungen über die Differen- 
tialgleichung der hypergeometrischen Reihe***), déduit la même propriété 
des fonctions ° 

1 4: ns: 


à l’aide d’une équation différentielle à laquelle on satisfait au moyen de sé- 
ries hypergéométriques. 
Je me propose ici d'appliquer ces fonctions à une recherche qui mon- 
trera plus clairement encore leur rapport intime aux fonctions de Legendre. 
Cette application consiste à déterminer les polynômes de la forme 


2 


g'+A,2" + A2 *+....+4, _.2z+4,, 


qui, sans cesser de croître ou de décroître constamment entre des limites 
données, diffèrent aussi peu que possible de zéro. Les polynômes de cette 





*) T. IL, p. 61—68. 
**) Exercices du Calcul intégral, t. II, p. 250. 
*#*) Jacobi, Mathematische Werke. Band. III. 


— 190 — 


espèce, comme nous le verrons, s'expriment à l’aide des fonctions de Le- 
gendre uniquement dans le cas où #», le degré du polynôme, est un nombre 
impair, et le polynôme lui-même est une fonction croissante. Dans tous les 
autres cas, la détermination de ces polynômes exige l’emploi d’autres fonc- 
tions que nous venons de désigner par T5, T,, T,,... et que l’on obtient 
en développant en série l’expression 


(is VT—326x + 5) (1—5+V1— 9287 + si)" 
V1 — 2sx + s? 





pour des valeurs de À et 1 différentes de zéro. Les polynômes déterminés 
de cette façon trouvent une application utile dans les recherches de l’Ana- 
lyse pure, comme dans les questions de Mécanique pratique, ainsi que nous 
l'avons montré dans notre Communication du 22 août 1871, faite à Kiev 
lors de la troisième réunion des naturalistes russes, de même que dans notre 
article sur le Régulateur centrifuge, imprimé à la suite du compte rendu de 
de l’École technique de Moscou pour l’année 1871. 


2. Pour simplifier les formules, nous supposerons que les limites des 
valeurs de la variable x sont réduites à — 1 et + 1 (ce qu’il est toujours 
facile de réaliser). 

En désignant par F (x) le polynôme 


2 


+ A2" +4,2" "+....+4, ,4+4, 


nous ferons remarquer que l’une des conditions de notre problème impose à 
la fonction F (x) d’être constamment croissante, ou constamment décrois- 
sante, depuis æ — — 1 jusqu’à x == + 1, de sorte que sa dérivée pre- 
mière 

F'(x) 
doit conserver toujours le même signe entre ces limites; par conséquent, les 


valeurs primitives 
F(=1, ‘ F1), 


qui correspondent aux valeurs 
x —= — ], æ = + 1], 


représenteront les limites entre lesquelles la fonction F (x) variera dans le 
passage de & = — 1 à x — + 1. Pour que le polynôme F (x) puisse dif- 
férer aussi peu que possible de zéro, en passant de F(—1) à F (+1), il 
faut que le plus grand des nombres 


FD" FD 


— 191 — 


soit, en valeur numérique, aussi petit que possible et qu’il ne puisse deve- 
nir moindre par aucune variation du polynôme F (x), compatible avec les 
conditions de la question, qui déterminent le degré et la forme du polynôme 


F(a)=2" "+14," "+4,2" ‘+....+14, +4, 


ainsi que le signe de sa dérivée F”(x). 
Il est facile de voir que le polynôme cherché doit être tel que l’on ait 
l'égalité : 
F(+1)=—F(— 1). 


En effet, si cette égalité n’a pas lieu, nous n’aurons qu’à retrancher de 


F(x) 


la quantité constante 


F(+1)+F(—1) 
2 2? 





ce qui, évidemment, ne change ni la forme du polynôme F(x), ni la valeur 
de sa dérivée, et nous obtenons, au lieu des limites anciennes, 


F(— 1), F(+ 1) 


deux nouvelles valeurs que voici: 


F(+1)+F(—1)  F(—1)—F(+1) 
77 2 Se 2 y 





F(:-1) 


Fete D FC FEN, 





2 


C2 


En comparant les carrés de ces quantités avec la moyenne arithmétique des 
carrés de 
nous verrons que 








(Es ie F(— j = Ée D F(+ Dj (+ ir «- de Honnr 


D'où il résulte que le carré des nouvelles limites 








FN F(- 01 F(—1)—F(+1) 
2 : 2 


sera inférieur au plus grand des carrés 


Pt 1), | Ce 1), 


— 192 — 


et que, par suite, les nouvelles limites seront inférieures, en valeur numé- 
que, à la plus grande des anciennes limites. Ainsi nous sommes conduits à 
admettre que, dans la question qui nous occupe, tous les polynômes cher- 
chés doivent satisfaire à l’égalité c 


F(+1)=—F(—1). 


Cette égalité nous donne donc les moyens de trouver la valeur des po- 
lynômes que nous examinons, à l’aide de la valeur de leur dérivée. 
En effet, représentons le polynôme F(x) par l'intégrale | 


F'(x) = fr (x) dx + C 


et mettons cette expression dans l'égalité trouvée ci-dessus, nous obtenons, 
pour déterminer la constante C, l'équation que voici: 


+1 
Jr (x) dx + C=—C. 
gs | 
D'où l’on tire 
+1 
C— —i|r (x)da, 


mrre 
En mettant cette valeur de C dans l’expression de F(x), on a 


+ 1 


(1) F(x) fre x — ir (x)dx. 

in 
En déterminant les valeurs limites du polynôme F(x) correspondant à 
x = + 1, nous trouverons qu’elles sont égales à l’intégrale 


+1 
ACL 


| 


prise avec le signe + ou avec le signe — . II s’ensuit, de plus, que la plus 
grande valeur des polynômes que nous avons en vue sera égale à la valeur 
numérique de l’integrale 


+1 


iÎF (x) dx. 


aus À 


— 193 — 
3. Passant à la détermination de la dérivée 
F'(x), 


nous ferons observer que, comme nous l’avons dit, c’est une propriété des 
polynômes que nous considérons d’avoir une dérivée première qui ne change 
pas de signe entre x = — 1 et 4 — +- 1; donc non-seulement toutes les ra- 


cines de l’équation 
F'{9) = 0, 
comprises entre les limites 


æ—=— 1, x —= + 1, 


doivent être multiples, mais le degré de leur multiplicité doit s’exprimer en 
nombres pairs. 
Or, désignons par 


Lis gypse m 


toutes les racines de l’equation 
F'(x) = 0, 


supérieures à — 1 et inférieures à + 1, par 


D Me 


m 
les degrés de multiplicité de ces racines, et supposons, comme cela est per- 
mis, que l’équation 


F'(x)—0 


ait À racines égales à + 1, et À, racines égales à — 1; nous allons prou- 
ver que la somme 


1+h+2k +2 +....+2À,, 
qui représente le nombre des racines de l’équation 

à (x) =0, 
ne dépassant pas les limites 


æ—= — ], G—= + 1, 


ne saurait être inférieure à » — 1, ou au degré de cette équation. 
Pour nous en convaincre, admettons le contraire, c’est-à-dire posons 


(2) Â1+h+2k +2 +... +2X, <n—1, 
13 


— 194 — 


et prouvons que dans cette hypothèse il est toujours possible de faire varier 
le polynôme F(x) sans déranger ni sa forme, ni le signe de sa dérivée F’(x) 
entre les limites x — — 1 et x — + 1, mais de manière à diminuer la 


valeur de l'intégrale 
+1 


". 
AE - (x) dæx, 
— 1 
qui détermine la limite de l’écart entre le polynôme cherché et zéro. 


Pour le faire voir, nous observerons que, d’après ce que nous venons 
de dire, l’équation 
F'(x) = 0, 
et la suivante 


(@—1) (@+ 1} (x — a) (x — a)... (x— a jm 0 


auront, entre les valeurs limites 4 — — 1 et x — +- 1, les mêmes racines 
et avec les mêmes degrés de multiplicité, et, par suite, le rapport 


F"(x) 
Ce — 1) (+ 10 (x — 0) ( — 0)... (x — um) m 





ne changera pas de signe entre æ — — 1 et x — + 1 et sera compris en- 
tre deux quantités distinctes de zéro. Désignons par L, la plus petite de ces 
quantités en valeur numérique, et remarquons que la différence 





F"'(x) LL 


(x —— 1} (x . 1)> (x — a)" (x — a). on (x — am)" Re 


pour toutes les valeurs de x inférieures à + 1 et supérieures à — 1, aura 
le même signe que le rapport 
(x _— 1) (x + 1) (x — a) (x — a), ds (x — am)" 





et qu’elle lui sera inférieure par sa valeur numérique. La même chose, évi- 
demment, aura lieu pour les expressions 


F'(a)— L, (& — 1) (@ +1) (c— a)" (m— a)... (m— a )m, 
F'(x), 
qu’on déduit des précédentes en les multipliant par 


C@—1) @+1)} (&—a)" (x — a)... (x— a), 


— 195 — 
d’où il est clair qu’en soustrayant de F’(x) l’expression 
L,(@ — 1} (œ+ 1) (x— a)" (x— a)... (m— a)", 


nous ne cessons pas de satisfaire à la condition de conserver le même signe 
à F’(x) entre les limites æ — + 1; mais nous. diminuons par là la valeur 


absolue de l’intégrale 
+1 


IEC dæ, 


ES | 


qui détermine la limite de l’écart entre le polÿnôme cherché et zéro. 
Quant à la forme du polynôme 


F(x)=2"+14,2 '+4,x *+....+4,_1t+4AÀ,, 


après avoir fait subir à F’(x) la transformation ci-dessus indiquée, elle re- 
stera la même, car, d’après l'inégalité (2), l’expression 


L,(@— 1) (&+ 1} (x — a ju (r— a), (x — œ, jm 


ne contiendra pas de puissances de x, supérieures tout au plus à n — 2. 

Nous voyons ainsi qu’en admettant la possibilité de l’inégalité (2) on 
peut rendre le polynôme (x) plus approché de zéro, en lui conservant, con- 
formément aux conditions de la question, la forme 


gd + An + An *+....+4,_ 2+AÀ, 


et sans faire varier le signe de sa dérivée première entre les limites 4 — — 1 
et x —= + I. 

Or cette conclusion est absurde, puisque, par hypothèse, Le polynôme 
en question est celui qui diffère le moins possible de zéro, entre les limites 
—=—]letx—+ 1. 

En observant que cette inégalité, dont le côté gauche est le nombre 
des racines de l’équation 

F'(x) = 0, 


comprises entre les limites 4 — — 1 et x — +- 1, et la partie droite le 
degré n — 1 de cette équation, ne peut avoir lieu, non plus, avec un signe 
d’inégalité contraire au premier, nous sommes conduits à admettre l'égalité 


A++ +22,+.... +2), —=n—|]l; 
13* 


— 196 — 
d’où il résulte que toutes les » — 1 racines de l’équation 
| F'(x) = 0 
lui seront communes avec l’équation 
GG — 1) (+ 1)" (a) (a)... (m — a, )m — 0, 
et qu’ainsi l’on à 
F'(x) = C(x— 1) (+ 1)(c—0o) (x — a). ...(@—a jm, 


où C'est un facteur constant. 


Pour trouver la valeur de ce facteur, nous observons que, le polynôme 
cherché étant de la forme 


a+ Aa + A,2" +....+ À, _.2%+2À,, 


sa dérivée sera 


F(a)=ne" "+ (n—1)4,0 + (0 — 2) Aa oh 4, 
ce qui, re à l'expression ci-dessus de F”(x), nous donne 
n = C. 
Par conséquent, 7” (x) D être représentée par la formule que voici: 
Fh=n(—1)@+1)(r—a)@—e)... (G— ae. 
Si maintenant on désigne par | 


4 
es quotients, et par 


Pa::. Po 
les restes qu’on obtient en divisant les exposants 
À, ho 
par 2, cette égalité pourra être mise sous la forme 
F'(@)=n (a 1) (ee 1) [Ge 19 a+ 18 a) (aa ea de, 


ou bien 
(3) | F'(x) —= n (x — 1}? (x +- 1}. U?, 


— 197 — 


U étant un polynôme donné par la formule 
G— 1 Ge 1j (ao — a). (o— a = D. 


4. Les nombres o et p, de la formule (3) étant les restes de la division 
de À et À, par 2, ils ne peuvent avoir que les valeurs 


CRE à 


et il est très-aisé de voir, dans chaque cas particulier, d’après la forme du 
nombre », degré du polynôme cherché ÆF(x), et d’après le signe de sa 
dérivée première F’(x), entre 3——1 et æ— + 1, lequel de ces deux 
nombres doit être adopté pour o et dans l'expression de F’(x) par la for- 
mule (3) 
| F'(x)—=n(x—1} (x + 1}° U?. 


En effet, si n, degré du polynôme 


F(a&)=2" + An" "+ A2 *+....+4,_%+A 


1 n? 


est un nombre impair, sa dérivée F’(x) sera de degré pair, et dans ce cas 
l'égalité (3), où U? est aussi une fonction de degré pair, indique que le 
facteur 

(x — 1} (x + 1) 


doit aussi être une fonction de degré pair; mais comme il n’est possible de 
satisfaire à cette condition, ni dans l’hypothèse de 


ni dans celle de 


on est forcé d’admettre que, dans ce cas, on aura ou 


p—0 et po—= 0, 
ou bien 
p—=1l et po—=]l. 


Pour décider lequel de ces deux systèmes de valeurs de p et p, doit 
être adopté, nous observerons que le premier nous donne, d’après la formule 
(3), l'expression | 
F'(x) = n U?, 


— 198 — 


et le second 
F'(x) = n(x— 1) (x+ 1) U?, 


et qu’ainsi, la variable x demeurant comprise entre — 1 et +- 1, dans le 
premier cas, F’(x) aura une valeur positive, et que, dans le second cas, elle 
aura une valeur négative. De cette façon, il est clair que les valeurs 


p—=0 et p—0 


doivent être adoptées dans le cas, où F(x) sera une fonction constamment 
croissante entre les limites 3— — 1 et 4 — + 1, et les valeurs 


p—1l et p,—=lI, 


dans le cas, où F(x) sera une fonction constamment décroisante. 

Passant à la considération du cas où » est pair, nous observerons que, 
dans cette hypothèse, le degré de la dérivée première de F(x) sera impair, 
et, par suite, pour satisfaire à l’égalité (3), nous devons assigner à o et p, 
les valeurs que voici: ou bien 

Ë ne p=0, p=]1, 
ou vice versû 
p=1l, p, = 0. 


Or, comme pour ces valeurs de p et e la formule (3) devient respecti- 
vement 


F'(x) —n(x + 1) U? 
F'(x)—n(x—1)U?, 
et que la première de ces deux expression reste constamment positive depuis 


x — — 1 jusqu’à z— + 1, et la seconde constamment négative pour les 
mêmes valeurs de x, nous concluons que, dans le cas de »n pair, on a 


p—0 et p, = 1, 


si F(x) est un polynôme toujours croissant, depuis 4——1 jusqu’à 
x = +1, et 
p—=1l et pp —0, 


quand F'(x) décroîtra constamment entre les mêmes limites. 

5. Pour déterminer le polynôme U, qui figure dans l’expression ci-des- 
sus de F’(x), nous ferons remarquer que, d’après le n° 3, ce polynôme est 
un produit de la forme 


(œ— 1) (x+1)%(x— a)" (r— 0)... .(@— x Jim; 


— 199 — 
par conséquent, il a toujours la forme 
Ua + Ba + Ba t+....+B, %+B,, 


et la valeur du degré Z s’obtient à l’aide de l’égalité (3), qui donne, entre 
les exposants, la relation 


(4) n — 1 =p+p0+ 2}, 


D'un autre côté nous savons, par le n° 3, que la limite de l'écart entre 
zéro et le polynôme cherché F(x), depuis x = — 1 jusqu'à x — + 1, est 
égale à la valeur numérique de l'intégrale 


+1 


:ÎF (x)dz; 


1 
mais cette intégrale (3) se réduit à 
+1 


Eneef (1 (1 —27 U*dx, 


at | 


si l’on y met pour F’(x) son expression (3), et la valeur numérique de cette 
dernière intégrale est évidemment 


+1 
zfa + a) (1 — x) U? dx. 
—1 


Donc, en désignant par Z la limite de l’écart entre zéro et le poly- 
nôme cherché F(x), nous aurons 


+1 
(5) L= 3 [a +2 ( — x) U? dx. 
et 
Ainsi, pour diminuer, autant que possible, la quantité L, sans changer 


toutefois les conditions de la question, nous aurons à déterminer le polynôme 
U de façon à rendre minimum l'intégrale 


+1 
Ja + a) (1— x) U? dx. 


Re 


— 200 — 
Il est facile d’y parvenir à l’aide des fonctions 
Pose. Des het En 
qu’on obtient en développant l'expression 


Q-me+ VIS À) (1—s+V1— 257 +52)" 


V1 — 25% + 5? 





en une série de la forme 
T+Ls+<T#+.... + Ts + rs 


En effet, on sait que ces fonctions sont de degrés 0, 1, 2,...,/,..., et 
qu’en général pour tout » distinct de », elles satisfont à l’équation 


+1 


Tm Tm, | ne 
Rire ie 


rare" | 





de plus, il résulte, de ce que nous avons établi dans notre Mémoire Sur les 
fractions continues *), que l'intégrale 





Z étant de la forme 
x+ Ba '+Bx "*+...+8B, x+8B, 


acquiert une valeur minimum lorsque le polynôme Z ne diffère de la fonction 
T, que par un facteur constant. Nous en concluons donc que le polynôme 


U= x + Bat t+Ba"+....+B, 2+B, 


qui correspond à la valeur minimum de l’intégrale 


+1 
Ja +x)(1—x) UV dx, 


+ 


sera donné par la formule 


en faisant 





*) T, I, pag. 203 —230. 


— 201 — 


dans l’expression de la fonction 7}, qui nous est fournie par le dévelop- 
pement en série 


Ta Tsr TN mer + Te +... 


de l’expression 
(+ s + V1 — 257 + SP (1—s+yI— es) 


V1 — 2sx + 5? 





Désignant par 
| K, 
le coefficient de x! dans la fonction 


T; 


et remarquant que cette puissance de x doit figurer dans le polynôme U avec 
un coefficient égal à l’unité, nous en concluons que l’expression que nous 
venons de trouver pour U entraîne l’égalité 


1= CK,; 
d’où l’on tire 


(6) à Eee 


où, comme nous venons de le dire, la fonction 7, s'obtient en développant 
l'expression 
(1 s-+ V1 — 257 +52) Po (ses VI — 2sx + 82) ? 


V1 — 28% + 5? 





Or, comme ce développement peut être représenté par l'égalité que 
voici: 





Le, ] 

(1 s-+V1— 257 + 52) "0 (1— ee V1 +8) be: s" 

SE ADN GA DORMI rente 2 
V1 — 257 + s? : “ 


en désignant par 


les coefficients de 


— 202 — 
dans la fonction 7, pour une valeur quelconque de #, nous aurons 


(+ s+V1— 28x + 52) Po (1—8+V1—92sx +582)? 


V1 — 2sx + s? 


œ 
En AE: 0: PT HE 6, 
0 





quelles que soient les valeurs de s et #. Donc, si l’on pose 


et si l’on fait ensuite 


l'égalité ci-dessus se réduit à la formule 





(1-+V1—2a) PP - m 
_ — A ut 
VI — 2x 2 La 


Cette formule nous montre que X,, coefficient de x dans la fonction 
T,, sera identique au coefficient de a dans le développement en série de 
l'expression 
(1-+V1— 24) PP 
Fes 





Mais comme on sait, par ce que nous avons dit dans le n° 4 sur les 
nombres p, et p, la somme p+-p, ne peut être que zéro, 1 ou 2; l'expression 


(1-+ VI — 2x) Po—P 
V1— 20 





pour ces valeurs, peut être developpée en séries 


1 in 1.55: : 40-01 à 
UT at tir les à 











RAR EU TE AE 


ue À D 


2.54 1 +1 1.3.5...(2+1) 1 
2 S,1.2 


D Ces LR da 











a+....—+ 
par suite, le coefficient X,, selon que l’on pose 


P+Po—0, 
P + Po — 1; 


P + Po = 2) 


— 203 — 


aura les trois valeurs que voici: 








FE 
(7) A &=5is 








1.3.5... (2-1): 1.1 
PERS. Ur) 1+2 


6. D’après toutes les recherches précédentes, il sera aisé de trouver, 
dans chaque cas particulier, un polynôme F{(x) de la forme 


d'+ A2" + A, *+....+4,_2z+AÀ,, 


qui, tout en restant toujours croissant ou décroissant depuis & — — 1 
jusqu’à æ — + 1, diffère le moins possible de zéro entre ces mêmes limites. 

Nous commencerons par déterminer les nombres p et p, en observant 
que, d’après le n° 4, on à, » étant impair, 


p=0, py—=0, 
ou bien 
p=l, p—1, 


selon que le polynôme cherché croîtra ou décroîtra constamment entre les li- 
mites 4 —=—1 et x — + 1, et que, dans le cas de » pair, ces mêmes nom- 
bres seront 
| p=0, po=l1, 
ou bien 
e=1, p=0, 


selon que le polynôme cherché sera constamment croissant ou constamment 
décroissant pour toutes les valeurs de + depuis æ — — 1 jusqu’à æ — + 1. 
Connaissant o et p,, nous trouvons, à l’aide de l’équation (4), 


(8) j =" mt, 





puis nous cherchons la valeur de la fonction 7,, coefficient de s' dans le dé- 
veloppement de l’expression 


(+ s + V1 — 257 + 52) Po (1 — 8 + V1 — 28% + 52) P 


V1 — 2sx + 52 





selon les puissances ascendantes de s, et la valeur du coefficient X,, par la 


— 204 — 


formule (7). Les valeurs de 7, et de X, étant connues, à l’aide des équations 
(3) et (6), dont on élimine la fonction U, nous déterminons F’(x), dérivée du 
polynôme cherché, 


Fa) ge (&+ 1) (œ—1).7?; 


mettant cette valeur à la place de F’(x) dans l’équation (1), nous obtenons 
enfin, pour l'expression du polynôme cherché, la formule que voici: 


T + 1 
era à À 


a | 


Nous trouverons ainsi le polynôme cherché, qui, jouissant de la pro- 
priété de croître ou de décroître constamment depuis 4 = — 1 jusqu’à 
æ — + 1, différera de zéro moins que tous les autres polynômes de la 
même forme. 


Maintenant, pour calculer la valeur de Z, limite des écarts de ce poly- 
nôme, nous observerons que la formule (5), en y mettant l’expression de U 
tirée de l’équation (6), nous donne 


+1] 
(+ x) (1 — x} TŸ dx, 


feat à 


n 
L= 7 


ou bien, en mettant pour » sa valeur tirée de l’équation (4), c’est-à-dire la 
somme 2 + p + p + 1, 





+1 
L— errant] ( + 2)" (1 — x) T? dx. 
y | 


Nous observerons ensuite que, d’après ce que nous avons établi, dans 
notre Mémoire Sur les fonctions semblables aux fonctions de Legendre *), 
sur la réduction de l’intégrale 


+1 
9] Le, °] 
D Tnt: D, Ton 
0 0 


(+) (1 — x)t sa 








+) T. IL, p. 61—68. 


— 205 — 


à l'intégrale 
1 
À 2AHUAHI (1 — stx) F 


xh(1—xM(1— six?)  ? 
0 





la valeur de l'intégrale 


Ja +2) (12) T'dr 


qui entre dans l’expression de Z, sera le coefficient de (st) dans le déve- 
loppement de la formule intégrale 


1 


po p+rl 4 he. 
æP0 (1— x) P (1 — stx?) 


-0 





suivant les puissances ascendantes de sf. Or, comme cette intégrale devient 








1 1+V st den Le 
7 08 1 —7= pour p—0 et p, —0, 
1 1 1—V st: log ec] 
3 — — 0 — ] — ] 
. Fa 1+V st s?t? ROUE P » Po ; 


et 


— 7 log (1—s), pour p—0 et p—1 


de même que pour 9 = 1 et p, — 0, et que ces trois expressions se déve- 
loppent en trois séries que voici: 


2 
2 ++ st + 2 (sé? iii pas, 








2.2.3 T 3.3 Rs + 5 (6) +. à 


160 + 1 
Pa MR Em. + TE (D +. 


les valeurs de l’intégrale 


Ja +2)" (1 — d)° T} dx 


— 206 — 


seront pour les trois systèmes de valeurs de p et po, que nous venons de 


mentionner, 
2 1+1 1 
+1 2(+2)2+3). 2(+1) 








En mettant ces valeurs dans l’expression de Z à la place de l’intégrale 
+1 
Ja + x)" (1 — x) T'dx 
Mucne | 


qui y figure, et en remplaçant XK, par ses valeurs tirées des équations (7), 
nous obtenons pour la valeur de Z les trois expressions que voici: 











NES: (+ D +3 
L=(; 5 1) ‘tel 

USE... (D 
L= (5 an)? 


p=0, p=1, ou bien p=1, p, —=0; 


mais, d’après (8), ces trois systèmes d’hypothèses sur les valeurs de p et 0, 
nous donnent 


n — 1 PRE rs A 


RL - 1 











et par suite les expressions ci-dessus de Z se réduisent à 


tai à 
ue \ 
T7 \1.8.5....(n-9)/? 














— 207 — 


Les deux premières de ces expressions de Z obtenues dans les hypo- 
thèses 


et se rapportant toutes deux, d’après le n° 6, au cas de # impair, peuvent 
être remplacées par une seule formule 


ee 2 
las ETS 
LÉ 2 n +1 
TANT) SEL! 
qui se réduit à la première ou à la seconde, selon que dans # + 1 on prend 


le signe —- ou le signe —. Or, comme la première des trois expressions 
ci-dessus de Z correspond à l’hypothèse 





p— 0, Po = 0, 


c’est-à-dire (d’après le n° 5) au cas, où le polynôme cherché ne cesse de 
croître entre les limites de 4 — — 1 et x — +- 1, et que la seconde de ces 
expressions à été obtenue dans l’hypothèse de 


e—=l, Po == 1, 


c’est-à-dire en admettant que le polynôme cherché décroit constamment entre 
les limites de x — — 1 et x — + 1, nous concluons que l’on doit garder, 


dans la formule 
LS 2 
TN rime 
ms 2 n +1 
7 \1.8.6....(n—2)/ n+1? 


le signe + ou le signe —, selon que le polynôme cherché ne cesse de croi- 
tre ou de décroître entre les limites  — — 1 et x — +- 1, bien entendu 
dans le cas où », le degré de ce polynôme, est un nombre impair. 

Quant à la détermination de Z dans les cas de» pair, la valeur est don- 
née par la troisième expression de Z, à savoir: 


ess RUES de 3) 
L=2 Li. We l)/ : 


car elle a été obtenue en faisant 








ou bien 


— 208 — 
7. Les polynômes de la forme 
a+ A + A +... +4, _2%+4À,, 


déterminés conformément à ce qui vient d’être dit, différeront moins de zéro, 
entre les limites z— — 1 et x = + 1, que tous les polynômes de la même 
espèce, et qui seront, comme eux, constamment croissants ou constamment 
décroissants entre les limites indiquées de la variable x. En d’autres termes, 
l’écart entre zéro et tout polynôme satisfaisant aux mêmes conditions ne 
saurait être inférieur à L, limite des écarts entre zéro et la valeur des po- 
lynômes que nous examinons. Les valeurs de Z que nous venons de trouver 
nous permettent d’énoncer le théorème suivant: 


e- 


Théoréme. 
Si un polynôme de la forme 
n een À 
HAT +... +A :1+ A, 
ne cesse de croître ou de décroître depuis à = — 1 jusqu'à x = + 1 sa 


valeur numérique ne saurait être, dans ces limites, inférieure à 


n 2 

loss tr . 

2 ; 
L3.8...@m— 1/7» 5 # est un nombre pair, 





ou bien à 





LS 2 
A dame 

L jo si n est impair 
1.8.5....(n—2)/ n +1? tmparr. 


Dans la dernière formule, il faut prendre dans l'expression n Æ 1 le 
signe + ou le signe — , selon que le polynôme cherché croît ou décroit de- 
puis x —= — 1 jusqu'à x = + 1. 

Ce théorème nous permettra d’en déduire un autre plus simple, en 
remplaçant les valeurs exactes de Z par des valeurs approchées, mais infé- 
rieures aux premières. En effet, ces valeurs approchées s’obtiennent aisé- 
ment à l’aide de la formule de Wallis 


4 #4 2m 2m 92m+2 2m+2 
3 5 Om—1 2m+1 2m+1 2m+3 








Notamment, si l’on fait 





+ 2m (2m +2) (2m +2) (2m + 4) ne 
7 (2m—+1} (2m +- 3}? 
et 
vi (2m +- 2}? * (2m + 4} + 
— (@m+1)(2m+3) (Cm+3)(2m+5) ‘? 





— 209 — 


l'expression de + devient 





T 2 2 4 4 2m 
EME GS CN ON TANODS -pes De 
et 
3594 4 2m _ 2m y 
PR CSC. CRT es Im—!l 2941: 





d’où l’on tire 





ER Se | = 2mT 
1.5.5....@m—1))  2MmFIX 
et 





ER ssh m\2_(2m+1l)zx, 
1.3 : ml Y? 


mais comme les valeurs trouvées ci-dessus pour X et Y peuvent être miscs 
sous les formes 


A (1 ge) (ge) 


F=(1 nn) (1 sé eee M 








il est évident que 
Ali, ET. 


. Donc en supprimant, dans les équations précédentes, les termes de X et }, 
nous obtenons les inégalités 





AP PE SERRES POTTA m Le 2mT 
1.3.5....(2m—1) 22Mm+-1 ? 


et 





dE RU m DA na à 
1.3.5....(2m— 1) DEMI 


GE 


sera comprise entre deux produits qu’on obtient en multipliant 


Ainsi la valeur de 





T 
7m 
par 2m et 2m—+1; donc cette valeur sera égale à  RUT multipliée par 


une certaine valeur moyenne entre 2m» et 2m + 1; mais, comme cette 
moyenne peut être représentée par 2m» + 0, où l’on a 9 > 0 et < 1, nous 
pouvons remplacer les dernières inégalités par l’équation 





Roi interet e m\?2  (2m+0)7 
1.3.5....(2m—1)) —  22m+1 


14 


En faisant dans cette formule 





pour » impair, et 


pour » pair, nous obtenons 


An AU et j'te 
2 Tr 
TE 0e) Tnt), 








et 





n 2 
Ne à) ss 
ee n/ = gi (n +06). 
Or, comme la valeur de @ n’est limitée que par zéro et 1, et que la diffé- 
rence 1 — © se trouve dans le même cas, cette différence pourra être rem- 


placée dans la formule ci-dessus par 4, ce qui nous permettra de simplifier 
les formules où figure cette différence et d'écrire : 


Se 2 
1.2.8... ; \ 
1.8.5....(n — 2) = jn (n — 6). 
Comparant les égalités que nous venons d'obtenir avec les expressions 
de Z du n° 6, nous voyons que ces dernières peuvent être remplacées par 








En at n — 0 n +0 
Ati M Et. D 


En examinant ces valeurs de Z, nous remarquons qu’on obtient la limite in- 


férieure de Z par la formule 
TE n+1 n—0 
Es 








T;, 


en y faisant 0 — 1 et en prenant + 1 avec le signe +, de façon que cette 
valeur limite devient 


n — 1 
on 





st 


On voit ainsi que ZL surpassera toujours 


et nous sommes amenés au théorème que voici: 


— 211 — 


Théorème. 
La valeur numérique du polynôme 


+ A2" +....+ A4, 2+4, 


. . « Q n — 1 e A 
depuis x—=—1 jusqu'à x — + 1 doit surpasser —5n T, St ce polynôme ne 
cesse de croître ou de décroître entre ces limites de la variable x. 

Si nous faisons dans nos formules 


RE APR 
fouet er mb, 


et si nous remarquons que, dans ce cas, le polynôme 


n n—1 
DA D  W..L+ AÀ dr À, 


( | ", 


se réduit à un polynôme de la forme 


étant multiplié par 





AT. @ EU. de LS er SAT 
et que les limites de la nouvelle variable z deviennent 
—@pourt——1 et 2—0 pourx = +1, 


nous déduisons du théorème précédent le nouveau théorème que voici: 


Théorème. 
La valeur numérique du polynôme 
SU iR I +A Ts... 


j ; k b—a\®  . ; 
depuis z — à jusqu'à 2 — b doit surpasser (n — 1) =] %, Sù Ce polynôme 
me cesse de croître ou de décroître entre ces limites. 

Or, à l’aide de ce dernier théorème il nous sera aisé de conclure: 


Théorème. 
Si la valeur numérique de f (b) — f (a), différence de la valeur de 


Dr de ART te... 
14* 


— 212 — 
pour z = a et 2 — b, ne surpasse pas la limite 


D n 
2 (n—1) (+, 

la dérivée f' (2) change de signe entre z = a et 2 =D. 

En effet, si f” (2) ne changeait pas de signe entre z = a et z — D, le 
polynôme 

e b l 
P(=f()— 2570, 

ne cesserait d’être, entre ces limites, ou constamment croissant, ou constam- 
ment décroissant, de façon que toutes ses valeurs, depuis z — a jusqu’à z — b, 
seraient comprises entre ses deux valeurs extrêmes, qui correspondent aux 
valeurs limites de z que nous venons d'indiquer, et qui se réduisent à 


P(a=— + (@)— (a), 
PO= (D —f(). 


On voit ainsi que, depuis z == à jusqu’à z — b, la valeur numérique de 
D (x) ne surpasserait pas celle de : 


3 (F@)— ra), 


c'est-à-dire ne saurait être supérieure, d’après les conditions du théorème 
énoncé ci-dessus, à 


—_ 2 (n — 1) (=) == (ù — 1) (Tr, 


ce qui est impossible en vertu du théorème précédent. 
Faisons 








z 
F(2) = (mn + 1 fe B, "+ B,2" 7 +...) de, 
a 


La fonction F(2) se réduit, dans ce cas, au polynôme 


RAS EX 
où 
n=Mm+ 1, 


et la dérivée première de F(2) est 


F'()=(m+1) ("+ B,2" + Bet +...) 


On a donc 
b 


F(b) — F(a) = (m + |" +8, + B,8" *+...,)ds, 


: — 213 — 


Nous en concluons le théorème que voici: 


Théorème. 
L’équation | 
a+ Be + Bg" +...—=0 


doit nécessairement avoir au moins une racine entre z = a et 2 = b, si la 
valeur numérique de l’intégrale 


Jensen .. | ds 


ne dépasse pas la valeur de 
2m b— a\M +1 
m + 1 4 : 
A l’aide du même théorème, il sera aisé d’établir un théorème nouveau 
concernant la série de fonctions 


f@, fe, FE...) l'O, 


qui servent à déterminer les racines d’après la méthode de Fourier. 


Théorème. 


| 2n 
Quelle que soit la valeur t, si l’on prend dans l'expression + V0 Sa es 
f(t) 


le radical avec un signe contraire à celui de la fraction <— FO? , le nombre des 
variations de signes dans la série 


FOR li. [6 [(), 
HN RASE Ar ti 


ne saurait rester le même, si l’on y met consécutivement pour z la valeur de 


t et celle de t + ne J'@ 


A(n —1}r?° 
Ils se présentent plusieurs cas différents dans la démonstration de ce 
théorème, suivant le signe des quantités f(#) et f’ (#). Nous nous bornerons à 
considérer le cas où ces deux quantités auront le signe +; mais le raison- 
nement que nous suivrons dans cette occasion s’appliquera facilement à tous 
les autres cas. 
En supposant les deux valeurs f(é) et f’(f) positives, nous ——. 


prendre dans l’expression 
RE UE 
EAN 2e — 


— 214 — « 
le radical avec le signe —, et nous aurons à démontrer que, dans le cas où 
fO>0, FO>O, 


le nombre de variations de signes de la série 
fe: FO oies Te) 


est | ê rs=1et po = { 41) EU) 
n’est pas le même pour 2 — pour z = { — Te = 1j 


Pour le démontrer, nous observerons qu’il est évident que toutes les 
fois qu'entre les limites indiquées ci-dessus l’une des deux fonctions f(z) ou 
f' (2), ou toutes les deux à la fois, s’annulent, le nombre des variations 
de signes dans la série 


fe), FO, lo: Te), NO 


doit varier; quant à l’hypothèse qu'aucune de ces fonctions ne devient zéro 
entre les limites que nous considérons, il est aisé de démontrer, à l’aide du 
théorème précédent, qu'elle ne peut avoir lieu. 
En effet, si 
fO>0, fO>0 


et si en même temps les équations 
f()—=0, f(2)—0, 
n’avaient pas de racines entre 2— 4, 2—{t—4 Va les fonctions 
f(e), Fe) 


devraient conserver, entre ces limites, le signe +: donc on aurait 


/. 20 ) 
f(s—4 4(n— 1} x? > 0 


et 
f(—4V D) <r 0 | 
et la valeur numérique de | 
Fo—f(—4V rs) 


devrait être inférieure à la valeur numérique de f({), ce qui, en vertu d’un 
théorème précédent, est impossible; car la différence 


f(&) —f(a) 


— 215 — 


pour 
| SE Li CE 
bat, a=t—4 


d’après ce théorème, doit surpasser 


2 (n—1)r() = 2— nr Ve | =10. 


En apvliquant ce dernier théorème au cas où l’équation 
ppliq 








2 


Po lS LUS "+... =0 


n’a pas de racines imaginaires, et observant que dans ce cas tout change- 
ment du nombre des variations de signes de la série 


PO ll (1° 0 
indique la présence d’une racine de l’équation 
f(e)= 0 


entre les valeurs de z, nous sommes conduit au théorème que voici: 


Théorème. 


Quelle que soit la valeur t, on trouvera toujours au moins une racine 
de l’équation 


f@=# +8 "+ Le +... = 0, 
2n/ Fan 
entre les limites t et t HA Va en prenant devant ce dernier radi- 


cal le signe contraire à celui de la fraction FA 


posée n’a pas de racines imaginaires. 


si toutefois l’équation pro- 


ares à S 
pe É, 


ts 





ke, 


SUR 


L'INTERPOLATION DES VALEURS 
ÉQUIDISTANTES. 


(LRADUIT PAR C. A. POSSÉ.) 


O6 unmepnorupobaniu bernuruns pabnoomemomuuxs. 


Ipuromenie «5 XXV romy Sanucoxs Huneparopcro“ Axaremin Hayxr, X 5, 
1875 r. 


ÉAES 
FUN à 


RER 
e 


Q 


Ron 
cri 





Et 
ER 
Le 


h 
Rs 





Sur l’interpolation des valeurs équidistantes. 


$ 1. Si l’on cherche par la méthode des moindres carrés l'expression 
d’une certaine fonction f(x) sous la forme d’un polynôme, les valeurs de la 
fonction f(x) dont on sesert pour déterminer son expression étant 


f(L), f(2),. Re f(m— 1), 


le polynôme cherché, comme on le sait, est donné *) par la formule 


D 90 (a) 7) De (2) 7 (0) 
(1) pr er) + : pt) Her.) 
+ LT 
2, %@ Pi? (æ) 
1 1 
où 
Dot), P,(&),.... 


désignent les dénominateurs des fractions convergentes de la somme 


1 





1m 

Ÿ PO Le + 
de —h. a—1 x—92 Mn tee 2—m+l 
=! n 


obtenus par son développement en fraction continne 


Les fonctions 
Po(X); P1(),. ..., 





*) Voir le Mémoire sous le titre: «Sur les fractions continues», T, I, p. 203—230. 


— 220 — 


comme j'ai déjà indiqué, jouent le même rôle dans Le calcul inverse des 
différences que les fonctions de Legendre dans le calcul intégral et, par 
analogie à ces dernières, peuvent être représentées par la formule *) 


p,(2)—=A"(t—1)(&—2)....(@—n)(m+n—1—x)....(m—x), 


en faisant abstraction des facteurs constants qui se suppriment évidemment 
dans la formule (1). 
Cette expression des fonctions 


: Do (&), ®,(x),. “ns 


simplifie notablement, comme on va le voir, le calcul de toutes les sommes 
qui figurent dans la formule (1). 


$ 2. En abordant la déduction de l’expression mentionnée des fonctions 
Po (D). D (Ms 
convenons de désigner, pour abréger, par ® (x) le produit 
(x — 1) (x—2). | ..(t—n) (m+n—2x—1) (mn—x—2). ...(Mm—%). 
Ce produit s’annulant pour 
æ=1, 2,....n, 
G=mMmEn—1l, Mm+n—2,.... M, 
toutes les quantités 
P(x), P(x+1),...., P(t+n—1) 


pour t— 1 etxz—m seront égales à zéro, et la même chose aura lieu à 
l'égard des différences 


A" P(x), A B(x+1),...., AP(x+n—72) 
qui se déterminent d’après les valeurs 
Pix), P(x+1),...., P(x+n—1). 


Cela posé, il n’est pas difficile de montrer que la somme 


D F(x) A" (x), 


1 





*) Sur une nouvelle série. T, I, p. 381—384., 


— 221 — 


quelle que soit la fonction F{(x), se réduira à la somme 
"D D(x+n)A"F(x). 
1 
Pour nous en convaincre, remarquons que, transformant la somme 


D F(x) Ad (>) 
1 
n fois de suite à l’aide de la formule connue 
DIRE RER VD Po uAU 
nous trouverons qu’elle se réduit à l’expression suivante: 
F(x)A" (x) —AF(x) A" *P(z+1)+ A F(x) A P(x+2) +... 
+(— 1 Pat n—T) AT Fa) + (I) D D(x +7) °F (x). 
Or, en vertu de ce qu’on à vu à l'égard de la fonction 


P (x n— 1) 
et des différences 


AT P(x), A D(x+1),.... AP(z+n—2), 


tous les termes de la formule précédente hors du signe a se réduisent à 


zéro pour = 1 et pour &æ — »; donc on aura dans ces limites 


(2) D'F(œ)A"P(a—=(—1) D D(x+n)A"F (x). 


1 
En faisant 
F(x)= 9 (%), Fa)—0(2),...., F@)—9, (x) 
et remarquant que pour ces valeurs de F(x) on à 
Aro 0, 


on trouvera 


D 9) A" (2) = 0, Da GA" (rs =0,.... Do, (AP (x) = 0. 


— 222 — 


Or, ces égalités, en vertu du $ VII du Mémoire cité sur les fractions 
continues, montrent que dans le développement de la fonction A" (x) en 
_ série 
A2) +Bo(x)+....+Gop,_,(x) + Ho,(x) 


les coefficients 
A; D: 0 


se réduisent à zéro, d’où il suit que A" (x) ne diffère de o, (x) que par un 
facteur constant. Ce facteur, comme il a été dit, se supprime dans la for- 
mule (1). En faisant abstraction de ce facteur nous prendrons 


?n (2) = A" D (x), 


| ce qui réduit l’égalité (2) à la suivante 


A F(x)9, (&) =(—1) 7h P(x+ n) A" F(x), 
1 1 
où 
P(t)—(x—1)(t—2)....(x—n)(m+n—x—1)....(m—x). 

$ 3. Passant à l’évaluation des sommes contenues dans la formule (1), 
nous introduirons, pour abréger l'écriture, le signe ['(4) pour désigner le 
produit 1. 2. 3... (u—1). 

A l’aide de cette notation les produits 

(x — 1) (t—2)....(æ—n), 
(m+n—x—1l)(m+n—x—2)....(m—x%) 

seront représentés par 


T'(x) T(m+n— x) 
T'(x—n)’ T(m—x) ? 





ce qui donne pour les expressions des fonctions P (x), ©, (x) 





= TT T(m+n—x) 
PIRE T(m—x) ? 


BARRE CE 0 T(m+n— x) 
(3) MUSA TES 1e. 





et par suite la transformation précédente de la somme se réduit à la sui- 
vante 





nm 
Tim—n—x) 
1 


De @) F@ = (— DE T'(m — x) A'F@). 


— 223— 


En faisant ici 


F(x) =f(@), 


nous trouverons pour l’évaluation des sommes 


Jabra, Jarre, Care. 


la formule suivante 





28 =)" SES so A Fo). 


En faisant dans la même formule 


F(x) re Ph (x), 
nous aurons 


Q T'(x )  T(m—x) " 
2% @= 1) x re rm-r2 À (0) 
1 


Or d’après (3) 


20 Lx) T(m+n—x) 
\ Pa (&) = T(æ—n"n) T(m—x) ? 








d’ailleurs 


T 
re = &—1) &09) »: ‘GE n), 
T Pa 
RS = (on +0 — 2 — 1)(m—+n—2)....(m—x), 
donc, dans le produit 
P(æ) TC(m+n—x) 
T(x—n) T(m—x) 





le terme du plus haut degré en x est égal à 
x; 


il en résulte que la différence d’ordre 2» de cette fonction se réduit à la 
quantité constante 
(— 1)" 2n (2n—1)....38.2.1, 


ce qu’on peut représenter à l’aide du signe F' comme il suit: 


(— 1)" T (2n + 1). 


_— 224 — 


On en déduit que 
ts p,(&)=(—1) T(2n+1), 


et, par conséquent, la transformation trouvée ci-dessus de la somme 


> Pa (&) 


nous donne 





Sr,@=r een Ÿ a 


Or, L'(m—n—x) étant infinie pour 
Z—=Mm—Nn,Mm—n+1l,...mMm—I1, 


tous les éléments de la somme 
< F(c+n) T(m—x) 
> (x) FT(m—n—x) 
1 


à partir dexz—m—n se réduisent à zéro, et par conséquent on peut 
prendre pour limite supérieure de cette somme »m—"n au lieu de #”; en 
vertu de cela l’égalité précédente se réduit à la suivante 








e 14 TG) L(n— 2) 
(4) DANS SR D 2 l'(x) T(m—n—x) 


$ 4. Pour déterminer la valeur de la somme, qui figure dans la der- 
nière égalité et dans d’autres pareilles à celle-ci, que nous rencontrerons 
plus loin, nous allons trouver maintenant l’expression de toutes les sommes 
de la forme 





? 


OTerr-DT T(N—x+q—1) 
2 T (x) T(N— x) 


ce qui est facile à faire à l’aide du binôme de Newton. 
Remarquons pour cela que les développements des puissances 


(ep CESR 
en séries par la formule de Newton à l’aide des signes >} et I peuvent être 


écrits de la manière suivante: 


A l(pæ+X) à 
ET 2rprae 5 


PT: a PE T(a+u) nu 
a ot es D 


ap N T(p+g+v) y 
AY STE DER 





— 225 — 


les sommations y étant étendues sur toutes les valeurs entières de À, 4, v 
de 0 à co. En comparant le produit des deux premières sommes à la der- 
nière nous aurons l’identité 


NN! T(p+à Fe T(g+ y) m— N'_T(p+g+v) j 


T'(p)T (A +1) T@T(G+1 T(p+9)T(v+1) ? 








qui peut être représentée d’une autre manière sous la forme 








++ T'(p + À) : T' (a+) pi — T(p+q+\) f 
THTA+1) F()T(u+1) ml (p+9T (+1) 

En déterminant ici les termes ayant le facteur #"—?, nous aperceyons 
que dans le premier membre de cette identité le coefficient de #"? est égal 
à la somme des valeurs de l’expression 


T(pæ+d)_. _ T(g+v) 
THTA +1) T(g)T (+1) 





correspondant à toutes les valeurs entières et positives de À et m, dont la 
somme À + p. est égale à N — 2, ou, ce qui revient au même, à la somme 
de toutes les valeurs de cette expression, dans lesquelles 


u= N—2— }, 


À prenant successivement les valeurs 0, 1, 2,....N-—2. On voit d’après 
cela que le premier membre de l’identité considérée renferme le terme sui- 
_ vant avec la puissance {*: 


A=N—1 
T(p+) T(g+N—2—)) pN—2 
— P(pT( +1) F(g9T(N—1—)) ’ 





D'ailleurs, le terme avec la même puissance de é au second membre de 
cette idéntité étant 





l'(p+q+N—9) jy 
F+DTN—) ? 


nous concluons qu’elle entraîne l’égalité suivante: 
A=N—1 


\' T(p+) T+N—2—)) _T(p+q+N—2) 
— FHTA+1) F(OT(N—1—2X) T(p+9T(N—1) 





En la multipliant par L (p).1" (g) et posant 








A+ 1—7, 
nous la réduirons à la forme: 
G)  VIG+r—D Tea 0 TT T(p+a#+N—2), 
— F (x) T(N— x) 7 T(p+0) T(N—1) 


15 


— 226 — 


En posant ici 


N—m—n", p=n+1l, qg=n+]1, 


nous aurons, pour déterminer la somme, renfermée dans la formule (4), 


CT(&+n) T(m—x) _T?(n+1) T(m+n) 
> T(æ) T(m—n—x)  T(2n+2) Pn—n— D" 





d’où il résulte 


© __T(2n+1) T'(n+1)T(m+n) 
DO = Fr Tim—n—1) : 





Remplaçant encore T° (2n + 2) par (2n + 1) L (2n + 1) on aura 


< __ T(n+1)T(m+n) 
> Pa (&) + Dm n—1) 





$ 5. Pour déterminer les fonctions 


Po (&), ® (&), D (&),...., 


à l’aide de la formule (3), nous allons déduire préalablement les expressions 
des différences des fonctions Pas 
T (x) . T'(q — x) 

T(&—p) T(g—p—x) 





Calculant les différences du premier ordre, on aura 





L'ée) "Fo +i} °° Tia, 
lé: Te-prh : Tin) 
DE 0! et.) HÉRSRRES À El, Aout DORE À Hs 





T@—p—n La—p—æ—n Ta—p- 
Remplaçant 
PG+ 1), To Pop EST) QG?) 


par les quantités équivalentes 





T'(x — L'ia 5 = 
a To), EN, ET, Qq—a— 1) TQq—e— 1) 


nous aurons, après quelques réductions, 


FUN Se T'(x) 
Tuw—p) — 2T@—p+l) 
Poe -lTosr=1 


Ta-p-d  Pra-p-0 


— 227 — 


En appliquant ces formules à la détermination des différences du 2-me, 
3-me etc. ordres, nous trouvons en général 














Gus 1) AE () 
Pen DIF. ARRET 
r (9 — T'(g—x—1 
Are. 2 _ 0 DEN. Ernie 
Remplaçant le produit 
p(p—]1)....(p—1+1) 
ar 
: T(p+1) 
Fate) 
on obtient 
T'(x) T(p +1) T' (x) 
: TE — T(p—1+1) T(œ—p+1 
(6) L r(g— x) fi} T'(p +1) pe PER OU 
U P(g—p—x) — T(p—1+1) T(q9 — p—%) 


Passant à la détermination de la fonction +, (x) d’après la formule 





T(x) T(m+n—3x) 
= À" T( ‘ 


xz—n) FT(m—x) 
nous allons développer la fonction 


T(m+n—x) 
T'(m— x) 





en série à l’aide de la formule 








FF +-1)- EE a F1) ED à F(n +1) +. 


1 1.2 "9 


qu’on peut représenter sous la forme suivante, au moyen des signes a et f, 


NT T(z—n) A F(n +1) 
ee PA Pare Ç FA—+i) ? 





la somme étant étendue sur toutes les valeurs entières et positives de À 
et A F(n+1) coïncidant avec la fonction initiale F (n +1). 


En posant dans cette formule 


Ga + n — x) 
F(œ) = F'(m— x) 


et remarquant que d’après (6) on a dans ce cas 


\ F(x) =(—1} a CA 8 der eme à 


À + 1) F {mm — x) 





15* 


— 228 — 


nous aurons 





He T(n+1)T(m—À—1)T(x—n) 
V'(m— x) => — 1) TA+1)T(n—A+1)T(m—n—1)T(x—n—)) 





ce qui, étant multiplié par 
T (x) 
T(z— n) 


se réduit à ce qui suit: 








Tax) T(mn—x) =) — 1} T(n+1)T(m—À—1) T(x) 
l'(&—n) T(m—x) TA+ IT (R—1+ 1) (m—n—1)L(&—n—}) 


En déterminant d’après cette formule la différence 


nN OT(x) T(m+n—x) 
Fan) T(m—x) ? 





nous trouvons qu’elle s’exprime par 
“a 1 T'(n+1)T (m—À—1) n T'(x) 
> ) TO+1)T(n—À1+1)T(m—n—1) Tœ—n—)) 


Or cette différence étant égale à la fonction 





Ph (x), 
et la formule (6) donnant 





_Tin+à+1) (x) 
\ = TA+l) T(æ—)) 


nous obtenons l’expression suivante de la fonction +, (x): 





1AT(n+1)T(m—À—1)T(n+Ài+1) T(x) 


I2Q+1)T(n—1+1)T(m—n—1) l'(&—)) 


où la sommation, comme on a vu, s’étend sur toutes les valeurs entières et 
positives de À. 

D'ailleurs, le diviseur L'(n—À+1) se réduisant à co à partir de 
ÀA— n+1 et les termes correspondants se réduisant par conséquent à zéro, 
on pourra prendre pour limite supérieure de la somme À = n + 1. 


$ 6. Substituant les valeurs des sommes 


> Pn (&) F(&), 5 Pn (&) 


trouvées ci-dessus dans la formule (1) et dénotant généralement par 


Cas 


%$ 


— 229 — 


l’expression 
T(a+B+1) __(a+B(x+B—1)....(« +1) 
V(a+1)7(8+1) P2:...$8 4 





qui représente le coefficient de a* ° dans le développement de (a + DS 
nous trouvons que le terme général de cette formule peut être représenté 
comme il suit: 


n2n+1 T(m—n—1) >) Cp—iyn Cm—n—x—1;,n AJ (x) 
CETTE er) rs ®, (&) 





ou k. 
TE 
P(in+1)T(m—1) On (&) 





où l’on a posé pour abréger 


=(—1) = On +1 Ë Go—iyn Om—n—a—1;n AT) 





? 
died Cm—1 on 


Il en résulte que le développement de la fonction f(x) d'aprés la formule 
(1), arrêté au (7 + 1)-me terme, sera représenté par la somme: 


Cr 1) F 
Mm—n— 
Fh+i)r Dh Pn (&). 


n—0 





Désignant cette valeur approchée de f(x) par F (x), nous aurons: 


el 
N'T(mn—n—1)F, 
F(æ) = TM) Pn (&)) 





où, comme on l’a vu, la fonction ©, (x) a la valeur suivante: 


I=n+1 


Eat 4N Tn+l)T(m—À—1)T(n++1) (x) 
Pn @&) = D 1) P(O+1)T(n—i1+1)l (m—n—1 T(&—h 





À=0 


Développant les sommes renfermées dans ces formules nous obtenons 
F(x) sous la forme d’un polynôme de dégré /; cette expression de F(x) ne 
diffère que par les notations de celle que nous avons donnée dans la note 
mentionnée ci-dessus. D'autre part, à l’aide de ces formules, servant pour 
la détermination de F(x), il est facile de calculer les valeurs 


F(1), AF(1), AF(1),...., 


comme nous allons voir tout de suite. 
En déterminant d’après ces formules les différences 


A°F(z), Ao: (x), 


— 230 — 


u. étant un nombre quelconque nous aurons: 


n=i+-1 


_N'Tm—-n—-1)Fr, 
7. F@)= 2ruenr 9 Pa @), 


n=0 





EE 


1=n+1 


Re 1ATn+1)T(m—À1—1)T(n+i+1) 44 T(x) 
\ Pn(e) = 2 1) P2(+1)l(n—À+1)T(m—n—]1) T'æœ—)) 








Or d’aprés (6) 


DR TOR T'(x) 
TuiNr Flute DI-i1+p) 





ce qui donne, pour + = 1, 


MT. TA T' (1) 
TA) TO —-e+D Tes) 





Le diviseur L'(À—u +- 1) étant infini pour À—u<—1 et le divi- 
seur ['(1— +1) pour À —u7 1, la différence 


sr. 
Ar T{i—1 
ne diffère de O que pour À —u — 0, c’est à dire pour À =; donc, dans la 


somme qui représente la valeur de Al ©, (x), pour x — 1, il ne reste qu’un 
seul terme, correspondant à À — x et dans ce terme la différence 


F T{x) 
Â T'(æ — À) 
d’après la formule que nous venons de trouver, en vertu le l’égalité À = u, 
se réduit à L'(u + 1). D’aprés cela, en vertu de (7), pour x — 1, il résulte 





r 1e Tin+1)T(m—u—1)T(n+u+1) 
Â Pa (1) #7 bre D'ÉRSra miles 





n=l+1 


B Rs u Tim—u—1)Tn+u+1)F 
Â F()=S(— 1) D NP ENT PE à 





n=0 
Le diviseur L (n — pu + 1) se réduisant à co pour 
n=0,1,2,...,u—1, 


tous les éléments de la somme de n —0 à n — y. se réduisent à zéro, et par 
suite on pourra prendre pour sa limite inférieure » — y, en vertu de quoi, 
la formule déduite s’écrira comme il suit: 
p Cr nT( 1)F 
Er ER M — Lu — nn ++ 4 
Â FD 1) PReUrD en at 


n=y 





— 231 — 
$ 7. Dans la formule qui exprime la valeur de la différence 
b 
A FG) 


l'expression 


E 1) T(m—u—1)T(n+u+1) 
T(p+1)F(m—1)l(n—u+1) 





se réduit à 1 pour 
= 0, 


ce qui correspond au cas où A" F (1) se réduit à FÆ (1); par suite, la valeur 
de F (1) sera donnée par la formule 


n=i+1 
FH=S EF, =EF+E+....+F, 
n—=0 
Passant à la recherche des différences À F (1), A F(1),... nous 


représenterons pour abréger l'expression 





É 1} Tm—u—1)T(n+u+1) 
T(u+1)T(m—1)T(n—u+1) 


par 


(ue, n); 


d’après cela la formule que nous avons trouvée pour l'évaluation de A F(1) 


prendra la forme 
: u ar ds 
A F()= 2 (4; n) F,. 
- R—R 


Appliquant l'égalité 








vr- mu T(m—n—1l)r(n+u+1) 
AL rm TNT (U+ DT (+1) 
à la détermination du rapport 
: (ue + 1, n) 
(4, 7) 
nous trouvons 
(ue + 1,2) __ _ T(uæ+1) T(m—u—2) T(n+u+2) T(n—uæ+1 
(us 2) L(u+2) T(m—u—1) Tn+p+1) T(n—u) ? 


ce qui se réduit, à cause des égalités 


L'(u+2)=(u+1) P(u+1), l(n—yp—t)={(n—p—2)1(m—4—2), 
P(n+-u+-2) = (n+p+1) Tru), nul) = (np) L'(n—v), 





— 232 — 


à ce qui suit 


(u+1,n) ___(n+u+1) (nv) ____n(n+1)—n(p+1), 
EN (u+l)(m—nu—2) (be + 1)(m — p — 2) 











d’où il résulte 


(u +1, n) = — "#0 p (4 #1) 


(ue +1) (m —  —2) (be, #). 





Cette relation entre les quantités 
(+ 1,2), (h, n), 
y joint l'égalité remarquée ci-dessus 
(0, ")=1, 


donne le moyen de calculer facilement toutes les valeurs du facteur (4, n) 


dans la formule 
n—i+1 


A'EFD=Û , nE, 


En vertu de ce qui précède nous concluons que les quantités 
F(1), AF(1), FD, AF(1),.... 


dans le cas, où la série (1) est arrêtée au (/{ +- 1)-me terme, se trouveront 
à l’aide des formules: 


F()=F +++ E,+.,, + PF, 
A F(1)=(1,1)F,+(1,2)F,+(1,38)F,+....+ (10, 
MF(1) = (2,2)F,+(2,3)F+....+(20F, 


(8) 
ASF (1) — (SF... RUB DE, 





les quantités 
Dos un Pari 


étant données par les formules 


m 
2 Cyr, n Cm—n—x—1, n A" f(&) 








Eee n 2n+ 1 1 
F=(-W ÈS _. 
C _(c+B)(a+B—1)... («+ 1) 
CPE CREES D. ssso.ée B ? 


— 233 — 


et les facteurs 
(1,1), (1,2), (1,3),....(1,0), 
(2,2), (2,3),....(2,0), 
(3,3), ...(8,0), 


AR Die He GE CET RER ONE D D 


se déduisant successivement à l’aide de l'égalité 


nin+1)—-um(u+1) 
(+ 1)(m — 1 — 2) (ue, #), 





(9) HI) =— 
où l’on pose 
(0,1) —1,(0,2)=1, (0,3) = 1,.,... (0,7) = 1. 


$ 8. Pour montrer sur un exemple l’emploi de nos formules, nous allons 
les appliquer à l’exemple qui dans la Ballistique de N. Majevsky a été 
calculé d’après nos anciennes formules. Dans cet exemple les valeurs de la 
variable x et les valeurs correspondantes de la fonction f (x) sont les sui- 
vantes: 


2e lie fiti-n.:0,2020, 
Sc P(r)—  0,1885, 
oui fa)  0,1645, 
dE ft) = "01434 
VD (a OAIFS, 
%=6; :f(@)=  0,0897, 
mt fi .: 0,0681, 
tem ff}. 00244, 
x—9; f(x)—=—0,0122, 


En calculant d’aprés ces valeurs de f (x) ses différences de divers or- 
dres, formons la table suivante: 
































œ f (x) A f(x) A f (x) A f (æ) 
1 0,2020 | —0,0135 | —0,0105 | -0,0134 
2 0,1885 | —0,0240 | +0,0029 | —0,0076 
3 0,1645 | —0,0211 | —0,0047 | + 0,0026 
4 0,1434 | —0,0258 | -—0,0021 | —0,0016 
5 0,1176 | —-0,0279 | -0,0037 | —-0,0016 
6 0,0897 — 0,0316 |. — 0,0021 — 0,0008 
7 0,0581 | —0,0337 | —0,0029 

8 0,0244 | —0,0366 

9 | — 0,0122 








— 234 — 


Ayant »m— 10, dans cet exemple, nous aurons pour n — 0 


C 




















10 
: , 
as Gin Obs} 
1 
pour n = 1 
y x (9 — x), 10, 
Cp DE ET) Co1 = à Ne 
3 æ (9 
— 2%) 
F=—- 5 ÙùT 1.1 A/(&); 
1 
pour n = 2 
__({t+1)x (9—x)(8—x) , __11.10 
PRET 7—an —_ ‘1.2 1.5 Ge ra 
se 5.2 (æ+1)æx (9 — x) (8 — x) 
BG. > 1.2 1.2 At f(x); 
pour n = 3 
(@+2)(&æ+1)x (9—x) (8 — x) (7 — x) C 24.414 10 
æ—158 6—2m3 —_  1,2.3 À 1.2.3 ER 3 2 
10 
+ 7.243 (x +2) (x+1)x(9 — x) (8—x) (7 —&) ,3 
FE 55.102 0. 244095 A°f(æ). 


Déterminant d’après les valeurs données ci-dessus de f(x) et de ses 
différences A f (x), A f (x), A f (x) les sommes contenues dans les quantités 


PL HR PE F, 
nous trouvons 


N F(&) = 0,9760; 


NWTæxæ 9—x 
> : 1 








Af(x)=—3,2312; 
1)æ (9 — x) (8— 
DE DÉS nf (5) = — 1,2908; 
Ne Perte ne 
a 1,259 





Ts se à 
E—2 A f(x) — 0,0656; 


ce qui donne après la substitution dans les expressions des quantités 


F5, F;, F, F: 
les valeurs suivantes: | 
F=%:0,9760 —0,1084 
F,=— 5" —3,2312 = 0,1077 
F,= + — 1,2908 — — 0,0130, 
F,=— 7.2.3 





5: 0,0656 — — 0,0002. 


— 235 — 


En ajoutant ces quantités, nous avons d’après (8) la valeur de F (1) 
correspondant au cas où l’on s’arrête au 4*° terme dans l’expression (1) de 
la fonction cherchée ou, ce qui revient au même, quand on suppose ses qua- 
trièmes différences égales à zéro. Ainsi, on trouve pour la valeur de F (1) 


F(1) = 0,1084 + 0,1077 — 0,0130 — 0,0002. 
D’aprés les mêmes valeurs des 
sci FiscEs 
nous obtenons en vertu des formules (8) les différences 


A F(1), A? F(1), & F(1) 
à l’aide des facteurs 
(1,1), (1,2), (1,3), 
(2,2), (2,3), 
(3,3). 
Or d’après (9) pour 


m=10, u—0,n— 1,2,3, 
en posant 
: (0,1) = 1, (0,2) = 1, (0,3) = 1, 
nous trouvons 


1.2—0.1 1 
US uen a 1 M danger à 
2.3—0.1 8 
2 
UN died. - 2 
US se 1 ..(10—3) Re: 


Donc, d’après (8), on passe de la valeur trouvée ci-dessus de F(1) à la va- 
leur de À F (1), en omettant le premier terme et multipliant les autres re- 
spectivement par 


ED=— 5 (2)=—<, (3)=— 75 
Ainsi, nous trouvons | 
A F(1)=—+:0,1077 +2: 0,0130 ++ + 0,0002 — 
= — 0,0269 + 0,0097 + 0,0003. 


Pour passer de cette valeur de la première différence de F(1) à la se- 


— 236 — 


conde, il nous faut omettre d’aprés (8) le premier terme et multiplier les 
suivants respectivement par les rapports 


(2,2) (2.3) 


(1,2) (1,3) 





Or, ayant d’après (9) pour m— 10 


(2% 9.1.8: 2 M... 2.4.1.2 à 
RD SR TT 1 


nous aurons en vertu de ce qui précède pour la valeur de A? F(1) 
A F(1)=— 7%: 0,0097 — +. 0,0003 = — 0,0028 — 0,0002. 


En y omettant le premier terme et multipliant le second par le rapport 


(3,3) 
(2,3)? 
égal, en vertu de (9), à 
8.4—2,8 or 
3 (10—4) NS 2 
nous trouvons 
A5 F(1)=— +: — 0,0002 — 0,0001. 


Ainsi, pour l'évaluation de la fonction cherchée, la quatrième différence 
étant supposée nulle, nous aurons 
F(1) = 0,1084 + 0,1077 — 0,0130 —0,0002 — 0,2029, 
A F(1)= —0,0269 + 0,0097 + 0,0003 = —0,0169, 
MF(1) =—0,0028 — 0,0002 = — 0,0030, 
A$F(1) — 0,0001. 


$ 9. Les formules que nous avons déduites se rapportent au cas où 
toutes les valeurs 


fQ), f(2),..... , Fm — 1) 


sont supposées également bonnes, ou ce qui revient au même, quand leurs 
erreurs moyennes qguadratiques sont égales. 
Dans le cas où ces erreurs de quantités 


f(L), f(2),......f(m—1) 


sont inégales et inversement proportionelles aux quantités 


6 (1), 6(2)......0(m—1), 


— 237 — 


la formule (1) doit être remplacée, comme on sait, par la suivante 


Po (x) 0? (x) f(x) 1 () 0? (x) f (x) 


> 
go (e) + 1. D +...., 








f(&) = 


Po? (æ) 0? (x) qu (x 


A: 1: 


1 
où 
| Store AU re 


désignant les dénominateurs des réduites de la somme 


62(1)_ 62(1) . 62(2) 62 (m — 1) 
Te nes tt" gen l 





obtenus par son développement en fraction continue 


Il n’est par difficile de montrer que le cas où 


__T(&+a) T(m—x+$) 
CET FE roc D 





æ, 5 étant des constantes quelconques, peut être traité à l’aide des formules 
analogues à celles qu’on a déduites pour le cas de @ (x) — 1. 
Remarquons pour cela que la fraction 


nT(x+ a) T(m—x+86-+n) 
F(x—n) V'(m— x) 








T(c+ a) T(m—x+ 8) 
T (x) T'(m— x) 





se réduit à une fonction entière de dégré n*) et qu’en vertu de (2) en y 
‘posant 





ete T(m—x+8B+n) 
P (x) — T(&—n) T'(m— x) ? 


on trouve 








T(x+-a) T(m—x+-8-+-n) T(x--n+-0) l(m—x+8) 3 
(10) Jre " D eee re) 
1 





*) L’expression de cette fonction est indiquée ci-après. 


— 238 — 
En faisant ici F (x) successivement égale à 
Pot), 21)... ph (€) 
et remarquant que pour ces valeurs de F (x) la différence 
n 
À FO 


se réduit à zéro, nous concluons que toutes les sommes 


< NT(x+a) T(m—x+8+n) 
2%) À Tan) Tin  ” 








AT(x+a) lT(m—x+B+n) 
21% À T(x—") lung 





AT(x+a) T(m—x+86+n) 
Pn—1 (x) Â T(x—n) T'(m— x) 


M; 


sont égales à zéro; donc, en prenant 





T'(c+a) T(m—x+$) 
Pme TER Tia 


et posant pour abréger 





NT(c+a) T(m—x+86+n) 
À (x) F'(m — x) 
=”. 


x) 





T(xæ+ a) l'(m—x+ 8) 
F (x) F(m—x) 





nous aurons 


m 


> 2 (2) W,8(x)=0, Ds e,(æ) W,6(x)—0, ,_1 (4) W, (x) —=0. 


Or, de ces égalités, en procedant comme en$ 2 dans le cas de 9 (x)— 
on conclut que 


Pa (&) = 
et par conséquent, d’après nos notations 


NT(x+a) T(m—x+8B+n) 
T(x — n) T'(m— x) 
11 LE 5 
Pn ( T(c+ a) T(m—æ+$) 
E{2) T'(m— x) 











— 239 — 


Passant à la détermination des sommes 
Voda(bra, Dane (fa), D 9,(00(2)f(2),...., 
Joe), Dore), N'oi(x) (x)... 


nous remarquons que l'égalité (10), après y avoir substitué la valeur de 


NT(x+a) T(m—x—+B+n) 
Txæ—n) T'(m— x) 








tirée de (11) et remplacé 
T(c+ a) T(m—x+8) 
F'(x) F'(m — x) 





par 
Œ (x), 
donne 





D F(x)9, (2) 6 (x) = (— 1)" Diese pe een 4" F(x). 


F'(x) l'(m—x—n) 


En faisant ici F'(x) = f (&), nous trouvons 





CPC 1)" dresse ED À f(o), 


T(m—x—n) 


ce qui sert à faciliter le calcul des sommes 


be f(æ) po (&) (x), es f(æ) o, (x) (x)... 


Pour évaluer la somme 


Ù 3, (@) 8 (x) 
nous poserons dans cette égalité 


Fa) = 9, (2), 


et la formule (11) donnant pour une telle valeur de F (x) 





T(n+ x + 8 + 1) ? 


A" F(x) = A"o (x) = (— ir (nl Onse SD 
n 
nous aurons is F2. 


is (®) 8 (0) = Tn+1)T(2n+a+6+1) 5 l@tatmT(m—e+ 6) 


F(n+a+f6B+ 1 F(x)l'(m—x—n) 
— 





— 240 — 


La fonction 
P'(m—x—n) 
devenant infinie pour 


T=Mm—N, Mm—n—1,..... , Mm—1, 


en vertu de quoi tous les éléments de la somme 





Viper T'(m— x +8) 


l'(x) l'im—x—n)? 


à partir de z—"—n se réduisent à zéro, on pourra prendre m—n pour 
limite supérieure de cette somme, et elle s’écrira comme il suit: 
m—n 


Tru n) T(m—zx+p$) 
> T (x) T(m—x—n) 





Or cette somme est égale, d’après (5), à 


Tin+a+1)T(n+B6+1) T(m+n+ + $) 
T'(2n + a + P +2) V(m—n—1) 





En substituant cette valeur de la somme 


Trés) T'(m — x +8) 
” FT (x) F(m—x—n) 





1 


dans la formule précédente, nous trouvons que la somme 
m 
53 2 
D 9,2 (x) 07 (x) 
1 
s'exprime de la manière suivante 


Tn+1)T(n+a+1)T(n+8+1) T(m+n+at+f) 
Qn+a+8+1) PT (m—n—-1)lT(n+a+f$8+1) 





$ 10. Passant à la détermination des fonctions 
Po(&), 2(&),.... 
d’après la formule (11), nous remarquons qu’en général la différence 


UT. 


— 241 — 


se réduit à la somme 





F2 NU RAA AR Ar JR ARE 


LTH4AN THN—1° HA X4-N—2 ° 


qu’on peut encore représenter sous la forme 








1=n+1 
\! l'(n +1) À n—} 
BÉTes PR ITo Koini- 4 (UPE 
1—0 
En y posant 
__T(x+a) _T(m—x+$+n) 
om af HS Fe L'(m — à) ; 


nous trouvons que la différence 


NT(x+a) lT(m—x+$6+n) 








V(æ—n) V'(m — x) 
est égale à 
M st, 
'(n +1)  — N—ÀT (x + 0) 
am DA +1) T'(n—)1+1) T(m—n+À1—x) T'(&æ— 1) 


et, ayant d’après (6) 








À T(m+B+À—z) 1} l'(n + 8 + 1) T'(m +8 — 2) 
'(m—n+i—x) ( l(n+B—)1+1) l(m—n+-À— x) 


n—ÀT(x+a) _ T(n+a+1) l(x+a). 
A L'(&—n)  l(a+À+1) l(x—))? 





on aura pour la valeur de la différence 


NT(c+a) T(m—x+8B+n) 
T(æ—n) L'(m — x) 





l'expression suivante 


A=n+1 
et (— 1) T(n+1) T(n+a+1) l'n+B+1)T(m+8—x) T(x+a) 
mi TU +) Dn—it+l)l(a+i+1)l(n+B—À+1)T(m—n+Ài— x) l(x—))? 





Divisant cette valeur de la différence 


NT(c+a) l(m—x+86+n) 
T'(æ—n) T'(m — x) 





par 
(x a) T(m—x+$8) 
T (x) T'(n — x) ; 





16 


— 949 — 
on a le quotient 


Si (Mr TE Ie Det T'(m— x) T'(x) 
TA+IT(R—A+1) l(a+À+ 1) l(n+B—X+1) T(m—n+À— x) T'(x—))? 





Or, d’après (11), cette expression est égale à la fonction 9, (x). 
D'ailleurs, ayant 
T'(m — 
RE —(m—x— 1) (m—æ—2)....(m—n+À1—%), 


É “ 





tous les termes de cette somme représentent des polynômes de dégré n. 


Fe 


SUR 


LES EXPRESSIONS APPROCHÉES 
LINÉAIRES PAR RAPPORT À DEUX POLYNOMES. 


Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. Deuxième série, Tome I. Année 
1877, p. 289—312. 


© npubrugennuxs Éupaeniaxe, 


AUHCUHUXLE OMHOCUMCNLHO ya nonunomobé. 


(Hpuroxenie rx XXX romy 3anncors Hmneparoperoï Araremin Hayr®, N 4, 1877 r., 
cTp. 1—24.) 


16* 





Sur les expressions approchées linéaires par 
rapport à deux polynomes. 


$ 1. Dans une Lettre à M. Braschmann“*), nous avons montré de 
quelle manière, en développant une fonction en une fraction continue 


et déterminant ses fractions convergentes 


BD, Pi httl . 
Q Fr’ Q di s ; 


on peut trouver les valeurs des polynômes X, Y, pour lesquels l’expression 
uX — Y 


diffère le moins possible d’une fonction donnée v. 

Ainsi que nous l’avons indiqué dans la Lettre que nous venons de ci- 
ter, et démontré dans le Mémoire intitulé: Sur le développement des fonc- 
tions en série au moyen des fractions continues **), les polynômes X, Y, qui 
satisfont à cette condition, sont déterminés par les séries 


d) É X=0, Q,+o, Q, +0, Q,+..., 
| Y= — Fo +, P,+o, P,+o, P,+..., 


où nous désignons par Æ la partie entière d’une fonction et par 


W,, W,, Us. 





*) T, I, pag. 611—614. 
#*) T. I, pag. 617—656. 


— 246 — 


des fonctions entières, que l’on obtient au moyen de la valeur de la fonction 
v et des dénominateurs 


Qis Qu Ogre.) 
is os Ass.) 


fournis par le développement ci-dessus de la fonction w en fraction continue, 
_au moyen de la formule générale 


= (—1) E(4(00;— Ev0Q)), 


que l’on peut écrire, d’une manière plus abrégée, 
(2) Se Gun ec E(q,F(vQ,)), 


en représentant par la notation 


F(vQ;) 


l’ensemble de tous les termes du développement de la fonction v@, qui ren- 
ferment des puissances négatives de la variable. 
En arrêtant les séries ci-dessus aux termes correspondants quelconques 


wo, Q: sr: 


on trouve le système des polynômes X, Y, tel que X est d’un degré infé- 
rieur à Q,,,,, et que la différence entre l’expression #X— Y et la fonction 
v est du degré le moins élevé compatible avec la supposition que X est un 
polynôme de degré moindre que Q Alors, le degré du polynôme X est 
déterminé par le degré du terme 


M+-1° 


D, Qi 


le dernier des termes conservés dans le développement de X, et le degré de 
la différence 
uX — Y— 


est déterminé par le degré du premier terme de la série 


On (CT se RE, EE CINE, C1 CS re PRE For 


qui ne se réduit pas à zéro *). 
En supposant que le premier de ces termes soit 


Onin (uQ,, 4 Mr LC À 





*) Voir les articles cités plus haut, ct notre Mémoire intitulé: Des maxima et minima des 
sommes composées des valeurs d’une fonction entière et de ses dérivées. T. IT, pag. 3-—-40. 


— 247 — 


et désignant par o le degré de la fonction 


On? 


on conclura de ce qui vient d’être dit que, en général, le degré d’approxi- 
mation de l’expression uX—Y par rapport à v est déterminé par le degré 
du produit 

a (u Qn En Foi 


et conséquemment par le degré de la fraction 


xl 
PT SO DAT | 
Qm + n +1 
vu que, d’après les propriétés des fractions convergentes, le degré de la 
différence 
UQn # Lie 


est égal au degré de la fraction 
1 


Qu + n +1 
On voit d’après cela que l’expression 
uX — Y, 


X, Y étant des fonctions entières, et X étant d’un degré qui ne surpasse 
pas celui de +°Q,,, peut représenter la fonction v avec une exactitude pous- 


sée jusqu'aux termes du degré de 
al 


Qm + n D 


dans le cas seulement où les équations suivantes sont satisfaites: 


0, —=0, 06,,,—=0,.... & 


do, < CE RE pa P; 


où nous désignons, suivant la notation d’Abel, par à le degré d’une fonction. 

Lorsque ces conditions sont remplies, les séries (1), arrêtées aux ter- 

mes &,,Q,, w,,P,, donnent, comme on l’a vu, une valeur de X d’un degré au 

plus égal à celui de æ'Q,., et l'expression uX — Y diffère de v par des ter- 
mes d’un degré au plus égal à celui de 
a? 


Qm + n +1 


D'après cela, les conditions nécessaires et suffisantes pour que la formule 


uX — Y 


— 248 — 


puisse représenter la fonction v avec une exactitude poussée jusqu'à æ7”, le 
degré de X ne surpassant pas M, s’écriront ainsi 


| HET 0, One — 0, Ph es PTE 0, 
(3) | 


ou, pa Ty 0 Sen Ps 


en désignant par 


Qu ds 


les derniers dénominateurs des fractions convergentes 


dont les degrés ne dépassent pas les limites M et N— 1, et par o, p les 
degrés des fractions 





$ 2. Nous allons maintenant démontrer que ces conditions peuvent 
être remplacées par celles-ci, qui sont plus simples: 


(4) SF(Q_)< 36 F(0Q) < 3 
dans lesquelles 


Q_n Q, 


sont les deux derniers termes de la série 


@; Qs; Q3. Du 


qui, étant multipliés entre eux, donnent un produit de degré moindre que 
M + N. 


Pour cela, trouvons d’abord une limite supérieure des degrés 


0F(vQ,), 2F(vQ «43 dF(0Q 


nt) 7 Fe, 


dans le cas où les conditions (3) sont satisfaites. Après nous être convaincus, 
de cette manière, de la nécessité des conditions (4), nous démontrerons que 
celles-ci, de leur côté, supposent que chacune des conditions (3) soit remplie. 


D’après la liaison qui existe entre les fractions convergentes 


AR 
D 7 © 


— 249 — 


de l'expression 


1 
U—= QE > 
o à Se 2 


1 
En caË 


on à 


Qu = + Qi) 
ce qui donne, en multipliant par v, 
VQis Fe 00,9; +. v@; à 


En passant de l’égalité des fonctions à l'égalité de leurs parties frac- 
 tionnaires, on trouve, d’après notre notation, 


(5) F(vOQ,,.) Fe F(v0,9,) HS F(vQ,_.). 


En décomposant maintenant les fonctions 


VQi VO; 
en une partie entière et une partie fractionnaire, 1l vient 
vQ, = E(0Q) + F(0Q)), 
vQ,9; = E(vQ,g;) + F(v0:4;), 
ce qui donne, par l'élimination de @,, 
PQ) = al 00) + 4 E (00) — (Qu). 


Portant cette valeur de 
F(v0,q;) 


dans l'égalité (5), et désignant, pour abréger, par U; la fonction entière 


E (vQ.9,) LUS d; E (vQ,), 
on obtient l'égalité 


di F(vQ.) — F(vQ, ,.,) og F(vQ,_) PE U.. 
Si nous remarquons que les fonctions 


F(00,,1), F(v0;_) 


ne contiennent que des termes avec des puissances négatives de la variable, 
on en conclut 


E(g; F(Q,)) = UV; 


— 250 — 
ce qui, d'aprés la formule (2), 


6, =(— 1)" 2Z(g; FvQ))) 
nous donne 
U, = (— DT w,, 


et, en conséquence, l’expression trouvée plus haut de la fonction q,F(vQ,) 
est fournie par l'égalité 


Gi F0Q) = F0.) — F0) +(— T0; 


qui nous servira à obtenir la limite supérieure des degrés des fonctions 


F(vQ,,), F(vQ,,.), ARS à F(vQ,,,,) 
dans le cas où l’on à 


CL PER ve 


MEN—L. ? 


Comme, dans ce cas, pour toutes les valeurs de à, depuis è =» +-1 jusqu’à 
i—m#+n— 1 inclusivement, la fonction w, se réduit à zéro, il s’ensuit 
que, pour toutes ces valeurs, l'égalité que nous venons de trouver se réduira 
à la suivante: 


(6) di F(vQ,) = F(v0,,,)— F(v@,;_.). 


En remarquant que la fonction g, est d’un degré non inférieur au premier, 
on conclura de cette égalité que dans la suite 


F(vQ,,), F(vQ,,.), a F(LQ 4 n) 


parmi trois termes consécutifs 


F(vQ,, ;), F(v0,), F(vQ,_;), 
la fonction du milieu 


F(vQ;) 


devra dans tous les cas être d’un degré moindre que celui d’une des fonc- 
tions extrêmes : 


F(vQ,,,), F(vQ;_,). 
On voit par là que, dans la suite 


ol (vQ,), dE (vQ +), péalies dF(LvQ, , 3) 


— 251 — 


aucun des termes intermédiaires ne peut présenter un maximum, et par 
suite il ne peut y avoir qu'un minimum. ; 
En supposant que 


SF (0Q) 


soit le premier terme de la suite 


SF(vQ.), DE(vQ..).... E(0Q,.) 


qui donne une valeur minimum, nous remarquerons que, pour toutes les va- 
leurs de ?, depuis 2 = 7%» + 1 jusqu’à à = À — 1, la fonction 


F(vQ,_) 
sera d’un degré plus élevé que 
F(vQ,,) 


et par suite, d’après l'égalité (6), son degré déterminera le degré de 
l'expression 
Qi F(VQ;), 


On tire de là, pour les 2 grandeurs considérées, l'égalité 
SF(0Q) = à. 


En y faisant 
> i=m+l,m+2,...., À—1, 


on obtiendra une suite d'équations qui serviront à passer successivement de 
la fonction 


F(vQ,) 


TU h 10,2... 00.) 


Ces équations nous donnent 


aux fonctions 





, RES F(vQ } 
DF(0Q = dm), 
! "à : FvQh) 
ik (LG 42) ns Im-+-1Im+2 
3, PET. F(vQ y) 
èE (v@;_,) + Ima m2: Dia : 


En passant aux termes de la suite 


(7) DF(LQ), DE(LQ 1h. +: SE(VQ,),..… DF(LQ 


— 252 — 
qui suivent le premier terme mentionné 


dF(vQ,), 


nous remarquerons qu'aucun de ces termes ne peut être moindre que le 
terme en question, et par suite nous aurons ou 


F(vQ,,,)=ÔF(vQ)), 
3F(vQ, ,,) > DF(vQ)), 


selon que le terme en question devra, ou non, être suivi d’un terme qui lui 
soit égal. 
Pour ce qui est du troisième terme 


ÔF(vQ,. ), 


il ne peut avoir la même valeur que le terme en question; autrement il se 
trouverait, dans la suite 


F(vQ,,), F(vQ 


ou 


FRE À Tu ot F(vQ,,.,) 


trois termes du même degré, ce qui a été démontré impossible par ce qui 
précède, On voit par là que, après le terme 


F0.) 


de la suite (7), les termes doivent aller nécessairement en croissant, et par- 
conséquent, pour toutes les valeurs de 4, depuis 4—À-+- 1 jusqu’à = m+-n—1, 
on aura 


ùF(vQ,,,) > dF(vQ,_). 


Il s'ensuit de là, en vertu de (6), que, pour ces valeurs de à, le degré du 
terme 


Q: F(vQ;) 


sera déterminé par le degré du terme F(vQ,,.), ce qui suppose légalité 


SF(Q)) me is), 


En y faisant tour à tour 


i=mrn—l, m+n—2,...., +1, 


2 
on obtient une suite d'équations, qui serviront à passer successivement de la 
fonction 

F(vQ 


m1) 








— 253 — 


aux fonctions 
FO A Fe Re F(vQ, , ). 


De ces équations on tire 


LR ÿ F(vQm1-n) 
RAR ETAT ANNE. 








F(0Q 451) FR 
F(vQn-+-n) 
DF(VQ 2) Imin—1 7 ! 
DF(vQ, .) tee S F(vQm-1-n) 


mn—1 Lmn—2: °° ri 


$ 3. De cette manière on déterminera, au moyen des deux fonctions 
extrêmes de la suite 


F(vQ,), F(00,,,,),.... F(0,,,_,), F(v0,,,) 


les degrés de toutes les autres, à l’exclusion d’une seule fonction 


F(vQ,). 


Pour déterminer le degré de cette fonction, remarquons que la formule (6) 
donne, pour à — À, 


q, F(vQ,) NES F(vQ, ,,) Me F(vQ,_.). 


Comme, en vertu du paragraphe précédent, les termes 


F(vQ,,,), FvQ,_,) 


sont des mêmes degrés que les expressions 








F(vQ mn) 
Am+n—1 Imn—2:... + 
F(vQ mn) 
m1 Em+2: ° 1 


l’une au moins de ces expressions sera d’un degré non inférieur à celui de 








4 F (vQ,). 
et par suite nous aurons 
| er F(vQn) 
èF(v@,) +2 Im+1 Ame: 19) 
ou 
dE (vQ,) ES F(vQm-+n) 


Am+n—1 Im+n—2: :-: 0) +1 a 


— 254 — 
Comme, en vertu du paragraphe précédent, pour 


i=mm+l,m+2,.... À —]1, 


i—1+l, 1=2,.... m+n—1 
on à ou l'égalité 
SF(0Q,) = 5 —— On) 








Im Im+2-.. di 
ou l’égalité 
Fu F(vQ ) 
ÔF(vQ,) — ù me . 
Em-in—1 nm-n—2: "di 


et qu’alors il est évident qu’une au moins des conditions 





Tm+-1 m2: di 


ÔF(vQ,) 2 F(vQn) 





SF (pQ,) = à — msn) _—, 


© Im-n—1 Im-n—2: : di 


que nous avons trouvées ci-dessus pour 


Lx à 


? 


est satisfaite, nous en conclurons que, pour toutes les valeurs de à depuis 
i—m+ 1 jusqu'à à — »-+-n— 1, on aura l’une ou l’autre des conditions 





: : F0 Qm) 
dl (vQ.) = " 
( Q) . Jm+1 Im+2: "di 
ou 





SF (o Q) _ 5 F(vQm-1-n) 


Em+n—1 Im-n—2: "Qi 


Pour ce qui est des limites supérieures des degrés des fonctions 


F(vQ,,), F(vQ,,.,,) 
elles peuvent être déduites des dernières conditions (3), 


do ES, DU TD. 

Pour cela, nous remarquerons que, d’après la formule (2), qui détermine les 

fonctions | 
O,, Os © 


929 FE SR AE D 


on à 
6, =(—1)""#(4,F(v@,)), 


neue F0, F0, D}: 


— 255 — 


d’où il s'ensuit que les conditions précédemment démontrées relativement 
aux degrés des fonctions 


supposent que les fonctions 


! An F(vQ,,), * AE A 7 RAR 
ne sont pas de degrés supérieurs à 


G, Ps 
et que, par suite, 


SF(vQ,) <D2, 


axe 





REA mA 


dF(vQ 


mn 


En conséquence, les limites trouvées plus haut du degré de F(vQ,) se ré- 
duisent à celles-ci, 





SF (0Q) = 3 ——© 


Tim Im+1: °°: di’ 
ou 
ax 


min Imtn—1: "di 





5F(vQ) 7 


Ces formules sont susceptibles d’une simplification notable. 
D’après notre notation, la fraction convergente du développement 


correspondante au quotient incomplet q,, est 


P k+-1 
Ok 


et par suite le produit des quotients incomplets 


D da ge. + 


sera du même degré que le dénominateur Q,, .. 
En vertu de cela, on trouve que les produits 


Tin En-11 * Pas Qi 


Im-rn Tm-1-n—1 use Qi 


— 256 — 
seront de mêmes degrés que les fractions 


Qi, Qm-n+1 à 


pr Qi 


Par conséquent, les égalités que nous avons trouvées plus haut donnent 





DEF (vQ,) 37 Om, où DF(vQ,) < à ——— Qi 


mMmAN+]1 
Et comme, d’après cette notation ($ 1), 


xP } 


Qm-1n+1 


CA 0: 


sont de mêmes degrés que 


ces inégalités conduiront à la suivante: 


dE 





On voit par là que la limite supérieure du degré de chacune des fonctions 


F(vQ,), F(vQ,,,),-... F(v0,,, 


sera déterminée par la plus grande des deux quantités 


no » DS 


a 


pour la valeur correspondante de . 
En supposant que dans la suite 


Que Qu Qu... 


les deux dernières fonctions qui, étant multipliées l’une par l’autre, donnent 
un produit d’un degré inférieur à M+- N soient 


Gi Qu 
nous remarquerons qu’elles devront satisfaire aux inégalités 


8 (Qy-1 + Q) <M+N, 


{ 
(8) . Les 
U O(Q- QD >M+N. 


D 


— 257 — 


et comme 
3 — Me N—5(Q,.Q,..), 


Qi+ 





ces inégalités supposent que l’on a 


| au 





x” 5%, 


ER Qi 
sii—/—1,et que 





Qi 
ou £ x dr 


si 2—/; par conséquent, d’après ce que nous avons trouvé relativement à 
la limite supérieure du degré 


F(vQ;), 
nous aurons, pour — l—1eti= 
| dF(Q,_)< 3% 
x F(vQ) <3 4. 


Nous allons maintenant démontrer que ces inégalités, déduites, comme on l’a 
vu, des conditions (3), exigent à leur tour nécessairement que chacune 
des conditions (3) soit satisfaite. 


$ 4. D’après notre système de notations, 





Pin, Pr Pisu 


— 


Qi Q Qu 
représentent les fractions convergentes du développement 


1 


An. À 





qui correspondent aux quotients incomplets 


T2 Ti? Liu 
En représentant par 
5 


F 


la fraction ordinaire à laquelle se réduit la fraction continue 





+ a & 


Alta 





Qui 
17 


— 258 — 
on trouve, en vertu des propriétés des fractions continues, 


Qu = OS + Qi, T 


Multipliant cette égalité par v, on a 


vQ, tu = VOS + vQ,_, T, 
ce qui suppose l'égalité 


F(vQ,,,) = F(vQ,S) + F(vQ,_, T). 
En séparant les parties entières et fractionnaires des fonctions 
vO,, vQS, vQ_.;, vQ,_, +, 


vQ, er E(v0Q,) Fe F(vQ)), vQ,S Gene E(vQ,S) + F(vQ,S), 
vQ,_, cs E(vQ,_) + F(vQ,_.), vQ,_, T = E(vQ,_, T)+- F(vQ,_., ‘à 


il vient 


par l’élimination de Q,, Q,_., en tant qu'ils sont en dehors des signes E, F, 


on en tire 
F(vQ,S) au à SF(vQ)) 7 SE(vQ)—E(v@S), 


F(vQ,_, T)=TF(vQ,_,)+ TE(vQ,_,)— E(vQ,_, T). 
En portant ces valeurs des fonctions 
F(vQ,S), F(vQ,_, T) 


dans l'expression trouvée plus haut de la fonction 


F(vQ,,,) 
et posant, pour abréger, 


SE(vQ,)—E(vQ,S)+ TE(vQ,_)—E(vQ,_, T)=U, 


il vient 
(10) F(vQ,,,) = SF (vQ) + TF(vQ,_,) + U. 
Comme S et T sont les termes de la fraction simple 

5 

5 4 


à laquelle se réduit la fraction continue 


1 
+ — 
EL Un +,, TL 


— ; 
tp 


— 259 — 
ces quantités seront de mêmes degrés que les produits 


d Tir Mae Diru—: 
Jia Tire° Nr Liu) 


et par suite de mêmes degrés que les fractions 


ru, Qi+u 
7 QE Qi 


formées avec les dénominateurs des fractions convergentes 


Pi, Pit, Pi +u 
Q Qiri Qi+u 





du développement 


5138 1 


D’après cela nous aurons 


DS — 3e, ST 5 Êeu. 
41 


En remarquant maintenant que, en vertu de (9), 
F(Q)<3 5 SF (0Q_,) <D rL 

on trouve 

DS +- JF (Q) — DSF(vQ)< 3 LE, 


ST + dr eQ )=ÈTF(LQ,_ EL ret 


Or, She @ le chap | 
Q. Qi 


est d’un degré non inférieur à M + N; par conséquent la dernière inégalité 
donnera 


STF(0Q,_,)< D Su. 
On voit par là que, dans l’expression de la fonction 
FO eu) 
d’après la formule (10), les deux termes qui contiennent la variable aux 
degrés négatifs sont d’un degré non supérienr à 


17% 


— 260 — 


et par suite 
SF(0Q,..) < 0. 


