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y 






LIBRARY 

OF THE 

UNIVERSITY OF CALIFORNIA. 



Class 



OEUVRES 

DE 



P. L. TCHEBYCHEF, 



PUBLIEE8 PAR LES SOINS 

de MM. A. MARKOFF et N. SONIN, 

MEMBRES OBDINAIRES DE L 5 ACADEMIE IMPERIALS DBS SCIENCES. 




TOME II. 
(JJvec deux portraits.) 



ST.-PETERSBOURQ. 1907. 

Commissionaires de 1 Academie IMPERIALE des Sciences. 

J, Glasounof et C, Ricker 4 St. -Peter sbourg; i\, Karbasnikof a St.-Petersbourg, Moskou, Varsovie 

et Vilna; M, Klllkine a Moscou; ^, Oglobline i S.-Petersbourg et Kief; E, Raspopof a Odessa; 

IV, Kyinmel a Riga; Voss Surtiment (G, W, Sorgenfrey) a Leipsic; Liizac & Cic h Londrea. 



Prix: 17 MrTc. 50 Pf. 



Imprime par ordre de 1 Academic Imperiale des sciences. 
Mai 1907. S. d Oldenbourg, Secretaire perpetuel. 



IMPRI11ERIE DE I/ACADEMIE IMPERIALE DES SCIENCES. 
Vase. Ostr., 9 LSgne, J^ 12. 



TABLE DBS MAT1ERES DO TOME SECOND, 



PAGES. 

Notice biographique I VI 

Rapport du professeur extraordinaire de I universit6 de St.-Pe"ters- 

bourg Tchebychef sur son voyage a P6tranger VII XIX 

Resume" de la these sur I int6gration a 1 aide des logarithmes . . . XX 



1. Des maxima et minima des sommes composes de valeurs d une 

fonction entiere ot de ses d6rivees 3 40 

2. Sur rinte"gration des differentielles lesplus simples parmi cel- 

les qui contiennent une racine cubique . .(. 43 47 

3. Sur un me canisme 51 57 

4. Sur les fonctions analogues a celles de Legendre 61 68 

5. Sur la determination des fonctions d apres les valeurs qu elles 

ont pour certaines valeurs de variables 71 82 

6. Sur les paraMogrammes 85 -106 

7. Du re"gulateur centrifuge 109 126 

8. Sur les engrenages 129 161 

9. Sur les quadratures 165 ISO 

10. Sur les valeurs limites des inte"grales 183 185 

1 1. Sur les fonctions qui different le moins possible de z6ro .... 189 215 

12. Sur Interpolation des valeurs e*quidistants 219 242 

13. Sur les expressions approche"es line"aires par rapport a deux 

polynomes 245 264 

14. Sur la r6sultante de deux forces appliques a un seul point. . 267 270 

15. Les plus simples systemes de tiges articulees 273 281 

16. Sur les paraMogrammes composes de trois elements et sym6- 

triques par rapport a un axe 285 297 

1 7. Sur les parall61ogrammes composes de trois elements quel- 

conques 301 331 

18. Sur les fonctions qui s 6cartent peu dez6ro pour certaines va 

leurs de la variable 335 356 

19. Sur les plus simples parall61ogrammes qui fournissent un mou- 

vement rectiligne aux termes du quatrieme ordre pres .... 359 374 

20. Sur le rapport dedeux int6grales e"tendues aux monies valeurs 

de la variable 377402 

21. Sur une se*rie qui fournit les valeurs extremes des inte"grales, 

lorsque la fonction sous le signe est de compose e en deux 

facteurs.. 405417 



c s 

v. z. 



IV 

PAGES. 

22. Sur la representation des valours limites des integrates par 

des residus integraux 421 440 

23. Sur les residus integraux qui donnent des valours approves 

des integrates 443477 

24. Sur deux theor&mes relatifs aux probability ........ . . 481491 

25. Sur le systeme articuie le plus simple dennant des mouve- 

ments symetriques par rapport a un axe 495 540 

26. Sur les expressions approchees de la racine carrdo d une va 

riable par des fractious simples . 543 558 

27. Sur les soimnes composes des valours do mouOmes simples 

multiplies par uno fonction qui rosto toujours positive ... . 561 610 

28. Sur lo developpomcnt en fractions continues dos series proc"6- 

dant suivant les puissances decroissantes do la variable . . . 613 666 

29. Sur los polynomes reprdsentaut le raieus les valours des fonc- 

tions fractionnaires eiementairos pour los valeurs do la va 
riable contonucs entro doux limites donn^es 669 678 

30 f Sur les sommes qui -dependent des valours positives d uno 

fonction quclconque . . . 681 698 

NOTES ET EXTRAITS. 

Sur la limito du dcgre de la fonction ontiero qui satisfait a ccr- 

taines conditions . . . 701 

Sur la generalisation dc la formule do M. Catalan ct sur uno for- 

mulc arithmetique qui en resulto 702704 

Sur une transformation do series numeriqucs 705707 

Sur la coupe des vetomonts 708 

Sur les parallclogrammes los plus simplos symetriqucs autour d un 

axe 709 714 

Theoreme rclatif a la courbe de Watt 715 

Sur les expressions approximates des integrates definios par les 

autres prises entro les monies limites 716 719 

Sur la rectification des courbcs 720 

Uno machine arithm6tiquo a inouvoment continu 721 724 

Sur les fractions algebriqucs qui represontent approximativoment 

la racine carree d une variable comprise entro les limitos 

donneos ,725 

Sur la transformation du mouvemont rotatoiro en mouvomont sur 

certainos lignes, a- 1 aido do syst^mes articulos ......... 726732 

Sur les sommos composees des coefficients des series a tcrmes po- 

sitifs .:.. 733735 

Regie de Tchebychcf pour revaluation approximative des distances 

sur la surface do la Torre. , 736 




NOTICE BIOGRAPHIQUE ). 

Traduit par M-me C. Joss a. 



Pafnouty Lvovitch Tchebychef naquit le 14 mai 1821 dans la 
propriete de son pere, le village d Okatovo (district de Borovsk, gou- 
vernement de Kalouga). Sa famille etait de vieille noblesse; son pere 
etait un homme instruit (selon les idees de ce temps-la) et jouissait 
d une fortune considerable. 

L instruction primaire, jusqu a I entr^e a 1 universite, fut recue 
par P. L. chez ses parents. La mere lui apprit a lire et a ecrire et 
quelques autres matieres, 1 arithmetique et la langue francaise lui fu- 
rent enseignees par sa cousine germaine, A. K. Soukharef, personne 
tres instruite et qui semble avoir joue un role important dans son 
education. 

En 1832 la famille Tchebychef se rendit a Moscou afin de pre- 
parer P. L. et son frere aine a 1 universite. On prit les meilleurs 
maitres de tout Moscou, entre autre le mathematicien alors bien 
connu Pogorelsky, dont Tchebychef declarait dans la suite ,,1 A1- 
gebre" le meilleur manuel ecrit en russe, comme etant ,,le plus 
court". 

A cette epoque les talents mathematiques de P. L. se mani- 
festerent definitivement et il arreta son choix sur la facult<S des 
mathematiques. 



*) Cette Notice est empruntee, presqu en entier, d un article (russe) de M. le prof. C. A. 
Posse insere dans le Dictionnaire des ecrivains et savants russes redige par M. Vengucrof; 
cet article contient encore un apercu des travaux de Tchebychef. 

Parmi d autres apergus de la vie et des travaux de Tchebychef on peut mentionner un 
article (russe) de M. le prof. A. M. Liapounoff insere dans le t. IV de la II serie des Commu 
nications de la Societe mathematique de Kharkof et un travail (fraiic.ais) de M. le prof. A. Vas- 
silief sous le titre: P. L. Tchebychef et son oeuyre scientirique insere dans le BoUetino 
di l>ibliografia e storia dcllc scienzc matematiche pubbUcato pw euro di Gino Loria, 1898, et 
public en allcmand par B. G. Teubner a Leipzig. 

I 



II 

Entre a 1 universite de Moscou en 1837, Tchebychef ecrivit au 
bout d un an im ouvrage intitule ,,Calcul des racines d une equation", 
qui lui valut une medaille d argent et, prouvant les capacites du jeune 
auteur, tourna vers lui 1 attention du professeur de grand renom 
N. D. Braschmann. Celui-ci devina un homme de genie dans son 
jeune eleve et se mit des lors a guider soigneusement ses occupa 
tions et a le persuader constamment de se consacrer exclusivement 
aux mathematiques. A ce savant Tchebychef, ainsi que ses autres 
eleves, voua un sentiment de profond respect et garda jusqu a sa 
mort comme une relique une photographie que Braschmann luiavait 
donnee jadis. 

Tchebychef termina ses etudes h 1 universite en 1841. 

En 1840 une partie considerable de la Russie fut en proie a la 
famine et les affaires de beaucoup de proprietaires, entre autres des 
parents de Tchebychef, tournerent tres mal. Toute la famille se vit 
obligee de s installer dans ses proprietes et il devint impossible au 
pere de donner a son fils de quoi subsister a Moscou. 

Pour ne pas tomber dans la misere, un jeune homme, ayant re- 
cemment termine ses etudes & 1 universite, serait tout naturellement 
entre au service quelque part ou se serait procure de lecons; mais 
"Tchebychef ne fit ni 1 un ni 1 autre. II considerait non sans raisons 
que ces occupations le detourneraient de sa science de predilection et 
choisit la misere. Depuis 1841, n ayant pas encore atteint sa majorite, 
P. L. ne recevait de son pere que le logement gratuit dans sa maison 
a Moscou. II s installa dans cette maison avec ses deux freres, apres 
avoir pris comme pensionnaires deux jeunes garcons, qui se prepa- 
raient a entrer au college en meme temps que les deux jeunes Tche 
bychef. Pendant un certain temps il essaya de leur enseigner lui- 
meme les mathematiques, mais ces lecons ne durerent pas longtemps, 
car, de son propre aveu, il s y montra pedagogue peu patient, se 
fachant centre ses eleves et criant apres eux. 

C est a cette epoque que parurent les premiers travaux scienti- 
fiques de Tchebychef et sa these de licence (es sciences) ,,Essai d une 
analyse elementaire de la theorie des probabilites" qu il soutint a 
1 universite de Moscou en 1846. 

En 1847 Tchebychef s installa a St. Petersboug, ou, apres avoir 
.soutenu sa these ,,De 1 integration a 1 aide des logarithmes", il recut 
1 emploi de professeur adjoint a 1 universite de St. Petersbourg, a la 
jplace du professeur W. A. Ankoudovitsch. Cette these dont le sujet 
entra dans les travaux lilterieurs de Tchebychef, ainsi que son dis- 



Ill 

cours d ouverture est conservee en manuscrit et accompagnee d un 
resume imprime. Cette these valut a Tchebychef le droit defaire un, 
cours a Funiversite; il fut nomme docteur en mathematiques en 1849 
pour sa troiseme these qui fut son oeuvre celebre ,,La theorie des 
congruences "- 

Presque en meme temps que Tchebychef, V. J. Bouniakov- 
sky, un des plus celebres mathematiciens russes, qui etait a cette 
epoque academicien ordinaire de 1 Academie des Sciences, entra a Funi- 
versite de St. Petersbourg comme professeur ordinaire. La chaire de 
mathematiques appliquees etait alors occupee par un autre mathemati- 
cien non moins celebre, J. J. Somof. Ces deux hommes, si eminents 
non seulement par leurs merites scientifiques, mais aussi par leurs 
qualites morales, furent les premiers avec lesquels Tchebychef se 
lia a son arrivee a St. Petersbourg et garda les meilleures relations 
jusqu a leur mort. C est surtout avec Bouniakovsky qu il etait lie 
et celui-ci, ayant apercu dans Tchebychef une enorme force scienti- 
fique, 1 attira a 1 Academie des Sciences d abord en qualite de son 
collaborates dans 1 edition des travaux du celebre Euler, et puis 
comme membre (en 1853 Tchebychef fut elu adjoint et en 1859 
membre ordinaire de 1 Academie des Sciences). 

La position pecuniaire de Tchebychef lors son installation a 
St. Petersbourg etait tres penible. Les affaires de ses parents se trou- 
vaient en desarroi et il n avait pour vivre que ses modestes appointe- 
ments de professeur-adjoint. Cette gene le for^ait d etre tres eco- 
nome; tel il est reste jusqu a la fin de ses jours. 

La seule chose, pour laquelle il ne menageait pas son argent, 
c etaient les modeles des mecanismes de son invention; pour leur con 
struction il depensait des centaines et des milliers de roubles. Des son 
enfance il aimait a construire differents appareils. Parti d un joujou 
fait avec son canif, il arriva a la construction de sa fameuse machine 
arithmetique tres-compliquee qui se trouve au Conservatoire des 
arts et metiers" a Paris; beaucoup de ses appareils sont conserves a 
1 universite de St. Petersbourg et a 1 Academie des Sciences. 

Tchebychef ne frequentait qu un cercle. tres etroit de connais- 
sances; le plus souvent il allait chez Bouniakovsky, ou se reunis- 
saient beaucoup de mathematiciens, entre autres le celebre M. V. 
Ostrogradsky. 

Dans sa jeunesse, Tchebychef allait souvent voir J. J. Somof 
pour lui center ses decouvertes et pour mettre au profit la grande 

erudition de son collegue plus age, afin de savoir, si la decouverto 

I* 



IV 

n avait pas e*te deja faite par quelque autre mathematicien. A en 
croire le frere de J. Somof, cela arrivait parfois. II va sans dire que 
ce ne pouvait etre qu & 1 epoque ou Tchebychef n avait pas encore 
aborde les questions mathematiques que personne n avait touchees 
avant lui et ou il ne courait pas le risque d etre devance. II est a 
remarquer que Tchebychef preferait les investigations originates a 
l e*tude des travaux d autres mathematiciens, des contemporains sur- 
tout. Ayant etudie a fond les oeuvres des grands mathematiciens 
Euler, Lagrange, Gauss, Abel etc., Tchebychef ne pretait pas 
d importance a la lecture de la litterature mathematique courante, 
affirmant que le trop de zele a etudier les travaux des autres nuisait 
a 1 originalite des ses propres travaux. 

Les voyages a 1 etr anger furent les distractions favorites de 
Tchebychef. D abord il entreprit ces voyages non pas pour se repo- 
ser, mais avec un but tout scientifique. Dans le rapport (reproduit 
plus bas) de sa mission a 1 etranger on trouve la description de son 
voyage, de ses visites d usines pour 1 etude de la mecanique ap- 
pliquee, de la frequentation des seances des societes scientifiques, et 
de ses entretiens avec les savants illustres de differents pays. 

Dans les annees suivantes, Tchebychef, sans negiiger le but 
scientifique des ses voyages, en profita aussi pour se reposer de 
ses occupations continuelles. II aimait surtout a voyager en France, 
ou il avait beaucoup de relations parmi les savants, allait aux con- 
gres et y faisait des communications sur ses decouvertes scienti 
fiques. 

Tres-econome, Tchebychef descendant lors ses premiers voyages 
a Paris dans un h6tel tres modeste (,,H6tel Corneille" vis-a-vis de 
1 Odeon), ne dinait que dans de petits restaurants et allait en omni 
bus; ce n est que beaucoup plus tard qu il changea ses habitudes et 
meme invita ses amis francais a diner. 

Lorsqu il restait pour les vacances en Russie, il passait 1 ete le 
plus souvent pres de Reval a Catherinenthal. 

L activite de Tchebychef comme professeur au sens propre du 
mot dura juste 35 ans, de 1847 a 1882 (de 1847 a 1853 professeur 
adjoint, de 1853 a 1857 professeur extraordinaire et depuis 1857 
ordinaire), et fut consacree exclusivement a 1 universite de St. Pe- 
tersbourg sans compter un cours de mecanique de peu de duree au 
Lycee de 1 Empereur Alexandre I. A diverses epoques il fit des cours 
de geometric analytique, d algebre sup^rieure, de theorie des nom- 
bres, de calcul integral, de theorie des probabilities et de calcul des 



differences finies, de theorie des fonctions elliptiques et de theorie 
des integrales definies. 

Tchebychef comme professeur etait d une rigueur pedantes- 
que; presque jamais il ne manquait, n etait jamais en retard, mais 
ne restait pas une minute apres 1 heure, dut-il interrompre la lecon 
au milieu d une phrase. S il lui arrivait de ne pas achever une de 
duction, il la reprenait depuis le commencement a la lecon suivante, 
si cette lecon ne faisait pas une suite immediate de la lecon prece- 
dente. II precedait chaque calcul tant soit pen complique par une expli 
cation de son but, et en indiquant la marche a grands traits. II fai 
sait son calcul presque toujours silencieusement de sorte que les etu- 
diants devaient le suivre a 1 aide des yeux et non des oreilles. Le 
calcul se faisait assez vite et d une maniere tres detaillee de sorte 
qu il etait facile d en suivre la marche. Pendant les lecons Tcheby 
chef faisait souvent des digressions du cours systematique, commu- 
niquait ses opinions et ses entretiens avec d autres mathematiciens 
concernant les questions traitees pendant les lecons et expliquait 
1 importance comparee et la liaison reciproque des diverses questions 
mathematiques. Ces digressions animaient Fexpose, donnaient un re- 
lache a 1 attention tendue des auditeurs et eveillaient 1 interet pour le 
sujet etudie. 

Les cours de Tchebychef n etaient pas gros, mais substantiels, 
d une expose accessible et aise a comprendre. 

Aux examens des etudiants Tchebychef n etait ni trop severe, 
ni trop indulgent, mais toujours extremement retenu et courtois. Ses 
objections aux soutenances de theses a FUniversite concernaient tou 
jours les questions generales sans toucher les details et se distin- 
guaient par leur finesse et leur ingeniosite. 

Les merites de Tchebychef comme professeur resteront tou 
jours graves dans la memoire de ceux qui ont eu 1 honneur de 1 avoir 
pour maitre. II continuait d instruire ses anciens eleves meme apres 
leur sortie de 1 universite. C etait lui qui guidait les premiers pas de 
ceux de ses auditeurs qui s etaient voues aux mathematiques, donnant 
de precieuses indications a tous ceux qui voulaient et savaient en ti- 
rer profit. 

Une fois par semaine a heure fixe, sa porte etait ouverte pour 
tous ceux qui voulaient apprendre au grand mathematicien le resul- 
tat de leurs etudes et recevoir de lui quelque indication. Rarement le 
visiteur s en allait sans emporter de nouvelles id3es et sans etre encou 
rage dans ses etudes. 



VI 

Un des merites inoubliables de Tchebyehef comme maitre des 
mathematiciens russes fut, dans ses conversations scientifi ques , de 
faire trouver a ses eleves, par ses travaux et ses indications, des su- 
jets feconds de recherches personnelles, et d appeler leur attention 
sur des questions dont les resultats avaierit toujours une certaine va- 
leur scientifique. 

Tchebyehef mourut dans sa 74-ieme annee, il vit les deux ju- 
biles (celui de 25 ans et celui de 50 ans) de son activite scientifique, 
sans cependant les feter. Toutes les tentatives de ses admirateurs et 
de ses eleves de souligner ces epoques par quelque manifestation usi- 
tee furent declinees par le grand savant d une fa^on tres energique. 

Sur la fin de Tchebyehef on sait seulement qu il avait con- 
tracte, quelques jours avant sa mort, une forme legere d influenza, et 
tout en ne se sentant pas bien, n avait pas pris le lit. 

La veille de sa mort il recut ses visiteurs a 1 heure habituelle et 
personne ne croyait sa fin si proche. Le matin du 26 novembre 1894, 
en prenant un verre de the assis a son bureau, il eut une faiblesse, 
et, apres une courte agonie, succomba a une paralysie du coeur. 



RAPPORT :; 

du professeur extraordinaire de I liniversite de St. Pe tersbourg Tchebychef 
stir son voyage a Granger. 



Traduifc par M-me C. Joss a. 



(JKypHa.Tb MniitiCTepcTBa Hapo^naroIIpocBtmcHin. ^acrt LXXVIII. Oiwfe.iCHie IV, crp. 1-14). 



Le 21 juin 1852, apres avoir obtenu le passeport pour passer la. 
frontiere, je me suis embarque sur un vapeur pour Stettin, ou j ai de"- 
barque le 24 Juin et me suis rendu le meme jour a Berlin. Suivant le 
plan que j ai trace pour mon voyage, je n ai passe a Berlin que 12 
heures et je suis parti pour Paris, choisissant le chemin le plus court. 
Passant pres de Lille, j ai cru necessaire de visiter cette ville dans 
les environs de laquelle se trouve une quantite de moulins-a-vent 
construits d apres le systeme hollandais et connus dans la Mecanique 
applique e d apres les observations de Coulomb. L instabilite du vent 
le rend inadmissible comme moteur dans les fabriques, ou 1 interrup- 
tion continuelle des travaux causerait des pertes considerables, mais, 
d autre part, le vent nous presente le moteur lemoinscher, c est pour- 
quoi il est souvent employe pour moudre le grain, pour faire 1 huile, 
pour piler le lin etc. Les moulins-a-vent de Lille sontparticulierement 
interessants au point de vue de la theorie actuelle du vent comme 
moteur: cette theorie verifie ses resultats a 1 aide des observations de 
Coulomb. II faut constater cependant que la theorie et les observa 
tions, tout en etant d accord dans les traits generaux, different se- 
rieusement dans le detail. Ainsi, d apres la theorie, rinclinaison des. 
ailes du moulin-a-vent vers 1 axe de rotation devrait diminuer conti- 
nuellement en s eloignant de leurs extremites; au contraire, les obser 
vations de Coulomb, faites sur les moulins-a-vent de Lille, nous de- 



VIII 

montrent que la courbure de la surface des ailes suit une autre loi: 
au commencement Tangle forme par les elements de 1 aile et 1 axe de 
rotation decroit en s eloignant de I extremite de 1 aile, mais, arrive a 
une certaine limite, il commence a croitre, de sorte que ses differences 
premieres vont constamment en decroissant, tandis que la theorie 
enseigne qu elles doivent s accroitre. Ce disaccord entre la theorie 
actuelle et les resultats de beaucoup d observations faites par Cou 
lomb sur les moulins-a-vent, dont la construction est tenue par les 
mecaniciens-praticiens pour modele, nous suggere naturellement 1 i- 
dee que, peut-etre, certaines circonstances que la theorie actuelle ne 
prend generalement pas en consideration, comme le changement de 
direction et d intensite du vent sous 1 influence de 1 edifice meme du 
moulin, la courbure de 1 axe des ailes, etc., exercent une influence 
considerable sur la marche du moulin. En tenant compte de cela, on 
trouve aisement des expressions analytiques pour la quantite de tra 
vail du moulin-a-vent et la forme la plus avantageuse de ses ailes; il 
n y a que quelques constantes, differentes pour chaque type de mou 
lin, qui restent inconnues. Pour verifier ces expressions a 1 aide des 
observations de Coulomb sur les moulins-a-vent de Lille, ilfaut avoir 
des donnees plus detaillees que celles qui suffisaient pour 1 expose de 
1 ancienne theorie des moulins-a-vent. C est pourquoi en passant pres 
de Lille j ai trouve utile de visiter cette ville et je suis reste deux 
jours a examiner les moulins-a-vent des environs. 

Le 28 juin je me suis rendu de Lille a Paris, ou j arrivai le soir 
meme. A cette epoque les etudes dans les hautes ecoles etaient deja 
finies; mais j ai trouve la plupart des professeurs a Paris, ce qui etait 
d une grande importance pour le succes de mon voyage, car, vu sa 
courte duree, il me fallait des renseignements sur place pour trouver 
immediatement ce qui etait d interet principal pour mes etudes de la 
Mecanique appliquee et, outre cela, pour obtenir desrecommandations, 
sans lesquelles on n arrive pas a voir beaucoup de choses, ou on les 
voit d une facon superficielle. 

Arrive a Paris, je me suis adresse aucelebre geometre Liouville, 
Membre de 1 Academic des Sciences de Paris et editeur d un journal 
de mathematiques, auquel je collabore depuis 1842. Grace a 1 obli- 
geance dece geometre, j ai trouve 1 occasion delier connaissance avec 
les savants dont le concours etait d une grande importance pour le 
succes de mon voyage. 

D apres les renseignements que j ai tires des entretiens avec eux, 
j -ai conclu qu il me serait utile d employer une partie de mon sejour 



IX 

en France (ce sejour clevait durer 3 mois) a examiner les machines et 
les modeles du Conservatoire des arts et metiers", a observer la con 
struction des machines dans les usines de Paris et des environs, sur- 
tout dans celle deM. Cave, connue par ses machines-a-vapeur a cylin- 
dres oscillants, et d autres etablissements mecaniques, presentant un 
interet particulier, ou se rattachant aux sujets de mes investigations 
de Mecanique appliquee; 1 autre partie de mon sejour a 1 etranger de- 
vrait etre employee a voyager en France pour etudier divers objets 
interessants, a visiter les usines metallurgiques d Hayange, ou sont 
fabriquees aussi diverses machines; les celebres fabriques de papier 
des environs d Angouleme; la fonderie de 1 Etat de Ruelle etc., dont 
la visite ne me prendrait pas beaucoup de temps. 

Conformement a ce projet, j ai etudie jusqu au 8 aout les objets 
se trouvant a Paris et aux environs. Ayant a ma disposition tres peu 
de temps, que je devais partager entre le Conservatoire des arts et 
metiers", les usines de M. Cave et autres etablissements touchant a 
la Mecanique appliquee, ainsi que le chemin de fer atmospherique de 
St.-Germain, le chemin de Sceaux, repute par sa sinuosite, la machine 
de Marly etc., je tachais neanmoins d enrichir mes connaissances theo- 
riques a 1 aide d entretiens avec les celebres geometres francais. Je 
passais en consequence les apres-midis tantot au ,,Conservatoire des 
arts et metiers", tantot aux fabriques, surtout chez Cave, et les soi 
rees etaient consacrees tant aux conversations avec M.M. Cauchy, 
Liouville, Bienaime, Hermite, Serret, Lebesgue et d autres savants, 
qu aux etudes theoriques en rapport immediat avec les donnees four- 
nies par 1 examen des machines de differents systemes, ou avec les 
questions d Analyse, vers lesquelles mon attention etait tournee par 
la conversation avec les savants. C est ainsi que M.M. Liouville et 
Hermite m ont suggere 1 idee de developper les principes sur lesquels 
fut jadis fondee ma dissertation, presentee en 1847 a 1 universite de 
St. Petersbourg pro vcnia Icgendi. Dans cet ecrit j examinai le cas, ou 
la differentielle a integrer renferme la racine carree d une fonctioii 
rationnelle le cas le plus simple et le plus frequent dans les appli 
cations. Mais il etait interessant sous plusieurs rapports d etendre ces 
principes au cas d un radical de degre quelconque. 

Ainsi dans le calcul integral 1 attention est surtout attachee a 
rintegration des differentielles connues sous le nom de binomes; on 
propose pour cela un certain nombre de precedes particuliers, en expli- 
quant dans quels cas ces precedes reussissent. 

Excepte ces quelques cas on ne pouvait rien affirmer de positif 



& propos de I integrale des differ entielles binomes. Sont-ce nos prece 
des qui sont insuffisants, ou ces integrales n existent pas sous forme 
finie? On ne pouvait certainement trancher cette question a 1 aide de 
precedes particuliers, si grande que soit la quantite des cas que ces 
precedes embrassent; il fallait un precede general, embrassant tous les 
cas particuliers, et ce procede se trouvait dans les principes dont j ai 
parle plus haut. 

Je me suis occupe du deVeloppement de ces principes pour de 
terminer les cas, ou les integrales des differentielles binomes existaient 
sous forme finie, et ceux, ou elles se presentent sous forme de trans- 
cendantes particulieres. 

Mes recherch.es m ont mene a la conclusion que les precedes par 
ticuliers proposes pour Tintegration des differentielles binomes (alge- 
briques) embrassent tous les cas, ou cette integration est possible 
sous forme finie, et, par suite, la question de leur integration sous forme 
finie doit etre consideree comme resolue definitivement. Entre autres 
je suis arrive a un theoreme qui contient, comme un cas particulier, 
le fameux theoreme d Abel qu il a laisse sans demonstration*). 

Des nombreux sujets d etude qui se sont presentes pendant 1 exa- 
men de differents mecanismes de transmission de mouvement, surtout 
dans la machine-a-vapeur, ou 1 economie du chauffage et la stabilite 
de la machine dependent des procedes de transmission du travail de 
la vapeur, je me suis occupe surtout de la theorie des mecanismes 
connus sous le nom de parallelogrammes. En recherchant les moyens 
de tirer de la vapeur le maximum de travail dans le cas, ou Ton exige 
un mouvement de rotation, Watt a invente un mecanisme special pour 
transformer le mouvement rectiligne du piston en mouvement circu- 
laire du balancier, me canisme connu sous le nom de parallelogramme. 
L histoire de la Mecanique appliquee nous apprend que 1 idee d un 
pareil mecanisme fut suggeree au celebre transformateur des machines- . 
a-vapeur par 1 examen d un dispositif special, ou la combinaison de di 
vers mouvements de rotation formait des courbes dont quelques-unes 



*).... le theoreme suivant tres remarquablc a lieu: Lorsqu unc integrale dc la 
forme I ? oil p et JB sont des fonctiona cntiercs de x, est cxprimable par des logaritbmes, 
on peut toujours 1 exprimer de la maniere suivantc: 

Cpdx iJ-t-qVR 

I = = -4 log 

J VB p qSE 

oil A est constant et p et q des fonctions cntieres de rr. Je me reserve de demontrcr ce theo- 
r6me dans unc autre occasion. Abel, Oeuvres completes, T. I, p. 65. 



XI 

etaient presque rectilignes. Mais nous ne savons pas, comment il est 
arrive a la forme la plus avantageuse de son mecanisme et a la di 
mension necessaire de ses elements. Les regies que suivait Watt dans 
la construction des parallelogrammes ne pouvaient garder leur sens 
pratique que jusqu au moment, oul on a reconnu la necessite d en chan 
ger la forme; ce changement de forme demanda de nouvelles regies. 
La pratique et la theorie actuelle tirent ces regies d un principe suivi 
sans doute par Watt pour la construction de ses parallelogrammes. 
Les raisonnements que Ton fait pour demontrer ce principe ne peu- 
vent certainement soutenir aucune critique; il arrive souvent que les 
elements du parallelogramme trouves a 1 aide de ce principe ne con- 
viennent pas en pratique, et il a fallu tracer des tables speciales pour 
les corriger. 

On voit bien la necessite de soumettre les parallelogrammes de 
Watt et leurs modifications a une analyse rigoureuse, substituant au 
principe en question les proprietes essentielles de ce mecanisme et les 
conditions de la pratique. Pour arriver a ce but je me suis mis a etu- 
dier les conditions dont dependaient plusieurs des elements de ce me 
canisme dans les machines des usines aussi bien que sur les bateaux- 
a-vapeur, et d autre part 1 effet nuisible de I irregularite de sa 
marche, dont les traces etaient visibles sur les machines longtemps 
en usage. 

Me proposant de deduire les regies pour la construction des pa 
rallelogrammes de la nature meme de ce mecanisme, je me suis trouve 
en presence de questions d Analyse fort peu connues jusque-la. 
Tout ce qui est fait sous ce rapport est du au Membre de rAcademie 
des Sciences de Paris, M. Poncelet, qui s est cree un nom dans la Me- 
canique appliquee; on emploie souvent les formules, trouvees par lui, 
pour calculer les resistances nuisibles des machines. La theorie du 
parallelogramme de Watt demande des formules plus generales et 
leur application ne doit pas se restreindre a 1 etude de ces mecanismes. 
La Mecanique appliquee et les autres sciences appliquees contiennent 
beaucoup de questions pour la solution desquelles ces formules sont 
necessaires, 

Comme j avais tres-peu de temps a ma disposition pour traiter 
un sujet de si grande etendue, je n ai acheve que la premiere partie 
de mon Memoire, qui a ete presente a 1 Academie Imperiale des Sci 
ences. 

La question des parallelogrammes de Watt est etroitement liee 
u la question de la construction des maohines-a-vapeur sans balancier, 



XII 

c est a dire sans ce mecanisme. Le systeme de machines-a-vapeur 
de Cave a cylindres oscillants est des plus remarquables sous ce rap 
port. Cela me fit m interesser a sa fabrique. A 1 aide de ces cylindres 
oscillants la composition de la machine-a-vapeur devient beaucoup 
plus simple. Mais la mobilite des cylindres presente beaucoup de diffi- 
cultes dans leur construction, surtout dans I amenagement des soupa- 
pes. C est surtout pour cette raison que je suivais avec un vif interet 
la construction de divers organes de ces machines, tres avantageux 
dans certains cas. 

Outre la fabrique de M. Cave, la collection de modeles de machi 
nes du ,, Conservatoire des arts et metiers" (ou se trouve entre autres 
le modele d une machine-a-vapeur tres originale, inventee par le comte 
Roumiantzef), la machine mobile, achetee par le Gouvernement Fran- 
cais a Londres a 1 Exposition Universelle, mon attention fut surtout 
attiree par deux machines: celle du chemin de fer atmospherique de 
St.-Germain, et celle de Marly. Cette derniere presentait pour moi 
un interet tout special non seulement grace a la combinaison ingeni- 
euse de plusieurs machines-a-vapeur, mais surtout parceque son tra 
vail, consistant a elever 1 eau a une hauteur considerable, est facile- 
ment determine par I indication d un manometre ajoute aux pompes; 
en meme temps d autres manometres determinent la pression de la 
vapeur dans le cylindre et dans le condenseur. Cette machine prouve 
nettement 1 influence que differentes conditions, generalement negli 
gees par la theorie actuelle, exercent sur la quantite de travail. Ce 
n est que d observations pareilles que Ton peut esperer de tirer des 
formules determinant avec une exactitude suffisante la quantite de 
travail de la machine-a-vapeur ainsi que les dimensions les plus avan- 
tageuses de ses parties. 

M occupant ainsi des machines-a-vapeur, je ne negligeais pas, 
autant que le temps me le permettait, les roues hydrauliques. Le 
,, Conservatoire des arts et metiers" me fournissait une collection nom- 
breuse de modeles de diverses roues, entre autres d une turbine, qui 
se trouve dans un moulin a St.-Maur que j avais visite trois fois. Cela 
m a procure 1 occasion de trouver quelques donnees sur 1 usage de ce 
moteur, qui n est pas encore entierement etudie theoriquement. 

En outre, le ,, Conservatoire des arts et metiers , ainsi quelesusi- 
nes que j ai visitees, me fournirent d amples materiaux concernant 
les differents mecanismes pour la transmission du mouvement et les 
machines destinees a un travail special. Mon attention fut attiree 
entre autres par les machines d un mecanicien tres-interessant Vau- 



XIII 

canson, par la machine arithme tique de Pascal, par des dispositifs 
pour 1 elevation de 1 eau, par des machines de filature de coton et de 
lin, et par des machines metallurgiques. 

Le 8 aout je suis parti pour Metz. Je me suis arrete pour quel- 
ques heures a Meaux pour y examiner les roues d un moulin-a-eau, 
apres quoi j ai repris mon voyage pour Metz, ou je suis arrive le 9 aout. 
Dans cette ville j ai rencontre les Membres de la Commission Mathe- 
matique pour 1 examen d entree a 1 Ecole Polytechnique. Cette ren 
contre m a fourni 1 occasion d assister a cet examen. C est a Metz que 
j ai rencontre M. de Polignac, connu en France par ces recherches en 
Mathematiques. Lui et moi, nous nous sommes occupes des memes 
questions, nous avons cherche la demonstration du postulat de 
Bertrand etd autres propositions de ce genre, et en suivant des voies 
differentes, nous sommes venus a bout des difficultes, presentees par 
ces questions. Le 15 octobre 1849 M. de Polignac donnait a 1 Acade- 
mie des Sciences de Paris un rapport sur 1 etude des series speciales 
nominees diatomiqites et sur les applications qu on peut en faire. II 
disait en particulier etre arrive, en partant de ces series, ademontrer 
rigoureusement que dans les limites a n et a nH * il se trouve au moins 
un nombre premier. Quoique cela soit insuffisant pour faire la demon 
stration du postulat de Bertrand, dans lequel les limites donnees sont 
plus etroites, meme dans ces limites la presence d un nombre premier 
ne pouvait etre de montree qu a 1 aide des precedes speciaux. Les 
limites dans lesquelles on demontrait auparavant la presence d un 
nombre premier e*taient beaucoup plus larges. 

Les recherches de M. de Polignac ont attire 1 attention des Mem 
bres de 1 Academie des Sciences de Paris, surtout du geometre Cauchy 
qui presenta a 1 Academie, peu de temps avant mon depart de l^aris, 
la seconde partie de ses recherches. Cependant en 1850 j ai presente 
a 1 Academie des Sciences de St. Petersbourg un article sur les ,,nom- 
bres premiers" contenant la demonstration du postulat de Bertrand; 
dans cet article j ai dernontre la presence des nombres premiers dans 
les limites plus etroites, et tout cela sans me servir des series dia- 
torniques. En publiant 1 annee suivante la premiere partie de son 
ouvrage, M. de Polignac compare, dans la preface, les precedes aux- 
quels il a eu recours avec ceux dont je me suis servi et insiste sur 
les avantages presentes par les series diatomiques. Cette difference 
d opinions sur le meme sujet, tres peu etudie jusqu a ce temps, ex- 
plique bien le grand interet qui nous poussait 1 un vers 1 autre, et 
c est a Metz que nous trouvames 1 occasion de causer. J employais 



XIV 

mes apres-midis a causer avec M. de Polignac et les Membres de la. 
Commission Mathematique, les celebres geometres Hermite et Serret, 
et les matinees etaient consacrees a la visite des usines de fer avec 
des fabriques de machines qui se trouvent en grand nombre pres de 
Metz. Mon attention fut specialement attiree par 1 usine de Charles 
Wendel a Hayange connue pour son excellente prepartion de fer et 
sa construction de machines. Je suis rest a Metz jusqu au 16 aout 
et je suis retourne a Paris le 17. 

Arrive a Paris, j ai repris mes travaux d Mecanique applique. 
En outre, M. Liouville s etait ofFert a m exposer un abrege de la nou- 
velle theorie des fonctions elliptiques, professee par lui au College de 
France. Jusqu a ce temps cette theorie, si interessante et si impor 
tant par ses applications, ne consistait principalement que dans 1 e- 
tude des procedes speciaux, propres a elle. M. Liouville, celebre par 
ses decouvertes dans 1 Analyse, eut 1 idee de baser cette theorie sui* 
un principe general, determinant l importance des fonctions elliptiques 
entre les matieres de 1 Analyse pure. Sans s arreter sur la conside 
ration des fonctions determinees par une telle ou telle integrale, il 
commence par 1 etude des proprietes generales des fonctions, et les 
partage en deux classes: les fonctions Men cUterminecs et celles qui ne 
le sont pas completement. 

S arretant sur les premieres, qui sont les plus simples, il demon- 
tre quelques-unes de leurs proprietes generales; pxiis, passant au cas 
ou. elles sont periodiques, il demontre sur elles des theoremes d au- 
tant plus interessants qu ils ne dependent aucunement ni de la forme 
des fonctions, ni de leur origine, mais uniquement de leurs proprietes 
essentielles, determination complete, continuite, periodicite. 

Partant de la, il fait une theorie des fonctions doublement perio 
diques, les supposant partout bien determinees. II partage ces fonc 
tions en classes, suivant le nombre des zeros et des infinis: il donne ces 
denominations aux valeurs de la variable independante, qui, dans 1 e- 
tendue d une periode, annulent la fonction ou la rendent infinie. II 
demontre ensuite que le plus petit nombre de ces zeros et de ces in 
finis est 2, et trouve 1 expression de la fonction avec un nombre quel- 
conque des zeros et des infinis au moyen des fonctions, dans lesquel- 
les ces nombres ont la moindre valeur, c est a dire sont egaux a 2. 
Ceci demontre l importance des fonctions doublement periodiques a 
deux zeros et deux infinis. S arretant sur ces fonctions, il recherche 
1 equation differentielle, a laquelle ell doivent satisfaire, en partant 
des proprietes generales des fonctions periodiques. L equation qu il 



XV 

trouve ainsi est la memo, qui sert a determiner les fonctions ellip 
tiques inverses de premiere espece. C est ainsi que M. Liouville passe 
des principes generaux aux integrates elliptiques, qui ont d abord 
.attire 1 attention des savants par leur forme et leurs differences ap 
plications: c est a une de ces applications qu elles doivent leur nom. 

Jusqu a present les investigations de M. Liouville presentent un 
interet purement theorique; ,mais nous n avons aucune raison d ad- 
mettre qu ici, ainsi que dans les autres parties de 1 Analyse, un pro- 
fond coup d oeil ne decouvre quelque chose de nouveau, si variees 
que soient les investigations anterieures. 

, Outre la theorie des fonctions elliptiques de M. Liouville, j ai 
trouve 1 occasion. d en connattre les principes fondamentaux elabores 
par un autre geometre francais, M. Hermite. Les principes de ce geo,- 
metre sont inferieurs comme theorie a ceux de Liouville, mais ils leur 
sont preferables dans les applications, surtout dans les fonctions ellip 
tiques de seconde et de troisieme espece, auxquelles les principes 
de Liouville ne peuvent etre appliques immediatement. 

Comme mon cours de TuniversLte de St. Petersbourg comportait 
entre autres matieres la theorie des fonctions elliptiques, il m etait 
bien utile d apprendre ce que les deux celebres geometres francais 
avaient fait sur ce sujet. II m etait aussi interessant de verifier mes 
propres idees sur la periodicite des fonctions en general. 

Le 28 aout M. Liouville se rendit a Toul apres m avoir charge 
de publier dans son journal deux de mes articles. Je passai les soi 
rees a les rediger, tout en continuant a m occuper de Mecanique ap- 
pliquee. 

Le 16 septembre je suis parti a Angouleme connu par sa pro 
duction de papier a lettre d excellente qualite. En route j ai trouve 
1 occasion d examiner une quantite d objets tres curieux touchant a 
la Mecanique, surtout la fabrique d armes a Chatellerault. Je suis 
arrive ^ Angouleme le 16 septembre au soir et j y suis restejusqu au 
26 septembre.. 

Excepte les trois jours que j ai mis a visiter Bordeaux (ce qui 
m a procure, entre autres, 1 occasion de voir le pont suspendu sur la 
Garonne), j ai employe tout mon temps a etudier la fabrication du pa 
pier a Angouleme et aux environs, surtout a la fabrique de M. Comte, 
avec lequel j ai lie connaissance en route. J ai visite en outre la fa 
brique de canons de Ruelle, pres Angouleme. A Coronne j ai eu aussi 
1 occasion do visiter une fabrique de papier dont une partie 4tait mise 
en mouvement par deux turbines. 



XVI 

Le 28 septembre je suis rentre a Paris pour obtenir de notre 
ambassadeur 1 autorisation d aller en Angleterre, ou je suis parti le 
2 octobre. 

Arrive a Londres, je me suis adresse aux deux geometres an 
glais, M. M. Sylvester et Cayley. C est a l amabilite de ces savants 
que je dois d un cote les conversations interessantes concernant dif 
ferentes branches des Mathematiques, auxquelles je consacrais les 
soirees et les dimanches, pendant lesquels toutes les fabriques cho- 
ment, et d un autre cote la connaissance que j ai faite avec le ce- 
lebre ingenieur-mecanicien Gregory. Ayant appris le but de mon 
voyage et s interessant aux questions de Mecanique appliquee, qui 
etaient 1 objet de mes recherches, il s etait offert a m aider de trouver 
dans les fabriques de Londres tout ce qui m etait le plus indispen 
sable. A cet effet il m accompagna dans plusieurs fabriques, ou il 
croyait pouvoir trouver des machines construites par Watt lui-meme. 
Ces machines m offraient le plus grand interet, comme donnees sur 
les principes suivis par Watt dans la construction de ses parallelo- 
grammes, et que je devais comparer aux re*sultats de mes recherches 
dont j ai parle plus haut. II se trouva malheureusement qu une des 
plus anciennes machines de Watt, longtemps conservee, en ces der- 
niers temps fut vendue pour etre detruite; mais M. Gregory a eu la 
chance de trouver deux machines, qui, suivant les documents, avaient 
ete refaites par Watt et sont gardees comme des raretes. En ce 
qui concerne la construction des machines, M. Gregory m a conseille 
de visiter les fabriques de Maudsley, de Nipper et de Penn, et sa re- 
commandation me fut d une grande utilite. Outre plusieurs machines- 
a-vapeur de differents systemes, j ai vu dans la premiere de ces fabri 
ques une machine rotative construite d apres le plan de Maudsley 
pere lui-meme. 

Londres ne possede pas un Musee pareil au ,, Conservatoire des 
arts et metiers", mais il possede un etablissement d un autre genre, 
qui aide beaucoup a repandre dans la population les connaissances 
en Technologie et en Mecanique appliquee, c est le ,, Royal Poly 
technic Institution". Dans cet etablissement se trouve une collection 
considerable de modeles qui ont rapport aux differentes branches 
de la Mecanique appliquee, ainsi que de differentes machines-a-va- 
peur. Plusieurs de ces machines sont en mouvement. Dans cet ,, In 
stitution" on expose diverses nouvelles inventions dont on demontre 
sur place l utilisation. Dans un des salons est amenage un enorme 
bassin constamment alimente a 1 aide de canaux; on y demontre la 



XVII 

mise en mouvement des roues hy-drauliques, 1 arrangement des e"clu- 
ses, le mouvement des vaisseaux, rorganisation dos travaux sous- 
marins etc. En outre, les experiences chimiques faites au laboratoire 
sont tres intoressantes par lours applications pratiques. Get etablis- 
sement est tres visite par le public. 

Fauto de temps, j ai du mo borner seulement a 1 examen des 
objets que j ai trouves a Londres et aux environs. 

Le 14 octobre je suis pard de Londres pour Paris, oil j attendis 
des instructions du Lycee do 1 Empereur Alexandre I pour 1 achat 
de quolques appareils pour mon cours do Mecaniquo appliquee. Cela 
fait, j ai profite do 1 occasion pour aller, accompagne do M. Her- 
mite, voir M. Foucault et assister a ses experiences nouvellos; apres 
quoi je suis parti lo 22 octobre pour Berlin. Comme le chemin de 
Berlin passe pres de Bruxelles, oil se trouve une quantite d objets 
ayant trait a la Mecaniquo appliquee, ot ou sont faites des lecons pu- 
bliques de cette science, j ai resolu de visitor cette ville. N ayant pas 
a ma disposition assez de temps, je me suis borne a visitor lo Musee 
des machines, ou se trouvont, entre autres, beaucoup de machines 
agricoles tres interessantes, et, en outre, beaucoup de modeles des ma- 
rliines-a-vapeur do difforents systemes, ainsi qu uno machino rotative 
d une construction speciale. C est encore ici que j ai vu nombro de 
produits de 1 industrio beige et assiste a uno logon de la Mecanique 
appliqueo faite par M. Kent. Apres avoir passe 3 jours a Bruxelles, 
j ai continue mon voyage pour Berlin, ou je suis arrive lo 26 octobre. 

II m interessait beaucoup de faire la connaissance du celebre geo- 
metre Lejeune-Dirichlet. Parmi les investigations faites par ce savant 
on 1 Analyse, la premiere place appartient a ses principes de 1 appli- 
cation du calcul des infiniment petits a la recherche des proprietes 
des nombres. Mais il n a ete publio jusqu a co jour qu uno certaine 
par tie de ses recherches sur cette question; quant au reste de ses tra 
vaux, nous n en savons rien, oxcepte quelques resultats defmitifs re- 
stes sans demonstration. Les investigations do M. Lojeuno-Dirichlet 
m intoressaient particulierement, car jo m occupais des memes que 
stions; dans mon article, presento a 1 Academic Imporiale des Sciences 
do St.-Petersbourg sous lo titre ,,Sur la fonction qui determine la to- 
talite des nombres premiers in I eriours a une limite donneo", j ai de- 
montre que la formule trouvee, par analogic, par Legendre pour de 
terminer la quantite des nombres premiers inferieurs a une limite don- 
nee, devait otre remplacee par une autre; ce rosultat etait d autant 

plus inattendu que M. Tjejeune-Dirichlet, par] ant de ses recherches 

II 



XVIII 

touchant cette question, ne dit rien de 1 inexactitude de la formule de 
Legendre. 

Pendant mon sejour a Berlin je trouvai chaque jour 1 occasion 
-de m entretenir avec ce geometre sur les recherches susdites ainsi 
que sur d autres points d* Analyse pure et appliquee. 

J assistai avec un plaisir particulier a une de ses lemons sur la 
Mecanique th^orique. 

A Berlin j ai appris, a mon grand regret, que, grace aux gelees 
imprevues, la navigation au golfe de Finlande vient de cesser. Comme 
il ne restait que 10 jours jusqu au terme de mon voyage, je courais 
le risque, en restant plus longtemps a Berlin, de retardermonarrivee 
a St.-Petersbourg. C est pourquoi je suis parti le 30 octobre pour 
Tauroggen et je suis rentre a St.-Petersbourg le 7 novembre. 

C est ainsi que j ai profite de la permission Imperiale de me 
rendre a F6tranger. La courte duree de mon voyage m otant la pos- 
sibilite d embrasser toutes les questions faisant 1 objet de la Mecani 
que appliquee, j avais neanmoins etudie en details les questions les 
plus importantes, ainsi que la construction des machines-a-vapeur de 
differents systemes; le mouvement de ces machines suivant diverses 
conditions; les roues hydrauliques en general et en particulier les 
turbines; la construction des moulins-a-vent suivant le systeme hol- 
landais; differents appareils pour la transmission du mouvement, la 
fabrication du papier a lettre, le filage du lin et le travail du fer. En 
outre je me suis beaucoup inte resse a la disposition de differents ate 
liers dans les fabriques, ce qui est tres important au point de vue 
pratique. 



XIX 



RESUME 

de la these sur I integration a I aide des logarithmes. 



I. 

Dans la theorie de I int6gration des differentielles irrationnelles, 
la premiere place appartient aux differentielles qui contiennent ration- 
nellement la racine carree d une fonction rationnelle. 

II. 

Si ces differentielles ne s integrent pas sans I aide des logari 
thmes, on ne possede aucun precede general d integration dans 1 etat 
actuel de 1 Analyse. 

III. 

Un tel procede est indispensable pour le perfectionnement de la 
theorie des fonctions d Abel. 

IV. 

II exige la solution de la question suivante: trouver des nombres 
entiers sous la condition quelasomme deleurs produits par desquan- 
tites donnees (irrationnelles ou imaginaires) soit nulle, si c est pos 
sible; dans le cas contraire, demontrer I impossibilite". 

V. 

Dans 1 etat actuel de la Theorie des nombres nous ne pouvons 
resoudre cette question que dans certains cas particuliers. 

VI. 

Cette question etant resolue, 1 integration se ramene a la deter 
mination de fonctions a I aide d e*quations indeterminees. 

VII. 

La solution de ces equations par la methode des coefficients 
indetermines presente de grandes difncultes. 



XX 

VIII. 

La solution s obtient a 1 aide des fractions continues. 

IX. 

Le rapport des integrates, a 1 aide desquelles Jacobi determine 
les indices des fonctions inverses d Abel etd autresdelamemeespece, 
pent avoir une valeur irrationnelle et reelle. 



St.-Petersbourg, 
le 8 (20) mai 1847 r. 



1 



DES MAXIMA ET MINIMA DES SOMMES 



COMPOSS m VALEURS D UNE FONCTION ENTIERE 
ET m SES DERIVEES 



(TRADUXT PAR JVC. N. XKANXKODP.) 



(Liouville. Journal de mathematiques pures et appliquees. II serie, T. XIII, 1868, 

p. 942.) 



u 

cocma6ji&unuxf> us* suazcniii HKJIOU cufiitiu u ea 



ie KT, XIE TOMy 3anncoKT> HwnepaTOpCKoii AKaaesjia HayK-B, Aa 3, 1867 r., 

ctp. 147.) 



OFTHE 

UNIVERSITY 

OF 

s4LIFORN^s 



Des maxima et minima des sommes eompo- 
sees de valeurs d une fonetion entiere et de ses 

derivees. 



1 Le calcul des variations nous donne le moyen de determiner les 
valeurs maxima et minima des integrates uniquement dans le cas, ou la 
forme des fonctions inconnues, renfermees sous le signe de 1 integration, 
est supposee entierement arbitraire. Maissi, d apresla nature de la question, 
la forme de ces fonctions inconnues est limitee par quelques conditions, 
leur determination, en vue de rendre maximum ou minimum une integrate, 
ou en general une somme quelconque de leurs valeurs, exige des precedes 
particuliers. 

Nous nous bornerons ici a considerer le cas le plus simple de ce genre 
de questions; savoir, celui ou la fonetion incounue est supposed entiere et 
d un degre determine, et ou tous les termes de la somme proposee s expri- 
ment au moyen de cette fonetion, de ses derivees et de la variable indepen- 
dante, et forment une fonetion egalement entiere et de forme determine"e. 

Ce cas merite une attention particuliere a cause de ses applications, 
qui comprennent, entre autres, la solution de la question de 1 interpolation 
parabolique d apres la methode des moindres carres. 

2. Soit 



une fonetion donnee et entiere de la variable inde"pendante #, du polynome 
inconnu 



y = A Q -- A l x-t-. . . .-i-Afx -t- ...-^-A m _ l x 
et de ses derivees 

y, y", 



m 



Designons par 

unc serie de valeurs quelconques de la variable independante x, que pour 
plus de simplicite nous supposerons differentes entre elles, et par 



la somme des valeurs de la fonction 



pour ces valeurs de la variable x. La valeur de cette somine dependra de 
celle des coefficients 

A , A^ .... A t j. . . . -4 m _, 
du polynome 

m 



et les valeurs de ces coefficients qui rendront la somme 



un maximum ou un minimum, d apres les principes du calcul differentiel, 
seront donnees par les equations : 

d 2 F(x f , y t , yj, yj , ....)_ 

U 



dA 





~ 



_ 



Mais comme les quantites 

AO, A!,. . . . A^. . . . A 

n entrent pas dans la formule 



m i 



independamment des fonctions /, ?/, y", . . . . , la derivee de cette somme 
par rapport a A t s exprimera en general ainsi: 



^^ d F(X{, yi, ijj , yi",. . . .) dy. ^^ d F(X{, y^, y, y^",. . . .) dyf 

dyi dAi 

X . y. y. y." ....)(/ ." 



2- 

Or la forme de la fonction 



et de ses derivees 

y = I .A, -+-. . . . + lA t x 1 - 1 -*-....-*- (m 



n m i 



nous donne 



En mettant ces valeurs des derivees 

dyj dyj dy t " 



dans 1 expression trouvee pour la derivee 

d2F(x { ,y it y t 



et en designant, pour abreger, les valeurs des derivees 

dF(x,y,y ,y> ,....) d F(x, y, y f , y ,. . ..) d F(x, y, y , y",. . . .] 
dy dy dy" 

pour x quelconque par 

M, N, P, , 

et pour x = x f par 

M. N. P. 



G 
nous aurons 



En determinant, a 1 aide de cette formule, les valeurs de la derivee 



pour 

1 = 0, 1, 2, ---- m 1, 

nous verrons que les equations qui determinent les valeurs des coefficiens du 
polynome 



qui rendent la somme 

un maximum ou un minimum, se reduiseut done a: 



3. Faisant, pour abreger, 



et designant par 

U V W 

Uj r j rr 5 . . . . 

les fonctions entieres qu on obtient en divisaut les produits 



par cp (a;), nous remarquons que les fractions 

M<? (x) Ny (x) JV (a) 



9 (x) 9 (z) 9 (x) ---- 



transformers en fractious simples, s expriment aiusi: 



9 () ^ixXi> 9(x) ^x Xi> 9(3) ^x x^ 

ou, d apres notre notation (n 2) 

Jlf,, N t , P t , 

designent les valeurs de 

M , N, P, . . . . 

quand on y fait x = x { , et les sommatious doivent 6tre etendues a toutes 
les valeurs de x, depuis x = x l jusqu a x = x n . 

Si, a 1 aide de ces formules, nous determinons la valeur de 1 expresion 



9 (x) 



9 (x) dx dx 2 

nous trouverons qu elle se reduit a 



rr_dV W <S? MJ 

dx dx* 



ou les termes 



TJ- 



dx 2 

expriment une fonction entiere. Quant a la somme 



apres y avoir transforme les fractions 



X Xi (X X{) 2 (X Cj-) 3 

en series 



X X* 



X 2 X* X* 

jxf 2.3 PjXj _^_ SA.PjX* 

" "" ~ "" 



c 

X 5 



et apres y avoir reuni les termes de denominateurs communs, elle nous 
donne la serie suivante: 



X 2 



Done il resulte que les sommes 



M 1 ^ (Wl 0^ P T 

f(f X / I //v 4 J JL Us* 

MBi^B 

sont les coefficients de 



J_ J_ .1 



dans le developpement de 1 expression 



9 (g) 



9 (a;) Ax dx 2 

selon les puissances decroissantes de la variable x. Mais nous savons, d apres 
le n 2, que ces sommes foment les premiers membres des equations qui 
de"terminent les valeurs des coefficients du polynome 



pour lesquels la somme 



devient un maximum ou un minimum, et nous concluons que ces Equations 
s obtienuent en re"duisant a zero les coefficients de 



X 7 X 



2 > /v.3> > 



dans le developpement de 1 expression 






(as) cp (a;) 9 (x) 



9 (a;) dx dx z 

suivant les puissances decroissantes de la variable x. Partant sous cette con 
dition : 

IS expression 



(g) 9(g) 



9 (g) dx dx 2 -, 



avec une approximation poussee jusqiCaux puissances x n inclusivement, 
est egale a une fonction entiere ou Jf, N t P, . . . . sont, comme nous 1 avons 
vu dans le n 2, les derivees partielles de la fonction F (x, y, y , y", ....)? 
prises par rapport a y, y , y", .... 

4. Nous avons suppose, dans tout ce qui precede, que les coefficients 
du polyuome 

y = A ^-A l x-^-A z x 1 -*- ^A m _ l x m 

etaient entierement arbitraires: examiuons maintenant le cas ou le choix de 
ces coefficients est limit par plusieurs equations de la forme 



*il 

1 Z1 





ou 



i^ y, y> y , *, y, y, y 



, 



sont des fonctions entieres quelconques de x, du polynome y et de ses de>i- 
vees y t y" , .... Nous supposerons d abord que les sommes que nous 
venons d ecrire s etendent aux memes valeurs de la variable x 



ainsi que la somme 



dont on cherche la valeur maximum ou minimum. 

Par les proprietes counues des maxima et minima relatifs, les valeurs 
des coefficients 

4>J -^D ^23- An 1> 

qui rendent la somme 

2 4& *<$/?",) 

un maximum ou un minimum sous les conditions exprimees par les equa 
tions 



(2) 



"1J 

l -2> 
> 



10 



se determinent en egalant a z6ro les derivees partielles prises par rapport 
a 4,, AV . . . . , A m de la somme 



ou les quantites X 15 X 2 , . . . . sont des facteurs constants. 
Cette somme se ramene a la suivante : 



qui peut etre remplacee par 
en supposant que 



Ainsi, d apres ce qui vient d etre expose dans les n os 2 et 3 concer 
nant les equations 



dA, 



_ 



nous concluons que, dans le cas actuel, les equations propres a determiner 
les coefficients du polynonie 



se reduiront a la condition trouvee a la fin dun 3, enne perdant pastoutefois 
de vue que la fouction 



doit etre remplacee par la somme 

", y, 



ou X 1} X a , . . . . sont des facteurs inconnus constants. Cette condition nous 
donnera les moyens de determiner les coefficients du polynome 

y A -+- A l x -f- AS a; 2 H- ---- -+- A m _ l x m ~\ 



en fonction des facteurs X n X 2 , . . . . En mettant enfin ces coefficients du 
polynome y dans les equations (2), nous aurous autant d equations qu il y 
a de facteurs X n X a , . . . . , d ou nous obtiendrons leurs valeurs. 

5. Passons maintenant au cas ou il s agirait de rendre maximum ou 
minimum une somme 

2^o(*j y, y> y"> ) 

etendue aux valeurs 

x = a l1 a a , a 8 , ---- , 

mais de fac,on que le choix des coefficients du polynome 



soit limite par les equations de condition 



ou les sommes s e"tendent respectivement a toutes les valeurs de x : 



X = 



2 , 



differentes entre elles et differentes aussi des valeurs 

x = a n a 2 , a 3 , . . . . 

Pour reduire ce cas a celui que nous venons d examiner dans le uumero 
precedent, nous remplacerons toutes ces sommes, etendues a differentes va 
leurs de la variable #, par des sommes etendues aux rneines valeurs de la 
variable independante. Pour y parvenir, nous poserons 

(x a t ) (x a 2 ) (x a 8 ) . . . . = 9 (a;), 
(x &J (x Z> 2 ) (x 6 3 ) . . . . = 9j (a:), 

(/y ft \ ( w /) \ ( SY* ._ f* \ . . <r\ f /X 1 1 

*/ L/jy ^tX^ " t/g^ ^^/ OQ^ VJ^2 V, 1 ^/? 



12 

et 

9o()?i( aj ) 920*0 = ?(*) 

(a; ^Hz a 2 )(a 8 )....(a; ZOfa & 2 )(^ & 3 ). ...( 

Puis nous determinerons des fouctions entieres 

$05 ^1 $>> > 

T T T 

-*()> -fll *!?* .**> 

de maniere a ce qu elles satisfassent aux equations 



Ces equations auront tou jours une solution, car, par hypothese, les ra- 
cines de liquation 9(a?) = 0, egales a a lt a z , . . . ., 6 n & 2 , . . . ., c n 
c a , . . . . , different toutes entre elles; done la fonction 9(0;) n aura pas de 
facteur commun avec sa derivee y(x), II sera ais6 de montrer, a 1 aide de 
ces equations (3), que les sommes 



etendues a toutes les valeurs de 

= a n a 2 , fl 3 , . . . . , & 1? & 2 , & 3 . . . . . , c n 2 , 3 , 
se reduiront: a la somme 

2** & ^ ^ ^ ) 

etendue uniquement aux valeurs de a? = a n a a , a. 3 , . . . . ; a la somme 



etendue uniquement aux valeurs de x = 6. , L, &, . : a la somme 

17 1_ / O 7 



13 

e"tendue uniquement aux valeurs de ic = c 13 c 2 , c g , . . . ., et ainsi de suite. 
Pour le faire voir a 1 egard de la somme 



nous remarquons que, d apres 1 equation 

9 W #o = 9 ( x ) T * -*- 9o C*0 9i (*) 9 2 0*0- -- 
et d apres la maniere dont les fonctions 






sont formees^ la fonctiou 5 deviendra zero pour rc = & 1? & 2 , 6 3 , . . . ., 
c 13 c a , c 8 , . . . . ; c est-a-dire pour les racines communes aux Equations 



et 



car, pour ces valeurs de la variable a?, la derivee cp (#) ne pourra pas de- 
venir z6ro, n ayant pas, comme nous venons de le dire, de facteur commun 
avec 9 (a;). 

D un autre cote, pour 



racines communes aux equations 

9 0*0 = 0, 9 (a;) = 0, 
nous voyons que la derivee 



se reduit au produit 

9o( a; ) 9i() 9a (*) 
et par consequent, en vertu de 1 equation 

9 (x) S = y(x) r -t-9 (a;) 9,^) 9^(0; 
pour ces valeurs de #, ou bien pour x = a v , a 2 , 3 , . . . . , on aura 



14 
D ou il est evident que la somme 

2 3 (*< yiy /> ), 

etendue a toutes les valeurs de la variable #, 

x = # n o 2 , & s , . . . . , 1} 2 , 0g, . . . . , c 1? C 2 , 
se reduit a la somme 



etendue uniquement aux valeurs de 

x a n a 2 , 3 , . . . 
Nous trouverons de nieme que les sommes 



etendues aux valeurs de la variable x, 

= a \ 1 a 2 5 a 3 J J "l 5 ^2 1 ^3 5 C l > C 2 ) C 3 5 

Se reduisent a la somme 



etendue seulement aux valeurs de 

aj = 6 i 
a la somme 

2^1 (*> 

etendue seulement aux valeurs de 

a/ = c 
et aiusi de suite. 



15 
En remplagant, d apres ce qui vient d etre dit, les sommes 



(*,y,y, y", ), 



etendues chacune a des valeurs differentes de la variable a?, par les sommes 
etendues aux monies valeurs de la variable x donnees par 1 equation 

90*0 = 0, 
nous concluons que daus ce cas les coefficients du polynome 

y = A Q -+- A l x -H A. 2 x 2 -+- .... -^-A m _ l x m "~ l 

se determineront par la methode indiquee dans le numero precedent, quand 
on remplacera dans les formules de ce numero les fonctions 



par les produits 



et par consequent ils se determiueront par la condition etablie a la fin du 
n 3 si Ton y pose 



(x, y, y, y , .... 



ou \, X a , . . . . , sont des facteurs constants, mais inconnus. 

En determinant, pour cette forme de la fonction F (y, y, y, y", ....)? 
la valeur des derivees 

~ dy ~~ 

-UTI/ .. 

N = 



dy 



16 
et en designant les derivees partielles des fonctious 

prises par rapport a 

> n 

par 

j\/r ~!Uf T\/T 

***0J 1 2? * * * 5 

N N N 

J. T A U-T-i* _i- T o } } 



P P P 

*- Qt X 15 -* 2 



nous obtenons 



J 



M 



Done 1 expression (1), qui d apres le n 3, doit etre egale, pour la va- 
leur cherchee du polynome 



-n i 



a une fonction entiere, avec uue approximation poussee jusqu a la puissance 
x~ n inclusivement, s exprimeraainsi: 



(4) 



9(x) 



9 (a:) 



Mais les equations (3), qui servent a determiner les fonctions $ , 
. . . , nous donnent 

So 9 r (g) __ rp 9 > fa;)9 l (a;)9 2 (j;).... 
9 (a) ^o" 1 



_9^)__ rp _ + _ 9i (x) 9o(g) <P2(^) 

P() x 9W 

(n c^\ m ^x^ o te) 

2 9 (a:) 



17 

En remplagant, dans les seconds merabres de ces equations, 9 (x) par le 
produit 

?o(a) ?i(*0<p a (a) , 
nous aurons 

S <? (X) __ rp 9o (X) 

9 (*) 9o(*) 

9 (a?) _ 



__ 

9 (g) 1 9i (g) 



9 2 1*) 



D ou Ton voit que les fonctions 

? (g) Si 9 () S 2 9 (g) 



9 () : 

et 

9o (a) 



ne diifereut entre elles que par des parties entieres. Donc^ si dans 1 expres- 
sion (4) nous mettons ces dernieres fonctions a la place des premieres, 
nous ne changerons que la partie entiere de cctte expression; quant au degre 
d exactitude avec lequel cette forraule represente une fouction, il restera le 
me"me, et par consequent elle pourra toujours servir a determiner le polyn( A )me 



m ~ l 



y = A n -+- A, x-t-A x z -*-....-+- A ,x 

is \J i 2 7JI 1 

En executant cette substitution nous obtenons 1 expression suivante : 

) L -i ^i9i (g) . i M 2 <? z (x) 



2 



9o(g) } 9t(g) 2 9a (g) 

dx 

p I PQ 9o" (a) % P|9/(g) % P 2 9 2 (a 
1 9o(g) l 9. (g) 2 9 2 (g) 

dx z 



Cette expression, d apres ce qui vient d etre expose, doit se r^duire a uue 
fonction entiere, qui la representera exactement jusqu a la puissance m 
de la variable x inclusivement, toutes les fois que le polynome 



aura des coefficients voulus pour que la somme 



18 
devienne un maximum ou un minimum, sous les conditions 



5 

Nous sommes parvenus a cette conclusion en supposant que les series 



2 5 



ne contenaient pas des termes egaux entre eux; mais, par la me"thode des 
limites, il nous serait aise de 1 appliquer aussi au cas ou ces series auraient 
des termes communs. 

6. Nous avons etabli, dans ce qui precede, la condition qui sert a 
determiner la valeur du polynome d un degre donne y, qui rend la somme 



un maximum ou un minimum, et nous n avons fait que deux hypotheses con- 
cernant les coefficients de ce polynome. D apres 1 une, leurs valeurs etaient 
supposees arbitrages, et d apres 1 autre, elles devaient satisfaire aux 
equations 



Dans ce dernier cas, la condition qui sert a determiner le polynome 
cherche contient des constautes inconnues X, , X 2 , . . . . , dont les valeurs se 
trouvent par les m6mes equations de condition auxquelles doit satisfaire le 
polynome ?/, et qui sont en nombre egal a celui des inconnues X n > 2 , . . . . 

La determination du polynome y, limite par la condition de rendre la 
somme 

o fa y, y, y", ), 

un maximum ou un minimum, a de 1 analogie avec la solution des questions 
semblables dans le calcul des variations. Dans le cas particulier, quand cette 
somme se reduit a une integrale, le polynome y, determine comme il vient 



19 

d etre dit, pent etre conside"re comme une valeur approchee de la fouction 
qu on obtient a 1 aide de la me"thode des variations. Mais dans le calcul des 
variations la fonction cherchee, etant determinee par uue equation differen- 
tielle, s obtient en 1 integrant par les methodes connues, tandis que, dans le 
cas que nous examinous, la determination du polynome y exige des precedes 
speciaux, car elle se re"duit a une condition qui ne se laisse pas exprimer 
par des Equations de formes connues. 

Pour montrer comment des polynomes peuvent etre determines a 1 aide 
de ces conditions, examinons le cas tres-simple ou les fonctions 



y,y 



, 



ne contiennent y qu a une puissance qui ne dpasse pas la seconde, ses de- 
rivees 



r n 

, y > 



a une puissance qui ne depasse pas 1 unite, et avec des coefficients qui ne 
dependent que de la variable x. 
Dans ce cas les derives 



ne contiendront pas y\ y", . . 
puissance. Quant aux derives 



. , et y ne s y trouvera qu a la premiere 



p . _og, y, y, 
dy" 



p _d ^(a;, y, tf.y",.... 
*l- dy" 



elles ne contiendront pas du tout f/, ?/ , y\ .... Partant 1 expression 



| PQ 9o (x) 
I 9o() 



9i (g) 



2* 



20 
qui d apres le n 5, moyennant le polyn6me cherche 



,-- , 



doit devenir 6gale a une fonction entiere jusqu au terme en x n inclusi 
vement pres, se reduira au binome 

uy v, 

dans lequel u et v sont fonctions de la seule variable inde"pendante x. 
Ainsi, dans ce cas, la recherche du polynome 



,m i 



assujetti a la condition de rendre la somme 



uu maximum ou un minimum, se rMuit a la determination d un polynome /, 
de degre m 1, tel que le binome uy v, jusqu au terme en af~ n inclu- 
sivement pres, soit une fonction entiere. Nous allons montrer que les poly- 
nomes qui jouissent de cette propriete s obtiennent facilement a 1 aide de la 
serie que j ai publi6e dans mon Memoire intitule: Developpement des fonc 
tions en series a I aide des fractions continues *). 

7. Nous avons etabli dans ce Memoire, qu en developpant une fonc 
tion quelconque u en fraction continue 



2-*-. f 

j 

en de"signant, de plus, par 

PT> T> 
1_ _Z _-*3 

ses fractions reduites, par 

M l , zi 2 , i 3 , . . . . 

les differences 
et par 



*) T. I, pages 617636. 



21 

les fonctions entieres qu on obtient a 1 aide de la formule 



nous aurons pour developper la fouction v d apres les valeurs 

" I ) ^2 **! 

la s&rie que voici 

(5) v = .EJ v -+- o x R! -+- o 2 J2 2 -i- o 3 j? 3 -+- . . . . 

ou TJ dSsigne la partie entiere de la fonction, et ou Ton admet que u et v 
sont des fonctions developpables suivant les puissances entieres et decrois- 
santes de la variable x. 

Pour determiner, a 1 aide de cette serie, le polynome 



au moyen duquel la difference 

uy v, 

est reductible a une fontion eutiere, exactement jusqu aux termes en x~ 
inclusivement, designons par 

Q* / . - 

le dernier denominateur des fractions convergentes 

A A li 

Qi> QS <? 3 * 

dont le degre soit inferieur a m, et par 

F F F F 

[>.> (X 1 2? * 15 

r ^ V-i ---- r *> r i 

les quotients et les restes obtenus par la division du polyiiome y par Q . du 

r" 

premier reste r^ par Q-_ lt du second reste par Q _ 2 , et ainsi de suite. 

En Sgalant les dividendes aux produits des quotients par diveseurs 
ajoute"s aux restes, nous obtenons une suite d equations 



En eliminant des Equations les restes 



|| 



22 

et eii observant que le dernier reste r l , qu on obtient par la division de 
1 avant-dernier reste par ft = 1 est ze"ro, nous sommes conduits a 1 expres- 
sion de y que voici 



Mais comme notre polynome cherche 



ne sera jamais d un degre superieur am 1 , il est evident que la fouction 
F , qui s obtient par la division de y par Q , ne pourra pas 6tre d un degre" 
plus eleve" que celui de 



et par consequent son degre sera inferieur a celui du quotient 

Qu 



car, par hypothese, Q.,^. l est d un degr6 superieur a m -- 1. 
Quant aux fonctions 

F F F F 

^fj. 1 ^JJl 2 > 1 

leurs degres seront inferieurs a ceux des quotients 



car elles resultent de la division des restes 



/y if 

I 25 l 



par 



et ces restes eux-memes obtenus par la division de y par 

.,. ; ,, . . Q, c,^,. ...- ft, ft-. . 

et ainsi de suite, seront necessairement de degres inferieurs a ceux de 

QH> @|i_i ft 5 ft- 
Pour determiner les facteurs 

F , F F F 

* (15 * (JL 1 5 - 1 2 Z 1 

dans le de>eloppement de y par la formule 



23 

nous observons que le binome 

uy v, 

devient, en y substituant pour y sa derniere valeur, et en y exprimant v par 
la formule (5), 



d ou, en y remplagant 

QV.U, (V-i w 
par leurs valeurs deduites des egalites 

Z^Q^-P*, *U 

nous obtenous la formule que void 



En examinant cette nouvelle expression de la difference 

uy v, 
nous voyous que ses termes 

Ev-4-FP-t-FP-i- -f-F P -i-FP 

^1*1^ ^2^2^ ^ jj,! ^H! ^ ^H^ll 

forment une fonction entiere, et que les autres, comme il est aise de le voir, 
sont tous de puissances negatives qui vont en decroissant. En effet, confor- 
mement a notre notation, 



et ces restes, d apres les proprietes des fractious reduites, sont de degres 
egaux a ceux des fractions 



1 
J ~7T 



En rapprochant ces considerations de ce qui a ete dit, dans le numero 
precedent, sur les fonctions 



24 
et, dans le Memoire cite", sur les fonctions 

i, 2 > w ^-i> V 
il devient evident que dans les derniers termes de la formule 

(F l ,) .Z?! -+- (F z o 2 ) R z H- . . . . -+- (F ti _ l %_!) ^_ 1 H ~ 
les facteurs de 

^l -^2? ^8J * 

seront des fonctions entieres de degres inferieurs a ceux de 



Done le premier de ces termes (F l Oj) E l sera d un degre" inferieur 
a TT- TT- = TT- e ^ ue sera P as inferieur a ^- ; le second terme (F. &> a ) ^ a 

Vl V2 Vl V2 

sera d un degre inferieur a ~ -- = -- et ne sera pas inferieur a 7r , . . . . ; 

V2 V3 V2 V3 

le terme o jR sera d un degre inferieur a ^^ 7^ - = 75 - , 

Y|l<4?I V(J.--2 V{Ji-f-l 

et ne sera pas inferieur a - , et ainsi de suite. 



. 

D ou il resulte que dans 1 expression ci-dessus trouvee pour le bi- 
nome 

uy v 

la partie fractionnaire sera exprimee par la se>ie 

(JPl - S ) JB, H- (F, - o 2 ) R, -H . . . . + (F - ^,) ^_, H- 



ou les puissances des membres vont en de"croissant. Done le degre d exacti- 
tude avec lequel notre binome se r^duit a une fonction entiere sera deter- 
min6 par le degre du premier de ses termes qui ne devient pas zero. 

A 1 aide de ce re"sultat, il nous sera aise" de trouver les valeurs des 
fonctions 



qui entrent dans 1 expression (6) du polynome cherch^, ou de nous con 
vaincre de son impossibility. 
Les termes 

(F.-o,) R,, (F, ,) B,, ..,., (F^.-o^,) B 



comme nous venons de le voir, ne peuvent etre de degr6s inferieurs a ceux 

des fractions 

i i i 

~O~ 1 * * J Q 

done ils ne peuvent etre d un degre inf6rieur a 



car, d apres notre notation, dans la suite des denominateurs 

ft, ft, ft,----, tt 

il n y en aura pas un seul d un degre superieur am 1 . Ainsi la difference 
ne peut se ramener a une fonction entiere u y v qui la represente 
exactement jusqu au terme contenant la puissance af~ m , que dans le cas ou 
tous ces termes disparaissent, ce qui entraine forcement les equations sui- 
vantes: 

F.-o^O, K-o 2 = 0,...., F^ T V*-*0 

qui nous donnent 

(7) *i = i, F, = u,,...., F li _ l = ^_ l . 

Avec ces valeurs des fouctions 

F F F 

*- \1 z 2) * |x i 

Fexpression ci-dessus trouvee pour la partie fractionnaire du binome 

uy v 
se reduit a la serie 



ou, comme nous venons de le voir, les termes 



sont de degres inferieurs a ceux des fractions 

i i 

et par consequent inferieurs a 

x , 

car, d apres notre notation, les denominateurs 

tx--2 r 



26 

ne sont pas de degres inferieurs a m. Nous voyons ainsi que pour require 
1 expression ci-dessus trouvee de la difference 

uy v 

a une fonction entiere qui la represente exactement jusqu aux termes ou la 
variable x est a la puissance m, il est necessaire et suffisant de donner 

aux fonctions 

F F F 

X 15 * 2) ") * JJL 1 

les valeurs (7) et de rendre la puissance du membre 

(V-v>^ :-,. 

inferieure a m. 

Mais comme, d un autre cote, pour que le polynome cherche, repre 
sente par la formule 



reste, comme 1 exigent les conditions dc la question, d un degre qui ne soit 
pas supSrieur a w, il est necessaire et suffisant qu avec les valeurs (7) des 
fonctions F l , F z , . . . . , F lt le terme F Q ne soit pas d un degre supe- 
rieur a m 1, car tons les autres, comme il est aise de le voir, seront de 
degres iuferieurs a m 1 . 

En effet, conformenient a ce qui vient d etre dit, les degres des facteurs 



seront inferieurs a ceux de 

Qz Qi 
~Q~i J "ft 



done les produits 

^id, **,*,.;.., F^ 

ne contiendront que des termes de degres iuferieurs a 

Q 2 ? Vt > J "pi 

et par consequent inferieurs a la puissance 

x m ~ l - 

car, d apres notre notation, tous ces denominateurs des fractions reduites 
de u ont des degres moindres que m 1 . 

En vertu de quoi nous concluons que le polynome cherch6 y sera donne 
par la formule 



ou 



27 

et ou Ic facteur F^ est une fonctiou entiere determinee par les conditions 
suivantes : 

La puissance du produit F Q ne surpassera pas m 1 , et la puis 
sance du produit (F co ) E ne surpassera pas m 1 . 

|X fX [X 

Or, d apres notre notation, 



de plus, d apres les proprietes des fractions reduites, 

^- p , 

6tant du meme degr6 que la fraction 



on peut, en determinant le facteur F par la methode que nous veuons 

r^ 

d exposer, remplacer E par la fraction -^ . 

V[JH-1 

Ceci nous permet d exprimer les conditions qui determinent le facteur 



F de la maniere suivante: 

\r 



La puissance du produit F Q ne surpassera pas m I, et la puis- 

p* i* 

f 0)., 

sance du quotient - " ne surprassera pas m 1 . 
Quant aux fonctions 



elles s expriment generalemeut, comme nous 1 avons dit dans le numero pr6- 
cedent, ainsi: 



Ayant determine a 1 aide de cette formule les valeurs 



et les ayant mises, conformement a (7), a la place de 



F F F 

* U -* 25 1 * j^ 



dans 1 expression du polynome cherche y, nous obtenons pour celui-ci la 
formule que voici: 



ou le facteur F doit satisfaire aux conditions que nous venons d enoncer. 
Nous allons done nous occuper, dans le num6ro suivant, de la maniere 
de determiner F sous ces conditions. 



28 
8. D apres notre notation, 

: . V 

est le dernier dSnominateur de la suite 



dont le degre est inferieur a w; par consequent le denominateur 



sera ou du degre m, ou d un degre superieur a m. Dans le premier cas, 
comme il sera aise de le faire voir, il n y aura qu une valeur de F propre 

i* 

a satisfaire aux conditions qui limitent le choix de cette quantite, c est-a- 
dire qu il faudra que jP^ soit gal a w ; dans le second cas, ou il n y aura 
pas du tout de valeur de F qui satisfasse a ces conditions, ou bien F 

r M 1 

s exprimera au moyen d une fonction a plusieurs coefficients arbitraires. 
En effet, d apres les conditions qui determinent la fonction F.. , le degre 

r 1 

du produit F.. Q.. ne pourra pas surpasser m 1 , et celui du quotient 
- ue surpassera pas m 1 , ou le denominateur Q est de la 

VfX-4-l 

puissance m. Ainsi quand le numerateur sera entier et different de z6ro, le 
degre du quotient 



sera necessairement superieur a m 1 . Done, dans ce cas, on est force 
d admettre que 



ou bien 



F =w . 

M- M- 



Ensuite, d apres ce qui a ete" dit precedemment, le degre de la fonction 
est infe"rieur a celui de 



done, en donnant a F^ la valeur o , nous rendons la puissance du produit 

^^ : : . 

inferieure a celle de 

-C =Q 
v ^ 



29 



et par consequent inferieure a celle de x m , car, dans le cas que nous exarai- 
nons, le denominateur Q_ t _ l est du degre w. 

D ou il resulte que si Q _ t _ l est du degre" m, on pent toujours faire 



et qu aucuue autre valeur de ce facteur F ne satisfera aux conditions 
etablies dans le numero precedent. 

Des lors, dans ce cas, le polynome cherche y ne peut avoir qu une 
seule valeur, et elle sera de"terminee par la formule que nous venons d ecrire, 
c est-a-dire par 



pourvu que nous y fassions 

*;=v : : . 

Passons maintenant au cas ou le de"nominateur Q^^_ l est d une puis 
sance superieure a m. Conformement aux conditions qui determinent le fac 
teur F j le produit F Q^ doit 6tre d un degre qui ne soit pas superieur a 

TJT _ 

m 1 , et le degre du quotient J ^ ne doit pas surpasser m 1 , ou 

V|i-f-I 

bien, ce qui est la meme chose, le facteur F ne doit pas avoir un degre 
superieur a celui de ^ , et le degre de la difference F.. w ne doit pas 

V|0. 

surpasser celui de ^\ . Or cette propriete est evidemment exprimee par les 
deux Equations suivantes: 



(8) ^CX-t-OX- 1 
et 

(9) F H o = G x^ -+- G" x 

J. X 



H 

fJ. 



ou v designe la puissance de la fonction ^ . v celle de la fonction %~ l - 

V[JL * 

et les quantites 

C l , C 2 ...... G , (7 , .... 

sont des coefficients inde"termines. 

L elimination de F a 1 aide de ces deux equations nous donne 

o^ = G, x* -+- C/X" 1 -+- <?V G"x^~ l 

equation qui ne peut 6tre satisfaite par aucune valeur des coefficients 
CD Q>- ) G i ^">- ? si ^ e degre de la fonction o surpasse v et v x . 



30 

D ou il est aise de voir que si la puissance de o^ est superieure a v et v u 
il est impossible de satisfaire aux conditions qui determinent F^ dans 1 ex 
pression du polynome cherche, et par consequent, dans ce cas, notre probleme 
n a pas de solution. Dans le cas coutraire, quand la puissance de o n est 
pas superieure au moins a 1 un des nombres v et v t , la valeur du facteur F 

r" 

sera facile a trouver, et, comme il est aise de le voir, elle sera determinee, 
ou par la seule equation (8) ou par la seule equation (9), selon que v sera 
ou ne sera pas < v x . 

En effet, mettons 1 expression de F , donnee par liquation (8), dans 
la formule (9), nous aurons 



- 1 



G l x t -*-C t a; 

Si le nombre v est inferieur au nombre Vj , le degre" de la premiere partie de 
cette equation ne surpassera pas celui de la seconde, car si v < v t la puis 
sance de la fonction co ne peut 6tre superieure a v 1} puisque dans ce cas, 
contrairement a 1 hypothese, cette puissance serait superieure aux deux 
nombres v et v t . Done, par un choix convenable des coefficients , (7", . . . . , 
on pourra toujours satisfaire, dans ce cas, a 1 equation 



quels que soient les coefficients C n (7 2 ,. . . . du premier membre de cette 
equation. 

De m6me si v n est pas < v 1} 1 equation (9) nous donne 



et, en y laissaut tous les coefficients arbitrages, nous obtenons une valeur 
de F^ qui satisfait a 1 equation (8) si Ton donne des valeurs convenables 
aux coefficients Cl. (X, 

17 ^7 

Ainsi, il est bien etabli que toutes les fois que le degre de la fonction 
w^ n est pas superieur au moins a 1 un des deux nombres v et v t f degres 
des fonctions X T . et T* | la valeur du facteur F, , satisfaisant aux con- 

Vu. x n ~*~ / f* 

ditions du numero precedent, peut eire trouv^e. De plus, la valeur de F 

I" 

sera determinee par liquation 
ou par 1 equation 



01 
cl X 

selon que Ton aura v < Vj ou bien v^Vj. Quant aux coefficients 



G l , 



ils restent arbitraires. 

9. Pour donuer un exemple, cherchons a determiner le polynome 

y = A -+- A^-t-A.x 2 -*- ---- -^A m _ l x n - 1 

sous la condition de rendre maximum on minimum la valeur de la somme 



etendue aux valeurs 

Nous commencerons par supposer que le choix des coefficients 

J , A l , A 2 , . . . . A m _ l 

du polynome cherche y n est limite par aucune condition particuliere, et 
puis nous traiterons le cas ou la valeur d un de ces coefficients 

est donnee. 

La premiere hypothese, avec les valeurs reelles de x l , x z , # 3? . . . . et 
I invariabilite de signe de la fonction 0(x\ nous donnera la formule deja 
connue de Finterpolation parabolique d apres la methode des moindres carres 
dans les cas ordinaires; la seconde, avec les m6mes conditions pour les quan- 
tites ajj, # 2 , # s , . . . . et la fonction 0(x\ nous conduira aussi a une formule 
d interpolation parabolique d apres la methode des moindres carres, mais 
dans les cas particuliers ou 1 un des coefficients de 1 expression y est assu- 
jetti a la condition d avoir une valeur donnee. 

Si dans les formules du n 2 nous faisons 

-t 

Tr ( /y* nt fit /tt \ / 71 T //y l \2 /J f/y*\ 

-t/iU/. t/, f/. U , . . , .1 I U t (&] I C/ Iwv/j 

\ / v 7 v 7 v 7 / *) \& \ // V // 

nous trouverons 



^r__ x,y,y,y,.... ___ ~ 
dy 

p_dF(x, y, y , y", ....}_ Q 
dy" 



32 

Avec de telles valeurs des fonctions 

MNP 

"l " x , .... 

et dans 1 hypothese que le choix des coefficients du polynome n est limite 
par aucune condition speciale, nous aurons a remplir d apres le n 3 la con 
dition suivante: 

^expression 



doit etre reducible a une fonction entiere, avec une approximation poussee 
jusqu au terme x~ " indusivement. 
Designaut par 



les de"nominateurs des reduites qu on obtient en developpant la fonctiou 

e (x) y (g) 
en une fraction continue 



et supposant que dans la suite des fonctions 

MX), <]>,(*), . . . ., ^(a;), ^W, 

la derniere fonction d un degre inferieur a m soit 

*,i(*). 

nous trouverons que le polynome 

y = 4,-t--4 1 a?-4- J 2 a; 2 H- .... -+-^ m _ 1 
qui satisfait a cette condition, sera donne par la formnle 

y = i4*i()-^.* a (*)-^ 
oii les facteurs 



33 
seront determines par la formule 



et le facteur F, t d apres le n 8, n aura qu une valeur determined 



si la fonction i]> (a;) est du degre m. Dans le cas contraire, si notre pro 
bleme admet une solution, c est-a-dire si la somme 



peut deveuir un maximum ou uu minimum, le facteur F contiendra plu 
sieurs coefficients indetermiues et sera donne par 1 une des formules 



ou v et Vj designent les degres des fonctions 



Comme precedemment, on appliquera la premiere de ces deux formules si 
v < Vj , et la seconde dans le cas de v > Vj . Quant au criterium qui permet 
de reconuaitre que notre probleme a une solution ou n eu a pas, nous avons 
deja vu ( 8) que le facteur F qui satisfait aux conditions de notre pro 
bleme n existe que dans le cas ou le degre de la fonction w ne surpasse au 

r* 

moins 1 un des nombres v, v r 
Quand les quantites 

^1 ) *^2 ^3 j 

out des valeurs reelles, et que la fonction 

6(x) 

ne change pas de signe, la fraction continue, qu on obtient en developpant 
1 expression 



9 (*) 

comme il est conuu, sera de la forme 



_ _ 

A x -4- B 



A, x -f- S 9 



34 

ou A^, B,, A^, B 9 ,. . . . sont des quantites constantes*). Dans ce cas les 



1 2> 

fonctions 



ont pour valeurs 

q l = A l x-t-B l1 q 2 = A 2 x-t-B 2 , ---- , q n = A n x-+-B n , 
et les denominateurs 

*1 (*), *2 (*). -J <Kn-l (*0, <Kn (*), *+i 0*0, 

des fractions reduites de 1 expression 



9 (a:) 

seront de degres 

0, 1,...., w 2, m 1, *,.... 

Comme dans ce cas le dernier denoraiuateur d un degre inferieur a w, 
est <]> m (a?), et celui qui le suit iramediatement, c est-a-dire t \> m _ t _ l (x), est du 
degre m, d apres ce qui a ete etabli, le polynome cherch6 y sera donne par 
la formule 

V = i *i () -^ ,*, (*) -H . . . . H- m _ t * m _ 1 () -*- o m * m () 

Mettons a la place de q n sa valeur q n = A n x -+- B n dans la formule du 
n 7 qui sert a calculer les facteurs 



nous aurons 






9(x) 



Si nous designons par Z7 la fonction eutiere qu on obtient en divisant 
le produit 

*.(*)fta)*(*)9 

par 9 (a;), nous aurons, par notre notation 

E^ n (x) 



*) Voyez le Mcmoire intitule: Recherches sur les fractions continues (T. I, pag. 203 
230). Du reste cela resulte aussi de ce que x lt a* 2 , x 3 , ____ etant reels, 6(x) conservant toujours 
le meme signe, notre probleme a toujours une solution, quel que soit w, car cela suppose d apres 
le n 8 que dans la serie <]> l (x), fy 2 ( x )i ---- > ^ J aura toujours un denominateur du degre m, et 
que par consequent il s y trouvera des denominateurs de tous les degres, ce qui n eat possible 
qtie quand la fraction continue dont il s agit a la forme que nous venons d indiquer. 



35 
et 



d ou nous tirons 



9 (*) 9 () 



Ainsi 1 expression trouvee ci-dessus pour le facteur n se reduit a la sui 
vaute : 



Cette formule peut s ecrire ainsi: 



Le terme plac6 sous lo signe E est du degre zero; done, en faisant x = oo, 
nous aurons sa partie entiere, et nous trouverons ainsi: 



En calculant d apres cette formule les valeurs des facteurs 



et en les mettant dans 1 expression du polynome y t nous obtiendrons la for 
mule que voici: 



C est ainsi que Ton determine le polyuome du degre m 1 qui rend 
maximum ou minimum la somme 



s* 



36 

Stendue aux valeurs reelles de x et dont le facteur 0(x) ne change pas de 
signe. 

Cette formule sert pour 1 interpolation parabolique, d apres la methode 
des moindres carres, quand il n existe aucune condition particuliere relative 
a ses coefficients. 

10. Passons maintenant au cas ou dans le polynome cherche 

y = A -+- A 1 x -*- A 2 x* -4- ---- -f- A m _ l x m ~ l 

le coefficient de x\ oii Z est un des nombres 0, 1, 2, . . . . , m 1, est sup 
pose donne. 

La condition que le coefficient de x 1 , dans le polynome y, doit etre 
egal a un nombre donne peut etre exprimee par 1 egalite 



pourvu toutefois qu on n etende cette somme qu a la seule valeur de la va 
riable x, x = 0, et que la fonction 



se reduise a un seul terme y l = 7. Dans ce cas. d apres la notation du 

dx l 

11 5, nous aurons 



et toutes les derivees partielles de 

3*1 (, y, y, y"> ) = ^ 

prises par rapport a ^/, y , y" , y"\ .... seront zero, excepte la seule deri- 
vee par rapport a y\ qui sera egale a 1. 

Supposant, comme ci-devant, que la somme qu on se propose de rendre 
un maximum ou un minimum est 

2-5- (*)) *(*) 

et qu elle s etend aux valeurs de la variable x, telles que 



37 
nous aurons, en conservant la notation du n 5, 



_ ^ fro to y, y , y",--..) __ 

~ dy ~ 



et 

\ 1 / \ 2 V S 

Avec ces valeurs des fonctions 

MNP o> (r\ m (VI 

^"0> 1V 05 *$> *J TOWj T1V 1 */ 

et ayant en vue la remarque que nous venons de faire sur les derivees par- 
tielles de la fonction 

prises par rapport a y, y",. , . ., y 1 , . . . . , le polynome cherche sera deter 
mine, d apres le n 5, par la condition suivante: 
L expression 

(y -/(*)) 6 ()% () l d ^ 

doit se rtduire a une fonction entiere avec une approximation poussee jusqii au 
terme x~ n inclusivement. 

Comme cette expression, apres la differentiation et la multiplication 
indiquees, se reduit a la difference 

6 (05) <p (a?) ai 



pour determiner le polynome y nous devons, conformement a ce qui a ete 
dit au n 7, developper en fraction continue 1 expressiou 

(a:) cpp (x) 



En nous bornant a examiner le cas ou toutes les valeurs de 



38 

sont reelles, et ou la fonction 

0(x) 

ne change pas de signe, nous aurons, d apres ce qui a ete dit dans le nu 
mero precedent, 



_ 



ou A^ B lt A z , -B 2 , . . . . , sont des constantes. 
Ce developpement de la fonction 

Q (x) 9 (*) 
9o(*) 

nous donnera la suite de denominateurs des reduites 



qui seront de degre 

0, 1, .... m 2, m 1, m, . . . . 

Comme le dernier denomiuateur de degre iuferieur a m est ^ m (x), et 
comme celui qui le suit immediatement, 4* m --i C^) es ^ ^ e ^ e S r ^ w ? ^ e Pb T 
nome cherche 

y = A Q ~t-A,x-+- .... -H^.^" 1 " 1 

d apres le n 8, s exprimera par 

y = Ol*lW-*- a * 8 ()-*- ---- -^"m-i^m-i^)- 1 -^^^)- 

Mais comme dans le cas que nous examinons 



et 

*x x L2....Z.X 



9o (*) oi^- 4 - 1 

nous aurons, d apres le n 7 , pour determiner les facteurs 



la formule que voici: 



_!, 



9o() 



39 
ce qui pent etre ecrit ainsi: 

. - f(x} (X) y (X] 



Mais, d apres ce qui a ete etabli dans le numero precedent, 1 expression 

E-p 
( A n X - ^ 



se reduit a 



ct la fonction <|> n O&), developpee par la serie de Maclaurin, nous donne 



^odrF^)*-^)^TX^ 

par consequent 

E*n(*)__ ! .1, /H - I /(^H 

^TTi 1.2...J1Z-*- )^ 

et la difference 



se reduit a la serie 



1.2... .1 x 1.2....(Z l)s* 

En multipliaut cette expression par A n x -t- B n et en rejetant dans ce produit 

l"2... .1 ~*~ V 1-2... .1 ~*~ 1.2. ...(? !)/ " ~ H 

les termes ou la variable x a des exposants negatifs, nous aurons pour la 
valeur de 



1 expression 



40 
Par consequent la formule qui sert a determiner o n se reduit a 



Ayant determine d apres cette formule les valeurs des facteurs 
et les ayant mises dans 1 expression du polynome cherche 
nous verrons qu il se reduit a 



y = 

w ^ w *^ w - x ^ *> () fc w 



ou \ est une constante inconnue qui, dans notre cas, sera determinee par 
la condition que le coefficient de x l doit avoir une valeur donnee. 

On trouvera aussi de la m6me maniere 1 expression du polynome y, 
dans le cas ou plusieurs de ses coefficients sont donnes, et les autres sont 
determines par la condition de rendre maximum ou minimum la somme 



etendue a des valeurs donne"es de la variable x. 




a 

SUR I/INTEGRATION 

BUS Blf F1R1HT11LLHS LES PLUS SIMPLES 

PARMI CHILLES QUI CONTIENNENT UNE RACINE CUBIQUE 

(T1RADUXT PAK A. V. VASSXLXBDP.) 



uHmezpupofiamu npocmnuutuo&t 



iH CdopnuK-B. T. II. 1867 r., cip. 7178.) 



Sur I lntegration des differentielles les plus 

simples parmi eelles qui eontiennent une 

raelne eublque. 



Dans le memoire: Sur r integration des differentielles qui eontiennent 
une racine cubique *) il a ete montre par quelles fonctions le plus simples 

s exprime 1 integrale F^= dx sous forme finie lorsque cela est possible; 

J v R 

on y a suppose que le radical VM n a pas de diviseur rationnel et que le 
terme algebrique de 1 expression de 1 iutegrale f j4= dx a etc" chasse\ 

Le calcul de ces fonctions qui conduisent a la determination de 1 inte 
grale \~= dx correspond, comme il est facile de voir, au developpement du 

* y R 

radical ~VE en fraction continue; c est ce qui a conduit Abel dans son me 
moire counu sur ce sujet a 1 expression de 1 integrale f -^= dx par les fonc 
tions de la forme A log p ~^ q ,_ . 

p qVR 

En appliquant ce precede aux exemples, Abel trouve quelques cas 
particuliers de I integrabilit6 de la differentielle 

dx, 



Vx* -+- ax 2 +- bx -H c 

sous forme finie. 

On peut, d apres le memoire cit6 plus haut, proceder de la meime ma- 
niere par rapport aux differentielles qui eontiennent une racine cubique. 
Ainsi, en appliquant notre methode a la differentielle 

3 p = dx. 



*) Tome I, pag 563608. 



44 

nous trouvons que, outre le cas ou la fouction x* -+- ax -t- & a un facteur 
multiple, cette differentielle s integre sous forme finie dans les suppositions 
suivantes 

1) 6 = 0; 

21 b -- -- 
Z ) a*~ 6 

ox W 1 ,V^3 

3 ) ^ = ir--i8-; H T - n - 

Dans tous ces cas 1 expression de I int6grale 

= dx 



J i/a;3 



-t- ax-+- b 

est donnee par la formule generate 

K log [9 OSR) . 9 a (a -pR) . 9 a2 (a 2 

ou K est un facteur constant, a une des racines imaginaires de 1 equation 
a 3 1 = 0; la fonction 9 (v R) se ramenant au produit 



dont les facteurs 



determines successivement 1 un au moyen de 1 autre, ont, comme il est fa 
cile de voir, dans le cas 

R = x* -+- ax -+- &, 
les valeurs suivantes: 



Le nombre p., qui exprime combien des facteurs 



entreut dans 1 expression de la fonction 9 ^E} peut avoir toutes les gran 
deurs de zero & 1 infini. 



45 

La supposition 

6 = 

s obtieiit dans le cas 

K.= l, 

et dans ce cas nos fornmles donneut 

f 7=2= dx = K log [9 (PR) . 9" (a 

J I/a; 3 -+ ax 
Oil 

9 (-^M) =x ^x^ 

La supposition 

v> L _ j_ 

a3~ 6 

a lieu quand 

H = 2, 



et dans ce cas la fonction 9 ^R) qui entre dans 1 expression de 1 integrale 

f 

J 



y a; 3 -f- aj; -*- b 

au moyen de la formule 



K log [9 (VH) . 9" (a 1^70 . 9 * 2 (a 2 
a la forme suivante 



Dans le cas 

62 



__ 

18 " 18 



on a la meme valeur de pi et, par consequent, la meme forme de la fouction 



9 , 

Dans tous ces cas p reste une quantite constante et a les valeurs sui- 

vautes: 

1) - - 2 K pour 6 = 0, 2) - - 6 K, pour ----, et 

3) . ^-tf, pour ^ = l-^r- 

Mais 1 applicatiou du precede qui a ete donn6 par nous pour 1 inte- 
gratiou de la diflferentielle 

fedx 



46 

sous forme fiuie, n est pas bornee a ces resultats particuliers et a d autres 
semblables; ce procede de I iute gratiou merite toute Fattention d autant 
plus qu il donne la condition necessaire pour que 1 integrale 

dx 

puisse etre exprim6e sous forme finie. En effet, pour qu il soit possible d ex- 
primer Vintegrale 

A 



x* -+- ax -+- b 

sous forme finie, il est necessaire qiCau moins rune des equations 

X3 = 27&*__ 1 

4 a 3 



TO 

puisse etre satis faite par une quantite X qui est rationnelle en -3. 
En appliqaant cette condition aux cas mentionnes de 1 integrale 

3~ q , dx, 

J y x 6 -+- ax -+- o 

nous trouvons que la quantit6 

fc2 

a3 

a les valcurs suivautes: 

-1 1 +~ 

- 



6 G - 18 

Pour les deux premieres valeurs de -3, 1 equation 



__ 
4 a 3 

en se reduisant a 

YS -j Y 3 ___ L 
-^ -_ i, A. _ - g , 

a evidemment une solution rationnelle en ^. 

a 3 

Pour la derniere valeur de ^, 1 equation 



4 a 

se ramene a 



47 

qui ne peut e"tre satisfaite par une valeur rationnelle 
Mais dans ce cas 1 equation 



se reduit a 1 equation 



et cette equation, comme il n est pas difficile de s en assurer, est satisfaite 
par 

x=--- v ~ 



2 ~ 2 
. , . ,. fc 2 1 , V^H 

ce qui s exprnne rationnellement en -g = it--; a savoir 



Dans le cas ou la quautite 

^ 

a 3 

est rationnelle, pour qu il soit possible d obtenir 1 integrale 

I 3 CtX> 

J y a; 3 -+- ax -+- b 

sous forme finie il est necessaire, d apres ce qui precede, qu au moins uue 
des equations 

^ ~~ 4 a 3 "*" 



ait une racine rationnelle. 

D apres cela on reconnait facilement 1 impossibilite d obtenir sous 
forme finie plusieurs integrates de la formule 

f- p dx. 

i y x 3 -*- ax +- b 



3 



Q TT TR TY ftf ftff P X IKf T 
u U Jtx U JL\ M JGx u A JL\ Jt 

(TKADUXT PAH X. W. KESTSGKDSKSKY.) 



(Lu le 8 (20) octolre 1868.) 



(35 






HMnepaiopCKOH AKaReMiH HayKi., T. XIV, 1868 r., cxp. 38 46.) 



Sur un meeanisme. 



Dans le memoire intitule: TMorie des mecanismes connus sous le nom 
de parallelogrammes *), nous avons montre, de quelle mauiere par les appro 
ximations successives on peut trouver avec un degre desire d exactitude les 
dimensions les plus avautageuses des elements du parallelogramme de Watt 
ainsi que d autres mecanismes du meme genre, qui realisent le mouvement 
peu different du mouvement rcctiligne. 

Nous avons reduit cette question par le developpement en series a la 
determination des fonctions eutieres, qui s approchent le plus de zero, et 
nous avons traite dans un memoire special sous le titre: Sur les ques 
tions de minima qui se rattachent a la representation approximative des 
fonctions**} la determination des fouctions entieres et fractionnaires, rem- 
plissant cette condition. 

Cela suffit pour trouver les solutions approximatives ; mais pour la 
resolution exacte il faut appliquer la meime analyse aux fonctions irration- 
nelles, qui se presentent dans ce cas. 

L application aux fonctions irrationuelles du theoreme general que 
nous avons demontre dans le second des memoires cites a 1 egard des expres 
sions, qui se rapprochent le plus de zero, est interessante sous plusieurs 
rapports, et comme un des resultats de telle application nous allons montrer 
la construction d un meeanisme remarquable tant par sa simplicite que par 
la precision, avec laquelle il realise le mouvement rectiligue. 

Ce meeanisme est compose des memes elements articules de la meme 
fagon que le parallelogramme reduit de Watt; il ne differe de celui-ci que 
par les directions des leviers, qui tourueut autour des axes fixes: ils sont 
diriges du meme cote et se croiseut. 

On prend les leviers de la m6me longueur et le point, qui execute le 
mouvement desire, setrouve au milieu de labielle, c est-a-dire, del element 
relie aux extremites des leviers par les charnieres. 



*) T. I, p. 111143. 

**) T. I, p. 273-378. 

4* 



52 

En appliquant le theoreme mentionne plus haut a la fonction, qui de 
termine le mouvement de ce point, nous trouvons, que son mouvement s ap- 
proche le plus possible du mouvement rectiligne dans 1 etendue plus ou 
moins considerable sous les conditions suivantes: 

1) La distance des axes de rotation des leviers doit etre igale au tiers 
de la longueur de tous les trois elements du mecanisme, c est-a-dire, de deux 
leviers et de la Uelle. 

2) La longueur de la bielle doit depasser le quart de celle des leviers. 
A mesure que diminue 1 etendue, ou Ton desire r6aliser le mouvement 

approche du mouvement rectiligne, la longueur de la bielle doit de plus en 
plus s approcher du quart de celle des leviers et en meme temps avec une 
plus grande precision on obtient le mouvement rectiligne. 
La longueur de la bielle est determinee par 1 equation: 

/2 (5 2a) (2a -t- 1) (4a 1) 

(a -4- 2) 2 

ou Ton designe par a la longueur de la bielle et par I celle de la corde de 
1 arc, qu on cherche de rendre s ecartant le moins possible d une ligue 
droite. (On prend pour I unit6 la longueur des leviers). 

II est facile de se convaincre que cet arc sera compris tout entier 
eutre deux paralleles dont la distance aux axes de rotation des leviers est 
e"gale respectivement a 



i.(l_a)(2n-o), y (1-fl) (2-na)-H ^=^. 



Soit en effet GAAf}^ (fig. 1) le mecanisme considere, ou AC=lj 




-4^=1 sont deux leviers, qui tournent autour des axes Cet Q, AA l =a 
la bielle, dont le point milieu M execute le mouvement desire. 



53 

D apres ce que nous avons dit, la distance CC l des axes de rotation 
des leviers AC et A^\ doit e"tre egale a 

AC-t-A i C l -i-AA l __ 2-4-a 
~~3~ 3 * 

En elevant du milieu de GG l la perpendiculaire OH et prolongeant les 
droites CG l et AA l jusqu a leur rencontre au point F, et considerant le 
triangle MXV, le rectangle MXOY et les triangles AGV et A&V, nous 
obtiendrons pour la determination des distances du point M aux droites GV 
et OH les equations suivantes: 



MY=OX=OVMVco$ OVM- 

AC 2 =(MVAM}*-4-(OV-+-OC} 2 2 (MY AM] (OV-+-OC] cos OVM; 

OC l Y2 (MV-t-A,M) (OVOCJcosOVM. 



. OVM 
sin r = 8 



En posant 



et observant que, d apres ce qui a ete dit plus haut, 

AG=l, A 1 C 1 = 1 9 

A ~M AA \ ^L 
xL^J,u. ^ ~ 2 



r\n _ _ nr> . _ i _ 
t/ u i - "2" 

nous trouvons des equations ci-dessus: 



\ /i-*-2 



3 (2 -H a) a 



41 o) 2 






3 (2 -t- a) a 

En determinant d apres la formule (1) les valeurs des differences 



et 

1 (1 -a) 



54 
on trouve, qu elles se represented respectivement sous la forme: 



* s 



3 (2 -4- a) a 



6 (2 -i- a) a 



4a - 



3 (2 -H a) a 



S 2 



par suite le produit 

[JKX_1 (1 -a) (2 + a)] [jZi (1 -a) (2 - a ) 
est egal a 



a v 2 


4a - l \(s* 


(4a-l)(l-f~2a)\ H 


3a )( S 


6 (2 -4- a) a j 




(l-+-2a 


.02 


3 (2 -+- a) 


a _ 



4a 

(2~^)a/- 



Puisque le carre 



8a 



6 (2 + a) a 






(1 -4- 2a) 2 g2 
3 (2 -4- a) a 

pour toutes les valeurs reelles de S est positif et le facteur 



pour /S 2 < . 2 ^_ q)a est negatif, le produit 



a)(2-*-a)] [JHX-|(1 a)(2-t-a). 



(4a 1)3 -| 
12 (2 -4- a) 2 ] 



reste negatif lorsque S 2 varie depuis jusqu a *^_ J" a ; d ou il resulte que 
les facteurs 

JtfX--i(l-a)(2-H), . 

JKX 1 - y (1 a) (2 -+- a) 12(2 _,.,)* 
doivent etre de signes contraires; par consequent la valeur de 

MX 2 



55 
doit etre comprise entre les quantites: 



y(l ) (2 -na), 

4 n \ O \ (4a I) 3 

T^ 1 ~12(2n-a)2 



On voit de la que la distance du point M a la droite CC l depuis 

An __ 1 

= jusqu a S* = _^_ . q sera comprise entre les limites 



) (2 -i-a), 



par suite le point M ne sortira pas de 1 espace limite par les droites paral- 
leles a CG l , dont les distances a CG l sont egales a 



) (2 H- a), 



/i \ /n \ ( 4a ~ L ) 3 

-(1 a) ff-Ha)-*-^^,. 

D ailleurs d apres la forme du mecanisme considere le mouvement du 
point M est le rneme de part et d autre de la droite OH] c est pourquoi 
Fare de la courbe decrite par ce point, lorsque S 2 croit depuis jusqu a 

= Y~ , sera dispose de la meme maniere de part et d autre de la droite 



OH et la corde soutendaut cet arc est egale a la double distance de ses 
extremites a OH. 

Cette distance d apres la formule (2), ou Ton pose 

2 _ 4a 1 



(2 -*- a) a 

peut etre represented sous la forme 



ii/l V I/ (5 2) (1 -+- 2o) (4a 1) . 

~ r 4 (2 -H a) 2 

par suite 

, r, ^ /(5 2a) (1 -+-2a)(4a 1) 

~*Y 4 (2 -+- a)* 

d ou, elevaut au carre, on obtient 

, (5 2u) (ln-2a) (4a 1) 

*" ~ (2 + a) 



56 

Ainsi nous nous assurons que pour la valeur de I, satisfaisant a cette 
equation, 1 arc soutendu par la corde I, dont le milieu se trouve sur la 
droite OH, est rSellement compris tout entier entre deux droites paralleles 
indiquees plus haut. 

Toutes les fois lorsque la quantite a differe peu de -j, la distance de 
ces paralleles est petite et par consequent 1 arc que nous considerons 
s ecarte peu d une ligne droite. 

Mais a mesure que a s eloigne de -j, la distance des paralleles aug- 

mente et la courbure de 1 arc devient de plus en plus grande. 

Pour une valeur de a plus grande que 0,546 *) (ce qui correspond a 
/> 1,222) ces hearts sont si considerables que 1 arc se courbe a ses extre 
mites vers la droite OH, en vertu de quoi les points de cet arc les plus 
eloignes de la droite OH ne se trouvent plus a ses extremites, mais a cer- 
taine distance d elles. 

Pour faire voir avec quel degre de precision le mecanisme traite rea 
lise le mouvement approche du mouvement rectiligne dans 1 etendue assez 
considerable, nous appliquons les formules obtenues au cas 

2 = 0,64, 

ce qui a lieu dans le parallelogramme de "Watt, dont le fonctionnement a 
et6 examine parP rony, qui 1 a trouve bien satisfaisant. (Annaks des mines. 
Tome XII). 

En resolvant liquation 

/a (5 2o) (1 + 2a) (4a 1) 

(2 H- a) 2 

ou Ton fait 1 = 0,64, on trouve 

a= 0,327. 

Substituons cette valeur de a dans les expressions, qui determinent 
les distances des paralleles aux axes de rotation des leviers: 



(1- a) (2 -!-), 



27 
*) C est une ratine de 1 equation (a 2 6a -+- 2) (2a 5) (2a -4- 1) (4a 1) = 0, 

qu on obtient, en egalant a zero la derivee de MY 2 par rapport a S et posant S 2 = a ~ . 

(2-t-a)a 



on trouve alors que ces distances sont e"gales respectivemeut a 

0,83428, 
et a 

0,83457. 

Done la distance des paralleles est egale a 

0,83457 0,83428 = 0,00029. 

D apres les calculs de Prony le parallel ogramme de Watt dans la 
machine a vapeur, ou le bras du balancier 6tait de 2,515 m de longueur, 
donnait les deviations, qui atteignaient 0,002 m ou 0,00079, si Ton prend 
pour 1 unite la longueur du bras du balancier. 

Tandis que lorsqu ou se sert du mecanisme que nous avons examine 
les ecarts ne surpasseront pas, comme nous venons de trouver, 0,00029, ce 
qui fait moins que la moitie du nombre 0,00079. 

Notons en dernier lieu que la construction connue, qui sert a passer 
du parallelogramme reduit de Watt au parallelogramme complet, s applique 
sans aucun changement au mecanisme que nous avons considere ; de cette 
maniere on obtient le parallelogramme complet de Watt ayant un tige- 
guide, qui est dirige en sens contraire et coupe le balancier. 

Le parallelogramme de cette espece est represents sur la figure 2, ou 
le point M decrira la courbe, qui, comme on voit de ce qui precede, s e"car- 

<t>nr. 2. 




A 



tera moins de la droite verticale, que celle qu on obtient dans le cas de la 
disposition ordinaire du tige-guide A,, G,, . 

Mais quand la forme du parallelogramme de Watt est modifiee de la 
maniere indiquee, la courbe decrite par le point M, comme on voit de la 
figure, fait avec le balancier AC un angle trop aigu, ce qui pre"sente un 
inconvenient tres important. 



4 ; v 

SUR LES FONCTIONS ANALOGUES 

\ 

AHK^TTWQ TftW T^rf 
uJwJuJuJQxD jJJw JUJwviJ 

(TKADUXT PAK A. V. YASSXLXKDe.) 



nodo6uuoov> chun^ijiM^ c/leckandpa. 



HMnepaiopCKoft AKaaeuia; HayKt, T. XVI, 1870 r., cip. 131 140.) 



Bur les fonetions analogues a eelles de Le 

gendre, 



La propriete remarquable des fonetions de Legendre 

^OJ -^1> ^2) 1 

qui conduit facilement au developpement en serie de la forme 



se deduit, comme on sait, d une maniere tres simple de 1 expression de 

1 integrate 

i 

dx*). 



1 2sx -+- 52 i _ 2te -H 

1 



En effet on a, d apres la definition de ces fonetions, 



. 

1/1 



done I int^grale 



J V 1 2sx -+- s 2 Y 1 2t 



2tx -+- t z 
1 

est 6gale a 1 integrate 



dx 



J 



h-. . . .) dx, 
1 



*) Legendre, Exercices de calcul integral, T. II, p. 250. 



