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Full text of "Oeuvres. Publiées par les soins de Gaston Darboux, sous les auspices du Ministère de l'instruction publique"

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PARIS. — iMPKnihRii-; <;AriiHiKR-\ii Kvns i i mis. 



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MÉMOTi'E-, I ^ ODLIÉS DANS DÎVv.f'. 



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(Kl VKKS 



DE FOL RI Eli 



l'I BI.IKKS l'Ali r.KS SOINS lll. 



M. (i ASTON I) A H 15 IX, 



sors LES AUSPICES DL" 



MLMSIKMK l)K 1/ I X S T K l C T 1 N P L H 1. 1 O l K 



TOME SKCOMI. 



MEMOIRES PUBLIES DANS DIVERS RECUEILS 



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PARIS, 

(.Al lllli:i;-\ILLAHS 1:T FII.S. I.MI'HI.MKI hs-lihhaiuks 

lll I! 1 li r \ I II I. s I i> >• G rr r F) Ks . d i; i.'kchi, k i> o i. v t i; i; ii .n i (,i r i-' 
(Jiuii lies Grands-Aiii:iislins. ji. 

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^■.j^^^-^utn.: 









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AVKHTISSKMEiVT. 



Les Mf'moirt's cjne nous imMioiis (huis ce second \ oliiim^ 
se distribuent en trois groupes distincts. 

I^es pins ini|)oit;ints penxent être eonsidc'iés comme lormaiit 
un com|)lt'ment n^itiu'cl de l;i rhcoric (uiulytKiiic de la c/kiIciii . 
( )n V Ironvcni (hneloppées les reclierclies (jue l'onricr a |)()ni- 
siiivics pendant tant d amiées siu' la théorie pliNsirpu' de la 
clialeni' ravonnante. sni- le ret'roidissenient séculaire du i;lol»c 
tcnestre. sni" la t('inj)érature tics espaces planétaires. 

l Jie antre s(''ric de tra\au\ se ra])portc à la résolution des 
c(piatu)ns ninnerupics. Fourier a, comme on sait. a])portc sni 
cette importante (piestion des vues qui étaient ahsoinmeni 
neuves, et ([ni se sont montrées téeomles entre les mains de scn 
successeurs. ,Nous av(jns aussi, |)ai' (pu'hpies emprunta a I i/is- 
toifc (le l Avddémic poiii' les années iSv/! et 187]. jm faire 
coiuiaitre d nue manière assez précise certaines itiées srrr- la 
théorie des iiu-galités au\(pielles l'illustr-e géouK'trc attachait 



VI \VE HT ISS KM EN T. 

mic iiiipoilitiicc (juil csl permis, aiijoiii d'Iiui, de troiivei' un 
peu e\;ii;ei't'e. 

I''!iliii, sur riiivitalioii de noire innîde AI. .losepli l'xTtiand. 
lions axons leiiii a laiic connaître (juehpies-nns des Mémoires 
sur 1 anaKse des |»rol)al)ilit(''s (pu- l^onrier a publiés j)()iu' 
éclairer les reclierclus statistiques dont la direction lui axait 
ét('' conii(''e par le comte de (Ihahrol. 

Un seul traxail t'chappe à cette classification : il mérite pour- 
tant dètre sii;nal('' ici, car il a servi de début à l''ourier. (Vesl \e 
Mrmoirc sur le principe (les ri/fsscs j'irtiicllcs, |)ul)]ié en i 7<)*> 
dans le \ '' (laliier du .loiiriidl de I l'ivolc PolytccIniKpic. Nous 
axons reproduit ce .Ménn)ire, rcmarfpiahle à bien des égards, 
où se trouxc donnée pour la première fois la démonstration du 
principe des xilesses xirtnelles (|ui -st anjourd'luii i;énér.Tle- 
iiient adoptée. 



Nous axons dii renoncer à joindre à eette édition une étude 
sur la xieet les écrits de l'Ouricr. Il iu)us a paru (pu* reloi;(' 
d' \rai;() était trop r(''pandn pour (ju'il x eût intérêt à le re|)ro- 
dnire. Mais nous tenons a sii;naler le Discours (pie (anism 
a prononce'' en xenant |)reii(lre séance, comme sueeessenr de 
l'Ouricr, a 1 \ead(''inie Iraiicaisc, et suitiuit les nombreuses 
noies bio^iapliicpies (pi'il a ajoutées à ce Discours, et oli se 
Irouxcnt r('-uins inie l'oule de détails intéressants <pi'il ti'iiait de 
l'oiiner luiiiicme, de ses contemporains ou de ses amis. ()n 
trouxcra ce Discours v{ les notes «pii raccom])ai;nent dans l'Ou- 



AVERTISSEMENT. mi 

vrai^e (|iie Cousin a publié sous le titre suivant : l-rat^jucnts cl 



sDin'cnirs. 



Dans r Avertissement du premier Xolume. nous axuius 
signalé eomme perdu le premier Mémoire de Fourier sui- la 
théorie de la ehaleur, celui (|u'il a présenté le ■>.{ dv- 
eend)re iSoj à la première (Classe de l'Institut. Les allusions 
si fréquentes et si précises que fait le i>i-and i^éomètre à ce tra- 
vail et aux notes qui raccompat;nent 'j nous avaient heaii- 
cou|) frappé. Comme ^savier avait été charité, après la mort 
de Fouriei". de publier l'Ouviai^e inacliexé intitulé .analyse des 
('■(jiKitions (/ctrrnu/frcs, nous a\()us pensé (pie les jjaj)iers de 
Fourier avaient dû lui être remis ci a\ aient pu, après la uu)rl 
de cet émincnt ini;éniein', clri' légués à la Ribliotlièipu' de 
l'Fcole des l^)nts et (Jliaussées. Et, en elfet, nous avons rc- 
trouv('' dans le riche (^.atalogne des Manuscrits de cette l^iblio- 
lluMpic le ^Iémoire de Fouriei', inscrit sous le n° 'Kil . Ce 
Manusci'it nous a été conununiipK' avec beaucoiq) d enipressc- 
inent. \ons avons pu 1 étudier: il est suivi de ([ueltpies-unes 
des NiOtes (pie Fourier a remises en i (So(S et iiSo;) à Ijagraiiiic 
et à Faplace pour répondre à leurs objections, ou j)Our les prc- 
\enir. \ous avons contr(jlé tous les renvois (|ue Fourier lait 
à ces didérentes pièces; il va sans dire (pic nous les a\()us 
trouvés exacts. 

La liste des écrits scientili(pu'S de Fourier. que le lecteur 

( ' I Viiir 11' I. I. |i. wvi. 4ii>. Vi;). jj). et k- 1. 11. p. io3. i8o. 'oi. 209. 'jS. int- 



vu, \\ i:i; rissKMK N r. 

1r<)ii\ci;i il lii suite de eel \\ crlissenieiit e! (jiie nous nvoiis 
iMclie (le rendre aussi e()i!)|»lele <|iie possible, montrera, nous 
respéroiis, «nie rien d'esseniiel n"a ('-le oublie dans uotic edi- 
lioii. (loniine nous n'avons jamais soui;!'- à |)ul)lier les ( )Kuvres 
eomplèles, lil Ic'raires el seienlili(|nes, de Fourier, nous eoiisi- 
(h'ions noire lâche eomnie lerminée, an nn)ins jioiu' le mo- 
ment . 



1 1 jiiin it-r iSijd 



(iASTox DARBOUX. 



J(_' i'A(_;uK'iiiii.* deï- Sciences. 



LISTE 



OUVRAGES SCIENTIFIQUES DE FOURIEU. 



( Les Uu\ra,:^t'S niarciues d'uu astiMisi|ut' ne ligurent [>us dans les deux Volumes de iiutre édition.; 



I. — Mémoires. 

Mémoire sur l;i Slnfique coiilen;inl hi démoiislralioii du principe ile> \i- 
lesses \irluel!es el l;i liiéorie des moments {.Journal df l'École l^olvlcrli- 
/iii/in\ \''' Cahier, p. ;>o ; ijq'j). 

Mémoire sur la propaizalion i\f la rhaleiir ilans les corps solides ( Extrait 
publié dans le Iliillclin tli- lu Socié/é p/iilni/iat/iù/in-. I. I. p. ii 2-11(1; mar< 
1808). 

'Théorie de la clialeui- i [nnules de Chimie cl de l'Iiysifjite. I. !II: \-<\i'\ 
p. 350-376). 

Note sur la chaleur ravonnaiite \ lunules de C hiinie cl de Physique. I. I\ : 

Quesliiins sni- la théorie ])h\si(|ne de la chaleur ravuMuaiile 1 Innales d< 
Chimie et de l'hysii/ue. \.\\: 1S17. p. 25(j-3o3). 

Sur la tem|iéralui'e des hahilations el sur If uniiivement \aric de la chaleur 
dans les pi'isuies rectauiridaires (Exilait publié dans le Hnlleiin de la Sceicii 
iddlii-mathiiiiie : I^!l8, |1. i-iii. 

Question d'Analyse ali:éluiipie ( Itullelin de la Société philomalhi'jite: iSiS, 
p. fi 1-1)7 I. 

Note relative aux vibrations des sui'l'aces élasti(iues el au mouvement des 
ondes {litillclin de la Socté/é philoni'ilhifjiie: 1818, p. 129-1361. 

II. l' 



X IJSrr. DES Ol \ liAC.ES SCIENTiriQUES 

'Nlrinoirr siii- l,i llicoiir allais I ii|i|i' ilrs assiiranrcs ( innalex de C/iiii/ic cl 
t/c /'/nsi>/in\ I. \: i8i(), p. ijj-iSç)). 

I-Ati'ail irnn Méiiniirr' sur le ri'l'niidissi'iiiciil -^éi-iilairo ilu globe terrestre 
{/lii/lrli/i (le lu Socii'/i- /i/i/l'ii)iii//iir/in- : iSfo, |). .")S-jo, et l/iiuilcs //c Cliiiiiif cl 
de l'hysiiitic. I. XIII; iSk,, p. 'iiS-'i.'lj). 

'Sur le inniivement de la <lialeiir dans une s|ilière solide dont le raye n est 
très j;raiid {.Inurnal de l'/i \ siiiiic. I. \(1. |i. ■'^!'i). 

Sur l'usage du tlieorènie de Hescartes dans la recherche des liiniles des 
racines (lliillcliii de la Sociclc iddldiiinlld^iiic : iS'îo, p. i.JG-iGj et p. 181-187). 

'Sur (|iiidipics luuivelles espéricnces therino-éleclriqiies (en eonjiniin avec 
Oersied, {iiiiulcs de Chimie cl de l'hyxiijue. t. Wll ; iS îJ, p. .]7.')-j8;)). 

Mi'niiMre sur la leni|icralnre du glolie terrestre el des espaces |ilaiiétaires 
{Memniies île l' Acadéiine des Sciences, t. \ Il ; i^'.~, p. 5jo-(Jo/|, el , tiuiales de 
l'Iiiinie cl lie l'Iiysiijiic. 1. \\\ il; iNj'i, p. i.']t)-i(>). 

li('>siiini'' tlir'orii|uc des propriétés de la chaleur rayonnante ( Aniiulcs de 
Chimie cl de l'li)siiiiic. I. \\\li; 18...I, p. -.(oli-aS 1 ). 

"Tliéorie du iiKiiivrinciit de la chaleur ilans les corps solides, I''' Partie 
lyMémiiires de F \eiiili''iiuc des Sciences, t. I\ ; l8<'|. p. 1 8.")-.") jj ), 

Heniaripies sur la thcoric niatheinatiipi<' de la i lialeur rayonnante \ An- 
nales de Cliindc el de l'Iiysiijiic. 1. \\\ III ; 18 >."), |). :!;lj- ifi.j 1. 

Théorie du inoiivenKMit de la chaleur ilaiis les corps solides. 11'' Partie 
( Mi'niiii les de C Aeiiili inie des Scie/iees. I. N ; iSiJi, p. 1 j!!-) 4(1). 

S(dution d'une (]iiesti(iii particulière du (ialciil des Inégalités 1, Z>////e//// (/c 
1(1 Siicieli' /iliiluniiilliii/iie : i8>Ji, p. ()i)-i()(i). 

Keclierches experiineiilales sur la l'acnllé conductrice des corps niinees 
soumis il l'acliiui de la chaleur, el ilocriplidii d'un nouveau tlierinométre de 
contact [Annules de Chimie cl de l'hysiijiic. t. \\\V 11; 1818, p. 2i)l-3i.j). 

Mémoire sur la iheiuie aiialvliipic de la chaleur { ][ciiiidrcs de l' \eiidciiiie 
des Sciences. I. \ III; iS>(). p. ,")8i-(l > ) ). 

lîemanpies ge'uiérales sur l'application des principes de 1' Vnalyse algébiiipii' 
aux éipiatiiHis transcendantes ( Miinnires de C Académie des Sciences, t. \ : 

iSol, |). 1 |C)-| '|() ). 



IlF. FOI ItlRIt. ^ XI 

Mémoire d'Analyse sur !<■ iiniiivemeiil i!i> la clialeiu- dans les (liiiilc- i Oii- 
vraire poslhiinie, Mcnicircs de l' Acadéiiiit' des Sciences. I. \ll: iS.j:i, p. ."x)^- 
.")3o). 

Mémoire sur la disliiiclion des raeines iiiia£;inaires et sur ra|>plication des 
li)éorèmes d'Analyse aigéhriqnc à di\erses éi|nalions transeendantes. <•! spé- 
rialemenl à celles qui dépendeni de la lliéorie de la cliaienr (Mémoires de 
/' icadémie des Sciences. I. \ll: iS.-, |). (Jo.j-IJa'i. el Itiilhiin de lu Snciélé 
plnloniatlnijue : p. lyy-iSo"!. 

II. - Écrits académiques. 

liapjiorl sur les tonliues {Mémoires de l' .ieadénde des Sciences. I. \ ; iS>(), 
p. -îG). 

'Eloge de M. Delambre (.Mémoires de l' Aeudémie des .'Sciences, l. 1\ ; iSa'i. 
p. rciv). 

'Analyse des travaux de l'Acadéiuie royale des Srii'uces i l'arlie iiialliéina- 
ti(|ue) : 

— l'cndani l'année i >!.'..'. (Mémoires i/e l' [cadénde des Sciences, t. \ ; iS>.(i, 

p. .!3l- jU>)- 

— Pendanl l'année \S>.'\ (même Kecueil. I. \ 1; i^'7. p. i-Gol. 

— Pendant l'année iS>.', ( nn''me Hecueil, i. \1I; i^*'.;. p. \-\)\>. 

— Pendant l'année i^îj ( niéme Piecueil, i. \ 111: \<'i). p. 1-73). 

— PendanI l'aimée iSaOïnième Rciueil, I. i\: iSJn. p. i-rj-î). 

— Pemlanl l'année i^!7 ( même Recueil. I. \: iSii. p. i-7<)i. 

'Éloire liisl(U'iipie de Sir ^^"illiam Iler.-eliel i niéme Itci-ucil. t. \l: i'^'.7, 
p. 61-8-'. ). 

'Éloge liisliui(pie de M. Iïrégnet(inème Ilecueil, I. \ Il : i'^'7. p. <)^-n)()). 

'Éloge historique de M. (Charles (luènie Uecneil. i. \III: iSaçi, p. ~'>-'^~ '■ 

'Éloge liisliiiiqne de l.aiilace unième lîerueil, t. \: i^.li, |i. 8i-ioi'). 

III. — Ouvrages séparés. 

riieorie analytique de la clialeiir. l'aris, Didol: [822. 

■^Rcclierelies stalisliijues sur la ville de Paris el le de|iailcinenl de 



\ii LISTE DES OlVIJAdES SCIE.M IFI O UES DE EODUIEli. 

in SciiH' ( 'i Voliuiics piiblius de 182 1 à 1829 sous hi direction de 
F(inrier). 

(ietlr piililicalidii i-oiilii'iil |ilii>i('iirs c'ClMls ilo l'oiiricr: 

■ \(ili<iiis Ki'i^Talcs sur hi p(i|iiil:iliiHi (if^'i, ]>. i\-i,xxiM ). 

■.MciiKiircs sur hi |)(i|)iil;ili()n (l(> la nIIIc de Paris depuis la lin du \vu' siècle 
( iSi.i, p. Mii-xxvni). 

MèiiKiiii' sur les losulials uioyeus iIlmIuIIs à'un grand iH)niljrt' d'oliserva- 

lious ( iS'.d, p. I\-X\\\ I. 

Scrond Mcniiiiii' ^ul■ les resullals uio.\i'ns et les erreurs des mesures (i8'.>(), 

p. I\-X1.\UI ). 

'AnalvM' des e(|iialions deleiininées, |ireinii're l'arlie. Paris. Didot: 
I 8!() ( ()LiVi"ii;e posllmme et iiiaidievi', [iiihlii' par les soins de Navier ). 

IV. — Manuscrits conservés à la Bibliothèque de l'École des Ponts 

et Chaussées. 

'Eeçons d'Analyse de l'I'j.-ole i'idyleclinii|Ue, uj Leriins (1 (laliier in-V'l. 

'Leenus d'Vnalyse el de Mei-ani(ine professées à l'Ecole l'oly teclini(|ue. 
Mainisci'ils de l'anlenr 1, i dossiei- de S (laliiers in-V')- 

"Mi''innire >ur la pi-upagaliim de la chaleur pr(''seuli'' à l'inslilul le >.\ dé- 
cembre iSdj, avec i\(]les prt'^senlées (mi iSoX et iSoç) (r Vol. pelil in-l'ul.). 

liapporl à l'Iir^lilnl sin- un Mémoire de M. Desprelz relatif au refii)idi>- 
semenl de plusieurs melanx (lî^ii;, 1 M(''m. in-V')- 

'lîapporl sni- un MiMUoire intitule : '/'n/i/c/i/ t/cs i-iiiis(iiiiriiatini,s //<■ lin- 
'lit-iii if lit' l'diis i'w iSij(i l'enille in-'i ' !. 



KUKATA. 



Tome I. 



l'afi- I i:nr Au I .-Il .1.- 



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8. en reniontaiil ré(iii;iliiin 



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m: I. iNsrn I r i»i; !• is wci; 



SLITi; ni" MKMOIKE INTHri.i: 



JHÉOUIK 



MOI VKMKM l)i: LV CHALEl II 



DANS IIS ( OlîPS SOIJDKS. 



II. 



La |)i('iiijc''i(' l'.iilic ili' II' Mi'iiiniiT ,1 |iiirii cii \X>\ il,iii> li' Toiiic l\ ili's 
Mriiiiiiiis lii' r Vriiili'iiiii' lies Scii'iiri's (piiiir les iinni'es \>^\\) l'i li^in*. 

Noms hmiiis iiiilii|iu'' ii:ili-- 1' \\ aiil-I'i ii|his iIii 'l'iiini' ! Ii's lai-iilis |ioiii' li'>- 
i|llL'll('s il iiinis |iai-ail iiiillilr ili' li' li'|ir(PiliiilT iri. \ iiiri il'ai lliMirs Ir- lilics 
i|c> |iriiiri|iali'S ilivisioiis : 

I. Kx|Hisilinu. 

II. Noliiiii^ i;iMii''i.iI.'S ri ili^riailiiiiis |ii l'iiiiiiiiairr-i. 

III. I''.i|a,il irp|i> (lu miiUM'iiiiTil. lii' la rlialrur. 

I\. Ilr la |irii|iair:ilii)ii île la rli, lirai- ilaiis inn- laiiir ri'i-|aii,L:al,iin' liniil 1rs lrni[ji'ra- 
hiri's siiiil coiislaali'S. 

\" Du llliia\rairiil linrairr ri \ai'ii' ili' la clialrin- il.iiis uiir a|-ini]li'. 

\l. |)i' \.\ riiiiuiiaiiiraliiia ilr l,i rliali'iir imiI|-i' 1rs ma.^si's ilisjiiiiilp<. 

\ll. Du niiiuvoairîil vani' île l;i rlialriir ilaa- mu- >|ilii''re snliilr. 

VIII. Ilu iiiiia\oiiii'iil \ani' ilr la i-|iiili'iii- ilaiis mi rWiuilrr soliili.' 

!\. Hi' l.i |ii'o|iai,'aliim ilr la rhaleiil' ilaii^ un jii'isiiii,' iliui! Ii'xl rriiulr i"sl as.~uji>l Ilr a 
uar Iriiipcrahin' riiii-lauli'. 

\, Du iniiuM'inriil \arir' ik' la l'Ii.ilriir iljii- un snliilr ilc fiiiaia' l'uliiqur. 

\l. Du uiouvriiiciit lini'airr ("I \,ini' ilr l.i rlialriii' ilaiis \r> ^{lr|l^ ilniil unr iluurn- 
siun l'Sl iufiiiii'. . (i. D. 



TllEOUli: 

m 

MOT m: mi: NT DE LA CJIALKl H 

DANS LES CORPS SOLIDES. 



Mciniiiicy tff V Acadcinic fini aie des Siicuii-\ dr l ' Iiistiiiii itc l'riiiiir, iln^él*^ 1 8.> i l'I i Sf> 
l. V. |i. I V5 il i\(\: i.s.'.Ci. Iiiipriiiirrii' Hovdk'. 



XII. 

I)is Iciiincralurcs (ciicslrrs. cl du nioinci/ii/nl de la clidlcur (Utiis l uiUriciu 
d' iiiic spltàc solide, da/il Id surfilée csl (tssiijellie à des e//(l/ii;< ///e/t/s 
fi('n(idi(/iies de leiiipéiiiliires. 

m. 

Apri'S avoii' expose les lois t;éilél';iles du iiioiiveiiieiil de \a elialeiii 
d:iiis les e(ir|is solides, il ne scim |ioiiil iniilile d'indKiiier une de> |iiiii- 
eiiiales ii|i|>liealioiis de celle lliéoiae. On a idioisi |ionr ee| idijel la 
(jneslion des leniperallires leri-e>lres. Aniline lirainlie de I élude de 
la naliire ne nous inléies>e davanlai;e, el ne |ienl iiuiis (dl'i ii- un siijel 
|diis divine de uns reidiei'elies. A la vente, l'exanieii de eelte iirande 
iinislKin exiLierait des (d)ser\alions exaeles el iniilli|iliees . ipii ii oui 
]HH]il eiieiu'e e(e laites; mais on peut inainleiianl déterniinei' par li' 
ealriil les lois de la pi'opaii'alion de la (dialenr dans le ijlolx' leii'eslre. 
el lainener ii une llieorie eoniinnne les idiservalions ijni ont été 
reeneillies jiis(|iriei. 

I,es diliérenfs points de la sniiaee de la Telle sont ine|jaleinenl 



!^ tiiéoiîif: m moi vkmknt de la cimlelr 

('\|)Osrs ;i l'jictiiiii (li'S r;ivons M>l;iirt's. \.i > inoiivciiiciits (|ur (•(■(le |il;i- 
iii'lc Mcciiiii|»lil SIM' cllr-incim' l'I dans son orhilc rendent (ri's \aiial)ies 
les ell'els sneeessils de la elialenr du Soleil. Si l'on jdacait des ihernio- 
ini'lro dans les dillerenls poinls de la partie solide du Lçlohe, ininie- 
dialenienl aii-dessons de la siii-l'ai'e, on i'eniar((iU'rail des eliani^enienls 
eonlini}(ds dans eliaenn de ces insirnineiils. (les nioiivenu'nls de la 
ehalenr ;i la siirlaee on! des rcdalions lU'eessaii'es avec (ons ceux (|n'(dle 
é|)ronve dans rinlérieiir dn ^l(d»e. On se |H'o|iose ici <re\|iriMM'i- ces 
relations [lar l'Analyse. 

Les Lsrandes variations de la tenijiéi'alni'e ;i la surface du j^johe sont 
|ii''riodi(|ues : elles se re|irodnisenl et redeviennent sensihienieiil les 
mêmes a|)rt's l'intervalle d'une année. Ainsi la (|ih'sIhui consiste prin- 
cipalemenl ;i déterminer le mouvemenl de la tdndenr dans un i^iobe 
solide, d'un diami'ti'e immense, doui la surface est assujettie ii lac- 
lion |ii''riodi(|m' d'un foyer extérieur. On l'ail ici ahstraclion des causes 
propres (|ui p(Mirraient faire varier la ( lialenr dans l'intérieur même de 
la l'eri-c; car (dies ii'onl (|n'nne iullnence exti'émeKient Ijornee sur le 
sysli-nie général des tenipératnres. Au reste, il convieul d'étudier se|)a- 
rémenl lonles les causes (|ni c(Hicourent aux températures terresli'cs. 
et de soumettre d'aliord ;i nue analyse rigoureuse les ell'els des causes 
principales. Ei\ c(uirpai-anl ensuite les résultats du calcul et rvux de 
r(diservalioii, mr dislirrguei'a les effets acciderrtcds, et Vow pai'viendr-r ir 
déier'irriiier- les lois couslanles des grands mouvemerris (|ue les varia- 
Iniirs de temper-atui'e occasioiriu'iil darrs les mer'S et dans l'almosplii'r'e. 

Si l'orr srrppose ipre lorrs les poinls de la srrrTace d'nir ghdie solide 
imrrreirse soierri assirjellis, |)ar- irrre cause exlérieui'c (pr(dcoir(|ue el 
perrdarri irn lemps irriiiri, ;i des cliarrgerrrerris peraodicjrres 'de lempera- 
Irrrc pareils ;i ceux (|ue noirs (d)servorrs , ces var'ialions ire porrraiirrl 
alfecter' (pr'uue errv(do|ipe spliéiai|rre dont l'épaisst'irr' est irrlinirrri'Ul 
petite par- r'apport an r'ayon ; c'ol-a-dii'c (|rr';r une pr-oforrdeur' verti- 
cale petr cmisidér'alile la lenrperal rrre d'rrn poiirt aura iiire valeirr- coir- 
slarrle (|ui dépend, siiivarrl rrire ccriaine loi. de joutes les tem|)eralrrr'es 
variairles du poirri île la rrrcme verticale silne a la siii'face. Ce l'csultal 



I)\NS Li:S COIiPS S()Lllti:S. ;> 

iin|K)i'l;nil csl (loiiiic par les oliscrvalKiiis, l'I l'on verra aiis>i ([ii'il est 
t'arili' (le II' iliMluirc de la tliéoric. >lais il l'aul reuiai'(|iiiM- (luc la valeur 
tixc (le la li'iM(M''ialiin' n'es! [xiinl hi iiièiiiL' l(irs(iir(iii cliaiiLii' de m'v- 
(icalr, pane (jn'iiii siippusi' (pic les |)oiiits CdiTcspoinlants ilr la siirt'aci' 
cprouvcnl inriialcniriit radiim du foyer exlérieui'. Si doue on l'ail al)>- 
Iraetion de l'envcdoppe du i;lolie solide, on [lourra diie ipie le-i di\er> 
|)oinls de sa surlaee sinil assujellis ii des iemj)ératiires eonstantcs poiii- 
fiiaeun de ces points, mais inéi^ales pioir des poinis dili'erenl>. I.a 
(|iicstion consislera niainlenant à eoiinaitre (|ii(d doil être l'elal inté- 
rieur résultant de l'elal donné de la surl'aee. Il l'^iudi'a repi-(''Si'ulei' par 
des IVu'Uiuk'S li'enéi'aies le monveinent eonslaut de la idialeur dans l'in- 
ti'i'ienr de la sphi're, et ([('terminer la lempéralni'c li\e d'un poini 
(lésii^né. Ou voit, parce! exposé, (pic nous avons ici deux (|nestious ii 
traiter : dans la preniière, on cousidi're les oscillations périodiipies de 
la (dialeur, dans l'euvoloppe de la splii-re , ;i des prid(Hi(lcurs aeees- 
sihles; cl dans la seconde, (pii n'intéresse, pour ainsi dii'c, (|in' la 
théorie, il s'agit de détei'iuiner les tciiipérainres lixes et iiu'i^alcs de 
la |)aitie inférieure du solide (pii ne parlicipe point aux pcrturlialions 
oliservccs ;i la surface. 

81. 



On supposei'à donc, eu premier lieu, (|ue la surface d'une s|di('re 
solide, d'un très grand diami'tre, est assujettit' eu ses (^livers points ii 
des cliaugenuMils pério(li(|ues de température, analogues ii ceux (|ne 
l'on r('mar(|ue vers la surl'aee de la Terre; et l'on déterminera (pud e>t 
l'elfet de ces variations à une profondeur |)cii considérable. 

Il faut d'abord c(uisidérer (|in_' l'on doit ici faire abstraction du mou- 
vement de la (dialeur dans le sens horizontal. Kn ell'et, t(Mis les points 
de la surface (jui sont coiitigus, et compris dans une assez grande 
étendue, doivent être regardes comme également alfeclés jiar les 
causes extérieures : il eu résulte (pie les points eorrcs|)ondaiUs places 
dans l'intérieur à une profondeur peu considérable luil aussi, dans le 
même instant, des (enipératurcs sensiblement é;.;ales; donc ils se com- 



(j TiiKoiiii': 1)1 MOI \l:M^;^T in-: l\ <:ii\i.i:i i; 

tiniiii(|unil (les (jiiaiilitrs de l'IniliMir (■xii'êinciiii'iil |M'lilcs. Il n'eu est 
jijis lie iiKMiic (1rs |i(iiiils coiiligiis (l'une iri{"'iii(_' li^^iic vc! licalc ; leurs 
lciii|>('raliii'cs, prises dans un hm'Uk.' inslaiil , (liU'i'iXMil cnlrc elles île 
(|iiantil(''s iiic(ini|iaral)lenienl plus i^i'andes (jiie celles des |MHnls virn- 
lenienl dislanis de la siirlace. l*ai' (■(ins(''iiiient , le iiKUivenienl de la 
(dialeiir (|iril s'aL;il de (■(Hinaiire, pour une lii;ne verlieale ddnnt'e. esl 
seiisildenienl le iU(''!ne (|iie si ((Uis les |)oiiils de la suilaee de la sphi're 
siiliissaieni des (diaiii^enieuts peii()(li(|iies eiitil'i'enienl senililahles. il 
reste ddiic ;i eousidi'rer le uiouveuient de la elialeiii' dans celle deruii're 
li\ |i(illn'se. Les pninls eL;alenienl dislants du cenli'c de la sphi're con- 
ser\('Ml alors une lenip(!'ralure c()niniiin(^ c (|ui \arie avi^c le (crnps 
(''r(uile /. Imi (l(''sii;naul pai' .c la distance au eenli'e, on voit (|ue c est 
une roncli(Ui de c cl / (|u"il l'aul di'tei'rniner. L'(''(|ualiou 

()c _ K / ()- c ■! (^■ \ 



(|ue l'on a ohtenue pr(''c('Mleniuieut (art. Il ) ( ' ), reprc'sente les \aria- 
Ikhis iuslautaui'es des teinpi'ralnres dans une sphi're solide (huit les 
couches spli(''ri(|ues sont inejj;aleni('nl ('chauliV'cs ; c'esl-;i-dire (|ue, si 
l'on donnait actin'Ileinent aux points de la sjdif're plact's ;i la dislaiice .r 
iiiH' lenipérature r. r elant une ('(Miclion de .c donnée, et (|iie \'(\\\ Mudiit 
connaiire le ri'sultat inslaiitaiu'' de l'action niiitnelle de loutes les parti- 
cules, il l'audrait ajouter :i la teinpi'ralure de cha(|U(' point la dilleren- 
iM'Ile 



Cl) \ ,).,■■' .>■ ()., 



,1t. 



Ou voit par lii que celte é([uatiou, (|iu' \\)\\ avait Irouvi'e poiii' le cas où 
le S(dide se l'clroidit lihi'einent apri's son itnniersion dans un h(|in(le, 
exprime aussi la condition iiénei-ale ii la(|uelle la l'onction c doit salis- 
laire. dans la ipn'slion (|ue l'on traite maintenant. On reni|)lacera la 
\arialde r par X — //, \ d('sii;nant le rav(m total de la sphi'ic, et u la 



( ' ) riiàiric (II- 1(1 rh/ilriir, ni'l. 113. |). ip,. 



(.;. i). 



DWS I.KS COnPS SOLIDKS. 7 

(listnncp perpi'ndituhuM' ciitri' hi >iirraci' ri le |M)iiil ilonl la lrm|i('- 
l'aturc t'sl r. On dlilicnt par cctlc sulislilutiun , cl en i;oiisiil('raii( \ 
l'onimc un lii's j^iaiiil iiunil)ic, 

J7 " Cl) 'ih/-' 

On ani'ail pu parviMiii' Ji ce nirnic ri'siillat en cDU^idcraul iniuu'ilia- 
li'incnt le uioiivcincnl liucairc ilc la chaliMir dans un solidr li'iuiiuc 
par un plan intini: mais il y a. dans la (|nrsliiMi des tenip(''ialnrc- 
li'ri-i'sires. divi'i-s points que \'o\\ ne peu! ('rlaiicii' ([n'en ruiplovanl 
l"c(]natiiin plus lirncralc (jui couvii'nt ;i la sphri-c. 

Il tant ajouti'r aux r('U)ar(|in's pi-i'CiMlcnlcs (|iu' Ton pcul l'iu'iui' l'aire 
al)s(racll(>n de l'état priniitil' dans ii'(|Uid se trouvait le solidi' lors(|u'on 
a coiiinienL'c ii assujettir la surface aux variations pcriodi(|ues de tem- 
pe l'a In re. Kn ellel, cet état initial a été continuellement (diangé, et |ien- 
dant un temps infini, en sorte iju'il s'est translormé |u-oiii'cssi\i'meut 
eu nu autre étal, i|ui no dcpeiid plus (|ue des tem|iéiatnies varialilo 
de la surface, cl (|ui e>t lui-mr-me péiiodi(|ne. I.a dill'ei'cni-e entre ccl 
état final et c(dni (|ni avait eu lieu an commeni'enicnt a diniinm' de 
plus en plus, cl a disparu d'cdle-nH'uie enlii'reu:ent : die résulta il d'une 
clialcLir excédante (pii scst dissipci' lilii'cmeni dans res|iace extern'nr 
ou dans le soliile intlnl. Au reste, ce uu'ine ri'snltal, (|u"il est facile 
d'apercevoir r//)//o/7. se déduit ans>i du cali-iil. il esl exprime |iar les 
formules ijéuerales (|ue l'on ohliciil en ayaiil ci^ai'd ;i l'eîal inilial; cl 
l'on reconnait facilement (|ue les teniperalures finales i\u solide sont 
périodiques, et redeviennent les mêmes apri's un intervalle de temps 
égal il celui qui di'leiniine le retour des lempci-aliircs de la >nil'ace. Il 
a paru superilii d'entrer ici <laiis ci' développement. 

Ou voit mainti-nant que la f'(Uiclion cherclii'e e de -v et / est p(''rio- 
diqne par ra|>porl au temps /, el ijifidle satisfait ;i rc(|uation i^'ciK'rale 



(e) 



i)i- k ()-' c i)'- c 

âl " C\) 7)11- ^ ' au- 



8 TUHOniR ni MOINEMKNT DK 1. V CIFALELIi 

l']||(' sMlislail ;iiissi. lors(|i!"(>n l'ail // -= o, ii i'(M|iiali(in (U'tci'iniiiéc 

'j ('laiil une limclidii |M''riii(li(|iic (|ii(' roii sii|i|)(isc rdiiiuif. (l'csl ail 
inovcii (Ir ces (■(indilions (|iril l'aiil drlci-miiicr la (omiion c. 

I,a iialiirc de la roiicrKU) "j rsl Irllc, par liypollii'sc, (|ircllc ne cliani^c 
|i(iinl (le valeur si l'on rrrit / ^ an lien de /, élanl la durée de la 
|iériode; il diiil en èlre de nièine de la loiielion r. 

On salislail ii ré(|na(i()n ( e ) en sn|i|iosan( 

on 

e ^ rtf-"'" sin (x^-ht — A'",). 

(les valenrs |iar(ienli('res se dedniseni de celles que nous avons ein- 
plovées jiis(|iriei; il suClit de rendre les exposanls imai;inaires. Les 
(]naiililés i,' et ii sont arbitraires. On peut donc exprimer la valeui' 
générale de e par ré(|nali(Hi suivante : 



('-) 



+ p-"" {a (MIS (■',,;•- /./ -A'/' ) -^' sin { ■>, A'" /■/ — A'" 'I 
-H e^'-'." I r/, riis( -.îa; /,/ — A'i (/i -T- //| sin( \^\ kl -- A, u 1 1 
H- <'-",« I „, cosCîA'^;/./ — A'j") I- '''•-> •'^ioi TA'j/'' — A' -2" H 



l']n supposant u = o. ou aura l'équation de eoudition 



— r/, eoS-iA'; /'/ ;- l>i su)>A'i /'' 
^- (r, ros 2 A i! /• / -t^ /' . sin -'. a '', /•/ 



'\- 



Ponr (|ue cette (onction soit pi''riodi(]ne et (|n'(dle i-ejirenne sa valeur 
l(ws(|n'on augmente / de rintervalle 0, il snllil <|ne 

/ l'tani un nonilu'c entier (|neleon(|ue. Si l'du pi'end jxuir i;. A'i- A''." • • • 
des nomlires (lui salisliissent ii cette eoudili(Ui. la valeur :;éuérale de e 



I) \NS l.i:S COItl'S Sol.lDKS. il 

(loiiiiL'c par r(M|iialiiiii ( <■ ) sci'a |ii''i'ioilii|iir aussi, cl ne cliaiiiina priiiil 
loi"S(|ii'(Hi t'ci'ira / -- au lieu ilc /: car cette siilislilulioii ue fera 
(|u"aiii,Mii('nt('r iTun iuiilli|ile de la cii-conrereuce eiilii'rc toutes les 
(|uanlités (jiii sont sruis les sii:iies sinus ou cosiuu>. 
On a donc 



'-!/' = (/ <■/, cos ( I -^ / ) -• /', siii j I ~- 1 



— (■/.. cn« ■->. ~ l I — /'., si 11 ( > -^^- / 



~ (7,, cos ( ^~ l) — h. si II ( ,i ^ / ) 

La l'oncliiHi zi I ) étant su|i|n)si'c connue, il sera facile (l'en ilciluirc les 
valeurs (les coeriicients (/,, f/_.. f/|. ^/; ^'i' ^'^- ^'■.•^', * *" trou- 
vera (art. ol I < ' ) 

2 7 ,' 

r.a, =; y^ / 1 1 \ c(jsj ^ / ) (//, 
;:/;,= ~ / o i / i siii ( — / | '// : 



et eu iioneral 



r: '(, =: -7^ / -^i t \ cos ( / ^ / j (//, 



-i,!;; ~ / 0( / I siii ( / ^ O ■■//. 



Les iute;;raics (loivcut être |)ri--es (lepuis -^ / — o jnsi|u';i ," / ^ 2~. 
ou ileiiuis / ^^ () jus(|u"a / - 0. Les coefliciciits elanl ainsi détermines, 
cl les e\[>osants ;,'•. i,', . i,'-,. ^i,', i;,. ... elanl o. 4 ,'-■ 1 -.'t^ ! 

I, ' ) 'l'Iicaric (II- 1(1 cUiilcw\ ;irl. -l'i\. p. 'îj. li- 1). 

IL ! 



jO TlIKOiilK 1)1 MMl NKMHNT DK I. V illVI.KI I! 

4 /—-,•••. t / ,-,, • • • ■ il lu' i'c>lc i-H'ii il'iiicoiiiui dans l;i valeur de r. 
y /,■ \ /. V 

l/(''(]iialioii siiivaiilc luiiniil diiiii' la soliilioii coiiiplf'tc d<' la (iiicslioii : 



(K) 



;/■- 



n.li 



■ — zr ■' 



,{/) siii I 



▼ » Il 

. - / ■'' 



'"\ 






'j( / I (■()^ / V ' '/'' 



'> 



1 _ — ^ •'' 

» '■ 1.1 



<S2. 

dcltt' soliiliiHi ioiiriiil di\(Tsi's canséqiu'nccs i'ciiiar(|iiald('s. Les 
(|iiaiili(i's r\|M(ii('iil H'Ilrs 

■'il '^JL /TE 

,, "V'.\ ,.""V ''/■■). ,.^"V ■*'.«. 

roi'iiii'iil une siiili' deei'oissanle, l'I la iliiiiiiiulioii esl d'aiilaiil plus 
rapide (|iie la (|iiaiilile // esl plus i;raiide. Il en resulle (|ne la leinpé- 
raliiic des piiiiils du solide places à une prolondeiir un peu ennsidé- 
raldi' e>! représentée. sensililenienl par les deux pieinieis lerines de la 
valeur de r. l'ji ell'el. \\ l'a n I reniai'(|ner (|ne les ([iianlites \arialdes ijni 
rnnlliplienl les expnnenl i(d les sont Icnlcs all'eett'es des sii;nes eosinns 
un sinns; (dies ne peUNcnl donc ae(|nerii'. lors(|n'(in l'ail \arier / <mi //, 
ipie des valeurs i-oiuprises eiilic i el — i. A réi;ard des eoeriien'uls 
(|ni eiuiliennenl le silène luleiiial, ils snni tous conslaiils; dune les 



it \\s i.i-.s cdiM's sdi.mr.s. ii 

li'riiii'> siircc^>irs lie la valeur di' r ili m i iiuciil lri'> ra|iiili'iiM'iil m I'dii 
aiii;riH'nli' la vali'iir ilc //. 

l'ji (loiiiiaiil il i-i'tlc i|iiaiilil('' // iiiir i-rrlaini' valriir ('. ([iTil c-.! ai>r 
(le ili'IcriiiiiiiT, ir scruiid Icniic dr la scrii' ilcviciil inir ijuanlilc cvln''- 
tiicnifiil |)i'lit('. cl alni-> la vali'iir de r csl coiislaiilc cl dciiiciii-c aiii-i 
la iiiciiic |)i)iir IdiiIcs les |M'nriiiidciii's i[iii sin|iassciii l . Ainsi l'Aiialv-^c 
lions l'ail ciiiiiiailrc ijnc la lcin|M'i-aliirc des lieux prolonds est fixe el 
ne [iaiiici|ie aiieuneiiieiil aux Narialidiis (|iii mit lien ii la siirraee. 



s:!. 



De plus, celle lelll|ieiallire riMidanicillale ei|lli\aill a 



[ f ..,:.„. 



01 / ) i'e|ircsciilanl la lein|ieralnrc \arialde du |i(iiiit di' la siirlaec. Ddin- 
la lei)i|iéralnre lixc des lieux [nidoinU csl la valeur ninveiiiic de Innics 
les leiii|)ei'alni'es varialdes nliseivees a la sniTace. I.es idi>ei \ al imi^ mil 
dmiiie de|)nis hniLileinns les nii'nies i-(''siillats ; ils se |ircsenlcnl aiijnnr- 
d'Iini c{Hii!ne des c()iise(| iiences evideiile-^ de la llii'mae iiialliéniali(|iic 
de la elialcnr. 

Si. 

I-Jl dcsiiinanf par ir la diUeiciice eiilfe la lelli|iéra lllie iiHiveiine et 
eidle des [toinls ([Ili smil jilaee^ ;i une pridniid en r // |)ell ililleieille 
de I', on aura 






, ' -t\ 



(!•:') 



=:(•-"" [r/ COS( ■'. A'- /./ — mi)-' /; -iin • i'- /./ - - 4'«l|, 

(/, 1) cl i; avant les valeiiis desii^nees |)ree<'deniiiieiil [lar ii,. A, el i,'.. 



\) Tlll.Olili: 1)1 MOI \KMi:\T DE 1. \ ciiu.Krn 

Ollc (Icniii'rc (■■(|ii;iliiui pciil viir Iransioi-iiiéc en cfUe-ri 

Si iiKiiiilciiaiil on rcLçardc // l'imiiiic CDiislaiilc, (i (lue l'on fasse varier /. 
la (pianlile n aiiia |ionr plus i^rande valenr 

Doni' la leni|iéi'aliii'e «riin poini [ilaee ii une prorondeur assez eonsidé- 
i-al)le esl allernat ivenieni plus i;i'ainle on moindre (|ue la tenipéralure 
moyenne; la dill'erenee. ([ni est Irl's pelile, varie eomm(^ le sinus du 
lemps écoule depuis l'inslanl où (die ('lail nulle. Le inaximnm de la 
diU'ei-euee (l(''cr(M'l en progression L:com(''tri(| ne lors(|ue la proroudenr 
aULiinenle en proi;r'essi(Ui arillimelupie. 

Les dillerenls poinis d'une UK'me lii;ne vertiealc ne parviennent 
poiiil huis en nu'me tein|is ii la lenip(''ra(nre moyenne; en sorte que, si 
r(ui oliservail dans le m('une instant les tem|)ératnr'es des points d'une 
verticale, on tr(Miverail alternalivemeni ('es poinis plus chauds et dos 
points plus l'roids. Si l'on veut ciuiuailre ii (|indle di>fanee sont deux 
points (pii parviennent eu UM'Uie tem[)s ii la teiiipt^^ralure moyenne, il 
l'aut i'crire r(''(|uatiou 



^i.i(..^^// 



;« 1 arc lanj; - 



o. 



d'iu'i l'on con(dul (pie la dilIV'i'ence //' // entre les profondeui's doit 
cl re l(dle (jue l'on ail 

/ étant un nomlu'c entier (|Uidcoii(|iie. Ainsi deux points dont la 
distance \('i'ticale esl '' ont dans le HM'iiie iiislant la tempeialnre 

moyenne; mais, pour l'un, celle temperalnii' esl croissante; et, pour 
r;inlre, elle diminue lors(|ue le lemps ani;'mcnle. 

On voit |tar lii (jne (duniue point de rinlerieur du i^lohe suhil des 
\ariali<uis de lem|>eralurc analoi^nes it c(dles (pie nous observons ;i la 
->urrace. Ces variai ions se renou\(dlent aussi apri's un m("'me intei'\;ill(' 



DANS F.F.S COUPS SOLIDES. 13 

lie temps, qui est la (liirre de l'aïuicc; mais vWr^ sim( d'anlaiil iiKiiii- 
(Ircs (|iic les [Hiiiils soul placés ii iiiic plus i^ramli' |)rot'oiii!cnr. en sorlr 
(liTclIcs ilcviciiiicnl iiisiMisililcs liir'xin'oii péiii'lri' dans des >oiilci-iains 
prolbiuls. Cluujiie point paivicnt. >oit ii son maximiiin de rlialciir. soi! 
il la tempt'nitiire iiioycniii'. -i iiiic rpoi|uc (pii d(''[)riid de la dislance ii 
la snrt'ace. Si l'on suivait celle tempeiatni'e moyenne depuis l'inshint 
oii elle ailccte un point iloniie de l'intei-ieni' du i,d(d)e. en |iassanl a\ee 
(die dans les points iiiierieui's, on [lai'coiii rail la 'verticale d'un mou- 
vement nnil'oiiîie. 

I.a dui'ce de la période (pii déterminé le retour des lenip(''ralures de 
la surface inthie beaucoup sui' retendue des oscillations et >ur la dis- 
tance des points (|ui atteiiiiH'Ut en même temps leur maximum deeha- 
leni'. En eU'et, la plus jurande variation ayant pour valeur 



1 " " \ ^ 

^"" («--,- //■')- ou r ^ '■'' 



a^^lj-<\ 



il s'ensuit (|ue. pour (|u'(dle demeurât la même lius(|in' aui;nH'nte, il 
faudrait (ine le (|uolient _ \\v clianycàl point de valeur : donc les |)ro- 

fondeurs pour le.-(|indles les plus i^raudes variations sont r'j^alemenl 
insensihii's dépemleiit du immiire 0, et elles croissent comme les 
raeines carr(''es de la durée îles péi'iodes. il en est de même de la dis- 
lance de deux jioiuts d'une mèun' vei-ticale (|ui alleij^uent en même 
lem[is leur maximum de tempêralni'c. Ainsi les petites variatiiuis 
diurnes de la chaleui' pêm''trenl ii des disiauces dix-neuf fins nuiins 
grandes que les variations anuindles; et les point- (|ui alli'ii;nenl eu 
même temps leur maximum de la (lialeur du joui' >ont environ dix- 
neuf fois moins éloignés que ceux qui [iar\ ieninuil ensemhle ;i leui- 
maximum de la chaleur annuelle. 

A l'égard de la constante /■, qui riqirésente -.,-' elle inilue selon le 

même rapjioi't (|IU' le nondu-e 0, et les oscillations de la idialenr sont 
d'autant plus amples et plus prol'(Mides (|ue la masse (|ui est ex[iosé<' ii 
son action a une plus grande conducilnlité. 



r, iiiKoitii: 1)1 M()r\KMi:\T uv. i. \ ciim.i.i it 

l*;ii- ('\('iii|il('. si la coiislaiilc / rlaii iiilinir, l'clal iiiUTiciir du soliilc 
sciiiil ]iarlnii( le iiii'idc (|M(' celui do la siiiTacc : (iii |Kiunail le coii- 
cliiii' aussi de raiialvsc jircccdcnic : cai', cii siijiposaiil /• =; ce dans 
r('i|iiatioii i^riicralc (V.). huis les Ici'iiics (|iii (•(mlicniiciil // disparais- 
■^iMil. (|ii(d (|ii(' Sdil le Iciiips /; cl la \alciii' ilc r csl la iiiciiic (|uc si 1 (tu 
l'ail // - <>. 

Les rcsiillals |iri''cédcnls, dcdnils de ré(|ualioii ( i'", ), \\'n\\[ |hhiiI 
lien, en n'enéral, l(n'S(|iie les |)oinls snnl |>lacés ii de lii's |ieliles |irn- 
lundent's : il l'anl alnrs (Mn[diiver les termes sid)S(M|nenls de la valeur 
de t . I.'elal Narialile des poinls voisins de la smi'aee dépend de la i'one- 
Inin peiindiiine (|ni détermine les lemperalnres extérieures; mais, ii 
mesnre (|iie la elialeiir p(''ni'lre dans le solide, elle y alleele une dis[K)- 
>itii>ii iei;iili('re, (jin ne depi'nd (|ne des propriétés les pins >im|des 
des >inns et des lo;;ari I Innés, et ne parlieipe pins de l'état arliiliaire 
de la sniTaee. 

Il est laeile de coniniili-e les vali'nrs iinmeri(|in's des (|naiilil(''s (|iie 
l'on \ienl de considérer, mais immis ne poinons appli(|ner aiiiinird'lini 
cette théorie iin'anx snlislanccs solides (|ni ont été rolijet de nos |iro- 
pres expériences: car ces (|nanliles // e| K, (|ni expriment des ([nalites 
speeili(|nes des corps, n'avaieiil pimais ele mesnrées. Nons determiiH'- 
rons donc les moinemcnls pinioclupies de la idialenr dans nii !;l(dic de 
ler d'un Iri's i;rand diami'tre. 

l'oiir liMMiNcr la condncihilile spcciti(|iie de cette snlislance, on a 
ol)sei'\c les tempérai lires lixes îles di\ers points d'nne armille de ler 
exposée il l'aclimi perina iienle d'un lover de clialcnr. Dii rappori con- 
stant ■■^— 



A 



— ^^ ' on a dediiil la valeur an|)ro(dice de , ■ i'insnile on a 

ol)M'r\c II' relVoidissemenl d'nne sphi're s(dide île 1er : on a conclu la 

\aleiir niiméri(|iie de ,,, ■ l,a comnaraison de ces résultais a l'onrni la 
' ( .Il ' 

\alenr de K, (|ni dillcre peu de '[. A l'e^ard des constantes ^'. cl l>, on 
en connaissait dejii les valeurs approchées. 

L'niiile de lon,!4nenr étant le im'trc, Innile île temps une minute. 



it \NS ij:s coni's solidks. i.i 

riiMilc (le [loiils un kiliii;r;iliiliii', li's valciiis ;i|i[iI(m:1i(''('S de /; et K im'ii- 
voiil l'Ire cxjiiiiiK'cs Miiisi : 

iJwAnl aux valeurs ajUM'ocliécs de (", et D. on a 

C ~ .,v, I» = 7800. 

1,'niiile (pii serl ;i inesiii-ei' les (|naMlités île elialeiir est la (|iiaiilile 

iiéeessaii'c [iinir i-oiivertir iiii kilô^raiiiiiie de iihiee ii la teiiipeiMliire n 

en un kiloLirammc d'eau ;i la rm'ine lei!i|n'r-al me o. 

Pour ealeulei' l'ell'et des vaiialions iliui-iies de la teui j)iTal Ui'e, il laiil 

[) cendre 

'j z^ I '1 411 iiiiiiMles. 

Si l'un t'ait ees siihstiluliiuis. cl (|ue l'un eheii lie la \aleiii- de i: nu 

C])z . ., . ,. . ,, 

1 -r~r' "" li'i'livera ([u eu sU[i[Misaut // =; 2'". )()2j I eN|Miuenl lelle 

('-■"" i'^l eu\ii-oti j-,!^. l'ar eonséi|uenl. ii eelle |ir(irondeiir de :>.'". ')<}-ij. 
les vaiialions diui-nes sei-onl Iri'S petiles. Ou ealeiilera les \arialiou< 
annuelles de lempératiire en eoiisei-vanl les valeurs ju-eeedeiiles de K. 
(], I), et prenant 0= iG^ X i '1 '|<) miniites : il sera t'aeile de voir i|iii' 
ees variations sont tirs [leii sensildes a nue |irotondeu!' d'einiron 
()o met res. 

(^)uaut il la distaiii-e <|ni sépare deux |itMiil-> intérieurs de la iiieiiie 
vertieale ijui |)arvienneut en nii'ine temps ii la lenipi'ratiire moyi'iiiie 

annuelle, elle a pour valeur - et. par ronsé(|iient. dillére peu de 

io mi'tri'S. 

Si l'iMi >uivait la température nioveniie ;i niesiire i|u"(dlo passe d'un 
]ioiiit intérieur du i;lolie ii tous eeiix ipii sont plaees au-dessous de lui. 
on desiM'iidrait d'un mouveiiient uiiiCoriiie, en pareouraiit environ 

)o mètres en six mois. Les suitstauei's (pii l'ormeiil ren\elo|)[)e exté- 
rieure du i^lolie terrestre avant nue eondnciliilite speritii|ue et une 
eapaeile de elialeiir dillëreiites de eelles du fer. ou idiserve i|iie ie^ 
variations diurnes ou annuelles deviennent iiiseiisildes à des proi'on- 



1(5 riiKoitii-: 1)1 MOI vi:mi:nt df, i.\ (;h\m:i fî 

(leurs timiiis (■(uisidri'ahlcs, ri (|iic la in'opagatiou de la triii|>(''i'aliiro 
iiiovc-nnc s'oplMc plus Icud'iiicnl . 

I,'('\|i(''ii{'ni'(' lUMis a l'ail coiinail rc (l('|inis l()nglomj)s (juc la lcni|)(''- 
ratiirc des lieux prolouds csi invariahle, cl (|u"tdl<' est éi;ale ii la \aleuf 
uiiiveniie des leuipéralufe (ihserNces l\ la surtaee daus le eours d'une 
aiiiu'e ; (lue les plus i;raudes \ aiialioiis des leui|teialui'es. soit diiiriH's, 
sdil annuelles, diuiiniieul (irs rapidenienl ii mesure (juc la |H'(d'(Hideur 
aui;uu'n(e; (]iu' ces deruii'res [leni'lrent ii des dislances lieaucou|i [tins 
(•(Uisidcraldes : (|u'(dlcs n"(iul |ii)inl lieu en nu'inc temps dans les dillc- 
rcnls p(Muls. cl ()u'ii niu' certaine pr(dondeur les ep()(|ues des plus 
i;i-an(lcs cl des lunindrcs leni[u''ralurcs sont cnlii'i'cinent (ipp()S(''es. 
{."Analyse uiatlnMuali(]ih' ioiirnil anjourd'lini rcxplication c(uupl(ic de 
ces plH'uomi'Ucs : (die les rami'nc a niu' théorie C(unmune cl en (i(Hiiic 
la mesure exai'Ic. Si ces r(''sullals ireussent point (''le connus, inins les 
(leduiri(Uis de la tli(''oric, e(unme des e(nis(''(jucnces simples cl evi- 
dcnles (le {'('(luatiiui i^eruTalc (|iu' noiisaxdus rapp(Mt(''e. 



SC). 

.\'(Mis allons imtintenant indi(|uer une autre ap|)lieali(m des formules 
(|ni rcpr(''seulcul le m(Uivenn'nl p(''riodi(|in' de la (dialcnr dans un liloho 
d'un Iri'sijraud diamî'li'c. Il s'a^;il d'e\aluer la (|uautite tolalc de cha- 
leur (]ui. dans un lien delermim', pcncirc la surface du lihdtc terrestre 
pendant un au. 

()n ne peut conuailrc (|ue par des ohservati(Uis assidues (|U(d est, 
pour un lien donne, l'ordre siM'ccssif des leiupcratni'cs pendant le 
cours d'iiiu' année. A (hWanl de ces ohservadons , (jui u'(Uil point 
em'(n'e eh' faites ;i\-ec nue prccisi(Mi snl'tisanle, nous (duiislrons p(Uir 
e\em|il(^ rcll'et r(''sullaiil d'une hu senddahie ii c(dle (|ui s'elahlit d'tdlc- 
rn("'UU' dans l'inlcrM'iir du S(dnlc. ('.elle loi c(msistc eu ce (|ue la dill'e- 
rcncc de la tempcraturc actu(dle ;i la lcm|)eraturc movcnnc aui^tncntc 
propori i(mncllemeul au sinus du temps écoule depuis l'instaiit où celte 
lemperaluri' movenne a\ai I lien. 

Si l'on sn|>pose (pie deux theriiKuni'tres soient places en deux p(Mnls 



I) VNS LES COlîP? SOLIDES. 17 

Iri's voisins (l'une nitMn(> vi'i-lic;ilt', et i\\\r le premier sml iniini'diali'- 
hxmU iiii-ilessons de la surfaee. la nnii'elie iiun|iarée de ces iiislrunient- 
fera connaître les ellels respeelifs de la clialenr exlérienre et de la 
ciialeni' terrestre. Lorsipie le therniorni'li-e sopérienr niari|iiera niie 
températnre plus élevée (jne ctdle dn second, il s'ensiii\ra (]ne la eha- 
leur coMinuini(|uée par les l'avons molaires, on d'aud-es canse> exti'- 
rienres, pénétre alors ilans le ;.;iol)e et l'ecliauire; mais, loi'sipie le 
tliei'niomi'Ire inlV'rieur deviendra le |ihis idevi'. on en comdiira (|ue la 
elialeur exei'dante (|ne la Teri'c av.iit ae(|nise commence il se dissi[ter 
dans ratmosjdii're. La Terre ac(|uiert ain-i une chaleur nouvidie pen- 
dant une partie de l'anm'e; (die la perd ensuite entièrement pendani 
l'antre partie de la même année. Cette pei'iode m' trouve par lit di\isée 
en deux saisons conlraii'es. I>a (jin'Stion consi>le ii exprimer exacte- 
ment la (jnautil('' de la chaleur (|ni, tra\('r>a!it une surface d'une (''ten- 
due donnée (Un mètre carré), péui'Ire l'intérieur dn plohe pendant la 
durée de recliantrement annuel. Pour nioiirei' celte (jiiantite de cha- 
leur, (ui déterminera combien elle pourrait fondre de kilogrammes de 
i^lace. 

Dans le cas (|ue lujus examinons, le inou\cnient periodi(pie de la 
chaleur est ex|irimé [lar l'eiiualion suivante : 



I 

11- := t 



7 / 9( <■/' = ''"*'"("■'— ^■-)" siii ( fA'-/./ —,i'(/ -- arc t;ni,u - )• 

S(don les princi|)es ([ue nous avons dcuKUitres dans le C(Uirs de cet 
Onvraiif, la (|nanlile de chaleur (jui, |>en(lanl nu iiislani intinimeni 
petit (//, passe d'un point de la verticale ii un |ioiul inférieur, dans un 

lilet solide doiil la sectimi est oj, a iiour exiu'cssion — K ,- mi//: K rc- 

pi'ésente la ci>ndnciliilite iiiterieiire i rin'/' le lenime I, arl. 4 i i ' i. l're- 

('» Thcorie lie la cluilcur, art. 137. p. iii. un iirt. 67 et (jS. p. \-. \<i'k\ (railleurs 
l'énonci.' ci(i loniine auquel renvoie Foiirier : 

La ([uaiilil(^ do ciuileiii' ([(il passe peiul.uiluu temps ilélccmiiu'' T dans une sei-liou S d'un 

prisme solide d(jiit les bases correspondanles aii\ abscisses ,r et X sont assujetties à des 

températures fixes « cl h. et qui se meut dans le sens suivant lequel les ,r au.;mentent. est 

(u'oporllonnelle à l'étendue de la section, à la durée du teiiqis. à la dilléienee des lempé- 

II. 3 



18 



IlIKOIili: 1)1 M0[ VEMENT lii: I. \ CdVLEl I! 



iiiiiil lii valcui'di' , ! on ;iuia rrciiKilioii 



7)7i 



(' "'^■'\4'\ ■>■ { "-' -H Ir y- siii 



-'/,7 — i-ii ~ iirc l:il 



-(H4) 



l/i'clmud'ciiicnt annuel romniencc donc lors(|u'ii ia surfai-i' de la Tcri'c 
la ([nanlili' (|ui est sons le sii^nc du sinns. rlanl nulle, eoinnienee ii 
devenir |iositi\('. Il dure six mois, et le l'elroidissenient a lieu |iendant 
l'aulre nioilié de raiiuee. I,a vitesse avec la(|uellc la (dialeur |ienèli-e 

dans l'inlérieur es! |U(>|ior'li(nin(dle ii la valeur de — , ■ (le ilux de 

(dialeur, ii la surface où la <|uanlité // est nulle, est représenté par 



ir\ ■?. [a- + ^- )-sin 



■'. i'-7, / - arc tan 



'-y a -h 



Il tant maintenant, pour delerminer la (|nanlilé ac(juise pendant la 
durée de l^vdiauHénn'iil, nuilliplier rexjiression précédente par <//. et 
intéiiiei' depuis la valeur de / ([ui rend nulle la (|uantiti'' 



,'■/,/ — arc laiii," 



r, t. // 



jus<[n'ii la valeiii' de / ([ui i-end cette UM'une (|uanlité éiiaie ;i -. 
Si l'on prend entre ces limites l'intéi^raie — 1 -r-f^', •'" anr.i 

Ou voit, par l'expression générale de la valeur de »■, (|ue ( a- — //- V- 
i-eprésente le maximuiii de la dill'erenee entre la température variaMc 
cl la tenijiérature moyenne. Soient A cette plnsi^raude \aiaatioii, dont 
la valeur e^t doniicc par l'oliservatioii, et .\1 la (|uanlilé totale de clia- 



niluri's oxlrçiin's. cl ^•\\^' csl pii raisnn iiwcrsc de la dislaïuT |ierpeiiiliculiiiîT ilcs l)ii.ses. 
C.clt.i^ ilUiiiiUlc est cxpriiiicc par 



- IvST 






K (''laiil un ciH'IliçKHil ciiiislaiil t\\\\ (li'in'iid dç la nnliirc du s^olide. 



G. t). 



DANS LES COUPS SOMDI-.S. V.) 

Ii'iir i|u'il s'ai^issiiit de ilrlccmiiiri-. Il rmulra mnlti[ili('r l"c\|)rt'>sinii 

prrrrilcntc ^. - par le nmiilirc K (|in iiicsiii'c la i-oiiilm-ihiliti'' iiiti'ricurc. 
fl par rclciiduc de la suiTai'c, i\u\ csl ici un iiii'Irc ran'c Kii icniai- 
(piaiil i]iir roii a dfsi-iir par /■ la (iiiaiililé ^^-jy et que /,' = \ • ^,- • 
on aura le résiillal suivant : 



iM = A 1 / 



V 



îhOCI) 



l.a \alrur de tr. [irise ;i la surlaee. est 

(>/-— l>-)- sin I ■î,A''/'' - iirc laiig - I; 



et e(dle de — —- est 
(lu 



'\-j.{a'- -r If"- y sin 



7.l;-I.I — an- lani:' 

\ a — b 



Si Ton supp(ise(|ne le leni[is / eninnienee lors((ne ir est nul, e'es(-ii-dire 

II'' 
l(irs(|ne la lemperatui-e a sa valeur moyenne, le terme arc lanii' ^^ 

s'évanouit ; ainsi la (|nantité rM'st nulle. On aura ilone 



et 



(lu 



le = h sin? A''/'' 



- ,i;b \>.i\\\[>.i;'-l,l — {-) : 



loue r eommenee à (U'veuii' positive lors(ine 2i,'-/7 — -- est e.nal a 



i)u 



zéro: ee (|ui donne, eu mettant pour :,'sa valeur, 



il suit (le lii que récliauli'enient eommenee ^^^ d'année avant (pu' la 
tenqiei'alnre de la surf'aei' soit parvenue ii la valeui' moyenne : jus(ju'ii 
ee ternie, l'intérieur de la Terre, étant plus éehaulle (jue la surlaee. 
fait passer une partie de sa (dialeur dans l'atmosiilii're; mais ensuite le 
nmuveuient de la elialeurse fait en sens eontrain'. |iai'ee([ue la >urfaee 



■20 



TIFKOr.IE Dl M or Vi: MENT DE \A (.HALEllî 



(>sl (IcNcinir |iliis rliiuidi' (]iic les (■(Hiclifs inliTicui'cs. L:i saison <lii 
rcrroidissciiicnl coiimiciirr donc l d'nniH'O avant ([ne la ((Mnprralni'c 
d(''croissan(r de la smi'aci' soit parvciiiic ii sa valeur nioycnnc: cl celte 
saison dure une deini-anncc Si l'on voulait a|)pliquei' ces résullals au 
(diluai de l'aris, ou pourrait suj)poser A ^-8'' (division o(ioi;(''siuiale ). 
A l'ci^'aitl des constantes K, (i, I), si Von (duiisit celles (|ui conviennent 
il une masse s(dide de W'V, on aura [lour valeurs ap|U'oeliées 

Iv = |, <: " /i. l» = 7Soo. 

Kaisaul ensuite - (m.a'i.SCiT. on trouvera 

7kT:i)0 



M = A 



V 



oS.")r,. 



On voit pai' cet e.\cui|dc de calcul (|in' la llit''ori(' louruil le nioveii de 
delei'Uiinei' exacieuieut la (|iuinlile totale de chaleur (|ui passe dans le 
c(uirs d'une deini-annee de rahuo>plii're ii l'intérieur de la Terre, eu 
tra\i'i>aul nue snil'ace d'une ('lendiie (l(uiuée ( un nièti'c eari'é ). (Jette 
(|nautite de idialeiir ('iiunaut, dans le cas (|ue innis venons d'exaniinei-, 
il eidle (|ui peut tondre envii'oii 28 >(V'^ de i;laee, ou nue colonne de 
i^lace d'un nii'tre cari-i' de hase siii' V", 1 de hauteur. 



87. 

Il nous reste niainleuaut ii considérer le inoiiveuieul cmistant île la 
chaleur dans l'intérieur du f;!olie. On a vu (]ue le> perturliatioiis |)é- 
riodi(|ues (jiii se niauil'cslenl ii la surface u'allécteut point seiisihle- 
uient les points situés ii une cei'taine dislance au-dessous de celle 
siuTace. Il faut doiii- faire ahsIractiiMi de renvelo|ipe extérieure du 
sidide. dans la({uidle s'accomplissent les osciilalious sensihies de la 
'dialenr, cl ilonl l'epais'-eur est extrémemeiil petite |iar rappiuM au 
rayon de la ferre. I. 'état du solide intérieur est tri's dilfeienl de cidui 
de celte eiividoppc. (diaiiue poini couMMvant une température lixe. la 
chaleur s'y pi'opai;i' d'un monvcmenl nuiforme, cl jiasse avec une 
extrême lenleui- des parties plus échaull'ees dans eidles ipii le sont 



ItWS LES COlil'S SOI.IDiLS. ■>[ 

iiKiins : l'Ile pi'iii'dc il ilia(|ui' inslimt r( dr |ilus ni plus ilims l'iiiii'- 
riciir (In i;l(ili(' pouf fciii|il;ic('r la cliali'iii' (jiii m' (IcIdiii'iic vers les rr- 
i:i(Mis [lolairfs. On irt'ntre[»n'iiili-;t |)i)iii( ici ilr Irailcr cctlr i|nrsliiiii 
ihms loiilc son ('■IcndiH', pai'cr i|n'i'llr nous parai! smlcnicnt anal\ li(|iit', 
r( (iiTcllr n'a point iraiilcnrs i\t]{' ronnrxion ni'n'ssaiiT a\i'c les romlc- 
nicnts (le ia llicorir : mais il ronvi/nait ;t roliji't de cet Onvra^^i' dr 
montrer ijne tontes les (pieslions de ee yenre peuvent maintenant ('tre 
soumises il l'Analyse niatliémati([ne. 

On sn|)pose (|IK' tons les points de la eiri'onierence d'nii i^raiid cei'ele 
traeé sur la siirlaee d"nne spliiTC sidiile ont aeipiis et conservent une 
lempeialnre conimum'; que Imis les points de la eireonlerenee d'nn 
eerele i|ueleon(|ne, trace sur la snrl'ace parallidenient au premier, ont 
aussi une lêm()eratnre permanente et commune, diU'ereute de ci Ile des 
points de réi|nateur, et que la tempt'r'atnrc fixe decr-oit ainsi de|uiis 
l'éijuati'ur juscju'au pi'de suivant une loi detei'iniut'e. La snri'aee étant 
maintenue, tluranl un lem[is infini et par des causes extérieures qmd- 
conques, dans l'état (|ue nous venons de di-crire, il est m'ccssaii'c que 
le solide parvienne aussi ii un dernier état, et alors la température il'nn 
point inleiaeur (|mdcon(]ne iTiqu'oiivera aucun cliani;emeut. Il est ma- 
nilesle (|ne. si. |»ar le centi'c d'un parallide et dans son plan, on décrit 
uuo circonférouce d'un rayon quelcon(|m', tons les points de cette cir- 
conférence auront la miune tenijn-ratiire. 

Cela posé, l'on va di'monti'er ipic l'équation suivante 

c ■= COS.'' / c-' '"^'' t/r 



représente un état particulier du solide qui snlisisterail de Ini-méme 
s'il était l'oi'mé :.(■ désigne la dislance d'nn |ioint du solide au plan de 
réi|uateur, el )' sa distaine ii l'axe perpenilicnhiire ii rc(|ualenr: c est 
la teujpérature pei-manente du même point: rindelei'minee /■ disparait 
apri's l'intégration. (|ni doit l'tre prise depuis /■ - n jusqu'il /• = ::. I.'é- 
(juation 

c ^ cos.r / ('■' '"•''■ i/r 



■2-2 TllliORli: DU MOUVEMENT DE L\ CIIALEl i! 

s;ilisr;iil ii hi (|U('slioii en ce (iiic, si clKiriiif poinl du Milidc rccrvuil la 
leinpéiMlui'c iiiili(|U('M' par cctlc i'({iuitioii, cl (juc tous 1rs jioinls de la 
siniacc l'iisscnl cnlrclrniis par im loyer cxlrriciir ;i celle icmptMatiirc 
initiale, il n'y aiirail dans riiiléiMcur de la S|ilit're aucun (diaiii;ciuenl 
de teinpéralure. INiiii' verilicr cctlc soliilion, nu clahlira : i"(|ue la 
valeur de c donni'c par rei|iialiciii 

c = cos.r / ,0 '"^'' ///■ 

satistail à rc(]uatiou aux diUcrcnccs |)arli(dles 

(}-c (}-c I <h- _ 
à.r- ' (h ' y <)r 

:'."(|ue l'clal du S(dide est pcruKinenl l(»rs(|uc celte dernière ('(lualinn 
est salisl'ailc cl (|ue les points de lasui'laee sont culrclcuusii leui' teni- 
poraturc initiale. 

lui désii;iiant jtar // la l'ouclioii de v i|ui c(|uivaut à rinléi^rale ijcliiiie 



//■, on aura 



cl, sin)sliliianl, on a 



c ^ Il cos.c 



(/■ Il I du 

(ly- y (ly 



iMpialion diUereiiticlle du second oi'drc ii huiiudle la \alcur de /.■ satis- 
tail. l'our s'en assure!', (ui donnera à l'inlciirale dclinic / c""-' c//- la 
l'orme expriuM'c [lar r(''(|ualioii suivante 



.'„ ^ 2- -.î-.^- 2-.4-.{;- ■vi./ii.c^s-^ /' 

(|u"il est i'acile de vei'iticr. (aile cxpi'<'ssion de la siunrnc de la scri 

,•- v' y'- 



2-.!J- 2-.^-.()- 



e>l \\\\v coiisc(|ucncc eviilcnle de la proposition. ;;ciiéralc cnoncce 



I) VNS Li:S COISI'S SOI.IDKS. 



(I;in> l'ai-licli' .VJ ( ' >. cl ({iii {loiiiic le (lcv('lii|i|tciiicnl ili' l"ml(''L;i-;tli' 
/ v( / sin// i du, V éliiiit iiiif riiiidiiiii (|ii('lc(iii([iit'. ( h- ri'qualiiui 



11 = TA l-r- 



y" 



Ï-. ;-.<;- 



satist'ail i''vi(l(Miiiiient .i r('(|iia(i(Mi ilidV'i'cnlirlIr 

iT- Il I (lu 

(l(U)c la valeur' par1 iriilii'rc dmiiM'i' par rripialidii 



r 



cos.i- / 



satisl'ail ii ré(|iiation aux (lilUMcncrs particllfs 

i)-v (T-v I ()r 

t)x- Jj- !■ (h' 

(aile (Ifiiiii'rc njiialidu L'\|iriiii(' la couilitioii iiéccssaii r |ioiii- (|iii' 
rha(|iir |Miiiil du solide roiiscrNi' sa (l'iiipératiirc. Kii circl. iinaiiiiiiiiis 
(juc, l'axe élanf divisé en une iiiliiiilé de |iai-tics éijales t/.v. an élrvc 
dans le plan d'un méridien luules les eonrdunnées perpendie(ilaire< à 
eet axe e( ipii [)assent parles points de di\isi()ii : cl pareillemenl , (|ue, 
le dianii'ire de r(''(|ua[eur, dans le plan du rnéine méiadien, ('lanl divisé 
en un noinhic infini de parties égales r/i-, on éli've. par tous les |ioinl- 
de division, des perpendieulaii'es (|ui eoupent les |U'éeédenles. du aura 
divisé ainsi l'aire du méridien eu ree(ani;les intininienl peiil>: et si le 
plan de ce uu'ridien tciuiaie sur l'axe, le S(dide sera di\isé lui-mi'uie 
en nue infinité il'eli'ments d(Uil la iiiiiii'e est eidle d'une armille. 

(".liaeun de ees éléments est plaeé entre deux autres dans le sens des.r. 
et entre deux auti'es dans le sens des w I,a quantilé de elialeur i|ui 
passe d'un élément ;i ecdui (pii est placé apii's lui <lans le seu- des ,r 
est éiîalc <"i 

- -/> -y i-r >/y. 



I ' I T/ii-on'f lie 1(1 (luilcur, iiil. :!ll. [i. jjS. iW- 



(i. tl. 



2V TIIKor.Ii: 1)1 MOI NKMKM" l)i: L\ CIIVI.KI lî 

Ce sccoiiil rlt'inciil lr:in>incl dmir ii cflui (|ui Ir ^l^ll dans Iv sens dos v 
imc (|ii:inlitc de (liiilcur cxiiriiiin' |iar 






(I iiidi(|iiaiil la dilTérciiliatidii jiai' rapporl ;i r. Donc l'rlfiiient interiné- 
diaii'i' ac(|iiicrt, ii laisoii dr sa |dacc dans le >cns des r. une quantilr 
de rlialciir éi^alc ;i 

(/(/, '-'-ir.Y'/r). 

On \(iil de la mrnir inanil'i'c (|n'iin Ldcincnl Iransniel ii ctdni (jni est 
placr apii's Ini dans le sens des v une (piaiilitr de (dialt'iir cxpi-inK'c 
|,;,i' — /■'- 2- r '/.'■; (ine ce second cIcimimiI coniinuni(|iie à C(dni i|ni le 
snil dans le rnrnie sens niu' (|nanlile de (dialeiir e^alc à 

— A -T- 2 n )• (/.'■ - /. — :'. T. V (t.c , 
'!>■ ' . '{'■ ■ / 

chiiil i'd le sii;ne delà diilërenlialion par rappoil à v. Donc l'élément 
inlei inediaire ac(|niert, il faison de sa jdace dans le sens des v, nne 
(|iianlilé de clialenr é^^ale ;i 

' <}y • ' 

Il snit de lii i|ne la leinpéraUiie de clnuine jioinl dn solide sera inva- 
riahle si l'on a re(|iialioii 

(/ ( - )■ (■/>•) -r- ( , - r i/.r ) — o 
on 

<)- V ()- f I <)i' 

().(■- ()y- y i)y 

cl si, en même li'mps, luns les poinis de la smlaee soiil exposés ii une 
aelioii l'Xiérieiire ({ni les uldii^'e de c(inserver leurs lemp(''ralnres ini- 
liales. On ponrrail aus>i déduire <'eHi' é(|na(ion de l'eiiualnm i,'(''né- 
lale ( A ), article 1.') ( ' ). 



' ) 'ihvDVic de la Clialciir, ;\l'l. 1 ii. [i. \ .. 



G. l). 



DANS LES CUUI'S SOLIDES, ■>:> 

88. 

Il est nécessaire île reiniU'([uer ([ue ré(|ualion 

(• =: cos.r / f.*"^' (//■ 

n'exiirinie qu'un état |iar(iculifi' cl possiMe; il y a une inlinilé de ^n- 
lutions pareilles, et celte dernièie n'aurait lieu (|ii'aulant ({ue la tem- 
pérature tixe diminuerait n la surface, depuis re(|ualeur jusqu'au [lùlc. 
suivant une lui conrnrme ii i-ette même é(|uati(in. On pourrait aussi 
choisir ré(]ualion 

i' :^ a cos n.r f t"' ' ^' (//■, 

nu 

/ /;->•- /l'y- /(•"•>•'"' \ 

\ 2= 2-. 4- 2-.4-.0^ / 

dans la(]uelle a est une constanti' indéterminée et // un nombre arbi- 
traire; et l'on voit (jue la somme de plusieurs de ces valeuis parlicii- 
iières satisfait encore ;i l'éiiuation aux ditrérences partielles. Mais on 
n'a en vue dans cet Article que de faire disliuLfuer, par l'examen d'un 
cas particulier, comment la chaleur se propai,^' dans la sphi'i'c solide 
<lont la surface est inégalement echauHee. C'est ce (|u'on |)ent l'aiMlc- 
ment l'econnaitre parl'analNse précédente. 