Si l’on remarque maintenant que 


Ô ne ÿ Qui 
T4 Qu à 
nous en conclurons que 


Dieu FOQ  ) £È LH. 


En faisant successivement dans cette inégalité 
m=0,1,2,....,n+m—Îl—1 


et remarquant que, pour ces valeurs de w., la fonction EN +, atteint seu- 
lement la limite Q@,,,, dont le degré, d’après le $ 1, ne surpasse pas 
N—1, nous en conclurons que 


dg,F (vQ) 0, ds (0Q 4) < 0, Les ES A CR, < 0; 
d’où il s’ensuit que, en déterminant les fonctions 


Verte Noen-s 


par la formule 
| w,—=(— 1) "E(q,F(vQ,)), 
on trouvera 


o,—=0,0,,, —0,....0,,,_, —=0. 


En faisant maintenant  — m+n—7, on aura 
LE AS F(v0,,,1) < 5 msn, 


et par suite, en déterminant la fonction w,,,, par la même formule, on re- 
marquera qu’elle sera d’un degré non supérieur à celui de Qmtnt, 
31 HA 


Comme on a, d’après notre notation ($ 1), 
Ô nan 0, 
on en conclut que 


du 


min p: 


Ainsi nous nous assurons que les inégalités (9) entrainent necéssairement 
les conditions 


do 


_ 
MAN —= pe 


— 261 — 


Pour démontrer maintenant que la même chose a lieu relativement aux 
autres conditions (3), représentons par 

T L T 2 
les fractions convergentes du développement 


1 
T—) +41 +: à 





dy) Ps, 


qui correspondent aux quotients incomplets q,_,, 4 
A l’aide de ces fractions, les fractions convergentes du développement 


ETS + 
Ts Xi he, 


qui correspondent aux quotients incomplets 


Dies ais Dos ad 
seront déterminées les unes par les autres de la manière suivante: 


Pin — Pi) Si + Pi) Ti, Py __ Pi) S2 + Pj_) T2 
QI Qu Si + Qui Ti Qi Q—heS2 + Qui Le 











En résolvant maintenant les équations 


Qi; us Qi .: S; Ps Q_) à I, 
Q= Qi 183 + 0), T 


Qn On 
et remarquant que, d’après les propriétés des fractions convergentes, 


DT — TS, = +1, 


par rapport à 


on trouve pour @,_;, l’expression 
Ed T—-QT.. 


Multipliant cette expression par v, et passant de l'égalité des fonctions à 
l'égalité de leurs parties fractionnaires, il vient 


Æ F(vQ,_,) = F(vQ,_,T)—F(vQ, T,). 
Or, en vertu des égalités 


00, TD =E(Q., T)+F(6Q_., Th vQ_=E(60,_)+ F(Q,.) 
VO, = E(LQT) + FLQT), vQ,= E(Q) + F0), 


— 262 — 


on trouve 


F(0Q,_. T)= LF(Q,_.)+ TE(vQ,_)—E(vQ_, T), 
F(vQ,T,) rs à F(vQ,) + TZ, E(vQ,) — E(vQ, 48 à 


Portant ces valeurs des fonctions 
F(Q., T), FCQT) 
dans l’expression obtenue plus haut de la fonction 


F (vQ,_.) 
et faisant, pour abréger, 


TE(Q_) — E(Q,_, T)— T, ECQ)+E(QT)= P, 


il vient 
(11) + F(vQ,_,)= TF(vQ,_.)—TF(vQ,) + F. 
Comme, d’après nos notations, | 

RER 

T° T 


sont les fractions convergentes du développement 


1 
T—i+i+., 





Qi LEE 
1 


1 
mr 
Un +., 





qui correspondent aux quotients incomplets 


io Qi 
leurs dénominateurs T;, T,, devront être de mêmes degrés que les produits 
Dh (TER ET oo) 
Dir T4 Fat De CPR 
et par suite de mêmes degrés que les fractions 


Qi: ; Q1 j 
Qries: Va 





formées au moyen des dénominateurs des fractions convergentes 


Pin, Pin, Fi 
Qui Qi À 








— 263 — 


de la fraction continue 


+ — 
Lo QU + 





1 
< T—2 + di ss 
, —] . 

par conséquent, on aura 


Qi FIRE "7 
= 5 Q—X 1— 4 » ÔZ, . Qi) 


Mais on a, d’après (9), 


F(vQ)Z0%, SF(0Q,_) 73 7 
on tire de là 


T,F (bQ) = ne, OT (QD 7 — 


xM 
Q— Ve 


Comme, d’après (8), le produit Q,_, Q, est de degré inférieur à M+N, la 
première de ces inégalités nous donne 


èT, 1 F(0Q) < . do. rx 


On voit par là que les deux fonctions 
T, F(vQ,_,), T; F(vQ)) 


sont de degrés non inférieurs à 
aM 


Qi) : 


et dans ce cas, d’après la formule (11) et en remarquant que V ne contient 
pas de puissances négatives de la variable, on trouve 


SF(vQ,_)= aa Dh D S'RA 
ce qui, joint à l'égalité 


ÿ Hi Qu, 


CYR ne Cu 


nous donne 
ùqr_ NACNELTm rie 
En faisant ici 
ÀA=l—m—1,l—m—2,.... 1, 


_ et remarquant que, d’après le $ 1, la fraction 


aM 
QIX 





— 264 — 


reste de degré négatif, il vient 


RES F(vQ,.,,) — 0, MS: F (vQ n +2) < 0, Te CT PIRE (vQ,_.) < 0; 


d’où il s’ensuit que, en déterminant les fonctions 


|: ee os CD 
par la formule générale | 
; ee COS — 1)" E (3; F(vQ))), 
on trouvera 
O1 —=0, 0,2 —=0,...., w,_, = 0. 


En posant dans la formule précédente 
ÀA—=l—m 
et remarquant que, suivant notre notation ($ 1), 


ge" 


de 
In F(VQn) < 5; 


d’où l’on conclut, d’après la formule ci-dessus qui détermine la valeur de la 
fonction w,, que 


= , 


on trouve 


Ainsi nous nous assurons de l’accomplissement des conditions 


w = 0, w 


mMm+-1 0.,.:.. w,., —=0, 


m-+2 


êw,Z5, 
qui, avec les conditions déduites plus haut 


&,—=0,w,,, —0,.... 0 = 0, 


do 


min — Ps 


comprennent toutes les conditions (3). 


On voit par là que les inégalités (4) constituent les conditions non-seu- 
lement nécessaires, mais encore suffisantes, pour que la formule 


uX — Y, 


X, Y étant entières, et X de degré non supérieur à #, puisse donner une 
expression approchée de la fonction v aux quantités près de l’ordre x” 
exclusivement. 


14, 


SUR 


LA RÉSULTANTE DE DEUX FORCES 
APPLIQUÉES À UN SEUL POINT. 


Bulletin de la Société Mathématique de France, publié par les Secrétaires. 
* Tome VI. — Année 1877—178, p. 188—198. 





(Séance du 14 juillet 1878). 





LE. 





LRETEEN 


F) 





fr 
3e 
d 


ce 





























Sur la résultante de deux forces appliquées à 
: un seul point. 


| 1. D’après un théorème sur les angles compris entre les plans qui pas- 
sent par un point, on parvient aisément à une relation très-remarquable 
entre les angles que font les trois forces R,, R,, R,, appliquées à un seul 
point et les résultantes de ces forces, prises deux à deux, savoir: | 





(1) sin (R,,[R,,2,]) sin (R,, [R,,R3]) sin (R3, [Rs, Ri]) us 
sin (R,, [R,,R,]) sin (R;, [R, R;]) sin (B,, [R3, R;]) ’ 


où par 
CB, BI, CR, BR], [Cl EI 


nous désignons les résultantes des forces À, et R,, R, et R,, R, et R,, et 
par 
GB, LR, RD (A, [R, RD, (, Lis, RD... 


les angles entre les résultantes et les forces qui les composent. 

C’est cette équation qui servait de base à deux nouvelles démonstra- 
tions du parallélogramme des forces, données en décembre 1875 par M. 
Darboux dans le Bulletin des Sciences mathématiques, et par moi dans une 
Communication faite à la Société mathématique de Moscou. 

Nous allons montrer maintenant comment on peut trouver, d’après 
cette équation, la valeur du rapport 


sin (R,,[R, ER), 
sin (Ro, [R;, R;]) 





sans rien admettre sur la direction de la résultante et la continuité. 
2. Après avoir remarqué, d’après l’équation (1), que le rapport 


sin (R;, [R;,R3)) 
sin (R,, [R;, R;)) 





— 268 — 


ne dépend pas de l’angle fait par les forces À,, R,*), nous supposons que 
cet angle est réduit à 120 degrés, et nous désignons par ® l’angle entre la 
force À, et la résultante [R,, R,] des deux forces R,, R,. 

Nous obtenons ainsi 


sin (R3, [R,,R3]) __ sin (120°— ®) 
sin (R;, [R, 3) sin @ 





V3 1 
cs Cotg ? + 


Mais on reconnaît aisément que la résultante d’un tel système de deux forces 
ne sera pas altérée si l’on diminue de 60 degrés l’angle compris entre elles, 
et que l’on diminue en même temps la force ZX, de R,; car un tel chan- 
gement de notre système peut évidemment être effectué si l’on y ajoute trois 
forces égales à À, et disposées symétriquement autour du point d’appli- 
cation, savoir: deux forces dans les directions opposées aux deux forces en 
question, et la troisième faisant avec ces forces un angle de 60 degrés. 

Or, pour le système de deux forces R,, À, ainsi i modifié, on aura, 
d’après notre notation, 


sin (R;, [R,—R3,R;]) _- sin (6 eg) 
sin (R;—R3, [R—R3, x) sin ? 





V5 cotg Pire 


ce qui, étant retranché de la formule précédente. nous donne 
sin (Rs, [R1, Ra) sin (Rs, [R; — Rs, R3]) 





sin GE, lus Pa) 880 Gi — Ro Ca RD 
3. En remplaçant dans cette équation À, par 
BR, R,—Ry,, R— PR LE R,—(m— 1) R;, 


que nous supposons toutes ne pas être inférieures à À,, nous “trouvons une 
série d'équations qui donnent 


sin (Rs, [Ro R3]) ____ sin (R;, [Ro — m3, R3]) 
Sin (Ro; [Ro Rs) sin (Ro—mRs, [Ro —mR3, R3]) 





= M, 


ce qu’on peut mettre sous la forme 


sin (Rs, (Ro: El) Ro/1 , Po-MEs B, sin (Ra, [Ro — MRy, Ra]) 
@) er (ire Lo oem D 1}), 








en remplaçant le nombre » par la différence 





égale à ce nombre. 
C’est à l’aide de cette formule que nous parvenons à tirer de l’équation 


(1) la valeur du rapport 
sin (R,, [Ri,R2]). 
sin (R,, [R;, R,]) 








*) Voir la démonstration du parallélogramme des forces de M. Darboux, citée plus haut. 


— 269 — 


4. À cet effet, nous supposons que, pour une force quelconque 7, on 
ait trouvé une quantité Z telle que la valeur numérique de 





rsin(r,[r,r,)) 1 
ri Sin (ri, [r,r1)) ne 


ne surpasse pas ZL pour toutes les valeurs de 7, depuisr,—7r jusqu’à r,—2r, 
l'angle (r, r,) étant égal à 60 degrés. Dans cette supposition, en désignant 
par 4, 0% des quantités comprises entre zéro et 1, nous aurons, pour toutes 
les valeurs de r, == r + 6r, cette formule 


rsin (r,[r,r +06r]) Le. o 
(r+-6r)sin(r+ 6r,[rr+0r) = +0" L. 





Comme il est certain que la résultante ne change pas de direction quand on 
remplace les forces par leurs sous-multiples, on aura de même 


(3) R; sin (R3, [R3,R3+0R:]) 


Ve ES CON 
(R3+0R3) sin (R3+0R3, [R:, R3 + 0R3]) 1=+0 L, 





pour toutes les valeurs de 
(4) R;= = 
n étant un nombre entier. : 
5. Mais, en prenant dans l'équation (2) pour # la partie entière du 

quotient 

(Rs — BR): LR, 
on aura 

R—mR,= k,+0R,, 


et, pour cette valeur de #, l'équation (2) devient 








sin(R;, [Ro R3]) __ F(1 ER R;+0R; R;sin (Rs, [R3, R3 +0R3)]) un 1}) 
sin (Ro; (Ro; Rs)  R; Ro (R3+ 0R3) sin (R3+ 083, [R3, R3+0R3]) ; 
qui, d’après (3), dans le cas de 
R RSS r 
he ! 


nous donne 





sin (R;, [Ro R3]) __ Ro + R+0R 
sin (Ro, [Ro, R3]) BR; [1 ete - L] 


En posant, dans cette formule, 


te ER, 
et en désignant par 
6, ? (ZA ? 


8,0), 0,0 


— 270 — 


les valeurs correspondantes de 4 et 91, nous obtenons 





sin (Rs, [Æi> Ra]) A [1 + th ÿ O1] ne 
sin (R;, [R;, R3]) R; nes BR; : . 


sin (R3, [Ro, Rs]) __ Ro [1 + E; 2e BE; 8,0) L| : 
2 





sin (Ro, [Ro RD R3 


6. En portant ces valeurs dans l’équation (1), nous trouvons qu'elle 
donnera 
1et+08 

sin (R;, [R:R2]) pes RL; R; à 
sin (R>, [Ri; Ro]) 7 Le (ei D 6,0) 


0,0) ZL 








d’où, par la substitution de la valeur (4) de À,, nous tirons cette formule: 








(+ 06)r 
141222" 0,0) Z, 
| _ (BR; ; [R; ; E,]) me E;, B; . . 
sin (R,, [R,,R]) B; 1 + Aæ+o)r 9,(0) Z 
T1, -0@ s 


1 


Comme, dans cette formule, le nombre » peut être pris aussi grand 
qu’on le voudra, et.que les quantités 


oi: 7 à 0,°), 8,0), 


les seules qui dépendent du nombre » et des forces À,, Æ,, restent com- 
prises entre zéro et 1, on trouve, d’après cette formule, en faisant croître » 
à l'infini, 

sin (R,, [Ri, Ro) __ Re 

sin(R,,[R,,R]) 





45, 


LES PLUS SIMPLES SYSTÈMES DE TIGES 
ARTICULÉES. 


(TRADUIT PAR XL. FAXLXSSE EX V. DWELSHAUVERS-DERY.) 


(Revue Universelle des Mines. T, XV, 2-e série, p. 507, 28-e année, 1884.) 


© npPOCMIEUMUXLE COTACHCHIAE. 


(Maremaruuecxi Céopauxe, Hsrasaemnä Mockoscxums MareMaTuyeCKUME O6IeCTBOMS. 
T. IX, crp. 340—851, 1878.) 



















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re 
res 





Les plus simples systèmes de tiges articulées. 


& 1. Dans un article paru au tome XIV des Mémoires de l’Académie 
Impériale des Sciences de St-Pétersbourg sous le titre «Sur un mécanisme» *), 
nous avons montré comment on peut, au moyen de trois barres ou tiges (deux 
manivelles et une bielle) composer un mécanisme tel que le point milieu de la 
bielle décrive une courbe qui, entre des limites fort éloignées, s’écarte peu 
d’une ligne droite; s’en écarte moins que la courbe obtenue par des systèmes 
aussi simples, tels que le parallélogramme simple de Watt et celui d’Evans. 

Nous allons montrer maintenant qu’il existe d’autres systèmes articulés 
qui ne sont non plus composés que de trois pièces, et qui donnent le même 
degré d’approximation à la ligne droite. On les obtient par la substitution 
de certaines tiges à d’autres du premier mécanisme, faite en vue de ne mo- 
difier en rien la trajectoire du point décrivant. En conséquence toutes les 
formules démontrées dans l’article ci-dessus cité restent applicables. 

Nous traiterons par la même méthode le mécanisme que nous avons 
fait connaître dans une Note lue au Congrès de l’Association Française pour 
l’avancement des sciences (Paris, 1878). 





A A 





$ 2. Le mécanisme qui fait l’objet de 
l’article cité plus haut est représenté sur la 
figure 1. Il se compose de deux manivelles 
égales CA, C, À,, tournant autour des centres 
fixes C, C,, et de la bielle AA, articulée 
aux extrémités des manivelles. C’est le point 
M, milieu de cette bielle, qui décrit une c£ 
courbe fort approchée de la ligne droite dès 
que les conditions suivantes sont remplies: 

1) La distance des centres fixes C, C, doit être rigoureusement égale 
au tiers de la somme des longueurs AC +- À,C; + AA,. 





Fig, 1. 





*) T. IT, pag. 51—57. 
18 


— 274 — 


2) La longueur de la bielle AA, doit dépasser le quart de celle des 
manivelles, mais ne pas différer notablement de cette limite. 


AC : 5 
A mesure que AA,—" tend vers zéro, la longueur de la portion 


sensiblement rectiligne de la trajectoire du point M diminue, mais en même 
temps le degré d’approximation à la ligne droite croît plus rapidement que 
ne diminue sa longueur. C’est ce que nous avons démontré dans l’article 
précité dont nous rapportons les formules suivantes: 


AA; 

















ADITTEU 
Me (5 — 2a) (1 + 2a) (4a — 1) 
= AC! (a + 2? ; 
_…— (da — 1} 
C[Vi+: pee 1]VQ —0) +3) 


dans lesquelles Z représente la longueur de la course du point décrivant M, 
et Æ l’écart maximum. 


$ 3. En vue de transformer ce mécanisme (fig. 2), menons les droites 
BM—CA et BC= MA = MA — 
pièces, la droite qui joint le point À, au 
poist C rencontrera toujours la droite MB 
en son point milieu N, 





A 1, Quelle que soit la position des 





ACER. DU | 





_ NO= TAC. 
Ii s'ensuit que le point À, et le point N 
décrivent des courbes semblables dont les 
é ë, : éléments sont entre eux comme 2:1 ct en 
Fig. 2. même temps sont parallèles. Or le point À, 
décrit un arc de cercle dont C; est le centre 
et À,C, le rayon; donc le point N décrira aussi un arc de cercle, dont le 
rayon sera la moitié de À,C! et dont le centre se trouvera sur une droite 

parallèle à A,C!. Soit C;, ce centre, on aura donc 








1 
NC, = D AC; ù 
Il est visible que le point C!, se trouve au milieu de la droite CC;, 


CC,= CC , 


— 275 — 


Maintenant faisons de C,, N une manivelle rigide, de C B une seconde 
manivelle, de BN une bielle que nous prolongeons jusqu’en M, nous aurons 
le mécanisme représenté sur la fig. 3, fournissant 
pour le point JM la même trajectoire que le mé- 
canisme de la fig. 1 et composé du même nombre 
de pièces. 


Les conditions relatives à la fig. 1, V 


2AC + AA 
CC, — ES 
AC 
AA, Ar à Cy C B 
É Fig. 3. 
s’énoncent, pour la fig. 3, comme suit: 


BM+ BC 
5, PRE CORRE. 


LS 


De plus le rapport a qui entre dans les expressions de Z et Æ devient 


62 22 . 
$ 4. Passons au mécanisme dont nous avons donné communication au 

Congrès de Paris, en 1878, et dans lequel 

le point décrivant M ne se trouve plus sur F 

la direction 44,, mais est toujours inva- 

riablement relié à la bielle. Nous considé- 

rerons donc cette bielle comme ayant la 

forme du triangle AMAÀ, (fig. 4) articulé 

en À et À, respectivement aux deux ma- 

nivelles. 





Pour transformer ce mécanisme comme 
précédemment, nous introduisons dans sa Fig. 4. 
composition les lignes MB égale et paral- 
lèle à AC, et CB égale et parallèle à AM (fig. 5); ensuite un triangle 
MBN fixé à la droite MB et semblable au triangle AMA,, de manière que 
l’on ait 


>) 
Q 


(1) MBN= A, AM; 
NB AM 
(2) MB = 44 


18* 


— 016 
Tracçons les droites C4, et CN. Les angles 4, 4C et NBC seront 
égaux, car 
. A 4C= A AM + MAC, 
NBC= NBM + MBC, 


Or A AM=NBM et MAC—MBC parce 
que la figure AMBC est un parallélo- 
gramme. Donc, en vertu de l’équation (2), 








NB CB 
40144 
Fig... et les triangles À AC et CBN sont sem- 
blables, ce qui mène aux relations sui- 
vantes: 
AU AA 
(8) TN = CB’ 
NCB = AAC, 
(4) | CNB = ACA.. 


Dans le triangle À, AC, nous avons 
AA, C=7— A, AC— ACA, — 7 — A AM — MAC — ACA,; 


remplaçant ici 
tr — MAC 
par 
ACB = ACA, + A,CN +- NCB, 
nous obtenons 


AA,C= A,CN +- NCB — A AM, 
ce qui, à cause de l'égalité des angles NCB et À, AC, donne 
A,CN = A AM. 


Aïnsi donc, quelle que soit la position des pièces du mécanisme, les 
droites À,C et NC' comprendront toujours un même angle constant et égal 
à A, AM. De plus, si dans l’équation (3) nous remplaçons CB par son égale 
AM, nous trouvons 


— 277 — 


relation qui indique que le rapport des longueurs CA, et CN des rayons 
vecteurs est aussi constant. 


$ 5. Il s’ensuit que les points À, et N décrivent des courbes semblables 
dont les éléments homologues forment avec leurs rayons vecteurs des angles 
égaux. Et puisque le point À, décrit un arc de cercle dont le centre est C,, 
nous en concluons que le point N décrit aussi un arc de cercle. 

Soit C,, le centre de cet arc de cercle. Les rayons vecteurs C4, et 
C,,N sont respectivement normaux aux arcs élémentaires décrits par les 
points À, et N; et, en vertu de ce que nous venons de dire et du rapport 
des rayons C,4, et CN et de l’inclinaison des arcs élémentaires, nous avons 


ce qui donne, pour déterminer la position du point C:,, 


CNE = CAE, 
(5) CN— TL “46. 
Combinant l’avant-dernière égalité avec l’équation (4), nous trouvons 
CNC:, + CNB = CAC, + ACA,, 
ce qui, ainsi qu'il est facile de voir fig. 5, nous conduit à 
BNC, = AHA,, 


Ainsi, il est fort simple de déterminer la direction de la ligne NC,;; 
ensuite l’équation (5) donne la position du centre C.. 


Le point fixe C,, autour duquel tourne le point N étant ainsi déterminé, 
on n’entravera nullement les mouvements du mé- 
Canisme si on y introduit la manivelle C;,N et 
le triangle mobile MNB. Mais on pourra en sup- 
primer les manivelles C4, et C4 en conservant 
la nouvelle manivelle CB. G; 


LE = cum 


M 


Ainsi l’on arrive à la forme de mécanisme 
représentée fig. 6 qui est exactement l’équivalent C 
du mécanisme fig. 4. 


$S 6. Admettons que le mécanisme fig. 4 Fig. 6. 


— 278 — 


que nous avons ainsi transformé soit symétrique dans sa position moyenne, 
c'est-à-dire que 


MAA — MA À MAC=MAC,; AC—2AC, 
et posons pour plus de simplicité (fig. 5): 


HAA,= HA A=%, 
MAA, = WMA, A ne d, 
AG= AGET. 


Nous trouverons: 


MBN = BMN—=4\; MNB—=7T—; 
CBN=%; CNB— AHA, = 7— 99; 


(6) 4 es ee vo 
BC=— AM=— 4; 


r 


r 





Les deux dernières équations montrent que, dans le cas spécial que 
nous examinons, fig. 7, les longueurs MN, NB et 
CN sont égales. 
D'où il suit que le triangle GC, NB est isocèle 
et que l’angle 
NBC, = ==, 





et puisque 
CNB= 7 — 29, 
il en résulte 
Fig. 7. NBC, dE à 
Or, on a aussi 
| NBC=— 0, 


donc les trois points B, C, C,, sont en ligne droite. 


Ainsi donc le mécanisme symétrique à trois pièces peut toujours être 
remplacé par un mécanisme non symétrique, fig. 7, dans lequel les lon- 
gueurs MN, NB, C;,N sont égales, le triangle MNB isocèle, et les centres 
de rotation fixes C'et C,, se trouvent situés sur la même droite occupée par 
la manivelle CB lorsque le mécanisme est dans sa position moyenne. 


ce 279 


Quant aux conditions nécessaires pour obtenir de ce mécanisme le 
moindre écart possible de la trajectoire rectiligne, on les trouve facilement 
au moyen des relations (6) et de la formule que nous avons donnée dans la 
Note lue au Congrès de Paris en 1878 au sujet du mécanisme symétrique. 
Pour ce dernier, dans l’hypothèse d’un déplacement indéfiniment petit, on a: 


___ 2 cos? .cos 29 
AA SR 


cos 39 Z = 39 — 7". 


Introduisant ces valeurs dans les relations (6), nous avons, pour déter- 
miner les dimensions du mécanisme non symétrique: 


MNB=T—24 = 37—69; 





HER. + PEER cos? @.cos 29 
BC=— RE TJ 1 So ? 
| RE | à 
MN=NB= CNE gong = — ose" 
Faisant 
MN=NRS=CG NER 
nous avons 





2 cos? o cos 2 
BC — tre À. 


cos 39 


Cette dernière valeur jointe à celle de 
MNB = 3r — 69, 


et les conditions que, pour la position moyenne, les trois points C;,, Cet B 
sont en ligne droite et l’angle CBN— », suffisent pour déterminer complè- 
tement le mécanisme. 


$ 7. Les mécanismes non symétriques ainsi dérivés du mécanisme symé- 
trique peuvent servir à la transformation du mouvement rectiligne alternatif 
en mouvement circulaire continu. En donnant aux centres de rotation des 
situations convenables, on pourra faire décrire un tour entier à la manivelle 
CB et alors le point M décrira une ligne sensiblement droite. 

Au moyen des formules données (Note au Congrès de 1878), on trouve, 
pour déterminer ces éléments en fonction de la quantité auxiliaire é, 


—t(2+92)+ V2 

2 12 + 1) K 
(3—1V2—)sinp+2(t— V2 #2) 
(1-+6V2— 1?) cos @ H 


2 V2 — 12 
AA EE —— COR D .F. 
1+1VY2—1®? 


Sin © = 








tang V — 


— 280 — 


Ayant déterminé +, b et AA, à l’aide de ces formules, les équations (6) 
nous donnent pour le mécanisme non symétrique dérivé (fig. 7}: 


| MNB=—7—24; CBN=»; 
CN=MN=NB—= — nd 


PRE tV2—H cos 
2 c08Ÿ  1++V2— #2 cos Ÿ 





BC—= 


Faisant 
NP=.R 
et éliminant r, on trouve 





2 V2 —1? 
Fine dr 


CNE MN=R, 
ce qui, avec les relations 


MNB=7r—24; CBN—=9 


suffit complètement pour déterminer le mécanisme et c’est pour une valeur 
quelconque de t. 

Le choix de cette valeur dépend du degré d’approximation au mouve- 
ment rectiligne que l’on veut obtenir. Plus £ est petit, moindre est l’écart 
maximum dont l'expression est du reste donnée par 


Re. 4 cos Ÿ (1+- 2 # sin p +- 1?) 43 R 
7 [2 sin p + 8t + 2 4? sin ? + 13]? 





La longueur de l’excursion du point M pour un tour entier de la ma- 
nivelle BC diminue également avec la valeur de t, mais pas aussi rapide- 
ment. Elle est donnée par la formule 





: 41V2—1%? 
4 cos ®.cos Ÿ.tV K.E, 


= ne 
lv re 


dans laquelle X est la plus grande valeur que prend l'expression 








(14-42 — #2) .tang? o + 26 V2 — (1 — cos à) | : 
——— —— — tan Sin œ 
| (+42 — 8) — 2% V2 — #2 (1 — cos x) 8? è 


quand on y fait varier « de O0 à 2x. 


Faisons, par exemple, £— 0,15, nous trouvons par les formules ci= 


dessus: 
®—= 32°38'; L— — 44°43"; BC—0,2934 R. 


— 281 — 


Ce valeurs nous conduisent au mécanisme représenté fig. 8, dans lequel 
le point décrivant M engendre à peu près la droite MM, par tour de la 
manivelle BC. | 





Faisant é— 0,15 et donnant à © et 4 les valeurs ci-dessus dans la 
formule qui donne l’écart maximum Æ, nous trouvons que 


cet écart maximum Æ£ — 0,00458 ZX. 


La course / du point générateur de la ligne approximativement droite 


sera 
1— 0,842 R. 





46, 


SUR LES PARALLÉLOGRAMMES 


COMPOSÉS DE TROIS ÉLÉMENTS 


ET SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT À UN AXE. 


(TRADUIT PAR X. W. MESTSCHERSKYX.) 


- © NAPANNCAOEPAMNMMALE , 


cocmomumuxe u36 mpexé o1e.Menmobs u cu mmempurechuxe ohono oOnoit ocu. 


(Hparoxenie «5 XXXIV romy Sanucoxr Hmuneparopckxoï Axraxemin Hayxe, X 3, 
1879 r.) 


sh 
+ 


FU 
Hs 


vs pe 


Ross 


Les 


; 
a 


VE 


re 
PE 
“A 








ns 


Sur les parallélogrammes composés de trois élé- 
ments et symétriques par rapport à un axe. 


——_—__——————— 


$ 1. Dans un article intitulé: Sur un mécanisme *), nous avons indi- 
qué les conditions pour qu’un parallélogramme le plus simple réalise le mou- 
vement qui diffère très peu du mouvement rectiligne. 

Ce parallélogramme consiste de deux manivelles AC'et À,C (fig. 1), de 
la même longueur, tournant autour des axes fixes C'et C:, et de la bielle 4A, 
articulée aux extrémités des manivelles; le point M, qui exécute le mouve- 


A 





ment désiré, se trouve sur l’axe de la bielle AA, à distance égale de ses 
extrémités À et 4.. 

. Nous allons indiquer maintenant les conditions du même genre pour 
le cas, où le point qui a le mouvement désiré ne se trouve pas sur l’axe 
de la bielle AA, mais sur la perpendiculaire MN (fig. 2) également di- 
stante des points À et À.. 





*) T. II, pag. 51—57, 


— 286 — 


Il est facile de voir que dans ce cas le mécanisme considéré comprend 
tous les parallélogrammes composés de trois éléments et symétriques par 
rapport à un axe. 

Les conditions pour que ces parallélogrammes en leur forme générale 
réalisent le mouvement qui s’approche le plus près possible du mouvement 
rectiligne s’obtiennent par les mêmes méthodes que nous avons appliquées 
dans le cas particulier, qui était l’objet de la note citée. 

Toute la différence consiste en ce que dans le cas général les calculs 
sont plus compliqués et par suite les conditions cherchées ne peuvent pas 
être exprimées d’une manière si simple comme dans le cas particulier que 
nous avons examiné, où la longueur de la perpendiculaire MN est égale à zéro, 

Pour présenter ces conditions sous la forme la plus simple possible 
nous introduirons une quantité auxiliaire au moyen de laquelle toutes les 
dimensions des parallélogrammes considérés s'expriment rationnellement. 

Quant à la détermination de cette quantité auxiliaire, elle peut être 
calculée ou d’après le degré de précision que doit avoir le mouvement cherché 
presque rectiligne, ou bien d’après la longueur de la course, sur laquelle on 
désire avoir le mouvement qui s’écarte peu du mouvement rectiligne. 

Les équations qu’on y rencontre alors peuvent être facilement réso- 
lues par approximation. 


$ 2. En considérant notre mécanisme dans sa position moyenne (fig. 3), 
où AA, est parallèle à CC, droite qui 
passe par les axes de rotation des 
manivelles, et par suite les angles ACC 
et À,C;C sont égaux, nous posons 


ACC, = A CC= 0. 











La place du point M, qu’il occupe 
alors, sera prise pour origine des co- 
ordonnées, une parallèle à CC; pour 
axe des x et une perpendiculaire pour 
axe des y. 

En examinant la courbe décrite 
par le point M, nous observons qu’elle 
est symétrique par rapport à l’axe Oy, 

re puisque tout le mécanisme est symé- 
trique par rapport à cet axe; par suite, cette courbe, passant par l’origine, 
touchera en ce point l’axe Ox sans le couper; dans le voisinage de ce point 
la courbe décrite par le point est susceptible de devenir très peu diffé- 
rente de la droite. 








+ 


— 287 — 


Les conditions pour que cela ait lieu peuvent être représentées au 
moyen d’une quantité auxiliaire é de la manière suivante. 

En posant 
; AC AC mt AA —=Q NM—=e, 
nous déterminons les quantités a et c d’après les formules 


T?— 2 





2— T2) [2T—(T?+1)si 
(2) e—!{ SE AA 
où 
: __2sinp(1+é?)+4t(3+ 12?) 
(3) T— TR 5 





Il est facile de montrer que, ces conditions étant remplies, la courbe 
décrite par le point J dans une certaine étendue plus ou moins considé- 
rable ne sort pas de l’espace limité par deux parallèles, dont la distance est 


égale à 
4 (1 + 2 sin .é + 1?2)13 
(2 sin o + 8t + 2 sin pi + tp) 





et se rapproche donc rapidement de zéro, à mesure que la quantité auxi- 


liaire # diminue, , 


$ 3. Pour déterminer les 
positions du point M corres- 
pondantes aux différents an- 
gles que fait la droite 44, 
avec CC! (fig. 4), nous désig- 
nons par « l'angle variable 
compris entre les droites AA, 
et CC,, par Ê et y respective- 
ment les angles ACC. et 4 CC. 
En projetant la ligne brisée 
OO, CANM sur les axes des 
coordonnées et observant que 





AC=1, AN=<, NM=—c, 








7 





et que l’axe Ox est parallèle à 3 
la droite CC,, nous obtenons 
les formules suivantes pour la détermination des coordonnées du point M: 


Fig. 4, 


a . 
G—=— C0, + cos — > cos « + csin a, 


< &::: ‘ 
y = — 00, + sin $— sin « — c cos «. 


— 288 — 


On applique ces formules au cas, où la droite AA, est parallèle à CC; 
observant que dans ce cas 


on obtient les égalités 
0 = — CO, + cos? — +; 


0 = — 00, + sin —c. 
En portant les longueurs des droites GO et O0,, tirées de ces égali- 


tés, dans les équations précédentes, nous aurons les expressions suivantes 
pour les coordonnées du point M: 


x = cos B ++ (1 — cos «) + c sin & — COS y, 


(4) 


y=sinf — + sin a+ € (1— cos &) — sin ?. 


Pour obtenir l'équation entre les angles variables 6 et « nous proje- 
tons la ligne brisée CA4,C,; sur les axes des coordonnées, ce qui nous donne 
les équatious: 

cos 5 — a cos « + cos y — CC, = 0, 


sinf— a sin —siny —0. 


En appliquant ces équations au cas, où la droite 44, est parallèle à 
CC, et par conséquent 


nous avons 
2 cos — a — CC, = 0; 


par suite, les équations précédentes nous donnent: 
cosy — 2 COS ® — cos $ — a (1— cos a), siny —=sinf—asine. 


En ajoutant ces équations après les avoir élevées au carré, nous trou- 
verons l’équation suivante entre les angles variables 6 et «: 


[2 cos ® — cos 8 — a (1— cos a)? + [sinf — a sine} = 1. 


En effectuant les opérations indiquées nous réduisons cette équation à 
la forme: 


(5) [2 cos o—a (1—cos &)] cos B=2 cos? p—a sin x sin f—a (2 cos 9—a)(1—c0s à). 


=— 289 — 


Enremplaçant cosB par V1—sin?$ et élevant au carré, nous trouvons: 
[2 cos o— a (1 — cos a) |? (1 — sin? 8) — 
[a sin « sin 8 — 2 cos’? + à (2 cos — a) (1 — cos )f?. 
Il en résulte l'équation suivante pour déterminer la différence 
sin B—< sin &: 
2 [2 cos o + a (a — 2 cos o) (1 — cos a) [sin B—<sin a | — 
[2 cos o— a (1—cos a) f° [1 — COS” pee D) (1 — cos a) |. 
En portant ici la valeur de a, tirée de (1), et posant 
1 T2(2— T2) 


(6) V=l+-— 


2 (TETE (1 COS æ), 


on trouve l’équation: 
(7) v{sinf—£sinal T'—[1+ (T— 1)v} (1 — cos 9.). 
D'ailleurs d’après les formules (4) nous trouvons que 
sin 6 — . sinaœ—y—0c (1— cos a) +sinv; 


en y portant la valeur de c tirée de l’équation (2) et la valeur de 1— cos « 
d’après (6), nous avons 


2T—(T?+ 1) sin o 





sin — + sin & — y +- sin p — “ (v— 1); 
par suite, l’équation (7) nous donne 
(8) V{Ty+2T—sinp—[27—(T+ 1) sinv]v}— 


[1 + (T2— 1) vf (1— cos 9. v). 


$ 4. D’après l’équation (8) que nous avons trouvée, il est facile de 
faire voir pour quelles valeurs de l’angle & le point M se trouvera sur 
l’axe Or. | 

Puisque l’ordonnée y pour les points de cet axe est égale à zéro, on 
obtient les valeurs de v qui correspondent à la position du point M sur 
l’axe Ox de l'équation (8), si l'on pose 


== 
On trouve ainsi pour déterminer ces valeurs de v l’équation: 


V{2T— sing —[27—(7%+-1)sin o]v = [1-+(72—1) vf (1— cos 9. v). 
19 


— 290 — 


En éloignant les parenthèses et faisant passer tous les termes dans le 
premier membre de l’équation, nous voyons qu’elle se réduit à la forme: 


(9) (v — 1) a —2 sin®.T+ T?) v—1f= 0. 


En portant les racines de cette équation dans l’équation (6) et résol- 
vant l’équation obtenue, nous trouvons toutes les valeurs de l’angle «, pour 
lesquelles la position correspondante du point M est sur l’axe Ox. 


Cette opération effectuée avec la racine 
nous donne 


Lorsque l’angle « prend la valeur nulle, le point H, comme nous avons 
vu ($ 2), parvient à l’origine et la courbe qu’il décrit touche l’axe Ox sans 
le couper. 

Procédons de la même manière avec la racine 


1 
7 1—92sinp.T+ T2? 





V 


observant que cette racine est double, nous trouverons d’après l’équation 
(6) les valeurs de «, pour lesquelles la courbe décrite par le point AZ et 
l’axe Ox auront un contact du premier ordre et par conséquent ne se cou- 
pent pas. 


Il en résulte que le point A, se mouvant à droite et à gauche de l’axe 
Oy, restera toujours du même côté de l’axe Ox. ; 


En considérant la position du point M relativement à la droite repré- 
sentée par l’équation: 
eo 4(1+2 sinp.t+1?)t 
(10) J— Gsno+ +25. +1) 





nous observons que les valeurs de v, pour lesquelles le point A se trouve 
sur cette droite, sont déterminées par l’équation: 





v{ 4(1+2 ne 27 — sing —[27— (1 + Ti) sin g]v | 


(2 sin o@ + 36 + 2 sin p.{?-+-t5 


= [14+(7—1)vf (1 — cos o.v), 


qu’on obtient, en portant dans l’équation (8) la valeur de y tirée de l’é- 
quation (10). 
Portons dans cette équation la valeur de 7 d’après l’équation (3), 


— 291 — 


alors, la réduction faite, on obtient une équation qui, en y remplaçant l’ex- 


pression : 
1 + 4 sin @.6 + 64? +- 4 sin p.63 + t4 
(1—#ÿ 





par celle-ci 
1—2sinp.T+ T? 
1+2sin9.t+t? ? 





qui lui est égale, peut être ramenée à la forme 


1+-2 sin p.t +1? Î—0 
[ +: rose) Done tre) 


En appliquant à la racine double de cette équation les raisonnements 
que nous avons faits sur la racine double de l’équation (9), nous remarquons 
que ce n’est que la racine simple de cette équation 











__{ 1+2sin.t+#t?1\2 
és 1—2 sinp T+ T2}? 


qui peut donner les valeurs de l’angle « pour lesquelles le point M traverse 
la droite (10). 

Par suite, en désignant par «, et — «, les valeurs de l’angle & qu’on 
tire de l’équation (6), quand y a la valeur indiquée, par 


les valeurs correspondantes de la coordonnée x du point M, nous concluons 


que dans les limites: 2 ——x, et 4 —x, le point M reste d’un côté de la 
droite (10). 

Pour les valeurs limites: 4 = —x,, x — x, le point M se trouve sur 
la droite (10) parallèle à l’axe Ox et pour æ— 0 ($ 2) sur l’axe Ox même; 
par conséquent entre æ——#%, et 4—x, le point M passe d’une de ces 
parallèles à l’autre; or, d’après ce que nous avons démontré plus haut, le 
point AZ dans les limites t=— x, et x —x, ne peut pas traverser ces 


droites; ce point ne peut donc pas s’éloigner de la droite parallèle à l’axe 
Ox, menée au milieu entre Ox et la droite (10), plus qu’à la moitié de la 
distance entre ces droites, à savoir 


2 (1+2sinp.t+t1?)t3 
(2 sin o + 36 + 2 sin 9.42 + 15" 








——%, et r—+4%, la limite de l’écart du 
point 7 de la droite mentionnée, passant au milieu entre Ox et la droite 
(10) (nous désignerons cette limite par Æ) a la valeur suivante: 





2 (1-+ 2 sin o.t + +42)13 
] E = + > + 
(A ) (2 sin o + 36 + 2 sin @.12 + 43)? 
19* 


— 292 — 


$ 5. Pour la détermination des valeurs limites «à — +, et 1——+3x,, 
pour lesquelles le point M traverse la droite (10), d’après ce qui a été dit 
dans le paragraphe précédent, nous posons dans l’équation (6) 





Ko 1 + 2 sin @.t + #2 2 
7 \1—2sing.T+ T2]? 


on obtient alors pour déterminer les valeurs & = + «, l’équation suivante: 


PE 2(1— T?}? 1+2 sinp.t+1?2 \2 
(12) CSA —l—7 7x (GR) —1| 








Pour trouver les valeurs correspondantes de la coordonnée x — Ex 
nous portons la valeur de cos tirée de l’équation (5) dans l’expression (4) 
de la coordonnée x, qui devient alors 


sin $ Æ sin « 
Z—=—4Q . © | sin o; 
sn 2 cos ® — a (1 — cos à) a é 


en remplaçant dans l’expression 





2 cos ® — a (1 — cos a) 


a et 1 — cos à par leurs valeurs tirées des équations (1) et (6), on obtient 





2 cos ® — a (1 — cos à) — RE [1 + (T—1)v]. 
En déterminant, d’après l’équation (7), la valeur de 


. a . 
sinf —- sin, 
nous avons 





k À 1+(T2—1 4 
sin f— + sin a — ee a dk Vice, 


sin 8 — — sina Vue — cos? p 


ns 2 cos y 


d’où il vient 





; 


par conséquent, l’expression de la coordonnée x que nous avons trouvée plus 
haut peut s’écrire: 


(13) en sin &. 


On détermine ainsi la coordonnée x du point M pour les différentes 
valeurs de l’angle «; quant à la valeur de v, on la trouve de l’équation (6). 


— 293 — 


L’équation (13) nous permet de déterminer les valeurs extrêmes de 
la coordonnée x — + x,, en y faisant 





1+2 sin p.{ +1? | 


Un 
he À v=( 5 sino.T + T? 


Pour cette valeur de » on a 


1 ds ee) d: : 
V=—cs e=Y| 1+2 sin p.t+t? nd À 


en portant la valeur T d’après l’équation (3), on trouve 








1—2sin9.T+ T7? 1+4 sinp.t-+ 66? + 4 sin p.i + it 
14+2sinp.t+t (1 — 12} ? 





on aura donc: 


] ÆE 2. __y/(1+4 sin @.t+ 612+ 4 sin p.i3+14}2 2 


En éloignant les parenthèses et extrayant la racine carrée, on obtient 











. 


1 2 ___ (14 682 + 14) sin @ -+ 4t (1 + {?) 


Par suite, d’après l'équation indiquée plus haut, la valeur extrême de 
æ se représente sous la forme: 


Ti ——aûa 





(1 + 66? + 14) sin p + 44 (1 + t?) RE GERS 
2 (1— #2} cos y DRE 


En y portant les valeurs de a etc tirées des équations (1) et (2), cette 
équation se réduit à la suivante: 


x 








__2—T?{[T—sinp _ 2(1+2sinp.t+t?)#] . 
a pee LS AC rs pat (1 — #2 Jsine, 
l'angle «, étant déterminé par l'équation (12). 


On trouve ainsi les valeurs extrêmes de la coordonnée x — + x,, entre 
lesquelles le point M ne sort pas de l’espace limité par deux parallèles: 


Er 4 (1 +2 sin p.t + t1?).63 
y 7 (2 sin 9 + 36 + 2 sin @.t? + 432? 


#0: 





par conséquent, il décrit la courbe qui s’écarte peu d’une droite, si la 
‘quantité é est assez petite. 


D'ailleurs la longueur du chemin parcouru par le point M sera dé- 
terminée par ses positions extrêmes; nous aurons donc, en désignant cette 


— 294 — 


longueur par /, d’après l'expression des valeurs extrêmes 4— x, trouvée 
plus haut: 


2(2— T?) FT —sin 2(14+2sinvp.t+t?)t] . 
(14) 1 — —e FT es ]sina. 








$ 6. Dans le cas, où le point doit avoir le mouvement qui s’écarte 
très peu du mouvement rectiligne, lorsque l’angle & varie dans les limites 
étroites, la quantité auxiliaire £ et l’angle «, qui détermine la limite des 
variations de l’angle & seront petits; par suite, toutes les formules que nous 
avons obtenues peuvent être développées en séries commodes pour le calcul 
numérique. 
Nous trouvons ainsi, d’après l'équation (3), 


T=2s8np+3+....; 


en remplaçant 7 par cette expression dans les équations (1) et (2), nous 
obtenons les séries suivantes: 





2 cos 29.cos? in 20.co8? 
FR Ds ne is, 
cos 39 cos? 39 ? 


te 30. 20.cos? 083 o (3 cos 29 — cos 4 
cos 39 cos 39 


2 


En développant l'expression Æ d’après la formule (11), nous avons 











1 3 — 2 sin? 
1 + FA 3 
E=t(ir Er +... )8. 


On substitue à T dans les expressions 





(1 — T2? 1+2 sinç.t+t? ia 
T?2(2— T?)’ 1—2sinç T + T? 


la série qu’on a trouvée plus haut, alors ces expressions se développent en 
séries: 





(4 sin? ® — 1}? ( 3t a 
8 sin? ®.cos 29 sin ®.cos 2p.(4 sin? ® — 1) APRES à. 
‘4 


— 8sinp.{—+ 16 (3sin?o—1)?+....; 


par suite, nous obtenons de l’équation (12) pour 1 — cos «, la série suivante: 





(4 sin? o — 1}? (e 48 sin°ç—62sintq+ 184 ço+1l 
sin @ cos 2? sin @.cos 29 (4 sin? o — 1) ph UE nee bn 


En exprimant sin &, au moyen de 1 — cos«,, on trouve 





sina,— V2(1— cos «,) — (1 — cos «.}, 


— 295 — 


ce qui nous donne, en y portant le développement de 1 — cos «;: 


ing 2y [1 4 56 sinf g — 50 sinto+15sin9, #4 “ 











sin ®.cos 29 sin ®.cos 29 (4sin? ® — 1) 


En portant cette série pour sin «, dans l’équation (14) et observant 
que les expressions: 


2 (2 — T?) T—sing , 2(1+28in9.t+#)t 
REG d SSAACRS PT (1— 12} 








se développent en séries: 


4 cos ®.cos 2 12 cos o.sin 2 
? ROUE 4e 2 











cos 39 cos? 39 PE 
sin 82 sint ® — 16 sin? 9 — 1 
Énro Te (4 sin? ® — 1}? Üt...., 


on obtient, la réduction faite, pour la longueur de la course du point M 
dans le cas considéré la série suivante: 











8 cos 9 V — sin ?.cos 29.# cos3 ® (8 siné o — 6 sin? ? — 1) 
Fe 1 — tL+.... |, 
cos 39 sin @.Ccos 29.cos 39 


$ 7. Nous avons examiné le cas, où l’angle « reste dans les limites 
qui ne diffèrent que très peu de zéro; maintenant nous allons considérer le 
cas, où l’angle « prend toutes les valeurs possibles depuis — x jusqu'à +7. 
Alors la droite AA, fera un tour complet par rapport à la droite CC, et le 
point M décrira la courbe fermée qui sera entièrement comprise entre deux 
parallèles, plus ou moins rapprochées entre elles selon la valeur plus ou 
moins petite de £. 


En prenant + 7x et — 7x pour les valeurs extrêmes de l’angle «, nous 
posons dans nos formules 
A —= TT. 


Pour cette valeur de «, on obtient de l’équation (12) 





EME AU RS, LORR LE | Root re 1+2 sinvp.t+t? D: 
sas T2(2—T?) | \1—2 sin ?.T + T? ? 


d’où il suit 





1+2 sinp.t+ ti? \2 1 
1—28sing.T+12) — (T2—1p 


On déduit de cette équation 





1—2 sinp.T + T? 
— + (T2— 
1+2 sing t+t? = +(T 1). 


— 296 — 


En portant ici la valeur de T° d’après l’équation (3), on obtient l’é- 


quation suivante: 
M4 4sino.{ + 6+4sinop.{t+ 1 — 


H{[$+2sino.f + 36+ 2sinpf —(1—6#)}. 
En résolvant cette équation par rapport à sin ©, on trouve 


—t(2+92)+V2— 12 








er 2(1+#) ’ 
nord) ÆtvVar 
: ds 2 (1 + #2) 


La dernière formule ne donnant de valeur réelle à sin + pour des va- 


leurs assez petites de é, moindres que V+, nous nous bornerons à la pre- 
mière formule. 

En observant, que dans la formule retenue le signe du radical se 
change, lorsqu'on remplace { par —{ et o par —0, nous ne la prenons 
qu’avec le signe supérieur. | 


On a ainsi 
—1t(2+9)+V2— 02 
2 (1 + t?) 





sin o — : 
ensuite d’après l’équation (3) on obtient la valeur correspondante de 7, qui 
se réduit à la forme suivante: 


t+V2—18 
Fr CEE Es 


Or en portant ces valeurs de sin © et de 7 dans les équations (1) et 
(2), on trouve: 
à V2 cos 9; 
1+1V2— 1% ; 


(2—#)t 


Je ee à 


La même substitution effectuée dans l’équation (11), où la quantité Æ 
détermine la limite de l'écart du point de la droite, on trouve pour Æ 
l'expression qui se réduit à la suivante: 


#3 
1+0 





(15) E= + 


Cet écart sera très petit dans le cas, où la valeur de £ diffère très peu 
de zéro; dans ce cas toute la courbe, décrite par le point MW, s’écartera très 


peu de la droite. 


— 297 — 


Pour trouver la longueur de cette droite, qui peut être remplacée avec 
la précision, déterminée d’après l’équation (15), par la courbe, décrite par 
le point M, nous observons que les extrémités de cette droite sont déter- 
minées par le plus grand écart du point M à droite et à gauche de l’axe 
Oy; quant à la valeur de cet écart, on la trouve en cherchant la plus grande 
valeur qu’atteint la coordonnée x du point M, lorsque « reçoit toutes les 
valeurs possibles. 

Puisque dans le cas considéré nous avons 





ME: 
et par conséquent 
T2(2— T3) 4v2 8 
(T2 (+tva—#? 


l’équation (6), qui détermine la valeur de v, se réduit à la suivante: 


24V2 — 12 


in à er AGE — COS &). 





En portant cette valeur de v dans l’équation (13), nous obtenons l’ex- 
pression de + qui se représente ainsi 














2V2—t 
tang? p+- ——, (1 — Cos a) 
. a À (+tv2—#) HE. Pre 
ce 2 2V2— 1 a Le 
1— (1— cos à) 
+tV2— 1) 


où les quantités a, c, © ont les valeurs indiquées plus haut. 

En déterminant d’après cette équation la plus grande valeur de la co- 
ordonnée x et la doublant, nous trouvons la longueur de la droite, de la- 
quelle la courbe fermée, décrite par le point M, s’écarte très peu, si la va- 
leur de é est très petite. 


da Ve 
SE 


ca 





XL, 


SUR LES PARALLÉLOGRAMMES 


COMPOSÉS 


DE TROIS ÉLÉMENTS QUELCONQUES. 


(TRADUIT PAR M. À. XIKKHOMANDRITYITKY.) 


© naparrerorpanmaxe, 
cocmomuuxé use mpexé hahñuxe audo snemenmobe. 


(puroxenie kr XXXVI romy Sanucoks Humneparopcrxoï Araremin Hayx®, X 8, 
1880 r.) 


enr nae porn eee 


(Lu le 18 (30) décembre 1879.) 


a 


Fa ere 

















_Sur les parallélogrammes composés de trois 
éléments quelconques. 


$ 1. Dans le Mémoire sur les parallélogrammes composés de trois élé- 
ments et symétriques par rapport à un axe, lu le 5-me décembre 1878, nous 
avons montré les conditions à remplir pour que de pareils parallélogram- 
mes réalisent le mouvement rectiligne avec la plus grande précision possible. 
Ces parallélogrammes sont composés de deux droites (fig 1) AC, AC, qui 


Fig. 1. 





F c 


tournent autour des points immobiles C, C;, et d’une ligne A4, qui joint 
leurs bouts mobiles; un point Y, invariablement lié avec la ligne AA,, réa- 
lise le mouvement désiré. 

Dans le cas, où AC=A,C,, AM — A, M, ce mécanisme devient symé- 
trique par rapport à un axe perpendiculaire à la droite, passant par les centres 
C, C;. C’est ce cas particulier des parallélogrammes les plus simples qui à 
été l’objet du Mémoire cité. D’après les formules données dans ce Mémoire, 
on obtient les conditions, très simples, qui sont nécessaires et suffisantes pour 
que des pareils mécanismes réalisent le mouvement rectiligne avec la plus 
grande précision possible, lorsque leurs jeux sont infiniment petits. En con- 





+) T. II, p. 285—297. 
% 


— 302 — 


sidérant un parallélogramme dans sa position moyenne, lorsque les angles 
A,AC, AAC, sont égaux, ces conditions peuvent être exprimées ainsi: 

1) Les angles 4.40, AA,C, sont égaux à _ =, À étant la valeur 
commune des angles A AM, AA, M, et n un nombre entier quelconque. 

2) Le rapport de la longueur des droites tournantes AC, 4,C: aux côtés 


AM — AM du triangle AA, M est égal à 





cos? 39 
cos 29. cos? 9? 
o étant la valeur des angles 4, 4C, A4,0C,. 

Dans le cas, où ces conditions sont remplies, le point A décrit une 
courbe qui a le contact du 5-me ordre avec une droite parallêle à celle qui 
passe par les centres C, C., et c’est la limite supérieure d’approximation à 
la droite des arcs infiniment pétits qui peut être obtenue dans le mouvement 
du mécanisme considéré. 

Le cas des mouvements infiniment petits, pour lequel les formules gé- 
nérales, données par nous pour les parallélogrammes symétriques les plus 
simples, se réduisent aux égalités citées plus haut, est digne d’une attention 
particulière comme la limite, à laquelle s’approchent de plus en plus ces 
parallélogrammes, lorsque la longueur de la ligne, décrite par A pendant 
le jeu, devient de plus en plus petite, et du quel diffèrent peu les cas qui se 
présentent en pratique, où l’on ne cherche à rendre la plus proche d’une 
droite qu’une partie peu importante de la trajectoire du point A. Quant au 
passage du jeu infiniment petit du point A au jeu fini, on peut l’exécuter, 

comme nous l’avons montré dans 

le Mémoire intitulé: Théorie des 

Fe mecanismes connus sous le nom 

fe de parallélogrammes *), au moyen 

des fonctions qui s’écartent le 
moins de zéro. 


Fig. 2. 


\ $ 2. Nous allons maintenant 
\ considérer ces mêmes parallélo- 
Lt grammes dans le cas général 
Ca g quand lesdroites tournantes AC, 
is A,C, et le triangle AA,M sont 
\ quelconques (fig. 2). Dans ce cas 

général la limite supérieure d’ap- 
proximation au mouvement recti- 
ligne reste, comme il sera montré plus loin, le même, c’est à dire, les courbes 








C 





*)T. I, p. 111—148. 


— 303 — 


décrites par le point M ne peuvent avoir avec la droite de contact d’un 
ordre supérieur au cinquième. Les conditions pour qu’un tel contact ait 
licu, dans ce cas général, se ramènent, comme nous le verrons, aux égalités 
semblables à celles que nous avons obtenues pour les parallélogrammes sy- 
métriques, à savoir: 

1) Au moment, où le point AZ arrive sur la droite FG, ayant le contact 
du 5-me ordre avec la courbe qu’il décrit, les angles 4,40, AAC sont 
déterminés d’après les angles du triangle AA, M par les égalités 





MAO PRE AA OR IRE, 
où », n, sont des entiers quelconques, égaux ou non; 
2) les rapports des lignes AC, A,C aux côtés AM, A, M du triangle 
AA M, sont déterminés par les égalités: 


* Ÿ 
6 RE cos? (3p +), A101 __ sp cos? (31 — Y) 


5 cos? (o + +) ? 7 à cos? (91 — Ÿ) ? 





AM cos (2 rt 2 — 
où 


A AM + nr 
e= AAC= AT, 


__A44,M+A2n,r 
| AA,C,— 3 ? 





et y est l'angle entre la ligne AA, et la tangente FG au moment, où les 
angles 4, AC, AA,C, ont ces valeurs. 

Quant à la direction de la droite FG tangente à la courbe décrite 
par le point M, cette droite F#G, d’après la propriété connue des courbes 
décrites dans le plan par des points en mouvement liés invariablement 
entre eux, doit être perpendiculaire à la droite AZS, menée du point M au 
point de rencontre des droites AC, AC; ce qui détermine complètement 
la diréction de cette ligne. 

Pour embrasser tous les cas, où le triangle AA,M, dont les sommets 
A et À, se meuvent sur des cercles, décrit par le sommet M une courbe, 
ayant avec la droite le contact d'ordre 5, il faut donner aux nombres # et 


n, les valeurs 
+ 5 ep à 


et on aura ainsi, d’après les formules écrites plus haut, neuf systèmes des 
valeurs pour les angles 4,40, AA,C. En déterminant pour chacun de ces 
9 systèmes des angles 4 AC, A4,C, la direction de la tangente FG, nous 
trouverons ces deux valeurs pour l’angle y: 


y = AGM; y = AGM +7, 


qui donnent pour chaque système des angles 4, AC, A4A,C, deux systèmes des 


— 304 — 


droites AC, A,C,. Nous aurons donc ainsi en général 18 solutions du pro- 
blème qui nous occupe, lorsqu’on considère le triangle AA, M comme donné. 


$ 3. En déterminant l’équation de la courbe décrite par le point M, 
lorsque les points À et À, se meuvent sur des cercles, on remarquera que 
les conditions, sous lesquelles cette courbe aura avec la droite le contact 
d'ordre 5, sont représentées par un système de 4 équations de degrés plus 
ou moins grands. Vu la complication de ces équations, il serait difficile 
d'attendre qu’elles se réduisent aux égalités si simples, citées plus haut. 
On les obtient facilement, en remarquant que pendant les déplacements in- 
finiment petits du triangle AA,M le sommet M se mouvera sur la droite 
FG avec l'exactitude jusqu'aux infiniment petits du 6-me ordre. Et par 
cela, avec le même degré de précision, le mouvement consideré du triangle 
AA,M pourra être déterminé d’après le mouvement des points AZ et À: du 
premier sur une droite, du second sur un cercle, et pendant ce mouvement, 
avec la même précision du 6-me ordre, la distance du point À, au point C, 
doit rester constante. En déterminant les conditions indispensables pour 
cela, on aura aussi un systéme de 4 équations. Mais ce système d'équations, 
au moyen des quantités auxilliaires, se ramène facilement à une équation du 
4-me degré. La solution de cette equation nous donnera des relations, très 
simples, entre les quantités diverses de notre question; par là on aura les 
égalités mentionnées plus haut. 

| Fes. 
Y 








$ 4. En abordant (fig. 3) la détermination du mouvement du som- 


— 305 — 


met À, du triangle AA, M dans le cas, où le sommet A se meut sur la droite 
FG et le sommet À sur le cercle, décrit du centre C avec le rayon AC, 
nous prendrons ce centre C pour l’origine des coordonnées, la droite paral- 
lêle à FG pour l’axe x, la droite perpendiculaire à FG pour l’axe y. 

Nous désignerons par «, B les angles variables formés par AM, AC 
avec l’axe Ox, et nous poserons 


AC=7#r; CF=b; AA =a, AM=m, 
MAA, = À; MA,A = À,, 
CRD, Ch, 
En projetant la ligne brisée CA4, sur les axes des coordonnées, on 


trouve pour la détermination des coordonnées du point À, pour les diverses 
valeurs de « et f les égalités 


æ = Tr COS GB + a cos (A — &); 


y=r sinf + a sin (4— a). 


Afin de trouver la relation entre les angles «, 8, projetons la ligne bri- 
sée CAM sur l’axe y et, en remarquant que cette projection est égale à 
CF— b, nous en déduirons l'égalité: 


b—7r sinf —" sin a, 
qui nous donne 


(1) sing —"#2#+?, 


cos = J/ 1 — ("AE 


En portant ces valeurs de sin 6, cos 6 dans les expressions trouvées plus 
haut des coordonnées du point À,, nous aurons 








œ = Vr?— (m sin « + b}? + a COS (A — a), 


y = M Sin a + à Sin (À — à) + b. 


En désignant par «, la valeur de l’angle variable « tout près de la- 
quelle, selon ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent, les varia- 
tions de la distance du point À, de C, restent infiniment petites d’ordre non 
inférieur au 6-me, et par r, la valeur de cette distance pour &« — «y, nous 
remarquons que l’expression de la distance de ces points 





V{x Ur vUU); 
20 


— 306 — 


étant développée en une série procédant suivant les puissances ascendantes 
de la différence sin & — sin &,, nous donne l'égalité: 





(2) Ve — a) + (y—9) = 7, +XK (sin a — sin a) +. . 


En prenant le quarré de cette egalité et s’arrêtant au 6-me degré de 
Sin œ — Sin &p, NOUS AUTONS: 


@—x} +(y—y)=r + 2r, K (sin « — sin 5) +.... 


En portant ici les valeurs données plus haut des coordonnées du point 
À, on trouve l'égalité: 





[V2 — (m sin a + bÿ + a cos (A — à) — x, f° 
+ [mn sin « + a sin (À — à) + b — y, l 


— + 2r, K(sina— sin «) +..... e 


d’où, en ouvrant les crochets et divisant tout par 2rx,, on obtient l’équa- 


tion: 
a: « a Cos À m sin &« + b\2 
(3) [1—< sin À une 2 cos & | pa 

















m sin À a (b — y) sin À — ax, cos À 
DUR ELLES dre 1. L Jcosa 
ri T&i 
Fes — bd A — ax, sin ÀA—m : 
am cos À 9 __ 4 (y, — b) cos seed 71 sin œ 
Ta Fri 
Tr — 22 — y, (y, — 2b) — a? ° : : 
2 r 1 Yi (a ns PR tn 1 K (sin « — sin &) +. . 
2ræ, Ta 


“ 


$ 5. Nous donnerons à 
notre but, en posant 


cette equation la forme plus commode pour 


; de +1 
SIDA —= — ) 
£2+d 
où 
(4) d = sin «. 


Pour cette expression du sin æ&, on trouve 





de +1 a 
RD EST 2? 


cos & — V1 — sin? «= y/1—| (ES) =" Dette 2PTRETS 





Sin 4 — Sin &, — 





























z2+d 2+d 
5 Vi—( m sinaæ+b\2 _ Vr?(z + dj — [(md + b) 2+ (m + db)f? 
( ) ei r | = r (z+ d) 
pas rd — m — db rd + m + db 
TT r(e+d) ( nel ee à 








— (md + b} 
r (2+- d) 


V(G—gÿ—h?, 





— 307 — 


où nous avons posé 


rd— m — db vd + m + db 
7 — md — b r+ md+0b 


(+ }= (e—g—1) (e—9+h) = (eg) 7. 


En évaluant d’après ces formules les expressions des différents termes 
de l’équation (3), après y avoir remplacé sin & par Le. , et divisant tout par 
le coëfficient de 





2 VE — g} — h, 


nous remarquons que cette équation prend la forme: 








(6) (e+A+uVr— 1) Va —gÿ—R—(P,+ Pi) VAT 
+P,+Pr+ PET. A 
En vertu de cette égalité, d’après laquelle l'expression 
(P, + P,4) Var P, — Pt — Ps 


doit donner la valeur de la fonction 








(++ u Va 1) VE gr 
avec l’éxactitude jusqu’au terme en +; il est aisé de trouver les valeurs des 
coëfficients 2, P,, P,, P,, P, en fonctions de À, L, g et k, et une équation 
entre ces dernières quantités *). Afin de trouver les équations qui détermi- 
nent les coëfficients 
Pi; É) Fe F3, re 


, 


nous développons le premier membre de l’équation (6) suivant les puissan- 


à OP | 


ces descendantes de z et égalons à zéro les termes en DEEE LE y ee 


Cela nous donne 5 équations linéaires par rapport aux quantités P,, P,, 
Py Py Ps Qui les déterminent complètement. En les résolvant, on trouve: 


= Q he + REX + (RE — 1) gu; 

P = Ag + hf + Ag + (42g + (12 — 1))u.; 

= — 5 (Ag 8 — 1) NE — (ON — 1) à — À (agp + 78 — 3) Hu; 
PR + 1)g + (2 — 1) à + qu; 

1, = EG + RE — 1 + Ag) + (49° + 2 — 2) lu. 





*) On reçoit tout cela immédiatement par le développement en fraction continue, comme 
nous l’avons montré dans le Mémoire sous le titre: «Sur les expressions approchées linéaires 
par rapport au deux polynomes». T. II, p. 245. 

20* 


— 308 — 


En portant ces valeurs de 
Pos F3 Pos Per Pi 
dans la formule 








(eu V2) VE —(P,+ Pa) V—1+P.+Ps+P#, 
et en la développant suivant les puissances descendantes de z, on aura la série 


—È (4g? + 3R° — 1)g + (492 +R — 1)2 + (49 + 318 — 3)g8 | 


ne | 89 + 4 (3R — 1) 9 + Ré — 7 + (89° + GR? — 4) à | ; 
161 + (8gf + 4 (8h? — 2) 9? + (2 —1}) pu 24 


qui nous donne, en la comparant avec l’équation (6), les égalités: 
(7) (+ 3h —1)g + (49 + —1)1-+ (49 + 3 — 3)gu = 0; 


8g% + A (3h? — 1)? + hf — 7? + (89° eme . 
—ÿ + (894 + 4 (8h —2)9° + (2 — 1})u ee 


La première ègalité présente l’équation, à laquelle doivent satisfaire 
les quantités À, 1, g, h, d; la seconde nous servira, comme nous le verrons 
plus bas, à déterminer la grandeur de la déviation de la voie rectiligne du 
sommet M de triangle AA, M, lorsque les sommets À, À, se meuvent sur 
des cercles. 

$ 6. Pour passer des valeurs 


P; F,; Pas Ps; ls 


que nous avons trouvées tout à l’heure, à celles qui entrent dans notre que- 
stion, nous remarquons que, d’après ce qu’on à montré plus haut, la for- 
mule (6) doit se réduire à la formule (3), lorsqu'on y porte la valeur de z 


tirée de l’équation 
: de +1 
SN 4 = ——e 
2+d 


Comme on trouve par cette équation que 




















ne | — à sin = 
TN enr 
l __sina—d —sina—d , d(sin ur à AO 
z2  _ l—dsinx  _1—d (1 — dd} ie 
———— — dance —fain à — di RE | 
Var di V(1— d sin &) (sin à — d) ee v1 PA 
sin « — d sin &œ — à ? 
R?2—(9+-d)? . g+{(g?2—h?+-gd+-1) d\? 
h (1—d?) V:- Re . hÜ—d) 





? 


( —gÿ —h? Va —(g+ 4? sin 4—d 


— 309 — 


nous remarquons, en comparant la dernière égalité avec l'égalité (5), que 


h{1— d) ? 
+ (92? —12+ gd +1) d 
h (1 — di 4 


Ve — 9} —— h (1 — d°) y: ed 


R? — (g + dÀ sin « — d 


M P-gvrer 
 & 
(8) É 














En vertu de ces égalités la formule (6), après y avoir porté 
1— dsinax 
sin 4 — d 
au lieu de z, se réduit à celle-là: 


h (1 — d?) EE — 
VE — (g + dÀ (sin «à — d} r 
Pi — Pod + (P5 — P;d) sin « Vi LD cos & 
(sin « — df 











(Ps — Pad + P,d?) sin? à — (2 P,4 — P,(1+ d)+2P,d) sin « 
_ (in « — dÿ 





sa Pad Fe _ Liéina—df.. 
(sin «x — d} (1 — d?}+ xs 





En divisant cette équation par 


h (1 — d?) 1 — dÀ 
Ve = g+ 4; Ena—d}? 





et la comparant après cela membre à membre avec la formule (3), on trouve 
les égalités: 




















— d 
(8) — a AT; 
a __BV1— d? 
am sin À ___P5— P,d Vh?—(9+df. 
Me Led ii ?! 
a (b — y) sin À — ax, cos À __ P, — Pod Vh?— (y + df, 
ra role 1Vi- dd ? 
am C8 À P, — Pd + P,d? Vh?— (9 + d$. 
CL RER 1 — dÀ VIi=& ? 
a (y, — b) cos À — ax, sin À — my, __ 2P,d — Pa (1+ d)+2P,d Vh? —(g9 + dP. 
TT DES 1 — dÀ AE 
2rx RUES 1 — dÀ h (1 — d?) 
(10) "X 


__ LVP—(g+df 
Fe (dpi 





— 310 — 


En divisant la première de ces équations par la 2-me, et la troisième par la 
5-me et la 1-ère, on trouve les égalites: 








À —d 
DS À = ——— 
(11) ta g À Re va: 
ECS 
fans A D 53. pe” 
m ee ne VR? — (9 + d? 
Fr * À — d Vi. 


En éliminant tang À entre les deux premières égalités et en portant la 


valeur de = d’après (8) dans la troisième, on obtient les deux équations: 





À—d Po — P,d 
(12) LT DE — Par PE 
(13) CU ART PT P, 


qui relient entre elles cinq quantités À, 11,9, k, d. Ces deux équations, com- 
binées avec l'équation (7), permettent de déterminer trois de ces quantités 
d’après les deux autres. 

Comme les expressions de 


Li; FE); Es; Ps; P, 


sont des fonctions linéaires des quantités À, 14, l'équation (13), ainsi que 
l’équation (7), seront du premier degré par rapport à ces quantités. En dé- 
terminant d’après ces équations les quantités À, & et en les portant dans 


l’équation (12), nous aurons une équation qui ne contiendra que trois quan- 
tités g, k, d. 


$ 7. L'égalité (13), après y avoir porté les expressions de P,, P,, nous 
donne l’équation: 


gha—1e (agen) dd VERT + [ie — agde + VETEE|à 
+ [Qu —1) g—(@— 1) + age) d | u = 0. 


En résolvant par rapport à À—d et a cette équation conjointement 
avec l’équation (7), on trouve 


(14) 1—d= À, pi, 
où 
N = (89 —2(k— 1)) gd + (49° + 12 —1)g 

— (AG 1) — (8 —1)] (—1)#, 


: — 311 — 


= (— (ag — 8 +1) + (49 — 1) PET ]d 


+ [2 + (49? + 317 — 1) Ve Tr) 9, 
D =[4(R+1)g9 —(l—1}](À—1)d 


ag (ON 1) Q8— 1) + (Age 8 — 8) JTE 


En portant ces valeurs de À— d et 1 dans l’équation (12) et en posant 


(15) Ie, g=ch—d, 


on trouve qu’elle se réduit à la forme: 


[(8c— 40) V1 — d + (1 — Ac?) d V1 — c]h 
+ 8chHV1—C—6G(dV1—c—cV1—d)h — 84h V1 —d 
—(1—48)cV1—d—(34— 48) V1—2—0. 


On simplifie beaucoup cette équation en y portant les valeurs de 
d = sin «, et de c, qui, comme il est aisé de le voir, est égal à sin 5,, où b, 
est la valeur de l’angle variable 6 qui correspond à & == «,. En effet, par la 
formule (1), en y posant 


MES de: pp. Sin &, = 4, 
on aura s 


; e d+b 
sin 8, = —— 





? 


ce qui donne, après y avoir porté les valeurs de — 2 déterminées par les 
formules (8): 


En évaluant d’après les égalités 
d=sinæ, c—sinf, 


les valeurs des coëfficients des puissances diverses de À dans l’équation con- 
sidérée, on trouve 


(3c— 46) V1— + (1 —4c) V1 — © d — 
sin 36, cos & +- cos 36, sin «, — sin (cp + 3B;), 
8cV1—c—4 sin28,, 8dV1—d—4 sin2,, 
G(dV1—c—cV1—d) — 6(sina, cos B,—cos a, sin B,) — 6 sin («y —6;), 
(1—4d)cV1— + (3d— 48) V1 —c — sin (3a, + Bi), 


— 312 — 
en vertu de quoi l’équation se réduit à celle qui suit: 
hi sin (x,+-38,)+-4 k sin 28,—6 k° sin (x; —8,)—4h sin 24,— sin (3a,+6,)—0. 


En résolvant cette équation par rapport à k, on trouve qu’elle se 
décompose en ces deux équations du second degré: 


R2 sin (a, 38,)+ 2% [sin 28,—sin (x,+8,)] = sin (&o — Bo) + sin 2 (a, + É); 
sin (a,+38,)+ 2 h [sin 28,-+sin («+ 86)] = Sin (co — 89) —sin 2 (x, bo), 
qui, après avoir été divisées par 


to + 380 


3 
2 cos 1, sin + 560 


se réduisent à celles-là: 


. 3 . Te. . 3 
8 sin 0 + 2 P sin 2% — sin se 
3 es 3 
8 cos 40 + 2 B cos M — — COS Te fo, 


Et en résolvant ces équations du second degré, on trouve ces quatre valeurs 
de h: 


. 240 + . 340 + Po —T 
ain 2%0 + Bo sin 220 + Po T 


4 
ne .… 49 + 380? nee .… %0-+ 3B80— 37? 
mer. D TANT VEN SE 





in 340 + Bo — 27 


si à 340 + Bo — 37% 


81 














4 4 
LE 00 + 380 — 67? Dont 0 + 380 — 97 
sin 4 sin r 








En comparant entre elles ces quatre valeurs de k, nous remarquons 
qu’elles se déduisent les unes des autres, en diminuant l’angle B, de x et 
en changeant les signes + en —, et — en +. Mais cela correspond, 
comme on le voit par la figure (fig. 3), où 


ACx = f,, AC=— Fr: AM=m, 
et où par (8) 


(=) 
: PES nr 

LE ONE RER VE 
r perse" lo , 


au changement de direction de la ligne ACde x conjointement avec le chan- 
gement de la direction qu’on prend pour positive dans la détermination 
de la longueur de la ligne AC. En vertu de cela les formules qu’on reçoit 
en admettant pour à quatre valeurs mentionnées diffèreront entre elles 


— 313 — 


seulement en ce, qu’au lieu de , elies contiendront ou B,— x, ou B,— 2r, 
ou B,— 3x. D'où l’on voit qu’on obtient tous les cas possibles, si dans les 


formules déduites en prenant 


. 34 +6 
PT à ee 


(16) —." 


. Lo + 380 
sin 4 


on met 6,—#x au lieu de 6,, en désignant par Æ un nombre entier et en 
déterminant en même temps la valeur de À par l’équation: 


4 
sin + 380 — 3h 
4 


g Sin 








k=(—1) 





$ 8. En se bornant d’abord, d’après ce qui a été dit plus haut, au cas, où 


sin %0 + Po — Bo 
k = in co + 380” 
4 
et en portant cette valeur de Z dans les formules du paragraphe précédent 


qui déterminent À— à et x et d’après lesquelles on a 


N N 
1—d=—, = 


et en posant pour abréger 











siné (40 + Bo). sin Lo — fo).sin %Xo r Bo in 34 . Bo 
= F, 
sin #0 Po, in 6 #24 Po, cos do 
on trouve 
«5 .. 3%" : + 
N= FL 6). sin _ Bo sin % ; Bo cos æ. F, 
340 + r ME 





: +3 3 : — 340 + 
ne fo, sin = op. 


D'où l’on obtient les valeurs suivantes pour À-— d et 1: 


[ 3% + Po to — Po 


. sin z— C5 %o 





A. : 
sin — (to + Bo).sin 


À— d = 




















? 
x 2 0 + 389 EA e %o — Bo È 8%0-+P9 
sin Re er cos g (to + Bo) sin 2 sin 3 
(17) 4 
3 AA 
cos = (xp + Bo).sin = . ÊO pin 2 : Bo 
sin? 20 #Po — co8 _ (to + Bo)-sin 2 89 gin 220% Po 


— 314 — 


En portant ces valeurs de À—d et de y dans la formule (11), où d’après 
notre notation V1 — d? — cos % ON Érouve 


tang À — tang _. (co + Bo). 


Cette égalité est trouvée en prenant 


. 3% + 
sin 220 Po 


h== ‘ 


Sa Hope. 
sin <0+ 30 


Pour passer au cas général, où 
: sé 340 + . — kr 
(18) dE a .… &o + 380 — 3kT? 
| sin 2 








nous changeons, d’après la remarque du paragraphe précédent, dans cette 
égalité 6, en 6, — kr, ce qui donne 
tang À — tang £ (a, + Bo — En). 
On voit par cette formule que la différence des angles À et £ (a+B5—#T) 
doit être égale à un multiple de #, ce qui suppose l'égalité: 


A À (204 Bo— hr) +(n— 1)7, 


n étant, ainsi que 4, un nombre entier. 
Mais on voit par la figure (fig. 3), où d’après notre notation 
A AM = À, AMF —0, ACx = 
que l’on a 
CAM = 7 — AMF — ACx = 7 — 9 — Lo, 
CAA, = CAM + A AM = 7 — y — 8 + À. 
En déterminant par la dérnière égalité la valeur de la somme «+6, 


et en la portant dans l’éxpression de l’angle À trouvée plus haut, nous obte- 
nons entre les angles CAA, et À la rélation: 


(19) A— 3CAA,—(2n—3k+ 1). 


Cette égalité nous montre que l’angle À du triangle AA,M et le 
triple d’angle CAA,, qui détermine l’inclinaison de la droite tournante AC 


— 315 — 


à la droite 4A,, lorsque &« = «,, ne peuvent différer entre eux que par un 
multiple de x. Pour faire nos formules plus uniformes, nous nous bornerons 
à l’hypothèse que la différence des angles 3C44, — À contient le nombre 
r un nombre pair de fois. 

On peut se borner à cette supposition, en augmentant de 180° l’angle 
CAA, ou, ce qui est la même chose, en changeant la direction de la ligne 
AC en direction opposée. Dans cette supposition le nombre k doit être im- 
pair, comme on le voit par l'égalité ci-dessus. 

En posant 

k = 2p +1, CAA, = 9, 
nous avons 
A = 3p—2 (n—3p — 1l)r, 


et la valeur de } sera déterminée d’après (18) par l’ègalité 


nn er 
pe . Xp + 380 — 3(2p + 1)7° 
sin 2 











qu’on pourra représenter ainsi 


es 30 + Bo — 6e —1)7 
= œo + 380 — 3(2p —1)T 
cos n 











En observant que d’après (8) on a 


où, comme on l’a vu, 


g+d _ EE 
= sf, d—sin«, 


on trouve que r et » seront liés par l’équation 


340 + Bo —(2p —1)r 
cog 70 + Po — (2p — 1) 

m 4 cos? Bo 
= - . . 
r ao + 380 —3(2p—1)tx cos? & 

cos n1 











Les formules que nous avons déduites pour les angles 4 — A, AM, 
o— À, AC et les lignes r — AC, m— AM ont été obtenues, en supposant 
que pendant le mouvement infiniment petit du triangle AA, M le sommet M 
glisse sur la droite FG et le sommet À sur le cercle C, la distance du som- 
met À, au point C, reste égale àr,—4,C, aux grandeurs du 6-me ordre près. 


D’après la remarque faite au $ 3, cela doit avoir lieu en général, 


— 316 — 


lorsque pendant le mouvement des sommets À, À, sur les cercles, décrits 
des centres C, C:, le sommet AZ se meut, aux grandeurs de 6-me ordre près, 
sur la droite FÆG, ou, ce qui est la même chose, décrit un are, ayant le 
contact d'ordre 5 avec cette droite. Dans ce cas le sommet À, se trouve 
dans les mêmes conditions que À; par conséquent les angles et les lignes 
adjacents à ce sommet doivent aussi satisfaire aux équations que nous 
avons déduites pour les angles et les lignes adjacents au sommet À. 
Par cette raison en posant (fig. 4) 


Fig. 4. 





Éà 








A EE, =6,, AA M=—A,, AA,C=9,, À, M=—m,, 
et en changeant dans les formules trouvées plus haut 


Lo; Bo À, p,7,M,N,?P 
en 
ds Pis dis Dis Ve Mis Mis Dis 
nous aurons ces égalités: 


A = 39 — 2 — 3p, — 1)7; 





me" cos nl cos? Bi 
P _  +38—3,(2p, —1)x cos? a, 
4 





cos 





— 317 — 


$ 9. Les égalités que nous avons déduites relativement aux angles du 
triangle ÀA,M les déterminent complètement d’après les angles o — 4, AC, 
9, = AA,C,, malgré les entiers inconnus , p, n,, p, qui y figurent, parce- 
que ces nombres y entrent multipliés par 27. Par suite, lorsque les angles o, 
o, et le côté 44 — a du triangle AA, M sont donnés, nous le déterminerons 
complètement. En connaissant ce triangle et sa position par rapport aux 
droites AC, 4,0, déterminée par les angles donnés oç— 4,40, o, — AAC, 
il sera aisé de trouver la direction de la ligne FG. 

Dans le mouvement considéré du triangle AA, M les droites C4, CA, 
étant normales aux arcs décrits par les sommets À, À,, la droite MS, me- 
née par le point M :et le point d’intersection des droites AC, AC, doit 
être perpendiculaire à la droite F#G sur laquelle se meut le sommet Y. 
Après avoir déterminé ainsi la direction de la droite FG et en remarquant 
que dans notre système des coordonnées l’axe des x est parallèle à cette 
ligne, il est aisé d’obtenir les angles 


CAE Bo &; Br 


que font les droites AM, AC, A, M, AC, avec l’axe des x dans la position 
du triangle, où son sommet M se trouve sur la ligne FG, En désignant par 
y l’angle que fait alors la droite AA, avec FG, nous déduirons des triangles 
AGF, AGM, A,GM, A,GG, les égalités: 

AMF = MAG + AGM = À +, 

AFM=7T—FAG — AGM=T——7Y, 

A,MG = AA M— AGM = À, — *, 

AGM=7T—CA A+ AGM=T—9, +7. 


D'où, d’après l'égalité des angles 


AMF = AEC= 04, AFM = ACE =, 
AMG= A, Et=u,, AE,C= AG M=$,, 
il suit 
= AH, D —=T—p—Yu— Ad —7y; fi —T—p +7, 


ce qui nous donne, après y avoir porté les valeurs trouvées plus haut des 
angles À, À!: 


2 Bey np De re 
M = —y—2(n—3p—lnf=T—-p+. 


— 318 — 


En portant ces valeurs de &,, B,, «, 8, dans les formules ($ 8) qui détermi- 


m M 
nent les rapports —, —, on trouve 
































PU 
É 2 cos? (39 + Y) 
_ — — — 5 . 
m ee (2 Feu SE =) cos? (o + y) 
F Sd niT 
pee se 2 cos? (391 —Y) 
LL — — D — 
M cos (291 Y + Les —. cos? (p, —Y) 
et comme on a 
Y—MT Y+MNT 
COS de cos RENE" DRE COS 7,T, 
y —(8n — 8p)zx\ __ Y+ANT 
cos (2e + à —= COS | 29 + ——), 
Y + (Br, — 8p1)x\ __ Y+aT 
cos (20— 5 = COS (29, — ——-)cosn,T, 
ces formules se réduisent aux suivantes: 
É ne + NT 
RER 2 cos? (39 + y), 
FRONETR j 2 ? 
cos (2 PA di . =) RER) 
(20) 4 
Y + MT 
SANTE Lis 2 cos? (39, — Y) 
Li — Ë st. 
M Cos (2e. and 7 cos (@1 Ÿ) 





$ 10. Afin de déterminer l’angle y qui entre dans ces formules, nous 
remarquons que d’après la propriété connue des lignes droites menées d’un 
point aux sommets d’un triangle, ce qui a lieu par rapport aux droites S4, 
SM, SA, (fig. 4), on doit avoir l'égalité 


sin AMS __ sin MAS sin AA,S 
sin AMS sin 4,AS sin MA,S? 








où, comme on le voit par la figure, 


AMS — FMS — FMA = + — %; 

A MS — GMS — A MG — FE — à; 

MAS = 7 — CAA, + A AM =7T—09+ 4; 
A AS = 7r—CAA, =7T—9; 


— 319 — 
AAS=T—-CAA=T—9,, 
MAS =7m— CA, A+ AAM=r—9, + 4;; 
en vertu de quoi cette égalité nous donne 


cos ap ___ sin (A — +) sin ®1 
COS4, sing sin (Ai — @) 








En portant ici les valeurs trouvées des angles À, À,, nous aurons 


CoO8%p __Sin2® sinv: 
COS4, sin sin29,? 








ce qu’on réduit, en remplaçant sin 29, sin 29,, par 2 sin ® cos®, 2 sin, COS®,, 
à cette formule très simple: 


cos cos 
(21) 2. 
cos a; cos 





En remarquant que, d’après ce qui a été dit plus haut ($ 9), on a 
y —= 39 + y — 2(n — 3p —]1ljr, 
da —= 3p; — y — 2(n, — 3p, — Ll)r, 

_ nous en déduirons l’équation 


cos(3® + Y) __ cos ? 
COS(3P — Y)  CoS P,” 





qui détermine l’angle y d’après les angles o et o,. On donnera à cette équa- 
tion une forme plus commode pour l’évaluation de l’angle y, en la présen- 


tant ainsi: 
cos (39 + y) — cos (39, — Y) __ cos p — cos ?, 
cos (39 + Y) + COS (39, — Y) cos p + cos p, ? 





ce qu’on ramène à l'égalité: 


3 A 

tang E (@ — 1) + r| tag A 
(22)  — — ue 
cotang + (+ pi) cotang a 








$ 11. En déterminant l’angle y par l’équation (22), on trouve pour 
lui entre les limites O et 2x deux valeurs, dont la différence est égale à +. 
Il n’est pas difficile de montrer qu’en donnant dans nos formules à l’angle 
y ces deux valeurs et en prenant n, », égaux à zéro, on aura toutes les so- 


— 320 — 


lutions de notre problème. Pour cela nous montrerons en premier lieu que 
ces deux nombres ne peuvent différer entre eux par un nombre impair. 
On peut l’apercevoir d’après l'expression de la grandeur 


Ti 

R, 
qu'on tire de ces formules. Comme, dans notre système des coordonnées, 
l’origine se trouve au point C et l’axe des x est parallèle à la droite FG, 
la grandeur x,, qui représente l’abscisse du point C;, sera égale à la pro- 
jection de la distance entre les points ©, C sur la droite FG. Cette pro- 
jection, ainsi que la ligne a — AA,, ont dans notre question le même rap- 
port au sommet À du triangle AA,.M qu’au sommet À,; donc la formule qui 

Ti 


détermine — ne doit pas changer de valeur lorsqu’on y change 


?; &o; n, n 
en 
Dis Lis Mi —Y; 


qui ont la même signification par rapport aux sommets À, À, du triangle 
AA, et cela suppose, comme nous le verrons, que # — », est un nombre 
pair. | | | 

En effet, par la formule (9) on trouve 


A PE rm he, 
a sin À Vds À1— d 





Comme d’après notre notation 
d=sinc, 1— dd — co, 
et d’après (17), en supposant 


. 300 + 
sin 2%0 + Po 


4 
R = ——— ; 
dr an 380 
4 


On à 





Eu .… 300 + Bo :. Xo— 
sin = (to+- Bo) sin 0 + Pop sin — 80 cos % 


Rs ae 4 Æ 


; 3 - trie : Ets 
sin? #00 — cos À (s0-+ Bo) sin © sin ._ Bo 








la valeur de 
TL 











a sin À 
sera représentée par la formule 
3 
COS 4. COS + (co +- Bo) COS &p: sin? 20 F9 
SIN & + jan : 
: 3 : REUE 8 ne 
sin . (xo + Bo) sin & (o:-6 Bo) in 2" Po . sin % 7 Bo 


— 321 — 





où les deux premiers termes pris ensemble donnent 


2 
+ 3 
J sin 3 (t9+- Bo) 





et le dernier, en y remplaçant les expressions 





; . 3 . er Le 3 2 
| gina 0%, sin “ = 0 sin mr 70 


par leurs équivalents 


1 0 + #) 1 %o + Bo 
(1 O8 Jr à | COB——— — COS }, 
se ramène à 


(: — cos en) COS 49 





sin :. (to + Bo) cos D — COS % | 


En vertu de cela cette formule nous donne: 








æ, sin in + Bo) (1 — cos “2 Po cos % 
2 %o + 380 
* = (08-22 — 
a sin À 2 %0 + Bo 
COS ——© — COS 9 
2 
Nous avons déduit cela, en supposant 
it 340 + Bo 
+ 
h sin 0 + 360 ; 
4 


Pour passer au cas général, où 
k : 
: F sin Sur res 
k st Er 1) .… Lo+ 380— 3kx” 
sin no 





on doit, d’après ce qui à été dit au $ 7, mettre ici 8, —kx au lieu de 8,. 
On obtient ainsi la formule 











PR» Go + 380 — 347 
&, Sin — (ox — k LE 2 9 
1 Sin = (20-+ Bo — Ér) — pop co + 380 — Sr (1 cos = ) cos % 
a sin À He 2 40 + Bo — #T Ë 
COS ——— — COS Gp 
21 


— 322 — 


Après avoir trouvé d’après les expressions de k, 4, «,, B,, données 
dans les $$ 8, 9, les égalités 





sin £ (ao + 8 — kr) = sin (39 — 3nr + 37) = —(— 1)" sin 39, 
cos + “ho M) cos (y + nr — 7) = —(— 1)" cos y, 


sin À — sin (39 — 2 (n — 3p— 1)7) = sin 39, 


&0 + Bo — À 


cos D = cos (p— nr +7) —=—(— 1)" cosy, 


nous déduirons de la formule précédente 





i (— 1)" + cos y 
Pa rit À cos? 
1+(— 1) — 
cos «p 


En changeant ici «,, ®, y, % en &,,®,, —Y, »,, nous trouverons, 


d’après ce qui a été dit plus haut, pour la même grandeur "1 


— encore une 
autre formule: 


(— 1) + cos y 
[SP 
cos 4, 





En comparant entre elles ces deux expressions de 1, où d’après (21) 


cos ® COS 
a ? 
COSap COS, 





nous remarquons, qu’elles deviennent identiques seulement lorsque 
(es 1)" = (— 1e, 


ce qui suppose que la différence n — n, est un nombre pair. 


Après s'être persuadé que dans nos formules les nombres » et n, ne 


peuvent se différer que par un nombre pair, et en observant que d’après la 
composition des formules 








ans LEE 
AR 2 cos? (39 + y) 
= — Û , x 
cos (29 + IE) cos? (p + Y) 
Y+MT 
NE EURE | cos? (39, + Y) 





PENSE 
” cos (29, — ITU?) cos? (pu — +) 


les nombres » et », peuvent y être faits >> — 1 et << 2, nous concluons 
que par rapport à ces nombres ne sont possibles que deux hypothèses: ou 


— 323 — 


ils sont tous les deux égaux à 0, ou tous les deux égaux à 1. Mais ces deux 
cas seront compris dans un seul système des formules: 








M Es È cos? (39 + », 
. cos (2 + + PEER 
(23) _ 
RE cos . cos? (391 — v, 
Ne (2e . | COS? (?1 — 7) 





où l’angle y peut avoir deux valeurs différents entre elles de x, qu’on tire 
de l’équation (22). 

