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Full text of "Œuvres de É. Verdet"

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OK  IJ  V  H  E  S 


Dt: 


E:    V  E  R  D  Ë  T 


P  i;  Il  L  I  K  K  s 


PAU  LKS  SOINS  DE  SES  ELEVES 


TOME   III 


PAKIS, 


VICTOR   MASSOiN   ET   FILS,   KOITELUS, 


l'LVCK    l)K    I/K(:OI.K-l)K-MKnE(;l\K. 


Driiils  il(>  lri'i<liir(ioii  cl  ili-  ■'(■iiiinIik'IJiiii  n'Si'ito. 


COIRS 

DE    PHYSIOIE 

PIIOPKSSK   À   l.*KC<ll,E   IMH.ITKCUMQI  K 

K.    VERDKT 

l'AB   M    ÉMILK  FKRNKT 

TOME   II 


PARIS 


itii'iiitiK  ptn  Ai'Tdnistrii»'  de  son  kxi:.  lk  tiAnni':  dhs  m:kap 


A  l'imfrimeriiî:  iMPi<:itULF; 


M  in;i:c  i.xix 


COURS  DE  PHYSIQUE 


PROFESSA 


A   L'ÉCOLE   POLYTECHNIQUE. 


ÉLASTICITÉ  ET   4G0USTIQUE. 


NOTIONS  GÉNÉRALES. 

298.  De  l'élasticUé  en  général.  —  On  désigne  sous  le  nom 
de  théorie  de  l'élaslicUé  Tétude  générale  des  relations  que  l'on  peut 
établir,  pour  les  différents  corps  de  la  nature,  entre  les  diverses 
forces  qui  agissent  sur  eux,  et  leur  forme,  leur  volume  et  leur  état 
intérieur. 

Lorsque,  aux  forces  agissant  sur  un  corps,  viennent  s'ajouter  des 
forces  nouvelles,  ce  corps  est  ordinairement  modifié;  mais,  dans 
certains  cas,  il  arrive  que  ces  modifications  disparaissent  et  que  le 
corps  revient  à  son  état  primitif  dès  que  ces  nouvelles  forces  cessent 
d'agir.  C'est  ce  qu'on  observe ,  par  exemple ,  sur  un  ressort  qu'on  a 
fait  fléchir  par  l'action  d'une  force  extérieure,  et  qu'on  soustrait  en- 
suite à  l'action  de  cette  force;  sur  une  corde  à  laquelle  on  a  donné 
une  certaine  tension,  inférieure  à  sa  limite  de  résistance, /et  qu'on 
abandonne  à  elle-même  en  supprimant  cette  tension;  sur  un  gaz 
que  l'on  a  comprimé ,  et  qu'on  laisse  revenir  à  son  volume  primitif. 
Cette  propriété  générale,  qui  se  manifeste  à  des  degrés  divers  dans 
tous  les  corps,  est  désignée  dans  le  langage  ordinaire  souô  le  nom 
d'élasticité  :  elle  constitue  la  manifestation  la  plus  évidente  de  l'in- 
fluence des  forces  extérieures  sur  la  forme  et  le  volume  des  corps; 
dès  lors,  on  a  été  naturellement  conduit  à  étendre  cette  désignation 
à  la  science  qui  a  pour  objet  l'étude  de  cette  influence. 

Verdbt,  II[. —  Cours  de  pbys.  II.  i 


2  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

On  appelle  fréqucmraent  aussi  élasticité,  on  mieux  forces  élastiques, 
lo  système  des  forces  intc-rieures  par  lesquelles  les  divers  éléments 
d'un  corps  réafjissent  les  uns  sur  les  autres,  lorscpic  des  forces  e\*ïé- 
rieures  tendent  h  modifier  leurs  situations  relatives. 

299.  Des  méthodes  employées  dans  l'étude  de  l'éliuiti- 
elté.  — •  On  peut  avoir  recours,  dans  Tétnde  de  l'élasticité,  n  deux 
systèmes  d'expériences  bien  distinctes. 

Les  unes  sont  des  expériences  cpi'on  peut  appeler  statiques  :  les 
déterminations  (pi'elles  fournissent  sont  relalives  à  des  élats  d'équi- 
libre. Elles  consistent  h  soumettre  un  corps  à  Taclion  de  forces  dé- 
terminées, et  à  observer  directemenl,  lorsque  son  état  est  devenu 
invariable,  les  modificalions  qu'il  a  subies.  —  Pendant  lonjjtemps,  les 
expériences  de  ce  {jenre  onl  élé  entreprises  dans  un  bul  exclusivemeni 
|)ratique,  o{  n'ont  paru  fournir  à  la  science  propreuient  dile  (pi'un 
petil  nombre  de  faits  isolés,  (/est  seulement  à  une  époque  récente 
qu'on  a  chercbé.dans  ces  faits  d'observation,  les  fondements  d'um» 
doctrine  générale,  et  c'est  dans  ce  sens  qu'ont  élé  dirigés  les  tra- 
vaux de  Navier,  de  Lamé  et  (ùlapeyron,  de  Poisson,  de  (lauchy. 
Les  principales  difficultés  que  présentont  ces  recliercb(\s  résultent, 
en  général,  de  la  petitesse  des  efl'ets  dont  la  détermination  doit 
fournir  les  éléments  du  phénomène. 

Les  autres  sont  des  expériencos  dynamiques  :  ellos  ont  pour  objet 
l'étude  des  mouvem(»nts  vibratoires.  Lorsqu'un  corps,  après  avoir  ét<'' 
modifié  par  l'action  de  certaines  forces,  revient  à  son  état  primitif 
par  la  suppression  de  ces  mém<»s  forces,  il  ne  s'arréto  pas  innni^ 
diatemenl  à  cet  état  primitif  :  il  lo  dépasse,  de  manière  à  éprouver 
une  modification  inverse  de  la  première,  et  la  répétition  de  cette» 
double  alternative  constitue  un  mouvement  vibratoii'e  (pii  devrait 
f>er8ister  indéfiniment  s'il  ne  se  comnuiniipiait  peu  à  peu  aux  cor|>s 
voisins.  L'élude  de  ces  mouvements  |)eul  faire  connaître  les  lois  des 
forces  élastiques  intérieures,  et  cei^  lois  elles-mêmes  conduisent 
à  déterminer  l'action  modificatrice  des  forces  extérieures. 

Lorsque  les  vibrations  d'un  cor|)s  sont  suflisamment  rapides,  et 

qu'elles  |>euvent  se  transmettre  à  notre  organe  auditif  par  l'inter- 

*    inédiaire  de  l'air  ou  de  tout  autre  milieu  pondérable,  elles  donnent 


Dl!  SON  ET  DE  SES  CARACTÈRES.  .1 

naissance  à  In  sonsation  spt^ciale  qu'on  d(5signe  par  los  expressions 
de  sm  el  de  hruit,  expressions  qui  sont  à  peu  près  synonymes  l'une 
de  l'autre.  Or  les  caractères  de  cette  sensation  sont  liés  d'une  manière 
remarquable  à  ceux  du  mouvement  vibratoire  lui-même,  et  peuvent 
servir  à  les  déterminer.  De  là  un  moyen  d'inveshjjation  des  effets  de 
l'élasticité,  moyen  souvent  plus  facile  à  appliquer  que  l'observation 
directe  des  phénomènes  d'équilibre. 

300.  Du  but  spécial  qu'on  »e  proposera  dans  l'étude  de 
l'aeoustique  en  partieulier.  —  Les  résultats  du  dernier  fi;enre 
d'evpériences  qui  vient  d'Afre  indirpu»,  considérés  en  eux-mêmes  el 
réunis  à  un  certain  nombre  d'études  qui  appartiennent  plutôt  à  la 
physiologie  qu'à  la  physique,  ont  formé  pendant  longtemps  la 
science  connue  sous  le  nom  (ïncoustiqve;  cette  science,  ainsi  cons- 
tituée, était  considérée  comme  une  des  divisions  primordiales  de  la 
physi(pie,  division  comparable  à  \ optique,  par  exemple. 

Il  convient  aujourd'hui  de  modifier  un  peu  les  délimilalions  de 
ces  diverses  sciences  :  de  laisser  à  la  physiologie  l'étude  spéciale  des 
sensations  auditives,  el  de  réunir  simplement,  aux  expériences  sta- 
tiques sur  les  effets  de  l'élasticité,  les  expériences  qui  importent  aii 
physicien  par  les  renseignements  qu'elles  lui  fournissent  sur  les 
forces  intérieures  des  corps.  On  devra  seulement  emprunter  à  la 
physiologie  du  sens  de  l'ouïe  les  notions  qui  sont  indispensables 
pour  faire  usage  des  sensations  auditives  comme  d'un  moven  d'in- 
vestigation physique. 


DU   SON  ET  DE   SES   CARACTERES. 


301.  Béilnitions.  —  On  appelle  non  ou  hrnii  toute  impression 
|)roduite  sur  le  sens  de  l'ouïe,  et,  par  extension,  tout  phénomène 
physique  qui  peut  donner  naissance  à  une  telle  impression. 

L'oreille  distingue  dans  ses  sensations  trois  qualités  différentes  :  , 
rintensité,  la  hautetir,  k  timbre.  Les  différences  d'intensité  el  de  hau- 
teur des  divers  sons  constituent  des  caractères  nettement  définis  et 
faciles  à  apprécier:  il  est  inutile  de  les  définir  autrement  que  par  les 
modifications  bien  connues  des  sensations  auditives.  Dans  le  langage 
scientificpie,  l'expression  timbre  désigne,  d'une  manière  générale, 


1 . 


V 


Ix  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

Tensemble  des  qualités  par  lesquelles  deux  sons  de  même  hauteur 
et  de  même  intensité  peuvent  se  distinguer  l'un  de  l'autre. 

On  considère  ordinairement  comme  constituant  un  hruxt  toute  im- 
pression dans  laquelle  l'oreille  n'apprécie  qu'imparfaitement  le  carac- 
tère de  la  hauteur.  11  n'y  a  cependant  rien  d'absolu  dans  cette  défi- 
nition, et,  dans  bien  des  circonstances,  l'oreille  la  moins  exercée  sait 
discerner  les  rapports  de  hauteurs  de  divers  bruits  successifs,  qu'il 
lui  paraîtrait  im|)ossible  de  classer  dans  l'échelle  musicale  si  elle  les 
entendait  séparément.  C'est  ainsi  qu'une  série  de  trois  tuyaux  métal- 
liques, fermés  à  l'une  de  leurs  extrémités  et  contenant  des  pistons, 
peut  être  réglée  de  telle  façon  qu'en  enlevant  successivement  les 
pistons  des  trois  tubes  on  produise  une  suite  de  bruits  donnant  la 
sensation  des  notes  d'un  accord  parfait.  Un  résultat  semblable  peut 
être  produit  avec  trois  petites  lames  de  bois  qu'on  laisse  successive- 
ment tomber  sur  le  sol.  —  On  reviendra  d'ailleurs  plus  loin  sur 
les  caractères  particuliers  des  bruits. 

302.  Un  «on  e»t  toujours  produit  par  un  mouvement 
vibratoire.  —  Un  son  proprement  dit  est  toujours  produit  par  les 
vthrntiom  des  corps,  c'est-à-dire  par  des  mouvements  tels,  (|ue  les 
positions  relatives  de  points  très-voisins  les  uns  des  autres  diffèrent 
constamment  très-peu  des  positions  relatives  qui  conviennent  à  l'état 
de  repos.  —  Pour  constater  le  mouvement  vibratoire  dont  est  animée» 
une  corde  tendue,  quand  on  lui  fait  rendre  un  son,  il  suffit  de  re- 
marquer le  gonflement  qu'elle  semble  éprouver,  surtout  vers  son 
milieu  :  à  cause  de  la  persistance  des  impressions  lumineuses,  la 
corde  nous  apparaît  alors  comme  occupant  à  la  fois  les  diverses  po- 
sitions qu'elle  prend  successivement  pendant  son  mouvement. 

Un  grand  nombre  d'autres  expériences  peuvent  servir  à  manifester 
les  vibrations  des  corps  sonores.  —  Si  l'on  fixe  très-près  de  la  paroi 
d'une  cloche  de  verre  l'evtrémité  d'une  petite  pointe  métallique, 
de  façon  cependant  que  la  pointe  ne  touche  pas  la  cloche  quand  elle 
est  au  repos,  et  si  l'on  vient  ensuite  à  faire  rendre  un  son  à  cette 
cloche,  elle  produit  contre  la  pointe  une  série  de  petits  chocs;  en 
posant  la  main  sur  la  cloche,  on  sent  un  frémissement  qui  ne  cesse 
que  lorsque  le  son  vient  à  s'éteindre.  —  Si  l'on  place  du  mercure 


DU  SON  ET  DE  SES  CARACTÈRES.  5 

dans  rinlérieur  d'un  timbre  sonore,  il  se  produit,  dès  que  le  timbre 
est  choqué  par  un  marteau  ou  frotté  avec  un  archet,  des  ondula- 
tions à  la  surface  du  liquide  :  ces  ondulations  se  reproduisent  d'une 
manière  continue,  tant  que  dure  le  son  rendu  par  le  timbre.  — 
Enfin,  on  aura  à  revenir  plus  loin  sur  la  disposition  particulière 
qu'affecte  le  sable  répandu  sur  la  surface  d'une  plaque  vibrante,  sur 
les  mouvements  que  manifeste  le  sable  placé  sur  une  membrane 
mince  qu'on  descend  dans  l'intérieur  d'un  tuyau  sonore,  etc. 

303.  lie  «on  ne  peut  être  perçu  par  l'oreille  qu'autant 
qu'il  lui  est  transmis  par  une  suite  eontinue  de  milieux 
pondérables.  —  Lorsqu'on  place  sous  le  récipient  de  la  machine 
pneumatique  un  timbre  muni  d'un  petit  marteau  mis  en  mouvement 
par  un  mécanisme  d'horlogerie,  on  constate  que,  dès  que  le  vide  est 
suffisamment  parfait,  le  son  du  timbre  frappé  par  le  marteau  cesse 
d'être  perceptible.  De  même,  en  faisant  le  vide  dans  un  ballon  de 
verre  au  milieu  duquel  est  placée  une  petite  clochette  suspendue 
par  un  fil  de  lin,  on  peut  constater,  en  agitant  le  ballon,  que  le  son 
de  la  clochette  cesse  d'arriver  à  l'oreille. 

Au  contraire,  les  divers  milieux,  solides,  liquides  ou  gazeux,  sont 
aptes  à  la  transmission  des  sons,  pourvu  qu'il  y  ait  continuité  entre 
le  corps  sonore  et  l'oreille.  (î'est  ce  que  prouvent  un  grand  nombre 
de  faits  énumérés  dans  tous  les  ouvrages  élémentaires. 

30/i.  Ii'intensité  du  son  dépend  de  l'amplitude  des  vi- 
brations. —  Pour  constater  que  l'intensité  du  son  dépend  de  l'am- 
plitude des  vibrations  qui  le  produisent,  il  suffit  de  faire  vibrer  une 
corde  et  de  l'abandonner  ensuite  à  elle-même;  le  son,  conservant 
toujours  la  même  hauteur,  perd  graduellement  son  intensité  :  en 
observ.ant  la  corde  avec  attention,  on  voit  diminuer  en  même  temps 
l'amplitude  de  ses  vibrations.  —  Une  observation  semblable  peut 
d'ailleurs  être  réalisée  avec  tout  autre  corps  sonore. 

305.  lia  hauteur  du  son  dépend  du  nombre  des  vibra- 
tions exéeutées  en  un  temps  déterminé.  —  En  observant  les 
vibrations  d'une  corde  fixée  piu*  ses  deux  extrémités,  ou  d'une  lame 


fi  ELASTlClTIi  ET    V<;OliSTIQl]E. 

ûlaslique  lixée  par  l'une  de  ses  extrémités,  et  donnant  à  l'une  ou  à 
l'autre  une  longueur  suHisanle  ]>our  que  l'œil  en  puisse  suivre  le 
inouvenieni,  on  constiitu  : 

1*  Que  ces  vibrations  sont  périodiques;  qu  elles  soûl  en  outre  i»o- 
chrones,  e'est-à-dire  que  leur  durée  est  indépendante  de  l'amplitude; 

•i°  Que  le  nombre  des  vibrations  e\écutées  dans  un  temps  donné 
;iugnieiile  à  mesure  qu'on  diminue  lu  longueur  de  la  corde  ou  de  Ir 
I;iinc  vibrante; 

3"  Que,  lorsque  l'on  diminue  la  longueur  au  dolà  d'une  rerlaine 
limite,  les  vibrations,  trop  rapides  pour  être  suivies  par  l'œil,  pro- 
duisent un  Sun: 

fi"  One,  si  l'on  ivduit  au-dessous  de  cctle  limite  la  longueur  du 
ht  corde  ou  de  U  lame  vibrante,  la  bauteur  du  son  s'élète  de  plus 
en  plus. 

Ces  diverses  observations  conduisent  à  admettre  que  la  perre|ilion 
de  la  hauteur  implique  la  périodicité  du  mouvement  vibratoire,  et  que 
la  bauteur  d'un  son  parlittulier  dépend  du  nombre  des  vibrations  de 
même  durée  <|ui  sont  cirecluées  en  un  temps  donné. 

Par  suite,  uii  bruit  qui  ne  paraît  pas  avoir  de  laractère  musical 
déterminé  ne   peut   résulter  que  d'un   mouvement  vibratoîi'e  non 


périodique.  —  l'onr  distinguer  ncllenient  les  bitiiUi  des  wii»,  il  bnit 
reniarqtjer  que,  dans  un  grand  nombre  de  cas,  l'absence  appaix'iile 


DU  SON  ET  DE  SES  CAKAGTERES.  7 

de  périodiciUî  est  due  à  la  coexislence  de  plusieurs  mouvements  vi- 
bratoires périodiques,  de  différentes  hauteurs  :  il  est  quelquefois 
possible  d'isoler  un  ou  plusieurs  de  ces  éléments  d'un  bruit.  — 
D'autres  fois,  la  faible  durée  d'un  son  ne  permet  pas,  au  premier 
abord,  d'en  apprécier  la  hauteur,  mais  le  caractère  musical  devient 
sensible  si  l'on  augmente  la  durée  du  son.  C'est  ce  que  montre  l'ap- 
pareil connu  sous  le  nom  de  harre  tournante  de  Savarl.  —  Une  barre 
de  fer  AB  (fig.  281)  tourne  autour  d'un  axe  M\  perpendiculaire  à  sa 
longueur  :  on  lui  donne  un  mouvement  de  rotation  plus  ou  moins 
rapide,  à  l'aide  d'une  roue  R  dont  le  rayon  est  très-grand  par  rap- 
port à  celui  de  l'axe  de  rotation  M\;  à  chaque  demi-révolulion,  la 
barre  traverse  une  ouverture  rectangulaire  CDEF,  (pi'elle  remplit 
pres(|ue  entièrement.  A  chaque  passage  de  la  barre  dans  cette  ou- 
verture, on  entend  un  bruit  intense,  sans  caractère  nuisical  bien  dé- 
lini;  cependant,  lors(|u'on  accélère  le  mouvement  et  que  la  sensation 
devient  continue,  on  entend  un  son  très-grave,  dont  la  place  sur 
l'échelle  musicale  n'est  pas  douteuse  pour  une  oreille  exercée. 

306.   Vibrations  complètes  ou  o»cillations  double».  — 

J.orsque,  aj)rès  avoir  exercé  sur  un  corps  une  action  qui  dérange 
ses  molécules  de  leurs  positions  d'équilibre,  on  abandonne  ce  corps 
à  lui-même,  les  forces  élasti([ues  développées  par  de  petits  déplace- 
ments étant  sensiblement  proportionnel  es  à  ces  déplacements  eux- 
mêmes,  le  mouvement  des  divers  points  est,  dans  la  plupart  des  cas, 
analogue  à  celui  d'un  pendule  :  chaque  vibration  est  alors  la  succession 
de  deux  oscillations  égales  et  contraires,  décomposables  elles-mêmes 
en  deux  moitiés  symétriques  par  rapport  à  la  position  d'équilibre. 

L'usage  le  plus  ordinairement  adopté  par  les  physiciens  qui  se  sont 
occupés  de  l'étude  de  l'acoustique  consiste  à  définir  la  hauteur  d'un 
son  par  le  nombre  des  oscillations  ou  demi-vibrations  effectuées  en 
un  temps  donné.  On  ne  s'y  conformera  pas  dans  ce  cours,  et  l'on 
adoptera  la  convention  faite  en  optique,  c'est-à-dire  qu'on  défi- 
nira toujours  un  mouvement  vibratoire  par  le  nombre  de  ses  vibra- 
tions complètes.  —  Les  phénomènes  offerts  par  les  roues  dentées  de 
Sa\arl,  ou. par  la  sirène  de  Cagniard  du  Latour,  prouvent  d'adleurs, 
comme  on  va  le  montrer,  que  les  vibrations  formées  de  deux  oscil- 


8  ÉLASTICITÉ  ET   ACOUSTIQUE. 

latioiiK  égaies  el  contrairps  ne  sont  pas  seules  aples  à  produire  <le^ 

sons  véritabies. 

307.  Roaea  dentée»  de  SavArl.  —  Les  luues  dentées  em- 
ployées par  Savart  sonl  en  général  au  nombre  (ie  <|uatpe  (fig.  982): 
elies  sonl  montées  sur  un  axe  MN,  auquei  on  peu!  imprimer  un 

mouvement  de  rotation  en  le  sub- 
V    À  stituant  à  celui  de  la  barre  tour- 

^p         ^g^^-  -..    nante,  dans  l'appareil  représenté  par 

^ly A^H^^^^^^-''  la  figure  q8i.  On  place  une  carie 
^^^^^B^E|^^^^^^  sur  le  support  <|ui  est  fné  en  avani, 
^^^B^T^^^^^^^^lT  de  façon  que  les  dents  de  l'une 
^^^B  '~  des  roues  viennent  successivement 

I^H  rencontrer  celte  carte.   Ces   chocs 

MBg      rHff  répélés    produisent    un    son,    et 

I  Hh  l'expérience,   même   quand   on    la 

l'ait  sans  effectuer  aucune  mesure, 
montre  que  le  son  est  d  autant  plus 
aigu  que  les  dents  sont  plus  nombreuses,  ou  <{ue  le  mouvement  de 
la  roue  est  plus  rapide.  —  On  indiquera  plus  loin  comment  l'ap- 
pareil permet  de  déterminer  le  nombre  des  impulsions  imprimées  à 
la  carte  en  un  temps  donné. 

308.  sirène  de  Cngnlard  de  Ii»(*ur. —  L'appareil  imstginé 
par  Cagniard  de  Lalour.  et  désigné  par  lui  sous  le  nom  de  sirène,  com- 
prend, comme  pièces  e.ssentieltes ,  une  caisse  cylindrique  de  lailon  (I, 
danfe  laquelle  on  comprime  de  l'air  en  montant  le  tube  T  (fig,  a831 
sur  une  soulHerle;  dans  le  plateau  MN,  qui  forme  la  base  supérieure 
de  cette  caisse,  sont  pratiquées  des  ouvertures  également  espacées  sur 
une  circonférence  ayant  son  centre  sur  l'axe  même  de  la  caisse.  Au- 
dessus  de  MN,  et  à  une  très-petite  distance,  est  un  plateau  mobile  PQ, 
fixé  à  un  axe  d'acier  qui  peut  tourner  autour  de  00'  :  ce  plateau  PQ 
est  lui-même  percé  d'ouvertures,  en  nombre  égal  à  celui  des  ouver- 
tures de  MN,  el  situées  sur  une  circonférence  de  même  rayon.  Deux 
ouverlures  rorrespondantes*r,  s,  pratiquées  obliquement  l'une  el 
l'auti'e  par  rapport  au  plan  des  plateaux,  comme  l'indique  la  coupe 


DU  SON  ET  DE  SES  CARACTÈRES.  9 

représentée  dans  la  figure  a8S  bis,  ont  d'ailleurs  leurs  axes  inclinés 
en  sens  contraire,  dans  un  plan  perpendiculaire  au  rajon  du  plateau. 
L'air  accumulé  par  la  souHleric  dans  la  caisse  0  ^'écoule  seule- 
ment quand  il  y  a  correspondance  entre  les  trous  du  plateau  mobile 
e(  ceux  du  plateau  fivc;  mais,  le  gaz  arrivant  par  chacun  des  canaux  ' 


I  peu  [irès  normaiemcnt  à  la  paroi  opposée  du  tanai 
lispondant  s,  il  en  résulte  des  pressions  qui  déter- 
minent le  ujouvement  du  plateau  PQ  autour  de  son  ave,  La  cor- 
respondance des  ouvertures  est  alors  supprimée,  mais  elle  se  rélahlît 
rjuand  le  plateau  supérieur  a  tourné  d'une  quantité  égale  à  la  distance 
anj'ulaire  de  deu\  ouvertures  consécutives,  et  ainsi  de  suite. 

La  vites.se  de  relation  du  plateau  PQ.  qui  va  d'abord  en  augmen- 
tant, acquiert  ensuite  une  valeur  que  l'on  peut  maintenir  constante 
pendant  quelques  instants,  en  exerçant  sur  le  soufflet  de  la  soutSerie 
une  pression  convenable.  Les  chocs  périodiques  produits  contre  l'air 
extérieur  pur  l'air  qui  s'échappe  donnent  naissance  à  un  son  dont  la 
hauteur  est  variable  avec  le  nombre  des  ouvertures  et  avec  la  vitesse 
de  rotation  Imprimée  au  plateau  mobile. —  On  indiquera  plus  loin 
comment  ou  peut  déterminer  le  nombre  des  Impulsions  communi- 
quées à  l'air  en  un  temps  donné. 


10  ÉLASTICITÉ  KT  ACOUSTIQUE. 

309.  li^  |iéfi««llcité  du  mauvèmeiit  est  le  seul  élément 
i^éeewiaîre  m  1»  pereeptipn  île  la  hauteur.  —  Dans  les  deux 
appareils  que  l'on  vient  de  décrire,  les  mouvements  communiqués 
à  Tair  sont  évidemment  périodiques;  mais  on  doit  remarquer: 

r  Que  l'air,  chassé  de  sa  position  primitive  par  une  impulsion 
brusque,  ne  prend  pas,  pour  revenir  à  cette  position,  un  mouve- 
ment égal  et  contraire  à  celui  qui  l'en  a  écarté; 

9°  Qu'enlre  deux  impulsions  successives  l'air  est  probablement 
quelque  temps  en  repos,  et  qu'assurément  il  n'accomplit  pas,  de 
l'autre  côté  de  sa  position  d'équilibre,  une  excursion  égale 'à  celle 
qu'il  avait  accomplie  sous  l'influence  de  l'impulsion; 

3"  Qu'une  sirène  et  une  roue  dentée,  lorsque  le  nombre  des  chocs 
périodiques  qu'elles  produisent  en  un  temps  donné  est  le  même, 
donnent  des  sons  de  même  hauteur,  bien  que  les  mouvements  de 
l'air  ne  soient  pas  identiques  dans  les  deux  cas; 

4°  Que  le  son  d'une  sirène  ou  d'une  roue  dentée  a  même  hauteur 
(|ue  le  son  d'un  corps  qui  vibre  en  vertu  de  son  élasticité,  si  le  nombre 
des  chocs  périodiques  est  égal  au  nombre  de  vibrations  du  corps  élas- 
tique, c'est-à-dire  double  du  nombre  des  oscillations  égales  et  con- 
traires dont  chaque  vibration  de  ce  dernier  corps  est  composée^*^. 

Le  caractère  musical  des  sons  produits  par  ces  deux  appareils 
n'étant  pas  d'ailleurs  inoins  accusé  que  celui  des  sons  d'une  corde  ou 
d'une  verge,  on  voit  que  la  périodicité  du  mouvement  vibratoire  est  le 
seul  élément  nécessaire  à  la  perception  de  la  hauteur.  —  Dès  lors, 
pour  définir  la  hauteur,  il  est  rationnel  de  donner  la  durée  de  la 
période  entière  plutôt  que  celle  d'un  sous-multiple,  c'est-à-dire  le 
nombre  des  vibrations  complètes  plutôt  que  le  nombre  des  oscillations. 

Les  courbes  ci-contre  (fig.  a 8 4)  indiquent  une  représentation  géo- 
métrique du  mouvement  que  l'on  peut  supposer  communiqué  à  l'air 
dans  les  divers  cas  qui  [>  récèdent.  Dans  la  construction  de  ces  courbes, 
on  a  pris  des  abscisses  proportionnelles  aux  temps,  et  des  ordonnées 
proportionnelles  aux  valeurs  des  déplacements  qui  leur  correspon- 

^')  On  peut,  par  exemple,  constater  (^uUine  corde  très-longue,  dont  ia  vue  peut  suivre 
Ie8  vibrations,  exécute,  en  un  temps  donné,  un  nombre  de  vibrations  qui  varie  en  raison 
Iliverse  de  sa  loni'ucur.  Au  moyrn  de  cette  loi ,  on  peut  évaluer  le  nombre  des  vibrations 
(Piino  rorde  «pii  fait  etiteiidre  un  son,  et  le  roiii|KinM*  au  nombre  des  cJiocs  périoiliqucN 
d'une  sirène  ou  d'une  roue  dentée  qui  pi-oduil  un  sou  de  nièuie  liaulcur. 


i>ij  soiv  ET  DK  SES  <;auactèkes.  u 

deal-  La  courbe  A  représente  le  iiioiiveineiit  toiiiinu nique  à  l'air  par 
un  corp  (luiil  le^  vibrations  sunt  semblables  a  celles  d'un  pendule. 
pir  une  corde  ou  une  verye  par  exemple.   La  courbe  B  re|)r<!sente 


le  mouvement  tel  qu'on  peut  l'imaginer  dans  le  ciis  de  la  roue 
dentée  ou  de  la  sirène,  en  supposant  que  clia(|ue  impulsion  «oit 
suivie  d'un  repos  absolu.  Les  courbes  (1  et  I)  représentent  le  mou- 
vement dans  le  cas  de  la  roue  déniée  el  dans  le  cas  de  la  sirène, 
en  supposant  (jue  chacjue  tibralion  soit  formée  de  deu\  oscdlalions 
inégales  el  de  sens  contraires,  suivies  d'une  (lériode  de  repos. 

On  conç^roil.  sans  jtlus  de  détails  et  ît  la  .'liiniile  inspection  de  ces 
ligures,  comment  deux  sons  qui  ont  même  période  et  qui  apportent 
à  l'oreille,  en  un  même  temps,  la  même  «piantité  de  forces  vives, 
peuvent  cependant  dilTérer  entre  eii\  d'une  infinité  de  manières. 

3t0.  DétenulBstlsN  du  nambre  Mbsalu  dca  vibratlona 
effeMuéra  en  un  temps  déterminé.  ■ —  La  figure  -)83  indique 
les  détails  priiK-i|iaLi\  d'un  s\slt'ine  d'enyrenajjes  (|ni  est  joint  à  la 
-sirène ,  et  qui  constitue  un  cumfitmi-  des  vibrations.  Sur  l'aw  du  pla- 


la  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

teau  mobile,  on  a  pratiqué  en  EF  un  pas  de  vis  qui  engrène  avec 
une  roue  dentée  R,  en  sorte  que,  à  chaque  tour  du  plateau  PQ, 
la  roue  H  avance  d'une  dent;  une  aiguille  fixée  à  l'axe  de  cette  roue, 
et  mobile  sur  un  cadran  situé  en  arrière  de  la  figure,  avance  alors 
d'une  division  :  cette  aiguille  marque  donc  les  nombres  de  tours 
elFectués  par  le  plateau  PQ.  Une  autre  roue  S  est  placée  de  l'autre 
côté  de  la  vis  EF,  mais  elle  n'engrène  pas  avec  elle  :  cette  roue  est 
destinée  à  marquer  les  nombres  de  tours  de  la  roue  R  elle-même. 
Pour  cela,  on  a  fixé  à  la  roue  R  un  appendice  a  qui  est  entraîné  avec 
elle;  à  chaque  tour  de  R,  cet  appendice  fait  avancer  d'une  dent  la 
roue  S,  et  fait  marcher  d'une  division  l'aiguille  qui  est  fixée  sur  son 
axe.  Donc,  en  définitive,  l'aiguille  de  la  roue  R  compte  les  tours  du 
plateau;  et  si  cette  roue  a  cent  dents,  comme  c'est  le  cas  ordinaire, 
l'aiguille  de  la  roue  S  compte  les  centaines  de  tours. 

La  plaque  verticale  qui  porte  les  axes  des  deux  roues  peut  rece- 
voir de  petits  mouvements  latéraux,  à  droite  ou  à  gauche,  selon 
({u'on  appuie  sur  le  bouton  A  ou  sur  le  bouton  B,  Pendant  que  l'on 
fait  varier  graduellement  le  son  de  la  sirène,  cette  plaque  doit  être 
|)oussée  vers  la  gauche,  de  manière  que  la  roue  R  n  engrène  pas 
avec  EF,  et  (|ue  les  aiguilles  restent  immobiles  sur  leurs  cadrans. 
A  l'instant  où  le  son  atteint  la  hauteur  qu'on  veut  lui  donner,  on 
presse  sur  A ,  de  manière  à  établir  rengrenagc  et  à  mettre  ainsi  en 
mouvement  les  roues  et  les  aiguilles.  Enfin,  quand  on  entend  le  son 
perdre  de  sa  constance,  on  presse  sur  B,  de  manière  à  supprimer 
l'engrenage.  Les  indications  des  deux  aiguilles  fournissent  les 
nombres  de  tours  effectués  par  PQ;  le  produit  de  ce  nombre  par  le 
nombre  des  ouvertures  du  plateau  donne  le  nombre  des  vibrations 
effectuées  pendant  la  durée  de  rex[)érienc(».  —  Quaiit  à  cette  durée 
elle-même,  on  la  détermine  au  moyen  d'un  chronomètre  à  pointage, 
dont  on  prcîsse  le  bouton  aux  deux  instants  où  l'engrenage  est 
établi  ou  supprimé. 

A  l'axe  (les  roues  dentées  de  Savart  (tig.  m8îi)  est  adapté  d'or- 
dinaire un  compteur  analogue  au  précédent  :  il  donne  le  nombre  des 
tours  effectués  par  l'axe,  et  par  suite  le  nombre  des  vibrations  elfec- 
tuées  dans  un  tem|)s  donné. 

Enfin  on  peut  déterminer  directement  le  nombre  des  vibrations 


DU  SON   ET  DE  SES  CARACTERES.  13 

elTectuées  par  un  corps  sonore  quelconque,  au  moyen  des  compteurs 
graphiques,  dont  la  première  réalisation  est  due  à  Duhamel.  La  fi- 
gure "jSâ  représente  l'un  de  ces  compteurs,  disposé  pour  déterminer 


le  nombre  des  vibrations  ext'-cutées  par  une  corde  qui  vibre  transver- 
salement, —  Ln  tambour  rvtindriquc  TT'  est  animé  d'un  mouvement 
de  rotation  uniforme  uulour  de  sou  ave  :  il  est  mû  par  un  mécanisme 
d'horlojrerie  placé  dans  la  botle  H-.  sa  surface  est  couverte  de  noir 
de  fumt^e.  Un  diapason  I)  est  rais  en  vibration ,  à  l'aide  d'une  pédale 
qui  est  adaptée  à  la  partie  inférieure  de  la  tige  PQ  et  qui  forre  la 
pièce  de  bois  a  à  passer  entre  les  deux  branches  :  la  branche  supé- 
rieure de  ce  diapason  porte  un  petit  stylet  qui  oscille  alors  verti- 
calepienl,  et  qui  vient  tracer  une  ligne  sinueuse  sur  le  noir  de  fumée 
pendant  que  ic  cylindre  se  déplace,  La  corde  AB,  qui  est  soumise  à 
l'expérience,  est  tendue  dans  une  direction  perpendiculaire  à  l'axe 
du  cylindre:  on  a  fixé  en  son  milieu  un  stylet  qui  vient  tracer  une 
autre  ligne  sinueuse  sur  le  noir  de  fumée,  quand  la  corde  est  ébran- 
lée en  même  temps  que  le  diapason,  —  It  suffît  de  prendre  le  rap- 
port des  nombres  de  sinnosités  des  deux  courbes,  dans  l'inlervallc  de 
deux  génératrices  déterminées  du  cylindre,  pour  avoir  le  rapport  des 
nombres  de  vibrations  exécutées  par  les  deux  corps  sonores  dans  un 


ih  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

même  inlervalle  de  temps.  Si  donc  on  connaît  le  nombre  absolu  dos 
vibrations  exécutées  par  le  diapason  dans  un  temps  déterminé,  on 
en  conclura  le  nombre  absolu  des  vibrations  exécutées  par  la  corde 
dans  le  même  temps  ^^^ 

311.  Détermlnatloii  du  rapport  des  nomlireii  de  iribra- 
tioiis  de  deum  ••us.  —  itoiianiètre*  —  L'expérience  montre  que 
les  nombres*  de  vibrations  exécutées  dans  un  même  temps  par  une 
corde  flexible,  dont  la  tension  reste  constante  et  dont  on  fait  varier 
la  longueur,  sont  en  raison  inverse  des  longueurs  des  parties  vi- 
brantes. Dès  lors,  pour  déterminer  le  rapport  des  nombres  de  vibra- 
tions qui  correspondent  à  deux  sons  déterminés,  il  suffît  de  prendre 
une  corde  présentant  une  tension  convenable,  et  de  faire  varier  la 
longueur  de  la  partie  vibrante  de  manière  à  la  mettre  successivement 
à  Tunisson  de  chacun  d'eux;  le  rapport  inverse  des  deux  longueurs 
donnera  le  rapport  des  nombres  de  vibrations. 

On  emploie  ordinairement,  pour  cette  détermination,  un  instru- 
ment connu  sous  le  nom  de  sonomètre  (fig.  Sai)  :  il  se  compose 
d'une  caisse  sonore,  en  bois  de  sapin,  sur  laquelle  sont  tendues  des 
cordes  métalliques  dont  on  peut  régler  à  volonté  la  tension.  De  petits 
chevalets,  mobiles  dans  le  sens  de  la  longueur  des  cordes  et  placés 
sur  des  règles  divisées,  permettent  de  mesurer  avec  précision  les 
longueurs  des  parties  vibrantes. 

312.  lilmltes  des  sons  pereeptlMes.  —  Le  nombre  des  vi- 
brations exécutées  par  un  corps  doit,  pour  produire  sur  l'oreille  la 
sensation  d'un  son,  ê(re  compris  entre  deux  limites  que  divers  phy- 
siciens ont  cherché  à  déterminer. 

Ces  limites  ne  paraissent  pas  avoir  une  fixité  absolue  :  elles  sem- 
blent varier  un  peu,  soit  avec  Tintensilé  du  son,  soit  avec  la  sensi- 
bilité j)ro[)re  de  Toreille  de  l'observateur.  Il  est  cependant  à  peu  près 
impossible  (h  percevoir  un  son   lorsque  le  nombre  des  vibrations 

^•)  Pour  ohlenir  lo  nombrr  nbsolii  dos  vibralions  du  diapason  dans  un  temps  donné,  il 
suflîtdo  connaili'C  la  nlcsse  angulaire  du  tainlmur  cylindrique,  el  de  rouipler  le  nombre 
al>solu  des  sinuosités  tracées  par  le  diapason  entre  deux  génératrices  situées.  Tune  par 
rapport  à  l'autre,  A  une  distance  angulaire  déterminée.  K.  V. 


INTERVALLES  MUSICAUX.  15 

est  inf<^rieur  à  ifi   par  seconile,  ou  snpt^rieur  à  Syooo   par  se- 
conde. 

VALEURS  MJMERIQIES  DES  PRINCIPAUX  INTERVALLES  MUSICAUX. 

313.'  Intenralles  ntusleaux* —  CoiMMinnaiiecfi  et  tflMM- 
nances* —  Vintervalle  musical  de  deux  sons  est  caractérisé,  non 
pas  par  les  nombres  absolus  des  vibrations  qui  les  produisent,  mais 
par  le  rapport  de  ces  deux  nombres. 

Le  tableau  suivant  indique  les  valeurs  assignées  par  Texpérienfe 
aux  principaux  intervalles  usités  dans  notre  musique.  —  On  peut 
diviser  ces  intervalles  en  cotisonnances-  ou  dissonances,  selon  que  la 
production  simultanée  des  deux  sons  qui  constituent  chacun  d'eux 
produit  sur  l'oreille  une  sensation  agréable  ou  une  sensation  désa- 
gréable. 

INTKRVAIXES   PRINCIPAUX. 

C0>S0!\>'A\CFS. 

RAPPORTS  DRS  KOURRRS 
nr.  VIRRtTIO\!«. 

Unisson i 

Oclnv«» 'i 

Sixte  majeure ~ 

Quinte  juste 

Qiiarte  jnsto ' 

Tierce  majeure y 

Tierce  mineure. .    ' 

DISSONANCES. 

RAPPORTS  DRS  '«OMBR»^ 
OB  VIRRATIOXS. 

Seconde  majeure  ou  Ion  nitijeur ^ 

Seconde  mineure  ou  ton  minenr — 

9    . 

Demi-Ion  majeur — 

Demi-ton  mineur  (dièse  ou  l>emol) — 

(]omma  (inlervalle  regardé  en  général  comme  négli- 

s-'»'")  È 


16  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

On  peut  remarquer  que,  si  la  valeur  numérique  de  chaque  in- 
tervalle est  ramenée  à  une  fraction  irréductible,  comme  cela  a  été  fait 
dans  le  tableau  qui  précède,  les  deux  termes  des  fractions  qui  cor- 
respondent à  des  consonnances  sont  toujours  plus  petits  que  ceux 
des  fractions  qui  correspondent  à  des  dissonances ^^l 

316.  Ajecords  parfaits*  —  On  appelle  en  général  accord  parfait 
une  série  de  trois  sons  ou  noies  dont  la  succession  ou  la  produc- 
tion simultanée  produit  sur  l'oreille  une  sensation  particulièrement 
agréable;  on  désigne  ces  notes,  dans  Tordre  de  hauteur  croissante, 
sous  les  noms  de  tonique,  médianie  et  dominante. 

Dans  Raccord  parfait  majeur^  l'intervalle  de  la  médiante  à  la  to- 
nique est  une  tierce  majeure;  l'intervalle  de  la  dominante  à  la  to- 
nique est  une  quinte  juste. 

Dans  r(icforrfj[;aiy«/fmfWur,  l'intervalle  de  la  médiante  à  la  tonique 
est  une  tierce  mineure;  l'intervalle  de  la  dominante  à  la  tonique  est 
encore  une  quinte  juste. 

On  voit  que  les  divers  intervalles  qu'offrent  entre  eux  les  sons 
de  chacun  de  ces  deux  accords  parfaits  sont  les  suivants  : 

RAPPOBTS  DBS  NOMBRES 
DE  YIBRATIOKS. 

I  Tonique i  )  ,  „    5  ,  . 

}  Intervalle  -  (tierce  niaieure). 

Médianie ^  )]. 

' {  \~)  6 

^  Dominante.  ..,   ]\  Intervalle  ^  =  -  (tierce  mineure). 

I'  Tonique 1  )  g 

Intervalle-  (tierce  mineure). 
Médiante \\  % 

r  (     ) 

Dominante M  Intervalle  y—  ^  )  (tierce  majeui-e). 

Chacune  des  deux  espèces  d'accords  parfaits  est  donc  formée  d'une 

^'^  La  connaissance  de  ces  divers  inlenalles,  et  en  particulier  de  ceux  auxquels  l'oreillo 
est  particulièrt^menl  sensible,  peut  élre  commode  pour  simpliBer  la  comparaison  des 
conditions  de  production  des  sons,  dans  diverses  expériences  d^acousliquc.  Dans  les  re- 
cherches précises,  on  doit  faire  usage  exclusivement  de  VuniMoUy  que  loule  oreille  peut 
apprendre  à  apprécier  avec  une  exactitude  complètement  satisfaisante. 


INTERVALLES  MUSICAUX. 


17 


tierce  majeure  et  d*une  tierce  mineure  :  l'ordre  de  succession  de  ces 
tierces  diffère  seul  de  l'un  à  l'autre. 


315.  Qammeii.  —  On  désigne  sous  le  nom  général  de  gamtne 
la  succession  d'un  certain  nombre  de  sons,  intermédiaires  entre  une 
tonique  déterminée  et  son  octave  aiguë,  et  dont  les  nombres  de  vi- 
brations sont  à  celui  de  la  tonique  dans  des  rapports  fixes.  —  Les 
valeurs  de  ces  rapports  présentent,  dans  notre  musique,  deux  séries 
un  peu  différentes  l'une  de  l'autre  :  ces  deux  séries  constituent  la 
gamme  majeure  et  la  gamme  mineure, 

La  série  des  rapports  de  nombres  de  vibrations  qui  constitue  une 
gamme  majeure  est  la  suivante.  (On  a  pris  comme  exemple  le  cas  où 
la  tonique  est  la  note  ut,) 

GAMME    MAJEURE. 

% 

m 

mmam 

OOTATI. 


Rapports  des  nombres! 
de  vibrations  à  celui  / 


TOXIQCK. 

8US- 
TORIQDI. 

uimtfnË. 

3008- 
OOMIHAHTR. 

DOmifARTR. 

808 

DOMUfAHTI. 

smiBLB. 

(«') 

(ré) 

(mi) 

(/«) 

(,<,/) 

(/«) 

• 

de  la  tonique. 
Intervalles .... 


9 
8 


5 
l 


h 
3 


3 

1 


5 
3 


9 
8 


10 


9 


i6 
15 


9 
8 


10 


? 

8 


(t*^) 


—  9 


i6 
t5 


«5 
8 


On  voit  immédiatement  que  les  diverses  notes  d'une  pareille 
gamme  peuvent  se  répartir  eUes-mémes  en  trois  séries,  formant  cha- 
cune un  accord  parfait  majeur,  savoir,  dans  l'exemple  choisi  : 

ut  mi  sol 


TinOI   MAJIUM.  TIHCB   MIHRVRK 

sol  si 

TinCI   HAJRURR.  T1RMB   HimOBR. 

fa  la  ut 


re^      / 


nRRCR   MAJRURS. 


TinOR  HINIURR. 


Le  premier  de  ces  trois  accords  a  pour  tonique  celle  de  la  gamme; 
le  second  a  pour  tonique  la  dominante  du  premier;  le  troisième,  a 

Vbbdit,  IIL  —  Cours  de  phys.  IL  a 


18 


ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 


pour  dominante  Toctave  de  la  tonique  du  premier.  — -Les  intervalles 
de  tierce  majeure  et  de  quinte  juste,  qui  constituent  l'accord  parr- 
fait  majeur,  suffisent  donc,  quand  on  les  combine  avec  l'intervalle 
d'oct«ve,  pour  reproduire  toutes  les  notes  de  la  gamme  majeure  ^*^ 

La  série  des  rapports  de  nombres  de  vibrations  qui  constitue  une 
gamme  mineure  est  la  suivante.  (On  a  pris  comme  exemple  le  cas 
où  la  tonique  est  encore  la  note  ut.) 


GAMME    MINBURE. 


Rapports  des  nombres 
de  vibrations  à  celui 
de  la  tonique 

Intervalles 


TOinQnc. 


("0 


SUf- 
TORIQDI. 


(ré) 


9 
8 


MSDUIfTI. 


(mi  hém.) 


MUS- 
DOMINANTB. 


(/«) 


DOMINANTC 


SD»- 
DOMINANTI. 


(sol)        (/fiWra.) 


SINSIBLI. 


(«ibém.) 


OCTATI. 


(«ij 


6 
5 


4 
3 


3 

9 


8 
5 


8 
9 


il 
i5 


10 

9 


? 
8 


i6 
t5 


9 

8 


io 


Oq  voit  que  les  diverses  notes  d'une  gamme  mineure  peuvent  se 

(')  En  prenant  pour  tonique  Tune  quelconque  des  notes  de  la  gamine,  et  cberchant  à 
reproduire  la  série  des  intervalles  de  la  gamme  elle-même,  on  est  conduit  à  Temploi  des 
(iièêeê  et  des  bémols.  —  Les  notes  qui  sont  diésées  ou  bémolisée^  conservent  alors  leurs 
noms  primitifs;  mais  ces  noms  s^appliquent  à  des  nombres  de  vibrations  qui  sont  aug- 
mentés dans  le  rapport  ^,  ou  diminués  dans  le  rapport  ^. 

Cesi  ainsi  qu*en  prenant  pour  tonique  d^une  gamme  majeure,  non  plus  la  note  ut, 
mais  sa  dominante  iol,  on  trouve  que  les  notes  successives,  telles  qu'elles  existaient  dans 
la  gamme  d'iif ,  c'est-à-dire 

êol         la         xi         «L  ré^  m»„  fa^  »oL 


ut^  ré^  mi^         fa^  ^.^ 


présentent  entre  elles  les  intervalles  convenables  pour  former  encore  une  gamme  ma- 
jeure, à  la  condition  de  diéser  la  note  sensible /a^,  c'est-à-dire  de  multiplier  le  nombre 
des  vibrations  par  —*  La  nouvelle  série  de  sons  ainsi  obtenue  forme  alors  une  mélodie 
dans  laquelle  les  intervalles  successifs  sont,  ou  rigoureusement  égaux  à  ceux  qui  ont  servi 
à  déBnir  la  gamme  d^uf,  ou  égaux  à  ceux  de  la  gamme  d'ut  multipliés  par  g^,  ce  qui  est 
considéré  comme  équivalent  pour  Toreille.  —  De  même,  en  prenant  pour  tonique  d'une 
gamme  majeure  la  dominante  re'de  la  précédente,  on  est  conduit  à  diéser  encore  la  note 
sensible  ut,  et  ainsi  de  suite. 

Si  maintenant  on  veut  former  une  gamme  majeure  dont  la  dominante  soit  la  tonique 
de  la  gamme  d'ti(,  ou  plutôt  son  octave,  et  si  Ton  prend  les  notes 

fa         toi         la         ii         ut^         ré^         mi^        fa^^ 

on  trouve  que,  pour  avoir  les  intervalles  qui  caractérisent  une  gamme  majeure,  il  faut 


INTERVALLES  iVfOSICAUX.  19 

répartir  en  trois  séries,  formant  chacune  un  accord  parfait  mineur, 
savoir,  dans  l'exemple  actuel  : 

ut  mi  bémol  sol 

Tuici  miiniia.  tiibci  majbou. 

«0/  si  bémol  ré 

Tinoi   MINBOBR.  TIRKCI   MAJIOM. 

fa  la  bânol  ut^ 

TIMCR   MIRBDIB.  TIBBCB   MAJBUBB. 

Ici  encore,  le  premier  de  ces  accords  mineurs  a  pour  tonique 
celle  de  la  gamme;  le  second  a  pour  tonique  la  dominante  du  pre- 
mier; le  troisième  a  pour  dominante  l'octale  de  la  tonique  du  pre- 
mier. —  Les  intervalles  de  tierce  mineure  et  de  quinte  juste,  qui 
constituent  l'accord  parfait  mineur,  sullisent  donc,  avec  l'intervalle 
d'octave,  pour  reproduire  toutes  les  notes  de  la  gamme  mineure ^*l 

Léinoliser  la  sous-dominaDle  tt,  c'est-à-dire  en  niultipiier  le  nombre  des  vibrations 
par  ^  ;  la  nouvelle  série  de  sons  ainsi  obtenue  forme  encore  une  mélodie  présentant  des 
intervalles  égaux  à  ceux  de  la  gamme  d'ut,  ou  à  ces  mêmes  intervalles  multipliés  par  ^. 
— .  De  même,  en  formant  une  gamme  majeure  dont  la  dominante  soit  la  tonique /a  de 
la  gamine  qui  précède,  on  est  conduit  à  bémoliser  encore  la  sous-dominante  fm,  et  ainsi, 
de  suite. 

Les  dièses  et  les  bémols  servent  également ,  comme  on  Tindique  plus  loin,  à  former  les 
gammes  mineures  sans  employer  de  nouveaux  noms  pour  les  notes  qui  les  constituent, 
bien  que  plusieurs  de  leurs  intervalles  différent  des  intervalles  qui  leur  correspondent 
dans  les  gammes  majeures.  É.  F. 

(*)  Les  intervalles  de  la  gamme  mineure,  tels  qu^ils  sont  indiqués  ici,  sont  ceux  que  les 
musiciens  emploient  en  effet  quelquefois  en  exécutant  la  ganune  mineure  descendanle, 
c'estrè-dire  en  allant  de  Toctave  è  la  tonique  :  on  voit  que  la  gamme  ainsi  formée  contient 
toutes  les  notes  qui  entreraient  dans  la  formation  d'une  gamme  majeure  dont  la  tonique 
serait  d^une  tierce  mineure  au-dessus  de  la  tonique  actuelle,  c'est-à-dire,  pour  l'exemple 
qui  a  été  choisi ,  dans  la  formation  de  la  gamme  de  mt  bémol  majeur,  —  Lorsqu'on  exécute 
la  gamme  mineure  oêcendêntef  c'est4-dire  lorsqu'on  passe  de  la  tonique  è  Toctave,  il  est 
indispensable,  pour  satisfaire  ToreiUe,  d'élever  la  note  sensible  d'un  demi-ton,  c'est-à- 
dire,  dans  le  cas  actuel,  de  substituer  au  «t  hémol  un  ti  naturel,  —  Les  trois  accords 
parfaits  dont  la  combinaison  peut  reproduire  la  gamme  mineure  ne  sont  donc  plus  trob 
accords  parfaits  mineurs,  mais  seulement  deux  accords  parfaits  mineurs  et  un  accord  par^ 
fait  majeur.  É.  F. 


'2, 


PROPAGATION  ET  PRODUCTION  DU  SON 

DANS  LES  GAZ. 


PROPAGATION  DU  MOUVEMENT  VIBRATOIRE  BANS  LES  GAZ. 

316.  On  a  déjà  étudié  précédemment  les  relations  qui  existent, 
dans  l'état  d'équilibre  >  entre  les  volumes  des  gaz  et  les  pressions 
qu'ils  supportent.  On  peut  donc  aborder  immédiatement  ici  l'étude 
des  mouvements  vibratoires  dont  les  gaz  sont  le  siège  :  ces  mouve- 
ments eux-mêmes  devront  s'expliquer  au  moyen  des  lois  que  les  ex- 
périences d'équilibre  ont  fait  connaître. 

D'ailleurs,  si  l'on  connaît  complètement  l'effet  produit  par  l'ébran- 
lement d'une  portion  infiniment  petite  d'un  corps,  il  sera  facile 
ensuite  d'en  conclure  l'effet  résultant  d'un  système  quelconque 
d'ébranlements  communiqués  à  toutes  les  parties  de  sa  masse;  en 
d'autres  termes,  si  les  phénomènes  de  la  propagation  du  mouvement 
vibratoire  sont  entièrement  connus,  on  en  pourra  déduire  les  lois 
de  sa  production.  Il  convient  donc  que  Tétude  de  la  propagation 
précède  celle  de  la  production  du  son. 

317.  PropaffAtlon  d'un  ébranlemeiit  unique  dans  un 
tuyau  cylindrique  indèflnl  de  petit  diamètre*  '^  Veiïei 
d'une  impulsion  de  très-courte  durée,  produite  à  l'origine  d'nn 
tuyau,  étant  de  comprimer  la  première  tranche  de  l'air  qu'il  contient 
et  de  lui  communiquer  une  certaine  vitesse,  on  peut  assimiler  la 
réaction  de  cette  première  tranche,  sur  la  série  indéfinie  de  tranches 
égales  dont  la  colonne  d'air  peut  être  censée  composée,  à  la  réac- 
tion qu'exerce  une  bille  élastique  en  mouvement  sur  une  série  in- 
définie de  billes  égales  et  placées  h  la  suite  l'une  de  l'autre,  dans  la 
direction  du  mouvement  de  la  première.  —  Quand  on  effectue 
cette  expérience  avec  des  billes  d'ivoire  suspendues  par  des  fils  de 
soie,  comme  on  le  fait  dans  tous  les  cours,  on  constate  que  la  force 


PflOPAGATION  DU  MOUVEMENT  VIBRATOIRE  DANS  LES  GAZ.  21 
vive  comiuunîquëe'par  la  première  bille  à  ia  série  se  transmet  aux 
billes  successives,  en  sorte  que  la  dernière,  ayant  même  masse  que  la 
première,  acquiert  une  vitesse  égale  à  celle  que  possédait  la  première 
iiu  moment  du  cboc.  On  peut  donc  admettre  que,  dans  un  tuyan 
cylindrique,  un  ébranlement  unique,  dirigé  de  l'ouverture  du  tuyau 
vers  l'intérieur,  c'est-à-dire  ayant  pour  effet  de  comprimer  la  première 
tranche  d'air,  se  communique  successivement  et  intégralement  à 
toutes  les  tranches  de  même  masse  dans  lesquelles  on  peut  décom- 
poser la  colonne  gazeuse  qui  remplit  le  tuyau ,  chaque  tranche  ren- 
trant eu  repos  après  avoir  transmis  son  mouvement  à  la  suivante. 

Par  analogie,  on  est  conduit  à  admettre  que,  dans  le  cas  oij  U 
tranche  d'air  qui  est  à  l'origine  du  tuyau  est  dilatée  par  aspiration 
au  lieu  d'être  comprimée  par  impulsion,  la  transmission  de  cette 
dilatation  se  fait  encore  d'une  manière  semblable ,  d'une  tranche  à 
l'autre,  dans  toute  la  longueur  du  tuyau. 

Les  consé<|uences  de  ces  analogies  sont  d'ailleurs  confirmées  par 
l'application  d'une  analyse  rigoureuse  à  U  question.  —  Si ,  dans  une 
région  limitée  AB  (fig.  a86  )  d'un  tuyau  indéfini  dans  les  deun  sens,  OB 
imagine  que  les  diverses  sections  éprouvent,  à  un  instant  déterminé. 


de  très-petites  condensations  ou  dilatations ,  variables  d'une  section  à 
l'autre  suivant  une  loi  donnée  mais  quelconque,  et  que,  en  même 
temps,  les  diverses  sections  de  celte  région  soient  animées  de  très- 
petites  vitesses  parallèles  à  l'axe  et  distribuées  également  suivant  une 
loi  déterminée,  cette  perturbation  se  décompose  en  deux  ébranlements 
distincts,  qui  se  propagent  dans  les  deux  sens  opposés  avec  la  même 
vitesse,  de  telle  façon  qu'à  une  époque  quelconque  t  les  molécules 
d'air  ébranlées  se  trouvent  contenues  dans  deux  régions,  A'B' ,  A'B' 
égales  en  longueur  à  AB  et  ayant  leurs  niiheux  0'  et  0"  à  la  même 


22  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

^listance  ai  du  point  0,  milieu  de  AB.  Les  condensations  et  les  vi- 
tesses sont  distribuées  de  telle  façon,  dans  ces  deux  ébranlements, 
qu'aux  divers  points  de  A'B'  le  rapport  de  la  vitesse  à  la  conden$ation 
soit  constant  et  égal  à  la  vitesse  de  propagation  a  y  et  qu'aux  divers 
points  de  A'^B'^  ce  même  rapport  soit  constant,  mais*égai  k—a, 
c'est-à-dire  à  la  vitesse  de  propagation  prise  en  signe  contraire  ^^\ 

318.  Pr«pasati«ii  d'un  ni^iiirenieiit  vlliratoire  quel- 
••nque  dans  m  tujau  cyliiidrique  indéfliii*  —  Des  résul- 
tats que  l'on  vient  d'indiquer,  on  passe ,  suivant  les  procédés  ordi- 
naires de  la  méthode  infinitésimale,  au  cas  d'un  mouvement  vibra- 
toire quelconque,  en  substituant  à  ce  mouvement  vibratoire  une 
série  discontinue  d'ébranlements  de  plus  en  plus  rapprochés.  —  On 
arrive  ainsi  aux  conséquences  suivantes  : 

1°  Un  mouvement  vibratoire,  entretenu  par  une  cause  quelconque 
en  une  section  donnée  du  tuvau,  donne  naissance  à  deux  mouve- 
tnents  vibratoires  qui  se  propagent  en  sens  opposé  et  avec  des  vi- 
tesses égales. 

9*  Si  le  mouvement  vibratoire  est  périodique,  les  mouvements 
propagés  sont  périodiques,  et  leur  période  a  la  même  durée. 

319.  CTmi  pmrUmuÊàmr  d*uB  mouvement  vilimigige  dans 
leqpMl  eliaqipg  vibratiau  peut  se  déeampaaeg  eu  deux 
aertllatiaue  eautrairea,  STmétriqpMa  l*uue  de  l*auii«.  — 

Lorsque  l'on  considère,  en  particulier,  le  cas  où  la  tranche  jd!aifjqui 
est  placée  à  l'origine  d'un  tuyau  cylindrique  indéfini  est  animée  d'un 
mouvement  vibratoire  tel  que  chaque  vibration  puisse  se  décomposer 
«n  deux  oscillations  contraires,  symétriques  l'une  de  l'autre,  il  est 
facile  de  représenter  graphiquement  l'état  de  l'air  aux  divers  points 
du  tuyau,  à  des  époques  déterminées  :  c'est  ce  qui  arrive,  par 

^*)  Ed  employant  les  con? entions  généralement  adoptées  sur  les  signes  des  vitesses,  cette 
règle  peut  s^exprimer  en  disant  que  le  rapport  de  la  vitesse  absolue  à  la  condensation  ou 
i  la  dilatation  absolue  est,  dans  les  deux  ébranlements  A'B',  A"B',  égal  à  la  vitesse  de 
propagation ,  et  qu^il  y  a  condensation  dans  les  points  où  la  vitesse  est  dirigée  dans,  le 
sens  de  la  propagation,  tandis  qu'il  y  a  dilatation  dans  les  points  où  ia  vitesse  est  dirigée 
en  sens  contraire. 

Si,  aux  divers  points  deTespace  AB  primitivement  ébranlé,  ia  vitesse  est  rtïpréseniér 


PROPAGATION  DU  MOUVEMENT  VIBBATOIRE  DANS  LES  GAZ.  S3 
eiemple,  quand  l'air  est  mis  en  mouvement,  à  l'origine  A  d'un  tuyau 
^une  grande  longueur,  par  la  branche  d'un  diapason  vibrant.  — 
Pour  représenter  l'état  de  l'air  dans  chaque  tranche,  on  prendra 
Boe  abscisse  égale  à  la  distance  de  cette  tranche  à  l'ouverture,  et 
une  ordonnée  proportionnelle  à  la  vitesse  dont  elle  est  animée  :  on 
conviendra  d'employer  des  ordonnées  positives  pour  les  vitesses 
dirigées  dans  le  sens  de  la  propagation  des  ébranlements,  et  des 
ordonnées  négatives  pour  les  vitesses  dirigées  en  sens  contraire. 

Alors,  si  l'on  suppose  que  la  branche  du  diapason  parte  de  l'ex- 
trémité de  son  oscillation  qui  est  la  plus  éloignée  de  l'ouverture 
du  tuyau,  de  manière  à  produire  d'abord  une  compression  sur 
l'air  intérieur,  on  voit  immédiatement  que,  après  ttn  quart  de  vibra- 
lion,  c'est-à-dire  à  l'instant  oti  la  branche  passe  par  la  position  qui 
serait  sa  position  d'équilibre,  les  vitesses  d'ébranlement  dans  la' 
portion  du  tuyau  mise  en  mouvement  sont  représentées  par  une 


eonrbetelle  que  BM(âg.  987),  l'ordonnée  AB  représentant  la  vitesse 
maiimum,  et  le  point  M  étant  le.  point  de  l'aie  du  tuyau  auquel 
arrive,  à  cet  instant,  la  première  impulsion  communiquée  par 
la  branche  du  diapason  au  commencement  de  son  mouvement.  — 
Dans  toute  la  partie  AM  du  tuyau,  l'air  éprouve  d'ailleurs,  à  ce 
même  instant,  une  condensation  qui  est  décroissante  de  A  en  M. 

par/(x),  la  condeosaliou  par  F(x),  il  eiisle  évidemmnit  loujoure  deiii  fonctioiu  <p(x) 
ei  1^  (i)  telle»,  qoe  I'od  ait 

«1  l'on  peul  regarder  l'ébraidement  initial  comme  la  «iperpoàtion  de  deux  autres,  dan» 
■(•quda  les  vilewea  initiales  seraient  refpectiveiDen(9(x)el  <^(£),el  lea  condenealioni 
initiaiea  ^-^ — -  et  —  ^-^ —  •  Ce  sont  ces  deux  éhnmlementB  drimenltires  tpii  m  prô- 
pagent  en  aens  eppoac ,  avec  la  même  viteme. 


2fi  ÉLASTIcrTÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

Après  une  tUmi-vibration ,  c'est-à-dire  à  l'instant  où  la  branche  du 
diapason  atteint  l'extrémité  droite  de  son  oscillation,  la  longueur  de 
la  partie  ébranlée  AM  (fig.  988)  est  double  de  la  précédente  :  les 


Fie-  >8«- 

vitessefi  d'ébranlcmunl  suiit  représentées  par  une  lourbc  telle  i|uç 
ABM,  symétrique  par  rapport  à  l'ordonnée  maximum  NB.  —  Dans 
toute  cette  partie  du  (uyau,  l'air  éprouve  encore,  à  l'instant  consi- 
déré, une  condensation  qui  est  croissante  de  A  en  N.  et  décrois- 
sante de  N  en  M. 

Après  HiictibralloH,  c'ust-à-<lirir  à  l'instant  oii  la  branche  du  dia- 
pason, revenant  pour  la  première  fois  à  son  point  de  départ,  a  ac- 
compli deux  oscillations  contraires  et  symétriques,  la  longueur  do 


la  partie  obranlée  AM  (Hg. 

■J89)  est  quadruple  de  celle  ([iii 

éhiil 

1 

1 

ébranlée  après  un  quart  de  vibration  :  les  vitesses  d'ébranlement  sont 
représentées  par  une  courbe  telle  que  ACPB.M,  dans  laquelle  le 
point  P  est  au  milieu  de  AM;  les  deux  ordonnées  nia\ima  NB  et  QG 
sont  égales  et  de  signes  contraires,  et  correspondent  respectivement 
aux  milieux  de  AP  et  de  PM;  la  branche  de  courbe  PCA  est  symé- 
trique de  la  branche  PBM,  par  rapport  au  point  P.  —  Dans  la  partie 
PM  du  tuyau,  l'air  éprouve  des  condensations  qui  sont  croissantes 
de  P  en  N,  décroissantes  de  N  en  M;  dans  la  partie  AP,  il  éprouve 
des  dilatations  qui  sont  croissantes  de  A  en  Q,  décroissantes  de  Q 
en  P;  enfin,  la  série  des  dilatations  de  A  en  P  présente  des  v«- 


PROPAGATION  DU  MOUVEMENT  VIBRATOIRE  DANS  LES  GAZ.  95 

leurs  égales  et  contraires  à  celles  de  la  sërîe  des  condensations  de 
P  en  M. 

Dès  lors,  il  est  aisé  de  voir  que,  pour  représenter  l'état  de  l'air 
dans  le  tuyau  à  une  époque  quelconque,  il  suffira  d'élever,  au  point 
correspondant  à  l'ouverture  A,  une  ordonnée  AD  (lîg.  390)  repré- 
sentant, pour  sa  grandeur  cE  pour  son  signe,  la  vitesse  de  la  pre- 


mière tranche  d'airà  cet  instant;  de  construire,  à  partir  du  point  D, 
une  branche  de  courbe  DR  égale  à  celle  t^tie  suivrait  une  ordonnée 
égale  et  seiublablenient  placée  dans  la  courbe  représentée  par  la 
ligure  aSg;  enfin  de  reproduire,  à  la  suite  du  point  H,  une  suc- 
■  cession  de  branches  de  courbes  KCP,  PBM,  etc.,  alternativement 
égales  aux  deux  branches  de  cette  raéme  figure. 

On  appelle  longueur  d'ondulation,  dans  un  mouvement  vibratoire 
de  période  déterminée,  la  distance  AM  (fig.  98g)  à  laquelle  le  mou- 
vement se  propage  pendant  la  durée  d'une  vibration,  ou,  ce  qui 
revient  au  même,  la  dislance  comprise  entre  deux  points  S  et  T 
(fig.  990)  correspondants  à  deux  ordonnées  consécutives  SG,  TH, 
égales  en  grandeur  el  de  même  signe.  —  Une  portion  du  tuyau  cor- 
respondante à  une  branche  de  courbe  lelle  que  PBM  constitue  une 
demi-onde  condensante;  une  portion  correspondante  à  une  branche 
telle  que  RCP  constitue  une  demi-onde  dilattinle. 

Deux  demi-ondes  consécutives  sont  toujours  de  noms  contraires  : 
leurs  points  de  jonction ,  tels  que  R,  P,  M ,  dans  lesquels  la  vitesse 
d'ébranlement  est  nulle  et  oiî  l'air  n'est  ni  comprimé  ni  dilaté, 
constituent  des  nccudt.  —  Les  points  tels  que  Q,  N,  qui  corres- 
pondent aux  plus  grandes  valeurs  absolues  des  ordonnées,  et  dans 
lesquels  la  vitesse  d'ébranlement  est  maxima,  ainsi  que  la  dilatation 
ou  la  condensation,  constituent  des  ventre».  —  Si  l'on  considère 
divers  instants  successifs,  on  voit  que  ces  nœuds  et  ces  ventres  se 


^  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

dépiacent  dans  la  longueur  du  tuyau,  avec  une  vitesse  égalé  à  la 
vitesse  de  propagation  elle-même. 

Il  est  important  de  remarquer  quer,  d'après  les  considérations  qui 
précèdent,  Tintensité  du  son  dans  une  colonne  cylindrique  de  gaz 
doit  être  indépendante  de  la  distance  à  l'origine. 

Un  des  exemples  les  plus  simples  et  les  plus  fréquents  de  vibra- 
tions décomposabies  en  oscillations  contraires  et  symétriques  est 
celui  où  le  mouvement  peut  se  représenter  par  une  formule  telle  que 

r  exprimant  la  vitesse  à  un  instant  quelconque  l,  A  étnnt  une  cons- 
tante, et  T  exprimant  la  durée  d'une  vibration  complète. 

Si  la  vitesse  de  la  première  trancbe  d'un  tuyau  est  représentée  par 
une  pareille  formule,  il  est  facile  de  trouver  une  expression  de  la 
vitesse  d'une  tranche  située  à  une  distance  x  de  l'ouverture.  —  Soit 
ah  vitesse  de  propagation  d'un  ébranlement,  dans  le  gaz  qui 
remplit  le  tuyau.  Chaque  ébranlement,  après  s'être  produit  à  l'ou-^ 

verlure,  met  un  temps-  pour  parvenir  &  la  trancbe  considérée; 
donc  la  vitesse  d'ébranlement  de  cette  tranche  à  l'instant  (  est  celle 

qui  existait  a  l'ouverture  au  temps  ^  ~  ~  •  elle  a  pour  valeur 

X 

I 

A     •  ^ 

y  =  Asm  ait    ry 
ou  bien 

v  =  Asin  97r  f  ;«  —  -iFpJ  ; 

or,  si  l'on^désigne  par  X  la  longueur  d'une  ondulation,  on  voit  que  le 
produit  oT  n'est  autre  chose  que  X ,  en  sorte  qu'on  a 


«;  =  A  sin  3 w  f  «;  —  ^-  j 


(I) 


^')  La  vitesse  de  vibration  d'une  traiidie  quelconque  du  tuyau  étant,  à  Piiistaut  t, 

v^  \  sin  ^^  (  mt""  5"  )  ' 
*t  h  ^itt*»»!;  élaiil  fjjalo  a  la  déiivw  -j-  *^'*'  rf>J«r*'  parcouru  m,  on  voit  que  lo  déplace* 


PROPAGATION  DD  MOUVEMENT  VIBRATOIRE  DANS  LES  GAZ.  17 

3S0.  PMpacaiiMi  «MM  VM  mIHmi  UéMAmI  mi  toMi  MiM. 

—  L*ébranlenieiii  primitif  étant  circonscrit  dans  une  peûte  sphère 
de  rayon  e  ^^\  on  démontre  qu'à  Tépoque  l  les  parties  ébranlées  du 
gai  sont  toujours  comprises  entre  deux  sphères  dont  les  rayons  sont 
mi  —  i  et  al+<»  la  vitesse  de  propagation  a  étant  la  même  que 
dans  le  cas  d*un  cylindre  indéfini.  —  De  là  résulte  évidemment  que , 
dans  ce  cas,  la  forme  des  ondes  est  sphérique. 

Lorsque  le  rayon  des  ondes  est  suffisamment  grand  «  on  démontre  : 
1*  que  les  vitesses  des  molécules  deviennent  perpendiculaires  è  la 
surface  des  ondes,  quelle  que  puisse  être  leur  direction  originelle; 
d*  que,  sur  un  rayon  donné,  les  vitesses  varient  en  raison  inverse  de 
la  distance  au  centre.  —  La  seconde  propriété  est  une  conséquoBoe 
èft  ia  pfffièro  «t  do  fiûidpe  de  la  cona^rvation  des  forées  nnê, 
pBpwpie  la  htùB  vive  «t  proportionnelle  au  carré  de  la  viteMê,  et 
qM  la  -mwn  i|m  reçoit  le  aaeuvemenl  est  proportionnelle  au  c«nré 


maat  u  dct  mMâiM  de  eetto  tranche  fiar  rapport  m  le  position  d'équilibre  est ,  è  chaque 
iottant, 

^      AT  /t      x\ 

Soient  «  et  «  -4-  ^m  ies  déplacements  de  deux  tranches  infiniment  voisiner ,  dont  les  distances 
è  Tori^ne  sont  s  eix-hdn:  rintervalie  de  ces  deux  tranches,  qui  dans  Tétat  de  repos 
est  dx,  devient  ix-him  dant  Pétat  de  naonvement;  par  suite,  la  densité  de  la  coudiedlair 

comprise  entre  elles  diminue  dans  le  rapport  de  i  -f-  -«-  A  Punité;  en  d^autres  termes, 

—  j-  est  la  eondentttion.  Mais,  de  la  valeur  précédente  de  m  ,  on  tire 

du      AT   .  /  <      x\ 


•a hîen,  m  remplaçant  A  par  «T, 

rfu       I  .    .  / 1       x\       t^ 

dx      a  \T      aJ      a 

Le  rapport  de  i»  vilesM  i  h  eondensalion  est  donc  eonataot  et'égat  k  a  »  ainsi  që'il  est 


^*)  La  forme  spbériqoe,  assignée  i  Pâiranlement,  n'est  une  condition  restrictive  qu'en 
apperenee,  tant  qtt*on  laisse  indéterminée  la  distribution  des  condensations  et  des  vitesses 
dbna  Pinlérîeiir  de  la  sphère.  Quel  que  soit  le  système  des  points  réeUcment  ébranlés,  on 
peottoajoure  concevoir  une  sphère  qui  les  contienne  tous,  et  prendre  cette  sphère  entière 
poor  le  Keu  de  fébrenlement  primitif,  en  attribuant  des  vitesses  et  des  condensations  ini- 
tiales nulles  aux  points  où  il  n*y  a ,  en  réalité,  aucune*  perturbation  de  IVlat  de  repos. 


28  ÉLASTICITÉ  ET  acoustique:         ' 

du  rayon  de  la  coudie  sphérique;  celte  propriété  signifie  d'ailleurs 
que,  dans  un  milieu  Jndéfiili,  l'intetuité  du  son  varie  en  raiion  invene 
du  carré  de  la  dutanee  à  Corigine. 

Onpasseensuile,  comme  précédemment ,  d'un  ébranlement  unique 
à  un  mouvement  vibratoire  continu  et  périodique.  —  On  voit  alors 
que,  si  l'on  veut  représenter  par  une  courbe  les  vitesses  d'ébranle- 
ment à  un  instant  donné,  sur  un  rayon  quelconque  el  à  une  grande 
distance  du  centre  d'ébranlement,  on  a,  dans  le  cas  où  le  mou- 
vement vibratoire  est  du  i^enre  de  ceux  que  l'on  vient  de  considérer 
en  dernier  lieu,  une  courbe  telle  que  celle  de  la  figure  291  '".  Les 
nœuds  M',  M,  P,  Q,  R  sont  encore  équidistants,  mais  tes  ordonnées 


maiima  vont  sans  cesse  en  diminuant,  de  chaque  demi-onde  MAN 
à  la  demi-onde  suivante  NBP,  en  raison  inverse  de  la  distance  au 
centre  de  vibration.  —  Dans  ce  cas,  la  formule  de  la  vitesse  à  un 
instant  1,  pour  un  point  situé  à  une  distance  :e,  est    '  ' 

■  "     '  A    .  / 1      x\  '■     " 

Enfin,  il  est  aisé  de  voir  que  le  principe  général  de  la  superposi- 
tion des  petits  mouvements  permet  de  passer  du  cas  d'un  très-petit 
ébranlement  sphérique  au  cas  d'un  système  d'ébranlements  quef- 
Gonques.  / 


321. 

••■  étatm  !«•  fm,  —  En  partant  de  ce  principe  que  la  vitesse  de 
propagation  a,  dans  uogaz,  est  égale  à  la  racine  carrée  du  rapport 
de  l'accroissement  absolu  de  la  pression  à  l'accroissement  absolu  de 

'''  II11  siipptMu,  dan»  ceUe  figure,  que  le  centre  il'él)raiil«aKnl  wlsiliié  i  rniv  grainle 
disUiice Mir la  ligue  MR,  i  (gauche. 


VITESSE  DU  SON  DANS  LES  GAZ.  29 

la  densité»  et  appliquant  simplement  la  loi  de  Mariotte,  on  arrive 
à  la  formule  donnée  par  Newton 


"'^s/^'k^' +'''')' 


Dans  cette  formule,  g  désigne  l'intensité  de  In  pesanteur,  dans  le 
lieu  que  l'on  considère;  m  est  la  densité  du  mercure  à  la  tempéra- 
ture zéro;  h  est  la  hauteur  barométrique  actuelle,  réduite  à  zéro; 
Dq  est  la  densité  du  gaz^  sous  la  pression  barométrique  actuelle 
et  à  la  température  zéro;  a  est  le  coefficient  de  dilatation  du  gaz; 
T  est  la  tempérciture  actuelle  ^^K 

Mais,  en  raison  de  la  mauvaise  conductibilité  des  gaz  et  de  la 
rapidité  de  la  propagation  du  son ,  la  chaleur  qui  est  dégagée  en 
un  point  de  la  masse,  au  moment  où  il  s'y  produit  une  condensation, 
ne  peut  se  répandre  immédiatement  dans  la  masse  tout  entière;  de 
même,  la  chaleur  qui  est  absorbée  en  un  point,  au  moment  oii  il  s'y 
produit  une  dilatation ,  ne  peut  lui  être  immédiatement  restituée  par 
le  reste  de  la  masse  gazeuze.  De  là  résulte  que  la  pression  dans 
l'état  vibratoire  ne  doit  pas  varier  suivant  la  loi  de  Mariotte,  mais 
suivant  la  loi  qu'exprime  la  relation 

dans  laquelle  6  désigne  la  variation  de  température  qui  est  produite 
par  une  variation  relative  S  de  la  pression  éprouvée  par  le  gaz ,  cette 
variation  étant  une  condensation  ou  une  dilatation,  selon  que  S  est 

t')  La  formule  de  Newton  peut  se  déduire  de  Tënôncé  qui  précède,  de  la  manière  sui- 
vante. Puisque  A  est  la  colonne  de  mercure  à  zéro  qui  repr^nte  la  pression  initiale  du 
gax,  BÎ  la  preasion  devient  A  (1-4-7'),  ^  densité  D  du  gai  devient,  en  vertu  de  la  loi  de 
Mariotte,  0(1  +  7).  Donc  le  rapport  de  Paccroissomenl  ahsolu  de  la  pression  à  Taccroisse- 
aemënt  absolu  de  la  densité  est 

Dy   ' 
Mf)  supprimant  Je  facteur  y  et  remplaçant  D  par ^—  9  on  obtieot 


•V 


E.  F. 


30  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE, 

positif  ou  négatif.  —  D'autre  pari,  on  a  démontré  ^^^  que,  si  fon  idé- 
signe  par  i  H-  y  le  rapport  -  de  la  chaleur  spécifique  sous  pression 
constante  à  la  chaleur  spécifique  sous  volume  constant,  on  a 

e  _      y 

\H-«T/ 

d'où  l'on  tire 

Par  conséquent,  on  a 

ou,  en  remplaçant  y  par » 

9 

ou  enfiji,  en  négligeant  S^  qui  est  supposé  très^petit. 

Ainsi,  quand  la  densité  — î—  augmente  de  — - — ,  la  pression  gmh 
augmente  de 

ce  qui  conduit  à  la  formule  donnée  par  Laplace 


"=V'^(*+«^)? 


c      .         . 

La  valeur  de-'«  qui  constitue  l'un  des  éléments  fondamentaux» 

des  gaz,  se  trouve  ainsi  liée,  comme  on  le  voit,  à  l'étude  des  vibra-^ 
lions  sonores. 

322.  BéMiliAtA  ffMirBi»  |Mur  rempérlcM^e.  —  Les  anciennes 
observations  de  Biot,  faites  au  moyen  des  tuyaux  destinés  à  con- 
duire les  eaux  d'Arcueil,   ont  donné   pour  la  vitesse  de  propa- 

(*)  Voir  le  cours  de  première  année,  tome  I",  p.  i8o. 


■  VITESSE  DU  SON  DANS  CES  GAZ.  31 

galion  du  soB  dans  l'air,  à  la  température  de  1 1  degrés,  la  valeur 
3AA  mètres  par  seconde  :  ce  résultat  est  d'ailleurs  indépendant  de 
la  hauteur  et  dé  l'intensité  du  son  considéré.  —  Le  nombre  iàà 
diffère,  d'environ  5  mètres,  du  nombre  qu'on  aurait  dû  trouver  à 
la  même  température  dans  une  atmosphère  indéfinie;  mais  la  lon- 
gueur des  tuyaux  emplovés  n'était  que  de  (fSi  mètres,  et  la  durée 
de  propagation  était  inférieure  à  trois  secondes  :  on  ne  saurait  donc 
regarder  les  expériences  de  Biol  comme  exactes  à  5  mètres  près. 

On  doit  à  M.  Leroux  <les  expériences  sur  la  propagation  du  son 
dans  l'air,  exécutées  également  en  opérant  sur  nn  tuyau  cylin-: 
drique  :  on  indiquera  seulement  ici  le  principe  de  ces  expériences. 
—  Un  long  lube  de  zinc  ACB,  courbé  eu  forme  d'U,  et  ayant  une 


longueur  totale  de  -jïi  mètres,  était  fermé  à  ses  deux  extrémités  par 
deux  membranes  de  caoutchouc.  Une  petite  tige  métallique,  voisine 
de  l'extrémité  de  la  branche  A,  portail  une  capsule  fulminante,  en 
sorte  que,  au  moment  oij  cette  tige  venait  choquer  un  obstacle, 
l'explosion  produisait  deux  ondes  qui  ébranlaient  successivement  les 
membranes  A  et  B.  —  Deux  stylets  enduits  d'encre  rouge,  que  ces 
membranes  menaient  en  mouvement,  laissaient  leurs  marques  sur 
une  règle  verticale  tombant  librement,  sous  t'influence  de  la  pe-; 
santeur,  d'un  mouvement  uniformément  accéléré  dont  l'accélération 
était  connue  :  le  temps  néceitsaire  à  la  transmission  du  son  se  trou- 
vait ainsi  mesuré  '". 

'."  A  ce  mode  d'earegUtrement  des  temps  quj  correspoodeiit  au  cummenceoient  el  à  la 
fia  de  l'eipériEDce,  H.  Leroux  en  a  Hilwtitué  ua  aulre  fduï  précù  (ilnnaju  dt  chaut  rt 
dt  piynfiw,  fi'  «érie,  l.  XII).  —  DaDB  l'ai^reil  qui  a  é\i  emplojé  en  dernier  lieu. 


32  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

Les  expériences  exécutées  en  1788  aux  environs  de  Paris,  pour 
étudier  la  propagation  du  son  dans  une  atmosphère  indéfinie,  et 
surtout  celles  qui  furent  faites  en  189s,  par  la  méthode  des  coups 
alternatifs,  pour  éliminer  l'influence  de  la  direction  du  vent,  ont 
fourni  pour  valeur  de  la  vitesse  de  propagation,  à  la  température  de 
1 6  degrés,  le  nombre  34o'",89  P*^  seconde.  En  divisant  ce  résultat 
par  v/i  +aT,  on  trouve,  pour  la  vitesse  de  propagation  à  la  tempé- 
rature zéro,  une  valeur  sensiblement  égale  à  332  mètres. 

Quant  h  la  comparaison  des  résultats  expérimentaux  avec  les  in- 
dications théoriques,  on  peut  dire  que  les  observations  faites  dans 
les  régions  polaires  ou  équatoriales  indiquent  une  influence  de  la 

température  qui  s'accorde  avec  la  formule  théorique.  —  Les  valeurs 

C  ♦ 

dû  rapport  —  «  déterminées  par  des  expériences  directes  sur  les  effets 

calorifiques  de  la  compression  et  de  la  raréfaction  de  l'air  ^'^  diffè- 
rent sensiblement  de  celles  qu^on  déduirait  de  la  formule  de  Laplace, 
appliquée  au  nombre  339  mètres;  mais  la  différence  paraît  expli- 
cable par  le  défaut  de  précision  des  expériences  directes  ^*. 

rébranlement  donl  on  inesurail  la  vitesse  de  propagation  ëlait  produit  par  le  choc  d*iin  mar- 
teau sur  la  membrane  qui  fermait  la  branche  A  (fig.  999).  Un  petit  pendule  I,  quifaîsMt 
partie  à\\n  circuit  électrique,  était  écarté  de  la  verticale  par  Tébranlemenl  lui-méroc,  et 
produisait  ainsi  une  rupture  du  circuit,  au  moment  du  départ  de  Tonde  solitaire  qui  se 
propageait  dans  le  tuyau;  uu  pendule  semblable  1',  placé  contre  la  membrane  qui  fermait 
la  branche  B,  produisait  un  effet  semblable  au  moment  de  Tarrivée  de  celte  onde.  Enfin, 
une  disposition  convenable  faisait  éclater,  à  chacun  de  ces  deux  instants,  une  étincelle  d^in- 
duction  qui  laissait  sa  trace  sur  une  couche  de  substance  sensible  comme  celles  qu^oQ 
emploie  dans  la  photographie.  —  M.  Leroux  a  trouvé  ainsi ,  pour  valeur  de  la  vitesse  de 
propagation  dans  Tair  prc,  privé  diacide  carbonique,  et  à  la  température  zéro,  le  nombre 
33o*,66.  É.  F. 

^'^  Voir  le  cours  de  première  année,  tome  1",  p.  180  et  suiv. 

(>)  Des  expériences  de  M.  Regnault,  terminées  depuis  plusieurs  années,  mais  publiées 
seulement  en  1868  {Coinpten  rendu»  de  V Académie  de»  »cience»y  t.  LXVI,  p.  s 09),  ont 
conduit  à  des  résultats  qui  différent  en  plusieurs  points  de  ceux  qui  avaient  été  obtent» 
josque-l  1  sur  la  vitesse  de  propagation  du  son. 

Diaprés  la  théorie ,  une  onde  plane  devrait  se  propager  indéfiniment  dans  un  tuyau 
cylindrique  rectiligne,  en  conservant  la  même  intensité.  Les  expériences  de  M.  Regnault 
démontrent,  an  contraire,  que  Vintentité  de  Vonde  diminue  »ucce»»ivement ^  et  d^ autant  plu» 
vite  que  le  tuyau  a  une  phi»  faible  »ection.  —  Dans  ces  recherches,  on  produisait  des  ondes 
d^intensité  égale  avec  un  même  pistolet,  chargé  toujours  de  t  gramme  de  poudre,  à  Tori- 
fice  de  conduites  de  sections  très-différentes,  et  on  cherchait  à  reconnaître  la  longueur 
dn  parcours  au  bout  duquel  le  coup  ne  s'entendait  plus  à  Toreille.  On  cherchait,  de  phis. 


INTERFÉRENCES  DES  MOUVEMENTS  VIBRATOIRES.    33 

323.  Interférences  des  meu ventent»  vibrateires  qui 
produisent  les  sons.  —  Lorsque  plusieurs  mouvements  vibra- 
toires, capables  chacun  de  produire  un  son,  coexistent  dans  un 
même  milieu,  il  y  a,  en  chaque  point  et  à  chaque  instant,  superpo- 
sition des  petits  mouvements  dus  à  chacun  des  mouvements  vibra- 

à  délenniner  le  parcours,  beaucoup  plus  loug,  au  bout  duquel  Tonde  silencieuse  ceséait 
de  produire  une  impression  sur  des  membranes  disposées  de  manière  à  présenter  ane 
très-grande  sensibilité. — La  yrineipaU  cause  d^affaiblissemenl  de  Ponde,  dans  son  trajet, 
est  la  perte  de  force  vive  qu^ellc  éprouve  par  la  réaction  des  parois  élastiques  du  tuyau. 

L'expression  delà  vitesse  de  propagation  donnée  par  Lapiace  ne  contenait  pas  Texpres- 
sion  de  Tinlensité  de  Tonde.  D'après  une  formule  générale  donnée  par  M.  Regnault,  édite 
vitesse  doit  être  d'autant  plus  grande  que  Tintensité  de  Tonde  est  plus  considérable.  Or 
puisque,  dans  un  tuyau  cylindrique,  Tintensité  de  Tonde  va  successivement  en  décroissant, 
la  viteiH  de  propagation  doit  aller  en  diminuant,  à  mesure  que  Ton  considère  des  points 
plus  éloignés  de  Torigine.  C'est  ce  que  confirme  Texpérience;  et  on  trouve,  en  outre, 
que  les  vitesses  moyennes  /tmif f s,  c'est-à-dire  celles  qui  correspondent  à  Tonde  assez  affaiblie 
pour  ne  pins  marquer  sur  les  membranes,  ont  une  valeur  qui  diminue  avec  le  diamètre 
du  tuyau.  —  Dans  un  tuyau  ayant  un  diamètre  de  l'fio,  la  vitesse  moyenne  de  propa- 
gation, dans  Tair  sec  et  à  zéro,  pour  une  onde  produite  par  un  coup  de  pistolet  et 
comptée  depub  la  boucbe  dé  Tarme  jusqu'au  point  où  elle  est  tellement  affaiblie  qu'elle 
nMmpressionne  plus  les  membranes  les  plus  sensible,  est  de  33o"',6.  Dans  ce  même 
tuyau ,  la  vitesse  minima ,  celle  que  possède  Tonde  la  plus  affaiblie,  est  seulement  de  dSo'jdo. 

Selon  M.  Regnault,  Taflaiblissement  de  Tonde  ne  provient  pas  seulement  d^  la  perte  de 
force  vive  qui  a  lieu  à  travers  la  paroi  du  tUyau.  La  surface  du  tuyau  elle-même  parait  exer- 
cer sur  Tair  intérieur  une  autre  action,  diminuant  notablement  son  élasticité  sans  chan- 
ger sensiblement  isa  densité  :  diaprés  cette  action,  la  vitesse  de  propagation  d'une  onde 
de  même  intensité  dans' des  tuyaux  rectilignes  serait  d'autant  plus  faible  que  le  tuyau  aurait 
une  section  moindirs..  —  U  est  probable  que  la  nature  de  la  surface  exerce  une  in- 
fluence sur  ce  phénomène.  C'est  ce  que  confirme  un  fait  signalé  par  Texpérience  jour- 
nalière. Dans  les  égouls  de  Paris  qui  offrent  une  grande  section ,  on  prévient  les  ouvriers 
par  le  son  de  la  trompette;  or  on  a  reconnu  que  les  signaux  portent  incomparablement 
plus  loin  dans  les  galeries  dont  les  parois  sont  recouvertes  d'un  ciment  bien  lisse,  que 
dans  celles  qui  sont  formées  par  de  la  meulière  brute. 

Les  expériences  tendent  à  montrer,  en  outre,  que  la  vitesse  de  propagation  d'une  onde 
dans  un  gaz  est  kn  même,  quelle  que  toit  la  pression  que  le  gaz  supporte. 

Enfin  des  tuyaux  de  diverses  longueurs  (667  mètres  au  plus)  ayant  été  remplis  de  di- 
vers gai,  on  a  cherché  si  les  vitesses  de  propagation  sont,  ainsi  que  la  théorie  l'indique- 
rait, inversement  proportionneUes  aux  racines  carrées  des  densités.  L'expérience  a  montré 
que  cette  loi  peut  être  admise,  mais  seulement  comme  une  loi  limite,  à  laquelle  les  gaz 
satisferaient  exactement  si  on  les  mettait  dans  les  conditions  où  ils  se  comportent  cotnme 
des  gax'parfait». 

D'autres  expériences  faites  à  Tair  libre ,  par  la  méthode  dés  coups  de  canon  réciproques, 
ont  montré  que  la  vitesse  de  propagation  diminue  encore ,  dans  ce  cas,  à  mesure  que  le 
parcours  augmente. —  La  correction  de  température,  telle  qu'on  Tadmêt  généralement, 
parait  suffisamment  exacte.  E.  F. 

ViBDBT,  111.  —  Cours  de  phys.  II.  3 


Si  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

toîres,  ou  interférence.  —  C'est  ce  qu'il  est  aisé  de  constater  par  l'ex- 
périence, dans  quelques  cas  particuliers. 

Un  tuyau  bifurqu<'  ABC  (fig.  393)  étant  dloposé  de  façon  que  l'une 
«seulement  des  ouverlures  inférieures ,  B  par  eiemple,  soit  placée  au- 
dessus  d'une  plaque  vibrante ,  on  observe ,  si  les 
dimensions  et  la  position  du  tuyau  sont  conve- 
nables, un  renforcement  du  son  de  la  plaque; 
si  maintenant  on  place  les  deux  ouvertures  B, 
C  au-dessus  de  deux  régions  de  la  plaque  qui 
vibrent  simultanément  en  sens  opposé,  le  tuyau 
ne  produit  plus  aucun  effet  de  renforcement. 

Deux  tuyaux  T  et  T  (fig.  agi)-  présentant  des 

ouvertures  en  A  et  A',  communiquent  ensemble 

par  leur  autre  extrémité  B  :  ils  ont  été  réglés 

*'*'9S.  de  façon  que  chacun  d'eux,  placé  séparément 

au  voisinage  d'une  mâme  région  d'une  plaque  vibrante  P,  renforce 

le  son  qu'elle  produit;  on  établit  alors  la  communication  en  B, 


et  on  place  les  ouvertures  A  et  A'  de  part  et  d'autre  de  la  plaque  P 
mise  en  vibration  :  on  constate  que  le  renforcement  est  nul. 

HÉPLBXION  ET  REFRACTION  DU  SON. 

32A.  KéflexlaK  «I'um  ébMnlcBuni*  m  rextrteiHé  ferMéc 

d*un  tmjtm,  —  Kn  continuant,  comme  on  l'a  fait  plus  haut  (31 7), 
d'assimiler  la  propagation  d'un  ébranlement  dans  un  gai  aux  réac- 
tions successives  exercées  par  une  série  de  billes  élastiques  dont  l'une 
aurait  reçu  une  certaine  quantité  de  forces  vives,  on  est  conduit  à 
cette  conclusion  que,  à  l'extrémité  fermée  d'un  tuyau,  la  réflexion 
d'un  ébranlement  condensant  doit  être  assimilée  au  choc  d'une  bille 


RRFLEXiON  DU  SON.  35 

élastique  contre  un  obstacle  fixe.  Dès  tors  il  doit  y  avoir,  après  la 
réflexion ,  changement  de  signe  dans  la  vitesse  d'ébranlement  elle- 
même;  mais  l'ébranlement,  qui  se  propage  en  sens  inverse ,  demeure 
toujours  un  ëbranlement  condensant.  —  Dell,  par  analogie,  ofl£st 
conduit  à  admettre  que,  dans  la  r^xion  d'us  ébraolnD^it  Jâa- 
tant.  Il  doit  y  avoir  aussi  changeHMBt  de  signe  dans  ta  vitesse 
d'ébranlement,  mais  que  l'ébraiilemefit  réflédiî  doit  rester  dïrtaat. 
—  Ces  conclusions  sont  d'ailleurs  coaénnées  par  une  aiudyse  ng/m- 
reuse  et  par  les  vérifications  expérimentales  des  conséquences  qu'on 
en  peut  déduire. 

.H25.  RéOcKlaB  4'UH  ébranlemcKt  m  l'extrémlié  ouverte 
d'un  tu7Mi.  —  L'analyse  traite  rigoureusement  le  problème  de  la 
propagation  du  son  dans  deuK  tuyaux  de  diamètres  inégaux ,  AM ,  MB 
(fig.  395),  placés  à  la  suite  l'un  de  l'autre,  en  admettant  que  la 


pression  du  gax  n'éprouve  pas  de  variation.s  brusques  au  point  de  réu- 
nion M. — La  nécessité  de  celte  continuité  de  la  pression  est  d'ailleurs 
évidente,  car,  si  elle  n'avait  pas  lieu,  une  tranche  infiniment  mince 
de  gaz,  limitée  d'une  part  en  M  et  soumise  sur  ses  deux  laces  à  des 
pressions  différant  entre  elles  d'une  quantité  finie,  prendrait  une 
vitesse  infinie  en  un  temps  fini.  Il  faut  donc  d'abord  que  la  conden- 
sation varie  d'une  manière  continue  au  point  M,  comme  dans  toute 
l'étendue  des  tuyaux ,  et  que  la  variation  discontinue  des  vitesses  ne 
soit  pas  incompatible  avec  cette  condition. 

Or,  si  l'on  considère,  dans  les  deux  tuyaux ,  deux  plans  perpendi- 
culaires» l'axe,  PQ,  FQ' (fig.  3^6),  menés  à  des  distances  infiniment 
petites  du  point  M  ;  et  si  l'on  appelle  v  et  v',  à  un  instant  donné,  les 
vitesses  des  molécules  qui  se  trouvent  sur  ces  deux  plans,  o-  et  <t'  les 
sections  des  deux  tuyaux,  il  est  clair  que  vcrdt  exprime  le  volume  de 


36  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIOOE- 

gaz  (]ui,  pendant  un  lemps  infiniment  court  dt,  pénètre  par  le  plan 
PO  dans  l'esparc  infiniment  petit  PQI*'Q';  de  même,  v'ir'dt  ex- 
prime le  volume  qui  en  sort  par 
le  plan  P'Q'.  I^a  masxp  infiniment 
petite  FQP'O'  reçoit  donc,  dans 
le  temps  dt ,  un  accroissement 
proportionnel  h 

[v<r~-v'a-')dt. 

Si   l'on    veut   qu'il   n'en    résulte 
'''ï-  •s'^'  qu'un    accroissement    infiniment 

petit  de  densité,  compatible  avec  la  continuité  de  pression,  il  faut 
que  celte  expression  soit  infiniment  petite  du  second  ordre,  c'esl-à- 
dire  qu'en  appelant  v.  et  rÔ  les  limites  vers  lesquelles  tendent  t>  et  v',  à 
mesure  que  PQ  et  P'Q' se  rapprochent  indéfiniment  du  point  M,  on  ait 


En  partant  de  ces  conditions  et  des  propriétés  générales  des  gaz, 
on  démontre  : 

i"  Qu'un  ébranlement  produit  dans  la  partie  AM  (fig.  a^S) 
donne  naissance,  en  arrivant  au  point  M,  à  un  ébranlement  trans- 
mis dans  MB  et  à  un  ébranlement  réfléchi  dans  la  direction  MA; 

3'  Que ,  si  la  section  du  second  tuyau  est  très-grande  par  rapport 
à  celle  du  premier,  l'ébranlement  transmis  est  négligeable;  alors» 
dans  l'ébranlement  réfléchi,  la  vitesse  est  égale  en  grandeur  et  en 
signe  à  celle  de  l'ébranlement  incident ,  et  la  condensation  est  égale 
et  de  signe  contraire  '"  ; 

3*  Qu'il  ne  se  produit  au  point  M  lui-même,  dans  la  même  hy- 
pothèse, que  des  condensations  ou  dilatations  négligeables.  —  Cette 
troisième  proposition  est  une  conséquence  de  la  seconde ,  puisqu'en  M 
à  une  condensation  incidente  se  superpose  toujours  une  dilatation 
réfléchie ,  et  vice  venâ. 

11  est  naturel  d'étendre  ces  conséquences  au  cas  01^  un  tuyau  de 
petit  diamètre  débouche  dans  une  atmosphère  indéfinie.  Toutefois, 

W  C'est-à^lire  qup,  si  l'^hranlemenl  iacid«nl était  condeuMnl,  r^rtnlenieQl  réfléchi 
«st  dilatant,  et  réciproquenwnL 


RÉFLEXION  DU  SON.  37 

on  ne  doit  les  rejjarder,  dans  ce  cas,  que  comme  une  première  ap- 
proximation de  la  vérité. —  Le  fait  même  de  la  réflexion  d'un  ébran- 
lement à  l'extrémité  ouverte  d'un  tuyau  a  d'ailleurs  été  observé  direc- 
tement, dans  les  expériences  de  Biot  sur  la  vitesse  de  propagation  du 
son  dans  les  tuyaux  de  conduite  des  eaux  d'Arcueil.  Le  bruit  produit 
par  un  coup  de  pistolet,  à  l'une  des  extrémités  du  tuyau,  donnait 
naissance  à  plusieurs  sensations  perceptibles,  d'intensités  décrois- 
santes, après  des  intervalles  de  temps  t,  3(,  5(, 

326-   EfTetri  prsdulta,  dans  leit  turitux,  pitr  1»  supcrp*- 
•Ittsn  4e  l'onde  dlreete  et  de  l'onde  réfléchie.  —  Xœuda  Ame* 

et  Tcntree  flxea.  —  Il  résulte  de  ce  qui  précède  que,  s'il  se  pro- 
duit à  l'ouverture  d'un  tuyau  quelconque  un  mouvement  vibratoire 
continu ,  chacun  des  points  du  tuyau  doit  être  animé ,  à  chaque  ins- 
tant, d'une  vitesse  qui  est  la  résultonle  des  vitesses  dues  aux  diverses 
ondes,  directes  ou  réltécbies,  qui  s'y  propagent.  —  On  examinera 
d'abord  les  effets  produits,  soit  dans  les  tuyaux  fermés,  soit  dans 
les  tuyaux  ouverts,  par  la  superposition  de  deux  de  ces  ondes,  sa- 
voir :  Tonde  directe,  <]ui  est  due  au  mouvement  vibratoire  existante 
l'une  des  extrémités  du  tuyau,  et  l'onde  qui  a  subi  une  réflexion  à 
l'extrémité  opposée. 

1°   Tuyaux  fermé».  —  Si  la  courbe  MNPQ  (fig.  297)  représente,  à 
un  instant  donné,  la  distribution  des  vitesses  dues  à  l'onde  directe 


(319),  et  si  l'on  représente  par  la  courbe  ponctuée  RST  le  prolon- 
gement de  cette  onde  directe  au  delà  du  fond  YY'  du  tuvau,  il  est 
visible  que  la  courbe  R'S'T',  symétrique  de  celle-ci  par  rapport  à 
YY',  peut  représenter  l'onde  réfléchie,  à  la  condition  de  considérer 
les  vitesses  dues  à  l'onde  réfléchie  comme  étant,  en  chaque  point, 


38         -  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

égales  et  contraires  aux  ordonnées  de  cette  courbe.  —  Quant  aux 
condensations,  celles  qui  sont  dues  à  Tonde  directe  étant  propor- 
tionnelles aux  ordonnées  de  la  courbe  MNPQ,  on  voit  que  les  con- 
densations dues  à  l'onde  réfléchie  sont  proportionnelles  aux  ordon- 
nées de  la  courbe  R'S'T'.  et  de  même  signe. 

Or, aux  points  A,C,E,G,...,  qui  correspondent  aux  intersections 
des  deux  courbes,  la  vitesse  d'ébranlement  résultante  est  nulle,  puis-, 
qu'elle  est  représentée  par  la  somme  de  deux  vitesses  égales  et  de 
signes  contraires.  —  Au  contraire,  on  démontrera  facilement  que, 
en  ces  mêmes  points,  la  condensation,  d'ailleurs  positive  ou  néga- 
tive, est  plus  grande  en  valeur  absolue  que  dans  tous  les  autres  points 
du  tuyau  au  même  instant.  —  Il  est  aisé  de  voir  enfin  que  ces  points 
occupent  dans  le  tuyau  une  position  fixe,  indépendante  de  la  posi- 
tion particulière  que  l'on  a  donnée  à  la  courbe  MNPQ,  c'est-à-dire 
indépendante  de  l'instant  considéré  ;  si  l'on  désigne  par  X  la  longueur 
d'une  ondulation,  ils  sont  à  des  distances  du  fond  A  qui  sont  repré- 
sentées par 

A           I  ^          il 
O,        27'        IX  -  >        Dt' 

a  a  q 

On  donne  à  ces  points  le  nom  de  nœiid^  fixes;  ils  sont,  comme  on 
voit,  à  des  distances  successives  du  fond  qui  sont  les  multiples  pairs 
du  quart  de  la  longueur  d'onde. 

Aux  points  B,  D,  F, .. .,  qui  correspondent  aux  points  des  deux 
courbes  où  les  tangentes  sont  parallèles  entre  elles,  il  est  au  con- 
traire facile  de  voir  que  la  condensation  est  nulle,  comme  représentée 
par  la  somme  de  deux  ordonnées  égales  et  de  signes  contraires,  et 
que  la  vitesse  d'ébranlement  est  constamment  maximum  par  rapport 
à  celle  des  autres  points  du  tuyau  au  même  instant.  •—  Ces  points 
œcupent  encore  une  position  fixe  dans  le  tuyau ,  et  leurs  distances 
au  point  A  sont  représentées  par 

V     ^V     ^4 

On  leur  donne  le  nom  de  ventres  fixes  :  ils  sont  à  des  distances  suc- 
cessives du  fond  qui  sont  les  multiples  impairs  du  quart  de  la  longueur 
d'onde. 


RÉFLEXION  DU  SON.  89 

On  arrive  aux  mêmes  conséquences  en  partant  des  formules 
propres  à  représenter  les  deux  ondes.  —  Si  v=A  sin  aw  ^  est  la  vi- 
tesse imprimée  au  point  A,  à  l'instant  t,  par  l'onde  directe,  la  vitesse 
qu'apporte  cette  même  onde  directe  en  un  point  M  situé  à  la  distance  x 
du  point  A,  au  même  instant  t,  est,  d'après  ce  qu'on  a  vu  (319), 

tt=  Asinair  (x+  xJ' 
celle  qu'apporte  au  même  point  l'onde  réfléchie  est 

u  =  —A  sm  37r  (  f  ~"  T  )  î 
la  somme  de  ces  deux  vitesses  est 

M-).ei'=  A    sin  97r  (  j  +  t)  —  sinaTr  ff~5r)  I 

Cette  somme  exprime  la  valeur  de  la  vilesse  résultante  U,  en  sorte 
qu'on  a,  en  effectuant  le  calcul  indiqué, 

U  =  !iA  sin  971  Vcos  aiir-p* 

On  voit  immédiatement  que  cette  vitesse  est  constamment  nulle 

pour  les  valeurs  de  x  égales  aux  multiples  pairs  de  t>  c'est-à-dire 

aux  points  qu'on  a  appelés  les  nœuds Jixes;  et  qu'elle  est  au  contraire 
maximum,  en  valeur  absolue,  pour  les  valeurs  de  x  égales  aux 

multiples  impairs  de  7>  c'est-à-dire  auwentres  Jixes. 

De  même  la  condensation  produite  par  l'onde  directe,  en  un 
point  du  tuyau  situé  à  une  distance  x  du  point  A,  et  à  l'instant  t,  a 
pour  valeur 

^=^sina7r(|  +  f); 

la  condensation  produite  par  Tonde  réfléchie,  en  ce  même  point, 
est 

^=^sina,(~|); 


&0  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE, 

la  somme  est 

Cette  somme  exprime  la  condensation  A  dans  le  mouvement  résul-< 
tant ,  en  sorte  qu'on  a 

.        lk  X   .  t 

^=^  —  cos 27r  V sm  aw ^ • 
a  A  1 

On  voit  qu'elle  est  constamment  nulle  pour  les  valeurs  de  x  qui  dé- 
finissent les  ventres  fixes,  et  qu'elle  est  maximum,  en  valeur  absolue, 
pour  les  valeurs  de  x  qui  définissent  les  nœuds  fixes. 

9°  Tuyaux  ouverts,  —  Pour  passer  des  résultats  qui  précèdent  à 
ceux  qui  conviennent  aux  tuyaux  ouverts,  il  suffit,  pour  ce  qui  con- 
cerne l'onde  réfléchie,  d'appliquer  à  la  condensation  tout  ce  qui  a 
été  dit  de  la  vitesse,  et  réciproquement.  —  On  est  conduit  alors  à 
conclure  qu'il  se  forme  des  nœuds  fixes  à  des  distances  du  fond  re- 
présentées par 

O  T>         0  T'  •    •    •  ' 


\  f\  '\ 


et  des  ventres  fixes  à  des  distances  du  fond  représentées  par 

Si 

A  »   A  ^  A 

0 .     27^      'i  7  ^     D  7  ^  •  •  •  ; 

\  '\  a 

ces  systèmes  de  points  avant  d'ailleurs  exactement  les  mêmes  carac- 
tères  que  dans  les  tuyaux  fermés  ^^\ 

(')  On  doit  remarquer  que,  dans  les  deux  espèces  de  tuyaux,  la  vitewo  d*ébr«nlerooql 
aux  ventres,  qui  est,  à  chaque  instant,  maxima  en  valeur  absolue  par  rapporta  celles  dés 
•autres  points,  varie  avec  la  valeur  de  f ,  entre  les  limites  qA  et  -  9 A.  Elle  devientpëriodi- 

quement  nulle  à  des  intervalles.de  temps  représentes  parles  multiples  impairs  de  —  ;  à  ces 

instants,  la  \itesse  d^ébraulemcnt  est  nulle  à  la  fois  dans  tous  les  points  du  tuyau. 

Une  remarque  analogue  est  applicable  à  la  condensation  qui  se  produit  aux  nœuds:  elle 
est,  à  chaque  instant,  maxima  en  valeur  absolue  par  rapport  à  celle  des  autres  points  du 

tuvau ,  mais  elle  varie  avec  le  temps  (  entre  les  limites  —  et •  Elle  devient  përio- 

,         .  ^  "  .         T 

diquement  nulle  à  des  intervalles  de  temps  représentés  par  les  multiples  pairs  de  7;  à.cei 

instants,  la  pression  est  uniforme  on  tous  les  points  du  tuyau,  et  égale  à  la  pression 
extérieure.  E.  F. 


RÉFLEXION  DU  SON.  SI 

337..  ■Mtoxton  ématm  itn  fp»«e  IndéAMl.  —  L'examen  que 
l'on  vient  de  faire  de  la  réflexion  des  ^branlemenls  dans  les  tuyaux 
cylindriques  permet  de  se  rendre  compte  des  phénomènes  ofîeris 
par  la  réflexion  dans  un  espace  indéfini.  Les  lois  sont  d'ailleurs 
identiques  à  celtes  de  la  réflexion  de  la  lumière ,  en  sorte  que  l'on 
peut  constater,  par  exemple,  que  si  l'on  place  un  corps  sonore  à  l'un 
des  foyers  d'un  ellipsoïde  de  révolution  à  parois  rij^des,  on  obtient 
un  foyer  sonore  à  l'autre  foyer  de  l'ellipsoïde;  la  réflexion  des  ondes 
sonores  se  fail  alors  comme  celle  des  ondes  liquides  que  l'on  peut 
observer  dans  un  bain  de  mercure  contenu  dans  un  vase  elliptique, 
quand  on  produit  un  ébranlement  en  l'un  des  foyers  de  l'ellipse  qui 
forme  le  contour  du  vase. 

Le portMmœ  et  le  cornet  acoustique  ne  sont  que  des  applications  de 
la  réflexion  du  son  sur  les  parois  rifjides;  il  est  facile  d'en  concevoir 
refficacité,  pour  la  produclion  des  effets  particuliers  que  l'on  se  pro- 
pose d'obtenir. 

338.  EffeM  produlta  pur  I»  ■uperpsattlan  des  ondes  ril- 
met*»»  et  des  «nriM  rélléchlee,  «lana  un  eapaee  IndéAnl.  — 

Puisque  les  vitesses  correspondantes  à  un  même  ébranlement  vont  en 
décroissant,  dans  chaque  direction,  en  raison  inverse  de  la  distance 
au  centre  d'ébranlement  (320),  il  est  clair 
que  les  interfé'rences  produites  dans  un  milieu 
indéfini  doivent  être  moins  complètes  que  dans 
le  cas  d'un  tuyau  cylindrique.  Les  nœuds  et 
les  ventres  fixes,  qui  ne  se  distingueront  alors 
que  par  des  caractères  relatifs ,  occuperont  d'ail- 
leurs, sur  la  perpendiculaire  menée  du  corps 
sonore  à  la  paroi  réfléchissante,  des  positions 
sensiblement  correspondantes  à  celles  qui  ont 
été  définies  pour  les  tuyaux. 
'''  *'  '  Ces  conséquences  de  la  théorie  ont  été  véri- 

fiées par  A.  Seebeck,  en  employant  une  membrane  verticale  iwt 
(fig.  998),  tendue  sur  un  cadre  dont  on  a  figuré  la  section  en  A  et 
B-  et  en  appliquant  sur  cette  membrane  un  petit  pendule  p.  La  mem- 
brane étantiplacée  aux  divers  points  de  l'espace  dans  lequel  on  se 


i2  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

proposait  de  vérifier  la  distribution  des  nœuds  et  des  ventres,  la 
grandeur  des  impulsions  communiquées  au  pendule  donnait  une 
idée  des  valeurs  relatives  de  la  vitesse  d'ébranlement  transmise  par 
l'air  à  te  membrane. 

Si  maintenant,  un  corps  sonore  étant  placé  enS(fig.  999)  et  une 
paroi  réfléchissante  en  PQ,  la  membrane  mn  est  tendue  au  fond 
d'une  sorte  d'entonnoir  ABCD,  fixé  iui-méme  dans  un  vase  AMNB 


à  parois  très-solides,  el  si  l'appareil  est  tourné  de  façon  que  l'une 
des  deux  ondes,  soit  l'onde  directe,  soii  l'onde  réfléchie,  doive  le 
contourner  pour  arriver  à  la  membrane,  on  voit  que  les  vitesses 
apportées  par  cette  onde  sont ,  par  cela  même ,  changées  de  signe  :  les 
nœuds  paraissent  alors  occuper 'les  positions  dans  lesquelles  l'expé- 
rience précédente  avait  constaté  des  ventres,  et  réciproquement.  — 
Les  conditions  dans  lesquelles  se  trouve  la  membrane  «n,  duu  l'ap- 
pareil dont  on  vient  d'indiquer  l'usage,  sont  analogues  à  celles  que 
présente  la  membrane  du  tympan  dans  l'oreille  humaine:  c'est  faute 
d'avoir  fait  cette  remarque  que  divers  physiciens,  et  Savart  ea  par- 
ticulier, ont  commis  plusieurs  erreurs  dans  l'interprétation  des  phé- 
nomènes observés. 

Enfin  cette  expérience  oflre,  en  outre,  un  moyen  simple  de  séparer 
les  uns  des  autres  plusieurs  sons  de  hauteurs  différentes,  dont  la  co- 
existence constitue  un  bruit  dépourvu  en  apparence  de  tout  carac- 
tère musical;  chacun  des  sons  élémentaires  donnant  naissance  k  un 
système  particulier  de  nœuds  et  de  ventres,  on  peut  souvent,  en 
plaçant  l'oreille  à  diverses  distances ,  sur  la  perpendiculaire  menée 


TUYAUX  SONORES.  43 

du  corps  sonore  à  une  paroi  solide  oii  s'opère  la  réflexion,  entendre 
ces  divers  sons  prédominer  tour  à  tour. 

On  concevra  sans  peine  la  production  de  phénomènes  analogues, 
mais  plus  complexes,  par  l'interférence  des  ondes  directes  et  des 
ondé^  réfléchies,  dans  un  espace  limité  de  toutes  parts. 

329.  Réfraction  liu  «on. —  Lorsqu'un  ébranlement  se  trans- 
met d'un  milieu  dans  un  autre  ,  il  se  produit  une  réfraction  dont  les 
lois  sont  identiques  à  celles  de  la  réfraction  de  la  lumière,  c'est-à- 
dire  que  le  rapport  du  sinus  de  l'angle  d'incidence  au  sinus  de 
l'angle  de  réfraction  est  constant  et  égal  au  rapport  de  la  vitesse  de 
propagation  dans  lepremier  milieu  à  la  vitesse  de  propagation  dans 
le  second. 

Les  phénomènes  de  réfraction  du  son  ont  été  constatés  par  Sond- 
hauss;  en  mettant^ en  présence  d'un  corps  sonoi'e  une  sorte  de  len- 
tille biconvexe,  formée  par  deux  membranes  de  collodion  dont 
l'intervalle  est  rempli  par  de  l'acide  carbonique,  on  obtient  une  véri- 
table concentration  du  son  et  un  foyer  sonore.  —  Le  même  effet 
peut  être  réalisé  au  moyen  d'une  lentille  biconcave  remplie  d'hy- 
drogène. 

PRODUCTION   DU  SON  1»AR  LES   GAZ  (tUÏAUX  SONOREs). 

330.  Toutes  les  fois  qu'une  masse  de  gaz  limitée,  de  forme  quel- 
conque, est  ébranlée  d'une  manière  quelconque,  on  peut  considérer 
chacun  de  ses  points  comme  étant  l'origine  d'ondes  qui  se  propagent 
conformément  aux  lois  qui  viennent  d'être  indiquées  :  la  propaga- 
tion ,  la  réflexion  et  la  superposition  de  ces  ondes  donnent  donc  lieu 
à  un  état  de  mouvement,  variable  avec  le  temps,  qui  peut  être 
entièrement  déterminé  à  l'aide  des  notions  qui  précèdent.  —  On 
considérera,  en  particulier,  le  cas  où  le  gaz  est  renfermé  dans  un 
tuyau  cylindrique  de  petit  diamètre,  ouvert  à  une  extrémité,  ou- 
vert ou  fermé  à  l'autre. 

331.  Tuyaux  sonores. —  On  peut  employer  deux  procédés 
difiérents  pour  faire  vibrer  ou  parler  un  tuyau  : 


ai  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

1°  Une  impulsion  ou  aspiration  unique,  ou  une  succession  d'as- 
pirations ou  d'impulsions'"; 

g"  Une  action  continue,  produisant  à  l'une  des  extrémités  ou* 
vertes  des  vibrations  de  période  déterminée;  telle  est,  par  exemple, 
dans  les  tuyaux  à  embouchure  (/ej!tUe((ig.  3oo),  l'arrivée  conlinife  de 


l'air  qui  sort  par  la  lumière  a  et  vient  se  briser  contre  la  lèvre  supé- 
rieure b;  telle  est  aussi,  dans  le  sifflet  des  locomotives  (fig.  3oi), 
l'arrivée  de  la  vapeur  qui  sort  par  la  fente  circulaire  aa  et  vient  se 
briser  contre  le  bord  tranchant  bb  du  timbre  T. 

Quelle  que  soit  celle  de  ces  deux  méthodes  qu'on  emploie  pour 
f3ire  parler  un  tuyau ,  l'expérience  montre  qu'il  rend  les  mêmes  sons. 
' —  Il  est  facile  de  se  rendre  compte  de  celte  concordance.  Si  l'on 
place  à  l'extrémilé  ouverte  d'un  luyau  une  embouchure  qui  vibre 
d'accord  Hvec  le  son  que  rendrait  ce  luyau  sous  l'iniluence  d'un 
ébranlement  unique,  l'effet  du  mouvement  produit  à  l'embouchure 
pendant  la  durée  T  d'une  première  vibration  est  de  produire,  au 
bout  du  temps  T,  un  état  d'ébranlement  déterminé  dans  l'air  inté- 
rieur, et,  par  suite  de  la  forme  et  des  dimensions  du  tuyau,  cet 
ébranlement  lend  à  se  reproduire  de  lui-m^me  à  l'époque  sT;  mais 

'"  Oii  pameiitù  obtenir  uns  succession  rcf[ulivre  d'aspirations  ou  d'impulsions,  ji  l'aidv 
de  miii'iiiiisnieB  msgnélD-éleclri<|ues. 


TUYAUX  SONORES.  45 

la  succession  des  mouvements  qui  se  sont  produits  à  l'embouchure, 
entre  l'époque  T  et  l'époque  aT,  a  pour  effet  de  reproduire  une  se- 
conde série  d'ébranlements  qui  est  identique  à  la  première,  et  qui,  en 
s'ajoutant  à  elle,  double  la  valeur  de  la  vitesse  et  de  la  condensation 
en  chaque  point  du  tuyau,  et  ainsi  de  suite.  La  concordance  ré- 
pétée de  ces  diverses  actions  a  donc  pour  conséquence  un  renfor- 
cement des  vibrations  qui  va  en  croissant  avec  le  temps,  et  qui 
n'aurait  pas  de  limite  s'il  n'y  avait  pas  sans  cesse  diffusion  du  mou- 
vement dans  le  milieu  exférieur.  Si  la  période  de  l'embouchure  et 
celle  du  tuyau  ne  coïncident  pas,  il  n'y  a  plus  concordance  des  im- 
pulsions successives,  et  le  renforcement  est  moindre;  mais,  le  son 
d'intensité  maximum  étant  celui  qu'on  s'attache  à  produire  dans 
toutes  les  expériences,  on  voit  qu'il  est  indifférent  d'employer  l'un 
ou  l'autre  des  deux  procédés.  —  11  suffit  également,  à  la  rigueur, 
de  donner  Ja  théorie  correspondante  h  un  seul  des  deux  modes  de 
vibration. 

• 

332.   liOi»  empérintentales  relatlie*  aux  tuyaux  sonores. 

—  Lorsqu'on  opère  sur  des  tuyaux  dont  la  longueur  est  suffisam- 
ment grande  par  rapport  aux  dimensions  de  la  section .  et  dont  les 
parois  ont  une  épaisseur  suffisante,  on  constate  que  la  forme  ou  les 
dimensions  de  la  section  transversale  sont  sans  influence  sur  la  hau- 
teur des  sons  produits;  il  en  est  de  même  de  la  nature  ou  de  l'é- 
paisseur des  parois.  —  La  longueur  du  tuyau  et  la  nature  du  gaz 
qu'il  contient  sont  donc  les  seuls  éléments  dont  on  ait  à  déterminer 
l'influence. 

Une  étude  expérimentale,  faite  successivement  sur  des  tuyaux 
ouverts  et  sur  des  tuyaux  fermés,  conduit  aux  lois  suivantes  : 

* 

Tuyaux  ouverts.  —  i"  Pour  des  tuyaux  de  diverses  longueurs, 
les  nombres  de  vibrations  qui  correspondent  au  son  fondamental, 
c'est-à-dire  au  son  le  plus  grave  que  le  tuyau  puisse  rendre,  sont 
en  raison  inverse  des  longueurs. 

a*  Pour  un  même  tuyau  ouvert,  les  nombres  de  vibrations  qui 
correspondent  aux  divers  «ow«  harmoniques,  c'est-à-dire  aux  sons  de 
hauteurs  croissantes  que  l'on  peut  faire  rendre  successivement  au 


46  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

tuvau,  en  faisant  varier  la  vitesse  d'arrivée  de  l'air,  sont  entre  eux 
comme  les  nombres  entiers  de  la  suite  naturelle  i,  q,  3,  &,.... 

Dans  les  expériences  qui  servent  à  établir  ces  lois,  on  peut  d ail- 
leurs déterminer  les  positions  des  nœuds  fixes  en  opérant  avec  des 
tuyaux  prismatiques  dont  Tune  des  parois  est  formée  par  une  lame 
de  verre,  et  faisant  descendre  dans  ce  tuyau,  à  l'aide  d'un  (il  de 
soie,  une  petite  membrane  tendue  sur  un  anneau  rigide  et  cou- 
verte de  sable  fin;  on  voit  le  sable  s'agiter  en  tous  les  points  du 
tuyau,  sauf  en  certains  points  où  la  vitesse  de  vibration  est  cons- 
tamment nulle  :  ce  sont  les  nœuds  fixes, —  On  constate  alors  que^  si 
le  tuyau  rend  le  son  fondamental,  il  y  a  un  nœud  au  milieu,  et. en 
ce  point  seulement.  Si  le  tuyau  rond  l'un  quelconque  des  harmo- 
niques, les  nœuds  sont  équidistnnts  entre  eux,  et  la  distance,  du 
premier  ou  du  dernier  nœud  à  l'extrémité  du  tuyau  qui  est  la  plus 
voisine  de  lui  est  égale  à  la  moitié  de  la  distance  de  deux  nœudé 
consécutifs. 

Pour  constater  la  position  des  ventres  fixes,  et  vérifier  qu'ils  sont 
toujours  situés  à  égale  distance  de  deux  nœuds  consécutifs,  on  peut 
employer,  ou  bien  la  membrane  couverte  de  sable,  en  cherchant 
les  points  où  le  sable  présente  l'agitation  la  plus  vive,  ou  bien  des 
tuyaux  présentant  des  ouvertures  latérales  que  l'on  pourra  débou- 
cher à  volonté.  Dans  cette  dernière  manière  d'opérer,  les  ventres  se 
distinguent  alors  par  ce  caractère  que  la  condensation  y  est  nulle, 
et  qu'ils  peuvent  être  mis  en  communication  avec  l'atmosphère 
sans  que  le  son  soit  modifié. 

Tuyaux  fermés,  —  i  **  Le  son  fondamental  d'un  tuyau  fermé  est 
l'octave  grave  du  son  fondamental  d'un  tuyau  ouvert  de  même  loa- 
gueur. 

2**  Pour  des  tuyaux  fermés  de  diverses  longueurs,  les  nombres 
de  vibrations  qui  correspondent  au  son  fondamental  sont  en  raiison 
inverse  des  longueurs.  —  Cette  loi  est  une  conséquence  de  la  pré- 
cédente et  de  la  première  loi  relative  aux  tuyaux  ouverts. 

3*  Pour  un  même  tuyau  fermé,  les  nombres  de  vibrations  qui 
correspondent  aux  divers  sons  harmoniques  sont  entre  eux  comme  la 
série  des  nombres  impairs  t,  3.  5,  7, ...  . 


TUYAUX  SONORES,  47 

L'expérience  montre  que,  dans  le  cas  où  un  tuyau  fermé  rend  le 
son  fondamental,  il  y  a  un  nœud  fixe  à  l'extrémité  fermée  et  un 
ventre  fixe  à  l'extrémité  ouverte.  Quand  il  rend  un  harmonique 
quelconque,  les  nœuds  et  les  ventres  alternent  entre  eux  :  ils  sont 
situés  à  égales  distances  les  uns  des  autres,  dans  toute  la  longueur 
du  tuyau,  de  façon  que  l'ouverture  du  tuyau  corresponde  à  un  ventre 
et  le  fond  du  tuyau  à  un  nœud. 

.333.  Théorie  ûem  tuyaux  «onore*.  —  Lorsqu'un  mouve- 
ment vibratoire  se  produit  à  l'ouverture  d'un  tuyau,  l'onde  partie  de 
cet'e  extrémité  A  (fig.  Soa)  se  réfléchit  une  première  fois  à  l'extr^^- 


Fig.  3o9. 

mité  B,  soit^sur  la  paroi  rigide  si  le  tuyau  est  fermé,  soit  sur  l'air 
extérieur  si  le  tuyau  est  ouvert  (325).  L'interférence  du  mouvement 
direct  avec  le  mouvement  produit  par  cette  réflexion  tend  alors  à 
produire  le  système  de  nœuds  fixes  et  de  ventres  fixes  qui  a  été  étu- 
dié précédemment  (326).  Mais  l'onde  qui  a  subi  cette  réflexion 
en  B  vient  se  réfléchir  de  nouveau  en  A;  elle  peut  donc  être  consi- 
dérée alors  comme  une  nouvelle  onde  directe,  engendrant  à  son 
tour  une  nouvelle  onde  réfléchie.  Or,  si  l'état  de  l'onde  qui  a  subi 
ces  deux  réflexions  successives,  en  B  et  en  A,  est  identique  avec  celui 
de  l'onde  directe  primitive,  elle  produit,  par  son  interférence  avec 
l'onde  réfléchie  qu'elle  engendre,  c'est-à-dire  avec  l'onde  qui  a  subi 
trois. réflexions  successives,  en  B,  en  A  et  en  B,  un  mouvement 
identique  avec  celui  qui  résultait  de  l'interférence  de  l'onde  directe 
avec  l'onde  une  seule  fois  réfléchie.  On  en  pourra  dire  autant  de 
l'interférence  de  l'onde  réfléchie  quatre  fois  avec  l'onde  réfléchie 
cinq  fois,  et  ainsi  de  suite.  Tous  ces  mouvements  étant  concordants, 
leurs  vitesses  et  leurs  condensations  s'ajouteront,  et,  si  les  ondes 
réfléchies  étaient  réellement  égales  ^"  intensité  aux  ondes  directes, 
l'accroissement  du  son  n'aurait  pas  de  limite.  Mais  la  transmission 


48  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

partielle  des  vibrations  à  Tatmosphère  extérieure  implique  un  affai- 
blissement sensible,  à  chaque  réflexion.  La  superposition  d'un 
nombre  indéfini  de  mouvements  concordants,  mais  d'amplitudes 
indéfiniment  décroissantes,  donne  ainsi  naissance  à  un  son  dont 
l'intensité  ne  peut  croître  au  delà  d'une  certaine  limite;  on  doit 
regarder  cette  limite  comme  sensiblement  atteinte  au  bout  d'un 
temps  très-court,  si  la  longueur  du  tuyau  est  peu  considérable  rela- 
tivement à  la  vitesse  de  propagation  du  son.  —  Il  est  clair  d'ailleurs 
que,  si  les  effets  des  ondes  qui  ont  éprouvé  un  nombre  pair  de  ré- 
flexions ne  concordent  pas  avec  ceux  de  l'onde  directe ,  l'intensité  du 
son  doit  être  moindre. 

Cette  condition  de  concordance  détermine  donc  la  série  de  sons 
qui  est  caractéristique  d'un  tuyau  donné,  soit  dans  le  cas  des  tuyaux 
ouverts,  soit  dans  le  cas  des  tuyaux  fermés ^^^.  —  On  va  voir  que  cette 
série  s'en  déduit  très-simplement,  dans  chacun  de  ces  deux  cas. 

Tuyaux  ouverts.  —  Les  deux  réflexions  successives  en  B  et  en  A 
ne  changeant  pas  le  signe  de  la  vitesse,  et  les  deux  changements 
de  signe  de  la  condensation  se  compensant  l'un  l'autre ,  l'état  de 
l'onde  qui  a  subi  deux  réflexions  est,  au  point  A,  le  même  que  celui 
d'une  onde  qui  aurait  parcouru ,  sans  se  réfléchir,  un  chemin  égal  au 
double  de  la  longueur  du  tuyau.  Il  sera  donc  identique  à  celui  de 
l'onde  directe,  si  le  double  de  la  longueur  /  du  tuyau  est  égal  à  un 
nombre  entier  de  fois  la  longueur  d'ondulation  X  du  son  produit  à 
l'embouchure,  c'est-à-dire  si  l'on  a 

Or,  si  a  est  la  vitesse  de  propagation  du  son  dans  le  gaz  qui  rem- 
plit le  tuyau,  et  si  T  est  la  durée  d'une  vibration  complète,  on  a 

X  =  ^T, 

d'où  l'on  tire,  en  remplaçant  X  par  cette  valeur, 

T=I^'. 
n  a 

^'^  Voir,  à  la  6n  de  TAcoustique,  la  noil  complémentaire  A  sur  les  effets  des  réflexions 
multiples  du  son  dans  un  tuyau. 


TUYAUX  SONORES.  /i9 

Ëntin .  si  l'on  désigne  par  N  le  nombre  des  vibrations  effectuées 
en  une  seconde,  nombre  dont  la  valeur  n'est  autre  chose  que  j* 

on  pourra  mettre  cette* formule  sous  la  forme  qui  a  été  donnée  par 
Daniel  Bernoulli, 

Cette  formule  comprend,  comme  on  le  voit  immédiatement,  les 
deux  lois  expérimentales  indiquées  plus  haut  (332) ,  c'est-à-dire  :  i°  la 
relation  entre  la  longueur  d'un  tuyau  ouvert  et  le  nombre  de  vibra- 
tions du  son  fondamental  (  ce  nombre  étant  donné  par  la  valeur  de  N 
qui  correspond  à  w  =  i);  a"  la  loi  qui  régit  la  série  des  harmoniques. 

En  outre,  pour  chaque  valeur  de  n,  c'est-à-dire  pour  chaque 
harmonique  en  particulier,  les  ondes  qui  ont  subi  un  nombre  pair 
de  réflexions  étant  toutes  concordantes,  le  mouvement  de  l'air  en  un 
point  quelconque  du  tuyau  est  proportionnel  à  celui  qui  résulterait 
de  l'interférence  de  l'onde  directe  avec  l'onde  qui  a  subi  une  seule 
réflexion.  On  conclnt  de  là  que,  conformément  à  l'expérience,  les 
deux  extrémités  du  tuyau  sont  des  ventres,  et  que,  si  l'on  divise  la 
longueur  totale  en  quarts  de  longueur  d'ondulation,  les  points  de 
division  sont  alternativement  des  nœuds  et  des  ventres. 

Tuyaux  fermés,  —  Si  le  tuyau  est  fermé  en  B,  la  réflexion  en  B 
change  le  signe  de  la  vitesse;  la  réflexion  en  A  change  le  signe  de  la 
condensation.  Au  point  A,  l'état  de  l'onde  réfléchie  successivement  en 
B  et  en  A  est  donc  exactement  contraire  à  l'état  d'une  onde  qui  aurait 
parcouru  deux  fois  la  longueur  du  tuyau  sans  se  réfléchir  :  par 
suite,  il  est  identique  à  celui  d'une  onde  qui  aurait  parcouru,  sans 
se  réfléchir,  le  double  de  la  longueur  du  tuyau  augmenté  d'une 
demi-longueur  d'ondulation.  La  condition  de  concordance  est  donc 

d'oii  l'on  conclut,  en  raisonnant  comme  plus  haut,  la  formule  de 
Daniel  Bernoulli , 

Verdet,  m.  —  (lotira  (le  pliys.  11.  k 


50  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

Cette  formule  comprend ,  comme  celle  des  tuyaiix  fermés  :  i**  la  loi 
des  longueurs;  9°  la  loi  relative  à  la  série  des  harmoniques. 

En  compa.rant  les  deux  formules  entre  elles,  on  voit,  en  outre, 
que  le  son  fondamental  d'un  tuyau  fermé  doit  être  l'octave  grave 
du  son  fondamental  d'un  tuyau  ouvert  de  même  longueur. 

Enfin  on  peut  se  rendre  compte,  absolument  comme  il  a  été  dit 
pour  les  tuyaux  ouverts,  de  la  distribution  des  nœuds  fixes  et  des 
ventres  fixes. 

334.  Vitesse  du  son  dans  les  ffaz»  déduite  des  formules 
relatives  aux  tuyaux  sonores.  —  Les  formules  (|ui  précèdent 
permettent  de  calculer  la  valeur  numérique  de  la  vitesse  du  son  a, 
quand  on  a  déterminé  par  l'expérience  toutes  les  autres  quantités 
que  ces  formules  contiennent. 

Or,  si  l'on  fait  ce  calcul  pour  l'air,  en  employant  les  données 
fournies  par  un  tuyau  rendant  le  son  fondamental,  on  trouve  que 
le  résultat  est  en  général  inférieur,  de  près  d'un  sixième,  à  la 
vitesse  déterminée  directement  (322).  —  La  raison  de  cette  diffé- 
rence est  dans  l'évidente  inexactitude  des  hypothèses  relatives  à 
l'état  de  l'air  aux  extrémités  du  tuyau.  11  est  possible,  en  augmen- 
tant suffisamment  l'épaisseur  de  la  paroi  qui  bouche  l'extrémité 
d'un  tuyau  fermé,  d'obtenir  l'immobilité  presque  complète  de 
la  tranche  d'air  qui  est  en  contact  avec  elle;  mais,  au  voisinage 
d'une  extrémité  ouverte  et  surtout  au  voisinage  d'une  embouchure, 
il  n'est  pas  possible  que  le  mouvement  de  l'air  soit  exactement  pa- 
rallèle à  l'axe,  et  il  y  a  nécessairement  une  transition  entte  l'état  de 
l'air  extérieur  et  celui  de  l'air  intérieur. 

Deux  méthodes  ont  été  employées  pour  éliminer  l'influence  de 
cette  perturbation.  —  La  première,  employée  par  M.  Zamminer 
consiste  à  mesurer,  à  l'aide  d'un  piston  mobile,  la  distance  de  deux 
nœuds  successifs,  pour  un  harmonique  déterminé,  et  à  en  déduire 
la  valeur  de  la  longueur  d'ondulation.  —  La  seconde,  employée 
par  Wertheim,  consiste  à  déterminer  directement  l'influence  de  la 
perturbation  elle-même,  en  opérant  comme  il  suif. 

Sur  une  embouchure  donnée,  on  fixe  successivement  plusieurs 
tuyaux  ouverts,  de  même  diamètre,  mais  de  longueurs  différentes  : 


TUYAUX  ISONORES.  51 

si  les  perturbations  produites  à  Tembouchure  et  h  l'extrémité  ou- 
verte des  divers  tuyaux  sont  indépendantes  de  leur  longueur,  on 
pourra,  au  lieu  d'admettre  pour  chacun  d'eux,  dans  le  cas  du  son 
fondamental,  la  formule  générale 


poser 

/+«+/s  -v^;,. 

^ 

/'  +  «  +  /3    ^-,V 

• 

1"     i            1/2          ^"            ^ 

d'oii  l'on 

conclura 

•••••••• 1 

N(/-h«  +  )8)  =  N'(/'+«  +  ^)  =  N"(r+a  +  j8)=..., 

et  chacune  de  ces  équations  devra  donner  la  même  valeur  pour 
a +  13,  L'expérience  confirme  cette  hypothèse.  —  Des  expériences 
janalogues,  exécutées  sur  des  tuyaux  fermés,  à  fond  très-résistant, 
font  connaître  la  perturbation  a  due  à  l'embouchure  seule.  —  On 
trouve  d'ailleurs  que  a  et  /S  sont  toujours  des  quantités  positives, 

égales  à  des  fractions  assez  petites  de  j^  mais  d'autant  plus  grandes 

que  le  diamètre  du  tuyau  est  plus  grand. 

Les  détails  qui  précèdent  suffisent  pour  faire  concevoir  la  possi- 
bilité d'obtenir  une  mesure  exacte  de  la  vitesse  du  son  au  moyen 
des  résultats  de  ces  expériences  :  il  convient  de  réduire  autant  que 
possible  la  valeur  des  corrections,  en  opérant  sur  des  tuyaux  de  petit 
diamètre.  —  Le  calcul  des  anciennes  expériences  de  Dulong  fournit 
les  valeurs  suivantes  pour  les  vitesses  du  son  dans  divers  gaz  : 


Vitesse  du  son  dans 


'air 33îi" 

oxygène 817 

'hydrogène .  .  1 969 

'oxyd^de  carbone 887 

'acide  carbonique 9.6 st 

e  protoxyde  d'azote. .......  269. 

e  gaz  oléfiant 3 1  /i 


h 


52  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

335.   Conséquences  retotivee  «u  rapport  des  liciix 
leurs  spécifiques  des  sas,  et  oum  quantités  lie  ehaleur  qui 
eorresponiient  à  île  petites  wariations  lie  volume*  —  Les 

vitesses  du  son  dans  les  gaz  simples  étant,  à  deux  ou  trois  mètres 
près,  en  raison  inverse  des  racines  carrées  des  densités,  on  a  conclu 
de  ces  expériences  que,  dans  tous  les  gaz  simples ^  le  rapport  des  ifeti^ 
chaleurs  spécifiques  a  sensiblement  la  mime  valeur,  et  que  cette  valeur 
est  d'environ  i,4i.  —  H  convient,  sans  doute,  de  restreindre  cet 
énoncé  aux  gaz  qui  sont  très-éloignés  de  leur  point  de  liquéfaction. 
—  Pour  les  gaz  composés,  le  rapport  des  deux  chaleurs  spéci- 
fiques a  des  valeurs  différentes. 

Si  maintenant  on  calcule,  pour  un  gaz  quelconque,  au  moyen 
de  la  valeur  de  la  vitesse  du  son  fournie  par  les  expériences  que  Ton 
vient  d'indiquer,  la  valeur  de  la  chaleur  spécifique  à  volume  cons- 
tant c,  on  trouve  toujours  un  résultat  qui  satisfait  approximativement 
h  la  relation 

qui  est  une  conséquence  nécessaire  de  la  théorie  mécanique  de  la 
chaleur,  pour  les  gaz  où  le  travail  intérieur  est  nuH' . 

Si  maintenant  on  désigne  par  D^  la  densité  du  gaz,  on  peut 
mettre  la  formule  précédente  sous  la  forme 

Or  CUo  représente  la  quantité  de  chaleur  absorbée  par  l'unité 
de  volume  du  gaz ,  lorsque  sa  température  s'élève  d'un  degré  sous 
pression  constante,  et  rD^est  la  quantité  de  chaleur  absorbée  lorsque 
la  température  s'élève  d'un  degré  sous  volume  constant;  donc 
(C  —  c)  Do  est  la  quantité  de  chaleur  absorbée  par  l'unité  de  volume 
du  gaz  lorsqu'elle  se  dilate,  sans  variation  de  température,  d'une 
quantité  égale  à  la  dilatation  correspondante  à  un  échauRement 
d'un  degré.  La  formule  exprime  donc  un  théorème  que  l'on  peut 
énoncer  ainsi  : 

•'j   Voir  le  cours  de  première  ann«H*,  loin»^  1",  p.  saH. 


TUYAUX  SONORES.  53 

De  petites  dilatations  absorbent  des  quantités  égales  de  chaleur  dans 
tous  les  gaz  permanents,  pris  sous  la  même  pression. 

Cet  énoncé  est  d'ailleurs  évidemment  applicable  aux  quantités  do 
chaleur  dégagées  par  de  petites  compressions. 

Dulong  avait  déduit  de  ses  expériences  cette  conséquence  impor- 
tante, longtemps  avant  qu'on  eût  commencé  à  soupçonner  le  prin- 
cipe de  l'équivalence  du  travail  mécanique  et  de  la  chaleur. 

336.  lioi  relatiire  aux  sons  rendus  par  les  tujaux  dont 
les  diverses  dimensions  sont  des  grandeurs  de  même  ordre. 

—  Les  diverses  lois  qui  ont  été  énoncées  précédemment  (332)  ne 
sont  applicables  qu'aux  tuyaux  dont  la  longueur  peut  être  regardée 
comme  très-grande  par  rapport  aux  dimensions  de  la  section.  On 
doit  à  Savart  plusieurs  séries  d'expériences  sur  l'influence  de  la 
forme  ou  des  dimensions  des  tuyaux  qui  ne  satisfont  pas  à  cette 
condition.  —  Le  résultat  le  plus  important  auquel  aient  conduit  ces 
recherches  est  le  suivant  : 

Pour  des  tuyaux  de  formes  semblables  et  semblablement  embouchés, 
les  nombres  de  vibrations  du  son  fondamental  sont  inversement  propor- 
tionnels aux  dimensions  homologues. 

Cette  loi,  qui  a  été  établie  expérimentalement  par  Savart  en 
opérant  sur  des  tuyaux  de  forme  cubique,  de  forme  cylindrique 
ou  de  forme  sphérique ,  avait  d'ailleurs  été  entrevue  par  le  P.  Mer- 
senne  :  elle  s'applique  également  bien  aux  tuyaux  ouverts  et  «ux 
tuyaux  fermés. 

337.  Tujaux  m  anélies.  —  On  désigne  sous  le  nom  général 
d^anche  une  lame  élastique  mise  en  vibration  par  le  passage  rapide 
d'un  gaz,  et  placée  d'ordinaire  entre  un  tuyau  porte-^ent  T  (fig.  3o3 
ou  3  0  &  )  et  une  sorte  de  cornet  C  s'ouvrant  dans  l'air  extérieur,  et 
appelé  cornet  d'harmonie. 

Vanche  battante  est  représentée  à  la  partie  supérieure  de  la 
Bgure  3o3;  quand  l'air  n'arrive  pas  par  le  porte-vent,  elle  vient 
s'appliquer  sur  les  bords  d'une  rigole  demi-circulaire,  fermée  par 
une  plaque  horizontale  à  sa  partie  inférieure.  L'air  comprimé  dans 
le  porte-vent  par  la  soufflerie  ne  peut  s'échapper  qu'en  soulevant  la 


5i  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

lame  élastique,  qui  est  ensuite  ramenée  à  sa  positioB-prîiDiiive>par 

son  élasticité  même,  et  ainsi  de  suite.  De  U  une  série  de  vibrationMi 
dont  on  règle  la  hauteur  en  augmentant  ou 
diminuant  la  longueur  de  la  languette  :  eH 
emploie,  pour  cela,  une  ratette  formée  par  un 
fil  de  Ter  courbé  qui  fait  ressort  et  déter- 
mine la  longueur  de  la  partie  vibrante  de  la 
iame.  —  Dans  Vanche  libre  (fig.  3o/i),  la  lame 
vibrante  passe  librement  dans  une  ouverture 
par  laquelle  s'échappe  l'air  :  elle  oscille  de 
part  et  d'autre  du  plan  de  cette  ouverture, 
et  donne  des  sons  généralement  moins  stri" 
dents  que  l'anche  battante. 

Le  son  des  tuyaux  à  anche  résulte  dortc^ 
comme  celui  de  la  sirène,  des  passages,  et 
des  arrêts  alternatifs  éprouvés  par  l'air  qui 
tend  à  s'échapper  du  porte-vent.  L'air  -du 
cornet  d'harmonie  est  également  mis  en  vi- 
bration. Les  dimensions  du  cornet  ont  pour 
effet  de  modifier  la  hauteur  du  son  dans  cer- 
taines limites,  et  surtout  d'en  adoucir  aïngu- 

•     -T.  ■  .  lièrement  le  timbre. 

L'organe  de  la  voi\,  chez  l'homme,  se  rapproche  probablement 

iieaucoup  d'un  instrument  à  ancbc  libre. 


OOMPRKSSIBILITK    DKS   M (.K  IDES. 


338.  InflaeMse  de*  varlatlsB»  de  velwaie  des  vaaee»  djuia 
l'«t«4e  4e  I»  «empreMlMItté  dM  liquide».. —  L'ëtude  de  la 
comprcssîbilité  des  liquides  présente  toujours  de  grandes  difliiultës, 
à  cause  de  la  nécessité  où  l'oa  est  de  les  placer  dans  des  enveloppes 
solides,  (|ul  sont  toujours  modifiées  par  les  pressions  auxquelles  on 
les  Boumel. —  Les  variations  de  volume  de  l'enveloppe  interviennent 
d'ailleurs  do  deux  manières  différentes,  selon  que  la  pression  s'exerce 
seulement  à  l'intérieur  ou  qu'elle  ajpt  simultanément  à  l'intérieur  et 
à  l'extérieur. 

1°  Si  la  pression  s'exerce  seulement  à  l'intérieur,  l'enveloppe 
éprouve  un  accroissement  de  volume:  alors  la  diminution  apparente 
de  volume  du  liquide  est  égale  à  la  somme  de  la  diminution  de 

■  volume  réelle  du  liquide  el  de  l'accroissement  de 
volume  de  la  capacité  interne  de  l'enveloppe.  Gel 
accroissement  est  assez  considérable  dans  les  pié- 
lomètres  en  verre  peu  épfiis  dont  on  se  sert  gé- 
néralement, et  qui  se  composent  d'un  réservoir  R 
(fig.  3o5)  surmonté  d'un  tube  lin  T  dont  la  gra- 
duation indique  les  volumes  apparents  du  liquide. 
—  L'influence  de  l'accroissement  de  volume  du 
vase  deviendrait  moindre  si  l'on  donnait  aux  pa- 
rois une  épaisseur  plus  grande,  mais  elle  ne  de- 
viendrait jamais  assez  petite  pour  être  négligeable, 
^■t-  *»5.  a'  Si  la  pression  agit  à  l'intérieur  et  à  l'exté- 

rieur, le  volume  de  la  matiire  dupiézomi&e,  sous  l'influence  d^e  pres- 
sion exercée  sur  la  surface  tant  intérieure  qu'extérieure,  diminue  évi- 
demment d'une  fraction  qui  peut  être  regardée ,  entre  des  limites  plus 
ou  moins  étendues,  comme  proporiionnelle  à  la  pression.  —  Il  est 
facile  de  voir  que ,  si  cette  matière  est  bien  homogène ,  la  capacité  inlé- 
rieun  dans  laquelle  le  liquide  est  contenu  diminue  précisément  de 


56  ELASTICITE  ET   ACOUSTIQUE. 

la  même  fraction  de  sa  valeur  initiale;  car,  toutes  les  droites  que  Ton 
peut  concevoir  à  l'inlérieur  de  la  matière  de  l'enveloppe  jouissant 
alors  des  mêmes  propriétés  physiques,  leur  longueur  diminue  dans 
le  même  rapport,  en  sorte  que  l'enveloppe  demeure  géométriquement 
semblable  à  elle-même,  ce  qui  implique  que  la  capacité  intérieure 
diminue  comme  on  vient  de  l'indiquer.  —  Dès  lors,  si  l'on  mesu- 
rait exactement  la  diminution  d'une  dimension  linéaire  de  l'appareil, 
comme  cette  diminution  est  toujours  une  fraction  très-petite,  il  suf- 
firait de  la  tripler  pour  obtenir  une  valeur  suffisamment  exacte  de 
la  contraction  de  la  capacité  intérieure,  et.  en  ajoutant  le  nombre 
ainsi  obtenu  à  ta  compression  apparente,  on  aurait  la  compression 
réelle.  Mais  ce  procédé  direct  serait  d'une  application  très-difficile 
et  n'a  jamais  été  employé. 

Les  méthodes  indirectes  par  lesquelles  on  y  a  suppléé  ont  tou- 
jours été  insuffisantes,  soit  parce  qu'elles  impliquaient  des  formules 
théoriques  inexactes  ou  au  moins  douteuses,  soit  parce  qu'on  appli- 
quait à  une  enveloppe  donnée  des  coefficients  déterminés  sur  des 
tiges  de  verre  dont  la  constitution  physique  différait  de  celle  de 
l'enveloppe,  soit  enfin  par  ces  deux  motifs  à  la  fois.  —  On  peut 
dire  que  la  compressibilité  absolue  d'aucun  liquide  n'est  connue 
exactement;  on  verra  plus  loin  qu'il  est  seulement  permis  d'assigner 
deux  limites,  entre  lesquelles  est  comprise  la  compressibilité  de 
chacun  des  liquides  qu'on  a  étudiés  par  la  méthode  de  M.  Regnault. 

339.  Expériences  propres  m  e«iist»ier  la  eompreMrtMlité 

des  liquides,  sans  la  mesurer.  —  On  connaît  l'expérience  faite 
anciennement  par  les  académiciens  de  Florence  :  deux  boules  .\,  B 
(fig.  3o6),  réunies  par  un  tube  recourbé  T  et  remplies  d'eau,  comme 
l'indique  la  figure,  étaient  plongées,  l'une  A  dans  l'eau  bouillante, 
l'autre  B  dans  de  la  neige;  la  vapeur  d'eau  produite  du  côté  A  ve- 
nait exercer  sa  pression  sur  le  liquide  contenu  du  côté  B.  Le  niveau  h 
du  liquide  ne  parut  pas  changer,  d'où  l'on  conclut  qu'il  n'y  avait 
pas  diminution  du  volume  de  Teau:  mais  on  doit  remarquer  qu'il  y 
avait  nécessairement  condensation  de  la  vapeur  d'eau  à  la  surface  b, 
en  sorte  que  l'invariabilité  même  du  niveau  du  liquide  ét.iil  réelle- 
ment la  preuve  de  la  compressibilité  de  l'eau. 


r.OMPRESSlBlLlTÉ  DES  LIQUIDES.  S7 

Une  autre  expérience,  imaginée  par  Canton,  peut  être  facilement 
répétée  comme  ii  suit  :  on  construit  un  thermomètre  à  eau ,  avec  les 
pi^cautions  nécessaires  pour  en  expulser  entièrement  l'air;  on  le 
place  sous  le  récipient  de  la  machine  pneumatifjue,  et  l'on  observe  le 
niveau  du  liquide.  Lorsqu'on  laisse  rentrer  l'air  sous  le  récipient  de 
la  machine  et  qu'on  brise  en  même  temps  la  pointe  du  thermo- 
mètre, on  voit  le  niveau  du  liquide  descendre  d'une  petite  quantité: 
comme  d'ailleurs  la  pression  atmosphérique  agil  à  la  fois  à  l'inté- 
rieur p|  à  rp,\térieur,  la  capacité  interne  de  l'enveloppe  a  néuessai- 


w' 


rement  diminué,  en  sorte  que  l'abaissement  du  niveau  démontre 
que  le  volume  du  liquide  a  diminué  dans  un  plus  grand  rapport 
que  cette  capacité  interné. 