Dans l'état particulier que nous consiilérons, (]ui esl exprime par 
l'équation 

i' = COS.;- i -h ^ -+- -^r-T, -1- , ', , ,. . -t- . • . , 

V 2- 2^4- 2-. 4-.()- / 

le rayon de la s[»hi're étant pris pour l'unilé. il est faeile de voir que la 
température des points de la surface décroît diqmis ré((uateui' jus(|u'an 
pôle; que si, par un point (|uelcon(|ue du plan de l'équatenr. on élève 
une perpendiculaire jusqu'à la surface de la sphère, la tempera! uic 
décroît comme le cosinus de la distance perpendiculaire ;i re(iualeui': 
et ([ue pour un parallide qiudconqiie la température au,mnente dans le 
plan de ce parallèle suivant le rayon, depuis le centre juscju'ii la surface. 
JL 4 



26 THEOHIK DL MOUVEMENT DE LA CHALEl 11 

Ainsi l;i toiii|)r'ratiii(' du centre de la sphère est jdus gramle (|ne celle 
du pôle et moindre (|ne celle de ré([iiateur, et le point le moins écliauli'é 
de la sphère est cidni (jui est placé an pôle. 

Poni' connaiti'e les directions snivanl lesquelles la (dialenr se pro- 
page, il faut imaginer que le solide est divisé, comme précédemment, 
en nue inilnilé d'anneaux dont tons les centres sont placés sur l'axe de 
la sphi'ie. Tous les éléments (|ni, ayant un nn'me l'avon v, ne dilierent 
(|ne par leiii- distance .r à i'é([uatenr sont inégalement é( liaufles, et 
leur tem|i(''i'alni'e (h'ci'oit en s'i'doignaut de ri'qiiateur. l ii de ces éh'-- 
ments commnniijue donc une certaine ([iianlité de chaleur à c(dui (|ui 
est placé a|nrs lui, et ce second en communi(|m' aussi ii l'élénn-nt sui- 
vant. Mais ranneau intermédiaiie donne ;i celui i|ui le suit |)lus de 
clialeui- qu'il n'en reçoit de C(dni ipii le précède; résnilal «pii est 
indi(|ué [lar le l'aiMeur cns.r, dont la dillcrcntndle seconde est néga- 
tive. Les éléments du s(dide (|ui sont placés ii la même distance .r de 
ré(|ualcnr et dillèrent |iar la gramleui' du ravon v sont aussi iiu'gale- 
menl écdianlles, et leur températiire va en augmentant ii mcsuic (ju'on 
s'éloigne de la surface, (lliacun de ces anneaux com"entri(pies échanliè 
ctdui (ju'il rcnrernu' : mais il transmet ii rann( au (|ui est au-dessous 
moins di' (lialeur qu'il n'en reçoit di' l'anneau sniiei'ieur; ce (|ui se 

conclut du iacteui' i -1- ' - H ^-7-; + . . . , dont la dillerenlielle seconde 

■i- 3-. 4^ 

est posil ive. 

Il resuite de celle dislrihuliou de la clialciir (|u'un eléuM'ul (|uel- 
con(|ue du sidide transmet au suivant, dans le sens perpendiculaire ii 
ré(pialenr, plus i\i- (dialenr (|n'il n'en reçoit dans le même sens de 
celui (|ni le preci'dc, cl ipie ce UK'me éh'menl donne ii celui (|ui est 
placé au-dessous de lui, dans le sens du l'ayon perpendiculaire à l'axe 
de la sphi're, nue (|uanlile de (dialenr moindre (|ne C(dle (|n'il reçoit en 
même temps et dans le même sens de l'aniican supérieur, ("es deux 
(dl'ets (qqiosés se compenseiil exactement, et il arrisc (pie (diaipie (dé- 
ment perd dans le sens parallide ii l'axe loiile la (dialenr (|u"il ac(|nicrt 
dans le sens jM'rpendicnlairc ii l'axe, en sorle que sa tem|icraliire ne 



DANS LKS CdIil'S SOI.IKKS. 



•21 



v;iiic point. On l'oeonnait ilisliiKieiiiciit. d'.iiui'S cola, la iniitr que suil 
la clialriir dans l'intériiMir de la s|ili<'rt'. Elle [iimiMit |iar les parties de 
la siirlace voisines de ré(|uatciir. et se dissipe par les ré;;ions polaire^. 
('Iiacnn des éléments infiniment petits placés dans l'inlérienr du s(didc 
échauffe celui qui est placé au-dessous de lui et plus piès de l'axe, et 
il éehanlï'e aussi celui qui est placé, à coté de lui, [dus loin de re(|ua- 
tenr. Ainsi la clialeur émanée du foyer exlérieni' se pi-o|)ai;e dans ees 
deux sens ;i la fuis; une partie se détourne du coté des pôles, et une 
autre partie s'avance |>lns prés du centre de la spliiue. C'est de cette 
manière (|u'(dle se ti'ansmet dans toute la masse, et (pie iliacuu t\f> 
points, recevant autant (|u'il |ierd, conserve sa température. 

Le mouvement uniforme qu'on vient de considérer est extrêmement 
lent si on le compare à celui qui s'accomplit dans l'enveloppe exté- 
rieure du iilohe. Le premier résulte de la différence des températures 
de deux parallèles voisins, et le second, de la dilTereiice des tempéi'a- 
tures entre deux points, voisins de la surface, et placés dans une même 
verticale. Or celte différence, prise entre deux points dont la ilistanee 
est donnée, est incom[)araI)lement plus i;rande dans le sens vertical 
que dans le sens iKoi/.ontal. 

Indépendamment des idiaui^ements de température (|ue la présence 
du Soleil re|)roduit cluopu' jour et dans le cours de chaque année, 
toutes les autres inéiialites qui allécteut le mouvement apparent de l'd 
astre occasionnent aussi des variations semhlaliles. (l'est par la (|ue 
cette quantité immense de chaleur ([ui pénétre la masse du lilohe e>| 
assujettie dans Ions ses mouvements aux lois génerali's (|ui rei;issenl 
l'univers. Toutes les causes (jui l'ont varier l'excentricité et les cléments 
de l'ellipse solaire produisent autant d'inégalités correspondante- dans 
l'ordre des lemj)eratui'es; cet ordi'C s'alti're insensihlement, et se lela- 
Idit ensuite dans le cours de ces mêmes peiiodes (|ui convienncnl aux 
fliverses inégalités. 

Le mouvement idlipti(]ne, (|ui rend les saisons inégales, n'em|iéclu» 
point que la chaleur (jui émane du Soleil dans le cours de clia(|ne 
année ne se distrihue également entre les deux hémisphères: mais 



28 THÉORIE lU' MOUVEMENT DE LA CFIALEIR 

cedt' difféiTiice dans la durre des saisons inilue suf la nalnri' de la 
l'onction péiiddiqac (|ni lègle les tcnipcraturos de chaque eliniat. il 
suit de i;i (|ue le dé|daeenient du faraud axe de l'nilie solaire trans- 
|iorle allc^rnalivenienl d'un liéniisplière ii l'autre ces mêmes variations 
de lempératui'e. Au reste, les dilTérences dont il s'agit sont très peu 
sensildes, et le progrès en est extrêmement lent. On doit surtout les 
distinguer de celles (|ui résultent des causes locales, telles (jue la con- 
iiguralion du sol, son élévation dans l'almosplière, la nature, solide 
ou li(|uide, de la surlace qui reçoit la chaleur, trest aux circonstances 
projires ii ( ha(|ue région (ju'il faut altrihuer les dillérences iiotahles 
qu'on uhserve entre les temperatui'es moyennes des climats pareil- 
lement situés dans les deux hémisphères. Les effets des causes locales 
dill'i'ienl <le ceux dont on a parlé imi ce (|u'ils ne sont point périodiques, 
et (juils affectent scnsihlement la valeur de la température moyenne 
annuelle. 

XIII. 

I)(s lois inalluhnatKjucs de l cijuilibrc de la chaleur reivon liante. 



8'j. 

Si l'on place divers corps, .M, N, P, ..., dans un espace vide d'air, 
(jue termine de toutes parts une enceinte solide entretenue par des 
causes extérieures (|uelcon(|ues à une températui'C constante i, tous 
ces corps, quoi(|ue distants les uns des autres, prendront une tempé- 
rature commune; cl celte température iinale, d(inl c(dle de chaque 
molécule s'appiociie de jdus en plus, est la même que celle de l'en- 
eeiiit(!. (ie résultat ne dépend ni de l'espèce, ni de la l'urme des corps, 
ni du lien où ils sont places; ()uelles (jue soient ces circonstances, la 
température tiuale sera toujours commune et égale ii C(dle de l'en- 
ceinte. Le l'ait g(''néral (|u'on vient d'énoncer dniine lieu ;i dillerentes 
(]uesli(uis (|ue nous allons traiter dans cet article, en exposant la 
théorie de la (dialeur ray((niianle. 

Il est ceilain (jue ré(|uilihr(' de lemp(''ralnre entre les corps dislanis 



DANS LES CORPS SOLIDES. i!) 

s'établit par l'irradiation de la clialour; en sorti' (|Ui' cIukiiic |iorlioii 
intiniuRMit jietitc lic la surface des corps ost le ccnlrc d'un lirniisplitTc 
oomposo d'une iiitinité de rayons, il se présente d'ahord la (lue^licui de 
savoir si tous ces rayons ont une égale intensité, ou si leur intensité 
varie en mémo temps que l'aniile ([u'ils font avec la surface dont ils 
s'éloignent. En général, si deux surfaces intininient petites .< et i iné- 
galement éclianlTées sont présentées l'une à l'autre, la plus froide 
ac(|uerra. en vertu de leur action mututdle, une nouvelle quantité de 
chaleur (|ui dépend de la distance v des deux surfaites, de l'angle y 
([ue fait avec s la ligne v, de l'angle o (|ue fait avec 7 la même ligne v, 
(le l'étendue iiitiniment petite s et 7 de ces deux sui'faces, entin de 
leurs lempératures rt et h. Nous démontrci'ons (|ue le résultat de l'ac- 
tion mutuelle de s et n est expiimé par 



ÇT sin/j sin j 

7^ 



(rf. 



g est un coefticienl constant (|ni mesure la conducihilité extéiieure 
des deux surfaces. Ensuite nous ferons voir (|ue ce théorème suftit 
pour expliquer distinctement comment s'établit et subsiste, dans tons 
les cas, l'égalité de température iju'on observe entre divers corps placés 
dans une même enceinte. 

On ignore entii'rement aujourd'hui la nature de cette force inté- 
rieure dont résulte l'émission de la cbaleui'. et la cause (|ui produit 
les réflexions à la surface. Parmi les physiciens (|ul oui (railé de la 
chaleur, les uns la considèrent comme une matil're [tropre. (jiii Ira- 
verse les milieux élastiques et les espaces vides; d'autres font consister 
sa propagation dans les vibrations d'un lliiide extié'memenl sublil. 
Quoi <]u'il eu soit, il est naturel de comparer les rayons de la clialeui' 
à ceux de la lumière, et de supposer que les corps se transmettent 
mutuellement la chaleur dont ils sont pénétrés, de même (juc deux 
surfaces (jui sont inégalement ou également éclairées s'envoient réci- 
proquement leur lumière, ("est dans cet échange de rayons (]ue con- 
siste principalement l'hypothèse proposée par M. le professeur Pi'cvosl, 



:{0 TiiKomi: du molvemknt di; l\ <:hali:i k 

(le (icni'vc. Celle liv|)(itli('se foui'iiit des explicalions claires de Ions les 
()liénoniènes eonnus; elle se prête plus facileinent qu'aucune autre aux 
applications du calcul : il nous [larail donc utile de la choisir, et l'on 
|»eut même l'eniplover :ivec avantage pour se représenler le mode de la 
propai^atioii de la ( lialenr dans les corps solides. Mais, si l'on examine 
altentivement les lois matliématitjues que suivent les ell'els de la cha- 
leur, on voit (|ne la certitude de ces lois ne repose sur aucune liypo- 
liii'se pliysiqiH'. Ou(d(|ue idée (|u"oii puisse si' former de la cause qui 
lie Ions les l'ails entre eux, et dans (|uel(|ue ordi'c (|u'on veuille dis- 
poseï' ces faits, pourvu (|ue le systi'me (|u'on adopte les comprenne 
tous, on en déduira toujours les lois matliématiques aux(|uelles ils 
sont assujetlis. Ainsi l'on ne peut point afliinier que les denx sur- 
laces iutiniment petites v et 7 s'envoient toutes les deux des i"iyons 
de clialeiir, (|mdles (|in' soient leurs températures; on p(mrrail su|i- 
po>er indilléremment (|ne celle dont la température est la plus élevée 
est la seule (pii Iransnietle ii l'anli-e nue |iarlie de sa (dialenr: mais, 
soit (pToii préfère l'une ou l'antre snpposiliini, on ne peut douter que 
l'eUet l'ésullanl de l'action des deux suri';. ces ne soit proportionnid à la 
diirérence des températures, aux >inns des angles d'émission et d'inci- 
dence, il l'clendne des sni'l'accs, cl réeipro(|uemcnt proportionn(d au 
carré de la distani'e. En ellet, il nous sera facile de prouver (|ne, si ces 
conditions n'élaient [loinl l'cnqdies, l'équilibre des lempéiatures ne 
pourrait pas subsister. 

On cxpriuH' |>ar le coeflicient // la quantité de chaleur (pii, pendant 
l'unité de temps, sort de l'unité de snrface échauffée ii la tempéra- 
Inre i , e! s'ecbappe dans l'espace vide tl'air. Pour faciliter l'applnalion 
(lu calcul, on attribiH' il cel espace infini une température fondamen- 
lale, designée |>ar o, et l'on concoil iprune masse dont la ti'mpérature 
esl a envoie d'elle-même dans cet csjiace, (|iielles (pie soient d'ailleurs 
les températures de tous les c(U'ps envii'(mnanls, une (jiianlitê de (lia- 
lenr |iioporlionnelle ii la lemperalnre it, cl exprimée par <is/i : s est 
relendne de la surface extérieure, et // le coeflicient ipii mesure la 
conducibilili'. 



DANS LES COUPS SdLIDKS. 



:JI 



1)0. 

Chaque partir iiitiniiin'iit |M'litr oj (fiiiio surfac(^ ('•cliaiiHV'i' c^l le 
centre d'un Iieinisplii'i'e conliiiiu'llenn'nl rempli [tar la chaleur lavon- 
nante; et si l'on pouvait recevoii' toute la ([uantité (|ue cette particule 
envoie à l'espace environnant pendant l'unité de temps, celte clialeur 
totale serait l'xprimi'e parr/w//. L'intensité des layons émis peut n'i'lre 
|)as la même dans tout rhémis[)h('re. et d(''pendre d'une manière (|ncl- 
concjue de l'ani^le -j ([ue la direction du rayon l'ait avec la -urface. l'oni' 
mesurer l'intensité d'un rayon donné, on supposera {|ue tons les antres 
(|ni remplissent en ménu' temps l'hiMnisphiM'c coutienneni antanl de 
chaleur (jue lui. Dans celte supposition, la ([uanlile totale en\(ivt''e par 
l'unité de surface [lendant l'uniti' de temps ne sera [dus //. On di'si- 
y;uera |Kii'(i cette (dialeur totale, et l'on pi'endra (i pour la mesure de 
l'intensité du rayon d(Uil il s'ai^it. li est une f'onclion incdimiie du 
sinus de o. Ou aura sénéralement 



(j =: a g F( sin c. ), 

la tempi'rature étant desii;née pai' a. Si, dans la surl'ac(^ héniisphi'ri(pn' 
dont le centi-e est nu pidnl de la surface echanll'ei;. (ui Irace une /.(nie 
(|ui ;iil polir hauteur l'arc dz (le rayon étant i i, mi aura j-cos^ï/'^ 
pour la surface de celle zone. Il est facile d"e\[irimer la quantité totale 
de chaleur qui, pendant une minute, traverse celte zone, j-ji t'Il'el. ^i 
tous les rayons (jiii traversent la surface hémispheiaipie ■?.- avaieul la 
même intensité (pie (H'Ux qui passent par la zone 2- cos-^ '/'-/. le prodiiii 
(h' l'émission |ieiidanl l'unité de temps serait. |iar hvpothi'se. (1 ou 
«ijFlsins) : donc la (dialeur totale qui, dans le même temps, passe 
par la zone est unuiidre \\w ('■ dans le rapport des deux surface- 

■2t: cos'j f/o et ;'.-. Celle chaleur totale est —^' — ^^^^^ ou 

au F(.sin -j) coso ri:,. 



V.w intégrant cette dillei-elitiidle depuis •^ = " jns(]u';i '-/ = ^ 



(Jll (llUl 



32 TllEOKli: 1)1 MOI \ EMEM llE LA Cil \[J' L I! 

iivoir hi (|iiaiUit(' (ili : on ti'ouvc donc en premier lion la cmulilion siii- 
vaiile 

(.A) h ^^ ^ i F(siii9) coso ^/o. 

Par exein|ile, si rintcnsilé riail inilépcndante de ran!j;Ie d'émission et 
la nirme [lonr tons les rayons, on anrait F( sino) ^ i, et, en intéi;rant. 

/' = A' • 

Si l'intensili' est |»ro[ioi lionnelle an sinus de Tantale d'émission, ce 
(pii est le cas de la nature, comme on le verra liientot, on aura 

F (si 110 ) = siny, 

d'où l'on coiudiit 

h — \ s- 

L'é(piation (A) exprime que h est l'intensité moyenne de tons les rayons 
émis. L(iis(|ne l'intensité varie comme le sinus, elle est exprimcc pai- 
i,'sin'./ ou iiZ/siiio : ainsi les i-ayons émis sous un ani;le éi;al à y, de 
droit ont niu' intensité égale ;i la valeui' moyenne; et si tous les rayons 
étaient scmldalilcs ;i ceux (|ui sortent |H^rpen(!iculairenient de la sur- 
l'aee. le |)rodnil de l'émission sei'ait donlde de ce (|u'il est en ell'et. 

91. 

('es princi|ies étant étalilis, nous résoudrons successivement pln- 
>ieurs <|iii'slio!is parliculii'rcs ; e( la comparaison des résultats fera 
coiiiiailre sans aucun doute la loi du déci'oissement de l'intensité des 
rayons. 

I" Ou supjiose (|iie deux suifaces |daues, parallldes cl inliuies, 
soient eulretenues ii nue lempératni'e constante, et tpie, eiisuile. on 
introduise dans l'espace vide d'an' ciuiipris entre ces deux plans nu 
diM|iie iuliiiimeiil pclil. dont la base soit située par:illi'lement aux 
deux surfaces (//i,'- i); il s'a;.;il de déterminer la tempi'rature linale 
ipu' ces plans éidiaull'es c(uuniunii|ucnt an dls(|ue: <i désigne la lem- 
p(''ialure constante des [ilans, a e^t le rayon inliuiment petit de la hase 
du disipie, dont l'épaisseui' est idle-méme inlinimeiit petite par rapport 



DANS I.i:s Colil'S Sol.IlU.S. :î:{ 

il ij.. I.a cniiiliii'ilMlilc // des (lrii\ >uiT;ii'i's (''cIkuiIIccs csI sn|i|)(iscc l:i 
iiK'iiic (|ii(' relie du ilis(|ii('. On luit iilislnuiioii de l;i |ii()|iiie(e (ine 
loiiles res surlaees |i(iiiiiaienl a\()ii' de relle(diir une pallie de la cha- 
leur incidente: c'esl-ii-dii-e (|n'nii snpjiiise i|n'ancnn lavon de clialeiir 
envoyé an disipie ne peut l'Ire relleelii. On verra par la suite (|ni' la 
propiieii' diinl il s"aL;it, a (piidi|ne dej;ii' (|iic les corps en jonissenl, 
n'apporle ancnn clianyenieiit ;i reijnililire de la clialeur rayonnante; 



I-ii!- 



/ l'st la distaiii-e connue du centre du dis(|ne ;i riiii des plans; /• de- 
siii'iie la dislance varlalile ilii dis(|ne ;i nn point /// du plan, .r la dis- 
lance de //(■ ail point ti\e O, et o rani;le enire /■ et r. (i on (/l;V{ sin o ) de- 
>iL;nc, coMUiie précedeinineiit , rinleiiMle dn rayon einis sons rani;le -^ 
il la lein|)(''ra(nre a. el l'on a l'eiinalion de condilion ( A ) entre // et i,'. 
Cida pose, le point /// envoie an disipie inlininient petit un ra\oii de 
chaleur (|iii, traversant la siii l'ace sphcri(]iie dont le raxoii est /■, occupe 
une surface l'^^ale ii rra'-sino. i'ài ell'et, la l'orine de ce ravon elaiil cidie 
d'un cône don! les ci'ites i'oiil nn aiiL^lc intiniineiit pi'lil. le ia|tpinl de 
la sni-j'ace de la liase ii cidle de la section |ier|ieiidiciilaire est celui de 
riiniti' an sinus de Taiii^le 'j. Di'sii^nons par to la portion intininient 
petite du plan (|iii einuie la (dialeur de //,' en u. sous l'aiiiile o. Si tons 
les i-a\oiis i|iii traversent la sniTace hcini.-phi'rique :>.~r'- avaient la 
iiieine intensité (pie le rayon dont il s'ai;il, le prodnil de rémission 
serait cjd : donc la (juantile totale de chaleur (|ui. partant de <o . 

',i(i-JJ.- si 11 ■ 



loinlie sur le disijne est 



Or tous les points de la couronne 



eircnlaii'c ■i-.rr/.v. ([ui a son centre an point () et |ionr liauleiir c/.r, 

envoit'nt leui's rayons au dis(|ue sons l'an^ile s. On remplacera donc oj 

par 2~.rt/.v; ensuite on mettra au lieu de (i sa valeur r/i,' F(sin o). On 

II. 5 



n Tni:()i!iK hi mouvement de ev chaeeu! 

;i il(jiic l:i (liHi'renticIlt' 

■?. - -r d.r aff F ( s i n 9 ) f/- s i 1 1 9 
2/- 

Si l'on mcl Mil lieu de r cl de r leurs viilcurs /"rois l't /'coséc-^, la 
(lillércriliellc (iiécédciile de viendra 



ou, laisaiil siuc/ = ;, 



ag 7:,^- F ( s i 11 9 ) cos 9 ^9 



fiif r;j.- F ( ; ) (/; 



Si l'on vent eonnailre l'achon exercée sur le dis(|ne par un plan 
eiiTiilaire dont le rayon est \, ou désiL;iiera par Z la dernii're valeur 
du sinus de o, et l'on |ireudra l'inleiirale prén'diMile depuis ; = 1 
jns(|u';i 3 = Z, ou. re (|ni est la luénie chose, ou |>rcndia l'intci^rale 
tii^-ij.- I !'"( z )</: de 3 -= Z ii ; =- i . De plus, (ui aura 



/ V[:-)dz 



l'intci^rale étant prise de ; = o à ; = i. Doue la (|uanllli'' totale 
chaleur (|iie le dis(|iic reçoit du |»lan circulaire est 



/' I'(0'/-^ 



</,-iJ-~-^- 



I Viz),h 

si l'intensité des rayons est iiidépeudanle ih l'ani^le d'éiuission. la 
i|iianlité de chaleur ([lie le (lis(|uc reçoit du [dan circulaire (wi 

<ilir.[x-{\ — siii<I>) ou (/// r;j'- >iii \ erse T. 

en d(''sii;nanl par '!> la dernii're valeur de la variahle cl |>ar 'l' la nioiliiî 
de l'angle dont le s(uuniet est au centre du disipie et don! les cotes 
enihrasseni le plan. 

Si l'inleiisité decroit coiiinie le sinus de rani;Ie d'(''Uiissi(Ui, on 

trouve 

«/i-/ji- cos-<l' ou ((// r;j.' siii- 4'. 



DANS r.KS COHPS S()I.[[>KS. :i;j 

Si l'on éloigne de plus vn plus le disque du plan ériiautïé. loutcs 
les autres eoiiditions denieuiatil les uièuies, l'aetldu du plan deernil 
dans le premier eas comme le sinn- vei<e du deuii-aiigle an '■eulic, el 
dans le seeond, comme le earre du sinus du demi-angle au een(re. 
Dans l'un e( l'aulre cas, si le plan est infini, la ([uantité de ehaleui' (|ue 
le dis(|ue reçoit est (i/ir.'j.-. e| ne dépend nullenieni de la dislanre /. 

l-ji gênerai, (pudle (juè suil la lonclion F( sin-^ ), rexpressioii 



/ K,c,,/. 



fi/i r.u.- 



I K,. 



)<h 



se réduit ii /i//-u.- Icwsipie le plan cii'ciilaire est inlini: caries tei'nu's 
de la jireniit're intégrale deviennent les UH'mes ([ue les terme> de la 
secouile. Si d(uic on suppose (|in' l'intensité des rayons varie suivant 
une l'onction (|ii(dc<)n(|ne de l'angle d'eniissi(ui. et >i l'on plaee le 
ilisque parallidoment an plan infini ;i une dislance qiudcon(|Uf', la 
([iiantilé de chaleur envoyée au dis(|ue peudaiil riinite di' lem[)s sera 
(ilir.'j.'-. Il en sera de même ilu |)lan inlini supérieur an dis(|ue : diuic 
la (juantité totale de chaleur reçue par le disi|ue sera -xi/i-'j.-. 

Soit h la température tinale (|ue le disipie doit ac(|uerir. I.a sinTaee 
totale étant 2t:ij.-, et la conduciliilite //, il s'en écliappera pendani 
riinité de ti'm|i> une (|uantite de idialeur égale ;i -ih/i-'j.- . <)i-. pour 
que la tempci'atui'c ae(|nise par le disijue soit [icrmancnti'. il Tant i|U_d 
reçoi\ (■ autant de chaleur (|u'il en perd ; lui a don<- 



nu 



1 bh T.'jr ^ ■> ah T.'j'- 
h = a. 



H suit de la i|ue le dis(|ne intinimeni petit phni' paiallidcnn'ul aux 
deux plans en un piuiit (|nelcon(|ne de l'espace qu'ils eonqu'cnneut 
|iarvieiidra toujours ;i une temperalni'c tinale égale à C(dle des deux 
plans. Ce résultat ue dépend point de la loi suivant lai|uelli' l'intcusite 
di's rayons peut décroître ii mesure (|u'ils deviennent plus ohlicpies. 



3() 



THÉoRii: i>i MOI \i:mi:m i»i: i> v (:i(Uj:Lit 



92. 

On iihiri' une miilrriilc s[ili('n(|iii' iiitiiiimciit |h'IiIc iiii (■ciiln' il un 
(■s|i;ic(' tcr-ininr |iai' liai' siii'lin'c s|ili(''ri(|ni' (jn'oii ciiliclii'iil ii l;i lnii|K'- 
r:iliirc (•(ins[;iiili' a. Il s'a^il dr (Irlfriiiincr la l('in|H'raliii'c liiialr ili' la 
iiidIccuIc. La niniliii'iliililc ilrs sutTarcs est (lc-~ii;iicc par //, p csl le 
ravoii (le la iikiIccuIc; on cxpriinc par (i on (/.;'F( sin o ) rinlciisih' dn 
iMvon cinis sons l'angle v: cl Ion a, coniiin' prfiM'dcinnicnl, 

h -=^ l; i F (sin v) ("oso c/'j. 

[Jnc poiMMUi inlininienl |ir(ilç (o di' la smiacc inlrrirni-c de la spInTc 
rnvoii' di's rayons de clialriii- (|ui l'cniplisscnl conlinnidlcnicnl l'Iicnii- 
sjdii'rc donl le r'avon csl /■. \.v rayon (|iii, parli de (o, lundic sni' la rnolc- 
cnlc ocrnpi.' snr la sarlacc hcMiis|>h(''r'M|n(' cgalc ii -ir.f- nnr pinMion 
rivale il -:-'. Si Ions les rayons sortis de co ayaicnl l'inlcnsili' (i, la 
(|nanlili' lolale de chalcnr cnyoyt'c par o; pcndani l'iinitr dr (cinps 
scrail ('jli. l)(Mic le r'ayoïi (jui lonihe snr la mol cnlc l'oiirnil pendant ce 

riK'nie leniiis une iinanlite de tdialenr finale ii oj(i— ■^,- On a anssi, 

^ > 77/""- 

sin-i elanl i . 



(i " «A' Fi i) = 



/ F( sin 9 ) cos'y <I'j 



Done la (dialenr (ine la porlion (■> donne ;i la ni(décnle est 



F(i) 



/ F (si 11 'j ) coso dj 



l.e rap(ioit de la sniTaee >plH'rii|ne ii <<> elanl ^ on aura, pour l'ex- 



DANS LES COUPS S(>I.II)J:S. 

|)r('ssioii lie hi rhalciir tolair rrciii' |iar la iiKilrciilc. 



■?. (ï/l T.'j- 



I F( si 11 -^) COS9 </v 



(Hi, l'aisaiil siii s = -, 



■laliT.'J 



F(i) 



/ F,../. 



Suit // la (('m[H''i-atiiir tiiialc ac(|iiisc |iar la iiinliTiilf; cllr dissipciail 
[)ar sa surface iiiic ()uaiililr du clialcur- ('■i^alc à '\lili-y. Donc on aura 
['('•(juation 



'1 A/c:'/-— \iih--',- 



F(i) 



(Vk^).Iz 



ou 



, a F 1 1 \ 

O =r — 



/' F(.)./. 

Si rintcnsilc dis rayons no varie jioinl. on a F(';) = i cl A ^ ' • Il 

ariivcrait donc t|ue la molécule placée au centre de la spiièn* |ireiidr:Ml 
une température finale é;:ale :i la moitié de celle de renceinle. 

Si rintf'nsité des ravons dt^croit proportionnellement an sinn^ de 
l'ohliquité. on a F( r ) = r et h = a. Dans ce cas, la molécule accpHerl 
et conserve une température égale ii celle de l'enceinle. 

9.;. 

On propose maintenant de detei-miner raclion d'un plan circulaire 
sur une nndécule splieri(|ne placi'c dans l'axe du |dan. 

On d('sii;iie, comme ci-dessus, parr, /•./', c. les (piaiitites relatives ii 
la position de la molécule et ii celle du point (pii lui envoie de la elia- 
leiir: h est la conilucihilité de la surface, a la liMuperature ilii [ilan, (■ 
ou r/i; F(sin's) rintcnsité du rayon émis par le plan sous l'aiii^le ---. 

On trouve facilement, poui' l'expression de la (piantité de chaleur 
envoyée à la molécule par la couronne dont la hauteur est di\ la dill'e- 



:îS THÉOKIK 1)1 MOL VEMENT DE LA CllALEl H 



rciiticilr siiivanic 



on 



■ï-.r (/.r ag F( siii o) 



Trp^ 



T.a^' Fi sino ) - „r/(.r-). 
' 2 r- 

Mel(;iii( pour .r cl /■ leurs valeurs /eolç- el /eoseeo, on auia la diflë- 

reiitielle 

„ „ , eoso do 
— a^T.o- 1 1 Siii ca ) — r^ — ' 1 



on, faisant smo 



Meltaut pour ^ sa valeur 



■ f>n ■^P" 



/■ '-'^ 



„ F( ;)./.- 



on ania, pour l'expression de la chaleur totale icçuc [lar la molécule 



/■ 



V{z)(lz 



(iliT.rj"- 



f in=) 



fz 



Si rintensité des rayons émis est la même |toui' tontes les ohlnjuites, 
on a F(;) = i, et la (|nanlilc île chaleur reçue par la molécule est 
ti/iT.z- \nii -. — i-, on désignant i»ar<l'la dernii're valeur de o. L'action du 

' '^ S1I1<1> ^ ' 

dis(]ue sur la nndecnle est (hmc tiMijours prop(u-li(mn(dle au loi,fai-itlime 
de la sécante du deini-ani^le au centre. Si, en conservant la distance /'. 
on faisait variei' le ravon t\[\ dis(|ue, et (|ue les dislances extrêmes K, 
H, H', ... crussent comme les niunhres i, ■?., '|. S, id, .... les ([uanlités 
de (dnilenr reçues aiii-nienteraient comme les m)mhi('S naturels. On 
pourrait donc rendre ces (|uantites aussi grandes (jn'on le xoudiait. 

Il suit de lii (pie, si tous les rayons (|ui s'échappent d'un point d'une 
>niTace ecdianllée avaient rrne éi;ale intensité, on [loiii'rait. au moyen 
d'un plan cir'culairc entretenu ii la temperatur'e corrsiarrte a, comiiiiini- 



1) VNS LES COUPS SOI.IDKS. 



:i!t 



quoi" à la molécule S[ilit'Ti(iiit' iinr t<'iii|)cratiiir h siipcru'iiie ;i a cl 
aussi i;i'aii(li' qu'on voudrait, j-ji cllct. la iiiolcculu laisserait n-Iia|i|n':- 
par sa sufi'acc une quaiititi' de i-lialcur cigale ii \hhr.i-: rrrivaul doin- 



i bliT-'j"- ^ ait T.'j- \i^^z 



sin'l» 



ou a 



5in«I>;=e ". 



Ainsi l'on pourrait tiuijours di'tcruiiucr l'aULili' <!' en sorte (jiie la tein- 
|iéi'ature I) recul une valeur (juideonijuc. 

Il est l'acile de voii' (|ue ce résultat est entii'reiucnt contraire aux 
laits, et que, par conse([uent, l'intcusiti' des imvous lunis n'e^t point la 
niènie pour tous les rayons. 

Si, dans l'expression 



/ 



F(.^)'/.- 



aliT.'j- 



I ViZ)(/z 



on su|ipose F(':) = ;, e'est-à-dire si rinleusilé décroît |)roportionnel- 

lenieut au sinus de l'angle d'éuilssion. ou Irouvei'a, a[)ri's l'intei^ra- 

lioi), 

■?.a/iT:p-(i — siii<I>). 

Dans cette seconde hy|)Otlièse, l'action du dis(]ue est |)roporlionuidle 
au sinus verse du demi-angle au centre : elle est t(»uj(Uirs nuiiiulie <|ne 
2a/>-z'-. 

Si le |ilau eeliautl'e est intiui. la clmleur qu'il donne ii la uioliMule 
est 2a/i-z'-, (|uelle (|ue soit d'ailleurs la ilistance /'. Hn sii|ipo-;nil ;iu- 
(lessus de la luoh'i'ule un -econd plan intiui, eiialenient enirelenu ;i la 
température ti. la quantité totale de chaleur reçue jiar la molécule sera 
'\nliT.z-. Si la tenipératuic ac(|nise était h, cette même molécule per- 
di'ait \l)lir.z-. D(uic h = a, et, p;ir i(iu>e(|nent, si l'on plaee tine niole- 
eule spliériijiie en un point (|nelcon(|ue de l'espaee com|iris entre deux 
plans entretenus ;i une température coustaule. elle ac(]uerra uiu' tem- 



'lO TlIKOltli: l»l MOUNEMKN'I' DE L\ (IIALErit 

|ii'i;iliii-c cigale ii ctAlr des driix |ilan>. Ce n''siil(;il (l(ii( avoir lien si l'iii- 
Iciisilc ili'S lavons \arir L'omiiie le sinus de Tani^lc d"(''rnissi(iii. 

9i. 

On dclciniincra encore l'aclion d'aiie surface cylii)dii(|ne sur une 
nioleciile s|di(''ii(|Ue placée dans un jioinl de son axe. 

Le jtoinl /// ( //\;. 2 ) envoie ii la nnilér'uie lin rayon de (dialeur d(Mil 
la hui-neur es( /■, l'I (|ui l'ail avec la, surlace doni il soi'l un an;;le o. Il 




en esl de même de tous les points qui sont placés coninie le |ioinl /// 
dans une zone cylindi-i(pie dont le rayon est / et la hauteur i/.r. Il suit 
di' la (|in' la (|uantite de clialeur envoyée parla zone à la molécule (huit 
le rayon est : a pour exprosion 

-- — .; ni: F ( si H o ) 2 7: /(/.'. 



On mettra an lieu de .r et /■ leurs valeurs /"cot o et /'cosécc;; on lioii- 
\ era alors 



/,/â 



= — ,1; 



i)(Uic la dillerentiidle préci'deiile de\ ien<li"i 

— tlU T.'j- F(siM O ) (/o. 

l'ienani donc I inlej^rale depuis o = - iiis(|u';i ç, = <I>, on prenant 

l'inteiïrale. a\('c un sii^ne {(Uitrairc, depuis ',p = <l> ius(|u';i 0= '- ■■ on 
aura la (|nantité de (dialeur envoyée a la imdecule par la partie de la 



DANS f.i:S COHI'S SOLI IMLS. ',1 

>iirr;ifi' i-\lin(lii(|U(' (|iii est siliici' ;i l;i j^aiirlic. Crllc ((iiaiililc ol 



(lIlT.'j- 



I iM.sino). 



/ 



!•'( si II '-.) cijs'j (/'^ 



On aura un ri'snllat anal(ii;iU' |ionr la partie de la siirl'aci' cvliiMlriiinc 
(|Mi l'st il la (Iri)ili' (le la nioli'enli'. I/actinn Inlale de eelte sniTaee sera 
('\|)riiiiee [lar la sniiune des deux (ernu's. 

Si F( sin z, ) = i , l'aelion lolale de la sni-l'ace eylindrii|ne sur la mole- 
éule sera <///t.'J{ 'b -f- -l'), en désij^nant |iar -l el 'l' ( /t'i;. ! i les aniiles 



l'i!! .->. 



; I ; P 



(|iie (oui avec la per]H'inlieulaire li>s denv ravdiis (|iii, parlant de la 
iiiulecnle, ahoiilisscnt aux exlri'Mnili's du eviindre. (lette aetion est dune 
prnpnrlinniudle, liMitos choses d'ailleurs ei^ales, ii Taniile an cenlie, 
i'"est-;i-dire il celui (|ui a siin soniniel ii la iimleride, el linnl les enles 
ci)ni|»reniienl la siirrace c\lindri(|ne. Si la lon^in'ui' de eetle snifaec rsl 
inliiiie. la (|iiantite de elialeiir reçue [lar la inoleciile est (ir.yh-. I.a 
ipianlile (lu'elle laisserail e(dia|i|)er si elle avait la leni|ierature h scrail 
'\r.z- lih: lin a donc h ^ - ii. Dune la molécule placée en nn pu ml i|nel- 

C()ni|ue de l'axe d'une suiTace cylindriijue cidianliée ac(|uerrail uni' 
teniperalure inoiiulre ([ue celle de l'eni/eiiite dans la raison des noni- 
lires - et 4. en supposant (lue l'inleiisilé des rayiuis lût conslanle snus 
tous les aiii^les d'éuiission. 

Si l'clte intensité est priiportinnindle au sinus de l'aui^le d'eiiiissKUi. 
on aura F( sinsj = sin ^ : et l'on Irouver.i, pour exprimer l'aelion de 
II. 'j 



V2 TlIKolilK 1)1 MOI V I:M!:\ r l)K I. \ cil M, El h 

la siii-rarc i',\ I imlri(|iic, la (|iiaiilit('' suivante : 

'ili r.y(->. siiri h '. sin'l/"!. 

i.i's (lcii\ aiiiili's 'l cl y. (|iii, ilaiis le <-as |>i'i''C(''(l('ii( , ciilrciil dans la 
valciii' (le l'arlioii Idlalc, sdiil ici rcin|ilaccs |iai' leurs ddiililes sinus. 
L(irs(|nc la Idiinnenr île la sniTacc ccliaiillV'c esl inliiiie, la mesure de la 
(|nanlilc dr elialenr recne esl \(ili-z'-\ cl eouiinc la moleenle, a\anl la 
leni|ieral nre A, dissi pciail nne (|iianlili' de i lialeiir cigale il '\hliT.y . il 
s'ensnil (|ne h -^a. Dnnc, si l'on place wwr nndi'cnle s|dii'rii|ne dans 
l'axe d'une surface c\ linilri(|ue dinil la lenipi'ral n re esl li\e, la nudi'- 
ciile aci|nerra la lcni|)eralnre de renceinle. en snppiisaul i|ne rinlcn- 
sili' des raxons mnis di'croil |(ri)|tnil ioiiiiel leiinnil au sinus de l'angle 
d'eniissiun. 



Nous dclerminerons en dernier lien i|ncllc esl, dans les den\ li\|iu- 
llii'scs prccedenles , la lein|H'ial nre (|uc doil acijni'rir une niidi'cnle 
--|dii''ri(|ne lorsqu'on la place dans l'axe d'une en\eloppe c\ liniliai|iU' 
rcrnii'c il ses di'ux e\l reinili's pai' des plans circulaires. 



lit!- 'l- 
K' 



K 

Il ii'snile des iheorinnes pi'écédeiils (arl. '.K5 cl Ùi) (|iie, si l'iulen- 
^lll' des rayons \arie propiH'lionncllenH'ul an j.inns de l'aui^le il eniis- 
■-ion, l'action de l'cnNeloppc I'] ( //i,'. 'i ) é(|ui\anl ii 

'ili rro- ( ■>. sin 'j; -i >. sin -y ) ; 

|uc racliini du plan \\ esl 

(ilizo'-(i — tsiii'I*) on iiliT.y-[:>. — '.>sin'|). 



1) \NS I.KS Cdlif^S Sdl.lUKS. ',:î 

et ijiir relie du |il;in |{ ot 

a/i-yi/i — ■> sin 'V i. 

Dune l'aeliim tulale de I ciieenile est '\(ihr.y: el. |iar euiiM'(|iieiil , |;i 
liiiili'eille, étant plàeéi' en un puinl ([llelemKjne (le l'axe, duil ai(|nei'ir 
nue teni|iel"llMre l'iiale \\ celle (|ne eiuiserve l'eilceinle. ( !(■ resnilat ne 
di'|iend ni lies dnnensiiins. ni dn lapii.u'l de la lon^neiii- du e\|indre an 
dianii'tre de la liase. Mai>. si rinlensile était invariable, i.\\\v\ (jim' IViI 
laii^^le d'eniissiiin, l'aeiion de renveln|i|)i' sei'ail, enniine un l'a \ii |i!'i'- 
eedeinnn'nt. 



eidle dn [dan W serai! 



eidle A\\ plan l'> serait 



/Arro-i -l^-l' r. 



il,-'.^-Vv^ 



(Il T.'j- Il 



Dune l'aelinn totale de> ^nrl'ares serai! 

ah T-O-Vl — loi; >in\I/ - -L' — jn.u -iii V l. 

Désiuiiant par// la lein|iératnre finale de la niidernle, un aurait 
h r=^ \ayL — liig sin L — -L - Iul: >iiry i. 

Ca'lle leiiiperatni'e di'pelidrall done de la pii^llion de la nndeenle el de 
la l'urine de l'eneciu le : tdie punrrail ile\eiiir, (Ui iniiindre ipie celle de 
reinelnppe, un intiiiiinenl pins grande, si l'on |}lacail la nndeenle an 
ceiil|-e. un si on la rapproidiail de l'iiiie des liase^. ()r ce résultai e>l 
eiitieremeiit conlraire aux idiservatioiis conininnes : il esl donc iinpos- 
silde lie supposer i|ne les ravuns de clialeiir i{iii >orlenl >on- di\ers 
aillai es d'un même point de la siirlace des corps ont une eL;a le i nleii-i le. 

9(i. 

Nous alluiis prt'M'nleincnl deiiionlrer iiu'en snppo^anl l'iiitensile 
deiTuissaiite et [iropui'tionnelle an siiiii> de l'aii.ule d émission, il doii 



H TMKOlilE 1)1 MOIVEMENT IMi \.\ CIlM.Eli; 

s"(''t;ililir ciilrc Idiis les rdips |ilac(''s dans nii iim'iuc lieu iiik^ l('iii|)ri'aliiri' 
roiiuiiuiic, iiKlépciiiiaiili' de Iciii- luiiiic, de leur nomhrc cl de leur 
siliialidii. Sdicnl deux siiiTarcs planes inriiiiinent peliles ,v e! 7, [daei'cs 
a une dislaiwe lime: e'esl-ii-dii'e (|ne les dimensions drs denx tii^ni'es 
soni ine(ini|)araldemenl |ilns petites ([ne leur distance v. On snppnse 
(|in' l'une des sniTaees est entretenne ii la température tinie (i; il s"aL;it 
de Irnnvei' eomliien la seconde 7 en i-ecoit de elialenr dans nn temps 
donne. On n"a point éi;aid ici ii la partie de celte cliali'nr (]ni ponrrail 
l'ti'e reili'cliie par 7: on vent connaître la i[uanlite totale (|ni tomlie sur 
cette sinTace. Soient/* l'anLile <|in' la distance v l'ait avei- ,v, el o l'angle 
i|n"elle l'ait avec 1. Il est (''vident ipi'on peut |n'endre p(nir les termes 
de la dislance V (ienv points (|n(deon(|m's des denx tii^iii-es ,v et 7, et (|im' 
l'on doit rei;arder cmnme nnlles les variations (pie les 1 liaiii^emenls de 
ces points occasionneiaient dans la longueur v et dans les angles f) 
el o. (.Iia(jm' portion inlinMnenl |)elile (o prise snr la snrl'aee (''(diantree 
est le centre d'nn rayon de (dialenr (|iii tonilie snr 7. Il Tant d'al^n'd 
cininaitre coiidiien ce ravon contient de (dialenr. Si par un point de la 
siirlace 1 on mi'iie dans le ravon nue se(ii(jn (|ui soit per|ieii(liciilaire 
a sa direction, il est facile de voir (|ne l'eteiidne de celle section est 
7siiio. l'in eU'et. les lii;nes (hnit le ravon est l'oiMiie l'aisanl entre idies 
lin aiii;le inliiiimenl petit, ini considérera, sidon les pi-inci|ies dn ('...Iciil 
diirerenliid, la i'ornie de ce rayon comme prisinati(|iie. Or, si l'on nii'iie 
dans lin jirisme olili(|iie une section perpendiculaire ii l'an'^te. l'eteiidne 
de cette section est 7siii'^, en désignant par 7 la surface de la hase el 
par o l'aniile (|iie l'ait l'aièle avec la liase. Pour rendre ce r(''snllal (''\i- 
deiit, il faut, a|ir('S avoir di\is('' le prisme olirK|ne en <\t'\\\ |iarlic> an 
moyen de la section per|>endiciilaire, transposer ces denx parties, en 
sorte (pTidles forment lin prisme droit avant pour hase les deux sec- 
tions perpendiculaires : la liaiitenr du noiiveaii prisme devient alors 
ei;ale il la lonL^neiir du prisme (dirK|ne : donc le rapport des haiileiirs 
respectives de ces deux solides est le rapport imcrse de leurs hases, 
c'est-ii-dire (|ne la surface de la secti(ni |ierpi'ii(liciilaire e(|iii\aiil :i 
7sin'>. An reste, celle proposition se comdiit faeilement de la eoiniia- 



I)\NS LES COI'.l'S SOLIDES. ',;; 

l'aison des |)_\ riiiiiiili's (|iii. :ivaiit leur sdiiiiiii'l en (o ( //'î;-. -> ). ont |Miin' 
hasi' la siirlact' iiirliiii'i' nm . un les li-uis surfaces //y;, //, (jn, ticipciiili- 
ciilairos \\ l'axe y: il csl cNiilriil (|ii(' la ilcrnii'i-c l'aisoii de ces siiliiles 
est ruiiili'. .M.iiiiti'iiaiil le l'aynii ijui IuiiiIh' sur la hase Tsiii':/ a|»|iarlii'nl 
à un lii'inisnlii'ri' duiil la siiifarc est 'i-y-. La dircrlion de ce ravoii 



iV 



l'a Isa ut a\t'c le {dan dnni il surt un aniilc/'' ^"n in (ensile es! r/i,' l"( siii/; i: 
(I est la tem|)eratnre et i,' nu cneilicient e(iu>(ant. Dune la (|!ianlile de 
idialeiir envnvee par la iinrtion w est oj^/''I'( siii/o -^ — i- Si l'on iiinl- 

' -\ T. V ' 

li|die eelti' (|iianlile par le rapport de v ii to. ou aura la ijuanlile totale 
de chaleur (|ne v envoie :i fo : cette (|naulilé est 

",-■'■■ .... 
; !• ( sin/' )C7 sni o. 

Sup|t()soiis uiainlenaiil (|iie la snri'ace ■z S(iil aussi ;i la leniperainre n : 
il est visible (pi'idle enverra a v nue (|iiaiitili' di' clmleiir ei;ale à 



—' , V ( sirio )s siii/'. 
'2 -y- ' ' 

Ou voit dishucteiiieul par ces deu\ résultats i|ue, si la ronclion 
K( siiis ) est le sinus uième, racti(Ui de v sur t sei'a cigale à cidle de 7 
surs, et (|ue, si cette roiii'lioii n'est pas |M'o|iin'ti(Uiuidle an sinus, les 
deux actions ne si'iont point e^^ales. Or il est facile de recouiiailie ipie 
l'ette égalité (les deux ai-j ions reci[>ro(jnes est preciseiueut ce (pu con- 
stitue ré(]uilil)re des teiu[n'ratnre<. Donc il est necessaii'c ([ue l'inlen- 
sité des rayons (jui s'eclia|ipent eiiseniMe d'un p(unt d'une suiTace sml 
proporlKHiiudle an sinus de l'ani^le d'émission. 



■|(i IlIKOltlK IH MOI \KMI:M 1»K \.\ CMVF.F.rit 

()ii il vil |ircri'(l('iiiiiH'iil ( ml. '.*(l, j). lu ) ;|ii(' le (•( ici li rient i,- <■>! ddiim 
|i:ii' ri'iiiuiliiiii 



Il -= ^ j Fi siii -.> I (;o!io c/o. 



(le Mille (jiie l'on n ici i; ;- -i /i . Do m' l'iietioii de s sur 7 est 

(i/i . 

r, .< Slll/' 7 MM O. 



Si li's deux sniliiees oui des lem|)eratiires inéi^iiles a et //, le resiilt 
de leur ;ielion innlindle ^i'v.u eoiiime nous riivons aniioneé, |iro|ii 
I loiinid :i 



( ,1 -' /' ) A 



<m/' 1 Slll î 



97. 

Sn|i|iosoiis ma in tel la ni (innii esjiaee \ ide (Tair soit leriiiine de toutes 
paris, el (|ne l'enceinte (|ni le renreiine soil. |iar une eanse exteiicnre 
(HiidcoïKjne, niaiiilciiiic à une tein|)eraliiii' tixe a : il f'ant dctcrinincr 
l'clal liiial an(|iiel un corps |>ai\iendrail si on le plaçait dans un poinl 
de cet espace. 

Il est visilde ([lie l'elal dont il s'agit esl l'idiii (|iie le corps conserve- 
rail sans anciiii (diaii^eincnl, si on le lui donnail d'aliord et si on le 
plaça il eiisnile dans un jioiiil de l'espace eclianU'e. Or on peut s'assurer 
raeilenienl (|iie cela aiirail lien si cliai|iie point du corps rece\ail d'a- 
liord la teni|ii'raliire u de l'enceinle. V.w cH'cl, une partie inliiiiinenl 
pelile i|ii(dconipie t de la snrlaee de ce eiM'ps est exposée il l'aclion 
d'une iiiiiiiilé de |)eliles sniiaees a. .v', .s", ,v' , ... ; (die envoie ;i (diacune 
d'idlcs, d'apri's le tlieori'iiie pr(''cedeiil . nue ipiantite de idialeii r exac- 
leiiieiit e^aleii celle iiu'idle en reçoit. Donc celle parlie n de la surlace 
du corps ne peut éprouver aucun idiari^cincnl de teiiiperatnre. I.e cor|is 
Ini-nieine, doiil Ions les points inlerieiirs ont la teiiiperaliire coiii- 
iiiniie a, doit donc aussi conseiver cette même leinpei atnre ; donc il 
teiidrail contiuiiidlemeiil ii l'aiHinéiai-, si son état initial était dilTei-ent. 



Il \ \s I. i:s (.(ini'S S(»Miti:>. m 

Ccs l'csultals siuit ('Mtii'i'ciiu'iil iii(li'|>rnilaiils ilr la l'orme de l'i'ii- 
rcintc, lie l'i'llr ilii i-iii-|i> et i|ii lien ui\ on le ]ilai-i'. Ainsi Ions les [loinl-- 
ile reS|Kiee ddiil il sâ^it ont une iiiénie leiii|i('Tatiire. sa\nii', relie (|iie 
|U'eniii'aienl li'S niDJeeiiies ipie rmi v |ilaceiail : el celle lemperaliiie Ar 
i"es[iai'e est celle de reiiet'ilite (|lli le liollie. I,(il-S(|lle [dll-h'Ul> euip-- 
uni ac(|iiis la (ein|iéi-aliire coMiimine de res|)ai-e dan^ lei|ii(d il> nul ete 
placés, il- eoiisei'veiil [iniiiiiii-s celte lenipi'r'atiirc. L'ii eli'iiiciil (jiiel- 
c(in([iie de la surlace d'un de ces e(ir|is e-~t le l'ciitie d'une inlinite de 
l'avons (jiii coriiposenl un li(''iiii>|dH'i'e i;ontinnelli'nieiit reiMjdi de (dia- 
lenr. l/inlen>ili' d'un i-avon e^l propurlioiiindle an sinns de l'angle 
i|n'ii fait avec l'idi^inenl de la snri'aee dont il soi'l. ( > nn'nie ravon e-l 
lonjoiirs aeconipai^ne d'nn ravon contraire (jni, ayant la nie/ne inlen- 
silé. se ment dans le sens o|i|i()sé. et s'avance vers la -niTace donl le 
[iremier s'eloi.ync. (".'est ainM (pie cliaipie pnini île la -m l'ace d'nn lorps 
est le cenire de deux lh'mi>[diiTe> (|ni se peni'treiil nuitnellenient : 
l'un est coni|ios('' des ravuns émis et l'antre de> rayons coniraire- en- 
voyés j)ai' les antres cor[is. 



Si l'on imai^iio' nne Mirl'ace plaio' inlinnnenl pelile co Iraci'c daii- 
l'opact' et ponvaiil (''tre lilin'menl lra\cr^éi' par le> ravons de clialciii-. 
lorS(]Ue re(piililiie de lem|ieratnre sei'a (''tal/li, cet clénnent i'ece\ra nne 
infinité de rayons --nr li'> ileux coh'> opposes A et A de >a >nrrace. Ce 
discjue intinimeni pelil est dinn' en niénn' ti'nip> le centre d'nn hemi- 
s|)lii're i-ompox'' de l'ayons (jiii tomlienl snr le ci'itc A de la snrt'ai'e. cl 
c(dni d'un hi'misphéi'e coinposi'' de rayons (|ui >'eloi_i;neiil de l'elle 
même snri'aee A: et il est ti't's l'ai/ile de voii' i|ne rinteusih' de cc> 
lavons iiicidenl-- (oi enii> est necessairemenl iirnpin-tionnidlc an sinn- 
de l'ani^lc d'ineidence ou d'einission. Doih' ce c('ile A de la surface de 
rcleinent oj pioduil exaclement le nn-me cllet (pie sj w i'ai>ail jiartie de 
la surface d'nn corps solide parvenu ii la teiii|)crature commune. I.c 
même raisonnement s'appli(|Ui' ii t(Miles les parties d'une surface (piel- 
con(|ne (|ui, ayant été tracée dans l'espace, serait tiaversee dans tou> 



'i8 



riiKoiiii: 1)1 MOI \i:Mi:\r m; \.\ ciivlki i; 



les sens par li's i-;iv()iis de clialcifr. Donc, si des rorps jihicrs il;iiis l'cs- 
|i;icc uni ;ii-(|iiis (les lt'in|icr;iliir('S (''i;;ilt's, cl si l'on sii|i|)rim(' lnut ii 
(■iMi|» un (If rcs cdiiis, l'c(j(iil;l)i(' de l;i chiilciir s'clnldiia et siil)sisU'r;i 
de \;t inriiic iii;inii'i-i' (|ii";ni[>;ir;ivanl. lin (dlVl. les .-nrlaccs (jiii lerniincnl 
la pnrliiin de Tc-paci' (]iH' li' cdrps orrnpail n'ccvnint nu Iransnirllrdnl 
des (|nanlil(''s dr rlialcni' cxaLicincnt t'^alcs ii cidli's (|m' le rorps rrrc- 
\ail liii-inrnic. imi cnvoyail an\ rnips cnvii-onnants dunl la tcinpi'ralni'c 
clail cigale ii la sicnnr. Il l'anl iiicii rtMiiar(|Mi'i' (|in' (■clic cniniiciisalinn 
ne pi'iil avoir lieu (jiranlaiil ([lie rint('nsil('' des rayons driToit snivanl 
la loi (jiic nons avons dénionlrcc. Dans (onlc antii' li\|iotlu'S(', rcflcl 
di's lavons cnvovcs pai' nn cinps solide pai\enn ii la Icniperalnre eoni- 
nniiie ne sérail poini le même (|ne celui des rayons (|ni, ajnès la sup- 
pression dn coi'ps, ti'a\('rsenl lil)i-emenl l'espace (pi'il occupait. On 
\oil, d'ajii'i's cela, poMr(|inM le (h'placement de diverses masses [larve- 
nnes à des lempéralnii's ei;ales n'apporle ancun (dianL;emen( dans 
re(|ni!ilire de la (dialeni'. 

99. 

Il l'anl considcrer mainlenanl (|ne les ravons de chaleur <pii lomlienl 
>ni' la surface d'nii cor|is ne p(''n('lrenl p(Mut Ions an d(d;i de la surface 
(pii les rccoil : une parlie de celle chaleur es! rélh'chie dans l'espace 
envirounaul, cl s'ajoule ii celle (|ne le cmps Ini-mème lui l'iivdie. 
Celle propriéle dc|H'ud de l'clal de la surface sur hopudle lomlienl les 
rayons de (dialcur. La ipianlili' des rayons n'dli'idiis est très liiaiide 
lors(|ue la surface e>l mctalli([ii!' et cNaetenieiil polie. On i-emarque 
aussi lies ditl'éreui-es consiiléraldcs dans les (iiiaiitiles de chaleur ([lie 
les divers corps peii\-enl eiisoyer, ;i lempéralnres éii'ales. Ainsi deux 
^lllTaces ])laiies, eL;ales et (''i;'aleiiienl l'-chaiiirees, eiivoienl ii l'espace 
eii\ ironuani des (|nanliles de chaleur Iri's iuéi;ales si l'une est pidie et 
l'anlre (lep(die, ou convci-le d'un endnil. Or les oltservalioiis nous ont 
.ippris (pi'il y a une relation coiislanlc entre la propriété de ndleidiir 
li's l'ayons et celle de les Iransmeltre. Oite même cause, inconnue 
jusiprici, (|iii s'oppose à l'admission des ravmis incidents cl en relié- 



DANS LES CORPS SOLIDKS. ',«( 

cliil une partie, est également contraire ii la prejedion des ravnns (|mi' 
les corps échaufFés tendent à envoyer dans l'espace; elle tend aussi ii 
les réllécliir vers l'intérieni- des coi'ps. et ne laisse échapper dans 
l'espace (|u'une partie de ces rayons. Tontes les Inis (|ne. par un clian- 
îienient quelcontjue opéré ii la surface, on diminue la faculle d'ad- 
mettre les l'avons incidenis, un diminue aussi, et dans le mi'me rapporl. 
la l'acuité (le les projeter au didiors. Si l'élément co de la surl'are d'un 
<'orps parvenu à la température commune de l'espace reçoit un rayon lî 
(fi^- (i ) (jui t'ait avec la surface un angle ç., ce rayon -e divise en i\v{\\ 



\r 



l"iu. 6. 



\ 



|)arties Raet R( i - a), dont l'une poursuit sa rnute eu pénétrant dans 
la masse, et l'autre se rétlécliit. comme la Uimii're. sous le même 
angle s. Puisqu'on suppose ([ue le coi|)s est [larvenu ii la température 
de l'espace, il suit des principes que nous avons exposés (|u'il doit \ 
avoir en même temps un second rayon /• é^al au précédent, et cpii 
tombe aussi sur la surface en faisant avec elle l'angle ç., suivant une 
direction contraire ii celle ilu rayon rétléclii H( i — a). O rayon incideiil 
alterne /-se divise, comme le précédent, en deux parties, dont l'une/'/ 
pénètre dans la masse et l'antre /( i - a) suit in\c nuite eontraire à 
celle du rayon incident H. Si la surface an point oj n'axail [loinl la pro- 
priété (le s"(qiposer à l'émission de la (dialeur, la îeiiipéiatiiic du corp- 
etaiit devenue constante, il s'échapperait sous l'anule 'f un rayon li 
éiial à H et suivant une dii'ection coniraire; mais ce layon piojeté W 
est. comme le rayon incident 15, divisé en deux parties 1! 7. et H ( i a): 
l'une poursuit sa route et s'éloigne du corps, tandis (|m' l'autre partie 
iV ( I - a ) se lélléchit veis l'intéi'ienr. en suivant la um'-iuc route (|uc 
le rayon /■. Hntin un (|uatriéme ravon /égal à il tend également ii sortir 
11. 



.;() IMIÉORIE DU MOUVEMENT DE LA CIUVLEUn 

sdiis le même angle Ç/, siiivaiil une ilircction opposée à eelle de /■; mais 
il se divise en deux pai'lies /a e( r'(i — a), dont rune s'éloigne du 
corps (i doni l'anlre esl rélléeliie vers l'inlérieui' de la masse. 

On \oit |»;ir l;i(]iie le jxiinl w envoie selon la dii'eetion de /' les denx 
r-ivdus /-'y. e( l{( i — a ), et (^l'il envoie aussi selon la direction de 15 les 
i\i'u\ ravdiis W'v. el /( i - a ). Ue même point reçoit dans l'intérieur <lu 
solide, s(d()n la direction R, les deux l'ayons Ra el /'( i — a); entin il 
reçoit, selon la direelion r, les denx rayons ra et R'( i — a ). Uomnie les 
(|iiantités R, /•, R . /' sont égales par riiy[iotlièse, il s'ensuit (|ue l'élé- 
nienl oj ri^coit sous l'angle o un rayon égal ;i R, et qu'il envoie aussi 
sous cet angle un même rayon R; c'est ce ([ui aurait lieu si la sui'l'ace 
<'lail entièrement privée de la pi'o|triété de rélléchir les rayons. Doni- 
rexistence de cette prepriété, et son plus ou moins d intensité, n'ap- 
porlenl aucun cliangement dans l'équilibre de la chaleur. 

Il n'eu ser;iil pas de niéme si la fraction y. (|ui ciuivienl aux rjivoiis 
incidents I! el /• n'était point la même (|ue C(dle (|ui convient aux 
l'ayons projetés li' el /■'. Il arriverait aloi's (|ue la qnantile de clialeur 
admise dillererait de la (]uanlili'' de clialeur émise, el la tempi'ralure 
du ('(ups ne sérail point conslante. Sii|q)osoi)'>, par exemple. (|ne le 
corps M, parvenu ii la fem]iêraliire commune A de l'espace, soil tout ii 
coup l'cmplacé |iar un cor|is N de même rorme, de même sul)stance el 
de même lempérature (jue le premier, mais (|ui en dillere par l'etal de 
la snil'ac*'. Ce corps N ne |)ouri'ait point conserver la température A si 
le eliangemenl de la siirrace, (jui angmenle ou diminue la l'acilité de 
réili-cliir les rayons, ne moditiail pas égaleiiuMit la facilité de les 
émeltrc dans l'espace ; or il es! enliéremeul contraire aux faits de su[i- 
poser que le c(U'|>s N prenne une lem|ii''ralnre dill'éi'enle de A; donc il 
n'y a aucun doiile (|ue la surface réllécliissaiite n'exerce également son 
aciion conlre les ravoiis (|ni lendent à péneirer dans le solide et conlre 
ceux (]ui lendeni ii en sortir. Il suit de lii (|iie. dans ré(|uilil)re de la 
chaleur, rinlensilé des rayons émis ih'croil proporlionnellement au 
sinus de l'angle (rémissi(Ui, ipicllc (jiie soil d'ailleurs la iialure des 
surfaces; il faut seulement concevoir que les rayons réllécliis s'ajoutent 



I)\\? LES COlil'S Sdl.IDES. .ït 

il ceux ([uc le corps envoie de lui-mèiue. et ([iie ees (leu\ parties roin- 
posent le rayon émis, dont l'intensité décroit coninie le sinns de l'aniilr 
(l'émission. 

Cette propriété de repousser les l'ayoïis incidents, (jui varie heancuiip 
avec l'état des surfaces, et qui n'apporte aucun cliangemenl dans l'état 
d'equililtre. a une intluence considérable sur les proi,qès de l'erluuit- 
fenient et du relroidissement. Si le corps .M, placé dans l'espace dont 
la tem[iérature commune est A. a Ini-méme une tcmpéiature inté- 
rieure B, les rayons R l't R' n'auront plii> la même intensité, cl il est 
facile de voir que l'augmentation de (dialeur pi-oduilc par le rayon 1! 
sera proportionnelle à i.\ R — R' i. Donc la masse s'ecliauH'eia d'autant 
plus vite que la fraction a ajq)i'ocliera [ilus de l'unité. Si la snifare 
jouissait à un très haut degré de la propiiéte de rétlécliir la chaleur, 
le coeflicient a serait Iri'S petit, et le ior[is s'édiautreiait un se rrfroi- 
dirait avec une extrême lenteur. 

Ainsi, lorsque, dans un espace vide d'air que termine une enceinte 
sidide entretenue ;i une température constante, on place plu>ienr> 
masses solides (jni dilli'renl [)ar Ta sulistance et par la tii^ure ou pai- 
l'état des surfaces, ces divers corps, (|nelle (jue soit leur tempéiature 
initiale, temlent continuellement à ac([uérir une teni|iéralnre eiun- 
mune, qui est celle de l'enceinte. Ils s'écliautrent ou se refi-oidissent 
plus ou moins lentement, selon cpTils jouissent à un plus liant degré 
de la [)ropriété de réllécliir les l'ayons incidents: mais cette ipialité 
n'inilue ni sur la valeur de la température finale, ni Mir la loi du dé- 
croissement de l'intensité des ra\ons émis dans l'état il'eqnililpie. Si. 
par exemple, l'un de ces corps relleciiit tonte la clialeui- (|ni lui est 
envoyée, en sorte que la valeur de y. soit nulle, il n'aequerra jamai- la 
température commune: mais il contriluiera également ;i l'equililiii' de 
la chaleur, en rétlé(diissant les rayons (|ui lonihenl sur lui. et dont il 
ne change point la température. 

Il faut bien remarquer que les rayons (|iii sortent de l'intérieur du 
solide, et qui, après avoir rencontré une surface j)ro|U'e ii K's rélléehir. 
changent de direction en continuant de se propager dans l'espace. 



0-2 TIIÉOIUE 1)1 MOUVEMENT DE LA CIIALEIU 

fonscrveiil loiijoiii's leur Iciiipératiin' pi-iinilive; fclli- <li' \a surracc 
n'ilrcliissanlc ne |ieut ni aiii^nurntt'i' ni diniinucr la tcinpiTadirt' des 
rayons réilécliis. en sorte (|nc le corps qui al)Sorbe ces tlerniers rayons 
en l'cçoil la niènic impression (jiie s'ils lui étaient envoyés directe- 
ment. Ce l'ait est connu depuis longtemps, et se manifeste dans les 
ohseivations sur la réilexion du froid; il est devenu très sensible dans 
plusieurs expériences que nmis avons faites récemment pour ol)server 
l(^s lois de l'émission de la clialeur. Par exemple, on a transporte un 
plateau de glace (i {J/g. ~ ) dans une pièce fermée, dont tontes les pai'- 



lics avaient ac(jnis une température constante supérieure à o. On y 
avait placé un tliermoscop(> T très sensible et (]ui était devenu station- 
naire. Lors([u'on présentait le plateau (! ii une certaine distance du 
lliermoscope, l'indice se mettait aussitôt en mouvenu'iit et se rappro- 
rliait ilc la boule. En elfet, avant que le plateau de glace fut apporté, 
la boule du lliermoscope recevait de toutes parts des rayons également 
chauds, et, comme (die envoyait elle-même une quantité i\r clialeur 
éi;ale à c(dle (|n'elle recevait, elle conservait sa température; mais, 
lors(]ue la masse ('. était placée, cette masse interceplail une partie des 
rayons (|iii tombaient aii|)aravan( sur la boule, l't ces rayons étaient 
remj)lacés |iar des rayons plus froids, sortis de la glace. C'est pour cela 
(|ue la température du tbermoscope s'abaissait jus(|u'ii ce (|ue la quan- 
tité de clialeur envoyée |)ar la boule devint égale ;i cidle (|u'elle rece- 
vait. On ajiproidiait ensuite une surface métallique polie M, propi'e ii 
rétlécliir sur la boule 1' les rayons sortis du corps glacé (1; alors la 



DANS LKS COUPS SOLIDES. 



.■)3 



température du tIieriM()sc(i[M' s'aliaissait «le miuveau iTuiie «|uaulite 
eonsidérahie. Eu ell'et. eu |ilaeaiil le miroir M, un intereeplail encore 
uue partie des rayons ijue la houle T rei'evail des eiir[»s euYironnanl>: 
ces rayons étaient remplacés par ceux qui sortaient de l'intérieur méuu' 
du miroir, el aussi pai' ceux (]ui. sortis de la masse l'roide (1. se rétlé- 
<lnssaient à la surtace du miroir el tombaient sur la Louli' T. (leltc 
l)(Uile l'eccvait donc, apri's (]u'on avait approclié le miroir, plus de 
rayiuis froids et moins de rayons cliauds qu'auparavant; c'esl pour 
cette raison que la présence du miroir M fait toujours abaisser la tem- 
pérature. Loi'S(jue le miroir M n'était [loint place, la boule T se trou- 
vait seulement exposée aux éiiianali(uis d'un plateau de glace: mais, 
lorsque le miroir était en m, cette ImjuIc se trouvait, pour ainsi dire. 
placée entre deux masses froides, en sorte ([u'elle [icrdait nue uouvtdlc 
partie de sa chaleur. 

Avant qu'on plaçât le miidir.^I, il clait ordinairement entretenu à la 
température de l'appartement; mais nous avons plusieuis fois éclKUiifé 
ce miioir de (|Utd(iues degrés au-dessus de cette températuie commune : 
dans cet état, ou le plaçait en m, et il arrivait eucoïc ijuc la boule T se 
l'cfroidissail très sensiblement. Les rayons plus chauds sortis du mi- 
l'oir même ne sufFisaient |M)inl pour compenser l'ellel îles rayons éma- 
nés du plateau et réfléchis par sa surface sur la boule T. Nous avons 
toujours observé «|ue, si l'on approchait de! le miroir M, en plaçant 
cette dernière surface de telle manière qu'elle ne |uit lellechir siirT 
les rayons émanés de Gj,'', la température du thermoscope s'elevail, le 
miioir M elant plus échaulfe (pu' les corps environnants: nuiis. lois- 
qu'on niellait cette même surface .M dans la siluation pro|)re ii relh'- 
chir sur la i)0ule T les rayons soitis de Gi,'', la tem[>ératuie du thermo- 
scope s'abaissait. 

Si ensuite on enlev.ait le plateau de glace, l'imlice du thermoscope 
commençait aussitôt à se mouvoir; il s'élevait ius«[u';i ce «pi'il mar([uàt 
une température supérieure à ctdie de rapparlemenl. Eiitin. en reti- 
rant le miroir, l'indice se rapprochait de la boule et mar«{uail la tem- 
pérature commune. Au reste, ces résultats sont connus de tous les 



5V TIlEdllli: [»l Mdl \I;MI'\T de la CHM.KLi: 

|)livsici('ns (|in oui (ihsei'Vi' altcnlivoinciit les ellets de la chaleur. Ils 
s'('\]ili(jiieiil très racilçiiicnl l(HS([u<' Ton consiili'ii' (|uc la (eiii|iéiatiiie 
(les sui't'acos irllécliissantes n'inlhu' pitiat sur eellc des rayons ivtlécliis. 

100. 

Pour arlicvcr celle lliéorie de ri'Mjuililuc de la clialcur rayonnante, 
il nous reste à découvrir la cause (jui l'ail dirninner l'intensité di's 
ravons émis proportionuellenienl au sinus de l'angle d'émission. On 
parviendra ;i rexplication matliéniati(|ue de ce pliénoini'ue en exarni- 
naul ciunnient tuules les molécules inliuiinent voisines de la surface 
ciMieourent à l'émission perpendiculaire ou olili(|ne de la elialeni'. 

Sup|)Osons ([ue le plan AB (//:,'. 8) termine une masse solide écliaut- 



Fis. s. 



tée (|ui conserve la temjtéralure a et sépare cette masse du milieu eii- 
vir(muant. (|ui conserve la lem])éraUire <>: elia([ue point du plan AB 
pourra être l'egardé comme le centre d'un hémisplière continuellement 
rempli *\r (dialenr. La (|uestion consiste :i c(unparer l'intensité des 
rayons (ddi(|ues ;i cidle des layons [lerpendiculaires. 

Il résulte, en |nemiei' lien, de toutes les observations (|u'il n'y a 
(jirune concile exti'émemenl mince des corps opa(|ues (|ni puisse cmi- 
Irilmer ;i la |)rojection immédiate de la chaleur. Ainsi, en concevant 
le solide divisé en un liés icrand inniihic de couches parallèles d'une 
liés pelile épaisseur, (Ui voit ([ue la coiudie exlrénie terminée par le 
plan ABest la seule (jui puisse porlei' immédialemeiit ins(|ue dans le 
vide la ( lialeni' doni (die est péiiélrée. Mais les dilléreutes parties de 
cette dernii're couche ne conconrcnt point éi^alcinent à cet eU'el, (|uoi- 



!)V\S Li:S COlîl'S Sor.IhKS. ;j3 

(ju'rlli's aiiMil IdUtos la niriiic (cmiiLTaliiro (|ni' les |i()iiils dr la viirlacc. 
Les points ([ui sont situi's ii la sii|H'rtiric envoient la rlialcnr ilan> Ions 
les sens aver une ép;ale laoililé : eenx (jni scnit un peu au-drssnn- de 
la surface n'envoient pas aussi l'acilernenl la chaleur au delà de-, lituiles 
du corps; cidle (]u"ils projellent s'arrête en partie sur les tnidicnles 
solides qui les séparent de l'espace exiciieui' : il n'v a qu'une [larlie 
de cette (dialeur projetée ([ui parvient jus(iu'ii l'espace et (|iii s'y ré- 
pand. De plus, ces nièines points envoient moins de chaleur jus(|u'au\ 
limites du corps eu suivant une direction ol)li(|ue (pie selon la per- 
[tendiculaire. tlette diirereuce jirovient enc(U'e de l'interposition des 
molécules solides, (jui son! en plusî^rand nondire dans lc> directions 
oldiqucs. 

(;lia(|iie point de la normale o/n envoie |ierpendiculairenieut ii la 
surlace, suivant nio, une ceilaine (|uautilé de chaleur, et chai|ue point 
de eette même rmrmale envoie aussi jusi|ue dans l'espare V. une eer- 
taine (juantilé de elialeui' suivant une direction cddi([ue, jiarallide a 
une linne donnée CD. Soit a la i|uantilé totale de clialeni' (|ue le lilel 
solide oin projette justjue clan> l'espace exti'rieur K, per|iendiiiilaire- 
nient ;i la surface AB, et s(ul v la qnanlili' totale Ao idialcnr (|ue le 
même lilet solidi' pi'ojette jus(pie dans l'espace, sidon la direelion pa- 
rallèle il (d) : on va dénionlrer qu'un a loujours re(|ualion v = asins, 
ç- étant l'auiile (|ue (^D fait avec le plan. Le même raisonnement p(m- 
vant s'appliquer à tous les tilels perpendicnlaii'es dont la ha<e est sur 
le ]ilan Al?, on en conclura (]ue la ([nautile totale de (dialenr (|ui tia- 
verse le plan selon la direelion perpendiculaire esl ;i la (]uanlilé totale 
(jui le IraM'rse selon la direction parallèle ii (d) dans le rapport de i ii 
sine. : tout se lédiiit donc à comparer les (|nantites 'j. et v. 

Su|)pos(Uis (ju'ii la distance ()x ( //i''. fj ) la molécule y. jinissc envover 
sehui la normale, et juscpu' dans l'espace extérieur, une (pianlité de 
chaleur désignée jtai' l'ordonnée a/>. Concevons, en ;;énéral, ([ue l'on 
ait déciit iiru' courhe Jiipq ihuit chaque ordonnée y.p, ou 3'/, repiesente 
la (juanlité de chaleur qui |)eul être envovée dans l'espace, s(don la 
normale, pai' la molécule y., ou 3. |tlacée ;i l'exlremité de l'abscisse (jui 



oG 



THÉORIE 1)1 MOINEMENT HE LA CIIW.EI lî 



me 



répond 'a cctlc oi'iIoiiik'm' y.p, on Sy. L;i ligne /»pf/ dépoml, suivant i 
loi incnnnin', dr la nalnrt; de la snlLsIancc solide, et l'on penl dire ipie 
eiiaeune de ees sulislances a une eeitaine eonilie fpii Ini est piopie. 
Le point d'intersection entre la coiirl)e et l'axe ()/)> est le dernier point 
de cette normale (jni puisse |)i'ojo(er une partie de la (dialenr jus(|ne 
ilans l'espace 1']; celle (|ni est envoyée par les autres points pins éloi- 
gnés de () ne ])arvicnt point jus(]u'anx limites du solide. Il est facile de 
voii' (jiK' la (|uantité totale île chaleur u. envoyée perpendienlairement 
par la lii^iie (^/// dans l'espace E est représentée pai' l'aire ciim|)rise 
entre (>/// et ///pq. 



i"i 



i:- :i- 



\ 


c 






1 V : n' 


il 








«■ 


-•' 1 -' ■'.-■"" 


" "^ 




^r 





On li'cuivei'a maintenant la (|uanlite totale v <jne cette même lii^ne 
envoie à res[)ace |iaraliélement ;i la dii'ecti(ui •'!). eu eonce\aul une 
seconde conrlie m' j>' (j dont les ordonnées représentent les (|uantités 
de chaleur envoyées s(dou la direction (!!). Ainsi, poni' connaître com- 
hicn le point c' envoie de chaleur parallideuH'Ut ii Cd) jus(|ne dans 
I espace !<;. on mi'ru'ra par ce point v' r(ddi(|ne a\/ pai-allide w (il); 
ensuite on portera cette ligne % a . de () en a. sur l'axe de la premil'ic 
coni'lie. L'oi'donnée 7/> désignera la ipiantilé de chaleur euvovee (ddi- 
i|UenH'nt. <>u éll'vera doue en a' l'ordoiinée v. p égale ;i v.p. On cou- 
struirait, par ce moveu. la secoinle coni'he m' p' if , et l'aire comprise 
entre cette conrhe et la n(»rmale O/// ex|)rimei'ait le produit total v de 



I» \\S LES COUPS SOLIDES. .iT 

l'émission olili(|ue. (,)r. si l'on eotnpare ers deux couriics. on voit (jiif, 
ponr une môme abscisse y.p ou y' p . 1rs oi'donnrt's coi'iespondanli's 
sont (hms nn l'njiport cioi<t;int, (|iii est cclni de i ;i siii'^. Donc l'o i;i|i- 
por't esl eidiii des aires 7. et v; ainsi l'un a retle relation 

V = [J. sin .-. 