Ainsi d’après les angles o, o, et l’angle y, déterminé par l’équation 
(22), on trouve la grandeur des rapports 


| 4 à 
LI 
—) — 


? 
m M 


d’où, d’après les longueurs m—AM, m,—A,M des côtés du triangle AA M, 
on trouve les longueurs des lignes r = AC, r, = A,C. 

Dans le cas, où le triangle AA M sera donné, nous trouverons les 
angles +, ©, qui entrent dans nos formules, en remarquant que, d’après ce 
qui à été dit au $ 8 par rapport à la détermination des angles À et À, du 
triangle AA,M, on trouvera les mêmes angles À, À,, en prenant pour 9, 
o, ces valeurs diverses: 


SR __A+2r ___A+4r 
| ouate À Sont SR 0 dome RE EE 


4 AE. ERA 
5 mr 2 2 Corde EAU d'iRsRT 








En combinant entre elles ces valeurs des angles , ©,, nous trouverons 
9 systèmes divers des grandeurs o, ©. En déterminant, pour chacun de 
ces systèmes des angles o, o., l’angle y par l’équation (22), on trouvera 
pour lui deux valeurs; en vertu de quoi le nombre de solutions de notre 
problème dans le cas, où l’on suppose le triangle AA, M donné, sera en gé- 
néral égal à 18. 


$ 12. Nous allons maintenant nous occuper de la détermination de la 
grandeur des écarts du sommet M du triangle AA, M de la ligne droite, 
quand les sommets À, À, se meuvent sur des cercles déterminés plus haut, 
en ne considérant que les positions du triangle qui sont infiniment proches 
de celle où le sommet ÆZ se trouve sur la tangente, ayant le contact d’ordre 
5 avec sa trajectoire, et dans tous les développements nous nous bornerons 


aux premiers termes. 
21* 


— 324 — 5 


Nous commencerons de nouveau par la supposition, que le sommet M 
se meut justement sur la droite FG, et le sommet À, décrit une courbe 
très proche de l’arc de cercle C! (fig. 5). 


Fig. 5. 


| 
l C 
! 











c æ 


Soit 4’A,M, une position quelconque du triangle 4A,M dans ce mou- 
vement, infiniment approchée de celle, où le sommet 4, se trouve sur le 
cercle C;, et où, par notre notation, 


CAA, = 9; CA A—9;; 
a— AMF = 0; B— AC 8. 


Alors le point 4’, ne se trouvera plus sur le cercle C,, et sa distance 
du centre C, différera du rayon r, — 4,0, du cercle par la grandeur 4°$, 
pour la détermination de laquelle on reçoit d’après (2) une telle formule: 


AS = K (sin — sin a) + .... 


Pour passer au cas, où le sommet À, se meut justement sur le cercle 

C;, et le sommet M sur la droite FG approximativement, nous supposerons, 
que le triangle 4'4’,M, tourne autour du point 4° jusqu’au moment, où son 
A . . , / 

sommet À, arrive sur la circonférence C,. En supposant que le sommet À, 
arrive au point g dela circonférence C,, et le sommet M,, quise trouvait sur 





— 325 — 


la droite FG, arrive au point #, nous observons, que les lignes infiniment 
petites 48, 4’,4, Mit seront liées entre elles par les égalités: 


Mt __ A'M, 


AS = À" . cos g À'S; pur —= Ur UR 


Or comme on a 

AM = AM=m, AA = AA = a, 

AS = AAC; —4'A'g = AAC, — à 
et que l’angle 44°C, diffère infiniment peu de l’angle AA,C —9®,, ces 
égalités nous donnent 

, / . M,t 
A,5 — 4,g:sin, FA mir 

d’où, en éliminant 49, on tire: 


m AS 
a sin?’ 





Mt= 


ce qui, après y avoir porté la valeur de 4°S donnée plus haut, se ramène 
à ce qui suit 
Mi=K" (sin a — sin ap) 


a sin 9 





D'un autre côté, en déterminant la distance du point é de la droite 
FG, on trouve qu’elle est égale à 


Mt.sin FM, 
et comme l’angle FMt est égal à + — FM.4/ et l'angle FM, 4’ diffère 
infiniment peu de l’angle FMA — «,, cette expression se réduit à celle-là: 
Mt.cos «,, 


ce qui, après y avoir porté la valeur Mt trouvée plus haut, nous donne 
pour la détermination de la distance du point £ de la droite FG la formule 


suivante: 
M COS Lo 
a Sin 





(sin & — sin &,) +.... 


D'où l’on voit que dans le mouvement considéré du triangle AA,M, 
l’ordonnée y du point M, lorsque « diffère infiniment peu de «,, aura la 
valeur: 


re jee Mm COS Xp : #.4ù à 6 
y= CF Kane (C4 sin «) +... 





En remplaçant ici la différence 


Sin œ — sin à, 


— 326 — 


_ par 
.(a— &) cos a, +... 
on trouve : 
m cos? « 6 
y—=CF—-K— D(a—a) +.... 


a sin, 





Cette formule nous montre, comment l’ordonnée y du point M varie 
avec la variation de l’angle &. Pour trouver la relation entre les variations 
de x, y du point M, nous allons maintenant déduire la formule qui donne 
la valeur de x du point M pour les valeurs de « très proches de «,. 

Pour cela nous remarquons que la grandeur x est égale à la projection 
de la ligne brisée CAM sur l’axe de x; par conséquent | 


x = AC, cos ACx + AM. cos AMF. 
En portant ici les valeurs 


AC ACER AM nm AMEN, 
on trouve 
æ = r COS É + m cos &. 


En différentiant cette valeur de x par rapport à «, et en remarquant 
que d’après (1) 








dB _mcosa 
du r cosB? 
on trouve 
dx __ . ndB EN sin (« + 8) 
a —"sinps—m sine MT. 


En vertu de cela nous concluons qu’au voisinage du point 
Z=MPF, y FC 
où a— 4, 8 — $,, l’abscisse & aura la valeur: 


sin (49 + Bo) 
nn aitu Rise CE (a — 4) +. ne 

En déterminant de cette équation la valeur de la différence à — a, et 
en la portant dans l’expression de l’ordonnée y trouvée plus haut, on aura 
la relation suivante entre x et y: 





am sin y, Siné (&o + o) 


7 68. K 
y CF PR MN. 


que nous représenterons ainsi: 


y=Yy +K,(c—x)+...., 


an GOT 


en posant 
Be FM; y CF, 


pe cos? 49 c0s6 8, À 
0 amS.sin 9, Siné (40 + Bo) 





Cela nous donne l'équation de la courbe décrite par le sommet M 
du triangle AA, M au voisinage du point «=#,, y—=%, où elle a le con- 
tact d'ordre 5 avec la droite. 


$ 13. Pour déterminer la valeur du coéfficient X, qui entre dans 
cette équation, nous observons que d’après (10), où 


DUT EE 


— 2 
1 — d = cos «,, 





= C08 D. 
les coéfficients ÆÀ et Z sont liés par la relation: 


_ ___ ræcosfiZL 
E— r, Cos10 &, (1 — dÀ) 





en vertu de quoi l’expression de X,, donnée plus haut, se réduit à celle-là: 


Ki à ræ, cos? 8, L 
0 am r, cos à, sin y, sin$ (49 + Bo) (1 — dÀ) 





En portant ici la valeur de x, d’après (9) et les valeurs des angles 
À, , B, d’après les formules du $ 9, on obtient 





rs r cos? (9 +- y) sin 39 L 
0 m$r, cosë (39 + y) siné 29 sin?, À — d 


En passant à la détermination du rapport 


L 
| RME À 


À — d 


qui entre dans cette expression du coéfficient K,, nous évaluons la grandeur 
L d’aprés la formule du $ 5, en y portant les valeurs de À, 4, trouvées dans 
le $ 7, et en prenant 


: Es 3%0 + x emtie 
SET 20 + 380 — 8% 
sin 1 











En divisant la valeur de Z ainsi obtenue par la grandeur À —d pour 


— 328 — 


la même valeur de =, on trouve, toutes réductions faites, pour la détermi- 
nation du rapport de Z à À — d une telle formule: 


k T 
sin? sin$ (t9+ Bo—ÀT) 





38%0 + Bo — k 
os 1 








Lo + 380 — 3kr sin 0 + ques Ex 


2 AE x 
COS do Sin = (to + Bo — kx) sin* à 2 


En portant ici la valeur de 4 — 2p + 1 et les valeurs des angles À, 
%, B,, données dans le $ 9, nous aurons: 





‘ —"" . 
Fi cos (29+ 5 sin 29 


À— d 





: cos (3? +- y) sin 39 cost ET sin 


En observant, d’après l'équation (20), que 











: Y + ANT È 
sis (2 SEE __m? cost (39 + Y) 
"— +2 cost(o + r) ? 
PES M Tr? cos4(o + y) 
on déduit de cette formule 
SR m? cos3 (30 +- y) sin3 29 
À—d à 


82r? cost (o +- y) sin 39.sin @ cos? . 


où d’après le $ 11 nous avons mis y au lieu de ÿ + nT; en vertu de quoi 
l'expression trouvée plus haut du coéfficient Æ, nous donne 





1 cos (p +- y)\3 
K,= ; F y \ m sin 2o ) s 
82rr, sin @.sin 9, cos? — 
$ 14. D’après cette formule il n’est pas difficile de montrer que pour 
les valeurs finies de r, r,, m, m,, le coéfficient X, dans l’équation 


y=Y+EK, (c—x)+.... 


ne peut devenir égal à zéro, et par conséquent la courbe décrite par le 
sommet M du triangle AA,M dans la question considérée ne peut avoir 
avec la ligne droite de contact d’ordre plus élevé que le 5-me. 

Afin de le montrer, nous observons que le coéfficient Æ, ne doit 
changer de valeur lorsque dans son expression on remplace les grandeurs 
rélatives à l’angle À 

p, M, 7, is "T 


par celles-ci 


Pas Mas Vis 3 —Ÿ: 


qui ont la même rélation à l’angle À.. 


Nous aurons ainsi une nouvelle expression du Æ, 


Fe 1 Le (Gi — nŸ. 


82r,r sin 9, sin ® cos? + pas er 





On voit par ces deux expressions du coéfficient KX, que pour des va- 
leurs finies de r, r,, #, m, il ne peut s’annuler que lorsqu'on satisfait aux 
équations 
(24) cos {pp y) — 0, cos (9, — y) = 0, 
d’où il suit que 


7 24-+ 1 NE | Aa 
VD a nn PET PE ES 








où g, g sont des nombres entiers quelconques. De ces égalités on trouve 
par l’addition et la soustraction 


. fo+n=q+d+1r, 
lo—o+2y—(q—dr. 


Mais on voit par (23) que les égalités (24), pour des valeurs finies de 


r, M, T;, M, Supposent ou l'égalité 


ie 
cos — 0, 


ou les deux égalités 
cos (39 + y) — 0, cos (39, — y) — 0. 
Dans le premier cas on trouve que 
y=(29 + 1)r, 
qg” étant un entier, En portant cette valeur de y dans l’équation (25), on en 


tire 


: Monte (a — 2q"— _ à. — (d + 2q + 2) Tr. 


Et en déterminant les angles du triangle AA,M qui correspondent à 
ces valeurs de o, o,, on trouve, d’après le $ 8, que chacun des angles 4, 


À, doit contenir un multiple impair de — ce qui est impossible. 


— 330 — 
En passant à l’hypothèse 
cos (39 + y) — 0, cos (39, — y) — 0, 


nous observons que ces égalités conjointement avec les égalités (24) sup- 
posent 


w[e, 


P=5m Dh 
q, g étant des nombres entiers. Si qg, g seront tous les deux impaires, les 
angles À, À, deviennent de nouveau impossibles. Si l’un d’eux est un nombre 
impair et l’autre pair, on ne satisfait pas à la première des équations (25). 
Enfin, si tous les deux nombres g, g seront pairs, l’angle y d’après (24) 
devra avoir la valeur 

ve 290 + 1 . 


des arr 
g, étant un nombre entier. 
Mais pour de telles valeurs de ©, &,, y dans l’équation (22), écrite 
sous la forme 
cotang _ (p+91) tang [5 @—9)+ x 


La tang nu Pa 








cotang ns 


0 ; 
le premier membre deviendra & ou +, selon que la somme ® + +, se ré- 
duira à x répété un nombre pair ou un nombre impair de fois, tandis- 


Ps : 
que le second se réduira à & ou à , 
duira à x pris un nombre impair ou un nombre pair de fois. En détermi- 


nant la valeur du premier membre pour les valeurs de +, +, très proches 


selon que la différence p — o, se ré- 


! 

de LT, LT, en supposant q, q être des nombres pairs, on trouve que pour 
J . Q 3 1 « . 

ces valeurs sa limite est ou --, ou ie D'où l’on voit que pour de telles va- 


leurs de +, ®,, y on ne peut pas satisfaire à l’équation (22), et par consé- 
quent la dernière supposition est aussi impossible. | 


$ 15. D’après l’équation 
y=Y+K, (c—2,)+.... 


. l l É 
on trouve qu'entre les limites t—2—- etx—, + l'éloignement 


du sommet 7 du triangle AA, M de la ligne droite ne surpassera pas 


Ko 76 
D un 





— 331 — 


en négligeant les puissances supérieures de / et supposant en général la 
grandeur ? être petite. En portant ici la valeur de ÆX, que nous avons 
trouvée, on aura 





1 ee (e+ :) ps 


2048rr, sin ® sin 9, cos? + sr 


pour la limite des écarts du sommet M du triangle AA M de la voie recti- 
ligne, la longueur du jeu étant égale à L. 


Ces déviations peuvent être faites beaucoup plus petites d’après ce que 
nous avons montré dans le Mémoire sous le titre: Théorie des mécanismes 
connus sous le nom de parallélogrammes. Pour cela, après avoir déterminé, 
comme on l’a montré plus haut, les longueurs des lignes AC, À,C, et les 
places des centres de rotation C, C,, il faut chercher quels changements 
doit-on apporter aux uns et aux autres, afin que la courbe décrite par le 
sommet M du triangle AA,M rencontre la droite aux points, dont les ab- 
scisses aient de telles valeurs: 


: 


l l 

0 0 0 

To — 7% C8 15°, %,— cos 45, &, — - cos 75’, 

x, + cos 15, x, + cos 45°, x, + cos 75° 
0 2 a 2 #0 2 : 


Lorsque cette condition sera remplie, les écarts de la voie rectiligne 
du sommet JZ du triangle AA, M sur toute la longueur / du jeu, resteront, 
comme le démontre l’Analyse, entre les limites: 





Sa 1 (e (po + 2} 6 
? 


in 2 
65536rr, sin o sin ?, cos? _ péanh 


el CS à LE 
65536rr, sin @ sin 9, cos? _ mice 





16, 


SÛR LES FONCTIONS | 


QUI S'ÉCARTENT PEU DE ZÉRO 


POUR CERTAINES VALEURS DE LA VARIABLE. 
(XRADUXX PAR C. À. POSSÉ.) - 


© hynhuiaxe MANO yOarmouuxca OM HYyAA 


npu nshomopuxé berurunaxe nepe.mrennou. 


(Hparoxenie x& XL romy Banucorr WHuneparopcroÿ Axaremin Hayxe, X 8, 
1881 r.) 


—————_—_— 


(Lu le 23 décembre 1880.) 














Sur les fonctions qui s’écartent peu de zéro 
pour certaines valeurs de la variable. 


$ 1. Si une fonction entière F(x) s’écarte peu de zéro, entre les li- 
mites & = — h, x — + h, elle ne peut atteindre en déhors de ces limites 
une valeur considérable pour x peu différent de — X ou de + » que dans le 
cas où le degré de cette fonction est assez grand. Nous allons montrer main- 
tenant de quelle manière, d’après le degré de F'(x) et la limite supérieure 
de son écart de zéro pour les valeurs de x entre —h et +, on pourra 
trouver la limite supérieure de sa valeur pour æ == Æ en déhors des limites 
— het -+h. Or, comme toutes les valeurs de la fonction F(x), tant entre 
les limites 4 = — h et x — +-}, que pour æ — H, peuvent être modifiées 
dans un rapport voulu à l’aide de l'introduction d’un facteur constant, nous 
allons nous borner, pour simplifier l’exposition, à la supposition que la fonc- 
tion F(x) ait une valeur donnée M pour x — H et nous allons chercher 
ensuite parmi toutes les fonctions entières, satisfaisant à la condition 


F(H) — 


et étant d’un degré donné », celle qui entre 4 = —h et 4 = + h s’écarte 
le moins possible de zéro. En désignant par Z le plus grand écart de zéro 
entre &—= —h et x—= +} d’une telle fonction et remarquant que pour 
toute autre fonction du même degré et ayant la valeur M pour x — H le 
plus grand écart de zéro entre = —h et x—+h SuEpesere L, nous 
devons conclure que le rapport 


M 
ER 


correspondant à la fonction considérée, représentera la limite supérieure du 
rapport de la valeur d’une fonction entière de degré n pour + = Æ au plus 
grand écart de zéro de la même fonction entre x—-—h et x —=+h. 


236 — 


$ 2. Passant à la détermination de la fonction F{(x) sous les conditions 
mentionnées, remarquons qu’étant de degré » et se réduisant à Æ pour 
x = H, elle doit avoir la forme 


A) F)—=(pe" + pe +... .+p,_x+p,) (x —H)+ M, 


Pis Passe Par D, désignant des constantes. Ces constantes dans la fonction 
considérée se déterminent d’après la condition que cette fonction entre 
æ = —h et x — + h ne surpasse pas les limites — Z et + Z, entre les- 
quelles ne peut rester aucune autre fonction de la même forme pour les 
mêmes valeurs de la variable. Pour déterminer les valeurs des constantes 
Pis Passe Ph P, d’après cette condition nous allons nous appuyer sur 
le premier théorème de nôtre Mémoire sous le titre: «Sur les questions de 
minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions *). 
Ce théorème est applicable à la détermination des coefficients de la fonction 
F(x), cette fonction aïnsi que ses dérivées restant continues et finies entre 
a——hetx—+h. 


En vertu de ce théorème et désignant par 


les diverses valeurs de la variable +, pour lesquelles la fonction F(x) entre 
æ——h et x — + h atteint ses valeurs limites — Z et +- Z, nous con- 
cluons que le système de » équations 


dF(x) 





AF(æ2) Le. 
dF'(x;) dF (32) dE (ty), __ 
Er eee re L +... Re Mn ce 0, 
aF (x) aF (x:) Pts 
ET À, + rs h+....+ %: À, = 0 
aux 1. inconnues 
es FA fe Un, Ts À, 
doit avoir une solution où les valeurs des y inconnues À,, À,,...., ne 


sont pas toutes égales à zéro. 





+) T. I, p. 273—378. 


— 337 — 


En déterminant d’après (1) les valeurs des dérivées 








dF(x;) dF(x) dF'(xy) 
"°°; d 
dF(x) dF(x) dE (ay) 








dp, : De © 0e 


0 0. ee 


aF(x) dF(x)  4F(x) 
dPn 4 dpn °°° dPn 








et les portant dans les équations précédentes, nous trouvons que celles-ci se 
réduisent au suivantes: 


FH) ht (A) + (m,—H)a 2,0, 


G—R)a + (a—H)a, he... + (x —H)2*.A,—0, 
D den de das sr mc en se see se us 


@—H)\+(@—HA+....+(@,—Hà,=0. 





$ 3. La quantité ÆJ étant en déhors des limites 4=—}, = +, 
entre lesquelles se trouvent toutes les 4 quantités 


Dis Tyroeoe Le; 


aucune des différences 
°&, — H, X— H,...., Met : ( 

ne peut se réduire à zéro. Cela posé, nous allons montrer que le nombre 
des inconnues À,, À,,.... À, dans le système d’équations trouvé ci-dessus 
doit surpasser le nombre » de ces équations, pour qu’on puisse leur satis- 
faire par les valeurs de À,, À,,.... À, différentes de zéro, comme cela doit 
nécessairement avoir lieu, d’après le théorème mentionné, pour la fonction 
F(x) que nous considérons. 


En effet, si w ne surpasse pas », le produit 
(x —%3) (t—%).... (&—2,) 
se réduit à un polynôme de degré inférieur à », qui péut être représenté par 


M + De +... 
22 


— 338 — 


En désignant ce polynôme par o(x), nous remarquons, d’après sa dé- 
composition en facteurs, que 
= — 1%) (Gi —1%)....(@ — 2); 


(x) = 0, p(m)—0,...:... p(&)= 0. 
Remontant aux équations (2), les multipliant respectivement par 
>. QE à AP ADETSE . d 
et prenant leur somme, nous obtenons l’équation ci-dessous: 
Cal (&) A+ (a — À) o (te) +... +, —H)o (x) A, = 0. 
En y portant les valeurs trouvées plus haut des fonctions | 


? (t,), 9 (te), TRS 9 (x), 
nous remarquons que cette équation se réduit à 


(x, — À) (t, — 3) (x, — 3)... (&, — æ,)À A À À 
d’où il suit 
À 9, 
parceque la différence x, — H, d’après ce qu’on a vu, est différente de zéro 
et les quantités x,, &,,.... æ, sont différentes entre elles. 
On démontrera d’une manière analogue que pour 4 <n les équations 


(2) donneront 
Jo 6,, …, A,= 0. 


On voit d’après cela que le nombre x, qui indique combien de fois la 
fonction considérée entre æ——h et x — + atteint les valeurs limites 
— L et + L sans les franchir, doit être plus grand que »; donc l’équation 


(3) F?(x) — L°= 0 


doit avoir au moins n + 1 racines entre æ——h etx—+h. Parmi ces 
n + 1 racines il y en aura au moins »— 1 différentes de —% et de +4; 
ces n — 1 racines ne peuvent être racines simples, car, x passant par une 
racine simple de l’équation (3), F?(x) franchit la quantité L?, ce qui est 
contraire à l'hypothèse. 


— 339 — 


. En remarquant d'autre part que les racines multiples de l’équation (3) 
vérifient l’équation 
F'(æ)=0, 


de degré n — 1 d’après (1), nous concluons que l’équation (3) ne peut avoir 
plus de n— 1 racines multiples. En les désignant par 
FAR MENT RER 


n—1? 


nous arrivons à la conclusion, d’après ce qu’on a dit plus haut, que le premier 
membre de l’équation (3) est divisible par le produit 


@—2) @G—2) G—2)....(&c—2,_}. 
D'ailleurs, il est facile de voir qu’il est aussi divisible par le produit 
(G—h) (x + h). 


En effet, l'équation (3) ne peut avoir, comme on à vu tout-à-l’heure, 
plus de #— 1 racines multiples; or, entre = —}% et x — +}, d’après 
ce qui precéde, se trouvent au moins % + 1 racines, donc deux de ces ra- 
cines doivent être simples. Mais, comme on a remarqué, les racines simples 
de l’équation (3) ne peuvent être que 


= —h, = +h, 
ce qui entraîne la divisibilité de son premier membre par le produit 
(@—h) (x+h). 
C’est ainsi qu’on s'assure que la différence 


F(œ) —L? 
est divisible par 


G—u) (a—2) (ù—2)....(@—x, 
et par 
(GG —h) (x+h)—2— 1, 


cela veut dire, par leur produit 


@— 2) @—a) (c—2)....(x—2x, _) (a —7à), 
22* 






UNIVERSITY 


Va te 


— 340 — 


Remarquant encore que d’après (1) ce produit est du même degré que 
la différence | 
F?(x) — L?, 


nous en concluons que cette divisibilité entraîne l’égalité 
F?(x) — IL? — C& — 2%) (x—m)....(x—x,_* (a —h, 
C désignant une constante. Cette égalité nous donne l’équation 
(4) F°(œ) —L'= (a — 1h) (x), 
D(x) étant une fonction entière, définie par la formule 
(5) D(a)= + VC(z— x) (&—%)....(t—2,_), 


où le signe du radical + VC se détermine de la sorte que le terme du plus 
haut degré de ®(x) ait le même signe que le terme analogue de F(x). 


$ 4. En abordant la détermination de la fonction F(x) d’après l’équa- 
tion (4), remarquons qu’elle peut être écrite sous la forme 
F?(x) — (2 — 1?) D (x) — L?, 


d’où l’on déduit, en décomposant la différence 


F?(x) — (x — 1h?) D (x) 
en facteurs 
(F(x) — D(x) Ve =) (F(x) + (x) Vr —H), 
l'égalité 


F(&)— (x) Va — TR — _ 
F(x)+ D(x)Va?—h? 





ce qui nous donne après la division par ® (x) l’équation 


FO Lyme 
(6) D) Va —} — OGIF(G&) +0 VE] 





A l’aide de cette équation, comme nous avons montré dans le Mémoire 
mentionné ci-dessus, l’expression de la fonction cherchée F(x) peut être 
obtenue par le développement de V4°— X? en fraction continue. Nousallons 
montrer maintenant comment cette fonction peut être trouvée sans le secours 


— 341 — 


des fractions continues. Remarquons dans ce but qu’en désignant par P, 5 Q 
les fonctions entières représentées par les égalités 





| …. (x + Va? 5)" + (x — Var)" 
ue 2 ; 





F 
(D) | = (x + Var he) — (x — Va? — a À 
2 Væx?—h? 
on trouve 


P—QVE—R—(x— Var). 
Or, remarquant que le produit 
(œ+ Va) (x — Va) 
est égal à X?, nous aurons 


x — Vai — h? — 


x+ Va? —h?? 


en vertu de cela, l’égalité précédente donne 


n?2n 


(x + Va? — =) 


P—Q Va — I — 





d’où l’on obtient, en divisant par Q, 





NC SEE T- n2n 
+ — VER ee 


F{x) P I? pen 


D (x)  - D(x) [F(x) + D(x) Va té] cs Q(æ+ Va? —h)" 








ce qui nous donne, en multipliant par (x).Q, l'équation 


=. eo 110 + MMOG) 
Pa: PRE ET cuve (x+ Van)" 








En considérant le second membre de cette équation, nous remarquons 
que les deux termes qui y entrent représentent des expressions de de- 
grés négatifs, les fonctions Z?Q, k°" D(x) aux numérateurs étant de dégré 
n— 1, d’après (5) et (7), tandis que les fonctions F(x) + D(x) Va®—H, 
(@ + Var 7 12)" aux dénominateurs sont de degré », d’après (1) et. (5). Par 
conséquent notre équation, dont le premier membre représente une fonction 


— 342 — 


entière, ne peut être satisfaite que dans le cas où l’un et l’autre de ses 
membres se réduisent à zéro, c’est à dire, lorsque 


F(x)Q— D(x)P— 0. 
On trouve de là 


F(x) __ 
D) — CL 


et remarquant que d’après (4), (5) et (7), la fonction F(x) n’a pas de fac- 


teur commun avec ®(x), non plus que P avec Q, nous concluons que F(x) 
ne peut différer de P que par un facteur constant; donc 


F(&) = CP 


C, désignant une constante. Cette valeur de F (x), en y portant l'expression 
de P, tirée de (7), nous donne 





2 —Vri hi) 
F9 = 0 PETER) ue Va? —h?) : 


$ 5. Pour déterminer la constante C,, remarquons que d’après le $ 1 
la fonction F(x), pour &æ — H, est égale à M. En faisant dans l’expression 
trouvée de F(x) 

X== MH, 
nous aurons 





F(H=C, (H+VH?— Due +(H—VH— BR)" 


ce qui, étant égale à M, nous donne l'équation suivante pour l’évaluation 
de C;: 
C Em 2 Et où ln ES 
var que "9 


2 





d’où l’on tire 
2M 


Ce VAE) + (8 — VE) 





En portant cette valeur de C, dans l’expression de F{(x), on obtient 





(x + Van)" + (x — Va —R)" 
FOYER (Ha VHE—R) + (EVA) 


Ainsi s'exprime la fonction entière de degré », qui, étant égale à M 
pour æ = H, s’écarte le moins possible de zéro dans l'intervalle de x ——h 


—.343 — 


à æ — + h, ne comprenant pas la valeur & = H. Pour trouver Z, la limite 
de ces écarts, remarquons que l’équation (4) nous donne pour &æ =} 


u F° () ae I}, 
d’où 
L= F0. 
En posant x — k dans l’expression trouvée de F'(x) nous aurons 


2Mh" 


FD = 2 GR: 





en vertu de cela l’égalité précédente nous donne 


2Mh" 


Have) + (GG -VE-W) 





s ‘ ; M 
d’où l’on tire l'expression suivante du rapport —: 


M _(4+vVH-R) +(H— LE DL 4 
T = 2h 





qui, d’après le $ 1, représente la limite supérieure du rapport de la valeur 
d’une fonction entière de degré x pour æ — H au plus grand écart de zéro 


de la même fonction entre æ——Àh et x — +h, en supposant que A est 
extérieur à l'intervalle entre x = —h et x = +. 
En représentant l’expression trouvée sous la forme 
FAR De DS : > H? *\ /H H? n 
(8) 2 =2 eV) +6 —1)] 


et mettant au lieu de 





H FRE à 
h Pre 
l'expression équivalente 
H H2 —1 
(y — L) & 


nous trouvons 


BE VE (EVE 


Cette égalité donne pour la valeur de 


H H? Us M 
GrVstil= 


— 344 — 


l'expression 
- H? 1) M:i:53/4 


GS dE Date 


Pour savoir lequel des deux signes + doit être pris dans cette for- 
mule, supposons qu’on ne donne que des valeurs positives aux quantités À et 
H: dans ce cas on aura 


H H3 n, /[H H? n 
G+Vr der a 
par conséquent d’après (8) 


H H3 n M 
en ne 
Cette inégalité nous montre que l’égalité obtenue ne peut être satis- 


; re ; Me : 
faite qu'avec le signe supérieur du radical VA — 1, et qu'on doit avoir 
par conséquent 


et A Mme à. 
h h? ) LE ? 
d’où il suit 
H / H? Se M? | 
5 AY NT ) PA RUE Tor 


Or, en déterminant d’après cette égalité le nombre », nous trouvons 


M M? 
RSR Pin 


A 1H Me à 


ce qui donne la limite inférieure du degré d’une fonction entière dont le 
plus grand écart de zéro entre 4——h et &—+h est égal à L et qui 
prend la valeur M pour æ— H non compris entre 4=—h et x = +}. 
Toutes les quantités k, H, L, M sont supposées positives. 


n 





S 6. Nous allons nous occuper maintenant de la même question par 
rapport à la fonction trigonométrique de la forme 


{ À, + À, co8® + À, COS 29 +. ...—+ À, cos ng 
(9) 

| + B, sinp + B, sin 29 +....+ Bb, Sinny, 
que nous désignerons pour abréger par 


f(@). 


— 345 — 


Nous supposerons connue la valeur de cette fonction pour une certaine 
valeur 


 P—P 


et nous désignerons, comme ci-dessus, cette valeur par MW; nous allons cher- 
cher ensuite parmi toutes les fonctions de la forme (9) qui satisfont à l’équa- 


tion 

f (?,) = M 
celle, qui s’écarte le moins possible de zéro entre deux limites données 
D = — Po, ? = + Do, la valeur +, n’y étant pas comprise. 


Pour réduire la fonction f(+) à une forme algébrique, introduisons 
une variable æ en posant 


tang += x. 
En tirant de là 


2x 1— x? 


RQ ALT satef 7 ET 5 Va 


nous remarquons que la formule (9), après la substitution des valeurs des 
sinus et cosinus des angles multiples de ©, se réduira à la forme: 


Con + Ca +. + Con 
(æ? + 1) 





? 


Co Ci... C,, désignant des constantes. 
En posant 
(10) Cr" + Cr +. ...+C,=F(x), 


nous pouvons écrire l'expression de f (+) sous la forme 


F 
(11) F(e) — (x? Tr 4 
Or, en posant 
(12) tang © eus tang © nd - À 


nous remarquons que d’après (11) l'égalité 


fo) =M 


à laquelle doit satisfaire la fonction cherchée, se réduit à la suivante: 


— 846 — 
D'où il suit 
(13) F(4)=(2+1"M, 
ce qui entraine la réductibilité de la fonction F(x) à la forme 


RE + pe + + np) (@ —H)+ (2 +1)" M, 
où 
Pis Paso Porn 


désignent des quantités constantes qui doivent être déterminées par la con- 
dition que la fonction 





f de F(x) LL 4 pe + Don) (c — H) + (H?2+ 1) M 
ep @? +1} 
entre æ— — } et æ = + h s’écarte le moins possible de zéro. 

En désignant par L le plus grand écart de zéro entre t——h et 


æ— + h de la fonction cherchée et appliquant le théorème déjà cité, nous 
arrivons, à l’aide des raisonnements exposés aux $$ 2, 3, à l'équation 
suivante à l’égard de la fonction F(x) 


F° (2) — L(e + 1)" = C(a— M) (x —2,) (@— 2)... .(æ—x,, _), 


Li, Toy. Ty _ désignant des quantités réelles inégales. 


Cette équation se réduit à la forme 


(14) F2(x) — L'(2? + 1)"— D(x) (x? — h?). 
en posant 
(15) D(& = + VC (&—x;) (G—2)....(x—x,_.), 


où le radical doit être pris avec celui des deux signes # pour lequel le 
rapport 
F(y —1) 
V—1Vi+n.d(v—i) 





se réduit à une quantité positive. 


$ 7. Passant à la résolution de l’équation (14) nous remarquons que 
pour 
elle donne 
F(V—1)=—(41-+2) (V1); 


d’où il résulte, après l’extraction de la racine, 





FD -200E 0 VIP, V1, 


— 347 — 


où, d’après ce qu’on vient de dire sur le choix du signe dans la formule 
(15), l’on doit retenir le signe supérieur, ce qui donne 





(16) F(V—= 1) = 06 (=) Vi 1.— 1. 


En posant | AL 
——V—]1, 


_ dans cette équation, nous trouvons 
F(—V—1)=8(—v—1) (12), 


d’où l’on tire, en extrayant la racine, les deux valeurs suivantes de F(—V —1): 





PV D = VIE OV) V— 1: 
TR DV TI) VI. 





A ces deux valeurs de F(— V — 1) correspondent, comme nous le verrons, 
deux solutions différentes de l’équation (14) dont la recherche va nous occu- 
per maintenant, 


En nous arrêtant au cas de 

(17) PORT VI Pat. Vi) I. 

désignons par P et Q les fonctions entières, déterminées par les égalités: 
| P=+ (Ve teV—m)" (VR+I1—VE—2)"], 


(18) Du doi 
Lo (| 





En déterminant à l’aide de ces égalités les expressions de la somme 
P+ QVa—1@ et de la différence P — Q Va? — h?, nous obtenons: 


P+QVr = (VR+1+ VE x)", 
P—QVE— = (VE +1 VE)", 


Ces expressions étant multipliées l’une par l’autre donnent 








PQ) =| (VTT S) (VIE) | = (01). 


Il en résulte que 
(19) P?= Q(a?— Dh?) + (22 + 1)”. 


— 348 — 


En multipliant cette valeur de P° par celle de Æ*(x) qui d’après (14) 
est égale à la somme + 
D(x) (2? — 1) + L'(2 +1)", 
nous trouvons 


P2, F5) —Q°.D(æ) (28h) + LA (a8+-1) "+ (he) (2241) "T L2Q+ Dax) |, 
ce qui donne 4. 
P2 F2) —@Q Da) (2h) = LA(a8-+- 1)" (08) (22 1)" L2Q8+ Da), 
d’où l’on déduit, en décomposant le premier membre en facteurs: 
[PF (x) + QD (&) (a —18)] [PF(&) — QD (x) (& — H)] — 
(a+ 1) [LA (a + 1) (at — 2) (LPQ + D(x))]. 


Or, comme il est aisé de montrer, le premier facteur du premier 


membre 
PF(x) + QD (x) (x? — TÀ) 


ne se réduit pas à zéro pour x=#+V—1, racines de l'équation 4°+ 1—0. 
En effet, en vertu de (16), (17), (18), pour æ = + V— 1, on trouve 





F(EV—=1)=V=1 Vi+m&(+vV—i), 
P= 92" (+ 1)"; Q —= 


n — 


des, à n—3, 
= (+ 1) 2 





d’après cela pour ces valeurs de x l’éxpression 


PF(x) + QD (x) (a? —1®) 
se réduit à he 
V—1.2"" (1 +) EH V—1); 


Or, cette expression ne peut être égale à zéro, la fonction ® (x), d’après (15), 
n'étant égale à zéro que pour les valeurs réelles 4—4%,, %,,....4,,.. 
Après avoir montré ainsi que le premier facteur du premier membre 
de l'équation obtenue ne se réduit pas à zéro pour les racines de l’équation 
a + 1—0 et n’a, par conséquent, pas de diviseur commun avec (x?+1}", 
nous pouvons conclure, en vertu de la même équation, dont le second 


membre est divisible par (x? + 1)”, que 
P.F(x)— Q.®D(x) (x? —1®), 


le second facteur du premier membre, est divisible par (x? + 1)*. 


— 349 — 
D'ailleurs, en représentant les équations (14), (19) sous les formes 
(F (x) — D (x) Ve T7) (F(x) + D (x) Va — À) = LA (a + 1)", 
Cu QVr— 2 — 1) (P— QVe =) = (x +1)" 
et en les multipliant l’une par l’autre, nous trouverons 
[P.F(&) — QD (x) (2° — 1?) + (QF(x) — P.D(x)) Va — |] 
[P.F(&)— QD (x) (@—h)—(QF (x) — P.D(x)) Va? —1#] 
= L'(@ +1)", 
ce qui se réduit à l'égalité suivante: 
[P.F(x) — Q.D(x) (2 —1#)] —[QF (x) — PD (x) (2? —7) 
= L'(# +1)". 
Or, d’après ce qu’on à démontré ci-dessus, l'expression 
PF(&) — QD (&) (a? — 19) 
est divisible par (2? + 1)”, on en conclut la divisibilité du terme 
[OF (x) — PG (GT (&° — 1) 


par (x? + 1). Remarquant encore que 4?°—}? n’a pas de diviseur commun 
avec (x? + 1)”, on en tire que 


[OF (&)— PS (x) 
est divisible par (x? + 1)”, et par suite que 
QF(x) — PD (x) 
est divisible par (x? + 1)", ce qui ne peut avoir lieu que pour 
QF(x) — PD (x) —0, 


car, d’après (10), (15), (18), les fonctions F{(x), P sont de degré 2n, et 
D(x), Q de degré 2n — 1, donc 


QE (&) — PD (x) 


ne peut être de degré supérieur à 4n—1. 
L'égalité obtenue entraîne comme conséquence que 


F(x  P 


(æ)  Q 


— 350 — 


Or, d’après (15), la fonction @(x) ayant tous ses facteurs linéaires 


différents de + V— 1 et — V—1, dont le produit est a+ 1, les 
fonctions F(x) et D(x), en vertu de l'équation (14), n’ont pas des diviseurs 
communs. Cela posé, la fraction 


ne peut être égale à la fraction 


dont les termes d’après (10), (15), (18) sont respectivement du même degré 
que ceux de la première, que pour 


F(&)= C'P; (a) = 0, 


C’ désignant une constante. 
En portant dans l'égalité 
F(a)= CP 


l’expression de P tirée de (18) nous trouvons que 
F(a)= + 0 [RE T 4 V)" + (RTE 2)", 


C’est ainsi que s’exprime la fonction F(x) qui satisfait à l’équation 
(14) dans le cas où 





A VD Vis RDV 1. LL 


Quant au cas, où cette égalité est satisfaite avec le signe —, l’expres- 
sion de la fonction F(x) qui satisfait à (14) s’obtiendra, d’après ce qu'on a 
vu ci-dessus, en prenant pour P et Q les fonctions: 
P=— _ Êé iz+ Ve)" + (VR+Ia— var — F)" |, 
Q— LOT 24 Va)" — (VR+T 2 — Va)" |. 








2 = 
Ainsi s'obtient la seconde solution de Dénéation (14), où 

F(x) — _ c" LES x + VER)" + (V4 1x Va —R 2 
$ 8. Des deux solutions trouvées on doit choisir celle qui donne la 


plus grande limite du rapport 
+ 
L 


— 351 — 


Dans ce but nous allons chercher la valeur de ce rapport en prenant 
d’abord pour F(x) la première solution et ensuite la seconde. 


En comparant entre elles les deux valeurs du rapport TL ainsi obte- 


nues, et supposant toujours H°> h, il ne sera pas difficile d’en distinguer 
celle qui donne la solution de notre problème. 


En retenant la première valeur de F(x) et en y faisant 


VAT, 
nous trouvons 


F(H)=T [ (78 +i+ Ver BR)" +(Vr+1—VR— 7, 
ce qui étant porté dans l'équation (13) nous donne 
a [ (V7 Hit VR-H) + (VP+EI— Vr—H)") =(H+1) M, 


d’où l’on tire la valeur suivante de C': 


2(H2+ 1) M 


! 
is (RE 1 he HE)" + (Vhèe 1 — Ve — H2)"" 











En portant cette valeur de C” dans la première expression de F@, on 
l’obtient sous la forme: 








(H2+1) [Vi +r1+ ve)" + (V1 — Vi —a)"] 
R+i+VR HE)" + (Vh+i—vh2—H2)" 








F(œ) = 





d’où il suit, en faisant æ — , 


2(H2+ 1) (2 +1 M 


F() Fe OR +1 + VE A)" + (RE I — VR— FD 











Or, d’après l’équation (14) en faisant x — k, on a 
EF) — L(B+1}"—=0, 
d’où l’on tire pour la valeur de Z: 


F(h) 
M (+1 


_ce qui se réduit après la substitution de la valeur trouvée de F(k) à 


F4 2(H2+.1Y M 
VB +1+ Ve = HE)" + (+1 — V2 = H2)" 











En tirant de là le rapport 


QE 


— 352 — 


on obtient 





GR + VE) + (Vi — V2)" 
—+ 
me 2(H2+ 1) 


=+1 Mer ns Fri ,/#—H#)" 
se H?+-1 H?+ 1 H?+1 H2+1 ) ? 


ce qui peut être représenté, comme il est aisé de voir, sous la forme: 








Ta) 


M 
_— —+- ere 
Z = + cos (2n.arc. cos Hi). 


$ 9. Passant à la seconde valeur de F(x), représentée par la formule 
F(x) — _ C” [RET & + Va)" + (VR+ Ir Ve —m)" |, 
on obtient pour æ = H 
F(H)=30C'|(VE+1H+ VER)" + (VE T4 VER)" |, 


ce qui étant porté dans l’équation (13) donne l’équation suivante pour l’éva- 
luation de C”: 


5 TOR T HV)" + (VE +1 1— VW)" ]= 
(H° + 1)" M. 


En tirant de là la valeur de C” et en la portant dans l’expression considé- 
rée de F(x), on trouve 





(GR +1 a + Var = R)"+( R2 +1 æ— Var hi)" 
rs GREET HV HR)" + (2 pe A+ 1)" # 


ce qui donne pour æ = À 





F(h) — 2h27 (R2+ 1) (H2+1)" M : 
GQR+IH+VH RW)" + (yh+1H—VH HW)" 


Or, en faisant 
AR, 
dans l’équation (14), on obtient 
| F2 (h) — LA (+ 1)" — 
d’où il suit 


ce qui se réduit après la substitution de la valeur trouvée de F(k) à 





<= 2h29 (H2 + 1) M 
ie Ra Re (V1 H—VHT hp" 


— 353 — 
d’où l’on tire 


+ OR+ +iH+VH RE)" + (VREIH—VEHL R)" 





2h29 (H2 + 1)" 
ir fæ + HET . _. a H2— LA 
= + h MT (H2+1) h2 =) H?+1 (H?2+-1) k? | 
Or, comme le produit 
Æ Mer __ Æ +1 H2=7T2 — 
Hi Y (Gr =) H2+1  ÿ (A+) 
se réduit à l’unité et par conséquent 
Ha/P+1 He à: FN Se HE DE) 
RE SE GP + Dm 1) EE — H?+1 (H2+ Dr) ? 
la valeur ci-dessus de _ peut être représentée sous la forme 
me af(& a +1, EF ne VE sa 2 En LE ei 
EE Hi * Ÿ Gp me) Hi * HD Rè ; 


En considérant l’expression comprise entre les parenthèses [ |], nous 
remarquons que la plus petite valeur qu’elle acquiert pour 


: M à CHR. En 
Hi (+R — 


est 2. Il en suit que la valeur numérique du rapport 


M 
DE 


L 


trouvé ci-dessus ne sera jamais moindre que 1; ce qui donne la limite supé- 
rieure de ce rapport, car la valeur de ce rapport obtenue antérieurement 


h? + 3 


cos (on .are. cos HT 


est toujours comprise entre + 1 et — 1. 
On voit d’après cela que la limite supérieure du rapport 


M 


L 
pour la fonction considérée sera donnée par la formule 


M2. Œ HI Hi gts Æ LEE D H2—% D) 
LT a a VOL a) H+i TV + D ù 
: 23 


_ 


— 354 — 


où des deux signes + nous ne retiendrons que +, en prenant pour Z et 
M les valeurs numériques du plus grand écart de zéro de cette fonction 
entre æ = — h et x — + h et de sa valeur pour x = H. 

Dans cette supposition nous aurons toujours 


LR à SÉs a 1 H2— 72 ji Æ +1 HIT ei 
Hi Vienne) Va V0 : 
En portant ici d’après (12) les valeurs 


h=tang®, H=tangi 
et remarquant que 






































MAPS 2 ?0 in 
EyPET tang #1 S tang 9 re 2 
PF Hi ; sé: . 
tang = tang? à +1 sin <a 
SN RRRT PMNELES 2 Si 2 Po È Pi 2 
V D EE . tang* — — tang a sin ; 
z a + NES 
frs tang? + 1) tang? 0 sin 20 
2 2 2 
nous trouvons 
. 21\2 e Pr Pal 3 Las 
mu 1 [ sin 1 sin sin Ev sin 
T=>% : RS à cons 1 | + se RS 1 : 
. rl CRE 11) . 70 . To 
| sin sin sin sin 


Cela donne pour une fonction de la forme 


À5 + À, 0089 -+ À, COS 29 +....—+ À, COS n9 
+ B, sino + B, sin 29+....+ Bb, sinn?p 
la limite supérieure du rapport de sa valeur pour © = +, à son plus grand 


écart de zéro entre o— —, et #—+®, ne comprenant pas la valeur ? = 9,. 


$ 10. En déterminant à l’aide de l’égalité obtenue la valeur de la dif- 
férence | 











a in 2: 

_. a. M 
A m si) 2 
90 in 2° 

7. Re 


nous la trouverons égale à 


— 355 — 


Il est facile de montrer que pour des valeurs positives de sin Ÿ#, sin #9 
(comme nous le supposons toujours), c’est le signe + qu’il faut prendre 


dans l’expression ci-dessus. 
En effet, en portant dans l’expression 











2n 
La Lux 
34 sin M 
2e : ea À Con À 
0 in 2 
um 2 's 


M LA LA LE L4 y LA # # 
la valeur de — tirée de la dernière égalité du $ précédent, nous trouverons 
qu’elle se réduit à la suivante 




















2n —2n 
91 in 1\? a in 2:\ ? 
1 sin 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 
Se 2 Rs : ET rer 3 ; : eee; ; 
+0 70 in -2 in +2 
sin 2 sin 2 sin 2 sin 


+ nd 
sin > 0, sin > 0 


le second terme est moindre que le premier, parceque celui-là se réduit à 





























“ 2n 
sin 21 sin ?L . 
4 Gr PP 1 
2 : _ Po ._ Po Fe 
sin 2 sin 2 
après le remplacement de l’expression 
—1 
sin 21 sin ?L = 
2 2 
. + + Lo 1 
%o s, 70 
sin 2 sin 2 
par 
sin ?1 sin 21 e 
2 Au 2 1 
Po in ?0 : 
sin 2 sin 5] 


qui lui est équivalente. 


Ayant ainsi démontré qu’en représentant la différence 











2h 
. 1 ir” 
sin 2 sin M 
+ — ] ra 
sin ?0 sin Ÿ2 


par la formule 





23* 


— 356 — 


il y faut retenir le signe +, nous en concluons que 





2n 
. 1 . 21\ 2? 
ain "2" M M? 
: %o .. 20 L L 
ed + 


Or, en résolvant cette équation par rapport à n, nous trouvons 




















ce qui nous donne la limite inférieure du nombre », pour lequel la fonction 


À, + À, COS ® + À, cos 29 +....+ 4, cos no 

+ B, sin o + B, sin 20 +....+B, sinny, 
dont le plus grand écart de zéro entre 2 —=—%, ®— +9, ne Surpasse pas 
L est égale à Æ M pour 9 —v®,. Les quantités L, M, o,, ©, sont suppo- 
sées positives, M supérieur à L et 9 —+, non compris entre o — — 0, et 


nn 


ie 


SUR LES PLUS SIMPLES PARALELÉLOGRAMMES 


QUI FOURNISSENT UN MOUVEMENT RECTILIGNE 


AUX TERMES DU QUATRIÈME ORDRE PRÈS. 


(TRADUIT PAR A. M. LIYAPOUNOF.) 


© npPOoCmrEUuuxzE NnAPANANCAOPAMMALE, 


docmabamomuxs npamomuneünoe udcenie cé mornocmer do rembepmot 
cmencuu. 


(Upuroxenie xE XL-My Tomy Sanucoke Huneparopcrkoë Axaremin Hayx®, X 1, 
1882 r.) 


(Lu le 24 novembre 1881.) 





Sur les plus simples parallélogrammes qui 
fournissent un mouvement rectiligne aux 
termes du quatrième ordre près. 


$ 1. Dans un Mémoire Sur les parallélogrammes composés de trois 
éléments quelconques, lu le 18 décembre 1879 *), nous avons montré com- 
ment, par la considération du mouvement d’un triangle dont un sommet se 
déplace sur un cercle et un autre sur une droite, on peut trouver les con- 
ditions nécessaires et suffisantes pour que tout triangle donné, dont deux 
sommets se meuvent sur des cercles, décrive, par le troisième sommet, une 
courbe ayant un contact du cinquième ordre avec une droite. 

On obtient ainsi une solution complète de la question sur la recherche 
des plus simples parallélogrammes qui fournissent un mouvement rectiligne, 
pour des déplacements infiniment petits, jusqu’au degré de précision le plus 
élevé possible. 

Or les formules que nous avons développées dans ce Mémoire peuvent 
servir encore, ainsi que nous allons le montrer maintenant, à déterminer 
tous les parallélogrammes les plus simples qui fournissent un mouvement 
rectiligne avec une précision d’un degré moins élevée; c’est-à-dire, tels que 
le contact, avec une droite, de la courbe qu’ils décrivent n’est que du qua- 
trième ordre. Nous y parvenons en considérant les conditions pour qu’un 
triangle, dont un sommet se meut sur un cercle et un autre sur une droite, 
décrive, par son troisième sommet, une courbe ayant un contact du qua- 
trième ordre avec un certain cercle, 


$ 2. En retenant les notations du Mémoire cité, nous supposons que le 
sommet À du triangle AA, M (fig. 1) se meuve sur un cercle, dont le centre 
se trouve au point C que nous prenons pour origine des coordonnées, et que 
le sommet 7 se déplace sur une droite FG parallèle à l’axe des #. 





*) T. II, pag. 301—331. 


— 360 — 


Soit C, le centre du cercle ayant un contact du quatrième ordre avec 
la courbe que décrit le sommet À,. Le rayon de ce cercle sera désigné 
par ”.. 


Fig. 1. 











Ce x 





En désignant par «, la valeur de l’angle variable « — AMF corre- 
spondant à la position du sommet À, sur le cercie C;, au point de contact 
avec la courbe que décrit ce sommet, nous remarquons que le contact ne 
peut s’élever jusqu’au quatrième ordre que si la distance 4,C;, « étant voi- 
sin de «,, se développe suivant les puissances de sin «— sin «, en une série 


de la forme 
AC, =7r,+%, (sina—sina) +..., 


Or, en désignant par x, y les coordonnées variables du point À, et par 
%,, Y, les coordonnées du centre fixe C,, nous avons 


AC = (x —2,) + (y — y). 
Passant par suite à la détermination des coordonnées x, y, posons 
AA = a, AC=7+r, CF—b, AM=m, MAA,= 4, ACx = $. 
Alors, en projetant la ligne brisée C44, sur les axes des coordonnées, 


on aura 
æ = 1 CSG + a COS(A — a), 


y=7rsin$+asin(A— à); 


— 361 — 


et en projetant la ligne brisée CAM sur l’axe des y, on obtiendra cette re- 
lation entre les angles variables 6 — ACx et «a — AMF: 


CF—b=7r sinf$ —m sin«. 
En tirant de cette relation les valeurs de sin B et cosB, on trouve 


a de 
sin 8 = ————; 


(= | 
cos Ê — ET — }” 


ce qui, étant substitué dans les expressions des coordonnées, nous donne 








2 — Vr?— (m sin « + b) + a cos (À — à); 


y = M Sin &« + a Sin(A— &) + b. 


Substituons ces valeurs de x, y dans l’expression du carré de la di- 
stance À,C: 
AC = (x — D + (y — 9). 
Nous aurons: 





AC = [VrË— (m sin « + b}? + a cos (A — à) — x, f 


+ [m sin & + à sin (4 — à) + b — y}; 


et de là, en éloignant les parenthèses, il vient 





(1) 4,C/—  2[asin À sin « + a cos À cos a — x, ] Vr?— (m sin « + b}? 
+ 2 [am sin À sin « + &(b — y,) sin À — ax, cos À] cos & 
+ 2 [a(y, —b)cos À — ax, sin À — my,]sin « 


— 2am cos À sin? & + r? + 2,7 + y, (y, — 2b) + a?. 


Telle sera l’expression du carré de la distance du sommet À, au point 
C;, quelle que soit la courbe que décrit le sommet À.,; et nous avons vu 
que, dans le cas où cette courbe a, au point correspondant à & — «,, un 
contact du quatrième ordre avec le cercle ayant C, pour centre et r, pour 
rayon, cette expression sera développable en une série de la forme 


7) +27, K,(Sina—sina)+...., 


— 362 — 


Nous aurons donc, dans le cas considéré, cette égalité: 





2 [asin À sin a+ a cos À cosa—x,] Vr?—(msina+ ++ 
(2) + 2 [am sin À sin « + a(b — y,) sin À — ax, cos A] cos « +- y, (y, — 2b) 


— Dam cos À sin? « +- 2[a (y, — b) cos À — ax, sin À — my, ] sin « + d° 
= 7 + 2r, K, (sin a — sin a) + 


$ 3. Pour présenter cette égalité sous une forme plus maniable, nous 
introduirons, au lieu de «, une variable z liée avec « par l’équation 


: de +1 
(3) so À 
où | 

d — sin Ci. 


On voit que, si l’on tire de cette équation les expressions de cos « et 





Vri—(m sin «+-b} et qu’on les porte dans l'égalité @e celle-ci, en chassant 
le dénominateur, se réduira à la forme 





(eu V1) Ve (P,+ 22 VAI +P,+Pe+Pe 
(4 . 
FR Mae 
où à, , P,, P,, P,, P,, P, sont des constantes que l’on pourra facilement 
exprimer par les constantes À, a, m, r, r,, b, x, y, qui figurent dans l’éga- 
lité (2). 
Il est facile aussi d’obtenir les équations qui permettent de déterminer 
les anciennes constantes 
A, a,m,0,r,7, %, Y% 
par les nouvelles 
À, M Es Pis Pi Ps; P; 


en observant que l’égalité (4), si l’on y substitue la valeur de z résultant de 
(3), doit se réduire à une égalité identique avec (2). 
Comme on tire de (3) 








_I—dsna 
| ADR. 
ce qui donne 
1 ___sinxa—d4 _sina—d d (sin « — d} 
PT date PT PRE M TSNS 











Vi - V(1 — d sin a}? — (sin « — d? __ V1 — d? 


sin & — d TT sin &—d cos æ, 








ae g+(g2—h?+-9d+-1) d\2 
h (1 — d?) V:-( AR h (1 — dd ) 








VE —gÿ— = 


Vh2—{g+-d}? sin 4 — d 


— 363 — 


l'égalité (4) se réduit à 











h(1— d&) _ (—d)sne R? — (9 + d} . g + (9? — h? + gd + 1) d\2 
V2 — (g + ap (sin a — dÿ (RE sin . h {1 — 2) ) 


hi—@) Vi—d.ucose 1 (RES sin a+ 2 GP 904 D 8) 
VF = grd Gne—dÿ hi —&) A1 —&) ) 





























h (1 — d?) 1— A R? — (g + d} Es g + (g? — k? + gd + 1) d\2 
VE — (g + d? (sin « —d} h(—@) E h (1 — &) ) 
Fa (P, — P,d + P,4?) sin? « — (2P,d — P, (1 + d?) + 2P,d) sin « on P,®@ — P,d+P, 

(sin « — d}? (sin « — d? 
Pi — Pod+(Po— Pid)sina +55 

PRET V1— cos « 

_ L, (sin a — d}$ 

EUR (1 — d?2ÿ HE .... 


En rapprochant cette égalité de (2), on voit que, pour les rendre iden- 
tiques, on doit poser. 


























(5) m _kW—(g—+ d}, 
r — h(—d) ? 
(6) VV ge0--F+ga+ la. 
. h(1— 4) ) 
u: : À — d 
(7) Scr æ sin À = 1-01 
a UV1— d?, 
(8) RATE TT. : 
(9) am sin À __ Po— Pd VI? — (9 + df, 
TX) 1 — dÀ os mi ‘DR 
(10) a (b — y) sin À — ax, cos À __ P, — Pjd Vh? —(g + d?, 
TZ url : M1. ? 
(11) am cos À __P,— P,d-+ P,d? Vh? —(g+d?. 
re POUE 1 — dÀ h(—d) ? 
12 a(y,—b) cos A—ax, sin A—my, _ 2P,4— Pa (1+-d?) + 2P,d VI? —(g + d}, 
(12) ZA nn 1— dÀ h{i—d) ? 
13 F0 y (y, —20)— 0? Pr — dr Ps Vo —(g+df 
(13) 2rx; Fr 1 — d} h (1 — d?) 


$ 4. En partant des formules que nous venons d’obtenir, il est facile 
de montrer que la détermination, au moyen des quantités 


d,m,7T,0b 
des valeurs de | 
À, a, Ts %;, Yi» 


qui donnent la solution du problème, dépend d’un système d’équations dont 
l’une est du second degré et les autres du premier degré. 


._ — 364 — 
A cet effet nous allons d’abord déterminer les quantités auxiliaires 
g; h, nt En Ge me 7: À, W, 


qui figurent dans nos formules. 
En abordant ce problème, nous remarquons que les quantités g, h s’ob- 
tiennent immédiatement par les équations (5), (6), d’où il résulte 


__(— ®) m(md + db) « 
Es 2 — (md + b}? — d; 








Substituant ces valeurs de g et À dans la formule (4), on en déduira 
aisément les expressions des quantités 


PF; F;, re Ps, PF, 
au moyen de À et tu. 
En effet, d’après cette formule, la différence entre le polynôme 


P,+ Ps+P,s 
et l'expression 





(P,+ Pa) V#—1 PT OS ne 1) Ve —g9 —# 
ne doit renfermer que les puissances négatives de z, d’où il résulte que 
ARS dE de 


sont les coefficients de 2°, z, 2? dans les développement de cette expression 
suivant les puissances descendantes de 2. 


En vertu de cela, il vient 


H=hrl=t 
P,=P—=2+9(1 +) 
(1+y) 72 pe 


Pit — EP, ++ ÈS +. 


Quant aux quantités 
Ps P; 


on les déterminera, d’après (4), par la condition que le développement de 
l'expression 


(etreu VAT) Ve —gÿ ——(P,+ Pre) Vé—1, 





— 365 — 


Eva roue À 
ne contienne pas de termes en —, =. Cela nous donne deux équations, d’où 


l’on tire ces valeurs pour P,, P: 
P, = glé + Rx + (2 — 1)gu; 
P,= 4hg + hé + AËgh + (Ag + (RE —1}) pu. 


En les portant dans les égalités précédentes, on trouve ces valeurs 
ponr-2.. PP: 


P= — 5 (499 + l— 1) — (2R2 — 1)gX — + (49° + — 8) pr; 


P,= (RP + 1)g+ (2 — 1) À + lg; 
P,= AlËÿ + hf — 1 + 49° + (49? + 2 — 2) pu. 


Pour déterminer les quantités auxiliaires 
À, Le 


nous remarquons que les équations (7) et (9), (8) et (11), en les divisant 
l’une par l’autre, conduisent à ces deux équations 


m __ Po — P,d Vh? — (9 + dj? 


APRÈS HR hVI = d 





m _P,—Pd+P,® Vhr—{(g+df 





2 
H h (1 — 4°)? 


qui ne contiennent plus les quantités cherchées À, a, r., À, Y1, et qui, en 


portant la valeur _ donnée par (5), se réduisent à 





A—d) VR—(g+d) =(Pd—E?,) V1: 





u V1— VRË—(g+d)\=—P?,+Pd—P@. 


Il est facile de voir que ces équations, si l’on y substitue les valeurs 
de k, 9, P,, P,, P,, P,, P, que nous venons de trouver, se réduiront aux 
équations du premier degré en À et sm. En résolvant ces équations par rap- 
port à À, p et en portant les valeurs ainsi obtenues dans les expressions de 
Pi, P,, P,, P,, P,, nous obtiendrons toutes les quantités auxiliaires, dont 
les quantités cherchées 

À, 4,7, %, Y 


dépendent d’après les équations (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13). 


— 366 — 
C’est la détermination de ces inconnues que nous allons aborder 
maintenant. 


$ 5. Pour déterminer l’angle À, nous remarquons que les + Lames 
(7), (8), si l’on divise l’une par l’autre, donneront 


À—d 
uV1 — d? 





tang À — 


Ainsi la tangente de l’angle À se trouve déterminée complètement. 
Quant aux deux angles qui ont cette tangente et diffèrent l’un de l’autre de 
180°, nous prendrons pour À celui qui est compris entre 0 et 180°, en 
choisissant conformément à cela le sens suivant lequel la ligne a — 4À,, à 
l’intérieur de l’angle À AM, sera comptée positive. 

Passant à la détermination des quantités à, x,, y,, nous remarquons 
que les mêmes équations (7), (8), si on les élève au carré et ajoute, donnent 


a (A — dÿ+(1 — d’)p2 











a (1 — di 
d’où il vient 
à VO — dP+(i—du? 
me. 1 — dÀ 


Des deux signes on devra prendre ici celui qui correspond à la suppo- 
sition que nous avons faite à l’égard de l’angle 4. Comme cet angle est 
supposé être compris entre 0 et 180°, son sinus sera positif, et cela, d’après 
(7), ne peut avoir lieu que si le rapport 


a 


T 


a un signe opposé à celui de 


À — d 
1 — dÀ 


On déterminera ainsi la valeur absolue et le signe du rapport 


a 


ET 


Pour abréger, nous désignerons la valeur de ce rapport par f, de sorte 
que nous aurons 


(14) =. 


— 367 — 
En posant encore, pour abréger, 


r (P, — Pod) VR? — (g + dÿ? —N,, 








IR wm1-# 
r [2P,d — P,(1 + d°)+2P,4] Vh?— (g + dÿ zN 
1— dx =: h(1—d) ‘2? 


nous présenterons les équations (10), (12) sous la forme 





a(b — y) sin À — ax, cos À __ 7, 
Ti — N,; 





a (y, — b) cos A°- ax, sin À — My; EN 
pa es at 


De là, en posant d’après (14) a—fx,, nous obtenons ces deux équations 


(15) f(O— y.) sin A — fx, cos A = N,; 
(16) f(y, —b) cos A— fx, sin A——N,. 


qui serviront à déterminer x, et y,. 
En résolvant ces équations, on tire de la première d’entre elles 


M 


(17) Y, —=0—cotang A. — 5; 


et en portant cette valeur de y, dans la deuxième équation, on obtient une 
équation du second degré que voici: 








(N, — m) D N, sin À x, + (fb sin —— m 

Si l’on tire de cette équation la valeur de x, et qu’on la porte dans 
les formules (14), (17), on obtiendra les valeurs de x,, y,, qui représen- 
teront la solution de notre problème, en considérant comme données les 
quantités r, », b et d—sinc.. 

À chacune des racines de cette équation il correspondra une solution à 
part, et si cette équation n’admet pas de racines réelles, on conclura que, 
pour les valeurs considérées de d, r, m, b, le problème est impossible. 


= (0. 


x? + 


$ 6. Sans nous arrêter aux calculs que demande, d’après ce que nous 
venons de montrer, la solution de notre problème, nous allons examiner la 
relation qui existe entre ses deux solutions lorsqu'elles sont possibles. Cette 
relation donne, comme nous verrons, des changements que l’on peut faire 
dans la composition des parallélogrammes les plus simples sans altérer le 
degré de précision, avec laquelle ils réalisent un mouvement rectiligne. 

Soient x,', x,” les deux valeurs de x, tirées de l’équation ci-dessus et 


! 4 
Yi ? Yi 


4 (44 
a, & 


— 368 — 


les valeurs correspondantes de 7,, a, les égalités 
Done, / ere LA ns | À 
TL, —L;; = Y:: G=8& 


appartenant à la solution représentée (fig. 2) par le point À, et le centre C, 
et celles-ci 


4 


= % ;, Y—Y, A —Q 


Fig. 2. 














à la solution représentée par le point À, et le centre C,. 
Cela posé, nous aurons 


a SAA. à AA, 


et les équations (14), (15), (16) seront vérifiées par ces deux systèmes de 


valeurs : 
LA à U 
TL =, Y—Ys A—Q, 


ss 1" De 144 Ho»: (44 
= ; Y—Y1, AA, 


ce qui suppose les égalités suivantes: 


, 


as rer 
fO—y;)sin A— fx, cos A = N,; 
fO— y,")sin A — fx," cos A= N,; 
fn — 0) cos A — fr LOL UN. 


4 
nd 


f(y— db) cos À — fx,” sin À — a = N,; 


‘Il vient de là ANS RPSTSUOD AT AALITET Oh 
a! a + , 


Ep 
f@—y:) sin À— fx, cos A— f(b—y,")sin À — fx," cos 4; 
LCA re 0}008 4— fx) sin 4 — / 


Ti 
Ad 


—f(y,"— D) cos + ren fe" sin A— "5. 
Ti 
et les deux dernières égalités se réduisent à 


file ,. Es " 
Y, Sin À + %, cos A —Yy, sin ÀA+-4, cos À, 


! my __ 4 m y,” 
Yi COS A — %, Sin A— or cos A2" sin A — +, 


ou bien, ce qui revient au même, à 


MU = cotang À: | 
0 " ’ | PSE JS Y1”! 
(y, —Y, )cos À — (x, —x, sin A (#6 —d;) 


Comme d’après la première de ces égalités on trouve 








u Y1 
/ 1  -œi" a) 
LT —%, —=%X - tang À 
1 1 y ! 
in 2L- se À 
( l 9) SE ! 
Ji 9 
" r &;” æ 
Re — x : 
. F 1+ 1” tang 4 
æ " = 





1" 


on aura, en portant ces valeurs de «/—#,", y/ — y," dans la deuxième, 
" " ! 
fn m ( 1 + à tang 4) cos À (2 — n,) à 
Li 


et cette équation se décompose en deux, à savoir 


fr —m(1 + Ytang 4) cos À = 0. 


Or, en vertu de (19), la première de ces équations suppose les égalités 
&'=42, y) —Y,. Donc, les deux solutions étant distinctes, les valeurs de 
24 


— 370 — 


M, Yi %, JL’ doivent vériier la deuxième équation, laquelle, en rempla- 
çant, d’après (18), f par 7 se réduit à 


a  — m cos A—m %, sin 4— 0. 


Il vient de là 


Y,” __a'— m cos À 


æ/—  msnA ? 


et les mêmes raisonnements, en changeant seulement x’, y, a! en x”, y", 
a” et inversement, donneront 


Nous remarquons maintenant que les rapports 


À 4 1 
Yi * y ; à D 
a” a” x/— x 


représentent les tangentes des angles que font avec l'axe des x les droites 
CC,, CC,, C,C, menées par les centres 


, © 
C, C, 
Co Ci 


et que les rapports 


a! — mcos À a! — m cos À 
: ? Q 
m sin À m sin À 





? 


où, d’après nos notations, 
a A4 641 a 1X, 


représentent les cotangentes des angles AA,M et AA M. 

Donc les équations que nous avons trouvées expriment l'égalité de 
les angles que font les droites CC, CC,, C,C, avec l’axe des x, ou bien avec 
la droite FG, qui lui est parallèle, et les compléments des angles que les 
droites AM, AM, A,M font avec la ligne 44.. 

En vertu de cela, si l’on connaît un des deux points À,, À, et le 
centre C, ou C, qui lui correspond, on trouvera facilement un autre avec le 
centre correspondant; car, d’après ce que nous avons montré, par chacun 
des points À, À, avec le centre correspondant, le triangle CCC, est 


complètement déterminé, et ce triangle donne l’inclinaison des lignes 4, M, 
A,M à la ligne 44. 


371 


$ 7. Le passage que nous venons de signaler d’un des deux points 
À,, À, à un autre, ces points décrivant, dans le mouvement considéré du 
triangle, des arcs infiniment petits, peu différents des arcs de cercle, peut 
être utile dans tous les cas, où l’on veut qu’un point du triangle décrive une 
courbe ayant avec un cercle plusieurs points communs, plus ou moins voisins 
l’un de l’autre. de 

En effet, il est facile de montrer que, les points À,, 4, et les centres 

C,, C, étant tels qu’on ait 


CSC—F— MAA, 


CC = = — MA,4, 


CCx = + — MA,4, 
la différence 
A4, . A,C? — AA,.A,C, 


pendant le mouvement considéré du triangle, ne changera point de valeur. 
Par suite, toutes les fois que l’une des deux distances 4,C, A,C, reprend 
sa valeur primitive quelconque, l’autre sera dans le même cas. 

Donc les points À, À, reviendront simultanément sur des cercles 
tracés des centres C,, C, par certains rayons. 

Pour montrer que la différence 


AA, . A,C® — AA. 4,0: 


dans les suppositions admises, reste invariable, posons, comme auparavant, 


MAA = À, 
et, en outre, 

MAA= AÀ,, 

MA,4= À,. 


Les égalités précédentes se présenteront alors ainsi: 


OSC—=E—A; Cr —A,; CCx—=5—A 


2° 


En calculant d’après ces valeurs desangles C,SC, C,Cx, C,Cx les angles 
du triangle C;CC,, nous obtenons | 


CCC, = CG — C,Cr = 1, — À; 
CCC, = C,Cr + OSC— r — À — À,; 


CC,C, = à — C,Cx — CSC—= À + À.. 
24* 


— 372 — 


_ Posant, pour abréger, 
y: CGI, 

on déduit de ces valeurs des angles les expressions suivantes pour les côtés 
CC;, CC, du triangle: É | 


vn _ Sin (4 + À) 7. sin (A +- 4) 
OS 4,4) 0 4) 


Puis, par ces expressions, on trouve pour les coordonnées x;', y,', &,”,. 
! 
y," des centres C,, C,: 


a = CC, cos QG (a 4 008 CG, 


m(4,— 4) 
sin (À +- À,) 
00 sin Crea) C,Cxl, 
= CO, 008 Cr = TE cos C, Ca, 
7 À) 


: . À + Ab) y 
. CC, sin Cr sin Cri, 


ce qui, en portant les valeurs ci-dessus des angles C.Cx, C,Cx, nous donne 


sin 
an 


Le _… 
œ 
(42 
5 D + À 
7 sin(4 


“sin A, ER = cé À, .; 


us L H'= F2 008 À, 1. 
D'autre part, en exprimant les côtés 44,, AA, des Re AA M, 
AA,M par le côté AM — m, on trouve 


sin AM A . sin AMA 
AA, = sin MA, am; AA—= — sin MA 4 74 | 
ce qui, en portant les valeurs des angles MA, A— AÀ,, MA4,4 = À,, 
AMA,=7T—A—A,, AMA,—=7T—A— A,, se réduit à 
:#. Sn(4+ 4). sin(4+ 4), 
AA, = sin À, = M; A4,= sin À . 

Passant à la détermination des carrés des distaices À,C;, 4,0, nous 
remarquons qu’on les obtiendra par la formule (1), en y prenant pour &,, 
y, les valeurs que nous venons de trouver pour les coordonnées des centres 
C,, C, et pour a les expressions ci-dessus de A4,, 44. 


En multipliant les valeurs de 4,C?, 4,0? ainsi obtenues par ces 
expressions et en faisant la différence des produits, nous obtenons pour 


AA,.A,C?— AA, .A,0? 


— 373 — 














l'expression 
sin À sin (4, — 4) ms Sin (4 + 4) sin (4 + 4) sin (A+ A+ 4), po 
sin À,.8in 4, sin À, sin À, .sin (4, — 4j) 
sin (À +- À;) sin (A + À:) ___ sin (4 + Ai) sin (À + À) sin (4, — A2) sin À 3 
+2 * sin À,.sin 4, blm sin? À, .sin? 4, RE 


qui ne renferme pas l’angle variable « et qui conservera, par suite, sa va- 
leur pendant le mouvement considéré du triangle. 


° $ 8. D’après ce que nous avons montré relativement aux points qui 
dans le mouvement considéré du triangle reviennent simultanément sur les 
circonférences de certains cercles, on peut trouver en tout parallélogramme 
composé d’un triangle et de deux rayons un point qui décrive approximati- 
vement un arc de cercle, et cela avec le même degré de précision que celui, 
avec lequel le parallélogramme réalise un mouvement rectiligne. 


En effet, soit donné (fig. 3) un parallélogramme composé du triangle 


Fig. 8. 








C 


AA,M et des rayons AC, À,C,; susceptibles de tourner autour des centres 

C, GC. Soient ensuite: FG la droite, avec laquelle la courbe que décrit le 

sommet ÆZ doit avoir plusieurs points communs, et À,, C, le point du triangle 

AA,M et le centre qui lui correspond, déterminés, comme il a été montré, 

dans la supposition que le sommet M du triangle AA,M se déplace sur la 

droite FG et le sommet À sur le cercle C. 

Parmi les positions que prend le triangle AA.M dans le mouvement 

du parallélogramme, celles pour lesquelles le sommet M se trouve sur la 
droite FG peuvent, évidemment, être considérées comme provenant du 


— 374 — 


mouvement, pendant lequel le sommet ÆZ se trouve toujours sur cette droite. 
Or nous avons vu que dans un pareil mouvement les points À,, À, revien- 
nent simultanément sur des circonférences tracées des centres C,, C. 

Donc, toutes les fois que le point M du parallélogramme viendra sur 
la droite FG, le point À, se trouvera sur une circonférence tracée du centre 
C, par un certain rayon; et, par conséquent, la courbe que décrit le point 4, 
_ aura autant d'éléments communs avec un cercle que la courbe tracée par le 
sommet JM en a avec la droite FG. 

Comme dans le mouvement, où les sommets 4, À, du triangle AA,.M 
se déplacent sur les cercles C, C;, le sommet M et le point À, reviendront 
simultanément, le premier sur la droite F#G, le second sur le cercle C,, les 
positions du triangle AA, M, dans le mouvement considéré actuellement, 
pour lesquelles le sommet ÆZ se trouve sur la droite FC, seront aussi les 
mêmes que dans le mouvement où le point À, est assujetti à se deplacer sur 
le cercle C, et un des points À, À, sur le cerele C ou C,;. 

On voit de là que dans les mouvements des triangles AAM, A,A,M, 
considérés à part, les sommets 

4 A 


À; À, 
se déplaçant sur les cercles 
Gre 


C;; Ci, 


le sommet M décrira une courbe dont les points d’intersection avec la droite 
FG seront les mêmes que pour la courbe qu’on obtiendrait, si les sommets 
À, À, du triangle AA, M se déplaçaient sur les cercles C, C.. 

Cela nous montre que si l’on remplace, dans le parallélogramme donné, 
le triangle ÂA,M par le triangle AA,M, ou bien À,A,M, en remplaçant, 
conformément à cela, le rayon mobile 4,C ou AC par le rayon 4,C,, ni le 
nombre des points d’intersection avec la droite FG de la courbe que décrit 
le point M, ni la position de ces points ne seront pas changés. 


20, 


SUR LE RAPPORT 


DE DEUX INTÉGRALES 


ÉTENDUES AUX MÊMES VALEURS DE LA VARIABLE. 


(XLRADUXXY PAR C. A. POSSÉ.) 


Os omnoweniu Olyxe unmesparobe, 


PPACNPOCMPAHCHHUXE na Ours u m1 ce Ceruruns nepemeEnnotu. 


(Hpuroxenie xE XLIV romy Sanucoxr Huneparopcroë Axaremin Hayx®r, N 2, 
1883 r.) 


(Lu le 23 décembre 1882.) 




















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Sur le rapport de deux intégrales étendues . 
| aux mêmes valeurs de la variable. 


a 


$ 1. Le rapport de deux intégrales 


f Yudx 
J Yvdx : 





étendues aux mêmes valeurs de la variable x et renfermant sous leurs signes 
des différentielles ayant un facteur commun Y éprouve des variations plus 
ou moins grandes, quand on change la valeur de ce facteur. 


Nous allons montrer maintenant comment se déterminent les limites 
que ces variations ne peuvent dépasser, lorsque le facteur commun Y con- 
serve la forme d’un polynôme de degré non supérieur à ». Nous suppose- 
rons en même temps que le polynôme Y et la fonction v conservent leurs 
signes dans les limites de lintégration, ce qui est la condition nécessaire 
pour que le rapport 

[l Yudx 
J Yvde 





ne puisse prendre toutes le valeurs de — co à + co. 
Pour simplifier nos formules nous supposerons encore que les intégrales 


[ Yudx, [ Yodx 


sont réduites de la sorte que leurs limites soient æ——1 et z— +1 et 
que le signe conservé par le polynôme X et la fonction v dans les limites 
d'intégration soit le signe +. É > 


— 378 — 


$ 2. En abordant la détermination des valeurs extrêmes du rapport 





dans les conditions posées ci-dessus nous allons démontrer que la plus grande 
et la plus petite valeur de ce rapport correspondent aux valeurs du polynôme 
Y qui satisfont à l'équation suivante: 


Y—(1-+ 2) (1—2)02?, 


où p— 0 ou 1; po —= 0 où 1, Z étant un polynôme entier d’un certain degré. 
Pour le démontrer, soit 


Y— }, 


la valeur du polynôme Y pour laquelle le rapport 





atteint sa limite supérieure ou inférieure dans les conditions posées. 


Le polynôme Y, ne changeant pas de signe dans l'intervalle de 
æ= — 1 à &— + 1, toutes les racines de l'équation 


F,—0 


contenues entre — 1 et + 1 doivent être racines multiples et leurs degrés 
de multiplicité doivent être pairs. 


Désignant ces racines par 


ct leurs degrés de multiplicité par 


24, 2u,,....2u, 
et supposant que 


 V 
désignent les nombres des racines de l’équation 


F0 
égales à 


— 1, +1, 


— 379 — 


nous remarquons que le produit 
2b 2H V2 v Vo 
(@—2,) “(t—2%) *... (t—%) “(1+x) (1—2) 


représente un polynôme de degré non supérieur à celui de Y,, que ce poly- 
nôme, comme le polynôme Y, lui-même, conserve le signe + dans l’inter- 
valle de x=—1 à æ—+1 et que son rapport à Y, reste fini pour les 
valeurs de x entre æ = —1 et x = +1. | rs 


D’après cela, U étant déterminé par l'égalité 
A) U=(c—a) (a)... (o— a) (1 +2) (1— a)", 
et & étant un infiniment petit, l'expression 
7, aU 


représentera un polynôme du même degré que Y, qui conserve comme 
celui-ci le signe + entre x = —1 et x — +1, 


Par conséquent la valeur du rapport 





pour 
#1 


ne pourra être ni la plus grande, ni la plus petite dans nos suppositions, si 
le rapport 


1 
Î® + aU)udx 





—1 
1 

Ï® Æ aU)vdzx 

—1 


avec l’un des deux signes + de « est supérieur à 





et avec l’autre —inférieur à cette quantité. 


— 380 — 
Or pour que cela soit impossible pour « infiniment petit, la dérivée par 
rapport à « de l’expression 


4 
J M=+ aU)udx 


burgs à 





L 
at à 


pour «—0 doit être nalle, comme on le sait, ce qui nous donne l’équation 
suivante: 





Les polynômes Y,, U et la fonction v restant, d’après ce qui précède, 
positives entre & = —1 et x — --1, les intégrales 


Sn SSL TO 
Î Yvdx, [ Uvdzx 
"4 ri 


ont des valeurs différentes de zéro, et dans ce cas il résulte de l’égalité pré- 
cédente l’équation que voici: 


1 +1 
JYoudz J Uudx 
—1 —1 

1 1 
J'Yovdx J Uvda 
—1 —1 


D'où l’on voit que la plus grande et la plus petite des valeurs du 
rapport 








correspondent à 
FU, 


U étant déterminé d’après (1) par la formule 


U— (x — 2)" (x — x.) "ei ...(T— 2)" +) (1—3%)"° 


TE 


© Désignant par 0, s les quotients et par p, Po les restes des divisions 
4 Y, Vo par 2, nous trouvons 


V=20+p; v, = 20, +p,, 


où p— 0 ou 1, p, = 0 ou 1. En vertu de cela l’expression Y—U indiquée 
ci-dessus qui donne les valeurs limites du rapport 





se réduit à la forme # 
Y—Z2(1+x) (1 —x)", 
où 


Z=(c—2)"(c— 3)... ..(@—x)" (+) (—2°. 


On voit d’après cela que les valeurs extrêmes du rapport 





dans le cas où le polynôme Y de degré non supérieur à n conserve le signe 
+- entre 4——1 et x = +1, sont égales aux valeurs extrêmes du rapport 


ri : 
J Z2(1+ a) (1 — x) 70 wdx 
—1 





+1 
fz2a + a) (1— x)/0 vax 


où p—0 ou 1, p,—0 ou 1 et Z un polynôme pour lequel le degré de 
l’expression 
A+ 2) (1 — ro. 
ne Surpasse pas ». | 
Posant pour abréger 


A+ (mou 0, (x), 


(1+ x (1—xov— 0 (x), 


— 382 — 


nous allons nous occuper. maintenant de la recherche du polynôme Z de 
degré donné pour lequel le rapport 


+1 ; 
[2206 (x) dx 
cas | 


+1 
J Z?86 (x) dx 


—] 
atteint sa plus grande ou plus petite valeur. 


$ 3. Remarquant que le rapport 


ne change pas de valeur, lorsqu'on multiplie le polynôme Z par un facteur 
constant quelconque, nous concluons d’une part que le polynôme cherché 
contient un facteur constant arbitraire et d'autre part que par un choix 
convenable de ce facteur ou pourra assujetir le polynôme Z à satisfaire 


l’équation 
+1 
[20 (x) dx = - 


pes | 


D'ailleurs cette équation ayant lieu, le rapport 


Tnt de 
re 
È | 
Jz 20 (x) dx 
re à 

se réduit à l’intégrale 


+1 
[2 6, (x) da, 
MECS 


donc, le polynôme cherché Z pour une certaine valeur du facteur constant 
représentera la solution du problême suivant des maxima et minima relatifs: 


«Parmi tous les polynômes d’un degré donné et satisfaisant à l'équation 


+1 
[20(x) dx = 1 
"1 


— 383 — 


trouver ceux qui donnent à l’intégrale 
+1 
[ 2 0, () dx 
werk 


la plus grande ou la plus petite valeur». 

Multipliant par des constantes arbitraires les polynômes qui repré- 
sentent les solutions de ce problême, nous obtiendrons les expressions géné- 
rales des polynômes pour lesquels le rapport 


atteint ses valeurs extrêmes. Quant au polynôme Z qui fournit la plus 
grande ou la plus petite valeur de l’intégrale 


sous la condition 

+1 

[ 220 (x)dx =1, 

eus À 
sa recherche présente un cas particulier du problême dont il était question 
dans nôtre Mémoire, sous le titre: Sur les maxima et minima des sommes, 


composées des valeurs d’une fonction entière et de ses dérivées *), 
Appliquant aux intégrales 


+1 +1 
[Z20,(x)dx, [2*0(x)dx 
—1 1 
ce que nous avons donné en général à l’égard des sommes et changeant le 


signe du facteur auxiliaire À, nous trouvons que le polynôme Z de degré 
m—1, qui procure le maximum ou le minimum de l'intégrale 


+1 
[ 27 6, (x) dx 
En: 


sous la condition 





*) Voir, T. Il, pag. 3—40. 


— 384 — 


se détermine par l’égalité suivante: 
+1 
Le produit Z ] De dz aux termes en x" près inclusivement 
—1 
est égal à une fonction entière. | ni 
Cette égalité n’étant pas altérée par l’introduction d’un facteur constant 
quelconque dans le polynôme Z, l’expression générale de Z qui satisfait à 
cette égalité renfermera un facteur constant arbitraire. 
La valeur de ce facteur se trouve à l’aide de l'égalité 


+1 

[226 (x) dx = 1 

enr | 
dans la solution du problème des maxima et minima relatifs indiqué plus 
haut; en passant de cette expression du polynôme Z à son expression géné- 
rale qui donne les valeurs extrêmes du rapport 


, 

Îz 60 (x) dx 

rl 

, 

+1 

[220 (x) dx 

nu | 
on devra introduire de nouveau d’après les remarques précédentes un 
facteur constant arbitraire dans l’expression du polynôme Z. 


$ 4. Désignant par V la fonction entière qu’on obtient en développant 
l'expression 


+1 
60 (2) — XO (2) 
Z les 4 
en | 
suivant les puissances descendantes de x et par B:. B,....1es coefficients 
des puisances négatives de x nous aurons, d’après ce qu’on à vu à l’égard du 
polynôme cherché Z, l'égalité suivante 


+1 


0 — 10 B B 
[ue a = Ve + mr ec 





WT: 
asc 


d’où l’on trouve en divisant par Z, 
+1 


% (z) — 0 (2) APE L4 PB; B; 
de = 7 + Zn Zomes Heeee 





L 


— 385 — 


On voit d’après cette égalité que la fraction 


À 
Z 
représente la valeur de l’intégrale 
+} 
| 00 (2) — À0 (z) L 
LT — 2 
re 
exacte jusqu’au terme dont le degré est égal à celui de _— inclusivement, 


ce qui n’est possible, comme on le sait, que dans le cas où dans la série 
des fractions réduites de l'intégrale 


+1 
d 9 “si (2) de, 
mn 
qu’on obtient en la développant en fraction continue, se trouve une fraction 
égale à 
: 
Z? 
et la fraction réduite suivante ait un dénominateur de degré supérieur à #, 
ce qui suppose l’absence de la fraction réduite au dénominateur de degré "”, 
car le polynôme cherché Z est de degré m— 1. 
Cela posé, il est facile de déduire dans chaque cas particulier l’équation 
à laquelle doit satisfaire la quantité auxiliaire À et de trouver l’expression 
des divers polynômes Z pour les différentes valeurs de À qui satisfont à 
cette équation. Quant au choix parmi ces valeurs de À de celles qui donnent 
la solution de nôtre problème, il ne présente pas de difficulté; car, comme 
on va le voir tout de suite, À est la valeur du rapport 


1 
fz 20 (x) dx 
—1 


Pour nous en convaincre, remarquons que, d’après ce qui précède, dans 
la série de réduites obtenues par le développement de l’expression 


+1 


do (2) — XO (4) 
LA étre GE 
nent ‘ 


: : AE 2 — ‘ 
en fraction continue, la fraction 7 St suivie par une fraction ayant un dé- 
nominateur de degré supérieur à celui de Zx. 

25 


— 386 — 


Or dans ce cas, comme il est connu, aura lieu l'égalité suivante 


[z (8, (x) —X0 (x)) dx = 0, 


d’où il résulte 


On voit d’après cela, que dans la résolution de nôtre problème, exigeant 
que le rapport 


HI 
Jz 2 6, (x) dx 
—1 


Ÿ226 (0) de 


—1 
soit le plus grand ou le plus petit possible, il faut adopter pour À la plus 


grande ou la plus petite de ses valeurs pour lesquelles dans la suite des 
fractions réduites de l’intégrale 


—+-1 


| dl) — 2000 ge 


gs | 


il en manque celle dont le dénominateur est de degré ". 


$ 5. L’équation, qui détermine les valeurs de À, et l'expression du po- 
lynôme correspondant Z s’obtiennent facilement au moyen du développe- 
ment de l'intégrale 


en fraction continue, Ayant trouvé la réduite de ce développement au déno- 
minateur de degré m», faisons d’abord disparäitre dans les termes de cette 
fraction les diviseurs contenant la quantité À (ce qu’on peut faire toujours 
en multipliant le numérateur et le dénominateur par une certaine fonction 
de À). Le dénominateur prendra la forme 


FQa"+ Fa + Eat +...., 


— 387 —. 


où 
FO), FO, LL 0, 


désignent des fonctions entières de À. 

Multipliant cette formule par une constante arbitraire, nous trouvons 
l'expression 
(2) CFO)" + CE (2 + CFO) + ...., 


qui embrasse tous les polynômes de degré non supérieur à m qui, étant mul- 
tipliés par 


+1 


[ dE) — 0) y, 


X— 8 ? 
—] 


donnent un produit qui se réduit à une fonction entière aux termes en 
æ " près inclusivement, Remarquant que le polynôme cherché jouit de cette 
propriété même, nous concluons qu’il doit être représenté par la formule (2); 
or, le polynôme Z étant de degré non supérieur à »— 1, le terme en x” 
dans cette formule appliquée à la détermination de Z doit disparaître, ce 
qui entraîne l’équation 


(3) EX —0. 


En vertu de cette équation, d’après ce qui précède, on obtient pour le 
polynôme cherché l’expression suivante: 


(4) Z= CE, 2" "+ CE(aT +... 
En déterminant la plus grande et la plus petite racine de l’équation 
F(À) = 0, 
nous trouverons la plus grande et la plus petite valeur du rapport 


+1 
Î 2? 00 (x) dx 
—1 


Z étant un polynôme de degré m— 1. Les expressions de Z pour lesquelles 
ce rapport atteint ses valeurs extrêmes sont données par la formule (4), 
quand on y remplace À par la plus grande et la plus petite racine de l’équa- 
tion (3). 

25* 


. — Ves 


$ 6. Nous allons nous occuper maintenant d’un cas particulier, où les 


valeurs extrêmes du rapport 
e 1 


et les valeurs correspondantes du polynôme Z s’obtiennent de la manière la 
plus simple d’après ce qui a été exposé. Ce cas aura lieu lorsque 


O,(&) = 0 (x). 
L'intégrale 
+1 
09 (2) — À8 (2) : 
fe rue 
are | 


se réduit dans ce cas à 


or, en considérant la dernière intégrale comme limite de la somme 


(25 — À) 0 (25) 
DE : L — 2 PE rs 2), 


nous trouverons, en vertu de ce que nous avons montré dans le Mémoire 
sous le titre «Sur les fractions continues» *), que le dénominateur de la m-ième 
réduite de l’intégrale 


+1 


(2 — À) 0 (2) 
per de 
eme À 


s'exprime 4 l’aide de d,,,,(x), L, (x) c’est-à-dire à l’aide des dénomina- 
teurs de la (m-+-1)-ième et m-ièm réduites de l’intégrale 


son | 


2Q qe, 


LT —2 





*) Voir T. I, pag. 203—230. 


— 389 — 


par la formule | 
(5) Dan (À) Ye (E) — Ÿm-e1 À) Pme (2). 


æ— À 





Les fonctions Ÿ,.,,(x), (x) étant respectivement de degrés » + 1, 
m, le terme le plus élévé du polynôme représenté par cette formule sera de 


la forme 
H4,(Q).x”, 


et par conséquent dans le cas considéré l’équation qui détermine la valeur de 


À sera: 
(A) =0. 


D’après ce qui a été démontré dans le $ précédent la plus grande et 
la plus petite racine de cette équation donneront les valeurs extrêmes du 
rapport 


Pour déterminer les valeurs correspondantes du polynôme Z, multi- 
plions d’après le $ 5 la formule (5) par une constante arbitraire C'et pre- 
nons pour À les deux racines nommées ci-dessus de l’équation 4, (À) — 0. 

On aura ainsi pour le polynôme cherché Z l'expression suivante: 


D ie OT Ÿm-1-1 À) Ym (&) 


æ—À 





qui peut être représentée par 
7 C, Dan (&) 


x” 
en posant 


CG RTE» (8,1 (Q). 
Dans le cas particulier où l’on a 


d()= Ï, 


ÿ (æ), d, (&), . ….. LA (&), … 
de réduites de l’intégrale 


les dénominateurs 





— 390 — 
se réduisent, comme on sait, aux fonctions de Legendre 


CU a à 


RO 
Par conséquent la plus grande et la plus petite racine de l’équation 
X,,=0 


représentent les valeurs extrêmes du rapport 





Z étant un polynôme de degré m — 1. En faisant dans la formule 


__ Co Xm 
2= æ— À 


À égal à ces racines, nous aurons les expressions des polynômes pour lesquels 
ce rapport atteint ces valeurs extrêmes. 