Enfin  on  doit  k  Perkins  l'expérience  suivante  :  un  vase  niétat- 
tique  de  bronze  PP'  (fig.  Soy),  offrant  une  résistance  considérable  et 
exactement  plein  d'eau,  contenait  une  tige  mince  de  métal,  passant 
à  frottement  dur  dans  la  boîte  à  cuir  CC;  la  boîte  à  cuir  était  d'ail- 
leurs pressée  elle-même  par  un  boulon  à  vis  EE'.  L'appareil  étant 
placé  dans  l'air,  on  avait  assujetti  h  frottement  doux,  sur  la  tige  AB, 
une  petite  rondelle  de  cuir  D.  qu'on  avait  fait  glisser  jusqu'à  ce 
qu'elle  vînl  toucher  le  boulon  fixe  EE'.  L'appareil  fui  alors  drhcendu 


5fi  ÉLASTIcriÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

ilaDs  U  mer,  jusqu'à  une  profondeur  d'environ  ^oo  mètres,  c'est-à- 
dire  soumis  à  une  pression  d'environ  loo  atmosphères.  Au  moment 
où  on  le  ramena  à  la  surface,  on  constata  que  la  rondelle  s'ëlait 
relevée  sur  la  tige,  à  o*,30  environ  de  sa  position  primitive  :  la 
ti^  s'était  donc  enfoncée  dans  le  vase  d'une  quantité  parfaitement 
appréciable.  —  Malheureusement  on  n'a  pas  tenu  compte,  dans 
cette  eip>riencu,  des  v.iria(ions  de  température  éprouvées  par  le 
liquide. 


'iliG.  ExpérIencMi  dniui  leimuelles  •■  m  (enté  de  Èmtmtârmr 
la  «•■ipreaBiMUté  de*  UqMM««.  —  Dans  la  méthode  employée 
par  OErsted ,  le  liquide  soumis  à  l'oxpérience  est  placé  dans  un  pii- 
:(irop/rf  formé  d'un  résenoir  de  verre  R,  surmonté  d'une  tige  gra- 
duée T  (lig.  .lo^).  Ce  liquide  est  limité  à  sa  parUe  sirpërieure  par 


nue  petite  coloime  de  mercure  m,  ou  uiieuic  par  une  bulle  d'air 
surmontée  d'un  index  de  sulfure  de  carbone.  Sur  la  plaque  métal- 
lique qui  porte  le  piézomèlre,  et  à  raté  de  lui,  est  un  tube  gradué 
l'onlenant  une  colonne  d'air  limitée,  qui  fonctionne  comme  un  ma- 
noitintre  à  air  comprimé.  La  plaque  qui  porte  ces  deux  appareils  est 
introduite  dans  un  grand  cylindre  de  »erro  plein  d'eau,  représenté 
par  lu  figure  3oy  à  une  échelle  |>liis  petite  :  on  comprime  le  liijuide 
iruiitenu  dans  le  cylindre,  au  moyen  du  piston  et  du  la  vis  <pii  sur- 


COMPHESSIBILITÉ  DES  LIQUIDES.  69 

montent  l'appareil.  L'observation  du  piézomètre  donne  la  variation  de 
voimne  apparente  du  liquide  qu'il  contient:  l'observalion  du  mano- 
inèlre  donne  la  pression  correspondante. —  GËrsted  supposait  à  tort 
t\ae,  la  pression  s*e\erçant  itimultanément  à  l'extérieur  et  k  Tintée 
rieur  du  piézomètre,  sa  capacité  intérieure  demeurait  invaiiable.. 


341.  Expériences  de  Ili.  BcgMRuK.  —  La  méthode  em- 
ployée par  M.  Regnault  a  pour  but  spécial  de  déterminer,  sur  l'en-r 
veloppe  même  qui  sert  auï  expériences,  les  coeUicients  de  compres- 
sîbilité  relalirs  au  verre,  coeilicients  qui  doivent  intervenir  dans  U 
«calcul  des  résultats. 

Le  réservoir  du  piézomèlre  C  (fig.  3io)  peut  communiquer  par  iç 
4nbe  8  avec  l'atmosphère,  ou  par  le  tube  T  avec  un  récipient  coate^ 
naiit  de  l'air  comprimé;  la  pression 
de  cet  air  est  d'ailleurs  mesurée  par 
un  manomètre.  —  L'inspection  seule 
de  b  ligure  permet  de  comprendre 
comment  le  jeu  des  robinets  R.  V, 
S,  U  permet  de  transmettre  à 
volonté  la  pression  de  l'air  du  ré- 
cipient, soit  à  l'intérieur  du  pié- 
zomètre ,  soit  à  l'extérieur,  soit 
simultanément  à  l'intérieur  et  à 
l'extérieur. 

Soient  V  le  nombre  de  divisions 
de  la  tige  du  piézomètre  auquel  est 
équivalente  la  capacité  intérieure 
du  réservoir,  jusqu'à  l'origine  'de 


agrai 


iduiilioi 


„  le  nombre  de  di- 


visions occupées  par  le  liquide  dans 
la  tige,  lorsque  la  pression  atmos- 
Fig  j„  phérique  agit  à  l'intérieur  et  à  l'ex- 

térieur; ti|,  %,  «3  les  nombres  de 
divisions  occupées  successivement  par  le  liquide,  d'abord  lorsque  les 
pressions  intérieure  et  extérieure  augmentent  de  P  atmosphères,  puis 
lorsque  la  pression  extérieure  seule  éprouve  cet  accroissement,  enfin 


60  ÉLASTICITÉ  ET  ACOLSTIQUE. 

lorsque  la  pression  intérieure  seule  l'éprouve  à  son  tour.  Désignons 
par  S  ie  coefficient  de  compressibilité  du  liquide,  cest-à-dire  la  frac- 
tion dont  son  volume  diminue  lorsque  la  pression  augmente  d'une 
atmosphère;  par  k  le  coefficient  de  compressibilité  cubique  de  l'en- 
veloppe, c'est-à-dire  la  fraction  dont  le  volume  de  la  matière  de 
cette  enveloppe  et  sa  capacité  interne  diminuent  lorsque  la  pression 
éprouve,  tant  à  l'intérieur  qu'à  l'extérieur,  un  accroissement  d'une 
atmosphère;  par  li  la  fraction  dont  la  capacité  interne  diminue  lorsque 
la  pression  extérieure,  seule  s'accroit  d'une  atmosphère,  et  par  /  la 
fraction  dont  la  capacité  interne  augmente  lorsque  la  pression  inté- 
rieure seule  s'accroît  d'une  atmosphère.  (Les  coefficients  A  et /dé- 
pendent de  l'épaisseur  de  l'enveloppe  et  de  sa  forme.)  —  En  égalant, 
pour  chacune  des  trois  expériences,  le  volume  du  liquide  à  celui  de 
la  capacité  de  l'enveloppe,  on  a  les  trois  équations 

(v  +  «„)(i--<yp)  =  (v+«,)(i-fcP), 

V  +  «.=  (V4-n5)(i-AP), 
(V  +  n„)(i    ^^P)=(V  +  «5)(,+/P). 

D'ailleurs,  on  peut  regarder  comme  évident  que  le  coefficient  k  est  ^al 
à  li  —  l,  en  sorte  que  la  troisième  expérience  n'est,  au  fond,  qu*une 
vérification  des  deux  premières,  destinée  à  s'assurer  si  les  pressions 
exercées  sur  le  verre  n'en  ont  pas  altéré  la  constitution  physique  ^'\ 

^''  Si  1*011  augmente  d*abord  la  pression  extérieure  de  P  atmosphères,  la  cipicité 
interne  de  Tenveloppe  diminue  de  la  firaction  AP;  si  Ton  augmente  alors  k  pression  inlé- 
ricurc  de  P  atmosphères,  il  en  résulte  une  dilatation  qu*on  peut  représenter  par  XP,  et 
romme  Peflct  dëfinilif  de  ces  deux  accroissements  de  pression  est  la  contraction  irP,  i 
«st  clair  que 

fe  =  /i   -X. 

Mais  on  peut  prouver  (|ue  X  ne  diffère  pas  de  /.  En  effet,  /P  exprime  Teffel  produit  par 
un  accroissement  P  de  la  pression  intérieure ,  lorsque  la  pression  extérieure  est  d*une 
atmosphère;  XP  exprime  Teiïet  produit  par  ce  même  accroissement,  lorsque  la  pressioa 
extérieure  est  de  (P  +  i  )  atmosphères. —  Or,  admettre  que  les  compressions  et  dilatations 
9ont  proportionnelles  aux  accroissements  de  pression,  c'est  admettre  implicitement 
que,  entre  les  limites  où  cette  proportionnalité  a  lieu ,  Teffcl  d'un  accroissement  de  pression 
est  indépendant  de  la  pression  actuellement  exeixée.  Il  résulte  de  là  que 

1*1  iNir  Huit*' 

k  -  /.   /. 


* 


COMPRESSIBILITÉ  DES  LIQUIDES.  61 

Il  suffit  donc  d'avoir  égard  aux  deux  premières  équations.  —  Or 
ces  deux  équations  peuvent  se  mettre  sous  la  forme 


V  H-  Wo  V  -4-  «„ 


V  -h  n„  V  -h  n. 


OU  par  approximation,  en  ayant  égard  à  la  petitesse  des  variations 
de  volume  correspondantes  aux  diverses  expériences, 


Il  suit  de  Ik  que  Ton  a 


V  -h  «.. 


.  1     /^o~/*,. 


et,  comme  A*  est  plus  petit  que  /i,  on  voit  que  Ton  a,  au  contraire. 
ou  bien 


On  obtient  donc  ainsi  deux  limites,  entre  lesquelles  est  nécessai- 
rement comprise  la  quantité  cherchée  S,  Pour  déterminer  la  valeur 
précise  de  cette  quantité,  il  faudrait  qu'une  théorie  justifiée  par 
l'expérience  établit  une  relation  entre  A-  et  A,  et  c'est  ce  qui  n'a 
encore  été  fait  avec  certitude  pour  aucun  corps.  —  La  quantité 

5  ^ ■*  est  ce  qu'on  appelle  la  compressihilité  apparente. 

M.  Regnault  a  étudié  la  compressihilité  de  l'eau  dans  des  piézo- 
mètres  en  cuivre  rouge,  en  laiton  et  en  verre;  il  a  obtenu,  pour  les 
compressibilités  apparentes,  les  nombres  suivants  : 

Piëzooièlre  en  cuivre  rouge o,ooou&()39 

en  laiton o,oooo468o 

PO  verre o,oooo443o 


62  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

La  compresaihilité  réelle  étant  plus  grande  que  la  compressibilitV^ 
apparente,  on  peut  conclure  de  là,  avec  certitude,  qu'elle  est  supé- 
rieure au  plus  grand  de  ces  trois  nombres,  c'est-à-dire  à 

o,oooo4685. 

—  On  pourrait,  en  ajoutant  les  valeurs  de  h  aux  valeurs  précédentes 
de  la  compressibilité  apparente,  obtenir  des  nombres  auxquels  la 
compressibîlîté  réelle  serait  certainement  inférieure;  mais  la  faible 
épaisseur  des  parois ,  dans  les  piézomètres  employés  parIVI.  Reghauu, 
a  rendu  h  tellement  grand,  que  cette  détermination  de  la  limite  su- 
périeure de  la  compressibilité  serait  sans  intérêt.  —  On  indiquera, 
plus  loin  comment  il  est  possible  de  calculer  une  limite  supérieure 
plus  approchée. 

M.  Regnault  a  trouvé,  de  la  même  manière,  pour  la  compressi- 
bilité apparente  du  mercure  dans  une  enveloppe  de  verre,  le  nombre 

0,000001  o3^'\ 

(')  Les  valeurs  des  compressibiliiés  absolues  qui  s*  trouvent  rapportées  dans  divers 
traités  de  physique,  comme  résultant  des  expériences  de  M.  Regnault  on  de  ses  élèves, 
ont  été  calculées  en  admettant,  entre  les  coefficients  ^*  et  h,  des  relations  déduites  d^anc 
théorie  qu'on  sait  aujourd'hui  être  inexacte.  (Voir,  à  la  fin  dp  TAcoustique,  la  ^9l^ 
complémentaire  B,  sur  la  compressibilité  des  liquides.) 


PROPAGATION    KT   PRODICTIOX 

DU  MOUVEMENT  VIBRATOIRE  DANS  LES  LIQUIDES. 


3&2.  Vatomp  ilié^gl^iwe  de  la  \Hemm^  de  propagation  du 
daMi  loa  IHiuideo.  —  En  partant,  romme  prëcëdemment 
(321),  de  ce  principe  que  ia  vitesse  du  son  a  est  égale  à  la  racine 
carrée  du  rapport  de  raccroissement  absolu  de  la  pression  à  J  ac- 
croissement absolu  de  la  densité,  on  est  conduit  à  la  formule 


-v^ 


dans  laquelle  g  désigne  l'intensité  de  la  pesanteur,  m  est  la  densité 
du  mercure,  D  la  densité  du  liquide,  H  est  une  hauteur  baronn!- 
trique  arbitraire,  et  e  désigne  la  diminution  de  volume  qui  correspond 
à  l'accroissement  de  pression  mesuré  par  cette  hauteur. 

Les  effets  calorifiques  de  la  compression  d'un  liquide  étant  d'ail- 
leurs à  peine  sensibles,  il  n'y  a  pas  lieu  de  tenir  compte  de  la  cha- 
leur dégagée  ou  absorbée  dans  les  mouvements  vibratoires. 

343.  HéternUBatioB  expérimentale  de  la  viteooe  ito  pro- 
pagatioa  du  son  dans  Teau.  —  Expérieneeo  de  M.  Colla- 

doM«  —  M.  Colladon  a  mesuré,  en  1897^  par  des  expériences  faites 
avec  Sturm,  sur  le  lac  de  Genève,  ia  vitesse  de  propagation  du 
son  dans  l'eau.  La  figure  3i  1  représente  la  disposition  adoptée  dans 
ces  expériences  :  une  cloche  (i,  plongeant  dans  l'eau  du  lac^  était 
ébranlée  par  le  choc  d'un  battant  B.  qui  était  mis  en  mouvement 
par  un  lerier  extérieur  L;  le  levier  était  d'ailleurs  «disposé  de  façon 
que,  k  l'instant  où  se  produisait  le  choc  du  battant  sur  la  cloche. 
une  mèche  M  fixée  au  levier  vtnt  enflammer  un  petit  tas  de 
poudre  P,  placé  à  l'avant  du  bateau  qui  portait  le  système.  A  une 
grande  distance,  une  sorte  de  cornet  acoustique  OM»  dont  le  pavil- 
lon M  était  fermé  par  une  membrane  tendue,  permettait  à  un  obser- 


6&  ÉLASTICITÉ   ET   ACOUSTIQUE. 

valeur,  dont  l'oreitlc!  était  placée  en  0,  H'enlenHpp  le  son  i\o  la 

cloche  transmis  par  le  liquide. 

D'après  ces  expériences,  la  vitesse  de  transmission  du  son  danb 
l'eau   serait  représentée  par  1 435  mètres ,  à  la  température  de 


8  degrés.  —  La  compressibilité  de  l'eau  n'étant  pas  exactement 
connue,  on  ne  peut  comparer  cette  valeur  à  la  valeur  théorique 
que  l'on  vient  d'indiquer  (3â2). 

3&  à .  Prml«ictl*n  dn  «•■!  pnr  les  liquides.  —  ExpérlcBecs 
de  Cmcnterd  d«  liwtBwr  «•  ezpérteneca  de  Werthelai.  — 

Cagniard  de  Latour  a  montré  qu'on  peut  faire  rendre  des  sons  i 
une  sirène  complètement  plongée  dans  l'eau ,  en  amenant  dans  la 
caisse  de  l'instrument  un  courant  d'eau  plus  ou  moins  rapide  :  cette 
expérience  prouve  que  les  liquides  sont  aptes,  comme  les  gat;,  à 
produire  et  à  propager  les  sons. 

Les  expériences  de  Wertheim  sur  les  vibrations  produites  par 
des  tuyaUK  sonores  entièrement  plongés  dans  l'eau  ont  permu 
de  calculer  la  vitesse  du  son  dans  ce  liquide,  par  une  méthode 
analogue  h  celle  r|ui  a  été  indiquée  pour  les  gaz.  —  Un  tuyau  ouvert 
T  (fig.  Sia),  à  embouchure  de  flûte,  est  placé  au  milieu  d'un 
l'éservoir  métallique  MN  qui  contient  de  l'eau.  Ce  tuyau  est  mis  en 
communication  ù  sa  partie  inférieure,  par  l'intermédiaire  du  tube  FC, 


MOUVEMENT  VIBRATOIRE  DANS  LES  LIQUIDES.       65 

avec  une  sphère  mélallique  contenant  également  de  i'eau ,  et  com- 
muniquant par  le  robinet  r  avec  un  réservoir  à  air  comprimé.  Enfin 
la  série  de  tubes  BDR,  dans  laquelle  est  interposée  la  pompe  fou- 


Fig.  3ts. 


lante  P,  met  en  communication  la  même  sphère  A  avec  l'eau  du 
réservoir  MN.  Cette  pompe  permet  donc  de  déterminer  un  courant 
d'eau  continu,  qui  est  chassé  de  la  boule  A  dans  le  tuyau  sonore 
par  le  lube  CF,  passe  dans  le  réservoir  MN,  et  revient  à  la  boule  par 
le  tube  EDB. 

Ces  expériences  conduisent  à  des  lois  semblables  à  celles  qu'avaient 
fournies  les  expériences  analogues,  faites  sur  les  colonnes  gazeuzes  : 
elles  conduisent  également  à  admettre  des  perturbations  analogues 
à  celles  qui  ont  été  signalées  plus  haut  (334),  aux  deux  extrémités 
du  luyau  sonore  ^'l  Ces  perturbations  ont  été  déterminées  directe- 
ment, parVVertheim,  îi  l'aide  de  la  méthode  dont  on  a  indiqué  le  prin- 
cipe, et  il  a  pu  alors  calculer  la  valeur  de  la  vitesse  du  son,  déduite 
des  nombres  de  vibrations  fournis  par  les  expériences.  —  La  valeur 
(|ui  résulte  de  ce  calcul  est  supérieure  de  plus  d'un  sixième  à  celles 
que  fournissent  les  expériences  directes.  Cette  différence  constitue 

<'^  Les  tuyaux  fermés  ne  peuvent  être  employés  dans  ces  expériences,  parce  qu'il  est 
impossible  de  donner  ù  la  paix)i  qui  en  forme  le  fond  une  résistance  suffisante  :  cette 
paroi  ne  peut  plus  être  considém»  comme  inéhrnnialilo,  sous  rinffuence  des  vilinitions  du 
liquide. 


Vbrdet,  1H.  —  Cours  de  phys.  11. 


o 


66  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

une  difficulté  dont  Tinteq^rétation  théorique  n'est  pas  complète- 
ment connue. 

3  /i5.  Réfraetion  du  son  à  1»  surface  de  séparation  d*uu 
liquide  et  d'un  saz.  —  La  réfraction  qu'éprouve  le  son  en  pas- 
sant d'un  liquide  dans  un  gaz ,  ou  réciproquement ,  peut  être  dé- 
montrée sans  peine  par  l'expérience  qui  consiste  à  concentrer  les 
ondes  sonores  au  moyen  d'une  lentille  biconcave  pleine  d'eau. 

On  remarquera,  en  outre,  que  les  ondes  produites  dans  l'eau  peu- 
vent toujours  se  transmettre  de  ce  liquide  à  l'air  :  au  contraire,  les 
ondes  produites  dans  l'air  et  arrivant  à  la  surface  de  l'eau  éprouvent 
la  réflexion  totale  lorsque  l'angle  d'incidence  est  tel  que  son  sinus  soit 
plus  grand  que  le  rapport  de  la  vitesse  du  son  dans  l'air  à  la  vitesse 
du  son  dans  l'eau  ^^K 

Enfin,  dans  le  petit  nombre  des  expériences  qui  ont  été  faites  sur 
ce  sujet,  on  a  toujours  constaté  que  les  sons  transmis  des  gaz  aux 
liquides  sont  remarquables  par  leur  faible  intensité  :  c'est  un  ré- 
sultat qu'il  était  facile  de  prévoir. 

^'^  L'interprétation  de  cette  loi,  qui  est  analogue  à  celle  que  suivent  les  ondes  lumi- 
neuses dans  les  circonstances  semblables,  sera  donnée  plus  loin. 


ÉLASTICITÉ   DES  CORPS   SOLIDES. 


3&6.   Cmwmmièr^  distlBCtlfii  de  l'étet  fluide  et  de  l'étet 

^,  —  Vital  fuide,  défini  souvent  d'une  manière  plus  ou  moins 
vague  et  généralement  insuffisante,  peut  être  considéré  comme 
Yétat  d'un  corps  dans  Uquel  l'équilibre  m  peut  exister  que  si  les  pressions 
sont  partout  normales  aux  éléments  sur  lesquels  elles  s'exercent.  —  Cet 
énoncé  revient  évidemment  à  considérer  l'état  fluide  comme  celui 
d'un  corps  dans  lequel  la  résistance  au  glissement  est  nulle.  De  cette 
définition  il  est  d'ailleurs  facile  de  déduire  la  démonstration  des 
deux  principes  fondamentaux  de  l'hydrostatique,  le  principe  de  Y^a- 
Hti  de  pression  en  tous  sens,  et  le  principe  de  ïégale  transmission  des 
pressions  ^^K  ^ 

Dès  lors,  l'étude  de  l'élasticité  des  fluides  se  réduit  à  l'étude  de 
leur  compressibilité,  et  l'on  a  vu  que  cette  étude,  très-peu  avancée 
pour  les  liquides,  a  été  au  contraire  poussée  assez  loin  pour  les  gaz. 
En  eifet  on  a  déterminé,  pour  quelques  gaz,  l'influence  que  la  tem- 
pérature elle-même  exerce  sur  la  relation  qui  existe  entre  la  pression 
et  la  densité  ^^^ 

Vétat  solide,  au  contraire,  peut  être  considéré  comme  Vétat  Jtun 
corps  dans  lequel  Véquilihre  peut  exister,  quoique  les  pressions  soient 
oêKques  aux  élémetits  sur  lesquels  elles  s'exercent.  —  On  voit,  dès  lors, 
que  les  pressions  sur  les  divers  éléments  peuvent  avoir  des  compo- 
santes tangentielles,  équilibrées  par  la  résistance  au  glissement  : 
l'énoncé  qui  précède  n'est  donc  qu'une  expression  plus  précise  do 

^')  Voyci  ]c  Court  de  Mécanique  de  Stiinn,  9*  ëJilion,  tume  II,  pa^^cs  981  et  suivantes. 

^*)  L'étude  complète  de  Pélasticité  ne  peut  être  conçue  sans  une  étude  complèle  des 
effets  de  la  chaleur  sur  les  corps,  et  réciproquenicnl,  car  il  est  bien  évident  que  Tétai 
d*un  corpa  dépend  à  la  fois  des  forcer  qui  agissent  sur  lui  et  de  la  condition  interne  (rela- 
tive prolMblemeni  aux  mouveinenta  des  molécules)  que  l'expression  numérique  de  la 
température  sert  à  définir.  —  Or,  pour  les  liquides,  de  même  que  pour  les  solides,  une 
telle  étude  est  i  peine  commencée.  On  ne  connaît  guère  les  effets  de  la  chaleur  que  sous 
des  presaioDS  voisines  de  la  pression  atmosphérique;  on  nr>  connaît  les  effets  des  forres 
méoiniques  qu'à  des  températures  voisines  de  léro. 


o. 


68  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

cette  propriété,  par  laquelle  on  définit  les  corps  solides  dans  l'en- 
seignement élémentaire,  d'avoir  une  forme  et  un  arrangement  mo- 
léculaire déterminés  ^^l 

347.  Caractères  particuliers  que  présente  l'étude  de 
l'élasticité  dans  les  corps  solides.  —  De  la  constitution  spé- 
ciale des  corps  solides  il  résulte  que  l'étude  de  l'élasticité  doit  pré- 
senter, dans  ces  corps,  une  complication  toute  particulière.  Il  n'est 
plus  nécessaire,  pour  qu'il  y  ait  équilibre  dans  un  corps  solide, 
qu'il  y  ait  uniformité,  soit  dans  les  pressions  intérieures,  soit  dans 
les  pressions  extérieures;  de  sorte  qu'on  peut,  par  exemple,  atteindre 
à  un  état  d'équilibre,  pour  un  cylindre,  en  le  pressant  seulement  sur 
ses  deux  bases;  ou  pour  un  ressort  hélicoïde,  en  exerçant  seulement 
des  pressions  sur  ses  deux  extrémités,  etc.  Il  semble,  dès  lors,  que 
le  nombre  des  expériences  à  faire  sur  ces  corps  soit  illimité. 

Une  analyse  exacte  des  conditions  dans  lesquelles  peut  se  trouver 
placé  un  corps, solide  a  montré  qu'il  suffirait  d'exécuter,  sur  chaque 
corps,  un  nombre  limité  d'expériences  déterminant  des  constantes 
caractéristiques,  pour  réduire  à  de  simples  problèmes  de  Mécanique 
toutes  les  questions  relatives  à  l'élasticité.  —  Cette  analyse  et  le 
développement  des  questions  qu'elle  conduit  à  poser  constituent  la 
théorie  mathànatt(jue  de  l'élasticité.  Par  elle-même,  cette  théorie  ne 
peut  fournir  la  solution  complète  d'aucune  question;  mais  elle  in- 
dique, d'une  manière  précise,  les  éléments  que  cette  solution  doit  ' 
emprunter  à  l'expérience. 

On  se  bornera,  dans  ce  cours,  à  exposer  les  résultats  fournis  par 
l'expérience  dans  quelques  cas  très-simples,  indépendamment  de 
toute  théorie,  et  à  indiquer,  d'une  manière  très-sommaire,  les  con- 
séquences les  plus  générales  de  l'analyse  théorique  dont  on  vient  de 
faire  connaître  le  but  et  la  portée. 

Il  est  essentiel  de  faire  remarquer  d'abord  combien  sont  grandes 
les  forces  quil  faut  appliquer  aux  corps  solides  en  général,  pour 

(')  Tous  les  degrés  intermédiaires  existent,  entre  In  fluidité  parfaite,  qui  n*apf>arlient 
peut-être  qu^aux  gaz,  et  Tétat  des  corps  tels  que  le  verre,  le  marbre,  les  métaux,  etc., 
auxquels  Tusage  a  réservé  le  nom  de  corps  solides.  Les  corps  qui  établissent  la  transition 
sont  désignés,  suivant  les  cas,  par  les  expressions  mal  définies  de  liquidée  viêqueux,  de 
matière»  pâteuiti,  do  matièi'ei  moHê9,  etc. 


ÉLASTICITÉ  DES  CORPS  SOLIDES.  69 

produire  une  déformation  appréciable;  cette  grandeur  «st  telle, 
que,  dans  la  plupart  des  cas,  on  peut  regarder  comme  négligeable 
la  pression  atmospbérique  qui  agit  sur  la  surface  des  corps  à  l'ori- 
gine des  expériences. 

348.  CoMippMMiMllM  «uMque.  —  Aucune  expérience  directe 
n'a  été  tentée  jusqu'ici  sur  la  compressibilité  cubique  des  corps  so- 
lides. —  On  ne  conçoit  guère  d'autre  disposition  expérimentale  que 
celle  qui  consisterait  à  comprimer  uniformément  la  surface  d'un  so- 
lide, par  l'intermédiaire  d'un  liquide  ou  d'un  gaz,  et  àniesurer  la 
contraction  de  ses  dimensions  linéaires.  Il  est  à  peine  nécessaire  de 
faire  remarquer  combien  il  serait  diflicile  de  réaliser  une  pareille 
expérience,  dans  des  conditions  telles  que  les  ré- 
sultats obtenus  fussent  vraiment  significatifs.  ' 


3^9.    Etude  expérimentale   des  allange- 
mentH  ppoduàts  sur  les  Bis  par  la  traction. 

—  L'appareil  représenté  par  la  figure  3i3  a  été 
employé  pour  étudier  les  lois  de  l'allongement 
qu'éprouvent  tes  fils  métalliques,  sous  l'influence  de 
tractions  considérables.  Le  fil  soumis  à  l'expérience 
est  placé  verticalement,  et  assujetti  à  sa  partie  su- 
périeure dans  un  étau  E  fixé  à  un  mur  solide  ;  il  est 
.-  serré  k  sa  partie  inférieure  dans  un  étau  semblable 

p    6    P        F,  qui  supporte  une  caisse  CC,  reposant  d'abord 
B|HH         sur  le  sol  par  des  vis  calantes.  C'est  dans  celte 
fl^^H         caisse  que  sont  placés  les  poids  P  qui  formeront  la 
fl|^^H^       cbai^e  destinée  à  allonger  le  fd.  —  En  donnant  à 
^^^^^^^ cette  cbarge  diverses  valeurs,  on  mesure  au  catbé- 
^^^^^^^^  tomètre  les  distances  de  deux  points  de  repère  m, 
M,  placés  sur  le  lil ,  au  voisinage  de  ses  extrémités. 
Pour  assurer  l'exactitude  des  résultats,  on  aura  soin,  avant  cfaaque 
expérience,  de  descendre  d'abord  les  vis  calantes  de  manière  qu'elles 
reposent  sur  le  sol,  et  qu'elles  soutiennent  la  caisse  au  moment  oiî  l'on 
y  place  les  poids  :  puis,  la  charge  étant  réglée,  on  fera  tourner  ces 
vis  de  manière  à  les  éloigner  lentement  du  sol  et  a  laisser  agir  la 


70  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

charge  saus  donner  de  secousse  au  til.  —  On  devra,  en  ou  Ire,  tenir 
compte  seulement  des  observations  dans  lesquelles  la  charge  aara 
été  supérieure  à  celle  qui  est  nécessaire  pour  redresser  le  fii  :  on 
sera  d'ailleurs  certain  qu'on  a  atteint  la  valeur  de  la  charge  qui 
redresse  complètement  le  (il,  lorsque  des  valeurs  plus  grandes  de 
la  charge  elle-même  produiront,  entre  les  deux  points  de  repère, 
des  accroissements  de  distance  variant  d'une  manière  régulière. 

D après  les  résultats  fournis  par  ces  expériences,  rallongement 
éprouvé  par  une  tige  métallique  bien  tendue  est  :  t"  proportionnel 
a  la  longueur ^^^;  3"  inversement  proportionnel  à  la  section;  3°  propor- 
tionnel à  la  charge;  4°  variable  d'un  solide  à  un  autre. 

Ces  diverses  lois  expérimentales  sont  évidemment  comprises  dans 
la  formule  générale 

^-m7' 

dans  laquelle  /  est  la  longueur  du  til,  s  sa  section;  M  est  un  coeffi- 
cient particulier,  caractéristique  de  la  matière  même  du  fil  et  de 
son  état  physique;  P  est  une  surcharge  déterminée;  X  est  rallon- 
gement correspondant. 

Le  coefficient  M  a  reçu  le  nom  de  coefficient  d'élasticité  de  traetim , 
ou  de  module  d'élasticité.  —  Si  l'on  veut  donner  une  interprétation 
a  cette  quantité  numérique,  on  voit  qu'en  faisant  5  =  1  et  X=/daps 
la  formule  qui  précède,  on  obtient  pour  le  poids  P  la  valeur  par- 
ticulière P  =  M.  On  voit  donc  que  le  coefficient  d'élasticité  peut  être 
considéré  comme  exprimant  le  poids  qui  serait  capable  de  doubler 
la  longueur  d'une  tige  de  même  nature  et  ayant  pour  sectioil  l'unité, 
si  les  lois  de  l'allongement  restaient  les  mêmes  jusqu'à  celte  limite  : 
cette  dernière  hypothèse  est  certainement  tout  à  fait  en  dehors  de 
la  réalité. 


350.   Yalewni  de*  «•elllcieiits  d'élasticité  de  traetl#A* 

—  Si  l'on  prend  pour  unité  de  longueur  le  mètre,  pour  unité  de 
section  le  millimètre  carré,  pour  unité  de  poids  le  kilogramme,  les 

^')  Oetie  loi  peut  être  regardée  comme  évidente  a  prinri  |K>iir  mi  Ht  homogène,  et  la 
vérification  expérimentale  qu^on  en  peut  faire  n^est  en  rcaliié  (|(riifi  moyen  de  s^assurer 
de  cette  homogénéité. 


ÉLASTICITÉ  DES  CORPS  SOLIDES.  71 

coefficients  d'élasticité  des  principaux  métaux  ont,  d'après  Werlheim, 
les  valeurs  suivantes,  pour  des  températures  comprises  entre  i5  et 
2  0  degrés  : 

Plomb 17Q7  à  i8o3 

Or 5584  à  8i3i 

Argent 71/io  à  7857 

Zinc 8734  à  903 1 

Palladium  .    9789  à  1 1759 

Cuivre.. 10619  à  124/19 

Platiae i55i8  à  17044 

Acier ,. 17278  à  19661 

Fer i86i3  à  20869 

Les  variations  considérables  que  l'on  observe  dans  les  valeur^  du 
coefficient  d'élasticité  d'un  même  métal  dépendent  principalement 
de  la  manière  dont  il  a  été  travaillé,  et  du  recuit  auquel  il  a  pu  être 
soumis. 

Entre  i5  degrés  au-dessous  de  zéro  et  a 00  degrés,  l'expérience 
a  montré  que  le  coefficient  d'élasticité  des  métaux  recuits  augmente 
à  mesure  que  la  température  s'élève. 

351 .  liimite  d*élastieité.  —  Lorsque  la  charge  employée  avec 
un  fil  déterminé  dépasse  une  certaine  limite,  variable  d'ailleurs 
d'un  fil  à  un  autre,  il  se  produit  un  allongement  permanent,  c'est-à- 
dire  que  ce  fil  ne  reprend  plus  sa  longueur  primitive  quand  on  vient 
ensuite  à  supprimer  la  charge  :  on  dit  alors  qu'on  a  dépassé  la  limite 
d'élasticité.  —  Les  lois  exprimées  par  la  formule  qui  précède  sont 
d'ailleurs  encore  applicables  au  fil  ainsi  modifié,  pourvu  que  l'on 
désigne  par  X  l'excès  de  l'allongement  temporaire  sur  l'allongement 
permanent. 

Le  temps  pendant  lequel  la  traction  se  continue  exerce,  sur  la 
production  de  l'allongement  permanent,  une  influence  remarquable. 
—  M.  Vicat  a  observé,  sur  des  fils  de  fer,  un  allongement  progressif 
pendant  près  de  trois  ans;  Wertheim,  à  l'aide  de  mesures  très- 
précises,  a  pu  faire  des  observations  analogues  sur  la  plupart  des 
métaux ,  en  laissant  agir  la  charge  pendant  quelques  jours.  —  Il  est 
probable  qu'il  n'existe  pas,  à  proprement  parler,  pour  les  métaux. 


72  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

de  limite  d'élasticité,  et  que  les  plus  faibles  charges  produiraient  un 
allongement  permanent,  si  on  les  laissait  agir  assez  longtemps. 

Enfin  un  accroissement  suffisant  de  la  charge  a  pour  conséquence 
la  rupture.  —  Il  n'existe  pas  de  relation  générale  entre  la  résistance 
à  la  rupture  et  le  coefficient  d'élasticité.  L'expérience  montre  d'ail- 
leurs que  la  rupture  peut  être  produite  par  l'action  prolongée  d'une 
charge  que  le  métal  était  d'abord  capable  de  soutenir. 

On  peut  remarquer  que  le  phénomène  de  la  rupture  accuse  un 
défaut  d'homogénéité  dans  la  structure  moléculaire  :  un  fil  parfaite- 
ment homogène  devrait  se  réduire  en  poudre,  au  lieu  de  se  séparer 
en  deux  fragments.  —  Cette  simple  observation  suffit  pour  expliquer 
l'extrême  variabilité  de  résistance  à  la  rupture  que  présentent  sou- 
vent divers  échantillons  d'un  même  métal. 

352.  Contraeiion  tranaYersale  aeeompaurni^nt  Talloii- 
K^emeni  produit  par  la  traction.  —  Lorsqu'on  opère  sur  les 
matières  très-extensibles,  telles  que  le  caoutchouc,  on  observe,  sans 
aucune  difficulté,  qu'un  allongement  produit  par  la  traction  est 
accompagné  d'une  contraction  transversale.  —  Sur  les  autres  corps 
solides ,  on  a  pu  constater  le  même  phénomène  de  deux  manières 
différentes. 

i**  Métlwde  de  Cagniard  de  Latour,  —  Dans  l'intérieur  d'un  tube 
cylindrique  plein  de  liquide  AB  (fig.  3 1  à  ),  on  place  le  fil  à  étudier; 
on  le  scelle  dans  le  fond  M  du  tube,  et  on  fait  agir  sur  lili  une  trac- 
lion,  par  l'intermédiaire  d'un  poids  P  et  d'un  système  de  poulies  S, 
S\  disposées  à  la  partie  supérieure.  L'abaissement  du  niveau  A  du 
liquide  dans  le  tube  indique  que  le  volume  de  la  portion  immergée 
du  fil  a  diminué,  et,  par  conséquent,  que  le  diamètre  transversal 
s'est  contracté.  —  On  doit  à  Cagniard  de  Lntour  une  série  de  me- 
sures destinées  à  évaluer  numériquement  les  divers  éléments  du 
phénomène  :  les  conditions  mêmes  dans  lesquelles  il  se  produit 
rendent  à  peu  près  impossible  toute  détermination  précise. 

a"  Méthode  de  M.  Regnault,  appliquée  par  Wertlieim.  —  Un  cylindre 
creux  PQ  (fig.  3 1 5),  formé  par  un  tube  métallique,  par  exemple,  et 
rempli  d'eau,  est  soumis  à  une  traction  longitudinale;  pour  cela, 
il  est  assujetti  à  ses  extrémités  dans  des  pièces  métalliques  a,  b,  qui 


ÉLASTICITÉ  DES  CORPS  SOLIDES.  73 

sont  destinées,  l'une  à  appliquer  la  charge,  l'autre  à  pcrmetlre  de 
fixer  le  svNlèmfî  dans  l'appareil  tic  suspension.  On  mesure  l'allon- 
gement du  cylindre,  par  la  méthode  indiquée  plus  haul{3i9);  quant 


4- 


à  l'abaissement  du  niveau  de  l'eau,  pour  plus  d'exactitude  on  l'ob- 
serve dans  un  tube  de  verre  capillaire  t  qui  surmonte  le  cylindre.  La 
seconde  mesure  fait  connaître  lo  variation  du  volume  intëiieur,  et. 
en  lu  combinant  avec  la  m^ure  de  l'allongeinent,  il  est  facile  de 
calculer  ie  changement  du  dranièire  transversal  interne;  ce  chan- 
gement est  toujours  une  contraction. 

On  a  prétendu  que  ie  rapport  de  la  contraction  transversale  à 
l'allongement  avait  la  même  valeur  dans  tous  tes  corps.:  cette 
assertion,  très-improbable  a  priori,  n'est  pas  justifiée  par  les  expé- 
riences connues. 

353.  CvmprcMdoM  longltudinalct  —  L'étude  expérimen- 
tale de  la  compression  longitudinale  qui  se  produit  dans  les  corps 


"S  KLASTIGITÉ  ET  ACOUSTIQUE, 

solides,  quand  on  les  soumet  à  une  pression  dans  le  sens  de  leur 
plus  grande  dimension,  présente  des  dilTicultés  particulières  :  il  est 
en  effet  presque  impossible  d'éviter  la  flexion  qui  résulte  alors  né- 
cessairement du  moindre  défaut  de  symétrie  ou  d'homogénéité  dans 
le  corps. —  La  proportionnalité  de  l'allongement  à  la  charge,  qui 
s'observe  dans  les  expériences  de  traction,  entre  certaines  limites, 
riutorisc  à  admettre  que,  entre  ces  m4mes  limites,  le  racn>urcisse- 
ment  produit  par  la  compression  est  égal  et  de  signe  contraire  à 
rallonfjemenl  produit  par  une  égale  traction. 

354.  Flexion.  —  Pour  ce  qui  cuneerne  la  fleiîoa,  on  se  bor- 
nera à  l'indication  sommaire  de  deui  cas  très-simples  :  l'étude  dé- 
taillée du  phénomène  constitue  un  des  chapitres  principaux  de  la 
MtVa  nique. 

1°  Ver^  piinitilrée  par  une  de  tes  extrémtéi.  —  On  dît  qu'une 
verge  esl  rncantrée  par  nne  de  ses  extrémités,  lorsque  cette  p\tré- 
mile  est  assujettie  de  telle  manière  que  la  direction  du  premier 
l'-lémenl  libre  de  la  verge  soit  invariable.  —  Si  l'on  assujettit  de 
•  elle  manière  une  verge  AB  (fig.  3i(>),  à  son  extrémité  A,  de  fa- 


<;fiii  (|ui>  le  premier  l'ii'nieni  qui  suit  le  point  A  soil  mainli-iiii  iiiva- 
rrablenienl  dans  une  position  hortîontalr.  e|  qu'on  applique  à  l'autn* 
eïirémilé  B  un  |ioids  P,  re\p<''ri<>ncc  tiionln<  que  le  dépliicenienl  de 
l'exlréiniti'  libre  esl  projutrlioHiirl  m  la  rlrirgr  et  pmjmrt'tnnttfl  un  nihf 
de  In  limijneur.  —  Si  la  section  di*  la  vergi'  esl  recliingiilain'.  le 
déplacement  est  en  ntiton  invenif  du  produil  de  In  «wIioh  ^xir  le  ravrf 
lie  l'ffHi'iMCttr. 


ÉLASTICITÉ  DKS  OOKPS  SOLIDES.  75 

a'   Vei^e  reposant  tur  deux  appui»  voisina  de  se»  exirémitis.  —  Si 

l'on  place  une  verge  sur  deux  arêtes  vives,  situées  dans  un  même 

plan  horiiontai ,  de  manière  que  les  points  d'appui  A  et  A'  (  (ij;.  3 1 7  ) 


soient  voisins  de  ses  extrémités,  et  si  l'on  applique  en  son  milieu  B 
un  poids  P,  l'expérience  montre  que  la  flèche  de  flexion  varie  sui- 
veml  les  mêmes  lots  que  le  déplacement  de  l'eitrétnité  libre  dans  le 
cas  précédent  :  pour  les  mêmes  vuleurs  de  la  charge,  de  la  longueur 
et  de  la  section,  la  valeur  numérique  de  la  longueur  de  la  flèche  est 
différente. 

Lorsqu'une  verge  n'est  soumise  qu'à  des  forces  perpendiculaires  à 
son  axe,  qui  l'infléchissent  très-peu,  on  peut  admettre  que  les  mo- 
lécules qui  se  trouvaient,  à  l'état  naturel,  contenues  dans  une 
même  section  perpendiculaire  à  l'axe ,  y  demeurent  contenues  après 
la  flexion.  Il  suit  de  là  que  toutes  les  droites  qui  éiaient  primitive- 
ment parallèles  à  l'axe  présentent  le  même  système  de  courbure,  et, 
comme  d'ailleurs  l'action  de  forces  perpendiculaires  à  l'axe  ne  saurait 
produire  un  allongement  ou  un  raccourcissement,  il  est  nécessaire 
que  la  longueur  moyenne  de  ces  diverses  droites  soit  la  même  avant 
cl  après  la  flexion.  Parmi  les  filets  moléculaires  dont  on  peut  con- 
cevoir que  la  vei^e  est  formée,  il  y  en  a  donc  qui  augmentent 
de  longueur  et  d'autres  qui  diminuent  :  c'est  la  tendance  de  tous 
ces  filets  à  reprendre  leur  longueur  primitive  qui  est  lu  cause  de  la 
résistance  à  la  flexion.  —  Cette  remarque  a  permis  à  Euler  de  dé- 
duire les  lois  de  la  flexion  de  celles  de  l'allongement,  antérieurement 
à  toute  expérience. 

Les  lois  qu'on  vient  d'indiquer  nionlmiit  que,  à  mesure  que  la 


76  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE, 

section  des  verges  diminue,  la  résistance  à  la  flexion  diminue  aussi; 
on  comprend  donc  (|iie,  |)ar  une  réduction  indéfinie  de  ses  dimen- 
sions transversales,  toute  verge  tend  à  se  transformer  en  un  fil  ou  en 
une  corde  parfaitement  flexible,  qui  n'a  de  forme  déterminée  qu'au- 
tant que  des  tensions  égales  et  opposées  agissent  sur  ses  extrémités. 
—  Le  problème  de  l'équilibre  d'une  corde  flexible  appartient  h  l'étude 
de  U  Mécanique;  les  lois  des  vibrations  qu'elle  exécute  quand  on 
lecarte  de  cette  position  d'équilibre  seront  étudiées  plus  loin. 

^{55.   TorsloB.  —  E«yériw—  «le  C7««l*mb.  —   L'étude 

ili','.  lois  i\i'  la  torsion  a  été  faite  d'abord  par  Coulomb  :  les  expé- 
riences ont  été  exécutées  spécialement 
sur  àea^U  mélailiqiies,  par  ia  miOMie 
den  otciUalions. 

Un  Til  AB  (fig.  3i8),  fixé  par  son 
extrémité  supérieure  A,  soutient  une 
sphère  métallique  G,  dont, le  poids  est 
très -considérable  par  rapport  k  relui 
du  fil  ;  à  celle  sphère  est  fixée  une  ai- 
guille horizontale  M,  mobile  sur  un 
cadran  divisé  MN.  —  Après  avoir  laissé 
le  fil  prendre  une  position  d'équilibre, 
on  déplace  l'extrémité  libre  de  lai- 
fpiille,  de  manière  k  lui  faire  décrire 
un  arc  plus  ou  moins  considérable  sur 
le  cercle.  Le  fil  est  ainsi  tordu  d'un 
angle  connu,  et  l'on  abandonne  alors 
l'extrémité  de  l'aiguille  à  elle-m^me  : 
elle  exécute,  autour  de  sa  position  d'é- 
quilibre, des  oscillations  dont  on  ob- 
serve la  durée. 

L'expérience  montre  que  la  durée  des 
oscillations  est  indépendante  de  leur  amplitude,  et  cela  entre  des 
limites  très-élendues.  On  en  conclut  c|ue  la  force  de  torsion  est,  à 
chaque  instant,  proporltoHuelk  à  l'utile  de.  tonioii,  de  même  que, 
dans  les  oscillations  infimmenl  petites  et  isochrones  d'au  pendule 


ÉLASTICITÉ  DES  CORPS  SOLIDES.  77 

la  composante  elTicace  de  l'action  de  la  pesanteur  est,  à  chaque 
instant,  proportionnelle  à  l'angle  d'écart.  —  Dès  lors,  si  l'ondi^- 
signe  par  T  la  durée  d'une  oscillation,  par  F  le  moment  du  couple 
de  torsion,  par  M  le  moment  d'inertie  du  système  oscillant,  qui 
se  réduit  sensiblement  à  celui  de  la  sphère  C,  la  formule 

permet  de  calculer  F. 

En  faisant  varier  les  dimensions  et  la  nature  du  fil,  on  recoimail 
que  le  moment  du  couple  de  torsion  varie  «i  raison  inverse  de  la 
langueur  du  fil,  et  proportionnellement  à  la  quatrième  puissance  de  son 
diamètre.  11  augmente  en  même  temps  que  le  coeificient  d'élasticité, 
sans  lui  être  proportionnel. 


356.  Expérience*  de  ÏVertheim. 

bord,  et  à  Wertheim  ensuite,  plusîeur 


—  On  doit  à  Savarl  d'a- 
séries  d'expériences  dans 


lesquelles  on  s'est  proposé  de  vérifier  les  lois  de  la  torsion,  dans  le 


7«  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

cas  des  verges  ayant  une  section  transversale  un  peu  grande,  par 

l'observation  directe  des  valeurs  du  couple  de  torsion. 

Dans  l'appareil  de  Werlheim(lig.  3i  ^),  tes  deux  extrémités  A  et  B 
de  la  verge  sont  encastrées  dans  des  pièces  métalliques  G,  D  :  l'une 
de  ces  pièces  D  est  solidement  fixée  dans  un  élau  massif,  l'autre  G 
est  rendue  solidaire  de  l'axe  d'une  roue  S  :  cette  roue  est  sollicitée 
.  à  tourner  par  l'action  de  deux  poids  égaux  P,  P',  qui  agissent  en  sens 
contraire  aux  extrémités  d'un  même  diamètre,  par  l'intermédiaire 
de  deux  cordes  dont  l'une  pas.se  sur  une  poulie  R.  L'aiguille  a,  qui 
est  fixée  sur  la  verge  et  dont  l'extrémité  se  trouve  sur  le  cadran  fixe 
mn,  sert  à  constater  que  l'extrémité  B  n'éprouve  ri5ciiement  aucun 
déplacement,  pendant  que  l'effort  de  torsion  a  lieu.  Une  alidade,  qui 
est  munie  d'un  vernier  et  Éixée  invariablemenl  au  bâti  qui  supporte 
l'appareil,  sert ,  avec  la  division  de  la  roue  S ,  à  mesurer  l'angle  dunt 
a  tourné  l'extrémité  A. 

Des  expériences  exécutées  avec  cet  appareil  il  résulte  que  les 
lois  Indiquées  par  Goulomb,  pour  les  fils  métalliques,  sont  appli- 
cables au\  verge.s  solides  ayant  une  section  transversale  beaucoup 
plus  grande.  —  Weriheim  m  vérifié,  en  effet,  que  le  moment  du 
couple  de  torsion,  mesuré  directement,  est  proportionnel  à  l'angle 
de  torsion,  qu'il  est  inversement  proportloiuiel  à  la  longueur  de  la 
MTge.  el  proporlionnel  au  cjirré  de  In  section. 

357.   Can«ldénttl»BS  «énérnlM.  —  CseMcêenU  tmmûm  • 

mentaum  dr  1»  th««rie  «e  VéêMmUmUé.  —  Soit  un  parallélipi- 
pède  rectangle  (fig.  3ao)  soumis  d'abord, 
sur  ses  deux  bases  ABDG,  EFHG,  i'i  l'ar- 
lion  de  preasious  nonnales,  égales  el  op- 
posées. Il  résulte  des  lois  de  l'allonge- 
ment que  Iw  ar4tes  parallèles  à  AE  se 
raccourciront,  tandis  que  les  arêtes  per- 
pendiculaires s'allongeront ,  et  que  les 
changements  relatifs  de  longueur  seront 
proportionnels  au  quotient  de  la  pression 
normale  par  l'aire  de  ABGD,  c'est-à-dire 
a  pression  exercée  sur  l'unité  de  surface  des  bases. 


ÉLASTICITÉ  DES  CORPS  SOLIDES.  79 

En  appelant  a  le  raccourcissement  relatif  de  l'arête  AE,  /S  rallon- 
gement relatif  des  arêtes  AB  et  AC ,  et  en  désignant  par  P  la  pression 
exercée  sur  l'unité  de  surface,  on  aura 

a==.mP, 
/3==nP, 

m  et  w  étant  des  coeflScienIs  dont  l'expérience  seule  peut  donner  la 
valeur. 

De  même,  si  l'on  conçoit  qu'une  pression  Q  agisse  sur  l'unité  de 
surface  de  chacune  des  faces  ABFE,  CDHG,  l'arête  AC  éprouvera 
un  raccourcissement  a',  et  les  arêtes  AB,  AE  un  allongement  ,6',  et 
l'on  aura 

Si  une  pression  R  agit  sur  l'unité  de  surface  de  chacune  dos  faces 
ACGE,  BDHF,  l'arête  AB  éprouvera  un  raccourcissement  a\  les 
arêtes  AE,  Ad  un  allongement  /3",  et  l'on  aura 

Enlin,  si  les  trois  couples  de  pressions  P,  0,  R  agissent  simulta*- 
nément,  leurs  effets  se  superposeront  ^^^  et,  en  appelant  e,  s\  s"  les 
variations  relatives  de  longueur  des  trois  arêtes  AE,  A(] .  AB,  on 

aura 

e  =  a  -(/3'+^"). 

£'  =  «'  -(/3  +  /S"). 

c'esl-à-dir»' 

£  =,„P_m(0  +  R), 

£'  =  mQ-n(P  +  R), 
e"  =  »)R-n(P  +  0). 

t^)  Dans  les  limites  entre  let^quelles  les  changements  cie  dimensions  SoHt  proportionnels 
aui  pressions  ou  aux  tractions,  il  est  clair  que  reflet  d'une  pression  ou  d'une  traction  est 
indépendant  de  rexislentîe  d'une  traction  on  d'une  pression  antérieure.  C'est  re  qu'on  ex- 
prime en  disant  que  les  eflets  do  plusieurs  pressions  ou  de  plusieurs  tractions  se  super- 
posent. 


80  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

Il  est  facile  d'en  conclure  (|ue 

P  =  He  +  K(e'+e"), 
Q=He'  +  K  (£  +  /). 

R  =  He''+K(e4-e'), 

en  faisant  H  =  „^^J'1~"_^,^,,  '^  =,«(„.-".; -a»-'  "  *^«"<^  '«» 
pressions  exercées  sur  les  bases  du  parallélipipède,  et  par  suite  les 
réactions  élastiques  du  paralléiipipède  lui-même,  sont  exprimables 
en  fonction  linéaire  des  variations  relatives  de  longueur  des  arêtes, 
au  moyen  de  deux  coefficients  constants. 

Ces  deux  coefficients  H  et  K  sont  les  éléments  fondamentaux  de 
la  théorie  de  l'élasticité.  L'expérience  seule  peut  les  déterminer,  direc- 
tement ou  indirectement;  mais,  une  fois  qu'elle  les  a  déterminés, 
toutes  les  questions  relatives  aux  petites  déformations  produites 
par  l'action  d'un  système  de  forces  quelconques  se  réduisent  à  de 
simples  problèmes  de  Mécanique  rationnelle,  et  n'offrent  plus  que 
des  difficultés  de  calcuU*^  En  effet,  l'analyse  exacte  des  conditions 
de  l'équilibre  intérieur  d'un  corps  solide  élastique  démontre  qu'en 
chaque  point  de  ce  corps  il  existe  trois  directions  rectangulaires, 
variables  d'ailleurs  d'un  point  à  l'autre,  telles  que  les  éléments  per- 
pendiculaires à  ces  directions  supportent  des  pressions  ou  des  trac- 
tions normales.  Un  paralléiipipède  infiniment  petit,  ayant  ses  arêtes 
parallèles  à  ces  trois  directions ,  se  trouve  dans  les  conditions  du  pa- 
ralléiipipède qu'on  vient  de  considérer  plus  haut,  et  il  suffit  d'ex- 
primer, d'une  manière  générale,  les  relations  qui  existent  entre  les 
pressions  qu'il  supporte  et  les  changements  de  longueur  de  ses 
dimensions  infiniment  petites,  pour  obtenir  les  équations  différen- 
tielles du  problème  considéré. 

La  détermination  des  coefficients  H  et  K  n'a  encore  été  faite  avec 
exactitude  pour  aucun  corps  ^'^^.  —  C'est  pour  cette  raison  qu'il  est 


(')  La  solution  de  ces  divers  problèmes  est  aujourd'hui  restreinte  entre  les  limites  oà 
s^observe  la  proportionnalité  des  déformations  élastiques  aui  forces  qui  les  produisent.  En 
dehors  de  ces  limites,  il  serait  nécessaire  de  connaître  la  loi  suivant  laquelle  les  roeffi> 
cients  H  et  K  varient  a\ec  la  pression.  • 

'')  Les  formules  qui  expriment,  en  fonction  des  changements  de  dimeiiHioiui  ou  JiUtlm» 


ÉLASTICITÉ  DES  CORPS  SOLIDES.  81 

impossible  de  déterminer  rigoureusement  la  correction  qu'il  faudrait 
ajouter  aux  compressibilités  apparentes  des  liquides,  mesurées  par 
M.  Regnault,  pour  en  déduire  les  compressibilités  absolues. 

tioni  Unéairei,  les  forces  qui  agissent  sur  runilé  de  surface  des  faces  d'un  parallélipipèdc 
rectangle,  peuvent  s'écrire 

P  =  (H-K)e+R(e  +  e'H-e"), 
Q==(H-K)e'H-K(eH-e'-+-e"), 
R  =  (H-K)e"4-R(e-He'H-e"). 

On  convient,  en  général,  de  prendre  positivement  les  valeurs  de  e,  e',  e"  lorsqu'elles 
représentent  des  accroissements  de  longueur,  et  les  forces  P,  Q,  R  lorsqu'elles  représen- 
tent des  tractions  et  non  des  pressions.  —  En  appelant  6  la  variation  relative  du  volume 
ou  dilatation  cubique  du  parallélipipède,  on  a,  en  raison  de  la  petitesse  des  déformations 
élastiques, 

fl  =  £-+-€' -H  e", 

de  sorte  qu'en  posant  K  =  à,  H  — K  =  9fA,  pour  se  conformer  aux  notations  des  leçons 
classiques  de  M.  Lamé  sur  l'élasticité,  on  a 

P  =  Afl-+-2|tze, 

Chacune  des  tractions  ou  des  pressions  est  donc  la  somme  d'un  terme  proportionnel  à 
la  dilatation  cubique  et  d'un  terme  proportionnel  à  la  dilatation  linéaire  parallèle  à  la 
pression  considérée. 

Un  parallélipipèdc  liquide  ne  pourrait  être  en  équilibre  que  si  les  pressions  exercées  sur 
ses  six  faces  étaient  égales;  et  Ton  sait,  eu  outre,  que  l'accroissement  de  densité  ou  l'ac- 
croissement négatif  de  volume  du  liquide  serait  proporliôilnel  à  la  pression.  On  aurait 
donc 

p  =  Q  =  R  =  X9. 

Par  conséquent,  il  est  possible  de  comprendre  dans  une  même  théorie  générale  les  solides 
et  les  liquides,  en  admettant  que,  pour  celte  dernière  classe  de  corps,  le  coefficient  ùfi  se 
réduit  à  zéro.  Il  suit  de  là  que,  si  dans  certains  corps  le  coefficient  afx  est  très-petit  sans 
être  nul,  ces  corps,  qui  seront  en  réalité  des  solides,  se  rapprocheront  des  liquides  par 
l'ensemble  de  leurs  propriétés.  —  De  tels  corps  existent  :  ce  sont  ceux  que  l'ou  désigne, 
dans  le  langage  ordinaire,  par  les  expressions  vagues  de  matière»  pâteuse»  ^  matières  molle»  y 
ou  même  de  liquide»  vi»queux.  On  peut  même  dire  que  la  nature  réalise  tous  les  degrés 
mtermédiaires  entre  des  solides  tels  que  le  verre  on  le  marbre  et  un  liquide  tel  que 
l'eau.  —  Il  est  donc  impossible  que  les  coefficients  A  et  fx  aient  l'un  avec  Taùlre  quelque 
relation  générale,  indépendante  de  la  nature  des  corps;  les  recherches  expérimentales 
entreprises  à  diverses  époques,  pour  déterminer  une  telle  relation,  ne  pouvaient  donner 
et  n'ont  ciïectivement  donné  aucun  résultat. 


Vbrdbt,  \\\.  —  Cours  de  phys.  H. 


PROPAGATION   ET   PRODUCTION   DU   S0\ 


DANS  LES  SOLIDES. 


PROPAGATION  DU   S0>  DANS  LES  SOLIDES. 

358.  Pr«p«iraiioii  du  son  dRits  une  tise  de  petit 
mètre,  ébranlée  parallèlement  à  sa  longeneiir.  — 
mule  de  Ijaplaee.  —  En  ronsidénnnt  une  lige  solide^  d'un  dia- 
mètre très-|)elil  par  rapport  à  sa  longueur,  Laplace  a  pu  calculer  la 
vitesse  de  propagation  d'un  ébranlement  imprimé  à  l'un  de  ses  poinis 
dans  une  direction  parallèle  à  sa  longueur. 

En  désignant  par  g  Faccélération  due  à  la  pesanteur,  par  e  l'al- 
longement éprouvé  par  une  tige  de  même  nature  et  de  longueur 
'  égale  à  Funité,  sous  Tinfluence  d'une  traction  égale  à  son  poids,  il 
a  trouvé  que  la  vitesse  de  propagation  a  de  l'ébranlement,  dans  le 
sens  de  la  longueur,  doit  être  • 


"=Vf 


Si  Ton  représente  par  E  le  coefficient  d'élasticité  du  corps  s 
lide  considéré,  par  D  son  poids  spécifique,  et  si  l'on  remplace 
l'allongement  e  par  sa  valeur  en  fonction  du  coefficient  E,  déduite 
de  la  formule  donnée  précédemment  (349),  on  met  cette  expression 
sous  une  autre  forme,  savoir 

formule  que  l'on  peut  chercher  à  vérifier  par  l'expérience ^*^ 

'*)  Lor^ue.  pour  motlrp  cette  fonniilo  on  nombres,  on  ralciile  E  en  appliquant  à  iin^ 
expérienre  d^allongement  la  formule 

il  est  essi^ntiel  de  prendre  des  unités  de  longueur  et  de  stuTace  corrélatives.  Il  faut  bien  se 
garder,  par  exemple,  de  prendre  le  mèlrc  pour  unité  de  longueur,  et  le  milKmèlre  canv 
pour  uniléde  section,  connue  on  Ta  fait  dans  ii^  ialileau  des  roclFirituls  dVIaMîrilé  nin  a 
été  doniii'  plus  haul  (.*(r>0). 


PROPAGATION  DU  SON  DANS  LES  SOLIDES.  83 

359.  EmpérieveMi  relatives  m  im  viteeee  du  Mm  tUms  les 
tises  eolidee  d'une  ffraiide  tonsueur.  —  Il  est  manifeste  que 
la  détermination  directe  de  la  vitesse  de  propagation  du  son ,  dans 
des  tiges  solides  d'pne  faible  section  et  d'une  gi*ande  longueur,  doit 
offrir  des  diflicultés  pratiques  considérables  :  aussi  les  essais  tentés 
jusqu'à  ce  jour  dans  cette  direction  présentent-ils  une  imperfection 
extrême. 

Biol  a  cherché  à  déterminer  la  vitesse  de  propagation  du  son 
dans  la  fonte,  en  observant  la  propagation  d'un  ébranlement  com- 
muniqué à  Tune  des  extrémités  d'une  conduite  de  tuyaux  destinée 
aux  eaux  d'Arcueil.  La  longueur  parcourue  était  seulement  de 
g5i  mètres,  et  la  durée  de  la  propagation  dans  toute  cette  longueur 
était  inférieure  à  trois  dixièmes  de  seconde  :  les  moindres  erreurs 
avaient  donc  une  influence  considérable.  11  faut  remarquer,  en 
outre,  qu'il  n'y  avait  pas  continuité  absolue  entre  tous  les  tuyaux 
consécutifs. 

Wertheim  et  Bréguet  reprirent  la  même  question  pour  le  fer,  en 
opérant  sur  une  ligne  de  fils  télégraphiques  tendue  entre  Asnières 
etPuteaux.  La  longueur  parcourue  excédait  A  kilomètres,  et  la  durée 
de  propagation  était  supérieure  à  une  seconde;  mais  la  continuité 
du  corps  solide  n'était  pas  mieux  assurée.  Il  s'est  présenté  d'ailleurs 
quelques  particularités  inexplicables,  qui  ne  permettent  pas  d'avoir 
confiance  dans  les  résultats  obtenus  :  on  a  constaté,  par  exemple, 
que  le  son  était  complètement  intercepté  par  un  tunnel  dont  les  fils 
ne  touchaient  pas  les  parois,  c est-à-dire,  en  réalité,  par  le  mont 
Valérien.  Il  est  donc  probable  que,  ce  que  les  observateurs  enten- 
daient réellement  dans  leurs  expériences,  c'était  le  son  transmis  par 
le  sol  dans  lequel  s'enfonçaient  les  poteaux  du  télégraphe. 

360.  Pro|Niiratioii  du  son  daus  une  niasse  solide  indé- 
finie. —  Lorsqu'on  étudie  théoriquement  la  propagation  d'un 
ébranlement  dans  une  masse  solide  indéfinie ,  on  trouve  qu'il  doit 
se  former  deux  ondes  distinctes,  l'une  à  vibrations  normales  à  sa 
surface  ou  vibrations  longitudinales^  l'autre  à  vibrations  transversales. 

Si  l'on  désigne  par  90  le  rapport  qui  existe  entre  la  contraction 
transversale  relative  et  l'allongement  relatif,  dans  une  tige  soumise 

(î. 


RLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

■ii,   i«.kU'i»«  longitudinale,  le  râleur  donne,  pour  la  vitesse  de 
'•i»vli   ^  v'h'«li»»"<  longiludinales,  la  valeur 


.M     .-6> 


6] 
OM^ht   }\   la   vitesse  de  Tonde  à   vibrations    longitudinales,   on 


UvUSiî 


c 


/^E    i  - 16 


Viy 


Auiîune  expérience  directe  n'a  vérifié  ces  résultats  de  la  théorie. 
—  On  doit  seulement  à  Wertheim  cette  remarque,  que  les  phéno- 
mènes des  tremblements  de  terre  semblent  accuser  effectivement  la 
production  de  deux  ondes. 

PRODLCTION   DU  SON  PAR  LES   CORPS  SOLIDES. 

361 .  Yibrations  lonsitiidinales  des  solides  mjmwkt  de  pe- 
tites dimensions  transversales  (vernies  ou  eordes.)  —  La 

propagation  et  la  combinaison  des  ébranlements  produits  dans  une 
verge  solide,  parallèlement  à  sa  plus  grande  dimension,  doivent 
s'effectuer  comme  dans  un  tuyau  de  petit  diamètre.  De  là  résulte 
que  les  lois  relatives  aux  divers  sons  qui  peuvent  s'y  produire  par  les 
vibrations  longitudinales  doivent  être  analo;]ues  aux  lois  des  tuyaux 
sonores  (332).  —  Pour  déterminer  la  position  des  nœuds  fixes,  on 
cherchera  la  position  des  points  de  la  verge  que  l'on  prut  toucher 
sans  que  le  mouvement  vibratoire  soit  altéré. 

Trois  cas  sont  à  distinguer,  selon  la  manière  dont  la  verge  vi- 
brante est  assujettie. 

1°  Verge  libre  à  ses  deux  extrémités.  —  L'expérience  montre, 
comme  la  tliéorie  le  faisait  prévoir,  que  les  lois  sont  celles  des  tuyaux 
ouverts  aux  deux  bouts.  —  Pour  faire  vibrer  une  verge  en  laissant 
ses  deux  extrémités  libres,  on  la  saisira,  dans  chaque  cas,  par  un 
point  situé  de  façon  qu'il  doive  correspondre  à  un  nœud,  pour  l'har- 
monique que  l'on  veut  produire. 

2°  Verge  libre  à  une  extrémité,  fixée  à  Vautre,  —  Les  lois  sont 
celles  des  tuyaux  ouverts  à  un  bout  et  fermés  à  l'autre. 


PRODUCTION  DU  SON  PAR  LES  SOLIDES.  85 

3°  Verge  ou  corde  fixée  à  ses  deux  bouts.  —  La  série  des  sons  est 
la  même  que  celle  d'une  verge  libre  à  ses  deux  extrémités,  mais  les 
nœuds  et  les  ventres  occupent  des  positions  inverses.  —  On  voit  en 
effet,  a  priori,  que  Ton  peut,  en  admettant  d'abord  que  le  milieu  de 
la  verge  corresponde  à  un  ventre,  regarder  les  deux  moitiés  de 
cette  verge  comme  constituant  deux  verges  fixées  à  un  bout,  libres  à 
l'autre,  et  assemblées  de  façon  que  leurs  mouvements  aient  toujouiis 
lieu  dans  le  même  sens  :  on  est  ainsi  conduit  à  la  série  des  sons 


•  •  •  • 


Mais  on  peut  aussi ,  en  admettant  que  le  milieu  de  la  verge  cor- 
responde à  un  nœud,  regarder  ses  deux  moitiés  comme  constituant 
deux  verges  fixées  aux  deux  bouts,  et  assemblées  de  manière  queleujrs 
vibrations  aient  toujours  lieu  en  sens  contraire,  ce  qui  donne  la  série 
des  sons 

3        4       6       8.  .  .  . 

L'ensemble  de  ces  deux  séries  donne  la  suite  entière  des  nombres 
naturels,  comme  pour  une  verge  dont  les  deux  extrémités  sont 
libres. 

Dans  ces  divers  cas,  on  constate  toujours  que,  pourvu  que  la  lon- 
gueur soit  asse:9  grande  par  rapport  aux  dimensions  transversales, 
la  valeur  absolue  des  dimensions  transversales  elles-mêmes  n'a  pas 
d'influence. 

Enfin ,  lorsqu'on  opère  sur  une  corde  et  qu'on  fait  varier  la  gran- 
deur du  poids  par  lequel  il  est  toujours  indispensable  de  la  tendre, 
on  constate  également  que  la  valeur  de  ce  poids  ejst  sans  influence 
sur  les  vibrations  longitudinales. 

Ces  diverses  lois,  dont  il  sufiira  d'avoir  donné  ici  Ténoncé,  ont 
été  établies  par  Chiadni. 

362.  mesure  de  la  vitesse  dii  son  dans  les  aalides  et  du 
eeeflleieiit  d'élastieité,  au  moyen  des  iribrations  lonsitu- 
dinalea.  —  Les  rapprochements  que  les  lois  précédentes  établissent, 
entre  les  vibrations  longitudinales  des  verges  ou  des  cordes  et  celles 
des  tuyaux  sonores ,  fournissent  immédiatement  une  méthode  de  dé- 


86  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

terminalion  de  la  vitesse  du  son  dans  les  corps  solides,  et  permet- 
tent, par  suile,  de  calculer  également  le  coefficient  d'élasticité. 

Le  tableau  ci-dessous  contient  les  résultats  obtenus  par  Wer^ 
theim,  en  appliquant  aux  vibrations  longitudinales  des  verges  des 
formules  semblables  à  celles  qui  ont  servi  pour  déterminer  la  vitesse 
du  son  dans  les  gaz  au  moyen  des  tuyaux  sonores.  —  Toutes  ces 
vitesses  sont  évaluées  en  prenant  pour  unifé  la  vitesse  du  son  dans  fair'. 

Plomb 3,97a  à     6,iao-*^ 

Or 5,6o3  à    6,6aà 

Étain 7,338  à    7,680 

PlaUne .  7,8tj3  à    8,667 

Argent 7-9o3  à    8,087 

Zinc (j,863  à  1 1,007 

Laiton. .  '. io\'2ùli 

Cuivre 11,167    * 

Acier 1Â.961  à  10,108 

Fer i5.io8 

Cristal 1 1,890  à  iâ,âao 

Verre    1 6,966  à  1 6.709 

Bois  de  chêne 9*90*'^  ^  iîi,8ao 

Bois  de  sapin 1^,690  a  17,360 

Les  coefficients  d'élasticité  qui  ont  été  déduits  de  ces  expériences 
par  ^^ertheim  sont  généralement  un  peu  supérieurs  à  ceux  que  don- 
nent les  expériences  de  traction  (350).  —  Ces  différences  peuvent 
être  dues  d'abord  à  une  certaine  influence  des  effets  calorifiques 
produits  par  la  compression  ou  parla  dilatation.  Mais  il  faut  remar- 
quer, en  outre,  que  iorsqu*on  soumet  une  tige  solide  à  l'action  d'an 
poids,  comme  on  le  fait  dans  les  expériences  de  traction,  rallon- 
gement maximum  de  celte  tige  ne  se  produit  qu'au  bout  d'un  cer- 
tain temps,  et  l'on  ne  procède  aux  mesures  que  lorsque  l'état  définitif 
jiaratt  obtenu.  Il  est  trlair  que  l'allongement  ainsi  mesuré  doit  être 
s,upériear.a  celui  que  produirait  la  même  force,  si  son  action  ne 
sVxerçait  que  pendant  un  temps  très-court  :  or  c'est  précisément 

■')  Los  variations  qiio  pré:»i'n(e  la  vitesse  du  ^>oll  clans  1111  même  corps  tieiiiicnl  eu  gcué- 
ml  aui  diflerences  qu'il  peut  ofTrir  dans  son  étal  pliysiijue.  En  {rôncraU  la  vitesse  du 
son  est  moindre  dans  les  métaux  recuits  que  dans  k*s  métaux  écrouis. 


PRODUCTION  DU  SON  PAU  LES  SOLIDES.  87 

pendant  un  temps  Irès-coùrt  que  doit  s'exercer,  dan§  le  mouvement 
vibratoire,  l'action  des  forces  produites  par  les  condensations  et  les 
dilatations  successives.  On  conçoit  donc  que  le  coefficient  d'élasticité 
obtenu  par  la  traction,  c'est-à-dire  le  rapport  de  la  force  à  l'allon- 
gement que  donnent  les  expériences  directes,  doive  être  moindre 
que  le  rapport  qu'il  faudrait  employer  pour  calculer  la  vitesse  théo- 
rique de  propagation. 

363.  ITibratiOBS  tourimittcs  des  wer^es  et  deseordes. — 

Les  lois  des  vibrations  tournantes ,  découvertes  également  par  Chladni , 
sont  les  mêmes  que  celles  des  vibrations  transversales. 

Toutes  choses  égales  d'ailleurs,  le  son  fondamental  des  vibrations 
tournantes  est  seulement  plus  grave  que  celui  des  vibrations  longi- 
tudinales; le  rapport  du  nombre  de  vibrations  de  l'un  au  nombre  de 
vibrations  de  l'autre  dépend  de  la  nature  de  ia  verge  et  de*la  forme 
de  sa  section. 

36â.  ITibratioiis  traiisweiniales.  —  Pour  Tétude  des  vibra- 
tions transversales,  il  devient  nécessaire  de  considérer  séparément 
les  cordes  et  les  verges. 

Les  cordes  se  distinguent  des  verges  en  ce  que,  si  l'on  fait  abs- 
traction de  l'action  exercée  sur  elles  par  l'effet  de  la  pesanteur, 
action  toujours  très-faible ,  on  peut  les  regarder  comme  n'ayant  de 
iigure  déterminée  qu'autant  qu'elles  sont  tendues,  en  une  ligne 
sensiblement  droite,  par  deux  forces  égales  agissant  en  sens  con- 
traire sur  leurs  extrémités.  Les  verges  élastiques,  au  contraire, 
reviennent  d'elles-mêmes  à  leur  figure  initiale  toutes  les  fois  qu'elles 
en  sont  écartées. 

Cette  distinction  n'a  cependant  rien  d'absolu ,  car  il  n'existe  pas 
de  corde  parfaitement  flexible,  et,  d'un  autre  côté,  on  peut  toujours 
ajouter  à  l'effet  propre  de  l'élasticité  d'une  verge  celui  d'une  tension 
extérieure  agissant  sur  ses  extrémités.  On  peut  remarquer  d'ailleurs 
que,  en  réduisant  suffisamment  la  section  d'une. verge  donnée,  on 
peut  toujours  lui  donner  une  flexibilité  telle,  que  ses  propriétés  ne 
diffèrent  pas  sensiblement  de  celles  d'une  corde  idéale;  inversement, 
si  l'on  augmente  suffisamment  les  dimensions  transversales  du  corps 


88  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

le  plus  flexible,  on  peut  toujours  rendre  les  effets  de  son  élasticité 
comparables  à  ceux  de  sa  tension.  —  Enfin,  à  dimensions  égales,  les 
cordes  doivent  être  considérées  comme  ayanl  des  propriétés  plus  ou 
moins  voisines  de  celles  des  verges,  selon  l'élasticité  de  la  matière  qui 
les  constitue  :  c*est  ainsi,  par  exemple,  que  les  cordes  métalliques 
sont  toujours,  toutes  choses  égales  d'ailleurs,  beaucoup  plus  sem- 
blables à  de  véritables  verges  que  les  cordes  de  nature  organique. 

L'étude  des  vibrations  transversales  des  verges  proprement  dites, 
qui  contribue  à  faire  connaître  la  résistance  que  ces  corps  opposent 
à  l'action  de  forces  tendant  à  les  déforn^er,  importe  à  la  théorie  gé- 
nérale de  l'élasticité,  au  même  titre  que  l'étude  des  vibrations  lon-^ 
gitudinales  et  des  vibrations  tournantes.  —  Jj'étude  des  vibrations 
transversales  des  cordes  n'intéresse  que  l'acoustique  pure;  elle  fait 
connaître  les  lois  du  diouvement  vibratoire  auquel  il  convient  de 
comparer  les  autres. 

On  exposera  d'abord  les  résultats  relatifs  aux  vibrations  transver- 
sales des  cordes. 

365.  Vibrations  transwersales  des  cordes*  —  Le  nombre 
de  vibrations  qui  correspond  au  son  fondamental  d'une  corde  qui 
vibre  transversalement  est  proportionnel  à  la  racine  carrée  du  poids  ten^ 
seur;  il  est  en  raison  inverse  de  là  longtieur,  de  la  racine  carrée  de  la 
section,  et  de  la  racine  carrée  de  la  densité. 

Il  est  facile  de  voir  que  les  lois  indiquées  par  cet  énoncé  sonf 
comprises  dans  la  formule  suivante,  donnée  par  Taylor, 


N 


formule  dans  laquelle  N  est  le  nombre  de  vibrations  du  son  fonda- 
mental ,  g  est  l'intensité  de  la  pesanteur,  P  est  le  poids  tenseur,  p  est 
le  poids  de  la  corde  elle-même,  et  /  est  sa  longueur ^^^ 

Ces  lois  ne  se  vérifient  exactement  que  pour  des  cordes  satisfaisant 
à  la  définition  qui  en  a  été  donnée  plus  haut  (36â),  c'est-à-dire 
ayant  h  la  fois  un  diamètre  très-petit  et  une  longueur  suffisamment 
grande.  —  Il  faut,  en  outre,  que  les  deux  extrémités  soient  fixées 

^')  En  eiïct,  si  Ton  désigne  par  o  la  rcrticn  do  la  corde,  |Hir  S  so  dcns'lé,  et  si  Ton 


PRODUCTION  DV  SON  PAR  LES  SOLIDES.  89 

de  manière  à  rendre  impossible  toute  communication  du  mouvement 
vibratoire  de  la  corde  à  ses  supports.  C'est  cette  dernière  condition 
qu'on  a  spécialement  cherché  à  réaliser  dans  la  construction  de 
l'instrument  connu  sous  le  nom  de  sonomètre,  h  l'aide  duquel  on 
étudie  en  général  les  vibrations  transversales  des  cordes. 

La  corde  soumise  à  l'expérience,  retenue  à  Tune  de  ses  extrémi- 
tés par  une  cheville  p  (fig.  Sa  i),  vient  s'appuyer  sur  deux  chevalets 
bd,  ac,  qui  limitent  la  partie  vibrante,  et,  après  avoir  passé  sur  une 


Fig.  3s t. 

poulie,  elle  reçoit  à  son  autre  extrémité  un  poids  tenseur  P.  Les 
chevalets  reposent  sur  une  caisse  en  bois  de  sapin,  destinée  à  ren- 
forcer les  sons.  —  Pour  vérifier,  par  exemple,  l'influence  de  la 
grandeur  des  poids  tenseurs,  on  charge  cette  corde  d'un  certain 
poids  P  et  on  la  fait  vibrer;  au  moyen  de  la  clef  A,  on  règle  la 
tension  de  la  corde  cd,  qui  est  fixée  parallèlement  à  la  première, 
de  manière  a  la  mettre  à  l'unisson.  On  remplace  alors  le  poids  P 

remarque  que  sou  poids  n  est  autre  chose  que  le  produit  de  son  volume  al  par  son  poids 
spécifique  ig,  la  formule  de  Taylor  devient 


-r,v/5 


et,  sous  cette  forme,  on  voit  immédiatement  qu'elle  est  Texprcssion  analytique  des  lois 
énoDcëes  plus  haut. 

Enfin,  si  Ton  veut  introduire  dans  la  formule,  au  lieu  de  la  section  <t  de  la  corde,  le 
rayon  r  de  cette  section  supposée  circulaire,  on  remplacera  a  par  nr',  ce  qui  donnera 


"-riV/^- 


Il  est  essentiel  de  remarquer  que,  dans  la  formule  de  Taylor  (eiic  qu  on  vient  de  la 
donner,  N  exprime  le  nombre  des  vibrations  compUtct  ou  oicillatiom  doublet ,  tel  qu'il 
a  été  défini  plus  haut  (306  ).  É.  F. 


90  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

par  un  autre  poids  P\  et,  en  comparant  le  nouveau  son  rendu  à 
celui  de  la  corde  cd,  on  constate  que  les  nombres  de  vibrations  sont 
entre  eux  comme  les  racines  carrées  des  poids  P  et  P'. 

Pour  vérifier  la  loi  des  longtieursy  on  laisse  invariable  le  poids 
tenseur  P  de  la  première  corde,  et  l'on  fait  varier  seulement  la  ion-> 
gueur  de  la  partie  vibrante,  en  déplaçant  le  chevalet  mobile  m  :  on 
compare  le  son  obtenu  à  celui  de  la  seconde  corde,  et  Ton  en  dé- 
duit le  rapport  des  nombres  de  vibrations.  —  11  est  aisé  de  conce- 
voir comment  on  peut  vérifier  de  même  la  loi  des  sections  et  la  loi 
des  densités. 

Le  sonomètre  fournit  encore  le  moyen  de  déterminer  facilement 
la  loi  des  Imrmoniques  que  peut  rendre  une  même  corde ,  sous  une 
tension  constante.  —  On  trouve  ainsi  que  les  harmoniques  succes- 
sifs correspondent  à  des  nombres  de  vibrations  qui  sont  entre  eux 
comme  la  suite  des  nombres  entiers  i ,  â ,  3 , .  .  .  . 

Pour  déterminer,  par  l'expérience,  la  situation  des  nœuds  fixes 
qui  se  produisent  lorsqu'on  fait  rendre  à  une  corde  l'un  de  ses  har- 
moniques, il  suffit  de  distribuer  dans  toute  sa  longueur,  de  distance 
en  distance,  de  petits  chevrons  de  papier.  Ils  sont  immédiatement 
renversés  dans  les  points  de  la  corde  qui  participent  aux  vibrations 
transversales  :  ils  restent  au  contraire  immobiles  dans  les  points  qui 
correspondent  à  des  nœuds.  —  L'expérience  ainsi  faite  montre  que, 
en  rendant  les  harmoniques  de  rang  â ,  3 ,  â , . . . ,  la  corde  se  di- 
vise en  a,  3,  4,  .  .  .  parties  égales,  séparées  les  unes  des  autres 
par  des  nœuds  fixes. 

366.  Relation  entre  les  ^bratione  tranewersalea  et  tmm 
wibratione  lon^ttiidlnalea  d'une  même  eorde.  —  Lorsque 
l'on  compare,  au  nombre  des  vibrations  transversales  N  donné  par 
la  formule  de  Taylor,  le  nombre  des  vibrations  longitudinales  N'  de 
la  même  corde,  rendant  le  son  fondamental  dans  les  deux  cas,  on 
est  conduit  à  la  relation 

N 


PRODUCTION  DU  SON  PAR  LES  SOLIDKS.  91 

dans  laquelle  D  désigne  le  poids  spécifique  de  la  corde.  Or,  si  Ton 
remarque  que  le  poids  spécifique  de  la  corde  est  égal  à  son  poids  /; 

divisé  par  son  volume  (tI,  et  qu'on  remplace  alors  D  par  A^  la  relation 
devient 

Jôï 

N       \  pi 


v/? 


ou  enfin 


Mais,  si  Ton  représente  par  X  rallongement  qu'éprouve  cette  même 
corde  sous  une  charge  égale  à  P,  on  a,  d'après  ce  qui  a  été  vu  pré- 
cédemment (349),  ^  =  g'  —'  c'est-à-dire  E  =  -y;  en  remplaçant 
E  par  cette  valeur,  il  vient  définitivement 

N  /Â 

La  quantité  X  étant  toujours  petite  par  rapport  à  l,  on  voit  que 
le  son  fondamental  correspondant  à  la  vibration  transversale  est 
toujours,  pour  une  même  corde,  beaucoup  moins  élevé  que  le  son 
fondamental  correspondant  à  la  vibration  longitudinale. 

367.  ITibratioiis  traiiswersalefi  des  werses. —  Les  lois  des 
vibrations  longitudinales  ont  pu  être  déduites  immédiatement  des 
lois  de  la  propagation  et  de  la  réflexion  d'un  ébranlement  longitu- 
dinal. —  Il  en  est  autrement  des  lois  des  vibrations  transversales  ou 
des  vibrations  tournantes.  La  théorie  de  ces  phénomènes  est  fondée 
sur  des  considérations  du  genre  de  celles  ([ui  ont  été  indiquées 
plus  haut,  à  propos  de  la  flexion. 

Les  lois  des  vibrations  transversales  des  verges  ont  été  d'abord 
établies  théoriquement  par  Euler.  Elles  ont  été  ensuite  vérifiées 
expérimentalement  par  Chladni,  Strehlke,  et  plus  récemment  par 
M.  Lissajous. 


92  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

Chacune  des  deux  extrémités  de  la  verge  peut  être  placée  dans 
trois  conditions  différentes  : 

1°  On  dit  qu'une  extrémité  d*une  verge  est  encastrée,  lorsque 
celte  extrémité  est  fixée  de  telle  manière  qu'elle  ne  puisse  se  déplacer, 
et  qu'en  outre,  dans  toute  flexion,  l'axe  de  la  verge  demeure,  à  cette 
extrémité,  tangent  à  sa  direction  primitive.  —  On  voit  donc  que, 
si  Ton  représente  par  j/  le  déplacement  du  point  dont  la  distance  à 
l'extrémité  encastrée  est  x,  ce  mode  de  fixation  est  défini  analyti- 
quement  par  ces  deux  conditions  que,  pour  or  =  o,  on  ait  à  la  fois 

y=o 
et 

dx 

On  réalise  ces  conditions  en  serrant  très-fortement  l'extrémité  de 
la  verge  dans  un  étau. 

9°  On  dit  qu'une  extrémité  d'une  verge  est  appuyée,  lorsque  cette 
extrémité  est  assujettie  de  telle  manière  qu'elle  ne  puisse  se  dé- 
placer, et  que  cependant  l'axe  de  la  verge  puisse  faire,  à  cette 
extrémité,  un  angle  quelconque  avec  sa  direction  primitive. —  Ce 
mode  d'assujettissement  exige  donc  que,  pour  j;=o,  on  ait  encore 

y=o; 

la  première  dérivée  -j^  peut  avoir  une  valeur  quelconque,  mais  on 

démontre  que  Ton  doit  avoir 

Cette  condition  est  d'ailleurs  extrêmement  dillicile  à  réaliser  d'une 
manière  satisfaisante. 

3°  Lorsqu'une  extrémité  d'une  verge  vibrant  tran.sversalemenl  est 

entièrement  libre,  on  démontre  que,  pendant  la  vibration,  cette 

extrémité  est  a.*jsujettie  à  ces  deux  conditions  que,  pour  x  =  o,  on 

ait  à  la  fois 

d'y 

et 

d'Y       ^ 
dx 


PRODUCTION  DU  SON  PAR  LES  SOLIDES.  93 

La  théorie  et  l'expérience  montrent  "qu'il  n'y  a  pas  de  différence 
essentielle  entre  une  verge  courbe  et. une  verge  droite,  en  sorte  que 
les  lois  précédentes  sont  également  applicables  aux  diapasons,  avec 
la  forme  qu'on  leur  donne  ordinairement.  —  On  trouve  encore 
d'autres  applications  des  vibrations  transversales  des  verges  duns  le 
violon  de  fer,  dans  le  elaquebois,  et  dans  l'harmonica  à  lames  de 
verre. 

368.  Vibrations  transversales  des  plaques*  —  Pour  étu- 
dier la  forme  des  figures  nodales  que  détermine  le  mouvement  vibra- 
toire dans  les  plaques ,  lorsqu'on  fait  varier  la  position  des  points 
par  lesquels  elles  sont  assujetties  et  celle  des  points  par  lesquels 
on  les  attaque,  Chladni  a  encore  employé  le  sable.  —  Voici  quel- 
ques-unes des  lois  générales  auxquelles  conduisent  ces  expériences: 

Pour  des  plaques  homogènes  de  même  forme  et  de  même  nature, 
Ips  nombres  de  vibrations  des  sons  qui  correspondent  à  une  même 
figure  nodale  sont  en  raison  inverse  de  la  surface  et  eti  raison  directe 
J(e  l'épaisseur.  — Il  suit  de  là  que,  si  deux-plaques  sont  des  prismes 
géométriquement  semblables,  les  nombres  de  vibrations  sont  en 
raison  inverse  des  dimensions  homologues. 

Dans  les  plaques  circulaires,  les  figures  nodales  sont  des  assem- 
blages de  diamètres  et  de  cercles. 

Dans  les  plaques  carrées ^  les  lignes  nodales,  qui  ont  des  formes 
très-variées,  peuvent  se  ramener  approximativement  à  des  combi- 
naisons de  droites  parallèles  aux  côtés,  et  de  droites  parallèles  aux 
diagonales. 

Les  vibrations  des  timbres  et  des  cloches  sont  soumises  h  des  lois 
identiques  à  celles  des  plaques  ^'l 

369.  ITibrations  des  membranes.  —  La  difficulté  de  com- 
muniquer  à  une  membrane  une  tension  uniforme  et  connue  empêche 
qu'on  puisse  soumettre  à  une  étude  expérimentale  bien  rigoureuse 
les  vibrations  qui  peuvent  s'y  produire.  —  L'expérience  apprend 
cependant  que  les  harmoniques  d'une  même  membrane  forment, 

(')  Voir,  à  la  fin  de  VAcouttiqitp,  la  noie  compIi'menUure  C,  relative  à  une  loi  gén^^rale 
àes  mouvements  vibratoires. 


Wî  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

Lorsqu'on  veut  étudier  la  position  des  nœuds ,  pour  les  vibrations 
correspondantes  aux  divers  harmoniques,  on  saupoudre  de  sable  ia 
face  supérieure  de  la  verge  :  on  voit  ce  sable  se  rassembler,  dès 
(|ue  la  verge  est  mise  en  vibration,  sur  les  points  qui  correspondent 
à  des  nœuds.  —  On  remarque  en  particulier  que,  dans  le  quatrième 
cas,  celui  où  la  verge  est  appuyée  par  ses  deux  extrémités,  les 
nœuds  sont  tous  équidistants  entre  eux  :  les  nombres  de  vibrations 
qui  correspondent  aux  divers  harmoniques  sont  en  raison  inverse 
des  carrés  des  longueurs  des  parties  vibrantes.  —  Dans  les  autres 
cas,  les  parties  vibrantes  dans  les(pielles  la  verge  se  divise,  en  pro- 
duisant un  harmonique  d'un  ordre  élevé,  sont  sensiblement  égales 
entre  elles,  à  l'exception  des  deux  parties  les  plus  voisines  des  extré- 
mités :  les  nombres  de  vibrations  qui  correspondent  aux  divers  bar- 
moni(|ues  sont,  comme  Ta  montré  M.  Lissajous,  sensiblement  en 
raison  inverse  des  carrés  des  longueurs  des  parties  vibrantes  éloi- 
gnées des  extrémités. 

Dans  chacun  de  ces  six  modes  d'assujettissement,  le  son  fonda- 
mental rendu  par  une  même  verge  et  ses^rapports  avec  les  harmo- 
niques successifs  ont  des  valeurs  particulières.  Mais  si  Ton  considère 
des  verges  diverses  ayant  leurs  extrémités  dans  les  mimes  conditions, 
et  produisant  chacune  le  son  fondamental,  ou  un  harmonique  de 
même  ordre,  on  peut  démontrer  par  Texpérience  les  lois  suivantes, 
(|ui  sont  d'ailleurs  conformes  à  la  théorie  : 

1  °  Le  nombre  des  vibrations  est  en  raison  inverse  du  cnrrf  de  la 
lonfrueur. 

«i*"  Dans  les  verges  de  section  circulaire,  le  nombre  des  vibra- 
lions  est  proportionnel  au  diamètre. 

3°  Dans  les  verges  de  section  rectangulaire,  le  nombre  des  vibra- 
tions est  proportionnel  à  l'épaisseur,  cVst-à-dire  à  la  dimension  paral- 
lèle aux  vibrations;  il  est  indépendant  de  la  largeur,  c'est-à-dire  de 
la  dimension  de  la  section  perpendiculaire  à  ia  précédente. —  Lors- 
que la  largeur  est  considérable  relativement  h  l'épaisseur,  les  verges 
reçoivent  habituellement  le  nom  de  lames,  mais  cette  différence 
d'a|>|)ellation  n'implique  aucune  différence  de  propriét<is. 

/i°  Le  nombre  des  vibrations  est  projHirtiomiel  à  ht  rnciuv  cnrrée 
(lu  (juotleiU  du  coefficient  délastirité  par  la  densité. 


96  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

comme  ceux  de  tout  autre  corps  sonore,  une  série  discontinue;  mais, 
lorsqu'on  s'élève  dans  la  série,  les  termes  successifs  se  rapprochent 
tellement  les  uns  des  autres,  que,  dans  la  pratique,  on  peut  regar- 
der une  membrane  comme  capable  de  vibrer  à  l'unisson  d'un  son 
quelconque ,  à  partir  d'une  limite  inférieure  déterminée. 

La  membrane  du  tympan  paratt  apte  à  vibrer  à  l'unisson  d'un 
son  absolument  quelconque;  mais  on  doit  remarquer  que,  grâce  à 
la  chaîne  des  osselets,  sa  tension  peut  varier  d'une  manière  continue 
entre  des  limites  très-étendues. 

370.  iribrations  des  corps  eristallisés.  —  Tout  ce  qui  a 
été  dit  précédemment,  soit  de  l'équilibre  élastique,  soit  des  mou- 
vements vibratoires  des  corps  solides,  convient  exclusivement  aux 
corps  isotropes,  c'esl-à-dire  aux  corps  dans  lesquels  les  propriétés 
physiques  sont  indépendantes  de  la  direclion.  Les  corps  non  cristal" 
Usés  et  les  corps  cristallisés  dans  le  système  cubique  sont  donc  les  seuls 
auxquels  les  résultats  précédents  soient  applicables. 

Dans  les  corps  appartenant  à  des  systèmes  cristallins  autres  que  U 
système  cubique,  on  doit  considérer  les  propriétés  élastiques  comme 
variables  avec  la  direction.  —  De  là  résulte  une  complication 
extrême,  soit  dans  les  phénomènes  d'équilibre,  soit  dans  les  mou- 
vements vibratoires  :  la  théorie  indique  qu'il  ne  faudrait  pas  déter- 
miner expérimentalement  moins  de  si  constantes  distinctes,  pour 
chaque  corps,  avant  d'être  en  état  de  résoudre  à  l'avance  les  divers 
problèmes  qu'on  peut  se  poser. 

On  n'a  abordé  par  l'expérience  que  le  cas  simple  des  plaques  cir- 
culaires, taillées  dans  des  substances  qui,  comme  le  spath  ou  le 
quartz,  paraissent  constituées  symétriquement  autour  d'un  axe  déter- 
miné; pour  interpréter  les  phénomènes  observés,  on  les  a  comparés 
à  ceux  des  plaques  de  bois  taillées  dans  diverses  directions  relati- 
vement aux  fibres.  —  Ces  recherches  ont  montré  que  certaines  jS- 
gures  nodales  qui,  dans  une  plaque  isotrope,  peuvent  affecter  toutes 
les  positions,  ne  peuvent  se  produire  sur  une  plaque  non  isotrope 
que  dans  des  positions  déterminées.  Ainsi,  on  ne  peut  obtenir  la 
figure  composée  de  deux  diamètres  rectangulaires  que  si  ces  dia- 
mètres sont  dirigés,  l'un  parallèlement  aux  lignes  de  plus  grande 


PRODUCTION  DU  SON  PAR  LES  SOLIDES.  97 

résistance  à  la  flexion,  l'autre  parallèlement  aux  lignes  de  moindre 
résistance. 

L'influence  de  l'inégalité  d'élasticité  peut  encore  être  rendue  sen- 
sible par  les  vibrations  d'une  verge  h  section  circulaire  ou  carrée; 
les  vibrations  transversales  planes  ne  sont  alors  possibles  que  sui- 
vant deux  directions  rectangulaires  qui  ofl'rent,  l'une  un  maximum 
de  résistance  à  la  flexion,  l'autre  un  minimum  de  résistance.  Une 
flexion  initiale  parallèle  à  tout  autre  plan  a  pour  conséquence  le 
mouvement  plus  ou  moins  complexe  qui  résulte  de  la  coexistence 
de  deux  mouvements  de  période  inégale,  parallèles  aux  deux  plans 
rectangulaires  qu'on  vient  de  définir. 

11  faut  remarquer  enfin  que  l'inégalité  d'élasticité  intervient  en- 
core, comme  cause  perturbatrice,  dans  laplupaii;  des  expériences  qu'on 
effectue  sur  des  corps  regardés  comme  isotropes.  Le  travail  méca- 
nique auquel  les  métaux  ont  été  soumis,  la  trempe  qu'a  éprouvée 
le  verre  en  se  refroidissant,  sont  autant  d'influences  qui  produisent 
presque  toujours  de  légères  variations  d'élasticité,  dans  telle  ou  telle 
direction. 


Vbbdet,  ÎIÎ.  —  Coiii*s  (II»  |iliys.  H. 


PHÉNOMÈNES 

PBODl'ITS 

PAR  LA  SUPERPOSITION  DES  MOUVEMENTS  VIRRATOIRES. 


371.  Du  renforeenteiit  des  mmmm  en  séaiéral.  —  Le  rai- 
sonnement par  lequel  on  a  explique  plus  haut  (331)  le  renforce- 
ment du  son  d'une  embouchure,  par  un  tuyau  susceptible  de  vibrer 
à  Tunisson  avec  elle,  peut  évidemment  être  étendu  au  cas  plos 
général  oii  un  corps  quelconque,  capable  d'entrer  en  vibration,  se 
trouve  en  présence  d'un  autre  corps  vibrant. 

L'observation  fournit  d'ailleurs  iin  grand  nombre  d'exemples  de 
phénomènes  analogues.  —  Ainsi,  deux  cordes  réglées  à  l'unisson 
étant  placées  au  voisinage  l'une  de  l'autre,  il  suffit  d'ébranler  Tune 
d'elles  pour  que  la  seconde  entre  en  vibration.  Lorsqu'on  chaote 
auprès  d'une  harpe  ou  d'un  piano,  on  observe  que  les  cordes  mises 
à  l'unisson  de  la  note  chantée  se  mettent  à  vibrer  d'elles-mêmes.  — 
Lorsqu'il  se  produit  simultanément,  dans  un  même  lieu,  un  grand 
nombre  de  sons  divers,  et  qu'on  vient  à  approcher  l'oreille  d'un 
tuyau  placé  dans  ce  lieu,  s'il  arrive  que  l'un  des  sons 'produits  soit 
à  l'unisson  du  son  fondamental  de  ce  tuvau  ou  de  l'un  de  ses  bar- 
moniques,  on  constate  que  ce  son  prend  une  intensité  remarquable. 

Ce  dernier  phénomène  a  été  récemment  appliqué  par  M.  Helm^ 
holtz  à  l'étude  de  la  voix  humaine.  En  employant  une  série  de  tuyaui 
de  dimensions  diverses,  il  a  pu  reconnaître  que  toute  émission  de 
voix,  chantée  ou  parlée,  est  toujours  composée  de  plusieurs  sons  de 
diverses  hauteurs.  Il  est  facile  de  constater,  en  outre,  que  si  Ton 
analvse  ainsi  diverses  vovelles.  émises  sur  la  même  note  musicale,  on 
y  reconnaît  la  coexistence  de  sons  variables  pour  chaque  voyelle  eo 
particulier  '^K 

Si  le  son  fondamental  d'un  corps  est  très-grave,  les  harmoniques 
d*un  ordre  élevé  sont  extrêmement  rapprochés  les  uns  des  autres: 

^*)  Il  («t  commode  de  donner  à  ces  tuyaux  la  forme  d\me  cavité  sphérique  S  (fig.  3i3  ). 


SUPERPOSITION  DES  MOUVEMENTS  VIBRATOIRES.  99 
alors,  au-dessus  d'une  certaine  limite,  le  corps  devient,  comme  les 
membranes,  à  peu  près  également  propre  à  vibrer  à  l'unisson  de  tous 
les  sons  possibles.  —  Ainsi  s'explique  l'utilité  de  la  tabie  d'harmonie 
dans  certains  Instruments,  comme  le  piano  ou  la  harpe;  celle  de  la 
caiue,  dans  le  violon  ou  le  violoncelle.  Il  est  d'ailleurs  utile,  ainsi 
que  l'a  montn^  Savart ,  que  le  son  fondamental  de  la  caisse  d'uo 
violon  présente  un  rapport  déterminé  avec  le  son  fondamental  des 
diverses  cordes  '". 

Lorsqu'un  corps  est  mis  en  vibration,  et  que  les  ébranlements  qui 
lui  ont  été  imprimés  ne  sont  pas  incessamment  renouvelés,  la 
somme  de  forces  vives  qu'il  possède  doit  se  dépenser  d'autant  plus 
rapidement  que  l'intensité  des  mouvements  communiqués  aux  corps 
extérieurs  est  plus  grande.  On  voit  donc  que  le  renforcement  d'un 
son,  produit  par  la  communication  du  mouvement  aux  corps  exté- 
rieurs, lui  fait  perdre  en  durée  tout  ce  qu'il  lui  fait  gagner  en  in- 
tensité. —  Il  peut  arriver  aussi  que  les  appareils  renforçants  aient 
pour  effet  de  concentrer  dans  des  directions  déterminées  la  force 
vive  qui,  sous  la  seule  influence  du  corps  sonore,  se  répandrait  éga- 
lement dans  tous  les  sens.  Cette  répartition  inégale  peut  être  facile- 
ment constatée,  par  exemple,  en  plaçant  successivement  l'oreille  dans 
diverses  positions  autour  d'un  timbre  armé  d'un  tuyau  renforçant. 

372.  Dea  ImncBivBtB  et  du  «•■  résultant. —  Supposons 
qu'en  un  même  point  de  l'espace  concourent,  suivant  des  directions 
sensiblement  parallèles,  deux  mouvements  vibratoires  ayant  des  pé- 

préientanl  une  ouYerlure  AB,  et,  k  l'opposé  de  cetle  ouverture,  ud  petil  appendice  Oi- 
niqa«  creiu  UN  que  l'on  introduit  dan»  le  conduit  aiiditir  eilerne.  L'eipërience  indique, 
^  pour  chaque  grandeur  de  tujau,  les  dimensioUB  les  [dus 

HtBoUgeuses  de  l'oLiverlure  AB. 

Pour  Taire  l'analyse  d'un  son  parcelle  méthode,  A  la- 

^  quelle  M.  Uelmholli  a  donné  un  grand  dé«ebpp»nent, 

mploie  une  série  de  tuyaui  semblables ,  qu'il  désigne 

le  nom  de  réimnaUutÈ.  L'observateur  se  place  de 

manière  à  bleu  entendre  le  son  qu'il  se  propose  d'ana- 

lyser,  et  il  détermine,  en  plaçant  successivement  dans 

pi.  j,j  l'oreille  les  divers  résonnaleunt,  quels  sont  ceux  qui  lui 

donnent  la  sensation  d'un  renforcement  considérable. 
)  Voir  plua  loin,  i  ta  fin  de  VAeotulique.la  note  complémentaire  D,  relative  au  ren- 


100  ÉLASTICITÉ  KT  ACOIJSTIQIE. 

riodes  différentes,  T,  T'.  La  vitesse  de  vibration  de  ce  point,  à  un 
instant  détermine^  ^  sera  sensiblement  la  somme  algébrique  des 
deux  vitesses  que  lui  imprimeraient  séparément  ces  deux  mouve- 
ments vibratoires.  —  Or,  si  Ton  suppose,  en  particulier,  que  les 
deux  mouvements  vibratoires  qui  concourent  au  point  considén^ 
soient  analogues  à  des  mouvements  pendulaires,  les  vitesses  V,  \\ 
imprimées  par  chacun  d'eux  à  ce  point,  au  même  instant  t,  peuvent 
se  représenter  par  les  formules 

V  =  A  sin  fîTT  ('p  ~^"  '^ 
r'  =  A'sin'îTT  (îf-^  Ô' ]• 

Mais  l'expression  de  la  seconde  vitesse  peut  s'écrire 

'==A'sin^7r(.|  +  l9  +  .{-  +  6'--.j~6) 


ou  bien 


r'  =  A'sin*î^[;[,^l9-i-(ô'--i9  +  ^rp^)]- 

La  vitesse  résultante  du  point  que  l'on  considère  est  donc  la  même 
que  si  elle  était  produite  par  la  combinaison  de  deux  mouvements 
vibratoires  ayant  la  même  période  T.  mais  présentant  entre  eux 
une  différence  de  pha^e  exprimée  par 

[t  iT— T)"l 
y  —  g-h  'rpp,      : 

et,  dans  cette  façon  d'envisager  le  phénomène,  si  l'on  considère  le 
même  point  à  divers  instants  successifs,  la  différence  de  phase  des 
deux  mouvements  qui  s'y  combinent  serait  variable  avec  le  temp*. 
Mais,  si  la  durée  des  deux  périodes  T  et  T'  est  notablement  supé- 

rieure  à  leur  différence  T— T',  le  terme     j^     varie  notablement 

moins  vite  que  le  ternie  ^;  il  en  résulte  que,  pendant  la  durée  d'une 

vibration  ou  d'un  petit  nombre  de  vibrations,  l'effet  produit  diffère 
peu  de  l'effet  qui  résulterait  de  la  combinaison  de  deux  mouvements 
ayant  même  période  et  présentant  une  différence  de  phase  cens- 


SUPERPOSITION  DES  MOUVEMENTS  VIBRATOIRES.   101 

tante,  égale  à  la  valeur  moyenne  de  l'expression  précédente  pendant 
cet  intervalle. 

En  particulier,  si  l'on  considère  une  époque  déterminée  t,  telle 
que  Ton  ait 

T/i'      /s  ,  tJ-Ti 


on  voit  que,  pendant  les  vibrations  voisines  de  cette  époque,  les  deux 
vitesses  s'ajouteront  sensiblement  l'une  à  l'autre,  et  le  mouvement 
résultant  offrira  le  maximum  d'intensité. 

Au  contraire,  si  l'on  considère  une  autre  époque  l',  telle  que 
Ton  ait 


2' 


on  voit  que,  pendant  les  vibrations  voisines  de  cette  époque,  les  deux 
vitesses  seront  sensiblement  opposées,  et  le  mouvement  résultant 
présentera  le  minimum  d'intensité. 

Donc,  en  définitive,  si  l'oreille  est  placée  au  point  que  l'on  consi- 
dère, il  se  produira  une  succession  de  renforcements  et  d'affaiblisse- 
ments dans  l'impression  perçue.  Il  est  facile  de  voir  d'ailleurs  que 
ces  renforcements  et  ces  affaiblissements  doivent  être  périodiques  et 
alternatifs;  car,  d'après  ce  qu'on  vient  de  voir,  il  y  aura  renforce- 
ment aux  époques  successives 

TT 

TV 

t.)   —  (  v  -    7   -f-  1  )  'r  3^'  " 

TV 


t  affaiblissement  aux  époques 


102  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

On  voit  donc  que  Tintervaile  d'un  maximum  au  minimum  qui  le 
suit  inunédiatement  est  égal  à  -  jZTr' — ^®**^  succession  de  maxktÊm 

et  de  mimma  alternatifs  et  ëquidistants  constitue  le  phénomène  des 
battements. 

Les  époques  absolues  des  maxima  et  des  minima  dépendent  des 
valeurs  de  d  et  de  ff^  et,  par  suite,  de  la  situation  de  robservateur 

par  rapport  aux  deux  corps  sonores;  mais  l'intervalle  de  deux  maxima 

TT 
ou  de  deux  minima  consécutifs,  rp_rp>  est  indépendant  de  la  position 

de  l'obserxateur.  —  Donc,  de  quelque  façon  que  Ton  soit  placé, 
on  doit  toujours  percevoir,  dans  l'unité  de  temps,  un  nombre  de 

battements  égala    r^,    ou  |;;-— j.    Mais,  d'autre  part,  ^p  et  ^  ne 

sont  autre  chose  que  les  nombres  de  vibrations  N  et  N'  des  deux  sons 
dans  l'unité  de  temps.  Donc  le  nombre  des  battements  perçus  en  mme 
seconde  est  égal  à  la  différence  absolue  des  nombres  de  vibrations  campUtes 
des  deux  sons  qui  les  produisent^^K 

Le  phénomène  des  battements  peut  s'observer  en  faisant  résonner 
à  la  fois  deux  corps  sonores  quelconques  dont  les  nombres  de  vi- 
brations soient  entre  eux  dans  un  rapport  voisin  de  l'unité  ;  par 
exemple,  en  faisant  parler  simultanément  deux  tuyaux  de  grande 
longueur,  présentant  entre  les  sons  qu'ils  produisent  une  différence 
d'un  ton  ou  d'un  demi-ton. 

Lorsque  les  battements  produits  par  deux  sons  se  succèdent  à  des 
intervalles  de  temps  très-rapprochés,  l'oreille  devient  impuissante  â 
les  distinguer;  elle  ne  perçoit  plus  qu'un  son  résultant,  dont  la  hau- 
teur est  donnée  précisément  par  le  nombre  des  battements  prodoits 
en  une  seconde.  —  Ce  phénomène  parait  avoir  été  remarqué  pour 
la  première  fois  par  le  musicien  Tartini. 

^'Ml  n'est  pas  nécessaire  à  Texactitude  des  raisonnements  que  les  mouvemeoli  fibra- 
toires  combinés  soient  des  mouvements  semblables  à  ceux  d'un  pendule.  Il  solBt  ffs% 
chaque  vibration  complète  soit  la  succession  de  deux  oscillations  égales  et  opposées. 

On  peut  remarquer  également  que ,  si  les  nombres  de  vibrations  des  deux  sons  qui  pro- 
duisent les  battements  sont  de  la  forme  ^N  et  ib  (N  H-  i),  le  nombre  entior  fc  est  à  h  fois 
la  différence  et  le  plus  grand  commun  diviseur  des  deux  nombres.  Cette  remarque,  ineiac- 
iement  généralisée,  a  conduit  plusieurs  auteurs  à  un  énoncé  tout  à  fait  erroné  de  la  loi  des 
battements.  (Voyez,  à  la  fin  de  VÀcotutiquê,  la  note  complémentaire  E,  sur  révaluatioo 
nomérique  des  sons  par  les  battements.  ) 


SUPERPOSCTION  DES  MOUVEMENTS  VIBRATOIRES.  103 

373.  WLmprémemUMmm    graphique   du    phéBaméne    dea 

fe«««cmMit«,  Ml  m*reB  du  piMmùtosraphe.  —  On  peut 

rendre  sensible  à  l'œil  l'état  vibratoire  de  l'air,  dans  les  circonstances 


oà  il  se  produit  des  battements  ou  un  son  résultant,  au  moyen  du 
pfaonautographe  de  Scott  (fîg.  BsA). 

L'appareil  se  compose  d'un  paraboloîde  de  révolution  A,  dont  la 
surface  intérieure  réfléchit  en  son  foyer  les  ondulations  sonores  qui 
viennent  la  rencontrer  parallèlement  à  son  axe  ;  une  membrane  MM', 
tendue  en  ce  foyer,  vibre  sous  l'influence  de  ces  ondulations,  et  on 


stylet  très-l^er,  fixé  à  la  membrane,  trace  sur  un  cylindre  tour- 
nant C  une  courbe  ondulée,  représentative  de  l'état  vibratoire  de 
l'air.  Gomme  une  membrane  ne  peut  réellement  vibrer  qu'à  l'unisson 


104  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

de-certains  suns  dëtermiiirs,  il  est  nécessaire,  dans  chaque  eipérience» 
de  uiudifier  un  peu  les  conditions  dans  lesquelles  elle  se  trouve;  on 
y  parvient  au  moyen  d'une  pièce  métallique  disposée  de  manière 
à  pouvoir  être  appuyée  à  volonté  sur  divers  points  de  la  membrane. 
—  Lorsqu'on  entend  des  battements,  les  sinuosités  de  la  courbe 
ondulée,  en  s'accusant  plus  ou  moins,  rendent  manifestes  les  ren- 
forcements et  les  affaiblissements  alternatifs  du  mouvement  vibratoire 
itig.  3  2  5). 


37/|.  CoeiLÉsteiice  de  plmiicuM  Bi^uveHieBto 
même  eorpe  •en^re.  —  Tout  corps  sonore  étant  apte  à  produire 
une  série  déterminée  de  sons,  il  résulte  du  principe  général  de  la  su- 
perposition des  petits  mouvements  qu'un  même  corps  peut  exécuter 
une  infinité  de  mouvements  complexes,  formés  chacun  par  la  super- 
position de  divers  mouvements  simples.  —  Si  le  nombre  des  mouve- 
ments simultanés  qui  composent  un  mouvement  complexe  n'est  pas 
trop  considérable,  l'oreille  peut  les  distinguer  les  uns  des  autres. 

On  peut  citer,  comme  exemples  de  ce  phénomène  général  : 

La  production  simultfiuée  du  son  fondamental  et  des  premiers 
harmoniques  par  un  même  cor[>s  :  par  un  tuyau  sonore,  par  une 
corde  vibrante,  par  un  diapason,  un  timbre,  etc. 

L  existence  simultanée  du  mouvement  transversal  et  du  mouve- 
ment longitudinal  dans  une  corde  ou  une  verge.  —  11  est  à  peu  près 
impossible  de  faire  vibrer  longitudinalement  une  verge  de  quelque 
longueur,  sans  donner  en  même  temps  naissance  à  celui  des  har- 
moniques transv(>rsau\  qui  est  le  plus  voisin  du  son  longitudinal. 

La  coexistence,  dans  une  verge  de  section  rectangulaire,  de  deux 
mouvements  parallèles  aux  deux  dimensions  transversales.  —  (le 
dernier  cas  présente  assez  d'intérêt  pour  mériter  qu'on  en  fasse  une 
étude  particulière. 


375.   C^eiKlstenee   de    dem    m«uvemeBts 
laires  entre  euiL,  dans  une  Teripe  de  seetioB  reetoi 

laire.  —  i"  Si  Ton  considèn»  d'abord  le  cas  où  la  verge  est  hieèi 

honK^nc  et  de  neclioii  carrée,  les  deux  mouvements  vibratoires  sont 

exactement  de  même  |>ériode  T:  alors,  les  |)rojeclions  d'une  mole- 


SUPERPOSITION  DES  MOUVEMENTS  VIBRATOIRES.   105 

cule  quelconque  de  la  verge  sur  deux  axes  rectangulaires,  menés  par 
la  position  d'équilibre  de  cette  molécule  parallèlement  aux  deux  plans 
de  vibration,  peuvent  se  représenter  par 

Ç=  a  COSaTTrp^ 

V  =  b  COS  371  f  ,ç,  +  6]  ^ 

ce  qu'on  peut  écrire 

?         t 

a  1 


T-=  cos37r  j  cosaTTo^  -  smaTTj,  smaTTft'. 


On  tire  de  là 


—  COS  aTTÔ  —  r  =  •'^i"  a'rô  sin  a-Tr  »' 


et 

?    .  ' 

~  sin  aTTÔ  -=  sin  aTrô  cos  aw  ,,  ; 

par  sui(e,  en  élevant  au  carré  ces  deux  dernières  équations  et  les 
ajoutant  membre  à  membre, 

?*    ,    ^^       2»;|  ^       ....       ^ 

"Y  +  iT T~cos  a7r6/=  sm-*  awc/- 

rt^       Ir        ah 

Donc,  en  général,  un  point  quelconque  d'une  verge  homogène,  de 
section  carrée,  décrit  une  ellipse. 

Si,  en  particulier,  la  différence  de  phase  6  des  deux  mouvements 
rectangulaires  est  telle  que  Ton  ait  cosaTrfl  -—  i,  cette  ellipse  se 
réduit  à  une  droite  ayant  pour  équation 


I 


»? 


T-=    0. 

a       b 


Si  la  différence  est  telle  que  l'on  ait  cosa7rS=  -  i,  l'ellipse  se 
réduit  à  une  autre  droite  ayant  pour  équation 

— f-  -  =  o. 
a        b 


106  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

Si  la  différence  de  phase  est  telle  que  Ton  ait  cos37rô=  o,  l'équa- 
tion précédente  devient 

?  +  F  =  " 

c'est-à-dire  qu'elle  représente  une  ellipse  ayant  ses  axes paralUles  aux 
phins  des  deux  vibrations  élémentaires. 

Enfin  si,  avec  la  condition  précédente,  on  a  aussi  a=A,  l'équa- 
lion  devient 

c'est-à-dire  que  l'ellipse  devient  un  cercle, 

2*"  Lorsque  la  section  de  la  verge  n  est  pas  exactement  carrée,  ou  lors- 
que, par  suite  d'une  inégalité  de  structure,  la  résistance  à  lajlexion 
nest  pas  la  même  dans  les  deux  plans  parallèles  aux  côtés  de  la  section,  les 
durées  des  deux  vibrations  élémentaires  ne  sont  plus  les  mêmes.  — 
Mais,  au  lieu  de  supposer  que  les  deux  mouvements  vibratoires  aient 
des  périodes  différentes,  il  est  aisé  de  montrer,  comme  on  l'a  déjà  fait 
pour  une  question  analogue  (372),  qu'il  est  permis  de  les  considérer 
comme  ayant  la  même  période  et  une  différence  de  phase  variable  avec 
le  temps.  Tout  se  passe  donc  comme  si,  dans  le  premier  cas  que  Ton 
vient  de  considérer,  on  supposait  que  0  fût  variable  avec  le  temps; 
chaque  molécule  vibrante  décrit  donc  une  ellipse,  dans  laquellel'excen- 
tricité  et  la  position  de  la  ligne  des  absides,  varient  sans  cesse,  la 
somme  des  carrés  des  longueurs  des  axes  demeurant  constante. 

3""  Lorsque  les  deux  dimensions  transversales  de  la  verge  sont  entre 

elles  dans  un  rapport  simple  —  >  les  expressions  des  projections  d'une 

molécule  vibfante  sur  les  deux  axes  menés  par  sa  position  d'équi- 
libre deviennent 

i  =  a  cosaTT  j  > 


icosaw  / h  6 


chaque  point  de  la  verge  décrit  donc  une  courbe  représentée  par 
l'équation  qu'on  obtient  en  éliminant  t  entre  ces  deux  équations.  — 


SUPERPOSITION  DES  MOUVEMENTS  VIBRATOIRES.   107 

La  forme  de  cette  courbe  dépend,  pour  une  même  verge,  de  la  valeur 
particulière  qu'on  donne  à  la  quantité  6. 

4"  Enfin,  lorsque  le  rapport  des  deux  dimensions  de  la  verge  diffère 

peu  du  rapport  simple  —  >  le  mouvement  d'une  molécule  peut  se  repré- 
senter en  admettant  que,  dans  l'équation  de  la  courbe  fournie  par 
l'élimination  de  t  entre  les  deux  équations  précédentes,  la  quantité  6 
soit  variable  avec  le  temps  ^^l 

Pour  observer  les  diverses  formes  de  la  courbe  décrite  dans  ces 
différents  cas ,  il  suffit  d'attacher,  en  l'un  des  points  d'une  verge  élas- 
tique fixée  par  une  de  ses  extrémités,  une  sorte  de  perle  brillante 
formée  par  une  petite  sphère  de  verre  pleine  de  mercure;  en  faisant 
réfléchir  sur  cette  perle  la  lumière  du  soleil  ou  d'une  source  lumi- 
neuse quelconque,  on  distingue,  sous  la  forme  d'une  courbe  con- 
tinue, la  succession  des  positions  qu'elle  prend  pendant  le  mouvement 
vibratoire.  —  C'est  l'instru^ient  imaginé  par  M.  Whealstone,  et  dé- 
signé sous  le  nom  de  kaléidophone, 

376.   Etude  optique  des  mouvemeiits  iribratolres.  —  Eil- 

périeiiees  de  HI.IjImMiJous. —  Soit  un  faisceau  lumineux,  rendu 
convergent  par  une  lentille  à  long  foyer,  et  réfléchi,  avant  d'atteindre 
son  point  de  convergence,  sur  un  petit  miroir  attaché  à  un  corps 
sonore  quelconque;  supposons,  en  outre,  que  les  vibrations  de  ce 
corps  soient  parallèles  au  plan  de  réflexion.  Si  l'on  fait  vibrer  le 
corps  sonore,  le  point  de  concours  du  faisceau  lumineux  oscillera, 
sans  sortir  du  pian  de  réflexion  :  il  décrira  donc  une  petite  ligne 
droite,  de  longueur  proportionnelle  à  l'amplitude  des  vibrations. 

Supposons  maintenant  que  le  faisceau  lumineux  soit  encore  réflé- 
chi, avant  d'atteindre  son  point  de  convergence,  par  un  miroir 
immobile,  et  que  le  plan  de  cette  seconde  réflexion  soit  perpendi- 
culaire au  plan  de  la  première  :  lorsqu'on  mettra  en  vibration  le 
corps  sonore  qui  porte  le  premier  miroir,  le  point  de  concours  du 
faisceau  décrira  alors  une  droite  égale  et  parallèle  à  la  précédente. 
—  Si  maintenant  le  second  miroir  est  lui-même  porté  par  un  corps 

^•^  Voir,  la  fin  de  VÀcoustique,  la  note  complémentaire  F,  sur  la  composition  des  mou- 
vements vibratoires  rectangulaires. 


108  ÉLASTICITÉ  ET  ACOUSTIQUE. 

soiiurc  dont  les  vibralious  soient  parallèles  au  plan  de  la  seconde 
réflexion,  le  point  de  concours  du  faisceau  lumineux  exécutera  si- 
uiultanéinent  deux  systèmes  de  vibrations  perpendiculaires  Fun  sur 
l'autre.  Les  périodes  des  deux  vibrations  élémentaires  du  point  lumi- 
neux seront  les  mêmes  cpie  les  périodes  des  deux  vibrations  sonores 
correspondantes,  et  il  y  aura  proportionnalité  entre  les  amplitudes. 
On  pourra  donc  reproduire  de  la  sorte,  sur  un  écran,  toutes  les 
courbes  qu'on  a  définies  dans  le  paragraphe  précédent  ^*^ 

11  suit  de  là  que,  si  les  deux  corps  sonores  exécutent  des  vibra- 
tions dont  les  périodes  aient  entre  elles  un  rapport  simple  déter- 
miné, le  point  lumineux  décrira  indéfiniment  l'une  des  courbes 
qui  ont  été  indiquées.  —  En  particulier,  §i  les  deux  corps  sont  exacte- 
ment à  Tunisson,  le  point  lumineux  décrira  une  droite  ou  une 
ellipse  immobile,  suivant  la  valeur  que  présentera  le  retard  ou 
l'avance  d'une  des  vibrations  sur  l'autre.  —  Si  l'unisson,  ou  en 
général  le  rapport  simple  des  deux  mouvements  vibratoires,  est 
altéré  d'une  très-petite  quantité,  on  en  sera  averti  par  le  change- 
ment de  forme  et  le  déplacement  graduels  de  la  courbe  décrite. 
—  On  a  donc,  dans  ce  phénomène,  un  moyen  très-sensible  de  vé- 
rifier l'accord  de  deux  corps  sonores  quelconques. 

''  On  pourra  l'aire  les  inëiiies  (ibsenations  Mir  un  faisceau  divergent.  L'oeil,  anuéd^an 
verre,  s'il  esl  nécessain»,  n'inira  i|ii*à  regarder  l'image  réflérbie  du  poiiil  d\iii  le  laiscein 
est  f'mané. 


NOTES  COMPLÉMEINTAÏRES 


RFwLATIVKS  A  DIVKRSES  Qï  ESTIONS  D  ACOUSTIOUE 


NOTK  A. 

SUR  LF.S  EFFETS  DES  RISfLKXIOXS  MULTIPLlîS  l»CI  S0^   DANS   UN   TUYAC. 

Lorsqu'il  se  produit,  à  l'une  des  extrémilés  d'un  tuyau,  un  mou- 
vement vibratoire  continu,  il  y  a,  au  bout  d'un  certain  temps,  et  en 
chaque  point  du  tuyau,  superposition  d'une  multitude  d'ondes  qui 
ont  été  successivement  réfléchies  à  chacune  des  extrémités;  les  inten- 
sités de  ces  ondes  successives  doivent  d'ailleurs  être  considérées 
comme  décroissantes,  à  mesure  que  le  nombre  des  réflexions  qu'elles 
ont  éprouvées  est  plus  considérable. 

Admettons  que,  dans  la  réflexion  de  chaque  onde  sur  une  extré- 
mité ouvertey  la  vitesse  et  la  condensation  soient  multipliées  respec- 
tivement par  des  facteurs  constants  m  et  n,  le  facteur  m  difl*éranl 
peu  de  +  1?  et  le  facteur  w  différant  peu  de  -  i.  Admettons  de 
même  que,  dans  la  réflexion  sur  une  extrémité  /mw^^,  ces  mêm& 
grandeurs  soient  multipliées  par  d'autres  facteurs  constants  m'  et  w', 
respectivement  peu  différents  de  —  t  et  de  4-  i  ^^K 

Si  l'on  considère,  en  particulier,  un  tuyau  ouvert  à  ses  deux  extré- 
mités, et  si  l'on  désigne  par  R  son  embouchure  et  par  S  l'extrémité 
opposée,  les  ondes  dont  les  mouvements  se  combineront,  h  l'ins- 

^^)  Celle  hypotlii'sc  osl  la  plus  simple  et  la  pitis  probable  qu^on  puisse  faire,  dès  qu'on 
a  égard  h  la  transmission  du  son  dans  l'atmospbère  eitéricurc,  qui  osl  si  évidemment 
incompatible  avec  ré|;alité  alisobie  dos  vibrations  incidentes  et  des  vibrations  rénôcliios. 
Il  est  vrai  qu'en  nngmenlant  suflisnmmenl  la  résistance  du  fond  d'un  luyau  on  pont  faire 
en  sorte  que  les  valeurs  absolues  de  m'  et  de  n  soient  aussi  voisines  de  l'unité  qu'on  Ip 
le  voudra;  mais  il  n'en  est  pas  ainsi  dos  valeurs  de  m  et  de  n,  (|ui  paraissont  loujoiirs  son- 
siblemenl  inférieures  à  l'unilé,  quoi  que  soit  le  diam^lro  du  luyau. 


110  NOTES  COMPLÉMENTAIRES. 

tant  ^  en  un  point  du  tuyau  situé  à  une  distance  x  de  Tembou- 
chure,  comprendront  : 

1®  Une  onde  directe,  dont  la  vitesse  de  vibration  sera 


ro  =  Asin97r  f  ^  — r  j; 


9°  Une  onde  réfléchie  en  S,  dont  la  vitesse  de  vibration  sera 

t       il  —  x 


4    .          (i       il  —  x\ 
Vj  =  m\  sin  97r  (  ^ j —  1  ; 


3*"  Une  onde  réfléchie  successivement  en  S  et  en  R,  dont  la  vi- 
tesse de  vibration  sera 

i      il-hx 


....  f  t  2i-hX\ 

V2=m^  A  sm  97r  (  j ^- —  1  ; 


4°  Une  onde  réfléchie  successivement  en  S,  K  et  S,  dont  la  vi- 
tesse de  vibration  sera 

àl-x 


r3  =  m^Asin  qtt  Ij r — 1; 


5^  Une  onde  réfléchie  successivement  en  S,  R,  S  et  R,  dont  la 
vitesse  de  vibration  sera 

4A     •  f^         àl±X\ 

etc. ,  etc. 

En  raison  de  la  rapidité  avec  laquelle  le  son  se  propage,  le 
nombre  des  ondes  réfléchies  est  bientôt  très-grand,  et  comme  le 
aDelFicient  m^,  qui  entre  dans  l'expression  de  la  vitesse  de  l'onde  qui  a 
subi  p  réflexions,  décroît  en  progression  géométrique  d'une  onde  à 
l'autre,  la  vitesse  résultante  au  bout  d'un  temps  assez  court  ne 
diffère  pas  sensiblement  de  la  somme  de  la  série 

cette  série  étant  prolongée  indéfiniment. 

Pour  trouver  cette  somme,  on  remanjue  d'abord  que  la  série  V 
est  la  somme  de  deux  autres,  savoir  : 

A  siuQwf  ^  — y  j  +  m^  A  sinQw  (^ j^ — j 

+  I»*  AsmaTT  Ij >r — 1  -f  •  •  • 


RÉFLEXIONS  MULTIPLES  DU  SON  DANS  UN  TUYAU.  111 
et 

mAsinair  l^ t — j  +m*A  siiiaw  f  q; r— j  +  .  •  .  . 

Or,  si  Ton  pose 

ces  deux  séries  parallèles  peuvent  s'(^crire,  au  moyen  des  exponen- 
tielles imaginaires,  sous  la  forme 

r  yVCTT  2   (y  — 5)V—  i    ,      d    (r  —  is)  V—  i 


et 
fflA 


re(-^)^  +  m'e(^-")^  +  m*;^-3')^+  .. 


Si  Ton  prend  p  termes  dans  chacune  des  deux  lignes  dont  se 
compose  chaque  série,  les  formules  de  sommation  des  progressions 
géométriques  réelles  ou  imaginaires  conduisent  aux  expressions 

et 


av/=^L         i-mV-'^~ 


'--yH'^e-(y-p')v^1 

i  —m  é»  J 


mk    f,('-OV^-roV,[»-«'-^')'l^^ 


1  —m  « 


(,_,)vC7_ 


,_;„«,'V^  j' 


qui  peuvent  s'écrire,  en  effectuant  les  opérations, 

A      (       ■t.n,'P+')fly-(''-')*1^^-«.-tj'-<P-')'l^^P 


112 


NOTES  COMPLÉMENTAIRES. 


et 


.(»- 


_H(A_ 

■i\—  1 


^      [z-(p+.)ilV^jl 


i 


i  +m  —m  \e  -he 


) 


En  revenant  aux  lignes  trigonoraétriques,  on  obtient 

.  sin  y— m'sin(j-4-.v)  —  m*''sin(r  — /)5)-hm*''"^*sin  [.T— (p—  i)*] 

I  4-  m'  — 3 m' COS. V 


el 


.  sin  {z-  s)-m*sïn  2  — m*''sin  [r  — (/)H-i)5]-+-m*'"*"  sin(2  — p.ç) 

m  A 4 s » 

1  H- m  —  umcos.v 


el  roinine  m^^'  el?n''^"^  *  décroissent  au-dessous  de  toute  limite,  h 
mesure  que  ji^  augmente,  il  est  clair  que  la  somme  de  la  série  V, 
indéfiniment  prolongée,  se  réduit  n 

.         .  sin  r -4- m  sin  (c  -5)  — m*sin  (r-i-.v)  — m'sin  r 


1  -+-m      am  cosi 


ou,  en  remplaçant  maintenant  y,  zei  s  par  leurs  valeurs. 


sm  27r 


(t-I) 


+  W  Sin  QTT 


'-) 


\=^A^ 


-  m'sm  îiTrI  yp  H î- —  j  —  m  sin  ^^  (  'T  +  t  1 


1  H-m^  —  am*cos  /itt 


/ 


En  développant  les  fondions  trigonomélriques,  cette  expression 
devient 

A 


\ 


•         1  -+-  m    —  am    COS  'iTT  -r 


a*  .  il 

cos  *^7r  j  +  m  cos  97r  — >- 


—  nr  cos97r  — > — 


—  m^  cos  *2ir  V  )  sm  ^tt  q^ 


a/  — a" 


/  .          X  ,         .           a/    .r    ,      „   .  a(-a" 

-  (  sm  37r  r  +  m  sm  9.n  — v h  m^  sm  qtt  — ^ 

%  •      ^>         n 

4-  nr  sm  ^w  y  I  cos  qtt  j 


RÉFI.KXIONS  MULTIPLES  1)1^  SON   DANS  UN  TUYAU.  113 
Mais,  en  {général,  si  Ton  pose  tan{}«î7rô  =  rji  on  a 


MsinâTTrj, -^Ncosaw?p==i/M2+N2sin  qtt  (t  —  ^) 

Donc,  en  posant 

1  4-  m^)  sin  27r  r  +  m  ( i  4-  m)  sin  qtt  — r — 

tang  27rô  =- i , 

(i  —  m\l  (OS air  s-  +  m(i  — mjcosair  — r — 

on  obtient,  après  des  transformations  faciles  à  effectuer, 


i  ,     l  —  x 


1  4-  m  4-  2m  cos  /|7r 


*  '         14-  m  —  27?r  cos  4w 

Aux  deux  extrémités  du  tuyau,  c'est-à-dire  pour  a?=  o  et  pour 
X  =  /,  les  valeurs  respectives  du  coefficient  constant  qui  entre  dans 
la  valeur  de  V^  se  réduisent  à 

1  4-  m'4-  am  cos47r  ^ 
A2 ^ 


el  a 


1 4-  m*  —  2m*  cos  ^lt  5- 


.2  (14-mT  . 

1  4-  m*  —  2m*  cos  t\Tt  Y 


el   il   est  facile  de  voir  que  ces  expressions  sont   l'une  et  l'autre 
maxima  toutes  les  fois  que 


cos  'ITT  v=  1  . 


c'esl-à-dire  tontes  les  fois  que 


/        ^ 


D'ailleurs,  c'est  presque  uniquement  par  les  extrémités  que  le 
mouvement  vibratoire  de  l'air  contenu  dans  un  tuyau  ouvert,  à 
parois   suffisamment   résistantes,    se   communique  à   l'atmosphère 

Verdet,  !!!.  —  fours  de  phys.  H.  8 


114  NOTES  COMPLÉMENTAIRES. 

extérieure.  Les  sons  d'intensité  maxima  sont  donc  précisément  ceux 
qui  satisfont  à  la  condUion  qui  rend  maxima  l'intensité  du  mouve- 
ment vibratoire  aux  deux  extrémités. 

Des  calculs  semblables  pourraient   être  appliqués  aux   tuyaux 
fermés,  —  Ils  conduiraient  encore  à  une  conclusion  conforme  aux 
lois  de  Bernoulli. 

NOTE  B. 


SUR  LA  GOMPRESSIBILITE  DES  LIQUIDES. 

Les  compressibililés  absolues  des  liquides  qu'on  trouve  dans  les 
^[émoires  de  M.  Régna ult  ou  de  ses  élèves,  et  qui  ont  passé  de  là 
dans  plusieurs  Traités  de  physique,  ont  été  calculées  en  admettant, 
entre  les  coefficients  h  et  k  qui  ont  été  défims  plus  haut  (341),  des 
relations  déterminées  :  ces  relations  elles-mêmes  avaient  été  dé- 
duites par  M.  Lamé  d'une  ancienne  théorie  de  l'élasticité,  dans 
laquelle  on  faisait  usage  des  formules  générales  qui  ont  été  don- 
nées en  note  à  la  page  81,  en  supposant,  dans  ces  formules, 

X  =  (À. 

Il  résultait  de  la  même  théorie  que,  lorsqu'un  cylindre  est  soumis  à 
une  traction  dans  le  sens  de  son  axe,  la  contraction  linéaire  trans- 
versale doit  être  le  quart  de  rallongement  suivant  l'axe. 

Wertheim  a  fait  voir  que,  dans  le  cas  du  verre  et  des  principaux 
métaux,  la  contraction  transversale  est  inférieure  à  cette  valeur,  et 
on  en  a  conclu  que,  au  moins  pour  cette  classe  de  corps,  on  doit 
avoir 

A 


Si  l'on  examine  l'influence  que  l'hypothèse  inexacte  X  =  |ia  a  dû 
exercer  sur  les  formules  de  calcul  adoptées  de  confiance  par 
M.  Regnault,  on  reconnaît  que  ces  formules  conduisent  à  attribuer 
à  k  une  valeur  trop  grande,  h  étant  donné  immédiatement  par  l'ex- 
périence. Par  conséquent,  les  valeurs  de  J,  ou  de  la  compressibilité 
absolue,  ont  été  estimées  trop  haut  et  ne  peuvent  être  considérées 
que  comme  des  limites  supérieures. 


SUR  UNE  LOI  GÉNÉRALE  DES  MOUVEMENTS  VIBRATOIRES.    115 

Or,  on  trouve  dans  le  Mémoire  de  M.  Regnauit  trois  valeurs  dis- 
tinctes de  la  compressibilité  absolue  de  Teau,  savoir  : 

Dans  les  expériences  faites  avec  un  piézomètre  de  cuivre  rouge. .   0,0000/1771 

laiton 0, 0000/1899 

— verre 0,0000/1668 

La  valeur  de  la  compressibilité  absolue  de  l'eau  est  donc  infé- 
rieure à  o,oooo&668.  D'autre  part,  on  a  vu  plus  haut  qu'elle  doit 
être  supérieure  ào,oooo&685.La  conclusion  à  tirer  de  ces  résultats, 
en  apparence  contradictoires,  c'est  qu'on  ne  peut  pas  compter  sur 
l'exactitude  du  troisième  chiffre  significatif  des  nombres  précédents, 
et  qu'on  doit  regarder  la  compressibilité  de  l'eau  comme  comprise 
entre  o,oooo&6  et  0,000047.  —  Si  l'on  admet  qu'elle  soit  égale 
à  o,oooo465,  on  en  conclut  pour  la  vitesse  de  propagation  du  son 
dans  l'eau,  à  la  température  de  8  degrés,  la  valeur  i46o  mètres 
par  seconde.  L'expérience  directe  avait  donné,  comme  on  l'a  vu, 
la  valeur  i435  mètres  par  seconde  :  la  différence  qui  existe  entre 
ces  deux  résultats  est  entièrement  explicable  par  l'incertitude  de  la 
vraie  valeur  de  la  compressibilité. 


NOTE  C. 

SUR  UNE  LOI  G^N^RALE  DES  MOUVEMENTS  VIBRATOIRES. 

Savart  a  découvert  que  des  tuyaux  de  formes  semblables,  sem- 
blablement  embouchés,  rendent  des  sons  dont  les  nombres  de  vibra- 
tions sont  inversement  proportionnels  aux  dimensions  homologues. 
La  même  loi  s'applique  à  tous  les  mouvements  vibratoires  consi- 
dérés en  acoustique. 

Ainsi,  par  exemple,  le  rapport  des  nombres  de  vibrations  trans- 
versales N  et  IN'  de  deux  cordes  rendant  chacune  le  son  fondamental 
est  donné,  d'après  la  formule  de  Taylor  (365),  par  la  relation 


or,  si  l'on  désigne  jwir  a  et  q  les  sections  des  deux  cordes,  par  à 

s. 


116  NOTES  COMPLÉMENTAIRES. 

elS^  les  densités  des  matières  qui  les  constituent,  cette  relation  peut 
s'écrire 


Si  maintenant  on  suppose  que  les  cordes  soient  des  cylindres  de 
même  nature,  géométriquement  semblables,  et  que  les  tensions 
rapportées  à  runité  de  section  soient  éfjales,  ce  rapport  se  réduit  sim- 
plement au  rapport  inverse  des  longueurs 


^'~ i  ' 

Si  deux  verges  de  section  rectangulaire  et  de  même  nature  vi- 
brent parallèlement  ù  la  même  dimension,  et  dans  des  conditions 
identiques  quant  à  leurs  extrémités,  le  rapport  de  leurs  nombres  de 
vibrations  (367)  est  donné  par  la  relation 

N  _£^r 

N'  ""  e'  P  ' 

si  Ton  suppose  que  ces  deux  verges  soient  géométriquement  sem- 
blables, c'est-à-dire  qu'elles  aient  des  dimensions  transversales  pro- 
portionnelles à  leurs  longueurs,  la  valeur  du  second  membre  se 
réduit  encore  au  rapport  inverse  des  dimensions  homologues. 

Si  deux  plaques  sont  des  prismes  semblables,  leurs  surfaces  sont 
proportionnelles  aux  carrés  de  leurs  épaisseurs,  et  le  rapport  de 
leurs  nombres  de  vibrations  se  présente  encore  sous  la  même  forme. 

Cauchy  a  fait  voir  que  la  loi  est  tout  à  fait  générale  ^^^  :  ce  n'es! 
qu'une  conséquence  très-simple  de  la  forme  linéaire  des  équations 
du  mouvement  vibratoire  des  corps  élastiques ,  et  des  équations  par 
lesquelles  on  représente  les  conditions  relatives  aux  limites  de  ces 
corps. 

'''   Mémoivex  de  V Académie  dex  sciences ,  t.  IX,  p.  i  i8. 


SUR  LE  RENFORCEMENT  DES  SONS.  117 

NOTE  D. 

SUA  LE  RKNFOBGEMENT  DES  SONS. 

Soit  un  point  mobile,  sollicité  par  une  force  dirigée  vers  un 
centre  fixe  et  proportionnelle  à  la  distance.  —  Si  la  vitesse  initiale 
est  nulle,  ou  passe  par  le  centre  fixe,  le  mouvement  du  point  aura 
lieu  sur  la  droite  qui  passe  par  la  position  initiale  et  par  le  centre 
Hxe,  et  sera  déterminé  par  l'équation  différentielle 

cPii       .. 

dont  l'intégrale  est 

u==Acos/*  (^4-  6), 

les  constantes  A  et  6  dépendant  de  l'état  initial.  Donc,  dans  ce  cas, 
le  mouvement  sera  périodique,  et  la  durée  de  la  période  sera 

n 

Faisons  arriver  sur  ce  même  point,  supposé  en  repos,  une  série 
d'ondes  sonores  périodiques,  dont  la  période  diffère  de  T  et  puisse 

se  représenter  par  —  Sous  l'impulsion  de  ces  ondes,  le  point  mobile 

se  mettra  en  mouvement,  et  on  pourra  le  regarder  conmie  sollicité 
par  une  force  qui  sera,  à  chaque  instant,  proportionnelle  à  l'excès  al- 
gébrique de  la  vitesse  de  vibration  des  ondes  sur  sa  vitesse  propre. 
L'équation  différentielle  de  son  mouvement  sera  donc  de  la  forme 

-^  +  n^u+fàk  \-^  —  s\nm[t+0)\  =o, 

si  l'on  admet  que  les  vibrations  sonores  soient  elles-mêmes  repré- 
sentées par  une  formule  trigonométrique  simple.  La  constante  k  est 
nécessairement  positive. 

Pour  l'intégration,  on  considérera  d'abord  Téquation  plus  simple 

rf*u  ,     2     ,     j  du 
dont  l'intégrale  générale  est 


118  NOTES  COMPLÉMENTAIRES. 

en  désignant  par  v  le  nombre,  réel  ou  imaginaire,  dont  le  carré  est 
égal  à  k'^  —  V?.  On  trouvera  ensuite,  par  la  méthode  de  la  variation 
des  constantes  arbitraires ,  que  l'intégrale  de  l'équation  du  mouve- 
ment se  déduit  de  la  précédente  en  y  faisant 

.       1^       fcg^*""^'[(fc-i;)sinm(t-4-g)-mcosm(<-i-g)] 

^  =  ^"*"i;  m»-h(fe~i')*  ' 

j._j^_Ae<*-*-"^'[(ft-4-v)sinm(t4-Ô)-^mcosm(<-4-fl)l 


V  m*  -t-  (  /c  1-  y 


M  et  N  étant  deux  constantes  arbitraires  qui  doivent  se  déterminer 
par  la  considération  de  l'état  initial.  Cette  substitution  donne,  en 
ayant  égard  à  la  relation  v^^^k^  —  rfi^ 

\|^-(*-v)i  ,  ]v^-{4+v)»        i(m*-n^)sinm(<4-g)-4-2mfccosm(<4-g) 
ou ,  en  faisant    >_  >  =  tang  m^, 

V/(m*-fi*)*+4m*ft* 

et  il  ne  reste  plus,  pour  obtenir  les  valeurs  de  M  et  de  N,  qu'à  re- 
marquer que,  pour  t  =  o,  on  a  à  la  fois  tt=  o  et  ^  =  o. 

Si  V  est  réel,  on  voit  que  le  déplacement  u  ne  difRre  d'un  dépla- 
cement périodique,  isochrone  avec  les  ondes  sonores  incidentes,  que 
d'une  quantité  qui  décrott  indéfiniment  à  mesure  que  i  augmente. 
En  effet,  la  réalité  de  v  implique  que  v  soit  plus  petit  que  k,  et,  par 
conséquent,  que  les  deux  facteurs  --  (A:  — t?)  et  —  (fc+w)  soient  tous 
les  deux  négatifs. 

Si  V  est  imaginaire,  les  constantes  M  et  N  doivent  être  imaginaires 
elles-mêmes  :  en  tenant  compte  de  cette  condition ,  on  obtient 

u  =  c   "(Pcospt+QsmpO ,     ,      ,  /,% 

en  faisant  p^  =  v?  —  1^^  et  en  prenant  pour  P  et  Q  deux  constantes 
réelles  qui,  pour  <=  o,  réduisent  à  zéro  la  valeur  précédente  de  u, 

ainsi  que  celle  de  jr  qui  s'en  déduit.  Le  déplacement  u  est  alors  la 

somme  de  deux  déplacements  périodiques,  dont  l'un  est  isochrone 


SUR  LE  RENFORCEMENT  DES  SONS.  119 

avec  les  ondes  sonores  incidentes,  et  dont  l'autre  a  pour  période 


37r 


—  »  c'est-à-dire  une  durée  toujours  supérieure  à  la  période  propre 

—  du  point  mobile.  L'intensité  du  second  mouvement  décrott  indé- 
finiment à  mesure  que  t  augmente,  et,  au  bout  d'un  temps  suffi- 
samment long,  le  premier  seul  est  sensible. 

Ainsi,  dans  tous  les  cas,  l'état  final  du  point  mobile  est  un  mou- 
vement périodique,  de  mime  péinode  que  celui  des  ondes  sonores  inci-- 
dentés.  Mais  l'intensité  de  ce  mouvement,  pour  une  valeur  donnée 
de  m,  dépend  de  la  valeur  de  n  et  atteint  son  maximum  pour  n=m^ 
c'est-à-dire  quand  la  période  des  vibrations  du  point  mobile,  supposé 
libre,  est  identique  à  la  période  des  vibrations  incidentes. 

Ces  calculs  donnent  l'explication  du  phénomène  général  de  la 
communication  du  mouvement  vibratoire  d'un  corps  sonore  à  un 
autre.  —  Chaque  molécule  du  corps  primitivement  immobile  peut 
être  assimilée  au  point  mobile  qu'on  vient  de  considérer.  Par  suite 
de  ses  liaisons  avec  les  molécules  du  corps  sonore,  toutes  les  fois  qu'on 
l'écarté  de  sa  position  d'équilibre,  elle  est  sollicitée  à  y  revenir  par 
une  force  proportionnelle  à  l'écart.  Si  la  force  qui  la  met  en  mou- 
vement est  l'impulsion  périodique  d'une  série  d'ondes  émanées  d'un 
deuxième  corps  sonore,  on  pourra  répéter  tout  ce  qui  vient  d'être 
dit  d'un  point  libre,  et  on  arrivera  aux  mêmes  conclusions.  —  Un 
système  d'ondes  sonores  persistantes  finit  donc  toujours  par  commu- 
niquer un  mouvement  de  même  période  aux  corps  élastiques  qu'il  ren- 
contre; mais  l'intensité  de  ce  mouvement  est  maxima  dans  ceux  des 
corps  qui ,  en  vertu  de  leur  élasticité  ou  de  leur  tension ,  peuvent 
exécuter  des  vibrations  isochrones  avec  les  vibrations  incidentes  ^^\ 

^')  Si  l^on  voulait  envisager  la  question  à  un  autre  point  de  vue,  et  chercher  quelle 
est,  pour  un  corps  donné,  Tonde  sonore  qui  détermine  le  mouvement  le  plus  intense,  il 
faudrait  comparer,  non  plus  les  déplacements ,  qui  ne  sont  proportionnels  aux  intensités 
que  pour  des  sons  de  même  période,  mais  les  forces  vives,  c^est-à-dire  les  carrés  des 
vitesses  finales  de  vibration.  —  On  aurait  donc  à  chercher  la  valeur  de  m  qui  rend 

maximum  le  coefficient  indépendant  du  temps  qui  entre  dans  Texp^ession  de  (  ->-  ]  y 
savoir 


On  trouverait  ainsi  de  nouveau  la  condition  m*  =  n^. 


120  NOTES  COMPLEMENTAIRES. 


NOTE  E. 

SDR  L'ivALCATION  NUMERIQUE  DBS  SONS  PAR  LES  BATTBMElfTS. 

Sauveur  a  fait  remarquer  que,  si  Ton  connait  à  la  fois  rintervalle 
de  deux  sons  et  le  nombre  de  leurs  battements  dans  l'unité  de  temps, 
il  est  facile  d'en  déduin?  les  nombres  absolus  de  leurs  vibrations 
dans  le  même  temps.  —  En  effet,  si  Ton  désigne  par  x  et  y  ces 

nombres  absolus,  par  —  la  valeur  numérique  de  Tintervalle  des  deux 

sons  et  par  b  le  nombre  des  battements,  on  a 


.V      m  , 

Y       n  ^ 


Mais  les  évaluations  ainsi  obtenues  n'offrent  aucune  exactitude;  car, 
pour  obtenir  des  battements  distincts  les  uns  des  autres,  il  faut 

donner  au  rapport  —  une  valeur  assez  peu  différente  de  l'unité,  et 

l'oreille  la  plus  exercée  n'apprécie  qu'avec  une  précision  médiocre 
les  intervalles  de  ce  genre. 

Sclieibler  a  proposé  une  tout  autre  méthode,  pour  faire  servir 
les  battements  à  la  même  détermination.  —  Soit  une  série  d'insn 
truments,  de  diapasons  par  exemple,  t(*llement  construits  que  le 
deuxième,  entendu  avec  le  premier,  donne  naissance  à  quatre  batte- 
ments par  seconde;  (|uil  en  soit  de  même  du  troisième,  entendu 
avec  le  deuxième;  du  quatrième,  entendu  avec  le  troisième,  etc., 
les  nombres  de  vibrations  de  ces  divers  instrumentas  seront,  si  l'on 
appelle  x  le  nombre  de  vibrations  du  premier. 


La  série  étant  suffisamment  prolongée,  on  trouvera  toujours  den 


COMPOSITlOxN  DES  MOUVEMENTS  VIBRATOIRES.     131 

ternies,  x+Up  et  x*+/i  (/?+i),  qui  comprendront  entre  eux  Toctave 
du  premier  son,  de  telle  fa<;on  qu'on  ait 

ûx'^x+kp 

et 

ax<Z^  +  à  (p  +  \). 


Le  nombre  x  sera  ainsi  déterminé  avec  une  erreur  inférieure  h  quatre 
vibrations.  —  On  peut  obtenir  une  précision  plus  grande  en  cons- 
truisant un  diapason  qui  donne  exactement  l'octave  du  son  x^  et 
déterminant  le  nombre  des  battements  qu'il  produit  lorsqu'on  le 
fait  entendre  avec  le  son  x  +  kp,  —  La  sensibilité  d'une  oreille  un 
peu  e\(»rcéo  dans  l'appréciation  de  l'intervalle  d'octave  permet 
d'obtenir  ainsi  des  résultats  d'une  grande  exactitude. 

La  méthode  est  pratiquement  inapplicable  à  Tétude  d'une  série 
de  sons,  mais  elle  peut  servir  à  évaluer  le  nombre  absolu  des  vibra- 
tions d'un  son  déterminé,  auquel  on  rapporte  tous  les  autres. 

NOTE  F. 

SUR  LA  COMPOSITION  DES  MOUVEMENTS  VIBRATOIRES  RECTANGULAIRES. 

M.  Lissajous  a  donné  un  moyen  simple  de  construire  et  de  se 
représenter  toutes  les  courbes  qui  résultent  de  J a  superposition  d** 
deux  mouvements  vibratoires  rectangulaires,  de  périodes  inégales. 

Mettons  les  équations  de  ces  deux  mouvements  sous  les  formels 

X  =^  a  (OS  t 
et 

y  -  6cosm(/+d). 

ce  qui  est  toujours  possibles  pour  des  mouvements  de  la  nalun'  de 
ceux  que  nous  avons  considérés  jusqu'ici,  en  prenant  une  unité  de 
temps  convenable.  —  Construisons,  en  prenant  pour  abscisses  les 
valeurs  du  temps  et  pour  ordonnées  les  valeurs  du  déplacement,  la 
courbe  MN(fig.  Saft).  représentée  par  la  seconde  de  ces  équations. 
Prenons  ensuite  un  cylindre  droit  à  base  circulaire  (fig.  Saô  his)^ 
de  diamètre  égal  à  a«,  et  enroulons,  sur  une  circonférenciî  FG  pa- 
rallèle aux   bases  de  ce  cylindre,  la  ligne  droite  AX  (|ui  a  .servi 


INOTËS  COMPLEMENTAIRES. 


d'axe  des  abscisses  pour  construire  la  et 
le  poini  A  soit  placé  sur  le  point  F.  La  c 


irbe  MN,  de  manière  qae 
urbe  MN  engendrera  ainsi 


une  courbe  dont  ou  »e  représente  t'acilement  les  sinuosités  de  part 
el  d'autre  de  la  circonférence  FHG.  Soient  P  un  point  quelconque 
de  cette  courbe,  0  sa  projection  or- 
thogonale sur  un  plan  BCDE ,  mené  par 
l'aie  du  cylindre  et  par  le  point  F.  Les 
coordonnées  du  point  Q,  par  raient' 
k  deux  axes  rectangulaires  dont  TaD 
est  t'a\e  du  cylindre  et  l'autre  le  dîa- 
mètre  FG  du  cercle  FHG,  seront  OR  rt 
RQ.  Mais  OR  est,  dans  le  cerde  de 
rayon  a,  le  cosinus  de  l'arc  FK,  èffi 
à  (  par  définition;  RQ  est  égal  &  KP, 
c'est-à-dire  à  l'ordonnée  y  détenninét 
par  la  seconde  des  équations  pr^c^' 
Fit- sictû.  dentés;  on  a  donc 

OR  =  acos/, 

R0  =  6cosin(t  +  ej. 