62 

la quelle se ramene, si Ton ouvre les parentheses, a la somme suivante du 
nombre infini des termes: 



1 



Mais en determinant la valeur de cette integrale sous forme finie, nous 
trouvons qu elle s exprime par la formule 

i , i -f- y~st 

log -=, 

y st i Ysr 

qui se developpe en serie procedant suivant les puissances du produit st] 
par consequent, dans le developpement de cette integrale il n existe pas des 
termes de la forme 

As n t m , 

ou n est inegal a m. 

En comparant entre elles ces deux expressions de la m&ne integrale 



I 



V 1 2sx -*- s 2 V l 
1 



nous remarquons que leur identite suppose 1 egalite 



1 



pour toutes les valeurs de n et de m inegales entre elles. 
De la meme maniere 1 integrale plus generale 



ou 



T-T/ , _ (l -t- s -4- y 1 2sx -+- s 2 )^ (l s -+- y 1 2sx H- s 2 ) 
Ju (S, X ) - - 

Vl 



ft ^ _ (l -*- * -- V 1 2te -- < 2 ) X (l < -H V 1 2te H- i 2 )^ 

It, 3;) - - - , 



se ramenant a 1 integrale 

r 1 

(K 2^^1(1 - 

J /A (1 _^ (1 _ 



63 

qui se developpe en serie procedant suivant les puissances du produit st, 
montre que les fonctions entieres de la variable x 

T T T 

*0 "Ml 2> j 

qui s obtiennent par le developpement des expressions 

(l -H s -+ VT^2sx -+- s 2 ) X (l s -+- V 1 2q; -+- g 2 ) 1 * 



V 1 2sx -*- 

(i -+- 1 -*- y i 



y i 

en series 



verifient 1 equation 



pour toutes les valeurs de n et de m iuegales entre elles. 

Quant a la reduction de 1 iutegrale (1) a la forme (2), elle s effectue 
facilement si Ton fait disparaitre de la fagon usitee les radicaux contenus 
dans les fonctions F(s,x), F(t,x). 

En eifet, en posant 

(4) V~- 

nous trouvons que 



et 



]/ 1 - - 2te -t- t* = y l -+- 1* - 



2 tf. 



En faisaut le dernier radical egal a 1 expression 
et en posant 

nous obtenous 

et 

(7) 



64 
En portant la valeur de y dans les expressions (4), (5) du radical 



Vl 2 sx -+- s 2 et de la variable #, nous avons 

y \-zsx -+- s * 



1-4-s 2 / 3 a 
X= 7: 

2s 



Cette derniere egalite, d apres (6), peut e~tre ecrite plus succinctement 
ainsi : 



D apres ces valeurs de la variable x et des radicaux 



V 1 2sx -+- s 2 , V 1 2 
nous trouvons que 

dx (t*-*) 2 -" 4 du (&-- 



\ 2 ~1 

)J 



_ [4 (a -Hi) u 2 (P a u 2 



_ [(& a M 2 ) 2 4 (q 1) M 2 ]t* 

_ (& a M 2 2 VH. 1 M)^ (fi a it 2 -t- 2 yoT^l u)^ 



2 
S 



r- i o iX pi o ~i 

2 =- M -i- p a u z \ 2 =- M -+- 3 a w 2 
L V2s J L V2s J 



2 M^-H i (3 a 



F(t, x) = 



"2 r i -*- < i^ri * 

O , / i ft __ ^ i 7/2| 12 - U I ft -.- -T ot 

L y"2 J L y~2t 



2 2 



65 
Mais en remarquaut que d apres (6) 



~ 1-+-S ^/ 1 S 

a -+- 1= 71T V " 1== 71f 






(8) 



nous pouvons ecrire les dernieres expressions de F(s, #), .F(Y, x) plus 
succinctement aiusi: 



X+jJL-l 

2 



r , - -iX i- 

2y<x-i-lM-*-f5 a M 2 2 V a 1 



M-H p a 



< |2 y 





1 u -i- 3 a 



(3 _ a 2 
T 2 i/ p Zr 



2 z-t-H i (3 a 

En multipliant ces quantites 

^ (s, x), F (t, x), dx 
et en divisant leur produit par les quautites 



nous trouvons apres la reduction des facteurs communs du numerateur et 
du denominateur que la differentielle 



F(s,x).F(t,x) 



, 




s exprime ainsi: 



-4-2/aH-l?* p H- a/ \ M 2 21/a Iw-t-p a/ M " 

Mais, en decomposant le numerateur et le denominateur des fractions 



1 u-t-fi a 



M 2 -+- 2 1/a-t- 1 tt p -4- a U* 2 Va 1 -4- |i a 

en facteurs lineaires, nous remarquons que la premiere, apres la reduction 
par 

u -*- Vp-Hl" -f- Va-t-1, 
se ramene a 



l/a-t-l 



66 
et la seconde, apres la reduction par 



u 

se ramene a 



u-t-V 3 1 V a. l o 
V~$^\ V a 1 u 

en vertu de quoi 1 expression de la differentielle 

F(s,x).F(t,x) , 
U 



se ramene a la suivante qui est la plus simple: 



rt X-*-w / j\ 2 /-4-l/(i-4-l y a-i-l\ /M-*-V |i 1 y a 1\^ (Zw 
(St) :== , , . . 

\ w _ I/ (} __ 1 _4- 1/ a H_ I/ \-j/3_i_-/ a _i_ w / M 

Pour trouver les limites de la quantite w, correspondant aux limites 
de 1 integrale 



I 



-*-i 

F(s,x.F(t t x) 



nous remarquons que d apres (1), (4) et (6) la quantite u s exprime par x 
ainsi: 



u = # a a? 



d ou, en prenant aj = 1 et aj = -*- 1, nous trouvons que la valeur de u 
correspondant a x = 1 , est 



et celle qui correspond a re = -+- 1 est 



D apres cela, 1 integrale 

.-t-i 

?(s,x).F(t,x) -. 

Tk / MI UJU 



1 

s exprime ainsi: 



i 



w-t-y 3 1 V a 



67 

Cette integrate, comme il n est pas difficile de remarquer, se simplifie 

considerablement par I introduction de la variable v = , 

yp-*-i 

En faisant cette substitution et en remarquant qu aux valeurs 



1 Va 
correspondent 



nous trouvons que cette integrate se ramene a la forme suivaute 

/ 

(9) 

i 
ou 



p i y a 



" ~ y PH-I y "oHhl 
quantite qui d apres (8) s exprime au moyen de s et de t par la formule 



i t i-s 



__ VIM VlTs _ _ (1 t) V~2s (1 s) V~2t 

l -* t i -* -- 



_ 

V2s 

En r^duisant la derniere fraction par 



nous trouvons 



On voit ainsi que 1 integrale (9), a laquelle se reduit 1 integrale (1), 
est une fonction du produit st. Pour obtenir cette integrate sous une forme 
plus simple, nous posons 



ce qui donne 

2 y~si dz 



j 

av = 



2 

(1 Vstzf 
dv ~ 



v-+- 1 1 v-+- Y 1 stz 

e} 

5* 



68 

En portant ces valeurs dans 1 expression de l inte"grale (9) et en re 
marquant que d apres (10) aux valeurs de v 



, T/(i 1 I/a 1 

,= !, v = T = . ? = r _ 7 ==, 

correspondent 

z = Q, z=\, 

nous trouvons que 1 integrale considered se ramene a 1 integrale suivante: 

-i 

2 X-Hfx-t-i (1 

J ^ (1 - *)l* (1 



ce qu il fallait montrer. 



SUR LA DETERMINATION DES FONCT10NS 

D IPRKS MS VAUS0BS 
QU ELLBS OUT POUR CERTAINES VAL.EURS DE VARIABLES. 

* 

(TKADUXT PAK G. A. POSS33.) 



no 

cur& uMTSwrnv npu wn&omcpuoc S, 



iS C6opHHK-B. T. IV, 1870 r., cip. 231245.) 



Sur la determination des fonetions d apres les 
valeurs qu elles ont pour eertaines valeurs de 

variables. 



1. La formula de Lag range donne 1 expression d une fonction u 
d apres n de ses valeurs 

W 17 M 8 , ---- , M fl , 

qui correspondent a n valeurs differentes de la variable 



dans le cas ou u repre"sente im polyuome dont le degre n est pas superieur 
a n 1. 

Cauchy a donue une forinule pour la determination de la fonction u 
clans le cas ou elle represente une fraction 

N 
~D~> 

D etant un polynome dont le degre ne surpasse pas une limite donnSe X et 
N un polynome dout le degre n est pas superieur a n X 1 . 

En passant aux fonetions irrationnelles, nous remarquons que la plus 
simple parmi elles repr6seute la raciue de 1 equation du second degre 

w 2 -f-Lw JM"=0, 

L et M d6signant des polynomes de degres les plus petits possibles. 
Nous aliens montrer que ce dernier cas, ainsi que le cas de 

N 
U = -D 

peut etre traite" au moyen du developpement en fraction continue d une 
meme expression avec la seule difference que dans le cas de 

N 
D 



72 

la question se resout a 1 aide de 1 application ordinaire des fractions conti 
nues, tandis que le cas de 

demande 1 application speciale dont nous avons parle dans la lettre a M. le 
professeur Braschmann *). 

2. En abordant la determination d une fonction u de la forme 

N 
U ~ ~D~ 

d apres ses n valeurs 

11, 11 u 

"i > ** w/ n ? 

correspondant a n valeurs differentes de la variable 

nous remarquons que les equations qui determinent les polynomes N et D 
s obtiennent en egalant a zero la difference 

uD N 
pour 

/y - /> /y* /y 

*,, ^5 * n - 

La difference 

uD N 

peut 6tre remplac^e dans ce calcul par la difference 



ou U designe un polynome entier de degre n 1 ayant pour x = 
x 2 , .... x n des valeurs egales a celles de la fonction cherchee w, polynome 
qui, d apres la formule de Lagrange, se represente par 1 expression 

77 _ ffi ,V| f t ^2 . , u n "] 

/; L<* - *!) 9 (^) "*"(- a,) 9 (* 2 ) (* - *n) ? WCJ 

OU 



(1) cp(aj) = (a; ^) (a; rr 2 ) 

L annulation de la difference 



pour n valeurs differentes de la variable 

= x i > ^2 * J ^n 

constitue la condition necessaire et suffisante pour la divisibility de cette 
difference par 



*) T. I, p. 611-614. 



73 

d ou il suit 1 egalite suivante: 

(2) UD N=y(x) W, 

W etant une fonction entiere. 

Cette equation sera satisfaite par un nombre infini de systemes des 
fonctious D, A T , W et chacun de ces systemes donne une fraction 

N 
qui pour 

se reduit a 

Si Ton restreint le choix des fonctions N et D, comme le fait Cauchy. par 
la condition que le degre de D ne soit pas superieur a X, et celui de N ne 
surpasse pas n X 1, nous remarquons que dans ce cas le degre" de N 

sera plus petit que celui de ^-^ et de ^ , 9(3?) etant, d apres (1), du 
degre n. L equatiou (2), etant divisee par 9(0?) D, domie: 

u w N 



ou, d apres ce qu on a remarque a 1 egard du degre de N, le degre du se- 
membre sera plus 
Done, la fraction 



cond membre sera plus petit que celui de -^ et de ^. 



w 
D 
donnera 1 expression approchee de 

u 



aux termes pres d ordre de 
et de 



La premiere de ces approximations n est possible, comme on le sait, 
que dans le cas ou la fraction 

J7 

D 

est une des re"duites de 1 expression 

u 



?(*) 
qu on obtient en la developpant en fraction continue. La seconde exige que 



74 

w 
dans la serie des reduites successives la fraction -^ soit suivie par une 

fraction dont le denominateur est de degre plus grand que \ par ce que 
1 approximation fournie par une r6duite quelconque se determine par 1 uuite 
divisee par le produit des denomiuateurs de cette reduite et de la suivaute. 
On voit d apres cela que la fraction 

w 

D 

ou, d apres la condition, le degre de D n est pas superieur a X, sera la der- 

niere des reduites de 1 expression 

u 



ayant uu denominateur dont le degre ue surpasse pas X. 
Representant par 



9s-*--.. 

la fraction continue, obtenue par le developpement de 1 expression 

u 



9 (a-) 

et par 



la serie des reduites successives, ou 

f P O = O, p,= i, p 2 = ?a , 



(3) 

et supposant que 

% 

est la deruiere dans la se>ie 

p n p 

f o * i 



ayant un denominateur Q de degre non superieur a X, nous aurons, d apres 
ce qui precede, 



75 
C est ainsi qu on trouve le deuomiuateur D de la fraction cherchee 

j T N_ 

IT 

et la fonction W qui, D etant connu, determine, a 1 aide de liquation (2), 
le numerateur N de la meme fraction. 

3. II est facile de m&ne de montrer que le numerateur N peut etre 
determine immediatenient par le developpement en fraction continue de 

1 expression 

u 

<?(x) 

En effet, d apres nos notations, la fraction continue provenant du de 
veloppement de cette expression est 

i 



#i> # 2 > #35- ^tant les quotients obtenus dans les divisions successives de 
9 (a?) par 7, de 7 par le premier reste, du premier reste par le second etc. 
Or, en d^signaut par 



les restes dans ces divisions, nous remarquons qu ils seront lies entre eux 
et aux fonctions cp (a?), t/, q lt j a , g 3 , . . . . par les equations 



(5) 



Mettant dans la premiere de ces equations la valeur de U tir6e de la 
seconde, nous aurons 



et rempla^ant d apres (3) 



par 



76 

nous trouvous 

? (*) = #, -*-J2^ r 

Or, d apres (3), on a 

P 2 # 2 > PI = 1 > 

nous pouvons done ecrire la seconde des equations (5) ainsi: 

U=S l P 2 -t-R z P l . 
Les egalites 



ou 1 on remplace, d apres (3), Q l et P 1 par 

ft ft? 3 et P 3 P^ 
et, d apres (5), ^ par 

-^3-*- ^2 & > 
donnent 

9 (a?) = (. -H J? 2 ft ) ft H- 7? 2 (ft ft ft), 

*7= (^ 8 n- 5 8 ft) P 2 -*- A (P 3 - P 2 ft), 
ce qui se reduit a 



Remplagant ici, d apres (3) et (5), les fonctions 



par 

ft 

et reduisant, on obtient 



En procedant ainsi nous trouverons en general 



77 
L elimination de E i ^_ l entre ces equations donne 

UQt-1 (*) P t = R, (Q, P,^ - Qi 

et comme, en vertu des proprietes des reduites, on a 

QiP^-Q^Pi = (-i) , 

on reduira l 6galite precedeutc a celle qui suit: 
(7) UQ.-^(x}P i = (~\} i E.. 

En y posant i = p. et remarquant que, d apres (4), 

^ = A P* = W, 

on trouve 



ce qui donne, etant compare avec (2), 
(8) N=( 

On voit de la qu un des restes 



pris avec le signe -+- ou sera 6gal au numerateur N de la fraction 
cherchee 

N 
U = -D 

Comme le sigue avec lequel E est egal a N se determine par le signe 
de ( l)^ il sera -+- ou selon cfue PL est pair ou impair. 

4. Dans la serie des restes 

M l , -fig , -tig ,...., 

qu on obtient dans les divisions successives de 9 (x) par U de U par le 
premier reste, du premier reste par le second etc., il est facile d indiquer 
le reste E qui, d apres (8), donne la valeur du numerateur N de la fraction 
cherchee 



78 



Remarquonspourcelaque, d apres nos notations ( 3), le reste jR cor 
respond au quotient q auquel correspond a son tour dans la fraction continue 

* 



1 



Jt- 
Ia reduite 



dont le deuominateur fournit, d apres (4), lavaleur du denomiuateur D de la 
fraction cherche e. On voit d apres cela que 
division necessaire pour obtenir la reduite 



fraction cherche e. On voit d apres cela que E est le reste dans la derniere 

V" 



y. 

et par consequent, d apres (4), la valeur de D. 

D ailleurs, il est aise de montrer que dans la serie 

E l} E z , EZ,. . . . 

le reste E est le premier dont le degre est infe rieur a n X. 

En effet, comme le degre de R f est plus grand que celui de R i _ t _ l et 
le degre de Q i ^, l plus grand que celui de Q it le degre du produit 

* *+., 

est sup6rieur au degre de 

*. <?... 

En vertu de cela, d apres 1 equation (6), le produit E. Q.^ sera de degre 
egal a celui de 9(2) ou a; n , done le degre del?, sera e"galacelui du quotient 



&-HI 

En posant i = \L et remarquant que, d apres le 2, $ est la pre 
miere fonction dans la serie 



dont le degre est superieur a X, nous concluons que E est le premier dans 



ft, 

upe 
la serie des restes 

dont le degre est moindre que le degre de ^-, c est a dire moindre que n X. 



79 

On voit d apres cela que pour determiner le numerateur et le deuomi- 
nateur de la fraction cherchee 

N 



il faut prolonger les divisions successives de 9 (x) par Z7, de U par le pre 
mier reste, du premier reste par le second etc. jusqu a ce qu on arrive a un 
reste de degre inferieur aw X. Le dernier reste avec le signe -*- ou - 
sera le numerateur JV; quant au deuomiuateur D = Q^, on 1 obtiendra a 
Taide des quotients &, # a ,. . . . <L que donuent ces divisions, au moyen des 
formules (3); le signe avec lequel le dernier reste est egal au numerateur 
N sera -+- ou , selon que p., le nombre de toutes les divisions, sera pair 
ou impair. 

5. Passons maiutenant au cas ou la fonction u represente la ratine 
de 1 equation 



Pour que la fonction u ayant les valeurs 



pour 

satisfasse a 1 equation 



" x \ > 



il faut et il suffit que pour les m^mes valeurs de x on ait 



U etant ( 2) une fonction eutiere de degre n 1 et ayant les mmes va 
leurs que u pour x = x l , x 2 , . . . . x n . Cela se reduit a 1 egalite 

(9) (j 2 -*-LU M=y(x)W, 

oil 

cp (x) = (x xj (x x 2 ] ---- (x x n }, 

et W uue fonction entiere inconuue. Tout systeme de fonctions L et M pour 
lequel cette egalite peut 6tre satisfaite par une fonction entiere W conduit 
a une equation 



a laquelle satisfait une fonction u prenaut les valeurs j , w a , . . . . u n pour 
x = x lt x zt . . . . x n , et le nombre de ces Equations est infini. Ayant en vue 



SO- 
les Equations les plus simples, nous aliens chercher celle dans laquelle le 
degre de L ne surpasse pas une limite donnee X, M etant en meme temps 
du degre le plus petit possible. 

L equation (9) se reduit aisement a la forme 

00) 



9 FJ 

qui fait voir que la difference 



represente la valeur de 

V 2 



aux termes pres d ordre de la fraction 

M 



et, par consequent, pour que M soit, conformement a ce qui precede, de 
degre le plus petit possible, il faut que la difference 

L JL. . . W 

9(*) 

represente le plus pres possible la valeur de 



Or, la determination des polynomes L et W sous cette condition est 
justement 1 objet de cette application speciale des fractions continues dont 
il s agissait dans la lettre mentionnee ci-dessus. En appliquant au cas actuel 
la formule y etablie pour la determination du polynome X, nous trouvons 
que le polynome L se determine par la serie suivante 



ou 

U 2 



v = 

9 (X) 

et 

9.1 ? ffl *. Vo 5 Vl >, 

ont le meme sens que dans les paragraphes precedents. 



81 

Cette s6rie arr6tee au dernier des termes dont le degre ne surpasse 
pas X, donnera le polynome cherche" L. Supposant que ce terme soit 



et designant pour abreger une expression de la forme 

a C^i 4) ^ ft 

par 

nous aurons d apres ce qui precede 



Quant a la fonction W, la formule de la lettre mentionnee qui determine le 
polynome Y, donnera d apres nos notations, pour 1 expression de W la for 
mule suivante: 



Pour determiner le polynome M mettons dans 1 equation (10) les 
expressions trouvees des polynomes L et PF, ainsi que le d^veloppement de 

la fonction 

U* 

V = -- T-. 

<p(x) 
en serie proce dant suivant les valeurs 



9 (*) 9 (x) 

qui donue 



-^^^^"o (^ C.-P.), (^ ft-P, 



On en tire, en multipliant par 9 (x) et reduisant, 1 expression suivante du 
polynome M : 



Or, remarquaut que d apres (7) 



nous trouvons que 1 expression du polynome M se reduit a celle-ci 



82 

C est ainsi qu on determine les polynomes L et M conduisant aux equations 
les plus simples de la forme 



auxquelles pent satisfaire une fonction u qui prend les valeurs 



pour 

x = x l , x 2 , . . . . x n . 



(Dedie a 1 Ecole Imperiale technique.) 
(TKADOUXT PAIR G. X. SOUSLOF.) 



BToparo ctisAa pyccKHxt ecTecTBOHcnHTaTeflefl BI> MOCKED, 
ci> 20-ro no 80- e aBrycia 1869 ro^a. 1870 r. OTA I "JI B TexnojioriH H UpaKTHiecKoa 

KH. Cip. 9 80. 



Sur les parallelogrammes. 

(Dedie a rEcole"Imperiale technique). 



1. Jusqu a present on n emploie en pratique que trois parallelo 
grammes differents: les deux parallelogrammes de Watt, reduit et complet, 
et le parallelogramme connu sous le nom du me"canisme d Evans. Mais il est 
possible de composer beaucoup de mScanismes semblables qui fournis- 
sent le mouvement plus ou moins approchant du mouvement rectiligne. 
Dans les seances de 1 Academie Imperiale des sciences de St.-Petersbourg 
(18 oct. 1861, 8 oct. 1868) et de la Societe mathematique de Moscou 
(18 nov. 1867) nous avons parle de la construction des parallelogrammes 
qui par leur precision surpassent tous ceux qu on emploie aujourd hui. 
Maintenant nous montrerons, comment on peut construire differents paral 
lelogrammes qui produiseut le mouvement rectiligne avec 1 approximation 
aussi grande que 1 on voudra. Nous allons voir qu avec le mme nombre 
d organes que celui du parallelogramme complet de Watt il est possible de 
construire un parallelogramme qui fournit le mouvement rectiligne exact 
jusqu au 13-edegr6, tandis que les parallelogrammes de Watt et le meca- 
nisme d Evans ne produisent ce mouvement qu avec 1 exactitude qui ne va 
que jusqu au 5-e degre; quant aux parallelogrammes, proposes par nous, leur 
degrS d exactitude balance entre 6 et 8. Un tet parallelogramme, comme on 
va voir, prSsente d ailleurs cet avantage que, tout en conservant dans son 
jeu la precision encore suffisante pour la pratique, il peut remplacer par ses 
organes la bielle et la manivelle pour exe"cuter la transformation du mouve 
ment rectiligne alternatif en mouvement rotatoire continu. En parlant de 
differents parallelogrammes nous ne considererons que les mouvements infi- 
niment petits, pour lesquels le degre de precision des parallelogrammes 
peut 6tre defini avec une facilite particuliere; pour passer des mouvements 
infiniment petits aux mouvements finis 11 faudra faire quelques changements 



86 

dans les dimensions des organes. Ces chaugements seront en general peu 
sensibles, si les limites pour le mouvement du parallelogramme sont assez 
rapprochees; alors on pent evaluer ces cbangements a 1 aide de series par la 
me"thode que nous avons exposee dans le memoire: Theorie des mecanismes 
connus sous le nom de parallelogrammes *). Mais pour le dernier des cas men- 
tionnes, quand le parallelogramme remplace par ses organes la bielle et la 
manivelle, on aura besoin d un precede tout a fait particulier parceque dans 
ce cas qui s ecarte trop de celui des mouvements infiniment petits 1 emploi 
de series n est pas efficace. Nous examinerons ce cas particulierement et 
nous donuerons tgutes les formules qui s y rapportent/; 

2. Les mecanismes connus sous le nom de parallelogrammes peuvent 
etre consid6res generalement comme des systemes de droites qui se meu- 
vent dans un plan et qui sont liees entre elles a 1 aide des charnieres; ces 
dernieres empechent aux points d intersection des droites de glisser sur 
celles-ci, mais elles permettent aux angles faits par ces droites de varier. 
iVailleurs quelques uiies des charnieres sont invariablement lie"es a certains 
points du plan de mauiere que les droites correspondantes ne peuvent que 
pivoter sur ces points fixes. En desiguant par m le uombre des droites dont 
le parallelogramme est compose, par n le nombre des joints liant deux droites 
entre elles et par v celui des pivots fixes, on apergoit que la position sur le 
plan de chacune des m droites du systeme consider^ est de"fini par trois 
grandeurs (par exemple, on peut prendre pour ces grandeurs les deux coor- 
donnees d un bout de la droite avec sou inclinaison sur 1 axe des abscisses). 
De 1 autre cote chacune des n charnieres, unissant les deux droites, et 
chacun des v pivots fixes au plan fournissent deux Equations entre les gran 
deurs qui defiuissent la position du systeme considere (savoir: 1 accouplement 
de deux droites par uue charniere suppose 1 egalite des coordonnees de deux 
points appartenants a ces deux droites; le pivotement d une droite sur un 
point fixe du plan suppose que les coordonnees de ce point sont connues). 
On voit ainsi que la position de tous les points du systeme se definira par 
3m grandeurs, liees entre elles par 2 (n-+-v) equations et par consequent le 
nombre des variables independantes s exprimera par la difference 

3m 2 (w -+- v). 

Mais ce nombre doit 6tre egal a 1 unite pour que les points du systeme 
conside re ne puissent se mouvoir que sur les trajectoires determinees, 
comme cela doit avoir lieu pour les parallelogrammes; done 

(1) 3w 2(n-t-v)=l. 



*) T. I, pag. Ill 143. 



87 

De 1 autre cote on apergoit: 1) que le systeme consider^ nedoit pas se 
mouvoir librement dans un plan et 2) que toutes les droites qui appartien- 
nent au systeme doivent 6tre liees entre elles. 

Le premier point suppose uecessairement 1 existence des pivots fixes; 
par consequent, v > 0. 

Le second point suppose que w, le nombre des charnieres, est plus 
grand que m 2, parce que m 2 joints ne suffisent pas evidemment pour 
Her une a une toutes les droites du systeine. Mais de 1 equation (1), pour 
n>m 2, on trouve 



On voit ainsi que v, le nombre des charnieres, doit satisfaire aux ine- 
galites suivantes: 

fn\ ^ f\ ^ m-t-S 

(2) v>0, ^< 3 . 

3. En prenant dans 1 equation 3m 2 (w-f- v) = l les nombres m 
et n +- v pour des inconnus et en la re"solvant, on trouve pour m et n-+-v 
les valeurs suivantes: 

m = 1, n-t-v = l; m = 3, w-i-t;==4; m = 5, n -+-v = 7, HT. %. 
En considerant les premieres valeurs de m et de n -t- v : 

m= 1, n-t-v = l, 
on aperc,oit que d apres (2) pour m = 1 il faut avoir 

v>0, v<,^-~ = 2, 

ce qui suppose que v= 1. Done en ce cas le paralle"logramme degenere en 
une droite pivotant sur un de ses points. Ainsi on trouve le mouvement 
circulaire qui ne peut remplacer le mouvement rectiligne qu avec 1 approxi- 
mation du second degre". En passant aux valeurs suivantes de m et de 
n -+- v, on a 

m = 3, w-+- v 4. 

D apres (2) pour m = 3 on trouve 



cela suppose que v a une des valeurs suivantes: 



v= 1, = 2. 



88 

Mais d apres 1 equation: 

w-i-fl = 4, 

a ces valeurs de v correspondent les valeurs suivantes de w: 

w = 3, n=2. 

Done pour m = 3 on aura 

v= 1, n = 3, 
ou v= 2, n= 2. 

Dans le premier cas le systeme considere consiste en une droite qui 
pivote autour d un de ses points et qui est articulee avec deux autres droites 
a 1 aide de trois joints ou, ce qui revient au meme, le systeme n est qu un 
triangle qui tourne autour d un point fixe, situ6 sur un de ses cote s. Ainsi 
tous les points ne peuvent se mouvoir que sur les cercles et par consequent 
ne peuvent fournir le mouvement rectiligne qu avec 1 approximation du 
2-e degre*. 

Dans le second cas, quand 



le systeme considere consiste en deux droites qui pivotent sur deux points 
fixes et qui sont articulees avec la troisieme par deux joints. C est le plus 
simple systeme des parallelogrammes qui peuvent produire le mouvement 
rectiligne avec 1 exactitude plus grande que celle du 2-e degre"; savoir: le 
parallelogramme reduit de Watt, le mecanisme a" Evans et le parallelogramme 
que nous avons propose 1 annee passSe. Les deux premiers parallelogrammes 
fournissent le mouvement rectiligne exact jusqu au 5-e degr6; le dernier 
jusqu au 6-e degr6. 

Dans le troisieme groupe des valeurs pour m et n -t- v on a 

m = 5, w-t-t; = 7, 
et d apres (2) pour m = 5 on trouve 



D ou il est clair que v, le nombre des pivots fixes, ne peut avoir que 
les valeurs suivantes: 



Mais d apres 1 equation 



89 



on trouve qu a ces valenrs de v correspondent les valeurs snivantes de la 
quantity w: 

Les premieres valeurs de v et de n 

v= 1, w = 6 

correspondent au cas, lorsque les 5 droites sont liees par 6 charnieres et 
tournent autour d un point fixe, situe sur 1 une d elles. Ainsi ces droites 
represented un systeme invariable et tous leurs points ne peuvent decrire 
que des cercles. 
Pour 

v = 2, n = 5 

on trouve des parallelogrammes qui consistent en deux droites, qui pivotent 
sur des points fixes et sont articulees avec les trois autres droites a 1 aide 
de 5 joints; ainsi sont construits le parallelogramme de Watt et le paralle 
logramme que nous avons propose sous le nom du parallelogramme modifie 
deWatt*). Le premier de ces parallelogrammes fournit le mouvement recti 
ligne exact jusqu au 5-e degr6, le second jusqu au 7-e degre". 

En conservant la meme combinaison des pieces comme celle du paral 
lelogramme de Watt, mais en leur don- 
nant une autre direction on trouve le pa 
rallelogramme que nous avons mentionne 
a la fin de notre memoire portant le titre 
Sur un mecanisme **). Si Ton donne aux 
organes dudit parallelogramme des dimen 
sions convenables, il fournira le mouve 
ment rectiligne exact jusqu au 6-e degre". 
Si Ton combine les organes de la m&ne 
mauiere comme dans le parallelogramme 
modifie de Watt, mais en changeant leur 
direction, on trouve le parallelogramme 
represente sur la fig. 1. Ce parallelo 
gramme, comme il n est pas difficile de 
le montrer, peut produire le mouvement 
rectiligne exact jusqu au 6-e degre"; pour 
cela les dimensions de ses organes doivent 
etre evaluees de la maniere suivante. 

Si Ton preud pour unite des longueurs celle de la droite BG pivotaut 

*) T. I, pag. 533 538. 
**)T. II, pag. 51 57. 



Fig. 1. 




90 



sur le point G et si Ton pose GF=f, BF h (la longueur de ces droites 
est arbitraire), on trouve pour toutes les autres parties du parallelogramme 
et pour le point A, situe sur la droit e AF et executant le mouvement desire, 

les formules suivantes: 

(i -/)/*. 



- 1 f_ / 

*- - ,/ . - Jl , ; . - v , , , - 

== i _y_y-2 *J 

j 75 I"/-/ 2 L 
* /(1~/) * 

On choisit la position du point C , pivot de la droite C E, de telle 
maniere que dans ,la position moyenne du parallelogramme la droite DE 
se confonde avec la droite CD et le pentagone EDBFG degeuere en un 
rectangle. 

1 ; >"". "i I 

4. Passons maintenant aux dernieres valeurs de v et de w, possibles 
pour 

m = 5. 
Ces valeurs sont 

v = 3 ; n = 4, 

elles donnent, comme on va voir, des parallel ogrammes particulierement 
remarquables par la precision de leur jeu. Comme v=3, il y a dans ces 
parallelogrammes trois droites pivotant sur des points fixes; toutes ces droi 
tes doivent 6tre liees entre elles a Taide de deux autres droites; done ce 
n est possible que dans le cas ou du moins 1 une des deux droites qui unis- 
sent les autres est immediatement articulee avec deux droites pivotant sur 
les points fixes; ces deux droites qui pivotent sur les points fixes et la droite 
qui les unit nous d6signerons pour plus de brievete par 1 expression: la 
premiere partie du parallelogramme; quant aux autres droites, celle qui 
tourne autour d un point fixe et celle qui unit cette derniere avec la pre 
miere partie, elles seront desiguees par 1 expression: la seconde partie du 
parallelogramme. 

Le parallelogramme dont nous avons parle dans la seance de la societe 
matliematique de Moscou le 18 novembre 1867 appartient a la categoric 
des parallelogrammes mentionnes. Sa premiere partie est le parallelogramme 
reduit de "Watt; sa seconde partie est ainsi construite que dans la position 
moyeune du parallelogramme les trois droites qui pivotent sur les points fixes 
deviennent paralleles entre elles, tandis que les deux droites qui les unis- 



91 

sent se confondent en une seule, perpendiculaire aux premieres. Ce paralle- 
logramme (fig. 2), coinme on peut le montrer par des calculs, fournit le 
mouvement rectiligne exact jusqu au 8-e degre, si dans les dimensions de ses 
organes sont remplies les conditions 
suivantes : 

1 ) Toutes les trois droites BO, 
C Dj (J"E qui pivOteut sur les points 
fixes Gy @v <! dolvent etre egales. 

2) Les distances du point J, 
executant le mouvSment desir6 aux 
bouts F, E du segment FE doivent 
avoir des grandeurs suivantes : 




4FD 



4FD 

5. On peut construire beaucoup de parallelogrammes de la dite 
categoric en variant 1 aspect de la premiere partie et en donnant aux 
droites de la seconde partie des directions differentes. Pour que les pa 
rallelogrammes ainsi construits produisent le mouvement rectiligne avec la 
precision desiree, il faut que leurs organes satisfasseut aux certaiues Equa 
tions qu on trouve facilement pour chaque cas particulier. Mais ces equa 
tions sont assez compliquees- et leur nombre augmente avec le degre de 
precision du parallelogramme; c eet pourquoi Ja resolution de ces equations 
prSsente d insurmontables difficultes, quaud on veut obtenir des parallelo 
grammes qui se distinguent par la precision particuliere de leur jeu. Cette 
difficulte dans la construction des parallelogrammes disparait, si dans la 
seconde partie du parallelogramme la droite qui pivote sur un point fixe et 
la droite qui unit celle-ci avec le reste du parallelogramme satisfont aux 
conditions suivantes: 

1) La seconde droite est deux fois plus longue que la premiere; elle 
est divisee en deux parties egales par la charniere qui Funit avec la premiere. 

2) Un bout de la seconde droite fournit le mouvement voulu, 1 autre 
bout est articule avec le reste du parallelogramme. 

3) Dans la position moyenne du parallelogramme le bout de la seconde 
droite, celui qui execute le mouvement desire, coincide avec le pivot de la 
premiere droite. 

Quand ces conditions sont remplies par la seconde partie du parallelo 
gramme, celui-ci produit, comme il n est pas difficile de s en convaincre, le 



92 

mouvement rcctiligne exact jusqu au degre 2Xn-l, si sa premiere partie 
fournit ce mouvement avec la precision qui va jusqu au degre X et si la di 
rection du dit mouvement se confond avec celle des droites de la seconde 
partie du parallelogramme dans sa position moyenne. 

En effet. soient (fig. 3) CB, CD 

4Hr. 3. , , 

et CB , AD les deux positions des 
droites appartenant a la seconde partie 
du parallelogramme; la premiere cor 
respond a la position moyenne du pa 
rallelogramme, quand le point A exe 
cutant le mouvement voulu coincide 
avec le point G, pivot de la droite CB ; 
la seconde correspond au moment, 
quand le point A a decrit Tare infini- 
ment petit CA et quand le point D, dirigS en son mouvement par la pre 
miere partie du parallelogramme, a decrit Tare infiniment petit DD . 
D apres ce qu on a dit, la droite GD sera tangente a Tare DD parce que 
cette droite reprSsente la direction du mouvement du point D. 

Unissons les points A avec G, G avec D par les droites AC, CD , ele 
vens du point C la perpendiculaire CL a la droite GD et des points A, D 
abaissons les perpendiculaires Act, D $ sur les droites CL, CD. 
Par hypothsee, on a 




on voit ainsi que Tangle ACD est droit; mais, comme d apres la construc 
tion Tangle LCD est aussi droit, les angles ACn, D CD sont egaux; done 
les triangles rectangles ACa., D CD sont semblables. La similitude de ces 
triangles conduit a T equation 



Aa. pj/ 

~AC CD 



d ou Ton aura pour AOL, deviation du point A de la droite CL, Texpression 
suivante : 



Du triangle rectangle CD $ on a 



mais, comme 
et 



= AD , 



93 



1 expression precedente donnera: 

CD 2 = (AD 1 (3D) 2 -*- (3D 2 . 
En apercevaut que du triangle rectangle ACD on a: 

CD 2 = AD 2 AC 2 , 
on conc,oit de cette equation que 

AD 2 AC* = (AD 0D) 2 H- (3D 2 , 
d ou, en ouvrant les parentheses et en reduisant, on aura 
__ AC* = 2AD pD -t- (3D 2 -H 0D 2 . 

Dans cette equation AD est une quantity finie, mais les quantites AC, 
(3D, (3D sont infiniment petites et 1 ordre d infiniment petit (3D est plus haut 
que celui d infiniment petit (3D, parce que la droite CD est tangente a 1 arc 
DD ; done 1 equation precedente suppose que (3D est infiniment petit du 
second ordre par rapport a AC. Mais, par hypothese, (3D est infiniment 
petit de 1 ordre X par rapport a (3D, parce que 1 arc DD , de"crit par le 
point D, repr6sente la droite CD avec la precision qui va jusqu au degre" X. 
Par consequent, le segment (3D par rapport au segment AC sera infiniment 
petit de 1 ordre 2X, done de 1 equation trouve"e 

A - AC 37) 

on conclut que Act., deviation du point A de la droite i<7, sera par rapport 
a AC infiniment petit de 1 ordre 2X -t- 1 . 

6. En se basant sur ce qu on vient de 
demontrer, on peut tres facilement augmenter 
la precision des parallelogrammes en y ajou- 
tant le systeme des deux droites dont on a 
parle auparavant. Ainsi, du parallelogramme 
reduit de Watt qui produit le mouvement 
rectiligne exact jusqu au 5-e degre on passe 
a celui qui est represente sur la fig. 4; ce 
dernier, si les conditions posees en 5 
sont remplies, fournira le mouvement recti 
ligne avec la precision qui va jusqu au 11-e 
degr6. Ce parallelogramme consiste en trois 
droites BC, B C , B"C" qui pivotent sur 
les points fixes (7, G\ C", et en deux droites 
articulSes avec celles-ci a 1 aide des trois joints D, D , D"; le bout A de la 
droite AD execute le mouvement voulu. Exactement de la m6me maniere 
on passe du mecanisme d Evans, produisant le mouvement rectiligne exact 




94 




jusqu au 5-e degre, au parallelogramme qui est represente sur la fig. 5 et qui 

peut fournir le mouvement rectiligne exact aussi 
jusqu au 11-e degre. Ce parallelogramme presente 
les m6mes organes que le precedent; la difference 
ne se manifesto que dans la position des points 
fixes C 1 , (7", sur lesquels pivoteut les droites 
B C , B"G" et dans la position du joint D unis- 
san t i es droites AD et B B". On a vu au 3 
qu avec les memes pieces que ceux du parallelo 
gramme reduit de Watt et du mecanisme d Evans 
on peut composer le parallelogramme dont la 
precision ira jusqu au 6-e degre. Si Ton ajoute 
a ce parallelogramme les deux droites satisfaisant 
aux conditions qu on a exposees dans le para- 
graphe precedent, on aura le parallelogramme qui fournira le mouvement 
rectiligne exact jusqu au 13-e degre. Le parallelogramme ainsi construit 

est represente sur la fig, 6. II consiste aussi 
en cinq droites dont les trois BG, B C , B"G" 
pivotent sur les points fixes G y , (? , C", et les 
deux autres B B", AD sont liees avec les 
premieres a 1 aide des trois charnieres B, 
B , B". Le mouvement en question est 
fourni par le bout libre de la droite AD. 
Ce parallelogramme ne differe du premier 
de ceux qu on a decrits que par la position 
des points fixes (? , (7", sur lesquels pivoteut 
les droites B C , B"C". 

Le parallelogramme mentionne produit le mouvement rectiligne avec 
la precision qui va jusqu au 13-e degre; done d apres 5, si 1 on le combine 
avec deux autres droites, on peut construire un parallelogramme fonction- 
nant avec la precision qui ira jusqu au 27-e degre"; en y ajoutant encore 
deux droites on augmente le degre de la precision jusqu a 55 etc. Mais, 
comme nous regardons la precision qui va jusqu au 13-e degre" comme tout 
a fait suffisante pour la pratique, nous nous arreterons au dernier des paral- 
lelogrammes mentionne s et nous n examinerons pas les parallelogrammes 
plus compliques. 

7. Comme le degre de precision, avec laquelle ce parallelogramme 
fournit le mouvement rectiligne est pousse si loin, le segment de la droite 
produit par le mecanisme considere, avec la precision suffisante pour la pra 
tique, peut avoir la longueur assez considerable relativement aux dimensions 




95 



Fig. 7. 




Fig. 8. 



des organes du parallelogramme. Si 1 oii garde la longueur des droites 
BG, mais si Ton augmente la longueur de la 
trajectoire du point A en haut et en bas du point 
G (fig. 7), on parviendra a ce que la droite EG 
execute un demi-tour au cote droit de la droite 
LM qui passe par le point G et qui est perpen- 
diculaire a la droite G G". Si, d ailleurs, on mo- 
difie les positions des points (? , G" en les dispo- 
sant symetriquement des deux cotes de la droite 
LM (fig. 8), toutes les positions du parallelo 
gramme seront symetriques par rapport a la m^me 
droite LM. Done a une oscillation du point A 

entre les limites extremes dont on a parle tout a 1 heure correspondront ega- 
lement et le demi-tour du segment BG au cote droit de la ligne LM, et le 
demi-tour du segment BG au cote 
gauche de LM. Par consequent, les 
points G , (?", pivots des droites B G , 
B"G" , etant ainsi disposes, a la revo 
lution complete de la droite BG autour 
du point G correspond 1 oscillation 
du point A d une limite extreme a 
1 autre et le retour de ce point a sa 
premiere position. Le degre de preci 
sion que possedent les parallelogram- 
mes de 1 espece considered est pousse 
si loin qu il devient possible de faire 
suffisamment approchee de la ligne 
droite toute la trajectoire decrite par 

le point A pendant la revolution complete du segment BG autour du point G. 
On atteint ce but, comme le montrent les calculs, si Ton donne aux organes 
du parallelogramme les dimensions evaluees comme il suit: 

0n prend pour unite des longueurs celle des droites B 0\ B"C" qui 
pivotent sur les points C , G"; alors la longueur a de la droite B B" liee 
avec celles-ci et la distance b entre les points , G" s exprimeront aiusi: 




(3) 



(4) 



l/ 8 -8<TH- lS 

64 






0^(8-0) 






96 

ou a est le sinus-versus de Tangle de Tinclinaison de la droite B B" sur la 
droite G C" dans la position extreme du parallelogramme; les segments CB, 
AB, BD et AD sont definis par T equation: 

\ / ~~~ 2 4 

ou I est 6gal a la longueur du pas du point A, qu on peut trouver a Taide 
de la formule 

(6) 

en posant 

(7) 

4 (a 




Le point D, ou la droite B B" est articulee avec la droite AD, doit 
etre pris au milieu du segment B B" , i\ faut choisir la position du point G, 
sur lequel pivote la droite BG de maniere, que dans la position moyenne 
du parallelogramme, quand les droites B B" et G C" deviennent paralleles, 
le point D coincide avec le point G. 

8. II n est pas difficile de montrer que pour le parallelogramme ainsi 
construit les deviations du point A de la droite LM pendant la revolution 
complete du segment BG autour du point G ne surpasseront pas la limite 
suivante : 



ou M est la valeur maximum qu atteignent les fractions 



72 
2(1 2X0 H --- 2XS 8* 

a 



2Xa -+- -- 2Xs 



entre s = et s = a. 

Nous commencerons la demonstration par la recherche des formules 



97 



qui definissent la position du point D (fig. 9) pour les incliuaisons diverses 
de la droite B B" sur la droite 



G G". On prend la droite G G" 
pour 1 axe des abscisses, la droite 
LM pour celui des ordonuees et 
le point 0, intersection de ces 
droites, pour 1 origiue des coor- 
donnees; alors, comme, d apres ce 
qu ou adit, les points (? , C" sont 
disposes symetriquement par rap 
port a la droite LM, on aura: 

G O = G"0 
et par consequent 

= b. 



Fig. 9. 
>/ ! 



-p 




En prolongeant la droite B B" jusqu a son intersection avec 1 axe des 
abscisses au point F, on apergoit que les coordonuees du point I) a Taide 
des longueurs des segments 7>F, 0V et de Tangle BVG" a s expriment 
ainsi : 

x = OV DFcosa, 

y = DFsina. 
De 1 autre cote on voit que 

B V=DV-*-DB ; B"V=DVDB"-, 
C V=OVOC ; G"V=OV-t-OG" , 
d ou d apres les Equations: 

DB = DB" = | B"B = 5-; 



on deduit: 



2 



mais, comme on a pris pour unite des longueurs celle des droites B G , B"C", 
les triangles G B V, G"B"V donnent 



98 

En resolvant ces equations par rapport aux quautites DF, 0V et en 
posant pour abrSger 



2a6 

on trouve 




OF=|-(X-i-l As) 



En introduisant ces valeurs pour DV et 0V dans les expressions deja 
obtenues pour les coordonne"es x et y du point D et en remarquant que 
1 equation 

1 cos a = s 
donne 

cos a = 1 s, sin a = Vs (2 s), 
on trouve 



# = -^- 




Ainsi s exprimeut les coordonue es du point D a 1 aide de sinus-versus 
de Tangle qui raesure Tinclinaison de la droite B B" sur la droite C G" . 

9. En abordant la determination des deviations du point A de la 
droite LM, meuons du point A la droite AOL perpendiculairement a la 
droite LM: la longueur de cette perpendiculaire represeute la deviation du 
point A de la droite LM. Pour determiner cette longueur abaissous du 
point D la perpendiculaire DD sur 1 axe des abscisses et du point C eri- 
gons la perpendiculaire GP a 1 axe des ordonnees; les segments <?&, DD 
seront les coordouiie es du point D; done, d apres les expressions pour x 
et y qu on a de"duites dans le 8, on aura 




99 

En annulant dans la derniere de ces expressions la quantite s = l-cosa 
et en remarquaut que cela a lieu, lorsque les droites B B , C C" devien- 
nent paralleles et le point D d apres le 7 coincide avec le point (?, on 
trouve pour la determination du segment 00 la formule suivante: 



2X 



D ailleurs, en uuissant le point G avec D par la droite CD et le point 
A avec G par la droite AC, on cougoit que d apres Tegalite des segments 
(7): 



Tangle AGD est droit; done, comme Tangle a C cst aussi, d apres la con 
struction, uu angle droit, les triangles rectangles AGa, DCS sont semblables; 
par consequent: 



Ay. D9 



AC " CD 

ce qui nous donne 

(8) A* = J 



Mais DS = DD D 8 et D S = (70; d ou, en introduisaut les valours 
trouvees pour CO, DD , on dSduit 



ou, ce qui revient au m6me: 
DS^j^^i 



2X 

En multipliaut ici le nunierateur et le denominateur par la somme 



(X H- 1 S) VfA -*- S -+- V}L ((X -- I) 2 2XS) , 

on trouve 



- ) vrrs -^ V ,x ( ( x -^ i)^ - 2X.) 



d ou, ouvrant les parentheses du denominateur, on obtient Texpression 
suivante : 



- 2Xs )J 



7* 



100 
En introduisant dans les expressions pour les quautites auxiliaires A et [x 

. b _4-(a-H&) 

-"^>r : lab 

les valeurs de a et b trouvees au 7, on apenjoit que ces quantitSs 
s expriment ainsi a 1 aide de a: 



=l-f-l/4 



done 

[A 2A 2 = a, 

(9) 



et 1 expression trouvee pour DB se transforrae de la maniere suivaute 



~ 





Pour passer au second facteur 

A<u 
CD 

de 1 expression de Ay. dounee par la formule (8), on aper^oit que AC 
comme cathete du triangle rectangle ACD est egal a 



done 



AC VAD* CD* /AD* 



D* _ ^ /AD* 

CD~ CD = Y CD* ~ 

Mais d apres le 7 



et d apres la construction 

CD > CS, 
ou 



Par consequent, on trouve 

AC 



X 



101 
d ou en mettant pour x sa valeur trouvee dans le 8, on aura 



a 2 (JA H- s) s (2 s) 

expression qu on peut ecrire de la maniere suivante: 



v* (ii -H s) (2 



CI> 

Mais d apres 1 equation (6), qui determine la longueur du pas I, 
1 expression 

--* * . , n , 

*(l.-H)(2 s) 



s annule pour s = a, ce qui suppose que cette expression est divisible par la 
difference s a. En ouvrant ici les parentheses et en divisant par s <r, 
on trouve le quotient: 

s 2 H-([i.-i-a 2) s-i-(ii-t-a 2) <r -- ^ 2fx, 

ou d apres (9) 

jiL-f-a 2 = 2X. 

Par consequent, on peut remplacer cette expression par le produit des 
deux facteurs suivants: 



i 2X<j-t--^-- 2Xs s 2 ), 
done 1 inegalite deja trouvee se transforme en celle qui suit: 



-- 2Xs 



-s)(2 s) 

10. La deviation J^a du point ^i de la droite LM etant egale au 
produit 

m-^ 

m CD 



ou 



o 

s 3 a s 2 -*- o 2 8 
16 



- ^ [(X -H 1 - s) y^^s * V fx ((X -H 1)2 - 2X S )] 

et 



v v- ~ s ) ( 2^ 2Xa -H -j 2Xs s 2 ) 

AL> ^> JT V * / 

CD Vs ([JL -H S) (2 S) 



102 



On voit que AOL sera plus petit que le produit de ces deux expressions; 
mais ce produit peut 6tre decompose en deux facteurs suivants: 



~ 



(X -i- 1 8) VV -H 8 +- V V- ((X -+- I? 2Xs) 



-t- - 2Xs 



En s arr^tant au premier de ces facteurs, on apergoit que 1 expression 



apres 6tre 61ev6e au carr6, doune 



8 8 256 256 

ou le polynome en parentheses est egal au carre" du polynome 

8 JJ_ 2 _JL 2 _ J_ a 3 

~y as H Ie a 32 
moins 

S2 2 

done cette expression peut 6tre represented comme il suit: 



D ou Ton conclut que les valeurs numeriques de cette expression ne 
surpassent pas la limite 



_ _ 

32 2 ~ ~ 32 * 

D ailleurs on aper^oit que le denominateur du facteur considere 



(X-f-1 s) VUL -H s -4- V^ ((X -+- 1) 2 2Xs) 
est plus grand que la double valeur du plus petit des deux termes 



s) VfA-f-s, y^((XH-l) 2 2Xs), 



103 

par consequent, ce denominateur sera plus grand que la plus petite des 
deux quantites: 



-s, 2 yp.((X-f-l) 3 2XsJ. 

Mais on a deja remarque que le numerateur du facteur considere ne 
surpasse pas la limite 

jr^ 
32 

done ce facteur sera plus petit que la plus grande des fractions suivantes: 



32" 



2 (X + 1 s) /(i +- * 64 (X -*- 1 *) VV -*- s 



32 



2 V JA ((X -*- 1)2 2Xs) 64 VIA ((X -+- I)* - 2Xs) 

par consequent, son produit par le second facteur 



2jx 2Xo -*- f 2Xs s 2 



sera plus petit que le plus grand des produits: 



i 2Xo H ? 2Xs s 2 
a 2 



, [J. 2X<r-*-- 7 2Xs 

a 3 a ** / a 2 



2 



qu on peut reduire comme il suit: 



, ~t 2X<7 -- -5- 2Xs s 2 

ao 3 - / a 2 

128 



2u 2Xo -+- -v 2Xs s 2 
a 2 



128 



104 

Mais, comrae s lie peut avoir que les valeurs entre s = et s = a, la 
plus grande de ces deux quantites ne surpassera pas la limite 

VM 

128 K 1Kt 

ou Ton a designe par M la valeur maximale qu atteigneut les expressions 

is 

2fA 2X<3 H 5- 2AS S 2 

fl 



2Xo +- 5- 2Xs s 2 
a- 4 



pour les valeurs de s entre s = et s = a; par consequent, la quantite" 
trouvee sera la limite pour les valeurs de Ax, deviation du point A de la 
droite LM, ce qu il fallait demontrer. 

11. Pour donner un exemple de Implication des formules que nous 
avons deduites et pour montrer en meme temps le grand degre" de precision, 
avec laquelle le parallelogramme considere fournit le mouvement rectiligne, 
posons 

(7= 1. 

En faisant dans les formules (3) et (4) qui deiiuisseut a et b 

(7=1, 

on trouve 

a= . 1 == = 0,30992; 



- 

16 = = 0,76831 . 



En mettant ces valeurs par a et I dans les expressions (7) qui deter 
minent les valeurs des quantites auxiliaires X et y., on trouve 



- 4 -(0,30992 -4-0,76831) 2 __ 
2.0,30992.0,76831 = 



105 

Pour ces valeurs de X, jt, a et pour a 1 la formule (6) qui d6finit la 
longueur du pas I donne 



(2,47902 






r 2.2,47902 

Pour cette valeur de I les equations (5) nous dounent 

= 0,17025, 



0,68^99 



=: = 0,17025, 

== 0,68^99 = 0>34049i 

Telles doivent 6tre les dimensions des diverses pieces du parallelo- 
gramme que nous avons decrit, si Ton donne a la quantite a la valeur 1 . 

La deviation du mouvement rectiligne dans ce parallelogramme d apres 
le 8 sera plus petite que 

~VW 

128 

ou M est la valeur maximale que peuvent atteindre les fractions 

72 

-^ 2Xs s 2 
a 2 



(X -i- 1 - s) 2 GI -i- ) 8 ( ( -^^ ~ ^ ) (2 - s) 



s) - - s (2 - s) 

pour s variant entre et a = 1 . 

En mettant dans les expressions de ces fractions les valeurs de a, a, X, 
ix, I et en s arre^ant aux deux decimales, on trouve que les fractions consi- 
derees sont egales a 

11,79 4,96 s s z 



(3,48 s) 2 (5,96 H- s) 2 (2,44 s) (2 s) 

11,79 4,96 s s z 

29,54 (5,96 -+- s) (2,44 s) 2 (2 s) 



106 

Ces fractions comme il n est pas difficile d aperc,evoir vont en crois 
sant de s = jusqu a s = 1 ; done entre ces limites leurs valeurs maximales 
correspondent a s = 1 . En faisant 



on trouve que la premiere fraction s approche de 0,0136 et la seconde frac 
tion de 0,0137. La derniere quantity comme la plus grande, sera done la 
valeur maximale que peuvent atteindre les fractions dans 1 intervalle entre 
s = et s = 1; par consequent, d apres nos designations 

^=0,0137. 
En mettant cette valeur de M avec les valeurs de a, a dans la formule 

VM 

128 K ^ 

on trouve que les deviations du mouvement parfaitement rectiligne dans le 
cas que nous avons examine seront plus petites que 

>30 1 9 2 9 8 2 13 V0,0137 = 0,000283, 

ce qui ne fait pas m6me 0,00042 de la longueur du pas I = 068099, tandis 
que dans le parallelogramme de Watt qui fut 1 objet des recherches de Prony 
(Annales des mines T. XII) les deviations surpassentO,00060 de la longueur 
du pas *). 

D ou 1 on con^oit qu un pareil parallelogramme comme eifectuant mi 
me" diatement la transformation du mouvement rectiligne alternatif en mou 
vement circulaire continu peut suppleer dans les machines a vapeur aux 
parallelogrammes employes aujourd hui ainsi qu a la bielle avec la manivelle. 
Remarquons pour conclure que dans ce cas le rapport des vitesses se montre 
egal a celui que peut fournir seulement la manivelle de la longueur infi- 
niment grande. 



*) La limite de ces deviations diminue rapidement avec la diminuation de a. Ainsi 

4 
pouro= , quand a = 0,29533, & = 0,76415, I = 0,59676, cette limite est plus petite que 

2 
0,00014; pour a = , quand a = 0,28648, 6 = 0,76175, I = 0,53716 cette limite est plus petite 

O 

que 0,00007. 



(TRADUXT PAK G. G. SOUSLODP.) 



Omen. H piiH, npoHSHeceHHHH Bt TOpacecTBeHHOMt codpaain HMnepaTOpcKaro 
MocKOBCKaro TexHHiecKaro yiHJiHin;a 8-ro ceniadpa 1871 



Du regulateur centrifuge. 



1. On commit aujourd hui plusieurs regulateurs centrifuges, dont la 
vitesse de rotation reste la mme quelle que soit la position de la douille ou 
du manchon mobile. Mais cette propriete, si iraportante dans la pratique, 
n est atteinte qu en ajoutant de nouveaux organes au regulateur centrifuge 
de Watt au detriment de la simplicity de sa forme primitive. Certainement, 
1 un des moyens les plus simples de rendre isochrone un regulateur consiste 
a le munir d un ressort, comme Fa fait Foucault pour son appareil; mais 
pour que Fisochronisme fut parfait dans ce cas, il faudrait que Faction du 
ressort suivit, iiivariablement et avec une rigueur absolue, une loi d6ter- 
minee, condition qu on ne saurait realiser dans la pratique. Quant aux me"- 
canismes qu on a cherche de rendre isochrones sans Faide d un ressort, leur 
complication les exclut de tout emploi utile. Mais s il est impossible de 
rendre le regulateur de Watt rigoureusement isochrone, en lui conservant 
sa forme primitive, il est, d ailleurs, facile de remarquer que le degre" de 
ses hearts de Faction des regulateurs parfaits depend de la dimension et de 
la disposition de ses organes. Done, avant de le compliquer dans le but de 
le rendre plus isochrone (Fisochronisme absolu n etant pas realisable en 
pratique) il est ne~cessaire de determiner le plus grand degre d approximation 
a Fisochronisme parfait que peut atteindre le re"gulateur centrifuge sous sa 
forme la plus simple. Les recherches du genre de celle que nous venons 
d indiquer se reduisent a une question d analyse semblable a celle qui se 
presente dans le probleme de determiner !a forme la plus avantageuse du 
parallelogramme de Watt, et elles Stablissent, comme on va le voir, qu en 
donnant des dimensions et des dispositions couvenables aux differents orga 
nes du r6gulateur de Watt on s approche de Fisochronisme parfait en tel 



110 



Fig. 1. 



degre, qu il est superflu de compliquer encore le mecanisme pour atteindre 
ce but definitivement. En effet, le degre d approximation a 1 isochronisme 
absolu pour le regulateur de Watt peut etre pousse si loin qu il est douteux 
qu on puisse obteuir des resultats plus satisfaisauts en construisant reelle- 
ment me me des appareils parfaitement isochrones. 

2. En considerant le regulateur 
centrifuge de Watt (fig. 1), nous sup- 
poserons que les tiges portant des 
spheres oscillantes sont prolonge"es au 
dela de leur point d attache a 1 axe 
vertical du regulateur, et qu elles sont 
articulees par leurs bouts sur les bras 
qui soutiennent le manchon mobile, 
comme cela se fait souvent dans la 
pratique. Pour plus de generality nous 
ne nous bornerons pas au cas ou les 
tiges sont droites, mais nous les sup- 
poserons brise"es et formant un certain 
angle <|). Nous designerons pour plus 
de brievete par 1 expression: premiere 
partie de la tige, sa partie superieure 
et nous prendrons sa longueur pour 
unite. La partie infe"rieure de la tige 
depuis le point d attache a 1 axe du regulateur j usqu au centre de la sphere 
oscillante sera designee par 1 expression: seconde partie de la tige, et sa lon 
gueur sera r. Nous noterons o la vitesse angulaire de rotation, en general, 
et sa valeur normale dite de regime par o . L angle d iuclinaison de la pre 
miere partie de la tige sur 1 axe vertical du regulateur pour sa vitesse de 
rotation normale o sera designe" par cp, et sa valeur pour toute autre vi 
tesse o sera <p -+- a, de fac,on que a sera la mesure de la variation de cet 
angle pour tout ecart de la vitesse de sa valeur de regime . 

Si Ton forme d apres le principe des vitesses virtuelles 1 equation 
d equilibre eiitre la force de gravite, agissant constamment sur le manchon 
mobile et sur les spheres oscillantes, et la force centrifuge developpee par 
leur rotation avec la vitesse o, on obtient 1 equation que voici: 

coa (q? -+- a) j . , . ~ 




Vm z sin 2 (9-i-a) J 

ou 1 on a pris pour unite de poids celui d une des spheres oscillantes et ou 
P est le poids du manchon, m etant la longueur des bras. 



1 1 1 

En tirant de cette equation la valeur de o 9 , on trouve : 

-- ^^"L 1 



8in (cp _,_ a) P _ 2r sin (4* - <p - a) 



sin 2 (9 -+- a ) J 

j 



2 sin (4> 9 a) cos (4* 9 a) 
" 



En divisant par w 2 , on aura 

cos (9 +- a) 2r . . 
1 -i- sin (9 -+- a) p- sin (<j> 9 a) 

fa) 2 _ [_ Km 2 sin 2 (9 -+- a) J ^_ 

ou bien 



<o ft 2 r 2 

_JL_ .in 2 (Y- 9- 



cos (9 -H a) . . . 

i sin (9 -+- a) A sm (^ 9 a) 

fa) 2 L y 2 sin 2 (9 -*- J 

co 2 ~ 5 sin 2 (4* 9 a) 

en posant 

/ x 27" j ^0 ^ T? 

T =ss ~W 

Or, comme par hypothese 

pour 

il est clair que la fonction 



sin 2 (9 -*- ) J 



B sin 2 (vj* - 9 a) 

deviendra 1 pour a = 0. 

Mais 1 isochronisme parfait du regulateur n est atteint, comme on a 
vu, qu a la condition que la vitesse augulaire o conserve toujours sa valeur 
quelle que soit la position du manchon mobile et, par consequent, quelle 
que soit la valeur de Tangle a qui determine cette position; la fonction (2) 
devient alors uecessairement egale a 1 unite. Or, quoique cette fonction ne 
satisfasse rigoureusement a cette condition pour aucune valeur des con- 

stantes 

A, B, m, fy, 9, 

qui entrent dans son expression, neanmoins, par un choix convenable de ces 
valeurs ses hearts de 1 unite peuvent etre rendus tres petits pour toutes les 
valeurs de a usitees en pratique. Par consequent, le regulateur centrifuge, 
dont les parametres J, 5, m, fy et <p auront ces valeurs, differera tres peu 
d un regulateur rigoureusement isochrone. 



112 

3. Quand on determine les parametres d une fouction donnee de 
fac,on a rendre minima ses ecarts d uue valeur constante quelconque pour 
toutes les valeurs possibles que puisse prendre, entre certaines limites, la 
variable iudependante, il faut distinguer deux cas: 1 quand ces limites 
sont infiniment rapprochees entre elles; 2 quand leur difference est une 
quantite finie, plus ou moms considerable. Les valeurs des parametres, obte- 
nues dans la premiere hypothese, comme nous 1 avous fait voir dans notre 
memoire intitule: Ilieorie des mecanismes connus sous le nom de parallelo- 
grammes *) oifreut une premiere approximation et permettent d obtenir fa- 
cilement leurs valeurs plus exactes, dans la seconde hypothese, par une 
me"thode exposee dans ce memoire. 

En nous arretant au premier cas, ou les limites de a sont infiniment 
rapprochees et, par consequent, different peu de zero, nous remarquerons 
que le degre" d approximation de 1 expression 

[cos (cp -4- a) ... . 
1 n VT sin (9 -t- a) A sin (<\> cp a) 
V m 2 sin 2 (y -+- a) J 

B sin 2 (^ 9 a) 

a 1 unite est determine par la plus petite puissance de a dans le developpe- 
ment de la difference: 

cos (9 -H a) 
1 n sm (<p -t- a) A sm (^ 9 a) 

L /< 8in(y-4-a)J j 

B sin 2 (4" 9 a) 

suivant les puissances ascendantes de a. 

En developpant cette difference en serie suivant les puissances de a 
et en 6galant a z6ro les coefficients de 



t, a, a 2 , a 3 , a 4 , 



on obtient cinq equations qui devront eitre satisfaites pour que la plus petite 
puissance de a dans ce developpement soit 5, ce qui est 1 approximation 
maximum de la fonction (2) de 1 unite, car ces cinq equations nous don- 
neront les valeurs de tous les cinq parametres qui entrent dans 1 expression 
de cette fonction. 

La solution des Equations ainsi obtenues nous a fourni les valeurs 
suivautes pour A, B, w, tj;, cp, a savoir: 

^ = 0,84713, 
#=0,65616, 



*) T. I, pag. 111 143. 



113 

w=l, 31271, 
<|> = 11910 , 

o= 5846 . 

En mettant ces valeurs dans la formule (2), nous obtenons une expres 
sion qui ne differera de 1 unite que par des termes contenant a a la cinquieme 
puissance et a des puissances superieures a 5; done cette fonction pour les 
valeurs de a peu seusibles (comme c est toujours le cas en pratique) restera 
toujours peu differente de 1 unite. En effet, si Ton calcule la valeur de la 
dite expression pour differents a, on trouve que la difference entre la fonction 
(2) et I unit6 n atteint la valeur de 0,001 que pour a=1440 et lie 
s abaisse jusqu a 0,001 que pour a = 1350 , tandis qu a mesure 
que la valeur numerique de a devient plus petite, cette difference diminue 
tres rapidement, c est-a-dire a peu pres comme la cinquieme puissance dea. 

D autre part, en calculant *) 1 elevation du manchon pour 

a=1440 , a = 1350 , 

on trouve qu il s eleve de 0,62 de la longueur de la premiere partie du 
bras, que nous avons prise pour unite, pendant que a varie de 1440 jusqu a 
1350 . Mais au fur et a mesure que ces valeurs limites de a se rap- 
prochent, la hauteur de 1 elevation du manchon dimiuuera presque propor- 
tionnellement a la premiere puissance de a, comme on peut le montrer par 
des calculs. II en resulte que si Ton donne aux differentes parties du rSgula- 
teur de Watt les dimensions et les dispositions pour lesquelles le rapport ^- 2 
devient egal a 1 expressiou trouvee, on rendra ce mecanisme tres peu diffe 
rent d un regulateur parfaiteraeut isochrone, car dans ce cas, comme on 
vient de le voir, le rapport restera toujours entre l--0,001 et 10,001 
pour toutes les positions du manchon sur la longueur de 0,62, et par suite 
la difference &> w. sera comprise entre ~~; et H^T; Mais si 1 on 

" zUUU 2UUU 

diminue la portee des deplacements du manchon de 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 de 
sa valeur premiere, les limites de la difference o o diminueront pro- 
portionnellement a 

0,9 5 ; 0,8 5 ; 0,7 5 ; 0,6 5 , 

done elles seront reduites aux valeurs: 

=tO,00029<a ; 0,00016o ; 0,00008o ; =t 0,00004o . 

4. Quoique les limites trouvees pour les ecarts de la vitesse angu- 
laire o de sa valeur de regime o soient assez rapprochees, neanmoins on 



*) Par 1 expreaaion cos (cp -*- a) -+- Vm 2 sin 2 (9 -+- a). 



114 

peut encore les restreindre et meme considerablement. Ces limites, comme 
on vient de voir, correspondent au cas, ou Ton determine les parametres 
qui entrent dans 1 expression (2), en supposant que la variable a est infini- 
ment petite. Quand on passe du cas, ou a reste infiniment petit, a celtii, ou a 
differe de zero par une quantite mile, mais peu sensible, on est en etat, a 
1 aide des me thodes exposees par nous dans le me moire mentionne, de 
rendre ces limites 2 4 = 16 fois plus petites. Mais comme les valeurs trou- 
ve.es pour les quantites A, B, m, ^, <p fournissent 1 approximation tout-a~ 
fait suffisante pour la pratique, nous ne nous arreterons pas a 1 evaluation 
des parametres qui dounent 1 approximation encore plus grande. Eemarquons 
seulement, que pour les valeurs de 

A, B, w, t|>, 9, 
ainsi trouvees, la difference 

cos (9 -*- a) 

1 -+- v sm (9 -i- a) A sm (^ 9 a) 



co l _[_ Vm 2 -3in 2 (9-*-a)J 1 

<o 2 -B sin 2 (<J> 9 a) 

s annule pour cinq valeurs differentes de a; par consequent, cinq positions 
differeutes du manchon mobile correspondront a une meme vitesse angu- 
laire o . Quant aux valeurs des parametres 

A, B, w, 9, <]>, 

pour lesquelles a chaque vitesse angulaire ne correspond qu une seule posi 
tion du manchon, on peut les trouver par la methode exposee par nous 
dans le memoire mentionne, seulement on doit ici au polynome qui differe de 
zero le moins possible sans restrictions suppleer le polynome qui differe de 
zero le moins possible en croissant continuellement, ou en decroissant. Si Ton 
determine les differents polynomes qui satisfont a cette condition, on trouve 
que celui qui est necessaire pour le cas present peut 6tre represente par la 
formule: 

a i -*~ a o 



144 

ou Ton a designe par a 15 a 2 les limites des valeurs de la variable a pour 
lesquelles le polynome inconnu 

a 5 -+- aa 4 -+- 6a 3 -t- ca 2 -+- da -+- e, 

diflfere de zero le moins possible en continuant toujours a croitre ou a 
dScroitre; a 1 aide de ce polynome les limites qu on a trouve*es dans le 3 
pour des ecarts de 1 expression (2) de 1 unite, peuvent etre diminuees dans 
le rapport 4:9. 



1 15 
5. En se bornant a la premiere approximation, on aura d apres le 3: 

^ = 0,84713, 
5=0,65616, 
m 1,31271, 



cp = 5846 , 
ou d apres (1) 



De ces equations on tire 

-**L.JL. p^9_- 

A w 2 " A z to 2 

en mettant pour A et B les valeurs trouvees, on obtient: 
r= 1,54906 fa P= 3,65719 fa 

Nous avous ainsi tout ce qu il faut pour determiner les dimensions de 
toutes les pieces du regulateur. 
Supposons, par exemple 

^- 2 = 0,9, 
9 

les formules ci-dessus nous donnent 

r= 1,72115; P=4,06355. 

Si Ton fait uue epure du regulateur centrifuge conformement aux va 
leurs trouvees r, m, ^, on apercevra que cet appareil aura la forme repre- 
sentee sur la fig. 2, ou CD et GE sont ce que nous avons nomme les pre 
mieres parties des tiges; leur longueur est prise pour unite ( 2); AG et BC 
sont les secondes parties des tiges, dont la longueur r est egale pour notre 
exemple a 1,72115; DF, EF sont les bras soutenant la douille F\ leur lon 
gueur est constamment egale a 1,31271; les angles AGE, BCD formes pas les 
premieres et les secondes parties des tiges ont chacun 11910 . Quant aux 
angles FCD, EGF qui mesurent 1 incliuaison des premieres parties des tiges 
sur 1 axe du regulateur, ils auront chacun 5846 pour la vitesse normale 
de rotation du mecanisme. 

Le regulateur centrifuge ainsi compose aura ses tiges dirigees en haut, 
comme cela se voit sur la figure 2; les centres de ses spheres oscillantes se 

8* 



116 

trouveront eleves au dessus des points d attache des tiges a 1 axe du rSgula- 
teur. En outre ce mecanisme se distinguera du r6gulateur de Watt dans sa 
forme habituelle par le poids P de la douille qui sera toujours plus con 
siderable que celui des spheres oscillantes. Ainsi dans notre exemple 
P=4,06355; done le manchon sera plus de 4 fois plus lourd qu une sphere. 

Fig. 2. 




Remarquons encore que les secondes parties des tiges doivent tre recour- 
bees (comme cela est indiquS sur la figure 3) pour que leur mouvement 
n entrave pas le jeu des premieres parties des tiges. En recourbant ainsi les 
tiges il faut observer que les centres des spheres doivent 6tre rigoureuse- 
ment a la distance r du point G et que Tangle entre les premieres et les 
secondes parties des tiges doit tre egal a 11910 . 

6. Jusqu a present nous n avons pas examine 1 action des masses des 
tiges et des bras, comme c est toujours 1 usage dans la thSorie des regula- 
teurs centrifuges; mais, ayant en vue un si grand degre d approximation a 
1 isochronisme, nous ne pouvons pas nous dispenser de considerer 1 influence 
de ces parties du mecanisme. En introduisant dans 1 equation de I Squilibre 
1 action de la pesanteur et de la force centrifuge sur les particules des tiges 
et des bras, on trouve pour le rapport ^- une expression qu on peut mettre 
sous la forme (2) du 2, si seulemeut la distribution des masses dans les 
tiges et les bras satisfait a une certaine condition. II n est pas difficile de 
donner a cette condition une expression analytique tout-a-fait rigoureuse, 
mais pour les besoins de la pratique, a cause de cette circonstance que les 
masses des tiges et des bras sont peu sensibles relative ment a celles des 
spheres oscillantes, elle peut 6tre exprimee avec la precision suffisante 
comme il suit: 



Si Ton donne au bras EF (fig. 3) sSpare* du manchon F une telle di 
rection que la projection de son bout F sur le plan du regulateur*) coincide 



Fig. 3. 




avec le point (7, il faut que le moment d inertie de la tige entiere AGE 
avec le bras EF qui y est attache soit le me"me relativement aux deux 
plans qui sont perpendiculaires au plan du regulateur et qui font avec la 
droite AC au point A les angles egaux chacun a |-. 

Quand chacune des deux tiges avec le bras qui y est attache satisfait 
a la condition exposee et quand leurs masses sont peu sensibles relativement 
a celles des spheres oscillantes, on peut mettre 1 expression pour le rap 
port ^- sous la forme (2) avec la precision tout-a-fait suffisante pour la 
pratique, si Ton pose: 



(4) 



= L ACE-t-arcsin 



AP 



2r-f-2 



_ top 2 r*-Hl>--li) Qf) 2 2 ) . 



ou p est le poids d une tige; p l celui d un bras; p est la distance entre le 
centre de gravite" d un bras et son point d attache au manchon; X et Y 



*) Le plan qui passe par 1 axe du regulateur et par les centres des spheres oscillantes 
s appelle le plan du regulateur. 



118 

sont les coordonnees du centre de gravite; , y) les bras d inertie *) rela- 
tivement aux plans ye, sx d une tige avec le bras correspondant, quand 
celui-ci a pris la direction indiquee. On prend pour 1 axe des x la droite AC; 
1 axe des y est une droite perpendiculaire a la premiere et situee sur le 
plan du regulateur; 1 axe des e est perpendiculaire a ce dernier plan (fig. 3). 
Par r on a designe" la distance entre le centre A et le point C. 
L angle AGE mesure 1 inclinaison de ce segment sur la premiere partie de 
la tige ACE. Ainsi, apres avoir considere Faction des masses des tiges et 
des bras, on peutmettre 1 expression pour la quantite -^ sous la forme pre- 
cedeute (2) et 1 on construira un regulateur qui me"me sous Faction de ces 
masses differera tres peu d un appareil rigoureusement isochrone, si Fou 
donne aux parametres 

A, B, m, ^, 9, 

les valeurs trouvees au 2. En mettant ces valeurs pour A, B, fy dans les 
formules (4), on aura les trois equations suivantes: 



L ACE + arcsin ?*= 119 1Q/ 
= 0,84713, 






0,65616, 



qui remplaceront celles du 5. Quant aux quantites m et 9, elles resteront 
les monies. 

7. Pour donner un exemple et pour montrer, comment on doit faire 
Fapplicatiou des formules de"duites, supposons qu on a besoin de construire 
un regulateur centrifuge, pour lequel 

^ = 0,9. 
9 

Nous avons pris partout pour unite des longueurs celle de la premiere 
partie de la tige; done g, Facceleration de la pesanteur, sera un nombre 
plus ou moins grand dependant de la longueur du segment pris pour unite. 
Par consequent, on peut toujours choisir la longueur de ce segment de ma- 
niere que le rapport 



*) C est k dire les quantites 



I -4- 2 -*-... , -*- 2 



ou 1 on a designe par M lf M z ;. . . les masses des particulea de la tige avec le bras correspon 
dant et par * n */n z \i x zi 2/2 > e z> ^ es coordonnees des particules Jf n M 2 , ... 



119 

prendra la valeur 0,9 independamment des valeurs que prennent la vitesse 
angulaire co et 1 acceleration g. 

En commengant 1 evaluation des diverses parties du regulateur, nous 
negligeons d abord, dans la premiere approximation, Finfluence des masses 
des tiges et des bras; done dans les formules (5) on peut poser 



Or pour ces valeurs de p, de p l et pour ^T = 0,9 des expressions (5) 

y 

on tire les resultats suivants: 



-^=0,84713, 
0,9- -- = 0,65616. 

La solution des deux dernieres equations nous donue: 

P= 4,063, 
r = 1,721. 



Fig. 4. 



P est le poids de la douille, si Ton a pris pour unite des poids celui 
d une sphere oscillante; par r est de- 
signee la distance entre le centre de 
la sphere et le point d attache de la 
tige a 1 axe du regulateur. 

Pour evaluer ces quantites plus 
exactement, cherchous la position ap 
proximative du centre de la sphere 
relativement a la premiere partie de 
la tige, position qui correspond aux 
valeurs deja trouvees pour r et pour 
Tangle EGA. Prenons done une droite 
quelconque EG pour la premiere partie 
de la tige et sa longueur pour unite; me- 
nons (fig. 4) une droite AC inclinee sur 
celle-ci sous 1 angle AGE= 11910 
et faisous 

AC=r= 1,721. 

Le point A sera la position du 
centre de la sphere dans la premiere 
approximation; le point G indiquera la position du point d attache de la tige 




.K 



120 



Fig. 5. 



a 1 axe du regulateur, et toute la ligne brisee ACE sera situee au plan du 
regulateur. En menant du point A les deux droites AG, AG l qui font avec 
la droite AC les angles GAG, CAG l: ayant chacun 45, et en construisant 
sur ces droites les deux plans P, P 1; perpendiculaires au plan du regula 
teur, on trouve les deux plans du 6: relativement a ces plans doivent 6tre 
e"gaux les moments d inertie de la tige avec le bras qui y est attache et qui 
a pris une telle direction que la projection de son bout libre sur le plan du 
regulateur coincide avec le point G. Ainsi tout le bras sera situe, evidem- 
ment, plus pres du plan P que du plan P l , et la mme chose aura lieu 
pour EG, la premiere partie de la tige. Done 1 egalite deja mentionnee des 
moments ne peut subsister qu au cas ou il y a sur la seconde partie de la 
tige des points situes plus pres du plan P l que du plan P, mais alors cette 
partie de la tige doit tre mene"e en bas au dela de la droite AC, car, les 
angles GAG et CAG l etant egaux, tous les points de cette droite sont equi- 
distants des plans P et P x . D ou il est clair que la courbure des tiges(fig. 3), 
qui leur donne la possibility de se mouvoir librement, est en meme temps 
necessaire pour qu on puisse satisfaire a la dite condition de 1 egalite des 
moments tout en laissant droits les bras et les premieres parties des tiges. 

Au fur et a mesure que les points de 
la seconde partie de la tige s abaissent 
au dela de la droite AC la difference 
de leurs moments d inertie relative 
ment aux plans P et P l augmente con- 
stamment, done apres quelques tatonne- 
ments successifs il ne sera pas difficile 
de donuer a ces points uue telle po 
sition que 1 egalite pour les moments 
d inertie de toute la tige avec le bras 
soit atteinte. Evidemment, nous pou- 
vous arriver a ce but en donnant a la 
tige des formes differentes. Ainsi, en 
supposant que le fil central de la tige 
(fig. 5) consiste en deux droites Cm, 
An, unies par 1 arc mn du cercle qui 
les touche, et en laissant droites les 
premieres parties des tiges avec les 
bras, nous avons trouve que lorsque 
les spheres oscillantes ont au diametre 
0,8, l e"galite des moments est assuree, si 1 on a observe les conditions 
suivantes: 




121 

1) L angle ECm que font au point G les fils centraux de la premiere 
et de la secoude partie de la tige a 198; la longueur du fil droit Cm est 
egale a 0,5; le rayon de 1 arc mn est egal a 0,6. 

2) La seconde partie de la tige GmnA, la ou elle reste droite, doit 
avoir la largeur 6gale a une certaine quantity constante X. Mais la largeur 
de la partie recourbee de la tige va en croissant du commencement de la 
courbure jusqu au milieu ou cette largeur devient 6gale a -^ X; apres quoi 
elle commence a de"croitre et a la fin de la courbure revient a sa valeur 
premiere X. La loi de la variation qu eprouve la largeur de cette partie de 
la tige est telle que les fils exterieurs sout representes par le arcs des cercles. 

3) La largeur de la premiere partie de la tige pres du point G est 
egale a X; mais dans la direction vers le bout E cette largeur diminue uni- 

q 

forme"ment et au point E devieut egale a -j X. 

4) Sur toute 1 etendue de la tige 1 epaisseur reste constamment egale 
a une quantite" quelconque pi. 

5) La surface des sections des bras reste sur toute leur etendue egale 
a 0,52 Ajx. 

6) La charniere qui sert a joiudre la tige au bras (par cette expression 
on designe tout ce qui est situe a 1 endroit ou la tige et le bras se toucheut, 
et qui surpasse les limites prescrites pour la longueur, la largeur, 1 epais- 
seur des tiges ou la surface de leurs sections) renferme 0,13Xfji de nos 
unite s cubiques. 

Quand nous avons parle de la figure du fil central GnmA de la seconde 
partie de la tige, nous n avons rien dit de la longueur de 1 arc mn et du 
segment nA, parce que la longueur de ces lignes est de*finie par cette cir- 
constance que la droite An represente une tangente a 1 arc ww, menee du 
point A. Quant aux cercles qui definissent la figure des fils exterieurs de la 
partie recourbee de la tige on peut les determiner facilement, si Ton con- 
nait la largeur de cette partie a ses deux bouts et au milieu, comme nous le 
montrerons plus loin ( 9). 

Remarquons encore que les preeminences et les echancrures des tiges 
pres de (7, leur point d attache a 1 axe du regulateur, n influencent pas con- 
side*rablement Pe"galite des moments, dont nous nous occupons, car en cet 
endroit pour chaque point la difference des distances aux plans P et P l est 
peu sensible. On peut dire la meme chose de ce bout du bras qui est arti- 
cule avec la douille, parce que r^galite des moments ne doit subsister qu au 
cas ou la projection du bout considere sur le plan de la figure coincide avec 
le point (7, ce qui suppose 1 egalite de ses distances aux plans P et P^. 

8. Si Ton s arrete au cas, ou les tiges, les bras et les charnieres qui 
les joignent sont construits conformement a ce qui etait dit, et si Ton evalue 



-199- 

I ft A 

dans cette hypothese les quantites p. p l1 Z, , i), p qui entrent dans les for- 
mules (5), on trouve 

p =13,8X[x, X= 0,292, 

r= 0,205, 



Ici Ton a pris pour unite des poids celui de la sphere oscillante; dans 
le cas considere, cette sphere a, comme nous 1 avons vu, le diametre egal a 
0,8 et, par hypothese, est faite de la mme matiere que les tiges, les bras 
et les charnieres. 

En mettaut les valeurs trouvees dans les expressions (5) et en substi- 
tuant au rapport sa valeur 0,9, on a les equations suivantes qui deter- 

" 

minent r, P et Tangle ACE: 

/A x 

, 

f\ f\ r2 -*- > .. A a K r -, n 

9 -p = 0,65616, 

(7) 



En divisant la premiere de ces equations par la seconde, on obtient 



2r -f- 9,6 X|A _ 0,84713 

(r 2 -H 0,72 XUL) 0,9 0,65616 



ce qui donne 1 equation suivante pour r: 



d ou il suit 



r = 0,86062 -t- V0,86062 2 -H 7,5 \\L. 



Si Ton developpe cette expression en serie et si Ton s arr6te au pre 
mier degre de Xjx, on trouve 

(8) r= 1,7212 H-4,4Xii.. 

Pour passer a 1 evaluation de P nous remarquons que liquation (6) 
nous donne: 

2r 



-- 

0,84713 0,84713 



123 

si Ton y met pour r sa valeur, trouvee plus haul, on en deduit 
(9) P= 4,0636 -t- 19 Xtx. 

Ayant evalue la quantite P, nous tirerous de 1 equation (7) la valeur 
de 1 angle ACE] enfin, connaissant cet angle et le segment AC = r, nous 
trouverons la position du point A, centre de la sphere oscillante. 

Ainsi, avec la precision suffisante pour la pratique, se de"termineront 
la tige et le poids du manchon. Quant aux bras, leur longueur w, comme 
on 1 a vu ( 5), reste toujours egale a 1,31271; la surface deleurs sections, 
par hypothese, ne varie pas sur toute 1 etendue des bras et reste egale a 
0,52Xpt. Mais, evidemmeut, on ne changera rien dans les conditions de 
l 6quilibre, si Ton considere les particules de la douille qui avoisinent le 
bras comme n appartenant pas a celle-ci, mais au bout du bras qui y est 
attache. De la meme maniere on peut attribuer a 1 autre bout du bras une 
partie des masses, qui sont destinees a former le joint, articulant le bras 
avec la tige. 

D ailleurs, il n est pas difficile de remarquer que, grace a cette circon- 
stance que les bras ont une masse peu sensible, les changements dans la 
distribution de la matiere sur leur etendue n influenceut pas considerable- 
ment le mouvement du re"gulateur, si seulement le centre de gravite des 
bras conserve sa premiere position. D ou il suit, que dans la construction 
des re"gulateurs il n est pas indispensable d observer strictement notre sup 
position relativement aux sections des bras: on peut augmenter la masse 
des bras aux frais de celle du manchon et des charnieres. 

9. Pour dormer un exemple de 1 application des formules trouvees 
plus haut, posons que les quantites X, p. qui determinent d apre"s 8 la 
largeur et 1 epasseur de la tige, ont la valeur suivante: 

X = 0,16; p = 0,12. 
En mettant ces valeurs dans les expressions (8) et (9), on trouve 

r = l,7212-i-4,4 -0,16 -0,12 = 1,8057; 
P=4,0636-i- 19-0,16-0,12 = 4,4283. 

Si Ton introduit ces valeurs pour P, X, \L dans 1 equation (7), on obtient: 

S.AOE+ arc ti ^^ = 1 1 910 ; 

d ou, en remarquant que 

<" w,^**- 0345 = 1058/i 

on deduit 



124 



ce qui nous donne 



ACE= 



158 = 



Pour commencer 1 evaluation des differentes parties de la tige nous 
choisissons, d apres ce qu on a dit au 7, la longueur de la premiere partie 
de la tige et trains la droite EG (fig. 6) ayant cette longueur. En prenant 

Fig. 6. 




unite", menons par le point G sous Tangle EGm, ayant 198, la 
droite Cm egale a 0,5. Au bout de ce segment au point m erigeons la per- 
pendiculaire wO et faisons la egale a 0,6; d apres ce qu on a dit au 8, le 
point sera le centre du cercle dont 1 arc represente la partie recourbee 
du fil central de la tige. D ailleurs, si du point C on mene la droite AC 

Fig. 7. 




inclined sur la droite CE sous Tangle 11712 et si Ton fait AG=r=l,8 05 7, 
on trouvera le point A, position du centre de la sphere oscillante; la tan- 
gente An du cercle 0, menee du point A, determine le point w, bout de la 
partie recourbee du fil et commencement de la derniere partie droite nA. 
Ainsi se de"terminera le fil central de la tige tout entiere. 



125 

Pour passer a la construction des fils exterieurs, menons (fig. 7) les 
normales au fil central ECmnA par les points E, C, w, n, A et par le point 
8, milieu de 1 arc mn. Sur ces normales, de Tun et de 1 autre cote du fil 
central, prenons des segments e"gaux a la moitie" de la largeur de la tige 
dans Teudroit considere ( 7), en faisant 

EE l = EE 2 = 1 - 1 X = 0,06, 
CG 1 = CGj=4- X = 0,08, 
C\= Cc z = X = 0,08, 
1 = m?w 2 = Y X = 0,08, 



j = nn z =y X = 0,08, 
^ = AA^ = \ X = 0,08. 
Si Ton mene par les points 



les droites et par les points 



les arcs des cercles, on obtient le contour des fils exterieurs de la tige. 

Remarquons ici que, si Ton Slargit la tige pres du point C, ce qui est 
necessaire pour 1 attacher a 1 axe du regulateur, cette circonstance n influ- 
encera pas considerablement nos equations, car dans le voisinage du point C 
les coordonnees de tous les points (fig. 3) ont une grandeur peu sensible. 
Par consequent, on peut Slargir la tige au point G autant qu il est neces 
saire pour sa solidite. Mais, quand on augmente la masse au bout E de la 
tige pour j former une charniere, il ne faut pas perdre de vue que le vo 
lume de toute la charniere aux bouts de la tige et du bras doit tre e"gal a 



126 



ce qui pour X = 0,16; pi = 0,12 donne 

0,002496. 

Quant a 1 autre bout de la tige, sur lequel est fixee la sphere oscil- 
lante, on trouvera 1 endroit de la tige ou celui-ci touche la surface de la 
sphere, si Ton mene par le point A, lieu du centre de la sphere, dans la di 
rection nA la droite AL, e*gale a 0,4, c est-a-dife au rayon de la sphere. 

Pour passer aux bras remarquons que leur longueur d apres le 5 
reste toujours egale a m= 1,31271. De 1 expression 



pour 



0,52 XJJL, 
V=0,16, pi = 0,1 2, 



Fig. 8. 



on trouve qu au cas considere la surface des sections des bras doit 6tre egale 
a 0,01. Nous avons suppose que les sections restent les memes sur toute 
1 etendue des bras, mais, comme on a remarque dans le 8, il est permis de 
modifier la distribution des masses sur I Stendue des bras a condition que le 
centre de gravite conserve sa premiere position. Done au lieu du 
bras avec les sections identiques sur toute son etendue on peut 
en prendre un qui corisiste en deux barres paralleles, lie"es au 
milieu par une troisieme petite barre transversale (fig. 8): le 
centre de gravite du bras ainsi construit se trouvera aussi au 
milieu de sa longueur. Si le poids du bras devient plus grand que 
celui qui correspond aux sections uniformes ayant la surface egale 
a 0,01, il faut, comme on 1 a deja vu, enlever une moitie du poids 
surabondant de celui de la douille et 1 autre moitie de celui de la 
charniere qui joint le bras a la:tige. En agissant ainsi avec les 
deux bras, on ne devra oter a chacune des deux charnieres que la 
moitie de 1 exces du poids d*un seul bras, mais au poids du 
manchon P 4,4283 il faudra enlever tout ce poids surabondant. 

L epaisseur de la tige, comme on 1 a vu, est egale par hypothese, a 
ix = 0,12 sur toute son etendue. 



8, 



!HM01R1I SFR LUS 



(THADUXT PAK I. W. KBSTSGKBKSKYJ 



H piqi, npoHSHeceHHua B^ TOpJEecTBeHHOMt codpamn HmnepaiopCKaro 
MocKOBCKaro TexnaqecKaro YqHJiHma 10 ceHTadpa 1872 ro^a. 



Eevue Universelle des Mines. T. 38, 1875, p. 523546. 



Sur les engrenag-es*). 



1. Dans les recherches theoriques sur le trace des engrenages on 
suppose ordinairement donnee la forme du profil de la dent de Tune des 
roues et on en de"duit celle du profil de la dent de 1 autre. On peut trou- 
ver ainsi une infinite de differentes formes des eugrenages, mais il n y en 
a que tres peu, qui sont employees dans la pratique. Pour que la pratique 
puisse, sans se borner a ces formes particulieres, se servir de telle forme qui 
est la plus avautageuse dans le cas donne, il faut avoir une methode gene- 
rale pouvant donner un moyen facile pour tracer les profils des dents d un 
couple des roues qui satisfont le mieux aux exigences de la pratique. Si Ton 
veut tracer les profils des dents mathematiquement exacts, on rencontre 
des obstacles insurmontables, mais la pratique n exige pas cette rigueur; pour 
lui suffisent les precedes approximatifs, qui consistent en ce, qu on donne 
aux faces et aux flancs des dents la forme des arcs de cercle convenablement 
choisis. Quand on n a en vue que les profils des dents en arcs de cercle 
(ces profils peuvent en general remplacer tous les autres avec une approxi 
mation suffisante pour la pratique), la question de la determination de la 
forme des dents le mieux satisfaisant aux exigences de la pratique devient 
considerablement simplified, parce qu il ne s agit alors que de determiner 
les centres et les rayons des quelques cercles. En etudiant le mouvement 
des engrenages profiles en arcs de cercle, on voit qu ils ne peuvent jamais 
donner lieu a 1 invariabilite du rapport des vitesses angulaires, qui presente 
une condition necessaire pour que le mouvement de 1 engrenage soit regulier; 
par suite en determinant le profil de ces engrenages il faut se proposer pour 
but de diminuer autant qu il est possible les irregularites du mouvement 



*) Ce memoirs a paru eu frangais sous le titre: Memoire sur les engrenages par M. 
Tchebycheff. Traduction de MM. Dwelshauvers-Dery et Couharcvitch. dans la aRevue uni- 
verselle des mines 1875, pp. 523546; la traduction de M. Mescherskiy se distingue de la 
precedente en ce qu elle reproduit de plus pres le texte original. 

9 



130 

de 1 engrenage, qui proviennent de la variabilite plus ou moms considerable 
du rapport des vitesses angulaires. 

Tel est notre objet; nous allons montrer, comment on trouve, en satis- 
faisant aux exigences de la pratique, la forme des faces et des flancs des 
dents de 1 engrenage profile en arcs de cercle, pour laquelle les irregula- 
rites du mouvement de 1 engrenage sont les moindres possibles. 

2. Soient: (7, (?, (fig. 1) les centres des roues dentees (que nous appel- 

Fig. i. 




lerous en abrege: la roue G et la roue Cy, et de leurs circonfereuces pri 
mitives; R = CD, R l = G l D les rayons de ces dernieres; p = AD, $ l = BD 
les rayons des arcs de cercle DE et DF, dont le premier est le profil de 
la face de la dent de la roue C et le second celui du flanc de la dent de la 
roue G l ; A et B les positions respectives des centres de ces arcs au moment, 
ou leur point de contact est sur la ligne des centres CG l au point D; A l et 
S l les positions de ces centres a un autre moment, lorsque les arcs sont en 
contact au point quelconque G. Les angles ACA l = X et BC 1 B 1 = jx sont 
ceux, dont les roues G et G l tournent en me"me temps que le point de con 
tact des dents se deplage de D en G. L angle ^ est une fouction de X que 
nous de"signerous par .F(X); la derivee de cette fouction F (X) representera 
alors le rapport des vitesses angulaires des roues G et G l correspondant 
aux differentes valeurs de X = ACA l , 

Pour X = on a \L = 0, done la fonction .F(X) devient nulle quand 
X = 0; d autre part il est facile de voir que pour cette valeur X = la de 
rivee F (X) doit etre egale a -- . En effet, quand X = 0, le point de contact 



131 

des dents est sur la ligne des centres au point D; done le rapport des vi- 
tesses angulaires des roues G et G^ pour cette valeur de X, comme il suit 

d une propriete generale des engrenages, est egal a jj-^ = ^-\ ma is nous 
avons vu que ce rapport est egal a la derivee .F fX), par consequent 
2/(X)= |-pourX = 0. 

Avaut d examiner les irregularites dumouvement des roues G et (7 15 
inevitables, quand les dents sont profilees en arcs de cercle, remarquons 
que dans le cas considere, ou les rayons des circonferences primitives sont It 

D 

et R 1 , le rapport des vitesses angulaires devrait etre constant et egal a -^- , 
de maniere qu a un de"placement X = ACA l de la roue G devrait corre- 

Tt 

spondre un deplacement angulaire -^- X de la roue C^ , mais le deplacemeut 

reel de cette roue, comme nous avons pose plus haut, est egal a p. = -F(X); 
par suite la difference 



represente 1 erreur dans le deplacement de la roue C l correspondant au de- 
placement angulaire X de la roue G l . 

Or, nous venons de voir que JP(X) s annule pour X 0, done pour 
cette valeur de X la difference 



devient nulle egalement. Pour les autres valeurs de X cette difference n est 
pas nulle en general, mais elle s ecarte plus ou moins de zero pendant que 
X croit de zero jusqu a sa limite I qu elle atteint, lorsque les extremites E 
et F des arcs DE et DF, profils des dents, sont en contact. 

Done pour diminuer autant que possible les irregularites du mouve- 
ment de 1 engrenage considere il faut choisir les arcs de cercle DE et DF 
de maniere que la difference 



s ecarte le moins possible de zero, tandis que X varie entre les limites 

X = et X = I. 

La determination exacte des arcs de cercle DE et DF, qui rempli- 
raient cette condition est excessivement difficile a cause de la complication 
de la forme de la fonction -F(X); mais, si Ton se borne a une approximation 

9* 



132 



suffisante pour la pratique, on pourrabien se debarrasser des difficultes, pro- 
venant de la complication de la fonction F(X), en substituant a 1 expression 



son developpement suivant les puissances ascendantes de X; puisque entre 
les limites et I Tangle X est toujours fort petit, on n a pas besoin de 
prendre un nombre considerable de termes de ce developpement; pour la re 
solution des questions, qui se presentent dans la pratique, il suffit, comme 
on verra, s arr6ter a la troisieme ou a la quatrieme puissance de X, de ma- 
niere que 1 expression de la difference 



prendra la forme de 1 uu des deux polyiiomes suivants: 



ou 



3. D apres ce qui precede, la determination des arcs DE et DF, qui 
forment le profil de 1 engrenage le plus regulier, se reduit a la recherche 
des coefficients des polynomes 



pour qu ils se rapprochent le plus possible de zero entre des limites don- 
nees de X. Ces polynomes ressemblent a ceux qui se presentent, quand on 
cherche la meilleure forme du parallelogramme de Watt: ceux-la ne diffe 
rent de ceux-ci que par quelques particularity, resultant de ce que nous 
avons remarque plus haut par rapport aux valeurs de la fonction F(\) et de 
sa derivee F (X) pour X = 0. La fonction .F(X) s anuule pour X = 0, done 
dans le developpement de la difference 



n existe pas le terme, qui ne contient pas X; la derivee F (ty pour X = 
devient egale a -g-, par consequent le coefficient de X dans ce developpe- 



133 

ment est egal a zero. II s en suit que nos polynomes prennent 1 une des deux 
formes : 



Dans ces derniers polynomes comme dans ceux qui se rapportent a la 
theorie du parallelogramme de "Watt, le premier coefficient etant suppose 
connu, les autres doivent &tre choisis de maniere que les valeurs des poly 
nomes s ecartent le moins possible de zero entre les limites X = et X=. 
D apres ce qui a ete demontre dans notre memoire intitule: TJieorie des me- 
canismes connus sows le nom de parallelogrammes *), la determination de 
tels polynomes dans le cas general n est possible qu a 1 aide des fonctions 
elliptiques, mais dans le cas des polynomes du troisieme et du quatrieme 
degre elle est tres facile. En s arretant aux milliemes dans les valeurs des 
coefficients, on trouve que les polynomes prennent les formes suivantes: 

ff 2 (X 3 0,894a 2 ), 



Ces polynomes entre les limites X = et X I s ecartent de zero 
moins que tous les autres de la niesme espece, cependant il n est pas difficile 
de voir que leur ecart de zero devient le plus grand, lorsque X atteiut sa va- 
leur limite /, par consequent dans les engrenages, ou les variations du rap 
port des vitesses angulaires s expriment par les polynomes ci-dessus, la 
poussee est la plus defectueuse au moment, ou une dent echappe et ou la 
suivante va se remettre en prise a la ligne des centres. Cette circoustance 
est tres desavautageuse dans la pratique, qui exige, qu a la fin comme au 
commencement de la prise le rapport des vitesses soit le m6me; c est pour- 
quoi il faut remplacer les polynomes, trouves plus haut, par les autres, qui, 



*) T. I, pag. 111143. 

*) Les expressions exactes de ces polynomes sont: 



27 
oil a est determinee par 1 equation: o 3 -*- - (a 1) = 0, 



20 -f- 24 T/3 



134 

s ecartant le moins de zero entre les limites X et X = /, s annuleraient 
non seulement pour X = 0, mais aussi pour X = . D apres le 9 du me- 
moire precite on trouvera les polynomes cherches, si Ton remplace I par 

dans 1 expression ecrite plus haut du polyuome du troisieme degre et 



0,894 

par 7 -^ > dans celle du polyuome du quatrieme degre. On obtient ainsi 

0,952 



*- 0,638/ 2 X 2 ), 

polynomes, qui serviront a determiner les profils des dents remplissant la 
condition que le rapport des vitesses angulaires aie la nie me valeur nor- 
male a la fin ainsi qu au commencement de la prise et qui pendant la duree 
de la prise s carte les moins possible de cette valeur. 

4. Nous commencerons par le cas, ou dans le choix des profils des 
dents, les exigences de la pratique etant satisfaites, il ne reste qu une quau- 
tite" disponible, qu on peut determiner de maniere, que les irregularites du 
mouvement de 1 engrenage soient les moindres possibles. Dans ce cas, en 
nous arr^tant a la troisieme puissance dans le de" veloppement de la diffe 
rence 



nous devons poser 
(1) 

Or, en vertu de la nature de la fonction F(X), le premier membre de 
1 equation (1) peut etre reduit toujours a la forme suivante exacte jusqu a X 3 



comme nous 1 avons vu au 3; done 1 equation (1) nous donne uue relation 
eutre les coefficients K z et K 3 et, par consequent, aussi entre les quantites, 
qui determinent le profil cherch6. 

Pour obtenir cette relation nous pourrions trouver 1 expression de la 
fonction F(X) et puis comparer les coefficients de X 2 et de X 3 dans les deux 
membres de liquation (1), mais on peut proceder plus simplement, en re- 
inarquant, que 1 equation (1) differenciee donue 



1 ~~~ 

ce qui suppose avec une approximation jusqu a X 2 , que la difference 



2 

devient nulle pour X = et X = j- 1. 

La premiere valeur X = 0, annule toujours la difference 



comme nous 1 avons vu au 2; 1 annulation de cette difference pour 
X = -- 1 nous servira a trouver la relation entre les quantites, lesquelles 

O 

contient la fonction .F(X). 

Dans ce but rappelons que, d apres le 2, la derivee JF (X) reprSsente 
le rapport reel des vitesses angulaires des roues considerees et la fraction 

^ -- la valeur normale de ce rapport; si done la difference 



s annule pour \ = l, c est qu a ce moment le rapport des vitesses angu- 

laires a sa valeur normale et par consequent la normale commune aux deux 
profils en prise passe par le point de contact D des circonferences primi 
tives sur la ligne des centres GG l . Or, il est facile de trouver 1 inclinaison 
de la normale commune sur la ligne des centres dans la position, ou 
X = ~ I, ce qui servira a etablir la relation entre les quantity s qui de"ter- 
minent le profil cherche. 

5. Conservant les memes notations que dans la figure 1, nous 
aurons (fig. 2): CD = R, C l DE l les rayons des circouferences primitives, 
AD = p, J5D p u les rayons des arcs de cercle DE et DF; A et B les po 
sitions des centres des arcs DE et DF au moment, ou leur point de con 
tact est sur la ligne des centres GG 1 au point D; A l et B l les positions re- 

2 

spectives de ces centres apres une rotation de Tangle X = ACA l = y I de la 

roue (7, quand la normale commune A l B l aux profils D 1 E 1 et D 2 F l ^ comme 
il est dit au paragraphe precedent, passera par la point de contact primitif 
D; soient: r = AC Af! et les angles 

L = AGD, N= ADC, v = ADA l . 



136 
Le triangle A^DG donne la relation 

tang (ADC ADA,} = rn Al : 

CD A 
Fig. 2. 




en employant les notations adoptees on a done 



tang (.AT" v) = 



OU 



i r cos I L 



. /, 2 \ 

m ( Z ~T Z ) 



tang JV tang v 

1-*- tang JV. tang v ~ / T 2 7 \ 

E r cos i I] 

\ . / 

En resolvant cette equation par rapport a tang v, on trouve 

-B rcos[i IJ tangJf rsin(Z Z) 

/ 2 \ / 2 \ 

R rcos(i Zl-f-r sia f L ntangJV 



OU 



(2) 



tang v 



Developpant ici 



/ 2 \ 

12 sin .W r sin ( i -t-2V -- Z I 

-4- - 2 \. 

E cos N r cos I Z + N -- I \ 

--1), cos^n-i f 



137 

suivant les puissances ascendantes de /, on exprime par les series suivantes: 
le numerateur 

RsinN r*m(L + N) + lrco*(L+N)J-+-lrain(L-*-N)..P-*-...., 

et le denominateur 

RcosN r cosL-H2V rsin L-^-N) .1 -+- - r cos (L-*-N).P-*-. . . . 



Mais du triangle AGD on tire 

CD . sin ADC = AC. sin CAD. 
CD . cos ADC+ AC. cos CAD = AD, 

d ou, en remplagant Tangle CAD par 

TC (ADC+AOD), 
avec les notations adoptees on rec,oit 

J? sin N = r sin (L H- IV), 

^? cos 2V r cos (L -+- N) = p, 

ce qui reduit les expressions trouvees du numerateur et du denominateur 
dans la formule (2) aux formes suivautes plus simples: 



p y n sm i\ . i -H -; 
En divisant la premiere de ces series par la seconde on trouve 

o / 7? \ 4. 7? / 7? 1 \ 

I f*o^ / - i 1 / "-! , _L_ I r*o^i J\ ^~^~ I mn. _/T L i 

O\D / yo\D / 

\ r / r \ r / 

et par suite, d apres 1 equation (2), la valeur de tang v exacte jusqu a la 
deuxieme puissance inclusivement sera 



tangv = 4 (^ cos TV l) I -n-i j- (j- cos N- - 1) sin N.I 2 . 



138 

Mais I approximation admise permet de remplacer la tangente par son 
arc, ce qui donne 



-l)f-i4f (f costf- j)sinJVU 



Telle doit tre la variation de 1 inclinaison de la normale commune aux 
profils en prise apres une rotation de Tangle ACA l = ^-l de la roue C, 
pour que cette normale passe par le point de contact des circonferences pri- 

2 

mitives lorsque AGA l =-^l J ce qui doit avoir lieu pour Tengrenage con- 
sidSre*. 

Cela pose", il est facile de trouver une relation entre les quantites 

P, Pi, N, 

qui determinent les arcs DE et DF\ a cet effet il faut connaitre la valeur 
de v pour des valeurs quelconques de 

P> Pi, N. 
C est ce que nous allons chercher. 

6. Soient (fig. 3) A et B les positions des centres des arcs consi- 

Fig. 3. 




d^res, quand leur point de contact est sur la ligne des centres; 
= L, ADC=N, CD = E, G.D^E,, 



139 

A l et B 1 les positions des centres des arcs apres que la roue C a tourne de 
Tangle quelconque AGA l = X, 



A l CD = L \ A l D C=Nv; 

soient aussi BG^D = M et (jt, 1 accroissement de cet angle correspondant a 
Tangle de la rotation AGA l = X de la roue (7; alors 



Pour obtenir T equation qui determine la valeur de v pour une valeur 
quelconque de X, projetons le polygone CA^B^ sur la direction de laligne 
des centres et sur une perpendiculaire a cette direction; nous aurons 

4 G. cos A l CD -i- A l B l cos A l D G -+- B l C l cos B l G l D = GG l 
A,G sin 4 CD A^ sivA^G-t-B^ sin B&D = 0, 

d ou, en remarquant que 



A 1 CD = L \ A l D G=Nv, 
on trouve 

r cos (L X) -+- (p -f- p x ) cos (N v) H- r x cos (Jf -*- p.) = J? +- R 
r sin (Z X) (p -*- p x ) sin (A 7 v} -+- r^ sin (M-*- jx) = 0. 

filiminant (M-t-\.) entre ces equations, on a: 

r* = [R- i -M l r cos (L X) (p -+- p x ) cos (^ v)] 2 
-+- [ r sin (Z X) -H (p -t- p x ) sin (JV v)] 2 , 

ou en supprimant les parentheses 

r* = (^ -t- J^,) 2 -+-(?-- p^ 2 H-r 2 H- 2r (p -H pj cos (L-*- N X 
2(R-*- RJ [r cos (Z X) -4- (p -f- ^} cos (A" v)]. 



l , 



140 
Pour les valeurs particulieres X = 0, v = 0, cette egalite" devient: 

r* = (E -t- .Zy 3 -*- (p -+- pj 2 -t- r 2 -i- 2r (p -*- Pl ) cos (L -*- N] 
2 (R -t- .Zy [r cos L -+- (p -H p x ) cos IV] . 

Soustrayant cette equation de la precSdente, on obtient 

cos (L + N X v) cos (L +- N) cos (N v) cos N cos (L X) cosL ^ 

B-t-B 1 r p-t-Pi 

Pour en de"duire la valeur de Tangle v de"veloppe"e suivant les puis 
sances ascendantes de Tangle X posous 



et determinons les coefficients ^ , K z , . . . . 

En portant cette expression de v dans Tequation precedente et deve- 
loppant suivaut les puissances de X, nous aurons 

[ sin (L -t- N) / jf , >. sin N ^ sin L 



2sm(L-t-N)E 2 cos (L -t- N) (A t -+- 1)* t \ _ 

, 2 
1 

2ain 7\T ff _ _ pno 7\T 7? 2 r>ns F. I " 

olJl JLI . J\ o ^^ IjUa ATaJXl UU3 M J 



d ou pour la determination des coefficients K l} K 2 on tire les equations 
suivantes : 

sin (L -+- N) , jf -, sin N j^- sinL ^ 

T2 7? V ^-l * A ) "~~~ 7" "--I ^^" T I ~ "~"~ "1 

.K -i- zv^ r * p +- PI 

2 sin (X -*- N) K z cos (X -t- jy) (g t -t- 1)2 2 sin JV. g 2 cos N. J^ 2 __cos_ Q 

12-+-^! r p-i-pi"" 



qui donnent 

sin sin (L -+- N) 

7^ _ P -*" Pl R -*- RI 



sin (L -t- N) _ sinN 
R-t-Ri r 

),^ . 1N9 cosjy cos-L 

(A , -f- l) z -- ^.j 4 -- 

l r 1 p-t- Pl 



r 



141 
Afin de chasser de ces expressions les angles 

L = ACD et L -*- N*= ADC-*- ACD 
remarquons, que le triangle ACD donne 

sin ACD = ^c s * n -^Q 
sin (ADC-*- ACD) = sin CAD = ^ sin ADC; 

AriT . CD AD. cos ADC 
COS ACD = ^c" ~J 

/ A-r\n A rvr\\ /~i 4 T\ AD CD. COS ADC 

cos (ADC-*- ACD) = cos CAD = -^ , 

ou, d apres la notation adoptee, 

7? 

sin L = sin N; sin (L-+-N) = sin N , 

T T 

T E p cos N fr Tvr-i o RcosN 

cosL = - - ; cos (L -+- N) = - . 

r r 

En portant ces valeurs de 

sin L, sin (L -+- N), cos L, cos (L -+- N) 

dans les expressions precedentes des coefficients ^T n K 2 , on trouve, toutes 
les reductions faites, 



2 E 



R cos N) (E i -t- I) 2 -t-(E-t- RJ Tcos N.K } 



Telles sont les valeurs des coefficients K^ et K 2 de la serie 



(4) 



. . , 



qui donne la valeur de Tangle v correspondant a une valeur quelconque de 
Tangle X pour toutes les valeurs de 

9, Pl , N. 
7. En posant dans la forinule trouvee 

>.=!<, 



142 
nous aurons la valeur correspondante de Tangle v 



Or dans le cas de 1 engrenage considere d apres la formule (3) ( 5) 
cette valeur particuliere de v est 



|(f costf- l) /-H| f (f cos IV- i) Bintf. P. 
Comparant ces deux valeurs du m6me angle on obtient une Equation, 

o 

qui, etant divisee par I, prend la forme 



(5) JZi - f cos ff-H 1 -H| [X,_f (f COB ff i-) sin jy] I = 0, 

oil ITj et ff" 2 ont les valeurs mdique"es au 6. 

La valeur de ^T 1? comme nous avons vu, est tres simple: 



/S 



Quant a 1 expression de la valeur de J5T 2 elle peut 6tre considerable- 
ment simplifiee en vertu de 1 approximation, a laquelle on se borne. 

Remarquons que dans le calcul de cette valeur on peut negliger m&ne 
les premieres puissances de Z, puisque cette quantite n entre comme facteur 
que dans le dernier des termes retenus. En outre, d apres 1 equation (5), si 
Ton neglige le second terme, on a 

(7) J^ costf-f-l=0, 

Equation, a 1 aide de laquelle on simplifie facilement 1 expression de la va 
leur K^. 

En effet le numerateur de cette expression, K : etant remplac6 par la 
difference 



devient 



cosJV 1, 

p 



(p -f- B l cos N) ~ cos 2 N 2 (B -H BJ y cos 2 JV-i- f^ 1 (J2 -+- p x cos N). 



143 
Mais la formule (7), d apres (6), donne 



formule, qui se reduit a 

(8) 



P-*-PI 
En remplagant le facteur 



dans le dernier terrae de 1 expression precedente par 



on la reduit a la suivante: 

cosiV, 



p 
qui apres la substitution 

au lieu de 
devient 



ou 

-*- sin 2 N. cos N. 
Remplagons ici 

cos N 
PPi 

d apres la formule (8) par 



et nous aurons 



expression reduite du numerateur de ff a , donne a la fin du 6. 



144 

/ 

Par suite on obtient pour la determination du coefficient K z la formule 

suivante tres simple: 

(9) K* 



It JB -+- MI 

R- n -4- n Sln 
ZMi p -*- pj 



Portant les valeurs trouvees de ^ et K% dans 1 equation (5) et rem- 
plagant dans son dernier terme, d apres (8), 



par 



on obtient, la reduction faite, 



(10) 



It +- BI 



p-*-Pi* 



PI 



8. Cette equation exprime une propriete ge"ometrique tres-simple 
des arcs de cercle qui forment les profils de la face et du flauc de la dent 
de 1 engrenage considSre. Mais avant de la faire ressortir cherchons la for 
mule qui sert a determiner les longueurs de ces arcs. 

Conservant les notations precedentes des arcs DE, DF et de leurs 
centres A et B au moment, ou le point de contact des dents est sur la ligne 
des centres, soient (fig. 4) D^E^ JD 2 ^\: A> ^n ^ es positions extremes des 

Fig. 4. 




arcs et de leurs centres au moment, ou les dents vont se quitter, ce qui 
correspond, comme on 1 a vu, a la rotation de Tangle AGA l =l de la roue C. 



145 

Tracons la droite AE; Tangle GAE est egal a GA^E^ parceque A et 
A l de meme que E et E l represented les memes points de la roue G dans 
ses deux positions; done Tangle DAE qui est egal a GAE GAD sera egal 
aussi a GAfl CAD; or 

GA l H = TC A 1 GH A, EG, 

GAD = K ACD ADC, 
done 

DAE = AGD A, CH+ ADC A,HG. 

D apres nos notations: 

ACD A,CH= AGA, = I, 

ADCA l HC=N(Nv) = v, 

ou la valeur de v s obtient de la formule (4) pour X = 1; il s ensuit, quo 
si nous appellons to Tangle DAE, qui determine la longueur de Tare DE, 
profil de la face de la dent de Tengrenage considere, on a pour la valeur de 
cet angle 

o = I -+- v = (K, -+- 1 ) I -f- K 2 1 2 , 

ce qui, apres la substitution des valeurs de Kj_ et K 2 trouvees au 7, se re- 
duit a la forme suivante: 

/i i\ B-t-JBi Pi 7 -R J2-i-JBi TIT 72 

(11) co = 5 ! - -7 1 (, -+- s^- -- sm JN . I . 