$ 7. Après avoir montré comment se déterminent les valeurs extrêmes 
du rapport 


+1 
[ 2260 (x) dx 
Lt | 


Z étant un polynôme de degré donné, revenons maintenant à nôtre problême 
de la recherche du maximum et du minimum du rapport 





Y étant un polynôme de degré n et conservant le signe + entre x=—1 
et æ — + 1. Ces valeurs extrêmes du rapport 





— 391 — 


comme on l’a vu dans le & 2, seront égales aux limites que le rapport 


1 
Îz (1-2) (1 — x)P0udx 
—1 





1 ; 
jz (+2 (1— 2)Ÿ0vdx 


ne peut dépasser, lorsque p — 0 ou 1, 9, = 0 ou 1, Z étant un polynôme 


de degré non supérieur à Eee, Désignant par EEE le plus grand 


nombre entier contenu dans ——%—#© et remarquant que l’expression géné- 


2 
rale d’un polynôme de degré E“—%— renferme comme cas particuliers 


les polynômes de tous les degrés inférieurs, nous trouverons ces limites 
d’après ce qu’on a vu dans les $$ 2 et 3, en posant 


8, (x) = (1 +2) (1 —%)°u, O(x) = (1 + 2) (1 — 2) 9, 


(6) m1 pa, 


et en faisant à l'égard des nombres o, p, les 4 suppositions suivantes: 
1) p—0, p,—=0, 
2) p—=1, po—0, 
3) pr 0, Po = 1, 
4) p=1, p,=1. 


Les limites entre lesquelles seront renfermées les valeurs extrêmes du 
rapport 


+1 
J F (1+ 4) (1 — &)0 udx 





1 
re (1 +) (1 — æ)0 vdx 
—1 


pour ces valeurs des p, p, et les valeurs correspondantes de »#—1, seront 
les limites du rapport 





le polynôme Y étant de degré non supèrieur à » et conservant le signe + 
entre 2—=—1] et x — +1. 


— 392 — 


$ 8. Nous allons montrer maintenant comment ces limites se trouvent 
dans un cas singulièrement simple, savoir, quand « —zv. Pour une telle 
valeur de w, d’après $ 6, les valeurs extrêmes du rapport 


1 
Jz A+) (1— 2)0 wdx 
—1 





? 


1 
J = (+) (1— x)0 vdx 
Dee? À 


pour un polynôme Z de degré m— 1, seront égales à la plus grande et la 
plus petite racine de l’équation 


2 (A) —=0, 


L, (x) étant le dénominateur de la m-ièm réduite de l’intégrale 





(1 + 2 (1 — 2)0 udz 
DE . 
qu’on obtient par le développement de cette intégrale en fraction continue. 
Pour trouver les valeurs extrêmes de ce rapport, qui sont d’après ce qui 
précède les limites du rapport 





lorsque le polynôme Y est de degré non supérieur à » et reste positif entre 
æ——1 et x—+1, nous devons considérer 4 hypothèses à l'égard des 


nombre p, Po: 


p—=0, p—0, 
p=1l, p—0, 
p=0, fo—=1, 
p—=1l, po—=l; 





n +2 n +1 n +1 n 
(7) Mm—=E——, m=E——-, mMm=E——, m,= LE. 


Désignant par 
Pa (2), Yn (@), Ÿn (x), Ÿn (&) 


— 393 — 


les fonctions auxquelles se réduit la fonction d,, (x) pour les valeurs précé- 
dentes de p, p,, nous remarquons que les plus grandes et les plus petites des 
racines des équations 


(8) e () er 0, go) (à) = 0, (4 (À) — 0, sg (À) — 0 


seront égales aux valeurs extrêmes du rapport 


1 
Î 2 (1+-x) (1 — x)0 œudæ 
—1 





? 
+1 


[za (1 — 20 ur 
—1 


et parmi celles-ci la plus grande et la plus petite seront les valeurs extrêmes 
du rapport 





dans les conditions posées. 
Passant à la détermination des fonctions 


Un (&); Ÿm (&); Ÿm (&); Yn (&) 


pour différentes valeurs de ”, nous remarquons d’abord que la première 
entre elles 
de (æ), 


p—=0, p—0, 


correspondante à 


se trouvera à l’aide du développement de l’intégrale 





en fraction continue, cette fonction étant comme on l’a vu le dénominateur 
de la m-me réduite. 
D'après la formule (5), en y faisant À= 1 et remplaçant 4, (x), 
L,.1(&) par V® (x), V9, (x), nous trouverons les expressions suivantes des 
fonctions L9 (x), Ÿ (x) qu’on détermine à l’aide du developpement des 


intégrales 
+1 +1 


(1+- 2) udz (1 — 2) udz. 
] æ—s ? ] æ—2 de 


pan | T3 


cm 394 = 


en fractions continues: 





LD (— 1) 40, 1 @) — V0, (— 1) YO (x) 
? 





(9) go) (x) rer æ +1 
__ de A) PU (&)—4®,, (1) 4 (x) 


Par la même formule, en y remplaçant d,,(x), d,,.,(æ) par Y (x), 


LP. (x) et posant À—1, nous trouverons l’expression suivante de la fonction 


Ÿ® (x) qui se détermine par le développement de l'intégrale 


+1 


(1— 2) Cest Ph 
T—8 





on À 
à l’aide de la fonction Y® (x) déterminée par le développement de l'intégrale 


+1 
[= CE q 


(4) LD (1) LD, (x) — DE), (— 1) LD (x) 
bd (æ) _—. +1 y 


à savoir 





En substituant dans la dernière égalité les expressions des fonctions 


WP (x), LP, , (x) tirées de (10), nous trouverons qu’elle se réduit à la suivante 


LU) (x) — — MY), (x) + NyQ) (x) 





(11) go (x) — te 1 ? 
où 
(1) 
L— ne CU (1) VD (— _ y (1) ga, (— 1) |, 


ju 


ou FREE D (1) Ps (—1) } 
pe ya CDN CD)-HEL EME] 


C’est ainsi qu’on trouvera toutes les fonctions qui figurent dans l’équa- 


tion (8). Quant aux nombres 
Mo M, Ms My, 


qui déterminent les degrés de ces équations, on trouve d’après (7) en posant 


n="21, 
les egalités 
m=i+ 1; mi; ml; M,=l, 
et posant 
n = 21— 1, 


— 395 — 


on aura 
m=l; m=l; m=l; m=I— 1]. 


$ 9. Dans le cas particulier où 
= }, 
D (2), WP (æ), Ya (&). ..., 


représentant les dénominateurs des fractions réduites du développement de 
l'intégrale ; 


les fonctions 





en fraction continue, se réduisent, comme il a été ce remarqué dans le 
$ 6, aux fonctions de Legendre 


X, ? X,, Z;, D . 26 d ; 
et par suite dans le cas considéré nous aurons 


PO = Xp Van = Xp YO = Xp ss: 


en vertu des proprietés des fonctions de Legendre on aura dans ce cas 


g0 (1) = 1, Yo: (1) = Fa 1, (A (1) = k, 
—D=ba—D=(-1S ace (1) 
d’après cela les équations (9), (10) et (11) nous donnent 
Q9 (= (— 1)" mn Èn, 


X — X}». 
“A0 mg va 


X — X 
QE (a) = (— 1)" Rae En. 


Remarquant d’ailleurs que d’après les propriétés des fonctions de Le- 


gendre 
X 2m + 3 X m+1 


m +-2 m + 2 % m1 m+Ee<2" M? 





nous trouvons que la dernière des formules précédentes conduit à l’expres- 
sion suivante de la fonction 4} (x): 


92m +3 X x—X 
VD (x) = (—1)" m2 Se pa _ 





ns 168 


Il en suit d’après le $ 8 que les valeurs extrêmes du rapport 





+1 
Î Yxdxæ 
RARE à 
? 
1 
Ydx 
1 
le polynôme ?Y restant positif entre x = — 1 et x—+1,se trouveront au 
moyen des équations 
; m (&) = X,,,= = 0, 
Yo) = (— 1) ES = 0, 
(12) 


XI41 — À 
D @) = Aa —0, 


LA +3 Xj41 © — Xy 
Le) = (— 1) 1+2 + 1 == 0, 








lorsque le degré de Y n’est pas supérieur à 27, et au moyen des équations 


Pr) =X,=0, 
QD (x) = (— 1) EN 0, 
(13) (8) ® (x) = Ft — A UN, 








1 A+ 1 Xyx — Xy 
do (x) = (— 1) : _— TE 1=0, 
lorsque le degré de Y n’est par supérieur à 2/ — 1. 
$ 10. Au moyen de ces équations nous trouverons la limite supérieure 
du rapport 





en déterminant la plus grande quantité qui satisfait à une équation quel- 
conque parmi les équations (12) ou (13), selon que la limite du degré du poly- 
nôme Y est égale à 27 ou à 27 — 1. 
Cela se fait facilement en vertu des propriétés des fonctions de Legendre. 
La fonction de Legendre X, admet toujours, comme on le sait, des 
valeurs de signes contraires pour deux racines consécutives de l’équation 


X 


+1 


Er 


— 397 — 
donc, il est certain que dans chacun des / intervalles entre ces dernières 


se trouvent des racines des équations de degré / 


Xi À _p Xi X_p Xe Xi _ ph 
BE. ui 4 a?— ] Re PE A 


D'où l’on voit que toutes les racines des équations précédentes sont 
plus petites que la plus grande racine de l’équation 


X 


li 


par conséquent c’est cette dernière racine qui représente la plus grande 
des quantités qui satisfont à l’une quelconque des équations (12). 
En appliquant les mêmes raisonnements aux équations 


RG Xj2— Xi, 
X,=0, 3 —0, 


nous nous convaincons de ce que toutes les racines de l’équation 


Xy2x — Xp 
a?— 1 = 0 


seront moindres que la plus grande racine de l’équation 
X,—= 0. 
Cette racine surpassera en même temps toutes les racines de l’équation 


ts — Xi: 
æ—1 mené 


parceque, d’après ce qui précède, ces dernières sont plus petites que la 
plus grande des racines de l’équation 


X 


| FE 


0, 


et que d’ailleurs, comme il est connu, dans l’intervalle entre cette racine et 
la plus grande racine de l’équation 


X, = 0, 


la fonction X,,, conserve le signe —, et la fonction X, le signe +, ce qui 
“entraine certainement l’impossibilité d’une racine de l’équation 


Xi Xp 
BR 


supérieure à la plus grande des racines de l’équation 


X,= 0. 


— 398 — 


Or remarquant que pour cette racine la valeur de la fonction X,,, 
a le signe —, nous concluons que cette racine sera elle-même inférieure à la 
plus grande racine de l’équation 
Xi + XI 0 
+1 L 
D'où l’on voit que la plus grande quantité de toutes celles qui satisfont à 
l’une quelconque des équations (13) est la plus grande racine de l’équation 
Xi + À —=0( 
æ+1l ? 


qui, après la suppression du diviseur +1, qui n’influt pas sur la valeur de 
cette racine, se réduit à la suivante: 


X 


11 


+ À, = 0. 


$ 11. De ce que nous avons démontré à l’égard des quantités les plus 
grandes de celles qui satisfont aux équations (12) et (13) il suit que la li- 
mite supérieure du rapport 





Î Yæxdx 
Let | 
? 
1 
Ydzx 
F7 
le polynôme Y restant positif entre x = — 1 et x — + 1, sera égale à la 
plus grande racine de l’équation 
2,5 = 0, 
ou de l’équation 
À; Æ X, FT 0, 


selon que la limite supérieure du degré du polynôme Y est égale à 27 ou à 
21 — 1. Remarquant que la formule 





est également susceptible de donner des valeurs positives ainsi que des va- 
leurs négatives nous concluons que les limites supérieures de sa valeur, dé- 
terminées de la manière indiquée, représentent en mêmes temps les limites 
supérieures de ses valeurs numériques. 


D'ailleurs, le rapport 





ne changeant pas de valeur par le changement de Y en —Y, on voit que 
les limites de ce rapport déterminées dans la supposition que Y conserve le 
signe + entre t——1 et &4—+ 1 auront lieu aussi dans le cas où 
conserve le signe — entre t—=—1 et x = +1, et par suite lorsque en 
général Y ne change pas de signe dans l’intervalle donné. 

C’est ainsi qu’on obtient, en vertu de ce que nous avons démontré à 
l'égard de la limite supérieure du rapport 





+-1 
$ Yxdx 
1 
? 
L 
Ydz 
—1 
le théorème suivant: 
Théorème. 
Si Y désigne un polynôme qui ne change pas de signe entre x = —1 


et m—+1 et dont le degré ne surpasse pas n, la valeur numérique du 
rapport 





ne Surpasse pas la plus grande racine de l'équation X,,, —=0 ou 
X,,, + X,—=0, selon qu'on a n— 21 ou n—21—1, où X,, X,,, dé- 
signent les fonctions de Legendre des degrés ! et 1+ 1. 


$ 12. Nous allons montrer maintenant une application du théorème 
démontré. Soit ABC un arc d’une courbe parabolique dont l’équation en 
coordonnées rectangulaires est: 


y=f(@)=02 + C2 +... 


Si cet arc de courbe entre les points À et C va toujours en s’élevant 
ou en s’abaissant et n'offre point d’inflexions, il ne peut couper ni la corde 
AC, ni les droites AD, CD menées parallèllement aux axes de coordonnées 
par ses extrémités À et C; par conséquent le segment ABC représentera 
une partie du triangle rectangulaire formé par la corde AC et les droites 


— 400 — 


AD, DC parallèles aux axes des coordonnées. On voit d’après cela que le 
rapport 

segment ACB 

triangle ACD 
sera toujours plus petit que 1, quel que soit le degré de la courbe parabo- 
lique. D'ailleurs pour tout degré donné le rapport 


segment ACB 
triangle ACD 


aura pour limite une quantité inférieure à 1. 




















ÿ 
. œ 
0 , 
C’est cette valeur limite du rapport 
segment ACB 
triangle ACD | 


que le théorème démontré va nous donner, comme nous allons le voir tout 
de suite. 
Désignant par 
Los Vos Lis Yi 


les coordonnés des points À, C et remarquant que y — f(x), nous trouverons 
AD= 2, —%,, CD =y— y =f(&) —f(&), 
ce qui nous donne l’expression de l’aire du triangle ACD que voici: 


ACD =" (f(x) — f(&), 





ce qu’on peut représenter sous la forme: 





Tj 
ACD = | f’(æ) dx. 


To 


— 401 — 


Passant à la détermination de l’aire du segment ACB, nous remar- 
quons d’abord que l’aire du trapèze 4, ACC, s’exprime comme il suit: 


A,A00, = #Q (44, + C0) = 25% (y 9) = 2 (f(x) + f(x); 


quant à l’aire limitée par l’arc ABC et par les droites 44,, 4,C;, CC, 
elle s’exprime par l'intégrale 








Retranchant cette dernière aire de la première on verra que l’aire du 
segment ACB s'exprime ainsi: : 





Ti 
ACB = (f(x) + (a) — | f(x) da, 
: Lo 
ce qui se réduit à 


ACB — Tr L —%] dx, 
To 


au moyen de l'intégration par parties, en posant 
Lo + X 
il dx = x — +: 


D’après les valeurs trouvées des aires du triangle ACD et du segment 
ACB leur rapport s’exprime ainsi: 


æ 

[ f'@) [ee | dx 
segment ACB _ x 

triangle ACD — ? 


Ti 
A | f' (2) de 
0 





ce qui se réduit à l'égalité 














+1 
f' (= ae ++) tdt 
2 2 
segment ACB ___ —1 
triangle ACD  ,, : 
[Vi = Lo To + 
( f ( 0 14% ) dt 
—1 


en introduisant la variable # au lieu de x, au moyen de la substitution 


ot bons PSP Ron 2 


Pae 5 


Comme la ligne parabolique considérée entre les points À et C va 
toujours en s’élevant ou en s’abaissant, son équation ‘étant 


y = f(x), 


26 


— 402 — 


la dérivée 





Li — Lo + 
f D L + : } 


entre les limites é— — 1 et { — + 1 correspondantes à ces points, ne chan- 
gera pas de signe, et par suite on pourra appliquer le théorème mentionné à 
l'expression 











représentant la valeur du rapport 

segment ACB 

triangle ACD 
Or remarquant que la fonction entière f’(x) est ici de degré non supérieur 
à p— 1, nous devons prendre d’après ce théorème n—p—1. Ainsi en 
vertu de ce théorème nous arrivons à la conclusion que le rapport 


segment ACB 
triangle ACD 


ne surpassera pas la plus grande racine de l’équation 


X,,,=0, 


+1 


la courbe parabolique étant de degré non supérieur à 2/+ 1, ou de 
l'équation | 
X 


pes 7 X;= 0, 
si ce degré ne surpasse pas 2/. 
Posant / — 1, nous trouvons que la première de ces équations se réduit 
à celle-ci: 
X,= 3 ad 
et la seconde à 


ne 3 2 1 auete 
X,+X, = 5x — 7 +æ—=0. 


Remarquant que la plus grande racine de la première équation est 


+ à « . Dee . 
V+ et de la seconde -, nous concluons d’après ce qui précède que la li- 
mite supérieure du rapport 


segment ACB 
triangle ACD 


pour les lignes paraboliques du second degré est = et pour celles du troi- 


_ 4. 
sième V= . 


A 


SUR UNE SÉRIE 


QUE F'OURRIT 


LES VALEURS EXTRÈMES DES INTÉGRALE, 


LORSQUE LA FONCTION SOUS LE SIGNE EST DÉCOMPOSÉE EN 
; DEUX FACTEURS. 


(LRADUXX PAR C. A. POSSÉ.) 


(Lu le 10 mai 1883.) 


ee 


Os oOnoms padr, 


docmabrnoueme npedsmnua berrun unmespasobe npu pasaogceniu 
nodksunmeparruoÿ pynhuiu na mnoumeau. 





(Ipuroæenie x XLVII-my rouy Sanucorr Huneparopcxoë Arxaremin Hayx®, X 4, 
1883 r.) 


26* 















SF he ES 


NUT GE à 
RELN EE 


























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Las 
1 Sd ms 
D 





Sur une série qui fournit les valeurs extrêmes 
des intégrales, lorsque la fonction sous le signe 
est décomposée en deux facteurs. 


$ 1. Dans une Note sous le titre: Sur le développement des fonctions à 
une seule variable *), nous avons indiqué plusieurs séries pour le développe- 
ment des fonctions, qui résultent de la formule générale d’interpolation par 
la méthode des moindres carrés que nous avons donné dans le Mémoire 
sous letitre: Sur les fractions continues **). Les termes de ces séries se com- 
posent des polynômes déterminés par le développement en fraction continue 


d’une intégrale de la forme 
b 


JE ds: 
æ—2Z ? 


a 


les dénominateurs des réduites qui s’obtiennent dans un tel développement 
sont justement ces polynômes suivant lesquels les fonctions se développent 
en séries, dont il était question dans notre Note. 

Nous allons montrer maintenant une série d’un autre genre renfermant 
les mêmes polynômes. Cette série ne donne pas des valeurs approchées des 
fonctions sous la forme des polynômes, comme le faisaient les anciennes, 
mais elle fournit des expressions approchées, avec des termes complémen- 
taires, des intégrales définies, ces expressions étant formées des intégrales 
plus simples sous certain égard, savoir: pour l’évaluation d’une intégrale de 
la forme 


b 
[ RG) A) (x) dx, 





*) T. 1, p. 501—508. 
**) T, I, p. 203—230. 


— 406 — 


où figure un produit de trois fonctions | 


Lx), A (@), (a), 


on obtient une expression approchée composée d’intégrales où figurent sous 
le signe d'intégration séparément les fonctions 


(x) (x), 1) (x), (x), 
multipliées par les polynômes mentionnés ci-dessus. 


$ 2. Cette série, ainsi que son terme complémentaire, se déduisent fa- 
cilement en considerant l’intégrale multiple 


(1) T1 | 2990 dd de 
les fonctions 
0; run do: S; 


étant déterminées par les formules: 
D 0)0()..-0(0), 


g@)=(G— 2) (&—2)....(&—2,), 








tem fo (Xo) Jo (2) Jo (Zn) 

(2) tu Go + gen Tom) 
_—_ fo , fi (@) Ji &n) 

D ED. PE) + + d'a)’ 





P,= (x) ?'(&)....9'(2,). 
La dernière égalité, après la substitution des valeurs de o (Go), o LR SEE 
o'(x,), se réduit à celle qui suit: 


(3) Fee Lo — 2) (x, —2)....(m —2,)....(0,. — x) |. 


Les limites de toutes les variables dans les intégrales que nous consi- 
dérons sont les mêmes, savoir: a et b. 

Remarquant d’après la structure des fonctions 5,, S, que leur produit 
est égal à une somme de termes de la forme: 


Jo UE ñ (24), 
o' (xs) ?’ xp)’ 





où 
io, iris. 


ke: 1,,.,:%, 


nous concluons que l'intégrale (1) se décompose en une somme d’intégrales: 


AE pe ies P,0 dr dr. .. dx, 





?’(xi) 9’ (xx) 


— 407 — 


Cette somme renferme des termes de deux genres, à savoir: 1) ceux dans 
lesquels i— #, 2) ceux dans lesquels à diffère de k. 

Les indices 2 et 4 ayant dans cette somme toutes les valeurs de 0 à », 
il y aura n +1 termes du premier genre et (n + 1) x termes du second 
genre. Or, d’après la symétrie par rapport aux variables 


Lo, Dj... d,, 


les termes du premier genre auront la valeur commune 





Jo (to) li (to) 
É RUE P,0 dr, dx, .. -..dæ,, 


5] 


représentant le terme qui correspond à 2—0, k— 0, et les termes du se- 
cond genre auront la valeur commune 


a (co) fi (y) 
J£e D) Po 06 dde + + 2, 


représentant le terme qui correspond à 2 —0, £— 1; donc l'intégrale (1) 
que nous considerons se décompose de la manière suivante: 


ÊrE- Ar n|$e 0 (0) = . ? P,08 drodx,.….…. da 


9” (to) n 


(4) 





Jo (Xo) fi (21) 2 
+(n+ ln | RE ITS P,0$ dx, dx,....dx,. 


| $ 3. Pour simplifier la première des intégrales qui entrent au second 
membre de cette égalité nous introduirons des nouvelles fonctions 4, ®, 
P,, en posant 
f 
0 (x) 4(x,)....0(x)= 0€, 
(5) À (c—2) (œ—x)....(x—2,) = D(»), 


| D'(x,) D'(x.)..... D'(x)= EP 





Comparant ces égalités aux égalités (2) nous remarquons que 
0, = 0,°0 (&;) 

(6) f 0 1 ( 0/2 

Lo) =(&—2,) D(a) 


Si l’on différentie la dernière égalité par rapport à x, nous aurons: 


g (x) = D(x) + (x — 2e) D'(&); 
d’où, en faisant 


TT, À, L,....2,, 


— 408 — 


et remarquant que d’après (5) les valeurs æ—%,, &,,....4, annulent la 
fonction ® (x), nous déduisons 


(7) g (&)=D (o), g (&,)=(t —%o) d (x), …..) g (x,)=(&, —%o) D (æ,). 
En multipliant ces égalités, nous trouvons: 


g'(&) (x) sx)... 9'(x)= 
Gé — 2) (y — 29). - - . (5, — %0) D (60) D) Dm)... DC). 


Comme on à d’après (5) 


(t, — 2%) (ts — 0)... (x, —%)=(—1) (x), 
Dr) D'(v)....DG)=Er, 
et d’après (2) 
? (Zo) 9 (x) ? (ts). ... CRÉAS 
l'égalité obtenue nous donne 


(8) | P,=(—1) (x) P,. | 


Substituant les valeurs de P,, 4, ®'(æ) tirées de (8), (6), (7) dans 
l'intégrale 


fase P,0 dx, dx, dx,....dx,, 
nous remarquons qu’elle se réduit à Ja suivante: 


[— 1)" f(@&) f(@o) P, (x) 0° dx, dx, dx. . .. dx. 


Les fonctions P,, @, ne renfermant pas d’après (5) la variable x;, 
cette intégrale se décompose en deux facteurs suivants: 


[C—0" 2,04, dr... da, | f (0) fi (to) 8 (to) dr. 
En vertu de cela, désignant par C la valeur de l’intégrale 
[(— 1)" P,0/ dx, dx... dx, 


indépendante des fonctions f, (x), f, (x), nous obtenons pour la détermination 
de la première des intégrales contenues dans l’égalité (4) la formule: 


(9) Jées Le P,08 dx, da... de, = C| f(x) f (tr) (ro) dr 


— 409 — 


$ 4. Passant à la simplification de l'intégrale 


fo (&o) f (æ) 
Jée Go) TG) @) P, 0 dx, dx, dx, dx,.... dx, 


nous introduirons encore trois nouvelles fonctions, en posant 
[A(x,) 0()....0(&,)—=0,, 

(10) À (t—%) (t—%)....(&—2,) = 9, (x), 
Das) Dr). ...8 (x) = P, 





Comparant les deux premières des égalites (10) aux égalités corre- 


spondantes (5), on déduit: 

6, =0 Ô 
{a =0()0,, 
; L0@)=(e—%) D(a). 


Cette dernière égalité étant différentiée par rapport à x, donne 


D'(x) = D, (x) + (x —2,) D (x); 
d’où, en posant 


ET MER HS RREL 


et remarquant que la fonction ®,(x) s’annule d’après (10) pour x —=,, 
Lg, «..Æ,, NOUS Obtenons 


(12) D(x,)}=0, (x), D'(x)=(x,—2,) D'(x),...., D'(x,)=(x,—2,) D (x,). 
Multipliant ces égalités, nous trouvons 
D'(x) D'(x) D'(x)....D'(x,)= 
(,— 2) (ty —%)....(&, —x) D,(&) D',(&,) D'i(xs)....® (x); 


d’où l’on tire, en vertu des égalités (5), (10), l’expression suivante de la 


fonction P,: 224 
P,=(—1 "0 (2,)?,;: 


et par conséquent l’égalité (8) nous donne 
Po= — D(a) D(x,)P,. 


En y substituant d’après (12) ®’(x,) au lieu de ®,(x,) et remplaçant 
d’après (7) la fonction D(x,) par o'(x,) et la fonction ®'(x,) par =, 
nous obtenons 


P,—=— jt. P.. 


Ti — Lo 


— 410 — 


Or en mettant cette valeur de P, dans l'intégrale 





fo (ro) f1 (t1) 
É %) '&) 20 0 dx dx, dx, dx... .. dx, 


et en y remplaçant d’après (6) la fonction 4, par le produit 4(x,) 4, et la 
fonction 4, d’après (11) par le produit /(x,)@,, nous trouvons que cette 
intégrale se réduit à la suivante: 

(x, — 0) 


fre ) A) À (0) P(x,) CPE) p 4% dx... ..dx,, 


ce qu’on peut aussi représenter par 
— [ff (@)F (Go, 21) 6 (,) 67 (&,) das da,,, 


où l’on a désigné par 


Ft, 2) 
la fonction des deux variables %,, «,, déterminée par l'égalité 
(13) F(t, 2) — = | sfr rien EE P,0: dx, dx... da. 


$ 5. En vertu de ces transformations des intégrales qui entrent au 
second membre de l’égalité (4), elle se réduit à celle ci 


(14 = (n + 1) CT fi (&) fi (&) CP (Xo) dx, 
cr . . - J fo (Go) f (&) F(x; %) (Us (ti) Ca (x,) dx, dx, ; 


T étant d’après (1) la valeur de l’intégrale 
[PR8,86dr,dr....dr,. 


Nous allons montrer maintenant comment s’obtiennent les limites entre 
lesquelles se trouve renfermée la valeur de cette intégrale. 
D'après (2) les fonctions S,, S, se déterminent par les égalités: - 








__fo(to) , fo (mi) Jo fo (&n), 
PE el de) te Ji 
__Jfi(xo) _, (tr) fin). 
= 9 (&o) g’(æ) ah ?'(£n) 


En mettant ici d’après (7) 
Do), (1 —%) Pr)... (2, —%) D'(x,) 


— 411 — 


au lieu de 
(Go), 9 (&),.... 0 (x), 


nous remarquons que ces égalités peuvent être représentées sous la forme 











TER Re D (xo) fo (2) GE RC D (x) fo (Zn) 

(15) | = 55 LED — ma) de" —" men d'en) 
dit arr D (to) fi (&1) ______ 2 (to) fi (En) 

# ” 2(&) Ch (&o) (&o — 2) D'(x) vf sd (Zo — Zn) D’ ea) s 


Si l’on considère la première de ces égalités, où d’après (5) 
D(x)=(c—2,) (x —2x,)....(æ—2,), 


on remarque que l'expression renfermée entre les parenthèses | | repré- 
sente la différence entre la valeur de la fonction f,(x) pour x —x, et la 
valeur que donne la formule d’interpolation de Lagrange pour la détermi- 
nation de f, (x) d’après les valeurs de f,(x) pour = %,, %,,....4,. 

Le rapport de cette différence à la valeur de 


(to — L3) (Xp — 3). + (0 — Xn) 
LAS EN ; 





ne sort pas, comme on le sait, des limites dans lesquelles reste renfermée 
la dérivée 
d" fo (&) 
dx" 

POUT & = Lo, T1 La, . . ., et pour les valeurs intermédiaires. 

Remarquant d’ailleurs, d’après ce qui a été admis à l'égard des limites 
d'intégration, qué toutes ces valeurs se trouvent entre «a et b, nous concluons 
que ce rapport est égal à une certaine quantité M,, moyenne entre les va- 


leurs de la dérivée 
an fo (x) 
dx" 





dans les limites a et b. Par conséquent, d’après l'égalité (15), nous aurons 





gs =") (Go %2)... (20 — En) Mo 
PE ER” D (to) 


En remplaçant ici d’après (5) le produit 
(Go — &;) (&o rs La) « (To — 4) 


par ®(x,), nous trouvons l’expression de $, qui, étant simplifiée, se réduit 
à la suivante: 





— 412 — 


On trouve d’une manière analogue 





M, 
= Re HR 
M, étant une moyenne entre les valeurs de la dérivée 
an f, (x) 
da" 


dans l’intervalle x = a, x = b. 
En vertu des égalités que nous avons déduites à l’égard des valeurs 


des fonctions S,, S, dans l'intégrale 


T=|S,S P0/ da de... 22 


n? 
et remarquant que le facteur P,6$? d’après (3) n’y change pas de signe, 
nous concluons que pour certaines valeurs M,, M, ne sortant pas des li- 
mites entre lesquelles restent les dérivées 

dE), A0 


dx" dx" 





dans l'intervalle de x = a à & — b, aura lieu l'égalité suivante: 
(16) T— ms /r 0 dx, dx,....d2,. 
$ 6. Substituant cette valeur de 7 dans l’égalité (14) nous obtenons 
l’équation 
Ta = an fr dr de... dx, =(n+1) CT] f, (&o) fi (&) Pt) dr, 

—(n+ bn [| fe) AG) F2) x) da de, 
d’où il résulte la formule suivante pour l'évaluation de l'intégrale 
[ fo) fi (@) (0) do: 

F'(&o; 
(17) Jr (to) f, (@o) ° (&c) dt =f£ &)f,(@) Et) 62 (x,) C (x,) de, dr, 


(1. RE CES 1e] ; 





C’est de cette formule que nous tirons la série qui fait l’objet de cette 
Note, en développant la fonction 
+ F(&o; 4) 


suivant les termes composés des polynômes qui s’obtiennent, comme on 
l'avait dit au $ 1, au moyen du développement de l’intégrale 


62 (2) dz 
x—2 


— 413 — 


en fraction continue et que nous désignerons par 


bb) Ut), Lt)... 


D’après la propriété connue de ces polynômes, en vertu de la formule 
(17), il est facile de faire un tel développement de la fonction 


F F(&, t,) 


sans qu’il soit nécessaire de déterminer la valeur de l’intégrale 


n? 


Fi P,02 dx, dr... .dæ 


(to — M) 


qui donne l’expression de la fonction 
| F(&; &). 
d’après l’équation (13). 

Nous ne ferons que remarquer d’après cette équation que F(x,, x.) 
est une fonction entière de degré inférieur à #, tant par rapport à æ, que 
par rapport à æ, comme cela résulte de ce que d’après (2) le produit 
o'(&) o’(x,) est divisible par (x, —x.,} et ne contient des puisances ni de 
%, ni de +, supérieures à n + 1. D’après la propriété des polynômes 


VX), hi), Ya(@), +... 


toute puissance de x inférieure à n pouvant être représentée par la somme 


k, L (x) + k, Y CIE PE |: FS bi, (x), 
la fonction 


5 Fo %), 


d’après ce qu’on a remarqué ci-dessus à l’égard de la fonction F(x,, x), 
pourra être représentée par la somme 


Bb Cu h (&) du (), 


À et restant moindres que n. 
En mettant cette somme au lieu de 


© Lo %) 
dans la formule (17), nous obtenons légalité 


The Go) 2) = [1 0)  @) D Qu da (rs) ba (2) 8225) 62 (a) dr, da, 
Mo M | P5 00? do di. den 
(1.2....n} (n+1)C 





? 


— 414 — 


qui, comme il est aisé de reconnaître, peut être représentée comme il suit: 


18) HAE TO, [fa 4(e) (x) dx | f(@) 4, (@) 6 (x) dx 


Mo M [ Po 00? do dti. den 
(1.2....nP(n+1)0 





En vertu de la propriété connue des polynômes 


b (x), ÿ (x), Le LME 


de satisfaire à l’équation 


(19) [4 (x) L, (x) (x) dx = 0 


pour à différent de #k, il n’est pas difficile de trouver la valeur des 


coefficients 
C. 


À,u? 
qui figurent dans cette formule. En effet, si l’on y pose 
fo (x) ner Ÿ, (x), f; (x) Lean Le (x), 
lLn, m<LNn, 


où 


les dérivées 
d" fox) __ dut) f(x) _ d"4,, (x) 
dan dem ? dx dx" 





seront égales à zéro. Par suite, d’après ce qui a été dit au $ 5 à l’égard 
des quantités M,, M, celles-ci seront aussi égales à zéro; donc, pour de 
telles valeurs des fonctions f(x), f(x), la formule (18) se réduira à 
l'égalité 


hd, (0 (dr Ÿ Co, [hit VA (0 0°(0) da [ 4, (2) Ÿ, (0) 07(a) da. 
Remarquant d’après (19) que les intégrales 
[4u(a) d(æ) (a) dx, 
[Ce 4, (&) (x) dx 
se réduisent à zéro lorsque ÀZ7, ZM, nous concluons que dans la somme 
D'ouf ht ho (dx f4, (x) 4, (x) 67 (a)dx 
tous les termes, à l’exception de celui qui correspond à 


Al, p=m, 


— 415 — 
s’évanouissent; en vertu de quoi l’égalité déduite nous donne 
[4 (@) p, (@) 0%(o) dx = Q, [47 (x) 62 (0) da - [47 (x) 67 (x) dx; 
d’où il résulte pour la détermination du costirieut Cu la formule suivante 


33 J Va Ce) du (0) (a) de 
LS J ÿ)2 (æ) 62 (x) dæ | Lu? (æ) 0? (x) dx 





En y faisant À — u., nous trouvons 


1 
Ga [422 (@) 8? (x) dx” 





tandis que pour ÀZ 14 d’après l’égalité (19) on voit que 


C,, = 0; 


F M 
Il en suit que la somme 


D'ou de) @ (dx (f(x) v, (x) 6° (x)ax 


ne contient que les termes dans lesquels À — 1 et que dans ces termes le 


coefficient Cu a la valeur 
1 


FYn2 Ce) 07 (a) dx’ 





par conséquent l’égalité (18) se réduit à la suivante 


Lo (&) Ya (0 02 (x) dx [ fi (æ) Pa (0) 6° (æ) dx 
4 2 pr 4 
oo) ferme) ne 


Mo M, | Po 00? do dr. den 
(1.2....nŸ(n+1)C ; 








où la sommation s’étend, d’après ce qu’on a remarqué plus haut, aux va- 


leurs suivantes de À: 
ÀA= 0, 1, 2,....n—1. 


$ 7. On peut aussi trouver sans peine la valeur de l’expression 


Î Po 60? do de, de... drn 
(1.2....nfPn+1)C ? 





contenue dans le dernier terme de l'égalité déduite. 
On y arrive en y posant 


LE) = 4, @) À @) = Ÿ, (@). 


— 416 — 


Les dérivées 
an fox) d" f,(x) 
dan ? dan 





se réduisant dans ce cas à la quantité constante, égale à RS) (0), les quan- 
tités M,, M, d’après ce qu’on en a dit au $ 5 seront aussi égales à 4, (”(0); 
par conséquent pour 


ha=Y%,@), À (@) = 4, (@) 


la formule (20) donnera 


[+ (x) (x) dx es [ fUn (æ) a (æ) 67 (x) def 


jh (x) 62 (x) dx 


[nt (01° F Po do? 4x0 de. den 
(1.2....nf(n+1)C é 








Le nombre À étant moindre que», d’après ce qu on a vu au $ précédent, 
les intégrales de la forme 


[ 4, (æ) 4, (&) 8 (x) dx, 


qui figurent sous le signe de la somme se réduisent à zéro en vertu de (19) 
et nous trouvons 
[nt (0)7* [Po 00? dro dei. den 


POLE (1.2....n) (n +1) C 


Cette égalité nous donne 





[6 00 dro dus. den  [ Vn? (x) 62 (x) dro 
(1.2....nP(n+1)C [hn(") (0)|* 





ce qui, étant substitué dans la formule (20), la réduit à la suivante 


fo (&) Pa (æ) 62 (x) de [1 () Ya (@) 82 () dx 
2 ie 
frorwrca- > Fe FA Pa 





dors (n) ER (Go) @ (ti) dx, 


où la somme représente n termes de la série 


[Po (@) Vo (a) 02 (a) de + [fi (æ) Vo (2) 8? (æ) de 
[ Yo? nn. 
Jo (0 da (0) 8 (0) de + LA (@) di (&) 8° (x) dx 
22 () 62 (x) 
4 JP0 (0) = (2) 68 (a) de + [fi (2) Ya (2) 82 (2) de 
JVn—1? (x) 6 (a) dx 











— 417 — 


qui donne la valeur approchée de l'intégrale 


[RG fi (@) (dx, 


et l'expression 


[var | us (&) Pr) dr, 


représente son terme complémentaire. 

Remarquant d’après ce qu’on a vu au $ 5 que la valeur numérique 
des quantités M,, M, ne surpasse pas la plus grande valeur numérique des 
dérivées : 

d" fo (&) a" fi (x) 

_ dan 7 7 dan 

dans les limites de l'intégration et désignant ces valeurs numériques ma- 
xima par À et B, nous concluons que la valeur numérique du terme complé- 
mentaire 


Root | LL (a) (x) dx, 


ne surpasse pas la valeur de 


[Un rl 4 (x) (ro) d 


Quant au signe du terme complémentaire il se détermine facilement 


dans le cas où les dérivées 
a" fo @) a f, (x) 


dx" dx" 





ne changent pas de signe dans les limites de l’intégration. 
Dans ce cas, d’après le $ 5, les quantités M,, M, auront les signes 


des dérivées 
a fo(x)  d" f, (x) 
dan ? dan 





dans les limites de  : et par suite le terme complémentaire 


. 5 OF de (& ) œ (,)dx,, 
vu que les quantités 


Fh(r) 0 (@)ds, [4,"(0)f, 


sont évidemment positives, aura le signe + ou — selon que ces dérivées 
conservent des signes égaux ou contraires dans les limites d'intégration. 


27 


* 


Ho 


Ce " 


AR 


me 


; 





22 


SUR LA REPRÉSENTATION 
DES VALEURS LIMITES DES INTÉGRALES 


PAR DES RESIDUS INTEGRAUX, 


(TRADUXX PAR SOPHIE KOWAXLBVSKX.) 


(Lu le 8 octobre 1885.) 


a 


© npedcmalbrentu npersrrnuxs bernurune unmerpanrolé 
nocpeOcmbomns UHMCTPA ATHLE Buremobs. 


(IHpzuoxenie xe LI romy 3anucoxr Huneparopcxo“ Arxaremin Hayx®, X 4, 1885 r. 
Acta mathematica. T, IX, 1886, p. 35—56.) 


27* 


AC 
# Enr 


F0 


“4 
37 





Sur la représentation des valeurs limites des 
intégrales par des résidus intégraux. 


——— 


Dans un Mémoire Sur les valeurs limites des intégrales *), publié en 
1874 dans le Journal de Mathématiques de Liouville, nous avons communiqué 
quelques résultats concernant les valeurs limites de l’intégrale 


[ f(æ) ox 


dans le cas où l’on donne les valeurs des intégrales 


b b b 
[ f(æ) 0x, [af(æ)ox, [a f(a)or,.……, 
a a a 
prises entre des limites plus vastes: a < «, b > v, et où la fonction incon- 
nue f(x) reste positive pour toutes les valeurs réelles de x entre x — a et 
= b. | 
D’après un théorème contenu dans ce Mémoire, si le nombre des inté- 


grales données 
b 


b b 
[f(@)0x, [æf(r) 0x... Ja" f(x) dx 


a 


est pair — 2m», les valeurs limites de l’intégrale 


[f(æ) dr 


ne peuvent être déterminées que dans le cas où les limites w, v satisfont 





*) T. IL, pag. 183—185. 


— 422 — 


à une équation, dont les coefficients dépendent de la valeur des intégrales 
données. 
Pour obtenir cette équation et les valeurs limites de l’intégrale 


[F(æ)0x 


dans le cas où w, v satisfont à cette équation, nous développons l’intégrale 
b 
f(x) 
| a OÙ 
a s 


en une série procédant selon les puissances décroissantes de z 








" b b 
[7 (@) de [ + ft@) x 
f@) ,,—a 
dre ON re he ee ne 
a 
Posant 
b b b 
[ F(&) 0% = 4, fef)or= A4, 5: [et = 4, 
a a a 


nous obtenons donc pour l'intégrale 


b 


[22 dx 
Z— x 


a 


l’expression approximative suivante, rigoureuse jusqu’au terme —; inclusi- 





vement: 
49 À; Ami 
pu —+ # + a ne . 
En désignant donc par 
1 
—— 1 
Under € 1 
A8 + Po 
Ame + Pm 


la fraction continue, que l’on obtient en développant l’expression 


— 423 — 


en fraction continue et en s’arrêtant à la m°"° réduite, nous aurons par 
2 . . : he 
conséquent, aussi avec un degré d’approximation jusqu’au terme —;; inclu- 


sivement, 





LL ÉR. 
fee J 


Ut + Bo — 1 


Xm? + Bm 


A l’aide de la fraction continue définie de cette façon, on établit l’équation 
à laquelle doivent satisfaire « et v, de même que les valeurs limites corre- 
spondantes de l’intégrale 


v 
Î f(x) 0x. 
u 
En désignant par 
Pm (2) 
Yan (2) 


la fraction ordinaire, à laquelle peut se réduire la fraction continue en 
question, et en égalant le dénominateur 4, (2) à zéro, on obtient l’équation 


bn (@)=0, 


à laquelle doivent satisfaire les limites w et v de l'intégrale 


v 
[ f (a) oz. 
d s 
Et en désignant par 
Mis unis pes ses | ARE 


°°n—1? 


toutes les racines de cette équation, disposées d’après leur grandeur crois- 
sante, on trouve que si l’on pose 


U—2,, V—=2,, 


les valeurs limites de l’intégrale en question 





v 
[ f(&) ox 
‘ u 
seront exprimées par les somme 
Pmel+r) , Pm(ei+2) ue Pm(2n—1) ; 
mien  Ymlisd °°" Ÿ'mEn—1) 
Pm (20) Pm (21 +1) Eee a Pm(?n) 








Dm (21) Yom (2141) ne Ÿ'm (en) 


— 424 — 
Ces sommes sont composées des résidus de la fonction 


Pm (2) 


Ÿm (2) 


par rapport aux racines de l’équation 


du, (2) = 0, 
contenues dans les limites 


he, hi 


les racines z, et z, elles mêmes y étant comprises ou non. 

Pour pouvoir exprimer ces sommes de résidus partiels par des résidus 
intégraux, nous conviendrons de désigner par w une quantité positive infi- 
niment petite. Vu que dans ce cas les racines de l’équation 


TR (2) ca 0, 
contenues dans les limites 
sont 


DE | 


Zjy VERTE $ n—1? 


et les racines, contenues dans les limites 
#—0, 8, +0 


sont 
27) Zjynse eee 2 


nous pouvons représenter les sommes précédentes par les résidus intégraux: 








Zn —® En +0 
Ë Pm @), ii, e 
Yan (2) 
2j7+0 2j —0 


En conséquence des valeurs limites trouvées pour l’intégrale 





En 
[ FC) ox 
2] 
on aura donc 
En —® 
' far > £ fn, 
Z] "do 
En +0 


j'reae < 5 qu. 


21 2, —@ 





— 425 — 


$ 2. Ces inégalités, de même que la solution d’un problème présentée 
dans le Mémoire mentionné plus haut et d’autres problèmes du même 
genre, découlent immédiatement de la représentation des valeurs limites de 
l'intégrale . 


[ f(x) 0x 


par des résidus intégraux dans le cas, où la limite supérieure de l’inté- 

grale v reste arbitraire, mais la limite inférieure « coïncide avec la limite 

inférieure des intégrales ; 

b b 

[ f(&) ox, [x f()ox,. us 
a 


a 


Dans ce cas les valeurs limites de l’intégrale 


v 
[ F(æ)0z 
sont données par les formules suivantes: 
(1) [f@dr < £ Fe) 
L D—v 
(2) | [fax > £ F(, 


où F(2) est une fonction rationnelle, dont la valeur dépend du nombre des 
intégrales données 


b b 
[f(æ)0x, [xf(æ)ox,. 


et de leurs valeurs. Cette fraction s’obtient facilement en développant l’in- 


tégrale 
b 


[20e 
Z—X 


a 


en fraction continue 


1 


U2+PB; — : 


Lo2+ 8, — +, 1 





. 


ve LEE — 


dont les »# dénominateurs peuvent toujours être trouvées, comme nous 
l’avons montré, lorsque l’on connaît les valeurs des 2» intégrales 


b b b 
[f(x = 4, fæf(æ)0= 4, . fa" f(&) dx — À 


a 


2Mm—1° 


En désignant comme auparavant par 


Pm (2) 
Ÿm (2) 


la fraction ordinaire à laquelle se réduit la fraction continue 


1 





a Z + PB, — Ets AU ? 
Lo2 Bo — , 1 
am? + Bm 
nous désignerons par 
Pm—1 (2) 
Ÿm—1 (2) 


la fraction ordinaire que nous obtenons en nous arrêtant au terme 


ax 2+$ 


m m—1° 


Si, outre les intégrales 


b b b 
[f(a)0r = 4, faf(or=A,,..., fr for 4, 


a 


on connaît aussi la valeur de l’intégrale 
b 
[re f(@) 08 = 24,9 
a 


il est nécessaire, pour pouvoir déterminer la fraction rationnelle F(z2) dans 
les formules (1) et (2), de déterminer non seulement la fraction continue 
précitée et les deux fractions ordinaires 


Pm—1 (£)  Pm (2) 
Yi (z) Yom (2)? 





mais aussi la valeur du coefficient de z dans le (m—1)°" dénominateur de 
la fraction continue, obtenue par le développement de l’expression 


A0 À; Am Aom 
TR ss sas + z2m + 2m#1° 





— 427 — 
Nous désignerons ce coefficient par 


Enr % 


$ 3. En étudiant la fraction rationnelle F(2), nous remarquons que 
sous sa forme générale elle peut être exprimée d’une manière simple par 
une fraction continue, Dans cette dernière les » premiers dénominateurs 
sont identiques avec ceux de la fraction continue 


1 
A 2+ 81 — 





1 
Lo8 +8 — , 





1 
7 en3+Pm 
que l’on obtient en développant l'intégrale 


\ 


b 
[22 07. 


0 


La fraction rationnelle F(2) pourra donc être représentée par la 
formule 
(3) F(8) = —— 1 


A 2+8, — 
1 1 
U22+PBo— , 





1 
en mn 2 + Bm — _ 

où Z est une fonction inconnue. 
Cette fonction peut être exprimée à l’aide des fonctions ®,,_, (2), ®,,(2) 


seulement, si l’on connaît les valeurs des 2m» intégrales 


b 


b b 
[ f(&) 0x, [x f(&) 0x, . Ée fa" f(x) Ôx. 


a 


Mais si l’on veut se servir de 2m + 1 intégrales 


b b b 
[ f(x) 0x, [x f(x) 0x. rs [ a" f(&) 0x, 


il faudra encore, pour déterminer F(+), connaître une quantité constante «, AR 
Dans le premier de ces deux cas, cette fonction sera donnée par la formule 
di. Z= y 6 —0) + Vr= 0 ne, 
dans laquelle ÿ désigne la plus grande des deux quantités 
1 Vn—1 (a) Fes on (v) 
a—® Yan (a) Yon () 


L mi @) __ Ÿm— (2) 
b—v L Ym() Ÿm (L) 








= 498 — 


Dans le second cas on trouve pour la détermination de Z deux formules 
différentes selon que la fraction 


1 Yi (a) Von 0 AR 
(5) da — Yon (A) Van (0) ie ; 
: 1 Ya O) __ Ÿm— SJ 2 
b—v Ÿm (0) Ÿm (0) rase 

















est positive ou négative. Dans le premier cas la fonction Z est définie par 
la formule 


(6) Z=e.-. 6-0 re. 


Da ns le second cas Z est donné par la formule 





a) — @—a)pù __ Yom (a) (b — a}? pà 


(7 Z=a Pet D Cepetoon i) 


m+-1 (e — 
où 
1 Ÿm—a (a) m1 (v) ia 
— av Ÿm(0) Ÿm () ste 
ARE ER D'ORNT 'e enes a) en 
b—v L Ÿm() Dan (0) pat 


1 ra 
= en | me 











? 








$ 4. L’expression de la valeur limite de l'intégrale 


[f(&) 02, 


par les résidus intégraux nous conduit facilement à toutes les formules indi- 
_ quées dans le Mémoire précité. 


En supposant connues les valeurs des 2m intégrales 
b b b 
[f(oox, [ef(on,.... [a f(x) ox 
(22 a «a 


et supposant de plus que l’on cherche la valeur limite de l’intégrale 


v 


| [ f(&) 0x 


a 


pour une valeur de v satisfaisant à l’equation 


Un (v)—0, 


0 
sidi dE 


— 429 — 


nous remarquons que d’après le $ 3 la valeur de Z sera donnée dans ce cas 
par la formule 

mi ré Ÿm—1 (L), 

AUDE Le Ts Ym(v) ? 


d’où il résulte 


Z= co 
à cause de l’équation 
d, (v)= 0. 
Par conséquent, d’après le $ 3, 
F(2) = ——— 1 
MR TER), : 


* am? + Bm 
En substituant à la fraction continue la fraction ordinaire qui lui est égale 


Pm (2) (2), 
Yan () 2)’ 
on trouve 


___ Pm (2). 
FO T0 





Pour cette valeur de F(2) les formules (1), (2) nous donnent 


v—w 


| f(æ)ox > E + ne, 


v+vw 


| for < £ M. 


a—v 





Ceci aura lieu pour toutes les valeurs de v satisfaisant à l’équation 


d, ()= 0. 
En posant succéssivement 


te VE 


n? 


où z, et 2, signifient comme auparavant les racines de l’équation : 
d,, (2) =0, 
et 2, > 2, nous déduisons de ces formules 


2n—0 En +0 


Î f(aôx > E ÿ nn, Î f(&)dr < È ne 


2j—0 21+0 


ro > > Li ent, freès < LE ne. 








— 430 — 


Et en retranchant les deux dernières inégalités des deux premières on 


trouve 
MERS 


frere < £ : CL 


2j—0 





2n—0 


j far > £ 


2—+0 


Comme nous l’avons vu au $ 1, ces inégalités nous conduisent aux 
mêmes valeurs limites de l’intégrale 


que nous avons communiquées dans le Journal de Liouville pour le cas con- 
sidéré. 

$ 5. Pour appliquer les formules (1) et (2) à la résolution du pro- 
blème proposé dans le Mémoire précité, nous supposons que les trois quan- 


tités données 
», d, k, 


sont déterminées par les formules suivantes: 


b 





b [ æ (a) dx b 
p=[fœûr, d=; » k—[(x—d) f(x), 
° [7 (@) de ue 
0 


et que l’on veut trouver les valeurs limites de l'intégrale 


[ F(a) ox 
0 


pour le cas où la fonction inconnue f(x) ne devient pas négative pour des 
valeurs de x entre 0 et b. 
Vu que les trois quantités 


p, d, k 
déterminent les valeurs des trois intégrales 


b b 


b 
(for, [rou=p, [ef =p8+k, 
0 0 0 


— 431 — 


les valeurs limites de l’intégrale 


[ F(@) dx 
0 


dans le problème considéré seront déterminées par les formules qui s’appli- 
quent au cas, quand le nombre des intégrales données est impair 2» + 1: 
il faut poser de plus 

= 1, a=0, 


A,=?, A =pd, À, = p® +k. 
Pour déterminer la fraction continue 


1 


rs 1 
S a +8, — 


Pare 1 


nous développons l’expression 


en une fraction continue, en nous arrêtant toutefois au premier dénomina- 
teur, ce qui nous donne 











1 1 
mé+h 5  d 
+ ? 
Nous trouvons donc 
HU 21, ND: 00. 2 
Ya) Qt}: EL? Y, (2) z—d 


À, va à 
» 


Pour déterminer la quantité constante &,,, —«, nous développons 


en fraction continue l’expression 


Mm+ 





en nous arrêtant au second dénominateur et ne considérant que le premier 
terme de ce dernier. De cette manière nous trouvons 


pd  pd+k _ 1 
2? 23 _ _ z—d 1 
D p? 








— 432 — 
d’où l’on déduit, conformément à ce qui a été exposé au $ 2, 


ET 
Lo — à € 


$ 6. En substituant ces valeurs dans la formule (5) on trouve la 
fraction 
k 
d — © + — 
p 
k 
7 p(b—dà) 





d—# 


dont le signe décide, d’après le $ 3, laquelle des deux formules (6), (7) doit 
être employée pour déterminer la fonction Z. | 


Vu que cette fraction ne change de signe que pour les valeurs 


k k 
v= d PT voeu; Us d+ 
pour lesquelles elle devient co ou 0, tandis que pour v = © et v — — co 


elle est égale à + 1, on voit que cette fraction sera positive pour 


k 
der per: 


et pour 
& 
(/ var d + pd 
tandis qu’elle est négative lorsque v est contenu entre les limites. 
k k 
RS TUE Te re 
Par conséquent, si 


k 
A dt Tr 


ou bien 
k 
ke me. d per Li 


nous devons, conformément au $ 3, nous servir de la formule (6) pour 
déterminer la fonction Z, ce qui nous donne 








Re Lo (0) 
= sm n 
2 
7 a ne ter: 





— 433 — 


Au contraire, dans le cas où 
k k 
fees SAR 


la fonction Z sera déterminée par la formule (7) qui nous donne 

2 2 dr 

Z2=T 24 (2d4—Db—0) + (b—d)(0—d) + 

__b[»p(@ — d) d— K] [p(v— d) d — &] [p(d — v)(b — d) —K] 
K3 (2 — d)— p k2(b — d)(v — d)d 





En passant maintenant à la détermination de la fraction rationnelle F(2), 
conformément au $ 3, nous remarquons que dans le cas considéré la fraction 


continue 
1 


a12 + P, — . 


D enr 1 


ne contient qu’un seul dénominateur 
SR d . 
214 + B, — D see D? 


la formule (3) se réduit donc à 


F(s)= -—— 
CU NAtS : 


Aux deux valeurs de Z correspondent donc les valeurs suivantes de F(z): 











pte—0) + 
F(#)= T , 
(z — ©) (car) 
___p&?— p(b+0— d)2+k+(b — d)(v— d)p 
F(e) Hole 2(2 — b)(2—v) : 


La première de ces valeurs aura lieu, d’après ce que nous avons vu, dans le 


cas où 


k 
P<d— Ra 


ou bien 
k 
T os d+ 
la seconde dans le cas où 
k k 
Œ us Shoes —— + 
108 << +; 
28 


— 4354 — 


En introduisant ces valeurs de F(2) dans les formules (1) et (2) et en posant 
a — 0, nous trouvons que les valeurs limites de l’intégrale 


| f(x) ox, 
0 


que nous cherchons dans le problème considéré, seront données par les 
formules 

















k 
p( 
x > — ; 
fre x FA 0): ir) 
(8) | 
v+0 pe —v) + 
f(x) 0x < È CE ? 
| à e—v(s-dr 


dans le cas où 
k 


k ; 
DIS Partner mange ou v>d+; 


et par les formules 





t—w 
pa — p(b+v—d)2+k+(b — d)(v — d)p 
frowz È 2C—b) Gr ’ 
er. (b d)z+k-+(b — d)(v — d) 
pét—p(brv—d)z+k+(b—d)(@—d)p, 
fred < È z(2—b)(z2 —v) 





dans le cas où 
k k 
Fast etre 


$ 7. Si nous nous arrêtons au Cas 


k 
PR End 


nous remarquons que pour telles valeurs de v, z étant compris entre 
2=—w et z— 0 How, la fraction 


k 
ee Lo orme 


G—n(s—d+ 5) 


ne peut devenir © que pour 





8 =; 


— 435 — 


vu que la seconde valeur z — d — TL pour laquelle cette fraction de- 


vient co, surpasse, pour les valeurs considérées de v et pour w infiniment 
petit, aussi bien v + w que v —w. Quant à la valeur 


LES, 
elle sera contenue, à cause de l’inégalité 
w > 0, 
dans les limites 
—0, +0, 
mais elle sera en dehors des limites 


Par conséquent, pour les valeurs considérées de v, le résidu intégral 


ÉD PUITS PES 





se réduira à zéro, tandis que le résidu intégral 


d+-0 k 
v — d 





p(z—®) + 





B 
EE tas 9) (2 — + 3) 
se réduira au résidu correspondant à 
LP, 
qui est égal à 


“kp : 
k+- p (v — dŸ 


Par conséquent, dans le cas où v < dy les formules (8) se réduisent 
aux suivantes: 


v 

[f(x > 0, 

0 
c k 

p 
HORS ES 
0 
Passant maintenant au cas, où 


k 
v>d+ 
28* 


— 436 — 


nous remarquons que dans ce cas la valeur 


k 
A TV Cet 
pour laquelle la fraction 


k 
pire 


(z ofea+ 2) 


devient infinie, est contenue aussi bien entre les limites 





qu'entre les limites 


tandis que l’autre valeur z — v, pour laquelle cette fraction devient aussi 
co, n’est contenue qu'entre les deux dernières limites. 


Par conséquent le résidu intégral 


super 0) 





k 
v—d 


nn (ea) 


p(z — ©) + 





se réduit au résidu correspondant à 








k 
va 
lequel est égal à 
p?(v — dP 
F+po— 

tandis que le résidu intégral 

7 po Dr 

Ÿ 
—v (z — ©) (2 — d tot à se 3) 


sera égal à la somme des résidus de la fraction 


per) +} 


w—o(s—2+ 5) 





correspondants aux deux valeurs de z, pour lesquelles cette fraction devient 


— 437 — 


infinie. Cette somme est égale à p. Pour ces valeurs des résidus intégraux, 
les formules (8) nous donnent ; 


pes 


Ï f(x) dx <p. 
0 


Il nous reste encore à étudier plus en détail le cas où 
k k 
Pour ces valeurs de v, les valeurs limites de intégrale 


[F(@) 0x 
0 


sont données, d’après le $ 6, par les formules 





# v—w 
ffau> £ D pb +0— de k+(b—d(o— dp. 





g(z — b)(z —v) 
séee 2 (b d k + (b — d)( d) 
pe? — p(b +0 — d)2+k+(b — d)(v — p, 
frerèr< È 2(e —d)(e —v 


Vu que des trois valeurs 


pour lesquelles la fraction 


pe? — p(b+v— d)2+k-+(b — d)(v — d) d 
2(2—0d)(z —v) 





devient infinie, la première, z — 0, est contenue aussi bien entre les limites 


mme 1). U— @ 
? 
qu'entre les limites 
— 0, V+0, 


la seconde z—% n’est contenue ni entre les premieres, ni entre les secon- 
des limites, tandis que la troisième, z—v n’est contenue qu’entre les se- 
condes limites, le résidu intégral 


Fe pe —p(b+v—d)2+k+(b — d)(v — d)p 
ë 2(2—0db)(2—v) 





— 438 — 


se réduit au résidu correspondant à z — 0, lequel est égal à 


Gaves 








bo 
tandis que le résidu intégral 
v+0 
pa — p(b+v—d)2+k+(b — d)(v — d)p 
L 2(2—b) (2 —v) 
—w 


est égal à la somme des résidus correspondants à 2—0etàz— v; ces ré- 
sidus sont respectivement égaux à 





@—d)(v—d)p+k 
bo ? 

d(b— d)p—k 

(b —v)v ; 





leur somme est donc 
(b— d)(b+d—v)p—k 
b(b — v) 





Il résulte par conséquent de ces formules 





[rez = Der, 





L/] 
(b—d)(b+d—v)p—k 
[FR < pe 


On voit donc que de l'expression des valeurs limites de l’intégrale - 


[ f(&)ox 


à l’aide de résidus integraux découlent toutes les formules communiquées 
dans mon Mémoire, inséré dans le Journal de Liouville sous le titre: Sur les 
valeurs limites des intégrales. 

& 8. Il est facile de s'assurer de l’exactitude des valeurs limites de 
l'intégrale 


Î f(x) 0x 


que nons avons trouvées pour le cas où l’on connaît les valeurs des intégrales 


b b 


b 
[for [af(oor, [af(a)dr, 


— 439 — 


et que de plus la fonction inconnue f(x) reste positive entre a et b, à l’aide 
de l’équation 


b 
[ Ua £UF(), 


laquelle aura toujours lieu, en conséquence des propriétés de la fonction 
rationnelle F(2) déterminée par les formules (3), (4), (6), (7), sitôt que U 
désigne une fonction entière dont le degré est moindre que le nombre des 
intégrales données 


b b b 
[foox, [of(a)or, [af(a)on,. 


Quant à la déduction de ces mêmes formules par la méthode des 
quantités maxima et minima, cette question sera l’objet d’un Mémoire 
particulier, dans lequel nous montrerons aussi d’autres applications de la 
fonction rationnelle F(2). On verra entre autre que les deux racines de 
l’équation 

FG _— 
les plus rapprochées de la racine 


0, 


LT = V, 


fournissent la solution du problème suivant par rapport à la fonction f(x): 
dans quelles limites, en partant de x — v ou en finissant par x = v, la fon- 
ction f(x) peut-elle avoir une valeur constante égale à zéro8 

En assignant à v dans les formules qui déterminent F(2) certaines 
valeurs spéciales, nous trouvons deux fractions. (2), F,(+) telles, que les 
résidus intégraux 


b+w b+-w 
E FO@0(4), £ F,(06() 


représentent les valeurs limites de l’intégrale 
b 
[ f(&) 6 (x) 0, 
a 


sous condition, que pour toutes les valeurs de x entre x = a et x —b la 
fonction 8 (x) reste finie et continue et que sa dérivée, dont l’ordre est égal 
au nombre des intégrales données 


b b 


. 
Î f@)0x, [ æf(&)oa, [a f()on,. 


a a 


— 440 — 


ne change pas de signe. Si le nombre de ces intégrales est pair, ces valeurs 
spéciales de F(2) peuvent être déduites des formules (3) et (4) en supposant 
v — D, ou bien v égal à une racine quelconque de l’équation d,,(&æ)—0. 
Si au contraire le nombre des intégrales données 


b 


b b 
[ f(&)0z, [æf(x) oz, ..….. [ a" f(&) de, 


a 


est impair, les fractions Æ (2) et F,(2) peuvent être déduites des formules 
(3) et (6) en supposant v— a, v —b. 

A l’aide des fractions, déterminées par les formules (3), (4), (6), (7) 
on peut aussi trouver les valeurs limites de l’intégrale 


f(x 


quelles que soient w, v pourvu seulement, que dans les intégrales données 
l’une des limites soit égale à + co. 


nn s8 LS out dé ni ont à: née cet À ist dé 


3: 


AUR LES RÉSIDUS INTÉCRAUX 


QUE DORRENT 


DES VALEURS APPROCHÉES DES INTÉGRALES. 


(TRADUIT PAR X. XXON.) 


(Lu le 18 novembre 1886.) 


O6s UHINCEPANTHUXE Éuremaxs, 


 docmalrsruuxs npudruycennes beaurunr unmeepanrobs. 


(pnaoxenie KE LV-wy romy 3anucoks Huneparoperoë“ Axaremin Haywe, Ni 2, 1887 r. 
Acta mathematica. T. XII, 1888—1889, p. 287-822.) 














Sur les résidus intégraux qui donnent des va- 
leurs approchées des intégrales. 


$ 1. Dans un Mémoire sur la représentation des valeurs limites des 
intégrales par des résidus intégraux, communiqué à l’Académie des sciences 
le 8 octobre 1885 *), nous avons montré comment, d’après les valeurs 
données de 2» intégrales 


b 


b b | 
Î f(æ&) dx, [ f(x) Mrs: Lai f(x) 0x, 


a 


on peut trouver les limites les plus étroites de la valeur de l'intégrale 
v 
[ (dr, 
a 


si la fonction inconnue f(x) reste positive pour toutes les valeurs réelles 
de æ entre æ—a et x —b, et si la valeur de » est comprise entre a 


et b. Ces limites, comme nous avons vu, sont données par les formules 
suivantes: 

v +0 

| f@)dr< £ F(), 
a 


a—v 


(1) | | 





[f@)drZ £ F(à. 





*) T. II, p. 421—440. 


— 444 — 


où w est une quantité positive infiniment petite, et F(z2) une fonction ration- 
nelle qui s’obtient facilement en développant l’expression 
































| pos b 
[ rw) dx [ æf (x) dx Î aM—1 f(x)0x 
(42 a a 
: + De taie PL 
en fraction continue 
ae ; 
Si iarar en 1 
ne Am? + Bm — . 
En effet, en posant 
Pm—1 (2) __ _1 1 à | 
Ÿm—1 (2) 2 en RO ne : 
Cm + 8m 
Pm (2) __ 1 1 ; 
re 
its LmnE + Bm 
elle est donnée par les formules 
| FG@)= mn .. + PB, — : : 
ME + Po — . 1 
: 2 } CLR, ME PAPAS ve 1 
( ) LE + mr — Z 
Z=7Y(2—0) + 0, 
où y désigne la plus grande des deux quantités 
1 Yn—1 (a) ___ Ÿm—1 (0) CEE 
a—0 L y (a) ETUI 
1 Ÿm—1 (0) ns Ym—a (0) 
b—v L Ym () Ym(o) 
En substituant à la fraction continue 
= 1 
Nnrren À 
: nu Am£ + Bm — _ 


la fraction ordinaire qui lui est égale 





Dan (2) Z — Pm—3 (2) 
POS DE da o 


— 445 — 


et en posant 
[ PC = que) Z— qm_ (2), 
(3) 
| 2,4@=4,(0 2-4 0) 
on aura . 
Do (2) 
FA 5,6 





En portant cette valeur de la fonction F(2) dans les formules (1), nous 
trouvons 


D 


Jr < L 5 D. D 


—-@ 


fOUZ E Se 





ou bien 


Tv+0 


Do( D, 
frs L a+ Ë . 
Ÿ 











| f(x) 0x 7 £3 DE +. PME 


U—0 
Or, les résidus intégraux 


+0 





Do (2) 
L #8 
v— 


où w désigne une quantité infiniment petite, s'étendent seulement sur les 
valeurs voisines de z— v; et comme cette valeur de 2, qui annule ®, (2) en 
vertu de (2) et (3), coïncide avec l’une de leurs limites, la valeur commune 
de ces résidus sera 


1 Do @), 
3 dv) 





®1 


et les dernières formules nous donnent 


| f(&) 0x < £3 pas pue 








Dos) 1 @,() 
roue £ AE 3.0 





— 446 — 


On voit par là que la différence entre le résidu intégral 








v 
Do (x) 
Ê D, (x) 
a—v 
et l’intégrale 
v 
[ (æ) dr 
a 
est au plus égale à la fraction 
+ 1 Do (v) 
7 2 2) 


C’est la plus grande approximation avec laquelle la valeur de l'intégrale 
_peut être déterminée d’après Les valeurs données de 2» intégrales 


b b b 
[faor, [af(o)os,...., [ 2" f(x) dx, 
a a a 
si par rapport à la fonction inconnue f(x) on sait seulement qu’elle reste 
positive pour les valeurs réelles de x entre x = a et x —b. 
Nous allons maintenant étudier la fraction 


Do (v) 


D;'(v) 


et quelques formules qui peuvent nous conduire à la détermination de sa 
limite supérieure. Dans un cas particulier très remarquable nous trouvons 
par ces formules la limite supérieure de la fraction 


Dot) 
D)’ 





sous la forme d’une fonction du nombre des intégrales données 


b b b 
[f@ox, [af@dz, [æf(x)dx,..……, 


et qui tend vers zéro quand ce nombre augmente indéfiniment. 

$ 2. Nous profiterons ici de quelques résultats que nous avons obtenus 
dans notre Mémoire sur les fractions continues *). Dans ce Mémoire nous 
nous sommes occupé de la fraction continue 


1 


Q12 + By — = 


Xe + Po — 





1 
Lee + Ps — °, 





*)T. I, p. 203—280. 


— 447 — 
qu’on obtient en développant la somme 


V' PDP), En). En), 
dm 2) O2 —Xn 





où les quantités 
T, 9 T, ? T ? . . . LI un 


sont toutes réelles et distinctes, et 
M), (x)... (x) 
sont des quantités positives quelconques. En désignant par 


9 (), 96) 920) 
Yo (2) Ÿ1(2) Ÿ2(2)? * ee 





les réduites de la fraction continue, nous trouvons, en vertu des formules 
démontrées dans ce mémoire, les égalités suivantes: 


1 1 
DE G)=r Débh=s, DOG) G)= re... 
qui montrent que les coefficients 


&;, Lo Ugso 


sont tous positifs. Il résulte de là que les premières termes des fonctions 


Po (2), P: (2), D (2), sos.) 
Ye), Ui(e), ae)... 


ordonnées suivant les puissances décroisantes de z, auront des coefficients 
positifs. 

D'autre part, comme nous avons vu dans ce même Mémoire, pour 
toute fonction entière f,(2:) d’un degré inférieur à x on doit avoir l’équa- 
tion 


(4) Dh) (r) (x) = 0. 
De cette équation nous allons déduire quelques propriétés des fonctions 


Lo(e), V(z), La)... 


dont nous nous servirons après. Pour cela nous remarquons que la dernière 
rêduite 


Pn-1-1 (2) 
Yn-1 (2) 


— 448 — 
doit donner la valeur exacte de la somme 


ep , tn Las EE. 
£—X) 2—% Z2—Xn 





et son dénominateur 
la forme 


(5) LC) =C (EX) (2 —12)....(8 —2,), 


où C désigne un coefficient constant. L’expression 


na @) sera une fonction entière du degré (n + 1) de 


Yn-11 (2) 
(2— x)) (2 — x) +3) 





sera donc une fonction entière du degré (n — 1), et d’après (6) on devra 


avoir l’équation 
>” Yn-+1 (Ti) Ÿn (ti) | 2 (x) —( 


(cg — &)) (ti — x) 4 





qui se réduit en vertu de (7) à l'égalité 


Ya (CN Ÿn (2)) 62 (x) Ps bn-+1 (2-51) Ÿn (dx +2) 02(2) 4-1) 0 
D) — TL) 41 Pis TX 





d’où nous déduisons 


Ve (&,) bn (&)) Œ (æ,) ai ds (&,,) (OR (&,,,) 6° (&,41). 


Or, les racines 


Lo; Lise . «ZT, COWRTE PIE | Xl, 


sont toutes réelles et distinctes, et en les supposant disposées dans l’ordre 
de leurs grandeurs on voit que la dérivée 


Ya (9 


aura des signes contraires pour les deux racines consécutives æ, et æ,,,, et 
par conséquent la fonction 


Yu (e) 


aura aussi des signes opposés pour 
PT 
c’est à dire entre deux racines consécutives quelconques de l’équation 


Ya (8) = 0 


on aura au moins une racine de l’équation 


d, (2) = 0 


— 449 — 


On voit par là que les » racines de l’équatiou 


d,. (2) = 0 


seront toutes réelles, distinctes et situées respectivement dans les n interval- 
les des (x + 1) racines de l’équation 


ba (2) = 0. 
En désignant par 


, 4 , 
To; Lise . Li; 


les racines de l’équation 


(R (2) = 0, 


disposées dans l’ordre de leurs grandeurs, on aura la série de grandeurs 
croissantes 


4 C2 À 4 


$ 3. Les n racines 


de l’équation 
Ya (a) = 0 


étant inégales, la décomposition de la réduite 


Pn (£) 
Yn(2) 





en fractions simples nous donnera la somme 


On (£) __ Pn(T'o) 1 Pn(x” 1) 1 Pn (Zn —1) 1 
(6) Yn(e) Yan (to) 2 — 29 Ÿ'n(&'1)2—x mA el Yn (Cr) £ — L'n—1 : 








où, comme il est facile de voir, les facteurs 


On (0) On (Z'1) da On (Z'n—1) 
Ÿn (æo) Ÿ'n (21) ? d'a @n— 1) 
sont tous positifs. 


En effet, les fonctions 


Pn-e1 (e), es (2), Pr (a) ? % (2) 


Pn-4-1 (2), On (2) 
Yn+1(2)  ŸYn(s) 


des réduites 





sont liées par la relation 


Pn+1 (2) (2 (2) — Pn (2) du (2) = 1. 


29 


— 450 — 


En divisant les deux membres de cette égalité par 








Ÿn+1 (2) Ÿn LR 
a —2y 
et en y faisant 
2=T 
nous trouvons l’égalité 
En (ru) 2 1 
Y'a (& u) Yn (x) Yn+-1 (&'u) 


Pour déterminer à l’aide de cette égalité le signe de la fraction 


Pn (x) 


UNE u) 


nous remarquons d’abord que le produit 


Ya () Ya () 


sera positif pour z— co, puisque les premiers termes des fonctions d (2), 
ordonnées par rapport aux puissances décroissantes de z, ont des coefficients 
positifs ($ 2). 

Si maintenant on passe de z2— co à la plus grande racine 2=#, 
de l’équation 


Cr 


Y, (2) Fa 0, 


la fonction L,,,(2) changera son signe en passant par sa racine 2 — 4, 
. . Q LA: 

tandis que la dérivée Ÿ”,(z) n’ayant pas de racine entre :=#%,", etz— 00 

conservera son signe. Le produit 


Ya (8) ne (6) 


sera donc négatif pour z — : HORS et il est facile de voir qu’il conservera sa 
valeur négative pour toutes les racines 


4 r Ci 


/ ’ 
M5, Diiin ie he 


um) ur °° n—1 
de l’équation 
p,(e) = 0, 
car, d’après le $ 2, entre deux racines consécutives de l’équation 
d, (2) = 0 


on trouvera toujours une racine pour chacune des équations 


VA (9) = 0 


— 451 — 


et 
| bn 0; 


en vertu de quoi le produit doit avoir le même signe pour toutes les ra- 
cines de l’équation 











L, (4) = 0. 
Ainsi, le produit 
/ 
Ÿ n () (IR +1 (2) 
sera négatif pour les valeurs 
D Dineet ot: 
et la fraction 
* On(z'y) 
d'au) 
sera positive pour = 0, 1, 2,...,n—1. 
Posons 
2 (y! y — ?n (To) 2 (y! y — ?n (1) AT ETRE — ?n (&'n—1) 
6, (x o) Reg Yn(æo) 6, (x 1) Tir dnæ)’ Ü, (x 4 Ta ban —1) 
et la somme (6) prendra la forme 
On (2) __4?(z'o) 01? (21) 02 (&'n—1). 
Yn(e) _2—2%9 2—2 Me 2 — 2m) 


Ainsi, connaissant la décomposition de la réduite 


On-11 (2) 


Ÿn+-1 (2) 
en une somme de fractions simples de la forme 


2 2 2 
PC RÉREUS 14 2e En, 





où les x, sont toutes des quantités réelles et distinctes, et les 4? (x,) des 
quantités positives quelconques, on pourra aussi décomposer la réduite 





On (2) 
Ÿn(2) 
en une somme de la même forme 
012 (x'o) us 0,2 (x’ 1) a + 0,? nr), 





2—do 2—4x, RG NE 


dans laquelle les quantités œ, sont aussi toutes réelles et distinctes, et les 
PH (æ',) des quantités positives. De plus, les quantités x, et œ dans l’ordre 
de leurs grandeurs formeront, comme on a vu, la série suivante: 


4 


.X 


4 


LA ! 
Los Lo; %,, ZX ;,. . à, ZX), T, ,) HA x . 


n—1? "nn 
29* 


Là 
À+1° °° 


— 452 — 


En passant de même de la décomposition de la réduite 


à la décomposition de la réduite 
Pn—1 (2) | 
Ÿn—1 (2) 


et ainsi de suite, nous trouvons pour chacune d'elles une décomposition de 
la forme 


qu(e) __ (0), On) Gi) 
Dis) 2—20 2—4 8— 21) 





où les racines 2,, z 2,_, de l’équation 


Ÿ, (2) = 0 


sont toutes réelles et distinctes, et les 4,° (z) des quantités positives. 
De plus, en désignant par 


D RS 


‘ 


, 2 ! , 
Pas Parts Phi aies 


les racines de l’équation 


Yi (e) = 0 
et en les disposant avec celles de 


Ÿ, (2) = 0 


par l’ordre de leurs grandeurs croissantes, nous trouvons la série 


4 


C4 A , 
Lo Por Pin Paso ee 8)s 8); Plsupsoc eg or Bu) 
dont les termes sont tous compris entre x, et x. 


$ 4. Revenons à la fraction continue 


1 
Q2 + Bi — 





1 ? 
Ut ho — e, - 1 
7 me +Bm 
que l’on obtient en développant l’expression 








b b 
[r (æ) dr [ æ f (x) dx [ MA f (x) dx 
a a a 

: —.. Po en DS Ve K 22m ? 


en fraction continue et en s’arrêtant à la mi"° réduite. 


— 453 — 


Cette expression ne diffère de l’intégrale 


b 





l 


que par les termes 








b b 
[ a? f (x) 0x Î am F1 f (x) 0x 
a a 
22Mm+F1 a g2MH2 Ts, dE. 


et comme ces termes n’ont aucune influence sur les » premiers dénomina- 
teurs de la fraction continue 


1 


1 
a2 + Bi — , 


Usb 1 


me + Bm — 





nous pouvons, en nous bornant aux » premiers termes, la regarder comme 
provenant du développement de l’intégrale 


b 


| f (&) dx 
Z—X 


a 


Or, cette intégrale, où, par hypothèse, la fonction f(x) reste positive pour 
les valeurs de x entre a et b, peut être regardée comme la limite de la 


somme 
2 À 2 ‘ 2 
(0) + a) +... En a 34 (Æn), 





dans laquelle les quantités x, désignent une série de grandeurs croissantes 
de 4, = a à æ&, —b, et les C(x,) des quantités positives choisies conformé- 
ment aux ralbuts correspondantes de f(x); et nous en concluons, d’après le 








$ 2, que les coefficients &,, &,,..., æ,, de la fraction continue 
1 
A8 + Pi — : ? 
LE + Bo — 0, 1 
ns m2 + Bon 


provenant du développement de l’expression 


b b 
[ f (&) à [ &f(e) dx [ a f(x) dx 
a a 


a 





+ 


: ere EU QUE 





22m ? 


— 454 — 


auront des valeurs positives, définies par les formules 


1 1 1 











Gens ; et Due * sr Ù 
[ Yo (a) f(e)èr [ 41 (0) F(o) de [ Va (07 (ar 
a a a 


et que les dénominateurs (,, (2) et d,,_. (2) des réduites 


Em), 9m (), 
Ym(2)  Ÿm—1 (8) 





auront toutes leurs racines réelles, distinctes et comprises entre a et b. 
De plus, en désignant par 


&o) CECILE anse En 


L , U 
2 0: CE . LAT PTS AN 


les racines des équations 
dr (2) ne 0, ur. (e) —— 0, 
dans l’ordre de leurs grandeurs, on devra avoir la série suivante de gran- 


deurs croissantes: 


/ 


4 ! 
1.4) 2; ous m2 


4 
0) 20; 8; 4 En ° 
Tout ceci doit avoir lieu, bien entendu, si les intégrales 


b 


b b 
[ f(x) 0x, [ x[(&)0x,. ... [ a f(c) 0x 


a 
peuvent prendre des valeurs données pour f(x) positive entre 
Set 0 
$ 5. Nous venons de voir que, si les valeurs données des intégrales 


b 


b b 
[ f(&)0a, [af()dr,. [ 2" f(@) 0x 


a 


sont possibles pour f(x) positive entre a et b, l’équation 


d,, (x) = 0 


déterminée par ces valeurs ne peut pas avoir des racines hors des limites a 
et b. 
Deux cas peuvent donc se présenter: 1) aucune des racines de l’équation 


Yn (@)= 0 


— 455 — 


v’atteint ni la limite a, ni la limite b, et 2) l’une deslimites aetb ou toutes 
les deux annulent la fonction 4, (2). Nous allons d’abord examiner le second 
cas qui d’ailleurs se présente très rarement. 


En regardant l’intégrale 
b 


| JF (æ) 


a 
comme la limite de la somme 


6220) 5%) + Pen), 


Z2—% 2—% INR) ET 





où l’on a æ, — 4, x, —b, et en remarquant que, d’après le $ 2, le dénomi- 
nateur de la dernière réduite 

 Pn+1 (2), 

Ÿn+-1 (2) 
égale à cette somme, est le seul qui peut s’annuler pour 2=4%, — a et 


2—%, —b, nous en concluons que, dans le cas considéré, la somme 


62(xo) Me 62(x;) He Le (x) 
2 — Xo Z—%) Z2—Xn 





et par conséquent l’intégrale 





doivent être égales à la réduite 
Pm (2), 
Ym (2) 





Or, cette fraction se décompose en une somme de fractions simples de la 
forme 


Pm (2) A à (20) 1 Pm() __ 1 ER Pm(2m—1) 1 
Ÿm (2) Ÿ'm (20) € — 2 Don (21) 2 — #1 LPE Um Em) 2 — 2m + 








et pour que cette somme puisse être égale à l’intégrale 
b 


f (x) 
J —. 0x 


a 
il faut que la fonction f(x) s’annule pour toutes les valeurs de x comprises 
entre a et b, qui ne sont pas dans le voisinage de 


T— 29, Ze. DEL EET 


— 456 — 
et que pour les valeurs de x infiniment voisines de 
T— 2, CORREL ZE" 


elle ait des valeurs telles que les intégrales 


j re, Jr. ['faêr 


se ramènent, lorsque w devient nulle, aux valeurs 


Pm(20) Pm() 1524 (2m—1) . 
Yon (Co)? Ÿ'm > Von Em) : 





Avec une telle fonction f(x) l'intégrale 


Ÿ 


[ f(&) ox 


a 
se ramène au résidu intégral 


£ Pan \&) (e), 
 ÿm @ ()’ 
pour toutes les valeurs de v entre les limites «a et b, différentes de 


20) &; ... , Z 
Quant aux valeurs de 


VE Ko 6e 3 Epnas 


on voit que pour ces valeurs de v l’intégrale 
v 
[ f(&) 0x 
(21 
reçoit des accroissements brusques, égaux respectivement à 


Pm (20) Pm (21) Pm (£m—1) . 
Ven Go)”. mn (n)° °° * Ve Cm)? 





et par conséquent pour 


: 
VER, 5 52) 


sa valeur ne peut pas être complètement déterminée. 
$ 6. Passons au cas général lorsque ni à, ni bnesatisfont pas à l’equa- 
tion à 


da (2) —=0, 


— 457 — 


Nous allons d’abord montrer que la quantité ÿ qui figure dans nos formu- 
les est une quantité positive. 
En effet, d’après le $ 1 on doit avoir les inégalités 
1 Dan —1 (a) Lori QE 
Y 2 x Ÿm (a) Ÿm (0) 


1 Ÿm—1 (b) mi (v) 
TES Ÿm () 











En les multipliant respectivement par les quantités positives v—a, b—v 
et en les ajoutant ensuite membre à membre, nous trouvons l'inégalité 





m1 (0) __ m1 (G) 
rO—0) > M0 — ta 0, 


Or, les termes les plus élevés dans les fonctions 4, _, (z), db, (+) ayant des 
coefficients positifs, on devra avoir 


Ÿm —1 (©) (co) 
nm (©) (co) 7 0, 


et comme toutes les racines des équations 


Paca (2) = 0, bn (e) = 0 


sont plus grandes que a et plus petites que b, on aura aussi 





Ÿin—1 (b) > 0, Ÿm—1 (a) 6 0, 
m Yan ( 


en vertu de quoi l’inégalité précédente nous donne 
Y (@ La a) » 0, 
d’où 
Ye 


La quantité y, comme on a vu dans le $ 1, sert à déterminer la fonction 
®, (2) qui, en vertu de (2) et (3), sera donnée par la formule 


BE = [re — 0 + A0] d, (0) — Vu, (), 


dans laquelle, comme on vient de le voir, la quantité y est positive; et 
comme de plus les termes les plus élevés dans les fonctions 


Un (& ), fui (2) 


— 458 — 
ont des coefficients positifs, cette formule nous donnera 
D(+oo)—= +, D, (—oo)——+, 


où le signe supérieur correspond au cas de » pair et le signe inférieur au 
cas de » impair. Si maintenant on fait dans cette formule 


= 8, 1) Types + * 80) 


on aura, d’après le $ 4, 
En) = 0, Lans) = 0,....%, (8) =0, 
ve (Em) nu 7) VE (e..) Loh LOEOE | A (20) + +; 
de sorte que pour la fonction ®, (2) nous trouvons 
Ben) = — Bip) = Hi... 880) = Æ. 
On voit par là que les # + 1 racines de l’équation 
D, (2) = 0 


sont toutes réelles, distinctes et séparées par les » racines de l’équation 


d, (2) = 0 
$ 7. En désignant par 
se Li .. at 
les racines de l’équation 
®, (2) = 0, 
nous trouvons pour la fraction 
Do (2) 
®, (2) 





la décomposition suivante en fractions simples: 


Do(s) _ DoGy 1 DE) 1 Do(Em) 1 
De Pen Os Mois 











où, comme il est facile de voir, les facteurs 


DoGo),.  _DoU Do (Cm) 


Din rt) D"; (Cm) 








sont tous positifs. En effet, des formules (3) on déduit facilement l'égalité 
Do (2) Vs (8) — D (2) un (2) = Pun (2) V1 À) — Prmà €) Ÿm C)- 


Comme le second membre, d’après une propriété bien connue des réduites, 
est égal à l’unité, nous aurons l’égalité 


Do) Ym (2) — Di (8) Pm À) = 1. 


— 459 — 
En divisant les deux membres de cette égalité par 


D, (2) Yan (2) 
z— 6) ? 
et en y faisant 
B==Q CE ... . 
nous trouvons l'égalité 


DC) — 1 : 
Di (CU Ym (CN 21 CN) 





Pour déterminer à l’aide de cette égalité le signe de la fraction 


Do Ga, 
Di (Gi) 
nous remarquons d’abord que le produit 


Yen (2) D; (2) 


sera positif pour z — co, puisque les termes les plus élevés dans les fonc- 


tions 
We) et ®() 


ont des coefficients positifs; et comme les racines des équations 


bn &)= 0 
et 
d',(2) = 0 


sont toutes plus petites que la plus grande racine ©,, de l’équation 
D, (e) = 0 


($ 6), on voit que ce produit sera aussi positif pour 2=0,,. 
Il est facile de voir que le produit conservera ce signe + pour toutes 
les racines 


Qu Uhes «a Gi 
de l’équation 


D, (2) = 0; 
car entre deux racines consécutives quelconques de l’équation 


D,(z) = 0 
chacune des équations 
Y,(@)=0 et ® (2) —0 


— 460 — 


aura toujours une racine seulement ($ 6), en vertu de quoi le produit aura 
le même signe pour toutes les racines 


1-0. a Lu. …. Dis CR Lo. 
®, (2) = 0. 


cr Go 
D 9 2 0: 


de l’équation 


On aura donc bien 


pour les valeurs de = 0, 1, 2,..., m. 
Ainsi, la fraction 

Do (2) 

®, (2) 





qui, comme on à vu dans le $ 1, est égale à la fraction continue 


L 
8 + Li — 





1 , 
AZ Ho — e, 1 





ame + Êm— + 


se ramène à la somme 


LAC: Dot) ‘1 D) 2 
DD s-E Ds -t CDN et 


dans laquelle les quantités €, sont toutes réelles et distinctes, et les 


Do (Gi) 
D"; (C5) 








des quantites positives. 
Comme cette somme ne diffère que par les notations de la somme 


UP), OC) 
— Lo s LA 2— Xn 





que nous avons étudiée dans le mémoire précité sur les fractions continues, 
on trouve, d’après la formule donnée à la fin du $ 5 de ce Lee l’éga- 
lité nu 

















Do{ Ga Do Co) 
_% Go 2, G S Vi? Go Pis c Re k, 
Or, d’après ce que nous avons dit dans le $ 2, on a 
Do (Gi Do( _ Do (Ci) — 
D CG) RE = 3, Di OP ET —= er (G) Fe (Co) 
Gi) 
2 Ÿr A 7, a: 


en vertu de quoi l'égalité précédente peut s’écrire 


o é ne 
1= au GC) CE + Eu, Vie ee + y4, (Q) Re PRÉ 


AG — 


d’où l’on tire la formule 





Doi) _— L (ns Et 2..." 
D'i (Gi) Sas pe, (G) F FA } 


dans laquelle le dernier coefficient &,,, 
le dernier dénominateur Z. 


, Sera égal à y, coefficient de z dans 


Aiïnsi pour toutes les racines 


8; (AR .. 45 
de l’équation 





D, (2) = 0 
on aura 
Do(z) __ 1 
De) a Lo (2) + do V2 (2) +... + om Von (2) + Y Lm (e)’ 


et comme, en vertu de (2) et (3), 2 = v annule la fonction ®, (2), on obtient 
la formule 

Do(v) __ 1 ; 

D”, (0) a Vo (0) + do Da? (0) +... + op Va (0) + Y Lun (©) 








$ 8. Dans le $ 1 nous avons montré que les limites de la différence 
entre l'intégrale 


se 
[ F(æ) 0x 
a 
et le résidu intégral 
v 
Do (2) 
. sont données par 
1 ©,{(v) 1 @,(v) 
T0 +300 


et l’on voit d’après la valeur trouvée de la fraction 


Do(v) 
D"; (v) 





que le degré d’approximation avec laquelle le résidu intégral 


F] 
Do (x) 
LA (2) 


- 


donne la valeur de l’intégrale 


[ f(&)ox 


— 462 — 


sera déterminé par la fraction 


(7) L . 


2 “ax Po? (0) + do 12 (0) +... + Cm V1 (0) + Y 2m ()? 





dans laquelle la quantité y seule dépend des limites a, b des intégrales 
considérées. 

Cette fraction augmente lorsque y diminue, et elle diminue lorsque 
y augmente. Comme la valeur de y qui est toujours positive sera nulle 
pour 4 —= — co, b — co, et deviendra infiniment grande pour 4,,(a) = 0 
ou d,,(6) = 0 ($$ 1 et 6), on voit que la différence entre l'intégrale 


[ F(æ) 0x 


et le résidu intégral 





v 

Do (v) 

È D, (v) 
a—w 


tendra vers zéro si a ou b s’approche indéfiniment de la valeur d’une racine 
de d,, (+) et si v n’est pas racine de cette fonction, ce qui est bien conforme 
aux résultats auxquels nous sommes arrivés dans le $ 5. 


La limite (7) de cette différence atteindra au contraire sa plus grande 
valeur pour a = — cc, b— © et ce réduira pour ces valeurs des limites a, 


b à la fraction 
L, 1 \ 
2 «Lo? (v) + à Vi2(v) +....+ Cm Ven —1 (©) 





Il est facile de voir que la valeur de cette fraction diminue lorsque le nom- 
bre » augmente, et qu’elle deviendra nulle pour m — co, si la série 


ce Do (0) + ad (0) + a, Ve (0) +... 


est divergente. Cette fraction dépend évidemment de v aussi, et par consé- 
quent, selon la valeur de v, le résidu intégral 
v 
Do (2) 


2"; (2)? 
a—v® 


donnera la valeur de l’intégrale 





| (@) 0x 


— 463 — 


avec une approximation plus ou moins grande. Il est cependant facile de 
montrer que pour certaines valeurs de v la valeur de la fraction 


1 1 
2 a Po? (0) + a Di) +... + om Pm—1 (0) 





et par conséquent aussi la valeur de la fraction (7) dont elle est la limite 
supérieure, sera plus petite que 


b 
= [ f(x) dx. 


En effet, en désignant par D la plus grande valeur du dénominateur 


ak (0) + ad (v) +... .+ an V1 (0) 
pour a < v <. b, nous trouvons l'inégalité 


b b 
[Ce bé (0) + ah (0) +... +, 02, (0) f(0) 00 < D [ F(æ) 0x, 


a 


et comme d’après les formules 
b b b 
BUAONOL EPA LACOSTE CIEL ES 


, 
Lin 
a 


le premier membre de cette inégalité se réduit à », on aura l’inégalité 


b 
m < D Î f(x) ox 


ou bien 


- « k e L4 « La 
On voit par là que ;> qui, conformément à notre notation, représente la plus 


petite valeur de la fraction 


1 1 
ra ay Do? (0) + ao 2 (0) +... , + om Von ()? 





pour les valeurs de v comprises entre a et b, sera plus petite que 


b 
“ Î f(x) 0x. 