Donc  le  tieu  des  points  Q,  dans  le  plan  BCDE,  sera  précisément 
la  courbe  cherchée.  —  On  voit  enfin  que  cette  courbe  représente 
l'aspect  sous  lequel  un  observateur,  placé  à  une  très-f[rande  dis- 
tance sur  la  direction  du  rayon  OH  perpendiculaire  à  FG,  aperce- 
vrait la  courbe  MN  qui  est  enroulée  sur  le  cylindre. 

Concevons  maintenant  que,  l'observateur  demeurant  sur  le  pro- 
longement de  OH ,  on  fasse  tourner  ta  courbe  MN  tout  entière ,  d'un 
angle  déterminé,  autour  de  l'axe  du  cylindre.  L'ordonnée  corres- 


COMPOSITION  DES  MOUVEMENTS  VIBRATOIBES.  1S3 
pondante  au  point  F  changera  de  valeur,  et  ce  qui  apparattra  alors 
1  Tobsenrateur,  ce  sera  la  nouvelle  courbe  résultant  d'un  changement 
déterminé  de  la  valeur  de  6.  —  Mais  on  peut  obtenir  ie  même  ré- 
sultat, soit  en  faisant  tourner  la  courbe  MN  d'un  certain  angje , 
soit  en  hisant  tourner  du  même  angle,  en  sens  contraire,  le  rayon 
OH  sur  le  prolongement  duquel  on  suppose  que  l'observateur  est 
placé.  U  suffira  donc  d'enrouler  sur  le  cylindre,  une  fois  pour  toutes, 
la  ciHirbe  correspondante  à  la  valeur  0=0,  et  de  supposer  qu'un 
obeervaleur  Irès-éloigné  contemple  celte  courbe  en  faisant  le  tour 
du  cylindre;  les  divers  aspects  sous  lesquels  il  l'apercevra  succes- 
sivement seront  les  formes  diverses  que  peut  prendre  la  courbe 
engendrée  parla  combinaison  des  deux  mouvements  rectangulaires. 
Les  courbes  qui  se  trouvent  dans  chacune  des  rangées  horison- 
lales  de  la  figure  $97  présentent  des  exemples  des  transformations 


■Dccessives  qui  résultent  de  la  combinaison  de  deux  mouvements 
rectangulaires,  quand  on  fait  varier  successivement  la  différence  de 
phase  de  ces  deux  mouvements.  —  La  première  ligne  horizontale 
est  relative  an  cas  où  les  deux  mouvements  ont  même  période  ;  la 
seconde,  au  cas  ob  le  rapport  des  périodes  est  |;  la  troisième,  au 
cas  oii  ce  rapport  est  |;  la  quatrième,  au  cas  ou  il  est  égal  à  l- 


OPTIQUE. 


PROPAGATION  RKCTFLIGNE  DK  LA  LUMIERE. 

377.  Défliiitioiis.  —  \] optique  esl  la  partie  de  ia  science  qui 
traite  dès  conditioiys  dans  lesquelles  les  corps  sont  aptes  à  produire 
en  nous  les  sensations  lumineuses.  —  Quant  à  ces  sensations  elles- 
mêmes,  elles  ne  peuvent  pas  plus  être  définies  que  les  sensations 
acoustiques  ou  calorifiques. 

Les  corps  qui  peuvent  impressionner  notre  œil  se  distinguent  en 
corps  lumineux  par  eux-mêmes,  et  corps  visibles  par  éclamment. 

378.  FrofMiff atioB  rectillinne  île  la  liimlère.  —  Lorsque 
l'œil  et  les  corps  qui  Tenvironnent  sont  placés  dans  un  même  milieu 
homogène  et  transparent,  l'un  quelconque  de  ces  corps  est  visible 
en  totalité  si  lés  droites  menées  de  ses  divers  points  à  l'ouverture  de 
la  pupille  sont  tout  entières  contenues  dans  ce  milieu.  Un  corps  est 
totalement  ou  partiellement  invisible  lorsque  toutes  ces  droites, 
ou  quelques-unes  d'entre  elles,  rencontrent  certains  corps  appelés 
opaques. 

Les  conditions  nécessaires  pour  qu'un  corps  non  lumineux  par 
lui-même,  placé  dans  le  même  milieu  homogène  et  transparent 
qu'une  source  de  lumière,  soit  éclairé  par  elle,  sont  exactement 
semblables.  Un  point  déterminé  du  corps  reçoit  la  lumière  d'un 
point  déterminé  de  ia  source,  si  la  droite  menée  entre  ces  deux 
paints  est  tout  enlière  contenue  dans  le  milieu  qui  les  sépare  :  il 
cesse  d'être  éclairé  par  ce  point  de  la  source,  si  la  droite  que  l'on 
vient  de  définir  rencontre  un  corps  opaque. 

L'expression  de  ces  faits  expérimentaux  est  ce  qu'on  appelle  In 
loi  de  ia  propagation  rectiligtie  de  la  lumière;  le  développement  des 


136  OPTIQUE. 

conséquences  qu'on  en  déduit  constitue  la  théorie  géométrique  Jm 
ombre*.  —  Quant  à  la  constatation  eipérimentale  des  résultats  divers 
auxquels  conduit  cette  théorie,  on  i^marquera  que.  dès  que  la 
source  lumineuse  a  des  dimensions  sensibles,  comme  c'est  le  cas 
ordinaire,  l'existence  de  la  pénombrt  rend  impossible  toute  véri- 
fication précise  de  la  loi  de  propagation  rectilîgne.  L'eipérience 
vulgaire  suffit  d'ailleurs  à  prouver  que  cette  loi  est  l'eipression 
approchée  de  la  réalité '". 

379.  Cfc— >lire  afcawM-e. —  Lorsqu'on  pratique,  dans  l'une 
des  parois  MN  d'un  espace  complètement  clos,  une  petite  ouverture 
nm  (fig.  SaS),  il  résulte  de  ce  qui  précède  qu'un  point  lumineux  A, 


placé  en  dehors  de  cet  espace,  éclaire  les  points  situés  dans  no 
cAne  ayant  pour  sommet  le  point  A  et  pour  base  la  petite  ouverture. 
—  Si  donc  on  considère  un  objet  extérieur  AB,  lumineux  ou 
éclairé,  et  un  écran  PQ  placé  dans  la  chambre  obicure  derrière  l'ou- 
verture, chaque  point  de  AB  donne  naissance  sur  l'écran  à  une 
petite  surface  éclairée,  limitée  par  l'intersection  de  l'écran  avec  ie 
cdne  qui  a  pour  sommet  ce  point  et  pour  base  ta  petite  ouverture. 
L'ensemble  de  ces  petites  surfaces  donne  naissance  à  une  image 
grossière  A'B'des  objets  extérieurs;  l'inspection  de  la  fifritre  3^8  fait 
comprendre  que  cette  image  est  renversée. 

"'  On  iHudieri  plui  loin  Jea  ph^nainèncs  ijui  monlrent  'jh'cIIb  n'en  rsl  pas  l'eipr»»- 
uon  rigonreuwroenl  etacte. 


PROPAGATION  REGTILIGNE  DE  LA  LUMIÈRE.        127 

380.  Vitemie  île  la  luinièrc*  —  L'observation  attentive  de 
certains  phénomènes  astronomiques  a  montré  que  Téclairement  d'un 
corps  commence,  en  réalité,  quelque  temps  après  qu'il  est  sorti  de 
l'ombre  portée  par  un  corps  opaque  :  de  même,  l'éclairement  finit 
quelque  temps  après  qu'il  est  entré  dans  cette  ombre. 

Des  procédés  expérimentaux  très-délicats  ont  permis  de  constater 
et  même  de  mesurer  la  durée  de  ce  temps,  soit  par  l'observation  de 
ces  phénomènes  astronomiques,  soit  par  des  expériences  de  labora- 
toire. —  On  a  reconnu  qu'elle  est  proportionnelle  à  la  distance 
qui  sépare  le  corps  éclairé  du  corps  opaque,  et  on  a  appelé  vitesse 
de  la  lumière  le  quotient  constant  de  cette  distance  par  la  durée 
dont  il  s'agit. 

La  valeur  la  plus  probable  de  cette  vitesse,  lorsqu'on  prend  la 
seconde  pour  unité  de  temps,  est  de  Sooooo  kilomètres  environ. 
C'est  dire  qu'on  peut  se  dispenser  d'y  avoir  égard,  dans  toutes  les 
expériences  qui  n'ont  pas  pour  but  spécial  la  mesure  des  plus  petits 
intervalles  de  temps. 

381.  CmwkéÊuaêmmm  ^éWÊèrmlmm.  —  D'après  les  faits  qui  pré- 
cèdent, il  est  impossible  d'attribuer  la  lumière  à  l'action  d'une  force 
qui  se  ferait  sentir  instantanément  à  toute  distance  :  les  physiciens 
l'ont  considérée,  tantôt  comme  produite  par  l'émission  de  molécules 
matérielles,  animées  d'une  vitesse  finie,  tantôt  comme  consistant  en 
une  modification  de  l'état  des  corps,  modification  qui  se  propage* 
rait  graduellement  autour  des  corps  lumineux  ou  éclairés.  —  La 
première  hypothèse,  celle  de  Yénission,  est  aujourd'hui  à  peu  près 
abandonnée;  la  seconde,  celle  des  ondulations,  paratt  seule  admis- 
sible. 

Les  lignes  suivant  lesquelles  se  propage  la  lumière  reçoivent  le 
nom  de  rayons  lumineux;  les  lois  précédentes  permettent  de  les  re- 
garder comme  rectilignes  dans  un  milieu  homogène.  —  Ces  rayons 
ne  sont  point  de  pures  abstractions  géométriques;  car,  lorsque  cer- 
taines conditions  sont  satisfaites,  nous  verrons  qu'on  doit  leur  attri- 
buer des  propriétés  physiques  déterminées. 


128  OPTIQUE. 


HIOTOMKTRIE. 


382.  Comparaison  des  inteiuiitéa  lumineiMes.  —   L*œîl 

distingue,  dans  ses  sensations,  la  couleur  et  Yintensité.  — -  Bien  qu'on 
puisse  reconnattre  des  différences  d'intensité  entre  des  couleurs  di- 
verses, le  jugement  qu'on  porte  sur  les  intensités  des  sources  lumi- 
neuses que  l'on  compare  n'offre  une  certaine  précision  que  si  leur 
couleur  est  la  même.  Enfin,  même  dans  ce  cas,  l'œil  n'apprécie  bien 
que  Yégalité  d  intensité;  il  ne  peut  fournir  directement  aucune  notion 
d'un  rapport  numérique  entre  des  intensités  différentes. 

Lorsque  deux  sources  de  lumière  de  mêmes  dimensions  éclairent 
séparément  deux  surfaces  de  même  nature,  placées  dans  les  mêmes 
conditions  de  distance  et  d'inclinaison  par  rapport  aux  sources  et  à 
l'œil ,  et  que  les  impressions  produites  sur  l'œil  par  les  deux  surfaces 
éclairées  sont  égales,  on  doit  considérer  les  deux  sources  comme 
identiques.  —  Si  deux,  trois,  quatre  sources  identiques  et  identique- 
ment j)lacées  éclairent  simultanément  une  surface  donnée,  on  est 
convenu  de  dire  que  l'éclairement  est  doublé,  triplé,  quadruplé^ 
ou  que  la  surface  reçoit  une  quantité  double,  triple,  quadruple 
de  lumière.  Il  n'est  d'ailleurs  pas  certain  que  ces  nombres  exprî- 
ment  l'accroissement  d'énergie  de  la  sensation  proprement  dite. 

383.  liOi  du  cosinus*  —  On  constate,  par  l'expérience,  qu'un 
corps  lumineux  de  forme  quelconque,  dont  tous  les  éléments  supen- 
ticiels  offrent  les  mêmes  conditions  physiques,  produit  exactement  la 
même  sensation  qu'un  plan  lumineux,  lorsque  sa  distance  à  l'œil 
est  assez  grande  pour  que  les  droites  menées  de  ses  divers  points 
i\  l'ouverture  de  la  pupille  soient  sensiblement  parallèles.  Par  consé- 
quent, les  éléments  que  découpent,  sur  la  surface  de  ce  corps, 
divers  cylindres  ayant  j)our  base  l'ouverture  de  la  pupille,  envoient  à 
l'œil  des  quantités  égales  de  lumière.  Connue  d'ailleurs  les  étendues 
de  ces  éléments  sont  inversement  proportionnelles,  pour  chacun 
d'eux,  au  cosinus  de  Tangle  formé  par  la  normale  à  l'élément  avec 
les  arêtes  du  cylindre,  il  en  résulte  que  la  quantité  de  lumière  enmyêe 
par  un  élément  lumineux  donné,  dans  diverses  directions,  est  propor- 
tionnelle (in  cosinus  de  l  inclinaison. 


PHOTOMETRIE.  129 

Il  est  d'ailleurs  évident  que  la  quantité  de  lumière  envoyée  par 
un  élément  lumineux,  sur  une  surface  placée  très-loin  par  rapport 
aux  dimensions  de  l'élément  lui-même ,  estproporlionnelle  au  cosinus 
de  l'angle  formé  par  la  normale  à  la  surface  avec  la  direction  des 
rayons  lumineux. 

38â.  lioi  du  carré  des  distances.  —  L'expérience  montre  que 
Téclairement  produit. par  une  source  lumineuse,  sur  une  surface  de 
nature  déterminée  et  sous  une  inclinaison  déterminée,  est  égal  à  l'é- 
clairement  que  produisent,  sur  une  surface  de  même  nature  et  sous 
la  même  inclinaison ,  quatre  sources  identiques  placées  à  une  dis- 
tance double;  il  est  encore  égal  à  l'éclairement  produit  par  neuf 
sources  identiques  placées  à  une  distance  triple,  et  ainsi  de  suite. 
On  en  conclut  que  les  éclairements  produits  par  l'une  de  ces  sources, 
à  différentes  distances  de  la  surface  éclairée,  sont  en  raison  inverse  des 
carrés  des  distances. 

H  est  d'ailleurs  facile  de  démontrer  a  priori  qu'il  en  doit  être 
ainsi,  soit  dans  la  théorie  de  l'émission,  soit  dans  la  théorie  des  on- 
dulations. —  En  effet,  suivant  qu'on  accepte  l'une  ou  l'autre  de  ces 
deux  théories,  il  faut  admettre,  ou  bien  que  la  source  lumineuse  émet 
autour  d'elle,  dans  un  temps  déterminé,  une  certaine  quantité  de 
molécules  matérielles,  ou  bien  qu'elle  produit  dans  le  milieu  qui 
l'environne  un  mouvement  correspondant  à  une  certaine  quantité 
de  force  vive.  On  doit  admettre  aussi  que  l'éclairement  d'une  surface 
de  grandeur  déterminée  est  proportionnel  à  la  quantité  de  molécules 
matérielles  ou  à  la  quantité  de  mouvement  qu'elle  reçoit  dans  un 
temps  déterminé,  par  exemple  dans  l'unité  de  temps.  Or  si  l'on 
décrit,  autour  de  la  source  comme  centre,  une  sphère  de  rayon  D, 
la  surface  de  cette  sphère  liirl)^  recevra,  dans  l'unité  de  temps, 
toutes  les  molécules  émises  dans  l'unité  de  temps  par  U  source,  ou 
toutes  les  quantités  de  forces  vives  produites  dans  l'unité  de  temps 
par  cette  même  source.  De  même,  une  sphère  de  rayon  D',  décrite 
autour  de  la  même  source,  recevrait  la  même  quantité  de  molécules 
matérielles,  ou  la  même  quantité  de  forces  vives,  sur  une  surface 
47rD'^.  Dès  lors,  comme  les  quantités  de  molécules  matérielles  ou  les 
quantités  de  forces  vives  reçues  dans  une  même  étendue  de  chacune 

Vbrdkt,  111.  —  Cours  de  pliys.  IL  9 


130  OPTIQUE. 

de  ces  deux  surfaces  sont  inversement  proportionnelles  aux  surfaces 

totales,  ces  mêmes  quantités  doivent  être  dans  le  rapport  -ïy  t  c^esî- 

à-dire  que  les  éclairements  doivent  être  en  raison  inverse  des  carrés 
des  distances. 


385.  Ecla4  intrlnsèiiue  et  éelat  total  drime 
neiuie.  —  Objet  de  la  pliotamétrle.  —  Des  deux  lois  précé- 
dentes on  déduit  facilement  une  expression  simple  de  la  quantité 
de  lumière  envoyée  par  une  surface  à  une  autre ,  lorsque  la  distance 
de  ces  deux  surfaces  est  très-grande  par  rapport  aux  dimensions  de 
chacune  d'elles. 

Soient  S  la  projection  de  la  surface  lumineuse  sur  un  plan  per- 
pendiculaire à  la  direction  des  rayons  lumineux ,  S'  la  projection 
de  la  surface  éclairée  sur  le  même  plan,  D  la  distance  des  deux 
surfaces;  enfin,  soit  E  un  coefficient  particulier,  qui  caractérise  la 
source  lumineuse  considérée,  et  que  nous  nommerons  éclat  intrmsèqme 
de  la  source.  —  On  peut  représenter  la  quantité,  totale  de  lumière  Q, 
envoyée  d'une  surface  à  l'autre,  par 

^      ESS' 

Si,  dans  cette  expression,  on  fait  S'=  i,  c'est-à-dire  si  l'on  con- 
sidère la  quantité  de  lumière  Q|  envoyée  par  la  source  sur  une  sur- 
face dont  la  projection  sur  la  direction  des  rayons  est  égale  à  l'unité, 
on  obtient  ce  qu'on  nomme  Yéclat  total  de  la  source  à  la  distance  D  :  il 
a  pour  expression 

S 
Enfin,  on  peut  remarquer  que  jr;  exprime  la  surface  découpée, 

dans  une  sphère  de  rayon  égal  à  l'unité,  par  un  cône  ayant  son 
sommet  sur  la  surface  éclairée  et  circonscrit  à  la  source,  c'est-à- 
dire  la  surface  apparente  de  la  source ,  vue  de  la  surface  éclairée  : 

par  suite,  si  l'on  fait  rr;=  i  dans  la  valeur  précédente  de  Q,,  on 

obtiendra  une  valeur  qu'on  peut  appeler  Yéclat  total  de  la  source  par 


PHOTOMÉTRIE.  131 

untti  de  surface  apparente  :  cette  quantité  n'est  autre  que  le  coeffi^ 
cient  même  qui  représente  Yéclat  intrinsèque  de  la  source  ^^K 

L'objet  de  h  photomitrie  est  de  comparer  tantôt  les  éclats  totaux , 
tantôt  les  éclats  intrinsèques.  Le  principe  de  toutes  les  méthodes  est 
toujours  de  ramener  cette  comparaison  à  l'appréciation  de  l'égalité 
d'éclairement  de  deux  surfaces  voisines. 

Pour  comparer  l'éclat  total  d'une  source  à  celui  d'une  autre,  on 
réduit  dans  un  rapport  connu  la  quantité  de  lumière  envoyée  par  l'gne 
des  deux  sources,  jusqu'à  ce  que  la  comparaison  des  deux  éclaire-^ 
ments  conduise  à  en  constater  l'égalité.  L'exposition  des  procédés 
de  ce  genre  ne  pourra  être  faite  qu'après  une  étude  approfondie  des 
propriétés  de  la  lumière.  —  Les  procédés  qui  servent  à  la  compa-r 
raison  des  éclats  intrinsèques  peuvent  au  contraire. être  exposés  dès 
maintenant.  / 


386.  Méthmëm  générale  ém  fparafa^M  émm  éelato  in* 
trliuiéques  ém  émuoL  «siufii  InantaMWMk  - —  Pour  comparer 
les  éclats  intrinsèques  de  deux  sources,  on  fait  tomber  séparément 
les  rayons  émis  par  Tune  et  par  Pautresur  deux  surfaces  identiques, 
sous  une  inclinaison  sensiblement  normde;ion  fait  alors  varier  la 
distance  de  l'une  d'oies  à  la  surface  qu'elle  éclaire». jusqu'à  ce  que 
les  deux  éclairements  paraissent  égaux  :  on  a  alors  ' 

ES     E|St  (2) 

formule  d'oii  l'on  déduit  le  rjipport  des  éclats  intrinsèques. 

Pour  que  cette  méthode  conduise  à  des  résultats  exacts,  il  faut  : 

(*)  Lorsque  la  distance  de  la  surface  lumineuse  à  la  surface  éclairée  n'est  pas  très- 
granile.par  rapport  aux  dimensions  de  ces  surfaces,  Texpression 

pcPSd*S'cosi  cosi' 
E ^5 

représente  toujours  Téclaircment  produit  sur  un  élément  différenliol  de  la  surface  S'  par 
un  élément  diflerentiel  de  la  surface  S.  L'éclai rement  total  de  Télémcnt  d*S'  s'obtient  par 
une  intégration  :  il  peut  être  variable  d'un  élément  à  Tautre. 

t*)  Dans  la  pratique,  on  n'a  souvent  intérêt  à  connaître  que  le  rapport  des  expressions 
ES  et  E,S| ,  qu'on  appelle  quelquefois  les  éclat»  totaux  à  l'unité  de  dùtance.  —  Cette  déno- 
mination n'est  exacte  qu'autant  qu'on  suppose  l'unité  de  distance  très-grande  par  rapport 
aux  dimensions  de  la  surface  éclairante  et  de  la  surface  éclairée. 


133  OPTIQUE. 

1*  qu'il  y  ait  identité  physique  absolue  entre  les  deux  surfaces  àoat 
on  compare  l'éclairement  ;  9°  que  ces  deux  surfaces  soienten  cod- 
tact  immédiat  l'une  avec  l'autre,  afm  que  la  comparaison  ne  pré- 
sente pour  l'œil  aucune  incertitude. 

387.  rkvMmètre  de  Fourault.  —  Les  deux  conditions  <|ite 

l'on  vient  d'énoncer  ont  été  réalisées  surtout  dans  le  photomètre  qui 
a  été  construit  par  Foucault  pour  la  Compaf<nie  parisienne  d'ëcUi- 
rage  par  le  gaz  :  ce  photomèLre  est  aujourd'hui  universelleroeitt 
adopté  dans  l'industrie. 

Les  deux  sources  que  l'on  compare  .A,  B  (Hg.  33g)  agissent  sépu- 
rément  sur  deux  parties  difTérenlcs  d'une  lame  de  porcelaine  ver- 


ticale PQ,  assez  mince  pour  être  translucide'".  L'écran  opaque^rpr» 
lical  RS,  qui  sépare  l'un  de  l'aulre  les  deux  éclairements,  peut  ^ 
volonté  élve  approché  ou  éloigné  de  la  lame  PQ;  on  lui  donne  nw 
position  (elle,  que  les  plans  verticaux  menés  par  AM  et  BN,  qui 
iimilent  les  régions  éclairées  sé[)aréinent  par  les  sources  A  et  B, 

''!  On  emploie  ((ucl<|U«roi9  aussi  des  lames  Je  (p^laline,  nu  des  haiet  de  nire  rnrwi- 
lofli'i  d'un  dépAl  uniforme  el  adhérent  de  grains  de  fécule  mi  d'aulres  nialiùrcs.  Le  pa- 
pier liiiilé,  le  verre  di5poli ,  les  membranes  orffaniriiies,  donlon  s'eslsouvenlserri,  tonlra 
général  dépourvus  de  l'hoinogénéiti!  désirable.  —  On  peut  corrifpir  les  défauts  d'homo- 
{[énéité,  pourvu  qu'ils  ne  soient  pas  trop  considérai  il  es,  en  chan^nt  de  cfilé  In  deui 
?s  et  prenant  la  mojrenne  de*  n'BulInLi  foiimin  par  In  deui  eipérienre*. 


PHOTOMÉTRIE. 


133 


viennent  se  couper  sur  U  lame  de  porcelaine  :  les  deux  régions  PM, 
QN ,  éclairées  chacune  par  l'une  des  deux  sources ,  sont  alors  séparées 
par  une  bande  plus  éclairée  MN,  qu'on  peut  rendre  aussi  étroite 
t|uc  l'on  veut. 

388.  PhMométre  de  Buarfsrd.  —  Le  photomètre  de  Runi- 
ford,  bien  antérieur  à  celui  de  Foucault,  est  loin  de  présenter  la 
même  précision. 

Entre  les  deux  sources  que  l'on  compare.  A,  B  (fig.  33o),el  un 
l'cran  Iransluride  PQ,  on  place  un  cylindre  opaque  vertical  C;  on 


Kig.  a-. 

fait  varier  la  distance  de  l'une  des  sourees  à  l'écran  jusqu'à  ce  que 
les  deux  ombres  portées  MM',  NN'  paraissent  de  même  valeur.  — 
Lorsque  cette  égalité  est  obtenue,  il  est  évident  que  l'ombre  NN', 
relative  à  la  source  A ,  reçoit  de  la  source  B  autant  de  lumière  que 
l'oîiibre  MM',  relative  à  la  source  B,  en  reçoit  de  la  source  A.  On 
peut  donc,  en  appelant  D  et  D,  les  distances  Am  et  Bu,  poser  encore 
l'équation  ^=  -nr'  d'oïl  Ton  déduira  le  rapport  des  éclats  intrin- 
sèques. 


RÉFLEXION  DE  LA   LUMIÈRE, 


389.  liols  delà  réflexloit.  —  La  réflexion  d'un  rayon  lumi- 
neux sur  une  surface  polie  est  assujettie  aux  deux  lois  élémentaires 
suivantes  : 

i"  Le  rayon  réfléchi  reste  dans  le  plan  normal  d'incidence. 

a®  L'angle  de  réflexion,  c'est-à-dire  l'angle  fonné  par  le  rayon 
réfléchi  avec  la  normale,  est  égal  à  l'angle  d'incidence,  c est-a-dire 
à  l'angle  formé  par  le  rayon  incident  avec  la  normale. 

Pour  vérifier  approximativement  ces  lois,  on  peut  joindre  par  des 
droites  les  divers  points  d'une  source  lumineuse  aux  divers  points 
d'une  surface  réfléchissante,  et  construire,  en  appliquant  les  lois  elles- 
mêmes^  les  rayons  réfléchis  correspondants  à  ces  rayons  incidents; 
on  constate  alors  que  les  points  de  l'espace  rencontrés  par  les  droites 
que  l'on  a  obtenues,  comme  représentant  les  directions  des  rayons 
réfléchis,  sdnt  tous  édairés  et  sont  seuls  éclairés  par  la  lumière  que 
renvoie  la  surface.  —  Il  faut  remarquer  d'ailleurs  que,  les  sources 
lumineuses  employées  ayant  en  général  des  dimensions  sensibles,  il 
se  produit  toujours,  dans  ces  expériences,  des  effets  comparables  i 
ceux  de  la  pénombre,  ce  qui  ne  permet  pas  de  donner  à  cette  véri- 
fication plus  d'exactitude  qu'à  celle  des  lois  de  la  propagation  reç- 
tîlîgne. 

On  vérifie  au  contraire  très-exactement  les  lois  de  la  réflexion  en 
comparant  la  distance  zénithale  d'un  astre,  mesurée  directement, 
avec  la  distance  zénithale  que  l'on  déduit  de  l'observation  de  son 
image  vue  par  réflexion  à  la  surface  d'un  bain  de  mercure.  — 
1^  Un  théodolite  étant  installé  de  manière  que  son  axe  soit  bien 
vertical,  on  vise  d'abord  une  étoile;  on  fait  ensuite  tourner  le  limbe 
de  180  degrés  autour  de  l'axe  de  l'instrument ,  et  l'on  vise  de  nou- 
veau la  même  étoile  ;  le  déplacement  angulaire  qu'il  faut  donner  i 
la  lunette  est  (abstraction  faite  de  l'effet  du  mouvement  diurne  que 
les  formules  de  l'astronomie  sphériquc  |)erniellont  de  corriger)  le 


RÉFLEXION  PAR  LES  SURFACES  PLANES.  135 

double  de  la  distance  zénithale.  —  a'  Avec  le  même  instrument,  on 
vise  successivement  l'étoile  S  (fig.  33 1)  et  l'image  de  cette  étoile  ré- 
fléchie par  un  bain  de  mercure.  L'angle  SRI  que  comprennent  entre 


elles  ces  deux  directions  est,  en  vertu  du  parallélisme  des  droites  S'I 
et  SR,  supplémentaire  de  l'angle  S'IR,  qui  est  lui-même  le  double 
de  l'angle  d'incidence,  c'est^-dire  lo  double  de  la  distance  zénithale. 
—  L'égalité  des  deux  valeurs  de  la  distance  zénithale  qui  sont 
fournies  par  ces  déterminations  conduit  à  la  vérification  cherchée. 


H^FLEXEON  PAR  LES  SUHPAGBS  PLANES. 

390.  AppUmtt^  4m  ■•!•  de  Im  réflexton  mx  pkéBO- 
■Bénes  oBertm  pmr  ■•■  aalivlrs  plABs. —  Les  lois  de  la  réflexion 
permettent  de  prévoir,  à  l'aide  de  constructions  géoinétriques,  les 
divers  phénomènes  offerts  par  les  miroirs  plans.  —  11  suffira  d'é- 
noncer ici  les  principaux  résultats  auxquels  on  parvient  ainsi,  les 
figures  qui  mdiquent.  le  principe  de  chacune  des  constructions  géo- 
métriques correspondantes  étant  trop  «impies  pour  exiger  de  plus 
amples  développements. 

1°  Un  point  lumineux  A  (fig.  333  ),  placé  devant  un  miroir  plan 
MN,  fournit  une  image  virtuelle  A',  symétrique  de  A;  c'est-à-dire 


(^uc  les  rayons  rédëchig  qui  sont  émanés  de  A  se  comportent  comme 
s'ils  ûmanaicnt  du  point  A',  symélriquc  de  A  par  rapport  au  miroir. 


—  Un  objet  lumineux  AB  fournit  une  image  A'B',  symétnijue  de  AB 
par  rapport  au  miroir. 

G°  Lorsqu'un  point  lumineux  t'  est  vu  par  rélloiiou  daDB  deux 
.  miroirs  parallèles  MM',  NN'  (fig.  333),  la  distance  des  deux  ima^ 


P,,  Pj,  l'ontiées  chacune  pur  une  seule  réilexiun  sur  l'un  ou  sur 
l'autre  des  miroirs,  est  égale  au  double  de  la  distance  des  deux  mi- 
roirs eux-mêmes. 

Ce  résultat,  également  applicable  au  cas  où  le  point  lumineux  est 
situé  dans  l'espace  compris  entre  les  plans  des  deux  surfaces  réfléchis^ 


RÉFLEXION  PAR  LES  SURFACES  PLANES.  137 

santps,  comme  daiis  la  figure  333,  et  au  cas  où  il  est  situé  en  dehors 
de  cet  espace,  comme  dans  la  %ure  33û,  permet  de  vérilier  par 
l'eipérience  le  parallélisme 
des  deui  faces  d'une  lame 
transparente.  Il  suffil,  pour 
cela,  de  faire  reposer  la  lame 
sur  trois  pointeti  mousses,  et 
d'observer  les  deux  images 
d'une  même  étoile ,  fournies 
rliacune  par  une  réHexion  sur 
l'une  des  deux  faces  :  l'objet 
lumineux  éisnt  ici  à  une  dis- 
tance infinie,  les  deux  inr.iges 
doivent  rester  toujours  con- 
fondues en  une  seule,  lors- 
<|u'on  fait  tourner  la  lame 
dans  son  plan,  en  la  faisant 
glisser  doucement  sur  les 
pointes  qui  la  supportent.  — 
Si  la  lame  ^tait  opaque,  en 
^•t-  3"-  sorte  qu'on  ne  pât  voir  nue'" 

l'image  fomii^e  par  sa  face  supérieure,  on  pourrait  encore  vérifier 
le  parallélisme  des  deux  faces  en  constatant  que  cette  image  unique 
reste  immobile  |)endant  la  rotation. 

3*  Un  point  lumineux ,  placé  entre  deux  miroirs  parallèles,  four- 
nit deux  séries  indéfinies  d'images ,  .situées  chacune  derrière  l'un  des 
deux  miroirs. 

h*  Lorsqu'un  point  lumineux  est  placé  entre  deux  miroirs  faisant 
entre  cm  un  certain  angle,  l'œil  aperçoit,  par  les  réflexions  succes- 
sives sur  les  deux  surfaces,  un  nombre  d'images  qui  dépend  de  l'angle 
des  miroirs.  —  Désignons  par  a>  Tangle  MAN  formé  par  les  deux 
miroirs  (fig.  335)  :  soit  S  un  point  lumineux,  et  désignons  l'angle 
NAS  i>ar  II.  La  figure  montre  comment  on  peut  construire  géométri- 
quement l'image  S',  formée  par  une  seule  réflexion  sur  le  miroir  AM  ; 
l'image  S*,  formée  par  une  première  réflexion  sur  AM,  suivie  d'une 
seconde  réflexion  sur  AN  ;  l'image  S',  formée  par  une  première  ré- 


138  OPTIQUE. 

flexion  SUT  AM,  suivie  d'une  seconde  réflexion  Kur  AN,  et  d'une  troi- 
sième réflexion  sur  AM.  etc.  On  obtiendrait  de  la  même  manière  la 
série  d'image.s  correspondantes  aux  rayons  dont  la  première  réflexion 


aurait  eu  lieu  sur  le  miroir  AN.  — ■  Or,  si  l'on  évalue,  eo  foodfon 
de  »  et  de  a,  les  angles  tels  que  NAS',  NAS",  etc.,  qui  sont  formés 
par  la  ligne  AN  et  les  droites  menées  aux  diverses  images,  on  yerri 
que  ces  angles  repassent  périodiquement  par  les  mêmes  valeui^ 
si  &>  est  une  partie  aliquole  de  la  circonférence  ou  un  nondire  com- 
mensurable  de  parties  aliquotes  de  la  circonférence;  il  en  résuite 
que,  dans  ce  cas,  le  nombre  des  images  est  limité  et  facile  k  dé- 
terminer a  priori.  —  Si  l'on  considère,  en  particulier,  le  cas  oji 
&■  >=  tio  degrés,  on  verra  que  le  nombre  des  images  est  égal  ù  cinq  ; 
si  donc  l'œil  est  placé  de  façon  à  voir  en  même  temps  l'objet  lui- 
même  et  les  cinq  Images,  il  aura  en  réalité  six  fois  la  sensation  de 
r«t  objet.  —  C'est  le  principe  du  kaléidoieope. 

5'  Si  un  miroir  M  reçoit  un  rayon  lumineux  SI  (fig.  336)  (tant> 
une  direction  constante,  el  si  le  miroir  tourne  d'un  angle  a  autour 
d'un  axe  passant  par  le  point  I,  le  déplacement  angulaire  RIR'  du 
rayon  lumineux  réfléchi  est  égal  è  aa.  —  Ce  principe  a  été  appliqué 
à  la  mesure  de  la  durée  de  certains  phénomènes  lumineux,  quand 


RÉFLEXION  PAR  LES  SURFACES  PLANES.  139 

cette  durée  est  très-courte.  Ainsi,  en  recevant  sur  un  miroir  animé 
d'un  mouvement  de  rotation  rapide  la  lumière  d'une  étincelle  élec- 


tritjue,  on  obtient  comme  image  une  bande  lumineuse  :  la  lon- 
gueur de  cette  bande  permet  de  calculer  la  durée  do  l'élincelle, 
pourvu  que  l'on  connaisse  la  vitesse  de  rotation  du  miroir. 


391.  ]IICOTn«  Acs  aBcles  dlédiwa  de*  cplataiix.  —  C'est 
Mieore  sur  les  lois  de  la  réflexion  qu'est  fondé  l'usage  des  goniomètres', 
qui  servent  à  mesurer  les  angles 
dièdres  que  forment  entre  elles 
tes  faces  réfléchissantes  des  cris- 
taux. —  On  indiquera  simple- 
ment ici  l'usage  du  goniomètre 
de  Wollaston  :  le  principe  des 
autres  goniomètres  est  d'ailleurs 
absolument  semblable. 

Le  cristal  est  placé  (fig.  337) 
en  G,  sur  un  support  ai^iculé  5, 
:  à  l'extrémité  de  la  tige  VR  qui 
est  munie  en  V  d'un  bouton  fi- 
leté. La  tige  VR  est  environnée 
d'une  sorte  de  manchon  métal- 
lique PQ,  dans  lequel  elle  peut  tourner  à  frottement  doui,  et  qui 
porte  perpendiculairement  à  son  axe  un  disque  circulaire  DD', 


Kig.  337. 


lAO  OPTIQUE. 

gradué  sur  sa  tranche;  à  Tautrc  extrémité  de  ce  manchon  est  un  petit 
disque  Gleté  T,  qui  permet  de  faire  tourner  le  manchon  lui-mémo 
autour  de  son  axe;  une  alidade  fixe  A,  munie  d'un  vernier,  mesure 
les  angles  dont  a  tourné  le  disque  gradué  DD'.  Lorsqu'on  agit  sur 
le  disque  T,  on  entratne  à  la  fois  le  manchon  PQ  et  la  tige  VR 
qu'il  contient;  lorsqu'on  agit  sur  la  tête  V,  on  foit  simplement  tour- 
ner la  tige  VR  dans  le  manchon ,  qui  demeure  immobile.  —  M  est 
une  glace  noire  auxiliaire,  dont  on  va  indiquer  Tusage. 

On  dispose  d'abord  l'appareil  de  manière  que  le  limbe  gradué 
soit  perpendiculaire  à  une  arête  horizontale  d'un  édifice  éloigné,  et 
|ue  le  miroir  M  soit  parallèle  à  cette  même  arête  :  le  parallélisnae 
lu  miroir  se  reconnaît  au  parallélisme  de  l'image  et  de  l'objet.  Cet 
objet  et  son  image  constituent  alors  deux  mires  horizontales,  paral- 
lèles et  très-éloigné(  s  du  goniomètre.  —  Le  cristal  étant  fixé  avec  de 
la  cire  a  l'extrémité  du  support  articulé  S,  on  lui  donne,  par  tâton- 
nements, une  position  telle,  qu'il  soit  possible,  en  faisant  tourner 
la  tige  VR,  de  faire  coïncider  l'image  de  la  mire,  donnée  par  le 
miroir  M,  avec  l'image  produite  par  une  des  faces  de  l'angle  dièdre; 
on  est  alors  certain  que  cette  face  de  l'angle  dièdre  est  pàrallâs  à 
la  mire,  et  par  suite  perpendiculaire  au  limbe  gradué;  on  opère  dcr 
même  relativement  à  la  seconde  face  du  dièdre,  et,  par  des  tâton- 
nements, on  parvient  à  rendre  les  deux  faces  simultanément  paral- 
lèles à  la  jnirc. 

Pour  mesurer  l'angle  de  ces  deux  faces,  on  fait  tourner  le  limbe» 
à  l'aide  du  disque  T,  de  manière  à  établir  successivement  là  coïn- 
cidence entre  les  imagos  de  la  mire  produites  par  les  deux  faces  et 
l'image  rélléchio  par  le  miroir  M.  Les  figures  338  et  339  font 
comprendre  comment  on  peut  obsener  celte  coïncidence,  en  pla- 
çant Tcril  de  manière  à  recevoir  les  deux  systèmes  de  ravons  par 
deux  moitiés  différentes  de  la  pupille  00'.  Elles  montrent,:^ 
outre,  que  l'angle  dont  le  limbe  doit  tourner  entre  les  deux  obscrr 
vations  est  le  supplément  de  l'angle  cherché  ACB.  —  En  efiet,  la 
direction  des  ravons  incidents  est  sensiblement  la  nuhne  dans  les 
deux  observations,  parce  (ju'ilssont  assujettis  a  passer  constanmient 
par  une  mire  très-éloignée  M  et  par  un  cristal  de  tros-petites- 
dimensions.   Il  en  est  de  même,  pour  une  raison  send)lable,  des. 


RÉFLEXION    PAR  LES  SURFACES  COURBES.  U1 

■rayons  réfléchis,  lorsque  la  coïncidence  des  images  est  établie.  Il 
rst  donc  nécessaire  que  les  deux  faces  réfléchissantes  occupent  suc- 


cessivement la  même  position,  et  par  conséquent  nue  le  cristal 
(oarne  d'un  ao^e  égal  au  supplément  de  l'angle  de  ses  deux  faces. 

R^nsXION  t>All  L8S  SDRFAGB8  COVBBBS. 

393.  RMcxlVB  dtm  r»r*»*  «m»Mé«  d*HB  point  liuni- 
Mcux,  pmr  lea  ■airolm  — iirW»  de  fentea  quelconque*.  — 

Lorsqu'un  miroir  courbe  de  forme  quelconque  reçoit  les  rayons 
émanés  d'un  point  Inmineux ,  trois  cas  se  peuvent  présenter,  selon  ' 
la  forme  particolière  du  miroir  et  la  position  du  point  par  rapport 
à  lui  : 

1°  Les  rayons  émanés  du  point  lumineux  prennent,  après  la  ré- 
flexion, des  directions  telles,  qu'ils  vont  tous  se  couper  en  un  même 
point  appelé yôyfr  conjugué  réel.  —  Il  est  évident,  d'après  les  lors  de 
la  réflexion,  que  si  le  point  lumineux  venait  occuper  la  position  pri- 


142  OPTIQUE. 

mitive  àa  foyer,  le  nouveau  foyer  prendrait  la  place  du  point  tumi- 

Deux  primitif. 

9°  Les  rayons  réSécfais  ne  se  coupent  pas,  mais  leurs  prolonge- 
ments se  rencontrent  derrière  la  surface  du  miroir,  en  un  point 
appelé  ^<r  vû-tue/. 

3*  11  n'y  a  pas  de  foyer  r^el  ou  virtud,  mais  les  rayons  rîfiéehîs 
ou  leurs  prolongements  déterminent,  par  leurs  intersections  succes- 
sives, une  surface  &  laquelle  ils  sont  tous  tangents  et  qui  prend  le 
nom  de  imfaee  eaustiqae. 

Les  deux  premiers  cas  sont  des  cas  exceptionnels.  —  Un  ellipsoïde 
de  révolution  fait  converger  en  l'un  de  ses  foyers  les  rayons  lamioeui 
«émanés  d'un  point  placé  en  son  autre  foyer;  en  particulier,  on  pa- 
raboloîde  de  révolution  concentre  en  son  foyer  les  rayons  incidents 
parallèles  à  son  axe.  De  mjme,  les  rayons  partis  dn  foyer  d'an 
hyperiioloide  de  révolution  à  deux  nappes  sont  réfléchis  dans  des 
directions  telles,  que  leurs  prolongements  aillent  se  couper  en  l'antre 
foyer.  —  Mais,  en  dehors  de  ces  deux  conditions,  il  n'y  a  janmîa,  à 
paHer  rigoureusement,  de  foyer  lumineux  :  on  peut  toujours  cons- 


tater IVxistence  d'une  caustique,  en  étudiant  la  marche  des  rayons 
réfléchis.  Lors({UP  la  lumière  n  une  intensité  suffisante,  l'arcumu- 
lalion  des  rayons  i^tanl  plus  grande  an  voisinage  de  la  surface  à 


MIROIRS  SPHÉRIQUES.  US 

laquelle  ils  sont  taogenls  qu'en  toute  autre  région  de  l'espace ,  l'illu- 
mination des  poussières  suspendues  dans  l'air  suffit  pour  manifester 
la  forme  de  la  surface  caustique.  On  peut  aussi  couper  la  surface 
par  un  écran  blanc  et  observer  la  forme  de  l'intersection.  —  La 
figure  3^0  représente,  par  exemple,  l'intersection  de  la  surface 
caustique  d'un  miroir  cylindrique  par  un  plan  perpendiculaire  k 
l'axe,  le  point  lumineux  étant  supposé  à  une  distance  infinie "^ 

Cependant,  lorsque  le  miroir  est  une  portion  de  surface  sphérîque 
correipondante  â  un  angle  au  centre  peu  comidêrable,  on  peut,  avec  une 
approximation  assez  grande,  le  considérer  comme  donnant  naissance 
à  des  foyers  réels  ou  virtuels,  et,  par  suite,  à  des  images;  c'est  ce 
que  l'on  va  maintenant  démontrer. 

393.  HUrvlM  riiihériqHni  ««iinivca.  —  Soît  P  (fig.  3&i)  un 
point  lumineux,  placé  sur  l'axe  d'un  miroir  sphérique  concave  de 
petite  ouverture  angulaire;  soit  MM'  l'Intersection  de  ce  miroir  par 


un  plan  passant  par  cet  axe,  plan  qui  n'est  autre  que  celui  de  tu 
figure;  soient  PI  un  rayon  lumineuic  incident,  contenu  tlan's  t(' 
même  plan.  Cl  le  rayon  du  miroir  qui  est  la  normale  au  point  1. 
IP'  le  rayon  lumineux  réfiéchi.  La  droite  Cl  étant  bissectrice  de 
l'angle  en  1 ,  le  triante  PIF  donne 


<''  Le»  propositiona  «onlenue»  dans  ce  paragraphe  wronl  Hi'monln^  p\m  loin  O'iii 
DMalère  générale,  lorsqu'on  Iniitiv^  flr  la  réfracUon. 


144  OPTIQUE. 

el  comme,  en  vertu  de  la  petite  ouverture  angulaire  du  miroir,  les 
longueurs  IP'  et  IP  diderent  peu  de  AP'  et  de  AP,  on  a  sensiblemeol 

CFAP; 
cesl-a-dire,  en  posant  AP=/i,  \P'=p\  AC  =  R, 

R-p     p 

d*où  Ton  lire 

,  1,12 

Don^,  pour  un  m^me  miroir,  la  position  du  point  P'  ne  dépend  que 
de  la  position  du  point  lumineux  P:  elle  est  indépendante  de  la 
position  du  point  d'incidence  I  sur  le  miroir.  En  d'autres  termes, 
tous  les  ravons  émanés  de  P  vont  sensiblement  se  réunir  en  un  point 
unique  F,  qui  peut  recevoir  le  nom  de  foyer  conjugué  d\^  point  P,  à 
cause  de  la  symétrie  de  Téquàtion  précédente  par  rapport  h  p  et  p\ 
Si ,  dans  la  formule  (  i  ) ,  on  fait  p  =  oo ,  c'est-à-dire  si  Ton  sup- 
pose que  les  rayons  lumineux  incidents  soient  parallèles  i  Taie  du 

miroir,  on  en  déduit  la  valeur  particulière />' =  t.  Donc,  dans  ce 

cas,  les  rayons  réfléchis  vont  passer  par  un  point  situé  à  égale  dis- 
tance du  centre  et  de  la  surface  réfléchissante;  ce  point  prend  le 
nom  defager  fnineipaL  —  Si  Ton  désigne  par/  la  distance  du  foyer 
principal  à  la  surface  réfléchissante,  la  formule  devient 

P      P     f 

La  discussion  de  cette  formule  conduit  immédiatement  aux  ré- 
sultats contenus  dans  le  tableau  suivant  : 


p^of, p  <C  9/ mais Z>f'  •  (foyer  r^l). 

P  =  ^f' P  =  ^f ^ 

^<C  a/mais^y.  .  .  />'>  t»/. » 

p  =f. p  =^  00 (foyer  réel  h  Tinfini). 

p  </. p  <C  û ^foyer  virtuel). 

0  =  0 !>'  =^  0 » 

p<^o P^^  ^  mais<c;y.  .  (foyer  nfei). 


MIROIRS  SPHÉRIQUES.  145 

Le  résultat  contenu  dans  la  dernière  ligne  de  ce  tableau  peut 
s'énoncer  en  disant  que  si  l'on  fait  tomber,  sur  un  miroir  sphérique 
concave,  un  faisceau  de  rayons  lumineux  qui  convergent  vers  un  point 
situé  derrière  le  miroir,  point  que  Ton  peut  appeler  point  lumineux 
mrtuel,  les  rayons  réfléchis  vont  converger  vers  un  f^yer  rid,  situé 
entre  la  surface  réfléchissante  et  le  foyer  principal. 

39&.  Hirelm  «pliérliiucfi  coiivexcs.  —  La  formule  (i), 
établie  plus  haut  pour  les  miroirs  concaves ,  convient  également  aux 
miroirs  convexes,  à  la  condition  de  regarder  comme  négatif  le  rayon 
R,  qui  est  dirigé  vers  le  cAté  opposé  à  celui  d'où  vient  la  lumière. 
Si  Ton  met  en  évidence  le  signe  négatif  de  R ,  on  obtient 

En  faisant  dans  cette  formule /?=  oo,  on  a  jt>'  = »  c'est-à-dire 

que  le  foyer  principal  est  ici  virtuel  :  en  désignant  par— /la  distance 
de  ce  foyer  à  la  surface  du  miroir,  on  obtient  la  formule  analogue  à 
celle  des  miroirs  concaves 

V  •  ;;     —  7* 
P     P        j 

La  discussion  de  cette  formule  conduit  aux  résultats  suivants  : 


p  ;>  o P'^  ^  '"*''®  "^  ~f'  •  (f<^y®r  virtuel). 

p  =  0 jt>'  =  0. . (foyer  virtuel). 

^<  0  inais>— y. .  .   />'>  o (foyer  réel). 

p  =  —f. p'  "^  °^ (foyer  réel  à  Tinfini). 

p  <I  — /. p'  <C  0 (foyer  virtuel). 


395.  Cas  où  le  point  lumineux  est  situé  hors  de  Taxe 
du  miroir,  à  une  petite  distanee.  —  Dans  ce  qui  précède,  on 
a  toujours  considéré  le  point  lumineux  comme  situé  sur  l'axe  du 
miroir  :  si  l'on  prend  maintenant  un  point  Q  (fig.  3&q),  situé  hors 
de  l'axe,  mais  de  façon  que  la  ligne  GQ  ne  fasse  avec  l'axe  qu'un 
petit  angle,  on  peut  évidemment  étendre  à  cette  ligne»  pour  les 
rayons  émanés  de  ses  divers  points,  tout  ce  qui  a  été  dit  précédem- 

Verdet,  in.  —  Cours  de  phys.  U.  lo 


146  OPTIOUK. 

ment  de  l'axe  AP  lui-iiH^mc  pour  \of,  ruyons  l'-inanés  d<s  |)oints  de  cet 

aie.  Les  droilps  telles  (^im  CQ  prennent  le  nom  d'ff;iT«  lecm^airt».  — 


Uès  lors,  pour  tous  les  points  lumineuii  dont  les  axes  secondaires  ne 
s'écarteront  pas  trop  de  l'axe  AP  du  miroir,  la  Tormute  (i)  fera  con- 
naître la  position  du  Toyer. 

De  là  résulte  (ju'un  objet  lumineux  ayant  lii  forme  d'un  petit  arc 
de  cercle  terminé  à  l'ave,  tel  qup  PQ  (fi^.  Sis),  a  pour  image  un 
autre  petit  are  de  cercle  PQ',  r(;iilenient  terminé  à  l'axe.  Les  dru\ 
arcs  |)euvont  d'ailleurs  être  regardés  comme  se  confondant  sensible- 
ment avec  les  tnnn;enles  en  P  et  P'  :  on  peut  donc  dire  qu'une  petite 
droite  perpendiculaire  à  l'axe  principal  d'un  miroir  sphérique  a  pour 
image  une  droite  également  perpendiculaire  ii  cet  axe,  ce  qui  mAGI 
pour  permettre  de  déterminer  l'image  d'un  objet  quelcoaque, 
pourvu  que  sen  divers  pointât  aient  des  axes  secondaires  peu  încliDés 
sur  l'axe  principal. 

Quant  à  la  grandeur  de  l'image  par  rapport  à  l'objet .  on  la  d^ 
terminera  en  éliminant  p'  entre  les  deux  équations 


Dans  la  position  particulière  de  l'objet  qui  est  représentée  par  la 
ligure  3^3 ,  l'image  est  renven^e  par  rapport  »  l'objet  :  il  en  est  ainsi 
toutes  les  fois  que  p  et  p'  sont  de  même  signe.  —  Au  contraire. 


-    MIKOIKS  SPHÉB1QUR5.  1A7 

l'image  «st  droite  par  rapport  à  l'objet'  lorsque  p  et  p'  sont  dft  signes 
contraires. 

396.   AberrKtlaii  IvncHwdiMUe  el  abemtlaB  latérde. 

—  Od  appelle  diemifion  longitudinale  la  distance  du  foyu  des  rayons 
qui  tombent  sur  le  bord  du  miroir,  ou  rayons  marginaux,  au  foyer 
des  rayons  qui  tombent  au  voisinage  du  sommet  A,  ou  rayon»  ten- 
traux  :  le  foyer  des  rayons  centraux  est  d'ailleurs , comme  on  voit, 
celai  que  détermine  la  théorie  'précédente. 

On  appelle  dterration  latérale  le  rayon  du  cercle  déterminé  par 
l'intènedion  du  cAne  des  rayons  mai^naux  réfléchis,  avec  un  plan 
mené  par  le  foyer  des  rayons  centraux,  perpendiculairement  à  l'axe 
du  miroir. 

Les  valeurs  de  chacune  de  ces  aberrations  dépendent  de  la  posi- 
tion du  point  qui  émet  teti  rayons  lumineux  :  les  deux  valeurs 
liarticulières  qui  sont  relatives  au  ras  où  les  rayons  incidents  sont 
parallèles  à  l'axe  du  miroir  prennent  le  nom  d'aberration»  principalet. 

—  Il  est  facile  d'en  obtenir  l'expression,  en  fonction  de  l'ouverture 
du  miroir. 

Soient  a  la  demi-ouverture  angulaire  ACM  du  miroir  (fig.  3â3), 
F  le  foyer  principal  des  rayons  centraux,  F[  ie  foyer  des  rayons 


marginauv  parallèles  ii  l'axe.   Le  triangle  CFjM  étant  isocèle,  oh  n 


148  OPTIQUE.   . 

d'où  l'on  tire  la  valeur  de  Yabeiraùan  longitudinale  principale, 

i  —  cos  a 


FF,  =/ 


COS  a 


D'autre  part ,  Yaberration  latérale  principale  FH  s'obtient  en  mul- 
tipliant FF|  par  la  tangente  de  l'angle  FFiH,  ou  par  tangaa,  ce 
qui  donne 

397.  mesure  du  rayon  de  eourkure  d*un  MUroIr  apliè- 
rique.  —  Les  résultats  qui  précèdent  fournissent  une  méthode 
sim|)lc  pour  dét(»rminer,  par  l'expérience,  le  rayon  de  courbure  d'un 
miroir  sphérique  quelconque,  et  par  suite  le  foyer  principal  des 
rayons  centraux. 

i""  Pour  un  miroir  sphérique  concave,  on  oriente  ce  miroir  de  façon 
que  son  axe  principal  soit  dirigé  vers  le  soleil,  et  Ton  détermine 
par  tâtonnements  quelle  est  la  position  qu'il  faut  donner  à  un  petit 
écran  pour  que  les  rayons  réfléchis,  en  venant  le  rencontrer,  pro- 
duisent l'image  circulaire  la  plus  petite  et  la  plus  brillante.  Cette 
image  est  celle  du  soleil  ;  elle  peut  être  considérée  comme  formée 
par  des  rayons  qui,  à  l'incidence,  étaient  parallèles  entre  eux.  On 
mesure  «alors  la  distance  de  la  position  actuelle  de  l'écran  au  sommet 
du  miroir  :  cette  distance  est  sensiblement  égale  à  la  distance  focale 
principale  des  rayons  centraux.  En  prenant  le  double  de  cette  dis- 
tance, on  obtient  le  rayon  de  courbure  du  miroir. 

s*  Pour  un  miroir  sphérique  convexe,  on  dirige  encore  Taxe 
de  ce  miroir  vers  le  soleil  et  l'on  place  en  avant  de  la  surface  réflé- 
chissante un  écran  opaque  HK,  percé  de  deux  petites  ouvertures  P, 
P'  (fig.  3&&)  :  ces  deux  ouvertures  laissent  passer  deux  faisceaux 
cylindriques  de  rayons  solaires,  PM,  P'M',  qui  tombent  sur  le  mi- 
roir et  produisent  deux  faisceaux  réfléchis.  Mm,  MW.  Ces  deux 
derniers  faisceaux  viennent  former  sur  IVcran  Hk  deux  petites 
surfaces  éclairées,  m,  m'  :  on  écarte  ou  Ton  rapproche  l'écran  du 
miroir,  jusqu'à  ce  que  la  distance  des  centres  de  ces  petites  surfaces 
soit  double  de  la  distance  des  centres  des  deux  ouvertures  P  et  P'. 


MIKOIRS  SPHÉRIQUBS.  149 

Lorsque  ce  résutlat  esl  altoint,  on  voil,  sur  la  figure,  que  l'on  a 
sensiblement 

FA  =  F'A=/, 

pourvu  que  la  distance  PP'  soit  peu  considérable.  —  Il  suffit  donc 
de  mesurer  la  distance  F'A  de  l'ëcran  au  miroir,  pour  avoir  la  dis- 


tance focale  principale.  En  prenant  le  double  de  celte  distance,  on 
obtient  le  rayon  de  courbure. 


RÉFRACTION   DE   LA   Ll  MIÈRE. 


398.  FliéiiMnéBe  4e  la  réflractioii.  —  On  désigne  sous  le 
nom  de  r^irëcùm  le  changement  de  direction  qu'épronrént,  en  gé- 
nérai, les  rayons  lumineut  en  passant  d'un  milieu  datas  un  autre. 

Ce  changement  de  direction  peut  être  constaté  pat  i\)hservation 
vulgaire  du  déplacement  que  paraissent  éprouver,  (M)ûr  l'œil  placé 
dans  i'air,  les  objets  placés  dans  Teau.  —  C'est  ainsi  i|tt'un  bâton, 
dont  une  partie  est  plongée  obliquement  dans  Teau,  paraît  brisé 
au  niveau  de  la  surface  du  liquide.  C'est  ainsi  encore  que  le  fond 
d'un  vase  contenant  un  liquide  transparent  paratt  relevé. 

399.  ibi»  Ée  BMeulMes.  —  La  réfraction  par  tes  corps  trans- 
parents autres  que  les  substances  cristallisées  est  assujettie  aux  deux 

lois' suivantes,  qui  sont  connues  sous  le  nom  de  lots  3£T)escartes  : 

1  **  Le  rayon  incident  et  le  rayon  réfracté  sont  contenus  dans  un 
même. plan,  normal  à  la  surface  réfringente. 

2*"  Le  rapport  du  sinus  de  l'angle  d'incidence  au  sinus  de  l'angle 
de  réfraction  est  constant.  —  La  valeur  de  ce  rapport  est  Yîndice  de 
réfraction  du  milieu  dans  lequel  pénètre  la  lumière,  par  rapport  au 
milieu  d*où  elle  sort  :  selon  que  l'indice  est  plus  grand  ou  plus  petit 
que  l'unité,  le  second  milieu  est  dit  plus  réfringent  ou  moins  réfrin- 
gent que  le  premier. 

400.  Principe  des  proeédés  employés  pour  irérlfler  les 
loto  de  la  réflraetioii»  —  Les  procédés  qui  ont  été  employés 
pour  vérifier  les  lois  de  la  réfraction  sont  assez  nombreux.  Ils  of- 
frent ce  caractère  commun,  qu'on  s'est  proposé  de  mesurer  la  dé- 
viation de  rayons  qui  passent  de  l'air  dans  un  milieu  transparent, 
et  repassent  ensuite  de  ce  milieu  dans  Tair;  mais,  pour  se  rendre  in- 
dépendant de  Tune  des  deux  réfractions,  on  a  fait  on  sorte  que  l'un 
ries  deux  changements  de  milieu  s'eiTectuât  sous  l'incidence  normale. 


RÉFRACTION  DE  LA  LUMIÈRE.  loi 

c'est-à-dire  sans  déviation.  On  n'a  alors  h.  mesurer  que  la  déviation 
produite  à  l'autre  changement  de  milieu. 

401 .  Procédé ^Al-Hazm.  —  Un  cercle  métallii|ue  MN  (fig.  3i5). 

portant  deux  alidades  mobiles  OA,  OB,  munies  de  pinnules,  est 
plongé  dans  un  vase  plein  d'eau  : 
la  surface  PQ  du  liquide  passe  par 
le  centre  0  du  cercle.  On  cherche 
à  donner  aux  deux  alidades  des  po- 
sitionR  telles,  qu'un  rayon  solaire 
transmis  par  les  pinnules  de  la  pre- 
mière alidade  OA  soit,  après  ré- 
fraction, transmis  par  les  pinnules 
de  la  seconde  OB.  —  Dans  chaque 
système  de  positions,  on  mesure 
les  angles  VOA,  V'OB,  formés  par 
la  verticale  VV  et  chacui^  des  deux 
alidades,  et  l'on  vcl-ific  que  le  rap- 

poA  éet  àfUM  de  cee  deux  angles  est  constant. 

lis.  fnddé  ie  KifUr.  —  On  expose  aux  rayons  du  soleil  une 
parti  !niltietf«  opcque  liVPQ(fig.  3&6),.eiron  a,pflique  sur  cotte 


paroi,  dans  une  partie  de  sa  longueur  et  du  côté  opposé  au  soleil,  un 
f)aniltéli|)i|ièd«  Ac  verre  XYIJVST,  qui  a  même  hauteur.  On  obtient 


152  OPTIQUE. 

ainsi,  sur  le  plan  horizontal  qui  supporte  le  prisme  de  verre,  jleuc 
ombres  portées  par  la  paroi  verticale.  Ces  deux  ombres  ont  des  lar- 
geurs différentes  :  l'une,  limitée  par  les  rayons  qui  ont  traversé  le 
prisme  de  verre,  a  pour  largeur  TZ;  l'autre,  limitée  par  les  rayons 
qui  n'ont  pas  traversé  le  verre,  a  pour  largeur  NB.  Il  est  fadle  de 
voir  que  la  mesure  de  ces  deux  largeurs  suffit  pour  qu'on  poisse 
calculer  le  rapport  du  sinus  de  l'angle  d'incidence  au  BÏnoB  de 
l'ange  de  réfraction  dans  te  verre,  pour  les  rayons  qui  rasent  Taihe 
supérieure  de  la  paroi  MP. 

403.  Pneèié  tU  Detearie».  —  Un  faisceau  lumineux  très-dâié, 
transmis  par  deux  ouvertures  étroites  M,  N,  situées  &  la  même  dis- 
tance du  plan  PQ  (fig.  Zk']),  arrive  normalement  sur  la  première 
surface  d'un  prisme  de  verre  ABC,  de  façon  qu'il  pénètre  dans  le 


verre  sans  déviation  :  il  éprouve  au  contraire,  en  repassant  du  verre 
dans  l'air,  une  déviation  qui  le  ramène  vers  le  plan  PQ ,  et  il  vient 
former  sur  ce  plan  une  petite  surface  éclairée  VR.  —  Cette  expé- 
rience peut  évidemment  fournir  les  mesures  nécessaires  à  la  Aé\et- 
minalion  de  l'angle  d'incidence  et  de  l'angle  de  réfraction ,  pour  le 
I  travers  de  la  face  AC  du  prisme.- 


i04.  Procédé  de  Newton.  —  Un  faisceau  délié  de  rayons  solaires 
SI  (fig.  3i8)  tombe  sur  la  surface  d'un  vase  rectangulaire  contenant 
de  l'eau  H.  Ce  vase  est  6xé  à  l'extrémité  d'une  règle  AB,  mobile 
Autour  d'un  ate  0  qui  est  situé  à  la  partie  supérieure  de  la  coloQoe 
verticale  C  :  un  quart  de  cercle  MN  permet  de  mesurer  les  angles 


RÉFRACTION  DE  LA    LUMIÈRE.  IBS 

que  fait  la  règle  AB  avec  la  verticale.  —  On  fait  tourner  la  régie 
autour  de  son  ane  jusqu'à  ce  que  la  partie  mnyenae  EJ  du  fais- 


ceau lumineux  émergent  lui  soit  parallèle  :  dans  cette'  position,  ce 
faisceau  est  perpendiculaire  à  la  face  d'émergence  PQ,  en  sorte 
que  les  rayons  lummeux  n'éprouvent  de  déviation  qu'au  point  I. 
Une  lecture  mr  le  quart  de  cercle  MN  fournit  la  valeur  de  l'angle 
de  réfraction;  quant  &  la  valeur  de  l'angle  d'incidence,  elle  peut 
être  obtenue  en  répétant  la  mâme  f^érîence  après  avoir  supprimé 
le  liquide. 

â05.  Remarque  gitéraU  lurlei  proaSdé»  priBédmtê.  ~ —  Les  divers 
appareils  dont  on  vient  d'indiquer  rapidement  la  construction  sont 
trop  imparfaits  pour  donner  des  mesures  précises;  maïs,  d'après  la 
nature  même  du  phénomène,  il  n'y  a  pas  lieu  de  chercher  à  leur 
donner  une  précision  plus  grande.  —  Dans  toutes  ces  expériences* 
la  réfraction  d'un  faisceau  lumineux  de  lumière  blanche  est  accom- 
pagnée d'une  dilatation  du  faisceau  émergent,  dont  les  diverses 
parties  se  colorent  de  dilTérenles  couleurs.  Donc,  à  choque  rajion 
incident,  tel  que  MN(frg.  347)ou  SI  (fig.  348),  correspondent  plu- 
sieurs rayons  réfractés,  produisant  sur  l'écran  les  couleurs  .diverses 


154  OPTIQUE. 

dn  spectre ,  depuis  le  violet  V  jusqu'au  rouge  R  :  le  jaune  J  forme  Ji 

peu  près  la  partie  moyenne. 

Ce  phénomioe,  désigné  tout  le  nom  de  ^î^ptrMOH,  tera  étudié 
plus  loin.  On  verra  «lors  comment  on  peut  démontrer,  par  des  expé- 
riences suK^tiblet  d'une  grande  prëcisioD,  qae  chacun  des  rayons 
de  diverse!  conleurt  sait  let  loît  de  Detcaftes,  et  que  ducun  d'eux 
possède  uD  mdice  de  réfraction  ^écial  pour  une  substance  détei^ 
minée. 


i06. 

Princlp*  ^tm  w«tmmr  Inverae  4c«  r«f—  ta^dBaax.— L'ob- 
servation montre  que  la  position  apparente  d'un  objet  très-^loigné, 
d'une  étofle  par  exemple,  n'est  pas  changée  lorsqu'on  place  sur  le 


trajet  des  rayuns  lumini>u.\  une  lame  de  verre  à  faces  parallèles  : 
on  en  conclut  que  chaque  rayon  émei^ent,  tel  que  l'S'  {fig.  Sàg), 
est  parallèle  au  rayon  incident  SI  dont  il  provient.  L'angle  '  d'inci- 
dence NIS  est  donc  égal  à  l'angle  d'émei^ence  N'I'S'  :  si  l'on  repr^ 
sente  par.i  la  valeur  commune  de  ces  deu\  angles,  par  r  la  valeur 
commune  des  deux  angles  PU'  et  P't'l.  par  »  l'indice  de  réfraction 
du  vern;  par  ittppml  à  l'air.  l'I  p«r  «'  l'indice  de  l'air  par  rapport 


RÉFRACTION  DE  LA  LUMIÈRE.  155 

au  verre,  la  première  réfraction  <h>nne 

sini  =  nsinr; 

la  seconde  réfràttbil  ëonftê 


De  ces  deux  Aplattoïkà  bli  tire 


I 

c  esi-à-dire  ifàe  FmUee  ie  r^heùon  ie  tàir  fat  foffa^t  au  verre  est 
rinver$e  de  i'tJMfe»  Al  vtrrepar  ràffùri  à  tàtr. 

Ce  résultat  è*«st  ^'mUmî*  «{o^nii  ce»  plriiéuUer  d'une  loi  générale 
qui  est  conink^  aoua  ie  nom  de  pntMpe  du  rO&ur  nwéne  des  rayons, 
—  Cette  ioiviJHdieiUè  k  lèiâ  lès  phénomènes  optiques,  peut  s'é- 
noncer de  la  manière  suivante  :  si,  en  traversant  successivement  certains 
miUeux,  un  rayon  de  lumière  suit  une  route  déterminée,  il  suivra  exacte- 
ment la  mime  route  lorsqu'il  se  propagera  en  sens  inverse. 

&07.  Bèftf  U^ii  jHMr  ptasieww  iMnes  p«rallèlcfi  consé- 

•irtiTMu  —  Le  parallélisme  dés  rayons  émergents  et  des  rayons 
incidents ,  que  Ton  vient  de  signaler  dans  le  cas  oiî  la  lumière  tra- 
verse une  lame  à  faces  parallèles,  a  lieu  encore  lorsque  la  lumière 
traverse  un  nombre  quelconque  de  lames  parallèles  consécutives. 

Dans  le  cas  particulier  où  l'on  considère  deux  lames  parallèles 
successives,  ce  résultat  expérimental  itronduit  à  un*  principe  qu'il  est 
essentiel  de  signalet*.  —  Soient  n  et  n'  les  indices  de  réfraction  de 
chacune  des  deux  lames  A,  A'(fig.  35o)  par  rapport  à  l'air,  et  soit  (i 
l'indice  de  réfraction  de  la  première  lame  A  par  rapport  à  la  se- 
conde A'.  Les  trois  réfractions  successives  du  rayon  Si  donnent  les 
relations 

sin  I  =  n  sin  r, 

sin  r'=  (i  sin  r, 

sin  i  —  n'  sin  r'. 


De  ces  trois  équations  on  tire 


n 
^      n 


En  Qéttérsi,  l'indice  de  réfraction  d'une  substanceA,  par  rapport 
à  une  autre  A',  est  égal  au  quotient  de  l'indice  de  la  première  par 


l'indice  de  la  seconde,  ces  deux  derniers  indices  étant  pris  par  rap- 
port à  un  même  milieu  quelconque. 

L'indice  de  réfraction,  d'une  substance  par  rapport  aa  vide  prend 
le  nom  d'tWtce  abêolu  de  cette  substance  :  l'expérience  montre  que, 
pour  les  corps  solides  ou  liquides,  il  diffère  peu  de  l'indice  par  rm- 
port  à  l'air. 

' .  :  iQ&.  Iléfriieflon  par  lu  prlrune.  —  Dans  l'étude  des  jlké- 
nomènes  lumineux^  on  désigne  sous  le  nom  de  priême  une  niasse 
'd'une  substance  réfringente  quelconque,  présentant  un  an^e  dièdre 
dont  les  deux  faces  sont  rencontrées  par  les  rayons  lumineux. 

Lorsque  la  lurnivre  traverse  les  deux  faces  d'un  prisme ,  on  observe 
ique.les  rayons  émergents  éprouvent,  |>ar  rapport  aux  rayons  inri- 
dents,  une  déviation  vers  la  base  du  prisme,  c'est-ii-dire  vers  la  région 
de  l'espace  «ù  est  dirigée  l'ouverture  de  l'angle  dièdre. 

Si  l'on  se  borne  au  cas  oij  le  rayon  incident  est  contenu  dans  une 
section  principale  dn  prisme,  c'est-à-dire  dans  un  plan  perpendicu- 
laire à  l'arélc  de  l'angle  dièdre,  il  résulte  de  la  première  loi  de  Des- 
cartes  que  le  ra^on  lumineux  doit  rester  dans  ce  plan  pendant  tout 
son  trajet.  En  iigurani  alors  la  marche  successive  d'un  pareil  rayon 


RÉFRACTION  PAR   UN   PRISME.  167 

lumineiu  SI  ail  travers  d'ue  prisme  A  (fig.  35 1),  on  obtient  immé- 
diatement les  relations 


r  +  ,'  =  A. 

Ces  quatre  ëqaatîons,  contenant  six  angles  et  l'indice  de  rétrac- 
tion n,  permettent  de  déterminer,  par  exemple,  la  valeur  de  l'indico 
de  réfraction  n,  lorsqu'on  connaît  trois  des  six  angles.  —    Ainsi, 


pour  déterminer  l'indice  de  réfraction  d'une  substance,  on  pourrait 
employer  une  méUiode  générale  consistant  à  mesurer,  par  exemple, 
l'angle  réfringent  A  d'un  prisme  qui  serait  formé  de  cette  substance, 
l'angle  d'incidence  t  d'un  rayon  lumineux  sur  l'une  des  faces  de  cet 
angle,  et  la  déviation  D  éprouvée  par  ce  même  rayon  lumineux  dans 
son  passage  au  travers  du  prisme  considéré. 

Mais,  en  vertu  du  principe  du  retour  inverse  des  rayons  lumi- 
neux, la  déviation  produite  serait  la  même  si  l'on  donnait  à'  l'angle 
d'incidence  la  valeur  i'  :  on  voit  donc  que,  si  l'on  fait  varier  l'inci- 
dence d'une  manière  continue,  la  déviation  doit  reprendre  la  même 
valeur  pour  deux  valeurs  différentes  de  l'ange  d'incidence;  par 
suite ,  la  déviation  D  doit  passer  par  un  maximum  ou  par  un  mini- 
mum, lequel  doit  précisément  correspondre  à  une  valeur  de  t  telle 


158  OPTIQUE. 

que  l'on  ait  t  '  =  ?.  —  Pour  vérifier  anaiytiquement  qu'il  en  est  ainsi , 
ii  suffit  d'égaler  à  zéro  la  dérivée  de  D  par  rapport  à  t,  ce  qui  donné, 
en  vertu  de  la  dorniôrc  équation, 

D'autre  part»  des  deux  premières  équations  on  tire 

j.      ncosr  1 

dt=     ^   .  ar, 
cosi 

IV      n  cosr'  ]  , 
m  =  — - — T-  ar  ; 

COSI  ' 

enfin  la  ifffi^m^  équatiop  donn« 


La  con^it^W  précédente  se  réduit  donc  è 

cosr     cûs/^ 


c 


'est-à-dîmp,  f&  44finitiye, 


co0i      coêT 


ou 

.     D4-A 
a 


Le  calcul  de  la  seconde  dérivée  de  D  par  rapport  à  t  montre  d  ail- 
leurs que,  pour  cette  valeur  de  i,  la  déviation  D  est  un  minimum  si 
l'indice  de  réfraction  u  du  prisme  par  rapport  au  milieu  extérieur 
est  plus  grand  que  Tunité,  comme  c'est  le  cas  le  plus  ordinaire; 
et  un  maximum,  si  cet  indice  de  réfraction  est  plus  petit  que  Tunité. 
Ces  résultats  sont  confirmés  par  l'expérience. 

L'^alité  i==i'  entraine  r==-r  :  donc,  dans  ce  cas,  le  rayon  II' 
réfracté  à  l'intérieur  du  prisme  est  également  incliné  sur  les  deux 
faces,  c'est-à-dire  normal  au  plan  bissecteur  de  l'angle  réfringent, — 
Quant  aux  relations  précédentes,  elles  se  réduisent  alors  aux  trois 
suivantes  : 

sin  t»ii  sinr^ 

 

a 
.     D-hA 

i.^, : 


RKPLEMON  TOTAI.K.  là» 

ces  trois  équations  ne  contiennent  plus  que  quati*»  angles  et  l'indice 
(te  n^fractioD  n.  l)e  là  résulte  que,  en  plaçant  l'angle  réfringent 
dans  cette  position  particulière,  on  n'a  plus  à  dcteriuinei'  eipérimen- 
talement  que  deux  angles,  A  et  D  par  exemple,  pour  en  pouvoir 
déduire  la  valeur  de  l'indice  de  réfraction  ». 

&09.  RéM«slvM  t«tole.  —  Lorsque  des  rayons  Inmineui  se 
présentent  pour  passer  d'un  milieu  plui  réfringent  dans  dq  militu 
moins  ré&mgent,  l'indice  de  réfraction  h  est  une  quantité  pUis 
petite  que  l'unité;  par  suite,  la  formule  sinr=-^  conduirait,  pour 
toute  valeur  de  l'incidence  telle  que  sini  fât  plus  grand  que  »,  à 
une  valeur  de  sin  r  supérieure  à  l'unité  :  l'expérience  montre  qu'il 
y  a  alors  réfexùm  totale,  c'est-à-dire  que  tout  rayon  lumineux  pour 
lequel  on  a  sin  t^n  reste  dans  le  premier  milieu,  et  !4uit,  par 
rapport  à  la  surface  d»  séparation,  les  lois  de  la  réflexion. 

Si,  par  exemple,  un  point  lumineux  0  (fig.  35^)  est  placé  dans 
un  milieu  plus  réfringent  que  le  milieu  extérieur,  et  si  la  surface 


de  séparation  des  deux  milieux  est  plane,  les  seuls  rayons  émanés 
de  0  qui  puissent  émerger  sont  ceux  qui  sont  émis  dans  l'intérieur 
d'un  cAoe  circulaire  droit  MON .  ayant  son  axe  perpendiculaire  â  la 
surface  de  séparation ,  et  pour  angle  générateur  celui  dont  le  sinus 
est  égai  k  n  :  cet  angle  est  ce  qu'on  nomme  Vangle  limite.  Tout  rayon 
tel  que  OD,  qui  est  émis  à  l'extérieur  du  cône  MON,  éprouve  la  ré- 
flexion totale  suivant  DF.  —  Réciproquement .  si  l'œil  est  placé  en  0 , 
il  voit   tous  les  objets  evtérieui's  dans  le  cône   MON  :  en  dehori; 


160  OPTIQUE. 

di>  (-<'  cùne,  il  ni?  reçoit  de  lumière  que  celle  qui  lui  est  envoyée 

par  des  objets  ronlemis  dans  le  même  milieu  réfringent. 

On  peut  observer,  par  exemple,  le  phénomène  de  la  réflexion 
totale,  au  moyen  d'un  prisme  de  verre  rectangulaire  BAC ,  ma  la- 
face  hypoténuse  duqad  tMH- 
bent  des  rayons  lumineux  di- 
versement inclinés.  Les  fius:- 
ceaux  tels  que  SI  (fig.  3-53),. 
dont  l'incidence  est  sufiBsun- 
ment  petite,  traversent  le 
prisme  :  les  faisceaux  ids 
que  S'I',  dont  l'incidence  est 
supérieure  à  la  valeur  de 
l'angle  limite  du  verre  par 
rapport  à  l'air,  sont  réfléchis 
totalement  et  peuvent  être  reçus  dans  l'œii  placé  au-dessus  de  BC. 
C'est  à  la  réflexion  totale  qu'on  d<iit  attribuer  le  phénomène  bien 
connu  que  l'on  désigne  sous  le  nom  de  miragt  :  ce  phénomène, 
décrit  dans  tous  tes  ouvrages  élémentaires,  se  produit  toutes  les 
fois  qu'une  cause  quelconque  fait  varier  rapidement  et  f  une  ma- 
nière continue  la  densité  et  le  pouvoir  réfringent  des  couches  suc- 
cessives de  l'atmosphère. 


REFRACTION  PAR  LUS   SURFACRS  COHUES. 


410.   RMHMtlMi  par  ■■«  awAMe  m^UtrUgmB.   —    Pour 

t''ludier  la  réfraction  t'pniuvi^e  par  les  ravons  émanés  d'un  point 
lumineux,  tjuand  ils  passent  du  milieu  qui  contient  ce  point  dans 
un  »utre  milieu  séparé  du  premier  par  une  surface  sphérique,  on 
raisonnera  sur  le  cas  particulier  où  la  concavité  de  la  surface  de 
séparation  esl  tournée  du  côté  du  point  lumineux  lui-même.  Les 
conséquences  auxquelles  on  arrivera  seront  générales,  h  la  condition 
de  faire  les  mêni<-s  conventions  que  dans  l'élude  des  miroirs  spfaé- 
riques.  relativement  auv  sifi^nes  du  ravnn  do  courbure  B,  de  la  dis- 
tancent de  la  surfarn  au  point  lumineux,  et  de  ta  distance^  de  cette 
surfaci-  au  point  d'interseclion  des  ravons  réfractés  avec  l'axe. 


RÉFRACTION  PAR  UNE  SURFACE  SPHERIOUE.        161 

Soient  MN  la  surface  réfringente  (fig.  35£i),  G  son  centre  de 
coni^ure,  P  un  point  lumineux  situé  sur  l'axe  AC,  PH  un  rayon 


émis  par  ce  point,  HR  le  rayon  réfracté,  et  II  le  point  OÙ  le  pro- 
loo^meot  de  ce  rayon  rencontre  Va\e.  Désignons  par  R  le  rayon  de 
couri)are.  par  ;>  et  «  les  dbtances  AP  et  ATT.  On  a 

surf.  CHP^^R.HPsini, 
surf.  CHn=^R.Hn8inr. 

D'autre  part,  ces  deux  triangles  ayant  même  hauteur  sont  entre  eux 
e  leurs  bases  CP  et  Cil,  c'est-à-dire  comme /t  —  R  etor—  R, 

p-R      HPsini 
w-R'^Hnsin»' 


Or,  si  la  surface  réfringente  n'a  qu'une  ti-ès-petile  étendue  angu- 
laire, le  rapport  rnî  ne  diffère  pas  sensiblement  du  rapport  y=<  ou 
de  £  ;  on  peut  donc  écrire 

d'où  l'on  tire 

ni,  ,1 

ï-f-("-')ir 

VupiT.  III  -^  Coiir.<  iIp  pljsv.  II.  1 1 


162  OPTIQUE. 

Formule  qui  peiit  être  discutée  de  la  même  manière  que  celle  des 
miroirs.  Comme  la  formule  des  miroirs,  elle  conduit  à  reconnaître 
l'existence  de  foyers  réels  ou  de  foyers  virtuels,  selon  les  cas;  elle 
permet  aussi  d'obtenir  l'expression  de  l'aberration  longitudinale  et 
de  Taberration  latérale, 'pour  les  rayons  matinaux,  quand  on 
connaît  l'ouverture  angulaire  de  la  surface  réfringente. 

411.  Réfr»c«l*B  pfcr  lOM  l«aUlle.  —  On  donne  le  nom  de 
lentUk  iphérique  à  une  uiasse  réfringente  comprise  entre  deui  sur- 
faces sphériques  ayant  chacune  une  très-petite  ouverture  angulaire 
et  centrées  sur  le  même  axe.  —  On  considérera  seulement  ici  le  cas 
où  l'épaisseur  de  la  lentille  est  négligeable. 

Soient  MN  (Sg.  355)  la  première  surface  sphérique,  dont  le  rayon 
est  R  et  dont  le  centre  est  en  C  ;  M'N'  la  seconde  surface ,  dont  le 
rayon  est  R'  et  dont  le  centre  est  en  C;  soit  P  le  point  lumineux. 


situé  sur  l'axe,  à  une  distance  p  de  la  lentille.  Par  suite  de  la  réfrac- 
tion due  à  la  première  surface,  les  rayons  tels  que  PH,  qui  sont 
émis  par  le  point  P,  prennent  une  direction  HK  telle,  que  le  pro- 
longement du  rayon  réfracté  aille  passer  par  un  point  II,  dont  la 
dislance  à  la  lentille  est  donnée  par  la  formule 

(')  ï-J-("-')r 

D'autre  part,  les  rayons  qui  rencontrent  la  serond*-  surfnre  M'\' 


LENTILLES  SPHÉRIQUES.  163 

.peuvent  être  considérés  comme  émanée  du  point  II  ;  les  prolonge- 
ments des  rayons  réfractés  vont  donc  rencontrer  Taxe  en  un  point  P' 
4ont  la  .distance  f^  à  la  lentille  est  définie,  en  considérant  l'épais- 
seur AB  comme  négligeable,  par  l'équation  analogue 

équatbn  qui  peut  s'écrire 

(*)  \>-\ — («-*)w' 

Ea  coûtant  ces  équations  (i)  et  (a)  membre  à  membre,  on  ob- 
tient la  formule  générale  des  lentilles 

On  appelle ySiy^  j^nc^/^  comme  pour  les  miroirs,  le  point  de 
•€OBeours  des  rayons  réfractés  qui  correspondent  à  des  rayons  inci- 
dents' parallèles  à  Taxe.  La  distance  focale  principale  s'obtient  donc 
-en  faisant  |i  »  oo-  dans  la  formule  qui  précède ,  et  en  cherchant  la 
ifdêpr  correspondante  de/i'.  Si  l'on  désigne  par/ cette  distance  »  on 
trouve 


/^(''-^(r-r^) 


» 

.  k\%  Dmi  diverses  espèees  de  leMttllee.  —  Les  lentilles  sont 
dites  etmvm^fentes,  lorsque  le  foyer  principal  est  situé  du  côté  opposé 
à  celui  d^oii  viennent  les  rayons  parallèles  à  l'axe,  c'est-à-dire  lors- 
que/est  négatif.  —  Elles  sont  dites  divergentes,  lorsque  le  foyer 
principal  est  situé  du  côté  même  d'où  viennent  les  rayons ,  c'est-à- 
dire  lorsque /est  positif. 

Si  l'on  considère  le  cas  où  la  matière  qui  forme  les  lentilles  a  un 
indice  de  réfraction  plus  grand  que  l'unité,  ce  qui  est  d'ailleurs  le 
cas  ordinaire,  l'expérience  et  la  théorie  montrent  que  les  lentilles 
convergentes  sont  celles  dont  la  section,  faite  par  un  plan  passant 
par  l'axe,  a  l'une  des  formes  Gi,G2,Cs(fig.  356)  :  on  comprend  ce» 
trois  formes  sous  le  nom  général  de  lentilles  à  bords  minces. 


11 . 


164  OPTIQUE. 

Les  lentilles  divergentes  onl  l'une  des  formes  D, ,  D,,  Dj ,  qui  sont 
comprises  sous  le  nom  de  lentilles  à  bords  épais. 

Au  contraire,  lorsque  la  mati^ro  qui  forme  les  lentilles  a,  par 
rapport  au  milieu  extérieur,  ua  Indice  de  réfraction  plus  petit  que 


l'unité,  les  lentilles  à  bords  minces  sont  divergrales  et  les  lentilles 
ù  bords  épais  sont  converf^entes. 

^13.  IieMUUes  «Miv^cenM*.  —  Les  lentilles  convergentes 
étant  caractérisées  par  une  valeur  négative  de  la  distance  focale  prin- 
cipale, si  l'on  met  en  évidence  le  signe  de  y  dans  la  formule  gé- 
nérale, on  obtient  la  formule  particulière  aux  lentilles  convei^ 
génies 


La  discussion  de  cette  formule  conduit,  pour  les  positions  rela- 
tives du  point  lumineux  et  du  foyer  qui  lui  correspond,  aux  résultats 
qui  sont  contenus  dans  le  tableau  suivant  : 

p  =  oo P'=  — /• (foyer réel). 

p>3/ — y<:-./m«i»>./.  (foyerréel). 

P  =  ^f p'  =  —  a/ (foyer  réd). 

p  <C  a/"inais  >  f. .    — p'  >  a/. .  , (foyer  réd). 

p  ^  J". p'  ^  —oo (foyer  réel,  k  l'iafiDJ). 

|)  >  y. p'  >  0 (foyer  virtuel). 

,     p  =  0 ff  •=  0 (foyer  virtuel). 

p  <C  0 — p'  <C  /• (foyer  tM). 


&\> 


LE.NÏILLES  Sl'HERIQUES.  165 

.  Ij««Mlle«  dlTvrKCBte*. —  Les  lentilles  divergentes  étant 


caraetérisées  par  une  valeur  positive  de  la  distance  Focale  princi- 
pale, la  formule  qui  convient  à  ces  lentilles  n'est  autre  que  l'équa- 
tion 

P'~P~J' 

dans  laquelle  on  doit  supposer  que  le  signe  de  la  quantité/  est  mis 
en  évidence. 

La  discussion  de  cette  rorniulc  conduit  aiiii  résultats  contenus 
dans  le  tableau  suivant  : 


^  =  00.  . 
f>o 

p-o.... 
p<Co  nuis 

f.~-f.. 

K-f- 


-=  J. (foyer  virtuel). 

>o  meis<!/.--  {foyer  virtufll). 

=^  o {foyer  virtuel). 

<:» (foyer  rfel). 

=  —  X. (foyerr^l.i  )'inrmi). 

>  0. (foyer  virluet). 


AI 5.  CfliMa  des  IcMtlIle*  aur  lea  rarvns  tamw^mtm  d'un 
palnt  amiA  iMra  «■•  l'axe*  —  Si,  par  un  point  Q  (fig.  SS^)  situé 
hors  de  l'axe,  mais  très-voisin  de  l'axe,  et  par  le  centre  C  de  la 


première  surface  réfringente,  on  mène  une  droite  QD,  et  qu'on  la 
regarde  comme  un  axe  tecoiidaire  relatif  an  pomt  Q ,  on  voit  que  les 
ptilongenients  des  rayons  réfractés  par  la  première  surface  MN 


16S  OPTIQUE. 

doivent  aller  se  couper  en  un  point  Q'  de  cet  aie  serondaire.  — Par 

une  raison  semblable,  les  prolongements  des  rayons  réfractés  par 

la,. seconde  surface  iront  se  rencontrer  en  un  point  Q*,  sitlié  sor  la^ 

droite  CE  qui  joint  le  point  Q'  au  centre  de  courbure  C  de  la  deuxième 

auriice. 

L'existence  d'un  foyer  se  trouve  ainsi  démontrée,  et,  pour  en 
détermiiter  la  situation  avec  le  degré  d'approximalioD  que  com- 
porte une  tbéorie  où  Ton  uég%e  les  aberrations  et  l'influfloce  de. 
l'épaisseur,  il.  suffit  de  chercher  le  point  d'intersection  de  deux 
rayons  quelconques. 

&  1 6.  CJeatre  «ytl^w. — Soîl,  sur  l'axe  d'une  lentille,  on  pwntO 
((ig.  358)  tel,  que  ses  distances  aux  centres  de  courbure  des  doii 
surfaces  soient  dans  le  mérae  rapport  que  les  rayons  AC,  A'C.  Ilmt 


facile  de  démontrer  qu'une  droite  quelconque  OD',  puaaat  par  ce 
point,  fait  des  an^es  égaux  avec  les  normales  menées  aux  deux  sur- 
faces réfringentes  par  les  points  D  et  D',  oii  elle  les  rencontre"'. 
Il  en  résulte  que,  »i  DD'  est  la  direction  que  suit  i  l'iotMear  de  la 
lentille  an  rayon  .réfracté,  le  rayon  incident  et  le  rayon  Anergent 
seront  parallèles. 

<"  En  efTel.  n  l'on  meiuit  U  normale  CD',  el  si  pir  le  point  C  on  manait  iiiw  pMaUNe  1 
cette  dr«il«  juiqu'i  l«  ranroDlre  de  li  lurfaee  UN  ea  un  point  D,.  on  aanil.  en  joigHol 
Munitu  ce  point  D,  au  point  C ,  un  trianj^le  CD,0  'lui  wrail  semUable  i  C'D'O  romiie 
•janl  un  angle  égal  rcMoprû  entre  eHii  proportion nela  ;  donc  Ira  angfM  en  0  d«  ce»  devi 
trUBgle«fefiienlég*u(,el{«rMile  lei  Iroû  pointa  0,D„D'aeriienl  en  ligne  droite. 


LENTILLES  SPHÉBIQUES.  167 

En  général,  toutes  tes  fois  que  le  rayon  incident  a  une  direction 
telle ,  que  le  rayon  réfracté  ou  son  prolongement  passe  par  le  point  0, 
ce  rayon  sort  de  la  lentille  parallèlement  à  sa  direction  primitive  et 
peut  recevoir  le  nom  de  rayon  gam  dhiatim.  —  Le  [)oint  0  lui-même 
se  nomme  centre  optique. 

il7.  Bé»g«lB»tl»»  Jw fayer  bmtbbp— <■»>  à  wm  pmimt 
tamlBa«x  tsIsIb  de  r«x«.  —  Il  est  maintenant  facile  de  déter- 
miner, d'une  manière  approchée ,  la  positioD  du  foyer  correspondant 
à  un  point  lumineux  voisin  de  l'axe,  en  choisissant,  pour  l'un  des 
deux  rayons  (font  on  cherche  l'intersection,  le  rayon  sans  déviation 
qui  est  émis  par  ce  point;  l'autre  rayon  pourra  être  un  rayon  quel- 
conque, compris  dans  le  plan  qui  passe  par  le  point  lumineux  e( 
par  l'axe. 

Soit  0  (fig.  359)  le  centre  optique  d'une  lentille  divergente  con- 
cave-convexe, comme  celles  que  représentent  les  figures  SSy  el  358, 


et  dont  on  supposera  l'épaisseur  négligeable;  soient  OX  son  axe, 
M  un  point  lumineux  voisin  de  l'axe  ;  la  droite  MO ,  qui  joint  le  point 
lumineux  au  centre  optique,  peut  être  confondue  avec  le  rayon  sans 
déviation,  puisqu'on  suppose  l'épaisseur  de  la  lentille  négligeable'"; 
il  suffira  donc  de  chercher  l'intersection  de  cette  droite  avec  te  rayon 
réfracté  provenant  d'un  rayon  incident  quelconque  MH,  contenu 

'')  Soient  C  el  C  {fig.  36o)  les  cenires  de  courbure  des  deuxaarfare»  rëfringenteB  (tes 
turfices  ellet-siéniet  n'ont  pMél^  reprësenlëes  ici,  atiii  de  simplifier  la  figure);  A  et  A' 


dans  le  plan  de  la  figure.  Prenons  pour  axes  coordonnés  l'aïe  OX 
de  la  lentille  et  la  perpendiculaire  OY  menée  par  le  centre  optique  0 , 

les  deux  wmnicb ,  0  le  cenire  optique  ;  MI  le  rayon  incident  qui  donne  un  raynn  émer- 
gent l'H'  parallèle  è  sa  direction  :  ce  rayon  peut  être  conaidëré  com sue  émané  du  point  I, 
au.'ai  bien  que  du  point  M.  Comme  le  rayon  réfroclë  daiu  l'intérienr  de  la  lentille  eil 


dirigé  de  manière  que  son  prolongement  aille  [usser  jiar  le  point  0 ,  ou  pvut  regarder  0 
comme  le  foyer  de  I,  relativement  ila  première  snrTiire  réfringente;  pnrwtite,  en  repré- 
sentant la  longueur  Al  par  a,  et  AO  par  rf,  on  »  (il  I) 


Par  une  raison  semblable,  on  peut  regarda-  le  puiil  V,  où  le  nyon  émergent  pirallèk 
k  MI  rencontre  l'aie,  commsle  foyer  de  0  relaliteraenl  i  la  xerondi  «uriaredela  ImliHe. 
r'cHt-à-dire  que,  «n  r^ré*entanl  AT  par  n',  et  AA'  par  t,  on  a 

1  H        _  Il  I 

H~dT'f  Tîf~' 

d'où  l'on  lire 

,_  H'   rf+.- 

Or.  le  centre  optique  étant  déterminé  par  la  rondilion  -^-^  -.    j^- ,  c'esl-à-dir* 

l\—l      iV—H  +  e) 
K  IV 


n— H 

Or,  les  quaiiUlcadclii+c,  et  par  iwitc  n  eta*,  wiit  dn  même  ordre  de  grandeur  >|iie 


LENTILLES  SPHÉRIQUES.  169 

dans  ie  plan  qui  vient  d'être  défini.  Représentons  OP  par/?,  et  PM 
par  h;  l'équation  du  rayon  sans  déviation  MO  est  alors 

h 
y     p 

Soit  A  le  point  où  le  rayon  iMH  (ou  son  prolongement)  rencontre 
Taxe  de  la  lentille;  représentons  OA  par  a  :  ce  rayon  coupe  Taxe 
des  y  à  une  hauteur  OH,  égale  à 

ah 
a^p' 

Mais,  l'épaisseur  de  la  lentille  étant  négligeable,  le  point  H  ne 
diffère  que  très-peu  du  point  d'incidence  du  rayon  que  l'on  con- 
sidère, oii  du  point  d'émergence  du  rayon  correspondant.  Le  rayon 
émergent  passe  donc  par  le  point  H;  sa  direction  passe  aussi  par  le 
point  B,  foyer  conjugué  de  A,  puisqu'on  peut  considérer  indifférem- 
ment ie  rayon  incident  comme  venant  de  M  ou  de  A.  Soit  HS  ce 
rayon  émergent  :  son  équation  est,  en  représentant  la  longueur  OB 

par  6, 

y  ah 

X —  h  (a  —  Pi  b 

D'ailleurs,  en  désignant  par /la  distance  focal<*  principale  de  celle 
lentille,  la  quantité  h  est  lice  à  a  par  la  relation 

I       II 

Il  en  résulte  que  l'abscisse  00  du  point  d'intersi.'ction  cherché  N 
e^t  donnée  par  l'équation  * 

-x-\-', Ax — 6)==o. 

En  supprimant  le  facteur  commun  /i,  chassant  les  dénominateurs, 

Pépaisseur  e,  c'est-à-dire  Irès-petites.  Les  cinq  points  0,  A ,  A',  i ,  T  sont  donc  très- voisins 
les  uns  des  autres,  et  )a  direction  de  Mû  prolongée  ne  diffère  pas  sensiblement  de  celle  du 
véritable  rayon  sans  déviation  MT.  11  n^y  a  d'exception  que  si  R'  —  R  est  Irès-petit  par 
rapport  à  R  et  à  R'  ;  mais,  dans  ce  cas,  la  leiitille  ne  diflere  que  très- peu  d*unc  lame  sphé- 
rique  très-mince  à  faces  parallèles,  dont  Teffet  sur  les  rayons  lumineux  psI  tout  à  fait 
inappréciable. 


170  OPTIQUE. 

ei'divisant  tous  les  termeï»  par  abpx,  on  met  aisément  cette,  équation 
sous  la  forme 

X      p      ha"* 

d'où  Ton  tire  enfin 

11 i 

I 

Le  point  N  est  donc  complètement  déterminé. 

&  1 8.  IntA^es  des  «l^et»  émmt  les  pAtetH  wmwkt  peu  dtatonta 
ém  l'Axe.  —  L'équation  qui  vient  d'être  obtenue  en  dernier  lieu 
montre  que  l'abscisse  x  du  foyer  N  (fig.  SBg)  dépend  uniquement 
de  l'abscisse/'  du  point  lumineux.  De  là  il  résulte  que  les  images  de 
tous  les  points  d'une  petite  droite  MP,  perpendiculaire  à  l'axe  de 
la  lentille,  sont  sur  une  autre  droite  NQ  également  perpendiculaire 
à  l'axe,  passant  par  le  foyer  conjugué  du  point  P  et  se  terminant 
à*  l'axe  secondaire  passant  par  le  point  M.  —  De  là  la  construction 
de  l'image  d'un  objet  quelconque,  pourvu  que  tous  les  points  de 
cet  objet  soient  peu  distants  de  Taxe  de  la  lentille. 

De  ce  qui  précède  il  résulte  encore  que,  pour  une  dimension 
linéaire  déterminée  de  l'objet,  située  à  une  distance /?  du  centre 
optique,  l'image  offre  une  dimension  linéaire  correspondante. qui 
est  située  à  une  distance  p'  du  centre  optique ,  et  dont  la  grandeur 

est  à  la  première  dans  le  rapport  ^  • 

Enfin,  si  ff  est  de  même  signe  que  f,  l'image,  se  trouvant  du 
même  côté  du  centre  optique  que  l'objet,  est  droite  par  rapport  à 
l'objet;  si;^'  a  un  signe  contraire  à  celui  de  f,  l'image,  étant  du 
cAté  opposé  à  l'objet  par  rapport  au  centre  optique,  est  rmvenk 
par  rapport  à  l'objet.  —  Ainsi,  si  Ton  convient,  pour  la  généralité 
de  l'énoncé,  d'appeler  objet  virtuel  un  système  de  points  lumineux 
virtuels  peu  éloignés  de  la  lentille,  on  peut  dire  que  : 

L'image  virtuelle  d'un  objet  réel |        ,    . 

L'ima([e  réelle  d  un  objet  virtuel ) 

L'image  réelle  d'un  objet  réel )  ^, 

i  image  virtuelle  d  un  objet  virtuel 


LEMILLES  Sl'HÉRigtlK.S.  171 

Qa  voit  enlîn  que  la  discussion  des  valeurs  de  p\  faite  plus  haut 
(113  et  àlà),  comprend  implicitement  toute  la  discussion  relative 
aut  grandeurs  et  auï  situations  d^s  images  des  lentilles.  —  Le  cas 
particulier  oh  p=  a/,  la  lentille  étant  convergente  (it3),  mérite 
d'ttre  remarqué  :  on  a  alors  p'  =  —  ùJ;  il  en  résulte  que  l'image  est 
ré^e,  reoYCTsëe  et  égale  en  grandeur  à  l'objet. 


àl9.  mtmmn  4mm  «UMwmm  f*Ml 

<lll—i  —  i"  Pour  les  lentilles  convergente»,  lorsqu'on  veut  mesurer 
expérimentalement  la  distance  focale  principale,  an.  peut  se  borner 
i  mesurer  la  distance  de  la  lentille  à  la  petite  image  dans  laquelle 
^e  concentre  les  rayons  solaires.  —  Mais  on  peut  aussi  faire 
usage  de  la  propriété  qu'on  vient  d'indiquer  en  dernier  Heu,  et 
chercher  la  position  qu'il  faut  donner  à  un  objet  pour  que  son  image 
lui  soit  égale  :  la  distance  de  l'objet  à  la  lentille  est  alors  le  double 
de  la  distance  focale  principale. 

[In  appareil  construit  par  M.  Silbermann  (fig.  36i)  permet  d'ob- 
lenir  une  assec  grande  précision  dans  l'application  de  ce  procédé. 


La  lentille  soumise  à  l'expérience  étant  placée  en  L  au  milieu  d'une 
règle  divisée,  on  pose,  de  part  et  d'aulre  du  support' qui  la  porte, 
d'qutres  supports  auxquels  sont  fixées  de  petites  lames  translucides 
ayant  la  forme  de  deux  demi-cercles  inversement  placés  :  l'unde ces 


\n  OPTIQUE. 

demi-Gercles  est  éclairé  par  une  lampe  dont  la  lumière  est  con- 
centrée sur  lui  par  une  lentille  A;  on  regarde  l'autre  à  travers  la 
loupe  B.  Une  vis  à  double  crémaillère,  qui  n'est  pas  visible  dans 
la  figure  ci-contre,  fait  mouvoir  simultanément  ces  deux  supports, 
de  manière  qu'ils  occupent  toujours  des  positions  symétriques  par 
rapport  à  L.  —  Pour  mesurer  la  dblance  focale  principale  d'une 
lentille,  on  foi!  varier  la  distance  commune  des  plaques  D  et  D'  à  la 
lentille,  jusqu'à  ce  que  l'image  renversée  des  traits  de  la  plaque  D' 
vienne  se  placer  exactement  sur  les  traits  de  la  plaque  D.  La  dis- 
tance LD,  que  la  règle  permet  de  mesurer  exactement,  est  alors  le 
double  de  la  distance  focale  principale. 

9°  Pour  les  lentilles  divergentes  MN  (fig.  36;!  ),  on  peut  faire  arri- 
ver en  deus  points  différenls  deux  faisceaux  lumineux  étroits AA',BB', 


parallèles  à  l'axe,  et  chercher  la  distance  à  laquelle  il  faut  placer  un 
^ran  PQ  pour  que  l'intervalle  des  points  a,  b,  où  les  faisceaux 
réfractés  le  rencontrent,  soit  double  de  l'intervalle  des  points  d'inci- 
dence A',  B'  sur  la  lentille.  La  figure  montre  que  cette  distance  HK 
est  alors  égale  à  la  distance  focale  principale  KF'". 


">  Il  cal  a\»ê  de  \o\r  qu'une  méthodi-  «einhltible  pt^  <ftrc  aiipliiiuée  i  !•  détcnniMlion 
de  la  diiUiice  focale  priiKi|Mle  dei  leiillllcs  oonvtrgmileK. 


LENTILLES  SlMlEIlKjliES.  173 

420.  AbcpnMkM*M  Ûtu  leMtlIle».  —  I«bMII««  m  écli«l«wk— 

Lorsque  l'ëtendue  angulaire  des  surfaces  réfringentes  des  lentilles 
n'êat  pas  négligeable ,  tes  rayons  marginaux  (^nianrs  d'un  poinl  lumi- 
neux font  leur  foyer  en  un  point  seuMblcnicnt  <)iiï(-r0nt  du  foyer  des 
rayons  rentrant,  f^a  Bgure  363  montre  que,  pour  une  lentille  conver- 


gente, le  foyer  des  rayons  marginaux  parallèles  à  l'axe  est  plus  rap- 
proché de  la  lentille  que  le  foyer  des  rayons  centraux  '".  —  On  peut 
considérer  d'ailleurs  ici,  comme  pour  les  miroirs,  deux  espèces 
à'aberratiotu  qui  seront  délînies  exactement  de  la  même  manière. 

Réciproquement,  lorsqu'on  emploie  des  lentilles  convergentes 
dont  tes  surfaces  réfringentes  ont  une  étendue  angulaire  assez  consi- 
dérable, il  est  impossible  de  donner  à  un  point  lumineux  une  posi- 
tion telle,  que  les  rayons  réfractés  par  la  lentille  en  sortent  tous 
parallèlement  à  l'axe.  —  On  doit  à  Fresnel  un  système  de  lentilles, 
dites  lentilkt  à  échelon»,  qui  permettent  de  recueillir  la  lumière  émise 
par  une  source  dans  un  espace  d'une  étendue  angulaire  très-grande. 
et  d'obtenir  è  l'émergence  des  rayons  sensiblement  parallèles. 

Une  lentille  à  échelons  se  compose,  en  général,  comme  l'in- 
dique le  figure  366,  d'une  lentille  plan-convexe  L,  dont  le  foyer 
principal  est  en  F,  par  exemple,  et  qui  n'a  qu'une  ouverture  angu- 
laire assez  petite  :  cette  lentille  est  environnée  d'une  série  d'anneaut 
m',  hh',  ce'.  M,  dont  les  surfaces  convexes  sont  calculées  de  façon 

<''  Voir,  pour  \e  tracé  At*  ravons  liiininciix  rérrerlt'*,  l«  noie  de  la  page  ^ciy. 


174 


OPTIQUE. 


([lie  le  foyer  principal  de  chaque  anneau  se  Irouve  au  point. F.  II 
en  résulte  que  les  rayons  émanés  d'une  source  lumineuse  placée 
en  F,  et  tombant  sur  toute  la  surface  lenUculaïre,  donnent  nais- 


sance à  un  faisceau  émergent  qui  est  sensiblement  parallèle  à  l'axée, 
et  dont  l'intensilé  reste  sensiblement  constante  jusqu'à  des  distances 
Irès-considérables  :  c'est  là  la  question  qu'il  s'agiasait  de  résoudre 
pour  l'éclairage  des  phares ,  et  c'est  cette  solution  qui  est  aujourd'hui 
universellement  utilisée. 


THÉORIE   GÉNÉRALE  DES   CAUSTIQUES. 


mire, —  Soit  un  faisceau  de  rayoos 
tuaimeuxCA,DR(6g.  365),  parallèles  entre  eux  et  conséquemment 
oonnaux  à  un  plan  donné  AM  :  supposons  que  ces  rayons  tombent 
sur  un  plan  rérringent  AB.  Les  rayons  réfractés  AE,  BF  constituant 
«ncore  un  faisceau  parallèle,  on  peut  les  considérer  comme  nor- 


maux à  un  troisième  plan  AM',  mené  par  t'interseclîon  A  des  deux 
premiers.  .D'un  point  P  de  la  surface  réfringente,  abaissoi)s  les 
perpendiculaires  PR  et  PR'  sur  les  deux  plans  AM  et  AM'.  Le 
plan  mené  par  ces  deux  perpendiculaires  sera  perpendiculaire  à 
l'intersection  commune  A,  et,  si  on  le  prend  pour  plan  de  la  figure, 
il  suffit  de  considérer  les  triangles  APR  et  APR'  pour  apercevoir 
qu'on  a  la  relation 

PR'     sinPAR'      I 
W     sinPAlf";»' 

R  étant  l'indice  de  réfraction.  Mais  si,  du  point  P  comme  centre,  on 
décrit  des'  sphères  avec  les  rayons  PR  et  PR',  elles  seront  tangentes 
aux  plans  AM  et  AM'  en  R  et  en  R'.  Par  conséquent,  si  de  tous  les 


176  OPTIQUE. 

uoints  Ju  plan  rétringeat  on  décrit  d'abord  des  sphères  tangentes 
au  plnn  AM,  puis  d'uiitres  sphères  dont  les  rayons  soient  respecti- 
vement égaux  à  ceux  des  précédents  divisés  par  l'indice  de  réfrac- 
.  lion,  ces  dernières  sphères  auront  pour  plan  tangent  commun,  ou 
pour  enveloppe,  du  cAté  de  AM,  un  plan  normal  aux  rayons  réfrac- 
lés.  On  peut  donc  énoncer  le  lemme  suivant  : 

.SV  un  fnitceau  de  rayon»  normaux  à  wi  plan  donné  titt  rifraeU  par 
une  surface  plane ,  el  qu'aulour  de  ckaeun  ila  point»  du  plan  réjrwgenl 
comme  ceuire  on  décrive  ifabord  une  xpiiire  tangente  au  plan  normal  tur 
le»  rayon»  incident»,  pui»  une  nphère  dont  h  rayon  toit  à  celui  de  In  pré- 
cédente comme  l'unité  est  à  l'indice  de  réfraction,  l'envdôppe  de  (oiitM  le» 
sphère»  du  tecond  »y»lème,  du  cAté  du  plan  norinalaux  rayons  iiici- 
dents,  «etïi  un  plan  normal  il  In  direction  des  rayon»  r^tvctés. 

&'23.  TkéM-èMti  feMlMiMBltf  Je  I»  Ikéwto  4e  1»  réfipM- 
tkmm  el  fie  ■•  rM^itoHU  (Tfcéfèie  île  «erjiawf.l  —  Soient 
maintenant  (fig.  366)  des  rayons  normaux  à  une  surface  quel- 


conque S,  qui  rencontrent  unesurface  réfringente  quelconques.  Pre- 
nons sur  la  surface  S  un  élément  m  infiniment  petit,  et  considérons 


THÉORIE  GÉNÉRALE  DES  CAUSTIQUES.  177 

le  faisceau  mince  qui  lui  est  normal  :  ce  faisceau  découpera  sur  S  un 
élément  |u;  et  comme,  en  vertu  de  leurs  dimensions  infiniment  petites, 
on  peut  confondre  ces  éléments  avec  les  plans  tangents,  le  lemme 
précédent  sera  applicable.  Donc,  en  décrivant  autour  des  points  de 
l'élément  |u ,  comme  centres,  des  sphères  tangentes  à  l'élément  ni,  et 
ensuite  d'autres  sphères  dont  les  rayons  soient  égaux  à  ceux  des 
précédentes,  divisés  par  l'indice  de  réfraction,  on  déterminera,  par 
les  intersections  successives  de  ces  dernières  sphères,  un  élément 
plan  m'  normal  aux  rayons  réfractés  par  l'élément  (x.  La  même  cons- 
truction ,  répétée  pour  tous  les  éléments  de  la  surface  2 ,  engendrera 
une  infinité  d'éléments  tels  que  m\  dont  l'ensemble  constituera  une 
surface  S'  normale  aux  rayons  réfractés.  De  là  le  théorème  général 
suivant  : 

Des  rayons  normaux  à  une  surface  quelconque  étant  réfractés  par  une 
surface  quekonque,  on  obtient  une  surface  nornmle  aux  rayons  réfractés 
en  construisant  autour  de  chaque  point  de  la  surface  réfringente,  considéré 
comme  centre,  d'abord  une  sphère  tangente  à  la  surface  normale  sur  les 
rayons  incidents,  puis  une  sphère  dont  le  rayon  soit  égal  à  celui  de  la  sphère 
précédente  divisé  par  l'indice  de  réfraction,  et  en  cherchant  la  portion  de  la 
surface  enveloppe  des  sphères  du  second  système  qui  est  située  du  même  côté 
de  la  surface  réfringente  que  la  surface  normale  aux  rayons  incidents  ^^K 

Il  n'est  pas  inutile  de  faire  remarquer  que,  si  l'on  connaît  une 
surface  normale  aux  rayons  réfractés ,  on  en  peut  obtenir  une  infinité 
d'autres,  en  portant  des  longueurs  égales  sur  les  rayons  réfractés 
eux-mêmes,  à  partir  des  points  où  leurs  directions  rencontrent  cette 
surface. 

Les  sphères  du  premier  système  ont  pour  enveloppe,  d'un  côté 
delà  surface  réfringente,  la  surface  normale  aux  rayons  incidents. 
Mais  «lies  ont  encore  une  autre  enveloppe,  de  l'autre  côté  de  la  sur- 
face réfringente,  et  il  est  facile  de  démontrer  que  cette  deuxièmf 
enveloppe  est  normale  aux  rayons  réfléchis.  —  On  peut  donc  réunir 
dans  un  énoncé  unique  les  deux  théorèmes  relatifs  à  la  réfraction  et 

''')  Celhéorèine,  (jui  compreiicl  el  résume  loiito  la  ihëorie  de  la  réfraclion,  a  été  dé- 
montré analytiqnement,  pour  la  prcmièrp  fois ,  par  Gergonne;  mais  il  a  été  le  résultat  défi- 
nitif d^un  ensemble  étendu  de  rccliercbes,  dû  tant  à  Gergonnequ'ù  Malus  et  à  MM.  Charles 
Dupin  et  Sturm.  La  démonstration  géométrique  qu'on  vient  de  lire  est  empruntée  à  un 
pt-ofeasear  belge ,  M.  Timmermans. 

Verdct,  ni.  —  Coiu's  de  pliys.  11.  ta 


ITS  OPTIOL'E. 

n  la  réflexion,  en  considérant  la  réflexion  conDine  une  réfraction 
dont  l'indice  serait  égal  à  ^i . 

/i23.  Censéquences  du  tltéoréine  précédent*  —  D'impor- 
tantes conséquences  se  déduisent  du  théorème  qui  précède  : 

1°  Des  rayons  primitivement  normaux  à  une  surface  (et  par  con- 
séquent des  rayons  émanés  d'un  point  unique,  qu'on  peut  toujours 
regarder  comme  normaux  à  une  sphère)  sont  encore  normaux  à  une 
surface,  après  un  nombre  quelconque  de  réflexions  ou  de  réfrac- 
tions. —  Le  calcul  nécessaire  à  la  détermination  (Je  cette  dernièrq 
surface  n'exige  que  des  difl'érentiations  et  des  éliminations. 

â"*  Etant  données  les  surfaces  auxquelles  les  rayons  lumineux 
sont  normaux,  avant  et  après  un  système  quelconque  de  réfractions 
et  de  réflexions,  on  peut  toujours  trouver  une  surface  réfringente 
(ou  réfléchissante)  unique,  d'indice  de  réfraction  donné,  qui  pro- 
duise le  même  efl'et  que  le  système  entier  des  réflexions  et  des  ré- 
fractions. Il  suflit  de  chercher  une  surface  2  telle ,  que  deux  sphères 
ayant  leurs  centres  en  un  même  point  de  cette  surface  et  tangentes 
respectivement  aux  surfaces  S  et  S'  aient  leurs  rayons  dans  le  rap- 
port de  l'indice  de  réfraction  à  l'unité. 

S*"  Après  un  nombre  quelconque  de  réfractions  et  de  réflexions, 
les  rayons  émanés  d'un  point  forment  deux  systèmes  de  surfaces 
développables,  qui  se  coupent  à  angle  droit.  L'ensemble  des  arêtes 
de  rebroussement  de  toutes  les  surfaces  développables  d'un  système 
est  une  nappe  de  la  surface  caustique.  Cette  surface  est  donc,  en 
général ,  à  deux  nappes.  —  Lorsque  les  surfaces  réfringentes  sont 
toutes  de  révolution  autour  d'une  droite  passant  par  le  point  lu- 
mineux, l'une  des  nappes  de  la  surface  caustique  se  réduit  à 
l'axe  de  révolution;  l'autre  est  une  surface  de  révolution  autour  de 
cet  axe. 

■  • 

&°  Tous  les  rayons  qui  constituent  un  faisceau  réfracté  [ou  réfléchi) 
infiniment  délié  vont  rencontrer  deux  droites  infiniment  f élites,  contenues 
dans  deux  plans  rectangulaires,  (Théorème  de  Sturm.) 

Ce  dernier  théorème,  dont  la  démonstration  analytique  et  la  véri- 
fication expérimentale  sont  dues  à  Sturm,  peut  se  déduire  aisément 
du  théorème  fondamental  de  Gergonne.  —  Soit  ACBD  (fig.  367) 


THÉORIE  GÉNÉHALE  D£S  CAUSTIQUES.  «79 

uoe  portioD  de  surface  infiniment  petite,  à  laquelle  sont  normanx 
les  raj^oos  lumioeux  d'un  faisceau  inâniment  étroit.  Par  le  centre 


de  gravité,  ou  par  un  point  quelconque  0  de  cette  surface,  nie- 
noDs  les  deux  lignes  de  courbure  orthogonales  AB,  CD;  par  an 
point  M  de  la  ligne  AB  menons  la  ligne  de  courbure  M'MM'  per- 
pendiculaire sur  AB.  On  pourra ,  en  négligeant  des  infiniment  pe- 
tits d'ordres  supérieurs ,  considérer  toutes  les  normales  à  la  surface , 
menées  par  les  divers  points  de  M'MM*,  comme  rencontrant  en  an 
même  point  F  la  normale  menée  par  le  point  M.  On  en  dira  autant 
de  toutes  les  normales  menées  par  les  points  d'une  autre  ligne  de 
courbure  perpendiculaire  sur  AB,  et  l'on  établira  ainsi  que  tous  les 
rayons  vont  rencontrer  le  lieu  des  points  F,  c'est-à-dire  une  droite 
infiniment  petite,  contenue  dans  la  surface  développable  qui  a  pour 
génératrices  les  normales  menées  par  les  divers  points  de  AB.  — 
On  établira  de  même  que  ces  normales  vont  rencontrer  une  autre 
droite  infiniment  petite  contenue  dans  une  surface  développable, 
orthogonale  sur  la  précédente ,  puisqu'elle  a  pour  génératrices  les 
nonnales  menées  par  les  divers  points  de  CD.  D'ailleurs,  deux-sur- 
faces développaUes  orthogonales  et  infiniment  petites  se  réduisent  à 
deux  plans  rectangulaires. 

â3â.  WmamgKm  par  réfir«ctt«M  «v  p^  réiB«»lwfc  —  Le  théo- 
rème de  Sturm  montre  qu'il  n'y  a  pas,  à  proprement  parier,  dans 
le  cas  général ,  d'images  par  réfraction  ou  par  réflexion.  —  Cepen- 
dant, lorsque  l'intervalle  des  deux  droites  focales  est  une  petite  frac- 
tion de  la  distance  qui  s^are  chacune  d'eUea  du  diaphragme  par 
lequel  le  faisceau  est  limité,  les  droites  focales  sont  tris-petites  toutes 


1180  optique; 

les  deux,  et  le  faisceau  rëfracté  est  très-resserrë  sur  lui-même,  dans 
la  région  intermédiaire  à  ces  deux  droites,  et  même  un  peii  au  delà , 
des  deux  côtés.  11  y  a  donc  un  espace  de  quelque  étendue  dans 
lequel  il  est  possible  d'obtenir  sur  un  écran  une  image  passabli^ 
d'un  objet  lumineux. 

Si  cet  objet  est  une  droite  parallèle  à  Tune  des  lignes  focales, 
l'image  offrira  la  plus  grande  netteté  possible,  lorsqu'on  la  recevra 
sur  un  écran  passant  par  cette  ligne  focale. 

Dans  le  cas  générai,  le  maximum  de  netteté  aura  lieu  lorsque 
l'intersection  du  faisceau  par  l'écran  différera  le  moins  possible  d'un 
cercle. 

Enfin,  si  les  deux  droites  focales  se  coupent,  tous  les  rayons  ré- 
fractés doivent  passer  par  le  point  d'intersection,  qui  mérite  alors 
complètement  le  nom  àe  foyer, 

ii25.  AppllMitleii  à  1»  Miéorie  de  1»  Yisien  «u  truvers 
d*iiii  milieu  réliriitir^iit  terminé  pur  une  surfiiee  plane. — 

Les  considérations  qui  précèdent  s'appliquent  évidemment  aux  images 
virtuelles,  aussi  bien  qu'aux  images  réelles,^  et  font  disparaître  les 
difficultés  qu'on  rencontre  dans  la  théorie  ordinaire  de  la  vision  au 
travers  d'un  ou  plusieurs  milieux  réfringents. 

En  effet,  lorsqu'on  veut  déterminer  ce  qu'on  appelle  le  foyer  vir- 
tuel d'un  point  lumineux  par  rapport  à  un  plan  réfringent,  en  cher- 
chant le  point  d'intersection  des  prolongements  de  deux  rayons  ré- 
fractés infiniment  voisins,  nous  allons  montrer  qu'on  trouve  pour  ce 
foyer  deux  positions  très-différentes,  suivant  qu'on  emploie,  pour 
le  déterminer,  des  rayons  voisins  également  inclinés  sur  la  normale  à 
la  surface  réfringente,  ou  des  rayons  voisins  contenus  dans  un  même 
plan  normal  à  cette  surface. 

i*"  Soit  un  point  lumineux  S  (fig.  368),  placé  dans  l'eau,  par 
exemple,  et  émettant  des  rayons  qui  tendent  à  passer  dans  l'air 
extérieur;  nous  ne  considérerons  d'ailleurs  que  les  rayons  dont  l'in- 
cidence est  telle  qu'ils  puissent  émerger.  Il  est  évident  que  tous  les 
rayons  incidents  partis  de  S ,  dans  des  directions  également  inclinées 
sur  là  normale  SN,  tels  que  Si,  SI,  Sa,  prennent,  après  la  réfrac- 
tion, des  directions  telles  que  leurs  prolongements  aillent  se  couper 


THÉORIE  (iÉNÉRALE  UKS  CAUSTIQUES.  181 

en  rm  même  point  F,  situ^  sur  cette  normale  :  an  a  alors,  en  dé- 
signant [lar  (  l'angle  fornii'  par  l'un  des  rayons  émergents  et  la  nor- 


male, et  par  r  l'angle  fornié  par  l'un  des  ravons  incid<>nls  el  la  nor- 
male, 

l^  =  IKsin.^=ISsinf, 

H'oii  l'on  tire,  en  daignant  par  n  l'indice  de  réfntelton  de  l'eau. 

(.)  IK-lSi; 

on  a  d'ailleniv,  en  même  temps. 


e  qui  d 


FN-SN- 


et  ces  relations  (i)  et  (4)  déterminent  ta  position  du  point  F. 

9*  Si  maintenant,  pour  le  même  point  lumineux  S,  on  considère 
te  point  d'intersection  P  des  prolongements  des  rayons  réfractés  qui 
correspondent  à  deut  rayons  incidents  infiniment  voisins  SI,  SI' 
(fig.  369),  contenus  dans  un  même  plan  normal  à  la  surface  ré- 
fringente, les  deux  triangles  infinitésimaux  SU',  PII'  donnent 


1R2  OfTIQLK. 

d'où  l'on  tire,  en  éliimrianl  M'  (filtre  ce»  équations. 

uu  i;n\u\,  en  remarquant  que  la  r«latiàn  sioi^iisinr  doniin,  par 
différent iatioii ,  cos  idi  =  n  cosrrfr, 

(I  Ar>)  [l»=IS;-~:: 

on  n  d'dillciirs,  un  inèmc  temps. 

PH^IPcosi 
SPi      IScosr' 
ce  qui  donne  „ 

\  '  n  cos'  r 

et  ces  rrifilions  (i  èi's)  et  (a  i«)  déterniiiii'nl  lu  po-silion  dii  point  P. 

absolument  diffi'rcnle,  comme  on  voil,<lc  celle  du  piiiiil  K((i([,  30^*. 


—  Il  semble  d'ailleurs  qu'il  n'j  nit  pa>i  de  raison  d'adopter  l'uiio 
des  solutions  plutôt  que  l'autre. 

Mais,  en  réalité,  les  points  F  et  I*  ne  sont  pas  des  foyers;  ils.  dé- 
linîssent  les  positions  des  doux  droites  focales,  relatives  au'faisceau 
étroit  que  limite  l'oiivertiii-e  de  la  pupille.  —  En  effet,  en. consi- 
dérant les  rayons  de  ce  faisceau  comme  distribués  suivant  des  sur- 
faces coniques,  ayant  S  piiur  sommet  el  SN  pour  axe,  on  voit  qu';i- 
pi'ès  la  réfraction  les  sominels  des  cônes  réfractés  sont  distribués 


THÉORIE  GÉNÉRALE  DES  CALSTIQIJES.  183 

suivant  une  petite  longueur  de  la  normale  NS,  au  voisinage  de  F. 
De  méme^  en  prenant  les  rayons  situés  dans  divers  plans  normaux, 
on  obtient  pour  le  point  P  une  série  de  positions  distribuées  sur 
une  petite  droite  perpendiculaire  au  plan  normal  moyen.  Il  nV  a 
donc  pas  de  foyer  véritable ,  mais  un  simple  étranglement  du  fais- 
ceau réfracté,  entre  les  points  P  et  F  et  dans  leur  voisinage;  par  con- 
séquent, Tcnl  ne  peut  apercevoir  qu'une  image  très-imparfaite  d'un 
objet  situé  deitière  le  plan  réfringent. 

Cependant,  si  Tobjet  est  un  fil  de  petit  diamètre,  normal  au  plan 
réfringent,  l'ensemble  des  droites  focales  situées  sur  la  normale 
pourra  être  considéré  comme  une  image  nette,  excepté  aux  extré- 
mités. —  An  contraire,  si  l'objet  est  un  fil  de  petit  diamètre,  per- 
pendiculaire an  plan  moyen  de  réfraction,  c'est  l'ensemble  des  droites 
focales  horizontales  qui  constituera  une  image  nette,  sauf  aux  extré- 
mités. 

•V Enfin,' si  l'incidence  est  voisine  de  l'incidence  normale,  ne 

'  '  cosr 

différant  pas  sensiblement  de  l'unité,  les  droites  focciles  seronl  très- 
près  de  se  confondre,  et  on  pourra,  par  approximation,  admettre 
l'existence  d'un  véritable  foyer  et  d'une  véritable  image  virtïielle, 
quelle  que  soit  la  forme  de  l'objet. 

ii26.  ¥l0ieii  au  truYcrs  d*un  prisme. —  La  position  des 
droites  focales  peut  encore  être  déterminée  facilement  dans  le  cas 
d'un  prisme,  lorsque  le  plan  moyen  de  réfraction  est  perpendiculaire 
H  l'arête.  —  Cette  détermination  conduit  d'ailleurs,  comme  on  va 
le  voir,  à  une  conséquence  importante  lorsque,  le  prisme  étant  dans 
la  position  du  minimum  de  déviation ,  le  faisceau  lumineux  est  très- 
voisin  de  l'arête  réfringente. 

•  Soient  MIN  (fig.  870)  l'angle  réfringent,  S  le  point  lumineux.  Soit 
SI  le  rayon  lumineux,  qui  forme  l'axe  du  faisceau  incident  que  l'on 
considère  :  on  supposera  ce  rayon  contenu  dans  un  plan  peipendi- 
culaireè  l'arête  réfringente,  et  tombant  sur  l'arête  elle-même;  soient 
alors  IH  le  prolongement  du  rayon  lumineux  après  la  première  ré- 
fraction, IK  le  prolongement  du  rayon  lumineux  après  sa  sortie  du 
prisme.  —  Si  l'on  .considère  d'abord ,  avec  le  rayon  SI ,  les  rayons 


ialinimciit  voisins  qui  sont  contenus  dans  te  même  plan  perpendi- 
culaire à  l'arête  du  prisme ,  ils  seront  réfractt>s  par  la  première  sur- 


face de  manière  que  leurs  prolongements  aillent  se  couper  sur  IH. 
en  un  point  F  défini  par  la  condition 


après  la  seconde  réfraction,  ces  mêmes  rayons  auront  des  directiou 
telles,  que  leurs  prolongements  aillenl  se  couper  sur  IK,  en  UD  point 
S'  dé6ni  par  la  condition 

ou  bien 

is'==is-);^;;^!.; 

or,  dans  l'hypothèse  du  niininiuiu  de  déviation,  cette  condition  st 
réduit  à  IS'  =  1S;  donc  déjà  l'une  des  droites  focales  passe  par  le 
point  S',  situé  sur  le  prolongement  du  rayon  émergent,  à  la  même 
distance  de  l'aréle  réfringente  que  le  point  lumineux.  Si  l'on  consi- 
dère maintenant,  avec  le  rayon  SI ,  les  rd}ons  infiniment  voisins  qui 
sont  contenus  dans  le  plan  mené  par  SI  et  par  l'arête  réfringente,  on 
peut  remarquer  que  ce  plan  se  confond  avec  un  élément  de  la  sur- 
face conique  qui  aurait  pour  sommet  le  point  S,  pour  a\c  la  normale 


THÉORIE  CJÉNÉRALE  DES  CAUSTIQUES.  185 

menée  du  point  S  à  la  surface  MI  et  qui  passerait  par  le  point  I. 
Les  prolongements  des  rayons  réfractés  correspondants  iront  donc 
se  couper  sur  IH  en  un  point  F,  défini  par  la  condition 

IF,  =  ISxw. 

De  même,  après  la  seconde  réfraction,  ces  rayons  iront  se  coUper 
sur  IK  en  un  point  Sj ,  qui  serait  défini  par  la  condition 

ou  bien 

is;==is: 

ainsi  le  point  S'  et  le  point  S[  se  confondent,  et  les  deux  droites 
focales  coïncident. 

Donc,  lorsque  le  prisme  est,  par  rapport  à  l'axe  du  faisceau  lumi- 
neux, dans  la  position  du  minimum  de  déviation,  il  donne  une 
image  virtuelle  d*un  objet ,  égale  en  grandeur  à  Tobjet  et  située  S 
la  même  distance  de  l'arête  réfringente.  Cette  image  se  verrait  net- 
tement en  mettant  l'œil  très-près  de  l'arête  du  prisme ,  si  le  phéno- 
mène de  la  dispersion  n'existait  pas. . 


DE   L'ŒIL   ET  DE  LA   VISION. 


427.  V^  «vers  HilHciix  rélktmtsemâm  ëm  TmÊâ.  —  La  des^ 
cription  complète  de  TopiL appartient  à  laiiatoinie  descriptive  :  on 
rappellera  seulement  ici  la  disposition  relative  des  divers  mUieux  ré- 
fringents qui  concourent  à  la  formation  des  images. 

LVnveloppc  externe  de  Tœil  est  formée,  comme  on  sait,  en  avant 
par  la  cornée  transparetite ,  en  arrière  et  latéralement  par  la  scléro- 
tique ou  cornée  opaque.  La  sclérotique  est  tapissée  intérieurement 
par  la  choroïde,  qui  se  réfléchit  de  manière  à  former  les  procès  ci^ 
liaires  ;  ceux-ci  maintiennent  le  cristallin  dans  une  position  perpen- 
diculaire à  l'axe  horizontal  du  globe  oculaire.  En  avant  du  cristallin, 
et  immédiatement  en  contact  avec  lui  et  avec  les  procès  ciliâires,  est 
une  cloison  constituée  par  la  membrane  de  l'iris,  dans  laquelle  se 
trouve  l'ouverture  de  la  pupille. 

Vhumeur  aqueuse  remplit  l'intervalle  compris  entre  la  cornée 
transparente  et  la  membrane  de  l'iris,  c'est-à-dire  la  cavité  désignée 
S3US  le  nom  de  chambre  antérieure  ^*^  —  Le  corps  vitré  remplit  la 
cavité  contenue  entre  les  procès  ciliaires,  le  cristallin  et  le  fond  de 
l'œil. 

En6n  la  partie  postérieure  de  cette  cavité  est  tapissée  par  la 
membrane  sensible  qui  a  été  désignée  sous  le  nom  de  rétine,  et  qui 
n'est  qu'un  épanouissement  du  nerf  optique  auquel  la  sclérotique 
donne  passage. 

Les  conditions  desquelles  dépend  la  formation  des  images,  par 
cette  succession  de  divers  milieux,  sont,  d'une  part,  les  rayons  de 
courbure  de  leurs  surfaces  de  séparation  et  les  distances  qui  existent 
entre  ces  surfaces:  d'autre  part,  les  indices  de  réfraction  de  ces  mi- 
lieux eux-mêmes. 


^'^  On  a  cm  ioiigiom|)s  qiril  existe  itn  es|>«ice  entru  l'iris  et  le  cristallin  :  c'est  ce  qu'on 
ii\ait  noBimé  la  rliambre  |XMléneure;  elle  coniniuniquiiilavec  la  cliainhre  antérieur*;  par 
Tninerture  di*  la  piipillo.  Il  parait  aiijoiinrhni  liien  établi  que  Tiris  pst  immérlialetneiil 
itppliqiié  sur  It-  crislalliii,  <l  ipi'il  nV\»sle  |>as,  eu  réalih'*,  île  cliambre  |M»sIérieiirc. 


DE  L'OEIL  KT  DE  LA   VISION.  187 

L observation  a  fourni,  pour  l'œil  de  Thomme,  les;  valeurs 
movennes  suivantes  : 

OlMElfSlOHS  MOYENNES  MESURÉES  80R  L'ŒIL  DE  L'HOMME. 

Diamètre  antéro-postérieur  du  globe  oculaire s  5  millimètres. 

Distance  de  la  comëe  transparente  au  cristallin '^  

Épaisseur  du  cristallin I\ 

Dîstimce  du  cristallin  au  fond  de  l'œil 40 

Épaisseur  de  la  rëtine o""",i  ii  o"",-! 

Rayon  de  courbure  de  la  coruëe  ti*aiispai*ente 8  millimètres. 

Rayon  de  courbure  de  la  pramière  surface  du  cristallin.     10    

Rayon  de  courbure  de  la  seconde  surface  du  cristallin '\       0 - 

l>mCES  MOYENS  DE  RÉFRACTION. 

Cornée  h*anspai*ente i,35o7 

Humeur  aqueuse 1 ,34-jo 

Cristallin,  coucbe  externe. i,/ioo3 

.Cristallin,  couche  movenne i.ltaqli 

Cristallin ,  noyau  central .  .  1 M^^  1 

Corps  vitré 1 ,3485 

^28.  Hé  la  théorie  physique  de  1»  visien.  —  Les  deux  sur 
faces  de  la  cornée  étant  partout  sensiblement  équidistantes,  on  peut 
négliger  leur  action  sur  les  rayons  lumineux  et  raisonner  -comme 
si  ces   rayons  passaient  immédiatement  de  Tair  dans   l'humeur 
aqueuse. 

Un  faisceau  conique  émané  d'un  point  lumineux  éprouve  alors 
trois  réfractions  successives,. en  passant  :  i""  de  l'air  dans  l'humeur 
aqueuse;  9**  de  l'humeur  aqueuse  dans  le  cristallin;  3**  du  cristallin 
dans  le  corps  vitré.  II  est  facile  de  voir  que  ces  réfractions  tendent; 
toutes  les  trois,  à  le  transformer  en  un  faisceau  convergent.  En 
effet,  les  deux  premières  surfaces  réfringentes  sont  convexes,  du  côté 
d'où  vient  la  lumière,  qui  est  aussi  le  côté  du  milieu  le  moins  ré- 
fringent; la  troisième  surface  est  concave  du  côté  d'où  vient,  la  lu- 
mière, mais  comme  ce  côté  est  celui  du  milieu  le  plus  réfringent, 
cfctte  troisième  réfraction  a  encore  pour  effet  d'augmenter  la  con- 

^'^  La  fornie  de  la  rornéc  est  ù  peu  près»  sphériqut^.  La  f'urnie  réelle  de  la  première  sur- 
face du  rrislallin  esl  celle  d'un  ellipsoïde  de  révolution  ;  la  forme  réelle  de  la  seconde  sur- 
face est  celle  d'un  paraboloïde  de  révolution. 


!88  OPTIQUE. 

vergence  déterminée,  par  Jes  deux  premières  ^^l  —  H  doit  donc  se 
former,  au  delà  de  ces  trois  surfaces,  une  image  réelle  et  renversée 
des  objets  extérieurs,  tant  que  la  distance  de  ces  objets  à  l'œil  n'est 
pas  inférieure  à  une  limite  déterminée. 

Si  celte  imago  est  dépourvue  d'aberrations  et  se  forme  sur  la  ré- 
tine, les  impressions  produites  par  les  rayons  émanés  des  divers 
points  d'un  objet  extérieur  affectent  des  points  différents  de  lasor- 
face  nerveuse  sensible,  et,  dès  lors,  elles  peuvent  être  distinguées  les 
unes  des  autres.  Si  Ton  supposait,  au  contraire,  que,  l'appareil  ré- 
fringent étant  supprimé,  la  rétine  fût  directement  exposée  à  l'action 
de  la  lumière,  il  ne  pourrait  y  avoir  qu'une  sensation  uniforme,  ré- 
sultant de  la  superposition  de  tous  les  faisceaux  lumineu.)^  envoyés 
par  les  objets  extérieurs,  et  tout  à  fait  impropre  à  nous  révéler  l'exis- 
tence distincte  de  ces  objets  et  l'ordre  dans  lequel  ils  sont  disposés. 
Si  l'image  se  forme  en  avant  ou  en  arrière  de  la  rétine ,  ou  si  elle 
est  affectée  d'aberrations  notables,  les  impressions  diverses  empiè- 
tent plus  ou  moins  les  unes  sur  les  autres,  et  la  séparation. des  sen- 
sations correspondantes  est  imparfaite.  —  On  conçoit,  par  ces  con- 
sidérations succinctes,  comment  la  possibilité  de  la  vision  est  liée  à 
la  formation  d'une  image  sur- la  rétine,  et  comment  la  netteté  de  Iji 
vision  dépend  de  la, netteté  de  cette  image  elle-même. 

ha  théorie  physique  de  la  vision  doit  comprendre  exclusivenieiti 
l'examen  de  l'image  réelle  qui  se  forme  dans  l'œil  et  de  l'appareil  ré-, 
fringent  qui  la  produit. — Les  phénomènes  consécutifs  appartiennent 
à  la  physiologie.  L'étude  de  ces  phénomènes,  qui  doit  toujours  finir 
par  s'arrêter  devant  un  fait  primitif  et  inexplicable,  savoir,  la  iranfr!- 
formation  de  l'impression  niatérielle  en  {sensation,  r^e  donne  guère 
de  résultats  qu'il  importe  au  physicien  de  connattre.  Il  lui  suffit  dé 
savoir  que  la  nature  des  sensations  visuelles  ne  dépend  pas  .dé 
l'agent  qui  les  produit,  mais  uniquement  des  propriétés  vitales  du 
nerf  optique  :  qu'une  inflammation  morbide  de  la  rétine,  un  coup 

''^  1,6  foyer  principal  d*une  surface  concave  réfringente  étant  délemiiné  par  Inéquation 

-  ^=  — = —  ,  si  n  est  plus  petit  (pie  riinitê,  n  f^i  négatif,  et  par  conséquent  le  foyer  est 

réel.  L'çfTct  de  la  burfacc  réfringente,  cbt  dune  de  ixMidre  convergent  un  faisceau  paral- 
lèle. 


DK  L'OEIL  ET  DE  LA  V1S10^.  18« 

sur  l'œil,  une  opération  cbirurgicale  sur  le  nerf  optique  déterminent 
In  sensation  des  couleurs,  tout  aussi  bien  que  la  lumière,  et  n'en 
déterminent  pas  d'autre.  De  tous  ces  faits  d'expérience  on  ne  doit 
pas  conclure  que  la  nature  de  la  sensation  soit  indépendante  de  la 
nature  de  la  lumière,  ce  qui  serait  contradictoire  à  l'expérience, 
mais  simplement  que  la  dépendance  des  deux  ordres  de  phénomènes 
ne  peut  âlre  établie  que  d'une  manière  empirique,  et  que  toute 
théorie  a  priori  serait  vaine  en  cette  matière. 

i29.  Ifrenve  eKpérim«Bt»le  d«  1»  forma  Mon  d'une  ianase 

W9wwmmmtit wmm  I»  ré*ln«etd«  rexlstenced'un «entre optique 

AMMi  r«il.  —  La  disposition  suivante,  qui  est  due  h  Volltmann, 
pennet  de  démontrer  que  les  objets  placés  devant  l'œil,  h  une  dis- 
tance convenable,  donnent  sur  la  rétine  une  image  réelle  renversée, 
et  que,  dans  le  système  réfringent  complexe  qui  constitue  l'œil,  il 
se  trouve  un  point  qui  jouit  des  propriétés  du  centre  optique  des  len- 
tilles. 

Oo  trace  sur  un  caKon  plan  une  série  de  lignes  droites  AA',  BB', 
ce,  qui  se  coupent  en  un  même  point  1  (fig-  Byi);  aux  points  A, 


¥i,,3-,,- 


B,  C,  situés  à  la  même  distance  du  point  d'intersection,  on  fixe  des 
fentes  verticales  étroites,  derrière  lesquelles  on  place  des  lumières; 


190  OPTIQUE. 

en  \'y  B'.  (Yj  de  l'autre  côté  du  point  1,  on  fixe  d'autres  fentes 
verticales.  On  prend  alors  un  œil  de  bœuf,  que  fon  a  préparé  de 
manière  à  bien  l'isoler  extérieurement  à  sa  partie  postérieure»  et 
dont  on  a  aminci  la  sclérotique  de  façon  à  la  rendre  transparente. 
On  pose  cet  œil  au-dessus  du  point  I ,  de  manière  que  la  cornée  soit 
tournée  du  côté  des  fentes  lumineuses  A,  B,  C,  et  on  le  déplace  jos- 
(|u'à  ce  que  les  deux  images  a,  b  des  fentes  A  et  B,  qui  se  fonnent 
sur  la  rétine  et  que  l'on  aperçoit  au  travers  de  la  sclérotique  amincie* 
soient  bien  en  ligne  droite  avec  les  fentes  elles-mêmes,  pour  on  obser- 
vateur placé  successivement  derrière  les  fentes  A'  et  B'.  Lorsque  cette 
condition  est  satisfaite,  il  se  trouve  qu'elle  l'est  également  pour  toutes 
les  autres  fentes,  telles  que  C,  quel  qu'en  soit  le  nombre.  Les  droites 
qui  joignent  l'image  d'un  point  lumineux  sur  la  rétine  à  ce  point 
lui-même  se  coupent  donc  toutes  en  wi  mime  point,  c'est-à-dire  que 
ce  point  se  comporte,  par  rapport  au  système  réfringent  qui. cons- 
titue l'œil,  i;omme  le  centre  optique  par  rapporta  une  lentiHe.  il 
en  résulte  que'  les  grandeurs  des  images  formées  dans  Tosil  seront 
liées  à  celles  des  objets  par  les  relations  qui  ont  été  établies  pour 
les  lentilles  convergentes. 

La  position  de  ce  point  remarquable  parait  être  à  Tintérieur  du 
cristallin ,  à  un  ou  deux  dixièmes,  de  moUimàtre  de  1^  s^fiOûàt  agay 
face;  il  est  donc  situé  à  peu  près  à  i5  millimètres  en  aviuit  d%l» 
rétue,  pour  un  œil  moyen. 


&30.  FrcTcemple  jmj  ■irtti  »;Ui 
la  Mctteté  «e  llBMise  ce  la  Bettolé  «e  la  ^trta».  —  Un  ffni 
nombre  d'expériences  démontrent  le  fait^  qui  a  été  admis  plus  haot 
(A28),  de  la  liaison  qui  existe  entre  la  netteté  de  Timage  et  h  nel* 
teté  de  la  vision.  On  citera  seulement  ici  Texpérience  suivante,  qui 
est  due  à  Scbeiner. 

On  place  devant  Tœil  une  carte  percée  de  deux  trous  d'^ingle, 
situés  sur  une  même  ligne  verticale  et  séparés  par  un  intenraHe 
moindre  que  le  diamètre  de  la  pupille;  on  regarde  au  travers  de 
ces  ouvertures  un  objet  délié  très-voism,  tel  que  la  pointe  d'une 
«iguille  placée  horizontalement;  on  constate  que  Fobjet  apparaît 
double,  si  sa  distance  à  l'œil  est  suffisamment  petite;  si  Ton  retire 


DK  l/OKIL   ET  DE   \A   VISION.  IWl 

ntors  la  cartn,  on  ne  voit  plus  que  très  -  Cj^nfuaéraent  l'objet,  nu 
inénie  on  ne  l'apprçoit  plus  du  tout.  —  Si  mûinlenaiil  on  n-plarc  b 
carte  et  qu'on  /loigne  successivement  l'objet  de  l'œil,  on  consliile 
que  les  deux  images  se  rapprochent  l'une  do  l'autre;  loi^qu'elles 
arrivent  à  se  confondre  exactement,  on  reconnaît  qu'on  peut  retirer 
l:i  carte  sans  que  les  contours  de  l'objet  perdent  leur  netteté.  ^ 

La  figure  Z'jù  fait  immédialement  concevoir  ces  divers  [i^éno- 
mènes.  Lorsque  la  pointe  de  l'aiguille  P  est  très-voisine  de  la  carte,  k* 
foyer  conjugué  du  point  P  par  rapport  à  l'œil  est  situé  en  un  point  V\ 


au  delà  de  la  rétine,  dont  la  position  est  indiquée  ici  par  un  trait 
discontinu;  par  suite,  les  deux  faisceaux  étroits  PA  et  PB-qui  pas- 
sent par  les  (rous  de  la  carte  viennent  rencontrer  la  rétine  en  deux 
régions  différentes  et  donnent  naissance  à  deux  impressions  dis- 
liflctes.  Lorsqu'on  retire  la  carte,  la  rétine  est  éclairée  suivant  la 
section  du  cône  qui  a  pour  sommet  le  point  F',  et  il  en  résulte  une 
impression  confuse,  qui  peut  n'avoir  aucun  rapport  précis  avec  la 
forme  de  l'objet  lui-même.  Ënlin,  quand  on  éloigne  progressive- 
ment le  point  P,  le  foyer  conjugué  P'  se  rapproche  de  la  rétine, 
el  les  deux  impressions  se  réduisent  îi  une  seule  au  moment  où  le 
|iO!nt  P'  se  trouve  sur  la  rétine  :  on  conçoit  donc  que ,  à  cet  instant , 
on  puisse  enlever  la  carte  sans  que  la  sensation  cesse  de  rester  par- 
faitement nette'". 

'"  Un  myopa  obsene  une  duplication  de  l'iin^ij^e  «iiMi  Lion  lorMjiic  l'obji'l  ni  Irop  <^lui- 
(jn#  de  t'œil  que  lorsqu'il  en  ml  Irnp  voisin. 


192  OPTIQUE. 

431 .  Restrieti«B  à  im  géuémMté  mMèmmlum  de  te  lUii0«B 
précédente.  —  La  théorie  de  la  liaison  entre  la  netteté  de  l'imagé 
et  la  netteté  de  la  vision,  lorsqu'on  la  prend  dans  un  sens  absolu, 
semble  indiquer  que,  si  l'image  d'un  objet  se  forme  exactement  sur 
la  rétine,  l'œil  doit  toujours  apercevoir  jusqu'aux  plus  petits  détails 
de  cet  objet. — Elle  semble  indiquer,  d'autre  part,  que  si  l'image  ne 
se  forme  pas  rigoureusement  sur  la  rétine,  elle  doit  toujours  offrir 
des  contours  plus  ou  moins  confus. 

Or  l'expérience  apprend,  au  contraire,  que  la  vision  distincte, 
c'est-à:-dire  la  vision  oii  les  contours  des  objets  sont  nettement 
tranchés,  n'a  pas  toujours  pour  conséquence  la  vision  des  derniers 
détails;  c'est  ainsi  que  nous  voyons  nettement  le  contour  de  la 
lune  ou  d'une  chaîne  de  montagnes  éloignée,  sans  pouvoir  discer- 
ner les  détails  que  présentent  ces  objets.  —  D'un  autre  c6té,  il  est 
impossible  que  l'œil,  conojue  tous  les  autres  organes,  ne  tolère  pas 
certaines  déviations  des  conditions  idéales  qui  9ont  nécessaires  à 
l'exercice  parfait  de  saT  fonction  propre. 

La  solution  de  ces  deux  difficultés  doit  être  demandé^  ^  l'expé- 
rience :  elle  répose  sur  le  fait  fondamental  suivant. 

Â32.  tiB  «l^et  B*est  «ewilMe  m  Mm  vue  que  mk  les  dinkettr 
el«iui  de  eoB  tauice  eur  te  rétine  exeèdent  itae  llaUte  dé- 
temilnée«  —  Les  expériences  de  Volkmann,  sur  des  cheveux  placés 
devant  un  fond  blanc  ou  sur  des  fils  d'araignée  placés  devant  un 
fond  noir,  montrent  que  l'impression  produite  par  ces  objets  est 
insensible  :  il  est  impossible  de  les  distinguer  du  fond  sur  lequel  ils 
se  projettent,  lorsque  les  plans  menés  par  leurs  bords  et  le  centre 
optique  de  l'œil  ne  forment  pas  un  angle  supérieur  à  une  limite 
déterminée.  Pour  les  vues  ordinaires,  cette  limite  est  d'environ 
1 5  secondes  ;  pour  certains  yeux,  elle  s'abaisse  à  lo  secondes;  pour 
d'autres,  elle  s'élève  à  ao  secondes.  La  largeur  correspondante  de 
l'intiage  formée  sur  la  rétine  est  d'environ  ^  de  millimètre  ^''. 

''^  Ces  nombres  ne  conviennent  qu*à  la  partie  centrale  de  la  rétine:  la  neoiâbiliU^  d'ap* 
précialion  de»  parties  périphériques  est  beaucoup  moindre.  Ils  dépendent  aussi  de  i*in- 
tensité  lumineuse;  iU  diminuent  beaucoup  lorsqu^on  op^re,  non  plus  sur  un  61  d^araignée 
tendu  devant  un  fond  noir,  mais  sur  un  fil  de  platine  porté  â  rincandesceuce. 


DE  L'OEIL  ET  DE  LA   VISION.  19;i 

Ce  phénomène  offre  une  nnalogie  manifeste  avec  une  loi  générale 
(le  la  sensibilité  tactile,  qui  a  été  démontrée  par  M.  Ernest  Weber. 
Le  sens  du  toucher  ne  peut  apprécier  l'intervalle  de  deux  points 
qu'autant  que  cet  intervalle  est  supérieur  à  une  certaine  limite.  C'est 
ainsi,  par  exemple,  qu'en  appuyant  simultanément  les  deux  pointes 
d*un  compas  sur  la  main  on  ne  perçoit  deux  impressions  distinctes 
que  si  la  distance  de  ces  deux  pointes  entre  elles  n'est  pas  trop  faible. 
—  La  limite  de  distance  à  partir  de  laquelle  l'intervalle  qui  sépare  len 
deux  impressions  devient  perceptible  est  d'ailleurs  variable  pour  les 
diverses  régions  du  corps.  Elle  n'est  que  de  s  ù  &  millimètres  sur 
la  face  palmaire  des  doigts;  elle  est  d'environ  3o  millimètres  sur  le 
dos  de  la  main;  enfin  elle  atteint  55  à  65  millimètres  sur  la  peau 
qui  couvre  la  colonne  vertébrale. 

L'anatomiste  doit  chercher  à  expliquer,  par  la  structure  de  la 
rétine  et  par  les  dimensions  de  ses  derniers  éléments  organisés,  le 
fait  qui  est  énoncé  au  commencement  de  ce  paragraphe ,  et  qui  est 
fondamental  pour  toute  cette  partie  de  la  théorie  de  la  vision.  Le 
physicien  peut  se  borner  à  en  déduire  les  conséquences  suivantes  : 

1*  La  netteté  de  la  vision  n'a  aucun  rapport  avec  la  visibilité  des 
détails  plus  ou  moins  délicats;  à  netteté  égale,  les  dimensions  ab- 
solues du  plus  petit  détail  visible  varient  en  raison  inverse  de  la 
distance  des  objets  à  l'œil. 

â""  Toute  déviation  des  conditions  idéales  de  la  vision  parfaite, 
qui  ne  donne  pas  à  l'image  d'un  point  lumineux  des  dimensions 
égales  à  celles  de  la  plus  petite  image  perceptible,  est  tolérée  par 
l'œil  et  n'altère  pas  la  netteté  de  la  vision.  Il  résulte  en  effet  de 
ces  déviations  que  le  contour  de  l'image  d'un  objet  est  bordé  d'une 
zone  à  teintes  dégradées,  qui  a  précisément  pour  largeur  le  dia- 
mètre du  cercle  d'aberration  d'un  point  lumineux  unique;  si  cette 
largeur  n'atteint  pas  la  limite  nécessaire  à  la  perception  des  images 
rétiniennes,  la  zone  à  teintes  dégradées  est  pour  Tœil  comme  si  elle 
n'existait  pas. 

433.  Des  ékifmrmem  espèces  de  vues.  —  On  peut  distinguer 
quatre  espèces  de  vues,  différant  entre  elles  par  les  limites  des  dis- 
tances auxquelles  elles  distinguent  les  objets. 

VcwiT,  ll[<  —  Courfi  de  |iliys.  H.  i.'{ 


194  OPTIQUE. 

i"  Vno.  nonntih,  —  Un  œil  normal  voit  distinctement  les  objets 
situés  à  une  distance  très-grande,  comme  la  lune,  les  montagnes  ou 
les  édifices  éloignés  :  les  contours  de  tous  ces  objets  lui  apparais- 
sent nettement  tranchés,  sans  que  les  détails  en  soient  sensibles.  Il 
voit  encore  distinctement,  et  sans  avoir  conscience  d'un  effort  sen- 
sible, des  objets  situés  l\  une  distance  beaucoup  moins  considérable. 
Enfin,  il  voit  également  d'une  manière  distincte,  mais  avec  la  con- 
science d'un  effort  intérieur,  les  objets  très-voisins,  jusqu'à  une  dis- 
tance minima  qui  est  d'environ  1 5  centimètres  en  moyenne.  — 
Au-dessous  de  cette  dernière  limite,  toute  vision  dis(incte  est  im- 
possible. 