On (il)tienl aisément ce résultat sans employer les constructions. En 
elFel, soit z[y.) la ('onction inconnue (jui exprime i-ondiieu le [loint 
|)lacé au-dessous de la surface, ii une distance perpeudiculaii'e y., peut 
envoyer de clialeiir au didii de cette surface, selon la diri'ctiiin de la 
normale: v{ soit a la pins Lifande valeur (] ne puisse a\(>ir i: : c'est-ii-diie 
(|ue. >i la distance y. est plus i;raihle (|ue (t. la valeur de -^1 y. i est tou- 
jours nulle. I.'intéiir-ale ^ zi.y.)(ly. donnera la valeur de la (juantile to- 
tale aenvovée perpendiculairement dans l'espace [lar le tilet sididi' ()///. 
Mais, si l'émission est (d)li(|ue, le même point y. se trouvera tlislaut du 

iioinl de la surl'ace oii il dirige ses ravons irniie (inanlite i''i;ale -.-^ ; 
' ' ■ ' ' siii-^ 

donc il ne pourra envoyer dans res[iace extérieur (]u'nne (|uautité Ar 

(dialenr exui-imee iiar V ( -T— )• L'intei^rale / ::.( .' W/y. sera donc la 
' ' ' \sni V ' ' . '^ ' V >ni V ' 

valeu!' du nrodnif total v de l'émission olili(|ue. Soit -.-— =^ 3: on aura 



A(^)''^ = ''"^/ ""^ '''•'• 



et cette seconde iutei^rale devi-a être prise depuis a = o iir-(]u';i y. = a, 

on. ce (ini est la même chose, denuis 3 = 11 iusiiu'a 3 = Mais il 

est évident, d'après riiv|iotlièse. (|ne toute valeur de 3 plus i^rande i|iU' 
(i donnerait des valeurs nulles pour s( 3 ) : donc l'iutei^rale / o( 3 )<l j 
peut être pi-i>e depuis Ji = o ins(]u';i 3--r/; ainsi idie ne dillére point 
de / ç( a )(h. prise depuis y. -- o jns(]u';i x = a. Ou a doui' 

V = sin 9 / '^{y-) (ly- = [J- siii ■^. 

Il suit de lit (jue. sans connaitre la fonction s( y >, (|ui varie avec la 
IL « 



o8 THÉORIK DU MOLVEMENT DE LA CHALEl K 

iiafuri' (le ili;i(|iie sulist;inrc solide, (iii est tissiirr (\uc la (|iiaiilil(' fotalc 
de chaleur qui soi'l perpcuilicalaireuieut d'uue surface éciiaull'ée esl 
jilus iirande (|ue la ([uaiilile (]ui sfu'l (ji)rK[U('nieiil de l'cfle iiièuie sur- 
face, el (|ue le ra|i[)oil de ces deux (juantités est celui du ravou au 
sinus de l'aui^le d'euiissiou. 

Ou voit uiaiiiteuaut (]ue i'ou [le.uri'ail parvenir de diilerentes nia- 
uii'fcs ;i de'terrninei' celle lui du decroissenieni de l'inUMisilé des l'ayons. 
Nous avons oliteiiu ce résultat en considérant l'égalité qui s'étahlil 
enti'C les tenii>éralures des corps placés dans une enceinte conininne: 
luius auri(Uis pu le déduire de rexanien niéine de la eause qui le pi'o- 
diiit; enfin il est expressément indiipié parles ex[tériences, comme le 
[irouvent les Ouvrages de MM. Leslic, iJuinford et Picvost, di' deui've. 

L'existence d(^ cette loi est une conse(|neuee certaine des causes <|ui 
déterminent la propagaliou de la chaleur dans les c(ups solides, (l'est 
|)our cette raison (|ue le théorème énoncé en la page :>.S nous a païai 
avoii' une connexion nécessaire avec la matii'rc cpic nous traitons, 
(pioi(|n'il se rapporte an mouvement de la chaleur dans le vide. Xous 
aiiriiuis regai'dé comme incompli'te la thé(uie de la pro|)agatiiut di' la 
chalcui' dans les solides, si nous n'avions poii^t considei'é la loi ii la- 
(]nelle cette propagation est assujettie dans l'enveloppe extiémement 
mince cpii termine les corps, et si nous n"a\ious point expliqué com- 
ment ces mêmes corps solides {)arvieunenl. indépendamment du coii- 
tart, il i'e(|uilihre de température. Nous devons donc espérer (jue cette 
partie de notre Ouvrage ne sera point regardée comme étrangère à 
l'ohjet principal que nous nous sommes proposé. 

Le traite que ■\L le pi'ofcsseiir Prévost a pnhiié en iHorj sur la idia- 
lenr raviuinaute ciuitient rexjiosiliou des phénomènes connus (|ui de- 
peiulenl de cette théorie. L'auteur a donné le premier nue hvpothi'se 
physi(|ne ([ni ex[ili(|ue tii's clairement la réllexioii apparente du 
froid et tontes les ciiconstances de re(|uilihre de la clialeur. .M. le 
!)' Leslie, d'I'jlimhonrg, et .M. le comte de Humford (uit cnriidii celte 
hranche de la i'liysi<|ue d'un grand iiomlue de faits uouvi\in\. Tontes 
ces découvertes ont été préparées et excitées par les recherches de 



DANS LES COI'.I'S SOI.IDLS. :i!) 

M. M. -A. Piclol, à (jiii Von ilnit (1rs expériences eapitales, et (jiii a iail 
eomiaitre le preinier toute i'iiii|iortanee des i-eclicrclies de ce ijenre 
( Essai sur le feu. publié en 171)0 ). 

>!>[. J.eslie et Prévost avaient déjà considéré comme indi(|uée par 
les observations la loi du déeroissemenl de l'intensité des ravons 
obliques. Le premier atti'ibue d'abord cette loi ;i l'émission de la lu- 
mière. Voici ses expressions : <( Puisque le boiilel devi'ou loui^e ne se 
distini;ue pas d'un disque luuiini'ux. il s'riisiiil ([iif la hinjiJ're est 
émise avec moins d abondance dans les directions obliques, et que la 
densité des rayons est ;i peu près comme le sinus di' leur déviation de 
la perpendiculaire. » 

y\. Prévost, après avoir cité ces mêmes ex|)res-.ions, ajoute : " \m\\v 
une analogie dont on j)eut faire l'aiiplii^ation au calorique lavonnaiil ; 
et, en eU'et, des expériences (|iie nous i-a|qioi-terons portent à croire 
que l'émission du calorique est assujellie à la même loi. >> Et plus loin ; 
» J'ai dit ci-dessus (ju'il jiaraissait, pai- (|md(]Lies ex|)ériences de 
M. Leslie. (|ue le caloricpn/ (''niaiiait avei- plus d'almndani'e sidon la di- 
rection perpendicnlaii'c à la siirlaee qui l'eincl que selon toute antre 
direction : voici les expéiiences qui rendent ce l'ail ju'obable. » 

Elles consistent ]»rinei[)alement dans r(d)servation, (|u'a l'aile M. Les- 
lie, de rcH'et produit par une surface écbaull'ée à la(|uelle on donnait 
des situations |ilus ou moins obIi(]ues. 

On place un miroir métallique concave /// {Jîii- 10), d'une forme 



m ' 



parabohipie, devant une surface phine eelianllée ce, dont les rayon>. 
rellecbis par le miroir, écliaullènl la boule / d'un tlieiinoscope [)lace 



(iO THÉORIE UV M(M"VEMENT DE LA CHALEIR 

lu'i's (lu foyt'r. Deux plans r, c iiitorceptent une partie des rayons en- 
voyés par le plan éeliaufi'é ce, et ces écrans sont séparés [)ar un inter- 
valle fi/i, qui laisse parvenir une partie des rayons en mmrn. A[)rès avoir 
observé et mesuré l'elTet (|ue produisent sur le tliermoseope les rayons 
émanés du |dan e(diaulïé dans la position ce, on change cette position, 
et Ton diuine ii la surface la direction c'r', sans cliangei' la [dai'C du 
centre. On (d)serve alor> (jiie relléi produit sur le tliermoseope est ii 
Iri's jK'u |)ri's le même (|u'au|)aravant. 

il l'aul supposer : i" ([lie la température de la surface est la même 
en ce et en c'c', ou (|u"on tient comple de la diminution de tem|)érature ; 
2" que le déplacement n'est point assez i;rand pour que la lii^ne r'/;, 
qui passe par l'extrémité du plan échaulTé et celle de l'écran, cesse de 
l'cncontrei' le miroir. 

.M. Leslie, après avoii' rappm'lé ces expériences, et remar'(|ué des 
eirconstances accessoires (jui lui |iaraissent devoir se compenseï' j)res- 
(|ue exaetrmenl, ajmUe : >■ .le suis dis[)osé ii compenser ce déticit par 
(•e(|ue j'ai remar(|ne ci-dessus. Nous pouvons donc conclure en général 
{)ue l'action eloii^née d'une surface é(diaull'ec est équivalente à celle de 
sa |)rojection oithograpliique, et doit être estimée par la grandeur 
visuelle de la source. » 

On voit par ces citations (jne, en oliservant les ell'els des rayons 
oldi(jues, on a été nalur(dlement conduit ;i leur attriliuer une inten- 
sité varialile vA pioportionmdle au sinus de l'angle d'émission. 

L'action de l;i (dialeur rayonnante est assujettie dans les espaces 
vidi's d'air aux lois matliéuiati(pu's ([ue nous avons exposées; mais, 
lors(|u'(dle se pro[iage dans ralmos[dii're, (die suit des lois dilTérentes 
et beaucoup moins sinqdes. <|iii sont aujoiii'd'lmi pres(|ut' enlif'remeut 
ii^iiorees. L'air inlerjiosé reçoit en partie la (dialeur rayonnant(>, et il 
agit ensuite lui-même sur les c(ups voisins. Nous av(Mis plusieurs fois 
constaté par des expériences attentives celle intlnence mar(|uêe par la 
présence de l'air. Comme l'emploi des miroirs concaves complique les 
resullals en même teni|)s (pTil les rend plus sensibles, nous avons 
mesure l'aclion directe dune surface écliaullêe sur la boule d'un tlier- 



DANS LES CORPS SOLIDKS. 



(il 



iri{isc(i[io qu'on |il;i(;;iil ;i (llirércnlcs distances. On a a|)|)ni-|r un Mim 
extrême dans ces ohservalions, et l'un a iciMinnu (|ue les lois (ini 
seraient oliservées dans les espaces vides sont nolaldenienl alteiéi's 
par l'action de l'air intorniédiaire. Ainsi l'cU'et produit par une snrl'aee 
inclinée se ra|)[)roelie visihlenienl de celui de la projectHHi ortlioi^ra- 
pliit]ne; mais il y a toujours une dillérence très sensible entre les deux 
résultats. 

P(un' rendre plus rnanil'este cet eil'et de Tiuterpositiou de l'air, ou 
asail introduit dans une envidoppe c(Uii(|ue, et vers le sommet en / 
( //i,''. Il), la houle il'uii lliei-moscope ; un plaçait ensuite ee récipient 



/■\ 



il coté et au-dessus d'une surlace (''clianirei> ce; un eci'aii fr empi-cliail 
les i-ayons soi'lis de ce île tomber directement sur la snil'ace iulerieiirr 
du l'ccipient. On a toujours remarijué (juc la lioule du lliermosropi- 
s'écliautl'ait rapidement, et il a été facile de recounaitre (|ue eida pro- 
venait de l'air interrnédiaiie mnini, (jui. étant écliaullV'. montait dans le 
récipient. Ainsi tout coi'ps exposé dans l'air à l'action directe d'nnr 
surface i'm liaullée é[»rouve en même temps celle d'une masse tluide 
(jui l'environne de toutes jiarts, et cet elfet accessoire est une partir 
notable de l'elfet juincipal. 

(les mêmes expériences, (|ni avaient poiw objet de mesurer avec |»re- 
eision l'action directe d'une surface écliaud'ee sur la boule du tliei- 
moscope, nous ont donui' lieu d'examinei' comment l'aicroissement île 
la (iistanco, on augmentant la quantité d'air inlciposé, concourt à la 
diminution de l'ell'et produit; mais nous avons idilenn des résultats 
sensiblement dill'érents de ceux (|ui auraient lieu d'après la règle pro- 



02 THÉORIE m MOl'VEMENÏ DE L\ CirALEll! 

pasi'i- par M. Lcslic, d (iii'il a conclue de qiit'l(|iit's-iincs de sos oliser- 
vations sur la clialoiii' irllccliic. 

(Juant il l'ai lion des rayons solaii'cs, elle doit, ;i |iliisi('urs ('gards, 
("'Irr disliiii^iiiM' de ndlc de la clialcuf oliscnrc. Nous appidons ainsi relie 
(|ni, ne ponvaiU traverser directenieni les Tuinides diaphanes, ne rend 
point les corps visildes. l'ouf faire connaitre la nécessité de celte dis- 
lini-lion, il nous snftira de rapporlei' re\()ei-ienoe suivanic, (jiie nous 
a\ons l'aile receniinenl. 

On a plaee au devant île la houle d'un tlici'UiOscope un plateau de 
i^laee lians|iaieiile. il'une épaisseur assez considéi'ahle; on a ensuite 
ap|U'oche rapi<lenicnl au devant du |ilalcau uni' pla(|ue de fei' très 
(■( hauHec, mais in)n lumineuse; on n'a remarqué aucun mouvement 
dans l'indice du tiiermoscope (la houle élail garantie, de toutes ])arts, 
de l'accès de l'air' échauH'é, et l'on avait pris toutes les [U'iM^autions 
re(iuises ). On a ensuite rctii'e la phnpie écdianllce, et on l'a rem|)lacée 
par la llamme d'une hiuigie ordinaire : aussitôt rindi<-e du lliernn^scope 
s'est mis en miuivemcnt. On a lépélé |)lusicurs l'ois ces épreuves, et l'on 
n'a pu ohser\('r (Hiid(|ue iniuivemcnl dans le ihermoscope (pi'en Caisanl 
l'ougir la phnpie métalli(|ue. J/instrumcnt éla't Iri'S sensihle, car l'é- 
leutlne d'un degré oi'togésimal élail d'environ deux |)ouces ; el il élail 
aussi 1res undiile, car l'indice cominerjcail ii maridicr lorstpi'on [U'ésen- 
tail la main elendue au devant de la houle à (juatrc ou cinij j)ieds de 
distance. 

Il l'csnllc d(" celle expérience el de plusieni's autres (|uc la chaleur 
ravonnanle, (jui ne péni'Ire point diri'clemenl les li(|uides (lia|dianes, 
soil parce (|n'(dle man(|ue de \itcsse, soil pour loute autre cause, ne se 
comporte |)oiiil dans l'air cl dans les solides Iransparents comme cidle 
t|ui émaiH' des l'ovcrs lumineux. Il faudra donc avoir <''gai'd ;i celle 
dislim'tion hu'S(|u'on enircpi'cndra de delerminer l'aclion îles ravons 
solaires sur l'alrnosphi're el sur les eaux, ('es l'cclierclies ne |icnvent 
être fondées (|m' siii- une longue série d'olisei-valions. Au resic, idles 
n'appartiennent point ii la malii'i'c ipie nous traitons aujonrirhui. Il 
faut hien remarquer (|u'en soumetl.iiil au calcul la (|ucslioii des lem- 



nWS LES CORPS SOUDES. (i:5 

[M'radii-os lorrcstros. nous avons rcarté tout ce (jifil pomiail v avuii- 
(l'liv|i<itlir(i(|ue et (rincertaiii dans la nii'Siii-c de VfÏÏf[ des rayon-; so- 
laires. En ell'et. on jieiit l'ei^ardei' l'i'hit de la surraee du i,d()lie comme 
donné pai' les oljsei'valions, et il s'ai^il ensnite d"en dedniie l'elal (\v< 
molécules intérieures. Cette dernii'fe (|uestion dépend entii'fement de 
notre tliéoi'ie dn niouvemeiil de la elialeui' dans les eoi']is solides. 



MV. 

Comparaison des ivsiillats de la llicoi-ic a^'cr ceu.r 
(le (Incrscs ('.v/j('nr//r('s. 

loi. 

Il nous reste à comparer les résultats que lonrnit l'analyse avec ceux 
de nos propres expériences, (les observations on! eii' faites avec lieau- 
eou[i de soin, et souvent répétées. Le nouveau de^ré de piéeisirui (|ue 
nous sommes jiarvenu ;i leur donner nous a l'ait reconnaître une cen- 
forniité encore plus exacte entre les faits et la tliecuie. Pour etalilir 
avec ordre cette coin|iaraison, nous avons considéré, dans les diverses 
(|ueslioiis, les résnllat> les plus reu)ari|naliles et (|u'(ui peui i'on>tater 
avec précision. Ainsi, la théorie faisant connaître (|ue les températnic- 
tixes de diveis points placi's ii dislances éi^ales sur la cirt'onlérence de 
rarmiile forment une série récurrente (art. 10) ( ' ), nous avons cliei'- 
clie il vérifier ci' résultat en uu'snrant les températures a. h, r, d de 

(|natie points consécutifs et en comparant le (juolii'ut - — au i|uo- 

l> — (1 .... . . . 1 

tient -_ — ' (|UI doit eli'c le même ([UC le preeedelll . 

Il n'est ]Kis moins facile d'oliserver, [leudaiit le refroidissement de 
l'armille, les températures A et A de deux points situes aux deux 
extrémités duu même diamètr'c, et de les compar'ei- aux tem|)er'aliires 
B et B' de deux autres points situés aux extrémités d'un autre diamèti'c. 

(1) Tliéorit: delà clialenr, art. 10i>: p. 8i). (i. D. 



(iV TlîEOIUE DU jMOI Vl'MENT ]»F. LA CIIALELR 

l.cs deux sommes A + A et B -+- B' doivent leiidi'e de plus en plus à 

dcveuii' et ii ilemeufer éifales pendiint la diii'i'e du refroidissement 

( art. .'>7 ) ( ' ). il tant examiner si ectle ndation, donnée par la tliéoi'ie, 

se manifeste dans les expérienees. 

On a vu aussi que le système vai'iahle des lem|>eralures des diil'e- 

lenls points d'un eoips donné s'approelie continuellement d'un e(al 

léiiulier et final, dans !e(]nel les rapports des températures ne (dianL;tMil 

plus avec le temps, eliaeune d'elles décroissant comme l'oi-donnée 

d'une même loi;aritlimi(|ue dont le temps est l'ahscisse. Il s'ai^it donc 

d'oliserver les lem|iéialures c, , tv,, r,, ... d'un point déterminé, cor- 

re^pondanles aux lemps /,. /., /. , et de comparer entre elles les 

., , 1(1^ r, — lui; r,> ]i>ixv., — lo.Ui'j !• i •, • 

(luantites — > -— — > ••• alin de reconnaître si ccsquan- 

lilés sont ou deviennenl seiisiJilement éi;ales. comme la théorie le 
suppose. 

I']n i;énéral. le calcul nous apprenant (|ue la clialeur all'ecle loii- 
j(jiii's dans l'intérieiii' des solides une disposilion régulii'ie et symé- 
Iriijue, il est intéressant de ren<lre ces propriétés sensililes pai' l'expé- 
rience, et de pouvoir dislinL;ucr ii (juehjue caractère certain si le 
>vslème des leni|iéialures est entré et persisti dans cet état régulier, 
indépendant île rcejiauiremenl initial. 

Nous n'avons |ias eu seulemi'nl pour Imt dans ces expériences de 
vérifier les résultats remar(|iialiles de la théorie; nous les avmis encore 
ejioisies telles (lu'iui pùf eonnaitre pour une suhstanee ( le 1er ) les trois 
(|ualilés spécifiipies qu'il est nécessaire de mesurer pour faire l'appli- 
e;ilioii des formules, (les éléments sont la condncihilifé propre, la con- 
(lucil)ilité exférieui'C et la capacité spéciti(|ue de ( lialcur. 

La |H'einii're expérience a été f'aile sur un anneau de fer p(di, exposé 
par l'un de >es points ii l'ai'lion d'une chaleur constante. On a placi' 
sur (rois su|)ports de hois sec un anneau de fer p(di d'environ un pied 
de diami'tre; sou plan est hori/.onfai ; il est percé de six trous, comme 



( I ) 'l'Jiv'nrii- (II- lu (liiilrnr, arl. i't'\, p. •.>.4;i- 



(J. t). 



Il 'vNS Li:s coiii'S >()F,ii>i;s. 



(i.'i 



on le \iiil dans l;i fii^-. \i. Les liuis |iiriiiiri-s (irciipent 11' (|ii;iil de la 
cii'i'onlV'i'fni'c, cl leur dislaiirc cvi t\\\ ImiliiMiic de rcltc cii'cont'ci-cnrr: 
les trois auti'i's Iciw son! diainclralrnifiil (i|ijiiisés (' i. [.es lions m- 
pénrlrent point jnsqn'à la siirlact' inlV'i-icnic. mais st'nlcinrnl an drlii 
i\\\ niiliiHi de rt'jiaissçur. On a [dari> dans raiinilli' divci's ihcrnio- 
ini'ti'cs, en sorte (|ue le centre dn reseivnir de idiaenn eorresiiondit an 
Miilien de repaisseiii': on a en>aile reinjdi avee du nieiriire les Iron.- 
oii Ton avail nii> les lliernniinèlres; eenx (|ui restaient <■! (|ni n"a\aienl 
pas de iherinonièires ont aussi été remplis avee du mei'rnre. (Jn a 
échaullé rannean en [daeaut au-dessous une lampe il'Ariianl dont ou 



Fig. 12. 




piiuvail au,umenler on diminuer la llanmie. Ou oliseivait la leinpéra- 
lure de l'appailenient au moven d'iiii llirrmnmi'lic lilui': l'air elail 
Iranquilir; on tenait éeliaullei^ une pièce vidsine du lien de l'expe- 
l'ienee, el l'on eiili'"inivrait, lor-ipi'il élail iiei-essaii'c, la [lorle de com- 
muuicatiou avec cette etusc. Ou est [larvenu aiu>i ii retenir dans nu 
ile^i'é lixe la tenipéi'atuic de l'air. Le |ioinl an-de>sous du(|uel on avail 
mis le foyer elail très voisin d'nn des tlo'rmunil'tres placi's dans l'ar- 
inille, cl l'on i-é^lait coutiniHdlenH'iil l'acliviti' de la llamme en sorte 
(|Ue ce llicrmomi'tre niar(|uait un degré tixe. V.n apportant lieaucoup de 
soin dans ces ex[ieriences, on est parvenu, apii-^ îles lenlalives réité- 
rées, à entretenir dans nu elat tixe, [lendaiil |ilns de cinq heures con- 
séculives, la !em|ieral nie de l'air el celle du lliermoini'tre voi>in du 
loyer. Les tliermomèlres pins eloii;nés se sont élevés successivemeul ; 



( ' ) Le diiimclre muil///» est n"'. liJ; le dianiéire inléiieur///' esl i>'".-/.^3: ré|iai.sscur '/;» 
eslo"',o'2G: la iKuilcur y»/ c?l <)"'.i)i() : pour chacun iJps trous le (liaiiiètre est u"'.()i(). !;i 
liauieiu' (i'".(>'27o. 

II. 9 



(iti TiiKoi'.ir. 1)1 MOI \kmi:nt di; \.\ cinnun 

leur moiivcini'iil s'est lali'iili de plus en |iliis, cnsuiti' il ;i ('(■ss(''. Les 
lcni|iér;iliir('s oui (''le slalioiiiKiircs pciKhiiil un Idiii^ temps, et alitis 
on les ;i observées. On a l'ait j)lusieurs expériences de ce f^cnre, en 
variant la position des foyers, cidle des tlieniioiui'tres. et l'étal des snr- 
l'aces, (|ui étaient Iri's polies, on enduites, ou reconvei'ti's de diverses 
enveloppes. (Juel(|in'('ois on a expoS('' l'anneau ;i l'aclion eonslante de 
plusieiii's l'overs apprupiés ii des points diU'erents. Dans tous ei>s cas. 
on observait les tenip(''ralui'es stationnaires A, B. (', de trois tbernio- 
nii'tres consécutifs, et. i-etran(dianl la teni|iératui'e connnune de l'air, 
ou comparait les trois élévations (/ , h, r, afin de cmiiiaitre le l'ap- 
port — — ('.liaque expérieiiee donnait au moins une \aleur de ce 

i apjiorl . et l'on a remari|ue. en l'ilet, (|ue cette valeur était eon- 
slante ('), et (|u'idle ne dépendait ni (h' l'intensité des foyers, ni 
des points où ils étaient |)lacés. .Mais ce (|uoticnt tdiaiii;i' avec l'état 
ries surfaces, et il varie aussi lorsijue la dislance de deux tliermo- 
mi'ti'cs consi'cutifs devient plus gi'aiide. lui désii^nant par (j la valeur 
(|ue pi-cnd ce ra|i[i(U'l lorsi|ue la distai'ce de deux tliermomi'tres est ^ 
de la circonlérence, et par /■ la valeur <|ui convient ;i une distance 
doubli', on a trouvé par la llH''iirie la relatio.i suivante c/ = \ /■+-.!: 
ce (|ui e>t exaclcmenl c{Uifornie aux obsci'vations (roir ci -dessous, 
p. '')<S et suiv. ). 

Ou va maintenant rapporter les résultats uuméri(|ues des six obser- 
vations (|ui ont été faites sans ipie l'ctat des surfaces fût cliaui^é. Les 
lliermonii'lrcs (/, A, c, r/étaient places comme rindii|ue la //:,'. i3. l.e 
foyi'f permanent était au-dessous ilu point /', \(Msin du [loint c: le 
ibermomi'tre c, (|ui était en ce derniei- point, a mar(|U('' cimstamment 
<)f)":^ ;'( l'échelle ocloL;ési maie, et la température permaneute de l'ail' 
était de 17"'. n s'est e<'oulé V -l'" depuis le moment (u'i \\\\\ a pos('' le 
foyer jus(]u'ii ('(diii oii l'on a inesurr'" les tempi'iat lires statiimiiaires : 
on les a triuivees alors t(dles (pTidles sont iiidi(|uées dans la Table 
ci-jointe. Les points o, i . 2. '!, '1, "1, (i, 7 désignent les points de divi- 



(' ) 'riii-iivic ilr lit rhiilcur. ;iil. 1(17, |i. S,S. 



(i. 1). 



I) VNS LKS COI'.fS SOLIDKS. (i7 

sion (le hi rircontcrriiri', |i:irtiii;i'(' en liiiil [lailii's ciiairs; z„. c,, r^.,";;. 
:.,, ;_,, ;,.., ;; désiijnonl li's i|iiaMlilcs doiii la Innpi'ral iii'i' i|i' ces |iiiiiils 

lii;. i:i. 



/ 

1 

-^ r 

>iir|iass(' la tciiijK'ralini' ili' l'air. I.c [loiiil <■ i-iiri-i's|iiini| au |i(iiiil n. i'( 
l'on coniiail |iar r<'\|>i'ricnrf les (|iiali'c (|iiaiitili's z„. z,. z ,. ;.. 

«If la tenipfralur,.' 

(lu p'>inl 1 emrxTaUl!'* 

TliiTunmiftrf Tfîiipêrjlvin- >ur celle ile lair th- lair 

'■ '.)>.) ' :„ = 8i ^ 

I, G(i r, ^= iî< ; 

1/ ■*" \'- -■: — '^ I ', ' ■ 

</ î i ~: ^^ '-(y \ 

il rt'siillc il(_' la lliconc ( ' ) (|ur les clrNalioiis z„. -,, z^. z., ;,, -, 
r-,,, z- l'onnriit uni' sriir rrcuri'ciilc. et (|uc le (|niiticiil -'— — csl un 

uiMiihrc cnuslant. ([ui ne ili'pcinl (|iii' ilr la ualurr cl ilrs ilimcn-.iohs i\r 
Taiiufau, ri ?;(' Iroiucrail tdiijdui's \v niriiir, de ([acl(|U(' rôle (|u'i>u 
|ilacàl les i'nyt'rs de rlialcur i-oiistautc. Ou a\ait puiir ulijcl de lidiiMT 
ir (iiKilii'iil, a tin dr Ir couiiiaicr ii l'tdui i|uc donnerai en I d'au lie- oliscr- 
valions : nu n'avait ainrs ([ne (jualii' tliiTninrni'tro (|n<' Idti |inl a|i|di- 
(jncr a laïunllc: mais nn jiouxail su|ipl('('r an lunnlur do lliciiun- 
uii'lro en vai'iant \l'< ohservations. 

Ou a Ininvé '' _ '' = 2,2(JiS j, valeni' dn (|iui(icul ( liçrclic On [kui- 
vail d'abnrd vérifier ce résultat |tar le caleul ^nivaut. Ou a \u <|ue le 

( ' ) '/'/icunc (/c lu clidUiir, art. 10!l. p. <Si). U. H. 



(>S 



TiiKoitn-: 1)1 MOI vemi:nt i>k lv ciivlkii! 



(|U<tt:('iil r^^_"li serait diUÏTcnl si la disîance de deux liiriiiioiiil'lrcs 
consri'ulil's. au iirii d'rli'f éi^alc ii ^ de la circnnicTciicç, ('(ail éiialf ;i 
la (|iiatrii'iiic parlic de celte circonréreiiee. Ou sii[)pose <|u"il y ait un 
(liernKiuii'Ire au point (i, et l'on désii^iie par ;,., l'élévation de la leni- 
iiérature de ce point au-dessus de relie de l'air. SoienI ----—' r:^ y et 
HT'''' = ,■; il i\sl larilc de tronveiM ') entre y et /la ridation suivante : 



// = 0) 4- 



t'I /■ = fj)- H- 



l'JiMiinous (o, on a 



'7 = V''--+-2- 



Ainsi, en d(''lerniinant /■, <ui en pourra eonelure une nouvelle valeur 
de (/. 

l'oui' trouver/-, on ania les deux éfinations 



l'i 



(diiuinant ;,;. {|ui est inconnue, on a 



/■-;. — /•;.—- ;. 



On peut d(Hic olilcnir la valeni' de /• au niovcu de :■„. :■.., z., connue (Ui 
a olitenn celle d<' 7 au moyen de ;., ;,,, ;,. En taisant ce cali'ul, lUi a 
I r-ouvé /■ = ') , 1 '|(> : •'! de l'équatiiui y = \ /■ -f- 2 on a eoindu 1/ -- i^.at)-'^. 
Cette seeouilc valeur <lil!ci'e exti'ènieuieiit peu de la prcuiH're. Au l'CSte, 
il est prohalili' (jue celle confVu'inite résulte eu partie de la compensa- 
tion fortuite des erreurs. 

Ou a fait di\i'rses expériences du même ^cnre, en variant la positi(m 
des (|uatre llierm(un('tre<. Ouehiuel'ois ou a place plusieurs l'oyei's, en 
a|)porlaul la plus i;raude atti'ulion pour (|ue les tliermomi'tres demeu- 
rassent stationnaires, ce ii (jimi l'on peut toiipiurs parNcnir. On a 
ciianqé aussi la température de rap|»arlement, et l'on a prolonge la 



( 1 ) rhr'iirif (le lu c/ia/ci/r, ;irl. 110. |>. 8;). 



(i. I) 



I)\\S LES COUPS Sof.IDES. GO 

(liirc'o (If l'rtat lixi" des tompératiires. Voiri les icsiillal-^ (iirnn a 
ul)t(MUi-; : 

l.a |iii'itiii'ri' cxiirrii'iici' , (pic nous venons de ra[)|)orter, a donne 
deux valeurs de r/. savoir : c/ ^ 2,2()- et y = 2,2(jS. 

l ne seconde ('\|iei'ieni'e a donn([' deux valeurs de y cxprinii'es ainsi : 

(j = 2,2() l't y ^ 2,12S. 

[ne troisii-nie expérienee a aussi donne deux valeurs de y, savoir : 
y = 2.) 3 et <i = 2,3(). 

l ne (|uatii('ni(', oii Ion n"avai( ('ni|dovc (|ne Irois lliei'nionii'lri's, a 
donne une seule \alenr, savoir : y = 2,284. 

lue ein(|uii'nie e\|»erience a donut' deux valeurs, savoir : y = 2,2() 
et y = 2,2(). 

i'jitin la derniiu'e ex|i(''rienee. (|ue nous allons rapporter, a doniu' 
deux antres valeurs de y. sjivoir : y - 2,3 ^ el y = 2.'ii. 

On a plae('' (jualre iherinoinèties aux points a, l>, c, d iji)^- 1 1 ) el le 

Fij;. ,'t. 

/ \ 

\ 

t'over au-dessous dn polnl /" : reeliaiiHenieut a dure V'2'". Alors on a 
observé les teui|ieralures, (|ui etaieni tontes slalionnaires depuis en- 
vii'on 5(> minutes. La l'ahle suivante indinne ces leniperainres lixc'^ : 

ilo la leniin-raturp 
ilu Itu'rniiHJM'tre ii'iillM'i-iUll'- 

riiprmoiiiLHr<". 'loui|)t'raIure. sur cfllc l'o I aii ■If'l.m* 

a I I7,i)i> '.)8,<i7 

// r^^-S; ii'),5i ^„ ,-, 

c Gi 1 . 1 i 4 1 , ^ ' 

fi "j, I" i",;; 



70 TlIKOlilK 1)1 MOL \ I-:MI:NT \)\: LA CIIALFAU 

Le (|iiotii'iil r/ (111 ' es! ■j.,'S:>ai; le (|iii)liciit /' (iii — ost '^,'3'i), 

(•( si l'on calcnlc iiiic sccomlc v;ilciir de y ;iii iiioycii de l;i rclalidii 
// z= \Jr -\- 2, nii lioiiNc f/ = 2,'5()f)8. 

[>('S six cxiMMiciircs (iiit (l'iiiiH' onze valeurs iln nonihre y, (|ni 
jieiivenl servir ii detiMniiner ce nomhre très exacternenl. L'errenr sera 
nioinilre (|iie la (|uatre-vini>t-(lixiènie |iarlie de la valeur du noinliic si 
l'on eui|iloie les ex|>érieuees rait(^s en divers temps; et si l'on ne se 
sert (|ue des expérienees laites le in(''ine jour, l'err'eur sur la valeur de 
y sera lieaueitnp moindre (|ue la deux-centii'me partie de cette valeur. 

On peut donc calculer avec précision le l'apport . des deux couduci- 
iiilités. 

Nous ferons reniart|uer (|ue la valeur nunn''rique de y, idiani;i'aiit 
avec l'état des surlaces ( ' ), a ilù suhir (|iMd(|iie altération dans notre 
ai-iiiille. Les preinii'res exjiériences (Uit été laites en i Hotj et les der- 
nii'i'es en i (S i i : dans cet intervalle on entretenait île temps ii autre 
l'elat iH't l't p(di lie la surface; mais on n'a pu éviter (|uel(|ue léi;ei' 
clian^;ement. li'est pour cela (|ue les di u\ valeurs de y conclues d'une 
seule expérience sont en i;énéral plus voisines que celles qui ont ete 
données par des expéi-iences dilfereiiles. Au reste, on ne pouvait point 
attendre des l'ésiillals plus conformes eiili'c eux. soit ii cause des erreurs 
proNciiaiit des tliei'Uiomi'tres, soit ii raison des circonstances propres ;i 
rex|ii'rience. I']n eflel. les ri'sullats lliéoi'iqnes aux(|iiels nous sommes 
parvenus supposent que l'air est deplaci' avec une \ilesse uniforme; 
mais le coiiranl d'air qui s'i'taldil pri's de la surface de l'aniieaii, et 
empoite dans le sens \eilical les molécules ecliailliees de\eiiues plus 
léi^rres, a une viles>e moindre dans les pai'lies dont la teniperatiire 
est moins elcM'c. !,es points île 1 anneau situes dans une nu'iiie section 
per|)enilicnlaire ii Taxe n'ont point, comme on le suppose, une éi^ale 
tein|ieratnre. La dili'erem'e, i|uel(|ne pi'tite qu'elle soit, inlliie sui' les 
valeurs des lenqu'ialiires lixes: il en est de même des inlerriiptious 



( ' I 'l'Iiiiirii- (le lu ch<ilciii\ iul. T'.l, |i. ">(>. 



(i. I). 



Il \\S I.KS C.oni'S SOI.lItl'.S. 71 

i|iri'()r()uv(' la masse ilc raniifai!, ii raisdii des Icons (|iii rccoivcnl 1rs 
liifitiiiiiiii'lrcs cl sdiil rt'iii|ilis de iiu'iTiiri' : ciiliii il doit s'itoiiIcc iinc 
pclili' (|iiantilc de rhalcm- dans les siipjMirls. Toiiles ces cii-roiislaiiii's 
doiM'iil alli'i'cr les résultais, cl les cloii^ncr (](' ceux (|iic ddiinr la 
tlK'firic. On \(iil ccpcndanl (iii'idli's n'cniiièrlicnt |ii)inl (|n'(in ii'idi- 
tirniM' lies valcni's Iri's voisines des \éiatal)les. 

10-2. 

On a ol)s"ei-V('' aussi le inoincnienl de la clialenr dans relie iM(''nie 
arinille (jui a servi aux expi'rieiiees |iree(''denles. (le sidide avail e|e 
|daci' sur Irnis sii|i|)orls de liois sec; son jilaii elail liori/.onlal. el l'on 
avait mis ([iialre liiermomèli'cs </, //, c, il { Jii^. i "il ^nix |ioinls désignes 



par ees lettres dans la liiiiire; ensuite on a\ait rempli de men-ni-e les 
trous (I. h, (\ <l. et les deux antres /// el //, (|ni iiaNaienl |ioinl de llier- 
momf'tres. 1 n (•in(|Mil'nii' lliermomi'Ire était libre et sei\ail ii mesurer 
la teilipel alni'c du lien de reX|ielienee. I.a pièce ol'l l'on oliser\ail elail 
assez vaste, el Ion |)renail soin de ne pas aL;iler l'air, hllle eommnni- 
(|iiail avee une seronde pil'i'e é(dianl]ee, et l'on onvrait, loi'sijn'il elail 
néeessair<', la porte de eommunieal ion, afin d'idilenir nue lempeialnre 
constante : ce (|ni a en lien en cH'ct. 

i.c point /' avani ('-té expos(' pendant :>(> miiinli's environ ;i la flamme 
d'une lampe d'Ar;^aiit, les liicrnHnni't l'cs r, h, <l , n se sont (deves snc- 
ccssivcmcnl. A|tri's -jli minutes éconli'cs. on a l'ilc le loyi'r, el ilans ce 



-■1 TIlKoniK lU MOI VKMKNT l)K t. A ClIALKl li 

imiiiicnl, ;i y'Vji'", le llici'iiiunit'trc <■ iri;ir(]n;iit 1 27" i; t'iiviroii, ri les 
aiilics iiiar(|(i;iiriil cxarlciin'nt, savoir : 

l'iioi liiiiiiifIrL' TompriM'.uie. 

h 55% 

a 25 

(/ 3 ) ^ 

(■('lui (le la chainliia', ilrsii^iK'' pal' /, 

( is l 

A ■-'''')4"'. le llicrinonii'trc c ('lail (Icsccinlu ;i iii'"; l'iiviron ; cl les 
aiilrcs lliciiiKiiiii'trcs iiiar(|uai(iil l'xaclciiiciit, savuir : 

Tlirriiionirlic. I euiprr.'iliiie 

l> 5;"^ 

(• (G 

'/ >r ; 

I IS 1 

Oii a commencé à mesurer les tempcraUires avec le plus i^raml soin: 
une peisonne ohseivait un seul thermomi'tre. cl tonles étaient averties 
au nièiue instant pai' celle (jiii observait le leni[is ('■coule. Ou remar- 
ipniil aus>itol la position du nu'rcure dans le lhei-niomèli-e, et ["(Ui eu 
tenait note. 

I.a Taille suivante conlieiil ces résultats : 



DANS LES CORPS SOLIDES. 



TEMPS. 




THERMOMÈTRES 




SOM 




c. 


A. 


a 


d- 


t 


l 

- ' rt — f 


Il III 

7.3q 


%! 


•>9 


28 


40 1 


Q 1 un poil 
If" 2 liauL 


58 .916 


7-4-i 


7» 6 


.")6 i 


3oi 


4^^ 


iSl i(l. 


53 . I 67 


7 ■■" 


OGi 


53 i 


32 i 


42 i 


18 1 i,I. 


'|l|,25o 


7.ôr, 


• 60 


50 i 


33 f 


4.1 


18 i i(l. 


'.fi . n^ 


8. 1 


3-' .^ 


^/ 6 


34 V 


4. A 


18 f 


')', .S,,o 


8. '-, 


5iê 


4m 


34 f 


40 i 


•Î^T 


'\ 3,333 


s . I J 


f _ 


43 


35 


38 fl 


[8î 


'( [ . 1 100 


8..; 


43 i 


4I 


34 ï 


38 


iS 3 


T -' ^ 
)(),>J-| 


S.'.u 


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39 j 


34 è 


3;^ 


18 î 


3S . 5i.io 


S.oj 


^ol 


3;! 


34 ^ 


3(; 1 


iS ) 


.>7 . Î75 


8.07 


?0 ,', 


3; 


34 


35 H 


18* 


36,85o 


8.34 


3:1 


36 


33 fi.il.le 


34 11 


l<) faillie 


35,167 


S. 38 


36 


35 


32 -ï 


33 1 


, ,, 11" l"'u 
19 lailil.- 


34 . 365 


S. 43 


3H 


33 1 


32 i 


33 i 


Il) ill. 


33,35o 


8 "uiiiii- 


33 1 


331 


3.2 


3iH 


IÇI ill. 


32 ,791 


S.ôo 


33 


3> 1 


3i ; 


32 


II) III. 


32. 125 


8..:;3 


33 


3i t 


3if. 


3'î 


iii ill. 


1 ^ -) 


9 


3oi 


3oî 


3oJ 


•J 1 (III l'CII 

JOj t.irl 


m ill. 


)0.3l2 


9.24 


0- i 

-y 2 


0- ^ 


„- 5 

•*y 6 


■^7 1 


H) ill. 


27,666 


CJ.oi) 


0- 


,-1 


0- l 


27 1 


iii iiL 


■>7 , 1 >.5 


9--^4 


26 i 


26 it;?" 


26 1 


26 i 


i<) ill. 


26,625 



4;). 8") 3 

'i9-4i7 
47,833 
46, 167 
44-4^3 
43. ti( ')- 

io.9'>7 
3i),5r)o 
3S,iN!3 

37,041 
36,4'37 
.:).> . 007 
34 . 3 00 
33 , 5oo 
32 ,<)5ii 

3 2 , 2 1 «1 1 
31.733 

.3o , -iLiiii 

27,750 

27,291 

i 26,666 



r-irFFUF.NCE 

.kilil- 
ÎUDIIIU'S. 



— 9,083 

— 3,700 

— I • 4 1 7 

— 0,666 

— 0,317 

— Il , 260 

— 0,0.10 

— 0,1 46 

— o .017 

— 0.334 

— o,.j8o 

— 0,200 
-T- (> . o( j5 

— o , \-iy_t 

— O, i5,, 

— 0,075 

— o , 200 

— O. iSS 

I 

— o,oS4 

— 0.1 66 I 

— 0.O_|I 



IL 



-'i. THÉORIE \n MOL VEMENT DE L\ CIIALELT. 

l/c\]M''ri('nce ;) rtr (<Tiuiii(''c ii i()''2S'" du soir. 

Nous avcuis vu ( ' ) (|Ui' l;i loi de la |)ro|iai;a(i(iri de la cliali'iif dans 
nue ar'uiillc dcvicnl de plus en plus siuiplc ii nicsuic (juc le retfoidis- 
senient s'dpf're, el qu'après uu certain (euips écoulé la clialeur est dis- 
tribuée sviiiélri(pieuient. Dans ce dernier état, qui dure jusqu'à la fin 
du rel'roidisscnient. la circonlërence est divisée en deux parties inéi;a- 
lenient éeliauirées. Tous les points d'une moitié de l'arniille ont une 
lemprralure supérieure à la tenipératui'e nioyeune, et Ions les points 
de la ruuilie opposée ont des températures iulerieures ii cette valeui- 
mo\('iine. î>a (|uantité de la difréreiice est rtqtrésentée par le sinus de 
l'are compris de[)uis chaque point jus{]u'i( l'extrémité du (Uamètre 
meu('' par le point (\m a la tem[)(''rature moyenne. On avait [xuir but, 
dans rexperienee pri'eedente, de eounuitre le moment (_)ii le soliib^ 
l'ommeuce ii entrer dans l'état (|ue nous venons de décrire, (iouiuie la 
teni[iérature moveune (''(|ui\aul, dans cet état, ii la deiui-S(nnnn' des 
températures de deux p(uuls situés aux exli'éruités d'un même dia- 
mi'tic et (|ne, par c(niséM|nent, celte demi-somme est la même pour 
deux points ([mdcomjiies, pourvu (ju'ils soient opposés, on a cboisi 
cette |)roprieté comme l'indice de la dispositio-i symé(ri(jue (pi'il >'ai;it 
de rciidi'c sensible, l'ont se réduit donc ii (d)scr\er pour le même in- 
stant la valeur de la diUérence de la demi-somme des lenqti'raturcs 
(/ -(- r et la demi-somme des températures li-\-<l, et à examiner au 
nioveii des résidtats précédents s'il aia-ive, a|iri'S uu certain teiiqis, (|ue 
ces températures dcviennenl el demeurent l'^ales. (_)r les résultats des 
expériences s(Uil ii cet éi;ai'd tri's rema!'(|uables, et ne laissent aucun 
(boite sur cette distribution r(''i;uli('re de la ehaleur. 

\\\\ ellet, lors(pr(Hi a idoii^né le loyer, \\ •y'')!'", la demi-sonnne 
-,{a^v) \;dait en\iron 7')"', et la demi-sounue ',(/'-+■'/) valait 1)"^. 
('es (b'UX (|iiautités. loin d'être éLÇales, dilleraieiil de '^o"\. A 7'' >'|"', 
la demi-somme \((i + c) valait environ (i8",', c! la demi -somme '.(h^d ) 
valait environ '\~"l : ainsi la diU'erence était enccu'c de :>.!". Eu eonti- 



I ' I riiciirif lie 1(1 rlidlriir. iiii. t!i'>. p. ■lin. 



(i. 1). 



DANS LES CORPS SOLIDES. 7.; 

nuant jiis(jir;i la tin de rex[it''iien("e celle rcimparaison des dnix demi- 
sonime-i. il est faeile de jiii:er si elles Iciideiil à devenir f,^ali'<, rt l'es- 
teiit sensiblement dans cet état d'égalité: on si, au eoniraire, cdlcs 
peuvent se séparer et donner des diilerences croissantes de si^^ni' 
opposé. 

On a niai([né dans la TaMe, [xuir chaque valeni' dn temps l'eonié. la 
valeni' correspdndante de la demi-somme ;^(rt^r). c(dle de ht demi- 
somme \\ 1)^(1). v[ la ilil]'éi-LMice des deux valmis. On voit j>ar rcllf 
Taldi' qni' la difl'érence des demi-sommes. (|ni ('lall d'aliord 3()",<)G, a 
été réduite, en 3 minutes, à 21"; elle est devenue ()" pcnilanl les 5 mi- 
nutes suivantes, et (die a ensuite eontinué à décroilre: mais (die n'a pn 
acquérir aucune valeur négative de quehjue étendue. Cette dill'crence 
des demi-sommes a passé, en 2G minutes, de la valeur de ''>()■' ii r(d!e 
d'un demi-degré environ; elle a conservé des valeurs lies petites, (|ui 
se sont abaissées successivement au-dessous d'un liei's et d'un cin- 
quième de degré. Il l'aul ajouter que les valeurs apparentes de eetle 
dillérence résultent en majeure partie des cireurs picscjue inévitable- 
des instruments el des (d)servati(ins. D'ailleurs on a l'ail l'expérience 
dans l'air traïKpiille, au lieu de déterminer un courant d'air d'une 
vitesse uniforme; il était facile de prévoir (|ue roniissi(ui de celte con- 
dition n'aurait point une intluence considéialde sur les r('sullats. 

On a souvent répété des expériences de ce genre, en faisant vaiier 
toutes les circonstances, ou successivement, ou ensemble. On a plu- 
sieurs Ibis employé six thermomètres, dont trois étaient opposés ii trois 
autres; alors on a comparé les trois demi-sommes, et l'on a toujours 
reconnu (|u'(dles tendaient rapidement ;i devenir égales, et (ju'ensuile 
elles demeuraient dans cet état pendant toute la durée de l'expérience. 
On a échaiiire l'anneau au moyen de deux foyers, el d'antres fois on a 
transporté le foyer en div.ers endroits, afin d'occasionnel' le |ilus d'iné- 
galité possible dans la distribution de la chaleur. Iintin, on a fait con- 
coui'ir le frottement ;i la production de la chaleur; et, de (|uelque 
manière que l'anneau ail été écliaulfé, on a toujours observé (jue les 
demi-sommes convergent rapidement vers une valeur commune, en 



70 THÉORIE DU MOIVEMENT DE LV CHALElli 

sorte qu'on a reconnu par le r;iil l'iiujiossihililé d'obtenir un résultat 
(lillérenl de relui que l'analyse nous a fait eonuaitre. Au reste, l'tdjser- 
valion de ces laits n'aj(Hite rien à la certitude des conséquences tliéo- 
ri(|ues : elles dérivent nécessairemeni du principe de la comniunica- 
lion de la clialeui': elles oui toute l'cKaclitude de ce principe, et 
seraient assujetties aux mêmes corr-ections, si dv:^ ex[iériences ulte- 
l'icures en l'aisaient eonuaitre la nécessité. 

103. 

On a e\|)osé, pendant m» minutes environ, h l'action d'un foyer de 
eîialeur une niass(^ de fer de l'orme spliéri(|ue, cl dont la surface avait 
été polie avec le |dus j^rand soin : le dianii'tre de la split're est d'en- 
viron 'i pouces ('); un tlierinomètre exactemenl constiaiil penéli'ait 
au delà du centre de la splii're; le trou cylindri([ue (pii recevait ce 
tliernKuni'trc était i-empli de mercure. 

L'expérience avait lieu dans l'air tran(|uille, au milieu d'une pif'ce 
assez vaste, enti'ctenue ii une température conslanle. Le tlici'Uiomi'tre 
liine (|ui indi(juait la température de l'air mai'cjuail iii"';. 

I>a teinpéralure de la splii're s'est élevée au delii de mo'M division 
octoc'ésimale ). Alors on l'a sé|)arée du foyer cl on la exposée is(de- 
ment ii l'air; elle était suspendue par deux coi-dons de soie, (pii pas- 
saient dans deux anneaux exti'émemcnl pelils tixés ii la surface. On a 
essuvé la surface, aliii de faire disparaître les taches (|ue la tlaninic 
aurait |iu laisser. Le llu'rmonil'lre s'est abaissé successivement. La 
l'aille suivante <lonne : i" les valeurs du tem|is; -y les élévali(uis cor- 
i-esp(jndantes du ihermomi'tr'e de la sphère depuis (j )" jus(|u'a |)": 
)" les élévations du tlieianoml'ti'e lihre. 



(M I.c diann'lrc de l,i s|ili('ie' est de ii"',ii<ii): le (li.unelre ilu li'ini cyliiidriiiiie isL de 
ii"',(ii5: lii iirofoiideur de ee Irmi esl de n'". mSn: !e [luids du solide, sans celui du iiiereurc. 
esl de Viiir', 7. 



DANS LES (:ORI>S SOLIDES. 







V.'ilriir (II* : 




Val^-tir Jf 'j. 










leiupéraMiri 


i' 


ieni(MTaiure 


Valeur .1»' \. 








du la s<ili«>rt 




(!<' la chauilii*' 


elCï-TtiOH 


V^lpur <Je :t 


Vdiours 


lUlTcri-iicc 


— 




— 


au-ilc^^ti^ 


.l.in~ 


du 


ilc> 


I-.» Ilicrniijïiii- 


irc 


!,e lli^rni'tniêlre 


de la touipéralor'.' 


I ■'.l'!riti<*n 


îem[iS t. 


Uiups, 


uiarri'K* 




m,.Mi"« 


lit! 1 3ir. 


.) 3- A -X' 


1: m 
















8.',1 


tii 


Ci 




lîj- 


.S. 1 . ) 






'7 ' 






- 




"■îHli"'' 


S. JS 1 


- 


JS 




12 \ 


4J,5 




<)-'8i 


20 


>3 








":MUi'^" 






12 ; 


40.5 




- 


■.2 i 
•2G ', 






' 




0.1,9 lit; 


9•^'J| 


i^ 




.2' 


î > . '*> 


".'JOi'-* 


"■ 7i 


" 


-i j 




1 2 ', 


•>o, ". 





En résolvant In ([iiostioii ilc la prupaçration de hi clialiMir dans une 
spliiM'c, nous aviiiis i{Mnai(jn('' que les lonipératnros se rapprochent 
(•oiitinuellcnii'iit dn systî'nic dural)le dans Iccpud elles décroissent en 
même temps, sans ([ue leurs rajiports soient ciianiiés i ' ). Alors ces 
températures varient, depuis le centre jus(|u'à la surface, de même (jue 
le l'apport dn sinii> ii l'arc varie de[)uis une extrémité tle la demi-cir- 
conlérenfe jus(|u",'i l'cxlrémitr d'un certain arc mniiidre (|ue cette 
demi-circonlereiice. t'.liacuiie des tempi'ratures en particulier, et par 
consé(|iient la tem[M''i'aturc inovi'iine. décroît comme l'ordounce d'une 
loi;aritlimii[ue dont le temps e>t ralisci>se. On peut reciuinaitre, au 
moyen île l'idiservation, le moment où celte distriliiition réj^ulière de 
la chaleur est étahlie. En elï'et. il siilllt d'examiner si le moiivenienl <hi 
thermonii'tiT |iimiI ('tic représenti' par une logai'itlimique ; car celte 
deriiii're proprieli' irappartieiit (ju'ii l'étal ré^julier dont il s'ai^it. 
Soient ;, et -^ deux tem|)é!atures indi(|iiées [lar le ihermnmi'lre de la 
s[di('re l't correspondantes aux temps /, et t.; soient '/ la température 
constante de l'air, et v l'élévation r —d. Si la valeur de \- est donnée 
par ré(|uation v = A 7/, A étant une (|uautité constante cl a une frac- 
tion, on aura 



r, = A a'. 



d où I ou tire 



el 



loirr 



Ax'.; 



logi'.. 



En priMiaiit les deux lenipéi'aturi's (J3" et "iS" qui donnent \o,~> et p,") 



Tliéone de la dutletu-, art. i'Jri. p. Ji J. et art. 293 [>. ii)^. 



1;. 1). 



78 THltoRIE DU MOIVEMEM DE LA riMLELIl 

|iiim' les doux valeurs v, et r., on trouve, pour la IVaetion a, 

o,99:io6. 

Si l'on lait le uième calcul pour i"intervalle suivant, c"est-;i-(lirc en 

|irenaiit 

Vi = 4J,5, _)•; = 'lo.'* et /, — /, = '!". 

on trouve une seconde valeur ().c)')'|2<) de a. Le troisième inlei'valle 



Ooniii' 



f (|nalrH'ine 



a 3= o,f)<)'i 16; 



: 0.<)9^r!2 



On a iaj)porlé dans la Table pi'écéilente ces dillérentes valeurs de a. 

On voit par ces résultats (|ue, si l'on eousidi're deux ('■lévalions con- 
sécutives, par exemple "ni"-, et fV*^, comme les deux termes extrêmes 
d'une progression géométrique, et qiu' l'on insî're entre eux un nomlire 
de moyens proportionncds géomélri(jues égal au nondire de minutes 
écoulées moins un, on trouve pour la raison de la progression une 
IVaclion y. (|ui dilli're 1res |teu de ctdie (|u'i)n aurait trouvée pour l'in- 
tervalle suivant, foi'iné des élévations 4-''"' t't /jd"-,. Le mouvement du 
ihermométre peut donc sensiblement être rej»résenté par une courbe 
logarillimi{|ue. Lu elïet, si l'on suppose, dans ré(|uation y = A a', 



A =: So, '40() et 



:0,f,()'|l.-). 



iiii aura les valeurs suivantes, (|ui dillerent très peu de celles (jue 1 on 
a (diservées. 



VaU'tirs 


Vt 


ilelirs <li'iliiilc^ 






observées. 




II' 1 ('I|U.'lll<i[|. 


Ihllr 


lenri- 


'1 ' -. '"' 




5(i,/|i)(j 




1 Mil) 


4"."> 




■lo, ifii; 




.1' '' 1 


35..'-) 




■i5,5i)i) 




IX III 


■!o,-. 




la, ■>)■.> 




,14s 



l.i' rclididissemenl depuis (>'>" jusqu'il /|'i" a dure jdiis de 8() mi- 
iiiilcs, cl dans cet intervalle le nioiivemenl du (liermomidre est expi'iiné 
pai' i'e(|iiatioii V ' A a' il moins d'un sixii'iiK! de degré pri's, erreur 
(|ui ii'e>t pas la deiix-cenlii'ine partie de la lem|iéra(iire observée. 



DANS LES r.ORPS SOLIDKS. 7!) 

Au ii'sic. il y a divcM'^es cii'oonslaiici'S qui troublent l'i \v mouve- 
ment (11' la chaleur et ilnivenl altérer un peu l'exactitude des résultats. 
I.a pallie de la masse (|ui est lc)rmée du mercure et du llierumuii'tii' 
e>( daus un élat hieu dill'ereut de c(dui (|ue la tiiéorie considi're, et le 
liiermoinètre u'indi(jue pas exactement la température moyenne du 
solide: mais la cause ([ui influe le |diis sur les résultats est la diminu- 
tion continuelle de la vile>se de l'air. Ses luolécules, qui s'ecliauireut 
à la surface de la s|)hi're, sont emportées vers le haut par un courant 
dont la vitesse se ralentit ;i mesure i|ue le corps devient plus froid. ()r 
il V a une partie de la idialeur perdue par la surface (|ui d/qiend de la 
vitesse du courant: pai- conséquent le i'el'roiilis>ement devient moins 
pi-oinpt. et la fraction y., par laijuidle on doit multiplier la température 
pour connaître ce (ju'elle devient apri-s une miuute, ac(|uiert des va- 
leurs de plus en |dus grandes. Cet eU'et s'est manifesté dans toutes nos 
(d)ser\ations; mais il est [>cu sensilili' dans celle-ci, parce que Von s'e>l 
borné ii un intervalle de 2<i". I.a loi du refroidissiMueiit dans un air 
tranquille dillére donc un peu de celle (pi'iMi (diservei'ait si le corps 
était exposé il un couiant d'aii- invaiialile. Il serait facile <le déterminer 
cette première loi avec une approximatiim sufti>aiite, et l'on en coii- 
( durait les dilférences (jui existent entn^ les l'ésultats de la piemii-i-e 
liypollièse et ceux de la seconde; mais nous ne iiou> sommes point 
proposé de traiter celte ((iiestiim, (|ni se i-a|)porle ;i la propagation de 
la chaleur dans les fluides. 

Indépendamment de l'expérience pi'écédente, ou en a fait plu-ieui< 
ilu iiK'me genre sur des sphères de divei'ses dimensions. l.ors(|u'ou a 
commencé ces observations, ou ju'euait soin d'écIniunV'r les solides 
unifoiauement, eu les retenant daus un bain de mercure entretenu it 
une température |iermaiieiite. Apri's (|iie l'iminersion avait dure >\i\ 
temps assez considérable, cl que le tliermiuiii'tre ploii^i' dans la niasse 
indi(juait constaiument la tenqierature re(|uise, on retirait ce sidide, et 
ou le sus[)endait au luilieu de l'air [dus froid, atin d'obser\er le^ abais- 
sements successifs du thermomètre. On a toujours reniar(|ue ([ue la 
valeur de la fraction a augmente, <|uoique très lentement, à mesui-e 



80 THEORIE DU MOUVEMENT DE I. \ CIMLElli 

(jnc la (luire du l'crioidissciiiOMt aiiitinciitc. Cette valeur peut ède re- 
i^anlée connue eoiistante l(>i'S(|ue la (liiréreiiee des deux teuipéi'alures 
extrêmes n'est pas eoiisulérable. On a plusieurs (ois. daus nos e\j)é- 
rieures, (diservé les abaissements du lliermoml-tre de de^ré eu degré, 
depuis KM)" jus(|u";i i 2" ou 1 V'. Ou esl j)ai'\('uu, daus lous les cas, ;i des 
fésultals seuihlaldes à ceux que \'(U\ vient d'exposer. Ou a enfoncé les 
s])hèces daus un li(|uide euti'Clenu ;i une lempéi'ature constaule, lui on 
les a entourées de sahle ou de limaille coutinuellenieul éehauHés. Ou 
a |ilacé au-dessous une lampe allumée (|ue l'on retirait ensuite. (Jii n'a 
point remar(|ué, daus les résultais, de diirereuce (jui pùf élre allriliuée 
il la mauii're dont le solide avait été ecliaull'e. Il parait (|ue la dill'usion 
de la (dudeurdans la masse s'opi're assez, lacileineul, et que. dans nue 
sphi're de dimeusicuis médiocres, les leinpéi'alnres arrivent liienlot ;i 
cet l'Iat où (dicssoni r(q)résenlées pai' les (|ii(itienls du sinus pai' l'arc. 
On peu! daus ces expériences, e( sans craindre d'altérer la précisi(ui 
des résultais, sns|ieudre les corps dans l'ail', et les éclianllei' au nioven 
d'une ou plusieurs lampes d'Ari;ant; on relire ensuite les loyers, et 
l'on atleud (|ue le rerroidissenu'iit ait duré (|U(d(jne leuqis avani ir(d)- 
server les ahaisscmeuls du lliermomi'Ire. Nous avmis l'ail aussi d'autres 
expériences atin de connaitre les elléls de la ( lialeiir dans des S(di(les 
de diverses l'ormes cl dimensions, dans diliereuls li(|iii(les, dans les 
fluides élastiques cl dans le vide; mais ces ohservalions s(ml iiiipar- 
l'ailes et méiili'raienl peu ratlenlMm du lecleur; (dlcs n'oul point d'ail- 
leurs un ra|ip(H'l direct avec la matii're i\\\c umis a\(Mis trailée dans 
ces Mémoires. On ia])poiiera seulement deux oliser\alioiis l'ailes avec 
licaiiciMip de soin sur une splii're et sur un euhe de fei'. 

104. 

Ou a placé dans l'air, enlreleiin à nue lempéralnre eousianle, une 
sjjlii're scdide de Ter d'emiron 2 pouces de diamélre {'); la surface 



(') l.c (liniiicUr (lu la S|ilirrL' usl, de (i"\i'')'j-x: le (liniiïï'lrc ihi trou c; liiiili iquc esl de 
o"',(ii j; lii |irul'iiiidciu' (h: ce Udu est de n"',(iiS: le |i(iids de ki sphère, sans eeliu du mer- 
cure, esl do 0)3''. 7. 



DANS LKS <.()IîrS SOUDES. 81 

(■l;iil iiarlaiti'iiii'iit pulie, et l'on y avail lixc deux anneaux Iri'S |M'tils, 
nù l'on passait doux conlons dcslincs ;i suspendre la masse. I.a splii'rc 
est jM'i'cée d'un trnu (■vlindri(|ne m'i l'on inellail un lliernionil'Ire. I.e 
centre du i-ései'voir eoiueiih" avei' le centre de la sphère, et l'on rem- 
plissait le trou avec du mercure. On a place snns la sphère une lampe 
allumée. F.e thermnmi'tre s'est èlev('' à plus de loî": on a l'etirè le 
loyer, cl l'on a ohserve, assez loni;t<'mps après, les températures sui- 
vantes : 

A 6'' 'il'" le lliermiiiiictro :i passù ;i G'î" 

A 7'' 7"'4"' It" llieriiiniiicirc ;i passe' à 4' " 

L'expérience a eu lien dans l'air tran((uille. l 11 [loéle échaullait une 
pièce voisine, et l'on entr'unvrait, s'il t'tait uéi'essaire, la porte de com- 
miinicalion. afin de maintenir la leni|)eralure de l'apparlemenl, (|ui 
était de 12"^^,. 

On a exposi' de la même manii're ;i l'aclioii du foyer, et dans des cir- 
constances semhlaliles. uni' masse cnlii(]ue di' i'ei' dont la surlacc avait 
été exactement |i(die; le ci')l('' du ciihe est d'environ deux pouces (' ). 
Le lliernn>mi'tre dont ou s'est ser\i pour la sphi're a ele place dans le 
culie, au milieu du Irou cylindri(|ue, i|ui peni'irail un |m'U au delii du 
iiMitre et (|ne l'on a rempli avec du mercure; le ihermomi'lre s'est 
élevé il cSo"^(une plus grande élévation ne chaiiLicrait |>as les résultais). 
Alors on a éloigné le foyer, et l'on a ohseivé. ([iielijue lemps après, les 
températures suivantes : 

A 8'' ij""".!'!* il' t lie nui miel re a prisse à (ii" 

\ îS'' 06'" 4"' 11' tliermonii'tre a [lassé à 4*" 

Le tliermomi'lre placé dans l'air marijiiail 12"^. 

Ainsi la temjM'ratnre s'est ahaissée de (i !" ii 4 >" *'ii i V" '|i)" pour la 
sphi're, et de 03" ;i 4 '" en '>;)'" 'f |>onr le cnhe, dont le coli' esl seiisi- 
hlement égal au diami'Ire de la sphi're. 

En comparani ces résultais, il est nécessaire de reinar(|nei', cmiime 

( ' ) Le eolé du cube esl de ii'".o55')j: le diamélre du irou r\liiidrii|iii' esl do ii'".oi j : 
la prolbudeiir de ce trou est de o"\u\>: le pniils du 1 iilie. ^all- relui du uiereure. esl de 

IL 11 



82 TIIEOniR DU MOUVEMENT DE LA rriALEUr, 

on l'a l'ait préciNlcnimcnf ( art. 10! ), (|iic [iliisieiirs circdiistaitcos coii- 
courcnl à en altrrer rcxai'tiliult'. Il l'autohservei' suit(>ut ([lie la partie 
(lu solide qui est l'oi'iuée (l(> iiiercure se trouve dans un état Iri-s di !{'('- 
lent de relui que la tiié(trie suppose; et les dimensions des trous cylin- 
driques sont telles dans les diirérents solides (jue la cause précédente 
a d'autant plus d'eli'et que les corps ont de moindres dimensions : 
celte cause tend h augmenter le rapport des durées du rel'roidisse- 
menf. 

io:>. 

Nous terminons ici toutes nos hm lierclies sur la propagation de la 
clialeur dans les corjis solides. La Table placée ii la lin de cet Ouvrage 
indi(|ue !'ensemiile et les résultats généraux de notre tliéoric. Aucun 
ne nous parait plus remarijiuiMe (jue cette disposition régulière (jue la 
chaleur ailecti' toujours dans l'intérieur des solides, et que l'Analyse 
inalhéma(i([ne, devançant toutes les observations, nous l'ait connaître 
anjourd'liui. Pour représenter généralement cet ciref, il laut concevoir 
que tous les points d'un ciu'ps d'une ligure donnée, par exemple d'une 
splii're (Ui d'un cube, ont d'abord leçu des températures dillerentes, 
(jui diminuent toutes en même temps busqué le corps est pbuH' dans 
un milieu plus froid. Or le système des températures initiales peut être 
tel, que les rapports élablis j)rimitivement entre elles se conservent 
sans aucune altération pendant toute la durée du l'elroidissenienl. Cet 
élat singulier, (jui joiiil de la [)ropriété de subsister lorsqu'il est formé, 
peut être comparé ii la ligure (|ue juxuid une corde sonore lors(ju'elle 
fait entendre le son primipal. Ee même état est susceptible aussi de 
iliverses foi'uu'S, analogues à celles (|ui répiunlenl dans la corde élas- 
ti(]ue aux sons sidiordoniiês. Il y a donc, pour (diai|ue solide, une inii- 
nile de modes simples suivant les(|uels la < lialeur peut se pro[)agei' et 
se dissip(U' sans (|ue la loi de la distributi(ui initiale é|>rouve aucun 
cliangeuH'nl. Si l'on formait dans le solide un seul de ces ('tais simples, 
toutes les Icmpéi'alnres s'abaisseraient en même temps, en eoiiser\anl 
leurs premiers rapjiorls, et chacune d'cdies dimiiiinn-ait C(uume l'or- 
tlonnee d'une même logarillimupie, le temps elanl pris [lonr abscisse. 



I)\XS LES CORI'S SOLIDES. 83 

De (|iii'l(]iie iiianii'io que les (liH'cri'nls poials d'iiii corps aicnl ('ti- 
échaiilf'és. le système initial et arliitiaire des tempéiatiires se ilécdiii- 
pose en plusieurs états simples et durables, pareils à ceux (|ue nous 
venons de décrire, (lliaeun de (^es états subsiste indépendamment de 
tous les autres, et n'éprouve d'autres elianiiements que ceux qu'il 
éprouverait s'il était seul. La décomposition (huit il s'agit n'est point 
un résultat purement ratinniud et aualytitjue; elle a lieu effectivement 
et résulte di's |»roprictes phy>i(|ues de la chaleur. Fin etïet, la vitesse 
avec la(|uelle les tt'mpératures décroissent dans chacun des svstémes 
-impli's n'est pas la même poiii' les diiferents syslènn's : elle est extré- 
nn-ment grande |)(iur les états subordonnés. Il arrive de là (]ue ces der- 
niers états n'ont une intUience sensible que pendant un certain intcr'- 
vallede temps: ils finissent en quelque sorte par disparaître, et s'ellacent 
pour ne laisser subsister visiblement que l'état principal. On en tire 
cette conséquence que, de quehjue manière que la cbaleur initiale ait 
été répartie entre les |)oints du sidide, elle ne larde point ii se distri- 
bue)' d'(dle-méme suivant un iii'dre constant. Le système (\t'> tempéra- 
tures })asse dans tous les cas |)ossibles i» un même état, determinr par 
la figure du stdide et indépendant du système initial : on peut con- 
naitre |)ai- l'idiservatiiui le moment où cet état principal est lurmé; car, 
lorsqu'il a lieu, la température d'un point ([uelconque décroit comme 
les puissances successives d'une même fractimi. Il sullit donc de me- 
surer la température variable d'un point du solide, atin de distinguer 
11' moment où la loi précédente commence d'être observée. 

La propriété ipie la chaleur a d'aflecler dans les solides une distri- 
bution regulii're indépendante des causes extérieures se manitèste 
encore lorsc|ue les températures sont devenues permanentes. Ainsi. 
lorS([u'uii eylindre. ou un prisme melalli([ue d'une longueur considé- 
rable, est exposé par une extrémité à l'action durable et uniforme d'un 
loyer de chaleur, clia(|ue point du solide ac(|uiert une temperatui'e 
fixe. La loi suivant laquelle la chaleur se distribue est d'autant plus 
-impie (jue les points observés sont plus éloignes de l'extrémité échauf- 
lée. L'état du solide, dans la partie qui est soumise à l'influence pro- 



8V TIIÉOHIE l>r MOIVEMENT DE \A riIVEEin 

cliaiiic (lu lover, se coiiiposc de plusieurs étals [larlieuliers cloul chacun 
peut sulisister iuilépeudainuieut des autres; mais les teuipéraUiros 
prises à uin" cerlaiue distauee de r(U'igiue jusqu'il l'exlréuiilé opposée 
ue l'oiaueiit plus (|n'uu sysli'rue unique et principal, (|ui serait eucoi'e 
le luciue si Tou clKUV^eait (Faue manière quelconque l'actiou [icrma- 
nente du foyer. 

Les plK'uomi'nes (i\uanii(|ues |)résentenl aussi des propiaétcs ana- 
loi^iu's, lidies que l'isoclirouisme des dernii-res oscillations ou la ré- 
sonance mn!li|de des corps sonores. Ces résultats, que des expériences 
joui-nalii'res avaient l'cudns nianil'estcs. (Uit été ensuite expli([ués par 
le calcul. Ceux (jui dépendent du mouvement de la idialcnr ue peuvent 
être constatés ([ue par des observations plus attentives ; mais l'Analyse 
malhémati(|ne, empruntant la corniaissancc d'un jietit nondtre de laits 
i;'énéraux, su|q)lée il nos sens et nous rend eu (HH^I(|ue sorte témoins 
de tous les (dian cément s (|ui s'aeeom|)lisscnt dans l'iulcrieui' des corps. 
Elle nous dévoile cette comjMisiti(Hi liarmoni(|in' des mouvenienis 
simples aux(|U(ds la clialeur est assujettie, soit (|u'elle se |ir(qiai;e nni- 
loianément pour entretenir des températures lixes, soit ([u'cllc tende 
et se dis|»ose par dei;res insensililes ii ee (lei'né_'r état. 

Des oliscrvatious plus |)récises et pins variées feront connaitre |iar la 
suite si les ell'ets de la chaleur sont moditiés par des causes (|ue l'on 
n'a point aperçues jus(|u'iei, et la théorie aci|ncrra une nonv(dle per- 
fection pai' la eomparais(Ui continuelle de ses l'ésullats avec ceux des 
expi'iiences; (die expli(|iH'ra des plK'inunl'nes importants (|in' Von ne 
pouvait point encore soumellri^' au calcul ; idle appreu(^li'a ii déterminci- 
les ell'ets varialdes des rayons solaires, les chani^cnuMits (|ne snliit la 
lempcratui'c dans rinlérienr du i^lolie teria'stre, aux sommités des 
uioutaiiiics, il dill'ereutes dislances de ré(|uateur, et les i^rauds mouve- 
ments (|ne les variali(nis de la chaleur occasionnent dans l'Océan et 
dans ralmos|)ln're ; (die servira ii mesurer la conducihilite intérieure 
on extéiàenre des dillV'rcnls c(U'ps et leur capacité de i haleiii', ii dislin- 
i^iOM' tontes les causes (|ui UHidilienl l'émission de la(duileurii la sur- 
lace des solides et il perfectionner les iiislriimenls therun)mél!a(|ues. 



DANS Li:s cor.i'S solidks. s;; 

Cette théorie excitera dans tous les temps ratleiitioii des i;éoiiit'lie-; 
rllf les inti'ressera par les (lilliciill(''s d'analyse ([n'cile présente cl pai' 
la Lîrandcnr et Tnlilitc (|ni lui sont propres. Aucun sujet n'a des rap- 
ports plus étendus avec l'cliide de la nature et les pi'oi;;rés de l'indu-- 
Irie: car l'aelion de la clialeiir est toujours présente; elle péiii'tre les 
corps el les espaces; idie iiillui' sur les procédés de tous les aris et 
concourt à tous les plnuiornèues de l'univers. 



TABLE l)i:S MVTIERKS 



(;0.\TF.\l E s DWS H SUTE lit lltlIOlliE IMIIILE 



THÉORIE 1)1 MOUVEMENT DE LA CIIALELR 



DANS LES CORPS SOLIDES. 



XII. 

Des Icinpc'raliirrs liTrr\frc\ et du inuiivrincnt île lu elmlnir dmis l' intcrieiir d iiiic sjilièrc 
iiilide dont lu si/rjiicr es! nasnjetlie il des elifiii^einciils periddir/lics de lempe'rallire. 

Ariulos V.K,- 

80. Keinarinics L'éiiéniles sur la ([luslion dos Iniiipératurcs lerrcstres ! 

SI. On j.iii)|)Ose que Imi.s les poinis île l.i sinl'ai-e d'uiio sphère (l'ti[i très i.'raiiil 
iliaiiièlrc ont une leinpéraliire eomiuune e. qui est une lunclHui périodique 
ilii temps écoulé. Celle fouctiun o(n ne change point de valeur lorsipioM 
écrit / — au lieu do l : est une constante égale à la durée de la période. 
Quelles que soient les tempéraluros primitives des molécules du soliile. elles 
s'approchent de plus en |)lus d'un certain état périodique, qui ne dépend ipii- 
des variations au\i|uellcs la surface est assujettie, (^et état est repré'seulé 
par l'équation suivante : 



/..n</,-V' V, 



— ii\ — 






,]d! 



sni \,-j^i 



i ( / ) COS ( / ~ I I '/,' 



e est la tcm|iérature cpie doit prendre, après le temps i. la couche sphérique 
qui est placée au-dessous de la surface à la profondeur /'. Il faut dévelopjiei- 
le siiino i en mettant au lieu de / les valeurs successives i. i. >. [. .... ('.... 

8:2. Lorsiiu'on donne à la varialilo it une valeur un |ieu con?idéralili'. les termes 
placés sous le sii.'ne i! s'é\ anouissent presque eulièreuient. d'où il suit ipie 
les \arialions pc'riodiques de la surface deviennent in>ensililes a uae certaine 
profondeu r 

S3. La température |iernianente des lieux profonds, étant exprimée par le premier 
terme do la valeur de e, est égale à la valeur moyenne lie toutes les tempé- 
ratures que l'on observerait à la surface ])endanl la durée de la période.. . 



SS TM'.LK I)[:S MVTIEHES. 

Arliilc- rases 

<Si. Lorsque hi |irof'uuilrur est telle i]nelos varialions périmJiqnes ne sont pas enlié- 

rciiienl iiiseiisililes, iiiuis ont seulement ilc ijetites valeurs, ces variations 

, ^'* 
r — - I ■i{t)i//, ou ir, sont exprimées par le premier fies termes ipo 

entrent sous le signe -. 

Cette différcneo 11' entre la tenipérature d'un point inlérienr el la lenipé- 
ralure moyenno varie avec le temps, cl comme le sinus du temps ipii s'est 
éeiuilé ilejiuis l'instant où elle était nulle. Elle reiirend toutes ses premières 
valeurs penilant la durée de la période suivante. 

Le nuiximum de la dill'érence le n'est pas le même pour différentes profon- 
deurs; il déeroit en progression géomélriiiue à mesure que la proRuideur 
augmente de q\iantilés égales. Les dilTérents points d'une mémo verticale ne 
parviennent point dans le même temps à la température moyenne, et cette 
dernière tenqiéralure passe il'un point à un autre avec une vitesse vmil'orme. 

La durée de la période et la conduciliililé du solide inilueni lieam.'oup 
sur la profondeur à k^pielle les xariations deviennent insensilili's, el sur la 
distance des deux points il'une mémo \erlicalc (]ui al teignent en même temps 
la tenipéralure moyenne m 

S,"). On appliipic ces l'ésullals à une masse siihérique homogène de fer, dont la sur- 
face serait assujettie à des variations diurnes et annuelles de température. 
.A^ant délerminé. |iar les expériences rapportées dans ce .Mémoire, la valeur 
approchée du nonilire K, on trouve que les variations diurnes sont presque 
nulles a v."'.'j, et que les xari.itions annuelles sont insensibles à Go'" envii-on. 
La tem])éralui-e moyenne descend dans l'inlérieur du globe avec une \ilesse 
il'environ in'" en six mois , i i 

S(i. On applique la .solution générale au cas où les temii(''raturcs île la surface varie- 
raient eo^unl^ les sinus des lem])S écoulés. 

La durée de la période est partagée en deux saisons égales. Pendant la 
]>reniiere, le globe s'échanfle, le foyer lui communicpiant une nouvelle (pian- 
lité de chaleur: pendant la seconde, le solide |ierd celle même chaleur qu'il 
avail ac(iuise el la rend .'i l'espace exiérieur. 

Le globo commence à s'échaulfer uu huitième d'année avant (pu> la tempé- 
rature de la surface passe au-dessus de sa valeur moyenne; il commence 
à se refroidir six mois après. On peut déterminer toute la (piantilé de cha- 
leur qui, pendant la saison de r(''cliautlement. |iéni'tro dans le solidi: en 
traversant une portion déterminée de la surface. 