— 464 — 


Donc, quelles que soient les limites a et b, la différence entre l'intégrale 


| f(x 


et le résidu intégral 





v 

Do (2) 
mt) 
a—0 


ne peut pas surpasser la valeur de la fraction 


1 1 
2 a Lo2(v) + ao V2 (0) +... ++ em V2 (2) 





ou bien de la fraction 


4: 1 
2 NO  , _ Wo 





Ÿm—1? (©) 
b 


b b 
PACACL ER ACC RPECCL 
a a a 








PA FR Se DE Vos ro 


qu’on obtient en remplaçant les coefficients « par leurs valeurs tirées des 
formules 


1 
m 


b b b 
FAONOLE [hr (of) dr = 2. ...) [bn @) fe) 0% = — 


Les fonctions 


Le), WG)... Yi (e) 


sont déterminées, comme on a vu, à l’aide du développement de l'intégrale 


b 

1@ Gr, 
20 

a 


en fraction continue de la forme 








Et comme la valeur de la fraction 
1 1 


CORRE JOUR 


b b 
FCO CCE [ Ym—? (2)7 (002 
a a a 





Ÿm—1° (v) 








— 465 — 


ne change pas lorsqu'on multiplie les fonctions d par des facteurs constants 
quelconques, nous pouvons y prendre pour les fonctions 


Poe) Vi (se... Ym (2), 


les fonctions que l’on obtient en développant l'intégrale 





L— 


b 

( f(x) dx 
pe ; 

a 


en fraction continue de la forme 








les bp étant des quantités constantes quelconques; car le changement des 
_ quantités p,, p,,... équivaut, comme il est facile de le voir, à l’introduc- 
tion de facteurs constants dans ces fonctions. 


Nous venons de montrer comment on détermine les limites de la 
différence entre l’intégrale 


Ï F(æ) ox 


et le résidu intégral ! 
Do(2) 
£ DO (2) 
dans le cas où l’on donne les 2» otébrelés 


b 


b 
[ (Joe, Mie ed 2°" f(x) 0x 


DB © 


et si l’on sait que la fonction i inconnue ef @) reste | pour les valeurs 
de x entre a et b. 


Il est facile d’en déduire les limites de la différence étre les one 


[ (x) 0x 
et Ë | 


[AG@or, 


30 


— 466 — 


si l’on a les égalités 


b b b b b b 
(FC) dù=[f, (0) dx, [a f(x) da {2 f (æ) 02, fa f(x) on = [a fi (a) de, 


et si la fonction f,(x) reste aussi positive pour les valeurs de x entre 
x = a, x —b. En effet, dans ce cas on aura les mêmes résidus intégraux et 
les mêmes limites des différences entre les intégrales et les résidus intégraux, 
et par conséquent la différence entre les intégrales 


v © 
[ f@)0x, | A@)ox 


ne pourra pas surpasser le double de la limite de la différence entre chacune 
de ces intégrales et le résidu intégral 


Do (2) (e), 
£ PC) (z) 
Donc, si les égalités 
b b b b 
[f (x) œ=|[f, (x) dx, [x f(x) œ=|[x f(x) 0x, .… ‘ f(x) 0x — je f, (æ) dx 
a a a a 
ont lieu pour deux fonctions 


f(@), fi (@), 


qui restent positives pour les valeurs de x entre a et b, la différence entre 
les intégrales 


[ fox, | f(@)or, 


ne pourra pas surpasser la valeur de la fraction 


L 
ax Do? (0) + Ge Da? (0) +... + Gun Va (0) 





(8) 


quelles que soient les limites a et b. 


$ 9. Comme exemple de l’application de nos formules nous allons 
maintenant considérer le cas où l’on a 


a—— co, b = + co 


et 


Dans ce cas, comme on va le voir, la limite supérieure de la fraction (8) 
pourra être déterminée quelle que soit la valeur de », et il en résulte un 
théorème qui peut avoir des applications utiles dans la Théorie des Proba- 
bilités. 

D'après les formules données dans notre Mémoire Sur le développe- 
ment des fonctions à une seule variable *), dans lequel nous avons étudié le 


développemment de l'intégrale 
+ 00 


| Var me du 


T—U 
— ©œ 


en fraction continue et les réduites 


0 tee ne... 
dE) 1) V6) 


nous trouvons que, dans le cas que nous considérons maintenant, les fonc- 
tions 


Yo(2), Y (2), de À) AE 


pourront être représentées par la formule 





et qu’on pourra les calculer successivement à l’aide de la formule 


(9) hA=—da4 (2) —(— 194 ,() 
et l'égalité 
ba) = 1. 


D'autre part nous trouvons d’après ce même mémoire la formule 


+ CO 2 


+ 
[ET Por=1.2.5....1.9. 
— © 





*) T. I, p. 501—508. 
30* 


— 468 — 


En vertu de cette formule la fraction (8) qui détermine la limite de la 
différence entre les intégrales … 


[roûr, [fo 


se ramène pour le cas que nous examinons à la fraction 
1 


712 “HR Ur rs 
NC ene ee 








dans laquelle les fonctions vo _… déterminées par (9). 
Pour déterminer la limite supérieure de cette fraction nous cherche- 
rons la limite inférieure de son dénominateur 








2 2 | 
#° CES se D RÉ TE 1 qe | 
En posant 
2 Es 
(10) sn 


nous remarquons que ce dénominateur est égal à la somme 


To + +. 7e _ 


Pour trouver la limite émoure de cette somme nous allons Rs te déter- 
miner la fonction @(t) définie par 


CO= TARDE TP Le 


où £ désigne une variable quelconque. 


$ 10. Pour déterminer la:fonction: /({) nous remarquons que d’après 
(9) on aura 


Ye) = —go di (v)—(—1) gb, (0), 
b_o=—-doh ,()— au — 2) dr (0), 


d’où l’on tire 


et 


Wo)= ge, @)+2 « — 1)9t vÙ. (o) LU. (o) + (1 a pe. ), 
Œ— 2) gd, (0) eV (v) na god, ,(e) Yi (o) + gui, (D), 


et en éliminant entre ces deux équations le produit ne 


Yi (v) Li, (0) 


— 469 — 


nous trouvons la relation 


(a Get (— 2} d Ÿ,_.(@)=9 (g° v—l+ 1) )p?, 
(4-09 Vs sa A 


Si maintenant on y remplace les fonctions 
Ÿ (v), Po (v), Pi (v), Pi (v) 
par leurs valeurs tirées de (10), on aura l’équation 
IT, —(g ue —1+ 1) T,_,+(g0—l+1)T, ,—(—2)7T, = 


Multiplions tous les termes par &' et faisons la somme pour toutes les va- 
leurs de ?, de Z — 0 à / — co; nous aurons alors l’égalité 


CO C9 (e.e] C9 
SITE (141), + D (014 1)T, D (2) T,_ 0. 
0 0 0 0 


En remarquant que d’après (10) on a 
T_,=0, T_,=0, T_,—0, 


nous trouvons 


CO © 

d'au—1+ 1) TL t=Ù (ge —) arr 
0 0 
C9 


(ee) 
d'Œo—i+1) 7 = (go —i—1) TE, 
0 


© 
G—2) T_t= Sd G+1) TE, 
0 


| 8 © 


en vertu de quoi l’égalité précédente se ramène à l’égalité 

CO CO CO CO 

DIT — NUE 4 (oi) TE (TE = 0, 
0 0 0 0 


d’où l’on déduit 


. C9 CO 
Ai 8—8) DIT = (go — (g 0 — 1) t+P) D TE. 
0 0 


Comme d’après notre notation on a 


CO 
D Pb 0 (!}, 
0 


— 470 — 


et par conséquent 


© 
je ITÉT = 0 (9, 
0 


cette égalité se réduit à l’équation différentielle 
(A+i—8— 8) 0 (6) — (ge — (90 — 1) é +8) 0 (6), 


qui, intégrée, donne 
a? ot 


1+é 
e 


VIE 





0(=C 





La constante d'intégration C se trouve facilement en remarquant que 
la fonction @(t) se réduit pour {— 0 à 7, = Yi (v) = 1. 
De sorte que l’on aura 
| OR À 
et par conséquent 


get 


1+-1 
€ 


Ÿ l 
PU UEE—S 





$ 11. D’après l’expression trouvée de la somme 


co 
2 1 


0 


où é désigne une quantité variable, la limite inférieure de la somme 


PAT | ts E 


pourra être déterminée à l’aide des formules données dans notre mémoire 
mentionné plus haut Sur la représentation des valeurs limites des intégrales 
par des résidus intégraux. Pour appliquer les formules, données dans ce 
mémoire pour des intégrales, aux sommes 


[ee] 
DRE T+Ti+.. + TE, 
0 


nous allons les présenter sous la forme des intégrales 


m—1 


C9 
[ Yédx, | Yt 0x, 
0 0 


— 471 — 


en désignant par Y une fonction de x qui s’annule pour toutes les valeurs 
de + qui ne sont pas dans le voisinage de 


Monet Ds. :; 
et qui pour les valeurs de x infiniment voisines de 
te 1: 29,...; 


a des valeurs telles que les intégrales 


wo 1 2 
[ For, | Fox, | For... 
0 1—w 2—w 


tendent respectivement vers les valeurs 


T,, T;, T,,.... 


lorsque w tend vers zéro. 
Pour une fonction Y ainsi déterminée on aura évidemment 


(ee) CO 
[rFœ= T0, 
0 0 
et 
m—1 
[F0 T4 Tite... + TT 
0 


Comme la fonction Y{” ne devient pas négative entre les limites 0 et co, 
les valeurs limites de l'intégrale 


Ÿ 
[ YF 0x 
0 
d’après les valeurs des trois intégrales 
C9 CO CO 
[rto, [aytox, [st YF0r 
0 0 0 
seront déterminées par les formules données dans les $$ 6 et 7 de notre 


Mémoire mentionné plus haut. 
En faisant dans ces formules 


nous trouvons que pour 


la limite inférieure de la valeur de l'intégrale 
5 
[ YF 0x 
0 


sera 


ré 2 
. (l Yi æ) 
Î Yon — © 
0 a 
[ a? YiT ox 
0 
En remarquant que d’après l’égalité 





C9 
[ Ft 07 = 0 (t), 
0 

on aura 


© 
fa rtor=10(, 
0 


[error 0"(+t0(E, 
0 


nous en déduisons l'inégalité 


# 0/" (#) 


AT 


t 0! (t 2 
Î FE 027 0 — rep 
0 


En prenant ici pour £ une racine quelconque de l’équation 
#6" (é 
(#) 2, 


nous trouvons l'inégalité 


m—1 

t (0 (t))? 
[F2 00 
0 


— 473 — 


Comme d’aprés les propriétés de la fonction Y on aura 


m—1 


[ Féda=T,+Tit+....+T, Ut, 
0 


l'inégalité précédente se réduit à celle-ci: 


nee t(6/ (t))2 
CRETE EEE TT 


qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de £ satisfaisant à (11). 


Donc, en se bornant aux valeurs de é comprises entre 0 et letremar- 
quant que pour ces valeurs de £ on aura 


lei. ht elteltr.. +7, 


on devra avoir l'inégalité 


t (0 (t))? 
TH 47, >00—pm0 


d’après laquelle nous pouvons trouver une limite inférieure de la somme 


5, =1+1+....+7T 


en prenant pour £{ une racine de (11) comprise entre 0 et 1. 
$ 12. En portant les valeurs de 4/(t), @”(t) tirées de $ 10, on trouve 








(12) m—1—= 








(e i av?) (1 — 2) 
et 
q?u?t 
+ ge UT 
(13) Li 








Vi —t? (1 —4) 2 »2 ( _ 2 Y 
hs era) gg v+i|i+ +5 v 


La dernière inégalité nous donne la limite inférieure de la somme 


Sn = To ++... + TT, 


m— 1 


en fonction de la racine # de (12) comprise entre 0 et 1. 


Il est facile de voir que pour » > 1, comme nous le supposons tou- 
jours, l'équation (12) admettra bien une racine entre 0 et 1; mais la déter- 
mination exacte de cette racine est très difficile. 


Comme il ne s’agit ici que de trouver une quantité qui reste constam- 


— 474 — 


mM—1 : 

ment plus petite que Là. T,, nous pouvons y arriver sans résoudre l’équa- 
0 

tion (12). 

Pour cela nous tirons de (12) la valeur de V m—1 et nous divisons 

par elle l’inégalité (13), ce qui nous donne une inégalité qu’on peut mettre 

sous la forme 














got ENES A 
1+t 
e (e+; get) (a+ a ) 
Sms, Ï 1+t 
V m—1 1 GE t L 
1—$t : (1 — 1} 
See TT mot 
(ta ot) 2t+ as 


En remarquant que la valeur de { dans cette inégalité doit être plus grande 
que zéro et plus petite que l’unité, nous trouvons 





go?t 
Fu . L 
+ or <1—+9v?, 
D, gu<LI2+ qu <2(1+ 40), 


1—t 9 9 1—+t 9,9 
ne SU Penar ee BO 


5 1 


< 3) 





qg?v? 
en vertu de quoi l’inegalité précédente nous donne 


(14) Sym—1 > (g? 0? + 1) 8 


Vm—i 3° 
V2 - PUS 2 
( 1—+t, 2 
t+ 5 g*v 


Passant à la détermination d’une limite inférieure de 














1—t 9 0 
LEE TN GE Y 


nous remarquons que l'équation (12) peut s’écrire 








u—e 
t+ g? v? 
1—t)t 1+t 
(m— 1) (8) = 8 + go = 
+; av 


Comme # est comprise entre O0 et 1, tous les termes seront positifs et l’on 
aura 


m—1}4—9>84, 


— 475 — 


d’où l’on déduit 
m(l—Ë > 1, 
ce qui donne 
1 
1—i> m(l+t) 
et par consequent 
1 
re Pt 
D'autre part, en cherchant les maxima des fonctions 
{—1t} 
D. TT: 
1+$ ? 1—£ 





qg2v? 





t+ 





2 
Tire 


pour 0 < £< 1, nous trouvons qu’ils s’obtiennent pour 
t—V2— 1, i—1 
et qu’ils sont FR RTEUTRS égaux à 
Vas, 
en vertu de quoi l’équation précédente nous donne 
(m—1) (1—#)<P+2+(3— V8) ge: 


d’où l’on déduit 
m (1— 28) L3+(3— V8) go? 
et 


CR Le vare, 





ce qui donne 





Lt ee 2 td La 
Ainsi, nous trouvons que 





t>1 ere Lips k 
et l’on aura par conséquent 


L + pu > 1—{+ = $ Pa 1—$, 





de sorte que l’inégalité (14), en y remplaçant 


t+ te par 1—, 


== 476 — 


nous donnera 
Sn—1 2 (m — 3} 1 


—_—— &r à ? 





ou bien 





S _. 2(m—3PVm—I1 - 1 


FT vs (m2 — 2m +- 3)? Qo+ 1 


En remarquant que, conformément à notre notation, on a 


2 ( 2 D. 
S, ,=T+lz+... rs, — PRES ans er 








nous en concluons que la fraction 
1 


2 2 : 
ou + st ini 15 em 











sera plus petite que 
3 V 3 (m2 — 2m +- 3) (2 02 +1) 
2 (m — 3} Vm —1 





Comme d’après le $ 9 cette fraction donne les limites de la différence des 
intégrales 











v v 
+ à 
Î£e 0x, Jh@è 
— © —.O0 
si l’on a les égalités 
É. + 00 ge? 
he 
f, (&) 0x = = € 0x, 
— © — C9 
+ 0 _ ge 
AS et ces 2 Ôx 
x f, (x) 0x = = Te ; 
— © — © 
+ + © ge? 
ETTe _ 2 0x, 
— — œ 
+ 00 + 00 g2x? 
PESTE Li 2 0x, 
— © — © 


+ C0 + 


C9 
ne su 4 
Je hi =] 22" à 0x, 
— C0 


— © 


— 477 — 


la fonction f(x) restant constamment positive, et comme on a 


End 
v 2 
gx? son gx? 
é ha 0 
8 Ôx = —| e—%* 0x es. = 1 
FE Vr : V27% x 
— © — co — co 
+ © ge? + 00 ge 
5 q ar 1 
—— xe 0x = 0 — we 0% = — RL SSL EST x 
Le : 27 ide : 
— © —- C9 





nous en déduisons le théorème suivant: 


Théorème. 
Si la fonction f, (x) reste constamment positive et si l’on a 


+ 00 


Jo, [er @or—0, CLS J# ht =0, 


1e A 07 À, Pt MEURT CA. UE, M AE. OO MUR Perl Mie Or DEL Me DOS Del vif, Re Mal. MO CUIR UNS OX OU ES US A OS EN COUT OU OR ONE OR DL NL DR 


pe —+ 00 
| 22 f (x) dr = ns Ï D" f(x) de = 0, 


—00 — CO 





la valeur de l’intégrale 


sera comprise entre les limites 





3 

V2 
Æ. oi. 3 V 3(m2— 2m-+-3) (a? v2+- 13 
Vz 2(m—3} Vm—1 
— CO 
qgv 





V2 
1 2) 3 V 3(m2— 2m +3) (q? v? + 1)3 
me TC . 
J' _. 2(m — 3} Vm—1 
= 00 


pour toutes les valeurs réelles de v. 


Rad 3e 


ce 


H 











24 


SUR DEUX THÉORÈMES RELATIFS AUX 
PROBABILITÉS. 


(TRADUIT PAR X. LYON.) 


(Lu le 10 mars 1887.) 


© yo MeOPEMATÉ OMHOCUMEATHO Érépormnocmet. 


(Hparoxenie £& LV-my rouy Sanncoxr Huneparopcxoë Araremin Hays, X 6, 1887 r. 
Acta mathematica. T. XIV, 1890—1891, p. 305—8315.) 


din SE) ÉTÉ TS 


Le 


FR 


Feat 


No 


Fa 


Se 
ES 
Le 

van 








Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités. 


$ 1. Dans un Mémoire, sous le titre: Des valeurs moyennes *), nous 
avons montré comment on obtient des inégalités, d’où l’on déduit facilement 
un théorème sur les probabilités qui contient comme cas particuliers le 
théorème de Bernoulli et la loi des grands nombres. 

Ce théorème, nous l’avons formulé ainsi: 


Si les espérances mathématiques des quantités 


Un Ugs Ugyooue, 
et de leurs carrés 


2 2 2 
Us, Un y Ug geo 


ne dépassent pas une limite finie quelconque, la probabilité que la différence 
entre la moyenne arithmétique d’un nombre n de ces quantités et la moyenne 
arithmétique de leurs espérances mathématiques sera moindre qu'une quan- 
tité donnée, se réduit à l'unité, lorsque n devient infini. 

Nous avons été conduit à ce résultat en cherchant à déterminer les 
valeurs limites d’une intégrale d’après les valeurs données des autres in- 
tégrales qui contiennent sous le signe f , outre les fonctions connues, une 
fonction inconnue, assujettie à la seule condition de ne pas devenir négative 
entre les limites d'intégration. En développant la méthode employée dans 


ces recherches nous arrivons, dans un cas particulier, au théorème suivant 
sur les intégrales **): 





*) T. I, p. 687—694. 
**) T. II, p. 443—478. 
31 


— 482 — 
Si la fonction f(x) reste constamment positive et si l'on a 
+ CO —+ CS CO —+ © 
[ f(&) 0x = 1, [ xf(x)0x = 0, Î fr [ a f(x) 0x = 0, 
— © 


— CO — © — CO 


HE 
FA 





Far 1.9.6... (m8) Pie 
Le de = Re [a fe) = 0, 
— © — © 


la valeur de l'intégrale 








sa 
V2 
4, ee ÿx — 3 V 3 (m2 — 2m + 3) (q2 v? +- in 
A 2 (m— 3 Vm— I 
— CO 
LE LA 
2 
LL o-rgp 8080? — 2m +8) (97 0? +1, 
Vz 2 (m— 33 Vm—1 
00 


pour toutes les valeurs réelles de v. 


Nous allons montrer maintenant, comment ce théorème sur les inté- 
grales conduit à un théorème sur les probabilités, à l’aide duquel la déter- 
mination des valeurs les plus sûres des inconnues, quand on a un grand 
nombre d'équations qui contiennent des erreurs accidentelles plus ou moins 
considérables, se ramène à la méthode des moindres carrés. 

Ce théorème peut être ainsi formulé: 


Si les espérances mathématiques des quantités 
ER M :<- 


sont toutes nulles et si les espérances mathématiques de toutes leurs puis- 
sances ne dépassent pas une limite finie quelconque, la probabilité que la 


somme 
Un + Un + Ug Ho co 0 Un 


d'un nombre n de ces quantités, divisée par la racine carrée de la double 


— 483 — 
somme des espérances mathématiques de leurs carrés, sera comprise entre 
deux limites quelconques t et t', se réduit à 

“8 


EL —4? 
=] e 0x. 


é 
lorsque le nombre n devient infini. 


$ 2. Pour démontrer ce théorème sous la forme la plus générale, nous 
prendrons — co et + co pour les limites entre lesquelles sont comprises 
toutes les valeurs possibles des quantités 


M Mat cn 
En désignant par 


9.(&) 0%, o,(x)0x, o,(x)0x,.... 
les probabilités que les valeurs des quantités 
OR oi ee 
sont comprises entre les limites infiniment voisines 


TZ, T + 0%, 
nous remarquons: 


1) que les fonctions 
P1 (æ), Dax), Pa (T),. . 


ne peuvent pas avoir des valeurs négatives; 
2) que les intégrales 


+ 00 + © + 00 
Î ?1 (4) du, [ Pa (a) OU, [ Pa (y) du, «+. 
— 00 — © — C0 


qui représentent les probabilités que les quantités 


auront des valeurs quelconques comprises entre les limites — co et + co, 
seront égales à l’unité; 
3) que les intégrales 


+ 00 + 00 + 00 
[ Ui P1 (0) du, [ Ug Pa (3) QU, f Ug Py (Us) Os, . 
— © — co — © 


qui représentent les espérances mathématiques des quantités 
| NET FO RENE ETRE 


d’après notre hypothèse, doivent être nulles; 
31* 


— 484 — 


4) qu’en général, toutes les quantités a) définies par l'égalité 
+ co 
an = [ uÿ q,(u;)dus, 
— C9 


qui représentent les espérances mathématiques des différentes puissances 


des quantités 
Us Us Us; . 


seront, par hypothèse, comprises entre des limites finies. 
D'autre part, en désignant par 


f(œ) 0x 
la probabilité que la valeur de la fraction 


Un Uo He + Un 


Vn 





sera comprise entre les limites infiniment voisines 
x, & + 0%, 
nous remarquons que de probabilité sera donnée par l'égalité 
f(æ)or = [....fo(m) pa(us). - . .o,(u,) du, 00... .du,, 


dans laquelle l'intégration par rapport à w,, %, ....u, s’étend sur toutes 
les valeurs de ces quantités pour lesquelles la valeur de la fraction 


U+U +... + Un 


Vn 





ne sort pas des limites infiniment voisines x, & + 0%. 
En multipliant cette égalité membre à membre avec l'égalité 


S(U + U+....+ Un) 


Vn 
TT —e 





? 


où s désigne une constante arbitraire quelconque, et en intégrant de 
x = — © à & — co, nous trouvons l'égalité : 


= OO 


S(U + Uo +... + Un) 
sx Vn 
1e f(x) 0x ue : de s 1 (a) Pa (Ua). D, (U) Os 0Ug... du, e 





Comme dans le second membre l'intégration par rapport à 


U;, Ugsyso..s u, 


— 485 — 


s'étend sur toutes les valeurs de ces quantités entre — oo et + co, le se- 
cond membre de cette égalité se réduit au produit des intégrales simples 


_Vn Vn Vn 
Fe 1 (,) du, Fee Pa (Uo)Ug . ns 2h (u,)du,,; 
nous aurons donc l'égalité 
+ 00 + 00 + 00 + CO 


ad id: Sn 


Fa EÉ V 
(a) Jéfaœèr— | e qutu)du Je "ton. Je o,(,) du, . 


En développant les deux membres de cette égalité suivant les puis- 
sances de la constante arbitraire s et en égalant les coefficients des mêmes 
puissances de s, nous trouverons les valeurs des intégrales 
+ CO + OO + 
[ f(x) 0x, [ x f(x) 0x, [ a f(@) 0%. ;:, 
— 09 


= 00 — CO 


qui représentent les espérances mathématiques des différentes puissances de 
la quantité 


Un HU He... + Un 


== 
vs ; 





et qui nous serviront à déterminer les valeurs limites de l’intégrale 


qui représente la probabilité que la valeur de la fraction 


Us + Uo He + Un 
T= — 
Van 





ne dépassera pas une quantité quelconque v. 


$ 3. En nous bornant à la détermination de 2» intégrales 


| [ (@) dx, [af(æ) oæ, | Af() dm: . fan f(x)0x, 


nous remarquons que le premier membre de l’égalité (1), développé suivant 
les puissances de s jusqu’au terme de l’ordre s*”7", donnera la somme 


+ 00 + 00 +. NE + 00 
[ f(&) dx ++ [x f(x) 0x + [2 f(&) QD ” f(æ)ox. 
© — © — CO — © 


— 486 — 


_ Pour déterminer les termes correspondants dans le second membre, 
nous allons le mettre sous la forme 


—+ CO —+ CO —- © 


Vn Vn Vn 
û log A ,(w;) + log) e Pa (Us) dus —+. . . . +log és o,(%,) du, 


et l’on voit que le développement du second membre de (1), exact 
jusqu’au terme de l’ordre s*”"” inclusivement, s’obtiendra en y remplaçant 
les logarithmes par leurs développements en séries arrêtés aux termes de 
l’ordre s°”*, Pour déterminer les développements de ces logarithmes, nous 
remarquons que l'intégrale 


| vie À | 
Te 
Dee M qu(u;) dus 


sera donnée par l’expression approximative suivante, exacte jusqu’au terme 
de l’ordre s*”" * inclusivement: 





+ OO À © + © + © 
Î Jui g (uÿ) du; [ ui? qe (us) Ou [us pa (25) Oui 
U,) du, += — 8 + ——€ D 
Pa (4) du, 1.Vnñn 1.2.n lan re 
— © 


+ © 
[ui où (ui) dus 
— 2m—1 


1.2.3....(2m—1)n"—1Vn ; 





et cette expression, d’après le $ 2, se réduit à 


2n 1.2.3nVn 1.2....(2m—1)n"—1Vn 


a; (2Mm—1) 





où, par hypothèse, les quantités a, sont toutes finies. 


En développant le logarithme de cette expression suivant les puis- 
sances de s et en s’arrêtant au terme de l’ordre s*”", nous trouverons une 
expression de la forme 


RSR OA IP PER S 
2n nVn 


Ve CM) om 
nM—1V n d 
dans laquelle les quantités 

Fr 4 ia 


U 


seront des fonctions entières des quantités 


( 3 (2m—1) 
as a... 0, | 


ne contenant pas »; elles seront donc aussi toutes finies. 


— 487 — 


On aura donc, avec un degré d’approximation jusqu’au terme de 
l'ordre s*”* inclusivement, 


+ CO 
a 2 
Vn a?) 7, () v;@m—1) je 
RES. SES CRE où RU 0 RE 
log le o(u)du, = s Dire EM + de 7 
— © 


En y faisant à = 1, 2,....,n et en posant 











1__@ C+a, 2 +....+an2 
m 2 ; 
M® pie. V, (8) + ris + Fan 
Me") PM) + pm) +... 7m) 
n 


on trouve, avec le mème degré d’approximation, 


+ OO + 00 + 00 


pes ne) Sn 
log Î e P1 (%,) du, + log ] Se : Pad) 0U, +. ...+108 é o,(u,) du, 
— © 


— CO — CO 
s? M6) 3 MEM—1) om 

ET SE le OU es 08 a UT 7 
24?  Vn nM—2Vn : 


où les quantités M, comme les moyennes arithmétiques des quantités finies 


| AE A ROSE AS 


(2Mm—1) 2Mm—1 (2m—1) 
‘an AS Ac RUE 1 


seront aussi toutes finies. 


On aura donc, avec un degré d’approximation jusqu’au terme de 
, 2Mm—1 
l’ordre s i 


(2) J €” f(æ) dx — “es 


$ 4. Quel que soit », nous pourrons tirer de cette égalité les valeurs 
des 2m intégrales 
+ 00 +0 + CO 
[f@ôx, [æftor,.... [a f(a)dr, 
un — ©œ 


— CO 


— 488 — 


en arrêtant les développements des deux membres de cette égalité aux 


termes de l’ordre s°”*t, 


Dans le cas particulier n — co, l'égalité (2) se réduit à 


+ 00 
s2 


e*° f(x) 0x — ET 
©QO 


puisque les quantités M, comme on a vu, sont toutes finies. 
En développant les deux membres de cette égalitéssuivant les puis- 


sances de s et en s’arrêtant aux termes de l’ordre s°”"*, on aura 


[ rc a+ = | of() ee Pneu — : Ê em — * f(@) dx — 





4 s2N—2 


8? 8 
SR aan tie oo da 2ge}m—t 
q q q 





et, en égalant les coefficients des mêmes puissances de s, nous trouvons 


Jr) == 1 farce) 0x = 0, [' PQ à EL ÉTCE = 0, 





[a FD 0x = ED, [a f(x) de = 0. 
— O0 


Comme la fonction f(x) qui figure sous le signe f, par sa nature même, 
ne peut pas avoir des valeurs négatives, nous concluons, d’après le théo- 


rème sur les intégrales cité au $ 1, que la valeur de l'intégrale 





L 
| f(x) 0x 
— CO 
est comprise entre les limites 
LL4 
V2 
L e—2? x — 8 V 8 (m?2— 2m + 3)? (g? v? + np 
Vr 2 (m— 3)3 Vm —1 
— 00 
Es 
V2 


Le V8 (m2 — 2m + 3)? (g2 e2 + 1)9 
e—2? x + © 1 : 
Vz 2(m— 3) Vm—1 


—…— C0 





— 489 — 
D'où, en remarquant que la valeur de la fraction 


3 V 3 (m2 — 2m+ 3)? (a? v?2+ 1} 
2 (m — 3) Vm—1 





tend vers zéro lorsque le nombre # augmente indéfiniment, nous tirons 


l'égalité 
go 
v V2 
| f(œ) 0x — | e— 2 0%, 


En y faisant successivement 


va V3, 


V = ve d, 0 — pi LA , 
nous trouvons les égalités 
V2 F3: 
ra re 
— 4 — 9? DA Pn e —7? 
fra | 0%, free: 0%, 
m:.00 — 00 7 C0 —— 0 


V3, 
œe d 
SOLE —4? 
fred = | Ôx 
"3, 
q 


Le premier membre de cette égalité, d’après le $ 2, représente la probabi- 
lité que la valeur de la fraction 


Un HU Hesse + Un 











Vn 
sera comprise entre les limites 
LE 
+ 
et par conséquent la valeur de la fraction 
Un + lo Hess Up ++... Un 
2n — Vire tuct an) 


g? 


— 490 — 


sera comprise entre les limites # et {’; en vertu de quoi cette égalité qui a 
lieu pour n = © montre que la probabilité que la valeur de la fraction 


Un + Ug He + Un 
V2 (a, (2) + a, (2) +....+ ant) 








sera comprise entre deux limites quelconques £ et #”, a pour limite, lorsque 
n augmente indéfiniment, la valeur de l’intégrale 


t’ 
1 2 
Vz | 
t 


Dans le cas de » fini, la probabilité que la fraction 


Ut... + Un 
V 2 (a,@) + a 2) +....+ ant) 








sera comprise entre les limites { et {”, différera plus ou moins de sa valeur 
limite 
L’ 
1 | 2 
— | e—2 0x 
Vr 
t 


selon la valeur de » et des quantités 
d'OS MS 


qui figurent dans légalité (2) et dont les valeurs, comme on a vu, dépen- 
dent des valeurs des espérances mathématiques des différentes puissances 
des quantités 


U;; Vo) “7 6. 8 U2r 


Sans nous arrêter ici à la détermination de la limite supérieure de 
cette différence pour x assez grand, nous remarquerons seulement que 
d’après les formules de notre Mémoire Sur le développement des fonctions à 
une seule variable *), cette probabilité pour x quelconque sera donnée par 
l'expression 


=] [1 — K, CET d,(&) + K, (2) U,(x) +... | e—% 0x, 





*) T. I, crp. 501—508. 


_ dans laquelle les quantités 


sont les coefficients de 


dans le développement de la fonction 


4 
M) 82 + LA st + 


n 
€ 


suivant les puissances de s; et les fonctions 


d(&), (x), . 


sont des polynômes qui s’obtiennent par la formule 





Poe 
ee 


Tran 
US 





en, 


SUR LE SYSTÈME ARTICULÉ LE PLUS SIMPLE 


DONNANT DES MOUVEMENTS SYMÉTRIQUES 
PAR RAPPORT À UN AXE. 


(TRADUIT PAR EP. O. SOMOF. 


(Lu le 15 novembre 1888.) 


© npocmrsueñ cycmabramoÿ cucmemnrs, 


docmabansroue Æuyenia cummempurechia ohoso ocu. 


(Ipuaoxenie kB LX romy Sanucorr Hmneparopcxoë Arkaremiu Hayx®, N 1, 1889 r.) 


Ltèr É 
nie 


+. 
4e 


SAND 
te 4 


ve 


Res 
PA re 
TANT 





Sur le système articulé le plus simple donnant 
des mouvements symétriques par rapport à 
un axe. 


$ 1. Le plus simple moyen pour transformer un mouvement plan se 
présente en un système articulé formé d’une ligne, qui tourne autour d’un 
centre fixe, et d’une ligne réunie à la première par une articulation. Tous 
les points de la première ligne décrivent seulement des cercles concentri- 
ques, tandis que les points de l’autre ligne peuvent décrire des courbes di- 
verses, et les trajectoires de leurs différents points se distinguent considé- 
rablement l’une de l’autre par leur forme. Par suite, quand un point de 
cette ligne décrit une courbe quelconque, on reçoit pour les autres points 
des mouvements sur des courbes différentes. Dans cette transformation du 
mouvement, les points de la seconde ligne, dont les distances à l’axe d’arti- 
culation avec la première ligne sont égales à la distance de cet axe au centre 
fixe de rotation, appellent la plus grande attention. Il est aisé de démontrer 
que, si un tel point décrit une courbe symétrique par rapport à un axe 
passant par le centre fixe de rotation, un autre point quelconque se meut 
sur une ligne ayant la même propriété. On voit de là que chaque ligne 


Fig. 1. 
B 





brisée ABM (fig. 1), articulée avec la droite BC, qui tourne autour du 
centre fixe, fournit, lors de l'égalité 


AB = BM= BC, 


— 496 — 


un moyen pour transformer le mouvement sur une courbe symétrique par 
rapport à un axe passant par le centre €, en un mouvement sur une autre 
courbe ayant la même propriété. La forme et la position de cette dernière 
courbe changent avec le changement de l’angle ABM et de la position du 
centre C' qui, selon ce que nous avons dit plus haut, doit rester sur l’axe 
de symétrie de la première courbe. 


En transformant ainsi le mouvement d’un point À, qui se trouve à 
l'extrémité du rayon OA tournant autour du centre O, nous recevons un sy- 





stème articulé, dans lequel le point AZ décrit une ligne symétrique par 
rapport à un axe qui passe par le centre O. Si la distance CO surpasse la 
longueur du rayon O4, celui-ci est en état d'accomplir un tour complet, 
après quoi le point retourne à sa place primitive, ayant décrit une courbe 
fermée symétrique par rapport à un axe passant par le centre C. 


Une telle transformation du mouvement circulaire peut présenter des 
applications utiles, s’il est demandé de produire un mouvement, auquel 
s'approche suffisamment le mouvement du point AZ de notre système arti- 
culé quand on donne des dimensions convenables à ses parties et des posi- 
tions convenables à ses centres fixes de rotation. Toute la difficulté réside 
dans la détermination des unes et des autres conformément à la forme du 
mouvement qu’il est proposé d'obtenir. Nous nous proposons de considérer ici 
les cas les plus simples et qui se rencontrent le plus souvent en pratique, à 
savoir: quand on a en vue d’obtenir un mouvement sur une courbe, dont une 
partie plus ou moins considérable ne diffère pas beaucoup d’un arc de cercle 
ou d’une ligne droite. 

$ 2. Dans le système considéré les points À, B décrivent des cercles 





— 497 — 


dont les centres sont O, C; et comme les longueurs des lignes AB, BM et la 


Fig. 8. 











valeur de l’angle ABM restent constantes, on aura les égalités suivantes: 


APM = AB, 
0A=0A,, CB = CB,. 
Il résulte de la dernière de ces égalités que les six lignes suivantes sont 


égales: 
A,B;, BoM, BC, AB, BM, BC, 


car, d’après ce que nous avons dit dans le $ 1, 


AB, —= B,M, 2 B,C, 
AD =DM = BC 


D'où il est clair que les points 4,, C, M, se trouvent sur le cercle 
décrit du centre B,, et les points À, C, M sur le cercle dont le centre est 
en B; ensuite, les angles ACM, ABM, A,CM,, A,B,M, sont liés par les 
égalités 

2ACM + APM = 27, 
2A,CM, + A,B,M, = 27, 
32 


— 498 — 


qui donnent 
2 ACM + ABM = 2A,CM, + 4,B,M,. 


En remarquant que 
ABM = AB, 


ACM = ACM, + M,CM, ACM, = ACM, + AC, 


. nous obtenons 


(1) . M,CM = A,C4. 


En nous appuyant sur cette formule et posant 


OA,=04=7+r, 0OC=d, 
AB=PM=BC= A E= TM =D 0], 

APM — A,B,M, = w, 
cherchons à présent la longueur du rayon vecteur CM et l’angle de son incli- 
naison à la ligne CM,, qui déterminent le lieu du point M pour un angle 
donné de l’inclinaison du rayon O4 à la ligne des centres COA,. Ces quan- 
tités s'expriment très simplement par l’angle ABC dont la valeur variable 
sera désignée par la lettre o et à l’aide duquel il est facile de déterminer la 


position correspondante du rayon O4. 
Dans le triangle isocèle CBM, où 


QG= A1, BM= "A1, 
nous avons 


(2) CM=—2 sin LH, 
ce qui donne, d’après l'égalité 

CBM = APM — ABC= vw —9% 
la formule pour le rayon vecteur CM: 


CM —2 sin +. 


Passant à la détermination de l’angle de son inclinaison à la ligne 
CM, nous trouvons d’après (1) 


MCM, = ACA,, 


mais du triangle ACO nous tirons 





AC? + CO? — A0? 
cos AC = 570.00 à 


— 499 — 
par suite, on obtient pour l’angle MC, la formule 


- AC? + CO? — A0? 
co MOM, = 40 PPT AO. 





Eu remarquant que le triangle isocèle ACB, où 


AB=1; BO=T, ABC=%, 
donne 
AC= 2 sin _. 
et que d’après notre notation 


AO =7, CO = d, 


nous trouvons par cette formule 


4 sin? S5m-A 





cos MCM, = 
4 d sin + 


Dans cette relation le signe de l’angle MC, reste inconnu. Il est facile 
de le déterminer, en remarquant que, d’après (1), l’angle MCM, est égal à 
l’angle ACA,; mais l’angle ACA, a une valeur positive ou négative selon 
que le point À est situé au dessus ou au dessous de la ligne des centres 
COA,. Par conséquent, à la même valeur de l’angle © correspondent deux 
positions tant du point À que du point W; dans l’une de ces positions le 
point À se trouve au dessus de la ligne des centres CO4, et le point M à 
gauche de la droite CM,, l’autre position du point À sera au dessous de la 
ligne COA, et le pont M se trouve à droite de la ligne CM,. Quant à la 
détermination de l’angle AOA,, étant donné l’angle +, on aura du triangle 
AOC 


AC?— A02— O 
cos AOAÀ, — ET AE a 





En remarquant que 
AC=2 sin +, AO=r, 0C= 4, 


nous déduisons de la relation précédente 


À sin? À — 12 — d2 





cos AO0A, = RS 


Comme, d’après ce qu’on a fait voir plus haut, à la même valeur de 
l'angle © correspondent deux positions tant du rayon OA que du rayon 
vecteur CM, qui diffèrent seulement par les signes des angles AO4,, MCM,, 
nous voyons que le point M décrira une ligne symmétrique par rapport à 


l’axe CM,, pendant que le ‘rayon OA se tournera d’un même angle en haut 
32% 


— 500 — 


et en bas de la ligne des centres CO4,. Représentant par « Ja valeur 
limite de l’angle AO, dans le mouvement considéré et par 


Por Pi 


les valeurs de l'angle ABC— ©, qui correspondent à 
A0 = 0, 404, = Te; 


nous voyons que, pendant que l’angle AO, varie entre 0 et « ou —«, 
l'angle o passe de la valeur o, à o.. 


En appliquant la formule que nous venons d'établir au cas spécial 


AO = %, 9 =; 


nous trouvons l’équation suivante entre les valeurs limites des angles ACA, 
et ABC=9;,: 


4 sin À — dre. 
COS à — 








2 dr ? 
d’où il suit 
(4 + r}2— 4 sin? à 
(3) sin à es 4 dr 


$ 3. Passant à la détermination des conditions pour que la courbe 
décrite par le point M entre les limites indiquées s’écarte le moins d’un 
arc du cercle quelconque, nous observons que cet arc, de même que la 
trajectoire du point M, doit être symétrique par rapport à l’axe CM,, et 
pour cela son centre doit être situé sur cet axe. En supposant que ce centre 
se trouve en O, (fig. 4), déduisons à présent la formule pour déterminer la 
distance du point M au centre O,, distance, qui aurait une grandeur con- 
stante, si le point AZ décrivait exactement un arc du cercle autour du point O.. 


Du triangle O,CM nous déduisons 


MO = 0,C°+ CM? — 20,0.CM.cos MCM,, 


ce qui, après la substitution des valeurs pour le rayon vecteur CM et le 
cos MCM,, donne: 


ü 4 sin? Ed — re 

MO? = O,C?+ 4 sin = — 40,C sin + : 
1 1 2 1 à 25: © 
4 4 sin — 








En désignant par ÆÀ le rayon du cercle, de l’arc duquel le point M 


— 501 — 


s’écarte le moins possible pendant le mouvement du système considéré, nous 
trouvons pour la différence MO? — Æ? la formule suivante: 


4 sin? _ + d?2 — 7? 








MOS— = 0,0— + 4 sin ®—2— 40,0 sin® + 


_ ? 

| 4dsin = 
Occupons nous à présent de la détermination des conditions, pour que 
cette différence s’écarte le moins du zéro, quand l’angle ©, comme nous 


l’avons supposé plus haut, reste entre les limites 








$ 4. En posant dans la formule déduite 
sin =, 


nous remarquons qu’elle reçoit la forme 


(4) MO— R'— K|(»,æ + 1) vi: + pt + ps |, 


« 


ou 





K, Pis Pas Ps 
sont des constantes, dont les valeurs s’expriment par 


4 uw, CCR 


— 502 — 


de la manière suivante: 


sin - (d2— r?) 0, C 

















2 
(5) K = rte d ? 
| sin w.d + sin + 0,C 
P, = 4 w ? 
; sin 2 (42 — r2?) O,C 
(6) 
cos w.d+c0s + + O,C 
Pa = — 4 FE ? 
sin (4? — r?) O,C 
(R? — 2 +2 cos w — 0,0?) d — cos _ (42 — r?) O,C 
(7) 3 — à 


sin (4? — 1?) 0,0 


On voit de la formule (4) que pour la même valeur du coefficient K 


la différence 
MO°— PF? 


reste d’autant plus près de zéro, que la fonction 


Cyr 
(p,x+ 1) V=+ns + Ds; 


s’écarte moins de zéro; par suite, afin de diminuer autant que possible la 


valeur limite de la différence 
MO°— >? 


pour des valeurs de +, qui se trouvent entre o — 9, ct 9 —9,, nous devons 
opérer de la sorte que la fonction 
1— 
Ga+DVEE+ns+p 
90 


s’écarte le moins possible de zéro entre x = sin? ©, x = sin” Lee 
Pour cela nous appliquons à la fonction 








1— x 
me+DVE+ne+p, 


le théorème concernant en général les fonctions, quis’écartent le moins pos- 
sible de zéro, que nous avons démontré dans le Mémoire sous le titre: Sur 
les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative 
des fonctions *). En se fondant sur ce théorème et désignant par 


+L, —L 





°*) T. I, pag. 273—378. 


— 503 — 
les valeurs limites de la fonction 


Be+ VE +pe+p, 
entre 


æ = sin? © æ=sin à, 


nous concluons qu’elle doit au moins quatre fois atteindre les valeurs li- 


mites — Z, + L, quand les valeurs de x ne sortent pas au dela des limites 
on LT TU a 1 
œ = Sin +, 4 — sin" 


Nous allons montrer à présent, de quelle manière la fonction 


1. 
Be Des 


peut être déterminée d’après cette propriété. 


$ 5. Remarquons pour cela que toutes les valeurs de +, pour lesquelles 
la fonction 


1: 
(p,æ+ 1) Ve À + D, Z + D 
où l’on a | 


x£sin®, > sin; 


atteint les valeurs + Z, — Z, sans les surpasser, doivent être égales aux 
racines multiples de l’équation 


[Gp 5 + DV +n + +1] [a—sin? |] x 

(8) : 
[(P,& + 1) Vi eno+p—L][r— sin # | = 0. 

En effet, on voit de la forme de cette équation qu’elle est satisfaite 


par des valeurs de æ qui donnent: 


RC À DEN L, 





(P, 


ou 


(P,%+ 1) in 


Si cela à lieu pour x = sin? _. ur sin? © , alors ces valeurs, comme 


on voit aussi de la forme de l’équation, seront ses racines multiples. Quant 


aux racines de cette équation qui sont entre sin° ® et sin? 2 9  CIles aussi ne 


— 504 — 


peuvent pas être des racines non multiples, car pour des racines simples des 
équations 


(p,x+ 1) ee + D,t+p,+L=0, 
la fonction 


après avoir atteint les valeurs + ZL, — L, franchit ces limites. 


On voit de cela que dans le cas considéré l’équation (8) doit avoir au 
moins 4 racines multiples, qui ne sortent pas hors des limites 


— gin2 %0 — gin2 2. 
GS +: T—SIN >; 


mais cela ne peut avoir lieu que dans le cas, où l’équation a quatre racines 
doubles se trouvant entre les limites 


x — sin? 5, x =sin +, 


car cette équation, après avoir été réduite à la forme rationnelle, sera du 
8°" degré. Deux de ces racines sont évidemment, d’après la forme de l’é- 
quation, 
co gni 0 es GRR TES 
c—sin ss t—sin 


Quant aux deux autres racines, comme elles sont limitées par les va- 


leurs sin? Ÿ, sin? * elles peuvent être représentées ainsi: 
2 ? 2 ? 


4-0 2, x == sin° 3, 
où ®,, ©, sont des angles, qui sont enfermés entre ®,, 9. 
$ 6. Montrons à présent, comment on peut trouver les fonctions 


pers 
(P,%+ 1) = +22 +; + L, 


(P,&+ 1) VV +-ne+n—2 


étant donnés les angles 
Por Pir Par Ps) 


et comment trouver les angles inconnus 9,, ®,. 


— 505 — 


“ 


D’après ce qu’on a remarqué plus haut sur l’équation (8), on voit 
que l’équation 


oem c]{ne VE eneen 1] 





aura deux racines simples 


sin? 5, sin? . 
et deux racines doubles 
| te. voit 
sin) Sin > 


Et comme cette équation se décompose en deux suivantes 


(p,%+ 1) + ne+n+1=0, 








(p,&+ 1) VV +n2+n—L=0, 


qui n’ont pas de racines communes et se réduisent à des équations cubi- 
ques, chacune d’elles aura une racine simple et une racine double. 


En nous arrêtant sur l’équation 
(p,% + 1) VE + ne+p, + L=0 
et admettant qu’elle a pour la racine simple 


HAT AU À à | 
F4 pire mens à À 2 


et pour la racine double 


x = sin? ®, 


nous remarquons que le produit des trois différences 
V== — cotang %, 
cotang 2 - Vx— Vi-z, 
- | cotang # - Va— Vie 
étant égalé au zéro, donne l’équation 


[VE cotang ® | [cotang 2 Va—V1—x|= 0, 


— 506 — 


qui à aussi la racine simple sin? © > et la racine double sin? 2, Mais cette 


équation dont la première partie rate une fonction de la forme 








(P, x + DY—+Ps+p, 


ne peut avoir trois racines communes avec l’équation 








(P,x% + 1) x +ps + L=0, 


si elle n’est pas identique à la dernière, et par conséquent doit avoir lieu 
l'égalité suivante: 


(9) (P,x+ 1) Vi +ne+n+l= 


(EE cars) (ete V7 V3) 


De même, nous trouvons 





1e 
(P,% + 1) VE +ns+n—L= 
(V=— cotang 3) (cotang BVr—V1— x). 


En soustrayant ces égalités l’une de l’autre, nous recevons 


( 





1—7 








. . g®%) (cotang . Va—Vi—- 2] 


= — cotang a) (cotang # Ve 7 1l;. 2). 


Cette égalité, qui a lieu pour toutes les valeurs de x, donne, comme 
nous le verrons, des équations qui déterminent les angles inconnus o,, ®.. 


$ 7. En chassant les paranthèses dans la dernière égalité et remplaçant 
les cotangentes par des quotients de cosinus et de sinus, nous trouvons 
qu’elle se réduit à 














sin (ee+ %) s (es +- 4) cos 3 cos _ 
2L = Va (1 —x) +- res. 
sin Ÿ0 sin? $2 sin À! sin? Ÿ? sin re sin 
cos | 9, + F0 cos | PRE cos 22 cos +2 
2 2 x ss 9 2 : 
in 20 sin? 22 in ?1 sin? #3 in 20 in 22 
sin sin? + sin ++ sin? + sin + sin 


— 507 — 


D'où l’on voit que, pour qu’elle soit possible pour chaque valeur de x, 
il faut que l’on ait 








br P : ? 

sin ( Lo + ) sin (+5 + 4) 
= , 

sin 0 sin? #2 sin ?1 sin ?3 

és 2 2 

(11) 4 e ; 
cos (9 + . cos (93 + 4) 

0 ones,  gin Lgines 

sin sin? à sin sin? 





Ces égalités nous serviront à déterminer les angles ©, ®.. 
En divisant ces égalités l’une par l’autre, nous recevons 


tang (a+ à) — tang (os+ a) 


Et comme les angles ©, ®,, ®,, ©, sont compris entre 0 et x, cette 
équation mène à une des deux conclusions suivantes: ou à l'égalité 


ou à l’égalité 


D+N=p+i tr. 


De plus, en remarquant que dans le dernier cas on reçoit, d’après(11), 
l’équation 
Lo Qin2 92 — Pi ina Ÿ 
sin + Sin — — Sin + Sin? 
qui ne peut pas être satisfaite par des valeurs positives des angles ®,, 9,, 
Do Ps, ne dépassant pas x, nous concluons qu’il doit être 


(12) DL ge 2 
et par suite les équations (11) nous donnent 


A VU NN TR LE eg a 
(13) sin sin = Sin Sin + 
Des deux dernières équations il est aisé de déduire des formules, qui 
servent à déterminer les angles 9%, 9. 
En effet, d’après (12), nous avons 


COS D — COS (ea + eu). 


et par conséquent 





1 — cos (o+ 


Do — a) 
%3 7 2 
2 2 ue 2 L 





_— 508 — 
ce qui, après la substitution dans l'équation (13), donne 


1— cos (ee 2 2) 
22 — sin 1: 


r'Écs 2 , 2 ? 





< sin? 





sin © 


_ d’où l’on déduit, après avoir chassé les paranthèses et divisé par sin? ©, 


2) 
l'équation suivante: 


sin F0 


2 

ET cotang 2 + co 0 N — 0, 
CRE a 

sin 2 


Po 


sin? #21 cotang? À + sin 24 


En résolvant cette équation par rapport à cotang . et retenant seu- 
lement la racine positive, nous trouvons 








(14) cotang % — 1 — COS 2 


Ainsi l’angle +, est déterminé en fonction des angles o,, o,. Cet angle 
nous servira comme une grandeur auxiliaire pour simplifier les formules. 
Quant à l’angle o,, sa valeur peut être aisément obtenu d’après (12), quand 
on a trouvé l’angle o,. 


$ 8. Ayant les angles 
Por Pis Pas Ps 


on peut sans difficulté déterminer les grandeurs 


L, Pis Pas Ps 
qui entrent dans nos formules. 


En posant dans l’équation (10) 


x —= sin? 4, 
nous trouvons 


21 — (cotang Si — cotang 2) (cotang #2 sin & — cos a}, 


ce qui donne pour Z la formule simple: 





Po Pr 972 OL 
G sin 5 


? ? ? : 
708$ 1 2 172 
sin 2 sin 2 





ir t 


En remarquant que le produit 


( 


l—x 








%) (cotang . Va—Vi—2) 


\ 





ALES 


— 509 — 


quand on y à remplacé le cotangentes par les quotients de cosinus et de si- 
nus, se réduit à l’expression 











g ?o P2 

sin (+, + ®), : VE cos (ee + 2), cos ras 
+ TT +4 ’ 

sin . sin? ?2 . sin Ÿ sin? . sin 0 sin . 








cos (9, + &) 
Pa TT TT ; 
in 0 gin? 22 
sin G sin 2 
cos Ÿ0 cos 2 
+ L= — — 2 
7. sin 0 sin 22 
2 2 


La dernière égalité, après qu’on y a introduit la valeur trouvée de Z, 
_ donne 


sin ?0 _ Pi sin? Les 2 | 





1 





— cotaug À — 2 cotang ©. 
sin + sin 5 sin? #2 


C’est ainsi que se déterminent les valeurs des coefficients 


+ P;; Po» Ps 
avec lesquelles la fonction 


(P, x + DV E+p,2+p, 


s’écarte le moins de zéro entre 
x = sin, x — sin? Ÿ1. 


En même temps, comme nous avons vu, les écarts de la fonction 


(p, € +- DV + m3 + 


de zéro ne sortent pas au delà des limites 


Pur À gin® Pa — ain 70:93 sin? 95:91 
1 2 2 1 2 2 

M M din. ? L= go :. Po? 
in -0 sin 1 gin? :2 10 in TEaint 72 
sin 9 sin 9 sin 2 sin 2 sin sin 9 











— 510 — 


et cette fonction atteint ces limites 4 fois: pour 


seal 70 ed D 
msi, % =sin + 
elle atteint la première limite; pour 
Sous: ?1 ne so Pa 
c=sids, 4—=si > 


la seconde. 


$ 9. Passant à la détermination des expressions pour 
r, d, O,C, ER, 
telles que, d’après le $ 4, la différence 


MO°— F 
se réduit à la fonction 


K LG, + 1) V + p,7 + ps 


nous portons les valeurs trouvées des coefficients 





Pis Pa 


dans les équations (6), ce qui nous donne 








sin (ee te) d sin w + O,C sin ee 
A, MORTE uE : 
in 2° sin? 22 3 y? in 2 
sin 2 sin (42 — r?) O,C sin 2 
cos | po + 2) d cos w + O,C cos — 
2 4 2 
in 2 sin? ?2 2 — 12 in © 
sin sin? (42 — r?) O,Csin 5 


En outre, du triangle À,B,C (fig. 4), où 
A,B,= 1, CB, =1, 4BC—=%, CA= C0 +04, =d+7r, 


il vient 
0, 


d+r—=92 sin + 


En résolvant cette équation simultanément avec les deux précédentes 


par rapport à 
r; 4,00, 


nous trouvons 

















sin? ?2 
. 20 2 
r = Sin + — : 
do ) 
Sin | © — Le Mai 
sin? © 
(15) {d= sin © +. - 
sin (u— e— 1) 
sin (0 — Do — 2) 16 sin? #2 
O,C— sin À + 
sin (9, +? D sin on) 
S 


En introduisant ces valeurs dans l’équation (3), nous recevons pour la 
détermination de l’angle « la formule suivante: 





: sin — sin DA sin? (o—#—2) 
in? 2 sin? re = 2e sint. 2 
sin? > sin (o Pe 2) sint 





Quant au rayon R, il sera détérminé par l’équation (7), après qu’on y 
a introduit les expressions ci-dessus indiquées pour 


br 00 
$ 10. Quand les valeurs de 
r, d:6%6, K; 
sont ainsi détérminées, la différence 


MO°— L° 
se réduit à la fonction 


K LC, & + 1) V Ep, + Pa |, 


(42? — r2) O,C sin + 


d ) 


où, d’après (5), 


K = — 





par suite, selon ce qu’on a dit ci-dessus sur cette fonction, la différence 


MO?— F?, 


— 512 — 


entre o— 9%, 9 — 9, ne sortira pas au delà des limites 














sin 20 — Pi gin? 22 — Pi (g2 — 2) O,C sin 
3 2 2 
Do +. P1.5.0 © d : 
- TU - 5 À . 2 72 
2 sin G sn sin 9 
Po — Pr 0 P2 — 9 10 
du. L sin? 2 : ! (@—r?) O,C sin = 
— : 
in ® sin 21 gin? 22 d 
2 sin 9 sin 9 sin 9 


et atteindra la première limite, lorsque 


PEN tt 
et la seconde, lorsque 


D Prior Pro Ve: 


D'où il est clair que, pendant le mouvement du système considéré 
entre les limites 


Per PT 
le point M (fig. 5) ne s'éloigne pas du centre O, plus qu’à la distance H0,, 


Fig. 5. 











qu’il atteint pour o —=0,, et ne s'approche de O, plus qu’à la distance 


— 513 — 


M,0,, qu’il atteint, quand o = o,. Par conséquent le point M restera entre 
deux circonférences concentriques décrites du centre O, par les rayons 


(17) | R,=M0,, BE, = M0,. 


| Ces rayons représenteront les grandeurs limites de la distance du point 
M au centre O,. Comme, d’après ce qu’on a dit plus haut, la distance MO, 
atteindra sa grandeur limite À, = M,0,, sans la surpasser, quand 


+ Cha LENS Para LE 


le premier cercle sera tangent à la trajectoire du point M en un point placé 
sur l’axe de symétrie CM, où 
RT Vo 


et en deux autres points, de l’un et de l’autre côté de cet axe, où 


PF Par 


Quant à l’autre cercle, nous remarquons, qu’il sera aussi tangent à la 
trajectoire du point J en deux endroits, de l’un et de l’autre côté de l’axe 
de symétrie, où 

PES Pas 


parce que pour cette valeur de l’angle ® la distance OM atteint la limite 
R = M,0,, sans la surpasser. Outre cela, sur ce cercle se trouveront les 
extrémités de la trajectoire du point M, où il arrive, quand o atteint sa 
valeur limite ,; car pour cette valeur de + la distance MO, est égale à 
R,—=M,0,. Quant aux rayons R,, R,, ils sont liés par une équation très 
simple, qui peut être aisément déduite de ce que nous avons dit sur les va- 
leurs limites de la différence 
MO°— F#. 


En effet, on voit que, d’après les formules ($ 10) qui déterminent ces 
valeurs, entre o —%, o = ®, la plus grande valeur de la différence 








MO°—R? 
est 
sin FA sin? SL (4? — r?) O,C sin + 
—+- 9 o 9 ° 4 $ 
in 20 sin #1 gin? #2 
2 sin 9 sin 2 sin G 


33 


— 514 — 


et la plus petite est 





sin 90 — 1 sin? 72 _ U (dr) 0,C sin + 





2 
Fr SU: d 
2sin sin sin 2 


Mais, d’après ce qu’on a dit plus haut, on obtient la première valeur, 
lorsque 














MO, = R,, 
et la seconde, lorsque 
MO, = f,, 
et par suite 
sin 20% sin? 22 F1 (ge #2) 0,0 sn + 
R°— R— 2 2 2 
: 2 sin 0 gin ŸL sin? 22 ë 
Er 
: sin 20 - ®1 gin? #2 = 1 (42 — r2) O,C sin _ 
R°— RE = — : : 


2 sin Fo sin a sin? . 


d’où l’on déduit, en éliminant R?: 








sin 0 _ Prat? ?1 (42 — r?) O,C sin _ 
(18) Bÿ= Rÿ— d | 
sin %o sin hi sin? P2 | 
2 2 2 


$ 11. Occupons nous à présent de l’application des formules trouvées 
à quelques cas particuliers et traitons d’abord les cas, où la ligne brisée 
ABM devient une droite, ce qui arrive si, d’après notre notation, 


OT, 
Comme l'équation (14), qui détermine l’angle o,, ne contient pas 


l’angle w, elle reste invariable; les autres formules, après qu’on y a posé 
w — 7, deviennent plus simples et seront: 


(19) 











sin? Ÿ2 
ARE Po P0 
(20) CO, = — | sn + a tang (+ %), 
sin (#2 se à) 
2 
sin 2081 sin 20 24 sine (+ De %) 
(2 1) sin? FT = 
sin? 20 sin? (a+ &) — sin4 ?2 


On obtient de ces formules des résultats très simples dans deux cas 
particuliers, à savoir: 


1) quand on suppose 


et 2) quand on suppose 


Dans le premier cas le système considéré donne un mouvement, qui 
est très proche du mouvement rectiligne, dans le second cas le mouvement 
est proche du mouvement circulaire. 


En nous arrêtant au premier cas, nous remarquons que, d’après (20), 
CO, = © seulement pour 


(22) Pa +Ÿ— L;, 


d’où l’on a 


En mettant cette valeur de +, dans l’équation (19), nous trouvons 


s Le. 20 1 HE or 0 L-: 
(23) = Sn —-5r d=SSsns +; 


d’où l’on reçoit, après avoir éliminé sin *, l'équation simple 
2+r —= 3 d, 


à laquelle doivent satisfaire les valeurs de 7, d, pour que le système consi- 
déré, étant composé de trois droites, pût donner un mouvement assez proche 
du mouvement rectiligne entre les limites plus ou moins larges. 
Comme le centre O, pour 
0,C= co 


s'éloigne à co, les ares des cercles concentriques, entre lesquels, d’après 
$ 10, restera le point M dans son mouvement, deviennent des droites pa- 
33* 


— 516 — 


rallèles, perpendiculaires à l’axe de symétrie CM, et dont la distance mu- 
tuelle est égale à la grandeur limite de 

R— Ë, 
pour 

CO, = co. 


En déterminant cette limite au moyen de l’équation (18) et remar- 
quant (fig. 5) que le rapport 





AU 00 ‘oc 
kB — M,0, . 0,C — CM, 
pour 
0000 


se réduit à 1, nous trouvons que cette limite est égale à 


sin _. PL gin2 221 (92 — r2) sin + 





Le 





sin © sin ŸL sin? #2 ; 
Donc, représentant par D la distance mutuelle des parallèles, entre 
lesquelles est enfermée la trajectoire du point M dans le cas considéré, 


nous trouvons pour D la formule: 





F0 ho nets Vin No 
sin—_—— sin ® (d r?) sin + 





’ 
+ Pos. Or 09 De d 
2 sin 9 sin + sin 4 


qui, après qu’on y a introduit les valeurs de w, o., r, d ci-dessus indiquées, 
devient | 





Gi — sin %) sin + Fi , sin? =— 2 — sn 


F2 pe (: + sin %) sin & sin? (2 — +) 





Quant à l’angle «, nous recevons de l’équation (21), en y mettant 
T 


7 au lieu de 9, +%, l’expression 








sin-20Ÿ F1 gin Po — 1 
° [e À LA 2 p. 
(25) se sr 
Sn2 70: ‘né ee 
sin sin (= 2) 


$ 12. Les formules trouvées contiennent outre l’angle ©,, qu’on sup- 
pose donné, encore l’angle »,, qui doit être trouvé. 
Afin de déterminer cet angle nous déduisons des égalités (22), (12) 


Pa 27 53 9 


— 517 — 


ce qui donne 








So ®1 
1— sin — 1— sin — 
sin? 2 pe 1—co8p __ 2 , -gin® CA 1— cos ?3 __ 2 
s Es 2 2 2 2 2 
En portant ces valeurs de 
SR 209 8 
sin? +, Sin’ > 


dans la formule (13), nous recevons l’équation 


sin 2 (1— sin %)— = sin À (1 — sin 2), 
d’où il suit 

ES FEAT 90 

sin —1—sin 5 


En nous fondant sur cette égalité et sur l’équation (23), qui donne 











SIN -—- — 7 
nous trouvons 
Qu 1—7r 
Sn —=2——; 
mais d’après les égalités 
1+2r 1—7r 
(26) | sin", sin = 2 — 


nous recevons 


cos “e —2ya — Tr) (2+r), cos Ÿ1 =? — 2r) (1 + 2r), 











7—8r—87r? ‘ 1+16r7—87r2 
RES SE RETENR 1—2 sin? #1 — « 


pes PC: D à, id dal 
cos 9, — 1—2 sin D — 5 » COSP,— D — 5 


1 — cos (5%) 1 — gin À 




















sint (5— %) — Ê 2 6 ë 2, 
sin #4 . gi PA — MU EP À (4 — 1), 
sas _Ur—na—n, 

— : " 


D’après ces égalités et d’après les équations (26), qui donnent 


1—inp= 2, 1+s8nh 2% 





: sin {1 — 2 À *, 


— 518 — 
nous pouvons représenter la formule (24) comme il suit: 


pETr (1—r) (4r — 1 


27 = PO ST PL T — Do + 29 
(2 +7) sin G : 





sin? 





où le numérateur ne contient pas les angles +, o,. Afin de les éliminer du 
dénominateur, nous remarquons que 


e . De a 2 1 0 — 
ain gin® ? Le D = < ain LP [1 Legs + a | 


_ =; [sinte — sin? Ÿ + 2 sin’ 4] COS Ÿ1 + — ; [1 +-sin | sin cos Ÿ; 


d’où, après avoir porté les valeurs ci-dessus trouvées de 


Pain À ‘eo cos À 
sin, Sins, COS, COS, 


nous déduisons 


sin or sin? ? RE Re 29; por 


Tr [V G—2Ÿ (+ 2)+4 y @+r) a—n)} 


par suite, l’expression précédente de D se réduit à la formule 











(4r — 1} 
ue + r) [V6 — 2r} (1 + 2r) + 4 V0 + rÿ (1 — n] 











On détermine ainsi la distance mutuelle des deux parallèles, entre les- 
quelles reste le point AZ pendant le mouvement du système considéré, quand 
l'angle + ne sort au delà des limites 9 —®,, 9 —+,. Dans ce cas, comme 
nous l’avons vu, la valeur limite de l’angle 4,04 se déduit de l’équation 
(25). En y introduisant les valeurs ci-dessus indiquées de 





A peser à OP PA D à OS À «| 
Sin D Sin 23 Sin ( 2), 


et ayant égard à ce que, d’après (26), 


“re 1+92r 
sin 9 rsrsqul 





nous trouvons l’équation suivante pour angle a, la valeur limite de l’angle 
A,04: 

4r — 1 

rC+r) 





7 
SIL - — 


— 519 — 


On en voit que dans le système considéré le rayon r doit surpasser !/ 
et qu’à mesure que r s'approche de !/,, la valeur de l’angle de rotation du 
rayon OA, pour laquelle le point ÆZ reste entre les parallèles ci-dessus 
indiquées, décroit. De plus, comme on voit de la formule, qui détermine la 
distance D, ces parallèles se rapprochent rapidement, et par suite les dé- 
viations limites du point M de la ligne droite décroissent aussi rapidement. 

$ 13. Passant à la supposition 


nous remarquons que pour cette valeur de « les positions limites du rayon 
AO de l’un et de l’autre côté de la ligne des centres CO, coïncident avec 
cette dernière (fig. 6) ligne, et par conséquent les positions limites du point 
M sur chaque côté de l’axe de symétrie CM, doivent coïncider sur cette 
axe, Comme, d’après le $ 10, les extrémités de la trajectoire du point M 


Fig. 6. 


DRRCCL LEE 
Labor IE T) nes 
… 





Der 
_ 
a 





ne cf 


se trouvent sur le cercle décrit du centre O, par le rayon R, = M,0,, leur 
coïncidence doit se faire sur ce cercle et en ce point le cercle sera tangent 
à la trajectoire. A cause de cela et tenant compte de ce qu’on a dit en gé- 


néral sur la trajectoire dans le $ 10, nous concluons que dans le cas parti- 
culier, quand 
A —=T, 


le point ÆZ décrira une courbe fermée, restant entre deux cercles concentri- 


— 520 — 


ques décrits du centre O, par les rayons À, —M,0,, R,=M,0,; d’ailleurs 
on aura sur chacun d’eux trois points de tangence: un point sur l’axe de sy- 
métrie MO, et deux points de l’un et de l’autre côté de cet axe. Il est facile 
de voir que pen nee ne peut nee du cercle décrit du centre O, 
par le rayon Pot i Fi plus qu'à lä distance À mt! et sera par conséquent 


5 
ER, — 
. R diffère assez peu de zéro. 


Pour appliquer à ce cas les formules déduites dans le $ 11, posons 





peu distincte . ce cercle, si 





A = TT. 
Pour cette valeur de « l’équation (21) donne 
in OT 0 nn 00 01e (ee + %) 
2 2 7. 1] 


«2 P0 .: Po : 4 ?2 : 
2 2 i 4 
sin? - sin (#2 2) sint 








d’où il suit 


LA Li —+ La _—— . . 
[ sin? D sin PA sin 2 a | sin (es + ®) = sint ©, 





En y mettant au lieu de 





la différence 


on reçoit l’équation 


2 2 Po 4 2, 
sin 2 sin (+ %)— sin 2? 


qui donne l’une des deux relations: ou 


Pi PO ut _ 
sin 2 sin (9, + ?)= sin 
ou 
PL 90 s %, 
sin 2 sin (os + L)= — sin ri 


Cette dernière égalité donne, d’après (19), 


r > d, 


et alors le rayon r ne peut pas accomplir un tour complêt autour du centre 
O; on doit donc admettre la première égalité: 


(27) sin . sin (os+ 


— 521 — 


en remarquant que, d’après (12) et (13), 





TT. ?1 
RENE Vue à PE 
in? 22 in2 #3 
sin 2 a sin 2 
DM : : 
sin 2 sin 2 
on reçoit l'équation | 
5 pe 
(28) sin + sin (2+ L)= sin” 


En s'appuyant sur les deux dernières égalités, on peut trouver sans 
peine une formule pour déterminer l’angle 


(29) 0=p+t=9 + 
d’après l’angle 
(30) = ss, 


au moyen duquel, comme nous le verrons, on reçoit des expressions très 
simples de toutes les grandeurs qui se présentent dans le cas considéré. 

En effet, les équations (27), (28), après qu’on y a introduit Ÿ au 
lieu de 


®0 Pr 
Para u:PTT à 
et 
UPS MATE 
RON A MEET 


au lieu de »,, +, donnent 
On à LES 0 p 
Ée + sin /—=sin? (5 — 2) 
(31) 
b D F RE 6 ® 
[sin “ sin 0 —sin? 5 — 2). 


En soustrayant ces égalités l’une de l’autre, nous trouvons 


FR à | D de lc uste © 
(sin ®— sin %) sin 0=sin (5 à) sin (5 2 b 


ce qui se reduit à 
. Le ses ?0 ?1 
(sin ® m — sin a) sin Ÿ = (cos ?° 7 — COS a) cos 4. 


Il s'ensuit de là que 





cos 9 — cos + +9 
tang 0 —= — tane LEA 
5 20 M” *:: a 8 4 ; 


sin 2 — sin — 2 


— 522 — 


ce qui suppose 


OH = nr, 


où » est un nombre entier. Pour déterminer ce nombre remarquons que, si 
Por Pis Pas 4 SOnt positives et ne surpassent x, l’angle 


90 + Pi 


est compris entre 0 et _. et l’angle 


? 
0=p+i=p+t 


3 
entre 0 et ©; par conséquent la somme 


PS TR à 
4 


doit être comprise entre 0 et 2= et dans l’égalité déduite le nombre n ne 
peut avoir d’autre valeur que celle-ci 


n= Î; 
donc 


+9, 


O0 =7®— z 


ce qui se réduit, d’après (30), à l'égalité 
(32) 0 = . + d. 


En revenant aux équations (31), divisons les l’une par l’autre, après 
y avoir remplacé 


2 (0 0 9 CT 
sin (5 à } sin ( à) 
par 
2 = ee TE 
1 cos | >) 1— cos (o à) 
2 2 








Î= cos (o ss &) sin 22 — cos (o—%) sin À 


pere BAIL p) 9 


—1 [sin (8 —®,) — sin (6—%) |, 





— 523 — 


ou encore 


0 —:1 =; Te 
sin à Sin = — COS (a RTL mea PAC 


ce qui donne 
cos LA — cos (o—%5u) cos 7%. 
Et comme, d’après (30) et (32), 
4 


0= +1; DU = — 4, 


cette égalité se ramène à la suivante: 
. Er AC NL He à Ÿ 
sin Le sin 34.cos 2, 


d’où nous trouvons 











Eu cos Th — _. 
(33) 
Ga 4 VE V1 7 sing ___ sin 24 V2 cos 2% 
sin Ÿ 7 sin? D sin 34 


$ 14. Afin de déterminer les valeurs de 
r, d, O,C 


remarquons que dans le cas considéré en vertu de l’égalité (27), les équa- 
tions (19), (20) donnent, 








mn ele Le Po Pi in Po—%1 
r = Sin + — sin À és ee rt ei | du 
Li: 700 ail Po — Pr in Po +Pi 
d = sin + ++ sin 2 à 2 cos Re sr: 
. Er g + 
CO, = — (sin _ +- sin Là tang 0 = — 2 cos © 271 sin on tang 6; 


d’où, après avoir introduit jies valeurs ci-dessus trouvées de 


0, A, cos A, sin °A 
il résulte 
nina sin ÿ sin 24 V2 cos À 24 FR sin 24 CO. — 2 cos? à 


sin 3Ÿ sin 30”? 1 sin3 








La dernière formule détermine la position du centre O, des deux 
cercles concentriques, entre lesquels est enfermée la trajectoire du point ÆZ. 
Les rayons À, R, de ces cercles ont, d’après le $ 10, les valeurs suivantes 


R,—=0M, R—=0,M.. 


— 524 — 


En remarquant que dans le cas actuel (fig. 6) 
OM, = CO, — CM, 0,M, = CM, — CO,, 
nous déduisons de ces égalités | 
B,—=C0,—CM,, R, =CM, — CO,, 
ce qui nous donne 


Bo+ Ra OMi— CM, Ro—R _ pp __ CMo+ CM, 
au 1 


2 IE 2 2 2 





En y introduisant la valeur de CO, ci-dessus indiquée et remarquant 
que les triangles CB,M,, CB,M,, dans lesquels 


| CB,=BM,= CB; =EM, =}, 
CBM= 7 — A9BC=T—9, CBM=7T—A,BC=r—39, 
donnent 
CM, = 2 cos ©, CM, = 2 cos Ÿ» 
nous reçevons 





Bo+ ER, __ ®i 90 _ 9 en V0 FF PI in P0 — Ps 
5 — —=C08 —C08 » — 2 BR EE NU ES 
Ro—R, __ 2 cos? Po gu _— 2 cos? ÿ 0 + 91 à 
D unes a OS En) 700 4 C0 


Après qu’on y a introduit les valeurs de 


Po — Pi 


Le RE à VOTE. Gin 
MORE TE MR Ter: 


4 
ces formules se ramènent aux suivantes: 


Fo+ R; ___ 2 cos Ÿ sin 24 V2 cos 24 Ro—R, __ 2 cos 24, 
2 te sin 34 x 2 "Fan 80? 











d’où l’on voit que l’angle 4 ne doit surpasser _. et que les valeurs de 


2 
ainsi que de 
2 
+ ; « T 
diminuent, à mesure que l’angle 4 s'approche de —-. 
D'ailleurs la première grandeur s’approche du zéro beaucoup plus 


vite que la seconde; donc, à mesure que d s’approche en croissant de — 
le rapport de la première grandeur à la seconde tend au zéro; à cause de 


celà la trajectoire de M, pour des valeurs de 4 assez proches de _. repré- 


sente une courbe, qui diffère peu du cercle. À mesure que l’angle devient 

plus petit, le rapport | 

Ro— R . R+Ek 
D 





— 525 — 


augmente, et la trajectoire du point M se modifie, passant d’une courbe, 
qui est peu distincte d’un cercle, à une courbe cordiforme (fig. 7). 


Fig. 7. 








$ 15. Nous avons montré dans les derniers $$ quelques applications 
des formules générales aux cas particuliers, quand la ligne brisée ABM 
devient une droite. Occupons-nous à présent de l’application de ces for- 
mules aux différents cas, où la ligne ABM reste une ligne brisée, et com- 


mençons par supposer que 
0,C=0, 
ce qui a lieu, d’après (15), lorsque 


(34) w = 2 (p,+°%) 


Après avoir introduit cette valeur de w dans les formules (15), (16), 
nous trouvons 





(85) 


= * 











5 sin Ps sin F0 A sin? (e+ #) 
(36) sin? SE o n 9 
in? :© sin? 20 | _ gint 72 
sin? + sin (ee 0) sint © 





OÙ Pa est un angle auxiliaire, qui peut être exprimé en fonction des angles 
Dos 9, Par les équations déduites dans le $ 7. 


Supposant en particulier 
a=T, 


— 526 — 
portons cette valeur de « dans la formule (36), ce qui nous donne 
sin 2 #1 sin = sin? (a+) 


— |. 
2 ?0 2 90 PE Pe 
sin D sin Do + ri er UR D 








Cette équation est identique à celle que nous avons trouvée dans le 


$ 13 pour le cas w — 7, et au moyen de laquelle nous avons déduit des for- 
mules générales les relations 











Pr Vo). .:,9 7%: os, 
sin + Sin (os + D) = Sin Sr 0—p + + d, 
en sin 4 A ei: ER sin 24 V2 cos 2Y 
4 7 sin 30? sin 4 sin 84 ? 


où 


nous concluons donc que ces égalités auront lieu aussi dans le cas actuel. 
En vertu de ces égalités on reçoit, d’après les équations (34), (35): 


._&=T+ 2{, 














NP Le 20 + P0— Pi — 2 sin ÿ sin 24 V2 cos 2 
r=sn — sin Ÿ ce 2 cos ©? eee sin : in 50 
RS PE Re Een à PA à ur à DORE sin 29 
d = sin — sm 4 = 2 cos — sin = EN 
Dans le cas considéré, où 
RE LA 


les positions limites du rayon O4, lorsqu'il tourne dans l’une et l’autre di- 
rection, coïncident, sur la ligne du centre OC (fig. 8), et par conséquent les 
extrémités de la trajectoire du point ÆZ coïncident à présent, de même que 
dans le cas précédent, sur l'axe de symétrie CM,, et cette trajectoire re- 
présente une courbe fermée. Il est clair, de ce qu’on a montré dans le $ 10, 
que cette courbe est limitée par deux droites parallèles, provenant, d’après 
l'égalité 
CO, = co, 


des arcs circulaires décrites du centre ©, par les rayont À,, R,, et que 
chacune de ces parallèles est tangente à la trajectoire du point M en trois 
points: sur l’axe de symétrie CM, et de chaque côté de cet axe. Cette courbe 
est d'autant moins différente d’une droite, que les parallèles, entre lesquelles 


— 527 — 


elle est enfermée, sont plus proches l’une de l’autre. Pour déterminer leur 
distance mutuelle, remarquons qu’elle est égale à la distance des points M,, 


Fig. 8. 





M, de l'intersection des parallèles avec l’axe de symétrie CM,, où ces pa- 
rallèles sont tangentes à la trajectoire considérée. Des triangles isocèles 
CBM,, CB,M., où 
CB, = B,M, = CB, = B,M, — 1, 
CBM,=0— 4B0=0—9, CBM,=w—ABC—0—0, 
on à 
(37) CM,=2 sin =®%, CM, =2 sin “4; 


donc la distance des points M, se détermine par la formule 
MM, = CM, — CM, = 2 sin 4 — 2 sin —®, 
qui se réduit à 


is o PoriPrviuss PO PE 
MM, = 4 cos ($— 25) sin #0; 


d’où, après qu’on y a introduit les valeurs ci-dessus montrées de 


0 + Pi 0 I 
ge Sin TE ct 


— 528 — 


on trouve 


__ 4 sin 24 V2 cos5 24 
MM, _. sin 3Ÿ è 





On voit de cette formule que l’angle 4 ne doit surpasser . et qu’à 
mesure qu’il s'approche de TT la distance mutuelle des parallèles, entre 
lesquelles s’accomplit le mouvement du point M, quand le rayon AO tourne 


autour du centre O, diminue; à cause de celà, le point M, quand 4 est 
assez proche de 7 s’écarte peu de la droite, qui se trouve entre les paral- 


lèles à la même distance de chacune d’elles. 

$ 16. En parlant du cas, où le rayon AO accomplit un tour complêt 
autour du centre O, nous avons fait des suppositions particulières concer- 
nant l’angle entre les deux parties de la ligne brisée ABC ou la distance 
des centres C, O,. Nous allons montrer maintenant l’application à ce cas des 
formules générales, en ne faisant aucune hypothèse spéciale. Les équations 
qu’on reçoit ici seront plus compliquées que les précédentes; mais elles se 
présenteront sous une forme, qui est commode pour le calcul. 

Afin d’appliquer les formules déduites dans le $ 9 au cas, où le rayon 
AO accomplit un tour complet autour du centre O, posons 


AT. 


Pour cette valeur de « l’équation (16) donne 





2 


in 0 sin? (wo — 9, — 20 | — gint 2 
sin? < sin (w Po n) siné 


sin PP sin Ft sin? (ou ®) 





mr]. 
En déterminant d’après cette équation la valeur de 


nous trouvons 





° LS ER 
Sin (o — —*%)=+ 


Et comme, d’après (15), pour une valeur négative de 


sin (o — Ps — ®) 
il vient 


r>d, 


— 599 — 


ce qui empêche au rayon » d'accomplir un tour complet, nous conservons 
dans l’égalité obtenue seulement le signe + et prenons 





(38) sin (w —9—%)— a. 


En introduisant cette valeur de sin (o — 9 — >) dans l’équation (15), 
nous trouvons 


sx — + 
20 — 9 sin Po— Pi cos 20 L< 


RE NT A à TE 4 





ÿ he Se 
d—=sin © + sin L— 2 sin LEA ço8 PA, 
(39) 











où o, est un angle auxiliaire, dont la valeur peut être déterminée d’après 
les angles ©,, o, par les équations données dans le $ 7, tandis que l’angle 
w se détermine par l'équation (38). Et comme pour l’angle w toutes les 
valeurs entre O et 2x sont possibles, on reçoit d’après cette équation deux 
valeurs de w, dont l’une donne 


cos (u— 7, —%) <<. O 


tandis que l’autre fournit 


Pour ces deux valeurs de w on obtient deux systèmes, dans lesquels la 
trajectoire du point M reste entre deux cercles concentriques décrits du 
centre O, et tangents à la trajectoire en trois points. Mais ces trajectoires 
représentent des courbes de forme différente, selon que 


| COS (o—,—"%) < 0, 
ou 
cos (o—9—%2)> 0. 


La diversité de forme de ces courbes apparait clairement, quand on 
détermine la position du centre O, par rapport aux points de leur inter- 
section avec l’axe de symétrie CM,. 

& 17. Pour évaluer la différence 


C0: = CM, 
34 


qui détermine la position du centre O, par rapport au point M, (fig. 9), nous. 


Fig 9. 








déduisons du triangle isocèle CB,M,, où 
CB,=BM,=1, 


CBM, = A,B,M, an: 4 A,B,C= ©) — Po» 
la formule 
CM, —= 2 sin 2. 


Cette égalité jointe à la valeur de CO, donne, d’après (39): 

















2 sin #01 cos WA sin (ve) re 
CO, — CM, — +0" 2 
sin (n+®2) 
9 sin 201 ço8 PA sin (o—9,—%)-2 sin 20 sin (ee +) 
sin (e+%-5) 


Pour simplifier cette formule, remarquons que 








UT Le Po ph, PER 
2 sin —— sin (a Re 5) — COS (o — y — 9) — COS Pa 
Po ?0 : is 801 gin V0 : : 
— 005 (w—?, —%) cos © + sin (w — 9, 2) sin % COS %, 
Po +: LA à 90 + sin Lai 


2 Sin 4 M: 2 29 


GET 


ce qui la réduit à la forme: 








sin _ sin (wo — e—®)+ COS Po — COS a cos (o — —®) 
CO, — CM, = - : f 
. 20 wo 
sin (ee = © = 5) 
d’où, remplaçant, d’après (38), A 
sin (w—»,—*) T 
par Ce 
in2 22 
sin? 
Le 
in 2 
sin 
nous trouvons - 
«2 Ÿ 2-00 ? 
sin? a+ COS 7 — COS COS (o — Ÿ2 — ®) 


0,C— CM, = 





Po _w 4 


sin (22 + : ons 5) 
et finalement 


P2 Po Po 
FR 1 RSA D — 
cos 2 cos 0 cos (o P2 ) 


i AE 
sin (ee+ 2 z.) 


De la même manière nous trouvons 





(40) 0,C— CM, = 


 — cos FL cos (o—#—22) 


cos? 
2 2 } 





(41) 0,C— CM, = 


LFP ns 
sin (e+2 :) 


On voit directement d’après ces formules que, si 
2 


cos (o—9—®)< 0, 


les différences 
CO, — CM, CO, — CM, 


ont le même signe. En remarquant que cela ne peut avoir lieu, si le centre 
0, se trouve entre les points M,, M,, nous concluons que ces points doivent 
être posés de l’un côté du centre O,, si 


cos (o— 9 — 2) 0. 
Pour ce qui concerne le cas 
cos (o—m—2)> 0, 
on voit d’après la composition des formules (40), (41), que pour les valeurs 
positives de 
; 20 


| cos (u—7,—*®) 


34% 


— 532 — 


les signes des différences 
CO, — CM,, CO, — C7 
dépendent: des limites, entre lesquelles sont tenter ces grandeurs. 


Pour trouver ces limites, remarquons que, d’après ce qu’on a dit dans 


le $ 5, les angles ®,, ©, doivent être compris entre les angles ®, &, 
® > P,; Par suite nous aurons 


Po pr Par Pi < Pa: 
D'où il vient 








sin? #2 sin . sin? & sin Fa 
— sin 2. > sin 2, — sin. < sin &; 
1 p) ®i 2 . 20 2 0 2 
ain .. #5 sin sin ns 








sin? 2 sin? %3 
crane ? 
sin 5 sin _. 
la dernière égalité donne 
sin? P2 
2 $S 1: 4% 
< sin “À. 
: Di 2 
sin F3 





nous tirons de ces inégalités: 


sin (o — Ps — ®) > sin ? 9? Sin (o—#—%) < sin &; 
ce qui, pour 


cos (uw —9,—%) > 0, 


donne 
cos (w — ga —*) <cos © cos (w —_p,—%\> cos # 


D’après ces inégalités, qui déterminent la limite supérieure et la limite 
inférieure pour la valeur de 


cos (o — P; — %), 
nous recevons 


cos? # — cos À cos (”——*®) > cos? 2 — cos À + cos À; 


2 ® ? ? ? LT ? 
œŒ cos À cos (w— 9, — %) < cos? # —cos À CS +; 


— 533 — 


d’où il vient 


cos? % — cos % cos (o — 9 — %) > 0, 
a ? Pi AP 
COS? + — COS + COS (o Ps ) 0, 


parce que ?, < Por Ps © Pie 


Les inégalités ci-dessus déduites font voir qu’en déterminant les dif- 
férences 
CO, — CM,, CO, — CM, 


1 


d’après les formules (40), (41), on reçoit pour elles, dans le cas 
cos (o—9,—%) 4! À 


des valeurs de signes contraires; mais pour que cela soit ainsi, il faut, d’après 
la composition de ces différences, que le centre O, se trouve situé entre les 
points M,, M, (fig. 9). On en conclue que la position du centre ©, par rapport 


aux points M,, M, change avec le changement du signe de cos (co — 9, — ®). 
Si 


cos (o—9,— a) = 0 
le centre O, est situé entre les points M,, M; mais si 
cos (a — 9 — ®) 2 + À 


les points M,, M, se trouvent du même côté du centre O.. 
* $ 18. En nous arrêtant au cas 
cos (w—9,—%) <6, 
quand les points M,, M, se trouvent du même côté du centre O,, et suppo- 
sant qu'ils sont situés plus bas que celui-ci (fig. 10), nous trouvons 
OM= CO, — CM, 0,M, = CO, — CM; 


et en conséquence, d’après ce qu’on a dit dans le $ 10 sur les cercles con- 
centriques, entre lesquels est enfermée la trajectoire considérée, nous rece- 
vons pour les rayons À,, À, les égalités suivantes: 


R,—0,M,—=C0,—CM,, R,—=0,M,= C0, —CM;; 


— 534 — 


d’où il vient 


Ro+R 09 — CMo+ CM Ro—R _ CM — CM, 
2 SEE 1 











Mettant ici les valeurs de 
CO,, CM,, CM, 
nous recevons d’après (37), (39) 

















R+E 2 sin an cos — sin (0e) dE 
oh — sin TT sin 
sin (e ne fon 5) 
Ro ue md R; mi rins Q1 2 wo Po 
5 = $SIn 2 sin ? 
ce qui se réduit aux formules suivantes: 
LE ML 19. .:,.. 20": 
RER 2 sin g 08 — 7 sin (5 LL Piolit hin ) 
227 sin Ne 
nes fe 9 2 


Po 9 sin 4 COS (S—a), 





— 535 — 


Nous les avons trouvées en supposant que les points M, M, sont situés 
plus bas que le centre O,. Dans l’hypothèse contraire, nous recevons les 
mêmes formules, mais accompagnées du signe —. Donc, pour embrasser les 
deux cas, prenons les formules avec le double signe +. Dans les formules 


Le Or EC EE 00 
2 sin & cos #0 sin ($ .: RES Su ) 





Fo + E, SRE 2 $ 
DS VS ww 

à sin (e + . _ 5) 
Bo —R = + Po Po + Pr 

SRE LOS 2 sin 2271 7 cos _ nr À 


ainsi obtenues il faut garder l’un ou l’autre signe, ce qui se détermine par 
la condition que la demi-somme 
Ro+R; 
ne peut pas être négative. 
Passant au cas 


cos (o — D — =) mn te 
quand, d’après le $ 17, le centre O, est situé entre les points M,, M, et 
supposant (fig. 9) que le point M, est au-dessous du point ,, nous trouvons 
O0,M,= CO, —CM,, O,M, = CM, — CO,, 

et par suite, d’après le $ 10, nous aurons 

À R,—=CO0,—CM,, R, = CM, — CO,, 
ce qui donne 

Ro+ Bi CM CMo, Ro pp __ CMot+ CM, 





2 2 s 2 1 2 
Si nous comparons ces égalités avec celles que nous avons reçues pour le cas 
| 20 
cos (o ul ga —*®) «0, 
nous remarquons qu'ici on a pour la demi-somme 


Ro + R 
2 


la même expression, qu’on à trouvée plus haut pour la demi-différence 
Ro— ER; 
? 





et vice-versà. Donc, en appliquant les formules ci-dessus trouvées au cas 
considéré, nous aurons 


R + 
ot — ss à ain LOL ee COS (5 PA à ! 2), 








nt nn 77 
Ro—R 9 1 sin (Ÿ  . ) 


: sin (e,+ 2%) 


sin = cos 
2 





— 536 — 


Ces formules concernent le cas, où le point M, est situé au-dessus du 
point M,. Pour la position inverse des points M,, M, on recoit les mêmes 
formules, mais avec le signe — ; et par suite nous aurons en général 








Ro 8 0 5. 20 — Pi w Lo + 
35. = +28 "cos (5 —25a), 
oo Lo — Pi nn — #4) 
Bo _ + 9 Sin 5 COS ——— sin (5 Po 
2 pur Lo ’ 


où il faut retenir celui de deux signes +, qui donne pour 


FR, Le ous R; 
: 2 
une valeur positive. 


Les formules déduites contiennent, comme cas particuliers, les for- 
mules que nous avons trouvées dans les $$ 13 et 14, en supposant que 
l'angle ABC est égal aux deux angles droits, et dans le $ 15, où nous avons 
supposé que la distance O,C est infinie. Les premières de ces formules pro- 
viennent des formules générales, qui ont lieu pour | 


cos (o—9— à) pe À 13 
et les autres dérivent des formules obtenues dans le cas 
cos (u— 7, —%) <7 0. 
On retrouve les premières formules pour 


W = TT, 
et les secondes pour 


We 2 (9, +2). 


Nous avons vu que dans ces cas particuliers la trajectoire du point M 
présente deux formes différentes (fig. 6, 8). Dans le cas général on obtient 
aussi des trajectoires de deux formes différentes, selon le signe de 


cos ( RE ). Si 

COS (o—4—%)> 0, 
la trajectoire a la forme de la courbe, dont nous avons parlé dans les $$ 13 
et 14. Mais si 

cos (o— 9 —%)< 0, 
la trajectoire sera une courbe semblable à celle, dont nous avons parlé dans 
le $ 15, mais avec cette différence, qu'ici (fig. 10) les droites parallèles 


— 037 — 


sont remplacées par des arcs des cercles concentriques, décrits du centre ©, 
avec les rayons R,, R;. 