1°  Vue  presbyte.  —  L'œil  presbyte  ne  diffère  de  l'œil  normal  que 
par  la  grandeur  de  la  limite  inférieure  de  la  vision  distincte.  Il  voit 
encore  distinctement  les  objets  situés  à  une  distance  très-grande, 
mais  la  vue  ne  reste  distincte  que  jusqu'à  une  distance  notablement 
supérieure  à  1 5  centimètres  '^^ 

S**  Vue  myope.  —  L'œil  myope  ne  voit  distinctement  qu'entre 
deux  limites  fuies  ^  variables  d'un  individu  à  l'autre;  la  limite  infé- 
rieure est  généralemont  moins  éloignée  que  pour  l'œil  normal  ;  la 
limite  supérieure,  excepté  dans  des  cas  très-rares,  n'atteint  pas  6  à 
8  mètres,  et  n'est  souvent  que  de  quelques  centimètres ^^^. 

4°  Vuehypennétrope.  —  L'œil  hypermétro()e  est  caractérisé  par  la 
faculté  de  faire  converger  exactement  sur  la  rétine  des  faisceaux  déjà 
convergents.  — Il  arrive  quelquefois  qu'il  jieut  également  faire  con- 
verger sur  la  réline  des  faisceaux  parallèles  ou  faiblement  diver- 
gents; il  voit  alors  distinctement  les  objets  situés  à  une  grande  dis- 
tance. D'autres  fois,  il  ne  peut  faire  converger  sur  la  réline  que  des 
faisceaux  déjà  convergents,  et  nr^  voit  alors  nettement  à  aucune 
distance. 

(-'  Au  point  i\o  vue  physique,  il  n'y  n  aucune  dilFK^rence  eJMentielle  entn»  Vm\  presbyl.* 
ot  Tœil  normal  ;  au  point  de  vue  pratique,  il  y  on  n  ixno  forl  imporlanto  Jor^ue  la  distance 
minima  de  la  vision  distincte  excMe  beaucoup  i.*)  centimètres. 

(')  En  raison  de  l.'i  petite  distance  de  la  rétine  au  centre  optique  de  Tœil,  si  TapparAÎl 
réfringent  est  constitué  de  manière  A  donner  sur  la  rétine  Tirnagc  des  objets  éloignés  de 
6  à  8  mètres,  il  donne  également,  sur  la  même  surface,  une  image  presque  aussi  nette 
des  objets  les  plus  éloignés.  L*œii  ne  peut  donc  plus  alors,  ^  proprement  parier,  passer 
\)Ouv  myopp. 


DE  L  OKIL  ET  DE  LA   VISION.  195 

4 3 A.   AcM«iiii€Hl»tion  de  r«ell  pour  to  vision  m  ékwewmmm 

MmimwÈmmm.  —  De  rensemble  des  faits  qui  précèdent  il  résulte 
qu'il  y  a  pour  l'œil,  en  général,  non  pas  une  distance  unique  de 
vision  distincte,  mais  une  infinité  de  distances,  comprises  entre 
deux  limites  déterminées^^'. 

On  a  quelquefois  expliqué  cette  remarquable  propriété  de  l'or- 
gane de  la  vue,  en  l'assimilant  simplement  à  une  lentille  de  très- 
court  foyer.  En  effet,  dans  la  formule  dçs  lentilles  convergentes, 

I       1 I 

on  peut  alors  considérer  f  comme  représentant  la  distance  des  ob- 
jets au  centre  optique  de  l'œil,  et  f^  comme  représentant  la  distance 
du  centre  optique  à  l'image.  Cette  formule  donne 

'       p-j 

Or,  si  l'on  suppose  que /soit  très-petit,  cette  valeur  de  p'  peut  être 
considérée  comme  sensiblement  égale  à  /,  en  valeur  absolue ,  tant 
que  la  distance  p  est  égale  à  un  multiple  considérable  de  /.  Cette 
considération  fait  bien  comprendre  comment  l'œil  peut  voir  dis- 
tinctement ù  une  distance  infinie,  et  voir  encore  distinctement  à  une 
distance  de  i  o  mètres  ;  mais  elle  n'explique  pas  comment  la  vision 
peut  être  distincte  à  la  fois  pour  une  distance  de  i  o  mètres  et  pour 
une  distance  de  1 5  centimètres  ^^K 

(  ^  Il  est  question,  dans  certains  traïUs  de  physique,  d'une  dislancc  unique  de  la  vi- 
sion distincte,  qu'on  dit  ôlro  en  moyenne  de  3o  centimètres.  C^  n'est  guère  autre  chose  * 
que  la  dislance  à  laqueilejl  est  commode  de  lire  un  livre  imprimé  avec  des  caractères  de 
dimensions  moyennes  :  il  est  ù  peine  besoin  d'ajouter  qu'une  distance  ainsi  défioie  n'a 
a!icune  importance  au  point  de  vue  scientifique. 

(*)  On  peut  supposer  les  milieux  n;lrin(vent8  de  l'œil  remplacés  par  une  lentille  sans 
épaisseur,  ayant  son  centre  optique  au  centre  optique  de  l'œil  et  son  foyer  principal  sur 
la  rétme,  c'ost-à-dire  ù  i  .'i  niillimèlrcs  dedistance  environ.  La  formule  des  lentilles  doqnc 
alors,  on  supposant  p  é|;al  ù  i  o  mèlres, 

P  -—  I .)     ,090  ; 

et  on  supposant  p  égal  A  1.5  ronlinièlres, 

p'=i  6""",666. 

Stumi  avait  essayé  de  donner  une  base  plus  solide  à  la  théorie  qui  nie  l'existence 
d'une  accommodation  de  l'œil ,  en  tenant  compte  de  la  figure  réelle  des  surfaces  réfrin- 


196  OPTIQUE. 

D'ailleurs,  la  conscience  de  i'efibrt  intérieur  qu'il  faut  faire  pour 
ïoïr  nettement  à  de  petites  distance»,  el  l'influence  que  les  habi- 
tudes exercent  sur  la  portée  de  la  vue,  prouvent  surabondamment 
que  l'œil  s'accommode  d'une  façon  particulière  à  la  vision  des  objets 
rapproche;:.  —  Quant  au  mécanisme  de  l'accommodation,  il  ne  peut 
consister  que  dans  un  changement  de  courbure  des  surfaces  réfrin- 
gentes ou  dans  un  déplacement  du  cristallin.  Des  expériences  di- 
rectes de  Cramer  el  de  M.  .Helmhoitz  ont  résolu  la  question  d'une 
manière  décisive. 

Le  chirurgien  français  Sanson  a,  le  premier,  observé  les  trois 
images  d'un  corps  lumineux  qui  se  forment  par  la  réflexion  des 
rayons  sur  la  surface  de  la  cornée  et  sur  les  deux  surfaces  du  cri»< 
tallin  :  il  a  fait  servir  celte  observation  au  diagnostic  des  cataractes. 
Or)e.s  po.sitions  de  ces  troi>  images  sont  déterminées,  pour  un  état 
particulier  de  l'œil,  par  la  situation  relative  des  trois  surfaces  ré- 
'  fiéchissantes  et  par  leur  courbure  :  il  doit  donc  suflîre,  pour  être 
témoin  des  modifications  qui  peuvent  se  produire  dans  un  œil,  par 
le  fait  même  de  l'accommodation,  d'observer  les  changements  de 
fjrandeur  el  de  position  qu'éprouvent  ces  images  lorsque  cet  œil  n?- 
"de  tour  à  tour  un  objet  très-éloigné  et  un  objet  très-voisin. — 
On  dispose  l'expérience 
à  peu  près  comme  le  re- 
présente la  ligure  S^S. 
Un  tube  T,  noirci  inté- 
rieurement, est  appliqué 
sur  l'œil  0  de  la  personne 
qui  se  soumet  à  l'expé- 
rience, de  manière  îk  faire 
tomber  obliquement  sur 
lui  les  rayons  d'une  bou- 
gie voisine  B,  en  écar- 
^'<t-  ^1^-  tant  toute  lumière  étran- 

gère ;  les  rayons  réfléchis  sont  reçus  dans  l'œil  A  de  l'observateur, 

|>enleaderœil,fif[urequiD'«lpaii]phà'ique,  eldi*!*  roraw(|Ui«ii  réwille  pourlt!  raJK(«ii 
l'éfntié.  Haia,  lorsqu'on  fait  le  calcul  eiaclement,  on  «ojl  que  celle  eoiuidëntioQ  UiiM 
«ibiisler  la  nëcewilé d'une accomnioclatioi)  pour  l«» petite*  dùtaotM. 


DE  L'OEIL  ET  DE  LA  VISION.  197 

armé  d*un  microscope  M  faiblement  grossissant.  Lorsque  l'œil  0  est 
dans  son  état  naturel ,  les  trois  images  de  la  bougie  présentent  une 
situation  déterminée.  Si  alors  l'œil  0  vient  à  regarder  un  réticule  P 
placé  très-près  de  lui,  l'image  donnée  par  la  cornée  ne  se  déplace 
pas^  mais  l'image  donnée  par  la  première  surface  du  cristallin 
éprouve  un  déplacement  considérable ,  accusant  un  notable  accrois- 
sement de  courbure  de  cette  surface;  enfin  l'image  donnée  par  la 
deuxième  surface  éprouve  un  très-faible  déplacement,  accusant  une 
petite  diminution  de  courbure.  La  masse  même  du  cristallin  ne  pa- 
rait pas  avancer  ou  reculer  d'une  quantité  appréciable. 

L'agent  de  ces  déformations  n'est  pas  encore  connu  d'une  manière 
absolument  certaine.  11  suffit  d'ailleurs  à  l'objet  de  ce  cours  de  faire 
remarquer  que  le  cristallin  est  en  contact,  par  sa  périphérie,  avec 
ies  procès  ciliaires ,  par  sa  surface  antérieure  avec  la  membrane  de 
Fins,  et  que  ces  deux  organes  contiennent  des  fibres  musculaires, 
animées  par  des  filets  nerveux  que  l'on  sait  être  soumis  à  l'empire 
de  la  volonté. 

435.  IM  râle  de  diverses  parties  aeeessoires  de  rorn^ne 
de  te  vue*  —  Les  notions  précédenles  suffisent  pour  faire  conce- 
voir la  formation  des  images  sur  la  rétine!,  dans  les  diverses  circons- 
taillces  :  aux  parties  essentielles  de  l'organe  de  la  vue  sont  adjointes 
diverses  parties  accessoires  qui  sont  destinées  à  rendre  la  vision 
plus  parfaite  ,  et  dont  le  r6le  peut  être  indiqué  en  quelques  mots. 

L'ouverture  de  la  pupille,  pratiquée  dans  la  membrane  de  l'iris. 
a  pour  objet  de  limiter  la  largeur  du  faisceau  lumineux  admis  dans 
Tœil,  et  de  diminuer  ainsi  les  aberrations  de  sphéricité.  —  Sous  l'ar- 
tibn  d'une  vive  lumière,  il  se  |)roduit  d'ailleurs  une  contraction  in- 
volontaire delà  pupille,  et,  par  suite,  une  élimination  plus  parfaite 
des  aberrations  ;  c'est  précisément  dans  ces  circonstances  que  l'in- 
fluence des  aberrations  serait  le  plus  nuisible  à  la  netteté  de  la  vision. 

La  chorùiie,  avec  la  matière  pigmentaire  noire  qu'elle  contient, 
sert  à  empêcher  les  rayons  lumineux  qui  ont  frappé  la  rétine  de  se 
réfléchir  sur  la  paroi  du  globe  oculaire,  et  d'apporter  ainsi  un 
trouble  dans  la  vision,  en  venant  rencontrer  la  membrane  sensible 
en  plusieurs  points.  —  Dans  l'infirmité  (|ui  est  connue  sous  le  nom 


198  OPTIQUE. 

^albinisme,  la  choroïde  n'ayant  pas  une  teinte  suffisaiument  foncée, 
la  vision  n*est  possible  que  si  la  lumière  arrivant  dans  Toeil  offre  très- 
peu  d'intensité. 

La  succession  des  diverses  couches  du  cristallin,  douées  de  pouvoin 
réfringents  inégaux ,  a  évidemment  pour  effet  de  rapprocher  le  foy^ 
des  rayons  marginaux  du  foyer  des  rayons  centraux. 


â 36.  Difllculté  apparente  réaultant  de  la  mUuaSUmm 
vmrmém  des  imafes  qui  se  forment  mit  to  wéUmm» —  On  a  cru 

50uvent  rencontrer  une  difficulté  à  la  théorie  de  la  vision  dans  ce 
fait,  que  les  images  peintes  sur  la  rétine  sont  renversées  par  rapport 
aux  objets.  Pour  lever  cette  difficulté  apparente,  il  suffit  de  remar^ 
quer  que  ces  images  ne  doivent  pas  être  assimilées  à  une  sorte  de 
tableau  que  contemplerait  un  observateur.  En  réalité,  la  formation 
des  images  sur  la  rétine  n*est  que  la  condition  même  de  la  vision, 
et  c'est  par  suite  d'une  propriété  spéciale  de  notre  organisation  que 
nous  rapportons  toute  impression ,  produite  sur  un  point  de  cette 
membrane  sensible,  à  une  région  directement  opposée. 

Sans  pouvoir  expliquer  cette  propriété,  on  peut  se  convaincre  de 
son  existence  par  un  grand  nombre  de  faits  fournis  par  l'observation. 
—  C'est  ainsi,  par  exemple,  qu'une  pression  exercée  sur  la  partie 
supérieure  de  l'œil  fait  apparaître  un phosphène  inférieur,  et  récipro- 
quement; une  pression  sur  l'angle  externe  fait  apparaître  un  phos- 
phène situé  sur  l'angle  interne,  etc.  11  en  est  de  même  des  apparences 
lue  détermine  une  lésion  morbide  de  la  choroïde  ou  de  la  rétine. 


437.  Inégale  seiuiilillité  des  di versée  parties  de  te 
Sine»  —  Pimetiiiii  eseum.  —  L'expérience  montre  que  la  sensi- 
bilité, et  surtout  la  faculté  de  discerner  deux  impressions  produites 
en  des  points  très-rapprochés,  est  assez  différente  aux  différents  points 
de  la  rétine  :  elle  est  maxima  au  centre,  c'est-à-dire  au  point  où  le 
prolongement  de  l'axe  de  l'œil  vient  rencontrer  la  rétine,  et  décroît 
rapidement  h  mesure  qu'on  s'éloigne  de  ce  point. 

En  outre,  la  rétine  présente  un  point  absolument  insensible,  dans 
la  région  qui  répond  à  l'origine  du  nerf  opti(|ue.  Ce  point  a  reçu  le 
nom  de  putwlum  cœcum.  —  Pour  en  constater  l'existence,  on  dispose 


DE  LUEiL  ET  DE   LA  VIS10,\.  IWtl 

deux  petits  cercles  blancs  sur  un  fond  noir,  comme  l'indique  la 
tîgure  Zjh.  On  ferme  l'œil  droit,  par  exemple,  et  l'on  place  l'œil 
gauche  en  face  du  cercle  placé  à  droite;  on  fi\e  alors  le  regard  sur 


ce  cercle,  et  l'on-s'en  éloigne  ou  l'on  s'en  rapproche  graduellement: 
tofsque  la  distance  de  l'œil  est  un  peu  supérieure  au  quadruple  de 
fintervalle  des  deux  cercles,  le  cercle  de  gauche  disparaît. 

A38.   PeralBt»n«e  des  iBipraMt^na-  liunlncmef  nir  I» 

réMse.  —  Les  impressions  lumineuses  produites  dans  l'œil  présen- 
tent toujours  une  durée  appréciable,  après  que  les  rayons  lumineux 
ont  cessé  d'arriver  sur  la  rétine.  L'ejipérience  montre  que  cette  durée 
est  variable  avec  l'intensité  de  la  lumière  et  avec  la  sensibilité  propre 
de  cbaque  œil.  —  Pour  constater  ce  phénomène  et  en  obtenir  une 
mesure  approximative,  on  emploie  l'artilice  suivant. 

Un  disque  partagé  'en  secteurs  alternativement  blancs  et  noir-i 

(fig.  375)  est  animé  d'un  mouvement  de  rotation  autour  d'un  axe 

^ — ^^^  passant   par  son  centre  et  perpendi- 

^^L        ^^V^\         culaire   à   son  plan.  Ce  disque  étant 

y^^^^     ^V         ^     éclairé  par  la  lumière  dilTuse  du  jour, 

/    ^^^^  V  ^^^^ft    on  constate  qu'il  suffît  de  lui  imprimer 

^^^^^^^^^H^^H    une  vitesse  telle,  qu'il  s'écoule  au  plus 

^^^^^^À  ^^^^        /    un  dixième  de  seconde  pendant  la  subs- 

^^^     ^H    ^^^^/     titution  d'un  secteur  noir  à  un  secteur 

\.    ^^Ê       ^^^       blanc,  pour  que  le  disque  paraisse  d'une 

^^^B___---^  teinle  grise  uniforme  :  la  durée  de  l'im- 

''*■  ^'i'-  pression  lumineuse  produite  par  chaque 

point   est  donc,  pour  celle  intensité  de  lumière  et  pour  une  vue 

ordinaire,  d'environ  un  dixième  de  seconde. 

C'est  de  la  persistance  des  impressions  luiuineuses  sur  la  rétine 


200  OPTIQUE. 

f]ue  résulte  la  perrejition  des  courbes  continues  dans  les  eipéricncn 
de  M.  Whcatstone  (375)  et  dans  celles  de  M.  Lissajous  (376). 

C'est  également  sur  ce  pht^nomène  qu'est  fondé  l'appareil  coddq 
sous  le  nom  de  ihaumatrope. —  Un  carton  circulaire,  tournant  autour 
de  l'un  de  ses  diamètres,  [lortc  sur  l'une  de  ses  faces  un  dessin  in- 
complet, et  sur  l'autre  face  les  parties  qui  manquent  \  ce  dessin. 
Pendant  la  rotation,  tes  impressions  produites  suecessivenUDl  par 
|(^s  deux  faces  se  superposent,  &  caose  de  leur  dorée,  et  F«d  mil 
alors  le  dessin  complet. 

C'est  encore  sur  le  même  principe  qu'est  fond^J  \b  fhénakMofi. 
—  Deux  disques  do  carton  sont  montés  sur  un  même  axe  horianlit 
Oig.  376).  L'un  A  <>st  un  disque  noir,  percé  d'un  certain  ngalm 
1  de  petites  fenêtres  m  niÎB- 

^IPX  nagedeso„conU,.r;P«.te 
^  ^^  H  présente  une  suite  de  fi- 
^  I  gures,  en  nombre  ^yd  m 
V  I  nombre  des  fenêtres  de  A  et 
.  ;  disposées  en  face  d'elles.  On 
place  l'œil  à  le  hauteur  de 
l'une  des  fenêtres,  et  l'on  im- 
prinir  un  mouvement  de  ro- 
tation rapide  à  l'axe  qui  porte 
les  deux  distiucs,  en  laissant 
l'n-il  immobile.  (Jhaque  Foi» 
que  l'une  des  fenêtres  passe 
devant  l'cril,  il  r<>çoit,  pen- 
dant un  in-slant  assez  court. 
l'impression  pniduile  par  Tiinage  correspondante;  à  cette  impression 
succèdent  ensuite  relies  des  autres  figures,  à  mesure  que  le  noD- 
vemeni  continue  :  de  là  résulte  que,  si  les  diverses  li(pires  repré- 
sentent une  série  de  transformations  d'un  même  objet,  comme  les 
mouvements  d'un  danseur  de  corde  ou  v«\i\  d'un  cheval  franchissant 
une  barrière,  on  a  l'illusion  de  ces  mouvements  eu\-m<^mes'''. 


li  rt>un'>i>nk  lei  Iruri-ttoniNilniiin  il'iin  i-nrlciiiii  >'a|ilaljrail 
tf.Tlk*!  «I  ilaii!'  Il-  :■■■■*  liiiriiuatal,  ilc  iMuiirc  h  w  rliiiii; 


DE  LOËIL  ET  DE  LA  VISION. 


20 1 


439.  EspéFl*nc«  de  FarMl»r. —  La  persistance  des  impret- 
BÏons  lumineuses  pennet  d'interpréter  les  particularités  diverses 
d'une  expérience  remarquable  qui  est  due  à  Faraday. 

On  a  deux  roues  de  même  diamètre,  présentant  un  mâme  nom- 
bre de  rayons  et  montées  sur  un  même  aie  perpendiculaire  à  leur 
plan  :  lorsque  ces  deux  roues 
tournent  en  sens  contraire, 
avec  des  vitesses  exactement 
égales,  un  observateur  placé 
sur  le  prolongement  de  l'axe 
de  ruiation  aperçoit  une  seule 
roue,  ayant  un  nombre  de 
rayons  double  do  celui  de 
chacune  d'elles,  —  Pour  se 
rendre  compte  de  cette  illu- 
sion, on  peut  concevoir  d'a- 
bord qu'une  barre  brillante 
*''S'  377'  -AB  (fig.  377)  tourne  autour 

d'un  axe  passant  par  son  milieu  (),  devant  un  fond  obscur.  Si  le  mou- 
vement est  suffisamment  rapide,  l'observateur  placé  sur  le  prolou- 
gement  de  l'axe  de  rotation 
croit  voir  un  cercle  présen- 
tant un  éclairement  assez 
Taible,  mais  uniforme. — ^Si 
iiiainlenaut ,  autour  du  même 
a\c,  on  faittourneren  même 
temps  une  autre  barre  A'B' 
(li(f.  378)  avec  une  vitesse 
égale  et  contraire,  le  cercle 
|inraît  deux  fois  plus  éclairé, 
excepté  dans  le»  points  où  les 
deux  ra^oiis  se  recouvrent  mu- 
^'«-  ^;*''  tuellement  ;     car ,     pour     ces 

points,  la  quantité  de  lumière  envoyée  à  l'œil  est  la  même,  en  un 


pelile  lipne  horiionlalo  1 
tiquai  iiilcnné<iiuiree. 


une  pi'lite  li([rie  vcrlicale,  vu  passaiil  par  lea  rurmes  ellip- 


202  OPTIQUE. 

lemps  donné,  que  s'il  n'y  avait  qu'une  seule  barre  tournante.  Or, 
si  les  vitesses  de  rotation  sont  exactement  égales,  il  y  a,  dans  le 
cercle  décrit  par  chacune  des  barres,  deux  bandes  A*B^  A'^B*. 
suivant  lesquelles  les  deux  barres  arrivent  toujours  à  se  recouvrir; 
ces  deux  bandes  sont  d'ailleurs  perpendiculaires  entre  elles.  On 
voit  donc  alors,  sur  le  fond  circulaire  relativement  brillant,  éeni 
bandes  immobiles  qui  sont  relativement  obscures  et  qui  sont 
perpendiculaires  Tune  à  l'autre.  Ce  raisonnement  étant  évièem- 
ment  applicable  à  chacun  des  raybns  des  roues  de  rexpërience  de 
Faraday,  le  résultat  qu'on  observe  dans  celte  expérience  est  ainsi 
expliqué  ^^K 

Si  les  vitesses  de  rotation  des  deux  roues  ne  sont  pas  exactement 
égales,  le  système  de  secteurs  que  l'on  aperçoit  se  déplace,  en  sens 
inverse  du  mouvement  le  plus  rapide,  avec  une  vitesse  égale  k  la 
demi-différence  des  vitesses  de  rotation  des  deux  systèmes. 

ààO.  MrrmdkmUowk» —  On  a  désigné  sous  le  nom  A^irradiatkm, 
dans  les  divers  ouvrages  de  physique  ou  de  physiologie,  des  phéno- 
mènes qui  paraissent  assez  divers  et  qui  doivent  être  rapportés  à 
des  causes  différentes  : 

i""  Lorsque  l'œil  n'est  pas  accommodé  pour  la  dislance  qui  le  sé- 
pare d'un  objet  brillant  placé  devant  dn  Fond  obscur,  l'image  de 
l'objet  sur  la  rétine  est  dilatée  ;  son  (liamètre  apparent  peut  même 
être  considérablement  augmenté,  pour  un  œil  myope  ou  pour  un  œil 
hypermétrope. 

9°  L'expérience  montre  (|ue ,  lorsi|tt'on  regarde  lin  objet  brillant, 
on  est  porté  à  lui  attribuer  des  dimensions  plus  grandes  qu*&  un 
objet  obscur,  bien  que  ces  deux  ol^ets  soient  égaux  et  placés  i  la 
m^me  distance  :  rV.st  là  une  errettl*  de  jugement  qui  est  rectifiée  par 
la  mesure  directe  du  diamètre  apparent. 

li*"  On  a  |)rétendu  ([u'une  inipr^s»ion  produite  en  un  \mni  de  la 
rétiup  s'étend  d'elle-nM^nie  aux  points  voisins,  et  qu'en  conséquence 
|p  diamètre  apparent  d'un  objet  est  d'autant  plus  (jrand  que  IVclat 

'  l.i*  |iiii''iionu'>iir  |H.*iil  ô|rjili'iiiviit  <>e  |ii-iii|tiir>  .i\/^  d- ii\  st'iivs  ili.*  mm lcur>  oliMurs. 
iiiiihili>  nii  ilna:il  «iNiii  fiMiil  hrillaiil. 


DE  L'OKIL  ET  DE  LA   VISION.  203 

de  cet  objet  est  plus  considérable.  C'est  dans  ce  sens  que  le  mot 
irradiation  a  été  employé  par  M.  Plateau  et  par  les  auteurs  qui 
ont  rapporté  les  expériences  de  ce  physicien.  —  Il  est  au  moins 
douteux  que  ce  phénomène  existe  :  la  propagation  d'une  impression, 
eoiré  des  fibres  nerveuses  contiguës,  serait  contraire  aux  lois  géné- 
rales de  Tôrganisation.  Les  faits  observés  par  M.  Plateau  paraissent 
pouvoir  s'expliquer  par  une  imperfection  de  Taccommodation  de 
rœii. 

Ail.  WlatoM  binoculaire.  —  Pour  que  les  impressions  pro- 
duites par  un  point  lumineux  sur  les  deux  yeux  se  combinent  en  une 
seule,  il  faut  :  i"  que  les  deux  axes  visuels  convergent  vers  ce  point; 
9*  que  les  images  produites  sur  les  deux  rétines  occupent  à  leur 
surface  des  points  correspondants,  c'est-à-dire  des  points  semblable- 
ment  situés  par  rapport  à  l'axe  visuel ,  et  par  rapport  à  Taxe  vertical 
et  à-  Taxe  horizontal  qu'on  peut  concevoir  menés  par  le  centre  de 

l'œil. 

En  dehors  de  ces  conditions,  la  vision  est  double.  —  Ainsi  un 

objet  situé  dans  le  plan  de  symétrie  du  corps,  au  delà  ou  en  deçà 
du  point  vers  lequel  convergent  actuellement  les  axes  visuels ,  pa- 
raît double.  —  LfOrsque,  par  une  pression  exercée  sur  un  œil,  on 
dérange  l'axe  visuel  de  cet  œil ,  tous  les  objets  paraissent  doubles. 
—  Lorsque,  dans  les  cas  de  strabisme  très-marqués,  les  axes  vi- 
suels sont  devenus  divergents  ou  convergents  vers  un  point  situé 
en  deçà  de  la  limite  inférieure  de  la  vision  distincte,  on  s'habitue 
à  ne. plus  faire  attention  qu'aux  impressions  produites  sur  l'un 
des  yeux  :  c'est  seulement  alors  que  l'impression  peut  n'être  pas 
doublée. 

Lorsque  les  deux  yeux  sont  dirigés  vers  un  même  point,  le  sen- 
timent du  degré  de  convergence  des  deux  axes  visuels  permet  d'es- 
timer, au  moins  approximativement ,  la  distance  à  laquelle  ce  point 
est  placé. 

Enfin,  lorsqu'un  corps  solide  à  trois  dimensions  est  situé  à  une 
distance  qui  n'est  pas  trop  considérable ,  les  images  qu'il  produit  sur 
les  deux  rétines  ne  sont  pas  identiques;  ce  défaut  d'identité  est, 
comme  l'a  fait  remarquer  M.  Wheatstunc,  la  condition  essentielle 


204  OPTIQUE. 

de  la  perception  du  relief.  —  C'est  ce  que  montrent  nettement  lei 

résultats  obtenus  à  l'aide  du  stéréoscope. 

Aâ2.  Mtérémmtmpe*  —  Les  diverses  espèces  de  stéréoscopet 
sont  fondées  sur  ce  principe  que ,  ni  l'on  place  simaltanëiiMDt  derâirt 
les  deux  yeux  deux  dessins  différents ,  reproduisant  pr^daérnent  les 
deux  images  qut  représenteraient  un  même  objet  en  relief,  tel  4|a'ii 
serait  vu  par  chacun  d'eux  ;  si,  en  outre,  par  un  artifice  eoDTenaUe, 
on  donne  aui  rayons  lumineux  émis  par  ces  dessins  vers  les  deni 
yeux  les  mêmes  directions  que  s'ils  venaient  de  l'objet,  alort  on  a  la 
perception  de  l'objet  en  relief  lui-même. 

La  ligure  ^"jf^  indique  la  disposition  du  stérioicefe  ré/ecUwr  de 
M.  Wliealstone  :  Alt  et  A'It'  Ront.des  dessins  placés  parallMement  l'un 


à  l'autre  .sur  des  pliincho(Ii>>  (|mi'  l'on  peut  faire  mouvoir  a  t'aide  de 
vis,  de  manière  à  le»  rappntcher  ou  à  les  éloigner  ù  volonté;  M  etM' 
sont  deux  miroirs  plans,  peqH'ndirulaires  entre  eux;  0  et  0'  sont 
des  ouvertures  auxquelles  on  place  le.s  deux  yeux ,  en  regardant  dans 
les  ntiroirs.  Si  les  distanres  sont  convenablement  réglées,  les  images 
vues  dans  les  deu:t  miroirs  se  superposent  en  ab,  el  produisent  l'im- 
pression du  relief. 

Le  ligure  38o  représente  une  coupe  du  ntfrimcopt  réfrarleur  de 
Brewster  :  AB  et  A'B'  sont  les  doux  dessins  satisfaisant  uux  con- 
ditions lndi(|ui>cs:  ils  sont  ici  sur  un  même  plan.  Doux  lonlillcs 
convergentes  L  o|  1/  donnent,  pour  les  \cm  (pii  sont  placés  au  delà. 


DE  L'OEIL  ET  DE  LA  VISION. 


des  images  virtuelles  silui^es  à  la  distance  delà  vision  dislincle;  deux 
|)rismes,  placés  en  sens  inverse  derrière  ces  lentilles,  dévient  les 


ravons  incidente,  de  telle  façon  ([iie  les  deux  images  uilu-llos  se 
superposent  en  nh. 

On  traitera  plus  loin  de  la  vision  des  t-ouleui's  et  du  déi'uut  d'a- 
l'hronialisme  de  l'œil. 


INSTRl  MENTS  D'OPTIOl'E. 


443.  Od  comprend  sous  la  déDomioatioD  gAiënde  tàutmwÊemti 
à'optiqve  des  systèmes  Irès-variés  de  surfaces  réftiogeiitcs  ou  r^é- 
rhhsantes,  qui  donnent  une  image  des  objets  dans  un  fïtuatïoa  ou 
avec  des  dimensions  Favorables  &  certaines  obserratioiM  nfétàaàea. 

Dans  tous  ceux  de  ces  ioslruments  qui  sont  fondés  sur  les  Ims  de 
la  réfraction ,  le  phénomène  de  la  dispersion  ïntervi«nt  comme  cause 
perturiiatrice.  On  fera  d'abord  abstraction  de  cette  particularité  es- 
sentielle, pour  y  revenir  plus  tard,  lorsqu'on  aura  exposé  les  lois  de 
la  décomposition  et  de  la  recomposition  de  la  lumière. 

ISSTSLHEIITS  Sh\S  OCULtlRB. 

h^'l.  CftMMhve  daire.  —  On  appelle  cAmnAra  dmtt  tout  sys- 
tème de  surfaces  réfléchissantes  propre  à  donner  des  objets  exté- 


rieurs une  jmnjje  virliiellefiupropil  peut  vnir  se  projeter  sur  un  papier. 


CHAMBRE  CLAIRK.  207 

et  dont  il  surtit  de  suivre  les  contours  avec  un  crayon  pour  obtenir 
un  dessin  exact  de  ces  objets. 

La  forme  la  plus  simple  que  l'on  emploie  pour  obtenir  ce  résultat 
consiste  en  ui)^l|iiiie  de  verre  MN  (fig.  38 1),  inclinée  à  /j5  degré-i 
sur  riiorizon  et  étamée  sur  celle  de  ses  faces  qui  regarde  le  sol  ;  le 
tain  en  a  été  enlevé  sur  une  petite  partie  ab  de  son  étendue.  L'œil 
étant  placé  à  une  petite  distance  au-dessus  de  ab,  la  pupille  PP' 
reçoit  h  la  fpis  les  rayons  venus  de  points  tels  que  A  et  réfléchis  sur 
le  miroir,  et,  les  rayons  venus  de  points  tels  que  A',  au  travers  de  la 
solution  de  continuité  du  tain.  Le  point  A  lui  paratt  donc  en  A', 
et  il  peut  vç^  en  même  temps  la  pointe  d'un  crayon,  qui  est  réel- 
lement placée,  en  A^  :  le  crayon  peut  donc  suivre  les  contours  de 
l'image  virtuelle  des  objets  voisins  de  A,  image  qui  est  ici  projetée 
sur  une  feuille  de  papier  placée  en  PQ.  —  Il  faut  remarquer  cepen- 
dant que,  si  l'objet  qu'on  se  propose  de  copier  n'est  pas  à  la  même 
distance  du  inirpir  que  le  papier  sur  lequel  se  meut  le  crayon,  l'œil 
ne  peut  voir  à  la  Cois  distinctement  le  crayon  et  l'image  de  cet  objet. 
On  fait  disparfl^tfans  cette.  diflSculté,  soit  en  plaçant  du  côté  des  objets 
une  lentille  divf^rgente  qui  rapproche  leur  image  virtuelle  du  miroir, 
soit  en  plaçant  du  côté  du  dessin  une  lentille  convergente  qui  éloigne 
l'image  virtuelle  du  crayorl. 

La  chambre  claire  de  Wollaston  (fig.  3 Sa)  se  compose  d'un  prisme 
quadrangulaire  de  verre,  dont  deux  faces,  KM,  KN,  sont  perpen- 
diculaires entre  elles,  les  deux  autres  faces  MH,  HN  faisant  entre 
elles  un  angle  de  i35  degrés.  Les  rayons  venus  des  points  éloignés 
tels  que  A  sont  d'abord  reçus  sur  une  lentille  divergente  Z,  qui 
donne  une  image  virtuelle  a  de  ces  points,  plus  près  de  l'appareil 
que  ne  sont  les  points  eux-mêmes;  au  sortir  de  cette  lentille,  les 
rayons  pénètrent  dans  le  prisme  presque  normalement  i\  la  face 
d'entrée,  c'est-îi-dire  sans  déviation  sensible,  et  viennent  éprouver 
deux  réflexions  totales  successives,  sur  les  faces  NH  et  HM;  la  figure 
montre  comment  on  peut  construire  les  images  virtuelles  a,  a",  que 
ces  deux  réflexions  substituent  successivement  ;i  l'image  //.  Enfin , 
comme  les  rayons  arrivent  sur  la  surface  KM  du  prisme  dans  une 
direction  à  peu  près  normale  à  cette  face,  ils  n'éprouvent  pas  de  nou- 
velle déviation,  et  produisent  dans  l'œil  la  perception  d'une  image 


virtuelle  silure  en  a".  L'œil  élanl  placé  de  far  on  que  ta  pupille  reçoive 
à  la  fois  res  rayons  <|ui  émergent  du  prisme  et  les  rayons  qui  vionnent 


directement  de  lit  pointe  du  crayon  située  en  a",  on  peut  diriger  le 
iTiivon  (le  manti^rc  à  îiuivre  les  contours  de  l'image  virluelle. 

&â5.  C^luunbre  «bMcwre. —  On  nomme  c/iamire  ohicure  un  es- 
pace limité  par  des  parois  opaques,  et  dans  lequel  pénètrent,  au 
travers  d'une  lentille  convergente,  les  rayons  venus  de  rextérieur  : 
ces  rayons  produisent  une  image  réelle  cl  renversée  des  objets  qui 
sont  placés  en  face  de  la  lentille. 

La  chambre  noire  employée  pour  la  photographie  (fig.  383)  se 
compose  d'une  caisse  rectangulaire,  formée  de  deux  pièces  M,  N 
qui  peuvent  glisser  l'une  dans  l'autre.  Dans  a  lace  antérieure  de  la 
première  est  fixé  un  système  convergent ,  formé  d'une  ou  de  plusieurs 
lentilles  L.  Dans  la  face  postérieure  de  ia  seconde  est  enchâssée 
une  glace  de  verre  dépoli  yq,  sur  laquelle  viennent  se  peindre  le» 


MICROSCOPK  SOLAIRE.  309 


images  ab  des  objets  extérieurs  tels  que  AB  ;  on  règle  lu  posilion  de 
cette  glace  en  faisant  avancer  ou  reculer  la  pièce  N  dans  la  pièce  M, 


de  manière  que  l'image  offre  une  nettett-  parfaite.  On  enlève  alors 
la  glace  dépolie,  pour  lui  substituer  une  surface  préparée  avec  une 
su^lance  impressionnable,  sur  laquelle  ta  lumière  doit  agir. 

Dans  le  migampe,  la  di^ositioo  est  analogue;  seulement,  les  ob- 
jets  étant  plates  i  une  petite  distance  au  delà  du  foyer  de  la  lentille 
convergente,  Timage  réelle  que  l'on  reçoit  sur  un  écran,  de  l'autre 
c6té  de  la  lentille,  est  plus  grande  que  l'objet  lui-même.  —  Enfin, 
la  lanterne  magique  n'est  qu'un  mégascope  dans  lequel  les  objets 
sont  des  dessins  coloriés  sur  verre  et  fortement  éclairés  par  trans- 
parence. 

ààG.  Wlwaapg  aôlalrc.  —  Dans  le  microscope  solaire,  la 
ptke  essentielle  est  une  lentille  convergente  G,  à  très-court  foyer 
(fig.  38&),  devant  laquelle  on  place,  à  une  dislance  un  peu  supé- 
rieure h  sa  distance  focale,  des  objets  très-petits  et  Iransparenls,  en 
AB:  cette  lentille  donne  une  image  réelle  très-agrandie  A'B'"'.  — 

O  Dam  cette  fignra  et  dtnt  loutca  cdin  dH  apptrdla  oi'i  inleniennenl  àex  lentilles,  on 
n'a  ptt  indiqué  In  don  d^tiitkin*  éprouvé»  pir  chacun  dm  rajron*  lumineux  qui  Iraver- 
Mnt  Ulealillo,  i  l'oilrée  dans  le  milieu  réfringenlet  à  la  norlie:  on  ■  timpliriélElracéen 
iadiquint  Ht»  nub  Jéviatùm,  crile  qui  aurait  lieu  «  la  lentille,  coaacrtanL  toujoun  la 
taitm  puiiUDce,  était  rédnilp  A  un  plan  réfringent  pasunl  par  %ps  bords.  La  trace  de  ce 
plan  aur  le  plan  de  la  |jf[uree»t  reprràenlée,  dBTiBloulFsce«fif;urci,  pur  une  ligne  ponctuée 
qui  pariage  en  deux  la  lentille,  et  le  long  de  laquelle  sont  indiquées  tes  dériilioni  d«s 
njM*  réfndéa.  É.  P. 

VmiT,  m.  —  Cours  de  plivs.  If.  lU 


210  OPTrQUb. 

A  cause  de  cet  agrandissemenl  considérable,  il  est  nécessaire  d'éclairer 

très-fortement  l'objel,  afin  d'obtenir  dans  Timage  an  ëdst  safitsant. 


Pig.  ui. 
Cet  édaîrage  est  obtenu  au  moyen  des  rayons  solaires,  que  l'on  i«- 


çoit  sur  an  miroir  MM'  convenablement  incliné,  et  que  l'on  coo- 


OPHTIIALMOSCOPK  â1 1 

cénti^  au  moyen  d'une  ou  plusieurs  lentilles  convergenlcs  H  :  c'est 
Tappareil  illuminateur.  Le  sysfème  convergent  H  rassemble  les  rayons 
solaires  6n  $,  de  sorte  que,  si  Ton  interposait  un  écran  en  ce  point, 
on  aurait  une  image  réelle  du  disque  solaire;  c'est  un  peu  au  delà 
du  plÉp.  9  q«  Fon  place  l'objet  AB  qu^il  s'agit  d'éclairer.  Les  rayons 
traninds  ou  dîffbsés  par  cet  objet  fournissent ,  au  delà  de  la  len- 
tille 6y  me  image  réelle  A'B\  que  Ton  peut  recevoir  sur  un  écran 
hlaniÉ^^ 

Pôar  augmenter  le  grossissement»  sans  être  obligé  d'employer 
des  iMtflles  convergentes  de  trop  court  foyer,  on  fait  souvent  usage 
de  là  diqpodtîon  représentée  par  la  figure  385.  Une  lentille  diver- 
gente  0  est  placée  au  delà  de  k  lentille  convergente  G  ;  on  obtient 
alors ^  non  plus  l'Image  réeUe  A|Bi  que  donnerait  la  lentille  G,  mais 
une  autre  image  réelle  A'B',  qui  est  placée  plus  loin  et  dont  les  di- 
mensions sont  bien  plus  considérables. 

A. défaut  de  la  lumière  solaire,  on  peut  employer,  pour  éclairer 
les  objets,  soit  la  lumière  d'diM  lémpe  électrique,  soit  la  lumière  de 
Druqmiond,  c^dstrà-dire  celte  ^  At  produite  par  un  bâton  de  chaux 
vive  siirTequel  oh  prbj'elVe  uii  dard  de  gaz  à  éclairage  alimenté  par 
de  l'oxygène.  L'appareil,  dont  le  système  grossissant  est  d'ailleurs 
exactement  le  même,  prend  alors  le  nom  de  microscope  électrique  ou 
de  microscope  à  gaz. 

kkl.  OyIitiMilie— pe»  —  On  peut  comprendre  parmi  les 
instruments  sans  oculaire  l'ingénieux  appareil  qui  a  été  inventé  par 
M.  Helmholtz,  et  dont  l'usage  a  fait  faire,  depuis  dix  ans,  tant  de 
progrès  à  la  physiologie  et  à  la  pathologie  de  la  vision. 

Sous  sa  forme  la  plus  simple ,  Yophthalmoscope  se  réduit  à  un  mi- 
roir métallique  concave  M  (fig.  386),  percé  d'une  petite  ouverture 
à  son  sommet.  L'observateur  place  ce  miroir  au  devant  de  l'un  de 
ses  yeux  0  (fig.  887),  la  face  réfléchissante  tournée  vers  l'extérieur; 
il  donne  alors  à  cette  face  une  direction  telle  qu'elle  réfléchisse,  sur 
Touverture  pupillaire  de  l'œil  0'  qu'il  soumet  à  son  examen,  les 
rayons  d'une  lampe  L  placée  latéralement.  Le  trou  pratiqué  au 
sommet  de  M  lui  permet  de  regarder  le  fond  de  l'œil  0'  ainsi  illu- 
miné; au  contraire,  dans  les  conditions  ordinaires,  toutes  les  fois 

lit. 


qu'une  personne  veut  ex^noioer  l'intérieur  de  l'œil  d'une  autre,  l'œil 
observe  n'est  éclairé  que  par  la  liimîère  qu'il  peut  recevoir  de  l'œil 
obsfirvaleuE,  et  tout  examen  est  impossible.  —  11  est  quelquefois 


commode  de  regarder  avec  l'ophthalmoscope ,  non  pas  l'intérieur  de 
l'œil  lui-même,  mais  l'image  réelle  qu'en  donne  une  lentille  conver- 
gente qu'on  tient  à  la  main  :  c'est  cette  lentille  qui  est  représentée 
en  lignes  ponctuées  dans  la  figure  ci^dessus. 


INSTRUHBNTS  X  OCULAIRES. 

hiS.  MmaiÊimm.  —  On  appelle  Aenc/n,  ou  vulgairement  luiieUti, 
des  lentilles  divei^ntes  ou  convergentes,  que  l'on  place  devant  les 
yeux  myopes,  presbytes  ou  hypermétropes,  pour  rendre  les  conditions 
de  la  vision  aussi  voisines  que  possible  de  celles  de  l'œil  oonnal. 

i'  Considérons  un  œil  myope,  chez  lequel  la  vision  est  distincte 
pour  des  distances  inférieures  à  a  et  supérieures  à  b;  et  supposons 
que  l'on  plade,  en  avant  de  cet  œil,  un  verre  divergent  ayant  pour 
distance  focale  la  longueur  a.  Il  résulte  de  ce  qui  a  été  dit  précédem- 


BESICLES.  âl3 


ment  qae  cet  œil  pourra  voir  distinctement  tous  les  objets  compris 
entre  l'infini  et  une  distance  d  déterminée  par  la  formule 


1       1      1 


b      d      a 

Si  la  distancp  i  est  voisine  de  i5  centimètres,  Tœil  myope  devient 
ainsi  comparable  h  un  œil  normal  ;  il  deviendrait  semblable  à  un  œil 
presbyte»  si  i  était  beaucoup  plus  grand  que  1 5  centimètres. 

L*asage  d'un  verre  dont  la  distance  focale  serait  supérieure  à  a 
diminaerait  simplement  la  myopie ,  sans  la  faire  disparaître.  —  Un 
verre  dont  la  distance  focale  serait  moindre  que  a  remplacerait  la 
myopie  par  Thypermëtropie. 

9*.  L'oBil  hypermétrope,  dans  son  état  naturel,  fait  converger  sur 
la  fAina  des  faisceaux  qui ,  à  l'incidence ,  sont  convergents  vers  un 
point  situé  derrière  l'œil  à  une  distance  déterminée;  il  peut,  en 
ootfo,  en  s*accommodant ,  faire  converger  sur  la  rétine  des  rayons 
moins  eonvergents  et  souvent  même  des  rayons  parallèles,  ou  di- 
vergents k  partir  d*an  point  éloigné  de  l'œil.  On  peut  donc  dire 
qae  fane  des  limites  de  la  vision  distincte  est,  pour  un  osil  hyper^ 
métroporitoujoan  négative,  et  que  l'autre  peut  être  négative,  infinie 
on  positive.  —  LNisage  d'an  verre  cmwergmUi  dont  la  distance  focale 
est  égale  i  la  limite  négative  la  plus  petite  en  valeur  absolue,  per- 
met de  voir  nettement  les  objets  situés  depuis  l'infini,  jusqu'il  une 
distance  positive  i,  déterminée  par  l'équation 

.      T)      d         a*    : 

L*œil  devient  ainsi  semblable  à  un  œil  normal  ou  à  un  œil  presr 
byte. 

Un  verre  convergent  qui  aurait  une  distance  focale  plus  grande 
ne  ferait  que  diminuer  ITiypemiétropie.  —  Un  verre  ayant  une  dis- 
tance focale  plus  courte  changerait  ITiypermétropie  en  myopie. 

3*  Les  presbytes  dont  la  limite  inférieure  de  vision  distincte  est 
trop  éloignée  de  l'œil  font  usage  de  verres  convergents  :  ces  verres 
leur  permettent  de  voir  nettement  les  objets  situés  à  une  distance 
qui  n'est  définie  par  aucun  caractère  spécial,  mais  qu'on  choisit  ordi^ 
nairement  de  aS  à  3o  centimètres.  Ln  presbyte  peut  alors  ordinai- 


2lû  OPTIQUE. 

rement  voir  les  objets  situés  entre  cette  distance  iaférieure  et  U 
distance  focale  principale  de  ses  besicles.  Sa  vue  prend  donc  li 
caractère  de  celle  des  myopes. 


ilBTMMpe  riMpic. —  On  donne  le  Dom  de 
Uupe  k  une  lentille  convergente,  placée  au  devant  de  rail,  et  des^ 
(inée  à  observer  des  objets  situés  au  deU ,  k  une  distance  moindre 
que  sa  dislance  focale. 

Un  objet  AB(fig.  388)  étant  placé  entre  la  lentille  convergente  G 
et  son  foyer  principal  F,  les  rayons  émanés  des  divers  points  de  cet 


objet  donnent  h  l'œil,  en  arrivant  dans  l'ouverture  de  la  pupille  RR', 
la.  perception  d'une  image  virtuelle  A'B',  droite  e(  plus  grande  que 
l'objet.  —  Si  la  distance  de  cette  image  à  l'œil  est  comprise  eotra 
les  limites  de  la  vision  distincte,  la  contemplation  de  l'image  peol 
être  substituée  à  la  contemplation  de  l'objet  ;  elle  peut  tdors  faire 
voir  des  détails  qui  seraient  inappréciables  h  la  vue  simple. 

450.  CrMwlaseaaeBfl  ém  ta  l««|w.  —  On  appelle,  en  géné- 
ral, grottiumtnt  d'un  instrument  d'optique  le  rapport  entre  le  dia- 
mètre apparent  de  l'image  et  celui  de  l'objet,  l'objet  étant  supposé 
placé  dans  les  conditions  ordinaires  de  lu  contemplation  directe. 


LOUPE.  215 

Or  les  objets  qu*on  examine  à  la  loupe  sont  du  nombre  de  ceux 
dont  on  peut  faire  varier  à  volonté  la  distance  à  Toeil.  Aussi»  lors* 
qu'on  veut  les  regarder  directement,  on  les  place  à  une  distance 
compatible  avec  la  vision  distincte,  et  généralement,  afin  d'en  mieux 
voir  les  détails,  à  la  limite  inférieure  de  la  vision  distincte.  Pour 
la  même  raison,  quand  on  regarde  ces  objets  à  la  loupe,  on  leur 
donne  une  position  telle,  que  leur  image  soit  éloignée  de  Tœil  d'une 
quantité  égale  à  cette  limite  inférieure. 

L'image  vue  à  la  loupe  étant  ainsi  à  la  même  distance  de  l'œil 
que  l'objet  vu  directement,  le  rapport  de  leurs  diamètres  apparents 
d^ns  ces  deux  conditions  est  égal  au  rapport  de  leurs  dimensions 

linéaires  A'B',  AB,  ou  au  rapport  Qp  •  On  a  donc,  en  représentant 

là  distance  OP  par  p,  et  la  distance  OP'  par  p\ 

m 

P 

en. outre,  en.  représentant  par/  la  valeur  absolue  de  la  distance  fo- 
cale principale  de  la  loupe ,  on  a 

1      i 1 

Mais,  si  l'on  désigne  par  A  la  distance  minima  de  la  vision  dis- 
tincte, et  par  z  la  distance  de  l'œil  à  la  loupe,  on  a 

p'^A-z. 

En  éliminant/?'  eip  entre  ces  trois  équations,  il  vient 

A-2 


G=i  + 


/ 


Si  z  est  peu  considérable  relativement  à  A,  c'est-à-dire  si  l'œil 
est  placé  très-près  de  la  loupe ,  cette  expression  se  réduit  à 

Enfin,  si/ est  également  très-petit  par  rapport  à  A,  c'est-à-dire  si  la 
loupe  est  à  très-court  foyer,  on  a  sensiblement 


216  OPTIQUE. 

Dans  tous  les  cas,  on  voit  que  ie  grossissement  augmente  quand 
la  distance  focale  <le  la  loupe  diminue,  et  quand  la  distance  de  la 
vue  distincte  augmente. 

/i51 .  PulMMiice  de  la  Itiupe.  —  Le  grossissement  n'est  pas  la 
quantité  la  plus  propre  à  faire  juger  du  degré  d'dtilitë  d'une  loupe. 
Ce  qui  importe  pour  l'usage  de  cet  instrument,  c'est  d'apercevoir  dans 
l'objet  qu'on  étudie  les  plus  petits  détails  possibles.  Dès  lors,  une 
loupe  sera  d'autant  plus  avantageuse,  pour  un  observateur  déter- 
miné, qu'elle  lui  fera  voir  sous  un  plus  grand  angle  un  objet  de 
grandeur  déterminée,  quel  que  soit  d'ailleurs  l'angle  sous  lequel 
son  œil  aperçoit  cet  objet  lorsqu'il  le  regarde  sans  loupé. 

La  puissance  d'une  loupe  peut  donc  être  définie  par  le  diamètre 
apparent  sous  lequel  elle  fait  voir  le  millimètre.  Or,  si  l'on  prend  le 
millimètre  pour  unité  de  longueur,  on  voit  qu'une  longueur  d'un 
millimètre,  prise  dans  l'objet,  acquiert  dans  l'image  virtuelle  une 
grahdeur'précisément.  égale  à  G,  en  sorte  que  son  diamètre  appa« 

rent  peut  se  mesurer  par  l'expression  j  •    Donc  l'expression  de  la 

'puissance  P  de  la  loupe  devient  alors 

2 

A^    / 

Si  l'on  néglige  z  par  rapport  à  A,  cette  expression  se  réduit  à 

On  voit  donc  (|ue  les  vues  myopes  sont  les  plus  avantageuses 
pour  les  observalions  à  la  loupe.  —  L'avantage  qu'elles  ont  sur  les 
autres  vues  ne  devient  insensible  que  si /est  très-petit,  c'est-à-dire 
si  la  loupe  est  très-grossissante. 

Il  faut  ajouter  enfin  qu'une  vue  myope  n'est  réellement  bonne 
pour  les  observations  à  la  loupe  que  si  la  myopie  n'est  pas  trop  forte  ; 
cela  tient  à  ce  que  les  cas  de  myopie  extrême  sont  généralement 
accompagnés  d'une  diminution  de  la  sensibilité  de  la  rétine  qui, 
habituée  à  contempler  des  objets  très-rapprochés ,  devient  moins 
propre  à  apercevoir  des  détails  ayant  un  diamètre  apparent  très-petit. 


LOUPE.  217 

/i52.  darté  de  la  laupe.  —  On  entend,  en  général,  par 
clarté  y  dans  les  instruments  d*optique,  le  rapport  entre  les  éclats  in- 
trinsèques de  l'image  et  de  l'objet.  —  Il  est  facile  de  voir  que, 
pour  la  loupe,  ce  rapport  a  sensiblement  pour  valeur  l'unité,  quel 
que  soit  le  grossissement. 

En  effet,  z  étant  toujours  supposé  négligeable,  la  surface  de 
l'image  est  à  celle  de  l'objet  dans  le  rapport  de  A'  à  p^.  Mais,  d'autre 
part,  la  quantité  de  lumière  qui  concourt  à  la  formation  de  l'image, 
étant  fournie  par  l'objet  placé  à  la  distance  p,  est  aussi  à  la  quantité 
de  lumière  qu'envoyait  l'objet,  placé  à  la  distance  A,  dans  le  rapport 
de  à^  h  p^;  en  sorte  que  les  éclats  intrinsèques  de  l'image  et  de 
l'objet  peuvent  être  considérés  comme  égaux. 

Néanmoins,  comme  l'œil  voit  des  détails  d'autant  plus  petits  que 
U  lumière  est  plus  vive,  au  moins  jusqu'à  la  limite  où  commence 
Téblouissement,  il  est  toujours  avantageux  d'éclairer  fortement  les 
objets  qu'on  examine  à  la  loupe.  Gela  est  même  tout  i  fait  nécessaire 
si  la  loupe  est  à  foyer  très -court;  car,  l'objet  devant  être  placé 
très-près  de  la  loupe,  et  celle-ci  très-près  de  l'œil,  la  tête  de  l'ob- 
servateur arrête  la  plus  grande  partie  des  rayons  lumineux  qui  lui 
parviendraient  de  ce  cAté. 

â53.  C^lMMMp  ëe  la  iMipe. —  Le  champ  de  la  loupe  est  l'espace 
angulaire  que  l'œil  placé  près  de  la  loupe  peut  embrasser,  sans  que 
ta  vision  soit  altérée  par  les  aberrations  de  sphéricité.  —  L'expé- 
rience prouve  que  le  champ  ne  peut  guère  dépasser  9  à  i  o  degrés 
autour  de  l'axe  principal. 

àbH.  lioupcs  ëestinèes  aux  tuwtm  iri*oMilMieHie»t«  t  le»- 
tlllea  dlaplirasaiéefl,  iMipes  eeaipfMiéee.  —  Lorsqu'on  veut 
accroître  le  grossissement  de  la  loupe,  on  diminue  la  distance  focale 
en  donnant  aux  rayons  de  courbure  des  valeurs  de  plus  en  plus  pe- 
tites; mais  alors  on  voit,  par  cela  même,  les  aberrations  augmenter 
rapidement.  —  Lorsque  la  loupe  n'est  pas  très-grossiswsante,  on  ap- 
plique simplement  sur  l'une  de  ses  faces  un  diaphragme  circulaire 
qui  arrête  les  rayons  marginaux;  mais  ce  diaphragme  a  toujours  l'in- 
convénient de  diminuer  le  champ. 


218  OPTIQUE. 

Pour  conserver  au  champ  une  valeur  suffisante  et  éviter  les  aber- 
rations, on  a  recours  soit  aux  lentilles  diaphragmées  deWollasten, 
soit  aux  loupes  composées. 

1°  Dans  tes  lentiilet  diaphragmées  de  Wotlaston  (fig.  389),  le  dia- 
phragme est  placé  dans  la  masse  même  de  la  lentille,  qui  se  trouve 


ainsi  divisée  en  deux.  On  peut  même,  dans  ce  cas,  donner  i la  len" 
tille  la  forme  d'une  sphère  partagée  en  deux  hémisphères,  ainsi  que 
le  montre  la  figure^  La  lentille  n'est  toujours  traversée  que  par  des 
rayons  voisins  dii  centre  optique  0,  et  le  champ  reste  consîdérable; 
3*  Soit  une  loupe  composée  de  deux  lentilles  convergentes  G,  G' 
(fig.  Sgo).  Si  l'on  désigne  par^la  distance  focale  de  la  lentille  G 
qui  est  la  plus  voisine  de  l'ohjet,  par  p  la  distance  OP,  et  par  v  la 
distance  OlI  du  centre  optique  de  celte  lentille  à  l'image  virtuelle  a§ 
qu'elle  donnerait,  on  a 

De  même,  si  l'on  désigne  par/'  la  dùtance  focale  de  la  seconde  len-' 
tille  G',  par  D  l'intervalle  00'  des  centres  optiques  des  deai  len- 
tilles, par  A  la  distance  de  la  vision  distincte,  et  si  l'on  né^ge  la 
s  de  l'œil  à  la  lentille  G',  on  a    ' 


h) 


LOUPE  COMPOSÉE.  219 

et  le  grossissement  -jg-»  qui  peut  s'écrire  —g-  X  ^.  a  pour  valeur 


Mtis  l'équation  (3)  donne  ' 


r^uatioD  (1)  donne  de  même 


OQ,  en  remplaçant  encore  «r,  dans  ce  second  membre,  par  w  va- 
leur déduite  de  l'équation  (a),  savoir  -r^-  —  D,  il  vient 

«=('+7)('-/-^-7)- 

ca  qne  1*00  peut  écrire 

L'expérience  et  la  théorie  ont  montré  qu'il  est  avantageux  de 
construire  une  loupe  à  deux  verres  avec  deux  lentilles  plan-convexes. 


230  OPTIQUE. 

tournant  Tune  vers  l'autre  leurs  faces  courbes,  comme  l'indique  la 

figure  3 90. 

Lorsque  ces  leulilles  ont  même  distance  focale/et  que  l'intervalle 
qui  les  sépare  D  est  égal  aux  deux  tiers  de  cette  distance  focale,  la 
loupe  reçoit  le  nom  d'oculaire  de  Rajiuden.  Le  grossissement  est  alors 

et,  si/est  petit  par  rapport  à  A,  on  a  sensiblement 


Dans  \edoiJ>letde  Wolhuton,  les  distances  focales  ^y  et  lad 
D  sont  réglées  de  manière  qu'on  ait/'—  3/ et  D  —  ^,flt  par  mite 
le  grossissement  est 


G- 


et,  si/ est  petit  par  rapport  à  A,  la  valeur  du  grossissemeiit  est BOi'- 
siblement 

Les  deux  lentilles  d'un  doublet  sont  ordinairement  réunies  par 
une  monture  h  vis  (fîg.  891)  qui  permet 
de  faire  varier  un  peu  la  distance  de 
l'une  à  l'autre.  On  règle  ainsi  la  valeur 
de  la  distance  D,  de  faron  i  obtenir  l'a- 
justement le  plus  convenable  pour  les  dif- 
férentes vues. 

On  donne  quelquefois  le  nom  de  mi^ 

croicojie  timple  à  une  loupe  montée  sur  un 

pied,  auquel  on  joint  un  porte-objet  et 

un  appari-il  «'clairnnt  semblables  à  ceux 

<pii  .seront  décrits  plus  loin  à  l'occasion 

''''  ■''■''  dii  microscope  composé.  —  Oet  appareil, 

dont  le  grossissement  <-st  ordinairement  moindre  que  celui  des  mi- 

croscope.s  composés,  est  souvent  employé  par  les  naturalistes  pour 

la  dissection  des  petits  objets. 


MICKOSCOPE  COMPOSÉ.  221 

455.  Mlw— wpfi  ■■■»p— é.  —  Le  microscope  composé  com- 
pnùd  esseatiellement  :  i".  un  système  convergent  appelé  objectif,  et 
formé  d'une  ou  plusieurs  lentilles  G  (ûg.  3^3),  donnant  une 
image  réelle,  agrandie  et  renversée  «jS.de  l'objet  AB;  3*  un  second 


■ystème  convergent,  appelé  oculaire,  et  formé  également  d'une  ou 
piosieurs  lentilles  D ,  qui  fonctionne  par  rapport  à  cette  image  réelle 
comme  une  loupe,  et  ta  grossit  encore  en  la  reportant  à  la  distance 
«MÛMi  de  la  vision  distincte  en  A'B'. 

Si  la  distance  de  l'oculaire  D  à  l'objectif  G  est  variable,  on  pourra 
toujours  amener  l'oculaire  dans  une  position  telle ,  que  l'image  A'B'  se 
forme  à  la  distance  de  la  vision  distincte,  quelle  que  soit  la  position 
de  l'image  réelle  a/3,  et,  par  suite,  pour  des  positions  lrè»-diverses 
de  l'objet  AB  par  rapport  à  la  lentille  G.  Mais  il  est  visible  que  le 
grossissement,  qui  dépend  du  rapport  de  A'B'  à  AB,  dépendra  alors 
de  la  position  de  l'oculaire  par  rapport  à  l'objectif.  —  Si  l'on  veut 
que  le  grossissement  demeure  constant  pour  un  même  observateur, 
dans  l'étude  de  divers  objets,  et  en  particulier  dans  l'examen  des 
divers  plans  d'un  objet  transparent ,  il  faut  maintenir  invariable  la 
distance  de  l'oculaire  à  l'objectif,  et  faire  varier  alors  la  distance  de 
l'objectif  k  l'objet.  On  satisfait  à  cette  condition  par  la  mobilité  du 
tube  qui  porte  les  verres  du  microscope. 


:iii  OFTIQLh:. 

A  5 6.  Qf— 1— MCMit  et  puiwnMCc  #u  Migwgi»pc>  —  On 

voit,  par  des  considérations  semblables  à  celles  qui  ont  été  déveiep* 
pées  à  propos  de  la  loupe,  que  le  grossissement  du  microscope, 
c'est-à-dire  le  rapport  des  diamètres  apparents  de  l'image  et  de  l'objet 
placés  à  la  distance  mmima  de  la  vision  distincte ,  est  égal  au  rap- 

A'R' 

port  -7^  (fig.  3^9 ).  —  D'autre. part,  cette  expression  peut  ^éerire 

-^  X  T^;  le  second  rapport  est  le  grossissement  de  Tobjeetif,  qne 

l'on  peut  désigner  par  g;  le  premier  est  le  grossissement  de  IVw- 
laire,  qui,  dans  le  cas  où  l'œil  est  placé  très-près  de  la  lemSk, 

peut  s'exprimer,  comme  on  Ta  vu  (A 50)»  par  i-f-âi.^  DwMi  le 
grossissement  G  du  microscope  a  pour  expression  approdiét 


G=y(,+^) 


On  mesure  ordinairement  le  grossissement  du  microsfope  par 
une  expérience  directe,  au  moyen  d'une  chambre  claire  adaptée 
contre  l'oculaire;  on  fait  en  sorte  qu'elle  projette,  sur  une  rè^e  di- 
visée placée  à  la  distance  do  la  vision  distincte,  en  dehors  de  l'ins- 
trument, l'image  virtuelle  d'un  micromètre  tracé  sur  une  lame  de 
verre  et  installé  sur  le  porte-objet. 

Si  l'on  veut  maintenant  évaluer  séparément  le  grossissement  de 
l'objectif  et  celui  de  l'oculaire ,  on  mesure  directement  le  grossisse- 
ment de  l'objectif.  Pour  cela,  on  cherche  quel  est  le  nombre  de  divi- 
sions d'un  micromètre  placé  sur  le  porte-objet,  dont  l'image  réelle  se 
projette  sur  un  diaphragme  de  grandeur  connue,  placé  dans  le  plan 
de  cette  image.  —  Le  quotient  du  grossissement  total  par  le  gros- 
sissement de  l'objectif  fait  connaître  le  grossissement  de  l'oculaire. 
—  11  est  utile  de  faire  ces  déterminations  pour  les  divers  objectifs 
et  les  divers  oculaires  que  l'on  peut  monter  sur  le  tube  d'un  même 
microscope. 

L'avantage  réel  d'un  microscope,  comme  celui  d'une  loupe,  est 
moins  bien  représenté  par  son  grossissement  que  par  sa  puistanct, 
c'est-à-dire  par  le  quotient  du  grossissement  par  la  distance  de  la 
vue  distincte  (451). 


MICROSCÛfB  COMPOSÉ.  in 

i57.  K^pl>l  du  dl»plUN»sa*e  4«h«  le  M>i«r>«««pe*  — 

'Pour  limiler  le  champ  de  l'instrument  aux  points  dont  les  faisceaux 
Inmirteux  arrivent  à  l'oculaire  rous  une  faible  obliquité,  on  emploie 

Tia  diaphragme  percé  d'une  ouverture  centrale. 

Ce  diaphragme  doit  être  placé  exactement  en  MM'  (fig.  3^3), 
dlUB  le  plan  focal  de  l'image  réelle  donnée  par  l'objectif.  —  La  fi- 


gore  montre  en  effet  qile,  dans  cette  position,  l'ouverture  laisse  pas- 
ser eaentier  le  faisceau  lumineux  émis  par  les  points  tels  que  A  sur 
l'objectif,  et  réunis  par  cette  lentille  au  point  a;  tous  les  rayons  de 
-ce  faisceau  concourent  donc  à  former  l'image  virluclie  A'  de  ce  point, 
et  il  en  est  de  même  pour  tous  les  points  du  champ.  Au  contraire, 
te  diaphragme  arrête  complètement  le  faisceau  émis  par  les  points 
tels  que  E. 

Si  le  diaphragme  était  placé  plus  près  de  l'oculaire,  en  M,M|  par 
exemple,  il  ne  laisserait  passer  qu'une  partie  du  faisceau  émis  par 
"UD  point  tel  que  A,  situé  vers  la  limite  du  champ.  —  S'il  était  placé 
•plus  loin,  en  M^Ma,  il  laisserait  passer  en  partie  le  faisceau  émis 
-par  le  point  E,  qui  pourrait  alors  se  trouver  dans  le  champ,  mais 
dont  l'image  ne  serait  formée  que  par  un  petitnombre  de  rayons.  — 
DoDC,  dans  les  deux  derniers  cas,  les  bords  du  champ  laisseraient  à 
iénrer  à  la  feis  pour  la  netteté  et  pour  l'éclat. 


i58.  1 


wIpmi  du  Bil«>«BC«pe>  • 


Le  grossisse- 


ment  du  microscope  ayant  pour  effet  de  diminuer  beaucoup  l'ëclBl 
intrinsèque  de  l'image,  il  est  nécessaire  d'y  adjoindre  un  tyslime 
éclairant,  donnant  à  l'objet  un  éclat  considérable.  —  Pour  Tob- 
servation  des  objets  trsnq»- 
rents  qui  sont  aaMijettis  entre 
des  lames  de  verre  «  on  k 
sert  d'un  miroir  conave  M 

(fig.  394),<{niwt|jM»- 
desKus  du  ^ffi  ifftt  A,,  fl 
dont  on  règle  fincKiiiiioo  ài 
manière  i  r<fl<dA>  diBS  le 

tube  de  l'instntnMBt»  m  tv^ 
vers  des  objets,  la  Imièn  <ki 
nuées  ou  cdie  iTiim  l^tmt 
—  Pour  édainr  kt  «kjMt 
opaques ,  on  emjJoîa  UM  ko- 
tUle  convei^ente,  qm  Too 
place  au-desBUB  de  h  i^aque 
porte -objet  A,  et  que  Ton 
oriente  de  manière  à  concen- 
trer sur  les  objets  la  lumière 
qu'ils  diffusent  ensuite.  — 
Le  collier  B,  qui  soutient  le 
tube  du  microscope,  est  fixé 
à  la  colonne  métallique  creuse  (î  :  une  vis  V,  placée  dans  l'axe  de 
cette  colonne,  permet  delà  faire  monter  ou  descendre,  de  maniérée 
foire  mouvoir  le  tube  du  microscope  tout  entier. 

La  constitution  des  oculaires  va  être  indiquée,  dans  le  paragra- 
phe suivant,  aver  quelques  détails.  —  Comme  objectif,  on  emploie 
d'ordinaire,  au  lieu  d'une  lentille  unique,  un  système  de  lentilles 
qui  permet  d'avoir  un  grossissement  considérable  avec  de  faiMec 
aberrations  de  sphéricité. 


A  59.  Bl*m«  »r— *— *•  s 


mrt»r*»  Ai»*  ■••  ■ 


e>«a«a>ea.  —  L'oculaire  du  microscope  est  tanlAt  un  oculaire  de 
Ramsden,  semblable  à  celui  qui  a  été  décrit  plus  haut  (&5&),  et 


MICROSCOPE  COMPOSÉ.  225 

d»îsîgné  alors  sous  lo  nom  A'octtlnirf  jwsitif;  lanlôt  un  oculaire  «^gtilif, 
rormé  de  deux  verres  dont  le  premier  es(  [)lacé  entre  l'objoctif  et 
riiitiige  réelle  que  cet  objectif  tend  à  former. 

La  figure  SgS  indique  la  marche  des  rayons  dans  l'orulfiire 
néfpttil.  Les  rayons  rencontrent  la  première  lentille  C  de  l'oculuire 


avnni  d'avoir  formé  l'imuge  réelle  a/S  qui  serait  produite  par  l'ob- 
jectif; celte  image  fonctionne  alors  ,  par  rapportais  lentille  C.  comme 
un  objet  lumineux  virtuel,  et  il  se  forme  une  image  réelle  a'^'  entre 
l'image  a^  et  la  lentille  C,  C'est  celte  image  réelle  qu'on  observe  au 
travers  de  la  seconde  lentille  0',  et  dont  on  voit  l'image  virtuelle  à  la 
diytuice  de  la  vision  distincte,  en  A'B'.  — Si  l'on  désigne  par  p  et  «r 
les  valeurs  absolues  des  distances  Oa  Oa,  par/  la  valeur  absolue  de 
la  distance  focale  de  la  première  lentille,  il  est  facile  de  voir  qu'or 
aura 

•(■)        ■  ^-i--r 

De  méote,  en  appelaut  D  la  distnnre  00'  des  deux  lentilles,  et/'  la 
valeur  absolue  de  la  distance  focale  de  la  seconde  lentille ,  on  aura  le 

V-^}  A      D—sr  /' 

grossissemeot  —s-,  qui  peut  s'écrire  -737-—^.  nuru  pour  expression 

«=('+j-)0-7)- 

VuHT,  III.  —  (Viurfl  lie  pli]!).  II.  I  -I 


226  OPTIQUE. 

En  remplaçant  w  [>nr  iia  valeur  iirée  de  IMquation  (a),  c'esl-à-dire 

par  D—  A.L/''  •'  ^Kol  déHnitivnntenl 

«=(-f)(-7I^-7)- 

Il  est  digne  de  reman|ue  que  cette  expreiision  est  identique  ù  celle 
qu'on  a  tronv<!e  dans  le  cas  de  Toculaire  positif  (ASA), 

L'oculaire  négatif  a  été  inventé  par  Huyghens,  pour  corriger,  au 
moins  en  partie,  l'ciTet  nuisible  de  la  dispersion.  —  H  est  souvent 
construit  de  énanière  que  l'on  aitf=5fel  h-=af';  ce  sont  dn 
moins  les  conditions  qui  ont  paru  les  plus  avantageuses  i  l'opticien 
iinglats  Dollond.  La  valeur  du  grossissement  est  alors 

et  si  y  est  petit  par  rapport  &  à,  cette  expression  se  ré<luit  à 

r  i 

G-aj- 

h&O.  Iiunvtte  iMtraitMntque.  —  La  lunette  astronomique 
comprend  essentiellement  :  i*  un  objectif  convei^nt ,  qut  donne  en 
son  foyer  principal  une  image  renversée  des  objets  très-éloign^s'"; 


•j'  un  oculaire  convergent,  aif  travers  duquel  l'oeil  reganle  cotte 
image,  et  qui  la  grossit  sans  la  redresser. 

<''  |j  lunelIsMtMUvenl  employer  A  ohierv»r  dM  olijcti  duni  lu  ilifUnre,  bien  (|iwmi> 


LUNETTE  ASTRONOMIQUE.  227 

La  figure  896  représente  la  marche  des  rayons  au  travers 
(l*une  lunette  astronomique  formée  d'un  objectif  M  et  d'un  oculaire 
simple  M';  OA,  OB  sont  les  droites  menées  du  centre  de  l'objectif 
aux  extrémités  de  l'objet,  qui  n'a  pu  être  indiqué  sur  la  figure; 
les  lignes  pleines  représentent  les  rayons  qui  sont  émis  par  l'objet 
près  des  bords  de  l'objeclif ,  et  le  trajet  de  ces  rayons  dans  l'instru- 
ment :  les  lignes  ponctuées  sont  des  lignes  de  construction  dont 
on  verra  facilement  le  rôle,  avec  un  peu  d'attention. 

A61.  QroMtlsseBieiit    de   1»   liineUe    astronomique.   — 

Le  grossissement  de  la  lunette  astronomique  est  le  rapport  du  dia- 
mètre apparent  de  l'image  au  diamètre  apparent  de  l'objet.  Il  faut 
d'ailleurs  remarquer  que  le  diamètre  apparent  de  l'objet  ne  peut 
varier  ici  au  gré  de  l'observateur,  puisque  la  distance  de  l'objet  à 
l'œil  est  déterminée. 

Or,  si  l'on  néglige  la  distance  de  l'œil  h  l'oculaire,  le  rapport  des 
diamètres  apparents  est  égal  h  celui  des  angles  A'O'B'  et  AOB,  et 
par  conséquent  à  celui  des  angles  aO'/S  et  aOjS,  c'est-à-dire  au 
rapport  des  angles  sous  lesquels  l'image  réelle  ajS  est  vue  du  centre 
optique  de  l'oculaire  et  du  centre  optique  de  l'objectif.  Si  ces  angles 
sont  peu  considérables,  leur  rapport  est  sensiblement  égal  au  rapport 
inverse  des  distances  de  ajS  à  ces  deux  centres  optiques,  c'est-à-dire 
que  l'on  a 

F  désignant  la  distance  focale  principale  de  l'objectif,  et  (p  la  dis- 
tance qui  doit  exister  entre  l'image  réelle  et  l'oculaire,  pour  que 
l'image  virtuelle  se  forme  à  la  distance  de  la  vision  distincte. 

Pour  un  œil  normal  ou  pour  un  œil  myope,  la  dislance  (^  est  tou- 
jours plus  petite  que  la  distance  focale  principale /de  l'oculaire,  et 

par  conséquent  on  a  alors 

F 
G>}. 

périeure  à  la  distance  ordinaire  des  objets  microscopiques,  n^est  cependant  pas  très-grande  : 
c^est  le  cas,  par  e&emple,  de  la  lunette  du  cathétomètre.  ^instrument  est  alors  intermi- 
diaire  entre  un  microscope  proprement  dit  et  une  lunette  appliquée  à  la  vision  des  objets 
très-distants. 


1.) 


228  OPTIQUE. 

—  Pour  un  œil  hypermétrope,  la  distance  (f  peut  être  plus  grande 
que/,  et  Ton  aurait  alors 


Enfin  l'expression 


Il  =  -7' 


J 


conviendrait  au  cas  idéal  oîi  Tœil,  en  regardant  dans  une  lunette, 
deviendrait  infiniment  presbyte^  c'est-à-dire  serait  accommodé  pour 
voir  nettement  les  objets  situés  à  l'infini. 

Bien  (|ue  cette  dernière  condition  ne  soit  probablement  jamais 
réalisée  d'une  manière  rigoureuse,  l'expression  précédente  sert  a 

caractériser  le  pouvoir  amplifiant  d'une  lunette ,  indépendamment  de 

F  .     . 

l'observateur,  et  la  valeur  du  rapport  -j  est  ordinairement  considérée 

comme  servant  de  mesure  au  grossissement  de  la  lunette. 


Â62.  Oculaire*  de  1»  limeUe  astranamlque.  —  L'ocu- 
laire de  la  lunette  devant  toujours  être  placé,  par  rapport  à  l'image 
réelle  formée  au  foyer  de  l'objectif,  de  manière  que  l'image  virtuelle 
soit  reportée  à  la  distance  de  la  vision  distincte,  il  est  indispensable 
qu'il  soit  assujetti  dans  un  tube  auxiliaire  avec  un  (ira^^  facultatif  : 
chaque  observateur  peut  alors  lui  donner  une  position  convenable 

pour  sa  vue. 

• 

A  l'oculaire  simple  on  substitue  ordinairement  un  oculaire  double, 
positif  ou  négatif.  —  Dans  ce  cas,  pour  obtenir  l'expression  du 
grossissement ,  on  peut  remarquer  que ,  si  l'œil  était  accommodé  de 
manière  à  voir  nettement  à  la  distance  A,  et  s'il  contemplait  directe- 
ment l'image  réelle  I ,  formée  au  foyer  de  l'objectif,  il  verrait  cette 

image  sous  un  angle  ayant  sensiblement  pour  mesure  -r  •  Lorsqu'il 
la  regarde  à  l'aide  d'un  oculaire  dont  le  grossissement  est  g,  il  la 
voit  sous  l'angle  g-^* —  D'autre  part,  le  diamètre  apparent  de  l'objet 
est  égal,  comme  il  a  été  dit  plus  haut,  au  diamètre  apparent  de 
l'image  vue  du  centre  de  l'objectif,  c'est-à-dire  ù  p;  le  grossisse- 


LUNETTK  ASTRONOMIQUE.  229 

ment  G  de  la  lunette  est  donc 


G 


I 
i 
I" 


n 


(r) 


OU  bien 


Si  A  est  suffisamment  grand  par  rapport  aux  distances  focales  des 
deux  verres  de  Toculaire,  on  a,  pour  l'oculaire  négatif  comme  pour 
roculaire  positif  (45 &  et  459), 

A       A       AD 

et  par  suite 

.,  _  F  ^  F       FI) 

&63.    WHmpÊÊmgnàe    de    1»     limette    astronomique.    — 

On  peut  répéter  ici,  sur  l'utilité  d'un  diaphragme  et  la  position  qu'il 
convient  de  lui  donner,  tout  ce  qui  a  été  dit  à  l'occasion  du  micros- 
cope. 

Le  diaphragme  est  toujours  porté  par  le  tube  de  l'oculaire;  il  est 
placé  en  dehors  de  l'intervalle  compris  entre  les  deux  lentilles  ou 
dans  cet  intervalle  lui-même,  suivant  que  l'oculaire  est  positif  ou 
négatif.  Lorsque  l'oculaire  est  positif,  il  est  monté  de  façon  qu'on 
puisse  à  volonté  le  rapprocher  ou  l'éloigner  du  diaphragme.  Lors- 
que Toculaire  est  négatif,  c'est  au  contraire  le  diaphragme  qu'on 
peut  à  volonté  faire  avancer  ou  reculer  dans  l'intervalle  des  deux 
verres.—  Pour  régler  expérimentalement  la  position  du  diaphragme, 
on  prend  à  part  le  tube  oculaire,  et  l'on  donne  au  diaphragme,  dans 
ce  tube,  une  position  telle,  que  l'œil  placé  à  l'oculaire  en  voie  nette- 
ment le  contour  ^^K  Lorsqu'on  dirigera  la  lunette  sur  un  objet  éloi- 
gné, et  qu'on  fera  mouvoir  le  tube  oculaire  jusqu'au  point  oii  la 
vision  de  cet  objet  deviendra  parfaitement  distincte,  il  est  clair  qu'on 

^')  On  peut  se  dispenser,  pour  effectuer  ce  réglage,  d'enlever  le  tube  oculaire  de  la  lo- 
nette  :  il  suffit  de  diriger  l'instrument  vers  une  surface  lumineuse  uniforme,  présentant 
une  grande  étendue,  comme  la  surface  du  ciel  pendant  le  jour. 


Î30  OPTIQUE. 

nmf>n(>ru  ainsi  le  diaphragme  dans  le  plan  où  se  forme  rimd(][e 
nielle. 

/|64.  Rétieiile  de  1»  lunette  astronomique.  —  Toutes  les 
fois  que  la  lunette  doit  servira  des  mesures  angulaires,  le  diaphragme 
porte  un  réticule,  qui  est  généralement  formé  de  deux  fils  très-fins  se 
croisant  à  angle  droit. 

Si  le  point  de  croisement  des  deux  fils  est  suffisamment  voisin  de 
Taxe  commun  des  deux  surfaces  de  la  lentille  objective,  Timagc 
d'un  point  lumineux  ne  pourra  se  former  en  ce  point  de  croise- 
ment lui-même  que  si  le  point  lumineux,  le  centre  optique  de  Tob- 
jectif  et  le  point  de  croisement  se  trouvent  en  ligne  droite.  —  La 
lignç  droite ,  qui  est  ainsi  définie  par  le  contre  optique  de  l'objectif 
et  par  la  croisée  des  fils  du  réticule,  est  Vaxe  optique  de  la  lu- 
nette :  c'est  en  amenant  cette  ligne  à  passer  successivement  par 
divers  points  qu'on  peut  mesurer  les  distances  angulaires  de  ces 
points  entre  eux  ^^K 

Il  n'est  pas  toujours  indispensable ,  mais  il  est  toujours  avanta- 
geux ,  que  Taxe  optique  d'une  lunette  coïncide  avec  son  axe  géomé- 
trique. —  Pour  satisfaire  à  cette  condition,  on  dirige  la  ligne  de 
visée  de  la  lunette  vers  un  point  très -éloigné.  On  fait  tourner  la 
lunette  autour  de  son  axe  géométrique,  et  l'on  constate  si  la  ligne 
de  visée  passe  toujours  par  ce  même  point;  s'il  n'en  est  pas  ainsi, 
on  déplace  le  réticule  dans  son  plan,  jusqu'à  ce  que  cette  condition 
soit  rigoureusement  satisfaite. 

Pour  les  observations  micrométriques ,  on  fait  usage  de  réticules 
à  fils  mobiles,  qui  présentent  des  systèmes  de  fils  parallèles  disposés 
de  façon  que  l'on  puisse  mesurer  les  distances  qui  les  sépatent 
entre  eux.  —  Le  quotient  de  l'intervalle  de  deux  fils  parallèles  par 
leur  distance  au  centre  optique  de  l'objectif  est  égal  à  la  tangente  de 
la  distance  angulaire  des  deux  points  dont  les  fils  recouvrent  les 
images ,  au  moins  lorsque  cette  distance  est  très-petite.  —  Un  sem- 
blable réticule  ne  peut  étrovemployé  qu'avec  un  oculaire  positif;  en 

<*)  Une  tunetlp  munie  d*un  réticule  peut  également  servir  à  mcBorer  les  dislances  ab- 
solues des  points  sur  lesquels  elle  est  suooessivemeot  dirigée.  H  suffit  pour  cela  qu*elle 
soit  disposée  comme  la  luneUe  du  catbélomètre  (  16)  ou  des  instrameiils  analogues. 


LUNETTE  ASTRONOMIQUE.  231 

eflct,  si  l'on  faisdit  usage  d'un  oo^ilaire  négatif,  la  distance  du  réti- 
culé à  l'objectif  gérait  variable  d'un  observateur  à  un  autre. 

Il  est  essentiel,  dans  tous  les  cas,  de  placer  exactement  le  réti- 
cule dans  le  phn  de  l'image  réelle.  On  reconnaît  qu'il  en  est  ainsi 
lonque,  en  déplaçant  l'œil  à  droite  ou  k  gauche  de  l'oculaire,  on  ne 
constate  aacnne  parallaxe.  —  Si  un  mouvement  vers  la  droite  porte 
]es  fik  vers  la  gauche  du  tableau  focal,  c'est  que  le  réticule  est  entre 
TocdUttrè  et  l'image  réelle  ;  il  est  entre  l'objectif  et  l'image  réelle ,  si 
reSst  nbservé  est  inverse. 

i65.  AmÊÊmmm  mmmÊmiwe  de  1»  taitetSe  — tyqiowMyie , 
Si4lttdctir  de  TiNiTerture  du  diaphragme  et  waléiir  du 
eiiamp»  —  On  donne  le  nom  (ïnnneau  oculaire  à  l'image  de  la  sur- 
face de  l'objectif  formée  par  l'oculaire.  —  Lorsque  l'oculaire  est 
simple,  cette  image  est  évidemment  réelle  et  extérieure  à  la  lunette. 
Il  en  est  encore  de  même  lorsque  l'oculaire  est  composé,  puisque 
Teffet  d'un  oculaire  composé  est  le  même  que  celui  d'un  oculaire 
simple,  de  distance  focale  convenable,  qui  occuperait  la  position  de 
son  dernier  verre. 

Or,  tout  rayon  qui  pénètre  dans  la  lunette  va  passer,  après  l'émer- 
gence, au  point  de  l'anneau  oculaire  qui  est  l'image  du  point  où  ce 
rayon  a  rencontré  l'objectif.  On  voit  donc  que,  quand  la  lunette  est 
dirigée  vers  une  région  du  ciel ,  chaque  point  de  l'anneau  oculaire 
reçoit  de  la  lumière  de  tous  les  points  de  l'espace  dont  les  rayons 
traversent  l'objectif  et  arrivent  jusqu'à  l'oculaire,  c'est-à-dire  de 
tous  les  points  qui  peuvent  être  vus  à  l'aide  de  la  lunette ,  dans  sa 
position  actuelle.  L'œil  embrassera  donc  le  champ  entier  de  l'instru- 
ment, si  le  centre  de  la  pupille  coïncide  avec  le  centre  de  l'anneau 
oculaire,  ou  s'il  en  est  très-peu  distant. 

Le  champ  est  évidemment  l'angle  du  cône  qui  aurait  pour  sommet 
le  centre  optique  de  l'objectif,  et  pour  base  la  circonférence  du  dia- 
phragme, si  tous  les  rayons  des  faisceaux  réfractés  qui  ne  sont  pus 
arrêtés  par  le  diaphragme  vont  rencontrer  la  surface  de  l'oculaire. 
—  D'autre  part,  si  la  lunette  est  ajustée  pour  un  œil  infiniment  pres- 
byte, c'est-à-dire  si  la  distance  des  lentilles  est  égale  à  F+/,  il  est 
facile  de  déterminer  la  grandeur  de  l'ouverture  du  diaphragme,  de 


iiijinièri'  (\ne  te  nooii  l'XtriiuK.-  passant  |»i))- un  |>nint  i\  du  bord  de  Im 
|)orlioii  lil>re  He  l'nltjci-lir  MN  (fif;.  ^f}"/)  ^t  par  le  point  opposé  B' 


(lu  boni  (lu  diuplinifjiiic  nille  ronconlrt 
il  faudra  pour  rcla  <|U('  ton  ail 


e  bord  de  l'ocnlaire  M'N'  : 


Or,  la  diMaiirp  00'  des  dt'ux  lenlîllcs  nV^I  Jiulrc  chose  ipie  It-^f: 
donr,  si  l'on  désigne  [lar  fi  le  rayon  do  la  porlion  libre  de  Tob- 
jeclif,  |>ar  a  eebiî  de  la  porlion  libre  de  IVulaire.  la  relation  pn^ 
cédenle  devicnl 


Vj 


Oy. 


Kii  éliminiinl  Otf  cl  A'y  eiilre  les  Iroin  deriiiêres  rctalioiis,  un  nU- 
lienl  dclinilivpuii'iil  la  talciir  du  ra>i>n  dt;  l'ouvorlure  du  diaphragme 
Kn.  -  fa 


AB'- 


LUNETTE  ASTRONOMIQUE.  233 

'  Si  maintenant  on  divise  cette  expression  par  F,  on  obtient  la  li- 
mite supérieure  que  ne  peut  dépasser  la  tangente  du  demi-angle 
au  sommet  du  cône  par  lequel  le  champ  est  circonscrit,  savoir  : 

Fûj-fQ 

OU,  en  divisant  les  deux  termes  de  la  fraction  par  F^  et  remarquant 
ijue  le  grossissement  G  est  évalué  par  le  rapport  y.) 

Gh-  1 

On  peut,  sans  erreur  sensible,  prendre  le  double  de  cette  expres- 
sion pour  valeur  de  l'angle  au  sommet  du  cône  qui  limite  le  champ 
de  l'instrument. 

Enfin,  quant  à  la  grandeur  de  l'anneau  oculaire,  si  l'on  suppose 
toujours  la  lunette  ajustée  pour  un  œil  infiniment  presbyte,  et  si  l'on 
désigne  par  a  le  demi-diamètre  de  cet  anneau  et  par  d  la  valeur 
absolue  de  sa  dislance  au  centre  de  l'oculaire,  on  a  les  relations 

iy  F-4-/ 

a  (I 

l_i 1 [ 

d^F  +  f-f 

En  éliminant  rf entre  ces  deux  équations,  il  vient 

li      V 

et  l'on  voit  que  le  rapport  du  diamètre  de  l'objectif  au  diamètre  de 
l'anneau  oculaire  est  égal  au  grossissement  de  la  lunette. 

466.  Déterminatioii  euLpérlmeiitele  du  f^rcMMiIssenient 
«M  moyen  de  l*«nne«ii  tieulalre. —  Djnamétre  de  Ramsdeii. 

—  D'après  ce  que  l'on  vient  de  voir,  il  sulïit,  pour  obtenir  le  grossis- 
sement d'une  lunette  astronomique,  de  mesurer  avec  autant  d'exac- 
titude que  possible  le  diamètre  de  l'anneau  oculaire  et  ct^lui  de 
l'objectif.  C'est  pour  cet  usage  qu'est  construit  le  dynamètre  de 
Ramsden. 


iU  OPTIQUE. 

Une  plaque  translucide  «A,  montée  dans  un  tubeT(fig.  898),  est 
placée  au  delà  de  l'oculaire,  de  manière  que  le  cercle  lumineux  qui 
constitue  l'image  de  l'objectif  éclairé  par  la  lumière  diffuse  vienne 
^  s'y  peindre  nettement  :  sur  cette  plaque 

a  été^marquée  une  division  en  demi-mil- 
limètres, qui  permet  de  mesurer  exacte- 
ment le  diamètre  du  cercle  brillant.  Pour 
rendre  l'évaluation  plus  précise,  on  ob- 
Fig.  398.  serve  la  plaque  au  moyen  d'une  loupe 

composée,  montée  dans  un  tube  t  qui  entre  dans  le  tube  T  et  dont 
l'observateur  règle  le  tirage  d'après  la  portée  de  sa  vue.  —  Eh  ap- 
pliquant sur  la  surface  de  l'objectif  les  deux  pointes  d'un  compas, 
et  en  rapprochant  ou  éloignant  les  pointes  l'une  de  l'autre,  jusqu'à 
ce  qu'on  voie  les  images  de  leurs  bords  tomber  exactement  sur  les 
extrémités  d'un  diamètre  de  l'anneau  oculaire,  on  mesure  le  diamètre 
de  la  partie  réellement  efficace  de  l'objectif. 

467.  Estimatioii  de  la  clarté  d*une  lunette  astr«B«- 
mlque.  —  En  désignant  par  p  le  demi-diamètre  de  la  pupille,  par 
S  la  surface  d'un  objet  éloigné,  par  I  l'éclat  intrinsèque  de  cet  objet 
et  par  D  sa  distance,  la  quantité  de  lumière  qu'il  envoie  directement 
dans  l'œil  peut  s'exprimer  (385)  par 

SI      2 

La  quantité  de  lumière  que  ce  même  objet  envoie  sur  l'objectif  s'ex- 
prime de  même  par 

Donc,  lorsque  Vouveriurc  de  hi pupille  est  supérieure  à  celle  de  Panneau 
oculaire,  on  peut  dire  que  la  quantité  de  lumière  arrivant  à  l'œil  est 
augmentée  par  la  lunette  dans  un  rapport  égal  à 

à  la  condition  de  considérer  comme  négligeable  l'effet  des  absorptions 
qui  sont  dues  aux  verres  de  la  lunette. 


LUNETTE  ASTRONOMIQUK.  235 

Si  Vouverture  de  la  pupille  est  plus  petite  que  Vanneau  oculaire,  la 
quantité  de  lumière  qui  pénètre  dans  Tœil,  après  le  passage  au 
travers  de  la  lunette ,  est  égale  seulement  à 

J5î7ri2  -,, 

et  le  rapport  de  cette  quantité  à  la  quantité  de  lumière  qui  serait 
reçue  directement  par  TobII  est 

Quant  à  la  clarté  de  Timage  qui  se  forme  dans  l'œil  placé  à  la 
lunette,  il  faut  remarquer  que  l'image  rétinienne,  sur  laquelle  est 
distribuée  la  quantité  dn  lumière  qui  arrive  dans  l'œil,  a  une 
surface  proportionnelle  au  carré  du  grossissement  linéaire  :  de 
sorte  que  l'intensité  de  cette  image  est  à  l'intensité  de  l'image  de 
Tobjet  vu  directement  dans  un  rapport  qui  s'obtient  en  divisant  les 
expressions  précédentes  par  le  carré  du  grossissement  linéaire.  Si 
Ton  remarque  d'ailleurs  que  le  grossissement  linéaire  G  est  toujours 

égal  à  -1  on  voit  que,  avec  des  grossissements  très-forts,  c'est-à-dire 

avec  des  grossissements  donnant  à  a  une  valeur  assez  petite  pour 
que  le  diamètre  p  de  la  pupille  soit  supérieur  à  celui  de  l'anneau 
oculaire,  la  clarté  est  diminuée  dans  le  rapport 

(7)  a' 

ou      -,  • 
P 


(S) 


Pour  des  grossissements  moindres,  c'est-à-dire  pour  des  gros- 
sissements donnant  au  diamètre  de  l'anneau  oculaire  une  valeur  a 
assez  grande  pour  que  le  diamètre  p  de  la  pupille  lui  soit  égal  ou 
inférieur,  le  rapport  des  clartés  de  l'objet  vu  dans  la  lunette  et  à 
l'œil  nu  est 


m 


ou     1, 


(?) 

en  sorte  qu'alors  la  clarté  nest  pas  modifiée  par  la  lunette. 


rd6  OPTIQUE. 

^6S.  Pouvoir  éelairant  de  la  luMCtte 
dans  le  eas  où  le  diamètre  apiparent  des  oli|eia 
petit.  —  Les  raisonnements  précédents  cessent  d'être  exacts  lorsque 
le  diamètre  apparent  des  objets  descend  au-dessous  d'une  certaine 
limite ,  qu'on  ne  peut  définir  avec  précision ,  mais  dont  il  est  facile  de 
faire  concevoir  Texistence.  —  En  effet,  Timage  d'un  point  lumineux 
sur  la  rétine  n'est  pas  un  point  mathématique  :  c'est  une  surface 
d'étendue  sensible,  variable  avec  les  aberrations  propres  à  Fceil  de 
l'observateur,  et  variable  aussi  avec  les  aberrations  de  la  lunette, 
lorsque  la  vision  s'opi»re  à  l'aide  de  cet  instrument  ^'^  La  surface 
de  l'image  d'un  objet  lumineux  ne  peut  donc  être  regardée  comme 
proportionnelle  au  carré  du  grossissement  que  si  elle  est  suffi- 
samment grande  par  rapport  à  ce  qu'on  peut  appeler  l'étendue  du 
cercle  d'aberration;  si  elle  est  du  même  ordre  de  grandeur  que  ce 
cercle,  tout  ce  qu'on  vient  de  dire  se  trouve  en  défaut. 

CependanI  on  peut  encore  arriver  à  des  conclusions  précises, 
lorsque  le  diamètre  apparent  de  l'objet  est  très-inférieur  à  la  limite 
qu'on  vient  d'indiquer.  —  La  distance  des  centres  des  cercles  d'iaber- 
ration  correspondants  à  deux  points  quelconques  de  l'objet  étant 
alors  très-petite  par  rapport  au  diamètre  d'un  cercle  d'aberration» 
la  grandeur  de  l'image  ne  diffère  pas  sensiblement  de  celle  d'an 
cercle  d'aberration  :  par  suite,  elle  est  indépendante  du  diamètre 
apparent  de  l'objet,  vu  directement  ou  grossi  par  la  lunette.  U  résulte 
de  là  que  l'intensité  de  l'image  est  proportionnelle  au  quotient  de 
la  quantité  totale  de  lumière  par  la  surface  du  cercle  d'aberration. 
Par  conséquent,  si  l'on  appelle  r  le  rayon  du  cercle  d'aberration 
pour  la  vision  directe,  R  le  rayon  du  cercle  d'aberration  pour  la 
vision  à  travers  la  lunette,  le  pouvoir  éclairant  de  la.  lunette  sera, 
dans  le  cas  où  p  est  plus  grand  que  a, 

dans  le  cas  où  p  est  égal  ou  supérieur  à  a,  le  pouvoir  éclairant  de 
la  lunette  sera 

a'  \V  ' 
'    Irulépoiuliiiiiiiieiil  des  abetralion»  de  «pliéricilé  ou  de  i*efniiigibiliic,  une  propriété 


LUNETTE  TERRKSTKK.  237 

Lorsque  ta  JuneUf  est  bim  conNiriiilc,  R  pst  du  inémo  ordrp  de 
grandeur  que  r,  et  il  est  très-grand  par  rapport  à  ;)  ou  à  a.  Par  con- 
séquent, la  visibilité  des  objets  qui  n'ont  qu'un  diamètre  apparent 
intsensible  est  augmentée.  —  Ce  qui  contribue  d'ailleurs  encore  à 
rendre  ces  objets  plus  visibles,  c'est  que  la  clarti<  du  fond  sur  lequel 
ils  se  projettent,  fond  que  l'on  peut  regarder  comme  un  objet  de 
diamètre  apparent  égal  au  champ  de  la  lunette,  est  diminuée  dans 
le  cas  des  Forts  grossissements,  et  demeure  constante  dans  le  ras  dr-s 
faibles  grossissements.  C'est  ainsi  qu'une  lunette  dont  l'objeclif  a  une 
grande  surface  permet  de  voir  aisément,  en  plein  jour,  les  étoiles 
qui  ont  un  certain  éclat. 

469.  I<unell«  terrestre.  —  La  ItiiieUe  terrestre  diifère  de  lu 
lunette  astronomique  en  ce  qu'elle  présente,  outre  l'objectif  et 
l'oculaire  proprement  dit,  deux  lentilles  convergentes,  destinées  à 
produire  le  rod ressèment  de  l'image  virtuelle  qui  doit  êiré  contem- 
plée par  l'œil. 

Ces  deux  lentilles  L,  L'  (fig.  Stjf))  «ni  même  disduK^i'  focale 
principale  :  elles  sont  séparées  par  un   intervalle  qu.'lcoiique.  La 


première  L  est  placée  au  delà  de  l'ininije  réelle  a^  qui  est  formée 
par  l'objectif,  et  à  une  distance  de  celte  image  qui  est  égale  à  sa 
distance    focale   principale  :  la   ligure    montre   suffisamment  qu'il 

if.  la  iiimière ,  iloiil  il  sein  ijut^Iioii  ^liis  lard  à  Twi-ssioii  ih  h  diiïnirlion , ilurinc  loujniirs 
mil.'  Klendiif  iieiisihle  li  l'imiigi;  il'iiri  point  lumiiii<Lii. 


238  OPTIQUE. 

se  forme  alors,  au  delà  de  la  seconde  lentille  L\  une  image  réelle 
ajS'  ëgale  en  grandeur  à  a/S,  mais  redressée.  —  La  distance  entre 
les  deuï  images  réelles  a/3  et  a^'  peut  ainsi  être  rendue  de  très-pea 
supérieure  au  double  de  cette  distance  focale  principale,  tandis  cpie» 
si  l'on  employait  une  lentille  pour  produire  cet  effet  de  redresse- 
ment, la  distance  entre  ces  deux  images  serait  au  moins  qoadropk 
de  la  distance  focale  principale  ^'-K 

Les  dcuï.  verres  auxiliaires  L,  L'  sont  montés  dans  le  même  lobe 
que  TocuLiire  proprement  dit  C,  qui  est  ordinairement  an  ocuhai? 
composé,  du  genre  des  oculairei  négatif»;  la  première  lentille  Ln'a 
donc  exactement  la  position  qu'on  vient  d'indiquer  que  si  Tceilde 
l'observateur  est  a  rommodé  pour  une  distance  infinie. 

â70.  liunette  de  Galilée.  —  La  lunette  de  GaliUe  se  distingue 

de  celles  que  l'on  vient  d'étudier  en  ce  que  Toculaire  est  formé  d'une 
lentille  divergente  D  (fig.  Aoo),  placée  entre  l'objectif  C  et  Pimage 
réelle  ajS  que  formerait  l'objectif:  il  en  résulte  que  cette  image  ne 
se  forme  pas,  et  que  l'œil  placé  derrière  l'oculaire  voit  une  image 
virtuelle  A'B',  agrandie  et  redressée  par  rapport  à  ojS. 

Si  Ton  désigne  par  (p  la  distance  0  a  de  l'oculaire  à  l'image  réelle 

ajS  que  formerait  l'objectif,  le  grossissement  est,  pour  les  mêmes 

F 

raisons  que  dans  le  cas  de  la  lunette  astronomique,  égal  à  ^^  — 

('}  Ed  effet,  dans  le  ras  «les»  leDlilles  couvei^olet,  la  dislaDoe  d*uii  objet  à  soo  image 

Cil 
011 

si  p  (*sl  positif  cl  pliiH  |^ra:ul  (|iie/,  le  niiniinum  de  celle  expression  est  doouê  par  la  coo- 
dilioii 

dWi  ToD  lire 

et,  par  suite,  b  distance  d^un  objet  à  son  image,  on,  dans  le  ras  actuel,  la  distance  de 
riina|;e  sS  à  riuia;;e  a'jS*,  a  |>our  valeur  minimum 


LUNETTR  IIK  GALILÉK.  239 

Celle  eiLpre.s8ioii  se  réduit,  comme  dans  la  lunette  astrononii(|ue,  à 
la  valeur  -?  lorsque  l'œil  est  accommodé  pour  une  distance  infinie. 

Mais  la  limite  ainsi  obtenue  est  une  limite  supérieure;  en  c.Tcl,  si 
l'on  désigne  par  A  la  distance  de  la  vue  distincte,  et  si  l'on  re- 


marqne  qm  l'image  o/S  joue,  par  rapport  à  la  lentille  divergente. 
le  ràU  d^u  (^jet  virtuel,  la  formule  des  leutilles  donne 


d'où  l'on  tire 

ce  que  l'on  peut  écrire 


On  voit  donc  que  ^  csl  plus  grand  que  y]  et  (|ue,  par  suite,  â  est 
plus  petit  que  j. 

Cette  formule  montre,  en  outre,  que  <p  augmente  à  mesure  que  A 
diminue,  ou,  en  d'anlres  termes,  qu'il  faut  d'autant  plus  rapprocher 
l'ocutatre  de  l'objectif  que  la  distance  de  la  vision  distincte  est  plus 
courte. 

On  peut  appeler  anneau  oculaire,  dans  la  lunette  de  Galilée 
comme  dans  ta  lunette  astronomique,  l'image  Je  la  surface  de 


i>4U  OPTIQUE. 

rohjprlif  (loniit'o  par  l'orulnire:  mais,  cette  image  4l«nt  virtuelle,  ïl 
n'y  a  pluti  de  position  pour  l'œil  qui  garanlifhse  la  vision  de  tous  les 
poinis  dont  les  rajons  arriveat  »  l'oculaire  après  avoir  traversa 
l'objectif.  -^  Le  eh/imp  de  la  lunette  est  donc  indëtenniné,  et  d^nd 
de  t  ouverture  de  la  pupille  de  l'observateur. 

Les  rnisonnements  qui  ont  été  faits  plus  faaid,  i  pn^XM  de  la 
clarté  dans  la  lunette  astronomique,  ne  sont  pas  dod  pliua|q[dic^ln 
à  la  lunette  de  Galilée. 

àl  1 .  CslUMMtcMi*.  —  Lorsqu'un  objet  est  placé  à  une  diilite 
d'une  lentille  convergente  égale  i  la  distance  f(M»ie  principale,  les 
cônes  de  rayons  émanés  de  ses  divers  points  se  transformoil,  perb 


ri'rraclion,  en  cylindres  de  rayons  parallèles.  —  La  (ijjureioi  montre 
([ue  ces  divers  rayons  sortent  alors  de  la  lentille  avec  les  mêmes 
(lin-t-tions  <)ue  s'ils  émanaient  d'un  objet  infiniment  éloigné,  dont 
le  diamètre  apparent  serait  égal  à  l'angle  AOB  que  sous-tend  l'objet 
AB.  vu  du  centre  opti(|ue  de  la  lentille. 

Lno  lentille  convergente  ainsi  instalii'-p  prend  le  nom  de  coMimti- 
leiir  ■  un  pareil  système  peut,  dans  beaucoup  de  cas,  être  substitué 
aver  avanlag'-  à  nue  mire  tn' .s- éloignée. 

On  place  ordinairement  au  fover  du  collimateur  une  fente  lumi- 
neuse étroite,  ou  une  rrnisée  de  (ils  portée  pur  un  oculaire  positif. 
—  1.1-  collinialeur  devient,  dans  ce  ilernier  cas.  une  véritable  lu- 
nette. Pour  le  régler,  il  suHtI  de  faire  varier  la  dislance  de  la  fente 
ou  de  la  croihée  de  (ils  à  l'objectif,  justju'à  ce  qu'on  en  voie  une 


TKI.KSCOI'KS.  ûM 

ima{[c  iinlle  <Iaiis  iirif  iiiitro  luiiplk-,  n''j[Ii'i'  siii-  îles  objets  inliniitit'nl 
ilistiiiils. 

Â72.  Tél»ac«ye  de  Herachel.  —  Les  iiislruiiicnls  i|i)i  sotil 
daigné»  sous  le  nom  <lc  féleacope»  iliiïèronl  i\cs  liinettPK  on  ce  ijue  la 
leiilille  olijeclive  flst  remplace  [lar  un  miroir  poiiravc,  —  lies  clivers 
télescopes  se  distinguent  entre  euv  |>ar  la  maiiii^re  dont  on  ranièni' 
ensuite  l'image  réelle,  formée  par  ce  miroir,  dans  unn  |iositîon  |>lus 
ou  moins  commode  pour  l'observation. 

Diinsle  tik*€ope  de  Herscliel,  le  miroir  rë(li.'cbissantMM'(ng.  ^ini), 
dont  le  rentre  est  en  ('.,  esf  légèrement  incliné  sur  l'axe  du  tube  TT' 
<|ni  Ift  porte,  de  manière  (pie  l'image  d'un  objet  eitérieur  i^iorjfné 


vienne  se  former  au  voisinage  dri  i'ojer  priiiiipal/dn  miroir,  près 
du  bord  inférieur  de  l'ouverture  du  tube.  —  On  observe  relie  image 
à  l'aitle  d'un  oculaire,  et,  si  la  surface  lUi  miroir  est  très-grande, 
la  perle  de  lumière  qui  résulte  de  rinter|)osilion  de  la  télé  de  l'ob- 
serviileur,  au-dessus  du  bord  du  lidte,  n'entraîne  pas  une  tropgrtmde 
diminution  d'éclat. 


àl'i.  T«leac»pe  de  New«»n.  —  Dans  le  téletcopede  Newton,  le 
miroir  concave  MM'  {lig.  /io3)a  son  centre  (^  sur  l'ave  du  lube  TT' : 
les  ravouK  lumineux  <pii  viennent  des  objets  sur  lesquels  est  dirigé 
l'inslrument,  aprcVs  .s'être  réllécliis  sur  ce  ratroir,  viendritjenl  former 
une  imaf[e  réelle  ajS  dans  le  plan  fora)  principal.  Aviint  d'arriver 
à  ce  plan,  ils  .'«ont  réflcVliis  de  nouveau  par  un   mirr>ir  ])lan  au\i- 

XtMM,  m.  — (:..>iisi].'|iii)H.  11.  ,ri 


■2'ii  nPTIQI  K. 

liîiiii-  l'Q  iiicliin'-  ;'i  h't  defjrés  sur  \'a\f  ciii  lube  (ou,  re  qui  revient 
au  iiièniF',  |i;tr  la  face  hy|)nl«^n<ise  il'tiii  prisme  reclangle^  :  il  m- 
roriiii'  alors  une  iinaf;e  réelle  a'^\  s\iiïi''lri'[iie  de  a)S  p«r  raj»|»orl  à 


i'IJ.  (iulli'  iiiiii){<-  x'jâ' •'!■[  •iUi'ft\î-e  iiii  travers  irtiiic  loiipt-  |,  |au  il'i 
inicruscojii'K  eu  sorlc  i|iii^  l'o-il  [ilati-  derrière  ri'lli'  lou|»c  cal 
riiiiiifje  \irliii>ll(-  A'B'.  ipii  l'sl  plus  {grande  ipn-  a'jâ'. 

^^^.  Ttl»»»»»»  ««  ttrémmry Dans  le  l^kte^  ih  Gr^fttif 

(lig.  Wi).  un  miroir  ooiicave  MM',  pincé  rninirie  dans  le  IJl^sfÀipe 


(le  Newton,  vieiil  former  une  image  réelle  el  renversée  a,5  dans  sod 
pliui  l'oral  principal.  Au  délit  de  relie  imaf^e  réelle  esl  placé  un  pelil 


TIÎLESGOPËS.  '2k?, 

miroir  concave  NN',  ayant  son  centre  (7  placé  tlf  telle  manière  que 
l'image  a/3  soil  entre  le  point  (/  et  Ip  plnn  focal  principal  <ie  a- 
même  miroir  :  il  se  Tonne  alors  une  antre  image  réelle  a'/S',  ren- 
versée par  rapport  à  a0,  et,  par  suite,  droite  par  rapport  à  l'objet. 
L'image  a'^'  est  vue  au  travers  ile  In  lonpo  L,  de  soile  que  l'œil 
coDsidère,  en  délînilive,  l'imajje  vîtiuelle  A'B',  ijiii  est  a[;randie  par 
rapport  à  ix'jS'. 

â75.  Télcsrope  de  Cassegiralii.  —  Le  télescope  île  Ciissegriiiit 
(fig.  4o5)  diffère  du  télescope  de  Grégory  en  ce  que  le  petit  miroir 


concave  de  celui-ci  est  remplacé  par  un  petit  miroir  convexe,  ce 
qui  permet  de  diminuer  la  longueur  totale  de  l'instrument.  —  La 
figure  lioù  indique  d'ailleurs  suflisamment  la  marche  des  rayons 
lumineux  dans  cet  appareil.  Le  petit  miroir  concave  NN'  étant  plané 
entre  le  grand  miroir  MM'  et  l'image  réelle  ajS  que  donnerait  ce 
miroir,  cette  image  ne  se  forme  pas  :  elle  est  remplacée  par  l'image 
réelle  a'/3',  qlti  est  vue  à  la  lon|)e  L,  L'feil  considère  donc,  en  défi- 
nitive, l'image  virtuelle  A'B'.  plus  grande  que  a'^'. 

Dans  ce  télescoj):'.  aussi  bien  que  dans  le  télescope  de  (iré- 
gorv.  les  aberrations  du  petit  miroir  auxiliaire  ^^'  s'ajoutent  à 
celles  du  miroir  principal  et  nuisent  beaucoup  à  la  netteté  de 
la  vision:  aussi    ces  deux    instruments  sont-ils   depuis   longtemps 


2ii/i  OPTIQUE. 

abandonnés  el  n'onl-ils,  en  réalité,  qu'une  importance  purement 
hislori(|ue. 

/|7G.  Iffiroirs  mrgentém  de  Foucault»  —    Les  miroirs  df^ 

bronze,  qui  ont  été  longtem|)s  les  seuls  employés  pour  la  construr^ 
lion  dos  télescopes,  ont  l'inconvénient  d'être  très-lourds^  difliciles^ 
à  travailler,  et  coûleu.v  à  réparer  quand  leur  surface  vient  à  se  ternir. 
A  ces  miroirs  Léon  Foucault  a  substitué  des  miroirs  de  verre  argentés 
sur  leur  première  surface, 

C'est  particulièrement  au  télescope  de  Newton  que  les  miroirs  de 
Foucault  ont  été  appli([ués.  On  leur  donne,  non  plus  une  forme 
s|)hérique,  mais  une  forme  exactement  ])arabolique«  au  moyen  de 
la  série  suivante  d'opérations  : 

i"  Le  miroir  reçoit  d'abord  approxiinativement  la  forme  d^me 
surface  spbérique  concave,  par  les  procédés  ordinaires  de  la  taille 
des  lentilles,  c'est-à-dire  par  un  frottement  prolongé  sur  une  sur- 
face» métallique  convexe,  couverte  successivement  d'un  émeri  de 
plus  en  plus  fin,  et  finalement  de  colcothar. 

-r  On  fait  tomber,  sur  la  surface  ainsi  préparée,  un  faisceau  lu- 
mineux émané  d'une  source  très-étroite,  très-voisine  du  centre  du 
n)iroir,  mais  située  un  peu  en  deliors  de  l'axe.  Si  le  miroir  était  par- 
faitement spbérique,  la  totalité  des  ra\ons  réfléchis  irait  former  une 
tn\s-|)elite  ima{[e  réelle,  symétrique  de  la  source  par  rapport  à  Taxe. 
Alors.  (Ml  installant  en  ce  |)oint  un  écran  0|)aque  très-petit,  et  en 
plaçant  l'œil  derrière  cet  écran,  aussi  près  de  son  boni  qu'on  le  vou- 
drait, <ni  ne  recevrait  de  lumière  d'aucun  point  de  la  surface  du 
nn'roir,  et  l'on  n'éprouverait,  en  regardant  cette  surface,  (|ue  la 
sensation  de  l'obscurité  complète.  —  Au  contraire,  si  la  surface  est 
inqiarfaitement  spbérique,  les  aberrations  amenant  un  peu  de  lu- 
mière* en  debors  de  l'image,  certains  points  de  la  surface  du  miroir 
paraissent  illuminés:  les  variations  qu'éprouve  cette  illumination, 
lorsque  l'œil  se  déplace,  font  connaître  à  un  obsenaleur  exerce  les 
régions  de  la  surface  du  miroir  qui  s'écartent  sensiblement  de  la 
forme  spliéri<|ue.  —  On  corrige  les  défauts  ainsi  constatés,  k  l'aide 
de  reloncbes  locales  qui  s'exécutent  a  la  main,  avec  un  polissoir 
('Ou\erl  de  colc(»lliar. 


DE  LA  VISION  DANS  LES  INSTHU VIENTS  D'OPTIQIE.  :2'i5 

3"  On  rapproche  lu  source  lumineuse  du  miroir.  L'imajje  con- 
juguée qui  se  produit  ne  serait  parfaite  que  si  la  surface  du  nnroir 
était  changée  en  celle  d'un  ellipsoïde  de  révolution  dont  les  deux 
foyers  occuperaient  respectivement  les  positions  de  la  source  et  de 
son  image.  Si  l'on  cache  celte  image  par  un  écran  o|)a(|ue,  l'a^il 
voisin  du  bord  de  l'écran  a|)er(;oit  encore,  en  regardant  vers  le  mi- 
roir, une  illumination  variable,  dont  l'étude  peut  lui  révéler  (|uelles 
sont  les  zones  du  miroir  qui  font,  en  quelque  sorte,  saillie  en  avant 
de  cet  ellipsoïde  de  révolution,  et  quelles  sont  celles  qui  restent  en 
arrière.  Par  la  méthode  des  relouches  locales,  on  arrive  à  faire  dis- 
paraître entièrement  l'illumination,  et  l'on  est  assuré,  par  ce  carac- 
tère, que  la  forme  ellipsoïdale  est  obtenue. 

4"  Par  une  série  d'opérations  de  ce  genre,  on  transforme  gra- 
duellement un  miroir  sphérique  en  un  ellipsoïde  de  plus  en  plus 
allongé.  Lorsqu'on  est  arrêté,  dans  cette  transformation,  parles  di- 
mensions de  l'atelier  ou  du  laboratoire  où  l'on  o|)ère,  on  fait  arriver 
sur  le  miroir  un  faisceau  de  rayons  que  l'on  a  rendus  aussi  exacte- 
ment parallèles  que  possible  à  l'aide  d'un  collimateur  (471)  au 
foyer  duquel  est  placée  la  source  lumineuse  :  on  soumet  aux  mêmes 
épreuves  l'image  formée  par  les  rayons  réfléchis  sur  le  miroir.  On 
a  ainsi  le  moyen  de  reconnaître  quels  sont  les  points  qu'on  doit  at- 
taquer pour  arriver  à  la  forme  exactement  parabolique,  et  la  dis- 
parition de  toute  illumination  latérale  avertit  du  moment  oii  cette 
forme  est  exactement  réalisée. 

Lorsque  le  travail  de  la  surface  est  terminé,  on  l'argenté  par  un 
procédé  particulier,  dans  lequel  l'argent  est  mis  en  liberté  par  la 
réaction  d'une  matière  organique  ^^^  sur  une  solution  convenablement 
étendue  de  nitrate  d'argent. 


an.  IBe  la  Tislon  distincte  dans  les  instruments  d'op- 
en  géÊkéapmàm  —  Lorsqu'on  fait  usage  d'un  instrument  un 
peu  puissant,  microscope,  lunette  ou  télescope,  on  ne  peut  faire 
varier  l'ajustement  nécessaire  à  la  vision  nette  des  images  ({u'entre 
des  limites  très-peu  sensibles:  l'œil  send)le  avoir  prescjue  entièrement 
perdu  sa  faculté  d'accommodatioïi.  —  (l'fvst  de  celte  circonstance 

*'•  1^1  matière  rpron  omploi**.  le  plus  ordiii<iin:meiil  ».'sl  le  sucre  Ho  ^^i^iIl  inlcnMli. 


\ 


2/i(>  OPTIQUE. 

uial  inlerprélce  (ju'est  venu,  sans  doute,  l'usage  de  parler,  dans  la 
théorie  des  instruments  d'optique,  d'une  distance  de  la  visùm  dUtincie, 
unique  pour  rhaque  observateur,  dont  on  tixe  arbitrairement  la  vateor 
movenne  à  3o  centimètres. 

En  réalité,  lorsqu'un  observateur  doué  d'une  vue  normale,  c'est- 
à-dire  capable  de  voir  distinctement  à  toute  distance  comprise  entre 
l'indni  et  une  limite  inférieure  déterminée  A,  jdace  un  verre  con- 
vergent au  devant  de  son  œiL  il  ne  peut  plus  voir  nettement  que  le^ 
objets  dont  l'image  virtuelle  se  forme  à  une  distance  comprise  entre 
A  et  l'infini.  —  Or,  pour  que  Timage  virtuelle  d'un  objet  soit  inli- 
niment  éloignée,  il  faut  que  Tobjet  soit  au  foyer  principal  de  la  len- 
tille.  Pour  qu'elle  soit  à  la  distance  A,  il  faut  que  l'objet  se  trouve 
a  une  distance  S  donnée  par  l'équation 


c'est-à-dire  que  Ton  ait 


I 

l 

's 

rrzr. 

'  II) 

s- 

1 

• 

L'amplitude  a[)parente  de  Tacconnnodation  est  donc,  dans  ces  cir- 
constances, réduite  à  la  différence  entre  y  et  la  valeur  précédente 
de  ^  (|ue  Ton  vient  de  trouver,  c'est-à-dire  à 

p 

OU  enfin  à 

r 

Si,  |»ar  exemple,  la  distance  A  est,  pour  la  vue  de  l'observateur, 
de  i5  centimètres,  et  si  la  distance  focale  de  la  lentille  est  de 
îî  centimètres,  on  trouve,  en  effectuant  le  calcul  indiqué,  que 
ranq)litude  de  l'accommodation  est  simplement  de  îi"*,35. 

Si  maintenant,  en  avant  de  l'oculaire  et  à  une  distance  1),  se 
trouve  une  lentille  objective,  de  manière  à  constituer  un  microscope 

<'    On  suppose  négligeable  la  dislance  de  la  loupe  à  TobU,  pour  simplifier  les  formules. 


DE  LA  VISION  DANS  LES  INSTRUMENTS  D'OPTIQUE.  '2t\l 

composé,  on  no  verra  nettement  (|ue  les  objets  situés  de  façon  que 
l'image  réelle  formée  par  l'objectif  soit  à  une  distance  de  la  loupe 
comprise  entre  S  ei  f.  Il  faudra  donc  que  cette  image  réelle  se  tmuve 
à  une  distance  de  l'objectif  plus  grande  que  D  —/et  plus  petite  que 
D  ~  S.  —  Alors,  si  l'on  désigne  par  ^  la  distance  focale  principale 
de  l'objectif,  les  distances  limites  y;,  ety^^  ^^  l'objet  à  l'objectif.seront 
définies  par  les  conditions 


el 


1 

.  — 

-/ 

I 

1 

-+-■ 

i 

n- 

~S 

1 

L'amplitude  apparente  d'accommodation  sera  réduite,  dans  l'instru- 
ment ainsi  constitué,  à  la  dillerence  y^j  ~ P-y*  —  ^^  ''^^^*  cojiserve  les 
hypothèses  précédentes  sur  A  et  y;,  et  si  l'on  suppose,  eji  outre, 
que  la  distance  D  des  deux  lentilles  soit  de  ao  centimètres  et  que 
la  dislance  focale  ^  de  l'objectif  soit  de  5  millimètres,  on  trouve 
que  pi  —jKt  est  inférieur  à  un  centième  de  millimètre. 

Dans  la  lunette  astronomique  et  dans  le  télescope,  l'oculaire 
composé  est  l'équivalent  d'une  loupe  à  foyer  très-court,  et  par  suite 
sa  distance  à  l'image  réelle  donnée  par  l'objectif  fie  peut  varier 
qu'entre  des  limites  très-resserrées. 

D'ailleurs,  il  parait  assez  évident  ([ue  l'œil,  lorsqu'il  regarde  un 
objet  à  l'aide  d'une  loupe,  doit  tendre  à  s'accommoder  pour  la  limite 
inférieure  de  la  vision  distincte,  afin  d'apercevoir  l'image  virtuelle 
de  l'objet  à  une  moindre  distance,  et  d'y  discerner  des  détails  aussi 
petits  que  possible.  Il  en  est  sans  doute  de  même  lorsqu'on  fait  usage 
de  la  lunette  astronomique,  de  la  lunette  terrestre  ou  du  télescope. 
La  distance  miinnui  de  la  \ision  distincte  est  donc  toujours  celle 
qu'on  doit  considérer  dans  la  théorie  de  ces  instruments.  —  Si ,  dans 
la  théorie  de  la  lunette  et  du  télescope,  on  considère  ordinairement 
un  œil  accommodé  pour  voir  nettement  à  l'infini,  c'est  en  vertu 
d'une  convention  arbitraire.  (|ui  Ji'a  d'autre  objet  (|ue  de  simplifier 
les  formules. 

Ces  conclusions  sont  confirmées  par  l'influence  bien  connue  (pie 
la  pratique  fréquente  et  prolongée  des  observations  microscopiques 


i>!iH  ornoiiK. 

ou  cislronoinicjiirs  cvchm»  sur  la  vue  (l(»s  obsonaleurs,  en  fI«5velop- 
|>(inl  chez  cu\  la  [nyopir,  ou  eu  la  reudaul  plus  conipirle. 

La  luuet((»  (Ir  (jaliire  n»sl(»  eu  doliors  des  roiisidéraiioiis  pré- 
céd(*n(e.s,  rarcouuuodaliou  dr  Tceil  poin*  la  iiun'le  inrérieure  (\v  la 
\ision  dislinch*  olaul  di'»savaula{jeuse  lorsipi'ou  fail  usajje  <le  rr[ 
iiis(ruu)ent. 

/|78.   .Tlemire  e^périitieiitwle  du  irromiiiiiieiiieiit  de»  Iti — 
netteii  et  de»  téleneopeii.    —  Pour   déhTUiiner  par  IV\pérîenri^ 
le  {[rossissemeut  d'une  lunellc  ou  d'un  léleseope,  on  dirige  rîiisirii— 
ment  sur  une  mire  éloijpuM*.  dont  la  grandeur  et  la  dislance  sont 
connues;  puis,  au  moven  (Fune  chambre  claire  placée  devant  focn— 
laire.  on  projelte  Timage  virtuelle  de  la  mire  sur  une  éclielle  gra- 
luée,  située  à  une  distance  convenable  pour  être  vue  dislincteiiienl , 
t  l'on  observe  le  nombn*  de  divisions  de  l'échelle  qui   paraissent 
couvertes  par  Tiniage  de  la  mir*.  —  l)i»  ces  données  on  déduit 
immédiatement  le  ra|)port  des  diamètres  apparents  de  l'image  et  de 
l'objet. 

Lorstpi'il  s'agit  d'une  lunette  à  faible  pouvoir  amplilianU  d*nne 
lunette  de  spectacle,  par  e\eniph>,  on  peut  obtenir  une  estimatioli 
approximative  du  grossissement  en  plaçant  la  lun(*tlc  devant  un  opIK 
sans  fermer  l'autre,  et  en  comparant  la  grandeur  apparente  de  cer- 
tains objets  a  celle  de  leur  image.  Il  convient  de  choisir^  pour  celle 
ap|)réciation ,  des  objets  (pii  présentent  des  divisions  équidistantes. 
par  exemple  une  construction  à  assises  régulières;  on  voit  alors 
eoud)ien  de  divisions,  vues  directement  par  l'œil  nu,  paraissent 
correspon<lre  à  l'image  d'une  seule  division,  vue  par  l'autre  œil  an 
travers  de  la  lunette. 


DISPERSIOjN. 


DECOMPOSITION   ET  «ECOMPOStTION   DE   LA   LlMIEnE, 

/|79.  DIIMatlon  et  coloration  d*iin  faiifeeaii  de  liiitiiére 
blanche 9  par  le  pansage  au  travem  d'un  prinnie.  —  Lors- 
qu'un faisceau  de  lumière  solaire  est  Iransuns  par  un  prisme,  il 
éprouve  non-seulement  une  dévialion  (408),  nuiis  une  dilatation 
et  une  coloration;  en  sorte  que,  si  la  section  du  faisceau  incident 
est  circulaire,  et  si  l'on  reçoit  le  faisceau  émergent  sur  un  écran 
perpendiculaire  à  la  direction  moyenne  des  rayons,  on  obtient,  non 
plus  une  image  blanche  et  circulaire,  mais  une  image  oblongue  et 
colorée.  —  Quand  le  prisme  est  dans  la  position  du  minimum  de 
déviation,  le  faisceau  émergent  est  encore  dilaté  et  coloré.  Or,  il  ré- 
sulte de  ce  qui  a  été  démontré  plus  haut  qu'un  cône  lumineux 
étroit,  rencontrant  le  prisme  au  voisinage  de  son  arête,  donnerait 
naissance,  si  la  réfrangibilité  de  tous  les  rayons  était  la  même,  à 
un  cône  émergent  de  même  ouverture  angulaire  (426).  On  doit 
donc  admettre  que  la  lumière  blanche  est  composée  de  rayoms  de 
cotdewrs  diverses,  qui  diffèrent  entre  eux  à  la  fois  par  leurs  indices 
de  réfraction  et  par  leurs  actions  sur  l'organe  de  la  vue. 

On  donne  le  nom  de  dispersion  à  la  séparation  d'un  faisceau  de 
lumière  J)hincbe  en  faisceaux  de  diverses  couleurs,  par  le  passage 
au  travers  d'un  milieu  réfringent.  —  Si  l'on  revient  à  l'expérience 
qoi.préeède,  ou  voit  que  la  séparation  des  cônes  lumineux  de  di* 
verses  couleurs  doit  être  d'autant  plus  complète  qu'on  s'éloigne  da- 
vantage ilu  prisme.  L'expérience  constate  en  effet  que,  si  l'écran  est 
place  près  du  prisme ,  Timage  qui  s'y  forme  est  peu  allongée  ^  et  co- 
lorée seuienefii  aux  extrémités  de  sa  plus  grande  dmênsion;  à 
jDeiure qiioa  éloigne  l'écran,  l'image  s'aiioage ,  les  coioratioas  appa- 
nMent  dans  imsie  son  ^iidue,  et  les  couleurs  deviennent  de 
plus  en  j)lus  disstinctes  les  unes  des  autres. 

lignage  que  l'on  obtient  en  opérant  avec  la  lumière  dn  soleil  a 


5850  OPTIQUE. 

reçu  le  nom  de  spectre  solaire.  Newlon  y  a  dibliiigué  sept  couleurs, 
qui  sont,  dans  l'ordre  de  réfrang^ibilHé  croissanle  .\ 

Rouge  f  orangé ,  jaune  y  vert,  bleu,  indigo,  violet. 

(ic  partage  est  d'ailleurs  assez  arbitraire,  et  le  spectre  offre,  de 
cliocpie  couleur  à  la  couleur  suivante,  la  transition  insensible  par 
toutes  les  nuances  intermédiaires. 

480.  ¥ériflciitft#ii  expérlmenUile  4e  remplIcAtlMi  *t 
phéii^ntéiic  précédent.  —  On  doit  à  Newton  un  gi*and  nombre 
d'expériences  destinées  à  vérilier  que  la  véritable  cause  de  la  dis- 
persion est  bien  l'inégale  réfrangibililé  des  rayons  lumineux  de  di- 
verses couleurs  qui  conq)osent  la  lumière  blanche.  —  On  indiquera 
seulement  ici  quelques-unes  de  ces  expériences. 

i"  Comparaison  des  spectres  fournis  par  des  prismes  de  natures  difé- 
rentes.  —  L'expérience  montre  que  les  spectres  Tonnés  par  la  lu- 
mière solaire,  réfractée  au  travers  de  prismes  de  natures  diverses, 
offrent  toujours  les  mêmes  couleurs  et  dans  le  même  ordre  :  il  n'y 
a  de  différence  que  dans  la  grandeur  absolue  de  la  déviation  de 
chaque  couleur  en  particulier. 

»j'*  Expérience  des  prismes  croisés.  —  Soit  un  faisceau  horizontal  de 
lumière  blanche,  qui  irait  former,  dans  une  chambre  obscure,  une 
image  circulaire  D  sur  un  écran  vertical  MiN  ((ig.  &o6).  Si  Ton  place 
d'abord  sur  le  trajet  de  ce  faisceau  un  prisme  P  ayant  ses  arêtes 
horizontales,  il  dévie  et  disperse  le  faisceau  lumineux  dans  un  plan 
vertical,  et  produit  un  spectre  vertical  RV.  Si  maintenant  on  inter- 
pose encore ,  sur  le  trajet  du  faisceau  dévié  par  le  prisme  P,  un 
second  prisme  P  ayant  ses  arêtes  verticales,  il  donne  un  spectre 
incliné  R'V;  et,  si  les  deux  prismes  ont  le  même  angle  et  sont 
fonués  de  la  même  substance,  ce  second  :^)ectre  est  incliné  a 
45  degrés  sur  la  verticale^' .  —  Ce  résultat  montre  que  les  rayons 

'^'  La  figure  6o6  montre  roiiniM*flil  on  peul  disposer  reipêrience  poiir  oU«nâr  a  ia  (bb 
sur  récran  :  i*  Pimage  circulaire  ei  blancbe  D ,  qui  est  fbmiêe  par  use  poriioa  du  fimeau 
n*a\aut  subi  aucune  rèinrtion  ;  :i*  le  spectre  vertical  R\\  formé  par  la  réfraction  an  travers 
du  prisme  P  seul;  T  le  spotlre  incliné,  formé  par  les  réfractions  succcwàves  au  traders 
énêémjL 


DÉCOMPOSITION   DE   LA   LUMIÈRE.  251 

violels,  |»Hr  evenipie,  onl  é|iro«vé  de  la  part  du  scruud  prisiut;  V 
une  déviation,  dans  le  sens  horizontt)!,   exaclemcitl  égale  à  celte 


qu'ils  avaient  éprouvée  du  la  jmrl  du  [H'cniier  dans  le  sens  vL-rtical; 
de  même,  la  déviation  horizontale  produite  sur  les  rayons  rouges 
par  le  second  prisme  est  égale  à  la  déviation  verticale  produite  sur 
ces  mêmes  rayons  par  le  premier;  enfin,  il  en  est  de  même  pour  Ie> 
rayonti  des  couleurs  intermédiaires.  L'expérience  ainsi  faite  prouve 
donc  directement  l'inégale  réfrangibililé  des  rayons  de  diverses  cou- 
leurs. 


3°  Inéj^altté  des  iiiigles  liinttes  cori-expomUmlx  à  lu  réjlexioii  totale,  pour 
le»  diverges  tiouhum.  —  Un  faisceau  de  lumière  blanche  tombe  sur 
l'une  des  faces  AB  de  l'angle  droit  d'un  prisme  rectanjjle  isocèle  AB(I 
(fig.  407)  et  donne  nai.ssance,  en  émergeant  par  la  l'ace  hypoténuse, 
à  un  spectre  VR,.  Une  portion  des  rayons  qui  tombent  sur  la  face  6(1 
se  réiléchil  intérieurement,  et  vient  rencontrer  la  face  AC  sous  des 
a»gle.s  égaux  aux  angles  de  réfraction  en  AB.  H  suit  de  le  que  les 
rayous  de  diverses  couleurs  qui  émergent  par  la  face  A(i  sont  paral- 
lèles entre  eu\,  et  donnent,  sur  un  écran  placé  à  distance,  une  pro- 
jection incolore  S'SJ.  —  Si  maintenant  on  augmente  graduellement 
l'inclinaison  de  la  face  liypofénuse  BC  sur  les  rayons  qui  la  rencon- 
trent, lu  réilexion  devient  successivement  totale  pour  les  diverses  cou-. 


I(!tir>.,  du  ïiolcl 

il  tuirr  (liiiis  le  s|>c('lr(-  \  U,.  Kii  riii'i 


:ti  roi](;e.  et  l'on  tuil 


'uuletirs  diNpaniilre  loar 
Icriips,  riiiiago  ini'olorc  ilonncV 


[lar  les  rj\on.s  i|iii  l'nicrtjeiil  eu  M'.  ?e  colore  d'abord  en  violet,  piili 
}iu<;ci-ssiu>ri]cnt  de  diverNCS  nuaiirc!*,  cl  elle  revient  enfin  au  blaor 
Iors(|iie  le  spectre  VR,  a  entJèrcniejil  disparu. 

On  |iciit  modifier  celte  exjiéricnce,  en  retevanl  sur  iin  prisme  auvi- 
liaire  m  les  ravons  <pu  émergent  de  AC.  On  obtient  ainsi  un  second 
sjiccirc  R'V,  dont  les  diverses  couleurs  au{;nienleiit  successivement 
d'éclat  à  mesure  que  les  couleur»  correspondantes  disparaissent  dans 
le  spectre  VR,, 

■'i°  IhffierfioH  lo}ifptu<liiiale  ilen  fot/em  il'tiiic  leiittlle.  —  Il  résitlle  de 
ta  fonniile  établie  précédem nient  pour  les  lentilles  à  surfaces  sphé* 
ri(|nes . 

7-i"-'){,i-F)- 

que  la  valeur  absolue  de  la  distance  focale  [inncipale  d'une  lentille 
décroit  à  mesure  que  l'indice  de  réfraction  augmente;  on  en  conclut 
inim^lialement  que,  dans  le  cas  des  lentilles  conver^ntes,  le  foyer 
réft  conjugué  d'un  point  luniineii\  esl  d'autant  moins  éloigné  de  ta 
lenlille  que  la  lumière  émise  par  ce  point  esl  plus  réCraiigiblc. 


DÉCOMPOSITION   DE  LA   LUMIÈKK.  25;^ 

Pour  vérifier  cettp  conclusion.  Newton  faisait  arriver,  sur  une 
page  imprimée,  les  rayons  rouges  du  spectre  solaire;  il  plaçait  alors 
à  quelque  distance  une  lentille  convergenle,  et  déterminait  le  point 
où.ron  devait  placer  un  écran,  pour  obtenir  une  reproduction,  nette 
et  lisible  de  la  page  ainsi  éclairée.  Ensuite,  à  mesure  que  le  mouve- 
ment diurne  du  soleil  déplaçait  le  spectre  et  en  amenait  successive- 
melDt  les  diverses  parties  sur  cette  même  page,  il  observait  qu'il 
fallait  graduellement  rapprocher  l'écran  de  la  lentille. 

Cette  expérience  ne  peut  être  Unie  que  dans  une  chambre  obscure, 
d*oà  Ton  a  éliminé  toute  lumière  accidentelle  avec  le  plus  grand 
soio.  —  Mais  on  peut  constater  la  dispersion  des  foyers  d'une  len- 
tille, en  promenant  un  écran  dans  la  portion  resserrée  d'un  faisceau 
solaire  réfracté  par  la  lentille  ;  l'image  circulaire  blanche  qu'on  o1)tien( 
ainsi  est  bordée  de  rouge  en  deçà  du  foyer  des  rayons  moyens;  au 
delà  de  ce  point,  elle  est  bordée  de  violet  :  au  foyer  même,  son 
éclat  est  trop  vif  pour  qu'on  puisse  discerner  si  elle  offre  quelque 
coloration.  —  En  projetant  une  poussière  fine  dans  la  partie  de  l'es- 
pace qui  est  traversée  par  les  rayons  lumineux,  ojj  voit  de  même 
apparaître  un  double  cône  éclairé,  dont  la  première  nappe  paraît 
l'ougc,  la  seconde  violette. 

^|8].   ]fIéthoclc  de  Mewton  pour  ohtenir  un  npectre  pur. 

—  Lorsqu'on  produit  le  spectre  solaire  en  recevant  simplement  sur 
un  prisme  un  faisceau  de  lumière  transmis  dans  une  chambre  obscure 
par  une  petite  ouverture,  les  cônes  lumineux  de  diverses  couleurs 
dans  lesquels  le  j)risnie  décompose  ce  faisceau  viennent  rencontrer, 
chacun  suivant  une  ellipse,  l'écran  sur  lequel  on  observe  le  Sj)ectre  : 
ces  ellipses  empiètent  d'autant  plus  les  unes  sur  les  autres  qu'on  est 
plus  rapproché  du  prisme,  et  ne  peuvent  se  séparer  complètement 
à  aucune  distance.  L'angle  au  sommet  des  cônes  qui  correspondent 
à  chacune  des  couleurs  simples  est,  dans  la  position  du  minimum 
de  déviation,  égal  au  diamètre  apparent  du  soleil,  et  il  est  évident 
que  le  spectre  ainsi  obtenu  ne  peut  offrir  aucune  pureté. 

Pour  obtenir  un  spectre  d'une  pureté  bien  supérieure.  Newton 
employait  la  méthode  suivante,  dont  il  est  facile  de  concevoir  l'effî- 
cacilé.  —  Les  rayons  solaires  transmis  par  l'ouverture  étroite  du 


254  OPTIOUK. 

votel  (l'une  rhiinibre  obscure  toiiibeiil  sur  un  |irisiiif  P  (fig.  loS). 
[lu  minimum  de  déviation  pour  l'indice  de  ré- 
tins  solaires  :  cliaqut 


plaré  dans  In  posili 
frorEion  niovcn  des 


'  IncideDt  de  lumière 


blanriir  qui  a  pour  sotnnicl  un  poinl  S  de  l'ouvcrlurc  el  pour  basé 
le  disque  snlnire  esl  .linsi  (ransfornié,  par  l'aclion  du  prisme,  en 
une  série  de  cônes  de  réfranjibililés  diverses,  avanf  leurs  sommets 
S,,.  .  .,  Sr  à  la  nif^nie  distance  de  l'arête  réfringente.  Lne  lenlille 
convergente  acbromalique  I.,  placée  au  delà  du  prisme,  reçoit  le 
système  de  ces  cônes  divergents,  el  donne  sur  un  écran  MX,  situé  à 

distance  convenable,  une  inia<;e  réelle  des|ioiiil.sS, S,.  Le  même 

raison nenieiil  poutaiil  se  ivpéler  pour  chaque  poinl  de  l'ouverture 
de  la  chambre  obscure,  un  doit  en  définitive  obtenir  sur  l'iVran  au- 
tant tïimiiges  de  loiicerliire  qu'il  >  a  d'espèces  de  ravans  diversement 
réfrangihles  dans  la  lumière  incidente,  (les  images  empiéteront  plus 
nu  moins  les  unes  sur  les  autres:  mais,  en  réduisant  la  dimension  de 
l'ouverture  dans  le  sens  pei'jjendiculaire  auv  arêtes  dn  prisme,  on 
diminuera  indéfininicnl  t'enipiéli'inenl  des  images  :  s'il  v  a  des  solu- 
tions de  continuité  dans  les  indices  de  réfraclion  successifs,  elles 
apparaîtront  d'autant  plus  facilement  que  celle  dimension  de  l'ou- 
verture aura  élé  plus  rédnil<>. 

Si,  dans  un  spectre  ainsi  épuré,  on  isole  un  faisceau  lumineux  au 


DÉCOMPOSITION  DE  \A  LUMIÈRE.  255 

moyen  d'une  fente  étroite,  perpendiculaire  à  la  longueur  du  speclrc, 
ce  Taisceau  n'éprouve  plus  qu'une  dispersion  très-faible  dans  un  se- 
cond prisme  et  se  comporte  presque  romme  s'il  était  rigoureuseraenl 
homogène.  —  L'analyse  de  la  lumière  par  le  premier  prisme  <^taîl 
donc  absolue;  en  d'autres  termes,  les  éléments  dans  lesquels  la  Lu- 
mière blanche  est  décomposée  par  l'action  d'un  prisme  ne  sont  pas 
susceptibles  d'une  décomposition  ultérieure. 

^82.  Il«lea  4e  Frauenhafer. —  Lorsqu'on  produit  un  spectre 
pur  au  moyen  de  la  lumière  solaire,  on  constate  que  ce  spectre  pré- 
sente des  espaces  obscurs  très-élrolls  et  très-nombreux,  distribués 
sans  aucune  loi  régulière  dans  les  diverses  régions  du  spectre,  et  qui 
ont  rcPU  le  nom  de  mies  lie  Fruuenhoftr.  —  La  figure  iot)  repré- 


I 


m 


1 


sente  seulement  les  sept  groupes  principaux,  qiji  ont  été  désignés 
par  les  lettres  B,  C,  D,  E,  F,  fi.  H,  pX  trois  groupes  accessoires  A, 
a,  h. 

Ces  espaces  obscui'S,  dont  les  principaux  groupes  peuvent  être 
aperçus  très-aisément  avec  les  instruments  dont  nous  disposons  au- 
jourd'hui, n'avaient  point  été  constatés  par  Newton  :  il  est  pro- 
bable qu'il  faut  l'attribuer  au  défaut  d'homogénéité  des  prismes  dont 
il  était  réduit  ^  se  servir. 


A83.  Prlnelpr  dii  B|>eclr*Bc«|»e.  —  Le  procédé  de  Neivton 
pour  l'observation  du  spectre  solaire  {â8l)peut  è\re  avantageuse- 
ment modifié ,  en  supprimant  l'écran  MN  et  en  regardant  directement 
l'image  aérienne  du  spectre  au  travers  d'une  loujie.  —  Celte  loupe 
forme  alors,  avec  la  lentille  qui  intervenait  dans  la  méthode  de 
Newton  (fig,  /io8),  une  véritable  lunelle  astronomique.  Le  procédé 


25C  Ol'TigUK. 

actuel  revient  donc,  fa  {I^finitîve,  à  |)lacer  rlerrière  le  |»risiiie.  sur 
In  (lirfirlion  des  rayons  t^merfjenls,  une  lunetle  ajus(<^e  pour  voir  dis- 
tinetenient  des  objets  jiliirés  à  la  distante  des  images  virtuelles 
Sp, .  .  .,  S,.  Le  grossissement  tju'on  obtient  ainsi  permet  de  distin- 
guer un  plus  grand  nombre  de  raies.  —  Enfîn  on  peut  remplacer 
la  Tente  pratiquée  dans  le  volet  de  la  chambre  obscure  par  la  Tente 
d'un  collimateur,  deTaçon  que  les  rayons  lumineux  paraissent  venir 
d'un  objet  intiniment  éloigné  et  de  très-petit  diamètre  apparent. 

Le  système  composé  d'un  collimaleur  L  (fig.  /iio),  d'un  prisme 
ou  d'un  système  de  prismes,  d'une  lunette  astronomique  FG  et  d'un 


support  convenable  est  ce  qu'on  nomme  un  npfctrojiropp.  On  di:^ 
pose  souvent  plusieurs  prismes  P,  P',  1'"....  à  la  suile  les  uns  des 
autres  sur  une  même  plaque  rirculaire ,  comme  l'indique  la  li- 
l'ure  ^110,  et  on  leur  donne  d'avance  approximativement  la  posi- 
tion correspondante  à  la  déviation  minima  pour  les  rayons  moyens 
du  spectre;  mais,  lorsqu'on  veut  profiter  de  toute  In  puissimre  de 
l'inslrumenl,  on  règle  sucressiveuienl  la  position  de  chaque  prisme 
pour  la  région  môme  du  spectre  que  l'on  observe  actuellement"'. 

"I  l.'iiujju  ilii  collioNtleur  aiiijliairi'  CI),  iiij  r»t  ivftêaenli-  siir  In  lij;iire  hxo.  sna 
npliqiip  plim  liiin  (I>03). 


KECOMPOSiTlOlN  UE  LA  LUMIEKE.  i257 

Lorsqu'on  veut  simplement  apercevoir  les  principales  d'entre  les 
raies  du  spectre,  on  peut  se  contenter  de  placer  l'œil  immédiate- 
ment derrière  l'arête  du  prisme,  les  milieux  réfringents  de  l'œil  et 
la  cétine  se  comportant  comme  la  lentille  L  et  l'écran  iMN  de  la 
figure  lioS.  On  aperçoit  alors,  en  général,  un  spectre  suffisamment 
net  pour  laisser  discerner  les  principaux  groupes  de  raies  :  les  obser- 
vateurs myopes  ou  presbytes  peuvent  d'ailleurs  placer  devant  leurs 
yeux  des  verres  divergents  ou  convergents,  comme  pour  la  vision 
des  objets  réels.  —  C'est  par  ce  procédé-  simple  que  WoHaston  a 
observé  les  raies  du  spectre,  plusieurs  années  avant  Frauenhofer. 

/|8&.  Recentposltl^ii  de  la  lumière  blaneliey  au  ntayen 
de  ses  élénteiits  séparés.  —  Pour  achever  de  démontrer  la  cons- 
titulion  complexe  de  la  lumière  blanche.  Newton  a  vérifié,  par  di- 
verses expériences,  qu'en  superposant  les  éléments  de  cette  lumière 
tels  que  les  fournit  le  prisme  on  reconstitue  la  lumière  blanche 
elle-même.  —  Ce  résultat  peut  être  facilement  réalisé  : 

i"*  Au  moyen  d'un  système  de  petits  miroirs  plans,  sur  lesquels 
on  reçoit  les  parties  successives  d'un  même  spectre,  et  qu'on  incline 
de  manière  qu'ils  réfléchissent  vers  une  même  région  d'un  écran 
blanc  les  rayons  des  diverses  couleurs; 

*r  En  faisant  tourner  rapidement  sur  lui-même  un  prisme  for- 
mant un  spectre  sur  un  écran  :  les  oscillations  rapides  du  spectre 
produisent,  grâce  à  la  persistance  des  impressions  lumineuses,  la 
sensation  de  la  lumière  blanche; 

3**  En  faisant  tourner  rapidement  autour  de  son  centre  un  disque 
de  carton  sur  lequel  sont  appliqués  des  secteurs  offrant  les  diverses 
couleurs  du  spectre,  dans  l'ordre  et  avec  les  rapports  d'étendue  qu'ils 
présentent  dans  le  spectre  solaire;  ou  en  faisant  tourner  autour  de 
son  axe  un  cylindre  dont  la  surface  convexe  porte  des  bandes  co- 
lorées satisfaisant  aux  mêmes  conditions; 

4"*  Au  moyen  d'une  lentille  convergente,  placée  au  delà  d'un 
prisme,  sur  le  trajet  du  faisceau  émergent,  h  une  distance  |)lus 
grande  que  sa  distance  focale  principale  (fig.  Aii).  —  Derrière 
cette  lentille  on  obtient  d'abord,  en  PQ,  les  images  réelles  des 
points  virtuels  S^, .  .  .,  S^  et  par  conséquent  un  spectre  pur.  Plus 

Vrrdrt,  ÎII.  —  Coïirs  de  pliys.  ft.  17 


â58  OPTlQUK. 

luin  on  trouve  l'image  «Je  la  neconcle  surface  du  prisine  :  cette  image 
esl  blanche,  mais  bordée  de  deui  franges  colorées;  car  si  RR,  et  W, 
représentent,  sur  celle  seconde  face,  les  longueurs  du  faisceau  rouge 


et  du  faisceau  violet  à  l'émergence ,  Ghar|ue  point  compris  enti'e  R  et 
V,  est  le  point  d'émergence  de  rayons  de  toutes  les  couleurs,  et  par 
conséipient  chai]ue  point  de  la  région  B'V,'  doit  paraître  blanc;  au 
contraire,  les  bandes  R'iV,',  R'V  sont  colorées.  En  supprimant,  par 
des  écrans  opaques,  les  bandes  rolorées  \  R,  V,R,  de  la  seconde  sur- 
face dti  prisme,  l'image  obtenue  sur  l'écran  devïenl  enlîèremenl 
blanche,  et  Ut  netteté  de  l'expérience  est  plus  complète. 

Â85.  C*iMbiiMliMii  d'nii  Membre  limité  4e  «•wlcura  Ai 
•pecire. —  Ceuleura  cemplémentolres. —  En  supprimant,  à 
l'aide  d'un  écran  de  grandeur  convenabb'  placé  dans  le  plan  1*0 
(fig.  Al  i).  telle  ou  telle  partie  des  niyons  igui  forment  le  spectre 
dans  ce  plan,  on  peut  étudier  sur  l'écran  MN  les  effets  de  la  combi- 
naison d'un  nombre  limité  de  couleurs  du  spectre ,  prises  dans  telles 
positions  que  l'on  veut.  Le  tableau  suivant,  emprunté  à  M,  Heliii- 
h(dtz,  fait  connaître  les  principaux  résultats  (pie  donne  la  combi- 
naison de  deuv  couleurs  seuiemcnl. 

I^es  riiKj  couleurs  élémentaires  mentionnées  dans  ce  tableau  sont 
censées  (.orrcsiioiidre  cliaciiiii'  lui  milieu  de  la  portion  du  spectre 


SFKCTUK  SOLAIUE. 


259 


(|ue  désigne  le  nom  correspondant.  —  Le  résultai  de  la  combi- 
naison du  bleu  et  du  jaune,  c'est-à-dire  la  production  du  blmic,  est 
tout  à  fait  contraire  à  l'opinion  commune -et  à  la  pratique  des  pein- 
tres. On  reviendra  plus  loin  sur  ce  paradoxe  apparent  (A96). 


• 

Rouoi. 

Jaum. 

Vert. 

• 
Bled. 

Violet. 

Rouge. 

Orangé. 

Jaune  Lernc. 

Rose. 

Pourpre. 

;  '"liinii. 

Orangé. 

Jfluno. 

Vcrljannâlre. 

Blancx 

Rose. 

';■¥««. 

.Jaune  Icrnc. 

Vorijau  nuire. 

Veil. 

Verlbleuâlre. 

Bleu  pâle. 

1  •     • 

1                      >      • 

Rose. 

Blanc. 

Vcrl  bleiiûlre. 

Bleu. 

Indigo. 

■  VioUT. 

Pourpre. 

Rose. 

Bleu  pâle. 

Indigo. 

Violet. 

Il  n'est  pas  inutile  d'insisler  sur  ce  fait  que,  contrairement  à  une 
assertion  de  Newton,  assertion  reproduite  dans  la  plupart  des  Traités 
df  physique ,  la  superposition  de  deux  couleurs  simples  peut  suffire 
pour  former  du  blanc.  Le  résultat  de  la  combinaison  du  bleu  et 
du  jaune  n'est  qu'un  cas  particulier  d'une  loi  générale  que  l'on 
peut  formuler  comme  il  suit  : 

•  A  tout  rayon  moins  réfrangible  que  le  jaune  moyen  répond  un 
autre  rayon,  plus  réfrangible  que  le  jaune  moyen,  qui  peut  former 
du  blanc  avec  le  premier.  —  Ces  deux  rayons  sont  dits  complémen- 
taires l'un  de  l'autre. 


ÉTIRE  SPÉCIALE  Dl   SPECTRE  SOLAIRE. 