R l p-f-pi 2^! P-+-P! 

A Taide de cette expression de Tangle w = DAE il est facile a faire 
voir, que Tequatiou (10) represente une simple propriete geometrique de 
Tare DE, a savoir: 

Au moment ou le point de contact des deux dents est sur laligne des 
centres, le point extreme E de Tare DE (fig. 5J se trouve sur la circonfe- 
rence, qui passe par le point D de contact primitif et par les extremites P 
et Pj des deux arcs DP et DP l des circonfereuces primitives, qui corre 
spondent a Tangle de rotation de la roue G pendant la duree de la prise des 
arcs DE et DF. 

Pour le d6montrer tragons la circonference, passant par les points D, 
P et P I} et la corde DE; soit E l le point de leur intersection; cherchous la 
longueur DE l . 

D apres uos notations 



ADC=N; DAE=u, DGP=--l, CD = R, G,D = R lf 

10 



146 

et Tangle DC^Pj est celui dont a tourne la roue G l pendant toute la duree 
dc la prise des arcs DE et DF, de sorte que 



Fig. 5. 



A 




Menons par le point D la droite DG perpendiculaire a CG, et DT 
perpendiculaire a AD; ces droites etant tangentes aux arcs DP, DP l et 
DE respectivement font avec les cordes de ces arcs les angles 



PDG = 



ou d apres les notations adoptees 



= 1 DAE, 



Quant a Tangle GDT, ses cotes etant perpendiculaires aceux de Tangle 
ADC, on a GDT= ADC et par suite GDT=N. 
On en deduit: 



P.DE, = GDT GDP, EDT= N 
PDE, == GDT-+- PDG EDT= N-+- 



147 

D autre part ayaut 

DCP=l, 



on trouve les longueurs des cordes DP et DP,: 

DP = 2 . CD . sin ^ = 2 JS sin ^ , 
DPj = 2C;D. sin ^ = 2R, sin -. 

Connaissant les longueurs de ces cordes ainsi que les angles qu elles 
forment avec la corde DE 11 on trouve facilement la longueur de cette der- 
niere a 1 aide de 1 equation: 

DP. sin (P.DEJ DP, sin (PDE,} -+- DE, sin (PDF,} = 0, 

qui a lieu pour trois cordes quelcouques passant par un meme point de la 
circonfereuce. 

En y portant les valeurs trouvees des longueurs de DP et DP, et des 
angles P^DE,, PDE,, PDP l} on obtient pour la determination de la lon 
gueur de DE, 1 equation suivante: 



/I e\\ f\Tt ^r 0) n -r-t TIT T-iT-I f\ 

(12) 27?smsmiY---27? 1 S]nsin----H-7)^ 1 sm Y -H^= 



Pour en deduire la longueur de DE, avec uue approximation du deuxieme 
ordre, developpons les deux premiers terrnes jusqu au troisieme ordre et le 
facteur de DE, jusqu au deuxieme; nous aurons: 

^ 1 DE, . I ~^ R cos N. 1 2 -+- f ^ 2 ~ 2 Rl - "^ fl l I sin N .1 2 = , 
d ou 



Remplagant co par sa valeur (11) on trouve 



expression exacte jusqu a la deuxieme puissance de I inclusivement de la 
longueur deDE,, qui determine la position du point E lt ou la circonfereuce 
passant par les trois points D, P, P, est coupee par la corde DE. 



10* 



148 

En determinant d apres les formules trouve"es plus haut la longueur de 
la corde DE, on voit qu avec une approximation dn deuxieme ordre on peut 
remplacer cette corde par Tare DE et par suite exprimer sa longueur par 
le produit 

p . w. 

A Taide de la formule (11) on trouve 

jjjij ; ^ = ^ i v i p sin .xY v 

Nous aurons done pour la difference des longueurs des cordes DE et 
DE l Texpression suivante exacte jusqu a la deuxieme puissance de I: 

DEDE l = 
^I_PPL. -jRcosJV^ ^( 2 ^-*-^)Pi-( 2jg i^^P s i n ^.^ 



Comparant cette expression avec le premier membre del equation (10) 
on voit, qu elle nediffere de celui-ci que par un facteur IE\ par suite en 
vertu de 1 equation (10) on a 



DE DE l = 0, 

done le point E l coincide avec le points, qui est par consequent sur la cir- 
confereuce consideree, ce qu il fallait demontrer. 

9. Repetant relativement a 1 arc DF, profil du flanc de la dent de la 
roue Ci , tout ce qui vient d etre dit relativement a 1 arc DE, profil de la 
face de la dent de la roue (7, on arrive aux formules, qui se deduisent des 
formules precedentes en remplagant des lettres relatives a la roue C par 
celles relatives a la roue G l et reciproquement. 

Quant a la quantite ?, qui represente Tangle de la rotation de la roue 
C pendant la prise des arcs DE et D~F, il faut la remplacer par 



T> 

parce que la roue G l en m^me temps tourne de I angle -^- 1 dans le sens oppose. 

Au lieu de Tangle w = DAE, qui mesure Tinclinaison reciproque des 

rayons AD et AE passant par les extremites de Tare DE, nous aurons 

o, = DBF 



149 

avec le sigue a cause de la position inverse des rayons BD et BF, pas 
sant par les extremites de 1 arc DF. 

L equation (11) devieudra par ces changements 

(13) o. = ^r 5 - 1 -*- I ~ ^^ sin N.P; 

R p -*- P! 2^ p -+- PJ 

1 equation (10) reste la meme, quand on passe de 1 arc DE a 1 arc DF , ces 
deux equations nous conduisent au m6me re"sultat relativement a 1 arc DF, 
que nous avons obtenu dans le paragraphe precedent relativement a 1 arc 
DE, c est a dire, 1 extremite" F est situee sur la circonference passant par 
les points D, P et P l . 

On arrive ainsi a la conclusion suivante, concernant 1 engrenage con- 
considere: 

Au moment, ou le point de contact des dents est sur la ligne des 
centres, les cinq points suivants sont sur une meme circonference : les extre 
mites des profils de la face de 1 une et de la partie vive du flanc de 1 autre 
des deux dents qui sont en contact sur la ligne des centres, les points des 
circonfereuces primitives qui viennent a la ligne des centres a la fin de la 
prise de ces dents, et le point de contact des circonferences primitives)). 

Cette propriete n est exacte que jusqu a la troisieme puissance de I, 
puisque en determinant les positions des differents points nous avons neglige 
dans nos formules les puissances de I supe"rieures a la seconde. Mais cette 
approximation est suffisante dans la pratique en vertu de la petitesse de la 
quantite I, qui represente Tangle de la rotation de la roue pendant la prise 
d un couple des dents de 1 un ou de 1 autre cote de la ligne des centres. 

En se basant sur les formules (11) et (13), on peut trouver une autre 
propriete de 1 engrenage considered Ces formules etant ajoutees donnent 



mais d apres nos notations 



et comme nous avons remarque plus haut 

TtC P 
R, - i r i 

done 1 equation trouvee se reduit a la suivaute: 
DAE-t- DBF= 



150 

Consideraut les angles que forraeut les cordes des arcs DP, DP l , DE 
et DF avec leurs tangentes ~DG et J)T, on volt que 



par suite 1 egalite precedente donne 

EDT+ FDT= PDG 



d ou 



EDF=PDP l , 



c est-a-dire que les cordes des arcs DE et DF font entre elles le meine 
angle que les cordes des arcs de retraite DP et DP l ; les points P, P l , F, 
E etant situes sur la meme circonference passant par le point D, il en re- 
suite, que les droites PP l et EF sont egales entre elles. 

On peut enoncer cette propriete de 1 engrenage considere comnieilsuit: 

La distance entre les extr6mites des profils de la face de 1 une et de 
la partie vive du flanc de 1 autre des deux dents, dont le point de contact 
est sur la ligne des centres, est 6gale a la distance des points des circonfe- 
rences primitives, qui vieunent a la ligne des centres a la fin de la prise dc 
ces dents. 

Puisque dans le trace des engrenages, on donne les circonferences 
primitives et les arcs de retraite et d approclie, on pourra toujours, d apres 
ce que nous avons montre plus haut, tracer la circonference, ou doivent 
etre situees les extremites des profils de la face et de la partie vive du flauc 
des deux dents et on conuaitra la distance de ces extremites au moment, ou 
les dents sont en contact sur la ligue des centres. 

Soient (fig. C) G et C l les centres des circonference primitives, D le 
point de leur contact. Ayant en vue de determiner le trace des profils des dents 
des roues G et C l portons les longueurs DP et DP l des arcs d approche sur 
les circonferences primitives; puis trac/ms la circonfereuce passant par les 
points -D, P, P l , sur laquelle doiveut se trouver les extremites E et F des 
profils de la face et de la partie vive du flanc des dents au moment, ou le 
point de leur contact et sur la ligue des centres; la distance de ces extre 
mites doit 6tre egale a PP l . Quant au choix de la position des points E et 
F sur la circonference, il depend des exigences de la pratique: plus ces 
points seront eloignes du point D, plus lougue sera la dent de la roue G et 
plus profond sera le creux de la roue G^ en meme temps sera plus mince le 



151 

bout de la dent de la roue G et plus etroit pres du fond le creux de la 
roue (7j. 

Apres avoir choisi les positions des points E et F sur la circonfe"rence 
et la direction de la normale commune aux profils des dents en contact au 

Fig. 6. 




point D, nous aurons les proiils cherches, en tragant par le points D et E, 
D et F les arcs de cercle, ayant au point D la normale choisie. 

10. Passons maintenant au cas, ou Ton dispose de deux quantites 
dans le choix des arcs de cercle formant les profils des dents, en vue de 
diminuer autant qu il est possible les irregularites, qui sont inevitables une 
fois que 1 eugrenage est profile en arcs de cercle. 

Developpant la difference: 



suivant les puissances ascendautes de X jusqu a la quatrienie puissance, on 
trouve, que d apres le 3 cette difference se reduit au polynome: 

# 4 (X 4 1,638 ^ -f- 0,638 W). 

D ou il suit que pour determiner les valeurs de X, qui annulent la de- 
rivee 



on a 1 equation: 

4X 3 1,638. 3. A 2 -4- 0,638. 2 J 2 X = 0. 

dont les racines sont: 



152 

On conclut de la, d apres le 4, que la uormale commune aux profils 
des dents en contact passe par le point de contact des circonferences primi 
tives pour les valeurs suivantes de Tangle X: 

X = 0, X = 0,365/, X = 0,865/. 

Les equations qu on peut deduire de cette circonstance dans le cas 
cousidere s obtiennent facilement, comme nous le verrons, si Ton fait usage 
de Tangle v, variation de Tinclinaison de la normale commune aux profils 
des dents en contact ( 5) sur la ligne des centres. 

Cherchant d apres la formule (4) les valeurs de v correspondant aux 
trois valeurs de X ci-dessus trouvees, on remarque, que la premiere est 
iiulle et les deux autres sont de la forme: 



ou il faut poser successivement 

X = 0,365?, \ = 0,865 /. 
En designant ces deux valeurs de v par v l et v z nous aurons 

v l = 0, 365 If^H-O, 365 s Kf, 
v z = 0,865 KJ -H 0,865 2 J5T 2 P. 

Soient, conform^ment aux notations precedentes, G et Ci (fig. 7) les 

Fig. 7. 




centres des circonferences primitives, CD = R, GJ) = E l leurs rayons; A 



153 

et B les centres des arcs de cercle DE et DF, lorsque leur point de con 
tact est sur la ligne des centres; AD = p, BD = ^ les rayons de ces arcs; 
AGr, BC l =r l les distances des points A, B aux centres (7, C^ ADGN 
Tangle, qui mesure 1 inclinaison de la normale commune aux arcs DE et 
DF sur la ligne des centres. Si A l et B l sont les positions des centres des 
arcs DE et DF au moment, ou le decroissement de Tangle de Tinclinaison 
de la normale commune aux dents sur la ligne GC l est egal a v l , la droite 
A l B l represente la position de cette normale, correspondant a X=0,365; 
et par suite elle doit passer par D, point de contact des circonferences pri 
mitives. 

Considerant les triangles CAD, GA^D, G^D, C^D, ou d apres uos 
notations 



et posant 

nous aurons les egalites suivantes: 



r* = ?1 2 + ^ 2 pj R, cos N t 
r i* = (Pi * W -*- ^i 2 2 (?! * h) E l cos (N Vl ), 
qui, apres Telimination de r et r l: nous donnent: 

(p /0 2 -f-.R 2 2(p h)Rcos(N t;,), 



Pour eliminer de ces equations la quantite h on peut les resoudre par 

rapport a 

p h et PJ -t- h 

et aj outer les resultats. 

On arrive ainsi a Tequatiou: 

p -H p, (JR-+- jRj) cos (N t>j) = 



2 7?p cosN-+-R*cos*(N vj -+-Vtf 2 7? 1 p 1 cos ^V-t-^ 2 cos 2 (N vj, 



154 



qui peut etre reduite a la forme: 

P -*- Pi (-R -*- -^i) cos (N vj 



V(p E cos Nf -H .fl 2 [cos 2 (JV v,) cos*N] 



i _ J R i cos Nf 



Posons pour abreger 



(14) 

ce qui donne 



cos 2 (N vj cos 2 N . 

cos 2 IV ~ i 



cos(.ZV 1 ) = cos 



et nous pourrons ecrire 1 equation precedente comme il suit: 
p -i- p t OR -H ^) cos^Vl H-^ = 



V(p 5 cos 



cos 



JV. ^ -4- V( ?l ^ 



Developpant les radicaux suivant les puissances de , , on ramene tous 
les termes dans le premier membre; divisant par n on trouve: 



E 2 cos N 

p E cos IV 

E* cos 3 N 



B, 2 COS N T) T) 

75 TT 1- M -4- M, 

7y cc\a ]\ i 



E -H ^ *, 



^r R 

8 L(P- 



cos 5 



cos Np 



= 0. 



Faisons pour abreger 



(15) 



E cos N 



p E cos N 



p t EL cos 



_ y 



et 1 equation ci-dessus prendra la forme suivaute: 



(16) 



EX 



E l 






En repetant les monies operations pour Tangle v z , qui correspond a 



1 KK _ 
i U tJ 



1 angle de la rotation X = 0,865/, pour lequel la normale commune doit 
passer aussi par le point D et posant: 



nous obtenons 1 equatiou 

RX + RJ+R + R, 
(18) >=0, 



analogue a 1 equation (16). 

Des equations (16) et (18) on deduit les valeurs de X et T; en suite a 
1 aide des formules (15) on trouve les valeurs de ? et p 1? rayons des arcs de 
cercle formant les profils des dents. 

11. Pour faciliter la resolution des equations (16) et (18) nous ne- 
gligerons d abord les termes contenant les puissances de ^ et t 2 superieures 
a la premiere. Nous aurons pour les valeurs approchees de X et Zles 
equations: 

RX -+- R l T-t- R H- R l | (MX* -*- R l Y s H- R -t- E,} t, = 0, 



qui se reduisent aux equations suivantes: 

EX -i- ^F -*- E H- R l = 0, 
RX 3 -*- R l Z 3 -f- R-t-R^O. 

On deduit de la premiere 
(19) r= -*-X-*--i. 

Substituant cette valeur de Tdaus la seconde on arrive a 1 equation: 



qui, les reductions faites, aura la forme: 
(R, R)X 3 3Z?X 2 3 (R- 



156 

Cette Equation a deux racines egales a 
egale a 

R-t-2R l 

RL R 



1 et la troisieme, qui est 



Or, remarquant que d apres la premiere des formules (15) X ne peut 
deveuir egal a 1 que si le rayon p devient nul, on conclut que les ra- 
cines egales a 1 ne sont pas admissibles dans notre probleme; done il 
faut prendre pour la valeur cherchee de X la racine 



Substituant cette valeur de X dans 1 equation (19) on trouve 



Telles sont les premieres valeurs approchees de X et de Y. Pour les 
determiner avec plus d exactitude, posons: 



(20) 



_R-+-2R l 
RI R 

Ri -+- 2R 



X> ~n 

xt JK| 



ou a et p sont les quantites negligees dans la premiere approximation. 

Introduisant ces nouvelles valeurs de X et de Y dans les equations 
(16) et (18) et supprimant les termes, qui contiennent les puissances des 
quantites a, p, 17 t 2 superieures a la premiere, on obtient: 



= 0. 



et t z dans la determi 



Si Ton se borne a la premiere puissance de 
nation des valeurs de a et p, les deux equations precedentes donnent imme 
diatement 1 equation 



157 



Pour obtenir une seconde equation simple enlre a et (3 soustrayons 
1 une de 1 autre les memes equations et, supprimant le facteur commun 



- ( 2 tfj), nous aurons : 



-2BA2 ,3 /22! -*- 222\a ft 

7? a -+- -Bi ( -7? 5- P = 

R / i \ M MI / 



RemplaQant dans cette equation 

r> 22 



7? 

^ 



d ou Ton tire 

_ 

et par suite 

Q _ 



En portant ces valeurs de a et [3, exactes jusqu a la premiere puis 
sance de j et / 2 dans les formules (20), onobtient avec lem^me degre d ap 
proximation: 



12. Substituant les valeurs trouvees de X et J" dans les formules 
(15), on aura pour la determination des valeurs p et p x les equations sui- 
vantes: 

B cos N _ R-4-2RJ r . Rj (B l H- 2R) 



_ R-4-2RJ r . _ Rj (B l H- 2R) ,, _ f \~\ 
^ Bi E L " 2^ ^) 2 ^ 1 H 2 J 



C03 N _E v -t-2E T, E (R 
E E l L " 



Si Ton se borne aux termes du premier ordre relativement a ^ et 
on en tire: 

_ 3RB l cos N r, _ (E t -4- 2E) (^ -4- < 2 )"| 
P ~ : E-t-2R l L 6(22! 1Z) J 



r. (E -H 2-R t ) (<i -4- f 2 )"j 
6(22 22!) 



158 



Quant a la valeur de la somme ^-*-/ a , qui entre dans ces formules, 
on remarque que les expressions (14) et (17), 6tant developpees suivant les 
puissances de v, donnent avec approximation jusqu a la deuxieme puissance 



t, = *, = 2 

Mais d apres le 10 on a avec approximation jusqu a la deuxieme 
puissance de I 

0, = 0,365^, v z = 0,865^, 

done avec la m&me approximation 

tfj -t- 1 2 = 2 (0,365 -t- 0,865) K, tang N. I = 2,460 X, tang ^. ?, 
ou d apres (6) 



i \i m* 

Si dans cette expression de K^ on remplace p et ^ par leurs valeurs 
r ees ci-dessus, on a avec approximation jusqu a la premiere puissance de 



trouvees 

^ et t z exclusivement 

-fT __ It - -R| 

A i = 32?! 

et par suite 

2,460 R E 1 

- 



= 0.820.^^ tang tf.J. 
**i 

Substituant cette valeur de ^ -+- ^ 2 dans les expressions des valeurs de 
et pj trouvees plus haut, nous obtenons 



Tels sont done les rayons des arcs de cercle, dont Tun forme le pro- 
fil de la face de la dent de la roue C et 1 autre celui du flauc de la dent de 
roue <7 r 

13. Pour determiner les longueurs de ces arcs, on a d apres le 8 
avec approximation jusqu a I 3 



159 

ou to est la longueur de 1 arc de cercle, profil de la face de la dent de la 
roue (7 15 supposant que le rayoii de cet arc est pris pour Punite, et les 
coefficients K l et K z d apres le 6 out les valeurs suivantes: 



i) 

~ p C 3 



(p E cos N) (A , -4- 1)2 -H (R -i- ,) fcos N. K. 2 -H 

_ _ L 



J7 _ _ L _ P -+-Pi 

22?! sin 2V 

Remplac,ant p et p x par leurs valeurs trouvees dans le 12, nous sup- 
primons les termes contenant, comrae facteurs, I 2 dans 1 expression de K^ et 
I dans celle de K 2 - nous aurons aiusi: 



K=ll N 

2 1823,2 

Apres la substitution de ces valeurs dans 1 expression ci-dessus de co 
on obtient avec approximation jusqu a I s 









Rempla^ant dans cette formule o par o n ^ par -- -L E par ^,, 

**i 
p par PJ et reciproquement on parvient d apres le 9 a la formule pour de 

terminer la longueur de 1 arc de cercle, qui forme le profil du flanc de la 
dent de la roue C^ 



JR -+- 2E 



ou Wj d^signe la longueur de 1 arc, son rayon etant pris pour Punite. 
On en deduit que la somme 

CO -4- Oj 

est egale a 



et le produit 

p. 

avec approximation jusqu a I 3 se reduit a 

H2E) sin N. I 2 . 



1GO 

Cette expression est la meme que cello de la corde DE^ ( 8), qui re- 
suite de la formule 



apres la substitution de la valeur de co. On conclut de la, que dans le cas 
present subsistent les proprie"tes que nous avons demontrees ( 8, 9) pour 
le cas, ou dans le choix des arcs de cercle formaut le profil de Tengrenage 
il n y a qu une seule quantite dont on pent disposer pour diminuer les irre- 
gularites du mouvement. 

Nous avons vu dans le 9 que dans ce cas on peut modifier suivant 
les exigences de la pratique la direction dc la normale commune aux dents 
qui sont en contact sur la ligne des centres, sans changer les positions clioi- 
sies sur la circonference DPP l (fig. 6) pour les extremites des profils de la 
face de la dent de la roue G et de la partie vive du flauc de la dent de la 
roue G^. Au contraire, dans le cas que nous examinons a present la position 
de ces extremites defiuit complement la direction de la normale commune 
mentionnee, puisque d apres le 8 (fig. 5) on a: 

N = GDI = GDE -+- EDT= GDE -+- -|-. 

En portaut 1 expression counue de w, ou p et p t doivent 6tre rempla- 
ces par leurs valeurs, on trouvc uue equation, qui determine Tangle JY, si 
Tangle GDE est donne. Si Ton a egard a ce fait que c est dans ce cas no- 
tamment que Ton obtieut la plus grande regularite possible avec des engre- 
nages profiles en arcs de cercle, on couclura de ce qui precede que toutes 
les fois, lorsqu on choisit la direction de la normale commune AB confor- 
mement aux exigences de la pratique, il faut chercher donner a cettc nor 
male la direction qui s ecarte le moius possible de celle que Tequation 
precedente fait connaitre. 

Les valeurs trouvees de to et oj : avec approximation jusqu a I doiment 



or d apres le 8 (fig. 5) 



done on a avec approximation jusqu a la premiere puissance de I 

FDT _Ri-*-2R 
EDT ~R-t-2B 



161 

D oii il ressort que, si la normale commune aux dents en contact AB 
a la direction indiquee, leur tangente commune DTdivise Fare EF en deux 
parties, qui sont entre elles dans le rapport 



ce rapport etant exact jusqu a la premiere puissance de I. 

On en deduit une construction geometrique tres-simple pour determi 
ner approximativemeut la direction de la tangente DT, correspondant a 
celle de la normale AB, pour laquelle les irregularites du mouvement de 
1 engrenage considere deviennent les moindres possibles. 

Remarquons pour termiuer, que les angles que les cordes PD et P 1 D 
(fig. 5) font avec le diametre passant par le point D ont pour valeurs appro- 
ximatives jusqu a Z 2 , respectivement: 

R + 2R l j R l + 2R 
6^ * 622, I. 

En comparant ces valeurs avec celles des angles 



qui resultent des formules trouvees, on remarque qu elles sont respective- 
meut egales avec approximation jusqu a la deuxieme puissance de I. Onvoit 
de la, qu avec ce degr6 d approximation le diametre du cercle DPP l ^ pas 
sant par le point D, fait avec les cordes DP et DP l des angles respecti 
vement egaux a ceux, que la tangente DT aux arcs DE et DF doit faire 
avec le cordes DE et DF, pour que 1 irregularite de la transmission du 
mouvement par 1 engrenage soit reduite an minimum possible. 



11 



9, 



SUE LUS QUADRATURES, 



(Liouville. Journal de mathematiques pures et appliquees. II serie, T. XIX, 1874, 

p. 1934.) 



Lu au Congr&s de 1 Association frangaise pour 1 avancement des Sciences, a Lyon, 

Seance du 25 aout 1873. 



11* 



Sur les quadratures. 



1. Dans FOuvrage tres-important que M. Hermite vient de publier 
sur F Analyse mathematique, Fillustre geometre donne une nouvelle formule 
pour evaluer approximativement la valeur de Fintegrale 

J_ y\x 2 

Dans cette formule toutes les valeurs de la fonction 9 (x) entrent avec un 
m6me coefficient; c est ce qui apporte une difference essentielle entre la 
formule de M. Hermite et celle de Gauss, et ce qui en rend tres- commode 
Fapplication numerique. L utilite des formules approximatives de ce genre 
m engage a presenter quelques reflexions sur la recherche de ces for 
mules. 

Nous supposerons que, la fonction F(x] etant donnee, on cherche a 
exprimer le plus pres possible les integrates de la forme 

J F(x) 9(2;) dx, 



i 



quelle que soit la fonction 9 (x\ par la formule 

k [9 (fljj -H 9 (x 2 ) -+- . . . -4-9 (aj], 

ou fc, a?,, # 2 ,. . . x n sont des valeurs qui ne dependent pas de la fonction 9(2). 
Comme cette formule ne contient que n +- 1 quantites k, a?,, a? a , . . . x n dont 
on puisse disposer, il est impossible de Fidentifier avec la valeur de Finte 
grale 

--i 

f F(x) 9(3;) dx 



166 

au dela des termes qui contiennent les n premieres derivees de la fonction 
9 (a?), et, par consequent, on aura 



T- 

(1) f F(x) 9 (x) dxk [9 (#j)--9 (# 2 )-*-...-*-9 (^ n )]=^ 9 (n ~*~ l) (0)-*-fc 2 Y v v ;~^ 
i 

en designant par ft n ft,,. . . les coefficients de 9 (n ~ H1) (0), 9 (n "*" 2) (0), . . . dans 
1 expression de la difference 



que Ton trouve en de"veloppant, d apres la formule de Maclaurin, la fonc 
tion 9(0;) sous le signe de l inte"grale et les valeurs 9(0^) 9( 2 ), . . . , 9(* B ) 
qui sont hors ce signe. 

2. Pour trouver, d apres la formule (1), que Ton suppose possible, la 
valeur du coefficient k et les valeurs # u # 2 , . . . , x n de la variable #, nous 
remarquons que cette formule, dans le cas particulieur ou 

<p (x) = - . 

e cc 7 

e etant une quantite quelconque, se reduit a 1 egalite 

7" 1 F(X) j 7 / 1 1 1 \ 

^ dx k\ -- 1 --- H . . . H -- = 

J Z X \Z X l Z #2 Z X n j 

1.2.3. . .w-*-l0~ n ~ 2 -i-l. 2.3... w- 



ou k, & 1? /c 2 , . . . , ic n a; 2 , . . ., x n sont des valeurs qui ne dependent pas de. 
D autre part, en denotant par f(e) le produit 



on a 



f(e) z x l z x 2 S XK 

et, par suite, la formule pr6ce"dente se reduit a celle-ci: 

F(x\ j if (is) 1.2.3... (n-Hl)fc, 1.2.8...(i 

\ > fllY I J V . t I . 



1 



UNiVER 

OF 



167 




En multipliant cette formule par z et en remarquant que, pour 2 = 00, les 
valeurs 



F 1 F(x] -, f F(x) -, 

z dx = ax, 

J Z X X 

1 J_ l ~ 

*f (*}_ 1 1 _J_ 

f(y\ v ~^ f ~^ ~^ 

J (*) . Xj X% 

1.2.3... (n-t-l)^ 1.2.3... (n-*-2)fc 2 



9 






sont respectivement egales a 

--i 

[ F (x] dx, w, 0, 0, . . . , 

i 

on parvient a cette egalitS 



-- 

f F (x) dx = nk, 



ce qui nous donne, pour la determination du coefficient fe, la formule sui- 

vante : 

-1-1 

k = - f F(x}dx. 

n J 



i 

3. Pour determiner la fonction 



f(g) = (e xj (z xj . . .(e x n ), 

nous remarquons que la formule (2), 6tant integree par rapport a ^, nous 
donne 



71 /() 1.23...wJfc, 1.2.3... (nH-l)Jfc 

x)dx = k log- 7 -^ --- 

1 

ou (7 est une constante, et de la on trouve 

1.2.8... 1^ _ 1.2.8...(n-4-l)t a 



_ 

(*) e = Ce 

Comme la fonction cherchee 



est de degre" w et que 1 expression 



168 

ne diff&re de 1 que par les puissances de z inferieures a z~ n , il est clair 
que la partie entiere du premier membre de la formule trouvee est egale 
a la fonction f(#), et que, par consequent, on aura 



i +1 

y F(x) log (z x) dx 



ou 



i +1 

J F (x) log (z x) dx 

(3) f(z) = CEe k 

en designant par E la partie entiere de la fonction mise sous ce signe. Dans 
cette formule, la valeur de la constante &, comme nous 1 avons vu, est don- 
ne"e par Pequation 

(4) fc = - 



i 



Quant a la constante (?, on trouvera aisement sa valeur en remar quant 
que le coefficient de z n , dans la fonction cherchee, est egal a 1; mais nous 
n insisterons pas sur la recherche de la valeur de cette constante, vu qu elle 
peut e"tre toujours supprimee sans modifier 1 equation 

y F(x) log (z x) dx 

f(z) = CEe = 0> 

dont les racines presentent les valeurs de # u a? 2 ,. . ., x n dans la formule en 
question 

F (x) 9 (x) dx = 
4. Passant aux applications, nous ferons d abord 

T7I / \ 1 



Vl-a;* 

ce qui est le cas de M. Hermite, et ou 1 integrale 



se r^duit a 



169 
Pour cette valeur de F(x), on trouve 

f F(x)dx=f -M= = K, 

i J T/1 ,jj2 



1 1 

-1 



T- / \ i / \ j 

F(x)\og(2 x)dx = 
i i 



done, d apres (4), 



et, d apres (3), 1 equation f(^)=0, qui determine les valeurs de x lt a? a ,..., 
se reduit a 



nlog 



Ee = mm E( M ~~ l ) =0, 

resultat identique avec celui de M. Hermite, vu que la partie entiere de la 
fonction 



2 
est egal a 

a=i cos (n arc cos ). 

5. Pour montrer une autre application des formules que nous venons 
de donner, nous poserons maintenant 



ce qui est le cas ou 1 integrale 

F(x) v 



i 
se reduit a 



-t-i 

J 9 (a;) da;; 



integrate pour laquelle Gauss a donn6 sa formule de quadrature. 
Comme on trouve 



x\dx loa- { 9 

AJ) 14/JJ - O / -I \ J 1 ^) 

on conclut, d apres le n 3, que la valeur approchee de 1 integrale J y(x}dx 
sera donnee par la formule 



170 

quand on fait k = |- , et que Ton preud pour ^ , a? a , . . . , z n les racines 
de 1 equation 



equation qu on peut mettre, par le developpement en series, sous la forme 
suivante : 

(5) V i: * "* *"* : " 

6. En donnant a n les valeurs les plus simples, telles que 

w = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
on trouve que, pour ces valeurs de n, liquation (5) devient respectivement 



JL 02-^ .1 = 

3 45 



6 ^ H- y ^ - ^ = 0, 

7 7 5 119 3 149 

~~6~^ ^360^ ~6480^ : U 

et, en resolvant ces equations, on obtient les systemes suivants des valeurs 



a?, =0,677350, 

o; 2 = -H 0,577350; 

n = 3. 

x l 0,707107, 

x 2 = 0, 

x 3 = -t- 0,707107; 



171 

n = 4. 

^ = 0,794654, 
Z 2 = 0,187592, 
a? a = -*- 0,187592, 
ic 4 = -f- 0,794654; 



^ = 0,832497, 
a a = 0,374541, 
^3= 0, 
a; 4 = n- 0,374541, 
a; 5 = -1-0,832497; 



^ = 0,866247, 
o; 2 = 0,422519, 
o; 3 = 0,266635, 
a? 4 = -t- 0,266635, 
aj 5 = -H 0,422519, 
a; 6 = -1-0,866247; 



^ = 0,883862, 
a; 2 = 0,529657, 
x s = 0,323912, 
x,= 0, 
<r 5 =-+-0,323912, 
a; 6 = -H 0,529657, 
a; 7 = -1-0,883862. 



172 
Avec ces valeurs de x lt # 2 , . . . , # n , la formule 



donne 1 expression approximative de 1 integrale 

-t-i 
J 



qui, dans certains cas, est plus commode pour les applications que ne Test celle 
de Gauss; car, dans cette derniere formule, les valeurs <p (o^), 9(# 2 ) 3 >?(# ) 

entrent munies de divers coefficients. Comme notre expression de I int6- 

+1 
gralej y(x)dx n est exacte que jusqu aux termes en 9 (n " "^(O), 9 (w ~ l ~* ) (0),..., 

on devra y prendre, en general, plus de termes que dans la formule de 
Gauss. Neanmoins, dans le cas ou les valeurs de cp (zj, cp (# 2 ), . . . , 9(2? ), 

d apres lesquelles on determine 1 integrale f 9 (x) dx, sont affectees d erreurs 

-i 
inconnues, notablement plus grandes que celle qui rSsulte des termes rejetes, 

la formule approch^e que nous venons de trouver doit 6tre preferee a celle 
de Gauss mme par rapport au degre de precision, vu que, dans cette for 
mule approcbee, la sonime des carres de coefficients, a cause de leur egalite, 
a la plus petite valeur possible. 

7. Revenant au cas rSsolu par M. Hermite, nous remarquons que 
1 integrale 



pour x = cos se reduit a 



J 9(c 



done la formule donnee par lui peut avoir des applications tres-utiles dans 
la recherche des valeurs approchees du premier terme du developpement de 
9(costf) en serie 

AQ -+- A { cos 6 H- A z cos 20 -*-... 

Pour trouver une expression pareille du coefficient A l , on devrait faire, 
dans les formules du n 3, 



Or, pour cette valeur de F (x), 1 integrale J F(x)dx, qui entre dans 
les formules du n 3, se reduit a zero, ce qui fait voir clairemeut que, pour 



173 

le cas en question, ces formules ne sont pas applicables. Nous allons mon- 
trer le parti qu on peut cependant tirer, dans ce cas, de la methode exposee 
plus haut. 

En remplaQant, dans 1 integrate 

F(x)<?(x)dx, 
la fonction y(x) par son developpement en serie 

cp (O) ep"(0) <> <p "(0) o 

3 - 



le terme du rSsultat qui contient 9(0) s annule toutes les Ms que 1 iu- 

-n 
tegrale J F(x)dx est egale a zero; mais il n en est plus ainsi, evidemment. 

de son expression sous la forme 

*[?W -*-?()-*- -*-?(*)] 

a moins qu on ne prenne, dans cette formule, la moitie des termes avec le 
signe . Nous allons done chercher a exprimer la valeur approchSe de 1 inte- 
grale 



dans la supposition de 

-HI 

/* 

dx 



i 
par la formule 

k [9 fo) -H 9 (xj -i- ... -i- 9 (xj 9 (x m ^) 9(^ m ^ " 9 (*, J] 
ou il y a m termes avec le signe -*- et m termes avec le signe . 
8. Comme, dans la formule 



il y a 2w-t-l valeurs, savoir: *, z n a?,, . . . , x m , 

dont on peut disposer, et que par sa composition, le terme en 9(0) s an- 

-n 
nule, on peut identifier cette formule avec 1 iutegrale J F(x) 9 (x) dx 

jusqu aux termes qui contiennent les 2m-*-l premieres derives de 9(2), ce 
qui nous donne 1 equation 



(x) o(x)dx=k [9(^)-t- ? W. -.-*-?(^ m ) 9 (x m ^) - ?(a m ._ t )... 9 ( 

(0) -*- k, 9 2m -*- 3 (0) 



174 

En suivant la menie marche que dans les n os 2, 3, nous trouverons, 
d apres cette equation, les valeurs des quautites &, # n # 3 , . . . , x 2m . En 

effet, posant 

i 



1 equation precedente se reduit a celle-ci: 



. 

-Xi a** zx m z 

1.2.3. .. (2m -f- 2)^ 1.2.3.. . (2w 



Faisant ensuite 

/oW = ( ^i) (* .) -(* *), 

A W = ( ^m^-i) ( ^mn- 2 ) - (* ~ 

et remarquaut que, pour ces valeurs de f Q (e\ f x (0), on a 



/ 



on peut mettre 1 equation sous la forme suivante: 



F( 



(x] , _ , r/ (ir) / (*) I 1.2.8... 

=^ rt ^ L / w " " /i w J ^ 2 



1.2.3... (2m 

""*"" ^201-1-4 

d ou, en integrant par rapport a ^, on tire 



g(^) log (,- g ) dx = fe log^-i- 1 - 2 - 3 - 

1.2.3... 



La constante introduite par 1 integration se reduit a zero, vu que tous 
les termes s annulent pour # = oo. 

D apres cette equation et en faisaut, pour abre"ger, 

1.2.3... (2m-t-l)fc 1 _ T 1.2.3... (2m-t-2)fc 2 _ j 

jfe A) jT L %**l 



175 

on trouve 



Les fonctions f Q (a), f, (#) etant de me"me degre, la fraction j~ est du 

/I (*7 

degre zero; de plus, 1 expression 



ne differe de 1 que par les puissances de s inferieures a z " l ; par con 
sequent, 1 equation trouvee nous moutre que la fraction j^\ ne differe de 

J 1 \ / 

1 expression 

j 1 F (x) log (z x) dx 

K -f 1 

e 

que par les termes qui renferment les puissances de a moins elevees que 
z 2 m i et, par suite, moins elevees que le degre de la fraction rf .,; car 

z l/i \ z i\ 

la fonction /i(s), comme nous 1 avons vu, n est que du degre m. Mais, on le 
salt, la fraction -^ ne pent douuer une valeur approchee d une fonction 

quelconque exacte jusqu a 1 ordre de rf m , a moins qu elle ne soit 1 une 

z L/i \ z )\ 

des fractions convergentes qu on trouve par le developpement en fraction 
continue, et que le quotient complet, correspondant a cette fraction conver- 
gente, ne soit depourvu du terme en . En partant de la, il est aise de 
trouver et la coustante k et les fonctions f Q (a), /J (a), qui de"terminent les 
valeurs de x l , # 2 , . . . , # m , x m _^ l , x m _ t _ 2l . . . , x zm . A cet effet, on d6ve- 
loppera 1 expression 

- J F(a;)log(^ x) dx 

K 1 

e 

en fraction continue, en s arrtant au quotient qui correspond a une fraction 
convergente dont les termes sont du degre m. figalant a z^ro le coefficient 
de dans 1 expression complete de ce quotient, on aura 1 equation qui de"- 
terminera la valeur de la constante k, et, en mettant la valeur de k ainsi 
determinee dans deux termes de la fraction convergente, on aura les fonc 
tions cherchees f (<?), (2). 

9. Pour montrer, sur un exemple, 1 usage de ce que nous venons 
d exposer, supposons qu il s agisse de trouver 1 expression approximative de 

1 integrale 

--i 

x) dx. 



176 
Pour cela on posera, dans les formules du numero precedent, 

F(x) = x. 
Pour cette valeur de F(x\ on obtient 

--l 2_1 I 

x)dx = x log (a x}dx = e -- log^y e, 



i i 

1 +1 *2 1 



=e 



En developpant la derniere expression en fraction continue, on trouve 
que le quotient complet, correspondaut a une fraction convergente dont les 
termes sont du premier degre, est egal a 

/ Q 1 \ 1 

O7 1 fv7 1. \ J. 

J Lfy | I __ I Ip ^^^ I i 

v o yA/y z 

et que cette fraction est egale a 

3kz 1 
3kz + 1 

d ou nous concluons que, dans 1 expression approximative de 1 integrale 



-- 

xy (x) dx 



i 



par la formule 

on doit prendre, pour &, une racine de 1 equation 



et, pour x lt x Z9 respectivement, les racines des equations 

3fo 1=0, 3^-i-l = 0. 
On trouve ainsi deux valeurs de k: 

k = -i-y^ 1 k y 27 

et deux systemes des valeurs de x iy x z : 



177 

mais de ces doubles valeurs de fc, a? 1? a? a , il ne rSsulte e"videmment qu une 
seule valeur de 1 expression cherche e, savoir: 



Pour trouver une expression approximative a quatre termes de 1 in- 
te"grale 

-HI 

9 (x) dx 



on prendra le quotient de la m&ne fraction continue qui correspond a la 
fraction convergente dont les termes sont du second degre". Comme la valeur 
complete de ce quotient s exprime par la serie 

1AK72 5832 & 4 945 fc 2 -H 35 1 

10 5^ --- 243* -45 -T-*-"- 

et qu il correspond a la fraction convergente 

270 W z z 90 Jest -t- 10 64 & 2 



270 k z s* -+- 90 ke -+- 10 54 fc 2 



on trouvera les valeurs de la constante k et de x lt # 2 , ic s , x par les 
equations 

5832 fc 4 945 W-+- 35 = 0, 



270 A; 2 ^ 2 -+- 90^ -1-10 54^ = 0. 

En les resolvant, on parvient a ces deux expressions approximatives 
de 1 iutegrale en question 

0,23937 [9(0.89224)-t-<p (0,50030)- 9 (-0,50030)-9 (-0,89224)], 
et 

0,32363 [9 (0,84905) -H 9 (0,18093) -cp(-0,18093)-9 (-0,84905)]. 

10. En passant a la recherche des expressions approximatives de 
1 integrate 

TC -HI 

f cos 69 (cos 6) <^6 ou 9 (a;) dx t 

J ~ V L ~" 3C 

o i 

12 



178 
nous poserons dans nos formules 



Vi=tf 
Pour cette valeur de F(x) on obtient 



i i 

1 +1 



-+-1 

x)dx=.\ x , log(,g x)dx= ir(^ Vz 2 l), 
J v i x z 



= e 



Developpant la derniere expression en fraction continue, on trouve les 
fractions convergentes 



qui correspondent aux quotients complets 



d ou, d apres le n 8: 1, pour la determination de ^, ^ 1; a? 2 dans 1 expres- 
sion approximative de 1 integrale 

TC 

f cos 6 9 (cos 6) dft 

o 

par la formule 
resultent ces equations 



et 2, pour la determination d une expression semblable a quatre termes, 

les Equations 

720 fc 4 60 it 2 W -t- TC* = 0, 

48 /b 2 ^ 2 -- 12 to H- 7t 2 1 2 & 2 = 0, 
4 8 fc 2 ,s 2 H- 1 2 to -t- TC 2 1 2 fe 2 = . 



Les expressions approximates de 1 integrale 

7C 

f cos 69 (cos 0) d6, 



179 
que 1 on obtient d apres ces equations, se reduisent a celles qui suivent: 

K 

cos 6 9 (cos 6) d8 = ~~ 1 9 (cos ) 9 [cos (n -+- 6 )]|, 

1C 

f cos 6 op (cos 6) d8 = 



0,151765u jcp (cos 0J -+ 9 (cos 2 ) 9 [cos (TC H- 6,)] 9 [cos(ic -*- 2 )] j, 

ou 

8 =30, 6, = 12, 8 2 = 48*). 

On trouverait des expressions plus approche"es de l inte"grale 

TC 

f cos 6 9 (cos 6) ^8, 



en prenant plus de termes dans la formule 

& [9 fa) -*- 9 (.)-*- --? W 9( a! H-i) 9 (!-) ?()] 

Nous n insisterons pas sur la recherche de ces formules; nous re- 
marquerons seulement que, en remplac,ant dans toutes ces formules les ter 
mes de la forme 9 (cos 6 X ) par 



1 r / 0x \ / 2TC 

T [9 (cos -f)-*- 9 (cos 



ou I est un nombre entier, on obtient les expressions approximatives de 
Fintegrale 

TC 

cos ^8 9 (cos 0)^0. 

Ainsi, en partant des formnles precedentes, qui donnent les valeurs 
approche"es, a deux et quatre termes, de Pintegrale 



cos 8 9 (cos 8) d8, 
on passerait aux expressions approximatives a 21 et 4? termes de I intSgrale 

TC 

J cos 8 9 (cos 8)d8, 



*) Hormis cette expression, il existe une autre aussi aux quatres termes, oil 
A; = 0,245562 TC, O t = 24, 6 2 = 840. 



A. L. 

12* 



180 
expressions qui peuvent &tre presentees ainsi: 



0,151765 TC 



ou les signes de soinmations s etendent a (x = 0, 1, 2, . . . , 2J 1. 



. . 10, - 

SUR 

LES ?ALEURS WHITES DES INTEGRALES. 



(Liouville. Journal de mathematiques pures et appliquees. II serie, T. XIX, 1874, 

p. 1B7 160.) 



Lu au Congres de 1 Association fran^aise pour 1 avancement des Sciences, a Lyon. 
Seance du 27 ao6t 1873. 



Sur les valeurs limites des integrates. 



Dans un Memoire tres-interessant, sous plus d un rapport, que M. Bien- 
ayme a lu a 1 Academic des Sciences, en 1833, et que Ton trouve imprime 
dans les Comptes rendus, et reproduit dans le Journal de Mathematiques 
pures et appliquees de M. Liouville (2-e serie, t. XII, 1867), sous le titre: 
Considerations a Vappui de la decouverte de Laplace sur la loi de probdbi- 
lite dans la methode des moindres carres, 1 illustre savant donne une methode 
qui me rite une attention toute particuliere. 

Cette methode consiste dans la determination de lavaleur limite del in- 
tegrale 

r 

f(x) dx 
d apres les valeurs des integrates 

nA r A. fA ^ 

f(x) dx, x f(x) dx, x* f(x] dx, . . . . 

^0 "0 ^0 

ou A > a et f (x) une fonction inconnue, assujettie seulement a la condition 
de garder le signe -H entre les limites d integration. La demonstration simple 
et rigoureuse de la loi de Bernoulli, que Ton trouve dans ma Note sous le 
titre: Des valeurs moyennes*), n est qu un des resultats que 1 on tire aise- 
ment de la methode deM. Bienayme, et d apres laquelle il est parvenu lui- 
meme a demontrer une proposition sur les probabitites, d ou la loi de Ber 
noulli decoule directement. 

En cherchant a tirer tout le parti possible sur les valeurs limites de 
1 integrale 

b 
f(x] dx 

a 

T. I, p. 687-694. 



r 

J a 



184 
des valeurs des integrates 

,5 f* r B C B 

f(x) dx, x f(x) dx, x 2 f(x) dx,...., \ x m f(x) dx, 
A JA J A JA 

ou 1 on a 

A<a, B>b, 

et ou f(x) reste positive, je suis parvenu a reconnaitre que ces recherches 
conduisent a des theoremes d un nouveau genre, concernant le developpe- 
ment de Fexpression 



f f W 

I Z X 

J t 



dx 

Z X 

A 



en fraction continue, qui joue un si grand role dans la theorie des series. 
Voici, par exemple, un de ces theoremes: 

Si ^jjj est une des fractions convergences de 

f B 

-lifL fa 

\ Z X 

J A 

que Von trouve en developpant cette expression en fraction continue 



a 2 z -t- p 2 -f- . _ 

et que 

*1 3 *i> j *| j l-t-i * J n i n * 

soient les racines de Inequation 



rangees suivant leur grandeur: toutes les fois que la fonction f(x) reste 
positive entre les limites x = A, x = B, la valeur de Vintegrale 



f(x) dx 
surpasse la somme 

T v yt -2/ 



185 
et reste au-dessous de celle-ci: 

9 (z n i) 9 ( n ) 

"" F (* n -i) * (*n) 

Comme exemple des problemes qu on parvient a resoudre par cette 
methode, je citerai celui-ci: 

fitant donnas la longueur, le poids, le lieu du centre de gravite et le 
moment d inertie d une droite materielle de densite" inconnue et variable 
d un point a 1 autre, trouver les limites les plus proches du poids d un 
trongon de cette droite. 

En supposant qu il s agisse d evaluer le poids d un trongon de la ligne 
comptS d un de ses bouts, dont la distance du centre de gravit6 est egale 
a ^, et en designant par ?, p la longueur et le poids de la ligne entiere, 
par k son moment d inertie autour de 1 axe passant par son centre de gra 
vite et perpendiculaire a celle, par a?, z la longueur et le poids du tronc.on 
en question, on parvient a cette solution: 

Tant que x est au-dessous de 

, k 

a 



(Z-d)jp 

le poids z reste compris entre 

et kp 



(d x) z p -+- k 

dans le cas ou x surpasse 

dp"* 

ce poids reste entre les limites 



at 



en fin , si x reste compris entre 

d ( i- d ) p et d -*-dj>> 
la valeur de ce poids est comprise entre les quantites 

(x d) (I d] p -t- k , (I -+- d a;) (I d) p k 

Ix 1(1 x) 



OMQl 

SUR LES FONCTIONS 
QUI DIFFERENT LE MOWS POSSIBLE DE ZERO. 

(TKADUXT PAK K. N. KXANXKOF.) 



(Liouville. Journal des mathematiques pures et appliquees. II serie, T. XIX, 1874, 

p. 319-846.) 



KT> XXII Tony SanacoKt HMnepaiopCKoft AKaxeMiH HayKt, JYa 1, 1873 r., 
cip. 132,) 



Bt sac-feAanin $H3HKO-MaTeMaTHiecKaro OT^JieHifl 28 noflfipa 1872 r.) 



Sur les fonetions qui different le moins pos 
sible de zero. 



1. J ai montre, dans le Memoire Sur les fonetions semblaUes a celles 
de Legendre*), comment le precede que ce geometre a employ 6 **) pour eta- 
blir la propriete fondamentale des fonetions connues sous son nom pouvait etre 
etendue a d autres fonetions, plus compliquees, qu on obtient en developpant 
1 expression 

(l -t- 8 -4- Vl 2sx -+- s 2 ) A (l s 

y\ 

en une serie de la forme 



Jacob i, dans son Memoire intitule: Untersuchungen uber die Differ en- 
tialgleichung der hypergeometrischen Reihe***), deduit la mme propriete 
des fonetions 

T T T 

J 1 ) ** 

a 1 aide d une equation differentielle a laquelle on satisfait au moyen de s6- 
ries hypergeometriques. 

Je me propose ici d appliquer ces fonetions a une recherche qui mon- 
trera plus clairement encore leur rapport intime aux fonetions de Legendre. 

Cette application consiste a determiner les polynomes de la forme 



qui, sans cesser de croitre ou de decroitre constamment entre des limites 
donnees, different aussi peu que possible de zero. Les polynomes de cette 



*) T. II, p. 6168. 

**) Exercices du Calcul integral, t. II, p. 250. 
***) Jacobi, Mathematische Werke. Band. III. 



190 

espece, comme nous le verrons, s expriment a 1 aide des fonctions de Le- 
gendre uniquement dans le cas ou w, le degr6 du polynome, est un nombre 
impair, et le polynome lui-m&ne est une fonction croissante. Dans tous les 
autres cas, la determination de ces polynomes exige 1 emploi d autres fonc 
tions que nous venons de designer par T , T 1} T 2 ,. . . et que Ton obtient 
en developpant en serie 1 expression 

(l .+. s .+. yT^- 2sx -+- s z ) X (l s -+- y\ 2sx -+- s^ 



Yl 2sx -+- s 2 

pour des valeurs de X et [ji differentes de zero. Les polynomes determines 
de cette fac,on trouvent une application utile dans les recherches de 1 Ana- 
lyse pure, comme dans les questions de Mecanique pratique, ainsi que nous 
1 avons montre dans notre Communication du 22 aout 1871, faite a Kiev 
lors de la troisieme reunion des naturalistes russes, de m6me que dans notre 
article sur le Regulateur centrifuge, imprim6 a la suite du compte rendu de 
de 1 ficole technique de Moscou pour l anne"e 1871. 

2. Pour simplifier les formules, nous supposerons que les limites des 
valeurs de la variable x sont reduites a - - 1 et -H 1 (ce qu il est toujours 
facile de realiser). 

En designant par F (x) le polynome 



nous ferons remarquer que 1 une des conditions de notre probleme impose a 
la fonction F (x) d etre constainrnent croissante, ou constamment decrois- 
sante, depuis x = - - 1 jusqu a x = -+- 1, de sorte que sa d6rive"e pre 
miere 

F (x) 

doit conserver toujours le meme signe entre ces limites; par consequent, les 

valeurs primitives 

F(-\\ *(-*-!), 

qui correspondent aux valeurs 



representeront les limites entre lesquelles la fonction F (x) variera dans le 
passage deic = --laa; = -t-1. Pour que le polynome F (x) puisse dif- 
ferer aussi peu que possible de zero, en passant de F ( 1) a F(-*- 1), il 
faut que le plus grand des nombres 



191 

soit, en valeur nume rique, aussi petit que possible et qu il ne puisse deve- 
nir moindre par aucune variation du polynome F (a?), compatible avec les 
conditions de la question, qui de"terminent le degre" et la forme du polynome 



ainsi que le signe de sa derivee F (x). 

II est facile de voir que le polynome cherche doit e"tre tel que Ton ait 
I Sgalite 

F(-Hl) = -F(-l). 

En effet, si cette egalite n a pas lieu, nous n aurons qu a retrancher de 

F(x) 
la quantite constante 



ce qui, evidemment, ne change ni la forme du polynome F(x), ni la valeur 
de sa derivee, et nous obtenons, au lieu des limites anciennes, 



deux nouvelles valeurs que voici: 



W( 1 , +-*--l (-*-l-(-l) 

~^~ ~1~ 

En comparant les carres de ces quantites avec la moyenne arithme tique des 
carres de 

F(- 1), F(+ 1), 
nous verrons que 



\ 2 y~ 2 ; 2 

D ou il resulte que le carr6 des nouvelles limites 

F(-t-l) F(-l) F(-l)-F(-t-l) 

2 2 

sera infe"rieur au plus grand des carres 



192 

et que, par suite, les nouvelles limites seront infe"rieures, en valeur nume - 
que, a la plus grande des anciennes liraites. Ainsi nous sommes conduits a 
admettre que, dans la question qui nous occupe, tous les polynomes cher- 
ches doivent satisfaire a 1 egalite 

F(-Hl) = F( 1). 

Cette e~galite" nous donne done les moyens de trouver la valeur des po 
lynomes que nous examinons, a 1 aide de la valeur de leur derivee. 
En effet, representons le polynome F(x) par 1 integrale 



,* 

F(x} = \F (x}dx-+-C 

+) 



et mettons cette expression dans 1 egalite trouvee ci-dessus, nous obtenons, 
pour determiner la constante (7, liquation que voici: 



-HI 

r 

\F (x)dx-+-G= G. 

/ 



D ou Ton tire 



1 

En mettant cette valeur de G dans 1 expression de F(x), on a 

-t-i 

fX / 

(1) F(x) = F (x) dx \\F (x}dx. 

J J 



i i 



En determinant les valeurs limites du polynome F(x) correspondant 
x = zt 1 , nous trouverons qu elles sont egales a 1 integrale 



prise avec le signe -i- ou avec le signe . II s ensuit, de plus, que la plus 
grande valeur des polynomes que nous avons en vue sera egale a la valeur 
nume rique de 1 integrale 

i i i 

T \F (x)dx. 



193 
3. Passant a la determination de la derived 



nous ferons observer que, comme nous 1 avons dit, c est une propriete des 
polynomes que nous considerons d avoir une derivee premiere qui ne change 
pas de signe entre x = 1 et # = -H 1 ; done non-seulement toutes les ra- 
cines de 1 equation 

F (x) = 0, 

comprises entre les limites 

Ou ^ = ~~ J. . Q/ == ^ ~~\ L j 

doivent eitre multiples, mais le degre de leur multiplicite doit s exprimer en 
nombres pairs. 

Or, designons par 

i* a 2) ---- a m 

toutes les racines de 1 equation 

*"(*) = 0, 

superieures a 1 et inferieures a -+- 1, par 

2X n 2X 2 , ---- 2X m 

les degres de multiplicite de ces racines, et supposons, comme cela est per- 
mis, que 1 equation 





ait X racines egales a -+- 1 , et > racines egales a 1 ; nous allons prou- 
ver que la somme 



qui represeute le nombre des racines de 1 equation 

F (x) = 0, 
ne depassant pas les limites 



ne saurait etre inferieure aw 1, on au degre de cette equation. 

Pour nous en convaincre, admettons le contraire, c est-a-dire posons 

(2) X-i-X -i-2X 1 -*-2X a -f- ---- -i-2X m <w 1, 

13 



194 

et prouvons que dans cette hypothese il est toujours possible de faire varier 
le polynome F(x) sans deranger ni sa forme, ni le signe de sa derivee F (x) 
entre les limites x = 1 et a? = -*- 1 , mais de maniere a diminuer la 
valeur de I intSgrale 






qui determine la limite de 1 ecart entre le polynome cherche et zero. 

Pour le faire voir, nous observerons que, d apres ce que nous venons 
de dire, 1 equation 

F = 0, 
et la suivante 

(x l) x (x -H l) x (x o^f (x a 2 ) 2X (x aj 2 ^ = 

auront, entre les valeurs limites x = 1 et x = -t- 1, les memes racines 
et avec les m&nes degrSs de multiplicity et, par suite, le rapport 

F (x) 



ne changera pas de signe entre x = 1 et a? = -H 1 et sera compris en 
tre deux quantites distinctes de zero. DSsignons par L la plus petite de ces 
quantites en valeur numerique, et remarquons que la difference 

F (x] 



_ 

(x - !)> (x + & (x - ai ) 2 * (x - a 2 ) 2 ^. . . . (x - a 

pour toutes les valeurs de x inf&rieures a -*- 1 et superieures a 1 , aura 
le meme signe que le rapport 

F (x) 



et qu elle lui sera inferieure par sa valeur numerique. La m6me chose, evi- 
demment, aura lieu pour les expressions 

F (x) L Q (x - l) x (x -f- l) x (x ^ (x - ^ ....(x oij^ , 



qu on d^duit des precedentes en les multipliant par 

(x l) x (x -+- 1) >0 (x ai ) 2X (x a 2 f> ____ (x a m ) 2X - . 



195 
d ou il est clair qu en soustrayant de F (x) 1 expression 

L (x- l) x (x+ !) (x aj* (z-a 2 f>. . . . (x a m f , 

nous ne cessons pas de satisfaire a la condition de conserver le m6me signe 
a F (x) entre les limites x = 1; mais nous diminuons par la la valeur 
absolue de 1 integrale 



I. 



F f (x)dx t 



qui determine la limite de 1 ecart entre le polynome cherche et zero. 
Quant a la forme du polynome 



apres avoir fait subir a F (x) la transformation ci-dessus indiquee, elle re- 
stera la m&ne, car, d apres 1 inegalite" (2), 1 expression 



ne contiendra pas de puissances de x, superieures tout au plus a n 2. 

Nous voyons ainsi qu en admettaut la possibilite de 1 inegalite (2) on 
peut rendre le polynome F(x) plus approche de zero, en lui conservant, con- 
formement aux conditions de la question, la forme 



x n 



et sans faire varier le sigue de sa derivee premiere entre les limites x = 1 
et x = -+- 1 . 

Or cette conclusion est absurde, puisque, par hypothese, le polynome 
en question est celui qui differe le moins possible de zero, entre les limites 
x = I et x = -t- 1. 

En observant que cette ine"galite, dont le cote gauche est le nombre 
des racines de liquation 

F (x) = 0, 

comprises entre les limites x = 1 et x = -+- 1 , et la partie droite le 
degre n 1 de cette equation, ne peut avoir lieu, non plus, avec un signe 
d inegalite contraire au premier, nous sommes conduits a admettre I 6galit6 



13* 



196 
d ou il resulte que toutes les w 1 racines de 1 equation 

= 
lui seront communes avec 1 equation 

(x l) x (x -*- 1) >0 (j a^ (a; ,) ____ (x aj 2 *- = 0, 
et qu ainsi Ton a 

F = G(x l) l (x-t- 1 ) x (x a,)* (a; a 2 f * ____ ( aj*., 

ou (7 est un facteur constant. 

Pour trouver la valeur de ce facteur, nous observons que, le polynome 
cherche etant de la forme 

x n +A l x n ^+A,x*-*+.... + A^ l x + 4 n , 

sa derivee sera 

F (x) = nx n ~ l -*- (n 1) A l x n ~ 2 -4- ( 2) A 2 x n ~ 3 *-..,--* A-! i 
ce qui ; etant compare a 1 expression ci-dessus de 2^(2?), nous donne 

n = O. 

Par consequent, F (x) peut 6tre representee par la formule que voici: 
F (x) = n(xl) l (x-*-iy(x ai ) 2X (x a 2 ) 2Xa ____ (x a m ) 2X . 

Si maintenant on designe par 

2i ^o 
es quotients, et par 

?> Po 
les restes qu ou obtient en divisant les exposants 

X, X 

par 2, cette egalite pourra 6tre mise sous la forme 
F (x] =n (x1)* (x+ l) po (* I) 9 (a;-f- 1) ?0 (a; 0^(0; a a ) x .. . .(a; a m ) 



ou bien 

(3) F = w (a; l) p (aj -i- l) pa . U 2 , 



1 Q7 _ 
iU I 

U etant un polynome donne par la formule 

(x l) q (x -H If (x a x ) x (x a 2 ) x ____ (x aj x = U. 

4. Les nombres p et p de la formule (3) etant les restes de la division 
de X et \ par 2, ils ne peuvent avoir que les valeurs 

0, 1, 

et il est tres-aise de voir, dans chaque cas particulier, d apres la forme du 
nombre w, degre du polynome cherche f (x\ et d apres le signe de sa 
derivee premiere F (x\ entre x = 1 etaj = -t-l, lequel de ces deux 
nombres doit tre adopte pour p et p dans 1 expression de F (x) par la for 
mule (3) 

f (x] = n (x !)P (x -+ l) po U\ 

En eflFet, si w, degre du polynome 

F(x) = x n -*-A l x n ~ 1 -*- A 2 x n ~ 2 -*- .... -*-^ n _^ -t- A n , 



est un nombre impair, sa derivee F (x) sera de degre pair, et dans ce cas 
1 egalite (3), ou U 2 est aussi une fonction de degre pair, indique que le 
facteur 

(x -- l) ? (x -t- l) p 

doit aussi 6tre une fonction de degre pair; mais comme il n est possible de 
satisfaire a cette condition, ni dans 1 hypothese de 

P = et po = 1 , 
ni dans celle de 

p = 1 et po = 0, 

on est force d admettre que, dans ce cas, on aura ou 

p = et po = 0, 
ou bien 

p = 1 et p = 1. 

Pour decider lequel de ces deux systemes de valeurs de p et p doit 
e tre adopte, nous observerons que le premier nous donne, d apres la formule 
(3), 1 expression 



198 

et le second 

F (x] = n (x 1) (x -+- 1) U\ 

et qu ainsi, la variable x demeurant comprise entre 1 et -*- 1, dans le 
premier cas, F (x) aura une valeur positive, et que, dans le second cas, elle 
aura une valeur negative. De cette fagon, il est clair que les valeurs 

p = et p = 

doivent tre adoptees dans le cas, ou F(x) sera une fonction constarnment 
croissante entre les limites x = 1 et x = -4- 1 , et les valeurs 

p == 1 et Po = 1 , 

dans le cas, ou F(x) sera une fonction constamment decroisante. 

Passant a la consideration du cas ou n est pair, nous observerons que, 
dans cette hypothese, le degre" de la derivee premiere de F(x] sera impair, 
et, par suite, pour satisfaire a I Sgalite (3), nous devons assigner a p et p 
les valeurs que voici: ou bien 

P = 0, p =l, 
ou vice versa 

p=l, Po = 0. 

Or, comme pour ces valeurs de p et p la formule (3) devient respecti- 
vement 



et que la premiere de ces deux expression reste constamment positive depuis 
x = 1 jusqu a x = -t- 1, et la seconde constamment negative pour les 
m&mes valeurs de x, nous concluons que, dans le cas de n pair, on a 

p = et po = 1 , 

si F(x) est un polynome toujours croissant, depuis x = 1 jusqu a 
= -f-l, et 

p=l et p = 0, 

quand F(x) decroitra constamment entre les m6mes limites. 

5. Pour determiner le polynome C7, qui figure dans 1 expression ci-des- 
sus de F (x\ nous ferons remarquer que, d apres le n 3, ce polynome est 
un produit de la forme 

(z-_l)<(z-4- l^(x-^(x-^. . . .(x a m ) x - 



199 
par consequent, il a toujours la forme 



et la valeur du degre I s obtient a 1 aide de l e"galite (3), qui donne, eutre 

les exposants, la relation 

(4) n l=p-*-p -t-2Z, 

D un autre cote nous savons, par le n 3, que la limite de 1 ecart entre 
ze>o et le polynome cherchS F(x), depuis x = - - 1 jusqu a x = -*- 1, est 
egale a la valeur numerique de 1 integrale 



-HI 



mais cette iutegrale (3) se r^duit a 



_ 



si Ton y met pour F (a;) son expression (3), et la valeur numerique de cette 
derniere integrate est evidemment 



-4-1 






Done, en designant par L la limite de 1 ecart entre zero et le poly 
nome cherche F(x\ nous aurons 

(5) L = y [ (1 -*- x}? (1 xj U* dx. 

i 

Ainsi, pour diminuer, autant que possible, la quantite L, sans changer 
toutefois les conditions de la question, nous aurons a determiner le polynome 
U de fac.on a rendre minimum 1 integrale 



- 



(ln-a;) po (l 



200 

II est facile d y parvenir a 1 aide des fonctions 

T T T T 

<fdi -M -^2 *fi 

qu on obtient en dSveloppant 1 expression 

(l .+. g .+. yi 2sx -t- s 2 ) X (l s -+- "/I 



/I 2sz -+- s 2 

en une se"rie de la forme 



En efifet, on salt que ces fonctions sont de degres 0, 1, 2,..., ,..., et 
qu en general pour tout m distinct de m l elles satisfont a 1 equation 



= 0; 



de plus, il resulte, de ce que nous avons etabli dans notre Memoire Sur ks 
fractions continues *), que I intSgrale 



-4-1 



Z2 



dx 



l 



Z 6tant de la forme 



of 



acquiert une valeur minimum lorsque le polynome Z ne differe de la fonction 
T t que par un facteur constant. Nous en concluons done que le polynome 



qui correspond a la valeur minimum de 1 integrale 



sera donne" par la formule 
en faisant 

*) T. I, pag. 203-230. 



U=C.T t , 



= Po> P~ P 



201 

dans 1 expression de la fonction T r qui nous est fournie par le develop 
pemeut en serie 



de 1 expression 

(l -t- s -t- VT^Zsx -t- s 2 / (l 8 -+- y 1 2sa; 



s 2 

Designant par 
le coefficient de x l dans la fonctiou 



et remarquant que cette puissance de x doit figurer dans le polynonie U avec 
un coefficient egal a 1 unite, nous en concluons que 1 expression que nous 
venons de trouver pour U entraine 1 egalite 



d ou 1 on tire 

f 

et, par suite, le polynome U est completement determine par 1 equation 
(6^ U= T 

Ki * 

ou, comme nous venons de le dire, la fouction T l s obtient en developpant 
1 expression 

(l __ s _. y\ 2sx -+- s 2 )~ p (l a -+- y\ 2sx-+- s 2 )~ p 



Or, comme ce developpement peut 6tre represente par I egalit6 que 
voici : 

M 
(l -<- S -+- y 1 2SX -+- S 2 )~P (l S -*- Vl 2SX -+- S 2 )~P "^ rp Wt 

y\ 2sx-t-s 2 "o 

en designant par 

les coefficients de 

x v \ x m ~ 1 



202 
dans la fonction T m pour une valeur quelconque de w, nous aurons 



s 2 )~P (l 8 -*- Vl 2sx 



2s:c-+-s 2 



quelles que soient les valeurs de s et x. Done, si Ton pose 



a 

s 



et si 1 on fait ensuite 

8=0, 

1 egalite ci-dessus se reduit a la formule 

(l -+- Vl 2a)~P~P _ 
Vl 2a 

Cette formule nous montre que K t , coefficient de of dans la fonctiou 
TI, sera identique au coefficient de of dans le cteveloppement en serie de 
1 expression 



y\ 2a 

Mais comme on sait, par ce que nous avons dit dans le n 4 sur les 
nombres p et p, la somme p-f-p ne peut 6tre que zero, 1 ou2; Texpression 

(l-t-Vl 2ac)~ pl) ~ p 
T/l 2a 

pour ces valeurs, peut tre developpee en series 

1 1.8 o 1.3 5....(2Z 1) / 

; -- 



1.3 1.3.5 2 1.3.5....(2^--l) / 

a ~ l ~ a " H ---- ~*"-- a 



11 1 2.1.3 _1_ Z-f- 1 1.3.5...(2Z-i-l) I 

Y" T~~"2" 3JL2 a " H ---- H "Y 



par suite, le coefficient ^T /3 selon que Ton pose 

p -i- p = 0, 
p-f- Po =l, 

pn-p =2, 



203 
aura les trois valeurs que voici: 



(7) 



l.3.6....(2Z 1) 
1.2.8....Z 

1 1.3.5 ---- (2^-4-1) 



_L 1-3.5....(2U-1) l-t-i 
T* 1.2.8.. ..{?--!)* 1-4-2* 



6. D apres toutes les recherches precMentes, il sera aise de trouver, 
dans chaque cas particulier, un polynome F(x) de la forme 



qui, tout en restant toujours croissant ou decroissant depuis x = 1 
jusqu a x = -+- 1, differe le moins possible de zero entre ces memes limites. 
Nous commencerons par determiner les nombres p et p en observant 
que, d apres le n 4, on a, n etant impair, 



ou bien 



selon que le polynome cherch^ croitra ou decroitra constamment entre les li 
mites x = let#=-+- 1 , et que, dans le cas de n pair, ces memes nom 
bres seront 

P = 0, Po=l, 
ou bien 



selon que le polynome cherche sera constamment croissant ou constamment 
decroissant pour toutes les valeurs de x depuis x = 1 jusqu a x = -*- 1. 
Connaissant p et p , nous trouvons, a 1 aide de 1 equation (4), 

(8) z _n-P-Po-i ? J^ ;;;:.^.;: 



puis nous cherchons la valeur de la fonction T I} coefficient de s l dans le d6- 
veloppement de 1 expression 



/I 2sx -+- s z 

selon les puissances ascendantes de s, et la valeur du coefficient K t , par la 



204 



formule (7). Les valeurs de T t et de K t etant connues, a 1 aide des equations 
(3) et (6), dont on elimine la fonction Z7, nous determinons F (x), derivee du 
polynome cherche", 

F (x} = -(x-*-\T(x l)*.Tf; 



mettant cette valeur a la place de F (x) dans liquation (1), nous obtenons 
enfin, pour 1 expression du polynome cherche, la formule que voici: 

-i-i 

/*"" c 

(x l) p (x -*- l) po Tf dx\\(x l) p (x H- l) po Tf dx 

j *) 

i i 

Nous trouverons ainsi le polynome cherche, qui, jouissaut de la pro- 
priete de croitre ou de d6croitre constamment depuis x = 1 jusqu a 
x = -+ 1, differera de z6ro moins que tous les autres polynomes de la 
m^me forme. 

Maintenant, pour calculer la valeur de Z/, limite des hearts de ce poly 
nome, nous observerons que la formule (5), en y mettaut 1 expression de V 
tiree de 1 equation (6), nous donue 



ou bien, en mettant pour n sa valeur tiree de 1 equation (4), c est-a-dire la 
somme 2Z -H p -*- p -i- 1, 



Nous observerons ensuite que, d apres ce que nous avons etabli, dans 
notre Memoire Sur les fonctions semblables aux fonctions de Legendre *), 
sur la reduction de 1 integrale 



ev? co 

V T *m V 

^^m s 7 1 





dx 



*) T. II, p. 61-68. 



205 
a 1 integrale 





la valeur de 1 integrale 



f 2^-t 1 -*-! (1 stx)V- 
J X* (I X)V (I StX 2 ) 



(I -+- x)t (I x) ? T* dx 
*/ 



qui entre dans 1 expression de L, sera le coefficient de (st) 1 dans le deve- 
loppement de la formule integrale 



stx)-? j 

dx 



n 
P (1 x)~ f (1 * * 

suivant les puissances ascendantes de st. Or, comme cette integrale devient 



g = Pour P = et Po = 0, 



pour P = , Po = , 

s + s 

et 

-2T 1 S( 1 st ^ P ur P^ et Po^ 1 

de m6me que pour p = 1 et p = 0, et que ces trois expressions se deve 
loppent en trois series que voici: 









les valeurs de 1 integrale 



206 

seront pour les trois systemes de valeurs de p et p que nous venons de 
mentionner, 



Z-i-l 



En mettant ces valeurs dans 1 expressiou de L a la place de l inte"grale 



qui y figure, et en remplagant K t par ses valeurs tirees des Equations (7), 
nous obtenons pour la valeur de L les trois expressions que voici: 

T __ /1. 2. 3 ....... I 

-\1.3.5....(2Z 

T __/1.2.3....(l 



r __ 



correspondantes aux trois hypotheses sur les valeurs de p et de p 

p = 0, p = 0, 

p=l, p =l, 

P = 0, p =l 5 ou Men p=l, p = 0; 

mais, d apres (8), ces trois systemes d hypotheses sur les valeurs de p et 
nous donnent 

j _ n 1 j _ n 3 j __ n 2 

* ~~2~~ J 6 ~~2~" ~^~ 

et par suite les expressions ci-dessus de L se reduisent a 



L = 



^1.3.5 (n 2)/ 

L=( 



1-" 1 



207 

Les deux premieres de ces expressions de L obtenues dans les hypo 
theses 

p = 0, p = 0, 

p = l, p =l, 

et se rapportant toutes deux, d apres le n 6, au cas de n impair, peuvent 
tre remplacees par une seule formule 



L = 



qui se reduit a la premiere ou a la seconde, selon que dans n 1 on prend 
le signe -+- ou le signe . Or, comme la premiere des trois expressions 
ci-dessus de L correspond a Phypothese 



c est-a-dire (d apres le n 5) au cas, ou le polyn6me cherche ue cesse de 
croitre entre les limites de x = 1 et x = -+- I , et que la seconde de ces 
expressions a 6te obtenue dans Fhypothese de 



c est-a-dire en admettant que le polyuome cherche decroit constamment entre 
les limites de # = 1 et # = H- 1 , nous concluons que Ton doit garder, 
dans la formule 

.2.3. ... 

n -t- 1 



le signe -i- ou le signe , selon que le polynome cherche ne cesse de croi 
tre ou de decroitre entre les limites x = let# = -t-l, bien entendu 
dans le cas ou w, le degre" de ce polynome, est un nombre impair. 

Quant a la determination de L dans les cas de n pair, la valeur est don- 
nee par la troisieme expression de L, a savoir : 



1.2.3. 



\1.8.5.. ..(*-!), 

car elle a etc obtenue en faisant 

p = 0, p =l 
ou bien 



208 
7. Les polynomes de la forme 

x n -4- A, x n ~ l -<- A?-* -*- . . . . + ^ n _, x + A n , 

determines conformement a ce qui vient d etre dit, differeront moins de zero, 
entre les limites x = 1 et x= -+- 1, que tous les polynomes de la meme 
espece, et qui seront, comme eux, constamment croissants ou constamment 
decroissants entre les limites indiquees de la variable x. En d autres termes, 
l cart entre zero et tout polynome satisfaisant aux memes conditions ne 
saurait 6tre inferieur a L, limite des ecarts entre zero et la valeur des po 
lynomes que nous examinons. Les valeurs de L que nous venons de trouver 
nous permettent d enoncer le theoreme suivant: 

Theore"me. 
Si un polynome de la forme 



x n 



ne cesse de croitre ou de decroitre depuis x = 1 jusqu a x = -+- 1 sa 
valeur numerique ne saurait etre, dans ces limites ^ inferieure a 




^-a ? rT / i si n est un nombre pair, 

.d.O....(W I)/ 

ou lien a 



q-r, si n est impair. 



Dans la derniere formule, il faut prendre dans V expression n 1 le 
signe -+- ou le signe , selon que le polynome clierche croit ou decroit de 
puis x = 1 jusqiCa x = -4- 1 . 

Ce theoreme nous permettra d en deduire un autre plus simple, en 
remplagant les valeurs exactes de L par des valeurs approchees, mais infe- 
rieures aux premieres. En effet, ces valeurs approchees s obtiennent aise- 
ment a 1 aide de la formule de Wallis 

TT 2 2 4 2m 2m 2m-*- 2 2 



2 1335 2m 1 2m-t-l 2?-+-l 2m-t-3 

Notamment, si Ton fait 

-^ 2m (2m -- 2) ^ (2m -t- 2) (2m -t- 4) 

~ " (2ro -*-!)* (2m -H 3j 2 

et 

y_ (2m -f- 2)2 (2m -+- 4) 2 

"~ (2m -f- 1) (2m -+- 3) (2m -*- 3) (2m -+- 5) 



209 
1 expression de ~ devient 





K 2 


2 


4 


4 


2m -^ 






2 ~ 1 


3 


3 


5 


2m - 1 ^ 




et 
















7T 22 


4 


4 




2m 2m 


y. 




2 " 1 3 


3 


5 




2m 1 2m -+- 1 


-*> 


d oii Ton tire 
















/I. 2. 3. 






. . m 


\2_ 2m7c 





et 

1. 2. 3 .......... m\ 2 _ (2m-i-l) TT . 



/1. 2. 3 .......... m\ 2 _ (2m-i-l 

\1.3.5....(2m l)j 2* m -*-i 



mais comme les valeurs trouv^es ci-dessus pour X et Z peuvent 6tre miscs 
sous les formes 



_ _ _ _ 

(2m-t-l)V V (2m-t-3) 2 

\ ~*~ (2m -t- 1) (2m -+- 3)j \ ~*~ (2m -H 3) (2m -*- 5)/ 

il est evident que 



Done en supprimant, dans les equations precedentes, les termes de X et Y, 
nous obtenons les inegalites 

/1. 2. 3 .......... m 

U. 3. 5. ...(2m I) 

et 

/1. 2. 3 .......... w 

\1.3.5....(2m l) 

Ainsi la valeur de 

/i. 2. 3... ....... 

\1.3.5....(2m 

sera comprise entre deux produits qu ou obtient en multipliant 



22m-i-] 



par 2w et 2wn- 1; done cette valeur sera egale a 22 ^ r _ ei , multipliee par 

uiie certaine valeur moyenne entre 2m et 2m -H 1; mais, comme cette 
moyenne peut etre representee par 2m +- 0, ou Ton a > et < 1, nous 
pouvons remplacer les dernieres iuegalites par liquation 



/1. 2. 3 

\1.3.5 (2m 



4.2.3 m\ 2 (2m -f- 0) TT 

" 

14 



210 
En faisant dans cette formule 

_n 1 

2 " 

pour n impair, et 

pour n pair, nous obtenons 



1.2.8 



\1.3.6....(n . 

et 



\1.3.5....(n-l)/ - 2 "-*-i^" 

Or, comme la valeur de n est limitee que par zero et 1, et que la diffe 
rence 1 - - se trouve dans le m6me cas, cette difference pourra etre rem- 
placee dans la formule ci-dessus par #, ce qui nous permettra de simplifier 
les formules ou figure cette difference et d ecrire 



.2.3 



Comparant les 6galites que nous venons d obtenir avec les expressions 
de L du n 6, nous voyons que ces dernieres peuvent etre remplacees par 



n-+-l n 6 - n-t-Q 



En examinant ces valeurs de L, nous remarquons qu on obtient la limite in 
f6rieure de L par la formule 

n-t-l n 6 



en y faisant = 1 et en prenant 1 avec le signe -t-, de fac,on que cette 
valeur limite devient 

n 1 



On voit ainsi que L surpassera toujours 

n 1 
2 n TC , 

et nous sommes amenes au the"orerne que voici: 



- 91 1 

A 1 X 

The"oreme. 
La valeur numerique du polynome 

x n + A 1 x n ~ l + .... + A n _ l x-*-A n 

depuis x= 1 jusqu a x = -+- 1 doit surpasser ^- iu, si ce polynome ne 

cesse de croitre ou de decroitre entre ces limites de la variable x. 
Si nous faisons dans nos formules 

2g a b 
X = - r - , 

b a 

et si nous remarquons que, dans ce cas, le polynome 



etant multiplie* par 

a n 



se reduit a un polynome de la forme 

z n -*-Az n - l + A z n - 2 -*-.... 
et que les limites de la nouvelle variable z deviennent 

a = a pour x = 1 et # = & pour x = -i- 1 , 
nous deduisous du theoreme precedent le uouveau theoreme que voici: 

Theoreme. 
La valeur numerique du polynome 

Z n -+-A z n - l + A 2 H - 2 -*-.... 

depuis z = a jusqu a z = I doit surpasser (n 1) (^j-^YV si ce polynome 
ne cesse de croitre ou de decroitre entre ces limites. 

Or, a Faide de ce dernier theoreme il nous sera aise de conclure: 

Theoreme. 
Si la valeur numerique de f (b) f(a), difference de la valeur de 

f( Z ] = Z n + At i- -H 4V-*-H .... 

u* 



212 

pour z a et z = 6, ne surpasse pas la limite 



la derivee f (z) change de signe entre z = a et z = b. 

En effet, si f (z) ne changeait pas de signe entre z = a et e = &, le 
polynome 



ne cesserait d etre, entre ces limites, ou constamment croissant, ou constam- 
mentdecroissant, de fac,on que toutes ses valeurs, depuis z = a jusqu a z = b, 
seraient comprises entre ses deux valeurs extremes, qui correspondent aux 
valeurs limites de z que nous venous d indiquer, et qui se reduisent a 



On voit ainsi que, depuis z = a jusqu a z = 6, la valeur nume"rique de 
< (x) ne surpasserait pas celle de 



c est-a-dire ne saurait tre superieure, d apres les conditions du theoreme 
6nonce ci-dessus, a 



ce qui est impossible en vertu du theoreme precedent. 
Faisons 

z 



F(z) = (m -H 

La fonction F(e) se reduit, dans ce cas, au polynome 

/>H_ ^V~i _^ V~* _+_... M 
ou 

n = m-+- 1, 

et la derivee premiere de F(*) est 

J"(f) = (w-Hl)(" l -i-5 1 r m - l -*-5 a m ~ 2 H- 
On a done 



213 

Nous en concluons le theoreme que voici: 

Theoreme. 
U Equation 

z m -*- B^- 1 -*- JV m ~ 2 H- . . . = 

doit necessairement avoir au moins une racine entre z = a et z = &, si la 
valeur numerique de Vintegrale 

b 



a 

ne depasse pas la valeur de 



2m b 



A 1 aide du meme theoreme, il sera aise d etablir un theoreme nouveau 
concernant la serie de fonctions 



qui servent a determiner les racines d apres la methode de Fourier. 



Theoreme. 



Quelle que soit la valeur t, si Vonprend dans V expression iiz4"l/ __ 2 

f(+\ 
le radical avec un signe contraire a celui de la fraction 4r^r, le nombre des 

variations de signes dans la serie 

m, f(), r w,...., r~w, r w, 



ou 



ne saurait rester le meme, si Con y met consecutivement pour z la valeur de 
t et celle det 



Us se presentent plusieurs cas differents dans la demonstration de ce 
theoreme, suivant le signe des quantites f(t) et f (t). Nous nous bornerons a 
considerer le cas ou ces deux quautites auront le signe -t- ; mais le raison- 
nemeut que nous suivrons dans cette occasion s appliquera facilement a tous 
les autres cas. 

En supposant les deux valeurs f(t] et f f (t) positives, nous devrons 
prendre dans 1 expression 



(n - I) 2 7r2 



214 

le radical avec le signe , et uous aurons a demontrer que, dans le cas ou 

/(*)>(), f(9>o, 

le nombre de variations de signes de la serie 



f-fi U\ 
4(n lW 2 * 

Pour le demontrer, nous observerons qu il est evident que toutes les 
fois qu entre les limites indiquees ci-dessus 1 une des deux fonctions f(0) ou 
f (*), ou toutes les deux a la fois, s annulent, le nombre des variations 
de sigiies dans la serie 

), rw, r w.... r~ i} w, f (n) (*) 

doit varier; quant a Fhypothese qu aucune de ces fonctions ne devient zero 
entre les limites que nous considerons, il est aise de demontrer, a 1 aide du 
thSoreme precedent, qu elle ne peut avoir lieu. 
En effet, si 

ftO>o, f(t)>o 

et si en m6me temps les equations 



2n / f*(i) 

n avaient pas de racines entre z = t, z=-t 4 1/ 4 / _.[y^, les fonctions 

ft*), /"(*) 
devraient couserver, entre ces limites, le signe -*-: done on aurait 



2n 

t 4 

* 



et 



et la valeur numerique de 



devrait etre inferieure a la valeur numerique de f(t\ ce qui, en vertu d un 
theoreme precedent, est impossible; car la difference 



215 

pour 

d apres ce theoreme, doit surpasser 



En appliquant ce dernier theoreme au cas ou 1 equation 
f -H Az n ~ l -i- A z n -* -+- . . . . = 

n a pas de racines imaginaires, et observant que dans ce cas tout change 
ment du nombre des variations de signes de la serie 



indique la presence d uue racine de 1 equation 



entre les valeurs de #, nous somnies conduit au theoreme que voici: 

I 

Theoreme. 

Quelle que soit la valeur t, on trouvera toujours au moins une racine 
de ^equation 

f(z}--=z n -*-Az n - l + A z n -*-+-. ... =0, 

f*(t) 

_ 2 , en prenant devant ce dernier radi- 

f(4\ 

col le signe contraire a celui de la fraction 4nk, si toutefois r equation pro- 

j ( t ) 

posee n a pas de racines imaginaires. 



SOR 

LTOT1RPOL1TION BIS YAOTRS 
EQUMIST ANTES. 

(TRADITXT PAR G. A. POSSE.) 



ie K-B XXV TOMy 3anncoK.i> HMnepaiopCKofl AKa^eMin HayKt, JVa 5, 

1875 r. 



Sur rinterpolation des valeurs equidistantes. 



1. Si 1 on cherche par la methode des moindres carres 1 expression 
d une certaine fonction f(x) sous la forme d un polynome, les valeurs de la 
fonction f (x) dont on se sert pour determiner son expression 6tant 



/(I), 
le polynome cherche, comme on le sait, est donne *) par la formule 



(1) 



ou 

de"signent les denominateurs des fractions convergentes de la somme 

^1^ x X x 1 x 2 x ?n -f- 1 

obtenus par son developpement en fraction continne 

C, 



Les fonctions 

To 



*) Voir le Memoire sous le titre: Sur les fractions continues)). T. I, p. 203230. 



220 

i 

comme j ai deja indique, jouent le meime role dans le calcul inverse des 
differences que les fonctions de Legendre daiis le calcul integral et, par 
analogic a ces dernieres, peuvent tre representees par la formule *) 

<p rt (x) = A" (x 1) (a; 2) . . . . (x n)(m-t-n 1 x) . . . . (m #), 

en faisant abstraction des facteurs constants qui se suppriment evidemment 
dans la formule (1). 

Cette expression des fonctions 



* 5 



simplifie notablement, comme on va le voir, le calcul de toutes les sommes 
qui figurent dans la formule (1). 

2. En abordant la deduction de 1 expression mentionnee des fonctions 



convenons de designer, pour abreger, par O (x) le produit 
(x 1) (x 2). . . .(x n) (m-\-n x 1) (m-t-n x 2). . . .(m x). 
Ce produit s annulant pour 

x= 1, 2,. ... n, 
x = m-t-n 1 , m-+-n 2, .... w, 

toutes les quantites 

<E>(a;), 4(a;-H 1), . . . ., &(x-*-n 1) 

pour x = 1 et x = m seront egales a zero, et la m6rne chose aura lieu a 
1 egard des differences 



-+-n 2) 
qui se determinent d apres les valeurs 

4> (x), 4> (x H- 1), . . . . , < (x -+- n 1). 
Cela pose, il n est pas difficile de montrer que la somme 



*) Sur une nouvelle serie. T. I, p. 381384. 



221 
quelle que soit la fonction F(x), se reduira a la somme 



( 1)" <!> (x -f- n) A" F(x). 
i 

Pour nous en convaincre, remarquons que, transformant la somnie 



n fois de suite a 1 aide de la formule connue 



nous trouverons qu elle se reduit a 1 expression suivante: 

F(x) A n-1 3> (x) A F(x) A n ~ 2 < (x -f- 1) -+- A 2 F(s) A n ~ 3 3> (x -H 2) -i- . . . . 



Or, en vertu de ce qu on a vu a 1 egard de la fonction 

4> (x-t-n 1) 
et des differences 

A"" 1 < (a;), A n ~ 2 <I> (a; -+- 1), ____ A * (a; -+- n 2), 

tous les termes de la formule precedente hors du signe ^ se reduisent a 
zero pour x 1 et pour x = m; done on aura dans ces liraites 

(2) 

i i 

En faisant 

F(x) = ?0 (), F(x) = ?1 (re), . . . . , F(a;) = 9^ (x) 
et remarquant que pour ces valeurs de F(x) on a 

A n F(o;) = 0, 
on trouvera 



222 

Or, ces egalites, en vertu du VII du Memoire cite" sur les fractions 
continues, montrent que dans le developpement de la fonction A" <l> (x) en 
serie 



les coefficients 

A, S, ____ G 

se reduisent a ze>o, d ou il suit que A n < (x) lie differe de <p n (x) que par un 
facteur constant. Ce facteur, comme il a ete dit, se supprime dans la for- 
mule (1). En faisant abstraction de ce facteur nous prendrons 



ce qui re"duit 1 egalite (2) a la suivante 

m 

(x) ?n (x) = (-l} n <$>(x + n) n F(x), 



ou 

&(x) = (x 1) (x 2) . . . .(x n) (m-+-n x 1) . . . .(m x). 

3. Passant a revaluation des sommes contenues dans laformule (1), 
nous introduirons, pour abreger 1 ecriture, le signe F (pi) pour designer le 
produit 1. 2. 3. . . (p. 1). 

A 1 aide de cette notation les produits 

(xl)(x 2) .... (a? ), 
(m-*-n x 1) (m-+-n x 2) . . . .(m x) 

seront representes par 

r(ap r (m -4- n a?) 

T(x n) 1 T(m x) 

ce qui donne pour les expressions des fonctions <i (x\ cp ft (x) 

x) 



- 

~ T (x n) T(m x) 

/o\ A n T(x) T(m-t-n a;) 

?.(*) A r 



et par suite la transformation pr^c^dente de la somme se reduit a la sui 
vante 



223 

En faisant ici 

F(x} = f(x\ 

nous trouverons pour 1 evaluation des sommes 



la formule suivante 

m " 

a;) 



m a; A 

-n-. A 



En faisant dans la m6me formule 

^W = ?.(*), 



nous aurons 



2 *.*<*>=< 

i 

Or d apres (3) 



m 

\ii (aj ~H n) r (m x) A n 



i 



r (x n) 

d ailleurs 



= (w -H w # 1 ) (m -H n 2) . . . . (m 



done, dans le produit 

T(x) r (m -+- n 



r (a? n) T (m a?) 

le terme du plus haut degre en x est egal a 



il en resulte que la difference d ordre 2w de cette fonction se reduit a la 
quantite constante 

( l) n 2n(2n 1) ____ 3.2.1, 

ce qu on peut representer a 1 aide du sigue F comme il suit: 



224 
On en deduit que 

A" 9. (*) = ( l) n r(2n-*-l), - 

et, par consequent, la transformation trouvee ci-dessus de la somme 



nous donne 



n 

v ^i r (a;) F (m n a;) 

i i 



Or, r(tw w x) etant infinie pour 
x = m w, m w-4- 
tous les e le ments de la somme 



(a; -t- n) T (m a;) 

T (05) r (m n x) 
I 



a partir de x == m n se reduisent a zero , et par consequent on peut 
prendre pour limite superieure de cette somme m n au lieu de m; en 
vertu de cela 1 egalite precedente se reduit a la suivante 



-n 

= r 



4. Pour determiner la valeur de la somme, qui figure dans la der- 
niere egalit6 et dans d autres pareilles a celle-ci, que nous rencoutrerons 
plus loin, nous allons trouver maintenant 1 expression de toutes les sommes 
de la forme 

N 

2T(x-*-p 1) F (N x -+- q 1) 
T(x) r(Nx) 

i 

ce qui est facile a faire a 1 aide du binome de Newton. 

Remarquons pour cela que les developpements des puissances 

en series parlaformule de Newton al aide dessignes ^V et F peuvent etre 
ecrits de la maniere suivante: 



n_ A-? 

- 

(1 __f\p9 V 1 r (p -t- q -+- v) , v 

- ^j r (p + q ) r (v -H i) ^ 



225 

les sommations y tant etendues sur toutes les valeurs entieres de X, [/., v 
de a oo. En comparant le produit des deux premieres somraes a la der- 
niere nous aurons I identit6 

__X7 r (jp -- g -- v) . v 

r (p -*- g ) r (v -t- 1) f 



qui peut 6tre represented d une autre maniere sous la forme 

r (p + X) r (g -*- tx) ,x-t-fA _ 




r (?) r(X -- i)r ( 3 ) i> -+-!) - j r (j> -H 3 ) r (v -t- ij 

En determinant ici les teruies ayant le facteur t N ~* t nous apercevous 
que dans le premier membre de cette identite" le coefficient de J y ~ 2 est egal 
a la somme des valeurs de 1 expression 

r(ff-t-A) r (q -+- pi) 



correspondant a toutes les valeurs entieres et positives de X et f/., dont la 
somme X-t- jj. est egale a TV 2, ou, ce qui revient au m6me, a la somme 
de toutes les valeurs de cette expression, dans lesquelles 

fx = N 2 A, 

X prenant successivement les valeurs ? 1, 2,. ...TV 2. On voit d apres 
cela que le premier membre de 1 identite considered renferme le terme sui- 
vant avec la puissance t N ~ 2 : 

X=A r -l 



D ailleurs, le terme avec la meme puissance de t au second membre de 
cette identite etant 

r (p -+- 1 -*- -^ 2) .^_a 



nous concluons qu elle entraine 1 egalit^ suivante : 



>n r (p -- X) r(g-4-y_2_ x) _ r(p-4- g -*-2v 2) 
^ r (j9) r (X -+- 1) r ( 3 ) r (jy i - X) r (p -+- q) r (JRT if 

x=o 
En la multipliant par T (p).r (q) et posant 

X-f-l=ic, 
nous la reduirons a la forme : 

N 

l) _ T(p)T(q) 



r(Nx) ~r(p--2) r(N i) 

15 



226 

En posant ici 

N=m w, p = n-+-I, q = n-+-l, 

nous aurons, pour determiner la somme, renfermee dans la formulc (4), 



T (x -f- n) r (m g) _ r 2 (n -4- 1) r (m -*- n) 

r(g) r(n x) r(2-*-2) r(m n i) 

1 



d ou il resulte 



n r(2n-f-2) r(m-n 
i 



Remplagant encore T (2n -*- 2) par (2n -+- 1) T (2w -f- 1) on aura 



n (2w H- i) r (m n i) 

1 
5. Pour determiner les fonctions 

<p (a;), 9,0*0, 2 W, ---- 

a Taide de la formule (3), nous aliens dMuire prealablement les expressions 

des differences des fonctions 

r(g) r (q - g) . 

T(xp) J T(q-p-x) 

Calculant les differences du premier ordre, on aura 

AT(x) T(x-t-l) T(x) 

T(xp) T(x p-*-l) T(xp)> 

A r(g-ar) T(q-x-l) T(q-x) 

l\T(qp x) Y(qpx l) T(qp x) 

Remplagant 

r(a;H-l), T(x p), r(qp xl), r(q x) 
par les quantites equivalentes 

xT(x} T(x-p-I) T(q-p-x) ( _ 1)r( ^-Z-l), 

x p q p x 1 

nous aurons, apres quelques reductions, 

Ar(g) T(X) 

T(xp) " T (a? p -t- 1 ) 

r(g-g) T(q-x-l) 



227 



En appliqucant ces formules a la determination des differences du 2-me, 
3 -me etc. ordres, nous trouvons en general 



Remplagant le produit 



par 

on obtient 



iA l r (x) 
l\r(x-p) 
, 
i l T(q- 



T(p-t-l) T(x) 



T(q-x) _ ( _ y T (p -f- 1) T(q-xT) 
(qp x) \ L ) T(p-l-t-l) T(q_p x) 

Passant a la determination de la fonction cp n (a;) d apres la formule 

_ZM_ r(m-t-n-g) 
r(x n) T (m x) 



nous allons developper la fonction 

r (m -*- n x) 
T (m x) 

en serie a 1 aide de la formule 



qu on peut representer sous la forme suivante, au moyen des signes "V et F, 



W( r \ 
W 



N? T (x - n) 



T(x - n - X) T (A -t- 1) : 



la somme etant 6tendue sur toutes les valeurs eutieres et positives de X 
et A F (n -+- 1) co iucidant avec la fonction initiale F (n-t- 1). 
En posant dans cette formule 



F(x) 



r (m -t-n x) 



r (m x) 

et remarquant que d apres (6) on a dans ce cas 

A X 7TM ( n x r ("^^) r (m -H n X 
L\ J l ) rn-A-t-l 



Y(m-x) 

15* 



228 
nous aurons 

r (m -+- n x) X 1 ( i ^ r (n -- 1) r (m X 1) F (x n) 

r (m x) ~ 2L^~ r(X-4-i)i> x--i)r(m n i)r(* w x) 
e qui, etant multiplie par 

serMuit a ce qui suit: 



, a 



T(x) 



_ 
T(x n) T(m x) ~ T (\ -*- 1) T(n X -t- l)T(m n 1) T(x n X) 

En determinant d apres cette formule la difference 

A n T(x) T (m -+-n x) 
T(x n) T (m x) 

nous trouvons qu elle s exprime par 

XV _ n x r(n-*-i)r(m-x i) _ A n r (x) 

Z^ r(X-*-l)r(n X--l)r(m n 1) L\ T(x n X) 

Or cette difference etant egale a la fonction 

?> 
t la formule (6) donnant 

A" T(x) _ T (n -*- X -4- 1) T(x) 

r(a; n X)~ r (X -i- 1) T (x X) 

nous obtenons 1 expression suivante de la fonction qp n (x): 

- NV n x r(n-t-i)r(m-x-i)r(n--x-f-i) 
^nv- 1 ~^ 



? X) 

ou la sommation, comme on a vu, s etend sur toutes les valeurs entieres et 
positives de X. 

D ailleurs, le diviseur F (n A-t-1) se re"duisant a oo a partir de 
>,= w-f-l et les termes correspondants se reduisantpar consequent a 
on pourra prendre pour limite superieure de la somme X = n -*- 1 . 

6. Substituant les valeurs des sommes 



trouv6es ci-dessus dans la formule (1) et denotant g^neralemeut par 



229 
1 expression 

r(a-*-P -i- 1) _(ccH-3)(a-+-3 1) ...(ac-t- 1) 
r (a -+- 1) r (3 -*- 1) ~ 1. 2 3 ~ 

qui represente le coefficient de a a 6^ dans le developpement de (a -+- 6) a ~*"^ 
nous trouvons que le terme general de cette formule peut 6tre repre"sente 
comme il suit: 

m 

r(m n 1) ? * ijn m n x-i, 



[i -i>r (--i) 
ou 

r( m -n-l)^ n 
T (n -*- 1) T (m 1) 

ou Ton a pose pour abreger 

m 

, xn 2n -+ 1 i 



II en resulte que le developpemeut de la fonction f(x) d apres la forraule 
(1), arre"te au (I-*- l)-me terme, sera represente par la somme: 



-- n ,. 

T (n -*- 1) r (m 1) Tn W- 

M=0 

Designant cette valeur approchee de f(x) par F(^), nous aurous 

n 

F(X) - 

" 



fi=0 

ou, conime on 1 a vu, la fonction <p n (a?) a la valeur suivante: 



Developpant les sommes renfermees dans ces formules nous obtenons 
F(x) sous la forme d un polyuome de degre I- cette expression de F(x) ne 
differe que par les notations de celle que nous avons donnee dans la note 
mentionn6e ci-dessus. D autre part, a 1 aide de ces formules, servant pour 
la determination de F(x), il est facile de calculer les valeurs 



conime nous allons voir tout de suite. 

En determinant d apres ces formules les differences 



230 
etant un nombre quelconque nous aurons: 



=0 



r 2 (x-Hi)r(n x- 

>.=o . 
Or d apres (6) 

A T(x X) = r(X jx-*-l) T(x X-H-J.) 

ce qui donne, pour a; = 1 , 

A" r(i) r(Xn-i) rg) 

L\ r (i X) r (X tj. -H i) r (i x -- n) 

Le diviseur F (X p.-+- 1) etant infini pour X p.<. 1 et le divi 
seur F (1 X -f- p.) pour X fx> 1, la difference 

At 1 r(i) 
r (i xi 

ne differe de que pour X p. = 0, c est a dire pour X = [/.; done, dans la 
somme qui represents la valeur de A^ 9 n (x), pour a; = 1 , il ne reste qu un 
seul terme, correspondant a X = [A et dans ce terme la difference 

At* T(x) 
T(x X) 

d apres la formule que nous venons de trouver, en vertu le 1 egalite X = t u, 
se reduit a F(p. -f- 1). D apres cela, en vertu de (7), pour x= 1, il resulte 



A ^nV 1 ) r (,m -H 1) r (n , J .- 4 _i)r(w n 1) 

AW (~\} > ( 1 ^ i 
^jv *) r (fi -i- 1) r (m i) r ( ;o. -H i) 

n=0 

Le diviseur F (n [*H- 1) se reduisant a oo pour 



= 0, 1, 2,..., u. 1 



tous les elements de la somme dew = 0aw = fxse reduisent a zero, et par 
suite on pourra prendre pour sa limite inferieure n = {j. ; en vertu de quoi, 
la formule deduite s ecrira comme il suit: 

n=l+l 

^F(\) = (-l} 



r oj. H- i) r (w i) r (n : j. -i- 1) 



231 
7. Dans la formule qui exprime la valeur de la difference 



1 expression 



* r(|Ji-t-l)r(ro l)F(n {xn-1) 

se reduit a 1 pour 



ce qui correspond au cas ou A^ ^(1) se reduit a F(l); par suite, la valeur 
de F (1) sera donuee par la formule 

n=l+\ 
fj 1 (~\\ ^V ~ff ff i T? . _ . ~tf> 

n=0 

Passant a la recherche des differences A .F (1), A 2 -F(l), . . . nous 
representerons pour abreger 1 expression 



f T ({i. -+- 1) T (m 1) T (n [J. -t- 1) 

par 



d apres cela la formule que nous avons trouvee pour 1 evaluation de A^ F(l) 
prendra la forme 



=( 
Appliquaut 1 egalite 




^ ^ l - 1 r(m i) r ({X -H i) r (n pt-t-i) 

a la determination du rapport 

(p. -4-1, n) 
(P-, n) 

nous trouvons 

([A -*-l,n) _ r(|JL-+-l) r (m [i. 2) r (n -f- n -t- 2) F (n pi -t- 1) 



_ 
(JJL, n) r (IL + 2) T (m |J. 1) T (n -t- [J. -H 1J T (n JJL) 

ce qui se reduit, a cause des egalites 

-i), r(w 1. i)=(w !x-2)r( p. 2), 



232 
a ce qui suit 

((x-t-l,w)_ (n -4- {A -H 1) (n pi) _ n(n-i-l) ^(pt-t- 1) > 

(p., n~ ~ (M- -t- 1) (m n 2) ~ " (jj.-Hl)(m pi 2) 

d ou il resulte 

/ i \ n (n -t- 1) u. (UL -+- 1) , ,. 

(ut.-f-l,M) = -- ~ -^r(y-,ri). 

(jx-t-1) (m y. 2) vr 

Cette relation entre les quantity s 

((*-*-! w), ([., w), 
y joint I 6galit6 remarqu^e ci-dessus 

(0,n)=l, . 

clonne le moyen de calculer facilement toutes les valeurs du facteur ([*, n) 
dans la formule 



En vertu de ce qui precede nous concluons que les quantites 



dans le cas, ou la serie (1) est arrtee au (l-t~ l)-me terme, se trouverout 
a 1 aide des formules: 



(8) 



A JP(l) = (l,l)F 1 -t-( 

(2,2)F a -t 

(3,3) F 3 -*-....-*- (3, l)F t , 



les quantites 

etant donnees par les formules 



F F F F 

x ) * 1 > z 2 J * * * I 



~ ^x ij n ^m n x ij n ^ / \ 
_(tt-*-&)(g-t-fi l)...(g-Hl) 

1.2 a 



233 



et les facteurs 



(1,1), (1,2), (1,3), (I,?), 

(2,2), (2,3),.... (2,0, 
(3,3),.... (3,?), 



se deduisant successivement a 1 aide de 1 egalite 

(u, -+- , n ) - (JA-*-I, x 
ou Ton pose 

(0,1)= 1, (0,2)= 1, (0,3)= 1, (0,0 = 1- 

8. Pour montrer sur un exemple 1 emploi de nos formules, nous allons 
les appliquer a 1 exemple qui dans la Ballistique de N. Majevsky a etc 
calcule" d apres nos anciennes formules. Dans cet exemple les valeurs de la 
variable x et les valeurs correspondantes de la fonction f (x) sont les sui- 
vantes: 

x=l- f(x) = 
x=2; f(x} = 
x = Z- / = 
f(x) = 
f(x) = 
f(x) = 
f(x) = 
f(x) = 



x 4; 
x= 5 



0,2020, 
0,1885, 
0,1645, 
0,1434, 
0,1176, 
0,0897, 
0,0581, 
0,0244, 
# = 9; f (a) =0,0122, 

En calculant d apres ces valeurs de /* (x) ses differences de divers or- 
dres, formons la table suivante: 



x = 



X 


fW 


A/ 


AVW 


/(*) 


1 


0,2020 


0,0135 


-0,0105 


-f- 0,0134 


2 


0,1885 


-0,0240 


-t- 0,0029 


0,0076 


3 


0,1645 


0,0211 


- 0,0047 


-i- 0,0026 


4 


0,1434 


0,0258 


0,0021 


0,0016 


5 


0,1176 


0,0279 


0,0037 


-i- 0,0016 


6 


0,0897 


- 0,0316 


0,0021 


- 0,0008 


7 


0,0581 


0,0337 


0,0029 




8 


0,0244 


0,0366 






9 


0,0122 









234 
Ayant w== 10, dans cet exemple, nous aurons pour n = 

10 



pour w = 1 

r r _ a (9 g). r _ 

Hr 1,1-^8 tf,i ~ 1.1 ^V~" 

10 



pour n = 2 

-, _ (a -*- 1) a? (9 x) (8 g) - _ 11 . 10 

^x 1,2 7 a;,2 ~ 1 . 2 1 . 2 > V ~ = 1 . 2 



5.2 ^ (a?-f-l)a? (9 - x) (8 - x) . 2 f( ,, 
1.2 1 .2 x / W, 



pour w = 3 



r _(x-+-2)(x + l)x (9 x) (8 x) (7 - g) ^ _ 12. 11 . 10 

1,3 ^6a;,3 ~ 1.2.3 1.2.3 9, 3 ~ 1.2.3 

--2)(a;-t-l)g(9-a;)(8 x) (7 x) 3 , 



9 . 12 . 11 . 10 j 1.2.3.1.2.3 

i 



Determinant d apres les valeurs donuees ci-dessus de f(x) et de ses 
differences A f (x), A 2 f (x\ A 3 f (x) les sommes conteuues dans les quantites 

F F F F 

* 0) X U * 25 X 3 

nous trouvons 

V fts) -=0,9760; 

= -3,2312; 

g) = -- 1,2908; 



(a;-t- l)g (9 a?) (8 x) (7 a?) ^8 r/ g \ Q Q656 
2 v 1 . A o 

ce qui donne apres la substitution dans les expressions des quantites 

7? F p F 

*0j *U f-|) x 3 

les valeurs suivantes: 



i = 915 3,2312 = 0,1077, 

9^TTio - 1 2908 = - 0130 
- ! 9 " I; 8 in - 0,0656 = -0,0002. 



235 

En ajoutant ces quantites, nous avons d apres (8) la valeur de F (1) 
correspondant au cas ou Ton s arrete au 4 me terme dans 1 expression (1) de 
la fonction cherchee ou, ce qui revient au m&ne, quand on suppose ses qua- 
triemes differences egales a zero. Ainsi, on trouve pour la valeur de F (I) 

F(l) = 0,1084 -H 0,1077 0,0130 0,0002. 
D apres les memes valeurs des 

F F F F 

X 05 X 15 ^25 X 8 

nous obtenons en vertu des formules (8) les differences 

A F(l), A 2 F(l), A 3 F(l) 
a 1 aide des facteurs 

(1,1), (1,2), (1,3), 

(2,2), (2,3), >. ; v , ,.". 

(3,3). 
Or d apres (9) pour 

w=10, [x = 0, w= 1,2,3, 
en posant 

(0,1) = 1, (0,2) =1, (0,3) =1, 

nous trouvons 

n n- i .2-0.1 - _ i_ 

1 . (10 2) 4 



^ " l.(10-2) 4 

/-IQ\_ 3 . 4 . 1 , _3_ 

tMJ- l.(10-2) * " 2 

Done, d apres (8), on passe de la valeur trouvee ci-dessus de F(I) a la va 
leur de A F (1), en omettant le premier terme et multipliaut les autres re- 
spectivement par 

Ainsi, nous trouvous 

A F(l) = ---- 0,1077 -t--|. 0,01 30 -f--|- 0,0002 = 

= 0,0269 -f- 0,0097 -*- 0,0003. 
Pour passer de cette valeur de la premiere difference de F(l) a la se- 



236 

conde, il nous faut omettre d apres (8) le premier terme et multiplier les 
suivants respectivement par les rapports 

(2,2) (2,3) 
(1,2) (1,3) 

Or, ayant d apres (9) pour m = 10 

(2,2) _ _ 2 . 31 . 2 _ _ 2_ (2,3) _ _ 3 . 41 . 2 _ _5_ 

" : ~ ~ : ~ 



nous aurons en vertu de ce qui precede pour la valeur de A 3 F (1) 

A 2 .F(l) = y - 0,009 7 - - y 0,0003 = 0,0028 0,0002. 
En y omettant le premier terme et multipliant le second par le rapport 

(3,3) 
(2,3) 

egal, en vertu de (9), a 

_ 3 . 4-2 . 3 _ _6_ J_ 

3(104) : 3.6~ " 3 

nous trouvons 

A 3 F(l) = - y -- 0,0002 = 0,0001. 

Ainsi, pour 1 evaluation de la fonctiou cherchee, la quatrieme difference 
etant supposee nulle, nous aurons 



= 0,1084 -+- 0,1077 0,0130 0,0002 = 0,2029, 
A F(l) = 0,0269 H- 0,0097 -+- 0,0003 = 0,01 69, 
A 2 F(1)= 0,0028 0,0002 = 0,0030, 

= 0,0001. 



9. Les formules que nous avons deduites se rapportent au cas ou 
toutes les valeurs 

..... ,ftm i) 



sont supposees egalement bonnes, ou ce qui revient au nieme, quand leurs 
erreurs moyennes guadratiques sont egales. 
Dans le cas ou ces erreurs de quantites 



f(m 1) 
sont inegales et inversement proportionelles aux quantites 



237 
la formule (1) doit etre remplacee, comme on salt, par la suivante 

m 

To (*)6 2 (*)/"(*) ?1 (x) 0* (x)f(x) 



OU 

9o(0)> 9.0*0, 



desiguant les deuominateurs des reduites de la somme 

6* (X) __ 6M1) 6 2 (2) ^ Q 2 (TO-l) 

x\ x 1 a; 2 a; m-t-l 

obtenus par son developpement en fraction continue 



II n est par difficile de montrer que le cas ou 

/j2 f~\ r ( x -*- a ) r (m x-t- 3) 

C/ \JjJ ,., , , p . , 5 

a, 3 etant des coustantes quelconques, peut etre trait6 a 1 aide des formules 
analogues a celles qu on a deduites pour le cas de 6 (#)=!. 
Remarquons pour cela que la fraction 

A n r (x -+- a) r(m- 
r (x n) i 



(m a;) 



T (x + a) r (m 

T(x) r (m x) 

se reduit a une fonction entiere de degre n *) et qu en vertu de (2) en y 
posant 



/ N __ r(g-i-a) r (m x -f- 3 -4- n) 
~ ~ 



on trouve 



n) r(m-z) l r() r(m-n-*) 



a;-i-&) A fl F/ /r \ 
-n-*Zl J 



I/expression de cette fonction est indiquee ci-apres. 