$ 19. Dans les $$ précédents nous avons considéré le cas, quand l’angle 
A,0A varie entre les limites les plus larges, passant de — + à + 7. 


“ 


Occupons nous à présent du cas contraire, en supposant que l’angle 
A,04 reste entre les limites infiniment proches de zéro. Supposons pour 
cela que «, la valeur limite de l’angle 4,04, reste infiniment petite. On voit 
de l’équation (16) que pour une valeur infiniment petite de « la différence 


Po — Pi 


est aussi infiniment petite; donc, en négligeant les grandeurs infiniment pe- 
tites devant les grandeurs finies, nous aurons dans le cas considéré 


; Pa: Tes 
et par suite 
Pa — Po; 
parce que, d’après le $ 5, l'angle o, doit être compris entre les angles ®,, o.. 


Substituant ces valeurs de o,, +, dans les équations (15), nous recevous 
pour r, d, CO, les formules suivantes: 








in ?0 te al: (5%) 
+ sin 2 sin 2 sin (5 ) cos | 9 
T =SIn + — PAS Fe ; 
; __ 3% ; __ 3% 
sin (o L 2 ) sin (o 2 ) 
sin? . 2 sin F2 cos (3%) sin (5 2e) 
d = sin © + = e d 
ë _ 3% Ô __ 3% 
sin (o 2 ) sin (o p ) 
co 2 sin a cos (£ œ) sin (5-2) 
1 — os 





Si nous remarquons que pour ces valeurs de +,, ©, il vient 





sin Le sin? (o — D? — à) sin ®p sin? (o —— =) 
— ? 
«0 P0 ?o . 1 Pa : a PO à 390 «4 P0 
2 20 sin? Lo — ©, — 70 4 0 2 20 $in? {© — 220 | — int 2 
sin? = sin (»— 2 )- sinf sin? sin (w 2 | sin 


nous déduisons de l’équation (16) la relation suivante entre les angles infi- 
niment petits & et ©, —o.: 


a? 





« : 3% 
sin ®, Sin? (» —%) 
4 2 Li h à À 
+ 2 P0 + 3%0 + 4 P0 2. - 
sin? — sin? (o — Te) — sint 2 


si _— 


ce qui donne 


sin? Fo sin? (w _— 2) — sin ?0 ; : 
à Don 0 D RD 20e) à 








(42) P—h— — 
2 sin ®, sin? (o—%) 4 cotang sa sin? (o -+) 


Passant à la détermination du rayon RÀ, d’après le $ 10 et supposant 
(fig. 11) que le centre O, est au-dessus du point M,, nous trouvons que 


R,— 0,M,=— C0, — CM, 


Fig. 11. 








Introduisant ici la valeur de CO, ci-dessus trouvée et changeant, d’après 


(37), CM, en 2 sin —*®, nous recevons 











Nous avons déduit cette formule, en supposant que le centre O, se 
trouve au-dessus du point M,. Dans l’hypothèse contraire, nous trouverons 
la même formule, mais avec le signe —, de sorte que pour embrasser les 
deux cas, nous écrirons cette formule avec le signe double, 

Dans la formule 





st . D—9 
(43) R= +2 sin —"* in (5) 


— 539 — 


ainsi obtenue, il faut conserver le signe, qui donne pour À, la valeur 
positive. 

Ayant le rayon R,, on peut, d’ après la formule (18), déterminer le 
rayon À, par l’équation 


sin = sin? 2— Le ae (a? — 12) co, sin F 


R2— | HE e 
R P Qi = d 


e 0: . 
GR SR Sn — 
2 2 2 





Dans le cas considéré les différences ®, — 9., D — ont des valeurs 
infiniment petites. Pour trouver leur rapport, posons 
; Po— PA, Ps —Pi—= A 
ce qui donne 
P1—= Po— A, P—=P—A+A,, 


et par conséquent, on reçoit, d’après (14), l’équation suivante entre les 
grandeurs infiniment petites À et A; : 





Po— À +-A 1 a : A 

0 Leur: me LASER = 

cotang F Le A pr TN cos + 
4 2 


Développant suivant les puissances de A, A, et nous bornant aux infini- 
ment petites du premier ordre, nous recevons de cette équation 


A, == + À, 
ce qui, d’après notre notation, donne 
1 
Pa — Pa = + (Po — Pi). 


Substituant cette valeur de o, — +, dans l’expression 





Po 7 91 92. ŸL 

sin 5 sin 5 (4? — 12) CO, 
_ Po D 2 ?2 d 

sin 2 sin 2 sin 9 


et remarquant, d’après les valeurs ci-dessus trouvées de ®,, o,, r, d, CO,, que 








(42 — 7?) CO, Frs 4 
DU nus ou /80: © \ 
d sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin (* 2) 


nous trouvons, exactement jusqu'aux puissances de ®, —+, du troisième 


degré inclusivement, 
a 0 VI ST OT. LS su SU die 
em se =s sin Re rs (4 — r2) CO, sin > 3 (20 — 9) sin 2 


in % sin 22 sin? 22 à RTE Fm _2) 
sin 2 sin 2 Sin 2 sin 2 sin 2 2 








— 540 — 


par suite l'équation, qui détermine R.°, donne avec la même exactitude 








 N 2 
y Go—-nsn— 1.  Go—n)sn > 
labs ct = Lo — 7% , 
E, — R, 32 . Lo ral 3% © ? R, EF 64 = So FR 390 __ © R, , 
sl D 2 2 2 2 2 


Il suit de la dernière égalité 








o 
— 0:)$ sin — 

USE MER RE 
128 . ST w 

sin 2 - sin (5) Ro 


ce qui présente la limite supérieure de la déviation du point M du cercle 


Ro+R 
décrit par le rayon =" 





et ayant pour centre O, dans le mouvement du sy- 
stème considéré, quand l'angle « reste entre 9 —=9,, 9 —®.. 


Substituant ici la valeur de o,—+, d’après (41) et la valeur du rayon 
ER, d’après (43), nous trouvons pour cette limite l’expression suivante: 








1 sin T sin? _ sin3 (6 — 99) sin8 (o — 29) 6 
16384 Po :. © —P0 + W—290 : 3%0 é 
, «29 To 
cost à sin — sin ® sin 2 


où « est la valeur limite de l’angle 4,0A. D'où l’on voit, qu’à mesure que 
l’angle « tend à s’annuler, ces déviations diminuent très rapidement, et par 
suite pour de petites valeurs de « la trajectoire du point A diffère très peu 


de l’arc du cercle décrit du centre O, par le rayon LA, 


Les formules que nous avons démontrées représentent la limite, à la- 
quelle s’approchent les formules générales, quand l’angle « tend à s’annuler et 
peuvent servir à la résolution approximative de diverses problèmes qui con- 
cernent le système considéré, quand l’angle « est assez petit. 


2e) 


SUR LES EXPRESSIONS APPROCHÉES 
DE LA RACINE CARRÉE D'UNE VARIABLE 
PAR DES FRACTIONS SIMPLES. 


(TRADUXX PAR C. A. POSSÉ)) 


(Lu le 14 mars 1889.) 


(Traduit par A. Vassilief, à Kasan. Annales scientifiques de l'Ecole Normale supé- 
rieure. III série, XV, 1898, p. 463—480.) 


© npuéruyennuax Éupayeniaxs fhbaOpamnaro hopna 


nepPenmrEnHou Teppe36 npPocmnmuAr Opobu. 
Ipuroxenie ke LXI romy 3anucoxs Huneparopcroë“ Axaxemin Hayxr, M 1, 1889 r.) 


—————_—_— 


Ongenäherle Darslellung Der Quarahwurzel einer 
Veränoerfichen millelsl cinfacher Brüche. 


(Übersetzt von O. Backlund. Acta mathematica. XVIII, 1894, p. 113—182.) 


ES 








red her one @æ 








4 





D 


ss 





«e 


ER 





Sur les expressions approchées de la racine 
carrée d’une variable par des fractions simples. 


$ 1. Dans l’évaluation des quadratures on est souvent obligé de rem- 
placer les fonctions offrant des difficultés à l’intégration par leurs expres- 
sions approchées. Lorsqu'une difficulté pareïlle provient de la présence d’un 
radical du second degré, on pourra employer très utilement l’expression 
approchée du radical 
VE 


B; B; En 
Ari Qte RE SRENT e 


par une fonction de la forme 








? 


qu’on obtient à l’aide du premier théorème démontré dans notre Mémoire, 
sous le titre: Sur les questions de minima qui se rattachent à la représen- 
tation approximative des fonctions *). Quand on se propose de diminuer 
autant que possible la limite de l’erreur relative pour toutes les valeurs 
de x, deæ—=1àx—h > 1, la meilleure représentation du radical 


VI 


par une fonction de la forme 























B 
Étptet Ride 
1+æ Co+x Cn+x 
sera celle, pour laquelle les rapports 
= A+ a + 7 +... + Bn 
æ C+xz C+x Cn + 
? sn 
SR MD à 
C+xz C+x Cn+ x pa 


s’écartent le moins possible de 1 entre = 1, x —h. 





*) T. I, p. 273— 8378. 


— 544 — 
Nous pouvons trouver une telle représentation du radical 
ie 
æ 


au moyen du théorème mentionnée ci-dessus, en l’appliquant à la détermi- 
nation des valeurs 


n? n? 


A PS PPT PE 


pour lesquelles le logarithme du rapport 


V T 
æ 
BP; 











B; Br 
AG ER" DER TI ne 
ou 
Dee Cas 0e 











L 

æ 
s’écarte le moins de 0, æ variant de æ—1 à x —h. Supposant que dans 
l'intervalle x — 1, x —h les valeurs extrêmes de ces rapports soient 


. 

l, EE Æ l, 
nous nous convainquons, en vertu du théorème mentionné, de la possibilité 
d'approcher ces limites à 1 par un changement convenable des 2n + 1 
quantités 

D 1) Di ol ii honte, 

qui figurent dans la fonction 
B, B, F: 3e 


DORE Cie D Dos Vz [a+ B, B, En ] 
V= en Cite  Cotz °°°  Cyraæ_|? 
x x 


si, dans l’intervalle de = 1 à æ—, elle atteint les valeurs extrêmes 


A 














moins de 2n <+- 2 fois. | 
Il en résulte que la plus grande approximation des limites 


1 


— 545 — 


à l’unité ne peut avoir lieu que pour de telles valeurs 


44 D. h Cic...e 


+ n°? 


pour lesquelles la fonction 


(1) y=Vr|4+ D + “a | 


+ CG +x 








dans l'intervalle 


atteint au moins 2» + 2 fois les valeurs /, +, sans les franchir. 

Nous allons montrer maintenant comment d’après cela se détermine la 
quantité / et la fonction y, qui donnent la solution de nôtre problème. 

$ 2. Comme la fonction y, se réduisant à / ou + pour une valeur de 
x entre æ — 1 et x — h qui ne rend pas 


Œ 
a — 0 


et qui est différente de 
Ts et 
dépassera évidemment les limites /, +, ils doivent exister, d’après ce qui 
précède, au moins 2n + 2 différentes valeurs de x, dans l'intervalle de 
æ = 1 à æ —h, susceptibles à vérifier l’équation 
@—ÿ) (—Ëy)—=0 
‘en même temps que l'équation 
dy\2 
(2) x (1—%) (k—x) = 0, 


dont les premiers membres représentent d’après (1) des fractions rationnelles 
au dénominateur commun 
(Cæ+az) (CG, +). ..(C, + x) 

et aux numérateurs de degré 4n + 2. 

Or d’après la constitution de ces équations il est clair que leurs racines 
communes autres que 

Wet, Dh, 

doivent être racines multiples; par conséquent ces équations ne peuvent 
avoir lieu simultanément pour 2n + 2 différentes valeurs de æ, sans avoir 
4n + 2 racines communes, égales ou inégales, ce qui suppose leur identité, 
car d’après ce qui précède, elles se réduisent à des équations de degré 4n +-2. 

Or ces équations ne peuvent être identiques que sous la condition 


EG —2y)= 0 (2) & (1—a) (à — 
35 


er V6 


où CU est une constante; d’où il résulte l’équation différentielle: 


— 0y ru ox k 
(2) VO pirr et 000 











Parmi les diverses fonctions y, qui satisfont à cette équation pour des 
valeurs quelconques des constantes / et C, il est facile de distinguer celle 
qui donne la solution de nôtre problème. 


Remarquons dans ce but que d’après (1) l’égalité 


Du 
3 — 0 
se réduit à une équation de degré 2n, et par conséquent la dérivée 2 ne 


peut s’annuler plus de 2n fois, depuis x — 0 jusqu’à & = + co. 
Or d’après ce qui précède elle se réduit à zéro au moins 2n fois dans 


l’intervalle 


al 2h 


donc elle ne peut point s’annuler dans les intervalles 


Z2=0, 2<1, 
Z>œR, :z=+oo, 


tandis que dans l’intervalle 


elle doit s’annuler 2n fois. 
En vertu de cela, l’équation (2) donne entre les intégrales définies 


1 h 
ox 0x 
[= (x) Ga) Enr 


+ 














; ? 
dy À dy j 
Ai — ÿ?) (1 — EP y?) V(y2 — À) (1— 2 y?) 


la relation suivante 
































1 1 
0y Ôx 
PE à (1 — 2 y?) Væ(1—x)(h—x) 
(3) ï —(2n + 1) L x 














l dy Ôx 
Ï VD (EE) UD 


— 547 — 


$ 3. A l’aide de. cette égalité il est facile de calculer la valeur de / 
d’après la valeur du rapport des intégrales 


1 h 
x Ôx x 
[= ha) Rare 
0 


Parmi les diverses formules, dont on peut faire usage, nous allons 
choisir dans le cas actuel celle qui suit: 

















(4) U—1—16 9" | 


+ qi 2 + qu +6 +, “E 8 
+ + gr ri + gon-+3 +. ) 


i=—-@o 8 
2 q? (2n+-1) à (2i+1) 


nie 1 16 ie 1=+00 














i=+0 ? 
2 qg(2n-+1) à (2i+1) 
#=—@ 
où 
x 
7 (1— x) (h — x) 
ne ox 








q—=e 1 Va(æ—1)(h—x) 


Cette formule fait baie voir avec quelle rapidité, lorsque le nombre » 


augmente, les quantités /, — s’approchent de l’unité, et par suite l’erreur re- 
lative de la formule 


B,; B, 
FTUre C, + x 





RS ds + 





qui donne la valeur approchée du radical 


ge 
V= 
dans l'intervalle de.x — 1 à x — h, diminue. 
Désignant par © une quantité moyenne entre 0 et 1, nous trouvons 


pour représenter toutes les quantités renfermées entre /, + la formule 2°; 


par conséquent, d’après ce que nous avons montré à l’égard de la fonction 





y=Vx [A+ TS + +. | 


C;+x Cy+ x $ Cn+ x_j? 


on aura l’équation suivante pour la détermination du radical V=: 


5 1—298 [ 1 B; By | 
(6) 4 A+ tnt +o | 
35% 








— 548 — 


$ 4. Les quantités 
A Ts D is in Cases 
qui figurent dans cette formule se déduisent facilement de l’expression de 
l'intégrale de l’équation (2), qu’on obtient supposant que l'équation (3) ait 


lieu. 
Représentant cette intégrale sous la forme 


Va [4+5 eo b 


pee C, + x Cn+x 








nous trouvons que les quantités 
ED STRESS à ME Qu AL ES 


se déterminent à l’aide des fonctions elliptiques au module 


(6) k= Vi 




















et 
RL ds 
2 
à 
A . = , 
1 — k? sin? © 
0 
par les formules suivantes 
Fe ji 
1VR [+2 an ËE +2 dm an Par. | 
2n + 1 On + 1 2n +1 
2 VR dn 92mK Le 2mK 
Pi 2n + 1 Re 2n + 1 
1sn? — [1424 Mare D UE PE 
9n + 1 DT 2n +1 On + 1 


Remarquant que la fonction 
2mK 
dm 3 
n +1 


se réduit à l’unité pour »#—0 et ne change pas par le changement de "» 
en — 7" nous pouvons FRE la somme 





92nK 
re .. + 2dn 


2mK 
Dan On + 1 +. 


le signe de la somme étant étendu sur les valeurs 


1 + 2dn + 2dn 


sous la forme 


Mm—=—n, —(n—1),...— 1, 0, 1,...n—1, n. 


— 549 — 


D’après cela nous aurons 

















2Vh dn an K 
Li 1 à 2n + 1 
eu 2mK ? AGE 2mK 2mK 
D a D M cc 
MS a NE 0 
et 
— 92mK 
De dat 5 1 
Cm+x  ) 2 2mK Ÿ'a 2mK 2mK 
” Qn + 1 2n + 1 9n + 1 
h+ x 
nl 2mK 
9n + 1 
2mK 
a PONT VA 








Comme l'expression 


d 2mK 7 
"NT: Vh 


D 2mK 2mK 2mK 
PER LIRE 2 RS M ETT | 
t an 2n +1 _ Cr ES A 2n + 1 


se réduit pour # — 0 à 











1 
— N1 2mK ? 
1VR > dn 
ce qui est égal à À, et ne change pas de valeur par le changement du 


signe de »”, on voit qu’en prenant la somme de ces expressions pour les 
valeurs suivantes de »”: 


m—=—"n, —(n—1),,.., —1,0,1,...,n—1, n, 


on obtient l’expression de la somme 


B; B;, 


+ Bn 
CG, +x C,+x 


HE 


A+ 








FT ed 


Par conséquent, d’après (5) on aura la formule suivante pour l’éva- 
luation du radical 
= 


x ne dépassant pas les limites x — 1 et x —h: 


2mK 
y Vhdn ER 
| " 2mK hen2 2mK 


Fe 2 
(7) V== acer PS A MÉTESS 
z pe à d 2mK 


" 2n + 1 

















— 550 — 


$ 5. L'égalité que nous avons obtenue donne le moyen de déduire fa- 
cilement une formule qui fournit les limites de la valeur de l'intégrale 


U 


: à l’aide des intégrales contenant la fonction V hors du signe du radical. 
Il est nécessaire pour cela que les fonctions U, V restent positives 
pour toutes les valeurs de la variable sur lesquelles s’étend l’intégration. 
Désignant par 
M, M, < M 
les limites que la fonction V ne peut franchir, nous remarquons que l’ex- 
pression 
. 
M 
restera entre les limites 


M 


1, M,’ 


et par conséquent entre les limites 


si 


D'où l’on voit que pour les valeurs de , sur lesquelles s’étend l’inté- 
grale : 


l'égalité (7) est applicable à 


Hh ee LÉ 
ne Ph 
en supposant 
M 
h ue : Fi 


En substituant ces valeurs de + et À dans l'égalité (7) nous obtenons 
eZ 2mK 
ES V MM dn D +1 me 
LS + Men? 2mK 


cad tant 
vz . 2n + 2n +1 
LA 2mK 2 
20 + RS, 
_. An +1 








— 551 — 


ce qui donne après la réduction du facteur commun VM,;: 


— 2mK 
VM dn RE re 
2mK 2mK 
ar 2 A muum ol 
+= RC Di 
y 120 » an 2mK 


pe An + 1 











D'ailleurs la fonction U restant, par supposition, positive pour les 
valeurs de « sur lesquelles s’étend l’intégrale 


on aura, d’après l’égalité précédente, où 9 est une quantité inconnue entre 
0 et 1, la formule 














- 2mK 
er 
es | VI dn Le Uù 
5 2mK 2mK 
2 2 
(8) l Udu Mr On +1 
VV: a 2mK 

120 > ah ———— 

! 2n +1 


Cette formule a été obtenue en supposant 


h= 37; 


par suite d’après (6) nous aurons 
(9) M,= M (1 —%). 
Ce qui nous donne une relation entre les quantités M, M, que la 


fonction V ne doit dépasser dans les limites de l’intégration, et le module k, 
dont on se sert pour former la formule (8) et l’équation (4). 


Désignant pour abréger 


par s,, nous trouvons 


L VIS, dn "= Vi Hs, 


= 2n +1 


Dan 12 VIF 5 +2 Vl—Psi+...+2 VIFS, 


2n +1 
et d’après cela, en posant 


(10) S— 1-42 VIF 5249 VI +... +92 VIP; 





— 552 — 
et 
(11) F(s) = 





VM V1—72 s? Uôdu 
S Vs? + M(1—5°)’ 


nous aurons en vertu de (8): 


(12) Ï — 7% [ F(0) +2F(s)+2F(s)+...+2F(s,)]. 


La quantité @ étant comprise entre 0 et 1, cette égalité donnera pour 
48 — 0 et 0 — 1 les deux limites de la valeur de l’intégrale [ _— Ou: 


EE du F(0)+2F(s,)+2F(s)+. .+2F(s,), 


dd 





| JL duz x [F(0)+2F(5)+2F(8)+ ..+2F(s,) |, 


où / est une quantité déterminée par l’égalité (4) dont la composition montre 
que ? s’approche rapidement de l’unité lorsque le nombre x augmente. 


$ 6. Passant aux applications des formules que nous avons déduites, 
commençons par le cas: 
U=1,V=.1— X sin, 


où À << 1. En prenant 0 pour limite inférieure dans l’intégrale 





vou __ | 2" 
Vr | 
nous trouvons que la plus grande valeur de la fonction 
V— 1— X sin? # 


dans les limites de l’intégration est 1, et par suite d’après notre notation 


nous pouvons prendre 
ME 1 


Pour cette valeur de M l’équation (9) donne 
M,=1—4?, 
M, étant la limite inférieure de la quantité 
V= 1—X sin° w, 


que celle-ci ne doit. dépasser pour que la formule (12) soit appliquable. 


— 553 — 


Or la fonction V ne devant pas franchir la limite M, pour toutes les 
valeurs de « sur lesquelles s’étend l’intégrale 


du 
ee 
V1 — À2 sin? 
0 


pour toutes ces valeurs de #, on doit avoir 





1—X sin? > 1 — À, 
et par conséquent 
sin #Z . . 
Si 
ÀA<R, 


cette condition sera évidemment remplie pour toutes les valeurs réelles de 
u; donc dans le cas de | 
1<k 


on pourra appliquer la formule (12) à l'intégrale 


du 
V1 — À? sin? Fr 
0 


u étant aussi grand qu’on le veut. 





Quant au cas de 
A>k 


la condition précédente ne sera remplie que pour des valeurs de % qui ne 
surpassent pas 


PR 
arcsin =; 


par conséquent dans le cas actuel nos formules ne sont applicables à l’in- 


tégrale 
u 
du . 
V1 — X2 sin? w 
e 0 


D ER 
wZarcsin —- 





que sous la condition 


Substituant dans la formule (11) 


U=l,; F=1i-+danu, M1, 


— 554 — 


et prenant O pour limite inférieure de l’intégration, nous trouvons que dans 
le cas considéré 








Uu 
V1—k2 5? ou 
F(s) — S fine 82+1— 5? 
SALE a a roi 
= arc tang (VI —X 5 tang u). 


A l’aide de cette fonction et les quantités 
Si. D, 


qui se déterminent ($ 5) par la fonction elliptique au module #, nous obte- 
nons d’après (12) une équation donnant les limites de la valeur de l'intégrale 


u 
du 
Vire s 
0 


qui se rapprochent rapidement lorsque le nombre » augmente. 





$ 7. En nous arrétant à la supposition particulière 


= V2, 


—# 
q—=e€ ; RE 


nous trouvons 


et par conséquent l’équation (4), qui détermine la valeur de / pour diverses 
valeurs de », se réduit à la suivante: 





M 16 —_(n+1)% 1He—(4n+2) Rp e—(i2n+6) RL, \8 
FRAME nr me). 


Cette équation pour 
nt 2.5 
donne 
B—0,9993546; 
l— 0,9999988; 
D'où l’on voit avec quelle rapidité se rapprochent, pour des valeurs 
croissantes de », les deux limites de la valeur de l'intégrale 


u 


du 
VI= sn 
0 





fournies par la formule (12). 


— 555 — 


En posant dans cette formule » — 1, nous obtenons 





(1 
Le = à (FO-+2r 0) 
0 


L’équation qui détermine S se réduisant pour 


k= V3 n = 1 
S—1+2 /1—+s 


sn = 5, — 0,9002272, 


à l’égalité 
et 


nous trouvons 
S — 2,5424598, 


en vertu de quoi, d’après (11), pour #4 — VE il résulte 





y: ni fai tang (V1—72 5? tang u) 
F(s) = 
2,5424598 V1 — À25è 
En faisant ici 
8—= 0, 8—=58,—0,9002272, 
nous trouvons 
F\0}= 0, 3933199 U, 





0,3033401 arc tang (V1—0,8104089 X? tang u) 
F(s,) — 
V1—0,8104089 2 








ce qui, étant substitué dans l’égalité (12), donne la formule suivante pour 
l’évaluation de l’intégrale 





Ï V1 — }2sin? 











1 0 3933199 w-4- 26066801 arc tang (VT— 08104080 1€ tang u)] 
. V1 — 0,8104089 À? 


Posant n — 2, nous trouvons que dans le cas considéré l'égalité (12) 
se réduit à la suivante: 





du PR. B, B, 
[= ET æ md [Au + F, arc tang (R;, tang uw) + R, arc tang (R, tang «) | 


— 556 — 


où . 
A=—=0,2360679; B, — 0,4188063; B,=—=0,3451258; 


R,= V1—0,4262988 X;, R,— V1—0,9313131 À. 








Des formules semblables par rapport à l’intégrale 


u 
1 + p sin? Ou 
1+ q sin? w y] 2 sin? w 
0 





s’obtiennent de l’égalité (12) en y posant 
1 in? . 
Vie V= 1 — À sin w. 
$ 8. En substituant dans l'égalité (12) au lieu de U et V diverses 
fonctions, nous obtenons des formules qui donnent les limites des valeurs 
des intégrales de la forme 


dont l’évaluation présente souvent de grandes difficultés. 
Ainsi, posant 
V—=1—% sin u; U— D (tang %), 


où D(tg u) est une fonction qui conserve le signe + dans les limites de 
l'intégration, nous trouvons 





(0) 
EE ou = 75 | F(0)+ 27 (8) + 2F(8,) +... + 2F (6) ) 
0 


où 
u 


NES | D(tang u) Ou 
0 





F(s)= S 1 — 252 sin? 
Ces formules, d’après ce qu’on a remarqué dans le $ 6, auront lieu pour 
toutes les valeurs de 4, si 
À<k. 
En supposant cette condition remplie et prenant . pour la limite 
supérieure de l’intégration, nous tirons de ces formules: | 


us 





FT 


TL zx (2 
V1 —%2 5? o u) du 
0 





S 1— 282 sin? # 


— 557 — 


Posant dans la dernière intégrale 
tang u— 2, 


nous trouvons qu’elle se transforme en 


(ee) 
® (2) 02 ° 
1+(1— 252) 22? 

0 


en vertu de quoi l'égalité (11), qui détermine la fonction F(s) dans le cas 
considéré, se réduit à la suivante 


co 
V1—k2s? O (2) 0z 
S 1+(1— À2 52) 2? 
0 











F(s) = 


D'où l’on voit que la formule qu’on obtient pour l'évaluation de 
l'intégrale 
# 
RT. (tang w) du 
FL VI su 


0 





ne contiendra que des intégrales de la forme 


co 
D(z) d 
1+(1—X 52) 2°? 
0 


dont la valeur est connue pour certaines formes particulières de la fonction 
D (2). 
Ainsi, dans le cas où 


D(a)= 2", 0 <p<I, 





nous trouvons 


© co 
O (2) dz SS 2P1 92 ss T É 
14+(1—À258)22 | 1+(1—X282) 2 sk p°? 
0 0 2 sin À (1—225t)? 


et d’après cela, en déterminant l’intégrale 














T 
D (tang u) Ou jo : tangP—1 y du 
sin? w V1— À sin? 
0 


au moyen de l’égalité (12), nous aurons 





zx V1—k2s? 
F(s) = RE 
2 sin 1° (x a)? S 


“ 


— 558 — 


par conséquent cette egalité donne 


Ée 1+2 RE +3 VS. 
. tangP—ludu _7 A—2X2s82)P ‘°° (i—22s,2)P. 
1 — À? sin? w - re S sin PT : 

2 








0 


d’où, en substituant la valeur de S, tirée de (10), nous obtenons 


1—%25s,2 1—ks, 
1+2 Va +2 rs 


14+2 V1—kHs2+...+2V1—K28,2 


9 — T 


: tangP— lu ou __ 2 
V1— }2 sin? w me in 27 
2 





0 
Sr os . À 
Dans le cas particulier, où l’on prend 4 — V= et n — 1, cette éga- 


lité, en y portant la valeur 
8, = sn © — 0,9002272, 


donnera pour la détermination de l’intégrale 


T 


| tangP—1 y du 





VIT ein & 


39/7 L 
pour ÀZ V=. Ja formule suivante: 





1 

— TT - 

5  lo,3933190 + oso6eson |, 
79 sin Ê® de (: — 0,8104089 x)" 


où 2 — 09993549. 
Posant n — 2, pour la même valeur du module 4, nous trouverons pour 


l'évaluation de l’intégrale 
T 


2 tangP—1 4 Ou 
= ) 
V1 — X2 sin? w 











. 0 
pour ÀZ +, la formule: 
5 3 04188063 0,3451258 
PR 0,2360679 + U .. 1 E 
2 (1— 04262068 we) (1 0,9313131 x)? 


où = 0,9999988. 


AE 


SUR LES SOMMES COMPOSÉES DES VALEURS 
DE MONÔMES SIMPLES MULTIPLIÉS PAR UNE 
FONCTION QUI RESTE TOUJOURS POSITIVE. 


(LTRADUIX PAR D. SÉLIVANOFE.) 


me eee nent moe eee 


(Lu le 9 octobre 1890.) 


© cymmaxs, cocmabrennuxs usés savent npocmretz 
wuxé oOnotrenobs, ynnojennuxe na hynhuir, ho= 


MmOoPaA ocmacmcAr noropumenrtnor . 


(Hpuroxenie && LXIV-my romy Sanucoxr Huneparoperoï Axanemin Hayxr, X 7, 
1891 r.) : 


ÉS 
is 


He 











Sur les sommes composées des valeurs de mo- 
nômes simples multipliés par une fonction qui 
reste toujours positive. 


$ 1. En développant une fonction f(x) suivant les puissances ascen- 


dantes de la différence 
xz— X, 


on obtient une formule servant à exprimer approximativ ement la fonction 
f(&) sous la forme d’un polynôme dont les coefficients se déterminent par les 
valeurs de la fonction primitive 


f (a) 
f@), f’(@).... 


pour æ = X. Eu développant f(x) en une série de forme plus compliquée 


et ses dérivées 


(1) K,U,+K U,+kK, U,+...., 
où 
D, UC, ü,... 


sont des fonctions de la variable x indépendantes de f(x), on obtient pour 
la détermination des coefficients 


M res 
des formules pouvant généralement être présentées sous la forme suivante 
K= D nf) K= Da) ft)... 
Les fonctions 


Pot), p,(x), P,(x),...., 
36 


pen ue 


qui y entrent, et les valeurs de la variable x, aux quelles s'étendent les som- 
mes, dépendent de la nature des fonctions 


Dos VU, U,...., 


servant à la formation de la série (1). 
Dans les cas singulièrement simples, quand les fonctions 


Do (x), Pi (x), 93(x), - . 


sont des polynômes des degrés 
Ds, 


ces sommes se décomposent en sommes élémentaires 


(2) Dale Ste) dre) 
et alors les expressions approximatives de f(x) données par la formule 
(3) fa) =K 0, +K U,+K. U,+.... 


s’obtiennent à l’aide des sommes (2) formées avec les valeurs de monômes 


multipliées par f(x). 

Les expressions approchées de la fonction f(x) ainsi obtenues diffèrent 
essentiellement de celles qu’on déduit par le développement de la fonction 
f(x) suivant les puissances de la différence z— X et qui donnent des poly- 
nômes les plus rapprochés à f(x) dans le voisinage de x = X. 

Ayant un moindre degré de précision, quand il s’agit de calculer f(x) 
dans le voisinage de æ—X, ces expressions approchées donnent en cer- 
tains cas une meilleure représentation de la fonction f(x) pour les valeurs 
de æ variant entre des limites plus ou moins étendues. 

Ainsi il résulte de notre Mémoire «Sur l’interpolation par la méthode 
des moindres carrés» *), que la série (3) avec les fonctions 


LE RRRS  PÉUSE 5 PORAEENRNES 
déterminées par le développement de la somme 
.. 
en fraction continue, et avec les coefficients 


Ki, K;, K,,.... 








*) T. I, p. 473— 498. 


— 563 — 
composés linéairement à l’aide des sommes 


D'ære, Date) Ùzf@).... 


donne l’expression approchée de la fonction f(x) sous forme d’un polynôme 
du degré plus ou moins élevé se distinguant de tous les autres polynômes 
du même degré par la moindre valeur de la somme qu’on obtient en addi- 
tionnant les carrés des écarts des valeurs de ce polynôme des valeurs de 
[(&,) servant à développer f(x) en série (3). En passant à la limite, quand 
toutes ces valeurs f(x,) se confondent avec f(X), ce polynôme se réduit à 
l’expression approchée de la fonction f(x) qu’on obtient en développant 
cette fonction en série suivant les puissances ascendantes de la différence 
x— X. Cette expression représente f(x) avec la plus grande approximation 
pour x infiniment voisin de X. 

On obtient une formule plus générale pour le calcul approché de la 
fonction f(x) au moyen des sommes 


> æ,° f(&;), 2 T, f(x;), D; L Fe f(&;), frs 


par la méthode que nous avons indiquée dans le Mémoire «Sur Les fractions 
continues» *), Cette formule se présente sous forme d’une fraction 


F'(x) 
F (x) 





dont le dénominateur Æ,(x) est une fonction arbitraire positive pour toutes 
les valeurs + — x,; le numérateur F(x) est un polynôme du degré plus ou 
moins élevé. La fraction ainsi obtenue pour l’expression approchée de la 
fonction f(x) se distingue de toutes les autres fractions ayant le même dé- 
nominateur Æ(x) et le numérateur F(x) du même degré par la moindre 


valeur de la somme 
F(x;) |? 
D (ED) — re) RE. 
Il en résulte que les sommes 


D'ate) date), D'zfe)...…, 


de même que les dérivées 


f'(@), P(œ), F'(@),...., 


peuvent servir à déterminer la valeur approchée de la fonction f(x) pour 
les valeurs de la variable z contenues entre des limites plus ou moins 
éloignées. 





*) T. I, pag. 203—230. 
36* 


— 564 — 
D’après ce que nous avons indiqué *) sur les intégrales 


J f(œ) dx, | f(x) dx, Î #° f(&) 42. .:., 


aux quelles se réduisent en limite les sommes 


à a f(&;), æ, [(&;), > D F(Rh..e, 


on voit que ces sommes, de même que les dérivées 


f@), F'(@) f(@)...., 


peuvent servir à la résolution des questions concernant la fonction f(x), 
essentiellement différentes du calcul par approximation des valeurs de la 
fonction pour les différentes valeurs de la variable x. Les résultats obtenus 
ont lieu aussi pour la fonction discontinue f(x); il est cependant nécessaire 
que cette fonction ne devienne pas négative pour les valeurs considérées de 
la variable x. Cette condition se trouve réalisée dans plusieurs questions des 
Mathématiques pures et appliqués présentant, à cause de la discontinuité, des 
difficultés insurmontables pour l'application du calcul différentiel. 
Pour cette raison les sommes 


<a] œ 
Dai) Suit D ce 
formées des produits des quantités positives 


Fo), Fm), Ts). + (ay) 
et des différentes puissances des quantités réelles 


To, T;; Lo, . na 


sont bien dignes d’attention. Nous allons montrer maintenant, comment, en 
connaissant les valeurs de ces sommes, on peut déterminer la limite infé- 
rieure de la plus grande des quantités 


Vos Lis Baye dj) 


et la limite supérieure de la plus petite de ces quantités. 


En supposant données les limites entre lesquelles sont contenues les 
quantités 


Lo; T;;, Las « .. CL CPU 





*) Sur les valeurs limites des intégrales. T. IT, pag. 183—185. Sur la représentation des 
valeurs limites des intégrales par les résidus intégraux. T. II, pag. 421—440. Sur les résidus 
intégraux qui donnent des valeurs approchées des intégrales. T. II, pag. 443—478. Sur les som- 
mes composées des coéfficients des séries à termes positifs. À la fin du T. II. 


— 565 — 


dans les sommes 
n n n 
Data), Dafa)... Du "fG) 
0  - 0 


nous ferons voir, comment par les valeurs de ces sommes on peut déter- 
miner les maxima des sommes qu’on obtient par addition des termes de la 
série | 


f(&o), f(&), f(&),. F* (En) 


correspondant aux termes consécutifs de la série 


Los Up Day Dh) 


n’atteignant pas plus ou moins l’une de ses limites. D’après les formules 
pour ces maxima on obtient facilement les valeurs limites de l’intégrale 


fre dx 


dans le cas, où l’on connait les valeurs des intégrales 


b b 


b 
fre dx, Jare dir: [#— f(x) dx, 


a 


la fonction f(x) ne devenant pas négative entre x = a et x —b et la quan- 
tité w étant supérieure à a et inférieure à b. 


$ 2. En posant 


Fo) = Yo) f(x) —= Ÿ;;, 1 (a) = Yo; …..) a, D) = Yn 1: 
dr fa)=0, n f@)=G; Dr fa)=Q.. Da fe)= CG 
0 0 0 0 


on trouve que les quantités 


Los %;, Laye . LENS. 


Yor Vis Yasr Un 
sont liées par Z relations 


ñn ñn n 
(4) Dau=C, D 2,704, DS ant DCE Yi = CG 
0 0 0 


— 566 — 


où, d’après le $ précedent, les quantités 
PR 
ne sont pas imaginaires et les quantités 
% = f(&o), nn — [(&;), Yo (0) .…. Un = TG) 


ne sont pas négatives. 
En développant la somme 


> Yi 
X — Ty 
0 


suivant les puissances descendantes de x, on obtient l'égalité 





n ñn ñn n n 
RME RES JL ES 1—1 1 l 
D — = d Jet Didi + dx, Ut D D PEAR 
0 : 0 0 0 0 


qui prend, au moyen des équations (4), la forme suivante 





ñn 
0e _ G Ci 1 l 
Sarthe. + Ne 124 x, PE 
0 0 


Il en résulte clairement que pour satisfaire aux équations (4) par des 


valeurs de 
mt Tiusoadi 


Yo Yi Yas* is Vs 


il est nécessaire et suffisant que la somme 





soit égale à l'expression 


ee 
au terme contenant — près. 
x 
D'autre part, à cause des propriétés indiquées des quantités 
ASE, HO. ONCE HUE 


Yor Yur Vase ee Una 
la somme 


— 567 — 
dans l'intervalle de x——co à æ — + 00 devient infinie pour n valeurs 


Lo; %;;, La. . Ty) 


en passant toujours de — oo à +00, 
En se servant de la notation de Cauchy *) on obtient 


+ © n 

nt 
T — Xj 

— © 0 


En appliquant la méthode de Cauchy pour la détermination de l’indice 


n 


+ © 

É V Yi 

dm T — Ti 
—œ 0 

et remarquant que la somme 


Te 
LE — Lj 


0 


se réduit à une fraction avec le dénominateur du degré n, on conclut que 
cet indice pour les limites t——co et 5—co ne peut atteindre la va- 
leur n, égale au degré du dénominateur, que si dans la fraction continue 


provenant du développement de cette somme, tous les quotients incomplets 


is Br see 
sont des fonctions linéaires de x avec des coefficients positifs. 


Donc la condition nécessaire et suffisante, pour qu'aucune des quantités 


Los Lis Laye se Th) 


ne fût imaginaire et les quantités 


Yo» Yi Ya» - | 8 Pois 
füssent positives, peut être représenter par l'égalité 


n 


Yi de 1 1 1 
Dr RP rent 
- te 1 «x +f arbre, ; 





+1 4 T+Pn 





*) Journal de l’École Polytechnique. Cahier 25. 


— 568 — 


réunie avec les inégalités 
a 70,4 70, 2 æ0...4 79. 


Il résulte de ce que nous avons dit plus haut sur les équations (4), 


que les quantités 


Los %;;, Lo. CE] CL PERTE 


Vos Yi Ya» - Lis Un 


ne peuvent satisfaire à ces équations que dans le cas, où la fraction con- 


tinue 
1 


ones 1 
A T+8, — 


PR | 
Lo +R, — 


A3 THB3 —°. 1 


LT TENTE 
An T+Pn 


provenant du développement de la somme 


représente l’expression 


1. 
au terme de l’ordre — près. 
HA 


Par cette raison, en connaissant le développement de l’expression 


en fraction continue 


il est facile de déterminer les premiers quotients incomplets de la fraction 


continue 


re 1 : 
PE v VEN PRET nn AU ME OS 
Lo À + Po TB, 1 

Ten 8 hr? 


qui résulte du développement de la somme 





ñn 
a 
N Yi , 


dm À — Xj 


si les quantités 
Los Lis Dose ee Tn 9 


Yor Vis Vase Yu) 


y contenues, satisfont aux équations (4). 


— 569 — 


& 3. En désignant par k le nombre entier obtenu par la division de 
par 2 et arrêtant la fraction continue 


1 


Ah IRE 1 
XL +RBi — 


Lo TP. 1 


An T+Pn 


au quotient incomplet 
ei, C4 


on obtient pour elle l'expression approchée 


1 


nes 1 
% c+$, — 


LoTHBs te, 1 
ax & + Êk 


Si 
exacte au terme de l’ordre —> prés. 
HA À 


Avec le même degré de précision la fraction ci-dessus représente 


l’expression 
LR RAR 
æ a? 


CE 
al ? 


car, d’après ce que nous avons dit, cette expression ne diffère pas de la 


fraction continue 
1 


RUN Paie É 
Q CHR — 


Labbe"? 1 
an T+Pn 


par les termes de l’ordre plus élevé que hi l étant égale à 2% ou 24+-1, 
x 1 
suivant que / est divisible par 2 ou non. 
Il en résulte que la fraction continue 


1 


FAN An ARE s: 
y +, — 


Lo To —°e 1 


#4 x + By” 


avec k quotients incomplets doit donner l’expression 


ete + Ti — 
x x? ee 





ah 


1 
1 
a) — 1 
q Een” 6) ETES 


. M se « 
exacte jusqu'aux termes de l’ordre —- inclusivement; cela suppose les rela- 
æ 


tions suivantes 


4 


de, nt Bis 


(5) Ja= 0, +6, 


.. ee + 





QU a, 24h. 


\ 


— 570 — 


Si toutes ces équations ont lieu, la fraction continue 


LE 
QU THB — 





Labo. 1 
; An T+Pn 
donne l’expression 
Co = SR 
æ x al 


. J . 2 
exacte jusqu'aux termes de l’ordre —x inclusivement, quels que soient les 
A 
quotiens incomplets qui suivent 


k 
qd } y c+b, 


dans les fractions continues provenant du développement de cette expression 
et de la somme | 


n 


NN  " 


dm ET — LT; 





Pour { pair, d’après ce que nous avons dit sur le nombre #, on a 


Il en résulte que pour un tel / la fraction continue 


1 


RE RROE 1 
A T+R, — 


LL Hho—"e, 1 
Sn le ui 
An T+PBn 
provenant du développement de la somme 


ñn 
ÿ: 
x— Tr 
0 
donne l’expression 

C, C 
CR EEE = Ci 
x x al 


: Fr . ° 
exacte jusqu’au terme de l’ordre —- inclusivement et par cette raison, d’a- 
x 


près le $ 2, les équations (4) doivent êtres satisfaites par les quantités 


TL, T:, CPE . Th 10 


Yo: Y1» Ya. de Un13 
contenues dans la somme 
n 


5 Fe à 
DT — Zi 
0 


— 571 — 


$ 4. En passant au cas de ? impair, quand / —2k +1, on remarque 
que, à cause des relations (5), la différence des fractions continues 











1 1 1 
ARE. 0 — 
+; Lo THB. Fe ï " 
UE De: » es 
provenant du développement des fonctions 
ñ 
«al Ê 
+ -# ir... +0, 
sm © — F7 æ x* x xl 
0 


sera du même degré que l’expression 


qtk+1) — Gps © — Pr 
ati 





© Il en résulte que cette différence peut être du degré moins élevé 
que —/, comme cela doit être d’après le $ 2 pour satisfaire aux équations 
(4), seulement dans le cas, où la différence 


(k+1) Re RE 
Xp Z Be +1 


q 


est du degré zéro et par conséquent, quand le quotient incomplet g** 


contient æ en première puissance avec le coefficient égal à a, , 
Si cela à lieu et si les relations (5) sont satisfaites, la différence des 
expressions 


C C 
se. , ++ a+. Et, 


pour À impair — 2k + 1 est du degré inférieur à — / et par conséquent, 
d’après le $ 2, les équations (4) sont satisfaites. 
Ainsi par le développement de l’expression 


ACER ei da Es 
æ x al 
en fraction continue 

Nr 

on 

Cat" RES 


on détermine les premiers quotients incomplets de la fraction continue 


1 


ARR US 1 
ULT+P,— 


LH", 1 
Les "rer panne ge 
An L+Pn 


égale à la somme 





les quantités 


Los Li, Laye Dh); 


Yo: Yi: Yo ne Uni 


satisfaisant aux équations (4). Mais pour qu'aucune des quantités 


Los Li, Day A; 


ne fût imaginaire et que toutes les quantités 


Yor Yis Yare Un 


füssent positives, il faut et il suffit, comme nous avons vu ($ 2), que les 


quantités 


Œs COPIES a, 


soient plus grandes que zéro. 


En parlant des solutions des équations (5), nous avons supposé que 


la fraction continue 
1 
QU T+ Bi — 





La, —°. : 1 
6 Es En T + TU 
provenant du développement de la somme 


ie 
LT — %j 

0 
contient le quotient incomplet 


a, x +$,, 
pour ? pair = 2k, et le quotient incomplet 


Age © Ppesr 


pour ? impair = 24% + 1. Puisque le nombre des équations (4) est /, égal à 
2k ou 2k + 1, et le nombre des inconnues | 


Lo» %;, Los. . LR 


Yor Vis Vase Ya 


est 2», cette condition a toujours lieu, si /, le nombre des équations (4), ne 
surpasse pas 2», le nombre des inconnues y contenues. 


— 573 — 
Dans le cas contraire ces équations ne sont possibles que si les valeurs 
CRE layers, 


satisfont aux certaines conditions. Pour déduire ces conditions et indiquer 
les singularités que présentent dans ce cas les solutions des équations (4), 
nous remarquons que, d’après le $ 2, ces équations étant satisfaites, la frac- 


tion continue 
1 
MT Det, 1 
An T+PBn . 
provenant du développement de la somme 


n 
Su. 

LT — Li 
0 





doit produire l’expression 


‘ ; 
exacte jusqu’au terme de l’ordre —- inclusivement. 
HA 


Cela n’est possible pour n < + que si l’expression ci-dessus est déve- 
loppable en fraction continue 


1 
uT+b, — 





Lo LHo—°., + 





Je Ë 
En THBn— gUEI Ut 
r.4 


la quantité gd" *1 étant du degré supérieur à /— 2n. C’est précisément la 
condition de possibilité des équations (4) pour / > 2n. Puisque dans ce 
cas se déterminent complètement et le nombre », et les quotients incomplets 


a z+h,, Tr f,...., a, +, 


de la fraction continue provenant du développement de la somme 


n 

NV it 
<m T — 2%; 
n 





\ 


les équations (4) auront une solution unique. 
Dans tout autre cas ces équations, si elles sont possibles, admettent 
une infinité de solutions se distinguant et par le nombre des inconnus 


Lo X;;, PTE PRRT 


Yo» Yi Ya Fe EE 


— 574 — 
et par les limites entre lesquelles les quantités 


Lo Lise LA] Zn: 


sont contenues. 


$ 5. En supposant les quantités 


Lo) T,, Lys . + 7 


rangées dans l’ordre croissant, nous indiquerons maintenant, de quelle ma- 
nière on obtient les solutions des équations (4), dans lesquelles x, a la plus 
grande valeur ou æ,_, la plus petite valeur. 

En désignant par 


10) 920), ,,,, Pa) 
(x)  Ÿ2(x) d Ÿn (x) 





les réduites qu’on obtient en arrêtant la fraction continue 


1 


CR PA ES PR RP 
1 ax <+h es 1 





An THPn —*. ù 


au l-er, 2-me, 3-me....,»-me,.... quotient incomplet, on aura 


Pn (&) __ 1 
Yn(&)  uTz+B — 





La+bo—e.. 1 


Om mm @ 
AnT—+Pn 


Par cette raison, les équations (4) à 2» inconnues 


To, %;, COTE . l,_;) 


Vos Vis Vase Yon 
étant résolues, l’équation 
ñn 


NT Yi ___?n(r) 
(6) _ æ 4 — Pn@) 
0 
sera satisfaite d’après le $ 2. 


Il en résulte que dans cette solution les inconnues 





Lo) %;;, Lo, . L,_; 


sont racines de l’équation 
Ÿ, (&) = 0; 


par conséquent la moindre racine de cette équation donne la valeur de x, 
et la plus grande celle de x,_,. Pour obtenir les conditions dans lesquelles 


— 575 — 


atteint la plus grande valeur ou x,_, la plas petite, nous remarquons que, 
d’après les propriétés des réduites, les fonctions 


Ÿ, (æ), Ÿa (x), . mins AE (x), pe (x), . fées 
dans le cas considéré, sont déterminées par les équations 


V,(@) = «, 2 + $,, 


Le) = (0 2 +) di G@)— 1, 


GE _ 4,@=(R,r+8,) 4, (4, _,(@) 
(7) ‘ Vm + (x) ER a, tr ni Un (x) a (x), 


et d’après le $ 2on a 
(8) RIM 0 same 0, > 0. 


La première de ces équations fait voir que l’équation 


: ÿ, (x) = 0 
a une solution 
HA mned Bi. 
& 


on obtient 


Mais en posant consécutivement 
T— — ©, L—= + 00, 
et remarquant que d’après les conditions (8) 


ra rUv, 
on trouve 


L (— ©) = +, L (+ co) = +. 
On voit d’après ces valeurs de la fonction 4, (x) pour 


T = — CO, g——", LT= + CO 
% 


que x — —à, racine de l’équation 
1 


(A (x) — 0, 


— 576 — 
est contenue entre la plus grande et la plus petite racine de l’équation 
Y (x) = 0. 


Pour étendre ce raisonnement à toutes les équations formées au moyen 
de deux fonctions consécutives de la série 


HG), LG... 0), WG) Ymsi@he..., 
nous allons maintenant démontrer que toutes les racines de l’équation 
Ÿ,, (&) = 0 
sont contenues entre la plus grande et la plus petite racine de l’équation 
V1 ©) = 0 
si cette propriété a lieu par rapport aux équations 
bn (@=0, ÿ,(&) = 0. 
En effet, en désignant par k, la plus petite racine de l’équation 
Yn (&) = 0, 


et par X la plus grande racine et supposant démontré que toutes les racines 
de l’équation 


Pr @&) = 0 
sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de l’équation 
on remarque que l’équation 

Yan — () = 0 
ne contient pas de racines ni entre 4——0oo, 4—=h,, ni entre 4—<+0o, 


x —h et que par conséquent les valeurs 


Ya —1 (ko), Un —1 (2) 


sont de même signe que 


RS (— co), Vie (co). 
Cela etant, de l’équation (7), en y posant successivement 


th; Leh, 


— 577 — 
et remarquant que | | 
Ln (ko) 7 0, Un (2) = 0, 


d’après la définition des quantités h, et k, on trouvera les valeurs de 


Yom -rr Vio)s Yi -+x () 


avec des signes contraires à ceux de 


de. Fes co), | sn (co). 


Puisque ces quantités, d’après les relations (6), (7), (8), ont les mêmes 
signes que les quantités | 


SE So co), AP (co), 


on conclut que dans l’hypothèse admise la fonction 4, ,,(x) change son 
signe entre t——co et æ—h,, ainsi que dans l'intervalle = et 
æ — co; par conséquent, l’équation 


Yn 1 @) = 0 | 
a une racine inférieure à *, la plus petite racine de l’équation 
Yn (&) = 0, 


et une racine supérieure à , la plus grande racine de cette dernière équa- 
tion. Il en résulte que toutes les racines de l’équation 


Ÿ (&) = 0 
sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de l’équation 
Un Hi (x) ms 0, 


si cette propriété a lieu par rapport aux équations 


Vis (x) = 0, (2 (œ) =:0. 


Cela posé, en passant successivement des équations 
h@)=0, L@)—0 


Le (x) — 0, Ÿ (x) = 0, 
Ÿs (x) = 0, (A (x) = 0, 


0. 


aux équations 


on remarque que généralement avec l'augmentation de l'indice v la plus 
petite racine de l’équation L LES | 
Ÿ, (@) = 0 


diminue et la plus grande racine augmente. 
87 


— 578 — 


$ 6. Cette propriété de l’équation 
d, (&) = 0 


permet sans difficulté d’indiquer la condition dans laquelle, en résolvant 
les équations (4), on obtient la plus petite valeur pour x, _, ou la plus grande 
valeur pour %,. 
Nous avons vu ($ 3) que dans la résolution des équations (4) il est 
nécessaire de distinguer deux cas: le cas de Z pair et celui de Z impair. 
Dans le cas de / pair, en posant /—2#, nous avons montré que les 80- 
lutions des équations (4) résultent de l’égalité 





ñn 
(9) D EE 
0 EN UE TH te, 1 


Te 
An TX +Bn 


où les # premiers quotients incomplets 
an, rh... me 


sont les mêmes qu’on obtient en dévéloppant l’expression 





DAS 
x x? a3 xl 
en fraction continue 
1 
AAFMSSLREN— 1 


par x + By” 


le nombre des autres quotients incomplets et leurs valeurs restant arbitraires; 
d’après le $ 2 il est cependant nécessaire que tous les quotients incomplets 
soient des fonctions linéaires en x, aux coefficients de x positifs. 

Il en résulte que dans le cas considéré le nombre » ne peut pas être 
inférieur à k. 

Puisque d’après le $ 3 la quantité x, est la plus petite racine de l’é- 
quation 


d, (x) = 0 


et x,_, la plus grande racine, et puisque, comme nous l’avons démontré 
tout à l'heure, x, diminue et æ,_, augmente, lorsque n augmente, on 
obtient la solution des équations (4), où x, a la plus grande valeur et x,_. 
a la plus petite valeur, en admettant que # a la plus petite valeur possible, 
qui est égale à k, comme nous l’avons vu. Cela posé, en désignant par M, 
la plus petite racine de l’équation 


(A (x) = 0, 


— 579 — 


et par JM la plus grande racine, on a dans les solutions considérées des 
équations (4) Fe . 
TM, 4,_, > M, 
quel que soit le nombre ». 
En passant au cas de / impair, on remarque, d’après le $ 3, que pour 
1— 2% +1 la fraction continue, servant à obtenir les solutions des équa- 
tions (4), ne peut pas être arrêtée au quotient incomplet 


a, +6. 


Pour cette raison, d’après ce que nous avons dit sur la détermination 
des quantités 


Lo) Th 


et sur la variation des racines limites de l’équation 


(2 (x) — 0, 


quand # augmente, dans le cas considéré, où n > %, auront lieu les inéga- 
lités « 


AOC AEE, 2. > M. 


Il est facile de démontrer en outre que pour /—2k+ 1 les quau- 
tités 4, æ,_, satisfont à l'inégalité 





(10) 1 V1 (&n—1) ki (to) æ. <0. 


En—1 — Lo Ÿk (&n—1) Ÿx (to) 


Pour cela remarquons que d’après le $ 5 pour n>k+1 ni l’équation 


dr (= 0 
ni l’équation Aa 
n’ont pas de racines hors des limites des racines de l'équation 
db, (æ) = 0. 


Puisque la plus petite racine de cette équation est x, et la plus grande 
les équations 


Th: ? 


Ve (x) di 0, Ÿ (x) = 0 


n’ont pas de racines nientre æ— — co, 5—%,, ni entre 4—%,_,, %—00; 
par conséquent, la fraction 

- Ÿks1 (&) 

Ya (æ) 
pour 


TL —= ZT, TX: 


37* 


— 580 — 


a les mêmes signes que pour 


T—= — CO, 4 = CO. 
Mais, en posant dans les formules (7), (8) m—k, 4=—00, 1—=<+00, 
on re que cette fraction est négative pour æ = — co et positive PObE 
æ—= Co; par conséquent, on à 


Ÿk-+1 (To) Ÿk1 (Zn —)1) 
Pro) = ?  Yk(tn—1) 0 


En y portant les valeurs 


Des (Go) Vas (Cu N! 


déduites de l’équation (7) dans l’hypothèse m—k%, 42=4%,, x —=x 
obtient les inégalités 


Ds D 





Ÿk—1 (Co) 
Lun Lo + Poe de TA 
Ÿx 1 (En —1) 1 
Lis Pr + Br nya Le | 2 0); 


d’où, en soustrayant la seconde inégalité de la première et divisant par 
æ _.—4%,, on obtient l'inégalité indiquée plus haut. Cette inégalité a lieu 


n—1 
pour ? — 2k + 1, quel que soit le nombre » dans la solution considérée des 


équations (4). 
$ 7. Nous avons considéré jusqu’à présent les sommes 


n 


n ñn n 

0 3 Lau | 
Da Yi DAT DE Ysses. D Ja 
0 "0 0 


0 


en nous bornant au cas particulier, quand toutes les quantités 


A PS 


sont positives. En passant au cas plus général, quand parmi ces quantités 
se rencontrent des zéros, nous supposerons, qu’on obtient la série des quan- 
tités 

Jos Yis Vase Yn—1 


contenues dans les sommes, que nous avons considérées, en chassant de la 
série des carrés des quantités réelles 

2 2 2 2 ‘ 

ue Rs Ne Éd 


les termes égaux à zéro. En supposant. que 


(1 1) 89 = Yo = Y 5, = Ya, . sn = Un 


— 581 — 


et que 
80) &1) êg) .. 85 


est une série croissante de quantités réelles, où 


(12) Bs9 = Los 28 = Lis Ps, = Baye ee en à Vpn 


+ 


on remarque que les sommes 


P P p p : 
> 0 y, 3 > 2 > 2 y, 2 > TT 3 
0 0 0 0 


se réduisent à 


nr 


ñn n ñn 

0 2 1 
> à, Yi ET D, Yisse. > à, Yi 
0 0 0 0 


et par conséquent les équations (4) donnent 


D p? D P 
LEE + PF MES TD PA 
0 0 0 0 | 


Il en résulte que ce que nous avons démontré dans les paragraphes 
antérieurs peut nous servir pour étudier les équations (13), dans lesquelles 


Us U;; Ugye . 4, 


sont des quantités réelles quelconques, égales ou non à zéro, et 


F4 


0 21» 29e. .7 


p—1 
est une série de quantités croissantes. 
En désignant par # le nombre entier contenu dans +, par 


?L1 @), P2 @), SU k (x) 
Yi(æ)  Ÿ2(a) Ÿk (æ) 





ENS 


les réduites de l’expression 


développée en fraction continue 


1 


dnstie À 
Ca T+8, — 


Lo @ + PB; —* . 


— 582 — 


par M, la plus petite racine de l’équation 


d,(&) = 0, 


et par M la plus grande racine, nous avons démontré que les équations (4) 
ne peuvent être satisfaites que dans le cas, où 


(14) PE Mo 2, > M. : 
Puisque la somme 


| + « 
> 3 2 2 2 2 
u; FT Mour T9 + u ares te 


à qg+2 g+3 pa 
g+ 
pour g < 5,_, contient le terme 
2 
W sn 

et la somme 

al 

2,2 2 2 2 
UP = US HU HU +... + doi 
0 


pour g, > & contient le terme 
so » 


et ces termes, d’après (11), sont égaux à y,_., %, quantités que nous avons 
supposées supérieures à zéro, les sommes 


< 
Êur Sue 
q+1 0 


ne peuvent se reduire à zéro que dans le cas 


OZ Sur DS 80 
ce qui suppose 
_. 292 88m êq < 850: 
parce que les quantités 


0» 2; PTE Er En 


forment une série croissante. 
En remplaçant, d’après (12), les quantités 


Zsn_1r #80 
par | 


x 


n—1? Lo, 


nous réduisons ces relations à la forme suivante 


: 82 Ty) 2 < Lo 
et d’après (14) on aura 
242 M, 4 SM. 


Donc les sommes 


4 du, 
2 2 
… " 7 x E 
q+1 0 


surpassent le zéro, si 
2q < M, > M, 


et par conséquent, d’après les égalités 


ge à p 
= 2 2 
= nu? 

0 0 qg+1 

Se 
SE 2 _:- 2 
Div Diner DM: 

Qi 0 0 


pour ces valeurs de z4, 4, les sommes 


g+1 p 


LT LT 
2 2 
Su Ÿ 
0 En 
ne peuvent pas atteindre leur limite 
cp 
; 2 
2 
0 


Maintenant nous allons nous occuper de la détermination de la limite 
supérieure des sommes 


g+1 ge. 
ù 2 2 
0 di 


lorsqu’elles restent inférieures à la somme 


S- * 2 
> ue. 


. 0 


Ces limites diffèrent plus ou moins de cette dernière somme selon les 
valeurs 
2g»r @ 
des termes de la série 
203 ê,) Zgse Zn? 
correspondants aux termes 
2 2 
Was Wa 
de la série 


ET Et 87 2 
Uo » U'; Ug yes 0 


— 584 — 


lesquels avec les valeurs 
2 
Us on 


représentent les termes-limites des sommes considérées. 
Nous désignerons les valeurs des termes 24, 49,, par v, w, en posant 
(15) 2 =, 8g =; 
nous poserons en même temps 
(15) 4— 4, 2, _,—=b, 


a et b étant des quantités données. Pour la possibilité des équations (4) et 
(12) dans les conditions posées il faut que les quantités «, b, comme limites 
entre lesquelles sont contenues les quantités 


Lo, Di, Dose Dp_j) 
satisfassent aux inégalités 
a<M,, b>M; 


mais les quantités v, w, étant, d’après (15), contenues dans la série 


CARCELAEEEE EE 


ne peuvent pas sortir hors des limites z, = a et 2, = 0. 
$ 8. Pour obtenir la limite supérieure de la somme 


g+1 
21H33 2 2 2 
> UE = UD HU HU He HU 
0 
dans les conditions supposées, nous chercherons, parmi tous les systèmes de 


quantités 


Uor Us Ugyeo sou _;) 


Toy is Égye 0 ee Ep) 

satisfaisant aux équations (13) et aux conditions 
=, & b, 

Lo LA Léa Le se Las 


=, À 


p—1 = 


celui pour lequel la somme 


q—+1 

> 2,2 2 2 2 
Uy —=Ug FU + U om nt 

0 c] 


— 585 — 


atteint la plus grande valeur. Dans cette recherche nous ne ferons aucune 
hypothèse particulière sur les nombres », g; ces nombres, comme nous ver- 
rons, se déterminent complètement dans la recherche du maximum de la 
somme 
2 2 2 13 
07 mi le mi un nn PT 
si seulement dans la série 
2 2 2 2 
Uo ; Us Use Û 
tous les termes 
2 2 2 
Ur Use No 
diffèrent de zéro. Cette condition peut être toujours réalisée dans la for- 
mation de la série 


2 2 2 
Uos Us Use Yo us 


comme cela est indiqué dans le $ 7. De cette manière on éloigne la possi- 
bilité d'augmenter infiniment les nombres p, q en ajoutant à cette série les 
termes égaux à zéro. 

Pour obtenir la plus grande valeur de la somme 


q+-1 
Dr 2 2 2 
0 
dans les conditions supposées, appliquons la méthode connue pour la re- 
cherche du maximum relatif et remarquons que les inconnues 


Uo; U;, Us . 5 4; VU: 69 9 p—1 
15 À & & 4 
12 2." qg—1? g#1?° °°° p—2 
et les données 


Co Ci; Ci, .… 0, 


= V, Z — bd 


= 0, 4 RU 


q 

sont liées par / équations (13). En introduisant / quantités auxiliaires 
À; Ah My: . À; 

et posant pour abrégé 


g+1 p 


? p 
h. | REA \ Fr 1—1,,9__ 
0 0 0 


0 


on obtient pour la détermination des quantités 


VU) U;,se . °Uo) Uorir: .. Un) 


2; 29; . -2q—1) 2q+15: . 5 0) 


— 586 — 


donnant le maximum cherché, les équations suivantes 









































08, LISA 082 se 
ou À duo À Tu Fr 4e ae TR L_, do CA LE 0, 
089 ISA ô$. 08 0X 
A0 du À du Du ce PAT À + 4, k Fc 0, 
089 08; 08, 0Sy 1 0X 
À CYA À Ôz À Mes ki de, GA 0, 
oS, 08 OS. CIS) oX 
À à À : À : FA ie FRS 0 
0 deg —i 1 091 2 027 — 1 dEg—1 081 ; 
À Se À, 2 2 LE +. PE 7 Eae _. 1 _— re : 
g+1 g+1 g+1 g+1 g+1 
Ô X 
Ô © À 5 2. À 5 +... +, En Ô - 0; 
Zp—2 Ep—2 2p—2 T1 0h 2 Zp—2 


mais au moyen des équations (16) on trouve 


De = NU, pour n—=0, 1, 2,.....1—1, 


= 1,2, 3,....,q9—1, g+1,9+2,...p— 2, 
08. 


Due = 245 0, pour n—=0, 1,2,..../—1, i—0, 1,2,....p—1, 
ox : 

us = 205) pour i=0, 1 Po PRE: à 

Ou —=V, Dour 1=qg+l, g+2,....p— 1, 

ox 


2m 0 pour 2=1, 2,....9—1,9+1,q+2,....p—- 2; 
donc les équations qu’on vient d’écrire prennent la forme suivante 


2 +++... + 2471—1)u,—=0, 


1 °# 
pour : 
i—0, 1, 2,....Q, 
2 ++ et... + _ 47) u,—=0, 
pour 
i=g+1,9+2,....p—1, 
et enfin 
(A +2, 2,+....+(—1)2,, 477) u2—0, 
pour vire 


i=1, 2,....9—1, g+1, 9+2.....p—2, 


— 587 — 
ce qu’on peut abréger de la manière suivante 
2 (0(4)—1)u,=0, pour i—0, 1, 2,....q, 
20 (z)u,—=0, pour i=g+1l,qg—+2,....p—1, 
0'(s)u/=0, pour i=1, 2,....9—1, 9#+1,....p—02, 


en désignant par @(z,) la fonction entière 


GT 0x, #14, 4 +R + 2 + 


Supposant, comme nous l’avons fait ci-dessus, qu'aucune des quan- 
tités 
U,, Use . 4 


n’est égale à zéro, et supprimant 2u, et w°, on déduit de ces équations 
0 (&)—1—=0, pour i= 1, 2,....q, | 
0 (2)=0, pour i=q+ 1, te. ...P—2, 
d'(2)—0, pour i=1, 2,....q—1,qg+1,....p—2. 
Mais dans le cas à — 0 ou è —p — 1, quand «, peut être nulle, ces 
équations donnent | 
[8 G@)—1]%—=0, 0(2,_,)u, ,=0. 


DIT 
Il en résulte que . 
0 (&) —1=0, 
si % est différente de zéro, et | 
0 (e, ei) ss 0; 


si 4,_, est différente de zéro. 


$ 9. Au moyen des égalités obtenues on peut indiquer, comment la li- 
mite inférieure du nombre des racines de l’équation 


0'() = 0 


dépend du nombre », ce qui donne le moyen d’obtenir la limite supérieure 
de ce nombre. 


Remarquons pour cela que, d’après le $ 8, les équations 
0 (2) —1—=0, 9 (2) =0, 
outre les racines égales à 


CR Zoe . TE 


P 2g+1; 2q+2»e . °2n—2; 


TRE 
peuvent avoir des racines égales à 


Pour embrasser tous les cas possibles, nous désignerons par os le nombre 


1 ou 0, suivant que l’équation 
0 (4) —1—=0 


a une racine égale à z, ou non, et par o, le nombre 1 ou O0, suivant que 
l’équation | 
0 (2 =0 


est satisfaite par z —2,_, Ou non. Au moyen des quantités o, o, le nombre 


des différentes racines de l’équation 

O0 (2) —1—=0, 
contenues dans la série 
; : Zos &; Base. +2q; 
s’exprime par la somme - : 
_ | 


et le nombre des différentes racines de l’équation 
0 (2) = 0, 
contenues dans la série 
Zq+1s Êg+2 + «ee Ep—as Êp—1) 


s'exprime par la somme 
(D==2 0) #43. 
En remarquant que la dérivée 4’ (2) doit se réduire à zéro entre deux 
racines consécutives de l’une et de l’autre équation, on conclut que dans 
les intervalles entre deux termes des séries 


20) 2 CPTE . e 2q; 


on aura au Moins 


Q+o—l+p—2—q+0,—1—=p+0+0, —4 


différentes racines de l’équation 
9 (2) = 0. 


Puisque, d’après le $ 8, à cette équation satisfont encore p — 3 quan- 


tités 


4 


29 Zap eo 8; Zoyar ee p—2? 


— 589 — 


elle doit avoir au moins 
DpD+o+o—4+p—3—2p+0+0—7 


racines différentes, et par conséquent son degré ne peut pas être inférieur à 
ce nombre, ce qui d’après (17) suppose 


1—2S 2p+o+o —7; 
il en résulte 


(18) 2p Ll—o—0, +5, 

p étant, d’après notre notation, le nombre des quantités 
Bo 21 22e. AT 

pour lesquelles on obtient le maximum cherché de la somme 


q+1 
pe. U, 
0 
les nombres o, o, signifiant 1 ou O, suivant que z —#, satisfait à l’équation 
0 ( —1—=0, 
etz—2,_, à l’équation 
0 (e) = 0, 


ou non. Puisque d’après le $ 8 l'égalité 
0 (&)—1=0. 


peut ne pas avoir lieu que dans le cas #, — 0, et l’égalité 


0 (z “ee, = Ÿ 
dans le cas #,_,—0, on conclut que l'égalité 
ss 0 
suppose 
Uo = 0, 
et l'égalité 
, = 0 
suppose ra 
U,_,= 0 


D’après la formule (18), en cou par le symbole Æ la prés 
entière de la fraction, on trouve 





= nl—-c—c+5 
D<£E TPS 


— 590 — 


Cette formule détermine la limite supérieure de », du nombre d’in- 
connues 


Vo; W;, Use +. U,_;. 


Puisque le cas de p plus grand comprend tous les cas où p a une va- 
leur plus petite, nous supposerons que p ait la plus grande valeur possible, 
donnée par la formule | | 


1—6—05, +5 
(19) p== E 3 L . 





$ 10. En s’arrêtant au cas de Z pair et posant / — 24, on trouve d’a- 
près la formule (19) 


(20) p=E P=srsier, 





les nombres 6, o, ayant, comme nous avons vu, les valeurs 0, 1. 
En supposant 5 — 0, o, — 0, on obtient d’après cette formule 





p=E 5 p+ 0; 


mais, d’après ce que nous avons dit dans le $ 9 sur les égalités 
s—=0, 5, = 0, 


on conclut que dans le cas considéré les quantités %,, ,_, s’annullent; par 


p—1 
conséquent le nombre de termes de la série 


différents de zéro, est 
p—2=k. 


Pour cette raison les équations (13), en y supprimant les termes avec 


les facteurs w,, ui égals à zéro et en y remplaçant 


par 
Yo) Yi. ee Yu 


Los ,. . Ty_19 


se réduisent aux équations (4) dont le nombre est »n —%. Pour cette valeur 
de x ces équations n’ont d’après le $ 5 qu’une solution, dans laquelle 


Lo Lis EX à Vinci 


— 591 — 


satisfont à l’équation 
b (@) = 0. 


En remarquant, d’après la formule (15), que 


0 
est une des quantités 
Lo) T, , . Ty_, , 


on conclut que l'hypothèse considérée 
o= 0, 5, —=0 


ne peut avoir lieu que dans le cas, lorsque la quantité donnée v est égale à 
une des racines de l’équation 


Ÿ, (æ) = 0. 
Dans le cas contraire nous devons chercher la solution de notre pro- 
blème en faisant d’autres hypothèses sur les nombres 0, o,. 


Supposant 
c—1l,o—=l, 
on trouve d’après la formule (20) 


ER 2 2k + 3 


: = k + 1. 





Il en résulte que dans cette hypothèse les équations (13) contiendront 


2 (4 + 1) inconnues 
20 Zyye os ep) 


2 y, 2 3. 
U5 , U; . … °Uy , 
par conséquent ces équations, lorsqu'on y remplace 


Zoo» 2 e. e 0 0 2% 


2 2 2 
Vo 2 LA 9 .. Uy 
par 
To 9 %; 1 EL] Ty, 


Vos Yise + Up 


se ramènent aux équations (4) dont le nombre est n—#%+ 1. 
En résolvant ces équations, d’après le $ 5 on trouve que les quantités 


20 — Yo; 2 —= Li. . .8q) —= Lg. . Ep —= Ty 


doivent satisfaire à l’équation 
PR (x) ge 0, 


— 592 — 


et, puisque d’après le formules (15) et (15) on a 


onde b, 


cela suppose les égalités 


Va (a) == 0, Ya (v) = 0, Win (b) = 0. 


Pour indiquer à quoi se réduisent ces égalités, nous y portons l’expres- 
sion de la fonction 4, , (x) par les fonctions 4, (x) et 4, _, (x) qu’on obtient 
de la formule (7) pour 5» — k. De cette manière on trouve trois équations 





(2 1) ; (CA SRE. Me Pris) A (a) mers Ve (a) re 0, 

(22) (a, ds Ré B:.,) de 0 Er de (v) = 0, 

(23) Cyr 0 + gs) Ya O) — y, (@) = 0. 
Il suit de l’équation (22) que 

(2 4) CPR re . = ps Ve 


En portant cette valeur de $,,. dans les équations (21) et (23) et les 
resolvant par rapport à «,,,, on obtient deux formules pour la détermi- 
nation de ce coefficient 











dat Yk—a(a)  Ÿk1(v) 

(25) | Es 0 | dE (a) er to) L 
RS 0 7 TC) 

(26) SE PE Vo fun” VE) Der () : 


Il en résulte que l’hypothèse considérée 
o—1l,o—=1l 


ne peut pas avoir lieu, si les deux valeurs de «,,, obtenues par ces for- 
mules sont différentes entre elles. 


$ 11. Passant à l’hypothèse 
o—=0, 0, =]. 


on obtient d’après la formule (20) 


ie p=k+.)2; 
mais il résulte de l'égalité 
= 0 
que ($ 9) 
Up = 0 
Donc pour 


le nombre de quantités 


Us U Uu 


LSr-CP p—1 


différentes de zéro est À +1; par conséquent, les équations (13), en y sup- 
primant le terme avec le facteur w,? égal à zéro, ne contiendront que 
2 (k +- 1) inconnues 
HAN PRINT ARR 
Age ANT PE 
En posant 


2 —= Lo, une CR G) nel ET ce 2,3 = Tps 
' n Eee La: 2 d'aite 
VU — Yo; Va et COCO. = Ness she Vas 
on ramène ces équations au système (4), dans lequel n—k+1, et par con- 
séquent d’après le $ 5 les quantités 


Lo, %, , ... D 
sont racines de l’équation 


Vas (@) = 0 
Puisque d’après les formules (15) et (15)°* on a 
2q noté ho FT 8h ra b, 
à cette équation doivent satisfaire les quantités 


Z=—=Vv, œ =D, 
ce qui suppose les égalités 


(PR () pure 0, ee. () = 0. 


En y portant l'expression de la fonction ,,,(x) par d,(x), 4, _ (x) 
donnée par la formule (7) pour m—%k, on obtient les équations identiques 
aux (22), (23) donnant, comme nous avons vu, pour la détermination des 
constantes inconnues 


Lys CPR ) 


contenues dans la fonction à, , (x), les formules suivantes 








+ fo hd. er] _ Vi () 


Phi — b—0 | 0) Dee) D Pen Ye) Yi ? 


D’après ce que nous avons dit dans le $ 5 et le $ 7, la quantité «,,. 
doit surpasser zéro et aucune des quantités 


2, 9 293 .. 2, 
ne peut être inférieure à a. 


38 


— 594 — 


La première condition suppose que la formule obtenue donne 


y > 0; 
de la deuxième condition il résulte que l’équation 
. (7 (x) 7 0, 
ayant les racines 
in 0, 
n’a pas de racines entre t = — oo et 4 — 4. 


Il n’est pas difficile de démontrer que, quand la première condition 
est remplie, la seconde ne peut avoir lieu que dans le cas 


Ÿk4 (a) (a) 
0. 
EUX S 
Pour démontrer cela, remarquons que d’après la formule (7) dans le 
cas 
: Uk 0, 
la fraction 
Ve (x) 
Ÿk (&) 
a une valeur négative pour æ——co; mais son signe ne peut pas chan- 
ger entre % — -— co, & — à, Si l’équation 
Vera (x) = 0 
n’a pas de racine inférieure à &, car en même temps d’après le$ 5 l'équation 
d,(&) = 0 


n’a pas non plus de racine inférieure à a. 
Donc l'hypothèse considérée sur les nombres 6, o, ne peut avoir lieu 
que si la condition 
He <0 
est remplie. 
En y portant, d’après la formule (7), l'expression de la fonction 4, ,., (x) 
par (x), L,_, (x) et, d’après la formule (24), la valcur de la constante f,,,, 


on ramène cette inégalité à la suivante 





kite)  ŸE (0) 
due, (20) L'ET — EN - 


Puisque v est contenue entre a et b > a, la différence a — v est né- 
gative; par conséquent, après avoir divisé la dernière inégalité par a —v, 
on obtient 


1 Ÿk (a) x (v) 
Mn a=slu@ —" © 





— 595 — 


En remarquant que le second membre de cette formule a la même va- 
leur que dans l’équation (25), on conclut que l’hypothèse 


c—=0, 5, =1 


peut convenir aux demandes de notre problème seulement dans le cas, quand 
la formule (26) donne pour «,,, une valeur, qui ne serait pas inférieure à 
celle qu’on obtient par la formule (25). 


En considérant de la même manière la solution de notre problème dans 
l'hypothèse 


o—= 1, o,—=0, 


quand d’après le $ 9 


on ramène les équations (13) aux équations (4), en posant 
= %o, 2 —=L,.... Ent Le RCE SR et PU 
M EE Di MU. US = Yo. nn = Ypoe 
En répétant ce que nous avons fait en considérant le cas 
o—=0, so, =], 


nous déduisons que la constante «,,, doit se déterminer par l'équation (25) 
et qu’elle ne doit pas être inférieure à celle, qu’on obtient par la formule (26). 


Il en résulte que l’une des deux hypothèses 


s—=0, o, =], 


g=#4,. 9g=0 


peut satisfaire aux demandes de notre problème, suivant que l’équation (25) 
ou (26) donne la plus grande valeur de «,,,. Dans le cas particulier, quand 
ces équations donnent la même valeur de a, , ,, les formules, qui déterminent 
la fonction 


Yan (x), 


se ramènent à celles que nous avons obtenues en posant 


Quant à l'hypothèse 
aæ+0, a, = 0, 
38* 


— 596 — 


elle n’est possible que si 


(@) = 0; 
sous cette condition les deux équations (25) et (26) donnent 
dy, —= CO; 
par conséquent, la fraction continue 
SR 1 
le EE DE 1 





De u Ts Lt + kr) 
se réduit à la fraction 


1 


PR AMUUr 1 
a THB, — 


Go TH —"*. 1 


BA Ca x +-By° 


servant, d’après ce que nous avons dit, à la solution de notre problème dans 
l'hypothèse 


os 0,:0,=—=0. 


$ 12. D’après ce que nous avons démontré sur la détérmination des 
valeurs de 


Bo ie 8 


qui donnent le maximum cherché de la somme 


Up HU +, . CE 


pour ? paire — 24, on voit que, malgré la possibilité de différentes hypo- 
thèses sur les nombres 0, o,, ils ne peuvent pas exister deux systèmes diffé- 
rents de valeurs 


20) 2. . 21) 


satisfaisant aux demandes de notre problème. 
En remarquant, d’après la forme de la somme 


cé 2 2 
US HU. HU, 


que sous les conditions posées elle doit avoir un maximum, on conclut que 
ce maximum aura lieu pour les valeurs 


20: Type 8h 


données par les formules obtenues. 
Par ces formules, comme nous avons vu, on obtient les valeurs 


— 597 — 


au moyen de la fraction continue 


1 


INA 1 
A L+$B, — 


La HB te. 1 





APE Cane 1 
. k CPE TE Pier” 


Gi) Pis Gs Pis ne Be 


se déterminent par le developpement de l’expression 


Co G C Ci 
EL pc] He TE 
en fraction continue 
1 j 
MEHR a sr —t., 1 
a+ —* * : 


ÉT 


où le coéfficient «,,, est égal à la plus grande des quantités 





1 Ÿk— (a) DR dk ”| 1 Ÿk—1 (D) Fa Ÿk— (v) 
a—v L ŸK(a) Yo) 7 b—0 L (6) Yk(e) 


et le nombre $,,, se détermine par l’égalité 


Ÿ— 
bi à 0 "ten Ve 





En désignant par 
Pk-+-1 (X) 
Ÿk-+-1 (0) 


la fraction ordinaire égale à la fraction continue 


1 


er quree 1 
a + P1 — 


A THBo— te, 1 1 


Ù 
Œegr © + pra 





gr +B— 
et par 
Vos Lise » + eg 


Ya (x) — 0, 


disposées en ordre croissant, on aura, d’après le $ 11, ou 


les racines de l’équation 


2 = 4, À —=G,....8 — 


q Loire LT /  / | 


avec l'égalité 


ou 
25 —= Lo; 2 —%,....8, 4% 


— 598 — 


avec l’égalité 
ur — 0. 


D'après ce que nous avons dit sur les quantités 


2 3 2 
Uo > SRE Yo» Ye ee Ypo 


on voit que dans le premier cas on aura 


2 — 2 ; | AR + PAT 2 ie 
Vo = 0, UA — Yo; + CIEL .U, F7 Pare 11 .Uy = Yi _1) pa = Ypo 


et dans le second 
nn 2 —  — 2 3 us 
WU = Yor M = Yes US = Ygue ee Ug = Yp W,, = 0. 
En remarquant que d’après notre notation 


X = 0 + UM + HU 


et que d’après la formule (15) 
=? 


on obtient que dans le premier cas auront lieu les relations 


X=Y+Yht+e... + ns) 


g-r1 


et dans le second cas les relations 


X=y +FY +... + Ygr Lg =. 


En posant dans le premier cas g— 1 —, et dans le second g =, 
on aura dans les deux cas 


(27) X=Y+Yp +... + LU 


Pour déterminer les quantités 


Yo» Y1»° né Yu 


contenues dans cette formule, on remarque que, d’après le $ 5 pour 


n —=k+ 1, on aura 
n 


> Yi ss Pk-+1 1 
: T — Lj Ÿk-+-1 (©) 


y, = En (ci), 
ê Ÿk-41 (a) 


En déterminant par cette formule les quantités 





d’où il résulte que 


Vos Hire + + Yu 


— 599 — 


et les portant dans l'égalité 
X=Y+Yh +... +, 
on trouve que cette somme se compose des valeurs de la fraction 


Pk-er (2) 
dk @) k-1 (©) 
pour 
T— X,, Dis... 


racines successives de l’équation 
Ÿ +1 (x) ne 0, 


la plus grande de ces racines æ, d’après la formule (27), étant égale à v, et 
la plus petite æ, (d’après le $ 8) étant > a; cette somme au moyen du 
symbole £, introduit par Cauchy, se représente par la formule 


D+0 
é Pk1 EL 


Ya (& 
a— vw 





où &w est une quantité positive infiniment petite *). Ainsi, pour déterminer 
la valeur du maximum cherché pour ? = 2%, on obtient l'égalité 


2+v 


Pkær (2). 
X — È Var ) (æ) 


$ 13. Passons au cas de / impaire et Là tas I=2k-1-1; par la formule 


(19) on trouve 
2k+6—0— 0; 
2 





p=E 
où, comme nous aVOnS Vu, 


o=0 ou 1,9, —0 ou 1. 


En s’arrêtant à l'hypothèse 


on obtient d’après cette formule 
p—=k+3; 
d’après ce que nous avons dit dans le $ 9 sur le cas 


o=0, 0, —=0, 





*) Pour simplifier nos formules nous n’indiquons pas près du signe d: les limites de la 


partie imaginaire de æ, comme le faisait Cauchy; dans les questions que nous traitons les par- 
ties imaginaires de + sont nulles, 


— 600 — 
on à 
0. Un = Ugo 0. 


Pour ces valeurs de 
P, Uo; Us 


après la réduction des termes multipliés par Uy = 0, 0, 
après le remplacement des inconnues 


1 = Us = 0 et 


2 2 2 2 
2; Tape eee Bque oc pan U, Un, U so 
par les inconnues 


Lo, Dior Vo ass 0e, Yo» LCR PERTEEEEE 7 


on ramène les équations (13) aux équations (4), dans lesquelles n = # + 1. 
Dans la solution de ces équations, comme nous avons démontré dans le $ 5, 
les quantités 

Toy Bises nye ee «y 


sont les racines de l’équation 
Ven (x) n 0, 


cette fonction 4,, (x) se détermine, comme nous avons dit dans le $ 4 dans 
le cas ? — 2% +- 1, par l'égalité 


Phi (€) _ j 1 
Ÿk+1 (&) HER +, 1 





Qj LT + RTL 


a D: Go; RL TE By Xp 


sont les mêmes que dans la fraction continue 


1 


LRU ne 1 
“y +, — 


La+Hrh, —°, 1 


ape +B — 





Up LH... 


et y est une constante inconnue, 
Pour déterminer la quantité y et la fonction Y,,(&) qui contient +, 
on remarque que la série de quantités 


Lo — À, ne Le Pr LM ny 8 


contiendra la quantité 
Toi = 89 
| égale à v, d’après la formule (15); par conséquent, l'équation 


1e (x) = 0 


— 601 — 


doit être satisfaite par x — v, ce qui suppose l’égalité 


Ve (v) = 0. 


Par cette raison, pour déterminer y, on remarque que l’équation (7) 
pour 8,,,,— y, #— 4 donne 


(28) Va = (eg 2 HV) Yi) — Ÿ (@), 


ce qui fournit, en vertu de l'égalité qu’on vient d'écrire, 


(a, v +) de (v) Ce 7 DS (v) = 0; 
d’où l’on obtient 


+: Ÿk—1 (0) 


Théo n° 


En portant cette valeur de y dans la formule (28), on trouve 


Ÿk— 1 (v) 
29) pu@=[e,(—0) +] (a) — 4, (). 
Cette formule donne le premièr membre de l’équation 


de. (x) E 0, 
qui détermine les quantités 


Vo — À;; Vi lg;ye pol TOR nie PAL 
Puisque d’après le $ 7 les quantités 


20; Ze . LS 


forment une série ascendante, où, d’après la formule (15)bis, 


b, 


20 ET 0 pes 891 Fe 
l’hypothèse considérée 


s—=0, o, —=0 


est impossible, si l'équation 4, , ,(æ)=0 a une racine hors des limites x—a, 
x —b; mais cela aura lieu, comme il n’est pas difficile de démontrer, si la 


fraction 
Ÿkys (a) Ÿk (b) 
Ÿx (a) Ÿx-+-1 (0) 





a une valeur positive. 
En effet, si toutes les racines de l’équation 


(7 (x) a re 


— 602 — 


sont contenues entre +—@, æ—b, la même propriété a lieu, d’après le $ 5, 
par rapport à l’équation 


; (x (x) = 0; 
par conséquent, les quantités 


ana (a) ; (A (a) ) Ven (b) ? (A (6) 


ont les mêmes signes que 


Ve (Eu co), Ye (Qs co), Ver (co), ÿ (00), 


et, à cause de cela, la fraction 
Vke1 (— 2) kr (2) 
dx (—x) . Ÿx (x) 
doit avoir pour æ — co le même signe que la quantité 


Ve (a) YO). 
Ve (a) Va: 0) 


Mais d’après la formule (7) on voit que cette fraction pour &æ = © se 
réduit à — 1. 

De cette manière nous nous persuadons que pour la possibilité de 
l'hypothèse 








s—0, o, —0 
dans la solution de notre problème, il est nécessaire que la fraction 


Ÿkyr (a) Ÿx (b) 
Ve (@) V1 (0) 





soit négative. 
En y portant l’expression de la fonction 4,, (x) par la formule (29), 
on trouve que cette fraction est égale à 
D (0) La, Ÿk 1 (a) 
x (v) Ÿk (a) 


Dei) dk 6) 
x (v) Ÿ (6) 





& ,, (G— 0) + 








a, ,, (0 —®) + 


En décomposant cette expression en deux facteurs 


1 Ye (a) Yen ©) à 
a—v a—vlL vŸx(a) Yx(v) k+1 
b—v" 1 Ÿk—1@) Yi ei] + 
b—v L x(b) ŸE (v) ki 











? 





et remarquant que le premier facteur pour 
a << v <b 
a une valeur négative, on conclut que l’hypothèse 


o—0, 0, —=0 


— 603 — 


pour 
1—92k—+1 


ne peut avoir lieu que dans le cas, où 


1 Ÿk—a (a) Yi) ] __ . 
a—v L Ÿx(a) ÿx (v) ki > 0 
1_[Ÿki1@) Yen] ÿ 
b—0 L Ÿx() ÿx (v) h+1 











$ 14. En passant à l’hypothèse 
=], 0, —=l, 
pour 
1—2k+ 1, 


on trouve, d’après la formule (19), 


p=E = k+2. 





Il en résulte que dans le cas considéré les équations (13) contiendront 


2 (k+- 2) inconnues 
20) Ze. À ss. 2p 3) 


2 2 2 2 
UE SU RE OR ARE 


et que ces équations se ramènent aux équations (4), le nombre » étant 
égal à Æ + 2, si l’on pose 


&o —= Lo; BE Pre qe en Thor) 


r É RARES AU 2 EL 
V7 —= Yo) U —= ŸY,. LEE] ‘U, onet LE . NF Ci ent | ST 


Mais dans la solution de ces équations, d’après le $ 5, comme nous 


avons vu, les inconnues 


Lo; V,,. CE Le . Ty 


- 


sont les racines de l’équation 
Ye 4-2 (x) es 0, 


la fonction 4,,.,(x) étant le dénominateur de la fraction ordinaire, à laquelle 
se réduit la fraction continue 


1 


RENE tr EE 1 
Qy © + Br — 


Ua+bo—e.. 1 


SRE NE RTRs 1 
DR 1 
y © + 
k Bx a OT Te 


Dans cette fraction continue les quantités 


Un gros Up Ain Pas Pare + + Py 


— 604 — 


se déterminent d’après le $ 4 par le développement de l’expression 


C Ci Ce Ci 
MS tTAiE- + a 
en fraction continue 
1 1 
APFATESIR Se. : 





LR te pr TH Pr — + 


et 
Y> Var Ye 
sont trois constantes inconnues qu’il faut déterminer. 


Pour obtenir les équations qui déterminent ces constantes, nous remar- 
quons que parmi les quantités 


To —= 5; LT —Z,,....% AT EL nn PSS 
9 q 


satisfaisant à l’équation 


: Vue (x) eu 0, 
se trouvent les quantités 
20) 80 Se PES 
égales, d’après le $ 7, à 
a, v, b; 


par conséquent, auront lieu les égalités 


(30) FRE (a) = 0, Ne (v) = 0, Vide (b) = 0, 


où d,,,(x) est la fonction, dont on obtient facilement l’expression par 4, (x) 
et V,_. (x) au moyen de l’équation (7). 
En effet, en posant dans cette équation 


M == k, : PP — Ÿ: 
on trouve 


: (PR (&) Le (C7 PRE Ÿ) (A (x) SEE (7 (), 
-mals en posant 


k m—=k +1, Upyo— V1 Bee = Ya 
on obtient 
ds (x) eu (V LE Y3) (PER (x) sem Ÿ (x); : 


il en résulte après l’élimination de 4, , (x): 
de (&) = [O1 GA) (x, LE) 1] Le (&) — ("1 L + Ya) Ve (æ). 
En déterminant par cette formule les valeurs 


(A +2 (a), (A +2 (v) ’ Ye 4-2 (b) 


— 605 — 


et les portant dans les égalités (30), on obtient les trois équations suivantes: 





[ni +) mn a+ — 1] pa) —(n a + y) Ye, (a) —0, 
[CYa 0 + Y2) TRES veT)— 1| We C9 Ent © CR A Y:) (PER (v) = 0, 
Lin + vs) Co. 0 +) —1] Ye 6) —n 0 + 3) hi, O= 0. 