/|8G.  Wajriatl^ns  d'éclat  dans  les  diverseii  parties  du 
■prêtre  salaire. —  L'œil  apprécie  diflicilement,  ainsi  qu'il  a  été 
dit  plus  haut,  les  rajipofts  d'intensité  qui  peuvent  exister  enire  les 
éclairemenls  produits  |)ar  des  rayons  lumineux  de  couleurs  dille- 
renles  (382).  (le|)endant  la  simple  inspection  du  sj)eclre  solaire 
montre  qu'il  offre  un  éclat  très-variable  dans  les  diverses  parties  de 
son  étendue  :  on  reconnaît   immédiatement  ipie  l'éclal   maximum 


260  OPtIQUÈ. 

correspond  à  la  région  comprise  entre  les  raies  D  et  F(fig.  ^09), 
et  qu'il  y  a  un  décroissement  dans  l'intensité  lumineuse,  depuis 
cette  région  jusqu'à  chacune  des  extrémités. 

487.  Actièiis  CAloriflques  des  diverses  parties  du  speetre. 

—  On  peut  comparer  entre  elles  les  actions  calorifiques  des  di- 
verses régions  du  spectre  solaire,  soit  à  l'aide  d'un  thermomètre 
sensible,  soit  à  l'aide  d'une  pile  thermo-électrique  dont  les  éléments 
auront  été  disposés  sur  une  même  rangée  et  occuperont  toute  la 
largeur  du  spectre. 

On  constate  ainsi  que  l'action  calorifique  est  sensible,  non-seule- 
ment dans  toute  l'étendue  du  spectre  visible,  mais  encore  dans  une 
région  assez  considérable  en  deçà  du  rouge;  de  là  on  conclut  que 
la  radiation  solaire  contient,  outre  les  rayons  calorifiques  corres- 
pondants aux  parties  visibles  du  spectre,  des  rayons  calorifiques 
obscurs,  moins  réfrangibles  que  les  rayons  rouges;  c'est  ce  qu'on 
nomme  les  rayons  injra-rouges. 

La  région  qui  correspond  à  l'effet  calorifique  maximum  occupe 
une  position  un  peu  variable  avec  la  nature  du  prisme.  C'est  là  un 
résultat  qui  est  dû  à  ce  que  les  verres  des  différents  prismes  n'exer- 
cent pas  tous  la  même  absorption  sur  chacun  des  éléments  de  la 
radiation  solaire.  —  Avec  un  prisme  de  sel  gemme  ou  de  cristal  de 
roche,  qui  absorbe  à  peu  près  de  la  même  manière  tous  les  rayons 
lumineux,  le  maximum  se  trouve  dans  les  rayons  infra-rouges,  à 
peu  de  distance  de  l'extrême  rouge  visible;  le  décroissement  de  l'in- 
tensité calorifique  est  plus  rapide  du  côté  de  la  pgfrlie  visible  du 
spectre  que  du  côté  opposé.  —  La  première  observation  de  ces 
divers  phénomènes  est  due  à  John  Herschel. 

488.  Aetions  eliintiques* — La  lumière  a,  comme  on  sait, 
la  propriété  de  décomposer  certaines  substances  facilement  altéra- 
bles, et  en  particulier  les  sels  d'argent.  Lorsqu'on  fait  tomber  le 
spectre  solaire  sur  une  surface  couverte  de  l'une  de  ces  substances, 
on  observe  que  l'altération  ne  se  produit  pas  dans  toute  l'étendue  du 
spectre,  mais  seulement  entre  deux  limites  déterminées.  —  Bien  que 
ces  limites  elles-mêmes  soient  un  peu  variables  d'une  substance  à 


SPECTRE  SOLAIBE. 


261 


une  autre,  ou  peut  dire  cependant  que,  du  côté  des  rayons  les  inoinii 
réfrangibles,  l'altération  ne  parait  jamais  atteindre  le  rouge;  du 
côté  des  rayons  les  plus  réfrangibles ,  elle  dépasse  presque  toujours 
le  violet.  Ainsi  se  trouve  accusée  l'existence  de  rayons  ultra-violeh'^'\ 
insensibles  à  l'œd,  incapables  de  produire  un  effet  iherinoni étriqué 
appréciable,  mais  rendus  manifestes  par  tes  phénomènes  chimiques 
auxquels  ils  donnent  naissance. 

Il  est  facile  d'obtenir,  sur  une  plaque  daguerriennc  ou  sur  un 
papier  photographique,  une  impression  permanente,  produite  par 
un  spectre  qu'on  aura  fait  agir  sur  cette  surface.  Cette  impression 
commence  en  général,  comme  on  vient  de  le  dire,  à  une  distance 
plus  ou  moins  grande  en  deçà  du  rouge  extrême,  et  s'étend  jusqu'à 
une  région  située  bien  au  delà  du  violet.  Dans  la  partie  de  cette 
impression  qui  correspond  au  spectre  visible,  on  aperçoit  les  raies 
de  Frauenhofer,  en  nombre  plus  ou  moins  grand  suivant  la  perfec- 
tion qu'on  a  su/ donner  à  l'expérience;  dans  la  partie  qui  correspond 
au  spectre  ultra-violet,  on  aperçoit  d'autres  groupes  de  raies,  éga- 
lement caractéristiques.  M.  Edmond  Becquerel  et  M.  Stokes  ont  dé- 
signé par  des  lettres  les  principaux  de  ces  groupes.  On  a  reproduit 


[ 


] 


les  dénominations  de  M.  Becquerel  sur  la  Bgure  hi  s,  qui  doit  être 
regardée  comme  un  prolongement  du  spectre  lumineux  représenté 
par  la  figure  Uo^.  La  position  et  l'aspect  de  ces  raies  ne  dépendent 
pas  de  la  nature  de  la  substance  qui  a  servi  à  obtenir  l'image. 


A89.    Inteppré«««l»n    des   réaultikta    préeMent».  —  Les 

phénomènes  dont  on  vient  d'indiquer  les  points  les  plus  saiUants  ont 
conduit  d'abord  les  physiciens  à  distinguer,  dans  le  faisceau  émis 

<')  La  Hc(Ou*pr[e  do  lajons  ullra-violels  €sl  due  à  Bitter. 


26i  OPTIQUE. 

par  le  soiril  ot  rc^fraclé  par  un  prisme,  trois  spectres  diffc^rents.  Ip 
spectre  cnlovifiquc ,  le  spectre  lumineux  et  le  spectre  chimique,  rcs  trois 
spectres  empiétant  plus  ou  moins  l'un  sur  l'autre.  —  Mais,  d'après 
re  que  l'on  vient  de  voir,  cette  hypothèse  ne  pourrait  se  con- 
server (pi'à  la  condition  d'admettre  autant  de  spectres  chimiques 
particuliers  qu'il  y  a  de  substances  impressionnables  à  la  lumière, 
ou  même  de  modilications  spéciales  de  chacune  de  ces  substances, 
ce  qui  n'a  évidemment  aucune  probabilité. 

L'interprétation  la  plus  directe  et  en  m()me  temps  la  plus  simple 
des  phénomènes  consiste  à  refjarder  les  divers  éléments  de  la  radia- 
tion solaire  comme  possédant,  à  des  degrés  divers,  les  propriétés 
caractéristiques  de  cette  radiation.  Les  rayons  moins  réfrangibles 
que  le  violet  sont  alors  les  seuls  qui  exercent  une  action  calorifique 
sensible.  Les  rayons  dont  la  réfranjjibilité  est  comprise  entre  celle 
du  rouge  extrême  et  celle  du  violet  extrême  sont  seuls  aptes  à  agir 
sur  l'organe  de  la  vue,  et  développent  les  sensations  des  diverses 
couleurs.  Les  rayons  plus  réfrangibles  que  le  violet  sont  principa- 
lement aptes  à  déterminer  l'altération  chimique  d'un  certain  nombre 
de  substances,  mais  cette  propriété  appartient  aussi  à  «les  rayons 
capables  d'agir  sur  l'œil.  —  On  trouve  une  preuve  de  l'exactitude 
de  cette  interprétation  dans  l'invariabilité  de  [position  et  d'aspect 
que  présentent  les  raies  du  spectre  lumineux,  soit  qu'on  les  observe 
directement,  soit  qu'on  les  examine  dans  la  partie  du  spectre  plio- 
tographique  (|ui  répond  aux  rayons  visibles. 

• 

/i90.  Actions  phosphorofféiilqiies.  — Certaines  substances, 
(piand  on  les  expose  aux  rayons  solaires,  acquièrent,  sans  s'échauffer 
sensiblement,  la  faculté  d'émettre  pendant  quelque  temps  une  lu- 
mière dont  l'éclat  est  sensible  dans  l'obscurité.  —  On  donne  h  ce  phé- 
nomène le  nom  de  phosphorescence ,  et  les  substances  qui  peuvent  lui 
donner  naissance  ont  été  souvent  désignées  sous  le  nom  général  de 
phosphores.  Au  nond)re  des  plus  sensibles  se  trouvent  :  le  phosphore  de 
liolorpie,  (pii  est  le  sulfure  de  baryum  obtenu  en  calcinant,  avec  une 
matière  organique,  une  variété  de  sulfate  de  baryte  qui  se  trouve 
aux  finirons  (h»  Bologne:  le  phosphore  Je  CantOft,  qui  est  le  sulfure 
(h*  calcium  préparé  par  Canton  ^n  calcinant  un  mélange  de  soufre 


SPKCTBE  SOLAIKE.  263 

et  H'ëcailles  d'huîlies  pulvérisées;  enfin,  un  certain  nombre  de  iiii- 
nëraus;  i|ui  peuvent  être  également  employés  pour  i-es  expénenie». 

Lorsqu'on  fait  tomber  un  speiire  sur  une  couche  de  substance 
phosphorescente,  on  constate  que  Ih  propriété  phosphorof^éninue  se 
manifeste  seulement  dans  une  portion  limitée  du  spectre:  l'étendue 
de  celle  portion  est  d'ailleurs  variable  d'une  substance  à  une  autre. 
—  Les  rayons  uilni-violets  sont  en  général  les  plus  aptes  à  déve- 
lopper la  phosphorescence  '". 

On  remarquera  enfin  que,  si  l'on  voulait  expliquer  les  phénu- 
Bièncs  de  phos[)horesccnce  par  une  radiation  spécialement  phospho- 
rogénique,  on  serait  conduit  h  des  conséquentes  aussi  compliquées 
que  par  l'hypothèse  d'une  radiation  spécialement  chimique. 


491.  Durée  4e  h>  phospliaraiveNce. - 
4e  m.  Gdmonri  Becquerel. —  La  durée  de  la  phosphorescence 
offre  des  différences  très-considérables,  d'une  substance  à  une  autre. 
On  doit  il  M.  Edmond  Becquerel  un  instrument  destiné  à  apprécier 
ces  différences  et  à  rendre  sensible  la  phos|)horescence  des  corps 
qui  n'émettent  la  lumière  que  pendant  un  temps  très-court. 

L'appareil,  qui  est  connu  sous  le  nom  de  phospkoroscope,  se  com- 
pose de  deux  disques  évidés,  comprenant  chacun  un  système  de 


secteurs  opaques,  égaux  et  équidistants.  Ces  deux    disques  M,  N 
(fig.  il 3)  sont  montés  sur  un  même  axe  de  rotation  00',  et  placés 


'''  Les  prismes  el  \e»  lenlilles  de  >err<'  arn^luiil   i 
ifitra-tîoicts.  Il  runvjetit  dqoc.  daiih  loiitcs  les  ei|K'i'i<: 


e  [larlie  cunsidérable  des  rayops 
PS  rrl'ilivcs  aui  eOel»  Tliimii|uiu 


âO/i  OPTIQUE. 

de  munière  que  les  secleurs  opaques  de  l'uu  rëpoiident  aux  intervaiies 
qui  existent  entre  les  secteurs  de  l'autre  ^'^  Le  corps  à  étudier  est  fixé 
en  A ,  entre  M  et  N ,  et  reste  immobile  pendant  que  les  deux  disques 
tournent  autour  de  l'axe  00'.  L'appareil  est  placé  devant  un  héiiostat, 
qui  réfléchit  les  rayons  solaires  dans  une  direction  horizontale,  de 
manière  que,  pendant  la  rotation,  le  disque  N  intercepte  périodi* 
quement  les  rayons  qui  arrivent  au  corps  A.  L'œil  étant  placé  de 
l'autre  côté  du  disque  M,  les  rayons  solaires  ne  lui  arrivent  jamais 
directement;  mais  il  reçoit,  quand  les  parties  évidées  du  disque  M 
se  présentent  à  lui,  les  rayons  que  peut  émettre  le  corps  A  après 
avoir  été  éclairé.  —  Donc,  si  le  corps  est  phosphorescent,  il  devient 
visible  par  le  mouvement  de  rotation,  et,  en  accélérant  le  mouve- 
ment, on  peut  rendre  sensible  une  phosphorescence  de  très-courte 
durée;  en  eiïet,  il  suflit  que  l'émission  lumineuse  d'un  corps  per- 
siste pendant  la  durée  du  passage  d'un  secteur  opaque  du  disque  .\, 
pour  que  la  |)hosphorescence  soit  absolument  continue. 

492.  Fluoreacenee. —  On  a  donné  le  nom  da  Jluorescencc  à 
un  phénomène  de  phosphorescence  présentant  une  durée  tellement 
courte  (jue,  dans  le  mode  d'observation  ordinaire,  l'émission  de  lu- 
mière par  le  corps  semble  cesser  en  même  temps  que  l'arrivée  des 
rayons  solaires  sur  lui. 

Ce  phénomène  est  infiniment  plus  commun  (|ue  celui  de  la  phos- 
phorescence de  longue  durée.  Il  se  produit  avec  la  plupart  des  ma- 
tières organiques  :  l'escuHne.  le  sulfate  de  quinine,  la  chh)rophylle 
sont  remarquables  sous  ce  rapport.  On  l'observe  également  avec  un 
grand  nombre  de  matières  minérales ,  parmi  les({uelles  le  spath-fluor 
de  Derby,  le  verre  dWane  donnent  surtout  de  très-beaux  résultats. 
Au  contraire,  les  métaux,  la  porcelaine,  le  charbon  n'en  offrent 
aucune  trace. 

M.  Stokes,  (pii  a  beaucoup  étudié  ces  phénomènes,  et  qui  les 
avait  d'abord  considérés  comme  entièrement  distincts  de  ceux  de  la 

ou  pho^phorogéniques  de  la  lumière  solaire,  de  fiire  usage  do  prismes  el  de  leDlillea  de 
quartz  pour  obtenir  les  spectres  aveciesqueb  on  \eul  opérer. 

'  Cebi  (0  qiriuiliqiir  l.i  ligure  h  1 3  fti«,  qui  représeulc  le  disque  antérieur  >u  de  face; 
ou  a  imliqué  par  *lts  tiiiits  [rmuIum^  la  pocùtiou  des  ouverlureî»  de  Pautit^  di»qup,  qui  «»st 
placH  en  arrière. 


ABSORPTION  ET  DIFFUSION.  265 

phosphorescence,  a  remarqué  que  les  corps  fluorescents,  lorsqu'ils 
sont  illuminés  par  des  rayons  simples,  émettent  toujours  des  rayons 
d'une  réfrangibililé  moindre.  Ainsi,  en  recevant  sur  du  papier 
imprégné  de  sulfate  de  quinine  les  rayons  ultra-violets  d'un  spectre 
pur,  on  obtient  une  fluorescence  présentant  une  couleur  bleii^violel. 
—  Dans  cette  expérience  on  constate  que  certains  points  de  la  fouille 
de  papier,  situés  au  milieu  de  la  région  fluorescente,  ne  manifes- 
tent pas  de  fluorescence,  ce  qui  confirme  l'existence  de  raies  dans 
la  partie  invisible  du  spectre. 

On  peut  encore  faire  passer  les  rayons  solaires  au  travers  d'un 
verre  violet  assez  foncé  pour  ne  transmettre  qu'une  très-faible  pro- 
portion de  rayons  visibles,  et  recevoir  sur  une  substance  fluorescente 
le  faisceau  transmis  :  les  rayons  invisibles  que  le  verre  violet  laisse 
passer  font  encore  apparaître  la  fluorescence  ^'^  —  On  observe  que  le 
corps  fluorescent  parait  émettre,  même  d'une  certaine  profondeur 
.au-dessous  de  sa  surface,  des  rayons  de  lumière  d'une  remarquable 
intensité  :  la  couleur  de  cette  lumière  est  variable  avec  la  nature  du 
corps  lui-même. 

ABSORPTION  ET  DIFFUSION. 

ii93.  AbfMirptioii  de  la  lumière  par  le*  eorps  transpa- 
reiito. —  La  coloration  qui  se  manifeste  dans  la  lumière  transmise 
par  un  grand  nombre  de  corps  transparents  suflit  pour  montrer  que 
ces  corps  absorbent  d'une  manière  inégale  les  divers  rayons  qui  for- 
ment la  lumière  blanche.  —  Lorsqu'on  analyse  la  lumière  qui  a 
traversé  ces  corps,  on  observe  d'ailleurs  que  certaines  couleurs  du 
spectre  éprouvent  une  diminution  relative  considérable  dans  leur 
éclat,  ou  même  disparaissent  d'une  manière  complète.  —  Le  résultat 
est  le  même  si  l'on  regarde  un  spectre  produit  dans  les  conditions 
normales,  en  plaçant  devant  l'œil  une  lame  d'un  corps  coloré  et 
transparent. 

On  peut  admettre  comme  évident  que  refl*et  exercé  par  une  couche 
absorbante,  d'épaisseur  infiniment  petite,  sur  un  rayon  simple,  est 

^*^  C*esl  ainsi,  |Hir  exemple,  qiren  recevaiil  la  partie  ullra-violetle  du  spectre  sur  un 
papier  où  Von  a  Iraci?  des  caractères  avec  une  solution  de  sulfate  de  quinine ,  on  rend 
immédia lemeql  visibles  ces  caractères. 


ififi  OPTIQUE. 

d'arrêter  une  rraction  de  ce  rayon  qui  est  proportionnelle  à  l'épais- 
seur de  la  couche  :  alors,  en  désignant  pan  l'intensité  da  rayon. 
et  par  -  Hi  la  diminution  d'intensité  qui  résulte  du  passage  au  tra- 
vers d'une  couche  d'épaisseur  dx,  on  aura 


ce  qui  donne 


—  =  adx. 


flUT 


L'intensité  d'un  faisceau  hofiiogéne  doit  donc  décroître  en  progres- 
sion géométrique,  lorsque  l'épaisseur  du  milieu  absorbant  augmente 
en  j)rogression  arithmétique.  —  La  raison  de  cette  progression  n'étant 
pas  la  même  pour  les  divers  rayons  du  spectre,  les  proportions  de 
ces  rayons  changent  à  mesure  que  l'épaisseur  augmente,  et  par  con- 
séquent la  teinte  générale  du  faisceau  transmis  est  elle-même  va- 
riable. 


/l9A.  AlHierlMintfli  m^n^clir^Biiitiqiies  et  dlelu^auai- 
quea.  —  Deux  variétés  de  corj)s  lraus|)arents  sont  particulièrement 
remarquables,  au  point  de  vue  de  la  constitution  de  la  lumière 
(puis  transmettent  : 

1°  Dans  les  corps  (|u'on  peut  appeler  absorbants  numochromabques, 
le  coellicient  d'absorption  présente  un  minimum  très-marqué  pour 
les  rayons  d'une  région  peu  étendue  du  s|)ectre  :  il  suit  de  là  que, 
dans  un  faisceau  de  lumière  primitivement  blanche  qui  traverse  les 
couches  successives  d'un  pareil  corps,  ces  rayons  ne  tardent  pas  à 
devenir  dominants;  ils  subsistent  presque  ^euls,  dès  que  l'épaisseur 
p.st  un  [)eu  plus  grande.  On  utilise  cette  |)ropriélé,  dans  certaines 
expériences  optiques,  pour  obtenir  facilement  de  la  lumière  à  peu 
pi'ès  homogène.  —  Le  verre  qui  est  chloré  en  rouge  par  le  protoxyde 
de  cuivre,  la  liqueur  de  couleur  indigo  qu'on  obtient  en  précipitant 
un  sel  de  bioxyde  de  cuivre  par  le  carbonate  d'ammoniaque  et  redis- 
solvant le  préci|)ité  dans  un  excès  de  carbonate,  sont  des  exemples 
remarquables  d'absorbants  monochromatiques. 

3**  Les  absorbants  dichromatiques  sont  ceux  (jui  donnent  une  couleur 
ou  une  autre  au  faisceau  qu'ils  transmettent,  selon  l'épaisseur  du 
corps  fpic  cp  faisceau  a  traversé.  —  On  conçoit  eu  effet  que,  les  in- 


ABSORPTION  ET  DIFFUSION.  267 

lensilés  des  diverses  couleurs  dans  le  spectre  solaire  normal  étant 
très-inégales  entre  elles,  il  peut  résulter  de  l'inégalité  des  coellicients 
d'absorption  d'un  corps  pour  les  rayons  de  diverses  couleurs  qu  il  y 
ail  prédominance  de  teintes  très-difFérentes  dans  les  faisceaux  trans- 
mis, selon  que  l'épaisseur  traversée  est  petite  ou  qu'elle  est  con- 
sidérable. —  Les  solutions  des  sels  de  chrome  jouissent  de  cette 
propriété  à  un  degré  remarquable  :  elles  offrent,  par  transparence, 
une  teinte  verte  sous  une  faible  épaisseur,  et  une  teinte  rouge  sous 
une  épaisseur  un  peu  grande.  Un  verre  à  pied  conique,  rempli  de 
l'une  de  ces  solutions,  présente,  au  voisinage  du  fond  et  au  voisi- 
nage de  la  surface,  des  colorations  absolument  différentes. 

On  peut  citer  encore,  comme  exemple  de  l'absorption  sp«M;iale 
exercée  sur  certains  rayons  du  spectre  par  certains  milieux  transpa- 
rents, les  bandes  larges  et  équidistantes  qui  apparaissent  dans  le 
spectre  solaire,  lorsque  le  faisceau  est  transmis  au  travers  d'une 
couche  d'acide  hypoazotique  gazeux  ou  d'iode  en  vapeur. 

495.  Actions  des  milieux  Absorbants  sur  les  rayons 
invisibles.  —  L'effet  des  milieux  absorbants  s'étend  aux  rayons 
invisibles,  infra-rouges  ou  ultra-violets,  aussi  bien  qu'aux  rayons 
lumineux. 

Lorsque,  après  avoir  affaibli,  par  le  passage  au  travers  d'un  ab- 
sorbant, l'éclat  d'un  faisceau  de  rayons  pris  dans  la  partie  lumi- 
neuse du  spectre,  on  étudie  ses  diverses  propriétés,  on  trouve  tou- 
jours qu'on  a  affaibli  en  même  temps  son  intensité  calorifique,  sa 
puissance  chimique  et  sa  puissance  phosphorogénique.  On  constate 
même  qpe,  si  l'on  mesure  la  variation  de  l'intensité  lumineuse  par 
une  épreuve  photométri(pie,  et  celle  de  l'intensité  calorifique  par 
un  des  procédés  qui  seront  exposés  plus  loin,  ces  intensités  ont 
diminué  dans  le  même  rapport  que  l'intensité  lumineuse,  lorsqiie  le 
faisceau  est  homogène. 

Cette  remarquable  coïncidence  a  été  directement  vérifiée,  dans 
des  circonstances  nombreuses,  par  MM.  Jamin  et  Masson.  On  y 
trouve  la  preuve  incontestable  de  l'interprétation  qui  a  été  donnée 
plus  haut  des  effets  variés  que  peut  exercer  le  spectre  solaire  (  /|89  V 
H  est  manifeste  qu'il  n'existe,  en  chaque  point  d'un  spectre  pur, 


268  OPTIQUE. 

qu'une  seule  espèce  de  rayons,  possédant  à  des  degrés  différents 
des  propriétés  diverses;  lorsque  l'intensité  des  rayons  vient  à  varier 
dans  telle  ou  telle  région ,  toutes  ces  propriétés  varient  dans  le  même 
rapport.  —  A  l'absorption  exercée  par  les  milieux  plus  ou  moins 
transparents  correspondent,  comme  conséquences  générales,  réchauf- 
fement de  ces  milieux  eux-mêmes ,  les  altérations  chimiques,  la  j>hos- 
phorescence,  etc. 

/i  9  6 .  Coloration  de  la  lumière  diffusée  par  le*  eorps  im- 
parfaitement polis. — La  lumière  qui  est  irrégulièrement  réfléchie 
par  les  corps  dont  la  surface  n'offre  pas  un  poli  parfait  est  générale- 
ment colorée,  lors  même  que  la  lumière  incidente  est  parfaitement 
blanche.  —  C'est  la  diversité  de  coloration  des  lumières  diffusées 
par  les  divers  corps  qui  nous  rend  visibles  ces  corps  eux-mêmes. 

Pour  les  métaux,  cette  coloration  appartient  à  la  lumière  réflé- 
chie régulièrement,  conmie  à  la  lumière  diffusée;  elle  prouve  sim- 
plement que  les  divers  éléments  de  la  lumière  blanche  se  réfléchis- 
sent en  proportions  inégales. — Pour  les  substances  non  métalliques, 
qui  ne  sont  jamais  absolument  opaques,  une  partie  de  la  lumière 
diffusée  traverse  les  aspérités  que  présente  la  surface,  et  prend,  par 
absorption,  la  teinte  qu'offrirait  le  milieu  vu  par  transmission  sous 
une  petite  épaisseur;  les  inégalités  de  structure  interne  qui  s'ob- 
servent souvent  au  voisinage  de  la  surface  contribuent  également  à 
la  diffusion  et  donnent  naissance  à  la  même  coloration. 

Il  est  à  peine  besoin  de  faire  remarquer  la  liaison  qui  existe  entre 
la  coloration  des  corj)s  et  la  composition  de  la  lumière  qui  les  éclaire  : 
en  particulier,  dans  une  lumière  homogène,  tous  les  corps  prennent 
la  teinte  de  cette  lumière,  ou  paraissent  noirs. 

Quant  à  l'effet  produit  sur  la  lumière  blanche  par  un  mélange  de 
deux  matières  colorantes,  il  faut  remarquer  que  la  lumière  diffusée 
par  ce  mélange  prend  la  teinte  (|ui  résulte  des  absorptions  exercées 
simultanément  par  l'une, et  par  l'autre;  cette  t^îinte  peut  être  très- 
différente  de  celle  qu'on  obtiendrait  en  mélangeant  deux  faisceaux 
homogènes,  ayant  chacun  la  teinte  des  rayons  diffusés  par  l'une  des 
matières  colorantes  prinntives.  (j'est  ainsi,  |»ar  e\em[)le,  (pi'en  mé- 
langeant une  couleur  jaune  à  une  couleur  bleue   les  peintres  ob- 


SPECTRES  DE,  DIVERSES  ORIGINES.  269 

tiennent  du  vert,  bien  que  le  résultat  de  la  combinaison  d'un  rayon 
bleu  et  d'un  rayon  jaune  soit  en  réalité  du  blanc  (/i85). 

Pour  les  corps  qui  possèdent  une  fluorescence  très-marquée,  la 
fluorescence  contribue,  pour  une  part  sensible,  à  la  coloration  elle- 
même.  Mais  cet  eff'el  est  limité  à  la  première  surface  des  corps,  à 
celle  que  rencontre  directement  la  lumière  incidente,  puisque  la 
lumière  qui  parvient  à  la  seconde  surface  ne  contient  plus  les  rayons 
aptes  à  développer  la  fluorescence,  dès  que  le  corps  a  une  épaisseur 
sensible. 


ETUDE  DES  SPECTRES  DE  DIVERSES  ORIGINES. 

Ii91.  Caractères  i^ènéraum  du  spectre  solaire. —  Le  ca- 
ractère essentiel  du  spectre  solaire,  lorsqu'on  l'observe  dans  des 
conditions  telles  que  l'empiétement  réciproque  des  rayons  de  réfran- 
gibilités  diverses  soit  minimum,  est  la  présence  d'un  très-grand 
nombre  de  raies  obscures,  ayant  des  largeurs  très-inégales  et  dis- 
tribuées de  la  façon  la  plus  irrégulière. 

Les  procédés  photographiques  constatent,  ainsi  qu'on  l'a  vu  plus 
haut  (A 88),  qu'il  existe  de  semblables  raies  dans  la  partie  du  spectre 
qui  est  plus  réfrangible  que  le  violet,  dans  cette  partie  qui  n'afl*ecte 
pas  notre  œil  parce  qu'elle  est,  suivant  toute  apparence,  absorbée 
dans  les  milieux  réfringents  avant  d'arriver  à  la  rétine. 

On  doit  présumer  qu'il  existe  également  des  raies  dans  la  partie 
du  spectre  qui  est  moins  réfrangible  que  le  rouge,  dans  cotte  autre 
partie  qui  n'affecte  pas  non  plus  notre  œil,  pour  une  raison  .semblable 
à  celle  qui  nous  empêche  de  percevoir  les  rayons  ultra-violets;  mais 
la  délicatesse  des  appareils  thermoscopiques,  au  moyen  desquels  on 
peut  tenter  l'étude  de  cette  partie  du  spectre,  ne  paraît  pas  suflisante 
pour  permettre  d'y  apprécier  de  petites  solutions  de  continuité. 

498.  caractères  des  spectres  des  corps  solides  ou  li- 
i|uldes«  —  Le  spectre  lumineux  des  corps  solides  ou  liquides  in- 
candescents est  continu;  la  partie  visible  de  ce  spectre  s'étend  d'autant 
plus,  du  rouge  Vers  le  violet,  que  la  température  est  plus  élevée. 
Aux  températures  les  plus  hautes,  l'expérience  montre  que  ce  même 


s|H»etre  oontienl  une  partie  ultra-vioietle  invisible  :  elle  est  continue, 
connue  la  partie  visible.  La  partie  infra-rouge,  constituée  par  des  rayon- 
nements calorifiques  obscurs,  est  donc  aussi  probablement  continue. 

En  rapprochant  entre  eux  les  divers  faits  fournis  par  l'expérience, 
en  peut  fornuiler  par  les  propositions  suivantes  la  loi  générale  du 
rayonnement  des  corps  solides  et  liquides  : 

i''  A  de  basses  températures ,  ce  rayonnement  ne  contient  que  les 
rayons  de  réfrangibilité  minima,  insensibles  pour  notre  vue,  mais 
doués  de  la  faculté  calorifique. 

î^  A  mesure  que  la  température  s'élève,  il  s'ajoute  à  ce  premier 
rayonnement  des  rayons  de  plus  en  plus  réfrangibles 

S''  La  température  du  rouge  est  celle  à  laquelle  le  rayonnement 
commence  à  contenir  une  proportion  sensible  de  rayons  assez  réfran- 
gibles pour  être  perçus  par  l'œil. 

4°  La  température  du  rouge  blanc  est  celle  à  laquelle  l'accroisse- 
ment de  réfrangibilité  des  rayons  émis  atteint  l'extrémité  violette  du 
spectre  solaire  visible. 

5°  Au-dessus  de  cette  température,  le  rayonnement  contient  des 
rayons  ultra-violets,  invisibles  pour  notre  œil,  mais  propres  à  mo- 
difier l'état  de  certains  composés  chiii\iques  peu  stables,  ou  à  déve- 
lopper dans  divers  corps  le  phénomène  de  la  fluorescence. 

/i99.  CaraetéreB  des  spectres  des  eorps  s<^^um«  —  Les 

spectres  des  gaz  incandescents,  c'est-à-dire  des  flammes  gazeuscvs  qui 
ne  contiennent  aucune  particule  solide  en  suspension,  sont  rfwcow- 
timis:  ils  sont  formés,  en  général,  d'un  petit  nombre  de  bandes  lumi- 
neuses, séparées  par  de  larges  intervalles  obscurs.  —  Le  nombre  de 
ces  bandes  lumineuses  augmente  générah^menl  à  mesure  (jue  la 
température  s'élève,  mais  sans  aucune  loi  régulière. 

La  flamme  du  gaz  à  éclairage,  celle  de  l'huile,  de  la  cire,  de  la 
stéarine,  et,  en  général, des  matières  organiques  riches  en  carbone, 
donnent  un  spectre  continu  :  ce  spectre  n'est  autre  que  celui  du 
charbon  incandescent,  qui  est  en  suspension  dans  ces  flammes.  Lors- 
(|ue,  par  un  excès  d'air  ou  d'oxygène,  on  détermine  une  combustion 
assez  rapide  |)our  qu'il  n'y  ail  point  décom|)ositiou  préalable  du  gaz 
uu  de  la  vajteur  combustible,  le  s|)e<'tre  continu  disparait:  il  fait 


SPECTRES  DE  DlVEllSES  ORIGINES.  â71 

place  à  un  spectre  discontinu,  dont  l'éclat  est  incomparablement 
moindre.  La  partie  inférieure  de  la  flamme  des  bougies  ou  des 
becs  de  gaz  donne  un  spectre  de  ce  genre. 

L'étincelle  d'induction  produite  dans  un  gaz  très-raréfié,  entre 
des  électrodes  peu  volatiles,  donne  un  spectre  discontinu  qui  paraît 
être  celui  du  gaz  lui-même,  amené  à  l'incandescence. 

500.  Speetre  de  l'arc  voltalqiie.  —  L'arc  voltaïque  donne 
un  spectre  constitué  par  un  grand  nombre  de  bandes  brillantes, 
souvent  très-fines,  irrégulièrement  réparties  du  rouge  au  violet. 

Le  nombre  et  la  disposition  de  ces  bandes  dépendent  principale- 
ment de  la  nature  de  l'électrode  positive.  Si  cette  électrode  est  un 
alliage,  on  retrouve  dans  le  spectre  les  raies  brillantes  caractéris- 
tiques des  métaux  qui  la  constituent.  —  Comme  d'ailleurs  l'observa- 
tion directe  montre  que  l'électrode  positive  ne  cesse  de  se  fondre  et 
de  se  volatiliser,  on  doit  admettre  que  l'arc  voltaïque  n'est  qu'un 
courant  de  vapeur  incandescente  :  le  spectre  qu'il  fournit  est  le 
spectre  du  métal  de  l'électrode  positive  à  l'état  de  vapeur. 

Lorsque  l'électrode  positive  est  une  baguette  de  charbon,  la  na- 
ture des  vapeurs  qui  constituent  l'arc  voltaïque  n'est  pas  déterminée 
avec  certitude.  —  Pour  observer  le  spectre  de  l'arc  lui-même,  avec 
des  électrodes  de  charbon ,  il  faut  écarter  les  deux  charbons  le  plus 
possible  l'un  de  Tautre.  Si  les  électrodes  étaient  à  une  faible  distance, 
la  plus  grande  partie  de  la  lumière  émise  serait  fournie  par  leur 
surface  incandescente  :  le  spectre  que  l'on  observerait  ne  serait  alors 
que  le  résultat  de  la  superposition  du  spectre  continu  donné  par  les 
charbons,  comme  par  tous  les  corps  solides  amenés  à  l'incandes- 
cence, avec  le  spectre  formé  de  bandes  brillantes  qui  est  dû  i\  l'arc 
voltaïque.  Enfin,  lorsque  les  électrodes  sont  très-rapj)rochées,  ces 
bandes  ne  sont  même  plus  perceptibles,  à  cause  de  Térlat  relatif 
considérable  du  spectre  continu  qui  leur  est  superposé. 

501.  Observations  de  Foueault  et  de  m.  Swann. —  On 

remarque  fréquemn>ent,  dans  le  spectre  de  l'arc  voltaïque  (*t  dans 
celui  des  lumières  artificielles,  une  bande  jaune  (pii  paraît  occuper 
la  place  de  la  raie  D  du  spectre  solaire. 


ûr2  OPTIQUE. 

Léon  Foucault,  en  employant  pour  produire  ie  spectre  une  fente 
très--étroite,  et  éclairant  Tune  des  moitiés  de  cette  fente  par  la  lo- 
mière  du  soleil  et  l'autre  moitié  par  la  lumière  de  Tare  voitaîqoe, 
a  montré  que  cette  coïncidence  est  absolue  :  la  bande  brillante  s'est 
montrée  à  lui  comme  formée  de  deux  bandes  très-fines  et  très-rap- 
prochées ,  exactement  placées  sur  le  prolongement  des  deux  traits 
obscurs  qui  constituent  la  raie  D  de  Frauenhofer.  —  De  plus,  en 
faisant  passer  la  lumière  solaire  à  travers  un  arc  voltaîque.dont  le 
spectre  présentait  la  double  bande  jaune  dont  il  s'agit,  il  a  rendu 
la  raie  obscure  D  du  spectre  incomparablement  plus  accusée  que 
dans  le  spectre  de  la  lumière  solaire  directe.  —  Il  fut  dès  lors  établi 
que,  toutes  les  fois  que  l'arc  voltaîque  a  la  propriété  d'émettre  avec 
une  grande  intensité  la  lumière  caractérisée  par  la  réArangibîlité  de 
la  raie  D  de  Frauenhofer,  il  a  aussi  la  propriété  d'absorber  cette 
même  lumière  avec  une  grande  énergie. 

M.  Swann  expliqua,  de  son  côté,  la  fréquente  production  de  la 
double  bande  jaune,  en  montrant  qu'elle  ne  diffère  pas  de  celle  qui 
constitue,  à  eUe  seule,  le  spectre  de  la  flamme  monocbromatique 
de  l'alcool  chargé  de  sel  marin.  On  peut  produire  à  volonté  cette 
double  bande,  en  introduisant  dans  une  flamme  une  quantité  minime 
d'un  sel  de  soude  quelconque.  Ainsi ,  une  lame  de  platine  de  quelques 
centimètres  carrés  de  surface,  plongée  dans  une  solution  ne  contenant 
que  3^  (le  son  poids  de  sel  marin,  et  portée  ensuite  dans  la  flamme 
d'un  bec  de  gaz,  suffit  pour  développer  cette  raie  brillante  dans  le 
spectre  de  la  flamme.  Si,  dans  un  laboratoire  contenant  60  mètres 
cubes  d'air,  on  fait  détoner  3  milligrammes  de  chlorate  de  soude 
mélangés  de  sucre  de  lait,  on  fait  apparaître  la  raie  brillante  dans 
le  spectre  d'une  9amme  placée  à  l'autre  extrémité  du  laboratoire. 
et  on  la  distingue  d'une  manière  persistante  pendant  di\  à  quinze 
minutes.  —  L'apparition  fréquente  de  cette  raie  dans  les  diverses 
observations  indique  donc  simplement  combien  les  composés  du 
sodium,  et  en  particulier  le  sel  marin,  sont  abondamment  répandus 
dans  la  nature.  Le  moyen  le  plus  délicat  de  déceler,  dans  une  ma- 
lièrn,  la  présence  de  ces  composés  est  d'introduire  cette  matière  dans 
une  flamme  aussi  chaude  et  aussi  peu  brillante  par  elle-même  que 
possible,  et  d'observer  si  la  raie  jaune  apparatt  dans  le  spectre. 


SPECTRES  DE  biVÈRSES  ORIGINES.  âW 

502.  Expérieiicea  de  min.  Mirchlioff  et  Biuiaeii. —  Les 

découvertes  de  M.  Swann  et  de  Léon  Foucault  ont  été  généralisées 
par  MM.  Kirchhoff  et  Bunsen.  En  introduisant ,  dans  la  flamme  à 
peine  visible  que  donne  le  gaz  à  éclairage  lorsque  sa  combustion 
est  complète,  de  faibles  quantités  de  divers  sels  métalliques,  ils  ont 
vu  la  flamme  se  colorer  diversement  et  donner  naissance  à  un 
spectre  formé  de  bandes  brillantes  étroites,  plus  ou  moins  nom- 
breuses, identiques  pour  les  divers  sels  d'un  même  métal,  mais 
variables  avec  la  nature  de  V élément  métallique.  —  Dans  le  cas  oii  le 
métal  du  sel  employé  est  de  nature  à  être  pris  comme  électrode 
de  l'arc  voitaïque,  le  spectre  produit  par  l'introduction  de  ce  sel 
dans  la  flamme  du  gaz  ne  se  distingue  de  celui  de  l'arc  auquel  le 
métal  donne  naissance  que  par  une  moindre  intensité  ^^\  Cette 
identité  justifie  complètement  l'opinion  qui  consiste  à  ne  voir  dans 
la  lumière  de  l'arc  que  la  lumière  d'une  vapeur  métallique  incan- 
descente, et  à  ne  considérer  l'électricité  que  comme  la  cause  indi^ 
recte  de  ce  qu'on  nomme  la  lumière  électrique. 

En  second  lieu,  toutes  les  flammes  constituées  comme  on  vient 
de  l'indiquer  absorbent  les  rayons  de  même  réfrangibilité  que  ceux 
quelles  émettent.  L'interposition  d'une  de  ces  flammes  sur  le  trajet 
d'un  faisceau  de  lumière  solaire,  ou  sur  le  trajet  du  faisceau  émis 
par  les  charbons  incandescents  qui  transmettent  l'arc  voitaïque,  fait 
apparaître  dans  le  spectre  des  bandes  obscures,  exactement  corres- 
pondantes aux  bandes  brillantes  du  spectre  de  la  flamme.  —  Dans 
celte  expérience,  on  ne  fait,  en  réalité,  que  substituer  la  lumière  de 
la  flamme  à  la  lumière  de  même  réfrangibilité  qui  est  émise  par  le 
soleil  ou  par  les  charbons  incandescents;  l'obscurité  des  bandes  est 
un  efl'et  de  contraste  analogue  à  celui  qui  nous  fait  voir  des  taches 
noires  à  la  surface  du  soleil.  Cet  efl'et  disparait  lorsqu'on  vient 

^'^  L^ëclat  des  raies  brillanles  qui  se  manifestent  dans  le  spectre  d'une  flamme  déler- 
minëe  dtant  d'autant  plus  vif  que  la  température  de  la  flamme  est  plus  élevée,  il  arrive 
souvent  qu'en  se  servant  de  la  flamme  de  Palcool  ou  du  gaz  on  voit  seulement  une  partie 
des  raies  brillantes  que  le  mêlai  est  apte  à  produire;  on  en  voit  un  plus  (^rand  nombre 
avec  la  flamme  du  gaz  mélangé  d'oxygène,  et  un  plus  grand  nombre  encore  avec  la 
flamme  du  chalumeau  à  gaz  hydrogène  et  oxygène.  Ces  deux  dernières  flammes  donnent, 
en  général,  assez  d'éclat  aux  spectres  pour  qu'on  puisse  les  projeter  sur  un  Uibleau  et  les 
rendre  visibles  à  un  nombreux  auditoire. 

Verdit,  III.  —  Cours  de  phys.  II.  1 8 


27A  OPTIQUE. 

à  supprimer,  au  moyen  d'écrans  convenablement  disposés,  les  parties 
du  spectre  solaire  ou  du  spectre  électrique  qui  sont  voisines  d'une 
bande  en  particulier.  —  Quand  on  cherche  à  réaliser  l'expérience 
avec  diverses  flammes  et  divers  corps  incandescents  donnant  par 
eux-mêmes  des  spectres  continus,  on  n'obtient  ce  renversement  des 
raies  de  la  flanune  qu'autant  que  la  température  du  corps  incandes- 
cent est  suffisamment  supérieure  à  celle  de  la  flamme  elle-même. 

Une  expérience  qui  est  due  à  M.  Fizeau  réalise,  sous  une  forme 
intéressante,  le  renversement  des  raies  dans  le  cas  du  sodium.  On 
place  un  fragment  de  ce  métal  sur  l'électrode  positive  de  l'arc  vol- 
tnïque;  la  chaleur  que  dégage  le  courant  détermine  la  formation 
d'une  atmosphère  abondante  de  vapeurs  de  sodium  autour  du 
charbon  incandescent,  et  le  pouvoir  absorbant  de  ces  vapeurs  fait 
apparaître  dans  le  spectre  la  double  raie  obscure  D.  Au  bout  de 
quelques  instants,  cette  atmosphère  se  dissipe  :  il  ne  reste  plus  de 
vapeur  de  sodium  que  dans  l'arc  voltaîque ,  et  la  raie  obscure  est 
alors  remplacée  par  la  double  bande  brillante  caractéristique  de 
cette  vapeur  incandescente. 

503.  Coiuiéqueiiees  de*  lois  de  mm.  Mireltlioif  et  Bua- 
■eii.  —  Analyse  speeirale.  —  Une  importante  série  de  consé- 
quences découle  de  chacune  des  deux  lois  générales  qui  ont  été 
établies  par  MM.  Kirchhoff  et  Bunsen. 

L'observation  du  spectre  des  flammes  constitue,  pour  l'analyse 
chimique  qualitative,  un  procédé  d'une  sensibilité  extraordinaire. 
Ce  procédé  a  conduit  à  la  découverte  de  trois  métaux  alcalins  nou- 
veaux, le  césium,  le  rubidium  et  le  thallium,  qui  possèdent  tous 
trois  des  propriétés  chimiques  extrêmement  remarquables. 

Le  spectroscopc  est  ainsi  devenu  un  instrument  précieux  d'ana- 
lyse chimique.  Pour  permettre  aux  observateurs  de  définir  les  raies 
qu'ils  aperçoivent,  sans  mesurer  leurs  indices  de  réfraction,  on  a 
ajouté  à  cet  instrument  un  collimateur  auxiliaire  CD  (fig.  A  i  o),  qui 
porte  au  foyer  de  son  objectif  une  échelle  tracée  sur  verre.  L'image 
de  cette  échelle,  réfléchie  dans  la  lunette  Ffi  par  la  seconde  surface 
du  dernier  prisme  P,  est  vue  en  coïncidence  avec  le  spectn*;  ses  di- 
visions servent  à  définir  les  raies  qqi  paraissent  les  recouvrir. 


SPECTRES  DE  DIVERSES  OKKilNES.  il5 

Des  expériences  récento  ont  inonlré  que  les  raies  caracléristiques 
<Ies  métaux  n'appartiennent  qu'à  la  vapeur  de  ces  métaux  eux- 
raf*mes,  et  que  la  présence  des  sels  non  décomposés  au  milieu  de  la 
flamme  produit  dans  le  spectre  des  effets  tout  différents. 

504.  Interprétation  des  raies  liu  speetre  solaire.  — 
Hypothèse  sur  la  eonstitution  du  soleil.  —  L'expérience 
du  renversement  des  raies  a  permis  de  donner  une  explication  de 
l'origine  des  raies  obscures  du  spectre  solaire.  —  Il  suffit,  pour  s'en 
rendre  compte,  d'admettre  une  hypothèse  qui  paratt  évidente  par 
son  seul  énoncé,  savoir  :  que  le  globe  solaire  est  entouré  d'une 
atmosphère  dont  la  température  est  moins  élevée  que  celle  du  globe 
lui-même;  cette  atmosphère  serait  cependant  assez  chaude  pour 
contenir,  à  l'état  de  vapeurs,  des  substances  de  natures  très-diverses 
Le  pouvoir  absorbant  de  ces  vapeurs,  s'exerçant  sur  la  lumière  émise 
[)ar  le  globe  qu  elles  environnent,  transforme  le  spectre  que  donne- 
rail  cette  lumière,  et  qui  serait  probablement  un  spectre  continu, 
en  un  spectre  sillonné  d'une  multitude  de  raies  obscures. 

On  comprend  que,  si  un  certain  nombre  de  ces  raies  obscures 
coïncide  avec  les  raies  brillantes  des  spectres  de  diverses  vapeurs  in- 
candescentes, on  en  pourra  conclure,  avec  une  certaine  probabilité, 
la  présence  de  ces  vapeurs  dans  l'atmosphère  solaire,  —  La  proba- 
bilité s'élèvera  à  la  certitude  si,  comme  cela  a  lieu  dans  le  cas  du 
fer,  on  observe  jusqu'à  70  coïncidences  dans  l'espace  compris  entre 
les  raies  E  et  F  de  Frauenhofer^^^. 

Les  expériences  faites  jusqu'ici  par  M.  Kirchhoff  indiquent,  dans 
l'atmosphère  solaire,  la  présence  des  métaux  suivants  : 

PotaHsiuni.  Zinc. 

Sodium.  Fer. 

(llirome. 
Calcium.  (]oball. 

Baryum.  Mickel. 

Magnésium. 

Cuivre. 


'^'^   Pliisifiii's  raies  lUi  spcdrp  solaire  varionl  iH^auioiip  d'inlensili*  aux  ilivc rses  liciiies 
de  la  journée  :  elles  onl  proltahl'iiienl  li»nr  ori^im»  dans  la  longueur  de  la  roiirlie  d'air 

18. 


i%  OPTIQUE. 

Les  int^taux  suivants  paraissent  au  contraire  y  manquer  : 

Lithium.  Etain. 

Strontium.  Cadmium. 

Mercure. 
Aluminium. 

Argent. 
Arsenic.  Or. 

Antimoine. 
Plomb.  Silicium. 

505.  Spectres  des  étoiles.  —  On  comprend  l'intérêt  que  ce 
point  de  vue  nouveau  donne  à  l'étude  du  spectre  des  étoiles.  Celte 
étude,  abordée  par  Frauenliofer,  a  été  reprise  depuis  par  divers phy* 
siciens  :  les  résultats  ne  présentent  pas  encore  assez  de  concordance 
j)our  qu'il  soit  possible  d'en  tirer  des  conclusions  certaines. 

L'observation  a  cependant  appris  que  les  raies  principales  de  ces 
spectres  ne  sont  pas  les  mêmes  que  celles  du  spectre  solaire.  L'ob- 
servation exige  généralement  un  ciel  très-pur  :  lorsque  le  spectre  a 
peu  d'intensité,  on  en  augmente  quelquefois  l'éclat  en  concentrant 
un  large  faisceau  de  lumière  sur  la  fente  étroite  des  appareils,  au 
moyen  d'une  lentille  de  grande  surface  ^^\ 

Iraversée  par  les  rayons  solaires,  et  surtout  dans  la  vapeur  d'eau  que  cet  air  contient.  — 
Ce  sont  les  raies  dites  telluriques.  É.  F. 

(')  La  lumière  des  pUmètei  présente,  ainsi  qu'on  devait  s'y  attendre,  les  caractères  de 
la  lumière  solaire.  Les  spectres  de  Jupiter  et  de  Saturne  présentent  en  outre,  quand  ces 
astres  sont  bien  au-dessus  de  notre  horizon ,  des  bandes  obscures  analogues  aux  raies  tel- 
luriques ;  la  production  de  ces  raies  conduit  à  admettre,  comme  d'autres  observations 
l'avaient  déjà  fait  penser,  que  ces  planètes  sont  entourées  d'une  atmosphère  gazeuse,  et 
méuic  qu'il  existe  à  leur  surface  de  grandes  nappes  d'eau,  entretenant  leur  atmosphère 
dans  un  étal  continuel  d'humidité. 

Les  étoilei  dont  l'éclat  est  suffisant  pour  donner  un  sceptre  facilement  ol>scrvable  pro- 
duisent, comme  le  soleil,. des  spectres  lumineux,  sillonnés  seulement  de  raies  obscures. 

Les  nébuleuies  résolubla  donnent  des  spectres  semblables  h  ceux  des  étoiles.  —  I^es  né- 
buleuses non  réioîuei  fournissent,  pour  la  plupart,  un  spectre  formé  de  quelques  raieK 
brillantes,  se  détachant  sur  un  fond  obscur  :  cette  apparence  est  celle  qui  caractérise  les 
gaz  lumineux,  et  ces  raies  semblent  appartenir  à  l'hydrogène  et  à  l'azote.  —  Enfin,  parmi 
ces  mêmes  nébuleuses  non  résolues,  il  en  est  qui  fournissent  à  la  fois  un  spectre  lumineux 
continu  très-faible  et  quelques  bandes  plus  brillantes.  Cette  apparence  semble  indiquer, 
conformément  aux  idées  de  Herschel,  un  état  intermédiaire  entre  l'état  gazeux  des  nébu- 
leuses proprement  dites  et  l'état  de  condensation  de  la  matière  cosmique  qui  a  donné 
naissance  aux  étoiles.  É.  F. 


ACHROMATISME. 


506.  Condition  d'aeltroniotiBnie  d'un  mjmtéwne  de  deum 
lentilles. — Soient  deux  lentilles  sphériques,  placées  Tune  à  la  suite 
de  l'autre,  infiniment  minces  et  infiniment  rapprochées.  Soient^  la 
distance  d'un  point  lumineux  à  la  première  lentille,  n  l'indice  de 
réfraction  de  la  matière  qui  la  constitue ,  R  et  R'  les  rayons  de  cour- 
bure de  ses  deux  surfaces.  Si  l'on  désigne  par  p'  la  distance  de  la 
lentille  au  point  de  concours  des  rayons  émergents,  on  aura  (41 1) 


^-b^(»-0(r-r^) 


De  même,  si  i/est  l'indice  de  réfraction  de  la  seconde  lentille,  p  etp' 
les  rayons  de  courbure,  et-cr  la  distance  de  cette  seconde  lentille  au 
point  de  concours  des  rayons  lumineux  qui  ont  traversé  le  système 
des  deux  lentilles ,  on  aura ,  en  considérant  la  distance  des  lentilles 
entre  elles  comme  négligeable , 

^     p      \  f\p     p) 

En  éliminant  p'  entre  ces  deux  équations,  il  vient 

i-r("-')(k-ff)+(-o(^-^.)- 

Cette  équation  ne  convient,  en  réalité,  qu'à  un  système  particu- 
lier de  rayons  homogènes.  Pour  un  autre  système  de  rayons  homo- 
gènes, dont  l'indice  de  réfraction  serait  n -f- An  dans  la  première 
lentille  et  t;  + At/  dans  la  seconde,  on  aurait 

_L__l  =  („  +  A„-0(^-,9+(.-HA.-0(-;-^.)- 

Pour  que  A-cr  soit  nul-,  ou  pour  que  les  deux  foyers  coïncident,  il 


^78  OPTIQUE, 

faul  H  il  Miliit  que  Ton  ait 

ou  bien,  en  désignant  par/el  (p  les  distances  focales  principales  de^ 

deux  icnlilles, 

A/i     1    .     Ai;    i 


Si  la  lumière  «Hait  réduite  aux  deux  systèmes  de  rayons  qu'on 
vicMit  de  définir,  les  deux  lentilles  réunies  donneraient  des  images 
parfaitement  achromatiques  des  objets  placés  à  une  distance  quel- 
ron(|ue.  —  Dans  la  réalité,  si  la  condition  qu'on  vient  d'établir  est 
satisfaite  pour  les  deux  rayons  extrêmes  du  spectre,  les  foyers  de^ 
autres  couleurs  sont  les  uns  en  avant,  les  autres  en  arrière  de  ce 
foyer  commun,  mais  beaucoup  plus  rapprochés  que  dans  le  cas 
d'une  lentille  unique.  L'irisation  marginale  des  images  est  donc 
beaucoup  réduite,  et  le  système  est  sensiblement  achromatique. 

Les  expressions  1 constituent  alors  ce  qu'on  nomme  les 

pouvoirs  dispersifs  des  substances  qui  forment  les  deux  lentilles.  La 
condition  exprimée  par  la  formule  précédente  peut  donc  s'exprimer 
par  l'énoncé  suivant  : 

Dans  un  système  achromatique  de  deux  lentilles,  le  rapport  des  jfou- 
roirs  dispersifs  est  égal  et  de  signe  contraire  au  rapport  des  distances 
focales  principales  des  deux  lentilles  elles-mêmes» 

Le  signe  du  pouvoir  dispersif  étant  le  même  dans  tous  les  solides 
transparents,  il  est  nécessaire  que  les  distances  focales  soient  de 
signes  contraires,  c'est-à-dire  que  Tune  des  lentilles  soit  convergente 
f»(  l'autre  divergente.  En  général,  on  applique  les  deux  lentilles  l'une 
contre  l'autre,  et  l'on  donne  aux  deux  surfaces  qui  se  touchent  le 
même  ravon  de  courbure. 

« 

307.  Déterminatioii  du  rap|K»rt  des  coefllcleiits  de  dis- 
persion. —  Les  quantités  Aw  et  àv  portent  le  nom  de  roejicitnts 

de  dispersion.  On  arrive  lrès-simplem(*nt  à  mesurer  le  rapport  —  ' 


ACHROMATISME.  279 

pour  une  coiiibiiiaiMin  de  deux  ttubstances  déteniiiiiéc!' ,  en  opérant 
connue  il  suit  : 

Deux  [irismps  d'yii^les  riTriiijfenls  très-iiigus  n,  h  (lig.  'ii^i) 
étant  placés  l'un  derrière  l'autre,  de  manière  (|ue  leurs  aréles  soient 
piirallèles  et  leurs  angles  tournés  en  sens  inverse  l'un  de  l'autre,  il 


est  facile  de  montrer  que  la  condition  pour  qu'oii  voie  sans  irisa- 
tion, au  travers  du  système,  les  objets  dont  les  rayons  tombent  sur 
le  premier  prisme  sous  de  petites  incidences,  est 


En  effet,  en  vertu  de  la  petitesse  des  angles,  on  aura  pour  le  pre- 
mier prisme,  en  considérant  un  système  de  rayons  en  particulier. 


par  suite,  la  déviation  imprimée  par  le  premier  prisme  est 
D=(n-i)fl. 

De  même,  la  déviation  qu'imprime,  en  sens  contraire,  le  second 
prisme  au  faisceau  de  ces  mêmes  rayons  est 


280  OPTIQUE. 

La  déviation  totale  produite  par  le  système  des  deux  prismes  a  donc 
pour  expression 

D_D'=(n-i)a-(n'-i)a'. 

Il  est  clair,  d'après  cela ,  que  cette  expression  aura  là  même  valeur 
pour  les  rayons  extrêmes  du  spectre  si  l'on  a 

ffAn  — a'An'  =  jo. 

Cela  posé,  pour  déterminer  le  rapport  des  coefficients  de  disper- 
sion de  deux  substances ,  d'un  flint  et  d'un  crown  par  exemple ,  on 
prendra  d'abord  un  prisme  de  flint  ayant  un  angle  réfringent  a  :  on 
l'achromatisera,  par  des  tâtonnements  successifs,  au  moyen  d'un 
prisme  à  angk  variable ,  formé  d'une  subjstanee  ^oelcon^e.  Si  A  est 
l'angle  qu'on  aura  été  cQnditil  à  donner  à  ce  prisme,,  et  si  l'on  dé- 
signe par  AN  le  coefficient  de  dispersion  de*  la  substance  dont  il  est 
formé,  et  par  An  celui  du  flint  employé,  on  aura 

AN  ""  a  ' 

On  prendra  ensuite  un  prisme  de  crown  ayant  un  angle  a,  et  on 
l'achromati€era  avec  le  même  prisme  à  angle  variable  :  si  A'  est 
l'angle  qu'on  aura  été  conduit  à  donner  à  ce  prisme ,  et  si  Av  est  le 
coeflicient  de  dispersion  du  crown,  on  aura 

Ai;       A' 

Ces  deux  déterminations  donneront  le  rapport  des  coefficients  de  dis- 
persion du  flint  et  du  crown,  puisqu'on  aura,  en  divisant  ces  deux 
équations  membre  à  membre, 

A« A    a 

Tel  est  le  principe  de  l'emploi  des  diasporamèires ,  qui  sont  précisé- 
ment des  instruments  destinés  à  fournir  des  angles  variables  dont 
on  ait  immédiatement  la  mesure. 


ACHROMATISME.  281 

508-   BtowpWKmétrw.  —  Dans  le  diasportimclre  de  Boscovicit, 
on  obtient  un  prisme  à  angle  variable  au  moyen  d'un  demi-cylindre 
de  cristal,  représenté  dans  la  ligure  4i5  par  sa  section  ABC,  ca 
1  demi-cylindre  pouvant  tourner  dans  une  ca- 
vité qui  est  pratiquée  dans  une  niasse  de  la 
même  matière  DEF  et  qui  se  moule  exacte- 
ment sur  sa  surface  convexe  :  cette  masse  est 
I  d'ailleurs  terminée  extérieurement  par  une 
surface  plane  EF.  Dans  une  position  relative 
quelconque  du  demi-cylindre,  les  plansAB  et 
EF  peuvent  être  considérés  comme  consti- 
tuant les  deux  faces  d'un  |)rismc  dont  l'ardte 
idéale  est  toujours  perpendiculaire  au  plan  de  la  figure. 

Le  diaspornmètrc  de  Rochon  se  compose  de  deux  prismes  à  angles 
égaux  ACD,  DCB{fig.  4i6),  juxtaposés  par  une  de  leurs  faces  CD ': 


ils  peuvent  tourner,  l'un  par  rapport  A  l'autre,  autour  de  la  per- 
pendiculaire à  la  face  commune,  de  manière  que  l'angle  compris 
entre  les  faces  externes  AC  et  BC  prenne  toutes  les  valeurs  comprises 
entre  zéro  et  le  double  de  l'angle  de  l'un  des  prismes.  —  Quand  on 
connaît  l'ange  dont  on  a  fait  tourner  l'un  des  prismes  par  rapport  à 
l'autre,  en  partant  de  la  position  oii  les  faces  externes  étaient  paral- 
lèles, le  calcul  de  l'angle  de  ces  deux  faces  est  un  problème  très- 
simple  de  trigonométrie  sphénque. 


38a  OPTIQUE. 

Pour  employer  le  diiispuruinèlre  à  IVtude  d'un  prisme  délerniin^ , 
cointiie  il  a  été  dit  dans  le  paragraphe  précédent,  on  place  le  dias- 
poranièlre  derrière  ce  prisme,  et,  en  regardant  au  travers  de  ce  sys- 
tème une  ligne  noire  tracée  sur  un  fond  blanc,  on  cherche  à  Taire 
disparaître  les  irisations  qui  se  manifestent  sur  les  bords  de  ntle 
ligne.  Lorsque  l'achromatisme  est  ainsi  obtenu,  les  deux  arêtes  ré- 
fringentes ne  sont  pas  parallèles,  et,  quand  on  les  amène  auparsUë- 
lisnic,  l'achromatisme  disparait;  on  rétablit  l'achromatisme  en  agis- 
sant de  nouveau  sur  le  diasporautctre,  el ,  au  bout  de  quelques 
tâtonnements,  on  obtient  des  image!>  entièrement  dépourvoes  ifiri- 
salions,  lesaréles  réfrinf;entcs  étant  (larallèlefi. 

509.  Emploi  <■••  «culMlrra  e«nipoBés,  |i«ur  fip glatir 
vm  iMrtte  le  «léfant  <l'«chpanutl«ni«  dc«  «Itlcctlfik  —  Un 

objectif  non  achromatique  M,  dirigé  vers  un  objet  émettant  de  la  lu- 
mière blanche,  donne  un  système  d'images  réelles  colorées,  dans 
chacun  des  plans  focaux  correspondants  aux  rayons  de  diverses  cou- 
leurs :  la  Itgure  ^t^  indifjue  la  disposition  de  ces  diverses itn^es. 


situées  dans  l'angle  rOr',  depuis  l'image  violette  rr' jusqu'à  l'image 
rougerr'. Cette  figure  montre  également  que.  si  l'on  regarde  ce  sys- 
tème d'images  avec  un  oculaire  simple  M',  les  images  virtu^les  pa- 
raissent se  déborder  les  unes  les  autres,  depuis  l'image  violette  VV" 
jusqu'à  l'image  rouge  RR',  en  sorte  que  la  superposition  de  ces 
imagvs  donne  lieu  à  une  irisation  sur  les  bords. 

Au  contraire,  avec  un  oculaire  composé,  on  peut  faire  en  sorte  que 


^:OMPLÉME^Ï  A  LA  iHÉOillK  DK  LA  VISION.  383 
lii  ilifréreiiuc  des  disluaces  ili;s  liiiugcs  réelles  au  |)r(>niier  vcire  du 
['oculaire  compense  assnz  1.)  difrércme  de  rél'ranjjibiiité  iiour  nue 


les  images  donni^eH  par  ce  premier  verre  soieiil  viics,  dit  centre  op- 
li(|ue  du  second  verre,  sous  le  même  angle.  Alors  toute  Irisalion 
tlisparatL  —  La  ligure  à  1 8  explique  sulFisamment  le  m^anisnie  de 


cette  cuiiipcnsatiuii ,  [tour  l'oculaire  négatif.  —  La  ligure  li  i  g  montre 
comment  elje;  peut  également  être  effectuée  par  l'oculaire  posllir, 

'   COMPLEMENT   h.  LA  THÉORIE  DE   LA  VlSIOIt. 

5 1 0.  défont  il'aMirviiiftUsine  4m  l'œil.  —  Toutes  les  réfrac- 
tions qui  s'opèrent  dans  l'intérieur  de  l'œil  étant  de  même  sens, 
l'œil  ne  saurait  êlrc  achromatique. 

Cette  conclusion,  i|ui  se  déduit  immédiatement  de  la  théorie,  est 
conlirmce  par  les  expériences  suivantes. 


^,  OPTIOOE- 

,  LiuNqiH-,  au  nioyoïi  de  IVxlrail  du  belladone  ou  de  l'atropine, 
(Kl  iir-nddil  «oc  dJIalatïon  lemporaire  de  la  pupille,  les  objets  vive- 
(iH>iil  édain.'s  paraissent  b^rdi^s  d'irisations.  Si  de  telles  irisations 
„'^HnMr«tssviit  pas  lorsque  la  pupille,  à  l'état  normal,  se  dilate  dans 
m  ^ècvi  Itou  éclairé,  cela  tient  à  la  faible  intensité  de  la  lumière  qui 
ftf^re  dans  l'œil. 

**  Si  l'on  observe  les  diverses  raies  du  spectre  solaire  dans  une 
Qutt*>ltt',  il  faut,  lorsqu'on  passe  du  rouge  au  violet,  déplacer  l'ocu- 
\my  d'une  quantité  très-notable,  et  l'on  constate  sans  peine  que 
^v4lo  quantité  est  su[iérieure  au  déplacement  qui  résulterait  unîque- 
iiit'ut  de  ce  quo  les  diverses  couleurs  n'ont  [>as  leur  foyer  dans  un 
iiit^nic  plan  focal.  De  cette  remarque  il  résullc  donc  que  la  distance 
de  lu  vision  distincte  n'est  pas  la  même  pour  toutes  les  couleurs. 

3"  Si  l'on  arrête,  au  moyen  d'un  écran ,  la  portion  inférieure  des 
rayons  envoyés  à  la  pupille  par  une  ligne  blanche  tracée  sur  un 
fond  noir,  cette  ligne  parait  colorée  en  -rouge  à  la  partie  inférieure, 
en  violet  à  la  partie  supérieure.  La  Ogure  à^o  montre  que,  dans  ces 


conditions,  l'intersection  du  faisceau  réfracté  rouge  et  de  la  rétine 
est  au-dessus  de  l'intersection  du  faisceau  violet.  —  Lorsque  la  pu- 
pille est  entièrement  libre,  les  deux  intersections  se  recouvrent 
presque  entièrement,  et  il  ne  se  produit  qu'une  irisation  insen- 
sible'". 

'''  Si  récruii  est  placé  à  la  |)arlie  sup'rieure,  l'eOel  esl  renvetsv.  Il  se  rvcitcrsc  encore 
lursi|iro]i  regarde  une  ligne  nuire  sur  un  fond  éclaire  :  par  eiemplr,  l'un  ites  IhitmiuIl 
liui'iiunlaux  d'une  Tenélre,  —  Celle  expérience  cat  duc  bu  pliinicien  allemand  Mollweidv. 


COMPLÉMENT  A  LA  THÉORIE  DE  LA  VISION.         285 

511.  Du  rôle  défi  milieux  de  l'œil,  eomme  eor|>8  ab«or- 
I»aut0.  —  L'absorption  exercée  sur  les  rayons  de  diverses  natures 
par  les  milieux  absorbants  de  l'œil  suffit  pour  expliquer  comment  le 
spectre  visible  est,  en  réalité,  restreint  entre  des  limites  moins  éloi- 
gnées l'une  de  l'autre  que  celles  du  spectre  calorifique  et  celles  du 
spectre  chimique. 

Des  expériences  directes  de  M.  Brûcke  et  de  M.  Janssen  ont  en 
effet  démontré  que,  si  l'on  interpose  sur  le  trajet  des  rayons  solaires 
l'œil  d'un  animal  récemment  tué,  le  spectre  qu'on  obtient  en  re- 
cevant les  rayons  émergents  sur  un  prisme  n'offre  plus  ni  rayons 
infra-rouges,  ni  rayons  ultra-violets.  —  Ces  deux  groupes  de  rayons 
n'arrivent  donc  jamais  à  la  rétine.  —  C'est  là  encore  une  nouvelle 
preuve  du  peu  d'importance  qu'il  convient  d'attacher  à  la  distinction 
entre  les  radiations  visibles  et  les  radiations  invisibles  (489).       ^ 

512.  Sensations  diverses  produites  par  des  rayons  ho- 
mosènes  d'intensités  différentes.  —  Une  observation  attentive 
montre  que  la  teinte  d'une  portion  déterminée  du  spectre  n'est  pas 
indépendante  de  son  intensité.  C'est  ainsi,  par  exemple,  que  si  l'on 
contemple  directement  un  spectre  bien  pur,  produit  par  la  lumière 
solairo,  toutes  les  couleurs  paraissent  lavées  de  blanc;  on  remarque 
aussi  que  le  bleu  s'étend  singulièrement  du  côté  des  rayons  les  plus 
réfrangibles;  le  jaune,  du  côté  des  rayons  les  moins  réfrangibles. 
Au  contraire,  dans  le  spectre  peu  intense  qui  est  produit  par  la  lu- 
mière des  nuées,  le  jaune  disparait  presque  entièrement,  et  sa  place 
est  occupée  par  une  extension  du  vert  et  de  l'orangé.  —  On  donne 
naissance  à  des  effets  analogues  en  affaiblissant,  par  l'interposition 
de  milieux  absorbants,  la  lumière  de  certaines  parties  du  spectre  ou 
dq  spectre  tout  entier. 

De  nombreuses  observations  de  ce  genre,  mal  interprétées,  avaient 
conduit  Brewster  à  l'hypothèse  de  trois  spectres  distincts,  un  spectre 
rouge,  un  spectre  jaune  et  un  specire  bleu,  dont  la  superposition 
produisait  les  couleurs  variées  du  spectre  ordinaire. 


DE  LA  MESURE  DES  INDICES  DE  RÉFRACTION. 


513.  Ifléthode  s^nérale  poiir  mesurer  les  indlees  de 
réfraeilon  des  eorps  solides.  —  La  méthode  générale  pour 
mesurer  l'indire  de  réfraction  d'un  corps  solide  consiste  h  faire 
tomber,  sur  un  prisme  de  ce  corps,  la  lumière  qui  a  traversi^  une 
fente  étroite,  parallèle  à  l'arête  réfringente;  à  amener  le  prisme  dans 
la  position  de  la  déviation  minimal  et  à  mesurer  celte  déviation,  ainsi 
que  l'angle  du  prisme. 

On  a  vu  plus  haut  (/|fl8)  que,  dans  le  cas  du  minimum  de  dé- 
viation, l'angle  d'incidence  et  l'angle  d'émergence  sont  égaux  entre 
eux,  ainsi  que  les  deux  angles  de  réfraction.  On  a  donc 

D  +  A=-fiî\ 
A=  9r, 

d'où  résulte  que  l'indice  de  réfraction  w  est  alors  donné  par  la  for- 
mule simple 

.    D  +  A 

sin  -     — 
a 

H  = ^      ; 

sin  - 

on   a  donc,  au  moyen  de  deux  mesures  seulement,  la  valeur  de 
rindice  «le  réfraction  chen^hé. 

Si  Ton  opère  sans  amener  le  prisme  dans  la  position  du  minimum 
de  déviation,  il  faut  en  outre  mesurer  l'angle  d'incidence,  ce  qui 
n'offre  d*uilleurs  aucune  dilliculté,  puisipiecet  angle  est  la  moitié  du 
supplément  de  l'angle  compris  entre  le  pndongemeni  du  rayon  in- 
citlent  et  le  rayon  réfléchi. 

5  M .  Appareil  de  Fmiielilioffer*  —  L*ap|»aivil  de  Frauenhofer, 
qui  pennet  d'effectuer  a\tH*  une  grande  pré<*i>ion  les  nu^ures  qui 
viennent  «rèlre  inditpHW.  se  ciuiipiise  es>entiellement  d'un  linil>i*ho- 


MESURK  1)KS   l?iUICES  DE   REFRACTION.  287 

riionlal  (iC  {Hf,.  li-a)  et  d'une  lunetle  horrzontal<>  mobile  L,  (ionl 
l'axe  npli(|ue  [lasse  logjoiirs  |iar  !e  centre  du  limbe:  une  plafiiie  AB. 


supporli^e  par  trois  vis  calantes,  soutient  le  prisme  P  qui  est  soumis 
à  l'expérience.  Voici  comment  on  dirige  les  opérations  : 

1°  L'arête  réfringente  du  prisme  étant  placée  sur  le  prolonge- 
ment de  l'axe  de  l'instrument,  on  vise  d'abord,  en  plaçant  successi- 
vement la  lunette  dans  la  position-  L  et  dans  la  position  L',  les  images 
d'une  mire  éloignée  qui  sont  données  par  réflexion  sur  Tune  et  sur 
l'autre  face  de  cet  angle.  Il  est  facile  de  montrer  que  l'angle  lui- 
même  est  mesuré  par  la  moitié  du  déplacement  angulaire  de  la  )u- 


nellp.  —  En  effet,  si  l'on  considère   le  rayon  SI,  ijuï  tombe  sur 
l'arête  du  prisme  AlB  (fig.  6q9^  et  dont  le  prolongement  ser.iil  IX, 


288  OPTIQUE. 

ics  deux  rayons  IR  et  IR',  qui  sont  formés  par  la  réflexion  sur  les 
deux  faces  de  cette  arête,  ont  des  directions  telles  que  Ton  ait 


d'où  l'on  lire 


RIA=AIX, 
R'IB  =  BIX, 

RIA  +  AIB  +  R'IB  =  2AIB. 


Donc  ie  déplacement  angulaire  de  la  lunette,  qui  n'est  autre  chose 
que  la  somme  des  trois  angles  qui  forme  le  premier  membre,  est  le 
double  de  langle  du  prisme. 

3°  Le  prisme  étant  amené  dans  la  position  de  la  déviation  mi- 
nima ,  par  rapport  aux  rayons  qui  lui  viennent  de  la  mire  et  qui  le 
traversent,  on  vise  une  raie  du  spectre  solaire  et  Ton  note  la  position 
do  la  lunette  sur  le  limbe;  on  retourne  le  prisme,  on  Tamène  de 
nouveau  à  la  position  de  la  déviation  minima  et  l'on  vise  encore  la 
même  raie.  IjO  déplacement  angulaire  éprouvé  par  la  lunette,  entre 
ces  deux  visées,  est  le  double  de  la  déviation  corre^ndante  au 
rayon  dont  l'absence  se  manifeste  dans  le  spectre  solaire  par  l'exis- 
tence de  la  raie  considérée.  —  En  répétant  l'observation  pour  les 
principales  raies  du  spectre,  on  obtient  des  indices  qui  corres- 
pondent à  des  rayons  physiquement  définis  d'une  manière  précise. 


515.  EMptoi  dM  iMttruMMits  à 
mètre  de  H.  BaMitet.  —  Dans  la  méthode  qui  vient  d'être  dé- 
crite, on  peut  faire  usage  d'une  mire  peu  éloignée,  car  il  suffit  que 
les  rayons  menés  de  la  mire  à  des  points  très-voisins  de  l'arête  du 
prisme  puissent  être  regardés  comme  parallèles.  Mais  l'indépendance 
de  la  mire  et  de  l'appareil  est  un  inconvénient  grave  :  elle  oblige  à 
vérifier  fréquemment  si  l'ajustement  rigoureux  de  l'appareil,  relati- 
vement à  la  mire,  se  conserve  pendant  la  durée  des  expériences. 

Cet  inconvénient  n'existe  plus  dans  les  instruments  à  collimateur, 
dont  le  gomomètre  de  M.  Bahinet  (  fig.  A  a  3  )  peut  être  considéré  comme 
le  type.  —  La  mire,  constituée  par  une  fente  F  placée  au  foyer 
principal  d'une  lentille  convergente  située  dans  le  tube  qui  la  porte, 
est  alors  fixée  invariablement  à  l'appareil  de  mesure;  les  dérange*- 


MESURE  DES   INUICKS  DR  RÉFRACTION.  28i) 

monts  accidentels  qui  peiivcnl  survenir  dans  la  silunlion  de  l'apiinrell 
n'onl  donc  plus  nurune  inflnencp,   —  En   oulre,   en    raison  du 


liarnlUlisme  des  rayons  incidents,  il  n'est  plus  nécessaire  (|up  les 
n-tlevions  e(  les  réfractions  s'npnrent  à  une  petite  dislance  de  l'aréle 
(lu  prisme. 

La  marche  de  l'opération  est  d'ailleurs  celle  qu'on  vient  d'exposer 
en  traitant  de  l'appareil  de  Frauenhofer. —  Pour  la  mesure  de  rangle 
de  réfraction,  il  peut  être  avantageux  d'emplover  comme  mire  une 
croisée  de  fils.  Pour  la  mesure  de  la  dispersion,  il  faut  toujours  un<> 
fente  lumineuse'". 

'''  Le>  bander  brillanles  des  ipeclrei  caraclérÎ!tti(|ues  dea  mùUux  peuvent  servir,  diissi 
bien  que  les  raie«  olHun»  du  speclr«  suiaire,  i  définir  arec  pn'cision  des  rayons  de  lii' 
mière.dans  les  <?ludes  relatiteaà  la  dispersion. — t.orsqu'onne  veul  di^lerniiner  que  l'in- 
dice moyeu  de  rÉrrartion,  pour  j  Irouier  par  exemple  un  mujen  simple  de  caraclérisor 
uiie  suhslance  Iransporente  détentiinée,  on  peul  éclairer  la  fente  qui  sert  de  mire  par 
une  source  de  luinière  arliCcielle  ou  pur  la  lumière  difluic  du  jour,  el  donner  au  prisme 
un  an|;lo  rofringenl  TniMe.  On  aperçoit  alors  un  spectre  éirnit ,.  rt  l'on  viss  la  jiaitie  la 
plus  inlenne,  qui  répond  à  peu  près  aux  myons  jaunes. 

Viaorr,  III.  —  Coun  d«  phyn.  II.  i{, 


i^ii 


OPTIQUE. 


j|(>.  Mesure  des  indlees  de  réfraetioii  des   esrps   li- 

Pour  mesurer  les  indices  de  réfraction  des  corps  liquides, 
kMk  fiiil  usage  de  méthodes  et  d'appareils  identiques  à  ceux  qui  ont 
1^*^  décrits  pour  les  corps  solides.  Les  liquides  sur  lesquels  on  opère 
sont  renfermés  dans  des  prismes  creux,  construits  avec  des  lames  de 
verre;  mais  les  deux  faces  de  chacune  des  lames  qui  limitent  l'angle 
réfringent"  n'étant  jamais  exactement  parallèles  entre  elles,  il  est 
toujours  nécessaire  de  retrancher,  de  la  déviation  observée  avec  le 
liquide  soumis  à  l'expérience,  la  petite  déviation  que  produit  le 
prisme  vide  de  liquide. 

Comme  il  est  impossible  d'amener  exactement  sur  l'axe  de  l'ap- 
pareil l'arête  du  prisme  liquide,  dont  les  faces  ne  sont  souvent  pas 
prolongées  jusqu'il  leur  intersection,  il  est  indispensable  de  se  servir 

d'appareils  fondés  sut  le  principe  du  go- 
niomètre de  M.  Babinet  (515). 


517.  Indiees  de  réfraetioit  des 
eorps  ssseux.  —  Expérleitees  de  Blot 
et  Arsso.  —  Les  expériences  de  Biot  et 
Arago  sur  les  indices  de  réfraction  des  gaz 
ont  été  faites  au  moyen  d'un  grand  prisme  P 
(fig.  AaA),  formé  par  un  tube  de  verre 
coupé  a  chacune  de  ses  extrémités  suivant 
(les  plans  très-obliques  par  rap|M)rt  à  son 
axe;  sur  chacune  de  ces  sections  étaient 
appliquées  des  lames  de  verre  à  faces  pa- 
rallèles. Ces  lames  constituaient  les  doux 
faces  du  prisme:  elles  faisaient  entre  elles 
im  anjfle  d'environ  i35  degrés,  —  La 
capacité  intérieure  du  prisme  communi- 
(piait  avec  une  éprouvette  barométrique  E, 
destinée  h  faire  connaître  la  force  élastique 
des  gaz  :  le  robinet  R  permettait  d^'nlro- 
duii*e  dans  l'appareil  de  l'air  ou  tout  antre 
gaz,  (»t  d'amener  successivement  la  pression,  pendant  les  expé- 
riences, i\  telle  valeur  que  l'on  voulait. 


Kijf.  'nA. 


MESURE  DES   INDICES  DE  ItéFRA^.TIO^.  291 

Pour  mesurer  l'angle  du  prisme,  on  donnait  à  un  tliéodolile  trois 

positions  successives  T,  T'.  T"  (tig.  'i95)  permettant  de  déterminer  : 

i"  L'an^'le  STI,  que  forment  les  rayons  émis  directement  vers  le 


point  T  par  une  mire  très-éloignée  S,  avec  les  rayons  venus  de  ia 
mire  et  réflërfais  sur  la  face  AB  vers  le  même  point  T; 

■ï"  L'angle  S'Ti',  que  forment  les  rayons  émis  directement  veis 
le  point  T'  par  une  autre  mire  très-éloignée  S',  avec  les  rayons 
venus  de  la  mire  et  réfléchis  sur  la  face  AC  vers  T'; 

3*  L'angle  ST'S',  formé  par  les  rayons  venus  dîreclement  des 
deux  mires  au  point  T", 

Ces  trois  mesures  étant  faites,  on  voit  que,  si  par  le  point  T"  on 
mène  des  droites  T"B'  et  T'C  respectivement  parallèles  à  AB  el  à 
AC,  l'angle  cherché  n'est  autre  que  B'T'C.  et  l'on  a 

B'T'C  =  ST''S' -  ( ST"B'+  STC). 

D'autre  part,  on  voit  que 

ST''B'=SIB=90°-^'. 

STC'  =  STC=9o''-^: 

enGn,  si  l'on  remarque  que  StT  n'est  autre  chose  que  i  80° ■—  STI, 


•«ni  OPTIQUE. 

wv  .(«o.  Je  même,  S'IT  est  égal  à  i8o'  -S'TT,  il  vient 

SrB'=— . 

a 
Par  suite,  l'angle  du  prisme,  qu'il  s'agissait  d'évaluer,  a  poui»  mesure 

crptfo^ ^^^  -4-  ij  I  1 

a 

expression  qui  contient  précisément  les  trois  déplacements  angu- 
laires donnés  à  la  lunette  du  théodolite,  daAs  chacune  des  positions 
de  l'instrument* 

L'angle  réfringent  étant  ainsi  connu ,  on  mesurait  : 

1°  La  déviation  très-faible  que  produisait  le  systèm&.i]es  deux 
glaces  de  verre,  l'intérieur  du  prisme  étant  mis  en  libre  communi- 
cation avec  l'extérieur; 

*i°  La  déviation  produite  par  le  prisme  contenant  le  gaz  sur 
lequel  on  voulait  opérer,  sous  une  pression  et  à  une. température 
déterminées  ; 

3°  La  déviation  produite  par  le  prisme  vide. 

La  deuxième  observation,  corrigée  au  moyen  de  la  première, 

donnait  le  rapport  -  de  l'indice  de  réfraction  m  du  gaz  à  l'indice  fs, 

de  l'air  extérieur.  —  La  troisième,  corrigée  également  au  moyen 

de  la  première,  donnait  -»  c'est-ti-dire  l'inverse  de  l'indice  de  l'air 

extérieur  par  rapport  au  vide.  —  La  valeur  de  m  était  donc  facile 
à  calculer. 

(lliacune  de  ces  trois  déviations  se  mesurait  en  donnant  au  prismie 
deux  positions  inverses  l'une  de  l'autre,  et  en  prenant  la  moitié  du 
déplacement  angulaire  de  l'image  réfractée.  —-  Le  prisme  recevait 
d'avance  une  position  telle,  que  les  rayons  directs  fussent  normaux 
au  plan  bissecteur  de  l'angle  réfringent  :  les  réfractions  étant  tou- 
jours très-petites,  la  direction  des  rayons  réfractés  était  toujours 
presque  normale  à  ce  plan  bissecteur,  et  Ton  pouvait,  sans  erreur 


MESURE  DES  INDICES  DE  REFRACTION.  293 

sensible,  appliquer  les  formules  qui  conviennent  au  cas  de  la  dévia- 
lion  nùninia"'. 

Les  expériences  de  Biot  et  Arago  ont  été  dirigées,  en  particulier, 
de  manière  à  soumettre  à  un  grand  nombre  de  vérifications  expéri- 
mentales une  loi  qui  avait  été  déduite 
par  Newton  de  la  théorie  de  l'émission, 
oîr  que,  pour  les  gaz,  la  quantité 
n'^i  ou  la  puissance  réfraclive  est  pro- 
portionnelle à  la  densité.  —  Les  résultats 
obtenus  furent,  en  effet,  d'accord  avec 
celte  loi  :  mais  il  faut  remarquer  que, 
l'indice  de  réfraction  des  gaz  étant  très- 
peu  supérieur  à  l'unité,  la  formule  théo- 
rique de  Newton  ne  reçoit  de  cette  véri- 
fication que  le  caractère  d'uae  loi  empi- 
rique. 

518.   Expérlencea  de  Dulong. — 

La  proportionnalité  de  la  puissance  ré- 
fractive  à  la  densité  étant  regardée  comme 
démontrée  par  les  expériences  de  Biot  et 
Arago,  qui  avaient  été  effectuées  .■■ur  l'air 
atmosphérique  sous  différentes  pressions , 
Dulong  a  fondé  sur  celte  loi  empirique 
un  procédé  commode  de  détermination 
des  indices  des  gaz. 
L'appareil  qui  est  représenté  par  la  figure  isG  se  composait  d'un 
prisme  P  semblable  à  celui  de  Biot  et  Arago  :  un  manomètre  h.  air 
libre  !HN  permettait  de  faire  varier  la  pression  du  gaz  intérieur  entre 
certaines  limites  et  d'obtenir  une  mesure  exacte  de  cette  pression. 
—  Le  rôle  des  robinets  et  des  tubes  adaptés  à  l'appareil  est  facile 
à  concevoir. 

Le  prisme  étant  d'abord  en  communication  avec  l'atmosphère,  on 


l'i  Lorsque  le  prisme  conlîenl  de  l'i 
rieure,  la  dévialioii  dv;  rajoiis  a  lieu  v 
eu  et' lia  minimum. 


Mua  une  pression  moindre  que  la  preeaion  eiLé 
s  le  soumel  et  non  vtrs  la  base,  et  prëscule  u 


29'i  OPTIQUE. 

visait  avec  une  lunette  une  mire  éloignée,  vue  à  travers  le  prisme, 
et  l'on  fixait  la  lunette  dans  une  position  invariable.  —  On  intro- 
duisait alors  le  gaz,  et  oh  lui  donnait  Une  pression  telle  que  la  mire 
parât  de  nouveau  en  coïncidence  avec  la  croisée  des  fils  de  la  lu- 
nette. L'indice  de  réfraction  du  gaz  était  alors  égal  à  l'indice  de  Tair 
extérieur,  lequel  pouvait  aisément  se  calculer  au  moyen  des  don- 
nées fournies  par  les  expériences  de  Biot  et  Arago.  La  loi  des  puis- 
sances réfractives  permettait  ensuite  d'obtenir,  par  le  calcul,  l'indice 
du  gaz  à  une  température  et  à  une  pression  quelconques. 

(l'est  ainsi  ([u'ont  été  calculés  les  indices  de  réfraction  des  prin- 
cipaux gaz  par  rapport  au  vide,  à  la  température  zéro  et  sous  lu 
pression  de  760  millimètres  : 

Air  atmospiiérique 1,000^96 

Oxygène 1 ,000374 

Azote '. .  1  ,ooo3oo 

Hydrogène : 1,0001 38    . 

Gaz  ammoniac 1  ,ooo385 

Acide  carbonique 1  ,ooo&/Î9 

Oxyde  de  carbone i,ooo3âo 

Chlore 1 ,00077a 

Cyanogène 1  ,ooo836 

Gaz 1 ,000678 

Acide  sulfureux i,ooo665  ^'' 

La  puissance  réfractive  d'un  mélange  de  gaz  est  la  somme  des 
puissances  réfractives  des  divers  gaz,  considérés  avec  les  densités 
qu'ils  j)ossèdent  respectivement  dans  le  mélange. 

(''  D'après  de»  expériences  faites  par  M.  Le  Roux,  la  vapeur  d'iode  présenterait  une 
dispersion  tout  à  fait  nnormale,  le  rouge  étant  plus  fortement  réfracté  que  lé  violet,  dans 
son  passage  au  travers  de  celte  vapeur. 


DE   L'AHC-EN-CIEL  ET  DES  HALOS. 


519.  Arcs-en-ciel.  —  Le  phénomène  de  l'arc-en-ciel  ne  peut 
être  observé,  dans  les  conditions  ordinaires,  que  s'il  se  trouve  un 
nuage  se  résolvant  en  pluie  dans  la  partie  du  ciel  qui  est  opposée  au 
soleil  par  rapport  à  l'observateur,  et  si,  en  outre,  le  soleil  est  suUi-* 
samment  voisin  de  l'horizon.  Il  arrive  alors,  le  plus  souvent,  qu'on 
aperçoit  à  la  fois  deux  arcs  concentriques,  dans  lesquels  les  couleurs 
du  spectre  sont  disposées  en  ordre  inverse;  l'espace  qui  est  compris 
entre  les  deux  arcs  présente,  par  rapport  au  reste  de  la  voûte  cé- 
leste, une  obscurité  relative. 

D'après  la  position  du  nuage  par  rapport  au  soleil  et  à  l'obser- 
vateur, il  est  manifeste  que  la  lumière  à  laquelle  est  dû  l'arc-en- 
ciel  a  été  réfléchie  par  les  gouttes  de  pluie  :  la  coloration  de  cette 
lumière  indique  qu'elle  a  été,  en  outre,  réfractée  et  dispersée,  (i'est 
donc  dans  la  considération  des  rayons  lumineux  qui  pénètrent  dans 
les  gouttes  de  pluie  et  en  sorlent  après  avoir  subi  des  réflexions  inté- 
rieures qu'il  faut  chercher  l'explication  du  phénomène. 

5âU.  IVottoBi  des  rayon»  effleaces.  —  Si  l'on  considère  tous 
les  rayons  émis  par  le  soleil  (|ui,  après  avoir  pénétré  dans  une  goutte 
d'eau,  s'v  réfléchissent  un  même  nombre  de  fois,  on  voit  immé- 
diatement  que  le  changement  de  direction  éprouvé  par  chacun  d'eux 
est  variable  avec  son  point  d'incidence  primitif.  Or  si,  parmi. tous 
ces  points  d'incidence,  il  en  est  un  qui  jouisse  de  la  propriété  de 
rendre  maximum  ou  minimum  le  changement  de  direction  du  rayon 
émergent,  il  est  clair  que  les  rayons  dont  les  points  d'incidence 
seront  voisins  de  celui-là  subiront  des  changements  de  direction 
presque  égaux  :  par  suite,  tous  ces  rayons  seront,  en  sortant  de  la 
goutte,  sensiblement  parallèles  les  uns  aux  autres.  Au  contraire, 
les  rayons  dont  les  points  d'incidence  seront  à  des  distances  de  plus 
en  plus  grandes  du  point  en  question  éprouveront  un  changement 


296  OPTIQUE. 

de  direction  de  plus  en  plus  variable,  c'est-à-dire  que  Fenseiiible 
de  ces  rayons  parallèles  à  rincidence  sera  transformé,  par  raciion 
de  la  goutte,  en  un  système  de  plus  en  plus  divergent.  . —  Donc, 
dans  la  région  de  l'espace  qui  est  occupée  par  les  rayons  émergents, 
il  y  aura  accumulation  relative  de  lumière  dans  le  voisinage  du  rayon 
qui  aura  subi  un  changement  de  direction  maximum  ou  miiiimum, 
et  ce  rayon  pourra  être  considéré  comme  apportant- avêe  lui  une  il- 
lumination plus  grande  que  tout  rayon  émergent  doni  la  direction 

fait  avec  la  sienne  un  angle  de  grandeur  finie De  Ui  le  nom  de 

raynns  ejtcaces,  donné  aux  rayons  émergents  qui  corresplondent  è 
un  changement  de  direction  maximum  ou  minimum. 

De  ce  qui  précède  il  résulte  que ,  parmi  les  gouttes  de  pluie,  celles 
qui  seront  dans  une  position  telle  que  leurs  rayons  efficaces  par- 
viennent à  l'œil  paraîtront  plus  brillantes  que  les  autres.  Ces  gouttes 
formeront  donc,  à  la  surface  des  nuages,  une  zone  plus  éclatante 
que  les  régions  voisines;  si  la  position  de  cette  zone  dépend  de  l'in- 
dice de  réfraction  de  la  lumière  considérée,  on  apercevra  un  système 
de  zones  diversement  colorées.  —  L'explication  du  phénomène  sera 
donc  complète  si  l'on  démontre  l'existence  des  rayons  efficaces^  et  si 
l'on  trouve  le  moyen  d'en  déterminer  la  position. 


5!2 1 .  Calcul  de  la  p^altloii  des  rayons  encacea.  —  Soient 
une  goutte  d'eau  sphérique  A  (fig.  4*37),  et  un  rayon  lumineui 
homogène  SI  tombant  sur  cette  goutte ^^^  —  Ce  rayon,  dans  tous 
les  changements  de  direction  qu'il  peut  successivement  éprouver, 
demeure  toujours  contenu  dans  le  plan  mené  par  sa  direction  pri- 
mitive et  par  le  centre  de  la  goutte  :  c'est  ce  plan  qui  a  été  pris  ici 
pour  plan  de  la  figure. 

Par  la  réfraction  au  point  1,  le  rayon  s'éloigne  d'abord  de  sa  di- 
rection primitive  d'un  angle  1  —  r;  par  une  réflexion  intérieure  en  H , 
il  s'écarte  de  sa  nouvelle  direction  d'un  angle  égal  à  n  —  ar,  et  toutes 
les  réflexions  ultérieures  produisent  un  effet  identique  à  celui  de 
la  première:  enfin,  l'émergence  en  un  point  tel  que  R  détermine 
un  drplareuKMil  angulaire  égal  à  i  -r.  Tous  ces  déplacements  suc- 

'^  La  loniie  spliérique.  étaiil  celle  que  preiiil  crelle-méme  uiiepetile  masse  liquide  en 
repos ,  duil  être  llé€e^6airement  la  tbrme  inoyeuoe  des  gouUes. 


ARGS-EN-CIEL. 


ifs  ayant  lieu  dans  le  niénic  sens,  on  voit  i|ue,  en  dëtinilive,  »n 
m  qui  aura  étë  réilëclii  k  fois  rliins  l'intérieur  de  la  i,'(iulle  [leut 


considéré  comme  ayant  éprouvé,  à  partir  de  sa  direction  primi- 
prolongée  SB,  une  rotation  p  qui  est  exprimée  par  la  formule 

?-»('■-••)+'{'-")• 

)r,  \es  rayons  incidents  étant  tous  parallèles  entre  eux,  la  posi- 
du  point  d'incidence  par  rapport  à  la  goutte  peut  être  caracté- 
î  par  la  valeur  de  l'angle  d'incidence  i  :  en  d'autres  termes,  la 
tion  p  est  une  fonction  de  i,  et,  pour  que  p  soit  maximum  ou 
imum,  il  faut  que  l'on  ail 

dp 

if  =  "' 
>à-dire,  en  supprimant  le  facteur  a  , 

angles  t  et  r  étant  liés  entre  eux  pfir  la  relation  sint^nsinr, 

dr  __   cos  i 
di      ficosf' 

ar  suite  la  relation  à  laquelle  doit  satisfaire  l'incidence  des  rayons 
-■aces,  pour  un  nombre  déterminé  /'  de.  réQe.ùons  intérieures, 


â98  OPTIQUE, 

devient 

V  '  n cos  r 


De  là  on  déduit,  par  des  transformations  faeiles  à  effioctaer, 

(i+  i)*(t  —  8in*i)«?;ii*  — ain^i 

ou  enfin 

Or,  le  nombre  des  réflexions  intérieures  k  étant  toujours  au  moins 
égal  à  l'unité,  cette  expression  est  toujours  réelle  lorsque  l'indice 
de  réfraction  n  est  plus  petit  que  ti;  c'est  ce  qui  arrive,  en  particu- 
lier, pour  Teau,  dont  l'indice  de  réfraction  a  sensiblement  pour 

valeur  ô  —  Donc  v  quand  les  rayons  solaires  tombent  sur  une  goutte 

d'eau  y  il  y  a  des  rayons  efficaces  pour  ions  les  nombres  possibles  de  ri^ 
Jlexions  intérieures. 

Pour  savoir  maintenant  si  la  rotation  correspondante  à  la  valeur 
de  i  (|ue  l'on  vient  de  déterminer  est  maximum  ou  minimum,  il  faut 
connaître  le  signe  de  la  seconde  dérivée  de  p  par  rapport  à  i.  Or 
on  a 


.dr 
dt 


^  -u{k+i) ..,_,,. 


n'  cos  /• 
sin  r  cos*  i  —  n  cos'  /*  siii  i 


'--•j(A+.)'-- 


/*    COS  / 
SlU  ' 


OU  enfin 


uni ,       .  - .,        /       sur  i\    . 
—  (i  — siiri)  -n     I . -    sin 


«*  COS*  r 


dr  ^  w'cosV 


(ielle  expression  étant  toujours  positive,  la  rotation  du  rayon  effiairt 
est  toujours  un  minimum. 


ARCS-EN.CIEL.  299 

Enfin,  la  valeur  de  la  rotation  dépend  de  Tindice  de  réfraction 
du  rayon  lumineux,  c'est-à-dire  de  sa  couleur.  Or,  supposons  que, 
dans  la  formule  générale  de  la  rotation 

p^  3  [i—r)  +  k{'rr  —  ar), 

les  angles  t  et  r  aient  les  valeurs  qui  conviennent  au\  rayons  effi- 
caces, c'est-à-dire  que  p  désigne  la  rotation  minimum  pour  k  ré- 
flexions ;  alors  la  quantité  p  n'est  plus  fonction  que  de  la  variable  /(  : 
si  Ton  veut  voir  comment  varie  la  rotation  minimum  quand  on  passe 
des  rayons  rouges  aux  rayons  violets,  il  suffit  de  chercher  le  signe 

de  la  dérivée  -r  •  Or  on  a 

dn 

dp  di  ,,         X  dr 

D'autre  part,  de  la  relation  (i)  on  déduit 

ii  n 


**  V'(w*-i)[(fc-n)'-ii']' 


sini 


enfin,  sinr  étant  égal  à — *  on  a  également 


1     /(fc+i)*-^' 

d'oïl  l'on  tire 

rfr k-i-  i 

Donc,  en  définitive,  on  a 

-.1  •  >  • 

dp  _  2[(fc4-il^-V] 

ou  enfin  « 

dp      2  v/(A*  +  i)*—  n- 
dn  n  y^/i*^^ 

expression  toujours  positive.  —  Donc  la  rotation  des  rayons  efficaces 
est  toujours  croissante  du  rouge  au  violet. 


âflO  OPTIQUE. 

522.  Premier  nrc.  —  Si  l'on  prend  comme  valeur  de  l'indice 
de  réfraction  de  l'eau  pour  les  rayons  rouges  le  nombre  5' ou -g—» 
el  comme  valeur  de  l'indice  relatif  aux  rayons  violets  le  nombre 
-jT-=-<  on  trouve,  en  substituant  ces  valeurs  dans  la  formule  générale 
de  la  rotation  et  faisant  ^  =  1  ,  que  la  rotation  des  rayons  ellicaces 
va  en  croissant  du  rouge  au  violet,  pour  les  rayons  qui  n'ont  éprouvé 
qu'une  rélle\ion  intérieure,  depuis 

jusqu'à 

py=  189°  43'9o". 

Il  résulte  de  là  que,  si  l'on  représente  par  SG  (fig.  ia8)  la  direc- 
tion des  rayons  qui  tombent  sur  une  goutte  dont  le  centre  est  en  G, 


et  par  GK  et  GV  le  rayon  efficace  rouge  et  le  rayon  efficace  violet 
qui  proviennent  de  rayons  incidents  contenus  dans  le  plan  de  la  fi- 
gure, on  peut  affirmer  que  tous  les  rayons  efficaces  qui  émergent  de 
cette  goutte,  et  qui  correspondent  à  une  seule  réflexion  intérieure, 
sont  répartis  entre  les  deux  surfaces  coniques  i^u'on  obtiendrait  en 
faisant  tourner  Gît  et  GV  autour  de  GS'  comme  axe.  Un  observateur 
ayant  le  centre  de  l'œil  placé  en  0,  sur  le  prolongement  de  la  droite  GR . 
recevra  île  la  goutte  G  une  lumière  rouge  plus  intense  (pie  celle  qu'il 
reçoit  des  autres  gouttes  conlenuen  dans  le  pliiii  de  la  ligure;  mais 


ARC3-EN.G1EL.  301 

il  recevra  encore  des  rayons  efficaces  rouges  de  toutes  les  gouttes 
qui  seront  à  l'intersection  de  la  surface  du  nuage  avec  la  surface  co- 
nique qu'engendrerait  la  droite  OG  en  tournant  autour  du  prolon- 
gement OS'  de  la  direction  des  rayons  solaires,  considéré  comme  axe. 
11  verra  donc  un  arc  de  cercle  rouge,  appartenant  à  un  cône  qui 
aurait  pour  axe  la  direction  des  rayons  solaires  prolongée,  et  pour 
demi-angle  au  sommet  le  supplément  de  la  rotation  p^^,  c'est-à-dire 
ce  qu'on  nomme  ordinairement  Li  déviation,  ou  l'angle   . 

Pour  une  raison  semblable,  l'observateur  placé  en  0  verra  les 
diverses  couleurs  du  spectre  distribuées  suivant  des  arcs  de  cercle 
appartenant  à  des  cônes  intérieurs  au  précédent,  puisque  le  demi- 
angle  au  sommet  de  ces  cônes  est  le  supplément  d'un  angle  qui  va 
en  croissant  du  rouge  au  violet.  Pour  les  rayons  violets  «  en  parti* 
culier,  la  demi-ouverture  angulaire  du  cône  sera  la  déviation  mesurée 
par  l'angle  VOS',  dont  la  valeur  est 

4o'i6'4o". 

Le  raisonnement  précédent  pouvant  s'appliquer,  pour  une  cou-- 
leur  en  particulier,  à  tous  les  rayons  parallèles  de  cette  couleur  qui 
émanent  des  divers  points  du  soleil,  on  voit  qu'à  une  couleur  homo-' 
gène  déterminée  doit  répondre,  sur  la  surface  du  nuage,  non  pas 
une  ligne  mathématique,  mais  une  bande  colorée  ayant  une  lar- 
geur apparente  égale  au  diamètre  apparent  du  soleil.  Les  couleurs 
de  l'arc-en-ciel  ne  sont  donc  ni  plus  ni  moins  pures  que  celles  du 
spectre  qu'on  obtient  lorsqu'on  fait  tomber  sur  un  prisme  les  rayons 
solaires  introduits  dans  une  chambre  obscure  par  une  ouverture 
étroite,  et  qu'on  contemple  ce  spectre  sans  faire  suivre  le  prisme 
d'une  lentille. 

On  remarquera  enfin  que,  la  rotation  des  rayons  efficaces  étant 
un  minimum,  le  supplément  de  cet  angle  est  un  maximum.  Par  con- 
séquent, les  gouttes  d'eau  situées  en  dehors  du  cône  qui  contient, 
pour  un  observateur  occupant  une  certaine  position,  les  rayons  effi- 
caces rouges,  n'enverront  à  son  œil  aucun  rayon  ayant  éprouvé  une 
seule  réflexion  mtérîeure. 


■m 


OPTIOUE. 


533.  DcMxIèake  «r«.  • —  En  adoptant  les  mêmes  vdenrs  que 
précMeroinAnt ,  pour  les  indices  de  rt^frartion  de  l'eau  relatifs  aux 
rnyons  rouge»  f«l  aux  rayons  vJolels,  on  trouve  pour  valeurs  des 
rotations  des  rayons  efficaces  rouges  el  violets,  correspondants  à 
deu<L  réflexions  intérieures, 

'et 

p,  =  935°  ()'  9o", 

Os  valeurs  étani  supt'-rieures  à  180  degrés,  les- rayons  eflicores 
Eougrsou  violet-s,  (pii  onl  subi  deux  réflexions  Intérieurr^s,  et  qui.  au 
sortir  dp  la  goultp,  sont  dirigés  vers  le  bas,  proviennent  nécessaire- 


ment de  rayons  incidents  qui  ont  rencontré  la  moitié  inférieure  de 
la  goutte,  ainsi  que  l'indique  la  ligure  &3o.  L'inverse  a  lieu  pour 
les  rayons  qui  n'ont  subi  qu'unr  seule  réflexion  intérieure,  comme 
le  montre  la  flgure  h^i). 

De  ces  remni'que^  il  résulte  que  le  rayon  rouge  eOicaee  de  la 
goutte  G  (fig.  63  1),  qui  est  contenu  dans  le  plan  de  la  figure,  s'ob- 
tiendra en  supposant  que  la  droite  GS'  tourne,  dans  le  sens  indiqué 
[lar  la  flt>che/,  d'un  angle  égal  à  -iHo"  58'  ôo".  La  droite  GR  ainsi  dé- 
terminée viendra  rencontrer  l'œîl  d'un  observateur  placé  en  0,  si 
l'angle  de  OG  avec  la  direction  OS'  des  rayons  solaires  prolongés 


ARCS-EN-ClËL  â03 

ésl  f'^al  à  ^So'SB'.So"  diininiif^  de  180  degn^s,-  c'estwi-^ire  à 

5o'58'5o". 
Tidlc  <>st  la  derni-ouverlitrp  niigulairB  du  cûne  dont  I»  siiifac^  poiit 


contenir  tes  goattes  envoyant  ù  Tobservateur  des  rayons  efBcac^ 

rouges  deux  fais  réfléchis  dam  leur  intérieur. 

;.:  PiMtr  drâ  raittons  semblables,  les  gouttes  qui  enverront  h  l'œil 

'deR  tiayaas  ellïraces  violets  seront  situées  sur  ua  r6ne  ayant  pour 

iiR  OS'  ei  pour  demi-nuveKure  angulaire  ■aSA'g'ïO*  —  1 80",  c'est- 

-2-ilire 

L'ouvertore  angulaire  de  pe  cAne  étant  supérieure  à  relU  des  rayons 
rouges,  on  voit  <]ue,  dans  le  deuxième  arc,  le  violet  es!  à  l'extérieur 
et  te  rouge  à  l'intérieur. 

Enfin,  la  rotation  des  rayons  ellicaces  étant  toujours  un  mini- 
mum, les  gouttes  situées  dans  l'intérieur  du  rAne  qui  rontïent  les 
gouttes  à  rayons  ellicaces  rouges  n'enverront  A  l'observateur  aucun 
rayon  ayant  éprouvé  deux  réflexions  intérieures.  —  Ainsi,  de  l'es- 
pace compris  entre  les  deux  arcs,  il  n'arrivera  à  l'œil  ([ue  des  rayons 
réfléchis  plus  de  deux  fois  dans  l'intérieur  des  gouttes.  De  là  l'obs- 
^uriu''  relative  de  celle  région. 

534.  ArcB  4'ardre*  siipérleura.  —  Des  calculs  semblables 
aux  précédents  montrent  que  le  trotsii''me  el  le  quatrième  arc   ne 


â04  OPtlQUE. 

seraient  visibles  que  sur  un  nuage  placé  entre  l'observateur  et  le 
soleil  :  l'éclat  des  rayons  solaires  directs  n'a  jamais  permis  do  les 
apercevoir.  Le  cinquième  arc  se  trouverait,  au  contraire,  sur  un 
nuage  opposé  au  soleil  :  il  n'a  jamais  été  vu  non  plus,  à  cause  du 
grand  aiïaiblissement  que  la  lumière  éprouve  après  cinq  réflexions 
consécutives.  i)n  affirme  cependant  que  ce  dernier  arc  a  été  observé 
sur  le  nuage  de  gouttes  d'eau  qui  se  produit  au  voisinage  de  cer- 
taines cascades. 

En  faisant  tomber  les  rayons  solaires  sur  un  jet  d*eau  abondant . 
produit  à  l'intérieur  d'une  chambre  obscure,  on  a  pu  observer  jus- 
qu'au dix-septième  arc,  et  vérifier  que  tous  les  arcs  de  divers  ordres 
ont  la  position  indiquée  par  la  théorie. 

525.  Halo».  —  On  désigne  sous  le  nom  de  halos  des  cercles 
colorés  qui  entourent  le  soleil,  et  quelquefois  la  lune,  à  une  dis- 
tance angulaire  de  22  degrés  et  de  46  degrés  ;  dans  ces  cercles,  le 
rouge  est  à  l'intérieur  et  le  violet  à  l'extérieur. 

Les  halos  sont  produits  par  des  cristaux  de  glace  flottant  dans 
l'atmosphère  :  ils  sont,  par  conséquent,  plus  rares  et  moins  brillants 
dans  nos  climats  que  dans  les  régions  polaires.  Les  rayons  qui  sont 
réfractés  par  ces  prismes  de  manière  h  éprouver  la  déviation  mini^ 
mum  possèdent  toutes  les  propriétés  des  rayons  efficaces  de  la  théo- 
rie de  l'arc-en-cieH^^  Ils  donnent  donc  naissance,  pour  chaque  es- 
pèce de  couleur,  à  un  cercle  brillant,  concentrique  au  soleil,  dont 
le  demi-diamètre  angulaire  est  précisément  égal  à  la  déviation  mi- 
nima.  La  valeur  de  cette  déviation  étant  croissante  avec  l'indice  de 
réfraction,  le  violet  doit  être  en  dehors  et  le  rouge  en  dedans, 
comme  le  montre  l'observation. 

Les  cristaux  de  glace  sont  des  prismes  hexagonaux  réguliei*s,  ter- 
minés tantôt  par  des  bases  planes,  tantôt  par  des  pyramides  hexa- 
gonales diversement  inclinées.  Deux  faces  latérales  non  adjacentes 
forment  ensemble  un  angle  réfringent  de  fio  degrés,  et  donnent 
naissance  au  halo  dont  le  dinmètre  est  de  2*î  degrés.  —  Une  face 

•^^  L'indice  de  réfraction  de  la  j^lace  difljère  à  peine  de  celui  de  Teaii,  el  la  \aleiir  - 

peut  tîlre  employé.o  dans  les  .calculs  relatifs  aux  lialos,  comme  dans  les  calculs  relatifs  à 
Tarc-en-ciol. 


HALOS.  305 

latérale  et  la  base  forment  l'une  avec  l'autre  un  angle  de  90  degrés 
et  donnent  naissance  au  halo  de  li&  degrés. 

Deux  faces  latérales  adjacentes,  qui  forment  l'une  avec  l'autre  un 
ang^e  dièdre  de  1  fio  degrés,  ne  donnent  pas  de  halo,  car  un  rayon 
lumineux  qui  pénètre  par  l'une  de  ces  faces  et  tombe  sur  la  seconde 
s'y  réfléchit  totalement. 

Les  faces  des  pyramides  terminales  forment  des  angles  dont  la 
valeur  parait  n'être  pas  constante  :  ils  donnent  naissance  à  des  halos 
extraordinaires,  de  diamètres  variés. 


Verdct,  m.  —  Cour»  de  pliys.  II.  ao 


OPTIQUE  THÉORIQUE. 


INTERFÉREIVCES. 


I.  l>HK\01HÈNES   D-IMERFÉBENCES. 

526.  Expérience  faBdamentale  d'Vaiuw.  —  C'csl  à  Th. 
Yoiing  que  revieni  l'honneur  d'avoir  appliqué  aux  phénomènes 
optiques  le  principe  des  interférences.  Parmi  les  expériences  peu 
nombreuses  qu'il  a  faites  pour  démontrer  la  légitimité  de  celle  ap- 


plication, la  .«uivantf  doit  Hre  ronsidérée  comme  la  plus  impor- 
tsDte. 

Un  trou  Irf's-itroit  S  (fig.  iân).  pratiqué  dans  le  volet  d'une 
chambre  obscure,  laisse  passer  les  rayons  solaires:  on  fait  tomber 


308  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

ces  rayons  sur  un  écran  percé  de  deux  petites  ouvertures  circulaires 
0,  0'  très-rapprochées,  et  l'on  observe  la  distribution  de  la  lumière 
sur  un  écran  blanc  MN  placé  au  delà.  —  Si  l'on  commence  par 
masquer  l'ouverture  0',  pour  laisser  passer  les  rayons  à  travers  Tou- 
verture  0  seule,  on  remarque  que  la  lumière  s'étend,  sur  l'écran 
MN,  à  une  distance  très- sensible  en  dehors  de  l'intersection  AB  de 
l'écran  avec  le  cône  de  rayons  incidents  circonscrit  à  Touverture;  il 
y  a  illumination  par  diffraction  ^^^  en  dehors  de  la  projection  conique 
de  l'ouverture  0.  Le  même  effet  s'observe,  en  dehors  de  A'B',  si  Ton 
masque  l'ouverture  0  pour  découvrir  l'ouverture  0'.  —  Si  mainte- 
nant on  découvre  à  la  fois  les  deux  ouvertures ,  l'effet  produit  n-est 
pas  une  simple  superposition  des  deux  effets  précédents.  Dans  la 
région  éclairée  à  la  fois  par  la  diffraction  des  deux  ouvertures ,  on 
aperçoit  un  système  de  bandes  colorées,  rectilignes,  perpendicu- 
laires à  la  droite  qui  joint  les  centres  des  deux  ouvertures.  —  Avec 
un  peu  d'attention ,  on  distingue  dans  ce  système  une  bande  blanche 
centrale,  occupant  le  lieu  des  points  situés  à  égale  distance  des  deux 
ouvertures;  puis,  de  part  et  d'autre,  deux  bandes  noires;  ensuite, 
des  bandes  colorées,  dans  lesquelles  on  peut  apercevoir  encore  des 
maxima  et  des  minima  lumineux  équidistants.  L'addition  d'une  lu- 
mière à  une  autre  n'a  donc  pas  pour  effet  constant  une  augmenta- 
tion de  l'éclairement  ;  la  formation  des  bandes  noires  prouve  même 
que,  dans  certaines  conditions,  en  ajoutant  de  la  lumière  à  de  la  lu- 
mière, on  peut  produire  de  V obscurité, 

A  cette  expérience  d'Young  on  peut  cependant  faire  une  objec- 
tion :  les  rayons  que  l'on  fait  interférer  sont  des  rayons  diffractés  par 
leur  passage  au  travers  d'ouvertures  étroites  ;  il  est  donc  nécessaire 
de  démontrer  que  la  propriété  d'interférer  ne  résulte  pas  de  quelque 
modification  spéciale,  que  la  lumière  subirait  en  se  diffractant.  — 
Les  expériences  que  l'on  va  maintenant  décrire,  et  qui  sont  dues  à 
Fresnel,  ont  eu  pour  but  de  répondre  à  cette  objection. 

527.  Expérleitee  du  Mprisnte.  —  Les  rayons  d'une  sourc<* 
lumineuse  de  très-petites  dimensions  sont  reçus  sur  deux  prismes, 
d'angles  réfringents  très-faibles,  accolés  par  leur  base,  ou  plutôt  sur 

(^)  Ce  phénomène  sera  tHudië  plus  loin. 


PHÉNOMÈNES  D'INTERFÉRENCES.  309 

une  Unie  de  verre  BAC  (fig.  633),  taillée  de  façon  à  imiter  un  pareil 
système.  En  vertu  de  la  petitesse  des  angles  réfringents,  et  de  l'inci- 
dence presque  normale  des  rayons,  on  peut  regarder  ces  prismes 
coiimie  substituant  n  un  point  lumineux  S  le  système  de  ses  deux 


foyers  virtuels  S'  et  S"  (426).  On  obtient  donc  ainsi  deux  faisceaux 
lumineux  de  même  origine,  très-voisins  l'un  de  l'autre,  sans  que  la 
lumière  qui  les  constitue  ait  éprouvé  d'autre  modilication  que  celle 
qui  peut  résulter  de  deux  réfractions  opérées  sous  l'incidence  presque 
normale.  —  Des  bandes  ou  Jranges  d'interférence ,  tout  à  fait'  sem- 
blables aux  précédentes,  apparaissent  dans  la  partie  commune  tfux 
deux  faisceaux,  et  disparaissent  lorsque  l'un  des  faisceaux  est  sup- 
primé. La  frange  blanche  centrale  est  toujours  comprise  entre  deux 
franges  noires,  et  occupe  le  lieu  des  points  qui  sont  situés, 'dans 
l'espace  commun  aux  deux  faisceaux  réfractés,  à  égale  distance  des 
points  lumineux  virtuels  S'  et  S*.  Toutes  les  franges  sont  d'ailleurs 
parallèles  entre  elles ,  et  perpendiculaires  à  la  droite  S'S".  —  Si  l'on 
substitue  au  point  lumineux  S.  une  ligne  lumineuse,  parallèle  aux 
arêtes  réfringentes,  le  phénomène  augmente  d'éclat,  par  la  super- 
position des  divers  systèmes  de  franges  qui  correspondent  aux  divers 
points  de  cette  ligne. 

Ce  procédé  expérimental  est  le  plus  simple  et  le  plus  commode 
qu'on  puisse  employer  pour  la  manifestation  des  phénomènes  d'in- 
terférence*, mais  il  ne  convient  pas  à  la  recherche  des  lois  de  ces 
phénomènes,  à  cause  de  la  complication  qui  résulte  des  deux  réfrac- 
tions, et  de  la  diversité  des  milieux  que  traverse  successivement  la 
lumière.  . 


310  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

528.   Expérience  des  ailrelp*  de  Fresael.  —   Un   point 

lumineux  S  envoie  ses  rayons  sur  deux  miroirs  plans  MN,  MQ 
(fig.  636),  qui  font  l'un  avec  l'autre  un  angle  très-voisin  de  i8o  de- 
grés. Les  deux  faisceaux  réfléchis  sont  constitués  comme  s'ils  avaient 
pour  origines  les  deux  inia^e!>  S',  S"  du  point  S,  images  qui  soQt 


très-voisines  l'une  de  l'autre.  Dans  la  partie  commune  aux  deui 
faisceaux  on  apenjoit,  sur  un  écran  AB,  des  frnnges  perpeadicu- 
Uires  à  la  droite  S'S"  qui  réunit  les  deux  images. 

Les  deux  miroirs  doivent  être  opaques,  afin  d'éviter  ta  compli- 
cation que  produirait  la  réflexion  sur  la  seconde  surface,  si  l'on  fai- 
sait usage  d'une  substance  transparente  ;  ils  sont  généraleineat 
formés  par  des  plaques  de  verre  noir.  —  L'un  d'eux  M  est  lise 
parallèlement  à  la  plaque  P  (Sg.  635);  la  vis  a  permet  de  l'appro- 


cher ou  de  l'éloigner  de  P.  L'autre  miroir,  placé  sur  RN ,  est  porté  par 
une  autre  plaque  Q,  à  laquelle  sont  fixées  trois  vis  calantes,  dont 
deux  sont  visibles  en  6  et  c,  et  qui  permettent  de  rendre  la  plaque  Q 
^rallèle  à  telle  direction  que  l'on  veut  :  un  ressort  maintient  la 
plaque  Q  éloignée  de  P.  Le  miroir  N  peut  tourner  lentement  autour 
d'un  axe  K  parallèle  à  l'un  de  ses  bords ,  par  l'uclion  d'une  vis  H  sur 


PHÉNOMÈNES  D'INTERFÉRENCES.  311 

un  long  ressort  pbcé  entre  le^  plaques  Q  et  N.  Pour  régler  les  mi- 
roirs, on  rend  d'aboi^d  la  charnière  R  parallèle  au  bord  du  miroir  N; 
puis,  on  amène  les  plans  des  deux  miroirs  en  prolongement  Tun 
de  l'autre,  ce  dont  on  s-assure  en  constatant  que  le  système  ne 
donne  qu'une  seule  image  d'un  point  éloigné;  enfin  on  fait  tourner 
le  miroir  mobile  d'un  très-petit  angle  autour  de  la  charnière  R. 

On  peut  prendre  comme  source  de  lumière  une  petite  ouverture 
circulaire»  transmettant  les  rayons  solaires  ou  ceux  d'une  très-forte 
lumière  artificielle ,  comme  la  lampe  de  Drummond ,  ou  mieux  en^ 
core  la  lampe  électrique.  —  On  donne  plus  d'éclat  aux  phénomènes, 
en  prenant  comme  source  le  foyer  principal  d'une  lentille  conver- 
gente ayant  une  faible  distance  focale  et  éclairée  par  des  rayons 
parallèles.  —  D'autres  fois ,  on  emploie  une  fente  étroite ,  parallèle 
à  l'intersection  commune  des  deux  miroirs.  A  chaque  point  de  la 
fente  répond  alors  un  système  particulier  de  franges;  mais,  à  cause 
•de  la  position  particulière  de  la  fente,  il  est  facile  de  voir  que  ces 
divers  j^ystèmes  coïncident  et  se  renforcent  réciproquement. 


529.  Vwmn^P^  produite»  ^i^mw  les  soiirce»  iiloa#clu*o] 
tiques  ou  par  lo  fumièiro  Mo,iDiclie«  ^ —  Si  l'oti  place  sur  le 
trajet  de  la  lumière  un  absorbant  monochromatique,  ou  si  l'on  fait 
arriver  sur  l'ouverture  servant  de  source  lumineuse  des  rayons  ho- 
mogènesf  pris  dans  un  spectre,  les  franges  de  diverses  couleurs 
que  donnait  la  lumière  blanche  sont  remplacées  par  un  système  de 
franges  d'une  seule  couleur,  qui  sont  alternativement  brillantes  et 
obscures,  et  qui  paraissent  à  l'œil  exactement  équidistantes.  —  Le 
piiiieu  du  système  est  toujours  occupé  par  une  frange  brillante,  qui 
est  placée  à  égale  distance  des  deux  images  S'  et  S^'  du  point  lu- 
m\tieu%. 

Les  distances  des  franges  latérales  à  la  frange  centrale,  leurs 
largeurs f  augm^mtent  à  mesure  qu'on  éloigne  l'écran  sur  lequel  elles 
se  projettent,  et  à  mesure  que  l'angle  des  deux  miroirs  approche 
d'être  égal  à  180  degrés. 

Enfin,  si  l'on  examine  successivement  les  franges  produites  par 
des  lumières  de  couleurs  diverses,  on  reconnaît  que,  toutes  choses 
^ale^  4'aijleurs,  la  largeur  des  franges  dimique  du  rouge  au  violet. 


312  OI'TIQUK  THEORIQUE. 

L'apparence  complexe  que  l'on  avait  obtenue  en  eniployani  h 
Itimière  blanche  r^ulle  simplement  de  la  superposition  dés  dirers 
systèmes  de  franges ,  alternativement  ol^cures  et  brillantes,  ^e  don- 
nent s<!parément  les  diverses  couleurs,  et  qui  ont  des  largeurs  ini^ 
gales.  Le  milieu  de  tous  ces  systèmes  ^lant  occupé  pâr'aiie  Traiige 
brillante,  la  frange  centrale  doit  être .  blanche  ;  les  déni  frâDgés 
noires  dont  cette  frange  centrHle  est  bordée  résidtent-de  ee  qàe  les 
deux  premières  franges  obscures  de  tous  les  systèmes  oat  dôe  putie 
commune,  d'une  largeur  sensible.  '  '  ' 


530.   HcMire  expérlHienCAle  de  la  larsm 


—  Pour  établir  les  lois  du  phénomène  par  des  mesons  prffeiwt, 
on  substitue,  k  la  projection  des  franges  sur  un  écran,  rdMnrvirtMO 
par  vision  directe.  Si  l'on  supprime  l'écran  sur  lequel  on  obeemîlles 
franges  et  qu'on  reçoive  les  deux  faisceaux  réflécliis  sur  nde  leope, 
l'œil  placé  derrière  la  loupe  aperçoit  une  image  des  frax^oi.  Ott 
franges,  dont  on  voit  alors  l'image  grossie,  sont  celles  qntse  fomenl 
dans  le  plan  où  devrait  être  placé  on 
objet  pour  être  m  distinetement  afer 
cette  loupe. 

Si  la  loupe  est  montée  dans  un  Uibê 
portant  un  réticule,  on  devra,  pour  fsâre 
coïncider  successivement  le  (il  vertical 
avec  les  milieux  des  diverses  Iranges. 
déplacer  la  loupe  d'une  quantité  égale  aux  intervalles  de  ces  fraises 
entre  elles.  Pour  obtenir  des  mesures  précises,  il  suffira  donc  qucla 
loupe  soit  mobile  par  l'action  d'une  vis  micrométrique,  comme-le 
montre  la  figure  ^36. 

Lorsque  le  système  des  deux  miroirs  et  le  support  de  la  loupe 
sont  indépendants  l'un  de  l'autre,  on  peutfaire-réfléchir  les  rayons 
interférents  sous  des  incidences  aussi  peu  obliques  qu'on  le  voûdr*. 
On  peut  aussi ,  en  éloignant  la  loupe,  s'arranger  de  manière  que 
les  rayons  qui  viennent  produire  les  franges  par  leur  concours  aient 
été  réfléchis  à  une  grande  dislance  des  bords  des  miroirs,  ainsi  que 
la  figure  ÂSy  le  fait  suffisamment  comprendre.  —  On  peut  donc 
obtenir  des  franges  avec  des  rîayons  qui  n'ont  éprouvé  k  aûcon 


l'Hli.NOHRNIÎS  D'INTKnFÉBENCKS.  313 

degré  la  inodilicalion  s|)éciale  appelle  dîffracûm,  qui  résulte  du  pas- 
sage de  la  lumière  au  voisinage  des  limites  d'une  ouverture  ou  d'un 
miroir. 

Le  plus  souvent,  oii  répète  l'cxpérieuce  de  Krosnel  en  employant 
ijn  système  de  miroirs  et  uni-  loupe  mirroinëlrique  montés  sur  un 


ntënio  banc  i-ectili{^nc.  Les  rayons  émanéti  do  la  stiua'O  sont  alors 
rfn^cliis  prestjui'  j>iirallMcment  à  la  .siirlace  des  miroirs,  requi 
donne  aux  faisceaux  lumineux  une  plus  grande  intensité.  Cette  dis- 
position particulière  des  expériences  est  donc  avantageuse  sous  un 
rapport,  mais  elle  n'est  uullemcnl  nécessaire. 

531.  Evaluntloa  4c  la  différence  4e>  etaeiMlnB  p«rc*u- 
wmm  p»r  deux  rmjonm  qui  •«  c«upeii<  en  un  point  d'une 
franse  déterminée.  —  Il  résulte  des  lois  de  la  réflexion,  non- 
.seuleinent  que  les  rayons  réfléchis  ont  ta  même  direction  -que  s'ils 
provenaient  de  l'image  du  point  lumineux,  mais  que  la  distance  de 
cette  image  à  un  point  quelconque  du  rayon  réfléchi  est  égale  au 
chemin  réellement  parcouru  par  la  lumière,  depuis  le  point  lumi- 
neux jusqu'au  point  particulier  que  l'on  considère.  On  peut  donc 
substituer  idéalement,  dans  l'expérience  des  miroirs  dé  Fresnet]  au 
point  lumineux  et  aux  deux  miroirs,  les  deux  images  S'  et  S"  du 
point  lumineux  S.  —  Si,  à  une  dislance  quelconque  de  ces  points, 
on  mesure  la  distance  de  la  frange  centrale  ï,  (fig.  'i38)à  un  point  P 
d'une  frange  latérale,  contenue  dans  le  plan  mené  par  le  point  K 


ilh  OPTIQUE  THÉORIQUE- 

perpeadiculâlremenl  à  RE,  on  a,  pour  eipressioos  des 
parcoui'us  par  les  deux  rayons  S'P,  ST, 


S'P=\/keV(BS'-EP)*'      S'P=V^RE*+(RS'+EP)^   : 
ou.  en  représentant  la  distance  RE  par  d,  US' rt  RS'  pvé,B 
par/.  .     I 

En   raison  tJc   rL'îiln'iiii'   iiriitenH-  iIh  h  i-\  di-  /,   iplnlivement  à  d. 


on  peut  se  borner  aux  deux  premiers  termes  du  dévetoppeipent  dw 
radicaux  en  série,  et  poser 

ST^.  +  'î;/. 

d'où  l'on  déduit  la  valeur  S  de  la  différence  des  chemins  parcourus, 

Mais  -T  ne  dilTcre  pas  sensiblement  de  la  tangente  de  l'angle  S'ES'. 
Donc,  en  représentant  cet  angle  par  i,  il  vient 
^=a8ngt. 

Or,  /  étant  meNuré  par  le  micromètre  comme  il  a  été  dit  (Ô30),  il 
ne  resie  plus,  |>our  évaluer  S,  (|u'à  mesurer  l'angle  t. 


PHÉNOMÈNES  D'INTERFÉRENCES.  315 

Pour  effectuer  cette  mesure.  Fresnel  plaçait  en  E  un  très-petit 
cylindre  opaque,  perpeadiculalre  au  plan  S'ES"  (fig.  '^3^),  et  il 


détemnoait,  à  l'aide  de  son  micromètre,  l'ialervallc  O'O'  des-uii^ 
liegx  dw  deiu  ombres  portées,  h  une  lUstance  connue  ME.  Le  rap- 
port de  O'O'  à  ME  ne  différait  pas  sensiblement  de  la  tangente  de 
l'angle  chercha. 

-'â3'2-  i«*>  MriuM«riWi*>  *>>i  phéBMnéBie.  —  Une  série  de 
mesures,  effectuées  comme  on  vient  de  l'indiquer,  conduit  aux  lois 
sitiwQtes  : 

:  i'  I^a  différence  de  marche  des  rayons  qui  viennent  se  croiser 
au  milieu  d'une  frange  quelconque  est  constante  et  caractéristique 
de  la  frange  considérée,  de  quelque  manière  qu'on  fasse  varier  les 
conditions  de  l'eipérience. 

3°  Au  milieu  d'une  frange  brillante,  cette  différence  est  nulle 
ou  égale  à  un  multiple  pair  d'une  très-petite  longueur  -■ 

3°  Au  milieu  d'une  frange  obscure,  cette  différence  est  égale  à 
un  multiple  impair  de  la  même  longueur-. 

!i'  La  longueur-  va  en  décroissant  du  rouge  au  violet;  dans  la 
région  moyenne  du  spectre,  elle  est  sensiblement  égale  à  ^  de 
millimètre. 

On  voit  donc  que  l'intensité  lumineutie,  due  au  concours  dv 
deux  rayons  qui  sont  émanés  de  la  même  source  et  qui  ont  par- 
couru des  chemins  différents,  est  maiima  ou  minime  suivant  que 
la  différence  de  ces  chemins  est  égale  à  un  multiple  pair  ou  à  un 
multiple  impair  d'une  longueur  déterminée;  entre  ces  deux  cas  ex- 
trêmes, l'inteniiité  varie  d'uno  manière  continue.  L'obscurité  parait 


316  OPTIQUK  THÉORIQUE. 

d'ailleurii  complète ,  dans  les  points  où  l'intensité  est  minima ,  lorsque 

les  deux  rayons  înlerrérents  sont  égaux  en  intensité. 

53tS'.    CxpérICBce  avec  iim  «mU . BÉirslr.  — i'Ob  peut,,  Al 
employant  un  seol  miroir  MN ,  sur  lequel  on  fait  lomber  ii  ïunq^ 

de  lii  soiin-p  S  sous  ime  mcidoncc  prusijui^  rasaiitr;  (fig.  'l'jo),  faire 


""v. 


rif.  iio. 

interférer  les  rayons  directs  avec  les  rayons  réfléchis,  et  constater 
le  phénomène  en  plaçant,  !ioit  un  écran,  soit  une  louj>e  en  un  peint 
tel  que  P. 

On  obtient  alors  des  franges  semhlahles  aux  précédentes,  avec 
cette  différence  que  la  frange  centrale  est  ohscure  et  que  les  condi- 
tions de  maximum  et  de  minimum  sont  renversées.  En  d'autres 
termes,  on  peut  dire  que  tout  se  passe  comme  si  la  rélleiiott  avait 
augmenté  de  -  le  chemin  parcouru  par  le  rayon  réfléchi.  —  On  re- 
viendra plus  loin  sur  les  conséquences  que  l'on  peut  tirer  de  la  com- 
paraison de  CCS  résultats  avec  ceux  qui  précèdent. 

11.    —  EXPLICATION   DliS  PHÉNOMÈNES  D'IKTBBiréBENCES 
DANS  LE  SYSTÈME  DES  ONDULATIONS. 

53â.  On  a  essayé,  à  l'origine,  de  rendre  le  phénomène  des 
interférences  compatible  avec  l'hypothèse  de  l'émission,  en  attribuant 
des  propriétés  spéciales  à  la  rétine. — Toute  explication  de  ce  genre 
est  réfutée  par  une  expérience  d'Arago,  dans  laquelle,  en  recevknt 
les  franges  sur  un  papier  imprégné  de  chlorure  d'argent,  on  obtient 
une  altération  maxiina  au  milieu  des  franges  brillantes,  et  une 'al- 
tération nulle  au  milieu  des  franges  obscures. 

Rien  ne  se  conçoit  au  contraire  plus  facilement  que  l'accord  ou 


PHÉNOMÈNES  D'INTERFÉRENCES.  317 

la  discordance  de  deux  mouvements  ondulatoires,  dont  la  superpo- 
sition en  un  même  point  produit  des  effets  analogues  à  ceux  des 
ondes  sonores  étudiées  en  Acoustique,  ou  des  systèmes  d'ondes. qui 
se  propagent  simultanément  à  la  surface  d'un  liquide. 

535.  Première  notion  du  •ystéme  dee  ondiilotione. — 

Dans  le  système  des  ondulations,  on  conçoit  les  corps  lumineux,  ou 
plus  généralement  les  corps  rayonnants,  comme  étant  le  siège  de 
vibrations  incessantes  qui  se  communiquent  aux  milieux  voisins,  et 
qui  s'y  propagent  avec  une  égale  vitesse  dans  tous  les  sens,  si  ces 
milieux  sont  isotropes. 

On  ne  fera ,  pour  le  moment ,  aucune  hypothèse  sur  la  nature  des 
ondulations  lumineuses.  On  admettra  seulement,  comme  un  fait 
établi  par  l'expérience,  qu'elles  se  propagçnt  sphériquement  et  avec 
une  énorme  vitesse  dans  les  gaz,  dans  les  liquides,  dans  les  solides 
non  cristallisés  et  dans  les  espaces  interplanétaires;  il  est  impossible 
d'ailleurs  de  rendre  ces  ondulations  manifestes  par  les  moyens  qui 
servent  à  démontrer  l'existence  des  vibrations  sonores.  —  Ces  pror 
priétés  ne  permettent  pas  de  regarder  les  vibrations  lumineuses 
eonune  différant  simplement  des  vibrations  sonores  par  l'amplitude 
et  par  la  durée.  Elles  ont  certainement  leur  siège ,  soit  dans  les  derr 
niers  éléments  constitutifs  des  corps,  soit  plutôt  dans  un  milieu 
spécial,  Yéther,  qui  pénètre  tous  les  corps  de  la  nature  et  remplit 
les  espaces  planétaires. 

Les  lois  de  la  propagation  d'un  mouvement  vibratoire  se  dé- 
duisent, comme  en  Acoustique,  des  lois  de  la  propagation  d'un 
ébranlement  unique ,  en  décomposant  le  mouvement  vibratoire  cen- 
tral en  une  infinité  d'ébranlements  successifs.  On  peut  donc  regarder 
comme  évident  : 

i**  Que  si  le  mouvement  central  est  périodique,  le  mouvement 
propagé  par  les  ondes  sphériques  l'est  également,  et  que  la  période 
des  vibrations  est  la  même  à  une  distance  quelconque  du  centre 
d'ébranlement; 

d°  Que  si  les  vibrations  centrales  sont  telles  qu'à  deux  époques 
séparées  par  la  durée  d'une  demi-vibration  les  vitesses  soient  égales. 


318  OPTlOHE  THÉORIOIIE, 

parnllèles  et  de  signes  contraire?,  les  vibrations  propagées  jouissent 
de  la  m^me  propric^té. 

En  outre,  bien  que  la  direction  et  l'amplitude  des  vibrations 
propagées  puisse  varier  d'un  point  à  un  autre  d'une  même  onde 
sphérique,  la  continuité  des  phénomènes  autorise  à  admettre  que, 
sur  une  portion  peu  étendue  d'une  même  onde  spbérique,  Tétat  de 
mouvement  de  tous  les  points  du  milieu  est  sensiblement  le  même 
à  chaque  instant. 

En  passant  d'une  onde  spbérique  à  une  autre,  de  rayon  plus 
grand,  la  force  vive  du  mouvement  vibratoire  répandu  sur  une 
même  surface  diminue  en  raison  inverse  du  carré  de  la  distance; 
mais,  si  l'on  considère  deux  ondes  sphériques  dont  les  rayons  ne 
présentent  qu'une  différence  peu  considérable  relativement  à  leur 
valeur  absolue,  on  peut  faire  abstraction  de  la  variation  d'intensiié 
produite  par  le  passage  d'une  onde  à  l'autre,  et  établir  les  deux 
principes  suivants  :  • 

i°  Si  l'on  considère,  sur  deux  ondes  sphériques  peu  distantes, 
divers  points  situés  sur  un  même  rayon  vecteur  ou  sur  deux  rayons 
peu  inclinés  l'un  sur  l'autre,  et  si  la  différence  des  rayons  de  ces 
deux  ondes  est  égale  à  un  nombre  pair  de  demi-longueurs  d'on^ 
dulation ,  l'état  vibratoire  de  ces  deux  points  sera  le  même  à  chaque 
instant.  —  En  effet,  en  appelant  R  et  R'  les  rayons  des  deux  ondes, 
et  en  admettant  que  l'on  ait 

on  voit  quo  le  mouvement  du  point  situé  sur  Tonde  de  rayon  R,-à 
l'époque  arbitraire  /,  a  pour  origine  l'ébranlement  qui  existait  au 
centre  h  Tépoque 

V  étant  la  vitesse  de  propagation  des  ondes.  De  même,  le  meuve* 
ment  du  point  situé  sur  l'onde  de  rayon  R'  a  poor  origine  l'ébran- 

R' 

lement  qui  existait  au  centre  à  l'époque  /  —  -r-'  ^"^  ^'^^  P^^^  écrire 

R  X  \ 

^_^^Q^_.  ^t,  en  remarquant  que  la  quantité  y  est  égale  k  la 


PHÉNOMÈNES  D'INTERFÉRENCES.  319 

dur^p  T  d'une  vibration  entière,  cette  expression  devient 

,      H  T 

V  2 

,  &  d^s  éjpoques  qui  diffèrent  entre  elles  d'un  nombre  pair  de 
i-dttréès  dé  vibrations,  les  ébranlements  centraux  sont  iden- 
vHi|tfie$;  et,  quelles  que  soient  lefs  transfortanâtions  qu'ils  éprouvent  en 

se  propageant,  celles  de  ces  transformations  qui  ont  lieu  suivant 
deux  rayons  peu  inclinés  l'un  sur  l'autre,  et  sur  des  longueurs  peu 
fiiîfférenles ,  sont  sensiblement  identiques.  Donc  l'état  vibratoire  doit 
être  le  même,  à  l'instant  i\  pour  les  deux  points  considérés. 

a"  Si  la  différence  des  rayons  des  deux  ondes  sphériques  est 
^aie  à  un  nombre  impair  de  demi-longueurs  d'ondulation ,,  les  vi- 
tesses xte  vibration  de  deux  points  situés  sur  un  même  rayon  ou  sur 
des  rayons  très-voisins  sont  à  chaque  instant  sensiblement  égaler, 
parallèles  et  de  sens  contraires.  —  On  peut  faire  voir,  en  effet,  que 
ies  mouvements  de  ces  deux  points  ont  pour  origine ,  à  une  époque 
quelconque  t,  les  ébranlements  qui  existaient  au  centre  de  vibration 
aux  époques 

V 
et 

s     R  /l' 

Or,  à  des  époques  qui  diffèrent  entre  elles  d'un  nombre  impair  de 
demi-durées  de  vibrations,  les  ébranlements  centraux  sont  égaux  et 
opposés.  Donc,  à  un  même  instant  t,  les  mouvements  vibratoires 
'sont  égaux,  parallèles  et  de  sens  rontrairos  pour  les  deux  points 
considérés. 

Si  maintenant  on  combine  ces  deux  princi|)es  avec  le  principe  de 
la  superposition  des  petits  moumments ,  le  phénomène  des  interfé- 
rences devient  une  conséquence  nécessaire  de  la  théorie  des  ondes. 
—  En  effet,  si  deux  centres  vibratoires  identiques  coexistent  dans 
un  même  milieu,  on  pourra  répeter,  sur  les  mouvements  envoyés 
par  ces  deux  centres  suivant  deux  rayons  parallèles  ou  peu  inclinés 
l'un  sur  l'autre,  tout  ce  qu'on  a  dit  des  mouvements  envoyés  par  un 


320  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

centre  unique.  Or,  les  droites  qui  joignent,  aux  deux  centres  0,  0', 
un  point  M  dont  la  distance  est  considérable  par  rapport  à  Tinter- 
valle  00'  des  deux  centres  (fig.  ^lii),  sont  peu  inclinées  Tune  sur 


Fig.  AAi, 

l'autre.  Donc,  suivant  que  la  différence  MO'— MO  sera  égale  à  un 
nombre  pair  ou  à  un  nombre  impair  de  demi-longueurs  d'ondu- 
lation ,  il  y  aura  au  point  M  addition  de  deux  vitesses  sensiblement 
égales,  parallèles  et  de  même  sens,  ou  destruction  réciproque  de 
deux  vitesses  sensiblement  égales,  parallèles  et  de  sens  contraire. 
Dans  toute  autre  condition,  la  vitesse  résultante  ne  sera  ni  constam- 
ihent  double  de  la  vitesse  envoyée  par  un  centre  unique,  ni  constam- 
ment nulle.  —  En  d'autres  termes,  si  un  point  lumineux  émettant 
une  lumière  homogène  n'est  autre  chose  qu'un  centre  de  vibration 
jouissant  des  propriétés  définies  plus  haut ,  on  voit  qu'il  devra  se 
prçduire  des  maxima  et  des  minima  de  lumière,  aux  points  où  l'ob- 
servation indique  qu'il  s'en  produit  réellement  dans  les  diverses  ex- 
périences d'interférences. 

On  est  amené  ainsi  à  conclure  qu'une  lumière  homogène,  de  ré- 
frangibilité  déterminée,  est  constituée  par  des  vibrations  périodiques: 
ces  vibrations  sont  telles  que,  à  deux  instants  séparés  par  la  durée 
d'une  demi-vibration,  les  vitesses  de  vibration  soient  égales,  paral- 
lèles et  de  sens  contraires.  La  réfrangibililé  et  la  couleur  varient  avec 
la  durée  de  la  période,  ou,  ce  qui  revient  au  même,  avec  la  longueur 
d'ondulation ^^^  :  la  réfrangibilité  augmente,  et  la  couleur  passe  du 
rDuge  aii  violet,  à  mesure  que  la  longueur  d'ondulation  diminue. 
—  Quant  à  la  forme  et  à  la  situation  des  trajectoires  parcourues 
par  les  molécules  vibrantes,  elles  ne  peuvent  être  déterminées  par  la 
considération  du  phénomène  des  interférences. 

(')  Les  vitesses  de  propagation  de  la  lumière  étant,  soit  dans  le  vide,  soit  d«in8  Tair, 
très-sensiblement  égales  pour  les'rayons  de  toutes  les  couleurs,  la  longueur  d^ondulation 
■  et  la  période  des  vibrations  sont  proportionnelles  Tune  à  Pautre. 


PHÉNOMÈNES  D'INTERFÉRENCES.  321 

536.    Kéaul ^  retotifti  à   to  loncueur 

^•■^■totioM  et  à  to  vitcii    i  v  oire.   —    L'expc^rience 

Jonne»  pour  valeur  moyenne  de  longueur  d'ondulation  X,  la 
]uaniitë  o",  ooooooS.  11  en  résulte  que,  la  vitesse  de  propagation 
iê  la  lumière  V  étant  à  peu  près  3oo  ooo  kilomètres  par  seconde, 
b  durée  moyenne  T  d'une  vibration  lumineuse  est  environ 

m O^^OPOOGOS  ^ 

Soooooooo"'' 

le  nombre  moyen  N  des  vibrations  exécutées  en  une  seconde  par  un 
:orps  lumineux  est  donc 

N3oooooooo      /. 
= r"=  bOO  000  000  000  000. 

o,oooooo5 

Dans  tout  raisonnement  tbéorique,  il  est  donc  permis  de  consi- 
dérer comme  immense  le  nombre  des  vibrations  qui  s'accomplissent 
en  un  temps  extrêmement  court. 

Le  tableau  suivant  indique  les  longueurs  d'ondulation  des  rayons 
dont  la  réfrangibilité  est  caractérisée  par  la  position  des  sept  raies 
principales  de  Frauenhofer  (â82),  de  la  raie  A  et  de  la  raie  b^^^  : 


mm 


A 0,0007606 

B 0,0006878 

C o.ooo6556 

D o,ooo5888 

E 0, 0005968 

b o,ooo5i66 

F.  .* 0,000/1869 

G 0.0006996 

H 0,000^963 

On  est  naturellement  conduit  à  étendre  les  notions  précédentes 
aux  rayons  infra-rouges  et  aux  rayons  ultra-violets;  cette  extension 
est  d'ailleurs  confirmée,  en  ce  qui  concerne  les  rayons  ultra-violets, 
par  la  reproduction  photographique  des  franges. 

(')  Ces  nombres  ont  été  déterminés  par  une  méthode  spéciale ,  entièrement  difTérenle 
Je  eeBe  de  Fresnel.  D'autres  méthodes  encore,  qui  ne  peuvent  être  exposées  ici,  ont 
HMNiIré  que  la  relation  entre  la  longueur  d'onde  et  la  réfrangibilité  s'applique  aux  rayons 
infra-fiRiges  et  aux  rayons  ultra-violets,  comme  aux  rayons  visibles. 

Via»iT,  m.  —  Cours  de  phys.  11.  9 1 


322  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

537.  Traduction  aiuiljtâfiiie  du  yriurtpe  «les  interfé- 
rences. —  Si  deux  vibrations  parallèles,  de  même  période,  mais 
de  phases  et  d'intensités  différentes,  qui  se  combinent  en  un' même 
point,  ont  à  chaque  instant  leurs  vitesses  représentées  par 


r=  a  sinsïTT  (^+^ 


v'r=a's\t\Q'!r 


on  voit  sans  peine  que  la  vitesse  de  la  vibration  résultante  peut  être 
représentée  par 

V=A  sin27r  (f  "T^j' 

en  posant 

-       asin27r(p  +  a'sin  !27r9' 

lanff  î27r<P  = ■k ; §:•  * 

o  a  cos  'nrip  -h  a  cos  iirCp 

Or,  le  carré  de  la  vitesse  étant  la  mesure  de  l'intensité  du  mou- 
vement vibraloire^^^  on  voit  que  cette  intensité  est  maxima  ou  mi- 

^'^  Tout  eiïet  mécanique  ayant  pour  cause  un  mouvement  vibratoire  ne  peut  étiv 
(|u'une  production  de  travail  ou  de  force  vive;  par  conséquent,  la  grandeur  de  cet  efTet 
est  déterminée  par  la  force  vive,  c'est-à-dire  par  le  carré  de  la  vitesse.  Celle  vitesse  varie 
d'un  instant  t\  Tautre,  mais  il  est  facile  de  voir  que  reflet  mécanique  du  mouvement 
vibratoire,  pendant  Tunité  de  temps,  est  proportionnel  ù  A^.  —  En  eflet  on  a,  pendant  la 
durée  T  d'une  vibration, 

f    \'flt-\'Ç    f//sin*27r(,|  +  *)^ 
ce  que  Ton  peul  écrire 

W/-A^  (     (U  -         -      V ^-, 


ou  enOn 


pT  T 


et  comme  il  s'accomplit  ;s^  vibrations  pendant  Punilé  de  temps,  rinlégrele  étendue 

A" 
celle  unilé  de  temps  tout  entière  a  pour  valeur  —  • 


PHÉNOMÈNES  D'INTERFÉRENCES.  323 

nima  suivant  que  l'on  a 

Q7r(^'  — ^)=  awTT 
ou  bien 

*?7r  ((p'  —  (p)  =  (an  +  1  )  TT. 

Si  les  mouvements  vibratoires  sont  deux  mouvements  de  même 
origine,  qui,  partis  d'un  même  centre  de  vibration  suivant  des 
directions  rapprochées,  viennent  se  superposer  en  un  même  point 
après  avoir  parcouru  des  chemins  différents  x  et  x\  les  vitesses  de 
vibration  pourront  s'exprimer  par 

,    .  /t        x'\ 

V  =a  SmQTT  (f  ~~TJ  ' 

et  le  carré  du  coefficient  constant  qui  entre  dans  l'expression  de  la 
vitesse  résultante  sera 

X  "~*  x' 

M^=a^+a'^+  arï^'cosâTT  — ^ — 

Dans  ce  cas,  l'intensité  résultante  sera  donc  maxima  ou  minima, 
suivant  qu'on  aura 


%)  ~n  sin  aw 


ou  bien 


X  —  X  ^^in- 


X  —  X  =^\^n-\-  x)-'^ 


et  si  les  intensités  des  deux  mouvements  composants  sont  les  mêmes, 
c'est-à-dire  si  l'on  a  a  =  n',  le  minimum  sera  nul.  —  On  retrouve 
ainsi  les  deux  lois  fondamentales  de  l'interférence. 

On  voit,  en  outre,  que  si  la  différence  de  marche  x—x^  n'est  égale 
ni  à  un  multiple  pair,  ni  à  un  multiple  impair  de  la  demi-longueur 
d'onde,  l'intensité  résultante  a  une  valeur  intermédiaire  entre  le 
maximum  et  le  minimum;  en  particulier,  elle  est  égale  à  la  somme 
des  deux  intensités  élémentaires,  si  l'on  a 

X  —  x'        ,  \  TT 

ai . 


324  OPTIQUE  THÉORIQUE, 

c'est-à-dire  si  la  diffc^rence  de  maiThe  a  pour  valeur 

538.  NTéeeMiité  d'employer  eomnie  sourees  lumineuses 
les  deuiK  images  d'une  même  souree.  —  Deux  sources  de 
lumière  réellement  différentes  ne  produisent  jamais  de  franges  d'in- 
terférence :  elles  donnent  lieu  simplement  à  un  éclairement  uni- 
forme, plus  intense  que  celui  qu'on  obtient  d'une  seule  source.  — 
Ce  phénomène,  en  apparence  contraire  à  la  théorie  des  ondes.,  s'ex- 
plique de  la  manière  suivante  : 

Deux  points  lumineux  qui  émettent  des  rayons  homogènes  de 
même  couleur  donnent  naissance  à  des  vibrations  de  même  pé- 
riode, mais  ces  vibrations  ne  sont  pas  généralement  concordantes  au 
même  instant  dans  les  deux  molécules  vibrantes;  de  sorte  que  les 
vitesses  de  vibration  envoyées,  à  l'époque  t,  en  un  point  dont  les  dis- 
tances aux  deux  sources  sont  x  et  x',  ont  pour  expressions 

t?  =  fl  sin27r  f  ^  —  v  +  6) ' 

v' =«'  sin 97r  ( f  "~  x  "^  ^)  ' 

Le  carré  du  coefficient  constant  de  la  vitesse  produite  par  les  deux 
sources ,  au  point  considéré ,  est  donc 

A2=  a2+  a'2+  fî/ia'cosQTT  (^^  +  Ô'- ô)  ; 

cette  expression  dépend  donc  de  ff  —  6^  aussi  bien  que  de  '—r — 

Or,  si  l'état  des  deux  sources  demeurait  invariable,  il  résulterait 
simplement  de  là  que  les  franges  d'interférence  n'auraient  pas,  à  un 
instant  donné,  les  positions  indiquées  par  la  théorie  précédente  : 
en  particulier,  le  lieu  de  la  frange  centrale  serait  défini  par  la  con- 
dition 

î^  +  Ô'-Ô=o. 
Mais,  en  réalité,  chaque  source  lumineuse  éprouve,  en  un  temps 


PHÉNOMÈNES  D'INTERFÉRENCES.  325 

très-court,  un  nombre  immense  de  perturbations  dont  il  est  facile 
de  concevoir  Texistence.  Dans  un  corps  porté  à  Tincandescence  par 
une  vive  action  chimique,  les  molécules  qui  constituent  la  surface 
rayonnante  changent  d'un  instant  à  l'autre,  et,  comme  les  vibra- 
tions des  diverses  molécules  ne  sont  pas  concordantes,  la  valeur 
de  6  éprouve,  en  un  point  déterminé  de  la  source,  les  variations  les 
plus  rapides  et  les  plus  irrégulières.  Les  mêmes  variations  doivent 
se  retrouver  dans  l'état  des  molécules  d'un  corps  porté  à  l'incandes- 
cence par  une  chaleur  ayant  sa  source  dans  une  pareille  action  chi- 
mique, ou  bien  encore,  ce  qui  revient  au  même,  par  un  courant 
électrique;  enfin,  ces  variations  doivent  également  exister  à  la  sur- 
face du  soleil,  dont  l'état  d'agitation  incessante  ne  peut  être  révo- 
qué en  doute.  —  De  là  résulte  que  les  quantités  0  et  ff  et  leur 
différence  6  —  ff  doivent  présenter,  en  un  temps  très-court,  un  très- 
grand  nombre  de  valeurs,  différentes  les  unes  des  autres.  Donc  le 
carré  A^  du  coefficient  constant  de  la  vitesse  résultante  doit,  en  un 
temps  très-court,  prendre  une  série  très- nombreuse  de  valeurs 
comprises  entre  le  maximum 

(a  +  a'f 
et  le  minimum 

(«  -  «?. 