Dans le climat où la température anmielle s'élève de 8° (octogésim. i au- 
dessus de la \aleur moyenne, la chaleur totale cpii pénètre pendant le cours 
d'une ainiei' une suifaeede I '" i sérail, pour un globe di\ fer, é(pnvalente à 
aS'iCi: e'e>l-à-diri' qu'elle poui'rail hmdre ■.(H'jti''' de glace i('> 

,S7. La tenqu'iatuie li\e di'S lieux profonds n'est poini la même dans Ions les cli- 
nials. el elle duuimie à uie-ure que l'on s'éloigne de l'éMpiateur. Si l'on tail 
abstraction de l'enveloppe spheriqne dont les poinis se'nt assujettis à di's 
\ariations périodiques de lemiiéiMlure. on |ieut (•(uisidérer le globe terrestre 
ciunme uni; sphère solide dont les points situi'S à la surface sont eatrelenus 
à des tenqiéi'alnres fixes, mais qui dilfèrent d'un point à un autre. On [leul 
di''teriinner pai' le calcul l'état des molécules inléiieurcs. 



TABLE DES MATIÈRES. s;t 

■>-• désigne la distance d'un poini du solide au pian de rci|iiatcui-, ci y l;i 
distance de ce point à l'axe de l'équateiir. X et V sont les valeurs de .r et 
de _v pour les points de la suiface. Des causes extérieures (pieleonques 
retiennent tous les points de la surface situés sur un même parallèle à une 
température commune et fixe F(X); il en est de même de cliaeun des paral- 
lèles, en sorte que la loi suivant laquelle les températures diminuent. (lepuis 
le pôle jusqu'à réi|uateur. est représentée par la foniiion connue F(X»; 
(pielles que soient les températures initiales des points intérieurs, elles 
changent continuellement et elles s'approchent de plus en plus d'un état fin.d 
permanent. 

Cet état est exprimé par l'éciuation 

(Jj-- 0)- _) ih 

i' est la température fixe du point dont les coordonnées sont .' et v. 

On peut assigner pour une valeur particulière de r la fonction cos.'/V."^"''/</y. 
ou 

cos.r ( I — ^ — ^ - 



i- ^(-. 4- a^. j2.(;i 

Si donc on donne aux dilVérenls points diuie sphère solide les températures 
exprimées par cette fonction, et si l'on maintient ensuite dans leur él.il 
actuel les températures do la surface, il no pourra y avoir aucun change- 
ment dans l'intérieur de la sphère >m 

88. Celte solution, quoique particulière, fait connaître comment la chaleur pénètre 
par les régions équaloriales, et s'avance de plus en plus dans l'intérieur du 
globe |iour remplacer celle qui se détourne et se dissipe vers les pôles l't 

XIII. 

/)cv /(i/i iiialliriiKfnqiics (If l' cqiiilihrc (Ir hi clialciir r/ij o/t/ia/ilc. 

8'.i, l'iuicipe général de l'équilibre des températures -ix 

'.Ht. Mesure de l'intensité des ravons d.' chaleur ir 

".tl. L'u plan rirrulaire étant maintenu à la li'uqiératui'i' n. on [ilacc, en un point île 
la perpendiculaire élevée par le ccnire du cercle sur son plan, un disque 
infiniment petit, dont le rayon est o. et tient le plan est |)arallele à celui du 
cercle. La (pianlilé de chaleur (|ue le pl.ui envoie sur le disipie esl 

^ I 
/ F(;u/: 

f//i -'j.- j • 

Il est la coniiucibilité de la surface échaullée; : est le sinus (!'■ I angle .. ipie 

l'ait avec le plan la direction d'un rayon ipii, ayant son centrt^ sur ce plan, 

embrasse le disque infiniment petit; F(;) ou F(,sin-i ) représente la loi indé- 

II. i>. 



<)» TMU.E DES M VTIEHKS 

Arliilc- l'jcc- 

loriniiire siiivaiil liii|iu'llc' l'iiilonsilé Viuii^ avec l'angle o. Z nii sin'h l'opn'"- 
spiilc la \alrur exlièiiio de :. iiii colle i|iii ré|i()nil a un ]i(]iMl île la circiinfi'- 
leiu-e (nii iPi-miiic le plan. 

Si riiileiisilé lies ravdiis esl eonslante, qnel que suil l'aniile o. raclinn ilii 
plan sur le ilisi|iu' est (ili-'i- .sinverseM'. en (iésij.'nant par M' la ineilié de 
l'angle iImuI le smuniel est au ceiilre ilu plan, el ilonl les eolés eiiuiprenneni 
le ilisque. 

Si l'iiilensili'^ (h'crdU ecimuie le sinus de l'angle d'émission, e'esl-à-dire .si 
{■"(sin'j I = siiio, l'action du plan sur le disque est «.'/-a- sin'-^' 

Si le plan circulaii-c a un l'aymi infini, l'aelion totale du plan sur le disque 
est toujours «A "iJ.'-: (-ela a lieu qiu'lle que soit la distance du disque à la sur- 
face éeliaud'ée el quelle «pie Soit la l'iuiclion de sino (pu exprime la loi de~ 
ililiuisilés. 

Si. (Ui un point (pieleonipie de l'esiiace eonqiris entre deu\ surfaces planes, 
parallèles el infinies, maintenues à la IciBpéralui'e o, on place un disque 
iidiuiment petit parallèlement au\ |ilans. il acipu'rra et conservera une tem- 
piM.ilure a ('■gale à celle des deux surfaces. Ce résultai a lieu ipielle (pie soit 
la fonciion |-'i siu'-. ) \\: 

'M. Si l'on plai-e une muléculr s|>liérique. dont le ra\onest ,'. au centre d'uiu' 
enceinte spliériipie entretenue par une cause (|uclcûnipie à la lenqKM'alure <i. 
l'action de la surface intérieure de la sphère sur la inoléciile sera 

, , F(i) 
•>.tui — 'S- - —, • 



/ Fu-if/r. 

Si l'iiilonsilé des rayons était la même imur tous les angles ç. la nioli'culc 
acquerrail la moitié seulement de la tenqiérature ue l'enceinle. 

Si I intensité des rayons décroît proporlionnelleuienl à sino, la luolécule 
acipierra iini> lenqiérature égale à celle île l'enceinti' i(i 

III!. l.'<ielioii d un plan circulaire sur une molécule s|)hi'ri(pu^ placée en un poiiil de 
l'axe du plan e-t 

/ F. --!,/.- 

■ u 

Si riutensité des ra\ons émis est in\arialile. l'action de la surface écliaiillée 

est '(/(-•/- log . , 'I' l'iani la \aleui cxirèuie de •-. I.a uioli''cule pounait 
■ siu'l' ' 

acquérir, en xertii de l'action du plan, une teuipé'ratiire inllnjiuenl plus grande 
que (I. 

Si l'inlensili'' des ravons émis est Jiroporlionnelle .lu sinus de l'angle d'é- 
mission, I aciion du plan sur la molécule esl 

y.nli--j-{ I siii'l' i: 
cl si, dans ce même cas. on |)lace une molécule sphi'rique en un poini quel- 



T\uLi-: i»F.s M \Tii;i;i:s. «u 

conque (le l'espace coni(iris entre les deux surfaces r-clinnlTécs. celle luiilé- 
cule acquerra et conservera la teiiipcraturc a des deu\ surface-: ]- 

!•! Si l'iiii |ilace une luulécuie sphcrique eu un |)iiinl quelcou(|ui' de l'aM- d une 
cnvelopije c\lindri(pie entretenue a la Icuipcrature ''. ou di'lrnumi'ra facile- 
ment l'aclion de celte cinelo|ipe sur la uiolccule. 

Si l'intensité des raxMUS émis esl invariable, l'action de la ?urlai;c sur l,i 
mûlécide sera uli-y-i T ^ M" i. "l'et M" sont les anijlcs que fnul, a\ec la pn- 
pendiculaire abaissée de la molécule sur la surface, des liirnes cpji. |i,uManl 
de cette molécule, aboulissent au\ deux extrémités de la surface. Dans ee 
cas. la lonLOieur de reuvelopjie étant infinie, la umlécide acipierrail une lem- 
péralure nioindre cpie a dans la rais(m de - à ,'. 

Si l'inlensilé îles rayons émis décroil comme le sinus de l'anjzle li'émission, 
l'arlion de l'enNeloppe sur la nmlécule esl 

iih-.z-t •> sin T - > sin '1' i; 

et si la lunjzucur du cylindre est infinie, la moli'cule ae(iuii'rl el conserM' la 
tempéiMlure a de la surface échanlfi'e jo 

'.I."). Si Idn plaei' une molécule- spliéri(]ue en un point quelconiiue de l'axe d une 
en\elo[ipe i-ylindri(|ue fennec par deux plans circulaires, elipie celte eueiunle 
soit maintenue par une cause extérieure (luelconqiie à la teinpérauire c il esl 
facile de coimaitre la température ipio la molécule doit ac(piérir. soit que 
l'intensité des ra\ons ne dépende |ioint de !'anj;le d'éini>si(Ui. soil ipi elle 
\arie proportionnelleiueiil au sinus de ccl an,L;le. Dans le premier cas. la tein- 
|iér,ilure acquise dépend de la place (]u'oeeup(^ la neilécule, el elKï peut èlic 
un moiuiire ou inliniment [iliis grande ipie n : dans le seciin<l ims. la tempéra- 
ture acquise esl toujours éirale à celle de la surface écliautfée. en cpielque 
lieu que l'on place la molécule \/- 

'.!(). (In su|)|iose qu'une enceinte d'une fii.'ure (piclconqiie. terminaiit de loules parts 
un espace \ide d'air, soit maintenue à une température consl.mle «. et que 
Ion mette en un point <le cet espace un corps d'une liinire (pielconqiie On 
prouve que ce corps doit acipiérir et conserver la même lempéralure que 
l'enceinte, si l'intensité des ravoiis (''mis décroil |iro|)ortionnelleinenl au sinus 
de l'anirle d'émission. Dans ce cas. la partie inlinimenl petite > de la surface 
du corps reçoil d'une portion infinimenl petite ■: de l'enceinie autant de rh.i- 
leur qu'elle lui en envoie. 

Celte é.aalilé des actions réciproques cpii con.-lilue l'iNpiilibie u'<i lieu ipTau- 
tant que l'intensilc décroil proporlionnellemenl au sinus île raui.de d'émis- 
sion; elle ne peut résulter d'aucune autre bu'. 

Ce résultat de l'action mutuelle de deux surlaces infiniinenl pelile-- > ci t. 
dont l'une a la température « cl l'autre la température h. esl 

, , V sin/) X - sin V 
Il {n — h \ — ■ : 

\ est la distance des deux éléments i el 7: p esl ranL:le que lait l.i distance 
.1 avec s: -^ est l'angle que fait.) avec -: /n'Sl la condncibilité des deux sur- 
faces. Celte proposition est indépendante de toute liv[iotliése physique sur la 



!(2 TABLE DES MATIERES. 

Arliclr- l'iiSP* 

natiire ilc la clialeiir: elle contionl la tliéoric malliiMniiti(Hio (le l'iMiuilibre iK' 

In chaleiii- [■aymiiianli' 4^ 

!I7. l.dPï^qiic lV'(|iHlilii'c lies icMiipi'raiiiros est formé, on peul concevoir iiu'iine por- 
lion iiiliiiiiiic'iil iiolilc quolcoïKniG de la surface extérieure du corps ou de 
renci'iiilc esl le reulrc d'un liéniisphèrc continuellement rempli de rayons de 
chaleur; l'inlensilé du ra\on est proportionnelle au sinus de l'angle cpio fait 
sa diredion avec la surface dont il .s'éloii;ne. A chacun des rayons émis cor- 
respond lin rayon incident ipii a la même intensité i|uc lui, et ipii, suivant 
une roule opposée, ]iénèlrc la surface dans le point même dont s'éloigne le 
ra\iin émis î(> 

ils. Cet équililiie s'établit de la même maniéi'c lorsque les cor|is changent de lieu: 

il ne (lépiMiil ni de la forme ni du nombre de ces corps ,'17 

9!t. Toiile modillcalion de la surface des corps qui augmente la f.iculté de rélléchir 
une |)artie des rayons incidents diminue aussi, et dans le même rapport, la 
facidié de projclrr dans l'i'sparc la chaleur int(''rieure. Celle relation est 
eomuie des pinsicieiis, et elle est ])rouvée par l'expérience. Il en résulte ([Ue 
ré(piililu'<' de la chaleur l'ayonnanle subsiste, dans tous les corps, de la même 
manière (pie s'ils étaient tous privés de la pro|iriéli'' de rélléchir les ra\ons 
de chaleur à leur surface jN 

IttO, l'AaiiH'ii de la cause ipii rend l'intensité des rayons émis d'autant moindre que 
leur direelioii est plus iibliipie. La loi maihématiipie du décroissemenl de 
celle iuleu>ile est iudiipiée par des expériences déjà pufilii''es : elle est une 
conséquence nécessaire du niode de pro|(agaliim de la chaleur à Irasersla 
surface des corps solides ") i 



XIV. 

(''tiiifKirmsDii des /■(■■iitltiits ilf lu llicorir m'cc crii.r de d/t'cncs c.vjicriciicct. 

KM. Ou a mesuré a\ec beaucoup de soin les lempératiires stalionnaircs dun anneau 
de fei' 1res poli exposé à l'action cousiante d'un ou de plusieurs foyers de 
elialeur. La eireonférence élail divisi'c en plusieurs parties égales, et l'on 
observait les températures lixes de plusieurs |)oiiils île division. On a tou- 
jours remaripié entre ces températures les relations que la théorie avait fait 
connailre. Ainsi l'on a mesuré les élévations de trois Ihermouiétres consé- 
l'iitifs : et en ilivisani la siuumedes élévations du premier el du troisième par 
celle du deiixii'me. ou a trouvé pour quotient un nombre Ires voisin de 2, J. 
Ou a mesuré (mze valeurs de ce rap|iorl. prises dans des circonstances très 
dillérentes : trois lliermomi'lres consécnlifs (pielconques donnent toujours ce 
même quolicnl, el il ne dé'pcnd ni du nombre des fovers, ni «le leur iiiten- 
siti'', ni du lieu où ils sont placés. Chacune des on/c v ali'urs ubseivées ue s é- 
liii|;nc pa- de la valeur iiiovcniie de la ipiiiire-v ingl-dixièiiie partie de eetle 
valeur; et si l'on n i'm|)loie ipie les exjiéiiences hiiles le même jour, eelli' 
dillérence est moindre ipie la ilcux-cenlienu> partie de la valeur cherchée . . . (i3 



TAIÎLK l)i:S M VTIEUES. 03 

Arliclcs l'a.-rx 

102. On a obsorvé les températuro;; \arialiles <le cf même iumeuu |iendaiU qu'il sr 
relYdidiysail lilircmeiil (i.uis l'air. Les tliermomèlres A et A cl.iieiil places 
aux extrémités il'uu même diamètre; deux thermomètres B el B'. et deux 
autres C et C, étaient aussi placés respectivement aux deux extrémités d'un 
diamètre. On mes.urait dans le même instant les trois élévations a el «'. /' ci 
//. (' et c des six tliermumètres. el l'on eomparail les tniis demi-MUiinii-s 
i ( « -^ «' I. i ( A — // I, .J ; </ -^ <■' 1. 

On a toujours remanpié cpie ces demi-.-^ommes. i|ui étaient d aburd ti-e> 
inégales, tendaient ra|iidement à devenir les mêmes et persislaieni ensuite 
dans cet état. 

Quoiipi'on ail l'ait un i;rand nombre d'expériences de ce jjenre. on n'a ja- 
mais observé que les demi-sommes, après s'èlre approchées d'uni' \aleiir 
moyenne, s'en écartassent de plus d'un sixième de deirré de l'cclielle octo.aé- 
simalc. On a donc recouiui par lofait rimpos>ibiHté d'ublenir un ré^sullal ilil- 
l'érent de celui que la théorie indique 71 

lii:i. On a observé la température décroissante d'une masse .-phérique de fer p^ili 
(jui, après avoir été échaulfée. était exposée isolément à l'air frwiil. Il s'est 
écoulé |ilus de S(i miaules pendant (pie la lempéralure s'esl abaissée de <)3" oe- 
togésimaux à 43". et l'on a mesuré les teiri|iéralures intermédiaires. 

Pendant toute la durée du refroidissemcnl, l'état du solide a élé exacte- 
ment représenté [lar l'éipiatiou expoiienlielle que donne la thciorie. v.w com- 
parant les températures observées avec celles que loa aurait pu déduire du 
calcul, on n'a trouvé que des (hlférences moindres qu'un sixième de de^Té. 
l'iusieurs expériences de ce irenre ont donné des n''sullals ('u'alemenl con- 
formes à ceux de la théorie 7!'. 

Kli. Ou a rapporté aussi deux expériences faites avec beaucoup de soin, pour com- 
parer les durées du rel'roidis.senieiit dans une sphère solide de fer poli el un 
cube de même matière dont le coté est é.ual au rayon de la sphère. 

Ces diverses expériences oui eu pour but de \éri(ier les résultais les plus 
remarquables de la théorie, et de fournir, pour une substance diHerminée 
(le fer 1, les valeurs numériques des coefTieienls li et K qui mesurent la con- 
ducibiliié extérieure et la l'onducibililé propre de cette subslaiice Ko 

IDo. Remari]ues izénérales s . 



NOTA, 



(lelle Table lorniinc \o MéMimiri' de M. l'iiiirier sur la 'riieiiiie de la 1 baleiir. 
l ne ]i ri" mi rie l'arlie de la Table, celle qui se rap]ioili' à la l'ailie principale 
du Mémoire, où l'aulenr Irailedes lois générales de la disdiliiiliiin de la elia- 
leiir. a élé" iuséi'ée dans le \o1iiiim' preci'ib'iil. 

<!es deux Parties île l'Ouvraue de \l. roiirii/r, el l'une et l'autre Tables, smii 



itV 



N(t r\. 



ici publiées >aiis :iiiciiii (■liiinuciiu'iil ni iniditidii (|iielcr(ii(|uc. \j' l(_'\lo c>l lil- 
léralenienl coiirurinc an inannsrril drpcjsé, iini l'ail partie ries ai'cliive< ije 
rinsliliil, alin (pi'il pnisse loujours èire l'cpiésctilé. 

Les ])fciiiières reclierelies analyli(|nes tio l'auleur sur la (•oniuninii atiim de 
la elialenr oui eu pour ol)jel la disir'ibulion entre des masses disjoinl(>s : on 
les a conservées dans la première Partie du Mémoire. 

Les questions relatives au\ corps continus ont élé l'ésolnes par l'aMleur plu- 
sieius années après. Il a e\|iosé pour la première fois celle théorie dans un 
(tuvra.ue manuscrit remis à l'Institut de France à la lin de l'année iSo-, el 
dont il a été publie un extrait dans le lliilli'liii des Sciences i/c la Sucù'-tr l'Iii- 
liiiiKii hii/iic, aiuiee iSoS, p. i i >,. Il a joint ensuite ii ce premier ()u\rai;e des 
Niites sur la c<mv(M'^ence des séries, la dillusinn de la cbaleui- dans un prisme 
inlini, son émission dans un espace \ide d'air, les constrin:ti(.ins qui ser\('nt .'i 
rendre sensibles les princi|)au\ lliéorèmes de celle analyse; eidin la sobdion 
d'iuie cpiestion (pii était alors entièrenn'ut noin'elle, ceMe dri uKinvemenl 
pi'M'iiidique de la cbaleur à la suilace du yiobe terrestre. 

Le second Mémoire siu' la propagation de la chaleur .1 ele dépose .iu\ 
.irchi\es de l'Institut le ^S seplendn'e iSi 1 : il est l'ormé du précédent el des 
Notes déjà remises. L';uiteui' a seulement reiranché des constructions génmé- 
iriipu'sel des détails d'analyse (pii n'avaient pas un rappoi't nécessaire avei- 
la i|m'stiiin physi(|ue, el il a ajonti' ré(pialii>ii i;énérale i|iii exprime l'éclat de 
la surlatu'. (l'est cel. Ouvrage qui, ayant été ciiuroiiné au commencement 
de iSi>, est lextiiellemenl inséré ilans la c(dleclion des Mémoires. Il a élé 
livré il l'impression en i8>, i par M. Delambre, secrétaire perpéluel; savoir : 
la piemière Partie, dans le \'olume de iSn;; la seconde, dans le ^'olume sui- 
vant. 

Les résultats de ces recherches, et de celles que l'auleur a faites d(q)uis, 
soni aussi indiipiés dans divers Articles renilus publics. (\'oir les t/i/i<i/cs de 
(' liiuiie el de l'Iiysiijiie. I. lil, p. î.»!, année iSi(i; |. |\', p. 1 iS, année 1 >! 1 7 ; 
t. VI, p. j."!!), année 1^17 ; le lliilleliii îles Sciences de lit Société l'IiHiiniitlIiiijiie . 
année 181N, p. 1. et année iSio, |i.()o; 1' Imilyse des Iracaiie de /' {endéinie 
des Sciences |iar M. Delambi'c, anni'e iSio, etc., el I (tuviage pulilié |iar l'au- 
leiM' siius ce titre : Tliemie iiNiih I i(/ue île lu eliiileiir. in-'i' : l'aris, iS!> 1. 



MÉMdlliK 



ti;mim':i{\tirf.s m cLdiiK teriu:stiîi-: 



IH-> KSPACKS l>l. WKIAIliKS. 



MEMOIRE 



-rn LES 



TEMPÉRATURES Dl GLOBE TERRESTRE 



DES ESPACES PLWETAIIIES. 



Mémoire'' de l'Acndcniie liovalc da Sciences- de /'IiiHiliit dr /'niiicr, 
t. \'ll. [». J70 il Coj. Paris. Didoi: 1S27 1 ' >. 



La (|nestion des températures terrestres, l'une des plus iuiportantrs 
et (les plus diiriciles de toute la Philosophie iiatundli'. se eompose 
d'élémeuts assez divers (]ui doivent rire eousulérés sous un point de 
vue général. J'ai pensé qu'il serait utile do réunir dans un seul écrit 
les conséquences principales de cette théorie; les détails aualyli(pies 
que l'iui omet ici se trouvent pour la plupart dans les Ouvrages (juc 
j'ai dcjii puhliés. J'ai désiré surtout présenter aux physiciens, dans un 
taldeau peu étendu, renseniiile des phcnomènes et les rapports mallic- 
matiques (ju'ils ont entre eux. 

La chaleur du glohe terrestre dérive de ti'ois sources (pi'il est d'ahmil 
nécessaire de distinguer : 

1° La Terre est éeliauHee par les rayons solaires, d(Ui( l'inégale dis- 
trihution produit la diversité des climats; 

i>" Elle participe à la température commune des espaces planétaires, 

(M Ce .Mémoire a élé aussi ini[irimc. avec de très légères modifications, dans les Annale 
de Chimie et de Pliysique 1 t. XXVII, p. i30 à 1G7: i<Si4 ) sous le titre suivant : Bemar/jnf. 
ge'nércdes- •■iir les lernpéraliirex du globe terrestre et des cipnccs planétaire. G. l). 
11. i3 



os M É M < ) 1 1! E SI r, LES T E M l' É R VT L' R E S 

claiit r\|M)src ;i l'irnuliiil ii»ii ik'S astres innoinlirahli-s i|iii l'iiviroiinenl 
ilr loiilcs parts k' svsli'iiic M>lair(>; 

H" La Tcric a (•(iiiscrvc ilaiis l'intérieur «le sa tuasse iiiie partie de la 
ehali'iir primitive (|u"elle ediileiiail loisque les i)lani'tes ont été for- 
mées. 

Vm eonsidéraiit ehaeiine de ees trois eaiises et les plii'iioml'ues 
iiu'tdie produit, nous ferons eounailre le [dus elairement (|u'il nous 
sera possilde, et aniani (|ue l'etal de la Seienee le [lei'met aiijourd'liui, 
les principaux earaeti/res de ces j)liénomènes. Atin de donner une idée 
;:énérale de eette i;raude (|ui'stioii et (riiidi(|uei' d'ahtu'd les résultats 
de nos l'eeliei'ehes, nous les jii'ésenlous dans le résumé suivant. (|ui 
est en (|uel(|ue sorte une faille raisonnée des matières traitées dans 
eet éerit et dans plusieurs des .Mémoires (|ui rcuit précédé. 

Notre svsti'ine solaire est place dans une réL;ion de l'uniM-rs dont 
tous les points ont une tem]iéi'alui'e commune et constaiile. déterminée 
par les ravous de Inniii're et île clialeur (|u'euvoienl tous les astres 
environnants, (lelle température froide du ciel |daiiétaire <'sl peu infé- 
i'ieur(! à celle des reliions polaires du i^lolie terrestre. La Terre n'aurait 
i|ue cette mémi' tem|M''i'ature du (liel, si deux causes ne concouraient 
il réchanlfer. L'une osl la cdialeur iulérieui'e (|ue ce i^lolie possédait 
l(irs(|ne les cor[)s planétaires ont été formés, et dont une partie seule- 
inenl s'est dissipéi' a li'avei's la surface. La seconde cause est l'action 
conliniitdle des l'ayons solaires (pii ont |)énétré fonte la masse, et i|ui 
eiilreticnnciil ii la siiperlicie la dilléreni'c des climats. 

La chaleur pi'imilive du i^lolie ne cause plus d'elfet sensilde i\ la sur- 
face, mais (die j)enl être iuMuense dans l'intérieur de la Terre. La tem- 
|iératurede la surface ne surpasse pas d'un IrentiJ'me de dei;i'i'' l'eiité- 
•-inial la deniii're valeiii' ii laiinelle idlc doit |)ai-venir : elle a d'ahord 
diminué Iri's ia|iidement : mais, dans S(ui état actiud, ce cliangement 
continue avec une extrême lenteur. 

Les oliservatious rccin'illics jus(|u"à ce jour indi(|nent (|ue les dix ers 
points (rniie même verticale, pi^olonijce dans la terre scdide, sont d'au- 
tant plus l'cliaidl'es (|ue la projondeur e-l plus grande, et l'on a évalue 



1)1 r.Lor.E TEur.ESTiii:. m» 

cet iiccrdisscnicnl ii i" ihuii' jo'" (iu 'i<>"'. Lu Irl n''>iill;il -nii[i(isi' une 
t('ii)[i(''i"iliirt' inlùrit'iirc (ri's ('levée; il ne |)eul [H'uvenir île raelKui îles 
rayons solaires : il s'ex|ilii|iie natiii-elJenienl [lar la elialenr |ir(i|>ie (jm' 
la Terre lient île son orii^ine. 

(lel aeeroissenieiit, ireiiviion i" pour 'i?.'", ne sera pas loujonis le 
iiièine : il diiniiiue iirogressivenienl ; mais il s'éeoiilei'a un iii'and nonihre 
(le sii'ile^ ( lieaneoup pins île Irenle mille ann('es) avant ([n'il soit ré- 
duit il la moitié de sa valeui' aetuelle. 

Si d'anli-es causes jnsipi'ici iLHiori'es jieuvenl expliquei- les miMues 
laits, et s'il rxiste d'auli'cs sources ou ^éiUM'ales on aeeideutelles de la 
(dialeur terrestre, on les ilt'eiiuviara |iar la comparaison des résultats 
(le celte llii'orie avec ceux des (d)servatioiis. 

Les ra\ons de elialeur que le Soleil envoie incessamment au lilobe 
terresti'c y produisent deux ellets Ires distincts : l'un est péri(Hli(|ne et 
s'accomplit lont entier dans l'envelopiu' extei'ienre, r;iiitre esl con- 
stant ; on l'oliserve dans les lieux iirofonds, par exemple ii îo'" au-des- 
sous de la surface. La lempératni'e de ces lieux ne >ul)it anciiii cliaUL;e- 
ment sensiMe dans le cmirs de rannee. elle esl lixe ; mais clic est très 
diUéi-enle dans les dill'erents climats : idle resuite de l'action perpi'- 
luello des ravons solaii'cs et de l'ini'iiale exposition des pai'lies de la 
sui'face. depuis ri''(|uateur jusqu'aux pi'dcs. On peut ili'terminer le 
lem|)s qui a di'i s'écouler pour que celle inq)i'essioii des rayons dn 
Soleil ait [uoduit la diversité des climats tidie (|ue nous l'olisei-vons 
aujourd'liui. Tmis ces résultats s'accoi'dent avec ceux des théories 
dyuami(|ues (|ui nous ont fait connaître la stahilite de l'axe de rotation 
de la Terre. 

I.'eUct pi'riodiqne de la cliidenr solaire consiste dans les vai-ialions 
diurnes on anunelles. (iet ordre de laits est representi' exactement et 
dans tous ses di'Iails par la llii'oi'ie. I.a eoin()araison des ri'sultats avec 
les (diser\ations scrvii'a ;i mesurer la l'aculti' condncirice des matii'i'cs 
dont l'enveloppe tern'stre est l'ormee. 

La pi'esence de l'almosplii're et des eaux a pour ellel iiéuei'al de 
rendre la dislrihutioii de la chaleur [dus unilorme. Dans i'Oceau et les 



100 MÉMOIRE SUR LES TEMPÉRAÏLRES 

lacs, les molécules les plus froides, ou plulôl celles dont la densité est 
la plus grande, se dirigent eontinuelleniont vers les régions inférieures, 
et les mouvements de la chaleur dus à cette cause sont beaucoup plus 
rapides (jue ceux qui s'accomplissent dans les masses solides en vertu 
de la faculté conduetric<'. L'examen mathématique de cet eU'el exige- 
rait des observations exactes et nombreuses : elles serviraient à l'ccon- 
naitre comment ces mouvements intérieurs empêchent que les cil'ets 
de la chaleur pr(qu'e du globe soient sensibles dans la profondeur des 
eaux. 

Les li([uides couduisent trf's diflicilement la chaleui'; mais ils ont, 
comme les milieux aériformes, la propriété de la transporter l'apide- 
inent dans certaines dii'eclions. C'est cette même |n'0|)riété qui, se 
combinant avec la foi'ce centrifuge, déplace et mêle toutes les parties 
de l'atmosphère et celles de l'Océan; elle y entretient des courants 
l'éguliers et iniinenses. 

L'intcrpo>ilion de l'ail' modifie beaucoup les effets de la clialeiir à la 
surface du ghdjc. Les rayons du Soleil, traversant les couches atmo- 
sphériques condensées par leur propre poids, les échauiiént tri'S iné- 
galement : c(dles (|ui sont plus rares sont aussi plus froides, parce 
qu'elles éteignent et al)sorbent une moindre partie de ces rayons. La 
(dialeur du Soleil, arrivant ;i l'étal de lumière, possède la propriété de 
pénétrer les substances sidides on liquides diaphanes, et la perd 
pres(|ue entii'reinent lorsqu'elle s'est convertie, par sa communication 
aux corps terrestres, en (dialeur rayonnante obscureo 

Cette distinction de la (dialeur lumineuse et de la (dialeur obscure 
expli(]ue rélévati(Mi de température causée par les c(U'ps trans|)arents. 
La masse des eaux (|ni couvrent une grande partie du globe et les 
glaces polaires (qiposeni moins d'obstaides it la chaleur lumineuse 
aflluenle (|ii';'i la (dialeur (disciire, iiui retourne en sens contraire dans 
l'espace extérieur. La présence de ralmospbi're juoduit un ellét du 
iiièiiie genre, mais (jiii, dans l'état actuid de la théorie et à raison du 
manque d'observations comparées, ne peut (Micore ("'Ire exacteinent 
détini. Oiioi (jii'il en soit, on ne peut douter (]ue l'cdlet du à l'impres- 



I)L GLOnE TERRESTRE. 101 

sioii des rayons du Soleil sur uu ciu-|is soliilc d'uuc diuiensiou cxlrr- 
moineiit grande ne sui'passe heauconp eckii qu'on observerait en cxiio- 
sanl un llierinonii'Ire ;i la liiniilu-o <lc cet astre. 

Le rayonnement des ediiclies les plus élevées de raliuosplii'i-e, dont 
le froid est très intense et presi|ue eonstant, intlue sur tous les liiits 
niétéorologiijues qm- nous (discrvons : il peut être reiulu plus sensible 
par la réllexion îi la surlaci' des miroirs concaves. La présence des 
nuages, (|ui interceptent ces rayons, tempère le froid des nuits. 

Ou voit ([ne la su|)erficie du globe terrestre est [ilacée entre une 
masse solide, dont la chaleur centrale peut surpasser ccdie des ivuitières 
incandescentes, et une enceiute immense, dont la tem[)érature est infé- 
l'ieuic il C(dle de la congélati(ui du nnucure. 

Toutes les consé(juenccs précédeules s"a[)pliquent aux autr'es corps 
planétaires. On peut les considérer connue placés dans une enceiute 
dont la température commuue et constante est peu inferieurr ii celle 
des pôles terrestres, (jette même température du ciel est celle de la 
surface des plaui'tos les plus éloignées, car l'impression des rayons du 
Soleil, même augmentée |)ai' la disposition de la siiperlicie. seiaii trop 
faible poui' occasionner des ell'els sensibles: et nous conuaisscuis, par 
l'état du j.;lol)e terresti'c, (|ue, dans les plaul'tes, dont la formation ne 
peut être moins aucienne, il ne subsiste plus à la surface aucinu' éléva- 
tion lie température due it la chaleur pro[U'e. 

Il est également vraisemblable (|ue, pour la plupart des planistes, la 
température des pôles est assez peu élevée au-dessus de çidle de l'es- 
pace planétaire. Quant à la teuqiérature moyenne ipu' cliacini ib' l'es 
C(U'ps doit il l'action du Sideil, elle n'est point connue, pai'ce (lu'elle 
peut tbqieudre de la présence d'uin' almosphJ're et de l'etal de la sur- 
face. On peut seulement assigner d'une manière approchée la lempi'ra- 
ture moyenne (jue la Terre acquerrait si elle était tiau-|iortée dans le 
mêuH' lieu (|ue la [)lani'te. 

Après cet exposé, nous examinerons successivement les ditférentes 
parties de la questimi, et nous avons d'abord à exprimer une remarque 
qui s'étend à toutes ces parties, parce (lu'elle est fondée sur la nature 



102 MEMOIIU: SIP, LES TEMPKIl \Tl RES 

(li's t'(|ii;i(HMis (lili'crrnlicllrs du inoiivr'iiieiit de l;i clialcm'. Elle consislc 
eu Cl' que U's cll'i'ls qui ]iiovieiiiicii( de chiiciiiie des (rois causes (|iie 
Ton a iudi(]uées peuveul èlre calculés sé|>ai'éMient, comuu' si cliaciine 
de ces causes existait seule. Il sultit ensuite de réunir les ellels [lai- 
liels; ils se superposent lihrenienl coniine les dernières oscillalions 
des corps. 

IVous décrirons, en premier lieu, les l'ésultats piinci|ian\ dus ii l'ac- 
lioii proloniiée des l'avons solaires sur le li'Iohe teri'estre. 

Si 1(01 place un l!iernu)ni('tre à une pr<d'iindeur considéralde au- 
dessous de la surface de la îei're solide, par exeiuple à 4<'"', eet insti'U- 
inent maniue une lenipératuie lixe. 

On olisei've ce l'ail dans tous les [loiuls du iilidii'. (ietle lenq)éralui-e 
des lieux profonds est éoMstaute pour nu lieu déteruiiné; mais elle 
n'est pas la nuMue dans les divei's climats. Elle decr(n't en i^énéial lors- 
<|u'oii s'avaui-e Aers les pôles. 

Si l'on ()l)ser\t' la température des points l)eaiicou|i plus voisins de 
la surface, par exemple ;i i'" ou V" ou lo'" de |)i'ofondeur, on remar(|ue 
de- ellets tri's ililfereiits. La températui-e varie pendant la durée d'un 
joui' nu d'un an; mais nous faisons d'abord alistractiou de l'enveliqqie 
leri'estre où ces variations s'accomplissent et , sup|K)sant (|ue celte 
(Uiveloppe est su|tpriuH'e, nous consi(lér(Uis les températures fixes de 
tous les points de la nouvelle superficie du ;.;loiie. 

Ou peu! iMMicevdir (|ue l'état de la masse a varié continnellemeul ii 
mesui'c (pi'elle l'ecevait la chaleur sortie du foyer, (let état variahle 
des températures intérieures s'est altéré par de;.^res, et s'est approelié 
de plus en plus d'un état tinal (pii n'est sujet ii aucun elian^cment. 
Alors cliaipu' |»oin( de la sphèi'c solide a acquis et cousei've une tempe- 
l'ature détei'Uiiuée, (|ui ne dépend (|ue de la situation de ce |)oint. 

L'état liual de la masse, dont la chaleur a péni'tré toutes les parties, 
est cvacteUH'nl comparahle ;i celui d'un \a-e (|ui reçoit, par des ouvei'- 
tuies snpéiieures, le liquide (]ue lui fournit une s(UH'ce constante et 
en laisse échapper une (|uautite précisément égale |iai' une ou plu- 
sieurs issues. 



iiL GLor.i: TFJii'.ESTiti:. ion 

Ainsi la chaleur solaire s'est aeouimilée dans rinlcrieur ilii ^lol>e et 
s'v renouvelle rontinuelleuient. Elle peni'd'c les pallies ilc la suiïa<i' 
voisines de re(|uatenr et se dissipi' ii travers les régions pnhiirus. I,:i 
preniièie (|uestion de ce genre (|ni ait été soumise au calcul >e trouvi' 
dans un Mémoire que j'ai In ii l'Institut de Ki'aiiee sur la lin 'le 1807. 
article 11."). p. 167 ( ' i : cette pièce est déposée aux Arcliives de rA<a- 
démie des Sciences. ,]'ai ti'aité alors cette premil're question pour oH'i'ir 
un exemple remar([nal)le de l'application de la nouvelle théorie exposée 
dans le Mémoire, et pour inonirer comment l'analyse t'ait conuaitre 
les routes ([ue suit la clialeui' solairedans l'intérieur du iflohe leri'estre. 

Si mjus rétablissons |)réseiilemeut cette envelo|tpe supérieure de la 
l'erre. dont les points ue sont pas assez profondemenl situés poni- (jne 
leurs températures soient devenues lixes, on l'emarcpie un ordre de 
faits ])lus composés dont notre analyse donne l'expression cinnpli'te. A 
une pi'olondeur médiocre, comme ']"' ii 'i'". !•' température observée ne 
varie pas pendant la durée de clia(|ue joui': mais elle change tiès sensi- 
blement dans le cours d'une année; idie s'eli've et s'abaisse alternati- 
vement, i/etendiu' de ces variations, c'est-ii-<lire la diU'ei'euce entre le 
maxiiniitii et le mi/iiniiuii de tempi'i'ature. n'e-t pas la mé'ine \\ toutes 
les prordinleni's; tdie i'>t d'autant nioiinlre <\nv la di^lance ;i lu surface 
est plus grande. Les dilfcreuls |>oints d'une même verticale ne parvien- 
nent pas en même tem[)s à ces températures exti'émes. L'étendue de- 
variations, les tem|)s de l'année qui coricspondent aux pins grandes, 
aux moyennes (ui aux imiindres températures ehang(Mit avec la posi- 
tion du i>oint dans la veilicale. Il en est de même des ijinintités i|e 
clialeni' (|ui docendeni et s'eli'vent allernativemeni : lotîtes ces valeurs 
ont entre elles des relations eerlaines, (|ue les e\|ieriences indh|nenl 
et (|ue ranaly>e exprinn' très distinctement. Les re<iiltal^ ob^-ervés 
sont conformes ;i ceux (|ue- la théorie fournit: il n'y a pas d'ell'el na- 
tur(d plus complètement explique. La température moyenne annuelle 
d'un point quelcon(|ne de la verticale, c'est-à dire la valeur moyenne 

( ' ,1 /■«(/■ le Mémoire prcédeiil. p. i u 2S. G. D. 



lOi 



MÉMOIRE SUR LES TEMPEI! VTÙRES 



(le toutes celles qu'on observerait en ce point dans le cours d'une 
année, est indépendante de la profondeur. Elle est la même pour tous 
les points de la verticale, et. par conséquent, celle que Ton observerait 
immédiatement au-dessous de la surface : c'est la température lixe des 
lieux profonds. 

11 est évident que. dans l'énoncé de cette proposition, nous taisons 
absirarlion de la ciialenr intérieure dn gIo])e, et à plus forte raison des 
causes accessoii'cs (|ni pourraient moditier ce résultat eu un lien déter- 
miné. Notreobjct principal es! dereconnaitre les phénomènes généraux. 

Nous avons dit [ilus liant (jue les divers clléts peuvent être consi- 
dérés séparément. Nous devons observer aussi, par rapport à toutes les 
évaluations numéri(|ues citées dans ce Mémoire, (ju'on ne les présente 
que comme des exemples de calcul. Les observations météorologiques 
])ro[)i-es il fournir les données nécessaires, celles (|ui feraient connaître 
la cajiacilé de chaleur et la perméaliilité des matii'res (|ui composent 
le globe, sont tnqi incertaines et ti'op bornées pour (ju'on puisse main- 
tenant déduire du calcnl des l'ésultats précis; mais nous indiquons ces 
nombres pour montrer comment les formules doivent être appliquées. 
Quebiue ])en approchées que soient ces évaluations, elles sont beau- 
coup plus propres à donner une ju>tc idée des phénomènes que des 
expressions générales dénuées d'applications numériques. 

Dans les parties de l'enveloppe les plus voisines de la superficie, le 
tiiermomèlre s'élève et s'abaisse pendant la durée de cliaquc jour. Ces 
variations diurnes cessent d'être sensibles ii la profondeur de 2"' on !'". 
On ne ]>eut observer au-dessous que les variations annuelles, qui dis- 
paraissent elles-mêmes à une plus grande profondeui'. 

Si la vitesse de rotation de laTiM're autour de son axe devenait incom- 
parablenienl plus grande, et s'il en était de même du mouvement de 
cette |dauèle autour dn Soleil, les variations diurnes et les variations 
aniiiieiles cesseraient d'être olisei'vées; les points de la superticie 
alliaient ac(|iiis et coiiser\('raieii( les températures tixes des lieux pro- 
fonds. En général, la profondeur qu'il faut alleimlre pour que les 
variations cessent d'élre sensibles a un rapport très simple avec la 



DL' GLOBE TERHE^TUE. 105 

durée do la période qui ramène les mêmes elfets à la surface. Cette |irn- 
fomleiir est exactement proportionnelle à la racine cairée de la |ierii)dc. 
C'est pour cette raison (jue les variations diurnes ne pénètrent qnii nnr 
profondeur dix-neuf fois moindre t[ue celle où l'on oliserve encore les 
variations annuelles. 

La (|uestion du mouvement périodi(]ue de la chaleur solaire a été 
traitée pour la première fois et résolue dans un écrit séparé que j'ai 
remis à l'Institut de France en octobre iSoc). J'ai re|)rodnit cette solu- 
tion dans une pièce envovée sur la tin de 1811, et imprimée dans la 
Collection de nos Mémoires. 

« 

La même théorie donne le moyen de mesurer la ([uantite toude de 
clialeui' (]ni, dans le cours d'une année, détermine 1rs alti'rnativcs des 
saisons. On a eu pour but, en choisissant cet exeniple de l'application 
des formules, de montrer (ju'il existe une iclation néc<'ssaii'e entre la 
loi des variations périodiques et la quantité totale de chaleur (|ui 
accomplit cette oscillation: en sorte que, cette loi rtant connue par 
les observations faites en un climat donné, on peut en conclure la 
(juantité de chaleur qui s'introduit dans la terre et l'efourne dans l'air. 

Considéi'ant donc une loi semblable h celle (pii >'etablil d'elle-même 
dans l'intérieur du i;hdie, (ui trouve les résultats suivant^. Lu hni- 
lii'Uie d'année avant tjiie la tenqifrature de la surface s'élève à sa valeur 
moyenne, la tei'i'e commence ;i s'écliaulfer ; les l'ayons du Sidcil la pc- 
nètrent pendant six mois. Lnsuite la <haleiii' de la terre prend un mon- 
veiuent opposé: elle sort et se répand dans l'air et resjiace extérieur : 
or la ([uantite de chaleur (jui subit ci^s oscillations dans le couis d'un 
an est exprimée par le calcul. Si l'enveloppe terrestre était formée 
d'une substance metalli(jue, le ter foi-i^é (matière (jue j'ai chuiMc |Miin 
exemple api'ès en avoir mesuré les coefticients spéi-ili(pu's 1. la rlmli-ur 
qui |)roduit l'alternative dr> saisons sei'ait. pour le climat de Paris et 
pour un mèti'C carré de superlicie, équivalente à celle (]iii f mdrail une 
colonne cylindrique de glace ayant pour base ce mètre carré, et dont la 
hauteur serait environ 3™,i. Quoique l'on n'ait pas encore mesuré la 
valeur des coefticients propres aux matièi'cs dont le globe est formé, 

n. i4 



106 MEMOIRK SI I! LF.S TEMPERATTRES 

((11 viiil facileniont ([ii'ils (loniR'raicnt un résultat l)caucou|> nioiiidrc 
(|U(' ci'liii (|ui viciil d'cli'i' in(li(ni('. Il est [in»|)<irtioinK'l ii la racine rarrée 
(lu produit (l(^ la (•a|)acit('' do chaleur rapportée au V(duiiie et de la per- 
tnéahililé. 

(jiiisidérons inaiiiteiuuit cette seconde cause de la chaleur terrestre 
i|ui réside, stdiin nous, dans les espaces planétaires. La lem|)érature 
de cet espace e\aclenieiit détinie est c(dle (]ne niar(|uerait le ihernio- 
iiii'tre si l'on pouvait concevoir (jue le Soleil et tons les corps plané- 
taires (jiii i'accoiupagiient cessent d'exister, et que l'instruinent fut 
placé dans un point (|nidc(ni(|ue de la l'égion du ciel préseiiteinenl occu- 
pée par le svsti'ine solaire. 

Nous allons indi([uer les laits principaux qui nous ont fait reconnaître 
l'existence de celle clialeiir pi'opre aux espaces planétaires, indépen- 
dante de la présence du Soleil, et indé|)endanle de la chaleur jiriiiiitive 
(|ne le Ljlohe a pu conserver. Pour acquérir la connaissance de ce siii- 
i^nlier phénomène, il tant examiner (|nel serait l'état tlierinoinétri(|n(' 
de la masse terrestre si (die ne reci^vait (pie la chaleur du Soleil; et 
po!ir rendre cet exaiiKMi plus facile, on peut d'aliord supposer (|ue l'at- 
mosphère est supprimée. Or, s'il n'existait aucine cause propre ii donner 
aux espaces planétaires une température commune et constante, c'est- 
;i-dire si le L;l(d>e terrestre et Ions les cor|is (pii forment le systi'iue 
solaire étaient places dans une enceinte privée de toute chaleur, ou 
oliscrverait des ell'ets eiitii'reiiient contraires ;i ceux (|ue nous connais- 
sons. Les reliions p(daires suhiraicnt un froid iminense, et le décrois- 
senient des lenijiératnres (le|)uis re(juatenr jusqu'aux p(des serait 
incomparaldement plus rapide et |ilus étendu {|ue le décroissemeni 
idiserve. 

Dans cette hypothi'se du froid ahs(du de l'espace, s'il est possihle 
de la concevoir, tous les elfels de la (dialeni', l(ds (|ue nous les (d)ser- 
\(ins il la surface du iihdie, seraient (lus ii la présence du Sideil. Les 
iiKundres variations de la distance de cet a^tre ii la Terre occasionne- 
I aient des ( liani,feiiieiils très considerahles dans les tempe rat lires, l'ex- 
centricité de l'orhite terrestre donnerait naissance ;i diverses saisons. 



DL (ILOBE TERRESTIU:. 107 

l.'iiih'riiiitd'iu'c (les jours l't des niiils proiluiiail ili's cllcls Miltils l'i 
InlaU'inciil (lilI'crtMits ilr ci'iix ([iir lions ohsoi'voiis. La siirt'ai'c îles (;or|is 
serait ex[)osee loiit à coup, au eiuiiineiiceiueul de la iiiiil, ii un IVoiil 
iuliiiiuii'iit iiiteuse. Les eoips animes et les végétaux ne résiste! aient 
point il une aelioii aussi forte et aussi [U'oniple, qui se reproiluirail en 
sens contraire au lever du Sideil. 

La chaleur |)riniitive ciniscrvée dans l'inlcrieur de la niasse teri-estre 
ne pouri'aii |)uinl suppléer ii la teniperalui'e extérieure de respace, et 
n'enipérlierait aucun des eflrts (jiie l'on vient de di'crire; car nous 
connaissons a\ec certitude, par la tlieorie cl par les ol)servati(Uis, (|ue 
cette chaleur centralr est devenue depuis loniitemps inseiisihle a la 
superficie, qnoiiiu'idle |)uisse éti-e Iri's i;i'anile ii une profondeur iiic- 
diocre. 

Nous concluons de ces diverses remar(|iies. et principaleinenl de 
l'examen mathémati(]ne de la (|iU'stion, (|u'il existe uwc cause physi(|ui' 
loujours [uésenle (jui modère les tenipéraluies ii lu surface du i^hdii' 
terrestre, cl donne ii celte planiste une chaleur l'oiidamciilale, iiide- 
peiidanle de l'aclion du S(deil et de la. idialmr propre iine sa niasse 
intérieure a conservée, dette température fixe (|ne la Terri' reçoit ainsi 
de l'espace dillere [leu di' celle (|ne l'on mesiircrail aux pôles ter- 
restres. Elle est nécessaii'emeiit moindre i|ue la tempiuatiire (|ui appar- 
lieiit aux conti'ées les plii> froides: mais, dans cette comparaison. 
Ion ne iloit admettre (|uc des ohservalions certaines, et ne jioint cihi- 
sidérer les eli'etsaccidenlels d'un froid liù'S intense ijui serait orcasionnc 
par l'evaporation, par des vents violents et une dilatation exli'aoïdi- 
naire de l'air. 

Apri's avoir re<-oiinu l'existence de celte teni|i<'ralure fondamcnlali' 
de l'espace sans la([iielle les eircis de idialeur ohservcs ,'i la snjicrticie 
du ^lohe seraient inexplicaldes, nous ajonlei'ons (|iie l'ori.i^'iiH' de ce 
phenomi'iie est piuii' ainsi diic évidente II e>l du au rayiMincmenl de 
tous les roi-psde l'iinivcrs dont la lumii're et la chaleur penveiil arriver 
jus(]u'ii nous. Les astres que nous apercevons ;i la vue -impie, la mul- 
titude iiinomhrahle îles astres télescopi(|ues ou îles ctirps ohscurs (|ui 



108 MEMOIRE Sl'R LES TEMPE II ATU RES 

ieiii|iliss{;'Ml rimivcrs, les alniosphi'res (|ui ciiviri)!!!!!')!! cos corps 
immenses, la malii're rare disséminée dans div<'iscs parties dr l'es- 
pare, cnneonrent .à lornuM' ees rayons (jni |)énèlreiil de toutes parts 
dans les réi;ions planétaires. On ne peut eoneevoir (pi'il existe un tel 
svstcnie de coips lumineux ou éelianirés, sans adinelli'e qu'un [toint 
(HU'leoniine de l'espace (jui les contient acquiert une tempéi'alure dé- 
lerniinée. 

Le nomlire iinnu-nse des eor|)s compense les inéi^'alités de leurs tem- 
pératiU'es, et rend l'iriadiation sensililenn'ut uniforme. 

(!ette température de l'espace n'est pas la même dans les didérentes 
régions de l'univers; mais elle ne varie |ias dans cidles où les corps 
planétaires sont renlermés, parc(^ (]ue les dimensicms de cet espace 
>onl iiicomparaldement plus pi'liles(|ue les distances (pii le séparent 
des corps ravonnants. Ainsi, dans tous les points de l'oiliite de la 
Terre, cette j)lan('te li'ouve la même température ilii ciel. 

Il en est de même des autres plani'Ies de notre systiMue ; clli's [larti- 
cipenl toutes également ;i la lenqx'ralure c(unmune, (pii est jilus ou 
nidins augmentée, pour (dnicnne d'elles, par l'impression des rayons 
du Soleil. s(don la distance de la |)lani'le ii cet astre. Ouant ;i la (|in's- 
lion (|ui aurait j)our olijet d'assigner la teni|)érature (|uc (dia(|ne planiste 
a du ac(|iu'iir. voici les principes (|ue t'ournit une tliéorie exacte. L'in- 
tensité et la distriliulion de la clialeur ii la surface de ces corps résulte 
de la distance au Soleil, de l'inclinaison de l'axe île rotation sur l'oi-- 
l)ile cl di' l'état de la sujtei-ticie. I']llc est tri's dillércnte, nK'nie dans sa 
valeur nn)yenne, de eidle ([ue mar(|uerait un thernHimI'tre isole cpie l'on 
placerait au lieu de la plam~'le; cai' l'elat solide, la tri'S grande dimen- 
sion, et sans doute la présence de lalmosplii're et la nature de la sur- 
face eoncoui'enl ii détei'miiiei' cette valeur nn)yenne. 

La chaleur d'origine (|ui s'est conservée dans rinlérieui' de la masse 
a cessé depuis longtemps d'avctir un cll'et tri's scnsilile ii la siiperlieie; 
l'étal (irésent tic renvclopjie teiacstre m)us fait C(mnaiti'e avec certi- 
tude (|uc la cluileur j)riniitive de la surface s'esl pres(|uc entii'rcn)ent 
dissipée. Nous regai-dons comme tri's vraisendilalile, d'apiès la consli- 



Dl" GLor.E TEliHESTRE. 10!) 

(iilinii ili' notre système sohiire. ([iie la tiMii|)(''raliire îles [x'pIcs de rli;i(jni' 
planète, mi du inoins de hi [iliipai-t d'entre elles, est peu dill'cci'nlr de 
celle de l'espace. Cette leiiipei-iluic pulaiie est seiisiMcment la mrnir 
poiii' tous ces corps, quolipir liMii's dislances an Soleil soient (rrs 
inégales. 

On pent d«''terminer d'une manière assez approchée le degré de cha- 
leur (jue le glohe teri'eslre ac(|uerrait s'il était suhstitué à chacune de 
ces planètes: mais la température de la plani-le (die-inème ne peut élre 
assignée; car il faudrait connaitri^ l'état de la superficie et de l'atmo- 
sphère. Toutefois celti> incertitude n'a |dns lieu pour le-^ corps situés 
aux extrémités du système solaire, ciunme la [ilanète découverte pai- 
Herschid. L'iui[U'es>ion des rayons du Soleil sur cette planiste est 
presque insensihle. La température de sa supeiticie est donc tri's peu 
diiferente de celle des espaces planétaires. Nous avons iiidii|ue ce 
dernier lésultat dans un discours puhlii- [»rononcé lécemmeut en pré- 
sence de l'Académie. On voit que cette consé(juence ne peut s'appli- 
(|uer qu'aux plani'tes les [ilus éloignées. Nous ne connaissons aucun 
moyen d'assigner avec quelque précision la température moyenne des 
autres corps planétaires. 

Les mouvements de l'air et des eaux, l'étendue des me[-s, l'élévation 
et la forme du sol, les elTets de l'iinluslrie humaine et liui> les cliau- 
gements accidentels de la surface tei-|-estre moditient Ie> tenqMM-atures 
dans chaque climat. Les caracti-res des phénomènes dus aux cau>es 
générales subsistent: mais les etfets tli(>rmométriques ohservi's ii la 
superticie sont différents de ceux (|ui aui'aient lieu sans l'inlluence des 
causes accessoiivs. 

La moliilile des eaux et de l'air tend ii modérer les elfels de la cha- 
leur et du froid: elle rend la distrihutiioi plus unif(urne; mais il serait 
impossible que l'action de ratimispliiu'e suppléât à cette cause univer- 
selle qui entretient la température commune des espaces planétaires ; 
et, si cette cause n'existait point, on observerait, nonobstant l'action 
de l'atmosphère et des mers, des dillérences énoi'uies entre les tempé- 
ratures des régions é([uatoriales et celle des pôles. 



HO MEMOIKK St li LKS TEMPE li ATUR ES 

Il csl (lilticilc (le coiiniiitrc jiis(|ir;i ([iiel pciinl ratim)S|»lii'i-(' iiilliii' siii' 
hi (ciiiiK'i'alm-c iiiiiycmic du f;kil)(', cl l'on cesse (rèlre guidé (\;\n<' cet 
examen pai' une théorie nialiiémaln|U(' régulière. On doit au eéléliie 
voyageur M. de Saussuii' une exjiérienee qui parait très |ir(i|)re ii 
éclairer cette (juestioii. l'allé C(Misiste ;i exposer anx rayons du Soleil 
un vase couvei't d'une ou de plusieurs lames de xcrre hien transpa- 
rent, placées ii (jU(d(|ue distance les unes au-dessus des autres. L'inté- 
rieur du \ase est garni d'une env(doppe épaisse île lii'ge noirci, pro[ue 
il recevoir et ii conserver la clialeur. L'air ('■cliauirc est contenu de 
loules parts, soi! dan-< l'inlerieur de la boite, soi! dans clia(|ue inter- 
\alle compris cuire deux pla(jues. Des tln'rmoiin'lres places dans ce 
vase et dans les intervalles supérieurs marquent le degré de chaleur 
ae(|nise dans chacune de ces capacités, ('et instrument a été exjHise 
an sideil vers riieuic de midi, (M l'on a vu. dans diverses expériences, 
le tliermomi'tre du vase s'élever ii 70", 80", luo". 110" et au ihdii 
(division oclogésimale ). Les ihcrniomètres jdacés dans les inteivalles 
ont ac(piis des degrés de chaleur heaucoup moindi'cs, et (|ui décrois- 
saient depuis le l'ond de la hoite ius(|u'ii l'intervalle sn|)érieur. 

L'eli'el de la (dialeur solaire sur l'air cop'enu |iar des envtdoppes 
lran>parenles avait été depuis longtemps ohservi'. [/appareil (|ue nous 
venons de déclare a poui' ohjel de poi'ler la chaleui' ac(|uise ;i son 
maximum. <■! surtout de comparei' l'ellèl S(daire sur une montagne lil's 
élevée ;i c(dui (jui avait lieu dans une [daine inlèrieurc. (ietle oliscrva- 
lioii est princi|ialenn'nt remarcjuahle par les conse(|uences justes et 
elendnes (pie rin\('n!eur en a (irees : elle a été r'épélee plusieurs l'ois 
il Paris el ii Ivlinihourg, et a donin'' des résultais aiialogiU'S. 

La théorie de cet instrument est t'acile ii coiiccvnir. Il sul'iil de remar- 
ipu'r : I" (pie la (dialeur acipiise se concentre, parce (pr(dle n'esl [loinl 
dissipée iinmédiatenienl par le renouv(dlemenl de l'air; 2" ipie la cha- 
leur émanée du Soleil a des pro|irH'tés d illerenles de c(dles de la (dia- 
leur ohscnre. Les l'avons de cet astre se transineltenl en assez grande 
partie au (hdii des verres dans toutes les capacités el in>(|iran l'ond de 
la IkuIc. Ils echaiiirenl l'air el les parois (pii le cmitieiincnt : alors leur 



Itl (iLoni: TERRESTUE. III 

l'Iiah'Ui' ainsi ciMiiiiiiiiiii|Uri' cesse d't'lre hiiniiieiise ; elle ne ennseivc 
(lue les |iro|>i'iél»''S edriimunes de la elialeiii' rayniiiianle (ilisi'iiie. Dans 
cet élat. elle ne peut (l'averser lilirenient les plans de verre (|iii eim- 
vrenl le vase: elle s'a( eiininle de plus en plus dans une caparile erive- 
lopiH'e d'une niatii're 1res peu ctuidneti'ice, ef la tern|iératni'e s'eli'Vi' 
jusqu'il ee ([lie la (dialeur al'Iluente snil exaeleiiieut eom[)eusee par 
cidle (pii se dissipe. On vei'itierail celle e\|dicali(ni , et l'on eu ren- 
drait les e()nsé(|Ui'uees plus sensililes, si l'on variait les c(Hiditiiins, en 
eruplitvaiil des \erres colorés ou noircis, e( si les capaeilés i\\\\ ctui- 
tieuueul li's llieiinoniî'tres ('(aient vides d'air. Lors(|u'on exaujine ce! 
ell'el par le calcul, ou li'onve des r(!'sultals entii'renieut conroriues ii 
ceux (|ae les olfservalioiis (Uil doruK'S. Il es! iK'cessaire de coiisidi-rer 
attentivement cet ordre de laits el les r(''sul(als du calcul lorscju'oii veul 
connaiire l'intluence de l'alinosplil're et des eaux sur r(''tat tliernioini'- 
trique du lilobe terrestre. 

En l'II'et, si toutes les couches d'aii- dont l'almosplii're est lorinee 
conservaieni leur deiisitt' avec leur transparence, et perdaient seule- 
ment la nuiliiliti' qui leur est propre, cette masse dair ainsi devenue 
solide, ('■tant expos(''e aux rav(iiis du S(deil, produirait un cU'et du im'iiie 
genre (|ue C(dui que l'on \ienl de di'crire. i.a (dialeur, arrisaiit ;i l'elat 
de lumière jns(|n"a la leri-e solide, perdrait tout ii c(Uip el pres(|ue 
cnlil'remenl la t'aculte (|n'idle avait de traverser les solides diaphanes: 
elle s'accumulerait dans les i oiudies inrerienics de l'atmosphi're, qui 
ac(|nerraient ainsi des temperatui'cs ele\(''es. Ou ohserverait en nu'ine 
temps une diiuinulion du dei;r(' de (dialeur ac(|nise. ;i partir de la sur- 
lacc de la Terri'. I.a ni(d)ilite de l'air, i|iii se déplace rapidement dans 
tous les sens el (pii s'eli've lors(|u"il est ('•(diaiiire. le ravminement de la 
chaleur ohscure dans l'air diminuent riiiteiisite des ell'els (|ui alliaient 
lieu sous une atmosphère transparente et solide, mais ne deiiatiireiil 
point entièi'cment ces ellèls. Le decroissemcnt de la chaleur dans les 
ix'gions ('levt'es de l'air ne cesse point d'avoir lien: c'est ainsi (|ue la 
tempc'ralure est augmentée par rinler[tositi(m de ratmosphi're, parce 
(jue la chaleur trouve moins d'ohstacle |)our pénétrer l'air, l'tanl ;i 



112 MÉMOIRE SUR LES TEM PÉRATT RES 

l'elal (le luiniric, (|u'('lli' n'fii liouvc pour rcpiissrr dans l'air lors- 
<|u'('lk' est iiinvcilic m clialcni' obscure. 

Nous (oiisidricriiiis mainlrnant la clialciir piopre (|iic le i;Iohe (cr- 
icstre |ioss('(lai( aux (•|tu(|iii's où li's planètes ont été formées, et (|iii 
rontinne de se dissiper ;i la surface sous l'iniluence de la température 
IVoide du ciid plaiiélaire. 

L'opinion d'un feu intérieur, cause per'pétuelle de plusieurs i^rands 
|)hénom('ues, s'est renou\(dée dans tous les âges de la Philosophie. Le 
hul (jue je me suis propose est de connailre exactement suivant (|uelles 
lois une sphi're S(dide, éclianllee par nm' Ionique immersion dans un 
milieu, perdrait celle chaleur primitive si (die était transportée dans 
un espace d'une tempéi'alure conslanle inférieure à C(dle du premier 
milieu, (lettc (|ueslion difticile, et (|ui n'a|ipaitcnail point encore aux 
sciences malhémati(|ues, a été résolue par une nonvcdie méthode île 
calcul (|ni s"apprK|ue ;i divers antres phénomi'nes. 

La f(irnic du s|)heroide teri'eslre, la disposition réij,ulii're des couches 
int(.'rieures rendue manifeste jiar les expériences du pendule, leur (hMi- 
silé croissante avec la pi-uftindcur vt diverses autres considi'ralions con- 
eourenl ii prouver qu'une chaleur tii'S intense a pénétré autrefois toutes 
les parties du ghdie. Cette chaleui' se dissi|)e par l'ii radiation dans l'es- 
pace environnanl, dont la température est tii's intérieure ii celle de la 
coui^elation de l'eau. Or l'expression malhémali(|ue de la loi du refroi- 
dissement montre (|ne la thaleui' juimitive contenue ilans une masse 
sphéri(]ue d'une aussi ;^iande dimension (jue la Terre diminue beau- 
coii|i ])lus ra|iidement ;i la superlicic (\uc dans les parties situées ii 
une i^rande pritfondenr. (l(dles-ci conseivent pres(]ue l(Uite leur cha- 
leur durani un lem|is immense: et il n'v a aucun doute sur la vérité 
des conséipiences, jiarce (|ue j'ai calcule ces temps pour des substances 
metalli(|ucs plus conducirices (|ue les matières (lu içlolte. 

Abus il es! évident (|ue la ibéorie seule ne jieul nous enseiî^ner (|ue 
les lois anx(|U(dles les pheudmi'iies s(Uil assujetlis. Il reste ii examim'r 
si, dans les coindn's du i^lobe où nous ponvcms pem'Irer, on trouve 
(|ucl(|ue indice de celle ( haleiir centrale. Il faut véniier, par exenipb', 



i>i (iL()i!E Ti:i!i!i:sTr,i:. 113 

>i, au-dessous de la surl'are. ;i des di^lanees oii les variations diurnes et 
annuelles ont eutii'rcinenl cessé, !<•> Icnipi'ialui-es des [ntiiits d'uiic 
verticale pi'oloiijiee dans la terre solide aui;nienteul a\ec la prorun- 
deur : or tous les laits (|ui ont été rei'ueillis et discutés par le> phis 
liai)iles observateurs nous apprennent (|ue cet accroissenieiil sidisisie : 
il a été estiuii' d'environ i" poui' ju'" ou 'io™. 

La (juestiou nialheniati(jue a pour idiji'l de decousrir les consé- 
quences certaines ([ue l'on peut déduire de ce seul fait, en ladinettant 
comme donne par l'oliservation directe, et de prouver (|u"il détermine : 
i" la situation de la >ource de chaleur; 2" l'excès de temperatui'c qui 
subsiste encoi'e ;i la surl'ace. 

Il est facile de conclure, et il résulte d'ailleurs d'une anaivsc exacte. 
(]ue l'augmentation de temperatui-e dans le sens de la proloiideiir ne 
peut être produite par l'action proloniice des rayons du Soleil. î.a cha- 
leur émanée de cet astre s'est accumulée dans l'intéiicur du glohe: 
mais le progrès a cessé presijuc entii'remcut ; et, si l'accumulation 
continuait encore, on ohsei-verait l'accroissement dans un sens préci- 
sément l'ontraire ii cidtii (jue nous venons d'inili([uer. 

La cause (jui doinii' aii\ couches plus |)rofoudes une [iliis haute 
température est donc une souii-e intérieure de < halenr con>tante ou 
variable placée an-dessous des jpoints du globe 011 l'on a pu pénétrer. 
Cette cause eli've la température de la >nrface terrestre au-dessus de 
la valeur (|ue lui donnerait la seide action du Soleil. .Alais cet excj's de 
la teuqierature de la superlicie est devenu pres(jue insen>ible: et nous 
en sommes assurés, parce ([ii'il existe un rajiport niathemati(iiie entre 
la valeur de raccroissement par mi'tre et la quantité dont la tempéra- 
ture de la surface exc'ède encore l'clle (|ui aurait lliui >i la cuise inti'- 
rieure dont il s'agit n'existait pas. (i'i'sl pour nous une même chose de 
mesurer raccroissement par unité de pr(d'oiidcur ou de mesurer l'excès 
de température de la surface. 

Dans un globe de fer, l'accroissement d'un tr'enlii'iue de degré par 
mètre donnerait seulement un quart de degré centésimal poiii' l'éléva- 
tion actuelle de la température de la surface. Celte élévation est eu 
II. 1.5 



ll'i- MEMOIRE SUR LES TEMI'Kl! VT( RES 

l'jiisDH (lifci'tc (le la cniiiliiciliililô propre de la siilishuice doiil l'enve- 
lo|)p(' est luriiH'c, huiles les aiilces cDmlitions ilcinciiraiit les inriiics. 
Ainsi ri'Kci's de lempcradire (|ii(" la siirlacc (errestrc a préscntciiicrit 
en vi'i'lii lie ri'ttc siiiircc iiiléi'iciii'e est Iri's piiit; il est vi'aisemhla- 
hleiiienl aii-dessdus d'ini Ireiilièiiie de deiiré ceiilésimal. Il i'aiil hien 
i'(Miiar(|iier que celte dei'nii're eonséipienee s"appli(|iie ;i toutes les siip- 
|»osilioiis (pie l'on poiiri'ait l'aire sur la iialiire de la cause, soit (iiroii 
la rei^arde e(Uiniie loeale ou univcrs(dle, eonstante ou variabh'. 

Lorsi|u"iui exaiuine alteiilixeiueiit et selon les pi-inci|)es des théories 
dvnainiipies toiiles les (d)servations relatives ;i la tliiure de la Terre, on 
ne |>eul donler (pie cette plani'le n'ait reçu ;i s(Hi origine une leinpiM'a- 
tnre 1res ('levée: et, d'un autre (■(')!('■, les ol)servali(Mis llierinonietri(]iH's 
montrent (pie la dislrilMili(Ui aeluelle de la clialeui' dans l'envelop]»' 
terrestre est celle (pii aurait lieu si le tilohe avait été loriué dans un 
milieu d'une Iri'S liaiile température, et (ju'ensuile il se l'i'it eonlinuel- 
lemenl rel'i'oidi. 

La (piestimi des tem|téralnrcs terrestres m'a loujoiirs paru un des 
plus lii'ands olijels des éludes cosmoloiii(|ues. et je l'avais principa- 
lement eu vue en élalilissant la théorie mall'''iuali([ue de la chaleiii'. 
.l'ai d'aliord déleianiné l'elal varialde d'un !;lol)e solide (pii, après avoir 
été loiii^lcmps phuii^c dans un milieu e(diaull'é, est li'ansport('' dans \\n 
espace l'roiil. .l'ai cimsidér('' aussi l'état variahlc d'une sphi're s(dide (pii, 
avaiil été ploui^i'c successivement cl durant un lemps (pielcon<|ue dans 
deux (Ui plusieurs (uilicux de lem|»('ralnres diverses, suhirail un relroi- 
dissemenl tinal dans un espace de tcmpci-aliire con.slanle. .\|M'('S avoir 
remar(pi('' les ciuisé(piences i;énerales de la soliilion de celle (|ueslion, 
j'ai examine plus spécialement le cas oii la lem|)éralure primitive 
ac<piise dans le milieu échauHe sei'ail dcNcnue commune ii toute la 
masse; cl, altrilMianl à la sphJ're une dimcnsi(Ui cxlr(''meinenl i;rande. 
j'ai cher(die (pudlcs seraient les diminuli(ms proi;ressi\('s de la lempe- 
l'alure dans les c(Miclies assez voisines de la surlacc. Si l'on ajipliipic 
les r(''Siillats de celte analyse au i^lolie Iciacsire p(Uir coiinailre (pnds 
seraieni les ell'els siiccessils d'une rormatiou initiale scmhialdc ii cidlc 



i»i (.LoiïE Ti:ur,F.STr,i:. iio 

(]ue Ion vient de considriTr. on \<>it (|iii' riit-rroisscinenl il'iin Inn- 
(ii'nie (le (li'gré par nii'Irc, (•(insiilcré riimn;i' l'csiiltant de la clialcnr 
centrale, a été anti'et'ais i)eaucoii[i plus i;ran(i, et (|n"il \arie mainte- 
nant avec nue lenteur exlrt'iue. (Juant ii l'exees de teinjiéi'alure i\f la 
surface, il vaiie suivant la rnérne loi; la diminution séculaire on la 
(juaiitité dont il s'aliaisse durant nu siéide est éi^'ale à la valeur artnelle 
divisée par le double du noinlue de siècles qui se >ont écoules depuis 
l'oriiiine du retVoidisseinent : et. eoninie une limite de ce noniluc nous 
est donnée par les monuments lii>lori(jues. on en couclnl (|ue, depuis 
l'école tirecque d'Alexanilrie jusrju'à nous, la lemperatnre de la sui l'ace 
terrestre n'a pas diminue, poni' cette eause, de la trois-eentiéme [lartie 
d'un deLTi'é. On reirouvt' ici ce caractère de slaliiliti' (|in' piesenlenl 
tous les i;rands pliénnmi'nes de l'univers. Cette staliililé est d'ailleurs 
un résultat nécessaire, et indépendant de tnute considération île l'etal 
initial. (tuis(|ue l'exci's actuel de la températuic est exlrémenienl petit, 
et t)u'il ue |)cut (|ue diminuer penilani un tem|is indetiuiment pro- 
loni.ié. 

[.'eil'et de la ( lialeur primitive (|ne le i^lidie a conservée est doue 
devenu [loui' ainsi dire insensilde ;i la su[ierticie de l'enveloppe ter- 
restre; mais il se manifeste dans les pi'ofondeni's ai-ce>sildi's. puisipie 
la température des eouclies aui^nienle avec leur distance à la suiTai'c. 
(!et accroissenn-nt, rapporté ii l'unité de- me>ure, n'aurait pas la ménu' 
valeur à des profondeurs beaucoup plus i^randes : il diminue avee 
celte profondeur: mais la même tlié(uie nous montie (pie la lem|iera- 
ture excédante, (jui est pres(|ne nulle ii la dernière snrhiee. peni être 
énorme ;i la distance de ([U(d(|nes iu\ liami'lres; eu sorte que la elia- 
leur (les coindies inlerniediaires poni-rait snrpasseï' lieaucoup ^elle de- 
matières incandescentes. 

Le cours i\c> siècles appointera de i;ranils cliauiicmeul- dans ces lem- 
pératnres intérieni'i's; mais ;i la sui'face ces (diaiii^'ements sont accom- 
plis, et la déperdition continuelle de la clialenr piopre ne peut oi'ca- 
sionner désormais aucun refroidissemeni du cliuiat. 

Il est important d'observer (|ue la tempéiature moyenne d'un lien 



II(J MÉMOinF, SIR LKS TEMPERATURES 

pciil sultir, poiii' d'aiili'i's (miiscs aecossoircs, (l(^s \ariations incompa- 
raliliMiiriit plus Sfiisililcs que crllos (|ui provicndi'aicnt du i'<dVoiilis- 
senient srrulairc du i;l(>l)e. 

l/élaldissciiicnt e( le pronri's des socirtrs luiniaincs, l'aclion des 
toi'ccs uahii'tdlcs pcuvcul cliaiii;('r nutal)!om('iU, et dans de vastes con- 
U'écs, l'rlal de la sui'farc du sol, ia distriliutiou des eaux et les grands 
uiDiiveiuents de l'air. De tels ell'ets sont propres à l'aire varier, dans le 
cours d(^ [dusieurs sii-cles, le degr('' de la (diaieur moyenne ; car les 
expressions analyli((ues eonipreuueiit des eoetfioients (|ui se rapportent 
à l'elat supertieiid et qui iniluent beaucoup sur la vah'ur de la tempé- 
rature. 

Ouoi(jue l'effi^t de la elialenr intéi'ieure ne soit plus sensible à la sur- 
face <le la Terre, la quantité totale de cette (dialeur (jui se dissipe dans 
lui tem|)s donné, comme une année on un sii'cle, est mesurable, et 
nous l'avons déterminée : celle (|ui traverse durant un sii'cle un mètre 
carré de superlicie et si' répand dans les es[»aces célestes [lourrait l'cuiiii'c 
nue colonne de glace (|ui aui'ail pour bas(> ce mètre carré et une liau- 
teiir d'eux iroii i'". 

dette conséquence dérive d'une proposition 'ondamentale (|ui appar- 
tient il toutes les (|uestions du mouvement de la (dialeur, et (|ui s'a|i- 
pliijue surtout à celle des températures terrestres : je veux parler de 
l'équation dill'érentiidle (jui e\|)rinie pour cba(|ue instant l'état de la 
surface, dette é([nation, dont la vérité est sensible et facile à démon- 
trer, établit nue relalion simple entre la temperalure d'un élément de 
la surface et le mouvement normal de la dialeur'. ("e <|ui r'errd ce r'é- 
snltat tliéiii'i(|rri' Ir'ès impiu'tanl , et plus pr'opr'c (|ir'aucirn autre ;i éclair'cr' 
les (|iresl*i(Hrs (|ni sont r(d)jet de ce. Ménioii'c, c'est (ju il subsiste indé- 
pendammeul de la forane et des dimensions des cor'ps, et (|U(dle (pre 
soit la rrairrre des srrbslanees, bomogi'iies ou divei'ses, dont la masse 
iuterierrr'c sei'ait composée. Aiirsi les cousé(|ireuces qrre l'on dediril de 
cette é(|irati(ui sorrt abs(dues; (dles subsistent (|rr(ds (jrre prrisseut étic 
la constitution matéraidle et l'état oiii'inairi' drr ''lobe. 

Nous avons prrblié, darrs le cours de l'année 1820, l'exli'ait d'un 



m lii.oiiE I EiiHKsrr.E. ht 

.Mémoire siii' lo relVoidissi'inciit srculairc du ;;lol)(' Icrrcslri' i /luf/r/i/i 
(h's Scù'/ices. Société p/ii/()n/(i//iir/tit'. jmiim'O iS-jo, p. 58 l't siiiv.). On v 
;> r;i|)poi'té les l'orrniili's |iriiiri[ial('s. et iiotarniiifiil cclli'siiiii cxiiiiiiiriii 
l'état varialilc du S(didiî iiinloriiK'iiK'iil ccliaulTé jiis(|a';i imi' iirolondciii- 
détcriiiinée et extrêmement i^raiide. Si la ti'mperaliire initiale, an lien 
d'elle la même jns(Hi'à une très i^rande dislanee de la siiiTaee. icsnlle 
d'une immei'sion siiecessive dans plnsieiirs milieux, les eoiiséqiienrr^ 
ne s(inl ni moins simples ni moins remanjuahles. An reste, ce eas et 
|)lnsienis autres <[ue nous avons eonsidérés sont compris dans les 
expi'essions générales (|ni ont etc indi(|nées. 

La lecture de cet extrait me donne lieu de reniai'iineT ipir los l'iu- 
nuili's (I) et (2) (jni y sont ra|)poitées n'avaient pas été transcrites 
exactement. Je suppléerai par la sniti' .à cette omission, <|ni, au nsle. 
ne change rien aux autres formules, ni aux eiinst''([m'ni-es dont l'exlniil 
renferme l't'noncé. 

Pour déerire les principaux elfets thei'mom(''tri(|ues (|ni proviennent 
de la présence des mers, eoncevons d'abord ([ue les eaux de l'Oeéan 
sont retirées des bassins i|ui les renferment: en sorte qu'il m^ reste 
(]ne des cavités immenses dans les teiTCs solides. Si cet état de l;.i 
superiicie lerresli'e, privée de l'atmosplière et des eaux, a\ail dure 
|iendant un trI'S grand nombi'e de sii'cles, la clialeui' S(daire pruduirail 
des alti'rnalives de tempi'ratnre semlilables ii c(dles (|ue mms obser- 
vons dans les continents, et assujetties aux mêmes lois. Les variations 
diurnes ou annuelles cesseraient à de certaim's profomieurs, et II m- 
formerait dans les couches inférieures un état invariable (|ni lonsiste- 
rait dans le transport continuel de la chaleur é(|uatoriale vers les régions 
|)olaires. 