Mais en résolvant ces équations par rapport à 


Ys Yi Yo) 


on obtient pour la détermination de ces quantités les formules qu’on peut 
présenter de la manière suivante: 




















_ Via @— dep _ O9 , _U—0(@æ—t) 
Pere Men Ne 7 Dm ? 
où 
1 [Uk i(a)_ dei), 
—a—vL Ÿ#%() Ÿx (v) ahééerià 
P 1 [Ya(b)  Ÿkn V1] —« As 
b—0 L Ÿx(b) Ÿx (®) 
_ 1  [hk1@) ki (a) 
n=5-sl HO — ho Lin 
En comparant la dernière formule avec l'inégalité (10) et remarquant 
que 
Lo =, %,_, —=0, 
on conclut que 4 
Pi <0, 


et, à cause de cela, d’après la formule qui détermine la constante y,, cette 
quantité aura le signe contraire à celui de la quantité p, égale, comme nous 
avons vu, à la fraction 
1 Dkr (a) Ÿk | re 
a—v L (a) Ÿ (e) ki 


Î Der (0) Yi ( ce] LR 
5—0 | U@ ÿx (0) PA 











En remarquant que y,, étant le coefficient de x dans un des quotients 
incomplets de la fraction continue résultante du développement de la somme 
n 


Yi 
ZT — & 





doit, d’après le $ 2, avoir une valeur positive, on conclut que pour la pos- 
sibilité de l’hypothèse considérée 


— 606 — 


cette fraction doit être inférieure à zéro, ce qui est directement contraire 
au resultat obtenu dans l’hypothèse 


s—=0, a =0. 
Quant aux hypothèses 

o—=0, oc, —=1, 

a=1l, «, —=0, 


on aura pour ces valeurs de 6, o, et pour /—2k%+-1, d’après la formule (19), 





p=E Si k+0. 


Il en résulte que dans ces hypothèses les équations (13) contierdront 
le même nombre d’inconnues que dans l’hypothèse 


par conséquent, leurs solutions, si elles sont seulement possibles, s’obtien- 
dront par les formules que nous avons trouvées pour le cas 


$ 15. On voit, de ce que nous avons démontré, que dans le cas de / 
impair ils n’existent pas non plus deux systèmes différents de quantités 


satisfaisant aux demandes de notre problème; par conséquent, les valeurs de 
ces inconnues obtenues par les formules démontrées doivent donner le ma- 


ximum cherché de la somme 


X = Up HU +... HU. 


D’après ces formules, pour /—2k-+-1, la résolution des équations (13) 


se ramène, comme nous avons vu, aux équations (4), le nombre » étant 
égal ou à k+-1, ou à k+2. Le premier casa lieu, si la valeur de la fraction 











1 Ÿ&a (a) he (>) | ire 
a—v L ÿx(a) x (v) ki 

1 Ÿx—1 (0) he | ue 
b—v L Ÿ4(b) Ÿx (®) k+1 


est plus grande que zéro, le second cas, si elle est inférieure à zéro. 
Dans le premier cas on a 


Z—= 4, 2 —=L,.... nn NT Bpya — Tps Bio — D, 


, D 2 - Ru 2 PES 2 cs (de 
Vo er À u, —%o,....4, = Hg pus — Vas Wpso = 0; 


— 607 — 


dans le second 


= Lo, À —=L,...: 'inmin/ LE og D , 1) 


: Uÿ = Yo, M Yon UM = que ee Up = Ypo 
où pour 
n—=k+ 1, 
de même que pour 
n=k+ 2, 
on détermine les quantités 


Lo; %,,....% x .Ÿ 


qg—1? F5 RAA n—1? 


Yo) Yi» alt *Yy—1? Yq? #0 Yn_ j 
par l'égalité 





n 
Là Hope Male 1 
Cm a+ 
0 . 1 8 PRET 2 1 1 





D MD nm Ti eme 
n—1 n—1 An © +Pn 


Dans cette égalité les quantités 


M non D, 0.4 
sont égales à celles, qui sont contenues dans la fraction continue 


1 


—— 1 
QU T+ 8, — 


Lo CHbo— te, 1 1 


Mere EN TS PRO ER 





résultante du développement de l’expression 


HT + As. 
FER TS 
la détermination des autres quantités est différente, suivant que n —k + 1 


ou n — k +- 2, Dans le premier cas on a 





Ÿx_, (v) ; 
= — au © 
dans le second cas 








__ Ÿrala)  (b—a) pp ii ri — A — e) (a — tb) 
Pr = ÿx (@) FENTE ES Gui An ur (O — a) pp,” Pr (b — a}? pp 


où les quantités auxiliaires p, o, sont déterminées par les formules indiquées 
dans le $ 14. 


En portant les quantités indiquées plus haut 


2 2 3 
Us Ur. Us Êq 
dans la formule 


X=uÿ +u+....+u 


— 608 — 


et dans l’équation (15), on aura dans le premier cas 
X=Y + tes Hour Lg = 
et dans le second cas 
X=Y+Yy+., Ho LV =D: 
En posant dans le premier cas 


g—1—=4, 
et dans le second cas 
—=P, 
on conclut que dans les deux cas auront lieu les égalités 
X=Y+y +... + Yu L, =; 
il en résulte, comme cela était indiqué dans le $ 12, la formule suivante pour 
la détermination de la somme X au moyen du symbole £: 


Ho 


__ ff ?n (x). 
2=£ 
a —v% 





$ 16. La méthode que nous avons employée pour déterminer le ma- 


ximum de la somme 
qa—+1 


X— > = US +U +... + U 
0 


q 


peut être aussi appliquée à la recherche de la plus grande valeur de la 
somme 


p 
LE 08 2 P] 
> M = + ant... +4 
CA 
En désignant la dernière somme par X,, on a 


p—1° 


p 
ARE + ARR | 2 2 
2e = tant... +4 
CA 
Cette somme, comme il n’est pas difficile de remarquer, se ramène à 
| , 
celle que nous avons considerée, en y mettant p—41—71 au lieu de # et posant 


pt 


APT 
Il en résulte que les formules obtenues antérieurement se ramènent 
à celles, qui ont lieu pour la nouvelle somme, en y effectuant tous les 
changements produits par le remplacement de à par p—i— 1. 


En posant 


4=2, à; be has LE PRE 'Phcnet RCE À FE 1, 


— 609 — 


on trouve, que la somme 


p 
LT 
HR + He | 2 2 
4 > = tr dame. HU 
di 


p—1 


se ramène à la somme 


X,=U0ÿ/+U0ÿ+....+U0, 


ayant la même forme que la somme 
X=uÿ+u +... +4? 
les équations (15) donnent 


440: 


les équations (15)bis deviennent 


2,_,—=4, Z=b, 


mais les équations (13) conservent leur forme avec le seul changement de 
z, u en Z, U, 

Il en résulte qu’en changeant a en b, b en a et v en w dans les for- 
mules obtenues pour 


NN RES 


. p—1 + 
2 2 3 
Us U | A-8A Û 5) 
donnant le maximum de la somme 
X=w tu +....+0 
pour 
=, 
on obtient les formules, qui donnent les valeurs 
2%, TE . 2: 
2 2 2 
DE U;”,....0?,_,, 


correspondant au maximum de la somme 


X,= + U+.... + U 
pour 


7, =%. 


Puisqu’il est clair d’après la composition des formules obtenues dans 
les $$ 8, 9, 10, 11, 12, 13, que les équations qui déterminent les quantités 


25; 2;; . LA Ep) 
2 3 
W, 4, u 


restent invariables, quand on y change « en b, b en a, on conclut que tout 
39 


— 610 — 


ce que nous avons dit sur la détermination de ces quantités est aussi appli- 
cable à la détermination des quantités 


ds; Z;, . 2, _ F2 fe 
2 
Le , Lee CEE À) U p—1° 
Pour cette raison les valeurs des inconnues donnant le maximum 


cherché pour /=—2% ou {—2k+1 seront déterminées au moyen de la fraction 


continue 
1 


QC +B — 





Lo HP — 


résultante du développement de l’expression 


a nl = he ef he par Ci-à, 
. ee D 
Cette fraction, comme nous avons montré dans les $$ 8, 9, 10, 11, 

12, 13, 14, 15, détermine la fraction continue 


1 
a THB, — 





a+... 1 
a TT En T+ B,” 
donnant la solution de notre problème, n étant égal à Æ + 1 ou k£ + 2. 
En désignant par 





Pn (Z) 
Ÿn (æ) 
la fraction simple égale à la fraction continue, on obtient l’équation 
d, (x) — 0 
servant à déterminer 
PAS NME AE 
et la formule 
a _ p(Zi) 
de d'(Z5) 





pour la détermination de U. 
Passant à la détermination de la somme 
X=0 UE; + U, 
et remarquant, d’après ce que-nous avons dit plus haut, que les quantités . 


AE AE A 


forment une série décroissante, depuis Z, — b jusqu’à Z, — w, on trouve au 
moyen de cette formule que le maximum cherché se présente à l’aide du 


symbole £ de la manière suivante: 





28: 


SUR LE DÉVELOPPEMENT EN FRACTIONS CON- 
TINUES DES SÉRIES PROCÉDANT SUIVANT LES 
PUISSANCES DÉCROISSANTES DE LA VARIABLE. 


(TRADUIT PAR R. C. MLODXTETEVSKY.) 





(Lu le 13 mai 1892.) 


eo 


© pasaogentu Ce nenpepubnato Opoér padobr, pacnos 


aofennuxé no Hucxodmmumns cmencnAné nepenrennowr. 


(paroxenie xr LXXI-uy romy Sanncoxe Huneparopcroëï Axaremin Hayrr, Xi 8.) 


een mme 


89* 


de 





Sur le développement en fractions continues 
des séries procédant suivant les puissances dé- 
croissantes de la variable. 





$ 1. D’après ce que nous avons montré au sujet des valeurs limites 
des intégrales et des sommes *), sous les signes desquelles la fonction inconnue 
ne devient pas inférieure à zéro, on voit que ces valeurs s’obtiennent au 
moyen des fractions réduites que l’on obtient en développant la série 


C 
æ 


+i+8 
73 


en fraction continue. 


Les coefficients 
Cos Cir Case» 


dans cette série sont des quantités données, d’après lesquelles on cherche 
les valeurs limites des intégrales ou des sommes. 

Lorsque le nombre des données augmente, la difficulté de déterminer 
les réduites nécessaires de la série 


en la développant en fraction continue, croît rapidement; elle devient même 
insurmontable si l’on veut avoir des formules générales fournissant les li- 
mites cherchées pour un nombre des données arbitrairement grand. 

Jusqu'à présent ces formules ne peuvent être trouvées que dans les 
cas exceptionnels, où, grâce à la forme des coefficients 


(2 C, de... rie 





*) Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux. T, II, 
pag. 421— 440. 

Sur les sommes composées des valeurs de monômes simples multipliés par une fonction qui 
reste toujours positive. T. IT, pag. 561—610. 


— 614 — 


la série 

Co LS DA G + Ge + . , 

x x ÉA 
appartient au petit nombre des expressions dont les réduites peuvent être 
obtenues, à l’état actuel de l'Analyse, sans le secours des fractions conti- 
pues. Dans chacun de ces ces toutes les réduites de la série 

C, C C. 

St MS see 
peuvent être représentées par une formule unique dépendant d’un nombre 


cntier positif arbitraire qui est détérminé par le degré du dénominateur. 
En prenant successivement pour ce nombre 


1, 2, 5,..., 


nous trouvons au moyen de cette formule une série de fractions réduites 
qui peut être prolongée aussi loin qu’on le veut. En supposant que ces ré- 
duites, qui s’obtiennent par la formule générale unique, correspondent au 
cas particulier, où dans la série 


les coefficients 
He 
ont les valeurs 
G= Co, GG, Gps...) 


nous allons montrer ici, comment on pourra en faire usage pour détérminer 
les réduites de la série 


lorsque les coefficients 
GG, Ge 


diffèrent plus ou moins de c,, Ci, Co... 

En nous reportant à ce que nous avons montré sur les fractions con- 
tinues provenant du développement des séries, qui se présentent dans la re- 
cherche des valeurs limites des sommes et des intégrales, nous supposerons 
que la série 


pour 


— 615 — 


peut être développée en fraction continue 
L 1 
CRE ot id 1 
ONE EZ nt arr ARR 
où , 
| | n>0e >0, > 0, . 
En désignant par 


90 (&), Pi @), p2 (x) Led 
Vo) hi)  Ÿ(@) 





les réduites, nous observons, d’après ce que nous avons montré dans Le 
Mémoires cités, que les équations 


b(2)=0, (x) —0, (x) —0,.. 
seront des degrés 
1 PAP. PE: ATTDE 


que leurs racines seront réelles et qu'entre deux racines successives de l’é- 
quation 


du, (æ) = 0 
se trouvera une racine de l'équation 
Ya (® = 0 


pour toute valeur de n. 

Afin de simplifier nos formules, nous nous bornerons à la RER MES A4 
que les racines de toutes ces équations sont toutes plus grandes que zéro, 
comme cela a lieu dans les cas les plus intéressants par leurs applications 
et comme cela peut être toujours réalisé par un changement convenable de 
la variable x. Dans cette supposition toutes les racines des équations 


ÿ,(&) = 0, Wa (x) = 0, d, (x) = 0,. Fi 


auront des valeurs réelles positives, et par suite leurs premiers membres 


h (x), ÿ (x), Y (x), es 


seront des polynomes à termes alternés dont les premiers termes auront le 
signe +, puisque dans la fraction continue 


1 


- 1 
UL+$ — 


Lo + Po — 





232+ 8 — 

l’on a, comme nous l’avons dit plus haut, 

(1) Rod n 0, à, > 0... 
D’après cela, en déterminant les signes des fonctions | 


h (x), Ÿ (æ), Va (&), . Fa 


— 616 — 


pour 
æ—=0, x—=—h<0, t——00, 


nous trouvons que pour toutes les valeurs de #, l’on aura 


@) 1" 4,0)>0; —1) 4,(—n>0; (—1) 4,(—oo) > 0. 
$ 2. Passant au cas, où les coefficients 


‘i RRQ ARE 5 CRT 
de la série 
GO , G Co 
rÉRRE DU FRET 
diffèrent plus ou moins de 

Con Cir Cape 
nous poserons 


CG = Cy — 03 CG=c+e, Gagne en 


et nous désignerons par W, W, les fonctions définies par les égalités 


Re M RES ; 
77 = © € € 
d'ou il vient 
GO , © C Co — € , + , Co — 0 ia 
D Ter AN ne dE = to 10 





dont le dénominateur est du degré » (si une telle réduite existe), désig- 
nons-la par 
Oo» (æ). 
Vn (x) 
Puisque, comme nous l’avons dit, les fonctions 


L(), Lx), Ye)... 
2 dis 


sont des degrés . 


la fonction 
Y,, (æ) 


sera du meme degré que 4, (x) et par conséquent nous aurons 


(4) En E) = 9m Ÿm &) + dm (&), 


— 617 — 


9, étant une constante différente de zéro et 0,,(x) un polynôme dont le 
degré ne dépasse pas »#—1. Avec cette décomposition du dénominateur 
la réduite cherchée prendra la forme 


Om (x) à 
Im Ÿm (€) + Om (&) 





En calculant la différence entre cette fraction et la fonction 
W — Le LŸ 
nous trouvons qu’elle est égale à l'expression fractionnaire 


Wôyn (&) — Qi (&) — (9m mn (©) + 0m (&)) Wo + 9m Ÿm (&) W. 
Im Ÿm (€) + 0m (&) 





Comme le dénominateur est ici du degré "» et que l’expression elle- 
meme, représentant la différence entre la fonction 


W— W, 
et sa réduite 





doit être d’un degré inférieur à — 2m», ils’ensuit que le degré du numérateur 
Won (&) — 0, (&) — (9m Ym (@) + 0 @)) Wo + 9m Ÿm @) W 
doit être inférieur à — "”; or, pour cela il faut et il suffit que la différence 
W0,, (x) —Q,, (x) 
donne l’expression de la fonction 


(On Don (0) + On ©) Wo — Im m &) W 


exacte jusqu'aux termes en æ  ” inclusivement. D’après cela, par les for- 
mules énoncées par nous dans une lettre au professeur Braschmann *) et 
démontrées dans un Mémoire intitulé: Sur le développement des fonctions 
en séries au moyen des fractions continues **), on peut trouver le dévelop- 
pement du polynôme 2,, (x) suivant les fonctions … 


Y (æ), UX (x), +. Vi (æ). 


En effet, en appliquant les formules obtenues dans le $ 10 du Mé- 


moire cité à la détermination du polynôme @,, (x) de degré m— 1 au plus, 
avec lequel l'expression 


W0,,(x) —Q,, (x), 





+) T. I, pag. 611—614. 
**) T, I, pag. 617—656. 


— 618 — 


Q,,(æ) étant une fonction entière, puisse représenter le plus exactement 
possible une fonction quelconque F(x) et en supposant que W se développe 
en fraction continue ; 

1 


RES rer 1 
Ac+bteo-——#> re ES 
A2 Br T+ B;3 +: . 


4 
dont les réduites soient 
P 1 F. L P, 3 


D  Q ? 

nous trouvons 

(5) 0, @)=4 1,0, —A4L,Q+...—(— 1” De Le PR 
où 

+ FIPÈS JASAERES Fa 


designent les coefficients des termes en — dans les produits 
@ F(x), Q F (x), ra *Qn F(&). 


Le polynôme @,, (x) étant déterminé par cette formule et Q,, (x) étant 
convenablement choisi, l’expression 


W0,, (x) — Q,, (x) 


représentera la fonction F(x) avec la plus grande exactitude qui soit pos- 
sible lorsque le degré de @,,(m) ne dépasse pas m — 1. Puisque la formule 


W0,, (x) — Q,, (x) 
donne la fonction 
| F'(x) 


au moins jusqu’au terme en & 7” inclusivement et puisque pour tout autre 
polynôme, dont le degré ne dépasse par m—1, l’exactitude de cette formule 
ne peut pas atteindre cette limite, nous concluons de ce qui à été dit sur 
la détermination du polynôme @,, (x) entrant dans l’expression (4) de W'(x) 
que 0,, (x) doit satisfaire à l'égalité (5) dans le cas, où 


(6) F (2) = (9 Yi (&) + On (&)) Wo — 9m Ÿm @) W 
et | 
he 1 nr 


+ 7% e SL — 
A,2z+B; Aja+Bs+.e. Lo Æ + Po 


Lg THB —*. 
On voit de la dernière égalité que l’on a ici 
A, = 051 mt des AS Guy e c'e 


et que les dénominateurs 


Q.; Qn Qu +9 


— 619 — 


des réduites de la fraction continue 


1 


A x +- D A 
; RC Pa, M7 PEN E :E SEER 
ont les valeurs 


@ ne Vo (), Q; Fe ÿ (&), (A 7 — 4, (©), Q es ds (x). .. 


En trouvant d’après cela 


À, Q@, Lac Œ Lo (), À, Q oc aREE 60 a Ÿ, (x), À, (A pes — (©), . ART 
nous concluons de la définition des quantités 


ARE FOIE ER 
que les coefficients 
A, L,, 4, Li, A, L,,. . 


dans l’égalité (5) sont les coefficients de - dans les produits. 
4 Yo(x) F(x), —a (x) F(x), —a (x) F(x),..., 
et qu’ils peuvent par conséquent être représentés par les expressions 
A L=[aÿ{(e)F(2)],, 4L=—T[ab(e)F(e)], 43L3=— [ast(2)F(2)],,.…., 


: se 1 e 
si nous convenons de désigner le coefficient de — dans le développement 


d’une fonction quelconque V suivant les puissances descendantes de z par 


[V],. 
En portant dans l’équation (5) ces valeurs des coefficients 
4, L,, 4,L,, 4,L,,... 


ainsi que les expressions obtenues plus haut pour les fonctions Q,,@,, @s.…., 
nous trouvons que cette équation devient 


Om (&) = Lou Yo (2) F(2)], Lo(r) + Las (2) F2], d, (&) + 
[as Ya (2) F(2)], W(r) +...+ [a | EE (e) F(2)], LE () 
7. [ce V (æ) (A (2)+ a d,(æ) 4, (2) +... .+ay dE (æ) | re (2)) F (2)],, 


et, en posant 


(7) D(e,8) = on Vo() Yo(e) + a du (2) (e) ++ a, Von: (6) Yes (2), 


nous trouvons 
(8) On =D, (&, 2) F(e)],; 


— 620 — 


d’où, en y portant l’expression de la fonction F(x) définie par la formule 
(6), nous obtenons pour détérminer le polynôme cherché ©,, (x) cette 
équation | 

On (2) = | Dan (8) (4 Vi (ED + Gun @)) 5 — 9m Ya D |, 


ou bien 


On) = 12 (&; 2) (9x Yi (2) + On (2) Wolz — Lim Pi (Es 2) Yi (2) We. 
Dans cette égalité le produit 


WY (8), 


d’après la propriété des réduites, ne différera de la fonction entière o,, (4) 
que par les termes de degrés inférieurs à —#”, tandis que la fonction 
D (x, 2), d’après (7), est du degré m— 1; donc l'expression 


D, (æ, 2) Ÿ,,(e) W 


ET 1 ‘ | 
ne contiendra pas de terme en —; par suite l’on aura 


[In Dh (x, 2) (2 (e) W], — 0, 
et l’équation que nous avons obtenue se réduira à celle-ci 


(9) On (x) cas [Dm (æ, 2) (9 (A (2) vs 2 Om (e)) Wo],; 
où, d’après la formule (7), la fonction ®,, (x, z) est exprimée par 


Do(&) V1 (), + » : Yn _ (&) 


sous la forme d’une somme de # termes symétriques par rapport à #, 4 
et dont les degrés par rapport à chacune de ces deux variables ne dépassent 
pas m— 1]. 

Il n’est pas difficile de trouver l’expression de cette fonction sous la 
forme d’une fraction très simple ne contenant que V1) Vin @). 

Pour cela nous observons que l’équation (7) multipliée par x donne 


2D, (@, 2) = œ 20 (2) Vo (2) + 3 24 (0) Ya (8) + + en Drm 1 (©) Vi à (8) 
Comme les dénominateurs 


Dr), W(@), Left) + Ym_ (hr Ÿm (À) 


des réduites de la fraction continue 


1 


FRE eee 1 
LH, — 


THB ar —- 
satisfont aux égalités 


Lo(e) = 1, 4, (x) = (a, 2 + B:) Yo (x), V(&) = (a, © + 6) ÿ @)— (x), 
lies > Yan = (er + Bb) Li (2) . Lu, (©), 


— 698 
d'ou il résulte 


a COUR (x) = ÿ (x) — 8 V (x), 
24, (2) = Ÿ, (2) — LB Ÿ, (x) + Lo (x), 


Ly Dm (æ) EE Ln (x) 10 Br LES (æ) w : (æ); 
cette équation se réduit à la suivante 
2D,, (æ, 2) = [hi (x) — 8, Ÿ (2)] Lo (2) + Lh (e) — Be Ÿ Ce) + (2) d (2) +. 
ee + [hu (2) — Bon Van à (0) + Yan ©] mn (2): 


En calculant de même le produit 


2D,, (x, 2), 
nous trouvons 


2D,, (x, 2) = Ch, (2) — B Ê PA (2)] (A (x) + [da (2) — Ba d (2) + L (2)] d, (x) +... 
+ [dm (2) gré _ | RS (2) he à , PCR (2)] AE (x), - 


ce qui, rétranché de l’égalite précédente, donne 


(& ass 2) eu (x, 2) _— | REC (2) (Un (x) ue Un (2) bn (x). 


En divisant par æ—z, nous obtenons pour déterminer la fonction 
D, (x, 2) la formule 





(10) D, (a, à) = Ÿ=1 (0) Von (8) — Van (8) Vm— (9), 


X —2 


$ 3. Passant aux applications des formules que nous venons d'obtenir, 
nous commencerons par le cas particulier où la série 


se réduit à la fraction 


ce qui a lieu pour 


.! M6.) Mt 
© —= 7?  — 7? x Red : dire 


Nous supposerons la quantité 4 toujours positive et 77 quelconque. 
En posant dans ce cas particulier dans la formule (9) 


W, - 


ADS 


— 622 — 
nous obtenons pour déterminer le polynôme @,, (x) l'équation 


On (x) a 2 (x, 2) (9» Yan (e) + On (2) 55) . 


Pour en déduire l’expression du polynôme cherché @,, (x), nous obser- 


vons que la fonction 
In Ym (2) + 0m (2) 
H(s+h ? 





après que l’on en a retranché la partie entière 
p 





Im Ÿm (2) + + On (2) — Jin Ÿm (= — h) — 0 (— h) 
H(e+h) ? 


qui n’influe pas sur la quantité 
1 
[,, (x, 2) (9 D (2) + 0n ©) rm le 
se réduit à la fraction 


: Jm Ÿm (— HEIN EEN 
H(2+h) 





ce qui donne 








(] mm) + 0m (— 2h) TOmn(e 
[S, (x, à) Im Lu É 5" (2) = a | m | u m(— À) nee). 


Si de même nous retranchons ici de la fonction 


Dm (&, 2) 
2+h 
sa partie entière 
Don (5) — Dig CE, D), 
2+h 





nous aurons 


—h}+ 0m _. 
LD, (@, 2) (ou bn (2) + Ou (2) prop = D Fm D 


2+h 





D'où, en vertu de l’égalité 


a] = S,,(&, —h) 


2+h 
il vient 


LD, (2, 2) (an bu (2) + On) 7e = D (x, —h} 


par suite, l’expression du polynôme @,, (x) que nous venons d’obtenir se ré- 
duit à celle-ci 





0, (x) PS Yan (— che Om (— À) GB, (x, Fou h). 





Nous déterminerons la constante inconnue qui figure dans cette expres- 
sion de la fonction @,,(x), en observant que pour x = — elle donne l’é- 
quation | 





On) == D D D (hi, — 7); 


— 623 — 


d’où l’on obtient 


Yan (— h) Dm (= h, — h) 
On (— D) = 2e à 





En posant pour abréger 
(11) D, —h —h)=14,, 


nous avons d’après cette formule 





— h) H, 
01) = Sn ED) En 


et l’expression obtenue pour @,, (x) se réduit à la suivante 





(12) 0, () = 2% nel pas A. 
En portant cette expression du polynôme 4,,(x) dans l’égalité (4) qui 
détermine le dénominateur W',, (x) de la réduite 
Q,, (x) 


Win (&) 
de l’expression 


Fe W,, 


dont le degré est égal à #, nous trouvons que dans le cas particulier que 


nous considérons, où 
1 
M" 


— H@&+h) 


ce dénominateur est détérminé par la formule 





; —h) Oyy(e, —h 
(13) y, (x) =y, de (x) + 2» Ÿm Tree ), 


Quant au numérateur Q,, (x) de cette fraction, nous le trouverons en 


multipliant W—W, par à, (x) et en négligeant dans le produit les termes 
de degrés négatifs. 


$ 4. Les formules que l’on obtient de cette manière pour 
V,@), O,, (x) 


contiennent le facteur constant g,, qui reste indéterminé, 
Comme c’est un facteur commun des fonctions 


O, (&), W,, (&), 


Q,, (x), 
Yy (x)? 


il disparait daus la fraction 





il reste done complètement arbitraire, si, en determinant les fonctions 


Pr), Q,,(t) 


— 624 — 


on n’a en vue que de faire approcher le plus possible la fraction 
Q,, (x) 


(æ 





$ 


de la fonction 
1 
Lies: +)’ 


comme nous l'avons fait jusqu'ici. Passons maintenant à la supposition que 
la fraction que nous considérons 

O,, (x) 

Ty (x) 





s'obtient du développement de la fonction 


1 
ir H(x+h) 
en fraction continue 
L. : 
Ho 
US Vu . 
où 
: Qu As 31 
sont des fonctions entières. 
En désignant par 
PF, P P 


+ 4... 
ue | Qo° À @ 
ses réduites, où 


(14) d= 1, =, D à 


nous observons que parmi elles il doit se trouver une fraction dont le déno- 
minateur est du degré ", si la différence | 


HT 


n’est pas nulle. En effet, on pourra déterminer ici par la formule (13) un 
dénominateur du degré "” tel que la fraction 


Q,, (x) 
; Win (&) 

donne l’expression de la fonction 
1 

W— H(x+h) 
à la quantité 
1 

y? (à) 


inclusivement près, et cela ne peut pas avoir lieu si la fraction 





n'appartient pas à la série 


o 


— 625 — 


des réduites de la fonction 
à : 


| (æ +h)’ 
obtenues par le développement de cette fonction en fraction continue 
1 
US 1 
14 
q Fes. 2 
4 a 43 — 


Il en résulte que, le facteur constant g,, étant convenablement choisi 
dans la formule (13), cette formule fournit la fonction W,, (x) égale à l’un 
des dénominateurs 


Qur Qu ss. 


De là, en répétant le même raisonnement après avoir remplacé m par 
1, 2,...Mm— 1, nous concluons que, les facteurs 
UT a - Ld Im? Jun 


étant convenablement choisis, la formule (13) fera connaitre les fonctions 
V@, P@)...,_@) Th), 
qui ont leurs égales dans la série des denominateurs 


Q (2 QG: D 


lorsque aucune des équations 


(15) H=H,; H=b,,.; .H=H, ,, H=H,, 
n’est satisfaite. 
Puisque les degrés de ces dénominateurs forment une série croissante 


et que les fonctions 
V@), FG@)...Yh_,@), Fh(), 


d’après la formule (13), sont des degrés 
1, 2,...Mm—1, M", 
les deux séries de fonctions ne peuvent coïncider que si l’on a 
(6) V,@=Q, PQ) = Que. nn @ = mir TO = On: 
ces egalités nous serviront à déterminer les facteurs constants 


UE Ja hr; T1) T° 


qui entrent dans les expressions des fonctions 


F,@), F,@),...F,_(@) F,(@). 
40 


= Ge — 


$ 5. Passant à la détermination de ces facteurs, nous observons que, 
d’après (14), les égalités (16) ne peuvent avoir lieu que dans le cas, où les 
quotients incomplets 
dis Das. AU PA 


contiennent æ au premier degré et où, par conséquent, Q, est représenté par 
la formule 
A = Pn T + On 


Pr 5 étant des constantes. En portant cette expression de q, dans l’é- 
quation 


Q, . On Qi One) 


à laquelle d’après (14) doivent satisfaire les dénominateurs CAES CRE 2 5 
nous trouvons pour n < M, la relation 


Q, GE Q,_ (Pa Er 5) ns (4 EUR 

qui donne d’après (16) 

V'O=T,: (0) Gare) Wie). 

Pour en déduire les équations qui déterminent les quantités 
| Gi Jar + -Jm_1r Im) 
introduisons-y les expressions ms fonctions 
V,G@), Y,_,@), Y_,(@) 

que nous tirerons de (13), en y a 

D, (æ, ces h), D n— 2 —h), O _(@&;, ny h) 


par leurs expressions que nous obtiendrons | (10), en y posant m —n, 
n—1,n—2. Cela nous fournira l’équation 


g E (x) 0 Yn—1 (— À) Ÿn (&) — Ÿn (— À) Ÿn—1 @ 


x+h 








— 4 (o, Re A (x) nie — D) bn_2(—h) Ÿn 1 (©) Ÿn—1 (-h) eat] 
on —1 n—] 





H — Hh_:; æ+ h 
n—2(— h) Ÿn—3 (Ch) Vn— n—2(— h) Yn— 
—I_, |  (e) + Yet . D 2 3 (— h) Ÿ er 2(— à) Ÿ ®; 


d’où, en multipliant par æ +, nous déduisons 
[An Ÿn . — In (67 € + 7) V1 À) + 92 Ÿn 2 @)] +R) 


+ 9n RO [he C0) Ya (a) — (7 Ÿ Go] 


man Eee (bu TH Sn) [d., ( À: 2. h) RES (æ) fois | HE Cu h) LEO @) 
) 


dns 1 Un ED de I 0 





— 627 — 


Dans cette formule les fonctions 


: PERS (x), | PAP (x), d (x), 
étant les dénominateurs des réduites 


Pn—2(2), Pn—1@), Pn @ 
Una) Ÿn—1 (x) Ÿn (æ) 





de l’expression 





sont liées par l'équation 


(17) PE) = (y 5 + Bn) Ÿn 1 (@) — Ÿn 2): 


Par suite, le facteur qui multiplie x+-h devient par l’elimination de 4, (x) 


(@, 99 —Pn In) Ln_ 1 + nn — nn) Ÿn-1 E) + (One In) Ÿn—2 (E)- 


En observant que le produit du premier terme de cette expression par 
x+h est du degré n+ 1 et que les degrés de tous les autres termes de 
l'égalité que nous considérons sont inférieurs à +1, nous concluons 
que cette égalité ne peut avoir lieu que si ce terme disparait et que par 
conséquent on doit avoir 


(18) a, 4 — On In = 0 
Cela posé, l’égalité dont ils’agit se réduit à celle-ci: 
n In— 1 (—h) Ÿn_2(—h 
[6, In — Tnn-1 — ins = TTu CET 1] œp,. (x) 
: n In—1 ni Ch 
eg [9 —9, + nf Te un | nn. (x) 


n nr? A nIn—-1 Tn—I1\T n— —h 
+ [A Bugs g,)— #2 ED < x n. as . 1 bn, (&) 




















. m1 Ÿn—1 (Ch —2 Yn—2 (à) Ÿn—3 (= À 
cs [r (died Le CnJ er ) + In 2 Ÿ 7 ns . a ( 1 db, (x) 
In Ÿn (— À) Ÿn—1 (— X) In—2 Ÿ?n—2(— h) 
— H—H, : (DR (x) Rae AH, Vs (x) = 0. 


Pour en chasser les produits 


a, (&), fn, (), 


nous trouvons d’après (17) 





Pin à (x) — Ÿn (Z) — Bn = (@) + bn — (@), 


et, en remplaçant n par n — 1, 





æŸ 2 (x) = Ÿn—1 (@) — Bn—1 Ÿn—2 (2) + ns (e), 
n— 


(PSE 
40* 


— 628 — 


En portant ces valeurs des produits 


æ}, —1 (x) 2? a, —2 (x) 


dans l’égalité en question nous obtenons 





n0nà à (=) V9 (A7 Ÿn (6) — Br V1 (2) Vn-— 
[8 Inn In —" 7 ins “ | _— je ae + 


su [an — I + Pn ÊR a gr R)] Ya (&) — Le Sn (x) + bn 3 (x) 


n ên — nIn—1Yn— Nn—2 1 
+ [2 (Be 9— Ga 91) — M | —°n3 ns 7] 4 @) 


Sn In--1 Ÿn—a (= À n—2 Yn—2 n—3(—h 
+ [A (9 ,— 0) + Dem 9 2 Ÿ RS a ( 1 db. (&) 


n Ÿn (= h) Ÿn—1 (Ah PRE —9(—h 
4 In Ÿ Pet 4, (x) —£2 RE ) L, _,(@)=0. 




















Le premier membre de cette égalité est la somme algébrique des fonc- 
tions 


(R (x), PE (x), (RER (x), Wu (x), 


multipliées par des constantes qui doivent se réduire à zéro pour que cette 
somme formée des fonctions 


Un), Ya) ne) ns @), 


n, n—1, n—92, n —3, 
s’annule identiquement. 


de degrés 


D'après cela, en rassemblant les termes en 


Y (&), gs (x) 
et en égalant leurs coefficients à zéro, nous obtenons ces deux équations 


Bn In Sn In—1 __ Pn In—1 na (— À) Ÿn—2 (— À) In Ÿn (— À) Ÿn—1 (— À) 











An an (H— Hn_)) De H — Hy <a D 
In—2 en na Pn In—1 RE (— D In—2 ne (= h) = 0 
En—1 an. (Hi) Hé Bas 


En y mettant, d’après (18), 
In 
In—1 


% 


à la place de ?,,, nous avons deux équations qui nous donnent 








Ÿn me Ve — h) 
(9) n me 1 [Br …. Ÿn st 1) ( : Ars mi) 
(20) fn. HE Mn H=Hyin— Le ns EM 





In—2 Que Hp H— Hi; -4 Ÿn— (— h) 


Les quantités 
H 


n—2) 


H, H 


——] 2 


qui y entrent s’obtiendront par la formule (11) pour m—=n,n—1,n—2. 
En portant dans cette formule l’expression (7) de la fonction 


D (x, 2) 
et en y posant »m —n", nous trouvons que Æ, est déterminé par la formule 
(21) H,=a4)"(—h)+at (2h) +... Had, (—h). 
En remplaçant ici n par n—1, n—2 et en comparant les expressions 


de H,, H,_,, H,_, obtenues de ces formules, nous observons qu’elles satis- 


font aux équations 
s, a De La ra n —1 (—h), dr Ed 7 FRAC Ln_ de Ce h), | 
qui donnent 3 


an Ÿ” (—t)=H,-H, ;; Un Dans (4) 4H, —-4,_,; 


n—1 n 
par conséquent l’expression du rapport 


In 


) 
In—2 


se réduit après l’élimination des quantités 
L Re Gr h), an _, pr ce h), 


D CR 
One (EH) (E— En) 


à celle qui suit: 








En y posant successivement 
n=M, Mm— 2, m — 4,. ..Mm— 2p + 4 


et en multipliant entre elles les égalités résultantes, nous obtenons, les ré- 
ductions faites, 


Gomme (H— Hype (H— Hope 
Im—2p+2 (A Hp) (4 — Hyp—2) (4 — Hype. .(H— Hyn—2p+-2) 





En posant ici 
m—2p, m—=2p — 1, 
nous trouvons 





Gap (EH Hop) (H— Hop) (H — H3 
Ge CE Hop) (A Hp (HA — Hop. (H—H) 
Jp—1 (EH — Hop) (A — Hyp—4) + (H — H,Ÿ 





OS —(H— Hip—1) (H— Hp—3) (4 — Hop: (H— 4) 


— 630 — 


$ 6. Les quantités g,, 4, qui entrent dans ces formules sont détermi- 
nées, d’après (16), par les égalités 
V@)=Q, Y,(@) = 0; 
qui donnent d’après (13) 





à) ©, (æ,— 
nd @) + 9 1 Fe = Q,, 


—_}) O, (&, —h 
Ga (o) + HACIE = Q,. 





En observant que, d’après (7), les degrés des fonctions 


®, (æ, — h), D, (x, 50) 


(x), dx), 


sont inférieurs à ceux de 
nous concluons de ces égalités 


A 
VA — lim. LÉ | en UE aura lim. LE (x) x = co" 


Cela montre que les quantités g,, g, sont égales aux rapports des coef- 
ficients des plus hautes puissances de x dans les fonctions 


Q, ht), Qu Ÿ:(&), 


que nous obtenons, d’après le $ 4, en développant les fonctions 














Sais Co C C 
Wei rs. 
DR FAUNE MN De Rte: à ÉRRSS 
W—W= +++ HG 
en fractions continues, 
Comme on à ici 
=; 
Li æ à 1 
LPS RS 8 
Co Co Co x +. 
Co C2 — Ci? : 
1 . 
Pet Hx _ _ H(H+h) 1 
CoH—1 (co H—1}$ (Co H— 1} 





Ho H—1)@H—-W-H@QH+h 


nous avons dans ce cas d’après nos notations 
si. PL. 
4". @ a co — 
Les LS Se À ER EL 
4, (4) =; hoO=S AE LOS A +...; 


Q.— Hz H(c H+h), 0. (Co H — 1} à? 
17 co H—1 (co H— 1}? ? LEE 








H[(Co Ce — €3?) H— co h?— 20, h — 0] RARE 


— 631 — 


D'où il vient, d’après ce que nous avons dit sur la détermination de 


Ji as 5 
di 0 A (Co H— 1}? (Co C2 — 1?) 
nm Co H—1?. PT Co? H{(co Co — C3?) H — co h? — 20, h—0c,]’ 





et d’après (21) se 
H=e Y(— 7) = 3 


; ee on 
He, VC) + 0 D) = + 


En tirant de ces dernières égalités 


SN 2 ii T à 2 
= HF GR+2c h+c= (cc —0c) H, 


et en portant ces expressions dans celles de g,, g,, nous aurons 


.. H:. . OH ] 
hTH-H NN" HA-H) 


« La LA LA ; g 
après quoi les formules obtenues au $ précédent pour les rapports ae 
2 


donnent 





Sr 1 é DA Hip) (A Hyp—3)- ..(H— Es) 
Jp sg tie Hp) \H — Hip—2) (4 — Hyp—4).  .(H — H,) ? 
A H F — Hop—2) (H — Hp—4) ..(H— =) 

PME Hp—1 \H— Hyp—3) (4H — Hyp—s).- (H— H)) 


(22) 





Ces formules déterminent les facteurs constants 


ir ave 12 
qui entrent dans les expressions (13) des fonctions 


YV,@), Vi). ..#, (à), 


lorsque les réduites 
Q, (@ (tr) On) 
Ve) V@)  Wné) 








de l’expression 


se déduisent de son développement en fraction continue 


1 be 
FE PR Rd » 1 
PmT+Om —° ce 








Jap—1 
Hs: sm 
CA 


— 632 — 


Quant à la détermination des quotients incomplets de cette fraction, 
nous tirons de (18) pour »m = 2p, m— 2p — 1 


Jap J2p—1 


Pap — ap J2p—1? Papa  Fap—i RER 
et il vient de (22) 
ke (4— Hp} Ê — B,p-3)...(H— H;)(H— 2) 
Rep  ep HE — Hp) A — Hp 9. (— H) H— H}) 


NE H? (H— H,p—2) Ê — Hp—4). ..(H — H,) (H — 2) 
Pop—1 HS Lop—i H— Hp (H= rad D PR A: 











Ayant ainsi déterminé le coefficient p,, dans le quotient incomplet 
p m < Ho nr © } mn? 
nous trouverons o,, par la formule 
ne Yom (0) Ÿmih 
Cm © Po [En + VCD Ge) 


qui s’obtient de l’égalité (19), en y portant d’après (18) 2 à la place de ë 
: n 
et en remplaçant x par ». 





In 
n—1 





$ 7. Dans le cas que nous considérons les quantités 


PPS PORN - el 


sont positives, d’après le $ 1; donc les formules que nous venons d’obtenir 
donnent, comme on le voit aisément, 


nh>0,p>0,...p,4 > 0, 
si À à une valeur quelconque, négative ou positive, supérieure à 
FER RES : 


En nous bornant à ces valeurs de AH, nous concluons de ce qui a été 
dit au $ 1 sur les fractions continues dont les quotients ne contiennent que 
la première puissance de x avec des coefficients positifs, que toutes les ra- 
cines des équations 


V(@)=0, V,(&)=0,...W, (&) = 0 


sont réelles et qu'entre deux racines voisines de l’une quelconque d’entre 


elles 
Y,(@)= 0 


— 633 — 
se trouve une racine de l'équation 
Y,_.,(æ) = 0. 


On voit de là qu'aucune de ces équations n’aura de racines negatives si 


dans la dernière équation 
Va (x) = 0, 


qui, d’après (13) et (10), se réduit à 


ch te R He ee 
(23) ÿ, Go) + PC 9 10) Vin (9) = VD Va) 0, 


toutes les racines sont plus grandes que zéro. 
Pour trouver les conditions sous lesquelles cela à lieu, nous observons 
que, d’après le $ 1, entre deux racines voisines de l’équation 


Un (x) — 0 


se trouve toujours une racine de l’équation 


pos (x) — 0, 


et que par conséquent la fonction d,,_ (x) doit changer de signe dans cet 
intervalle; mais comme la fonction 4, (x) s’annule aux extrémités de l’in- 
tervalle et que 4,,_, (x) change de signe, le premier membre de l'équation 
(23) change évidemment de signe dans cet intervalle. Il en suit que dans 
chaque intervalle entre deux racines voisines de l’équation 


Un (x) = 0 


se trouvera au moins une racine de l’équation (23). Cela posé et eu égard à 
ce que l’équation 





Yn (x) = 0 


a m racines qui sont toutes positives d’après le $ 1, nous concluons que 
l’équation (23) a au moins m—1 racines positives; donc, étant du degré "”, 
elle ne peut avoir qu’une racine négative. Mais l’équation (23) ne peut pas 
avoir une seule racine négative, si son premier membre a pour æ — — co 
le même signe que l’expression 





ui et ses PS 
Un (0) si Yan € _ Yom ( h) Ÿm (0) 2 Yan ( h) Don O), 
qui représente sa valeur pour x = 0. 

En observant d’après sa composition que pour 3——0 il a le même 
signe que son terme le plus élevé 4, (x) et que, d’après (2), 4, (— co) et 


— 634 — 


Y,, (0) ont le même signe, nous concluons que l’équation (23) n’a pas de 
racine négative, si le _ des quantités 





Vn (0), Un (0) + —_ Ÿm—1 (= h) Ym (0) — . Ym (— À) Ÿm à (0) 


est positif et si, par en a lieu l’inégalité 


Van 0 2 Van (7) Ye © — Vin (0 Ym Os, 9 
Œ— Hy) Pm O) Ù 


Comme on a, d’après (2), 





1 + 


tn 
YmO > 0 


et que, d’après (7), (10), la Ru 
Yon —1 (re h) Ÿn (0) ms Ÿyn Cm h) Ym—1 (0) 
| h 








est égale à la somme 


y Yo(— À) V0) + ah (2) (0) +... + a Yom CA) Yon (O) 
dont tous les termes son positifs d’après (1), (2), on peut diviser cette iné- 
galité par le produit 

Yan (— 2h) Yan—a (— R) Ya (0) — Ÿm À) Ÿm—1 O, 











Yo (0) h 
après quoi elle donne, en transportant le premier terme au second membre, 
1 __ Ÿm (0) h 
Er GT EX TC 


En observant que, lorsque cette inégalité est satisfaite, a 





La (x) + ÿn Ce > Ym—1 (— À) Yan ( ee (— h) Yon () 
n’aura pas de racines rue nous concluons que pas une seule variation 
de signes dans l’équation 
Yan (@) = 0 
ne sera perdue par l’addition au premier membre des termes qui forment le 


polynôme 
QC 4) ni) ni @)— Dm (2) Ÿm (), 
m 


æ+h 





multiplié par 
1 
H—Hy 
si cette dernière quantité est plus grande que 


_Ÿm (0) _ (0) ; h 
dm) Ÿm— (— X) Ÿm 0) — Ÿm (— À) Ÿm—1 00) 


$ 8. En revenant au cas général, lorsque les coefficients 





Co» C) Cas LE 


de la série 


sont complètement indépendants entre eux, nous désignerons par 
° Ki"), K;°, E), Le KM) 
les valeurs absolues des coefficients qui multiplient 


EP, D... 


Ÿ, (&) 


dans la fonction 


pour » quelconque. 
Comme, d’après le $ 1, dans les polynômes 


W(&), L(2), (x)... 


les termes ont alternativement les signes +- et — et que les termes le plus 
élevés ont le signe +, la fonction d, (x) sera représentée pour une valeur 
quelconque de » par la formule 


(25) 4,(@)= Ka" — KO, a 4 RU a, + KU) 
=> ÉPUROS (i= 0, 1, 2,...n). 
En calculant d’après cette formule les produits 


a Vo(&) Poe), dx Yi () Yi (2) «+ ed Yom 1 (E) Vin à (8) 
où, d’après (1), on a 
mn a DO Lo > 0; 


nous observons qu’ils se réduisent à des sommes algébriques de termes 
qui contiennent æ à des puissances inférieures à # et que le signe du 
terme en 

dv Lt 
est défini par le signe de 


(— 1 }ÿn—i, (— 1)", = (— 1)o+i,. 


D'où l’on voit qu’en portant les expressions de ces produits dans la 
formule (7), on obtiendra une équation que l’on pourra écrire ainsi 


(26) Pr D = D D (De, à) a din 
(, = 0, 1, 2,...m— 1; 5, —=0, 1, 2,...m—1), 


en désignant par 
(&,, 4) 


— 636 — 


la valeur absolue du coefficient de x x. Si nous portons cette expression 
de la fonction ®,, (x, z) dans l’équation (9) et si nous observons que l’on 
a ici | 
W=t—i+i— .….. TS (—1) Cr DT Te: 
h. (x) = Fes 1) 7 K°? x’, 


( = 0, AN PNDER im 0, 1; dj s .M), 
nous trouverons 


On es [9 m De Ce Hit . (t,,.4,,) er K;"? x” re) 


NS N ED (6, à) er 0,0 ° ss 


Mais en représentant les coefficients du polynôme cherché @,, (2) sous 
la forme 


(— de. Je Are (— FE Tm À ER PS | (— 1) Im Le 
nous avons 


(27) On &) = 9m D 1) 7,2 M0, 1, 2,...m—1), 
ce qui, porté dans l’équation précédente, donne 

Dr m— | 

=I DST CR Lots ‘] 

ISSN NC EE, Here |. 


z 


z 


Pour trouver les valeurs des termes du second membre de cette éga- 

lité, nous observons que dans les sommes contenues sous les signes [ ], les 
1 . : . . SA 

termes en — qui en déterminent les valeurs s’obtiennent dans la première 


INIST PU I de 
> >>> Er sad +1 (i,, i,,) es K," x” Pa à 1 


sm 


somme 


pour  — + 4,, et dans la seconde 
CL “à HN tÉ + à | Un NH —Ÿ —1 
DDDD DT 6, 8) e Foar a? 


pour & —n-+2,. Mais en écartant tous les termes pour lesquels ces rela- 
* tions n’ont pas lieu, nous trouvons que la formule que nous considérons se 
réduit à 


+ (—1) 7, a mu Line (,, 5,,).e, ni K,") di 
HS DS ER (&,, 4) or .. gd. 


— 637 — 


Les deux membres de cette formule sont des polynômes en x du degré 
m— 1 qui doivent être identiques. En déterminant les termes en 


m —1 m—2 0 
+. 


dans les deux polynômes et en égalant entre eux les coefficients des puis- 
sances égales, nous obtenons les » équations suivantes 


=) DS (m-1,i,)e,, EAN TS (ml i,)e . Ye 
,=(-1)" + (m—2, i,,)e. âne KHSS (m—2, i,,) En, a 


. 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 ee © ee 


0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 © © © 


F6 >> (A, 4%) Gr, K;" ex (5) ns, LT 
MST One, A+ ST, ie; K 


qui déterminent toutes les » inconnues 





Hi Bi LE M, 


m—1) m 
qui, d’après (27), figurent dans l’expression du polynôme cherché 4,, (x). 


On voit d’après la composition de ces équations que si 


Co» GE Ca « . + Cam —1 


sont infiniment petits, les quantités 


A NS JORCES 708 


M—1)2 m 


auront également des valeurs infiniment petites dont l’ordre par rapport à 


Cor C1s Cas.» ° Cam —1 


ne sera pas inférieur à un; donc pour ces valeurs de 


Co) Cu) . + Ces 


les dimensions des derniers termes dans les équations précédentes ne seront 
pas inférieures à deux; par conséquent, en les écartant, nous obtiendrons 
de (28) ces expressions, exactes jusqu'aux termes du premier degré en 


Co) Ci .. Com: 


— 638 — 


—=(— 1)" DD (m—1,i,)e i+i, K", 
—(—1)" "226%? é)e,, K°, 


nn. 


Y,=(—1)" S Ya Le, KM, 
F=(—1) DS 0,i)e,, KM. 


En portant ensuite ces valeurs approchées de 


VTT Ps 


mMm—1? m—2)° ° 


dans les derniers termes des équations (28), nous obtenons pour exprimer 
ces inconnues des formules exactes jusqu'aux termes du deuxième ordre. 
En poursuivant ces substitutions, nous pouvons trouver les expres- 
sions de 
É 


m—1) 


ARE NET #8 2 


exactes jusqu’à tel degré que nous voudrons. 


$ 9. Mais au lieu de nous y arrêter, nous allons montrer à présent 
comment on pourra obtenir une limite supérieure des erreurs provenant de 
la suppression des derniers termes dans les équations (28), pourvu que les 


quantités 


(2 € 


€ € 39° ° * “em—1 


12 


ne dépassent pas certaines limites, qui, comme nous le verrons, s’obtiennent 
aisément dans chaque cas particulier. 
En désignant les valeurs absolues des sommes 


> mi), K7, > > CAD 


pour »# quelconque par 


10: 
les valeurs absolues des inconnues 
LL. Ait 2 
par 
RASE PORPERRES is Mes 


par M la limite supérieure de ces dernières quantités et par 


celle des inconnues 


— 639 — 


dont la valeur absolue atteint la limite M, nous observons que l'égalité 


En 1 > (v,4,,) e +4, KO >> 6, 4) es, Le 


que l’on obtient de (28), ne pent avoir lieu que si 
(29) M<T, + U,. 
Comme, d’après le $ 8, l’on a 


(n,i,)2Z0, 
la valeur absolue de la somme 


D ohie 


ne diminuera pas, si nous y mettons à la place de e,,:, sa valeur absolue et 
à la place de it la quantité M, qui représente d’après nos notations la li- 
mite supérieure des valeurs absolues des inconnues 


+-4, 3.6 


NS RUN den 1 


m 


Par conséquent nous avons 


(30) U,<$, M, 
en désignant par 5, la somme 


S Sri 


que l’on obtient lorsque des deux signes + l’on garde celui pour lequel on 
SE Eye, 7 0. 
D’après cela, en désignant par 
TE 
les limites supérieures de 


PE Dee: Oh 0: 


4 FR is: ? T,, T,, 


: m—1? 
nous avons 

U,<SM; T,<T; 
ce qui donne d’après (29) | 


M<T+ SM. 
De cette formule pour 
ea 
il vient 
(1) ME Es 


— 640 — 


ce qui, d’après la signification de M, détermine la limite supérieure des va- 
leurs absolues des inconnues 


y, 


m—1)? F 
Quant à l’inégalité 


M—22° °° 1° 


SA, 


dont, comme on l’a vu, nous avons supposé l’existence en déterminant la li- 
mite supérieure M, et où S est la limite supérieure des quantités 


So. 


U 
S . 


m—1 ? 


cette inégalité aura lieu si les quantités 
De. 
ne dépassent pas les limites pour lesquelles 
De LS 


Quant à ces dernières limites, elles peuvent être trouvées dans chaque 
cas particulier, puisque les sommes | 


S S 


m—1)? m—2)° ° 


D 5 
s’annulent évidemment pour 


=, e, = 0, env... Emi — 0. 


En supposant que les quantités e,, e,, &,,... ne dépassent pas ces li- 
mites nous aurons 


| . 
M£ =; 
d’où l’on trouve d’après (30) 
ee à 
(32) V,<T- 


Comme d’après nos notations U, désigne la valeur absolue de la somme 


D > (n, #,r) PER Re Y,; 


cette somme sera contenue entre 
— de, + LL, 


et par suite, d’après (32), entre 





— 641 — 
Cela montre que l’équation 
G3) Z=—WSTuie,, KM+D Die, X 
que l’on obtient de (28), donne 
Lei" (i)e,, K 
El 


1 — 


près. En posant successivement 





n=Mm—1l, m—2,...1, 0, 
nous trouverons ainsi, pourvu que 


&, Gi Gics 
satisfassent à l’inégalité | 
S< 1, 


les valeurs approchées des inconnues 


; . 


m1 m2. 


h, EL 


et les limites de leurs erreurs. Nous concluons de là que sous cette condition 
l’on pourra satisfaire aux équations (28) par des valeurs finies de 


à CR > PR Es a ,, 
et que par suite, d’après le $ 2, on pourra déterminer le polynôme 


Tn (@&) 
du degré m tel que la fraction 


Q» (x) 
Tnt)’ 





Q,, étant convenablement choisi, représente la fonction 


W W. Co Q +e Co — € 
PAT 0 — : ES 1 2 lisse 2 3 Bip 
x æ æ ÿ 





. Lie : 
jusqu’au terme en =; inclusivement. 


Cela montre que 


Q,, (x) 
Ym(x) 





sera une des réduites de cette expression; par suite, si 
A de 


il doit se trouver dans la série de ces réduites une fraction dont le dénomi- 


- vateur sera du degré m. 
41 


— 642 — 


$ 10. Nous allons nous occuper maintenant de l’application des for- 
mules obtenues au cas où les quantités 


CAPE PO MNT. MINES 


sont renfermées entre les limites 


1 h h? R2m—1 











e du. + de LR 
FA Fr: LE : ROSE dE H, ) 


H, h étant positifs. Nous admettrons que la condition 
Sci 


soit satisfaite, ce qui exige, comme nous le verrons, que la quantité Æ, ne 
soit pas inférieure à une certaine limite qui sera indiquée plus loin. 
- Comme, d’après le $ 8, les quantités 


(ne, 73 À él 


ne sont pas plus petites que 0, le maximum de la valeur absolue de la somme 


pi À (n, 2,) €. F3 K,") 











lorsque 
ne dépassent pas les limites 
1 h h? h2Mm—1 
—  —— ne — — —— . 2 a 
He: H5° Ho FA 
ee Lei 
He n° FDL LE D F: À ? 
s’obtiendra pour 
a | A CARE OUR eus 2 
jé SEE: ÉÉTR : 7 aa 22 Gent TE ; 


nous aurons donc d’après le $ 9 


: hi +in 
FD (, à) 7 Ki, 
ce qui donne 
'; 2, A \! (m) î \! . ü 
(34) (Re > (n, à) ". 


Pour trouver la somme 
DA 


observons que de l'équation (25) on obtient pour n—=m, æ — —4 


da = (I D AN hé; 


— 643 — 
d’où il vient 
DRM R=(—1)" ph). 
Pour trouver la somme 
+ (n, à,,) h" Ù 
posons z = — À dans l’équation (7) et portons dans l'égalité résultante 
D, (@, —h) = 4 (—h) ÿ5 (2) + da di (-h) L(e)+.. + an bn (Ch) Yu (&) 


les expressions (25) des fonctions 


Lot), Ya (&); + + Pr (@). 


Nous trouvons ainsi 
(35) D, (œ, —h)= (1) (LS QT a LU a], 


où l’on a posé pour abréger 


Le = (I a de (—) Kw, 
Los lanta An — 0, 0 (—h) KT, 
(86) À 1m, = (—1)" Las bn Ch) RD — a Un, (—X) Km? 
dns Vins (TX) KR], 





En observant que cette expression de la fonction ®,, (x, —k) doit être 
identique à 


De, = DT TG, à) (—)" +, 


que l’on obtient de (26) pour z2=—-h, et que x" entre dans ces expressions 
avec les coefficients 


"LL, DT (, à) #7, 
nous obtenons l’égalité 


(37) LUN Ge 


En portant dans l'inégalité (34) les expressions qu’on vient de trouver 


pour les sommes 
AM (nt) À, 
41* 


— 644 — 


nous obtenons 





L, (nm). 
(38) a (+ 4 (2 (—À) H, ? 
d’où nous déduisons à fortiori 
is L(m) 
(38)° T,<(—1)" 4,(—h Hs? 


en désignant par Z(”) la limite supérieure des quantités 
EP PUS RD 6 PAR Pari) 


En passant à la recherche du maximum de la somme 


LL? . 
> > + (2, î,,) re 


é , Co) Ci Co) . m1 
pe sortent pas des limites 


dans le cas où 


L h À h? h2Mm—1 
ORNE DE à mer D re Je 20 Pr 2 
H, H Ho H 


TA ALS  - + La Re” 
H6° Ho’ nn > H 











et où tous les termes de la somme sont pris avec les signes qui rendent 
leurs valeurs positives, remarquons que ce maximum s’obtient pour 


n À h h? h2R—1 
de : FU 2 Pie A Het ne De 


tous les signes étant +. Ils’ensuit que la quantité que nous avons désignée 
par $ ne dépassera pas la somme 


DRNCE 
NU) —— 
: pe" 2 H, : 
et que par conséquent 


S<x Di) D, 





Comme on a 
= = RH + + +R — — 
et que d’après (37) 
> (n, 4,,) hr" E,°", 
cette inégalité donne 
LM) RM —1 
(39) SR si 
d’où, pour 
n=m—1l, m—2,...1, 0, 
on obtient 
s Los nm L Lis M1 D Lt) nm Lol") nm. 


D ue Mes ei PR mes D € 
m1=" }X, 1° Sm—r< Hj D-1 5, <£ Je 1° D£ Hy h-1 


— 645 — 


Ces formules montrent que $, la plus grande des quantités 


ni ns ° : Si; S5 
ne surpassera pas 
LO) pm 
"H), hi? 
puisque d’après nos notations Z!” est la limite supérieure des quantités 


ue JR LS IL, EL. 
n à adonc 
(40) a Lien 

Hy h—1 


On voit d’après cette formule que la condition 
(41) S< 1, 


dont il a été question plus haut, sera satisfaite si l’on a 





m1 
(42) H,> L") —— 


Dans la discussion du cas qui nous occupe nous nous bornerons aux 
valeurs de Æ, qui satisfont à cette inégalité; nous aurons donc 


ET 
$ 11. D’après le $ 9, si l’on a 
Fe ete D 
la limite supérieure des valeurs absolues des inconnues 


ES DUR, pr, 


m—]1? m—2)°° 


que nous avons désignée par M, satisfait à l'inégalité 


MS 7 


En observant que cette inégalité n’est pas alterée lorsqu'on y rem- 


place 
4, à 


par les quantités 
(m) Lim) »m—1 


L 
D CN 7 A 7 
qui, d’après (38)bis, (40), ne peuvent pas être inférieures à 7, S, nous en 
obtenons par cette substitution 


M EN" PC D) LM 


M. 
Hy—— Lim) 





; 





er 


de là nous trouvons par (39) 











(1) LOL, (M) Gun (7) _— : 
S,M< na s 
H (20 —— 1{m) 


et d’après (30) 
RM 1 
(— 137 Lim) L,(M) 4, (— 2) RET 








où U, est, d’après nos notations ($ 9), la valeur absolue de la somme 


DMC PE A 


En vertu de cette relation ct de l’inégalité (38), d’après laquelle 7, 
valeur absolue de la somme 


DS mi) es, K, 


ne dépasse pas ee 
d LA 
GS Ym (—1) L : MIT 





nous concluons de l’équation (33) que la valeur absolue de Y, ne dépasse 


pas la somme 

nm] 

h—1 L, (mn) 
+(—1)" 4,,(— 1) 4 . 


mo 
Ho (M7 C 1m) 


(— 1} L(m) L,{m) Ÿyn (—h) 











qui est égale à 
= 1 Yu (— 4) Loin) 


mn 
+ T— : LA 








Il s'ensuit que Y, est contenue entre les limites suivantes 











(43) — MENAN MONT 
RM] ? Am] 
D D 0 eee 


En posant dans ces formules 
n=Mm—1l, m—2,...1, 0, 


nous trouverons les limites entre lesquelles sont contenues les valeurs de 


toutes les m inconnues 
 & td; Ti; 


M ] ? m 


qui entrent dans les équations (28); d’où nous concluons que, la condition 


EE 


— 647 — 


étant supposée satisfaite, les équations (28) auront dans le cas que nous traitons 
des solutions finies, et que par conséquent on pourra trouver le polynôme 


,,(T) = 9» Lin (&) + Om @) = 
= 9 (4, @—(— D" (EE DT a +. ..)] 


m—1 m—2 
du degré », pour lequel la fraction 
Ynix) 
Q,, (x) étant convenablement choisi, donne l’expression de 
W—m 


à Es “ 
exacte jusqu'aux termes en —;;; inclusivement. En observant que pour que 


cela soit ainsi, la fraction 
Oh (&) 
Win (x) 





doit avoir son égale dans la série des fractions réduites 

?, P, P; 

Oo 
de l’expression W— W,, obtenues par son développement en fraction con- 
tinue, nous concluons que si À, satisfait à l'inégalité (42), il doit se trouver 
dans cette série une fraction dont le dénominateur est du degré ". 

En répétant les mêmes raisonnements, après avoir remplacé » par les 

nombres 

m—1, m—2,...1, 


nous arrivons à la conclusion que dans la série 


des réduites de l'expression W— W, se trouvent nécessairement des frac- 
tions dont les dénominateurs sont des degrés 


M, Mm—], M—2...1, 
si AH, satisfait aux inégalités | 


pm] A De ii. |: Rh—1 
(44) H>H IE. H > 107; 





où, d’après notre notation, 
LI") ET, is L® 
sont les limites supérieures des quantités 
DUR Le, 


que nous obtenons des équations (36), en les laissant d’abord sous leur forme 
actuelle et en remplaçant ensuite le nombre » par m—1, m—2....1. 


— 648 — 
Puisque ces équations, en y remplaçant » par we, 4 — 1, donnent 
L =(—1}# [a de (—à) K, G—1) 


LED (1y Es: REA CE h) de 


(—h) KT... 
(2) K 4? +...], 


Gui Vue 
Be Vus 

il en vient 
LE LED + IT à, 4 (—R) AU, 


Mais en observant, d’après (1), (2), que 


2,0, (I 4 (D > 0, 
nous déduisons de cette égalité 
L, ") n LL mas! à 
Il en suit que ZW), limite supérieure des quantités 


L®, 


1» 


L®;, ER? I), 
ne peut pas être plus petite que ZW), limite supérieure des quantités 


LS 1 Sue re 


u—2 9 


et que par conséquent on aura 
LOT 
De là et considérant que 


tr Le pi—1 nb— — 
Hot La) Pr Di 








nous trouvons 


qe) A — 1 à RL ha. À 
L kh—1 7 L ss à 


D’après cela les seconds membres des inégalités (44) forment une série 


décroissante; donc toutes ces inégalités seront satisfaites lorsque A, satisfait 


à la première d’entre elles 
pm — 1 


( 
H,> IN ——, 





et par conséquent, d’après ce qui précède, il doit se trouver pour cette va- 
leur de A, des fractions aux dénominateurs des degrés 


M, MT), 5,71 
dans la série des réduites de l’expression 


Wen W; 


— 649 — 


tirées du développement 
W—W=_1 


Dh —-— 1 


DT gs. 


En remarquant que cela n’est possible que si 


is ses Im 


sont du premier degré, nous en concluons que dans le cas que nous considé- 
rons, À, satisfaisant à l'inégalité (42), la fraction continue provenant du 
développement de l’expression 

W—W,, 


sera de la forme 
1 


1 MCE 


1 
Pa TO —° me à ent à 
Pm T+Om —° . 





Comme elle doit conserver cette forme pour toutes les variations de 
l’expression W — W, qui laissent subsister l’inégalité (41), les coefficients 


Pis Pare + 3 Pm 


ne peuvent ni s’annuler ni devenir infinies, tant que l’inégalité (41) reste sa- 
tisfaite; par suite, étant des fonctions rationnelles des coefficients de l’ex- 
pression W— W,, ils ne peuvent pas changer de signe tant que A, ne dé- 
passe pas la limite assignée par l'inégalité (41). 
En remarquant que pour 
H,= 00 
on obtient, d’après le $ 10, 


W,=0, W—W=W, 


et que par conséquent la fraction 


Es 
LG — 


1 
Door) 1 
+ 
PmT+Om Te, 








se transforme en 
1 
A TH — 





Lo TH —*. FES 
où, d’après (1), l’on a 


DO ULS,; >, 


on voit de ce qui précède que, dans les suppositions que nous avons faites, 
les coefficients 


2 Pin Paseo +3 Pm 
auront des valeurs positives. 


— 650 — 
$ 12. Nous avons ainsi établi que lorsque 
Ce Mir Pasort 


ne dépassent pas les limites 








de Le 
H,’ Ho? j ; AS : ER 
1 h r? R?2Mm—1 
Sa Pr H° CR FN FA EC ti 4 . A, 
et qu’on admet 
m) AM—1 
H, > LM =, 


la série 








: Co — € Q +re Ce 
W—W = + inter +... 
æ æ HA 


se laisse développer en la fraction continue 


1 
Pi T+H—G — 


1 
Pa THO2 —* 0 1 
Pr — © 
Em T+0m . 








où 
> 0, pa>0,..., Pm > 0; 

donc en désignant par 
| QG) O4)... On 

PU Po V0) 





les réduites, nous voyons, d’après ce qui a été dit au $ 1 sur les fractions 
continues de cette forme, que toutes les racines des équations 


Y,(&)=0, Y,(x)—0,..., W,,(x) = 0 
ont des valeurs réelles et que ces valeurs sont toutes positives si l'équation 
ww: (c) = 0 


n’a pas de racine négative. Pour trouver la condition sous laquelle cette 
dernière circonstance a lieu, observons que l'équation 


w,@=0 
se réduit en vertu de (4) et (27) à celle-ci 
di | 
Yn (® + D (1) 7, = 0, 


r, 


le coefficient 


étant, d’après (43), pour n—n contenu entre les limites 








Ÿm (— à) Lam) Um (— À) Lt) 
ru m ne Si he m Re . 
VAT 27 Rest 





(m) (m) 


— 651 — 


De là et considérant que d’après (35), (10) on a 


DE, == (DE TO te (I) Lo], 


D, (x, — h) = m1 = À) Yon (@) — Yi (— À) m1 @; 


x+h 





nous arrivons à la conclusion que dans la somme 


op n 

DIX, x 

les coefficients des différentes puissances de x sont contenus entre les coef- 
ficients des puissances correspondantes de + dans les fonctions 


Yn (— À) Dana (— À) Ye (x) — Yan (— h) Ÿm—1 @), 











Fe —. L\m) xz+h 
; Yan (— À) Ya (— À) Yon (te) — Yi (— À) Ya (&), 
m 
Hy—* — L{m) xz+h 


En comparant ces fonctions avec la fonction 


Yan (— À) Ya (— À) Yon (©) — Vin (— À) Yon 1 À 


EH— Hy» æ+h 





qui figure dans l’équation (23), et en observant que l'inégalité (24) dont le 
second membre est < 0 est satisfaite, si 


1 








H—Hy 
ne sort pas des limites 
___ _Ÿm (0) h 
Yan (— À) Ÿm—a (— À) Ym (0) — Ÿm (— À) Ym—à (0) 
Yan (0) h 


-+- 





Dm D) Yi À) Ÿm ©) — Ÿm (À) Ÿm—à O) 


nous concluons, d’après le $ 7, que si 

















1 1 
+ Rares ) 
Am — se 
H, — se L(m) F: QU Lt L{m) 
ne dépassent pas les limites 
ie Lun (0) h 
D D) ma (— h) Van (0) — Ÿm (À) Yi 1 CO)” 
Yan (0) h 





Pr Ch) Pme C0) Vin ©) — VC À) Ÿm 1 O)’ 


mn @) + (—1) X, = 0 


ne contiendra que des variations des signes et par suite ne pourra pas avoir 
de racines négatives. 


l’équation 


— 652 — 


Comme les quantités 


1 : 1 
ds Mm— nos M — 











1 
— Lim) 


ne dépassent pas les limites indiquées ci-dessus pour 


1 pm) YA) Ym—r (A) Ye (0) — Vm (= 7) V1 O), 
EX. m k 








et que d’après (10), (35) on a 





D,.(0, —h) = Lt) = Ÿm1 C7) Vm (0) = Ym (7) mi (0), 


nous concluons que si 4° est plus grand que la somme 


hMm—] L (m Ÿ (— h) L (m 


m (&) _— (Le 1} 14 a = 


n’aura pas de racines négatives et qu’alors, comme nous l’avons vu, les 
équations 
VO=0, 9, .,.@=0:..,; #7 &)—=0. 


n’auront pas non plus de racines négatives. 
De là, ainsi que des résultats des paragraphes précédents, en posant 


D Co; GrûG— Ci, ce) Com Cm = Cu n 


nous obtenons le théorème suivant. 


Théorème. 
Si la série 
Ge ER € es 
F1 x? a 


est développable en fraction continue 


RER 1 
Ne al Et Pen RE 1 
 amT+Pm— 
où l’on a 
Led: RE A ts 
et si toutes les racines des équations 
ÿ (x) = 0, da (x) —0,..., Yan (x) — 0, Un (x) = 0, 


formées avec les dénominateurs des m de ses réduites 


@1 @), ?2 (x) re Pm—1 @), Pm (&) 
Ÿ1 (&) Ÿo (&)’ É Ÿ m—1 (€) Ym (x) 





— 653 — 
ont des valeurs positives, la même propriété avec le même nombre m a lieu 
pour la fraction continue provenant du développement de la série 


CO C, C 
He EH) 
x x x 


et pour ses m premières réduites, lorsque les coefficients 
es F4 FT .., EEE 


ne dépassent pas les limites 


A 1 h h? c h?2Mm—1 
0 H* "1 Hi: Ho? 2. "2h" He. 
1 h h? dam] 

CG? 7: EEE : M LUE : A LP ie: A , 


où h est une quantité positive quelconque et H, une quantité positive plus 


grande que la somme 
am] 


Rh — 1 ne 3 men 7, 


Ym (0) 





dans laquelle L\”? est la limite supérieure des valeurs absolues des coefficients 


du polynôme 
Yon (— À) Von (&) — Yan (—À%) Yan 1 (©) x 


æ+h 





et L,” en est le terme constant. 


$ 13. En passant à l’étude des racines de l’équation 








(45) Y,, @) = 0, 
lorsque dans la série 
x La HA 
les quantités 
Cor Cyr Cas 


sont complètement indépendantes entre elles, nous observons que d’après le 
$ 12 cette équation se reduit à l’équation 


(46) Yn@+Ù (—1) 7, a= 0, 
dont les coefficients | 
Yu Ty-ars PV 


sont déterminés par les équations (28). En posant dans ces équations 


nous trouvons 


F0 Bons, EE —=0, 7,=0; 


— 654 — 


après quoi l’équation (46) se change en l’équation 


d., (x) = 0. 


Il en suit que les racines de l’équation (46) sont des fonctions des 
quantités 
a UE APE M 
qui pour 


sont égales aux racines de l'équation 
Ùn (&) = 0. 


%;, ÉPTEREL TERRE 7" 


En désignant par 


les racines de cette dernière équation disposées dans l’ordre croissant, et 
par 


x (0) 


cr, 0), r 0). . AE : pi 


CCE 


les racines de l’équation (46) disposées de manière qu’on ait 


LA <a en à <a) Fe < x 0 
pour 
e, = 0 e, = 0, e, = 0,. 5 53 6. :=0, 
nous aurons pour ces valeurs de &, e,, e,...e,, d’après ce que nous avons 
vu plus haut, 


or (0) — (0) — b) 
%, — À,, To = Lo, = Lys.) x, = Th: 


D’après (3) et (28) tous les coefficients des fonctions 
Wos Om (à) 


s’annullent pour 


et l’on a 
OWo __(—1} 


de; gi+i 





Par conséquent, en différentiant l’équation (9) suivant e, et en posant 
= 0, €, =0, €, —=0,...; 
nous obtenons dans le voisinage de ces valeurs de e,, e,, e,... 


00m (&) Jus (— 1 ÿ Im [= (x, 2) Yyn a]. 





En portant ici les expressions (27), (10) des fonctions 


Om (æ), Du (æ, 2) 


— 655 — 
et en divisant par g,,, nous trouvons 


0Z(—1)1 7, el 1} pis 2) Yom (&) — Ya (2) Ÿm—1 () Un | , 














de; (æ— 2) e+1 
ce qui pour 
%—=%,, 
x, étant une racine de l’équation 
(12 (x) = 0, 
donne 
02 (— 1} Y; (xp) "ii 1 i [= Ym (2) nr (x) 
de; = (1) (ty — 2) 2iF1 F 


d’où, en observant que Y,, s’annule pour 4 = 0, —0,e,—=0..., nous 
obtenons 


(47) AE JV (—1) 4, _.(&) [nt tnt. 


x) gt+1 


Puisque les racines 
Lis Vases Dyyoe es À 


(2 (x) = 0, 


ont, d’après le $ 1, des valeurs réelles et positives, les termes du polynôme 


de l’équation 


CP (e—2)...(e—2x)...(e—2,), 
auquel se réduit la fraction 


Ve (e) __ Ca) (2 — ap)... (2 — a)... (e— 2m", 





Z— 4] Z2—X] 
ont alternativement les signes + et —. Si nous observons que le premier 
2Mm—1 


terme C? z a un coefficient positif, nous trouverons que le coefficient de 
z" sera représenté par la formule 


FR (= 1) K, 
où 


K> 0. 
Par conséquent il vient 


“a (e) ne | = — ( 


et l’équation (47) donne 


(48) de Fe 1} © ee  &)= — K4,,_,(æ). 


Cette égalité aura lieu pour 


K, 


— 656 — 


qui sont racines de l’équation 
Pr (&) = 0; 
tandis que pour les racines de l’équation (46) que nous avons désignées par 
sa. 
nous aurons 


+ (INF, (m9) = 0; 


d’où nous obtenons, en différentiant par rapport à e, 


LG) BTP OS CN 97, (np 2 
En appliquant cette équation au cas, où 
e =0, e, =0, €, —=0,..., 
et en observant qu’on a ici, d’après ce qu’on a vu plus haut, 
D dm 0 ot, 


nous trouvons que dans le voisinage de 


aura lieu l'égalité 
, 0x (0) 
Ù mn (Li) se +Ù (— _ - @= LS LÀ 
d’où il suit 
0Yy 
dx, (0) 2(— Eve 2 (1 
des ses Ÿ'm &) : 








ce qui, d’après (48), donne 


0x (0) <a Van —1 (LD) 
Co) de LV UD 








Cette relation détermine la valeur de la dérivée 


0x} (0) 
de; 





dans le voisinage de 
@=0, e =0, 4 —=0..., 
ct il est aisé de montrer que dans le cas considéré on en obtient 


Ôx} (0) 
de; > 0 





— 657 — 


En effet, de ce que nous avons montré au $ 1 relativement aux équa- 
tions 


Ÿ, (x) = 0, d, (x) = 0, Ÿ, (&) 0... 


on voit qu'entre deux racines voisines de l’équation 


| db, (æœ) = 0 
se trouve une racine de l’équation 

Yan —1 (6) = 0 
en même temps qu’une racine de l’équation 

Vn (&) = 0; 
donc la fraction 
Vn—r (x) 
7m (&) 





change de signe deux fois dans chacune de ces intervalles, en reprenant le 


même signe pour 


T—=A,;, Tay5os.) Diye..) C7 


En observant que, pour la même raison, les équations 


Lan (x) = 0, FER (x) = 0 


n’ont pas de racines entre 2=%,,,x— +00, nous en concluons que les 


fractions 
Ym—1 (2)  Ÿm—1(Xm) 


Vin D” ŸnEm 
ont le même signe que la fraction 
Ÿm—1 (+) 
LAC 
Va > 0 
puisque, d’après $ 1, on doit avoir 


bn (+ 00) > 0, d',(+ 00) > 0. 
Ayant ainsi établi que 


Il en suit 


Ÿm—1 (xt) > 0, 


m (a) 
nous obtenons de (49), où l’on a, comme on l’a vu, K > 0, 
(50) 2 > 0, 


de; 
ce qu’il fallait démontrer. 
42 


655 — 


 L'inégalité que nous venons de démontrer fournit la limite inférieure 
de la dérivée 
dx (0) 
de; 





dans le voisinage de FC 
6 =0, e =0, €, —=0,... 


Pour déduire de l’équation (49) la limite supérieure de cette dérivée, 
déterminons d,,_.(x) par (25), en y posant 


n=Mm—1], 2 —2%,, 
ce qui donne 


CE ne le 


De cette même formule, en y posant n —” et en observant que les 
racines de l’équation 


L,, (&) = 0 


Li, Tyyoo) Dysoo) x 


sont égales à 


m ? 
nous avons 


da) =EK (a, —x).. (a —2_) (&—2%.,,)...(@—2,). 
Par conséquent il vient de l’équation (49) 


dx) F1 1)n—i—1 Kj{m—1) (xi)° i 
deg KM) (tr — 3). . (my — Ty) (tr — Li). + (5 — Tim) 








En observant que d’après (25) 7 est différent de zéro, lorsque 
Y., (x) est du degré "”, et que d’après $ 1 les quantités 


Di Mise cn Listes À 
Un (x) SR 0, 
sont toutes différentes entre elles, nous concluons de cette égalité, où 


A Cr 0, 


m ? 


racines de l’équation 


sont des quantités finies, que la dérivée 


ûx 1 (0) 
de; 





dans le cas considéré ne surpasse pas une certaine limite finie qui peut être 
trouvée d’après les coefficients des fonctions 


FRE (x), (12 (x) 
b,.(&) = 0. 


et les racines de l’équation 


— 659 — 


On voit de là que lorsque les quantités 
PIRE" PE NOR 
subissent une variation continue dans le voisinage de 
ee —=0, e =0, = 0, 
toutes les racines de l’équation (46) subiront aussi des variations continues 


et que d’après (50) ces racines croitront avec €,, e,, e,... 
$ 14. Pour étendre ces résultats au cas, où 


Co) (2 Cages L 


diffèrent plus ou moins de zéro, nous remarquons que les proprietés des 
fonctions 


L(&), Lo)... b,(@), 


qui ont servi de fondement à tous nos raisonnements, subsistent, d’après le 
théorème que nous avons démontré, si au lieu de la série 


TR + 2 +- 
æ a? x3 . 


on prend la série 


C G C Com 1 Com 
FÉRRe E A DE Le ES 2 am + mi ec.) 


æ 





où les quantités 
Gé, it :0 


2m—1 


ne dépassent pas les limites 


1 h hr? him—1 
CT Hs Ni RE: À AT rt 4 Com—1 — Me? 
LE de Le... C de 

r : RER Her: :*3 H)° °°?  ‘2m—1 77 


h, H, satisfaisant aux conditions indiquées dans ce théorème, 
Il en suit que pour ces valeurs de 
Œ'o 
on peut répéter pour la série 


ë :- € 
HA HA 


tout ce qui a été démontré pour la série 
DORPAMLEE Cr DS …, 


et que par suite, en remplaçant la série 


D ue 0 








— 660 — 
par la série 
Orne HR TS Ces 
x HA Ha 








dans la formation de l’équation 
Ÿ,, (&) = 0 


par la méthode du $ 9, nous n’altérerons pas les proprietés de cette équation 
déduites au paragraphe précédent et d’après lesquelles toutes ses racines 
croissent d’une manière continuée, lorsque les quantités 


Le Co) Ci» Egyee. 
dans le voisinage de 
&—=0, e, =0, e —=0... 
croissent également d’une manière continue. 
Par conséquent, en observant que pour 
E = Cy — Co + € 
E,=C,—c+e,, 
E,=0c,—0C,+e,, 


l’on obtient 


Co — € C+e C>— € 
M HE : L ins 2 3 
x x x x x x 


Ô0E,= 06, 0; = 06, 0E,=06,;.., 


et qu'aux valeurs de 








es Co; js CPE . 
voisines de 
e, = 0, €, =0, e, —=0,... 


correspondent les valeurs de 
E,, E,, H;: . 
voisines de 
E, = 0, — C, E, _ Get, E, =; — C,,. .… 


nous en concluons qu’en remplaçant la série 


x a? x3 





LUS NE . . 
par la série 


à x x? x3 .… 





dans la formation de l’équation 
Y,,(@)= 0 


d’après les méthodes du $ 9, nous obtiendrons une équation dont toutes les 
racines croissent d’une manière continue en même temps que £;,, E,, E,..…. 
dans le voisinage de 


E,=0%— Co, = 00, E= 0% — OC... 


Re 


Quant à ces quantités 
E,, E,, Fe .., 


les 2m premières entre elles ne peuvent pas dépasser les limites 





1 h h? h?2m—1 
TRE Ce D'HOMNB ENT TES Mo: 
1 h h? h2Mm—1 


DR M TE: 
puisque d’après les conditions du théorème du $ 12 les coefficients 
Co; Ci; Cus« 1 Le. 


sont supposés ne pas dépasser les limites 


1 h h? ; h2Mm—1 
OS : AC D : AE ae : MCE Mie 0 ONE: INC 

1 h R? R2Mm—1 
(A —+ Ho’ A + H,’ Co + H,? .. > Cons + 4, ° 


$ 15. Dans le cas particulier lorsque l’on a 





Ho’ Ho? 
la série 
ee PR AS ME Fra 
HA HA 
est égale à 
Mat sd HAS RE 
RU DES D Le Hi (x + h) 


: Par conséquent, d’après le $ 9, l’équation 
Y,(&) = 0 
se réduit pour ces valeurs de Æ,, E,, E,... à l’équation 


(51) Un (x) + Has Yi (— À) Yon £ = Le (—2) ni @ _ ” 





En observant que ces valeurs de 
E,, E,, CRE) 


pour À > 0, H, > 0, croissent en même temps que — nous voyons d’après 
È 
le paragraphe précédent que les racines de cette équation croissent avec Æ. 
De même, en posant 


1 h | 
E= 2 E, Er Je? E=—7.. LE À 


— 662 — 


nous nous Convainquons que les racines de l’équation 


CORSA R  PCERTEUEPETC RE 





décroissent lorsque _. croît. 
E 0 


D’après cela il n’est pas difficile d’obtenir les limites des racines des 
équations (51), (52), racines que nous désignerons par 


, / le / 
Z; , Toy. Ljy.., T ns 


U4 


in 7 
Di > La pres Ljpee., Lm 


en les supposant disposées de manière que l’on ait pour _ = 0 
0 


DR D Su SR, 
D Ti di D. 


En observant que ces équations se réduisent pour Æ,—c à l’équation 


bn (&)= 0, 
dont les racines disposées dans l’ordre croissant forment la série 


Di, Ds, Dj, Vins 
nous concluons que pour 
He. 
l’on aura généralement 
/ " 
(53) Cie ui x à 


Puisque ainsi la racine œ, de l’équation (51) se réduit à la racine x, 


de l’équation À 
db. (&) = 0 
pour 


1 
D 


et qu’elle croît avec cette dernière quantité, qui, d’après le $ 10, ne peut pas 


être inférieure à O, il en suit que la limite inférieure de la racine x/ est x. 


x 5e : 1 
Quant à la limite supérieure de x}, cette racine, en augmentant avec A 


n’atteint jamais la valeur æ,,, de la racine de l’équation 


(UR (œ) _.. 0, 
qui suit +, dans la série 


T;; Topos TL}, Lipysoe es Th; 


— 663 — 


parce que, comme il est aisé de le montrer, l’équation (51) n’est pas satis- 
faite pour æ—x,,,, tant que À, n’est pas infini. En effet, en posant 


a T Hi 
dans le premier membre de cette équation et en observant que 
Yn @) = 0, 
nous trouvons qu’il se réduit à la fraction 


— Yep (—h) Von (&i4), 
(Ho — Hyn) (Ti42 +) 





qui ne peut pas s’annuler pour une valeur finie de Æ, puisque, d’après le $ 1, 
l’équation 

mn (0) = 0 
ne peut pas être satisfaite par la valeur négative x — — h, et sa racine 
æ,,, ne peut pas donner 
| PRES (ty) nd 0. 


On voit de là que la racine x, de l’équation (51) sera contenue entre 
les racines &,, æ,,, de l'équation 


(2 (x) = 0, 
et que par conséquent 
(54) D LI Tysne 
En répétant le même raisonnement pour la racine 
æ,', 
de l’équation (52), qui, comme on l’a vu, se réduit à x, pour Æ = 0 et di- 


: 1 ’ 
minue lorsque Æ croit, nous trouvons 
" 
(55) LT, _, LE < Ty 


Ainsi s’obtiennent les limites des racines des équations (51), (52) et 
au moyen de ces racines l’on pourra trouver, comme nous le verrons, les li- 


mites des racines de l’équation 
à D (x) : msi 0, e 


que l’on obtient d’après le $ 9, en remplaçant dans Ja série 


x a? a 








me RU 


les quantités 
à Co; Cs Co) 9 € 


— 664 — 


par les quantités 
KE, E 


ne dépassant pas les limites 





1 h h2 h?2m—1 
D Mi 
1 h h? h2Mm—1 
er as nu 


où » est une quantité positive quelconque et À, une quantité positive qui 
n’est pas inférieure à la limite trouvée au $ 12. 
Dans le cas particulier, où l’on a 


1 
AL 


ces limites se réduisent à zéro et nous avons 


E,=0, E,=0, E,—=0,..., E,_,—=0; 
l’équation 
w,(@)=0 
devient donc ici 
(2 (x) _— 0, 
et nous avons d’après $ 13 
x) = %,. 


« 1 LA D: # 
En passant au cas, où Hs diffère de zéro, et se rappelant, comme nous 
Vavons montré, que les racines de l’équation 


Ÿ,, (@) = 0 
croissent avec les quantités 


£,, EE, E,,...,E 
nous en concluons que lorsque 
E,, E;, E,,..., E, 


ne sortent pas des limites 








1 h h? p2m—1 
H,? H,? nt DRE 
1 h h2 h2Mm—1 
A ARE. € mn A CR RUE : 


le maximum de la racine 


correspondra à 


1 k hr? 
= 7 E,= Eee.) E 


— 665 — 
Mais puisque, comme on l’a vu, pour ces valeurs de 


FES HT CERN | SE 
l’équation 


Y,(æ) = 0 


se réduit à l’équation (51) dont les racines sont 


L U 


, La 
T; , Toys.) Die.) T ns 
il en suit qu’une de ces quantités fournira le maximum de la racine 0), 
Il est aisé de reconnaître celle d’entre ces quantités qui donne le ma- 
. . 4 . . : x 
ximum de la racine a), si — est infiniment petit. Dans ce cas on voit, 
0 


A, 
d’après les formules qui déterminent les limites des quantités 


RE M 


2m—1? 


que ces quantités restent voisines de zéro et par suite toutes les valeurs de 
la racine 2,0) restent voisines de x,, à laquelle elles se réduisent pour z=0. 
0 


Par conséquent le maximum de la racine CA) pour F infiniment petit ne 
0. 
peut être égal qu’à celle des quantités 


! u / U 
%: , Topo.) Tyyoo) T n) 


. , . ] . , L. 
qui se réduit à æ, pour Æ et cette quantité est, comme, on l’a vu, x,. 


D’après cela et observant que dans le cas que nous discutons le maxi- 
mum de la racine x °) augmente d’une manière continue avec la croissance 


: 1 à ENORE 
continue de -, nous concluons que pour toutes les valeurs de 7; Qui satis- 
0 0 


font aux conditions du théorème du $ 12 ce maximum sera représenté par 
la même racine x de l'équation (51), puisque autrement pour une certaine 
valeur de _— à laquelle s’appliquent toutes les formules obtenues, ce maxi- 
0 
mum passerait brusquement de la valeur x à une autre valeur prise dans 
la série 
LA 4 À à . , 
%; ;, Lave.) Ti; T ns 

ce qui est impossible, 


On voit de là que lorsque 


Es, E,, E,,. TT E, 


2n—1? 


— 666 — 


ne dépassent pas les limites 








1 h LR 25 PR 
1 Ha? Mots Up ta ET TE Ta 
1 h h? RARE 
ARS A TE ze RES. PACE APN He: ? 


la racine x,° de l’équation 
ÿ,,(&)=0 


ne peut pas être plus grande que +; et que par conséquent 
| LC 
En détérminant de même la plus petite valeur de la racine 


a) 
lorsque 
E,, E,, FU re à E, 


2Mm—1)? 


ne dépassent pas les limites 
V 
Re nt 
Ho? H,? He: Hy ? 
1 h h2 p2m—1 
FEr TREUTE 








nous trouvons que ce minimum est égal à la racine x," de l'équation (52) et 
que par conséquent l’on a 


OS). 
Comme on a par (54) 
T, us Lys) 
et que par (55) 
Ti LT : 


les inégalités que nous venons d’obtenir donnent 
RE Pt: 
l—1 l 41° 


D’après cela, connaissant les racines de l’équation 


(R (x) rs 0, 
nous pouvons trouver les limites des racines de l’équation 
à (x) _— 0, 


lorsque k 
Hi, 5 


2M—1 


ne dépassent pas les limites indiquées ci-dessus. 


29, 


SUR LES POLYNOMES REPRÉSENTANT LE MIEUX 

LES VALEURS DES FONCTIONS FRACTIONNAIRES 

ÉLÉMENTAIRES POUR LES VALEURS DE LA 

VARIABLE CONTENUES ENTRE DEUX LIMITES 
DONNÉES. 


YRADUIT PAR 3. C. MLODTETEVSKY. 


ame eus 


(Lu le 2 décembre 1892.) 


me ee de ce 


© nonunonaxs, nauryriue npedcmablraronuuxs snartentia 
; “à À 

npocmreumuxe Opoénuaxe hynhuii npu bCerurunaxé nes 

pemnrmmoü, sahimoraouuxca mekOy yna Vannunu 


npedrsranu. 


———__— 


(Hpuroxeaie x LXXII romy Sanucokr Huneparopcxoë Aranemiu Hayx®, N 7.) 


ol es 
ue 
D sie 









ou A 
1BRAR* 
La OFTHE +. 


UNIVERSITY 





Sur les polynômes représentant le mieux les 

valeurs des fonctions fractionnaires élémentai- 

res pour les valeurs de la variable contenues 
entre deux limités données. 


$ 1. Dans plusieurs cas les calculs approchés se simplifient consi- 
dérablement, en remplaçant les expressions fractionnaires par des fonctions 
entières qui en représentent avec une exactitude suffisante toutes les va- 
leurs dont dépend le résultat cherché. Les expressions approchées de cette 
sorte pour les fonctions fractionnaires se déterminent au moyen des théo- 
rèmes que nous avons démontrés dans notre Mémoire Sur les questions de 
_ minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions *). 
Nous allons montrer à présent, comment au moyen de ces théorèmes on 
trouve les polynômes de différents degrés qui représentent le mieux les 


valeurs de la fraction élémentaire 


1 
H— x 





pour les valeurs de la variable x, ne dépassant pas les limites 
= — h, z—= + h, 


Nous supposons les quantités Æ, À positives et pour que la fraction 
reste finie entre 
Z——h, x—+h, 
nous prenons 
HR: 
En désignant par 


n—2 nn —1 
DHrP TH... +p,_, 4x + Pr: 





*) T. I, pag. 273—8378. 