En  conséquence ,  l'œil  doit  être  impressionné  comme  si  A^  demeurait 
constamment  égal  à  sa  valeur  moyenne 

En  d'autres  termes,  l'intensité  de  la  lumière  résultante  doit  être 
indépendante  de  x  —  x'  et  égale  à  la  somme  des  intensités  des  deux 
lumières  qu'on  fait  agir  simultanément.  —  On  voit  donc  que  le 
principe  fondamental  de  la  photométrie  n'est  pas  en  contradiction 
avec  le  système  des  ondes. 

539.  EiKtension  du  principe  des  interférenees  au  mmu 
où  les  rayons  ont  trairersé  des  miliewK  de  natures  diffé- 
rentes. —  Soient  x^,  j?!,  ^2, . . . ,  0?' ,  x'i,  ^2, . . .  les  chemins  parcou- 
rus par  deux  rayons  interférents,  partis  de  la  même  source,  dans 


326  OPTIQUE  THEORIQUE. 

des  milieux  où  ies  vitesses  de  prap«^gation  de  la  lumière  sont  res- 
pectivement Vo,  V^,  V.2, ....  Les  durées  nécessaires  à  la  prop^i^tion 
de  ces  deux  ra;yons  seront 

j?p      j;,       g;^ 

'o  »!  '» 

Si  ces  durées  sont  égales,  ou  diffèrent  entre  elles  d'un  nombre  pair 
de  demi-périodes  de  vibration,  les  mouvements  vibratoires  apportés 
au  point  de  concours  par  les  deux  rayons  seront  concordants  à 
chaque  instant,  et  il  y  aura  maximum  de  lumière.  Les  deux  vitesses 
de  vibration  seront  au  contraire  toujours  opposées,  et  il  y  aura  mini- 
mum de  lumière,  si  la  différence  des  durées  qu'on  vient  de  définir 
est  égale  à  un  nombre  impair  de  demi-périodes  de  vibration.  La 
condition  du  maximum  peut  donc  s'exprimer  par 

et  celle  du  minimum  par 

5/iO.  Application  à  la  meinare  de  la  vitesse  de  la  lu- 
mière dans  lei(  eorpn  trajuiparents.  —  En  interposant  une 
lame  mince  transparente,  à  faces  parallèles,  sur  le  trajet  d'un  des 
faisceaux  réfléchis  par  les  miroirs  de  Fresnel,  on  détermine  un 
déplacement  des  franges  ;  le  système  entier  s'avance  du  côté  de  la 
lan^e  transparente,  et  la  position  primitive  delà  frange  centrale  est 
occupée  par  une  frange  d'un  ordre  supérieur.  —  Supposons  que  le 
milieu  de  la  frange  brillante  de  rang  p  vienne  se  placer  exactement 
au  point  qu'occupait  d'abord  le  milieu  de  la  frange  centrale;  dési- 
gnons par  /  la  distance  de  ce  point  aux  deux  images  du  point  lumi- 
neux, par  e  l'épaisseur  de  la  lame  transjfarente,  par  V  et  V  les  vi- 
tesses de  propagation  de  U  lumière  dans  l'air  et  dans  la  lame.  On 
aura,  en  appliquant  le  principe  qui  vient  d'être  démootré, 

l-e       o.        l  T 


PHÉNOMÈNES  D'INTERFERENCES.  337 

c'est-à-dire 

ce  T 

ou,  eh  multipliant  tout  par  V  et  remarquant  que  VT  =  X, 


1-,)- 


ay? 


L'expérience  permettra  dcrnc  de  trouver  le  rapport  ^,  ou  l'inverse  y  • 

V 
Fresael  a  reconnu,  par  cette  expérience,  que  y>  est  toujours  égal 

à  Vindice  de  réfraction  de  la  substance  transparente,  —  Cette  relation 
remarquable,  qui  sera  démontrée  plus  loin  par  la  théorie,  permet 
de  donner  une  autre  forme  aux  équations  qui  expriment  les  condi- 
tions de  l'accord  ou  de  la  discordance  complète  de  deux  rayons  in- 
terférents.  En  supposant  que  ¥„  se  rapporte  à  l'air,  et  en  multipliant 
tous  les  termes  de  ces  équations  par  V^,  on  aura,  dans  le  cas  du 
maximum  de  lumière, 

^o  +  WiOîi  +  Woa?2  H (^1  +  «1  J^i  +  fh^i  H )  ="  2/>  â' 

et  dans  le  cas  du  minimum, 

^0  +  «1  ^1  +  n.2X.2 H {xl-\- n^x'i  +  n.^xi  H )  =  ( 2/)  +  i )  -- 

Wj,  M2,.  .  .  étant  les  indices  de  réfraction  des  divers  milieux  par 
rapport  à  l'air.  Les  produits  des  chemins  otj,  a?2, .  .  .  par  les  in- 
dices de  réfraction  qui  leur  correspondent  s'appellent  quelquefois 
les  chemins  rapportés  à  l'air. 

5/1 1 .   Effet  produit  par  une  lame  transparente  épaisse. 

—  A  mesure  que  l'épaisseur  d'une  lame  augmente,  la  valeur  de 
c(n—  1)  augmente  aussi  et  le  système  des  franges  se  déplace  de 
plus  en  plus.  Lorsque  le  produit  e[n  —  i)  devient  égal  à  un  nombre 
très-grand  de  longueurs  d'ondulation,  il  n'y  a  plus,  dans  l'espace 
commun  aux  deux  faisceaux  interférents,  que  des  franges  d'un  ordre 
très-élevé.  Or,  on  sait  qu'en  opérant  avec  la  lumière  blanche  les 
franges  visibles  sont  très-peu  nombreuses,  et  que  la  superposition 


328  OPTIQUE  THEORIQUE. 

des  maxima  et  des  minima,  correspondants  à  des  lumières  de  lon- 
gueurs d'ondulation  diiïërentes,  donne  naissance  à  un  éclairement 
uniforme,  dès  qu'on  s'éloigne  notablement  de  la  frange  centrale. 
L'interposition  d'une  lame  de  verre  qui  n'est  pas  très-mince  sur  le 
trajet  d'un  des  faisceaux  interférents  fait  donc  disparaître  les  franges 
de  la  lumière  blanche,  comme  le  ferait  l'interposition  d'une  lame 
opaque.  —  Cette  expérience  paradoxale  est  due  à  Arago;  l'explica- 
tion en  a  été  donnée  par  Fresnel. 

On  doit  ajouter  que ,  comme  aucune  lumière  n'est  absolument 
homogène,  on  peut  toujours,  par  l'interposition  d'une  lame  trans- 
parente suffisamment  épaisse,  faire  disparaître  les  franges,  de 
quelque  manière  qu'elles  soient  produites. 


ANNEAUX    COLORES. 


5Â2.  Anneaux  réfléelilB.  —  Lorsqu'on  place,  sur  iine  lame 
de  verre  plane  MN  (fîg.  â^a),  une  lentille  de  verre  LL'  à  très-lonf; 
foyer,  reposant  sur  le  plan  de  verre  par  une  surface  convexe,  l'œil 
placé  en  0,  de  manière  à  recevoir  les  rayons  réfléchis  par  le  système 
sous  une  incidence  presque  normale,  aperçoit  autour  du  point  de 
contact  de  ta  lentille  et  du  plan  un  système  d'anneaux  circulaires, 
diversement  colorés,  dont  le  centre  est  occupé  par  une  tache  noire 
suivie  d'un  anneau  hianc'". 
—  Si  l'on  écarte  successive- 
ment l'œil  de  lu  normale,  de 
manière  à  recevoir  des  rayons 
réfléchis  sous  des  incidences 
de  plus  en  plus  obliques,  les 
.-innenux  s'élargissent ,  sans 
que  la  distribution  des  cou- 
leurs soit  chanfjée.  Comme  la 
Fij.  id.  variation  d'obliquité  n'est  pas 

la  même  en  tous  les  pfiinls,  la  Tonne  ovale  succède  bientôt  à  la 
forme  circulaire;  cependant,  lorsque  l'œit  est  assez  éloigné  pour 
que  tous  les  rayons  qu'il  reçoit  puissent  être  rej^ardés  comme  sen- 
siblement parallèles,  les  anneaux  demeurent  circulaires,  en  aug- 
mentant de  diamètre. 

bh'i.  Annmux  tranrmlB.  —  La  lumière  transmise  par  le 
même  appareil  fait  apercevoir  des  anneaux  dont  les  couleurs  sont 
beaucoup  moins  vives  que  celles  des  anneaux  réfléchis,  et  dont  le 
rentre  est  occupé  par  une  tache  blanche. 

")  Il  eïlindilKreulque  la  lentille  soit  ronvergenle  ou  divcr^Gule  :  il  suffit  qu'elle  ail 
une  face  roiiteie  cl  que  in  rajons  de  courl)urc  de  !ies  deux  faces  «oient  Irè^grands;  le 
plus  souvenl,  on  emploie  uue  lentille  plan-convexe,  comneon  l'a  indiqué  surit  figure- 


330  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

Si  l'appareil  esL  illuminé  des  deux  côtés  par  des  lumières  dr 
même  intensilé,  et  (|ue  l'œi!  soit  placé  de  manière  à  recevoir  à  la 
fois  la  lumière  réiléchic  et  la  lumière  transmise  ffig.  i 4 3),  toute 


Fi|.  ut. 

coloration  disparaît.  —  On  en  doit  coDciure  ^œ  les  csdMlt  #s 
anneaux  réilécliis  et  celles  des  anneaux  traoïmii  wst  eufllMiVlt 
complémentaires  pour  un  même  point. 

De  là  résulte  enfin  qu'il  suffira  d'étudier  las  lois  lie  fw  av  je 
l'autre  système  d'anneaux  :  os  clunsit  générdsaiaot  laa  «MMI^ 
rédéchis.  qui  se  prélent  mieux  à  t'observatwa,  m  tWM^  4/i  W^t 
plus  grand  de  leirrs  couleurs'". 


5âA.   Em«inple«  de  cvISMitla 

mince*  «■  sénérsl.  —  Les  résultats  obtenus  dans  les  expériences 
que  l'on  vient  d'indi(|uer  ne  sont  que  des  cas  particuliers  d'un  phé- 
nomène général ,  que  tout  le  monde  a  pu  observer.  Chacun  sait  que 
la  lumière  blanche  donne,  par  réHcxion  ou  par  transmission  au  Ira- 
vers  de  lames  transparentes  suffisamment  minces,  des  phénomènes 
de  coloration  qui  sont  variables  avec  l'épaisseur  de  ces  laines  et  avec 
la  position  de  l'œil  de  l'observateur.  Ces  phénomènes  sont  partïculiè- 

>''  L'Bp|)ai-cil  repi-csecilé  par  la  figure  443  »  été  employé  pue  Ar*({0  comiBe  pbolo- 
mèlre.  On  peiil  ci>  effet  reconnaître  q»e  les  deux  moittës  MP  et  PN  d'une  surface  MN  sonl 
^ilemanl  éclairées,  a  ce  rai'actère  igue  le»  anneaux  dtiparaiiueiit  alors  coniplélenieDt. 
pour  l'ieil  pJnn'  un  O  ;  ce  piiiràlG  esl  h  la  fois  plus  iÙT  el  pliu  délicul  i|iie  ra|ipréeialk)il 
tlirwle  de;  l'i^ialilé  d'érlairemcui. 


ANNEAUX  COLORÉS.  331 

rement  observables  dans  les  bulles  de  savon,  dani>  les  lames  rainres 
de  verre  qu'on  obtient  par  le  soufflage,  dans  les  couches  minces 
d'buile  répandues  à  la  surface  de  l'eau,  dans  les  lamelles  d'oxyde 
qui  se  forment  sur  les  nélaui:,  dans  les  tissures  (jui  se  produisent 
souvent  dans  l'intérieur  des  cristaux  naturels,  etc. 

L'apparence  d'anneaux,  dans  les  colorations  produites  par  la  laïue 
mince  d'air  qui  est  comprise  entre  un  plun  de  verre  et  une  surface* 
sphërique,  est  due  simplement  à  ce  (|ue  l'épaisseur  de  cette  lame 
est  la  même  dans  tous  les  points  (pii  son!  à  égale  distance  du  point 
de  contact  des  deux  surfaces. 


5à5.   Épalaaeur  de  la  lavie  mince,  dans  le  phénamèue 
4c«  aBBeaux,  à  une  dietanee  délcrmlBéc  du  centre.  —  Si 

l'on  considère  une  section  faite,  dans  le  système  des  deux  surfaces 
comprenant  entre  elles  la  lame 
mince,  par  un  plan  mené  sui- 
vant la  nornule  Oy  au  poiul 
de  contact  (fig.  4ââ),et  sil'un 
désigne  par  j;  le  ntyon  OB  de 
l'un  de  CC6  anneaux,  par  tj 
l'épaisseur  AB  de  la  lame  mince 
qui  le  produit,  et  par  B  le 
rayon  de  courbure  de  la  sur- 
face de  lu  lentille,  on  obtient 
une  équation  entre  ces  trois 
cjuautilés  en  écrivant  l'équalion 

du  cercle  OA  rapporté  aux  deux  axes  Ox  et  Oy.  savoir 


•f'+y 


-%=- 


équation  que  l'on  peut  écrire 


or,  si  l'on  considère  seulement  des  valeurs  de  l'épaisseur  y  qui 
soient  trè&-petites  par  rapport  au  rayon  correspondant  x  de  l'anneau , 


.132  OPTIQUE  THÉORIQUE, 

celle  expression  se  réduira  à 


c'esl-à-dire  que  l'épaisseur  de  la  lame  mince  est  égale  au  carré  de 
son  rayon ,  divisé  par  le  diamèlre  de  ta  sphère  à  laquelle  apparlient 
la  surface  de  la  lenlille.  —  La  comparaison  des  épaisseurs  des 
lames  minces  est  donc  ramenée  à  la  comparaison  des  diamèlres  des 
anneaux  qui  leur  correspondent. 

5â6.  mesure  expérlntcntMledra 4l»inétreB de* ftiuie»iix. 

—  Le  procédé  le  plus  exact,  pour  mesurer  les  diamètres  des  an- 
neaux colorés,  consiste  à  placer  le  système  producteur  des  anneaux 
\W.  snr  une  plaque  hnri/nntale  de  enivre  1*0  {f'S-  ^^5)<  ^"'o  l'on 


Fig.  «5. 


pourra  déplacer  horiznntalenienl  au  moyeu  d'une  vis  micromé- 
Irique  V;  puis,  à  mesurer  le  déplacement  de  la  vis  qui  amènera 
successivement  les  deu<i  extrémités  du  diamètre  d'un  même  anneau 
sur  le  prolongement  de  l'axe  d'uni?  lunplte  LL'  mobile  sur  un  limbe 
gradué,  dans  un  plan  vertical  perpendiculaire  à  la  vis.  —  C'est  la 
méthode  qui  a  été  employée  par  MM.  dp  la  Provoslaye  et  Dessins. 

Pour  rendre  possibles  les  mesures  relatives  aux  anneaux  qui  cor- 
respondent à  des  rayons  réfléchis  sous  l'incidence  exactement  nor- 
niaJc ,  on  interpose  entre  la  lunette  et  l'appareil  producteur  des  an- 


ANNEAUX  COLORÉS.  333 

neaux  une  glace  transparente  inclinée,  qui  réfléchit  vers  l'appareil 
la  lumière  d'une  source  placée  sur  le  côté,  et  qui  laisse  cette  lumière 
revenir  à  la  lunette  après  qu'elle  s'est  colorée  ou  modifiée  en  inten- 
sité, en  se  réfléchissant  sur  la  lame  mince. 

5  M.  Résultats  empérinientaum.  —  On  peut,  par  ces  moyens, 
vérifier  les  lois  suivantes,  que  Newton  avait  déduites  de  procédés' 
moins  exacts  : 

1°  Dans  la  lumière  homogène,  les  anneaux  sont  alternativement 
brillants  et  obscurs;  ils  sont  beaucoup  plus  nombreux  que  dans  la 
lumière  blanche. 

â°  Les  épaisseurs  de  la  lame  mince  qui  correspondent  aux  mih'eux 
des  anneaux  brillants,  sous  l'incidence  normale,  sont  les  multiples 
impairs  du  quart  de  la  longueur  d'ondulation. 

S**  Les  épaisseurs  de  la  lame  mince  qui  correspondent  aux  mi- 
lieux des  anneaux  obscurs,  sous  l'incidence  normale,  sont  les  mul- 
tiples pairs  du  quart  de  la  longueur  d'ondulation  :  la  série  com- 
mence par  l'épaisseur  zéro,  qui  correspond  au  point  de  contact  de 
la  lentille  et  de  la  lame  de  verre. 

4*  11  résulte  de  ces  deux  lois  que  le  diamètre  des  anneaux  di- 
minue du  rouge  au  violet  :  la  coloration  des  anneaux  produits  par  la 
lumière  blanche  se  trouve  donc  ainsi  expliquée. 

5*  Si  l'on  introduit  un  liquide  à  la  place  de  l'air,  entre  la  lame 
de  verre  et  la  lentille,  les  épaisseurs  qui  correspondent  aux  divers 
anneaux  varient  en  raison  inverse  de  l'indice  de  réfraction.  En 
d'autres  termes,  comme  l'indice  de  réfraction  est  égal  au  rapport 
des  vitesses  de  propagation,  et  par  suite  au  rapport  des  longueurs 
d'ondulation,  les  longueurs  d'ondulation  qu'il  faut  considérer  dans 
la  deuxième  et  dans  la  troisième  loi  sont  les  longueurs  relatives  au 
milieu  par  lequel  la  lame  mince  est  constituée. 

6**  Lorsqu'on  observe  les  anneaux  réfléchis  sous  diverses  inci- 
dences, l'épaisseur  qui  correspond  à  un  anneau  déterminé  augmente 
proportionnellement  à  la  sécante  de  l'angle  que  fait  le  rayon  réfracté 
dans  son  intérieur  avec  la  normale  à  la  lame  mince. 


334  OPTIQUE  THÉORIQCE. 

5&8.  Théarte  d'TMtnc.  —  €m  «m   > 
.  M«M  une  iMcMence  aaraMilv  «a  prc««iM  ■armale.  —  Voung 

il  montré  que  Ips  divers  phi^nomènex  offerts  par  les  anneaux  coloris 
peuvent  être  expliqués  Iri^-eimptement  à  l'aide  du  principe  des  in- 
terférences. Les  anneaux  réfléchis  sont  produits  par  l'interférence 
des  rayons  réfléchis  sur  les  deux  surfaces  de  la  lame;  les  anneaux 
transmis  sont  dus  à  l'interférence  des  rayons  transmis  directement 
avec  les  rayons  réfléchis  deuï  fois  dans  l'intérieur  de  la  lame. 

Considérons  d'abord  les  anneaux  réfléchis  sous  l'incidenGe  nor- 
male ou  preM)rie  normale,  et  remarquons  que,  dans  le  voisinage 
du  point  de  contact,  la  lame  mince 
I  peut  être  considérée  comme  ayant 
ses  faces  parallèles.  Soit  (fig.  446) 
I  IR  un  rayon  réfléchi  sur  la  pr^ 
I  mière  suri'ace  MN  de  la  lame  mince 
I  et  provenant  d'un  rayon  ïneidenl 
I  SI  ;  dans  celle  même  direclimi  IR 
se  propagera  un  autre  rayon,  pro- 
venant d'un  rayon  incident  1^  que 
S'I',  lequel  aura  été  d'abord  n^ 
,  puis  réfléchi  en  I'  sur  la  seconde  surface  PQ  de  la 
iame  mince,  et  enfin  réfracté  de  nouveau  en  I. 

Il  semble  que  l'interférence  de  ces  deux  rayons  presque  égaui 
en  intensité  doive  produire  un  maximum  de  lumière  ou  une  obsru> 
rite  presque  complète,  suivant  que  la  différence  des  chemins  par- 
courus est  égale  à  un  nombre  pair  ou  à  un  nombre  impair  de  d«ni- 
longueurs  d'onde.  Cette  différence  étant  sensiblement  égale  an 
double  de  l'épaisseur  e  de  l.i  lame,  il  semble  donc  que  l'on  doit 
avoir,  pour  les  anneaux  brillants. 


fracté  en  1', 


r'esl-à-dire 


et  pour  les  anneaux  obscurs. 


-■jf-. 


■"~{-'F+<n 


ANNEAUX  COLORÉS.  335 

c'est-à-dire 

or,  ces  deux  résultats  sont  précisément  inverses  de  ceux  que  fournit 
l'observation  (547).  —  Mais  si  Ton  se  reporte  h  l'expérience  de 
Fresnel  (533)  dans  laquelle  on  observe  une  frange  noire  au  centre 
des  franges  produites  par  l'interférence  de  la  lumière  directe  et  de 
la  lumière  réfléchie  par  le  verre,  on  voit  que,  d'après  ce  résultat, 
on  est  autorisé  à  admettre  que  la  réflexion  à  la  surface  du  verre 
équivaut,  pour  un  rayon  se  propageant  dans  l'air,  à  un  change- 
ment de  signe  de  la  vitesse  de  vibration,  ou  à  un  acck*oissemént 
de  chemin  parcouru  égal  à  une  demi-longueur  d'ondulation.  Si 
maintenant  on  admet,  avec  Young,  que  la  réflexion  opérée  dans  des 
circonstances  inverses,  c'est-à-dire  à  la  surface  de  l'air,  pour  un 
rayon  se  propageant  dans  le  verre,  ne  modifie  pas  le  signe.de  la 
vitesse  de  vibration,  la  difficulté  sera  résolue.  En  effet,  la  condition 
du  maximum  de  lumière  devient  alors 


c'est-a~-dire 


et  celle  du  minimum 


—  » 
2 


(:^p-')7. 


2f  +  --^  (•j;;+i)-> 

c'est-à-dire 

X 

5&9.   C^nfiruMitioBS  diverse»  de  l'IiypoUièse  d'¥«iilBs.  — 

A  l'appui  de  l'hypothèse  d'Young  que  l'on  vient  d'indiquer,  on  peut 
citer  les  faits  suivants  : 

1°  On  sait  que  la  vitesse  de  vibration  des  ondes  sonores  se  pro- 
pageant dans  un  gaz  change  de  signe  par  la  réflexion,  quand  la  ré- 
flexion a  lieu  à  la  surface  d'une  paroi  solide,  et  que  la  vitesse  de 
vibration  conserve  au  contraire  son  signe,  lorsque  la  réflexion 
s'opère  à  l'extrémité  d'un  tuyau  étroit  débouchant  dans  l'atmosphère. 


336  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

9°  Si,  dans  l'expérience  des  anneaux  colorés  vus  par  réflexion, 
la  lentille  a  un  indice  de  réfraction  plus  grand  que  celui  de  la  lame 
plané,  et  qu'on  interpose  entre  elles  un  liquide  dont  l'indice  de  ré- 
fraction ait  une  valeur  intermédiaire ,  les  deux  réflexions  s'opèrent 
alors  à  la  surface  d'un  milieu  moins  réfringent  que  celui  qui  le  pré- 
cède, et,  d'après  l'hypothèse  d'Young,  il  ne  doit  y  avoir  aucun  chan- 
gement de  signe  de  la  vitesse  de  vibration  :  par  suite,  la  condition 
du  maximum  doit  être 

X 

et  la  condition  du  minimum 

or,  l'expérience  montre  précisément  que,  dans  ce  cas,  les  anneaux 
sont  à  centre  blanc.  —  Il  en  est  d'ailleurs  exactement  de  même 
quand  la  lentille  a  un  indice  de  réfraction  plus  petit  que  celui  de  la 
lame,  le  liquide  ayant  toujours  un  indice  intermédiaire  :  dans  ce 
cas,  la  réflexion  produisant  un  changement  de  signe  sur  la  vitesse 
de  chacun  des  deux  rayons  qui  interfèrent,  le  résultat  est  le  même 
que  si  ces  changements  de  signe  n'avaient  pas  eu  lieu. 

L'expérience  peut  se  faire  avec  une  lentille  de  crown  et  une  lame 
de  flint,  entre  lesquelles  on  interpose,  soit  de  l'essence  de  sassafras, 
soit  un  mélange  en  proportions  convenables  d'essence  de  laurier  et 
d'essence  de  girofle.  —  On  emploie  quelquefois  une  lame  plane 
dont  l'une  des  moitiés  est  en  crown  et  l'autre  en  flint.  Alors,  si  le 
point  de  contact  de  la  lentille  est  sur  la  ligne  de  séparation  du  flint 
et  du  crown,  on  aperçoit  la  moitié  d'un  système  d'anneaux  à  centre 
noir  et  la  moitié  d'un  système  d'anneaux  à  centre  blanc;  les  an- 
neaux brillants  de  l'un  des  systèmes  sont  sur  le  prolongement  des 
anneaux  obscurs  de  l'autre  ^^K 

^')  Dans  les  diverses  expériences  sur  les  anneaux  colorés,  on  peut  substituer  à  la  vision 
directe  le  procédé  suivant  L^appareil  producteur  des  anneaux  étant  placé  dans  une 
rliambre  obscure,  et  cet  appareil  étant  fortement  éclairé  d^uue  manière  quelconque,  on 
dispose  sur  le  trajet  des  rayons  réfléchis  une  lai  tille  convergente,  à  une  distance  telle  que 
les  divers  rayons  réfléchis  vers  cette  lentille  par  un  point  de  la  lame  mince  soient  très-peu 
inclinés  les  uns  sur  les  autres.  Ces  rayons  ont  alors  à  peu  près  la  même  intensité,  si  la  lu- 


■ANNEAUX-  COLORÉS.  837 

550.  CwB dea «BiiMux  réCécfcla  «ou*  l'iMcldciiee  «bllque. 

-  Si  )a  lumière  qui  arrive  à  la  lame  mince  comprise  entre  les 
lurfaces  MN  et  PQ  (fig.  fttà-])  est 
issue  d'un  point  très-éloigné,  on 
voit  que  les  deux  rayons  incidents 
SI ,  S'I',  dont  les  rayons  réfléchis  IR 
et  ri'IR  auront  finalement  la  même 
direction ,  arrivent  en  même  temps 
sur  la  droite  l'K  perpendiculaire  à 
I  leur  direction  commune.  Donc,  en 
désignant  par  n  l'indice  de  réfrac- 
tion du  verre  par  rapport  à  l'air,  il 
y  aura,  en  vertu  du  principe  démontré  (540),  maximum  ou  mini- 
mum de  lumière  suivant  qu'on  aura 

air  +  ^-nlK  =  2;>^ 
ou  bien 

Mais  si  l'on  représente  par  i  l'angle  ITL  sous  lequel  la  lumière 
rencontre  la  seconde  surface  de  la  lame  mince,  et  par  r  l'angle  de 
réfraction  correspondant  dans  le  verre;  si  l'on  désigne  enfin  par  e 
répaisseur  l'L  de  la  lame  mince,  on  a 

1'!"  =  ^ 
et 

IK  =  II'sinr=  setangt  sinr, 

et  les  conditions  préct^dentes  deviennent,  pour  le  maximum, 

^,~a»etangisinr  =  ('ip-i)-. 

mière  incidenle  est  homogène,  ou  la  même  roiileur,  si  la  lumière  incidente  est  Manclii^. 
Il  suit  de  \i  que,  sur  im  ^ran  occupant  par  rapport  à  la  lentille  la  position  conjuguée  de 
celle  de  i'«pp3reil  producteur  des  anneaui,  on  aura  une  image  nette  du  système  des  an- 
neaux eux-mêmes.  Un  raisonnement  analogue  fait  voir  que,  pour  la  liaion  dlrette  des 
anneaux,  rnil  doit  être  accommodé  de  faron  j  voir  nettement  les  objets  silu^  à  la  dis- 
tance de  la  lame  mince. 

ViiiicT,  ITI.  —  Cours  de  phys.  II.  •■ 


338  OPTIQUE  THÉORIQUE, 

et,  pour  le  minimum, 

. —  9?ïetane:îsinr=9»-» 

cosi  o  r  2 

ou,  en  remplaçant  sinr  par  —  et  effectuant  les  réductions» 

ecosi  =  (^ùp—  i)j         et         ecosi  =  fàp-r- 

Sous  l'incidence  normale,  ces  conditions  se  réduiraient  aux  condi- 
tions déjà  exprimées,  savoir,  pour  le  maximum  de  lumière, 

et,  pour  le  minimum  , 

X 

Par  conséquent,  si  l'on  désijjne  par  f  et  e  les  épaisseurs  correspon- 
dantes à  un  même  anneau  sous  l'incidence  normale  et  sous  rihei- 
dence  oblique,  on  a 

ecost  =  ^, 
c'est-à-dire 

e  =  csécf; 

c'est  en  effet  le  résultat  que  donne  l'observation  ^*J. 

551.  AnneauiL  transmis* —  On  voit  immédiatement  sur  la 
figure  448  que  le  rayon  transmis  directement  SITR  et  le  rayon  trans- 
mis aprf^s  deux  réflexions  intérieures  S'rF'lTR  suivent  la  même  route 
à  partir  du  point  I;  en  outre,  les  deux  changements  de  signe  pro- 
duits par  les  deux  réflexions  se  compensent.  La  condition  du  maxi- 
mum de  lumière  est  donc,  pour  une  incidence  quelconque  i, 

X 

2f  C0Sl--=  ùp- 

^'^  lA>rsqiie  Tincidence  est  trèsH)bliqup,  le  premier  rayon  réfléchi  devient  beaucoup 
plus  intense  que  le  second  et  la  théorie  précédente  ne  suffit  plus.  Mais,  en  tenant 
compte  des  réfleiions  multiples  opén^es  dans  l'intérieur  de  la  lame  mince,  on  retrouve  les 
mêmes  lois. 


ANNEAUX   COLORÉS. 


uu  bien 

et  celte  du  minimum  , 

ou  bien 


:.-=(./>+.);- 


».cos.=(9;.+  i)j, 

ce  qui  est  conforme  ù  l'observation.  —  L'exlréme  faiblesse  du  rayon 
qui  a  ^té  r^tlëchi  deux  fois  explique 
le  peu  dVclat  de  ces  anneaux. 

EnHn,  comme  toute  la  lumière 
qui  n'est  pas  réfléchie  en  un  point 
est  transmise ,  il  est  évident  que 
les  intensités  des  deux  systèmes 
-sont  romplémenlaires;  en  particu- 
lier, dans  l'expérience  d'Voung,  oii 
les  anneaux  réfléchis  sont  à  centre 
blanc  (549,  a"),  les  anneaux  trans- 
mis sont  il  centre  noir,  ce  qui  s'ac- 
corde également  avec  la  théorie, 
puisqu'il  n'y  a,  danscecas,  qu'une 
seule  des  deux  réflexions  intérieures 

qui  change  le  signe  de  la  vitesse  de  vibration. 


PROPAGATION   DE   LA    LLMIÈRE 


ET 


DIFFRACTION. 


552.  Considéraiioiis  sénérales  sur  les  loUi  de  r«|itl^pM 
géométrique.  —  Lu  théorie  des  ondulations  est  tenue  de  rendre 
compte  des  trois  lois  fondamentales  dont  les  conséquences  consti- 
tuent ce  qu'on  a  appelé  Voptique  géométrique,  savoir  :  la  loi  de  la 
propagation  rectiligne  de  la  lumière,  la  loi  de  la  réflexion  et  la  loi 
de  la  réfraction. 

La  première  de  ces  lois,  celle  de  la  propagation  rectiligne  de  la 
lumière,  n'est  pas  expliquée  lorsqu'on  a  fait  remarquer  que  la  pro- 
pagation sphérique  des  ondulations  peut  être  considérée  comme  une 
propagation  rectiligne  du  mouvement  vibratoire,  qui  a  lieu  simul- 
tanément sur  la  direction  de  toutes  les  droites  passant  par  le  centre 
de  vibration.  Le  fait  expérimental  désigné  par  l'expression  de^m^po- 
galian  rectilifpie  de  la  lumière  n'est  autre  chose  que  la  formation  des 
ombres,  et  il  faut  (|ue  la  théorie  fasse  concevoir  :  i *  comment  l'in- 
terposition d'un  écran  opaque  sur  le  trajet  des  ondes  sphériques  a 
pour  effet  la  destruction  du  mouvement  vibratoire  dans  l'intérieur 
du  cône  circonscrit  à  l'écran  et  ayant  pour  sommet  le  centre  lumi- 
neux ;  Q°  comment  des  ondes  sphériques ,  reçues  sur  une  ouverture 
limitée,  ne  communiquent  leur  mouvement  qu'à  l'éther  contenu 
dans  l'intérieur  du  cône  qui  a  son  sommet  au  centre  lumineux, 
et  qui  est  circonscrit  à  l'ouverture.  —  L'exemple  des  ondes  sonores, 
qui  paraissent  contourner  les  obstacles  sans  difficulté  et  se  répandre 
a  peu  près  également  dans  toutes  les  directions  autour  de  l'ouver- 
ture par  laquelle  elles  pénètrent  dans  un  espace  clos,  semble  même 
une  objection  grave  à  l'existence  des  ombres  lumineuses. 

Mais  il  n'est  pas  rigoureusement  vrai  que  la  distribution  de  l'ombre 
et  de  la  lumière  se  fasse  suivant  les  lois  qu'on  a  l'habitude  d'énon- 
cer au  début  de  l'étude  de  l'Optique.  Il  y  a  toujours  de  petites  dé- 


PROPAGATION  DE  LA  LUMIERE.  Ml 

vîatîons  de  la  ])ropagalioii  rectiligne,  déviations  qui  sont  iiiNeiisibIvs 
dans  les  circonstances  ordinaires ,  mais  <|u'on  peut  rendre  très-consi- 
dérables dans  des  conditions  particulières,  et  ijui  donnent  naissance 
aux  phénomènes  désignés  par  l'expression  générale  de  diffraclion. 
L'eiplication  de  ces  perturbations  apparentes,  qu'éprouve  l'une  des 
lois  fondamentales  de  l'Optique,  est  aussi  l'explication  de  celte  loi 
elie-méme  et  en  fait  comprendre  la  signification  véritable. 

553.  Prlnelp*  de  nu7(lieiiB.  —  Fresnel,  auquel  est  dû  cet 
important  développement  de  la  théorie  de  la  lumière,  a  montré  qu» 
tous  les  phénomènes  de  diffraction  sont  des  conséquences  du  prin- 
cipe des  interférences,  combiné  avec  le  principe  suivant,  qu'il  a  apr 
pelé  principe  de  Huy^em  parce  que  Huyghens  en  a  fait  un  fréquent 
nsage,  sans  jamais  peut-être  l'énoncer  explicitement  dans  toute  sa 
généralité  : 

Le  moueemeat  vibratoire  envoyé  far  un  point  lumineux  0  en  un  point 
fuehm^Me  P  (lîg.  AAg)  ett,  à  chaque  inttant,  la  rétultnnte  de  tout  le* 
wtowvemenU  vibratoiret  qui  tont  envoyù  au  point  P  par  Ut  diven  élémenlt 
£iMé  onde  antécédente  quelconque  BAC,  chacun  de  ces  éléments  étant 
eoniidéré  comme  un  centre  particulier  de  vibration». 

La  vérité  de  ce  principe  est  évidente,  car  il  n'exprime,  au  fond, 
que  la  propagation  successive  du  mouvement  vibratoire.  Chacun  des 


ébranlements  successifs  dans  lesquels  on  peut  imaginer  que  l'on 
décompose  le  mouvement  continu  du  centre  de  vibration  0  ne  se 
transmet  au  delà  de  l'onde  BAC  que  par  l'intermédiaire  de  celte  onde 
elle-même,  en  sorte  que,  si  l'on  supprimait  le  ceotte  lumineux  et 


3/ia  OPTIQUE  THEORIQUE. 

qu'on  communiquât,  d'une  manière  quelconque,  aux  points  de 
l'onde  BAC  la  série  d'impulsions  successives  qu'ils  reçoivent  par  l'in- 
fluence de  ce  centre,  il  ne  pourrait  rien  y  avoir  de  changé  dans 
l'état  d'un  point  P  situé  au  delà  de  l'onde  sphërique.  Le  mouvement 
du  point  P  est  donc  bien  le  mouvement  résultant  de  tous  tes  mou- 
vements envoyés  par  les  divers  éléments  de  Tonde  BAC. 

En  considérant  ainsi  les  mouvements  des  divers  points  d'une  onde 
sphérique ,  au  lieu  du  mouvement  du  centre  vibratoire  qui  produit 
cette  onde^  il  semble  d'abord  qu'on  introduit  dans  les  théories  une 
complication  inutile.  Mais  on  voit,  avec  un  peu  d'attention  «  que  si 
un  écran  opaque  est  placé  entre  le  centre  0  et  le  point  P,  de  manière 
à  éteindre  les  vibrations  d'une  partie  déterminée  de  l'onde  sphérique , 
l'effet  de  cette  extinction  pourra  être  déduit  du  principe  de  Huyghens; 
il  en  sera  de  même  si  on  limite,  par  une  ouverture,  la  portion  effi- 
cace de  l'onde;  de  sorte  que,  en  définitive,  toute  la  théorie  des 
ombres  et  de  la  diffraction  ne  sera  qu'une  application  constante  de 
ce  principe. 

L'effet  d'une  onde  sphérique,  libre  dans  sa  propagation  «  étant 
comme  le  terme  de  comparaison  auquel  on  doit  rapporter  les  effets 
d'une  onde  arrêtée  ou  limitée  par  des  obstacles  quelconques  »  c'est  le 
cas  d'une  onde  sphérique  libre  qu'il  convient  d'étudier  d'abord.  — 
Pour  faciliter  cette  étude,  on  fera  d'abord  abstraction  d'une  dimen- 
sion ,  et  l'on  cherchera  l'effet  produit  par  une  onde  circidaire  sur  un 
point  situé  dans  son  plan. 

554.  Effet  4*MMe  mwÊâm  dmlaire  mit  mm  pMlMt emIértoMr 
•ItMé  dmmm  mmm  pMmwk.  —  Soient  BAC  (fig.  Ado)  une  onde  circu- 
laire, et  P  un  point  extérieur  situé  dans  son  plan.  Menons  la  droite 
OP,  ({ui  rencontre  l'onde  en  A;  la  longueur  PA  sera  évidemment  la 
plus  courte  distance  du  point  P  à  Tonde.  Si  maintenant  on  considère 
un  point  quelconque  M  de  cette  onde ,  et  si  Ton  désigne  par  u  la 
distance  PM,  et  par  z  la  distance  AM.  comptée  sur  Tare  de  cen*le. 
on  pourra  évidemment  poser 

Or  la  distance  PA  qui  correspond  k  z=^o  est  la  plus  petite  des 


PROPAGATION  DE  LA  LIIMIÈRE.  3â3 

valeurs  de  it  :  donc,  si  l'on  considère  spécialement  les  positions  du 
point  M  qui  sont  voisines  de  A,  on  aura  sensiblement,  en  vertu  de 
la  propriété  connue  des  minima  et  des  maxima, 

»-/{») +ï>(«)- 

Concevons    maintenant  qu'on  divise   l'onde  par  une  série   de 
points  Ml,  M2,  Mj, .  ,  .  tels,  que  les  valeurs  de  u  correspondantes 


à  deuï  points  consécutifs.  PMj  —  PA,  PMi  — PM|,...,  présentent 
entre  ell«s  une  dtiTérence  constante  et  égale  à  -•  ou,  en  d'autres 
termes,  qu«  l'on  ait 

PM,-PA=^. 

PM2-PA=!»^, 

PM,-PA=3^ 


On  pourra,  en  vertu  de  l'eitréme  petitesse  de  -•  obtenir  un  grand 
nombre  de  points  de  division ,  même  en  ne  s'<^loignant  que  très-peu  du 


ZUk  OPTIQUE  THEORIQUE. 

point  A.  Dès  lors,  la  relation  approchée  entre  u  et  z  étant  applicable 
à  chacun  de  ces  points,  on  aura,  en  désignant  par  Z|,  Z29  '^s>***  ^^^ 
valeurs  particulières  de  z,  comptées  toujours  sur  l'arc  de  cercle  AB, 
qui  correspondent  aux  points  Mj,  M2,  M.^, . . . , 

3^  =  f/"(o), 


De  ces  relations  il  est  facile  de  conclure  les  longueurs  des  arcs  AMi, 
M1M2,  M2M3,...,  qui  sont  compris  entre  deux  points  de  division 
consécutifs ,  savoir  : 


AMi=^i=V^ 


MiM2=z2-'^i=y7>j(^^-0» 

M2M3  =  Z3-Z2=yj^(v^-V^)» 


Les  longueurs  de  ces  arcs  successifs,  que  nous  comprendrons  sbu« 
la  dénomination  d'arcs  élémentaires ^  sont  donc  rapidement  décrpiv 
santés  à  mesure  que  Ton  considère  des  arcs  de  plus  en  plus  distants 
du  point  A.  Il  est  même  facile  de  voir  que,  si  l'on  arrive  sur  AB 
à  une  distance  du  point  A  qui  soit  trop  grande  pour  autoriser 
l'application  de  la  formule  approchée  dont  on  a  fait  usage  jusqu'ici, 
les  longueurs  des  arcs  élémentaires  deviennent  tout  à  fait  négli- 
geables par  rapport  à  la  longueur  du  premier  arc  élémentaire  voisin 
du  point  A;  en  effet,  la  longueur  d'ondulation  X  étant  toujours  une 
quantité  très-petite,  si  Ton  désigne  par  a  la  longueur  d'un  arc  élé- 
mentaire, on  aura,  pour  toute  valeur  un  peu  considérable  de  :, 


PROPAGATION  DE  LA  LUMIÈRE.  345 

si  l'on  élève  celle  relation  au  carre,  el  qu'on  la  divise  par  le  carré  de 
celle  qui  a  donné  précédeoiment  la  valeur  du  premier  arc  élémen- 
taire z, .  on  obtient 

Le  quotient  -p  est  doue  du  même  ordre  de  grandeur  que  -;  dès  lors, 

la  longueur  a  d'un  arc  élémentaire  tant  soit  peu  éloigné  du  point  A 
est  extrêmement  petite ,  par  rapport  à  celle  du  premier  arc  élémen- 
taire Z|  ou  des  arcs  voisins. 

Les  vitesses  envoyées  au  point  P  par  les  diverses  molécules  vi- 
brantes qui  se  trouvent  sur  le  premier  arc  élémentaire  AM|  ne  sont 
pas  exactement  concordantes  entre  elles;  mais  elles  se  combinent  en 
une  vitesse  résultante,  de  grandeur  sensible,  que  l'on  peut  prendre 
pour  unité.  Le  deuxième  arc  élémentaire  M1M2  ayant  une  longueur 
moindre  que  le  premier,  la  vitesse  qui  résulte  de  l'action  de  ses  divers 
points  sur  le  point  P  doit  avoir  une  valeur  absolue  moindre  que 
l'unité  ;  de  plus ,  elle  doit  être  de  signe  contraire  à  la  vitesse  envoyée 
par  le  premier  arc,  puisque  la  différence  des  chemins  PM2  et  PMi 
est  égale  à  une  demi-longueur  d'onde.  En  poursuivant  ce  raison- 
nement, on  voit  que  la  série  des  vitesses  envoyées  au  point  P  par 
les  arcs  élémentaires  successifs  peut  se  représenter  par 

1  —  m-f-m  —  m  +1»  — •••» 

m,  m',  m" y...  désignant  une  suite  de  fractions  dont  les  valeurs  sont 
rapidement  décroissantes.  Il  suit  de  lé'i  que  la  vitesse  résultante  de 
faction  d'un  nombre  d'arcs  élémentaires  un  peu  considérable  est 
sensiblement  indépendante  du  nombre  de  ces  arcs,  et  qu'elle  est 
comprise  entre  1  —  m  et  Tunité.  —  On  peut  donc  regarder  l'action 
djs  la  demi-onde  circulaire  AB,  ou  de  toute  portion  un  peu  consi- 
dérable de  cette  demi-onde  commençant  au  point  A,  comme  une 
fraction  déterminée  de  l'action  du  premier  arc  élémentaire.  —  Les 
mêmes  raisonnements  sont  évidemment  applicables  à  la  demi-onde 
AC:  on  arrive  donc  ainsi  à  ce  théorème  : 

La  vitesse  de  vibration  envoyée  par  une  onde  circulaire  en  un  point  P 


346  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

est  idenbqne  à  la  vitesse  envoyée  par  un  très-petit  are,  ayant  son  mi^euau 

point  A  de  l'onde  cireiJaire  ^  est  le  plus  voisin  du  point  P. 

555.   ElTcl  d'une  •nde  sphirique  mit  un  point  extérieur. 

—  Un  raisonnement  analogue  au  précédent  conduit  à  un  Ihëorème 
semblable,  pour  l'iiction  d'une  onde  sphériquesurun  point  extérieur. 
Si  0  eslle  centre  de  l'onde  sphérique  (fig.  âSi),  P  le  point  exté- 
rieur sur  lequel  on  se  propose  de  considérer  l'action  de  cette  onde, 
et  A  le  point  oJi  la  droite  OP  rencontre  la  surface  de  l'onde,  on  fera 
passer  un  grand  cercle  AD  par  le  point  A,  et  l'on  décomposera 
ensuite  la  surface  de  l'onde  en  fuseaux  excessivement  étroits,  par 


des  grands  cercles  perpendiculaires  au  plan  de  AD;  le  cercle  AD 
peut  alors  être  appelé  Véijuateur  de  l'onde.  Chaque  fuseau  pourra 
être  traité  comme  l'onde  circulaire  BAC  (fig.  ^5o],  et  l'on  en  con- 
clura que  son  effet  sur  le  point  P  se  réduit  à  celui  d'une  très-petite 
partie  de  son  étendue,  ayant  son  milieu  au  point  du  fuseau  qui  est 
le  plus  voisin  de  P'".  c'est-à-dire  sur  l'équateur  AD  luHménie. 

"*  Le  raisuiinemeiU  qui  »  élé  Tait  pojr  l'iiclioii  d'uue  oode  circulaire  sur  on  pcnot  riM 
dans  son  plan  (554)  s'ëlend  ici  sans  difficulté  i  l'action  d'une  ande  ciTCUlaire(oa  d'un 
fuseau  sphériquf^)  aur  un  puint  situd  en  dehors  de  soa  plan,  piiiaque  ce  rtiaouiMmeiit  dc 
re{Mwe  que  Bur  lea  propnélët  générales  dis  matioia  et  des  oiinima. 


PROPAGATION  DE  LA  LUMIÈRE.  347 

L'ensemble  de  ces  petites  étendues  constitue  donc  une  bande  très- 
étroite,  prise  sur  la  surface  de  Tonde  sphérique,  et  ayant  Téquateur 
AD  pour  ligne  médiane;  on  peut  encore  appliquer  à  cette  bande 
le  théorème  démontré  pour  une  onde  circulaire,  et  réduire  ainsi  son 
action  à  celle  d'une  très-petite  région,  voisine  du  point  A.  Donc, 
en  définitive  : 

La  vitesse  de  vibration  envoyée  à  chaque  instant  par  une  onde  sphérique 
en  un  point  V  est  la  résultante  des  vitesses  de  vibration  envoyées  par  les  di- 
vers points  d'une  étendue  très-petite,  ayant  son  centre  au  point  A  de  l'onde 
qui  est  le  plus  voisin  du  point  P. 

556.  C^iMiéqtteiiees  du  principe  préeMeMi*  —  Le  point  A 

se  trouvant,  avec  le  centre  lumineux  Oet  le  point  éclairé  P,  sur  une 
même  ligne  droite,  on  voit  qu'il  est  permis  de  dire,  dans  un  sens 
tout  à  fait  précis,  que  la  lunUire  se  propage  en  ligne  droite  dans  un 
milieu  indéfini. 

De  plus,  si  Ton  considère  une  série  de  points  Pi,  P2,  P3,.., 
situés  à  la  même  distance  de  l'onde  sphérique  que  le  point  l\  les 
vitesses  de  vibration  seront,  à  chaque  instant,  concordantes  en  ces  di- 
vers points,  puisque  chacune  d'elles  sera  la  résultante  des  vitesses 
envoyées  par  une  étendue  très-petite  et  de  surface  constante,  prise 
autour  du  point  le  plus  voisin  d'une  même  onde.  L'ensemble  des 
points  P,  Pi,  P2,...,  c'est-à-dire  la  surface  sphérique  de  rayon  OP, 
sera  donc  une  nouvelle  surface  de  l'onde.  Ainsi  le  développement 
des  conséquences  du  principe  de  Huyghens  et  les  lois  de  la  propaga- 
tion des  ondes  sphériques  conduisent,  comme  on  devait  s'y  attendre, 
au  même  résultat. 

Enfin,  l'onde  de  rayon  OP  est  évidemment  l'enveloppe  de  toutes 
les  ondes  sphériques,  de  rayon  égal  à  AP,  qui  ont  leurs  centres  aux 
divers  points  de  l'onde  de  rayon  OA. 

557.  EiLiensl^ii  au  cas  d'une  ande  de  forme  queleouque. 

—  Ces  diverses  propositions  peuvent  se  généraliser  et  s'étendre  au 
cas  où,  pour  des  raisons  quelconques,  telles  que  l'inégalité  des  che- 
mins parcourus  par  les  divers  rayons  lumineux  ou  la  transmission 
de  ces  rayons  à  travers  des  milieux  transparents  de  diverses  natures. 


ZUS  OPTIQUE  THEORIQUE. 

la  surface  primitive  de  l'onde  ne  serait  pas  sphérîque,bien  f\ue  le 

milieu  fût  isotrope. 

Si  l'ou  veut  déterminer  la  vitesse  de  vibration  envoyée  par  une 
onde  non  spliérique  BAC  en  un  point  eïténeur  P,  oo  (Perchera 
d'abord  le  point  A  de  la  surface  de  l'onde  qui  est  le  plus  voistn 
du  point  P  (fig.  âÔs):  on  mènera  par  la  droite  AP  un  plan  qaj 


coupe  la  surface  de  l'onde  suivant  la  ligne  AD .  et  Ton  décomposera 
l'onde  entière  en  bandes  infiniment  étroites,  par  une  série  de  plans 
perpendiculaires  au  précédent.  Il  suffira  ensuite  de  répéter  les  rai- 
sonnements relatifs  à  une  onde  spbérique,  raisoimenients  qui  ne 
sont  fondés  que  sur  les  propriétés  générales  des  maiima  et  des  mi- 
nima,  pour  en  conclure  que  la  vitesse  totale  de  vibration  envoyée 
au  point  P  est,  à  chaque  instant,  la  résultante  des  vitesses  de  vi- 
bration envoyées  par  le  point  A  et  par  les  points  compris  dans  une 
(rès-petite  étendue  voisine. 

On  verra,  de  mt^nio,  que  la  surface  GPH,  qui  contient  tous  le$ 
points  extérieurs  dont  la  distance  nûnima  à  l'onde  BAC  est  constante 
et  égale  à  AP,  est  une  nouvelle  surface  de  Tonde  dérivée  de  la  pre- 
mière; et  il  ne  sera  pas  difficile  de  prouver  que  cette  deuxième  onde 
est  l'enveloppe  de  toutes  les  ondes  spbériques  élémentaires,  de  rayon 
égal  à  AP,  (|ui  ont  leurs  contres  aux  divers  points  de  l'onde  B.AC.  — 
En  eflet ,  soit  un  |>oial  P'  pris  sur  la  surface  GPH  et  infiniment  voi- 
sin de  P:  soit  A'  le  paiiil  de  l'onde  BAC  inlînimeni  voisin  de  A. 


DIFFRACTION.  3A9 


tel  que  la  distance  AT'  soit  un  minimum.  On  aura  AP'>A'P'; 
et  comme,  par  hypothèse,  AP  =  A'P',  il  s'ensuit  que  AP  ;>AP. 
Donc  le  point  P'  sera  extérieur  à  la  sphère ,  de  rayon  AP,  décrite  autour 
du  point  A  comme  centre;  en  d'autres  termes,  l'onde  GPH  sera  tan- 
gente à  celte  sphère  >  et  elle  sera  également  tangente  à  toutes  les 
sphères  de  même  rayon  qui  ont  leurs  centres  aux  divers  points  de 
BAC  ^'l 

Donc,  en  général,  pour  obtenir  l'onde  dérivée  d'une  onde  donnée, 
sphériqueou  non  sphérique,  au  bout  d'un  temps  (,  il  faut,  de  tous  les  points 
de  la  première  onde  pris  pour  centres^  décrire  des  sphères  avec  un  même 
rayon  égal  à  Yt,  V  étant  la  vitesse  de  propagation  de  la  lumière  ^  et  chercher 
leur  enveloppe  commune. 

Pour  se  rendre  compte  de  la  formation  des  ombres,  il  suffira 
d'examiner,  sur  quelques  exemples,  comment  sont  modifiées  les  con- 
séquences qu'on  vient  de  développer,  lorsque  les  ondes  sphériques 
sont  limitées  par  des  corps  opaques.  Le  même  examen  fera  connaître 
les  causes  de  la  diffraction  et  indiquera  les  caractères  généraux  des 
principaux  phénomènes  auxquels  elle  donne  naissance. 

558.  Premier  eiLemple  de  diffraeiloii.  —  Cas  d'une  lar^e 
•UTerture  pratiquée  dans  un  éeran  opaque  indéfini.  — 

Considérons  d'abord  le  cas  d'une  ouverture  large  dans  tous  les  sens  : 
en  d'autres  termes,  supposons  que  la  lumière  doive,  pour  pénétrer 
dans  un  espace  complètement  clos,  traverser  une  ouverture  présen- 
tant une  forme  telle,  que  deux  points  de  son  contour  ne  puissent 
être  très-voisins  qu'à  la  condition  de  rom|)rendre  entre  eux  un  très- 
petit  arc  du  contour. 

La  portion  de  l'onde  sphérique  comprise  dans  l'ouverture  GH 
(fig.  453)  sera  seule  efficace;  mais  si  l'on  considère  un  point  exté- 
rieur P,  assez  éloigné  des  limites  du  cône  MON  circonscrit  à  l'ou- 
verture pour  que  sa  distance  à  un  point  quelconque  du  contour 
excède  d'un  nombre  considérable  de  longueurs  d'onde  sa  distance 
minima  AP  à  l'onde  sphérique,  on  n'aura  rien  à  changer  aux  rai- 
sonnements relatifs  au  cas  de  l'onde  illimitée,  et  l'on  verra  que  la 

(*)  On  fait  abdlraclion  des  cas  où  Ponde  primitive  offrirait  des  points  saillants  on  ren- 
trants, ou  d^autres  singularités  géométriques. 


350  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

vitesse  de  vibration  envoyée  h  ce  point  est  la  résultante  des  viteaset 
envoyées  par  une  pelile  porlion  de  la  surface  de  l'onde,  voisine  da 
point  A:  rette  petite  portion  aura  d'ailleurs  une  même  étendue  pour 


tous  les  points  qui  seront  situés  à  la  même  distance  de  la  surface  de 
l'onde  (]ue  le  point  P.  A  rinlérieur  du  c6ne  MON  circonscrit  à  l'oii- 
verlure,  il  y  aura  donc,  jusqu'à  une  certaine  distance  de  la  surface 
même  de  ce  cône,  une  intensité  lumineuse  constante,  ce  qui  est 
conforme  au  résultat  fourni  par  l'expérience. 

Si  l'on  considère,  au  contrairt*.  un  point  Q  voisin  des  limites  du 
cône  circonscrit  à  l'ouverture,  en  sorte  que.  en  joignant  ce  point 
au  point  0,  on  détermine  sur  l'onde  un  point  B  dont  la  distance 
au\  limites  de  la  partie  efficace  de  l'onde  ne  soit  plus  très-grande 
dans  tous  les  sens,  relativement  à  la  longueur  d'un  arc  élémentaire, 
les  raisonnements  qui  établissent  la  constance  de  l'intensité  lumi- 
neuse dans  te  cas  d'une  onde  illimitée  ne  seront  plus  applicables  : 
l'intensité  deviendra  donc  une  fonction  de  la  position  du  point  0- 
Or  il  est  facile  de  voir  que  cette  intensité  offrira  des  maxima  et  des  roi- 
uîma  alternatifs:  car.  si  l'on  prend  successivement  diverses  positions 


DIFFRACTION.  351 

du  point  Q,  inégalement  distantes  des  limites  du  cône  circonscrit  à 
l'ouverture,  le  voisinage  de  l'écran  opaque  supprimera ,  dans  la  vi- 
tesse résultante  envoyée  à  ces  points ,  tantôt  des  éléments  qui  affai- 
blissent les  vitesses  de  vibration  envoyées  par  les  points  voisins  de  B, 
tantôt  des  éléments  qui  tendent  à  les  renforcer.  Si  Ton  considère, 
en  particulier,  Tonde  circulaire  GAH,  la  partie  BH  produira  le  même 
effet  qu'une  demi-onde  indéfinie ,  pourvu  qu'elle  contienne  un  nombre 
un  peu  grand  d'arcs  élémentaires;  mais  la  partie  BG  produira  un 
effet  plus  grand,  si  Q  est  placé  de  façon  que  BG  comprenne,  par 
exemple,  un  seul  arc  élémentaire;  elle  produira  un  effet  plus  petit, 
si  Q  est  placé  de  façon  que  BG  comprenne  deux  arcs  élémentaires. 
L'onde  circulaire  limitée  GH  enverra  donc,  dans  le  premier  cas, 
plus  de  lumière  au  point  Q  qu'une  onde  illimitée;  dans  le  second 
cas,  elle  en  enverra  moins.  On  comprend  donc  que,  au  voisinage 
des  limites  du  cône  circonscrit  h  l'ouverture,  il  existe  une  série  de 
maxima  et  de  minima  alternatifs.  Quant  à  la  position  exacte  de  ces 
maxima  et  de  ces  minima ,  elle  ne  peut  être  obtenue  qu'au  moyen 
d'un  calcul  assez  long,  que  l'on  ne  reproduira  pas  ici.  —  11  est 
d'ailleurs  évident  que  ces  positions  dépendront  de  la  grandeur 
absolue  des  arcs  élémentaires,  c'est-à-dire  de  la  longueur  d'onde 
correspondante  à  la  nature  de  la  lumière  qui  intervient  dans  le 
)hénomène;  par  suite,  dans  le  cas  où  la  lumière  incidente  sera 
)lanche,  il  se  produira  des  franges  de  diffraction,  teintes  de  di- 
verses couleurs. 

Enfin,  les  divers  éléments  de  la  partie  efficace  de  l'onde  donnant 
naissance  à  des  ondes  sphériques  qui  se  répandent  dans  tous  les  sens, 
il  ne  peut  y  avoir,  à  proprement  parler,  d'obscurité  absolue  dans 
l'espace  extérieur  au  cône  circonscrit  à  l'ouverture.  Mais  il  est  aisé  de 
voir  que  la  vitesse  de  vibration  envoyée  en  un  point  R  de  cet  espace 
décroît  rapidement,  à  mesure  qu'on  s'éloigne  des  limites  du  cône  cir- 
conscrit. —  En  effet,  la  vitesse  de  vibration  envoyée  au  point  R  par 
une  onde  circulaire  telle  que  GH  se  réduit  à  une  portion  de  la  vi-^ 
tesse  envoyée  par  l'arc  élémentaire  qui  commence  en  G ,  et  cela  pour 
des  raisons  analogues  à  celles  qui  ont  été  développées  plus  haut  ; 
mais  cet  arc  élémentaire  décroît  lui-même  rapidement  à  mesure  qu^ 
l'on  considère  des  positions  du  point  R  telles,  que  les  droites  OR 


352  OPTIQUE  TtfÉOKIQUE. 

rencontrent  l'onde  en  des  points  ('.  de  plus  en  plus  éloignés  de  G. 
Donc,  quant  le  point  R  s'éloigne  des  limites  du  c6ne  circonscrit  à 
l'ouverture,  la  vitesse  de  vibration  qui  lui  est  envoyée  devient  bien- 
tôt négligeable,  par  rapport  à  la  vitesse  envoyée  à  un  point  pris,  à 
l'intérieur  du  cdne,  à  une  distance  où  les  franges  de  dilTraction  sont 
insensibles.  De  là  la  formation  d'une  ombre. 

559.  DcwKièiiie  exemple  de  dtfCnteU*!!. — CTaaiTHa  torse 
écmtn  0p»4ue.  —  Lorsqu'une  onde  sphérique  ayant  son  centre 
en  0  rencontre  un  large  écran  opaque  GH  (fig.  Û54),  on  doit  re- 


garder comme  efficace  toute  la  portion  de  l'onde  sphérique  extérieure' 
à  la  calotte  supprimée  par  l'écran.  Or,  si  l'on  prend,  à  l'extérieur  du 
cône  d'ombre  théorique  MON,  un  point  P  suffisamment  éloigné, 
on  prouve,  comme  dans  le  cas  précédent,  que  l'intensité  lumineuse 
doit  y  être  la  même  que  si  l'écran  n'existait  pas.  Si,  au  contraire,- 
on  considère  un  point  Q,  dans  une  situation  telle  que  la  diffé- 
rence QG  —  OB  soit  d'un  petit  nombre  de  longueurs  d'ondttlalion, 
l'intensité  devient  variable  avec  la  position  du  point  Q;  en  d'autres 
termes,  le  cûne  d'ombre  théorique  est  entouré  de  franges  de  diffrac- 
tion. —  Enfin  l'obscurité  de  l'espace  intérieur  au  cône  MON  s'ex- 
plique comme  dans  le  cas  précédent. 


DIFFRACTION.  353 

560.  YérlflMitioiui  expérinteiitoles.  —  Dans  les  cas  que 
l'on  vient  d'examiner  succinctement,  Texpf^rience  confirme  entière- 
ment les  conclusions  de  la  théorie. 

Lorsque  les  dimensions  de  la  source  lumineuse  sont  très-petites 
par  rapport  à  sa  distance  aux  écrans  opaques,  le  passage  de  la  lu- 
mière à  Tombre  s'effectue  par  une  série  de  maxima  et  de  minima 
alternatifs  y  suivis  d'une  région  oîi  la  lumière  est  rapidement  mais  gra- 
duellement décroissante.  —  Si  l'expérience  commune  ne  paratt  rien 
indiquer  de  semblable,  lorsque  la  source  de  lumière  a  des  dimensions 
angulaires  un  peu  sensibles,  cela  résulte  de  la  superposition  confuse 
des  phénomènes  de  diffraction  relatifs  aux  divers  points  de  la  source. 
Cette  superposition  concourt  d'ailleurs  à  la  formation  de  la  pénombre. 

Ainsi  la  théorie  géométrique  des  ombres,  telle  que  la  déve- 
loppent ordinairement  les  traités  de  perspective,  donne  des  résultats 
conformes  à  l'expérience,  dans  les  conditions  habituelles  d'éclaire- 
ment  dont  le  peintre,  l'architecte  et  l'ingénieur  ont  à  se  préoccuper; 
mais,  le  mécanisme  vrai  de  la  formation  des  ombres  est  tout  différent 
de  celui  que  suppose  cette  théorie. 

561.  Troisième  exemple  de  dllffraetion.  —  Cas  d'ime 

ouverture  étroite. —  Lorsqu'une  onde  sphérique  rencontre  une 
ouverture  étroite,  pratiquée  dans  un  écran,  les  raisonnements  rela- 
tifs à  Tonde  indéfinie  ne  sont  afpplicables  à  aucun  point  de  Tespace 
situé  au  delà  de  cet  écran  :  il  n'y  a  plus  d'éclairement  constant  dans 
l'intérieur  du  cône  circonscrit  à  l'ouverture,  mais  des  maxima  et  des 
minima,  dont  la  détermination  est  un  problème  de  calcul  intégral, 
plus  ou  moins  difficile  suivant  les  cas.  —  Il  n'y  a  pas  de  raison  non 
plus  pour  que  l'intensité  de  la  lumière  décroisse  rapidement  et 
d'une  manière  continue  en  dehors  du  cône  circonscrit  à  l'ouverture. 
On  peut  ajouter  même  que,  si  la  largeur  de  l'ouverture  devient  suffi- 
samment petite ,  chaque  onde  circulaire  interceptée  par  cette  ouver- 
ture n'étant  plus  décomposable  qu'en  un  petit  nombre  d'arcs  élé- 
mentaires, il  y  a  diffusion  d'un  mouvement  vibratoire  sensible  dans 
toutes  les  directions. 

L'accord  de  l'expérience  avec  ces  conclusions  fait  disparaître  une 
objection  qu'on  a  fréquemment  opposée  à  la  théorie  des  ondes,  sa- 

Verdet,  in. —  Cours  Ae  pliys.  ÎI.  a3 


354  OPTIQUE  THÉORIQUE, 

voir,  la  lîmîtalion  de  In  luioière  |)ar  les  ouvertures  t)u'elle  traverse. 
La  tbëorte  n'a  pas  à  expli<fuer  comment  un  filet  de  lumière  m  limile 
par  une  ouverture  étroite  :  en  fait,  ce  filet  ne  se  limite  qu'autant 
que  l'ouverture  a  une  certaine  largeur,  et  un  rétrécissement  excessif 
de  l'ouverUire  a  pour  conséquence  une  difTusion  à  peu  près  égale 
de  la  lumière  dans  tous  les  sens. 

Les  oncles  sonores  admises  dans  un  espace  clos,  par  une  ouverture 
limitée,  doivent  se  comporter  comme  les  ondes  lumineuses,  c'est- 
i-dire  se  répandre  dans  tous  les  sens,  toutes  les  fois  que  la  différence 
des  distances  d'un  point  donné  de  l'espace  à  deux  points  quel- 
conques du  contour  de  l'ouverture  est  d'un  petit  nombre  de  longueurs 
d'ondulation.  Si  l'on  réfléchit  que  les  longueurs  d'ondes  des  sons 
perceptibles  sont  à  peu  près  comprises  entre  30  mètres  et  1  centi- 
mètre, tandis  que  les  longueurs  des  ondes  lumineuses  sont  c(ho- 
prisea  entre  ,-^^et  j^^^  de  millimètre,  la  raison  de  la  différence  ap- 
parente que  fournit  l'expérience,  entre  les  propriétés  du  son  et  celles 
de  la  lumière,  devient  immédiatement  évidente. 

562.  Quatrième  «x»napl«  de  dlffractlsn.  —  C^a  d^M 
farpB  «paquc  étroit.  —  Quand  une  onde  sphérique  rencontre 
un  corps  opaque  étroit  GH  (Hg.  ^55),  un  point  quelconque  P',  pris 


dans  l'intérieur  du  cône  d'ombre  théorique  MON,  reçoit  des  vitesses 
de  vibration  de  grandeurs  comparables,  qui  ont  pour  origines  W 


DIFFRACTION.  355 

bords  oppos^3  du  corps  étroit.  De  l'interférenre  de  ces  mouvements 
vibratoires  résultent  des  Franges  intérieures,  dont  les  positions 
sont  faciles  à  déterminer  lorsque  le  corps  opaque  a  l'une  de  ses 
dimensions  très-grande  par  rapport  aux  autres  :  lorsqu'il  s'agit,  par 
exemple,  d'un  fil  très-long  et  de  très-petit  diamètre. 

Les  mouvements  vibratoires  qui  pénètrent  dans  l'ombre,  des  deux 
cAtés  de  cet  écran,  sont  évidemment  concordants  en  tout  point  tel 
que  P,  situé  à  la  même  distance  de  ces  deux  côtés,  et,  par  suite, 
le  iniKeu  de  l'ombre  géométrique  est  occupé  par  une  frange  bril- 
lante. —  En  un  point  P',  tel  que  P'H  — P'G  =-.  on  a  une  frange 
obscure;  vient  ensuite  une  frange  brillante,  et  ainsi  de  suite.  Comme 
la  dîlTérence  P'H— P'G  crott  d'autant  plus  vite  avec  la  distance  PP' 
que  le  diamètre  du  fil  GH  esl  plus  grand ,  les  franges  deviennent 
de  plus  en  plus  lai^s  à  mesure  que  le  diamètre  du  fil  diminue. 
De  là  l'explication  dé  la  forme  particulière  des  franges  de  dilîrac- 
tion  qui  s'observent  dans  l'ombre  d'une  aiguille,  au  voisinage  de  If 
pointe. 

563.  Pr«BS«i  produltM  par  drax  mn-wmwtur^  étrvltCf» 
és«le«  eatre  ellea  et  tréa-v«l*liieB.  —  Les  conditions  de 
l'interférence  n'éprouvent  aucune  modification  essentielle  lorsqu'on 
substitue  à  l'onde  indéfinie  interrompue  par  un  écran  opaque  étroit 


deux  portions  d'ondes  limitées  par  deux  ouvertures  étroites,  égales 
entre  elles  et  très-voisines.  L'ombre  géométrique  de  l'intervalle  des 


356  OPTIQllR  THÉORIQUE. 

deux  ouvertures  est  sillonnée  de  franges,  dues  ù  rinlerfi^rence  des 
mouvements  vibratoires  qui  ont  ces  deux  ouvertures  pour  origines. 
—  Oh  sait  que  ce  mode  d'expérience  est  le  seul  par  lequel  Young 
ait  tenté  de  justifier  son  principe  des  interférences. 

L'appareil  simple,  formé  de  deux  fentes  étroites  et  très-rappro- 
cliées,  se  prête  plus  commodément  que  l'appareil  des  miroirs  de 
Fresnel,  ou  même  que  le  biprisme,  à  l'exécution  de  l'expérience 
importante  qui  est  relative  à  l'effet  exercé  sur  les  franges  d'interfé* 
rence  par  l'interposition  d'une  lame  mince  transparente  (540).  Il 
suffit  de  placer  la  lame  devant  l'une  des  fentes  de  l'appareil  qu'on 
vient  de  décrire,  ainsi  que  le  montre  la  figure  456,  pour  voir  le 
système  entier  des  franges  d'interférence  se  déplacer  du  côté  de  la 
lame.  . 

Si  la  lame  transparente  a  une  épaisseur"  telle  que  l'expression 
e[H—  i  )  soit  égale  à  un  grand  nombre  de  longueurs  d'ondulation . 
les  franges  d'interférence  disparaissent.  Mais  si ,  dans  cet  espace  d'où 
les  franges  ont  disparu,  on  place  une  fente  étroite,  et  qu'à  l'aide 
d'un  prisme  et  d'une  lentille  on  décompose  la  lumière  qui  éclaire 
cette  fente,  on  aperçoit  dans  le  spectre  qu'on  obtient,  outre  les  raies 
de  Frauenhofer,  un  nombre  considérable  de  bandes  obscures  :  le 
milieu  de  ces  bandes  correspond  aux  rayons  pour  lesquels  l'expres- 
sion e(n  —  i)  est  exactement  égale  à  un  multiple  impair  de  la  demi* 
longueur  d'onde.  —  Cette  dernière  expérience  est  due  à  MM.  Fixeau 
et  Foucault. 

Les  développements  qu'on  vient  de  donner  suffisent  pour  faire 
concevoir  par  quels  principes  on  peut  se  rendre  compte  des  phéno- 
mènes de  diffraction  produits  par  tel  système  d'ouvertures  que  l'on 
voudra.  —  On  ajoutera  simplement  que,  dans  tous  les  ca^  auxquels 
le  calcul  a  été  appliqué  jusqu'ici ,  l'accord  de  l'observation  et  de  lu 
théorie  s'est  soutenu  jusque  dans  les  détails  les  plus  minutieux. 


REFLEXION    ET   RÉFRACTION. 


564.  Considératioiis  séiién»le«. —  Soit  une  surface  iucié- 
finie,  séparant  deux  milieux  dans  lesquels  la  vitesse  de  propagation 
des  vibrations  lumineuses  n'est  pas  la  même.  Cette  diiïérencc  impli- 
que, soit  l'inégalité  des  masses  que  ces  vibrations  mettent  en  mouve- 
ment, soit  l'inégalité  des  forces  par  lesquelles  le  mouvement  est  déter- 
miné, soit  l'existence  simultanée  de  ces  deux  inégalités;  en  d'autres 
termes,  elle  suppose  que  Téther  possède,  dans  les  deux  milieux, 
des  densités  ou  des  élasticités  différentes,  ou  même  que  ces  de.ux 
genres  de  différences  existent  à  la  fois.  —  Quoi  qu'il  en  soit,  lors- 
qu'un ébranlement  produit  dans  l'un  des  milieux  arrive  à  la  surface 
de  séparation,  ces  différences  de  constitution  ne  permettent  pas  que 
la  couche  d'éther  ébranlée  dans  le  premier  milieu  communique  la 
totalité  de  sa  force  vive  à  la  couche  adjacente  du  second  nn'Iieu.  et 
revienne  au  repos  en  vertu  de  cette  communication.  Une  partie  de 
cette  force  vive  reste  dans  le  premier  milieu;  par  conséqucat,  si 
l'on  conçoit  une  série  d'ébranlements  successifs,  constituant  un 
svstème  de  vibrations  incidentes,  leur  effet  sera  de  transformer  cha- 
run  des  points  de  la  couche  d'élher  qui  est,  dans  le  premier  milieu, 
adjacente  à  la  surface  de  séparation,  (mi  un  centre  de  vibration  qui 
envoie  du  mouvement  dans  ce  premier  milieu  suivant  toutes  les 
directions,  en  même  temps  que  tous  les  points  de  la  couche  qui  est 
adjacente  à  la  même  surface  dans  le  second  milieu  deviennent, 
pour  ce  second  milieu,  des  centres  de  vibration.  Les  lois  de  la  ré- 
flexion et  de  la  réfraction  doivent  être  des  conséquences  de  la  com- 
binaison des  effets  des  deux  systèmes  d'ondes  ainsi  produits. 

565.  Réflexion  sur  une  surface  plane.  —  (Considérons 
d'abord  le  phénomène  de  la  réflexion,  et  admettons  que  la  surface 
réfléchissante  soit  un  plan  MNPQ  (fig.  '157),  indéfiniment  étendu. 
Soient  S  le  point  lumineux  et  R  un  point  quelconque  du  premier  mi- 


358 


OPTIQUE  THEORIQUE. 


lieu ,  sur  loquel  les  vitesses  réfléchies  produisent  un  effet  qae  novs 
nous  proposons  de  déterminer. 

Il  arrive  simultanément  au  point  R  une  infinité  dé  mouTOMMb 
vibratoires,  qui  ont  pour  origines  les  divers  points  A,  A',.  ..et 


plan  réfléchissant,  et  qui  ont  parcouru,  du  point  S  au  point  R,  éK 
chemins  respectivement  égaux  à 

SA  +  AR. 

SA'+A'R, 


Supposons  le  point  A  tellement  choisi  que  ce  chemin  ait  i»  ^m 
petite  valeur  possible.  It  sera  facile  de  démontrer,  par  des  raisoiH 
nements  semblables  îi  ceui  qui  ont  été  déveIop|iés  dans  la  théorie 
de  la  difiraclion ,  que  la  vitesse  de  vibration  envoyée  au'  point  R  se 
réduit  à  la  vitesse  renvoyée  par  le  point  A  et  par  une  étendue  voi- 
sine ,  très-petite ,  de  la  surface  réfléchissante  '".  11  est  donc  pcmib  de 

')  On  Diinm ,  par  pipinplc.  pur  le  point  A  une  ciroile  <|  jelconqiM  TV  (tig.  &S8),  d 


a  avant  égard  >ui  pmpri^lés  générales  dcfmujnia  et  des  itnoiaii 
qu'aui  lois  de  l*iiilerréc«iKe  des  vibrattoni,  que  le  nxwvenieiit  eBTojé  an  poiai  R  p 


RÉFLEXION  ET  RÉFRACTION.  359 

dire  que  la  lumière  se  rend  du  point  S  au  point  K  en  suivant  le 
plus  court  chemin,  dans  le  cas  de  la  réfleiion  comme  dans  le  cas 
de  la  propagation  directe,  et 
la  recherche  des  lois  de  la 
réfleiion  revient  à  la  déter- 
mination M  ce  plus  court 
chemini 

Celd  posé,  rapportons  le 
système  à  trois  oxè»  rectan- 
gulaires,   et    prenons    pour 
plan  xOy  (llg.  ^139)  te  plan 
^11*^9'  ri^néchissant,  pour  |)laii  xOz 

le  plan  normal  qui  contient  à  la  fois  le  point  lumineux  S  et  le  point 
éclairé  R,  et  faisons  passer  l'axe  des  z  par  le  point  S  lui-même. 
Désignons  par  h  ta  hauteur  du  point  S  au-dessus  du  plan  xy;  par  k 
celle  du  point  R,  et  par  /sa  distance  DO  au  plan  yz;  nous  aurons, 
pour  expression  du  chemin  parcouru  par  la  lumière  réfléchie  au 
point  A  dont  les  coordonnées  sont  x  el  y, 


u  =  \/li^-i-x'-+  y'^  +  \/li-  +  (/  -  x)-  -hf- 
Pour  que  cette  expression  soit  uiinima.  il  faut  que  l'on  ait  à  la  fois 
da_ 


La  premièro  condition  se  réduit  à 


droite  iud^Gnie  «e  rnluil  au  iiiuj>cujt!Til  «ntojc  par  une  lrè»-|ielile  kniginiir,  voiane  du 
point  A.  On  mènera  eaBuiU  une  inGnité  de  dnntM  (wrailèlM  i  TV,  kaqndlM  dleom- 
poKront  le  plan  réBéchiuaat  en  bandes  infininienl  étniles  ;  pour  chicaDe  de  cet  budet , 
on  démontrera  que  le  moavenieiil  qu'elle  envoie  an  point  R  k  réduit  aD  monrenient 
qn'enYoieé  ce  même  point  une  très-petite  éteadoe,  Toinne  ia  point  B  pour  leqad  la 
aoinine  SB +  BR  est  un  minimum  rtlatif.  On  ramènera  aiuM  raction  da  plitl  t  celle 
d'une  bande  étroite,  dont  la  forme  est  définie  par  celle  de  la  courbe  qui  est  le  lieu  géo- 
mélrique  des  points  B.  Enfin,  ou  n'duira  l'actioii  de  cette  bande  elle-même  à  l'aclion 
d'une  très-pclile  partie,  voisine  du  point  A. 


3«0 

il  faut  don'.- 


OPTIQlt  THEORIQLE. 

le  le  raton  inriHeiil  (•(  le  rayon  léfléirbi  soient  contenu.' 
d^n^  un  iiiéroe  plan  Donnai 
au  plan  réfléchissant. 

Prenons  donr  maînienani 
le  |K>int  A  dans  le  plan  pas- 
sant par  les  normales  abais- 
sées de  S  el  de  R  sur  le  plan 
ri'llérhissanl ,  c'est-à-dire  sur 
l3lif;ne0xelle  même,  comme 
l'indique  la  figure  &6o.  Alors 
p.    j^  la  K<>ronde  rondition  pourqne 

SAR  soit  le  plus  court  chemin 
devient,  en  faisant  y=^  o  dans  la  dérivée  de  u  par  ra|>port  à  x. 


\'ft'- 


v'JtV'/- 


or  le  premier  membre  représeute  le  cosinus  de  l'angle  SAO  :  le  second 
membre,  le  cosinus  de  l'angle  HAU:  il  faut  donc  que  l'angle  dlnci- 
denre  soit  égal  à  l'angle  de  réflexion. 


.566.   néfl«xl«ii  anr  une  «urlkce  quelcsM^w».  —  Il  est  fa- 

rilt;  d'étendre  les  résultats  qui  précèdent  au  cas  où  la  sufracc  r^8^ 
'hissante  est  «juelconque. 

Soient  S  llijr. /i 6 1  )  un  |M>inl lumi- 

iK'ux,  2  uir'  surface  réfléchissante 

de   forme    quelconque,    et    R    nn 

point  d-  l'espai-e:  soil   A  un  point 

de  la  surface  tel.  que  l'expression 

I  SA  +  Alt  soit  un  luininnuii.  Si  Ton 

prouve  que  ci>tte  expression  est  en- 

I  rore  un  minimum  par  rajipori  an 

[ilan  tangent  à  ta  suHare  au  point 

A,  on  aura  prouva  que  le  plan  S.AR 

est  un  plan  normal  el  que  les  droites 

Ki(.  Ml,  SA  et  AR  sont  également  inclinées 

I  normale.  Or,  supposons  que,  relativement  au  plan  tangent. 


r  la 


RBKLEX10,\  ET  KEKRACTluN. 
l'expression  SA  +  AR  ni;  soît  [liis  un  tniniitiuni  : 


361 


1  |iourfa;  tou- 
jours trouver  sur  ce  plan  un  poyU  A'  infiniinent  voisin  de  A  <?(  tel, 
(pi'dii  ait  ;  .  ' 

SA"+A-K<:tîA-t-AH, 

la  dillércnce  di'  ces  deu\  <ju<inlités  tétant  iuliiiiiiieiit  \rA\\c  du  pre- 
mier ordre.  Mais  .si  l'on  (:ori>idère  le  point  A'  où  ta  droite  SA"  ren- 
contre la  surface  réfl(!chissaiilis  il  résulte  des  propriétés  connues  du 
plan  lan{rent  que  la  lonjrucur  A'A"  e.st  infiniuienl  petite  du  second 
ordre.  D'ailleurs,  la  différence  entre  A'B  et  A'R  est  moindre  que  A'A". 
Donc  l'expression  SA'  +  A'R  ne  diffère  de  SA"-|-  A'K  que  d'un  in- 
finiment petit  du  second  ordre,  et,  par  suite,  l'inégalité  ci-dessus 
aurait  pour  conséquence  que  SA'  +  A'R  fût  inférieur  à  SA  +  AR 
d'un  inliniinenl  petit  du  premier  ordre;  ce  qui  est  impossible,  puis- 
que SA  +  AR  est  supposé  un  minimum, 

567.  Burfoce  <l«  ■'•ndc  réfléchie.  —  l.c  lieu  des  points  ti>ls 
que  le  plus  couri  chemin  de  la  lumière  rélléchie  entre  ces  points. et 
1  le  point  lumineux  ait  une  valeur 
constante  est  évidemment  la  sur- 
I  face  de  l'onde  réfléchie. 

Etant  donnés  un  point  lumi- 
neux S  (lig.  663)  et  une  surface 
réfléchissante  MN ,  pour  cons- 
I  Iruire  la  surface  de  l'onde  réflé- 
I  chie  il  suffira ,  d'après  ce  qui 
vient  d'être  dit,  d'o|iérer  nomme 
il  suit.  On  décrira ,  autour  du 
point  S  comme  centre ,  une  sphère 
de  rayon  arbitraire  SB;  on  mè- 
nera un  rayon  incident  quel- 
coîiqirr,"  rencontrant  la  'sirrfaCe 
réfléchissante  en  un  point  A;  on 
prendra  alors,  sur  la  direction 
de  la  droite  définie  j)<ir  les  lois  de  la  réflexion,  une  longueur  AR 
égale  à  SB—  SA  ou  à  AR,  et  l'on  répétera  cette  construction  pour 


362  OPTIQUE  THÉORIQUE, 

tous  les  points  de  la  surface  réfléchissante .  —  On  prouvera  faci- 
lement f|ue  la  surface  de  l'onde  est  tangente  à  la  ^hère  de  rayon 
AR  =  AB,  décrite  autour  du  point  A.  Il  suflira,  pour  cela,  de  re- 
marquer que,  si  l'on  prend  un  point  R'  infiniment  voisin  de  R  sur 
la  surface  de  l'onde ,  et  si  A'  est  le  point  de  la  surface  de  l'onde  qui 
a  servi  à  déterminer  R',  on  a 

SA-hAR'>SA'+A'R'; 

par  suite,  [ii)isi|ue  la  somme  SA  +  AR  est  égale  à  SA'+ A'R',  on 
aura 

AR'>AR. 

j — L'onde  réfléchie  est  donc  l'enveloppe  de  toutes  les  ondes  sphé" 
riqucM  décrites  des  points  de  la  surface  réfléchissante,  avec  des  rayons 
égaux  à  une  grandeur  constante  diminuée  de  la  distance  de  ces 
points  au  point  lumineux. 

Si  maintenant  on  remarfjue  que  la  sphère  de  rayon  AR  est  une 
surface  normale  aux  rayons  incidents,  on  verra  que  cette  construc- 
tion de  la  surface  de  l'onde  n'est  autre  que  la  oonstrucUou  d'une  sur- 
face normale  aux  rayons  réfléchis,  qui  se  déduit  delà  Azérie  géné- 
rale des  caustiques  (&33.)  —  On  pourra  généraliser  cette  reDiui|ae, 
en  supposant  que  l'onde  incidente  ne  soit  pas  sphérîque,  ^êt  Ws 
raisonnements  inalogDdt&aMx 
qu'on  a  faite  dans  le  eil  él  la 
propagation  de  la  Iq&mN  ii 
travers  un  milieu  bomofèiM. 


568. 

VMW  «MM»  sotAm*  glMÉk 

—  Les  dévelc^wmenta  «liés 
lesquels  on  vient  d*eatr«^,  tfu 
sujet  de  la  r^fleiion^  yatÈÊt- 

"''  *"  lent  de  réduire  h  tbterift  de 

la  réfraction  à  la  recherche  du  chemin  de  plus  prompte  arrivée 
entre  un  point  lumineux  et  un  point  éclairé,  la  surface  réfriogente- 
étant  supposée  plane. 


REFLEXIO^  ET  REFRACTION. 


m 


Rapportons  encore  le  sysljiine  à  trois  axes  rectangulaires  ;  prenons 
le  plan  réfringent  PN  (fig.  463)  pour  plan  xOy,  et  te  plan  normal 
qui  contient  le  point  lumineux  S  et  le  point  éi-lairë  R  pour  plan  xOz; 
enfin,  faisons  passer  l'axe  Oz  par  le  point  S.  Désignons  par  h  la  dis- 
tance du  point  S  au  plan  réfringent,  par  k  celle  du  point  R  au 
même  plan,  par  f  la  distance  OD  du  point  R  au  plan  y;,  enfin  par  j: 
et  y  les  coordonnées  du  point  I  auquel  a  lieu  la  réfraction.  Soient  V 
la  vitesse  de  propagation  de  la  lumière  dans  le  premier  milieu ,  et  U 
la  vitesse  de  propagation  dans  le  second  :  le  temps  nécessaire  pour 
qa'HQ  mouvement  vibratoire  parti  de  S  arrive  en  R,  en  suivant  lé 
chemin  SIR,  aura  pour  expression 


_\/k'-hx'  + 


y-V-t-W-.! 


Pbnr  que  ce  temps  S  soit  un  minimum,  il  faut  qu'on  ait  simultané- 


La  première  condition  donne 


c'est-à-dire  que  le  nijon  rclVacli;  et  le  rayon  incident  doivent  être 
dans  un  même  plan  normal  au 
plan  réfringent. 

Prenons  donc  maintenant  le 
point  I  dans  le  plan  passant 
par  les  normales  abaissées  dé 
S  et  de  R  sur  le  plan  réfrin- 
gent, c'est-à-dire  sur  Taxe  Oit 
lui-même,  comme  l'indique  la 
ligure  ft&à.  Alors  la  seconde 
'"'  "'"  condition  pour  que  le  temps  B 

Boit  00  minimum  devient ,  en  faisant  y  =  o  dans  la  valeur  de  .la  dé* 


364  OPTIQUE  THÉORIQUE, 

rivée  de  B  par  rapport  ^  x, 

■ 

1  .!• 1  /  — X 

r'cst-à-dire 

Donc  le  rapport  du  sinus  d'incidence  au  sinus  de  réfraction  est 
ronstanl,  et  égal  au  rapport  des  vitesses  de  propagation  :  concltinon 
conforme  à  la  théorie  des  anneaux  colorés  sous  rincidencc  obliqye 
(550),  et  à  Texpénence  de  Fresnel  sur  le  déplacement  des  frangin 
d'interférence  dû  à  Taclion  d'une  mince  lame  transparente  (540V 

568.  Surfnce  de  ■'•ndc  réfradée.  —  La  recherche  de  l'onde 
réfractée  revient  encore,  comme  dans  le  cas  de  la  réflexion,  a  la  re- 
cherche d'une  surface  en\eloppe,  qui  est  précisément  une  des  sur- 
faces normales  aux  rayons  réfractés  données  par  la  théorie  générale 
des  caustiques  (422). 

11  est  intéressant  de  remarquer  que,  lorsque  la  surface  de  sépa- 
ration des  deux  milieux  est  un  plan,  l'onde  réfléchie  est  unes|ibèrf 
ayant  pour  centre  l'image  du  point  lumineux;  mais,  dans  ce  ras«  il 
n'en  est  pas  ainsi  de  l'onde  réfractée.  Seulement,  lorsque  le  point 
lumineux  est  à  une  assez  grande  distance  pour  que  Tonde  incidente 
puisse  être  regarder»  connue  plane,  l'onde  réfractée  devient  plane, 
comnif*  Tonde  réfléchie. 


56U.   PhéMonièMca  de  dliTmeitoM  aetisipagaat  la  ré* 
flemion  au  la  réfraetian  |par  des  avriiMaa  ItaUtéaa.  —  On 

peut  démontrer,  pour  des  surfares  réfléchissantes  ou  réfringentef 
limitées,  une  série  de  théorèmes  analogues  i  ceux  qui  ont  été  éta- 
blis pour  des  ouvertures  limitées,  dans  le  cas  de  la  propagation  daBs 
un  même  milieu.  —  Les  lois  géométriques  de  la  réflexion  et  de  la 
réfraction  ne  doivent  donc  être  vérifiées  par  l'expérience  qu  avec  le 
même  degré  d'approximation  et  dans  les  mêmes  conditions  que  le^ 
lois  géométri(|ues  de  la  fonnation  des  ombres.  Toutes  les  fois  qne 
l'étendue  de  la  surface  réfléchissante  ou  réfringente  devient  trop 
petite,  ou  que  Ton  considère  des  |Hiints  trop  voisins  des  limites  da 


RÉFLEXION  ET  RÉFRACTION.  305 

faisceau  réfléchi  ou  réfracté,  ces  lois  doivent  souffrir  des  perturba- 
tions analogues  ù  ceile.s  qui  constituent  les  phénomènes  de  diffrac- 
tion. En  un  mot,  il  doit  y  avoir  une  diffraction  par  réflexion  ou  par 
réfraction,  comme  une  diffraction  par  propagation  directe. 

L'expérience  suivante,  qui  est  due  à  Fresncl,  est  une  preuve  de 
l'exactitude  de  ces  conséquences.  On  recouvre  de  noir  de  fumée 
l'une  des  faces  d'une  lame  de  verre;  on  enlève  ensuite  cet  enduit  sur 
toute  l'étendue  d'un  triangle  très- allongé  (fig.  403),  et  l'on  fait 


Fig.  A6r». 

tomber  sur  la  lame  le  faisceau  lumineux  émané  d'un  corps  de  très- 
petites  dimensions.  Dans  les  parties  où  le  triangle  est  suffisamment 
large,  le  faisceau  réfléchi  ou  réfracté  est  sensiblement  tel  qu'il  ré- 
sulterait des  lois  géométriques  de  la  réflexion  ou  de  la  réfraction; 
il  est  seulement  bordé  de  franges,  pareilles  aux  franges  de  diffraction , 
et  un  peu  plus  large  qu'il  ne  résulterait  de  ces  lois.  A  mesure  que 
l'on  considère  des  régions  correspondantes  à  des  parties  plus  rétrécies 
du  triangle,  l'importance  des  franges  devient  plus  sensible,  la  lar- 
geur du  faisceau  augmente,  et,  dans  le  voisinage  du  sommet,  là 
lumière  se  réfléchit  ou  se  réfracte  à  peu  près  avec  la  m^me  intensité 
dans  tous  les  sens. 

570.  Remarques  relatives  aux  eiLpérienees  par  les- 
quellea  oneonaidére  ordiuairentent  les  lais  séantétriquea 
de  la  réfleiLian  ou  de  la  réfraetlon  eantme  vériflées.  —  Le 

caractère  approximatif  que  la  théorie  des  ondes  assigne  aux  lois  de 
la  réflexion  et  de  la  réfraction  ne  paratt  guère  d'accord  avec  la  pré- 
cision des  expériences  que  l'on  considère  ordinairement  comme  ser- 
vant à  vérifier  ces  lois  elles-mêmes.  Mais  il  faut  remarquer  que  toutes 
ces  expériences  reviennent  à  observer  la  coïncidence  de  l'image  réelle 
d'un  point  avec  la  croisée  des  fils  d'un  réticule,  ou  avec  tout  autre 
objet  semblable,  et  que,  dans  les  conditions  où  la  théorie  ordinaire 


366  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

des  lentilles  et  des  miroirs  indique  la  formation  d'une  mage  par- 
faite, la  théorie  des  ondes  conduit  à  une  conclusion  analogue. 

Les  surfaces  des  ondes  réfléchies  ou  réfractées  étant  précisément 
les  surfaces  normales  aux  rayons  lumineux  de  la  théorie  générale 
des  caustiques ,  s'il  arrive  que ,  à  la  suite  d'un  nombre  quelconque 
de  réfractions  ou  de  réflexions ,  les  rayons  émanés  d'un  point  lumi- 
neux soient  rendus  convergents  vers  un  foyer,  la  surface  de  Vonde, 
considérée  après  la  dernière  réflexion  ou  réfraction,  ne  pourra  être 
qu'une  surface  sphérique  concave,  ayant  ce  foyer  pour  centre.  Tous 
les  élément!  d'une  pareille  surfacç  enverront  évidemment  en  ce  foyer 
des  vitesses  de  vibrations  concordantes,  puisqu'ils  en  sont  tous  à  la 
même  distaijuee,  tandi9  qu'en  un  point  voisin  les  diSSérences  de 
marche  auront  pour  conséquence  une  destruction  partielle  des  mou- 
vements vibratoires  qui  y  concourent.  L'intensité  lumineuse  sera 
doue  plus  grande  au  foyer  qu'en  tout  autre  point,  et,  si  Ton  ap- 
}4iqu9  le  calcul  à  la  recherche  de  cette  intensité,  on  trouve  que  l'ef* 
l#t  produit  dans  le  plan  focal  consiste  dans  la  formation  d'un  disque 
luipiineuic,  de  très-petite  étendue,  environné  d'un  petit  nombre  de 
frgnge^  alternativement  brillantes  et  obscures,  dont  l'éclat  moyen 
ei<t  très-f|iibie  relativement  à  celui  du  disque  central.  —  Les  dimen- 
^ÎQm  dii  disque  et  des  franges  sont  d'autant  moindres  que  le  rap- 
port entre  la  largeur  efiicace  de  la  dernière  surface  réfléchissante 
ou  réfringente  et  la  distance  du  foyer  a  une  valeur  plus  sensible. 
ÇoflajDte,  en  vue  de  l'intensité  lumineuse,  on  cherche  à  donner  à 
ce  rapport  la  plus  grande  valeur  possible,  eu  égard  aux  aberra- 
tions dont  la  valeur  est  également  fonction  de  ce  rapport,  il  arrive 
toujours  que  les  dimensions  du  disque  lumineux  et  des  franges  qui 
l'environnent  sont  du  même  ordre  de  grandeur  que  les  dimensioiis 
des  plus  petits  objets  visibles. 

Ainsi ,  bien  qu'en  réalité  l'image  d'un  point  lumineux  difl<ère  beau- 
coiAp  d'un  point  mathématique,  la  difi'érence  échappe  d'ordinaire  à 
l'observation ,  et  tout  parait  se  passer  comme  si  les  conséquences  des 
loi^  géométriques  de  la  réflexion  et  de  la  réfraction  étaient  rigou- 
reusement vraies.  —  Mais  si  Ton  rétrécit,  par  un  diaphragme  suf- 
fisamment étroit,  l'étendue  des  surfaces  réfringentes  ou  réfléchis- 
santes, toutes  les  perturbations  dont  on  vient  de  parier  se  manifestent. 


RÉFLEXION  ET  RÉFRACTION.         387 

et  l'image  d'une  étoile,  par  exemple,  se  montre  alors  confine  un 
disqiu)  lumineux,  de  dimensions  sensibles,  environné  d'une  sort^  de 
couronne  dont  la  grandeur  et  la  forme  dépendent  de  celles  du  dia- 
phragme que  l'on  a  employé  ^^\ 

571.  C^MMies  géuéwmâem  dm  lu  dlffiisloii.  —  La  diffusion, 
qiii  accompagne  toujours,  à  un  degré  plus  ou  moins  sensible,  la  ré- 
flexion ou  la  réfraction ,  est  prod^ite  par  les  inégalités  superficitUes 
nue  laisse  nécessairement  subsister  l'opération  mécanique  du  poli,  ou 
par  les  poussières  ténues  que  l'atu^osphère  dépose  à  la  surface  d«s 
corps.  Tant  que  les  saillies  formées  par  ces  inégalité^  ou  par  OÊê 
poussières  sont  peu  considérables  relativement  à  la  longueur  d'onde , 
{eur  influence  perturbatrice  est  insensible;  mais,  aussitôt  que  cette 
Umite  e$t  dépassée ,  la  réflexion  et  la  réfraction  foni  place  à  la  diffu- 
sion. - —  H  n^y  a  donc  pas  à  chercher  une  théorie  particulière  pour 
ce  phénomène. 

$72.  IHIIIlMiltés  offertes  par  le  pMéneniéiie  de  la  dta- 
persion,  dans  la  théorie  dc#  ondulation»*  —  L'existence  de  la 
dispersion  prouve  que  le  rapport  des  vitesses  de  propagation  de  la 
lumière  daps  deuic  milieux  différents  dépend,  en  général,  de  la  du- 
rée des  vibraiioB^  ou  de  la  longueur  d'onde,  —  De  là  résulte  uue 
dîfficolté,  que  ies  partisans  du  système  de  l'émission  ont  longtemps 
opposée  à  la  théorie  dés  ondes  comme  une  objection  insurmon- 
t^le,  et  qui  n'est  pas  encore  entièrement  résolue  aujourd'hui. 

La  théorie  mathématique  de  la  propagation  des  mouvements  vi- 
br^ire$  semblait  en  effet  conduire  nécessai|*ement  à  des  équatiou^ 
dîQérentielles  du  second  ordre,  qui  n'admettaient  comme  .solutions 
que  des  ondes  planes  ou  sphériques  ayant  toutes  I9  u^éipe  vitesse  de 
propagation,  quelle  que  fût  la  durée  de  leurs  vibrations.  Fresnel  a 
fait  remarquer,  le  premier,  que  la  forme  généraleju^^  ailtribuée  aux 
équatioi^s  différentielles  de  la  propagation  des  ondes  tenait  à  ce  qu'un 

(')  Ou  n^a  considéré,  daos  le  raisonnement,  que  des  miroirs  ou  des  lentiUes  sans  ob^r- 
ration;  mais,  tant  que  les  aberrations  sont  petites,  les  mêmes  conséquences  subsistent  à 
très-peu  près.  Les  rayons  lumineux  devant  tous  passer  à  une  très-petite  distance  d'un 
(k>int  déterminé,  la  surface  de  Tonde  diflî^re  en  effet  très-peu  de  celle  d^une  spBère  ayant 
son  centre  en  ce  point. 


368  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

supposait  les  distances  auxquelles  les  forces  moléculaires  se  font 
sentir  incomparablement  plus  petites  que  la  longueur  d'ondulation; 
or  cette  hypothèse  pourrait  bien  n'être  pas  aussi  légitime  dans  le  cas 
des  ondes  lumineuses  que  dans  le  cas  des  ondes  sonores.  —  En  dér 
veloppant  cet  aperçu  par  l'analyse,  Cauchy  a  montré  que,  darïis  un 
milieu  formé  de  molécules  disjointes,  la  vitesse  de  propagation  des 
ondes  est  généralement  une  fonction  de  la  longueur  d'ondulation. 
Cette  fonction  tend  vers  une  limite  constante,  lorsque  la  longueur 
d'ondulation  devient  très-grande  par  rapport  au  rayon  de  la  sphère 
qui  contient  toutes  les  molécules  capables  d'exercer  une  action  senr 
sible  sur  une  molécule  déterminée. 

La  possibilité  théorique  de  la  dispersion  ne  peut  donc  plus  être 
révoquée  en  doute,  mais  il  reste  à  expliquer  comment  l'éther  peut 
être  constitué  dans  le  vide,  de  manière  que  toutes  les  ondulations 
lumineuses  s'y  propagent  avec  la  même  vitesse,  ainsi  que  cela  pa- 
raît résulter  du  phénomène  astronomique  de  l'aberration;  tandis 
que,  dans  les  corps  pondérables,  il  est  constitué  de  façon  à  trans- 
mettre les  diverses  ondulations  avec  une  vitesse  d'autant  moindre 
que  ces  ondulations  sont  plus  courtes. 

573.  FkéiioiitéiiMi  d*alMM»rptioii.  —  Les  phénomènes  de 
l'absorption,  interprétés  conformément  au  système  des  ondes,  si- 
gnifient que  la  force  vive  d'une  série  d'ébranlements  transmis  par 
un  milieu  élastique  est  moindre,  dans  certains  cas,  que  la  force  vive 
de  la  série  correspondante  d'ébranlements  incidents.  Cette  perte  de 
force  vive  implique,  soit  la  production  simultanée  de  certains  travaux 
moléculaires,  travaux  dont  on  trouve  des  exemples  dans  la  décompo- 
sition chimique  des  sels  d'argent  ou  de  diverses  matières  organiques: 
soit  la  communication  d'une  partie  du  mouvement  aux  molécules 
pondérables  des  corps,  communication  qui  se  manifeste  en  particu- 
lier par  réchauffement  de  ces  corps;  soit  enfin  une  émission  simul- 
tanée de  lumière,  phénomène  qui  se  produit  surtout  dans  les  corps 
phosphorescents.  La  vraie  nature  du  phénomène  général,  ainsi  que 
la  cause  qu'on  doit  lui  attribuer,  ne  laissent  place  à  aucun  doute: 
mais  on  n'a  pas  même  essayé  jusqu'ici  d'en  rechercher  les  lois  par 
la  théorie. 


RÉFLEXION  ET  RÉFRACTION.  369 

On  peut  seulement,  à  l'exemple  d'un  éminent  physicien ,  M.  Stokes, 
faire  sentir  par  une  analogie  frappante  la  raison  de  la  liaison  que 
les  expériences  de  MM.  Kirchhoff  et  Bunsen  ont  établie  entre  l'ab- 
sorption et  l'émission  d'une  même  espèce  de  rayons.  —  Lorsque 
plusieurs  cordes  vibrantes ,  identiques  et  également  tendues,  sont 
placées  dans  le  voisinage  les  unes  des  autres,  le  son  que  produit  le 
système,  quand  on  le  met  en  vibration  d'une  manière  quelconque, 
dépend  des  dimensions,  de  la  nature  et  de  la  tension  des  cordes. 
Or^  si  l'on  fait  naître  successivement  divers  sons  au  voisinage  du 
système,  leur  mouvement  vibratoire  se  communique  aux  cordes  par 
l'intermédiaire  de  l'air;  mais,  ainsi  qu'on  l'a  vu  en  Acoustique,  cette 
communication  est  d'autant  plus  facile  que  la  hauteur  du  son  pro- 
duit approche  davantage  de  celle  du  son  propre  des  ondes.  D'autre 
part^  toute  communication  de  mouvement,  de  l'air  aux  cordes,  im- 
plique une  diminution  dans  la  force  vive  des  ondes  aériennes  :  le  sys- 
tème absorbe  donc  avec  la  plus  grande  énergie  précisément  les  on- 
dulations qu'il  est  lui-même  apte  à  produire  en  vertu  de  sa  nature 
propre.  C'est  par  un  mécanisme  de  ce  genre  que  tous  les  corps 
absorbent,  dans  la  plus  grande  proportion,  précisément  les  rayons 
qu'ils  émettent  eux-mêmes  en  plus  grande  quantité  lorsqu'ils  de- 
viennent lumineux  par  incandescence. 


ViBDiT,  in.  —  Cours  dephys.  II.  iiiï 


DOUBLE   RÉFRACTION. 


57&.  Hlst^rl^iue.  —  Érasme  Bartholin  découvrit,  en  1670»  la 
propriété  que  possède  le  spath  d'Islande,  c'est-à-dire  le  carbonate 
de  chaux  en  cristaux  transparents  rhomboédriques,  de  donner  deux 
rayons  réfractés  pour  chaque  rayon  incident.  Cette  propriété  attira 
bientôt  l'attention  de  Huyghens,  qui  chercha  à  s'en  rendre  compte 
dans  le  système  des  ondes.  —  Les  lois  auxquelles  Huyghens  fut  con- 
duit par  ses  hypothèses  ont  été  vérifiées,  dans  les  premières  années 
de  ce  siècle,  par  les  observations  de  Wollaston  et  de  Malus  :  ces  lois 
peuvent  être  envisagées  aujourd'hui  comme  de  simples  résultats 
d'expérience. 


575.  RéfiractâoB  au  travers  d*uiie  laaie  die  apatli  «Tla- 
lande  à  fi»ee«  parallèles.  —  Un  rayon  lumineux,  en  pénétrant 
dans  un  cristal  de  spath  d'Islande,  donne  naissance  à  deux  rayons 
réfractés,  distincts  l'un  de  l'autre,  lors  même  que  le  cristal  est  limité 
par  deux  faces  parallèles.  En  opérant  ainsi  avec  un  cristal  de  spath  à 
faces  parallèles ,  on  constate  facilement  les  deux  faits  suivants  : 

1°  Si  le  rayon  incident  est  normal,  une  rotation  du  cristal  au- 
tour de  ce  rayon  ne  déplace  qu'un  seul  des  rayons  réfractés. 

â""  Les  deux  rayons  émergents  sont  toujours  parallèles  au  rayon 
incident;  en  conséquence,  un  objet  assez  éloigné  pour  que  les  rayons 
arrivant  d'un  de  ses  points  sur  le  cristal  soient  sensiblement  paral- 
lèles entre  eux  est  toujours  vu  simple  au  travers  de  ce  cristal;  les 
objets  plus  rapprochés  éprouvent  une  duplication  plus  ou  moins 
complète,  suivant  leurs  dimensions  apparentes. 

Il  résulte  du  premier  fait  que  l'un  des  deux  rayons  fournis  par 
la  réfraction  d'un  rayon  incident  normal  est  dirigé  suivant  le  pro- 
longement du  rayon  incident  lui-même. 

Il  résulte  du  second  fait  que  l'on  peut  étendre  à  la  double  réfraction 
la  règle  qui,  dans  l'étude  de  la  réfraction  simple,  a  reçu  le  nom  de 


DOUBLE  RÉFRACTION.  371 

prine^  du  retoitr  nwene  dei  rayons  (Â06).  En  d'autres  termes,  si  l'on 
représente  par  SI  ((îg.  &66)  un  rayon  lumineux  tombant  sur  un 


cristal  de  spath  PQ ,  et  si  IR  est  l'un  des  rayons  réfractée  dans  l'in- 
térieur de  ce  cristal,  la  ligne  IS  sera  également  la  direction  d'émer- 
gence correspondante  à  un  rayon  venu  de  l'intérieur  du  cristal  sui- 
vant RI. 

576.  Ax0  du  spath  «Uliknde.  —  deetlana  prisalpalM. 

—  Le  spath  d'Islande,  tel  qu'on  le  trouve  dans  la  nature,  aSecte 
le  plus  ordinairement  la  forme  d'un  parallélîpipède  limité  par  des 
parallélogrammes  d'angles  égaux,  assemblés  de  telle  façon  que  deux 
sommets  opposés  du  parallélipipède  soient  les  sommets  d'anges 
trièd^s  réguliers.  Les  angles  plans  de  ces  angles  solides  réguliers 
sont  obtus,  et  égaux  à  i  o  t'SV;  les  angles  dièdres  sont  pareillement 
obtus,'  et  égaux  à  io5°5'. 

L'axe  des  an^es  Irièdres  réguliers,  c'est-à-dire  la  droite  qui  est  éga- 
lement inclinée  sur  leurs  trois  arêtes,  jouitde  la  propriété  qu'en  tout 
point  du  cristal  toutes  les  propriétés  physiques  sont  distribuées  sy- 
métriquement autour  d'une  parallèle  à  cette  droite.  Elle  peut  donc 
recevoir  le  nom  d'axe  du  cristal.  —  Il  faut  seulement  remarquer  que. 
l'axe  du  cristal  n'est  pas  un  axe  matériel;  que  ce  n'est  point,  par 
exemple ,  l'ensemble  des  molécules  situées  sur  une  droite  déterminée, 
mais  une  simple  direction,  que  l'on  doit  toujours  supposer  menée 
par  le  point  autour  duquel  on  étudie  la  réfraction  ou  tout  autre 
phénomène. 


372  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

La  longueur  des  arêtes  des  parallélipipèdes  de  spath  est  complè- 
tement indéterminée,  puisqu'on  peut  la  faire  varier  à  volonté  par 
la  taille  ou  par  le  clivage  ^^l  Mais  il  est  commode,  en  cristallogra- 
phie ,  de  considérer  particulièrement  le  cas  où  toutes  les  arêtes  de- 
viennent égales  :  le  cristal ,  limité  alors  par  six  rhombes  égaux , 
prend  le  nom  de  rhomboèdre.  Dans  un  cristal  qui  présente  cette  forme, 
la  direction  de  Taxe  est  celle  de  la  diagonale  qui  joint  les  deux  som- 
mets réguliers,  et  la  symétrie  de  la  forme  cristalline  autour  de  cette 
droite  est  évidente. 

On  est  convenu  d'appeler  section  principak  le  plan  normal  d'inci- 
dence ,  lorsque  la  direction  de  Taxe  est  contenue  dans  ce  plan. 

577.  Réfraction  au  travers  des  prisntefl  taillés  ûmmm  le 
•patli.  —  Rajoiui  ordinaires.  —  Rayons  extraordinaires. 
—  I«ois  expérintentales.  —  Lorsqu'on  taille ,  dans  des  morceaux 
de  spath,  des  prismes  ayant  des  angles  réfringents  différents  et  ayant 
leurs  arêtes  dans  des  directions  différentes  par  rapport  à  l'axe,  on 
reconnaît,  en  déterminant  la  position  des  raies  de  Frauenhofer  dans 
les  deux  spectres  auxquels  ces  prismes  donnent  généralement  lieu , 
les  divers  faits  suivants  : 

i""  L'un  des  spectres  est  toujours  composé  de  rayons  qui  sont  ré- 
fractés conformément  aux  deux  lois  de  Descartes  (399)  :  ces  rayons 
peuvent  recevoir,  pour  cette  raison ,  le  nom  de  rayons  ordinaires. 

s^  Les  rayons  extraordinaires,  qui  produisent  l'autre  spectre, 
s'écartent  des  lois  de  Descartes  :  en  général ,  ils  ne  demeurent  même 
pas  compris  dans  le  plan  normal  d'incidence. 

S""  Lorsque  le  plan  d'incidence  contient  l'axe,  c'est-à-dire  lorsque 
ce  plan  constitue  une  section  principale  du  cristal ,  les  rayons  extra- 
ordinaires demeurent  contenus  dans  ce  plan,  comme  les  rayons  ordi- 
naires; mais  le  rapport  du  sinus  d'incidence  au  sinus  de  réfraction 
ne  reste  pas  constant  quand  on  fait  varier  Tande  d'incidence. 

k"*  Si  les  arêtes  du  prisme  ont  été  taillées  parallèlement  à  l'axe, 
et  si  le  plan  d'incidence  est  perpendiculaire  à  ces  arêtes,  les  deux 

(*)  On  appelle  clivage  la  rupture  du  cristal  suivant  des  plans  dëterminës,  sous  Tin- 
fluence  d'un  choc.  Les  faces  de  clivage  du  spath  sont  toujours  parall^es  aux  faces  des  cris- 
taux naturels. 


DOUBLE  RÉFRACTION.  373 

rayons  réfractés  suivent  les  lois  de  Descartes,  mais  avec  des  indices 
différents. 

On  appelle  indice  extraordinaire  l'indice  de  réfraction  constant  que 
présente,  dans  ce  dernier  cas,  le  rayon  qui,  dans  toute  autre  con- 
dition, s'écarte  complètement  des  lois  de  Descartes;  ce  rayon  con- 
serve d'ailleurs  encore,  pour  cette  raison,  le  nom  de  rayon  extraor- 
dinaire. —  Vindice  ordinaire  est  l'indice  de  réfraction  du  rayon  qui 
suit,  dans  tous  les  cas,  les  lois  de  Descartes;  il  a  toujours  la  même 
valeur  numérique,  de  quelque  manière  que  le  prisme  ait  été  taillé. 

Le  tableau  suivant  indique  les  valeurs  de  l'indice  ordinaire  et  de 
l'indice  extraordinaire ,  pour  les  sept  raies  principales  de  Frauenhofer, 
d'après  les  expériences  du  physicien  suédois  Rûdberg. 

B  G  D  E  F  G  H 

Indice  extraordinaire. .  it&SSg  i,/i8/i6  i,/i86/i  i^/iSSy  if/igoS  i,â9&5  it&gyS 
Indice  ordinaire i,653i   i,65/i5  i,6585  i,6636  1,6680  1,676a  i,6933 

578.  Empérienees    ém    UTolUMifoii.  —    Empérlenees    de 

IlaUui.—  Gonune  le  rayon  extraordinaire  sort ,  en  général,  du  plan 
normal  d'incidence,  les  cercles  destinés  à  mesurer  les  indices  de 
réfraction  dans  le  cas  de  la  réfraction  simple  ne  peuvent  servir  à 
l'étude  des  propriétés  de  ce  rayon.  On  a  construit  récemment  des 
appareils  plus  compliqués  >  au  moyen  desquels  on  peut  mesurer  à 
la  fois  la  déviation  du  rayon  extraordinaire  et  son  inclinaison  sur  le 
plan  normal  d'incidence  ;  mais  ces  appareils  ont  été  rarement  mis  en 
usage  jusqu'ici,  et  c'est  par  de  tout  autres  moyens  que  les  lois 
de  Huyghens  ont  été  vérifiées. 

WoUaston  observait  la  réflexion  totale  du  rayon  extraordinaire  à 
l'intérieur  du  cristal.  Il  faisait  varier,  soit  la  direction  de  la  face  ré- 
fléchissante, soit  la  position  du  plan  d'incidence,  et  il  déterminait 
ainsi ,  dans  des  conditions  diverses ,  la  direction  du  rayon  extraor- 
dinaire correspondante  à  un  rayon  extérieur  parallèle  h  la  surface 
réfringente.  Afin  de  donner  plus  d'étendue  à  ses  expériences,  il  met- 
tait successivement  le  cristal  en  contact  avec  des  milieux  très-diver- 
sement réfringents. 


374  OPTIQUE  THÉOBIQUE. 

Malm  avait  fait  graver,  sur  uae  planche  de  caivre ,  un  triangle  rec- 
tanglp  (rcs-aUongé  ABC  (11g.  /167)  dont  l'hypoténuse  AC  et  le  grand 


cM^  de  l'angle  droit  AB  étaient  divisés  en  pnriies  égales,  de  lon- 
gueurs connues.  Sur  ce  triangle  il  posait  un  cristal  de  spath  à  faces 
parallèles,  ce  qui  donnait,  pour  un  observateur  regardant  la  face 
supérieure  du  cristal,  deux  images,  l'une  ordinaire  abc,  l'autre  ex- 
traordinaire a'h'c.  Alors,  à  l'aide  d'une  lunette  LH,  mobile  sur  un 
cercle  vertical  (fig.  A68),  il  visait  le  point  où  l'image  ordinaire 


abc  et  l'image  extraordinaire  a'b'c'  du  triangle  lui  paraissaient  se 
couper.  Supposons  que  ce  point  appartienne  dans  l'image  ordinaire 
au  grand  côté  de  l'angle  droit,  et  dans  l'image  extraordinaire  à 
l'hypoténuse.  L'expérience  ainsi  Faite  montre  que  le  rayon  ordi- 
naire parti  d'un  point  déterminé  E  du  grand  côté  de  l'angle  droit  et 


DOUBLE  RÉFRACTION.  375 

le  rayon  extraordinaire  parti  d'un  point  déterminé  F  de  Fhypoté-) 
nuse  ^')  se  confondent  à  l'émergence  en  un  seul  rayon  GH ,  dirigé 
suivant  l'axe  de  la  lunette.  Par  conséquent,  en  vertu  du  principe  du 
retour  inverse  des  rayons,  on  connaît  les  deux  points  de  la  face  in- 
férieure du  cristd  où  fraient  aboutir  le  rayon  ordinaire  et  le  rayon 
extraordinaire  provenant  d'un  rayon  incident  dirigé  suivant  Taxe  de 
la  lunette.  —  Pour  que  les  données  de  l'expérience  soient  com- 
plètes, il  ne  réfute  qu'à  mesurer  l'épaisseur  du  cristal  et  à  définir  la 
situation  de  la  section  principale  par  rapport  au  plan  d'incidence  , 
qui  n'est  autre  que  le  plan  dans  lequel  se  meut  la  lunette.  En  fai- 
sant varier  l'épaisseur  du  cristal ,  la  direction  des  faces  naturelles  ou 
artificielles  par  lesquelles  il  est  limité,  et  la  position  de  la  section 
principale,  on  pourra  faire  autant  d'expériences  qu'il  sera  néces- 
saire pour  arriver  à  une  connaissance  complète  des  lois  de  la  réfrac- 
tion extraordinaire. 

Ces  lois  peuvent  être  représentées  assez  simplement  au  moyen 
d'une  construction  géométrique  due  h  Huyghens ,  dont  il  ne  sera  pas 
inutile  de  préparer  d'abord  la  description  par  l'exposé  d'une  cons- 
truction analogue,  propre  h  représenter  les  lois  de  Descartes  dans 
le  cas  de  la  réfraction  par  les  substances  uniréfringentes. 

579.  CoiuitructioB  séométrique  defl  rmjomm  pasMiiit 
d'un  milieu  unirélriiiseiit  dans  un  autre  milieu  uniréfirin- 

sent.  ~  Soit  un  rayon  incident  SI  (fig.  ^69),  tombant  sur  la  surface 
de  séparation  MM'  de  deux  milieux  uniréfringents,  l'air  et  l'eau  par 
exemple.  Autour  du  point  I  décrivons  une  sphère  avec  un  rayon  lA 
égal  à  la  vitesse  de  propagation  de  la  lumière  dans  le  premier  mi-* 
lieu,  la  vitesse  de  propagation  dans  le  vide  étant  prise  pour  unité; 
puis«  par  le  point  A,  où  le  prolongement  du  rayon  incident  ren- 
contie  cette  sphère,  menons  un  plan  tangent;  par  l'intersection  de 
ce  plan  avec  la  surface  réfringente  MM',  menons  un  plan  tangent  à 
une  sphère  dont  le  rayon  IR  est  égal  à  la  vitesse  de  la  lumière  dans 
le  second  milieu.  La  droite  IR,  qui  joint  le  point  d'incidence  au 
point  de  contact  R,  étant  perpendiculaire  au  plan  tangent,  sera  per- 
pendiculaire à  l'intersection  du  plan  tangent  avec  la  surface  réfrin- 

0)  Le  point  Ees^  évidemment  tel  qu*on  ait  AE  =  a^. 


376  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

gente,  et,  par  consë<]uent,  contenue  dam  le  |dan  perpendico- 
laire  à  cette  intersection,  qui  n'est  autre  qne  le  plan  noimal  d'in- 
cidence qu'on  a  pris  pour  plan  de  la  (îgnre.  D'aîileurs,  en  désignant 


par  V  et  U  les  vitesses  de  la  lumière  dans  l'air  et  dans  l'eaa,  c'est- 
à-dire  les  rayons  des  deux  sphères,  on  a,  par  la  considération  des 
triantes  BIA  et  BIR, 

_  V 
IB' 
V 


5inIBA  = 


sinIBR=  _^ 
d'où  l'on  tire 

stnlBA^^sinlBR. 

Comme  IBA  est  égal  à  l'angle  d'incidence,  et  que  IBR  est  égal  à 
l'ange  de  réfraction,  IR  est  le  rayon  réfracté  déterminé  par  les  lois 
de  Descartes. 

580.  fTaBatmcHsii  de  Ifiijaliii»!,  pavr  l«  nk)r«B  «rdl- 
m»tre  e*  le  wmjma  extnterdlBWlre  denaia  fmr  vm  criMal  4e 

•paA.  —  Supposons  maintenant  que  le  plan  MNM'N'  (6g.  670)  sé- 
pare un  milieu  isotrope,  où  la  lumière  se  meut  avec  la  vitesse  V,  d'un 
cristal  de  spath.  En  prolongeant  le  rayon  incident  SI  jusqu'à  sa  ren- 
contre en  A  avec  la  sphère  de  rayon  V  qui  a  son  centre  au  point  I , 
menant  par  le  point  A  un  plan  tangent  à  cette  sphère,  et  détermi- 
nant l'intersection  BB'  de  ce  plan  et  de  la  face  réùingente;  enfin,  en 


DOUBLE  RÉFRACTION.  377 

menant,  parla  droite  BB',  un  plan  tangent  à  une  sphère  de  rayon 
éai  &  l'inverse  de  l'indice  ordinaire ,  et  déterminant  le  point  de 
contact  R,  on  obtiendra  le  rayon  ordinaire  IR  (579).  —  On  cons- 
truira alors  un  ellipsoïde  de  rëvolulion  autour  de  l'aie  du  cristal  IP. 


cet  ellipsoïde  ayant  pour  demi-axe  polaire  l'inverse  de  l'indice  ordi- 
naire et  pour  demi-diamètre  équatorial  l'inverse  de  l'indice  extraor- 
dinaire; par  la  droite  BB'  on  lui  mènera  un  plan  tangent,  et,  en 
joignant  le  point  de  contact  R'  au  point  d'incidence  I ,  on  aura  la 
direction  du  rayoliextraordinaire  IR'. 

La  traduction  algébrique  de  cette  construction  est  un  problème  . 
de  géométrie  analytique  à  trois  dimensions ,  qui  n'offre  pas  de  diffi- 
cultés ,  mais  qui  n'a  d'intérêt  que  si  l'on  compare  numériquement 
les  résultats  du  calcul  avec  les  données  de  l'observation.  —  Il  nous 
reste  à  indiquer  les  cas  où  cette  construction  peut  devenir  plane. 

581.  Cmi  partlcoUer*  ibiBa  leaquel*  !••  deux  r»T«BB 


La  construction  géométrique  que  l'on  vient  d'indiquer  peut  être  ef- 
fectuée dans  un  plan ,  aussi  bien  pour  le  rayon  extraordinaire  que 
pour  te  rayon  ordinaire,  dans  les  deux  cas  particuliers  suivants  : 

i'  Lorsque  le  plan  ^ineidaiee  est  une  lectionprmctpale,  c'est-à-dire 
contient  la  direction  de  Taxe.  — En  effet,  dans  ce  cas,  tout  plan  per- 
pendiculaire i  cette  section,  mené  par  une  tangente  à  l'ellipse  méri- 
dienne qui  y  est  contenue,  est  tangent  à  l'ellipsoïde  des  rayons 
extraordinaires.  La  fîgure  &71  indique  la  construction  telle  qu'on 
peut  alors  l'effectuer.  Le  rayon  incident  étant  représenté  par  SI,  le 


378  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

rayon  ordinaire  IR  est  construit  comme  il  a  été  dit  (579).  L'axe 

étant  supposé  dirigé  suivant  PP',  la  tigure  montre  (Comment  l'ellipse 


méridienne  de  l'ellipsoïde  de  Huygfaens  a  servi  à  construire  le  rayon 
extraordinaire  IR'. 

3°  Lorsque  Vaxe  du  crisUd  est  parallèle  à  la  face  réfringente  el  per- 
peadiciUaire  mi  plan  d'incidence. —  L'ellipsoïde  de  Huyghens  est  alors 


coupé  par  le  plan  d'incidence  suivant  son  équateur,  et  les  plans 
menés  par  les  tangentes  à  l'équatcur,  perpendiculairement  au  plan- 


DOUBLE  REFBACTION.  379 

d'incidence,  sonl  langenls  à  l'ellipsoïde.  La  figure  472  indique 
alors  la  construction  à  effectuer,  étant  donné  le  rayon  incident  SI, 
pour  obtenir  le  rayon  ordinaire  IR  et  le  rayon  extraordinaire  IR'. 
Le  rayon  eitraordinaire  suit  d'ailleurs,  dans  ce  ras,  les  deux  lois  de 
Descàrles,  comme  il  a  été  dit  plus  haut  (  577,  A°). 

582.  Ij'nxe  du  vatk  ae  comporte,  par  rapport  »ii  rayas 
«Craonlliinirc,  camme  répulsif. —  Soit  1'  =  -  l'inverse  Ae 
l'indice  ordinaire,  et  soit  «  =  --  l'inverse  de  l'indice  extraordinaire; 
b  est  à  la  fois  le  rayon  de  la  sphère  des  rayons  ordinaires  et  le  demi- 
axe  polaire  de  l'ellipsoïde  des  rayons  extraordinaires.  L'ellipsoïde  est 
donc  langent  à  la  sphère  à  l'extrémité  de  l'axe  de  révolution.  En 
outre,  comme  m  est  plus  petit  que  11,  la  longueur  a  est  plus  grande 
que  b,  et  l'ellipsoïde  est  extérieur  à  la  sphère. 

Cette  propriété  géométrique  a  pour  conséquence  un  caractère 
optique  remarquable ,  qui  s'aperçoit  facilement  dans  le  cas  particuliei; 
01^  la  réfraction  s'opère  par  une  face  parallèle  à  l'axe,  dans  un  plan 
d'incidence  également  parallèle  à  l'axe.  —  La  recherche  des  deux 
rayons  dépend  alors  de  la  construction  suivante ,  eiïcctuéedansle  plan 


d'incidence.  Autour  du  point  d'incidence  I(fîg.  /173)  on  décrit  un 
cercle  de  rayon  V,  un  cercle  de  rayon  b  et  une  ellipse  dont  l'axe  égal 


380  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

à  b  est  parallèle  à  l'intersection  du  plan  d'incidence  avec  la  face  ré- 
fringente, l'axe  égal  à  a  étant  perpendiculaire  à  cette  intersection. 
On  prolonge  le  rayon  incident  jusqu'à  sa  rencontre  en  A  avec  ie  cerde 
de  rayon  V,  on  mène  la  tangente  AB,  et,  par  le  point  B,  on  mené 
des  tangentes  BR  et  BR'  au  cercle  de  rayon  6  et  à  Tellipse.  Il  ré- 
sulte des  propriétés  de  l'ellipse  que  les  points  de  contact  R  et  R' 
sont  sur  une  même  ordonnée  QK  perpendiculaire  à  Taxe  éf^  a  b  ^'\ 
Le  rayon  extraordinaire  IR'  est  donc  plus  éloigné  de  la  surface  réfirin- 
gente  et,  par  conséquent ,  de  l'axe ^  que  le  rayon  ordinaire. 

Cette  remarque,  qui  peut  se  faire  également  dans  le  cas  où  la  face 
réfringente  est  perpendiculaire  à  l'axe,  s'interpréterait  dans  la  théo- 
rie de  rémission  en  disant  que  les  molécules  du  rayon  extraordinaire 
sont  soumises  à  l'action  de  forces  répulsives  émanées  de  l'axe,  qui 
modifient  l'action  habituelle  des  forces  réfringentes.  —  De  là  la 
qualification  de  répulsive,  qu'on  a  donnée  à  la  double  réfraction  àa 
spath.  Cette  expression  a  été  conservée,  comme  faisant  image,  bien 
que  les  idées  sur  la  cause  du  phénomène  aient  totalement  changé. 


583.  FawHice  de  la  liunlère  du  spaA  ûmmm 
HsIréfriBseiit.  —  Pour  être  en  état  de  prévoir  complètement  Peffet 
du  passage  de  la  lumière  au  travers  d'un  cristal  de  spath,  il  faut  en- 
core connaître  les  lois  de  sa  réfraction  à  l'émergence. 

Si  le  rayon  qui  se  propage  à  l'intérieur  du  cristal  est  un  rayon 
ordinaire,  on  applique  simplement  les  lois  de  Descaites,  ou  la  cons- 
truction équivalente. 

Si  c'est  un  rayon  extraordinaire,  on  doit,  en  vertu  du  principe 


<*)  Représentons  les  équations 

du  cercle  et  de  fellipse  par 

xVy'=*« 

et 

CD  déduit  de  la  premièrp 

et  de  la  seconde 

y^^b^-s\ 

^      ïï 5 


b 

Les  ordonnées  de  Tellipse  et  du  cercle  correspondantes  à  une  même  abadsse  soot  donc 


DOUBLE  RÉFRACTION.  381 

du  retour  inverse  des  rayons,  chercher  la  direction  du  rayon  inci- 
dent venu  de  l'extérieur,  qui  donnerait  à  l'intérieur  du  cristal  le 
rayon  extraordinaire  qu'on  a  à  considérer.  —  Soit  SI  ce  rayon  ex- 
traordinaire (fig.  ^7^);  prolongeons  sa  direction  jusqu'au  point  A 


oà  il  rencontre  l'ellipsoïde  de  Huygheos  ;  menons  par  ce  point  un  plan 
tangent  à  l'ellipsoïde ,  qui  rencontrera  la  face  réfringente  suivant  BB'. 
Le  rayon  émergent  devra  être  tel ,  que  si ,  par  le  point  où  il  rencontre 
la  sphère  de  rayon  égal  à  V,  on  mène  à  cette  sphère  un  plan  tangent , 
il  aille  couper  la  surface  réfringente  suivant  BB'.  Il  suffira  donc  de 
chercher  le  point  de  contact  R^  du  plan  tangent  mené  par  BB'  à  la 
sphère  de  rayon  V  ;  la  droite  IR,  sera  le  rayon  émergent. 

Cette  construction  n'étant  pas  toujours  possible,  si  la  sphère  de 
rayon  V  est ,  en  partie  ou  en  totalité ,  extérieure  à  l'ellipsoïde  de  Huy- 
ghens,  le  rayon  extraordinaire  peut  être  réfléchi  totalement,  aussi 
bien  que  le  rayon  ordinaire.  Mais  une  conséquence  remarquable 
résulte  de  la  situation  relative  de  la  sphère  des  rayons  ordinaires  et 
de  l'ellipsoide  des  rayons  extraordinaires  :  c'est  qu'il  peut  se  faire  que, 
sous  une  incidence  donnée,  le  rayon  ordinaire  se  réfléchisse  totale- 
ment, tandis  que  le  rayon  extraordinaire  donne  naissance  à  un  rayon 
émergent.  En  efi'et ,  la  droite  déterminée  par  l'intersection  du  plan 

«abn «Um dint UD rapport  i»iutant,i%tl  i  -r-  Ilenràullequflà.aprèaavDirioeDéeiiR 

(Gg.  h'}5)  )s  droite  RB,  Ungeate  au  cercle,  on  comlrait  une  nouvelle  droite  dont  le*  onloD' 

nées  aient,  avec  celle*  de  HB,  ce  même  rapport  eonetant  t  •  celle  nouvdie  droite,  qui 

paaten  ëridemment  par  le  point  B.  sera  tangente  à  l'ellipse  au  point  R'  eilué  Bar  le  pnf 
ImigeaMat  de  rordmnfe^QB. 


382  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

tangent  à  la  sphère  de  rayon  h  avec  la  surface  réfringente  pent  ren* 
contrer  la  sphère  de  rayon  V,  tandis  que  la  droite  analogue  déter- 
minée par  l'intersection  de  la  face  réfringente  avec  le  plan  tangent  à 
un  ellipsoïde  extérieur  à  la  sphère  de  rayon  b  serait  tout  entière  en 
dehors  de  la  sphère  de  rayon  V.  —  On  verra  plus  loin  une  appli- 
cation importante  de  cette  propriété. 

5  H  à.  ]>•  rmjômm  qui  suâveiit  la  dircefloB  die  l*ame  dans 
rintérieuF  d'im  prisme  blréfriiiseiit  ne  mm  dÉvIsent  |mmi  à 
la  sortie.  —  Si  le  plan  tangent  qui  détermine  le  rayon  ordinaire 
touche  la  sphère  de  rayon  b  k  l'extrémité  de  l'axe,  il  touche  aussi 
l'ellipsoïde  de  Huyghens  au  même  point;  par  conséquent,  dans  ce 
cas ,  le  rayon  ordinaire  et  le  rayon  extraordinaire  doivent  être  con- 
sidérés comme  confondus,  ou,  en  d'autres  termes,  il  n'y  a  pas  double 
réfraction.  — Semblablement,  il  est  indifférent  de  considérer  comme 
ordinaire  ou  comme  extraordinaire  un  rayon  qui  se  présente  à  fé- 
mergence  en  suivant  la  direction  de  l'axe  :  l'une  et  l'autre  hypothèse 
conduisent  au  même  rayon  réfracté. 

Il  suit  de  là  que  si,  au  travers  d'un  prisme  biréfringent,  le  rayon 
ordinaire  suit  la  direction  de  l'axe,  le  rayon  extraordinaire  la  suit  éga- 
lement, et  que  la  lumière  ne  se  divise  pas.  —  Cette  propriété  appar- 
tient exclusivement  à  l'axe.  Suivant  toute  autre  direction ,  il  peut  bien 
arriver  que  le  rayon  ordinaire  et  le  rayon  extraordinaire  provenant 
d'un  même  rayon  incident  ne  soient  pas  séparés  à  l'intérieur  du 
cristal  ;  mais  la  construction  précédente  fait  voir  qu'ils  se  sépareront 
à  l'émergence,  à  moins  que  la  face  de  sortie  ne  soit  parallèle  à  la 
face  d'entrée. 

585.  Vision  des  objets  au  travers  d*uB  paraUéUpipède 
de  spatli.  —  Lorsqu'on  regarde  un  objet  au  travers  d'un  parallé-^ 
lipipède  de  spath  et  qu'on  essaye  de  cacher  l'une  des  deux  images 
produites,  en  introduisant  lentement  une  carte  entre  l'objet  et  le 
parallélipipède,  on  remarque  que  l'image  qui  disparaît  la  première 
est  celle  qui  semble  la  plus  éloignée  de  la  carte. 

La  raison  de  cette  sorte  de  paradoxe  est  facile  à  apercevoir.  — 
Supposons,  pour  plus  de  simplicité,  que  le  plan  normal  aux  feces 


DOUBLE  RÉFRACTION.  383 

réfringentes,  mené  par  IVil  0  et  par  l'objet  A ,  soit  une  section  prin- 
cipale du  rristal  MN  (fi^.  i^S).  Soit  AI  un  rayon  incident  tel,  <|ueie 


rayon  ordinaire  lit  auijuel  II  donne  naissance  sorte  du  cristal  de 
façon  à  passer  par  le  centre  optique  de  l'œil  0:  l'image  ordinaire 
du  point  A  sera  reportée  en  un  point  B,  sur  la  direction  OR  pro- 
longée. Admettons  que  l'image  extraordinaire  soit  reportée  en  un 
point  B',  situé  sur  la  droite  OR'  qui  passe  au-dessous  de  R.  Le  rayon 
incident,  dont  R'O  est  le  rayon  émergent,  s'obtiendra,  d'après  un 
principe  connu,  en  menant  par  A  une  parallèle  AI'  à  OR';  la  direc- 
tion du  rayon  extraordinaire  à  l'intérieur  du  cristal  s'obtiendra  en 
joignant  l'R'.  On  voit  que  cette  direction  croise  celle  du  rayon  ex- 
traordinaire, ce  qui  rend  immédiatement  compte  de  l'effet  produit 
par  le  mouvement  de  la  carte.  —  Ce  phénomène  a  été  signalé  par 


586.  Exlenslon  de*  loi*  de  Hujcheiui  nus  dlvera  cria- 
tMiz.  —  Ij»la  de  Vrcmicl.  —  Les  lois  de  Huyghens  ne  conviennent 
pas  seulement  au  spath  d'Islande;  elles  s'appliquent  encore,  avec 
des  modifications  secondaires,  à  un  grand  nombre  de  cristaux,  mais 
elles  ne  sont  au  fond  qu'un  cas  particulier  de  lois  plus  générales, 
qui  ont  été  découvertes  par  Fresnet.  —  En  tenant  compte  du  travail 
à  la  fois  théorique  et  expérimenlat  de  ce  grand  physicien,  ainsi  que 
des  observations  optiques  et  cristaltographîques  de  Haûy,  de  Malus, 


384  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

de  Biot,  de  Brewster,  on  peut  résumer  les  lois  de  la  réfraction  dans 
la  série  suivante  de  propositions  : 

1*"  Tous  les  fluides,  tous  les  solides  non  cristallisés,  et  ceux  qui 
sont  cristallisés  dans  le  système  cubique,  sont  unirifringents;  ils  réfrac- 
tent la  lumière  conformément  aux  lois  de  Descartes  (Haûy). 

fà"*  Tous  les  cristaux  qui  sont  constitués  symétriquement  autour 
d'un  axe  cristallographique  principal  (prisme  droit  à  base  carrée, 
rhomboèdre,  prisme  hexagonal  et  formes  dérivées)  sont  biréfrin- 
gents; ils  réfractent  la  lumière  conformément  aux  lois  de  Huyghens. 
En  conséquence,  on  les  réunit  sous  la  dénomination  commune  de 
cristatix  à  un  axe  (Brewster). —  Mais  on  doit  distinguer  ces  cristaux 
en  deux  catégories,  suivant  que  l'indice  ordinaire  est  plus  grand  ou 
plus  petit  que  l'indice  extraordinaire.  Dans  les  premiers,  qui  ont 
pour  type  le  spath,  l'ellipsoïde  de  Huyghens  est  extérieur  à  la  sphère, 
et  le  rayon  extraordinaire  tend  à  s'écarter  de  Taxe  plus  que  le  rayon 
ordinaire.  Ce  sont  les  cristaux  répulsifs  ou  négatifs.  Dans  les  autres, 
qui  ont  pour  type  le  quartz  ou  plutôt  le  zircon  ^^\  l'ellipsoïde  est  in- 
térieur à  la  sphère,  et  le  rayon  extraordinaire  tend  à  se  rapprocher 
de  l'axe.  Ce  sont  les  cristaux  attractifs  ou  positifs.  —  Il  n'y  a  d'ail- 
leurs aucune  liaison  entre  la  forme  cristalline  et  la  nature  attractive 
ou  répulsive  de  la  double  réfraction. 

S""  Tous  les  autres  cristaux  (prismes  droits  à  base  rectangle,  pris- 
mes obliques  et  formes  dérivées)  sont  encore  biréfringents;  mais  ils 
réfractent  la  lumière  suivant  des  lois  toutes  différentes  des  lois 
de  Huyghens.  On  leur  donne  le  nom  de  cristaux  à  deux  axes,  h  cause 
d'une  propriété  qui  ne  pourra  être  clairement  expliquée  qu'à  l'occa- 
sion de  la  polarisation  chromatique  (Brewster). 

Dans  ces  derniers  cristaux,  il  n'y  a  pas,  à  proprement  parler»  de 
rayon  ordinaire;  mais  il  existe  toujours  trois  plans  rectangulaires  dans 
lesquels  Tun  des  rayons  réfractés  suit  les  lois  de  Descartes,  l'autre 
rayon  demeurant  contenu  dans  le  plan  normal,  et  suivant  une  loi 
analogue  à  celle  du  rayon  extraordinaire  dans  les  cristaux  à  un  axe. 
Ces  trois  plans  remarquables  reçoivent  le  nom  de  sections  principales; 
dans  les  cristaux  dérivés  du  prisme  droit  à  base  rectangle,  ils  sont 

(0  Les  lois  de  Huyghens  éprouvent,  dans  le  quarti,  de  très-légères  perturbatîoas  qui 
seront  indiquées  plus  loin. 


DOUBLE  REFRACTION.  383 

parallèles  aux  trois  systèmes  de  faces  du  prisme.  —  Si  l'on  désigne 
par  a,  b,  c  \es  inverses  des  indices  de  réfraction  qui  correspondent 
aux  trois  sections  principales,  et  que  l'on  construise  la  surface  donl 
l'équation  rapportée  aux  plans  des  trois  sections  principales  est 

-y{a^  +  b^)z^+aHh^=o, 

les  axes  des  x,  des  y  et  des  z  étant  respectivement  perpendiculaires 

aux  sections  principales  où  les  indices  de  réfraction  sont  -»  r»  -» 

on  pourra  déterminer  les  deux  rayons  réfractés  par  une  construction 
semblable  à  celle  de  Huyghens.  On  prolongera  le  rayon  incident 
jusqu'à  sa  rencontre  avec  la  sphère  dont  le  rayon  est  égal  à  la  vi- 
tesse de  propagation  de  la  lumière  dans  le  milieu  extérieur,  et  l'on 
déterminera  l'intersection  de  la  face  réfringente  avec  le  plan  tan- 
gent à  la  sphère  mené  par  ce  point  de  rencontre.  On  mènera 
ensuite,  par  cette  droite,  les  deux  plans  tangents  à  la  surface  que 
définit  l'équation  précédente  :  les  droites  qui  joignent  le  point  d'in- 
cidence aux  deux  points  de  contact  seront  les  directions  des  deux 
rayons  réfractés.  (Fresnel.) 


Yerdet,  m.  —  Cours  de  pbys.  II.  tib 


POLARISATION. 


POLARISATION  PAR  LES  CRISTAUX  BIREFRINGENTS. 

587.  PolarlMitloii  des  rayons  transmis  par  un 
tal  biréfringent  à  un  aiLe,  sous  i'ineidenee  normale.  — 
Définitions*  —  Pour  définir  expérimentalemenl  la  lumière  pola- 
risée, il  sulFil  de  se  reporter  à  une  ancienne  observation  de  Huyghens. 
observation  qui  a  été  renouvelée  par  Malus. 

On  a  vu  précédemment  que,  quand  on  considère  les  deux  fais- 
ceaux dans  lesquels  un  cristal  biréfringent  comme  le  spath  d'Islande 
décompose  un  faisceau  lumineux,  venu  directement  du  soleil  ou 
d'une  source  de  lumière  artificielle,  ou  diffusé  par  les  nuées  atmos- 
phériques, ces  deux  faisceaux  paraissent  à  Toeil  d'une  égalité  ab- 
solue, au  moins  tant  que  l'incidence  diffère  peu  de  l'incidence  nor- 
male. —  Si,  au  contraire,  les  deux  faisceaux  issus  d'une  première 
double  réfraction  sont  reçus  ensuite  sur  un  second  cristal  biréfrin- 
gent, les  quatre  faisceaux  qu'on  obtient  alors  présentent  générale- 
ment des  inégalités  d'intensité  qui  dépendent  de  la  position  relative 
des  deux  cristaux.  L'inégahté  d'intensité  peut,  dans  certains  cas  par- 
ticuliers, aller  jusqu'à  l'extinction  absolue  de  certains  de  ces  fais- 
ceaux :  on  observe  alors  qu'il  disparaît  toujours  deux  faisceaux  à  la 
fois,  sur  les  quatre  faisceaux  qu'on  obtenait  dans  le  cas  général. 

Considérons  d'abord  ce  qui  arrive  au  rayon  ordinaire  sorti  du 
premier  cristal,  et  supposons  qu'il  rencontre  toutes  les  faces  réfrin- 
gentes du  premier  et  du  second  cristal  sous  des  incidences  peu 
éloignées  de  la  no^male.  —  L'expérience  montre  que  le^s  deux  rayons 
auxquels  il  donne  naissance,  par  son  passage  dans  le  second  cristal, 
éprouvent  la  série  de  variations  représentée  par  le  tableau  suivant, 
dans  lequel  on  a  désigné  par  00'  le  rayon  ordinaire  émergent  du 
second  cristal,  par  OE'  le  rayon  extraordinaire,  para  l'angle  des  sec- 
tions principales  des  deux  cristaux;  on  a  supposé  l'inten^'té  du  rayon, 
avant  son  passage  dans  le  second  cristal,  représentée  par  l'unité. 


POLARISATION. 


387 


INTENSITÉ  DB  00'. 

a=o    1 

«>o <IA;rois8ante 

I 

2 

fit  >  AS" décroissante 

a  =  go" zëro 


a  ^  45". 


IKTEBISITÉ  DE  OE'. 

zéro 

croissanle 
1 

2 

croissante 
1 


Malus  a  fait  remarquer  que,  dans  ces  diverses  positions  relatives, 
les  intensités  des  rayons  émergents  paraissent  pouvoir  être  assez 
exactement  représentées  par  les  formules 

00=cos^a, 
OF;=sin^a. 


Les  phénomènes  de  la  polarisation  chromatique,  qui  seront  étudiés 
plus  loin,  montrent  que  ces  formules  représentent  la  loi  exacte  du 
phénomène. 

Si  l'on  observe  de  même  les  variations  d'intensité  des  deux  rayons 
dans  lesquels  le  second  cristal  divise  le  rayon  extraordinaire  venu  du 
premier,  on  trouvera  que  les  intensités  de  ces  rayons  EO'  et  EE' 
prennent  successivement  les  valeurs  représentées  dans  le  tableau 
suivant  : 

INTENSITÉ  DE  EO'.  INTENSITÉ  DE  EE'. 

a  =  o zéro  i 

a  >  o croissante       décroissante 


«  =  45" 

flt>  45" 
ot-^90" 


1 

2 

croissante 

1 


1 
2 


décroissante 
zéro 


On  est  d'ailleurs  conduit  à  admettre,  avec  Malus,  les  formules  sui- 
vantes comme  représentant  les  intensités  de  ces  deux  rayons  émer- 
gents : 


E0'= 
EE'  = 


sin^a. 
cos^a. 


Le   rayon  ordinaire  et  le  rayon  extraordinaire  transmis  par  le 
premier  cristal  ont  donc  une  propriété  commune.  L'un  ou  l'autre, 

a5. 


388  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

reçu  sur  un  second  cristal  biréfringent,  se  divise  en  deux  rayons 
d'intensités  variables,  et  deux  positions  rectangulaires  de  la  section 
principale  du  second  cristal  éteignent  successivement  le  rayon 
ordinaire  et  le  rayon  extraordinaire  émergents.  —  On  est  convenu 
d'appeler  rayon  polarisé  tout  rayon  doué  de  cette  propriété  remar- 
quable, et  plan  de  polarisation  le  plan  auquel  est  parallèle  la  section 
principale  du  cristal  sur  lequel  on  reçoit  le  rayon  polarisé,  lorsque 
le  rayon  extraordinaire  émergent  s'éteint  ^^K 

Il  résulte  de  ces  définitions  que,  dans  l'expérience  qui  précède, 
pour  le  rayon  ordinaire  fourni  par  le  premier  cristal,  le  plan  de 
polarisation  est  la  section  principale  de  ce  cristal;  pour  le  rayon 
extraordinaire,  c'est  le  plan  perpendiculaire  h  la  section  principale. 


588.   PolarlMitioii  par  les  cristaux  blréfiptos^iita  eo  sé- 

néral.  —  Quelle  que  soit  l'incidence  sous  laquelle  s'opère  la  double 
réfraction  par  les  cristaux  h  un  axe,  le  rayon  ordinaire  et  le  rayon 
extraordinaire  sont  toujours  polarisés,  mais  leurs  plans  de  polarisa- 
tion n'ont  pas,  en  général,  les  situations  qu'on  vient  de  définir  :  ce 
qui  précède  ne  s'applique  rigoureusement  qu'au  cas  où  l'incidence 
est  normale.  Seulement,  ces  deux  plans  sont  toujours  à  peu  pi^ 
perpendiculaires  l'un  sur  l'autre,  et  ils  approchent  d'autant  plus  de 
l'être  exactement  que  la  double  réfraction  est  plus  faible. 

Dans  les  cristaux  à  deux  axes,  où  il  n'y  a  plus,  en  général,  de 
section  principale,  les  deux  rayons  sont  encore  polarisés,  et  leurs 
plans  de  polarisation  sont  encore  sensiblement  à  angle  droit  l'un 
avec  l'autre. 

Enfin ,  si  l'incidence  sur  le  second  cristal  est  notablement  diffé- 
rente de  l'incidence  normale,  les  lois  de  variation  des  deux  rayons 
réfractés  s'écartent  plus  ou  moins  de  la  simplicité  des  lois  précé- 
dentes, mais  il  existe  toujours  deux  positions  du  cristal,  à  peu  près 
perpendiculaires  Tune  à  l'autre,  pour  lesquelles  le  rayon  ordinaire 
et  le  rayon  extraordinaire  s'éteignent  successivement. 

^'^  Ces  expressions,  empruntées  au  système  de  IVmission,  rappellent  que  le  rayon  dt* 
lumière  auquel  elles  s'appliquent  n^est  pas  constitué  de  la  même  façon  par  rapport  à  tom 
les  plans  qu'on  peut  mener  par  sa  direction,  et  que  ses  propriétés  dépendent  de  forienta- 
lion  d'un  certain  plan,  de  même  que  les  actions  d*un  aimant  sur  un  point  eitéri**iir  dé- 
pendent de  Torientation  de  la  ligne  des  pôiea. 


POLARISATION.  389 

589.  Iiumiére  naturelle.  —  On  appelle  lumière  naturelle  la 
lumière  qui  donne  toujours  dans  un  cristal  biréfringent  deux  rayons 
d'égale  intensité,  quelle  que  soit  la  position  de  la  section  principale 
de  ce  cristal. 

La  lumière  du  soleil  ou  des  étoiles,  la  lumière  des  gaz  incandes- 
cents, la  lumière  diffusée  par  les  nuées  atmosphériques,  jouissent, 
comme  on  l'a  dit  plus  haut,  de  cette  propriété.  Elle  appartient  éga- 
lement au  faisceau  lumineux  que  l'on  compose  en  réunissant  les 
deux  faisceaux  égaux  et  polarisés  à  angle  droit  dans  lesquels  un 
cristal  biréfringent  a  divisé  un  faisceau  naturel;  de  là  résulte  que, 
indépendamment  de  toute  théorie,  il  est  permis  de  considérer  un 
faisceau  de  lumière  naturelle  comme  équivalent  au  système  de  deux 
faisceaux  d'égale  intensité,  polarisés  dans  des  plans  rectangulaires, 

590.  Iiumtére  partlellemeiit  polarisée.  —  Si  l'on  super- 
pose un  faisceau  de  lumière  naturelle  à  un  faisceau  de  lumière 
polarisée,  et  si  on  reçoit  le  faisceau  résultant  sur  un  cristal  biréfrin- 
gent, il  se  partage  en  deux  faisceaux,  d'intensités  généralement  iné- 
gales, mais  dont  aucun  ne  se  réduit  à  zéro,  pour  aucune  position  du 
cristal.  Cette  propriété  caractérise  l'état  de  polarisation  partielle,  — 
Le  plan  de  polarisation  partielle  est  parallèle  à  la  position  de  la 
section  principale  du  cristal  qui  donne  au  faisceau  ordinaire  son  in- 
tensité maxima,  et  au  faisceau  extraordinaire  son  intensité  minima. 

On  obtient  aussi  de  la  lumière  partiellement  polarisée  par  la  su- 
perposition de  deux  faisceaux  polarisés  à  angle  droit,  d'intensités 
inégales. 

591.  Analyse  d'un  ffalseeaii  partiellement  polarisé 9  au 
mojen  des  eristauiL  biréfringents.  —  Il  résulte  des  définitions 
précédentes  que  l'on  peut  toujours,  à  l'aide  d'un  cristal  biréfringent, 
déterminer  si  un  faisceau  lumineux  est  naturel,  complètement  pola- 
risé ou  partiellement  polarisé. 

Lorsqu'il  s'agit  d'un  faisceau  partiellement  polarisé,  il  suffit  de 
mesurer  l'intensité  du  faisceau  ordinaire  et  celle  du  faisceau  extra- 
ordinaire, dans  la  position  du  cristal  qui  rend  la  première  maxima 
et  la  seconde  minima,  pour  obtenir  aisément  les  proportions  de  lu- 


390  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

mière  naturelle  et  de  lumière  polarisée  qui  entrent  dans  la  composi- 
tion du  faisceau.  —  En  effet,  si  l'on  désigne  par  a  et  6  ces  propor- 
tions, et  si  l'on  représente  par  a  l'angle  de  la  section  principale  du 
cristal  avec  le  plan  de  polarisation  primitif,  dans  une  orientation 
quelconque  du  cristal ,  le  rayon  ordinaire  émergent  sera  formé  de  la 
moitié  de  la  lumière  incidente  naturelle  et  d'une  fraction  de  la  lu- 
mière polarisée  exprimée,  en  vertu  de  la  loi  de  Malus,  par  cos^a;  son 
intensité  sera  donc 

-  +  6cos^a. 

2 

I/intensité  du  rayon  extraordinaire  émer^jent  sera,  de  même, 

-  +  6sin'*a. 

Ces  deux  intensités  sont  égales  entre  elles  lorsqu'on  a,  en  particulier. 
a=^  65  degrés.  —  La  première  est  maxima  et  la  seconde  miniroa, 

lorsque  a  =  o;  leurs  valeurs  se  réduisent  alors  à  -  +  A  et  à  -• 

Les  opérations  qu'on  vient  d'indiquer  constituent  VaHaly$e  du 
rayon  lumineux.  Le  cristal  biréfringent  qui  sert  à  les  effectuer  reçoit 
le  nom  de  cristal  analyseur,  —  L'expression  de  cristal  polariêeur  n'a 
pas  besoin  d'être  définie. 