238 
En faisant ici F (x) successivement egale a 

?o(*), ?i (*) ?-(*) 
et remarquant que pour ces valeurs de F (x) la difference 



se rMuit a zero, nous coucluons que toutes les sommes 

m 

n T (x -+- q) r (m a; -t- 3 -4- n) 

r (ar n) " T (m a-) 

n T (ar -t- q) F (m a; -4- 3 -4- n) 

p i v ITT " P I m "-ri 

1 \JU 71) 1 \llt J,) 



m 

?n i W l\ r (a; ) T (m as) 



sont Sgales a zero; done, en prenant 



p, , r (a; -+- a) r (m x -+- 3) 

T (x) r (m ar) 

et posant pour abreger 

A n T (ar -4- q) T (m x -+- 3 -*- ) 



T(mx) 



r (a; -t- a) I 1 (w a; -4- 3) 
T(a;) r (m ar) 

nous aurons 



= TF 

rr aj> 



Or, de ces egalites, en procedant comme en 2 dans lecas de0(a;)=l, 
on conclut que 

et par consequent, d apres nos notations 

A n r (x -+- q) r (m x -+- 3 +- M) 
r (x ) r (m ar) 

(11) ?n( ;r ) = - 

F (ar -4- a) F (m a: H- 3) 

p /^.^ r 1 1 f\ 

i (X) i (ra KJ 



239 
Passant a la determination des sommes 

? () & 



nous remarquons que 1 egalite (10), apres y avoir substitue la valeur de 

n r (x -4- a) r (m g -4- fi H- n) 






r (x n) r (m ) 
tiree de (11) et remplac^ 

r (a; H- a) r (m x -+- 3) 
T(x) r(m x) 

par 
donne 



En faisant ici F (x) = f (a;), nous trouvons 

m 

a-) = (__ i\ V 



ce qui sert a faciliter le calcul des sommes 



W ?o (x) G* (x\ 
1 1 

Pour evaluer la somme 

m 

2 *,,( 

i 

nous poserons dans cette egalite 

F(x) = s> n (x\ 
et la formule (11) dounant pour une telle valeur de F (x) 

A"F(*)=A" ? .(a)=(-i)r r( %;,ii (2 ;r g Tir" 

nous aurons 

m m 

V a/^ 0i t x \ __ r fn -f- 1) T (2)t -*- a H- fi -4- 1) >ri r (x -4- a -t- n) T (m x -H 3) 
" V ; F(n-Hx-i- 3-t- 1) ^ r (a;) I 1 (m x - n) 



240 

La fonction 

F (m x w) 
devenant infinie pour 

x = m w, m n 1 , , m 1 , 

en vertu de quoi tous les elements de la somme 

m 

X^r(a:-+-tt-t-M) r (m x -- 3) 

^i r (x) r (m x ) 
i 

a partir de x = m n se reduisent a zero, on pourra prendre m n pour 
limite supe"rieure de cette somme, et elle s ecrira comme il suit: 

TO 

\^ r (x H~ a -+- n) r (m x -+- 3) 

^^ r (x) r (m x n) 

i 

Or cette somme est egale, d apres (5), a 



r(n--a-t-l) r(itH-fi-4-l) F (m -4- n -i- a H- fi) 
r (2n -t- a -+- 3 H- 2) T (m n 1) 

En substituant cette valeur de la somme 



m n 



r (x -f- a -+~ n) T (m x -+- 3) 

^ Tjx) r (m x n) 

i 

dans la formule precedente, nous trouvons que la somme 



s exprime de la maniere suivante 

r (n -+- 1) r (n -+- a. -+- 1) T (n -t- fi +- 1) r(m-f-n -t- -*-3) 
(2n -t- a -H 3 -t- 1) T (m n 1) F (n -4- a -+- 3 -- 1) 

10. Passant a la determination des fonctions 



d apres la formule (11), nous remarquous qu en general la difference 

A" v, r, 



241 
se reduit a la somme 
V \ n U H--AF A n ~* U H- M(M ~ 1} A 2 F 

* a;-4-n a # 1 K a;-f-n-i .T 1.2 

qu on pent encore representer sous la forme 



-i) A* F A n ~ x 

n X-f-l) u F 



En y posant 

-, _ _ r (a +- a) _ r (m a; -+- ft -+- 



nous trouvons que la difference 

A n F (a; -+- g) T (m x -+- 3 -t- n) 
F (a; n) " T (m a;) 

est egale a 

~>S F(n-*-l) A^r(w-*-P-i-X a?) A n X F(a:-i-a) 



^r(X-+-l)r( X-Hl) Ll F(ro n-*-X a:) 

et, ayant d apres (6) 

A^ r (m -*- 3 -*- X #) _ / -i \X F (n -t- 3 -t- 1) F (m -+- 3 a;) 

r (m n -t- X a;) ^ Pin 



F (m n -t- X a;) V (n -H 3 X H- 1) F (??z -f- X a;) 

A n x F (a; -i- g) F (n -+- g + 1) F(a;-i-a) > 
F (x n) F (a -+- X -H 1) F (a X) 

on aura pour la valeur de la difference 

A n F (a; -f- g) F (m x -+- 3 -i- n) 
F (a; n) " F (m x) 

1 expression suivante 

"Vi ( 1)^ F (n -f- 1) F (n -- a -H 1) F (n -t- 3 -i- 1) F (m -+- 3 a;) T (a; -+- a) 

^4 F (X -H 1) F (n X -H 1) F (g -i- X -+- Ij F (n -t- 3 X -+- 1) F (HI n -H X a;) V (x 
x=o 

Divisant cette valeur de la difference 

A n F (x -H g) F (HI a; -t- 3 -- n) 
F (a; w) " F (i a;) ~ 

par 

F (x -<- g) F (m x -i- 3) 
F(a;) F (m a:) 

1G 



242 
on a le quotient 

^i 1 (_ i)Xr(n+l)r(n-Ha-Hl)r(n-Hp-H_l) r (m - x} T (x) 

i r (X -+- 1) r (n X -H 1) r (a -*- X -H 1) r (n -H p X -H 1) r (TO n-nX x) r (* X) 

x=o 

Or, d apres (11), cette expression est egale a la fonction 9 n (x). 
D ailleurs, ayaut 

( m x 1) (m x 2) . . . .(m n -+- X x), 



w -t- X x) 



tons les termes de cette sorame represeutent des polynomes de degre n. 



8, 

SDR 

LES EXPRESSIONS APPROCHEES 
LWEAIRES PAR RAPPORT A DEUX POLYNOMES. 



Bulletin des sciences mathematiques efc astronomiques. Deuxieme serie. Tome I. Annoe 

1877, p. 289312. 



(IIpmioHcenie KT> XXXTOMy 3anncoKi, TJ\fnepaTOpCKOii AKa^ewia HayKt, JVs 4, 1877 r., 

CTp. ] 24.) 



16* 



Sur les expressions approehees lineaires par 
rapport a deux polynomes. 



1. Dans une Lettrc a M. Braschmann*), nous avous montre de 
quelle maniere, en developpant uue fouctiou u en une fraction continue 



&- 

et determinant ses fractions convergeutes 






on peut trouver les valeurs des polynomes X, T, pour lesquels 1 expression 

Y 



differe le moins possible d une fonction donuee v. 

Ainsi que nous 1 avons indique dans la Lettre que nous venons de ci- 
ter, et demontre dans le Memoire intitule: Sur le developpement des fonc- 
tions en serie au may en des fractions continues **), les polynomes X, F, qui 
satisfont a cette condition, sont determines par les series 

J X = W 1 Q l -+- C0 2 ft -H W 3 $3 -f- - - . , 



ou nous designous par E la partie entiere d une fonction et par 



CO,, C0 2 , (0 3 , 



*) T. I, pag. 611614. 
**) T. I, pag. 617-636. 



246 

des fonctions entieres, que Ton obtient au moyeu de la valeur de la fonction 
v et des deiiominateurs 

Ql 1 QZ > VS I I 



fournis par le developpement ci-dessus de la fouction u en fraction continue, 
au moyen de la formule generale 



que Ton peut ecrire, d une niauiere plus abregee, 
(2) < = ( l) - 1 ^,* 1 

en representant par la notation 

F(vQ t ) 

1 enscinble de tous les termes du developpement de la fouction vQ t qui ren- 
fermeut des puissances negatives de la variable. 

En arretaut les series ci-dessus aux termes correspondants quelconques 



on trouve le systeme des polynomes X, F, tel que X cst d uu degre infe- 
rieur a Q m _^^ et que la difference entre 1 expressiou uX Zet la fouctiou 
v est du degre le moins eleve compatible avec la supposition que X est un 
polynome de degre moindre que Q m _^_ l . Alors, le degre du polynome X est 
determine par le degre du terme 



le dernier des termes conserves dans le developpement de X^ et le degre de 
la difference 

wX Y v 

est determine par le degre du premier terme de la serie 



qui ne se reduit pas a zero :i: ). 

En supposant que le premier de ces termes soit 

"WnfaCmi-n P m-*-n) 



*) Voir les articles cites plus haut, ct notrc Memoire intitule: DCS maxima et minima des 
sommes composees des valeurs d une fonction entierc ct de ses derivees. T. II, pag. 340. 



247 
et designaut par p le degre de la fonction 



m-t-n 



on couclura dc ce qui vieiit d etre dit que, en general, le degre d approxi- 
matiou de Fexpression uX Tpar rapport a v est determine par le degre 
du produit 



et consequemment par le degre de la fraction 



vu que, d apres les proprietes des fractious convergeutes, le degre de la 
difference 



est egal au degre de la fraction 



Qm -4- n -H i 

On voit d apres cela que 1 expression 

uX Y, 

X, Y etaut des fonctious eutieres, et X etaut d un degre qui uc surpasse 
pas celui de xQ m , peut represeuter la fouction v avcc uue exactitude potis- 
see jusqu aux termes du degre de 

aP 



Vm -+- 71 -f- i 

dans le cas seuleuient ou les equations suivautes sout satisfaites: 

? ^m-t-o = 0, . . . . co m _ l . B _ l = 0, 



ou nous desiguous, suivaut la notation d Abel, par 8 le degre d uue fouction. 
Lorsque ces conditions sout remplies, les series (1), arretees aux ter 
mes <o m $ m , co m P m , doiment, commeon 1 a vu, uue valeur de X d un degre au 
plus egal a celui dc #Q m > et 1 expression uX Fdiffere de v par des ter- 
ines d uu degre au plus egal a celui de 



Vm -i- n -t- 1 



V 

D apres cela,, les conditions necessaires et suffisautes pour que la fonnule 

uX Y 



248 

puisse representer la function v avec une exactitude poussee jusqu a x~ y t le 
degre de X ne surpassant pas M , s ecriront ainsi 



en desiguaut par 

Vjjt? 

les deruiers denominateurs des fractious convergeutes 



dont les degres lie depassent pas les limites M et N 1, et par <r, p les 

Qm -+- n -*-i 



degres des fractious 







2. Nous allous maiuteuaut demoutrer que ces conditions peuveut 
e remplacees par celles-ci, qui soiit plus simples: 



(4) 

dans lesquelles 



sont les deux derniers termes de la serie 



1 5 2 1 Va 5 5 



qui, etant multiplies entre eux, donnent un produit de degre moindre que 
M-t-N. 

Pour cela, trouvons d abord une limite superieure des degres 



dans le cas ou les conditions (3) sout satisfaites. Apres nousetreconvaincus, 
de cette maniere, de la necessite des conditions (4), nous demoutrerons que 
celles-ci, de leur cote, supposent que chacune des conditions (3) soit remplie. 
D apres la liaison qui existe entre les fractions convergentes 



Qi Q* <? 3 



- 249 
de 1 expression 



on a 



ce qui donue, en multipliaut par v, 



En passant de 1 egalite des fonctions a 1 egalite de leurs parties frac 
tiounaires, on trouve, d apres uotre notation, 

(5) W^i) = F(vQ.q.) -+- F(vQ.^\ 

En decomposaut maintenaut les fonctions 



en uue partie eutiere et une partie fractiouuaire, il vient 



ce qui douue, par 1 elimination de Q t , 



dans 1 egalite (5), ct designant, pour abreger, par U i la fonctiou eutiere 



on obtient 1 egalite 

q. F(vQJ = F(vQ. 
Si nous remarquous que les fonctious 



ne contienueut que des termes avec des puissances negatives de la variable, 
on en conclut 



250 
ce qui, d apres la formule (2), 

nous donne 



ct, on consequence, 1 expressiou trouvee plus liaut de la fonctiou (^ 
est fournie par 1 egalite 

q. F(vQ.} = F(vQ^} - F(vQ ( _J + (- lf~* co., 
qui nous servira a obteuir la limite superieure des degres des functions 



dans le cas ou Ton a 

= 0, w m _ _., = 0, , w m+M _ 1 = 0, 



Comme, dans ce cas, pour toutes les valeurs de i, depuis i = m-*-l jusqu a 
i==m-t-n 1 inclusivemeut, la fonction <a { se reduit a zero, il s ensuit 
que, pour toutes ces valeurs, 1 egalite quo nous venous de trouver se reduira 
a la suivante: 
(6) g t F(vQ} = F(vQ.^} 



En remarquaut que la fonctiou q. est d un degre uou iuferieur an premier, 
on conclura de cette egalite que dans la suite 



parmi trois teruies cousecutifs 
la fouctiou du milieu 



devra dans tous les cas etre d un degre moiudre que celui d une des fonc- 
tions extremes 



On voit par la que, dans la suite 



251 

aucun des termes intermediaries ne peut presenter uu maximum, et par 
suite il ne peut y avoir qu un minimum. 
En supposant que 

soit le premier terme de la suite 



qui doune une valeur minimum, nous remarquerons que, pour toutes les va 
leurs de i, depuis i = m -+- 1 jusqu a i = X 1, la fouction 



sera d un degre plus eleve que 



et par suite, d apres 1 egalite (6), son degre determiuera le degre de 
1 expressiou 



On tire de la, pour les i grandeurs cousiderees, 1 egalite 

8f W<) =8*fea=Li. 

1 i 

En y faisaut 

i in -H 1 5 -wi -H 2, . . . . , A 1 , 

on obtiendra uue suite d equations qui servirout a passer successivemeut de 
la function 

*V,,,) 

aux fouctions 

FW m +J, *X 

Ces equations nous dounent 



En passant aux termes de la suite 

(7) 



252 
qui suivent le premier terme mentionne 



nous remarquerons qu aucim de ces termes ne peut e"tre moiudre que le 
terme eii question, et par suite nous aurons ou 



ou 



selon que le terme en question devra, ou uon, etre suivi d uu terme qui lui 
soit egal. 

Pour ce qui est du troisieme terme 



il ne peut avoir la m6me valeur que le terme eu question; autrement il se 
trouverait, dans la suite 



trois termes du ni^mc degre, ce qui a ete demontre impossible par ce qui 
precede. On voit par la que, apres le terme 



de la suite (7), les termes doivent aller necessairement en croissant, et par 
consequent, pour toutes les valeurs de i, depuis i=\-t- 1 jusqu a i=. m-+-n 1 , 
on aura 



II s ensuit dc la, en vertu dc (6), que, pour ces valeurs de e, le degre du 
terme 



sera determine par le degre du terme F(vQ i _ t _ l ) J ce qui suppose 1 egalite 

8F(^ = 8^|^, 
En y faisant tour a tour 

i = m-+-n 1, m-t-n 2,...., X-+-1, 

on obtient une suite d equations, qui serviront a passer successivement de la 
fonction 



253 

aux fonctions 

J-W--,)- F(vQ m+n _J, .... f 

De ces equations on tire 

) = 
-i> 



3. De cette maniere on determinera, au moyen des deux fonctions 
extremes de la suite 



les degr^s de toutes les autres, a 1 exclusion d une seule fonction 



Pour determiner le degre de cette fonction, remarquons que la formule (6) 
donne, pour i = X, 



Comme, en vertu du paragraphe precedent, les termes 



sont des monies degres que les expressions 



2m-*-n i Im-t-n 2- 



Tune au moins de ces expressions sera d un degre nou iuferieur a celui de 
et par suite nous aurons 



^ 8 



OU 



254 
Comme, eu vertu du paragraplie precedent, pour 

i = m-*-l, w-*-2,.... X 1, 

t = X-i-l, X = 2,.. 
on a ou I 6galit6 

ou 1 egalite 



XM-fr-M 1 ffl-*-n 2- 

et qu alors il est evident qu une au moins des conditions 



1m t-n i qm+n i 

que nous avons trouvees ci-dessus pour 



est satisfaite, nous en conclurons que, pour toutes les valcurs de i depuis 
i = m-t-l jusqu a i = m -+- n 1 , on aura Time ou 1 autre des conditions 



OU 



Pour ce qui est des limites superieures des degres des fonctions 



elles peuvent etre deduitcs des dernieres conditions (3), 



Pour cela, nous remarquerons que, d apres la fonnule (2), qui determine les 
fonctions 

COj, C0 a , 3) . . . ., 

on a 



); 



255 

d oii il s ensuit que les conditions precedemment demontres relativement 
aux degres des fonctions 

W m> W m- 

supposent que les fonctions 



ne sont pas de degres superieurs a 

<*, P 
et que, par suite, 

^~, 
* 



**(? 



,. 



Im-t-n 



En consequence, les liraites trouvees plus haut du degre de F(vQ { } se re- 
duisent a celles-ci, 

^ N = O X 



9m Qm-+-i 9i 



OU 

T \ = o a;P 



Ces formules sont susceptibles d uue simplification notable. 

D apres notre notation, la fraction convergente du developpement 



J 

?l-H- 

f*-f- . 



correspond a,nte au quotient incomplet q k , est 



et par suite le produit des quotients incomplete 



sera du meme dcgre que le denominatcur Q k ^_ r 
En vertu de cela, on trouve que les produits 



256 
seront de menies degres que les fractions 



;J-HI Vm-i-n-i-i 



Qm Qi 

Par consequent, les egalites que nous avons trouvees plus haut dounent 



ou 



, 

V 

Et comme, d apres cette notation ( 1), 



sont de m^mes degres que 

a*, a; 

ces inegalites conduiront a la suivante: 



ou < 



On voit par la que la limite superieure du degre de chacune des fonctions 



sera determinee par la plus grande des deux quantites 



pour la valeur correspondante de i. 
En supposant que dans la suite 

Vi : HJa ) H?3 5 

les deux dernieres fonctions qui, etant multipliers Tune par 1 autre, donnent 
un produit d un degre inferieur a M-t- N soient 

ft-,. 
nous reraarquerons qu elles devront satisfaire aux inegalites 



(8) 



257 
et comme 

8 - 8 = 

ces inegalite"s supposent que Ton a 



si i = l 1, et que 



si a = Z; par consequent, d apres ce que nous avons trouve relativement a 
la limite superieure du degr6 



nous aurons, pour i = l 1 ete /, 
0) 



Nous aliens maintenant demontrer que ces inegalites, deduites, comme on 1 a 
vu, des conditions (3), exigent a leur tour necessairement que chacune 
des conditions (3) soit satisfaite. 

4. D apres notre systeme de notations, 



representent les fractions convergentes du developpement 



u = 



9l-i -H - 1 



qui correspondent aux quotients incomplets 

En representant par 

T 
la fraction ordinaire a laquelle se reduit la fraction continue 



17 



258 
on trouve, en vertu des proprietes des fractions continues, 



Multipliant cette egalite par v, on a 
ce qui suppose 1 egalite 



En separant les parties entieres et fractionnaires des fonctions 

vQ "Qfr fC,-!, vQ^T, 

il vient 

vQ l = E(vQ t ) -*- F(vQ t \ 



par 1 elimination de Q lt Q l _ l i en tant qu ils sont endehors dessignes E, F, 
on en tire 



En portant ces valeurs des fonctions 

F(vQJ3), F(vQ t _J) 
dans 1 expression trouvee plus haut de la fouction 



et posant, pour abreger, 

j E(vQ t S) -4- TE(vQ t _J E(vQ^ T) = U, 



il vient 

(10) F( 

Comme S et T sont les termes de la fraction simple 

_s 
T 

a laquelle se reduit la fraction continue 



?J 



2/-f-i -f- . 



259 
ces quantit^s seront de m&nes degres que les produits 

et par suite de me"mes degres que les fractions 

Qi-t-jj. Qi-t-ii. 
Qi Qi-t-i 

formees avec les de"nominateurs des fractions convergeutes 

du developpement 
\_ 

*-l 1 

11 \ H 

ff/ 



D apres cela nous aurons 

8flf=8%K, ST=S 
Ml V 

En remarquant maintenant que, en vertu de (9), 



on trouve 



Or, d apres (8), le produit 



est d un degre non inferieur a Jf -t- JV; par consequent la derniere inegalite 
donnera 



On voit par la que, dans 1 expression de la fonction 



d apres la formule (10), les deux termes qui contiennent la variable aux 
degres negatifs sont d un degre non supe>ienr a 



Ql-t-VL 





17* 



260 
et par suite 



Si Ton remarque maintenant que 

i 
nous en conclurons que 



Eu faisant successivement dans cette inegalite 

fjt. = 0, 1,2,...., n-t-m I 1 

et remarquant que, pour ces valeurs de p., la fonction <?/-*.-*-! atteint seu- 
lemeut la limite $ m _,_ n , dont le degre, d apres le 1, ne surpasse pas 
N 1 , nous en conclurons que 

S q ,F(vQ,) < 0, fc^F^,) < 0,. . . Sg Mt _ l F(vQ^_J < 0; 
d ou il s ensuit que, en determinant les fonctions 



par la formule 

co.^C-^ 
on trouvera 

i = 0, w^ = 0, .... co m ^_ 1 = 0. 

En faisant maintenant p. = m + n I, on aura 



et par suite, en determinant la fonctiou w nt _ 4 _ n par la m^me formule, on re- 
marquera qu elle sera d un degre non superieur a celui de "y"*" 1 . 

X 

Comme on a, d apres notre notation ( 1), 



=Pi 

on en conclut que 









Ainsi nous nous assurons que les inegalite s (9) entrainent necessairement 
les conditions 

w, = 0, co^ = 0, to m _ | . M _ l = 0, 



2G1 

Pour demontrer maintenaut que la m6me chose a lieu relativement aux 
autres conditions (3), representons par 

Si Sz 

les fractions convergentes du developpement 

i 

a, , H 

*/ x ft_x_.i -+- . t 

qui correspondent aux quotients incomplets <fy_ 2 , q l _ l . 

A 1 aide de ces fractions, les fractions convergentes du developpement 



u = q o H 

J-U /y 



ffi-f-. 



1 



^_X_ 2 -f-- 

qui correspondent aux quotients incomplets 

seront determinees les unes par les autres de la maniere suivante; 



Ql-i Ql-l ^ -*- <?/_x_i T, Qi ^_ X .5 8 -*- ^/-x-! 2V 

En resolvant maintenant les equations 



_ -- 

par rapport a 

^/_x> QI x_ 1? 

et remarquant que, d apres les proprietes des fractions convergentes, 



on trouve pour ^_ x 1 expression 



Multipliant cette expression par v, et passant de 1 egalite des fonctions a 
I egalit6 de leurs parties fractionnaires, il vient 



Or, en vertu des egalites 



262 
on trouve 

F(vQ t _, T 2 ) = Tf(vQ^) H- TJE(vQ^) E(vQ^ 
F(vQ{r,} = T, F(vQ t ) -H T, E(vQ t ] - E(vQ t Tj. 

Portant ces valeurs des fonctions 



dans 1 expression obteuue plus haut de la fonction 

F(vQ t _ } ) " . ........ 

ct faisant, pour abreger, 

(vQ^ - ^(vQ^ T 2 ) - I, E(vQ t ) ^-E(vQ^ = F, 



il vient 

(11) FfyQ^J = Tf(vQ t _^ Tf(oQ^ -*- F. 

Comme, d apres nos notations, 

sont les fractions convergentes du developpement 



i 



2/_ 2 -f- 

11 1 -t- . 

qui correspondent aux quotients incomplets 

leurs denominateurs jT 1} T 2 , devront ^tre de memes degres que les produits 



et par suite de m^mes degres que les fractions 

Qi-i } Qt } 

$/_X-Hl ^/ X-t-1 

formees au moyen des denominateurs des fractions convergentes 



/-i Qi 



263 
de la fraction continue 




ft-X 



97 z 



31 i 

par consequent, on aura 



Mais on a, d apres (9), 



on tire de la 



I XH-I 



Comme, d apres (8), le produit Q /1 Q t est de degre inferieur a M-*-N, la 
premiere de ces ine"galites nous donne 



On voit par la que les deux fonctions 



sont de degres non inferieurs a 



et dans ce cas, d apres la formule (11) et en remarquant que V ne contient 
pas de puissances negatives de la variable, on trouve 



ce qui, joint a 1 egalite 



* A /_ X 

nous donne 



En faisant ici 

~X = l m I,/ m 2,.... 1, 

et remarquant que, d apres le 1, la fraction 



264 
reste de degr6 negatif, il vient 



d ou il s ensuit que, en determinant les fonctions 

par la formule generate 
on trouvera 



En posant dans la formule precedente 

X = I m 
et remarquant que, suivant notre notation ( 1), 

O X% 

-Q- = a 
V/n 

on trouve 

^fWJS^; 

d ou Ton conclut, d apres la formule ci-dessus qui determine la valeur de la 
fonction w,., que 



Ainsi nous nous assurons de 1 accomplissement des conditions 
<>,_ = 0, co m _^ 2 = ..... co / _ 1 = 0, 



qui, avec les conditions deduites plus haut 

w / = w /-*-i = 0, .... w m _ + _ n _ l = 0, 

l = P 



comprennent toutes les conditions (3). 

On voit par la que les inegalites (4) constituent les conditions non-seu- 
lement necessaires, mais encore suffisantes, pour que la formule 

uX Y, 

X, Y etant entieres, et X de degr6 non superieur a m, puisse donner une 
expression approchee de la fonction v aux quantites pres de 1 ordre x~ N 
exclusivement. 



SUR 

M<p wrqyw m x ftrrrnGt YW 
JaJ^ouJUJL^nJLJGA JL/Jk 

APPLJQUfeES A ON SEUL POINT. 



Bulletin de la Societe Mathematique de France, publie par les Secretaires. 
Tome VI. Annee 187778, p. 188198. 



(Seance du 14 juillet 1878). 



Sur la resultante de deux forces appliquees a 

un seul point. 



1. D apres un theoreme sur les angles compris entre les plans qui pas- 
sent par un point, on parvient aisement a uue relation tres-remarquablc 
entre les angles que font les trois forces J? n R z , .R 3 , appliquees a un seul 
point et les resultantes de ces forces, prises deux a deux, savoir: 



/,-> sin (Ri, [B it R 2 ]) sin (J? 2 > [E 2 ^R 3 ]) s * n ffis* [-^3>-^i3) . 

sin (R 2 , [R 1 ,R 2 ]) sin (R 3 , [R 2 ,R 3 ]) sin (B 15 [jR 3 , Rj]) 

ou par 



nous designons les resultantes des forces ^ et J? 2 , JR 2 et 7? 3 , J? 3 et J? u et 
par 



les angles entre les resultantes et les forces qui les composent. 

C est cette equation qui servait de base a deux nouvelles demonstra 
tions du parallelogramme des forces, donnees en decembre 1875 par M. 
Darboux dans le Bulletin des Sciences mathematiqiies, et par moi dans une 
Communication faite a la Societe matliematique de Moscou. 

Nous aliens montrer maiutenant comment on peut trouver, d apres 
cette Equation, la valeur du rapport 



sin(R 2 , [B lf iy 

sans rieii admettre sur la direction de la resultante et la continuite. 
2. Apres avoir remarqu6, d apres 1 equation (1), que le rapport 



sin (Bi,[B lt B a ]) 



268 

ne depend pas de Tangle fait par les forces E lt J? 3 *), nous supposons que 
cet angle est reduit a 120 degres, et nous designons par cp Tangle entre la 
force E l et la re"sultaute [E^ R s ] des deux forces 7^, R 3 . 
Nous obtenons ainsi 

sin (B, , [B, , B a ]) __ sin (120- 9) _ ^ . l_ 

sin(Bi, [Bi,22 3 ])"" sin 9 2 ~ 2 

Mais on reconnait aisement que la resultante d un tel systeme de deux forces 
ne sera pas alteree si Ton dimiuue de 60 degres Tangle compris entre elles, 
et que Ton dimiuue en me me temps la force E l de J? 3 ; car un tel chaii- 
gement de notre systeme pent evidemment 6tre effectue si Ton y ajoutetrois 
forces Sgales a E z et disposees symetriquement autour du point d appli- 
cation, savoir: deux forces dans les directions opposees aux deux forces en 
question, et la troisieme faisant avec ces forces un angle de 60 degr6s. 

Or, pour le systeme de deux forces R lt J? 3 aiusi modifi6, on aura, 
d apres notre notation, 



sin 



sin (Ri- ^,[^-^3, ,])- sin 9 



_T / ^ . _!_ 

2 2 



ce qui, 6tant retranche de la formule precedente, nous donne 

sin(E 3 , [E n B 3 ]) sin(J? 3 ,[Jg, -B 3 ,B 3 ]) _ j 

sin (B l , [Bi , jR 8 ]) sin (B x J? 3 , [^ t jR 3 , B 3 ]) 

3. En remplagant dans cette Equation B l par 

-^o? -*A) -^sj -^o 2 M S j....j EQ (w* 1) xi 3 , 

que nous supposons toutes ne pas tre inferieures a ^ 3 , nous trouvons une 
s6rie d equations qui donuent 

sin(^ , [B Q ,B 3 ]) sin (B mB 3J [B Q mB 3 , B 3 ]) ~ m > 

ce qu on peut mettre sous la forme 

ain / 7? FT? 7? ~\\ T? / 7? *M T 

/O\ allS ^J-ljJ ) I "*^0 1 J ^3J/ "^*0 / 1 -tl Q~~ r/t./ 

\ ^ / " _""/ T> PT> T T\ " "T>~ 1 A "" 1 ~ -f-j 



-n,B 3 )am(R Q -mB 3 , [R<>-rR 3 , B a ]) 

en remplagant le nombre m par la difference 



a ce nombre. 

C est a Taide de cette formule que nous parvenons a tirer de Tequation 
(1) la valeur du rapport 

sin(B l> [B 1 ,B 2 ]) 
sin (B 2 , [B t , BJ j 



*) Voir la demonstration du parall61ogramme des forces de M. Darboux, citee plus haut. 



269 

4. A cet effet, nous supposous que, pour une force quelconque r, on 
ait trouve une quantite L telle que la valeur numerique de 

r sin (r, [r, r,]) _ ^ 
r l sin(r|, [r,r t ]) 

ne surpasse pas L pour toutes les valeurs de r l depuisr,=rjusqu a r 1 =2r, 
Tangle (r, rj etant 6gal a CO degres. Dans cette supposition, en designant 
par 6, 6^ des quantites comprises entre zero etl, nous aurons, pour toutes 
les valeurs de r l r -+- 0r, cette formule 

rsin(r, [r,r-+-6r]) 



(r -+- Or) sin (r -+- 6r, [r, r -+- 6r]) 

Comme il est certain que la resultante ne change pas de direction quand on 
remplace les forces par leurs sous-multiples, on aura de meme 

/o\ 



/ ~D . A ~D \ ei-in / T? A ~D f D X? * A 7? 1\ 
(Xlg -H Xigj SID (Zlg -f- V J.1% j [XV^ 7 ilg -*- ^3] j 

pour toutes les valeurs de 

(4) R*=-i 

t5 *j 

n etant un nombre entier. 

5. Mais, en prenant dans 1 equation (2) pour m la partie entiere du 
quotient 

on aura 



et, pour cette valeur de m, 1 equation (2) devient 

_;__ / ~n r T> T") 1\ f) / T> . ti D f ~D o5r / ~D FD *D A "D 

SID ^-ttg j L-**O 5 -"3J/ -"Of 1 J ^3 ^^3 t ^3 "*^ \-"3 i L-^3 ? -"3 ~*~ " -**3 

qui, d apres (3), dans le cas de 

3 n 

nous donne 



sin (I? , [J? , 2? 3 ]) H 3 

En posant, dans cette formule, 
et en designant par 



270 
les valeurs correspondantes de et # (o; , nous obtenons 

sin (^,[^,3]) _ BI r 1 _,_ -R 3 -H 61 -R 3 fi (o) T~| 
sin(B n [^,,Jf? 3 ])~J?3 L B! l J 

, [i? 2 ,E 3 ]) _ EZ r 1 _,_ -R 3 + e 2 E 3 . 

, [E 2 , B 3 ]) 1? 3 L ^2 



sa 



6. En portant ces valeurs dans Fequation (1), nous trouvons qu elle 
donnera 



sin (R l , [J?! , BJ ) 



fl (0) 



sin 



d ou, par la substitution de la valeur (4) de 72 3 , nous tirons cette formule: 

(l-HjaVr (0) 
sin I? , E JZ .R ~" nB 







Comme, dans cette formule, le nombre n peut ^tre pris aussi grand 
qu on le voudra, et que les quantity s 

ft f) ft (0) fj (O) 
\1 U Z1 u \ J Z > 

les seules qui dependent du nombre n et des forces E lt -R 2 , restent com 
prises entre zero et 1, on trouve, d apres cette formule, en faisant croitre n 
a 1 infini 



sin(J? 2 , [JS^JB,]) JB 



18, 




PAR L. FALXSSE DST V. DWELSXAVVERS-DERY.) 



(Revue Universelle des Mines. T. XV, 2-e serie, p. 507, 28-e annee, 1884.) 



CdopHHKt, Hs^aBaesmft MOCKOBCKHM-B MaieMaTuiiecKHUT. o6m;ecTBOMi>. 
T. IX, CT P . 340351, 1878.) 



Les plus simples systemes de tiges artieulees. 



1. Dans un article paru an tome XIV des Memoires de 1 Academic 
Imperiale des Sciences de St-Petersbourg sous le litre Sur un mecanisme *), 
nous avons montre comment on peut, au moyen de trois barres ou tiges (deux 
rnanivelles et uue bielle) composer un mecanisme tel que le point milieu de la 
bielle decrive une courbe qui, eutre des limites fort eloignees, s ecarte peu 
d une ligne droite; s en ecarte moins que la courbe obtenue par des systemes 
aussi simples, tels que le parallelogramme simple de Watt et celui d Evans. 

Nous allons montrer maintenaut qu il existe d autres systemes articules 
qui ne sont non plus composes que de trois pieces, et qui donnent le me me 
degre d approximation a la ligue droite. On les obtient par la substitution 
de certaines tigcs a d autres du premier mecanisme, faite en vue de ne mo 
difier en rien la trajectoire du point decrivant. En consequence toutes les 
formules demontrees dans 1 article ci-dessus cite resteut applicables. 

Nous traiterons par la m6me methode le mecanisme que nous avons 
fait connaitre dans une Note lue au Congres de 1 Association Franchise pour 
1 avaucement des sciences (Paris, 1878). 

2. Le mecanisme qui fait 1 objet de 
1 article cite plus liaut est represcnte sur la 
figure 1. II se compose de deux rnanivelles 
egales CA, C^ , tournaut autour des centres 
fixes (7, 6\, et de la bielle AA l articulee 
aux extremites des mauivelles. C est le point 
If, milieu de cette bielle, qui decrit une 
courbe fort approchee dc la ligne droite des 

Fig. 1. 

que les conditions suivantes sont remplies: 

1) La distance des centres fixes C, C l doit dire rigour eusement egale 
au tiers de la somme des longueurs AC-t- A l C l -t-AA l . 




*)T. II, pag. 5157. 

18 



274 



2) La longueur de la bielle AA l doit depasser le quart de celle des 
manivelles, mais ne pas differ er notablement de cette limite. 

A.C 

A mesure que AA l -^ tend vers zero, la longueur de la portion 

sensiblement rectiligne d e la trajectoire du point M diminue, mais en m&ne 
temps le degre d approximation a la ligne droite croit plus rapidement que 
ne diminue sa longueur. C est ce que nous avons demontre dans 1 article 
precite dont nous rapportous les formules suivautes: 



E= 



(5 2a)(l-+-2a) (4a 1) 
(a -+- 2) z 



3 (4a I) 3 



16 (1 a) (a-+-2) 3 



dans lesquelles I represente la longueur de la course du point decrivant M, 
et E 1 ecart maximum. 

3. En vue de transformer ce mecanisme (tig. 2), meuons les droites 
BMCA et BC= MA l = MA = ^~. Quelle que soit la position des 

pieces, la droite qui joint le point A l au 
point C rencontrera toujours la droite MB 
en son point milieu A T , 




II s eusuit que le point A l et le point N 
decrivent des courbes semblables dont les 
elements sont eutre eux comme 2:1 ct en 
meme temps sont paralleles. Or le point A^ 
decrit un arc de cercle dont Ci est le centre 

et A l C l le rayon; done le point N decrira aussi un arc de cercle, dont le 
rayon sera la moitie de A l G l et dont le centre se trouvera sur une droite 
parallele a Af! r Soit (7 n ce centre, on aura done 



Fio . 



II est visible que le point (7 n se trouve au milieu de la droite CC lt 

CG n = Cf n . 



275 



Mainteiiant faisons de G n N une manivelle rigide, de CBnne seconde 
manivelle, de BN une bielle que nous prolongeons jusqu en M, nous aurous 
le mecanisme represente sur la fig. 3, fournissant 
pour le point M la me"me trajectoire que le me 
canisme de la fig. 1 et compose du mme nombre 
de pieces. 

Les conditions relatives a la fig. 1 , 



CCi = 




s enoncent, pour la fig. 3, comme suit: 

BM-t-BC 

. BM 



Fig. 3. 



De plus le rapport a qui entre dans les expressions de Z et E devient 



= 2 



BC 
BM 



4. Passons au mecanisme dont nous avons donne communication au 
Congres de Paris, en 1878, et dans lequel 
le point decrivant M ne se trouve plus sur 
la direction AA^ mais est toujours inva- 
riablement relie a la bielle. Nous couside- 
rerons done cette bielle comme ayant la 
forme du triangle AMA l (fig. 4) articule 
en A et A l respectivement aux deux ma- 
nivelles. 

Pour transformer ce mecanisme comme 
precedemment, nous introduisous dans sa Fig. 4. 

composition les lignes MB egale et paral- 

lele a AC, et GB egale et parallele a AM (fig. 5); ensuite un triangle 
M BN fixe a la droite MB et semblable au triangle AMA l , de maniere que 
Ton ait 
(1) 




(2) 



NB 
MB 



AM 
AA t 



18* 



276 



Tracons les droites CA l et ON. Les angles A^AG et NBC seront 

e"gaux, car 

A l AC=A 1 AM-*-MAC, 



Jff 




NBC=NBM-+-MBC, 

Or A,AM=NBM et MAG=MBG parce 
que la figure AMBC est un parallelo- 
gramme. Done, en vertu de 1 equation (2), 



AC 



Fig. 5. 



et les trianles 



CB 



et CBN sont sem- 



vantes: 
(3) 



(4) 



blables, ce qui mene aux relations sui- 

AjC _ AA V 

CN ~~ CB 

NCB = AA, 
GNB=ACA l . 



Dans le triangle A^AG, nous avons 



TT MAC 
ACB = ACA l -t- 



NCB, 



remplac,ant ici 
par 

nous obtenons 

AA 1 C=A l CN-*-NCB A l . 

ce qui, a cause de 1 egalite des angles NCB et A^AG, donne 

A 1 CN=A 1 AM. 

Ainsi done, quelle que soit la position des pieces du mecanisme, les 
droites Af) et NG comprendront toujours un me me angle constant et egal 
a A^AM.. De plus, si dans 1 equation (3) nous reraplagons CB par son egale 
AM, nous trouvons 

A n A A 

^J. I W _/ I ^Ci 1 

~cW~ Jlf 



277 



relation qui indique que le rapport des longueurs GA^ et ON des rayons 
vecteurs est aussi constant. 

5. II s ensuit que les points A l et JVdecrivent des courbes semblables 
dont les elements homologues forment avec leurs rayons vecteurs des angles 
egaux. Et puisque le point A l decrit un arc de cercle dont le centre est G l , 
nous en concluons que le point N decrit aussi un arc de cercle. 

Soit C n le centre de cet arc de cercle. Les rayons vecteurs G l A l et 
G n N sont respectivement normaux aux arcs elementaires decrits par les 
points A l et N , et, en vertu de ce que nous venons de dire et du rapport 
des rayons C^A^ et CN et de 1 inclinaison des arcs elementaires, nous avons 

AC AA 



C n N AM 



ce qui donne, pour determiner la position du point 6V 



(5) 






Combinant I avant-derniere egalite avec 1 equation (4), nous trouvons 

GNC n -f- GNB = CA& -+- AGA, , 
ce qui, ainsi qu il est facile de voir fig. 5, nous conduit a 



Ainsi, il est fort simple de determiner la direction de la ligne NC n , 
ensuite 1 equation (5) donne la position du centre C n . 

Le point fixe G n autour duquel tourue le point ./Vetant ainsi determine", 
on n entravera nullement les mouvements du me 
canisme si on y introduit la manivelle G n N et 
le triangle mobile MNB. Mais on pourra en sup- 
primer les manivelles G^A V et CA en conservant 
la nouvelle mauivelle GB. 

Ainsi 1 on arrive a la forme de mecanisme 
represented fig. 6 qui est exactement 1 equivalent 
du mecanisme fig. 4. 

6. Admettons que le mecanisme fig. 4 Fig. 6. 




278 



que nous avons ainsi transforme soit symetrique dans sa position moyenne, 
c est-a-dire que 



=MA 1 G 1 ] AC=A 1 G 1 , 
et posons pour plus de simplicite (fig. 5): 

HAA l = HA 1 A = 9, 



AC=A 1 G l = r. 



Nous trouverons: 



(6) 



2 cos <J> ; 



2 cos 



Les deux dernieres equations montrent que, dans le cas special que 
nous examinons, fig. 7, les longueurs MN, NB et 
G n N sont egales. 

D ou il suit que le triangle G n NB est isocele 
et que Tangle 




Fig. 7. 

Or, on a aussi 



et puisque 
s il en resulte 



=K 2cp, 



NBC n = ? . 



done les trois points B, C, C n sont en ligne droite. 

Ainsi done le mecanisme symetrique a trois pieces peut toujours 
remplace par un mecanisme non symetrique, fig. 7, dans lequel les lon 
gueurs MN, NB, G n N sont egales, le triangle MNB isocele, et les centres 
de rotation fixes G et G n se trouvent situes sur la m6me droite occupee par 
la manivelle CB lorsque le mecanisme est dans sa position moyenne. 



279 

Quant aux conditions necessaires pour obtenir de ce mecanisme le 
moindre ecart possible de la trajectoire rectiligue, on les trouve facilement 
au moyen des relations (6) et de la forraule que nous avous donnee dans la 
Note lue au Congres de Paris en 1878 au sujet du mecanisme symetrique. 
Pour ce dernier, dans 1 hypothese d un deplacement indefinimeut petit, on a: 

A , 2 cos 2 cp. cos 2cp , 

AA, = - ^-s -r: 6 = 3o TC. 

cos 89 

Introduisant ces valeurs dans les relations (6), nous avons, pour deter 
miner les dimensions du mecanisme non symetrique: 

MNB = u 2 \> = STT 6 ? ; 



_ 
2 cos <\> ~ cos 2 89 

r 



11 2 cos 4* 2 cos 89 

Faisant 

MN=NB=C U N=R 
nous avons 

2 cos 2 9 cos 29 



cos 89 

Cette deruiere valeur jointe a celle de 

et les conditions que, pour la position moyeime, les trois points (? n , G et B 
sont en ligne droite et Tangle CBN= cp, suffiseut pour determiner comple- 
tement le mecanisme. 

7. Les mecanismes non symetriques ainsi derives du mecanisme syme 
trique peuvent servir a la transformation du mouvement rectiligne alternatif 
en mouvement circulaire contiuu. En dounant aux centres de rotation des 
situations convenables, on pourra faire decrire un tour entier a la manivelle 
GB et alors le point M decrira une ligue sensiblemeut droite. 

Au moyen des formules donnees (Note au Congres de 1878), on trouve, 
pour determiner ces elements en fonction de la quantite auxiliaire , 



tV2 t z ) sin 9 -+- 2 (t V2 t 2 } 

, 



2t V2 t* 

AA, , cos cp . r. 

l + tV2 t 2 



280 

Ayant determine 9, fy et AA l a 1 aide de ces formules, les equations (6) 
nous donnent pour le mecanisme non symetrique derive (fig. 7): 

MNB=T: 2t, 



-& __ AAi tYl t* coa 9 

"" 2 cos ty 1 -t- 1 V2 t 2 cos 4> 



Faisant 

NB=R 
et eliminant r, on trouve 



r> n 

BC= - == cos <p . 

l-t-O/2 < 2 



C n N=E; MN=R; 
ce qui, avec les relations 



suffit completement pour determiner le mecanisme et c est _powr wwe valeur 
quelconque de . 

Le choix de cette valeur depend du degre d approximation au mouve- 
ment rectiligne que Ton veut obtenir. Plus t est petit, moindre est l cart 
maximum dont 1 expression est du reste donnee par 

n _ 



[2 sin 9 -+- St -f- 2 f 2 sin 9 -*- < 3 ] 2 

La longueur de 1 excursion du point M pour un tour entier de la ma- 
nivelle BG diminue egalement avec la valeur de , mais pas aussi rapide- 
ment. Elle est donnee par la formule 



__ 4 COS 9 . COS 4* t V 2 t 2 



7-r 7-) 



i -+- tVz t z 
dans laquelle K est la plus grande valeur que prend 1 expression 

(l-t-tV2 < 2 ) 2 .tang 2 9 -f- 2t V2 t 2 (l cos a) , ~| - 

(l-t-tV2=T 2 Y- 2*y / 2~=~* 2 (l-cosa)~~ " SI1 S YJ S1 a 



(l -t- t /2 t 2 ) 2 2 /2 t 2 (l cos a) 

quand on y fait varier a de a 2ir. 

Faisons, par exemple, ^ = 0,15, nous trouvons par les formules ci- 

dessus: 

9 = 3238 ; ^ = 4443 ; J5(7= 0,2934^. 



281 

Ce valeurs nous conduisent au mecanisme represents fig. 8, dans lequel 
le point decrivant M engendre a peu pres la droite M l M n par tour de la 
manivelle BG. 




Fig. 8. 

Faisant = 0,15 et dormant a <p et <J> les valeurs ci-dessus dans la 
formule qui donne 1 ecart maximum E, nous trouvons que 

cet ecart maximum E= 0,00458 E. 

La course I du point generateur de la ligne approximativement droite 
sera 

I = 0,842 .ft. 



16, 

SUR LES PARALLEL06RAMMES 

GOMPOSHS DH TROIb 






SY1ETRIQUES PAR RAPPORT A UN AXE. 

(TRADUXT PAK X. W. KKSTSGKDSHSKY.) 



cccmo5iu{uoct> us o mpexK 3^ejncHmo6 & u cuMjnemnuvecJiux S cfacjio cdnou ecu 



ie Kt XXXIV TOMJ 3airacoKi> HMnepaTOpCKofl AKa^ewiH HayK-B, J^s 3, 

1879 r.) 



Sur les parallelogrammes composes de trois ele 
ments et symetriques par rapport a un axe. 



1. Dans un article intitule: Sur un mecanisme*}, nous avons iiidi- 
qu6 les conditions pour qu un parallelogramme leplus simple realise lemou- 
vement qui differe tres peu du mouvement rectiligne. 

Ce parallelogramme consiste de deux mauivelles AC et Afl^ (fig. 1), de 
la meme longueur, tournaut autour des axes fixes G et C l , et de la bielle AA l 
articulee aux extremites des manivelles; le point M, qui execute le inouve- 




A 




Fig. 1. 



Fig. 2. 



ment desire, se trouve sur 1 axe de la bielle AA l a distance egale de ses 
extremites AetA l . 

Nous allons indiquer maiutenant les conditions du meme genre pour 
le cas, ou le point qui a le mouvement desire ne se trouve pas sur 1 axe 
de la bielle A A l , mais sur la perpendiculaire MN (fig. 2) Sgalement di- 
stante des points A et A v . 



*) T. II, pag. 5157. 



286 



II est facile de voir que dans ce cas le mecanisme considere comprend 
tous les parallelograinmes composes de trois elements et symetriques par 
rapport a un axe. 

Les conditions pour que ces parallelogrammes en leur forme generale 
realisent le mouvement qui s approche le plus pres possible du mouvement 
rectiligne s obtiennent par les m&nes m6thodes que nous avons appliquees 
dans le cas particulier, qui etait Pobjet de la note citee. 

Toute la difference consiste en ce que dans le cas general les calculs 
sont plus compliques et par suite les conditions cherchees ue peuvent pas 
6tre exprimees d une maniere si simple comme dans le cas particulier que 
nous avons examine, ou la longueur de la perpendiculaire MN est egale a zero. 

Pour presenter ces conditions sous la forme la plus simple possible 
nous introduirons une quantite" auxiliaire au moyen de laquelle toutes les 
dimensions des parallelogrammes considered s expriment rationnellement. 

Quant a la determination de cette quantite auxiliaire, elle peut etre 
calculee ou d apres le degre de precision que doit avoir le mouvement cherche 
presque rectiligne, ou bien d apres la longueur de la course, sur laquelle on 
desire avoir le mouvement qui s ecarte peu du mouvement rectiligne. 

Les equations qu on y rencontre alors peuvent etre facilement reso- 
lues par approximation. 

2. En considerant notre mecanisme dans sa position moyenne (fig. 3), 

ou AA l est parallele a GC l , droite qui 
passe par les axes de rotation des 
manivelles, et par suite les angles ACG l 
et .4 1 (7 1 C r sout egaux, nous posous 

ACG l = A 1 C 1 C =9. 

La place du point Jf, qu il occupe 
alors, sera prise pour origine des co- 
ordonnees, une parallele a GC l pour 
axe des x et une perpendiculaire pour 
axe des y. 

En examiuant la courbe decrite 
par le point Jf, nous observons qu elle 
est symetrique par rapport a 1 axe Ot/, 
puisque tout le mecauisme est syme- 




Fig. 3. 



trique par rapport a cet axe; par suite, cette courbe, passant par 1 origine, 
touchera en ce point 1 axe Ox sans le couper; dans le voisinage de ce point 
la courbe decrite par le point M est susceptible de devenir tres peu diff6- 
rente de la droite. 



287 



Les conditions pour que cela ait lieu peuvent 6tre represents au 
moyen d une quantite auxiliaire t de la maniere suivante. 
En posant 



nous determinons les quantites a et c d apres les formules 
(1) = STTT cos ?, 



(2) 
ou 

(3) 



(2 T*) [2T (T* -J- 1) sin 9] 

^ ~~ n I m*) -+ \O "~ 



2siacp 



1 



II est facile de montrer que, ces conditions etant remplies, la courbe 
decrite par le point M dans une certaiue etendue plus ou moins conside 
rable ne sort pas de 1 espace limite par deux paralleles, dont la distance est 
egale a 



(2 sia 



-t- 2 sin q>. t 2 



et se rapproche done rapideraent de zero, a mesure que la quantite auxi 
liaire t diminue. 

3. Pour determiner les 
positions du point M corres- 
pondantes aux differents an 
gles que fait la droite AA l 
avec CG l (fig. 4), nous desig- 
nons par a Tangle variable 
compris entre les droites AA 1 
et CG l , par $ et y respective- 
mentles angles ACG l et A^G. 
En projetant la ligne brisee 
OOfiANM sur les axes des 
coordonnees et observant que 




AC=1, AN*=%, NM=c, 

et que 1 axe Ox est parallele a 

la droite GC\ , nous obtenons Flg> 4 - 

les formules suivantes pour la determination des coordonnees du point M: 

x = G0 l +- cos (3 cos a H- c sin a, 



= 00 l 



sn 



-- sn a 



c cos a. 



288 

On applique ces formules au cas, ou ladroite AA l est parallele a 
observant que dans ce cas 

0=0, y = 0, a = 0, [3 = ? , 

on obtient les e galite s 

= C0 l -+- cos 9 y , 

= 00 1 -\~ sin 9 c. 

En portaut les longueurs des droites CO et 00 1J tirees de ces egali- 
te"s, dans les equations precedeutes, nous aurous les expressions suivantes 
pour les coordonnees du point M : 

{x = cos (3 -+- ~ ( 1 cos a) -+- c sin a cos 9, 
y = sin (3 -|- sin a -t- c (1 cos a) sin 9. 

Pour obtenir 1 equation entre les angles variables (3 et a nous proje- 
tons laligne brisee GAA 1 G 1 sur les axes des coordounees, ce qui nous donne 
les equatious: 

cos p a cos a -t- cos y (7(7, = 0, 

sin (3 a sin a siny^O. 



En appliquant ces equations au cas, ou la droite AA l est parallele a 
GG l et par consequent 

nous avons 

2 cos 9 a CG l = 0; 

par suite, les equations precedeutes nous donueut: 

cos.y = 2 cos 9 cos (3 a (1 cos a), sin y = sin (3 a sin a. 

En ajoutant ces equations apres les avoir elevees au carre, nous trou- 
verons 1 equation suivante entre les angles variables J3 et a: 

[2 cos 9 cos [3 a (1 cos a)] 2 -+- [sin |3 a sin a] 2 = 1 . 

En effectuant les operations iudiquees nous reduisous cette equation a 
la forme: 

(5) [2 cos 9 a (I cos a)] cos (3=2 cos 2 9~a sin a sin [3 a (2 cos 9 a) (1 -cos a). 



289 

En remplagant cos [3 par Vl sin 2 (3 et elevant au carre, noustrouvons: 

[2 cos op a (1 cos a)] 2 (1 sin 2 (3) = 
[a sin a sin (3 2 cos 2 9 -+- a (2 cos 9 a) (1 cos a)] 2 . 

II en resulte 1 equation suivante pour determiner la difference 
sin (3 Y sin a: 

2 [2 cos 2 9 -+- a (a 2 cos 9) (1 cos a)] fsin (3 -|- sin a"] 2 = 
[2 cos 9 a (1 cos a)] 2 1 cos 2 9 ^(i cosa)j. 

En portant ici la valeur de a, tiree de (1), et posaut 

fd\ ! T 2 (2T 2 ) ,, 

v 1 H-y (T 2 i) 2 C 1 cos a), 
on trouve 1 equation : 

(7) v [sin (3 |- sin a] 2 J 4 = [l -4- (T 2 1) v] 2 (1 cos 2 9.v). 
D ailleurs d apres les formules (4) nous trouvons que 
sin (3 Y sin a = y c (1 cos a) -+- sin 9; 

en y portant la valeur de c tiree de 1 equation (2) et la valeur de 1 cos a 
d apres (6), nous avons 



par suite, 1 equation (7) nous donne 

(8) v jr2/--2T sin 9 [2T (J 2 -i- 1) sin ? ]v J 2 == 

[l--(J 2 l)v] 2 (l cos 2 ? .v). 

4. D apres 1 equation (8) que nous avons trouvee, il est facile de 
faire voir pour quelles valeurs de Tangle a le point M se trouvera sur 
1 axe Ox. 

Puisque 1 ordonnee y pour les points de cet axe est 6gale a z6ro, on 
obtient les valeurs de v qui correspondent a la position du point M sur 
1 axe Ox de Fequation (8), si Ton pose 

? = 0. 

On trouve ainsi pour determiner ces valeurs de v 1 equation: 
v(2T sin^ [2T (^H-ljsincpJvp^rfl-i-^ l)v] 2 (l cos 2 9.v). 

19 



290 

En Sloignant les parentheses et faisant passer tous les termes dans le 
premier membre de Tequation, nous voyons qu elle se reduit a la forme: 

(9) (v 1) [(12 sin9.r-*-T 2 ) v l] 2 = 0. 

En portant les racines de cette equation dans liquation (6) et resol- 
vant 1 equation obtenue, nous trouvons toutes les valeurs de Tangle a, pour 
lesquelles la position correspondante du point M est sur 1 axe Ox. 

Cette operation effectuee avec la racine 



nous donne 

a=0. 

Lorsque Tangle a prend la valeur nulle, le point M, comme nous avons 
vu ( 2), parvient a Torigine et la courbe qu il d6crit touche Taxe Ox sans 
le couper. 

Procedous de la m&ne maniere avec la racine 



v = 



1 2 sin 9 . T -+- T 2 



observant que cette racine est double, nous trouverons d apres liquation 
(6) les valeurs de a, pour lesquelles la courbe decrite par le point M et 
Taxe Ox auront un contact du premier ordre et par consequent ne se cou- 
pent pas. 

II en resulte que le point M , se mouvant a droite et a gauche de Taxe 
0/, restera toujours du m6me cote de Taxe Ox. 

En considerant la position du point M relativement a la droite repre- 
sentee par Tequation: 



,, 4(1 -+-2 sincp. - 

V (2 sin ? -4- 3t + 2 sin 9 . t 2 -+ < 3 ) 2 

nous observons que les valeurs de v, pour lesquelles le point M se trouve 
sur cette droite, sont determinees par Tequation: 



r _ s . [2y _ . j 

-i-t 3 ) 2 TJ 

= [1 n-(T 2 l)v] 2 (l cos 2 9.v), 

qu on obtient, en portant dans Tequation (8) la valeur de y tiree de Te 
quation (10). 

Portous dans cette equation la valeur de T d apres liquation (3), 



- 9Q1 - 

&%r JL 

alors, la reduction faite, on obtient ime equation qui, en y remplagant Tex- 
pression 

1 -*- 4 sin <p . t -+- Qt 2 H- 4 sin cp . t 3 -+- t* 
(1 <2)2 

par celle-ci 

1 2 sin<p.r-+-r2 



1 -t- 2 sin . 

qui lui est egale, peut 6tre ramenee a la forme 

r / l-f-2 sincpj-f-i 2 \2~] f 1 -|2 

V I V () 

\1 2 sin9.T-4- T 2 / j 1 -t- 2 sin 9.* -+- t z j 



En appliquant a la racine double de cette equation les raisonnements 
que nous avons faits sur la racine double de Tequation (9), nous remarquons 
que ce n est que la racine simple de cette equation 



/ 1 -f- 2 sin 9. 

~ 2 sincp 



qui peut donner les valeurs de Tangle a pour lesquelles le point M traverse 
la droite (10). 

Par suite, en designant par a t et ^ les valeurs de Tangle a qu on 
tire de Tequation (6), quand v a la valeur indiquee, par 



les valeurs correspondantes de la coordonnee x du point Jf, nous concluons 
que dans les limites: x = x l et x = x l le point Mreste d un cote de la 
droite (10). 

Pour les valeurs limites: x x lt x^=x l le point M se trouve sur 
la droite (10) parallele a Taxe Ox et pour x = ( 2) sur Taxe Ox m^me; 
par consequent entre x = x l Qt x = x l le point M passe d une de ces 
paralleles a Tautre; or, d apres ce que nous avons demontre plus haut, le 
point M dans les limites x = ^ et x = x^ ne peut pas traverser ces 
droites; ce point ue peut done pas s eloigner de la droite parallele a Taxe 
Ox, menee au milieu entre Ox et la droite (10), plus qu a la mottle" de la 
distance entre ces droites, a savoir 

2 (1-4-2 sm<?.t-+-t 2 )t 3 
(2 sin cp -+- 3t -+ 2 sin 9 . t 2 -+- t 3 ) z 

On voit ainsi qu entre x = x l etx = -+-x l la limite de Tecart du 
point M de la droite mentionnee, passant au milieu entre Ox et la droite 
(10) (nous designerons cette limite par E) a la valeur suivante: 



(11) 



(2 sin 9 H- 3t -+- 2 sin 9 . t 2 -t- t 3 ) 2 * 

19* 



292 



5. Pour la determination des valeurs limites QL=-OL I et x-=-.x^ 
pour lesquelles le point If traverse la droite (10), d apres ce qui a ete dit 
dans le paragraphe precedent, nous posons dans 1 equation (6) 



_ 1-1-2 si 
" 



l 2 sincp.T-i-T 2 

on obtient alors pour determiner les valeurs a = <x l liquation suivante: 

_ 2(l-T 

a i- T22-T 



Pour trouver les valeurs correspondantes de la coordonnee # = =b a^ 
nous portons la valeur de cos (3 tiree de 1 equation (5) dans Pexpression (4) 
de la coordonnee #, qui devient alors 



x = a 



:sin ^ sin a 
2 c 

2 cos 9 a (I cos a) a 



sma: 



en remplac,ant dans 1 expression 

2 cos op a (1 cos a) 
a et 1 cos a par leurs valeurs tirees des equations (1) et (6), on obtient 

2cos ? a (I cosa) = H-^[l-i-(T 2 l)v]. 
En determinant, d apres 1 equation (7), la valeur de 

sin (3 sin a, 



nous avons 



d ou il vient 



i) 



i/T~ 
|/ 



coscp 



sin 3 ^- sin a I/ cos 2 9 

2 _ f v 

2 cos cp a (1 cos a) ~ 2 cos <p 



par consequent, 1 expression de la coordonnee x que nous avons trouvee plus 
haut peut s ecrire: 



(13) x a Is 1/ cos 2 cp I sin a. 

L2 cos 9 y v a J 

On determine ainsi la coordonnee x du point M pour les differentes 
valeurs de Tangle a; quant a la valeur de v, on la trouve de 1 equation (6). 



293 

L equation (13) nous permet de determiner les valeurs extremes de 
la coordonnee x = zh x l , en y faisant 



Pour cette valeur de v on a 



2 si 



en portant la valeur T d apres 1 equation (3), on trouve 

1 2 sin<p.y-t-r 2 



(1 

on aura done: 



-i (l-*-4 sin 9. t-t-6t 2 -i-4 sin 9. 

_ COS 2 ?=: -J/L (1 _ ty - . 

En eloignant les parentheses et extrayant la racine carree, on obtient 



1/1 _ COS 2 9 = 



2 



Par suite, d apres 1 equation indiquee plus haut, la valeur extreme de 
x se represente sous la forme: 

--6t -<*) sin 9-4- 4* (!-*) 



En y portant les valeurs de a etc tirees des equations (1) et (2), cette 
equation se reduit a la suivante: 



2 f2 f T am 9 2 (1 -i-2 sin 9. 

" Sm a i > 



*) q . 
~J S 



1 augle a x etant determine par 1 equation (12). 

On trouve ainsi les valeurs extremes de la coordonnee x=x 1 , entre 
lesquelles le point M ne sort pas de 1 espace limite par deux paralleles: 



y = v= 
y " 

par consequent, il decrit la courbe qui s ecarte peu d uue droite, si la 
quantite t est assez petite. 

D ailleurs la longueur du chemin parcouru par le point M sera de 
termined par ses positions extremes; nous aurons done, en designant cette 



294 



longueur par , d apres 1 expression des valeurs extremes x=x 1 trouvee 
plus haut: 

7 2(2-T 2 ) pr-giny 2(l-+-2sin9.< + * 2 )n . 

l T 2 _T 2 l (1 < 2 ) 2 ui 



6. Dans le cas, ou le point M doit avoir le mouvement qui s ecarte 
tres peu du mouvement rectiligne, lorsque Tangle a varie dans les limites 
Stroites, la quantite auxiliaire t et Tangle a x qui determine la limite des 
variations de Tangle a seront petits; par suite, toutes les formules que nous 
avons obtenues peuvent etre developp6es en series commodes pour le calcul 
numerique. 

Nous trouvons ainsi, d apres Tequation (3), 

T=2 sin 9-*- 3t -+- ____ ; 

en remplagant T par cette expression dans les equations (1) et (2), nous 
obtenons les series suivantes: 

_ 2 cos 2y . cos 2 9 6 sin 29. cos 2 9 , 

cos 89 cos 2 89 

_ tg 89 . cos 29 . cos 2 9 o c s 3 9 (3 cos 29 cos 49) , 
cos 89 cos 3 89 

En developpant Texpression E d apres la formule (1 1), nous avons 

W- H-/_J_ 3-2sin2q) \ 3 

-C/ = It I . --- ;; r-s - t -+- ....It. 

\2 sm 2 9 2 sin 3 9 / 

On substitue a T dans les expressions 

l-f-2 am 



T 2 (2 T 2 ) \1 2 sin 9 T-*- 

la s6rie qu on a trouvee plus haut, alors ces expressions se deVeloppent en 
series : 

(4sin29-l) 2 / t __ 3t __ t \ 

8 sin 2 9. cos 29 \ sin 9 . cos 29 . (4 sin 2 9 1) ****/ 

8sin<pJ-f-16 (3sin 2 9 



par suite, nous obtenons de Tequation (12) pour 1 cos j lase>ie suivante: 

_ o (4 sin 2 9 I) 2 / , _ 48 sin^ 9 52 sin 4 9 -t- 18 sin 2 9 -t- 1 , 2 \ 

sin 9 cos 29 v. sin 9. cos 29 (4 sin 2 9 1) ****/* 

En exprimant sin a : au moyen de 1 cos o^ , on trouve 
sin aj = V 2 (1 cos aj (1 cos aj 2 , 



295 
ce qui nous donne, en y portant le developpement de 1 cosc^: 



/ (4 sin 2 9 \yt F. 56 sin 6 9 50 sin 4 9 -t- 15 sin 2 9 . 
smtt l Y~ sin 9. cos 29 L sin 9. cos 29 (4 sin 2 9 1) H....J. 

En portant cette serie pour sin o^ dans liquation (14) et observant 
que les expressions: 

2 (2 T 2 ) T sin 9 2(l-t-2 sin 9.* -+- t z )t 
I y 2 " T z 1~~ (1 t 2 ) 2 

se developpent en series: 

4 cos 9. cos 29 12 cos 9. sin 29 , 
cos 89 cos 2 89 

sin 9 32 sin 4 9 16 sin 2 9 1 , 

4 sin 2 9 1 H (4 sin 2 9 1)2 H . . . . , 

on obtient, la reduction faite ? pour la longueur de la course du point M 
dans le cas conside re la serie suivante: 

, 8 cos yV sin 9. cos 29. t I"- cos 3 9 (8 sin 4 9 6 sin 2 9 1) . 

00389 sin 9. cos 29.003 89 *J* 

7. Nous avons examine le cas, ou Tangle a reste dans les limites 
qui ne different que tres peu de zero; maintenant nous allons considerer le 
cas, ou Tangle a prend toutes les valeurs possibles depuis u jusqu a -*-ir. 
Alors la droite AA l fera un tour complet par rapport a la droite CG l et le 
point M decrira la courbe fermee qui sera entierement comprise entre deux 
paralleles, plus ou moins rapprochees entre elles selon la valeur plus ou 
moins petite de t. 

En prenant -+- IT et ic pour les valeurs extremes de Tangle a, nous 
posons dans nos formules 

Cj == ^ TC. 

Pour cette valeur de a x on obtient de Tequation (12) 

_ 1 _ 2 (1 T 2 ) 2 ["/ l-f-2 sin9.<--^ 2 \2 - ~j 

~T 2 (2 T 2 ) L\l 2sin9.r-*- T 2 ) J 



d ou il suit 

/ l-t-2 sin9.<-f-f 2 \2 _ 1 

\1 -2sin9.T-4-T 2 j ~~(T 2 I) 2 * 



On d6duit de cette Equation 



1 -H 2 sin 9 



296 

En portant ici la valeur de T d apres 1 equation (3), on obtient Pe- 
quation suivante: 

t* -+- 4 sin cp J 8 -+- 62 2 -+- 4 sin 9 .t -t- 1 = 

j p 3 n- 2 sincp J 2 -f- 3 -t- 2 sincp] 2 (1 * 3 ) 2 j. 
En resolvant cette equation par rapport a sin cp, on trouve 



La derniere formule ne donnant de valeur reelle a sin cp pour des va- 

leurs assez petites de t, moindres que 1/y, nous nous bornerons a la pre 
miere formule. 

En observant, que dans la formule retenue le signe du radical se 
change, lorsqu on remplace t par t et <p par cp, nous ne la prenons 
qu avec le signe superieur. 

On a ainsi 

_ t (t 2 -+- 2) -+- V2 tf 
*<? = - 2(1-*-^) 

ensuite d apres 1 equation (3) on obtient la valeur correspondante de T, qui 
se reduit a la forme suivante: 



, _ t H- V2 



1 t z 



Or en portant ces valeurs de sin cp et de T dans les equations (1) et 
(2), on trouve: 



a = 



- , cos 9; 

1 -|- t y 2 < 2 



(2 t z )t 
~2(l-4-< 2 )* 

La m^rne substitution effectuee dans 1 equation (11), ou la quantite E 
determine la limite de l e"cart du point M de la droite, on trouve pour E 
1 expression qui se reduit a la suivante: 

(15) ; E= 



Get ecart sera tres petit dans le cas, ou la valeur de t differe tres peu 
de zero; dans ce cas toute la courbe, decrite par le point M, s ecartera tres 
peu de la droite. 



297 

Pour trouver la longueur de cette droite, qui peut 6tre remplacee avec 
la precision, dSterminee d apres I equation (15), par la courbe, de"crite par 
le point M, nous observons que les extremites de cette droite sont deter- 
minees par le plus grand ecart du point M a droite et a gauche de 1 axe 
Oy; quant a la valeur de cet ecart, on la trouve en cherchant la plus grande 
valeur qu atteint la coordonnee x du point M, lorsque a rec.oit toutes les 
valeurs possibles. 

Puisque dans le cas considSre nous avons 



*-*-T/2-^ 
1= l-t* 



et par consequent 

(2-T2) 



I equation (6), qui determine la valeur de v, se reduit a la suivaute: 
v= l 2ty2-0 (1 _ cosa ) t 

(1 -+- t V2 t 2 ) 2 

En portant cette valeur de v dans I equation (13), nous obtenons 1 ex 
pression de x qui se represente ainsi 



_ 

tang 2 9 H --- (1 cos a) 





1 -- , (1 cos a) 

(l-t-iT/2 t*f 



2c 

a 



sm a 



ou les quantites a, c, 9 ont les valeurs iudiquees plus haut. 

En determinant d apres cette equation la plus grande valeur de la co 
ordonnee x et la doublant, nous trouvons la longueur de la droite, de la- 
quelle la courbe fermee, decrite par le point M, s ecarte tres peu, si la va 
leur de t est tres petite. 



17, 



m 

COMPOSES 

DE TROIS CLEMENTS QUELCONQUES, 

(TKADUXT PAK K. A. XIKKOKANDKXT2SKY.) 



K-B XXXVI TOMy SanncoKt PlMnepaTOpCKofl AKa^eMia HayKt, A 1 " 3, 
1880 r.) 



(Lu le 18 (30) decembre 1879.) 



Sur les parallelogrammes composes de trois 
elements queleonques. 



1. Dans le Memoire sur les parallelogrammes composes de trois ele 
ments etsymetriques par rapport a un axe, hi le 5-me decembre 1878, nous 
avons montre les conditions a remplir pour que de pareils parallelogram 
mes realisent le mouvemeut rectiligne avec la plus grande precision possible. 
Ces parallelogrammes soiit composes de deux droites (fig 1) AC, Af}^ qui 

Fig. 1. 




tournent autour des points immobiles 6 , (?,, et d une ligne AA l qui joint 
leurs bouts mobiles; un point M, invariablement lie avec la ligne AA lf rea 
lise le mouvement desire. 

Dans le cas, ou AG^=A 1 G IJ AM=A 1 M, ce mecanisme devient syme- 
trique par rapport a un axe perpendiculaire h la droite, passant par les centres 
C, C l . C est ce cas particulier des parallelogrammcs les plus simples qui a 
ete 1 objet du Memoire cite. D apres les formules donnees dans ce Memoire, 
on obtient les conditions, tres simples, qui sont necessaires et suffisantes pour 
que des pareils mecanismes realisent le mouvement rectiligne avec la plus 
grande precision possible, lorsque leurs jeux sont infiuiment petits. En con- 



") T. II, p. 285297. 



302 



siderant im parallelogramme dans sa position moyenne, lorsque les angles 
A^AC, AAf^ sout egaux, ces conditions peuvent tre exprimees aiusi: 

, A etant la valeur 



O 4)-*- 



1) Les angles A^AC, AA& sont egaux a 

commune des angles A^AM, AA } M, et n un nombre entier quelconque. 

2) Le rapport de la longueur des droites tournantes AC, A^aux. cotes 
= A 1 NL du triangle AA^M. est egal a 

cos 2 89 
cos 2?. cos 2 9 



op etant la valeur des angles A^AC, 

Dans le cas, ou ces conditions sont remplies, le point M decrit unc 
courbe qui a le contact du 5 -me ordre avec une droite parallele a celle qui 
passe par les centres (7, C v et c est la limite superieure d approximation a 
la droite des arcs infiniment petits qui peut etre obtenue dans le mouvement 
du mecauisme cousidere. 

Le cas des mouvements infiniment petits, pour lequcl les formules ge- 
nerales, donnees par nous pour les parallelogrammes symetriques les plus 
simples, se reduisent aux egalites citees plus haut, est digne d une attention 
particuliere comme la limite, a laquelle s approchent de plus en plus ces 
parallelogrammes, lorsque la longueur de la ligne, decrite par M pendant 
lejeu, devient de plus en plus petite, et du quel different peu les cas qui se 
preseutent en pratique, ou Ton ne cherchc a rendre la plus proche d une 
droite qu une partie peu importante de la trajectoire du point M. Quant au 
passage du jeu iufiniment petit du point M au jeu fini, on peut 1 executer, 

comme nous 1 avons montre dans 
le Memoire intitule: Theorie des 
mecanismes connus sous le nom 
de parallelogrammes *), au moyen 
des fonctions qui s ecartent le 
moins de zero. 

2. Nous allons maintenant 
considerer ces me mes parallelo 
grammes dans le cas general 
quand les droites tournantes AC, 
A^ et le triangle AA^M sont 
quelconques (fig. 2). Dans ce cas 
general la limite superieure d ap 
proximation au mouvement recti- 
ligue reste, comme il sera montre plus loin, le meime, c est a dire, les courbes 



Fig. 2. 




*)T. I, p. 111-143. 



303 

decrites par le point M ne peuvent avoir avec la droite de contact d uii 
ordre superieur au cinquieme. Les conditions pour qu un tel contact ait 
lieu, dans ce cas general, se ramenent, comme nous le verrons, aux egalites 
semblables a celles que nous avons obtenues pour les parallelogrammes sy- 
metriques, a savoir: 

1) Au moment, ou le point M arrive sur la droite FG, ayant le contact 
du 5-me ordre avec la courbe qu il decrit, les angles A^AG, AAf^ sont 
determines d apres les angles du triangle AA^M. par les egalites 



,, 

ou n, Wj sont des entiers quelconques, egaux ou non; 

2) les rapports des lignes AC, A& aux cotes AM, A^~M du triangle 
AA^M, sont determines par les egalites: 

f T 

("nq _ _. f*O^ 

AC __ 2 cos(3!p-HY). ^iCi__ 2 cos 2 (3cp 1 y) 

AM ( Y\ cos 2 (9-f-T) A.M~ f y\ cos 2 (9, y) 

cos 2cp -+- ^- cos -- 

\ - 1 / 

Oil 



et y est Tangle entre la ligue AA l et la tangente FG au moment, ou les 
angles A^AQ, AAf}^ out ces valeurs. 

Quant a la direction de la droite FG tangente a la courbe decrite 
par le point M, cette droite FG, d apres la propriete connue des courbes 
decrites dans le plan par des points en mouvement lies invariablernent 
entre eux, doit e"tre perpendiculaire a la droite MS, menee du point M au 
point de rencontre des droites AC, Af!^ ce qui determine completement 
la direction de cette ligue. 

Pour embrasser tous les cas, ou le triangle AA^M, dont les sommets 
A et A l se meuvent sur des cercles, decrit par le sommet M une courbe, 
ayant avec la droite le contact d ordre 5, il faut donner aux nombres n et 
MJ les valeurs 

0, 1, 2; 

et on aura ainsi, d apres les formules ecrites plus haut, neuf systemes des 
valeurs pour les angles A^AG, AAf r En determinant pour chacun de ces 
9 systemes des angles A^AG^ AA 1 G 1 la direction de la tangente FG, nous 
trouverons ces deux valeurs pour Tangle y: 



qui donnent pour chaque systeme des angles A^AC, AA 1 C 1 deux systemes des 



304 



droites AC, Af r Nous aurons done ainsi en general 18 solutions du pro- 
bleme qui nous occupe, lorsqu on considere le triangle AA t M comme donne. 

3. En determinant Pequation de la courbe decrite par le point M, 
lorsque les points A et A l se meuvent sur des cercles, on remarquera que 
les conditions, sous lesquelles cette courbe aura avec la droite le contact 
d ordre 5, sont representees par un systeme de 4 6quations de degres plus 
ou moins grands. Vu la complication de ces Equations, il serait difficile 
d attendre qu elles se reduisent aux egalites si simples, citees plus haut. 
On les obtient facilement, en remarquant que pendant les deplacements in- 
fiuiment petits du triangle AA^M le sommet M se mouvera sur la droite 
FG avec 1 exactitude jusqu aux iufiniment petits du 6-me ordre. Et par 
cela, avec le m6me degre de precision, le mouvement considere du triangle 
AA^/L pourra tre determine d apres le mouvement des points M et A: du 
premier sur une droite, du second sur un cercle, et pendant ce mouvement, 
avec la meme precision du 6-me ordre, la distance du point A l au point G l 
doit rester constante. En determinant les conditions indispensables pour 
cela, on aura aussi un systeme de 4 equations. Mais ce systeme d equations, 
au moyen des quantites auxilliaires, se ramene facilemeut a une equation du 
4-me degre. La solution de cette equation nous donnera des relations, tres 
simples, entre les quantites diverses de notre question; par la on aura les 
Egalites mentionnees plus haut. 

Fig. 3. 

y 




ac 



4. En abordaut (fig. 3) la determination du mouvement du som- 



305 

met A l du triangle AA^M. dans le cas, oii le sommet M se meut sur la droite 
FG et le sommet A sur le cercle, decrit du centre G avec le rayon AC, 
nous prendrons ce centre G pour 1 origine des coordounees, la droite paral- 
lele a FG pour 1 axe x, la droite perpendiculaire a FG pour 1 axe y. 

Nous designerons par a, (3 les angles variables formes par AM, AG 
avec 1 axe Ox, et nous poserons 



=r- CF=l- AA l = a, AM = 
MAA l =A- 



En projetant la ligne brisee GAA l sur les axes des coordonnees, on 
trouve pour la determination des coordonnees du point A 1 pour les diverses 
valeurs de a et p les egalites 

x = r cos p -+- a cos (A a); 
y = r sin (3 -+- a sin (A a). 

Afin de trouver la relation entre les angles a, (3, projetons la ligne bri 
see CAM sur 1 axe y et, en remarquant que cette projection est egale a 
CF=b, nous en deduirons 1 egalite: 

b = r sin (3 m sin a, 
qui nous donne 

/i \ . n m sin a +- 6 

(1) sm3=- > 



cos p = }/l (^^i) 2 . 



En portant ces valeurs de sin (3, cos (3 dans les expressions trouvees plus 
haut des coordounees du point A^ nous aurons 



x =. Vr 2 (m sin a H- 6^ -*- a cos (-4 a), 
y = m sin a -i- a sin (^4 a) -*- 6 . 

En designant par a la valour de Tangle variable a tout pres de la- 
quelle, selon ce que nous avons dit dans le paragraphe precedent, les varia 
tions dc la distance du point A l de C l restent infinirnent petites d ordre non 
iuferieur au 6 -me, et par i\ la valeur de cette distance pour a = a , nous 
remarquons que 1 expression de la distance de ccs points 



20 



306 

etant de"veloppe"e en une serie procedant suivant les puissances ascendantes 
de la difference sin a sin a , nous donne 1 egalite: 



(2) ~V(x xj* -+- (y y^f = r l -*-K (sin a sin a ) 6 -+- .... 

En prenant le quarre de cette egalite et s arr6tant au 6-me degre" de 
sin a sin a , nous aurons: 

(x x^j* -H (y yy = rf -+- 2r x K($iii a sin a ) 6 -+- . . . . 

En portant ici les valeurs denudes plus haut des coordonnees du point 
A v on trouve 1 egalite": 



[ Vr 2 (m sin a -+- bf -*- a cos (A a) ajj* 
H- [m sin a -t- a sin (A a) H- 6 t/J 8 
= r x 2 -+- 2r x IT (sin a sin a ) 6 -*- ...... , 

d ou, en ouvrant les crochets et divisant tout par 2rjc 1 , on obtient liqua 
tion: _ 

~ sin a-t- 



f, a . A . a cos A ~\ ~ /, 

[1 -sm^sma -- cosaj|/l 

[~am sin A a(b yJ sin A ax, cos A~\ 

sm a H- -s - ^ cos a 

L ra?! ra?! 

am cos J . o a (y l b) cos ^ - ax l sia ^ wy t . 

1 I - bill OC "~~~ - ~ Bill (A 



2b) a 2 r, 

- - = -- 



rx 



v , . . N 6 

K (sm a sin a) 

v 



5. Nous donnerons a cette equation la forme plus commode pour 
notre but, en posant 

dz -t- 1 

sma = 7^T 
ou 

(4) d = sina . 

Pour cette expression du sin a, on trouve 

dz -4- 1 , 1 d 2 l d 2 d(\ d 2 ) 

sma sma n = T d = ,= --- > 5 -*-.... 

r-- 2 2 



cos a = v 1 sm a = l/ 1 



IK\ 1/7 

Y i 



b) e-+- (m 



r(*-*-d) 

_ Yr 2 (rd-+-b) 2 * // rd m dh\i 

r(^-f-d) ^ \ r ?d 6/\ 



rd-t- TO 



y r g (md -t- b) 2 

r\ 



307 



ou nous avons pose" 

rd m 



En e"valuant d apres ces formules les expressions des differents termes 
de Fequation (3), apres y avoir remplace sin a par ^^ , et divisant tout par 
le coefficient de 



nous remarquons que cette equation prend la forme: 



(6) r-t-X-*-pV?^-l V(a gf W (P Q -+- Pj) Vl? 






En vertu de cette egalite, d apres laquelle 1 expression 



doit donner la valeur de la fonction 



avec 1 exactitude jusqu au terme en ~ y il est aise de trouver les valeurs des 
coefficients P , P x , P 2 , P 3 , P 4 en fonctions de X, fx, g et h, et une Equation 
entre ces dernieres quantit^s *). Afin de trouver les equations qui determi- 



nent les coefficients 

* 



nous developpons le premier membre de 1 equation (6) suivant les puissan 
ces descendantes de e et egalons a z6ro les termes en 2 e 1 2 

3 Z 2 

Cela nous donne 5 Equations lineaires par rapport aux quantites P , P , 
^2? ^B> p v q ui les determinent completement. En les resolvant, on trouve: 



P l = 



P 4 = 4A 2 ^ 2 -H ^ 4 1 _f_ 4 9 /z 2 X -H (4.g 2 -H 7i 2 2) 



*) On regoit tout cela immediatement par le developpement en fraction continue, comme 
nous Pavons montre dans le Meraoire sou 3 le titre: Sur les expressions approcliees lineaires 
par rapport au deux polynomesv. T. II, p. 245. 



20* 



308 

En portant ces valeurs de 

P P P P P 

* 07 *- 15 x 2) z 3> X 4 

dans la formule 



(a + \ -+- [A V^_ j) y (z _gf_W 

et en la developpant suivant les puissances descendantes de 0, on aura la serie 



16 



4 



4 (3/^ 2 2) g* -f- (A 2 I) 2 ) 



16 



qui nous donue, en la comparant avec 1 equation (6), les egalites: 

-*- 4 (3ft 2 2)# 2 -i- (ft 2 I) 2 ) 

La premiere egalite presente 1 equation, a laquelle doivent satisfaire 
les quantites X, [/., #, ft, d; la secoude nous servira, comme nous le verrous 
plus bas, a determiner la grandeur de la deviation de la voie rectiligne du 
sommet M de triangle AA^f, lorsque les sommets A, A l se meuvent sur 
des cercles. 

6. Pour passer des valeurs 



que nous avons trouvees tout a 1 heure, a celles qui entrent dans notre que 
stion, nous remarquons que, d apres ce qu on a montre plus haut, la for 
mule (6) doit se reduire a la formule (3), lorsqu on j porte la valeur de a 
tiree de l e"quation 

dz + l 

sm a = -j- 

z -+- d 

Comme on trouve par cette equation que 

1 d sin a 

Z = : -j-J 

sm a a 

1 sin a d _ sin a d d (sin a d) 2 

T = - 1 d sin a ~ 1 d z (1 d 2 ) 2 H j 



S 



309 
nous remarquons, en comparant la derniere egalite avec 1 egalite (5), que 

_ _ h z 
s 



d z 






l/i / sin 

K ~V 



a-t- 6\a 



sin a d 



En vertu de ces egalites la formule (6), apres y avoir porte 

1 d sin a 

sin a d 

au lieu de g, se reduit a celle-la: 



h (1 d 2 ) (X d) sin a -4- 1 dX -+- Vl d~ jx cos a / /m sin a -+- 6\2 
(g-t-df~ (sin a d) ~f J ~\ r / 



(P 2 P 3 d -+- P^d 2 ) sin 2 a (2 P 2 d P 3 (1 -+- d 2 ) 



sin a 



(sin a d) 2 

P 2 d 2 P 3 d -4- P 4 _ Z (sin a d)* 
(sin a d) 2 (1 d 2 )* 



En divisant cette equation par 



ft (I d) 1 dX 

(^ -4- d) 2 (sin a d) 2 



et la comparant apres cela membre a membre avec la formule (3), ontrouve 
les egalites: 



am sin JL P P v d Vh 2 (g-+- d) 2 . 

rXi 1 dX /i/i d 2 ~ 



a (b y t ) sin ^i ax l cos ^ P t P d //t 2 (gr -+- d) 2 . 

^ ~l-dX 



am cos ^ P 2 P 3 d -+- P 4 d 2 Vh z 



a (y t 6) cos ^t ax l sin ^1 my t _ 2P 2 d P 3 (L -+- d 2 ) -t-2P 4 d Vh 2 (g-t- d) 2 . 
r^ 1 dX A (I d 2 ) 



r 2 a? t 2 y, (y t 26) a 2 _ P 2 d 2 P 3 d -f- P 4 Yh 2 

2rx l 1 dX h (1 d 2 ) 



d 2 )5(l dX)/t 



310 

En divisant la premiere de ces equations par la 2 -me, et la troisieme par la 
5-me et la 1-ere, on trouve les egalites: 

(11) 



l d 2 
P 



- _ -Pp PI* -//t 2 (g -+- d) z 
r ~ 



En eliminant tang A entre les deux premieres egalites et en portant la 
valeur de d apres (8) dans la troisieme, on obtient les deux equations: 



(is) (x-- 

qui relient entre elles cinq quantites X, (JL, g, h, d. Ces deux Equations, com- 
binees avec 1 equation (7), permettent de determiner trois de ces quantites 
d apres les deux autres. 

Comme les expressions de 

P P P P P 

*-0) * U 25 3? -^4 

sont des fonctions lineaires des quantites A, (jt., 1 equation (13), ainsi que 
1 equation (7), seront du premier degre" par rapport a ces quantites. En de 
terminant d apres ces equations les quantites X, [/. et en les portant dans 
1 equation (12), nous aurons une equation qui ne contiendra que trois quan 
tites g, h, d. 

7.L egalite (13), apres y avoir porte les expressions de P , P 1? nous 
donne liquation: 



1)0 (W } Y -*- 4:gW d p. = 0. 



En resolvant par rapport a X d et fjt. cette equation conjointement 
avec 1 equation (7), on trouve 

(14) X <*=-, (. = -, 



OU 



(^ 2 1) 2 J (^ 2 



311 



(A 8 I) 2 ] (A 2 
(2/* 2 -H 1) (A* - 1) -*- (V -H 3A - 3) 

En portaiit cesvaleurs de X d et ^ dans 1 equation (12) et en posant 

(15) 9 -^r = ^ g = ch-d, ~ 

on trouve qu elle se reduit a la forme: 



[(3c 4c 8 ) V 1 d 2 -H (1 4c 2 ) d V 1 c 2 ] h 4 



(1 4d 2 )cT/l d 2 (3d 4 

On simplifie beaucoup cette equation en y portant les valeurs de 
d = sina et de c, qui, comme il est aise de le voir, est egal a sinp , ou (3 
est la valeur de Tangle variable p qui correspond a a= a . En effet, par la 
formule (1), en y posant 



on aura 

n md-t-b 

sin [> = ? 

ce qui donne, apres y avoir porte les valeurs de y, d^terminees par les 
formules (8): 

. n a -t- d 



En evaluant d apres les egalites 



les valeurs des coefficients des puissances diverses de h dans 1 equation con- 
sideree, on trouve 



(3c 4c 3 )Vl rf 2 -i-(l 4c 2 )Vl c 2 (^ = 
sin 3|3 cos a -+- cos 3fJ sin a = sin (a -+- 3P ), 



^ 2 = 4 sin2a , 



6 (d y 1 c 2 c y 1 d 2 ) = 6 (sin a cos (3 cos a sin (3 ) = 6 sin (a (3 ), 



312 

en vertu de quoi liquation se reduit a celle qui suit: 
sin (a -*-3p )-i-4 W sin 2 (3 6 sin (a (3 ) 4 A sin 2a sin (3a -f-(3 )=0. 

En re"solvaut cette equation par rapport a A, on trouve qu elle se 
decompose en ces deux equations du second degre: 

ft 8 sin (a -H 3PJ-4- 2 A [sin 2(3 sin (a -t- (3 )] = sin (a (3 ) -f- sin 2 (a -i- (3 ); 
ft 2 sin (a -+-3p )-*-2 A [sin 2^ --HSin (a n- {*<>)] = sin ( a o ? ) sin 2 ( a o-+- Po), 

qui, apres avoir ete divisees par 

2 cos -^ 2sinLo 



se r6duisent a celles-la: 



Et en resolvant ces equations du second degre, on trouve ces quatre valeurs 
de h: 



.a ^- 330-3:0 



. 3a -i- 3 2?r . 3a 

sio. . " sm 



En comparant eutre elles ces quatre valeurs de h, nous remarquons 
qu elles se deduisent les unes des autres, en diniinuant Tangle ^ de ic et 
en changeant les signes -H en , et en -H. Mais cela correspond, 
comme on le voit par la iigure (fig. 3), ou 



et ou par (8) 



m 



- - 

r 1 



au changement de direction de la ligne AC tie ir conjointement avec le chan- 
gement de la direction qu on prend pour positive dans la determination 
de la longueur de la ligne AC. En vertu de cela les formules qu on regoit 
en admettant pour a quatre valeurs mentionnees differeront entre elles 



313 

settlement en ce, qu au lieu de (3 elles contiendront ou (J TT, ou (3 2ir, 
ou (3 STC. D ou Ton voit qu on obtient tous les cas possibles, si dans les 
formules deduites en preuant 



sin 



(16) 



on met (3 kit au lieu de (3 , en designant par Jc un nombre entier et en 
determinant en rne me temps la valeur de h par 1 equation: 



*=(-!) 



. 3a -+- |3 n 

. sm 2 

fc 4 



8. En se bornant d abord, d apres cequi a e"te dit plus haut, au cas, ou 



et en portant cette valeur de li dans les formules du paragraphe precedent 
qui determinent X d et p. et d apres lesquelles on a 



et en posant pour abreger 

3 

sin3(a -H3 ).sin (a 



a -+- 3(i 
" 



cos a 



on trouve 



(17) 






sin (a -+- 3 ) S I Q 









D ou Ton obtient les valeurs suivantes pour X d et (x: 



. a n p n 
. sm H cos a 



sin 2 - 



*~ 3(i o o / ft > o 

_ y _ cos (a -+- Po) sm 3__. 



cos-^-(ao-<-Po)- sil i 



SlU" 



. 

_ cos (a 



. . 
. sm 



314 

En portant ces valeurs de X d et de [/. dans la formule (11), ou d apres 
notre notation T/1 d 2 = cos a , on trouve 

o 

tang A == tang (a -t- fa). 
Cette egalite est trouvee en preuant 



Pour passer au cas general, ou 

3a f 



nous changeons, d apres la remarque du paragraphe precedent, dans cette 
egalite (3 en (3 feu, ce qui donne 



8 



tang A = tang - (a -+- P A;w). 

o 

On voit par cette formule que la difference des angles Ast-g (<V~Po 
doit etre egale a uu multiple de TT, ce qui suppose I egalit6: 



w etant, ainsi que fe, un nombre entier. 

Mais on voit par la figure (fig. 3), ou d apres notre notation 

A 1 AM= A, AMF = a , AOx = ^ 
que Ton a 

CAM = 7i A MF ACx = TT a ? , 
CAA l = CAM-+- 



En determinant par la derniere egalite la valeur de la somme a -+- J3 
et en la portant dans 1 expressiou de Tangle A trouvee plus haut, nous obte- 
nons entre les angles CAA^ et A la relation : 

(19) A = 3CAA 1 (2n3k-+-l)T:. 

Cette egalite nous montre que Tangle A du triangle AA^M. et le 
triple d angle CAA l} qui determine Tincliuaisou de la droite tournante AC 



315 

& la droite AA l , lorsque a = a , ne peuvent differer entre eux que par un 
multiple de it. Pour faire nos formules plus uniformes, nous nous bornerons 
a 1 hypothese que la difference des angles 3CAA l A contient le nombre 
u un nornbre pair de fois. 

On peut se borner a cette supposition, en augmentant de 180 Tangle 
CAA l ou, ce qui est la mme chose, en changeaut la direction de la ligne 
AC en direction opposee. Dans cette supposition le nombre k doit 6tre im 
pair, comme on le voit par 1 egalite ci-dessus. 

En posant 



nous avons 

A = 3<p 2 (n 3p 1) 7i, 

et la valeur de h sera determinee d apres (18) par 1 egalite 



3in Sap 



7, 4 

, T> a -t-3p -3(2j>-i-l)7c i 

bill . 



qu on pourra representer ainsi 

3a -+- PQ (2p - 1) TT 

*~~~ 



4 

En observant que d apres (8) on a 



ou, comme on 1 a vu, 

a -+- d r> 7 

^ = sm p , a sin a , 
on trouve que r et m seront lies par 1 equation 



cos *-= 

4 cos 2 



Les formules que nous avons deduites pour les angles A = 
9 = A^AC et les lignes r = AO, m = AM ont 6te obtenues, en supposant 
que pendant le mouvement infiniment petit du triangle AA^M le sommet M 
glisse sur la droite FG et le somrnet A sur le cercle G, la distance du som 
met Jj an point (7, resteegalear 1 =^ 1 (7 1 aux grandeurs du6-me ordre pres. 

D apres la remarque faite au 3, cela doit avoir lieu en general, 



316 

lorsque pendant le mouvement des sommets A, A l sur les cercles, decrits 
des centres (7, G^ le sommet M se meut, aux grandeurs de 6-me ordre pres, 
sur la droite FG, ou, ce qui est la m6me chose, decrit un arc , ayant le 
contact d ordre 5 avec cette droite. Dans ce cas le sommet A l se trouve 
dans les m6mes conditions que A; par consequent les angles et les lignes 
adjacents a ce sommet doivent aussi satisfaire aux equations que nous 
avons de"duites pour les angles et les lignes adjacents au sommet A. 
Par cette raison en posant (fig. 4) 

Fig. 4. 




- Jc 



et en changeant dans les formules trouvees plus haut 



> n , P 



en 



\> 



nous aurous ces egalites: 



cos 



3a t -4- fi t (2ft 1) ic 



cos 2 



r, a, -- 33, 3(2, 1) TT cos 2 

cos-* . 

4 



317 

9. Les 6galites que nous avons deduites relativement aux angles du 
triangle AA^M les determinent completement d apres les angles <p = A^AC, 
cp 1 = AAfiij malgre les entiers inconnus n, p, n t , p l qui y figurent, parce- 
que ces nombres y entrent multiplies par 2ir. Par suite, lorsque les angles cp, 
<P! et le cote AA 1 =a du triangle AA^sout donnes, nous le determinerons 
completement. En connaissant ce triangle et sa position par rapport aux 
droites AC, Af!^ determinee par les angles donnes y=A 1 AG, ^ i =AA 1 C l , 
il sera aise de trouver la direction de la ligiie FG. 

Dans le mouvement considere du triangle AA^M. les droites CA, C^ 
etant normales aux arcs decrits par les sommets A, A l , la droite MS, me- 
nee par le point M et le point d intersection des droites AC, AQ, doit 
etre perpendiculaire a la droite FG sur laquelle se meut le sommet M. 
Apres avoir determine ainsi la direction de la droite FG et en remarquant 
que dans notre systeme des coordonnees 1 axe des x est parallele a cette 
ligue, il est aise d obtenir les angles 



que font les droites AM, AC, A^M, A^ avec 1 axe des x dans la position 
du triangle, ou son sommet M se trouve sur la ligne FG. En designant par 
Y Tangle que fait alors la droite AA l avec FG, nous deduirons des triangles 
AGF, AGM, AflM, A l GG l les egalites: 



AMF =MAG + AGM= A -*- y, 



= AA,M AGM = A l - y, 
A 1 G 1 M= TU C^A -i- AGM= TT ?1 

D ou, d apres 1 egalite des angles 



AJEp = a, , A L E= A 1 G 1 M= fa , 
il suit 

a = ^--y, p = Tc 9 y; ^=^ 7; fa = TI ft -+- y, 

ce qui nous donne, apres y avoir porte les valeurs trouvees plus haut des 
angles A, A^\ 

<*o= 3<p-i-y 2(w 3i? !)TC; p = ir 9 y; 
a i = 3 ?i T 2(Wj 3^ l)w; ^ = TT ?1 -*- y. 



318 



En portant ces valeurs de , [J , a 1? ^ dans les formulas (8) qui determi- 
nent les rapports y, ^-, on trouve 

Y -+- WTC 



r 

m 



COS 



cos 2 (3cp-t-Y) 



CQ3 2 (3<p 1 Y) 



i 8fft)-rc\ 
2 / 



et comme on a 



Y 



| -- i 

cos 1 - = cos - - - cos Wjir, 



\ 

), 



cos 2 - 



= cos 2- 



ces formules se reduisent aux suivantes: 



(20) 



COS I 2? 



_2 cos 2 (3<p -i- Y). 

cos 2 (9 -- Y) 



cos 



cos 2 (3? t Y) 



10. Afin de determiner Tangle y qui entre dans ces formules, nous 
remarquons que d apres la propriete connue des lignes droites menees d un 
point aux sommets d un triangle, ce qui a lieu par rapport aux droites SA, 
SM, SA l (fig. 4), on doit avoir 1 egalite 

sin AMS __ sin MAS sin AA^S 
sin A Y MS sin A 1 AS * sia MA 1 S 1 

ou, comme on le voit par la figure, 



A,MS = GMS A,MG = ^ ^ ; 
MAS=~CAA l -4- AiAM^ u 9 -+- A; 

= K 9 ; 



319 
AAJ3 T: QA^A = T: ^ , 



en vertu de quoi cette egalite nous donue 



cos _ sin (A 9) sin cp x 

cos a ~~ sin 9 sin 4 



En portant ici les valeurs trouvees des angles A, A v nous aurons 

cos a _ sin 29 sin 9, 
~ sin 9 sin2? t 



ce qu on reduit, en remplagant sin 2cp, sin 2cp t , par 2 sin <p cos <p, 2 sin ^ cos ^ > 
a cette formule tres simple: 

xrtjx cos a _ cos 9 ^ 

^ cos a t cos 9 t 

En remarquant que, d apres ce qui a ete dit plus haut ( 9), on a 

a = 3<p -H y 2(w -- 3p I)TC, 
i = 3 ?i T 2K -- 84?! l)u, 

nous en deduirous 1 equation 

cos (89 -+- y) _ cos 9 
cos(39 1 Y) cos 9 t 

qui determine Tangle y d apres les angles cp et y r On donnera a cette equa 
tion une forme plus commode pour 1 evaluation de Tangle y, en la presen 
tant aiusi: 

cos (89 -t- Y) cos (39 t y) _ cos 9 cos 9, 
cos (89 -H Y) -- cos (39i Y) cos 9 -+ cos 9i 

ce qu on ramene a Tegalite: 

r 3 ~i cp cp, 

tang l-g- (9 <Pi) + Y I tang 2 Yl 



(22) 



cotang (9 -+- 9 t ) cotang 



11. En determinant Tangle y par Tequation (22), on trouve pour 
lui entre les limites et 2-re deux valeurs, dont la difference est egale a TT. 
II n est pas difficile de montrer qu en donnaut dans nos formules a Tangle 
y ces deux valeurs et en prenant w, n v egaux a zero, on aura toutes les so- 



320 

lutions de notre probleme. Pour cela nous montrerons en premier lieu que 
ces deux nombres ne peuvent differer entre eux par un nombre impair. 
On pent 1 apercevoir d apres 1 expression de la grandeur 



qu on tire de ces formules. Comme, dans notre systeme des coordonnees, 
1 origine se trouve au point G et 1 axe des x est parallele a la droite FG, 
la grandeur x l , qui represente 1 abscisse du point G l , sera egale a la pro 
jection de la distance entre les points C, C l sur la droite FG. Cette pro 
jection, ainsi que la ligne a = AA l , ont dans notre question le m6me rap 
port au sommet A du triangle AA^ qu^u sommet A^ done la formule qui 

determine ^- ne doit pas changer de valeur lorsqu on y change 



?, 
en 



y 



qui ont la m6rne signification par rapport aux sommets A, A l du triangle 
AA^M\ et cela suppose, comme nous le verrons, que n n^ est un nombre 
pair. 

En effet, par la formule (9) on trouve 

a sin A~ X d X d 

Comme d apres notre notation 

d = sin a , 1 d 2 = cos 2 a , 
et d apres (17), en supposant 




3 ... 3a -H P . a P 

sm (a -f-3 ) sm ^ * sm -^ = cos a 



sera representee par la formule 



. a(\-t-op o o . . . KO Po 

sm 2 -z y cos (a -+- 8 ) . sm -^ - sm 
4 U 4 

Xl 

a sin. A 



cos <x .co3 (a H- P ) cos a .sin 2 

Sina -l-- -j- ~T~3~ 3a -f-3 . a - 

sm * +- P sm - a *- P sm ~ sm JL ~ 



321 
oil les deux premiers terraes pris ensemble donnent 



o 



g 

sin 



2 
> 



et le dernier, en y remplagant les expressions 



. o a n -H 3(i n . 

sm 2j -, sm 



par leurs equivalents 

33 \ 1 / a n -+- Po \ 

- JL ), -2 (cos -3-2-52 cosa J, 



cos 
se ramene a 



/ a -f-3|i \ 

I 1 cos " 1 cos 

sin (a -4- & )fcos a "^ cos a J 

En vertu de cela cette formule nous donne: 



3 / a 

cos ~ 



a n -t- Pn 
cos -li - cos a 



Nous avons deduit cela, en supposant 



4 

Pour passer au cas general, ou 



_ / _ i\ft _ _ 

.^ao-HSSo- 

""" " 



on doit, d apres ce qui a ete dit au 7, mettre ici p kit au lieu de |3 
On obtieut ainsi la formule 



a^sin (a H-p -ftir) ( 1 _ cos ^- 



a sin J. 2 a -- 3 fa 

cos -^ ^ cos a - 

2 

21 



322 

Apres avoir trouve d apres les expressions de k, A, a , (3 , donne"es 
dans les 8, 9, les e"galites 

sin |- (a H- (3 feu) = sin (89 3wu-f- 871) = ( l) n sin 89, 

cos (a - 3 l~ 8fc7t) = cos (y -H ni: TT) = - ( If cos y, 
sin ^ = sin (89 2 (w 3p l)it) = sin 89, 

cos" " 4 "^ ""^ = cos (9 WIT -*- u) = ( l) n cos 9, 

nous deduirous de la formule precedente 



En changeant ici a , 9, y, w en a n 9^ y, w 1} nous trouverons, 
d apres ce qui a ete dit plus haut, pour la ra^me grandeur ^ encore une 
le 



autre formule: 



En comparant entre elles ces deux expressions de ^, ou d apres (21) 

coscp __ cos <P! 



cos a cos a 



nous remarquons, qu elles deviennent identiques seulement lorsque 

(-!)" = (- I)" , 

ce qui suppose que la difference n n^ est un nombre pair. 

Apres s 6tre persuade que dans nos formules les nombres n et ^ ne 
peuvent se differer que par un nombre pair, et en observant que d apres la 
composition des formules 

y -+- nit 

f*(")Q -- ____ 

r _ cos2 (3cp -f- T) 



m I Y-*-7T\ COS 2 (9-HY) 

cos 2cp-i-l - ) 






2? ~ 



les nombres n et w t peuvent y ^tre faits > 1 et < 2, nous concluons 
que par rapport a ces nombres ne sont possibles que deux hypotheses: ou 



323 

ils sont tous les deux egaux a 0, ou tous les deux egaux a 1 . Mais ces deux 
cas seront compris dans un seul systeme des formules: 



(23) 



COS 

r 2 cos 2 (3cp -t- Y) 

m ~ /o. ~T\ cos 2 (9 -+- Y) 



cos-1 



i cosf^-J-) 

V & I 



Y \ cos 2 (<PJ Y) 



ou Tangle y peut avoir deux valeurs differents entre elles de u, qu on tire 
de Tequation (22). 

Ainsi d apres les angles 9, <p, et Tangle y, determine par Tequation 
(22), on trouve la grandeur des rapports 



r r, 
m m. 



d ou, d apres les longueurs m=AM, m l =A l M des cotes du triangle AA^M., 
on trouve les longueurs des lignes r = AC, r l = Af^. 

Dans le cas, ou le triangle AA^M. sera donne, nous trouverons les 
angles 9, cp 1? qui entrent dans nos formules, en remarquant que, d apres ce 
qui a e"te dit au 8 par rapport a la determination des angles A et A l du 
triangle AA^M, on trouvera les mernes angles A, A 11 en prenant pour op, 
cpj ces valeurs diverses: 

A A -+- 2ic A -+- 4t-K 



?l= : 

En combinant entre elles ces valeurs des angles 9, op 1? nous trouverons 
9 systemes divers des grandeurs 9, o r En determinant, pour chacun de 
ces systemes des angles 9, 9 n Tangle y par Tequation (22), on trouvera 
pour lui deux valeurs; en vertu de quoi le nombre de solutions de notre 
probleme dans le cas, ou Ton suppose le triangle AA^M donne, sera en ge 
neral egal a 18. 

12. Nous allons maintenant nous occuper de la determination de la 
grandeur des ecarts du sommet M du triangle AA^M de la ligue droite, 
quand les sommets A, A l se meuvent sur des cercles determines plus haut, 
en ne considerant que les positions du triangle qui sont iufinimeut proches 
de celle ou le sommet M se trouve sur la taugente, ayaut le contact d ordre 
5 avec sa trajectoire, et dans tous les developpements nous nous bornerons 
aux premiers termes. 

21* 



324 

Nous commencerons de uouveau par la supposition, que le sommet M 
se meut justement sur la droite FG, et le sommet A l decrit une courbe 
tres proche de 1 arc de cercle G l (fig. 5). 

Fig. 5. 




Soit A A 1 M 1 une position quelconque du triangle AA^M dans ce mou- 
vement, infiniment approchee de celle, oil le sommet A 1 se trouve sur le 
cercle (7, , et ou, par notre notation, 







Alors le point A\ ne se trouvera plus sur le cercle C? 17 et sa distance 
du centre G l differera du rayon r^ = Af>^ du cercle par la grandeur A fi, 
pour la determination de laquelle on regoit d apres (2) une telle formule: 

A\S = K (sin a sin a ) 6 -i- .... 

Pour passer au cas, ou le sommet A l se meut justement sur le cercle 
C lt et le sommet M sur la droite FG approximativement, nous supposerons, 
que le triangle A A l M l tourne autour du point A jusqu au moment, ou son 
sommet A\ arrive sur la circonference G 1 . En supposant que le sommet A\ 
arrive au point q de la circonference G,, et le sommet M t , qui se trouvait sur 



la droite FG, arrive au point t, nous observons, que les lignes infiniment 
petites A\8 t A\q, MJ seront liecs entre elles par les egalites: 

4 a A A> a M.t A M, 

A,S = A } q-co$qA l S; ^- = jrjr- 
Or comme on a 

A M l = AM= w, A A\ = AA l = , 
qA\S= A A l C l A A\q = A A\C l f , 

et que Tangle A A ^ differe infiniment peu de Tangle AA l G 1 = y l , ces 
egalites nous donnent 



d ou, en eliminant A\q, on tire: 

m^^ 
a sm 9| 

ce qui, apres y avoir porte la valeur de A\S donnee plus haut, se ramene 
a ce qui suit 

Mt K ( sin a ~ sin a o) 6 _4_ 

1 a sin 9 t 

D un autre cote, en determinant la distance du point t de la droite 
FG, on trouve qu elle est 6gale a 



et comme Tangle FMJ est egal a |- FM^A, et Tangle F^A differe 
infiniment peu de Tangle FM A = a , cette expression se reduit a celle-la: 



ce qui, apres y avoir porte la valeur Mj trouvee plus haut, nous donne 
pour la determination de la distance du point t de la droite FG la formule 
suivante: 

T>. m cos oc n / \fi 

K- -. 2 (sm a sm a n ) 6 -H . . . . 

a sm 9 t v 

D ou Ton voit que dans le mouvement cousidere du triangle AA^M, 
Tordonnee y du point Jf, lorsque a differe infinimeut peu de a , aura la 
valeur: 

y = GF K ^^ (sin a sin a n ) 6 -i- .... 

y a sm 9j v 

En remplagaut ici la difference 

sin a sin a 



326 

par 

. (a ) cos a -*-...., 
on trouve 

y = GF K c -^ (a-a ) 6 n-. 

y a sin <p t v 

Cette formule nous montre, comment 1 ordonnee y du point M varie 
avec la variation de Tangle a. Pour trouver la relation entre les variations 
de x, y du point Jf, nous allons maintenant deduire la formule qui donne 
la valeur de x du point M pour les valeurs de a tres proches de a . 

Pour cela nous remarquons que la grandeur x est e"gale a la projection 
de la ligne brisee CAM sur 1 axe de x\ par consequent 

x = AC. cos ACx -+- AM. cos AMF. 
En portant ici les valeurs 

A0=r\ ACx=$; AM=m\ AMF=<z, 
on trouve 

x = r cos (3 -+- m cos a. 

En differential cette valeur de x par rapport a a, et en remarquant 
que d apres (1) 

d$ _ m cos a 
<?a r cos & 

on trouve 

dx . o d3 sin (a -t- P) 

^- = rsmB/ msma = m r-2- 

rfa r aa cos p 

En vertu de cela nous concluons qu au voisinage du point 



ou a=: , P = po, 1 abscisse x aura la valeur: 



En determinant de cette equation la valeur de la difference a a et 
cu la portant dans 1 expression de 1 ordonnee y trouv6e plus haut, on aura 
la relation suivante entre x et y: 

= -- coBVooeogepog ( _ 
y am 5 sm <pj sm 6 (a -+- p ) v 

que nous representerons ainsi: 

y = y -+-K (x X f-+- 



327 
en posant 

rr COS 7 OC n COS 6 



am 5 . sin <p l sin 6 (a -+- P ) 

Cela nous donne 1 equation de la courbe decrite par le sommet M 
du triangle AA^M au voisinage du point X~X Q , y = y , ou elle a le con 
tact d ordre 5 avec la droite. 

13. Pour determiner la valeur du coefficient K qui entre dans 
cette equation, nous observons que d apres (10), ou 



,o 9 - -i-g a 

1 d 2 = cos 2 a , ^ - = cos (3 , 

les coefficients K et L sont lies par la relation : 

T-r _ rx t cos 3o L 

~~ 



en vertu de quoi 1 expressiou de K , donnee plus haut, se reduit a celle-la: 

-TT rx t cos 7 3 L 

am 5 r l cos 3 oc sin cp L sin 6 (a -t- P ) (1 dX) 

En portant ici la valeur de x l d apres (9) et les valeurs des angles 
A, a , (3 d apres les formules du 9, on obtient 

-r* r cos 7 (9 -t- Y) sin 89 L 

m* r l cos 3 (89 -t- Y) sin 6 29 sin y^ X d 

En passant a la determination du rapport 



qui entre dans cette expression du coefficient K , nous evaluons la grandeur 
L d apres la formule du 5, en j portant les valeurs de X, (A, trouvees dans 
le 7, et en prenant 



. 
Sill 

7, _ ( 1 \* . 

} 



En divisant la valeur de L ainsi obteuue par la grandeur X d pour 



328 

la m6me valeur de h, on trouve, toutes reductions faites, pour la determi 
nation du rapport de L a X d une telle formule : 

. 3a -+- 3 kit 

2 " 3 



X dl 32 . 3 4 a n-3{} 3&7i . a -t-(} jbr 
cosa sm (a -+- (i Ai7r)sin 4 ; sm-2 ^ 

*j V Ji 

En portant ici la valeur de k = 2p -+- 1 et les valeurs des angles A, 
a , (3 , donnees dans le 9, nous aurons: 



d 32 



/ Y l- /I7t\ 

cos 2 I 29 -+- * - I sin 3 29 
\ & l 

. Y -+- we . 

cos (89 -+- Y) s m 39 cos 4 - sm 9 

m 



En observant, d apres 1 equation (20), que 

/ Y ~*~ WTU\ 

COS 2 ( 29 H I 

\ 2 / m 2 cos 4 (89 -i- Y) 

2 Y~+-w7r r 2 cos 4 (9 -i- Y) 

~2~" 

on deduit de cette formule 

L m z cos 3 (89 -f- Y) sin 3 29 



? 



_ 

32r 2 cos 4 (9 -f- Y) sin 89. sin 9 cos 2 -5- 

^Q 

ou d apres le 11 nous avons mis y au lieu de y-t-mr; en vertu de quoi 
1 expression trouvee plus haut du coefficient K nous donne 



sm 9. 



/cos (9->-Y)\ 3 i 
\ m sin 29 / 



Y \ m sin 29 
cos 2 -- 



14. D apres cette formule il u est pas difficile de montrer que pour 
les valeurs finies de r, r l , m, m l , le coefficient K dans 1 equation 



ne peut devenir egal a zero, et par consequent la courbe de"crite par le 
sommet M du triangle AA^M dans la question consideree ne peut avoir 
avec la ligne droite de contact d ordre plus eleve que le 5-me. 

Afin de le montrer, nous observons que le coefficient K ue doit 
changer de valeur lorsque dans son expression on remplace les grandeurs 
relatives a Tangle A 

9, m, r, r l9 y 



329 
par celles-ci 



- 



qui ont la rnemc relation a Tangle A l . 

Nous aurons ainsi une nouvelle expression du K Q 



v 

2 



/C03 (cp t T)\ 

I sin29i ) 

v 



32?-^ sm 9, sm 9 cos 2 

A 

On voit par ces deux expressions du coefficient K Q que pour des va- 
leurs finies de r, r l , m, m l il ne pent s annuler que lorsqu on satisfait aux 
equations 

(24) cos f<p H- Y) = 0, cos (fy Y) == 0> 

d ou il suit que 



ou <?, 3 sont des nombres entiers quelconques. De ces 6galites on trouve 
par 1 additiou et la soustraction 



(25) 



Mais on voit par (23) que les 6galites (24), pour des valeurs finies de 
r, m, r 1? m^ supposent ou 1 egalite 

COSy = 0, 

ou les deux egalites 

cos (3cp -H Y) = 0, cos (3<pj Y) == ^- 
Dans le premier cas on trouve que 



g" etant un entier. En portant cette valeur de Y dans 1 equation (25), on en 
tire 



Et en determinant les angles du triangle AA^M qui correspondent a 
ces valeurs de 9, <p 15 on trouve, d apres le 8, que chacun des angles A, 

A l doit contenir un multiple impair de ^-, ce qui est impossible. 



330 
En passant a I hypothese 

cos (3cp -*~ y) = 0, cos 



nous observons que ces egalites conjointement avec les egalites (24) sup- 
posent 



#, q etant des nombres entiers. Si q, q seront tous les deux impaires, les 
angles A, A l deviennent de nouveau impossibles. Sil und eux est unnombre 
impair et 1 autre pair, on ne satisfait pas a la premiere des equations (25). 
Enfin, si tous les deux nombres q, q seront pairs, Tangle y d apres (24) 
devra avoir la valeur 

2q -4-1 

Y= :J V- 1C 
<? etant un nombre entier. 

Mais pour de telles valeurs de cp, <p n y dans 1 equation (22), ecrite 

sous la forme 

3 r 3 ~~i 

cotang (9-1-9!) tang \ (9 9,) -+- yl 

ff> _|_ m a CDi 

cotang -A tang T - 



le premier membre deviendra fg ou -^-, selon que la somme 9 -+- ^ se re- 
duira a u repete un nombre pair ou un nombre impair de fois, tandis- 
que le second se reduira a ^ ou a ^ , selori que la difference <p <p x se re- 

duira a u pris un nombre impair ou un nombre pair de fois. En determi 
nant la valeur du premier membre pour les valeurs de 9, cp t tres proches 

de yic, yu, en supposaut g, q etre des nombres pairs, on trouve que pour 

q i 

ces valeurs sa limite cst ou -=-, ou . D ou Ton voit que pour de telles va- 

1 O 

leurs de , <p a , y on ne pent pas satisfaire a 1 equation (22), et par conse 
quent la derniere supposition est aussi impossible. 

15. D apres 1 equation 



on trouve qu entre les limites X = X Q y et a; = o; -+- y 1 eloiguement 
du sommet M du triangle AA^M. de la ligne droite ne surpassera pas 



06 



331 

en negligeaut les puissances supe"rieures de / et supposant en ge"ne"ral la 
grandeur I 6tre petite. En portant ici la valeur de K que nous avons 
trouvee, on aura 

1 /cos (9 -+- Y)\S , 6 

Y \ rosin 29 / 
2048rf! sm 9 sin 9 t cos 2 -^- 

pour la limite des ecarts du sommet M du triangle AA^M de la voie recti- 
ligne, la longueur du jeu etant egale a I. 

Ces deviations peuvent etre faites beaucoup plus petites d apres ce que 
nous avons montre dans le Me" moire sous le titre: Theorie des mecanismes 
connus sous le nom de parallelogrammes. Pour cela , apres avoir determine , 
comme on 1 a montre plus haut, les longueurs des lignes AC, Af^ et les 
places des centres de rotation (7, (7 15 il faut chercher quels changements 
doit-on apporter aux uns et aux autres, afin que la courbe decrite par le 
sommet M du triangle AA^M rencontre la droite aux points, dont les ab 
scisses aient de telles valeurs: 

ycosl5, # - ycos45, X Q ycos75, 
a? -t- -5- cos 1 5, a? -+- -jr cos 45, x n -+- -^- cos 75. 

m m m 

Lorsque cette condition sera remplie, les ecarts de la voie rectiligne 
du sommet M du triangle AA^M sur toute la longueur I du jeu, resteront, 
comme le de"montre 1 Analyse, entre les limites: 



Y 
65536rrj sin 9 sin 9j cos 2 ~ 

y 



/cos (9-+-Y)\ 3 76 
\ m sin 29 / 



cos (9 -+- y)\8 , 6 



Y \ ro sin 29 / 
65536rr, sm 9 sm 9 X cos 2 -j- ^ 



18, 



SUR LES FONCTIONS 



POUR CERTAINES VALEURS M LA VARIABLE. 