— 670 — 
le polynôme cherché, nous observons que l’erreur absolue qu’on commet en 
représentant par ce polynôme les valeurs de la fraction 
1 


H—x 
est égale à la différence 


n—1 





7 —Po—P) D— ss —p_, © —p,_, x 
Puisque le quotient de la division de cette différence par 
H—x 
se réduit à l’expression 
1+(2— H) (p,_, 2 + p,, 2" +... + 20, + p;), 
l'erreur relative de la représentation approchée de la fraction 


1 
H — x 





par le polynôme 
n—2 for 2 


DM +.. HD, % + Pi % 


sera d'autant plus petite que l’expression 
1+(c— 2H) (p,_, 2" +p, a+... +0, 5 +) 


diffèrera moins de zéro. Par conséquent, pour abaisser autant que RoBMIbIS 
la limite supérieure de cette erreur entre 


TX — — h, L= + h, 
il faut donner aux coefficients 
Dos Pise Py—or Pn—1 


les valeurs pour lesquelles l’expression 


1+(c— 2H) (p,_, 2 "+ p,_, 2" +... .+ pm 2+2) 


s'éloigne le moins possible de zéro entre 
Zz——}, x—=+h 
Les quantités 
Pos Pire Dnss Pn—ir 


qui satisfont à cette condition s’obtiennent aisément au moyen des théo- 
rèmes démontrés dans le Mémoire cité plus haut, comme on le voit dans 
notre Mémoire Sur les fonctions s’éloignant peu de zéro pour certaines 


— 671 — 


valeurs de la variable *), où, au moyen de ces formules, sont déterminés les 


coefficients 


Pn—1? Phase 4 Pi Po) 
avec lesquels la fonction 


M+-(H— 2) (p,_, «7 "+p,_, MR 4: + D, T + D) 


s'éloigne le moins de zéro, æ étant contenu entre x = —h, x —+h. La 
quantité M est supposée ici connue et pouvant recevoir une valeur quel- 
conque. 


En posant 
Ms, 


nous obtenons d’après les formules de ce Mémoire que l’expression 


n—2 


1+(2—H) (p,_, D HP, D +... + 2 +) 


s'éloigne le moins de zéro entre 


Gz——h, t=+h 
si les coefficients 
Pr Pn—o2° Di) Po 


sont déterminés par l'égalité 


n—2 


| : + (&— À) (pe 1h is RES & + Po) 


@) “Go eV EDy 
CAVE) + (AVE hi)" 





et que l'expression 


1+(c— 2H) (p,, 2 +p,_, 2 +... +0, &+p)) 


formée avec ces coefficients 
Pn-1? Paie e Pi; Po 


atteint dans l'intervalle 3 = —}, x — +- h, les limites 


2h" 2h" 
— a Pr or. + nee 
(H+VHI =) + (H—VHI =)" (H+VHE— WE) + (H—VHE =)" 











sans les dépasser. 
Il s’ensuit que toutes les valeurs de la fraction 





H — x? 





*) T. Il, pag. 335—356. 


— 672 — 


de x——}h à x —+h ne peuvent être représentées par aucun polynôme 
du degré n—1 avec une telle approximation que l'erreur relative n’at- 


teigne ni la limite 
es an" 
(H+VH?—R) +(H—VH2—hW)" 





ni la limite 
un 2h" 
(H+VH?— M)" +(H—VH2 TR)" 








et qu’elle ne dépasse pas ces limites seulement dans le cas où les coeffi- 
cients D, _,; Poe + «Pi, PO Satisfont à l'égalité (1), ce qui détérmine le 
polynôme 


fi—! + ti? 
Da 1 7 De HD LD 


du degré (n—1) qui représente le mieux la valeur de la fraction 


1 
H — x 





dans l'intervalle 
| z——h, x=+h. 
$ 2. En déterminant le polynôme cherché 


n 
Le ne NE es me ane | 


+ D, . 
au moyen de l'égalité (1), nous voyons qu’il est représenté par la fraction 


(A+ VAE TE)" + (H— VHS — (+ Va) — (Var) 
[(H+VH2=R)" + (H—VH2—h)"] (H—x) 








Pour obtenir le polynôme 


n 


Do FD TH... + Ph, vx, 


ge nn / n —] T ? 
auquel se réduit cette fraction, observons que, la somme 
(4+VH 6)" +(H—VH— 6)", 


étant une fonction homogène du degré n—1 des quantités 4, h, en ouvrant 
les parenthèses, elle prendra la forme 


2) (4+-V HR)" + (HV HR)" = A, H"+A4,_ PH" +4, MH" +... 


les coefficients 
A AM c'e 
. ne dépendant pas de 77, . 


— 673 — 
En remplaçant dans cette égalité Æ par x, on trouve 
(+ Va 7)" + (x Va 8)" = EVE NT A, Ma tp 2 
ce qui, retranché de l'égalité précédente, donne 
(4 + VAR)" + (4A—VH HR)" — (x Var)" — (x — Re 
= À, (H°— 2") + A, _, PA — a") + A4, MA — a *) +. 
en divisant par A — x, on a 


(H+VH2— RE) + (HV HR) — (e + Var 2) — (x — V2 RE)" 
H— x 


= A, (HT + H° x+H +...) 
+ À, _, PH +" c++ H +...) 
+4, _, MH + HS c+ He +...) 





en on nas an nva nes : 
ou encore 
(+4 VH2 =) + (H—V HER) — (ce + Va ht) —(x— Va? —h2)" 
H— x 





= À4,H" "+4, PH +A,_ MH +... 
+ (4,4 +4, MH + A, MH +...)x 
RAT" + 4 PAT +4: MH +...) a 


En comparant les expressions qui multiplient ici 
MN D... 
avec le développement (2) de la fonction 
(44 VAR) +(H—VH =), 
nous observons qu’elles représentent les parties entières des quotients de la 
division de cette fonction par 
PO ci 
On a donc, en désignant par le symbole E ces parties entières des 
quotients, 


(A+ VH3— h2) + (H— V HER) — (ee Va —h2) — (x — Var hi)" 
H— x 


=K [va R) (8 -vr 6) + 
E Len" (am) 24 
E [(4+VR TR)" + (4 1" Le Æ — hà) “lz 7 : x? + 





— 674 — 


ce qui, divisé par 
(4+VR TR) + (H—VR— D 
donne 
(A+ VH2 =) + (4 — VE RE) — (x + Var h?)" — (x — Var =)" 
[(4+ VA?) +(H—VH?2=R@)"] (H— x) 
CB C@+va-m)" + (av 6") + 
(H+VH2— 1) +(H—VH2—R)" 
E C@+va-m%)" +(4a-vR—5%)] Z 
Av) eV) | 
E C@a-+va 6)" + (avr —&6)] & 
(H+VH2=R) + (H—VH2— HR) 


60 00 00 0 0.0 0 6 0 0 0 ee 00 © °.8 © 01e © © © + à 

















Par conséquent, d’après ce qui a été démontré sur le polynôme 


(pr NL 


Po + P Hours Dre A Poe æ 


représentant le mieux la fraction 
1 


H — x 
dans l'intervalle 
ETES h, L= + h, 


ce polynôme sera représenté par la formule 
E Cave" (am) 7 E LV) + (VE) 
(H+VH2=—R) +(H—VH2 RW) (H+VH2— 72)" +(H—VHI—Rh)" 


E C@-+v8-0)" + (av 6)] x . 
(H+VH?—R) + (H—VH2—R)" 





x 

















Si nous comparons cette expression approchée de la fraction 
1 
H— x 
sous la forme d’un polynôme du degré n — 1 avec l'expression 


à gn—2 an—1 


H ++. ty + n° 





que l’on obtient en développant cette fraction en série suivant les puissan- 
ces croissantes de +, nous voyons que cette dernière est la limite vers la- 
quelle tend la première expression lorsque 4 converge vers zéro. 

Comme la formule 


1 æ Hd 
H + H? + 





diffère de la fraction 


par la quantité 


l'erreur relative que l’on commet en représentant par cette formule la 


fraction 

CR al 

H— x 
entre 

z=—h, 2=+h 
peut atteindre les limites 
h" h"n 
ee» (MESSE = € 


tandis que pour la formule que nous venons d’obtenir cette erreur ne dé- 


passe pas les limites 


2h" an" 
SR + . 
(A+ VHi= RP) + (H—VHE M)" (H+VH2—h) +(H—vVH2 = R)" 














$ 3. L'expression approchée de la fraction 


£ 
H — x 





que nous avons obtenue peut être utilement employée dans plusieurs cas. 
Pour donner un exemple, nous allons en montrer l’application à l’éva- 
luation approchée de l’intégrale 


Tr 

CA 

| ax de: 
—h 


Nous supposerons que la fonction f(x), de même que H— x, ne de- 
vient pas négative entre z——#, x — + h. 
En désignant par F l’erreur relative de notre expression approchée 
pour les différentes valeurs de la fraction 
1 
H—x%? 
nous trouvons que son erreur absolue sera donnée par la formule 
F. 
H— x? 


par suite, nous obtenons, d’après la formule du $ 2, pour la valeur exacte de 


1 
H — x 





43% 


— 676 — 
l'expression 
an Eee vepe qe à 
H—x (H+ VH?2—h)" + (H— VHz=h)" 
E Cv)" + (4 VR = R)"] 
(H+ VH?2— 2)" ss (H— VHr—= mi)" 


El@+ve-m#)" +(a-vVr—6)] % do 0 
+ VE) + (Gi VH =)" *VTH—e 

















En multipliant les deux membres de cette égalité par f (x) dx et en 














intégrant de & = — h à æ = + h, nous avons 
+h : 
fe .. Bl+vVR-R)"+ (V6) 5 
42. CE RP TA 7: CL Jr dx 
—h 





Ê Ca+va mm)" + (avr R)") x 3 
(H+VH2—h) +(H—VH2—W)" Jef à 

EÊ [(H+vH2= ht)" + (H—VH— m)"] =. +h 
ave em Jef) dr 





























+h 
PO Pt +- [ xl («) dx, 
—h 
ce qui peut s’écrire plus succinctement ainsi 
+h n n +h +-h 
ElG&+vH-76)" + (4-VH5—R)] . Sf(x) dx 
1 Jp — + | LE Far 
H—x (H+VH? à)" + (&—VH— PERD H—x U 
4 —h 
en posant 
1 mL: 
a+ + Im F5 DC LOS Mend 


En observant que cette égalité donne 





où le terme 
HN (H— x) 
est du degré inférieur à —n" par rapport à A, nous trouvons 
ElG@-vRr-") + (4-vr m))] s- 
E Le-vr) + (avr) 
EF (avr) + (avr) 








H—% 


— 677 — 


par conséquent, l’expression précédente de l’intégrale 











+h 
JF (x) 

| = dx 

2 * 
se réduit à celle- -Ci: 
7 ELG@-+-v#-0)" +(4-VH—%)] js (@) de 

JF (&) io 

jé d = (H+VH AGE" 


En observant que, F étant l’erreur relative de l’expression approchée 


de la fraction 
1 


Sms 


cette quantité, d’après le $ 2, ne peut pas dépasser les limites 














2h" 2pn 
Ge ve me (VAR) (He VER) + (HV =)" 
et que les fonctions 
fn 
d’après nos suppositions, restent positives entre x = —, x—<+4h, nous 


trouvons que le dernier terme 
+h 
J Je F'(x) dx 
—h 


de l’égalité précédente ne pourra pas sortir des limites 


+h 





2h" A dx 
NT DS pres H2— à) + (H—VH2—WR)" 4? 


—h 


+h 








A 
Il s’en suit que la fraction 





E [(H+vVH2=m)" + (H—VH2 = R)"] [ae RCE # 


2h" f(x) dx 
RANT FT VH2— à)" + (H—VH2— 1h)" | H—-x 





(H+VH2— 1)" + Œ— VHE— peer 5 


— 678 — 
dont le dénominateur est le polynôme 
(44 VER) +(H—VH—R)", 


donne l’expression approchée de l’intégrale 


+h 


J (æ) dx 
H— x 


—h 





avec une erreur relative ne dépassant pas les limites 


an" 
(Hs VHr— hi) + (H—VHr—M)" 





an" 
À - + 
(H+VH2— HR) + (H—VHI—R)" 








30, 


SUR LES SOMMES QUI DÉPENDENT DES VALEURS 
POSITIVES D'UNE FONCTION QUELCONQUE. 


(TRADUXT PAR X. PTASTXCKX.) 


. (Lu le 16 février 1894.) 


© cynnaxé, sabucaumuxs om noropumerruuxé sna- 


renit hahoù nu6o hynhuiu. 


(8anucxu Hmneparopcroï Axanemiu Hayx®, VIII cepia, T. I, X 7, 1895 r.) 


en de 
Fins 
* Qt 

: 


< 


+, 


FR 





Sur les sommes qui dépendent des valeurs 
positives d’une fonction quelconque. 


$ 1. De notre Mémoire Sur les sommes composées des valeurs de mo- 
nômes simples multipliés par une fonction qui reste toujours positive *) on 
voit quel intérêt se rattache aux valeurs réelles des inconnues 


CPRCITEL TEE CIE 


Uoy Us Ugye Un) 


_ propres à fournir des valeurs données aux sommes 


Su, Ÿ à $ 
2 2 2:75 2k—1,, 9 
0 0 


0 0 


La recherche des inconnues 


Mas Mis lon en 


Ugs Us Ugye el, 


sous de telles conditions se ramène à la résolution des équations 
p, p p p 
| JE LE Sd 2k—1,,9__ 
(1) Sd u/=0; Das =G, un u = Cu... Be = Cp 
0 0 0 0 
où 


sont des quantités données. 
En faisant 


+ SEE FER Se 2 PR 
=== Er... Fra PT 





*) T. II, pag. 561—610, 


— 682 — 


nous pouvons remplacer ces équations par les suivantes 


p p p p 
LT A 
ss pts) 2 Er 2k—1 DER à 
DE Où Date Dre... DE Cu 
0 0 0 0 
plus simples, en ayant toutefois en vue que les valeurs réelles des incon- 
nues 
Ugs Us Ugse os Un 
ne s’obtiennent que pour 
T,, Y 1) 7,,...Y 


ue p—1 
positifs. 
En écrivant les valeurs des inconnues 
LA , U, , Va , D: 9:18 #4, 


dans une solution quelconque des équations (1), nous les supposerons tou- 
jours rangées de sorte que les quantités 


20; 2; CT . 8 


présentent une série croissante. Après avoir fixé ainsi l’ordre de disposition 
des quantités 


Zos 21 ge DATE TE) 


pour toutes les solutions des équations, remarquons que, d’après le $ 3 du 
Mémoire précité, pour p —%, quand le nombre des inconnues ne surpasse 
pas celui des équations, celles-ci ne peuvent avoir qu’une seule solution que 
l’on obtient à l’aide du développement de l’expression 
C CG C2 Cox 

en fraction continue; nous en concluons que, dans ce cas particulier, les 
quantités 

20 2 


2 2 2 2 


se déterminent complètement par leurs indices et peuvent être trouvées 
sans difficulté. Pour distinguer ces quantités de toutes les autres qui satis- 
font aux équations (1) pour p >> k, nous conviendrons de les désigner 

20 Lo, =, = Lys kp = T1) 


, Pen + Fe ESS 3 ss 
Uo = Yos Un = Yis Ug — Ygse CP Van 0 


— 683 — 


Les quantités z,, 4? fournissant la solution des équations (1), pour 
p=k on aura 


(2) Du= G; dx one Ci; Dee {mn or j LARMES Cox 


où, d’après ce qu’on a posé concernant 4, &, 2,,...2,__,, On doit avoir 


Lo LL ge se Le Ty 


Nous allons maintenant montrer que de ces inégalités et des équations 

(2) on peut déduire les inégalités auxquelles satisfont toutes les solutions 
réelles des équations (1), quelque grand que soit le nombre des inconnues 

Lg ir ge + En 


Vo; U;; U,. eu, _. 


C’est de là qu’on tire les valeurs limites des intégrales et des sommes 
qui ont fait le sujet de nos Mémoires intitulés: 1) Sur la représentation des 
valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux *), 2) Sur les résidus 
intégraux qui donnent des valeurs approchées des intégrales **), ainsi que de 
notre Mémoire précité Sur les sommes. 

Quant aux quantités 

ds M 


Yos Yir Vas + + Yu 


- qui se déterminent par les équations (2), elles s’obtiennent, comme nous 


l'avons dit, à l’aide de la fraction continue résultant du développement de 
l’expression 


nous trouvons que, d’après le $ 2 du Mémoire précité, on doit y avoir 


h=uT+b, D—=aT+/h,,...D—=%T+/É, 
dr Dar 0. ar 0, 





*) T, II, pag. 421—440. 
**) T, IL, pag. 443 —478. 


— 684 — 
si les équations (1) peuvent être satisfaites par les valeurs réelles 


U 


u Use . .U 


0? ms p—1 


pour un certain p. 
En supposant ces conditions remplies, et en désignant par 


91 (2) 2x), ,, 9x (@) 


h@)” D) ‘WG 





les réduites résultant du développement de l’expression 


RD RE 
æ æ? as dise x 


en fraction continue 


nous concluons, en vertu de ce qu’on a démontré dans le Mémoire précité, 
que les inconnues 


: _ € “x “ 


Lo, Li, Dose Li, | 
dans les équations (2) sont égales aux racines de l’équation 
x (x) = 0, 
et que, d’après ces racines, les inconnues 


Yos Yis Vase + °Yx_ 


se déterminent par la formule générale que voici 





— Pl), 
(8) CA En 77) 
$ 2. En posant 


mu 9j 2 HS nn 1 © ne 2 
M: A4) Ya = Use YU y 


25 = Lo; 2, = X;, T3 — Lo) FE LR ET 


de la solution des équations (2) nous déduisons celle des équations (1) pour 
le cas p—%, quand le nombre des inconnues ne surpasse pas celui des 
équations. En passant au cas du nombre plus grand des inconnues, quand 
les équations (1) deviennent indéterminées, nous remarquons que, pour 
toutes les solutions réelles de ces équations, la somme 


WU HU HU He ee + Us 


— 685 — 


où g désigne l’un des nombres 
9152, .2="1; 


ne dépassera pas une certaine limite qui peut être obtenue en s'appuyant 
sur le résultat du $ 8 du Mémoire précité concernant la détermination du 


maximum de la somme 


UP HU HU +... +U? 


2 
Ce maximum, dans l’hypothèse 
hu. 


2 4, 4 P-1i= 


q 


? Li . . “ ? 12 
s'obtient pour 2%, 4, 43,...4,_;; satisfaisant à l’équation 


Ya (2) sé 0, 
où Ÿ,,. (+) désigne le dénominateur de la fraction ordinaire 


Pk-+1 (2) 
Ÿk-1 (2)’ 


à laquelle se réduit la fraction continue 


1 
y 2+8 — 1 


de SH Tee 5 
ARE TPE — 


1 
L 
&kpa 2 + Pr 








quand on y met à la place de «,,, la plus grande des deux quantités 





+. Ÿx— 1 (a) FA Ye | 1 Ÿx_ (b) Le Yi ® | 
a—vL x(a) Ye(v) 1? b—vL (6) ÿx(v) 1? 
et l’on pose 


— Pr (CS 
k+1  }z(r) k+1 





V, 


En faisant ici 
V—=%X;, 


où æ, désigne, d’après notre notation, une racine de l’équation 4, (x) = 0, 


nous trouvons 
Yx—1 (v) Re < 
Yo — 





en vertu de quoi, et d’après ce que nous venons de dire sur le coefficient 


4, ,,, On Obtient 


dy 41 —= C9; 
et par conséquent la fraction continue 
: 1 


“ PT sphere 1 
aL2+ Lg — 








? 
apr 2 + Ph 


— 686 — 


qui détermine la fraction ordinaire 








Ph (2) (a), 
- : ra ()’ 
se réduit à la fraction 
1 1 
& PH gs+B—e. 1 
TE 
égale, d’après le $ 1, à 
ox (2). 
Ÿx (4) 


Comme cette fraction est composée des mêmes fonctions que la fraction 


Pk @), 
Ÿx (&) 


qui détermine, d’après le $ 1, la solution des équations (2), nous en con- 
cluons que, dans le cas considéré, quand 





les quantités 


qui donnent le maximum de la somme 
UP HU HU +... HU? 
seront trouvées d’après les formules 


2 — PR dd , Ed 
U —= Yo; U, = Us = Jay UV) 


_Pk(&o) ke) ke) px(tg) 
D PR 1 Pre) Ve Pr Ya — — Ÿr@g) 


pour g — è. 
On voit par là que la somme 


2 2 2 2 —— 
HU HU + HU = Yo FU Fate oo US 


est la limite supérieure que ne peut dépasser la somme 


2 2 2 2 
WU HU HU He HU 


qui s’obtient pour la solution réelle quelconque des équations (1), quand 


Zq — Lee 


Or, d’après ce qui a été dit ($ 1) sur la série 


— 687 —. 


on voit qu’en général z, ne peut être inférieur à 4, que pour n<g, et comme 


dans ce cas la somme 
UH+U HU +... + U,? 


est évidemment moindre que celle-ci 


UP HU HU He Us 


dont la limite supérieure est 
YF rY+...+Y;; 


nous en concluons que pour 
Li Lo 
on doit avoir 


(4) UF HU + HU LU + Yi 


En répétant les mêmes raisonnements par rapport au maximum de la 


somme 
+ 1 + ques eee + Wp—i) 


le maximum qui s’obtient d’après le $ 16 du Mémoire précité, nous trou- 


vons que pour 
2, > &; 
on aura l'inégalité 


2 : 2 2 
(5) VE RE EL A out / PE ut es AE 


Or, en remarquant d’après (1), (2) que. 


2 2 3. os 
HU HU + HU, = GC, 


YF ErY+t..+Yyr = Ci 
nous déduisons 


2 2 9 St ia CR: [CY GA 
M M CN nn se Fa? 
Yo + Etes EYE Co Yon — Ypo —o— Yy 5 
en vertu de quoi l’inégalité (4) donne 
uv 


2 2 
es ose ne TR eh Suis Pr. EY, …: 


D'où l’on voit que pour 
2 LT;; 


outre l’inégalité (4), on aura encore 


9 Fe 9 
Paper 1 Mes ee PS Nes FU, tri, 


— 688 — 


et à plus forte raison 
2 2 2 
Un Mgr os HU 2 Mia Pots Vers EVE: 


Ce résultat, joint à l’inégalité (5), nous donne le moyen de déterminer 
les limites entre lesquelles doit rester la somme 


2 2 
mr Per re 


p—1 
pour toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit 


le nombre des inconnues. 


$ 3. D’après ce que nous venons d'établir, les limites de la somme 


2 n12 
pos en 


pour chaque nombre des inconnues dans les équations (1) peuvent être 
trouvées à l’aide de leur solution correspondant au nombre le plus petit 
possible des inconnues. Dans le dernier cas, comme nous l’avons déjà dit, 
les équations (1) se ramènent aux équations (2) qu’on résout aisément à 
l’aide du développement de l’expression 


C CG C Cok—i 
pda per Ma Ra CR ei Er 


en fraction continue. Nous allons maintenant examiner ce que devient cette 
fraction et les quantités qui en dépendent, lorsqu'on varie, plus ou moins 
considérablement, les coefficients 


oo 


Nous profiterons ici du théorème démontré dans notre Mémoire inti- 
tulé: Sur le développement en fractions continues des séries procédant sui- 
vant les puissances décroissantes de la variable *); et à cet effet nous sup- 
posons que toutes les hypothèses de ce théorème sont remplies dans le cas 
présent, savoir, les suivantes: 

1) pour 

G= Co AC QG gs eee Op = Cok 
l'expression 


Co CG C2 Cok—1 
RD SE 


se développe en fraction continue 


1 


Nm À 
A T+$B, — 


ae MATE | 





*) T, II, pag. 613—666. 


— 689 — 


où 
mp0. 2,2» 0,.,..0 0, 
2) Les équations 


Lo (x) = 0, Ÿ (x) = 0, Ÿ (æ) = 0,.. .Y (&) = 0, 
formées par les dénominateurs des réduites de cette fraction 


e0(2) 910), -Ps() ‘, ., 9e) 
Yo@) D) PU)" x) 
n’ont pas de racines négatives. 


3) Les quantités 
Do 0 


2k—1 


restent comprises entre les limites 





1 h h? h2k—1 
et 
1 h h?2 h2k—1 
PS À 2 eut À +" 1H: AN STATE : 0 , 


où » est une quantité positive quelconque et Æ, une quantité supérieure à 


la somme : 
F1 ;{& YE(— À) 7 @) 
pe YO 20 


dans laquelle Z® désigne la limite supérieure de la valeur absolue des coef- 


ficients du polynome 
Ve (= D) Pr) — dx (À) Yi (x) 


2+h 





et Z,® son terme constant. 
Dans ces hypothèses, comme nous l’avons vu, les équations 


ÿ (x) = 0, (x) —0,.. .,(&) = 0, 
formées par les dénominateurs des réduites 


P1(&) Geft) … o(x) 
Ÿ (x)? de (@&)° Ÿx (x) 


æ CG C Cok—1 
Ft 








de l’expression 
he EE. + 


ont toutes leurs racines réelles et positives. 


En désignant par 
x), x), a 0), ...a0 


les racines de l’équation 


k—1 


(A (x) = 0, 


Y°), y,°), de .y® 


par 


k—1 


— 690 — 


les quantités 


en) em)... 0) 
dx Go)” dr (m0)? Ÿx (&O%) 





et posant 
(6) CC —E G=ci+e; CC —2s « °. Cor 2k—1 k—1 
nous obtenons, d’après ce qui a été dit au $ 1, les équations suivantes: 


k k k 
k 
(7) > YŸ= C—60, bi = + ES ps Gi y = —e,.…. 
0 0 0 


tr €, 


k 
(oh26—1 ,, (0) 
.. > (æ, ) Y; FT CT Chi 
0 


Or, d’après les limites entre lesquelles doivent être comprises les 
quantités 
D D us 


2k—1 
et en vertu des équations (6), on voit que les limites supérieures des quantités 


sont égales à 








1 h h2 h2k—1 
FA , H, ; ji ,.<,+ 15: ‘y , 
et les limites inférieures sont égales à 
1 h h?2 h2k—1 
me: 0 A : 4 ur” ARR FA ; 


En désignant par 
, / 4 , 
To ; T; ;, VPECRELT EST 
4 1 4 1 
; T, 9 %; 9 Lo , (M | x | EE} 
les valeurs des inconnues 
(0) (0 (0) (0) 
PARUPIE ASE PEL OURS 
dans les équations (7) correspondant aux valeurs limites e,, e,,e,,...€,7 
/ , / , 
Yo > Yi Ya >< 4 YU x 10 
1, " (44 4 
Yo > Ji Ya see Y y 
: . 0 0 0) 0 
les valeurs respectives des inconnues y, 7°, 7,,...y%, _, nous obte- 
nons d’après (7) 


k k k 
ET APRES CR For h ARS 7 PO EU l? 
(8) > Yi = — 7 Dinar 2) p=c— pe 
k 


,etpar 





- asblabz eo h2k—1 
HER PE Ho ? 
0 
£, 1 k h E, ; h? 
LES Œ 7... [LADA 
(9) b47 NU R) x D d'Éct MN - FU dE EPA 
0 


0 0 





k 
NE 1 72h31 
0 


— 691 — 


Ces équations jointes aux équations (7) vont nous servir à déterminer 
le maximum et le minimum de la somme 


pour la solution des équations (7) auxquelles se réduisent les équations (2). 
Et, cette somme-là, comme nous l’avons vu, pour m—%, m—+-1, va nous 
fournir les limites entre lesquelles reste comprise la somme 


2 2 2 3 
nn ns Pro PU 


pour toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit 
le nombre des inconnues, 


$ 4. Pour trouver le maximum et le minimum de la somme 


(0) (0) 


3 der es 229 k—1? 


t6a 910 0 0 4 : 
composée des quantités ÿ°,, ÿ°,41-- 9° données par les équations 
(7) pour e,, €,, &,...€,,_, qui restent entre les limites 





1 h 2 heh—1 
Ho? H H,° HT 
et 
RE AOL ee ARR mal 
+: OS : UE : 2 CR : us 


cherchons la différentielle de la somme 


y, + Ps at+...+#,., 


par rapport aux quantités &, €, &,...6,, 

En désignant par © un des nombres O, 1, 2,...2%— 1, nous voyons 
que les équations (7), différentiées par rapport à e., nous donnent les éga- 
lités suivantes 


D D = 0 
M a 1 +Ù 1.y, _ AU CEE PP = 
à ) ( t 
GS 27 00 —0, 


S SA op + D G— ny (0220 0, 


ge 


ps dy) (2,0) +Ù cy (x, ra 0 (à 1), 


44* 


— 692 — 


dé D (7 0) )\ 9-1 sé > (o rt 1)y, (0) (x, OyE = — 0, 


Ô o k— —2 dx;0) 
un (æ x 0)ÿ PR S (2k— 1)y, (x, ()2k 2 = = 0. 
a=0, 1, 2,...6—1). 
En multipliant ces équations par les constantes arbitraires 
ho; \; LE . + 


et les additionnant, nous trouvons 


+- be 0 se en ...—+(2%—1)À 


a 








+ ES me a 





Se ME 
és (x, 0v2k—2 _ é e 


ce qu’on peut présenter, plus succinctement, comme il suit 
2e 0) 0 (x, 0) mx Y ©) g' (x x 0) SE Le Se Un 1) À. 
à l’aide de la fonction entière 4 (x) définie par l’égalité 


0G)=h+Àz+N +... HA NT, 


Pour déduire de là l’expression de la dérivée 
Ô [y(0),, ru CAPES He... yC)x_] 
? 


ds 
donnons aux constantes arbitraires 


2 


2k—1 





de telles valeurs que la fonction 
O()=hb+AT+NE +... + RE ET 


satisfasse aux 24 conditions qui la déterminent complétement 


(10) e)=8@) =...=0 (0, )=0, 
(11) OR) =0(G") —=.:,=s0@; )=0, 
(12) O(a 0) =0(),,,)=.:.=0{0,:) = 


Toutes ces conditions remplies à l’égard de la fonction 9 (x), l'équation 
obtenue ci-dessus se réduira à l’égalité 


(13) PRE = — (1) 





qui donne l’expression de la dérivée cherchée d’après un des coefficients de 
la fonction entière | 


0) =h+AT+.. : AN PESTE 


— 693 — 


déterminée par les équations (10), (11), (12)*). Pour déterminer le signe 
de cette dérivée, défini à l’aide de celui du coefficient À, de la fonction 4(x), 
remarquons que d’après (10) on satisfait à l’équation 


d'(&) = 0 
par les X quantités 


a), æ, (0), 0, Æ 1... £ 


De plus, on y doit satisfaire par certaines autres quantités situées 
dans chacun des 4 — 1 intervalles entre 


Mo el a, 


et dans chacun des # — 1 — 1 intervalles entre 
20, a0 , a... ct 
car d’après (11), (12) on a 


00) =0(@°)=0@)=...—=0(@0 ), 


0(@®,)= 0 (@°.,,)=0 En Lite 0 


En remarquant que le nombre de ces intervalles plus le nombre des 
quantités 


(0. (0) (0) (0) 


donne la somme 24 — 2, égale au degré de l’équation 


d'(x) = 0, 
nous en concluons que 
1) toutes les racines de l’équation 


O'(x) = 0 
ont de valeurs réelles; 
2) toutes ces racines sont simples; 
3) k de ces racines sont égales aux quantités 


20, 2°, 2,0,  : 





*) Ce polynome 6 (x) peut être présenté par la formule 





i=k 

D (m0) — (220) D (20) 

PO no 
1=h 


où 
D (x) = (x — 00) (x — æ (0)... (x — æ(0)z_;). 


— 694 — 


et 4—2 autres sont situées séparément dans chacun des intervalles entre 
les quantités 
MS Mie CES 


@) y) (0) D. 
Dur & x Tee 


+1? +2) ° 
D'où l’on voit que l’équation 
O'(x) = 0 
n’aura pas de racines ni hors des limites 


com 7e (0 — 70) 
Dem), Bd ; 


ni dans l'intervalle entre 4°,_., 2°, et, comme, d’après ce qui à été dit, 


LA) Se. 0, 


il s’en suit que toutes les racines de cette équation ont de valeurs positives. 
En s’appuyant sur ce résultat, il n’est pas difficile de déterminer les 


signes des coefficients 
A A ue 
dans le polynome 


2k—1 


0%)=kb+ATt+l +... +2, ,T 


2k—1 


De ce que l’équation 
O'(x) = 0 
n’a pas de racines entre 
— #0) Us 
LL y TA, 


il s’en suit que dans cet intervalle la dérivée 4'(x) ne change pas de signe; 
de ce que d’après (11), (12) : 


(4) (9, -;) =0, 0 (x, °) = À, 


le signe constant de 4 (x) dans cet intervalle doit être +. D’où l’on voit 
que la fonction &'(x), en s’annulant pour æ—2"),_,, va nous présenter la 
variation de signes suivante: — +. 

Il en est de même, lorsque x franchit 


1 


œ == 20), FAUX ro, e Duel 


les racines simples de l’équation 
0'(x) = 0, 


car dans chacun des intervalles entre ces racines il se trouve une racine 


— 695 — 


simple de notre équation. On voit de là que, « franchissant 4 —%, la 
fonction 6’ (x) passe de — à +, et comme l'équation 


0'(x) = 0 


n’a pas de racines hors des limites =", æ=—%°%, ,, il en résulte que 
la dérivée 4 (x) reste négative pour toutes les valeurs de x inférieures à æ,°. 
D'où il suit que la dérivée 4’ (x), pour += 0, a une valeur négative et que 
la fonction primitive 4 (x) décroît entre x—0,x—x". Et cela, en vertu 


des égalités (11) qui donnent 
Ô (to) ages 0, 


ne peut avoir lieu que pour (0) > 0. 


Après avoir établi ainsi que 4'(0) << 0, 4(0) > 0, nous en concluons 
que dans la fonction 


O(a) = +hr+ a+. + 21 


le premier terme est positif et le deuxième est négatif. Quant à ses autres 

termes, leurs signes se déterminent aisément d’après celui de À,, en s’ap- 

pyant sur ce fait que toutes les racines de l’équation 
d'(t)=À +22 +...+(2k— 1) e 


2k—1 ? 


comme nous l’avons vu, ont de valeurs positives, et en conséquence la série 


D 2 


95° . ok —1 


ne présente que des variations de signes. Nous trouvons ainsi que le coef- 
ficient À,, quelque soit s, doit avoir le même signe que (— 1)°. 


$ 5. D’après ce que nous venons d'établir à l’égard du signe de À,, 
l’équation (13) donne pour toutes les valeurs de © 


p] (70) + yo), +...+y 
des 


(0x _) < 0. 





D'où l’on voit que, lorsque les quantités &,, €,, €,,...e,;_, croissent 
entre les limites considérées 





1 h h? n2k—1 
— -—-9 —— — —…. mm 4 @ © € ——— 
H M” H ? 
1 h h? R2h—1 


À T'AS Se . RENTE : AE 
la somme : 

(0 (0 
per es. y, 


— 696 — 


diminue; on trouvera donc son minimum entre ces limites pour 





FAP sa nr * LR Re re 
Hot A _— Ho? ae): . A dune: AE 
ou maximum pour 
sl Re HO EM RER nt 


Comme, d’après notre notation ($ 3), 
Yo Yi he. - Jr 
donnent les quantités auxquelles se réduisent 


Yo, y, AU Se À Lo 


ln un sn Été 
Gr H2 ET He 2 H6°° "ki — H, ? 


pour 


et U " 
14 F 1, 
S Yo » Vis Va see Y pi 
ses mêmes quantités pour 


h ke? eh —1 





nous en déduisons, en vertu de ce qu’on a établi à l’égard du maximum et 
du minimum de la somme 


| "Mu + Me Open po, 
les inégalités 
(14) En DOS Pre Et LUE Us ee. PP BRe RL ee EUR 
(ES) GO UE, ET de ve 


En passant aux solutions des équations (1) correspondant au nombre 
arbitrairement grand des inconnues, posons d’après (6) 


der Se AR 7 FRS 


Fe 


2k—1) 


sont des quantités comprises entre les limites indiquées dans le $ 3. 
Comme, d’après notre notation, pour ces valeurs de 


CM ares US 
on à 


sie. she (0) Lee gs (0) ass ge (0) — #{0) 
Vo —= Lo 3 TT —= 4%, , Vo —= Lo el, —=X k—19 


Yo = Yo, = u”, = AA .. Yx_ _— Yo sirt 


— 697 — 
nous en concluons, d’après le $ 2, que pour 4, < œAd on doit avoir 
2 2 2 (0) (o) (0) 
ner te . +2 y dei 9 FF Pes ane ® +7y k—1)? 
et dans le cas z, > æ,% on doit avoir 
2 2 3 (0) (0) (0) 
MeV ones À g RS < Y; CR LS TERRE PE ES 
Or, en remarquant que pour u—=1#+ 1 l'inégalité (14) donne 
0 (0) (0) ! ! ! 
ÿ ou | im re US | k—1 TFC À buts ’ Yu 
et pour x = 2 l'inégalité (15) donne 
0 0 0 " 4 14 
Yi +Ÿ énn hr L “en. < y «+ nm Te sr k—1? 
nous en tirons 


2 2 2 / Là , 
u PS DV ha Vis to Yi 


n 
pour le cas 
(16) 7% < ti", 
et 
un + < Han to +Y ri 
pour le cas 
(17) 2? ne. 


Mais, d’après ce qu’on a démontré à la fin du Mémoire mentionnée 
dans le $ 3, on a dans nos hypothèses, pour chaque }, 


Or») #0 y). 
<a, Da", 
donc l'inégalité (16) aura lieu necéssairement pour z, <æx,”"; ainsi que l’iné- 


galité (17) pour 4, > x;. 
Par conséquent nous aurons l’inégalité 


Un + War Te ut ps T Yi + Viva PAIN TES Ve 
toutes les fois que z, < x,” et l'inégalité 


9 a 2 1! 1! 4 
em SP CC ro <Y +Y Rte ot Li.) 


dans le cas z, > Ds. 
Ainsi, de la solution des équations (8), (9) aux 2% inconnues on peut 
déduire les limites supérieure et inférieure de la somme 


DU. +... +4 


n 19+1 p—1? 


— 698 — 
composée des carrés des valeurs des inconnues 


Ur naar ee Up 


pour toutes les solutions réelles des équations, quelque grand que soit le 
nombre des inconnues. Les quantités données C, C,, C,,...C,;_, peuvent 
plus ou moins différer ici des quantités @, €, Ca, « «C,y_, Pourvu que les 
différences 


y . 
Cy— Co; C,— Ci; C,— Cas ... Grimes 


restent comprises respectivement entre les limites 








1 h h? h2k—1 
Ho Ro D 
et 
REC OR pk —1 
H,° 7  : A0 H, 9 


où », H, sont des quantités positives assujetties aux conditions énoncées 
dans le $ 3. Quant aux quantités 


LA / Là / 


LA L 4 4 , 
Yo Yi Ygs - y; 


1 " 44 4 


"” ’ 1 7 
Yo » Yi» Ya see YU pu) 


elles s’obtiennent aisément, comme nous l’avons déjà dit dans le $ 1, à l’aide 
du développement des expressions 
1 h h2 h2k—1 











h2 Ph —1 
— + —_.1— 

H, 2k—1 H, 
a2k ? 











en fractions continues qui, à leur tour, en vertu de ce qu’on a montré dans 
le Mémoire cité dans le $ 3, s’obtiennent bien facilement à l’aide de la 
fraction continue résultant du développement de l’expression 


Cok— 
} Éio . 2h, 
x 


NOTES ET EXTRAITS. 


ar 
RE 


us 





Sur la limite du degré de la fonction entière 
qui satisfait à certaines conditions. 


mes 


Bulletin de la société mathématique de France, tome troisième, IIT, année 1874—75, p. 165. 
Séance du 21 juillet 1875. 


Si une fonction entière, entre deux limites quelconques de la variable, 
s’écarte peu de zéro, et qu’elle ait une valeur considérable en dehors de 
ces limites, il est certain que la fonction est d’un degré élevé. Quelle est 
donc la formule qui donne la limite du degré de la fonction entière, d’après 
ces écarts de zéro, pour des valeurs de la variable comprises entre certaines 
limites, et de sa valenr au delà de ce champ. En cherchant à resoudre ce 
problème d’après les méthodes exposées dans notre Mémoire Sur les que- 
stions de minima qui se rattachent à la ‘représentation approximative des 
fonctions, nous sommes parvenu à ce théorème très-simple. 

Théorème, Si f (x) est une fonction entière du degré n, qui, depuis z——} 
jusqu’à & = + /, ne sorte des limites — Z et + Z et que pour toutes les 
valeurs de x en dehors des limites nommées x — —}, x — + { les valeurs 
de la fonction f(x) soient en dehors des limites — Z et + Z, on aura 

















=) VS GE + VIS GT — IL? 
Va Ve) =V{f@r-VT@r—-L 








en donnant aux radicaux les valeurs positives. 


— 702 — 


Sur la généralisation de la formule de M. Ca- 
talan et sur une formule arithmétique qui en 
résulte. 


— 


Association française pour l’avancement des sciences. Compte rendu de la 5-me session. Cler- 
mont-Ferrand. 1876. Séance du 22 août, p. 114—117. Nouvelle correspondance PAAAmANqUe 
redigée par Eugène Catalan. T, IT). 


M. Catalan vient de faire cette remarque importante que la limite de 


la somme 


1 1 1 
Sur Led e .. TE 





pour » — co, qu’on trouve égale à log 2, résulte de l’identité 


Pare PE Ne EE DER + 
3.5 re On  n+1l n +2 ls 





On’ 
facile à vérifier. Cette identité, remarquée par M. Catalan, et qui rend très- 
nette la convergence de la somme 
/ RES 
n +1 n +2 id 2n 





vers log 2, quand n croît indéfiniment, mérite d’autant plus d’attention 
qu’elle peut être facilement généralisée, et donner lieu à une formule arith- 
métique d’un genre tout nouveau, C’est ce que nous nous proposons de 
montrer dans cette communication. 

En effet, si dans les fractions qui composent le premier membre de 


l'identité 


1 1 1 1 1 1 
AH dome — == + +. +) 





1 
LR 5: AuTEs On n +1 n +2 2n 


on remplace les unités par les termes d’une série quelconque 


U;, Ua) Use.) Un) 


on trouve que le second membre se réduit à 


Uanr2 _, Vents PE Nue! D Vas Mobtihee BE Per Mu D sm, 
n +1 n+ 2 ne 1 2 ee 








D'où il suit qu’en faisant 


Ve = Uy Vox 


— 703 — 
on aura cette identité 


Uy __ Us U3 Von __ Une, Mons, Men 9 Vs ts 
— —— .. 


1 . Side MIRE ER M eg "D "1 32 *" On 





Passant au cas de n — co, et en observant que, pour cette valeur de 
n, la somme 


u u u 
on +2 4 on +-4 4 ESS 4 an 
n +1 n + 2 2n 





devient 





lim ( +. ….+%) lim w,—4%, 108 2, 
+... —(t++s+....) 
où les quantités v,, v,, v,...., sont déterminées par la relation 
(2) VU, —U,.. 
Pour montrer le parti qu’on peut tirer de la formule (1), nous poserons 


___ E(ax) 
Ur D 4 9 





où a est une quantité positive quelconque, et le signe Æ désigne à l’ordi- 
naire la partie entière de la quantité placée sous ce signe. 


Pour cette valeur de #,, nous trouvons, d’après (2), 








__ E(ax) _E (2ax) __2EÆE (ax) — E (2ax), 
— æ Ms 2% ? 
d’ailleurs la différence 
2ÆE (ax) — E (2ax) 


se réduit évidemment à O ou à —1, suivant que le nombre Æ (2ax) est 
pair ou impair; par conséquent, on a 


E (2ax) 


2E (ax) — E(2ax) = — ©) Ù 





et, par suite, 


RS 1—(—1) 
RE 4x 


E (2ax) 





En portant ces valeurs de w, et v, dans la formule (1), et en obser- 
vant que pour æ infini 


— £ (ax) 
= — 


— 704 — 


devient a, on obtient cette formule 








a log 2 —*0- #69. 509 _. is 
Ci 4:23 4,8? ..., 











qui se réduit à celle-ci: 


4E(a)-(—1)E C9) 48 (0a)+(—10E 00  48(8a)—(—1 269 











a log 2 — 1.1 1.2 2: 1.8 
1 1 1 
Sfr € (1 arr: ES k 
£ Mais on a 
1 1 x. 
l+gtait. = 
il en résulte 
E (2a) E(4a) E (6a) : 
4E(a) — (—1 4E (2a)+(—1 4E (3a)—(—1 
a log 2 — 420) = . nt ae A a Le ) — + 
D’après cette formule nous trouvons 
E (2a) \E (4a) E (6a) 
2? __4E(a)—(—1 4E (2a)1(—1 4E (3a)—(—1) k 
4al0g 2—T— @) - D D — + » € —,... 





et, en posant ici 
2 
4a log 2—T=X, 

ce qui suppose 

__6X+ 7? 

— 24 log 2 ? 
nous parvenons à ce développement de la quantité X en série composée de 
fractions ayant pour dénominateurs 1°, 2?, 32,.... 




















(2 nn) 
4E Gr <) de as 1) 24 log 2 
24 log 2 
A Ë TE 
6X + 7? 
GX +- 72 E ( ot 
4E (2 DE Log 5) + (— 1) 
ER 02 
6X + r? 
6X+ 7? E (6 nr 3) 
en (s 24 log 5) —(— 1) 





— 705 — 


Sur une transformation de séries numériques. 


(Association française pour l’avancement des sciences. Congrés de Paris. Séance du 26 août 1878 
Nouvelle correspondance mathématique redigée par Eugène Catalan. T. IV. 1878, p. 305—308). 


ee=rtpienmmmns 


1. Il y a déjà plus d’un quart de siècle, Alphonse de Polignac et moi, 
nous avons publié nos recherches sur la Répartition des nombres premiers. 
Ces recherches diffèrent, essentiellement, de ce qu’on a fait, avant nous, 
sur le même sujet. Nous avons donné des valeurs limitatives de fonctions 
dont on n’avait que des valeurs asymptotiques. La base de ces recherches : 
est une formule qui remplace la somme des logarithmes de tous les nombres 
entiers (jusqu'à une certaine limite) par des sommes relatives à des nombres 
premiers. Voici cette formule: 


log 2 + log 3 + log 4+...+log(a) —% (a) + (S)+v(s)+. (À) 


* Dans le second membre, 


<a du Fe 

y(2)=0(2)+0(/2)+0(V2)+0(ÿ5) +...  ® 
O(k) désignant, en général, a somme des logarithmes de tous les nombres 
premiers qui ne surpassent pas k. 


La formule (A) diffère essentiellement, nous venons de le dire, de 
celles que l’on connaissait autrefois. Parmi celles-ci, l’une des plus impor- 
tantes est la relation 


+ 1 1 1 1 pl 
l+pjtotot...— 1 p * 1 : En 1 FRE (C) 
a(s pe (een ts) 


dont le second membre ne contient que les nombres premiers. 





2. En cherchant à rapprocher les formules (A) et (C), je suis parvenu 
à reconnaitre qu’elles découlent d’une même égalité: 
log 2.f (2) + log 3.f(3)+ log 4.f (4) + log 5.f (5) +... | D) 


— log 2.F(2) + log 3 .F(3) + log 5.F(5) + log 7.F(7) +: .., 
45 


— 706 — 


les fonctions f(x), F(x) ayant une relation convenable. Cette relation, très- 


simple, est 
n—©CO M—CO 


F@=D Du”) (Œ) 
n=1 mx 


3. Soit f @)= >; la variable æ et l’exposant p étant supérieurs à 


l’unité. Nous aurons 














puis 
n—=©Q M—OCO 
1 et 
n—1l 1 
Comme 
C9 
RS tes 
mi LMP x rte — P— 1 
4 
la valeur de F'(x) se réduit à 
[ee] 
1 1 
me > ne? 
>. 
et l'égalité (D) devient 
(ee) 
og2 log3 log4 log5 ie [ log 2 log 3 log 5 l0g7 1 
AD 0 A nn BR De M 0 CT sd D 
1 


(2e) 
L Li D] # L A 1 
Le premier membre est, au signe près, la dérivée de > 6 Par rap- 
1 


port à p. Ainsi 


\'! 
4.2; x 
nes 
de log 2 log 3 log 5 log 7 

= + = + ss 
LE 2P—1 S3P—1 5P—1 7P—1 : 
pa 


1 








Intégrant, de ? quelconque à p infini, on a donc 


log © = —108 (1—%)—108 ( —ÿ%)— 108 (1 — 3) —... 


MECS 





puis la formule (C). 





*) Les fonctions f (x), F'(x) peuvent être continues ou discontinues: il suffit que les séries 
résultantes soient convergentes. | 


— 707 — 


4. Si l’on suppose 


f@)=1 
f(@)=0 


pour æ £a, et 


pour # > a, nous trouvons que la somme 
log 2 f(2) + log 3 f(3) + log 4 f(4) +... 


se réduit à la somme des logarithmes des nombres 2, 3, 4,.... ÆE(a); et 
alors notre formule (D) donne la décomposition de cette somme en plusieurs 
sommes composées des seuls nombres premiers, décomposition qui était la 
base des recherches faites sur les nombres premiers par A. de Polignac 


et moi. 


5. En donnant d’autres valeurs à la fonction f(x), on obtient de nou- 
velles formules, qui peuvent avoir d’utiles applications. On trouve, par 
exemple, que la somme 


ere pet gp ee ie OI Le, 


croît indéfiniment, quand c tend vers zéro. 

Comme les termes de la série, pour c = 0, se réduisent à 1, selon 
. que les facteurs correspondants ont la forme 4n + 3 ou la forme 4n + 1, 
on est conduit à cette conclusion: Z{ y a une différence notable dans la ré- 
partition des nombres premiers des deux formes 4n + 3, 4n +- 1: la pre- 
mière forme en contient beaucoup plus que la seconde. 


45* 


— 708 — 


Sur la coupe des vêtements. 


(Association française pour l’avancement des sciences. 7 session. Paris. Séance du 28 août 1878). 


Après avoir indiqué que l’idée de cette étude lui est venue lors de la 
communication faite, il y a deux ans, au Congrès de Clermont-Ferrand, par 
M. Edouard Lucas, sur la géometrie du tissage des étoffes à fils rectilignes, 
M. Tchébichef pose les principes généraux pour déterminer les courbes 
suivant lesquelles on doit couper les differents morceaux d’une étoffe, 
pour en faire une gaine bien ajustée, servant à envelopper un corps de 
forme quelconque. 

En prenant pour point de départ ce principe d’observation que dans 
la déformation d’un tissu on ne doit considérer d’abord, dans une pre- 
mière approximation, que l’altération des angles respectifs formés par les 
fils de chaîne et les fils de trame, sans tenir compte de l’allongement 
des fils, il donne les formules qui permettent de déterminer les contours 
imposés à deux, trois ou quatre morceaux d’étoffe pour recouvrir la sur- 
face d’une sphère, avec la meilleure approximation désirable. M. Tché- 
bichef présente à la section une balle de caoutchouc recouverte d’une étoffe 
dont les deux morceaux ont été coupés suivant ses indications; il fait obser- 
ver que le problème différerait essentiellement si l’on remplacait l’étoffe par 
une peau. D'ailleurs les formules proposées par M. Tchébichef donnent 
aussi la méthode à suivre pour la juxtaposition des pièces par la couture. 


Conformément à la volonté de Tchebychef, l’étude «Sur la coupe des 
habits» trouvée dans ses papiers ne doit pas être imprimée, car le manuscrit 
ne porte pas l’inscription: «imprimer». 


— 709 — 


Sur les parallélogrammes les plus simples sy- 
métriques autour d’un axe. 


(Association française pour l’avancement des sciences. Congrès de Paris. Séance du 29 août 1878 
Ikoxa Maremaruxku uucroï u npnKkiaxxoï 1885). 


$ 1. A l'Exposition universelle on peut voir actuellement les diffé- 
rentes applications d’un parallélogramme articulé, que j'ai trouvé d’après un 
théorème sur les fonctions qui s’approchent le plus de zéro. Ce parallélo- 
gramme, ne contenant que trois tiges droites, donne le mouvement rectiligne 
avec une approximation très-notable, qui surpasse celle qu’on obtient par 
les parallélogrammes composés des mêmes éléments, c’est-à-dire par le pa- 
rallélogramme simple de Watt et le mécanisme d’Evans. 


$ 2. Ce parallélogramme est composé de deux tiges AC, À,C, d’égale 
longueur, qui tournent autour de deux points 
fixes C, C; et sont reliées à leurs bouts 4, À, 
par une troisième tige AA, (fig. 1). C’est le mi- 
lieu M de cette dernière tige qui décrit une 
ligne droite avec une précision considérable, tou- 
tes les fois que les longueurs des tiges 4AC, AC 
et la distance CC, des points fixes C, C, remplis- 
sent les conditions suivantes: Es Ci 


A, _—_— — À 


NX 
V4 
F \ 
ut Ÿ 








1. La distance CC, doit être rigoureusement égalé au tiers de la somme 
de lignes AC, AA,, AC. | 


2. La longueur de la tige AA, doit surpasser le quart de celle des tiges 
AC, A,C,, mais ne doit pas différer notablement de cette limite. 
k À mesure que la différence 44, ——+ AC tend vers zéro, la longueur 


de la portion sensiblement rectiligne de la courbe décrite par le point M 
diminue, mais en même temps la rigueur avec laquelle elle représente une 
ligne droite croît plus rapidement que ne diminue sa longueur. 


— 710 — 


$ 3. Je vais montrer maintenant les résultats auxquels je suis parvenu 
en examinant un mécanisme un peu plus compli- 
qué que le précédent. Ce mécanisme est com- 
posé des mêmes éléments, cependant le point 
qui décrit sensiblement une ligne droite ne se 
trouve plus sur la ligne AA, mais sur une per- 
pendiculaire NM, menée de son milieu (fig. 2). 
É D'après la méthode que nous venons de 
C mentionner, on reconnaît que pour la précision du 
jeu de ce mécanisme, il est indispensable que c— MN ait la valeur suivante: 


3 , 2 re 
(1) CS [S T COS g—a) sin ®—(r cos 9 — a) Va]. 
Dans cette formule r et a désignent les longueurs des lignes AC—A,0, 


et 44,, et o la valeur commune des angles ACC, A,C,C, A, AC, Ne C, 
dans la position moyenne du mécanisme. 





$ 4. Toutes les fois que le lieu du point AZ est choisi conformément 
à la formule (1) et que la différence 


2r cos p — 
(2) V LT TT er Das 2 sin 9 


ne s'éloigne pas trop de zéro, ce mécanisme donne le mouvement rectiligne 
avec une précision notable. Cette précision croît à mesure que la différence 
(2) s’approche de zéro, maïs en même temps la longueur de l’arc qui jouit 
de cette précision diminue. 

Dans le cas où l’on a rigoureusement 


(3) Va - 2 sinp—0, 
cette longueur se réduit à zéro, et alors la courbe décrite par le point A a 
un contact du 5”° ordre avec une ligne droite. 

Nous allons nous arrêter sur ce cas-limite, vers lequel converge notre 
mécanisme à mesure que la précision de son jeu va en augmentant, et dont 
il diffère peu, si cette précision est suffisante. 

$ 5. Pour ce cas-limite, d’après les équations (1), (3), nous trouvons: 


2 cos? o cos 29 ds cos? @ cos 29 tang 5? 


er cos 39 Un cos 39 








En partant de ces valeurs de AA, —a, MN =c et remarquant que 
l’on a AC = À,C, — +, on trouve au moyen des triangles CDC, et ADA, la 
formule suivante pour la détermination de CC, = b, à savoir 


Le sin? 29 
7 cos 39 





— 711 — 


Ces expressions des quantités a, b, c ne changent de signe que pour 
les valeurs de l’angle © qui annulent : 


sin 29, cos 2œ, sin 39, cos 39 
et qui seront 
; 07/30. 49, 00-907, 


à HE re . 
3 | 


As== 


























é c, 
d’où il suit que notre mécanisme ne peut changer d’aspect entre les limites 
indiquées, c. à d. 

de o— 0° jusqu’à p— 30°; de o—45° jusqu’à o — 60°; 
» p—=30, » p—45%; » p—60 »  p—90°. 
Pour rendre bien compte de toutes les modifications que ce mécanisme 


peut subir, nous avons calculé, d’après les formules précédentes, les éléments 
pour quatre valeurs de o, prises à égales distances de ces limites, savoir: 


..p=æ 15°; 37° 30; 52° 305 75°. 


— 712 — 


Les figures (3), (4), (5), (6) représentent notre mécanisme avec les élé- 
ments qu’on trouve comme nous le venons de dire, et en prenant r égal à 
0.05 mètre. 

Toutes ces modifications donnent le mouvement rectiligne avec le 
même degré de précision; notamment la courbe décrite par le point A a 
toujours un contact du 5° ordre avec une ligne droite. Sous ce rapport, 
toutes ces modifications sont également bonnes; mais on remarque une 
grande diffèrence entre elles, quand on passe au cas où l’on cherche à 
obtenir le mouvement rectiligne pour une course plus ou moins grande. 


$ 6. Dans le cas où la différence 
2r cos o — a + 
VS pr 2 sin 29, 
ne se réduit pas à zéro, mais en diffère peu, le mécanisme articulé, pour 
lequel c a la valeur (1), donne le mouvement rectiligne avec une grande pré- 


cision, et cette précision aura lieu le long d’une courbe d’une certaine lon- 
gueur. La détermination de la longueur de cette courbe se fera de la ma- 


nière suivante. En posant 
27 COS p— a __ 
V T COBP—& T, 


et en désignant par é celle des racines de l’équation 
2 sin o (1+é)+t(3+)—(1— À) T=0, 
qui se rapproche le plus de 0, on cherche l’angle «, d’après la formule 


2 (1— T°? ( 1 + 2t sin 9 +? Ÿ— 1 |. 


OS ler || ST sm o+ 75 





Cet angle, pris avec les signes + et —, donne les inclinaisons-limites 
de la ligne A4, sur la ligne CC, pour le commencement et pour la fin de la 
course en question. Ayant trouvé l’angle «,, nous aurons la ns) ee la 
course cherchée par la formule 


(4) 7207?) FT—sine , 2(1+ 9% sin o + t?) 
Ge ges à RE Pa (1 —#} 





t 
] r Sin &,. 


Le long de toute cette course, les écarts de la courbe tracées par le point 
M d’une droite restent comprises entre + Æ et —Æ, la valeur Æ étant 
déterminée par la relation 





5 peer 2r (1+ 2é sin o+12) t3 
( ) : (2 sin o + 36 +- 21? sin p+ 8 

$ 7. Dans le cas où l’on se propose d'obtenir une précision et une 
course préalablement données, on prendra pour &, r, ®, c des valeurs qui 
satisfont aux équations (1), (4), (5), et dans fesqrielles 1, E doivent avoir 


— 713 — 


des valeurs données. Comme l’on doit verifier seulement trois équations, on 
pourra choisir l’angle o à volonté. Dans ce cas, en donnant à l’angle les 
valeurs que nous avons indiquées ci-dessus, on aura les quatre formes diffé- 
rentes du mécanisme que nous avons déjà vues. Toutes ces formes jouiront 
de la même précision le long de la même course; mais elles différeront 
notablement entre elles par la longueur de leurs éléments et par leur 
disposition. 


$ 8. Pour comparer entre elles ces quatre modifications, nous allons 
chercher les expressions approximatives de leurs éléments, en supposant 




















que le rapport = a une valeur très-petite, ce qui a lieu toujours dans les 
mécanismes à grande précision. 
En cherchant, dans cette hypothèse, le développement de r, a, b, c en 


série, on trouve que ces développements, arrêtés aux premiers termes, 
donnent: 








__Tcos 39 À 2 cos 39 E. 
7 8 sin 29 cos @. cos8 29 E ? 


a—= 1e? P/_Zcos3 1, 
7 4 tang 29 cos ? . cosi 29 E ? 
p— — lin 29 S/ 2cos39 1. 
RE cos ® . coss 29 E ? 


ç — !.c08? p. tang 39 | 2 cos 39 
8 tang 29 cos ®.cos$ 29 E * 




















— 714 — 


Les figures (7), (8), (9), (10) représentent les quatre formes du méca- 
nisme en question avec leurs éléments déduits des formules précédentes en 
y faisant | 

a =D. 97807: 52° 50: 75° 


TE mi 


et en posant 


— 715 — 


Théorème relatif a la courbe de Watt. 


—————— 


(Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, II série, T. V, 1881, p. 216). 


a ae 


Si deux sommets À, À, du triangle AA, M glissent respectivement sur 
deux circonférences de centres C: C,, la courbe décrite par le sommet M ne 
peut avoir avec sa tangente un contact d'ordre 5 (limite qui ne pourra ja- 


f 


mais être dépassée) que dans le cas où les angles CA4,, CA, A ont les va- 
leurs 





_ A, AM+2 AA, M +2 
CAA = MEET, CA À = ANT, 


où », nr, Sont des nombres entiers quelconques. 


Avec ces valeurs des angles CAA,, CA, A le contact est toujours de 
l’ordre 5 lorsque les rayons AC, À,C, des deux cercles ont les valeurs sui- 
vantes | 








à F cos? (3CAA, + +) 
AC= AM Yy\ cos? (CAA ee = s 
cos (2 CAA, + + 1 
re : cos? (3C, A1 À — Y) 
AC _.. AM, Y\ cos? (C a 4 — 5 : 
cos (201414 — +) Rs 


où y est l’angle sous lequel se coupent la ligne AA, et la tangente en M. 


— 716 — 


Sur les expressions approximatives des inté- 
grales définies par les autres prises entre les 
mêmes limites. 


Cooémenia 4 npoToKOo1H sachxaniñ Maremaruueckaro o6mecrBa npu ÂuneparopckomB Xaps- 
KOBCKOMB YauBepcureTh 1882 r., II, crp. 93—98. 


(Traduit par M. A. Tichomandritsky). 


Lorsqu'on connait les valeurs de la fonction F{(x) pour toutes les va- 
leurs de la variable x de x — a jusqu’à x — b, la dernière des formules que 
nous avons déduites dans le Mémoire Sur Les fractions continues *), après le 
changement des sommes en intégrales, donne le développement de la fonction 
F(x): 

Fo ddx F4}, Sdx F4, Sdx 
F(x) ne + + Ve.) 








où 3 est une fonction quelconque, continue ou discontinue, qui conserve le 
signe + entre les limites æ—a, x —b, entre lesquelles sont prises toutes 
les intégrales, et 4, 4, d,,.... sont les dénominateurs des réduites qu’on 
obtient, en développant l'intégrale 


b 
[22 de 


TX — £ 
a 
en fraction continue. 


En développant d’après cette formule deux fonctions quelconques #, v, 
et en intégrant le produit wv9dx depuis x = a jusqu’à æ — 0, on trouve 
que l'intégrale 


b 
J uvidx 


a 
se ramène à une série composée de termes de la forme: 


[un Jdzx . Jon Jdx 
[mt Sax . [ n° Sdx + [ D, Ÿ, Sdx, 





où les nombres #, n prennent toutes les valeurs depuis 0 jusqu’à . 





+) T. I, pag. 203—230. 


se TT. vor 


En remarquant que par la propriété connue des fonctions d,, d,, d,,... 
l'intégrale 
J Ÿn Yn 942 


s’évanouit pour des valeurs différentes de », n, on déduit de cette série le 
développement suivant de l’intégrale f uvIdx : 





7. Judoddr. fotosde fui sx. [ob Sax  [uÿ, Sdæ [ »ÿ, %dx 
J Ado = f Vo? ddx js £ Ÿ,2 9dx ne Î Ÿ.2 ddx = a 


En arrêtant cette série sur le terme 


f Ubn—1 dx . 1; vYn—1 Vdx 
[l bn Ÿdæ 





et en désignant par À, le terme complémentaire, nous aurons l'égalité: 








de — [ubo Jdz . [oo Jdx — Î udn1 dr . [on Jdx LR 
7 [Yosaz tige [ns Var n° 


En déterminant l’expression de RÀ, dans ce développement de l’inté- 
grale fuv$dx, nous avons trouvé qu’il possède les propriétés suivantes: 


1) Sa valeur numérique ne surpasse pas 


f d?, Jdx 


dan 


AB, 





« Re 4 +: 5 dv 
où À, B, sont les plus grandes valeurs numériques des dérivées 5, x 
entre les limites d'intégration. 


. A -. e. # . # an an 
2) Si entre les mêmes limites les dérivées <<, 7 me changent vas 
dx"? dx" 


du. do 

dx dx” 
Pour en faire une application, considérons le cas de » — 1. 
Comme les premières réduites de l’intégrale 


“de signes, le reste R,, a le même signe que le produit 


b 
[2 de 


St “à 
a 


qu’on reçoit par son développement en fraction continue sont 


0 fSèx 
4” IN k a [adde” 





— 718 — 
les fonctions Ÿ,, d,, qui entrent dans nos formules, seront 
W—=l; 4, =fSdx.z—fxdx. 


En posant dans nos formules 
#.= 1 


et en y portant ces valeurs des fonctions d,, 4, nous obtenons l'égalité 


sa fuddz é î vddx 
J uvIdx — T vd +R, 





et pour la limite supérieure de valeur numérique du terme complémentaire 


l'expression ; 
J Sax . Î a? Sdx — (f xddx) 


| Jdx AB, 





où À, B sont les plus grandes valeurs numériques des dérivées ; | 2 


entre les limites d’intégration. Dans le cas, où les dérivées a 2 


ne changent pas de signes entre les limites d'intégration, le reste À, aura, 


d’après ce que nous avons dit plus haut, le même signe que le produit . . 


En posant 8— 1 et en prenant 0 et 1 pour les limites des intégra- 
tions, nous aurons par la formule trouvée plus haut l'égalité 


f uvdx —f udx f vdx + R,, 
0 0 0 


où la limite supérieure de la valeur numérique du reste À; sera 


UE 
Et 


Pour une autre application considérons le cas, où 
ÿ— 1 


et les limites des intégrations sont — 1 et 1. Dans ce cas les fonctions 
Vos Lis Vas... se reduisent, comme on le sait, aux fonctions X,, X,, X,,.... 
de Legendre, en vertu de quoi on obtient d’après notre formule l'égalité: 


+1 
+1 


+1 à +1 +1 
f uXo de . [ oXo dx f uXn__1 dZ . J vXn— dx 
ee | = 1 1 


uvAx = “à es ca-t 


_ + À 
j Xo°? dx [Xn de 
_. —1 








n? 


— 719 — 


d’où l’on tire, après y avoir porté les valeurs des intégrales 
+1 +1 +1 
[ Xs' dx, rar 2 dx, 
la formule 


+1 7: ne | : Et 


Lure: _ Jux de. | vX,da +...+ _— H uX, _,du.[vX,_,dr+R, 
se 





En rémarquant que dans le cas considéré on à 


+1 +1 
[2,947 =[ x°,d2 = 
ET a” 


2n +1? 


an dx 
20 — an — HiSibi:Lu .(2n — 1), 





nous trouvons, d’après l’expression ci-dessus de la limite supérieure de la 
valeur numérique du reste RÀ,, que dans le développement trouvé par nous 


de l’intégrale 
['uvdx 


la valeur numérique du reste ne surpassera pas la quantité 


2AB 
12.32.52....(2n — 1} (2n + 1) 





d'u an 
où À, B sont les plus grandes valeurs numériques des dérivées 5%, 77 


entre z— — 1 et x — +1. Quant au signe du reste, il sera certainement 


d'u d" d'u d" 
le même que celui du produit zx - 5, Si les dérivées Dhs gen ne changent 


pas de signes entre z—— 1 etx—+ 1. 
Remarquons en terminant, que ce que nous avons montré par rapport 
au reste du développement de l’intégrale 


J'uvsdx 


peut servir à la détermination du degré d’exactitude, avec laquelle le déve- 
loppement cité de la fonction F(x), arrêté à un terme quelconque, donne 
la valeur de Ja fonction. 


— 720 — 


Sur la rectification des courbes. 


, 


Association française pour l’avancement des sciences. 11 Session, La Rochelle. Séance du 
25 août 1882. 


M. Tchebichef montre dans cette communication le parti que l’on peut 
tirer, pour la rectification des courbes, de l’emploi des points dont les or- 
données servent à trouver l’aire d’après la méthode de quadrature qu’il a 
communiquée au Congrès de Lyon, méthode qui vient d’être enrichie par 
les recherches très intéressantes de M. Radau. En traitant de cette façon 
le cas le plus simple, on parvient à reconnaître que l’arc d’une courbe peut 
être représenté, avec une approximation notable par la somme des deux 
côtés égaux du triangle isocèle construit sur la corde de l’arc comme base, 
et ayant pour hauteur les (y 
rement au milieu de la corde jusqu’à sa rencontre avec l’arc. 


de la flèche élevée perpendiculai- 


— 721 — 


Une machine arithmétique à mouvement 
continu. 


La Revue Scientifique de la France et de l’étranger. Troisième Série. Tome IV (XXX de la 
collection). Numéro 13 du 23 septembre 1882. 


Quelque simple que soit la règle de l’addition, il n’est pas facile de 
l’effectuer par des moyens mécaniques. La difficulté que la mécanique y 
rencontre vient du changement brusque des chiffres de la somme, qui ne 
peut être réalisé qu’à l’aide des organes compliqués et délicats. Les nom- 
breuses tentatives, faites avant le docteur Roth pour construire une machine 
pouvant produire le changement brusque de plusieurs chiffres dans la somme, 
et la machine du docteur Roth elle-même qui a pu le faire, ont montré 
clairement combien il est important, pour la simplification des addition- 
neurs, de les délivrer de la nécessité de changer brusquement leurs indi- 
cations. Il n’y a aucun doute que ces machines, aussi bien que toutes les 
autres machines arithmétiques qui ne font que répéter l’addition ou la sous- 
traction, deviendraient bien plus faciles à exécuter, si l’on se contentait des * 
changements continuels dans leurs indications. Mais la lecture des chiffres 
devenant alors plus difficile, il se présente la question suivante: N’est-il 
pas possible d’affaiblir l’inconvénient provenant de la continuité des chan- 
gements des indications dans l’additionneur au point où il peut être admis 
sans risques, en raison des avantages que cette continuité offre pour la con- 
struction ? 

Dans la machine à additionner que j'ai eu l’honneur de présenter au 
congrès de Clermont-Ferrand, et qui est maintenant complétée par un mé- 
canisme pour opérer la multiplication et la division, cet inconvénient est 


presque écarté. Dans les lucarnes de cette machine on voit les bandes 
46 


— 722 — 


blanches, parmi lesquelles on distingue aisément la principale qui paraît 
dans toutes les lucarnes. Comme dans la première lucarne à droite il n’y a 
que le commencement de cette bande, il est facile de la suivre en allant de 
droite à gauche. C’est cette bande qui contient tous les chiffres de la somme. 

Passons maintenant aux conditions qui doivent être remplies par le 
mouvement des tambours qui portent les chiffres de la somme. Nous nom- 
merons réceptrices les roues dentées que l’on tourne pour ajouter des nom- 
bres et dont chacune correspond à l'unité d’un certain ordre. Confor- 
mément à la règle de l’addition, le mouvement de chaque tambour doit 
être composé de deux autres: du mouvement déterminé par le chiffre du 
rang correspondant du nombre ajouté et de celui déterminé par le report 
des chiffres des rangs inférieurs. La vitesse du premier mouvement doit 
être en rapport constant avec celle de la réceptrice correspondante; ce rap- 
port sera égal à celui du nombre de dents de la réceptrice et du nombre 
total des chiffres gravés sur le tambour. En vertu du second mouvement ce 
tambour tournera d’un angle égal à la distance de deux chiffres, quand le 
tambour qui le précède tourne d’un angle dix fois plus grand. Donc, dans 
le cas du mouvement continu et uniforme, ce mouvement d’un tambour 
quelconque doit être dix foix plus lent que celui du tambour qui le précède. 
Par conséquent, la vitesse de chaque tambour doit être composée de la vi- 
tesse de la réceptrice correspondante, multipliée par un coefficient constant, 
et de la dixième partie de celle du tambour précédent Or, le mouvement 
des tambours composé de cette manière est facile à réaliser au moyen des 
trains épicycloidaux, si toutes les roues réceptrices et tous les tambours sont 
montés sur le même axe et si chaque roue réceptrice se trouve entre letam- 
bour qui lui correspond et celui qui la précède. Pour y parvenir on n’a 
qu’à faire porter à chaque roue réceptrice un train épicycloïdal dont les 
roues engrènent avec les roues solidaires aux tambours entre lesquelles elle 
est placée. 

D'après la propriété de ce rouage on trouve que pour donner aux tam- 
bours une vitesse, composée conformément à ce que nous venons de voir, il 
est nécessaire et suffisant de remplir ces deux conditions: 

1) Le nombre de dents sur les roues réceptrices et celui des chiffres 
des tambours doivent être dans le rapport 9 à 10. 

2) Le rapport des nombres de dents des roues qui composent chacun 
des trains épicycloïdaux doit être dix fois plus grand que celui de dents des 
roues avec lesquelles elles engrènent. 

. Ces conditions sont très faciles à remplir. Dans la machine que j’ai 
fait construire, la première condition est remplie, en donnant aux roues ré- 
ceptrices 27 dents et en gravant trois fois les dix chiffres O0, 1, 2,..., 9 


— 723 — 


sur les tambours. Conformément à la seconde condition, les roues compo- 
santes des trains épicycloïdaux ont 48 et 12 dents, et les roues avec les- 
quelles elles engrènent portent 24 et 60 dents. De cette façon les échap- 
pements qui produisent les changements brusques des chiffres de la somme 
provenant du report sont remplacés par les trains épicycloïdaux qui pro- 
duisent le même effet graduellement. 

La différence entre la vraie valeur du report et celle que dan les 
trains épicycloïdaux étant toujours au-dessous de 1, les écarts angulaires 
entre la position des tambours dans cette machine et celle qu’ils occupe- 
raient dans une machine à mouvements brusques restent plus petits que la 
distance de deux chiffres. Par conséquent, en faisant les lucarnes assez 
grandes pour qu’on puisse y voir à la fois deux chiffres du tambour, il est 
certain que les vrais chiffres de la somme ne peuvent manquer d’y paraître. 
Quant à l’ambiguïté qui se présente toutes les fois qu’on voit dans la même 
lucarne deux chiffres, elle est aisément écartée, comme nous l’avons dit, au 
moyen des bandes qui sont tracées sur chaque tambour, en ayant égard 
aux écarts angulaires dans la position des chiffres du tambour suivant. 

Telle est la partie essentielle de la machine à additionner. Les 
organes accessoires sont les suivants: 

1) Des arrêts avec des ressorts qui obligent les roues réceptrices de 
revenir toujours dans leurs positions normales et d’y rester jusqu’à ce qu’on 
les fasse tourner, ce qui est important pour la justesse du jeu de la machine. 

2) Une barre munie de griffes qui arrêtent successivement tous les 
tambours sur 0, en commençant par le premier à droite, et qu’on fait agir 
“en ramenant vers soi le bouton que l’on voit au côté gauche de la machine. 
On s’en sert pour réduire à zéro le nombre que l’on lit sur les tambours, 
après quoi on doit pousser le bouton en arrière pour rendre mobiles tous 
les tambours et toutes Les roues réceptrices. 

En considérant le mouvement des tambours nous n’avons parlé que de 
l’additton, mais il est clair que pour opérer la soustraction on n’a qu’à 
tourner les roues réceptrices en sens inverse. 

En complétant cette machine par un mécanisme qui ferait ajouter ou 
soustraire le nombre donné autant de fois que l’on veut, on pourra s’en 
servir pour opérer la multiplication ou la division. Un tel mécanisme est 
facile à composer à l’aide des roues dentées qui peuvent engrener avec les 
roues réceptrices, en montant sur les prolongements de leurs axes des pi- 
gnons qui peuvent glisser le long de ces axes et qui, à leur tour, suivant la 
place qu’ils occupent, engrènent avec les roues munies de 9, 8, 7, 6, 5, 4, 
3, 2, 1, O dents et collées ensemble, de manière à présenter un cylindre 


denté. Il est clair qu’en faisant tourner ce cylindre une fois dans l’un ou 
46* 


Ve 


l’autre sens, on ajoutera ou on soustraira le nombre dont les chiffres de dit- 
férents rangs sont égaux aux nombres de dents qui pousseront les pignons 
correspondants. : 

Pour l’exactitude du jeu de ce mécanisme il est important que les 
pignons s'arrêtent aussitôt que les dents du cylindre cessent de les pousser. 
En cherchant à rendre absolument impossibles les fautes qui naissent de ce 
que les pignons ne s'arrêtent pas toujours assez vite, même sous l’action 
des ressorts, nous avons donné aux dents des pignons et du cylindre une 
forme telle que les pignons ne restent jamais libres et, par conséquent, ces- 
sent de tourner au moment où les dents du cylindre ne les poussent plus. 


— 725 — 


Sur les fractions algébriques qui représentent 
approximativement la racine carrée d’une va- 
riable, comprise entre les limites données. 





Bulletin de la société mathématique de France. T. XII, 1884, p. 167 —168. 


Quand on cherche parmi toutes les fractions de la forme 
f@) 
F() | 
f(x), F(x) n’étant pas d’un degré supérieur à », celle dont le logarithme, 
depuis + — = < 1 jusqu'à æ — a > 1, s’écarte le moins du logarithme de 
Va, on trouve une fraction qui peut être présentée de la manière suivante: 


fe _ 77 (V2) « Cp) 


F(&) oo (V1—ax) 9 (— V1 — ax) 

















où o(x) est une fonction d’un degre », qui, à un facteur constant près (tout 
à fait arbitraire), peut être déterminée à l’aide de cette équation 


02-905 


o (VI— ax) ® (—V1— ax) 


























== Const, 


Ainsi, en prenant »m — 1, on trouve, pour l’expression aproximative de 
— l . 
Vz entre x=—, æ— a, la fraction 


ka + 1 
x+k? 


où k est une constante dont la valeur est donnée par l’équation 


Hi — GR — 4 (a+ +) k—3—0, 
et d’où, en posant 


on tire, pour l’expression approximative de VZ entre Z— À, Z2= B, cette 
formule 
Z+kV AB 


— 726 — 


Sur la transformation du mouvement rotatoire | 
en mouvement sur certaines lignes, à l’aide de 
systèmes articulés. 


Bulletin de Ja société mathématique de France. T. II, 1884. p. 179—187. ILIkoxa Marewaruxu 
yucTOË 4 npuKkzannoñ. 1885. 





1. Soient (fig. 1) ABC, ABM deux triangles isocèles, ayant un côté 
commun AB, égal aux côtés AC, AM. Si l’on fait mouvoir les sommets À, 
PB du triangle ABM sur les cercles décrits du sommet C du triangle ABC 
et d’un point quelconque C; pris sur son côté BC, le sommet M du triangle 
ABM décrit, comme il n’est pas difficile de s’en assurer, une courbe sy- 
métrique autour de l’axe passant par les points M, C. Si la ligne BC 
n’est pas trop longue, elle peut faire un tour complet autour du centre C,, 
et alors le point A décrit une courbe fermée, symétrique autour d’un axe, 
comme nous venons de le dire. Ceci nous présente une transformation très 


Pur. 1. 


? Ÿ 
\ ie N 
\ NX 
\ ko 
\ CA A 
\ N 
L 








simple du mouvement rotatoire en mouvement sur les lignes fermées, de 
formes très variées et symétriques autour de certains axes. Une telle trans- 
formation du mouvement rotatoire pourra être avantageusement employée 
dans la pratique, si l’on trouve les conditions sous lesquelles la courbe 
décrite par le point M s’approche suffisamment près de celles qui donnent la 
solution de quelques problèmes cinématiques. C’est ce que nous allons faire 
maintenant pour les cas les plus simples et les plus fréquents dans la pra- 
tique: à savoir, quand on cherche à avoir le mouvement sur un cercle ou sur 
une ligne droite. 


— 727 — 


2. Arrêtons-nous d’abord au cas où le point M doit décrire approxi- 
mativement le cercle complet, quand la ligne BC, tourne une fois autour du 
centre C;. Nous supposerons données les longueurs AC = AB, BC, et la 
distance CC, des centres C, CG, et nous chercherons le cercle duquel, par 
un choix convenable de l’angle BAM, s'approche le plus la courbe décrite 
par le point M. D'après l’expression de la limite des écarts que présentera 
cette courbe avec le cercle duquel elle s’approche le plus possible, il sera 
aisé de voir les conditions que doivent remplir la longueur des lignes AC—AB, 
BC, et la distance des centres C, C;, pour que ces écarts soient admissibles 
dans la pratique. 

Pour y parvenir, nous calculons d’abord les inclinaisons de la ligne 
AC sur CC, (ligne des centres C, C;) pour deux positions qui correspondent 
aux moments où le point B se trouve sur la ligne CC, ou son prolongement. 

En désignant par o,, © les angles de ces inclinaisons, on les trouvera 
à l’aide des formules 


Te CC, + BC,. La CC, — BG, 
COS LT En cos MT OA 


D’après les angles ©, o,, on cherchera deux angles auxiliaires 6, (, 
qui se déterminent ainsi: 











sin AS 
À 2 je cos? 6 
sin (20— na er cos d C9" 
cos 2 


Au moyen des angles o, o,, 4, d on trouve aisément tout ce qu’il est 
important de savoir: 

1) L’angle BAM avec lequel le triangle ABM, par son sommet Y, 
décrit la courbe la plus proche possible d’un cercle; 2) le rayon du cercle 
auquel s’approche le plus cette courbe; 3) la distance de son centre du point 
C; 4) enfin la limite des écarts de ce cercle et de la courbe décrite par le 
sommet M, On y parvient à l’aide des formules suivantes: 


BAM = 97% — 20—9—4, 














ne mt dm 
R= 7 EC, 
sin 
2 ; 
cotg FLE cos Ÿ 
mms Y 
rs À; Sea a DUR Lt aes A re, 
tang he GO8 
de tn 
E=+ BC, 





+9 5 Porc | 20 + ® — Ÿ 
5 tang 5 cos 2 





sin 


— 728 — 


où À (fig. 2) est le rayon du cercle décrit approximativement par le sommet 
M, OC la distance de son centre O du point C, et Æ la limite des écarts 
de cette courbe. 


Pur. 2. 








8. D’après la valeur de £ et les équations qui déterminent les angles 
auxiliaires 4, ©, il est clair que la courbe décrite par le sommet M s’ap- 
proche très près d’un cercle toutes les fois que la différence des angles o,, 
o est très petite. Pour appliquer les formules précédentes à ce cas particu- 
lier, qui est le plus intéressant pour la pratique, nous ferons 





rer 

2 — Po» 
Pis vi 
a 


en supposant que à ait une petite valeur. D’après ces égalités, on a 
=D + ?—Po—0. 


En portant ces valeurs de o, +, dans les formules précédentes, nous 
obtenons, en développant en série et ne tenant compte que des premiers 
termes avec à, 


BAM—9r— 49 — 80 À, R— (1 HER à) BC, 














4 tang % 8 tang? ® 
__ {cot % 5 — 3 tang? ® nn à 


Ces formules nous donnent, au à? prés, 


ji 


Te Sin 2% 





D'un autre côté, en cherchant la différence 


COS P — COS 9), 


— 729 — 


d’après les formules qui déterminent les angles ®, ®,, on obtient 


EC, 
COS ® — COS D, = 77; 
d’où, en substituant les valeurs de 9, ®,, On tire, à ©? près, 


A0 


2e —= 29 SIN Po. 


D’après cela, on voit que les rapports 
H 40 
tendent en même temps vers zéro quand la différence o,— ® — à, s'approche 
elle-même de zéro, et comme on trouve, en divisant l’un de ces rapports 
par l’autre, 


(oJ 


Mes LR 
LR 7 2 sin 2 ® Sin % 





EE 


il est clair que, pour diminuer autant que possible les valeurs du rapport 3: 
AC? 
prendre, pour ®,, l’angle qui rend maximum la valeur numérique de la 


fonction 


correspondant avec les valeurs données de voisines de zéro, on doit 


sin 2 ®, Sin ®,. 


Ainsi l’on parvient à un système articulé, où le mouvement circulaire 
du point B autour du centre C; se transforme en un autre mouvement du 
point M sur une ligne différant peu du cercle décrit du centre O. En re- 
marquant que, dans ce système, les points M, B se meuvent autour des 
centres O, C; dans les sens opposés, on conclut que ce système donne la s0- 
lution du même problème que les manivelles antirotatives. Dans cette trans- 
formation de rotation, on ne rencontre pas du tout de points morts, et l’on 
peut faire varier la loi qui lie entre elles les vitesses de deux manivelles, 
en transportant le centre d’oscillation de l’élément AC. 

4. Passons au cas où l’on cherche à rapprocher, le plus près possible, 
d’une ligne droite toute la courbe fermée, décrite par le sommet M. Nous 
supposserons que le triangle JMAB est placé, comme on le voit, sur la 
fig. 3. Dans cette hypothèse, et en désignant par £ une quantité auxillaire 
plus grande que 0, on trouve AC — AB = BM, CC, et la limite des écarts 
E se déterminant par les formules suivantes: 


AC= AB= AM=— 2" BC, cos MAB=—+ 











V2— 8 
Pre V2 te) pit 
Ps ele BG, sin o9— 2 (1+#?) : Fe Ar 


PO 


La ligne droite que le sommet M décrira approximativement est nor- 
male à l’axe de symétrie CM, et sa distance du centre C a pour valeur 


Ê _— BC,. 


En cherchant la loi du mouvement du sommet M par rapport à l’axe 
de symétrie AC, on trouve que la distance de AZ à cet axe s’exprime par 
la formule 








. tang? o + F(1—cos à) 2— 1? 
ES pese SUR 
BC; is V 1— F(1— cos à) 2+ 12 


Pur. 5. 








où « désigne l’angle variable que fait la ligne BC pendant sa rotation avec 
le prolongement de la ligne des centres CC, et F une quantité constante 


égale à 
2t V2 — 1? 
Grrrsi0 





D'après cette formule, il n’est pas difficile d’assigner les limites entre 
lesquelles reste le point AZ pendant son mouvement, et qui déterminent la 
longueur de la ligne droite décrite approximativement. 

D'autre part, cette formule fait voir que les courses d’aller et de re- 
tour du point M ne correspondent pas aux mêmes angles de rotation de la 
ligne BC, autour du centre C,, et que la différence entre ces deux angles 
est d’autant plus grande que la quantité { s’éloigne plus de 0; par consé- 
quent, ce système présente une transformation directe d’un mouvement ro- 
tatoire continu en mouvement rectiligne alternatif, et vice versa, où les 
courses d’aller et de retour se feront dans des temps inégaux, la vitesse de 
rotation étant constante. Ce système peut donc être employé comme un mé- 
canisme à retour rapide. De plus, comme le point XZ effectue une de ses 
courses, presque rectiligne, dans le temps où la ligne BC, fait autour du 


— 7351 — 


centre C, plus d’un demi-tour, ce système peut être avantageusement 
employé pour faire tourner un axe à l’aide d’un pied. En appliquant de tels 
systèmes à deux manivelles coudées à un axe sous l’angle 180°, on obtiendra 
un mécanisme pour tourner l’axe avec deux pieds, qui aura l’avantage de 
ne pas présenter de points morts. 


5. Dans le cas précédent, nous avons cherché à rapprocher le plus 
| près possible d’une ligne droite toute la courbe fermée décrite par le point 
M, quand la ligne BC, fait un tour complet autour du centre GC. Nous 
allons nous occuper maintenant du cas où l’on cherche ce rapprochement 
pour une partie de cette courbe correspondant à un demitour de la ligne 


T 
“4° 
Nous nous bornerons au cas le plus simple, où le triangle MAB se 


réduit à une ligne droite MAB (fig. 4), ce qui revient à donner à l’angle 


BC, autour du centre G, savoir: depuis «= — + jusqu'à & = + 








MAB une valeur égale à 180°. Dans ce cas, les lignes AC — AB — AM, 
CC, et la limite des écarts Æ se déterminent par les formules suivantes: 


AC=AB= AM= ET BG, 00 — {7 80, 





Voro + 104 7 — V305 +927 
Li sean NA 305 +- 92 V7 BC. 





D’après l’équation de la courbe que décrit le point 7 dans ce système, 
on reconnaît aisément que la partie qui correspond à la rotation de la ligne 
BC, d’un quart de tour en haut et en bas de sa position primitive est presque 
rectiligne. Après avoir parcouru cette partie de sa trajectoire, le point M 
se lève et fait sa marche de retour, en montant peu à peu jusqu’au milieu 
de sa course et en s’abaissant suivant la même loi, après avoir dépassé ce 


— 732 — 


milieu. Un tel mouvement du point M, dans lequel se transforme directe- 
ment le mouvement rotatoire de la ligne BC, dans notre système, peut 
avoir des applications utiles. Si l’on applique de tels systèmes à deux ma- 
nivelles coudées à un axe sous l’angle 180°, on obtient un mécanisme où la 
rotation d’un axe se transforme en mouvement de deux points qui, tour à 
tour, parcourent la même ligne presque droite, et dont chacun se lève 
au-dessus de cette ligne après l’avoir parcouru quand l’autre s’abaisse sur 
elle pour la parcourir à son tour. En ne considérant que l’espace où se 
trouve la partie presque rectiligne de la trajectoire de ces points, on re- 
connaît aisément qu’ils produisent approximativement le même effet que 
les points équidistants de la circonférence d’une roue tournante quand son 
rayon est infiniment grand. Donc, sous ce rapport, le système dont nous 
venons de parler peut bien jouer le rôle d’une roue infiniment grande. 


— 733 — 


Sur les sommes composées des coefficients des 
séries à termes positifs. 


Lettre adressée à M-me Sophie Kowalevski. 


_ (Acta mathematica. Journal rédigé par G. Mittag-Leffler, t. 9, 1887, p. 182—184). 


Je ne peux trop me féliciter de l'honneur que vous m'avez fait, en 
ayant bien voulu traduire ma Note sur les valeurs limites des intégrales. 
L'intérêt que vous avez porté à mes recherches sur ce sujet m'engage de 
vous présenter un résultat que je viens d’en tirer par rapport à la déter- 
mination des limites entre lesquelles reste comprise la somme d’un nombre 
quelconque de premiers coefficients de la série 

A,+4,x+Aû+A+...., 
ou 
Bi, B, , B: 


ie 3x CSC ZX | 


dans le cas, où tous les termes sont positifs. Pour la détermination de ces 
limites d’après les valeurs réelles des séries infinies 


A,+4,2t+ À, + A, +...., 


B; B; PB; 
je Fos Tag Fees.) 


J'ai cherché les valeurs limites de l’intégrale 
u 
[ F(e) de, 
(1) 


en supposant que Æ(2) est une fonction qui ne devient pas negative pour 
2 > 0 et que l’on connaît la valeur de l'intégrale 


O9 
fe F(e) de 
0 

pour # réel et positif. 


— 734 — 


Parmi les différentes valeurs limites de l’intégrale 
u 
[F(e) de, 
0 


que j’ai obtenues, les plus remarquables par leur simplicité peuvent être 
presentées par les formules suivantes: 











_2@) + lo pe 
dE) cs (25) 
ro d>D()—1er, | Fe) de Gp 


0 


© 


où 9, o sont des quantités positives quelconques, et ®({) est une fonction 
déterminée, pour £ > 0, par l’équation 


D(t)} — fe" F(e) de 
0 


et qui se réduit à co pour { — 0. 
D’après ces formules on trouve aisément les valeurs limites de l’in- 
_ tégrale 


ï F(2) dz 
0 


pour % quelconque, en donnant à » et « des valeurs qui remplissent ces con- 
ditions: 








D" (0) | D (s) 
De <u, Z log DU) Zu. 


Pour appliquer ces formules à la détermination des limites, entre les- 
quelles reste comprise la somme de x premiers coefficients de la série 


À, + 4,0 + Aa + A, + 


on prendra 
D(t) = A+ A6 + 4e + A e +... 
et 
u=Nn— 1. 
En prenant 
Dh= ++ hs +. 
et 
u = log n, 


on trouvera les limites de la somme de n premiers coefficients de la série 


— 735 — 


Ainsi, par exemple, en prenant pour ®({) une série infinie 


1 1 L 1 1 
né boce ta tort +: ...., 





composée seulement des nombres premiers, on obtiendra des formules pour 
évaluer les limites de la somme finie 


slt, ee 
1 2 3 5 7 11 Rene n 


d’après les séries infinies de la forme 











1 1 1 1 
TES MST PA Se MATE med. 
log 2 log3 -log5 log 7 
21+t 31+t pit nrt te Moe 
log? 2 log? 3 log? 5 log? 7 
21+t 31+t pl-+é 71+t RP 


St-Pétersbourg. 
20 sept. (2 oct.) 1886. 


— 736 — 


Règle de Tchebychef pour l’évaluation appro- 
ximative des distances sur la surface de la 
Terre. 


(Mécanecao8e Ha 1869 roxr, crp. 128. Haxanie Hmnerarorckoï Akaremiu Hayk®). 


1) Exprimez en minutes les différences des longitudes et des latitudes 
des deux lieux; 


2) doublez la différence des latitudes; 


3) des deux nombres, à savoir, la différence des longitudes et la 
double différence des latitudes, multipliez le plus petit par 3, le plus grand 
par 7, et additionnez les résultats; 


4) la somme divisée par 8 donnera la distance cherchée en verstes. 






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Renewed books are subject to immediate recall. 





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