592.  Prismea  biréfriB|(eiit««—  Un  cristal  biréfringent  k  faces 
parallèles  ne  peut  être  employé  comme  analyseur  ou  comme  pela- 
riseur  qu'à  la  condition  de  séparer  complètement  le  faisceau  ordi- 
naire et  le  faisceau  extraordinaire  qui  proviennent  du  faisceau  inci- 
dent. Or,  on  trouve  rarement  des  fragments  de  spath  assez  épais  et 
assez  purs  pour  opérer  cette  séparation  d'une  manière  complète, 
lorsque  le  faisceau  incident  est  un  peu  large;  le  quartz  «  qu'on  trouve 
plus  facilement  en  cristaux  de  grandes  dimensions,  est  si  peu  biré- 
fringent que  le  passage  au  travers  d'une  lame  à  faces  parallèles  ne 
peut  séparer  que  des  faisceaux  très-déliés;  les  autres  matières  cris- 
tallines ne  conviennent  guère  mieux  pour  cette  expérience.  —  De 
là  la  nécessité  d'avoir  recours  aux  prismes  biréfringents:  il  suflBt 
d'ailleurs  de  leur  donner  un  angle  assez  petit,  ce  qui  a  l'avantage 


POLAKISATION.  391 

de  permettre  d'avoir,  pour  tous  les  rayons,  des  incidences  voisines 
de  l'incidence  normale.  Mais  il  est  nécessaire  d'acbromatiser  ces 
prismes^,  ce  que  l'on  ne  peut  réaliser  à  la  fois  d'une  manière 
exacte  pour  le  rayon  ordinaire  et  pour  le  rayon  extraordinaire. 

593.  Prisme  de  IVleol.  —  lHodlfleatloii  de  Foueault.  — 

On  préfère ,  dans  la  plupart  des  cas ,  à  un  prisme  biréfringent  achro- 
matisé,  l'appareil  connu  sous  le  nom  de  prismcde  Nicol.  —  C'est  un 
parallélipipède  de  spath ,  qui  est  limité  par  des  faces  parallèles  aux 
faces  naturelles,  et  qui  a  été  scié  en  deux,  suivant  un  pian  perpendi- 
culaire à  la  section  principale;  on  a  ensuite  réuni  les  deux  moitiés, 
en  plaçant  entre  elles  une  couche  mince  de  baume  du  Canada. 
L'indice  de  réfraction  de  cette  substance  étant  intermédiaire  entre 
rindice  ordinaire  et  l'indice  extraordinaire  du  spath,  il  peut  arriver 
que»  à  partir  d'une  incidence  convenable,  les  rayons  ordinaires  se 
réfléchissent  totalement,  les  rayons  extraordinaires  étant  librement 
transmis.  On  donne  à  la  coupe  faite  dans  le  cristal  une  direction  telle, 
que  cette  condition  soit  satisfaite  pour  les  rayons  qui  tombent  sur 
ses  bases  sous  des  incidences  voisines  de  la  normale ,  et  l'on  noircit 
les  faces  latérales  pour  éviter  les  réflexions  intérieures.  En  même 
temps,  afin  de  ne  pas  augmenter  inutilement  la  longueur  du  paral- 
lélipipède, on  s'arrange  de  manière  que  la  coupe  passe  par  les  deux 
sommets  réguliers  opposés  :  les  rapports  de  longueur  des  arêtes  du 
parallélipipède  sont  alors  déterminés. 

D'après  ce  qu'on  a  vu  plus  haut  (583),  l'interposition  du  baume 
du  Canada  entre  les  deux  moitiés  du  cristal  que  l'on  rapproche 
Tune  de  l'autre  n'est  pas  nécessaire  :  à  la  surface  d'une  lame  d'air, 
rincidence  peut  être  telle ,  que  le  rayon  ordinaire  se  réfléchisse  tota- 
lement, le  rayon  extraordinaire  étant  transmis.  Il  arrive  même  que 
la  valeur  de  l'angle  d'incidence  pour  laquelle  ce  phénomène  se  pro- 
duit est  moindre  quand  les  rayons  arrivent  sur  une  lame  d'air  que 
lorsqu'ils  tombent  sur  une  couche  de  baume  du  Canada,  ce  qui 
pennet  de  donner  au  prisme  une  longueur  moindre  par  rapport  à  sa 
largeur.  —  On  obtient  donc  ainsi  plus  aisément  des  appareils  pro- 
pres à  polariser  de  larges  faisceaux  de  lumière  naturelle  ;  mais  les 
incidences  sous   lesquelles    la   réflexion    du   rayon  ordinaire    est 


392  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

totale  sont  resserrées  entre  des  limites  beaucoup  plus  étroites  que 
lorsqu'on  conserve  la  couche  interposée  de  baume  du  Canada. 
Les  deux  espèces  de  prismes  ne  peuvent  donc  pas,  dans  toutes  les 
expériences  de  polarisation ,  être  indifféremment  substituées  Tune  à 
l'autre. —  Cette  modification  intéressante  du  prisme  de  Nicol  est  due 
à  Léon  Foucault. 


59â.  Propriétés  de  la  tourmaline  et  deo  eristaux  ai 
losues.  —  On  trouve  dans  la  nature  un  certain  nombre  de  cristaux 
dont  la  tourmaline  est  le  type,  et  qui  polarisent  la  lumière  comme 
un  prisme  de  Nicoi,  parce  que,  sous  une  épaisseur  suffisante,  ils 
arrêtent  totalement  l'un  des  rayons  produits  par  ia  double  réfraction, 
en  laissant  passer  l'autre. 

Si,  dans  une  tourmaline  un  peu  fortement  colorée  en  vert  ou  en 
brun ,  on  taille  une  plaque  parallèle  à  l'axe,  ayant  une  épaisseur 
d'un  ou  deux  millimètres ,  et  qu'on  la  fasse  traverser  par  un  faisceau 
lumineux  qui  en  couvre  toute  l'étendue,  le  faisceau  émergent  est 
polarisé  dans  un  plan  perpendiculaire  à  l'axe  et  est  formé  unique- 
ment de  rayons  extraordinaires.  —  Réciproquement,  un  faisceau 
qui  est  primitivement  polarisé  dans  un  plan  parallèle  à  l'axe  de  la 
tourmaline,  et  qui,  dans  le  cristal,  donne  naissance  uniquement  à 
des  rayons  ordinaires,  est  entièrement  arrêté  par  cette  plaque. 

De  là  résulte  que  deux  plaques  semblables,  mises  à  la  suite  l'une 
de  l'autre,  transmettent  en  partie  ou  arrêtent  en  totalité  la  lumière 
incidente  suivant  que  leurs  axes  sont  parallèles  ou  croisés  à  angle 
droit.  —  Un  pareil  système  de  deux  plaques  de  tourmaline,  mobiles 
dans  des  anneaux  placés  aux  deux  extrémités  d'une  pince  métallique, 
constitue  la  pince  à  tourmaline,  dont  les  minéralogistes  font  un  fré- 
quent usage,  ainsi  qu'il  sera  expliqué  plus  loin. 

595.  Prisme  de  Roeiioii*  —  Soient  deux  prismes  rectangles 
égaux,  ABC,  ADC  (fig.  ^76),  taillés  dans  un  cristal  de  quartz  de 
façon  que  l'axe  soit,  dans  l'un,  perpendiculaire  à  la  face  Afi;  dans 
l'autre ,  parallèle  aux  arêtes  réfringentes.  Réunissons  ces  deux  prismes 
par  leurs  faces  hypoténuses,  et  faisons  tomber  sur  le  premier  un 
rayon  de  lumière  SH,  normalement  à  la  face  AB.  Comme  ce  rayon 


POLARISATION. 


arrive  suivant  la  direction  de  Taxe,  il  pénétrera  dans  le  cristal  sans 
se  diviser;  mais,  en  rencontrant  te  second  prisme  au  point  I,  il  se 
partagera  en  deux  autres  rayons  rjui  suivront  à  l'entrée  et  à  la  sortie 


les  lois  de  Descartes,  puisque  l'axe  du  second  prisme  est  perpendi- 
culaire au  plan  d'Incidence.  D'ailleurs,  le  rayon  incident  SI,  qui  se 
propage  dans  le  premier  prisme  suivant  l'axe,  doit  ^tre  considéré 
comme  un  rayon  ordinaire  ayant  pour  indice  de  réfraction  ».  Soit 
maintenant  m  l'indice  extraordinaire  du  quartz;  en  pénétrant  dans  le 
second  prisme,  le  rayon  SI  se  décomposera  en  deux  autres,  savoir  : 
un  rayon  ordinaire  qui,  d'après  un  principe  connu  (â07),  aura 
alors  pour  indice  de  réfraction  -,  c'est-à-dire  i'unité,  et  un  rayon 
extraordinaire  qui  aura  pour  indice  de  réfraction  ->  quantité  qui. 
pour  le  quartz,  est  plus  grande  que  l'unité. 

On  voit  donc  que  le  rayon  ordinaire  fourni  par  le  second  prisme 
suivra  la  direction  primitive  SI,  et  (|ue,  rencontrant  normalement  la 
face  CD,  il  émergera  lînalement  sans  avoir  changé  de  direction.  Le 
rayon  extraordinaire,  pénétrant  en  I,  se  rapprochera  de  la  normale; 
en  émergeant  en  R,  il  s'écartera  de  la  normale  à  la  face  d'émer- 
gence; et  si  l'on  désigne  par  a  l'angle  BAC  ou  CAD,  par  r  l'angle  du 
rayon  IR  avec  la  normale  à  la  face  AC,  et  par  S  l'angle  du  rayon 
émergent  RP  avec  la  normale  à  la  face  CD,  c'est-à-dire  avec  le 
rayon  IN,  on  aura,  en  remarquant  que  l'angle  a  est  égal  à  l'angle 
d'incidence  au  point  1 , 

sin  «=  -sinr, 
sin^=msin  (a  —  r). 


39A  OPTIQUE  THEORIQUE. 

Or,  pour  le  quartz ,  le  rapport  —  de  l'indice  de  réfraction  ordinaire 

à  rindicc  de  réfraction  extraordinaire  est  très-voisin  de  l'unité  : 
les  valeurs  numériques  des  quantités  m  et  n  sont  sensiblement 
m=  1,55  et  n==  i,5&.  Dès  lors.  Faille  r  diftre  très-peu  de  a.  et 
la  différence  a  —  r  esl  très-petite;  par  suite»  «10(01—  r)  peut  se  rem- 
placer par  (a  — r),  et  sini  par  S  :  alors  la  seconde  équation  se 
réduit  à  la  relation  approchée 

Quant  à  la  première,  on  peut  la  mettre  sous  la  forme 

n  sin  a  =  m  sin  [a  —  (a  —  r)J, 

ou  bien ,  en  développant  le  sinus  de  la  différence  a  —  (a  —  r)  et  se 
bornant  à  la  même  approximation  que  plus  haut,  c*est-à*dire  rem- 
plaçant cos  (a  -  r)  par  Tunité  et  sin  (a  —  r)  par  a  —  r. 

Il  sin  a  =  m  sin  «  —  m  (a  —  r)  cos  a, 

ce  qui  donne 

«-r  =  -^tanga. 

En  substituant  maintenant  cette  valeur  de  a  -  r  dans  la  valeur 
de  S.  il  vient 

S^  ini  — ni  tang  «, 

ou,  ce  qui  revient  uu  même, 

tang  S  =  (m  —  h)  tang  a. 

On  donne  au  svstème  de  ces  deux  prismes  le  nom  de  /nrùme  Je 
RockoH.  —  Les  rayons  qui  tombent  sur  un  pareil  s}stèine«  sou> 
des  incidences  peu  inclinées,  doivent  se  comporter  à  très-peu  près 
comme  si  leur  incidence  était  normale  ' . 

'-  Au  pmiti«r  ^bonl,  il  peut  setnbknr  i|iie«  À  fiiKideiio*  u'esi  pas  «uilraienl  oonnale. 
il  doit  y  a%oir  deti\  mom  rvfrarW»  <Ua»  It  ptviiw  prisiue  «4  i|iialr«  «iaos  le  ««vroni. 
tiuis.  ctumne  t^  >«*cliMi»^  imncipaUr»  «U«  iieu%  prwtn*^  mniI  retiaii|;iibiiv>,  c«»  atulrr 


POLARISATION. 


596.  kineMe  de  ■•cli»ii.  —  Il  résulte  de  l'i^tude  qui  pré- 
cède que,  si  l'on  place  un  prisme  de  Bochon  C  (fig.  It-jj)  entre 
l'objectif  0  d'une  lunette  et  le  foyer  principal  de  cet  objectif,  un 
objet  extérieur  donnera  dans  le  plan  focal  deux  images,  l'une  ordi- 


naire AgBg,  l'autre  extraordinaire  A«Bg.  Kn  déplaçant  le  prisme,  on 
pourra  amener  ces  deux  images  à  se  toucher  par  leurs  bords  oppo- 
sés. As,  By.  Si  alors  on  désigne  par  1  la  grandeur  de  l'image,  par  h 
sa  distance  au  prisme,  on  aura,  en  vertu  de  la  petitesse  de  l'angle  S 
et  de  l'égaillé  approximative  des  longueurs  CBo,  GB,, 

I  =  Il  tang  S. 

D'ailleurs,  en  désignant  par  0  la  grandeur  de  l'objef ,  [lar  D  sa  dis- 
tance à  l'objet-tif  et  par  F  la  distance  focale,  on  »  loujours 


,-* 


tang^ 


expression  qui  pourra  servir  à  déterminer,  par  une  mesure  de  h, 
celle  des  deux  quantités  0  et  D  qu'on  ne  connaîtra  pas,  ou  leur 
rapport,  c'est-à-dire  le  diamètre  apparent  de  l'objet.  Pour  cela.  Il 
suflira  que — ^  soit  connu  une  fois  pour  toutes,  et  c'est  à  quoi  l'on 
parviendra  aisément  par  une  observation  faite  sur  un  objet  de  gran- 
deur connue,  placé  à  une  distance  connue. 

C'est  ainsi  qu'on  peut  déterminer,  par  une  obsenation  unique  el 
rapide,  et  avec  une  approximatioii  sullisanle,  la  distance  à  laquelle 


396  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

se  trouve  un  corps  de  troupes  ou  une  pièce  d'artillerie.  —  On  a  re- 
noncé à  se  servir  du  prisme  de  Rochon  dans  les  observations  astro- 
nomiques, à  cause  des  irisations  dont  Timage  extraordinaire  est 
toujours  bordée.  Quant  à  l'image  ordinaire ,  il  résulte  de  la  marche 
des  réfractions  successives  qu'elle  est  exactement  achromatique. 

POLARISATION  PAR  RI^FLEXION  ET  PAR  REFRACTION  SIMPLE. 

597.  Polarisation  par  réllexioii.  —  ExpérleiiMa  de 
malus. —  A  la  suite  d'une  observation  fortuite  sur  la  lumière  du 
soleil  couchant,  réfléchie  par  les  vitres  des  fenêtres  d'un  édifice 
éloigné,  Malus  a  découvert  la  série  des  faits  suivants  : 

i"*  Sous  une  incidence  convenable,  toutes  les  substances  non 
métalliques  polarisent  la  lumière  qu'elles  réfléchissent. 

a°  Le  plan  de  polarisation  de  la  lumière  réfléchie  est  le  plan  de 
réflexion  lui-même. 

3°  Sous  toute  autre  incidence,  la  lumière  réfléchie  est  partiel- 
lement polarisée  dans  le  plan  de  réflexion. 

!i''  Les  métaux,  et  ceux  de  leurs  composés  qui  sont  doués  de 
l'éclat  métallique,  n'impriment  à  la  lumière  réfléchie,  sous  toutes  les 
incidences,  qu'une  polarisation  partielle,  souvent  même  assez  peu 
sensible. 

598.  liOl  de  Brewster*  —   Ansle  de  polarisation*  — 

Brewster  a  reconnu  que  rinctdence  sous  laqtÂelk  la  polarisation  par  ré- 
Jlexion  est  complète  a  pour  tangente  Vindice  de  réfraction  de  la  substance 
réJUcliissante. 

Il  résulte  de  là  que,  pour  cette  incidence,  le  rayon  réfracté  qui 
pénètre  dans  la  substance  et  le  rayon  réfléchi  sont  perpendiculaires 
l'un  à  l'autre;  en  effet,  lorsque  l'angle  d'incidence  t  a  la  valeur  pour 
laquelle  la  polarisation  est  complète,  la  loi  de  Brewster  donne 


smi 
cosi        ' 

d'ailleurs,  d'après  la  loi  de  Descartes,  on  a  toujours 

sin  I 

- —  =  n: 
smr        * 


POLARISATION.  397 

on  a  donc,  dans  ce  cas,  cost  =  sinr,  c'est-à-dire 

;4-r=90°. 

Or  l'angle  formé  par  le  rayon  réfléchi  avec  le  rayon  réfracté  est 
égal  à(9o"— 1)4-(90"— r)  ou  bien  à  iSo**— (t  +  r);  donc,  sous  l'in- 
cidence de  la  polarisation  complète ,  cet  angle  est  égal  à  90  degrés. 

On  est  convenu  d'appeler  angle  de  polariMtion  le  complément  de 
l'incidence  qui  polarise  complètement  la  lumière  réfléchie,  ou  l'angle 
du  rayon  incident  avec  la  surface.  Si  l'on  désigne  cet  angle  par  A , 
il  résulte  de  la  loi  de  Brewster  qu'il  est  donné,  pour  chaque  subs- 
tance en  particulier,  par  la  relation 

cot  k  =  n 
ou  bien 

langA  =  ^^- 

L'expérience  montre  que,  sous  des  incidences  très-voisines  de 
zéro  ou  de  90  degrés,  la  polarisation  partielle  de  la  lumière  réflé- 
chie est  à  peine  sensible  :  on  en  doit  conclure  que,  s'il  était  possible 
d'observer  le  rayon  réfléchi  dans  une  direction  rigoureusement  nor- 
male ou  parallèle  à  la  surface,  on  n'y  trouverait  aucune  trace  de 
polarisation. 

599.  Polarisatloii  par  réirmmiiowk  simple.  —  La  réfrac- 
tion simple  polarise  partiellement  la  lumière,  dans  un  plan  perpen- 
diculaire au  plan  d'incidence. —  La  proportion  de  lumière  polarisée 
que  contient  le  faisceau  réfracté  est  nulle  sous  l'incidence  normale, 
et  croissante  avec  l'incidence;  mais  elle  ne  représente  jamais  l'inten- 
sité entière  du  faisceau. 

L'absence  de  toute  polarisation  dans  la  lumière  réfractée  sous 
l'incidence  normale  peut  être  facilement  vérifiée  par  l'expérience, 
en  employant  une  lame  à  faces  parallèles. 

Quant  aux  lois  de  la  polarisation  partielle,  sous  diverses  inci- 
dences, on  peut  les  constater  en  faisant  usage  d'une  série  de  prismes 
d'angles  divers,  dans  lesquels  on  fait  passer  la  lumière  de  manière 
que  la  seconde  ou  la  première  réfraction  s'opère  sous  l'incidence 


398  OPTIQUE  THËORIQUE. 

normale  (fig.  478),  r'pst-ù-dire  de  manière  qup  l'une  des  deux 

['/'friid ions  n'aif  nuruné  inllnence.  On  reconnaît  ainsi  que  la  réfrac- 


tion agit  dp  la  même  manière,  quel  que  soil  l'ordre  dans  lequel  les 
deux  milieux  ri^friiigents  sont  placés  l'un  par  rapport  à  l'autre. 

600.  Polarlmtlsn  par  r«a«Llsii  Intérieure.  —  Si  l'on  fait 
tomber  un  rayoji  lumineux  normalement  sur  l'une  des  faces  AB  d'un 
prisme  isocèle  (fig.  ^79)1  le 
rayon  réfléchi  sur  la  base  BG  du 
prisme  traversera  encore  nor^ 
malement  la  face  d'émergence 
AC  ;  on  pourra  donc,  par  cette 
disposition,  étudier  l'efl'et  pro- 
duit par  la  réfleiioo  intérieure 
au  point  D,  sana  avoir  à  crain- 
dre que  cet  eiïet  soit  troublé  par 
les  deux  réfractions  successives. 
—  C'est  par  des  observations  de  ce  genre  que  Malus  a  obtenu  les 
résultats  suivants  : 

r  La  réflexion  intérieure,  comme  la  réflexion  extérieure,  pola- 
rise en  général  partiellement  la  lumière,  e(  le  plan  de  polarisation 
est  le  plan  d'incidence. 

q"  La  polarisation  est  nulle  sous  l'incidence  normale  et  sous  les 
incidences  pour  lesquelles  la  réflexion  est  totale. 

3°  La  polarisation  est  complète  sous  une  incidence  R,  qui  est 
liée  avec  l'incidence  1,  sous  laquelle  la  polarisation  serait  complète 


POLARISATION.  39y 

(latiii  le  ras  de  la  péllexion  extérieure,  par  la  relation 
sin  I  =  nsin  R. 

Cette  dernière  loi  est  une  consé(|uence  immédiate  de  la  loi  dp 
Brewsler  (598).  En  elTet,  si  la  loi  convient  également  à  la  réflexion 
intérieure  e(  à  la  réflexion  extérieure,  on  aura,  pour  la  réflexion 
intérieure, 

tangl  =  (i; 

on  a  d'ailleurs,  pour  \n  réflexion  exlérieurc, 

I.TngR=^-' 


rp  (|ui  donne 

tangl  tangR=  i. 

f'est-à-dire 

I  +  R-go-: 

enlin .  en  remplaça 

ni  ros  1  par  sin  R ,  dans  la  relation 

sini 
cosl~"' 

Il  en  résulte  que,  si  l'on  taille,  sur  le  bord  d'une  lame  épaisse  à 
lares  parallèles  ABCD  (fig.  '180),   une  face  AC  inriinée  de  façon 


qu'elle  soit  normale  au  rayon  RN  qui  aura  pénétré  en  1  sous  l'angle 
de  polarisation  et  qui  se  sera  réfléchi  en  R  .sur  la  seconde  surfare, 
ce  rayon  RN  sera  entièrement  polarisé  dans  lo  plan  d'incidence. 


400  OPTIOUB  THÉORIQUE. 

601.   Réflemtoii  et  réfraction  de  la  Imniére 

—  Lh  lijiiii(!n*  |)olariH/*e  ne  diffère  pas  seulement  de  la  lumière  na- 
turidle  par  In  manière  dont  elle  se  partage  entre  le  faisceau  ordi- 
naire et  le  faisceau  extraordinaire,  lorsqu'elle  traverse  un  cristal  bi- 
r/^fringent.  Lors(|u'eile  rencontre  la  surface  de  séparation  de  deui 
milieux  uniréfringcnts,  elle  se  partage  entre  le  faisceau  réfléchi  et 
le  faisceau  réfracté  dans  une  proportion  qui  dépend  de  la  sitoatioD 
relative  du  plan  d'incidence  et  du  plan  de  polarisation  primitif.  — 
Les  observations  de  Malus  ont  conduit  aux  résultats  suivants  : 

i"  Sous  une  incidence  quelconque,  la  proportion  de  lumière* 
réflécbie  est  niaxinia  lorsque  le  plan  de  polarisation  est  parallèle  auL 
plan  d'incidence  ;  elle  est  minima  lorsqu'il  lui  est  perpendiculaire  =. 
elle  décrott  régulièrement  entre  le  maximum  et  le  minimum. 

!i"  Sous  l'incidence  de  la  polarisation  complète,  la  proportion  d& 
lumière  réfléchie  est  nulle  lorsque  le  plan  de  polarisation  est  per- 
pendiculaire au  plan  d'incidence;  en  général,  sous  cette  incidence. 
si  et  est  l'angle  que  ces  deux  plans  font  l'un  avec  l'autre,  la  propor^ 
tion  de  lumière  réfléchie  varie  comme  les  valeurs  de  cos^a. 

y  Lu  prt)portion  do  lumière  réfractée  est  toujours  complément 
laire  de  la  prt)portion  de  lumière  réfléchie;  par  conséquent,  elle  est 
minima  quand  la  lumière  réfléchie  est  maxima,  et  réciproquement, 
mais  le  minimum  d'intensité  de  la  lumière  réfractée  est  toujours 
très-différent  de  léro.  On  constate  en  effet  que,  quelle  que  soit  Fin- 
cidence  et  quel  que  soit  le  plan  de  polarisation  primitif,  aussi  long- 
temps qu*un  rayon  réfracté  est  possible  en  vertu  de  la  loi  de  Des- 
cartes «  le  faisceau  n^fl<^hi  n*e$t  qu*ane  fraction  du  faisceau  incident. 

Relativement  aux  m^ies  phénomènes,  on  doit  en  outre  k  Fresnel 
d'avoir  signalé  tes  faits  suivants  : 

I  *  l«a  lumière  primitivement  polarisée  demeure  polarisée  après  la 
réflexion  ou  la  n^fradion.  pouna  que  la  réfleiioii  se  soit  pas  totale. 

«^  Le  plan  de  {H^larisation  de  la  lumière  réfléchie  on  réfractée 
>e  c\inf\%nd  a\ec  le  plan  de  |Mi>lari$ation  primitif,  lorsque  celui-ri  e4 
l^rallèle  ou  {H^r^H^ndioulairv  au  plan  dTincidence. 

S^  Oans  tout  autrv  ca:^,  le  plan  de  polarisation  de  la  luniènr 
n^fl^^hie  tend  ^  se  ra|«(mKHer  du  plan  «Tincklence:  le  pbu  de  piJa- 


POLARISATION.  401 

risation  de  la  lumière  réfractée  tend  à  se  rapprocher  d'un  plan 
perpendiculaire  au  plan  d'incidence  ^'^ 

Â*  La  réflexion  totale  ne  modifie  pas  les  propriétés  de  la  lumière 
polarisée  incidente,  lorsque  le  pian  de  polarisation  est  parallèle  ou 
perpendiculaire  au  plan  d'incidence;  mais,  dans  tout  autre  cas,  elle 
lui  communique  les  propriétés  de  la  lumière  partiellement  polarisée, 
ou  même  de  la  lumière  naturelle. 

Enfin,  Brewster  a  observé  que  les  métaux  impriment  à  la  lumière 
polarisée  qui  vient  se  réfléchir  à  leur  surface  des  modifications  ana- 
logues aux  modifications  qui  résultent  de  la  réflexion  totale. 


$02.  P^lariseurs  et  anmljAciirs  fondés  mr  la  réflemiaM 
•H  mr  to  réfractiaii  slBiple.  —  Il  résulte  des  propriétés  pré- 
cédentes qu'une  glace  noire  recevant  les  rayons  sous  l'angle  de 
polarisation  peut  servir  Ôl analyseur  pour  la  lumière  polarisée,  au 
même  titre  qu'un  prisme  biréfringent  achromatique  pour  les  rayons 
ordinaires,  puisque  les  variations  d'intensité  du  rayon  réfléchi, 
lorsque  la  lumière  incidente  est  polarisée,  se  font  suivant  les  mêmes 
lois  que  les  variations  d'intensité  du  rayon  ordinaire  réfracté  par  un 
prisme  biréfringent  dont  la  section  principale  serait  parallèle  au 
plan  de  réflexion.  Seulement,  la  lumière  réfléchie,  alors  même 
qu'elle  atteint  le  maximum  d'intensité,  n'est  toujours  qu'une  fraction 
assez  faible  de  la  lumière  incidente;  il  en  résulte  que  la  sensibilité 
d'un  analyseur  fondé  sur  la  réflexion  est  inférieure  à  celle  d'un 
prisme  biréfringent  ou  d'un  prisme  de  Nicol.  Elle  est  généralement 
supérieure  à  celle  d'une  tounnaline  ^^l 

La  réfraction,  au  contraire,  ne  détermine  jamais  l'extinction  com- 
plète de  la  lumière,  mais  seulement  des  variations  d'intensité  assez 
peu  marquées  ;  dès  lors ,  il  paraît  diflicile  de  faire  servir  ce  phéno- 

^')  11  est  à  peine  utile  de  faire  remarquer  que,  dans  la  réflexion  sous  Tincidence  de  la 
polaristtion  complète,  le  rapprochement  du  plan  de  polarisation  et  du  plan  d'inddence 
arrive  an  parallélisme. 

^)  L*usage  d^une  glace  noire  comme  analyseur  a  encore  Tinconvénient  d*offnr  à  Tob- 
servaleur  un  rayon  réfléchi  dont  la  direction  varie  sans  cesse  à  mesure  qu'on  fait  tourner 
le  plan  de  réflexion.  On  y  remédie  en  faisant  réfléchir  deux  fois  la  lumière  par  des  miroirs 
parallèles,  et ,  afin  de  ne  perdre  que  le  moins  possible  de  lumière  par  la  seconde  réflexion , 
00  prend  pour  miroir  auxiliaire  une  glace  étamée  ou  un  miroir  métallique. 

ViaftgT,  IIL  —  Cours  de  phys.  II.  s 6 


402  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

mèoe  h  l'analyse  de  la  lainière  polarisée.  Cependant,  en  maltîplianl 
le  nombre  des  réfractions,  on  est  panrenu  à  construire  des  appareik 
qui  peuvent,  dans  certains  cas,  être  utilement  employés  comme 
polariseurs  ou  comme  analyseurs.  —  Si  Ton  fait  tomber  un  faisceau 
de  lumière  naturelle  sur  une  série  de  glaces  à  faces  parallèles,  on 
peut  aisément  prévoir  ce  qui  arrivera,  en  considérant,  au  lieu  do 
faisceau  incident,  le  système  écrivaient  de  deux  faisceaux  égaux 
polarisés  à  ang^e  droit,  Tnn  dans  le  plan  de  réfraction,  l'autre  dans 
le  plan  perpendiculaire.  L'intensité  de  chacun  de  ces  faisceaux  di- 
minuera dans  un  rapport  constant  àchacpie  réfraction;  mais,  d'après 
ce  qu'on  vient  de  voir,  ce  rapport  sera  plus  grand  pour  le  faisceau 
polarisé  dans  le  plan  d'incidence  que  pour  le  faisceau  polarisé  dans 
le  plan  perpendiculaire.  11  pourra  donc  arriver,  si  le  nombre  des 
réfractions  est  suffisant ,  que  l'intensité  du  premier  faisceau  soit  ré- 
duite à  une  valeur  inappréciable,  celle  du  second  demeurant 
encore  très-sensible.  La  fnle  de  glaces  aura  ainsi  polarisé  à  peu  près 
complètement  la  lumière,  dans  un  plan  perpendiculaire  au  plan 
d'incidence.  —  Le  nombre.de  glaces  nécessaire  pour  obtenir  ce 
résultat  sera  minimum  et  l'intensité  du  faisceau  polarisé  transmis 
sera  maxima,  si  l'incidence  est  ceUe  de  la  polarisation  complète. 
On  sait  en  effet  que,  dans  ce  cas,  le  faisceau  polarisé  dans  un  pian 
perpendiculaire  au  plan  d'incidence  n'éprouve  aucun  affaiblissement 
par  la  réfraction,  puisqu'il  ne  donne  naissance  à  aucun  rayon  ré- 
fléchi. L'intensité  de  la  lumière  transmise  et  polarisée  par  la  pile 
doit  donc  être  estimée  à  la  moitié  de  l'intensité  de  la  lumière  inci- 
dente, si  l'on  fait  abstraction  des  effets  de  la  diffusion  et  de  l'ab- 
sorption. 

Les  mêmes  principes  expliquent  comment  une  pile  de  glaces  peut 
servir  d^analyseur,  puisque  Fintensité  de  la  lumière  transmise  peut 
y  être  insensible  lorsque  le  plan  de  polarisation  est  le  plan  d'inci- 
dence, et  égale  à  celle  de  la  lumière  incidente  lorsque  le  plan  de 
polarisation  est  perpendiculaire  au  plan  d'incidence  et  que  la  lu- 
mière tombe  sous  l'incidence  de  la  polarisation  complète. 

Les  piles  de  glaces  offrent  de  grands  avantages  lorsqu'il  s'agit  de 
polariser  ou  d'analyser  un  faisceau  de  lumière  large,  sans  en  changer 
la  direction.  Malheureusement,  les  effets  perturbateurs  de  la  diffusion . 


POLARISATION.  403 

aux  diverses  surfaces  réfringentes,  sont  ordinairement  si  grands,  que 
les  appareils  de  ce  genre  ne  conviennent  pas  aux  expériences  précises. 
Fresnel  n'a  obtenu  de  bons  résultats  qu'en  substituant  aux  lames 
de  verre  des  lames  cristallines  obtenues  par  clivage,  assez  minces 
pour  n'absorber  qu'une  faible  proportion  de  lumière,  et  possédant, 
en  vertu  de  l'opération  du  clivage,  un  poli  naturel  incomparable- 
ment supérieur  à  tout  poli  artificiel. 

INTERFÉRENCES  DE  LA  LUMIERE  POLARISEE. 

603.  Deux  rmjmwÈm  polarlités  daiM  des  plaiM  rectansu- 
lAlres  ne  peuvent  Interférer.  —  Expérlenees  de  Fresnel  et 
Arago.  —  Dans  un  travail  exécuté  en  commun ,  Fresnel  et  Arago 
ont  démontré,  par  les  procédés  les  plus  variés,  que  deux  rayons  lu- 
mineux polarisés  dans  des  plans  rectangulaires  ne  peuvent  interférer, 
c'est-à-dire  que  la  combinaison  de  ces  deux  rayons  a  une  intensité 
lumineuse  qui  est  indépendante  de  leur  différence  de  marche.  — 
On  rapportera  seulement  ici  deux  de  leurs  expériences. 

Première  expérience.  —  La  lumière  émanée  d'une  source  de 
très-petites  dimensions  étant  reçue  sur  deux  fentes  étroites  et  voi- 
sines, on  place  derrière  les  deux  fentes  deux  piles  de  lames  de  mica 
(602),  qu'on  a  obtenues  en  sciant  par  le  milieu  une  pile  unique,  et 
qui  offrent  ainsi  rigoureusement  la  même  épaisseur.  On  les  incline 
sur  la  lumière  incidente,  de  manière  que  cette  lomière  les  rencontre 
sous  l'angle  de  polarisation,  et,  en  les  faisant  tourner,  on  donne 
successivement  aux  deux  plans  d'incidence  diverses  positions. 

Si  les  deux  plans  d^incidence  sont  parallèles  entre  eux ,  les  plans 
de  polarisation  des  deux  faisceaux  émergents  sont  également  paral- 
lèles :  on  distingue  alors  des  franges  d'interférence,  aussi  nettement 
accusées  et  occupant  les  mêmes  positions  que  si  les  deux  piles 
n'existaient  pas.  —  Si  les  deux  plans  de  polarisation  sont  à  angle 
droit,  les  franges  d'interférence  disparaissent  complètement. 

Deuxième  expérience.  —  Derrière  les  deux  fentes  employées  dans 
l'expérience   qui  précède  on  place  une  lame  cristallisée  biréfrin- 

96. 


AOÛ  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

gente,  de  faible  épaisseur,  une  lame  de  gypse  par  exemple.  En  péné- 
trant dans  cette  lame,  chacun  des  faisceaux  interférents  se  décompose 
en  deux  ;  par  conséquent,  si  les  rayons  polarisés  à  angle  droit  avaient 
la  propriété  d'interférer,  on  devrait  observer  les  systèmes  de  franges 
suivants  : 

t*  Un  système  résultant  de  l'interférence  des  deux  faisceaux  or- 
dinaires :  ce  système  ne  différerait  pas  sensiblement  de  celui  qu'on 
observe  en  l'absence  de  la  lame  cristallisée,  parce  que  les  rayons 
ordinaires  venant  des  deux  ouvertures  parcourent  dans  la  lame  des 
chemins  égaux  avec  des  vitesses  égales; 

2"  Un  système  résultant  de  l'interférence  des  deux  faisceaux  ex- 
traordinaires :  ce  système  devrait,  en  raison  de  l'égalité  des  chemins 
parcourus  et  des  vitesses  de  propagation ,  se  superposer  exactement 
au  précédent; 

3""  Un  système  résultant  de  l'interférence  des  rayons  ordinaires 
de  l'une  des  ouvertures  avec  les  rayons  extraordinaires  de  i'aotre  : 
comme  ces  deux  groupes  de  rayons  parcourent  dans  ia  iame  des 
chemins  inégaux  avec  des  vitesses  inégales ,  ils  n'apportent  pas  des 
vitesses  de  vibration  concordantes  ail  milieu  de  l'ombre  géométrique 
de  l'intervalle  des  deux  ouvertures ,  en  sorte  que  la  firange  centrale 
qui  leur  correspond  devrait  être  déplacée  du  côté  des  rayons  qui  ont 
mis  le  plus  de  temps  à  traverser  la  lame  cristallisée; 

II"*  Un  système  résultant  de  l'interférence  des  rayons  extraordi- 
naires de  la  première  ouverture  avec  les  rayons  ordinaires  de  la 
seconde  :  ce  système  devrait  évidenunent  occuper  une  position  sy- 
métrique du  précédent,  par  rapport  au  milieu  de  l'ombre  géom«^- 
trique  de  l'intervalle  des  deux  ouvertures. 

Or  l'expérience  ne  montre  que  le  système  unique  formé  par  la 
superposition  des  systèmes  centraux  (1*  et  a*),  et  n'accuse  aucune 
trace  de  l'existence  des  systèmes  latéraux  (3*  et  &*).  Au  contraire,  si 
l'on  coupe  en  deux  la  lame  biréfringente,  et  si  l'on  fait  tourner  dt 
90  degrés  l'une  de  ses  moitiés,  de  façon  que  les  rayons  de  wuèait 
espèce,  issus  des  deux  ouvertures,  soient  polarisés  à  angle  droit,  et 
que  les  rayons  d'espèces  différentes  soient  polarisés  dans  le  même 
plan,  le  système  centrai  disparaît,  et  les  deux  systèmes  latéraux 
de%i'ennent  visibles. 


POLARISATION.  405 

60 A.  CoiMiéqueiiceM  des  expériences  i|iii  préeèdent.  -r- 
Prlnelpe  des  iribrafions  transversales.  —  Le  principe  établi 
par  les  expériences  qui  précèdent,  principe  qui  est  l'énoncé  de  la 
propriété  fondamentale  de  la  lumière  polarisée,  serait  inconcevable 
si  les  vibrations  des  ondes  lumineuses  étaient  longitudinales,  comme 
celles  des  ondes  sonores.  Les  vitesses  vibratoires  de  deux  rayons  peu 
inclinés  Tun  sur  l'autre  se  trouveraient  alors  toujours  sensiblement 
parallèles,  et,  suivant  qu'elles  seraient  dirigées  dans  le  même  sens 
ou  en  sens  contraire,  elles  devraient  se  détruire  ou  se  fortifier  réci- 
proquement. 

Au  contraire,  cette  constance  de  l'intensité  résultant  du  concours 
de  deux  rayons  polarisés  à  angle  droit  s'explique  sans  difficulté,  en 
admettant  que  les  vibrations  de  la  lumière  polarisée  sont  des  vibra- 
tions rectilignes,  dirigées  de  façon  que,  lorsque  les  plans  de  polari- 
sation de  deux  rayons  concourants  sont  perpendiculaires  entre  eux, 
les  directions  des  vibrations  le  soient  également.  —  En  effet,  repré- 
sentons deux  vitesses  de  vibration,  dirigées  suivant  deux  droites 'rec- 
tangulaires, par  les  deux  expressions 

M  =  flsin27r  (f  ~~r)' 
v  =  b  s\nfiTr(j  —  ^j; 

la  résultante  V  de  ces  deux  vitesses  sera  déterminée,  à  chaque  ins- 
tant, par  l'équation 

Or  on  devra  regarder  l'intensité  de  la  lumière  comme  proportion- 
nelle à  la  somme  des  valeurs  successives  de  V^  pendant  l'unité  de 
temps ,  c'est-à-dire  à  l'expression 

dans  laquelle!  désigne  la  durée  d'une  vibration;  car  il  est  mani- 
feste que  tous  les  effets  de  la  lumière  en  un  point  donné  ne  peuvent 
être  que  l'équivalent  mécanique  de  la  somme  des  forces  vives  qui , 


^06  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

pn  un  temps  donné ,  sont  successivement  développées  en  ce  point  par 
les  rayons  qui  y  concourent.  Mais  on  a 

i     i  -vos'4v(^.-{)              l      I  - cos 4ir (  =  - f  J 
.        =  a^         ^-^—^  dt+l^  I     ^î-^  M 


fl"-+-  ^"  rr. 


'J 


el  par  suite 


4.  r  V*'rf/== 


rt  ■  -h  6" 


Cette  expression  étant  indépendante  de  ^  et  de;^»  l'intensité  résul- 
tante est  toujours  la  même,  quelle  que  soit  la  diiïérence  de  phase 
des  deux  vibrations  rectangulaires. 

Donc  il  suffit,  pour  se  rendre  compte  des  expériences  de  Fresnel 
et  Arago,  d'admettre  que,  dans  un  rayon  polarisé,  les  vibrations 
sont  rectilignes,  perpendiculaires  au  rayon,  et  inclinées  d'un  angle 
constant  sur  le  plan  de  polarisation.  D'autre  part,  cet  angle  cons- 
tant ne  peut  être  que  nul  ou  égal  à  90  degrés,  car  la  symétrie  ab- 
solue des  propriétés  d'un  rayon  polarisé,  par  rapport  à  son  plan  de 
polarisation .  exige  que  ses  vibrations  soient  symétriques  par  rapport 
à  ce  même  plan.  De  là  l'important  théorème  physique  qui  est  connu 
sous  le  nom  de  principe  des  vibratioM  transversales  - 

Dans  la  lumière  polarisée,  les  vibrations  sont  perpendiculaires  aux  rayon* 
lumineux  y  et  parallèles  ou  perpendiculaires  au  plan  de  polarisaiian. 

Il  en  résulte  immédiatement  que,  dans  la  lumière  naturelle,  le^ 
vibrations  sont  pareillement  transversales,  puisqu'on  reproduit  un 
faisceau  naturel  en  superposant  les  deux  faisceaux,  égaux  et  polarisés 
à  angle  droit,  dans  lesquels  un  faisceau  naturel  a  été  décomposé  par 
un  cristal  biréfringent. 

Aucune  expérience  ni  aucune  théorie  n'a  résolu  jusqu'ici,  avec 
une  certitude  parfaite,  la  question  de  savoir  si  les  vibrations  de 


POLARISATION.  407 

la  lumière  polarisée  sont  parallèles  ou  perpendiculaires  au  plan  de 
polarisation.  On  admettra  dans  ce  Cours,  avec Fresnel ,  quelles  sont 
perpendiculaires  à  ce  plan;  mais  les  explications  qu'on  donnera 
de  divers  phénomènes  seront,  en  réalité,  indépendantes  de  cette 
hypothèse. 

CAUSES  MÉCANIQUES  DE  LA  DOUBLE  REFRACTION. 

605.  Constlfutlon  de  réther. —  La  direction  transversale 
des  vibrations  lumineuses,  et  l'absence  de  tout  phénomène  quon 
puisse  raisonnablement  attribuer  aux  vibrations  longitudinales  de 
l'éther,  indiquent  dans  ce  milieu  une  constitution  toute  spéciale  : 
c'est,  pour  ainsi  dire,  l'opposé  de  la  constitution  des  fluides. 

Dans  les  fluides,  la  pression  étant  toujours  normale  à  l'élément 
sur  lequel  elle  s'exerce,  il  n'y  a  de  résistance  qu'au  rapprochement 
ou  à  l'éloignement  réciproque  des  couches  moléaulaires  successives, 
mais  il  n'y  a  aucune  résistance  à  leur  glissement  relatif;  de  là 
l'existence  exclusive  des  vibrations  longitudinales. — Dans  les  solides, 
la  résistance  au  rapprochement  ou  à  l'éloignement  est  du  même 
ordre  de  grandeur  que  la  résistance  au  glissement.  —  Dans  l'éther, 
il  semble  que  la  résistance  au  glissement  existe  seule,  puisque  les 
vibrations  transversales  paraissent  seules  susceptibles  de  s'y  propa- 
ger. L'éther  est,  en  quelque  sorte,  le  terme  extrême  d'une  série 
qui  commencerait  aux  fluides  et  qui  aurait  les  divers  corps  solides 
pour  termes  intermédiaires  ^^K 

Dans  le  vide  et  dans  les  milieux  isotropes,  l'éther  est  constitué 
d'une  manière  uniforme  en  tous  sens,  autour  d'un  point  quelconqaç, 
en  sorte  que  les  forces  élastiques  auxquelles  est  due  ia  propagatiojn 
des  mouvements  vibratoires  ne  dépendent,  ni  de  la  direction  des 

t^)  Il  serait  peut-être  difficile  de  concevoir  un  miliea  où  des  changements  arbitraires  de 
densité  pourraient  se  produire  sans  rencontrer  aucune  résistance.  Mais  il  n*y  a  rien  de 
contradictoire  â  supposer  que  ia  réôstance  aux  changements  de  densité  est.très^tileiar 
rapport  à  la  résistance  au  glissement,  et  qu*eile  peut  être  në^gée  lorsque  Vita  consid^ 
des  vibrations  de  très-petite  amplitude.  Au  reste,  il  n*eiiste  probablement  pas  non  plus  de 
fluides  parfaits;  mais,  dans  Tétude  des  vibrations  de  très-petite  amplitude,  on  peut  con- 
sidérer comme  tels  tous  les  milieux  pour  lesquels  la  composante  tangentiellede  la  pression 
supportée  par  un  élément  est  très-petite  par  rapport  à  la  composante  normale. 


A08  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

rayons  lumineux ,  ni  de  la  direction  des  vibrations.  Les  ondes  énao^ 
d'un  centre  de  vibration  sont  alocs  sphëriques,  et  leurs  vibrations 
s'eiécutent  parallèlement  à  leur  surface,  mais  suivant  des  directints 
indéterminées.  —  On  a  vu  comment  la  forme  sphérique  des  ondes 
avait  pour  conséquence  la  loi  de  Descartes;  l'indétermioalion  de  la 
direction  des  vibrations  permet  à  des  rayons  polarisés  d'une  manière 
quelconque  de  se  propager  également  bien  dans  tous  les  sens. 

On  doit  donc  présumer  que  les  propriétés  caractéristiques  des  mi> 
lieux  biréjringenu  tiennent  h  quelque  inégalité  des  forces  élastiques 
qui  peuvent  y  être  développées  par  les  déplacements  molécalaires 
de  directions  diverses.  On  doit  présumer,  par  exemple,  que  si  l'on 
pouvait  imprimer  à  un  milieu  isotrope  une  modïlicatioD  telle  que  la 
résistance  au  glissement  relatif  de  deux  tranches  consécutives  d'étber 
ne  râ(  plus  indépendante  de  la  direction  de  ces  tranches,  on  trans- 
formerait ce  milieu  en  un  milieu  biréfringent.  —  Celte  conjecture 
a  été  confirmée  par  l'expérience  suivante,  qui  est  due  à  Fresnel. 

606.   Expéi^ence  *•  Fresnel  mmr  to  pr«prlé«é  htrltktm- 

s«n«e  4m  verre  cmnprlmé.  —  Presne) ,  dans  la  remarquable  ex- 
périence qu'il  nous  reste  i  indiquer,  a  montré  qu'en  réalisant,  dans 
une  substance  isotrope  comme  le  verre,  nne  modification  du  genre 
de  celles  qui  viennent  d'être  indiquées,  on  transforme  cette  subs- 
tance, qui  était  d'abord  uniréfringentc ,  en  un  corps  doué  de  la 
double  réfraction. 

Soit  un  pri-smc  de  vern'  ABC  {fig.  48i)  ayant  pour  base  un 
riangle  équilatéral.  Si  l'on  exerce  sur  les  deux  bases  de  ce  prisme, 
perpendiculairement  au  plan  de 
la  figure,  une  compression  éner- 
gique, on  déterminera  le  rap- 
procberaent  des  molécules  du 
verre  parallèlement  aux  arêtes, 
et  leur  écartement  suivant  toute 
direction  rectangulaire.  Celte  mo- 
rif.  it<.  dificalion  profonde  de  l'étal  du 

milieu  pondérable  aura  nécessairement  pour  cooséqaencr  quelque 
modification  du  même  genre  dans  Tëlat  de  l'éther  :  des  vibration» 


POLARISATION.  409 

parallèles  à  la  compression  ne  donneront  plus  naissance  aux  mêmes 
forces  élastiques  que  des  vibrations  perpendiculaires.  Il  est  donc  à 
croire  que  le  prisme  de  verre  sera  devenu  biréfringent;  et  même, 
comme  tout  est  évidemment  symétrique  autour  de  la  direction  de  la 
compression,  il  est  probable  qu'il  aura  acquis  des  propriétés  analogues 
&  celles  d'un  cristal  à  un  axe  :  un  rayon  incident,  compris  dans  un 
plan  perpendiculaire  aux  arêtes  du  prisme ,  devra  donc  s'y  divit^er 
en  deui  rayons  polarisés  à  angle  droit,  qui  suivront  tous  les  deux 
la  loi  de  Descartes,  mais  avec  des  indices  de  réfraction  différents.  — 
Mais,  si  la  double  réfraction  est  très-petite,  l'effet  en  pourrait  être 
entièrement  masqué  par  celui  de  la  dispersion  :  pour  constater  la 
double  réfractiop ,  il  sera  alors  nécessaire  d'achromatiser  le  prisme 
comprimé,  au  moyen  de  deux  prismes  ABD,  ACE,  formés  de  la 
même  substance  et  ayant  un  angle  réfringent  de  3o  degrés,  disposés 
comme  l'indique  la  figure  ^8 1 .  Le  rayon  incident  étant  normal  à  la 
face  d'entrée,  les  deux  rayons  émergents  sont  presque  normaux  à  ta 
face  de  sortie  et  ne  présentent  aucune  dispersion  appréciable. 

En  réunissant  plusieurs  systèmes  de  ce  genre,  et  employant  pour 
produire  l'achromatisme,  au  lieu  de  deux  prismes  de  3o  degrés  en 
contact  l'un  avec  l'autre,  un  seul  prisme  de  60  degrés,  on  obtient 
l'appareil  dont  Fresnel  s'est  servi  (fig.  iSa).  Cet  appareil  est  formé 


de  quatre  prismes  égaux ,  à  base  de  triangle  équilatéral ,  P,,  P.^,  P3,  P^, 
placés  k  la  suite  les  uns  des  autres  ;  dans  les  intervalles  de  ces  prismes 
se  trouvent  trois  prismes  pareils  Qi,  Qj,  Qj,  dont  les  arêtes  sont 
an  peu  moins  longues;  enftn,  aux  extrémités,  deux  prismes  ^1,  q^, 
présentant  des  angles  de  3o  degrés  et  ayant  leurs  arêtes  de  même 
longueur  que  celles  des  prismes  Qi,  Qj,  Q3.  Si  le  système  entier  est 
soumis  à  l'action  d'une  presse,  parallèlement  aux  arêtes  des  prismes, 
la  compression  ne  se  fait  sentir  que  sur  les  bases  des  quatre  prismes 


410  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

qui  dépassent  un  peu  le  niveau  des  autres.  Ces  prismes  deviennent 
alors  biréfringents;  les  autres  contribuent  simplement  a  l'achroma- 
tisme des  rayons  réfractés  :  en  regardant  au  travers  du  système,  on 
aperçoit  une  double  image  d'un  objet  très-délié,  tel  que  l'extrémité 
d'une  fine  aiguille.  Bien  que  la  double  réfraction  soit  répétée  quatre 
fois,  on  n'aperçoit  que  deux  images,  à  cause  du  parallélisme  de  toutes 
les  sections  principales. 

607.  ConeliuiloiMi  sénérales  «•ncemaiit  1»  tliéorle  dies 
phénomènes  lumineux.  —  H  existe  donc  réellement  une  liaison 
nécessaire  entre  la  double  réfraction  et  l'inégalité  des  forces  élas-, 
tiques  développées  par  des  déplacements  de  directions  diverses.  Pour 
déduire  de  ce  principe  une  théorie  complète  de  la  double  réfraction, 
on  devra  d'abord  étudier,  d'une  manière  tout  à  fait  générale,  la 
propagation  du  mouvement  vibratoire  dans  un  milieu  où,  autour 
d'un  point  donné,  l'élasticité  varie  suivant  une  loi  quelconque.  Les 
lois  de  cette  propagation  étant  connues,  on  en  conclura,  par  des 
raisonnements  analogues  à  ceux  qu'on  fait  dans  le  cas  des  milieux 
isotropes,  les  lois  de  la  réfraction  du  mouvement  au  passage  d'un 
milieu  dans  un  autre. 

Si,  par  des  hypothèses  [larticulières  et  conformes  aux  principes 
de  la  mécanique,  on  parvient  à  réduire  ces  lois  à  la  loi  générale  que 
Fresnel  a  déduite  d'une  théorie  imparfaite,  mais  qu'on  peut  re- 
garder comme  la  loi  de  la  nature,  en  raison  de  la  vérification  cons- 
tante de  SCS  conséquences  les  plus  minutieuses,  on  aura  trouvé  une 
constitution  de  l'éther  qui  peut  être  sa  constitution  véritable.  — 
Si  enfin  on  démontre  que  le  système  d'hypothèses  par  kquel  relie 
réduction  aura  été  opérée  est  seul  admissible,  ou  bien  si,  par  l'étude 
d'autres  |)hénomènes,  on  arrive  à  faire  un  choix  entre  des  hypo- 
thèses qui  semblent  également  légitimes  tant  qu'on  ne  considère 
que  les  phénomènes  de  la  double  réfraction,  l'établissement  d'une 
théorie  rigoureuse  sera  achevé. 

La  science  ne  s'est  pas  encore  élevée  à  ce  degré  de  perfection. 
Elle  ne  possède  jusqu'ici  que  des  théories  qui  peuvent  expliquer  les 
phénomènes ,  mais  dont  aucune  n'a  encore  le  droit  d'être  regardtn; 
comme  l'expression  absolue  et  unique  de  la  réalité.  Ces  diverses 


POLARISATION.  411 

théories  ne  se  prêtant  pas  d'ailleurs  à  un  exposé  élémenlaire,  on  se 
bornera  ici  à  ces  indications  sommaires.  —  On  n'essayera  même  pas 
de  donner  une  idée  des  essais  théoriques  de  Fresnel.  L'exposition 
qu'on  en  pourrait  faire  serait  aussi  utile  qu'intéressante,  si,  tout  en 
montrant  les  imperfections  qui  se  trouvent  en  plusieurs  points  des 
raisonnements  de  Fresnel,  on  faisait  ressortir  la  nouveauté  et  la 
fécondité  des  aperçus  qui  font  du  Mémoire  sur  la  double  réfraction 
une  des  œuvres  capitales  de  la  science  moderne;  mais  un  tel  dévelop- 
pement excéderait  les  limites  nécessaires  de  ce  Cours. 


POLARISATION  CHROMATIQUE. 


608.  F*rMMles  retaMlTC*  mh  «mu  rayaB*  f«TMl«  pw' 
WJB  vftyoB  luHBlneiix  priMiltlvcHaent  pslartaè,  tma^iMa  «■ 
tr»Teni  d'iu  ertotal  blréfrlHcvat.  —  Supposons  qu'un  rayon 
lumineux  polarisé  tombe  normalement  sur  un  cristal  bir^liiDgenl 
ayant  uneépais»>ur  (lélerminde,et  que  la  section  principale  du  cristal 
fasse  un  angle  i  avec  te  plan  de  polarisation  primitif.  Décomposons 
chacune  des  vibrations  incidentes  «n 
deux  autres  vibrations,  dont  l'une 
sera  polarisée  dans  la  section  prin- 
cipale, et  l'autre  dans  le  plan  per- 
pendiculaire. En  vertu  du  principe 
(le  la  superposition  des  petits  mou- 
vements ,  la  combinaison  des  effets 
des  deux  systèmes  ainsi  obtenus  sera 
identicfue  à  l'effet  des  vibrations 

" réelles.  Admettons  que,  dans  les 

vibrations  réelles,  le  déplacement  d'une  molécule  d'éther  suivant  une 
droite  OM  (frg.  ^83)  per|)endiculaire  au  plan  de  polarisation  soit 
représenté,  au  point  d'incidence,  par  la  formule 

p^lt  cos  aw  j  ■ 

Le  déplacement  d'une  molécule,  dans  les  vibrations  qui  s'eséculenl 
suivant  la  droite  0\  perpendiculaire  à  ta  section  principale  du  cris- 
tal, c'esl-à-dire  dans  les  vibrations  dont  le  plan  de  polarisation 
n'est  autre  que  celui  de  celle  section  principale  elle-même,  aura 
pour  expression 
(i)  5=/icosicvs-jir^- 

De  niènii',  1<<  {lé|daremenl  d'une  molécule,  dans  les  ubralions  ijiit 
s'exécutent  suivant  la  droite  0\ ,  c'est-à-dire  dans  les  vibrations  dont 


POLARISATION  CHROMATIQUE.  M3 

le  plan  de  polarisation  est  perpendiculaire  à  la  section  principale , 
aura  pour  expression 

(9)  fj  =  h  sin  t  cos  îin  ^  • 

Or,  en  vertu  d'une  loi  connue,  les  vibrations  polarisées  dans  la  sec- 
tion principale  ne  donnent  naissance  qu'à  un  rayon  ordinaire,  et  les 
vibrations  polarisées  perpendiculairement  à  cette  section  ne  donnent 
naissance  qu'à  un  rayon  extraordinaire  ^^K  Le  rayon  ordinaire  sera 
dçnc,  à  cause  de  la  réflexion  d'une  partie  de  la  lumière  incidente, 
une  fraction  déterminée  du  rayon  représenté  par  la  formule  (1);  de 
même,  le  rayon  extraordinaire  sera  une  fraction  du  rayon  représenté 
par  la  formule  (9).  A  moins  que  le  cristal  ne  soit  très-fortement  bi- 
réfringent, on  peut  regarder  la  perte  de  lumière  par  réflexion  comme 
sensiblement  la  même  pour  les  deux  rayons  ^^^;  les  amplitudes  de 
vibration  du  rayon  ordinaire  et  du  rayon  extraordinaire  seront  donc 
respectivement  proportionnelles  à  A  cos  t  et  à  Asint;  par  suite,  leurs 
intensités  seront  proportionnelles  à  cos^  t  et  h  sin^  t.  —  Les  formules 
de  Malus  se  trouvent  ainsi  justifiées. 


609.  ComMBaUi^ii  des  deux  rmj^nmj  lorsque  le  erletel 
Mréipiuffeiit  eet  une  lame  mlnee  à  faees  parallèles.  —  Si 

le  cristal  biréfringent  se  réduit  à  une  lame  mince,  h  faces  parallèles, 
la  séparation  des  rayons  ordinaires  et  des  rayons  extraordinaires 

(*)  Dans  le  cas  où  la  face  d'incidence  est  parallèle  à  Taxe,  la  raison  mécanique  de  ce 
fait  d^eipérience  est  évidente.  Les  plans  de  polarisation  des  deux  rayons  dans  lesquels  on 
a  déccmipoflé  le  rayon  incident  sont  alors,  par  rapport  au  cristal,  des  plans  de  symétrie, 
et  il  n*y  a  pas  de  raison  pour  que  des  vibrations  parallèles  ou  perpendiculaires  à  ces  plans 
éprouvent  un  changement  de  direction  en  se  communiquant  à  Téther  contenu  dans  le 
cristal. 

^)  La  manière  dont  la  lumière  se  partage  entre  le  rayon  réfléchi  et  le  rayon  réfracté 
dépend  de  la  densité  relative  des  couches  d'éther  adjacentes  à  la  surface  réfringente ,  et 
des  forces  élastiques  développées  par  Tébranlement  de  ces  couches ,  c'est-à-dire  précisé- 
ment des  circonstances  qui  déterminent  la  vitesse  de  propagation  des  ondes.  On  conçoit 
donc  que,  dans  un  cristal  où  la  double  réfraction  est  faible,  il  soit  à  peu  près  indiflërent, 
poar  rintensité  de  la  réflexion,  que  Ponde  réfractée  soit  ordinaire  ou  extraordinaire.  Il 
peut  en  être  autrement  dans  un  cristal  très-fortement  biréfringent  :  des  expériences  déli- 
cates ont  eflectivement  montré  que,  pour  ce  genre  de  cristaux,  les  formules  de  Malus  ne 
sent  pes  rigoureusement  vraies. 


à\à  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

n'étant  pas  sensible,  le  mouvement  d*une  molécule  «Tëlher,  placée 
sur  le  trajet  de  la  lumière  émergente,  est  le  mouvement  résultant 
(le  la  combinaison  des  deux  vibrations  rectangulaires  que  produirait 
séparément  chacun  de  ces  rayons,  s'il  existait  seul.  Mais,  en  vertu 
de  l'inégalité  des  chemins  parcourus  et  de  l'inégalité  des  vitesses, 
le  rayon  ordinaire  et  le  rayon  extraordinaire  traversent  la  lame  en 
des  temps  différents;  si  l'on  représente  par  0  la  différence  de  ces 
durées  de  propagation,  et  qu'on  exprime  toujours,  au  point  d'émer- 
gence, les  vibrations  ordinaires  par 

Ç=/*C0StC0SQ7rns^ 

les  vibrations  extraordinaires  devront  être  exprimées,  au  même 
point,  par 

n==n  sm  i  cos  a  w  -rp-  • 

La  combinaison  de  ces  deux  mouvements  donnera  naissance, 
ainsi  qu'on  Ta  démontré  en  acoustique  (375),  à  des  vibrations  qui 
sont  généralement  elliptiques. 

Ces  vibrations  deviendront  rectilignes  si  Ton  a 

*        -4- 
COS97rr-p  =  ±  1. 

Elles  deviendront  circulaires  si  l'on  a  a  la  fois 

6  .  ... 

cos«i7rrp=o        et         cosi  =  smi. 

En  appelant  S  le  chemin  parcouru  par  la  lumière  dans  l'air,  eu 

un  temps  égal  à  0,  on  a 

S 0 

et,  en  substituant  cette  valeur  dans  l'équation  des  vibrations  extraor- 
dinaires, on  la  met  sous  la  forme 


)?  =  /i  sin  I  cos  fiit  f  r-jn  —  y]  » 


ce  qui  permet  de  considérer  les  deux  rayons  comme  ayant,  l'un  par 


POLARISATION  CHROMATIQUE.  415 

rapport  h  l'autre,  une  différence  de  marche  égale  à  S  ^^K  En  ayant 
égard  à  cette  convention ,  les  résultats  de  la  combinaison  du  rayon 
ordinaire  avec  le  rayon  extraordinaire  s'énoncent  de  la  manière  sui- 
vante : 

1**  Toutes  les  fois  que  la  lame  cristalline  établit  entre  les  deux 
rayons  une  différence  de  marche  d'un  nombre  entier  de  demi-lon- 
gueurs d'onde,  la  lumière  émergente  est  polarisée  dans  le  plan 
primitif  ou  dans  un  plan  symétrique  par  rapport  à  la  section  prin- 
cipale. 

9*  Toutes  les  fois  que  la  lame  cristalline  établit  entre  les  deux 
rayons  une  différence  de  marche  d'un  nombre  impair  de  quarts  de 
longueur  d'onde,  et  qu'en  même  temps  l'angle  t  du  plan  primitif  de 
polarisation  avec  la  lumière  incidente  est  égal  à  45  degrés,  les  vi- 
brations de  la  lumière  émergente  sont  circulaires. 

3"  Dans  tout  autre  cas,  les  vibrations  émergentes  sont  ellip- 
tiques ^^\ 

610.  Caraetéres  de  la  lumière  palarlsée  eireulaire- 
ineiit.  —  Des  vibrations  circulaires  ne  sont  orientées  par  rapport 
à  aucun  plan,  et,  de  quelque  manière  qu'on  choisisse  deux  plans 
rectangulaires  menés  par  la  direction  du  rayon,  les  projections  de 
ces  vibrations  sur  les  deux  plans  sont  égales.  —  En  appliquant  aux 
vibrations  circulaires  le  raisonnement  qu'on  a  fait  plus  haut  sur  la 
décomposition  des  vibrations  reclilignes,  on  trouvera  donc  qu'elles 
doivent  donner,  dans  un  cristal  biréfringent,  deux  images  égales, 
quelle  que  soit  l'orientation  de  la  section  principale  dans  l'espace. 
C'est  ce  que  l'expérience  confirme  :  la  lumière  polarisée  circulairement 
se  confond ,  sous  ce  rapport ,  avec  la  lumière  naturelle. 

D  autre  part,  la  lumière  polarisée  circulairement  se  distingue  de 
la  lumière  naturelle  par  un  caractère  essentiel.  Puisqu'elle  résulte 
de  la  combinaison  de  deux  rayons  polarisés  à  angle  droit,  dont 
la  différence  de  marche  est  d'un  nombre  impair  de  quarts  de  lon- 

^'^  Pour  la  gënéralitë  des  laisonnemenls,  on  doit  regarter  Q  et  3  comme  pouvant  être, 
suivant  les  cas,  positifs  ou  négatifs. 

^'^  Ces  conclusions  s^appliqiient  à  une  lume  mince  taillée  dans  un  cristal  à  deux  axes, 
pourvu  que  Ton  considère,  au  lieu  de  la  section  principale,  le  plan  de  polarisation  de 
Tun  des  deux  rayons  polarisés  à  angle  droit  qui  se  propagent  à  travers  la  lame. 


/i16  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

gueur  d'onde,  si  l'on  fait  passer  cette  lumière  à  travers  une  seconde 
lame  cristalline,  identique  à  la  première,  de  manière  à  doubler  cette 
différence  de  marche  et  à  la  rendre  égale  à  un  nombre  entier  de 
demi-longueurs  d'onde,  les  vibrations  deviennent  rectilignes,  et  la 
lumière  reprend  l'état  de  lumière  polarisée.  —  Rien  de  pareil  ne 
s'observe  avec  la  lumière  naturelle. 

611.  caractères  de  la  lumière  polarisée  elliptiqiie- 
meiit.  —  La  lumière  dont  les  vibrations  sont  elliptiques  se  rap- 
proche, par  ses  propriétés,  de  la  lumière  partiellement  polarisée. 
—  En  effet,  des  vibrations  elliptiques  sont  orientées  d'une  manière 
déterminée  dans  l'espace ,  et  ne  peuvent  donner,  dans  un  prisme  bi- 
réfringent, deux  rayons  égaux  pour  toutes  les  positions  de  la  section 
principale.  Mais  la  projection  des  vibrations  ne  peut  être  nulle  sur 
aucun  plan  mené  par  la  direction  du  rayon  lumineux  :  par  suite,  ni 
le  rayon  ordinaire  ni  le  rayon  extraordinaire  ne  peuvent  jamais  se 
réduire  à  zéro. 

612.  De  la  luinière  naturelle  en  sénéral*  —  Si  l'on  con- 
çoit que  les  vibrations  d'un  rayon  soient  elliptiques,  mais  que  le 
rapport  des  grandeurs  des  axes  de  l'ellipse  et  leur  orientation  varient 
brusquement  et  à  des  intervalles  rapprochés,  par  l'effet  d'un  grand 
nombre  de  causes  absolument  indépendantes  les  unes  des  autres, 
on  aura  un  système  de  vibrations  qui,  dans  toute  expérience  d'une 
durée  appréciable ,  paraîtra  posséder  les  mêmes  propriétés  relative- 
ment à  tous  les  plans  menés  par  la  direction  du  rayon.  —  Telle  est 
l'idée  la  plus  générale  que  l'on  doit  se  faire  d'un  rayon  de  lumière 
naturelle. 

La  production  de  ces  changements  brusques  et  très- rapprochés, 
survenant  dans  l'état  des  vibrations,  est  démontrée  par  l'impossibi- 
lité d'obtenir  des  franges  d'interférences  avec  des  rayons  émanés  de 
deux  sources  physiquement  distinctes.  —  Quant  aux  causes  de  ces 
changements,  il  est  aisé  d'en  concevoir  la  nature,  si  l'on  réfléchit  k 
la  nature  même  des  phénomènes  moléculaires,  plus  ou  moins  ana- 
logues à  ceux  de  la  combustion,  par  lesquels  les  vibrations  lumi- 
neuses sont  excitées. 


POLARISATION  CHROMATIQUE.  417 

6 1 3.  A«U*M  d'UM  •■«lyMcur  UréTrlBcent  mit  «m  wmfmn 
ne  prlmlMvcmcBt  polnrlsé  et  tmnsmla  à  tmwetil 
■iBce  MréfMncente.  —  Nous  cherctierons  mainte- 
nant à  déterminer,  d'une  manière  générale,  les  intensités  des  deu\ 
rayons  dans  lesquels  un  analyseur  biréfringent  décompose  un  rayon 
de  lumière  homogène,  primitivement  polarisé  dans  un  plan  PP' 
(fîg.  &8&),  et  transmis  à  travers  une  lame  mince  cristallisée  dont 
la  section  principale  II'  fait  un  angle  quelconque  i  avec  le  plan  PP'. 
.Nous  savons  que  les  vibrations  incidentes,  dirigées  suivant  OA,  se 
décomposent,  dans  la  lame  mince  cristallisée,  en  vibrations  ordi- 
naires dirigées  perpendiculairement  à  la  section  principale  11',  sui- 


Pic  m. 

vant  OB,  el  en  vibrations  extraordinaires  parallèles  It  la  section 
principale,  suivant  OC;  on  sait,  en  outre,  que  les  intensités  de  ces 
vibrations  sont  respectivement  proportionnelles  à  cos'  i  el  ù  sin'  i.  On 
sait  enfin  que  les  deux  rayons  nnrrespondanls  sortent  de  la  lame 
avec  une  ditTérence  de  marche  égale  à  la  quantité  f  (609).  —  Soit 
maintenant  SS'  la  section  principale  de  l'analyseur  biréfringent,  et 
soit  »  l'angle  que  fait  SS'  avec  le  j>tan  de  polarisation  primitif  PP'. 
En  arrivant  sur  cet  analyseur,  les  vibrations  parallèles  à  OB  se 
décomposent  en  vibrations  perpendiculaires  à  SS'  et  en  vibrations 
parallèles  à  SS'.  Les  premières  sont  représentées  sur  la  figure 
par  CD  :  si  l'on  remarque  qu'on  a  BOD=  i  — »,  on  voit  que  leur 
intensité  est  représentée  par 

cos*icos'(i  -s). 
V'iiMT,  111.  — Coitr»  de  phja.  Il,  «7 


U8  OPTIQUK  THÉORIQUE. 

De  même  les  secondes,  reprf^sentées  par  OE,  ont  leur  intensité  re- 
présentée par 

ros^Ksin^f»  —  «). 

Semblaklement,  les  vibrations  parallèles  à  OC  se  décomposent  eu 
vibrations  perpendiculaires  a  SS',  représentées  sur  la  figure  par  OF, 
et  ayant  pour  intensité 

sin^isin^(»  — «). 

et  en  vibrations  parallèles  à  SS'.  représentées  sur  la  figure  par  OG, 
et  ayant  pour  intensité 

sin^î  cos^(/  —  «). 

Enfin,  les  vibrations  OD  et  OF,  perpendiculaires  sur  SS',  formeront 
par  leur  combinaison  le  rayon  ordinaire  de  l'analyseur,  tandis  que  le 
rayon  extraordinaire  résultera  de  la  combinaison  des  vibrations  OE 
et  Ofi ,  parallèles  à  SS'. 

L(»  rayon  orditiaîre  aura  donc  l'intensité  déterminée  par  l'interfé- 
rence de  deux  rayons  dont  les  intensités  sont  proportionnelles  à 
cos'^/cos'(/  — «)  et  à  sin^t  sin^(i  —  «),  et  qui  présentent  l'un  par 
ra[)port  à  l'autre  une  différence  de  marche  égale  h  S.  Cette  quan- 
tité ^  est  proportionnelle  à  l'épaisseur:  par  conséquent,  si  l'on  fait 
varier  d'une  manière  continue  l'épaisseur  de  la  lame,  le  rayon  or- 
dinaire éprouvera  une  série  de  variations  comprises  entre  des 
maxima  et  des  minima  alternatifs.  La  différence  d'intensité  d'un 
maximum  et  d'un  minimum  dépendra  d'ailleurs  de  la  différence 
d'inl(»nsité  des  deux  rayons  interférents,  c'est-à-dire  de  la  valeur 
des  expressions  cos'^icos-(i  — 5)  et  sin^tsin^f/ —  .t). 

Quant  au  rayon  extraordinaire,  son  intensité  sera  déterminée  par 
l'interférence  de  deux  rayons  ayant  des  intensités  jiroportionnelles 
à  cos^t  sin-(t  — «)  et  à  sin^i  cos^(i  — «).  Mais,  pour  se  faire  une 
idée  exacte  des  conditions  d'interférence  de  ces  deux  rayons,  il  faut 
remarquer  que,  si  la  différence  de  marche  était  nulle,  les  vibrations 
OE  et  OG,  dirigées  en  sens  contraire,  s'affaibliraient  réciproquement 
au  lieu  de  se  renforcer,  et  qu'en  conséquence  tout  doit  se  passer 

comme  si  la  différence  de  marche  était  S  -\ Le  ravon  extraor- 


POLAftiSATiON  CHROMATIQUE.  àl9 

dinaire  sera  donc  minimum  quand  le  rayon  ordinaire  sera  maxi- 
mum ,  et  réciproquement. 

61  A.  Poterisatton  diromatlque.  —  Supposons  maintenant 
que,  en  conservant  la  disposition  que  l'on  vient  d'employer,  c'est- 
à-dire  en  faisant  tomber  sur  une  lame  mince  biréfringente  de  la 
lumière  primitivement  polarisée,  et  recevant  le  faisceau  émergent 
sur  un  analyseur  biréfringent,  on  emploie,  comme  faisceau  incident, 
un  faisceau  formé  de  lumière  blanclie.  On  voit  que,  pour  chacun  des 
rayons  de  couleur  simple  qui  forment  ce  faisceau ,  le  rapport  de  la 
différence  de  marche  à  la  longueur  d'ondulation  aura,  au  sortir  de 
la  lame  mince,  une  valeur  particulière  :  les  intensités  de  ces  divers 
rayons  élémentaires  seront  donc  modifiées  dans  des  rapports  iné- 
gaux; par  suite,  il  y  aura  coloration.  Les  interférences  ayant  lieu 
en  sens  opposé  dans  le  faisceau  ordinaire  et  dans  le  faisceau  extra- 
ordinaire fournis  par  l'analyseur,  chaque  couleur  en  particulier 
éprouvera,  dans  ces  deux  faisceaux,  des  modifications  inverses  :  les 
deux  colorations  résultantes  seront  donc  complémentaires  l'une  de 
l'autre  î>^ 

Telle  est  la  théorie  fort  simple  par  laquelle  Fresnel  a  expliqué, 
en  i8âi,  le  phénomène  fondamental  de  la  polarisation  chromatique, 
découvert  dix  ans  auparavant  par  Arago. 

Si  l'on  supposait  la  section  principale  de  l'analyseur  dirigée  per- 
pendiculairement à  SS',  suivant  OD  (fig.  /i8&),  tout  ce  qu'on  a  dit 

^*)  La  teinte  complémentaire  des  deux  images  résulte  nécessairement  du  partage  de 
chaque  espèce  de  rayons  lumineux  entre  le  faisceau  ordinaire  et  le  faisceau  extraordinaire 
de  Tanalyseur.  —  On  peut  d^ailleurs  remarquer  que  le  maximum  d^intensilé  d'une  cou- 
leur dans  le  faisceau  ordinaire  est  proportionnel  au  carré  de  la  somme  des  amplitudes  des 
vibrations  interférentes,  c'est-à-dire  à 

[cosi  cos(i  — .v)-hsinisin  («  —  «)]*  =  cos*«; 

que  le  minimum  correspondant,  dans  le  faisceau  extraordinaire,  est  représenté  par 

[sintcos(i  — .î)  — cosisin  f/  — 5)]'  =  sin*«, 

et  que  la  somme  de  ces  deux  expressions  est  égale  à  Tunité.  —  Une  remarque  semblable 
peut  être  faite  sur  les  minima  du  rayon  ordinaire,  comparés  aux  maxima  du  rayon  extraor- 
dinaire. —  On  voit  ainsi  que  la  production  d'un  minimum  dans  l'un  des  faisceaux  peut 
élre  envisagée  comme  résultant  de  ce  qu'une  portion  de  la  lumière  est  transportée  de  ce 
faisceau  dans  le  second ,  où  elle  produit  un  maximum ,  et  réciproquement. 


420  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

du  rayon  ordinaire  fourni  par  Tanalysear  serait  vrai  du  rayon  extra- 
ordinaire, et  réciproquement.  Il  suit  de  là  que,  par  un  déplacement 
angulaire  de  90  degrés,  imprimé  à  l'analyseur,  on  doit  faire  passer 
la  teinte  de  chacune  des  images  à  la  teinte  complémentaire. 

Un  déplacement  de  90  degrés ,  imprimé  au  plan  de  polarisation  pri- 
mitif, doit  produire  le  même  effet;  car,  si  l'on  refait  la  constnirtion 
de  la  figure  précédente  en  supposant  les  vibrations  initiales  dirigées 
suivant  PP',  on  reconnaît  que  les  interférences  des  deux  rayons  qui 

constituent  le  rayon  ordinaire  de  l'analyseur  dépendent  de  ^  +  -^ 

et  que  celles  des  deux  rayons  qui  constituent  le  rayon  extraordinaire 
dépendent  de  S. 

Le  passage  d*une  teinte  déterminée  à  la  teinte  complémentaire  doit 
avoir  lieu  par  l'intermédiaire  d'une  teinte  blanche  (qui  peut,  dans 
certains  cas,  se  réduire  à  l'obscurité  absolue)  toutes  les  fois  que  Tud 
des  deux  rayons  interférents  vient  à  être  supprimé,  c'est-à-dire  toutes 
les  fois  que  l'une  des  quantités sin  »,  rosi,  sin  (i  —  «j,  cos(i  —  «)  est 
nulle.  —  Il  est  facile  de  se  rendre  compte  de  l'absence  de  colora- 
tion dans  chacun  de  ces  quatre  cas  particuliers  : 

i""  Si  Ton  a  sin  t  =0,  la  section  principale  de  la  lame  mince 
étant  parallèle  au  plan  primitif  de  polarisation,  il  n'y  a  au  sortir  de 
cette  lame  qu'un  seul  rayon,  le  rayon  ordinaire;  par  conséquent, 
il  ne  peut  se  produire  d'interférences. 

ù"*  Si  l'on  a  cost  =  o,  la  section  principale  de  la  lame  mince  étant 
perpendiculaire  au  plan  primitif  de  polarisation,  il  n'y  a  au  sortir  de 
la  lame  qu'un  rayon  extraordinaire,  et  la  conséquence  est  la  même. 

3"  Si  l'on  a  sin (1  —  «)  =  o,  les  sections  principales  de  l'analy- 
seur et  de  la  lame  étant  parallèles,  le  rayon  ordinaire  de  la  lame 
contribue  seul  à  la  formation  du  rayon  ordinaire  de  l'analyseur,  et 
la  même  relation  existe  entre  les  rayons  extraordinaires. 

4"  Si  Ton  a  cos  (t  — «)=  o,  le  rayon  ordinaire  de  la  lame  con- 
tribue seul  à  la  formation  du  rayon  ordinaire  de  l'analyseur,  et  ré- 
ciproquement. 

Toutes  ces  conséquences  sont  conformes  à  l'observation.  Tout 
système  formé  d'un  polariseur  et  d'un  analyseur  quelconque  peut 
servir  à  les  vérifier. 


POLARISATION  CHROMATIQUE.  421 

Entre  les  divers  arrangements  qu'on  peut  donner  à  ces  deux  pièces , 
un  des  plus  simples  et  des  plus  commodes  se  trouve  réalisé  dans 
['appareil de  Norremberg.  Une  glace  Iransparenle  GG'  (fig.  i85),  mo- 
bile autour  d'un  axe  horizontal  que 
soutiennent  deux  montants  verti- 
caux, reçoit  une  inclinaison  telle, 
que  l'angle  de  sa  surface  avec  la 
verticale  soit  égal  à  l'angle  de  po- 
larisation du  verre.  Les  rayons  que 
cette  glace  réHéchit  verticalement, 
par  l'une  ou  par  l'autre  de  ses 
deux  faces,  sont  donc  complète- 
ment polarisés.  On  fait  ordinaire- 
ment usage  de  ceux  qu'elle  réflé- 
chit par  sa  face  inférieure  et  qui 
tombent  sur  un  miroir  horizontal 
étamé  HH'.  Ils  se  réfléchissent  sur 
ce  miroir,  sans  éprouver  un  trop 
grand  affaiblissement ,  traversent 
la  g^ace  sans  que  leur  état  de  po- 
[  larisalion  soit  modifié ,  puisqu'ils 
sont  polarisés  dans  le  plan  d'inci- 
dence, et  parviennent  enfin  à  l'a- 
nalyseur A,  placé  h  la  partie  su- 
périeure de  l'appareil.  Une  lame  mince  est  placée  sur  le  trajet  de 
ces  rayons,  par  exemple  entre  la  glace  GG'  et  l'analyseur  A,  au  centre 
d'un  support  percé  d'une  ouverture  circulaire  qui  ne  laisse  passer 
que  lès  rayons  sensiblement  verticaux.  Ce  support  et  celui  de  l'ana- 
lyseur peuvent  tourner  autour  de  la  verticale ,  de  façon  qu'il  est  pos- 
sible de  donner  aux  angles  i  et  g  telle  valeur  que  l'on  veut. 


'^i^^- 


615.  PhéH»niéB4 

—  Si  l'on  incline  la  lame  ciistallisée  sur  la  direction  des  rayons 
lumineux,  la  différence  de  marche  ^.change  de  valeur,  et  les  cou- 
leurs observées  à  l'aide  de  l'analyseur  se  modifient  d'une  manière  qui 
dépend  de  la  loi  des  variations  de  S.  Par  conséquent,  si  l'on  fait 


422  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

arriver  sur  la  lame  plusieurs  faisceaux  parallèles,  dÎTerseineiil  in- 
clines et  contenus  dans  des  plans  d'incidence  diffârents.  il  se  dëfe- 
loppe  autant  de  couleurs  distinctes  que  de  faisceaox. 

Sur  un  tableau  suffisamment  éloigné  de  Tanalyseiir,  ces  fakceaui 
peuvent  donner  des  images  distinctes  les  unes  des  autres  «  s'ils  sont 
en  nombre  limité;  mais  si  leur  inclinaison  varie  d'une  manière  con- 
tinue, et  que,  par  suite,  on  doive  les  considérer  comme  étant  en 
nombre  infini ,  on  ne  pourra  obtenir  une  séparation  nette  des  cou- 
leurs qu'à  la  condition  de  disposer,  à  la  suite  de  l'analyseur,  une 
lentille  convergente  qui  réunisse  en  un  point  déterminé  de  son 
plan  focal  tous  les  rayons  parallèles  à  la  droite  menée  de  ce  point 
au  centre  optique.  Sur  un  plan  perpendiculaire  à  l'axe  de  la  len- 
tille, passant  par  le  foyer  principal,  on  peut  obtenir  ainsi  des  appa- 
rences très-variées,  dont  l'observation  sera  d'un  grand  secours  pour 
faciliter  l'étude  des  lois  de  la  double  réfraction,  puisque  le  dessin 
et  la  coloration  de  ces  apparences  doivent  être  des  conséquences 
nécessaires  de  la  loi  des  variations  de  S^^\ 

Si  l'on  veut  simplement  constater  les  phénomènes,  on  peut  se 
servir  de  la  pince  à  tourmalines  (594).  Lies  milieux  réfringents  de 
l'œil  font  alors  ToHice  de  la  lentille  convergente  dont  il  vient  d'être 
parlé,  et.  si  leur  ajustement  est  tel  que  la  \îsion  soit  distincte  pour 
des  objets  infiniment  éloignés,  ils  font  converger  en  un  point  ^édal 
de  la  rétine  chacun  des  faisceaux  parallèles  qui  tombent  sor  la  pince 
à  tourmalines  dans  une  infinité  de  directions  diverses.  Delà  Fappa- 
rence  d'un  dessin  coloré,  placé  devant  l'œil  à  une  grande  distance. 
Un  myope,  pour  apercevoir  ce  dessin  avec  netteté,  doit  mettre  an 
devant  de  son  œil  un  verre  divergent. 

Si  l'on  veut,  au  contraire,  montrer  simultanément  ces  phéno- 
mènes à  plusieurs  personnes,  on  peut  employer  des  appareils  de 
formes  variées,  qui  sont  toujours  construits  de  manière  à  concentrer 
d'abord,  sur  la  lauie  cristalline,  des  faisceaux  parallèles  de  largeur 
finie  et  de  directions  diverses,  et  k  séparer  ensuite  les  colorations 

'*'  Pour  calculer  la  valeur  de  ^,  lorsque  Pincidence  est  oblique,  il  ne  suffit  plus  dTavoir 
<^ard  à  Tinégalité  des  chemins  parcoonis  dans  la  lame  et  à  la  différence  des  vitesse»,  il 
faut  encore  tenir  compte  de  rinégalité  d<%  chemins  parcourus  dans  Pair  par  tes  deai  rayons 
dont  on  considère  Pinterférence. 


POLARISATION  CHROMATIQUE.  ù23 

propres  à  ces  faisceaux,  en  faisaiT converger  chacun  d'eux  en  un 
point  déterminé  d'un  tableau  plan.  —  A  considérer  la  lumière  dans 
Aon  ensemble ,  on  peut  dire  indifféremment  (ju'elle  converge  vers  la 
lame  cristalline  ou  qu'elle  diverge  à  partir  de  cette  lame.  De  là  les 
deux  dénominations  opposées  par  lesquelles  on  désire  indifférem" 
ment  ces  phénomènes. 

Il  n'est  nullement  nécessaire,  comme  on  fa  supposé  pour  plus 
de  simplicité,  que  le  polariseur,  la  lame  cristalline  et  l'analyseur 
se  suivent  immédiatement,  et  que  les  appareils  réfringents,  destinés 
à  concentrer  la  lumière  sur  la  lame  et  a  produire  sur  un  tableau  une 
image  nette .  soient  placés  des  deux  côtés  de  ce  système.  Il  suffit  que 
le  polariseur,  la  lame  cristiiiline  et  l'analyseur  soient  successivement 
traversés  par  la  totalité  des  rayons  lumineux,  la  position  des  len- 
tilles auxiliaires  étant  d'ailleurs  quelconque.  De  là  des  dispositions 
Ires-variées,  parmi  lesquelles  on  indiquera,  à  titre  d'exemple,  celle 
que  M.  Duboscq  a  adoptée  depuis  quelques  années  pour  les  expé- 
riences de  projection.  —  Un  large  faisceau  lumineux,  fourni  par 
le  soleil,  la  lampe  électrique  ou  même  la  lampe  de  Drummond,  est 
polarisé  d'abord  par  un  prisme  de  Foucault  F  (fijj.  i86),  et  rej-u 


ensuite  sur  une  |>remière  lentille  convergente  L,  qui  donne  dans  un 
plan  déterminé  une  image  I  de  la  source  de  lumière  :  il  en  résulte 
que.  derrière  cette  lentille,  la  lumière  peut  être  considérée  comme 
formée  d'une  infinité  de  faisceaux  cyHndnques,  circonscrits  à  I  et 
parallèles  à  diverses  directions  :  on  a  représenté  sur  la  figure  les 
deux  faisceaux  extrêmes.  La  lame  cristaHine  G  est  voisine  de  cette 
image:  il  n'est  donc  pas  nécessaire  qu'elle  ait  de  grandes  dimensions 
pour  qu'elle  soit  traversée  par  l'ensemble  de  ces  faisceaux.  Vient 


4âA  OPTIQUE  THEORIQUE. 

eu8uite  une  deuxième  lentille  convergente  L',  qui  donnerait  dans 
w)u  plan  focal  principal,  en  T,  l'apparence  colorée  qu'on  veut 
observer,  si  les  rayons  traversaient  l'analyseur  avant  d'arriver  dans 
00  plan.  Enfin,  au  delà  de  T,  est  une  troisième  lentille  L'',  à  foyer 
ttssex  court,  qui  produirait  sur  un  tableau  éloigné  une  image  très- 
•grandie  I"  de  celte  apparence  lumineuse.  Il  suffit  de  placer  derrière 
lu  lentille  L"  un  prisme  de  Nicol  N,  pour  que  cette  image  se  forme 
réellement. 

616.  Des  potorlscopeii.  —  Dans  toutes  les  expériences  que  l'on 
vient  de  décrire,  il  n'est  pas  nécessaire  que  la  lumière  reçue  sur  la 
lame  cristalline  soit  complètement  polarisée.  L'état  de  polarisation 
partielle  n'a  d'autre  influence  que  d'affaiblir  la  coloration  des  images, 
en  les  superposant  aux  images  blanches  que  donne  toujours  la  lu- 
mière naturelle.  L'œil  est  d'ailleurs  tellement  sensible  à  la  différence 
de  couleurs  de  deux  images  voisines  l'une  de  l'autre,  ou  aux  colo- 
rations diverses  des  points  d'une  seule  image  formée  par  la  lumière 
convergente,  qu'on  peut  aiosi  reconnaître  les  plus  faibles  traces  de 
polarisation.  De  là  la  construction  des  polariscopes. 

On  donne  le  nom  de  polariscope  à  tout  système  composé  d'une 
lame  cristallisée  biréfringente  et  d'un  analyseur.  Un  faisceau  de  lu- 
mière, assez  faiblement  polarisé  pour  qu'il  soit  impossible  d*ap- 
précier  la  différence  d'éelat  des  deux  faisceaux  entre  lesquels  il  se 
partage  dans  un  cristal  biréfringent,  peut  donner  naissance  dans 
ces  appareils  à  des  colorations  très-sensibles;  l'observation  des  posi- 
tions pour  lesquelles  toute  coloration  disparaît  dans  le  faisceau 
transmis  peut  faire  apprécier  avec  assez  d'exactitude  la  situation  du 
plan  de  polarisation. 

L'un  des  polariscopes  les  plus  usités  est  le  polariscope  de  Savart. 
Il  comprend  :  i°deux  lames  d'un  cristal  à  un  axe,  inclinées  de 
lib  degrés  sur  l'axe,  et  croisées  de  manière  que  leurs  sections  prin- 
cipales soient  à  angle  droit;  q''  une  tourmaline,  dont  l'axe  est  paral- 
lèle à  la  bissectrice  de  l'angle  de  ces  deux  sections.  La  lumière  po- 
larisée, lorsqu'on  la  reçoit  sur  cet  appareil,  donne  naissance  à  des 
bandes  colorées,  parallèles  à  l'axe  de  la  tourmaline:  ces  bandes  dis- 
paraissent entièrement,  lorsque  la  section  principale  de  l'une  des 


POLARISATION  CHROMATIQUE.  â25 

lames  est  parallèle,  et  l'autre  {>er|ienclicu]aire  au  plan  de  polari- 
sation. 

On  peut,  en  constatant  l'ëtat  d'un  faisceau  lumineux  au  moyeii 
d'un  poiariscope,  reconnàflre  s'il  doit  son  origine  à  la  réflexion  oii 
à  la  rëfraction.  C'est' ainsi  (jue  l'on  constate,  par  exemple,  (|ue  la  lu- 
mière de  la  lune  ou  des  planètes  est  polarisée  par  réflexion;  que  la 
lumière  de  l'arc-en-ciel  est  aussi  polarisée  par  réflexion ,  et  qu'il  en 
est  de  même  de  la  lumière  bleue  d'un  ciel  sans  nuages:  qu'au  con- 
traire la  lumière  des  halos  est  polarisée  par  réfraction ,  etc. 


617.  DlatlHeUon  «le*  crUtaHX  a  un  nxe  et« 
m  deux  «xe*.  —  Lorsque  l'on  taille,  dans  un  cristal  à  un  axe,  une 
lame  perpendiculaire  à  l'axe,  les  lignes  mchromatiques  auxquelles 
cette  lame  donne  naissance  ne  peuvent  être  que  des  anneaux  circu- 
laires, ayant  pour  centre  le  point  de  la  figure  colorée  oiî  vont  con- 
Vei^er  les  rayons  qui  ont  traversé  là  lame  parallèlement  à  son  axe. 
Comme  ces  rayons  n'ont  pas  éprouvé  de  double  réfraction,  le  point 
dont  il  s'agit  est  toujours  incolore;  il  est  d'ailleurs  noir  ou  blanc, 
suivant  les  circonstances  (frg.  !iSj  et  488).  II  est,  en  outre,  le  point 


de  croisement  des  branches  d'une  ou  deux  croix  incolores,  qui  sont 
parallèles  et  perpendiculaires  au  plan  primitif  de  polarisation  et  à  la 
section  principale  de  l'analyseur.  Si  ces  deux  derniers  plans  coïnci- 
dent, les  deux  croix  se  réduisent  à  une  seule  :  cette  croix  unique 
paraît  noire  dans  l'une  des  images  de  l'analyseur  (fig.  ^87),  et 


426  OPTIOUK  THÉORIQUE, 

blanche  dans  l'autre  (lîg.  i88).  —  Cette  propriété  de  l'axe  est  évi- 
demment générale  :  dans  toute  expérience  de  polarisation  chroma- 
tique oiî  il  arrivera  qu'un  des  faisceaux  lumineux  se  réfracte  à 
travers  la  iame  cristalline  parallèlement  à  son  aie,  ce  faisceau  sera 
dépourvu  de  coloration. 

Dans  les  cristaux  à  deux  axe»,  il  existe  deux  directions  jouissant 
d'une  propriété  analogue ,  sinon  identique.  Sï ,  dans  l'intérieur  d'une 
lame  à  faces  parallèles,  la  lumière  se  meut  suivant  une  de  ces  di- 
rections, elle  sort  de  la  lame,  quelle  qu'en  soit  l'épaisseur,  sans  que 
son  état  de  polarisation  ait  changé:  tout  parait  donc  se  passer  comme 
s'il  n'y  avait  pas  double  réfraction.  En  réalité,  la  double  réfraction 
subsiste  :  elle  présente  même  des  caractères  spéciaux  fort  remar- 
quables; mais  elle  n'a  pas  pour  conséquence  la  production  d'une 
différence  de  phase.  On  peut  donc  conserver  à  ces  deux  directions  la 
dénomination  d'axe»  optique»,  qui  leur  a  été  primitivement  donnée. 
Elles  n'ont  pas  en  général  la  même  position  pour  toutes  les  couleurs 
du  spectre;  mais,  lorsque  leurs  positions  diverses  diffèrent  peu,  un 
observe  que  les  faisceaux  qui  leur  sont  parallèles  ne  développent 
pas  plus  de  couleurs  que  les  fais- 
ceaui  parallèles  à  l'axe  dans  une 
plaque  de  spath. 

Une  plaque  dont  les  faces  pa- 
rallèles sont  perpendiculaires  i  la 
bissectrice  de  l'ange  des  axes  op- 
tiques donne  naissance  à  uo  sys- 
tème de  lemniscates  (fig.  Â89)  qui 
ont  pour  foyers  les  deax  points  dn 
tableau  oîr  viennent  convergM*  les 
deux  faisceaux  parallèles  aux  axes. 
Ce  sistème  osl  traversé  par  quatre  branches  d'hyperboles  incolores, 
qui  passent  par  les  foyers  des  lemniscates. 


POUVOIRS  ROTATOIRES. 


618.  Cttraetéres  •fférts  pmr  I»  lumière  polarisée  9  trane* 
mise  normalement  au  travers  d'une  lame  de  quartz 
taillée  perpendieulairement  k  l*axe.  —  En  général ,  une  lame 
perpendiculaire  à  Taxe,  taillée  dans  un  cristal  à  un  axe,  ne  déve- 
loppe pas  de  couleurs  lorsqu'elle  est  placée  sur  le  trajet  d'un  fais- 
ceau normal  polarisé,  et  que  ce  faisceau  est  ensuite  reçu  sur  un 
analyseur.  —  Le  quartz  ou  cristal  de  roche  fait  exception  à  cette 
règle;  les  lames  taillées  perpendiculairement  à  l'axe  donnent  nais- 
sance, dans  ces  conditions,  à  des  teintes  qui  se  distinguent  de  celles 
de  la  polarisation  chromatique  par  les  caractères  suivants  : 

1°  Elles  ne  varient  pas  quand  on  fait  tourner  la  lame,  d'un  angle 
quelconque,  dans  son  plan. 

a"  Elles  varient  au  contraire,  d'une  manière  continue,  lorsqu'on 
déplace  l'analyseur  ou  le  plan  de  polarisation  primitif  ;  par  un  dépla-^ 
cernent  de  90  degrés,  la  teinte  de  chacune  des  images  passe  à  la  teinte 
complémentaire,  mais  en  traversant  une  série  de  nuances  intermé- 
diaires de  coloration ,  au  lieu  de  passer  par  le  blanc. 

L'image  ordinaire  et  l'image  extraordinaire  de  l'analyseur  sont 
d'ailleurs  toujours  complémentaires  l'une  de  l'autre.  —  C'est  à 
Arago  que  sont  dues  ces  remarquables  observations. 

Si  l'on  substitue  à  la  lumière  blanche  incidente  une  lumière 
homogène,  on  constate,  comme  Biot  l'a  montré  le  premier,  les  divers 
résultats  suivants  : 

t"  La  lumière  émergente  est  polarisée,  comme  la  lumière  inci- 
dente, mais  dans  un  autre  plan. 

9"  L'angle  du  nouveau  plan  de  polarisation  et  du  plan  primitif 
est  exactement  proportionnel  à  l'épaisseur  de  la  plaque;  il  est  à  peu 
près  inversement  proportionnel  au  carré  de  la  longueur  tl'onde. 

3°  Deux  plaques  de  quartz,  d'épaisseurs  égales,  impriment 
toujours  des  rotations  égales  au  plan  de  polarisation;  mais  ces  ro- 


4i8  OPTIQUE  THEORIQUE. 

talions  peuvent  s'effectuer,  tantôt  vers  la  droite,  tantôt  vers  la 
gauche  ^^K 

Celle  troisième  loi  montre  simplement  l'existence  de  deux  variétés 
minéralogiques  distinctes  de  quartz  :  on  a  constaté  que  ces  variétés 
différaient  l'une  de  l'autre  par  d'importants  caractères  cristallogra- 
phiques. 

Les  deux  premières  lois  rendent  compte  des  faits  observés  par 
Arago.  —  En  effet,  si  l'on  désigne  par  oj  la  rotation  du  plan  de 
polarisation  d'un  rayon  d'espèce  déterminée,  et  par  s  l'angle  de 
la  section  principale  de  l'analyseur  avec  le  plan  primitif  de  polarisa* 
tion ,  l'intensité  de  ce  rayon  aura  pour  expression ,  dans  l'image  or- 
dinaire, 

cos^  (&>  —  «), 

et,  dans  l'image  extraordinaire, 

sin^(&>  —s). 

Ces  deux  valeurs  étant  variables  d'une  manière  continue  avec  la 

longueur  d'onde,  les  deux  images  doivent  être  colorées;  les  teintes 

qu'elles  présentent  doivent  d'ailleurs  être  complémentaires,  puisque 

l'on  a 

sin^  (cii  —  «)  =  1 — cos^  (&>  —  «). 

On  voit  aussi  qu'une  variation  continue  de  l'angle  s  a  pour  con- 
séquence une  modificalion  continue  des  proportions  dans  lesquelles 
chacun  des  éléments  de  la  lumière  blanche  entre  dans  les  deux 
images,  c'est-à-dire  un  changement  continu  de  couleurs;  enfin ^  une 
variation  de  s  égale  à  90  degrés  détermine  le  passage  d'une  teinte 
à  la  teinte  complémentaire. 

619.  Teinie  «eiuiible. —  On  sait  que  l'intensité  lumineuse  du 
spectre  solaire  présente  dans  le  jaune,  entre  les  raies  D  et  E^  un 

^'^  Il  est  bon  de  rem«rquer  que  le  signe  de  toute  rotation  supérieure  à  90  degrés  est 
ambigu ,  tant  que  Ton  considère  cette  rotation  isolément  ;  mais  Tambiguïté  disparaît  lors- 
qu'on examine  1^  suite  des  rotations  produites  par  une  série  de  plaques  d^épaisseun  gra- 
dueliement  croissantes ,  â  partir  d^une  épaisseur  très-petite. 


POUVOIRS  ROTATOIRES.  i29 

maximum  très-marqué,  et  que,  des  deux  côtés  de  ce  maximum, 
l'iuleasité  est  très-rapidement  décroissante  jusqu'aux  extrémités. 
—  Supposons  que  la  section  principale  de  Tanaljseur  placé  derrière 
une  lame  de  quartz  soit  parallèle  au  plan  de  polarisation  des  rayons 
les  plus  intenses.  L'image  extraordinaire  ne  contiendra  aucune  trace 
de  ces  rayons  :  elle  présentera  donc  une  teinte  complémentaire  du 
jaune,  c'est-à-dire  violacée;  en  même  temps,  elle  sera  réduite  à  son 
minimum  d'intensité.  —  Si  maintenant  on  imprime  un  petit  dépla- 
cement à  l'analysour,  ce  déplacement  aura  pour  efTet  d'introduii'e 
dans  cette  image  une  petite  fraction  des  rayons  les  plus  brillants  de 
la  lumière  solaire;  et,  pour  une  même  valeur  du  déplacement,  le 
changement  de  teinte  produit  sera  évidemment  plus  sensible  que  dans 
toute  autre  situation  de  l'analyseur.  —  Enfm,  suivant  que  le  dépla- 
cement aura  pour  eiïct  d'augmenter  ou  de  diminuer  l'angle  formé 
par  la  section  principale  de  l'analyseur  avec  le  pian  ])riniilif  de 
polarisation,  on  aiïalbllra  dans  l'image  extraordinaire  les  rayons  les 
moins  réfranglbles  ou  les  rayons  les  plus  réfranglbles  de  la  lu- 
mière blanche  :  dans  le  premier  cas,  on  verra  l'image  virer  au  bleu  ; 
dans  le  second  cas,  on  la  verra  vîrer  au  rouge. 

Ces  propriétés  remarquables  de  la  teinte  violacée  l'ont  fait  dési- 
gner par  Biot  sous  le  nom  de  teinte  lenàble  ou  de  teinte  de  passage. 


630.  iBterprétAMoB  des  phén«MènM  précédenta,  d»Mi 
K  théorie  d«i<mde>.  —  Soit  un  système  de  vibrations,  polarisées 
dans  le  plan  YY'{{ig.  igo);  le  dé- 
placement d'une  molécule  d'éther 
sera  parallèle  à  l'axe  OX  et  pourra 
être  représenté,  au  point  d'inci- 
dence sur  une  lame  de  quartz, 
par 


Or  il  est  évident  que  ce  déplace- 
ment peut  ^tre  considéré  comme 
équivalent  au   système  de  deux 
les  à  l'axe  OX,  et  de  deux  déplace- 


't30  OPTIQUE  THÉOBIQUE. 

inents  ti  et  )i'  parallèles  à  Taxe  OV,  pourvu  qu*oa  ait  à  chaque  ins- 
tant 

Donc ,  en  vertu  du  principe  de  la  superposition  des  petits  mouve- 
ments ,  les  effets  des  vibrations  rectilignes  qui  constituent  le  rayon 
considéré  seront  les  mêmes  que  les  effets  de  la  combinaison  de 
deux  groupes  de  vibrations  dont  le  premier  sera  défini  par  le  sys- 
tème des  deux  équations 

f;     a  t 

1  1 

a    .  / 

Yf^-  sm  9.^77,- 

et  le  second  par  le  système  des  deux  équations 

r/      a  / 

2  I 

,  a   .  / 

Comme  on  a  évidemment  ?+i;*--  $'*+>; '^  =-.»  les  vibrations 

représentées  par  cbacun  de  ces  deux  systèmes  sont  circulaires;  d'ail- 
leurs, si  Ton  examine  le  sens  dans  lequel  chacune  d'elles  s'effectue, 
on  reconnaît  que,  dans  les  premières,  la  molécule  d'étber  parcourt 
sa  trajectoire  circulaire  de  droite  à  gauche;  dans  les  secondes,  le 
mouvement  sur  la  trajectoire  a  lieu  de  gauche  à  droite.  On  peut 
donc  énoncer  ce  théorème  : 

L  n  rayon  polarisé  peut  être  remplacé  par  le  nyMl^e  de  deux  rayons 
égaux,  polarisés  circulairettieni  et  en  seM  contraire. 

Supposons  maintenant  que,  tandis  qu'un  rayon  polarisé  rectili- 
gnement  ne  peut  se  propager  sans  altération  suivant  Taxe  du  quartz, 
un  rayon  polarisé  circulairement  s'y  propage  sans  éprouver  d'autre 
modification  que  le  changement  de  phase  qui  résulte  de  la  propaga- 
tion même.  Supposons,  en  outre,  que  la  vitesse  de  propagation  ne 


POUVOIRS  ROTATOIRIîS.  kAl 

soit  pas  la  même  pour  les  deux  espèces  opposées  de  rayons  polarisés 
circulairement  ;  désignons  par  I)  la  vitesse  de  propagation  des  rayons 
polarisés  de  gauche  à  droite,  par  G  la  vitesse  de  propagation  des 
rayons  polarisés  de  droite  h  gauche.  Après  avoir  traversé  une  lame 
de  quartz,  d'épaisseur  e,  le  premier  système  de  vibrations  circulaires 
sera  représenté,  au  point  d'émergence,  par  les  équations 

'-r 

ij       tf  G 

Ç,  =  -  rOS  QTT  "Y"  ' 

a    .  u 

nj  =-sm  ^ir — t^—: 

le  second  système  sera  représenté,  au  même  point,  par  les  équa- 
tions 

Ç]  ==-COS9W-7p— •' 

i?i  =  —  -  sm  2w  — TjT-  • 

Le  mouvement  résultant  de  la  combinaison  des  deux  systèmes  aura 
pour  projections  sur  les  axes  coordonnés 

ce  mouvement  sera  rectiligne  et  s'exécutera  dans  un  plan  faisant, 
avec  le  plan  des  vibrations  primitives,  un  angle  égal  à 

^  [îïï  ~  iVlj  ' 

Le  plan  de  polarisation,  perpendiculaire  au  plan  de  vibration,  aura 
donc  tourné  d'un  angle  proportionnel  à  l'épaisseur;  il  est  facile  de 
voir  que  cette  rotation  aura  lieu  vers  la  droite  si  l'on  a 

D     G     ^- 


432  OPTIQUE  THÉORIQUE, 

il  aura  lieu  vers  la  gauchfi  si  l'on  a 

El)  d'aulros  lermes,  lit  plan  de  polarisation  aura  tourné  vers  la 
droite  ou  vrrs  la  gaurhe,  selon  que  la  vitesse  de  propagation  D  sera 
supérieure  ou  inférieure  à  la  vitesse  G. 

Telle  est  l'inteqirëlation  que  Fresnel  a  tlonn<Se,  dans  la  ibéorie 
(Irs  ondes,  de  l'action  exercée  sur  la  lumière  polarisée  parles  plaques 
de  quartz  perjiendiculaires  î'i  l'axe. 

Fresnei  a  vérifié  directement  son  hypotlièse  par  l'expérience  sui- 
vante :  Un  prisme  très-obtus  ABC  (fig.  ûgi)  a  été  taillé  <lans  un 
cristal  de  quartz,  do  nianii-re  que  sa  base  AO  fût  parallèle  à  t'aie. 


Fi»,  ig.. 

Dans  un  cristal  d'espèce  contraire,  on  a  ensuite  taillé  deux  prismes 
rectangles  ABI)  et  CEE,  de  telle  façon  que  dans  chacun  d'eut  l'auf 
fût  parallèle  au  grand  cblé  de  l'angle  droit,  et  qu'en  les  arcolant 
au  prisme  AB('  on  obtint  un  parallélipipède  rectangle.  Si  les  hy- 
pothèses de  Kresnel  étaient  exactes,  un  rayon  polarisé  SI,  tombant 
sur  AD,  devait  se  décomposer  en  deux  rayons  polarisés  cirrulaire- 
ment,  d'espèces  contraires,  se  propageant  avec  des  vitesses  inégales, 
et  comme  l'ordre  des  vitesses  de  propagation  se  trouvait  renversé 
dans  le  second  prisme  ABC ,  ces  deux  rayons  devaient  éprouver,  en 
y  pénétrant,  des  réfractions  inégales,  et  par  conséquent  se  séparer 
l'un  de  l'autre.  L'effet  du  troisième  prisme  était  d'augmenter  encore 
cette  divergence  et  d'achromatiser  les  deux  rayons.  On  peut ,  avec  un 
appareil  de  ce  genre,  voir  une  double  image  d'un  objet  de  petites 
dimensions,  et  reconnaître  que  les  deux  systèmes  de  rayons  corres- 
pondants [tossèdent  la  polari.sation  circulaire. 


POUVOIRS  ROTATOIRES.  i33 

621 .  AetloB  du  quarts  sur  II»  lumière,  dama  une  direc- 
tion iucllnée  «ur  l'axe.  —  L'inteqirétation  que  nous  venons  de 
donner,  d'après  Fresnel,  des  propriétés  des  laines  de  quartz  perpen- 
diculaires à  l'axe,  implique,  comme  nous  l'avions  pressenti,  que  les 
lois  générales  de  Huyghens  éprouvent  des  perturbations  sensibles, 
quand  la  lumière  traverse  des  cristaux  de  quarU  dans  des  directions 
voisines  de  l'axe.  —  Au  contraire,  dans  une  direction  perpendicu- 
laire à  l'axe,  il  ne  paraît  pas  y  avoir  de  différence  appréciable  entre 
les  propriétés  du  quartz  et  celles  d'un  cristal  quelconque  à  un  axe. 

Il  est  naturel  de  supposer  que  le  passage  des  vibrations  circu- 
laires aux  vibrations  rectilignes  a  lieu  par  l'intermédiaire  des  vibra- 
tions elliptiques,  et  que,  suivant 
une  direction  inclinée  sur  l'axe;  le 
quartz  ne  peut  transmettre  sans 
altération  que  les  rayons  polarisés 
elliptiquement-,  la  vitesse  de  pro- 
pagation dépendrait  d'ailleurs  du 
sens  de  la  polarisation  elliptique, 
et  les  axes  des  ellipses  de  vibration 
seraient  symétriquement  placés  par 
rapport  à  la  section  principale.  — 
^"^'  '"'''''  Les    conséquences    de   ces   hypo- 

thèses, développées  par  M,  Airy,  so  sont  trouvées  conformes  à  l'expé- 
rience. Ainsi,  le  calcul  a  montré,  et  l'observation  a  confirmé,  que 
deux  plaques  de  quartz  égales  et  d'espèces  contraires  donnent  un 
système  assez  complexe  de  lignes  isochromatiqoes,  traversé  par 
quatre  spirales  Formant  au  centre  une  sorte  de  croix  noire  (fig.  iga). 

622.  eénérallMktlan  des  loi»  précédentes.—  Subatanec* 
acMYcs.  —  Des  propriétés  toutes  semblables  à  celles  du  quartz 
ont  été  découvertes  par  M.  Descloizeaux  dans  le  cinabre  et  le  sulfate 
de  strycbnine,  etparM.  Marbach  dans  le  chlorate  de  soude  et  quel- 
ques sels  analogues.  Ces  derniers  sels  étant  cristallisés  dans  le  système 
cubique,  toutes  les  directions  qu'on  y  peut  considérer  jouissent  de 
propriétés  identiques  :  la  rotation  du  plan  de  polarisation  s'observe 
toujours  également,  dans  quelque  sens  que  la  lumière  les  traverse. 

ViibiT,  lU.  —  Coun  de  ph;».  II.  ■,» 


&3Â  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

Longtemps  avant  ces  observations,  Biot  avait  recoonu  qu*iiD 
grand  nombre  de  liquides  organiques,  et  les  solutions  de  corps  so- 
lides assez  nombreux,  également  d'origine  organique,  ont  la  pro- 
priété de  faire  tourner  le  plan  de  polarisation  de  la  lumière  qui  les 
traverse.  —  Gomme  il  ne  peut  y  avoir  dans  un  liquide  aucune  di- 
rection jouissant  de  propriétés  particulières,  cette  rotation  est  tou- 
joui*s  de  même  grandeur,  quelle  que  soit  la  direction  du  rayon  in- 
cident. Elle  est  d'ailleurs  proportionnelle  à  Tépaissenr  traversée,  à 
peu  près  en  raison  inverse  du  carré  de  la  longueur  d'onde  ^'^  — 
Lorsqu'il  s'agit  d'une  solution,  la  rotation  est  proportionnelle  au 
poids  de  la  substance  acUi^^^^  contenue  dans  l'unité  de  volume. 

623.   Applleati«iis«  —    Saceliarimètre  de  H.  S«lcU.  — 

La  dernière  loi  que  l'on  vient  d'énoncer  est  devenue  le  fondement 
d'une  série  de  procédés  d'analyse  chimique  qui  ont  permis,  par 
exemple,  de  déterminer  par  une  simple  observation  optique  le  titre 
exact  d'une  liqueur  sucrée.  Elle  a  permis  également  de  reconnaître, 
par  l'observation  des  propriétés  des  combinaisons  d'une  substance 
active,  si  la  structure  moléculaire  manifestée  par  le  pouvoir  rotatoire 
s'était  conservée  ou  détruite  dans  l'acte  de  la  combinaison. 

En  raison  de  l'importance  de  ces  applications,  il  convient  de  dire 
quelques  mots  des  dispositions  expérimentales  particulières  que 
M.  Soleil  a  imaginées  pour  les  faciliter.  —  Les  rayons  polarisés 
d'une  manière  quelconque  sont  reçus  sur  une  plaque  dont  les  deux 
moitiés  sont  formées  de  deux  quartz  d'espèce  contraire  et  d'égale 
épaisseur,  imprimant  l'un  et  l'autre  une  rotation  de  90  degrés  au 
plan  de  polarisation  des  rayons  jaunes  moyens;  de  cette  façon,  la 
lumière  transmise  par  les  deux  moitiés  de  la  plaque,  reçue  ensuite 
sur  un  prisme  de  Nicol,  développe  la  teinte  de  passage,  aussi 
bien  dans  l'une  des  moitiés  de  l'image  que  dans  l'autre,  lorsque 
la  section  princi|)ale  du  prisme  est  perpendiculaire  au  plan  primitif 
de  polarisation.  —  Si  maintenant,  entre  la  double  plaque  et  l'a- 
nalyseur, on  place  une  colonne   liquide  douée  du  pouvoir  rota- 

''^  L^acide  larlrique  ot  leslartrales  font  excepUon  à  cette  loi. 

'•*'  C'est  rexpreasion  abrégée  par  laquelle  on  désigne  fréquemment  les  siilistances  doii«^ 
de  la  faculté  de  dévier  le  plan  de  polarisation  des  rayons  qui  les  traversent. 


POUVOIRS  hOTATOIRES.  435 

loire,  par  exemple  une  colonne  d'essence  de  térébenthine,  l'effet  du 
liquide  s'ajoute  à  l'effet  d'une  des  nioîtlés  de  la  plaque  et  se  re- 
tranche de  celui  de  l'autre  moitié  :  il  en  résulte  que  l'uniformité  des  , 
teintes  des  deui  moitiés  de  l'image  dispandl.  On  rétablit  l'unifor- 
mité de  teinte  au  moyen  de  deux  prisuies  de  c|uarlz  à  base  rectangle 
A.  B  (fi({.  '193),  dont  te  prand  côté  Je  l'angle  droit  est  perpendi- 


culaire à  l'axe  :  ces  deux  prismes ,  en  glis&ant  l'un  sur  l'autre,  cons- 
tituent une  lame  perpendiculaire  à  l'axe,  dont  l'i^paisseur  est  va- 
riable à  volonté.  L'épaisseur  nécessaire  au  rélablissemenl  d'une  teinte 
uniforme  produit  évidemment  une  rotation  -égale  et  contraire  à 
celle  de  l'essence,  et  peut  lui  servir  de  mesure.  —  Deux  appareils 
compensateurs  de  ce  genre,  construits  avec  des  quartz  d'espkes 
contraires,  permettent  d'appliquer  la  méthode  à  tous  les  liquides 
dans  lesquels  les  rotations  du  plan  de  polarisation  approchent  d'^Ire 
inversement  proportionnelles  aux  carrés  des  longueurs  d'onde. 

624.   AatioM  du  HissméttMiie  mmr  lj>  lumière  painrtoé*. 

—  Faraday  a  découvert,  en  1 8^5 ,  que  tout  liquide  ou  solide  trans- 
parent, lorsqu'on  le  soumet  à  l'action  d'un  puissant  appareil  magné- 
tique, acquiert,  aussi  longtemps  que  dure  cette  action,  la  propriété 
de  faire  tourner  le  plan  de  polarisation  de  la  lumière  qui  le  traverse. 

—  L'appareil  suivant ,  construit  par  M.  Ruhuikorff,  est  généralement 
employé  pour  répéter  celte  importante  expérience.  Deux  fortes  bo- 
bines de  fil  de  cuivre  B  et  B'(fig.  &  9/1)  sont  enroulées  autour  de  deux 
cylindres  de  fer  doux,  percés  suivant  leurs  axes.  Les  deux  cylindres 
sont  réunis  par  une  série  de  pièces  de  fer  doux,  disposées  de  telle 
façon  que  les  deux  cavités  qui  les  traversent  se  trouvent  sur  le  pro- 
longement l'une  de  l'autre.  Aux  deux  extrémités  de  l'appareil,  sont 
des  prismes  de  Nicol  N  el  N'.  servant  de  polariseur  el  d'analyseur. 


usa  OPTIQUE  THÉORIQUE. 

],a  substance  transparenli;  A  esl  placf^e  sur  un  support,  enlre  les 
branches  de  l'électro-ainiant,  au  point  où  l'action  magnéti(]u«  est  le 
.  plus  puissante.  —  Avant  de  déterminer  Tnimantation  dans  les  pièces 


(le  IVr  douv,  on  éteint  entièn-iiienl  la  lumière  qui  traversait  l'appa- 
reil suivant  son  axe,  en  croisant  les  sections  principales  des  deui 
prismes  de  Nirol;  on  met  ensuite  en  jeu  la  puissance  magnétique 
de  l'appareil,  en  faisant  passer  le  courant,  et  l'on  voit  la  lumière 
>reparaître,  —  L'<^tude  du  phénomène  fait  reconnaître  que  ce  retour 
de  la  lumière  est  dil  à  une  rotation  du  plan  de  polarisation,  variable 
avec  la  longueur  d'onde  de  ta  lumière  employée. 

Les  inHnences  qu'exercent  les  diverses  conditions  de  l'expérience, 
sur  la  (candeur  ou  le  sens  de  la  rotation,  sont  comprises  dans  les 
lois  suivantes  : 

1°  La  rotation  est  proportionnelle  à  l'action  que  l'électro-aimant 
exercerait  sur  une  molécule  de  fluide  magnétique,  pincée  dans  l'in- 
térieur de  la  substance  transparente. 

'("  Lorsqu'on  incline  la  direction  du  rayon  lumineux  sur  l'axe  de 
IVIertro-aiinant  '",  la  rotation  varie  ])ro|iorlionnellenienl  au  cosinus 
de  cette  inclinaison.  Va\  particulier,  elle  devient  nulle  quand  l<-  rayon 
et  l'axe  de  l'électro-aimant  font  entre  eux  un  ang^e  de  ^a  degrés: 
elle  change  de  signe  quand  on  fait  tourner  le  ravon  de  t8o  degrés, 
c'est-à-dire  quand  on  renverse  sa  direction, 

<''  OUe  loieugp,  pour  m  vMBntioo,  lir*  iippiiviU  lout  aiitivineiil  dUponétigiif  rHiii 
<iui  esl  dii'iil  cl  tîj'iin'  iri. 


POUVOIRS   ROTATOIRES.  437 

3"  La  rotation  est,  dans  tous  les  cas,  à  peu  près  en  raison  in- 
verse du  carr^  de  la  longueur  d'onde. 

k"  Le  sens  de  la  rotation  dépend  de  h  nature  de  la  substance 
transparente.  —  Si  l'on  substitue  un  morceau  de  l'er  doux  à  cette 
substance,  et  si  l'on  considère  les  courants  moléculaires  qui,  selon 
les  idées  d'Ampère,  s'y  développent  par  l'aimantation,  on  peut  ap- 
peler positive  la  rotation  ([ui  s'eiïectue  dans  le  sens  du  mouvement 
de  l'électricité  positive  de  ces  courants,  et  nêgalivc  celle  q^ui  a  lieu 
dans  le  sens  du  mouvement  de  l'électricité  négative.  En  adoptant 
ces  dénominations,  on  peut  dire  que  tous  les  corps  dans  la  compo- 
sition desquels  il  n'entre  aucun  métal  magnétique,  el  les  composés 
d'un  petit  nombre  de  métaux  magnétiques  (nickel  et  cobalt],  pro- 
duisent des  rotations  positives  :  la  plupart  des  composés  des  métaux 
magnétiques  (fer,  chrome,  manganèse,  titane,  cériiim ,  uranium, 
lanthane)  produisent  des  rotations  négatives. 

Enfin ,  la  grandeur  absolue  de  la  rotation  dépend  de  la  nature  de 
la  substance,  e(  ne  parait  pas  avoir  de  rapport  étroit  avec  quelque 
autre  propriété  physique. 


PROPAGATION    DE   LA  CHALEUR. 


RAYONNEMENT. 


6*25.  DistliiCtiOB  du  rayonnement  et  de  la  eonduetibi- 
lité.  —  L*expérience  nous  révèle  l'existence  de  deux  modes  dis- 
tincts de  propagation  de  la  chaleur  : 

i"  Une  source  de  chaleur  peut  élever  la  température  d'un  corpà 
éloigné,  en  déterminant  préalablement  une  élévation  successive  de 
température  dans  tous  les  corps  intermédiaires  :  c'est  la  propagation 
par  conductibilité, 

a"  Une  source  de  chaleur  peut  élever  la  température  d'un  corp^ 
éloigné  sans  élever  la  température  des  corps  intermédiaires ,  ou  du 
moins  sans  que  cette  élévation  soit  la  condition  essentielle  de  l'ac- 
tion à  distance  :  c'est  la  propagation  par  rayonnement. 

L'existence  du  premier  mode  de  propagation  est  trop  évidente 
pour  qu'il  soit  nécessaire  de  la  démontrer  par  des  expériences  spé- 
ciales.— L'existence  du  second  mode  n'est  guère  moins  évidente,  du 
moins  lorsque  Ton  considère  l'action  du  soleil  ou  celle  des  corps  in- 
candescents. La  basse  température  qui  a  été  constatée  dans  les  régions 
supérieures  de  l'atmosphère  prouve  bien,  par  exemple,  que  ce  n'est 
pas  en  échauffant  les  milieux  intermédiaires  que  le  soleil  agit  sur  la 
surface  terrestre.  De  même,  selon  l'observation  de  Scheele,  lors- 
qu'un foyer  de  combustion  est  en  activité,  et  que  l'on  considère  les 
corps  qui  sont  placés  dans  le  courant  d'air  froid  par  lequel  la  com- 
bustion est  entretenue ,  il  est  bien  évident  que  ces  corps  ne  peuvent 


kliO 


PROPAGATION  DE   LA  CHALEUR. 


recevoir  aucune  chaleur  du  foyer  par  voie  de  conductibilité  :  cha- 
cun sait  cependant  (|ue  la  température  de  ces  corps  peut,  dans  cer- 
tains cas.  devenir  très-élevée. 


6!26.  Chaleur  rayaimaiite  olMicwre. —  Les  expériences  sui- 
vantes montrent  que  l'incandescence  n*est  pas  une  condition  néces- 
saire du  rayonnement,  et  qu'il  existe  une  cbideur  rayonnante  obê- 
cure  qui  peut  traverser  les  milieux  les  plus  divers ,  sans  que  celte 
transmission  dépende  d'un  échauffement  graduel  des  couches  suc- 
cessives de  ces  milieux  eux-mêmes. 

On  construit,  comme  Ta  fait  Rumford,  un  baromètre  terminé  à 
sa  partie  supérieure  par  un  ballon  B;  dans  la  partie  latérale  de  ce 
ballon  pénètre  la  tige  d'un  thermomètre  (fig.  AgS).  En  dirigeant 

le  dard  d'un  chalumeau  sur  l'étranglement  E, 
on  sépare  le  l)allon  du  baromètre,  et  Ton  t)b- 
/T>;.  tient. ainsi  l'appareil  représenté  à  droite  de  la  fi- 
\^^  gure  :  il  ne  contient  dans  son  intérieur  d'autre 
matière  pondérable  qu'une  quantité  h  peu  près 
insensible  de  vapeur  de  mercure.  Dès  qu'on 
plonge  la  partie  inférieure  du  ballon  dans  l'eau 
bouillante,  on  voit  le  thermomètre  accuser  une 
élévation  de  température:  l'effet  ne  peut  être 
attribué  ici  qu'au  rayonnement  direct  de  la 
partie  vitreuse  échauffée. 

On  peut  citer  encore  l'expérience  suivante, 
qui  est  due  à  Bénédict  Prévost.  Deux  miroirs 
métalliques  concaves  étant  disposés  en  face  Tun 
de  l'autre  de  manière  que  leurs  axes  coïncident, 
^<^^^^f^^^^  et  un  corps  chaud  étant  placé  au  foyer  de  l'un, 

Fig.  &95.  l'une  des  boules  d'un  thermomètre  différentiel 

étant  placée  au  foyer  de  l'autre,  le  thermomètre  accuse  une  élévation 
de  température,  due  à  l'action  des  rayons  calorifiques  concentrés  sur 
la  boule.  —  On  constate  que  celte  élévation  de  température  subsiste, 
bien  qu'elle  devienne  un  peu  moindre,  lorsqu'on  fait  tomber,  entre 
le  thermomètre  et  le  corps  chaud,  une  nappe  d'eau  qui  se  renou- 
velle d'ime  manière  continue.  Le  même  effet  se  produit  encore  si 


M 


RAYOiSNEMENT.  Ulii 

Ton  interpose,  entre  le  corps  chaud  et  le  thermomètre,  un  écran 
de  verre  animé  d'un  mouvement  rapide  de  rotation,  comme  le  pla- 
teau d'une  machine  électrique. 

627.  OlMiervatioiui  générales  sur  len  radlAtioiis  ealori- 
miues  compArées  aum  rMllatioiis  lumineuiies.  —  En  rap- 
prochant des  divers  faits  qui  précèdent  ceux  qui  ont  établi  l'exis- 
tence des  rayons  calorifiques  infra-rouges  (487),  on  est  conduit 
à  considérer  la  partie  de  la  science  qui  est  désignée  sous  le  nom 
d'étude  de  la  clialeur  rayonnante  comme  n'étant  qu'un  complément 
ou  plutôt  un  nouvel  aspect  de  l'Optique. 

La  faculté  que  possèdent  les  radiations  dites  lumineuses,  d'agir 
sur  notre  œil,  permet  de  reconnaître  avec  exactitude  la  direction  de 
ces  radiations,  et,  par  conséquent,  de  déterminer  les  lois  desquelles 
peuvent  dépendre  les  diverses  modifications  que  cette  direction  peut 
subir;  mais  l'œil  ne  peut  faire  la  comparaison  des  intensités  que  d'une 
manière  très-imparfaite.  —  Au  contraire ,  les  propriétés  calorijiquss 
d'une  radiation,  qui  ne  pourraient  servir  à  en  déterminer  la  direc- 
tion que  d'une  manière  grossière,  peuvent  être  mesurées  dans  leur 
intensité,  d'une  manière  à  la  fois  commode  et  précise. 

Ainsi ,  tandis  que  l'œil  est  spécialement  approprié  à  l'étude  des  lois 
qui  règlent  la  direction  des  radiations ,  les  instruments  thermomé- 
triques conviennent  plus  particulièrement  à  la  recherche  des  lois 
relatives  aux  variations  d'intensité,  de  sorte  que  les  deux  genres 
d'étude  se  complètent  réciproquement.  Seulement,  afin  de  ne  laisser 
aucun  doute  sur  l'identité  des  sujets  étudiés  séparément  .par  les  deux 
méthodes,  on  ne  doit  pas  plus  négliger  les  expériences  destinées  à 
la  détermination  approximative  des  lois  de  propagation  des  rayons 
calorifiques  obscurs,  qu'on  ne  doit  négliger  les  expériences  photo- 
métriques proprement  dites. 

628.  Appareils  pour  l'étude  de  la  eltaleiur  rayonnanie. 

—  Tout  appareil  sensible  à  l'action  de  la  chaleur  peut  être  employé 
à  l'étude  du  rayonnement.  Les  physiciens  se  sont  principalement 
servis  des  thermomètres  différentiels  de  Leslie  ou  de  Rumford  (54) 
et  de  l'appareil  thermo-électrique  de  JNobili  et  iMelloni. 


'iâ2 


PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 


Lorsqu'on  fait  usage  d'un  thermomètre  différentiel ,  on  place  or- 
dinairement Pun  de  ses  réservoirs  devant  un  miroir  métallique  con- 
cave qui  concentre  sur  lui  les  rayons  d'une  source  calorifique,  et  Ton 
protège  l'autre  réser\oir  contre  l'action  du  rayonnement.  On  subs- 
titue quelquefois  au  thermomètre  différentiel  un  thermomètre  à 
mercure  ordinaire.  — Toutes  ces  dispositions  sont  bien  inférieures. 
pour  Pexactitude  des  résultats,  à  l'emploi  de  Tappareil  thermo-élec- 
trique. 

* 

629.  ApiMireil  tlieriii»-éleetrii|iie.  —  Les  parties  essentielles 
de  l'appareil  thermo-électrique  de  Nobili  et  Melloni  sont  :  une  pile 
thermo-électrique  à  éléments  bismuth-antimoine,  et  un  galvano> 
mètre  à  double  aiguille  astatique. 

La  pile  P  (fig.  ^96)  est  fixée  à  un  support  mobile  le  long  d'une 
règle  métallique  AB ,  qui  soutient  également  les  pièces  accessoires 


Fig.  A96. 

de  l'appareil.  Ces  pièces  sont  :  des  écrans  doubles  et  mobiles,  sem- 
blables à  l'écran  D .  qui  arrêtent  ou  laissent  passer  les  faisceaux  calo- 
rifiques vers  la  pile,  selon  qu'on  les  relève  ou  qu'on  les  abaisse;  des 
diaphragmes  tels  que  E,  qui  limitent  ces  faisceaux  à  des  dimensions 
convenables;  enfin  des  supports  qui  servent  à  placer  les  sources  de 
chaleur  ou  les  substances  destinées  à  agir  sur  les  rayons  calorifiques. 
Le  galvanomètre  (fig.  i5o)  est  placé  aussi  loin  que  possible  de 
l'appareil ,  et  soigneusement  préservé  contre  toute  action  calorifique 
qui  pourrait  déterminer  dans  Pintérieur  de  la  cloche  des  courants 
d'air  capables  d'agir  sur  l'aiguille. 


RAYONNEMENT. 


^u:^ 


Lorsqu'on  veut  étudier  la  réflexion  ou  la  réfraction  de  la  chaleur, 
on  fixe  le  support  de  la  pile  sur  une  règle  auxiliaire  qui  tourne 
autour  du  support  K  (fig.  igy);  c'est  sur  ce  support  qu'on  place, 
soit  le  miroir  réfléchissant,  soit  le  corps  réfringent.  Les  deux  extré- 
mités de  la  pile  CD  (fig.  4()7)  sont  ordinairement  engagées  dans 
des  tubes  cylindriques  tels  que  T,  munis  chacun  d'un  opercule  S 


Fig.  497. 

qu'on  peut  élever  ou  abaisser  à  volonté.  Quand  on  a  besoin  de  donner 
à  l'appareil  une  grande  sensibilité,  on  remplace  celui  de  ces  tubes 
qui  est  placé  du  côté  destiné  à  recevoir  la  chaleur  par  un  cône  réflec- 
teur de  large  ouverture  T',  qui,  lorsque  son  opercule  est  enlevé, 
concentre  sur  la  pile  tous  les  rayons  calorifiques  qui  tombent  sur 
sa  surface  interne. 

o30.  C^raduation  de  l'appareil  tltermo-éleetrique.  —  La 

graduation  de  l'appareil  est  fondée  sur  le  principe  suivant  :  Lorsque 
le»  deux  faces  de  la  pile  reçoivent  en  des  temps  égaux  des  quantités  égales 
de  chaleur^  le  courant  thermo-électrique  est  nul. 

Si  l'on  ne  regardait  pas  ce  principe  comme  une  conséquence-  évi- 
dente des  lois  des  courants  thermo-électriques,  on  en  trouverait  une 
justification  directe  dans  une  expérience  de  Biot.  —  Une  pile 
thermo-électrique  est  placée  entre  deux  sources  rayonnantes,  et  l'on 
fait  varier  les  distances  de  ces  sources  à  la  pile,  jusqu'à  ce  que  l'ai- 
guille du  galvanomètre  soit  en  repos  sur  le  zéro  de  la  graduation. 
On  remplace  alors  la  pile  par  un  thermomètre  difTérentiel  dont  les 
réservoirs  sont  de  petits  parallélipipèdes  métalliques,  enduits  de 
noir  de  fumée  et  ayant  exactement  les  mêmes  dimensions  transver- 


hbU  PROPAGATIOiN  DE  LA  CHALEUR. 

sales  que  les  faces  terminales  de  la  pile  :  on  constate  que  la  colonne 
liquide  reste  immobile,  ce  qui  prouve  Tégalité  des  quantités  de 
chaleur  incidentes. 

Pour  appliquer  ce  principe,  on  place,  des  deux  côtés  de  la  pile, 
deux  sources  de  chaleur  aussi  constantes  que  possible,  par  exemple 
deux  lampes  de  Locateili  ^^\  et  deux  écrans  ({ui  permettent  d'inter- 
cepter à  volonté  l'un  ou  l'autre  des  deux  rayonnements.  Sous  l'action 
de  la  première  lampe  seule,  l'aiguille  du  galvanomètre  se  met  en 
équilibre  à  une  distance  a  du  zéro  de  la  graduation;  sous  l'action 
de  la  deuxième  lampe  seule,  l'aiguille  se  fixe  à  la  distance  a ,  du 
côté  opposé;  enfin,  sous  l'action  simultanée  des  deux  lampes,  elle 
se  fixe,  par  exemple,  à  la  distance  jS,  du  même  côté  que  dans  la 
première  expérience.  Si  q  et  q'  sont  les  quantités  de  chaleur  en- 
voyées à  la  pile  en  un  temps  donné,  dans  la  première  et  dans  la 
deuxième  expérience .  la  quantité  q  peut  être  considérée  comme  la 
somme  des  deux  quantités  q'  et  q—q*\  alors  il  est  évident  que,  dans 
la  troisième  expérience,  on  a,  d'une  part,  des  quantités  de  chaleur 
égales  à  ^\  tombant  simultanément  sur  les  deux  faces  de  la  pilé  et 
se  faisant  équilibre;  d'autre  part,  la  quantité  9  — 9'  qiii  tombe  sur 
l'une  des  deux  faces,  et  qui  produit  seule  la  déviation  j8.  Donc,  si 
Ton  regarde  la  quantité  de  chaleur  incidente  comme  une  fonction  de 
la  déviation,  on  pourra  poser 

q  -<p{a). 
f-.(p(a'), 

d'où  l'on  tire 

(p(/3)-    <p{a)     <p{a). 

En  effectuant  ainsi  plusieurs  séries  d'expériences,  formées  de 
trois  expériences  chacune,  on  obtiendra  autant  d'équations  de  ce 
genre  qu'on  voudra  : 


^'^  Les  lampes  de  Lofatelli  sont  de  petites  lampes  A  mMie  compacte,  sans  cfaeniiiH^  de 
verre  (  fig.  /îgS ,  A  ) ,  et  dont  la  combustion  est  leute  et  assez  routière. 


RAYONNEMENT.  446 

el  Toft  pourra  déterminer,  à  un  facteur  constant  près,  une  formule 
empirique  équivalente  à  la  fonction  ^. 

Le  plus  souvent  on  remarque  que,  tant  que  les  déviations  n'excè- 
dent pas  une  certaine  limite,  variable  d'un  galvanomètre  à  un  autre, 
mais  généralement  voisine  de  20  degrés,  on  a 

de  sorte  que  la  fonction  ^  jouit,  jusqu'à  cette  limite,  de  la  propriété 
exprimée  par  l'équation 

9  («-a')  =  (?(«)-(?  (a'). 

Il  en  résulte  que,  jusqu'à  la  limite  indiquée,  la  fonction  ^  est  de  la 
forme 

c'est-à-dire  que  les  déviations  sont  proportionnelles  aux  quantités 
de  chaleur  incidentes.  —  On  peut  donc,  jusqu'à  la  limite  fournie 
par  l'expérience  même,  prendre  les  déviations  de  l'aiguille  pour 
expressions  des  quantités  de  chaleur  qui  tombent  sur  la  pile. 

Il  est  facile  ensuite  de  construire  une  table  qui  donne  les  expres- 
sions des  quantités  de  chaleur  correspondantes  à  des  déviations 
pour  lesquelles  la  proportionnalité  précédente  ne  subsiste  plus.  — 
Admettons,  par  exemple,  que  la  proportionnalité  ait  lieu  jusqu'à 
9  0  degrés,  et  supposons  que  deux  sources  de  chaleur,  qui  produisent 
séparément  des  déviations  de  26  degrés  et  de  1  5  degrés,  donnent 
naissance,  quand  elles  agissent  simultanément,  à  une  déviation 
de  11°. 5.  On  aura,  en  conservant  les  notations  précédentes, 

y'-=  1 5 , 
q—  q'  =  11,5, 

ce  qui  donne  immédiatement 

(p(Q5)^-y'  +  y~  r/^96,5. 

Des  expériences  de  ce  genre,  en  nombre  suffisant,  permettront 
de  construire  une  table  relative   au  galvanomètre  dont   on  aura 


U6 


PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 


fait  usage.  —  Il  ne  conviendra  pas  d'étendre  cette  grtdaaiion  au 
delà  de  5 o  ou  60  degrés,  la  sensibilité  des  galvanomtees  diaiî- 
nuant  très-rapidement  lorsque  cette  limite  est  dépassée. 

On  a  supposé ,  dans  ce  qui  précède ,  qu'on  observait  les  déviatums 
stables  de  l'aiguille  galvanométrique,  lorsqu'elle  s'arrête  successive- 
ment dans  ses  diverses  positions  d'équilibre.  —  On  peut  tout  aussi 
bien  observer  les  excursions  initiales  de  l'aiguille,  et  déterminer, 
par  la  même  méthode,  les  relations  qui  existent  entre  les  quantités 
de  chaleur  incidente  et  les  arcs  d'impulsim.  —  On  trouve  même, 
dans  l'usage  des  arcs  d'impulsion ,  l'avantage  d'abréger  la  durée  des 
expériences. 


631.  Diverses  ■•mpeg»  de  elu^leur  eipMsyées  dbMM  Wé* 
UmÊm  de  to  dMileur  niy^MaaMte.  —  Afin  de  donner  à  ses  expé- 
riences une  diversité  de  conditions  qui  pût  en  faire  considérer  les 


conclusions  comme  générales,  Melloni  a  fait  usage  de  sources  de 
chaleur  très-variées.  On  a  consené  fhabitude  de  joindre  a  son  ap- 
pareil les  quatre  sources  de  chaleur  suivantes  : 

1*"  L  ne  lampe  à  mèche  com|>acte  A  (6g.  ^98)  dont  la  flamme  est 
peu  brillante,  mais  très-constante:  c'est  la  lampe  connue  sous  le 
nom  de  lam|)e  de  Locatelli; 

*i*  Ine  spirale  de  platine  B.  portée  a  Fincandescence  par  la 
flamme  d^une  lampe  à  alcool  ou  plutôt  par  les  gai  qui  font  suite  à 
la  flamme  elle-même: 

3*  I  ne  lame  de  cuivre  C«  couverte  de  noir  de  fumée  et  portée  à 
la  tem|it''niture  dVniiron  &00  degn^  |Mir  If  contact  de  la  flamme 
d'une  lampe  à  alcool: 


RAYONNEMENT.  UUl 

fi"*  Un  cube  métallique  D,  rempli  d'eau  maintenue  à  Tébullition, 
et  ayant  ses  faces  verticales  couvertes  de  diverses  substances. 

On  a  fréquemment  employé  aussi  les  lampes  à  double  courant 
d'air  et  à  cheminée  de  verre,  ou  lampes  d'Argand  ;  la  flamme  du  cha- 
lumeau à  gaz  oxygène  et  hydrogène;  la  lampe  de  Drummond,  etc. 

LOIS  RELATIVES   Ad   MODE   DE  PROPAGATION  DE  LA   CHALEUR 

RAYONNANTE. 

632.  ProiM^sation  rectilisne  de  la  ebaleur  flans  un  mi- 
lieu bamaséne. —  L'expression  de  propagation  rectiligne,  appliquée 
à  la  chaleur,  doit  être  entendue  comme  dans  le  cas  de  la  lumière  : 
elle  signifie,  en  réalité,  qu'il  existe  des  corps  tels,  que,  si  on  les  met 
en  présence  d'une  source  calorifique ,  la  source  n'envoie  pas  de  cha- 
leur sensible  (abstraction  faite  de  la  diffraction)  dans  le  cône  d'ombre 
qu'on  déterminerait  en  considérant  la  source  calorifique  comme  une 
source  lumineuse;  ces  corps  sont  caractérisés  par  la  dénomination 
de  corps  athermanes, 

633.  Witeaee  de  propagation  de  la  elialeur.  —  La  vitesse 
de  propagation  de  la  chaleur  est  égale  h  la  vitesse  de  propagation 
de  la  lumière. 

Pour  constater  d'abord  que  cette  vitesse  est  très-grande,  il  suftît 
d'observer  que,  à  mesure  que  la  sensibilité  d'un  appareil  thermo- 
métrique augmente,  le  moment  où  il  commence  à  accuser  une  élé- 
vation de  température  se  rapproche  indéfiniment  du  moment  où  une 
source  de  chaleur  commence  à  n'être  plus  séparée  de  lui  par  aucun 
corps  opaque.  —  C'est  ce  qu'on  peut  manifester  dans  l'expérience  des 
miroirs  conjugués^  où,  deux  miroirs  sphériques  étant  disposés  de  ma- 
nière que  leursaxes  coïncident,  un  corps  chaud,  placé  au  foyer  de  l'un, 
envoie  de  la  chaleur  à  un  thermomètre  placé  au  foyer  de  l'autre.  On 
peut,  comme  le  faisait  Mariolle,  placer  les  deux  miroirs  à  plus  de 
cent  mètres  l'un  de  l'autre,  sans  qu'il  soit  possible  d'apprécier  un 
intervalle  de  temps  sensible  entre  le  moment  où  la  suppression  d'un 
écran  athermane  permet  aux  rayons  calorifiques  de  se  propager,  et 
le  moment  où  le  liquide  du  thermomètre  commence  à  se  mouvoir. 


'4bS 


PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 


Le  phénomène  de  Yaberration  démontre  que  ia  chaleur  se  pro- 
page, dans  le  vide  et  dans  Talr,  avec  la  même  vitesse  que  la  lumière;. 
Ce  phénomène  consiste  en  ce  que  la  direction  apparente  des  rayons 
lumineux  est  modifiée  par  le  mouvement  de  la  terre  :  la  grandeur 
de  cette  modiGcation  dépend  du  rapport  qui  existe  entre  la  vitesse 
de  la  lumière  et  la  vitesse  de  translation  de  la  terre.  Si  la  vitesse  des 
rayons  calorifiques  obscurs  qui  font  partie  de  la  radiation  solaire 
différait  sensiblement  de  la  vitesse  des  rayons  lumineux,  Timage  du 
soleil,  formée  au  foyer  d'un  appareil  optique  par  les  rayons  calori- 
fiques, no  coïnciderait  pas  avec  l'image  formée  par  les  rayons  lumi- 
neux :  on  serait  averti  de  ce  défaut  de  coïncidence  dans  les  expé- 
riences 011  l'on  chercherait  à  étudier  la  distribution  de  la  chaleur 
aux  divers  points  de  l'image  solaire.  Rien  de  pareil  ne  s'est  manifesté, 
dans  les  observations  assez  nombreuses  que  les  astronomes  ont  faites 
sur  ce  sujet  depuis  quelques  années. 


63Â.  RéfleiU^n  de  la  ebaleur.  —  Les  lois  de  la  réflexion  de 
la  chaleur  sur  les  surfaces  polies  sont  identiques  aux  lois  de  la  ré- 
flexion de  la  lumière. 

En  disposant  la  pile  de  l'appareil  de  Melloni,  comme  l'indique 
la  figure  ^99.  sur  une  règle  supplémentaire  IH,  et  installant  une 


f  «g.  499- 


petite  plaque  métallique  polie  F  sur  la  plaque  graduée  que  porte  le 
support  k  autour  duquel  cette  règle  est  mobile,  on  constate  que  la 
pile  reçoit  la  chaleur  de  la  source,  un  peu  amoindrie  par  la  réflexion, 
dans  la  direction  indiquée  par  les  lois  de  la  réflexion  :  pour  toute 


HAYONNEMEM.  W9 

autre  position  de  la  règle  mobile,  la  pile  n'accuse  pas  d'élevalion  de 
température  sensible. 

L'expérience  des  miroirs  conjugués  (626)  permet  de  vérifier  direc- 
tement que  les  lois  de  la  réflexion  de  la  lumière  sont  aussi  celles  de  la 
réflexion  de  la  chaleur.  Il  sufiit,  pour  cela,  de  placer  d'abord  au  loyer 
de  l'un  des  miroirs  un  corps  émettant  à  la  fois  de  la  chaleur  et  de 
la  lumière,  comme  la  flamme  d'une  bougie,  et  de  déterminer,  avec 
un  petit  écran  blanc,  le  foyer  lumineux  fourni  par  l'autre  miroir. 
Oh  constate  alors  que  c'est  en  ce  point  qu'on  doit  placer  un  thermo- 
mètre, pour  qu'il  accuse  une  élévation  de  température.  —  On  peut 
d'ailleurs  remplacer  ensuite  la  bougie  par  un  corps  émettant  seu- 
lement dé  la  chaleur  obscure,  comme  un  vase  contenant  de  l'eau 
chaude;  c'est  toujours  au  même  point  qu'on  doit  placer  le  thermo- 
mètre, pour  obtenir  l'efi'et  maximum. 

Quant  à  la  difliision,  ou  réflexion  irrégulière,  elle  a  lieu  sur  les 
surfaces  dépolies ,  pour  la  chaleur  aussi  bien  que  pour  la  lumière. 
—  En  substituant  à  la  plaque  polie  F  (fig.  ^99)  une  plaque  d'une 
substance  mate,  et  garnissant  la  pile  de  son  réflecteur  conique 
(fig.  ^97)  pour  lui  donner  plus  de  sensibilité,  on  constate  qu'il  y  a 
de  la  chaleur  difi'usée  par  la  surface  mate,  dans  toute  la  région  de 
l'espace  qui  est  en  avant  de  cette  surface. 

635.  Réfraction  de  la  clialeur.  —  Dispersion. —  Les  lois 
de. la  réfraction  de  la  chaleur  sont  encore  identiques  à  celles  de  la 
réfraction  de  la  lumière.  C'est  ce  que  l'on  constate,  soit  au  moyen 
d'expériences  directes,  faites  avec  un  prisme  de  sel  gemme,  soit  en 
concentrant  les  rayons  d'une  source  de  chaleur  au  foyer  fourni 
par  une  lentille  de  sel  gemme,  soit  enfin  en  observant  les  effets 
calorifiques  si  intenses  qui  se  produisent  au  foyer  principal  d'une 
lentille  convergente  qu'on  expose  aux  rayons  solaires,  phénomènes 
qui  acquièrent  une  intensité  plus  grande  encore  lorsqu'on  fait  usage 
de  lentilles  à  échelons^''. 

^*)  Melloni  a  pu,  au  moyen  d^une  lenlille  à  échelons  et  d^in  appreil  Ujcrmo-élcclriqucî 
sensible,  constater  la  faculté  calorifique  des  rayons  lunaires.  L^expérienco  est  très-délicate; 
il  faut  attendre  que  la  pile  et  la  lentille  soient  exactement  en  équilibre  de  température  avec 
Tatmosphère,  et,  seulement  alors,  retirer  Técran  qui  proiégeait  la  lentille  contre  les 

Verokt,  m.  —  Cours  do  pbys.  IF.  39 


450  PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 

La  dispersion  produite  par  le  passage  d'un  faisceau  calorifique  au 
travers  d'un  prisme  peut  également  être  constatée  par  l'expérience. 

—  Si  le  faisceau  calorifique,  avant  de  rencontrer  le  prLsme,  a  tra- 
versé successivement  deux  fentes  étroites,  parallèles  aux  arêtes  du 
prisme  et  assez  éloignées  l'une  de  l'autre,  on  peut  le  considérer 
comme  formé  de  rayons  presque  parallèles;  en  recevant  le  faisceau, 
après  le  passage  au  travers  du  prisme,  sur  une  pile  formée  d'une  série 
unique  d'éléments  et  placée  derrière  une  fente  étroite,  on  recon- 
naît que  le  faisceau  réfracté  est  toujours  plus  large  que  le  faisceau 
incident.  La  grandeur  do  cette  dilatation  du  faisceau  et  la  valeur  de 
sa  déviation  moyenne  dépendent  de  la  nature  de  la  source  calori- 
fique, et  augmentent  k  mesure  que  cette  source  approche  de  devenir 
lumineuse,  ou  que  sa  lumière  approche  d'être  parfaitement  blanche. 

—  Ces  divers  phénomènes  s'expliquent,  comme  les  phénomènes  an<n- 
logues  qui  ont  été  étudiés  dans  l'Optique,  par  l'hétérogénéité  des 
radiations  calorifiques  et  l'inégale  réfrangibilité  de  leurs  divers  élé- 
ments. A  mesure  que  les  sources  calorifiques  approchent  de  devenir 
lumineuses,  et  que  leur  lumière  devient  de  plus  en  plus  blanche, 
la  radiation  primitive  se  complique  successivement  d'éléments  nou- 
veaux, de  réfrangibilité  croissante. 

Ces  conclusions  s'accordent  entièrement  avec  celles  (|u'on  a  déjii 
tirées  de  l'étude  de  la  portion  infra -rouge  du  spectre  (498).  —  1^ 
chaleur  obscure  que  fournissent  les  sources  artificielles  est  d'ailleurs 
hétérogène,  comme  la  chaleur  obscure  qui  est  émise  par  le  soleil. 

636.  Interférences  ém  la  elmleur.  —  Des  phénomènes  dus 
à  l'interférence  des  rayons  calorifiques  ont  été  signalés  dans  des  cir- 
constances semblables  à  celles  pour  lesquelles  il  y  a  interférence  des 
rayons  lumineux. 

Lorsque  MM.  Fizeau  et  Foucault  ont  exécuté  leurs  expériences 
destinées  à  manifester  l'interférence  des  rayons  lumineux  qui  pré- 
sentent de  grandes  différences  de  marche,  ils  ont  reconnu  que,  dans 
les  bandes  obscures  dont  le  spectre  était  sillonné  (563),  la  chaleur 
était  toujours  moindre  que  dans  les  parties  voisines.  En  transportant 

rayons  de  la  lune  :  In  dtWiation  de  l^aiguiilf  gaKanomélriqiii»  indique  une  ar lion  ralori- 
fiquc  tnVfaihIe. 


RAYONNEMENT.  ftiA 

ensuite  dans  les  rayons  infra-rouges  la  pile  ihernio-électrique  qui 
servait  à  leurs  observations,  ils  ont  trouvé  que  celte  partie  de  l'espace 
offrait  des  alternatives  de  minima  et  de  maxima  d'intensité,  faisant 
suite  aux  bandes  alternativement  obscures  et  brillantes  du  spectre 
lumineux. 

637.  Polarisation  de  la  clialeur.  —  Les  expériences  de  Bé- 
rard  ont  montré  que  l'intensité  des  rayons  calorifiques  réfléchis  deux 
fois  sur  deux  glaces  noires,  sous  l'angle  de  polarisation,  est  maxima 
quand  les  deux  plans  de  réflexion  sont  parallèles,  nulle  quand  ces 
deux  plans  sont  perpendiculaires  entre  eux.  —  D'après  les  expé- 
riences de  Melloni,  l'intensité  des  rayons  calorifiques  transmis  par 
deux  piles  de  lames  de  mica ,  sous  l'angle  de  polarisation,  est  maxima 
quand  les  deux  plans  de  réfraction  sont  parallèles,  minima  lorsqu'ils 
sont  croisés  à  angle  droit. 

L'ensemble  de  tous  ces  faits  tend  évidemment  à  confirmer  l'iden- 
tité de  la  lumière  et  de  la  chaleur  rayonnante,  identité  rendue  déjà 
manifeste  par  tant  d'autres  résultats. 

LOIS  RELATIVES   AUX  VARIATIONS  D'INTENSITE  DE  LA  CHALEUR 

RAYONNANTE. 

638.  liOi  du  carré  des  distances.  —  La  variation  de  l'in- 
tensité calorifique  en  raison  inverse  du  carré  de  la  distance,  dans 
un  milieu  homogène,  résulte  immédiatement  du  raisonnement  qui 
a  été  fait  plus  haut  pour  l'intensité  lumineuse  (38/i),  sans  qu'il  y 
ait  à  modifier  en  rien  ce  raisonnement. 

Quant  à  la  vérification  expérimentale,  elle  s'effectuera  sans  peine 
en  employant  une  spirale  de  platine  ïju'on  portera  à  l'incandes- 
cence, soit  au  moyen  d'une  flamme  d'alcool  B  (fig.  igS),  soit  par 
le  passage  d'un  courant  électrique  :  on  limitera  le  faisceau  calori- 
fique au  moyen  d'une  ouverture  étroite,  pratiquée  dans  un  écran. 