(TKADUIT PAH G. A. POSSE.) 



Majio 

npu wzfiomopux k 6cM4zuuax & 



K-B XL TOMy BauncoKi, HMnepaiopCKoa AKaaeMin HayKt, JVa 
1881 r.) 



t< ^e 53 decemlre 1880.) 



Sur les fonetions qui s ecartent peu de zero 
pour eertaines valeurs de la variable. 



1. Si une fouction entiere F(x) s ecarte peu de zero, entre les li- 
mites x = h, x = -+- li, elle ne peut atteindre en dehors de ces limites 
une valeur considerable pour x peu different de h ou de -+- h que dans le 
cas ou le degre de cette fonctiou est assez grand. Nous allons montrer main- 
tenant de quelle maniere, d apres le degre" de F(x) et la limite superieure 
de son ecart de zero pour les valeurs de x entre h et -+- /a, on pourra 
trouver la limite superieure de sa valeur pour x = H en dehors des limites 
h et -+- h. Or, comme toutes les valeurs de la fonction F(x\ tant entre 
les limites x = h et x -\~ li, que pour x = H, peuvent eitre modifiees 
dans un rapport voulu a 1 aide de I introduction d un facteur constant, nous 
allons nous borner, pour simplifier 1 exposition, a la supposition que la fonc 
tion F(x) ait une valeur donnee M pour x = H et nous allons chercher 
ensuite parmi toutes les fonetions entieres, satisfaisant a la condition 



et etant d un degre donne w, celle qui entre a? = h et x==. -+-h s ecarte 
le moius possible de zero. En designaut par L le plus grand ecart de zero 
entre x= h et x = -+- h d une telle fonction et remarquaut que pour 
toute autre fonction du m6me degre et ayant la valeur M pour x = H le 
plus grand ecart de ze"ro entre # = h et x= -+- h surpassera L, nous 
devons conclure que le rapport 

M 

L 

correspondant a la fonctiou consideree, represeutera la limite superieure du 
rapport de la valeur d une fonction entiere de degre n pour x = H au plus 
grand ecart dc zero de la meme fonctiou entre x = h et x = -+- h. 



336 

2. Passant a la determination de la fonction F(x) sous les conditions 
mentionnees, remarquons qu e"tant de degre n et se reduisant a M pour 
x = H, elle doit avoir la forme 

Pi i Pv - P n i ^n designant des constantes. Ces constantes dans la fonction 
considered se determinent d apres la condition que cette fonction entre 
x = h et x = -t-h ne surpasse pas les limites L et -t-Z/, entre les- 
quelles ne peut rester aucune autre fonction de la meme forme pour les 
monies valeurs de la variable. Pour determiner les valeurs des constantes 
Pit Pa>- P n \i P n d apres cette condition nous allons nous appuyer sur 
le premier theoreme de notre Memoire sous le titre: Sur les questions de 
minima qui se rattachent a la representation approximative desfonctions*). 
Ce theoreme est applicable a la determination des coefficients de la fonction 
F(x), cette fonction ainsi que ses d6rivees restaut continues et finies entre 
x = li et x = -+- h. 

En vertu de ce theoreme et designant par 



les diverses valeurs de la variable #, pour lesquelles la fouction F(x) entre 
x = h et x = -+- h atteint ses valeurs limites L et -H L, nous con- 
cluons que le systeine de n equations 



OPl 2 *Pl 



dp z 







d-F(a?|K dFfa). d. 


F^u)) n 


dp i dp n 2 " 


"Pn f* 



aux (x incomiues 

doit avoir une solution oil les valeurs des u. incoimues X u X 2 ,. . . . X u ne 
sont pas toutes egales a zero. 

*) T. I, p. 273378. 



337 

En determinant d apres (1) les valeurs des derives 



dF(x } ) 
dpi dp l * dpi 



d Pz 



xJ dF(x t ) 
* * 



et les portant dans les Equations pr^cedentes, nous trouvons que celles-ci se 
reduisent au suivantes: 



(2) 



....-f(V-fl). 

....H-K ff). 



3. La quantite H 6tant en de*hors des limites x = h, %= 
entre lesquelles se trouvent toutes les p quantites 



aucune des differences 



, 



ne peut se reduire a ze>o. Cela pose, nous aliens montrer que le nombre JJL 
des inconnues X 1? X 2 ,. . . . X dans le systeme d equations trouv^ ci-dessus 
doit surpasser le nombre n de ces equations, pour qu on puisse leur satis- 
faire par les valeurs de \, X 2 ,. . . . A^ dififerentes de zero, comme cela doit 
necessairement avoir lieu, d apres le theoreme mentionne, pour la fonction 
F(x) que nous considerons. 

En effet, si p ne surpasse pas w, le produit 

(x z 2 ) (x x 3 ] ---- (x xj 
se reduit a un polynome de degre inferieur a w, qui peut 6tre represent^ par 



22 



338 

En designant ce polynome par cp (x), nous remarquous, d apres sa d6- 
composition en facteurs, que 



Remontant aux equations (2), les multipliant respectivement par 

A, B, ____ K 
et prenant leur somme, nous obtenons liquation ci-dessous: 

(x 1 H) 9(a? 1 )X 1 n- Ov-#)9 (aJVf- ---- ~*-(^ ^)?(^)\ = 
En y portant les valeurs trouvees plus haut des fonctions 

?W, ? (a*), ?(^), 

nous remarquons que cette equation se reduit a 

(*i H) (x l x 2 ) fa xj ---- (x 1 x v )\ = Q. 
d ou il suit 



parceque la difference rr t Z/, d apres ce qu on a vu, est differente de z^ro 
et les quantite"s x l: x 2 ,. . . x n sont differentes entre elles. 

On demontrera d une maniere analogue que pour [*.^.n les equations 
(2) donneront 



On voit d apres cela que le nombre (jt., qui indique combien de fois la 
fonction considered entre x h et x = -t-h atteint les valeurs limites 
L et -+- L sans les franchir, doit etre plus grand que w; done liquation 

(3) F*(x) Z 2 =0 

doit avoir au moins n -t- 1 racines entre x = h et x = -t-h. Parmi ces 
n -+ I racines il y en aura au moins n 1 differentes de h et de H- h; 
ces n 1 racines ne peuvent e"tre racines simples, car, x passant par une 
racine simple de 1 equation (3), F z (x) franchit la quantite" L 3 , ce qui est 
contraire a 1 hypothese. 



339 

En remarquant d autre part que les racines multiples de 1 equation (3) 
verifient 1 equation 



de degre n 1 d apres (1), nous concluons que liquation (3) nepeut avoir 
plus de n 1 racines multiples. En les designant par 



nous arrivons a la conclusion, d apres ce qu on a dit plus haut, que le premier 
membre de liquation (3) est divisible par le produit 

(x xtf (x xtf (x x 3 Y. . . . (x x n _y. 
D ailleurs, il est facile de voir qu il est aussi divisible par le produit 

(x h) (x-t-h). 

En effet, liquation (3) ne peut avoir, comme on a vu tout-a-1 heure, 
plus de n 1 racines multiples ; or, entre x h et x = -*-h, d apres 
ce qui precede, se trouvent au moins n -+- 1 racines, done deux de ces ra 
cines doivent 6tre simples. Mais, comme on a remarque, les racines simples 
de 1 equation (3) ne peuvent e~tre que 



ce qui entraine la divisibilite de son premier membre par le produit 

(x h) (x-*-Ji). 
C est ainsi qu on s assure que la difference 

F\x)U 
est divisible par 

(x xtf (x xtf (x x 3 Y. . . . (x-x n _y 
et par 

(x h) (x-*-li) = x* li\ 

cela veut dire, par leur produit 

(x xtf (x x z }* (x x^f ____ ( X x n _y (& #). 

22* 




340 

Remarquant encore que d apres (1) ce produit est du m&me degre que 
la difference 



nous en concluons que cette divisibilite entraine 1 egalite 

F 2 (x) L* = G(x x^ (x x,Y .... (x x n _y (x* ft 2 ), 
C designant une constaute. Cette 6galite nous donne 1 equation 

(4) F* (x) L* = (x* W) & (x\ 
<3>(x) etant une fonction entiere, definie par la formule 

(5) &(x-) = 



ou le signe du radical zt V C se determine de la sorte que le terme du plus 
haut degre" de (x) ait le meme signe que le terme analogue de F(x). 

4. En abordant la determination de la fonction F(x) d apres Pequa- 
tion (4), remarquons qu elle peut 6tre Scrite sous la forme 



d ou Ton deduit, en decomposant la difference 



en facteurs 

(F(X) (x) Yx* w) (F(X) 

1 egalite 



ce qui nous donne apres la division par 0(x) 1 equation 



(x) [F(x) -+- (x) Vx* ft 2 ] 

A 1 aide de cette equation, comme nous avons montre dans leM6moire 
mentionne ci-dessus, 1 expression de la fonctiou cherchee F(x) peut etre 
obtenue par le developpement de Vv? A a en fraction continue. Nousallons 
montrer maintenant comment cette fonction peut eitre trouvee sans le secours 



341 

des fractions continues. Remarquons dans ce but qu en designant par P, Q 
les fonctions entieres reprSsentees par les egalites 



(7) 

on trouve 



p (x -+- Vx* h*) n -t- (x Vx 2 A 2 )" 

^ ~2~ 

(x -t- Vx 2 A 2 ) n (x Vx 2 h 2 ) 



P_ Q y x * _ & = (x Vx 2 h*) n . 

Or, remarquant que le produit 



est 6gal a J^ 2 , nous aurons 

~ x-+- i/a.2 A 2 
en vertu de cela, 1 egalite precedente donne 



- . _-r t 

(a; -H V x 2 h 2 ) 

d ou Ton obtient, en divisant par Q, 



En soustrayant cette egalite de (6), on aura 

F(x) __ P^ L* 



* O (x) [F(x) -H (x) Vxth 2 ] Qx+ V 

ce qui nous donne, en multipliant par (x) . Q, 1 equation 
F(x) 0(x] P= 



F(x)+-& (x) Vx 2 h 2 (x-t- Vx* 7i 2 ) n 

En conside>ant le second membre de cette equation, nous remarquons 
que les deux termes qui y eutrent represented des expressions de de- 
gr6s negatifs, les fonctions L Z Q, h zn (x} aux numerateurs etaut de degre 
n 1, d apres (5) et (7), tandis que les fonctions F(x) -+ (x) ~Vx 2 h 2 , 
(x-^yx 2 h 2 ) n aux denorainateurs sont de degre" w, d apres (1) et (5). Par 
consequent notre equation, dont le premier membre represente uue fonctiou 



342 

entiere, ne pent etre satisfaite que dans le cas ou Tun et 1 autre de ses 
membres se reduisent a ze"ro, c est a dire, lorsque 

F(x)Q$(x)P=Q. 
On trouve de la 

F(x) __ P 
0(x)~- 

et remarquant que d apres (4), (5) et (7), la fonction F(x) n a pas de fac- 
teur commun avec (P (#), non plus que P avec Q, nous concluons que F(x) 
lie pent differer de P que par un facteur constant; done 



G l designant une constante. Cette valeur de F(x\ en y portant 1 expression 
de P, tiree de (7), nous donne 

^ r P) n -4- (a? - y^TP) n 



5. Pour determiner la constante C7 n remarquons que d apres le 1 
la fonction F(x) t pour x H, est 6gale a M. En faisant dans 1 expression 
trouvee de F(x) 



nous aurons 



ce qui, etant egale a Jf, nous donne 1 equation suivante pour 1 evaluation 
de Ci: 

n (g-t- yg^^P) n -4- (H VH* h*) n __ . 

l ~ ~~2~ i 

d ou 1 on tire 

c ^ 2M 

1 (if -t- yjJS _ /j2) n _,_ (fi _ |/2 _ ^2)" 

En portant cette valeur de 6^ dans 1 expression de F(x), on obtient 

- - (x "* ^^^ -*" ^ ~ > / ^ I ^" 2 ) n 



Ainsi s exprime la fonction entiere de degre w, qui, etant egale a M 
pour x = H, s 6carte le moins possible de zero dans 1 intervalle &ex= li 



343 

a x = -+- /a, ne comprenant pas la valeur x = H. Pour trouver L, la limite 
de ces ecarts, remarquons que liquation (4) nous donne pour x = h 



d ou 

L = F(h). 

En posaut x = h dans 1 expression trouvee de F(x) nous aurons 



en vertu de cela Pegalite pre"cedente nous donne 

2Mh n 



(H- 

M 

d ou Ton tire 1 expression suivante du rapport -y-: 



M 



qui, d apres le 1 , represente la limite superieure du rapport de la valeur 
d une fonction entiere de degre n pour x = H au plus grand 6cart de zero 
de la m6me fonction entre x = h et x = -+- h, en supposant que H est 
exterieur a 1 intervalle entre x = h et x=-+-h. 

En repr6sentant 1 expression trouvee sous la forme 



et mettant au lieu de 

_ 1/^1 1 

1 expression equivalente 

(T H 

nous trouvons 



Cette 6galite donne pour la valeur de 



344 
1 expression 





Pour savoir lequel des deux signes doit etre pris dans cette for- 
mule, supposons qu on nedoime que des valeurs positives aux quantite s li et 
H: dans ce cas on aura 



par consequent d apres (8) 



Cette inegalite nous montre que 1 egalite obtenue ne peut tre satis- 



faite qu avec le signe superieur du radical l- 1, et qu on doit avoir 
par consequent 





h* L ~ ~ L* 

d ou il suit 



Or, en determinant d apres cette egalite le nombre n, nous trouvons 

M 






H 



ce qui donue la limite inferieure du degre" d une fonction entiere dont le 
plus grand ecart de ze"ro entre x = h et x -t- A est egal a L et qui 
prend la valeur M pour x = H non compris entre x = h et x= -*-h. 
Toutes les quantite"s h, H, L, M sout supposees positives. 

6. Nous allons nous occuper maintenant de la me" me question par 
rapport a la fonction trigonometrique de la forme 

f A*-*- A* cos 9 -+- A z cos 2cp -+- . . . . -+- A n cos wcp 

(9) 

-f- B l sin cp -i- B z sin 2s -+- . . . . -t- B n sin w<p, 



que nous desiguerons pour abreger par 



345 

Nous supposerous connue la valeur de cette fonction pour une certaine 
valeur 



et nous designeroiis, comme ci-dessus, cette valeur par M; nous allons cher- 
cher ensuite parmi toutes les fonctious de la forme (9) qui satisfont a 1 equa- 
tion 



celle, qui s Scarte le moins possible de zero entre deux limites donnees 
<p = 9 , qp = -- <p , la valeur cp t n y etant pas comprise. 

Pour reduire la fonction /"(op) a une forme algebrique, introduisons 
une variable x en posant 

tang -| = x. 
En tirant de la 

2x 



nous remarquons que la formule (9), apres la substitution des valeurs des 
sinus et cosinus des angles multiples de cp, se reduira a la forme- 

Co^" -H Ci^n i ^.. . . ._+_ c 2n 



Co, (? 1} . . . . C 2n designant des constantes. 

En posant 
(10) 



nous pouvons ecrire 1 expression de /"(<p) sous la forme 



Or, en posant 
(12) tangf = A; tangf =fl, 

nous remarquons que d apres (11) 1 egalite 



a laquelle doit satisfaire la fonction cherch6e, se reduit a la suivante: 

JHSL. jc 

(H* -*- l) n 



.346 

D ou il suit 
(13) F(H) = (H 2 -*-l) n M, 



ce qui entraine la reductibility de la fonction F(x) a la forme 

- 2 -*- .... -H^) (x H)-*- (H* -H l) n M , 



ou 

1>1 P^""p 2n 

designent des quantites constautes qui doivent 6tre determiners par la con 
dition que la fonction 

F(x) _ (Pix * -t- p z x* n 2 -n -4- p 2n ) (x-H)-t- (H 2 -*- \} n M 



?) = 

entre # = h et x= -t-h s ecarte le moius possible de zero. 

En designant par L le plus grand 6cart de zero entre x = h et 
x = -H h de la fonction cherchee et appliquaut le theoreme deja cit6, nous 
arrivons, a 1 aide des raisonnements exposes aux 2, 3, a liquation 
suivante a 1 egard de la fonction F(x) 

x) L 2 (x 2 H- l) 2n = C(x* 7^ 2 ) (x xtf (x x 2 } 2 ....(x x zn _$, 

x zi - x zn\ designaut des quantites reelles inegales. 
Cette equation se reduit a la forme 



(14) F 2 (x) L 2 (x 2 -t-I) 
en posant 

(15) 0(x} = V~G(x x l } (x-x,}. . . . (x x 2n _^ : 

ou le radical doit 6tre pris avec celui des deux signes pour lequel le 
rapport 



se reduit a une quantite positive. 

7. Passant a la resolution de 1 equation (14) nous remarquons que 
pour 

x = V^l 
elle donne 



d ou il resulte, apres 1 extraction de la racine, 



= 



347 

ou, d apres ce qu on vieut de dire sur le choix du signe dans la formule 
(15), Ton doit retenir le signe superieur, ce qui donne 



(16) Fy^T) = 

En posant 

x = 

dans cette equation, nous trouvons 



d ou Ton tire, en extrayant la racine, les deux valeurs suivantes de F( V 1): 

F( yiri) = - 



A ces deux valeurs de F( V 1) correspondent, comme nous le verrons, 
deux solutions differentes de liquation (14) dont la recherche vanousoccu- 
per mainteuant. 

En nous arr^tant au cas de 

(i 7) F( y=nr) = y rr^. ( y^T) . y" ry, 

designons par P et $ les fonctions entieres, de"terminees par les egalites: 



(18) 



P = i 

* 2 



En determinant a 1 aide de ces egalites les expressions de la somme 



P-t- $]# 2 h* et de la difference P QVx* ^ 2 , nous obtenons: 



P_ g = 

Ces expressions etant multipli^es 1 une par 1 autre donnent 



II en resulte que 
(1 9) P 2 = g 2 (x* V) -t- (a; 2 H- l) 2n . 



348 

En multipliant cette valeur de P 2 par celle de F 2 (x) qui d apres (14) 
est egale a la somme 

& (x) (x 2 A 2 ) H- L 2 (z 2 -+- 1 ) 2 " , 
nous trouvons 



==<3 2 .0 2 (z) (a; 2 
ce qui donne 



d ou Ton d6duit, en decomposant le premier membre en facteurs: 

[PF(x) H- Q$ (x) (x 2 A 2 )] [PF(x) Q0 (x) (x* W)] = 



Or, comme il est ais6 de montrer, le premier facteur du premier 
membre 



ne se reduit pas a z^ro pour a?=V 1, racines del equation x*-t-l=0. 
En effet, en vertu de (16), (17), (18), pour x = V- - 1, on trouve 

F( V^l) = V- ^T Vl-H/i a (zt V^), 



d apres cela pour ces valeurs de x 1 expression 
se reduit a 



Or, cette expression ne peut 6tre egale a zero, lafonction <P(aj), d apres (15), 
n 6tant egale a z^ro que pour les valeurs reelles xx lt x ai . . . x m _ l . 

Apres avoir montre" ainsi que le premier facteur du premier membre 
de 1 equation obtenue ne se reduit pas a zero pour les racines de 1 equation 
ic 2 -f- 1 = et n a, par consequent, pas de diviseur commun avec (z 2 -i-l) 2 1 , 
nous pouvons conclure, en vertu de la m6me equation, dont le second 
membre est divisible par (z 2 -i- I) 2 ", que 

P.F(x) Q.& (x) (x 2 ft 2 ), 

* 

le second facteur du premier membre, est divisible par (# 2 H- I) 2 *. 



349 
D ailleurs, en reprSsentant les equations (14), (19) sous les formes 

(F(x) (x) >V A 2 ) (F(x) -i- (x) Vx* W) = L* (a; 2 -*- l) 2n , 

(p+Q y^ h*) (P Q Va?^-h*) = (x 2 -f- l) 2n 
et en les multipliaut 1 une par 1 autre, nous trouverons 

[P. F(x) Q (x) (x* W) -H (QF(x) P. (x)) Vx* W] 
[P. F(x) Q (x} (x* W) (QF(x) P. (x)) Vz 2 ft 2 ] 



ce qui se re"duit a 1 egalite suivante: 

[P. F(x) Q.(x) (x 2 A 2 )] 2 [QF(x) 



Or, d apres ce qu on a d^montr6 ci-dessus, 1 expression 

PF(x)Q0(x) (x* W] 

est divisible par (x*-+- l) 2n , on en conclut la divisibility du terme 

\QF(x) P (z)] 2 ( 2 W). 

par (# 2 -+- l) 4n . Remarquant encore que x 2 A 2 u a pas de diviseur commun 
avec (x 2 -+- l) 2n , on en tire que 



est divisible par ( 2 -*- l) 4n , et par suite que 

QF(x} P$(x] 
est divisible par (a; 2 -*- l) 2n , ce qui ne peut avoir lieu que pour 



car, d apres (10), (15), (18), les fonctious F(x\ P sont de degre 2w, et 
0(x)j Q de degre 2w 1, done 



ne peut 6tre de degre superieur a 4w 1 . 

L egalite obtenue entraiue comme consequence que 

F(x)_ P 



350 

Or, d apres (15), la fonction @(x) ayant tous ses facteurs lineaires 
diffe>ents deaj-*-V 1 et x V 1, dont le produit est 2 --l, les 
fonctions F(x) et <&(%), en vertu de 1 equation (14), n ont pas des diviseurs 
communs. Cela ose la fraction 



communs. Cela pose, la fraction 

F(x) 
<D(x) 

ne peut &tre egale a la fraction 

p 



dont les termes d apres (10), (15), (18) sont respectivement dum6me degre 
que ceux de la premiere, que pour 



G designant une constante. 
En portant dans 1 egalite 

F(x) = G P 

1 expression de Ptire"e de (18) nous trouvons que 

F(x) = G (y^TT -*- VW x*Y n -t- (V VHH! V/i 2 o;) 22 



C est ainsi que s exprime la fonction F(x) qui satisfait a 1 equation 
(14) dans le cas ou 

F ( yni) = yf^TF ( ynT) y^T. 



Quant au cas, ou cette egalite est satisfaite avec lesigne , 1 expres 
sion de la fonction F(x) qui satisfait a (14) s obtiendra, d apres ce qu on a 
vu ci-dessus, en prenant pour P et Q les fonctions : 



p = 1 (yX^Ti x -i- Vy? h*) zn -+- x 



Q = 



Ainsi s obtient la seconde solution de liquation (14), ou 



8. Des deux solutions trouvees on doit choisir celle qui donne la 
plus grande limite du rapport 



351 

Dans ce but nous aliens chercher la valeur de ce rapport en prenant 
d abord pour F(x) la premiere solution et ensuite la seconde. 

"M. 

En comparant entre elles les deux valeurs du rapport -^-, ainsi obte- 



nues, et supposant toujours #> ft, il ne sera pas difficile d en distinguer 
celle qui donne la solution de notre probleme. 

En retenant la premiere valeur de F(x] et en y faisant 

x = H, 

nous trouvons 



ce qui etant porte dans liquation (13) nous donne 

^ [(yiTTT-f- Vw fl 2 ) 2 "-*- (i/JFTT- - Vh* # 2 ) 2 "] = 

d ou Ton tire la valeur suivante de G : 



(Vh 2 -+- 1 -+- Vh 2 - 

En portant cette valeur de G dans la premiere expression de F(x), on 
1 obtient sous la forme: 



d ou il suit, en faisant x = h, 

F(h) = 



Or, d apres 1 equation (14) en faisant x = ft, on a 



d ou Ton tire pour la valeur de L: 

T - -4- 

-~ 



ce qui se reduit apres la substitution de la valeur trouvee de F(h) a 



(Vh 2 -+-l-*-Vh z H *f n -+- (Vh 2 H- 1 Vh 2 H 2 ) zn 

En tirant de la le rapport 

~T* 



352 



on obtient 



M_ _^ 

L ~ 



2 (fl* -*-!) 



ce qui peut 6tre represente, comme il est aise de voir, sous la forme: 

M i n /h 2 -+-i\ 

-^ = cos ( 2w . arc . cos y gi^jj. 

9. Passant a la seconde valeur de F(x), represent^e par la formule 



F(x) = 1 G" 



on obtient pour x = 



ce qui etant port6 dans 1 equatiou (13) doune liquation suivante pour 1 eva 
luation de G": 






En tirant de la la valeur de C" et en la portaut dans 1 expression conside* 
ree de F(x\ on trouve 



fU < i 

on ( 1 

~ n 



ce qui donne pour # = h 



1 H VH 2 -h z 



zn 



Or, en faisaut 
dans 1 equation (14), on obtient 



d ou il suit 

~T (A 2 -*1 i) n 
ce qui se reduit apres la substitution de la valeur trouvee de F(h) a 

i-l) n M 



- /i 2 ) 2 



353 

d ou Ton tire 

M __ (Vh* -+- 1 if-*- VH* ft 2 ) 2 "-*- (VPTT H VH* 



- 2 \/t 
Or, comme le produit 



se reduit a 1 unite et par consequent 



__ / 

l \ ( 



h 

la valeur ci-dessus de -- peut ^tre represented sous la forme 



- 
2 Lh H*-*-l If 2 -*-! ft 2 / 



En cousiderant 1 expression comprise entre les parentheses [ ], nous 
remarquons que la plus petite valeur qu elle acquiert pour 



g 

est 2. II en suit que la valeur nume rique du rapport 

u 

T" 

trouve ci-dessus ne sera jamais moindre que 1; ce qui donne la limite sup6- 
rieure de ce rapport, car la valeur de ce rapport obtenue anterieurement 



cos 2w . arc . cos 



est toujours comprise entre -H 1 et 1 . 

On voit d apres cela que la limite superieure du rapport 



L 
pour la fonction considered sera dounee par la formule 

\2 ! Hf 



2 Ufc 

r r r r 

23 



354 

ou des deux signes zb nous ne retiendrons que -t-, en prenant pour L et 
M les valeurs numeriques du plus grand 6cart de zero de cette fonction 
entre x = h et x = H- h et de sa valeur pour x = H. 
Dans cette supposition nous aurons toujours 



En portant id d apres (12) les valeurs 

ft = tang f, H=tang| 
et remarquant que 



(H /w~^I / 

\/i^if 2 -+-l \ ( 




sin 




tangs^- tang*^ 




nous trouvons 




Cela donne pour une fonction de la forme 

A Q -i- A l cos 9 -+- A z cos 29 -H . . . . -t- A n cos wcp 
-f- 5j sin 9 -H B 2 sin 29 -+- . . . . -H J5 n sin w^p 

la limite superieure du rapport de sa valeur pour <p = cpj a son plus grand 
6cart de zro entre 9 = cp et 9 = cp ne comprenant pas la valeur 9 = ft . 

10. En determinant a 1 aide de 1 egalite obtenue la valeur de la dif 
ference 




nous la trouverons egale a 



355 



II est facile de montrer que pour des valeurs positives de sin ^-, sin ^ 

(comme nous le supposons toujours), c est le signe -i- qu il faut prendre 
dans 1 expression ci-dessus. 

En effet, en portaut dans 1 expression 



<Po 



// 9i\ 2 \ 

I sin ~^\ \ 

_i ]-!)_ 
\**/ i 



M 



. 

la valeur de -^ tiree de la derniere egalite du precedent, nous trouverons 
qu elle se reduit a la suivante 



2n , / / 4 g \ 2n 



(9i / / 9i\ 2 \ / 9i / / . Ai 

sm Y -,// sm ^\ A i/ 8m 2 |, i -, 
T^-^V - 1 -T -T^-*-"/ rl 11 
sm f r \ sm T/ / \ 8m: f 



// . ?A 2 
/^l\ 
\+* 



ou pour 



le second terme est moindre que le premier, parceque celui-la se reduit a 



apres le remplacemeut de 1 expression 

i 



par 



qui lui est equivalente. 

Ayant ainsi demontre qu en representant la difference 



( sin^ 

par la formule 



23* 



356 
11 y faut retenir le signe -t-, nous en concluons que 



// - v zn 

;. ?! / / . <Pi\ * \ 

i^i/f|\^iV^, 
-t r V to W / 



2n 

Jf 

T 



9i / / 9i\ 2 

^i/fclY-i 

*2 r v*?/ 




Or, en resolvant cette equation par rapport a w, nous trouvons 
_ i 

(siu 

sin 

ce qui nous donne la limite inferieure du nombre w, pour lequel la fonction 

A Q -+- A l cos 9 -f- A z cos 29 -+- . . . . -+- A n cos ^9 
-+- 5j sin 9 H- 5 2 sin 29 +-.... -t- B n sin n^p, 

dont le plus grand ecart de zero entre 9 = 90, 9 = H~9 ne surpasse pas 
L est e"gale a db M pour 9 = <p x . Les quantites Z, 3/, 9 X , 9 sont suppo- 
sees positives, M superieur a L et 9 = ^ non compris entre 9 = 9 et 



19, 
SUR LES PLUS SIMPLES PARALLELOGRAMMES 

QDI FOORNISSKNT ON MOUVEMBNT RECTILIGNE 

AUX TERMES DU QUATRIE1E ORDRE PRES. 

(THADUXT PAIR A. K. 



do 
cmencHU. 



KI> XL-ny Tony SanncoK^b IlMnepaiopCKOH AKajteniH HayKi>, JVa 1, 
1882 F.) 



(Lu le 24 novemlre 1881.) 



Sur les plus simples parallelogrammes qui 

fournissent un mouvement reetiligne aux 

termes du quatrieme ordre pres. 



1. Dans un Memoire Sur les parallelogrammes composes de trois 
elements quelconques, lu le 18 decembre 1879*), nous avons montre com 
ment, par la consideration du mouvement d un triangle dont un sommet se 
deplace sur un cercle et un autre sur une droite, on peut trouver les con 
ditions necessaires et suffisantes pour que tout triangle donne", dont deux 
sommets se meuvent sur des cercles, decrive, par le troisieme sommet, une 
courbe ayant un contact du cinquieme ordre avec une droite. 

On obtient ainsi une solution complete de la question sur la recherche 
des plus simples parallelogrammes qui fournissent un mouvement rectiligne, 
pour des deplacements infiniment petits, jusqu au degre de precision le plus 
eleve possible. 

Or les formules que nous avons developpees dans ce Memoire peuvent 
servir encore, ainsi que nous allons le montrer maintenant, a determiner 
tous les parallelogrammes les plus simples qui fournissent un mouvement 
rectiligne avec une precision d un degre moins elevee; c est-a-dire, tels que 
le contact, avec une droite, de la courbe qu ils decrivent n est que du qua 
trieme ordre. Nous y parvenons en considerant les conditions pour qu un 
triangle, doiit un sommet se meut sur un cercle et un autre sur une droite, 
decrive, par son troisieme sommet, une courbe ayant un contact du qua 
trieme ordre avec un certain cercle. 

2. En retenant les notations du Memoire cite, nous supposons que le 
sommet A du triangle AA^M (fig. 1) se meuve sur un cercle, dont le centre 
se trouve au point G que nous prenons pour origine des coordonnees, et que 
le sommet M se deplace sur une droite FG parallele a 1 axe des x. 



*) T. II, pag. 301331. 



360 

Soit Cj le centre du cercle ayant un contact du quatrieme ordre avec 
la courbe que decrit le sommet A 1 . Le rayon de ce cercle sera designe 
par PJ . 

Fig. 1. 

y 




En designant par a t la valeur de Tangle variable a = AMF corre- 
spondant a la position du sommet A l sur le cercle G\, au point de contact 
avec la courbe que decrit ce sommet, nous remarquons que le contact ne 
peut s elever jusqu au quatrieme ordre que si la distance Aft^ a e"tant voi- 
sin de a 15 se de"veloppe suivaut les puissances de sin a sino^ en une se"rie 
de la forme 

Ai = r l -+- K (sin a sin a^ 5 -+- . . . . 

Or, en designant par #, y les coordonnees variables du point A l et par 
aJ u y^ les coordonnees du centre fixe C lt nous avons 



Passant par suite a la determination des coordonnees a?, y, posons 
,= a-, AC=r, CF=b, 



Alors, en projetant la ligne brisee CAA t sur les axes des coordonnees, 

on aura 

x = r cos (3 -+ a cos (A a), 

y = r sin (3 -t- a sin (A a); 



361 

et en projetant la ligne brisee CAM sur 1 axe des y, on obtiendra cette re 
lation entre les angles variables (J = ACx et a = AMF: 

CF =l) = r sin p m sin a. 
En tirant de cette relation les valeurs de sin (3 et cos (5, on trouve 

n m sin a -+- 6 



sina-*-6 



ce qui, etant substitue dans les expressions des coordonnees, nous doune 



x = Vr* (m sin a -+- &) 2 -4- a cos (A a); 
y = m sin a -+- a sin (A a) -t- b. 

Substituons ces valeurs de x, y dans 1 expression du carre de la di 
stance A&: 

A l C* = (x x i r-+-ty y i y. 
Nous aurons: 



Al* = [Vr 2 - - (m sin a -t- bf -+- a cos (A a) a,] 2 
H- [m sin a -+- a sin (^ a) -+- & /,] 2 ; 

et de la, en Poignant les parentheses, il vient 



(1) A l Cf= 2 [a sin ^ sin a -H a cos A cos a sjVr 1 (wsina-*-&) 2 

H- 2 [aw sin A sin a -t- a (b y^ sin A ax l cos J] cos a 
-t- 2 [a (^ 6) cos ^ ^ sin ^4 m^,] sin a 

2am cos ^ sin 3 a -t- r 2 -+- xf -+- y x (^ 26) -*- a 2 . 

Telle sera 1 expression du carre de la distance du sommet A l au point 
(7 15 quelle que soit la courbe que decrit le sommet A^\ et nous avons vu 
que, dans le cas ou cette courbe a, au point correspondant a a = a x , un 
contact du quatrieme ordre avec le cercle ayant C^ pour centre et r x pour 
rayon, cette expression sera developpable en une s^rie de la forme 

r x 2 -t- ZT^KQ (sin a sin a x ) 5 -*-...., 



362 
Nous aurons done, dans le cas considers, cette egalite: 

2 [a sin A sin a -f- a cos A cos a #J Vr 2 (m sin a -+- 6) 2 -+- r 2 -f- x* 
-+- 2 [am sin A sin a -+- a (b yj sin ^ a^ cos ^4] cos a -- ^ (y t 26) 
2am cos .4 sin 2 a -+- 2 [a (y l 6) cos J. ax^ sin J[ mz/J sin a -4- a 2 



= r^ 2 -i- ^KQ (sin a sin a x ) 5 -f- . . . . 

3. Pour presenter cette egalite sous une forme plus maniable, nous 
introduirons, au lieu de a, une variable s liee avec a par 1 equation 



ou 



On voit que, si Ton tire de cette equation les expressions de cos a et 



(msina-*-6) 2 et qu on les porte dans 1 egalite (2), celle-ci, en chassant 
le d^nominateur, se reduira a la forme 



ou X, (A, P , P I} P 2 , P 3 , P 4 sout des constantes que Ton pourra facilement 
exprimer par les constantes A, a, m, r, r l: &, x^ y l qui figurent dansl ega- 
Ut6 (2). 

II est facile aussi d obtenir les equations qui permettent de determiner 
les anciennes constantes 

A, a, m, 6, r, r,, a n ^ 
par les nouvelles 

1 ML P P P P P 
7 v [*J * 0? *11 *11 t 3) * 45 

en observant que 1 egalite (4), si Ton j substitue la valeur de e resultant de 
(3), doit se reduire a une Egalite identique avec (2). 
Comme on tire de (3) 

1 d sin a 

Z = : -j- j 

sin a a 

ce qui donne 

1 sin a d _ sin a d d (sin a d} 2 

~7 == 1 d sin a 1 d 2 (1 d 2 ) 2 "I 



V(l d sin a) 2 (sin a d) 2 1/1 d 2 

= - ~ ^ = -. -, COS a, 

sin a d sin a d 



sina-d 



363 
Fegalite" (4) se reduit a 

ft (* <* 2 ) ft d)Bina A /h 2 (g + d) 2 . g -H (g 2 h 2 -t- gd-*- 1) d\2 

----- ; : =r,t / I _ I 5K *_ aivi / ^ ^- 7 " I 



-(0-i-d) 2 isma-tfj* v \ h(l-d 2 ) h(l-d 2 ) 



d 2 ) Vl d 2 .. 



h(l-d 2 ) l-dl FTJte ~(ff + d) 2 . ~T-*- (g* - h 2 H- gd 

J 



h (I d 2 ) ) 

(P 2 P 3 d + P 4 d 2 ) sin2 a (2P 2 d P 3 (1 -t- d 2 ) -+- 2P 4 d) sin a P 2 d 2 P 3 d -+- P 4 
(sin a d) 2 (sin a d) 2 

P, P d -t- (P P,d) sin a -, /^ ^ 
(since d) 2 ^^ d . COS a 

_ X (sin a d) 3 

(1 d 2 ) 3 - 

En rapprochant cette Sgalite de (2), on voit que, pour les rendre iden- 
tiques, on doit poser 

.- -, \ m h 2 (g -+- d) 2 

( 5 ) ~7 = h(i-d 2 ) > 

6 g + (g 2 Ji 2 -t- gd -- 1) d, 

T~ fe (1 d 2 ) 

a j X d 



d 2 



X O N awt sia A P P,d Vh 2 (g -+- d) z 

(V) 



rx 1 dX 



x.,vv a (b y t ) sin J. qg 1 cos A P t P d Yh 2 (g H- d) 2 . 

rx l l d\ 



am cos A P 2 P 3 d -t- P 4 d 2 Vh 2 (g-t- d) 2 . 

a (y l J ) ) cos A axi sin ^i ffly t 2P 2 d-P 3 (l-*-d 2 ) H- 2P 4 d T//t 2 (g -t- d) 2 . 

ra, ~1 dX ^(1 d 2 ) 



( . r| 2_ r 2_ a . i 2_y i (yi _26)-a2 _ P 2 d 2 - P 3 d H- P 4 Vh 2 - (g H- d) 2 

2ra; 1 1 dX /i (1 d 2 ) 

4. En partant des formules que nous venons d obtenir, il est facile 
de montrer que la determination, au moyen des quantites 

d, m, r, & 
des valeurs de 



qui donnent la solution du probleme, depend d un systeme d equations dont 
1 une est du second degre et les autres du premier degre. 



364 
A cet effet nous allons d abord determiner les quantite"s auxiliaries 

0, A, P , P 15 P 2 , P 3 , P 4 , X, ^ 

* 

qui figurent dans nos formules. 

En abordant ce probleme, nous remarquons que les quantites g, h s ob- 
tiennent immediatemeut par les equations (5), (6), d ou il resulte 

_ (1 rf 2 ) m (md -+- &) __ , 
9~ r z (md+b) z ~ m 1 

,_ (l-&)mr . 

~f2-(wdH-b) 2 

Substituant ces valeurs de g et Ji dans la formule (4), on en deduira 
aisement les expressions des quantity s 

P P P P P 

*0> * II Z 2? f 3? L 4 

au moyen de X et [/,. 

En effet, d apres cette formule, la difference entre le polynome 



et 1 expression 

(P -i- Pj) V?^l (e -+- X 




ne doit renfermer que les puissances negatives de a, d ou il resulte que 

P2 5 PS J P* 

sont les coefficients de 0, #, z* dans les developpenient de cette expression 
suivant les puissances descendantes de z. 
En vertu de cela, il vient 

P p __ i __. 

r 4 - *l {*) 

P 3 = P -X -+-^(1 -f-jx); 



Quant aux quantites 



P P 
*o -* i 



on les determinera, d apres (4), par la condition que le developpement de 
1 expression 



365 



ue contienne pas de termes en , -^. Cela nous doune deux equations, d ou 
Ton tire ces valeurs pour P , P T : 



p l = a 2 g 2 -<- w -+- a*g\ -H (ay -*- (^ i) 2 ) ^ 

En les portaut dans les egalites precedentes, on trouve ces valeurs 
pour P 2 , P 3 , P 4 : 



P 2 = 



-*- (V -*- 7i 2 2) A V. 

Pour determiner les quantites auxiliaires 

X, p. 

nous remarquons que les equations (7) et (9), (8) et (11), en les divisaut 
1 une par 1 autre, conduisent a ces deux equations 



m 
r 



qui ne contiennent plus les quantites cherchees A, , r n x lt y lt et qui, en 
portant la valeur ~ donnee par (5), se reduisent a 



(X QVV 



-d? h* (g-*- df = P 2 - 

II est facile de voir que ces equations, si Ton y substitue les valeurs 
de /i, g, P , P 1? P 2 , P 35 P 4 que nous veuons de trouver, se reduiront aux 
equations du premier degre en X et ^ En resolvaut ces equations par rap 
port a X, p. et en portant les valeurs aiusi obtenues dans les expressions de 
-fo, PL, P 2 , P 3 , P 4 , nous obtiendrous toutes les quautites auxiliaires, dont 
les quantites cherchees 



dependent d apres les equations (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13). 



366 

C est la determination de ces inconnues que nous alloiis aborder 
maintenant. 

5. Pour determiner Tangle A, nous remarquons que les equations 
(7), (8), si Ton divise 1 une par 1 autre, donneront 

X d 
tang A = 



Ainsi la tangente de Tangle A se trouve determinee completement. 
Quant aux deux angles qui ont cette tangente et different Tun de Tautre de 
180, nous prendrons pour A celui qui est compris entre et 180, en 
choisissant conformement a cela le sens suivant lequel la ligne a = AA l , a 
Tinterieur de Tangle A^AM, sera comptee positive. 

Passant a la determination des quantites , x l , y l , nous remarquons 
que les monies equations (7), (8), si on les eleve au carre et ajoute, donnent 



(1- 

d ou il vient 



a . v (X d) z -+- (1 d z ) [i. 2 

x l ~ 1 dX 

Des deux signes on devra prendre ici celui qui correspond a la suppo 
sition que nous avons faite a Tegard de Tangle A. Comme cet angle est 
suppose 6tre compris eutre et 180, son sinus sera positif, et cela, d apres 
(7), ne peut avoir lieu que si le rapport 



a un signe oppose a celui de 

X d 



On d6terminera ainsi la valeur absolue et le signe du rapport 



Pour abreger, nous designerons la valeur de ce rapport par f, de sorte 
que nous aurons 



367 
En posant encore, pour abreger, 



r (P t - P 



1 dX 
r [2P 2 d P 3 (1 -+- d 



nous presenterons les equations (10), (12) sous la forme 

a (b y t ) sin A ax^ cos A ^y . 

X l ! 

a (y 1 b) cos J. aa?! sin A my l _ _ TVT 





2 



De la, en posant d apres (14) a = /aj l? nousobtenons ces deux Equations 

(15) f(b yJsi 

(16) 



qui serviront a determiner x l et ^ . 

En resolvant ces equations, on tire de la premiere d entre elles 

(17) & = & 



et en portant cette valeur de ?/, dans la deuxieme equation, on obtient une 
equation du second degre que voici: 

2 (2VJ rri) cos A -*- JV sin J. (/6 sin J. ^ t ) ?re _ n 

^i -*- j ~ x i H yz u - 

Si Ton tire de cette equation la valeur de x l et qu on la porte dans 
les formules (14), (17), on obtieudra les valeurs de x lt y i: qui represen- 
teront la solution de notre probleme, en considerant comme donnees les 
quantites r, m, I et d = sin a x . 

A chacune des racines de cette equation il correspoudra une solution a 
part, et si cette equation n admet pas de racines reelles, on conclura que, 
pour les valeurs considerees de d, r, m, &, le probleme est impossible. 

6. Sans nous arre"ter aux calculs que demaude, d apres ce que nous 
venons de moutrer, la solution de notre probleme, nous allons examiner la 
relation qui existe entre ses deux solutions lorsqu elles sont possibles. Cette 
relation donne, comme nous verrons, des chaugements que Ton peut faire 
dans la composition des parallelogrammes les plus simples sans alterer le 
degre de precision, avec laquelle ils realisent un mouvement rectiligne. 

Soient a?/, x" les deux valeurs de x l tirees de 1 equation ci-dessus et 







,, 



a" 



368 
les valeurs correspondantes de y l , a, les e"galites 



appartenant a la solution represented (fig. 2) par le point A l et le centre (7, 

et celles-ci 

x l = x" 1 y l = // , a = a" 

Fig. 2. 




a la solution represented par le point A 2 et le centre (7 2 . 
Cela pose, nous aurons 

a = A A, , a" 



l , 



et les equations (14), (15), (16) seront verifiers par ces deux systemes de 
valeurs : 



ce qui suppose les egalites suivantes: 

I !! 

d n U f 

(18) T = f > 52! ! 

\ / JC\ *>| 

ffy y^) . sin A fxj cos A = N l ; 
ffi y") sin A fx" cos A = ^ ; 

/ 6) cos J. /ir/ sin ^ ^r = -^J 

** _ . / ^ J W?2/i "XT 

I /^i/*/^c A --- T /y* c 1 11 y? -^-^ ^" / v 

. t>J LUIS ^X """" / *t/j Dill -^L t r XT 2 ) 

1 



369 



II vient de la 



." 



f(b y/) sin A /#/ cos A = f(b y") sin A fx" cos A ; 



et les deux dernieres egalites se reduisent a 

y/ sin J. -*- #/ cos J[ = y/ sin A -t-x" cos ^4, 
// cos ^ a?/ sin A j- y --, = y" cos A x" sin A ~ ^V, 

ou bien, ce qui revient au m^me, a 



Comme d apres la premiere de ces egalites on trouve 

vi" 9i 



(19) 



ff 
//, 



2/i 2/i 



OH tang 



^, 



1 -- zr. tang 



on aura, en portant ces valeurs de #/ x" , y/ y/ dans la deuxieme, 



et cette equation se decompose en deux, a savoir 



^:_^L- 

v */" 

/ w ( 1 -i- y*-?-, tang ^4 j cos ^4 = 0. 



Or, en vertu de (19), la premiere de ces equations suppose les egalites 
x"= x{, y"= y-[. Done, les deux solutions etant distinctes, les valeurs de 

24 



370 



&i ) y\i x \ ? y\ doivent verifier la deuxieme equation, laquelle, en rempla- 

r 

<jant, d apres (18), f par -^-r, se re"duit a 

a m cos A m ^V, sin .4 = 0. 
II vient de la 

y^" a m cos A 

x^ ~ m sin A 

et les m&mes raisonnements, en changeant seulement a?/, y/, a en a?/ , y,", 
a" et inversement, donneront 

y/ _ a" m coa A 
X} ~ m sin A 

Nous remarquons maintenant que les rapports 

Hc~ f1 aT"* x x " 

representent les tangentes des angles que font avec 1 axe des x les droites 
(7(7 1} (7 2 , QCj men6es par les centres 

n n 

u, u a 

et que les rapports 

a" m cos A a m cos J. 
wt sin A m sin J. 

ou, d apres nos notations, 

a" = AAt, a f = AA l , m = AM, 

representent les cotangentes des angles AA 2 M et AA^M. 

Done les equations que nous avons trouve"es expriment 1 egalite entre 
les angles que font les droites GG^ <7(? 2 , G^ avec 1 axe des a;, ou bien avec 
la droite FG, qui lui est parallele, et les complements des angles que les 
droites AM, A^M, A Z M font avec la ligne AA r 

En vertu de cela, si 1 on connait un des deux points A 11 A 2 et le 
centre G l ou (7 2 qui lui correspond, on trouvera facilement un autre avec le 
centre correspondant; car, d apres ce que nous avons montre, par chacun 
des points A lt A^ avec le centre correspondant, le triangle CCf^ est 
completement determine", et ce triangle donne 1 inclinaison des lignes A^, 
A^M a la ligne AA r 



371 

7. Le passage que nous venons de signaler d un des deux points 
AI, A 2 & un autre, ces points decrivant, dans le mouvement considere du 
triangle, des arcs infiniment petits, peu differents des arcs de cercle, peut 
tre utile dans tous les cas, ou Ton veut qu un point du triangle decrive une 
courbe ayaut avec un cercle plusieurs points communs, plus ou moins voisins 
Fun de 1 autre. 

En effet, il est facile de montrer que, les points A^ A^ et les centres 
C l , G 2 etant tels qu on ait 



la difference 



pendant le mouvement considere du triangle, ne changera point de valeur. 
Par suite, toutes les fois que 1 une des deux distances Af)^ A 2 G 2 repreud 
sa valeur primitive quelconque, 1 autre sera dans le mme cas. 

Done les points A^ A 2 reviendront simultanement sur des cercles 
traces des centres G^ (7 2 par certains rayons. 

Pour montrer que la difference 



dans les suppositions admises, reste invariable, posons, comme auparavant, 
et, en outre, 



Les egalites precedentes se presenteront alors ainsi: 



En calculant d apres ces valeurs des angles G 2 SC, G 2 Gx, Gfx les angles 
du triangle CflG^ nous obtenons 



,CCi = Gfx Gfx = A a A l , 



ojsc= KA 

x G Z SC= A-^ 



24* 



372 

Posant, pour abreger, 

G& ^ 

on deduit de ces valeurs des angles les expressions suivantes pour les cotes 
CC it GC 2 du triangle: 

rr _ _ sin (A -t- AJ 7 r>n -- sin (^ + -4) 7 
/0 i sin^-^r) 2 ~ sin^-^p 

Puis, par ces expressions, on trouve pour les coordonnees #/, y/, #/ , 
// des centres (7 1? (7 2 : 

ajj = (7Cj cos G l Cx-= Sj- 4S cos QCx.l, 

y/ = Cfi sin qQp = ^ | ^ j;| sin qQe.1, _ ,. ..; . 

a?/ = (7(7 2 .cos Q^ g =I^(l 2 - jj cos ^2^.^ 

: n /-) fv _ sia(^ -n^ 2 ) . ^ f , , 
in X ~- 



ce qui, en portant les valeurs ci-dessus des angles C^Cb?, (7 2 Gr, nous donne 

t . >. : . J t. ..... -.. !.i j .i . : . : f ; * .. >. ^. t ^ T- n ,*S >j ..... i. 

f _ sin (A +- A^) . A 7 / _ sin (J. -t- ^.j) / , 

iC, "": T~i - T~\ Sin -O-o v i ili - " T~A ~A \ COS ^i v\ 

sm (A 2 AJ am (A 2 A t ) 

if sin ( A -t- -4 2 ) /< ? v sin (4 -t- A 2 ) A -, 
x, = . ;, -r( sm A . /; y, = -^-7-3 - -\ cos J. . I. 

sm(A 2 A l ) sm(A 2 A { ) 

D autre part, en exprimant les cote s AA^ AA^ des triangles AA 
AA 2 M par le cote A M = w, on trouve 



in AM A! AM _ sin AMA 





ce qui, en portant les valeurs des angles 

l = K A A^ AMA z = r, A A^ se reduit a 



A A sin ( A -+- At) A A sin (A + A^\ 

AA, = -. -. l - m: AA 9 = -. -. - m. 

sm A } sin A 2 

Passant a la determination des carres des distances Aft^ Af z , nous 
remarquons qu on les obtiendra par la formule (1), en y prenant pour ic 1? 
2/ 1 les valeurs que nous venous de trouver pour les coordonnees des centres 
<7 1? (? 2 et pour a les expressions ci-dessus de AA^ AA 2 . 

En multipliant les valeurs de Afi*, Aff ainsi obteuues par ces 
expressions et en faisant la difference des produits, nous obteuons pour 



373 

Pexpressioii 

_ sin A sin (A 2 AJ ^ _ sin (A -*- AJ sin (A -+- A 2 ) sin (A -+- A l -+- A 2 ) ^, 2 
sin. A!- sin A z sin J. t sin _4 2 . sin (A z A^) 

o sin (A -4- AI) sin (A -+- A 2 ) 77 sin (A -+- AJ sin (A + A 2 ) sin (^ t A^ sin J. 3 

}l 



qui ne renferrae pas Tangle variable a et qui conservera, par suite, sa va- 
leur pendant le mouvement considere du triangle. 

8. D apres ce que nous avons moutre relativement aux points qui 
dans le mouvement consider^ du triangle reviennent simultanement sur les 
circonferences de certains cercles, on peut trouver en tout parallelogramme 
compose d un triangle et de deux rayons un point qui decrive approximati- 
vement un arc de cercle, et cela avec le meme degre de precision que celui, 
avec lequel le parallelogramme realise un mouvement rectiligne. 

En effet, soit donne (fig. 3) un parallelogramme compose du triangle 

Fig. 3. 

.A 




et des rayons AC, Afi^ susceptibles de tourner autour des centres 
<?, Cj. Soient ensuite: FG la droite, avec laquelle la courbe que dScrit le 
sommet M doit avoir plusieurs points communs, et ^4 2 , (7 2 le point du triangle 
AA^M et le centre qui lui correspond, determines, comme il a et6 montre, 
dans la supposition que le sommet M du triangle AA^M se deplace sur la 
droite FG et le sommet A sur le cercle G. 

Parmi les positions que prend le triangle AA^M dans le mouvement 
du parallelogramme, celles pour lesquelles le sommet M se trouve sur la 
droite FG peuvent, evidemment, e"tre consid6r6es comme provenant du 



374 

mouvement, pendant lequel le sommet M se trouve toujours sur cette droite. 
Or nous avons vu que dans un pareil mouvement les points A^ A 2 revien- 
nent simultanement sur des circonferences traces des centres <7 n (7 2 . 

Done, toutes les fois que le point M du parallelogramme viendra sur 
la droite FG, le point A 2 se trouvera sur une circonfe"rence tracee du centre 
<7 2 par un certain rayon; et, par consequent, la courbe que de"crit le point A 2 
aura autant d elements communs avec un cercle que la courbe trace" e par le 
sommet AT en a avec la droite FG. 

Comme dans le mouvemeut, ou les sommets A, A l du triangle AA : M 
se de"placent sur les cercles (7, G l , le sommet M et le point A 2 reviendront 
simultanement, le premier sur la droite FG, le second sur le cercle <7 2 , les 
positions du triangle AA^M, dans le mouvement consid6re actuellement, 
pour lesquelles le sommet M se trouve sur la droite FG, seront aussi les 
m&mes que dans le mouvement ou le point A 2 est assujetti a se deplacer sur 
le cercle C t et un des points A, A l sur le cercle C ou G r 

On voit de la que dans les inouvements des triangles AA 2 M, 
consid&res a part, les sommets 



se d^plagant sur les cercles 



le sommet M decrira une courbe dont les points d intersection avec la droite 
FG seront les m&nes que pour la courbe qu on obtiendrait, si les sommets 
Aj A l du triangle AA^M se deplagaient sur les cercles (7, G r 

Cela nous montre que si Ton remplace, dans le parallelogramme donne, 
le triangle AA^M. par le triangle AAJtt, ou bien A^M, en remplac^ant, 
conformement a cela, le rayon mobile A& ou AC par le rayon ^ 2 C7 2 , ni le 
nombre des points d intersection avec la droite FG de la courbe que decrit 
le point M, ni la position de ces points ne seront pas change s. 



20, 

SUR LE RAPPORT 

DHUX 



ETENDUES AUX MEHES VALEURS DE LA VARIABLE. 

(TKADUXT PAR G. A. POSSE.) 



& omnoutenu 

pacnpocmpaHcuuux* ua oduts u miz cfce 



ie KT. XLIV TOMJ 3airacoKi> HMnepaTOpCKOH AKa^eMiH HayKT., J^ 2, 

1883 r.) 



(Lu le S3 decembre 1882.) 



Sur le rapport de deux integrates etendues 
aux merries valeurs de la variable. 



1. Le rapport de deux integrates 

f Yudx 

f 

J Tvdx 

etendues aux monies valeurs de la variable x et renfermant sous leurs signes 
des diffe"rentielles ayant un facteur commun T eprouve des variations plus 
ou moins grandes, quand on change la valeur de ce facteur. 

Nous allons montrer mainteuant comment se determinent les limites 
que ces variations ne peuvent depasser, lorsque le facteur commun Y con 
serve la forme d un polynome de degre nou superieur a n. Nous suppose- 
rons en mme temps que le polynome Y et la fonction v conservent leurs 
signes dans les limites de 1 integration, ce qui est la condition necessaire 
pour que le rapport 

J fudx 
J Tvdx 

ne puisse prendre toutes le valeurs de oo a -t- oo. 

Pour simplifier nos formules nous supposerons encore que les integrates 

J Yudx, J Tvdx 

sont reduites de la sorte que leurs limites soient x = 1 et# -t-1 et 
que le sigue conserve par le polynome Y et la fonction v dans les limites 
d integration soit le sigue -f-. 



378 
2. En abordant la determination des valeurs extremes du rapport 

J Tudx 
\ Tvdx 

J \ 

dans les conditions poshes ci-dessus nous allons demontrer que la plus grand e 
et la plus petite valeur de ce rapport correspondent aux valeurs du polyuome 
Y qui satisfont a 1 equation suivante: 



ou p =. ou 1; po = ou 1, Z etant un polynome entier d un certain degre. 
Pour le demontrer, soit 

r=i: 







la valeur du polynome T pour laquelle le rapport 



j Tudx 
i 



-fi 

j Yvdx 



atteint sa limite superieure ou inferieure dans les conditions posees. 

Le polynome T Q ne changeant pas de signe dans 1 intervalle de 
x= 1 aic = -f-l, toutes les racines de 1 equation 



r =o 



contenues entre 1 et -t- 1 doivent etre racines multiples et leurs degres 
de multiplicite doivent 6tre pairs. 
Designant ces racines par 



et leurs degres de multiplicite par 

2ft, 2fx 2 , ---- 
et supposant que 

v, v 

d^signent les nombres des racines de 1 equation 

r = o 

e"gales a 



379 
nous remarquons que le produit 

, \2fJi.,, v2fji 2 , ,2jJL f . .<* .v 

(xx^ ^(sB.ati *\ ---- (a? z.) (l-*-z) (1 a?) 

represents un polynome de degre non superieur a celui de T , que ce poly 
nome, comme le polynome J lui-m&ne, conserve le signe -+- dans 1 inter- 
valle dea; = 1 a# = -t-l et que son rapport a Y reste fini pour les 
valeurs de x entre x = 1 et x = -*- 1. 

D apres cela, U etant determine" par 1 egalite* 

(1) U=(xx^(x x^. . . .(* ^(l H-a:) v (l -o;) v , 
et a 6tant un infiniment petit, 1 expression 



representera un polynome du m6me degre que Z qui conserve comme 
celui-ci le signe -+- entre x = 1 et# = 
Par consequent la valeur du rapport 



Tudx 
i 

J Tvdx 



pour 



ne pourra 6tre ni la plus grande, ni la plus petite dans nos suppositions, si 
le rapport 



r v.U)udx 
i 



avec 1 un des deux signes it de a est superieur a 

I*" 1 

T Q udx 
i 

-^-i 

Y vdx 
i 

et avec 1 autre inferieur a cette quantite. 



380 

Or pour que cela soit impossible pour a infiniment petit, la derived par 
rapport a a de 1 expression 



pour a = doit tre nulle, comme on le sait, ce qui nous donne liquation 
suivante: 



-*-i -jt-i -*-i -j*-i 

I Y vdx . \ Uudx J Y Q udx . \ Uvdx 



J Ytf 



Les polynomes Y , U et la fonction v restant, d apres ce qui precede, 
positives entre x = 1 et x = -t-1, les integrates 



-4-1 



f Yjjdx, f Uvdx 

ont des valeurs diffe"rentes de zero, et dans ce cas il resulte de I Sgalite pre- 
cSdente 1 equation que voici: 

7*~ l 7*~ l 

Y udx Uudx 

i i 



\Y vdx \Uvdx 
i i 



D ou Ton voit que la plus grande et la plus petite des valeurs du 
rapport 

JYudx 



Yvdx 
i 



correspondent a 



V 6tant d6termin6 d apres (1) par la formule 

U = (x- x^ (xx^\ . . . (x - aj/ w 



381 

DSsignant par <T, <T O les quotients et par p, p les restes des divisions 
de v, v par 2, nous trouvons 

v = 2o--*-p; v = 2<7 -i-p , 

ou p = ou 1 , PO = ou 1 . En yertu de cela 1 expression Y U indiquee 
ci-dessus qui donne les valeurs limites du rapport 



\Yudx 



1 
se reduit a la forme 



ou 



z) p (l xf, 



On voit d apres cela que les valeurs extremes du rapport 

T Yudx 



J Yvdx 



dans le cas ou le polynome Y de degre non superieur a n conserve le signe 
-+- entre x= 1 etir=:-Hl, sont egales aux valeurs extremes du rapport 



-f-1 



x) p vdx 



i 



ou p = ou 1, p = ou 1 et Z un polynome pour lequel le degre de 
1 expression 

Z 2 (l-*-z) p (l a;) p o 
ne surpasse pas n. 

Posant pour abreger 



382 

nous aliens nous occuper maintenant de la recherche du polynome Z de 
degre donne pour lequel le rapport 






atteint sa plus grande ou plus petite valeur. 
3. Kemarquant que le rapport 



i 



JZ 2 6 () dx 

ne change pas de valeur, lorsqu on multiplie le polynome Z par un facteur 
constant quelconque, nous concluons d une part que le polynome cherche 
contient un facteur constant arbitraire et d autre part que par un choix 
convenable de ce facteur ou pourra assujetir le polynome Z a satisfaire 
1 equation 



i 



D ailleurs cette equation ayant lieu, le rapport 



JH 

\Z*Q (x)dx 



z2 6 (a:) dx 
i 



se reduit a l inte"grale 



done, le polynome cherche Z pour une certaine valeur du facteur constant 

representera la solution du probl&ne suivant des maxima et minima relatifs: 

Parmi tous les polynomes d uu degre donne et satisfaisant a 1 equation 



-t-i 



i 



383 
trouver ceux qui donnent a 1 integrale 

-4-1 



la plus grande ou la plus petite valeur. 

Multipliant par des constantes arbitraires les polynomes qui repre"- 
sentent les solutions de ce prob!6me, nous obtiendrons les expressions g6ne 
rales des polynomes pour lesquels le rapport 



i 



atteint ses valeurs extremes. Quant au polyndme Z qui fournit la plus 
grande ou la plus petite valeur de 1 integrale 



sous la condition 



i 



sa recherche presente un cas particulier du probl&me dont il 6tait question 
dans notre Memoire, sous le titre: Sur les maxima et minima des sommes, 
composees des valeurs d une fonction entiere et de ses derivees *). 
Appliquant aux integrates 



H-l 



i i 



ce que nous avons donne en general a 1 egard des sommes et changeant le 
signe du facteur auxiliaire X, nous trouvons que le polynome Z de degre" 
m 1, qui procure le maximum ou le minimum de l inte"grale 



sous la condition 



i 



*) Voir, T. II, pag. 340. 



384 

se determine par 1 egalitS suivante: 
-*-i 

Le produit Z e o(*)~ e ^)^ aux termes en x~ m pres indusivement 



est egal a une f auction entiere. 

Cette 6galite n etant pas alteree par 1 introduction d un facteur constant 
quelconque dans le polynome Z, 1 expression gSnerale de Z qui satisfait a 
cette Sgalite" renfermera un facteur constant arbitraire. 

La valeur de ce facteur se trouve a 1 aide de 1 egalite 



dans la solution du problme des maxima et minima relatifs indique plus 
haut; en passant de cette expression du polynome Z a son expression g6ne- 
rale qui donue les valeurs extremes du rapport 



on devra introduire de nouveau d apres les remarques precedentes un 
facteur constant arbitraire dans 1 expression du polynome Z. 

4. Designant par F la fonction entiere qu on obtient en developpant 
1 expression 



z ro 



suivant les puissances descendantes de x et par B l , B 2 .... les coefficients 
des puisances negatives de x nous aurons, d apres ce qu on a vu a 1 egard du 
polynome cherche Z, I egalit6 suivante 



m-t-z ^^ - , 



d ou 1 on trouve en divisant par Z, 



X, 



385 



On voit d apres cette egalite que la fraction 

F 
z 
represente la valeur de I mtSgrale 

H-l 



I 



exacte jusqu au terme dont le degre est egal a celui de ^^ inclusivement, 



ce qui n est possible, comme on le sait, que dans le cas ou dans la se"rie 
des fractions reduites de I int^grale 



x-z 



qu on obtient en la de"veloppant en fraction continue, se trouve une fraction 

egale a 

v 
z" 1 

et la fraction reduite suivante ait un denominateur de degre superieur a m, 
ce qui suppose 1 absence de la fraction reduite au denominateur de degre" m, 
car le polynome cherche Z est de degre m 1 . 

Cela pose, il est facile de deduire dans chaque cas particulier 1 equation 
a laquelle doit satisfaire la quantite auxiliaire X et de trouver 1 expression 
des divers polynomes Z pour les differentes valeurs de X qui satisfont a 
cette Equation. Quant au choix parmi ces valeurs de X de celles qui donnent 
la solution de notre probl6me, il ne presente pas de difficulte; car, comme 
on va le voir tout de suite, X est la valeur du rapport 



Z* (x) dx 



Pour nous en convaincre, remarquons que, d apres ce qui precede, dans 
la serie de reduites obtenues par le d6veloppement de 1 expression 



en fraction continue, la fraction ^ est suivie par une fraction ayant un de- 
nominateur de degre superieur a celui de Zx. 

25 



386 
Or dans ce cas, comme il est connu, aura lieu I Sgalite suivante 

[ Z 2 (<9 (x) \0 (x)} dx = 0, 
i 

d ou il resulte 



\Z z Q Q (x)dx 



f Z* 6 (x) dx 



i 



On voit d apres cela, que dans la resolution de notre proble me, exigeant 
que le rapport 



z* 6 (a;) dx 



soit le plus grand ou le plus petit possible, il faut adopter pour X la plus 
grande ou la plus petite de ses valeurs pour lesquelles dans la suite des 
fractions re"duites de 1 integrale 



-* 

f 

J 



il en manque celle dont le denominateur est de degr6 m. 

5. L equation, qui determine les valeurs de X, et 1 expression du po- 
lynome correspondant Z s obtiennent facilemeut au moyen du developpe- 

ment de 1 integrale 

-i 



J 



en fraction continue. Ayant trouve la reduite de ce d^veloppement au d^no- 
minateur de degre" m, faisons d abord disparaitre dans les termes de cette 
fraction les diviseurs contenant la quantite X (ce qu on peut faire toujours 
en multipliant le numerateur et le denominateur par une certaine fonction 
de X). Le denominateur prendra la forme 



387 - 
ou 

dSsignent des fonctions entieres de X. 

Multipliant cette formule par une constante arbitraire, nous trouvons 
1 expression 
(2) GF (X) x m -+- GF l (X) x m ~ l + GF Z (X) x m ~ 2 -+- , 

qui embrasse tous les polynomes de degre non superieur a wqui, etant mul 
tiplies par 

-4-1 



donnent un produit qui se reduit a une fouction entiere aux termes en 
x~ n pres inclusiveiuent. Remarquant que le polynome cherchS jouit de cette 
propriety m&me, nous concluons qu il doit etre represente par la formule (2); 
or, le polynome Z 6tant de degre non superieur am 1 , le terme en x m 
dans cette formule applique^ a la determination de Z doit disparaitre, ce 
qui entraine 1 equation 

(3) ^ W = 0. 

En vertu de cette Equation, d apres ce qui precede, on obtient pour le 
polynome cherche 1 expression suivante: 

(4) Z= CF, (X) x m ~ l -f- CF Z (X) x m ~ 2 -t- 

En determinant la plus grande et la plus petite racine de liquation 



nous trouverons la plus grande et la plus petite valeur du rapport 

-*-i 

I Z 2 6 (x) dx 
i 

? 

-^-i 



Z etant un polynome de degre m 1 . Les expressions de Z pour lesquelles 
ce rapport atteint ses valeurs extremes sont donnees par la formule (4), 
quand on y remplace X par la plus grande et la plus petite racine de 1 equa- 
tion (3). 

25* 



388 

6. Nous allons nous occuper maintenant d un cas particulier, ou les 
valeurs extremes du rapport 



i 



c 



et les valeurs correspondantes du polynome Z s obtiennent de la maniere la 
plus simple d apres ce qui a e"te expose. Ce cas aura lieu lorsque 



L integrale 



se reduit dans ce cas a 

-4-1 



f(- 

i, 

or, en consid6rant la derniere integrate comme limite de la somme 



nous trouverons, en vertu de ce que nous avons montre dans le Me"moire 
sous le titre Sur les fractions continues* *), que le de"nominateur de la w i&me 
reduite de 1 integrale 



I 



s exprime a 1 aide de ^ m _ 4 _ 1 (x), ty m (x) c est-a-dire a 1 aide des denomina- 
teurs de la (w-*-l)- i6me et m- i6me reduites de 1 integrale 



-4-1 



*) Voir T. I, pag. 203230. 



389 
par la formule 



a; X 



Les fonctions ^ m ^_ l (^), fy m (%) etant respectivement de degres m -t- 1, 
m, le -terme le plus eleve du polynome represents par cette formule sera de 
la forme 



et par consequent dans le cas considere 1 equation qui determine la valeur de 
X sera: 



D apres ce qui a 6te demontre dans le precedent la plus grande et 
la plus petite racine de cette equation donneront les valeurs extremes du 
rapport 

J 



i 



t; 

Pour determiner les valeurs correspondantes du polynome Z, multi- 
plions d apres le 5 la formule (5) par une constante arbitraire G et pre- 
nons pour X les deux racines nominees ci-dessus de liquation ^ m (X) = 0. 

On aura ainsi pour le polynome cherche Z 1 expression suivante: 



x X 

qui peut 6tre represented par 



en posant 

Dans le cas particulier ou 1 on a 
les denominateurs 
de reunites de Fintegrale 



f <>(g)de f de 

I X S ~ I X Z 

1 1 



390 
se reduisent, comme on salt, aux fonctions de Legendre 

Z n X 2? . . . . X m ,. . . . 
Par consequent la plus grande et la plus petite racine de liquation 

*m = 

represented les valeurs extremes du rapport 

i-i 

J Z 2 xdx 



f Z*~dx 
J i 

Z etant uii polynome de degre m 1 . En faisant dans la formule 



GY 
o -^m 

x X 



a cesraciues, nous aurons les expressions des polynomes pourlesquels 
ce rapport atteint ces valeurs extremes. 

7. Apres avoir montr6 comment se determinent les valeurs extremes 
du rapport 



E 



J Z* 6 (x) dx 



f Z* 6 (x) dx 
J i 

Z 6tant un polynome de degre donne, revenons maintenant a notre probl&ne 
de la recherche du maximum et du minimum du rapport 



71-1 

I Yudx 



r* 



Tvdx 



Y etant un polynome de degre n et conservant le signe +- entre x = 1 
et x -+- 1 . Ces valeurs extremes du rapport 

jH 

I Yudx 



i 



J Tvdx 
i 



391 
comme on 1 a vu dans le 2, seront Sgales aux limites que le rapport 



jf-i 

)_Z* (1 -t-x? (1 xf<>vdx 

ne peut de"passer, lorsque p = ou 1 , p = ou 1 , Z Slant un polynome 
de degre" non supe"rieur a - ~ P 2 ~ Po . DSsignant par E - ~ P 2 ~ Po le plus grand 

nombre entier contenu dans - ~ p ~ p et remarquant que Fexpression g6ne- 

rale d un polynome de degr6 E - ~ p ~ Po renferme comme cas particuliers 

les polynomes de tous les degres inferieurs, nous trouverons ces limites 
d apres ce qu on a vu dans les 2 et 3, en posant 

tf (x) = (1 -4- xf (1 xf u, 6 (x) = (1 -4- x) p (1 xf v, 
(6) m l=E n ~ P 2 ~ Po , 

et en faisant a 1 egard des nombres p, p les 4 suppositions suivantes: 

1) p = 0, Po = 0, 

2) p = l, p =0, 
3)p = 0, Po =l, 
4) p=l, Po =l. 

Les limites entre lesquelles seront renfermees les valeurs extremes du 
rapport 

J Z2(ln-a;) p (1 xfoudx 



*! 

J ^ 2 (1 -*-a;) p (1 xfvdx 



pour ces Taleurs des p, p et les valeurs correspondantes de m 1, seront 
les limites du rapport 



+-1 

Yudx 



- 

j Tvdx 
i 

le polynome T etant de degr6 non superieur a n et conservant le signe 
entre x = 1 etx = -+-!. 



392 



8. Nous aliens montrer mainteuant comment ces limites se trouvent 
dans un cas siugulierement simple, savoir, quand u = xv. Pour une telle 
valeur de M, d apres 6, les valeurs extremes du rapport 






(I xfudx 



pour un polynome Z de degre m 1 , seront e" gales a la plus grande et la 
plus petite racine de 1 equation 



(x) e"tant le de"nominateur de la m- m& reduite de l inte"grale 

\ / <-* 

-+-zf (lzfoudz 



X Z 

1 



qu on obtient par le developpement de cette integrate en fraction continue. 
Pour trouver les valeurs extremes de ce rapport, qui sont d apres ce qui 
precede les limites du rapport 



*i 

I Yxudx 



Yudx 
i 



lorsque le polynome T est de degre non superieur a n et reste positif entre 
a? = 1 et x = -*-!, nous devons conside*rer 4 hypotheses a I ggard des 
nombre p, p : 

p = 0, p = 0, 



p = 0, p =l, 
p = l, p =l; 

en leur faisant correspondre les valeurs suivantes de m: 

(7) 1 = 

Designant par 



393 

les fonctions auxquelles sc reduit la fonction <\> m (x) pour les valeurs pr6ce- 
dentes de p, p , nous remarquons que les plus grandes et les plus petites des 
racines des Equations 

(8) <|j M = o ^21 W = > <K M = ? ty*l W = o 

seront 6gales aux valeurs extremes du rapport 

J Z*(l-*-xf (lxfoxudx 



J Z*(l +X) 9 (1 xfudx 



et parmi celles-ci la plus grande et la plus petite seront les valeurs extremes 
du rapport 

p* 



Txudx 
i 



T*" 1 



Yudx 
i 

dans les conditions posees. 

Passant a la determination des fonctions 



pour diflferentes valeurs de m, nous remarquons d abord que la premiere 
entre elles 

+>(*), 

correspondante a 

p = 0, Po = 0, 

se trouvera a 1 aide du developpement de 1 integrale 



\-^- 

Jx-z 



en fraction continue, cette fonction 6tant comme on 1 a vu le de"nominateur 
de la m-me r^duite. 

D apres la formule (5), en y faisant X = if:l et remplac.ant ^ m (a?), 
^m--i ( x ) P ar ^m } ( x )i ^m+i (^), nous trouverons les expressions suivantes des 
fonctions ^(z), fy l (x) qu on determine a 1 aide du developpement des 
integrates 

H-l 



(l-*-z)udz I (1 z)udz j 
J x-z J x-z dZ 
1 1 



394 

en fractions continues: 

, {2) M 

V y / T* W ~ 






Par la m6me formule, en y remplagant fy m (x), ^^(a) par ^(rc), 
4*2+1 0*0 e * posant X=l, nous trouverons 1 expression suivante dela fonction 
$y OB) qui se determine par le developpement de 1 integrale 



H-l 

(1 z) (!-+-) u 



X Z 

1 



a 1 aide de la fonction ^ (x) determined par le developpement de 1 integrale 

-4-1 
p 

I ^5 

J X ~* 



a savoir 



a;-*- 1 



En substituant dans la derniere egalite les expressions des fonctions 
j) tiroes de (10), nous trouverons qu elle sereduit a la suivaute 



(ii) <!#(*)= 



ou 






M= 



(1) 



2 
J/ : 

N= 

C est ainsi qu on trouvera toutes les fonctions qui figurent dans 1 equa- 
tion (8). Quant aux nombres 

m*w /yv) (wi 
1 4 ** I d 4 //to 4 **( 4 * 

1 * Z O 47 

qui determinent les degres de ces equations, on trouve d apres (7) en posant 

les egalits 
et posant 



395 

on aura 

m l = l; m 2 = J; m 3 = l; 

9. Dans le cas particulier ou 

fi=l, 

les fonctions 



representant les dSnominateurs des fractions reduites du developpement de 
1 integrale 



-1-1 

dz 



J 



en fraction continue, se reduisent, comrae il a etc deja remarque dans le 
6, aux fonctions de Legendre 

1 -^-2 -^3 * * 5 

et par suite dans le cas considere nous aurons 

en vertu des proprietes des fonctions de Legendre on aura dans ce cas 



d apres cela les equations (9), (10) et (11) nous donnent 



Remarquant d ailleurs que d apres les proprietes des fonctions de Le 
gendre 



X "" ^Y ~~ X 

^ x ~ " m -H 2 



nous trouvons que la derniere des formules precedentes conduit a 1 expres- 
sion suivante de la fonction fyy (x) : 

2m-- 3 X_ x X m 



396 
II en suit d apres le 8 que les valeurs extremes du rapport 

*-! 

J Txdx 



\Tdx 
J. j 

le polynome T restant positif entre a? = 1 et # = -H 1 , se trouveront au 
moyen des Equations 



(12) 



aj 1 



x* 1 



lorsque le degre de Z n est pas superieur a 2?, et au moyen des equations 



(13) 



a; 






lorsque le degre de T n est par supeYieur a 21 1 . 

10. Au moyen de ces equations nous trouverons la limite superieure 
du rapport 

JTxdx 



en determinant la plus grande quantite qui satisfait a une equation quel- 
conque parmi les equations (12)ou (13), selon que la limite du degr6 du poly 
nome Zest egale a 21 ou a 21 1. 

Cela se fait facilement en vertu desproprietesdesfonctionsdeLegendre. 

La fonctiou de Legendre X { admet toujours, comme on le sait, des 
valeurs de signes contraires pour deux racines consecutives de 1 equation 



0, 



397 

done, il est certain que dans chacun des I intervalles entre ces dernieres 
se trouvent des racines des equations de degre I 



~ ~ - ^ \ ~~ " ~ \ o 

x-*-l x 1 a; 2 1 



D ou 1 on voit que toutes les racines des equations pre"cedentes sont 
plus petites que la plus grande racine de 1 equation 



par consequent c est cette derniere racine qui repr^sente la plus grande 
des quantites qui satisfont a 1 une quelconque des Equations (12). 
En appliquant les m&nes raisonnements aux equations 



nous nous convaincons de ce que toutes les racines de 1 equation 



seront moindres que la plus grande racine de 1 equation 

X t = 0. 
Cette racine surpassera en m^me temps toutes les racines de liquation 



x-l 



parceque, d apres ce qui precede, ces dernieres sont plus petites que la 
plus grande des racines de 1 equation 



et que d ailleurs, comme il est connu, dans 1 intervalle entre cette racine et 
la plus grande racine de 1 equation 



la fonction X / _ 4 _ 1 conserve le signe , et la fonction X { le signe -4-, ce qui 
entraine certainement 1 impossibilite d une racine de 1 equation 

v -v 

= 



Xl 

superieure a la plus grande des racines de 1 equatiou 



398 

Or remarquant que pour cette racine la valeur de la fonction X l _ t _ l 
a le signe , nous concluons que cette racine sera elle-m6me inferieure a la 
plus grande raciue de liquation 

. -v 

= 0. 



x-t-l 



D ou 1 on voit que la plus grande quantity de toutes celles qui satisfont a 
Tune quelconque des Equations (13) est la plus grande racine de liquation 



x-t-l 



qui, apres la suppression du diviseur x-+-l, qui n influt pas sur la valeur de 
cette racine, se reduit a la suivante: 



11. De ce que nous avons demontre a 1 egard des quantites les plus 
grandes de celles qui satisfont aux equations (12) et (13) il suit que la li- 
mite superieure du rapport 

J Txdx 



-i-i 
\ Ydx 



le polynome Y restant positif entre # = 1 et a? = H- 1 , sera egale a la 
plus grande racine de 1 equation 

^-,, = 0. . ; 

ou de 1 equation 



selon que la limite superieure du degre du polynome Y est egale a 2 ou a 
21 1. Remarquant que la formule 




est egalement susceptible de donner des valeurs positives ainsi que des va- 
leurs negatives nous concluons que les limites superieures de sa valeur, de- 
terminSes de la maniere indiquee, represented en memes temps les limites 
superieures de ses valeurs numSriques. 



399 
D ailleurs, le rapport 

jTxdx 



) Ydx 

" i 



ne changeant pas de valeur par le changement de T en Y, on voit que 
les limites de ce rapport determinees dans la supposition que Y conserve le 
signe -*- entre x = 1 et # = -*- 1 auront lieu aussi dans le cas oft Y 
conserve le signe entre x = 1 et # = H- 1 , et par suite lorsque en 
general Zne change pas de signe dans 1 intervalle donne. 

C est ainsi qu on obtient, en vertu de ce que nous avons demontre a 
1 egard de la limite superieure du rapport 

*! 

J Yxdx 



f Ydx 
J i 

le the"oreme suivant: 

Theoremc. 

Si Y dfaigne un polynome qui ne change pas de signe entre x= 1 
et x = -i- 1 et dont le degre ne surpasse pas n, la valeur numerique du 
rapport 



fl 

ne surpasse pas la plus grande racine de ^equation X l ^_ l = ou 
X / _ l _ 1 -H X z = 0, selon qu on a n = 21 ou n = 21 1, ou X,, X l ^ l de"- 
signent les fonctions de Legendre des degres I et I -+- 1 . 

12. Nous aliens montrer maintenaut une application du the"oreme 
demontre. Soit ABC un arc d une courbe parabolique dont liquation en 
coordonnees rectaugulaires est: 

y = f(x) = C p x* -*- G^ x p ~ l -+- .... 

Si cet arc de courbe entre les points A et G va toujours en s e"levant 
ou en s abaissant et n offre point d inflexions, il ne peut couper ui la corde 
AC, ni les droites AD, CD menees parallellement aux axes de coordonnees 
par ses extremites A et (7; par consequent le segment ABC representera 
une partie du triangle rectangulaire forme par la corde AC et les droites 



400 

AD, DC paralleles aux axes des coordonnees. On voit d apres cela que le 
rapport 

segment ACB 
triangle ACD 

sera toujours plus petit que 1, quel que soit le degre de la courbe parabo- 
lique. D ailleurs pour tout degre donne le rapport 

segment ACB 
triangle ACD 

aura pour limite une quantity inferieure a 1 . 




A, C t 

C est cette valeur limite du rapport 

segment ACB 
triangle ACD 

que le thSoreme demontre va nous donner, comme nous allons le voir tout 
de suite. 

D6signant par 

les coordonne"s des points A, G et remarquant que y = f(x\ nous trouverons 



ce qui nous donne 1 expression de 1 aire du triangle AGD que voici: 



ce qu on peut representer sous la forme: 



c 

^=^ \f(x)dx. 



401 

Passant a la determination de 1 aire du segment ACB, nous remar- 
quons d abord que 1 aire du trapeze A l AGG l s exprime comme il suit: 

A 1 ACC 1 = 4& (AA, -*- (7(7,) = ^=p (y -*- yj = ^p (f(x ) -*- /"(*,)); 

quant a 1 aire limitee par 1 arc ABC et par les droites AA^ Afl^ Cft, 
elle s exprime par 1 integrale 

f f(x) dx. 

Retranchant cette derniere aire de la premiere on verra que 1 aire du 
segment ACB s exprime ainsi: 

X Q 

ce qui se reduit a 

x l 

A r . ~i 

dx. 



au moyen de 1 integration par parties, en posant 



D apres les valeurs trouvees des aires du triangle AGD et du segment 
AGB leur rapport s exprime aiiisi: 



segment ^LCB __ 
triangle ACD ~~ 



XQ 

ce qui se reduit a I ^galite 



segment 



triangle ACD 



t + ^-LJLi\dt 



en introduisant la variable t au lieu de #, au moyen de la substitution 



Comme la ligue parabolique considered entre les points A et C va 
toujours en s elevant ou en s abaissant, son equation "etant 



26 



402 
la derivee 



eutre les limites 1 et t -+-l correspondantes a ces points, ne chan- 
gera pas de signe, et par suite on pourra appliquer le theoreme mentionne" a 
1 expression 



representant la valeur du rapport 

segment ACB 
triangle ACD 

Or remarquant que la fonction entiere f(x) est ici de degre" non superieur 
ap 1, nous devous prendre d apres ce the"oreme n=p 1. Ainsi en 
vertu de ce theoreme nous arrivons a la conclusion que le rapport 

segment ACB 
triangle ACD 

ne surpassera pas la plus grande racine de 1 equation 



la coiirbe parabolique etant de degre non superieur a 21-+-1, ou de 
1 equation 

X i+i-*- X i =() > 

si ce degr6 ne surpasse pas 21. 

Posant 1=1, nous trouvons que la premiere de ces equations se reduit 
a celle-ci: 



et la seconde a 

x 2 -HZ, = 1^-1^-^=0. ;; 

Remarquant que la plus grande racine de la premiere Equation est 
1/Y et de la seconde y, nous concluons d apres ce qui precede que la li- 
mite sup6rieure du rapport 

segment ACB 
triangle ACD 

pour les lignes paraboliques du second degre est -j et pour celles du troi- 
sieme l- 



SUR UNE SERIE 

QU! FOUHNIT 

m 



LORSQUE LA FONCTION SOUS LE SIGNS EST DECOMPOSES EN 

DEUX FACTEURS. 

(TKADUJCT PAK G. A. POSSK.) 



(Lu le 10 mai 1883.) 



/ 

\Hinezp cuiofa npu 
ua 



K-B XLVII-My TOMJ SanncoKi. HMnepaiopCKOH AKaj.eMiH HayKi>, JSfe 4, 
1883 r.) 



26* 



Sur une serie qui fournit les valeurs extremes 

des integrates, lorsque la fonetion sous le signe 

est decomposee en deux flaeteurs. 



1 . Dans une Note sous le litre : Sur le developpement des fonctions a 
une seule variable *), nous avons indique" plusieurs series pour le developpe 
ment des fonctions, qui resultent de la formule generate d interpolation par 
la methode des moindres carres que nous avons donn6 dans le Memoire 
sous letitre: Sur les fractions continues**). Les termes de ces series se com- 
posent des polynomes determines par le developpement en fraction continue 

d une integrate de la forme 

& 



les denominateurs des reduites qui s obtiennent dans un tel developpement 
sont justement ces polynomes suivant lesquels les fonctions se developpent 
en series, dont il etait question dans notre Note. 

Nous allons niontrer maintenant une serie d un autre genre renferinant 
les memes polynomes. Cette serie ne donue pas des valeurs approche"es des 
fonctions sous la forme des polynomes, comme le faisaient les anciennes, 
mais elle fournit des expressions approchees, avec des termes complemen- 
taires, des integrates d6finies, ces expressions etant formees des integrates 
plus simples sous certain egard, savoir: pour 1 evaluation d une integrate de 
la forme 

6 



*) T. I, p. 501508. 
**) T. I, p. 203-230. 



406 
ou figure un produit de trois fonctions 



on obtient uue expression approchee composee d integrales ou figurent sous 
le signe d integration separSment les fonctions 



multipliers par les polynomes meutionnes ci-dessus. 

2. Cette serie, ainsi que son terme complementaire, se deduisent fa- 
cilement en considerant 1 integrale multiple 

(1) T= 

les fonctions 



etant determinees par les formules: 



(2) 



o /i (^0) . _/i ( x \) . _ . /i ( x n) 

1 o f (x^ CD (x,} . (x~\ 



La derniere egalite, apres la substitution des valeurs de <p (# ), 9 (iCj), .... 
? (#)> se reduit a celle qui suit: 

(3) P = 

Les limites de toutes les variables dans les integrales que nous consi- 
derons sont les m6mes, savoir: a et b. 

Remarquant d apres la structure des fonctions S , ^ que leur produit 
est egal a une somme de termes de la forme: 

/o to) /i (a*) 
9 (*t) 9 (^A) 
OU 

i= 0, 1,. . . . n, 
fc=0, 1, n, 

nous concluons que 1 integrale (1) se decompose en une somme d integrales: 



f 

l 



/oM /i_ta) P 0*4x4* . . 

- a? 



407 



Cette somme renferme des termes de deux genres, a savoir: 1) ceux daus 
lesquels i = k, 2) ceux dans lesquels i differe de k. 

Les indices i et k ayant dans cette somme toutes les valeurs de a n, 
il y aura n-t-I termes du premier genre et (W-H 1) n termes du second 
genre. Or, d apres la symetrie par rapport aux variables 



les termes du premier genre auront la valeur commune 



J 

J 



M Ata) p t dx dx m m 

? (ar ) 9 (x ) 



representant le terme qui correspond a = 0, A; = 0, et les termes du se 
cond genre auront la valeur commune 



I /O ( x o) 

J 9 (ar ) 



f\ ( x \) 



representant le terme qui correspond a ^ = 0, k= 1; done 1 integrale (1) 
que nous considerons se decompose de la maniere suivante: 



<*> 



3. Pour simplifier la premiere des integrales qui entrent au second 
membre de cette egalite nous introduirons des nouvelles fonctions lt ^, 
P 1? en posant 



i6(x,}6(x z }....6(x n } = 6 l , 

< (x xjfr xj ---- (x x r ) = 



(5) 

Comparant ces egalites aux egalite"s (2) nous remarquons que 



Si Ton difference la derniere egalite par rapport a x, nous aurons: 



d ou, en faisant 



x n i 



408 

et remarquant que d apres (5) les valeurs x = x^ # 2> . . . .x n annulent la 
fonction 0(x), nous deduisons 



(7) 9 (0 )=0(3b), ? (o,)=0v- b) & W, . . . . , 
En multipliant ces egalite"s, nous trouvons: 



(ff . _ ff "\ (ff ff \ (ff . rf \ ff\ Iff \ ff) (rr \ (T) (T \ (7) (v \ 

1*1 x o) l*a *Q) \ x n x o) W \ x o) v ( x i) v \ x zl \* n ) 

Comme on a d apres (5) 

(x l x Q } (x z a? ) . . . . (x a; ) = ( l) n (a; ), 

et d apres (2) 

1 egalite obtenue nous donne 

(8) P = ( 1 ) n 0* (X Q ) P l . 

Substituant les valeurs de P , , 9 (jr ) tiroes de (8), (6), (7) dans 

1 integrale 

ij > /.-\j?/ u \ 

* /J 2 ^7/y /7/y /7/y /"/ X 1 

C7 a^a^o^g, . . , a^ n , 



? (rr ) 9 (a; ) 

nous remarquons qu elle se reduit a la suivante: 



Les fonctions P n <9j ne renfermant pas d apres (5) la variable x , 
cette integrale se decompose en deux facteurs suivants: 

J (_ i) Pj ^ ^ ^ . . . . dx n > J /; W /; (a? ) <9 2 W dx Q . 
En vertu de cela, designant par G la valeur de 1 integrale 



independante des fonctions f (a?), /^ (#), nous obtenons pour la determination 
de la premiere des integrales contenues dans I Sgalite (4) la formule: 



(9) 



409 
4. Passant a la simplification de 1 integrale 

(ofcb) 4&1 p 6 <i dx dx dx dx fa 

p (XQ) 9 to) 

nous introduirons encore trois nouvelles fonctions, en posant 



(10) 



(x x,)(x x 9 ).... 



Comparant les deux premieres des egalites (10) aux egalites corre- 
spondantes (5), on deduit: 



]0x) = (xx)0 x] 

Cette derniere egalite etant differeutiee par rapport a a?, donne 
(x} = $j (x) -t-(x xj &\ (x)] 



d ou, en posant 



1 ? 



et remarquant que la fonction 3\(x) s annule d apres (10) pour a; = a;. 



u 



a? 8 , . . . .a? n , nous obtenons 

(12) f (x l )=0 l (x l \ (x 9 ) = (x a -* l )$ l (xJ,...., ^W = K-^)^W. 
Multipliant ces egalites, nous trouvons 

&(x l )0 (xJ0 (xJ....0 r (x n )= . 
(Xt xJ (x z x,). . . .(x n x l ] 0^ 0\(xJ 0\(x B }. . ..0\(x^ 

d ou Ton tire, en vertu des egalites (5), (10), 1 expression suivante de la 
fonction P^\ 

P l (-ir" 1 * 1 i WP i ; 

et par consequent 1 egalite (8) nous donne 



En y substituant d apres (12) ^ (xj au lieu de ^(a^) et remplagant 

d apres (7) la fonction ^(a? ) par <p (a? ) et la fonction (x^ par J^ , 
nous obtenons 

p = _/9 > (a?o)9 / (i)\ a p 



410 
Or en mettant cette valeur de P dans 1 integrale 

xdx,dxdx ____ dx 



\ 

I 



9 O&o) 9 (*i) 



et en y remplagant d apres (6) la fonction par le produit 6 (X Q ) O l et la 
fonction 6 l d apres (11) par le produit 0(x^)6^ nous trouvons que cette 
integrale se re"duit a la suivante: 



ft W fl W ^ (%) ^ W ^IT^T P 2 <V fa* *** <fy 

ce qu on peut aussi representer par 

I f //y> "\ /* I rr \ ~f? t rt> ly \ ^fl ( T \ Xj^ //y> ^ /7/y /7/y 

^^ I/O V O/ / 1 \ 1 \ 5 1 / \ O/ VI / ** 1 * ^** i ? 

ou 1 on a d^signe par 

P(x x \ 

JL \ tX/j-j vl/| I 

la fouction des deux variables a? , ^, determiuee par 1 egalite 



(13) F (a^, a;,) = P 2 <9 2 2 (to, dx s .... dx n . 

5. En vertu de ces transformations des integrates qui entrent au 
second membre de l e"galite (4), elle se reduit a celle ci 



T = (n -*- 1) G \ ft W /; W 6* (x ) dx, 
(14) < 

- (n -+- 1) n J ft (rr ) ft fo) F(a? , aj 6? 2 (X Q ) & (xj dx dx, 



, , 
T etant d apres (1) la valeur de TintSgrale 



Nous allons montrer maintenant comment s obtieunent les limites eutre 
lesquelles se trouve renfermee la valeur de cette integrale. 

D apres (2) les fonctions S 01 S l se determinent par les egalites: 



g _./i 
1 



En mettant ici d apres (7) 



411 
au lieu de 

? Wi ? W, ?(*) 

nous remarquons que ces egalites peuvent etre representees sous la forme 



_ 
o (a?0 ) fl (* - arj <*> (xj (ar - s n ) (* n ) 



Si Ton considere la premiere de ces egalites, ou d apres (5) 
&(x) = (x x 1 ) (x x 2 ) ---- (x xj, 

on remarque que 1 expression renfermee entre les parentheses [ ] repre- 
sente la difference entre la valeur de la fonction f (x) pour x = X Q et la 
valeur que donne la formule d interpolation de Lagrange pour la determi 
nation de f (x ) d apres les valeurs de f (x) pour x = x lt x^. . . .x n . 
Le rapport de cette difference a la valeur de 

(a? g t ) (x %) . . . (X Q x n ) 
1.2. ...w 

ne sort pas, comme on le sait, des limites dans lesquelles reste renfermee 
la derivee 



dx n 

pour x = #0? x \i x v - - x n et P our ^ es valeurs intermediates. 

Remarquant d ailleurs, d apres ce qui a ete admis a 1 egard des limites 
d integration, que toutes ces valeurs se trouvent entre a et &, nous concluons 
que ce rapport est egal a une certaine quantite M , moyenne entre les va 
leurs de la derivee 



dx n 

dans les limites a et b. Par consequent, d apres 1 egalite (15), nous aurous 

nr _ (^Q ^j) (Xp -~~ X 2 ) . (Xp X n ) M Q 
0~ 1.2....M 0(X ) 

En remplagant ici d apres (5) le produit 

(XQ XJ (X Q # 2 ) . . . . (XQ - flJ n ) 

par 0(xJ, nous trouvons 1 expression de S qui, etaut simplifiee, se reduit 
a la suivante: 

o _ MQ 

o 1.2. ...n 



412 

On trouve d une mauiere analogue 

8- Ml 

i 1.2....n 

M l etant une moyenne entre les valeurs de la derivee 

d/i (x) 
dx n 

dans Fintervalle x = , x = ~b. 

En vertu des egalites que nous avons deduites a 1 egard des valeurs 
des fonctions S 01 8 1 dans l intgrale 



et remarquant que le facteur P # 2 d apres (3) n y change pas de signe, 
nous concluons que pour certaines valeurs M OJ M l ne sortaut pas des li- 
mites entre lesquelles restent les derivees 



d n / Q (x) 
dx n dx n 

dans 1 intervalle de x a a # = &, aura lieu 1 egalite suivante: 

/i \ T -^o-^i 

(16) -- i,2.... 



6. Substituant cette valeur de T dans 1 egalite (14) nous obtenons 
1 equation 



(1.2....W] 

d ou il resulte la formule suivante pour 1 evaluation de 1 iutegrale 
r r 

Jooio oojooii 



J/! J P e 2 ^o- dic i ---- dx n 
"" (1.2....) 2 (w-*-l)C 

C est de cette formule que nous tirons la serie qui fait 1 objet de cette 
Note, en developpant la fonction 



suivant les termes composes des polynomes qui s obtiennent, comme on 
1 avait dit au 1, au moyen du de"veloppement de 1 integrale 



J 



e 2 (*) dz 

x z 



413 
en fraction continue et que nous designerons par 



D apres la propriete conuue de ces polynomes, en vertu de la formule 
(17), il est facile de faire un tel developpement de la fonction 



sans qu il soit necessaire de determiner la valeur de 1 integrale 
f 
J 
qui donne 1 expression de la fonction 

d apres 1 equation (13). 

Nous ne ferons que remarquer d apres cette equation que F(x , xj 
est une fonction entiere de degre inferieur a w, tant par rapport a X Q que 
par rapport a # 15 comme cela resulte de ce que d apres (2) le produit 
? (%) ? ( x i) es * divisible par (X Q x^f et ne contient des puisances ni de 
x , ni de x v superieures a w-t- 1. D apres la propriete des polynomes 

toute puissance de x inferieure a n pouvaut e"tre repr^sentee par la somme 

. j 
la fonction 



d apres ce qu on a remarque ci-dessus a 1 egard de la fonction F( , xj 
pourra 6tre representee par la somme 



et (jt. restant moindres que n. 

En mettant cette somme au lieu de 



dans la formule (17), nous obtenous 1 egalite 

J ft W fi W ^ W *o= I /o W /i W 



! J P 2 



414 
qui, comme il est aise de reconnaitre, peut etre represented comme il suit: 

(18) ff.M/;<)^^ 

M MI J P 6 2 dx Q dx v ---- dx n 
(1.2....n)*(fi-t-l)fl 

En vertu de la propriete connue des polynomes 



de satisfaire a liquation 
(19) 



pour i different de &, il n est pas difficile de trouver la valeur des 
coefficients 



qui figurent dans cette formule. En effet, si Ton y pose 



ou 

I < w, 

les deriv6es 



_ _ 

dx n dx n dx n dx n 

seront egales a zero. Par suite, d apres ce qui a ete dit au 5 a Fegard 
des quantity M , M l , celles-ci seront aussi egales a zero; done, pour de 
telles valeurs des fonctious f Q (x), f^x), la formule (18) se reduira a 
1 egalite 

w^^w^^S^fw^w 

Remarquant d apres (19) que les integrales 



se rMuisent a z^ro lorsque X$Z, p-5 m ? nous concluons que dans la somme 



tous les termes, a 1 exception de celui qui correspond a 



415 
s evanouissent; en vertu de quo! 1 egalite deduite nous donne 



d oii il resulte pour la determination du coefficient (7 X la formule suivante 

Jfrx(a04v(g)Q 2 (s)<te 

*jl* J <J, X 2 (a;) e* (x) dx J 4^2 (a?) 0- (a?) <fcc 

En y faisant X = p., nous trouvons 



X 5 X j fy? (X) S* (X) dx 

tandis que pour X;Jf* d apres 1 egalite" (19) on voit que 

II en suit que la somme 

^^ r 

^W Cl \ f ( *Y\ t!i ( T\ ffi ( v\ flnr I /* t fY*\ ili f/ir\ ffl ( y\ dnr 

/ \J\ I A \ >b I U/v I U/ I C/ I */ I (*(/ I lt\<JU\ VL/.IiX/l L/ li*/ 1 IjvJU 

A. IX I"* TA^^ * J l^^TlX^^ * 

ne coutient que les termes dans lesquels X = p et que dans ces termes le 

coefficient (7 X a la valeur 

i 



par consequent 1 egalite (18) se reduit a la suivante 

f/n (x) ^X (x) 6 2 (%) dx f/i (a; 

/OQ") I -^ / -.^ ^ / -A ^2 /^,\ ^^, ^. J J 



f) (*)&! 

f Jlf ! J P 6 3 da? d%i.... dx n 



5 



ou la sommation s etend, d apres ce qu on a remarque plus haut, aux va 
leurs suivantes de X: 

X = 0, 1, 2, nl. 

7. On peut aussi trouver sans peine la valeur de 1 expression 

j P 6 2 dx Q dx v dx 2 .... dx n 
(1.2....n)*(n-*-l)C 

contenue dans le dernier terme de 1 egalite deduite. 
On y arrive en y posant 



416 
Les de"rivees 

d n f Q (x) d n f l (x] 
dx n dx n 

se reduisant dans ce cas a la quantity constante, egale a <|> n (n ^(0), les quan 
tites M 01 M^ d apres ce qu on en a dit au 5 seront aussi egales a ^ n (n) (0) 
par consequent pour 

/o(*) = *(*), f,W = ^ 

la formule (20) donnera 



J <K 2 (* 

J PO 



Le nombre X etant moindre que w, d apres ce qu on a vu au precedent, 
les integrales de la forme 



qui figurent sous le signe de la somme se reduisent a z6ro en vertu de (19) 
et nous trouvons 



f 

J n 



Cette egalite nous donne 

J P 6 2 dx dx r ... dx n __ J V (x) 6 2 (x) 

ce qui, etant substitue dans la formule (20), la reduit a la suivante 

J fo ( x ) YX ( x ) ^ ( X ) 



ou la somme represente n termes de la serie 

J/o (x) YO (a;) 62 (x) dx - J/ t (x) 4> (x) P (x) dx 
J/o () y-i (a?) ^ (a;) d J/ t (x) ^ t (a?) 6 2 () ^ 

J J 



417 
qui doime la valeur approchee de 1 integrale 

et 1 expression 



[* 

represente son terme complementaire. 

Remarquant d apres ce qu on a vu au 5 que la valeur numerique 
des quantites M , M l ne surpasse pas la plus grande valeur numerique des 
derivees 



dx n dx n 

dans les limites de 1 integration et designaut ces valeurs numeriques ma 
xima par A et B, nous concluons que la valeur numerique du terme comple 
mentaire 



ne surpasse pas la valeur de 

AB 



Quant au signe du terme complementaire il se determine facilemeut 
dans le cas ou les derivees 



d n f (x) (Pft (x) 
dx n dx n 

ne changent pas de signe dans les limites de [ integration. 

Dans ce cas, d apres le 5, les quantites M 01 M l auront les signes 
des derivees 



) d* f r (x) 
dx n dx n 

dans les limites de 1 integratiou, et par suite le terme complementaire 



vu que les quantites 



sont evidemment positives, aura le signe -+- ou selon que ces derivees 
conservent des signes egaux ou contraires dans les limites d integration. 

27 



SUR LA REPRESENTATION 
DUS YALHuRS LIMITS3 DUS IHTIIGRJLLIIS 

PAR DBS RESIDUS INTEGRAUX. 

(TRADUIT PAR SOPHIE XOWALBVSXX.) 



(Lu le 8 octolre 1885.) 



(9 n 

uumezpaji i bnux f & 



ie K-B LI Towy SanncoKt HMnepaTopCKoft AKaxeMin HayK-B, J^ 4, 1885 r. 
Acta mathematica. T. IX, 1886, p. 8556.) 



27* 



Sur la representation des valeurs limites des 
integrates par des residus integraux. 



Dans un Memoire Sur Us valeurs limites des int&grales *), public en 
18 74 dans le Journal de Mathematiques de Liouville, nous avons communique 
quelques resultats concernant les valeurs limites de 1 integrale 



dans le cas ou Ton donne les valeurs des integrates 

66 6 

\f(x)dx, \xf(x)dx, 



prises entre des limites plus vastes : <,&> v, et ou la fonction incon- 
nue f(x) reste positive pour toutes les valeurs reelles de x entre x = a et 
x = ~b. 

D apres un theoreme contenu dans ce Memoire, si le nombre des i 
grales donnees 

66 6 

<to, \xf(x)dx,.... 



est pair =. 2w, les valeurs limites de 1 integrale 

V 

\f(x}dx 

u 

ne peuvent 6tre determiners que dans le cas ou les limites w, v satisfont 

*) T. II, pag. 183185. 



422 

a une equation, dont les coefficients dependent de la valeur des integrates 
donnSes. 

Pour obtenir cette equation et les valeurs limites de l inte"grale 



dans le cas ou w, v satisfont a cette equation, nous developpous l inte"grale 

b 

f(x) > 
OX 

a 

en une serie procedant selon les puissances decroissantes de s 

i. 6 & 

x)dx xf(x)dx 



Z X 



Posant 
b 



nous obteuons done pour I int6grale 

b 

-t-^-dx 



Texpression approximative suivante, rigoureuse jusqu au terme j^a inclusi 
vement: 



En de"signant done par 



e -t- 



la fraction continue, que Ton obtient en developpant 1 expression 



423 



en fraction continue et en s arr6tant a la m* mo re"duite, nous aurons par 

consSquen 

sivement, 

fjSL^-L- 

J z a^-*- x 



consequent, aussi avec un degre" d approximation jusqu au terme -^ inclu- 



b 



A 1 aide de la fraction continue definie de cette fac.on, on etablit 1 equation 
a laquelle doivent satisfaire u et t>, de me"me que les valeurs limites corre- 
spondantes de 1 integrale 

V 

\f(x)dx. 

u 

En designant par 



la fraction ordinaire, a laquelle peut se require la fraction continue en 
question, et en egalant le denominateur ^ m W ^ z ^ ro > on obtient liquation 



a laquelle doivent satisfaire les limites u et v de 1 integrale 



Et en designant par 



toutes les racines de cette Equation, disposees d apres leur grandeur crois 
sante, on trouve que si Ton pose 



les valeurs limites de 1 integrale en question 

V 

\f(x}dx 



seront exprime es par les somme 

. 9m (^- 




w (*n-i) 



Vm(*l) 



424 
Ces sommes sont composees des re"sidus de la fonctiou 



par rapport aux racines de 1 equation 
contenues dans les limites 



les racines z l et z n elles memes y 6tant comprises ou non. 

Pour pouvoir exprimer ces sommes de residus partiels par des residus 
integraux, nous conviendrons de designer par co une quantite positive infi- 
niment petite. Vu que dans ce cas les racines de 1 equation 

<LM=o, 

contenues dans les limites 



sont 



et les racines, contenues dans les limites 



sont 



nous pouvons representer les sommes precedentes par les residus integraux: 



#/- CO 

En consequence des valeurs limites trouvees pour Pint6grale 

\f(x)dx 

z i 
on aura done 




425 - 

2. Ces iuegalites, de rneme que la solution d un probleme presentee 
dans le Memoire mentionne plus haut et d autres problemes du mme 
genre, decoulent immediatement de la representation des valeurs limites de 
1 integrale 



par des residus integraux dans le cas, ou la limite superieure de 1 iute- 
grale v reste arbitraire, mais la limite inferieure w coincide avec la liinite 
inferieure des integrales 



Dans ce cas les valeurs limites de 1 integrale 

V 

\f(x)dx 

a 

sont donnees par les formules suivantes: 

V V-t-lD 

(1) \f(x)dx < F(*\ 

a a to 

V V to 

(2) \f(x)dx > I F(z\ 

a a to 

ou F(z) est une fonction rationnelle, dont la valeur depend du nombre des 

integrales donnees 

& 6 

\f(x}dx, \xf(x)dx, 

a a 

et de leurs valeurs. Cette fraction s obtient facilement en de"veloppant 1 in 
tegrale 

b 

ff~\ 

dx 



[l^L 

I Z X 



en fraction continue 

i 

^17- 1 

a 2 z -*- p z _ . . 



-426 

dont les m de"nominateurs peuvent toujours tre trouvees, comme nous 
1 avons montre", lorsque Ton commit les valeurs des 2m integrates 



En designant comme auparavant par 



la fraction ordinaire a laquelle se reduit la fraction continue 
i 



i 

4 z -t- PJ 



nous designerons par 

9m i 
~ 



la fraction ordinaire que nous obtenons en nous arr^tant au terme 

a z -t- 3 

in i * m "~i 

Si, outre les integrates 
b b b 

I /* / \ -\ A /* / \ "i A 2 Wl 1 /* / \ ^ A 

I T / /yi /IT >d I /r T ( T\ nv A \ ft? 1 1 T \ nnf, A 

I / \JU) UJU ^1 ) 1 " I V*V "* ("1 1 > I " I \*J v< r 2WI 1 

a a a 

on connait aussi la valeur de Piiitegrale 

b 



il est necessaire, pour pouvoir determiner la fraction rationnelle F(z) dans 
les formules (1) et (2), de determiner non seulement la fraction continue 
precitee et les deux fractions ordinaires 



i (*} 9m 



mais aussi la valeur du coefficient de a dans le (0n-l) itaw de"nominateur de 
la fraction continue, obtenue par le developpement de 1 expression 



427 
Nous designerons ce coefficient par 



3. En etudiant la fraction rationnelle F(z\ nous remarquons que 
sous sa forme generate elle peut tre exprime e d une maniere simple par 
une fraction continue. Dans cette derniere les m premiers denominateurs 
sont ideutiques avec ceux de la fraction continue 



a, z -+- 



a m 

que 1 on obtient en developpant 1 integrale 



La fraction rationnelle F(z) pourra done 6tre represented par la 
formule 

(3) F(*) = ^T. i 

a 2 z -*- P 2 . 






ou Z est une fonction inconnue. 

Cette fouction peut tre exprim^o a 1 aide des fonctions 9 m _ l (z\ 
seulement, si 1 on connait les valeurs des 2m integrales 



Mais si 1 on veut se servir de 2m -+- 1 integrates 

& 6 & 

J /"(a;) ^, [ a? /"() Ac, ____ J ic 2 " 1 f(x) dx, 

a a a 

il faudra encore, pour determiner F(z\ connaitre une quantite constante a^^^ 
Dans le premier de ces deux cas, cette fonction sera donnee par la formule 

(4) z= Y (s v) + 



dans laquelle y dcsigne la plus grande des deux quantites 



428 

Dans le second cas on trouve pour la determination de Z deux formules 
differentes selon que la fraction 



1 rtymi ( q ) ^mi (*)1 _ 

a-vj <b m (a) * m (v) J m + l 



t>m \ (*> 

GTS) 

est positive ou negative. Dans le premier cas la fonctiou Z est defiuie par 

la formule 

,ti (,,\ 
(6) Z = 



Da ns le second cas ^ est doune par la formule 

(b a)pS . <l> m _ l (a) (& a) 



/ 7 x y_ 
oil 



1 r^m i () ^m i ( y )1 
a-t>L 4>m() KUO"J 

P " 1 



4. L expression de la valeur limite de 1 integrale 



par les residus integraux nous conduit facilement a toutes les formules indi- 
quees dans le Memoire precite. 

En supposant connues les valeurs des 2m integrates 



\f(x)dx, \xf(x}dx, ____ 

a a a 

et supposant de plus que Ton cherche la valeur limite de 1 integrale 

V 

\f(x)dx 



pour une valeur de v satisfaisant a 1 equation 

= o 



429 

nous remarquons que d apres le 3 la valeur de Z sera donnee dans ce cas 
par la formule 



d ou il resulte 

Z=oo 
a cause de 1 equation 

<U)=o 

Par consequent, d apres le 3, 



z~+- 



En substituant a la fraction continue la fraction ordinaire qui lui est egale 

?wj) 
*<*) 

on trouve 



Pour cette valeur de F(z) les formules (1), (2) nous dounent 

V VM 

f *> te ^ l & 



a o> 
t?-+-to 



<^ P 9m (s) t 
a (o 

Ceci aura lieu pour toutes les valeurs de v satisfaisant a liquation 
En posant successivement 



ou z n et s t signifient comme auparavant les racines de 1 equation 
et s n > s t nous deduisons de ces formules 



430 

Et en retranchant les deux dernieres inegalites des deux premieres on 
trouve 

z n z n +u 



If M** > I 



Comme nous 1 avons vu au 1 , ces inegalites nous conduisent aux 
mdmes valeurs limites de 1 integrale 

\f(x)dx, 
*l 

que nous avons communiquees dans le Journal de Liouville pour le cas con- 
side"re. 

5. Pour appliquer les formules (1) et (2) a la resolution du pro- 
bleme propose dans le Memoire pr^cite, nous supposons que les trois quan- 
tites donn6es 

P, d, k, 

sont determinees par les formules suivantes: 

& 



p=f(x)dx, d = ^- -, k = (x dff(x)dx, 



o 
et que Ton veut trouver les valeurs limites de 1 integrale 



\f(x)d 



pour le cas ou la fonction inconnue f(x) ne devient pas negative pour des 
valeurs de x entre et &. 

Vu que les trois quantites 

p, d, k 

determinent les valeurs des trois integrates 

6 & & 

jY(z) dx = p, \xf(x) dx=pd, \x*f(x)dx 

o o o 



431 
les valeurs limites de 1 integrale 



. v x 



dans le probleme cousidere seront determinees par les formules qui s appli- 
quent au cas, quand le nombre des integrates donnees est impair 2m -+- 1 
il faut poser de plus 

A Q =PJ Ai=pd, A 2 =pd*-i-k. 
Pour determiner la fraction continue 

L r_ 1 



L Z X, -1- ^2 



nous dSveloppons 1 expression 



__ 

8 f* 



en uiie fraction continue, en nous arr&tant toutefois au premier denomina- 
teur, ce qui nous donne 



8 d 

P~~~2>~ 

Nous trouvons done 

<Pi (*) _J: _ . <Po_W __ <>_. 9i () P 



Pour determiner la quantite constante a wj _ f _ 1 = a 2 , nous de"veloppons 
en fraction continue 1 expression 

^o A -2 __ jp j?d 

^ "~ ~~ ~ 



en nous arre"tant au second denominateur et ne considerant que le premier 
terme de ce dernier. De cette maniere nous trouvons 

pd pd 2 -+-k 1 

P 2 H - ^- -*-- - 5 = - 3 

* s 2 s 3 e d i 



432 
d ou Ton de"duit, conformement a cc qui a etc" expose au 2, 



6. En substituant ces valeurs dans la formule (5) on trouve la 
fraction 

d v-*-, 
pa 



2> (b - d) 



dont le signe decide, d apres le 3, laquelle des deux formules (6), (7) doit 
6tre employee pour determiner la fonction Z. 