Dans le même temps, la chaleur originaiic du iilobe se dissipant a 
travei's la surface extérieure des bassins. (Ut y (d)ser-verail, comme 
dans toutes les autres parties de la supeiiicie, un aecrois<ement de 
tcmpéi'ature en pénéti'ant ii de plus grandes pi'ofondeurs, sui\ant une 
ligne normale ii la surface du foiul. 

Il est nécessaire de i'emari|uer ici (|ne l'accroissement île tempéra- 



118 MEMOIIÎK SIH LES TKM I' Élî ATI UES 

liirc ili'i il la chalcnr d'orii^iiic (I(''|m'ii(1 |irinci|ial('iii('iit de la proloinli'iir 
iKii'iiiali'. Si la suiTacc cxlriicurt' ("lait Inirizonlalc, on (nniNciait d'c- 
i;alrs l('ni|i(''raliii'rs dans iiiil' coucIic Inu^lziiiilalt' inlV'ricnic : mais si la 
sn|)crtii'i(' de la Tcrn' solides csL coni'avc, ces coiii'ln's d'i^^alc l('ni|H''- 
ralnrc ne son! [loiiil luu'izonlalcs, cl diUrrcnl cntii'rcnicnt des lmuicIics 
de niveau, l'.llcs snivcnl les (niincs sinnenscs de la sn[M'rficic : r'csl 
|MMii- celle raison (jiic, dans l'intérieur des nionlai^iu's, la clialciii' ecn- 
Irale pcnl pciiclrer iusijn'a une grande liaulcnr. (Tesl un ell'cl compose. 
(|i:e l'on (h'Icrminc par l'Analyse malln'niali(|iu', en avant éi^ard ii la 
l'orme el il l'idevalion alisolne des masses. 

Si la sii|>erlicie était concave, mi (d)ser\ crait en sens inverse un 
ellct analoi;iic, el cela aurait lien dans l'Iis potlii'se ([ue nous considé- 
rons. Ij's coU(dH'S d'ei;'ale tempei'atni'e sei-aient concaves, el cet état 
coiiliuuei'ail de suhsisler si la Terre n'était |ioint recouverte [lar les 
eau\. 

(!ouccvons mainleuanl (|ne.ce nn"'me elat ayant duré nn i;rand nom lire 
di' siét'Ies. on rétaldisse ensuite les eaux dans le loud des mers el des 
lacs, et (|u'(dles demcui'eut exposées aux alternatives des saisons. 
l,orsi|ne la tcmperalnre des couidu's supérieur 's du li(|ui(lc deviendra 
nmiudi'c (|ne c(dle des parties iulV'iaeures . (|noi(]ne surpassant de 
(Hudiines dci^rés senlenu'ut la tempéralni'c de la i;lace londaule. la 
densité de ces coindies supérieures aui;iiieutera ; elles descendi'onl de 
plus en plus, et viendront occupei' le tond des bassins (ju'idles rel'roi- 
diroul par leur contael : dans le même temps, les eaux plus écliaullées 
cl iihis léi^i'res s'cli'vei'onî pour reni|dacer les eaux supi'rienres, el il 
s'etaldira <laus les masses li(|nides des mouvemeuls inliuiuienl varii's 
dont l'cU'et i;i'néral sera de transporter la chaleur vers les rei;ions 
(devées. 

Ces nliénomi'nes sont plus com|iosés dans l'intérieur des i;i-au<les 
mers, parce (|Ue les inégalités de tempéi'at ur'c \ occasion ui'iil des eon- 
laiils diriîiés en sens coiitraires et deplacenl ainsi les eanx de^ rei;ions 
les plus (doii^liecs. 

L'aclion continncdle de ces causes est niodiliei' pai- une autre |iro- 



1>I (.LOBE TERRESTIiK. 



II!) 



|)ri(''ti'' (II' 1 oau, relit' (|iii limilc raccroissciiK'iit di' l;i ilciisitc ri lu Hiii 
varier en sens opposé lnrs([ue la leiii|irratiir(' continue de s'aliaiss.M- el 
s'appi'oelie (le celle ([ni delcr'niine la l'orinalinn de la î;lai-e. I.c fond 
solide (\v:i mers est donc sminiis ii nne action s|iéciaie qni se renou- 
velle tonjonrs. e( (|ni le refroidit |>er|i('tnellement de|)nis nn t('ni|>s 
immense par le contact d'un li(|uitl(' entretenu;! une température •-iipe- 
l'ieure de (|uelf]ues dei;res seulement ;i celle de la ii;lace t'oudanle. Ou 
tiouvc en elï'et ({ue la tempi'ratnre des eaux diminue à mesure (jue l'on 
auiiinente la protondenr- des sondes; cette température est dans ikw 
climats (renvinui ]" au l'oud de la plupart des lac-;. F.n ;;i''n(''ral, si j'.in 
(d)seive la tempil'rature de la mer ;i des profondeurs de [iliis eu plus 
grandes, on approche sensililenient de la limite (jui convient ii la |ilus 
lîi'ande densité; mais il faut, dans les (|n('sli(uis de ce genre, avoir 
égard à la nature des eaux, et surtout aux communications élal)lie> 
par les cornants : cette dei'uii're cause peut (diangcr totalement les r(''- 
sultats. 

(let accroissement d(^ temp(''ratui'e. que nous id)sei'Vi)ns en liuropc 
en poi'taul le lliermomi'tre dan> l'intérieur du glohe solide à de grandes 
profiiudeui's, ne doit donc pas snlisisler dans riutcrieur des nicrs. et 
le plus gen(''ralement fiu'dic do tcmpei'atnres doit ('■Ire inverse. 

(Juant aux |»arlies immédiatement placées au-dessous du fond des 
mers, la loi de l'accroissemenl de clialenr u'e>l pas celle (pii c(Mi\ienl 
aux terres continentales. Ces températures S(Uit déterminées par nne 
cause spéciale de refroidissement, le vase ('tant exjiosi'', comme (Ui l'a 
dit. an contact |)erpétu(d d'un li(|uide (|ui conserve la même Icmpera- 
Inre. C'est poui' ('clairer cette jiarlie de la (|uesliiMi des Icmperalnro 
teri'cstres (|Ui' j'ai dclci'uiiné, dans la lliéorie analyli(|ue de la chaleur 
( Cha[>itre IX. p. \-2~ etsuiv.). l'expression de l'état xarialdc d'un so- 
lide primitivement éclianli'e d'une manléi'e quclcom|ue. d dont la 
surlac(^ est l'eteniie pendant un tem|)s iudelini ii une Icmperatui'c con- 
stante. L'analyse de ce pndili'me fait c(uinailre dislinctenieut suivant 
(luelle loi la cause extérieure fait varier les tempéi'atnres du solide. Kn 
général, après avoir étahli les é(iuations fmdaïuentales du mouvement 



120 Mi:-\l()ir.i: 81 K LES TEMI'Klî VTl r.ES 

(le la clialt'iii' cl la iiiollxxlc (If calcul qui seil ;i les inlégrer, je me suis 
attache à rcsiiudre les (piestions qui iiilcresseut rétudc des leinpcra- 
lurcs Icrt'cstrcs et loni coiinaitrc les i-a|i|>(»rts de celte étude avec le 
sVsti'Mie du ii](inde. 

Aprl's avoir e\|di(|ué sépaiéiueut les |uinci|ies de la (|ueslion des 
températures terrestres, il l'aiit réunif sous uu point de vue i:enéral 
tous les eliels (|ue l'on vient de décrii'c, et par H» on se t'ormera une 
jusic idée de l'ensemlde des phenomi'nes. 

I.a l'eire reçoit les lavons du Soled, (|ui |H''nètrent sa masse et s'y 
convertissent en chaleur ohscnre; elle possède aussi une chaleur 
propi'c (|n'elle tient de son oi-ii;ine, et (|ni se dissipe coutinuellenieni 
il la su|H'rficie; entin. cette planiste reçoit des ravons di' lumière et de 
(dialenr des astres innomhraldes parmi lesipiels le sxsti'ine solaii'e est 
place. \i)\\;[ les trois causes _i;ènèralcs (|ni <leteiniinent les températures 
terrestres. La Iroisil'uie, c'est-;i-ilire l'inllueuce des astres, é(jni\ant ;i 
la preseiH'e d'nio' enceinte immense l'ermée de tontes parts, dont la 
temp(''ratnre constante serait peu inlèrieure ;i celle (jue nous ohserve- 
rions dans les contrées |M)laires terrestres. 

On pourrait sans doute supposer ;i la chaleur raycmnante des pro- 
priétés iusi|u'ici inconnnes, (|ni tiendraient li(Hi en (|nel(|ne sorte de 
cette tempi'rature londameiitale ipie nous attriliuons ii l'espace; mais, 
dans l'elal aclind des sciences pliysicpies et sans recoui-ir ii d'autres 
propriéli's (|ue ccdles ([ni dérivent d'(d)servalions jiositives. tous les 
laits connus s"e\pli(|ueiit naturellement. 11 snllit de se repiesenler (|ue 
les corps planétaires S(mt ilans un espace dont la temperalnie est eou- 
>tante. Nous avons donc cli"ridie (|U(dle devrait éti'c cette temperatur<' 
pour (|uc les eirels tlierinmné(ri(|ues l'ussenl semlilahles ii ceux (]ue 
nous oliservons : or ils en diU'ei'craient entil'i-emeut si l'on admettait 
un froid alisoln de l'espace; mais, si l'on idi've pi'oi^'i'essivement la tem- 
pei-aliire conimiiue de rcnceinte (|ui enrermeraif cet espace, on voit 
iiaiire des eU'ets semhlahli's ii ccu\ (|ue nous c(mnaissons. On peut 
ai'lirmei' due les plM'Uonii'nes actuels sont ceux (|ui seraient produits 
si le ravonnenient des astres donnait ii tous les j»oints de l'espace pla- 



Dr GLOnE TERRESTRE. 



121 



iitHaii'o la températui'e d ciiviroii ]i)° au-ilcssoiis do zéro ( division 
octogésiiiiale ). 

La clialeur primitive intérieure ([ni n'est point encore dissipée ne 
produit plus qu'un ellet tri's petit ii la -ui'f'aee du lîlobe terrestre; elle 
se nla^ife^te. par une auiiniculation de température, dans les eonclies 
profondes. A de plus i;randes distances de la surface, elle |)eut sur- 
passer les [)lus hautes températures (|ue ['(Ui ait encore mesurées. 

L'ell'et des ray(nis solaires est périodique dans les couches superti- 
ciellesdi' ri'nv(do]q)e terrestre; il est fixe dans tons les lieux profonds. 
Cette température ti\i' des parties inférieures n'est point la même poui' 
toutes; elle depeud piineipalement de la l.ititude du lien. 

La chaleur solaire s'est accumulée dans l'intérieui- du gl(d)e. dont 
l'état est devenu invariable. Olle qui péni'tre par les régions équato- 
rialesest exactement compensée par la chaleur (jui s'écoule à traveis 
les régions polaires. Ainsi la Terre rend aux espaces célestes toute la 
chaleur qu'elle reçoit du Soleil, et elle y ajoute une partie de celle qui 
lui est piopre. 

Tous les effets terrestres de la chaleui' du Soleil sont moditles par 
l'interposition de l'atmosphf'ie et par la présence des eaux. Les giauds 
mouvements de ces fluides rendent la distribution plus uniforme. 

La transparence des eaux et celle de l'air concourent à au^iuicntei' 
le degré de chaleur acquise, parce que la rhaleur lumineuse aflliu'nte 
pénétre assez facilement dans l'intérieur de la masse, et (jue la chaleur 
obscure sort plus difficilemenl suivant une route contraire. 

Les altcrn;itives des saisons sont entretenues par uue ijuantité im- 
mense de chaleur solaire qui oscille dans l'envelojipe terrestre. pa>- 
sant au-dessous de la surface dui'ant six mois, et retournant de la Terre 
dans l'air pendant l'autre moitié de l'année. Rien ne |)eut contriliiier 
davantage à éclairer cette partie de la question (jue les expériences qui 
ont pour objet de mesurer avec précision l'effet produit par les rayons 
du Soleil à la surface terrestre. 

.l'ai résumé, dans ce ^Fémoire, tous les éléments principaux de l'ii- 
nalyse des températures terrestres. Il est formé de plu>ieuis résultats 



IL 



ib 



1-22 MÉMOilii: Srn les TEMPEnATLIIIES 

<le mes reclicrclies. (lc|u:is loiigtcnips jnihliéos. Toisquc j'ai l'iUi'opris 
(le Irailcr ce genre de questions, il n'exislail aucune tliéniie mallicnia- 
tic]ue (le la clialeur, et l'un pouvait même douter qu'une telle théorie 
tut possilde. Les .Méuioires et Ouvrages dans lesquels j(' l'ai ctaldie 
contiennent la solution exacte des (jtiestions fondamentales: ils ont été 
remis et eouimuni(|ués puldi(|ueinent. ou imprimés et analysés dans 
les Hecueils scieniiri(|iH'S depuis plusi(Hn's années. 

Dans le présent écrit, je uu^ suis proposé un autre hnt. celui d'ap- 
|ieler ratteufiou sui' uii des plus grands olijets de la Pliilosophie natu- 
i'(dle, et de présenter les vues et les coiisé(juences générales. J'ai espéré 
que les géomètres ne verraient pas seulemcnl dans ces recherches des 
questions de calcul, mais (|u'ils considéreraient aussi l'importance du 
sujet. On ne pourrait point aujourd'hui résoudre tous les doutes dans 
une matière aussi étendue, cjui comprend, outre les résultats d'une 
aiiaivse dilllcile et iKUivelli', des notions [diysi(|ues très variées. On 
multipliera j)ai' la suite les observations exactes; on éliidieia les lois 
du niou\('ment de la chaleur dans les li(|ui(les et dans l'air. ( )n décou- 
vrira |ieut-éli'e d'autres propriétés de la chaleur rayonnante, ou des 
causes (|ui modilieut les tempéi'atures du ghd)e. ^Fais toutes les lois 
principales du mouvement de la chaleur sont connues; cette théorie, 
(|ui repose sur des fondements invaria!)les, toi'uie une nouv(dle hranche 
des Sciences malhémati(|ues : elle se compose aujourd'hui îles é(|ua- 
tions dili'i''reuti(dh's ilu mouvement de la chaleur dans les solides et 
dans les rKjuides, diis iutéi;rales de ces priMiiières éijuations et des 
ihéori'mes rcdatifs ;i l'éipiilihi'c de la chaleur rayonnante. 

In des principaux cai'acti'i'es de l'analyse (jui exprime la distriluition 
de la (dialeur dans les cor-ps solides consiste dans la composition des 
mouvements siuq)les. Celte |U'(q)riélé dérive de la nature des é(|uations 
dill'érentielles du mouvement de la (dialeur, cl elle convient aussi aux 
dernii'res oscillations des corps: mais elle ap[)ai'tient plus spéciale- 
meiil il la théorie de la (dialeur, |)aice (|ue les eliels les plus complexes 
se i'és(d\('ul récdlemenl eu ces mouvements siuq)les. ('.elle pro[)osition 
u'cxpiimc pas une loi de la luitnre, et ce n'est pas le sens (jue je lui 



m (iF.OnE TERHKSTIli:. 



l-2:i 



attriliiii': elle exprime un l'ail suhsistant, et non une cause. Ou tiou- 
verait ce même résultai dans les (|uesti(ins (lynaini(|ues où l'on lon-i- 
(lérerait les forées i-ésistanles (|ni l'ont eesser rapideuieni rrli'cl pio- 
(luil. 

Les applications de la tliéorie de la clialenr oui exigé de loni;nc> 
recluM'ches analytifjnes. cl il clait d'alioi'd nécessaire de l'oruici- la 
méthode du calcul, eu l'egardant l'omrne ciuistants les coet'tieieiils >pc- 
citi([uc> (jui enli'cnt dans les é([uations: car cette condition >'ctaldil 
d'cdle-méme et dure un temps inlini hu'squi' les dillérences dt' tem- 
pératures sont devenues assez petites, comme on l'oliserve dans la 
(|ueslion des températures terrestres. D'ailleurs, dans cette (|uestion. 
qui est l'application la plus importante, la démonstration des princi- 
paux rcsullats est indépendante de l'Iiomogénéité et de la nature des 
couches intérieures. 

On peul donner à la théorie anal\ titiue de la clialeui' toute l'exleu- 
sion qu'exigeraient les applications les plus variées. \(iici l'ennine- 
ration des principes (|ui servent ;i généraliser cette théorie : 

I" Les eoertieients étant assujettis à des variations IrJ's petites (jiu' 
les oliservations font connaître, on détermine, par le procédé des suh- 
stil niions successives, les corrections qu'il faut apporter aux résultat^ 
du premier calcul. 

2° >.'ous avons démontré plusieurs théorimies irénéraux ([ui ne dé- 
pendent point de la l'orme des corps, ou de leur leunogéuéité. [/(■([na- 
tion générale relative ;i la surface est une [)r(qiosilion de ce geni'c. On 
en trouve un autre exemple très remarqualde si l'on compare les mou- 
vements de la chaleur dans des corps semldahles. (|uelle (|ue puisse 
être la nature de ces corps. 

'^° Lors(|ue la résolution complète des é(iuatious dillerenliello dé- 
pend d'expressions difficiles à découvrir, ou de lahles ([ui ne sont 
point encoïc formées, on détermine les limites enlic lesiiuelles les 
quantités inconnues sont nécessairement (Nuiipi-ises: on ai'rivc ainsi 
à des conséquences certaines sur l'ohjet de la (|uesli()n. 

-V Dans les recherches sur les températures du glohc terrestre, la 



12V MÉ-Moiiii: sn: les temim-:i!ATi uj:s 

grandeur di'<. dinicnsions donne une forme spéeiale aux résullats du 
ealciil el en rend l'interprélation plus facile. Quoique l'on ii^nore la 
nature des niasses intérieures et leui's propriétés relatives ;i la elia- 
lenr, ou peut déduire des seules observations laites dans les prolou- 
ileurs accessibles des consé(|uences fort importantes sur la sl;diililé 
des climals, sur l'excès actuel de température du à la chaleur d'ori- 
i^ine, sur la variation séculaire de l'accroissenient de température dans 
le sens de la proinndeur. (l'est ainsi (|ue nous avons pu démontrer (|ue 
cet accroissement, (|ai est, en divers lieux de l'Jùirope, d'environ i" 
|)our '>i>."', a en jirécédemment une valeur beaucoup jilirs i,'raude, (jn'il 
ditninue insensiblenu'ut, et (|n'il s'écouleia plus de trente mille années 
avant (ju'il soit reduil ;i la moitié de sa valeur actuelle. Cette consé- 
(|uence n'est point imcrtaine, ((uoi{|ue nous ignorions l'état intérieur 
dn glolie: car les masses intérieures, cpuds (|ue puissent être leur étal 
el leur lemperatuie, ne commuui(|uerout ;i la surface (ju'uue clialenr 
insensible pendant un laps de temps immense, l'ar exemple, j'ai voulu 
connaître (jind serait l'elfet d'une masse extrêmement écbaullée, de 
même étendue (|ue la Teric, et (|ue l'on |)lacerait au-dessous de la 
surface ii (|nel(]ues lieues de [U'ofondeur. Voici le résultat de cette 
rechendu'. 

Si, il partir de la profondeur de i n lieues, on remplaçait la masse 
terrestie inféi'ienre insipTan centre du gbdjc par une malii're (jutd- 
c()n(|ue dont la lempéraluie serait égale à cinc] cents fois cidle de l'eau 
bouillante, la chaleur communi(juée par cette masse aux paities voi- 
sines de la superticie demeui'crait très longtemps insensible; il s'écou- 
lerail cerlaiuement plus de deux cent mille années avant t\i\f l'on pùl 
observer i> la sniface un accroissement de chaleur d'un seul ilegré. 
La chaleur péni'lrc si lentement les masses solides, el Mirlout celles 
doul l'enveloppe teirestre est formée, (ju'iin intervalle d'un tri's petit 
uondne de lieues sufliiail |)our rendre inappréciable pendant vingt 
sièides l'impi'ession de la chaleur la plus intense. 

L'exauH'U attentif des conditions auxquelles le système di's planistes 
est assujelli donne lieu de conclure (|ue ces corps ont fait parlie de la 



1)1 r.LOMV. TERHESmi:. |-2,S 

iiiassi' (iii Soleil, et l'on peut dire (jn'il n'v a aneiin plieiioiiii'iie oNservé 
i|ai ne eoncoure à Ibiulei' cette ()|iinioii. Nous ue eoMuaissoiis pas eoni- 
liieu riiilerieiii' de la Terre a perdu de cette (dialeur d"(ii-ii,'iue : ou iicnf 
seulement attirmcr (\u"n l'extrèine supcrticie l'excès de chaleur du à 
celle seule cause l'St des'cnu pour ainsi dire iiiseiisildc ; l'état iherrno- 
niélri([ue du iiluhe ne vai'ie plu> (|u'avec une extrénie leuleiir: et, >i 
l'on pouvait concevoii- (|u';i paitir d'une di>tance de (|uel(|ues lieues 
au-(le>sous de la surface ou l'cniplace les masses iul'erieures jus(|irau 
(■entre du Lilithe soit par des cor])s i^laces, soit par des poi'tions de la 
suli>lance même du Soleil (|ui aiiiaieiil la lempéiature de cet asire. 
il s'ecoiileiait un i:rand nomhre de sii'cles avant ()u'ou put oliserver 
aucun (diani^t'iiient appréciahle dans la tem[)érature de la surface. La 
lluMuii^ mathématique de la chaleur l'ournit plusieurs autres couse- 
([uences de ci' genre dont la i-ertilude ot indi'|M'ii(lante de t(Uite li\po- 
thèse sui- l'état intérieur du ij;lolie teiicstre. 

(]es théories acquerront ii l'avenir lieaucoup [)lus d'étendue, et lieii 
ne conli'iluicra plus a les pert'eclionm'r (|ue des séi-ies uomhrcu>es 
d'expériences précises; car l'Analyse tuathémalii|ue i(|u'il nous soit 
permis de repi-oduire iii cette reilexion ) ( ' ) peut déduire des phéno- 
mènes p:(''iiéi'aux et simples rex[iression des lois de la natiiie: mais 
l'application de ces lois ii des ellets tirs com[)osés exii;e une liuii^ue 
suite d'ohservations exactes. 



i ' ) Discùurs iii'cliniiiiaire de la Tlicoric de la Cli'ilciir. 



M KM (HUE 



DISTIMIIUN lll'S 1î\(;IM:S IMA(.l\Allii;S 



I. \l'l'l.l(;\TI(i\ MES TIlEOltKMKS 1> WMISK Al.i.KI'.lll* >l K 



U\ KIJI ATIhNn lliANsi EMIAMK^ 

ni 1 i)r:i'KM)K.M i)K IV iUKORii; \n \.\ ciiaikih. 



MÉMUIRE 



DISTINCTION DES RACINES IMAGINAIRES 



L'ArPLlC.ATION DES TilKOHtMES DANALV>1-: ALGÉBlilnUK 

Al\ EljrvriONS TRAN-;rE>DVNTn# 
QH nKl'ENDENT IiK 1. \ THÉORIE DE I. \ (liU.ELR. 



.Mcintiirvi tle r.IrtitIciiiK' liamle f/t'V Siieiicvi de l' Institut de l'raiicr. 
l. VII. p. Gu'). Paris. Didnl ; i>!2-. 



I.c pieiiiiiT ailirlc (le ce Méirioiit' l'ail parlic d'iin Trailc (|ui i\v lai- 
iliTa |mint a rtic [)ul»lié, l't (|ui contient les résultais de mes l'eelienhes 
>ni' la théorie des équations. On démontre dans ("e |)remier article une 
proposition relativi' à l'emploi des fractions eonlinnes pour la distinc- 
tion des racines imai;inaires. f/ilhislie auteur du Trailc de ht rrsoltilion 
(les cqitdiioDS niimcriqiies avait |)ropos{'', ain>i (|ue \\ aring, (lour la déter- 
minatiiiii des liniites, Tusai^e d'une e(|uatioii dont les racines sont les 
dilVereni-es des i-acines de l'eipiatinn (]ue l'on veut rcMindre. C.ellr 
méthode est sujette it deux dillicnlles très graves qui la rendent inap- 
plicaldc' : l'une consiste dans l'elendiie excessive du calcul (|ui seil 
à former l'équation aux dill'éreuces ; la secmide. dans le Iri's i;raiid 
niindire des substitutions (|ue l'on ani'ait h elïectuer. .l'ai l'ci herclie 
avec le plus irrand soin les iiuiveus de résoudre c-es deux dillicnlles, 
et j'y suis |iarvenu par deux uietlmdes diilérentc?, (|ui font connaître 
facilement la nature et les liuiites des racines. La première est exposée 
11. I- 



130 



M ÉMOI HE Srn LA DISTINCTION 



îivcr I){';iiicoii|i (le ili'tinls dans !"( )iivrai;(' citr ; la sceoiidi' est l'onili'c sur 
la j>ro|»()siti(in siii\anl('. 

On |icm( orncllrc dans lous les cas l'emploi de l'rquarHm aux dill'é- 
rcnrcs, cl proccdcf iiniiiciliatcnicnl au calcul des IVaclioiis conliimcs 
(jui (loi\ (Mil c\|iriiiici' les valeurs des racines ; il suftil d'clahlir ce calcul 
de la même maiiitTc (|iie si l'on élail assuré (|ue loules les racines soni 
réelles. On ili'lcrni i ne sur-le-cliam j), cl jiar ra|)|)licalion d'un ihénri'un' 
général, comlticn on dnil (dicrchci' de racines dans clia(|ne intervalle 
donne; or on dislinyueia par le l'ésullal nn"'me de l'opération celles de 
CCS racines (|ui s(ml réelles. (Jiuint au n(unl)r'e des racines imai.;inaires. 
il esl précisément éL;al au iiomhre des variations de signes (|Ui dispa- 
raissent dans les e(|uatious successives. I.e Ahunoire c(Uitient la dcnniu- 
sli'ation de celle dcrnii'rc pi'o[)osilion ; il eu l'ésnllc une méthode ti'i's 
simple pour dislingiH'r avec certitude les racines imaginaires, et pour 
assigiH'r deux liiuites entre lesquelles cliacune des racines réelles esl 
seule compiise. 

I.e sec(uid article du Mémoire c(Hicerne les é(|ualions (|ue l'on a appe- 
lées Ifdiifirrnddnhs. .le di'monire (|ue les llieori'Uics généraux d'Analyse 
algehriqiH' s'applicpu'Ul aux é(pialions <le ce gcni'c (|ne présentent la 
tluMirii' de la chaleur lUi d'autres (pu'stious natui-idlcs. Le principe sui- 
lequel celte a|qiiicalion esl rondée consiste en ce (|ue, dans toute ('qua- 
llon algéhriipie (ui Iranscendante lormée d'un nomhre lini on infini de 
l'actcui's, parmi les(|n(ds il se Irmivc nu (ui plusieurs i'aclenrs du second 
degrc' avant deux racines imaginaires, chacun de ces derniers l'acteurs 
cori'cspond ii une certaine valeur /r'; /A (| ni iinli(|ue deux racines imagi- 
naires, parce (|u"(dle l'ail disparaître deux Nariahons de signes ;i la IVus; 
et l'on prouve ipie, si re(|uatioii proposée u'a aucune de ces valeurs 
irclli's cl cnlKiiK's. il l'st inijxissihle (pTclIc n'ail pas toutes ses racines 
ré(dles. lui général, c'est une um'uic mélliode (pi'il l'aut em|ilover, soil 
pour distinguer les racines imaginaires dans les é(|iiations algéhricpies 
et [tiMir calculer les valeurs de Imiis racines réelles, soil p(uir distin- 
guer les racines imaginaires des é(]iialious traiiscendaiiles cl calculer 
leurs racines léelles. La convergeiu'e des séiies (|ui expriment les ibnc- 



DES RVCIXES IMAGINUHES. 131 

lions (ransrcndaiitcs supplée à la [iropiiété (|ir(Ui( les tonctioiis ali;é- 
liri(|ues il'èd'e réiluites à uik' coiistaiile ()ar des diUerenlialiuiis succes- 
sives. 

On peut faire l'application de ces ju-incipes aux équations traiiseen- 
dantes qui servent ii f'oi'nier l"ex|M'ession du mouvement ili' la cliaii'ui- 
dans la sphère, dans les prismes rectani^nlaiics, et dans le cvlindre. 
J'ai l'appcdé les li'ois procédés dili'érents i|oii( je nje suis servi, dan- 
nies reclier(du's analytii[nes sui' la chaleur, [mui' résoudre les (''qualioiis 
dont il s'agit: ils donnent tous les trois le même résultat : 

I" On eniploict les t'oustrnctions géomélii(jiie>. paice ([u'idles tVml 
l'onnaitre tri-s (dairement les limites de chaque racine. 

2" .l'ai dernonfié que toutes les racines des é(|nations tri,uon<uué- 
triques ([ui se ra|qjortent ii la sphi're ou aux juismes xmt réelles, eu 
substituant à la place de la vaiiai)le un liiiu'uue dont le seciuid terme 
est imaijinaire. On voit, par le re:~ultat île celle >uhslituli(Ui, que le 
coelticienl du seciuid terme est necessaii-emenl nul. 

3" On déiuoutie aussi (|ne les é(|uations lrii;nnométri(jnes dmit il 
s'ai;il ont tontes leurs raeini's retdies, sans (|u"il snil ni'cessaii-e de 
rei^ai'der comme connue la l'orme des racines imai;iuaircs; car la l'ouc- 
tion trigonoméli-i(]ue est le pi'oduil d'un nomhre de l'acteurs qui eroil 
de plus eu pins, et sans limites. Or j'ai prouve ri;ioni'eusemeul (|iie 
chaenne des équations successives (jui en re>ulle ne [»eul avoir (jne 
des racines réidles. (^ette propi'iété est lutalement iudépendanle du 
nomhre des facteurs. 

Il me reste à indi<|uer l'tdqet du Iroisii'Uic arti( le du Mémoire. Ile! 
olijet a un rappiu't plus sensilde avec les phciiomi'nes nalui(ds: il ctui- 
cerne la (]uestion du mouvemeiil secnlairi' de la (dialeur dans l'inle- 
rieur du jilolie terrestre. 

Nous avons dit que rex|)ressi(Ui du mouvement de la chaleur dans 
la sphère, dans les [irismes leclaugulaii'es et dans le c\lindrc. contient 
les racines d'une équation transcendante déhuiuinee. et (|ne !(Uites ces 
racines sont réelles. Il est facile mainlenanl de d(uiner diii'erentes dé- 
monstrations de cette pi'oposition, et toutes les leclieiches ultérieures 



132 MÉMOlIiK SUR L\ 1)ISTIM:T1()\ 

i)'on( pu que la coiiliMiici'. Mais ({iiellc est la cause iiadirelle de eelfe 
propriété? Pour quelle raison physique est-il impossible qu'il entre des 
expressions dilTérentes dans les solutions données par le ealciil? Ouel 
rapport nécessaire v a-t-il entre le principe de la eonininnication de la 
clialeuret un tliéoi'ènie alistrait sur la nature des é(]uations? 

On résoudra clairement cette dernièi'e (|uestion en considi'rani ci' 
(|ni auriiit lien si ré(|uatiiMi (|ui detei'inine les exposants de iIkkjuc 
lernii' contenait îles facteurs ilu second degré dmit les deux racines 
seraient imaginaires. En eil'el. (Iiacun de ces derniei's facteurs pour- 
rait servir ;i former une solution particulière de la (|ni'stion, et cette 
solution contiendrait la valeur du trmps sous les signes trigoiiomé- 
tri(|nes; il en résultei'ait (pn^ la temperatui'c moyenne du solide corres- 
pondante il clnupie instant serait exprimée par une (|uanlité ])erio- 
di(pu^. Cette expression sei'ait l'oi^niée d'un l'adenr exponenti(d cl iliin 
l'acteur trigononiétri(|ue \arialde avec le temps. La température lixe 
(In milieu étant supposée ccdle de la glace rondanle, la température 
movenue ilu solide sciait successivement jiosilive, nulle et négative: 
ensuite, l'U continuant tie (dianger. elle deviendrait de nonveau égale 
cl supérieure ii C(dlc du milieu, des alternatives se reproduiraient 
durant un tem|)s inlini divisé en mesures égales, comme il arrive dans 
les dernières oscillations des lames ou des surfaces sonores. Or de 
tids elVcts ne peuvent avoir lieu; et, poui' rendre cette impossibilité 
manifeste, il sufiit d'ap|ili(|uer la solution dont on vient de paider au 
cas où la coniIncilHlile propre <ln solide a une valeur immensément 
grarulc; car, si le ctteflicient (|ni mesure celte (pialité sp(''citi(|ue lui la 
pernK'aliilité intérieure acquiert une valeur inlinimenl grande, le corps 
dont la lemperatnic varie doit éti'e C(jmpaie ii un vase contenant un 
li(]uide |)erpélu(dlement agili', et dont toutes les parties ont à cliat|ue 
instant la nn-mc température, il est eviileni que, dans ce cas, la clia- 
lenr dn Tupiidc se dissipe contiunidlemeiit ii travers l'envidiqtpe. On 
ne peut pas supposer (jue la lempi'ratnre devient alternativement né- 
gative, nulle et |iosilive, et cpu' ecda constitue le dernier étal du vase 
durant un lemps inlini. Nous connaissons avec certilude en quoi cou- 



DES KACINES IM VC 1 N V I liES. !.{:! 

sistc ce dernier état : la tempéiatiire du vase se ra])prnelie de [iliis m 
plus de celle du milieu; la cjialeiii', quelle (|ue puisse (•hc sa nalnrr. 
u"est poiut sujette ;i celte llui-tnatiiiii (|ue uous avôus décrite, pan-c 
(|u'elle ne se c()uinuini(|ue (|tic par voie de partai^e; par coiiseijuciil . la 
température tinale est loiijoiii's plus grande, nu est toujouis inr)iiidre, 
i|ue c(dle du milieu. Ainsi il est plivsiquement impossible qu'il enire 
des exposants imaginaires, ou, ce (|iii est la méiue (diose, des lacteiir-- 
périoditpu's. dans rexpiession de la tempi'raliire \arial)le d"nu s(dide. 
par exemple d"uu cylindre |uamitivemeu! éclianfle et jdacé dans un 
milieu dmit la tempi'ral ure est constante. Il eu r<'snlterait uu ('lai liual 
oscillatoire coniraire au principe de la conimunicalion de la clialeiir. 
et l'on est assui'c ([iw ces alternatives n'ont point lieu dans un c(U|is 
solide, parce (jue la solution (pii les ex|»rinierait s'appli(|nerail aussi 
il un état très simple oii (dies sont maiiirestement impossililes. 

Ou arrive ii la ini'iue conclusion si l'on c(nisidi're dans la théorie 
aual\ti(|ne des monveuH'Uts de la clialeiir les rtdatioiis (|ui doiscni 
siilisister entre les divers (demenls du ealciil pour (]u"uue ironne s(du- 
tion convienne ii nue iiiullilnde de (|nestions diUéreules; car ou peiil 
(dianger ii s(Ui gré les valeurs des coefticients speciti(pies et les dimen- 
sions du solide si l'on change aussi, et dans un certain rapport, riinile 
de nu'sure des temps écoulés. 

Voici une application remarcjuahle de ce nouveau principe : elle 
concerne la distribution de la chaleur dans les corps de (ii^nre sem- 
lilahle ipii ne dillérenl que [»ar leui's dimensions. (Jue l'on se repn''- 
sente deux solides dont les divers points (uil reçu des temperalnre< 
initiales: chacun de ces corps peut n'être pas liomoi;i'ne; la deusih'. la 
cajiacité de chaleur, la condneihilili' pourraient varu'r d'une nnniii'ie 
quelcou(|ue dans riulérieur de ces corps on ;i leur surface; mais, piiur 
ne com|>arer (|Ui' les deux cU'ets (pii proviennent de la dillérence de 
dimensions, on suppose (pie les deux C(nps, de surface convexe, (Uil 
des figures semlilahles: ({ue les molécules lnunoloii:iies sont de même 
natui'e, de même densité; (ju'ellcs ont reçu la même température ini- 
tiale; et (|ue les deux solides sont eiisnite exposés dans le vide, et 



13i MÉMOIRE SI H L\ DISTINCTION 

s(''p;n'nii('iil . m l'ai'lidii constiiiili' d'iiiR' nuMiie cause (|iii aljsoilu- la 
clialcui' émise. On conçoit (lue chacun de ces deux (OI'ijs |)asse suc- 
eessivenienl par une suite délais tri'S dillërenls du |)reniier, c( il est 
inaniresie (|ue les cliauiicnienls de lenipéi-alure s'acc(uuprn'aienl beau- 
coup plus rapidenieiil dans c(dui des deux c(u-ps dont la dimension 
sérail heauroiip plus petite. Or iu)us d(''monl r(ms (jue, si l'on mesuce 
les temps écoulés avec di'ux unih's dilTerentes dont le i'a|)porl soit 
c(dui du carii' des dimensions lion]oloi;nes, on li'on\cra (]ue l'i-lal 
vai'ialile du pri'mier solide est perpél nellemenl le même (|ue l'étal du 
secoiul. Celte ])roposilion esl la plus générale dt^ huiles c(dles (|ue j"ai 
démonlice> daii> mes reclierclies sur la cliali'iii'; car (die ne dépend 
ni de la rorme des ciups, ni de la iialure de la Milislauce dont ils 
s(Hil rormcs, ni de la dislrihnlion initiale, lui général, la durée des 
lemii-> n(''iessaires pmir (|ue des s(dides semlilaliles, et semblaldc'ment 
eidiaiiHes. paisiennenl au même élal est eu raison directe du carré 
des ilimi'iisi(Uis. 

Celle pr<)|io>ili(Mi s'appli(|iie au mouvement séculaii'c de la (dialeur 
(jui a |)('Mielie la masse du ghdie terreslrc, aux é|io(|ues où cette pla- 
niste a clé l'oi'mee: (die nous ibmne une juste idée du tt'iups immense 
(jui a di'i s'écouler pour (urune masse d'une aussi grande dimeusion 
put subir un reiVoidissemenl sensible. Ou com|)ai'era, an moveii du 
lliém'i'ine picce(lcnl, les (dlcls (|ui sci'aient (diservés si l'on assnjeltis- 
sail a une Icmpei'at lire lixe ( cidlc de la glace rondantc ) les surlaces de 
deux sphères sididcs iloiil l'une aurait i '" de ravoii, cl l'autre nu raviui 
égal il cidiii de la Terre. On trouve (|iie l'eUet produit sur la sphère 
leirestre par un rerroidissemenl (|iii durerait mille années é(|nivaul 
précisément ;i l'idlel produit sur la s|di('re de i '" de ravcui par l'aclion 
de la même cause (|ui ne durerait (lue la , ~ partie d'une seconde. On 
voit par ce résultai (pie. si la Terre a |ioss(''de, coiiime riii(li(|iieiit les 
lliéories (lyuaiui(pies et nu graïul muiibre d'(diservatious thermomé- 
lri(|iies. nue (dialeur primilive (jui se dissipe progressiveiiii'iit dans les 
es|)aces planétaires, la (lé|ier(lilioii de celle (dialeur d'origine s'opiu'e 
avec nue leiileur extrême. I.a durée de ces grands pliéiiomi'nes répond 



DES r.VClNKS IM VdlN VIRKS. 



1 :5:; 



;iil\ (iiiiKMisions (le I MiiiV('f>: elle est iiioiirL'i' |(ai' des iioinlirc-- i!ii 
inèiiic (irdrc (|iii' ccun i|iii cxiiritiii'iit les distances des ('inilcs ]]\f<. 

Celle ([iieslion du nioiiveuieiil séculaire de la chaleur dans le ulolie 
téi'restre est cclaii'ee [lar deux propositions Irf'S i^eiieiales (pie nous 
tonniit la tln'orie de la clialeni'. cl qui son! fai'iles ii ({('inontrer : l'une 
est celle (pu.' nous \enons d"t''noncei' concei'nanl les (diani;('nienls di' 
température des corps senddaldcs : l'aud'c est re<piation diirci'cnl ielle 
(lu UKMivenient lie la clialeui' ;i la surface d'un corps (|U(dcoii(pie. Olle 
deiMiii're pro|iosili(ui. (|ue j'ai diuint'c antr(dois, e>l,coninie la prci'c- 
deute, totalement indi'pi'ndante île l'elal iuti'iicur du ulolie, de la 
nature des suli>lauces. de la cjialeur aclmdle ou orii^inaire: elle con- 
vient il tous les corps solides, quels ipie soient leur l'orme cl TiMal 
physi(|ue de la superlicie. 

Nous terminerons cet extrait eu rapportant la ili''niou>li'ation du 
tliéori'UH- relatif au mouvciueul de la clialeiir dans les corps seudila- 
bles. On pourrait ili'dnire celle juMquisiliou des é(pialious diffei'cn- 
fielles qiU' j'ai donni'es dans mes recherches pn^d'ilenlcs ; mais la 
(li'monslratioii syulhéliqne l'ail mieux connaitre que ce (hi'oriuue es| 
une conséquence évidente du principe de la communicalion de la cha- 
leur. .riudi(|uerai d'ahord comment ces coiiséipiem-es se sont in-esen- 
tées |)our la [U'emière fois ii rius|)ection des formules ipii exprimeni 
le mouvement de la chaleur dans diiri'renls c(n'|>s. i-]nsiiile je monlrerai 
comment rui ai-rive aux mi'-mes l'ésnllals sans remploi du ealciil et pâl- 
ies cousideratiou-^ les plus éléiuenlaires. Nous prenons pour exenqde 
la (|uesliou du mouvement de la chaleur dans une sphère qui a ele 
phui^'i''!' une ou plusieurs l'ois dans un milieu échanire, et a leeii ainsi 
dans les diU'ereuti'S couches sphériipies doiil elle est l'ormi'c de- (luii- 
peralnres initiales did'érentes irune couehe ii une aiilre sni\aiil une 
loi qiielcoïKjue. mais (''gales pour les poinis d'une miuiie romlie. Nous 
supposons i|n'a[)r('S a\oir relii'c celle sphi're du milieu erhaiiliV'. on 
assnjetlit les points ih" la surface h une lemperatnre conslanle el com- 
mune il Ions ces poinis. On trouve, dans le Chapiirc ^ de /'/ J'/nonc de 
lu ilmh-itr. la solution des (|uesti(Uis de ce i^cui'c, -oil ipi'ou la déduise 



136 MEMOlUi: SU F. LA DISTINCTION 

(le l;i fornuilc sé'i'''''Tl'' i;ipp'>il(''c piigo i i 'i de cet Ouvrage, soit qu'on 
résolve (liiccIcMnent ee problème, qui. aujourd'hui, ne présente aucune 
difticulle. Ou ohlieni l'expression suivante des lempéi'atures variables 
de la splii're : 



^. V 

1 = 1 






Les eoeriieients K. C. f) représentent respectivement la eonducihilile 
pi'opre, la capacité de clialeur, la densité: \ est le rayon total de la 
splii'i-e; .(■ est le rayon de la couche s|)héri({ue dont ou veut déterminer 
la tempéraluie r; et / mesnie le temps écoulé depuis l'instant où le 
rel'roidissement commence jus(]u"a rinstani où la température prend 
la valeur désignée parc; F( a ) est la température initiale de la c(uu lie 
sphéri(pie (huit le rayon est a. 

delà jiosé . concevons <|iie deux sphères solides de diflércnts dia- 
mètres, mais formées d'une même substance, ont reçu des tempéra- 
tures initiales telles (|ue la valeur de cette température [lotir une 
eertaine comlic de la moindre sphère est la même (|ue celle de la 
couche homologue de la plus grande, la loiictioii F( a) étant d'ailleuis 
entii'remenl arbitraire. Soit // le rap|iort des dimensions des deux 
solides; on aura les relations suivantes, en désignant par .v et ■»' les 
ioni^ueurs variables des rayons dans la première sphi-re et dans la 
seconde, (|iii est la plus grande, \ = n \' , .i- =^ /i t' , y. = n y.' . Quant ii 
la l'onction Viy). elle est, par hyjiolhi'se. la même (|iie F( a' ) ou 
F(//7. ); les eoeriieients j), (!, K sont aussi les mêmes |)oiir la sphi're 
dont le ravon total est \ et pour ccdie dont le rayon est X'. Si acliielle- 
iiient on snp|iiise (|ue le temps /, a|U-i's le(|ii(d on mesure les tempéra- 
tures (le la preniii re sphi're, dillère du temps /', après U'(|iiel on 
iiicsiire les lempéraliires de la seeonde sphi're, cl si Fou établit la rela- 
tiim / = /'"/ , ou trouvera, apri's toutes les snbstit ntiiuis, (|iie lu valeur 
de c est la niéiiie pour la moindre sphi're et pimr la plus grande. Il suit 
de la (ine. si, dans les deux s|ilii'res. les couches honudogues ont irii\ 
des températures initiales quelconques, mais égales entre elles, ces 



I)F,S RACINES IM \(ilN MHKS. |:i7 

(It'iix solides se li'oiivt'iont lonjoiiis dans un état tli(M'iiioiiii'lii(|ii(' sciii- 
l)lal>l(' après des temps écmiles diU'ei-enls piuir les deux sphi'i'es. el 
dont le rapjxirl soi( e(diii du carre des diineiisious. 

Nous allons prouver inaiiileiiaiit i\\\r relli- dernière |)ropositinn esl 
vraii' dans le sens le [dus éleiidn; elle ne dcpcuil ni île la l'ornii' de^- 
corps seail)lal)les (|ne Ton compare, ni de leiii' liomOi;éneile on de 
leurs (]uali(és spécifiques l'elalives ii la clialeur. \ dici la demouslralion 
Iri's simple de ce llieori'iue. 

On cnmpai'c les deux ecu'ps solides de tii;iii-e semidalile el de l'orme 
ro/nr.ic. Celte dernii're diniominalicin s'ap[)li(|ue aux tii^iires tidies 
(]u'niie liLiiie droite menée entre deux points (|U(dcoiH|ne'^ de la snper- 
lieie ne peut rencoiili-er cette surlace du solide eu aucun antre ]i(iinl. 
Il faut eoncevoii' (|ne (diacun des deux solides est divisé' en une inlinile 
de |)articules de l'oiuie in-tlioi;'(Uiale. (!lia(|ue éhunenl dn ])remM'r cm- 
res{)oud ;i un élément liomoloi^ne du seconil. La tiiiiire des (déments 
intérieurs est celle d'un |uisnie rectani;iilaire ; el idiaenn des (déments 
exli'('mes. dont nue l'ace esl |ilacée sur la snperticie du cm'ps, a la 
ligure d'un pi'isme reclaiiii;nlaire lron(|ue. On suppose (jne deux (d(''- 
nienls lioundogues (|n(dc<)n(|ues ont reçu la nn''me temp(''i'atui'e initiale, 
(pfils ont la luéme propri(''te de cimdnire la i lialeiir, et la uu'ine capa- 
cité spécitii|ue. Au reste, idiacnu des corps peut ir(''li(' point lioino- 
lii'ue, et tontes les propriétés spéciti(|ues peuvent variei- d'une manii'i'e 
(|uelcoii(iue dans l'étemlue de cluujue S(jli(le; on su]ipose seidement 
(ju'elles sont les mêmes poiii' les points lioundognes. 

('.(da posé, no eoll'^iderous, dans les deux coi'ps, (|ne deux (déments 
semltlaldeUKMit situés, et compariuis enire (dies le-< (|nantiles de idia- 
leiir (|ni, |»endant une (lnr(''e iutininn'ut |K'tite, l'ont varier la tempéra- 
ture de ces deux moh'cules. Snp|)0S()US (|ue les deux (dément-; honndo- 
i;ues (|ue l'on compare aient la même lenipératuic an eommeiiceiiieiit 
de cet instant: l'orinons d'aliord l'expression de la (juantilé de ( lialeur 
qui pénètre dans une molécule inlérienre a travers l'une de ses laces, 
selon la diicolion perpendicnlaiic à celte l'ace, (j'tte quantité est pro- 
portioiHudle ii l'aire de la face; (die dépend aussi : i" du co(d'ticient /■, 
II. i>< 



138 MKMOIliE Slll LA DISTINCTION 

iiH'siii-c (le l;i {■(indiiciliililc , au |)uin( du solide (|uc l'ou coiisidl'rc; 
:>." de la durer (// de l'iiislanl; J" de la cause (jui porte la elialeur ;i 
passer avec plus ou moins de vitesse ii travers la l'ace du prisme, (".elle 
dei'iiii're cause es! la ililléreiice de température des |i(muIs assez voisins 
pour (|u'ils se coiiimuui(iueiil direetemeni leur cliaieur. Oi' nous avons 
démontré, dans rinlnuluclion de notre théorie analylii|ue. qui-, poni' 
comparer euli'c eux les ellels de cette dernii're causer dans deux solidi's. 
il l'anl élever une perpendiculaire av eu un point /// de la siuTace (jiie 
la ( lialeur [léni'ti'e, et mar(|uer sur celle normale, de part et d'anire du 
point /// à une dislance délei'minée ', A, deux points u. et v, dont ou déter- 
mine les lemperatnres acinelles // r't r; la dillerence ii — c mesure la 
vilesse du llnx, c'esl-;i-ilire c(die avec la(|uelle la chaleur se li'ansporte 
à lra\ers la surface. Or, si \\>t\ inar(|ne ici, dans les deux corps (|ne l'on 
iMUupare, ces deux points ijl et v, (huit la dislance est A p(Mir l'un et 
l'antre coi-ps, il est e\i(leul (|ue la dillerence i/ ^ v sera plus i;ran(le 
dans le moindre corps (|ne dans le second; et, si les dimensions sont 
dans le rapport de // à //', les diU'érenees // — e et //'— e' seront entre 
elles dans le rapport de //' à //; ainsi la vilesse avec la(juelle la (diah'ur 
traverse la pi'cmil're surface est ii la vitesse de ce llnx |)our l'autre sur- 
face dans le rapp(U't inverse des dimensions. Nous siipjiosons (|ne le 
lecteur a une couiiaissance compli'le de ce lemme, t(d qu'il est explii|né 
et denumlré dans divers articles de noli'e Ouvrage (T/u'aric <lv lu cIki- 
Icia-. (.hap. 1, Secl. IV et Cliap. Il, |.. 117, et Sect. VII dn (:lia|). II. 
p. I 22-1 )'i ). (Imicevous maintenant ([lie le ti'ansporl de la chaleur s'ef- 
fectue, pour l'une des imdi'cules c(uuparées, peiidaiil nu instant dl et, 
pour la molécule homologue de l'autre corps, |>eudaut nue durée diU'e- 
reiite (II': les (|iianlilés de chaleur (|iii péni'lreul les deux molécules 
sont cuire idles comme les deux prodiiils suivants : s /;{ it — v) dt . 
s' /,{ II' ^ v' ) il/'; s et .v' di'signeut les aires des faces dans les deux 
prismes. Le coellicieiil /' est commun: les ililfereuces // — c, //'— c' 
smil, comme ou l'a dit, dans le rap|)ort de // ii //. Le ra|)porl de \ ii .v 
est celui de //■' il //''; dune les «piantiles de chaleur (|iii pénétrent les 
molécules sont entie idles dans le rapp(Ul composé des produits 



DES i{ \(:im:s im vcin misks. 



n,ll 



1:5!) 



n-k/i (II. n'-kndl : ce l'aniiort csl ^^-,- • (In coiniiarcr;! de la nit'iiir iiia- 

UH'Vi- li's ([iiailtiti's (le cliali'iir ([ui sortent de riiiic et i'aiilir ihoIitiiIc 
|irisiiiati(|iic par les laces upposécs à l'cllr- {|iir l'itii \ifiil ilc ciui^i- 
(Irri'i- rt. If cocriiciiMit (|ili mesure la ediidiiriliilile propre l'tanl tou- 
jours le iiièuie aux points hornoloiiues. on Irouvei'a eoninie pi'i'redrni- 

uieul (lue le rapport des deux iiuantités de elialeur sorties esl -'-^■ 

Or ce sont les dilléi-euces de la ([Uauliti' de rhaleui' (jui enli-e dan> 
rlia(|ue nndi'cnle ;i la i|nantite <pii eu smt par les tares oppos('es ijiii 
déterminent le eliangenKMil instantané de tempiTalnre de ces mole- 
enles. Il s'ensuit (jm'. si les quantités de elialeur ipii produisent les c lia n- 
iicments ('taient proporlionindies ii la Iroisième puissaïu'e de la dimen- 
sion des deux moléeules. c'est-à-dire proporlionindies aux ma->e--. la 
variation de température serait la même, de pari et d'aiilri'. ii la lin des 
durées dili'éi'entes t// et /// . Donc les températni'es de ees iindi^enles 
seraient éiiales enli-e (dle^ (•(unme tdles l'i'taient au eommi'ueement de 
CCS instants. Il snl'lit diuie (|ni' l'on ait eette relation 



// <// _ /If//' 



,/t 



Dom', si l'on observe le momcmeiit Ar la (dialeur dans Ir- dnix 
corps eu mesurant les temps ecamlés avec des unités dilléreutes. d si 
ces deux unités de temps smil pro|)(n'tiimnelles aux carrés des dimen- 
sions, les molécules comparées aiirmit t(UiiiMirs des tempi'ralun's 
é|^ales apri's des temps cori'cspimdants. c'est-.'i-dire aprl's des temps 
l'ormes d'un même nomltre d'niiites. 

Xiuis avons e(uiiparé ius([n'ici deux nndecnlcs homologues située-. 
dans l'intérieur des doux corps. La même coiiséi|ucuce s'a|ipli([iie aux 
molécules l'xtrémcs dmit les faces imdinécs coïncident avec la siipei- 
ficie (lu sidide. Xons supposons (pie ces laces extrêmes smil reteiiuo 
à la température tixe zéro: ou. plus géiiéralemcnl. nous supposons ([ne 
l'on assujettit deux particules extérieures et homologues ii une même 
température tixe, dont la valeur pourrait être dilléreiite p(Uir deux 



UO MKMOIHK SI It I. V D J SU N liT I ON 

autres parliculcs liotiiolDgues. Or on r(M'i»miait . rommc précéi-lein- 
nieiil, (|U(' les (luaiitilés de ciuili'iir (|ui jx'iii'lrcnt les deux iiiulécules 
PXti'i'iiU'S l'oiiiparéos sont : i" en l'aison directe de l'étendue des snr- 
faees traversées: (|iril en est de uiènie des (|uanlil(''S de clialeur sorties, 
et pai' eonsé(juenl des dilieicnees (]ui oceasionnenl le cliangement de 
lenipéralni'c : 2" <iiie les vitesses dn ilux sont enlie elles coniine les 
(lillerenees des teinpératui'es 11 et e de den\ points u. et v dont la di-^- 
tanee A serait la même dans les deux corijs: en sorte (|ue les vitesses 
de ee Ilux dans les deux inoléeules sont en raison inverse dt^ la ilimen- 
sion; 3" (|ue les (|uantités de eliali'Ui' (]ui t'ont varier la température se 
parta!j,cnt entre les masses <|ui sont pr-oporlionnelles aux cubes des 
dimensions. Donc, si les durées r// et (//' des instants sont proportion- 
nelles aux cari-és des dimensions, il ariiv<'i'a t(Uijouis ([u'ii la lin des 
deux inslants diti'ei'ents /// et (// les temp(''ratni'es di's deux molécules 
li(Unoloi;ues sei'onl eifales entre elles, emume (dles l'étaient au eominen- 
eement de ces UM'Uies instants. Doue les deux eoi'ps seront loujoui'S 
(d)serves dans un état tliermométrique senil)lalde si l'on compte les 
temps eeoules en taisant usage de deux unités dillerenles, et si le lap- 
p(ut de ces unités est e(dui des carrés des dimensions; c'est (unifoi'iné- 
nu'Ul il cette loi qur la température varierait dans deux corps enlii're- 
meul semhlahles qui auraient été semhlalilemenl éeliaull'és, et dont 
les surfaces extérieures sei'uient assujellies à des tem|)éi'atures con- 
>tanles. 

Si les S(dides (|in' ['(Ui compare ne recoi\('iit point ii leur surface des 
tein|)ératures lixes, mais si la chaleur se dissipe ii travers cette surface, 
nous ajonlons il l'Ii y|)otliise une coiulition spéiMale. On suppose, dans 
ce cas. (|ue le coefticieni //, mesuie de la conduciliilité extérieure, n'est 
pas le même pmii' les deux corps, mais (|u'on lui attribue des valeurs // 
et // en raison iincise des dimensions. Ainsi le plus petit des deux 
(•(U'ps aura une conducibilité extérieure // plus grande <|ne // , (]ui 
mesui'e la comlucibiiité extéi'icure du second, il en résidie (|ue deux 
|iarlicules homologues placées ii la superticie |)erdront, dans le milieu 
(|ui les environne, des (|uaiitités de chaleur inégales. La vitesse du Ilux 



DES liVCINKS IM \(ilN \ll!i:S. l',| 

crtcrii'iir ilaiis Ir lUDimlrc nirps sera pins L;ranilc (jiii' dans le scriiiid, 
cl le ra|i])()rl de ces \ili'sscs sera celui di' // ii //. Il en >eia de niciue 
du flux iiihriciir. ( oiiinic nu Ta vu dans le cas |)i'(''<'cdenl . Les aii'es 
de deux éléniiMils Ii(ini()l()L;'nes de la sn|iei-ticie seront pro|Mirlnnin(dles 
aux carres des diiuensinns. Doik' loules les cousci|in'ni;es seroiil les 
nièiiies ([uc pour les Miolei'ules inli'ricui'cs : ddiic, en incsuiani les 
tcin|is econh's avec de^ nniti'S diUerciiles dnnt le l'apporl sera cidui 
du caiTt' des dinien>iuns. en Irou\era liinjnnis les deux solides dans 
un état tlicruioinctiKpn' M'uildalde après des temps coi rcspnndanls. 

Il faut i'euiar(iuci- (|ue la conditimi lelalive an coellicieul //. nii'sure 
de la conducilnlité exicrieurc. s'accorde avei; l'Iiypotlièsc principale, 
qui consiste iMi ce (|iie deux points liomolo^^ues (|uclcon(|ues ont les 
rnèines [iropiàcles speciti(|ucs cl iiin- niènie leinperalurc initiale, j-ji 
eli'ct. (|nellc (|ne puisse être la cause (|ui lait [tasser la (dialenr du s(dide 
dans le niilien einironnaiit. il est ceilain (|iie celle niasse allccte jiis- 
(|u'à une profondeur tirs pctiti' l'envidoppc extérieure du solide. Les 
points extréincineul voisiii> de la snperticie contrilineiil tous ii remis- 
sion de la clialeiir, et l'idlct pivuliiit est d'autant [dus ^'raiid (|iie la 
température de ces poinis est pins (devee au-dessus de celle t\\\ milieu 
sup|)Osée conslanle. Il s'ensuit i|ue. dans le plus petit des deux sidiilcs 
comparés, les molécules extrêmement voisines de la surface ont pins 
d'action sur le milieu: l'ar, si l'on iiiari|ue dans ce moiiHlre solide, sur 
une di'oitc N. un [)oint intérieur a distant île la superlicie d'une tri'S 
petite (|iiaiitite o. et dans l'autre solide, sur la lii;iie liomoloi^uc N', nu 
|ioinî intérieur a' distant di' la sujieilicic de la même (inaiililc o, l'cxci'^ 
de la température de a' sur c(dlc du milii'n sera plu> ^raiid (|ue l'exci-s 
de la température de a sur cidle dn milieu ; et, par coiisécincnt, remis- 
sion de la idialeiir il la surlace du moindre cor|)S >era |)lus rapide (lu'ii 
la sui^face dn plus Ltrand. 

Toiil(d'ois nous ne connaissons [xiiiil assez disliiKicmeiil la naliirc 
des forces (|ui, ;i la snperiicie des solides, modilient l'iuiiissiiui ou 1 in- 
troduction de la clialeur [lonr réduire ;i un calcul exact les ellets de ce 
genre, (".'est pour cela (|uc, dans l'énoncé du lliéoirme, nous com[ue- 



IVi MÉMOIRE SI I! I. \ I»ISTI\(:TI(»\ 

nous une (•(nidifion surcialc rclalivc ii la valciii- du cocniriciil. (l'ost 
iioiii- la larmc raison que nous avons considéré sculenicnt los (■(U'ps 
doul la su|ii'riici(' csl couvrxo. Si des portions de la snporiiric olaicut 
.(■(lucavcs, et si la (dialcur se dissipail [)ar voie d'irradiatiou, rllc se 
|Mirtcrall sur d'autres parties du même solide. Nous n'examinons |H»iul 
ici les cas de ce 2;enre, et nous supposuus <|uc les valcui's // et h' sont 
en raismi iuvei'se île la dimension des solides. Au reste, ce cocl'ticient 
peut être dillV'renl poui' dillérenls points de la sni'face. Il sullil (|ue. 
piiiir Av\\\ [inints liiunologues (|utdcon(|ucs des deux surfaces, les 
valeurs de // et // soient dans le rapport de // à //, (|ui est la laison 
lUNcrse des dimensions. 

.Nous avons rappoi'té plus haut la sidulinu (|uc Inn trouve en luté- 
i;ranl les é(|iiations du muiivemeut de la chaleur dans la sphi're: mais 
lions avons réduit celte siduliou au cas où la surface est assujellic^ dans 
tous les points ;i une teuijx'i'ature constante /em. Ou a vu comment la 
toriniilc ainsi léduite s"acc(U'de avec le thé(urmi' i^énéral <|ne l'on vient 
di' démontrer. Ou peut aussi cimsidérer le cas plus i;énéral où l,i (dia- 
leur du s(dide se dissi|»e ii travers la sjrfai'c dans un milieu dont la 
températni'e est conslanic. Ou aitrihuera au coefticieni qui mesure la 
conducihilité extérieure une valeur déterminée //, et l'un aura, pour 
exprimer les températures variables du solide, l'équation suivante ( ' ) 



(') 



^ sin iij.r 



Cl) ' 



■ siir.! «,\ ' " 



/ y. V [ y.) sili /;, y. i/y.; 



•.Il, 



la valeur de />, es) une racine de i"é(]uation déterminée 



(■■'•) 



lanpiw, \) 



\. 



Les (]uanlités .r, c, /, K, i'.. I) ont la mi'iiie sii;niticati(ui <jue dans 
article |)récédent. I.e coeflit'ieiit // exprime la conducihililé de la sur- 



( ' ) 'rhc'iiric (le lu clialciir, |i. 3l'.>. et 3l4- 



(i. l). 



DES u \(:im:s im m; in vii;i:s. 



lV:i 



t'ace, rt'lalive au milieu ilnut la (i'uj|i('ratui'i' ^(ln:^taule est /.m». I.a fiiur- 
tiou F( 7. ) représente, cnniiiie uous l'avnns dil. Ir sv>(riiic îles tein|ieia- 
(urt'S initiales. L'é(jualii)n ( 2 ) donne, pnui' hi valeur île //,. inu' iutinite 
(le raeines, et nous avons di'niontré plusieurs l'ois, soit jiar Ir cakul. 
soit par des eonsideratious pi-opi'cs ii la tliéorie de la idialcur. ipic 
toute> ers raeines sont reelli's: la letuperatui'e \arialile e est Ir dunide 
de la soMiiiie de tons les tenues dont la valeur e>t inili(|ni'e. 

Supposons inaiiitruant ijue l'on eon)pare les ruouveinenls de la rha- 
leur dans deu\ splii'res ditii'rentes, dont l'une a pour ravon .r. et l'aiilii' 
a |>our rayon .r', égal à w.r. Si la ehaleui' initiale rsl trileineut di>lri- 
i)uée tl.iiis ces deux corps ipie la tenipi'ratnre commune aux jioinls 
d'une surface splieiàqnr intiTimi'e dans li' pi-emirr soit ciiale à la tem- 
pérature de la sni'['aee seniblablenient placée dans le second, et >i. Ie> 
eoet'ticients K. ('.. D étant les mêmes, le cnefticient // qui a[iparlienl à la 
moindre splii're a jionr la pins grande une valeur ditlereuti' //'. il sna 
facile de eoiinaiti'e dans <\uc\ rapport doivent être |r> trnips cconli's 
pour i|ue la température e ait une niéno' valeur dans l'une rt l'antre 
sphère. Soient resjti.'eli\(Mnent / et /' les Irinps reoiilcs apri'> IrMpuds 
(Hi mesure les lemprratnrrs dans les deux roi-ps, on l'crira les {(da- 
tions 

III 



On conservera, selon riiypotliise, les valeurs de K, V.. I) et Ti 7. », et l'on 
reconnaili'a que la valeur de c ne change jinint. Ainsi, les temps écoules 
étant mesurés aver des unités ditferentes, et le rajqiort de vi-<. unités 
étant cidui àvi^ c.irres des dimensions, les ilrnx sphères >eronl fonjour.-. 
dans un état tliermometriijne >emldahle apiès des Irmps exprino's par 
un même mimlire d'unités: ee ijui est conforme it la proposition .irene- 
rale. 

Ou pourrait déduire cette propo'>itiou de la solution pnqire a rha- 
enio' des qui'stious [larlieulii'i'es : mais on voit couihien il l'st prele- 
rahle de ri'udre la démonstration indeprndaule ^v> solutions : car il y 
a un grand nombre de cas où, dans l'état actuel de r.\naly>e mathema- 



\Vt MEMOIltK SI I! L\ D I S II XCT I ON , KK,. 

li(|ii(', 011 ne poiii-rail poinl l'orinri' ('X|»licil('iiH'nl ces solutions; tuais 
la vt'ri(('' (le la |ii'o|)osilioii i^riiéralc ii'i'ii est pas moins iTrlaiiic, (jnrllcs 
que puissent clic la lii^iii'c des coriis convi'xes, riictéroiténcilt' di's 
masses et leurs pro|H'iél(''s feladves ii la elialeiir. Les applications 
lies Sciences nialliémali(|nes pr'ésenteni cei'Iaines (|iies(ions, rai'cs ;i la 
\ériié, (|nc l'on résoni par des c(Misi(léralions lliéoi'i(|ues lii's simples, 
en (dilenaiil des i'(''snllals heanconj) plus i;én(''rau\ <\\i(' ceux ijui se dé- 
duiraient d'une analyse diflicile. Nous poui'rions en citer un exemple 
mm moins reniar(|iialile, et (|ue nous u'aNons |i(sinl enr(n'e piilihi': \\ 
apparlieni ii l'une des (piesli(Uis les plus imporlanles de la llu'ori*' des 
prohahililés, celle i|ui coneeiau' la ciunparaisou de l'avantaj^c imilhi'- 
iinU'ujuc moyen ii l'avanlai^'e iclalif. Au reste, lorsque les principes 
des lliéories smil connus depuis l(Uii;lenips, les consé<|ueiices les plus 
jiénérales soiil presipie lonjoiirs celles (|ue douiieiil les S(diiliims ana- 
lvli(|ues. 



MÉMOIHF 



srii Lv 



TllEORIK ANALYTIOIK 11!' LA ClIALI'lll 



11. 



M KM (Il MI- 



THÉORIE VN VLYTIUIE DE L\ CHALELR. 



Mc'/iioirv: tic- r Jcadciiiie Rnyn'.r i/a .Sciriicrs- r/t? /'/i/HUiit i/r l-'r/iiur |ioiir l'iUiliée |S> 
t. VIII, [). 5Si à (i-ri. l'aris. DkJhI. i8><j. 



Ol/jct de 1(1 (jiK'sliuii. farmiilc (jtti en donne lu solii/ion. 

(!(' .Mémoii'c a j)(nir (dijcl la sdIiiIkhi iriiiir (jucslimi il'Aiialysc (|iii 
aji|iai'lii'iil à la tliéuric di- la rliali'iir. ('rltr nouvcllf rcclicrriic sri'vir-a 
il [ii'ifciiiimm'i' les a[)|»licati(iiis , eu iiili'in|iii-;aiiL dans le calcul les 
\ariali(iiis ([uc IDii (ilistwvç dans les cixd'lii-icnls s|)ccili(nics. Oii pciil ii 
la vcritc rciçardcL' ces coci'licii'iils coinnic cnnslaiits dans la ([iicslioi) 
des lempératnres teiTestres, (|ii'i e>( ra|i[)licalion la [dus iinpoilaiile: 
mais il y a d'aulies ([iiestions |i(ini- les(|ii(dles il serait nécessaire d'a- 
Vdiie^aid aux variations (|in' les ex[)ériences ont indii|uees. Les pro- 
j)ositions (|ui sont deinnnlrccs dans le Menioire ont un ra|i|ioil diicct 
avec l'analyse de ces apprnxiniations successives. 

Je ne i-a|ipellerai point ici les (jnestions l'ondanienlales de la tln'orie 
de la chaleur. Il y a jicu d'anni'cs (|u"(dles n'avaient |)oint cini'ore ete 
soumises au calcul: on pou\ait même donlei- ([ue l'Analyse matln'ma- 
tique s'étendit a cet ordre de pliénomèues et iVit propre à les exprinn'r 
d'une manière aussi claire et aussi complète [lar des inlégi-ales d'é- 
quations à dili'érences partielles. Les solutions (|ue j'ai données de ces 



I VN 



Srii LA TIIKOIili: ANALVTIOLE 



(jiKslioiis |ii'iiici|);ilt's soiil anjourd'hui !j;éii(M'alLMnL'iil ooniuu's; clu's 
(iiil cil' roiiliriiK'os |»ar les l'ccliorclies de plusieurs mMdiii'lrcs. 

.l'ai trailr ciisuilc iiiic (lucsliuii i)i'aiinni|> [ilus coiiiposrc ([iio les 
|ir('M-c(l(Mi(('s, mais que l'on {tt'ul encore soiiiiiettre à l'Analyse niatlié- 
i!iali<|iH'. I'>lle a pour ohjfl de (brnier les ('■(lualions diU'érenlirlles du 
luoiivenieiil de la chaleiir dans les li(|!iides, les vai'iations des teiii|)é- 
latures élant oi'casionnées par la eoniiuuiiiealion de la elialeiu' eiid'c 
les inoléeules, et en même temps par les déplaeemenls infiniment variés 
(|ne suiiissent toutes les parties du li(]ni(le ;i raison des ehanyemeuts 
rnnlinucls de densité, .l'ai donné les é(juali(ms dont il s'agit dans nu 
Mémoiic lu ;i cette Académie, et dont l'extrait a été jjuhlié. 

.le me propose maintenant d'ajouter ii la même théorie la solution 
d'une (|uesti(Mi uouvcdie, (|ue je considère d'al»ord con)me purement 
anaUtiijin', et dont je présenterai par la suite des applications variées. 
Il s'agit d'assujettir les deux extrémités d'un prisme ( ' ) ii des teinpé- 
laliires entii'remeni arliilraires exprimées |)ai' deux Ibiictions dill'é- 
reules ihi temps, (|u'elles soient ou non périodicines. L'état initial du 
prisme est donné; il es! représenté par uih' troisif'ine l'onction ; on se 
propose d'infégrei' ré(|uali(ni dilTérentielie du inouvenient de la cha- 
leur eu sorte <]ne l'intégrale compreuiu' trois fonctions arbitraires, 
savoir : C(dle (|ui iTprésente l'état initial du solide, et deux autres dont 
chacune exprime l'état donné et variable d'une extrémité. 

Ou pourrait appliquer ;t cette (juesliou b's théoriques (|nej'ai donnés 
dans mes rcrhei'ches précédentes, el (|ni servent ;i ti'auslbrmer uni' 
l'oneli(ni (pndeoiKjne, soit eu séries expouen(i(dles, soit en iut(''grales 
définies; rar l'emploi des deux prop((sili(ms principales peut évidem- 
ment conduire ii l'intégrale ciu'rcliec ; mais, sous cette Ibrun', le c;dcul 
est tri'S composé, el ne pcnnaait p(Hnt l'aire connaitre les lois simples 
aux(|nelles les résultats sont assnjellis. 

C'est par l'appliealitni de ces theori'Mies (|in' j'ai déterminé anti'el'ois 



I ' I D.iiis li.'(|iu'l Idii.s li'> poiiils iliini' si'cliiiii ilniilc iiiii'Ic(iiii|uc (iiil l;i iiiriiii.' Icnipér.i- 
liiir. ('.'('Si fc <{ui il liiMi si. la socnnii di'nili' claill Ins |n'lilc. k' pi'isiai; pciil èln' assiaiilé 
a 1111 lil. G. D. 



DE LV CHALEUR. U9 

les lois (lu inoiivemcnt pTrioiHijue di' la clialtnir sdlairc qui iilmiMtc la 
masse teiTOsIrc jus([u'à une ccilaini' piMfoiidcur cl cause les vai'ialiôiis 
diurnes ou aniuielles; mais, dans celte reclierclie sur les mnuvcmenls 
altcrnalil's de la chaleur solaire, les températures de rextréinilé du 
solide sont exprimées par des fonctions péi'iodiques. ce (|ui l'cnd l'ana- 
lyse plus facile. Dans la cjucstion actuelle, les tem[)éralures des deux 
extrémités du solide sont exprimées par des fouclions (|uelconquc'^, i(. 
(|uoi(jue les principes déjà connus suflisent pour irinuii'cr que la soli:- 
li(Ui e>t possilde, ils ne donneraient point celte solution sous une t'ornic 
propre ii représenter idairement les résultats. J'ai don<' dcdiii! l'inté- 
grale (diercdiée de consid(''rations dill'érentes et spéciale^. qui rciidiMif 
les conséquences très manifestes et facilitent toutes les a|)|)lications. 
Voici la formule qui donne la solution <le celle question : 



V,: 



— yC; — — ? -.(-•''• 'sm (,r ces (H 



/( ■ 



(0 < 



■(') 



l = l 



--.^oj 



/■/' 



I /■ I e' 



■fh- 



■dr 



~_^r-i--'<nMx\ •;./■) 



\l\ir dr 



X désigne la distance d'un point (pudconi|ue /// iln solide ;i <a preniièi-i' 
extrémité o; / est le temps écoulé ;'i |»artirdc l'état initial: V. exprime 
la température du [loinl ///après le lem|)s /; la dislancr de la seconde 
exli'cniiti' - à l'oriiiine o est i-e|)ri''senlée par le nondue -; les fonc- 
tions du temps/( / ), s(/ ) sont arbitraires: elles expriment rc-peciive- 
ment les températures varial)les des deux extrémitéso cl - du |iiisme ( ' ). 
La troisième fonction arintraire l^ v t, (|ui all'ecle la dislance variahle r 
d'un point intérieur à l'extrémité o, i'ej)résentc le syslènie des tempéra- 
tures initiales. 



I ' ,) Fouricr supposp. sans lo dire cxpliciteniGnt, que les unités de longueur <)nt été clioi- 
sies de telle manière que la longueur du prisme soit mesurée par le rapport de la cir- 
conférence au diamètre et que le quotient -p- soit égal à l'unité. O. D. 



130 srrî L\ Tin:(»Rn: vnalytiqiîe 

On (loi I lion II ('l'a II ii oui lire ni lier / sons le siii'iir ^ tmiles les valeurs 
possibles (lepiiis el v compris i ; il faut prendre la soiiiine de ees va- 
leurs. Le silène d'iiit l'i^ralioii delliiie / porte, siiivaiil noire usage, les 
liiiiiles eiilie les(jU(dles l'inlé^rale doil être eli'ecdiée ;/• est une qiian- 
lile auxiliaire ([iii disparait apri's riiilé^rati(Ui délinie, en sorte qu'il 
lie reste dans l'expression de \ , (|iie des (|uantiles eoniuies. 



II. 

Iji sohilioii (I Irais //iir/ns (lislitwlcs. 

La valeur \, doiiiiée par l'équation (l) coulieiit trois parties dilTé- 
renles. Si, dans la preiiiii're, qui l'orme la premii-ro lii^iie. on écrit 
- - .(■ au lieu de .r. cl o au lieu de /", on ti'ouvc la seconde partie. On 
verra par la suite (|iie la |ircini('rc représente l'elat on le solide jiar- 
viendrait apri's le temps éi'onli' / si, toutes les teiiipi'ratnres initiales 
des |)oiiils dont la disLaiiec ;i l'orii^inc o est plus i^raiide ipie zéro el 
moindre que r. étant sup|iosécs nulles, on assujettissait piMidaiit le 
temps/ le point o ii la ttuiqiérature eoiistaiitc zéro, et le point t: à la 
lemperalnrc varialile /'( / i. 

La seconde partie de la rormiilc représente l^dat m'i se trouverait le 
niéiiie solide apri's le temps (''coulé / si, les lempératiircs iiiiliales des 
mêmes points intermédiaires (huit la distance ii r(U'ij4iiie o siir|)asse 
zéro et est moindre (jiie - étant siipp()sées iinlles. ou assujettissait pen- 
dant le temps / le point i> ;i la (eiiijiératiire varialde ':-(/), et le point - 
il la température lixe zéro, 

i'jitin la troisii'iiic partie de la rormule ( i ) riqircseiite l'étal où se 
trouverait le sididc apri's le temps écoule / si. le svsti'ine des temjiéra- 
tnres initiales ('tant exprimé par une l'oiiclioii (|ii(dcoU(|iie ,p(.r) de la 
distance r, on assnjellissait le solide ii (diacniie de •^es deux exirémiles 
a la lemiiératiire lixe zéro. 

Oiiaiit il la valeur conipli'lc \ ,. (die l'ail connailrc (|ii(d sera, aprJ's le 
temps écoulé /, l'elat du prisme si, les Icmperatures initiales étant 



DE I. V CIIALEI H. 151 

oxpriméos par ^(.ri, l(>s deux exdi'mili's sont assiijcllics ;i îles Iciu- 
péradircs vafial)les, savoir : l'uni' /( 7 ) au point o, cl l'aulic -^( / t au 
point -. 



Prc/nicrc (/c'/Nons/ra/id/i. /.a forn/u/c satisfail a /'(•'//ua/io// (Ulfn-cntuUc. 
aux coïKlilions des crlirniilcs. cl à l'iidl iiiilial. 

Sans (It'vclopper dans ces premiers articles la suite (\v^ raisonne- 
ments (|ui m'ont conduit à la solution, j'i-n démonlreiai d'aliord la 
vérité en la fonilant sur un [trineipc i^ciiéral ([ui est cvidcnl, cl dont 
voici l'énoncé. Si l'on forme une valeur c de la tcrnpciature variahie 
qui satisfasse à l'équation di(lV'rcnli(dlc du mouvement de la chaleur et 
il toutes les conditions iclalives aux extrémilés, et (|ni, pour un teiiqis 
donné, coincide avec l'état du systl'ine, on est assuré (jue l'expression 
de c est l'intéi^iale cliei'cliée. Il ne |»cut y avoir aucune autre inté^r.ilc 
réellement dillcrcnlc f\i' cellc-la, (|ucl que puisse élre d'ailleurs le 
nombre des jonctions arliiti'aires. Il suftira donc de prouver ([ue la l'or- 
mule qui d(tnne l'expression \, satisfait ;i ré(|uation diil'érenlielle et 
aux conditions des extrémités, et que de plus, en donnant au temps / 
sa première valeur zéro, la température \'„ ix'présente le système 'iC-r» 
des températuics initiales. 