639.  Pouvoirs  réflecteurs.  —  Pouvoirs  dilfusifs.  —  Dans 
un  faisceau  de  rayons  calorifiques  parallèles,  on  peut  appeler  iVi/en- 
sité  du  faisceau  la  quantité  de  chaleur  qui,  pendant  l'unité  de  temps, 

«9- 


A5i>  IMU)PA(i\TION   J)E  J.A  CHALEUR. 

traverse  l'unité  de  surface  prise  dans  la  section  droite  de  ce  faisceau. 
Lorsqu'un  pareil  faisceau  tombe  sur  un  corps  poli,  on  nomme  pou- 
voir réflecteur  de  ce  corps  le  rapport  de  Tinlensité  du  faisceau  réfléchi 
h  l'intensité  du  faisceau  incident  ^'^ 

La  fifrwre  /i()()  indi(|ue  la  disposition  que  Ton  peut  donner  à  l'ap- 
pareil de  Melloni  pour  mesurer  directement  les  pouvoirs  réflecteurs 
des  divers  corps.  —  Ces  expériences  conduisent  aux  résultats  géné- 
raux suivants  : 

1**  Le  pouvoir  réflecteur  des  corps  diathermanes,  ainsi  que  celui 
des  corps  athermanes  non  métalliques ,  varie  très-peu  avec  la  nature 
de  la  source  calorifique,  et  beaucoup  avec  l'angle  d'incidence.  Il 
augmente  h  mesure  que  l'incidence  s'éloigne  de  l'incidence  nor- 
male, conformément  à  une  formule  qui  a  été  déduite  par  Fresnel 
de  la  théorie  des  ondes ,  savoir  : 

u^l  8in'(t~r)       1  Ung|(i~r)  (2) 
Q  sin'  (  i  -h  r)      Q  tang*(i-+-r) 

3°  Le  pouvoir  réflecteur  des  métaux,  ainsi  que  celui  des  subs- 
tances athermanes  qui  ont  l'aspect  métallique,  varie  très-peu  avec 
l'inclinaison  :  il  éprouve,  au  contraire,  de  grandes  variations  avec  la 
Jiature  de  la  chaleur  incidente,  —  L'argent  et  le  métal  des  miroirs 
sont  les  seuls  qui  réfléchissent  dans  une  proportion  à  peu  près  in- 
variable les  rayons  calorifiques  de  toutes  les  origines.  Cette  propor- 
tion est  de  0,97  pour  l'argent;  de  o,85  pour  le  métal  des  miroirs. 

Le  f)omH)ir  diffmif,  défini  comme  le  pouvoir  réflecteur,  varie  avec 
l'incidence,  avec  la  direction  des  rayons  difl'usés,  et  avec  la  nature 
de  la  chaleur  incidente. 

Les  expériences  peuvent  encore  c^lre  eflectuées  avec  l'appareil  de 
Melloni  en  employant  la  disposition  indiquée  par  la  figun*  /i9(), 

(')  si  le  pouvoir  réflecteur  ainsi  défini  est  connu  pour  toutes  le«  incidences,  il  est  faciio 
de  pn>voir  ce  ()ui  arrivera  k  un  faisceau  incident  quelctHique,  en  décomposant  ce  faisciviu 
en  faiiireaux  coniques  infiniment  déliés,  qu^on  assimile  à  des  faisceaux  cylindriques. 

^^^  L'un^'lc  de  réfraction  r  étant  une  fonction  de  Pindice  de  réfraction,  le  pouvoir  réflec- 
teur dépond  réellement  de  la  réfraugibiKté  ou  de  la  longueur  d'onde  de  la  cbaletir  inci 
donle;  mai»  do  pareilles  variations  sont  trop  faibles  pour  <*tre  arrus«'»es  dans  losexpérienn 
tliPmioîiirfri«|iio8. 


plaçant  en  V  un  corps  mal,  et  garnissant  la  pile  de  son  cône  réflec- 
teur (fig.  A 97).  —  Il  y  a»  dans  ces  expériences  où  les  effets  calori- 
fiques produits  sont  toujours  peu  intenses,  une  dilliculté  qui  résulte 
de  ce  qu'on  est  exposé  à  prendre  pour  de  la  chaleur  diffusée  celle 
qui  est,  en  réalité,  rayonnée  par  la  plaque  F  en  verlu  de  réchauffe- 
ment que  lui  communique  l'absorption  d'une  partie  de  la  chaleur 
incidente;  on  échappe  à  cette  cause  d'erreur  en  n'observant,  dans 
chaque  expérience,  que  l'effet  presque  instantané  qui  suit  la  pre- 
mière arrivée  de  la  lumière  incidente.  —  La  possibilité  d'une  fluores- 
cence thermique  est  une  autre  cause  d'erreurs,  dont  on  ne  s'est 
pas  suffisamment  préoccupé  jusqu'ici. 

I^es  lois  qui  précèdent,  relatives  aux  variations  d'intensité  de  la 
chaleur  réfléchie  ou  diffusée,  présentent  une  analogie  manifeste  avec 
les  faits  suivants ,  constatés  dans  l'étude  de  la  lumière  : 

i""  Les  images  réfléchies  régulièrement  par  les  corps  non  métal- 
liques et  par  quelques  métaux  présentent  des  colorations  identiques 
à  celles  des  objets.  Cette  remarque  prouve  que  la  réflexion  des 
rayons  lumineux  de  diverses  couleurs  s'opère  sur  ces  corps  avec 
une  même  intensité. 

2*"  L'influence  de  l'incidence  sur  le  pouvoir  réflecteur  de  ces 
mêmes  corps  est  évidente  à  l'observation  la  moins  attentive;  d'ail- 
leurs des  mesures  photomélriques  ont  vérifié  directement,  pour  les 
phénomènes  lumineux ,  la  formule  théorique  de  Fresnel. 

S""  La  plupart  des  métaux  donnent  une  coloration  particulière, 
e(  caractéristique  pour  chacun  d'eux,  à  la  lumière  qu'ils  réfléchissent 
régulièrement. 

li*"  La  diffusion  colore  généralement  la  lumière ,  co  s'exerçant  iné- 
galement sur  les  divers  éléments  simples  qui  la  constituent;  c'est 
ainsi  que  les  corps  nous  sont  rendus  visibles. 


6A0.  P«uv«lr0  alMi^rtottBtd  des  mmwpm  atliCTian— >  —  La 

partie  de  la  chaleur  incidente  qui  n'est  ni  réfléchie  régulièrement, 
ni  diffusée  par  les  corps  qu'elle  rencontre,  pénètre  dans  l'intérieur 
de  ces  corps.  Dans  les  corps  athermânes,  la  chaleur  s'arrête  tout 
entière  dans  les  premières  couches  qu'elle  traverse,  et  y  produit  une 


A54  PKOPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 

élévation  de  température  qui  se  communique  ensuite  au  reste  dil 
corps,  par  voie  de  conductibilité.  Le  rapport  de  cette  quantité  de 
chaleur  à  la  quantité  de  chaleur  incidente  est  ce  qu'on  nomme  le 
pouvoir  absorbant. 

Si  l'on  convient  d'appeler  pouvoir  difusif  total  le  rapport  de  la 
somme  des  quantités  de  chaleur  diffusées  dans  tous  les  sens  à  la 
quantité  de  chaleur  incidente,  on  peut  dire  que  la  somme  du  pou- 
voir réflecteur,  du  pouvoir  diiïusif  total  et  du  pouvoir  absorbant  est 
égaie  à  l'unité;  ou  encore  que  le  pouvoir  absorbant  est  complémen- 
taire de  la  somme  du  pouvoir  réflecteur  et  du  pouvoir  diffusif  total. 
Il  suit  de  là  que  les  lois  du  pouvoir  absorbant  sont  connues  lorsqu'on 
connaît  celles  du  pouvoir  réflecteur  et  du  pouvoir  diffusif.  —  Dès 
lors,  d'après  les  résultats  qui  précèdent  et  sans  avoir  recours  à  des 
expériences  directes,  on  peut  énoncer,  par  exemple,  les  deux  lois 
suivantes  : 

i""  Le  pouvoir  absorbant  diminue  h  mesure  que  Tinclinaison 
augmente. 

«j*"  Le  pouvoir  absorbant  des  corps  qui  ont  un  pouvoir  diffusif 
sensible  et  des  corps  ayant  l'aspect  métallique  dépend  de  la  nature 
de  la  chaleur  incidente. 


■ufcatance»  atlieriiiaBes,  —  Le  noir  de  fumée,  lorsqu'il  est  bien 
préparé,  ne  réfléchit  et  ne  diffuse  qu'une  portion  négligeable  de  la 
chaleur  incidente;  par  conséquent,  il  possède  un  pouvoir  absorbant 
qui  ne  diffère  pas  sensiblement  de  l'unité,  pour  toute  es|)èce  de 
chaleur  incidente.  —  C'est  à  cause  de  cette  propriété  que,  lorsque 
les  deux  faces  d'une  pile  thermo- électrique  sont  enduites  de  noir 
de  fumée,  deux  quantités  de  chaleur  égales,  tombant  sur  les  deux 
faces  de  la  pile,  se  font  équilibre  l'une  à  l'autre. 

Il  n'en  est  plus  ainsi  lorsque  les  deux  faces  de  la  pile  sont  in- 
duites de  substances  différentes,  et  ce  défaut  d'équilibre  peut  alors 
senir  à  démontrer,  non-seulement  que  les  pouvoirs  absorbants  des 
diverses  substances  sont  inégaux  •  mais  encore  qu'ils  varient  avec  la 
nature  de  la  chaleur  incidente.  —  Ainsi,  »i  l'on  place  deux  cube> 
noirris,  remplis  d'eau  en  éhullition,  des  deux  cotés  d'une  pile  dont 


KAYONNEMKNT.  455 

les  faces  sont  recouvertes  de  noir  de  fumée,  à  des  distances  telles 
que  leurs  rayonnements  se  fassent  équilibre,  on  constate  que  l'équi- 
libre subsiste  lorsqu'on  vient  à  enduire  l'une  des  faces  de  la  pile  de 
blanc  de  céruse.  Au  contraire,  la  substitution  de  la  céruse  au  noir 
de  fumée  détruit  l'équilibre ,  lorsqu'on  l'a  établi  en  employant ,  comme 
sources  de  chaleur,  deux  lampes  de  Locatelli  ou  deux  lampes  d'Ar- 
gand.  Donc  la  céruse  absorbe,  comme  le  noir  de  fumée,  à  peu  près 
la  totalité  du  rayonnement  émis  par  le  noir  de  fumée  qui  couvre 
les  cubes  à  la  température  de  loo  degrés;  au  contraire,  elle  n'ab- 
soil)e  dans  le  rayonnement  des  lampes  qu'une  fraction  beaucoup 
moindre  que  l'unité. 

Si  maintenant,  entre  une  source  de  chaleur  et  une  pile  thermo- 
électrique,  on  interpose  successivement  divers  écrans  métalliques 
minces,  couverts  de  diverses  substances  sur  la  face  qui  regarde  la 
source,  et  de  noir  de  fumée  sur  la  face  qui  regarde  la  pile,  l'eflet 
produit  sur  la  pile  est  évidemment  d'autant  plus  grand  que  la  tem- 
pérature communiquée  par  la  source  ù  l'écran  est  plus  élevée;  comme 
d'ailleurs  l'élévation  de  température  est  elle-même  d'autant  plus 
considérable  que  la  face  tournée  vers  la  source  absorbe  plus  de 
chaleur,  cette  expérience  permet  de  ranger,  par  ordre  de  grandeurs, 
les  pouvoirs  absorbants  des  diverses  substances  athermanes;  mais  elle 
ùe  permettrait  pas  d'en  obtenir  de  mesures.  —  L'ordre  dans  lecjuel 
on  est  ainsi  conduit  à  classer  les  diverses  substances  est  variable  avec 
isr  nature  de  la  source  dont  on  a  fait  usage  pour  ces  expériences. 


64 â.  P«iiv«ir«  alMi«rlNiBt(i  des  c«r|Mi  diatliermaiies* 
—  Relatton  entre  l'intensité  dn  faiseean  transmis  et 
répaissenr    traversée,   dans   le  eas   an    le   faisceau    est 

fcsmsiféne»  —  On  peut  continuer  d'appeler  lionvoir  absorhant  d'un 
corps  diathermane  Texcès  de  l'unité  sur  la  somme  du  pouvoir  ré- 
lecteur et  du  pouvoir  diffusif  total  (6Â0);  mais  la  connaissance  de 
cet  élément  ne  définirait  en  aucune  manière  l'absorption  qui  s'opère 
à  mesure  que  la  radiation  traverse  des  épaisseurs  croissantes  du 
corps  diathermane. 

On  établit  facilement,  comme  dans  le  cas  de  la  lumière  (493), 
que  l'absorption  exercée  par  un  pareil  corps  est  soumise  à  la  loi 


/id6 


PROPAGATION  DE  LA  CHALEUB. 


suivajite.  Si  l'on  désigne  par  t^  l'intensité  primitive  d'un  faiisceaa 
calorifique  homogène,  par  t  l'intensité  à  laquelle  le  faisceau  est  réduit 
après  avoir  traversé  une  épaisseur  j;  de  la  substance  en  question, 
par  k  un  coefficient  qui  dépend  à  la  fois  de  la  nature  de  ia  subs- 
tance et  de  la  longueur  d'ondulation  du  faisceau,  on  a 


«o« 


,-A* 


Cette  formule  a  été  vérifiée  par  MM.  Jamin  et  Masson ,  en  isolant, 
dans  un  spectre  pur,  des  faisceaux  de  diverses  réfrangibilités,  au 
moyen  d'une  fente  étroite.  —  Lorsque  ces  faisceaux  appartenaient 
à  la  partie  visible  du  spectre,  les  expériences  tfaermoscopiques  et 
les  expériences  photométriques  assignaient  la  même  valeur  au  coeffi- 
cient d'extinction  k.  Lorsqu'ils  appartenaient  à  la  partie  invisible, 
le  coefficient  k  avait  une  valeur  qu'il  était  impossible  de  prévoir 
d'après  l'action  exercée  par  la  substance  sur  les  rayons  visibles.  Le 

tableau  suivant,  qui  contient  les  valeurs  du  rapport -pour  divers 

rayons,  transmis  à  travers  des  épaisseurs  égales  de  diverses  subs- 
tances, donne  une  idée  de  ces  résultats. 


POSITION   DU   FAISCKAU 


DANS    Ll    SPECTItK. 


Vert 

Jaune 

Ronge 

lnfra-i*oiige  n"  i 

Il'' a 

n'  3 

Il' A 


VALEURS  DE  -r  APRÈS  LE  PASSAGE 


dans 
Ll  SEL  eiii». 


0,93 
0,99 

0,9a 
0,92 

0,92 

0,91 

0,()0 


ilaDS 

Ll  TKBKI. 


0,91 
0,93 

0,85 
0,87 
0,5/i 
0,39 
0,00 


daos 
L*ALra. 


0,92 
0,94 
0,84 
0,61 
0,29 
0,00 

0,00 


On  voit,  par  ces  exemples,  que  les  substances  bien  transparentes 
transmettent  à  peu  près  dans  la  même  proportion  les  diverses  radia- 
tions de  la  partie  visible  du  spectre,  mais  qu'elles  transmettent  dans 
les  proportions  les  plus  inégales  les  radiations  de  la  partie  invisible. 


RAYONNEMENT.  A57 

Dans  le  tableau  ci^rontre,  le  sel  gemme  se  fait  remarquer  par 
l'uniformité  de  l'action  qu'il  exerce  sur  les  radiations  les  plus  di- 
verses. —  Cette  uniformité  se  maintient  lorsqu'on  examine  l'action 
du  sel  gemme  sur  le  rayonnement  complexe  des  diverses  sources 
artificielles.  En  outre,  tant  que  l'épaisseur  du  sel  gemme  n'est  que 
de  quelques  centimètres,  la  proportion  de  chaleur  transmise  est 
sensiblement  indépendante  de  l'épaisseur. 

11  suit  de  là  que,  dans  le  sel  gemme,  l'absorption  proprement 
dite  est  insensible  sous  de  faibles  épaisseurs,  et  que  l'affaiblissement 
des  rayons  calorifiques  est  entièrement  dû  aux  réflexions  qui 
s'opèrent  à  l'entrée  et  à  la  sortie  de  ces  rayons.  —  En  effet,  si 
l'on  désigne  par  R  et  R'  les  proportions  de  chaleur  qui  sont  ré- 
.  fléchies  à  l'entrée  et  à  la  sortie,  la  formule  qui  exprime  l'intensité 
d'un  faisceau  homogène,  transmis  par  une  plaque  d'épaisseur  égale 
à  X,  est 

.■=t;(i-R)(i-R')e 


,— »» 


ou  plutôt,  comme  la  théorie  des  ondulations  démontre  que  R  est 
égal  à  R', 

.      t  =  ,;(i-R)2e-'^ 

et,  lorsque  e""**  ne  diffère  pas  sensiblement  de  l'unité,  la  valeur  de 

l'intensité  t  se  réduit  à 

,-=i.(i-R)2. 

'6 A 3.  TranunissiOB  d'un  faisceau  bétéroséne  à  iravera 

«M  cariNi  diatlieraiane.  —  Si  maintenant  on  considère  le  cas 
ordinaire,  oii  le  faisceau  incident  est  hétérogène ,  l'intensité  totale  du 
faisceau  transmis  est  la  somme  d'un  nombre  plus  ou  moins  considé- 
rable de  termes,  de  la  forme 

.;(i-R)2e-'- 

comme  le  pouvoir  réflecteur  est  sensiblement  indépendant  de  la 
nature  de  la  radiation  (639),  le  facteur  (i  —  R)  est  sensiblement  le 
même  pour  tous  les  termes  de  la  somme,  et  la  somme  elle-même 

peut  s'écrire 

(i-R)22i.e 


.— ix 


A58  PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 

L'intensité  primitive  totale  étant  représentée  par  St^,  îi  est  évident 
que  le  rapport  de  l'intensité  du  faisceau  transmis  h  l'intensité  du 
faisceau  incident  n'est  pas  liée  à  l'épaisseur  par  une  loi  simple. 
Toutefois,  les  expériences  relatives  à  la  transmission  des  radiations 
hétérogènes  mettent  en  évidence  quelques  faits  généraux ,  qu'il  est 
ntéressant  de  connaître. 

D'abord ,  à  mesure  qu'un  faisceau  hétérogène  traverse  des  épais- 
seurs croissantes  d'une  substance  déterminée,  la  proportion  relative 
des  éléments  les  plus  absorbables  va  en  décroissant,  et  celle  des 
éléments  les  moins  absorbables  va  en  croissant.  —  Par  conséquent, 
si  l'on  considère  une  suite  d'épaisseurs  égales  entre  elles,  on  peut 
dire  qu'elles  donnent  lieu  à  des  pertes  relatives  de  plus  en  plus 
faibles.  Le  décroissement  des  pertes  n'est  pas  indéfini,  mais  il  tend 
vers  une  limite  qui  est  atteinte  lorsque  le  faisceau  ne  contient  plus, 
en  proportion  sensible ,  que  les  éléments  pour  lesquels  le  coefficient 
d'extinction  A  a  la  plus  petite  valeur.  —  On  peut  citer,  comme  exem- 
ples, les  expériences  de  Meiloni  sur  la  chaleur  transmise  à  travers 
une  suite  de  lames  de  verre  de  a  millimètres  d'épaisseur.  Voici  quel- 
ques-uns des  résultats  de  ces  expériences  : 

LAMPE  DE  LOCATELLl.   CUIVBK  À  ^OO*. 

Pro|M)rtion  de  chaleur  trausmise  par  une  lame. .  .  0,689  0,087 

deuxièmes. .  o,63&  0,066 

trois  lames. .  0,609  o,o53 

_. quatre  lames.  0,699  0,066 

De  ces  résultats  on  conclut  aisément  le  tableau  suivant,  d'après  lequel 
la  loi  devient  manifeste  d'elle-même  : 

LAMPB  DE  LOCATELLl.  CtJlfllB  À  6 00  DBGBBS. 

Perle  absolue.  Perte  relative.  Perte  absolue.  Perte  relative. 
Première  lame ..  .        o,3i8               o,3i8               0,913  0,913 

Deuxième  lame. .  .        0,068  0.070  o,03i  0,9/11 

Troisième  lame. .  .        o,095  0,039  0,01 3  ^'^^91 

Quatrième  lame .  .       0,017  0,099  0,007  0,1 36 

(îette  loi  de  décroissement  des  pertes  successives  produites  par 
des  épaisseurs  égales  n'est  qu'un  cas  particulier  d'un  phénomène 


RAYONNEMENT.  459 

général.  La  composition  d'un  faisceau  hétérogène  étant  modifiée  par 
son  passage  à  travers  une  lame  diathermane,  son  aptitude  relative  à 
traverser  une  lame  quelconque  est,  par  là  même,  modifiée.  —  Le 
tableau  suivant  donne  un  exemple  de  ces  modifications;  il  contient 
ies  proportions,  qu'une  lame  d'alun  a  transmises,  du  rayonnement 
direct  de  la  lampe  de  Locatelli,  et  du  même  rayonnement  modifié 
par  le  passage  à  travers  diverses  substances. 

PROPORTION  DU  RATONNEMBriT 


mCIBBFIT  TRANSMISE  PAR  L^ALUK. 


Rayonneinent  direct  de  la  lampe  de  Locatelli 0,09 

Sel  gemme 0,09 

Verre  noir  opaque 0,0 1 

Mica  noir  opaque o,ot2 

n  .       y-nj  I  Verre  vert  foncé o,o3 

navouiiement  modiiie  par   !..  ^    ,  .  . 

:  ,  .         '^,    /   Verre  vert  clair 0,00 

le  passacre  a  travers  le   1  .r  ,.     . 

■^       "  '  Verre  ordmaire 0,27 

Acide  citrique 0,88 

Alun 0,90 

Sel  gemme  enfumé 0,00 


6  à  à,  li»  éUatlieriiiAnéité  d'un  mmr^jm  pour  les  rayons 
#taouro  peut  être  entièrement  difTérente  de  mm  tronspa- 
renee  pour  les  rayons  visibles.  —  L'eiïet  d'une  lame  sur  les 
radiations  obscures  n'a  généralement  pas  de  rapport  avec  l'effet 
qu'elle  produit  sur  les  radiations  visibles;  en  d'autres  termes,  on  ne 
peut  pas  conclure  de  la  transparence  d'une  lame  à  sa  diatherma- 
néité  pour  la  chaleur  des  sources  obscures.  —  On  ne  peut  méuie 
rien  conclure  de  la  transparence,  quant  à  l'action  que  la  lame  doit 
exercer  sur  le  rayonnement  hétérogène  d'une  source  lumineuse, 
car  le  ravonnement  de  toutes  les  sources  artificielles  contient  tou- 
jours  une  part  plus  ou  moins  considérable  de  rayons  obscurs. 

Le  tableau  suivant  donne  des  exemples  d'une  opposition  presque 
complète,  chez  certains  corps,  entre  le  degré  de  transparence  et  la 
faculté  de  transmettre  les  rayons  de  diverses  sources  de  ciialeur.  Il 
montre,  par  exemple,  que  l'alun  et  la  glace  sont  athermanes  pour  la 
chaleur  des  sources  obscures;  la  chaleur  obscure  traverse,  au  con- 
traire, en  proportions  trùs-sensiides ,  une  couche  de  noir  de  fumée 


ÛGO 


PHOPAGATIOI^  DE  LA  CHALEUR. 


qu'on  a  appliquée  à  la  surface  du  sel  gemme  et  dont  l'opacité  est 
suffisante  pour  arrêter  entièrement  la  partie  visible  du  spectre  solaire. 


SUBSTANCES 


DUTBBIMASIBK. 


éPAISSBUB  COMMUNIE  DE  û""^,6. 

Sei  gemme 

Spath  fluor 

Crislal  de  roche  limpide 

Cristal  de  roche  enfumé 

Alun 

Glace 

ÉPAISSBinS  DlfBRSBS. 

Verre  noir  opaque  (épaisseur,  i™"). 
Mica  noir  opaque  (épaisseur,  o""",6). 
Sel  gemme  enfumé,  encore  diaphane. 
Sei   gemme ,    diaphane    pour    une 

flamme  vive 

Sel  gemme,  diaphane  pour  le  soleil. 

Sel  gemme  opaque 

Sel  gemme  opaque 

Sel  gemme  opaque 

Sel  gemme  opaque 


PROPORTIOlfS  DE  CHALBUR  TRANSMISES. 


BiMinOIS 


PMffUAlTM 


Liainpe 
Localelli. 


0,99 
0,78 

0,3  8 
0,37 
0,09 
0,06 


0,t26 

0,^9 

0,/48 


0,3  1 
0,09 
0,08 

o,oo5 

0,00 

0,00 


Platine 
iacuidaoent. 


«»9« 
0,69 

0,38 

0,38 

0,03 

0,00 


0,3.) 
0,38 

0,55 

0,30 
0,1& 

0,10 
0,019 

0,00 
0,00 


CnÎTre 
k  4oo  devras. 


0,93 

o,oC 
0,06 
0,00 
0,00 


0,19 
o,i3 
0,66 

0,33 

0,95 

0,18 

o,o65 

o,oo3 

0,016 


CoiTre 
è  too  àegri». 


0,93 
0,33 

0,00 
0,00 
0,00 
0,00 


0,00 
u,oo 

0,67 

0,35 
0,97 
0,93 
0,09 
0,06 
o,o35 


On  peut  encore  remarquer,  sur  ce  tableau ,  que  les  corps  trao^- 
rents  incolores  transmettent  les  rayonnements  hétérogènes  en  [mn 
portion  d'autant  plus  grande  que  ces  rayonnements  sont  fournis  par 
des  sources  plus  lumineuses,  ou  plus  voisines  de  Tétre:  c*esl ce  qu'il 
était  naturel  de  penser  à  priori.  —  L'accroissement  de  la  facaltë 
lumineuse  coïncide  d'ailleurs,  dans  la  plupart  des  cas,  avec  l'ëlëva- 
tion  de  température  :  ce  n'est  cependant  pas  là  une  règle  générale: 
ainsi  la  flamme  du  chalumeau  à  gaz  hydrogène  et  oxygène  est  beau- 
coup moins  lumineuse  que  celle  d'une  lampe  ordinaire,  bien  que  sa 
température  soit  incomparablement  plus  élevée. 


DES    POliVOIRS    EMISSIFS 
DE  L'KQllILIBRK  MOBILE  DRS  TEMPÉRATURES. 


6A5.  pouvoir  énaÉMikr.  —  InOMence  4«  l'lnclliHil««n  et 
^^m  to  tempéFKture  mip  le  ymivstr  énlMlf  «lu  nalr  de  fiunée. 

—  On  |)eul  donner  le  nom  général  de  pouvoir  émissifh,  la  propriétti 
que  possèdent  les  corps  de  rayonner  de  la  chaleur,  lorsque  leur  lem- 
|>ërature  est  plus  élevée  que  celle  des  corps  qui  les  environnent. 
On  étudiera  d'aboni  l'induence  exercée  par  les  conditions  des- 
quelles semble  pouvoir  dépendre  la  grandeur  du  pouvoir  émissif 
dans  le  noir  ^e  fumer ,  c'est-à-dire  dans  le  seul  coqis  qui  paraisse 
ne  posséder  qu'un  pouvoir  réflecteur  et  un  pouvoir  diffusif  insen- 
sibles. —  Ces  conditions  sont  :  l'inclinaison  des  rayons  Kur  la  sur- 
face, et  la  température  de  cette  surface  elle-ml^me. 

1°  La  quantité  de  chaleur  rayonnée  Ham  une  direction  déterminée, 
par  une  surface  plane  de  noir  de  fumée,  d'étendue  constante,  est 
proportionnelle  au  cosinus  de  l'angle  compris  entre  la  direction  des 


rayoas  et  la  normale.  —  Pour  le  démontrer,  ou  fait  agir  sur  In 
pile  P  (fig.  5oo),  au  travers  do  deux  ouvertures  égales  pratiquées 
dans  des  écrans  M ,  N  placés  à  une  distance  sullisAnle,  celle  des  faces 


462  PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 

du  cube  à  eau  bouillante  D  (fîg.  4 98)  qui  est  couverte  de  ooir  de 
fumée.  Si  l'on  donne  n  cette  face  diverses  orientations  AB,  A'B\  la 
déviation  produite  sur  l'appareil  thermo-électrique  resle  constante. 
Or,  la  portion  de  la  surface  du  cube  qui  rayonne  au  travers  des 
deux  ouvertures  est  inversement  proportionnelle  au  cosinus  de 
l'angle  a,  que  forme  la  direction  des  rayons  avec  la  normale  à  cette 
surface  elle-même  :  donc  la  quantité  de  chaleur  émise  par  l'unité 
de  surface  est  directement  proportionnelle  à  ce  cosinus. 

Si  maintenant  on  appelle  toujours  intensité  d'un  faisceau  de  rayons 
parallèles  la  quantité  de  chaleur  qui,  pendant  l'unité  de  temps, 
traverse  l'unité  de  surface  de  la  section  droite,  on  exprimera  encore 
le  résultat  qui  précède  en  disant  que  l'intensité  de  la  chaleur  émise 
est  la  même  dans  toutes  les  directions. —  Si  l'on  convient  d'appeler 
spécialement  pouvoir  émissif  dans  une  direction  déterminée  l'intensité 
de  la  chaleur  émise  dans  cette  direction,  on  peut  dire  que  le  pouvoir 
émissif  du  noir  de  fumée  est  indépendant  de  rinclinaison. 

9**  La  loi  précédente  se  vérifiant  également  bien  lorsque  le  cube 
rayonnant  contient  de  l'eau  bouillante  ou  lorsqu'il  contient  de  l'huile 
|)ortée  à  une  température  quelconque,  on  peut,  pour  étudier  l'in- 
fluence de  la  température,  se  borner  h  considérer  la  chaleur  émise 
normalement  à  la  surface. 

Il  est  à  peine  besoin  d'une  expérience  spéciale  pour  établir  que 
la  quantité  de  chaleur  émise  augmente  à  mesure  que  la  température 
s'élève;  mais  cet  accroissement  de  quantité  est  accompagné  d'une  mo- 
dification de  qualité,  qu'il  est  au  moins  aussi  important  de  considérer. 
—  En  décomposant  le  faisceau  calorifique  au  moyen  d'an  prisme  de 
sel  gemme,  et  étudiant  le  faisceau  émergent;  ou  bien  encore  en  dé- 
terminant l'absorption  que  le  faisceau  émis  éprouve  dans  son  passage 
au  travers  de  divers  corps,  on  constate  le  changement  de  propriétés 
(|ui  résulte  d'une  élévation  de  température  de  la  surface  rayon- 
nante. On  arrive  ainsi  aux  résultats  suivants  : 

1°  A  de  basses  températures,  la  chaleur  émise  par  le  noir  de 
fumée,  sans  être  absolument  homogène,  ne  contient  que  des  rayons 
difl*érant  très-peu  les  uns  des  autres  par  leurs  propriétés. 

fî**  A  mosiiro  que  la  température  s'élève,  la  constitution  de  la 


POUVOIRS  EMISSIFS.  /ifiS 

chaleur  émise  se  complique  graduellement,  par  Taddilion  incessante 
de  rayons  de  plus  en  plus  réfrangibles. 

Lorsque  la  température  a  atteint  le  rouge  sombre,  les  apparences 
lumineuses  qui  se  succèdent,  à  mesure  que  la  température  continue 
à  s'élever,  suffisent  pour  constater  le  changement  graduel  qui  s'opère 
dans  la  constitution  du  rayonnement. 

646.  Comparaison  des  pouvoirs  émissifs  des  divers 
corps  9  sous  rineidenee  normole  et  à  une  même  tenipéro- 
ture. —  11  résulte  des  faits  observés  dans  l'étude  du  noir  de  fumée 
que,  pour  comparer  les  pouvoirs  émissifs  des  divers  corps  entre  eux, 
et  pour  obtenir  des  résultats  ayant  un  sens  déterminé,  il  est  indis- 
pensable de  définir  avec  précision  les  conditions  d'inclinaison  et  de 
température  dans  lesquelles  les  expériences  sont  instituées.  En 
outre,  pour  que  la  comparaison  fût  complète,  il  faudrait,  non-seu- 
lement mesurer  le  rapport  des  quantités  totales  de  chaleur  émises 
par  deux  corps  différents,  à  la  même  température  et  dans  des  di- 
rections également  inclinées  sur  les  surfaces,  mais  déterminer  en 
même  temps  la  composition  qualitative  des  deux  rayonnements. 

Les  expériences  effectuées  jusqu'ici  sont  loin  d'avoir  été  amenées 
à  ce  degré  de  perfection.  On  s'est  généralement  borné  à  comparer  les 
quantités  totales  de  chaleur  émises  normalement  par  divers  corps,  à 
une  même  température.  —  A  la  température  de  i  oo  degrés,  MM.  de 
la  Provostaye  et  P.  Desains  ont  obtenu  les  nombres  compris  dans  le 
tableau  ci-dessous,  en  prenant  pour  unité  le  pouvoir  émissif  du  noir 

de  fumée  : 

Cénise i 

Verre 0,90 

Gomaje  iaque 0,7a 

Fer o,a3 

Zinc 0,19 

Acier  poli 0,18 

Platine  laminé 0,1 1 

Platine  bruni 0,09 

Laiton  poli 0,07 

Or  en  feailles 0,0/1 

Argent  laminé o,o3 

Argent  bruni 0,09 


'i(i6 


PROPA(.ATIO\  DE  LA   CHALBUR. 


Les  résultats  numériques  contenus  dans  ce  tableau  peuvent 
donner  lieu  ;iu\  remarques  suivantes  : 

i"*  La  céruse,  dont  le  pouvoir  émissif  à  loo  d^prés  est,  comme 
on  le  voit,  égal  à  celui  du  noir  de  fumée,  n'a  pas  de  pouvoir  réflec- 
teur sensible.  Sous  l'incidence  normale,  elle  diffuse  k  peine  la  chaleur 
obscure  rayonnée  par  le  noir  de  fumée  à  loo  degrés,  bien  qu'elle 
diffuse  très-abondamment  la  chaleur  lumineuse  rayonnée  par  un 
corps  à  haute  température. 

ù^  Si  l'on  ajoute,  au  nombre  exprimant  le  pouvoir  émissif  du 
verre  ou  d'un  métal ,  le  nombre  qui  exprime  son  pouvoir  réflecteur 
sous  l'incidence  normale  ^*^  on  obtient  une  somme  sensiblement 
constante  et  égale  à  l'unité. 


647.  Influence  de  l'inelin»i0on  sur  les  p^uv^irs  émis- 
mitm  de  divers  e^rps.  —  Lorsqu'on  s'écarte  de  la  direction  nor- 
male, la  quantité  de  chaleur  rayonnée  par  une  surface  d'étendue 
constante  diminue,  en  général,  plus  rapidement  que  le  cosinus  de 
l'inclinaison;  en  d'autres  termes,  le  fouvoir  émimf  diminue  à  mesure 
que  l'inclinaison  augmente.  —  Le  tableau  suivant  fait  connaître  la  loi 
de  cette  diminution,  pour  un  petit  nombre  de  substances  autres 
que  le  noir  de  fumée. 


INCL1>A1S0\ 
sur 

SURFACES  RAY0?1NANTBS. 

• 

%oitL  Ds  rmÉB 

XOll  DB  FDlICt 

cnrsB   ■ 

ocat  10C6K 

LA  50IMALE. 

applique 
direclemeot. 

appliqué 
à  r«s9ence. 

appliquée 
i  l'essence. 

appliqua 
à  resaeoœ. 

TUU. 

o" 

1,00 

1,00 

1,00 

1,00 

0,90 

(io" 

1,00 

;/ 

0,95 

/' 

0,8  i 

a 

7'» 

1,00 

0 

0,8 '1 

0,91 

0,75 

80" 

1,00 

0,75 

0,66 

0,8  a 

o,5â 

Comme  on  sait  d'ailleurs  que  la  proportion  de  chaleur  réfléchie 
ou  diffusée  augmente  en  m<?me  temps  que  l'incidence,  ces  résultats 

^'^  Los  |H)ii>oirs  réflocleiirs  onl  v{6  «lélerminés  également  par  MM.  de  la  l*rovostaye  A 

P.  Df^sain^i. 


POUVOIRS  ÉMISSIFS.  466 

prouvent  que  les  variations  du  pouvoir  réflecteur  sont  inverses  de 
celles  du  pouvoir  émissif.  —  On  a  même  mesuré  les  pouvoirs  réflec- 
teurs du  verre  sous  diverses  incidences,  et  Ton  a  reconnu  ainsi 
directement  que  la  somme  du  pouvoir  réflecteur  et  du  pouvoir 
émissif  est,  pour  toute  inclinaison,  constante  et  égale  à  l'unité. 

En  rapprochant  cette  observation  des  remarques  que  Ton  a  faites 
sur  le  tableau  des  pouvoirs  émissifs  sous  l'incidence  normale  (6A6), 
on  est  conduit  h  énoncer  la  loi  générale  suivante  : 

Jusqu'à  la  température  de  loo  degrés,  la  somme  du  pouvoir  émissif, 
du  pouvoir  réflecteur  et  du  pouvoir  diffusif  (s'il  existe)  est,  pour  tous  les 
corps  et  sous  toutes  les  inclinaisons,  constante  et  égale  à  F  unité. 

On  entend,  dans  cet  énoncé,  par  pouvoir  émissif,  le  rapport  de 
l'intensité  du  faisceau  de  chaleur  rayonné  par  un  corps,  sous  une 
certaine  inclinaison  et  à  une  certaine  température,  à  l'intensité  du 
faisceau  rayonné  par  le  noir  de  fumée,  sous  la  même  inclinaison  et 
à  la  même  température  ;  par  pouvoir  réflecteur,  le  rapport  de  l'inten- 
sité du  faisceau  réfléchi  h  l'intensité  du  faisceau  incident;  par  pouvoir 
diffusif,  le  rapport  de  la  quantité  totale  de  chaleur  diffusée  en  tous 
sens  à  la  quantité  de  chaleur  incidente. 

6â8.  És»lité  du  pouvoir  émissif  et  du  pouirdir  absor-^ 
hmwkt.  —  Il  résulte  de  la  définition  même  du  pouvoir  absorbant 
(640)  que  ce  nombre  est  égal  à  l'unité  diminuée  de  la  somme  du 
pouvoir  réflecteur  et  du  pouvoir  diff*usif.  On  voit  donc  que,  au 
moins  jusqu'à  la  température  de  lOO  degrés,  le  pouvoir  absorbant 
est  égal  au  pouvoir  émissif  c'est-à-dire  qu'il  est  représenté  par  le 
même  nombre,  si  l'on  rapporte  toujours  le  pouvoir  émissif,  pour 
chaque  corps  en  particulier,  à  celui  d'un  corps  tel  que  le  noir  de 
fumée,  qui  absorbe  la  totalité  de  la  chaleur  incidente,  c*est-à-dire 
qui  possède  un  pouvoir  absorbant  égal  à  l'unité. 

Cette  conclusion  est  d'accord  avec  une  ancienne  expérience  de 
Ritchie,  bien  antérieure  à  l'étude  que  Melloni  et  MM.  de  la  Pro- 
vostaye  et  P.  Desains  ont  faite  des  pouvoirs  émissifs  et  des  pouvoirs 
réflecteurs.  —  Ritchie  avait  fait  construire  un  thermomètre  diffé- 
rentiel à  air,  dont  les  boules  étaient  remplacées  par  des  cylindres  de 

Vbbdkt,  III.  —  Cours  de  phys.  II.  3o 


&t>C  PROPAGATION  DK  LA  CHALEUR. 

inélal  A  et  B  (fig,  5ot),  ayant  leurs  axes  placés  horùontalemenl 
dans  le  prolongement  l'un  de  l'autre  :  entre  ces  deux  cylindres,  on 
en  plaçait  un  troisième  C,  ayant  son  axe  dans  la  même  direction 
(|U<>  les  deux  autres,  et  contenant  de  l'eau  chaude.  Chacun  des  trois 
cylindres  A,  <),  B  avait  l'une  de  ses  bases  enduite  de  noir  de  fumée 


et  l'autre  couverte  d'une  feuille  métallique  :  dans  la  6gure  ci-contre. 
ce  sont  les  faces  de  droite  n,  n',  n"  qui  sont  couvertes  de  noir  de 
fumée,  et  les  faces  de  gauche  m,  m',  m'  qui  sont  métalliques.  Le 
cylindre  C  pouvait  ^'ilpp^ocher  de  A  ou  de  B ,  et  tourner  sur  lui- 
même  autour  de  la  verticale. — Ritchic  reconnut  par  l'expérience  que , 
si  la  face  métallique  m'  du  cylindre  (1  «-tait ,  comme  l'indique  la 
fîgure,  en  regard  de  la  face  noircie  m'  du  cylindre  B,  etsa  face  noir- 
cie H  en  regiinl  de  la  face  métallique  m  du  cylindre  A,  on  n'arri- 
vait à  maintenir  la  colonne  liquide  du  ihermouièlre  différentiel  dan^ 
la  position  caractérisant  l'égalité  de  température  des  deux  côtés. 
qu'à  la  condition  de  placer  le  cylindre  V.  euictement  h  égale  dis- 
tance des  cylindres  A  et  B.  —  Or,  lorsque  cet  équilibre  était 
atteint,  chacun  de  ces  cylindres  éprouvait,  dans  le  même  temps,  le 
même  gain  de  chaleur  de  la  part  du  cylindre  inlermédiaire  1^.  Dé» 
lors,  en  désignant  par  E.  le  pouvoir  émissif  du  métal  qui  forme  li>:i 


A  ce 


PROPAGATION  DK  LA  CHALEUR. 


mêla!  A  et  B  (fig.  ^oi),  ayant  leurs  axes  placés  horizontalemeot 
dans  \p.  prolongement  l'un  de  l'autre  :  entre  rcs  deui  cylindres,  on 
en  plaçait  un  troisième  G,  ayant  son  axe  dans  la  même  direction 
i|UP  les  deux  autres,  et  contenant  de  l'eau  chaude.  Chacun  des  trois 
cvlindres  A ,  (  ! ,  B  avait  l'une  de  ses  bases  enduite  de  noir  de  fumée 


et  l'autre  couverte  d'une  feuille  métallique  :  dans  la  figure  ci-contre. 
ce  sont  les  faces  de  droite  r,  n',  n'  qui  sont  couvertes  de  noir  de 
fumée,  et  les  faces  de  gauche  m,  m',  m"  qui  sont  métalliques.  Le 
cylindre  C  pouvait  s'approcher  de  A  ou  de  B,  et  tourner  sur  lui- 
même  autour  de  la  verticale. — Ritchic  reconnut  par  l'expérience  que , 
si  la  face  métallique  m'  du  cylindre  0  était ,  comme  l'indique  la 
(îgure ,  en  regard  de  la  face  noircie  n'  du  cylindre  B ,  et  sa  face  noir- 
cie u  en  regiinl  de  la  face  métallique  m  du  cylindre  A,  on  n'arri- 
vait à  maintenir  la  colonne  liquide  du  thermomètre  dilTérentiel  dans 
la  position  caractérisant  l'égalité  de  température  des  deux  cAlt'-s, 
qu'à  la  condition  de  placer  te  cylindre  V.  exactement  &  égale  dis- 
tance des  cylindres  A  et  B.  —  Or,  lorsque  cet  é<|uilibre  élail 
atteint,  chacun  de  ces  cylindres  éprouvait,  dans  le  même  temps,  le 
même  gain  de  chaleur  de  la  part  du  cylindre  inlermédiaire  (î.  D^s 
lors,  en  désignant  par  E.  le  pouvoir  émissifdu  métal  qui  forme  les 


POUVOIRS  KMISSIFS.  467 

bases  non  noircies  des  cylindres,  par  E„  le  pouvoir  émissif  du  noir 
de  furaée,  par  A„,  et  A„  les  pouvoirs  absorbants  de  ces  deux  mêmes 
corps,  on  devait  avoir 

fi  A„=^^E.A 


PI      n  ^«      m 


ou 


^r»  _^  ^ni 

^:„     A. 


Mais  puisque  le  noir  de  fumée  absorbe  la  totalité  des  rayons  inci- 
dents, on  a  A„=  1.  Si  l'on  convient  alors  de  prendre  le  pouvoir 
émissif  E,.  du  noir  de  fumée  comme  unité  de  pouvoir  émissif,  il  vient 

E..  =  A.. 


m  "m 


c'est-à-dire  que  le  pouvoir  émissif  du  métal  est  égal  à  son  pouvoir 
absorbant. 

6^9.  Remarques  sur  la  généralité  du  prineipe  précé- 
dent. —  La  proposition  générale  de  l'égalité  du  pouvoir  émissif  et 
du  pouvoir  absorbant,  ainsi  que  les  lois  particulières  desquelles  cette 
proposition  est  déduite,  ont  un  sens  précis  tant  qu'on  peut  faire 
abstraction  de  l'hétérogénéité  de  la  chaleur  rayonnante,  c'est-à-dire 
tant  que  l'on  considère  les  pouvoirs  émissifs  mesurés  à  de  basses 
températures,  et  les  pouvoirs  absorbants  ou  réflecteurs  relatifs  à  des 
rayonnements  qui  ont  eux-mêmes  pour  origines  des  sources  dont  la 
température  est  basse.  Mais  elles  semblent  perdre  toute  signification 
dès  que,  ces  restrictions  étant  écartées,  les  pouvoirs  absorbants  ou 
réflecteurs  doivent  être  regardés  comme  dépendant  de  la  nature  de 
la  chaleur  incidente,  tandis  que  les  pouvoirs  émissifs  ne  dépendent 
que  de  la  nature  du  corps,  de  sa  température  et  de  l'inclinaison  des 
rayons  sur  sa  surface. 

Quelques  faits  expérimentaux  bien  constatés  indiquent  cependant, 
d'une  manière  assez  claire,  comment,  dans  le  cas  le  plus  général, 
on  doit  entendre  la  loi  dont  il  s'agit.  —  Ainsi  on  sait  que,  à  la 
température  de  loo  degrés,  un  certain  nombre  de  corps  parfaite- 
ment blancs,  tels  que  la  céruse  ou  le  borate  de  plomb,  ont  un  pou- 
voir émissif  à  peu  près  égal  à  celui  du  noir  de  fumée;  on  sait  aussi 

3o. 


468         PROPAGATION  DE  LÀ  CHALEUR. 

que  ces  corps  absorbent  à  peu  près  en  totalité  la  chaleur  émise 
par  le  noir  de  fumée  à  la  température  de  loo  degrés.  —  D'un 
autre  côté,  la  blancheur  de  ces  corps  suffit  pour  prouver  qu'ils  dif- 
fusent en  abondance  tous  les  rayons  dont  la  réfrangibilité  est  com- 
prise entre  les  limites  du  spectre  visible,  et  l'on  peut  reconnaître 
directement  qu'ils  diffusent  une  proportion  considérable  de  la  cha- 
leur émise  par  les  sources  à  température  élevée.  D'ailleurs,  si  l'on 
vient  à  les  porter  eux-mêmes  à  des  températures  élevées,  ils  cessent 
d'émettre  des  quantités  de  chaleur  égales  à  celles  qu'émet  le  noir 
de  fumée  aux  mêmes  températures.  —  La  comparaison  de  ces  divers 
résultats  montre  que,  pour  ces  corps,  le  pouvoir  émissif  diminue  en 
même  temps  que  le  pouvoir  absorbant  ^*l 

Il  semble  donc  qu'on  échappera  à  toute  difficulté,  et  qu'on  se 
rendra  compte  de  tous  les  faits  observés,  si  l'on  admet  la  loi  géné- 
rale d'après  laquelle,  en  désignant  par  E;^  et  e^  les  intensités  de^ 
faisceaux  calorifiques  de  longueur  d'ondulation  X,  qu'émettent  à 
une  même  température  t  et  sous  une  même  inclinaison  t  un  corps 
dont  le  pouvoir  absorbant  est  absolu  (le  noir  de  fumée)  et  un  corps 
quelconque;  par  a^  le  pouvoir  absorbant  du  second  corps  à  la  tem- 
pérature t,  pour  des  rayons  de  longueur  d'ondulation  X,  rencontrant 
sa  surface  sous  l'incidence  i,  on  aurait  toujours 

^  (2) 
«.  =  —       ' 

—  Si  cette  loi  générale  n'a  pas  encore  été  tout  à  fait  rigoureusement 

(')  MM.de  la  l^rovoslaye  et  P.  Desainsont  fait  cette  observation  importante  en  plaçant, 
entre  deux  piles  thermo-électriques  semblables  entre  elles,  une  lame  de  platine  enduite 
de  noir  de  fumée  sur  Tune  de  ses  faces  et  de  borate  de  plomb  sur  Tautre,  et  en  élevant  la 
température  de  cette  lame  par  le  passage  d'un  courant.  A  des  températures  peu  élevées, 
les  deux  rayonnements  étaient  sensiblement  égaux;  au  rouge  naissant,  le  rayonnement  du 
borate  de  plomb  n*était  plus  que  les  trois  quarts  de  celui  du  noir  de  fumée. 

(^^  Si  la  température  (  est  trop  basse  pour  que  le  noir  de  fumée  émette  des  rayons 
d'une  longueur  d'ondulation  égale  à  A,  la  quantité  E^  est  nulle,  et  la  quantité  a^  est  au 
plus  égale  à  Tunité  :  il  faut  donc  que  e^  soit  également  nul.  La  formule  devient  alors  indé- 
terminée et  nous  rappelle  simplement  que  l'étude  du  pouvoir  émissif  d'un  corps,  faite  à 
de  basses  températures,  n'autorise  aucune  conclusion  relative  à  la  manière  dont  ce  corps 
se  comporte  à  l'éganl  de  la  chaleur  fournie  par  des  sources  dont  la  températun»  est  plus 
élevée. 


POUVOIRS  ÉMISSIFS.  /i69 

déinontrëe  par  rexpérience,  elle  apparaît,  au  point  de  vue  de  la 
théorie  des  ondes,  comme  une  conséquence  nécessaire  de  considé- 
rations mécaniques  toutes  semblables  à  celles  qu'on  a  présentées  au 
sujet  de  l'absorption  de  la  lumière  (573).  Les  mouvements  vibra- 
toires qui  doivent  se  communiquer  le  plus  facilement  aux  molécules 
d'un  corps,  c'est-à-dire  qui  doivent  être  absorbés  par  elles  dans  la 
proportion  la  plus  grande ,  sont  précisément  ceux  que  ces  molécules 
elles-mêmes  sont  disposées  à  produire,  en  vertu  de  leur  structure 
et  de  leur  élasticité,  lorsque  ce  corps  est  amené  à  une  température 
convenable  et  se  comporte  comme  une  source  calorifique. 

On  voit  ainsi  q]ue  l'absorption  exercée  dans  les  corps  alher- 
manes  par  une  couche  superficielle  infiniment  mince,  et  l'ab- 
sorption graduelle  qui  se  produit  dans  toute  l'épaisseur  d'un  corps 
diathermane,  sont  des  phénomènes  de  môme  ordre;  ils  sont  dé- 
terminés par  une  même  cause,  agissant  avec  des  énergies  diverses. 
11  est  donc  probable  que,  dans  les  deux  cas,  la  même  relation  doit 
subsister  entre  l'émission  et  l'absorption  de  la  chaleur.  -. —  Dès 
lors,  en  représentant  par  E;^  et  e^  les  intensités  des  faisceaux  ca- 
lorifiques de  longueur  d'ondulation  X,  qu'émettent,  à  une  même 
température  t  et  sous  une  même  inclinaison  i,  un  corps  dont  le 
pouvoir  absorbant  est  absolu  et  un  corps  diathermane  quelconque, 
par  a^  la  proportion  d'un  faisceau  calorifique  de  même  longueur 

d'onde  qui  est  arrêtée  dans  le  corps  diathermane,  lorsqu'il  y  pénètre 
en  tombant  sous  l'incidence  i  et  à  la  température  (,  on  peut  dire 
que  l'on  aurait 

—  —  a  ^1^ 

(I)  Dans  le  cas  des  corps  athern]anes,e^  et  a^  sont  deux  coeffideiits  caraclérisliques 
de  la  nature  du  corps,  mais  indépendants  de  ses  dimensions  et  de  sa  forme;  on  peut  les 
désigner,  comme  on  Ta  fait,  sous  le  nom  de  pouvoir  émissifei  de  pouvoir  abiorkont  relatifs 
à  une  inclinaison ,  a  une  température  et  à  une  longueur  d'ondulation  déterminées. — H  n'en 
est  plus  de  même  dans  le  cas  des  corps  diathermanes.  Dans  ce  cas,  a^  dépend  évidemment 
de  Tépaisseur  du  corps  considéré ,  et  même  de  sa  forme  ;  car  l'absorption  ne  s'exerce  pas 
seulement  dans  le  trajet  direct  de  la  première  à  la  seconde  surface,  elle  agit  aussi  sur  la 
portion  des  rayons  qui  se  réfléchit  vers  l'intérieur  en  rencontrant  la  seconde  surface,  sur  la 
portion  de  ceux-ci  qui  est  réfléchie  de  nouveau  vers  l'intérieur,  et  ainsi  de  suite.  Quant  à  e^ , 
c'est  aussi  une  fonction  des  dimensions  el  de  la  forme  du  corps,  puisque  l'épaisseur  de 


MO  PROPAGATION  UE  LA  CHALEUR. 

650.  conséquences  relatives  aum  eandifians  eu  renver- 
sement des  raies  9  dans  les  empérienees  de  Hlil.  MireMiafr 
et  Bunsen.  —  Les  découvertes  de  MM.  Kirchhoff  et  Bunsen  sont 
une  confirmation  remarquable  de  cette  loi.  C'est  même  seulement  en 
ayant  égard  à  cette  loi  elle-même  qu'on  peut  se  rendre  bien  compte 
des  conditions  nécessaires  au  succès  de  l'expérience  du  renversement 
(les  raies  (502). 

Soit  «;  l'intensité  du  faisceau  de  rayons,  de  longueur  d'ondula- 
tion X,  (ju'émet  la  flamme  chargée  de  vapeurs  métalliques  avec  la- 
quelle on  fait  l'expérience  ;  soit  a;^  la  fraction  d'un  faisceau  incident , 
de  même  longueur  d'ondulation ,  que  cette  flamme  est  capable  d'ar- 
rêter; soit  enfin  e^  l'intensité  du  faisceau  de  cette  même  longueur 
d'ondulation  qui  est  émis  vers  la  flamme  par  la  source  lumineuse 
dont  on  fait  usage.  La  flamme  agissant  à  la  fois  par  absorption  et 
par  émission,  on  aura,  dans  la  région  du  spectre  qui  correspond  à 
l'espèccî  particulière  d'ondulation  que  l'on  considère,  une  intensité 
lumineuse  totale  qui  pourra  être  représentée  par 

et,  suivant  que,  pour  la  qualité  de  lumière  correspondante  à  un 
point  déterminé  du  spectre,  cette  expression  sera  plus  petite  ou  plus 
grande  que  e-^^  la  présence  de  la  flamme  aflaiblira  ou  augmentera 
l'intensité  lumineuse  qui  était  fournie  par  la  source  dans  la  région 
correspondante  du  spectre,  c'est-à-dire  qu'elle  fera  apparaître,  dans 
cette  région,  une  bande  plus  obscure  ou  plus  brillante  que  n'était 
la  partie  du  spectre  de  la  source  dont  cette  bande  occupe  la  place. 
—  Soit  E;^  l'intensité  du  faisceau  de  même  espèce  qu'émettrait  une 
vsurface  douée  d'un  pouvoir  absorbant  absolu,  ayant  même  tempéra- 
ture que  la  flamme;  on  aura,  en  vertu  de  la  relation  générale  qui 
précède , 

h      «A  ''A- 


s^    ûti  K 


laquelle  dépend  le  rayonnement,  dans  un  corps  diaUieniiane,  ne  peut  plus  être  re;gardêe 
connue  très-}>etile ,  dès  que  la  tempérahire  est  tant  soit  peu  élevée.  —  C'est  sous  le  bénéBee 
«lo  ces  remarques  qu'on  peut  dire  que  le  principe  de  réédité  du  pouvoir  émwsif  et  du 
pou\oir  tbaorKant  osi  \rai  des  corps  dialbermanes  comme  des  corps  athennaiies. 


A72  PROPAGATION   DE  LA  CHALEUR. 

naître  les  phénomènes  du  rayonnement ,  mais  que  ces  phénomènes 
se  produisent  encore  dans  le  cas  où  ces  corps  sont  à  des  températures 
égales.  L'invariabilité  de  la  température,  dans  un  système  de  corps 
mis  en  présence  les  uns  des  autres,  serait  alors  la  conséquence  d'une 
égalité  qui  existerait,  pour  chaque  corps,  entre  la  quantité  de  cha- 
leur gagnée  et  la  quantité  de  chaleur  perdue. 

On  a  beaucoup  discuté  sur  l'exactitude  de  cette  hypothèse,  qui 
est  connue  sous  le  nom  d'hypothèse  de  Véquilibre  mobile  des  tempéra-- 
turcs.  On  se  bornera  ici  à  faire  remarquer  qu'elle  fournit  au  moins 
un  moyen  très-simple  de  réunir,  sous  une  même  formule,  des  faits 
qui  semblent  d'abord  très-différents,  et  que,  au  point  de  vue  de  la 
théorie  des  ondulations,  ce  n'est  qu'une  expression  du  théorème  de 
mécanique  connu  sous  le  nom  de  principe  de  la  superposition  des  petits 
mouvements. 

11  ne  suffit  pas  que  lés  températures  de  tous  les  points  d'un  sys- 
tème soient  invariables,  pour  qu'on  puisse  affirmer  l'égalité  de  toutes 
ces  températures  entre  elles.  11  faut  encore  qu'il  n'y  ait,  en  aucun 
point  du  système,  de  cause  de  production  de  chaleur;  qu'il  n'y  ait, 
par  exemple,  ni  action  chimique,  ni  frottement,  ni  courant  élec- 
trique, etc.  —  Si  une  pareille  cause  productrice  de  chaleur  existe 
pour  certains  points,  et  si  d'autres  causes  tendent  à  enlever  de  la 
chaleur  au  système,  il  se  produit  un  état  défmitif ,  dans  lequel  les 
températures  ne  sont  pas  égales,  mais  stationnaires.  Alors  la  connais- 
sance exacte  de  l'état  initial,  celle  de  la  source  de  chaleur  et  des 
lois  du  rayonnement  sont  nécessaires  et  suffisantes  pour  prévoir 
l'état  défmitif.  Il  parait  assez  évident  que  cet  état  doit  dépendre  des 
situations  relatives  des  divers  corps  du  système,  et  que  si,  après 
qu'il  est  étabh*,  on  déplace  un  ou  plusieurs  de  ces  coq)s,  il  doit  se 
produire  une  nouvelle  distribution  des  températures.  C'est  ce  que 
l'observation  la  |)lus  grossière  suffit  à  montrer. 

Au  contraire,  Tétat  d'équilibre  ou  d'égalité  des  températures  a 
la  propriété  d'être  un  état  unique,  et  par  conséquent  de  n'être  pas 
altéré  par  une  modification  quelconque  des  situations  relatives  des 
corps  qui  sont,  les  uns  avec  les  autres,  en  échange  de  rayonnement. 
C'est  ainsi  que,  dans  une  enceinte  ayiint  une  température  uniforme, 
lin  thermomètre  accuse  toujours  Ja  même  température,  en  quelque 


ÉQUILIBRE  MOBILE  DES  TEMPÉRATURES.  473 

point  de  l'enceinte  qu'il  soit  placé;  c'est  ainsi  encore  que  Ton  peut, 
sans  troubler  l'équilibre,  modifier  comme  on  le  voudra  la  forme 
d'une  telle  enceinte  et  l'arrangement  des  corps  qu'elle  renferme.  Or, 
il  faut  remarquer  que  l'invariabilité  des  indications  du  thermo- 
mètre, attestée  ici  par  l'expérience,  ne  résulte  pas  évidemment  du 
principe  de  l'équilibre  mobile  des  températures  :  il  y  a  lieu  d'exa- 
miner si  elle  n'implique  pas  des  relations  particulières  entre  les 
divers  éléments  desquels  dépendent  les  échanges  de  chaleur  effectués 
par  rayonnement,  c'est-à-dire  entre  les  pouvoirs  émissifs,  absor- 
bants et  réflecteurs,  les  propriétés  de  la  chaleur  réfléchie,  etc. 

L'examen  de  cette  question  importante  a  été  fait  une  première 
fois  par  Fourier,  il  y  a  cinquante  ans,  d'une  manière  qu'on  a  crue 
complète  tant  qu'on  n'a  pas  connu  la  composition  hétérogène  des 
rayonnements  calorifiques.  Fourier  était  ainsi  parvenu  à  démontrer 
la  nécessité  de  la  loi  du  cosinus,  et  de  l'égalité  du  pouvoir  émissif 
et  du  pouvoir  absorbant.  —  Plus  récemment,  M.  Kirchhoff  a  repris 
£ette  étude,  en  ayant  égard  à  l'ensemble  des  propriétés  de  la  chaleur 
qui  ont  été  découvertes  depuis  Fourier  :  il  en  a  déduit  le  principe 
exact  de  l'égalité  du  pouvoir  émissif  et  du  pouvoir  absorbant,  tel 
qu'on  l'a  formulé  plus  haut  (6A9),  comme  un  résultat  indiqué,  sinoii 
démontré  par  l'expérience,  ainsi  qu'un  certain  nombre  d'autres 
principes  également  remarquables. 

On  n'entreprendra  pas  d'exposer  ici  le  développement  de  ces 
théories  délicates.  —  On  se  contentera  de  montrer,  dans  quelques 
cas  particuliers,  comment  les  lois  générales  du  rayonnement,  de  la 
réflexion  et  de  l'absorption  rendent  compte  de  l'invariabilité  de  l'état 
d'équilibre;  on  donnera  ensuite  un  exemple  des  faits  nouveaux  que 
la  théorie  peut  faire  prévoir. 

652.  €a«  ov  rencelnte  et  tous  les  e«rp»  qu'elle  e^ntlent 
ont  lin  pouvoir  absorlNint  absolu.  —  Soit  une  enceinte  fer- 
mée AB  {fig.  5o3),  de  forme  quelconque ,  entièrement  dépourvue  de 
pouvoir  réflecteur  et  de  pouvoir  diffusif,  c'est-à-dire  ayant,  en  tous 
les  points  de  sa  surface  intérieure,  un  pouvoir  absorbant  absolu  : 
supposons  qu'il  y  ait  égalité  de  température  entre  tous  ces  points. 

Prenons,  sur  la  surface  intérieure  de  l'enceinte,  un  élément  inli- 


ÉQUILIBRE  MOBILE  DES  TEMPERATURES.  ^73 

point  de  l'enceinte  qu'il  soit  placé;  c'est  ainsi  encore  que  l'on  peut, 
sans  troubler  l'équilibre,  modifier  comme  on  le  voudra  la  forme 
d'une  telle  enceinte  et  l'arrangement  des  corps  qu'elle  renferme.  Or, 
il  faut  remarquer  que  l'invariabilité  des  indications  du  thermo- 
mètre, attestée  ici  par  l'expérience,  ne  résulte  pas  évidemment  du 
principe  de  l'équilibre  mobile  des  températures  :  il  y  a  lieu  d'exa- 
miner si  elle  n'implique  pas  des  relations  particulières  entre  les 
divers  éléments  desquels  dépendent  les  échanges  de  chaleur  effectués 
par  rayonnement,  c'est-à-dire  entre  les  pouvoirs  émissifs,  absor- 
bants et  réflecteurs,  les  propriétés  de  la  chaleur  réfléchie,  etc. 

L'examen  de  cette  question  importante  a  été  fait  une  première 
fois  par  Fourier,  il  y  a  cinquante  ans,  d'une  manière  qu'on  a  crue 
complète  tant  qu  on  n'a  pas  connu  la  composition  hétérogène  des 
rayonnements  calorifiques.  Fourier  était  ainsi  parvenu  à  démontrer 
la  nécessité  de  la  loi  du  cosinus,  et  de  l'égalité  du  pouvoir  émissif 
et  du  pouvoir  absorbant.  —  Plus  récemment,  M.  Kirchhoff  a  repris 
£ette  étude ,  en  ayant  égard  à  l'ensemble  des  propriétés  de  la  chaleur 
qui  ont  été  découvertes  depuis  Fourier  :  il  en  a  déduit  le  principe 
exact  de  l'égalité  du  pouvoir  émissif  et  du  pouvoir  absorbant,  tel 
qu'on  l'a  formulé  plus  haut  (6A9),  comme  un  résultat  indiqué,  sinoii 
démontré  par  l'expérience,  ainsi  qu'un  certain  nombre  d'autres 
principes  également  remarquables. 

On  n'entreprendra  pas  d'exposer  ici  le  développement  de  ces 
théories  délicates.  —  On  se  contentera  de  montrer,  dans  quelques 
cas  particuliers,  comment  les  lois  générales  du  rayonnement,  de  la 
réflexion  et  de  l'absorption  rendent  compte  de  l'invariabilité  de  l'état 
d'équilibre;  on  donnera  ensuite  un  exemple  des  faits  nouveaux  que 
la  théorie  peut  faire  prévoir. 

652.  Cas  ov  rencelnte  et  tous  les  e«rps  qu'elle  contient 
ont  nn  pouvoir  aboorlNint  absolu.  —  Soit  une  enceinte  fer- 
mée AB  {fig.  5o9),  de  forme  quelconque ,  entièrement  dépourvue  de 
pouvoir  réflecteur  et  de  pouvoir  diffusif,  c'est-à-dire  ayant,  en  tous 
les  points  de  sa  surface  intérieure,  un  pouvoir  absorbant  absolu  : 
supposons  qu'il  y  ait  égalité  de  température  entre  tous  ces  points. 

Prenons,  sur  la  surface  intérieure  de  l'enceinte,  «n  élément  infi- 


ÉQLILIBHE  MUBILK  DES  TEMPÉRATURES.  475 

tininient;  elle  ne  doit  ntètiie  |>aï  être  troubli^e  par  un  changement 
de  forme  de  l'enceinte,  puisque,  après  ce  changement  de  Tonne, 
quel  qu'il  soit,  il  y  aura  toujours  équilibre  d'élément  à  élémenl,  et 
pour  chaque  espèce  de  rayons  calorifiques  d'une  longueur  d'ondu- 
lation dëlerminëc. 

Si  l'on  i^uppose  que  t'enceintG  contienne-  nn  cor|>s  à  la  même 
tenipénilure  et  pareillement  dépourvu  de  pouvoir  réflecteur  et  de 
pouvoir  diffusif,  on  pourra  dire,  de  chaque  élément  de  la  surface 
de  ce  corps,  ce  qu'on  a  dit  des  éléments  de  l'enceinte  :  on  verra  ainsi 
que  le  corpB  doit  conserver  sa  température,  en  quelque  point  qu'il 
soit  placé.  Au  contraire ,  s'il  est  plus  froid  ou  plus  chaud  que  l'en- 
ceinte, ses  divers  éléments  recevront,  des  éléments  de  l'enceinte, 
une  quantité  de  chaleur  supérieure  ou  inférieure  à  celle  qu'ils  leur 
enverront  ;  par  conséquent ,  si  la  température  de  l'enceinte  est  main- 
tenue invariable,  la  température  du  corps  finira  toujours  par  lui 
devenir  égale. 

653.  CiM  OH  un  earp»  esnteBU  dans  l'encelnM  f—èJt 
MB  p«uv*lr  ré>e«i«iir.  —  Donnons  maintenant,  à  un  élément 
p^  d'un  corps  contenu  dans  l'enceinte  (%.  5o3  ),  un  pouvoir  réflec- 
teur déterminé  :  désignons  par  r  la  valeur  de  ce  pouvoir  réflecteur 


qui  est  relative  à  l'inridencr  i  et  .^i  la  longueur  d'ondulation  X  ;  soit  <t 
la  surface  de  cet  élément.  Soit  mn  l'élément  découpé,  sur  la  paroi 


Iil6  PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 

interne  de  l'enceinte,  par  un  cylindre  ayant  pour  base^i^  et  dont  les 
génératrices  sont  inclinées  d'un  angle  i  sur  la  normale  à  pq  :  la  sur- 
face de  cet  élément  mn  envoie  à  l'élément  pq  un  faisceau  cylindrique 
de  chaleur,  de  longueur  d'ondulation  X,  tombant  sur  pq  sous  l'in- 
cidence t  :  la  section  droite  de  ce  cylindre  étant  égale  à  o-cosi,  la 
quantité  de  chaleur  qu'il  apporte  sur  pq,  dans  l'unité  de  temps, 
peut  s'exprimer  par 

eacosi: 

la  quantité  que  l'élément  pq  absorbe  est  alors 

(i  —  r)  eacosi. 

Mais,  en  vertu  de  l'égalité  du  pouvoir  émissif  et  du  pouvoir  absor- 
bant, l'élément  j)q  lui-même  émet,  suivant  toute  direction  inclinée 
d'un  angle  t  sur  la  normale,  une  quantité  de  chaleur,  de  la  longueur 
d'ondulation  considérée,  qui  est  exprimée  par 

(i  —  r)  eacosi; 

donc  l'élément  pq  envoie  à  l'élément  mn  précisément  autant  de  cha- 
leur qu'il  en  reçoit  lui-même  de  cet  élément,  et  il  ne  doit  résulter, 
de  cet  échange  entre  les  divers  éléments,  aucune  modification  dans 
la  température  du  corps. 

Il  n'en  doit  résulter  non  plus  aucune  modification  dans  la  tem- 
pérature de  l'enceinte;  car,  si  l'élément  mn  envoie  à  l'élément  j)q  la 

quantité  de  chaleur 

eacost, 

et  s'il  ne  reçoit,  par  suite  du  rayonnement  de  pq,  que  la  quantité 

de  chaleur 

(i  — r)co'cost, 

il  reçoit  encore,  à  cause  du  pouvoir  réflecteur  de  py ,  une  certaine 
partie  du  faisceau  qui  est  envoyé  à  pq  par  un  élément  mn\  dont 
la  position  et  la  grandeur  sont  faciles  à  déterminer;  cette  quantité 
de  chaleur,  réfléchie  par  pq  vers  mn,  peut  s'exprimer  par 

rracosf. 


ÉQUILIBRE  MOBILE  DES  TEMPÉRATURES.  /i77 

et  Ton  voit  que  la  somme  des  quantités  de  chaleur  reçues  par  mn 
dans  celte  direction  est  encore  égale  à  la  quantité  de  chaleur  émise. 
—  Il  en  est  évidemment  de  môme  dans  une  direction  quelconque. 

65â.  PolarlMitloii  des  rayon»  émis  dan»  des  dlreetloii» 
oMIques  par  les  eorps  doués  de  pouvoirs  réfleeieurs.  —  Si 

la  surface  du  corps  (|ue  Ton  vient  de  considérer  est  convexe,  de 
manière  que  les  réflexions  multiples  soient  impossibles,  et  si  l'on 
attribue  successivement  à  lous  les  éléments  de  ce  corps  des  pouvoirs 
réflecteurs  quelconques,  le  raisonnement  précédent  montre  que  le 
principe  de  l'égalité  du  pouvoir  émissif  et  du  pouvoir  absorbant 
suflit  pour  assurer  le  maintien  indéfini  de  l'équilibre.  Mais  il  n'en 
est  plus  de  même  si  la  surface  du  corps  est  concave,  ou  si  les  divers 
éléments  de  l'enceinte  prennent,  à  leur  tour,  des  pouvoirs  réflec- 
teurs. La  chaleur  contenue  dans  le  faisceau  qui  chemine  de  pq  vers 
mn  est  bien,  en  définitive,  égale  à  eacosi;  mais  la  quantité  de  cha- 
leur réfléchie  recr  cos  i,  qui  est  contenue  dans  ce  faisceau,  est  pola- 
risée dans  le  plan  d'incidence;  donc,  si  l'élément  mn  a  un  pouvoir 
féflecteur,  la  proportion  de  cette  chaleur  qu'il  absorbe  doit  dépendre 
de  la  position  relative  dès  plans  d'incidence  sur  mn  et  sur  pq.  On  ne 
peut  donc  plus  dire  qu'il  n'y  ait  rien  de  changé  dans  les  conditions 
qui  assurent  le  maintien  de  Téquilibre. 

Cette  difficulté  disparait  si  l'on  admet  (|ue  la  quantité  de  chaleur 
polarisée  dans  le  plan  d'incidence,  qui  est  contenue  dans  le  faisceau 
réfléchi  par/?^,  c'est-à-dire  dans  le  faisceau  ayant  pour  intensité 
reacosi,  est  compensée  par  une  égale  quantité  de  chaleur,  polarisée 
peq)endiculai rement  au  plan  d'incidence,  et  contenue  dans  le  fais- 
ceau émis  directement  [mtpq,  c'est-à-dire  dans  le  faisceau  ayant 
pour  intensité  (i  —  r)  ecrcosù  —  On  est  donc  conduit  à  énoncer  la 
loi  suivante  : 

Tout  faisceau  de  chaleur  émis  obliquement,  par  un  coqis  doué 
de  pouvoir  réflecteur,  est  polarisé  perpendiculairement  au  plan  mené 
par  le  faisceau  et  par  la  normale;  la  quantité  absolue  de  chaleur  pola- 
risée qu'il  contient  est  égale  à  la  quantité  absolue  de  chaleur  pola- 
risée dans  le  plan  d'incidence  que  contiendrait  un  faisceau  de  miW? 
longueur  d'onde,  qui  aurait  été  émis  à  la  même  température  ])ar  une 


ÉQUILIBRE  MOBILE  DES  TEMPERATURES.  UTj 

et  l'on  voit  que  la  somme  des  quantités  de  chaleur  reçues  par  mn 
dans  cette  direction  est  encore  égaie  à  la  quantité  de  chaleur  émise. 
—  Il  en  est  évidemment  de  même  dans  une  direction  quelconque. 

65 Â.  PolariMition  de»  rayon*  émis  dan»  de»  direction» 
obliqnes  par  les  eorp»  doué»  de  pouvoir»  réflecteur».  —  Si 

la  surface  du  corps  que  Ton  vient  de  considérer  est  convexe,  de 
manière  que  les  réflexions  multiples  soient  impossibles,  et  si  l'on 
attribue  successivement  à  tous  les  éléments  de  ce  corps  des  pouvoirs 
réflecteurs  quelconques,  le  raisonnement  précédent  montre  que  le 
principe  de  l'égalité  du  pouvoir  émissif  et  du  pouvoir  absorbant 
suffit  pour  assurer  le  maintien  indéfini  de  l'équilibre.  Mais  il  n'en 
est  plus  de  même  si  la  surface  du  corps  est  concave,  ou  si  les  divers 
éléments  de  l'enceinte  prennent,  à  leur  tour,  des  pouvoirs  réflec- 
teurs. La  chaleur  contenue  dans  le  faisceau  qui  chemine  de  pq  vers 
mn  est  bien,  en  définitive,  égale  à  eacost;  mais  la  quantité  de  cha- 
leur réfléchie  re<T  cos  t,  qui  est  contenue  dans  ce  faisceau,  est  pola- 
risée dans  le  plan  d'incidence;  donc,  si  l'élément  mn  a  un  pouvoir 
réflecteur,  la  proportion  de  cette  chaleur  qu'il  absorbe  doit  dépendre 
de  la  position  relative  des  plans  d'incidence  sur  mn  et  sur  pq.  On  ne 
peut  donc  plus  dire  qu'il  n'y  ait  rien  de  changé  dans  les  conditions 
qui  assurent  le  maintien  de  l'équilibre. 

Cette  difficulté  disparaît  si  l'on  admet  que  la  quantité  de  chaleur 
polarisée  dans  le  plan  d'incidence,  qui  est  contenue  dans  le  faisceau 
réfléchi  par  pq ,  c'est-à-dire  dans  le  faisceau  ayant  pour  intensité 
reacosi,  est  compensée  par  une  égale  quantité  de  chaleur,  polarisée 
perpendiculairement  au  plan  d'incidence,  et  contenue  dans  le  fais- 
ceau émis  directement  furpq,  c'est-à-dire  dans  le  faisceau  ayant 
pour  intensité  (i  —  ^)  eacosi.  —  On  est  donc  conduit  à  énoncer  la 
loi  suivante  : 

Tout  faisceau  de  chaleur  émis  obliquement ,  par  un  corps  doué 
de  pouvoir  réflecteur,  est  polarisé  perpendiculairement  au  plan  mené 
par  le  faisceau  et  par  la  normale;  la  quantité  absolue  de  chaleur  pola- 
risée qu'il  contient  est  égale  à  la  quantité  absolue  de  chaleur  pola- 
risée dans  le  plan  d'incidence  que  contiendrait  un  faisceau  de  même 
longueur  d'onde,  qui  aurait  été  émis  à  la  même  température  par  une 


HKFLEXION  AI>t»AHKNTE  DU  KBOID.  MU 

Lorsque,  dans  une  eiireinle  AB  ayant  une  l^mpérature  uniforme 
et  ronlenant,  entm  aulrfi»  rorps,  un  lhf>rmonit>tre  T  (fig.  Soi),  on 
vient  à  introduire  un  corps  plus  froid  D ,  on  Kail  que  le  thcniioniMrc 
arruse  un  abaissement  de  température  :  c'cnI  là  un  résultai  dans 
lequel  on  ne  trouve  rien  que  de  très-naturel ,  puisque  l'introdur- 
lion  du  corps  froid  a  substitué,  aun  rayons  de  rhaleur  envoyés  au 
thennouièlre  par  la  partie  pq  de  l'enceinte ,  les  rayons  moins  intenses 
qui  lui  sont  envoyés  par  la  purtion  min  du  corps  froid.  —  Mais  il 
paraît  singulier  que.  si  l'on  vient  à  augmenter  In  quantité  des  rayons 
que  le  corps  froid  envoie  au  ihernionièirc.  au  moyen  d'un  ou  deux 
miroirs  réflecteurs  convenablement  placés,  l'abaissement  de  tem- 
pérature soit  rendu  plus  sensible,  absolument  comme  si  ces  rayons 
tendaient  par  eux-mêmes  à  produire  du  froid. 

L'explication  de  ce  nouvel  elTet  4>st  cependant  toujours  la  même. 
—  Soit  E  l'intensité  des  rayons  de  chaleur  qui  sont  émis  |>ar  l'en- 
ceinte, et  supposons,  pour  simplifier  rex|ilicntion ,  que  tous  les 
points  de  cette  enceinte  soient  doués  d'un  pouvoir  absorbant  absolu  : 
soit  E'  l'intensité  des  rayons  que  cette  même  enceinte  émettrait,  si 
elle  avait  la  même  température  que  le  corps  froid  D;  désignons 
par  r  le  pouvoir  réflecteur  d'un  miroir  s|)hérique  roncave  MN 
(tig.  5o5),  dont  le  llirrmoinètre  T  el  le  cnr|>s  froid  D  occupent  les 


foyers  conjugués;  par  p,  le  pouvoir  réflecteur  du  corps  froîd. 
Dans  les  conditions  où  il  est  maintenant  placé,  le  tliermomèlrc 
reçoit,  suivant  toutes  les  directions  qui  joignent  les  divers  points 
de  sa  surface  aux  points  de  ia  surface  du  miroir  MN.  au  lieu  du 


480  PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 

rayonnement  direct  de  l'enceinte  dont  l'intensité  est  E,  d'une  part 
les  rayons  émis  directement  par  le  miroir  MN,  et  dont  l'intensité 
peut  se  représenter  par  (i  —  r)E,  d'autre  part  la  chaleur  réfléchie 
par  ce  miroir  lui-même.  Or  cette  chaleur  réfléchie  est  une  fraction  r 
de  la  chaleur  qui  arrive  du  corps  froid  D  au  miroir,  et  qui  se  com- 
pose elle-même  de  deux  parties,  savoir:  le  rayonnement  propre  du 
corps  froid,  exprimé  par  (  i  —  p)E',  et  la  chaleur  qui  est  venue  de 
l'enceinte  se  réfléchir  sur  le  corps  froid  et  dont  l'intensité  est 
exprimée  par  pE.  Ainsi,  en  définitive,  dans  toute  l'étendue  du  cône 
circonscrit  au  réservoir  du  thermomètre  et  au  miroir,  les  rayons 
émis  par  l'enceinte  et  dont  l'intensité  est  E  sont  remplacés  par  des 
rayons  dont  la  somme  des  intensités  est 

(.-r)E  +  r[(.-p)E'  +  pE] 
ou  bien 

E~r(i-p)(E-E'). 

11  est  évident  que  cette  expression  est  moindre  que  E  :  on  devra 
donc  observer  un  refroidissement  d'autant  plus  sensible  que  l'ouver- 
ture angulaire  du  cône  dans  lequel  cette  substitution  a  lieu  sera  plus 
grande,  c'est-à-dire  que  l'étendue  de  la  surface  réfléchissante  sera 
plus  considérable.  Ce  refroidissement  sera  encore  d'autant  plus 
marqué  que  le  miroir  aura  un  plus  grand  .pouvoir  réflecteur  r,  et 
le  corps  froid  un  plus  grand  pouvoir  émissif  i  —  p.  —  Ainsi  s'ex- 
plique l'avantage  que  l'on  trouve,  quand  on  veut  rendre  les  résultats 
de  cette  expérience  un  peu  saillants,  à  opérer  avec  un  corps  froid 
couvert  de  noir  de  fumée. 


656.  Théorie  de  UTells  mir  la  produetloii  de  Im 

D'après  la  théorie  émise  et  développée  par  Wells,  le  dépôt  de  la 
rosée  est  dû  au  refroidissement  nocturne  des  corps,  situés  à  lu  sur- 
face de  la  terre  :  ce  dépôt  se  produit  toutes  les  fois  que  le  refroidis- 
sement est  sullisant  pour  amener  à  saturation  l'air  qui  est  au  contact 
de  ces  corps;  quant  à  la  cause  même  du  refroidissement,  c'est  le  . 
rayonnement  des  corps  placés  à  ciel  ouvert,  rayonnement  qui  n'est 
compensé,  |)endant  la  nuit,  que  par  le  rayonnement  des  couches 
supérieures  et  froides  de  l'atmosphère  et  par  le  rayonnement  des 


THÉORIE  DE  LA  ROSÉE.  481 

étoiles.  La  radiation  des  couches  supérieures  de  l'atmosphère  et  des 
étoiles  est  d'ailleurs  équivalente  à  celle  d'une  enceinte  dont  la  tem- 
pérature serait  extrêmement  basse;  en  eiïet,  les  températures  obser- 
vées durant  les  longues  nuits  des  régions  polaires,  bien  qu'elles  soient 
déjà  très-basses,  sont  cependant  plutôt  supérieures  qu'inférieures 
aux  températures  que  la  terre  atteindrait  si  l'action  solaire  était  sup- 
primée et  que  notre  globe  ne  reçût  plus  de  chaleur  que  des  étoiles. 
L'observation  montre  que  toutes  les  circonstances  favorables  au 
dépôt  de  la  rosée  sont  précisément  celles  qui  sont  favorables  au 
refroidissement  des  corps.  Ainsi ,  Wells  a  remarqué  que  la  rosée  est 
d'autant  plus  fréquente  et  qu'elle  se  dépose  avec  d'autant  plus 
d'abondance  :  i"*  que  les  corps  ont  un  plus  grand  pouvoir  émis- 
sîf  et  une  moindre  conductibilité  :  c'est  ce  que  montre  la  com- 
paraison des  quantités  de  rosée  déposées,  dans  une  même  nuit,  sur 
des  matières  végétales  et  sur  des  corps  métalliques  polis,  placés 
dans  le  voisinage;  q^  que  ces  corps  sont  en  échange  de  rayonnement 
avec  une  plus  grande  étendue  du  ciel  :  c'est  ce  que  prouve  l'influence 
préservatrice  des  édifices  voisins  et  des  abris  de  toute' nature;  3"^  que 
le  ciel  est  plus  pur  et  plus  serein  :  la  présence  d'un  nuage,  en  subs- 
tituant au  rayonnement  d'une  portion  de  la  voûte  céleste  celui  d'un 
corps  dont  la  température  est  la  même  que  celle  de  couches  atmos- 
phériques médiocrement' élevées,  tend  à  diminuer  le  refroidissement 
des  corps  placés  ù  la  surface  de  la  terre,  et  par  suite  la  quantité  de 
rosée  qui  se  dépose  à  la  surface  de  ces  corps. 

Des  expérience^  directes  de  Wells  établissent  d'ailleurs,  d'une  ma- 
nière manifeste,  l'influence  du  rayonnement  nocturne  sur  les  varia- 
tions  de  température  des  corps  placés  à  la  surface  du  sol.  —  Il  a 
constaté,  par  exemple,  que  la  température  d'un  thermomètre  posé 
sur  un  sol  rayonnant,  ou  plongé  dans  l'herbe,  ou  recouvert  de  fila- 
ments végétaux  ou  animaux,  s'abaisse,  pendant  les  nuits  claires  et 
sereines,  de  plusieurs  degrés  au-dessous  de  la  température  indiquée 
par  un  thermomètre  placé  dans  l'air  à  une  certaine  distance  du  sol. 
—  Lorsque  la  voûte  céleste  est  masquée  par  des  nuages,  cet  abais- 
sement de  température  est  moins  sensible,  et  peut  même  dispa- 
raître entièrement.  —  Lorsque  la  température  des  corps  placés  h  la 

Vbbdit,  ÎIÎ.  —  Cours  de  phys.  II.  '         3i 


483  PROPAGATION  DE  I,A  CHALEUR. 

siirfare  du  sot  descem)  au-dessous  de  ?.éTn,  In  rosée  est  remplacée 

par  la  gelée  blanche. 

Enfin ,  le  refroidissement  d'un  tliermomètre  placé  au  voisinage 
(lu  sol  s'e\agère  lorsqu'on  place  le  réservoir  de  ce  thermomètre  T 
(lifj.  5o(»^  au-dessus  d'un  miroir  métallique  poli  MN;  les  rayons 


émis  par  la  partie  AB  de  la  surface  du  sol  sont  en  elTet  remplacés 
alors  par  les  rayons  venus  de  la  voiUe  réleste  et  réfléchis  sur  le 
miroir,  —  L'effet  est  plus  grand  encore  lorsqu'on  emploie  un  ther- 
momètre différentiel  et  qu'on  place  les  deu\  réservoirs  R,  R'  de  re 
thermomètre  aux  foyers  de  deux  miroirs  concaves  MN ,  M'N'  {fig.  607). 
en  tournant  ces  miroirs  de  façon  que  te  résenoir  supérieur  B  soit 
protégé  contre  le  rayonnement  du  sol ,  et  que  le  résenoir  inférieur  R' 
soit  protégé  contre  le  rayonnement  des  espaces  célestes. 


CONDUCTIBILITÉ. 


657.  Ii»7«niieineiit  particulaire.  —  Il  est  manifeste  que 
>  la  forme  et  les  dimensions  des  corps  exercent  une  influence  sur  la 
propagation  de  la  chaleur  dans  ces  corps,  par  conductibilité.  — 
Dès  lors,  une  étude  purement  expérimentale  de  la  question,  envi- 
sagée au  point  de  vue  le  plus  général,  présenterait  une  complication 
•itréme. 

.  L'étude  analytique  du  phénomène ,  telle  qu'elle  a  été  faite  par 
Fourier,  repose  sur  les  deux  considérations  suivantes  :  i^  la  trans- 
mission graduelle  de  la  chaleur  indique  que  l'état  thermique  d'un 
point  n'a  d'influence  que  sur  l'état  des  points  très-voisins;  ^^  les 
points  les  plus  chauds  tendent  à  élever  la  température  des  points 
les  plus  froids,  et  réciproquement.  —  Ces  deux  faits  d'expérience, 
dont  l'énoncé  constitue  ce  qu'on  a  appelé  à  tort  Vkypothife  du  rayon- 
nement  particulatre,  peuvent  s'exprimer  analytiquement  en  admettant 
qu'un  élément  quelconque  du  corps  envoie  aUx  éléments  dont  la 
température  est  plus  basse  et  dont  la  distance  n'excède  pas  une 
certaine  limite,  très-petite  d'ailleurs,  une  quantité  de  chaleur 
qui  est  fonction  de  la  difl'érence  des  températures;  ou,  ce  qui 
revient  au  même,  que  cet  élément  reçoit  des  éléments  voisins  une 
quantité  négative  de  chaleur,  qui  est  fonction  de  l'excès  de  sa  tem- 
pérature sur  celle  de  ces  éléments.  Les  différences  de  température 
que  présentent  des  éléments  capables  de  s'influencer  réciproquement 
est  toujours  très-petite ,  è  cause  de  la  petitesse  des  distances  qui  les 
séparent  :  dès  lors,  on  peut,  au  moins  dans  une  première  approxi* 
mation.  considérer  les  quantités  de  chaleur  ainsi  envoyées  comme 
proportionnelles  aux  excès  de  températures;  le  coefficient  par  lequel 
s'exprime  cette  proportionnalité  sera  variable  avec  la  nature  du 
corps,  et  même  avec  la  direction,  dans  le  cas  le  plus  général.  — 
Cependant,  dans  les  fluides,  dans  les  corps  solides  non  cristallisés, 
et  dans  les  corps  cristallisés  qui  appartiennent  au  système  cubique, 
l'expérience  montre  que  la  transmission  de  la  chaleur  se  fait  de  la 

.3i. 


&u 


PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 


même  manière  en  lous  sens  :  les  phénomènes  de  conductibilité  ca- 
]orifi<]ue  ne  dépendent  donc  alors,  pour  chaque  corps,  que  d'un 
coeflicienl  caractéristique  de  ce  coq)s  lui-même,  et  des  lois  suivant 
lesquelles  sa  surface  rayonne  de  la  chaleur  vers  les  corps  qui  sont 
placés  à  une  certaine  distance,  nu  en  communique  aui  corps  qui 
sont  en  contact  avoc  pIIp, 


658.  Prap«g«ti«n  de  1»  chitlMir  dama  ■■■  tyl !■<■■!  d^Mt 
I»  Mirfikce  canvexe  est  Impermétthle  k  la  duUcwr.  —  Con-. 
sidérons  le  cas  idéal  d'un  cylindre  droit  dont  chacune  des  bases  est 
entretenue  à  des  températures  uniformes  et  constantes,  dont  la  sur- 
face convexe  est  uhsolument  imperméable  à  la  chaleur,  et  dont  la 
température  initiale  ne  dépend .  en  chaque  point .  que  de  la  distance 
à  Tune  des  hases, 

Pht  une  section  droite  M\  du  cylindre  (lig.  5o8).  il  passe,  en 
un  temps  Inlliilmont  court  df,  une  quantité  de  chaleur  qui  est  la 
somme  des  quantités  de  chaleur  émises 
par  les  éléments  situés  d'un  côté  de  MN 
vers  les  éléments  situés  de  l'autre  côté, 
à  une  distance  moindre  qn*une  limite 
di-tcrminée  et  très-petite.  Considérons, 
en  |iarliculier,  la  quantité  de  chaleur 
qu'un  élément  déterminé  m  envole  à 
un  autre  élément  m':  si  l'on  désigne 
par  i(  In  température  du  plan  MN  situé 
à  une  distance  :  de  la  hase  A,  et  par  e 
et  s  tes  distances  de  m  et  de  m' au  plan 
MN,  on  pourra,  en  vertu  de  la  petitesse 
iiter  les  températures  des  éléinenls  m  et  m' 


de  e  et  de  e,  repi 
pur  les  expressions 


du 


La  quanlilé  <le  rjialeur  envoyée  par  l'élémeDl  m  à  l'élét 


CONDUCTIBILITE.  /i85 

proportionnelle  à  l'excès  de  la  première  température  sur  la  seconde , 
c'csl-à-dire  à 

-'('  +  ')d-:' 

Lorsqu'on  fera  la  somme  de  toutes  les  expressions  de  ce  genre,  on 
pourra  mettre — 77  en  facteur  commun;  comme  d'ailleurs  la  quan- 
tité totale  de  chaleur  qui  traverse  la  seclion  MN,  en  un  temps  infi- 
niment court  (II,  est  «évidemment  proportionnelle  au  temps  (tl  et 
à  l'aire  s  de  la  section,  eile  pourra  se  représenter  par 

—  ksj-(lt, 

k  étant  un  coedicicnt  (jui  dépend  de  la  nature  du  cylindre.  Si  l'on 
suppose  que  ce  coeflTicient  soit  indépendant  de  la  température,  la 
quantité  de  chaleur  qui,  dans  le  môme  temps  dt,  traverse  une  sec- 
tion M'N\  infiniment  voisine  de  MN ,  sera  exprimée  par 

L'excès  de  la  première  expression  sur  la  seconde  représenterai  Ja 
quantité  de  chaleur  qui,  en  un  temps e/^  s'accumule  dans  la  tranche 
infiniment  mince  MNM'N',  et  qui  y  produit  la  variation  infiniment 

petite  de  température  -rr  dt.  —  En  désignant  par  C  la  chaleur  spé- 
cifique de  la  matière  du  cylindre  et  par  D  sa  densité,  il  est  facile  de 
voir  qu'on  aura 

c'est-à-dire,  toutes  réductions  faites, 

da k^  d*u 

dL~^CÎ>dz'' 

L'état  des  températures  sera  donc  stationnaire ,  si  l'on  a 

d*u 

et  réciproquement.  —  En  désignant  par  n  et  6  les  températures  in* 


486  PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 

variables  des  bases  A  et  B ,  on  conclut  de  là  que  la  loi  des  tempéra- 
tures stationnaires  est  représentée  par  la  formule 


a- h 
u-=a : —  Z  y 


e  étant  la  hauteur  totale  du  cylindre.  Ainsi  les  températures  des 

diverses  tranches  parallèles  aux  bases  décroissent  en  progression 

arithmétique,  lorsque  leur  distance  à  la  base  la  plus  chaude  croit 

en  progression  arithmétique. 

Lorsque  l'état  stationnaire  est  établi,  le  flux  de  chaleur  devient 

uniforme,  et  la  quantité  de  chaleur  qui,  pendant  l'unité  de  temps, 

traverse  un  plan  quelconque  parallèle  aux  bases  du  cylindre,  est 

exprimée  par 

I  du 

c'est-à-dire  par 

,  a  —  6 

ks • 

e 

659.  Coefllcleiit  de  c«iiductlblllté  intérieiire.  —  Eaaata 
de  détermliiatioii  directe.  —  Si  Ton  suppose  que,  dans  l'expres- 
sion précédente,  la  surface  de  la  section  s  du  cylindre  soit  égale  à 
l'unité,  et  si  l'on  suppose,  en  outre,  que  le  cylindre  ait  une  hauteurs 
égale  à  l'unité,  et  présente  entre  ses  deux  bases  une  différence  de 
température  a  — h  égale  à  l'unité,  on  voit  que  l'expression  précé- 
dente donne  la  valeur  de  la  quantité  k  elle-même.  De  là  cette  dé- 
finition précise  du  coefficient  de  conductibilité  intérieure  :  le  coefficient 
de  conductibilité  intérieure  est  la  quantité  de  chaleur  qui ,  pendant 
l'unité  de  temps,  traverse  l'unité  de  surface  de  la  section  droite  d'un 
cylindre  de  hauteur  égale  à  Tunilé,  dont  la  périphérie  est  imper- 
méable à  la  chaleur,  et  dont  les  bases  sont  entretenues  à  des  tem- 
pératures constantes,  difl*érant  l'une  de  l'autre  d'un  degré. 

Pour  déterminer  directement  le  coefficient  de  conductibilité, 
Dulong  a  proposé  une  méthode  qui  consiste  essentiellement  dans 
l'étude  de  la  propagation  de  la  chaleur  à  travers  une  enveloppe  sphé- 
rique  mince,  remplie  de  glace  et  plongeant  dans  de  l'eau  en  ébul- 
lition.  Si  Ton  désigne  par  p  le  poids  de  la  glace  fondue  en  un 


GONDUCTIBILITK.  487 

temps  T,  par*  ia  surface  de  la  sphère  et  par  e  son  épaisseur,  on  dé- 
termine k  par  l'équation 

I  OO  A.ST  r 

m 

En  effet,  l'épaisseur  de  la  couche  sphérique  étant  assez  faihie  pour 
qu'on  puisse  négliger  la  différence  d'étendue  de  sa  surface  exté- 
rieure et  de  sa  surface  intérieure,  et  la  propagation  de  la  chaleur 
n'étant  possible  que  dans  la  direction  normale  à  ces  deux  surfaces, 
on  peut  appliquer  les  formules  du  problème  précédent.  —  Cette 
expérience ,  qui  présenterait  tous  les  inconvénients  attachés  à  l'em- 
ploi du  calorimètre  de  glace  pour  la  détermination  des  chaleurs  spé- 
cifiques (94),  n'a  jamais  été  réalisée. 

Péclel  a  essayé  de  résoudre  cette  même  question  en  opérant  sur 
deux  masses  d'eau  séparées  l'une  de  l'autre,  soit  par  une  lame 
mince  conductrice  de  grande  étendue,  soit  par  une  enveloppe 
cylindrique  ou  sphérique  d'épaisseur  uniforme.  L'une  des  masses 
était  entretenue  à  une  température  constante  T,  et  Ton  observait 
les  variations  de  température  de  l'autre.  —  Si  l'on  représente  par  m 
le  poids  de  la  masse  d'eau  à  température  variable,  par  0^  sa  tempé- 
rature initiale,  par  0^  sa  température  finale,  par  t  la  durée  de  l'ex- 
périence, enfin  par  «et  c  la  surface  et  l'épaisseur  de  l'enveloppe,  on 
a  approximativement .  pourvu  que  d„  et  d^  ne  diffèrent  pas  trop  l'un 
de  l'autre , 


'^(T-*-^)=m(d.-e„). 


Dans  celte  manière  d'opérer,  Péclet  a  rencontré  une  difficulté  résul- 
tant de  ce  qu'il  reste  toujours  une  couche  d'eau  adhérente  à  chacune 
des  deux  surfaces  de  la  lame  :  ces  deux  couches  opposent  une  telle 
résistance  au  passage  de  la  chaleur,  que  la  quantité  de  chaleur  trans- 
mise devient  très-petite  et  est  à  peu  près  indépendante  de  la  nature 
et  de  l'épaisseur  de  la  lame  conductrice.  On  cherche  à  éviter  cet 
inconvénient  au  moyen  d'une  disposition  mécanique,  consistant  dans 
l'emploi  de  brosses  qui  sont  mises  en  mouvement  de  manière  à  venir 
frotter  incessamment  les  deux  surfaces  de  la  lame. 


CONDUCTIBILITÉ.  487 

teihps  T,  par  «  la  surface  de  ia  sphère  et  par  e  son  épaisseur,  on  dé- 
termine A'  par  l'équation 

I  OC)  ^.VT  r 

• 

En  effet,  l'épaisseur  de  la  couche  sphériquc  étant  assez  faible  pour 
qu'on  puisse  négliger  la  différence  d'étendue  de  sa  surface  exté- 
rieure et  de  sa  surface  intérieure,  et  la  propagation  de  la  chaleur 
n'étant  possible  que  dans  la  direction  normale  à  ces  deux  surfaces, 
on  peut  appliquer  les  formules  du  problème  précédent.  —  Cette 
expérience,  qui  présenterait  tous  les  inconvénients  attachés  à  l'em- 
ploi du  calorimètre  de  glace  pour  la  détermination  des  chaleurs  spé- 
cifiques (94),  n'a  jamais  été  réalisée. 

Péclet  a  essayé  de  résoudre  cette  même  question  en  opérant  sur 
deux  masses  d'eau  séparées  l'une  de  l'autre,  soit  par  une  lame 
mince  conductrice  de  grande  étendue,  soit  par  une  enveloppe 
cylindrique  ou  sphérique  d'épaisseur  uniforme.  L'une  des  masses 
était  entretenue  à  une  température  constante  T,  et  l'on  observait 
les  variations  de  température  de  l'autre.  —  Si  l'on  représente  par  m 
le  poids  de  la  masse  d'eau  à  température  variable,  par  0^  sa  tempé- 
rature initiale,  par  0^  sa  température  finale,  par  t  la  durée  de  l'ex- 
périence, enfin  par  s  et  c  la  surface  et  l'épaisseur  de  l'enveloppe,  on 
a  approximativement ,  pourvu  que  6„  et  9i  ne  diffèrent  pas  trop  l'un 
de  l'autre , 

Dans  cette  manière  d'opérer,  Péclet  a  rencontré  une  difficulté  résul- 
tant de  ce  qu'il  reste  toujours  une  couche  d'eau  adhérente  à  chacune 
des  deux  surfaces  de  la  lame  :  ces  deux  couches  opposent  une  telle 
résistance  au  passage  de  la  chaleur,  que  la  quantité  de  chaleur  trans- 
mise devient  très-petite  et  est  à  peu  près  indépendante  de  la  nature 
et  de  l'épaisseur  de  la  lame  conductrice.  On  cherche  à  éviter  cet 
inconvénient  au  moyen  d'une  disposition  mécanique ,  consistant  dans 
l'emploi  de  brosses  qui  sont  mises  en  mouvement  de  manière  à  venir 
frotter  incessamment  les  deux  surfaces  de  la  lame. 


CONDUCTIBILITÉ.  A89 

représenter  par 

La  quantilë  de  chaleur  qui,  dans  le  même  temps  dt,  traverse  la  sec- 
tion infiniment  voisine  M'N',  aura  pour  expression 

Enfin,  la  quantité  de  chaleur  qui,  dans  le  même  temps,  se  dissipe 
par  la  surface  convexe  du  cylindre  infînitésimal  MNM'lN'  sera,  en 


Kiç.  509. 

désignant  par  p  le  périmètre  de  la  section  de  la  barre  et  par  h  le 
coefTicient  constant  qui  entre  dans  l'expression  de  la  loi  de  Newton , 
ou  coefficient  de  conductibilité  extérieure, 

hpdxudt. 

Le  cylindre  MNM'N'  ne  devant  éprouver  aucun  gain  ni  aucune 
perte  de  chaleur,  lorsque  Tétat  de  la  barre  tout  entière  est  devenu 
stationnaire ,  on  a 

-  ks-j-dt  +  ks  (jr4- j-i  dx\dt  —  hpudxdt=  o, 
d'où  Téquation  différentielle 

dx^      ks     ~" 
Cette  équation  a  pour  intégrale  générale 

en  posant  a^  =  1^1  et  en  désignant  par  M  et  N  deux  constantes  qui 

dépendent  des  conditions  relatives  aux  extrémités.  De  là  on  conclut 
que,  si  Ton  représente  par  i#, ,  U2,  M|  les  excès  de  température  de 


490        PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 

trois  points  équidistaiits ,  situés  aux  distances  x  —  I,  x  et  X'\-  i  de 
l'extrémité  A ,  le  quotient 

a, -4-  u^ 

ne  dépend  que  de  l'intervalle  /,  car  on  reconnaît  facilement  que  ce 
quotient  n'est  autre  chose  que 

Donc,  si  l'on  pose-' -=  aw,  il  vient 

e"' +  €'"'  =  fin. 
De  là  on  tire 

ou  bien 

ce  qui  donne  pour  a.  c'est-à-dire  pour  l'expression  l/jp^  la  valeur 


V'b'-ÎK.+V^)- 


Si  maintenant  on  considère  une  barre  d'une  autre  nature,  ayant 
même  périmètre  et  même  section ,  et  qu'on  donne  aux  deux  barres 
la  même  conductibilité  extérieure  en  recouvrant  les  deux  surfaces 
d'un  enduit  convenable,  on  aura 


^»8_4i(„.+s/„---;). 


Dès  lors,  on  voit  que  si  l'on  parvient  à  déterminer  expérimentale- 
ment les  valeurs  des  quantités  n  et  n\  on  en  pourra  conclure  la  va- 

leur  du  rapport  ^  •  — C'est  par  cette  méthode  qu'on  a  évalué  les 

rapports  des  conductibilités  des  principaux  métaux. 

661.  Détermination  indirecte  des  eoeflleients  de  eon- 
duetiliilité. —  Expérienees  de  Desprets* —  Pour  appliquer  la 
méthode  dont  on  vient  d'indiquer  le  principe,  Despreti  employait 


CONDUqr|IBILITÉ.  i91 

des  barres  métalliques  de  diverses  natures,  chauffées  à  Tune  de 
Ifiurs  extrémités  A  par  uneiampe  (fi^.  5io),  et  percées  de  petite!^  ca- 


vités équidistaiites  qui  contenaient  du  mercure  et  dans  lesquelles 
plongeaient  les  réservoirs  de  thermomètres  (,  (',  f,  etc.  Sur  la  sur- 
face de  toutes  les  barres,  on  avait  appliqué  un  enduit  de  noir  de 
fumée  qui  leur  donnait  à  toutes  le  mime  coefficient  de  conductibi- 
lité extérieure. 

Pour  chaque  barre  en  particulier,  l'observation  des  thermomètres 

permettait  de  constater  la  constance  du  rapport  -^ ^<   en  prenant 

dans  la  longueur  de  la  barre  un  groupe  quelconque  de  trois  ther- 
momètres consécutifs.  —  La  comparaison  des  valeurs  de  ce  même 
rapport  pour  des  barres  de  diverses  natures  donnait,  comme  il  a  été 
dit  (660),  les  rapports  des  coefTicients  <le  conductibilité  des  corps  qui 
les  constituaient. 

662.   Expériencea   de     nn.  Wledcin»nii   et  Franst   — 

Uans  les  expériences  de  MM.  Wiedeinann  et  Franz,  fondées  sur  le 
même  principe  que  celles  de  Despretit.  les  barres  métalliques  avaient 
été  argentées  par  la  fjaivanoplaslie  et  polies  :  on  admettait  alors 
qu'elles  avaient  même  conductibilité  extérieure.  Dans  chaque  expé- 
rience, la  barre,  placée  en  AB  (fig.  ôi  i),  était  enfermée  dans  une 
cloche  de  verre  vide  d'air  CC;  la  cloche  était  elle-même  placée 
dans  un  bain  à  température  constante.  L'une  des' extrémités  de  la 
barre  était  chauffée  dans  une  [letitc  éinve  MIN,  parcourue  par  un 


Sn  PROPAGATION  UË  LA  CHALEUR, 

courant  de  vapeur  d'eau  qui  arrivait  par  le  tube  T  et  s'échappait 
par  le  tube  S.  Enfin,  une  pince  thermométrique  P,  fixée  à  l'extré- 
mité  d'un  tube  de  verre  V  mobile  dans  une  botte  à  étoupee  E,  pou- 


Fij.S.,. 

vall  être  amenée  successivement  au  contact  des  divers  points  de  la 
barre,  de  manière  à  donner  les  températures  de  ces  points  au  moyen 
des  déviations  d'un  galvanomètre  placé  dans  le  circuit. 

Le  tableau  suivant  contient  les  résultats  de  ces  expërient-es.  — 
On  a  représenté  par  loo  le  coefficient  de  conductibitilé  de  l'argent, 
qui  est  le  métal  le  plus  conducteur. 

Argeul 100 

Cuivre ■jh 

Or. 63 

ÉUÎR i5 

Fer t% 

Plomb 9 

Platine 8 

PaUBdiuiii 6 

Bismuth a 

Pour  les  divers  métaux ,  les  conductibilités  caloriiiques  se  classent 
ainsi  dans  le  même  ordre  que  les  conductibilités  électriques  :  îl  est 
probable  que  les  rapports  de  ces  deui  sortes  de  conductibilité  seraient 
absolument  constants,  si  les  échantillons  d'un  même  métal  sur  les- 
quels on  les  détermine  étaient  absolument  identiques. 


CONDUCTIBILITÉ.  493 

663.  Détermination  des  constantes  M  et  N  de  la  formule 

théorique.  —  Si  Ton  se  reporte  à  la  formule  qui  a  été  établie  plus 
haut  (660), 

on  voit  que,  dans  les  expériences  qui  ont  été  décrites  en  dernier 
lieu,  celle  des  deux  extrémités  de  la  barre  qui  est  chauffée  possède, 
par  rapport  au  milieu  ambiant,  un  excès  de  température  qui  est 
constant,  et  égal  à  une  valeur  donnée  u^  :  donc,  pour  J7=  o,  on  a 

—  A  la  seconde  extrémité  de  la  même  barre,  il  est  nécessaire  que  le 
flux  intérieur  de  chaleur  soit  égal  ù  la  quantité  de  chaleur  qui  se 
dissipe  par  la  conductibilité  extérieure  de  la  base  du  cylindre  :  donc , 
pour  .r  =  /,  on  a 

ks^^  +  hsu=o, 

c'est-à-dire 

k(M^'''-Ne-"')  +  /4(Me«'  +  Ne-«')-=o. 

De  ces  deux  relations  on  déduit 

r 

,,  -(li-ak)u^e-"' 

M  = : -: -: 1" T.r 


N 


(h-^ak)e"^-[h-ak)e-'" 
(h-hak)uy' 


(li-\-ak)e'''-(h-ak]e-"' 

et  il  est  évident  que,  si  e"'  est  très-grand,  ces  valeurs  se  réduisent 
sensiblement  à 

iM=o,  N  =  w,,. 

On  aura  donc 

c'est-à-dire  que  les  excès  de  température  iront  en  décroissant  en 
progression  géométrique,  toutes  les  fois  que  la  barre  sera  très- 
longue,  ou  d'un  très-petit  diamètre,  ou  très-peu  conductrice,  car 
ces  diverses  conditions  tendent  à  augmenter  la  valeur  de  l'expression 
e"^' —  Cette  loi  simple  s'était  manifestée  dans  des  expériences  de 


kU  PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 

Biot,  antérieures  à  celles  de  DespreU,  et  effectu(^s  sur  des  barres 
de  grande  longueur. 

66^.  Appllcatloa  à  r«pp»rell  iI'ImkcmIésub.  —  Dans  l'ap- 
pareil d'Ingenbouz,  des  tiges  formées  de  diverses  substances  et  cou- 
vertes de  cire  étant  fixées  par  une  de  leurs  extrémités  dans  la  paroi 
d'une  botle  pleine  d'eau  chaude  (fij;.  5  i  a),  on  observe  que  la  cire 


tond,  sur  les  diverses  tiges,  jusqu'à  des  distances  variables  de  l'extré- 
mité chaulfée.  Or,  si  ces  tiges  ont  un  diamètre  suffisamment  petit, 
les  excès  de  température,  en  des  points  situés  à  des  dislances  de  la 
botle  croissant  en  progression  arithmétique,  formeront,  sur  chacune 
d'elles,  une  progression  géométrique  décroissante;  et ,  en  désignant 
par  X,  x' ,  x",  etc..  les  longueurs  dans  lesquelles  la  cire  sera  fondue 
sur  les  liges  successives,  on  aura 


=  e         —e 


Les  sections  des  tiges  étant  égales  entre  elles,  et  leurs  surfaces 
étant  toutes  recouvertes  de  cire  fondue,  ce  qui  assure  l'identité  des 
conductibilités  extérieures,  on  aura,  en  élevant  toutes  ces  équations 
au  carré  et  tenant  compte  de  la  relation  générale  "'  =  r^' 

.r'      x" ^"_ 

c'est-i^-dire  que  les  conductibilités  des  diverses  substances  soumises 
à  l'expérience  sont  proportionnelles  aux  carrés  des  longueurs  sur  les- 
quelles la  cire  aura  été  fondue. 


CONDUCTIBILITÉ. 


&95 


665.   ConduetlMlit«   4e*    tmrpm  malMeu  trtmUMtmém.  — 

Pour  étudier  la  conductibîiité  que  présentent ,  dans  diverses  di- 
rections, les  corps  solides  cristallisés,  de  Senarmonl  employait  des 
plaques  tnillées  parallèlement  aux  deux  directions  sur  lesquelles 
devait  porter  l'expérience.  Une  petite  ouverture,  pratiquée  au  centre 
de  la  plaque  AB  (fig.  5i3), 
et  dans  laquelle  on  introdui- 
sait une  pointe  métallique 
placée  à  l'exlréniité  d'une  tige 
ST  que  l'on  chauffait  en  C, 
permettait  de  produire  en  ce 
point  une  élévation  de  tem- 
pérature :  la  chaleur  se  com- 
muniquait progressivement  aux  régions  voisines  et  faisait  Tondre  la 
cire  sur  la  plaque,  dans  un  espace  de  forme  et  d'étendue  variables 
selon  la  nature  de  la  plaque  elle-même  et  selon  la  direction  de  ses 
faces. 

Lorsque  le  bourrelet  circonscrivant  l'espace  oii  la  cire  était  fondue 
avait  une  forme  circulaire  (lig.  5ii,  A),  on  en  pouvait  conclure 
que  la  conductibilité  était  la  mâme-dans  toutes  les  directions.  Une 
forme  fUiplique  du  bourrelet  (fîg.  5 1  ^i,  G)  accusait  au  contraire  une 


variation  de  conductibilité  dans  les  diveriies  directions,  autour  de 
l'ouverture.  —  En  opérant  avec  une  plaque  mi-partie  des  deux 
substances  (fig.  5iâ,  B),  on  observait  une  discontinuité  dans  la 
courbe  formée  par  le  bourrelet ,  aux  points  mêmes  où  il  y  avait  dis- 
continuité dans  la  substance  de  la  plaque. 

Les  lois  fournies  par  ces  expériences  peuvent  se  résumer  comme 
il  suit  : 

1°  Hans  les  corps  non  cristallisés,  ou  dans  les  cristaux  apparte- 
nant au  système  cubique,  la  conductibilité  est  la  même  en  tous 
sens. 


496  PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 

a"  Dans  les  cristaux  des  autres  systèmes,  la  conduclihilité  est 
variable  avec  ia  direction. 

3°  En  outre,  dans  les  cristaux  à  un  axe  optique,  la  conductibilité 
est  la  même  suivant  des  directions  également  inclinées  sur  l'axe. 

666.  VonducUblllté  des  «wp«  "«wl<lM.  —  L'étude  de  la 
conductibilité  des  corps  liquides  présente  des  difficultés  particulières, 
à  cause  de  l'influence  qu'exercent  toujours  les  courants  moléculaires 
sur  la  communication  de  la  chaleur  dans  les  divers  points  de  la 
masse.  Cependant  la  conductibilité  propre  des  liquides  peut  être 
mise  hors  de  doute  en  échauffant  par  la  partie  supérieure  !e  liquide 
soumis  à  l'expérience. 

Despretz  opérait  sur  une  cuve  cylindrique  de  bois  B  (fig.  5i&), 
contenant  de  l'eau  :  la  paroi  de  la  cuve  recevait,  par  des  ouvertures 


ll^^^^H 


qui  y  avaient  été  pratiquées,  des  thermomMros  dont  les  réservoirs 
plongeaient  dans  des  couches  horizontales  équidistantes;  à  la  partie 
supérieure,  se  trouvait  un  vase  métallique  A  plonjjeant  dans  l'eau 
de  la  cuve;  dans  ce  vase  A,  on  amenait  un  courant  d'eau  chaude, 
incessamment  renouvelé  par  le  système  des  tubes  S  el  T.  —  L'élé- 
vation de  température  des  thermomètres  successifs  accusa  la  propa- 
gation de  la  chaleur  dans  la  masse  liquide.  Lorsque  l'élat  slalionnaire 


CONDUCTIBILITE. 


497 


fui  établi,  ce  qui  n'eut  lieu  qu'au  bout  de  plusieurs  heures,  les 
excès  de  températures  des  thermomètres  successifs  sur  la  température 
ambiante  formèrent  une  propression  fjéométricpic  décroissante. 

667.  Conductibilité  des  saz* —  Dans  les  gaz,  c'est  presque 
uniquement  par  les  courants  moléculaires  que  la  chaleur  commu- 
niquée à  certains  points  se  transmet  dans  la  masse.  —  Néanmoins 
l'expérience  suivante,  qui  est  due  à  M.  Magnus,  prouve  que,  parmi 

les  divers  gaz,  l'hydrogène  au  moins 
a  une  conductibilité  propre  qui  est 
parfaitement  appréciable. 

Un  vase  de  verre  AB  (fig.  5 16) 
était  chauffé  par  sa  partie  supé- 
rieure, au  moyen  d'une  masse 
d'eau  dans  laquelle  on  amenait  un 
courant  de  vapeur  d'eau  bouillante 
par  le  tube  PC;  dans  ce  vase  était 
placé  le  réservoir  g  d'un  thermo- 
mètre^, protégé  par  un  écran  00 
contre  le  rayonnement  direct  de  la 
paroi  échauffée;  enfin  le  vase  com- 
muniquait par  sa  partie  inférieure 
avec  une  machine  paeumdtique. 
L'appareil  était  installé  dans  un 
laboratoire  maintenu  à  la  température  de  1 5  degrés,  de  façon  que 
l'on  pût  compter  sur  l'identité  des  températures  ambiantes,  pendant 
toute  la  série  des  expériences.  —  Le  vase  AB  étant  vide  de  gaz,  la 
conductibilité  des  parois  et  le  rayonnement  communiquaient  au 
thermomètre  une  certaine  élévation  de  température,  que  l'on  déter- 
minait avec  soin.  On  introduisait  ensuite  divers  gaz  dans  ce  vase, 
sous  diverses  pressions,  et  Ton  effectuait  les  mêmes  déterminations, 
en  écartant  scrupuleusement  toutes  les  causes  accidentelles  de  va- 
riations de  température.  Les  résultats  obtenus  par  M.  Magnus  peu- 
vent être  résumés  de  la  manière  suivante  ^'^  : 

^^  (ie  résumé  est  extrait  do  l'analyse  du  travail  de  M.  Magnus,  donnée  par  VoiiIpI 
dans  les  Annale»  de  Chimie  et  de  Phjnifjve  (t  861 ,  3'  série,  I.  LXl ,  p.  38o). 

Vkrdet,  ni.  —  Cours  de  phys.  H.       .  3-» 


Fig.  5i6. 


A98  PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR. 

1°  L'élévation  de  température  du  thermomètre  au-dessus  du  mi- 
lieu ambiant  est  plus  grande  quand  le  vase  contient  de  l'hydrogène 
que  lorsqu'il  est  vide;  elle  est  d'autant  plus  considérable  que  le  gaz 
est  amené  à  une  densité  plus  grande. 

î2°  Au  contraire,  l'élévation  de  température  est  constamment 
moindre  dans  les  autres  gai  que  dans  le  vide;  elle  est  d'ailleurs 
décroissante  quand  la  pression  du  gaz  augmente. 

3°  De  ce  dernier  résultat,  on  ne  doit  pas  conclure  que  les  gaz 
autres  que  l'hydrogène  sont  dépourvus  de  toute  conductibilité,  mais 
simplement  que  l'effet  de  leur  pouvoir  absorbant  est  supérieur  à 
celui  de  leur  conductibilité. 

A"*  La  remarquable  conductibilité  de  l'hydrogène,  qui  rapproche 
ce  gaz  dos  métaux,  se  manifeste  aussi  bien  quand  le  gaz  est  gêné 
dans  ses  mouvements,  par  de  l'édredon  ou  par  d'autres  substances 
filamenleuses,  que  lorsqu'il  est  libre. 


iS 


TABLE  DES  MATIERES. 


ÉLASTICITÉ   ET   ACOUSTIQUE. 


NOTIONS  GÉNÉRALES. 

Pages. 

De  rëlaslicité  en  général i 

Des  mélhodes  employées  dans  Tétude  de  rëlaslicité a 

Du  but  spécial  qu'on  se  proposera  dans  Tétude  de  T Acoustique  en  particulier 3 

DU  soif  ET  DE  SES  CARAClèRKS. 

Définitions 3 

Un  son  est  toujours  produit  par  un  mouvement  vibratoire A 

Le  son  ne  peut  être  perçu  par  Toreille  qu'autant  qu'il  lui  est  transmis  par  une  suite 

continue  de  milieux  pondérables 5 

L'intensité  du  son  dépend  de  l'amplitude  des  vibrations 5 

La  hauteur  du  son  dépend  du  nombre  des  vibrations  exécutées  en  un  temps  déter- 


•   t 


mme 5 

Vibrations  complètes  ou  oscillations  doubles 7 

Roues  dentées  de  Savart 8 

Sirène  de  Cagniard  de  Latour 8 

La  périodicité  du  mouvement  est  le  seul  élément  nécessaire  à  la  perception  de  la 

hauteur 10 

Détermination  du  nombre  absolu  des  vibrations  effectuées  en  un  temps  déterminé .  1 1 

Détermination  du  rapport  des  nombres  de  vibrations  de  deux  sons.  —  Sonomètre. .  1  h 

Limites  des  sons  perceptibles 1 6 

VALEURS  NUMERIQUES  DBS  PRINCIPAUX  INTERVALLES  MUSICAUX. 

Intervalles  musicaux.  —  Gonsonnances  et  dissonances 1 5 

Accords  parfaits - 16 

Gammes 17 

39. 


500  TABLE  DES  MATIERES. 


PROPAGATION  ET  PRODUCTION  DU  SON  DANS  LES  GAZ. 

PROPAGATION  DU  MOI  fEMEM  VIBRATOIRE  DANS  LES  GAZ. 

Pages. 

Propagation  d^un  ébranlement  unique  dans  un  tuyau  cylindrique  indéfini  de  petit 

diamètre «j  o 

Propagation  d'un  mouvement  \ibratoire  quelconque  dans  un  tuyau  cylindrique 

indéfini ai 

Cas  particulier  d'un  mouvement  vibratoire  dans  lequel  chaque  vibration  peut  se 

décomposer  en  deux  oscillations  contraires,  symétriques  Tune  de  l'autre a  a 

Propagation  dans  un  milieu  indéfini  en  tous  sens 97 

Valeur  théorique  de  la  vitesse  de  propagation  du  son  dans  les  gaz 38 

Résultais  fournis  par  l'expérience 3o 

Interférences  des  mouvements  vibratoires  qui  produisent  les  sons 33 

RÉFLEXION  ET  RÉFRACTION  DU  SON. 

Réflexion  d'un  ébranlement  à  l'extrémité  fermée  d'un  tuyau 3/i 

Réflexion  d'un  ébranlement  à  l'extrémité  ouverte  d'un  tuyau 35 

Efiels  produits,  dans  les  tuyaux,  par  la  superposition  de  Tonde  directe  et  de  l'onde 

réfléchie.  —  Nœuds  fixes  et  ventres  fixes 37 

Réflexion  dans  un  espace  indéfini hi 

Effets  produits  par  la  superposition  des  ondes  directes  et  des  ondes  réfléchies,  dans 

un  espace  indéfini Ui 

Réfraction  du  son U3 

PRODUCTION  DU  SON  PAR  LES  GAZ. 

Tuyaux  sonores /i  3 

Lois  expérimentales  relatives  aux  tuyaux  sonores /i5 

Théorie  des  tuyaux  sonores. . /17 

Vitesse  du  son  dans  les  gaz,  déduite  des  formules  relatives  aux  tuyaux  sonores.  ...  5o 
Conséquences  relatives  au  rapport  des  deux  chaleurs  spécifiques  des  gaz  et  aux  quan- 
tités de  chaleur  qui  correspondent  à  do  petites  variations  de  volume 5a 

Loi  relative  aux  sons  rendus  par  les  tuyaux  dont  les  diverses  dimensions  sont  des 

grandeurs  de  même  ordre 53 

Tuyaux  à  anches 53 


COMPRESSIBILITÉ  DES  LIQUIDES. 

Influence  des  variations  de  volume  des  vases  dans  l'étude  de  la  compressibilité  des 

liquides 55 

Expériences  propres  à  constater  la  compressibilité  des  liquides,  sans  la  mesurer. . .  56 

Expériences  dans  lesquelles  on  a  tenté  de  mesurer  la  compressibilité  des  liquides. .  58 

Expériences  de  M.  Regnault 5^ 


TABLE  DES  MATIÈRES.  501 


PROPAGATION  ET  PRODUCTION  DU  MOUVEMENT  VIBRATOIRE 

DANS  LES  LIQUIDES. 

Valeur  théorique  de  la  vitesse  de  propagation  du  son  dans  les  liquides. 63 

Détermination  expérimentale  de  la  vitesse  de  propagation  du  son  dans  fcau.  — 

Expériences  de  M.  Golladon 63 

Production  du  son  par  les  liquides.  —  Expériences  de  Cagniard  de  Lalour  et  expé- 
riences de  Wertheim , 66 

Réfraction  du  son  à  la  surface  de  séparation  d'un  liquide  et  d'un  gaz 66 


ELASTICITE  DES  CORPS  SOLIDES. 

Caractères  distinctifs  de  Tétat  fluide  et  de  Tétat  solide 67 

Caractères  particuliers  que  présente  Tétude  de  Télaslicité  dans  les  corps  solides.  ...  68 

Compressibilité  cubique 69 

Etude  expéiimentale  des  allongements  produits  sur  les  fils  par  la  traction 69 

Valeurs  des  coeflicients  d'élasticité  de  traction 70 

Limite  d'élasticité 71 

Contraction  transversale  accompagnant  l'allongement  produit  par  la  traction 73 

Compression  longitudinale 73 

Flexion 7Û 

Torsion.  —  Expériences  de  Coulomb 76 

Expériences  de  Wertheim 77 

Considérations  générales.  —  Coeflicients  fondamentaux  de  la  théorie  de  Télasticilé.  78 


PROPAGATION  ET  PRODUCTION  DU  SON  DANS  LES  SOLIDES. 

PROPAGATIONS   DU   SON   DANS  LES  SOLIDES. 

Propagation  du  son  dans  une  tige  de  petit  diamètre,  ébranlée  parallèlement  à  sa 

longueur.  —  Formule  de  Laplace 8îi 

Expériences  relatives  à  la  vitesse  du  son  dans  les  tiges  solides  d'une  grande  longueur.  83 

Propagation  du  son  dans  une  masse  solide  indéfinie 83 

PRODUCTION  DU  SON  PAR  LES  CORPS  SOLIDES. 

Vibrations  longitudinales  des  solides  ayant  de   petites  dimensions  transversales 

(  verges  ou  cordes) 84 

Mesure  de  la  vitesse  du  son  dans  les  solides  et  du  coeflicient  d'élasticité ,  au  moyen 

des  vibrations  longitudinales 85 

Vibrations  tournantes  des  verges  et  des  cordes 87 

Vibrations  transversales 87 

Vibrations  transversales  des  cordes 88 

Relation  entre  les  vibrations  transversales  et  les  vibrations  longitudinales  d'une  même 

corde 90 

Vibrations  transversales  des  verges 91 


502  TABLE  DES  MATIÈRES. 

Pages. 

VibralioDS  transversales  des  plaques 96 

Vibrations  des  membranes q5 

Vibrations  des  corps  cristallisés 96 


PHÉNOMÈNES  PRODUITS  PAR  LA  SUPERPOSITION  DES  MOUVEMENTS 

VIBRATOIRES. 

Du  renforcement  des  sons  en  général .  . 98 

Des  battements  et  du  son  résultant 99 

Représentation  graphique  du  phénomène  des  battements ,  au  moyen  du  phonanto- 

graplie io3 

Coexistence  de  plusieurs  mouvements  dans  un  même  corps  sonore 106 

Coexistence  de  deux  mouvements  perpendiculaires  entre  eux,  dans  une  verge  de 

section  rectangulaire 1 0/1 

Etude  optique  des  mouvements  vibratoires.  —  Expériences  de  M.  Lissajous 107 


NOTES  COMPLÉMENTAIRES 

RELATIVES  À  DIVERSES  QUESTIONS  D'ACOUSTIQUE. 


NOTE  A. 

Sur  les  olTets  des  réflexions  multiples  du  son  dans  un  tuyau 109 

NOTE  D. 

Sur  la  compressibilité  des  liquides 1 1  /i 

NOTE  G. 

Sur  uni*  loi  générale  des  mouvemenUs  vibratoires 1 1 5 

WOTE  D. 

Sur  II»  renrorcement  des  sons 1 1 7 

>OTE  E. 

Sur  révalualion  numéri(|uc  des  sons  par  les  battements i*jo 

NOTE  r. 
Sur  la  (nnip(»ilion  di»>  niouvcmonls  vibratoires  rorlangulairoî» ' 1 9  1 


TABLK  DKS   MATIÈRES.  f.03 


OPTIQUE. 


PItOPAUATION  RECTILIGNË  DE  LA  LUMIERE. 

Page». 

Détiiiilions taô 

Propagation  reclilignc  de  la  lumière 1 35 

Chambre  obscure 126 

Vitesse  de  la  lumière 137 

Conclusions  générales 137 

PHOTOMÉTRIË. 

Comparaison  des  intensités  lumineuses 1 38 

Loi  du  cosinus 1  s8 

Loi  du  carré  des  distances 139 

Eclat  intrinsèque  et  éclat  total  d^une  source  lumineuse.  —  Objet  de  la  photométrie.  1 3o 
Méthode  générale  de  comparaison  des  éclats  intrinsèques  de  deux  sources  lumi- 
neuses   1 3  f 

Photomètre  de  Foucault 1 33 

Photomètre  de  Runiford ...  1 33 


RÉFLEXION  DE  LA  LUMIERE. 

Lois  de  la  réflexion 1 36 

niPLBXIOlf  PAR  LES  SURPACBS  PLAIIBS. 

Application  des  lois  de  la  réflexion  aux  phénomènes  ofleris  par  les  miroirs  plans. ...  i35 

Mesure  des  angles  dièdres  des  cristaux 1 39 

R^PLBXION  PAR  LBS  SURFACES  COVRBBS. 

Réflexion  des  rayons  émanés  d^un  point  lumineux  par  les  miroirs  courbes  de  formes 

quelconques 1  /i  1 

Miroirs  sphériques  concaves 1  /i3 

Miroirs  sphériques  convexes 1 65 

Cas  où  le  point  lumineux  est  situé  hors  de  Taxe  du  miroir,  à  une  petite  distance. ...  1 45 

Aberration  longitudinale  et  aberration  latérale 167 

Mesure  du  rayon  de  courbure  d^un  miroir  sphérique * 168 

RÉFRACTION  DE  LA  LUMIÈRE. 

Phénomène  de  la  rétraction 1 5o 

Lois  de  Descartes 1 5o 

Principe  des  procédés  employés  pour  vérifier  les  lois  de  la  rétraction 1 5o 


504  TABLE.  DES  MATIÈRES. 

Pages. 

Procédé  crAl-llazen i  5 1 

Procédé  de  Kepler i  îm 

Proci'dé  de  Descaries 162 

Procédé  de  Xewloii 1 52 

Remarque  générale  sur  les  procédés  précédents i5^^ 

Réfraction  par  une  lame  à  faces  parallèles.  —  Principe  du  retour  inverse  des  rayons 

lumineux 1 5/1 

Réfraction  par  plusieurs  lames  parallèles  consécutives i55 

Réfraction  par  un  prisme 1 56 

Réflexion  totale 1 59 

HÉFBACTION  PAR  LES  SURFACES  COI  RBES. 

Réfiaclion  par  une  surface  sphérique 160 

Réfraction  par  une  lentille 162 

Des  diverses  espèces  de  lentilles 1 63 

Lentilles  convergentes 1 6/i 

Lentilles  divergentes 1 65 

Eflets  des  lentilles  sur  les  rayons  émanés  d'un  point  situé  hors  de  Taxe i65 

Centre  optique 1 66 

Détermination  du  foyer  correspondant  à  un  point  lumineux  voisin  de  Taxe 167 

Images  des  objets  dont  les  points  sont  peu  distants  de  Taxe 1 70 

Mesure  des  distances  focales  principales  des  lentilles 171 

Aberration  des  lentilles.  —  Lentilles  à  échelons 178 


r  r 


THEORIE  GENERALE  DES  CAUSTIQUES. 

Lemme  préliminaire 175 

Théorème  fondamental  de  la  théorie  de  la  réfraction  et  de  la  réflexion  (théorème  de 

Gergonne) 176 

Conséquences  du  théorème  précédent 1 78 

Images  par  réfraction  ou  par  réflexion 179 

Application  à  la  théorie  de  la  vision  au  travers  d'un  milieu  réfringent  terminé  par 

une  surface  plane 1 8(» 

Vision  au  travers  d'un  prisme 1 83 

DE  L'OEIL  ET  DE  LA  VISION. 

Des  divers  milieux  rélringcnts  de  l'œil 1 86 

De  la  théorie  physique  de  la  vision 187 

Preuve  expérimentale  de  la  formation  d'une  image  renversée  sur  la  rétine  et  de  l'exis- 
tence d'un  centre  optique  dans  l'œil 1 89 

Preuve  expérimentale  de  la  liaison  qui  existe  entre  la  netteté  de  l'image  et  In  netteté 

de  la  vision 1 90 

Restriction  à  la  généraUté  absolue  de  la  liaison  précédente 19a 

Un  objet  n'est  sensible  à  la  vue  que  si  les  dimensions  de  son  image  sur  la  rétine  excè- 
dent une  limite  déterminée «  9a 

Des  diverses  espèces  de  vues 198 


TABLE  DES  MATIÈRES.  505 

Pages. 
Accommodation  de  Tœil  pour  la  vision  à  diverses  dislances igS 

Du  rôle  de  diverses  parties  accessoires  de  Torgane  de  la  vue 197 

DifEculté  apparente  résultant  de  la  situation  renversée  des  images  qui  se  forment 

sur  la  rétine 198 

Inégale  sensibilité  des  diverses  parties  de  la  rétine.  —  Punctum  cœcum 1 98 

Persistance  des  impressions  lumineuses  sur  la  rétine 1 99 

Expérience  de  Faraday 901 

Irradiation aoa 

Vision  binoculaire ao3 

Stéréoscope aoft 


INSTRUMENTS  D'OPTIQUE. 

IIISTBUMBNTS  SANS  OCULAIRE. 

Chambre  claire 3o6 

Chambre  obscure ao8 

Microscope  solaire 209 

Ophthalmoscope ...    211 

INSTRUMB?(TS  À  OCULAIRES. 

Besicles a  1  a 

Loupe  ou  microscope  simple ai/i 

Grossissement  de  la  loupe aiA 

Puissance  de  la  loupe ai6 

Clarté  de  la  loupe 917 

Champ  de  la  loupe 917 

Loupes  destinées  aux  forts  grossissements  :  lentilles  diaphragmées ,  loupes  com- 
posées   917 

Microscope  composé 9  91 

Grossissement  et  puissance  du  microscope 399 

Emploi  du  diaphragme  dans  le  microscope 993 

Pièces  accessoires  du  microscope 9  93 

Divers  systèmes  oculaires  employés  dans  les  microscopes 99/i 

Lunette  astronomique 996 

Grossissement  de  la  lunette  astronomique 997 

Oculaires  de  la  lunette  astronomique 998 

Diaphragme  de  la  lunette  astronomique 399 

Réticule  de  la  lunette  astronomique aSo 

Anneau  oculaire  de  la  lunette  astronomique,  grandeur  de  Pouverture  du  diaphrn'pne 

et  valeur  du  champ 93i 

Dctemiinalion  expérimentale  du  grossissement  au  moyen  de  lanneau  oculaiic.  — 

Dvnamètre  de  Ramsden 933 

Estimation  de  la  clarté  d'une  lunette  astronomique 93A 

Pouvoir  éclairant  de  la  lunette  astronomique ,  dans  le  cas  où  lo  diamètre  apparent 

des  objets  est  très-petit 336 

Lunette  terrestre 937 


506  TABLE  DES  MATIERES. 

Page». 

Luneile  de  Galilée 9i38 

Collimateur sâo 

Télescope  de  Herschel s/i  t 

Télescope  de  Newton 9A1 

Télescope  de  Grégory 96s 

Télescope  de  Cassegrain 963 

Miroirs  argentés  de  Foucault 96A 

De  la  vision  distincte  dans  les  instruments  d*optique  en  général 965 

Mesure  expérimentale  du  grossissement  des  lunettes  et  des  télescopes 968 


DISPERSION. 

DÉCOMPOSITION  BT  BBCOMPOSITIOU  DE  LA  LUMlÀlIB. 

Dilatation  et  coloration  d'un  faisceau  de  lumière  blanche,  par  le  passage  au  travers 

d'un  prisme 969 

Vérification  expérimentale  de  l'explication  du  phénomène  précédent 960 

Méthode  de  Newton  pour  obtenir  un  spectre  pur 953 

Raies  de  Frauenhofer 955 

Principe  du  spectroscope 955 

Recomposition  de  la  lumière  blanche,  au  moyen  de  ses  éléments  séparés 957 

Combinaison  d'un  nombre  limité  de  couleurs  du  spectre.^—  Couleurs  complémentaires.  958 

ÉTCDB  SPéciALB  DC  SPBCTRE  SOLAIRB. 

Variations  d'éclat  dans  les  diverses  parties  du  spectre  solaire 999 

Actions  calorifiques  des  diverses  parties  du  spectre 960 

Actions  chimiques 960 

Interprétation  des  résultais  précédents 961 

Actions  phosphorogéniques 969 

Durée  de  la  phosphorescence.  —  Phosphoroscope  de  M.  Edmond  Becquerel 963 

Fluorescence 96^ 

ABSORPTION  ET  DIPPUSION. 

Absorption  de  la  lumière  par  les  corps  transparents 965 

Absorbants  monochromatiques  et  dichromatiques 966 

\ction  des  milieux  absorbants  sur  les  rayons  invisibles 967 

Coloration  di>  la  lumière  diffusée  par  les  corps  imparfaitement  polis *j68 

érUDE  DBS  SPECTRES  DE  DIVERSES  ORIGINES. 

Caractères  généraux  du  spectre  solaire 969 

Caractères  des  spectres  des  corps  solides  ou  liquides 969 

(iaractèrcs  des  spectres  des  corps  gazeux 970 

Spectre  de  l'arc  voltaïque «7 1 

Observations  de  Foucault  et  de  M.  Swann 971 

ExpiTicnces  de  MM.  Kirchhoff  et  Bunsen 97^ 

Consé<|uences  des  lois  de  MM.  Kirchhoiïet  Bunsen.  —  Analyse  s|)ectrale 97^ 

liitrrpnHatioii  d<'>  raios  du  s|»ectre  solaire.  —  Hypothèse  sur  la  constitution  du  soleil.  97.'» 

Sptrtross  d<*s  ôloih.»s 976 


TABLE  DES  MATIERES.  507 


ACHROMATISME. 

Pagw. 

Coudilioii  d^achromatisme  d^un  système  de  deux  lentilles 377 

Détermination  du  rapport  des  coefficients  de  dispersion 378 

Diasporamètres a8 1 

Emploi  des  oculaires  composés,  pour  compenser  en  partie  le  défaut  d'achromatisme 

des  objectifs aSa 

COMPLÉMENT  À  LA  THÉORIE  DB  LA  VISIOK. 

Défaut  d'achromatisme  de  Pœil ùS'6 

Du  rôle  des  milieux  de  Tœil ,  comme  corps  absorbants a85 

Sensations  diverses  produites  par  des  rayons  homogènes  d'intensités  différentes 985 

DE  LA  MESURE  DES  INDICES  DE  RÉFRACTION. 

Méthode  générale  pour  mesurer  les  indices  de  réfraction  des  corps  solides a86 

Appareil  de  Frauenhofer a86 

Emploi  des  instruments  à  collimateurs.  —  Goniomètre  de  M.  Rabinet a  88 

Mesure  des  indices  de  réfraction  des  corps  liquides apo 

Indices  de  réfraction  des  corps  gazeux.  —  Expériences  de  Riot  et  Arago ago 

Expériences  de  Dulong agS 


DE  L'ARC-EN-CIEL  ET  DES  HALOS. 

Arcs-en-ciel 396 

Notion  des  rayons  efficaces 396 

Calcul  de  la  position  des  rayons  efficaces 396 

Premier  arc 3oo 

Deuxième  arc s 3oa 

Arcs  d'ordres  supérieurs 3o3 

Halos 3o/i 


OPTIQUE  THÉORIQUE. 


INTERFÉRENCES. 


I.  PHENOMENES  D'INTERFEREKCK. 


Expérience  fondamcnlale  d'Young 307 

Expérienre  du  hiprismo 3nK 


508  TABLE  DES  MATIÈRES. 

Expéricucc  des  miroirs  de  Fresnel 3 1  o 

Franges  produites  par  les  sources  roonocbroinatiques  ou  par  la  lumière  blanche. ...  3 1 1 

Mesure  expérimentale  de  la  largeur  des  franges 3i  a 

Evaluation  de  la  différence  des  chemins  parcourus  par  deux  rayons  qui  se  coupent 

en  un  point  d'une  frange  déterminée 3 1 3 

Lois  numériques  du  phénomène 3 1 5 

Expérience  avec  un  seul  miroir 3 1 6 

II. EXPLICATION  DES  PuéROIlàFiES  D'IIITKRPéRBKCE  DANS  LE  SYSTÀIIE  DBS  OKDCLATIONS. 

Première  notion  du  système  des  ondulations 817 

Résultais  numériques  relatifs  à  la  longueur  d'ondulation  et  h  la  vitesse  vibratoire. . .  39 1 

Traduction  analytique  du  principe  des  interférences 39  «j 

Nécessité  d'employer  comme  sources  lumineuses  les  deux  images  d'une  même 

source 3a4 

Extension  du  principe  des  interférences  au  cas  où  les  rayons  ont  traversé  des  milieux 

de  natures  différentes 3ûb 

Application  à  la  mesure  de  la  vitesse  de  la  lumière  dans  les  corps  transparents 896 

Effet  produit  par  une  lame  transparente  épaisse 397 


ANNEAUX  COLORÉS. 

.\nneaiix  réfléchis 3jo 

Anneaux  transmis 399 

Exemples  de  colorations  produites  par  des  lames  minces  en  général 33o 

Epaisseur  de  la  lame  mince,  dans  le  phénomène  des  anneaux,  à  une  dislance  déter- 
minée du  centre 33 1 

Mesure  expérimentale  des  diamètres  des  anneaux 339 

Résultats  expérimentiiux 333 

Théorie  d'Young.  —  Cas  des  anneaux  réfléchis  sous  une  incidence  normale  ou 

presque  nonnale 334 

(Confirmations  diverses  de  l'hypothèse  d'Young 33.5 

Cas  des  anneaux  réfléchis  sous  l'incidence  oblique 337 

Anneaux  transmis 338 


PROPAGATION  DE  LA  LUMIÈRE  ET  DIFFRACTION. 

Considérations  générales  sur  les  lois  de  l'optique  géométrique 34o 

Principe  de  Huyghens 36 1 

Effet  d'une  onde  circulaire  sur  un  point  extérieur  situé  dans  son  plan 3&9 

Effet  d'une  onde  sphéri(|ue  sur  un  point  extérieur 366 

Conséquences  du  principe  précédent 367 

Extension  au  c^s  d'une  onde  de  forme  quelconque 367 

Premier  exemple  de  diffraction.  —  Cas  d'une  large  ouverture  pratiquée  dans  un 

écran  opaque  indéfini 369 

Deuxième  exemple  de  diiTraclion.  —  Cas  d'un  largo  écran  opaque 359 

Vériûrations  cxpiTinienlales 353 


TABLE  DES  MATIÈRES.  50» 

Pages. 

Troisième  pxemple  de  diiïraclion.  —  Cas  d'une  ouverture  étroite 353 

Quatrième  exemple  de  diffraction.  —  Cas  d*un  corps  opaque  ëtroit 354 

Franges  produites  par  deux  ouvertures  étroites,  égales  entre  elles  et  très -voi- 
sines. . . 355 


RÉFLEXION  ET  RÉFRACTION. 

Considérations  générales '. 357 

Réflexion  sur  une  surface  plane 357 

Réflexion  sur  une  surface  quelconque 36o 

Surface  de  Tonde  réfléchie 36 1 

Réfraction  au  travers  d'une  surface  piano 36a 

Surface  de  Tonde  réfractée »  36A 

Phénomènes  de  diflraction  accompagnant  la  réflexion  ou  la  réfraction  par  des  sur- 
faces limitées 364 

Remarques  relatives  aux  expériences  par  lesquelles  on  considère  ordinaircinent  les 

lois  géométriques  de  la  réflexion  ou  de  la  réfraction  rx)mme  vérifiées 365 

Cau.ses  générales  de  la  difl'usion 367 

Diflicultés  oflertes  par  le  phénomène  de  la  dispersion,  dans  la  ihéone  dos  ondula- 
tions   367 

f^hénomènes  d'absorption 368 


nOURLE  RÉFRACTION. 

Historique 370 

Réfraction  au  travers  d'une  lame  de  spath  d'Islande  à  faces  parallèles 370 

Axe  du  spath  d'Islande.  —  Sections  principales 37 1 

Réfraction  an  travers  des  prismes  taillés  dans  le  spath.  —  Rayons  ordinaires.  — 

Rayons  extraordinaires.  —  Lois  expérimentales 37 st 

Expériences  de  Wollaston.  —  Expériences  de  Malus 373 

Construction  géométrique  des  rayons  passant  d'un  milieu  uniréfringent  dans  un 

autre  milieu  uniréfringent 375 

Construction  de  Huyghcns,  pour  le  rayon  ordinaire  et  ie  rayon  extraordinaire  donnés 

par  un  cristal  de  spath 376 

Cas  particuliers  dans  lesquels  les  deux  rayons  peuvent  être  obtenus  par  une  construc- 
tion plane 877 

L'axe  du  spath  se  comporte,  par  rapport  au  rayon  extraordinaire,  comme  répulsif. .  379 

Passage  de  la  lumière  du  spath  dans  un  milieu  uniréfringent 38o 

Les  rayons  qui  suivent  la  direction  de  Taxe  dans  l'intérieur  d'un  prisme  biréfringent 

ne  se  divisent  pas  à  la  sortie 382 

Vision  des  objets  au  travers  d'un  parallélipipède  de  spath 38a 

Extension  des  lois  de  Huyghens  aux  divers  cristaux.  —  Lois  de  Fresnel 383 


h\0  TABLE   DES  MATIÈRES. 

POLAKISATION. 

POLAHISATION  par  les   cristaux  BinéFRINGB^TS. 

Polaiisation  des  rayons  transmis  par  un  cristal  biréfringent  ù  un  axe,  m)us  l'inri- 

(lence  normale.  —  Définitions 386 

Polarisation  par  les  cristaux  biréfringents  en  général 38« 

Lumière  naturelle 389 

Lumière  partiellement  polarisée 389 

Analyse  d^un  faisceau  partiellement  polarisé,  au  moyen  des  cristaux  bircfringenl5 .  .  .  38c) 

Prismes  biréfringents 390 

Prisme  de  Nicol.  —  Modification  de  Foucault 391 

Propriétés  de  la  tourmaline  et  des  cristaux  analogues 399 

Prisme  de  Rochon 399 

Lunette  de  Rochon .39.'! 

polarisation  par  RÉrLEXION  ET  PAR  REFRACTIOX  SIMPLK. 

Polarisation  par  réflexion.  — Expériences  de  Malus 396 

Loi  de  Brewsler.  —  Angle  de  polarisation 396 

Polarisation  par  réfraction  simple 397 

Polarisation  par  réflexion  intérieure 398 

Réflexion  et  réfraction  de  la  lumière  polarisée /loô 

Polnriseurs  et  analyseurs  fondés  sur  la  réflexion  ou  sur  la  réfraction  simple '10 1 

l^iTRarÉBEKCBS  DE  LA  LUMlàRE  POLARISEE. 

Deux  rayons  polarisés  dans  des  plans  rectangulaires  ne  peuvent  interférer.  —  Expé- 
riences de  Fresnel  et  Arago 4o3 

('iOnséquences  des  expériences  qui  précèdent.  —  Principe  des  vibrations  transver- 
sales    A  o5 

<:AI:SES  mécaniques  de  la  DOIIRLE  RéPRACTIOX. 

Constitution  de  Téthcr ^07 

Expérience  de  Fresnel  sur  la  propriété  biréfringente  du  verre  comprimé A 08 

Conclusions  générales,  concernant  la  théorie  des  phénomènes  lumineux A 10 

POLARISATION  CFIROMATIQUE. 

Formules  relatives  aux  deux  rayons  fournis  par  un  rayon  lumineux  primitivement 

polarisé ,  transmis  au  travers  d^un  cristal  biréfringent .^  f  9 

Combinaison  des  deux  rayons,  lorsque  le  cristal  biréfringent  est  une  lame  mince  à 

faces  parallèles A 1 3 

Caractères  de  la  lumière  polarisée  circulairemcnt h\o 

Caractères  de  la  lumière  polarisée  elliptiquement 6 1(> 

De  la  lumière  naturelle  en  générai Htd 

Action  d'un  analyseur  biréfringent  sur  un  ra\on  homogène. primitivement  polarisé 

et  transmis  ù  travers  une  lame  mince  biréfringente 417 

Polarisation  chromatique '119 

Pln'nomènes  produits  par  la  lumière  convergente 'mi 


TABLE  DES  MATIÈRES.  511 

Pages. 

Des  polariscopes 4sA 

DiMinction  des  cristaux  à  un  axe  et  des  cristaux  à  deux  axes 'iaT) 


POUVOIRS  ROTATOIRES. 

C.ai^clères  offerts  par  la  lumière  polarisée  transmise  normalement  au  travers  d*une 

lame  de  quartz  taillée  perpendiculairement  à  Taxe ^37 

Teinte  sensible 4a8 

Interprétation  des  phénomènes  précédents,  dans  la  théorie  des  ondes hn^ 

Action  du  quartz  sur  la  lumière,  dans  une  direction  inclinée  sur  Taxe h3*^ 

Généralisation  des  lois  précédentes.  —  Substances  actives 633 

Applications.  —  Saccharimètre  de  M.  Soleil /i3/i 

Action  du  magnétisme  sur  la  lumière  polarisée 635 


PROPAGATION   DE   LA   CHALEUR. 


RAYONNEMENT. 

Distinction  du  ravoimement  et  de  la  conductibilité 63q 

Chaleur  rayonnante  obscure A  60 

Observations  générales  sur  les  radialions  calorifiques,  cximparées  aux  radiations 

lumineuses AA  i 

Appareils  pour  Télude  de  la  chaleur  rayonnant*.* AA  t 

Appareil  thermo-électriquo AAa 

(rraduation  de  l'appareil  thermo-électrique A  A3 

Diverses  sources  de  chaleur  employées  dans  Téludc  de  la  chaleur  rayonnante AA6 

LOIS  RELATIVES  AU  MODE  DE  PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR  RAYONNAKTK. 

Propagation  rectiligne  de  la  chaleur  dans  un  milieu  homogène AA7 

Vitesse  de  propagation  de  la  chaleur AA7 

Réflexion  de  la  chaleur AA8 

Réfraction  de  la  chaleur.  —  Dispersion *.  .  AA9 

Interférences  de  la  chaleur A5o 

Polarisation  de  la  chaleur 'i5ï 

LOIS  RELATIVES  AUX  VARIATIONS  D'INTENSITR  DR  LA  CHALRUR  RAYONNANTE. 

Loi  du  carré  des  dislances. A5 1 

Pouvoirs  réflecteiu'S.  —  Pouvoirs  diiïusifs AT)! 

Pouvoirs  absorbants  des  corps  athermanes 'i53 

tlomparaisou  des  pouvoirs  absorbants  de  diverses  substances  athermanes 'i5A 


àl«  TABLK  DES   MATIÈBES. 

IVm\oirs  itlist»rl»aitls  Jt^«  ivqis  dialliemianes. —  Relation  entre  Tii^ensilé  du  faÎMiNiu 

•  IriiiiMiiis  t't  IV(Miss<^Hir  ti-aterftie,  dans  \e  cas  où  le  faisceau  est  homogèiie h7iît 

Transniix^ion  d'un  l'aiscoau  hétcro|;ènp  à  travers  un  corps  dialherniane ^  . . . .    ASy 

l.a  diuihomunôite  d'un  corps  pour  les  rayons  obscurs  peut  être  entièreificnt  diflo- 
tx'utt'  dt'  la  transpui-enr<>  pour  les  rayons  visibles h'n) 


DES  POUVOIRS  EMISSIFS 
ET  DE  L'ÉQUILIBRE  MOBILE  DES  TEMPÉRATURES. 

Pouvoir  cmissif.  —  Influoncr^  de  Tinclinnison  et  de  la  température  sur  le  pouvoir 

éiuissil  du  noir  do  fuuiôe ^ /ifii 

(lompjiraison  des  iH)uvoirs  émissifs  des  divers  coq)s,.sous  Tincidence  normale  et  à 

une  mc^me  temp«''rature , 4d 

lnniit*iirr>  de  Tinclinaison  sur  les  pouvoirs  émissifs  de  divers  corps /i()/i 

E(;alit(*  du  pouvoir  ('>niissif  el  du  pouvoir  absorl>ant .  .  .  .  ' 'i6r> 

Rc'uianpies  siu'  la  généralité  du  principe  précédent /iG-y 

('.onsé(juenccs*relatives  aux  contlitions  du  renversement  des  raies,  dans  les  expé- 
riences de  MM.  Kirdihoiï  et  Bunsen A70 

Équilibre  mobile  des  lemp'ratures h-ji 

(las  où  IVncf'inle  ol  tous  les  corps  (pi'elle  contient  ont  un  pouvoir  absorbant  absolu.  A73 

(las  où  un  corps  c-ontenu  dans  Ttînceinte  |M)ssède  un  pouvoir  n'flecleur fi~h 

Polarisation  df>s  rnyons  émis  dans  dos  directions  obliques  par  les  corps  domis  de  pou- 
voirs r«'ifli»cteurs 477 

Réflexion  apparente  du  froid ^78 

Théorie  di»  Wolls  sur  la  pro<luction  de  la  rosoo 48ci 


CONDUCTIBILITE. 

Rayonnement  particulaire 'i8.'i 

Propagation  de  la  rlialeur  dans  un  cylindre  dont  la  surface  convexe  «'st  imperm^^able 

à  la  chaleur /j8 '1 

(loeHiri<>nt  de  conductibilité  intérieure.  —  Essais  de  détermination  dinH'b' /i8<) 

Distribution  d(*s  tem|)éralun>s  dans  une  barre  conductrice  de  petit  diamètre '188 

Détermination  indirecte  des  coelFicieuts  de  conductibilité. — Expériences  do  Despretz.  fuja 

Expériences  «b»  MM.  Wiedemann  el  Franz fiç^\ 

Délerminalion  des  constantes  M  et  N  do  la  formule  lh<'>orique ft()3 

Application  à  Tappreil  d'Ingenhouz Aij'i 

Conductibilité  d(.>s  cor[)s  solides  crislallisos /ipfi 

Conductibilité  d<>s  cor|»s  liquidi's fii}(\ 

Condurtibilité  dtv  gaz '197 


¥l\   nK   I.A  TAIU.K   DKS  MITIKKKS.