Vu que cette fraction ne change de signe que pour les valeurs 



fc , _k_ 

p(b d) pd 



pour lesquelles elle devient oo ou 0, tandis que pour v = oo et v= oo 
elle est egale a -+- 1 , on voit que cette fraction sera positive pour 



p(b-d) 

et pour 

7o 
^ pd 

tandis qu elle est negative lorsque v est contenu entre les limites 

/7 <S* n* -X* // 

tv ~~~~ 7i r; *^_ U ^- u/ i ) * 

p(b d) pd 

Par consequent, si 

v<d 



p(b-d) 
ou bien 

v > d-t- j> 

JJO 

nous devons, conformement au 3, nous servir de la formule (6) pour 
determiner la fonction Z, ce qui nous doune 



p 



p* / \ P 
*j (z v} -+- ~ r ^ 



433 
Au contraire, dans le cas ou 



V < d H- : 



p(b-d) 

la fonction Z sera determinSe par la formule (7) qui nous donne 

& v) ^r i- (b d} (v d) -r^- 

d) d k] [p(v d) d 1 



3 ( Z _ d ) __p fc 



En passant maintenant a la determination de la fraction rationnelle F(z), 
conformemeut au 3, nous remarquons que dans le cas considere la fraction 

continue 

i 

, i 

!*-+- Pi 



ne contient qu un seul denomiuateur 



o z d . 

our -t- p. = --- , 



la formule (3) se reduit done a 



z A 1 
p p Z 

Aux deux valeurs de Z correspondent done les valeurs suivantes de F(z)\ 

Jc 

p(z v)-t -- - 



(fr 
t V 
Z A-\ ; 
p(v 

JH i ft j _--_- _....- 

La premiere de ces valeurs aura lieu, d apres ce que nous avons vu, dans le 
cas ou 

V <^ d TT -r. i 

ou bien 



v>d-t-^ 

pd 



la seconde dans le cas ou 



28 



434 

En introduisant ces valeurs de F(z) dans les formules (1) et (2) et en posant 
a = 0, nous trouvons que les valeurs limites de 1 integrate 



que nous cherchons dans le probleine considere, seront donnees par les 

formules 

k 



(8) 



dans le cas ou 



et par les formules 



V CD 



p (z v) 



.. (z v) ( z 
w v \ 



ou 



V (0 
(s) 

v-t-w 



\f(x)dx< I 



z(z V)(z v) 



dans le cas ou 



7. Si nous nous arretons au cas 



nous remarquons que pour telles valeurs de 0, z 6tant compris entre 
2 = o) et z = v w, la fraction 

k 

*<*->*-; a 



ne peut devenir oo que pour 



435 

k 

vu que la seconde valeur z = d -- T^H^M P our laquelle cette fraction de- 
vient oo, surpasse, pour les valeurs considerees de v et pour co infiniment 
petit, aussi bien v -+ to que v co. Quant a la valeur 

8 = V, 

elle sera contenue, a cause de I megalite 

co>0, 
dans les limites 

to, v-t-to, 

mais elle sera en dehors des limites 

to, v co. 

Par consequent, pour les valeurs cousiderees de v, le re"sidu integral 



se r^duira a zero, tandis que le residu integral 



p (g _ V 



I 



p - v d 



se re"duira au r6sidu correspondant a 

* 

qui est egal a 



kp 



Par consequent, dans le cas ou v < d -- r^nj) I GS formules (8) se reduisent 
aux suivantes: 



o 

v 

\f(x)dx<, - 

) \ =^ k -t-p (v 




Passant maintenant au cas, ou 



28* 



436 
nous remarquons que dans ce cas la valeur 



= 



p (v d) 

pour laquelle la fraction 



fc V 

(Z V) \ 2 d H 





p(9 d)l 

devient infinie, est contenue aussi bien entre les limites 



qu entre les limites 

to, ;-f-(o; 

tandis que 1 autre valeur & = v, pour laquelle cette fraction devient aussi 
oo, n est contenue qu entre les deux dernieres limites. 
Par consequent le residu integral 



x (S V) { Z d H ; 

CO V ^ p( v 

se rMuit au re*sidu correspondant a 



p(v-d) 

lequel est egal & 



tandis que le residu integral 



P v d 



sera 6gal a la somme des r6sidus de la fraction 



l v \ 

(Z V) [ Z d H -- ; - =; ) 

7 V P(v-d)j 

correspondants aux deux valeurs de *, pour lesquelles cette fraction devient 



437 

infinie. Cette somme est egale a p. Pour ces valeurs des rSsidus inte*graux, 
les formules (8) nous donnent 

t f 

J f 



j* f(x)dx<.p. 





II nous reste encore a etudier plus en detail le cas ou 
d- <?v<?d-i I. 

tv ix "**x^ t/ ^^ tv r^ \ w 

p(b a) pa 

Pour ces valeurs de v, les valeurs limites de integrate 

V 

\f(x}dx 



sont donne"es, d apres le 6, par les formules 

1) v (,) 



f f (*\ 
J /(*) 





pz 2 p(b-i-v-d)z-i-lc-+-(b d)(v 



v 



= c^ z (z 6) (z v) 

CD 

Vu que des trois valeurs 

8 = 0, 2 = b, Z V, 

pour lesquelles la fraction 

p,s 2 p (b +- v d) z -+- k -+- (b d) (v d) d 

z(z b) (z v) 

devient infinie, la premiere, z = 0, est contenue aussi bien entre les limites 

- CO, V - to 

qu entre les limites 

- to, V -*- to, 

la seconde z = b n est contenue ni entre les premieres, ni entre les secon- 
des limites, tandis que la troisieme, s = v n est contenue qu entre les se- 
condes limites, le residu integral 



V (O 



p jp 2 p(b-i-v d) e -H k -+- (b d)(v d)p 



z(z b)(z 

0) 



438 
se reduit au residu correspondant a = 0, lequel est egal a 

(6 d)(v d)p-t-k 
~~b~ 

tandis que le residu integral 



p p z z p(b-+-v d) z -+- k -f- (b d)(v d)p 
is z(z b) (z v) 

0) 

est 6gal la somme des r6sidus correspondants a a = et a e = v; ces r6- 
sidus sont respectivement 6gaux a 

(6 d) (v d) p +- k 



bv 



(b v)v 

leur somme est done 

(b d)(b-^-d v)p k 
b(b v) 

II resulte par consequent de ces formules 





On voit done que de 1 expression des valeurs limites de 1 integrale 



a 1 aide de residus integraux decoulent toutes les formules communiquSes 
dans mon Memoire, ins6r6 dans le Journal de Liouville sousletitre: Swles 
valeurs limites des integrates. 

8. II est facile de s assurer de 1 exactitude des valeurs limites de 
I intSgrale v 

\f(x}dx 

a 

que nons avons trouvees pour le cas ou Ton connait les valeurs des integrates 

b b b 

[ f(x) dx, { x f(x) dx, { a 2 f(x) to, 



439 

et que de plus la fonction inconnue f(x) reste positive entre a et 6, a 1 aide 
de liquation 



laquelle aura toujours lieu, en consequence des propriety s de la fonction 
rationnelle F(z) de"terminee par les formules (3), (4), (6), (7), sitot que U 
de"signe une fonction entiere dont le degre est moindre que le nombre des 
integrates donnSes 

6 b l 

J f(x) dx, J x f(x) dx, J x* f(x) dx, . . . . 

a a a 

Quant a la deduction de ces memes formules par la methode des 
quantitSs maxima et minima, cette question sera 1 objet d un Me"moire 
particulier, dans lequel nous montrerons aussi d autres applications de la 
fonction rationnelle F(z). On verra entre autre que les deux racines de 
1 equation 



les plus rapprochees de la racine 

C = t>, 

fournissent la solution du probleme suivant par rapport a la fonction f(x): 
dans quelles limites, en partant de x = v ou en finissant par x = v, la fon 
ction f(x) peut-elle avoir une valeur constante egale a zero? 

En assignant a v dans les formules qui determinent F(z) certaines 
valeurs sp^ciales, nous trouvons deux fractions F^(z\ F^(z) telles, que les 
residus integraux 



I F l (z}6(z\ I F,(z}0(z] 

a to o-f-w 

representent les valeurs limites de 1 integrale 



sous condition, que pour toutes les valeurs de x entre x = a et x = 6 la 
fonction 6 (x) reste finie et continue et que sa derived, dont 1 ordre est e"gal 
au nombre des integrates donn6es 

b b b 

[ f(x) dx, J x f(x) dx, J x* f(x) dx, ---- 



440 

ne change pas de signe. Si le nombre de ces integrates est pair, ces valeurs 
spciales de F(z) peuvent tre de"duites des formules (3) et (4) en supposant 
v = &, ou bien v e"gal a une racine quelconque de liquation ty m (x) = Q. 
Si au contraire le nombre des integrates donnees 



f(x) dx, J x f(x) dx,.... J x f(x) dx, 



est impair, les fractions F l (e) et F 2 (z) peuvent 6tre deduites des formules 
(3) et (6) en supposant v = a, v = b. 

A 1 aide des fractions, determinees par les formules (3), (4), (6), (7) 
on peut aussi trouver les valeurs limites de 1 integrate 



\f(x}dx 



quelles que soient w, v pourvu seulement, que dans les integrates donnees 
1 une des limites soit egale a co. 



23. 



m 

QW DONMNT 

DES VALEURS APPROCHEES DES INTEGRALES. 

(T]RAUXT PAH X. LYON.) 



w 7e 18 novemlire 1886.) 



& 

dccma>jiJiK>iu i ux & npuS.iu^ceHHUJi fiejiuzuuti 



ie KT, LV-My Tony 3anncoin, IlMnepaTOpCKofl AKaaeMin HayKt, JVa 2, 1887 r. 
Acta mathematica. T. XII, 18881889, p. 287322.) 



Sur les residus integraux qui donnent des va- 
leurs approchees des integrates. 



1. Dans un Me" moire sur la representation des valeurs limites des 
intfyrales par des residus integraitx, communique a 1 Academie des sciences 
le 8 octobre 1885 *), nous avons montre comment, d apres les valeurs 
donne"es de 2m integrates 



\f(x)dx, 

a a a 

on peut trouver les limites les plus etroites de la valeur de 1 int^grale 



si la fonction inconuue f(x) reste positive pour toutes les valeurs reelles 
de x entre x = a et x = b, et si la valeur de v est comprise entre a 
et 6. Ces limites, comme nous avons vu, sont donne"es par les formules 
suivantes: 

V 



(1) 



T. II, p. 421440. 



444 

ou w est une quantite positive infiniment petite, et F(z) une fonction ration- 
nelle qui s obtient facilement en developpant 1 expression 

6 b b 

If (as) das \ as f (as) das f x* m ~ *f(x)dx 



en fraction continue 



a n i 



elle est donnee par les formules 



(2) 



1 
~7. 



ou Y de"signe la plus grande des deux quantites 



En substituant a la fraction continue 
i 



la fraction ordinaire qui lui est egale 



et en posant 
on aura 



.(*) 



En portant cette valeur de la fonction F(0) dans les formules (1), nous 
trouvons 

V V-t-CO 

f />/ \ > ^ r ^oC^) 
J fWto^l &> 



a co 
t; to 



ou bien 



a a co v 

V V V 



v co 



Or, les residus integraux 



ou (o de"signe une quantite infiniment petite, s etendent seulement sur les 
valeurs voisines de z = v; et comme cette valeur de 0, qui annule (^ (<er) en 
vertu de (2) et (3), coincide avec Tune de leurs limites, la valeur commune 
de ces re"sidus sera 



2 \ 

et les dernieres formules nous donnent 



f f(ff}dr> f ^Q^ x 
J ( x ) x = L (2 ] -z 



446 
On voit par la que la difference entre le residu integral 



et 1 integrate 

V 

\f(x}dx 

a 

est au plus e"gale a la fraction 

-1- 1 00 (V) 

~ 2 <t>\(v) 

C est la plus grande approximation avec laquelle la valeur de 1 integrale 
peut etre determinee d apres les valeurs donnees de 2m integrates 

6 b b 

\f(x)dx, \xf(x)dx, ____ , [ x~ l f(x)dx, 

a a a 

si par rapport a la fonction inconnue f(x) on sait seulement qu elle reste 
positive pour les valeurs reelles de x entre x = a et x = b. 
Nous allons maintenant etudier la fraction 



et quelques formules qui peuvent nous conduire a la determination de sa 
limite superieure. Dans un cas particulier tres remarquable nous trouvons 
par ces formules la limite superieure de la fraction 



sous la forme d une fonction du nombre des integrates donnees 

b b b 

f f(x) dx, f x f(x) dx, \ x* f(x) dXj . . . . , 

a a a 

et qui tend vers ze"ro quand ce iiombre augmente indefiniment. 

2. Nous profiterons ici de quelques resultats que nous avons obtenus 
dans notre Memoire sur les fractions continues *). Dans ce Me" moire nous 
nous sommes occupe de la fraction continue 



*) T. I, p. 203230. 



447 
qu on obtient en developpant la somme 



V &(Xj} _ fl^ 

Xf Z 



ou les quantites 

sont toutes reelles et distinctes, et 



sont des quantites positives quelconques. En designant par 



les reduites de la fraction continue, nous trouvons, en vertu des formules 
demontrees dans ce memoire, les egalite"s suivantes: 



qui montrent que les coefficients 



sont tous positifs. II resulte de la que les premieres termes des fonctions 



ordonnees suivant les puissances decroisantes de ^, auront des coefficients 
positifs. 

D autre part, comme nous avons vu dans ce meme Memoire, pour 
toute fonction entiere f (z) d un degre inf^rieur a (jt on doit avoir liqua 
tion 



De cette equation nous aliens deduire quelques proprietes des fonctions 



dont nous nous servirons apres. Pour cela nous remarquons que la derniere 
reduite 



448 
doit dormer la valeur exacte de la somme 



. . . . 



et son de"nominateur ^ n _ t _ l (e) sera une fonctiou entiere du degre (n -+- 1) de 
la forme 

(5) <IWi= 0(* *J (* *i)- (*), 

ou C d6signe un coefficient constant. L expression 



sera done uue fonction entiere du degre (w 1), et d apres (6) on devra 
avoir 1 equation 



, ( } = 

_ 

qui se reduit en vertu de (7) a 1 egalite 

* Wi (X) ^n (X) 9 2 tap , ^ n-4-i K-t-i) ^n(^X--i) 6 2 foX-*-i) = Q 
X <EX-I-I ^X-f-i X 

d ou nous d^duisons 



Or, les racines 



_ | _ l , . . . . x n 



sont toutes replies et distinctes, et en les supposant disposers dans 1 ordre 
de leurs grandeurs on voit que la d&rivee 



aura des sigues contraires pour les deux racines consecutives # x et a^^ , et 
par consequent la fonction 

4w 

aura aussi des signes opposes pour 



c est a dire entre deux racines consecutives quelconques de liquation 

++!= 0. 

on aura au moins une racine de 1 equation 



449 
On voit par la que les n racines de Pequatiou 



seront toutes replies, distinctes et situees respectivement dans les n interval- 
les des (w-*- 1) racines de liquation 



En desiguant par 

les racines de liquation 



<!<;<) -o, 



disposees dans 1 ordre de leurs grandeurs, on aura la serie de grandeurs 
croissantes 



3. Les n racines 

t t 

X 01 X 11 X n 

de liquation 

^W = o 

etant ine"gales, la decomposition de la reduite 



en fractions simples nous donnera la somme 



_ _ 
~ 4 n - t ) - * i 

ou, comme il est facile de voir, les facteurs 

9n fo o) 9n(^i) 
KW ^n(^ i) 

sont tous positifs. 

En effet, les fonctions 



des r^duites 

<Pn( 






sont liees par la relation 



29 



450 
En divisant les deux membres de cette Sgalite par 



et en y faisant 

nous trouvons 1 egalite 



Pour determiner a 1 aide de cette egalite" le signe de la fraction 

9n (*V) 

ra*E 

nous remarquons d abord que le produit 



sera positif pour z = oo, puisque les premiers termes des fonctions fy (z\ 
ordonnees par rapport aux puissances decroissantes de g, ont des coefficients 
positifs ( 2). 

Si mainteuant on passe de s = oo a la plus grande racine a = x n _ l 
de 1 gquation 



la fonction ( \> n _ l _ l (g) changera son sigue en passant par sa racine g = x r 
tandis que la de>ivee <]/ n (#) n ayant pas de racine entre g=x n ^_ l et = o 
conservera son signe. Le produit 



sera done negatif pour ts = x n _ l , et il est facile de voir qu il conservera sa 
valeur negative pour toutes les racines 



de 1 equation 

<wW-o, 

car, d apres le 2, entre deux racines consecutives de liquation 

*.( ) = 
on trouvera toujours une racine pour chacune des equations 



451 
et 



en vertu de quoi le produit doit avoir le m&me sigae pour toutes les ra 
cines de 1 equation 

<K,M = o. 

Ainsi, le produit 

&- 

sera negatif pour les valeurs 



et la fraction 

9n fo 



sera positive pour [/, = 0, 1, 2, . . . , n 1. 
Posons 



Ainsi, connaissant la decomposition de la reduite 



en une somme de fractions simples de la forme 



W M/Q Z - OCt 



oii les ^ sont toutes des quantites reelles et distinctes, et les # 2 (x) des 
quantites positives quelconques, on pourra aussi decomposer la reduite 



en une somme de la m6me forme 



a; 



dans laquelle les quantites a? sont aussi toutes reelles et distinctes, et les 
(j \ (X^) des quantites positives. De plus, les quantites x. et x dans 1 ordre 
de leurs grandeurs formerout, comme on a vu, la serie suivante: 



_^ x n . 

29* 



452 
En passant de m&me de la decomposition de la r6duite 



a la decomposition de la reduite 

9n l 



et ainsi de suite, nous trouvons pour chacune d elles une decomposition de 
la forme 



ou les racines , 1? . . . , g l __ de 1 equation 



sont toutes reelles et distinctes, et les 6 (z) des quantites positives. 
De plus, en d6signant par 



les raciues de liquation 

!-,_,(*) =o 

et en les disposant avec celles de 

*,()= o 

par 1 ordre de leurs grandeurs croissantes, nous trouvons la serie 



"121 "I i 

dont les termes sont tous compris entre x et x n . 
4. Revenons a la fraction continue 
_1_ i 

tt.,g-t-b. 



que Ton obtient en d^veloppant 1 expression 

& & & 

f / (x) dx f xf (x) dx J a; 2m i / (a?) 



dx 



z s z 

en fraction continue et en s arr6tant a la m i6me reduite. 



453 
Cette expression ne differe de I int6grale 

6 

-e i~,\ 

dx 



f /() 
J *-" 




zm-t-2 



et comme ces termes n ont aucune influence sur les m premiers denomina- 
teurs de la fraction continue 



nous pouvons, en nous bornant aux m premiers termes, la regarder comme 
provenant du developpement de l inte*grale 



(x) -, 
dx. 



Or, cette integrate, ou, par hypothese, la fonction f(x) reste positive pour 
les valeurs de x entre a et &, peut e"tre regardee comme la limite de la 
somme 



z x n z x, 



dans laquelle les quantites x i designent une serie de grandeurs croissantes 
de x = a a x n = &, et les # 2 (x^ des quantites positives choisies conforme- 
ment aux valeurs correspondantes de f(x); et nous en concluons, d apres le 
2, que les coefficients a n 2 , . . . , a w de la fraction continue 



provenant du developpement de 1 expression 

& 5 6 

J / (x) dx J xf (x) dx f x 2m /(*) da: 



454 

auront des valeurs positives, definies par les formules 

i i i 



"l "I "25 -$ , 

J 4*o (*) /(*) ** J 4* 2 i () /(*) to J <!> 2 m-i ()/(*)&> 

a a a 

et que les de"nominateurs <|/ m (z) et ^ m _ l (z) des re"duites 

9m i (*) 



auront toutes leurs racines reelles, distinctes et comprises entre a et 6. 
De plus, en designant par 



0, 

les racines des equations 



dans 1 ordre de leurs grandeurs, on devra avoir la serie suivante de gran 
deurs croissantes: 

i t i i 

Z V *o *I ^1 ---- ^X> ^X *Wl> ---- ^W 2 f M 1* 

Tout ceci doit avoir lieu, bien entendu, si les integrates 

66 6 

\f(x)dx, \xf(x)dx, ____ lx m ~ l f(x)dx 

a a a 

peuvent prendre des valeurs donnees pour f(x) positive entre 

x = a, x = &. 
5. Nous venons de voir que, si les valeurs donnees des integrates 

66 6 

J f(x) dx, \ x f(x) dx, ____ J a" 1 f(x) dx 

a a a 

sont possibles pour f(x) positive entre a et &, 1 equation 

*.(*) = o 

determin^e par ces valeurs ne peut pas avoir des racines hors des limites a 
et b. 

Deux cas peuvent done se presenter: l)aucune des racines de 1 equation 



455 

n atteint ni la limite a, ni la limite 6, et 2) 1 une deslimites aetb outoutes 
les deux annulent la fonction fy m (s). Nous aliens d abord examiner le second 
cas qui d ailleurs se pre"sente tres rarement. 
En regardant 1 integrale 



If 

J 



dx 



a 

comme la limite de la somme 



Z X n Z X, Z X, 



ou Ton a a? = a, x n = &, et en remarquant que, d apres le 2, le denomi- 
nateur de la derniere reduite 

9n-n (*\ 
kn-t-i (*) 

egale a cette somme, est le seul qui peut s annuler pour z = X Q =a et 
g = x n = &, nous en concluons que, dans le cas considere", la somme 





z x z x v z x 

et par consequent 1 int^grale 



a 

doivent etre e*gales a la reduite 



<Pm 



Or, cette fraction se decompose en une somme de fractions simples de la 
forme 



et pour que cette somme puisse tre egale a I int^grale 

& 

f fM 

f%dx 

J 

a 

il faut que la fonction f(x] s annule pour toutes les valeurs de x comprises 
entre a et &, qui ne sont pas dans le voisinage de 



X 



456 
et que pour les valeurs de x infiniment voisines de 

X = Z Q , t l ,....s m _ l 
elle ait des valeurs telles que les integrates 

* --u) ^-f-u e m _ l 

\f(x}dx, \f(x}dx,.... \f(x}dx 



e ~ 



m 



se ramenent, lorsque w devient mille, aux valeurs 

^mfco) 9m ( z \) 



Avec une telle fonction f(x) 1 integrale 

V 

\f(x)dx 

a 

se ramene au re"sidu integral 

V 

P 9m ( z ) 

/ , ~i T~\ 



pour toutes les valeurs de v entre les limites a et &, diffe"rentes de 

^o> 3 \,-"> * m i- 

Quant aux valeurs de 

= * ,..., ^ m-i , 

on voit que pour ces valeurs de v 1 integrale 



V 

f(x) dx 

a 



re^oit des accroissements brusques, egaux respectivement a 



et par consequent pour 

= ^ , ^, . . . , ^ m _j, 

sa valeur ne peut pas e"tre completement determin^e. 

6. Passons au cas general lorsque ni a, ni & ne satisfont pas a 1 equa- 
tion 



457 

Nous aliens d abord montrer que la quantite y qui figure dans nos formu 
las est une quantite positive. 

En effet, d apres le 1 on doit avoir les inegalites 

> 1 r^m i (a) K i ( v ) 
7 ^ a -v L 

i (ft) JOT i ()" 



v -> 1 r^mi (ft) _ JOT i ()"] 
T ^6-t, L K(&) *,() -T 



En les multipliant respectivement par les quantites positives v a, & v 
et en les ajoutant ensuite membre a membre, nous trouvons 1 inegalite 



Or, les termes les plus Sieves dans les fonctions ^ m _ 1 (0), ^ m (^) ayant des 
coefficients positifs, on devra avoir 



KM ; 

4^ m -i (- oo) ^ 

*m(->) ^ 

et comme toutes les racines des equations 

+_,( ) =o, <i.w=o _ 

sont plus grandes que a et plus petites que &, on aura aussi 



*m(&) "+() 

en vertu de quoi 1 inegalite precedente nous donne 

Y (& a)>0, 
d ou 

T >0. 

La quantite y, comme on a vu dans le 1 , sert a determiner la fonction 
3>i(z) qui, en vertu de (2) et (3), sera donnee par la formule 



dans laquelle, comme on vient de le voir, la quantite y est positive; et 
comme de plus les termes les plus eleves dans les fonctions 



458 
ont des coefficients positifs, cette formule nous donnera 



oii le signe supe"rieur correspond au cas de m pair et le signe inferieur au 
cas de m impair. Si maintenant on fait dans cette formule 



on aura, d apres le 4, 

iM- = o, <!>(*_) = o, . . . .<U* ) = o, 



de sorte que pour la fonction l (z) nous trouvons 

<Pl (-t) = , ^1 (*-,) = -H, . . . . #, fa>) = - 

On voit par la que les m H- 1 racines de 1 equation 

#!=<> . , 

sont toutes reelles, distinctes et separees par les m racines de 1 equation 

feW-o 

7. En designant par 

^o n 
les racines de liquation 

^W=o, 

nous trouvons pour la fraction 



la decomposition suivante en fractions simples: 



<Z>i W <^i (Co) * - Co # i (C,) * - Ci " <^i (Cm) * - 

ou, comme il est facile de voir, les facteurs 



sont tous positifs. En effet, des formules (3) on deduit facilement l e"galite" 

^o W ^ m W - #1 W ? m W = ? m W ^m-x W ?m-i W * W 

Comme le second membre, d apres une propri6te bien connue des reduites, 
est egal a I unit6, nous aurons 1 egalite 



459 
En divisant les deux membres de cette e"galite par 



et en y faisant 

nous trouvons l 6galit 



Pour determiner a 1 aide de cette e"galite le signe de la fraction 

(g<) 

0T5T 

nous remarquons d abord que le produit 



sera positif pour * = oo, puisque les termes les plus eleves dans les fonc- 
tions 

<[,. et 0\(g) 

ont des coefficients positifs; et comme les racines des Equations 



et 

# = 

sont toutes plus petites que la plus grande racine m de 1 equation 

cz> 1 w = o 

.( 6), on voit que ce produit sera aussi positif pour * = m . 

II est facile de voir que le produit conservera ce signe -+- pour toutes 
les racines 

I 

So 5 ^i> Sn 

de 1 equation 

^W=0; 

car entre deux racines consScutives quelconques de liquation 

0i(f) 

chacune des equations 

= et = 



460 

aura toujours une racine seulement ( 6), en vertu de quoi le produit aura 
le m6me signe pour toutes les racines 

2 *), Si , <*) %Xf VK) 

de 1 equation 

^(*)=o. 

On aura done bien 



pour les valeurs de ^= 0, 1, 2, . . ., m. 
Ainsi, la fraction 



qui, comme on a vu dans le 1, est egale a la fraction continue 

i 



se ramene a la somme 

<Z> (Co) 1 (d) 1 0p (Cm) 



i (Co) - Co <Z> i Ki) * - C, fl> , (C) * - Cm 

dans laquelle les quantites . sont toutes reelles et distinctes, et les 



des quantites positives. 

Comme cette somme ne differe que par les notations de la somme 







que nous avons ^tudiee dans le m^moire precite sur les fractions continues, 
on trouve, d apres la formule donn^e a la fin du 5 de ce Me"moire, 1 ega- 
Iit6 suiyante: 

^^ *-*" ^-^ 



Or, d apres ce que nous avons dit dans le 2, on a 



en vertu de quoi 1 egalite prec^dente peut s ecrire 



461 
d ou Ton tire la formule 



dans laquelle le dernier coefficient m _ l _ l sera egal a y, coefficient de z dans 
le dernier denominateur Z. 

Ainsi pour toutes les racines 

a ~ t>Q > <n 5 > C m 

de 1 equation 

^(4=0 

on aura 



et comme, en vertu de (2) et (3), a = v annule la fonction l (s], on obtient 
la formule 



(V) 

8. Dans le 1 nous avons montr6 que les limites de la difference 
entre I intggrale 



et le residu integral 



sont donn6es par 

~ "2~ 0\ (V) ~ If <2> i (V) 

et Ton voit d apres la valeur trouvSe de la fraction 

<PO(P) 

que le degre" d approximation avec laquelle le residu integral 

V 

P flpQE) 
*~s 0, (2) 
a to 

donne la valeur de 1 integrale 



V 



462 
sera determine par la fraction 

( 7 ) Y-g J,t-4>-4- La 4* 

dans laquelle la quantite y seule depend des limites a, b des integrates 
considerees. 

Cette fraction augmente lorsque y diminue, et elle diminue lorsque 
y augmente. Comme la valeur de y qui est toujours positive sera nulle 
pour a = oo, ~b = oo, et deviendra infiniment grande pour ^ m (a) = 
ou fy m (b) = ( 1 et 6), on voit que la difference entre 1 integrale 

V 

\f(x)dx 

a 

et le residu integral 



C> 0^9) 

a o> 

tendra vers zero si a ou b s approche ind6finiment de la valeur d une racine 
de vp m (z) et si v n est pas racine de cette fonction, ce qui est bien conforme 
aux re"sultats auxquels nous sommes arrives dans le 5. 

La limite (7) de cette difference atteindra au contraire sa plus grande 
valeur pour a = oo, b = oo et ce reduira pour ces valeurs des limites a, 

6 a la fraction 

_i_ i 

~2~ a, J>n 2 ( 



II est facile de voir que la valeur de cette fraction diminue lorsque le nom- 
bre m augmente, et qu elle deviendra nulle pour m = oo, si la serie 



est divergente. Cette fraction depend evidemment de v aussi, et par conse 
quent, selon la valeur de v, le residu integral 



donnera la valeur de 1 integrale 

V 

J/W* 



463 

avec une approximation plus ou moms grande. II est cependant facile de 
montrer que pour certaines valeurs de v la valeur de la fraction 

j^ i 



et par consequent aussi la valeur de la fraction (7) dont elle est la limite 

superieure, sera plus petite que 

b 



En effet, en designant par D la plus grande valeur du denominateur 

i V (v) -*- * 2 V W -H ---- +- a m f^ (0 
pour a < t> <, &, nous trouvons 1 inegalite 

& & 



et comme d apres les formules 
& b 

\W( X )f( X )dx=^ f V 

a a a 

le premier membre de cette inegalite se reduit a m, on aura 1 inegalite 

6 

< D J /"(a?) d# 



6 

m 

a 



ou bien 



SB < 

a 



On voit par la que ^ qui, conformement anotre notation, represente la plus 
petite valeur de la fraction 



2 <Xj ^o 2 ( 

pour les valeurs de v comprises entre a et &, sera plus petite que 

b 



464 
Done, quelles que soient les limites a et 6, la difference entre 1 integrale 



V 

x 

a 

et le residu integral 



\f(x)d 



ne peut pas surpasser la valeur de la fraction 



2 04 V (v)-*- a^!* ()--. ...-*- aj 

ou bien de la fraction 

i i 



()/ (x) da; J V (*)/(*) ax J * m -i z (x)f(x)dx 

a a a 

qu on obtient en remplagant les coefficients a par leurs valeurs tirees des 
formules 



a a a 

Les fonctions 

toW, ^iW,----, ^m-i(^) 

sont d6termin6es, comme on a vu, a 1 aide du d^veloppement de 1 integrale 



a 

en fraction continue de la forme 



a^ -+- P! 



a 2 s -*- P 2 

Et comme la valeur de la fraction 

i i 



2 



b 



f ^i 2 ()/(*) ^ J t>m-i* (*)/(*) d * 



465 

ne change pas lorsqu on multiplie les fonctions ^ par des facteurs constants 
quelconques, nous pouvons y prendre pour les fonctions 



les fonctions que 1 on obtient en developpant l inte"grale 

b 



Z j 

a 

en fraction continue de la forme 



PI 

" " - Pm 



les p e*tant des quantites constantes quelconques; car le changement des 
quantites p n p a ,. . . equivaut, comme il est facile de le voir, a 1 introduc- 
tion de facteurs constants dans ces fonctions. 

Nous veuons de montrer comment on determine les limites de la 
difference entre 1 integrate 

V 

\f(x}dx 

a 

et le residu integral 

V 

f <pp(g) 
<-; 0, (z) 
a CD 

dans le cas ou 1 on donne les 2m integrates 

& 6 6 



et si Ton sait que la fonction inconnue f(x) reste positive pour les valeurs 
de x entre a et 6. 

II est facile d en de"duire les limites de la difference entre les integrates 



et 

v 

f/j (*)<**! 



30 



466 
si Ton a les 6galit6s 



x) dx= (x) dx, xf(x] dx=xf, (x) dx...., zm - 1 f(x) d 



et si la fonction (x) reste aussi positive pour les valeurs de x entre 
x = a, x = b. En effet, dans ce cas on aura les mmes re"sidus integrauxet 
les monies limites des differences entre les integrates et les residus iutegraux, 
et par consequent la difference entre les integrates 



ne pourra pas surpasser le double de la limite de la difference entre chacune 
de ces integrates et le residu integral 



Done, si les egalites 

b b b b b 

dx^f^x) dx, \xf(x) dx=\xf,(x) dx,.... [a 2 " 1 " 1 f(x) dx=\x* m ~ l f, (x) dx 

a a a a a a 

ont lieu pour deux fonctions 



qui restent positives pour les valeurs de x entre a et 6, la difference entre 
les integrates 



ne pourra pas surpasser la valeur de la fraction 



*x V () -*- a 2 ^ 

quelles que soient les limites a et &. 

9. Comme exemple de 1 application de iios formules nous aliens 
maintenant considerer le cas ou Ton a 

a = oo b = -*- oo 



467 
et 






Dans ce cas, comme on va le voir, la limite supe>ieure de la fraction (8) 
pourra tre d6termin6e quelle que soit la valeur de v, et il en rSsulte un 
theoreme qui peut avoir des applications utiles dans la Theorie des Proba- 
bilites. 

D apres les formules donnees dans notre M6moire Sur le developpe- 
ment des fonctions a une seule variable *), dans lequel nous avons etudie le 
developpemment de Fintegrale 



du 




en fraction continue et les reduites 



nous trouvons que, dans le cas que nous considerons maintenant, les fonc 
tions 



pourront etre representees par la formule 



et qu on pourra les calculer successivement a 1 aide de la formule 

et I egalitS 

D autre part nous trouvons d apres ce meme mSmoire la formule 

-4- CO g2 

Q 

/ 



*) T. I, p. 501508. 

30* 



468 

En vertu de cette formule la fraction (8) qui determine la limite de la 
difference entre les integrates 



\f(x}dx, \U*)d* 



se ramene pour le cas que nous examinons a la fraction 

i 



_ i \ 2m 2 



dans laquelle les fonctions fy(v) seront determines par (9). 

Pour determiner la limite superieure de cette fraction nous cherche 
rons la limite inferieure de son denominateur 



VW 

I.g2 



1.2 ..... (m l)2 2m * 



En posant 



nous remarquons que ce denominateur est 6gal a la somme 

rf) rn i T 

jf | _/ -7 .... t J. 

Pour trouver la limite inferieure de cette somme nous allons d abord d^ter- 
miner la fonction 6 (t} definie par 

6 (t) = T -tr T^t -+ T 9 1 -+- T 3 1 -*- . . . . , 

ou t designe une variable quelconque. 

10. Pour determiner la fonction ; tf () nous remarquous que d apres 
(9) on aura 



d ou Ton tire 



(I - 2) 2 2 ^/_ 3 H 



(i - 2) 2 2 4 ^_ 3 W = ^1-1 W -+- 2 2 3 *i_i W ^i_, M *- 2* v * ^- 
et en eliminant entre ces deux Equations le produit 



469 
nous trouvons la relation 



Si maintenant on y remplace les fonctions 

h M, IV-.H ft-.M, f 1-3 W 

par leurs valeurs tirees de (10), on aura 1 equation 



Multiplions tous les termes par f et faisons la somme pour toutes les va 
leurs de I, de I = a I = oo; nous aurons alors 1 egalite" 



00 

En remarquant que d apres (10) on a 
nous trouvons 

00 





oo oo 




oo 



oo 

(I -2) %_,*** 2(1+1)^, 



en vertu de quoi l 6galite pre"cedente se ramene a 1 egalite 

CO 00 

SIT/-! 



d ou 1 on dSduit 





Comme d apres notre notation on a 



470 
et par consequent 





cette egalite se reduit a 1 equation differentiate 

qui, integree, donne 

i-t-t 



VIZ& 

La constante d integration G se trouve facilement en remarquant que 
la fonction 6 (t) se reduit pour t = a T = fy* (v) = I . 
De sorte que Ton aura 

et par consequent 



!-*-< 



2Tt l =0(t) = e -= 
I ^ >/l_<2 





11. D apres 1 expression trouvee de la somme 



CO 

2 T >*> 





ou t designe une quantite variable, la limite inferieure de la somme 

T _i_ T _+_ -+-T 
j.Q-t- j. l -t-. . . .-i- -t m _ 1 

pourra etre determiu6e a 1 aide des formules donn^es dans notre memoire 
mentionne plus haut Sur la representation des valeurs limites des integrates 
par des residue integraux. Pour appliquer les formules, donn6es dans ce 
memoire pour des integrates, aux sommes 



/m i 

5 





nous allons les presenter sous la forme des integrates 



J Yfdx, f Yfdx, 



471 

en dSsignant par T une fonction de x qui s annule pour toutes les valeurs 
de x qui ne sont pas dans le voisinage de 

a = 0, 1, 2, 3,...., 
et qui pour les valeurs de x infiniment voisines de 

a? = 0, 1, 2, 3, 

a des valeurs telles que les integrates 

w 1 2 



J Ydx, J Ydx, \ Ydx, 



1 co 2 to 

tendent respectivement vers les valeurs 

T T T 

* *u - L 2^ 

lorsque co tend vers z6ro. 

Pour une fonction Y ainsi determined on aura evidemment 

J Yt x dx = ^T l t l = 0(t) : 
o o 

et 

m 1 

J r^^ = T -+-T 1 ^-+-....-i-T wl _ 1 r- 1 . 



Comme la fonction Yf ne devient pas negative entre les limites et oo, 
les valeurs limites de 1 integrale 



J Yfdx 



o 
d apres les valeurs des trois integrates 



J Yf dx, J x Yf dx, J 



seront determinees par les formules donne"es dans les 6 et 7 de notre 
M^moire mentionne plus haut. 
En faisant dans ces formules 

a = 0, & = oo, 



472 
nous trouyons que pour 

00 

f x* Yt x dx 



00 

f x Yt x dx 


la limite inferieure de la valeur de I int&grale 

V 

\Yt x dx 
o 
sera 

a 



xYt x dx 
I J 

r r e & 

J 



co 

f x z Yt x dx 



En remarquant que d apres 1 egalite 



on aura 

oo 




oo 



x*Yt x dx = t*6"(t}-*-td (t}, 
o 



nous en dSduisons 1 inegalite 



(*) 

r Yt x dx>o(t\- t(Q (t))2 

J XI OX = 0(t) t ()"(t) + V(t) 


En prenant id pour t une racine quelconque de liquation 

/11\ *0"() o 

(11) m = -^- ; -H2, 

nous trouvons l ine*galite 



m-l 






473 
Comme d apres les proprietes de la fonction Y on aura 



m 1 



o 
1 inegalite precedente se reduit a celle-ci: 

TO H. TI t -H . . . . ^ T^ r- > e (0 - 

qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de t satisfaisant a (11). 

Done, en se bornant aux valeurs de t comprises entre et 1 et remar 
quant que pour ces valeurs de t on aura 

T t -*-T t t + . . . .-HT^r- < TO-H^-H. . . .-t-I^,, 
on devra avoir 1 ine galite 

T -+- T - . T ^>/9fft- i ^ ^ 2 

l L m,-\ ^ -- 



d apres laquelle nous pouvons trouver une limite inf^rieure de la somme 

O _ np rn rp 

wt i ~ -LO^ - L i~*~- -+~- L mii 
en preuant pour t une racine de (11) comprise entre et 1. 

12. En portant les valeurs de (/ (), 6" (t) tiroes de 10, on trouve 



(12) m-l= 

et 



iH-t 

-i>VT p 



La derniere inegalit^ nous donne la limite inferieure de la somme 



en fonction de la racine t de (12) comprise entre et 1. 

II est facile de voir que pour m >> 1 , comme nous le supposons tou 
jours, liquation (12) admettra bien une racine entre et 1; mais la deter 
mination exacte de cette racine est tres difficile. 

Comme il ne s agit ici que de trouver une quantite qui reste constam 



474 

ment plus petite que ^ ^i> nous P u vons y arriver sans resoudre l e"qua- 

o 
tion(12). 

Pour cela nous tirons de (12) la valeur de V m 1 et nous divisons 
par elle 1 inegalite" (13), ce qui nous donne une inegalite qu on peut mettre 
sous la forme 



l-t-t 



8 m i 



K 



* 



!-*- 



LK 



t 



En remarquant que la valeur de t dans cette inegalite doit e~tre plus grande 
que ze"ro et plus petite que 1 unite, nous trouvons 



i-t-* 
en vertu de quoi I inegalite pre"ce"dente nous donne 

} 3 



(14) 



2 2 



Passant a la determination d uue limite inferieure de 



nous remarquons que 1 equation (12) peut s ecrire 



t-fef^ 



Comrne t est comprise entre et 1, tous les termes seront positifs et 1 on 

aura 

(ml) (l *>)>^, 



475 

d ou 1 on de"duit 

.m(l * 3 )>1, 
ce qui donne 

1 *>._!_ 

1 ^ m(l-f-*) 

et par consequent 

!- >= 

D autre part, en cherchant les maxima des fonctions 



1-H* 1 t 



pour < t < 1, nous trouvons qu ils s obtiennent pour 



et qu ils sont respectivement e*gaux a 

3 V"8, 2, 
en vertu de quoi 1 equation prec^dente nous donne 

(m 1) (1 - t*)< t* -4- 2 -H (3 V"8) 2 2 t; 2 ; 

d ou 1 on de"duit 

m (1 P] < 3 n-(3 V~8) ftf 
et 



ce qui donne 

_ 3 H- (3 



m 

Ainsi, nous trouvons que 



et 1 on aura par consequent 



de sorte que I inegalit6 (14), en j remplagant 



1 ~~~ * o < * 3 

-_ 2^2 par 1 -, 



476 
nous donnera 



ou bien 



En remarquant que, conformemeut a notre notation, on a 

fi -- ~~"~~ ~" 



or -> 2 (m 3) 3 V m 1 1 

m i ^ a ( n z 2 _4_ i \s 

^_2m-n3) 2 ^ l 



:* 



nous en concluons que la fraction 

i 



sera plus petite que 

3 V~8 (m8 2m -*- 3)^ (g 2 t? 2 -i- I) 3 
2 (m 3)3 Vni 1 

Comme d apres le 9 cette fraction donne les limites de la difference des 
integrates 



( q 2 x z f 

_^ e ~~2~ dx \ff X )fa 

I I/O TT 

^/ r ^ 7t / 



si Ton a les 

-t-OO -*- GO 



q z x 



= l^=- 2 ^. 



00 00 

-I- OO H-OO 



00 00 

-1-00 



r r 

J ^()4B=J ^- 



c 



r xdx= \^ 

j x " x * X ~~J y^ 

00 00 

-4- OO -*- OO 



g 2 * 2 

2 dx, 



477 
la fonction f^x) restant constamment positive, et comme on a 

qv_ 

v ^"2 -+. oo 

I* q z x z f* f* 

\_jL^ e 2~^=:-L \e-*dx, \-*=e 2 

J V27T T/irJ J yi-K 

oo oo oo 

-H CO -4- OO 

/ q z x 2 p q z x z 

q ~2~ 3 A q o 2 ^ 1 

-2= xe dx=v. -= x y e dx = -z 
J V2v J V2* a 2 



J 2 

n j v ATI y 

oo oo 

-*-oo -*-oo 



p 
1^^- 

J V2it 



^^ 1.3.5 (2m -3) 
2 2W 

03 00 

nous en de"duisons le thSoreme suivant: 

Theoreme, 

Si la fonction (re) reste constamment positive et si Von a 

-+-CO 



= l, [ x*f l (x)dx = Q, 



la valeur de Vintegrale 



sera comprise entre les limites 



3y3(m 2 2m-4-3) 5 



2(m 3) 3 ^w 



V A 

if*- 

y *J 

OO 



* 2 dx -+- 3>/3 ( 2 - 2m -*- 3 ) 3 (3 2 p* -*-!) 



Jowtfes /es valeur s reelles de v. 



SUR DEUX THEOREMES RELATIFS AUX 
PROBABILITY. 



(TRADUIT PAR I. LYON.) 



(Lu le 10 mars 1887.) 



maopzMaoo 6 omuocum&Ji bHO vr&poMmnocm&u. 



-My Tony SanncoKi. IfiinepaTOpCKoft AaaaeMiH HayKt, }& 6, 1887 r. 
Acta mathematica. T. XIV, 18901891, p. 305815.) 



Sur deux theoremes relatifs aux probability. 



1 . Dans un Memoire, sous le titre : Des valeurs moyennes *), nous 
avons montre comment on obtient des inegalites, d ou Ton deduit facilemeut 
un th6oreme sur les probabilites qui contient comme cas particuliers le 
theoreme de Bernoulli et la loi des grands uombres. 

Ce theoreme, nous 1 avons formule ainsi: 

Si les esperances maih&matiques des quantites 



et de leurs carres 



, 



ne d6passent pas une limite ftnie quekonque, la probability que la difference 
entre la moyenne arithmetique d un nombre n de ces quantites et la moyenne 
arithmetique de leurs esperances mathematiqu.es sera moindre qu une quan- 
tite donnee, se reduit a Vunite, lorsque n devient infini. 

Nous avons 6t6 conduit a ce r^sultat en cherchant a determiner les 
valeurs limites d une integrate d apres les valeurs donuees des autres iu- 
tegrales qui contiennent sous le signe J, outre les fonctions connues, uue 
fonction inconnue, assujettie a laseule condition de ne pas devenir negative 
entre les limites d integration. En developpant la methode employee dans 
ces recherches nous arrivons, dans un cas particulier, au theoreme suivant 
sur les integrales **): 



*) T. I, p. 687694. 
**) T. II, p. 443-478. 

31 



482 
Si la fonction f(x) reste constamment positive et si Von a 



la valeur de V integrate 



oo 

sera comprise entre les limites 



qv 

VI 



3 y 3 ( W 2 2m -f- 3) 2 (q z v z -+ I) 3 
2 (w 3) 3 Vm l 



qv 

72 

*fr- 



2 (m 3) 3 Vm 
oo 



s valeur s reelles de v. 

Nous aliens montrer maintenant, comment ce theoreme sur les inte- 
grales conduit a un theoreme sur les probabilites, a 1 aide duquel la deter 
mination des valeurs les plus sures des inconnues, quand on a un grand 
nombre d e"quations qui contiennent des erreurs accidentelles plus ou moms 
considerables, se ramene a la methode des moindres carres. 

Ce theoreme peut e"tre ainsi formu!6: 

Si les esperances mathematiques des qiiantites 



sont toutes nulles et si les esperances mathematiques de toutes leurs puis 
sances ne depassent pas une limite finie quelconque, la probabiUte que la 
somme 



d un nombre n de ces quantites, divisee par la racine carree de la double 



483 

somme des esperances mathematiques de leurs carres, sera comprise entre 
deux limites quelconques t et t , se reduit a 



t 
lorsque le nombre n devient infini. 

2. Pour demontrer ce theoreme sous la forme la plus generate, nous 
prendrons oo et -t- oo pour les limites entre lesquelles sont comprises 
toutes les valeurs possibles des quantites 

M l ) W 2 > W 3 1 

En designant par 

?iO0<to ?.(*)^i ? 3 (^)^ ---- 
les probabilit^s que les valeurs des quantites 

MJ, a , u SJ . . . . 
sont comprises entre les limites infiniment voisines 

tJC* ^0 " I"" OtJOm 

nous remarquons: 

1) que les fonctions 

?i(*)i ? 2 ( a; ) ) Vt(x), ---- 

ne peuvent pas avoir des valeurs negatives; 

2) que les integrales 

-I- OO -+ OO -I-OO 

[ ?i (wj <?M! , J 9 2 (w 2 ) c?M 2 , J 93 (w 3 ) du s , ---- , 

CO OO OO 

qui represented les probabilites que les quantites 



auront des valeurs quelconques comprises entre les limites oo et -i- oo, 
seront egales a 1 unite; 
3) que les integrales 



t , 

oo 



u^ J w 2 cp a (w a ) du t 

oo oo 

qui represented les esperances mathematiques des quantites 



d apres notre hypothese, doivent etre nulles; 

31* 



484 
4) qu en g6ne"ral, toutes les quantites af^ definies par 1 egalite 



qui represented les esperances niathematiques des diffe"rentes puissances 
des quantite"s 

seront, par hypothese, comprises entre des limites finies. 
D autre part, en d6signant par 

f(x) dx 
la probabilite que la valeur de la fraction 

U l +- M 2 --.... -H U n 

T/n 

sera comprise entre les limites infiniment voisines 

as, x -4- dx, 
nous remarquons que cette probabilite sera donnee par l e"galite 



dans laquelle 1 integration par rapport a u lt u 2 , . . . . u n s ^tend sur toutes 
les valeurs de ces quantites pour lesquelles la valeur de la fraction 



T/n 



ne sort pas des limites infiniment voisines x, x -+- dx. 

En multipliant cette egalit^ membre a membre avec Tegalite 



e =e 



ou s d^signe une constante arbitraire quelconque, et en integrant de 
x = oo a x = oo, nous trouvous I e galite 

* ( u i -* M a * - > -. u n) 



f f f "fa-*-"*-*^ 

]e x f(x)dx=J...]e y n 

oo 



Comme dans le second membre l inte"gration par rapport a 



485 

s e"tend sur toutes les valeurs de ces quantites entre oo et -*- oo, le se 
cond membre de cette egalite se reduit au produit des integrates simples 



-I- CO -I- OO -4- C 

OO 00 OO 



( \ j 

e <p (J <to 



nous aurons done P6galit6 



-t- CO -I- OO H- CO 

su n 



r r su r 

(1) J e sx f(x)dx=J e Vn y l (u l )du l .J e w cp 2 (w 2 ) <^ 2 . . J e n 

00 00 00 00 

En developpant les deux membres de cette e"galite suivant les puis 
sances de la constante arbitraire s et en egalant les coefficients des m6mes 
puissances de s, nous trouverons les valeurs des integrates 



-f-CO 



f f(x) dx, f x f(x) dx, \ x 2 f(x) dx t . . . . , 

OO OO OO 

qui represented les esperances raathematiques des differentes puissances de 
la quantite 



1 -i-M 2 H-....-f-U n 





- 

Vn 

et qui nous serviront a determiner les valeurs limites de 1 integrale 



\f(x)dx, 



09 



qui represente la probabilite que la valeur de la fraction 



yn 

ne de"passera pas une quantite quelconque v. 

3. En nous bornant a la determination de 2m integrates 

-t- CO -H CO -4- CO -t- OO 

J f(x) dx, J x f(x) dx, J x* f(x) dx, J x* m ~ l f(x) dx, 

OO OO OO OO 

nous remarquons que le premier membre de 1 egalite (1), developpe suivant 
les puissances de s jusqu au terme de 1 ordre s 2m "*, donnera la somme 



486 

Pour determiner les termes correspondaiits dans le second membre, 
nous allons le mettre sous la forme 

-+- OO -+- OO H- OO 

su n 



log J e w <p t (wj ^MJ -+- logj e w cp 2 (w 2 ) dw 2 -i- -*-logj e n <p n (w n ) <to w> 

ex oo oo oo 

et Ton voit que le developpement du second membre de (1), exact 
jusqu au terme de 1 ordre s zm ~ 1 inclusivement, s obtiendra en y remplac.ant 
les logarithmes par leurs developpements en series arr6t6s aux termes de 
1 ordre s 2m ~ 1 . Pour determiner les developpements de ces logarithmes, nous 
remarquons que 1 integrale 

-H OO 
SU 

y 

e 

oo 

sera donnee par 1 expression approximative suivante, exacte jusqu au terme 
de 1 ordre s 2Tn ~~ 1 inclusivement: 



/ 



-I- OD -t- CV3 --f CXJ 

J u t <p (uf) dti< j V <?{ (u-) dui j M t -3 cp t - (tt< 

S 2 -H =^ 



f 

J i*^ { * l.Vn 1.2.w 

oo 



2m i 

T^= O 



1.2.3 (2m l)n m ~ i 

et cette expression, d apres le 2, se reduit a 

1 -4- ^ S 2 _, a (3) S 3 -i- H Ct (2OT ~ 1 T^S 2 " 1 " 1 , 

l^-SnVn 1.2 (2m l)n m ~ 1 rn 

oil, par hypothese, les quantites a { sont toutes iinies. 

En d^veloppant le logarithme de cette expression suivant les puis 
sances de s et en s arr6tant au terme de 1 ordre s zm ~\ nous trouverons une 
expression de la forme 



2n n y n n m *Vn 

dans laquelle les quantites 

17 (3) Y (2m i) 

V . , . . . . V ,. 

seront des fonctions entieres des quantites 

a n a (zm ~ l} 

a i > ,-,...., t* t . , 

ne contenant pas w; clles seront done aussi toutes finies. 



487 

On aura done, avec un degrS d approximation jusqu au terme de 
1 ordre s zm ~ 1 inclusivement, 



( \ * 

log e <p,(w,) du. = -7 - -7= - ....- 

Ttv \> i 2n nYn n m ~ l vn 

En y faisant i = 1, 2, . . . . , n et en posant 

_!_ _<! 

2 2 ~ 

Jf (8) = F 



7l/f ( 2 m-i)_ 



on trouve, avec le meme degre d approximation, 

-4-00 -I- OO -*- OO 

r gu t r su 2 r su n 

J /"cp^M^^-f-logJ / W 9 2 (w 2 )dw a -H ---- -*-logJ e n p n (w n )^w n 



log 

oo 



2Wt 1 



ou les quantit^s Jf, comine les moyennes arithmetiques des quantit6s finies 

F (3) T7 1 (3) V k) 

r l 5 r a ? r n 



pr (2UI l) TT- (2m 1) TT (2m l) 

r l > K 2 r n 

seront aussi toutes finies. 

On aura done, avec un degre d approximation jusqu au terme de 
1 ordre s 2 " 1 " 1 



- 5 -- -- ____ -- zm 

2 ">- 

(2) 

oo 

4. Quel que soit w, nous pourrons tirer de cette egalite les valeurs 
des 2m integrales 

- CO -I- OO -t- OO 

f(x) dx, | x f(x) dx t ____ J tf m ~ l f(x) dx, 



oo oo 



488 

en arrtant les developpements des deux membres de cette egalite aux 
termes de 1 ordre s zm ~ 1 . 

Dans le cas particulier n = oo, l 6galite (2) se reduit a 



I 



a 



puisque les quantity s M, comme on a vu, sont toutes finies. 

En de"veloppant les deux membres de cette egalite suivant les puis 
sances de s et en s arre"tant aux termes de 1 ordre s zm -1 , on aura 



CO 



1.2. (2^)2 1 . 2 ... (m 1) (Zq*) 

et, en egalant les coefficients des monies puissances de s, nous trouvons 



-1-00 



-4- OO -f- CO 

~ 2 f(x) dx = zm 2 J % zm ~ l f(%) dx = Q. 

00 00 

Comme la fonction f(x) qui figure sous le signe J, par sa nature m^me, 
ne peut pas avoir des valeurs negatives, nous concluons, d apres le theV 
reme sur les int^grales cit6 au 1, que la valeur de I int^grale 

9 

\m& 



x 

00 



est comprise entre les limites 

qv 



V 2 

J-f e -< 

y J 



3 y 3 (m- 2m ^- 8) ( g c H- 1)3 
2(m 3)3y^T"l 



2(m 3) 3 l/m 



489 
D ou, en remarquant que la valeur de la fraction 

3 V~8 (m 2 2m -+- 3)^ (g 2 v 2 -t- I) 3 
2 (m 3) 3 y^T^T 

tend vers zero lorsque le nombre m augmente inde"finiment, nous tirous 
1 egalite 



f* l f 

jf(x)dx=^je 



En y faisant successivement 



2 . 2 ,, 

v = P. v = t , 

2 9 



nous trouvons les egalites 



J f(x) te = ^l e- x * to, J ft*) ^ = ^ J e - 



CO OO 

qui par la soustraction nous donnent 



2 * 

f(x)dx=^= I . 
J yTC J 



t 

2 



Le premier membre de cette egalite", d apres le 2, represente la probabi 
lite que la valeur de la fraction 



V n 
sera comprise entre les limites 

y"2 . vn 
r, 

2 2 

et par consequent la valeur de la fraction 



-....-!- tt 



V 2 (a/^^-a^z)^....^ On ( 2 )) 



490 



sera comprise entre les limites t et t ; en vertu de quoi cette Sgalite qui a 
lieu pour n = oo montre que la probabilite que la valeur de la fraction 



-t- Mo -4- . . . . H- U t 



2 ( 2 ) -i- .... -t- a n (2)j 

sera comprise entre deux limites quelcouques t et t , a pour limite, lorsque 
n augmente ind6finiment, la valeur de 1 integrale 



^JV- 

t 
Dans le cas de n fini, la probabilite que la fraction 



y 2 K(2) -*- 2 (2) -H. . . . -- o w W) 

sera comprise entre les limites t et t , differera plus ou moins de sa valeur 

limite 

t 

r~" I \s \J%JU 

t 
selon la valeur de n et des quantites 

n M (3) 7i/( 2m !) 

(, U. , . . . . 2.U. , 

qui figureut dans 1 egalite (2) et dont les valeurs, comme on a vu, depen 
dent des valeurs des esperances mathematiques des differentes puissances 
des quantitSs 

Sans nous amiter ici a la determination de la limite superieure de 
cette difference pour assez grand, nous remarquerons settlement que 
d apres les formules de notre Memoire Sur le developpement des fonctions a 
une seule variable*), cette probabilite pour n quelconque sera donnee par 
1 expression 



*) T. I, cip. 501508. 



491 
dans laquelle les quantitSs 

sont les coefficients de 



.Kg, 



dans le d6veloppement de la fonction 

3f(8) 

z^- S 2 H -- S* -*-. 

^n 

C 

suivant les puissances de s; et les fonctioiis 

^(x\ ^(x\ ---- 
sont des polynomes qui s obtiennent par la formule 



25, 



SUR LE SYSTEMS ARTICULE LE PLUS SIMPLE 

DONNANT DES MOVEMENTS SYMETRIQUES 
PAR RAPPORT A UN AXE. 

(TKADUIT PAR P. 0. SOKOX 1 .) 



(Lu le 15 novenibre 1888.) 



& npocmwutueu cycma^amou 

isi cuMMempuxecfiisi ckoAC ecu. 



ie KTB LX Tony SanHcoKi, HMnepaiopCKofl AKa^eMm HayK-b, A s 1 5 1889 r, i 



Sur le systeme artieule le plus simple dormant 
des mouvements symetriques par rapport a 

un axe. 



1. Le plus simple moyen pour transformer un mouvement plan se 
presente en un systeme artieule forme d une ligne, qui tourne autour d un 
centre fixe, et d une ligne reunie a la premiere par une articulation. Tous 
les points de la premiere ligne decrivent seulement des cercles concentri- 
ques, tandis que les points de 1 autre ligne peuvent decrire des courbes di- 
verses, et les trajectoires de leurs differents points se distinguent conside- 
rablement 1 une de 1 autre par leur forme. Par suite, quand un point de 
cette ligne decrit une courbe quelconque, on regoit pour les autres points 
des mouvements sur des courbes differeutes. Dans cette transformation du 
mouvement, les points de la secoude ligne, dont les distances a 1 axe d arti- 
culation avec la premiere ligne sont egales a la distance de cet axe au centre 
fixe de rotation, appellent la plus grande attention. II est aise de demontrer 
que, si un tel point decrit une courbe symetrique par rapport a un axe 
passant par le centre fixe de rotation, un autre point quelconque se rneut 
sur une ligne ayant la m&ne propriete. On voit de la que chaque ligne 




brisee ABM (fig. 1), articulee avec la droite BC, qui tourne autour du 
centre fixe, fournit, lors de Fegalite 



496 

un moyen pour transformer le mouvement sur une courbe syme"trique par 
rapport a un axe passant par le centre C, en un mouvement sur une autre 
courbe ayant la m&ne proprie"te. La forme et la position de cette derniere 
courbe changent avec le changement de Tangle ABM et de la position du 
centre C qui, selon ce que nous avons dit plus haut, doit rester sur 1 axe 
de syme"trie de la premiere courbe. 

En transformant ainsi le mouvement d un point A, qui se trouve a 
1 extremite du rayon OA touruant autour du centre 0, nous recevons un sy- 

Fig. 2. 




steme articule", dans lequel le point M decrit une ligne symetrique par 
rapport a un axe qui passe par le centre 0. Si la distance CO surpasse la 
longueur du rayon OA, celui-ci est en 6tat d accomplir un tour complet, 
apres quoi le point M retourne a sa place primitive, ayant decrit uue courbe 
fermee symetrique par rapport a un axe passant par le centre G. 

Une telle transformation du mouvement circulaire peut presenter des 
applications utiles, s il est demande de produire un mouvement, auquel 
s approche suffisamment le mouvement du point M de notre systeme arti- 
cule quand on donne des dimensions convenables a ses parties et des posi 
tions convenables a ses centres fixes de rotation. Toute la difficult^ reside 
dans la determination des unes et des autres conformement a la forme du 
mouvement qu il est propose d obtenir. Nous nousproposonsdeconsidererici 
les cas les plus simples et qui se rencontrent le plus souvent en pratique, a 
savoir: quand on a en vue d obtenir un mouvement sur une courbe, dont une 
partie plus ou moins considerable ne differe pas beaucoup d un arc de cercle 
ou d une ligne droite. 

2. Dans le systeme considere les points A, B decrivent des cercles 



497 
dont les centres sontO, (7; et comme les longueurs des lignes AB, BM et la 

Fig. 3. 




valeur de Tangle ABM restent constantes, on aura les 6galites suivantes: 



= OA GB=GB. 



II resulte de la derniere de ces egalites que les six lignes suivantes sont 
egales: 

A Q B , M , B Q G, AB, BM, EG, 

car, d apres ce que nous avons dit dans le 1, 



AB=BM=BG. 

D ou il est clair que les points A , G, M se trouvent sur le cercle 
decrit du centre B Q , et les points A, C, M sur le cercle dont le centre est 
en B; ensuite, les angles AGM, ABM, A Q GM , A Q B M Q sont Ii6s par les 
egalites 



32 



498 

qui donnent 

2ACM-*- ABM= 2 

En remarquant que 

ABM=A Q B () M O , 

ACM = ACM -f- M Q GM , AfM, = AGM Q -+- A<>CA, 

nous obtenons 

(1) M (I GM=A Q CA. 

En nous appuyant sur cette formule et posant 

= OA = r OC=d 



cherchons a present la longueur du rayon vecteur CM et Tangle de son incli- 
naison a la ligne CM , qui determinent le lieu du point M pour un angle 
donne de 1 inclinaison du rayon OA a la ligne des centres COA . Ces quan- 
tites s expriment tres simplement par 1 augle ABC dont la valeur variable 
sera designee par la lettre 9 et a 1 aide duquel il est facile de determiner la 
position correspondante du rayon OA. 
Dans le triangle isocele CBM, ou 



=1, BM=l, 

nous avons 

(2) CM =2 sin^, 

ce qui donne, d apres Fegalite 

GBM = ABM ABG= to cp 
la formule pour le rayon vecteur CM: 



Passant a la determination de Tangle de son inclinaison a la ligne 
GW , nous trouvons d apres (1) 



mais du triangle AGO nous tirons 

_AC* 
- 2ACfOC 



499 
par suite, on obtient pour Tangle MGM Q la formule 

^MCM a = A<y ^~ A0 "-. 
En remarquant que le triangle isocele AGB, ou 

donne 

et que d apres notre notation 



AG=2 gin -*- 1 

m 



nous trouvons par cette formule 

4 sin2 -I -+- d 2 r z 

cos MGM = 

4 d sin -|- 

A 

Dans cette relation le signe de 1 angle MGM Q reste inconnu. II est facile 
de le determiner, en remarquant que, d apres (1), Tangle MGM Q est egal a 
Tangle ACA Q , mais Tangle AGA Q a une valeur positive ou negative selon 
que le point A est situe au dessus ou au dessous de la ligne des centres 
COA Q . Par consequent, a la meme valeur de Tangle op correspondent deux 
positions tant du point A que du point M] dans Tune de ces positions le 
point A se trouve au dessus de la ligne des centres GO A et le point M a 
gauche de la droite GW , Tautre position du point A sera au dessous de la 
ligne COA Q et le point .M"se trouve a droite de la ligne GM Q . Quant a la 
determination de Tangle AOA , etant donne Tangle cp, on aura du triangle 
AOG 

S 



2AO.OC 

En remarquant que 

AC=2sm^, A0 = r, OG=d, 
nous deduisons de la relation precedente 

cos AOA n = 



2 dr 

Comme, d apres ce qu on a fait voir plus haut, a la m^rne valeur de 
Tangle 9 correspondent deux positions tant du rayon OA que du rayon 
vecteur CM, qui different seulement par les signes des angles AOA , MGM , 
nous voyons que le point M decrira une ligne symme trique par rapport a 
Taxe CMo, pendant que le rayon OA se touruera d un meme angle en haut 

32* 



500 

et en bas de la ligne des centres COA . Repre sentant par a la valeur 
limite de Tangle AOA dans le mouvement considere et par 



les valeurs de Tangle ABC= 9, qui correspondent a 



nous voyons que, pendant que Tangle AOA varie eutre et a ou a, 
Tangle <p passe de la valeur op a <p x . 

En appliquaut la formule que nous venons d etablir au cas special 



nous trouvons Tequation suivante entre les valeurs limites des angles ACA Q 
et ABC=: 



2r 

d ou il suit 



(3) 



4dr 



3. Passant a la determination des conditions pour que la courbe 
d6crite par le point M entre les limites indiquees s .ecarte le moins d uu 
arc du cercle quelconque, nous observons que cet arc, de m6me que la 
trajectoire du point M, doit etre symetrique par rapport a Taxe CM Q , et 
pour cela son centre doit tre situ6 sur cet axe. En supposant que ce centre 
se trouve en O l (fig. 4), deduisons a present la formule pour determiner la 
distance du point M au centre 1} distance, qui aurait une grandeur con- 
stante, si le point M decrivait exactement un arc du cercle autour du point O l . 

Du triangle OfM. nous deduisons 



MO* = 0^-+- CM 2 2 Of. CM . cos M CM 



0) 

ce qui, apres la substitution des valeurs pour le rayon vecteur CM et le 
cos MCM , donue: 

4 sin 2 -|- -i- d 2 r* 

MO* = Of* -f- 4 sin 2 ^ 40 1 6 r sin ^ 



4 d sin -?- 

m 



En designant par E le rayon du cercle, de Tare duquel le point M 



501 

s ecarte le moins possible pendant le mouvement du systeme consider^, nous 
trouvons pour la difference MO? R 2 la formule suivante: 



= 0,0* 



4 sin 2 



4 sin 2 - -+- d* r z 
4 d sin -- 



Occupons nous a present de la determination des conditions, pour que 
cette difference s ecarte le moins du ze"ro, quand Tangle 9, comme nous 
1 avons suppose plus haut, reste entre les limites 



Fis. 4. 








c 



4. En posant dans la formule deduite 



nous reniarquous qu elle regoit la forme 

(4) = J 

ou 



sont des constantes, dont les valeurs s expriment par 

r, d, co, Of, R 



502 



de la maniere suivaute: 
(5) Z = 



sin ~ (d 2 - r 2 ) 0^ C 
^ 



(6) 



0) -. 

sm o).a -i- sm - O^( 



CO 

sm- 



= 4 



cos a).d!-Hcos - 0,( 

ip 



(E 2 2 -*- 2 cos oj C^C 2 ) d cos -- (^ 



(7) 



On voit de la formule (4) que pour la m^me valeur du coefficient K 
la difference 



reste d autant plus pres de zero, que la fonction 



s ecarte moins de z6ro; par suite, afm de diminuer autant que possible la 
valeur limite de la difference 

MO* & 

pour des valeurs de cp, qui se trouvent entre 9 = cp vt 9 = 9^ nous devons 
operer de la sorte que la fonction 



x-t-l) 



s ecarte le moins possible de zero entre x = sin 2 ^ , x = sin 2 ^-. 
Pour cela nous appliquous a la fonction 



le theoreme coucernant en general les fonctions, qui s ecartent lemoius pos 
sible de zero, que nous avons demontre dans le Memoire sous le titre: Sur 
les questions de minima qui se rattachcnt a la representation approximative 
des fonctions *). En se fondant sur ce theoreme et designant par 

-+-L, L 



*) T. I, pag. 273378. 



503 

les valeurs limites de la fonction 



entre 



nous concluons qu elle doit au moins quatre fois atteindre les valeurs li 
mites L, -+-L, quand les valeurs de x lie sortent pas au dela des limites 

o OA o - 1 

x = sm 2 Y> x = sm 2 ^. 

Nous allons moutrer a present, de quelle maniere la fonction 

(p l x-^-l)y^~-*-p^x-t-p a 



peut 6tre determinee d apres cette propriete. 

5. Remarquons pour cela que toutes les valeurs de x, pour lesquelles 
la fouction 

(PI x -*- 1 

ou Ton a 



attemt les valeurs -t-i, L sans les surpasser, doivent etre egales aux 
racines multiples de 1 equation 



(8) 

= 0. 



En effet, on voit de la forme de cette equation qu elle est satisfaite 
par des valeurs de x qui donnent: 



on 



Si cela a lieu pour x = sin 2 ^ ou x = sin 2 ^, alors ces valeurs, comme 

m 

on voit aussi de la forme de liquation, seront ses racines multiples. Quant 
aux racines de cette Equation qui sont entre sin 2 % et sin 2 % , elles aussi ne 



504 

peuvent pas tre des racines non multiples, car pour des racines simples des 
equations 



(PI 

la fonction 



1) 



apres avoir atteint les valeurs -f- L, L, franchit ces limites. 

On voit de cela que dans le cas considere 1 equatiou (8) doit avoir au 
moins 4 racines multiples, qui ne sortent pas hors des limites 

x = sin 2 ^ j x = sin 2 ^-; 

niais cela ne peut avoir lieu que dans le cas, ou 1 equation a quatre racines 
doubles se trouvant entre les limites 



car cette equation, apres avoir ete reduite a la forme rationnelle, sera du 
g6me d e g re \ Deux de ces racines sont evidemment, d apres la forme de 1 e 
quation, 

x = sin 2 ^> x = sin 2 ^ 

Quant aux deux autres racines, comme elles sont limitees par les va 
leurs sin 2 , sin 2 , elles peuvent etre representees ainsi: 



x = sin 2 j x = sn - 



ou (p a , <p 3 sont des angles, qui sout enfermes entre <3p , 9^ 

6. Montrons a present, comment on peut trouver les fonctions 



"^a L 

etant donnas les angles 

?0> ?lf ?2^ ?8 

et comment trouver les angles inconnus 9 2 , cp 3 . 



505 

D apres ce qu on a remarque plus haul sur liquation (8), on voit 
que 1 equation 



aura deux racines simples 
et deux racines doubles 



9 ?f) 9 ?l 

sm 2 ? sm 2 



Et comme cette equation se decompose en deux suivantes 



x -i- 1 ) -*- P z x -+-P 3 -*- L = 0, 



(Pi X -+ 1) 1 ^ ^2 * ^ ^3 L = 



qui n ont pas de racines communes et se reduisent a des equations cubi 
ques, chacune d elles aura une racine simple et une racine double. 
En nous arretant sur liquation 



et admettant qu elle a pour la racine simple 



2 



x = sm 4 ~ 
et pour la racine double 

x = sin 2 Y > 

nous remarquons que le produit des trois differences 



cotaug ^--V x y I x, 

m 

cotang ^j- V x y 1 x, 
etant egale au zero, donne 1 equatiou 



cotang f] [cotang | y^yT=^J= 



506 

qui a aussi la racine simple sin 2 y et la racine double sin 2 y. Mais cette 
equation dont la premiere partie represent e une fonction de la forme 



ne peut avoir trois racines communes avec 1 equatiou 



si elle n est pas identique a la derniere, et par consequent doit avoir lieu 
l 6galite suivante: 

(9) (p^-^-l 



(-|/Ln_ cotang ^] (cotang ^ V~x V lxf. 

\w x - A / \ A i 

De m6me, nous trouvons 

(PI -*- 



^ cotang %} (cotaug ^ Viz 



(10) 



En soustrayant ces egalites 1 uue de 1 autre, nous recevous 
* _ cotang 2a) (cotang f Vic VT- 



cotaug cotaug -V 



Cette egalite", qui a lieu pour toutes les valeurs de #, donne, comme 
nous le verrons, des equations qui determinent les angles inconnus cp 2 , 9 3 . 

7. En chassant les parantheses dans la derniere egalite et remplagant 
les cotangentes par des quotients de cosiuus et de sinus, nous trouvons 
qu elle se reduit a 



cos cos 



Vx(\ 



sin sin^ sin l siu^ sin 2l sin f 

~ ~ 






507 



D ou Ton voit que, pour qu elle soit possible pour chaque valeur de 
il faut que Ton ait 

. 9(0 



(11) 



cos 



Ces e galite s nous serviront a determiner les angles cp 2 , cp 3 . 
En divisant ces egalites 1 une par 1 autre, nous recevons 

tang ( ?2 -H f ) = tang ( ?3 -f- ^). 

Et comme les angles cp , <pj , <p 2 , <p 3 sont compris entre et u, cette 
equation mene a une des deux conclusions suivantes: ou a 1 egalite 



ou a 



To 9i 

?2- i-il-f 



:TT. 



De plus, en remarquant que dans le dernier cas on rec.oit, d apres(ll), 
1 equation 



sinf sin 2 f = sin ^ sin 2 f, 



qui ne peut pas 6tre satisfaite par des valeurs positives des angles <p , cp x , 
cp 2 , <p 3 , ne d^passant pas ir, nous concluons qu il doit 



(12) Ta" 1 "^ TB 2 

et par suite les 6quatious (11) nous donnent 



(13) 



. o 

2 



o 

2 



sm - sm = sin sin - 



Des deux dernieres equations il est aise de d^duire des formules, qui 
serveut a determiner les angles cp 2 , <p a . 
En effet, d apres (12), nous avons 



cos o = 



et par consequent 



9o~ 



1 cos I 9 2 -t- 



508 
ce qui, apres la substitution dans Tequation (13), doniie 



o 2 

sm sm f = - -3- - sm 

d ou Ton dSduit, apres avoir chasse les parantheses et divise par sin 3 y, 
Tequatiou suivante: 

sin^ 

-+- sin &=li cotang -- - H- cos 2 ^^ = 0. 

* 



En resolvant cette equation par rapport a cotang ^ et retenant seu- 
lement la racine positive, nous trouvons 



(14) cotang = - I/ F- cos 



sm 



Bin** 



4 



Ainsi Tangle <p 2 est determine en fonction des angles cp , 9^ Get angle 
nous servira comme une grandeur auxiliaire pour simplifier les formules. 
Quant a Tangle 9 3 , sa valeur peut ^tre aisement obtenu d apres(12), quand 
on a trouve Tangle <p a . 

8. Ay ant les angles 



3 



on peut sans difficulte determiner les grandeurs 

L, p lt Pv p B , 
qui entrent dans nos formules. 

En posant dans Tequation (10) 

# = sin 2 ?i 
nous trouvons 

2L = (cotang ^ cotang ^) (cotang y sin |- cos ^ 
ce qui donne pour L la formule simple: 





sm sm 

y- 1 J 

~ " 



2 . ? . 9i . ?o 

sm - sm - sm 2 



En remarquant que le produit 



^ 5 - cotang f ) (cotang | V V 1 - 



509 

quand on y a remplac6 le cotaugentes par les quotients de cosinus et de si 
nus, se reduit a 1 expression 



On O 2 

COS -TT COS T? 



\ i COS I ?2 ~*~ I COS o 

_+_! l/ln V 2 -l x 1 2 

I w X Cu.- . On CUA 

rtC T *J nin2 T * Bfwl T V_ 



sn 

ft 



nous concluons, d apres (9), que p } , jp 2 , jp 3 , i ont les valeurs suivantes: 



9n -?2 

COS - COS - 



La derniere 6galite, apres qu on y a introduit la valeur trouv^e de Z/, 
donne 



222 

C est ainsi que se d^termineut les valeurs des coefficients 

Pn Pz, Ps-> 
avec lesquelles la fonction 



s ecarte le moins de z6ro entre 



En m6me temps, comme nous avons vu, les hearts de la fonction 



de z6ro ne sortent pas au dela des limites 



! 

-^ = "9- 



2 JL^ n 

Vn vi o Po . (pn 9i o O 

sin -^ sm -^ sm 2 -^ sin -^ sm -^ sm 2 ^ 



510 
et cette fonction attaint ces limites 4 fois: pour 



x = sn , x = sn 
elle atteint la premiere limite ; pour 

aj = sin 2 ^, z = sin 2 ^ 
la seconde. 

9. Passant a la determination des expressions pour 

r, d, 0& B, 

telles que, d apres le 4, la difference 

se reduit a la fonction 



nous portons les valeurs trouvees des coefficients 

V\ IY) 

tf\1 .T2 

dans les Equations (6), ce qui nous donne 

sin ( 9 2 -t- -^ ] d sin o> -t- QI C sin 

sin ^ sin 2 ^- (d 2 r 2 ) O^C sin 

CpA \ - s\ n *& 

cos I cp 9 -<- -7^ ) a cos w -+- O l C cos 

2t I A ** 



CDrt rk . CO 

sin -^ sin 2 -^ (d 2 r 2 ) 0^ sin 

22 2 



En outre, du triangle A B Q C (fig. 4). ou 



il vient 

rf-i-r = 2 sin y- 

En r^solvant cette equation simultanement avec les deux pre"ce"dentes 
par rapport a 

r, d, Of, 



nous trouvons 



(15) 



r = sm ~ 



511 



*"f 



sinco ?2 



En introduisant ces valeurs dans 1 equation (3), nous recevons pour la 
determination de Tangle a la forraule suivante: 



8in 8n 



(16) 



in^f sin* (a, -9,- |) -Bin* & 



Quant au rayon J?, il sera determine par 1 equation (7), apres qu on y 
a introduit les expressions ci-dessus indiquees pour 



10. Quand les valeurs de 

r, d, Of!, B, 
sont ainsi determinees, la difference 

MO, 2 R 2 



se reduit a la fonction 



K [_(p, x+l) l/ 1 - 



ou, d apres (5), 



par suite, selon ce qu on a dit ci-dessus sur cette fonction, la difference 



512 
entre 9 = <p , <p = 9! ne sortira pas au dela des limites 

ain^o-^Bin g^i (d 2 - r*) 0,0 sin^- 



. . A l o 2 

2 sm - sin - sm 2 - 



et atteindra la premiere limite, lorsque 

? = ?o> ? = 
et la seconde, lorsque 



D ou il est clair que, pendant le mouvement du systeme consid^re 
entre les limites 



le point M (fig. 5) ne s eloigne pas du centre O l plus qu a la distance 

Fig. 5. 




C 



qu il atteint pour cp = cp , et ne s approclie de O r plus qu a la distance 



513 

qu il atteint, quand cp = 9^ Par consequent le point M restera entre 
deux circonf6rences concentriques decrites du centre O l par les rayons 

(17) = ^<A, R l = Mfl^. 

Ces rayons representeront les grandeurs limites de la distance du p oint 
M au centre O l . Comme, d apres ce qu on a dit plus haut, la distance M0 l 
atteindra sa grandeur limite R Q = Mf)^ sans la surpasser, quand 



le premier cercle sera tangent a la trajectoire du point M en un point place* 
sur 1 axe de symetrie C!flf , ou 



et en deux autres points, de 1 un et de 1 autre c6te" de cet axe, ou 



Quant a 1 autre cercle, nous remarquons, qu il sera aussi tangent a la 
trajectoire du point M en deux endroits, de 1 un et de 1 autre cote" de 1 axe 
de symetrie, ou 



parce que pour cette valeur de I angle cp la distance 0^/L atteint la limite 
R = M 1 1 , sans la surpasser. Outre cela, sur ce cercle se trouverout les 
extremit6s de la trajectoire du point M, ou il arrive, quand cp atteint sa 
valeur limite <p,; car pour cette valeur de <p la distance M0 l est egale a 
R l = M l O l . Quant aux rayons JR , E^ ils sont lies par une Equation tres 
simple, qui peut &tre ais^ment d^duite de ce que nous avons dit sur les va- 
leurs limites de la difference 

MO* E\ 

En effet, on voit que, d apres les formules ( 10) qui d6terminent ces 
valeurs, entre op = op , cp = <pj la plus grande valeur de la difference 

HO? R* 
est 

8in ?LZ^i 8in2 ?*r^I d 2 _ r2 o C sin 



33 



514 



et la plus petite est 



sin " " sin- 4 

a 



Mais, d apres ce qu on a dit plus haut, on obtient la premiere valeur, 
lorsque 



et la seconde, lorsque 
et par suite 



1 1 1 



sm 



2 gin ^ sin ^ sin* % 
222 



OiO sin 
~d 



d ou Ton deduit, en 61iminant E*: 



(18) 



sin o^i 8in2 ri 



sin 



11. Occupons nous a present de 1 application des formules trouv6es 
a quelques cas particuliers et traitons d abord les cas, ou la ligne brisee 
ABM devient une droite, ce qui arrive si, d apres notre notation, 



CO = IT. 



Comme 1 gquation (14), qui determine Tangle 9,, ne contient pas 
Tangle to, elle reste invariable; les autres formules, apres qu on y a pose 
a) = TT, deviennent plus simples et seront: 



(19) 



sin* 



(20) GO, = 



515 

8in 2?2 

S- ~ 



sin* sin* -*-- sin* 



(21) 



On obtient de ces formules des resultats tres simples dans deux cas 
particuliers, a savoir: 
1) quand on suppose 

GO, = oo, 

et 2) quand on suppose 

y. = TC. 

Dans le premier cas le systeme conside>e donne un mouvement, qui 
est tres proche du mouvement rectiligne, dans le second cas le mouvement 
est proche du mouvement circulaire. 

En nous arr^tant au premier cas, nous remarquons que, d apres (20), 
GO, = oo seulement pour 

/oo"\ , 9o w 

(22) ?a _*.___, 

d oii Ton a 

<p __JL 22. 

En mettant cette valeur de <p 2 dans 1 equation (19), nous trouvons 

/ c\ o \ * TO j-J ^Po 

\ / ~" o "**-* o ^^ _ o A i _ O J 

d oii 1 on regoit, apres avoir elimine sin y, liquation simple 

2 H- r = 3 d, 

a laquelle doivent satisfaire les valeurs de r, d, pour que le systeme consi- 
d6r6, etant compose de trois droites, put donner un mouvement assez proche 
du mouvement rectiligne entre les limites plus ou moins larges. 
Comme le centre 0, pour 

0^=00 

s eloigne a oo, les arcs des cercles concentriques, entre lesquels, d apres 
10, restera le point M dans son mouvement, deviennent des droites pa 
ss* 



516 

ralleles, perpendiculaires a 1 axe de symetrie CM Q et dont la distance mu 
tuelle est e"gale a la grandeur limite de 



pour 

00, = oo. 

En determinant cette limite au moyen de liquation (18) et remar- 
quant (fig. 5) que le rapport 



B J/o^i OiCCM Q 

pour 

0^=00 

se re"duit a 1 , nous trouvous que cette limite est egale a 

8in *>-9i 8in 2 *-*i (d* - r*) sin 
122 ^ 



2 . 9 . p, <p, 
sin - sin - sin 2 - 



Done, repr^sentant par D la distance mutuelle des paralleles, entre 
lesquelles est enferme e la trajectoire du point M dans le cas consider^, 
nous trouvons pour D la formule: 



8in OTL! 8 in2 - l (d* - r*) sin 

_ f _ f __ 1, 



qui, apres qu on y a introduit les valeurs de <o, <p a , r, d ci-dessus indique*es, 
devient 

(l - sin f ) sin Stp . rttf -*- * 

(24) D=2i- 



Quant a Tangle a, nous recevons de liquation (21), en y mettant 

^ 



Y au lieu de cp,-t--^, 1 expression 



^jBLp^ac^ 

(25) sin4= . 2 



sm- ^ sm* 

2 \ 4 



12. Les formules trouvees contiennent outre Tangle <p , qu on sup 
pose donne", encore Tangle 9^ qui doit 6tre trouv6. 

Afin de determiner cet angle nous deduisons des Sgalites (22), (12) 

m Jl__io . _JL__ii 

T2 2 2 TS - 2 2 



517 
ce qui doune 



1 sin 1 sin 



92 __ 1 cos <P 2 _ _ 2^ 2 __ 
y 2 2 Sm T 



En portant ces valeurs de 



^ sin 2 ^ 

2 > S 



dans la formule (13), nous recevons liquation 



d ou il suit 



= l sinf- 



En nous fondant sur cette egalite et sur liquation (23), qui donne 



nous trouvons 



Sm = 



sm-7r = 



2 3 

mais d apres les egalites 
(26) si 

nous recevons 



l-r 

~~ 



Sin 



7T - ffl ft - 2cp 



ft - 2cpi -71 - CDA-I-2CP, 1 1 fit CpA\ 

- l -sm- -?L ^i^-cos^ T cos( Y f) 






2 9 

D apres ces e"galites et d apres les equations (26), qui donnent 



518 
nous pouvons representer la formule (24) comme il suit: 



27 m \ 9o~ H 9i o 
(2 -H r) sm T " Y1 sm 2 



ou le num6rateur ne contient pas les angles cp , <pj. Afin de les Slimmer du 
denominateur, nous remarquons que 



i [ 



= | [sin f - sin 2 f -*-2 sin 2 1 



cosf -H^ 



d ou, apres avoir porte les valeurs ci-dessus trouvees de 



^, sin^-, cosy, 



nous d^duisons 



(5 2r) 3 (1 H- 2r) -4- 4 / (2 H- r) 3 (1 r)J; 



par suite, Texpression pre"cedente de D se reduit a la formule 

^. (4r 1)3 

~ (2 -H r) |V(5 2r) 3 (1 -t- 2r) -4- 4 Y(2 +- r) 3 (1 r)] 

On determine ainsi la distance mutuelle des deux paralleles, entre les- 
quelles reste le point M pendant le mouvement du systeme considere, quand 
Tangle 9 ne sort au dela des limites cp = <p , cp = 9^ Dans ce cas, comme 
nous Tavons vu, la valeur limite de Tangle A OA se deduit de liquation 
(25). En y introduisant les valeurs ci-dessus indiqu6es de 



sn 



et ayant egard a ce que, d apres (26), 

. 90 i-*-2r 

nous trouvons liquation suivaute pour Tangle a, la valeur limite de Tangle 
A OA: 

. a a 4r 1 
S11T -r- = 



2 r(2-i-r) 



519 

On en voit que dans le systeme conside re le rayon r doit surpasser */ 4 
et qu a mesure que r s approche de y 4 , la valeur de Tangle de rotation du 
rayon OA, pour laquelle le point M reste entre les paralleles ci-dessus 
indiquees, decroit. De plus, comme on voit de la formule, qui determine la 
distance D, ces paralleles se rapprochent rapidement, et par suite les de 
viations liinites du point M de la ligne droite decroissent aussi rapidement. 

13. Passant a la supposition 



a = TT, 



nous remarquons que pour cette valeur de a les positions limites du rayon 
AO de 1 uu et de 1 autre cote de la ligne des centres GOA^ coincident avec 
cette derniere (fig. 6) ligne, et par consequent les positions limites du point 
M sur chaque cot6 de 1 axe de symetrie GM doivent coi ncider sur cette 
axe. Comme, d apres le 10, les extremite"s de la trajectoire du point M 

Fig. 6. 




se trouvent sur le cercle de"crit du centre O l par le rayon ^ = Mfl^ leur 
coincidence doit se faire sur ce cercle et en ce point le cercle sera tangent 
a la trajectoire. A cause de cela et tenant compte de ce qu on a dit en ge 
neral sur la trajectoire dans le 10, nous concluons que dans le cas parti- 
culier, quand 



le point M decrira une courbe fermee, restant entre deux cercles concentri- 



520 

ques de*crits du centre O l par les rayons E 1 =M 1 IJ R = M n O^ d ailleurs 
on aura sur chacim d eux trois points de tangence: un point sur 1 axe de sy- 
me*trie M0 et deux points de 1 un et de 1 autre cote" de cet axe. II est facile 
de voir que cette courbe ne peut s eloigner du cercle decrit du centre O l 

7? 1 7? 7? __ 7? 

par le rayon -^ l - plus qu a la distance -^ - 1 , et sera par consequent 

7? 7? 

peu distincte de ce cercle, si -^-y- 1 differe assez peu de zero. 

Pour appliquer a ce cas les formules deduites dans le 11, posons 

a = it. 
Pour cette valeur de a 1 equation (21) donne 



= 1 

sin 2 ^ sin 2 ( 9 2 -H ) sin* ^ 

d ou il suit 



^ sin T -^ 7 r L1 sin ^-^ sm <p,-+-^- = sin* ^j 



3 - * 



En y mettant au lieu de 

sin 
la difference 



on regoit liquation 

sin 2 y sic 

qui donne 1 une des deux relations: ou 

sin Y si 
ou 



Cette derniere e*galite donne, d apres (19), 



et alors le rayon r ne peut pas accomplir un tour complex autour du centre 
0; on doit done admettre la premiere Sgalite": 

(27) sin si 



521- 
en remarquant que, d apres (12) et (13), 



-..a 



on revolt 1 equation 

(28) sin f sin (? 3 -t- ^) = si 



sin 



En s appuyant sur les deux deruieres egalites, on peut trouver sans 
peine une formule pour determiner Tangle 



(29) 

d apres Tangle 

(30) 



= 



> -t-^i 

rs^ 2 



I JJ[_ 90-*"?! 

T 2 



au moyen duquel, comme nous le verrons, on regoit des expressions tres 
simples de toutes les grandeurs qui se presentent dans le cas considSre. 

En effet, les equations (27), (28), apres qu on y a introduit au 
lieu de 



. 
2 > 



_*_L 

TS ^ 



et 



au lieu de ^ a , cp 3 , donnent 



2 



sin sin 6^ = sin , 



(31) 



En soustrayant ces Sgalites Tune de Tautre, nous trouvons 

( sin _ sin li) sin e = sin* (1 - ^) - sitf (| - 
ce qui se reduit a 

(sin ^ sin ^-j sin = (cos y cos ^\ cos ^. 

II s ensuit de la que 



cos - cos - 



tang 6 = 



522 
ce qui suppose 



^ 



ou n est un nombre entier. Pour determiner ce nombre remarquons que, si 
cp , cp n <p a , <p g sont positives et ne surpassent TT, 1 augle 



4 

est compris entre et , et Tangle 



q 

entre et --; par consequent la somme 



doit tre comprise entre et 2u et dans 1 egalite d6duite le nombre n ne 
peut avoir d autre valeur que celle-ci 

n = 1; 
done 



ce qui se reduit, d apres (30), a l 6galite 
(32) = i-*-ty. 

En revenant aux equations (31), divisons les 1 une par 1 autre, apres 
y avoir remplace 



par 



2 

Nous trouvons ainsi 



d ou il vient 

sin f - sin f = cos (o - f ) sin f - cos (d f ) sin f 

= | [sin (^ ?1 )_ sin 



523 



ou encore 



ce qui donne 



sin y sin y = cos 1 6 



sin^ojp, 



cos 



= cos ( 



e 



cos 



<Po ! 



Et comme, d apres (30) et (32), 



cette egalite se ramene a la suivante: 



sin fy = sin 3^ . cos 9o ~ 91 > 



d ou nous trouvons 



(33) 