Or ré<|uation dilferenlielle du mouvement linéaire de la chaleur est 

,)v __ Iv d'y 

et, si l'on écrit I an lieu de -,j-, on a 

<Jt' (T- c 

Il faut donc considérer ré([uation à dillei'cntiellcs partielles Iri-s 
simple 

'Il — '^îl 



to2 SUR L\T1IÉ0H[E VNALMIOLE 

Op. roconnailra. coinnio il suit, que l'cxprossioii de V, salifiait ;i rcUf 
(U'rnii'rc ('■([iiali(tn. En ('ffi'l. on conclut de l'(''(|uation ( i ) 



'-—' =r— ~ V /e-''' .sin/xcos/';: 



( ■:• 



Cl 



- > /6'~'''sin Le 



(o) + f 'J (r) c''- '■<//■ 



OT 



_ ^ V r-c-'"'' s'inix f <L{r) iinir t/r. 

T. '^ ' 

- /■'(/)—- "^ /('^'''sin/.r cos/- /'(o) 4- / /'{r)r''- 



dr 



^ - C~' ' SUl IX ClISZ 7T — r- 



o\t\ -- ;|^ ^ /(.'-'''siu/.r 



./"•'' 



0(0 ) H- / 'j\i)u'''' dr 



dn 



t: .<k»* ; di 

- ^ ('-c '"'siii/.r / ■!.(/■) jiiu''(//. 



Ou ic|irc>ciitc par P le l'aclcui' 

f(o)~ f f\r)r'"dr. 

cl par O le raclcnc 

V (.'-') -^ / o'{r)e-'-'' dr: 

or, jiDUi' irouvcr la (lidcrcnliclle de P par i-a]iporl à / ou, ce (|ui est la 

uièiuc chose, la dillci-culicllc du tenue / f'(r)e''''(l!\ il tau! oiuetlre le 

siiiiie d'intciiialion détinic c( doiiner :i la variable auxiliaire /• la va- 
Irnr / (jui est sa liuiile; nous supposons connue celle rèi^ic, ijui esl 
dénionli'ée dans plusieurs Ouvrages, cl don! la véi'ilc esl pour ainsi 
diie cvidcnle : on a doue 



dl 



f\')c'-'. 



I)F. LA Lll \I.EI I!. 

cl. ?iiiv;irit la iiicnn' i-èîilc. on a 

r/0 



153 



di 



■o\t)e'". 



Il reste (lune, dans la inçi 



')\, 



iireinM'ic parlif de — r^ > h' dernier teinn' 
' ' lit 

fin 



^•s^>nuj- 



et. dans la denxii'nie narlie de —,-• le deniiei- terme 



o'(/) 



()i- la (jnantile > — r— eos/- esl eunnne, el la (|nantile > — - e>t 

L'onnne anssi: la jireniiere esl ~~ -..r. el la seconde est ';(" —ri. Non- 
rappellerons jilus bas la denionsiration di' ees denx piopositiims. 11 

s'ensuit ((ue, dans re\[)iession de -— '' les termes ^,/( / ) el --^ 9'< > > 

s(uil detrnits pai' des termes snivanls. et (ine les denx valeni's de - — / 
' ' ii.i - 

et — r- sont identi(|nes : doue l'expression de \. donnée pai- la l'or- 

mnle ( I ) satisfait à l'eipiation diU'ei-enlielle du inonvemeni di' la elia- 
leiir. 

De pins, il est facile de reonnaitre (jin' l'état initial esl représenle 
pai- cette valeur de V, ; en eli'el, >i. dan? l'etinalion ( i i. on pose / — <i, 

on trouve 

j: ï ^ V^ sin /./ 

\o = — - ./(,o) — -- /(o) > — ' — coS(- 



(l) 



,,.v 



£ ^ si II/./' 1 l\ 1) >\i\ir 'Il . 



Oi'. de ees trois parties de la valeur de V,,, la preniii're et la seconde 
sont nulles, comme on le montrer, i |dii< lias, cl la ti'idsièmc donne |;i 
valeur de if'.r ). 

II. ^!o 



I.i't Srii I.VTlJÉOKIi: VNAL'S TIOl !•: 

.Ir ne ra|)]H'll('i;ii pciinl les dilléroiites (lénionstriitions (|iic l'on peul 
(Idiiiicr (le (cKc (Icinii'ic proposition; je me itornc ;i en exprinici' 
le V('ril;ii)lc sens. Il t'aii( concevoir t\uv . pour foiMiifr rin((''gr:ilc 

/ yi /■ ) siiuVr//', on donne d'aliord ii / nne seule valeur /'. prise juirnii 

les iioinlires enliers i . 2. i, . . . , et (ju'ensuite on donne ;i la variaitle /■ 
tontes les valeurs (|u"elle peut avoir depuis /■ = o jns(ju";i /==-; on 
poin-rait conslriiire nue conrhe (huit l'ordonnée est 'j/( /■) sin //■. L'aire 
de celle conrlie (jiii repose sui- l'inlei'valle de o à - é(|uivaul ii nne eei'- 
laine (|nanlile (|ui contient /. et i|in' nous représentons par a,; on 
l'orme dune le tei'ine a,sin/.e; puis, atlrilinanl à / toutes ses \alenrs 
successives i. 2, >, '\ ou a la série 

>;i siii'- -- ;<2 sim.'- T- :<,, siii .)./■ -+- . . . ; 



c'est la souiuie de cette série (juc l'un représente par > x, siu/r. Or 

celle noune séi'ie est lonjoui's convergente. Ou donne ii .f nue \aleur 
(|nelcon(|iU' plus i^raiide (|ue o et moindre (jiu' ~ ; alors la somme des 
lerines approche de jdirs en plus, et sans tin, d'une cerlaine limite (|ui 
dépend de la dislance .r; c'est-à-dire (|ne l'on p"nt concevoir le nonihi'e 
des termes de la série assez grand [lonr (jue la somme des termes dil- 
tére de sa limite d'une quantité aussi petite (|n"ou le voudra. 

N'ons avons démontré plusieurs fois le théorème exprino' par ré(|na- 
tion 



(•>) 



•!/(.'■) -11 



_ ^ sin/',r / <l{ /■ ] s\\\/ r '/i : 



on V pent parvenir de dili'érenles niauii'res, et la formule se déduit 
Iri's Cacileun'ul de l'intégralicui deiinu'; mais ce (|u'il importe sni'toni 
de r-ecounaitre dislinctenH'ul, c'est (|ne la S(''rie est toujours couver- 
genle, et (|ue la valeur atlrihuée ;i la varialde .r doit ici élre comprise 
dans riulei\alle de o ;i -. Ou ne cousidi're poinî ici les valeurs (|in' la 
même séii<' exprinu'rail si l'on donnait à r des \alenrs singulières ([ui 
ne seraient pas plus grandes (|ne zéro el moindres (|ne -; la discus- 



i)K L\ Cil \i.i;i i;. 



i.j.ï 

1 



sidii de ('(^s vniciii's est t'acilc, iiiai> cllr n'api»:!)! iciil |ias ii la (iin-slioi 
aciiiclli'. 

Si iiiaintciianl mi ap|)rK|iic Ir ihiMni-iiic ilonl il s'agit an cas dm la 
roiictioii (|ii(' l'on vi'iil i('|)ii'<i'iilci' l'sl - — r dans rinici'valli' ilc o ii t.. 
un lidnvc 

::—/=;> ^ — -. — : 



• ■n a[>|>ln|nanl le nn'inc llu'ori'inc ( ) ) ;i la iiincliiin r, un Ironsc 



,V 



cos/-. 



si'rn' (|ni riait ((Uiiint' (lr|niis longtemps. Il est doiu' ciTlain. iMuninc 
on l'a ciniiiiM' jdns liant, (|n"cn taisant / = o dans l'expression de \', 
donnée par r(''(|naliiMi ( i ). les tei'nu's (|ni eonliminent fin) et '^'i o ) 
disparaissent et ([n'il ne reste (|ne la (|iianliîe 



■> V" sin/.r /"■■ ... 

- > — : — 1 yi /■ t snw./' '//■, 



(|ni, sni\ant le ininne thiMM-inin', é(|nivant ii 'il ■»• ): doue l'elat initial dn 
solide est l'epi'éseiUé par- la valeili' de \\, de ri'(|iui I ion ( 4 )■ 

(,)nant aux i-oiiditions r-(datives airx exiréniites, (dies snh-isterrt piuir- 
tontes les \alenrs de / ; car-, si ['(ui l'ait .r - dans l'expr'ession \ ,, (die 
de\ ierrt (''L;ale a /'( / ). (jindle (|ne soit la valenr- de /; et. loi-si|iii' r = n, 
elle devient ':,{/). Done rex|)r-essi(ni de \, r-epi-('senter'a li's ternpei'a- 
trir'os varialdes dn solide pendant (onte la dirrée dir plrerrorninie, pnis- 
(|ir'(dle e(ni\ient à l'état inili;il, arix conditions des extrinniles et ;i 
rei|iratiori ilili'er-errtielle. 

I\. 
h'.iionrc des trois t/iics/iofis pdilK'llcs doiil du triinil li s •hiIiiIidus. 

.\|iri's avoir' déinontr-e la verrti- de i-elte solnliinr, il norrs r'i'sic ;i i'\- 
poseï' les considér'atioris doirt on perrt la dedniic; cet cxarrren est irtile. 



»o6 SI r. L V I iiKoiiii: VN UN rioi i: 

[uircc (|ii(' les nn'iiics coiisidcialioiis s'iipplninciil ii diverses iiiilrcs 
l'ci'hcrclics. 

I.;i (|iicsli(Ui ;i |M)ni' (ilijcl de troiivrr nui' «'xprcssion dr r (|iii rcjtré- 
sciitr !"rl;it iiiilial lors(]ir()ii liiit / = o, (|ui dcviciiiu' /( / ) lors(iir()ii 
lail .(■ — -, (■( (|ui di'viciiiii' ■:.{/) lorsque .r = o. Or <m peut considérer 
sépai-énieiil cliaeiine des trois (]iiestioiis suivantes : la premii'ic con- 
siste il déterminer l'état vai'ialile du solide lors(|ue, l'elat initial l't 
ari)itraire étant donne, (diacnne des deux extrémités est retenue ;i la 
lemperatni'c z(''ro; ensuite on i'orniera uiu' secondi' (|nestiim (|ni con- 
siste il déterminer (jmd serait l'état vai'ialde du |»risme si, la piemii're 
extrémité étant retenue ii la temjiéralure zéro, la seconde était a>sii- 
jetlie il une tempéi-atur<' \arial)le donnée |)ar une fonction (|iielcom|Uc 
du temps, et si l'on supposait d'ailleui's (|ue, dans l'étal initial du 
|ii'isme, les températures des points dont la dislance ii l'iui^ine est 
nioindi'c (|ue zéro et plus j^raude (|ue t: sont toiiles uulles. 

La Iroisii'iue (|uestion est, poni' ainsi dire, la même (|iie la seconde: 
elle consiste il trouver l'elat variable du prisme lorS(|ue, les tcm[)i''ra- 
tnres iniliales des points inleriiK'diaires étant supposées nulles, la pre- 
niii're extréniilé est assujettie il une tempéra'ui'e varialde donnée par 
la ronclion o(/), la seconde exlr'éniilé (•tanl retenue ii la tempéi'alure 
zéio. 

(i(da posé, si l'on conçoil (]ue ces li'ois (juestions soûl résolues et 
(|u'(dles sont a|)pliipiées ii nu niénie prisme, ayant les mêmes extré- 
niili's (> et T, il est ci'itain <|ue la superposition des ti'ois résultais dim- 
iiera la s(dulion de la (|iicslion(u'i l'on considi're ti-ois l'onctions dont 
l'iine exprime l'etal initial du solide, cl li's deux aiiti'cs expriment 
l'état \aiialile des deux eMn'iniles. Il siiriit donc de résoudre cliacune 
des trois (|uesli(ins et irajouler les résultais. Or la solution de la [ire- 
uiii're esl connue: je l'ai donnée, pour la preniii'i'c l'ois, dans mes 
Hcc/icrc/ics sur la Tlivanc de hi chui'ur, lues et déposées il l'iustilnt de 
l'rauce le ix dei'enilire iSo-. lui désignant pai' 'hi-r) le svsti'Uie des 
températures initiales du solide, et par c la tem|)ératur(^ apii's le temps 
écoule / en un point dont la distance ii l'origine o est .r, ou a celle 



DK 1. \ ClIALEl It. 



157 



cxprt'ssioii : 



Nous |i;iss(ins ;i l'oxaiiicii de l;i secoiitlc (|Ui'.stioii. 



Tei/ipcnilmc rdiialilc à I ixln Diilv du solide. On rcsoul hi (jiicstion 
(Il dclrrtiiaiatil sous le si^ttc 7 une /o/iclioii tncoitnuc. 

l'uur résoudre l;i seconde (|iies(ion. e'est-ii-diie pniir tiniivcr l'ex- 
[iressioii (le la leiiipiTatiire vaiialde d'iiii [loiut (|iieleoii([iie ilii |iiisiiie 
lorsi|ue la preiiiièie exlréinite o est assujellie ii la lempéialiire tixe zéro, 
et la x'coiide exti'éiiiité ~ à la tenipéi'atiii'e vaiaalile /"( / 1, ou eonsidé- 
rera d'ahoi'd le cas tirs sirii[)le oii la tempéi'ature de la sei-onde exlre- 
inilé est elle-iiiéiiie tixe. mais diirerente de zéro. Dans ce cas. l'état tinal 
du svstÎMiie est tel (]iie les températures (|ui sulisistei'aient apri's un 
temp- inliui cniissenl comme Us ordonnées d'une li^ue droite, depuis 
la premil're extrémité ius(|u';i la seconde. Nous avons démontré ce 
lemme dans l'Introduction à la T/a-orie de lu clntlcur: c'est l'i'tal in\a- 
rialile vers kMjuel le systéuje convcrire de plus en plus, il est ain~i 
exprimé 



ce qui est d'ailleurs une consetjuence évidente du principe de la com- 
municalion di' la chaleur: h désigne la température tixe de l'exlrc- 
mité -. 

Quant il l'état varialile (|ui lU'éci'de ce dernier état du prisme, il est 
t'acile de le l'oiaiier >nivant les prini-i|ies dej;! <:'onnus. j-ji eUel, en dési- 
gnant par F(.iM l'état initial du sv>ti'ine. la dillérence -^ Vi-i) enti'e 

l'état tinal ~ et le premier état F(.r) s'aitt're continuellement, et de 
la même maniéie que si, l'état initial tlu pi'isme étant -^ — F(.r), on 



158 SU! L V I HKOlîli: \\ MAI loi !•: 

;issiiji'llissail clianiiic des deux cxtrriliih'S ;i la (l'iiipéraliin' lixr /('to; 
la (|ues(i(Mi lie (lillrrc (loiir [)as ilc ccllr que nous avons considiTÔc la 
prcniii'rc. Il siii'lil de f('iii|ilac('r dans rrqnalion ((i) la l'onction 'Ifi'') 
i|iii i-(''|i(nid a l'rlal initial [lar celk'-ci : — — K(/'): lions cKaniinennis 

\)\[\> l)as le r(''siillal di' cctli' snhsiilnlion ; mais l'état varialilc du inrini' 
solide si'iail (ri's dillcrcnl de celui ([iic l'on viciil d(^ considcrci' si la 
lcin|M'i'atiirc de l'extréinilc r:, an lien d'èli'c tlxe et éi;ale ;i A. variait 
avec le temps comme nne l'oiiclion /( / ), cidie du premiei' point o étant 
lonjoni's supposée constante cl nnlle. (lette seconde (|nestion est heaii- 
conp pins iMimposée ([lie la précédente, j'indiquerai d'aliord c(unment 
idle pourrait être résolue par un procédi' (|n(\j'ai em|)loyé dans d'an- 
tres recherches, et (|ui consiste à placer sons le sii;ne d'intciiralion 
detinie une l'onction indéterminée : il faut troincr pcuir cette fonc- 
tion inconnue une ex[iression ([ni satisfasse aux condili(His [U'0|iosées. 
iMisiiile je montrerai comment on déduit la s(duti(ui d'une antre c(hi- 
sidération Iri's simple ([iii s'aj)[)li([iie aux actions varialiles de la (dia- 
leiir. 

Si nous em|doyioiis en premier lieu rex|ui'Ssioii suivante 

f ^ > a, r"'*' siii i.r. 



en (lésii^nanl [lar a, une fonction inconnue du lenijts /, ([iii conlieul 
aussi l'indice /, on voit (juc c deviendrait nnlle lors(|ue .r — o, et 
deviendrait encore nulle lorsi[iie .r =- -. Or, |)onr cette dcrnii're valeur 
de r, la ([iiaiilité c doit devenir /'( ,' ): on aura (huic 



(.-) 



-./'( O -•- ^"^ a, <-''' sin/.r 



il reste ;i (I(''lermiiier s(M1s le silène ^ la !'(Micti(Ui y., en sorte ([lie 
re([ualion dillérenli(dle soit satisfaite, et ([lie la valeur de c se réduise 
il zéro lors([ir(m l'ait / — o; car, dans cette ([iiestion, les teui[M''ratiires 
initiales intermédiaires sont su|t[iosees nulles. Or l'équation dill'cren- 
liidle est 

J.c'- (H ' 



DE LA CIlALEl lî. lo!) 

ce (jiii ili'iiiic, il'iiini's l;i (Ici'iiii'ir cxiHTssioii de i , 

(S) —^/- a, <?-''' si II/./ — -_/' I / ! — > i- y.,r '''sili/.r - V L"- (,''''■' >iiw,/ : 
tloiic rL'(|iia(iini diirorciiliellc sera salislailc si Tuii a 

(9) "_ ,/ 1 ' ' ^ ~7 <?"' Slll/.r = 11. 

(l'csl |iar l'cllc ('(111(11(1011 (|u"il l'aiil (Iclçriniiicr la loiiclidii 7.,. Or la 
valciii' lie .(• peut ('■ti'c rciM|i!ac(''(' dans cclli' diTiiil'rc ('([iialiiiii ( S ) par 

ri'Xpri'ssioii coiiiuic 

Vsiri/.'- 
-, — . — CHS'-; 

siihsiiliiaiil ildiic celle \aleiir de .r dans re(|iialiiiii i i) ), 011 Ikhivc 



cos( : 



V'/y.i ... 
--- c'"'- siii i.r — o. 



. — -' /■'( f 1-7 cos/tt. 



ce qui ailla lieu si I (iii a 

On prendra dune pour la ronction a, l'iiile^ral 

■> cos/r /■ ., ,., , 
Z — ^ / <■''' J (l)ilt 



ou 



— / / ir\c'" <// 



en désigiianl par r une constante arliitraire et prenant rinte.male par 
rapport à la (juantih'- auxiliaire /• depuis /:= o jusqu'il 1=1. 
On a 11 l'a donc 



(10) ,-=^/(<)+ -; V C0S(7- 



sinrc 






/ ) r// 



faisant /^o dans cette ex|n'essioii de c. elle doit, seldii rhvpo||i('S(>, 



160 Sri{ LATHEOKIK ANAI.MIOIK 

devenir nulle. On ;inra donc 



--7(0, ^N- 
el. nH'll;iiil iKtur -r sa valeur 



.-, V'^"" 



{■os;- SMl /,/■ 



:-— ('0S( -, 



on a 



- / ( 'I ) ^ — -■ — cos I r. -^ - > (■ — . — cos ; n =: o ; 



|)af conséquenl la cdnslanfe r est égale ii /( o ); donc rex(>i'ession cher 
chce di' c esl 



(11) c 



-./(() -r - > COS/-- -— C-'-' ./(o)4- / /•'■' J 



' ( / ) t/r 



On naivienl ainsi ii résoudre la seconde (|nes(ion (|ue nous avons 
énoncée; <|nant ii la tioisii'Uie, elle se laiiporle à la secornie. |)uis(|ue 
les leni|)éralures respectives des exircniilés o et - sont, iionr la se- 
(•(Uidc, zéro et /'< / ), et pour la troisième, o( / ) et o. La solution de celle 
IroisiériK^ (iin'stion esi exprimée coirnne il suit : 



I r'( ) t= o(/J 



^V 



o(o) + / p'"''9'(/) i/r 



torniule (]ui dérive aussi de la précédenle ( i i ) en sul)stiluanl - — .r 
au lieu de .r. 

Si l'on reiinil les trois résultats preeédenis, ou ti'ouve pour S(diitiou 
géu(''rale la l'ormulc donnée par ré([nali()n ( i ). La |)remii're ligne se 
rapporte ;i la seconde (|ueslion, la deuxiiune ligue ii la Iroisii'un' (|ues- 
liim. cl la iroisii'inc ligne ii la pi-(uuii're (|ucs|iou. 

(juoi(|iU' l'on puisse eu ellél parvenir ii la soliiliim eu dclerininaul 
comme on \ient de le l'aire la foiicliou inconnne a, sous le signe > , 
on peiil dire (|iie ce pi'océdi' iréclaire point assez la (|iieslion, eu ce 
(|ue Tini ne \(iil pas d'alKUMl (|u'il doit néccssaii'emeiil conduire ii la 
M)lnlioii. Il ne sera point inutile, dans une malii'i'c encore noiiNcllc. 



ItE LA CM \LEl n. IGl 

d'omisiii^er les dh'iih's rcsiillats sdiis ilivcrs points de \nc, cl >uiliiiil 
d'illiliiiiu'r la rmili' (|Mi' l'ui! a suivit' cIlcrliNfiDriit [hmii- dcnniviii- la 
solution: l'article siiixant l'ail eoniiaili-e eoinriienl on --"est diiio*' dans 
relie recdierelie. 

M. 

Principe ilniil on a dcdiiil la shIiiIidii i^éiii'rale. 



I,a (|iM'Stion prineipale se réduit ii ti'oiiver Texpression r de la temp(''- 
rature lorsipie, la première exlréniile du prisme, au point o, l'tani fe- 
tenue ii la tem[iérature /.ei-o, la seconde exlrt-mite, an point -. e>t a>sii- 
jeltie il la lempéralure variaMi' /"i / ); car il suit évidemmenl des piim-ipes 
de la Theoiie (jiie la superposition des trois états du piisme indiiiiies 
dans l'artiele l\' donnera la solution ;,M'nerale. C.iuii-evons que le point n 
est retenu ii la température zéro, et (|ue la tem[)érature du point - 
(diani;e pai- de;;i'és. Si cette tem[)eratnre du point r. était fixe et éi;ale à 
II, la i]nestiou n'aurait aiimine difticnlte. ciunme nous l'avons remar(|ue 
( art. ^ ); l'olijel de la recliei'che se l'édiiil doue ,'i ti'ouver le cliaui^emeul 
ipi'il l'aiit apporter ii la solution exprimée pai- ri''(|iiation ( (j ) |)oui' (|ne 
cette solulioii l'cprési'Utr' l'etal varialde (|ui se lormerait si la lem|>era- 
ture dn poinl-, au lieu d'être constaute et cigale ii A. etail représentée 
par /( / ). Supposons (]iie le temps T soit |)artai;é en une mnltilude 

de parties /,. /-,, /. On assujettit d'al)(U'd l'exlréiuilé o du |iiisme 

il la tompeiature zéro, et l'extremilé - ;i une température fixe l>: ou 
détermine l'état où le solide est pai'venu apri'S le temps/,. On consi- 
dère ensuite cet état f|ue l'ini vieni de délerminer commi' l'elal initial 
où se trouve le solide lors(|n'(ui commence ;i assujettir la seconde extré- 
mité - il nue aulre températui'e lixe A, ^- b... Celle seconde disposition 
sulisiste pendant le temps t.: ei, pendant ce même temps /., la pre- 
mière extrémité <> demeure assup'ttie ii la température zéro; on déter- 
mine l'état oii le [irisme est parvenu ii la tin dn second tem|is t., cl 
l'on considi'Lc ce dernier état comme l'i'lat initial du .système au com- 
mencement du tem[»s /,. On assujettit, jieudanl cette durée /,. les 

II. 2. 



Kio SI I! LVTIIEOlilK ANXLVTIOIE 

cxlrriuilés o et - ;iiix lonipcralurcs rcspedivcs zeru et /> ^ -j- h ., ^ // _. ; 
iiii (léloniiinc ciicoïc l'clat du svsti'inc ii la tin du (ciiips /,; cl l'ôii coii- 
tiniic ainsi de considiTcr comme clal iiiilial (■(■lui (|Ut' l'on a drtei'minr 
jiai' rnprratidn itrrecilcntc; (iii aiiL;incnlc d'une miuvelle pallie la tem- 
pei-alnre tixe ii la([uelle rexlrémilé es! assujetlie et l'on suppose (jue 
celle dis|iosili(in dure pendant une nonV(dle partie du lein|)s; il es! 
manilesle ()ne l'on parviendrait ainsi ;i eonnaili-e l'état (pii aurait lieu 
api'i's le temps total /, 4- /. -I- /, + /. + Il ne reste pins (|u';i sup- 
poser que les aeeroissemeuts proi;ressii's de la température de la se- 
e(uide extrémité sont inlinimeiit petits, ainsi ijue 1' (de me ni du lenips r//, 
e^ (pie la valeur de l'aeeroissemenl est /''( / ) <//. Il l'aul examiner' atten- 
li\('menl les résultats de ee calcul. 



VU. 

Applicitlioii (le ce Jtniicijic, rulcul. 

I.e svslèmc des températures initiales dans tous les points intei'iué- 
diaires du solide, depuis o ius([u';i -, etaul exprime par I' ( r ), si les 
exliémités o et - sont l'cspectivomeiil assujetties pendant un temps 
(l(Mine aux tempéi'alurcs fixes zéro el A, l'état, du solide à la lin du 
temps sera exprimé ainsi 



(i3) 



/k. 



';^ — § V ,•-'"' siii;'./' / 



Mut y. 



Imzi 



,l-j 



celle s(dution résulte évitlemmeiit des pi'iuci|ies connus, l/elat final et 
inxarialde dont le systi'me s'a|)pr(iciie c(Uitinu(dlement est —■: et la 

dill'erence entre ce dernier étal et le jii-emicr 'j( .r ) diminue conliiiuid- 
lemeiil el linil par s'évanouir. Cette altération pidi;iossive de l'état ini- 
tial représenté par -_ F(c) s'opi're sui\aiil la loi (|ue l'on oliserve- 

rail SI. dan> un prisme dont les lempératiiics initiales soiil données, 
on assujettissait cliacuiic des extrémités ii la lempéralnre fixe zéro. 
.\ou> supposerons maintenant dans loiil ce (|iii suit (|iie les lem|)éra- 



I)K LA CM \LKl li. 



1G3 



liirrs iiiilialcs (les piiiiit-^ ilii |uisiii(' niii niit t'■t^' i1(''sii^ii('m's dans l"c(|iia- 
liiiii ( I ') ) |iar la l'onrliiui |-' -ont nnlli's, cl (jnc les cxlrcniilçs o cl r. sdiii 
ri'Icnnos |icn(l;int le temps ii îles li'ni[K'M-aliii'es fixes, sasuii- : /.■lu 
an |Hiint I), et /' an jinint :: ; (Mi nnieltra (l(uii" ihins re(|natiiMi ( l'n li' 
terme F( y. ) et l'un Inmvera 



(i4) 



b.r 



0.)' 1 ■^ ,,. . . / h y. 



-\l\ i y. (ly \ 



et si l'on elleetiM' rintegralion / -^ sin /7. f/y., afin de (level(i|i[MT smi:- 
le silène V, un anra 



I) V,= 



l,:r ■?.!, 



'- ( e '' <\\\ r — \ e^-'''' siii •>./■ 



— ! c>-^''-iM:!,r ^. . . »; 



on a|)[)li(]in'ia eelte é(]iialion ( i "i t an l'as oi'i le temps éennlé est désigné 
pal- /, et la température fixe iln point r. par A, , et l'on aura 



(i(i) \,, 



b, j 



- — !•( ('-'. siii.r — i e-'-''-- s\n2.r — -' ':■"''■ 



siii3./' —...). 



On eonsidi'i'e maintenant l'état exprimé parV,comme un étal initial 
doiini', et Von a-sujcttit, pendant le temps /^. les deux extrémités n 
el T. aux teiiipéralures respeeti\cs /ero et />, — //.: il est l'aeile de ron- 
iiaitre l'etal «lui sera forme ii la lin iln temps joLil /, — /,. H taiil. dans 
la l'ormule précédente ( \^ ), écrire A, -^ A_. au lieu de A. /_, au lieu ilc 0, 
cl l'cmplai'cr la l'onctiiui Fi z ) ipii se lappiu'lc ii l'etal initial |tar la 
Ciim-tion ([ne l'on trouve on écrivant dans \', , an lieu de r. la <|muilite 
auxiliaire y.. Ou aura donc, en desi^ynanl par \\ ., l'expre-si on de l'etal 
varialde ii la lin du temps total /, -!-/_.. 



117) ^',-'= 



/i,.r hn.r ^. •^ 



e~''- .-m (.' 



/ ( 



h, y h. y 



\\ \>\\\ i y 'ly. 



el il faut mettre iiour W sa valeur 



— ^ \e-'. smy 



16'. 



SI i; LA THKdiJii: \n vlvtiole 



il en rosnllc luciiiiiTcmciit ([u'uik' piiilic de l;i valciii" (■li('i'(li(''i> de 

/),.[• -3 x"' -, • • C"' h.,y. . . 

— > e-''- SIM /./■ / -^—%\\\ty.i:iy.. 

■K T. ^^ ■,, ^ 

(Icllc icirlii' r\|iriinc, d'jiiiirs r('(|iiarKiii ( i 'i ), rdal iiii scrail le iiiriin' 
solide apivs le teiii[>s /_. si, an eonmieneeiiieiil de v-' (einps /_., les (eiii- 
peraliires des poiiils iiileiwiiediaires, de o ii -. élant sii])|ii»sées nulles, 
(III assiijellissail les ileiix exlrémites peiidaiil le temps /^ aux l<'iii(iéra- 
I lires res|ieclives o et l>^. 

l/aiitie partie de la valeur de V„ ,, |iaiail d'aliurd plus eouiposée, 
elle a piuir ex])ressioii 

/ ■ . /'^' / 

(iS) -^ '-ys\nixe^'°'-l - — - :^\niy.'/x(<' '> siii :z— ', e '-''. siii 2:x -t- '. t' '"'.siiioz — 

il faudrait ilone pi'cudre jiour i tous les nuiiilires entiers et eireetiirr les 
upcratiiuis indi(|uées. 

Or il faut reiuar(|uer (|ue, si /et /sont des nuiii lires entiers dilféi'ents, 

rintéi;rale détinie / sin/a sin / a</a a toujours une valeur nulle, ce 

([u'il est i'aeile de vériliei', et ee ijue nous a,(H)s détiiontré plusieurs 
l'ois dans le cours de nos reidierclies; mais, si les nomhres ; et y sont 
les iiHuiies, riutéi;rale n'est point nulle : sa valeur est ', -. Nous suppo- 
sons ces [iropositions eonnues. Il en résulte (|ue, pour eomliiiier toutes 
les valeurs de /avec eidles (|ui provienneuf de la série 



il l'aul omettre Imites les eomliinaisons pour lesi|mdles le eoel'tieieni / 

sons le si:;ne / danssin/a est dillérenl du eoeriieieiil de y. dans un 

larleiir siiua i|iii apparlienl ;i un terme île la série; et. eoinme on doit 
|iremire la somme des exposants de c dans les deux termes eomliinés. 
on lr()ii\e (|iie la seconde partie de la valeur de ^(,,t, j est 



/', 



.1- 1 II 



)/; 



_' |f- '■-'.' Sill.r - \c "C.+'.lsill '!,(■ + } 



L ,, 3-i7,4-/ J c 



SI 11 .>,£■ — , 



DE L\ (Il \[.i:i It. I(i3 

on l'iiriiic ainsi l't'\|)i-('ssi(in coniiili'lt' di' hi tcinpcralnii' du snlidc ;i|ii('s 
II' l('ni|is /, -t- /., 

V,,^+(,,^ h,'— — -^zr^ '^^'' si 11-'' — 2 <-'-''.■ sin2.;- -i- ^e^^^'. siii3 j- — . . .) 



.1- 1 h 






siri.r — ic 



1,,,-2-il-l-l,] oi 



sin^.r 



i/.-3":'.-'. 



cl l'n?) vi)it (|in' la s,. ronde partie l'epirsenlc, d'après rr(]uali(in (i-'i'- 
l'ctat ui'i le système des tempéralures Se trouveiait si, les valeurs ini- 
tiales de ees teniperatnics étant su|)posées nulles, (Ui assujettissait 
pendant le temps total /, -i- /. les deux extrémités o et t: du prisuie :i 
des tem|K'ratures tix(^s, savoir : zéro pour l'une au point o et, pour 
l'autre, A, au |ioiut -. 

Il faut maintenant cousidéror cette valeur de ^ , . , comme expri- 
mant un état initial et assujettir l'exti-emite :: [lendanl une nouvelle 
partie /, du temps ii la tempéi-ature ti\e />, -h /'.j -i- h ., l'exti^émilé <> 
étant toujours retenue ;i la température zéro. Dans ré(|uatioii i;eue- 
rale ( i '") ), on l'ei'a = / , et // = />, -+- f>, -t- A,, et l'on prendra pour F( 7. i 
la valeur de V, _, , dans laipudle on écrira a an lieu de r. On aura donc, 
en desi^^nant par V,^,.^,, l'expression de la température ii la tin du 
temps total /, -f- /^ -f- /;,, 



V,,,+ ,.-,j =/;,-+ />,'_ -T- /^j'- 



(KJ) 



^ c '''•- S in i .!■ I f\i\i y. (h.l b, ~-i- l>-, --r- /i, - — NN a 1 



On de^i^ne ici par \\\ l'expression de V ,^^, dans laquelle on eci'it a an 
lieu de r. On voit d'ahord qu'une première partie de la valeur cliercliée 

A,— — £ > t'-'''sin;./ / bi - ^iu i y.ih.. 



C'est, d'apri's l'eiiuation (i^). l'expression de l'ctat où le prisme se 
tionverait après le temps /;, si, eu supposant les tem()eiaturcs initiales 



KiG SI [! L\ TU 1:01; ii: v\ A i.YTi un-: 

lUillcs, on rctcnail les (inix cxlrrmilrs o <■( -, (i pcndniil le tmips /.,. 
il (les lciii|M''i"iliin's li\('s, .savoir : zéro au |ioint n, et A, au |)(iinl -. 
II l'L'Slc il coiiiiaitrr les aulri's jiai'lirs de la valeur cliciclu'r. Or W, 

cDUlii'iil les deux (eriues h.~^ ^'i~' ''' '!"' ''''ti'nit deux des leriiies 

plaeés il la suite de / sin/ac/a; ou a d.oue seulement ii i-onsiderei- 
cette ex|ire>siou 



( ->.0 ) 






a A., / 



(e '-siiiz — .' e~-*'.- siii-ia — ...) 



-+- - — !■ ( r--'''i^',< sin y. — T, e~-'"'''^'-^ siii .'. y — • 



Ou doit donner au nomlii'e entier / toutes ses valeurs possildes. et eoiii- 
liiiier eliaeun des termes qui en |irovieiineut avec iduieun des termes 
des deux séries placées ii la suite. Lorsque la valeur de 1 dill'èi'e du 
coeiricieiil de y. dans un terme de la série, il l'aiit omettre le résultat, 
parce que sa \aleuresl nulli'; mais, si le nonilire / est le même (|iie le 
coelticient de a, la valeur de l'inléyrale est .'.-. Ou aura donc, eu ajou- 
tant les exposants dv c, l'expression 



— - u 



1 n- ■^•1 .^1 



•■ SUIÎ.C 



\e- ''■'-' sin:;./' — ...| 



(■!i) . 



I>,\r- '. ' •'. sin.r — \c''-'- '.•'.-'= sin •!.*-!- ie-''''.^'^"=' si II ;i,c 



l'ar c(Uise(juenl, la \aleur compli'le de \ [t^^t^^,;, est ainsi exprimée : 



( 22 ) ' 



^ i( + /,^(, ~ -+- l'r. ^— ^(t'-';,sin 



l^^-^\,^<.... 



>■ — I c -'': sin 2.r M- . 

sin,/- — le -' 'j^ ';' siir.>.,<- h- . 



.) 



+ />, - - 



■'.h, 



(',+',+',' ïi 



\C~"'^''^'> 



sin,< — lf--'",^'y*', sill2.r H- . . . |. 



On (01 nierai! |iar le même procédé la valeur eonipli'lc de \'(, +,.,,, ^, ). Ou 
aurait aiuM l'ex j>i-ession de Tetal où le solide sei-ait parvenu après une 



i>i: L \ ciiAi.Ki i;. Ki- 

nouM'llf purlioii (In l('iii[is /. si, ;i |i;iillr de >(in l'tal ;i hi lin iln li'ni|i> 
In lai /,-!-/_,-}-/,, (III an^incntail d'une nni.ncllc (| nautile //, la lein|u''- 
ralnre île l'extreniiti' -, el si, penilanl celte inmvelle |iailie dn leiii|is /.. 
l'exil i'inil('' () étant tonjdiws reteiine ;i la teiii|ieralnre /.ern, l'exlreniite - 
était retenne il la tein|ieratiire A, -i- A^ -h //, 4- /-(., . La lui (|ni deteriiiiiie 
les étals siieeessil's i\\\ S(di(le est inaiiiresli'; (die donne les (-(nisi'- 
(|iiences siiivaiiles, (|ne innis ia|i|)(nler(ins par exeni|>le ii rc(|na- 
linii ( 22 ). 

vm. 

Co/isrqilr/ir-c n///iirf/U(//>/<' . 

Si rextr(''mil('' - oi'il été assujettie ii la teiiipiTalnre lîxc />, pendant le 
temps /, -t- /^ -^ /,, et ijne les tenipt'ralnres initiales eussent ('li' nnlles, 
le point étaiil retenu ii la teinpci'alni-e /ei-o, l'etal du s(di(le, aprl's le 
temps, /, + /_, -i- /,, serait représenté par la troisième pari le de la valeur 
de \', ^, ,,j. Si, pour le nié me S(dide, (hnil on suppose l(nij(nii's les pre- 
mil'res lein]ieralnres nulles et rexiremite o a la leni jteratnre lixe /ero, 
l'antre extrémité - eiit été retenue pendant le lem[is t.,^ l. ii la lem- 
peraliire fixe l>., l'etal du systi'nie ii la tin du iemps /_. -+- /., serait repré- 
senté parla seconde partie de la \alenrde \',, .,,+,^ . l'iiitin, la preini('re 
partie de cette \alenr représenterait l'etal dn même solide ii la lin <\\\ 
temps /, — /j -f- /j, si, les |ireiiii('res leui|ierat lires étant eiicin'e suppo- 
sées nulles, (Ui ei'it assnjetli pendant ce temps /, l'extiemite r: ;i la leiii- 
pératnre /;,. Ainsi l'etal du sidide apri's le temps total /i^/.-h/,. e-t 
Itd ([n'il resniterail de trois causes séparées ([ni s'applh|neraient :i nn 
mémt^ |)ri>me dont les |iremiéres lemperalnres seraient nnlles; et ces 
cansi's [lartielles sont : la partie h, de la tempinalnre. ai;issaiil pendant 
le tem|)s /,-+-/. -4- /,, la partie /)., aiiissaiil pendant le tcin|is /^ J- / ,. el la 
partie />.., aii'issaiit pendant le temps /, senlement. Ainsi (dia(|iie p(ntion 
de la tem|iéi'alin'e appli{|nee ii l'exlrémilé - produit son ellet comme -^i 
(die était seule, el ;i raison du temps total pendant le(|n(d (die a snii- 
sisté. Celle consé(|iience ji^cnerale se ti'oiive veritiee par le ealcnl; et la 



1 68 S L! r. I, \ r II É O RI E A \ A LY 1' I i) l E 

lui (|ir('II(' cxiiririH' iiiiiis conduira sans aufnnc inrcrlilnilc ii la sointidii 
(liciclit'c. 

l'ji crict, la valeiii' de V,,^_^+,^^,^.., après un temps indéfini est ainsi 
(■(tinposee : 



I i.i ) 



n r. 



h, - — ^^ |f->'.+'.^'.+'.+ ■•'sin.r — U^='".^'.+'.+'.-*-'-- sinaj- + . . . | 



+ /'., ' 



! /'., I 



-(',, + (,+ /.+...> . 



'sin.r — :i^e--*">^'3^'.-*'-' sina./' H- . . . | 

2 /'Il ,, 



t: r. 



r. T. 



' siiiJ- 



_i„--2-(i+...) ^: 



SMl 2.r 



IX. 

Acrroissi/iiciil (le la Utnprratnrc par (h'j^n's uijiinnuitl fui ils: 
fiunic (le I uih-gralc. 

Si l;i temp(''ratni(' de l'exlrétnité - varie conme nne l"oncli(m donnée 
/(/). cIkkiik' pallie infiniment petite de sa valeur sera f'(l)ill, cl 
ii'llc partie demcnrc a|)prK}née ii rextrémité - pendant le temps T — /, 
en désignant |)ar T le teni[)s total qui s'écoule depuis le pi'cmicr in- 
shiiil, où / = <), ius(|n"à l'instant pour le(|uel (ui veut déterminer l'état 
(In solide, l.a valeur clicrelM'c de \', sera donc com|)os(''e d'une infinité 
de p;iilies: et . poni' chacuiu' d'elles, il faut donnci' ii l'exposant ne\;alif' 
de r. dans le ternje où cnti'c sin /.r, la valeur r ( T — / ), et |U'endre la 
s(uninc de tontes ces parties infiniment petites. Si l'on suj)pose d'ahord 
ijue la premii're valeur de /'( / ), on f( <> ), est nulle, on a 



> N. ^ 



■^'/(T)— ^ j l\t)<l!\ir^^ 'siii.i 



'sm2.r + {(_• 



i,- 3-1 r ^, ,.:, 



...|. 



I.e x'cond memluc reprcsciilc l'elat du s(dide apii's le lein|)s tolid T, 
les températures initiales élant supposées nulles, l'extrémité o elant 



DE LA Cil \IJ:L R. 



10!) 



n'teiuic à la loiiipt'i'adiro yj'vo, et l'cxlréniité - ('laiit assujctlic ii |;i leiii- 
|)('Taturr varial>l(>/( / ), (li)iit la prciiiii'rf valcui' /'( o ) est inillc.Si cette 
première vali'ur/( o ) n'est [las inillc, il faut ajoiilcr au résultat l'ell'rt 
produit parla Ictnpéralurc /'< o i [lendaul le leuips total T, r'r<t-;i-ilirr 
la ({uautilé 

./■ •> 

-fio) — - /'(o I (e^'' sin.'- — i(,'~-'''sin2,'- — i/'--'" ''sin.-i.r ^ . . >.- 

donc la valeiii' eompli'tc de V, est ainsi exprimer 



\ , = 



/ { O I 



//'•. 



/ ) </l 



- c ' Slll. 



/(' 



-// 



/ !<■' /// 



i e-'-''' siii _>, 



— i e~'' ' Slll ri.r 



fyo) — I f\ m-'' (Il 
/'(o) - j J'\( )<■■''■' ( 



II 



Le pi'einier ternii'/(o) -+- j /\i\t// est la valiuii- de /'( T ), cl. ^i l'on 

t'ait ï = o dans l'expi-ession de \',. on Irouvi'. pour les leuipcraluics 
initialo du sysli'Uic, 

~ ./ (O) — ~ /{O) ( >\nr — ', sin i.r -h rsiii o,<- — |siii 'i'" -^ ^^ siii 'kj" — ... V 

(jiuuilité (|ui se réduit à zéro, parce (|ue la valeur couniie de la série 
est ~.v: aiii-~i les terupéralures initiales sont en eiiét nulles, counne 
l'exige le calcul. 

X. 

Soliilion ijrin'mlc. 



Si. dans la même livpotlii'se des tem[ieraturcs initiales nulles, on 
suppose ([Ile c'est l'extrémité :: ([ui est retcnui' ;i la température con- 
stante zéi-o. tandis que le point u ;i l'inii^ine est as<ujet(i ;i une (empé- 

11. >.3 



170 SI 1! I. \ TilFJHUE VNM.YTIQLE 

niliiri' v;ii'iiil)li' o(/),on rrsdudiM |i;ir li's iiirincs [ïrincipos cotte seconde 
(|iie^li(in ; e( l'iiii déduil aussi la solulidii de l'é(jiiali(in ( -2] ) en écnvani 
- _ ,,■ ;iii lieu de .(•, ce (jui donne, en désignant par V, la ten]|iératiire 
vatialile (|ui convient à celte seconde (|Liestion, 



'(T) 



;(„) - 



i<?-''=i sin:!. 



0(0) + i o'{t)c--'<ll 
o[n) -+■ j o'{t)c-'-' >// 



L'i'Xjn'ession de l', sera ainsi lepiésenlee : 



■'.()) l'r^ 



.(T)-HV.-r 



.,r sin / r 



i{n) -^ j o'( /)'"'■' '// 



OnanI ii la valenr de \ ,, elle prend celle IniMne 



'-) V.r=^/(T) + 



T,+ ^V, -n 



„., eOS/TT SI II I ■>' 



.T 



Ces valeurs deN', et l", devieii neni nulles poni" / = o, (|U(dle i|iie soil 
l:i dishince .r: elli's coinieiinenl l'une e| l'aiiln» au cas où les leinpé- 
ralui'i's initiales des points intermédiaires, de <i ii ::, sont snpposi'es 
nulles. Si 1(111 dcleriiiine séparénieni , eoinnie nous l'avons dit (art. I\ ). 
l'elal vai'iahle d'un prisme éi;al aux di'ux [u'écédenis. dont les lemp(''- 
ralnres initiales, pmir Ions les points iuleiniédiaires, sont i-eprésen- 
li'cs par nue riMiiii(Hi (|nelcou(|ue '-[;(,t), et dont les exirémilés o et " 
■-ont releuues ;i la leuipéralnie /,éro, on trouve, en désii^uaut par N\ , 
rexpression de l'elal oii le sidide est [larvenu api'l's le temps ('■couli' T : 



I-..S) 



\\ T- - V e-''' sin/./' 



/ ']'(') siii//' '//■. 



ni- LA CII VLF.l T.. ITI 

Il no rcsli' [iliis (lu'ii rruiiii- les Miluliuns des trois questions s(''[i;ircc's. 
et l'on a 



(■29) 



\ T - Lr -r- Wt. 



Ce sont les ti'ois partifs de la teni[téraliii-e eheicliée, (|iii avait ete deM- 

iiiiée |iar W, «laiis les artieles I, Il On doit mettre [lour V,. l ,. W, 

lcui-s valeiii's exprimées par les é(|iiations (2I)). (27), ( aS 1, cl Ton 
re|ii'oduit ainsi re([na(ion 1 i i. ijiii donne la sidutioii conijjli'te de la 
(]ue>tioii proposée. I']lle l'ait l'onnaitre ijurl est. apri's le temps ('•conlé 1'. 
l'etal (In prisme dont li's lempi''ratiii-es initiales an\ points inti'i-me- 
d la 1res, de o ;i -, sont exprimées par Li r ). et dont les exli-i''niilés o et - 
smil assujetties aux tempei-alnres variables, o(/i au point o. et /«/i 
au point ::. 

On a pi'ouve (jue la valeur de V, sati-^lait : i" ;i ri'(|ua(iou ii dillr- 
reiiees partielles du nnnivemcnl de la elialenr; 2" ;i l'ctat initial; J'aux 
conditions i\v^ exdémilés. On a doue étahli la véiilé de la solution: 
ou a montré aussi ( art. \ ) comment ou pai'vieudrail ii celle solnlion eu 
déterminant sons le si;;ne ^^ niie l'onction ineounne (|ui satisfiiil aiLX 
eondilioiis pi'oposées. l']niiu. on a exposé dans les articles VI, \ II. \ III. 
i.\. \ les cmisidcraliou> ([ui (jiit l'ail ileeon\rir la solution, ce ({ui eom- 
pli'te l'analyse de la (juotion. 



I. l'oiir ne pas dillerer la pulilical ion de ce nouM'au N olunic on n'y 
eomina'iul (|nc la [u-eniii're Partie du présent Mémoire; les autres l'ar- 
ties \ii- tarderont pas à être impi'imei-s : je \ais indii]uei- les mali('re> 
(jui y sont traitées. 

II. i,e >eeond paiai,'raplie e(nilienl l'exposé des cousé(|uences piiii- 
ei|iales de la solution ([u'oii vient de rajipin'tei-. i-]n ex;iminant la l'or- 
mnle tjenérale ( 1). on reeonuait d'aixird que la parlu' du phéiiomi'ne 
qui dépend de l'état initial du sysli'Uie eliani;i' continucllcun'iil : cette 
partie de l'elfet produit s'allaildit de |ilu> en plus, it mesure i|uc le 



(t'ni|ts ;iiii;iii('iil('. Ainsi, loiscpril s'csl écoulé un l('iii|)s assez coiisidr- 
ralilc, hi (lis[i(isili(in iiiilialc. ijui csl nue cause coiilinj^cnle, et (|ue 
l'on (ii»il i'e;;ai'ilei' ci»niiiic Inrtiiile, a cessé d'iullMi'r sur l'étal du sys- 
ti'Uie; cet (■lai esl c(dui (|ui aurait lieu si la dis|)i)sili(Ui initial'' était 
dillerente. il n'en est pas de niénic d(s causes toujours présentes (jiii 
agissent aux extrémités, ou (|ui dé|)endenl du princi[)e de la e(}rnnui- 
nicaliiui de la (dialeur; (dles ri'i;lenl à chaque instant le progri's du 
plH'nniiii'iie. (les cunsé(jueni'es dérivent d"un princi[ie cosniid(ii;i([ue 
(|ui se présenté de lui-nH''n)e, el (|ui s"a|)pli(|ue à tous les ell'ets de la 
nature. Mais non seulement l'Analyse niatliémati(]ue le conllrnu'; elle 
monire aussi, dans la (|in'slion actu(dle. |)ar (|U(ds proi^ri's insensildes 
et suivant ([indle loi l'ellet de la disposition primitive s'aU'aiMil , jus- 
(ju'i'i ce (|u'il dispai'aisse enlii'renien I . 

Oii a ensuite appli(|ué, dans ce niéine paragraphe, la soluli(ni géné- 
rale aux deux cas les [dus diUV'rents, savttir : i" celui où les i'onctinns (jui 
rcLcIenî h's lemj)eratares des deux extrémités sont péri()di(|iu.'s, et 2" au 
cas oii ces l'onctions sont du nomlnc tie cidies (|ui chanj^ent par des 
ililTerenliations successives, el tendent de plus en plus ;i devenii' con- 
slanti's, ou le devienueul en ellet coninie les l'onctions algehriques. 

Dans le premier cas (celui des l'ouctions périodi(|aes ), le calcul ex- 
|)iime de la manii're la plus distincte les changements succes>il's que 
suliissent les températures, et l'élat tinal du systi'UH', (|ni est évideni- 
nonil péi'iiidii|iu'. ('elle solution (amlirme l'clle (|ue j'ai donnée autre- 
lois pour re|)résenler les (»scillati(ms de la (dialeur solaii'c dans l'enve- 
loppe du glohe teri-cslrc. 

Dans le second cas, les résultats ne sont pas moins remar(|ualdes, et 
l'analyse en esl tirs simple. I.'elat final ii'i'st plus périodi(|ue: il a un 
caïaiiJ're particulier, (jii'il esl l'acde de reconnaitre |iai'ce (|m' tontes 
les inl(''grations peuvent être eU'echK'es. 

m. La ti'cdsii'me Partie du Meundre esl liistori(|ue; (die contient 
d'alMH'd rénuniéralicni des premii'res re(dn'rches (|ui, ayant poniidijcl 
les pr(qiriélés de la (dialeur, oui (|ii(d(|ues rapports avec la théorie (|iie 
j'ai formée. Il m'a paru utile d'indi(|uer toutes les l'echeridies anlé- 



UF. !. \ CUALEl 1!. 173 

l'ii'Ui'i's. Voii'i les Oiivrai^T's (|ii(' j'iii ç\lv> piiiicipiilcniriil. On a raiipcli' 
([m'hjni'S passades du IJvi-i' «les l'il/K-ipcs iiiathcimilKHtfs de l<i l'Inlnso- 
pliic luitiirrllc: car il ctail dans la dcsiinci' <lc ri' graiid Oiivia^c d'i'\- 
j)osiM', (III du Fiiiiins iriu(li(|iicr les causes des priiieijiaiix iiiiénonieiu^s 
de riiiiivers. J'ai di'i cilcr aussi un aulre ()uvrai;e de Newioii, (jui iiilé- 
resse plus directeineiit la Tlieniie nialliéuiali(jue ( Tdhitht cdloiiim i. Du 
rappidle ensuite une expei'ieuia' assez rer!ian|ualile, (iiiiii(|ue lii's iui- 
parlaile. d'Aniouloiis; les e\|)érieiiees p(Mi précises, mais luuulii'eusrs, 
de Butl'ou et les vues liéiu'-rales de ce ^l'and écrivain >ur l'elat [iriiiiitil' 
du ;^|iilic terrestre: puis un Traité iiupiulant et tri's peu ciuimi '\v 
l.aiiilirrl. riiii des plus r'éli'hres i;énini'tres de rAlIciiiaune. De lii, nu 
passe \{ des .Mémoires d'I-Jiler, d'i'lniilie du Ciiàtcdet, de Nollaii'c, im- 
primés dans la «aillection de rancienne Académie des Sciences de 
Paris; car celle illustre c(unpagiiie n'a jamais perdu de \ue r(''lude 
matlieniati((ue des lois de la pnipagalioii de la clialeui' et l'avait pro- 
posée aux eéoml'lres dis i^iH. J'ai cité ensuite un .Mémuiie remar- 
(pialde lie ,MM. I.aplace et i.aveisier; l<s reclierclies <le M. Leslie ; celles 
du comti- de lUiml'ord; les Oiivi'aiies de M. le [irid'esseur Prevot, et un 
Kcril de M. 15i(iî, inséré dans un Onvra.^e scientiii(|ue. 

Je n'ai pas liorné celle éniiméralinu aux reclierclies e\|)érimeiilalc<. 
Il n'/'lait |ias inoiii-- mile d'indi(|uer les i-esultats anal\ ti(|iie> aiiterieins 
(]iii (Mil (|uel(iues rapports avec la Tliéoi-ie de la chaleur. Dans ce 
iKunlu'e. il l'aiit sui'liuit remaia|iier une série Irl's simple dtmnée par 
Iinler, celles (|ue Dani(d Ijernoulli a|ipli(|uail ;t la (|ueslion di's cordes 
viliranles, et une foiiuiile (|ue l.agrange a publiée dans ses Mémoires 
sur la propai^aliou du son. 

Les decoincrles capitales de d'Alemheil sur rinti\i;rati(Ui de cru- 
laines éi[uations dill'ci-euti(dles, et sui'Ioiit son analyse de la (jiusliim 
des cordes \ihraiiles, avaient ouvert une carrii'i'e nonvidie. <{iii lui 
atirandie par les reelierclies d'i'jiler et de La;^raui;e. Olle (|uestion 
dillere beaucoup de cidle de la distriliulion de la clialeui': mai-; les 
deux lliéoiàes ont de< éléments communs, parce que l'une et l'aulrc 
•^ont l'ondées sur l'analyse des diiïérences partiidles. 



17V sn: I. \ TiiEoniR analvtio' k 

.l'iii ajouta à CCS cilalidiis celle il'iiii .Meinoirc postlaiiri!' (rEuler. 
|icaucnu|) iiKiins connu qnc les |)récé<lcnts, et fjui m'a éle in(li(|iié par 
nodc savanL (^i>nlVi're. M. Lacroix. Cet écrit a été pulilié par l'Académie 
(le Pétcrshonrt;, onze ans apri's la iiiori d lùiier. Il contient nne l'or- 
mnle (pii (léi'ivc de rein|iloi des intégrales diMinies, mais sans aucun 
cNanien de la converiicnce des séries, de la disconlinnité des (onctions, 
ou des limites de la valeur de la varialile. 

(Jnoi (|n'il en soit, on peut conchii'c de ces remarques que les prin- 
cipes de la Théorie analyti(nn' de la clialenr, loin d'être opposés ii ceux 
(]Ue les L;t''i)mèlres a\aienl enijilovés (hms d'autres reclierclies, s'accor- 
dent avec plusieurs résultais précédents. Ceux (|ue l'on vient de citer 
sont des cas parliculiers el isolés d'une analyse lieaucon|) plus éten- 
due, qu'il élail alisidnment nécessaire de former |ioui' l'ésoudre les 
(pu'slions, uu''ine les pins élémentaires, de la Théorie de la ( lialeur. 
.l'ai indii|ué aussi, en terminant celte énuméraliou, l'analyse dont 
.M. i.aplace s'est servi dans ses recherclio sur l'altraclion des splie- 
roïdcs. (!ette analvse, convcnalilenient modiiiée, a des ra|)[)Orts remar- 
([ualdes avec celle (jui con\ient ;i certaines ([ueslions du mouvenn'ut 
de la chaleur. \'oi!;i, aulaut (|ue j'ai pu les connaiire jns(|u'ii'i, les 
priiM'ipales l'orniules analyli(|nes dmil la pnhlicalion a précède nn-s 
propres la^cherches, et qui ont (|nel(|iic analogie avec les (jiH'slicnis ipie 
j'ai traitées, .le me horm' ici ii rappeler ces premiers résultais, laissant 
aux i:i'omi'lres el ;i l'histoire des sciences le soin de les coiuparer avec 
la théorie que l'on possède au jouial'hni . Il sera nécessaiie, si l'on en- 
ti-e|n-end relie discnssion, di' consulter les derniers Onvraijcs pnhlics 
par Lai^raugi', l'I une Noie de ce L;rand i;»''ométre, insérée dans ses .Ma- 
nusci-il> apparlemmt aux Aiidiives di' l'Inslilnl de l'rance. 

Le caracti're principal des non\(dles méthodes d'inlei;raliou (jiU' j'ai 
ajoutées à l'analyse des dilTerences parlielles es! de s'a]qili(|ner ;i un 
grand nomhre de (|nesli(His nalurelles Iri's imporlanles, (|ne l'on avait 
teille inutilement de résoudre par les m(''lliodes connues. Celles (|ne 
j'ai donni''es condiiisenl ;i des resiillats simples. (|ui l'iqnésenlenl (dai- 
remeiii tous les détails des phi''nom('nes. 



DK 1. \ (Il M.i:i i;. iT.i 

Dans ce Iroisii'inc |KiraL;i"i|iii(' ilu .MciiKtirc, on ciinsidi'i'c la iialiin' 
(It's ('•(juatiiins (l(''tcniiiiii''('^ (jiii a|i|iai'tii'iiiiriit .à la TlicDi-ir ilc hi di;!- 
Iciir. cl l"iin a joint ii rcltc discussion (luclijncs rcmari|ncs sur l'ciniilni 
lies loncliuns aihilraii'cs. 

Les cxposaiils dc^ termes siieces>irs des séries qui ex|iiiineiil jr 
niouvenieul variable de la elialeur dans les eui'ps de diuiensions tinie> 
sont donnes [lai- des é(|nalions li'anseendantes. dont tontes les i-ieiues 
S(Uit réelles. Il ne serait point néci^ssaire de denionlrer cette piopdsi- 
tion. ([iii est une coiisé(iin^iice, pour ainsi dii-e évidenle, du principe 
de la coinniunication de la chaleur. Il sullil de reniai-([uer (jue ces 
•'•([uations déterminées ont une infinité de racines; car ces l'acines ne 
peuvent être que réelles; s'il en elait autrement, les mouvements 
lilires lie la clialeui' seraient as>uje(tis ;i des oscillations. i-e (]ni esl 
impossilde sans l'action de causes péi'iodiques extériei'.res. 

Il était utile de considérer an>si la propositi(Ui dont il s'a.^îil eotniin' 
un llieori'nie alistrail, londé sui' les seuls principes du calcul ; et je l'ai 
présentée sous ce point de vue dans diU'erenles reclierrhes. M;ii<, celle 
question n'ayaul pas ele examinée avec une atleulion sul'tisanle, on a 
contesté la véiali' de la |»roj)osition l'ondamenlale. On a soulenu. pen- 
dant [ilusieurs années, ijue ces é(|uations transcendantes ont des 
l'acines imai;inaires; et l'on a cherché ii le prouvei- de dilléreules ma- 
nii'res. Ces objections ayani été réfutées, on a enlin reconnu i[ne la 
pro()o>itiou est vraie, et l'on se iMU'ue maintenant ;i en pi'oposer 
diverses démonstrations. Va\ ellét. ce ihéori'ine a C(da de commun a\ec 
la plupart des vérités malliémali(jues (|u'elanl une fois connues, on en 
peut aisément multi[dier le^ preuves. 

l-ji rappidaul cette discussion dans une pai'tic de mou .Mémoire, j'ai 
eu |)rini;ipalemeul [)Our (dijel de faire couuaili'e foule r(''leudue de la 
pi'oposition, et de lemonfer an jii'incipe dont elle dinive. 

Si l'on considère, par exemple, une suite (l'euvcdiqipes concentrn|ue>. 
de dimensions et de formes (|uelcon(|ues; si \\u\ donne à ces vases, 
quid i|u"en soif l<' uimilire. des températures initiales arhili'aires, et. 
ee qui augmente lieaucoup la généralité de la ([ue>tion, si l'on aflriliue 



I7(i 



S l r, L V l'H E (> rt 1 E \ \ \ lA ï I l E 



lies capacités spcciliqucs quelconques aux li(|uiiles contenus dans ces 
vases, eu siipposanl aussi (|ue les facultés conductiices îles eiivelopjies 
sont arl>iti'aires. depuis le premier vase jus(|u";i l'enveloppe extérieure. 
(]ui c()iiiiiiuui(]ue il l'air, entretenu ii la lenipéi'atnre zéro, la (|uestion 
du iiKMivenienl de la clialeui' dans ce systi'Uie de vases est tirs compo- 
sée; tous les éléments en sont ariiitraires. Or on prouve, et um'uiic sans 
cairul. <|ne les iMcines des équations di'lerminées (|ui conviennent ;i 
ces (|ueslions sont toutes réelles. Il sui'lil. pour le conclure avec certi- 
tude de c(uisidéi'er la suite des variati(Uis de sii;in's (|ue présentent les 
valeurs des teni|iéi'aturi's, et les cliani;i'ments ipii surviennent dans ce 
niMidire des variations, diqiuis l'élat initial du système jus(|u'ii l'elat 
linal dont il s'approche de plus en plus pendant la durée inlinie du phé- 
nomène. 

Au reste, dans chacune des (]uestions du mouveinent de la chaleur, 
re théori'me sur la nature des racines se déduit aussi de l'anaUse eénc- 
raie des e(|ualions. 

L'ap|)licali()n (|ue j'ai faite de cette analyse a donné lieu (JDurnal di' 
r licolr l'()lvlcc/iiii(iiii\ XIX'' (Cahier, p. iiS-j, 383 ) ;i des ohjeclions (|u'il 
m'avait |>aru inutile de réfuter, paice ([u'aucun des i^éomèlres (|ui ont 
traité depuis des (|ueslions analogues ne s'est arrêté îi ces olqections; 
mais, comme je les tr(Mi\i' reproduites dans le nouveau \(dume de la 
c(dleclion de nos .Ménioiics ( nouveaux .Mémoires de rAcadéniic des 
Sciences, M('iii()ii<- sur I njndilirc cl le ntoincmciil des corps claslicjucs. 
I. \ III. p. 3()7 ). celle réfutation est ilevenue en quelque sorte néces- 
saiic: je l'.ii donc insérée dans un Arti(de du présent Mémoire. l']lle a 
p(Uir (dijel de pi-onvcr que l'exemple cite par M. Poisson (Joiiriidl de 
i l'.cidc P(dylcchiti(jiir. XiX'' Cahier, p. JH) ), en alléguant que, dans ce 
las, ra|tplication du lhé(urme serait fautive, donne au coniraire iim- 
eoiiclusi(m conforme ii la pr(q)ositi(Mi geiu'rale. 

L'erreur de r(dijection provient : i" île ce (lue l'auteur ne considère 

point le n(unhre intiiii des facteni's égaux de la fonctiiui r'' ou ( i -t- '- ) > 
oii le nondire // e?t inlini: ■-;" de ce (|u"il omet dans l'énoncé du théo- 



DE 1, V CIIAI-Eli;. 177 

irmc 11' miil m-/. i|ni rn e\|iriinf le vriiuilpli' S(.'n>. (Voir T/icorir de /</ 
cJndcnr. p. 337. ft aussi |i. î'i'i. -n-t. ;>I2. ) 

Les tliéorèincs (le l'analyse des é(]uatiuns déteriiiinées ne sont nul- 
lement restreints aux équations algébriques : ils s'appliquenl ;i (ouïes 
les fonctions transcendantes (]ue l'on a eonsidérées iii>(jn'iii , cl sjie- 
eialement ii celles qui appartiennent à la tliéorie de la chaleur. Il siitlil 
d'a\xiir éuard à la convei'çence des séi-ies, ou à la timii'c des lignes 
cour!)es dont les limites de ces séries repiésentent les ordonnées, lui 
général, les theiuèmes et les méthodes de l'Analvse ali;éhri(|ue con- 
viennent aux fonctions transcendanles cl à toutes les é(|ualions delei'- 
minées. Le premier membre peut élre une fonction (|uelronqne. Il 
suffit (lu'elle soit propre à faire connaître les valeurs de la fonction 
correspondantes aux valeurs de la variable, soit (|ui^ ce calcul n'exige 
i|u"un munbi'e limité d'cqiérations, soit (pi'il fournisse seulement des 
résultais de plus en plus a[)prO(du''S. et qui dilï'érent aussi peu ([u'on 
le veut des valeurs de la fonction. 

Il y a des (\(S où la résolution exi^e (jne l'on considl're tonte la suite 
des finctions dérivées : il y en a une multlludc d'anlrcs oii rcxanicii 
d'un nombre trl-s limité île fdiicliiois dérivées suffit pour rendre mani- 
festes les propriétés des courbes i|iie ces fonctions re|irésentent. el 
pour déterminei' les racines. On y [larvicnt. ou par la seule cojnparai- 
>on des signes, ou, |)oui' d'autres cas, par la si'paration successive de 
certains facteurs dans les équations dérivées. La l'ccherche des limites, 
les relations singulières du nombre des variations de signes avec les 
valeurs des racines, le tbéoil'me dont la iri:le de Descarle> est un cas 
particulier, et ([ui s'appli(jue, soit aux nombres des variai ions de signes, 
soit aux dilferences de ces nombres, eniin les ri'gles j)our la «listinciion 
des l'acines imai;inaires, s'élemlcnt cerlainemeni ii tous les geni'cs de 
fondions. Il n'e^t pas nécessaii-e iiiTen poursuivant les dilicienlia- 
tions on puisse tonj(Uii's former une eijualion dnnl on ,-ait que toutes 
les racines S(Uit réelles. Ce serait retrancher une <lcs [lartics les plus 
importantes et les [)lus fécondes de l'art analyti(|ne (jiie de borner les 
théorèmes et les règles dont nous parlons aux seules fonctions algé- 
IL 23 



ITS SI P. LA THEORIE WAEVTIQl E 

l)i'i([ii('s, on d^'tciiili'e seiiliMiieiil ces tliéoivincs iiqiiolfjiios (Ms pai'ticii- 
licis. Li ('()nsi<I('ration tlc^ courbes dérivées successives joinle au pro- 
cédé (|ue j ai i\i)\\\\i' ( lliillctin (le 1(1 Sorièlé pJiilomatliMiitc. année 1820. 
p. i>S">, iS-). et qui l'ail eonnailie pi'oniptement et avec certitude si 
deu\ racines cluM'cliées sont imai;'inaires ou réelles, sullit [)our résoudre 
toutes les ecjualiims delerniinées. 

Je i-eii'rette de ne pouvoir donner ;i ces reniar(pies tliéori(|ues les dé- 
V(doppenienls (prelles exigeraient. J'ai rapporté plusieurs éléuuMits de 
cette discussion dans la suite de ce ^renioire; (die sera exposée plus 
coniplétenienl dans le Traité (pii a pour objet l'analyse iicnérale ile> 
équations détei ininées. 

J'ai ajouté ;i cette inéme Partie du ^b'Uioire qindcpies reuiai'ques sur 
la (|neslion du niouvement des ondes; elles se raj)portent aussi ;i la 
tliéiH'ie analy[i(pie de la clialcur. parce (pi'tdles concernent l'einidoi 
des l'onclions arbitraires, i.e but de ces remarques est <lc prouver «pu' 
la (jiu'slion des ondes ne peut élre géni'ralenient rt'soliie si l'on n'in- 
troduit pas une t'onclion arbitraire qui re[)résenle la fii^ure du corps 

pliUl^c. 

I>es condilions (pie su|)posenl les éqinilions diirér(Mitielles |)i'opres à 
celte question, et les conditions r(datives aux molécules de la sni^l'ace. 
n'enux'cbent aueum^irieiit l'einiiloi d'une l'onction ai'bitraiic (ies con- 
ditions s'établissent d'elles-mêmes, ;i mesure (|ne les mouvements dn 
li(piide dc\iennenl de plus eu pins petits pai' l'cllet des causes n''- 
sistantes. Le calcul repr(''sente ces dernil'res oscillations, (|ni s'accom- 
|dissent pendant toute la dur(''e du pbénomJ'ne apri's (|ne les conditions 
sont établies. C'est toujours sous rv point de vue (pi'il faut considerei- 
l'analvse des petites oscillations, car les résistances dont on l'ait d'a- 
b(n'd absli'action subsistent dans tous les cas, et finissent par anéantir- 
le nmnveiiH'ut; mais il est nécessaire de ne [loint pai'ticnlariser l'étal 
initial. 

V.w ellel, l'étal (]ui se l'or'me aprJ's (pie la coiilinnil('' s'est établie 
de[)end lui-même et ti'i's |irocliainemenl de la disposition initiale, (pii 
est eiilii'remenl arbitraire. I>a continnile est compatible avec nue 



j)E L \ en am:i i;. itî» 

iiitiiiilé (le foriiics qui (liHëirraii'iit exIriMiiriiii'iit iln i)aral)til(ii(li' ; ri 
l'on ne peiil pas rcslrciiidrc à cette deniièi'c lii>iir-e celle du petit ell|■p^ 
iiiiiiier_ii-(^ sans alterei-, clans ce (|u"(d!e a d'essentiel, la ^ui'nt'i-alite de hi 
(jueslion. Dans le cas même du pai'aholdnle. l'état initial du li(|uid;' 
est discontinu, et les pi'cniiers mouvements dillerenl de l'cux. ([ue le 
calcul représente. 

1-Ji réponilanl, il y a (|Uid([ues années, à des oliservatious (]ue 
M. Poisson a puldiees au sujet d'uu de mes .Mémoires ( lliillittii dts 
Sciences. Socicle ji/ii/oz/n/l/ii/fiic. année iSiiS, p. i-j<)-i iij, je n'ai jiu 
me dispenser de [■emar(jner (|ne. [mur satisfaire i> l'etendui' de la (jucs- 
lion des ondes, il faut conserver une l'onction arbitraire: ri j'ai du 
confiedire cette proposition (|ue, quelle (|ue soii la ('(U'Uie du corp-' 
plouice, s'il est tri-s peu enfoncé, on |ient rem|dacer ce petil se.umeiit 
par le paraholoïdc osculateur. Il e>l certain, en eli'et, ([ue cette snil•^li- 
lutiiui de la parahole ii une iiiiure (|U(dcom|iie ne peut coiiduire (ju'a nu 
résultat très particulier. Si l'on ajoute présentement ( Xomcdiia- Mv- 
inoires de l Aeadcmie des Sciences, t. ^ I II. Xale sur le proldènie des ondes. 
|>. 2i()-i:iji (|ue i-'e>t la condition de la <'ontinuite ;i la surface <Hii 
donne lieu à celte restriction, la c(mse(|uence n'est pas plu-, fondée, 
parce (|u'il y a une infinité de cas oii la continuile siili-iste, quoique la 
ti^iure du corps plon,ïï('' s'écarte l)eaucou[i, et dans tous ses eiémenis. 
de celle du paraliolonle. Les i-as où l'auteur- reconnaît maintenant <|nr 
<'elle sul)-tilulion ne serait jias permise ne se réduisent point ;i i|uel- 
([ues-uus: ils sont au contraire iulinimenl varies, cl l'analyse doiun- 
une solutiim incomparahlement plus générale, (|ni n'exclut [(oini \>'> 
eonditioiis r(datives à la surface. 

IV. Dans la (|uati-it>me et dcrnii're Partie du Mémoire, on apidi(|ue 
la solution liéuérale, ((ui est rolijel du premier parai^raphe, aux prin- 
cipales i]Uestions de la tlieorie de la chaleur. On supposera donc (]Uc 
la capaiite s[iéciil([ue. la couduciiiilile inici-ienre ou pcrmeahilite. ia 
conducil)ilité extérieure qui dépend du l'ayonuement et de l'acliiin du 
milieu, ne sont [loint exprimées ])ai' des coefticients eutièrement con- 
stants, mais ([ue ces qualités spéciiiques sont assujetties ii des varia- 



180 SI 1! LV THÉO RIE WALVTIQIE 

lions qui dépendeiil de i;i (cmpératuro, ou de la [irofoudeur. ou de la 
densité; et l'on se propose de déterminer les eliangenients que ecs 
variations introduisent dans les fornuiles déjà connues qui conviennent 
à des coel'IiiMenls constants. 

Or dans ces diverses (|nestions, par exemple dans celles du prisme, 
de la splif're, etc., on l'eeoiinait que le calcul pent se rameniM' dans les 
cas les plus composés it rapj)licalion de la formule iiénerale (M, (|ui 
satisfait ;i re(|nalion dillerentielle du niduvemenl de la chaleur, et con- 
tient Ir'ois fonctions arliilraircs. Cv^l poiii' cette raison (|ue nous avons 
expli((ué avec lieancon[> de soin, dans la première Partie de notre .Mé- 
moire, la solution de cette question fon<lamentale. 

Il est d'abord nécessair(\ pour fonder la théorie, de considerei' les 
coeflicients s[)éciii(|ues comme constants, et l'on pent maintenant 
ajouter au résultat principal un ou plusieurs termes dus aux variations 
(]ui seraient indl(inées [)ai' des expériem?es [H'éeises. Nous avons pré- 
senté ces vues, di's l'orii^ine de nos reehendu's, en 180-, iSi)8 ou 181 i, 
et nous les avons reproduites dans la Titcorie <le la c/ui/ciir. p. '58, V3<), 
"1 '|i) et 5'| I . 

En rap[)elant ici ce i^enre de (juestions, on doit citer surtout un Mé- 
moire (jue M. (iuillaume Lihri a présenté ;i l'Institut de Fi'ance eu 
182"), et (|ui a été imprimé de[)uis ;i KIorence. L'auleui', (|ui a cultivé 
avec 1(^ i)lus i,nand succès les branches principales de l'Analyse mathé- 
mali(pii'. a traité la ([uestion du mouvenn-nt de la chaleur dans l'ar- 
inille, en ayant éi^ard aux petites variations des coeflicients : la mé- 
thode (|u"il a suivie cl les résultats aux(|nels il est parvenu méritent 
tiUile l'altenlion des i^éono'tres. An reste, cette recherche analytique 
est fondée sur les observalioiis «pie l'on doit ;i MM. Duloni; et i'elit, et 
(|ui ont été couronnées par l'Académie. Elles ne sont pas nujins l'cmar- 
<|uables par les coiisé<|uences lliéori(|ues (|ue par la [U'écision des 
résultats. 

Nous venons d'indi(|uei' l'idijet de cette derniJ're l'ailie de notre 
Mémoire. La concliision i;euerale de ces recherches est (|ue la l'héorie 
analytique de la chaleur n'est [loint bornée aux (inestions où Von suj)- 



I»E LA CHALELIi. ' |S1 

piisc cDiistaiils les coeCticients ijui mcsuri'iit la i'a|iai-it('' <li' diali'iir. la 
[icrnicalMlili'' lies soliilcs, la [i(''iii''ti'al)ilit('' ilrs snrfaci's. I!llr s'riciiil. 
|)ar la inrtliiKle des a|)[)roxiiiiati()ris succcssivos, cl >urlini( [lar rmijddi 
(le la siilutioii (|iii est ili''i»iinlr(''e dans le pi-eiiiier para^i'aplie di- ce 
Méiiioiii', ,"( toutes le^ |ierl iiiliàtiitiis du niduviMiient de la idialein-. 



HFJlAHurES (iÉNÉIIALLS 



<ri'. I AITlli-AilnN 



PRIM'.ll'KS IIK LANALVSK ALLI-RRUil K 



K 1 A T I ( I \ s T It A N S C K M I A N T K S . 



Kl-MAKQIES (lÉNÉUALKS 

SIP. 1,"a l'I'I.ICATKiN 



PlIlMJrKS DE L'ANALYSE ALGÉBUIOIE 

Al A 

i-: (j u AT 1 ( ) N S r i{ A N s ( ; i- n i > a n t i ; s . 

(,Lu .'i l'Acailéinir nnalo dos ScicniT^. le i| mars iSi.|,) 



JJci/iiiirvi (le t'.lciitic'niii' nna/e ilc\ Siiriues de l'hislitiit ilr rnnuc, I. \. |p. i l'i d l-JC. 

I\u-is. Diildt. iSji. 



Avant (Ir Iraitrr la ([ucstiitii (|iii est rdlijfl [tiiiiripal ilc ccltr Nulr, jr 
discutc'i'ai, dans un [H'oiiiier artii'lc. uiu' nliicclnm |ir(>[i(is(''i' |iliisii-m-s 
fois jiai' \\. Poisson, et (|iio ce savant i;éoniètr(' a r('|iro(luili' rcccnuiH'nl 
dans nn Kcrit présenté à l'Acadéniiu. 

Pour l'ésondrt' la (|U('slion du niouvcnicnl de la rhalrnr dan^ Ir i'\- 
lindi'ç solide, j'ai apidicjué un tliéorénu' d'analyse ali;i'lirn|ne ;i re(|Ua- 
tion transcendante propre i» cette (|ucstion. M. l'ois>on n"adniel point 
cette consé(juence. 11 ne se liorne pas ii dire i|ue l'on n"a point ein'oi!' 
publié la démonstration de ce tlieorèine en taisant cininailn' (|u'il 
s'applique aux é([uatioiis ti'anscendantes : il soutien! (jne l'on anivc- 
rail il une conclusiiui fausse si W\\\ étendait celte proposition ii rrijini- 
tioii exponentielle 

(l) e' — //;■"•' = O. 