COS 



<po 9. sin 

__ 



__ , 
siii 3<|> 







To ?i 
~~~ 



=y 



sin 2 ^ _ sin 2^ "^2 coa 



sin 



14. Afin de determiner les valeurs de 



remarquons que dans le cas considere en vertu de 1 egalite (27), les equa 
tions (19), (20) donnent, 

r==sin sin = 2 cos ^ S i n 2o, 



- = 2 COB 



sn 



CO, = (sin f -i- sin |) tang <9 = 2 cos ^p sin ?^P tang 6^; 
d ou, apres avoir introduit les valeurs ci-dessus trouvees de 



il resulte 



_ 2 sin <]; sin 2vJ> V2 cos 2^ , _ sin 2^ ps\ _ 

~ ^^ ~ = 



2 cos 2 
sin 3 



La derniere formule determine la position du centre O l des deux 
cercles concentriques, entre lesquels est enfermee la trajectoire du point M. 
Les rayons jR , B l de ces cercles ont, d apres le 10, les valeurs suivantes 

1*0 = 0^0, ^ = 0^. 



524 

En remarquant que dans le cas actuel (fig. 6) 

0,M = CO, CM , 0,M, = GM l GO, , 
nous deduisons de ces egalitSs 

R = CO, CM,, E, = CM, CO,, 
ce qui nous doniie 



2 i 2 

En y introduisant la valeur de CO, ci-dessus indiqu6e et remarquant 
que les triangles CB Q M , GB,M,, dans lesquels 

CB = B Q M Q = GB, = B,M, = 1, 
CB M = u A n B Q G= Ti cp , GB, M, = K A,B,C= ic <p x , 

donnent 

CM = 2 cos f , (71^ = 2 cos ^, 
nous regevons 

SL^ = cos ^ cos |= 2 sin <*Jp sin ^-S 

^=^- COS T- C < = ^- 2 ^ 
Apres qu on y a introduit les valeurs de 



444 

ces formules se ramenent aux suivantes: 

E JR 2 cos 



sin 



d ou Ton voit que Tangle <\> ne doit surpasser -J-, et que les valeurs de 

Rp RI 

2 
ainsi que de 

I?o -+- R, 



2 

diminuent, a mesure que Tangle ^ s approche de -|-. 

D ailleurs la premiere grandeur s approche du zero beaucoup plus 
vite que la seconde; done, a mesure que fy s approche en croissant de -J, 
le rapport de la premiere grandeur a la seconde tend au zero; a cause de 
cela la trajectoire de M, pour des valeurs de ^ assez proches de -, repre- 

sente une courbe, qui differe peu du cercle. A mesure que Tangle ^ devient 
plus petit, le rapport 

RQ RI , RQ -*- RI 
2 * 2~ 



525 



augmente, et la trajectoire du point M se modifie, passant d une courbe, 
qui est peu distincte d un cercle, a une courbe cordiforme (fig. 7). 

Fig. 7. 




15. Nous avons montre" dans les derniers quelques applications 
des formulas ge"ne>ales aux cas particuliers, quand la ligne bris6e ABM 
devient une droite. Occupons-nous a present de 1 application de ces for- 
mules aux differents cas, ou la ligne ABM reste une ligue brisee, et com- 

menQons par supposer que 

0^=00, 



ce qui a lieu, d apres (15), lorsque 
(34) w = 2 



Apres avoir introduit cette valeur de co dans les formules (15), (16), 
nous trouvons 



(35) 



r=sm -^ 



sin 




sin 



(36) 



ou (p a est un angle auxiliaire, qui peut tre exprime 1 en fonction des angles 
<p , 9i par les Equations d6duites dans le 7. 
Supposant en partlculier 



526 
portons cette valeur de a dans la formule (36), ce qui nous donne 



sm " ^ * sm 

j . j j 



Cette Equation est identique a celle que nous avons trouve"e dans le 
13 pour le cas to = ic, et au moyen de laquelle nous avons de"duit des for- 
mules generates les relations 



sin sf- 



ou 

1 1, - - JL _ 90"*" ?i 

~ 2 ~ 4 



nous concluons done que ces egalites auront lieu aussi dans le cas actuel. 
En vertu de ces 6galite"s on revolt, d apres les equations (34), (35): 



= sin? sin = 2 cos *La sin 2 sin ^ sin 2 c s 



OILl ^T ** V>Vf>3 i OiLi . . I 

22 4 4 sm 3<y 

d = sin i- sin -~ = 2 cos j - 1 sin r - := ^ 

Dans le cas conside"re, ou 

a = 7c, 

les positions limites du rayon OA, lorsqu il tourne dans 1 une et 1 autre di 
rection, coincident, sur la ligne du centre 00 (fig. 8), et par consequent les 
extremes de la trajectoire du point M coincident a present, de m6me que 
dans le cas pre"ce"dent, sur 1 axe de symetrie CM , et cette trajectoire re- 
presente une courbe fermee. II est clair, de cequ on amontr6 dans le 10, 
que cette courbe est limitSe par deux droites paralleles, proveuant, d apres 
TSgalite 

C0 l = oo, 

des arcs circulaires de"crites du centre O l par les rayont 72 , JR^ et que 
chacune de ces paralleles est taugente a la trajectoire du point M en trois 
points: sur 1 axe de symetrie CM Q et de chaque cote de cet axe. Cette courbe 
est d autant moins diffe"rente d une droite, que les paralleles, entre lesquelles 



527 

elle est enfermee, sont plus proches 1 une de 1 autre. Pour determiner leur 
distance mutuelle, remarquons qu elle est egale a la distance des points M , 

Fig. 8. 




M l de 1 intersection des paralleles avec 1 axe de syme trie CM~ , ou ces pa- 
ralleles sont tangentes a la trajectoire consid6r6e. Des triangles isoceles 
(f 15 ou 

GB = B M Q = GB, = B& = 1, 



CB M , 



co 



, 



= to 



on a 

(37) 

done la distance des points M Q M l se determine par la formule 
M^ = CM l CM Q =2 sin 2Ljp!_ 2 sin ^? 

qui se r6duit a 



= 4 cos | lEoiii sin ?o=9! ; 



d ou, apres qu on y a introduit les valetirs ci-dessus montrees de 



to 



sm 



528 

on trouve 

MM 4 sin 

* sin 3<j; 

On voit de cette formule que Tangle <j ne doit surpasser ~ et qu a 

mesure qu il s approche de -^-, la distance mutuelle des paralleles, entre 
lesquelles s accomplit le mouvement du point Jf, quand le rayon AO tourne 
autour du centre 0, diminue; a cause de cela, le point Jf, quand vp est 

assez proche de -^ , s ecarte peu de la droite, qui se trouve entre les paral 
leles a la m&me distance de chacune d elles. 

16. En parlant du cas, ou le rayon AO accomplit un tour compl&t 
autour du centre 0, nous avons fait des suppositions particulieres concer- 
nant 1 angle entre les deux parties de la ligne brisSe ABC ou la distance 
des centres <?, O r Nous allons montrer maintenant 1 application a ce cas des 
formules generates, en ne faisant aucune hypothese spSciale. Les equations 
qu on regoit ici seront plus compliquSes que les precedentes; mais elles se 
prSsenteroiit sous une forme, qui est commode pour le calcul. 

Afin d appliquer les formules deduites dans le 9 au cas, ou le rayon 
AO accomplit un tour complet autour du centre 0, posons 






Pour cette valeur de a liquation (16) donne 



En determinant d apres cette equation la valeur de 

sin(o>- ?2 -f), 
nous trouvons 



Et comme, d apres (15), pour une valeur negative de 

in(co-cp 2 f 



sn 
il vient 



529 

ce qui empSche au rayon r d accomplir un tour complet, nous conservons 
dans Tegalite obtenue seulement le signe -+- et prenous 



(38) 



S n 



(co- ?2 f) = - 



En introduisant cette valeur de sin (<o <p a -^1 dans WfjnttkHi (15), 
nous trouvons 

r = sin % sin ?r = 2 sin 9o ~ ?l cos <p * <p| , 



(39) 



= s in 29. H- B in = 2 sin 



= 2 



sn (o ? 



Sin <Po-*--rr 



sn 



cos 



cos 



ou cp 2 est un angle auxiliaire, dont la valeur peut etre determined d apres 
les angles <p , <pj par les equations donnees dans le 7, tandis que Tangle 
co se determine par 1 equation (38). Et comme pour Tangle co toutes les 
valeurs entre et 2rc sont possibles, on regoit d apres cette equation deux 
valeurs de o>, dont Tune donne 



tandis que Tautre fournit 



cos 



(co- ?2 -f)>0. 



Pour ces deux valeurs de to on obtient deux systemes, dans lesquels la 
trajectoire du point M reste entre deux cercles concentriques decrits du 
centre O l et tangents a la trajectoire en trois points. Mais ces trajectoires 
representent des courbes de forme differente, selon que 



ou 



COS to 



COS 



(co ?2 1 



La diversite de forme de ces courbes apparait clairement, quand on 
determine la position du centre O l par rapport aux points de leur inter 
section avec Taxe de symetrie CM Q . 

17. Pour evaluer la difference 

CO.-CM,, 

84 



530- 
qui determine la position du centre O l par rapport au point M Q (fig. 9), nous 

Fig 0. 




de*duisons du triangle isocele CB Q M Q , ou 

GB = B M = 1 , 

GB Q M = A Q B M Q A B () G= co 90, 
la formule 



Cette egalite jointe a la valeur de C0 l donne, d apres (39): 



\ CM = 



2 sin 



cos 



sm co c? 2 -^ 
4 \ 2 / _._ <o <p 



2 sin 



- . 

2 sm 



sm 



Pour simplifier cette formule, remarquons que 

2w 5>n-/ <PnW\ / 

sm J sin (^9 a -- ^ Y j = cos (^ 

= cos ( w <p a ^\ cos ^ -H sin I w <p 2 ^J sin ^ 
2 sin 



cos 9 2 
cos 9 2 



li cos 21=121=: sin 



sn - 



531 
ce qui la re"duit a la forme: 

9i / 9o\ ?o / 9o\ 

sin ** sin I <o <p 2 -77 ) -+- cos 9 2 cos -77 cos I <o <p 2 ir I 

^ \ 2 I J \ J_. 

- ^~ 

y 2) 



sin 

d ou, rempla^ant, d apres (38), 

sin (to cp a 
par 



?i 

3m i 

nous trouvons 

sin* -^f -+- cos cp, cos -^ cos I w ? 2 ~ g ) 



et finalement 

cos^ 

(40) 0^-0310 = - 

s 

De la meme maniere nous trouvons 



- COS COS o> - ? - 



On voit directement d apres ces formules que, si 

C0s(co ?2 f)<0, 

les differences 



ont le m^me signe. En remarquant que cela ne peut avoir lieu, si le centre 
O l se trouve entre les points Jtf , M 19 nous concluons que ces points doivent 
etre poses de Tun cote" du centre O n si 

cos(co ?2 ^)<0. 

Pour ce qui concerne le cas 

cos(<o- ?a -f)>0, 

on voit d apres la composition des formules (40), (41), que pour les valeurs 
positives de 



84* 



532 

les signes des differences 

C0! CM , CO, CM, 

dependent des limites, entre lesquelles sont enferm6es ces grandeurs, 

Pour trouver ces limites, remarquons que, d apres ce qu on a dit dans 
le 5, les angles <p a , <p 3 doivent etre compris entre les angles <p ? <Pi> ou 
9o > ?i P ar su ^ e nous aurons 



8in ?lL 



D ou il vient 



2 2 

et comme, d apres (13), 
la derniere egalite donne 



sin* 



sm 



En remarquant que, d apres (38), 

sin ^ 

(ffi/\\ 
co <p n 



nous tirons de ces in6galit6s: 

sin(o- ?2 f)>sin|, sin((o ?2 f ) < sin | 
ce qui, pour 



cos 



donne 



( w 9a 1)>0, 



COS 



(co - ?2 I) < COS |, COS (ft) - ?2 I) > COS | 



D apres ces inegalites, qui determinent la limite supe>ieure et la liraite 
inferieure pour la valeur de 

((0 ?2 ^), 



COS 

nous recevons 



COS 2 | COS f COS (o. ?2 |)>COS 2 | COS fe COS |, 
COS 2 f COS I COS ((0 ?a I) < COS 2 | COS ^ - COS |; 



533 
d ou il vient 



C o S * ! cos | cos (co- ?2 1)> 0, 
cos 2 1 cos | cos (to 9 2 f)< 0, 



parce que <p a <9 , ? 8 >?i- 

Les megaliths ci-dessus deduites font voir qu en determinant les dif- 
fe"rences 

GO, CM,, CO, CM, 

d apres les formules (40), (41), on regoit pour elles, dans le cas 

cos(co ?2 1)> 0, 

des valeurs de signes contraires; mais pour que cela soit ainsi, il faut, d apres 
la composition de ces differences, que le centre O l se trouve situe" entre les 
points M , M l (fig. 9). On en conclue que la position du centre 0, par rapport 

aux points M Q , M l change avecle changement du signe de cos (co <p 2 -^V 
Si 

(co~ ?2 -f)>0, 



C0s 



le centre O l est situ6 entre les points M 0l M^ mais si 



les points Jf , M l se trouvent du m^me cote du centre 0^. 
18. En nous arr^tant au cas 

cos(a>_ ?2 -f)<o, -- .r v .- e 

quand les points M , M^ se trouveut du m^me cote" du centre 1? et 
sant qu ils sont situes plus has que celui-ci (fig. 10), nous trouvons 



1? et suppo 



= CO, CM, , 0,M, = CO, CM, ; 

et en consequence, d apres ce qu on a dit dans le 10 sur les cercles con 
centriques, entre lesquels est enfermee la trajectoire consideree, nous rece 
vons pour les rayons ^ , E, les egalites suivantes: 

R, = 0,M, = CO, CM,; 



534 



d oii il vient 



CM l 



Fig. 10. 



0, 




Mettant ici les valeurs de 



nous recevons d apres (37), (39) 



CM 



, 



-H JB 



2 sin 



cos 



sin I co 9, ~ 
4 * 2/ __ sin fiH8 _ q : n w^Jk 



sm 



Y-^^sm-^- 



ce qui se rMuit aux formules suivantes: 



<Po-*~9i 
4 



535 

Nous les avons trouvees en supposant que les points M , M, sont situes 
plus bas que le centre 0,. Dans 1 hypothese contraire, nous recevons les 
m6mes formules, mais accompagne es du sigue . Done, pour embrasser les 
deux cas, prenons les formules avec le double signe . Dans les formules 

2 sin cos - sin I 9 2 ~r 



90 9t 



10 <Po-*-9i\ 
~2~ ~~l / 



ainsi obtenues il faut garder 1 un ou 1 autre signe, ce qui se determine par 
la condition que la demi-somme 

J?o -+- R l 

2 

ne peut pas e"tre negative. 
Passant au cas 

cos((o- ?2 |)>0, 

quand, d apres le 17, le centre 0^ est situe* entre les points Jf , Jf 15 et 
supposant (fig. 9) que le point M Q est au-dessous du point M l , nous trouvons 

O.M, = GO, GM Q , O.M, = GM l CO, , 
et par suite, d apres le 10, nous aurons 

JB = CO, CM" , B l = CM, CO,, 
ce qui donne 

RO + RI _ CM, CMp RQ RJ __ ^^ _ CM Q -f- CM t 
2 ~~2~ 2 ~ OU 1 2 

Si nous comparons ces egalites avec celles que nous avons regues pour le cas 

cos(co- ?2 f)<0, 
nous remarquons qu ici on a pour la demi-somme 

RQ -t- Rj 



2 



la m^me expression, qu on a trouv^e plus haut pour la demi-difference 



2 



et vice-versa. Done, en appliquant les formules ci-dessus trouvees au cas 
considere, nous aurons 

I__ o : n 9o ~9i pn 

~~ " co 



CO On 9| . /CO 

in p.ns sin I m_ 



. 
sm -- cos sin 



536 

Ces formules concernent le cas, ou le point M l est situe au-dessus du 
point M Q . Pour la position inverse des points M , M 1 on regoit les monies 
formules, mais avec le sigiie ; et par suite nous aurons en general 

= 2 sin ^^ cos ( 2L 



0) fflA 0)| 

sm -cos * 



J?0--Rj __ -4- o 2 4 



ou il faut retenir celui de deux signes , qui donnc pour 



une valeur positive. 

Les formules deduites contiennent, cornme cas particuliers, les for 
mules que nous avons trouvees dans les 13 et 14, en supposant que 
Tangle ABC est egal aux deux angles droits, et dans le 15, ou nous avons 
suppose" que la distance Of est infinie. Les premieres de ces formules pro- 
viennent des formules generales, qui ont lieu pour 

cos(co ?2 f)> 0, 
et les autres de"rivent des formules obtenues dans le cas 

. . CO, 

On retrouve les premieres formules pour 

co = ir 



Nous avons vu que dans ces cas particuliers la trajectoire du point M 
pre"sente deux formes differentes (fig. 6, 8). Dans le cas general on obtient 
aussi des trajectoires de deux formes differentes, selon le signe de 

cos(co 9 2 -|p). Si 

cos(co- ?3 -f)>0, 

la trajectoire a la forme de la courbe, dont nous avons parle dans les 13 
et 14. Mais si 



?2 -<0, 

la trajectoire sera une courbe semblable a celle, dont nous avons parle dans 
le 15, mais avec cette difference, qu ici (fig. 10) les droites paralleles 



537 

sont remplacees par des arcs des cercles conceutriques, decrits du centre O l 
avec les rayons Z2 , R lt 

19. Dans les precedents nous avons considere le cas, quaud Tangle 
A OA varie entre les limites les plus larges, passant de TT a -*- u. 

Occupons nous a present du cas contraire, en supposant que Tangle 
A OA reste entre les limites infiuiment proches de zero. Supposons pour 
cela que a, la valeur liraite de Tangle A Q OA, reste infiniment petite. On voit 
de liquation (16) que pour une valeur infiniment petite de a la difference 



est aussi infiniment petite; done, en negligeant les grandeurs infiniment pe- 
tites devant les grandeurs finies, nous aurons dans le cas conside re 

<Pl = ?0 

et par suite 

? 2 = c po; 

parce que, d apres le 5, Tangle cp 2 doit e"tre compris entre les angles <p , cp r 
Substituant ces valeurs de y lt cp 2 dans les equations (15), nous recevous 
pour r, ti, G0 l les formules suivantes: 



r = sm 



9o / w \ / w 

2 81 nf cos(-- 9o sm( y - 

- 



3c?o\ 
sm | co ~? I sin I co 

* / \ a 



V 2 2 

Si nous remarquons que pour ces valeurs de <p 1? tp a il vient 



nous de"duisons de Tequation (16) la relation suivante entre les angles iiifi 
niment petits a et cp cp^ 



sm 9 

" 9o~9i 



538 



ce qui donne 



2 sin cp sin 2 I co ^ ) 

V 2 / 



sin (to 9 ) sin (<o 2cp ) 
4 cotang ^ sin* f ^ 



Passant a la determination du rayon R d apres le 10 et supposant 
(fig. 11) que le centre O l est au-dessus du point M Q , nous trouvons que 

E = O.M, = GO, CM,. 

Fig. 11. 




Introduisant ici la valeur de (70 1 ci-dessus trouv^e et changeant, d apres 
(37), GM en 2 sin (0 ~ 9 , nous recevons 



/ \ / \ 

^2sin^ C 03^--9o)sin^---^j 



Oil! 



to 9 



cos -^ sin 



2 sin 



Nous avons d^duit cette formule, en supposant que le centre O l se 
trouve au-dessus du point M . Dans I hypothese contraire, nous trouverons 
la me me forniule, mais avec le signe , de sorte que pour embrasser les 
deux cas, nous ecrirons cette formule avec le signe double. 

Dans la formule 

9o / w \ 

Zf- sm - -- 9 
2 \2 "/ 



(43) 



= 2 sin 



to y 



cos 



539 



ainsi obtenue, il faut conserver le signe, qui donne pour jR la valeur 
positive. 

Ayant le rayon .R , on pent, d apres la formule (18), determiner le 
rayon E i par 1 equation 



siQ Sin2 <jt _ r2 C0 8in 





sm ^ sin -^- sm -^ 
2 2i 2 



Dans le cas considere les differences <p <p 1? (p a ^ ont des valeurs 
iufiniment petites. Pour trouver leur rapport, posons 

?o ?i = A, ? 2 ? 1 = A 1 , 
ce qui doune 

ft = 9o A, 9 a = 9 A -H Aj, 

et par consequent, on regoit, d apres (14), 1 equation suivante entre les 
grandeurs infiniment petites A et Aj : 



9o A-*- A, 1 

cotang S l = 



sm 
4 



D^veloppant suivant les puissances de A, A x et nous bornant aux infini 
ment petites du premier ordre, nous recevons de cette Equation 



ce qui, d apres notre notation, donne 

<? 3 ?i = T^~" c Pi) > 
Substituant cette valeur de <p 2 cp x dans 1 expression 

sin 90 ""*! sin2 ^"^ 

Sm 2 Sm 2 (d-fgj CO, 



sin sin sin2 

^ Z 2 

et remarquant, d apres les valeurs ci-dessus trouvees de <pj, cp a , r, (?, 

(d2 y2) CQ 1 _ _ 4 _ 

j ?o ?i o 9a "" ?0 /^9o w V 

d sm | sm & nn. S sm S sm (-j*j) 

nous trouvons, exactement jusqu aux puissances de <p ^ du troisieme 
degr6 inclusivement, 



sm 



r 2 ) C0 l sin (<? cp tf sin 

m . 1> & 



9n 9 1 o 9? 32 . cp n 

sm -^ sm -^- sm 2 ~ sm -^ 



540 
par suite Tequation, qui determine H*, donne avec la rn&ne exactitude 

, (?0 ?l) 3 sin -9 i ^0 ~~ ^i) 3 8m ~9 

-- n T o 75 T> 

k i h- 



32 ?0 . /3 ?0 f>\ x ~ 64 . cp . 

8m 8m j _ _ sm ^ 8m _ _ _ 



II suit de la derniere egalit6 



128 . <Pn 
sm -^- 



ce qui presente la limite sup6rieure de la deviation du point M du cercle 

7? *- 7? 

decrit par le rayon - et ayant pour centre O l dans le mouvement du sy- 
steme consid^re, quand Tangle a reste entre cp = <p , 9 = cpj. 

Substituant ici la valeur de <p cp x d apres (41) et la valeur du rayon 
R Q d apres (43), nous trouvons pour cette limite 1 expression suivante: 

sin sin. 2 -^ sin 3 (to <p ) sin 3 (w 2<po) * 6 

1 2t 2t 

16384 . 9 (o cp , co 29 , 3? \ 
cos 4 -^ sm sin ^ sm 6 I co ^ I 

ou a est la valeur limite de I angle A Q OA. D ou 1 on voit, qu a mesure que 
Tangle a tend a s annuler, ces deviations diminuent tres rapidement, et par 
suite pour de petites valeurs de a la trajectoire du point M differe tres peu 

7? I 7? 

de Tare du cercle decrit du centre O l par le rayon ^ l . 

Les formules que nous avons d6montr6es repr^sentent la limite, a la- 
quelle s approchent les formules g6nerales, quand Tangle a tend a s annuler et 
peuvent servir a la resolution approximative de diverses problemes qui con- 
cernent le systeme consider^, quand Tangle a est assez petit. 



26, 

SUR LES EXPRESSIONS APPROCHEES 

DE LA RACINE CARREE D UNE VARIABLE 

PAR DES FRACTIONS SIMPLES. 

(TKADUIT PAR C. A. POSSE.) 



(Lu le 14 mars 1889.) 



(Traduit par A. VassiHef, a Kasan. Annales scientifiques de 1 Ecole Normale supe- 
rieure. Ill serie, XV, 1898, p. 463480.) 



SupaofccniaozK ASadpamnazo jiopust, 
wpwis npocmiiji dpo6u. 



KtLXI TOMy SanncoKi, HMnepaiopCKofi AKa^eMin HayKt, }& 1, 1889 r.) 



mitte/st zinfacfitt, 

(Ubersetzt von O. Backlund. Acta mathematica. XVIII, 1894, p. 113132.) 



Sur les expressions approchees de la racine 
earree d une variable par des fr actions simples. 



1. Dans 1 evaluation des quadratures on est souvent oblige de rem- 
placer les fonctions offrant des difficult^ a l intgration par leurs expres 
sions approchees. Lorsqu une difficulte pareille provient de la presence d un 
radical du second degre", on pourra employer tres utilement 1 expression 

approche e du radical 

1 /T 

par une fonction de la forme 



Cm /~i / 

2-t-X C n -t-X 

qu on obtient a 1 aide du premier theoreme de"montre dans notre Me"moire, 
sous le titre: Sur les questions de minima qui se rattachent a la represen 
tation approximative des fonctions *). Quand on se propose de dimiuuer 
autant que possible la limite de 1 erreur relative pour toutes les valeurs 
de ic, de x = 1 a x = h > 1 , la meilleure representation du radical 

]/J ,-,.:.,:,:::,;;,::, 

par une fonction de la forme 

A -+- : * * - B 



C z -t-x C n -t-x 

sera celle, pour laquelle les rapports 



VT 

T X 



A 

- 



A-+-- 



x C 2 -*-a; C n -*-x 

s ecartent le moins possible de 1 entre x = 1 , x = h. 



*) T. I, p. 273378. 



544 
Nous pouvons trouver une telle representation du radical 



aii moyen du the"oreme raentionne"e ci-dessus, en 1 appliquant a la d6termi 
nation des valeurs 

A, BH B%,...B n , (7 n <7 3 ,...(7 n , 

Vc,, i -.-i ^-: . *** - -;.-- * J -. *. *. <V" 

pour lesquelles le logarithme du rapport ^v* 



A , 
OU 



s ^carte le moins de 0, x variant de x = 1 a x = h. Supposant que dans 
1 intervalle x = 1 , x = h les valeurs extremes de ces rapports soient 



nous nous convainquons, en vertu du theoreme mentioune, de la possibilite 
d approcher ces limites a 1 par un changement convenable des 2n -+- 1 
quantites 

A, BH B<t,...B n , C n C 2 ,...C n , 

qui figurent dans la fonction 







y^ 

si, dans 1 intervalle de x = 1 a x = li, elle atteint les valeurs extremes 

moins de 2n -+- 2 fois. 

II en resulte que la plus grande approximation des limites 



545 
a 1 unite ne peut avoir lieu que pour de telles valeurs 



pour lesquelles la fonction 

(1) y = V[^ H_-*L_ 

dans 1 intervalle 



atteint au moms 2w-t- 2 fois les valeurs /, y, sans les frauchir. 

Nous allons montrer maintenant comment d apres cela se determine la 
quantite I et la fonction y, qui donnent la solution de uotre probleme. 

2. Comme la fonction /, se reduisant a I ou y pour une valeur de 
x entre x = 1 et x = h qui ne rend pas 

^ = 
dx 

et qui est differente de 

a?=l, x = h, 

depassera evidemment les limites /, y, ils doivent exister, d apres ce qui 

precede, au moins In -+- 2 differentes valeurs de x, dans 1 intervalle de 
x = 1 a # = ft, susceptibles a verifier 1 equatiou 

(V f] (1 Pjf) = 
en meme temps que 1 equation 



dont les premiers membres represented d apres (1) des fractions rationuelles 
au denominateur commun 



et aux numerateurs de degre 4n-+-2. 

Or d apres la constitution de ces equations il est clair que leurs racines 

communes autres que 

x= 1, x = h, 

doivent 6tre racines multiples; par consequent ces equations ne peuvent 
avoir lieu simultanemeut pour 2w -t- 2 differentes valeurs de #, sans avoir 
4w -*- 2 racines communes, egales ou iuegales, ce qui suppose leur identite, 
car d apres ce qui precede, elles se reduisent a des equations de degr64w-i-2. 
Or ces equations ne peuvent 6tre identiques que sous la condition 



35 



546 
ou C est une constante; d ou il re"sulte liquation differentielle: 

dy dx 



(2) 



_ X ) (ft _ 



Parmi les diverses fonctions ?/, qui satisfont a cette equation pour des 
valeurs quelconques des constantes I et (7, il est facile de distinguer celle 
qui donne la solution de n6tre probl&me. 

Remarquons dans ce but que d apres (1) 1 egalite 

^ = 

dx 

se reduit a une equation de degre 2n, et par consequent la dSrivee ^ ne 
peut s annuler plus de 2w Ms, depuis x = jusqu a x = -+ oo. 

Or d apres ce qui precede elle se reduit a zero au moins 2w fois dans 

1 mtervalle 

x = 1 , x = h 

done elle ne peut point s annuler dans les intervalles 

x Q, a?<l, 
a;>^ ? a; = -f-oo, 

tandis que dans 1 intervalle 

x= 1, x = h 
elle doit s annuler 2w fois. 

En vertu de cela, 1 equation (2) donne entre les integrales definies 



r 1 r h 

_ fa _ 

Vx (1 x)(h x) yx(x 

J J l 



f dy 

y(l 2 y z )(i-i 2 y 2 ) 
J 



dec 



dy 



la relation suivante 
.1 



r r 

f a ^ f 

I V(i*-y*JU-iy) 

J 



Vx(l-x)(h~x) 

(3) 



547 

3. A 1 aide de cette egalite il est facile de calculer la valeur de I 
d apres la valeur du rapport des integrates 



dx \ dx 



Vx (1 a;) (h x) Vx (x 1) (h x) 

J l 

Parmi les diverses formules, dont on peut faire usage, nous allons 
choisir dans le cas actuel celle qui suit: 

(4) P=l- 16 



= 1 16 



= -00 

OU 



<=-co x 

/ S g2 (zn-t-i) t (zi-t-i) \ 

I ^=-*-co I 

<=-*-oo | 

\ S g( 2n - t - 1 ) < (*<-*-!) / 

^ . = -00 



Vx (1 x) (h 

TT 



r 



da; 



Cette formule fait bien voir avec quelle rapidite, lorsque le nombre n 
augmente, les quantit6s Z, y s approchent de 1 unitS, et par suite 1 erreur re 
lative de la formule 

T) T) ~n 

A -Di -/> -D*i 

A \ \ 2 - . n , 

XX W f. I f*. I I y-| 

(} , j, /M fj . I .-, w {} t -, t* 

\j I i v 2 W **/ 



qui donne la valeur approchee du radical 



dans 1 intervalle de. x = 1 a x = h, diminue. 

Designant par une quantite moyenue entre et 1, nous trouvons 
pour reprSsenter toutes les quantites renfermees entre ?, ~ la formule ?*~~ 1 ; 
par consequent, d apres ce que nous avons montr6 a 1 egard de la fonction 



on aura 1 equation suivante pour la determination du radical l/-: 
(5) 



35* 



548 
4. Les quantit6s 



qui figurent dans cette formule se deduisent facilement de 1 expression de 
1 integrale de 1 equation (2), qu on obtient supposant que 1 equation (3) ait 
lieu. 

Representant cette integrate sous la forme 



nous trouvons que les quantites 

A, -^17 Bv--B n , GU <?>#> 
se dterminent a 1 aide des fonctions elliptiques au module 



(6) 
et 



dcp 



1/1 fc 2 sin 2 o 




par les formules suivantes 



2n-t-l 



. . .-4- 2dn 



/-=- . 
2Vhdn - - - en 2 



2n-t- 1 2n -t- 1 



2mA 



~] 
-\ 
1 J 



o .. . 

2n -H 1 L 2 -t- 1 2n -f- 1 J 2n -i- 1 

Eemarquant que la fonction 

j 

an 





2n-t- 1 



se re"duit a 1 unite pour m = et ne change pas par le changement de m 
en m nous pouvons representer la somme 

nj 2K ~j 

1 -t- 2aw = - - -+- 2dn 



sous la forme 

X^ j 

> W jr T5 

^^ 2n-t- 1 

le signe de la somme etant etendu sur les valeurs 

m = w, (n 1),... 1, 0, l,...w 1, n. 



549 
D apres cela nous aurons 



,- , 2mK 
2 Vli dn 



/- , 2mK m 2mK j 
I V h > dn lsn z > dn 



2n~i-l 2n-i-l^j 2n 

et 

2mK 



, 
dn 



2n-t-l 



2n-t-l 



nj 

2dn 



. J 2 j !, 2 

I > dn : - a;sn 2 - -- : -+-hcn z 



: - 

2n-t-l 2n -+- 1 2n -+- 1 

Comme 1 expression 



- - r ,/T- 

2n -*- 1 vh 



. , 2mK , , 

Z > c? - r asn 2 ^r -t-ncn 2 
2n -+- 1 2n 



se reduit pour m = a 



dn 



ce qui est 6gal a A, et ne change pas de valeur par le changement du 
signe de w, on voit qu en prenant la somme de ces expressions pour les 
valeurs suivantes de m: 

m w, (n 1), , . . , 1,0, 1,. . ., n 1, w, 
on obtient 1 expression de la somme 

1 2 W 

Par consequent, d apres (5) on aura la formule suivante pour 1 eva- 
luation du radical 



x ne depassant pas les limites x = I et x = h : 

2mK 

2W-4- 1 



2mK , 
-*-cn 2 - 



2n-t-l 2n-4-l 



2n -+- 1 



550 

5. L egalite" que nous avons obtenue donne le moyen de deduire fa- 
cilement une formule qui fournit les limites de la valeur de I intSgrale 



I 



du 

w 



a 1 aide des integrates contenant la fonction F hors du signe du radical. 

II est nScessaire pour cela que les fonctions 27, F restent positives 
pour toutes les valeurs de la variable sur lesquelles s Stend I intSgratiou. 

Designant par 

M M n <C M 

5 ^^ 

les limites que la fonction F ne peut franchir, nous remarquons que 1 ex- 

pression 

_F 

restera entre les limites 

i L 

et par consequent entre les limites 

1, A, 
si 



D ou Ton voit que pour les valeurs de M, sur lesquelles s Stend 1 inte 
grale 



j 
= du. 

Vv 



I 6galit6 (7) est applicable a 
en supposant 



M 



En substituant ces valeurs de x et h dans I 6galit6 (7) nous obtenons 



2n-*-l 2nn-l 

2mK 



2n-4-l 



551 
ce qui donne apres la reduction du facteur commun 

/ , 2mK 
VM dn 



Tr , 2mK __ , 2mK 

Fsn 2 --t-Mcn 2 



2n +- 1 2n -4- 1 



dn 



D ailleurs la fonction U restant, par supposition, positive pour les 
valeurs de u sur lesquelles s etend 1 integrale 



Udu 



on aura, d apres l 6galite prec^dente, ou est uiie quantite inconnue entre 
et 1, la formule 



(8) fS- 



/-=-; , 2mK TT: . 
M dn U du 

2mK 



Vsn* " , -t-Mcn* 



2n-Hl 



Cette formule a 6te obtenue en supposant 

par suite d apres (6) nous aurons 

(9) M Q = M(l k*). 

Ce qui nous donne une relation entre les quantites M, M que la 
fonction Fne doit de"passer dans les limites de I int^gration, et le module ft, 
dont on se sert pour former la formule (8) et 1 equation (4). 

DSsignant pour abreger 

sn 
par s m nous trouvons 



en . = K 1 s*: an ^ ^r = V 1 fe 2 s^. 2 , 

2 -+- 1 2n -t- 1 



** 21 = 1 -- 2 V 1 fc 2 s, 3 -f- 2 VT^Fsp --...-- 2 Vl 
et d apres cela, en posant 



(10) ^=1-4-2 Vl fc^^-t- 2 VT^-A; 2 s 2 2 -+- ... -^-2 Vl ^s n a 



^X 

0-TH. \ 

.1.1 r-nc 1 . 



552 
et 

< n > F(s) = VMVl - kZs2 j Vs ^ M(l _ s ^ 

nous aurons en vertu de (8): 

( 12 ) ^/W == We 



La quantite 6 6tant comprise entre et 1, cette egalite" donnera pour 
6 = et 6 = 1 les deux limites de la valeur de Pintegrale f -= du: 



f 

I ~\^v 

f 

I "V~V 



oii I est une quantite" determinee par 1 egalite (4) dont la composition montre 
que I s approche rapidement de 1 unite lorsque le nombre n augmente. 

6. Passant aux applications des formules que nous avons de"duites, 
commengons par le cas: 

Z7=l, F=l X 2 sin 2 M, 

ou X < 1 . En prenant pour limite inferieure dans 1 int^grale 

f Udu f du 

J VV~ ~j Yl X^sin 2 ^ 

nous trouvons que la plus grande valeur de la fonction 

F=l X 2 sin 2 w 

dans les limites de Pintegration est 1, et par suite d apres notre notation 
nous pouvons prendre 

M=l. 

Pour cette valeur de M 1 equation (9) donne 

3f =l V, 
M 6tant la limite inferieure de la quantite 

V=l X 2 sin 2 w, 
que celle-ci ne doit d^passer pour que la formule (12) soit appliquable. 



553 

Or la fonction V ne devant pas franchir la limite M pour toutes les 
valeurs de u sur lesquelles s etend 1 integrale 



I 



u 

du 



/I 



pour toutes ces valeurs de u, on doit avoir 

1 X 2 sin 2 w^l k*, 
et par consequent 

A. 

sm M <y 

Si 

cette condition sera evidemment remplie pour toutes les valeurs reelles de 
u; done dans le cas de 

on pourra appliquer la formule (12) a 1 integrale 

i 



,M 

du 

y\ X 2 sin 2 u 




u etant aussi grand qu on le veut. 

Quant au cas de 

\>k 

la condition prece"dente ne sera remplie que pour des valeurs de u qui ne 
surpassent pas 

. k 

arcsm y; 

par consequent dans le cas actuel nos formules ne sont applicables a 1 in 
tegrale 



f du 

Vl X 2 sin 2 u 
J 



que sous la condition 

w^arcsin y 

Substituant dans la formule (11) 

17=1, F=l X 2 sin 2 w, Jf= 1, 



554 

et prenant pour limite infe"rieure de 1 integratiou, nous trouvons que dans 
le cas considere 



p M 

S (1 X 2 sin 2 u) s z H- 1 s 2 

o 

= * "l*!f=i arc tan S C^l ^ a s2 tan S **) 



A 1 aide de cette fonction et les quantites 

S > S J- S 



n i 



qui se d^terminent ( 5) par la fonction elliptique au module Jc, nous obte- 
nons d apres (1 2) une equation donnant les limites de la valeur de 1 integrale 



u 

du 



r 

Vl X 2 sin2 u 
J 



qui se rapprochent rapidement lorsque le nombre n augmente. 
7. En nous arr6fant a la supposition particuliere 



nous trouvons 

2=<r*, 

et par consequent 1 equation (4), qui determine la valeur de I pour diverses 
valeurs de w, se reduit a la suivante : 



Z 4 = l- 
Cette Equation pour 

donne 

/ a = 0,9993546; 

^ = 0,9999988; 

D ou 1 on voit avec quelle rapidite se rapprochent, pour des valeurs 
proissantes de n, les deux limites de la valeur de I int^grale 



I 

fournies par la formule (12). 



u 

du 



1 X 2 sin 2 




555 
En posant dans cette formule n = 1 , nous obtenons 

C u 

du =4 |>(0)- 
^1 - X 2 sin 2 u V G L v 
J 

Liquation qui d&ermme S se reduisant pour 



a I 6galit6 

et 

sn ~ = s l = 0,9002272, 

nous trouvons 

5=2,5424598, 



en vertu de quoi, d apres (11), pour fc = l/y il re~sulte 

y 1 y s 2 arc tang (vT^Ps 2 tang w) 
2,5424598 Vl X* s 

En faisant ici 

s=0, 8 = s l = 0,9002272, 
nous trouvons 

F(0) = 0,3933 199 w, 

jp, , 0,3033401 arc tang (Vl O^lOdOSgl 2 tangu) 

^~ /I 0,8104089 X 2 

ce qui, 6tant substituS dans 1 egalite (12), donne la formule suivante pour 
revaluation de 1 integrale 



f" du 

I 1/1 \2 qin 2 

I Tl A Sin 



1 rnQQQQiQQ 0,6066801 arc tang (Vl 0,8104089 ] 

7Ofl I vl.Ot/OOJ-l/t/ W " I ... . 

* z L ^1 0,8104089 X 2 

Posant n = 2, nous trouvons que dans le cas consider^ 1 egalite" (12) 
se r^duit a la suivante: 



A.. i r~ 7? 7? ~i 

>0 =72? \ AU * P 1 aiC tan ( B I taQ g M ) -*" ^ arC tan 8 (^2 taQ g M ) > 

X 2 sm 2 u L -"i -"2 J 



556 

ou 

^ = 0,2360679; 5, = 0,4188063; B 2 = 0,3451258; 



R l =Vl 0,4262988 X 2 ; # a = Vl 0,9313131 X 3 . 
Des formules semblables par rapport a 1 integrate 

1 -*-p sin 2 u du 

1 -*- g sin 2 u T/I X 2 sin 2 u 


s obtiennent de l ggalit (12) en y posaut 

7-7- 1 -*- p sin 2 u . , -19-9 

U =, . F ..._ , 7=1 X 2 sin 3 w. 



ni - 2 
sin* 



8. En substituant dans Pegalite (12) au lieu de U et F diverses 
fonctions, nous obtenons des formules qui donnent les limites des valeurs 
des integrates de la forme 

^ Udu 



dont 1 evaluation presente souvent de grandes difficultes. 
Ainsi, posant 

V= 1 X 2 sin 2 u- U=0 (tang ), 

ou C?(tg M) est une fonction qui conserve le signe -t- dans les limites de 
1 integration, nous trouvons 

u 

Vl X 2 sin 2 u 1 2G L * n J 



OU 

r/ e \ Vl *" (P (tang u) da 

^ ~ ]S | }o 2 c,i n 2 u 

o 

Ces formules, d apres ce qu on a remarque dans le 6, auront lieu pour 
toutes les valeurs de M, si 

En supposant cette condition remplie et prenant y pour la limite 
sup^rieure de 1 integration, nous tirons de ces formules: 



f 2 <P(ta 

l 1 ^ 



, N __ 



k*s z d> (tang u) du 



f 2 d> ( 
1 

J A 



-X 2 s 2 sin 2 u 




557 

Posant dans la derniere integrate 

tang u = 0, 

nous trouvons qu elle se transforme en 

.00 

)dz 



<*** 

r 00 

JA 



en vertu de quoi 1 egalite (11), qui determine la fonction F(s) dans le cas 
considere, se reduit a la suivante 



D ou Ton voit que la formule qu on obtient pour 1 evaluatiou de 
1 integrale 



(tang u) du 



y\ X 2 sin 2 u 




ne contiendra que des integrales de la forme 

r 

(z) dz 
J 





dont la valeur est connue pour certaines formes particulieres de la fonction 

*w. 

Ainsi, dans le cas ou 

p () = ?-, 
nous trouvons 



r*^* [*^^ 

(z) dz 

i -*- (i x 2 s 2 ) z* ~ 

J f\ f\ 



dz 



(1 X 2 s 2 ) z z ~ 
r O o 2 sin ^~ 

et d apres cela, en determinant 1 integrale 

" (tang u) du " tangP l u du 



/*o /* 

" (P (tang u) <)M 
y\ X 2 siu 2 u ~ 

J ^ 



X 2 siu 2 u y\ X 2 sia2 u 



au moyen de l galite (12), nous aurons 






2 sin ^ (l X 2 s 2 \2 S 



558 
par consequent cette egalite donne 



T2 

tangP * uou TI 

I 



X 2 s t 







1 fc 2 s n 2 



2 

d ou, en substituant la valeur de S, tiree de (10), nous obtenons 



jt 



o 

2 - ~2 TC X 



Vl X 2 sin2 u pe gin ^ 1 -*- 2 /! ft2 s^ -H. . .H- 2 Vl fc 2 8 n 
2 

Dans le cas particulier, ou Ton prend k = y et n = 1, cette ega- 
it6, en y portant la valeur 



Sl =sw^ = 0,9002272, 
donnera pour la determination de 1 integrale 

1C 

(*2 

tangP~ 1 u du 

Vl X 2 sin 2 
J 

pour ^<l/y, la formule suivante: 



i 

-2* 



0,3933199 -H- 6066801 

-0,8104089 



ou ?= 09993549. 

Posant w = 2, pour la m6me valeur du module fe, nous trouverons pour 
revaluation de 1 integrale 



f 2 tangl 
J ^^ 

n 

pour X<1/-^-, la formule: 



K 

tangP ! M dM 



X 2 sin 2 




2^6067) 0,4188063 e 0,3451258 



p 

/ : 0,4262988 \*\* ll 0,9313131 



ou ? = 0,9999988. 



27. 

SDR LES SOMMES COMPOSEES ES VALEURS 

DE MONOMES SIMPLES MULTIPLIES PAR UNE 

FONCTION QUI RESTE TOUJOURS POSITIVE. 

(TKA30UXT PAR . 



(Lu le 9 octdbre 1890.) 



na 



iG ^ no* 



mopaa 



Kt LXIV-My TOMJ 3anHCOKi> IlMnepaTOpCKofl AnajieMiH HayKt, JVs 7, 

1891 r.) 



Sur les sommes eomposees des valeurs de mo- 

nomes simples multiplies par une fonetion qui 

reste toujours positive. 



1. En de"veloppant une fonetion f(x) suivant les puissances ascen- 
dautes de la difference 



on obtient une formule servant a exprimer approximativ ement la fonetion 
f(x) sous la forme d un polynome dont les coefficients se determinent par les 
valeurs de la fonetion primitive 

/ 
et ses deriv6es 

f(x), f"(x\.... 

pour x = X. En developpant f(x) en une serie de forme plus compliquee 

(1) KtUt + KiU^KtU,-*-...., 

ou 



sont des fonctions de la variable x inde"pend antes de f(x) t on obtient pour 
la determination des coefficients 



des formules pouvant generalement ^tre presentees sous la forme suivante 



Les fonctions 



3C 



562 

qui y entrent, et les valeurs de la variable #, aux quelles s e"tendeut les som 
mes, dependent de la nature des foiictions 



servant a la formation de la serie (1). 

Dans les cas singulierement simples, quand les fonctions 



sont des polynomes des degres 

0, 1, 2,...., 

ces sommes se de~composeut en sommes elementaires 



et alors les expressions approximatives de f(x) donnees par la formule 

(3) f(x) = K Q U -*-K l U l + K 2 U,-*-.... 

s obtiennent a 1 aide des sommes (2) formees avec les valeurs de monomes 

x i , Xf, # f . ,...., 
multipliers par f(x f ). 

Les expressions approchees de la fonctiou f(x) ainsi obtenues different 
essentiellement de celles qu on d6duit par le developpement de la fonctiou 
f(x) suivant les puissances de la difference x X et qui donneut des poly 
nomes les plus rapproches a f(x) dans le voisinage de x = X. 

Ayant un moindre degre de precision, quaud il s agit de calculer f(x) 
dans le voisinage de x = X, ces expressions approchees donueut en cer 
tains cas une meilleure representation de la fonctiou f(x) pour les valeurs 
de x variant entre des limites plus ou moins etendues. 

Ainsi il resulte de notre Memoire Sur I interpolation par la methode 
des moindres carres *), que la serie (3) avec les fonctions 

00, 0;, a ,...., 

determinees par le developpement de la somme 



en fraction continue, et avec les coefficients 



") T. I, p. 473-^108. 



563 
composes lineairement a 1 aide des sommes 



donne 1 expression approchee de la fonction f(x) sous forme d un polynome 
du degre plus ou moms elev6 se distinguant de tous les autres polynomes 
du m6me degre" par la moindre valeur de la somme qu on obtient en addi- 
tionnant les carres des hearts des valeurs de ce polynome des valeurs de 
f(x t ) servant a de~velopper f(x) en se"rie (3). En passant a la liniite, quand 
toutes ces valeurs f(x f ) se confondent avec f(X), ce polynome se reduit a 
1 expression approchee de la fonction f(x) qu on obtient en de"veloppant 
cette fonction en se"rie suivant les puissances ascendantes de la difference 
x X. Cette expression represente f(x) avec la plus grande approximation 
pour x infmiment voisin de X. 

On obtient une formule plus generate pour le calcul approche de la 
fonction f(x) au moyen des sommes 



2 * A*A 2 * *> 



par la methode que nous avons indiquee dans le M6moire Sur les fractions 
continues* *). Cette formule se presente sous forme d une fraction 



dont le denominateur F Q (x) est une fonctiou arbitraire positive pour toutes 
les valeurs x = x t ; le numerateur F(x) est un polynome du degre plus ou 
moins eleve. La fraction ainsi obtenue pour 1 expression approchee de la 
fonction f(x) se distingue de toutes les autres fractions ayant le mme d6- 
nominateur F Q (x) et le num6rateur F(x) du m6me degre par la moindre 
valeur de la somme 



II en resulte que les sommes 



2 *; 



de m&ne que les derivees 

rw, rw, rc^),...., 

peuvent servir a determiner la valeur approchee de la fonctiou f(x) pour 
les valeurs de la variable x contenues entre des limites plus ou moins 
eloignees. 



*) T. I, pag. 203230. 

36* 



564 

D apres ce que nous avons indique*) sur les integrales 
f f(x] dx, \ xf(x) dx, \ x* f(x) dx, . . . . , 
aux quelles se reduisent en limite les sommes 

2*W 2^^ 2 * *). 

on voit que ces sommes, de meme que les derivees 



peuvent servir a la resolution des questions concernant la fonction f(x), 
essentiellement differentes du calcul par approximation des valeurs de la 
fonction pour les differentes valeurs de la variable x. Les resultats obtenus 
ont lieu aussi pour la fonction discontinue f(x)\ il est cependant necessaire 
que cette fonction ne devienne pas negative pour les valeurs considered de 
la variable x. Cette condition se trouve realisee dans plusieurs questions des 
Mathematiques pures et appliques presentant, a cause de la discontinuity des 
difficultes insurmontables pour 1 application du calcul differentiel. 
Pour cette raison les sommes 



formees des produits des quantites positives 

/", f(*J, f (*&.... f(x n 
et des differentes puissances des quantites reelles 



sont bien dignes d attention. Nous allons montrer maintenant, comment, en 
connaissant les valeurs de ces sommes, on peut determiner la limite infe- 
rieure de la plus grande des quantites 



et la limite superieure de la plus petite de ces quantites. 

En supposant dounees les limites entre lesquelles sont contenues les 
quantites 



*) Sur les valeurs Umites des integrates. T. II, pag. 183 185. Sur la representation des 
valeurs Umites des integrales par les residus integraux. T. II, pag. 421 440. Sur les residus 
integraux gui donnent des valeurs approchees des integrales. T. II, pag. 443 478. Sur les som 
mes composees des coefficients des series a termes positifs. A la fin du T. II. 



565 
dans les sommes 



2 * w> 



nous ferons voir, comment par les valeurs de ces sommes on peut deter 
miner les maxima des sommes qu on obtient par addition des termes de la 
serie 

A*b)i fW, /> 2 ), ---- f&n-J, 

correspondant aux termes consecutifs de.la serie 

#0) x n x <m - X n i 

n atteignant pas plus ou moins 1 une de ses limites. D apres les formules 
pour ces maxima on obtient facilement les valeurs limites de 1 integrale 

f" 
J f(x) dx 

a 

dans le cas, ou 1 on connait les valeurs des intSgrales 

f 6 f 6 f & _ 

f(x) dx, xf(x) dx, . . . . x l ~ 1 f(x) dx, 

^ a ^ a ^a 

la fonction f(x) ne devenant pas negative entre x = a et x = & et la quan- 
tite u etant supdrieure a a et inferieure a b. 

2. En posant 





on trouve que les quantites 



2/0) 2/D 2/2) 2/ n i 
sont liees par I relations 



566 

oil, d apres le precedent, les quautites 

# , aj n # 2 ,. . 

ne sont pas imaginaires et les quantites 
2/o = A*b), 2/i = A*i), 2/2 = 



ne sont pas negatives. 

En developpant la somme 



2 



Xf 





suivant les puissances descendantes de x, on obtieut 1 egalite 



00 

qui prend, au moyen des equations (4), la forme suivante 



II en resulte clairement que pour satisfaire aux Equations (4) par des 
valeurs de 

X Q , X l , # 2 , . . . . % n - j , 

/o 2/n ^ 2> ---- 2/ n _! 
il est necessaire et suffisant que la somme 





soit egale a 1 expression 



_____ 

a; a; 2 a; 8 x l 

au terme contenant -7 pres. 
* 

D autre part, a cause des propri^tes indiquees des quantites 

x Q , a^j , # 2 , . . . . # n _i 

2/0^ 2/i, 2/ 2? 2/ n _p 

la somme 



x t 

o 



567 
dans 1 intervalle de a = oo a x = -t-oo devient infinie pour n valeurs 



J 



en passant toujours de oo a -t-oo. 

En se servant de la notation de Cauchy*) on obtient 



oo n 



? 

C/ 



00 U 

En appliquant la methode de Cauchy pour la determination de 1 indice 



-t-oo 



f 

et remarquant que la somme 



i X Xi 

oo 



se reduit a une fraction avec le denominateur du degr6 w, on couclut que 
cet indice pour les limites x = oo et # = oo ne peut atteindre la va- 
leur w, 6gale au degre du d^uominateur, que si dans la fraction continue 



provenant du d^velopperaent de cette somme, tous les quotients incomplets 



sont des fonctions lineaires de x avec des coefficients positifs. 

Done la condition necessaire et suffisante, pour qu aucune des quantites 



ne fut imaginaire et les qnantit^s 

y , 2/n y*, y_i 

fussent positives, peut etre repr^senter par I egalit6 



*) Journal de 1 Ecole Polytechnique. Cahier 25. 



568 

reunie avec les inegalites 

i>0, a 2 >0, a 3 >0,....a n >0. 

11 rsulte de ce que nous avons dit plus haut sur les equations (4), 
que les quantity s 



ue peuvent satisfaire a ces equations que dans le cas, ou la fraction con 
tinue 



X 





repre*sente 1 expression 

;r H- -4n- -|-t-. . . . H ^ 

3Lt vC X fpv 

au terme de 1 ordre -7 pres. 

X 1 

Par cette raison, en conuaissant le d6veloppement de 1 expression 



X i 

en fraction continue 

i 



il est facile de determiner les premiers quotients incomplets de la fraction 
continue 

^_ 



qui re"sulte du d^veloppement de la somme 



X Xj 





si les quantites 



y contenues, satisfont aux Equations (4). 



569 



3. En designant par k le nombre entier obtenu par la division de I 
par 2 et arretant la fraction continue 



au quotient incomplet 

on obtient pour elle 1 expression approchee 

i 

i 



!*-*-&" 



2 OJ-t-P 2 



* 



exacte au terme de 1 ordre -^ pres. 

Avec le m&ne degre de precision la fraction ci-dessus represente 
1 expression 



car, d apres ce que nous avons dit, cette expression ne differe pas de la 
fraction continue 



*2 it/ -r- ^/2 



par les termes de 1 ordre plus eleve que -^, I etant 6gale a 2k ou 
suivant que I est divisible par 2 ou non. 
II en resulte que la fraction continue 



avec k quotients incomplets doit donner 1 expression 






exacte jusqu aux termes de 1 ordre -^ inclusivement; cela suppose les rela 
tions suivantes 



(5) 



570 
Si toutes ces equations out lieu, la fraction continue 



x -+- |* 



donne 1 expression 



exacte jusqu aux termes de 1 ordre --T inclusivement, quels que soient les 

SC 

quotiens inconaplets qui suivent 

<?<*>, ,--&, 

dans les fractions continues provenant du developpement de cette expression 
et de la somme 

n 







Pour I pair, d apres ce que nous avons dit sur le nombre fc, on a 



i _ i 

X 2k X 1 



II en re"sulte que pour un tel I la fraction continue 



*!- 



provenant du developpement de la somme 



donne 1 expression 

^_t_^!-+- _ f _ Q l 

a a; 2 -^ 

exacte jusqu au terme de 1 ordre inclusivement et par cette raison, d a 

SC 

pres le 2, les Equations (4) doivent etres satisfaites par les quantites 

iC , . . . . flJ 



Q , j , g , 



contenues dans la somme 



571 

4. En passant au cas de I impair, quand I = 2k -t- 1, on remarque 
que, a cause des relations (5), la difference des fractions continues 



provenaut du developpement des fonctions 



X Xf X 





sera du m&ne degr6 que 1 expression 



II en resulte que cette difference peut 6tre du degre" moins 61ev6 
que I, comme cela doit etre d apres le 2 pour satisfaire aux Equations 
(4), seulement dans le cas, ou la difference 





est du degre zero et par consequent, quand le quotient incomplet q (k ~ 
contient x en premiere puissance avec le coefficient egal a oL k _^^. 

Si cela a lieu et si les relations (5) sont satisfaites, la difference des 
expressions 



- a ~l -- 5" 

X X z X 3 



pour I impair = 2k -+- 1 est du degr6 infSrieur a I et par consequent, 
d apres le 2, les Equations (4) sont satisfaites. 
Ainsi par le de>eloppement de 1 expression 



X X 2 

en fraction continue 



on determine les premiers quotients incomplets de la fraction continue 



x +- 3 



a 2 x -4- |} 2 . 



572 
6gale a la somme 



les quantites 

#o x it x w - >x n 1 

2/o, 2/i, 2/a, ---- V n -i 
satisfaisant aux equations (4). Mais pour qu aucune des quantites 

b, *i> s ---- *_ 
ne fut imaginaire et que toutes les quantites 

2/o, 2/i, 2/ 2 > ---- y_! 

fussent positives, il faut et il suffit, comme nous avons vu ( 2), que les 
quantites 

i a a ,. . . ., a n 
soient plus grandes que ze>o. 

En parlant des solutions des equations (5), nous avons suppose que 
la fraction continue 

1 



provenant du developpement de la somme 



o 
contient le quotient incomplet 



pour I pair = 2&, et le quotient incomplet 



pour ? impair = 2^ -i- 1 . Puisque le nombre des Equations (4) est I, 6gal a 
2k ou 2k -+- 1 , et le nombre des inconnues 



2/0, 2/1, 2/2, ---- / n _! 

est 2w, cette condition a toujours lieu, si , le nombre des Equations (4), ne 
surpasse pas 2w, le nombre des inconnues y contenues. 



573 
Dans le cas contraire ces equations ne sont possibles que si les valeurs 



satisfont aux certaines conditions. Pour de"duire ces conditions et indiquer 
les singularites que presentent dans ce cas les solutions des equations (4), 
nous remarquons que, d apres le 2, ces equations etant satisfaites, la frac 
tion continue 



provenant du developpement de la somrae 



doit produire 1 expression 



XXf 





5- 

X 3 



exacte jusqu au terme de 1 ordre inclusivement. 

Cela n est possible pour 
loppable en fraction continue 



Cela n est possible pour n < -5- que si 1 expression ci-dessus est deve 



o^ x-*- B, 



la quantity ^" l) etant du degre superieur a ^ 2w. C est precisement la 
condition de possibilite des Equations (4) pour I > 2n. Puisque dans ce 
cas se determiuent completement et le nombre n, et les quotients incomplets 



de la fraction continue provenant du developpemeut de la somme 

n 







les equations (4) auront une solution unique. 

Dans tout autre cas ces equations, si elles sont possibles, admettent 
une infinite de solutions se distinguant et par le nombre des inconnus 



574 
et par les limites entre lesquelles les quantites 

*0 *11 *-! 

sont contenues. 

5. En supposant les quantites 



n i 



rangees dans 1 ordre croissant, nous indiquerons maintenant, de quelle ma- 
niere on obtient les solutions des equations (4), dans lesquelles X Q a la plus 
grande valeur ou x n _ l la plus petite valeur. 
En dSsignant par 






les reduites qu on obtient en arretant la fraction continue 



au 1-er, 2-me, 3-me. . . ., ^-me, . . . . quotient incomplet, on aura 



Par cette raison, les equations (4) a In inconnues 



etant resolues, 1 equation 

(6) 



X Xi ^ n (x] 




sera satisfaite d apres le 2. 

II en rSsulte que dans cette solution les inconnues 

#07 x i-> X Zi X ni 

sont racines de 1 equation 

U*) = 0; 

par consequent la raoindre raciue de cette equation donne la valeur de x 
et la plus grande celle de n _ 1 . Pour obtenir les conditions dans lesquelles 



atteint la plus grande valeur ou x n _ l la plus petite, nous remarquons que, 
d apres les proprietes des reduites, les fonctions 



> 

dans le cas considere, sont de"terminees par les equations 



(6) 

(7) - 

et d apres le 2 on a 

(8) ai > 0, a 2 > 0,. . . .a m > 0, a m ^ > 0. 
La premiere de ces equations fait voir que 1 equation 

ftW o 

a une solution 

a.-.^.SL. 

a i 

En portant cette quantite dans la secoude equation et remarquant que 



on obtient 



Mais en posaut cousecutiveraent 

x = oo, x = -+- oo, 
et remarquaut que d apres les conditions (8) 

04 > 0, a 2 > 0, 
on trouve 

^2 ( ) = -*-, <k (-+-00)=-*-. 

On voit d apres ces valeurs de la fonctiou <]> 2 (a;) pour 

x = oo, o? = , rc = -t-oo 
a i 

que a; = - --i-, racine de 1 equation 

a 



576 
est contenue entre la plus grande et la plus petite racine de liquation 



Pour e"tendre ce raisonnement a toutes les equations forme es au moyen 
de deux fonctions consecutives de la se"rie 



nous allons maintenant demontrer que toutes les racines de 1 equation 

*,(*) = o 

sont contenues entre la plus grande et la plus petite racine de 1 equation 

++,(*)=> 

si cette propriety a lieu par rapport aux equations 

*._,(*) = 0, -K = 0. 
En effet, en designant par 7^ la plus petite racine de 1 equation 

<L(*) = o, 

et par h la plus grande racine et supposant demontre que toutes les racines 
de liquation 

*.-,(*) = 

sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de 1 equation 

<K= 

on remarque que 1 equation 



ne contient pas de racines ni entre x = oo, x = 7i , ni entre 
x = h et que par consequent les valeurs 



sont de m^me signe que 

^^(oo), ^^(oo). 

Cela etant, de 1 equation (7), en y posaut successivement 



577 
et remarquant que 



o, <!/.() = 0, 

d apres la definition des quantites h et Ji, on trouvera les valeurs de 



avec des sigues contraires a ceux de 

<L-i( ), <K_i()- 

Puisque ces quantites, d apres les relations (6), (7), (8), ont les me"mes 
signes que les quantites 



on conclut que dans 1 hypothese admise la fonction ^> m _ t _ 1 (x) change son 
signe entre x = oo et x = h ot ainsi que dans 1 intervalle x h et 
x = oo ; par consequent, 1 equation 



a une racine inferieure a /? , la plus petite racine de 1 equation 

- : - ^ n W = o, : - 

et une racine superieure a 7z, la plus grande racine de cette derniere equa 
tion. II en re"sulte que toutes les racines de 1 equation 

*(*) = o ,-;. ; 

sont contenues entre la plus petite et la plus grande racine de liquation 



si cette propriete a lieu par rapport aux equations 

<L_,(*) = 0, kW = 0- f 
Cela pos6, en passant successivement des equations 

<K(a;) = 0, ^.(*) = 
aux equations 



on remarque que generalement avec 1 augmentation de 1 indice v la plus 
petite racine de 1 equation 

*,- 

diminue et la plus grande racine augmente. 



37 



578 
6. Cette propriete de 1 equation 



permet sans difficult^ d indiquer la condition dans laquelle, en resolvant 
les Equations (4), on obtient la plus petite valeur pour x n _ v ou la plus grande 
valeur pour X Q . 

Nous avons vu ( 3) que dans la resolution des equations (4) il est 
necessaire de distinguer deux cas: le cas de I pair et celui de I impair. 

Dans le cas de I pair, en posant l=2k, nous avons montre que les so 
lutions des Equations (4) resultent de 1 egalite 



X Xi O^aH-p, . _. 

^ * P 2 

., 



ou les k premiers quotients incomplets 

a 1 zr*-(3 1 , a, a? -i- &,.... * h x-*-$ h 
sont les m^mes qu on obtient en d^veloppant 1 expression 



a a; 2 a; 3 

en fraction continue 

i 



a x + P 



le nombre des autres quotients incomplets et leurs valeurs restant arbitrages; 
d apres le 2 il est cependant necessaire que tous les quotients incomplets 
soient des fonctions lin&iires en #, aux coefficients de x positifs. 

II en resulte que dans le cas considere le nombre n ne peut pas 6tre 
inf^rieur a k. 

Puisque d apres le 3 la quantite X Q est la plus petite racine de 1 e 
quation 

*(*) = 

et a? n _ 1 la plus grande racine, et puisque, comme nous 1 avons demontre 
tout a 1 heure, X Q diminue et x n _ l augmente, lorsque n augmente, on 
obtient la solution des equations (4), ou X Q a la plus grande valeur et x n _ l 
a la plus petite valeur, en admettant que n a la plus petite valeur possible, 
qui est egale a &, comme nous 1 avons vu. Cela pose, en d6signant par M Q 
la plus petite racine de 1 equation 



579 

et par M la plus grande racine, on a dans les solutions conside re es des 
equations (4) 



quel que soit le nombre w. 

En passant au cas de I impair, on remarque, d apres le 3, que pour 
I = 2k H- 1 la fraction continue, servant a obtenir les solutions des equa 
tions (4), ne peut pas e"tre arr6te"e au quotient incomplet 



Pour cette raison, d apres ce que nous avons dit sur la determination 
des quantites 

**> *_! 

et sur la variation des racines limites de F equation 



quand n augmente, dans le cas considere, ou n > k, auront lieu les inega- 
lites ! 



II est facile de d6montrer en outre que pour l = 2k-*-l les quan 
tites # , x n _ l satisfont a 1 inegalite 



(10) i nl*-i (-!) ^-1(^0)"] ^. 

^-i - o L ^ (aw-i) ** (b) J *-*- = 

Pour cela remarquons que d apres le 5 pour n>k-t-l ni liquation 



.. 

ni requation 

fe(^) = 

n ont pas de racines hors des limites des racines de liquation 



Puisque la plus petite racine de cette equation est x et la plus grande 
x n _ l1 les equations 



n ont pas de racines nientre #== cxj, a;=a7 n , ni eutre x = x < x = oo: 

v 7 f|_ J 7 

par consequent, la fraction 

^A-K-i (a?) 



pour 

37* 



580 
a les m&nes signes que pour 



oo x = 



Mais, en posant dans les formules (7), (8) w=fc, x= oo, #=-*-oo, 
on trouve, que cette fraction est negative pour x = oo et positive pour 
x = oo ; par consequent, on a 

fop) bk-i-i (an i) 



En y portant les valeurs 



deduites de 1 equation (7) dans 1 hypothese m=k, x = x , x = x n _ l , on 
obtient les in6galit6s 

~" 



d ou, en soustrayant la seconde inegalite de la premiere et divisant par 
x n _ l , on obtient I inegalit6 indiquee plus haut. Cette in^galite a lieu 
pour I = 2k -t- I , quel que soit le nombre n dans la solution consid6ree des 
equations (4). 

7. Nous avons considere jusqu a present les sommes 



000 

eh nous boruant au cas particulier, quand toutes les quantites 



sont positives. En passant au cas plus general, quand parmi ces quantites 
se rencontrent des zeros, nous supposerons, qu on obtient la s&rie des quan 
tites 

2/o, 2/n 2/ a , ---- 2/ n _!, 

contenues dans les sommes, que nous avons considerees, en chassant de la 
serie des carres des quantites reelles 



, , , ---- u P -i- 
les termes egaux a zero. En supposant que 

(11) w 2 So = 2/ , tt , 1 = y 1 , w% = 2/ a , ---- w 2 s n _ 1 = 2/ n _ 



581 
et que 

^0 U &W tS pl 

est une serie croissante de quantites reelles, ou 

(12) * = *i = i> *, = ---- 

on remarque que les sommes 



o 
se reduisent a 



ooo 
et par consequent les equations (4) donnent 



oo 



II en resulte que ce que nous avons demontre dans les paragraphes 
anterieurs peut nous servir pour Studier les equations (13), dans lesquelles 



sont des quantites reelles quelconques, egales ou non a zero, et 



est une serie de quantity s croissantes. 

En de"signant par k le nombre entier contenu dans y, par 



les r6duites de 1 expression 

^^.^-H^-H 
a? cc 2 a; 3 

developpee en fraction continue 



582 
par M Q la plus petite racine de 1 equation 



et par M la plus grande racine, nous avons demontre que les equations (4) 
ne peuvent e"tre satisfaites que dans le cas, oil 

(14) X O ^MQ , x n _ l >M. 

Puisque la somme 

u i = " Ui^^W*" u \+*-*~ * u * P -i 

g-*-l 

pour q < s l contient le terme 
et la somme 



o 
pour (^ > s contient le terme 

et ces termes, d apres (11), sont 6gaux a y n __ l1 y Q , quantites que nous avons 
supposees sup^rieures a zero, les sommes 





ne peuvent se reduire a z6ro que dans le cas 



ce qui suppose 

parce que les quantites 

forment une se"rie croissante. 

En remplagant, d apres (12), les quantites 

par 

nous rSduisons ces relations a la forme suivante 

et d apres (14) on aura 



583 

Done les sommes 

p 



surpassent le zero, si 

e q <M, z qi >M 

et par consequent, d apres les egalites 

g-i-l p p 



q-t-l 

P P Si 





pour ces valeurs de $ 2 , z qi les sommes 

q-t-l p 



o 
ne peuvent pas atteiudre leur limite 



o 

Maintenant nous allons nous occuper de la determination de la limite 
superieure des sommes 



p 



g t 

lorsqu elles restent inferieures a la somme 



W> ; . 

Ces limites different plus ou moins de cette derniere somme selon les 
valeurs 

des termes de la serie 

correspondants aux termes 
de la serie 

2 w 2 w 2 - ,,2 

t*A " i t o * * I* . , 

07 17 a 7 W^1 



584 
lesquels avec les valeurs 

V, w a p _ l 

represented les termes-limites des sommes cousiderees. 

Nous designerons les valeurs des termes # 3 , # 3l , par v, w, en posant 

(15) zq = v, g qi = w t 

nous poserons en me"me temps 



a et & 6tant des quantity s donne"es. Pour la possibility des Equations (4) et 
(12) dans les conditions posees il faut que les quantite"s a, 6, comme limites 
entre lesquelles sont contenues les quantites 

x , x 1 , a/ 2 ,.... # w _! , 
satisfassent aux inegalites 

a<M , 1>M- 

mais les quantites v, w, etant, d apres (15), contenues dans la s&rie 



ne peuvent pas sortir hors des limites Z Q = a et ^ = 6. 
8. Pour obtenir la limite superieure de la somme 



u. 



dans les conditions supposes, nous chercherons, parmi tous les systemes de 
quantites 



w 



, 



satisfaisant aux equations (13) et aux conditions 



celui pour lequel la somme 



585 

atteint la plus graiide valeur. Dans cette recherche nous ne ferons aucune 
hypothese particuliere sur les nombres ^?, 3; ces nombres, comme nous ver- 
rons, se determinent completemeut dans la recherche du maximum de la 
somme 

11, 2 I , i>i, 2 _J_ at 2 _. _|_ *i2 

W-Q M-j 1*2 r- . . . . -i w , 

si settlement dans la serie 

V, V> <*> u * P -i 

tous les termes 

v, v,.... ^ P _ 2 

different de zero. Cette condition peut e"tre toujours realised dans la for 
mation de la s6rie 

Vi Vi Vi *V-i 

comme cela est indique dans le 7. De cette maniere on 61oigne la possi- 
bilit6 d augmenter infiniment les nombres p, q en ajoutant a cette s6rie les 
termes egaux a z6ro. 

Pour obtenir la plus grande valeur de la somme 






= W ft a -H W, a H- U* -+ . . . . -4- W,, 



(J 



dans les conditions supposes, appliquons la methode connue pour la re 
cherche du maximum relatif et remarquons que les inconnues 



2 

et les donn^es 



sont li^es par I Equations (13). En introduisant I quantity s auxiliaires 

^o> *ii \T -\\i 
et posant pour abr^ge 

g-4-l p p p 



000 

on obtient pour la determination des quantites 

W , !, ---- M l M!, 



586 
dormant le maximum chercM, les equations suivantes 



dS n -v dSt r dSa -, dSi i d.X 

"3? HA i~T~^ "^s ~T"^ H - ~*- A 7_ a Jr - = 0, 



Ao 



; 



dw p _i 

VOA *v dO| "\ UOn \ 

V . A * m A * 1 



i- X, T -r = 0. 

I I OU^ , OU^ _i 



li_ dX 

L=i_ dx -n 

^^ v/ 



-\ dSn -> d^t > a/S 2 >> dSi i dX _ 

*X) 2| J~ A, ^ s I A -T a 1 .... I A. - - -T () 

mais au moyen des equations (16) on trouve 

dS* 

- J - = ^ i^t pour Yj = 0, 1, 2, l l, 

^ = 2^w., pour v) = ? 1, 2,....Z 1, =0, 1,2,....^: 
^ = 2u pour t = 0, 1, 2,.... 2, 

g = 0, pour t = l, 2,.... 2 1, 2-1-1,2-1-2,.... i? 2; 
done les Equations qu on vient d ecrire prenuent la forme suivante 

pour 

i = Oj 1, 2, . . . .g, 

2 (X -+- Xj z i -i- X 2 ^. a -f- . . . . + \_ l ^/ 1 ) u { = 0, 
pour 

et enfin 



pour 



587 
ce qu on peut abreger de la maniere suivante 

2 (0 W !) < = 0, pour i = 0, 1, 2, g, 

2 tf (*,) M f = 0, pour t = j-- 1, 2-*-2> # lj 

# (*,) M f 2 = P our * = 1 2,. ...3 1, g H- 1 ,....# 2, 
en de"signant par (z.} la fonctiou entiere 

(1 7) e (t) = X / _ 1 -s^" 1 -+- X,^ ^~ 2 -*- -*- X 2 2 -*- \ s -H X . 

Supposaut, comme nous 1 avons fait ci-dessus, qu aucuue des quan- 



n est e"gale a zero, et supprimant 2w t . et w t . 2 , on de"duit de ces equations 

(^) 1=0, pour i = 1, 2, 2, 

6 ( t .) = 0, pour i = q -*- 1, 3 -H 2, p 2, 

Mais dans le cas i = ou e =p 1, quand u. peut e"tre nulle, ces 
equations donnent 

[y / \ 1 ~1 f\ 1 f tu \* f\ 

(ZQ) IJ UQ = 0, ^ (^_l) M 1 =! " 

II en resulte que 
si UQ est diffe"rente de zero, et 

si w est differente de z6ro. 

9. Au moyen des e"galite"s obtenues on peut indiquer, comment la li- 
mite inferieure du nombre des racines de liquation 

depend du nombre p, ce qui donne le moyen d obtenir la limite superieure 
de ce nombre. 

Remarquons pour cela que, d apres le 8, les Equations 

outre les racines egales a 

^2 -HI, %-H3> # 2, 



588 
peuvent avoir des racines 6gales a 

<)> Zpi 

Pour embrasser tous les cas possibles, nous dSsignerons par o- le nombre 
1 ou 0, suivant que liquation 

(a) 1 = 

a une racine egale a # ou non, et par o^ le nombre 1 ou 0, suivant que 
1 equation 

6 (z) = 

est satisfaite par s = z l ou non. Au moyen des quantity s o-, o^ le nombre 
des differentes racines de 1 equation 

*(*) 1=0, 

contenues dans la serie 

^o > z \ i z w Zq.i 
s exprime par la somme 

2-i-<r, 
et le nombre des diGe" rentes racines de liquation 

(9W = 0, 

contenues dans la se*rie 



j g-l-2 ) p 2 , p i , 

s exprime par la somme 

(P 2 2) -+-*! 

En remarquant que la derivee 6 (z) doit se reduire a zero entre deux 
racines conse*cutives de Tune et de 1 autre Equation, on conclut que dans 
les intervalles entre deux termes des series 



32) *p 1 

on aura au moms 

q -HO- 1 -t-p 2 g.-*-<*i 1 =#H-o--t-<T 1 4 
differentes racines de 1 equation 

Puisque, d apres le 8, a cette equation satisfont encore p 3 quan- 
tttfe 

* **0 2 



589 

elle doit avoir au moms 

_p _!_ CT _*_ o^ 4 -t-p 3 = 2p H- o- -t- o-j 7 

racines differentes, et par consequent son degre ne peut pas 6tre inferieur a 
ce nombre, ce qui d apres (17) suppose 

I 2 J> 2p -+- a -i- CTJ 7; 
il en rsulte 
(18) 2#<Z a o-j-t-5, 



p etant, d apres notre notation, le nombre des quantite"s 

#0> ^i> ^a * Z p 1 

pour lesquelles on obtient le maximum cherche de la somme 





les nombres o-, <y l signifiant 1 ou 0, suivant que = satisfait a 1 equation 
et z = z l a 1 equation 

ou non. Puisque d apres le 8 I Sgalite 

6 (* ) 1 = 
peut ne pas avoir lieu que dans le cas w = 0, et l 6galite 

dans le cas w =0, on conclut que Fegalite 

suppose 

et l e"galite 

i 
suppose 

D apres la formule (18), en designant par le symbole E la partie 
entiere de la fraction, on trouve 



590 

Cette formule determine la liraite superieure de p, du nombre d in- 
connues 



Puisque le cas de p plus grand compreud tons les cas ou p a une va 
leur plus petite, nous supposerons que p ait la plus grande valeur possible, 
donne"e par la formule 

(19) p = E l - a ~ 2 ^ 5 . 

10. En s arr&tant au cas de I pair et posant l = 2k, on trouve d a 
pres la formule (19) 

(20) p = E 2fc- < T-a 1 H-5 ) 

les nombres a, a^ ayant, comme nous avons vu, les valeurs 0, 1. 
En supposant 0- = 0, o^ = 0, on obtient d apres cette formule 

77 2,fc "^ O 7 /-k 

^ = ^; = &-*- 2; 



mais, d apres ce que nous avons dit dans le 9 sur les egalit6s 



on conclut que dans lecas considere les quantites w , u s annullent; par 
consequent le nombre de termes de la serie 

M , U lt M 2 ,. . . 

diffe"rents de zero, est 



Pour cette raison les equations ( 1 3), en y supprimant les termes avec 
les facteurs w , u e"gals a z6ro et en y remplagant 



par 



se rSduisent aux equations (4) dont le nombre est n = &. Pour cette valeur 
de n ces Equations n ont d apres le 5 qu une solution, dans laquelle 



591 
satisfont a liquation 

<M*)=o. 

En remarquant, d apres la formule (15), que 

s q = v 
est une des quantites 

a/ , a?!,. . . #_!, 

on conclut que 1 hypothese considered 



ne peut avoir lieu que dans le cas, lorsque la quantite donnee v est egale a 
une des racines de 1 equation 

<M*)-<>- 

Dans le cas contraire nous devons chercher la solution de notre pro- 
bleme en faisant d autres hypotheses sur les nombres or, a l . 
Supposant 

ff= 1, 0*!= 1, 

on trouve d apres la formule (20) 



II en resulte que dans cette hypothese les Equations (13) contiendront 
2(&-t- 1) inconnues 



l 



U l 

par consequent ces equations, lorsqu on y remplage 



W 

par 



2 , 



se ramenent aux equations (4) dont le nonibre est n = 

En resolvant ces equations, d apres le 5 on trouve que les quantites 



doivent satisfaire a liquation 



592 
et, puisque d apres le formules (15) et (15) bis on a 

cela suppose les egalites 



Pour indiquer a quoi ser6duisent ces egalites, nous yportons 1 expres- 
sion de la fonction ^> k _ t _ l (x) par les fonctions *\> k (x) et ^ k _ l (x} qu on obtient 
de la formule (7) pour m = k. De cette maniere on trouve trois equations 

(21) ... .. (*-*- P**,) -MO k- () = <>. 

(2 2) (^, * H- p tH _,) 4,, (e) - V, () = 0, 

(23) (^ ft -H p t ^) ^ (6) - ^ (6) = 0. 

II suit de liquation (22) que 



En portant cette valeur de ^ k ^_ l dans les equations (21) et (23) et les 
resolvant par rapport a a A ^_ p on obtient deux formules pour la determi 
nation de ce coefficient 



__ 

() to(0 

_j_ rto-i (&) _ to-ij 

a *-M == &-e L toW to If) 

II en resulte que 1 hypothese consideree 



ne peut pas avoir lieu, si les deux valeurs de a k ^ l obtenues par ces for 
mules sont differentes entre elles. 

11. Passant a 1 hypothese 



on obtient d apres la formule (20) 

*p*feH8; 

mais il resulte de l 6galite 

<7 = 

que ( 9) 

w = 0. 
Done pour 

(7=0 (J= 



593 
le nombre de quantites 



" 



o, 



differeutes de zero est /<;-*- 1; par consequent, les equations (13), en y sup- 
primant le terme avec le facteur w 2 egal a zero, ne coutiendront que 
2k-*-l inconnues 



W . . . . M 



En posant 



on ramene ces equations ausysteme (4), dans lequel n = &-*-!, et par con 
s6quent d apres le 5 les quantites 

# , ajj,. . , .z ft 
sont racines de 1 equation 



Puisque d apres les formules (15) et (15) bii on a 

z v z a, = 7) 
"q v t "n i ^-f-i 

a cette equation doivent satisfaire les quantites 

x = v, x = b, 
ce qui suppose les egalitSs 



En y portaut 1 expression de la fonction -j^iO* ) par <\> k (x), <\> k _ l (x) 
donnee par la formule (7) pour m = k, on obtient les Equations identiques 
aux (22), (23) donuant, comme nous avons vu, pour la determination des 
constantes inconnues 



contenues dans la fonction ^> k _ t _ l (x), les formules suivantes 



D apres ce que nous avons dit dans le 5 et le 7, la quantity 
doit surpasser ze>o et aucune des quantites 



ne peut ^tre inferieure a a. 

38 



594 
La premiere condition suppose que la formule obteuue douuc 

de la deuxieme condition il resulte que 1 equation 
ayaut les racines 



n a pas de racines entre x = oo et x ~ a. 

II u est pas difficile de demontrer que, quand la premiere condition 
est remplie, la seconde ne peut avoir lieu que dans le cas 

fo-t-l () ^ A 

**() ^ 

Pour demontrer cela, remarquons que d apres la formule (7) dans le 
cas 

la fraction 



a une valeur negative pour x== oo; mais son signe ne peut pas chan 
ger entre x = - oo, x = a, si 1 equatiou 

+..(*) = 

n a pas deracine inferieure a a, car enmdme temps d apres le 5 1 equation 



n a pas non plus de racine inferieure a a. 

Done 1 hypothese consideree sur les nombres a, a-j ne peut avoir lieu 
que si la condition 

<\>k-t-\ () ^ Q 

4* () 
est remplie. 

Enyportant, d apres la formule (7), 1 expression de la fonction ^ k _ t _ l (x) 
par vp 4 (aj), j A _ 1 (^) et, d apres la formule (24), la valeur de la constant c p Al _,, 
on ramene cette inegalite a la suivante 

M ^ h=iW _ Ifk-iW. 
****** }< **() **() 

Puisque v est contenue entre a et ?> > , la difference a v est ne"- 
gative; par consequent, apres avoir divise la derniere inegalite par a v, 

on obtient 

-i () _ n i (t>)"] 

k (a) ty k (v) _T 



595 

En remarquant que le second merabre de cette formule a la m&ne va- 
leur que dans 1 equatioii (25), on conclut que 1 hypothese 

<T = 0, <TJ = 1 

peut convenir aux demandes de notre probleme seulement dans le cas, quand 
la formule (26) donne pour a fc ^ t une valeur, qui ne serait pas infe*rieure a 
celle qu on obtient par la formule (25). 

En considerant de la meme maniere la solution de notre probleme dans 
1 hypothese 

<r=l, <r 1= =0, 
quand d apres le 9 

V_, = o, 

on ramene les equations (13) aux Equations (4), en posant 



En repetant ce que nous avons fait en considerant le cas 



nous deduisons que la constaute a ft ^_ 1 doit se determiner par liquation (25) 
et qu elle nedoit pas (Hre inf^rieure a celle, qu on obtient par la forraule (2 6). 

II en resulte que 1 une des deux hypotheses 

(7=0, (^=1, 



peut satisfaire aux demandes de notre probleme, suivaut que 1 equation (25) 
ou (26) doune la plus graude valeur de a A ^ r Dans le cas particulier, quaud 
ces equations donnent lamme valeur dea^^, lesformules, qui determinent 
la fonction 



se ramenent a celles que nous avons obtenues en posaut 

a=l, (7^=1. 
Quant a 1 hypothese 

o- = 0, ffl = 0, 

38* 



596 
elle n est possible que si 

sous cette condition les deux equations (25) et (26) donuent 

par consequent, la fraction continue 
i 



1 <x 2 x -+ (i 2 . 

se reduit a la fraction 



J_ i 



servant, d apres ce que nous avons dit, a la solution de uotre probleme dans 
1 hypothese 

o- = 0, ^ = 0. 

12. D apres ce que nous avons demontre sur la determination des 
valeurs de 



qui donnent le maximum cherche de la somme 



pour I paire = 2fc, on voit que, rnalgre la possibility de diff^rentes hypo 
theses sur les nombres a, o- 15 ils ne peuvent pas exister deux systemes diffe- 
rents de valeurs 

^05 Z \f Z p 1> 

satisfaisant aux demandes de notre probleme. 

En remarquant, d apres la forme de la somme 



que sous les conditions posees elle doit avoir un maximum, on couclut que 
ce maximum aura lieu pour les valeurs 



donnees par les formules obtenues. 

Par ces formules, comme nous avons vu, on obtient les valeurs 



597 
au moyen de la fraction continue 



1 1 



a, x-t- 



tl << 1 Pi rt 

1 ,-*&, -. ! 

1 



_._*;-+-!**-,_, 
OU 

se determiuent par le developperaent de 1 expression 

Gr* r* r* 

^1 ^2 /--j-l 

"F ~ H a* ~*~ ^3 ~ H H ~~y~ 

en fraction continue 

_1_ i 



a, x-t- B, 



a; -t- P 2 . < 

~ a a; -- p . 



ou le coefficient a A _ 4 _ l est egal a la plus grande des quantites 

j_ r*k-i () _ 4>*_i m i r^-i(b) ^_i(t>n 
- L **() **() J 6- L **(&> **() J 

et le nombre $ k _ t _ l se determine par 1 egalite 

o 4** _ i (<0 

M T<t 1 ^ / _ ff 71 

rft-i-i~ ^(t,) 

En designant par 

a?) 



la fraction ordinaire egale a la fraction continue 



a, a; -i- p, 



a 2 x -+- 3 2 - . m i 

et par 

T. T, T 

^O 1 > j| 

les racines de Pequation 

disposees en ordre croissant, on aura, d apres le 1 1 , ou 

avec 1 egalite 
ou 



598 
avec 1 egalite 

w,=o- 

D apres ce que nous avons dit sur les quantites 

V, V, ---- w 2 ^, y OJ y 17 ---- /_!, 
on voit que dans le premier cas on aura 

w 2 =0, u l n = y ,....^ = y q _ l ,....u k 9 = y t _ l1 
et dans le second 

V=2/ , V==2/i>----% a = v--- w * 2 = ^ tt Vi=- 

En remarquant que d apres notre notation 

Z = w a -i-M 1 2 -i-. . . .--w 9 2 

et que d apres la formule (15) 

*, = *> 
on obtient que dans le premier cas auront lieu les relations 

X = yo -"-&-*- ---- ~ | -2 ? -i> ^-1 = ^1 
et dans le second cas les relations 

x= 2/0 -*-*/i-*- -*-y ff > , = . 

En posant dans le premier cas q 1 = (A, et dans le second q = [/., 
on aura dans les deux cas 

(27) X = / O -H */,-*- ---- -H^, ^==;. 

Pour determiner les quantites 



contenues dans cette formule, on remarque que, d apres le 5 pour 
n = k -+- 1 , on aura 



a; a;,- 




d ou il resulte que 



En determinant par cette formule les quantites 



599 
et les portant dans 1 egalite 

^ = 2/o-*- 2/i-*- ---- -*~V 

on trouve que cette somme se compose des valeurs de la fraction 

pour 

x = 

racincs successives de 1 equation 



la plus grande de ces raciues x d apres laformule (27), etautegale a v, et 

r* 

la plus petite X Q (d apres le 8) etant > a; cette sorame au moyen du 
symbole , iutroduit par Cauchy, se represente par la formule 

V-t-U) 

0*0 



a co 



ou to est une quantite positive infiniment petite *). Ainsi, pour determiner 
la valeur du maximum cherche pour I = 2fc, on obtient 1 egalite 



e-i-to 



y p 

a tt 

13. Passous au cas de I impaire et posous l=2k-*-l; par la formule 
(19) on trouve 



ou, comme nous avons vu, 

a = ou 1 , o-j = ou 1 . 
En s arretant a 1 hypothese 

cr = 0, ^ = 0, 
on obtieut d apres cette formule 

p = k-*-3; 
d apres ce que nous avons dit dans le 9 sur le cas 



*) Pour simplifier nos formules nous n indiquons pas pres du signc 9 les limites de la 

partie imaginairc de x, comme le faisait Cauchy; dans les questions que nous traitons les par 
ties imaginaires de x sont uulles. 



600 

on a 

w = 0, 1^ = 

Pour ces valeurs de 

P, w o, 



apres la reduction des termes multiplies par w = 0, u = u k ^ 2 = et 
apres le remplacement des inconnues 



par les inconnues 



on ramene les Equations (13) aux equations (4), dans lesquelles % = &-*-!. 
Dans la solution de ces equations, comme nous avons demontr6 dans le 5, 
les quantite"s 



sont les racines de liquation 

<W 4 W=.o, 

cette fonction ^^ (a;) se determine, comme nous avons dit dans le 4 dans 
le cas I = 2k-+- 1, par I egalitS 



at. a;-*- 
OU 



sont les m^mes que dans la fraction continue 



a, x -t- B, 



a 2 



at a; -H pt 
^* 



et Y est une constante inconnue. 

Pour determiner la quantite" Y et la fonction ^> k _ t _ l (x) qui contient 
on remarque que la serie de quantites 



contiendra la quantity 

*r- = V 

egale a ;, d apres la formule (15); par consequent, liquation 



601 
doit etre satisfaite par x v, ce qui suppose I Sgalite 



Par cette raison, pour determiner y, on remarque que liquation (7) 
pour = m = k donne 



(28) 

ce qui fournit, en vertu de 1 egalite qu on vieut d ecrire, 

(*- v -*- T) ** W **-i () = ; 

d ou 1 on obtient 



En port-ant cette valeur de y dans la formule (28), on trouve 
(29) 



Cette formule donne le premier membre de 1 equation 

**^(*) = o," 

qui determine les quantites 

x = l , x l =g 9 ,... .,_, = ,,. ...x h = 
Puisque d apres le 7 les quantites 



forment une serie ascendante, ou, d apres la formule (15) bis , 

^0 = , 

1 hypothese consideree 



est impossible, si 1 equation ^ k ^ i (x)=0 a uue racine hors deslimites #=, 
a = 6; mais cela aura lieu, comme il n est pas difficile de demontrer, si la 
fraction 



a une valeur positive. 

En effet, si toutes les racines de liquation 



602 

sont contenues entre #=, # &, la m6rne propriete a lieu, d apres le 5, 
par rapport a liquation 

fe(*) = o ; 

par consequent, les quantites 

+*+,(). *.(). **.<*)> w&) 

ont les m&nes signes que 



et, a cause de cela, la fraction 



<!*(*) **(*) 
doit avoir pour a? =r oo le intone signe que la quantite 

to-i-i () 



^A () <!>&-*-! (&) 

Mais d apres la formule (7) on voit que cette fraction pour x = oo se 
reduit a 1 . 

De cette maniere nous nous persuadons que pour la possibilite de 
1 hypothese 

(7 = 0, cr 1 = 

dans la solution de notre probleme, il est n^cessaire que la fraction 



soit negative. 

En y portant Texpression de la fonctiou ^^ (x) par la formule (29), 
on trouve que cette fraction est egale a 



En decomposaut cette expression en deux facteurs 



i () h-i (t>n 

() 4A(v) _ *-- 



v a v ^A() 4A(v) _ *-- 

* x r^-i(6) **-i(*n " 
6-c L **(6) **() J " a *--i 



et remarquant que le premier facteur pour 

a < v <6 
a une valeur negative, on conclut que 1 hypothese 

(T=0, ^ = 



603 

pour 

I = 2k -f- 1 

ne peut avoir lieu que dans le cas, ou 



a v L ^k () **W-I - "> 



! (on 

() J *-*- ! 



14. En passant a 1 hypothese 

(7=1, 0^=1, 

pour 

/=:2fc-Hl, 

on trouve, d apres la forraule (19), 



11 en resulte que dans le cas considere les equations (13) contiendrout 
2 (k -+- 2) inconuues 



et que ces equations se ramenent aux equations (4), le uombre w etant 
egal a A; -i- 2, si Ton pose 



Mais dans la solution de ces equations, d apres le 5, comme nous 
avons vu, les iiicoimues 



sont les racines de 1 equation 



la fouctiou ^ t ^. 2 (aj) etant le denominateur de la fraction ordinaire, alaquelle 
se reduit la fraction continue 



I** P I ",*-*-?,-.. 



Dans cette fraction continue les quantites 



604 
se dfterminent d apres le 4 par le developpement de 1 expression 



" "^ ~~o ~ i 

X X z X* 

en fraction continue 
i 



et 

Y> Yii Ya 

sont trois constantes incounues qu il faut determiner. 

Pour obtenir les equations qui deterniinent ces constantes, nous remar- 
quons que parmi les quantites 



satisfaisant a liquation 

! *{*) =o, 

se trouvent les quantites 

*o, V V-i =*P-I 
6gales, d apres le 7, a 

a, v, fe; 

par consequent, auront lieu les 6galites 
(30) . 



ou ^^.a^) est la fonction, dout onobtient facilement 1 expression par 
et ^ 4 _ 1 (ic) au moyen de liquation (7). 

En effet, en posant dans cette equation 

m = ^ ?*-+-! =T 

on trouve 
mais en posant 
on obtient 



i\ en resulte apres I ^limiuation de 

(*) = [(Yi * -- Y 2 ) (*+ l * -*- T) 1] <K (*) (Yi * 
En determinant par cette formule les valeurs 



605 

et les portant dans les Sgalites (30), on obtient les trois equations suivantes: 
[(Yi aH -Y 2 ) 



[(Yi & + Y a ) K^ &-*-Y)lJ feW (Yi&-*-Y>) fe-i W=0. 
Mais en resolvant ces Equations par rapport a 

Y? Yi Ya 

on obtient pour la determination de ces quantites les formules qu on peut 
presenter de la maniere suivaute: 

_**-i() (b-aiPPt a-p) 2 v __(!-P)(P-?>) 

Y- 4,4 (a) 1 p a *-+-i Ti (b_ a )2 ppi Ti (6_ )2 ppi 

OU 

i p*-i() ^-i(t>n 

_ q-g |_ ^(q) ^( P ) J ** 

P " 1 



im 

() J *-" 



i r^_,(b) ^- t (an 

Pi &-a|_ <I*(6) " <!*() J *-*-! 

En comparant la derniere formule avec 1 inegalite (10) et remarquant 



que 

on conclut que 



Pi<0, 



et, a cause de cela, d apres la formule qui determine la constante YJ , cette 
quantity aura le signe contraire a celui de laquantite p, egale, comme nous 
avons vu, a la fraction 



i r^-i(fe) ^-i(t>)i 

L **(&) **() _ 



*-4-l 



En remarquant que y x , 6tant le coefficient de x dans un des quotients 
iucomplets de la fraction continue resultante du developpemeut de la somnie 



23/t 
X Xi 



doit, d apres le 2, avoir une valeur positive, on conclut que pour la pos 
sibilite de 1 hypothese consid^r^e 



606 

cette fraction doit 6tre inferieure a zero, ce qui est directement contraire 
au resultat obtenu dans 1 hypothese 

<r = 0, ^==0. 
Quant aux hypotheses 



on aura pour ces valeurs de cr, a^ et pour l=2k-t-l, d apres la formule (19), 



II en r6sulte que dans ces hypotheses les equations (13) contiendront 
le mme nombre d iuconnues que dans 1 hypothese 



par consequent, leurs solutions, si elles sont seuleraent possibles, s obtieu- 
drout par les formules que nous avons trouvees pour le cas 

(7=1, ^=1. 

15. On voit, de ce que nous avons demontre, que dans le cas de I 
impair ils n existent pas non plus deux systemes differents de quantitSs 



satisfaisant aux demandes de notre probleme; par consequent, les valeurs de 
ces inconnues obtenues par les formules d6montres doivent donner le ma 
ximum cherch6 de la somme 

X = M 2 -I- Mj 2 H- . . . . -H W 2 . 



D apres ces formules, pour =2fc-t-l, la resolution des Equations (13) 
se ramene, comme nous avons vu, aux equations (4), le uombre n etant 
6gal ou a fc-t-1, ou a fc-t-2. Le premier cas a lieu, si la valeur de la fraction 

t_i (a) 4>ft_i 



iW ^-(p)i tt 

() **() J 



*-*-! 



est plus grande que zero, le second cas, si elle est inferieure a zero. 
Dans le premier cas on a 



607 

dans le second 

*o = *o, *, = !,.... * q = x q 

V=yo, V = yi- -V = 

ou pour 

de me me que pour 

w = fe- 
on determine les quantites 

XQ , #!,.... ^ ? _ 1 , 

2/0 2/1 J* * 2/y i 

par 1 egalite" 



Dans cette 6galite les quantites 
a,, a 2 , ---- a ft , a 
sont e"gales a celles, qui sont continues dans la fraction continue 



1 <x 2 x +- 



resultante du developpement de 1 expressiou 



__ __ 

**-* 



la determination des autres quantites est diflferente, suivant que n = k -t- 1 
ou w = fe -t- 2. Dans le premier cas on a 



dans le second cas 

ft = 4<*-.| ( a ) ( b a ) PPi a a a __ I 1 P) 2 ft __. (1 P) (P &) 

ou les quantites auxiliaires p, p x sont determinees par les formules indiquees 
dans le 14. 

En portant les quantity s indiquees plus haut 

dans la formule 

-X = w a H~ M, 2 -*- -H w fl a 



608 
et dans 1 equation (15), on aura dans le premier cas 

X = y -+-y l -+-....-*-y q _ l , *^ I =, 
et dans le second cas 

X = y Q -*-*/! -*- -*-y ff , x q = v- 
En posant dans le premier cas 

q l=(x, 
et dans le second cas 

2 *=l*i 

on conclut que dans les deux cas auront lieu les coalite s 

X = y<>-*-yi-+- --V X VL = V > 

ilenresulte, comme cela etait indique dans le 12, la formule suivante pour 
la determination de la somme X au moyen du symbole : 



p <Pn W 

~ ^ *(*) 



16. La methode que nous avons employee pour determiner le ma 
ximum de la somme 

t -*-i 

* _. i /it 2 i /j/ 



u,, 

J 



peut 6tre aussi appliquee a la recherche de la plus graiide valeur de la 

somme 

p 

H.. v .H-^ p _ l . 



En d^signant la derniere somme par X , on a 
9 

x o =2 w a = ^ ~*" "" 



Cette somme, comme il n est pas difficile de remarquer, se ramene a 
celle que nous avons consideree, en y mettant p i 1 au lieu de i et posant 

4i=P 21- 

II en r^sulte que les formules obtenues anterieurement se rainenent 
a celles, qui ont lieu pour la nouvelle somme, en y effectuant tous les 
changements produits par le remplacement de i par p i 1. 

En posant 



609 



on trouve, que la somme 
p 



se ramene a la somme 

ayant la meme forme que la somme 

les equations (15) donnent 

les equations (15) bis deviennent 

.<. I t M ,C I , I 

mais les Equations (13) conservent leur forme avec le seul changement de 
0, u en Z, U. 

II en resulte qu en changeant a en 6, & en a et v en w dans les for 
mules obtenues pour 



donnant le maximum de la somme 

X = w 2 -+-w 1 2 -H ____ 
pour 

f f = ^ 

on obtient les formules, qui donnent les valeurs 



77 2 77 2 rr2 

^o ) I D .. v p _ t , 

correspondant au maximum de la somme 



pour 



Puisqu il est clair d apres la composition des formules obtenues dans 
les 8, 9, 10, 11, 12, 13, que les equations qui determined lesquantites 



restent invariables, quand on y change a en &, & on a, on conclut que tout 

39 



610 

ce que nous avons dit sur la determination de ces quantitSs est aussi appli 
cable a la determination des quantitSs 

Z Q , Z v ... .^_ 1 , 

77 2 77 * 7T2 

UQ , U l j. . . . J p _ l . 

Pour cette raison les valeurs des inconnues donnant le maximum 
cherche pour l=2k ou /=2&-*-l seront determiners au moyen de la fraction 
continue 



a, a; -HO, 



resultante du developpement de 1 expression 



X X* X s x l 

Cette fraction, comme nous avons montre dans les 8, 9, 10, 11, 
12, 13, 14, 15, determine la fraction continue 

i 



donnant la solution de notre probleme, n 6tant egal a 7c-t- 1 ou 7c-i- 2. 
En designant par 



la fraction simple egale a la fraction continue, on obtient liquation 
servant a determiner 

*7 ^7 ^7 

Z , Z/ 1? . . . .^p! 

et la formule 



pour la determination de U*. 

Passant a la determination de la somme 

Xo =u<?-*-u* -*-.... +u q *, : : 

et remarquant, d apres ce que nous avons dit plus haut, que les quantites 

Z , Z lt . . . .Z q 

forment uue serie decroissante, depuis Z = b jusqu a Z q = w, on trouve au 
moyen de cette formule que le maximum cherche se presente a 1 aide du 



symbole de la maniere suivante : 



w a) 



28, 



SUR LE DEVELOPPEMENT EN FRACTIONS CON 
TINUES DES SERIES PROCEDANT SUIVANT LES 
PUISSANCES DECROISSANTES DE LA VARIABLE. 

(THADUXT PAK B . G. 



(Lu le 13 mai 1892.) 



n&npcpufnyio 3po6i> pjivovt*, pacno* 



no 



LXXI-My Tony SanncoK B IlMnepaiopcKoft AKaaeMiii HayKt, As 8.) 



89* 



Sur le developpement en fractions continues 

des series procedant suivant les puissances de- 

eroissantes de la variable. 



1. D apres ce que nous avons montre au sujet des valeurs limites 
des integrates et des sommes *), sous les signes desquelles la fonction inconnue 
ne devient pas inferieure a ze>o, on voit que ces valeurs s obtiennent au 
moyen des fractions reduites que 1 on obtient en developpant la serie 



en fraction continue. 
Les coefficients 

^o) yii <2,> 

dans cette serie sont des quantites donn^es, d apres lesquelles on cherche 
les valeurs limites des inte"grales ou des sommes. 

Lorsque le nombre des donne"es augmente, la difficulte de determiner 
les re"duites necessaires de la s6rie 



en la d^veloppant en fraction continue, croit rapidement; elle devieut m^mc 
insurmontable si Ton veut avoir des formules generales fournissant les li 
mites cherchees pour un uombre des donnees arbitrairement grand. 

Jusqu a present ces formules ne peuvent 6tre trouve"es que dans les 
cas exceptionnels, ou, grace a la forme des coefficients 



*) Sur la representation des valeurs limites des integrates par des residus inlegraux. T. II, 
pag. 421 440. 

Sur les sommes composees des valeurs de monomes simples multiplies par une fonction qui 
reste toujours positive. T. II, pag. 561610. 



614 
la serie 

Gn fi 

^l 2 

~X "*" & "*~ X* HH J 

appartieut au petit nornbre des expressions dont les reduites peuvent 6tre 
obtenues, a l e"tat actuel de 1 Analyse, sans le secours des fractions conti 
nues. Dans chacun de ces ces toutes les reduites de la s6rie 

X X % C 3 * 

peuvent etre representees par une formule unique dependant d un nombre 
cntier positif arbitraire qui est determine par le degre du denominateur. 
En prenant successivement pour ce nombre 

1, 2, 3,..., 

nous trouvons au moyen de cette formule une serie de fractions reduites 
qui pent etre prolongee aussi loin qu on le veut. En supposant que ces re 
duites, qui s obtiennent par la formule gene"rale unique, correspondent au 
cas particulier, ou dans la serie 



les coefficients 
ont les valeurs 



o == c o > ^i ==: c i > Vz = c a> 



nous aliens montrer ici, comment on pourra en faire usage pour determiner 
les reduites de la serie 

Qo _. @i _ , _ ^2 , 

X ~ X* X* 

lorsque les coefficients 



different plus ou moins de c , c 1? c a ,. . . 

En nous reportant a ce que nous avons montre sur les fractions con 
tinues provenant du de"veloppement des series, qui se presentent dans la re 
cherche des valeurs limites des sommes et des inte"grales, nous supposerons 
que la se>ie 

o_i_ ^l_i_ ^_j 

x x* a; 3 * 

pour 

G = c , Gj = Cj , G 2 = c a , . . . 



615 
peut etre developpee eii fraction continue 



x + 



a, x -+- P, 
OU 



En designant par 



0, 2 



les reduites, nous observons, d apres ce que nous avons moutre dans les 
Memoires cit^s, que les equations 

k(s) = 0, 4/,W = 0, ^(*) = 0,... 
seront des degres 

1,2,3,..., ,;; 

que leurs racines seront replies et qu entre deux racines successives de 1 e- 
quation 

<U0 = o 

se trouvera une racine de 1 equation 

^-,W = 
pour toute valeur de n. 

Afin de simplifier nos formules, nous nous bornerons a la supposition 
que les racines de toutes ces Equations sont toutes plus graudes que zero, 
comme cela a lieu dans les cas les plus intSressants par leurs applications 
et comme cela peut &tre toujours realise par un changement convenable de 
la variable x. Dans cette supposition toutes les racines des equations 

k 0*0 = 0, k(0) = 0, h(x) = 0,... 
auront des valeurs reelles positives, et par suite leurs premiers membres 



seront des polynomes a termes alternes dont les premiers termes auront le 
signe -f- , puisque dans la fraction continue 



a, X-+- B, 



Ton a, comme nous 1 avons dit plus haut, 

(1) fl^X), a 2 >0, a 3 >0,... 

D apres cela, en determinant les signes des fonctious 



616 

pour 

x = Q, x= & < 0, x = oo, 

nous trouvons que pour toutes les valeurs de n, Ton aura 
(2) (-l) n l(0)>0; (-l)^ n (-A)>0; (~l) M ^ n 
2. Passant au cas, ou les coefficients 

^o> ^u Q>- 
dc la serie 

C . C l . C 2 . 

a: <c 2 *~ a 3 

different plus ou moins de 



C 0> 



nous poserons 



ct nous designerons par W t W les fonctions definies par les egalites 



d ou il vient 



Pour determiner celle des reduites de 1 expression 



dont le d6nominateur est du degr6 m (si une telle r6duite existe), desig- 
nons-la par 



Puisque, comme nous 1 avons dit, les fonctions 

<K(*), fc(a) fe (*),.-. 
sont des degr6s 

1, 2, 3,. . ., 
la fonction 

*(*) 

sera du meme degre que ^ m (x) et par consequent nous aurons 



617 

g m etant uuc coiistante differente de zero et G m (x) un polynome dont le 
degre ne depasse pas m 1 . Avec cette decomposition du denominateur 
la re"duite cherche prendra la forme 

Qm() 



En calculaut la difference entre cette fraction et la fouction 

"" W TF , & . , r . ,.:. :;r . ... 

nous trouvons qu elle cst egale a 1 expression fractionnaire 

WQ m (x) - Q m (a?) - (g m ty m (x) -t- 6 m (x)) W -*- g m 4> m (x) W 
9m$m( x )-*-Qm( x ) 

Comme le deuominateur est ici du degre m et que 1 expression elle 
meme, repre"sentant la difference entre la fonction 

TT W Q 

et sa reduite 



doit 6tre d un degre inf^rieur a 2m, ils ensuit que le degre du uumerateur 

W0 m (x) - Q n (x) - (g a ^ m (x) H- O m (x)) W, -4- 9m <f, m (x) W : 
doit etre iuf^rieur a m; or, pour cela il faut et il suffit que la difference 



doniie 1 expression de la fonction 



exacte jusqu aux termes en x~ n inclusivement. D apres cela, par les for- 
mules enonc^es par nous dans une lettre au professeur Braschmann *) et 
demontre es dans un Me"moire intitule : Sur le developpement des fonctions 
en series au moyen des fractions continues **), on peut trouver le dvelop- 
pement du polynome (J m (x) suivant les fonctions 



En effet, en appliquant les formules obtenues dans le 10 du Me- 
moire cite a la determination du polynome O m (x) de degr6 m 1 au plus, 
avec lequel 1 expression 



*) T. I, pag. 611614. 
**) T. I, pag. 617686. 



618 

Q m (#) etant une fonction entiere, puisse representer le plus exactemeut 
possible une fonction quelcouque F(x) et en supposant que W se devcloppe 
en fraction continue 



B 



3 X-t- JJ 3 -1- 

dont les reduites soient 

*L 5i 
Qi , 
nous trouvons 



ou 



A) 



designent les coefficients des termes en dans les produits 
Q l F(x\ Q 9 F(x),...Q m F(x). 

Le polynome O m (x) 6tant d6termin6 par cette formule et U m (a;) etant 
convenablement choisi, 1 expression 



representera la fonction F(a;) avec la plus grande exactitude qui soit pos 
sible lorsque le degre de 6 m (m) ne d^passe pas m 1 . Puisque la formule 



donne la fonction 

F(x) 

au moins jusqu au terme en x~ n inclusivement et puisque pour tout autre 
polynome, dont le degre ne de"passe par m 1, 1 exactitude de cette formule 
ne peut pas atteindre cette limite, nous concluons de ce qui a e"te dit sur 
la determination du polynome 6 m (x) entrant dans 1 expression (4) de 1 F() 
que O m (x) doit satisfaire a I egalit6 (5) dans le cas, ou 

:v.*-.j J 

(6) F(x) = (g m ty m (x) H- 6 m (x)) W Q -g m ty m (x) W 

et 

i i 



B l *3^B ! H- I -^-^.^- B 1 - 5r ^ 

On voit de la derniere egalit^ que Ton a ici 

"-i == a i i A z = a 2 , A 3 a 3 , . . . 
et que les d6nominateurs 



619 

ties reduites de la fraction continue 



ont les valeurs 

Q l = tp (#), Q 2 = -J/j (a?), ft = ^ 2 (#), ft = ^ 3 (x) . . . 
En trouvant d apres cela 

nous concluons de la definition des quantites 

que les coefficients 

dans 1 egalite (5) sont les coefficients de dans les produits 



et qu ils peuvent par consequent &tre repre"sentes par les expressions 



si nous convenons de designer le coefficient de dans le developpement 

Z 

d une fonction quelconque F suivant les puissances descendantes de z par 

[F].. /wi -iAiissbBttooIfl-, 

En portent dans 1 equatiou (5) ces valeurs des coefficients 

-^1 A? ^2^25 -^A* 

ainsi que les expressions obtenues plus haut pour les fonctions ft, ft, ft..., 
nous trouvons que cette Equation devient 



m m-1 



^ w= [A w ^w], ^ (*)-*- [,*i w ^ 

[a 3 4> 2 (^) FW], ^(*) H-. . .-H [a 
= K a i ^ (*) ^o W*, <K(s) *! W -^ . H- m ^ w _ 1 (*) K-i W) ^W],, 
et, en posant 

(7) ^ m (a, *) = a, ^ (a?) ^ (e) -H a a ^ (*) ^(*) -t-...-*- a m ^ m _ 1 (a;) ^/ m _ 1 (*), 
nous trouvons 



620 



(Tou, en y portant I expressiou de la fonctiou F(x) d6finie par la formulo 
(6), uous obtenons pour determiner le polynome cherche O m (x) cette 



equation 



ou bien 

o (*) = [*. (*. *) fa. <L (*) -*- * n W) f 7 .]* - \a m *. (*, *) t, W 

Dans cette egalite le produit 



d apres la propriete des reduites, ne differera de la fonction entiere y m (z) 
que par les termes de degr^s inferieurs a w, taudis que la fonction 
m (a;, z\ d apres (7), est du degre m 1; done 1 expression 

^fo HmMJF 

ne contiendra pas de terme en ; par suite Ton aura 



et 1 equation que nous avons obtenue se reduira a celle-ci 

ou, d apres la formule (7), la fonction <& m (x, z) est exprim6e par 

sous la forme d une somme de m termes symetriques par rapport a #, z 
et dont les degres par rapport a chacune de ces deux variables ne depassent 
pas m 1. 

II n est pas difficile de trouver 1 expression de cette fonction sous la 
forme d une fraction tres simple ne contenant que ^ m _ 1 (#)> ^ m (*) 

Pour cela nous observons que 1 equation (7) multiplied par x donne 

X0 m (ic, z) = otj X*\IQ (x) ^ (z) -+- a 2 x^ (x) ^ (#)"-*-. . .-*- a m x<\> m _ l (x) <\> m _ l (z). 
Comme les denominateurs 

des rMuites de la fraction continue 

^ L_ t ;--.: 



satisfont aux egalites 
^() = 1, ^ 1 W = (a 1 aj-*-p 1 )^ (*), ^ 1 () = ( 

, ^m()=(m-*- PJ ^m-i 



621 
d ou il resulte 

x l v\> Q (x) = <l> l (x) Pi4fc(*)i 
^ () = h (x) (3 3 <k (x) H 



cette equation se re*duit a la suivante 



En calculant de m^me le produit 

^(^4 

nous trouvons 

*#* (^ ) = Dti W - Pi i W] ^o W + [*, W - P a *i W + 

-*- W-Pm* .( )*-*- Wl *-, W, 

ce qui, retranch6 de I ^galite pre"cedente, donne 

(* *) ^m (, ) = K_i W <L (*) K W ^m_! (*) 

En divisant par x e, nous obtenons pour determiner la fonction 
$ m (x, z) la formule 

(10) (x x) = 

wt \ J x 



3. Passant aux applications des formules que nous venons d obtenir, 
nous commencerons par le cas particulier ou la se"rie 



-- __ __ 

x x 2 afl 

se reduit a la fraction 

i 



ce qui a lieu pour 

i h h* 



Nous supposerons la quantite A toujours positive et # quelconque. 
En posant dans ce cas particulier dans la formule (9) 

W = 

r 



622 
nous obtenons pour determiner le polynome 6 m (x) 1 equation 

o m (*) = 0* (*, *) (9 m K W -*- ** W) *(rnd- 

Pour en deduire 1 expression du polynome cherche m (x\ nous obser 
vons que la fonction 

9m 4*w (*) -*- Qm ( g ) 



apres que Ton en a retranche la partie entiere 

9m Ifm (*) -*- Qm ( g ) 9m ^m (~ fe ) ~ 



qui n iuflue pas sur la quantite" 

[^ m (*, *) (P *m W -*- ^m W) !T( 

se reduit a la fraction 



Jff 

ce qui donne 



ft) f^ffl (*)"] 

L *--* J 



Si de m6me nous retranchons ici de la fonction 
sa partie entiere 



nous aurons 



D ou, en vertu de 1 egalite 
il vient 



W) gt= 



par suite, 1 expression du polyuome m (x) que nous venous d obtenir se 
duit a celle-ci 






Nous determinerons la constante inconnue qui figure dans cette expres 
sion de la fonction m (%), en observant que pour x = h elle donne 1 e 
quatiou 



623 
d ou Ton obtient 



m\~ H- m (-h,h) 

En posant pour abre"ger 



nous avons d apres cette formule 

/9 / i\ _ 9m ^m ( 
m \ - 



et 1 expression obtenue pour O m (x) se re"duit a la suivante 

/ 9m ^m ( h ) m ( x > ~ ^ 



En portant cette expression du polynome m (x) dans 1 egalite (4) qui 
determine le denominateur *F m (a;) de la r^duite 



de 1 expression 

W-W, 

dont le degre" est egal a m, nous trouvons que dans le cas particulier quo 
nous conside"rons, ou 

W 

yr 



ce denominateur est det6rmin6 par la formule 
(13) v, (*) =g a * m (x) -H " *m (- ^ 



Quant au numerateur Q m (x) de cette fraction, nous le trouverons en 
multipliant W TT par fy m (x) et en negligeant dans le produit les termes 
de degre"s negatifs. 

4. Les formules que Ton obtient de cette maniere pour 

*(*). 0.() : : 

contienuent le facteur constant g m qui reste indetermine. 
Comme c est un facteur commuu des fonctions 

QW, ^(), 

il disparait dans la fraction 



il reste done completement arbitraire, si, en determinant les fonctions 



624 

on n a en vue que de faire approcher le plus possible la fraction 

Q m (x) 

de la fonction 

W , 



corame nous 1 avons fait jusqu ici. Passons maintenant a la supposition que 
la fraction que nous conside>ous 



s obtient du de>eloppement de la fonction 

W- l 
en fraction continue 



Oil 

sont des fonctions entieres. 
En d6signant par 

ses reduites, ou 

(14) e o =l, ft = 3l , Q^Q^ ft,..., 

nous observons que parrai elles il doit se trouver une fraction dont le d^uo- 
minateur est du degr6 m, si la difference 

S H m 

n est pas nulle. En effet, on pourra determiner ici par la formule (13) un 
d&iominateur du degre m tel que la fraction 



donne 1 expression de la fonction 

TT- 
a la quantity 



inclusivement pres, et cela ne peut pas avoir lieu si la fraction 

Qm (*) 

W m (x) 

n appartient pas a la s6rie 



ft* ft 1 



625 
des reduites de la fonction 



obtenues par le developpement de cette fonction en fraction continue 



II en resulte que, le facteur constant g m etant convenablement choisi 
dans la formule (13), cette formule fournit la fonction J m (x) egale a 1 un 
des denominateurs 

Q\t Q%"> Vsj 

De la, en rep6tant le m&ne raisonnement apres avoir remplace m par 
1, 2,. . .m 1, nous concluons que, les facteurs 



etant convenablement choisis, la formule (13) fera connaitre les fonctions 

,(*), %(*),... ^^(a;), Y m (), 
qui ont leurs egales dans la serie des denominateurs 

Vi> ^Ja> ^s> > 
lorsque aucune des equations 

(15) H=H l , H = H,,...H=H m _ l) H=H m 
u est satisfaite. 

Puisque les degres de ces denominateurs forment une serie croissante 
et que les fonctions 

^(x), V, (*),... Y^Oi;), V m (a;), 

d apres la formule (13), sont des degres 

1, 2,. . .m 1, m, 
les deux series de fonctions ne peuvent coi ncider que si Ton a 

(16) V l (x) = Q l , ^(x) = Q 9 ,...V m _ l (x) = Q m _ l , V m (x) = Q m ; 
ces egalit^s nous serviront a determiner les facteurs constants 

9\-> 0a > -9m p 9 m > 
qui entrent dans les expressions des fonctions 

^(x), V,(a),... _>), Y m (). 

40 



626 

5. Passant a la determination de ces facteurs, nous observons que, 
d apres (14), les egalites (16) ne peuvent avoir lieu que dans le cas, ou les 
quotients incomplets 

01* &,-Q m 

contiennent x au premier degre et ou, par consequent, q n est represent^ par 
la formule 

Qn = ?n X + n> 

p B , <r n etant des constantes. En portant cette expression de q n dans 1 6- 
quation 



a laquelle d apres (14) doivent satisfaire les denominateurs Q n _ 2 , $_!> Q n , 
nous trouvons pour w<!w, la relation 

O =Q ( p x-t-a] Q 

n n i Vr n n/ n 2 

qui donne d apres (16) 

T. (*) = T._, (c) (p. c -+- O V n _ 2 (*). 
Pour en deduire les equations qui determinent les quantit6s 

9\i 9%i 9m 1> #m> 

iutroduisons-y les expressions des fonctions 

Y n (s), ^^W, V n _(a;) 
que nous tirerons de (13), en y rempla^ant 

n (x, - *), ^ n _ t (*, - A), ^ n _ 2 (, - h) . 

par leurs expressions que nous obtiendrons de (10), en y posant m = w, 
n 1, n 2. Cela nous fournira 1 equation 



n (*) ~ ^n (~ fe ) t>n i ( x )~] 
x + h 



H~H n 

^ Hi; u- ^n-i 

J L^ n - ^ H- 

4>n (-*) ^n-3 (~ fy 4^n-2 () ~ ^n-2 (~ *) 4^ n -3 ()"] . 
-W ^ - 



d ou, en multipliant par a; -f- 7^, nous d^duisons 



~ fc- 1^ (P. * * O Wn- 2 (- *) !-, W - * M (- *) W 



627 
Dans cette formule les fonctions 



etant les denominateurs des requites 

<Pn 2 (*) 9n i () 9 n 
<!>_*(*) *_!(*) 

de 1 expression 



<Xj a; -- p, 



sont Ii6es par liquation 

(i?) ^W = K^-*-W*- 1 W-^_ 2 W- .. 

Par suite, le facteur qui multiplie x-t-h devient par 1 elimination de ^ n (x) 



En observant que le produit du premier terme de cette expression par 
x _+_ h es t du degre n -+- 1 et que les degrSs de tous les autres termes de 
1 egalite que nous considerons sont inferieurs a w-t-1, nous concluons 
que cette egalite ne peut avoir lieu que si ce terme disparait et que par 
consequent on doit avoir 
(18) a^-ft^-^O. 

Cela pos6, I Sgalite dont ils agit se rSduit a celle-ci: 

-a Pn 9n-i 4>n-l (~ *) ^n- 

n ^nOn-i R 



Pour en chasser les produits 

^n-, 

nous trouvons d apres (17) 



et, en remplagant n par w 1 , 

x ^ ( x \ == 4>n t () fin-i ^n-a () + 4>- 3 (a?). 
in v / ~ -_ 



40* 



628 
En portant ces valeurs des produits 

aaK.-tO*), 4n- 

dans 1 egalite en question nous obtenons 

To Pn 9n i ^n i ( h ) ^n2 ( 

[Pn 9 n <* n 0n-i ~ H-H n ^ 

Pn 9n i n i ( 



i n i ( ^ "I 4> n i fo) ~ Pn i 4* 
-Hn-t J~ a n _, 



i * 2 - n 3 

" 



H-H n ~lT- ^ n _ 1 

i ^ 2 n i (~ ft) _. 9n 2 <K 2 ( ft) ^ n 3 ( ft)~| .1. (~\ 
-H^ H - H n _ z J Tn- 2 l a 



Le premier raembre de cette egalite est la somrae algebrique des fonc- 
tions 



multipliees par des constantes qui doivent se reduire a zero pour que cette 
somme formee des fonctions 



_ 

de degres 

w, n 1, w 2, w 3, 
s annule identiquement. 

D apres cela, en rassemblant les terines en 



et en egalant leurs coefficients a zero, nous obtenons ces deux equations 

Pnffn~ q ngn--i _ Pn ffn i <Ki i ( ft) 4>n 2 (~ ft) _. 9n ^n (~ h ) ^n i ( ft) __ ft 

^(H-H^) H-H n 

<y n _ 2 g n _^_ p n gr n _ 1 4^ 2 n i ( ft) _ 9n z ^n 2 ( ft) __ Q 
a n i a n i (^ ^n i) J^ H n z 



En y mettant, d apres (18). 



ffn 

w_ 



ffn-i 

a la place de p n , nous avons deux equations qui nous donnent 



_ H H nl H ~ H n~z ~ n 



629 

Les quantites 

H n , #_!> H n _ 2 , 

qui y eutrent s obtieiidront par la formule (11) pour m = n, n 1, n 2. 
En portant dans cette formule 1 expression (7) de la fouction 

f^CM 

et en y posant m = w, nous trouvons que H n est determine par la formule 

(21) H n = *M(K) -*- 0, V( *) + -*- nf n-i (~ *)- 

En remplagant ici n par w 1, w 2 et en comparant les expressions 
de H n , # n ._ 1? H n _ z obtenues de ces formules, nous observons qu elles satis- 
font aux equations 



qui donnent 

vr_(-*) = 3,--W. B -, 

par consequent 1 expression du rapport 

9n 
9nz 

se reduit apres 1 elimination des quantites 

n f B -,(-*), n-, 

a celle qui suit: 



En y posant successivement 

w = w, w 2, m 4, ...m 2|>-i-4 

et en multipliant entre elles les egalites resultantes, nous obtenons, les re 
ductions faites, 

g m (g- H m _^ (H- H m __tf. . .(H- H m _ 2 



(H-S m ) (H- H w _ 2 )2 (H- H wl _ 4 )3. . .(H- H m _ 

En posaut ici 

m = 2p, m = 2p 1 , 
nous trouvons 

lhp_ (H- H 2p _tf (H- H 2p _ 3 ). . .(H- 

<7 2 (H-H 2p )(H-Ht p _ 2 )*(H-H 2p ^...( 

9 2 p-i _ (g- g, p _ 2 )2 (H- g 2p _ 4 ) 2 . . .(H- 

9l ~(H- H 2p _ 1 ) (H-H 2p _^ (H-Br-f. 



630 

6. Les quantites g l9 g z , qui entrent dans ces formules sont determi 
ne"es, d apres (16), par les e"galites 



qui donnent d apres (13) 

\ 4*i ( ft) tf>i (# ft) 

-- - 



En observant que, d apres (7), les degres des fonctions 

#i(*, *)i ^.(*i *) 
sont infe*rieurs a ceux de 

^i()i <k(*)i 
nous concluons de ces egalites 

g. == lim. f-A-.l ; o 2 = lim. FA] 




Cela montre que les quantites g l , g z sont 6gales aux rapports des coef 
ficients des plus hautes puissances de x dans les fonctions 



que nous obtenons, d apres le 4, en developpant les fonctions 



TTT" TIT" ^ft ^1 ^9 * 

W TF ft = -f-t--4H--|-H 



* a 5 " a; 3 H (-*-*) 

en fractions continues. 
Comme on a ici 



X C, 



c c 2 



CD* 

-a?-*-...; 



Hx H^H-t-h) 1_ 

c H- 1 (c H I) 2 " (c #- 



JET (c H 1) (c 2 if /i) - H (c, 



nous avons dans ce cas d apres nos notations 

_L Cp 3 



ga; JEf^ H-t-h)_ ~ (c H l) 2 a; 2 

c H 1 (c if I) 2 ^a ^ [(c c 2 c^) if c ft 2 2c t h c 2 ] "*" * 



631 
D ou il vient, d apres ce que nous avons dit sur la determination de 



l c #- 1 2 c 2 H[(c c 2 - c,2) H-c h*-2cih- c 2 ] 

et d apres (21) 



En tirant de ces dernieres egalites 



et en portant ces expressions dans celles de g lt # a , nous aurons 



apres quoi les formules obtenues an precedent pour les rapports -j^ > -y- 
donuent 






1_ /(H- ^ 2 p-i) (g- ^p-i). .(g~ gi)\ 2 
H(H- H 3p ) \(H- g 2p _ 2 ) (H- H 2 p_ 4 ). .(H- g 2 )7 



H 



Ces forniules determinent les facteurs constants 



qui entrent dans les expressions (13) des fonctions 

lorsque les reduites 

QI (a;) Qgfo) t t Q m (aQ 

de 1 expression 

^0___^L__^2._ _L 



se deduisent de son developpement en fraction continue 

_L_ i 



632 

Quant a la determination des quotients incomplets de cette fraction, 
nous tirons de (18) pour m = 2p, m=2p 1 



et il vient de (22) 

(g-H 2p _ 1 P /(H- H 2p - 3 ). . .(#- g,) (#- JW 
P 2 p a zp H*(H-H 2p ) \(g-g 2p _ 2 )...(g-g 4 )(g-g 2 )/ 

g2(g-g 2p - 2 ) 3 /(H- g, p _ 4 ). . .(H- g 4 ) (g- 
- : Sp-i H- H 2 ,_ l \(ff- H 2 p_ 3 ). .(H- H 3 ) (H- 



Ayant ainsi determine le coefficient p m dans le quotient incomplet 



m 



nous trouverons a m par la formule 

^m Pm 

quis obtient dePegalite" (19), enyportant d apres (18) ^ a la place de ~^ 

a n 9n i 

et en rempla<}ant n par m. 

7. Dans le cas que nous considerons les quantites 

a H a 2>- - a m 

sont positives, d apres le 1; done les formules que nous venons d obtenir 
donnent, comme on le voit aisement, 

Pi>0, p a >0,... Pm >0, 

si H a une valeur quelconque, negative ou positive, superieure a 

H^ H z ,. . .H m . 

En nous bornant a ces valeurs de H, nous concluons de ce qui a ete 
dit au 1 sur les fractions continues dont les quotients ne contieunent que 
la premiere puissance de x avec des coefficients positifs, que toutes les ra- 
cines des equations 



sont replies et qu entre deux racines voisines de 1 une quelconque d entre 
elles 



633 

se trouve une racine de 1 equation 

-,.;. : | *_,(*) = 0.. , 

On voit de la qu aucune de ces equations n aura de racines negatives si 
dans la derniere equation 

^(*) = 0, 

qui, d apres (13) et (10), se reduit a 



toutes les raciues sont plus grandes que zero. 

Pour trouver les conditions sous lesquelles cela a lieu, nous observons 
que, d apres le 1, entre deux racines voisines de 1 equation 



se trouve toujours une raciue de 1 equation 



et que par consequent la fonction ^ m1 (x) doit changer de signe dans cet 
intervalle; mais comme la fonction fy m (x) s annule aux extr^mites de 1 in- 
tervalle et que \> m _ l (x) change de signe, le premier membre de liquation 
(23) change evidemmeut de signe dans cet iutervalle. II en suit que dans 
chaque intervalle entre deux racines voisines de 1 equation 



se trouvera au moins une racine de 1 equation (23). Cela pose et eu egard a 
ce que 1 equation 

| m W=o 

a m racines qui sont toutes positives d apres le 1 , nous concluous que 
1 equation (23) a au moins m 1 racines positives; done, etant du degr6 m, 
elle ue peut avoir qu une racine negative. Mais 1 equation (23) ne peut pas 
avoir uue seule racine negative, si sou premier membre a pour x = oo 
le rn6me signe que 1 expression 

, * <- 7t ) *m-i (~ ft ) ^m (0) ~ *m (~ *) *m-i () 



qui represente sa valeur pour x = 0. 

En observant d apres sa composition que pour x= oo il a le m6me 
signe que son terme le plus eleve" ^ m (x) et que, d apres (2), ^ m ( oo) et 



634 

^ m (0) ont le meme signe, nous concluons que Fequation (23) n a pas de 
racine negative, si le rapport des quantites 

il, f(}\ ,!, m^i ^m ( ft) ^1 (~ 7t) ^m () $m ( ft) Ifmi () 
Y W/l YmW; H| -jy_H TO A 

est positif et si, par consequent, a lieu Pinegalite 

1 _ *!(-*) K-i (~ ft) K (0) - K (~ ^ *it-i (0) -v. n 

-(H-H^-K^O) h ^ 

Comme on a, d apres (2), 



et que, d apres (7), (10), la fraction 

4> m _i (- fe) ^ OT (Q) - K (- ^ ^m-i 

h 

est egale a la somme 



i ^o (~ A) ^o (0) -*- 2 <K (- A) ^ (0) -H . . . H- a m ^ m _, ( A) ^ m _ 1 (0), 
dont tous les termes sou positif s d apres (1), (2), on pent diviser cette ine- 
galit par le produit 

^(-/O 4/ l>l _ l (- ft) ^ m (0) - t> m (- R) 4> OT ! (Q) . 
*o(0) * 

apres quoi elle donne, en transportant le premier terme au second membre, 



_ __ 

H-H m <I* TO (- A) K_, (~ *) ^m (0) - K (- *) 4w_i (0) 

En observant que, lorsque cette inegalite est satisfaite, 1 equation 

i / N ^ffl ( ^) <KH i ( ^) ^^ ( x ) ^m ( fy 4^ i () _ A 
TmW*" ff__J3 1|| a;-,-^ 

n aura pas de racines negatives, nous concluons que pas une seule variation 
de signes dans liquation 

*,W-o 

ne sera perdue par 1 addition au premier membre des termes qui forment le 
polynome 

i / _ i\ ^m i ( h ) 
TmV 

multiplie par 



H H m 
si cette derniere quantite est plus grande que 

0) * 



8. En revenant au cas general, lorsque les coefficients 



635 

de la serie 

w 0. __ _i __^L_ 

"o x x* a 

sont completemeiit independants entre eux, nous designerons par 

7T (n ) 7T (n ) 7f (n ) 7T (n ) 
/Y o a i -"-a > *** 

les valeurs absolues des coefficients qui multiplient 

03, iC 1 , iC 2 , . . . ic" 

dans la fonction 

<M) 

pour n quelconque. 

Comme, d apres le 1, dans les polynomes 

to(^), ^i() ? ^ 2 (^-" 

les termes ont alternativement les signes -t- et et que les termes le plus 
eleves out le signe -*-, la fonction ^ n (x) sera representee pour une valeur 
quelconque de n par la formule 

(25) ^ n (x) = K n Wx n -K*L l x n - l + K^ 2 x n - z -... + KW 

~ 1)B ~ ^ * ( = 0,1,2,... n). 

En calculaut d apres cette formule les produits 



ou, d apres (1), on a 

i>0, a a> >- - a m> J 

nous observons qu ils se reduiseut a des sommes algebriques de termes 
qui contiennent x a des puissances inferieures a m et que le signe du 
terme en 

#* #*" 
est d^fiui par le signe de 



D ou 1 on voit qu eu portant les expressions de ces produits dans la 
formule (7), on obtiendra une equation que Ton pourra ecrire aiusi 



(26) P W (x, g) = ~" 

(t/ = 0, 1, 2,...m 1; < = (), 1, 2,...w 1), 
en d6signant par 



636 

la valeur absolue du coefficient de x { > x* . Si nous portons cette expression 
de la fouction $ m (#, a) dans 1 equation (9) et si nous observons que Ton 
a ici 



nous trouverons 



6 (x} = 

m V*/ 






*^^~^ * / \ 

J; (x) = ^ ( 1) W " * K- X*, 

v 

d 01 9 i O 1 9 vn\ 

v> u ) - 1 ) *, . . ., ^ u, i, ^,. . .wj, 



w * 



Mais en representant les coefficients du polynome cherche O m (s) sous 
la forme 

(- I)"" ? m ^,-,, (- 1) 9 m Y m ^, ...,(- I)" g m Y , 
nous avons 

(27) m (a)= 

ce qui, port6 dans 1 equation precedente, donne 

2 (- 1)" r,^ = 



L J>^ 



X | x__| X i X i V / V ? * /y "t -^ 7] "* 

Pour trouver les valeurs des termes du second membre de cette ega- 
lite, nous observons que dans les sommes contenues sous les signes [ ] z les 
termes en qui en determinent les valeurs s obtiennent dans la premiere 



somme 



pour i = i -+- 1,, et dans la seconde 



pour i = v) -+- i,, . Mais en ecartaut tous les termes pour lesquels ces rela 
tions u ont pas lieu, nous trouvons que la formule que nous considerons se 
re"duit a 



2 (- ) r . ^ =222 (- 

-222 (- 1 ) ft. > 



637 

Les deux membres de cette formule sont des polynomes en x du degre 
m 1 qui doivent tre identiques. En determinant les termes en 

x m ~\ x m ~ 2 ,...x, x 

dans les deux polynomes et en egalant entre eux les coefficients des puis 
sances 6gales, nous obtenons les m equations suivantes 



(28) 



22 (>.*, 



; = <-ir 22 >>> > 

qui dSterminent toutes les m inconnues 

Y Y Y Y n 

m !> x m 2 * * i 0) 

qui, d apres (27), figurent dans 1 expressiou du polynome cherche O m (x). 
On voit d apres la composition de ces Equations que si 



\i 



e O e \ 

sont infiniinent petits, les quantit^s 

Y Y Y Y 

-*-m 1> * >*! 

aurout egalemeut des valeurs infiniment petites dont 1 ordre par rapport a 

e O> e \t e v ^tmi 

ne sera pas inferieur a un; done pour ces valeurs de 



les dimensions des dcrniers termes dans les equations prece"dentes ne seront 
pas inferieures a deux; par consequent, en les Scartant, nous obtiendrons 
de (28) ces expressions, exactes jusqu aux termes du premier degre en 



638 

iuclusivement: 

Y = (iry?(m- 

m _! V / ^Xj ^ \ 



En portant ensuite ces valeurs approchees de 
Y Y Y V 

J-m is - L m zi *! X 

dans les derniers termes des equations (28), nous obtenons pour exprimer 
ces inconnues des forraules exactes jusqu aux termes du deuxieme ordre. 

En poursuivant ces substitutions, nous pouvons trouver les expres 
sions de 

Y Y V V 

- L m~i^ m-2 * l *0 

exactes jusqu a tel degre que nous voudrons. 

9. Mais au lieu de nous y arr^ter, nous aliens montrer a present 
comment on pourra obtenir une limite superieure des erreurs provenant de 
la suppression des derniers termes dans les Equations (28), pourvu que les 
quantitSs 

e o? 6 1? e 3 ,. . .6 2m _ 1 

ne depasseut pas certaines limites, qui, comme nous leverrons, s obtiennent 
aisement dans chaque cas particulier. 

En d6signant les valeurs absolues des sommes 



(w i \ P K (m ) > > (n i \ p 

[v* V f pf Cx. . J.Y. . .S ,S VI ft/ 

pour n quelconque par 

T n , U n , 

les valeurs absolues des inconnues 

Y Y . r, Y n 

tW l ? Wt 2 1 

par 

par Jf la limite superieure de ces dernieres quantites et par 

r. 



celle des inconnues 



Y Y Y Y 

- tn 1> -*-m 2> * *H * 



639 
dont la valeur absolue atteint la limite 3f, nous observons que Pegalite 



que Ton obtient de (28), ne peut avoir lieu que si 
(29) M<T v -*-*7 v . 

Comme, d apres le 8, Ton a 

(n, v)>0, 
la valeur absolue de la somme 

(n, f,,) e T, 

* \ > "> - i 



ne diminuera pas, si nous y mettons a la place de )-+- sa valeur absolue et 
a la place de Y la quantite Jf, qui represente d apres nos notations la li 
mite superieure des valeurs absolues des inconnues 

Y Y Y Y 

^m 1> J-jnzj - -*u -*o- 

Par consequent nous avons 

(30) . U n <S n M, . 

en designant par S n la somme 

> > (n, i ff ] e 

1 



que Ton obtient lorsque des deux signes it Ton garde celui pour lequel on 
adbe n ^>0. 

D apres cela, en designaut par 

o rp 

o, JL 

les limites superieures de 

^- AM * ^ *-^** ^ ^- 1 ^ ^-^A * 



T T T T 

^wt i ^m 2?* x l * 

nous avons 

L\<SM- T v <T; 
ce qui donne d apres (29) 

M<, T-i- SM. 
De cette formule pour 



il vient 



640 

ce qui, d apres la signification de M, determine la limite superieure des va 
leurs absolues des inconuues 

T Y Y Y 

J -mi > -^m J *!> *<) 

Quant a ringalit 



dont, comme on 1 a vu, nous avons suppose 1 existence en determinant la li 
mite superieure M, et ou 8 est la limite superieure des quantites 



cette in6galite aura lieu si les quantites 

^0) ^i> ^a> * * 

ne depassent pas les limites pour lesquelles 



Quant a ces dernieres limites, elles peuvent Mre trouvees dans chaque 
cas particulier, puisque les sommes 

nr o nr o 

m i t 2 * * 1 

s annulent <mdemment pour 

e = 0, c 1= =0, e 2 = 0,..., c m _ 1 = 0. 

En supposant que les quantite"s e , e 15 e 2 ,. . . ne depassent pas ces li 
mites nous aurons 



d ou 1 on trouve d apres (30) 

(32) U <^v 

\ / yj I _- x 

Comme d apres nos notations U designe la valeur absolue de la somme 
> > (n, if.) e . Jl, 

^^J ^^ V r f v>-l-t. 11" 

cette somme sera contenue entre 



et par suite, d apres (32), entre 

O T 1 O T 1 

O n J- . *-> -t 



641 
Cela montre que 1 equation 

(33) T a = (- 1)" ^ 2 (* f ") e M,, 
que Ton obtieiit de (28), donne 

r. = (-i 
a 



-i-s 
pres. En posant successivement 

n = m 1, m 2, ...1, 0, 
nous trouverons ainsi, pourvu que 



1 1 2 J 

satisfassent a 1 inegalite 



les valeurs approchees des inconnues 

T Y T T 

*_1) -^m 2 *** 1 

et les liraites de leurs erreurs. Nous concluons de la que sous cette condition 
Ton pourra satisfaire aux equations (28) par des valeurs finies de 

T Y Y Y 

L m 1> ^m 2 * * *! ^01 

et que par suite, d apres le 2, on pourra determiner le polynome 

*(*) 

du degre w tel que la fraction 



etant convenablement choisi, represente la fonction 



__ CQ CQ c, -t- e t 
~ a; ic 



jusqu au terme en 7-^ inclusivement. 
Cela moutre que 



sera une des reduites de cette expression; par suite, si 

ff<I, 

il doit se trouver dans la serie de ces reduites une fraction dont le denomi 
nateur sera du degre m. 

41 



642 

10. Nous allons nous occuper maiutenant de 1 application des for- 
mules obtenues au cas oil les quantity s 



sont renfermees entre les limites 



77 
* 

h h z 



_ 

77~ TI 

*0 -"0 



w 

-"0 -"0 -"0 -"o 

h 6tant positifs. Nous admettrons que la condition 



soit satisfaite, ce qui exige, cornme nous le verrons, que la quantite" H Q ne 
soit pas infe>ieure a une certaine limite qui sera indiquee plus loin. 
Comme, d apres le 8, les quantites 



ne sont pas plus petites queO, le maximum delavaleur absolue de lasomme 



lorsque 



ne depassent pas les limites 



(n, i,,) e. . 

v " ^-^-^ 



_L A 



s obtiendra pour 

JL A !! - n m ~ l 

e ~~HO e i ~ = BO e a JT O e zmi ~ n 

nous aurous done d apres le 9 



ce qui donne 

(34) T n < i 

Pour trouver la somme 



observons que de 1 equation (25) on obtient pour n = m, x= h 



643 
d ou il vient 



Pour trouver la sommc 



posona z = li dans 1 equatiou (7) et portons dans 1 egalite" rSsultante 



les expressions (25) des fonctions 

*o()i *i 

Nous trouvons ainsi 
(35) P m (a;, -h) = (-l) m - 1 [L 
ou Ton a pose pour abreger 



(36) 



En observant que cette expression de la fonction m (x, h) doit etre 
identique a 

(- 1 ) i "" " ft. *") (- /" *S 



que Ton obtient de (26) pour #= A, et que ic n entre dans ces expressions 
avec les coefficients 



nous obtenons I egalit6 

(37) i n (m ) 

En portaut dans 1 inegalite (34) les expressions qu ou vient de trouver 
pour les sommes 



41* 



644 

nous obtenons 

(38) ^(-1)" *() ^5 

d ou nous de"duisons a fortiori 

(38)"" 



en designant par L (m ^ la limite superieure des quantites 

T(m) T(m) T (m} T (m) 

En passant a la recherche du maximum de la somme 

2S<*w 

dans le cas ou 

ne sortent pas des limites 



ZT~ T TT TT 

"0 -"0 ^0 -"0 

1 h 7i2 fc m ! 

-t--rr-> ~*~7T ~*~H~ * * ~* -- W - 

-"0 -"0 "0 -"0 

et ou tous les termes de la somme sont pris avec les signes qui rendeut 
leurs valeurs positives, remarquons que ce maximum s obtient pour 
JL A *i _^2m i 

C o #0 ^ ~ = ^o C 2 ~ = SQ * * e zm-\ - H 

tous les signes etant +-. Ils ensuit que laquantite que nous avons desigu^e 
par S ne depassera pas la somme 



et que par consequent 

<^ 2 ( w > ") hi " 

Comme on a 



et que d apres (37) 

cette inegalite donue 

/oq^ A? ^^ m) ft ffl -i. 

6 nS-^-irir 

d ou, pour 

n = m 1, m 2,...l, 0, 
on obtient 



a 



645 
Ces formules montrent que S, la plus grande des quantite"s 

S m -i> # m _ 2 ,. . .#!, # , 
ne surpassera pas 



E h-l 

puisque d apres nos notations L (m] est la limite supe"rieure des quantites 

r(m) T (ro) T (m) T (m) 

An-l J -^ro-2 ) JJ\ > -UQ 

On a done 



On voit d apres cette formule que la condition 

(41) flf<l, / r 
dont il a e"te" question plus haut, sera satisfaite si 1 on a 

(42) B.>L%=. - ,;,.. - \ 

Dans la discussion du cas qui nous occupe nous nous bornerons aux 
valeurs de H Q qui satisfont a cette iue"galite; nous aurons done 



11. D apres le 9, si Ton a 
la limite superieure des valeurs absolues des inconnues 

r , r m _ 2 ,. . .r l7 r , 

que nous avons desiguee par If, satisfait a 1 inegalite 

M< T ^- C ,- 



En observant que cette inegalite n est pas altered lorsqu on y rem- 
place 

T, S 
par les quantites 



qui, d apres (38) bis , (40), ne peuveut pas e"tre inferieures a T, S, nous en 
obtenons par cette substitution 



LW : 



646 
de la nous trouvons par (39) 

(_ l)m i("0 i n (m) 
S n M<- 

et d apres (30) 

(- l) 

T7- ^- . 



ou U n est, d apres DOS notations ( 9), la valeur absolue de la somme 

v 
* 



> , i n 

En vertu de cette relation et de I megalite" (38), d apres laquelle 
valeur absolue de la somme 



ne depasse pas 



nous concluons de 1 equation (33) que la valeur absolue de Y n ne depasse 
pas la somme 



j,m _ i 

/ _ -nm r(m) r (m) J. / _ ;,\ _ _ _ 
*< *( ) 



qui est egale a 



11 s ensuit que Y n est coutenue entre les limites suivantes 



En posant dans ces formules 

n = m 1, m 2, ...1, 0, 

nous trouverons les limites entre lesquelles sout contenues les valeurs de 

toutes les m inconnues 

Y Y Y Y 

^m i? - L m 2 * * -M -*OI 

qui entrent dans les equations (28); d ou nous concluons que, la condition 



647 

etant supposee satisfaite, les equations (28) auront dans le cas que nous traitons 
des solutions finies, et que par consequent on pourra trouver le polynome 



du degre m, pour lequel la fraction 



D (a;) etant convenablement choisi, donne 1 expression de 

W TFo 

exacte jusqu aux termes en ^ iuclusivement. En observant que pour que 
cela soit ainsi, la fraction 



doit avoir son egale dans la serie des fractions reduites 

A, A, A, 
Qi Q* Q* 

de 1 expression W TP , obtenues par son developpement en fraction con 
tinue, nous concluons que si H Q satisfait a Tinegalit^ (42), il doit se trouver 
dans cette serie une fraction dont le denominateur est du degre" m. 

En repetant lesme"mes raisonnemeuts, apres avoir remplace m par les 

nombres 

m 1, m 2,. . .1, 

nous arrivons a la conclusion que dans la serie 

A, A, A, 
Qi Q* <? 3 

des reduites de 1 expression W TF se trouvent ne"cessairement des frac 
tions dont les deuominateurs sont des degres 

m, m 1, m 2,...l, 
si H satisfait aux ine"galites 

(AA\ TT -^ r(m) h m 1 TT ^ r (m Q7t m ~ > 1 rr ^ j d) ^ 1 

(44) ( > -- > "> 



ou, d apres notre notation, 

y(m) T(m i) 

-L/ , i/ , . . . , 

sont les limites superieures des quantites 



(m) r (m i) j- (j) 

J -^n * -^n 



que nous obtenous des equations (3 6), en les laissant d abord sous leur forme 
actuelle et en reraplagant ensuite le nombre m par m 1, m 2 .... 1. 



648 
Puisque ces equations, en y remplagant m par p, (x 1 , dounent 

VM-if- t-i. +_,(-) ^- -a^A-M) tf/-"-... 

Z ^-) = ( _ ir -= [ k _ l ^_,(-) tf/-" ^ *_(-) *.*- 

il en vient 

i. = Z.*- >H-(-lf-xC-.(-*) J ^ ~^ 

Mais en observant, d apres (1), (2), que 

><>, (-if- ^_,(-A)>o, 

nous deduisons de cette e"galite 

LW>L*->\ 
II en suit que L^\ limite supe"rieure des quantites 



ne peut pas e"tre plus petite que L (ll ~ l \ limite superieure des quantity s 

7>-D T-(K-l) 7 ((A l) 

-V-a > -^11-3 i > -H > 
et que par consequent on aura 



De la et considerant que 

W 1 _ fet* 1 1 _ , jx 

ft_l - /j_i 

nous trouvons 



D apres cela les seconds membres des inegalites (44) forment une serie 
decroissante; done toutes ces inegalites seront satisfaites lorsque H Q satisfait 
a la premiere d entre elles 



et par consequent, d apres ce qui precede, il doit se trouver pour cette va- 
leur de H Q des fractions aux denoniinateurs des degres 

m, m 1,...., 1 

dans la serie des reduites de 1 expression 

WW,, 



649 
tirees du developpement 



_ 

92 ft- -. 



En remarquant que cela n est possible que si 



sont du premier degre, nous en concluons que dans lecas que nous conside"- 
rons, H satisfaisant a 1 inegalite (42), la fraction continue provenant du 
de"veloppement de 1 expression 

W TFo, 
sera de la forme 

1 



PI 



Comme elle doit conserver cette forme pour toutes les variations de 
1 expression W W Q qui laissent subsister I ine"galit6 (41), les coefficients 



ne peuvent ni s aunuler ni devenir infinies, tantquel in6galite(41) reste sa- 
tisfaite; par suite, etant des fonctions rationnelles des coefficients de 1 ex 
pression W FF , ils ne peuvent pas changer de signe tant que H Q ne de"- 
passe pas la limite assignee par I inegalitS (41). 

En remarquant que pour 

H Q = oo 
on obtient, d apres le 10, 



et que par consequent la fraction 

1 



PI 
se transforme en 



- 



. 

ou, d apres (1), Ton a 

S>0 a a >0,...,a m >0, 

on voit de ce qui precede que, dans les suppositions que nous avons faites, 
les coefficients 

Pi J Pa> > Pm 

auront des valeurs positives. 



650 
12. Nous avons ainsi etabli que lorsque 

f o> e \i v ) e 2m 
ne depassent pas les limites 

* 



_ 



et qu on admet 
la serie 



//O H Q 

1 ft 7i2 /jam i 

f~> H TT~~ ~*~ "5^5 * * * ~* S - 

-"0 -"0 -"0 



se laisse developper en la fraction continue 



ou > 

Pi>0, p a >0,..., Pm >0; 
done en designant par 

Q. (g) > QaJ?),..., QOT fr) 

les reduites, nous voyons, d apres ce qui a ete dit au 1 sur les fractious 
continues de cette forme, que toutes les racines des equations 



ont des valeurs reelles et que ces valeurs sont toutes positives si 1 equation 



n a pas de raciue negative. Pour trouver la condition sous laquelle cette 
derniere circonstance a lieu, observons que 1 cquation 



se reduit en vertu de (4) et (27) a celle-ci 

*,(*)*2(-i)"y,* l| =o, 

le coefficient 

* 

etant, d apres (43), pour 73 =w contenu entre les limites 



TT i T(m] TT x Tfm) 

tin ; r- 1A"J Ji n ? r- XA " 



651 
De la et considerant que d apres (35), (10) on a 

m(X) -.h)=(-iF-* [iti!^- 1 iiri a w - 2 -t- 

rfi (~ i.\ _ fymi ( ft) *Kn fo) 4*m ( ft) ^m i (*) 
v m\*9 */= aj-^/t 

nous arrivons a la conclusion que dans la somme 

(- 1)* T * 



les coefficients des differentes puissances de x sout contenus entre les coef 
ficients des puissances correspoudantes de x dans les fonctions 

t>m (- ft) K-i ( 7 ^m (a) ^OT ( ft) ^ ffl i (g) 



Itm (~ 






En comparant ces fonctions avec la fonctiou 

ty m ( ft) ^OT i ( ft) ^m (*) ^m ( ft) ^ } ;t i (*) 
H H m a: -H ^ 

qui figure dans 1 equation (23), et en observant que 1 inegalite (24) dont le 
second membre est <C est satisfaite, si 



H H 
ne sort pas des limites 



*m (~ ft) **-! (~ ft) ^m () - ^ w (~ ft) *,-i ) 

^m() __ ^ _ 
^m (~ ft) 4-i (- ft) *m W - * TO (- ft) *-, (0) 

nous coucluons, d apres le 7, que si 



ne depassent pas les limites 

<l*n (0) 7t 



* (~ ^ *w-i (~ ft) ^m (0) - *m (- ^ K-i (0) 

^m(O) __ ft _ 

*w (~ ft) 4w-i (~ ft) *m (0) - *m (~ ft) ^m-i W 

1 equation 



ne contiendra que des variations des signes et par suite ne pourra pas avoir 
de racines negatives. 



652 
Comme les quantites 



ne depassent pas les limites indiquees ci-dessus pour 

ftm_x , m) ty m ( h) K-i (- ft) K (0) - ^ ffl (- ft) K-i (0) 

^O>-JT=T l^W ft 

et que d apres (10), (35) on a 

rf> ((\ M - - T ( m ) _ ^m i (~ 7 ^ <Krc () ^m (~ h ) I m i () 

^mV"? V *A ^ 

nous coiicluons que si T est plus grand que la sornme 

ft m ~l r(m) <M ft) r (m) 

"ft^r 7 " ^1W" 

1 equation 



n aura pas de racines negatives et qu alors, comme nous 1 avons vu, les 
Equations 

n auront pas non plus de racines negatives. 

De la, ainsi que des resultats des paragraphes precedents, en posant 

f~1 /"* /> , __ /Tr 

nous obtenons le theoreme suivant. 

Tlieoreme. 

Si la serie 

o L_|_^. . 

X X 1 X s 

est developpable en fraction continue 
i i 

Qt, X -4 \j, "~" 

t"" . i 



ow Von a 

ai >0, a 2 >0,..., a m >0, 

et si toutes les racines des equations 

k(s) = 0, ^(aj) = 0,..., ^ m _ l () = 0, 
formees avec les denominateurs des m de ses reduites 



653 

ont des valeurs positives, la meme propriete avec le meme nombre m a lieu 
pour la fraction continue provenant du developpement de la serie 



X X 2 







et pour ses m premieres reduites, lorsque les coefficients 

C , CM Q> > <? 2 m-i 

ne depassent pas les limites 



J_ A _^!. 

c o "*- if c i Hh # c a ~*~ if C 2 m i 



ou h est une quantite positive quelconque et H Q une quantite positive plus 
grande que la somme 



dans laquelle L (m ^ est la limite superieure des valeurs absolues des coefficients 
du polynome 

ty m i ( h) ty m (x) <\> m (-h) 4> m _, (a;) ^ 
x-t-h 

et L m en est le terme constant. 

13. En passant a 1 etude des racines de 1 equation 

(45) ^ m (*) = 0, ^ - V 

lorsque dans la serie 

CQ g o _. c i-*~ e i _. C 2 e z . 

o ^ " o "^ 

X X X A 

les quautites 

e o ? e i > e a 

sont completement indepeudautes entre elles, nous observons que d apres le 
12 cette equation se reduit a 1 equation 



(46) (*)- 

dont les coefficients 

Y Y Y Y 

* m i? * m 2 * * 1 

sout determines par les equations (28). En posant dans ces equations 
nous trouvons 



654 
apres quoi liquation (46) se change en 1 equation 

">.(*) = o- 

II en suit quc les racines de I equation (46) sont des fonctions des 
quantites 

e Qt e \t e v> e 2 w 1> 

qui pour 

e = 0, e 1 = 0, e 2 = 0, . . . , e zm _^ = 

sont egales aux racines de I equation 

U*) = o. 

En de"signant par 

*ii x 2 ,...x t ,...x m 

les racines de cette derniere equation disposees dans 1 ordre croissant, et 

par 

(o) ~ (o) ~ (o) r (o) 

*1 j ^2 > > ^l > ^m 

les racines de I equation (46) disposees de maniere qti on ait 

^ (o) <a; 2 (o) < . . . <z/ o) < . . . <z m (o) 
pour 

e = e l = 0, e a = 0, . . . , e 2 , n _ 1 = 0, 

nous aurons pour ces valeurs de e , e,, e a . . . e n , d apres ce que nous avons 
vu plus haut, 

xv. (O) - /v, /v, (0) - rf . (0) - ^ r (0) - /v. 

*l = *ii *j -g f .i.| E ^/j. , * m "* 

D apres (3) et (28) tons les coefficients des fonctious 

W , m (x) 
s annullent pour 

e o ^i^ ^ f a = - 
et Ton a 



Par consequent, en differential I equation (9) suivant e { et en posant 

e = 0, e l Q t c a = 0,. .., 
nous obteuons dans le voisinage de ces valeurs de e , e x , ^ a . . . 



En portant ici les expressions (27), (10) des fonctions 



655 
et en divisant par # m , nous trouvons 

aic-i/ir^ = ( l) 1 pa*-* (*)**<*) 

fa{ (x 

ce qui pour 

x l 6tant une racine de 1 equation 

donne 



d ou, en observant que F^ s aunule pour f = 0, e l = 0, e 2 = . . . , nous 
obtenons 



Puisque les racines 

^l > ^2 > * ^| l I ^m 

de 1 equation 

^W = o, 

ont, d apres le 1, des valeurs reelles et positives, les termes du polynome 

C*(z xy...(z x}...(z xJ, 
auquel se reduit la fraction 



z a: i 



ont alternativement les signes -+- et . Si nous observons que le premier 
terme (T 2 s* m l a uii coefficient positif, nous trouverons que le coefficient de 
z % sera represent^ par la formule 



ou 

Par consequent il vient 



et 1 equation (47) donue 

(48) 



Cette 6galite aura lieu pour 



656 
qui sont racines de 1 equation 

tandis que pour les ratines de 1 equation (46) que nous avoiis designees par 

jpto 
nous aurons 



d oii nous obtenons, en diffe"rentiant par rapport a e { 



En appliquant cette equation au cas, ou 
et en observant qu on a ici, d apres ce qu on a vu plus haut, 

nous trouvons que dans le voisinage de 

P o a f) f o 

CQ \t Cj \Jf t>2 !/} 

aura lieu I Sgalite 



d ou il suit 



ce qui, d apres (48), donne 



Cette relation determine la valeur de la derivee 



dans le voisinage de 

e = 0, e l = l e a = . . . , 

et il est aise de montrer que dans le cas cousidere on en obtient 

U 



657 

En effet, de ce que nous avons montre au 1 relativement aux Equa 

tions 

<K(0) = 0, <h(a) = 0, k(s) = 0,... 

on voit qu entre deux racines voisines de liquation 

<u*)=o ... ..... y -..;,:- 

se trouve une racine de liquation 

*,_,(*) = o ,,. .-.-..; .. 

en m6me temps qu une racine de 1 equation 

* .()-<>; 

done la fraction 



change de signe deux fois dans chacuue de ces intervalles, en reprenant le 
meme signe pour 

= 0i, f ,..., # -, m 

En observant que, pour la m6rae raison, les Equations 



n ont pas de racines entre x = x m , x = -t-oo, nous en concluons que les 
fractions 

<|j m ! (a;f) <]>m i ( x m) 
VmM * (*) 

ont le m^me signe que la fraction 



* m H- ) 
II en suit 



puisque, d apres 1 , on doit avoir 

^ m _ 1 Koo) 
Ayant ainsi Etabli que 



n 
J 



nous obtenons de (49), ou Ton a, comme on 1 a vu, K> 0, 



(50) 

ce qu il fallait demontrer. 

42 



658 

L in6galit6 que nous venons de demontrer fournit la limite inferieurc 
de la derived 



dans le voisinage de 

e = 0, ^ = 0, e a = 0,... 

Pour deduire de 1 equation (49) la limite supSrieure de cette deiiv6e, 
determinons ^ m _ l (x) par (25), en y posant 

n = m 1, x = x t , 
ce qui donne 



De cette meme formule, en y posant n = m et en observant que les 
racines de 1 equation 

<L(*) = o 

sont egales a 

#!, a/ 2 ,. . ., XIT . ., 3? m , 
nous avons 



Par consequent il vient de 1 equation (49) 



^,- ~ K m W (x t ?!>... (arj tf/_!) ( f |^.j). . . (x t * m ) 

En observant que d apres (25) K m (m ^> est different de z6ro, lorsque 

d apres 1 les quantites 



a; 2 ,..., 
racines de 1 equation 



sont toutes diff^rentes entre elles, nous concluons de cette 6galite, ou 

IT- 7r(t i) ,>. 
**i A ; ? ^p 

sont des quantites finies, que la derivee 



dans le cas consid6re ne surpasse pas une certaine limite finie qui peut etre 
trouvee d apres les coefficients des fonctions 

<!_, (*), *.(*) 

et les racines de 1 equation 

*,(*)= o. 



659 
On voit de la que lorsque les quantitSs 

e o ^i > ^2 
subissent une variation continue dans le voisinage de 

e = 0, e 1 = 0, e a = 0, 

toutes les racines de 1 equation (46) subiront aussi des variations continues 
et que d apres (50) ces racines croitront avec e Qt e lt e 3 . . . 
14. Pour etendre ces resultats au cas, ou 



different plus ou moms de zero, nous remarquons que les propriety des 
fonctions 

M*), <h (*), -i ^m^) 

qui ont servi de fondement a tous nos raisonnements, subsistent, d apres le 
theoreme que nous avons deinontre, si au lieu de la serie 

o _<,_L_L_* _, 

X X* ^ 0^ ^ 

on prend la serie 



X X* X 3 X zm 

ou les quantites 

ne depassent pas les limites 



^, jETo satisfaisant aux conditions indiquees dans ce th^oreme. 
II en suit que pour ces valeurs de 

C , (7,, (7 a ,. . . 
on peut r6p6ter pour la serie 

^o H_ <?i _t- ^ -H 

x x 1 a; 3 

tout ce qui a ete d^montre pour la serie 

(!_*_ fi.-^H 

X X* X 3 

et que par suite, en remplagaut la serie 



42 



660 
par la s6rie 

Cp gp <?!-*- g t , C 2 e 2 . 

a; x* <c 3 

dans la formation de liquation 

^ m (z) = 

par la me"thode du 9, nous n altererons pas les proprietes de cette equation 
dSduites au paragraphe pre"ce*dent et d apres lesquelles toutes ses racines 
croissent d une maniere continuee, lorsque les quantites 

C 0) e i-> e v 

dans le voisinage de 

e = 0, e 1 = 0, e z = 0. .. 

croissent egalement d une maniere continue. 
Par consequent, en observant que pour 

MJQ = CQ G -+- 6 Q , 



Ton obtient 



_ Cp 



X X* X* X X z X 3 

dE = de , dE^ = de l , dE 9 = de 9 , . . . 

et qu aux valeurs de 

e o e i ) e a > 
voisines de 

e = 0, e x = 0, e 2 = 0, . . . 

correspondent les valeurs de 

-Z , E lt E ZJ . . . 
voisiues de 

^P = C - ^C> ^l == Q - C l> -^2 = - C 2 - Ql - J 

nous en concluons qu en remplagant la serie 

c o g p c i-*~ e i c 2 e z 



a; x 2 a; 3 

par la serie 



X X 2 X 3 

dans la formation de 1 equation 

^(*) = o 

d apres les methodes du 9, nous obtiendrons une equation dont toutes les 
racines croissent d une maniere continue en me" me temps que JEJ , E lt E^... 
dans le voisinage de 

^P = C O (7 , E l = C l c lt E 3 =c 2 C a ,... 



661 
Quant a ces quantity s 

les 2m premieres entre elles ne peuvent pas de*passer les limites 
i_ ^ _w_ 

1 h h* 



puisque d apres les conditions du theoreme du 12 les coefficients 



sont supposes ne pas depasser les limites 



Cn rr J C, jj j 

-0 -^0 



15. Dans le cas particulier lorsque 1 on a 



la se"rie 



a; a; 2 a; 3 

est e"gale a 



a? a;* a; 3 H (x-*-h) 

Par consequent, d apres le 9, Pequation 

^m(^) = o ; ; v ; . . 

se reduit pour ces valeurs de J5? , E lt E 2 . . . a 1 equation 

^51) J; /^ l _1fm( h ) l>m-i ( ^) 4<m () 4^m (~ ^) ^m i () _ Q 

\ / Tmv / jgjj j^ x-t-h 

En observant que ces valeurs de 

E Q , E^ E^. . ., 

pour h > 0, H Q > 0, croissent en m&ne temps que ~ t nous voyons d apres 

le paragraphe precedent que les racines de cette Equation croissent avec ^-. 
De meme, en posant 



662 
nous nous convainquoiis que les racines de liquation 

(52) d; (x\ * m ( ~ h} * m ~ l { ~ h) * m {x} ~ * m ( ~ h) ^- (x} 

Tm W H -*-H m x + h 

decroissent lorsque -77- croit. 

#0 

D apres cela il u est pas difficile d obtenir les limites des racines des 
Equations (51), (52), racines que nous designerons par 



..., a? m , 



x" x" x" 

*l*il >*|>1 



m 5 



en les supposant disposees de maniere que 1 on ait pour ~ = 



" 



En observant que ces equations sere"duisent pourZT =oo a 1 equation 

<l (*) = 0, . ,1; .. ; 
dont les racines disposers dans 1 ordre croissant forment la serie 



Ton aura gen6ralement 

(K%\ rr f f" T 

\) *| *!> *j *j 

Puisque ainsi la racine / de 1 equation (51) se reduit a la racine x l 
de liquation 

pour 



etqu elle croit avec cette derniere quantite, qui, d apresle 10, nepeutpas 
^tre inferieure a 0, il en suit que lalimite inf^rieure de la racine x[ est x r 

Quant a la limite superieure de #/, cette racine, en augmentant avec -^, 
n atteint jamais la valeur Xj^ de la racine de 1 equation 



qui suit Xj dans la serie 



663 



parce que, comme il est aise de le moutrer, 1 equation (51) n est pas satis 
faite pour x = x l _ t _^ 1 taut que H n est pas infini. En effet, en posant 



dans le premier membre de cette equation et en observant que 

M*i-J = > -. ;-> 

nous trouvons qu il se re"duit a la fraction 



qui ne peut pas s annuler pour une valeur finiedeZT puisque, d apres le 1, 
1 equation 

Mo-.Q 

ne peut pas 6tre satisfaite par la valeur negative x = ft, et sa racine 
x l ^ l ne peut pas donner 



On voit de la que la racine x[ de 1 equation (51) sera contenue entre 
les racines x^ x t de liquation 

<U*) = o> 

et que par consequent 

(54) x i< x \< x i^ 

En repe"tant le m6me raisonnement pour la racine 



de liquation (52), qui, comme on 1 a vu, se reduit a x l pour ^- = et di- 
minue lorsque 4~ croit. nous trouvons 

-"0 

(55) ,_!</ </. 

Ainsi s obtiennent les limites des racines des Equations (51), (52) et 
au moyen de ces racines Ton pourra trouver, comme nous le verrons, les li 
mites des racines de liquation 

^ M W = o, 

que Ton obtient d apres le 9, en rempla^ant dans la serie 

c o g o . c i -*- e i c 2 e 2 

n ~l ^ " Q "" "* * 

X X* X 3 

les quantit^s 



664 
par les quantity s 

#<)> Elt E*1" > 

ne de"passant pas les limites 

_L JL _^ 
H "HO JV" 



oii ft est une quantite" positive quelconque et H une quantit6 positive qui 
n est pas inferieure a la limite trouv6e au 12. 
Dans le cas particulier, ou Ton a 



ces limites se re"duisent a z6ro et nous avons 

E=QE=QE=Q E 0- 

-^o v, ^ v, -c s w ) > -^zm i 

1 equation 

^ m (*) = 
devient done ici 

^(*) = 0, 
et nous avons d apres 1 3 

y (0) - ^ 

*j - x r 

En passant au cas, ou -g- differe de zero, et se rappelant, comme nous 
Vavons montre", que les racines de 1 equation 

T m (rr) = 
croissent avec les quantity s 

E o, -^i -^ 2 >- > ^2fn-U 

nous en concluons que lorsque 

-Z?o, ^, E 2 ,. . ., E zm __n 
ne sortent pas des limites 

ft 2 " 1 - 1 



~ iTi "" fT 

-"0 -"0 

le maximum de la racine 
correspondra a 



665 
Mais puisque, comme on 1 a vu, pour ces valeurs de 

liquation 

se re*duit a 1 equation (51) dont les racines sont 

/ > r i 

x \i x z "> ") X l J > X m 

il en suit qu une de ces quantites fournira le maximum de la racine x^\ 

II est aise* de reconnaitre celle d entre ces quantity s qui donne le ma 
ximum de la racine x^\ si jr est infiniment petit. Dans ce cas on voit, 



d apres les formules qui determinent les limites des quantity s 



que ces quantites restent voisines de z^ro et par suite toutes les valeurs de 
la racine xfi restent voisines de x v alaquelle elles ser^duisent pour 7r-=0. 

Par consequent le maximum de la racine xj pour -^- infiniment petit ne 
peut e"tre 4gal qu a celle des quantites 



qui se reduit a x l pour -^- et cette quautite est, comme, on 1 a vu, x[. 

D apres cela et observant que dans le cas que nous discutons le maxi 
mum de la racine x^ augmente d une maniere continue avec la croissance 

continue de 4-, nous concluons que pour toutes les valeurs de ~ qui satis- 

&Q -"0 

font aux conditions du theoreme du 1 2 ce maximum sera represente par 
la me me racine x[ de 1 equation (51), puisque autrement pour une certaine 

valeur de -^-, a laquelle s appliquent toutes les formules obtenues, ce maxi 
mum passerait brusquement de la valeur x[ a uue autre valeur prise dans 
la serie 

x \ j ^a ) J X l i > m 

ce qui est impossible. 

On voit de la que lorsque 



666 



ne depassent pas les limites 



la racine x^ de 1 equation 

T m (*) = o 

ne peut pas tre plus grande que x[ et que par consequent 

x^<x t . 
En determinant de mme la plus petite valeur de la racine 

x 
lorsque 

EOI -^n E a > "> -^m-n 

ne depassent pas les limites 

w 



nous trouvons que ce minimum est gal a la racine x^ de 1 equation (52) et 
que par consequent Ton a 




les in^galites que nous venons d obtenir donneut 

\- : .,_ l <*, fo) <^ 1 . 

D apres cela, conuaissant les racines de 1 equation 

w>=> . . 

nous pouvons trouver les limites des racines de 1 equation 

*():= Pi 

lorsque 

E FJ E E 

&QI -^u **%! -^zmi 

ne depassent pas les limites indiquees ci-dessus. 



29, 



SUR LES POLYNOMES REPRESENTANT LE MIEUX 
LES VALEURS DES FONCTIONS FRACTIONNAIRES 
ELEMENTAIRES POUR LES VALEURS E LA 
VARIABLE CONTENUES ENTRE DEUX LfflTES 

D0NNEES. 

THADUIT PAR B. C. KLOD2SBJEVSKY. 



(Lu le 2 decembre 1892.) 



npcdcma6jwi / iou4uo6 & 
npu 



\j 



(IIpnjiojKeaie Kt LXXII Tony SanncoKt HnnepaTOpCKoft AKa^eMia HayK-s, J*^ 7.) 




Sur les polynomes representant le mieux les 

valeurs des fonetions fraetionnaires elementai- 

res pour les valeurs de la variable eontenues 

entre deux limites donnees. 



1. Dans plusieurs cas les calculs approch6s se simplifient consi- 
dSrablement, en remplagant les expressions fractionnaires par des fonetions 
entieres qui en repre"sentent avec une exactitude suffisante toutes les va 
leurs dont depend le resultat cherche . Les expressions approchees de cette 
sorte pour les fonetions fractionnaires se dSterminent au moyen des theo- 
remes que nous avons de"montres dans notre Memoire Sur les questions de 
minima qui se rattachent a la representation approximative des fonetions *). 
Nous allons montrer a present, comment au moyen de ces the"oremes on 
trouve les polynomes de diffe"rents degres qui representeut le mieux les 
valeurs de la fraction elementaire 

i 

Hx 

pour les valeurs de la variable x, ue depassant pas les limites 

x== 7^, # = -*-/2. 

Nous supposons les quantites H, h positives et pour que la fraction 
reste finie entre 

x = h, x = -*-h, 
nous prenous 

En de"signant par 



p n _ 2 x n ~ z -^-p n __ i x 



n ~ l 



*) T. I, pag. 273-378. 



670 

le polynome cherche, nous observons que 1 erreur absolue qu on commet en 
representant par ce polynome les valeurs de la fraction 



H x 

est egale a la difference 






Puisque le quotient de la division de cette difference par 

i 

H x 

se r6duit a 1 expression 

1 .+_(__#) ( Pn _^ x -i+p n _ z x n -*+. . m + pi x-t-pj, 

1 erreur relative de la representation approche"e de la fraction 

i 

H x 

par le polyn6me 

Po ~*-Pi -i- . . . -*-^ n _ 2 z"" 2 -*-^-! x n ~ l 

sera d autant plus petite que 1 expression 

l-t-(xH) (p n _ l x n ~ l -*-p n _ 2 x"- 2 -+-...-t-p l X-+-PQ}. 

differera moins de zero. Par consequent, pour abaisser autant que possible 
la limite superieure de cette erreur entre 

# = h, # = --/&, 
il faut donner aux coefficients 

Po, Pv-P^, Pn-i 

les valeurs pour lesquelles 1 expression 



s eloigne le moins possible de ze"ro entre 

x = 7i, x = H- h 
Les quantites 

JPoi PlT>-P n - 2 , Pn-n 

qui satisfont a cette condition s obtiennent ais^ment au moyen des theo- 
remes demontr6s dans le Memoire cit6 plus haut, comme on le voit dans 
notre Memoire Sur les fonctions s eloignant pen de zero pour certaines 



671 

valeurs de la variable *), ou, au moyen de ces formules, sont determines les 
coefficients 

Pn-t, P n - t ,.Pi, Po, 

avec lesquels la fonction 

M-*-(Hx) (p n _, x n ~ l -*-p n _ z x n ~ 2 + . . .-*- ft *-t-p ) ; - 

s eloigne le moins de zero, x etant contenu entre x = h, x = -t-h. La 
quantite M est supposee ici connue et pouvaut recevoir une valeur quel- 
conque. 

En posant 

M=l, 

nous obtenons d apres les formules de ce Memoire que 1 expression 



s eloigne le moins de zero entre 

x = h, x -*-h 
si les coefficients 

Pn-V #_,i-...Pi, Po, 

sont determines par I galit6 



(1) 



h*) n -+-(x Vx* ft2) 



et que 1 expression 

formee avec ces coefficients 

atteint dans 1 intervalle x = /z, x = --#, les limites 

2h n 



(H-+- VH* - h*) n -H (H VH* h*) n (Jff 

sans les depasser. 

II s ensuit que toutes les valeurs de la fraction 



*) T. II, pag. 335-356. 



672 

de # = h a # = -t- /& ne peuvent 6tre representees par aucun polynome 
du degr6 n 1 avec une telle approximation que 1 erreur relative n at- 
teigne ni la limite 



7 2 ) n -- (H VH* 
ni la limite 



(H -f- VH* /t 2 )" -t- (H YW h*) n 

et qu elle ne depasse pas ces limites seulement dans le cas ou les coeffi 
cients ^ n _ 1 ,jp n _ 2 ,. . -Pi, P Q satisfont & 1 egalite (1), ce qui determine le 
polynome 

Pn-i ^" ~ 



du degre (w 1) qui repre"sente le mieux la valeur de la fraction 

i 

H x 

dans 1 intervalle 

x = h, x = -i-h. 

2. En determinant le polynome cherchd 

^o ~*-Pi *--.. -*- JP B _ 2 ^ n ~ 2 --^ fl _ 1 n ~ 
au moyen de I 6galit6 (1), nous voyons qu il est repr6sent6 par la fraction 

ft2) n -t- (n VH* w) n (x-+- Vx z h*) n (a? Vx* w) n 



[(H +- VH* A 2 ) n -t-(H VH* h z ) n ] (H x) 
Pour obtenir le polynome 



auquel se reduit cette fraction, observons que, la somme 

(u -f-Vfl 2 /> 2 ) n -+- (uViP h*) n , 



6tant uue fonction homogene du degre n 1 des quantit^s H, h, en ouvrant 
les parentheses, elle prendra la forme 

(2) (jffH-V2^)Mfl^^^ 

les coefficients 

All "^n 2 -^n 4> 

ne dependant pas de IT, /&. 



673 

En remplac.ant dans cette 6galit6 H par x, on trouve 
(a^V^I^)%(s-y3^%=4^^ 
ce qui, retranchS de I e"galit6 pr6ce"dente, donne 



=A n (H n x n )-*-A n _ 
en divisant par H x, on a 

Qg-4- VH* h*) n -+- (H VH* h*) n 



H x 



A n _ 4 h* (H n ~* -H H n ~ x -*- ZT 1 - 7 rr 2 -H . . . ) 



ou encore 

(H-*- Yn z P) n -*- (HVH* h*) n (x -4- v^ 2 w) n (x 

Hx 

= A n H -+-A n _ z 



En comparant les expressions qui multiplient ici 

/r-o x x * 

* j ^i *>> 

avec le developpemeut (2) de la fonction 



nous observons qu elles representent les parties eutieres des quotients de la 
division de cette fonction par 

H, tP, H 5 ,.... 

On a done, en designant par le symbole E ces parties entieres des 
quotients, 

/,2) n - (3; H- y^TTp)" - (a; - T/^TP)" 






674 



ce qui, divise par 



donne 



(H 



[(H-t- VH* h*) n -*- Off VH* h z ) n ] (Hx) 



E 



T - VH 2 h*) J at 



E 






(H-t- VH* h*) n 



Par consequent, d apres ce qui a ete de"montre" sur le polynome 

Po -*- Pi x -*- ~*-jP B __ 2 ^ Z -+-^ M _ 1 ^ n " 

representant le mieux la fraction 



dans 1 intervalle 

x = h, x = -*- h, 

ce polyn6me sera represent^ par la formule 






(H-t- VH* h*) n 
E 



(H 



x 



(H-t- VH* h*) n -+-(H yn* w) n 
Si nous comparons cette expression approche"e de la fraction 



H x 



sous la forme d un polynome du degre" n 1 avec 1 expression 



n ~ z n ~ l 



que 1 on obtient en deVeloppant cette fraction en se"rie suivant les puissan 
ces croissantes de #, nous voyons que cette derniere est la limite vers la 
quelle tend la premiere expression lorsque h converge vers zero. 
Comme la formule 



_ 
~~ n n i ~~ H n 



675 
differe de la fraction 



H x 

par la quantity 

x n 
H n (Hx) 1 

1 erreur relative que 1 on commet en reprSsentant par cette formule la 

fraction 

i 

H x 

entre 

x== ft, x = -t-h 
peut atteindre les limites 



tandis que pour la formule que nous venons d obtenir cette erreur ne de"- 
passe pas les limites 



3. L expression approche"e de la fraction 

i 

7j~ f* 

JLL *~~ - v 

que nous avons obtenue peut &tre utilement employee dans plusieurs cas. 

Pour donner un exemple, nous allons en montrer 1 application a reva 
luation approche"e de 1 integrale 

-*-& 
f i dx. 

J H x 
h 

Nous supposerons que la fonction f (a?), de meme que H a?, ne de- 
vient pas n6gative entre x = ft, x = -+- ft. 

En designant par F 1 erreur relative de notre expression approchee 
pour les differentes valeurs de la fraction 



nous trouvons que son erreur absolue sera donnee par la formule 

F . 

H x 

par suite, nous obtenons, d apres la formule du 2, pour lavaleur exacte de 

i 

H x 

43* 



676 
1 expression 



E 






(H-t- YH* h*) n -*-(H VH* h*) n 



1 

#3 



En multipliant les deux membres de cette egalite par f(x) dx et en 
integrant de # = h a x = -+-h, nous avons 

H-fc 



f(x} H 







E 



h 

-t-h 



ce qui peut s e"crire plus succinctement ainsi 
P. [(ffH-yB5=Tpi) n H- (tf 



h 

en posant 



H ~ H 2 ~~ S3 * * " H n 

En observant que cette Sgalite donne 

1 r n 

O _ * _ 

~ H x 

oil le terme 



H n (Hx) 

est du degre inferieur a w par rapport a fi, nous trouvons 



=E [( 



677 
par consequent, 1 expression precSdente de 1 integrale 



/(*) 

R x 

h 

se reduit a celle-ci: 



-t- 
f 

J 



dx 



J Rx x (H-+- VRZ n z ) n -t-(R VR* h z ) n J H ~ 



x Fdx. 



En observant que, F etant 1 erreur relative de 1 expression approchee 

de la fraction 

i 

Hx 

cette quantite, d apres le 2, ne peut pas depasser les limites 



=Tfi) n -*- (if VH* h*) n 

et que les fonctions 



d apres nos suppositions, restent positives entre # = &, a; = -t-/i, nous 
trouvons que le dernier terme 



H-ft 



~h 
de 1 egalite pr6cedente ne pourra pas sortir des limites 



2h n 



__ == ^_ ff(x)dx i 



h 

2h n 



^^^^^ ff(x)dx 

-T/If2-ft2) n J -H * 



II s en suit que la fraction 



(H-t- VR* - 7t2) n -- (R~ YRt WT 



R x 

h 

) 



678 
dont le denominateur est le polynome 



donne 1 expression approchee de 1 integrale 



-*-. 

1 

h 



f(x)dx 
Hx 



avec une erreur relative ne d^passant pas les liraites 

2h n 



-h*T -*- (H- VH*-W) n 



_ 

(H _*. yH* W) n H- (H VW h*) n 



30, 



SDR LES SOMMES QDI DEPENDENT DES VALEURS 
POSITIVES D ONE FONCT10N QUELCONQUE. 

(TKADUXT PAK I. DPTAS3SYGKX.) 



(Lu le 16 fevrier 1894.) 



u fia&ou Jiu6o 



(SanncKH IIunepaTOpCKOM AKa^eiiiH HayK-B, VIII cepia, T. I, JVa 7, 1895 r.) 



Sur les sommes qui dependent des valeurs 
positives d une fonetion queleonque. 



1 . De notre M6moire Sur les sommes composees des valeurs de mo- 
nomes simples multiplies par une fonetion qui reste toujours positive *) on 
voit quel inter6t se rattache aux valeurs reelles des iuconnues 



\ "> 



propres a fournir des valeurs dounees aux sommes 
p P P P 



11* NT z )/ 2 N? y 2 it 2 

u. , 2^ z i u i ^ *i * i 



00 

La recherche des incoimues 



\i 



sous de telles conditions se ramene a la resolution des equations 



sont des quantites denudes. 
En faisant 



u = 

tt 



2 Y u 2 Y 7/ 2 - y 

j -- * 19 U 2 -. 2 t9 . . .M - JT 



") T. II, pag. 561610. 



682 
nous pouvons remplacer ces Equations par les suivantes 



ooo o 

plus simples, en ayant toutefois en vue que les valeurs reelles des incon 
nues 

i* , u lt u a ,...u p __ l 
ne s obtieunent que pour 

Y T T Y 

^OJ *1 -*2> * ^p \ 

positifs. 

En ecrivant les valeurs des inconnues 



1 



dans uue solution quelconque des equations (1), nous les supposerons tou 
jours rangers de sorte que les quantity s 



presentent une serie croissante. Apres avoir fixe ainsi 1 ordre de disposition 
des quantity 



s \i 



, 



pour toutes les solutions des equations, remarquons que, d apres le 3 du 
Memoire prScite, pour p = k, quand le nombre des inconnues ne surpasse 
pas celui des equations, celles-ci ne peuveut avoir qu une seule solution que 
1 on obtient a 1 aide du de"veloppement de 1 expression 



X ~*~ X 2 X* 



en fraction continue; nous en concluons que, dans ce cas particulier, les 
quantit^s 



M 



se determinent completement par leurs indices et peuvent 6tre trouvees 
sans difficult^. Pour distinguer ces quantity s de toutes les autres qui satis- 
font aux equations (1) pour_p> k y nous conviendrons de les designer 



683 

Les quantit6s z t , u? fournissant la solution des Equations (1), pour 
p = k on aura 

(3) 2*= 4, Z+VftQo 2 < <=* 3 2* """* *- 

o o o o 

ou, d apres ce qu on a pose concernant , * n # 2 ,. . .^_ 1 , on doit avoir 



Nous allons niaintenant montrer que de ces inSgalite s et des equations 
(2) on peut d6duire les ine"galit6s auxquelles satisfont toutes les solutions 
reelles des Equations (1), quelque grand que soit le noinbre des inconnues 



\ 1 2 p i 



C est de la qu on tire les valeurs limites des integrates et des sommes 
qui ont fait le sujet de nos M6moires intitules: 1) Sur la representation des 
valeurs limites des integrales par des residus integraux *), 2) Sur les residus 
integraux qui donnent des valeurs approcMes des integrales **), ainsi que de 
notre M6moire pr^cite Sur les sommes. 

Quant aux quantites 

X 1 X \ > X 2 X k i > 



qui se determinent par les equations (2), elles s obtiennent, comme nous 
1 avous dit, a 1 aide de la fraction continue resultant du dSveloppement de 
1 expression 

^2 _*_!> __ ^k _i 

a: ^ a; 2 a; 3 

En presentant cette fraction sous la forme 



nous trouvons que, d apres le 2 du Memoire precite, on doit y avoir 

- p lf g 2 = a 2 a; -4- |3 a , . . .q k = a^-t- P 4> 
a 1 >0, a 2 >0,...a ft >0, 



*) T. II, pag. 421440. 
**) T. II, pag. 443-478. 



684 
si les equations (1) peuvent 6tre satisfaites par les valeurs reelles 



pour un certain p. 

En supposant ces conditions remplies, et en de signant par 

9i() 9a().. 9k ( g ) 





les re"duites resultant du developpement de 1 expression 

C n 

en fraction continue 



j^O ! ^1 j ^Z | _|_ 2A 1 



nous concluons, en vertu de ce qu on a ddmoutre" dans le M6moire precite, 
que les inconnues 

%o > x \ > ^2 ^* i 

dans les Equations (2) sont egales aux racines de liquation 

fcWo, 

et que, d apres ces racines, les incounues 

2/0, /!, %,..-%_! 

se d6terminent par la formule generale que voici 



2. En posant 



de la solution des equations (2) nous deduisous celle des Equations (1) pour 
le cas p = k, quand le nombre des inconnues ne surpasse pas celui des 
equations. En passant au cas du nombre plus grand des inconnues, quand 
les Equations (1) deviennent indetermiiie es, nous remarquons que, pour 
toutes les solutions replies de ces Equations, la somme 

M 2 -f- U* -+ U* -+- . . . -H M 3 , 



685 

ou q designe 1 un des nombres 

0, 1, 2,...p 1, 

ne de"passera pas une certaine limite qui peut e"tre obtenue en s appuyant 
sur le resultat du 8 du Meraoire precite concernant la determination du 
maximum de la somme 

w 2 -*- w, 8 -+- w a a --...-*- w g 2 . 

Ce maximum, dans 1 hypothese 

<>>, ^ = t>, V-i^ 6 
s obtient pour $ , ^, a ,... p _ l , satisfaisant a 1 equation 

^,W = o, .... 

ou ^ A _ l _ 1 (0) d6signe le denomiuateur de la fraction ordinaire 



a laquelle se reduit la fraction continue 

1 ! 



H Hi ^a . 



quand on y met a la place de oi k ^ l la plus grande des deux quantites 

i r^-i(q) 4*jfc-i(t>n i r^fe-t (&) ^_ t (t>n 

v L l* () ^ () J & r L 4*A- (6) <h- W J 7 



et 1 on pose 

3 ^K * ^ * >y 

En faisant ici 



ou ^ designe, d apres notre notation, une racine de 1 equation fy k (x) = 0, 
nous trouvons 



en vertu de quoi, et d apres ce que nous venous de dire sur le coefficient 
n obtient 



et par consequent la fraction continue 



H -*~PI 

Qto <* -T- jjo ~ A 

at -H Pt 5 

* rt i. . . flr * rt F. . 



686 
qui determine la fraction ordinaire 



se rSduit a la fraction 

i 



a, z-+- B, 



6gale, d apres le 1, a 



**(*) 
Comme cette fraction est composee des memes fonctions que la fraction 



qui determine, d apres le 1 , la solution des Equations (2), nous en con 
cluons que, dans le cas considere, quand 

, * * 

les quantit6s 

^0 > ll *f f I 



qui donnent le maximum de la somme 

*f-*-*f-*9f 

seront trouvees d apres les formules 



pour q = i. 

On voit par la que la somme 



est la limite superieure que ne peut depasser la somme 

w a H- w x 2 -H M 2 2 -*- . . . -+- u*, 
qui s obtient pour la solution reelle quelconque des Equations (1), quand 

*q = X i 

Or, d apres ce qui a etc dit ( 1) sur la seiie 



687 

onvoit qu en general nepeut e" tre inferieur a is que pour *)<<?, etcomme 
dans ce cas la somme 

A O Q O 

7/ * _ I ay ** _ | j A/ ** - i _ i - as * 

I 2 T) 



a 2 -*- . . . -+- u 2 



est e>idemment moindre que celle-ci 

w * -t 
dont la limite supe"rieure est 

^o-*-^-*-^- 1 -- -*-#,> 
nous en concluons que pour 

< * 

on doit avoir 

(4) M^-H^-H^S-H. . .-^-^^^-i-ft-f-^-*-...-*-^. 

En repe"tant les m^mes raisonnements par rapport au maximum de la 
somme 



le maximum qui s obtient d apres le 16 du M6moire pr6cit6, nous trou 
vons que pour 

*t> > x i 

on aura I in6galite 

(5) ^-*-^Vi-*- - f - M P-i< ^^2/^1 -*- -*-^-i- 

Or, en remarquant d apres (1), (2) que 

-*- ---- -*- = C7 



nous deduisons 






en vertu de quoi 1 inegalite (4) donne 



D ou Ton voit que pour 



outre I in6galit6 (4), on aura encore 



V* -*- -*- tt P-I > ^i -*- ^-H- 2 -*-..--*- y*_! , 



688 
et a plus forte raison 






Ce rSsultat, joint a 1 inegalite (5), nous doune le moyen de determiner 
les limites entre lesquelles doit rester la somme 



pour toutes les solutions reelles des equations (1), quelque grand que soit 
le nombre des inconnues. 

3. D apres ce que nous venons d etablir, les limites de la somme 



pour chaque nombre des inconnues dans les equations (1) peuvent etre 
trouvees a 1 aide de leur solution correspoudant au nombre le plus petit 
possible des inconnues. Dans le dernier cas, comme nous 1 avons deja dit, 
les equations (1) se ramenent aux equations (2) qu on rSsout ais6ment a 
1 aide du de>eloppement de 1 expressiou 

^9 _|_ 9l _f_ ^? _+_ _+_ C 2kl 

x x 2 x 3 a; 2 * 

en fraction continue. Nous allons maiutenant examiner ce que devient cette 
fraction et les quantit6s qui en dependent, lorsqu on varie, plus ou moins 
considerablement, les coefficients 



Nous profiterons ici du theoreme demontr6 dans notre Meinoire inti 
tule: Sur le developpement en fractions continues des series procedant sui- 
vant les puissances decroissantes de la variable*); et a cet effet nous sup- 
posons que toutes les hypotheses de ce th6oreme sont remplies dans le cas 
present, savoir, les suivantes: 

1) pour 

1 expression 

X X z X 3 

se developpe en fraction continue 
_L_ i 



*) T. II, pag. 613-666. 



689 

oil 

i>0, a 2 >0,...a A >0. 

2) Les Equations 

W*) = 0, <h(a) = 0, <k(a)==0,...<k(aO = 
forme es par les de"nominateurs des re"duites de cette fraction 

9o (a) 9ife) 9(a) 9* () 

SB 1 KH EH* **(*) 

n ont pas de ratines negatives. 

3) Les quantites 

OP ^i > Gp- <? 2 A i 
restent comprises entre les limites 

* ft 2 *" 1 



et 

1 h h* fcs* i 



ou /i est une quantite positive quelconque et H une quautit6 sup^rieure a 
la somme 

** 1 r(*) . ^ (~ ft) T (*) 
fc=T- ^ 



dans laquelle L (k} d^signe la limite supe"rieure de lavaleur absolue des coef 
ficients du polynome 

^fk-i (- ft) h () - ^ (- ^ **-i () 

a? -t- h 

et i ( * } son terme constant. 

Dans ces hypotheses, comme nous 1 avons vu, les equations 



formees par les deuominateurs des reduites 

de lexpression 

-H ^ -*- ^ -*- 

x x* x 3 

ont toutes leurs racines reelles et positives. 
En d^signant par 



les racines de 1 equation 
par 



(o) r (o) r (o) r (o) 
o > i ^ a * 



* i 

44 



690 
les quantitSs 



et posant 

(6) <7 =c e , C^c. 

nous obtenons, d apres ce qui a ete dit au 1, les equations suivantes: 

(7) 2^ o) =^-eo, ^XV^.-*,- S*tW"*-*"" 

00 





Or, d apres les limites entre lesquelles doivent &tre comprises les 
quantites 

M) ) GI ^2 * ^2& 1 > 

et en vertu des Equations (6), on voit que les limites superieures des quantity s 



sont 6gales a 

i n h* 



/O ^0 ^0 

et les limites inferieures sont egales a 

i ii 



En designant par 

itt i 

X Q > ^1 > ^2 5 X ki ? 
It II It II 

*0 *1 ^2 , - X k-i 

les valeurs des inconnues 

r (o) r (o) r (o) ^(o^ 

"O *1 > *8 * * * A i 

dans les equations (7) correspoudant aux valeurs limites e , e v e a ,... e 2A _ t , et par 

2/o , /iV2/ a --y k-^ 

It II I! II 

2/o , 2/i 2/ 2 ,-.-2/jt_i 

les valeurs respectives des inconnues / (0) , y\ y\ . . . y m fc _ l , uous obte 
nons d apres (7) 

(8) 







691 

Ces Equations jointes aux equations (7) vont nous servir a determiner 
le maximum et le minimum de la somme 

-!->) -+- -HW ( ) 

y 1* " M--+-I " & i 

pour la solution des equations (7) auxquelles se reduisent les equations (2). 
Et, cette somme-la, comme nous 1 avons vu, pour p=i, (i.=-i-l, va nous 
fournir les limites entre lesquelles reste comprise la somme 



pour toutes les solutions reelles des equations (1), quelque grand que soit 
le nombre des inconnues. 

4. Pour trouver le maximum et le minimum de la somme 



composee des quantites y (Q} ^ y (0} ^^_^. . 2/ (0) A _ 1 donnees par les Equations 
(7) pour e , e l1 e 2 , . . .e zk _ l qui restent entre les limites 



et 

1 7i 



cherchons la differentielle de la somme 



HQ 



par rapport aux quantites e 0? e n e 2 , . . .^^^ 

En designant par <r un des nombres 0, 1, 2,. . .2k 1, nous voyons 
que les equations (7), differentiees par rapport a e^ nous donnent les ega- 
lites suivantes 



V 



2 fe (0) r -2 ^/" (V 01 ) 8 - 1 ^ = - ( 



44* 



692 



(f = 0, 1, 2,...fc 1). 
En multipliant ces equations par les constantes arbitrages 

\b \, ^a>- -\k \ 
et les additionnant, nous trouvous 



ce qu on peut presenter, plus succinctement, comme il suit 



a 1 aide de la fonction entiere 6 (x) definie par 1 egalite 
6(x) = \-*-\x-*-\x*-*-.. .-^\ k _ 
Pour deduire de la 1 expression de la derive e 



de a 

donnons aux constantes arbitrages 



de telles valeurs que la fonction 

6 (x) = Xo-*- \ % -+ \ & -*-...-*- \ k _ v x* k ~ l 
satisfasse aux 2k conditions qui la determinent completement 



(11) 6 (* fo) ) = 6 (x^} =... = (^_i) = > 

(12) 6(x) =6(x^) = . . . = 0(0Vi)= ! 

Toutes ces conditions remplies al egard de la fonction 6(x), 1 equation 
obtenue ci-dessus se rSduira a 1 egalite 

n ^ <> [y (0 V -*- yw*----*-yk-i \ _ _ / n c > 

de c ^ o 

qui donne 1 expression de la derived cherch^e d apres un des coefficients de 
la fonction entiere 

6 (x) = X H- Xj a? -H . . . -t- X 2ft _ 1 a; 1 *- 1 , 



693 

de"termine"e par les equations (10), (11), (12)*). Pour determiner le signe 
de cette derivee, de"fini a 1 aide de celui du coefficient \ de la fonction 0(x), 
remarquons que d apres (10) on satisfait a liquation 

tf(x) = Q 
par les Jc quantity s 

a- (o) x (o) r (o) ~(o) 

U/ , ^ , U/ 2 , . . . Jj k _ l . 

De plus, on y doit satisfaire par certaines autres quantite"s situe"es 
dans chacun des p. 1 intervalles entre 

x ( ) v ( ) {r ( ) <r() 

*o > *i > -3 > x R _i > 

et dans chacuii des k p 1 intervalles entre 

X , i (o) ( Q} 

|A> 

car d apres (11), (12) on a 



En remarquant que le nombre de ces intervalles plus le nombre des 
quantites 

~ (o; - (o) r (o) ~.(o) 

^0 ) *i > ^ 2 A _! , 

donne la somme 2& 2, egale au degre de liquation 



nous en concluons que 

1) toutes les racines de liquation 

<9 = 
ont de valeurs r^elles; 

2) toutes ces racines sont simples; 

3) k de ces racines sont egales aux quantity s 

x (0) x (0) x (0) 7-to) 
*ifl > ^i > ^a _ , 



*) Ce polynome 6 (x) peut 6tre presente par la formule 

0*fc 



(P (x) = ( _ ar ()) (x - ar/o)) . . . (x _ %_ ) 



694 

et k 2 autres sont situees separement dans chacun des intervalles entre 
les quantites 



(0) - (0) - (0) ~(0) 

Q , 0/j , ^ a , . . . A [JL _ 1 , 



* A I 

D ou 1 on voit que 1 equation 

0=:0 

n aura pas de ratines ni hors des limites 

r (o) ^ r (o) 

*0 > * ^ A i 

ni dans 1 intervalle entre x (Q) v , x (0) ^ et, comme, d apres ce qui a e"te" dit, 

o (0) >0, 

il s en suit que toutes les ratines de cette equation ont de valeurs positives. 
En s appuyant sur ce fesultat, il n est pas difficile de determiner les 
signes des coefficients 

^0 \ > \ j \A_ ! 

dans le polynome 

(x) = X -4- X, x -f- X 2 a; 2 -+- . . . -f- \ jfc _ 1 a? 2 *- 1 . 

De ce que liquation 

^(a;)==0 

n a pas de racines entre 

a = *Vi ^^V* 

il s en suit que dans cet intervalle la derivee (J (x) ne change pas de signe; 
de ce que d apres (11), (12) 



le signe constant de & (x) dans cet intervalle doit 6tre -t-. D ou 1 on voit 
que la fonction (J (x), en s annulant pour x = x x , va nous presenter la 
variation de signes suivante: -- -. 

II en est de m6me, lorsque x franchit 



(o) ^ (o) r (o) ^(o) 
O *! > ^ 2 > * n 2 



les racines simples de 1 equation 

(x) = 0, 

car dans chacun des intervalles entre ces racines il se trouve une racine 



695 



simple de notre Equation. Oil voit de la que, x franchissant X = X Q , la 
fonction 6 r (x] passe de a -i-, et comme liquation 



n a pas de racines hors des limites x x^\ x = x (Q \_ l1 il en re* suite que 
la derived (I (x) reste negative pour toutes les valeurs de x inferieures a # (0) . 
D ou il suit que la derivee 6 (x\ pour x = 0, a une valeur negative et que 
la fonctioii primitive 6(x) decroit entre # = 0, X=X Q (Q) . Et cela, en vertu 

des egalites (11) qui donnent 

tf(*o (o) ) = 0, 

ne peut avoir lieu que pour 0(o) > 0. 

Apres avoir 6tabli ainsi que 6 (o) < 0, 6(0) > 0, nous en concluons 
que dans la fonction 



le premier terme est positif et le deuxieme est ne*gatif. Quant a ses autres 
termes, leurs sigues se determinent aisement d apres celui de X x , en s ap- 
pyant sur ce fait que toutes les racines de 1 equation 



comme nous 1 avons vu, ont de valeurs positives, et en consequence la serie 



X,, X a , 



ne presente que des variations de signes. Nous trouvons ainsi que le coef 
ficient X , quelque soit o-, doit avoir le m6me signe que ( 1). 

5. D apres ce que nous venons d etablir a 1 egard du signe de X c , 
1 equation (13) donue pour toutes les valeurs de a 



D ou Ton voit que, lorsque les quantites e , e n e a ,. . .e 2Jfc _ 1 croissent 
eutre les limites consider 6es 



1 h 7*2 ft**- 

~JT~ TT TT " * * T7- 

-"0 -"o -"o **o 



la somme 



696 
diminue; on trouvera done son minimum entre ces limites pour 

1 _fc_ ft* _ W k ~ 1 

e o BO e i " B e a IT O > e 2ft-i - H O 
ou maximum pour 



ft^ . ft2*~ I 

o - #o : 



#> e i B 6 * B * e zki ~ 



Comme, d apres notre notation ( 3), 

V o, y i, y ai- VA-! 
donnent les quantite"s auxquelles se reduisent 

< ( ) it (0) (o) <?y (o) 
2/o > 2/1 ? 2/2 > V ki 

pour 

i ft h* 

e o So e i 5o e a H - " e 2A- 

et 

2/ r y/ %%/*-., 

ses monies quantitSs pour 



&* 



nous en d^duisons, en vertu de ce qu on a etabli a 1 egard du maximum et 
du minimum de la somme 

y (0) _t_ ^(O) _^_ _^ 0(0) 

i lx ^ y tJi-*-i 7^ ^^ F A i > 

les me"galite*s 

(14) ^-H 2 

(15) V 0) ^ 

En passant aux solutions des Equations (1) correspondant au nombre 
arbitrairement grand des inconnues, posons d apres (6) 

GQ C 6 > ^l 3111 C l~*~ e i ^2 == C 2 C 2 ^U i 

ou 



sont des quantit^s comprises entre les limites indiquees dans le 3. 
Comme, d apres notre notation, pour ces valeurs de 



on a 

~ - (0) - (0) - (0) 



(0) __0(0) - 0(0) . 

o > y i #1 > y a #2 ) 



697 
nous eii concluons, d apres le 2, que pour g^ < x. (0) on doit avoir 



et dans le cas ^ > x^ on doit avoir 



Or, en remarquant que pour fA = t-t-l 1 inegalite (14) donne 

7/0) _4_7/) -4- -4-?/ 0) **>U -+-U. -+- -*-/ , 

2/ -*-i " F I--H2 ^^ ^ 2/ *_! s- y fn.! -*- y tn-2 -*- ^ y * 
et pour (jt. = e I in6galit6 (15) doune 



i?i *~ y f-i-i ~*~ ~*~ u k i ^ " t " i-t-i 

nous en tirons 



pour le cas 

(16) *,<*r, 

et 



pour le cas 

(17) >*/" 

Mais, d apres ce qu on a d^montr6 a la fin du Memoire mentionnee 
dans le 3, on a dans nos hypotheses, pour chaque I, 



done I in^galite (16) aura lieu necessairement pour e^<x"\ ainsi quel ine"- 
galit6 (17) pour g^ > xf. 

Par consequent nous aurons rinegalite" 






toutes les fois que g < a?/ et 1 inegalite 






dans le cas g > a?/. 

Ainsi, de la solution des equations (8), (9) aux 2k inconnues on peut 
deduire les limites supSrieure et inferieure de la somme 



698 
composes des carres des valeurs des inconnues 






pour toutes les solutions reelles des Equations, quelque grand que soit le 
nombre des inconnues. Les quantite"s donne"es (7 , (7,, (7 2> . . . C ak _ l peuvent 
plus ou moins differer ici des quantity s c , c 17 c 2 ,. . .c a4 _ 1 , pourvu que les 
differences 

Co c , Cj Cj , 6 T a c 2 , . . . C ak ^_ l c 2Jt _ 1 " 

restent comprises respectivement entre les limites 



_ _ _ 

H IT)) HQ 

et 

fc & 



H 



ou h, HQ sont des quantites positives assujetties aux conditions enoncees 
dans le 3. Quant aux quantity s 



y/, 2/ 2 , 



j i I 8 |.i. A 1 > 

^ /i // ^ 

2/0 5 3/1 , 2/2 # *-p 



elles s obtiennent aisement, comme nous 1 avons deja dit dans le 1, al aide 
du developpement des expressions 



i 



c o ~W c i * ~W C 2 

-0 . -"0 , 



1 h h* 

C ~*~ JT c l ~jT C 2 ~*~ Jj~ C 2k 1 



x x z a: 3 x 2k 

en fractions continues qui, a leur tour, en vertu de ce qu on a montre" dans 
le Memoire cit6 dans le 3, s obtienneut bien facilement a 1 aide de la 
fraction continue resultant du de>eloppement de 1 expression 



____ __ -- 

X X 2 X 3 X zlt 



NOTES ET EXTRAITS. 



Sur la limite du degre de la fonetion entiere 
qul satlsfait a eertaines conditions. 



Bulletin de la sociSte" mathSmatique de France, tome troisieme, III, annee 187475, p. 165. 

Stance du 21 juillet 1875. 



Si une fonetion entiere, entre deux limites quelconques de la variable, 
s ecarte peu de z6ro, et qu elle ait une valeur considerable en dehors de 
ces limites, il est certain que la fonetion est d un degre" eleve\ Quelle est 
done la formule qui donne la limite du degre de la fonetion entiere, d apres 
ces ecarts de zero, pour des valeurs de la variable comprises entre eertaines 
limites, et de sa valeur au dela de ce champ. En cherchant a resoudre ce 
probleme d apres les methodes exposees dans notre M6moire Sur les que 
stions de minima qui se rattachent a la representation approximative des 
fonctions, nous sommes parvenu a ce th^oreme tres-simple. 

Theorem^. Si f(x) est une fonetion entiere du degre n, qui, depuis x= I 
jusqu a # = -*-?, ne sorte des limites L et -+-L et que pour toutes les 
valeurs de x en dehors des limites nominees x = Z, x = +- Hes valeurs 
de la fonetion f(x) soient en dehors des limites L et -+- L, on aura 



-- L* 



2 V[f(x)] z L z 

en donnant aux radicaux les valeurs positives. 



702 



Sur la generalisation de la formule de M. Ca 
talan et sur une formule arithmetique qui en 

resulte. 



Association franchise pour 1 avancement des sciences. Compte rendu de la 5-me session. Cler 
mont-Ferrand. 1876. Seance du 22 aout, p. 114117. Nouvelle correspondance mathe matique 

redige par Eugene Catalan. T. II). 



M. Catalan vient de faire cette remarque importante que la limite de 

la somme 

i i i 

-- 1 --- 1_ _| 

w-t-l n-t-2 2n 

pour n = 00, qu on trouve egale a log 2, resulte de 1 ideutite 



2n n-f-1 n-t-2 * *2n 



facile a verifier. Cette identite", remarquee par M. Catalan, et qui rend tres- 
nette la convergence de la somme 

i i i 

-- 1 --- 1_ -i 

n -i- 1 n-t-2 2n 

vers log 2, quand n croit inde"finiment, me"rite d autant plus d attention 
qu elle peut 6tre facilement generalisee, et donner lieu a une formule arith- 
m6tique d un genre tout nouveau. C est ce que nous nous proposons de 
montrer dans cette communication. 

En effet, si dans les fractious qui composent le premier membre de 
1 identite 

_L _L _L - i i JL_ 

1~~2 ~3~ * 2n n-i-l~~~~~ 



on remplace les unites par les termes d une serie quelconque 

M I} w a , M 3 , ---- , w 2n , 
on trouve que le second membre se re"duit a 



n-t-1 n-t-2 2n 1 2 2n 

D ou il suit qu en faisant 



703 
on aura cette identite 

M! 2 u 3 u 2n u zn _,_ 2 M 2 n-t-4 . 



l" 23 * " 2n ~ ~ n -+- 1 n-i- 2 2n 1 2 2n 



Passant au cas de n = oo, et en observant que, pour cette valeur de 
n, la somme 



n-+-l n-t-2 2n 

devient 



on trouve 

(*) W oo *& ^ = ~i 2~~*~~3 " 

ou les quantity s v 1? w a , v 8 . . . ., sont determin6es par la relation 

Pour montrer le parti qu on peut tirer de laformule (1), nous poserons 

_ E(ax) 
U x~ "T" 

ou a est une quantite positive quelconque, et le signe E designe a 1 ordi- 
naire la partie entiere de la quantite placee sous ce signe. 
Pour cette valeur de u x , nous trouvons, d apres (2), 

_ E(ax) E (lax) 2E (ax) E (2ax) t 

x~ x 2x 2x 1 

d ailleurs la difference 

E(2ax) 



se re"duit evidemment a ou a 1 , suivant que le nombre E (2ax) est 
pair ou impair; par consequent, on a 



et, par suite, 



En portant ces vaieurs de u x et v x dans la forraule (1), et en obser 
vant que pour x infini 



704 
devient a, on obtient cette formule 



12 2* "S 2 " .... 

1 _ (_ ijE (2a) ! _ ( _ 1} S(4a) _ 

i - - 



4 . 1 4 . 22 4 . 3 2 * 

qui se r6duit a celle-ci: 



4 . I 2 4 . 22 4 . 3 2 

1 



.I . i . \. 

2 2 3 2 * / 

Mais on a 



2 2 3 2 

il en requite 



a log Q = ( a -- 1 ^ ^ 

D apres cette formule nous trouvons 

^_4^(q)-( 
10g^~- y- p 

et, en posant ici 






4a log 2 y = X, 
ce qui suppose 

= 24 log 2 

nous parvenons a ce developpement de la quantite X en serie composee de 
fractions ayant pour de"nominateurs I 2 , 2 2 , 3 2 , . . . . 



X= 



log 



24 log 



2* 



705 



Sur une transformation de series numeriques, 



(Association frangaise pour 1 avancement des sciences, Congres de Paris. Seance du 26 aout 1878 
Nouvelle correspondance mathematique redigee par Eugene Catalan. T. IV. 1878, p. 305308). 



1. II y a deja plus d un quart de siecle, Alphonse de Poligaac et moi, 
nous avoiis public nos recherches sur la Repartition des nombres premiers. 
Ces recherches different, essentiellement, de ce qu on a fait, avant nous, 
sur le m6me sujet. Nous avons donne des valeurs limitatives de fonctions 
dont on n avait que des valeurs asymptotiques. La base de ces recherches 
est une formule qui remplace la somme des logarithmes de tons les nombres 
entiers (jusqu a une certaine Unite) par des sommes relatives a des nombres 
premiers. Voici cette formule: 



Dans le second membre, 



(k) designant, en general, la somme des logarithmes de torn les nombres 
premiers qui ne surpassent pas k. 

La formule (A) differe essentiellement, nous venons de le dire, de 
celles que Ton connaissait autrefois. Parmi celles-ci, 1 une des plus impor- 
tantes" est la relation 



_ 

4P 



dont le second membre ne contient que les nombres premiers. 

2. En cherchant a rapprocher les formules (A) et (C), je suis parvenu 
a reconnaitre qu elles decoulent d une m6me egalite: 

log 2./ (2)-f-lo g 3.jT(3)-i-log 4.f(4)-Hlog 6. f (&)-*- 
= log2.^(2)-f-log3.F(3)--log5.F(5)-t-log7.F(7)-i- 



706 

les fonctions f(x), F(x) ayant une relation convenable. Cette relation, tres- 
simple, est 



3. Soit f(#) = ^p, la variable x et 1 exposant p etant superieurs a 
1 unite. Nous aurons 



pus 

n=oo m=co 



n=l wi=l 

Comme 



i" 



la valeur de F(x) se reduit a 



et 1 ^galite (D) devient 

oo 

jog 2 Iog3 log 4 log 5 " log 2 log 3 log 5 log 7 I ^ 

"^P ---- W "4P ---- 5P~ -*-- |_2PTT1 -*- 3P - 1 5P-1 ~*~7? l J ^J nP* 



Le premier membre est, au signe pres, la derivee de ^ ^p, par rap 

i 
port a p. Ainsi 



log 2 . log 3 _ log 5 _ ___ JogJ 

~ ~< 

nP 



5, l ~2P 1 3P 1 5P 1~ 7P 1 



i 



Integrant, de p quelconque a p iufini, on a done 



3P 

puis la formule (C). 



*) Les fonctions /(), F(x) peuvent etre continues ou discontinues: il suffitque les series 
resultantes soient convergentes. 



707 

4. Si 1 ou suppose 

f(x) = l 
pour #<a, et 



pour x > a, nous trouvons que la somme 

log 2 f (2) -H log 3 f(B) -*- log 4 A4) -+- . . . 

se reduit a la somme des logarithmes des nombres 2, 3, 4, .... E(a)\ et 
alors notre formule (D) donne la decomposition de aette somme en plusieurs 
sommes composees des se.uls nombres premiers, decomposition qui etait la 
base des recherches faites sur les nombres premiers par A. de Polignac 
et moi. 

5. En donnant d autres valeurs a la fonction f(x), on obtient de nou- 
velles formules, qui peuvent avoir d utiles applications. On trouve, par 
exemple, que la somme 



- 5c 



croit indefiniment, quand c tend vers zero. 

. Comme les termes de la serie, pour c = 0, se reduisent a 1, selon 
que les facteurs correspondants ont la forme 4w -t- 3 ou la forme 4w +- 1 , 
on est conduit a cette conclusion: II y a une difference notable dans la re 
partition des nombres premiers des deux formes 4w-i-3, 4w-i- 1: la pre 
miere forme en contient beaucoup plus que la seconde. 



45* 



708 



Sur la coupe des v&tements. 



(Association franchise pour 1 avancement des sciences. 7 session. Paris. Stance du 28 aofit 1878). 



Apres avoir indique que 1 idee de cette etude lui est venue lors de la 
communication faite, il y a deux ans, au Congres de Clermont-Ferrand, par 
M. Edouard Lucas, sur la geometric du tissage des Stoffes a fils rectilignes, 
M. Tchebichef pose les principes generaux pour determiner les courbes 
suivant lesquelles on doit couper les differents morceaux d une etoffe, 
pour en faire une gaine bien ajustee, servant a envelopper un corps de 
forme quelconque. 

En prenant pour point de depart ce principe d observation que dans 
la deformation d un tissu on ne doit considerer d abord, dans une pre 
miere approximation, que 1 alteiation des angles respectifs formes par les 
fils de chaine et les fils de trame, sans tenir compte de 1 allongement 
des fils, il donne les formules qui permettent de determiner les contours 
imposes a deux, trois ou quatre morceaux d etoffe pour recouvrir la sur 
face d une sphere, avec la meilleure approximation desirable. M. Tch6- 
bichef presente a la section une balle de caoutchouc recouverte d une etoffe 
dont les deux morceaux ont etc coupes suivant ses indications; il fait obser 
ver que le probleme differerait essentiellement si Ton remplagait 1 etoffe par 
une peau. D ailleurs les formules proposees par M. Tchebichef donnent 
aussi la methode a suivre pour la juxtaposition des pieces par la couture. 



Conformement & la volonte de Tchebychef, 1 etude Sur la coupe des 
habits trouvee dans ses papiers ne doit pas 6tre imprimee, car le manuscrit 
ne porte pas 1 inscription: imprimer. 



709 



Sur les parallelogrammes les plus simples sy- 
metriques autour d un axe. 



(Association franchise pour 1 avancement des sciences. Congres de Paris. Seance du 29 aout 1878 
IIlKOJia MaTeiiaTHKH IHCTOH H npmuaAHofi 1885). 



LA 1 Exposition universelle on peut voir actuellement les diffe- 
rentes applications d un parallelogramme articule, que j aitrouved apresun 
theoreme sur les fonctlons qui s approchent le plus de zero. Ce parallelo 
gramme, ne contenant que trois tiges droites, donne le mouvement rectiligne 
avec une approximation tres-notable, qui surpasse celle qu on obtieut par 
les parallelogrammes composes des monies elements, c est-a-dire par le pa 
rallelogramme simple de Watt et le me"canisme d Evans. 

2. Ce parallelogramme est compose" de deux tiges AC, Afi^ d e"gale 
longueur, qui tournent autour de deux points 
fixes C, C l et sont relives a leurs bouts A, A l 
par une troisieme tige AA l (fig. 1). C est le mi 
lieu M de cette derniere tige qui decrit une 
ligne droite avec une precision considerable, tou- 
tes les fois que les longueurs des tiges AC, A^ 
et la distance CG l des points fixes (7, G^ remplis- 
sent les conditions suivantes: 

1. La distance <7G\ doit etre rigoureusement fyale au tiers de la somme 
de lignes AC, AA l} A^. 

2. La longueur de la tige AA l doit surpasser le quart de celle des tiges 
AC, Afin mais ne doit pas differer notdblement de cette limite. 

A mesure que la difference AA t - ^ AC tend vers ze"ro, la longueur 

de la portion sensiblement rectiligne de la courbe de"crite par le point M 
diminue, mais en mme temps la rigueur avec laquelle elle represente une 
ligne droite croit plus rapidement que ne dimiuue sa longueur. 




710 

3. Je vais montrer maintenant les resultats auxquels je suis parvenu 
en exarninaiit un mecanisme un peu plus compli- 
que" que le prec6dent. Ce mecanisme est com 
pose des m&mes elements, cependant le point 
qui de"crit sensiblement une ligne droite ne se 
trouve plus sur la ligne AA lt mais sur une per- 
pendiculaire NM, menee de son milieu (fig. 2). 

D apres la m6thode que nous venons de 
c > mentionner, on reconnait que pour la precision du 
jeu de ce mecanisme, il est indispensable que c=MA r aitlavaleur suivante: 




-t- fYl 

r cos 2 9 |_\ 2 



Dans cette formule r et a designent les longueurs des lignes AC=A ] Q l 
et AA 11 et cp la valeur commune des angles ACC lt A&C, A^AG, AAf)^ 
dans la position moyeune du me"canisme. 

4. Toutes les fois que le lieu du point M est clioisi conformement 
a la formule (1) et que la difference 



(2) T/ 2rc09(p - a -2sins 

Y r cos 9 a 

ne s 61oigne pas trop de zero, ce mecanisme donne le mouvement rectiligne 
avec une precision notable. Cette precision croit a mesure que la difference 
(2) s approche de zero, mais en rn6me temps la longueur de Tare qui jouit 
de cette precision diminue. 

Dans le cas ou Ton a rigoureusemeut 



(3) v -_ . p Q 

Y r cos 9 a 

cette longueur se reduit a zero, et alors la courbe decrite par le point M a 
un contact du 5 me ordre avec une ligue droite. 

Nous allons nous arr^ter sur ce cas-limite, vers lequel converge notre 
mecanisme a mesure que la precision de son jeu va en augmentant, et dont 
il differe peu, si cette precision est suffisante. 

5. Pour ce cas-limite, d apres les equations (1), (3), nous trouvons: 

2 cos 2 9 cos 2cp . cos 2 <p cos 2<p tang 89 

cos 89 cos 89 

En partant de ces valeurs de AA^ = a, MN= c et remarquant que 
Ton a AC= Aft l = r, on trouve au moyen des triangles CDC l et ADA l la 
formule suivante pour la determination de GG 1 = b, a savoir 

, sin 2 2? 

= K- 1 f. 

cos 89 



71 1 

~ J. J. 

Ces expressions des quantites a, &, c ne changent de signe que pour 
les valeurs de 1 augle 9 qui annulent 

sin 2cp, cos 2cp, sin 3<p, cos 3cp 
0, 30, 45, 60, 90, 

N 



et qui seront 




d ou il suit que notre mecauisme ne peut changer d aspect entre les limites 
indiquees, c. a d. 

de 9 = jusqu a 9 = 30; de 9 = 45 jusqu a 9 = 60; 
9 = 30, 9 = 45; 9 = 60 9 = 90. 

Pour rendre bien compte de toutes les modifications que ce mecanisme 
peut subir, nous avons calculi, d apres les formules pre"ce"dentes, les 61e"ments 
pour quatre valeurs de 9, prises a egales distances de ces limites, savoir: 

9 = 15; 37 30 ; 52 30 ; 75. 



712 

Les figures (3), (4), (5), (6) represented notre mecanisme avec les e!6- 
ments qu on trouve comme nous le venons de dire, et en prenant r e"gal a 
0.05 metre. 

Toutes ces modifications donnent le mouvement rectiligne avec le 
m6me degre de precision; notamment la courbe decrite par le point M a 
toujours un contact du 5 8 ordre avec une ligne droite. Sous ce rapport, 
toutes ces modifications sont e"galement bonnes; mais on remarque une 
grande difference entre elles, quand on passe au cas ou Ton cherche a 
obtenir le mouvement rectiligne pour une course plus ou moins grande. 

8 6. Dans le cas ou la difference 



2r cos 9 a n 

sm 2, 

r cos 9 a 

ne se reduit pas a zero, mais en differe peu, le me"canisme articule", pour 
lequel c a la valeur (1), donne le mouvement rectiligne avec une grande pre 
cision, et cette precision aura lieu le long d une courbe d une certaine lon 
gueur. La determination de la longueur de cette courbe se fera de la ma- 
niere suivante. En posant 

2r cos <p a 
r cos 9 a 

et en designant par t celle des racines de Tequation 

2 sin cp (1 H- t*)-*-t (3 -+- ft) (1 a ) T= 0, 
qui se rapproche le plus de 0, on cherche Tangle ^ d apres la formule 

- 1 _ 2 (! y *) z [V 1 -*- 2t sin 9 -+- t z \ 2 
8 a l " ~ T 2 (2 T 2 ) [_\l 2T sin 9 -- T 2 / " 



Get angle, pris avec les signes -+- et , donne les inclinaisons-limites 
de la ligne AA l sur la ligne CG l pour le commencement et pour la fin de la 
course en question. Ayant trouve Tangle a n nous aurons la longueur de la 
course cherchee par la formule 



(A\ 7 2 (2-T 2 ) fy-sinq) 2(l-j-2^sin 9 -H< 2 )n 

l T Z T*l (1 _ <2)2 






Le long de toute cette course, les ecarts de la courbe traces par le point 
M d une droite restent comprises entre -*- E et E, la valeur E etant 
determin^e par la relation 

2r l-<-2f sin 



(2 sin cp -t- 3* -+- 2t 2 sin 9 -+- < 3 ) 2 

7. Dans le cas ou Ton se propose d obtenir une precision et une 
course pre"alablement donnees, on prendra pour a, r, <p, c des valeurs qui 
satisfont aux equations (1), (4), (5), et dans lesquelles ./, E doivent avoir 



713 



des valeurs donnees. Comme Ton doit verifier seulement trois equations, on 
pourra choisir Tangle <p a volonte. Dans ce cas, en donnant a Tangle <p les 
valeurs que nous avons indiquees ci-dessus, on aura les quatre formes diffe- 
rentes du mecanisme que nous avons deja vues. Toutes ces formes jouiront 
de la mme precision le long de la mme course; mais elles differeront 
notablement entre elles par la longueur de leurs elements et par leur 
disposition. 

8. Pour comparer entre elles ces quatre modifications, nous allons 
chercher les expressions approximatives de leurs elements, en supposant 




que le rapport y a une valeur tres-petite, ce qui a lieu toujours dans les 
mecanismes a grande precision. 

En cherchant, dans cette hypothese, le de"veloppement de r, a, 6, c en 
serie, on trouve que ces de"veloppements, arr6tes aux premiers termes, 
donnent : 

I COS 89 -! 5 / 2 COS 89 T 

~~ 8 sin 29 



cos 9 . cos 3 29 E 



Z cos 2 9 

~ 4 tang 29 

T Zsin 29 



V 

Y-. 



2 cos 89 



_ 
cos 9 . cos 8 29 E 

2 cos 89 I 



cos 9 . cos 8 29 E 

I cos 2 9 . tang 89 
8 tang 29 



2 cos 89 I 



cos 9 . cos 3 29 E 



714 

Les figures (7), (8), (9), (10) represented les quatre formes du meca- 
nisme en question avec leurs elements deduits des formules precedentes en 
y faisant 

op = 15; 37 30 ; 52 30 ; 75 
et en posant 

i j/J = 0725. 



715 



Theoreme relatif a la eourbe de Watt. 



(Bulletin des sciences mathematiques et astronomiques, II serie, T. V, 1881, p. 216). 



Si deux sominets A, A l du triangle AA^M glissent respectivement sur 
deux circonferences de centres (7, 6\ 5 la courbe decrite par le sommet M ne 
peut avoir avec sa tangente un contact d ordre 5 (limite qui ne pourra ja- 



mais 6 tre depasse"e) que dans le cas ou les angles CAA l , C^A ont les va 
leurs 



ou n, w x sont des nombres entiers quelconques. 



Avec ces valeurs des angles OAA l , C^A le contact est toujours de 
1 ordre 5 lorsque les rayons AC, Af!^ des deux cercles ont les valeurs sui- 
vantes 

p/\q * 

= AM 



n ^A A T\ 
cos {2CAA l ~t--j-\ 

\ */ 



. 

(CAA, -ny) 



cos 1. 

A l G l = A l M l - 



ou y est Tangle sous lequel se coupent la ligne AA l et la tangente en M. 



716 



Sur les expressions approximatives des inte- 
grales definies par les autres prises entre les 

memes limites. 



Coo6mema H npoiOKOJifci sactAaHiB MaTCMaTHHecKaro o6iu,ecTBa npu HMnepaTOpCKOMt Xapt- 

yHHBepcHTerfc 1882 r., II, cxp. 9398. 



(Traduit par M. A. Tichomandritsky). 



Lorsqu on connait les valeurs de la fonction F(x) pour toutes les va 
leurs de la variable x de x = a jusqu a x = &, la derniere des formules que 
nous avons deduites dans le Me"moire Sur les fractions continues *), apres le 
changement des sommes en integral es, donne le developpement de la fonction 

F(x): 

\F$Q$dx flty, 

F(x) = J j yo~*- 7- 

ou d est une fonction quelconque, continue ou discontinue, qui conserve le 
signe H- entre les limites x = a, x = b, entre lesquelles sont prises toutes 
les inte*grales, et vp , v|/ x , ^ a , . . . . sont les denominateurs des reduites qu on 
obtient, en developpaut 1 integrate 



en fraction continue. 

En de>eloppant d apres cette formule deux fonctions quelconques w, v, 
et en integrant le produit uvbdx depuis x = a jusqu a x = b, on trouve 
que 1 integrale 

I 

J uv&dx 

se ramene a une serie composee de termes de la forme: 



ou les nombres w, n prennent toutes les valeurs depuis jusqu a ~. 



*) T. I, pag. 203230. 



717 

En remarquant que par la propriety conuue des fonctions v|/ , fy v <|>,,.... 
1 integrale 



s Svanouit pour des valeurs differentes de w, w, on deduit de cette se"rie le 
d6veloppement suivant de 1 integrale fuv&dx : 



f .M 

)"*** = - 



En arrtant cette serie sur le terme 

J/ 
uy n , dx . vl> n i $dx 
* j * 

et en d6signant par E n le terme complementaire, nous aurons 1 egalite: 



En determinant 1 expression de R n dans ce developpement de 1 inte 
grale $uv$dx, nous avons trouve qu il possede les propriet^s suivantes: 
1) Sa valeur numerique ne surpasse pas 



/*MJ)\ 

I dx n } 



ou A, B, sont les plus grandes valeurs mimeriques des derivees ^, ^| 
entre les limites d integration. 

2) Si entre les memes limites les derivees ^, ^-? ne changent pas 

de signcs, le reste R n a le meme signe que le produit ^ ^-J. 
Pour en faire une application, considerous le cas de n = 1. 
Comme les premieres reduites de I int^grale 

& 



qu on reQoit par son developpement en fraction continue sont 

Jdd* 

1 jddx . x 



718 

les fonctions ^ , fy lt qui entrent dans nos formules, seront 
t|/ = l ; vpj = J dx . x J x&dx. 

En posant dans nos formules 

n= 1 

et en y portant ces valeurs des fonctions ^ , v]^, nous obtenons 1 egalite" 



I 



f u$dx . I v dx 

uvbdx = J - p--* 1- R. 



et pour la liniite superieure de valeur numerique du terme complementaire 
1 expression 

J ddx . J a* MX ( J 
-~ 



ou A, B sout les plus grandes valeurs numeriques des derivees ^, ^| 

entre les limites d integration. Dans le cas, ou les d6rivees ( ~, ^ 
ne changent pas de signes entre les limites d integration, le reste R l aura, 
d apres ce que nous avons dit plus haut, le me me signe que le produit ^ ^|. 

En posant = 1 et en prenant et 1 pour les limites des integra 
tions, nous aurons par la formule trouvee plus haut 1 egalite 

J uvdx ==J udx . j vdx -*- E^ 

Q "0 

ou la limite superieure de la valeur numerique du reste E 1 sera 



Pour une autre application considerons le cas, ou 



et les limites des integrations sont 1 et -+- 1 . Dans ce cas les fonctions 
^ , tpj, vp a , . . . . se reduisent, comme on le sait, aux fonctions X , X n X 2 ,.... 
de Legendre, en vertu de quoi on obtient d apres notre formule I egalit6: 

-*-i 

+1 -t-l -4-1 -t-1 

f uX <lx . J 2T dx f uX n j dx . J vX n l dx 

uvdx^=- 1 ~ l - - - 1 - 1 



1 



+1 +1 

i Ji 



719 
d ou Ton tire, apres y avoir porte les valeurs des integrates 

H-l -4-1 -4-1 



i i i 

la formule 

-4-1 -4-1 -Hi -+l -4-1 

(* 1 C C 2w - 1 f f* 

J uvdx = y j uX dx . I vX dx -*-...-* -- I uX n _ l dx . \ vX nl dx-*-R n . 
i i i i i 

En remarquant que dans le cas considere on a 

-+-1 -4-1 



1 1 



dx n - dx n --- ---- 

nous trouvons, d apres 1 expression ci-dessus de la limite supe"rieure de la 
valeur numerique du reste R n , que dans le de"veloppement trouv6 par nous 

de l inte"grale 

j uvdx 

la valeur numerique du reste ne surpassera pas la quantite 

_ 2AB _ 
I 2 .32.5 2 ....(2n 1)2 (2n-t-l)* 

ou A, B sont les plus grandes valeurs numeriques des derivees J, ^ 



entre x = 1 eta? = -*-l. Quant au signe du reste, il sera certainement 
le meme que celui du produit ^ ^, si les derives ^? ^ ne changent 

pas de signes entre x = 1 eta? = -i-l. 

Remarquons en terminant, que ce que nous avons montre" par rapport 
au reste du developpement de P integrate 

J uvdx 

peut servir a la determination du degre d exactitude, avec laquelle le deve 
loppement cite de la fonction F(x), arrte a un terme quelconque, donne 
la valeur de la fonctiou. 



720 



Sur la rectification des courbes. 



Association franchise pour 1 avancement des sciences. 11 Session, La Rochelle. Seance du 

25 ao6t 1882. 



M. Tchebichef montre dans cette communication le parti que Ton peut 
tirer, pour la rectification des courbes, de 1 emploi des points dont les or- 
donnees servent a trouver 1 aire d apres la methode de quadrature qu il a 
communique*e au Congres de Lyon, methode qui vient d etre enrichie par 
les recherches tres inte"ressantes de M. Radau. En traitant de cette fagon 
le cas le plus simple, on parvient a reconnaitre que 1 arc d une courbe peut 
6tre represente, avec une approximation notable par la somme des deux 
cotes e"gaux du triangle isocele construit sur la corde de 1 arc comme base, 

et ayant pour hauteur les (I/ yV 61 de la fleche elevee perpendiculai- 
rement au milieu de la corde jusqu a sa rencontre avec 1 arc. 



721 



Une machine arithmetique a mouvement 

eontinu. 



La Revue Scientifique de la France et de 1 etranger. Troisieme Serie. Tome IV (XXX de la 
collection). Numero 13 du 23 septembre 1882. 



Quelque simple que soit la regie de 1 addition, il n est pas facile de 
1 effectuer par des moyens mecaniques. La difficult^ que la mScanique y 
rencontre vient du changement brusque des chiffres de la somrae, qui ne 
peut tre realise qu a 1 aide des organes compliqu6s et delicats. Les nom- 
breuses tentatives, faites avant le docteur Roth pour construire une machine 
pouvant produire le changement brusque deplusieurs chiffres dans lasomme, 
et la machine du docteur Roth elle-m&me qui a pu le faire, ont moutre 
clairement combien il est important, pour la simplification des addition- 
neurs, de les delivrer de la necessite de changer brusquement leurs indi 
cations. II n y a aucuu doute que ces machines, aussi bien que toutes les 
autres machines arithmetiques qui ne font que r6p6ter 1 addition ou la sous- 
traction, deviendraient bien plus faciles a executer, si Ton se conteutait des 
changements continuels dans leurs indications. Mais la lecture des chiffres 
devenant alors plus difficile, il se presente la question suivante: N est-il 
pas possible d affaiblir 1 inconvenient provenaut de la continuite des chan- 
gemeuts des indications dans 1 additionneur au point ou il peut 6tre admis 
sans risques, en raison des avantages que cette continuite offre pour la con 
struction? 

Dans la machine a additionner que j ai eu 1 honneur de presenter au 
congres de Clermont-Ferrand, et qui est maintenant completee par un me- 
canisme pour operer la multiplication et la division, cet inconvenient est 
presque ecarte. Dans les lucarnes de cette machine on voit les bandes 

46 



722 

blanches, parmi lesquelles on distingue aisement la principale qui parait 
dans toutes les lucarnes. Comme dans la premiere lucarne a droite il n y a 
que le commencement de cette bande, il est facile de la suivre en allant de 
droite a gauche. C est cette bande qui contient tous les chiffres de la somme. 

Passons maintenant aux conditions qui doivent 6tre remplies par le 
mouvement des tambours qui portent les chiffres de la somme. Nous nom- 
merons receptrices les roues dentees que Ton tourne pour aj outer des nom- 
bres et dont chacune correspond a 1 unite d un certain ordre. Confor- 
mement a la regie de 1 addition, le mouvement de chaque tambour doit 
tre compose" de deux autres: du mouvement determine par le chiffre du 
rang correspondant du nombre ajoute et de celui determine^ par le report 
des chiffres des rangs inferieurs. La vitesse du premier mouvement doit 
6tre en rapport constant avec celle de la receptrice correspoudante; ce rap 
port sera egal a celui du nombre de dents de la receptrice et du nombre 
total des chiffres graves sur le tambour. En vertu du second raouvement ce 
tambour tournera d un angle 6gal a la distance de deux chiffres, quand le 
tambour qui le precede tourne d un angle dix fois plus grand. Done, dans 
le cas du mouvement continu et uniforme, ce mouvement d un tambour 
quelconque doit tre dix foix plus lent que celui du tambour qui le precede. 
Par consequent, la vitesse de chaque tambour doit tre composee de la vi 
tesse de la receptrice correspondante, multiplied par uu coefficient constant, 
et de la dixiemc partie de celle du tambour precedent Or, le mouvement 
des tambours compose de cette maniere est facile a realiser au moyen des 
trains epicydo idaux, si toutes les roues receptrices et tous les tambours sont 
montes sur le mme axe et si chaque roue receptrice se trouve entre le tam 
bour qui lui correspond et celui qui la precede. Pour y parvenir on n a 
qu a faire porter a chaque roue receptrice un train epicycloidal dont les 
roues engrenent avec les roues solidaires aux tambours entre lesquelles elle 
est placee. 

D apres la propriete de ce rouage on trouve que pour donner aux tam 
bours une vitesse, composee conformement a ce que nous venous de voir, il 
est necessaire et suffisant de remplir ces deux conditions: 

1) Le uombre de dents sur les roues receptrices et celui des chiffres 
des tambours doivent tre dans le rapport 9 a 10. 

2) Le rapport des nombres de dents des roues qui composent chacun 
des trains Spicycloidaux doit 6tre dix fois plus grand que celui de dents des 
roues avec lesquelles elles engreneut. 

Ces conditions sont tres faciles a remplir. Dans la machine que j ai 
fait construire, la premiere condition est remplie, en donnant aux roues re 
ceptrices 27 dents et en gravant trois fois les dix chiffres 0, 1, 2,. . . r 9 



723 

sur les tambours. Conformement a la seconde condition, les roues compo- 
sautes des trains Spicycloidaux ont 48 et 12 dents, et les roues avec les- 
quelles elles engrenent portent 24 et 60 dents. De cette fagon les e"chap- 
pements qui produisent les changemeuts brusques des chiffres de la sorame 
provenant du report sont remplaces par les trains epicyclo idaux qui pro 
duisent le me"rne effet graduellement. 

La difference entre la vraie valeur du report et celle que donnent les 
trains epicyclo idaux e"taut toujours au-dessous de 1, les ecarts angulaires 
entre la position des tambours dans cette machine et celle qu ils occupe- 
raient dans une machine a mouvements brusques restent plus petits que la 
distance de deux chiffres. Par consequent, en faisant les lucarnes assez 
grandes pour qu on puisse y voir a la fois deux chiffres du tambour, il est 
certain que les vrais chiffres de la somme ne peuvent mauquer d yparaitre. 
Quant a 1 ambiguite qui se presente toutes les fois qu ou voit dans la mme 
lucarne deux chiffres, elle est aisement ecartee, comme nous 1 avons dit, au 
moyen des bandes qui sont tracees sur chaque tambour, en ayant egard 
aux ecarts augulaires dans la position des chiffres du tambour suivant. 

Telle est la partie essentielle de la machine a additionner. Les 
organes accessoires sont les suivants: 

1) Des arr&ts avcc des ressorts qui obligent les roues receptrices de 
revenir toujours dans leurs positions uormales etd yrester jusqu a ce qu ou 
les fasse tourner, ce qui est important pour lajustesse du jeude la machine. 

2) Une barre muuie de griffes qui arreitent sticcessivement tous les 
tambours sur 0, en commenc,aut par le premier a droite, et qu ou fait agir 
en ramenant vers soi le boutou que Ton voit au cote gauche de la machine. 
On s en sert pour reduire a zero le uombre que Ton lit sur les tambours, 
apres quoi on doit pousser le bouton en arriere pour rendre mobiles tous 
les tambours et toutes les roues receptrices. 

En considerant le mouvement des tambours nous u avous parle que de 
1 additton; mais il est clair que pour operer la soustractiou on n a qu a 
touruer les roues receptrices en sens inverse. 

En completant cette machine par un mecauisme qui ferait aj outer on 
soustraire le nombre donne" autant de fois que Ton veut, on pourra s en 
servir pour operer la multiplication ou la division. Un tel mecanisme est 
facile a composer a 1 aide des roues deutees qui peuvent eugrener avec les 
roues receptrices, en montaut sur les prolongements de leurs axes des pi- 
gnons qui peuvent glisser le long de ces axes et qui, a leur tour, suivant la 
place qu ils occupent, engrenent avec les roues munies de 9, 8, 7, 6, 5, 4, 
3, 2, 1, dents et collees ensemble, de mauiere a presenter un cylindre 
deiite. II est clair qu eu faisaut tourner ce cylindre uue fois dans 1 uu ou 

46* 



724 

1 autre sens, on ajoutera ou on soustraira lenombre dont les chiffres dc dif- 
ferents rangs sont egaux aux nombres de dents qui pousseront les piguons 
correspoudants. 

Pour 1 exactitude du jeu de ce mecanisme il est important que les 
pignons s arre tent aussitot que les dents du cylindre cessent de les pousser. 
En cherchant a rendre absolument impossibles les fautes qui naisseut de ce 
que les pignons ne s arre tent pas toujours assez vite, m&me sous 1 action 
des ressorts, nous avous donne aux dents des pignons et du cylindre une 
forme telle que les pignons ne restent jamais libres et, par consequent, ces 
sent de tourner au moment ou les dents du cyliudre ne les poussent plus. 



725 



Sur les fractions algebriques qui representent 
approximativement la raeine earree d une va 
riable, comprise entre les limites donnees. 



Bulletin de la societe mathematique de France. T. XII, 1884, p. 167 168. 



Quand on cherche parmi toutes les fractions de la forme 

/(*) 
F( x y 

f(x\ F(x) n etant pas d un degre superieur a m, celle dont le logarithme, 
depuis x = < 1 jusqu a x = a > 1, s ecarte le moins du logarithme de 

d 

Vx, on trouve une fraction qui peut 6tre presentee de la maniere suivante: 

/t/x a\ / i /x a\ 

,. . x m <? (]/ - <p I/ - I 

/(^) __. \f / \ r x / 

F ( x ) 9 (Vl ax) 9 ( y 1 ax) 

ou cp (x) est uue fouctiou d un degre m, qui, a un facteur constant pres (tout 
a fait arbitraire), peut 6tre determinee a 1 aide de cette equation 



= CODSt 



(/ -, . 

9 (vl aa;) 9 (VI ax) 

Ainsi, en prenant m = 1, on trouve, pour 1 expressiou aproximative de 
Vx entre x = , a; = a, la fraction 

1 



ou % est une constante dont la valeur est donuee par 1 gquation 

k* 6A: 2 4 (an- -j) A 3 = 0, 
et d ou, en posant 



on tire, pour 1 expression approximative de VZ eutre Z=^, Z= B, cette 
formule 

4.- kZ-t-VAB 

VAB - -=> 
Z+kVAB 



726 



Sur la transformation du mouvement rotatoire 

en mouvement sur eertaines lignes, a 1 aide de 

systemes artieules. 



Bulletin de la societe mathematique de France. T. II, 1884. p. 179187. IIlKOJia MaxeiiaTHKH 

HHCTOli H npHKJIRAHOfi. 1885. 



1. Soient (fig. 1) ABC, ABM deux triangles isoceles, ayant un cote 
commuu AB, egal aux cotes AC, AM. Si Ton fait mouvoir les sommets A, 
B du triangle ABM sur les cercles de"crits du sommet C du triangle ABC 
et d un point quelconque C l pris sur son cote" BC, le sommet M du triangle 
ABM decrit, comme il n est pas difficile de s en assurer, une courbe sy- 
metrique autour de 1 axe passant par les points M, G. Si la ligne BC l 
n est pas trop longue, elle peut faire un tour complet autour du centre (7 : , 
et alors le point M decrit une courbe fermee, symetrique autour d un axe, 
comme nous venons de le dire. Ceci nous presente une transformation tres 




simple du mouvement rotatoire en mouvement sur les lignes fermees, de 
formes tres variees et symetriques autour de certains axes. Une telle trans 
formation du mouvement rotatoire pourra 6tre avantageusement employee 
dans la pratique, si Ton trouve les conditions sous lesquelles la courbe 
decrite par le point M s approche suffisammeut pres de celles qui donneut la 
solution de quelques problemes cinematiques. C est ce que nous allons faire 
maintenant pour les cas les plus simples et les plus frequents dans la pra 
tique: a savoir, quand on cherche a avoir le mouvement sur un cercle ou sur 
une ligue droite. 



727 

2. Arr6tons-nous d abord au cas ou le point M doit decrire approxi- 
mativement le cercle complet, quand la ligne BG l tourne une fois autour du 
centre G l . Nous supposerons donuees les longueurs AC = AB, BG l et la 
distance CG l des centres (7, G l , et nous chercherons le cercle duquel, par 
uii choix couvenable de Tangle BAM, s approche le plus la courbe de~crite 
par le point M. D apres 1 expression de la limite des ecarts que presentera 
cette courbe avec le cercle duquel elle s approche le plus possible, il sera 
ais6 de voir les conditions que doivent remplir la longueur des lignes AC=AB, 
BG l et la distance des centres C, G l , pour que ces ecarts soient admissibles 
dans la pratique. 

Pour y parvenir, nous calculons d abord les inclinaisons de la ligne 
AC sur GG l (ligue des centres C, CJ pour deux positions qui correspondent 
aux moments ou le point B se trouve sur la ligne GG l ou son prolongement. 

En designant par <p 15 <p les angles de ces inclinaisons, on les trouvera 
a Taide des formules 

C C, -- sc. . ca EC* 

COS ? = 2AC COS ?i= 2AC 

D apres les angles cp, q> n on cherchera deux angles auxiliaires 0, <]/, 
qui se determinent ainsi: 



. /0i0 , 2 , cos O 

sm(2tf ?1 ) = -; cos^ = 



cos ^ . C03 9i 

cos 



Au moyen des angles cp, 9,, 0, fy on trouve aisement tout ce qu il est 
important de savoir: 

1) L angle BAM avec lequel le triangle ABM, par son sommet M, 
decrit la courbe la plus proche possible d un cercle; 2) le rayon du cercle 
auquel s approche le plus cette courbe; 3) la distance de son centre du point 
C; 4) enfin la limite des hearts de ce cercle et de la courbe de"crite par le 
sommet M. On y parvient a 1 aide des formules suivautes: 



. . 26 < 

sm - 



9i 
sm Y| 



(p. -H <p 

cotg cos 



tang 



in- 9, 26 . 26 -t- 9 --<!> 
sm v j sin 2 

m -i- m """ m , _ ^ Qfl ,_ -. 

8 in IL_ tang -L- - cos - 



728 

ou R (fig. 2) est le rayon du cercle decrit approximativement par le sommet 
M, 00 la distance de son centre du point (7, et E la limite des hearts 
de cette courbe. 

r. 2. 




3. D apres la valeur de E et les equations qui de"terminent les angles 
auxiliaires tf, <p, il est clair que la courbe decrite par le sommet M s ap- 
proche tres pres d un cercle toutes les fois que la difference des angles o^ , 
cp est tres petite. Pour appliquer les formules precedentes a ce cas particu- 
lier, qui est le plus inte"ressant pour la pratique, nous ferons 



en supposant que 8 ait une petite valeur. D apres ces egalites, on a 



En portant ces valeurs de 9, ^ dans les formules precedentes, nous 
obtenons, en developpant en se>ie et ne tenant compte que des premiers 
termes avec 8, 



Ces formules nous donnent, au S a pres, 

^ _ _j_ 8 

E ~ sin 2 9 

D un autre cote, en cherchant la difference 

cos op cos 9 n 



729 
d apres les formules qui determinant les angles 9, cp n on obtieut 

d ou, en substituant les valeurs de cp, <p 1? on tire, a 2 2 pres, 

BCi nJ 

~AO ~ S111 ?0 

D apres cela, on voit que les rapports 

E BCi 
S" ~AC~ 

tendent en m6me temps vers zero quand la difference ^ 9 = 5, s approche 
elle-m^me de zero, et comme on trouve, en divisant 1 un de ces rapports 
par 1 autre, 

l = -f- i 

B AC ~ ~~ 2 sin 2 o sin cp 

il est clair que, pour diminuer autant que possible les valeurs du rapport ^, 

BC 

correspondant avec les valeurs donnees de -j, voisines de zero, on doit 

prendre, pour q> , Tangle qui rend maximum la valeur numerique de la 
fonction 

sin 2 9 sin 9 . 

Ainsi Ton parvient a uu systeme articule, ou le mouvement circulaire 
du point B autour du centre G l se transforme en un autre mouvement du 
point M sur une ligne differant peu du cercle de"crit du centre 0. En re- 
marquant que, dans ce systeme, les points M, B se meuvent autour des 
centres 0, G l dans les sens opposes, on conclut que ce systeme donne la so 
lution du mme probleme que les manivelles antirotatives. Dans cette trans 
formation de rotation, on ne rencontre pas du tout de points morts, et Ton 
pent faire varier la loi qui lie entre elles les vitesses de deux manivelles, 
en transportant le centre d oscillation de Telement AC. 

4. Passons au cas ou Ton cherche a rapprocher, le plus pres possible, 
d une ligue droite toute la courbe ferme"e, dScrite par le sommet M. Nous 
supposserons que le triangle MAB est place, comme on le voit, sur la 
fig. 3. Dans cette hypothese, et en de"signant par i une quantite auxillaire 
plus grande que 0, on trouve AG= AB = BM, GG l et la limite des hearts 
E se determinant par les formules suivantes: 



CC, = 

1 




730 

La ligne droite que le sommet M decrira approximativement est nor- 
male a 1 axe de sy metric CM, et sa distance du centre G a pour valeur 



En cherchant la loi du mouvement du sommet M par rapport a 1 axe 
de symetrie MC, on trouve que la distance de M a cet axe s exprime par 
la formule 



it B0 l sin a |/^|i^L_^ _ J/^, 



<J>Hr. 3. 



Y M 




ou a designe Tangle variable que fait la ligne BG l pendant sa rotation avec 
le prolongement de la ligne des centres (?(?,, et F une quantite constante 
egale a 



(i -+- 1 y 2 *) 

D apres cette formule, il n est pas difficile d assigner les limites entre 
lesquelles reste le point M pendant son mouvement, et qui determinent la 
longueur de la ligne droite de"crite approximativement. 

D autre part, cette formule fait voir que les courses d aller et de re- 
tour du point M ne correspondent pas aux me"mes angles de rotation de la 
ligne BG l autour du centre (7 15 et que la difference entre ces deux angles 
est d autant plus grande que la quantite" t s eloigne plus de 0; par conse 
quent, ce systeme prSsente une transformation directe d un mouvement ro- 
tatoire continu en mouvement rectiligne alternatif, et vice versa, ou les 
courses d aller et de retour se feront dans des temps inegaux, la vitesse de 
rotation 6tant constante. Ce systeme peut done tre employ^ comme un me- 
canisme a retour rapide. De plus, comme le point M effectue une de ses 
courses, presque rectiligne, dans le temps ou la ligne BG l fait autour du 



731 



centre G 1 plus d un demi-tour, ce systeme peut e tre avantageusement 
employe pour faire tourner un axe a 1 aide d un pied. En appliquant de tels 
systemes a deux manivelles coudees a un axe sous Tangle 180, on obtiendra 
un me"canisrae pour tourner 1 axe avec deux pieds, qui aura 1 avantage de 
ne pas presenter de points morts. 

5. Dans le cas precedent, nous avons cherche a rapprocher le plus 
pres possible d une ligne droite toute la courbe fermee decrite par le point 
M t quand la ligne B0 l fait un tour complet autour du centre C l . Nous 
allons nous occuper maintenant du cas ou Ton cherche ce rapprochement 
pour une partie de cette courbe correspondant a un demitour de la ligne 

BG l autour du centre (7 n savoir: depuis a = y jusqu a a = -f-y. 

Nous nous bornerons au cas le plus simple, ou le triangle MAS se 
reduit a une ligne droite MAB (fig. 4), ce qui revient a donner a Tangle 



M 




MAB uue valeur egale a 180. Dans ce cas, les ligues AO=AB=AM, 
GG l et la limite des ecarts E se determinent par les formules suivantes: 



i 



T/272 -+- 104 Vl 1/305 -+- 92 Vl 



12 



D apres Tequation de la courbe que decrit le point M dans ce systeme, 
on reconnait ais&nent que la partie qui correspond a la rotation de la ligne 
BG l d un quart de tour en haut et en bas de sa position primitive est presque 
rectiligne. Apres avoir parcouru cette partie de sa trajectoire, le point M 
se leve et fait sa marche de retour, en montant peu a peu jusqu au milieu 
de sa course et en s abaissant suivant la m6me loi, apres avoir depasse ce 



732 

milieu. Un tel mouvement du point M, dans lequel se transforme directe- 
ment le mouvement rotatoire de la ligne BG lt dans notre systeme, peut 
avoir des applications utiles. Si Ton applique de tels systemes a deux ma- 
nivelles coudees a un axe sous Tangle 180, on obtieut un mecanisme ou la 
rotation d un axe se transforme en mouvement de deux points qui, tour a 
tour, parcourent la m&me ligne presque droite, et dont chacun se leve 
au-dessus de cette ligne apres 1 avoir parcouru quand 1 autre s abaisse sur 
elle pour la parcourir a son tour. En ne conside"rant que 1 espace ou se 
trouve la partie presque rectiligne de la trajectoire de ces points, on re- 
connait aisement qu ils produisent approximativement le me me effet que 
les points equidistants de la circonfereuce d une roue tournante quand son 
rayon est infiniment grand. Done, sous ce rapport, le systeme dont nous 
venons de parler peut bien jouer le role d une roue infiniment grande. 



733 



Sur les sommes eomposees des coefficients des 
series a termes positifs. 



Lettre adresse e a M-me SopMe Kowalevski. 



(Acta mathematica. Journal redige par G. Mittag-Leffler, t. 9, 1887, p. 182184). 



Je ne peux trop me feliciter de 1 honneur que vous m avez fait, en 
ayant bien voulu traduire ma Note sur les valeurs limites des integrates. 
L interet que vous avez porte a mes recherches sur ce sujet m engage de 
vous presenter un resultat que je vieus d en tirer par rapport a la deter 
mination des limites entre lesquelles reste comprise la somme d un nombre 
quelconque de premiers coefficients de la serie 

A -i-i-, A SY* i __, A T" ._.!_ A 

^!A ^f^ JLL-t JU r* ^J-o *^ J-lq 



s 
ou 



dans le cas, ou tous les termes sont positifs. Pour la determination de ces 
limites d apres les valeurs rcelles des series infinies 

A -+- A l x -*- A z a; 2 -i- A s x s -+- . . . . , 

BI _ B z B 3 

l x 2 X 3 X " 

j ai cherche les valeurs limites de 1 integrale 



en 
z > 



supposant que F(z) est uue fonction qui ne devieut pas negative pour 
> et que Ton counait la valeur de 1 integrale 

f e~ tz F(g) dz 
o 
pour t reel et positif. 



734 
Parmi les diiferentes valeurs limites de l inte~grale 

f F(a) de, 
b 

que j ai obtenues, les plus rernarquables par leur simplicite peuvent etre 
presentees par les formules suivantes: 





[ 

/ 



ou p, o- sont des quantity s positives quelcouques, et 0(t) est une fonction 
determined, pour t > 0, par 1 equatiou 



o 
et qui se re"duit a oo pour t 0. 

D apres ces formules on trouve aisemeut les valeurs limites de 1 in- 
tegrale 

/ F(z) dz 
o 

pour u quelconque, en donnaut a p et cr des valeurs qui remplissent ces con 
ditions : 



Pour appliquer ces formules a la determination des limites, entre les 
quelles reste comprise la somme de n premiers coefficients de la se>ie 

A -^-A l x-i-A z x i -i-A s x 3 ~t-. . . . 
on prendra 

0(t) = A -+-A l e- t -*-A 2 e-* t -t-A B e- 3t -*- ____ 
et 

u ==n 1. 
En prenant 

ff. /j\ -Oi Bn S-i B* 

^(0 = ^ -*- -gi -*- if -*- IT -* ---- 

et 



on trouvera les limites de la somme de n premiers coefficients de la serie 



735 
Ainsi, par exemple, en prenant pour >(t) une serie infinie 



51-*-* 71-*-* | 

composee seulement des nombres premiers, on obtiendra des formules pour 
evaluer les liinites de la somme finie 



d apres les series infinies de la forme 

1111 



log 2 log 3 log 5 log? 



31-*- 5i-*-< 

log 2 2 log^S log^S Iog2? 
2 l * * ~*~ 31-*- ~*~ 5!-*-* ~~ 



St.-Petersbourg. 
20 sept. (2 oct.) 1886. 



736 



Regie de Tehebyehef pour revaluation appro 
ximative des distances sur la surface de la 

Terre. 



(Mi>cflu,ec.noBt Ha 1869 ro^T, cip. 128. Kagame HsinErATorcKOH AnaACMiH HayKt). 



1) Exprimez en minutes les differences des longitudes et des latitudes 
des deux lieux; 

2) doublez la difference des latitudes; 

3) des deux nombres, a savoir, la difference des longitudes et la 
double difference des latitudes, multipliez le plus petit par 3, le plus grand 
par 7, et additionnez les resultats; 

4) la soinme divisee par 8 donnera la distance cherchee en verstes. 



-SHlHh- 




OFTH 

UNIVERSITY 









14 DAY USE 

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ASTRONOMY, MATHEMATICS- 

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on the date to which renewed. 
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WIT 



gec d UCB A/M/3 



2001 



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