Il assure <|uc, si l'on lait, dans ce cas, l'application litteiale du tliéo- 

11. 2.', 



18li APPLICATION |)|' L'WVLVSE A l.(i K lUl! QUE 

li'iiic, on liouvc (|Ut' r(''(|iialioii (i) et ses dérivées ont toutes leurs 
iiieines réelles; et, eoniinc i! est évident (|ue eette équation a des 
racines iiiiai;inaires, l'auteur en eonelut (jin' la proposition conduirait 
ici II une consé(|uence eri"onét\ Je nie propose : i" de discuter ci^te 
objection spéciale, et de montrer ([u'elle n'a pas de fondement; 2" de 
|ii((uvcr (|ue le lliéoii'uie dont il s'a^^it s'appli(|ue exactement à ré(|na- 
tion transcendante pro[)re au cylindre. 

En général, cette proposition, exprimée dans les termes tlout je me 
suis servi, doit s'étendie aux ei|uations transcendantes; en sorte (|ue 
l'on commettrait une eri'cur ii'rave en restrei^Miant le tliéori'me aux 
e(|uatioiis ali;él)ri(|ues. 

Dans ce pi'emier article. (|ui se rapporte à ré([uation citée (\), je 
montrerai t\nr le tliéoréiue n'indi(]ue nullement (|ue celte é(|uation (1) 
u"a point de racines imaL^inaires. Au contraire, il l'ait connaitre (|u'eile 
n'est |)as du U(unlire de c(dl(>s (jui réunissent les conditions (|ue le 
théorème suppose, et (jui distinguent les équations ilont toutes les 
racines sont réelles. 

M. Poisson a présenté, jioiir la premii're lois, cette objection clans le 
\l.\' ('.allier du ■liiitiiKil (le r lu-olc l'olylecliiiiiitc. p. 3S2. Il ne citait 
point le tliéori'me dont j'ai l'ait usage, mais une proposition très dille- 
rente, puisqu'il y omet une condition (|ui eu est une pai'tie nécessaire, 
et ([u'il ne regardai! point comme sous-entcndue. La l'ét'utation aurait 
d(M:c été. pour ainsi dire, supertlue; mais le même auteur a reproduit 
son objection plusieurs aini(''es apri's, et c'est alm's seulement ([ii'il a 
cité la pro|)ositiou dont il s'agit tidie (ju'on la li'ouve dans la Thcoric de 
1(1 rluilcur, p. !3'i') et 33(j. 

\ iiici l'énoncé du tlM''ori'me : 

Si l'on éci'it ré(|ualH)n alL:;vlii-ujui' 



et toutes celles (jui en délavent par la dillérentiation 
\'= o, X"=r o, .\.''=-o, ..., 



Al \ KOI \TI(»\S Tli VNSCKM» \\Ti:S. IH7 

et si l'on roCDiinait (|U0 lotilf ninnc n-clli' iriiiic ([iirlionijiii' Ar rus 
équations, étant suhstihiéc ihns cclli' qui la |)i-(''ci'il(' l't (laii> ci'lic i|ui 
la suit, donne deux résullals de sii^nes conliaire^, il est rcrlain ipie la 
proposée X = o a tontrs ses l'aeines réidies, et (|ue. [>ar (■(insé(iiii'iil, il 
en est de même de toutes les équations subordonnées 



\ = o. 



X 'z= o. 



Or, en pi'(q)Osant robjeetinii donl il s'agit, on n"a point l'ait l'applira- 
linii littérale du lln'ori'me, parci' cpi'nn a omis de (■onsi<li''rfr les i-a- 
rines l'écdles du laeteur r"— o. Ci' fartenr coïnridc avec cclui-i'i. 

( I — — ) = O, lorsdue le iioinlirc m croit sans limites l't de\i('nt idn- 

V '" ' 

graml que tout ncunhre donm''. L'é(|uation r' = o a doue une intinih- 

lie facteurs dont on ne doit point l'aire alislraction lorsqu'on mlrr- 

prend d'ap[iliquer lextuellemenl la j)roposilion. On ne peut pas dire 

que l'équation 

c'- — lie" = o 

a une seule raeine réelle e( une infinité de racines imaiiinaires ; car 
cette équation, (|ui a une iidinilé de racines imai^inaires. a aussi une 
infinité de racines réelles. Or ranfeur n"em|doie (|u'une seule de ces 
racines réelles : il en omet une inlinilé d'autres éi^ales entre idies, 
savoir celles qui réduisent ;i /.éio le l'acteur c'. 

Lorsque, dans ce facteur, on allrihue à r une valeiii' n'clle néi;ati\c 
dont la i,M'an(lenr absolue surpasse (ont nombre duiuié, la fonction r' 
appi'0(die conlinuellement de zéro, et (le\ient pins petite (]iie tout 
nond)re ibuiné. C'est ce (|ue l'on exprime en disant que ré(|nation 



a pour racine réelle une valeur inlinie de .r jirise avec le silène — . \ ne 
fonction ttdie (pie r" diffère essentiellement de celles qu'on ne |iouriait 
jamais rendre nulles, ou plus petites ((ue tout nombre donné, en attri- 



188 AI'I'LICATIUN DE LANALYSE ADiÉIïUIQLE 

liiKinl ;i .)■ (Ii's valuiiis rrellcs. Lorsqu'on assimile deux (onctions aussi 
iliUrrciitcs, on doit anivcr ii dt's conséquences erronées. 

On connaît encore la natuii' de récjuation r' =^ o si on la Irausl'orme 

1 



en écrivant .«• = 



car la transloi'uiee 



a ceilaiiienient zéro poui' racine l'éelle. |iiiis(|ue la ligne dont ré(|na- 

tion serait v = c ' ' con|ic l'axe ii rorii;ine des a-'. 

Pour l'aire l'application coinjdète du théorème ([ne nous avons énoncé 
il r(''(|uation 

IV' — hc"' = o, 

il ne l'aiil pas se liorner ;i une seule des racines réelles de cette éijua- 
lioii, mais les considérer toutes. Or, si l'on rétalilitces racines réelles 
.iiix(|iiellcs rauteiir de rcdijeclion n'a point eu éi^ard, on voit (|ue la 
règle n'indique nulh'ilient que tiuites les l'acines de ré(|uatioii sont 
réelles. l*'lle montre, au contraire, (jue cette é(|uation ne satisfait pas 
aux conditions (|iie le lliéoirme suppose. 

l'our étalilir celte coiisé(|uence, nous allons rappeler le calcul même 
qui est employé par rauleur; et, alin de rendre les expressions plus 
simjiles. sans altérer en rien les conclusions que l'on en déduit, nous 
considérerons seulement l'éipiation 

('■'■ — &-■''= o . 

!>(■ lecleiir pourra s'assurer racilemenl ([ii'il n'y a ici aucune dillérence 
entre les coiisé(|uences (|ui conviennent ;i ré(]uation 

c"''- //("'■'■— o. 



a cl II étant i^osilils, et celles que l'on déduirait de l'équation très 
sim|dc 



VLX ÉQUATIONS Tfl \\S(.EM) A MES. 

Kci'ivaiit donc 



e''— 2"c-' 



2"-' c--''. 



189 



\ 


r=. e- 


d.r" 


= e- 


'/"-'\ 




dx"-' 




d"--\ 





dr'" 



e'— ?."--e--'. 



('( posant l'équation 

d'-' \ 
dl^' 



ou 



o, 



on on tiro la valeur do r pour la >iilistituor dans les doux vaionrs de 

d' \ d" • - \ 

-r— et -; — -■ Par cette olimination, on (ronve 

d.i" dx"~- 



d"\ 
d.t" 



d"-'\ 
d.r"~'- 



__ 2«-ie2' 



et l'on détermine la valeur du iiroduit V— ', „ "> qui est 2-""''''. 



_.. ,^\ d'-'\ 

L'auteur eu conclu! (|ue luule racine réelle de l'éiination inlerniédiaii'e 
,„_i "' étant >ulistituée dans l'équalion (|ui |)ri''céde et dans ndli' ipii 
suit, donne deux, résultats de sii^nes contraii'cs : c'est celle ciundu^ion 
que l'on ne peut pas adnietlie. En eirot. si la valeur reidie de r ijui 
rend nulle la fonction intermédiaire e'' — 2"^' c"" ri'duit à /.('i-o le j'ai'- 
teur c'' commun aux deux termes, cette même valeur de r étant suhsli- 
tuée dans la fonction (jui préciMle, savoir r'— 2'V-' , et dans celle i|ui 
suit, savoir r'"— ■2""-e-^, réduira l'une et l'autre ;i zéro. Les deux résul- 
tais ne sont donc point de sii;ues dillérents, ils sont les mêmes, [''oii 
que l'un des l'csultals iïit positif et l'autre négatif, il faudrait ne consi- 
dérer parmi les lacines réelles de re(|uation 

e' — •i"'-'t'--'=:o 

que C(dlcs de ces racines qui ne l'endent point nul le facteur '■■''. {)y il 
n'v en a (lu'une seule, savoir la racine réelle du facteur 



1 — 2"-'C' = 0. 



Ji)0 



AI'PLICVTION DE L'ANALYSE ALGEBItlOI L 



Celle rneiiie, (iiii rend r' éi;alo à -~r—r doniio eértaiiiemenl deux lésul- 
lais de silènes (i|i[t<isés: mais l'appliealioii du ihéorèiiie ne consiste pas 
à snljsliliii'r dans les deux fonchDns iiileianédian'cs une seule des ra- 
eines rétdies de ré(|iialion 



elle e\ii;(' (|iie l'on emploie toutes ees raeines, et il est nécessaire (ju'il 
n'v ait aucune de ces racines réidies (|ui, étant suhstiluée dans les deux 
loin'ticMis inlermédiair-e<, ne donmj deux l'ésullals de sii;iU'S opposés. 
C'est ce ijui n'arrive jHiinl ici: car il y a, au eonlraii'c, une iniinih' de 
vnleur> ré(dles de x ddiit chacune, étant mise pour .r dans les deux 
lonctions intermédiaires, donne le méiDc l'ésultiit, savoir zéro. 

i'onr appli(|uer à nue équation \ -- o la proposition dont il s'aiiit. 
il faut rcconnaiti-e avec certitudi' ([u'il n'y a dans le système entier des 
l'oiiclions dérivées aucune IVmcliou intermédiaire (|ue \'*n\ puisse rendre 
nulle en niellant pour .r une valeur réidle (|ueIcon(|ue (jui, substituée 
dans la roncliou pi'éeédente et dans la suivante, doniu' deux résultats 
de même signe. S'il y a une seule de ces valeui's réelles de r {]ui, ren- 
dant nulle une quelconque des l'cMietions inlermédiaires, donne deux 
résultats de même signe pour la l'onclion précédente et la fonction 
suivante, ou si l'on ne peut i-ec(Miiiallre avec cei'tilude qm^ les signes 
des deux résultats sont dili'éreuls, on ne doit point conclure que toutes 
les racines de X = d sont rcidles. 

Doiu; on n'est point loudé à ohjecler (|u'il résullei'ail du lliéori'me 
algéliri(|ue (jue l'équaliiui 

a tontes ses racines ré(dles. 

Il en est exaclfunent de même de ré(|uatiou 

OÙ l'on suppose a et l> des niuulires positifs. I'onr conclui'e ()ue la 
pro|»osilion indi(|ne dans ce cas que toutes les racines sont récdies. 
il faudrait nécessairement omettre toutes les racines i-éelles du lac- 



AUX ÉQl VTIONS Ti! \NSr.EM)\NTi:S. liH 

leur ('•^=0. Il laudrail doiii' {li'iiioiilicr i\\u' ce l'acteur n'a |H)iiit lic 
racines, ou (|n'elles sont tontes imaginaires: et Taisant, comme noii> 

l'avons dit jdus liant, r = 7^, il laiidrail supiioseï- (jue rr<|iiatliin 

1 
transformée p ''= o n'a pidnt zéro ponr racine réelle, en soi'le (|ne la 

1 
courbe dont rt''(|ualion est \- = r 'lie rencontrerait point l'axe des .r 

il l'oriiiine (J. Tonles ces coiisé([neiiees sont contraires aux primipe- 

dn calcul. Au lieu de cmiclnre ([ue. dans l'exemple cité, le théoii'mc 

est en défaut, ce soiil Irs iwprcssioiis <lc t'aulciir. tome \ III des nouxeanx 

Mc/Noins de l' Acadi'mie royale des Sciences, il faut reconnaitre i|ue, dans 

cet exemple, les conditions (|ni indiqueraient c|ue toutes les racines 

sont ré(dles ne sont point satisfaites. 

Le résumé très simjile de notre discussion est (]ue la diffoiilté assi- 
iTuée s'éviinonit entiJ'remenl si, au lieu de faire une énunieralion in- 
coni[ilète des valeurs réellesde -r qui rendent nul le l'acteur commun e'. 
et par conséquent la l'onction e' — lie"' , ou c(uisi(lére (|ue cette fonction 
devient plus petite que tout nomlire donné lors(|u'ou met pour.r une 
([uantité l'éelle négative dont la valeur absolue devient [dus grande (pie 
tout nombre donné. 

Je ra|)pellerai maintenant ré(|uatinn déterminée pro[)re ii la (|uestioii 
du cylindre et les [irincipes ([ui m'ont conduit \\ appLupier avec certi- 
tude il cette éijuation \\\\ théorème d'Analyse algébri(|ue. I.'e(|natii'U 
(|ui sert ii représenter le mouvement de la cbaleur dans le cylindre 
solide est commune \\ |)lnsieurs (|iiestions pliysi([ues; elle ex[uime 
les elfets du frottement dans un systi'ine de plans (|ui glissent les uns 
sur les autres, et (die se reproduit dans des reclierclics dyiianii([ues 
très vai'iées : ainsi il est utile d'en discutei' avec soin la naluic. 

31. Poisson a pense (|ue la proposition énoncée plus haut, concer- 
nant les conditions des racines réelles, ne s'a]ipli(|ue |i(iint aux fonc- 
tions transcendantes, si ce n'est dans des cas tivs particnlier> i MX'' Ca- 
hier du .A'w/v/^// rA' /'/:'ro/ç l'olylecliniiiite. p. JcSi); mais, par rapport ii 
l'équation dcterminée (jui c(Uivient au cylindi'c, il a adopté successi- 



192 Al'PLICATION KK LVNVLVSl:: ALGEHIllOlE 

vciiu'iil (Il'Iix (»|iiiii()iis (lill'eicntes. Dans le (orne VIII des Nouveaux 
Mni/iiin-s de l' Acddciiiic des Scii-nccs (p. 30-), après avoir aftiriué (le 
iiiiuveau ([lie le lliéorème nii' serait eu deCaut si on rap|ilii[uail à 
riMjiiatiou eX|ioiieulielle 



Z^e"-' 



: O, 



il ajoute (|iie la r(',i;ie eonvieut cepeudaut ;i l'é(|uatiou 



(■'.) 



.2'- .r'' ,/■* 

~ '2- 2-. 3- ' i-.S'-.^' 



(]ui a|)jiartieut ii la (juestiou du eyliudie. Le nKMUe auteui' a ('nonee uue 
autic eouelusiou daus uu seeoud éci'it pr(!'seulé it l'Acadériiie: il y rap- 
pelle (|u"il avait d'al^n'd pensé (|u*à cause de raceroisseuieul des déno- 
minateurs le théorème s'a[)[di([iiait ii ré(|uatiou {■!), mais (ju'eu y 
réll(''eliissant de nouveau il a reconnu ([ne cette consé(]uence n'est pas 
l'ondée. 

il serait inutile de discuter ici ces conclusions, (|ui, en ed'el, ne 
peuvent être toutes les deux vraies, puis(ju"elles sont opposées, .le 
dirai seulement (pie l'apiilicatiou du théorème al2;él)ri(|ue ii la ques- 
tion du cvlindre doit être déduite d'une analyse exacte (|iii exclue 
toute ineertitude. 

(Juant aux princi[ies (jiie j'ai suivis pour rés(Uidre les é(|nations alg('- 
l)ri(|ues, ils sont très dillérents de ceux ([ui servent de f'(Uidement aux 
reeliei'clies de de (lua ou ;i la métliode des cascades de Kolle. L'un et 
l'autre auteui'ont cultivé l'analyse des é(|ualioiis; mais ils n'ont point 
l'ésoln la diftlcultc principale, (pii consiste ii distinguer les racines 
imaginaires. Lagraiige et Wariiig oui dimué les premiers une solution 
llté(U'i(|ue de cette (|uesti(m singulii'i'e, et la solution ne laisserait làen 
il désirer si elle était aussi praticalde (lu'elle est évidente, .l'ai traite la 
même (|Uestioii par d'autres principes, dont l'auteur de l'objeiiion 
parait n'avoir poiiil pris connaissance, .le les ai piiMies, il v a plu- 
sieurs années, dans un .Mémoii'c spécial (Hiilitui des Saviu-is. Sucidè 
ididoiiuilliKiiK . |). (1 1 , aniuH's 181S, et p. 1 )(i, 18201. 



A l \ É r AT I () N S r T! V N S C E \ T) A \ T i: S . 1 !):? 

.I"ai l'ii priiiei]talem('iit imi vue, dans cet i'cn\, la n'soliitiiui di's (''(|ua- 
(ions ali;i'l)ii(jues: je pense (jne personne ne poul eonhslei- l'exai li- 
tude de eelte solution, doni l'applicalion est l'aeile et iiénerah'. V.<a 
terniinanl ce 3Iémoii'e tiTS succinct, j'ai aj(nilr ([ne les |ii-opo>irnuis 
qu'il l'enl'erme ne conviennent [)as senleuient aux é(|uations ake- 
luiques, nuiis (|n'(dles s'ap|iliiiuent aussi aux éi|uations IraoM-en- 
dantes. Si j'avais omis cette reinai'([ue, j'aurais donné lieu de croire 
que je rei^ardais la inétliode de résolution comme liornée aux l'oui-- 
tious al^idiiiipu'^. proposition entii'remcnl lau>se : car j'avais reconnu 
depuis longtenqis ([ne les mêmes |uinci[tes résolvent aussi les équa- 
tions mm alî;él)ri([ues. Je [lensais alm-s qu'il sul'tisail d'cnoncei- cette 
remar([U(\ Il me semidait (|u'en lisant avec allenliou hi dcmon>liatiiui 
(les llicdirnies. on distinguerait assez f'acilemeul ce (|ui convient ;i 
l(Mites les l'onctions e( ce qui [lent dé|ien(lre des |ir(qirielés spciiales 
des fondions algél)ri(|ues entières. Il est évident (jue ces deruil-res 
fonctions (uit nu caractère jiarliculiei', ([ui provient snrtoul de ce (|nc 
les dilVérentiations l'épétées réduisent une tidle fonction ii un nombre 
constant; mais les consé([iieiices principales dont le Mémoire conlient 
la deiuonslration ne sont [loint fondées sur cette |n'o[)riéli'' de- l'uic- 
tions enlières. Les conclusions ([n(^ l'on tire des >iiines des reMiltal>. 
les [uocédés d'approximation, les conditimis aux([uelles il e-1 néces- 
saire que ces procédés soient assujettis, la mesure exacte de la con- 
vergence, les dilférentes règles (|ue j'ai données autrid'oi- dans les 
cours de l'Iicole Pol\teclini(|ue [tour suppléer ;i l'usage de rc([ualion 
aux dillerences, et (|ni conduisent toutes à distinguer facilement les 
racines imai^'inaires. les consé([ueuccs ([ue fiuirnit la ciun|iaraisou des 
nombres de variations de signes en ne considérant ([ue les dillerences 
de ces nombres, toutes ces pr(qiosilions fondamenlales. ([ui con-tiluenl 
la méllioile de rés(dution, s'a|qdi(|Uent aux fducliiuis non al;ieiiri(iues. 

Quant aux conditions données [lar de (iua [)our r(M'(nuialtre ([u'nne 

é([Uation a toutes ses racines réelles. (Iles conviennent cerlainemeut à 

toutes les équations, soit algébriques, soi! Iranscendanlo. (|ni xiiit 

composées d'un nombre fini ou infini de l'acteur-, .le n'ai [loiiit regarde 

11. v5 



19i APPLICXTION DE L'ANALYSE ALGÉBHKM E 

alors conimc nécessairt" di" développer ces proposilions pai'ce qu'elles 
son! autant de couséquencos des principes dont j'ai rapporté la démoii- 
slration dans le Mémoire cité. 11 n'y en a aucune qui soit bornée aux 
seules équations algébriques; mais l'application de princii)es très géné- 
raux |ieul nécessiter un examen spécial. C'est ainsi que le théorème de 
Vièle sur la con)position des coefficients s'appliiiue dilïéremment aux 
équations dont le jiremier membre est une l'onction entière, e( à celles 
(|ui ont des dénominateurs. 

11 n'est pas moins évident que. si l'on considi're une fonction non 
continue, les conséquences algébriques ne sul)sistent point pour toute 
l'étendue de la fonction : elles s'appliquent aux parties où la fonction 
varie par degrés insensibles et ne peut changer de signe (ju'en deve- 
nant nulle. On doit aussi faire une remarque semblable au sujet de la 
proposition algébrique qui exprime que h" produit de tous les facteurs 
du premier degré, correspondant aux racines de 

équivaut au premier membre X de cette é(|ua(ioii. .l'ai prouvé, dans 
mes premières recherches sur la Théorie de la chaleur, (|ue celle pro- 
position ne convient pas à certaines fonctions non algébriques : par 
exemple à l'équation tirs simple 

lung.r t= o. 

La fonclion lange est fort dilférenle du produit de tous les facteui'S du 

premiei' degré formé des valeurs de .r (|ui nMulent tang.r nulle : ce 

produit complet donni' sinr et non lange, ('.(da |)rovient de ce ({ue la 

fomiion tang.c est le pi'oduil de sin.r par séc.r. Or les racines de 

l'équation 

sécr =: o, 

(|ui sont imaginaires, ne rendent point lang.r nulle : elles donnent à 
sin/- nue valeur inlinie, de sorte (|ue la fonction tang.i- devient -; et 
j'ai njontré que, si l'on détermine exactement sa valeur, on trouve ijuc 



M \ kOl VTIiiNS TI'.ANSCENJt WTES. l;».; 

laiiiï.r se réduit ;i \ — i , et non ;i /lto. Ain>i les racines du raolcm 



SL'C.r = o 
n'appartitMiiient [las ii réquatioii 

laiiu /■ — - o. 



Il en est di' ini'iiii' de lniitcs les éqnalioiis analoiiiics (|iic j"ai i'iiiid(tV(M' 
dans la Tlivoric de lu chulcitr. |iai' cxcinidc de ccdlc-ci : 



î est lineonnue, et "a est moindre (|ne l'unilé ( [i. loG ). En i;éiieral, le 
IModuil, (iiioi(|ne complet, des racteiirs formés de toutes les racines 
d'une é(|ua(ion non ali^idiiàque 

[lOiii dillerer de la l'onction ç-lr); et cela arrive lors<|in' les valeurs 
de r qui rendent nul un des deux facteurs dont la fonction C(.r)est 
composée donnent ii l'autre l'acteur une valeur infinie, (ionime celte 
condition ne peut point avoii- lien dans les fonctions alii'eliri(|nes 
entic'res. c'est pour cette raison que le théoitMue de \"i('le sur la com- 
position des co(dlii;'ients convient à tontes ces l'(Uictious. .le ponri'ais 
ici multiplier les exemples cpii montrent que le pidduil de tous le- 
facteurs sinqdes |)eut dilférer du |iremier membre de l'equatlon. Iji 
;;('neral, il faut distinguer les ais au une fo/iciion isl cfiale au [irodiiii 
il un inimhrv l'un au infini île fdrlciirs fnrnu-s ilc loutis lis ritfincs. cl 1rs 
cas où celle proimélé n'a pas lieu: mais nous ne ponrrion> point ici 
entrepicndre cette discussion sans nous écarter trop lon;^tenips du luit 
spécial de cet arlicle, ([ui est d'ex|)li(|ner clairement comment j'ai ele 
conduit il prouver, par l'applicaticui d'un lliéori'me ali;élii'iqiie, (pie 
l'équation transcendante (2). qui se rapporte ii la (pieslioii du cylindre, 
a, en eifet, toutes ses racines réelles, et de montrer (inelles sont ces 
racines. 

Il est dalioid nécessaire de rappeler un tlieorènie général dont j'ai 



19C A P J' L I Ç. V\ ION DR LA \ A LV S E A L C E lî [\ I Q L K 

ddinu' l;i (Irinonslialioii dans le lliilitlin des Sciences Av la Soc'iélr pliilo- 
iiiallii(|iii' (aniK'c iiS-^d, ji. i ">() cl sniv.). CcUc [>i-()|)(isili(iii pcul èWc 
ainsi cnoiiccc : I lie éijiuititin ei/i^e/mi/ite X =^ o e'/diif (/oii/n-e. on foiiiir 
loiiles les foiiiiiDiis ijiii ilérn-eiil de X jieiv 1(1 dl/féreiilieilioii . el l'on cent la 
siiile cnlière dans cet ordre iinerse 



\|"', X'"-", \"'--', 



\\ X , X, X. 



Kii siihsiitiiani dans çcllç suite de IVinclions un l'iTlain nombre 7., et 
niai-(|uant les signes des résultais, on olitient une suite de siiiiu's, i|ui 
sei'ail (Ml |HiniTait être très dili'erente si le nouilire substitué a venait ii 
(lianger. On snp[)os(> maintenant (|ue la valeur substituée a augmente 
par degrés insensibles depuis a = — x jus(|u';i a = x, et l'on e(uisi- 
di're les eliaugements (|ui surviennent dans le nombre des variations 
de sigiHJs (|ue présente la suite des résultats. Cela posé, nous disons 
(|ne les l'aeines réelles ou imaginaires de la proposée 



eiirrespiindent an\ nombres des vai'ialions de signes (|ae la suite des 
résultats perd, ;i mesure (|ue le nombre subst'tné augmente, ^'niei en 
quoi consiste cette relation. Les Nariatmns de signes (jue peut perdre 
la suite des l'ésullals. |nrs(|ue le nombre su])stitné |)asse par une valeur 
di''t(n'niinée. sont de deux soiles : 

i" Il peut ari'i\-cr, loi"s([ne (|U(d(|ues-unes de ces variali(nis (lis[)a- 
raissenl, (|in' la dernière jonction X devienne nulle. 

■j" Il peut arriver (pie des variatiiuis de signes dis|)araissent sans 
que la deriiii're l'onction X devienne nulle. Le |ireinier cas l'époud aux 
racines ré(dles, et le simmhiiI aux racines imaginaires. 

.Lai reconnu (]ui' la proposi'c a précisément autant de racines réelles, 
égales ou iuéi;ales. (|ue la suite perd de variaticuis de signes de la pre- 
mii'rc espi'ce; et (|u'(dle a précisément autant de racines imaginaires 
(jne la suite des résultats perd de \arialious de sii;nes de la seconile 
espi'ce. ("e tbeori'iue. (pie l'iui doil regarder comme iondamental, reii- 
(èrme comme coiwdlaires la remar(|ue de lludde sur les racines égales, 



U\ i:ol \TI()NS Tl{ VNSCENDAN TKS. l!)- 

I;i ri'gir (le i)esi';ii-l(v> l'iinccniaiil le iiniiil)n' des r;iciiics |io>iliv('S oii 
négatives, l'I la lu'opusilion de de G lia relalivc aux ('(iiialidiis iluiil 
(iiutcs les rafiiios smit rrclli's. 

La diMiionslration de ce lliéoii'ine uviiéi'al |Mildiee dans 1rs .Mt'iin)ir(is 
eités de la Soeirlé pliiliMiiatirKjue ne dillerc |M)iiit de etdlc que j'ai 
donnée aiili-flois dans le-; coui's de l'i-j'oli- l'(d\ieidini(jue de l'raiiri-. 
.le suppose iri i|ue le leclcur a sous les yeux relie dénionstralion, ri ji' 
nie hoi'ue il rappidrr lc> eonsé((ueners principali's. 

:,(■ nombre sulistilin'' v. |iassant pai' ili'L,'i-es insensibles de sa valein- 
initiale — t. \\ la dcinii'rc -^ x, il ne peul survenir de idianî;'emenls 
dans la suite des signes des résultats ijue lorsi|ue y. attrinl rt iléjtassc 
intininieni peu une valeur de r (|ui rend nulle une des ronetions 

\', \' ', . , \. \. \, \. 

Or, après ([ue y. a dépassé cette valeur de r. il peul arriver ([ue le 
nomlire des variations de signes de la >uite nail point idiaugi' : ainsi 
ou trouverait le niéiuf nonihre de variali(Uis en les eoinjilani avant et 
ajiri's. Il peut airiver aussi deux autres eas : |r premier, lorsijUi' la 
tonctioii (jiii s'évaiKUiil est la deruiJ'rc; ahu's la \alriir suli<titniM' y. 
est nne des raeines l'i'idle-, l't Ir uomlire des variations de sigm-s uc 
di'meure pas le un"uin_'; il i'>l diininui' d'uur unité. Dans Taiitre eas, la 
t'onclion (|ui s'évanouit n'est |ias X : idic est une <les t'ourlions dcriviT-; 
iiiteruii'iliaires, et il arrive (]ne le noudui' des variations de signes n'est 
pas le méuH' qu'auparavant : il f>t dimiuiu' île dnix unités, v\ l'on ((ui- 
<dut avrc i-i'rlitnde (]iu' drnx des raeines de ré(|natiou pi-oposée sont 
imaginaires. Aium : 

i" l.esvaleiir> ai-ridentelles de v (|ui l'ont évanouir nne des (oin-lions 
peuvent n'appoi'ter aucun cliangeuieni dans le nonilue lotal des varia- 
tions: ces valeurs, sulistituées, s(mU iinlillcrentes. 

■1^ L.t sulistitulion (|ui fait evain)nirnne des fonctions peut diminuer 
(l'une seuil' unili' le nomlue des \ariations; aloi-s la valeur suli>titin'e 
est une raeine réelle. 

3" La sulistitution i|ui rend nulle nne fonction intermédiaire l'ail 



198 APPLICATION DE LANVLYSE A IJI K I! I! lu lE 

(lis|)in;ii(r(' ilcux v;iri;ilioii> de signes, sans reiiilrc nulle la l'onction X ; 
alôis (01 es( assuré (|ne deux des l'acines de l'équation sont imaginaires. 
Ce sont les deux eas éléiuenlaires pour li'S<|Uols le uoinlire des elian- 
genients de signes diminue. Il ne peut jamais augmente!'; il est con- 
servé, ou il est diminué d'une unité pour chaque racine réelle, ou il 
est diminué de deux unités pour chaque couple de racines imaginaires. 
]| n'y a point d'autres cas [)ossil)les; ils peuvent se l'éunir accidentel- 
lement, et alors ils donnent lieu à autant de conclusions séparées. 

Il esl fort im|)iu'lanl de remarquer ces valeurs cri/ir/i/cs de .r, (|ni 
ont la pr(qn'iété de taire disparaitie ii la l'ois deux variations de signe. 
(]elte dispaiition a lieu parce que la valeur de. r (|ui r<'nd nulle la l'onc- 
tion dérivée inlernuMliaire donne doux résultats de même signe lors- 
(]n'oii la sulistilue dans les d<Mix l'mictions dont l'une préci'de et l'antre 
suit la l'onclion inlernn''diaire (|ui s'évanouit : c'est cette condition (|ui 
est le caracli're pnqire des racines imaginaires. Autant de (ois (jue ce 
eai'acti-re se reproduit, autant la proposée a de couples de racines ima- 
ginaires; réci|tro(|uemenf, il ne peni y avoir de couples de racines 
imaginaires ([ue dans le cas où celte condition subsiste. 

Celle consiiléralion nous liiit mieux connaiire la nalure des racines 
imaginaires. ¥a\ eU'el, elle monlre (|ne les racines mainpieiit dans de 
certain-- inler\alles, sa\(iir ceux où il ari'i\e (|iie le n(nnlire sulistilué a, 
passant d'une valeur de .v ;i une aulre inlinimenl voisine, l'cnd nulle 
une l'onction inlermédiaire sans lendi'e nulle la fonction \, et l'ait 
ainsi disparailre deux \arialiiuis de signes, en donnant deux r(''sullals 
di' ni(''me signe ii la l'onclion (|ui préci'de cl ;i celle (jui suit. (À'tte ccm- 
<dusion a (oujonrs éh'' regardée comme éxidenle dans le cas très simple 
oii la conrlie de l'oi'un' paralioli(|ne, et dont r(''(|ualion est v = X, s'ap- 
proche de l'axe des .1 cl, apri's a\(ùf atteint une \alenr minimum sans 
rencontrer l'axe, s'en éloigne et poni'siiit son cours. Mais ce n'est lii 
(|n'un cas |)articuliei' des racines imaginaires : ce minimum (leut avoir 
lien pour une des f'om-lions d(''i'i\ées d'un ordre quelcon(jue, et aloi's il 
délermiiM' loujonis un couple de racines imaginaires. A proprement 
|)arler. les racines imaginaires sont des vni-'iiws //(^icic/i/c s . tpii man(iuenl 



\L\ ÉQl ATIONS II! \NSCEM) VNTi:S. 109 

dans corlaiiis intervalles: et Ion iceiumail (|iie ('"est ;t nii deees iiilei'- 
valles qne correspond en ellVl mi enii|)Ie de racines imai^inaire- [larte 
qu'il snftit de ]»rouver ipie ees deux racines n'existent point dans l'in- 
tervalle dont il s'aL;it poiii- conclure avec certitude i|ue ré(|uation pro- 
posée a deux racines iniaginaire>. 

Quoique, dans l'énoncé de ces propositions, ncnis ne considérions 
ici que les fonctions aii^éhricjues, il est assez évident (|ue ces racines 
déficientes. i[ue Ion a appelées imaginaires, ont le um'Uic caractère 
dans les é(|uations non algébriques t'orinées d'un nonilire tini coi infini 
de facteurs du preniiei- degré ré(ds ou iniaL;inaires. (le ininininni aljS(dn 
est le signe propre du manque de ileux racines; mais nous écaitons 
ici foute conclusion relative aux équations non algeliri(|ues, afin d'ap- 
pli([uer d'a])ord les [irincipes fondamentaux ;i un olijet simple et par- 
faitement défini. 

Ce n'est pas seulement dans la fonction principale X (|ue résident 
ces valeurs rri/i/jues de la variable .i- : elles peuvent appartenir à toutes 
les fonctions dérivées d'un ordre (juidcon(|ne. ['oui' la resolution d'une 
équation il est nécessaire de connaître les intervalles dii nian(]nent 
les racines imaginaires; et les derniers intervalles doivent être clier- 
cbés dans tout le systinne t\('> fonctions dérivées des dilierents ordres. 

Examincms d'après ces |)rincipes le cas particulier où l'équation 
proposée n'auiait (jue des racines réelles. Alors la suite des signes de< 
résultats, qui perd successivement toutes ses variations ii mesure que 
le nombre sulistitué passe de — :c it -^ ce, ne perd ces variations que 
d'une seule manii-re. Elle en perd une toutes les fois ([lU" le nombre .r 
devient successivement égal ;i chacune des rai'ines léellcs. Dans ton< 
les antres cas où l'une des fonctions dérivées devient nulle, le mmibre 
des variation-; de signes n'est point cliani:é: il n'arrive jamais ([u'une 
valeur de .r qui l'end nulle une fonction intermédiaire dérivée donne 
le même signe ;i la fonction qui préci'de et ii celli' ([ui suit. Au con- 
traire, tonte valeur réelle de r (|ui rend nulle une fonction dérivée 
intermédiaire donne deuxsiirnes dilïérents à la fom;tioii (jui précède et 
à celle ([iii suit; et cette dernière condition n'a [las lieu seulement pour 



•ioo \ p p r, I c AT I ô \ 1 1 1: L' V \ V t.v se al r, k p. p. î q i e 

une (li's valciiis rrcllcs de ,f (|ui tnnl l'vanouir une l'oiiclioii intermé- 
diaire; die a lien |)ônr toutes les valeurs réelles de .r (jni mit eede 
piopriétr : s'il y avait une seule exeeplinn, il y aurait un roupie de 
raeines iniai;inairi's. Hécipro(|nenient . si l'on est assuré (|iie tonte 
valeni' réelle de .r (|ni l'end nulle une des tonetions intermédiaires 
d(uinr deux résultats de signes ccnilraires loi'S(ju'on la substitue dans 
les deux (oiuMions pi'éeédenle et suivante, il est certain (jiu' réi|nation 
algéliri(|ue [imposée a toutes ses raeim's réelles : c'est la j»roposilitui 
donnée par de (uni; lui voit (|u"ellc est un corollaire évident du théo- 
léme général que j'ai énoncé |)lus liant. 

Dans tons les ras possibles, uni' équation algébrique a nécessaire- 
ment autant de racines imaginaires (|ue la suite di' signes perd de 
variations lors(jue le nombre substitué passe pai' de certaines valeuis 
léellcs de .r, (|ui l'ont disparaitre des variations île signes sans tpie la 
dernil're Couclion X s'évaufuiisse. Ainsi. loi'Siju'il n'y a point de t(dles 
valeurs de a-, il n'y a |ioint de racines imaginaires. 

Il sullil donc, pour otre assuré (pi'nne é(]nalion algébri(|ue a tontes 
srs racines réelles, de rec(Uinaitie qu'il n'existe aucune de ces valeurs 
ré(dle> de ,r qui, sans rendre nulle la dei'uii're rondion X. l'assent dis- 
jtarailre deux variations ;i la t'ois. 

Nous considérons maiuleuanl la l'onction transcendante 



o ( /■ ) = I - 



alin de prouver (jue l'éijnation 

a toutes sc> racines réidies. (Iclte éijuatiiui esl cidle (jui se rapporte an 
nniu\emenl de la (dialcui- dans un ryliinli-c s(di(le. 

.le me suis d'abord |U'oposé de conuaiire la l'orme de la ligne couibc 

ilonl l'éfination esl 

.r=-^(/-), 

y dcsignanl l'iM^doniU'e don! /-est l'abst'isse. (ietle ligne a des [ii'o- 



M \ EOL \TI()NS II! WSCKNKAM I.S. nw 

|ii-i('tr> lorl i'i'iiiar(|ualik'>, (|uc l'dii ilcdiiil iTmic r\|irrssi(iii dr -v( /) en 
iiiti'iii'alc <lffiiiii'. Dans iikiii |H('iiiicr Alciiioiir >m- la TlM'uric ilr la 
chaleur ( i 80- ), j"ai cm jilo\ •■ crllc inlt'',L;ral(' [lour (Iflfiiiiiiirr la loiinr 
(le la ligne don! ré(juatioii est y = ç.( r); et i"ai iii(lii|ii('' une |)ni|iiielr 
|)rinei|iale, (|ne j'ai l'ajiijeli'e dans la Tliénrie anal\lu|ne de la idialeiir. 
|)a,i:e ')'|'|. I.e Méinnire de liSny, i|ui denieine dc|i(iM'' dan> les aielii\e> 
de rinslitnt. eonlieiil (Tanlres d('-tails. arliele 127, pai^i' iSo; un en 
(•Diielnt evideinnient (|ne la cunilie dunl il s'agit riin|M' une intinile de 
l'ois smi axe, et tVirnie des aires (]ui se di'triiiseiit alleiaialivemciif. 

[.'examen atlenlilde l'mtr'iirale dt'tinie ne laisse anenn dmilr sur la 
mnlli|dieil('' e| les limites des raciiio M'elles. On voit ehiireim'ui ijiic 
l'eiinalnui Iranseenilanle 

a une intinile de ces raeines léelles : nnii^ les désignons par y., j. •■. 

0, £ Mais, pmir eom|)li'ler la disen-^ion. il rrslait à examiner ^1 

cette e(|naliiMi z i r) = o est en ell'el du nom lire de cidles i|iii ne |ienvenl 
avnir C|ne des l'aeines n'elles. 

An lien d'a[i[)li(jiier iirimédiatemeiit ii celle e(|naliiin traii'Mend.inle 
les tlieori'mes que unus avons rappeb'S ■■i-dessus. niuis examinoii> 
d'alnnd l,i nature de la l'onction ali,'t'lirii|ne >ui\ante : 



V{.i-, « ) =L r 



//,/ // Il — I ,/- /; Il \ Il — i ./ 



/( // - I // — i // — 1 :i • 
1 :>. o '1 ■->..•!. 4 



(ielle toni'tion est ii deux varialile^ .r et //: // e>t un nonilire entier, i.e 
nomhre des termes est /) — 1: et, si l'on su|i|iose /^ intini, la l'oiiclion 
ti'aiiscendante ([iii en ti'snlle ne coniient (|ue li- [irodiiil //./■ ei devient 



//'- .V- II' X 



'_!.,■) ■> . o î . o . -I 2.0.) 



Faisant fi.r = /■, on trouve la lonclion ti'ansceud.inte zi r) (|iii est I idi- 
jet de la (]uestion. 



II. 



>(> 



202 VPI'LIC VTION J)i: LWALVSK \ LGÉH 15 1 ÔL l" 

Niiiis alldiis iiiiiiiilriiaiil ilrnioiili't'r (juc re(|uatii)ii aLrlinijui- 

!•'( I . Il ) z^ o. 

(Idiil / l'st riiic-oiiiiiic, n'a (\nv ili's lacines réelles; et nous prouverons 
(|u"il s'ensiiil nrecssairi'nieut ipir rcMjuation transeendantc ^(r)^- o. 
ildiil -'• l'sl rineondue, a aussi toutes ses racines réelles. 

l'onr rceonnailri' la nature «les r-aeines de ré(]ualion ali;elii'i(|ue 
K( .f, // ) ~ o. u(Uis a|)|)li(|uerons les llK'oi'èines (jue l'on vient (l(Ma]t- 
|ieler. 

La (iiiielion !•'(,)■,//> étaiil désignée pai- v, on trouve ipie y satisfait 
il I iNjUal 11)11 liillel'enlielle 

.<■ -r^, -r ( 1 — X) "7 r- l> Y =t o, 

ce dont on peut s'assin'cr par la diU'ercntiation. On eouclul de cette 
deruu're é(|iiali(in les sui\antes : 

d' y ri- y dy 

(Ar' it.r- d.r 

d'Y d<Y d-y 

T^, -t- ( 3 — ,/■ -1—, -I- " -,~ — o. 

(fi ' d'Y , ,Py d'y 

(I.f //.!■• t/.t ■' 



il' y ,. '/'-')• d'--y 

■ -p-y 4- f « — I — .r ) -r- n ■ ,. = o. 



Olle rtdati(Mi l'écurrente se repriiduil autant de lois (|iie la l'onction v 
peiil l'Ire dilli'reiiliée sans devenii- nulle, eu sorte (ju'il v a un nouilu'c /.' 
le ce> ('■(pialnuis ( r ). Si actuellcnienl on sap|)ose, dans (diai'une des 
'•(|ualious ( r ), i|iu' le sec(unl teruie est rendu nul |iar la snlisliliitiou 
rnne eerlaine valeur i'i'(die de r dans une toncliiui dérivée, on \(iit 
|Ue la luenie sulisl il ni iiui donne, pour la loiu'lion di'i-ivéc précédente 
i |)oni' c(dle (|ui suit, ileiix résultais ilonl le sii^iie ne peut |ias être le 
iM'iui'. iùi eli'el. la valeur de r i|Ui, snlisliluée dans le secoml leiine. 



Vl\ KUl AIKiNS Tî; ANSCKMt \NTi:S. 



■im 



reiul co trriiu' nul n'est pas un noiiihi'c nt'.u'atit': car la t'niii-iion i{iii 
l'Xjirimf \- nt' |ieut pas ilcvriiir nulle l(usi|u'(in tloniu' ii r une valeur 
négative, |uiisi]ue tous les tei-nn's reeevraieut ce rnèine sii^ue. Il eu est 

lie même dr -.- et de tmites les tonclions diuavees de i- : aiuaiue de ee> 

fiMutiiuis ne peut être leinlue nulle [lar la sultstitulion d'une valent 

négati\(' de .i\ car tous les termes pi-endraient le um'uim' signe. Doue 

les valeui-s réelles de .r ([ui aurau'ut la pi'nprieté de laii'e (''vainuiir nue 

(k'> t(Uiclions dérivi'es ne peuvent ('tre (jue positives. Diuic. l'U suli^li- 

tuantpour.r, dans une des ét|uatiuns i c ), une valeur reidle de .r ijui 

ferait évanouir le second tei'me. il arrivera tinijours (|ue le premier et 

le dernier toi'me n'aui'unt pas \in même signe : car leui- somme ne serait 

pas nulle. On ne peut pas supposer i|ue la lutTUe valeui' de .r (|ui l'ait 

évanouir le deuxième terme rend aussi nuls li' première! le Iroi^ilwne 

ternu' d'nm' des e(|uations (/• ): car. si cela avait lieu, on ciuudiirail 

(le ces éijuatious (|ne la même valeur de ,/■ lait ('vanouir les ronctnins 

dei-ivéés di' tous les oi-ilres. sans aucune exceptiou. O cas singuliiM 

serait celui oii réi|uation jn-oposéc v = (i aurait toutes >e- i-acines 

égales. 

11 résulte évidemmenl de la conditi(Ui récurrente qui vient d'être 

démontrée (]ne rê(|uation 

Fi r. /( ) = o 



a toutes ses racines réelles. Eu ellet. cette ê(|uatiou est algel)ri(|ne. et 
il n'existe aucune valeui' de ? pro|)i-e à l'aire ('■\anonir uni' roiidion 
dérivée intern)édiaire en dminant deux résultats po-itil's on Anix re-«ui- 
tats négatifs p(Uir les fonçtiou> précédente et suivante. Il -ml doue 
rigoui'cusement des |irincipes de l'Analvse algidirique ipu' ri'qualiou 
¥i.v.//)^o, n'ayant aucune valeur (77//y//r, u'a poiul de lacnu'- ima- 
ginaires, (lette con>é(jUenee est entii'reuieiit imiependanle de la valeur 
du iiomhre entier // : (|nel (|ne pni--e t''ti'e ce nondire //, cl ijuand mi 
su[)posei'ait qu'il croit di' plus en plu- et devient plus grand que tout 
noinlu-e donné, cliacune des êi|ualions i|iie l'on foi'merail aurait toutes 
ses racines réelles et positives. 



■20'* M'IM.IC \Th>\ ni: i;\\ VII se ALGEI!I!IQIE 

On sii|ipi>scra // iiiiiiii, cl, di'siiinanl par o(/i,.r) la lonction li'aiis- 
criidaiili', on \()il (|iic rr(|iiati(>n 

V(//,.r I = 
ii'i'^l aiilic chose (|n'iiii cas pailiciilici- de l"iM|nalioii 

El //, .1- ) =t o. 

|-;ll(' a|i|iarticnl au sysli-inc de toutes les é(|uatioils que l'on loruie eu 
douuaul il // daus K(//,.c) les diUerciiles valeurs i, ■?., 3, '\, ">. ... à 
riiitiui : et. eouinie ou ne trouverait ainsi (|ue des <''(|uations dont toutes 
l<'> racines sont retdles, on eu concinl ((Ue cette [U'o|uiete. entiereuieni 
ludependaule du noiniire //, sultsisle l(Miiours lors(|ue // devient plus 
L;rand (|ue loul noinln-e dount'. Alors la rouctiou es! transi;eiidanle. e( 
re(|ualion de\ienl 



Donc celte é(|ualiou n'a point de racines imai^inaires. Ou pourrait 
rei^arder comme su|)ei-llu (ont examen Ultérieur de ré(|uatiou s(/) — o: 
ei toulid'ois la conclusion deviendra encore plus conl'iwme aux prin- 
cipes comniiins de FAnalvsc algébrique, en ie présentant comme il 
suit. 

S(ul //.(---/•; nous avons dit (jue, par l'emploi des constructions, 
on en reuiar(|uant les propriéli's de l'expressiou de s(/)en intéi^ralc 
déiiuie. ou voit (\ut' la courhe dont r(''(|nalion est v =- oi /■ ) a nue in- 
liuite de sinuosités, el (|u"elle coupe l'axe des /■ en une mullilude de 
points a la droite de l'origine O. Nous avons di'signe par y., |i, y, 0. ... 
les dislances de O ;i ces divers points d'iutei-seclion. Si l'(m éci'il 
/M=/-daus re(|milion algéhricine 

E ( ,r, // ) .- o, 

(|ui est du degré // cl a ses // racines réelles, on a une Iranst'or'nn'e 
alg(d)i i(|ue (|ne nous désignons jiai' 

/(/■, n) — o. 



\l \ KOI M'KiNS II! WSr.KM) \N I i:s. ny.y 

I est riiil'imniii', cl lnnics les nicincs. c'cst-ii-ilin' Ifs \alciirs de /•, soiii 
réelles; e:ir un 1rs triin\('i-:iil en ninlli|ili:inl |i;ir li' nuniiire // les Nalciir-- 
(le .r ijni sdiiI les racines de rciiiialion F(.c, //) = <). Or, si l'un don- 
nait an nombre cndei- // niic valeur ininiensi'nicnt grande, qni sui|iav- 
serait, par cxeinjilc, plnsh'nis indiions, il est manireste qnc rc(|ualion 
al,^clirii|ue 

flonnerait pour rinconntu' /• des valcnrs réclK's n, A, e, d. . . . cxlii'nic- 
inent peu dillV'i'cnlcs de ces l'acines (|ne \\t<\\< asons de^ii;nees par z, 3, 
-'. 0, .... et (]iii, ctaul pri-^e^ pour/', rendi'iil nnlle la t'ondion ■:,{f). 

Si l'on reniai'(|nait nne dc-^ valcnrs aliicl)ii(jnes </, A, c, <l par 

exemple la (jnati-ii'mc d par lU'di'c de i,'randenr. on la tr(mveiail cxln''- 
mement peu dili'ci'cntc de la raidne o dn nuMiic rani^' ipii satisfait .'i 
l'iMination (l'an^ccndanlc '^(/■) = (). 1-ji ^énéi-al, cliacnni' de-i valeiii--- 
aliiél)ri(jnes de /■ données [lai- rc(|nation 

fi i\ «) = (>. 



et désignées j)ar les i| nanti li"< '/, A, c, r/ approidic l'ontiniKdleiiieiil 

de la valciii' du même rang, pràse parmi les racines de rei|nalion 
c( /•) = (); ell(,' <'n approche d'an tant pins (|ne le nomlire // est pins uraiid. 
et ce noiiilire peut ('tre tel (|iie la dill'erence soit moindre ipie Imile 
"Tandeur donnée. Les l'acines a, 3, -', ^, ... sont les limites respeclives 
vers les(|n(dles les valcnrs a, h. r. d, ... converiicnt de pins en pins. I.e 
nonilire des valeni's données pai' l'i'fjnation /( i\ n 1 = anginente con- 
tinuidlemcnt . et ces valeurs se raji|)roclient inliniment des lacines 

clier(diées a, 3, --. ■^ "'* l'i'i] nation /( /■. // ) — o, étant al^('l)ri(pie. a 

foutes les |n'o|)riétés élémentaires dont jouissent les é(|iiatioiis ali;é- 
l)ri(|iics et (|iii scMit dc'monlrccs depui-; longtemps; |)ar consiMpient, les 
théorèmes de Mi'tc et d'Harriol sur la composition des é(|iialioiis s'a|)- 
pli(]iienl il celle-ci. 

Ainsi la l'onction /"('r. // ) n'est antre chose que le produit des // l'ac- 
teurs du premier degré' (|ni repondent aux // valeurs réelles (/, li, <■. 



■IW, MM'LlCAriMN 1)1-: i;V\\LVSE ALGÉHRIQLE 

f/. ... iloiinrcs |Kir l'r([n;i(i(iii /'( /■. // ) ^ o. .\uus «'■crirons doiif ri''(|iui- 



llnli 



lE) 



./^''"'=('";;)("--^)('";0('"^) 



!l iir |•(•^t(■ plus (|u";i |iass('i' de CL'lli' tMjualiiui au cas [larliculifi- m"i If 
uiunlnc // l'sl sii|i|)(ist' intiiii . 

l'onr rdiiuailic la |)i'o|iiirt(' (|Ui, dans rc cas, est cx[ninuM' par 
rc(|ua(inii ( K ), il siil'lit de |M»rtci- les (|uantit(''y <|ni entrent dans cette 
é(|nalieii aux limites vers les(|U(dles idli'S eouveriienl. Or la l'onclioii 
/'(/•. // ) a |i(iur liniile la r<iiictiou transcendante 'f(,/'): les liiiiiles des 
\alenrs a. h, r. d . ... sont les nombres (|ue nous avons (lési^in's par a. 
j. V. c On a donc cette relation 



■"'-('--5)('-ç)('-^)l-^) 



à l'iutliii. 



On ((Minait parce l'csullat (|nc la l'o'Hiidn li-anscendante 'Ai) est 
icrmcc (In [irddnit d'un munlnc intini de (acteurs du pi'emu'r de;;re 
correspondanis aux racines 7., 1^.7, c. . . . dont cliacnne l'ait evauduii- 
la tonctidii v(/). On rcLiarde coinme niile de (h'nnnilrer spécialement 
celte |ir(ip()sili(in pour la Innclion li'ansceiidante 'i( /■ ) parce (ju'il y a. 
ciinimc je l'ai reiiiar(jU('' aiilrelnis, |iliisieui-s cas (u'i le pi'odnit des l'ac- 
leiirs simples ne l'ornic pas le premier nu'ml>r(^' de la |)roposee. 

Il résulte (l(inc de l'analyse précédente *.\w la fonction 0( /■) est le 
pi-o(lnil de tous les t'aclenrs du premier de^re 



/ / 

I - _ , 1 — _ 

■j. t 



(|ni ciirresp(Midenl aii\ racines, (ada |>(ise. il est maiiircsle (|u'ancune 
valeur diU'ereiilc des i;raiideiirs rcidies v., [i, y, 0, . . . ne pourrait l'aii'c 

e\aii(uiii celle l'iHiclidii '.;(/•). j-ji (dl'el. un l'aclcnr l(.d ijuc 1 - ne 

peiil devenir uni (]ne m l'on l'ait /■ ~ a ; d(un;, si l'on don 11a il ;i r une 



AL\ EOL ATKIN? T I! A \ SCKM) A \ I K-^. lin 

vali'ur (|U('lc(>n(]Uf rrellc ou iiuai^inairc (jiii nr >crail m ■/. m ,i. 

ni Y- aucun des t'ac'teui's ne serait nul: ildiir le |iiiHluil aurail nue 

oertaine valeur non nulle. Dune. >i Ton met jjnur /■ ilans ç-(/-) une va- 
leur (lueleontjue, soit qu'on la supiiose ou i-eelle ou iuiaiîinaiie, et ^i 
elle n'e-t point une des laeines que nous avons désignées par y., j. •■. 

1,1 t'onetion -^( r ) ne devient |)oint nulle : doue re(]uathin trans- 

eendante 

a ces racines réelles a, 3. •;, c, . . . et n'a aucune autre racine ou réelle 
on iniai;inaii'e. 

il est remar(iual)Ie que l'on parvienne ainsi ;i ileuionirer (]Ui,' loute> 
les l'acines de ré(|uatiini transcendante '.;(/•) = () smil réelles, sans 
(|u'il soit nécessaire de regarder comme connue la formi' de- expres- 
sions imaginaires, ([ue l'on sait être celle du himoue y. — v\ — i . 

Au reste, eu considérant (/ /irKJi-i que. si les équations ileterminee> 
propres ii la Théorie de la clialeui' avaient des lacines iniaginairi'-. leur 
fVnine ne ponra'ait éti'e (|ue celle du hiuonu' a — ■/\ — \: on viut ([u'il 
est pour ainsi dire superllu de démonli'ei' (|ue le- équations dont il 
s'agit ont toutes leurs l'acines réelles: car. la communication de la 
chaleur s'opérant toujours par voie de partage, il e-t évident, pour 
ceux ((ui connaissent les prim-ipes de cette théorie. <|ue le monveminit 
oscillatoire ne peut s'étahlir et suhsister sans une cause extérieure. 
Cela résulte aussi de la nature de ré([ualion diU'erenlielle. t|Ui. daii- 
les questn)ns dont il s'agit, ne eontient pas. comme le- e(|iiations ilyna- 
miques. la tluxiiui du second ordre par rap|)oil au temps. Or eelte 
oscillation perpétuelle di' la chaleur aurait lien si re\pre-si(Ui t|n 
mouvement contenait df> ijuantites imaginaires. Si hs é(|ualioii- 
di'termini'es (|ui conviennent ;i ci'tte théorie |iouvaii'nt a\oir de telles 
racines, on ne devi-ait point les introduire dans les solution-, "n e<t 
assuré d'avance qu'il faudrait les omettre. 

En l'echerchant la nature de ces racines, je n'ai d'antre Init i|ue de 
montrer l'accord de tous les éléments analytiques dont la théorie se 
compose. 



•20S API'LIC \TIn\ |»K LWVL^SE M.C !• lîlt I Q [ l- 

Il me rcsic li i-a|i|i('l('r les |ii-cii]U'i-t's (ihjcctidiis ([ui imt (•{(' préscn- 
(('(■s sur l;i uiiliirc des (''(|ii;ili(iiis (Iclci'iiiini'cs pr(i|n-cs aux (|U('slious 
|)rinci|)alcs de la TiH'nric de la chalciii'. Celte llieoi'ie a ('•(('■ ili»niiée 
|)uiii- la |ireiiii(Te l'ois sur la tin de l'aïuiée 1807, dans un Onvraiic ina- 
uuseiil i|ui es! encore dé|iosé an\ Ar(diives de rinslitiil. l-es |innei|tes 
|iii\s'n|ues el aual\li(jues (|ui sei'veiil de loiidenient ;i ces reidierclies 
n'ont point été saisis (ralM)rd ; il s'est passé plusieurs années avant 
(|u'(ïii en reconnût l'exaelilude. Anjonrd'liui ini'ine, les l'ésuitats eos- 
inidoiii(|nes de eellr théorie, la notion de la teinpératlii'e des espaces 
plani'laires , les lois iinithéniali(|ues de la (dialeni' ravonnanle, les 
(■(juations (lill'érenti(dles du rnouvenienl de la c liaienr dans les li(|iiides 
n'ont point encore fixe l'attention <le t(Uis les priiH'i|iaux i;é(uiH''tres. 
Les vérités uialliéniati(|nes, (]U(ii(|Ue exactement démontr(''es, ne s'(''ta- 
Idisx'ul (jn'a|iri's un loni; examen. Les ilu'ori'mes j^(''néraux (pii m'ont 
servi il intégrer les é(|nalious dill'éi'eiiticdles s'appiiquant à nu i;raud 
nomlii'e de ([ueslious ph\si(|nes (jni u'aNaieul point vlr résolues, la 
eoniiaissanee de ces théorèmes et la mélliode d'int(''i;i-ation (|ui en 
dérive sont devenues assez générales; ruais les autr'cs résultats de la 
tlié(uie siuit, |>oui' ainsi dire, encore ii;iioi'és. <,)uant ;i r(''(|nation lians- 
c-endante (h'termini'e <jui expi'ime le mouvement de la chaleur dans le 
cylindre, idie se reproduit dans des reiduM'ches pliysi(|ues Iri's di\i'i'ses : 
c'est p(uir cette raison cpu' j'en présente aujourd'hui l'aualy.se avec de 
iiiMiveaiix dé\(doppeinents. 

On a (dijecté, diiranl plusieurs auné'es, (|ne les é(|uatious détermi- 
nées (|ni servent ii exprimer le mouvement de la chaleur dans la s|diér(' 
(Mil des racines ima,^inaires, el l'on a cité, comme exemple. re(|inilion 

tri's simple 

lani; / -r o. 

t.omme (dlc est lormée des deux i'acleiirs sin.r el secr. ini ciuiclnail 
(|u'ellc dinl a\()ir : 

I" Les racines iMndles de riMiiiatiini 



sni.' 



\l \ K(jl VIIONS Tli WSCKM» WTKS. -IW 

2" L)'s l'aciiU's (If r(M|iialinii 

séc ,r =^ o, 

(|iii ne |i('ii\i'iit ('tir (jiriiiiai,Mnaii'('s. 

J'ai (lisiiilc a\('c soin (elles ilc ces (ilijccddii^ (|u'il m'a paru in''cc<- 
sairc (le i-(''ruli'r. et j'ai (''ciit ii ce siijcl des Notes assez i''teri(|iies. i|iii 
sont annexées an premiei- Mémoire, et (!(''|)os(''es aux Areliives de l'In- 
stiliit. I^lles ont ('te (•omnuini(|ii(''es ;i |ilnsienis i;eomi'lfe>. et il n'y a 
|>ersoiine (|ui ne |iiiisse en prendi'e connaissance, (ie^ pii'ces ont ete 
remises à M. f.aplace. (|ui, selim son iisaiie, a bien voulu inscrire de 
sa main la date de la |)r(''sentalion, savoir le 2f) oclolire iSoc). J'ai iMp- 
|i(de s|»(''cialenienf dans ces Xoles i'idijection r(dati\(' aux racines de 

r(;M|iialioii 

taii.ur — o; 

et. |)onrla i'(''t'utei\ j'ai [H-onv('', non pas (|iie r(''(|ualioii 

séc' =^ o 



n a aneuiie racim" ni réelle ni imaiiinaire. ce (pu ne sei'ait pas contornie 
aux principes d'une analyse oxacle, mais (jiie les racines imaginaires de 
cette ('(iiiation séc.î- ^ o n'appartienucnl point ;i re(|iiation lange = o. 
On n'avait pas iMicoro eu l'occasion de rcmar(|ner (|u'il y a des c:is oii 
une l'onction n'est pas le produit de Ions les facteurs du premier (le;i're 
correspondant aux l'acines de r(''(pialioii dont le premier memlni' est 
la t'oncfion clle-UK'me; je montrai (|ue. pour re(]uation dont il s'a.mt 
tani;.J'= o, ce [U'oduit est sinr et non point tang.r. 

Je termine ici ce .M(''moire, en ometlaiif des (lev(doppements (|ni 
n'appaitiendraient (|u'aux Trait(!'S généraux d'Analyse. (!es considéra- 
tions sur les propriétés des foncti(nis transcendantes, et -iir leurs 
rapports avec l'Analyse algél)ri(|ae, méritent loiile l'attention (le> gecj- 
mètres. Elles moutrenl (|ne les principes de la résolution des équa- 
tions appartiennent ;i l'Analyse générale, dmit idics xmt le vrai ronde- 
ment. 

II. ■>-- 



21(1 vi'i'Lic \'i ION m. Lv^\l.^sl: vijiÉiîRioi i;. kic. 

[/(•hiilc ;i|)|U(iloii(lu' ili' l;i llicoiic <li's (''(|ii;ili(nis rihiirc des (jiii'S- 
tiniis |ilivsi(|ii('s lii'> v;iii('c< cl (ri's iiiipoihnitcs, |t:u- cM'iiiidc telles 
(|iie |iiéseiilciil les lieiTiières oseiliiirmiis des eorps, (MI il i\ers iimiivc- 
rueiils des Ihiides. (Ui les eiiiidilioiis de slahililé du sysli'ine s(daii'e. 
ou eiitiii le- lois naturelles de la distri luiliori de la eliaienr. 



DEUXIÈME SECTION. 



NOTES ET MÉMOIRES 



EXTKMTj DES 



BILLETI.XS DE LA SOCIÉTÉ PHILIIM ATIIIOL E. 



MEMOIRE 



PROPAGATIOX DE LA CHALEUR 



DANS LES CORPS SOLIDES. 



Par m. FOUHIER. 



MEMOIRE 

MU LA 

PUOPAGATION DE LA CHALEIK 

DANS LES COHI'S SOLIDES, 

I^Aii M. KiilR IKI! ^'). 



rrésonio le ji décemlirc 1807 à riiislitui luiiiunal. 

XiitiAvau Bulletin des Sciences pur ht .Siieieie pliilm/ial/ii^/iir <lr l'uri'., t. 1. p. iT).-iiri, 
n" 6: mars iSo.s. Paris. Bernard. 



L'aulcar (k' Cf .Al(''iiiuirc s'osi priiposi' de soiiiiieltrc la TlR'Oiii' <le la 
chaleur ii l'Analyse niatliématique et de vérifier, par rexpérienee, les 
résultats (lu calcul. Pour exposer l'etal de la (jiiesliou, supposons une 
liaiic de métal, cyliiidri(|uc el d"niie loui;ueur iudéteruiinée, plongée 
par une de ses e\ti-éniites dans un lluide entretenu ;i une température 
constante : la chaleur se ré|)audra suecessi\enieiit dans la liane; el. 
sans la perte ijui a lieu à sa surface el à son autre extrémité, (die pren- 
drait dans toute son étendue la température constante du l'oyei'; mais, 
à cause de cette [lerte, la chaleur ne s'étendra d'une manière seiisihle 
(|ue ius(iu'à une distance du loyer dépendante de la grosseur île i;i 
harre, de la <'onductihiiité du métal et de son degré de poli, (|ui iiillue 
sur le rayonnement : de sorte ([ue des ihermoniètres placés dan> l'elen- 

( ' ) Cet Arliclc, ([lie nous avons déjà siirnalé dans rAvanl-fi'opos du Tome I, n'cjt pas 
de Fourier. Si.L'né do l'initiale P. il a été coril par Poisson, (pii était un des rédacteurs du 
nullctin (let Sciences pour la partie nialliéuuiti(|ue. .\. raison de l'inlérèt hisloriipn' (pi'il 
présente comme étant le premier écrit oii l'on ait l'ait connaître la tliéorle de Fourier. nous 
a\t3ns cru devoir le reproduire intégralement. <i. D. 



21(i 



SI R L\ l'IlOl' Ad ATION l>E L\ (JIALFJ I! 



iliic (le celle (lishiiiee s'eli'veroiil i;ni(liielleinenl el tiiiiroiil |iai- arriver 
à Mil él:il slalionnaire, dans le(|uel leurs élévations seniiit daiilaiil 
ninins i^randes (pTils seroiil jiliis éloii^nés du loyer. 

.M. Hiol a l'ail voir par une ('xpérieuce diri'cle ( /'/.• v.v/y//r dv l'isilicr. 
|i. 8/| ) (|iie ces élévations décroissantes f'oiiiient une progression géo- 
inétri(jue, lors(|uc les lliernioniètres sont équidlstants. 

(l'esl. en ell'et, ce (|iii doit avoir lieu si, d'api'ès le |)rincipe connu 
de Newloii. la perte de la ( lialeur dans l'ail', en cluujue point de la 
liarre, est |)ro(Hirlioiin(dle ii rexcès de la température de ce pdint sur 
cidie de l'air, el s'il en est de même :i l'éi^ard de la chaleur communi- 
(|nee |)ar une tranidie (|U(dcoiu|ne de la liarre à la suivanle: l'expé- 
rience (|ue nous citons peut donc servir de démonstration ii ce prin- 
cipe, le seul que Ai. Fourier ein|Hiiute de la !Miysi(|iie, e| sur le(|ii(d il 
appuie luiite son Analyse. 

iMaiiileiiaiil, si l'on relire le foyer cunslaiil de chaleur el (|ne l'on 
alpaiidiuiiic la barre ii (die-iiiéme, les tliermomi'tres s'aliaisseront, cl 
l'on peut demander (jnelle sera, aprl's nu ferme donné, la hauteur de 
l'un (|iudcon(|ue d'f'utre eux. On conçoit loue que la distrihulion de la 
(dialeiir dans un corps solide (dire deux proldémes principaux ;i ré- 
siuidre : i" ce corps étant soumis ii l'action d'un on plusieurs loyers de 
( haleiir constanle. determinei' la température de chacun de ses points, 
inteiieiiis (01 extérieurs, lors(|ue cette température sera parvenue ii 
l'élal slalionnaire; -i" les loyers de (dialeiir étant supprimes et le cor|is 
aliaudonné ii lui-même, ou, plus ^ém''raleinenl, le corps ayant été 
I hauHé d'une manière (|uelcoii(jue, déterminer, apri's un temps doniié, 
la lempéraliire de (diaciin de ses jioinls, ce i\n\ fera c(Minaitre la loi 
sui\anl la(|ii(dle s'eirectne leur r(d'roidisseiiieiil. 

Celle lempéi'atnrc \arie avec le lem|is el la position ^\\\ point aii(|iiid 
(die appartient ; idie esl donc une lonclion des com-doiinées de ce point 
el du temps. M. Koiirier olilieni, pour la déterminer, une é(|ualioii aux 
dillerences parti(dles, savoir 






'<)-v (J-C 

' à.,:- ,)v- ():.-• 



DANS LES COI'.PS SOF.IDKS. 



■2\: 



dan^ laqiU'llo c ('>t la tciiipri-atiirc, / le U'iiips, .r, v, r 1rs (rois coor- 
tldiinrcs rcclan^iilaircs du ]Hiiii(, cl a un (-(loftieienl coiislaiil. ('elle 
i'(|iiatii)n (Miiviciit ;i tous les |iiiiiiN d'un corps lionio^iuic i\r ti^iirc 
(|iiidcon(|uc : mais M. Kourici- y joint, dans ciiai|nc cas pailicnlici', 
d'antres éipialions ijiii n'uni lieu ([u'ii la snrl'ace, et (|ui servent ;i déter- 
miner une partie des arbitraires ([u'inli-nduit rinlcL;ralion. I.a rc- 
elierclie de ces ikhivcIIc^ c(|ualions est nn puint didical de la iliéoi-ie 
de la clialcnr. (|ni mérite de ti\cr l'allention des physicien- i;éo- 
mlires. 

l.ors([ue le coi'ps est parvenu à l'étal slalionnaire. les lempéralnres 
de tons les points sont invai'iahlcs; (ui a diuic 



et. par consé(|nen(. 



,)-i' 
dP 



0^ 
dt 



()' c 

à7' 



{!etle éi|natM)n, ({uoKjue pins simple i[ue la |irécédenle, n'c>l poini 
encm'c intei;ralde sous forme tinie. 

Après avoir donné les é(|tnilimis i^énérales relatives au mouvement 
de la chaleur e( à son étal slalionnaire, M. Fmirier consiilioe diU'ércnls 
cas pai'liculiers, paiani les(|ue|s niius clmisirons le suivant, pour l'aire 
ciinnaitre les procédés d'Analyse (|u'il em|doie. 

( )n demamle la température des dillerenls points d'une hiuie redau- 
yulaire. d'une loni;iienr indélinie et d'une é'paisseui' conslaulc. loi-s(]ue 
celte température es! pai'Vcnm' ;i l'étal staliounaire. 

Fa'S cé|e> de la hune paralli'le^ à la lim.uueur sont cniretenus cun- 
slamment ii zéro, iju'on >nppnse élre la tcmpéi'alnre |)rimili\e de la 
lame t'iitiére. Les points de l'une île ses cxlrémilt's sont des l'nyer- de 
chaleur conslaiile, de >orte ([ne leur tem|iératnre est donnée et peut 
élre dillérenle d'un point ;i nn autre. On t'ait ahstraclion de rcpai<>eui' 
de la lame et dn ravonnemeiil, eu sorte (]ue. en prenaiil le plan de la 
lame pcoir c(dui des .rv, on pnurra supprimer la coordiiuiiee r. cl 
II. '^ 



•218 sur, I. \ l'IiOl' \(iATlUN I»i: LV ClIALEL l{ 

l\'(|uali(tii relative a l'état statiunnairc se réduira à 

()- V ()- e 

c)j- ()V- 

(Idiil l'intégrale est 

e =. iblicl.t ./■ -K Y\' — I ) + l'oiicl.(.r — )'\/ — 1 ). 

An lieu (le eette intégrale eoinpiéle, (jni a l'ineonvénienl de ren- 
lernier des iiiiaginaires, M. Kuuiiei' emploie la somme d'une iutinité 
d'intégrales |»artieuliéres, savoir 

e ^= -(- ( irc'-"-' -+- lie''-' ) iio-iiiy --,- (V/'c""-' + />'c"'-'') cosri' y -f- ■ . ■ 
— ( \c~"" -î- Bt'"'')siii«/,i' + ( \'e^"'-' + We'"-') cosm'y -+-..., 

(I, a'. .... A, //, ...: A, A', .... B, 15', ..; //, /i' . .... m, ///'. ... étant des 
e(Uis(aiiles arhi ti'aires. Si l'on suppose, pour siniplilier. la lame sem- 
Idaldeiiicnt éeli.iuiree de pari cl d'autre de la ligne (|ui la partage en 
deux pallies égales dans le sens <.\v sa longueur, et (|ne l'iui prenne 
relie ligne p(Uir axe des .r. les sinus sin///)-, sin//?'v, ... devront elre 
exelus de la valeur de r. De plus, eu [irenant [lour unité la demi-lar- 
gt'Ur de la lame, la einiditiiui (pi'oii ait e = o (piand >' = nr 1 , qucdle 
(|ue soil la vaieiii- de r, e.vige (juc les ai'bili'aii-es //, //, n' , ... soieni la 
suite des (| nanti lés - -, '--, '-t., ...,- désignant la demi-eireon lé renée. 

lùilin, la lem|ieralure devant déeroitre à mesui'e (|ue l'on s'éloigne du 
loyer de elialeur eousiaule, la \aleur de e ne d(Ut [las ifuternu'i' les 
expiMienliidles ,'". r"'. ... dont les exposants scml posilils; eette va- 
leur deviendra doue 



TT.r 7: I 

-^T- T. Y , - 3 — TT V 

e ^= «e " cos — ■ - -I- (7 (' - cos J -— + a c 



COS.) 



T.Y 



Il ne reste plus <|ue les ((.'erneients n, a', a", ... à déterminer; oi', si 
l'iui tixe l'origine des ,r au loyer de chaleur eonslanle, la valeur de e 
{■(dative à .f = u sera donnée en l'onction de j'; soit alors e = o{y)< on 
aura 

r »• , ,,-.Y „ . Ty 
! '. I o( r 1 — (7 cos -^ -+- a coso — -+- « cos.j — ^ -:-.... 

' ' 2 2 2 



DA\> LEJi CORPS SOLIDE?. 



. T. V 



21!) 



.Multipliant ilc pai't et d'autre par cos( 2/ — 1')-— - et intôgranl iMisuili 
depuis -i- = — r jusqu'il v = — i , il vient 

fl, = / - i r ) cos I a / — 1 ) -- (/)•, 

car il est facile de s'assurer iiue l'intégrale 



.f 



pos {ii ^ I ) '-^^ co.< ( a /' — '-'- cl} 



prise depuis V = — i jusqu'à r = -^ i, est nulle. exeiq)lé dans le cas 
de i=zi', (III elle est épale à r. Dans (juelques cas iiarlieuliet<, l'inté- 
grale déliuie devra être prise entre d'autres liuiiles, sans (|Uui l'on 
IrDUverait 'i^ = o, pour luutes les valeurs de /. 

Les eoellicients a, ti' , a". ... (''tanl ainsi detei'ininés. .M. Feinriei' sub- 
stitue la >ei-ie i 2 ) ;i la lonetion 'f(,v), eu (diseivant (|ue ces deux quan- 
tités ne sent éiiales (jue depuis v — — i ju>(|u'à v = -^ 1 : Imrs de ces 
limites, la série ne cdïueidera plus avec la l'nnctinn, ii moins (jue les 
valeurs de la lonetion ne soient péiio(li(|ues eoninie celles de l,i seiie. 

Maintenant la série (1) ne renl'ernie plus rii'U d'iiicnnnn; pareonse- 
i|nenl. elle donnera la température de la lame en un poiut qindeoii(|ue. 
ce qu'il s'ai^issait de Inoiver. Tous les ternies deei(»i>seiit ;i mesure 
que Ion s'éloigne du foyer, le jiremier lieaueonp moins rapiilenienl 
(|ue les autres; de sorte (|u';i uni" i;rande distance eeux-ei penveni 
être négligés par rapport à ce premier terme, et alors on a -impli'- 
meiit 



d'où il suit qu'il cette distance la loi des températures devient inde- 
|)endante du mode d'éeliautrement du fover. 

Le cas partieulier de la laine e<t le plus simple de ceux (|m' M. l'nii- 
lier a considérés, irest, pour ain<i dire, une liypotlil'se purement 
malliémati(jue, ([ui ne saurait avoir lieu dan< la nature, et 011 les con- 
ililiims relatives aux limites du corps sont de simples conventions. 



Il 



2-20 SI i; LV l'IiOl' V(,ATIO\ DE L\ Cil \ LE lit 

^I. Fdiiricr trailc les aiilrcs cas (|iril coiisidi'rc par des prorrdrs d'a- 
ualvsr aiialuniics, mais jiliis (■()mpli(jii(''s; il i'('iii|dac(' de ini'inc l'iiUe- 
i;ral(' comidi'lc par uni' siiininc infinie d'inlri^ralcs pai'lirulii'rcs ; f( de 
i-cllc inaniiMc la Icniprralnri' varialdc de elia(|U(' poiiil An rorps, à un 
inslanl (|ni'lc(ini|iic. se Irouvc représênti'c par une srric de li.'i'incs 
doni les (•(iidlicirnls s'cxprinicnl , cuninic pins haiil, jiar îles intri^rali'- 
dctinics. C.liacnn de ces termes a [xinr lai'leui' une e\p(inenhelle : e(, 
celle dont l'exposanl esl le plus petit, eu les supposant l(Uis réels, dé- 
cioissanl avec l)eaue(»up nmins de rapiilifi' (|ne les autres, il s'eu-^nil 
(Hi'aprJ's un certain temps ce terme l'cste seul dans rcxpressidU de la 
mpératnre : alors les leuipératures des points extérieurs et iul(''rieur-s 

mmencent ii déci'oitre d'une manii're réi;ulière, indépendante de la 
distrilinlidu primitive de la chaleur, el en proi^ression i4éoméli'i([ue 
pour lies intervalles de tem|is éi^aiix. ('/est. eu efi'et, ce (|u'ont trouvé 
les dill'erenls pliysicieus (|ui (Uil delermini' |iai' rexpi''rience la loi du 
ridVoidissemeul des corps placés dans uii air à une tempéi'alnre moindre 
(|in' celle de ces corps; mais, seliui M. l'ourler, celle loi ne si' niani- 
fesle pas immédiatemenl. mais luen ii partir de ri'poqiH' oii la \idenr 
de la lempéraliirc variable peut étri! cuusée réduite ;i son |)reniier 
terme. 

La raison de la progression i;éiimélrl(|ue i|iii expriruc le rclVoidisse- 
uu'iil liiial d'un coijis et, jiar cousé(|nenl, la vitessi' de ce rcFroidisse- 
menl depeiidenl des diiiieusinns, de la rorine et di' la matii're du corps. 
Dans les s|di('res de tri' s petits diaiin'l res el de m ('lue matii're, le temps 
nécessaire piuir nu aliaissemeiil donné de teiiipi'rature csl propor- 
tionnel au diami'lre ; il cmit, au contraire, couiuie le carré du diami'lre, 
dans les spliî'res tri's lirandcs; il eu esl de même dans les cuhes Iri's 
j)elils el les cubes Iri's i^rands; eiilin, eu lomparaul i;es temps dans 
un eiibe cl dans la splii'i'c iusciitc, on trouve (|u'ils sont entre eux 
comme ] esl ii ^. 

Le .Mémoire dont nniis rendons compte csl terminé par le di'Iail des 
expériences ((lie railleur a laites piuir M'rilier les ri'sultals de sou 
analvse. el (|u'il se pro|)ose de répéter avec des instrumeiils plus pré'- 



I) \\S I.KS CulM'S SOLIDES. 



21\ 



fis. I.:i plus n'iiiai-([iialil(' l'sl cclli' i|iii rsl rclalivc an rrrioldissciiicnl 
il'un amii'aii iiii''lalli(|iic : m: nlisi'i'\c (|ii(' liiciitùl raimraii |iai'vii'iil ii 
Mil rlai dans lr(|iicl la soiiiiiu' ili's IrinpiTal iiii's ilo deux |iuiiils |ilac(''> 
aux t'Mii'iiiilcs (riiii iiiriiic iliaiiirlrc i'>t la iiK'iiic |ioiii' Ions li's dia- 
îni'lrcs, ri i|n"iiiir l'ois |iai'V('iiu ii ccl ('(al, il lr i-onsci'Vf jnsiiu'ii -on 
en lier rcrroidisscincnl. M. j-'oiii'icr a xaTilii' (jnc celte proprirli' du lelVoi- 
dissenicnl tinal esl indépendante di' la d isliilinlitMi |iriniilive di' la 
(dialenidan^ l'annean, et sur ee p(nnf re\p('rienee s'est lrou\(''i' d'ac- 
cord avi'c son analyse (jni l'avait conduit an même ivsnllat. 

I'. 



MEMOIRK 



TEMPÉHVTl Ki: DES HABITATIONS 



MiiLVEMENT \ Alvlt HK LA CllALEl K DAN? L^:^ l'UlSME:: 
RECÏANCLLAIKES. 



MEMOIRE 



TEMPKHATUUE DES HABITATIONS 



MOLVl-MEXT VAIUI-; DE LA (.llAi.ELll DANS l.i:s l'KISMES 
RECTANGULAIRES. 

I EXTRAIT. ; 



BuUvliii ilt'\ Scif/ice.f par /a Sdcicti'' /)/ii/iii/iol/iiijii<\ |i. I à ii; 1818. 
Présenté i'i l'Académie des Scieiiee.s le 1- iiuNcmlire 181- 1 • 1. 



I. (In s'e.-^l proposr de lr;iil('r dans ce Mciui)iii' drux des (jiii'slions 
luincipalcs de la théorie de la elialriir. L'une (dire une applieat'uui de 
celle ihéorie ans usai; es i-ivils ; elle ennsiste ;i delerniiner les ('(iiidilnins 
niathéniafiijues de ri'cliauHeinenl eonstani de laii- renl'iTtiie dans un 
espace donné. La si'conde (|uc>lii>n ap|iailieul ii la iheor'u' analvliiiuc 
de la clialenr'. !-]lle a pour olijii de c.Minai(i-e la leiiipéi'alure varialdc 
de clia(|ue nudccule d"un prisme droil n liase rcelauLjiilaire, plac(' dan- 
l'aii' enireleun ii une (enipéralnre eonstanle. On sn()|)()se (]ue la leni- 
|iéralnre iiiiliali' de cliafpie point du ju'isnie est connue, et i|u (die ol 
exprimée jKir nue t'onclion entièrenu'nl arliilraire des truiseoord(uinee.N 
de elia<|ne poiul: il >'-,{■/][ de déterminer tous les étals sul)sé(|nenls du 
s(dide, en avant eiiaid ii la distribution de la clialenr dans l'inlcrieiir 



I ' I Ce Mémoire doit èlro rappriiché des résultai? que Fiiurier a donnés sur récliatil- 
fenient des es|inces dos dans la Seetioa \T du (;lia[iilrc I de la '/'/ic'crtc de la CluAciir. 

G. D. 

IL 2<.l 



■12G SLIt LA TE:\fr'!:iUTL l!K DES 11 \ I! HATIONS 

(le la innsso, et ii l;i pci'lc ilf rhalciir (|ni s'ojiî'i'c ii la sii|H'rtirip, suit par 
le coiilacl, soil |iai- riia-adialioii. (a'Ilc diTiiiiTt' {|iicsliiin est la [iliis 
i^éiiéralc de loiilcs cclli'S (|iii aii'iil l'Ié rcsoliics jus(|irici daii^ cctli' 
iiniivcllc liranrlir de l<i l'ljysi(|ii('. l'allé C(>m|)i'('i](i, roiiiinc une qnesliuii 
jiarliriilii're, celle cjiii sii[)|mse que Ion?; les points dn solide ont reeii la 
même lempi'ialiii'e initiale; elle comprend aussi une antre reclier( lie, 
(pii est lin des éléments jiriiicipanx de la tliéorie de la chaleur, cl qui 
a |>oiir objet de di'monlrer les lois yeni'i'ales de la dill'nsion de la cha- 
leur dans une masse solide dont, les dimensions sont infinies. 

La preinii'rc i|nestion, (|ni concerne la leni|)i''ratni'e {\i'~. espaces clo'^, 
intéresse les arts et reconomie pnidiqne. (le sujet est entii'renienl 
noiniMii ; on n'avait point encore (diereln'' ;i déci.)n\rir les indations (|iii 
siilisislent entre les dimensions d'une enceinte solide, loianée d'une 
siilistance connue, et Télévation de tem[iéiatiire que doit produire une 
source ciMistante de (dialenr jilacée dans res[)ace que celte enceinte 
termine. 

Ou e\[iosera snccessivenient l'idijet et h'S éléments de cha(|Ui' (|iies- 
tion, les principes qui scr\i'nl ;i la icsoudre, et les résultats de la 
solution. 

PllEMIKRE PARTIE. 

UE I.V TrMl'(:it\Tt KK IIF.S IIAllI lA I IONS. 



On suppose (ju'iin es|)ace d'une iii;iirc quidc(nii|ue est fermé de 
tiMites paris, et rempli d'air atmesplieriqne ; l'enceinte sidide ([ni le 
termini" est honio^èue; (dli- a la même épaisseur dans toutes ses par- 
ties, et si's dimensions smit assez. i;raudes pour cpie le ra|qiorl de la 
surface intérieure ,à la siiiTace cxtei'ieiii'e dilléi'e peu de l'unité. L'air 
extérieur conserve nue température lixe et donui'e; l'air intérieur est 
exposé il l'action ei)iislanle d'un foyi'i' dont on coniiait rinleiisile. On 
peut concevoir, par exemple, que cette chaleur constaiile est ctdte (jne 
i'onrnit coiilinuellemenl \\\\*' surface d'une certaine étendue, et que 
l'on enlretient ii une température lixe. La questiiui cmisisle ,"i deli'r- 



i:t sri! i.F. MOL vi:a!knt \Mtii: m: i. \ (:ii\i,i:i ii. ±2- 

iiiiiitT la t('iii|K''raliii'e (|iii doit rrsiiltrr ilc ci'tlc aclioii d'un lovci' inva- 
riable iiiilctiiiiinrnl itroloni^i'c. Atiii ira[)i'rci'V()ii' [dus disliurtcuicnl 
les rapports au\(|iuds les elli'ls dr ce i^ciirc soni assujettis, un consi- 
dère ici !a tenipéi'ature moyenne de lair eonlenu dans l'espaee, et l'on 
suppose d'altord (pi'uue rausç toujour> subsistante mêle les dilTérentes 
pai'lies de cet air inleniMir, et en i-eud la tem|>eratnii' unii'orini'. On 
l'ait aussi abstraetioii de [ilusieurs conditions accessoires, t(dles (|ue 
l'iuéttale (''|iaisseui-, la diversité d'exposition (|ni l'ait \arier l'iiilluence 
de la teni])i'ralure extérieure. Aucune de ces conditions ne doit être 
tuuise dans les aj)|)lications; mais il est néi'essaire d'cxaniiner, en pre- 
iniei- lieu, les résultats des causes piincipales ; les sciences niatln''ma- 
fiijues n'ont aucun auli'c moyen de découvrir les lois simples cl con- 
stantes des |ibénomi'nes. 



;J. On voit d'aboi'd (|ue la cbaleur (|ui s(Ut ii clia(jue instant du l'oyei' 
élève de plus en plus la lempeialure de l'air intérieur, (|u'(dle |iasse de 
ce milieu dans la masse dont reneeinle est l'(n'mee, (in'elle en an^incnle 
[>i'0^ressivemeiit la température, et (|u'eii même temps uni" partie de 
cette cbaleur, parvenue jus(|u';i la surface l'Xiérieure de l'enceinte, se 
dissipe dans l'air en vironnant. I.'eli'et (|ue l'on \ient de décrire s'opi-re 
continuellenient ; l'air intérieiii- ac(|uierl une température beam'oup 
moindre que celle du l'oyei', mais toujours plus jurande que c(dle de la 
premiiTc surface de l'enceinte. La température des dillérentes pallies 
de celte enceinte est d'autant moindre (ju'(dles sont [dus eloii:iiees de 
la premil'i'e surface; enlin la seconde sui'face est plus écliaiili'ee (|iie 
l'air extérieur, dont la températui'e est cousiante. Ainsi la cbaleui- du 
foyer est transmise ;i travers res|)ace et l'enceinte ijui le icrmine: i Ile 
passe d'un mou\enient continu dans l'aii- i'ii\ iionnaiil . 

Si l'on ne considei'ail (|u'iiii seul |ioint tb' la masse de reneeinle et 
que l'on y plaçât un iberniomètre très petit, on vi'riail la température 
s'élever de |dus en plus, et s'approclier insen^iblenient d'un dernier 
état qu'elle ne [»eut jamais outre[)asser. Cette valeur tinale de la tem- 
pérature n'est pas la même pour les dilTérentes parties de l'enceinte; 



228 SUR L\ TEMl'KliATl UR DES HABITVTIONS 

elle est (r;iul;inl iiKtiiidi'c ([uc le poiiil est [)!iis rliiigiié de la suiTaco 
iillrrii'iui". 



1. Il V a doiM' (IriiK cHVls (iisliiirls ;i ronsidrrci". L'un esl rtM-liaiillV- 
iiient |)roi;r't'ssil' (!(' l'air cl des diirci'cntcs parties de rciicci'lilc (|ui If 
ronlicnl: l'aiiii'c rsl le système iinal de lotiles les tempiTaliires devie- 
nnes lÎNi's. (Test l'i'xanien de ce derniiM' état (|ni est l'objet spci'ial de 
la ijiieslioii. 

A la vérité, les températures ne peuvent jamais atteindre ;i ces der- 
nit'res valeurs, car e(da n'aurait lien exactement (|u'en supposant li^ 
temps intini; mais la dilI'ei'eiKN? devient de jdns en plus insensible. 
cr»mme le pr<)u\enl toutes les observations. Il l'anl seulement remar- 
(|uer(]ne lélat iinal a une |)ropi'ieté qui le dislini^in'. et (|ui doit servir 
de rondement an calcul. l']lle consiste en ce (|ue ce! état peut subsister 
de Ini-méme sans aucun cliangemeiit, en sorte qu'il se conserverait 
toujours s'il ('tait d'abord l'ormé. 

Il en résnlli' (jue. poni' connaître le sv^ti'ine final des tempéi'atuies. 
il sullit de di'leiaiiincr celles (|ui ur elKini^cr-aient point si elles étaient 
établies, en supposant toujours que le fovcr retient une lemjiéraliire 
invai'iablc, cl ipTil en est de même de l'air extérieur. Siqiposons qin' 
l'on divise l'enceinle s(dide eu une mullilude de coucbes extrêmement 
minces, dont chacune est com]irise entic deux bases parallides aux 
surfaces de l'eiiceinte; on eoiisidi'rera séparément l'étal de l'une de 
ces eoindies. Il résulte des remarqm's précédentes ([u'il s'éconle cou- 
(inm'llemeiit une certaine (juanliii' de chaleur ;i ti'a\i'rs (diacune des 
lieux surfaces ijui terminent cette tranche. La chaleur pi'ui'lre dans 
i'intérieni' de la tranche par sa premii're Mwiace. et, dans le même 
temps, uni' partie de c(dlc (|nc celte masse intiniment petite avait 
acquise auparavant en sort ;i travers la suiTace (qqiosée. Or il est 
évidemment nécessaire (\\\t' ces lliix de chaleur soient égaux poiii' (|ue 
la teiripcrature de la ti'amdie ne subisse aucun cbaugement. t'ette 
remar'(|ne fait connaitie en (|uoi consiste l'état Iinal des tenq>i''ralures 
devenues iixes, et comuM'iit il dillere de l'état variable (|ui le préi'cde. 



ET SIR LE MOrVF.MKNT VVIÎIK D K [. \ CllVLl-l n. -il') 

Lo mouvemon! ilc la rlialciir ii travci'-; la masse de rciicciiilc (Icviciil 
iniit'ûrmc Im-sijiril nilrc. dans iliaiMiiic des Iraiiclii-s pai-allMi's ddiil 
Cfttc oiiceiii((' est CDiiiposro, mn' (|iianlil('' de clialt'iii' é^alf .à ci'IU- <|iii 
on soi'l dans le int'nie ti'in|»s. I.c tlu\ est donc le iiiènic dans toiili' la 
profomlcni' de rcnecinte, cl il csl le niènic à Ions les instants. On en 
eonnaitfail la valeur niiniei'i(]iic si l'on pouvait reciieillii' lonlc la 
(jiianlité (jni s'écoule pendant l'unité de temps ;i travers une surface 
(]U(dcon([ne liMcee [»ai'all(denienl ;t celles (|ni tei'minent l'enceinle. !.a 
masse de i;Iace. ii la lem|)(''ratni'e /yvo, (jue cette (|nantit('' de chaleur 
pourrait converlii' en eau sans en idevcr la li'mpi'ralure, l'xprimerail 
la valeiM' du ilu\ i|ui peni'tre conlinuidleunnit l'enceinle dans l'i'lal 
final e! invariable. (!ette UM'ine ipianlité de chaleur esl nécessaireunMil 
e([uivalente ii celle (pii s(U't pendant le même temps du i'oyei' et [lasse 
dans l'ail' inliuieni'. l-llle est éi^ale aussi ii la (dialeiir ([Ue celte même 
masse d'air communique ii l'enceinte ii travers la piemiére sui'l'ace. 
Kufin elle est éifâle à c(dle ([ui sort pendant le même temps de la sur- 
face e\t(U'ienre de l'enceinle, et se dissipe dans l'ail' eu\ironnant . 
(Jette (pianlili' de chaleur esl, a propremenl [>arle|-, la dépense de la 
source. 



."). Les quantités connues «pii entrent dans le calcul sont 
vantes : 



-n\- 



y desi,j;ne réli'udue de la suifai'c du f'over: 

<i la températui'i' [>ermanente de celle siirl'aci': 

/' la température de l'air exlei'ienr; 

(' l'éqKiisseur de l'enceiiiti' ; 

.V l'etiMidue de la surface de l'enceinle: 

K la couducihililé s[)(''cifi(|ue de la matière de i'euceiiile; 

// la conducihilitc iiit(''rieure de renceinte; 

\\ lu ciMidui-iliilité de la snrfai-e e\t(''rieni'e: 

i,'' la condncilMlite de la surface du fover. 

On a ex[di<iué dans ties .Mémoires précédenls la nature descoi;f'ficieul- 



230 Slli LA TE>rr'KI! VTrrtR DES HVniTATIONS 

//. II. 4', K. l'I II'-- o!is('iv;ili()!is j)r(i|)rcs ;i les iiicsuifr. Les (rois (|iifin- 
lilés (loiil il l'iiiil (létcriiiiiier la vaioiir sont : a, teiiipéialiiro liiialc de 
l'air iulrriciii'; '(), (ciiiiH'i'Mtiiri' finalr do la |ii'eMii('i'C suif'ai'c de l'cu- 
cciiitc; y, li'inprralui'f tiualc de la siiiiacc cxtérirurc de ri'iiccink'. (ta 
ili''sii;iic par A l'élrvalion tinalc de la Iciniu'i'atiire ou l'cxci's a — h, e! 
par 'I» la dcpnisc de la source ou la valeur du llux coiisiaiit (jiii péui-tre 
loutes les parties de l'eueeiule. On rappoi'le celle (|U:intilé <!' ;i une 
seule uuile de siiriac'e; c'est-;i-dire (|iie la valeur de <l> mesure la quan- 
lilé de eluileur (|iii. peudaul l'uuite de leui|is, liaverse l'aire égale il 
l'unité dans une suri'ace (pi(dc(ui(|ue p;iralléle ii celles de l'euceiiite ; 
»!' exprime, eu unités de [toids, la masse de glace ([ue cette chaleur 
iés(Uidi'ail eu eau. 

Les (|uanlites précédentes ont entre idles des i'(daiions très simples, 
(]ue l'iui peut déi-onvrir sans former aucune liypotlii'se sur la nature de 
la (dialenr. Il snllit de considérer la pi'opriéte (jue la chaleur a di' se 
transmettre d'une |iartie d'un corps ;i nu antre, et d'exprimer les lois 
>ui\aul les(|iH'lles cette pro[)riété s'c'xerce. La connaissance des causes 
u\'st point nu chaînent des théories uiathémali{|ues. Ontdle (]ue soit la 
di\ersile des opiui(ui'- sur la nalnri^ de la chaleur, ou voit que les ex- 
plications (|ui pai-aissent d'ail leurs les pins o|i[)osi''es ouf une [larfu' 
commune, (|ni est fort impoitaute puisqu'(Ui en peut déduire les con- 
diti(nis matliemati(pies aux(|uelles les ell'ets S(Mit assujettis. 

Les j)ropositions l'ondanieutales de cette théiu'ie ne son! ni moins 
simples, ni moins rigoureusement dcmonti'ées (jue celles (jui i'ormeut 
aujouiiriiui les tln'ories slali(|nes ou dynaini(|ues. Il est uécessairt' de 
i'aii'c il ce sujet les l'i'Uiarqucs suivantes : les coeflicients K, //, Il et le 
coeriicient (|ui mesure la capacité de chaleur doivent ici «'tre rei^ai'dés 
comme des (juanlili's eiuistanles, mais, eu général, ils varient avec les 
températures, loi's(|u'(dles siuit éle\ées. Dans l'état actuel de la l'iiy- 
si(|ui', on ne counail (|ue lii's imparfaitement les \ariatious de ces 
eoel'licieuts. Le coeflicient ndalif'ii la ca|tacité ue suhit (pie des varia- 
ti(Mis presijne insensihies pour des dill'ereiu'es de lempératnres heau- 
c(Uip plus grandes (|ue celles (|ue l'on considi're ici. f.e nomhre K n'a 



ET SUll LE MOI VKMKNT VVISIE ItK F, \ CIIM,!.! |!. -2:11 

l'h' iiicsui'i' ([lie |)i)ur iim' sriilr siiltslance, mais diverses (liiservalioii- 
iii(inli'(.'nt (jii'il Cdiiserve iiiie valeur seilsilileiiieiil eoiislaiite pDiir des 
lein|)('ratiires inoveimes. 

Le ciieriineiil // e>l plus \ai'iaide; il de|ien(l de l'espi'ce ilii uiilieii 
éhisli(|ue. (!(_' sa vitesse, de sa [iressioii, de la (eiii|i(''ratiiie el de l'elat 
des sui'Caei's. On ne eoimail |Hiiiil exaeleiiient la inarelie de -;es \aria- 
(ions; on est seiileiiieiit assiiri' (|iie sa valeur ne eliaui^e |i(dnl l(H'si|ue 
la dilTereuce des (euiperatui'es est |)eu eousid(''ral)le. 

Eu L;eiH!'ral, suit (|ue (?es coerticieiils rejireseuleiil des nuinlu'es cun- 
stauls ou des l'i>ne(ii)ns connues de la leniperatui'e, ou exnriuie lnu- 
joiirs par les mêmes (''ijualious les pi'nprieies de l'état tiual, nu e(dle> 
de l'entât varialde i|iii le pri''iM''de. Ainsi, la i|uestii)n est réduite dans 
tons les eas ii une (jiiestiou or'dinaire d'analyse, ce ijni est le V(''rilal)le 
objet de la Tlu'orie. 

(■). l'((ur que le systinne des températures soit peianaueuf, il tant 
(|ne (diacjue tranche infiniment petite dr' l'enceinte l'ecidve :i (dia(|ue 
instant par une surface, et perde par la sui'l'aco op|)osée. une i|uanlitt'' 
de chaleur éjiale ii celle ([iii soi't du l'oyer. Celte condition iournil les 
trois é([uations sui\antes, ijui sont p(Mir ainsi dire ('videnles d'(dles- 
mèmcs. Elles dérivent immédiatement d'une proposition élémentaire 
dont ou a donné ailleurs la deniiuistration. 



/ir(.y-a)=~(3-y), 
c 

./>('/ — a) = FLv(y -b). 



On en conclut 



y. — ■ b ^ in — b) 



I (? 1 

A ^ îv "^ ÏÏ 



On a désigné par <l' la dépense de la source l'apportée ii l'unité de 



/> 



surlai'c; I e\[n'essioii île celte i|uaulité est --^ ( </ — a ), et >a valeur eu 



232 SI H LV Ti: Ml'Lr.ATlKE ItKS II AlMTATIONS 

(liiaiilités cnniuics est ildniirc |kii' rcMiiKilioii 

a- h 

•1» z= 



.7^"-Â 



On en coiichil 



K-A^'l>( 



K^ Il 



K + Il 



\'.n dcsi^iKiiil |);ii' A Ti'xri's de l;i tcin|i(''i'al un' tixc dr Tair inli'iirur 

siii- ccllf <!<' l'air cxlfririir, l'I |)ar ;\1 le ikhiiIhl' coiimi t -1- . + n ' "■' 

' //Kl! 

aura 

A = <1>M. 

Ndiis allons niaiiili'iiaiil iii(li(|U('r les rrsullals de ri'ttt' S(diilion : 

i" On rcidnnail d'alMinl (juc le d('i;r('' de ri'ciiauHi'incnt. o"('st-;i-diie 
l'oxci-s A de la h"iii|>rralnr(' linalc de l'air inlérieur sni- la liMnpi''ratnrt' 
de l'air exlciicni', ne di'|icnd point de la t'oiinc de l'enceinte, ni du \o- 
lunio qu'elle deteiinine. mais du ra[i|iort ~ de la surlaee dont la clialeur • 
sort à la sui'l'aee (|ui la reçoit, et de l'épaissenr c de renceinle. 

■j" La capacité de clialeni- de l'enveloppe solide et celle de l'air n'en- 
trent point dans l'expression de la (eni|)ératnre finale. Celte <|iialil('' 
iiiihie sur l'échauirenienl variable, mais elle ne concourt pas ii deler- 
minor la valeur des dernii'res températures. 

')"' Le dei;i'é de l'éidianll'enu'iit aut;niente avec l'épaisseur de l'en- 
ceinte, (tl il est d'autant moimli'c (|ue la conducihilite de reuv(doppe 
solide est plus içiande. Si W\\\ donhlail l'ejiaisseur, (ui aurait le même 
l'ésullal (jue si la conducihililé était deux lois moindre. Ainsi, l'emploi 
des substances (|ui conduisent dil'ticilemeni la clialeur pi'rmet de 
dontu'r peu de proroiidenr ii l'eiiceiiile. L'eU'et (|ue l'on obtient ne 
dépend (]ue du rapport de l'i^paissenr ii la condncibilité spéciti(|ue. 

/('' Les deux coeriicienls // et 11. ridalil's aux siirtaces ind'rieure et 
extérieure, l'iitrent de la même manière dans l'expression de la lem- 
|ii'rature. .Ainsi la <|ualité des superlicies ou de l'eiivtdopiie (]ni les 
couvre j)rocure le même résultat tiiial. soit <]iu' cet état se rapporte ii 
l'inlérieur ou \\ l'cxlerieur de l'enceinle. 



ET >UU LE MOUVEMENT VUîIÉ DE I. \ CIULEI i;. r.:] 

j" Le (lrL;i('' (le IV'cliauireiiiciit ne ilevicnl [mini mil iors(|irim ii'iid 
répaissciir infiniment ]>i'til('. [.a l'ésistance (|Ui' les snifacrs ()[i|ii)^rn! 
il la transmission de la elialeur snTit ponr ilélerniiiier l'elrvalion ilr la 
température. (Test pour lelle raison (jne l'air peut eon^erver a>sr/ 
longtemps sa elialeur li)rsi|u'il est loiitenu dans une enveluppe 
tlexilile tri-s minée. Dans ee eas, la lempéradii'e de la première surt'ai'f 
ne dilierr [loinl de eellc de la seconde, el, si elles ont la nirmc rmidn- 
cil)ilité ndative ;i l'air, leur température est moyenne entre celles de 
l'air intérieur et de l'aii' extérieur. 

()" lin comparant la température ae(|uise |tar l'air intérieur ;i la 
t]uaiilité (le elialeur (|ui s(U-t du loyer et traverse renceinte, on S'iit 
([lie, sau'^ aui^nieuter la dé[)('nse de la source, ou peut auL^nieiiler le 
degré final do l'écliauliément, soit en donnanl une plus grande épais- 
seur . a l'enceinte, soit en la fonnaiit d'uni' substance moins [U'opro ;t 
conduire la elialeur, soit en changeant l'état des surfaces [lar le [ndi 
ou les teintures. 

7" Les coefticienls A, K, II qui dépeudenl dr l'étal des surfaces 'in 
de la matière de l'enceinte sont regardés ici comme des ([uant!té< 
données. En ell'ct, ils peuvent être déterminés directement par l'oh- 
servation. .Mais les expériences propres à mesurer la valeur de K n'ont 
encore été appliquées qu'à une seule sultstance (le fer forgé ): on ne 
connaît cette valeur pour aucune autre matière. 11 faut remar(|ner(|u'il 
entre, dans l'expression de la température, un coeflicienl couipoM' .M. 
dont on peut trouver la valeur uuméri()ue par une oliservatiou. ce i|ui 
dispenserait de mesurer séparéiiient les quantités //, II, ', K. ('.<• euet- 
ticieiit composé est le rapport de l'élévation A di- la température à la 
dépense I du foyer pour l'unité de surface. Il exprime la qualité jdiy- 
sique ([ue l'on a en vue lors(iue, en comparant plusieurs lialiilalions, 
on estime que les unes sont plus chaudes que les antres. 

Plus la valeur de ce coefficient est grande, plus il esl facile de [iro- 
curer une haute teiiqieralure, dans un espace donné, sans augmenter 
la dépense de la source. 11 change avec l'épaisseur et la nature de 
II. 3o 



23V 



SL li 1. V TEMPEUATll!!-: DES UVIMTVTIONS 



l'cncciiilc, cl nii'siiri' pt-rrisrincnl . poiii' plusieurs soi'Ics de clùliircs, 
hi pr(i[tri('l('' ([ircllcs oui de l'cii'iiii' la cliaiciir, eu opjiosaiil une résis- 
tauci- pins on moins .yraiido à son passa,nc dans l'aif extérieur. 

Si le luènie espace est éeliaulle par deux on par nn [)lus liraiid 
nonihre de l'overs de dillcrentcs es|)èees, on si la |)reniiè're enceinte 
est ellc-inèuie couteune dans nru' seconde enceinte séparée de la pre- 
niii'i'c par nue niasse daii', on di'Ierniine suivant les mêmes principes 
le ilegré de reiduiuiremeul et les tem[>ératures des surlaces. Les solu- 
tions générales de ces deux (juestions ont été ra|i|K)itees dans le 
Mémoire. On suppose dans la première un nomlire indellni de loyers. 
(jui dillerent par leurs lem]ieratiires et leur étendue; on supjiose dans 
la seconde un munlue iinlelini d'enceintes (|ni dillerent par l'espèce 
de la matière et pai- la dimeusion. 

Les expressions (|n(> cette analyse l'ournit monticnt clairement 
l'eiret de ( lia(]ue condition <l(uinée. Ou voit, |iar exemple, que des 
envidoppes solides séparées par l'air. (|ne]que petite que soit ieni' épais- 
seur, doivent contrilmer pour l)eaucou[) ii relèvement de la tem[)éra- 
tnre. On l'cconuait aussi ([u'en divisant l'enceinte en plusieurs autres, 
en sorte (|ne l'épaisseur totale demeurât toujours la même, on procu- 
rerait, avec le même loyer, un très haut degré J'écliauffemeut, par la 
séparation des surfaces. 

Plusieurs des résultats que l'iui vient d'iuditiuer étaient devenus 
sensibles pal' rexpérieuce même. Il est dllficile, eu ellet, ([u'uii liuig 
iisagi' ne lasse point connaiire des résultats aussi c(Uistauts. I>a lliéorie 
actmdle les expli(|ne, les rami'ue à un même principe et en donne la 
mesure exacte. An reste. t(niles les remarques (|ui précèdent sont 
iieauconp mieux t'X[uimees par les équations elles-mêmes; il n'y a pas 
de langage plus distiiu't cl plus clair. On aurait (uiiis cette éuuméra- 
tion, s'il ne s'agissait point ici d'une (|nestiou (|ni n'a pas encore été 
traitée, et snrla<|Uidle il peut eli'e utile d'apj)eler ralteiitiou. 



8. On sait (|ue les cor|>s animés cousei'vent une température sensi- 



KT srii m: M()rvi:>FF-:\T wnii: m: r, v riiviri i\. yv-, 

lilciiionl li\(', (|iii (•>! |iiiur ainsi dii'c iii(lr|ii'iiilaiili' ilc celle du milieu. 
Iji elialeiii' est inéi,^aleiiieii( dislriliiiee dans les dil]ei'en!cs parties, et 
leur lenipéradiic est iiKidiliée par e(dle des (dijels eiivironnaiiis. .Mais 
il existe eertaiiieiiieiit nue on |)lnsienrs eanses p!-ii|)res ii l'eninôinie 
animale (|ni l'eticnnenl la lempéfatnic inlérienie entre des limite- 
assez rappi'oe liées. Ainsi les eorps vivants sont, dans leur état lia lut ntd. 
des ('((Vers d'une elialeiir pres(]iie emistante, de même (|ue les siili- 
slanees enllammees dont la (■()mliuslii)n est devenue nnilorme. On [leiit 
(loue, il l'aide des reinarcjiies |»ri'M'édentes, prévoir et ré_i;ler a\'ec jdiis 
d'exaelitnde l'idevatiim des lempi'ralures dans les lieux in'i l'on réunit 
un i;raiid nombre d'Iioinines. Il snftirait d'v observer la liauleur du 
lliei'iiioiiif'lrf , dans les eireoiistanees données, pour déterminer d'avance 
(|nel serait le de^ré de eliali'iir ai-(|nise si le iiomlii'e d'Iiommes i"as- 
semlilés de\enait l)eaucon|i plus L;rand. 

A la vérité, il v a toujours pinsieiii's conditions accessoires (| ni modi- 
licnl les résultats, telles ipie l'ini'i^ale épaisseur des parties de l'eii- 
ceinle. la diversiti' de leiir exposition, l'idiet l'ésnllanl des issues, 
1 inéj^ale disirilintion de la chaleur dans l'air. t)ii ne peut doin' [loint 
l'aire ici une application rii^'onrense des ri'i^les données par le cali'ul. 
Toutefois, ces ri'i.;les sunf précieuses en (dles-mémes. parce i|u'el|e> 
contiennent les vrais principes de la matii'ri'; (dies pia-vieiinenl des 
raisonnements vai^iies et des tentatives iiiiilili's on cniiCuses. 

On résout encore pai' les mêmes |iriiicipes la (jiieslioii où l'on sup- 
pose ()ue le fiiyer est extérieur, et (|ue la clialeiir (|ni en sort trav<'r>e 
successivement des enceintes diaphanes, et peiiJ'trc l'air iiu'idles reii- 
rerinent. Os résultats f'ouriiisserit l'explication et la mesure des elTets 
(|ue l'iMi ohser\(' eu ex|iosanl aux rayons du Soleil des thermomi'li'es 
recou\i'rts |iar plusieurs envelojipes de verre transparent, ex|iérience 
reniar(|ual)le qu'il serait utile de renouveler, dette deiiiii're solution a 
nu rapport direct axcc les recliendies sur l'i'tat de l'atniosphi're et sur le 
decroissemeni de la i lialeiir dans les hautes rei;ions di' l'air. I'>lle l'ait 
connaître (|ue l'iiiie des causes de ce plieiiomi'ue est la ti'ans[»areiice 



■2m; sur la température des II a ri tat ion s 

i\v l'air, <i rexlinctioii |trogrcssivc tics l'ayons de clialcui- ijui acconi- 
|)a,niii'nt la liiniii'ro solaire. Eii griirral, les lliéorèmes ([iii concernont 
reciiauirenieiUdcs espaces clos s'cleiidciit à des ([tiestions très varices. 
On jiciil y rccoiirii' lors(jiron veiil eslimer d'avance et rcglcr les tempé- 
ratures avec (|iicl(|iic |irci'ision, comme dans les serres, les ateliers, 
on daii-^ jdnsii'urs ctaldissenicnts civils, tels que les li(')|>ilaux, les 
lieux d'assemhlée. On pourrait dans ces diverses applications avoii- 
égard aux conditions variables (|ue nous avons omises, comme les 
inégalités de l'enceinte, l'introduetinn de l'air, et l'on connaîtrait 
a\i'c une appi'oximation sul'tisante les changements que ces conditions 
appoilenl dans les résultais. Mais ces détails délouiaiei'aient de l'tdijet 
principal, ()ui est la démonstration exacte des éléments généraux. 

i). Nous avons remarqué plus liaul (]ue les trois coeriicienls spéei- 
li(|ucs (|ui représentent la capacité de clialeiir, la condiictiliililé exté- 
rieure cl la conductiliililé pi'iqire sont sujets à quchpies variations 
dé|)endantes de la température. Les expériences les indi(|ueiit; mais 
(dles n'en luil point encore donné la mesui'e précise. Au leste, ces 
variations sont presque insensildcs si les dillerences de températiirtï 
sont peu éteiidues. Cette condition a lii'ii pour tous les phénomènes 
naturtds qu'eml)i'asse la théorie matliémati(|ue de la chah'ur. 1 ,es varia- 
tions diuriies et annuelles des températures intérieures de la Terre, 
les impressions les plus diverses de la chaleur l'avonnante. les inéga- 
lités de température (jui occasionnent les grands mouvemenis de l'at- 
mo.^phi'ri' el de l'Océan sont comprises entre des limites assez peu 
distantes poui' (|ue les coeflicients dont il s'agil aient des valeurs seii- 
sililcmenl fixes. 



10. On a considéi-é justju'ici la partie de la question (|u'il importe 
h' |du> (le résoudre ctunpiélcment : savoii' l'élal durahle dans le(|ucl 
les températures ai;(|uises demi'urenl coustanles. La nu'im' théorie 
s'appli(|iie il l'examen de l'etal \ariahlc (|ui [U'écède, cl de celui (|ui 



ET SLT. LE :M()r\KMn\T VVRIK DE I. V CIIM.EI i;. 2:i7 

niirail lieu si. \o loyer t'l:int sii|i|)riiiir du |i«M-(lant peu l'i |m'11 >a r|i,i- 
Ilmii', i'L'iii'c'intL' Siiliilc cl l'ail' (nrdh^ fonliciit se l'crniiuissait'iit >iit'- 
L'ossivcnn'iit. ].(•> riniilitioiis |iliysi(i!i('s rclativt's ,'i ces (jucsiions -uni 
l'iiiOiiroiisi'iiiciit ex[ii-iim'M's par l'analyse (|iii est l'oliiet (hi .MiMiiuiie. 
Ainsi, toute reelieiclie lie ee u'enre est léilllite il une (|lieslion de 
.Matli(''iiiati([iies pui'es, et (h'penilia ili'sorinais des proiiivs (|ne iloil 
l'ain' la seienee du eali'ul. Les éi|ualioiis (|ui si' rapportent à l'elal 



>rnianent sont l'ésojues par les premiers princijM's de l'AIgidire; e^ 



.!!,.< 



(|ni e\(U-iiiieiit l'elal pri''eédeiil apparliemieul ;i une antre liranelie de 
ealeul. Ces (|uestioiis sont aiialoL^ues il e(dle ([ni a pour olijet de déter- 
miner le niouvenient varié de la elialeiir dans nu prisme rectauiiulau-e. 
C'est pouri'etle l'aison que l'iiu a réuni dans ei- Mémoire les leidierejies 
siii" la leinpéialnre (\i'^ lialiilalion-; ;i celle de la distrilnition de la t lia- 
leur dans les prismes. Celle dei-iiière question est l'objet do la seconde 
Partie. 

On terminera cet Extrait de ia pi'emii'i-e Partie eu rap|toriant les 
é(|uations diirérenti<dle> ipii e\|irimenl récliaiiU'ement varialile de l'air 
dans une enceinte exposée à l'acilon constante d'un l'ovei'. Oiitie les 
([nautiles connues dont ou a dcjà l'ail r(''Uiiméralion, on ilésignera 
[lar V le volume de l'air intérieur, |»ar C la ca|)acilé de chaleur de la 
-nhsiancc i|ui forme l'euceinte. 

Les températures de l'air intérieur et de l'enceinte ne sont [)oinl 
des ([nautiles constantes comme dans les cas précédents. Elles varient 
avec 11' temps, (lelle de l'air est une l'ouction y. du temps /: celle d'un 
point /// ([iiidc'oïKjne de l'enceinle e>l une ronctiou r de deux indéter- 
minée-;, diHil l'une est le leni|)s écoulé /, et l'autre est la distance r du 
jtidnl ;i la >nirace. 



I I. La varialioi) d(^ lem[)ératnre qu'un point ([n(dc0U([ue snliil ii la 
sniTace jiendant un in>taiit iuliuiinent [lelit e-t |UMp'irlionmdle ;i 
la dillerence entre la ([nautile de chaleur ((ii'il reçoit et celle i[u"il 
[»erd. Il e>t lai'ile d'exprimer cetl(> condition au mo\cn des |)ro[)osi- 
(ious élémentaires dont on a donne ailleni-: la démonstration. Ctu eu 



238 SUi; LA TEMPÉRÂT [RE DES IIAR HATIONS 

(Irdiiil les ([iiatiT ('■(juatioiis suivantes ; 

7)1 ^ dr' ' 



K -T h /m :? — r) — o 

(Ai- 



r^i' 



o). 






La j)r('inii'i'e est linéaii'c et aux diUÏTciiees partielles du secdud 
ordre, mais ne devant eontenir dans son intégrale qu'une fonction 
arbitraire. 

Les deux suivantes se l'apjiorlent aux exlréniitrs de l'eneeinle; rlles 
cxpiinient les eonditions du niouvenicul de la chaleur à l'une et à rautre 
sui l'ace. 

La (lernii're é(|uation dillërentielle l'cpi'ésenle les variations de la 
lrn)[>éralni-e de l'air. 

(les é(]uati(Uis contiennent tons les éléments [iliysi([nes de la ques- 
tion, el sufiisent pour délerminer les inconnues lorsque les tempéra- 
tures initiales sont données. 



1:2. i'onr les appli(|ner au cas où les lempi'ralures s'abaissent a|)rès 
la suppression du foyer, il faudrait su|)|)oser nulle l'élendin' ou la con- 
dnelihililé de la surface qui commnni([ue la chaleur. On aurait un 
lésullal tri's dillerenl si l'on se bornait ii supposeï' nulle la tenqn'iM- 
(urc de cette surface. 

On petit aussi déduire de ces expressi(ms générales la connaissance 
de l'étal linal ; il sufllt de considérer i\uv les variations (|ui dépendent 
du lenqts doivent être nulles, puis(|ne le svsli-nie des températures ne 
:~nbil poini de ( hangcUH'nt. Si, eu elfet.on introduit cet te c(Hidili(Ui. 
en oiiiettaul les termes dilfei'eniiels r(dalifs au lenqis, on Irouve les 
mêmes é(|nali(Uis i|ne C(dles (|ui ont ele rapporti'cs plus hauL On les 
li'ouverail eneiu-e au moyen des iuléi^rales des é(juatioiis précédcnles. 



ET Srn LE MOUVEMENT NMilÉ DE \. \ CIIM.El H. i:!!) 

l'ii attribuant uiic valuur iiiihiic au temps écoiilr. An reste, res eoii- 
sidératiuns sont liMifes île la même nature; cili's ne dilTèri'iit (|ue par 
la manière de les exprimer. On voit par ees remaiipies (|ue la rcdieirlie 
des températures l'onstantes appartient ii une i|uestion plus élendue, 
(|ui eomprend tous les étals variables, (lej)uis les sysli'nies entil'remeni 
ai'hitraires des tenipéi'âtures initiales, jn>(|u'an syslJ'nii' iinal, (|ui e-l 
toujours le même. qu('\ t\nc soit le [iremier elal. .Mais on peu! déler- 
minrr direetemeiil les valeurs eonstantes des températures. Les résul- 
tats de celte reidierrlie ollVant des applicali(Uis multipliées, il ("^l utile 
d'en répandre la eonuaissanee, en les déduisant des |U'emiers éléments 
du I aïeul. 



()li:STI()> DWNALVSi: ALGKlIMKm:, 



OIESTION DWNALVSi: A1J;ÉBRI01 E 



Iiidlcliu tics Scicint'i pttr la Sncicir pliituiii/itliKiiic, ]i. lii-G7; nvril iXil" 



I. |-]l;inl (loiiiu''c uiU' (''(juarutii ;ili;i''liri(]Ui' ■:.{-v\^n. ddiit les coi'i- 
tiri('iit> <iiiil ('\|)i'iiii('< (Ml iiomliirs, SI Wm crtiiiKiil ilciix lmiilr> a cl h 
l'iitrc lfS(|iii'lh's iiiic lies raciiii's rrcllcs est roniprisc, il csl l'iii'ilc (r:i|i- 
priiclicf (le |illi> ('11 |iliis ilr la \ali'iii' t'xaiii' de cette faeiiie. I.e |ii'(iréi|c 
le |p|u- siiM|ile (|ue l'on [uiisse suivit' dans eette reelieii lie est relui (|Ue 
Newton a proposé. 11 (^ousisle ii sulistituei', daii> re(|ualioii 

(I — V au lieu de .r. Ou omet dans le résultai tous les tei'ines (|ui eou- 
tieiiueiit les puissaiiee> de y sui)i''ri('ui-es à la piemii're, et roii a une 
eiiuation de eelle l'orme 

//( y — /( =: o. 



dans lai|uelle les (juanlités m et // soûl des noiulires i-oiiiiiis. ()u eu 
eoïK'lut la \aleui' de >' (|ui. étant ajoutée ii la preiiiii're \aleur appin- 

eliée ((, donne un résultat d ^ , lieanemip plus voi>iii de la i-ariuc 

elieieliee <|ue lie l'était la [ireiiiii're valeur. Desiiiiiaiil ee ri'Siillat par 
d' , on emploie de nouveau le même procède pour (dileuir iiiic imi- 
>ii'iiie valeur lieaueon[i [>lus rapprochée (|ue (i\ cl l'on coiiliuiic aiii>i 
il déterminer des \aleurs de pins en pins exactes de la rai-inc l'eelle 
comprise entre les premii'res limites, etc. Ou pourrait aiis>i applitjuer 
ee calcul ;i la limite h. eousidi'ree comme une prcniii'rc valeur ap|n'o- 



■iU Ol KSTION l)\N M.'i SI-: \l.(ii:i!ltlol !•:. 

l'Iicc, cl l'iiii (li'iliiiriiil (les Milcui'S successives (|ui seriiicul de jiliis en 
|>liis \iiisiiics (le l;i iiiciiie racine. 

(Iclle iik'IIiihIc (r;i|i|)r(i\iiii;ili(iii cs( un des t'h'iiieiils les plus ^l'-nc- 
r;iii\ cl les plus iililes (le Iniile l'Aiiiilyse; c'esl pour cela (|u"il iuiporle 
iicaui'uup lie la coniplclcr cl iTohNlcr ;i li iules les i| i Hic u Iles au\;|Uelle^ 
elle peu! ('Ire sujelle. 

2. l!n a reuiaii|Ui'' dejiuis luui^leiups (|ue, si les deux prcuiièi'cs 
liuiiles iM' sonl pitiul assez, approidu'es, aucune d'elles ne peul si.'rvir 
,'i diuiiuT des vali'urs successives; au lii'U de couduire ii des valeurs 
appi'uidiecs de la l'aciue, (dies dunucfaieut i\c<. uduiIucs (|ui s'(diiiuue- 
laieiil de plus eu plus de celle raciue. 

I.'in\ l'ulciii' suppusail (|ue la valeur de la raciue élait (léjii couuue ;i 
nudus d"uu dixii'iue pri'S de l'clie valeur. Mais il esl ('videul (|ue lelle 
ciuuliliiiu. (Ml n'es! puiiil iK'cessaire, un u'esl. point sulTisaule. sidoii la 
i^raudeui- des coeriicienls. I.'illnslre auteur du Tniilr de la irsitlntimi 
(les Kjiuiiiitns iiuiiu'n<niis i'eniar(|ue ( 'j (jiH' celle (|nesliou a d'autant 
plus de diriiculli' (|ue la condiliou (]iii diul rendre l'approMuiati(ui 
exacte dépend des valeurs de l(Mites les racines iiu'onuucs. 

On voit d(Uic (|u'il est n(''cessaii-e d'assiLiiier un caracli're certain, 
d'aprJ's leipiel lui puisse tou'puirs disllnuiu'r si les limites siuit ass(.'/, 
\(ii--iiies p(Hir (|ue l'application de la ri'L;le donne uecessaireinent des 
r-csullals ciMiV(u:;ents. 

;!. De plus, la lui'lliode d(Uit il s';iuit fournit sculennuit des vali'urs 
tri's peu ddlciw-ntes de la racuie; mais (die ne douiu' point la iiM'sure 
du d cl: le de l'appi'oxiinarKUi : c'esl-;i-dire (jue, eu expri niant le ri'snllal 
en (diillVes décimaux, (Ui ignore coinliieii il \ a de idiiH'res i{ui sont 
exacis. cl (pi(ds sont les denii(us (|ue l'on doit ouiellre C()iuuie ii'ap- 
paiieiianl poiiil a la raciiu'. 

On peut se formel' une idée du dci^i'c de l'approxi ma I KUi eu ayant 

(' I inali- (II- 1(1 rrsiiliiliiiji ilf-. l'ijiniliiuis nniiii-riiiiifs. l.;igran,^('. i "' nliliiiu. piige I lo : 
cihlii'tl lie I SoS. |iliur W) ( " I. 

' lll.frfs ,;<• l.iiiiiitnf,', I. VIII, p, C..J. G. D. 



01E?T1'>> lt V\M.^^!: V l.(i Kl! P. lO I 1'.. 2',o 

<''i^';tr(l il la vak'ur di' la (|iiaiilih'' (|iic Vnw ni''i;lii;(' i()rs([ir<iii dmicI les 
|iiiissaiict's >ii[>t''ià(niri's ilc la nouvelle iiiediiniie. .Mais ce! examen >n|i- 
j)i)se l)eaneiiu[) «l'a Iteill imi, el. si l'on l'iieirlie des ri'^les i/eiiaine- el 
cxacles. |)|-()|tr('s ;i le (lirii;ei- dans tons les eas, on (l'onve i;elle <|ne non-. 
indi(|noiis dans raiii(di' (>. 

Oi'laines nndhodes d'a|t|n'o\innilioii (Uil l'avantage de proeiwer des 
valeni's alteriiativenieiil |ilns i;i'aiides on moindres i| ne rineoiiniM'. Dans 
ce eas, la eoinparaison des résultats sneeessil's indi(|ne les limite-- entre 
le<(|indles la i;randeiir idn'reliee est eompi-ise, et Tmi est assnri' île 
rexaelilnde des eliillVe^ di'eimanx eommnns ii deux rcsnltals eonseen- 
lifs; iiiai^ la méllnnle ijne mois examinons n'a point eelle propriété. 
On démontre, an conti'aire. ijne les deriiii'res valeni's ijn'elle Inniaiil 
sont tontes jdns jurandes ([lie rineninine, on (|n'elles ^nil loiiies pins 

petites. 

On parxiendrait, :\ la \i''ril('', ;i e(mnai(r(' eomld(Mi il y a de eliitl'res 
exaels, en l'aisaiil plusieurs siihsl it lit ions dan> la |n-opo-('e: mais, en 
opérant ainsi, (m perdrait l'avanlaLie de la méthode d'approximation, 
dont 11' prinei|ial olijel est de s|ipj)li''er ;i ees snli-.litiilion<. 

A l'e^ard des dernii'ies \alenrs a|iproeln''es (|ne l'on olilieiidrait l'ii 
emplovanl la seconde limile. elles passent tontes aii-desson> de la ra- 
eine on tontes an-dessns, sidon (|ne les valeurs dinineo par la preinii-re 
limite sont inlérieiires on supérieures ii eetle raeine: ain^^i le propire de' 
la melliode d'apiiroximation, dans son étal aetnel, est. de ne jamai-i 
donner des valeurs allernaliNement pins i^randes ou [dus petites i)Mi' 
l'ineonnne. 



i. [.es remariines (jne l'on vient de l'aire eoiidiii>eiil aux i|nestions 
snivaiile^ : 

i" l.urs(|ne deux nomlires c/ et /', snlislitués dans une i''i|nalioii 

^ournis^e^t deux résultats de sii^ne eonlraire, el lorsipie l'equalion a 
nue seule racine réelle entre ces deux limiles n et A, peut-on découvrir 
nu moven de rcconnaitre prom[ttemenl et avec certitude si cette prc- 



2.6 OIESTION I» W \LYSE ALCKIîISlOl'E. 

iiiiiTc a|iiirii\iiii;iti(m csl siiMisinite |miui- (jiii' les sulistitulioiis (»|K'n''es 
tsuivani la niélliodc de Ncwloii (loiiiicii! iii'ccssaii'cincnt des valeurs de 
]dii> cil plus a|i|)i'(icli(''('s ; et comiiicnl doit-on distinguer ce cas de 
celui où les suhstitutions pourraient conduire ii des résultats divei- 
genls? 

■i" L'application de la mctliodc ne pouvant donner (|ue des valeurs 
(lui sont toutes plus grandes ou tonti's plus petites (]ue la racine clier- 
cliéc, (|U(d procédé iaut-il suivre pour mesurer raeileuienl le degré 
d'approNiinatiiui (|ue l'on vient d'olitenii". c'cst-ii-dire pour dislinguiT 
la partie du résultat <|ui contient des idiill'res décimaux exacts appar- 
tenant il la racine? 

L'ohjet de cette Note es! de douuer des l'èglcs certaines et générales 
pour résoudre les deux (|neslinns (|ue l'on vient d'énoncer. 



V. 



."). Pour satisfaire ;i la première (|ucstion, il faut dillcrenlier succes- 
sivement la proposée o(:r)^=(\ en divisant |iar la diirérentielle de la 
varialile. On l'ormera ainsi les l'onctions 

o'(.c), o"(.c), .... 

et l'on sulislitiiera cliacune des d(Mi\ limiles </ ,1 A ii la place île c dans 
la suite compli'lc ^(.c), o'(.r), 'y'(.r), ...; on olsticndra ainsi deux 
séries de résultats dont il suffira d'ohservei' les signes. 

1" Il suit de riivpotlièsc même que le signe du premier terme, dans 
la suite correspondante à la limiter?, dill'èi'e du signe du premier t<'rme 
dans la suite (]ue duune la siihstitulion de />. S'il n'y a aucuiii' autii' 
dill'ércuce entre les deux suites de signes, c'est-;i-dii'e si tous les 
termes, cxce|ilé le premier, (uit le même signe dans ruiie et l'autre 
suite, l'applicaliiiii de la niélliode donnera nécessairemeiil des valeurs 
de plus en plus ap|irochées ; il est impossible '|iic, dans l'c cas, im soit 
cduduil il des valeurs divergentes. 

2" Si la condition ([iic l'on vient d'exprimer n'a pas lien, on recou- 
iiailra (|ue les deux limites (/ cl /) ne sont point assez, approchées, et 
l'mi snlislituera un uoinlire intermédiaire, en examinant si le résultat 



OlESTIoX HWVF.NSK AI.CKIîHini K. r,- 

(Ic l;i Milistilulitin, r(ini[i;iit' U crlui de^/oii ;t celui ilc A. s;ili>l';iit ,i iTllr 
conditiim. On airivci'a lii's proiiiptcini'nl an l)ii( par ces stil)stiltili<iii<. 
ri i'oii III' (htit. en ;:riicr:il, (•oiiinicncci' l'approxiiiialion (|iii' Imxpi'di: 
aura Iroiivé doux suites de siiiiies <|ui ue dillercill i|ue par le pi'euiiei 
lernie. résultat ([u'uii ne peut niauijuei' d'ohlenir si l'on connaît deii\ 
iiiiiiles (I et /' d'une raeine n'cdle. 

!" Pour trouver les valeiii-s eniiver^ciites. il ne faut pas eiiipldvei 
indilleremnient l'une un l'autre des liinito; il l'aut, en liénéral. clioisir 
eelle des deux limites |»(uir la(|uelle la suite des sii;iios eontient. an 
premier terme ç-i-f) et au triiisil'ine o"(.r), deux résultats de nièiiie 
signe. Nous désignons ici celte limite par y. et l'anti'e [tar 3. 

Si l'un ne se conformait point à la remar<iue [irécédente. et (]ue l'on 
employât la limite 3 qui donne à oi .r ) et ;i -y (.») des signes contraire-^, 
ou pourrait être conduit à <les résultats divergents. On pourrait ans^i 
(d)tenir des valeurs de [dus eu plus appnwdiées: mais, dans ce cas. idles 
seraii'Ml de la même espèce (jne celles ([ui proviennent de la i)reinii're 
limite. 

'(" Les valeurs approchées (jue l'on déterminera seront toutes plus 
petites que la racine, si la limite choisie est au-dessous de cette raeiue; 
et elles sei'ont toutes plu^ grandes, si la limite choisie est l'clle (jiii sur- 
passe la racine. 

j" Il n'est pas rii^dureusemenl nécessaire (|ue les deux suites di^ 
signes ue dilïereiit (]ue par les silènes des premiers termes o( a ) el 
^(A). I>a condition al)S(due ;i la(|uelle les deux limites^/ el /> doivent 
satist'aii-e avant ijuc l'on proi'i'de ii l'approximation est la suivante : 

On comparera les deux suites 

?(«). ?\"). '/{"h V'"*."), 

9(/>), ?'(>!, o"{f>), '/\Ij), ■■■■ 



il est ii(''ce>>aiie. premièrement, (|u en retraiicliant les termes st^/) 
et z(l>) les deux suites de signes restantes aient autant de variations 
désignes l'une (]ue l'autre: et, secondement, qu'eu retraiicliant aii-si 
les deux termes c'( a) et z. ( 7^ ) les deux suiti'S restantes aient enciu'i' 



■r*H 



OlESTIoN I) WVLISI-: \ L(ii: lî I! 1 O I K. 



aillant île variations de si^i^iics l'uiu' (jiie l'antre { ' ). l.orS(|ne cette 
ilnnMe eonililion n'a jias lieu, la niétliode (ra|)|iri>\iination ne doit 
|Miinl elfe eMi|)l()\(''e : il faiil, dans ee cas, dix iser i'intei'valle A — a des 
racines ; mais, si les deux conditions sont reni|dies, les a|i|)roximations 
linéaires seront nécessaiieineiit converi^cntes. (ielte convergence aura 
lien il |ilns forte raison si la eondilioii énoncée ilans le jiaragra|)he ( i") 
du nréseiit article est -~alisl'aile. 



('). Nous passons ii la solution de la seconde des i|iiestioiis énoncées 
ilan> l'artiidc 1, ])aragra[)lie ( 2"); voici l'énoMcé de la solution : 

1'^' Si l'on connaît deux limites <i et />, rnivv lesquelles [[ne racine 
réelle est eom|irise. et si l'on delermine une \aleur |dns a|iin'o(di(''e a', 
sui\ant le piocédé de l'artn-le I. et en se conrormant aux règles ex- 
posées dans les paragra|)lies (1"), (2''), ( i" ) de l'article .'», on mesu- 
rera comme il suit le degré d'aiipi'oximation iiiie l'on xient d'iditenir. 
L'expression de y.' est 

ou l'iui ili'-signe par a celle des deux limites a et /> <pii donne le mi'me 
signe pmii' z(y.} et o'(y.). On jii'endra, poin seconde valeur ap|iro- 

cliée 3', la (inautité 3 — ^ — ; I'' diviseur o'( a ) sera le même dans l'ex- 
pression de y' cl dans cidle de jb'. La racine cherchée sera toujours 
com|uàse entre y.' cl |iJ'. 

Par consé(|urnl. les chill'res décimaux exacts (|ui appartiennent ;i la 
racine siuil les chiU'res communs ipii se trouvent an ciMiimeucement 



(i| ll':i|ii('.s le Ihéort'iiio ilo t^'niiriiT ci île liiuhiii, la i-omlilioii l'iioiicec ici coiUieiil la 
suivante : Il ne doit y aviiir. ciilrc les liiiiitcs <i et /i. aucune racine ni de la dérivée pre- 
mière, ni d(" la di'Ti\ée secende. Celte rèj^le nu'^uie est Irop nlisolue. Il sullira. pour cpi'on 
puisse a|)pli(pu'r la ini'llinde, qu'il n'y ail. entre Irs liiuitcs .■/ et /'. aucune racine de la dé- 
rivée seeoude, (iule dc'iunnlre Ires siinplement au niineu de l,i lnruiule 



'y ( .c ~ li) = o( .(■) — // v'(.r I ^- 



Ir^ 



-i>/i ). 



l.e lecteur |i(iurra cuusulter sur ee sujet la Nule ipii' nous avons jinbliéc en iNCij dans le.- 
.\ni/ir//r\ liiiiiilct <!<■ Miil/iiittiitiijiii-^ (-2'' séi'ie. I \'lll. p. 17 t. (i. I). 



OLi'-^Ti()\ nwvi.vsK Ai.r,i:iîi!io( i:. o-.o 

(le a et au comnienccmt'nt tic |j . les rhilTres siiiv;iiil.s ilnivciit (■■lie 
omis. On contiiiiiçra ainsi rapproximatioii, en joii^nanl loujours à la 
valeur tlonnéc par le |U(ire(le connu une autre valeur a|)[)roc|ice 3 qui 
serve de limite, et l'on <lcterininera lacileuienl par ce uioveii les cliil- 
i'res exacts de la racine. 

2" On dcicrminc la premièi'e valeur approchée y' en suhstiliiani y. 

au lieu de r dans l'expression x — ^V^, ou v r-'-^-^; on nouriail 

~cLr' 
trouver une seconde valeur approcliée 3' en suli<(itiiant la mèirie limite 

O(.r) 



y. dans 1 i 



'xpi'esion ;r 



- ■> Iv dési:.;nanl la dillereuce liiiie y. — 3 



des deux limites; mais cette rèijle, ijuc nous avions donnée autrefois, 
parce (ju'idle est (dairemoni indicpiée par les conslructions, ne t'ait 
pas connaître le dei^ré de rap[U'oximation aussi l'acilemenl ipie celle 
qui est énoncée dans le paragraphe ( i" ) du |irésent artii le. 

't' Cette rl'gle du paragraphe ( i") de cet article, ([ui sert ;i (ditenii' 
une sei'onde valeur apjirochée. ciunpli'le l'approximalion, puis([u'elle 
donne toujoui's des limites ()|iposées à celles qui se déduisent du [iro- 
cédé de l'artiide 1. On connail [lai' lii condiien les ap[)ri)xiniati(ins de ce 
pêure sont rapiiles. On en conclut (jiie. >i l'on eni|doie \\\\^' valeur ap- 
prochée y. pour iléteiauiner une noiivtdlc valeur a', el si la pi'cmii're y. 
contient dejii un très gi'and nomhre // de (diill'res décimaux exacts 
(c'est-à-dire qui appartiennent ii la racine cliei'cht''e ), la sci'onde \aleur 
a' contiendra un nombre in de ces chiU'res exacts. Le nonil)i'e des chif- 
fres (|ui appartiennent à la racine devient double ii cha(|ue opération. 
On a fait depuis longtemps une remar(|ue semblable par rappiut aux 
(diiilVes décimaux i\\\v fournit la méthode d'extraction ih's racines car- 
rées: mais ce résultat convient à toutes les étpiations, (pudle ipii' soit 
la nature de la fonction o(.z'): c'est un caracti'i-e commun aux ap|U'oxi- 
mations du [)iemier degré i]ui pi-ovienneul des suhsiilutions >ucces- 
sives. 

Voici l'énoncé exact de celte proposition : si le nondirc des chillres 

II. ■'>! 



230 OLESTION D.WALVSC A LdEBUIOL K. 

i!(''j;i coiiiui csl // , une scult! opéralioii en f'cni eonnailro [)lusieiirs 
anlics en nnmlire //, et //' es( éi;al à // plus nu moins un iioinl)!'*' con- 
.staiit /, (|ui est le même pour toutes les opérations. 

'i" On peut aussi se dispenser de ealeuler séparément la valeur (le la 
seconde liniile jj' suivant la ri'gh' du parai^i-iplie (i") du présent ar- 
ticle; il sufiil de déterminer la premii're de ces limites, et dv eonnaiti'c 
d'axaiice le nombre des eliid'res exacts (|u"elle doit contenir. 

On V parviendra au moyen des é(|natious suivantes 



9 (a) ^'(x) 2o(:()' 

la premii're donne l'expression déjii connue de a', et la seconde montre 
()ne, [lour trouver une seconde valeur approchée [i', il faut l'ctrancliei' 
de a' le terme r O, / étant la difrérencc connue des deux limites a et [i5. 
Dans les a[i[ilications nunu''i'i(|ues, cette dilTérence est une unité di'ci- 

maie d"un ordre donné, par exemple (--).( — ) > — Le eoel'ticient Q 

est un nomltre constant, commun à toutes les opérations (|ni se sue- 
ci'dent. 

Dans rexnression ' ,' > on désigne par A celle des deux limites y. 

on ['j, (|ni, étant substituée pour .r dans 9'(•^■)■ donne la plus i^raude 
\aleui' iiumérHjue, abstraction faite du signe ( ' ). Dans le calcul du 
(|Uotieut O, il snflil de trouver le [)remier chiffre, en observant de 



( ' ) Il semble que la lèi^lc ilouuée. ici par I-"ouriei' ne sei'a [las sùrenieiil ajiiilicahle si 
1 éiHiation 

'i"'(.r I = o 

a une i-aeiiie comprise entre a cl [i. 

Soil, encffcl, a-i-A la valeur exacte de la racine; im aura 

o = 'ii ît — // ) -- o(ï ) -t- /(o'( -x) — - o"{ ï — l)/l I. 

'I ilési^nanl une quantité comprise entre (i et i. On déduit de là 

o ( a ) //'- tp"( 3 -^ Oh I 

&'( 1) 1 -^.'y i I 

D'après les hypotlièses faites jtar I'\)\irier, les deii\ termes du second membre sont mani- 



OLESTION DANAI.YSi: A L(i H lîIlIO L E. 231 

jM'cndrc toujours ce chitTiv trop (bit. On (■«uinaitra facilement, iiar ce 
moyen, jus(|u'i)ù l'approximation doit ètiT portée dans le calcul de la 
(luaulité y. ou a -- i^^. Ou s'aïa'ètera donc, dans la division, au der- 
nie!' cliitïrc dont l'exaclitude e>t assurée. La plus grande limite doit 
toujours être prise trop f'oi-le, et la mointlre limite trop faible: ces deux 
nouvelles limites a' et ,3' doivent différei' d'une unité ilécimale d'un 
certain ordre. Connaissant ces limites, ou continuei'a l'apidicatiou de^ 
mêmes rèi;Ies. 

^ II. Les bornes de cet écrit ne nous permettent p<iint de rap|iorter 
Li démonstration des propositions précédentes; nous nous proposais 
de l'insérer dans ([uelqnos-uns des numéros suivants : elle se déduit 
lies ()rincipes connus de l'Analyse algébri(jue, et il y a une paille de 



festenient de mOmo signe. Si doiir on roinplnce le second sufiepssi\ompnl pai' zéro el par 
une valeur M qui soit supérieure et de même signe, on aura deux limites 

\ et ■-, M. 

comprenant la valeur exacte de h. Par suite, les deux nombres 

ï = 3: — ~, et a -, i\l 

O I 2 I '- ( Z ) 

comprendront dans leur intervalle la racine elierrhée. 

l^ur obtenir .\1, on peut toujours remplacer // par/. Si réi[ualion 

'i '"(.?■ I = o 

n'a pas de racine entre 2 et [J. ou pourra é\ idemment substituer ■^( A i à '^'\r -- 'H / — '■' 1], 
A clanl le nombre défini par Fouriei': ce qui doiuiera. pour la racine, les deu\ limites 

y. . ».' — '"U- 
indiquées dans le texte. 
Mais, si l'équation 

■J" { x I = o 

a une racine comprise entre a et [i. '^"i \ 1 ne sera pas néces-:;iiromeal une liuiile. niaxima 
de o"[2 — Oii ~ ■/ 1]. Il faudra substituer à cette i[uantité une limite supérieure des va- 
leurs que prend 'y"i.''), quand .r varie entre x et 3. 

On connaît, d'ailleurs, plusieurs moyens d'obtenir do telles limiles. Par eveuqde. on 
peut, dans tous les termes de '^"i ''i qui ont le signe de ce polynonn', remplacer ./■ par le 
plus grand en valeur absolue des deux nombres z et 3 et. dans les termes qui ont le signe 
contraire, remplacer .r par le plus petit de ces deux nombres. Ci. F). 



•2o-2 



OLKSIION DAXVL^SK U,(ii: 1! It 1 O I K . 



celle (léiiiniistrnliiin (|ih' l'on peut aussi rendre 1res sensible par des 
ediislrnclioiis, cuniine nous linons in(ln|n('' auti'el'ois dans nos pre- 
niiei's ,Méin()ii'<'s. et dans eenx de iSo- el icSii. 
Si ['((Il prend pour exemple ré(|uation 

à la(|ue||e Newhui el |dnsieurs auti'es analysles ont ap|tli([ué leurs nié- 
Ihodes d'a[ipro\inialiou, on trouvera (jii'en choisissant, pour les [)re- 
nii('re> limites ti el //, les valeurs 

b -=. ■!, 09 '(.")(), 
les nonv(dles valeurs seraient 



(i^^ î,'",) e>">i 1^1 5, 

les limites suivantes r/ et // couliemlraient un nombre donlile de cliil- 
l'res communs. 

Les propositions (jue Ton vient de rappoitei' ne conviennent pas seu- 
lement aux ('■(|ualions aliiébriijiies; elles s'appiiipiiMit ii toutes les ('([ua- 
tions détei'minées oi-v) -= o, i\ur\ (pie soil le caraelère de la Ibndion 
o(.r). 

Xoiis omettons aussi diverses remar([nes coucei'nant la numii're de 
pi'océder aux suhstil ntiiuis successives, (l'est par l'usage mènu" des 
ri'glesqui viennent d'être énoncées i\ur l'on l'econnailra com])ien elles 
rendent les calculs faciles et rapides. Aucune méthode d'ajiproxima- 
tion n'est dom- |ilus simple et plus i;(''nérale (|ue celle (|ui est rapportée 
dans l'article I, et (|ni est cimnim depuis l'invi'ulion de l'Analvse dill'é- 
rentielle. i\lais il était nécessaire d'ajouter ;i ro|>éi'ali(M: prini'ipale les 
ri'gles (|ui sei'veni ;i disliugiu'r : 1" si les preiuif'res limites sout assez 
a|)|iro(diées; i>" ii lai|ntdle de ces limites l'opération doil s'a ji|di(]uer : 
')" (|U(d est le U(uul)re des (diiH'res exacts (|iu' jieut donner (duKpu' partie 
de l'opéralHUi. 



OIESTION DWM.NSK \ I.C É !! !i I o 1 K. 25:î 

l'mir roiiiKiili'c l'oriLtiiic de l;i (|iii'slimi (|ui vicul (Tt^i'c lr;iiti''c, <■! 
les |)i'oi;'l'i's succt'ssit's dr cfitc iiii'lli(iih' ir;i|)[)r()xiiu;ilinii, on peut ron- 
snltcr : VA/i^(-/'rc ilc W'allis: Xi.wton, Dr Aiidlysi pcr iV(/ii(i/!()/i('s /////- 
itilds ; K.vi'iisoN, Analvsis (f<jiuili()iuini iiiincrsalis : les Mcmoins <lr 1' \c(i- 
(lénuc (le Pans, année i "'i 1 • I.MiiiAN''i'-, /tcso/utio/i dis v(jii.(ilii)iis iiiiiik- 
ri/fi/i s. 



MITK liKlATHE 



\ IBRATKINS [li:S S[ [{FVCES BLVSTKJl ES 



.M or VK. M KM DKS ONDHS. 



Mm: liFlVTIVE 



VIRRVTIOXS DES SI IIFACES KLASTIOI ES 



MOL VEMKXT l»i:S OMiES. 



liulk'tiii dc\- .Sciences jjnr tu Snciclc iihiloiiiatluiinc, [i. 129 ii 1 ji; : <e[iteiiilii'e iSit 



J'ai pn''si'iil('' il rAi';iil(''iiii(' îles Sciences, ilaiis sa sTmiicc du .S juin i\f- 
celle année, \\\\ Menioii'c «r.\nal\se (|ni a |H>nr nlijii d'inteLiicr plu- 
sieurs éijiialiniis aux ilill'ei-enccs parlielles cl de déduire des inli'i;i'ales 
la cunnaissanci' i\v< pliéiionii'nes |)livsi(|ues auxquids ces eqnaliinis se 
rapportcnl. A[ii('s avoir exposé les pi'incipes i^^éucraux ijui m'oiil dirii^é 
dans ces l'eclierclii's, je les ai ap[ili(|ués à des ([uostions varii'cs, el j'ai 
choisi il dessein dos iMjualions (lil]ëi'i'nli(dlcs doiil on ne connaissait 
point encoro les intô.m'alcs iri'iU'falcs propres ii cxpiann'r les pln^no- 
ini'nes. An iKjinlire (K' ces (|ue>lions, se trouve c(d!e de la projia.i^ation 
du nionvenieiil dans une surface (dasti(|ue de dinn'usions infinies. ( !e 
dernici' exemple a diuini' lieu ii des reniai'(|ues insinées par M. INussou 
dans le Hullilin i/cs Scif/ifrs d\\ mois de juin iSiS, cl (jm oui pii'céde 
l'extrail du MiMuoire (|ue Ton se [iropose d'inserei- dans ce Uecm'il. 

Comme il |ieut èlre niile (jue les mènu's (|ueslions soient tiaitees [)ai' 
des piiucipes dili'ereuls, et qu'il residle pres(|ue loujours de ces dis- 
cussions (|uid(|ue lumière iiou\(dle, j'ai examine sous un antre point de 
vue les ra|qiorls (|u"il [lent v avoir entre les expressions anal\ ti(|ues du 
UMuncmiuil des ondes ii la surface d'un li(|uidc el c(dles des vibrations 
11. 33 



2oS NIBRATIONS DES SIIU'ACKS i: I. \ S I' I O l ES 

d'iiiH' siiiTacc ('lasticiiic. .riii(li(|iu'r;n (Talioid le iiioliC ([iii m'a (lélciiiiiiié 
il cliuisir |)()iii' cxciiiiilc (•(■(((■ {Icrnirrc (|ii('s(i()n. 

L'aulcur lies rciiiai(|iii's (jiir l'on viciit île l'ilrr s'rlail liii-inrini' i)c- 
(■iijH', il V ;i (|iirl(|M('S aiiiKM's, lies pntprii'li's ilrs surCari's l'iasliqiirs. 
L'('(|ualii)ii ilillV'rriitii'Ilr ilii mioiivimiiimU élail ili'jii ciHiniii': il en a 
lionne, en iSi'|, iinr ilrnionslralioii fitmlée sin' nne liyiiotlii'se piiy- 
siqiie, e( a f'ail iinpriniei- en i (S i (> le Méninire ijni la eiinlient. 

Puni' ili'Ierniinci', an moyen de réipiation iliU'ei-enlielle, les lois 
auN(|iielles les N'iliralions soni assuji'llies, il aurait l'te néei'ssaii'e de 
l'ofinei' rintéi;rale de eelle éi|iialion. Sur ee dernier [loint, ranlenr dn 
.Mi'iiioire s'expi'ime en ees termes : « Mallienrensemenl relie éi|nalion 
ne |iriit s'inli'gi'er sons (orme tinie i|nr |>ai' des intéi^rales délinii's ijni 
reiilrrinenl di's iniai^inan'es : ri, si on 1rs lail dis|)ai'aili'e, ainsi qiir 
Al. riaiia V rsl jiai'venii dans Ir eas des simplrs lames, on lomlie siu- 
niir i''i|nation si eoin|diijnee qn'il paraît impossilile d'en l'aire aiirnn 
nsai^e ( ' ). » 

Avant en pour but, eomnie je l'ai annoneé an eommencement de 
ci'tte Noir, de eonsidi'i'er prineipaleine,it des éi|nalions dont on ii'aNail 
point encore idjtenu les iiili'i;rali's appliraldes, il était nainrel qne ji' 
eomprisse, parmi ees exemples, rri|iiation diHV'ri'ntielle des siirlaees 
élasliqnes: rien n'élail pins priqn'r ;i moiilrer l'ulililé de la mi'tliode 
qui' j'rmplôii'. Ayant <lone l'ail rap[»lieatioii di' eelle mi'llimle h la ques- 
tion dont il s"aj;il, j'ai rreonnn (jne l'iiilej^i-ale peut rire exprimre sous 
nne lornie trf's siin[di', qui icprésente elairrment l'elli't dviiamiqiie. 
Aoin les résnltats de relie rerlieiadie : 

l/é(|iialioii diiri''renliellr est. 



( A ) 
l.'iiili'gi'ale est 






(II- ()y- ()y 



o. 



;,/'",/'^ 



(y. ,:.)siii ^-^ — (/fi; 



{ ' I Miiiinin-s (h- rhnlîliil ilr i'ninvc, nuiU'O iNi.»,. si.'i'ilildr P.iilii'. Mriiioirc \iir Ic-i \tir- 
Jiim cï/nlii/urf, piii' M, l'uissiill. |i. 170. 



F/r M()1\i;mi:\i' dks o\i»e>. -yn) 

li'S iiitriii;ili's par l'apporl ;i y. et ;i ':; iloivcnl tire prises ciilrc les limilcs 
— ce (i -rx. Lue seroiuie parlie de l'iiile^rali', (]ui se di/diiil t'acde- 
iiieiit de la première, enntieiil une aiiti'e runelioii arhilraire. ( )n ddil 
• mietlre celle seconde parlii' l(ir>(|iie les impulsions iiiiliales snnl 
nulles. 

Si \'n\] lait alisli'aclien d'iinc dimension. i'e([nalion pi-écedenle (A) 
deVH'Ut celle dn mouNcmeiil des lames elasliijues. (ietle deiTiil're é(|ua- 
tioii (iail demunlrée di'pnis ti-i's lon,utemps, mais on iTen connaissail 
point rintéi;rale. Xons citei'ons ii ce sujet les expressions d'iùder, dans 
son Mémoire siii' les vibrations des lames (dastiqnes : « ... H/us i/i/c- 
i:nili' iiullo (t(l/iuc iikhU) un/'/uri polttissc. tia lit roiilciili esse di-beainits 
in solitlioncs jutrliciildus iiKjuiiciT ( ' ). » On avait alois en vue sous 
le nom tV i/iU-i^niIc ij;c/icr<ilc une l'niTiiule analogue ;» celles (]iii a\aient 
été (lecouveiies pour d'anlrcs é(]natiiins, et (jui ne contenaient point 
(rintéitr-ales détinies. J>'empliu de ces dei-iii('res expi'essions n"a\ail 
[)oint encore reçu l'extension (|n'i! a anjoni'dliui : mi en a déduit 
rintégrale générale d'un i^rand nonjlii'e d'etiualions , et ces formules 
représentent les pliéuomi'ues d'une manii're aussi claire et aussi com- 
plète que celles (pii étaient r(dijel des lecduM'clies précédentes. 

Si l'un développe l'integi-ale de r(''i|i!alion des lames élasti(ines en 
une suite ordonnée selon les puissances il'une \arialde, on voit i|ue la 
>nite [)eut être sommée par les inlé;:rales détinies; mais il est evidcul 
(|ue l'expression it laquelle ce [woeede conduit ne peut servii' pour la 
résolution de la (]ue>tioii phvsi(]ue: elle présente sous une l'orme ex- 
li'émenient compli(juee, et au moven d'une multitude de silènes d'in- 
téiii'ation, une l'onction (|ui est tri's >iniplc m elle-même. Nous |U'iou-- 
le lecteur de consultei' ;i ce sujet le Joitnuil tic /'Jic. le l'olyUi-hiiKjnc. 
t. X, XVll'' ('aliiei'. p. )8o et 'Jf<3. année rSi j ( - ), et de conqiaici- les 
résultats aux suivants : 



(' I Act. .Iiynlciii. pclra/ji)/., aiiiio 1779- Purs prior, p. loij. 

I - ] t.o .Minidiri' \i?c |i;n' l'durioi' esl ilo l'iaiia. tl a |'oi:r litre : Mcnnnrc sur In nsiilla- 
tioiis di:s Itiincs i/dUn/iirx. li. D. 



2G0 ^ IHI! MKINS DES SlIU-ACKS KI.VSIIOIES 

l.'c(|ii;ili(>n (lin'ci'cntii'lli' est 



rinl('i^r;il(' e>( 






-= / y( a) si 



I y. — .'■)'- 



tt 



'^(a)('s( la loïKiidii ail)ili'aire (|ui l'cpr^scnto l'utat initial, les imptil- 
sidiis iiiiliali's sont nnlii'S. 

I. 'objet ([ue nous nims sommes |)ro[)osé dans notre Mémoire n'était 
|>as seulement île donner îles inh'grali's que l'on n'avait point olitennes 
par d'antres méthodes; mais il consistait sniiont ;i jironvei' que ces 
expressions peuvent rejii'esi'nter les eliets naturels les plus complexes, 
et qu'il l'st facile d'en di'dnire la connaissance de ces eliets. J'ai exa- 
miné dans t'clle vue les résultats du calcul; et, considérant, |>ar 
exemple, le cas oii les dimensions de la surface sont inlinies. j'a i dé- 
montré que rinli''i;rale {/>) exprime de la uianii'i'e la plus claire les lois 
de la |)ropai;ation du mouvement et tons les éléments du |dH'in)m('ae. 
La sidution de celle qin'slion a donc un idijet tri'S utile, parce qn'idie 
est propre ;i faire liien coiinaitre les formes ([ue l'Analvse em|iloie dans 
rexpi'cssion des jdiénomi'nes : (die ne pouvait, d'ailleurs, être l'ésolue 
(|u'au nmven de l'inlcitrale j^i'nérale de ri''(|uali<.ui des surlaces idas- 
ti(]ues; (die suppose ii la fois les procurés do la science du calcul et rr\i\ 
des métliodes d'application. 

Nous allons maintenant considérer les rap|)(Uts (|ue celle question 
peut avoii' avec cidle du mouvement des mules. 

Les (■■(|uati(ms dillV'renlielle^ du mouvemeni des ondes s'inti'^reiil 
tri'S facilemeni au moyeu des lln'ori'rm's ([iii ser\enl ii exprimer une 
fonction qmdconqne en intégrales didinies. Nous axions donne diqniis 
loui;temps ces propositions gi'iiérales dans nos reclierclu's Nur la pro- 
pagation de la (dialcnr, et nous en avions di'dnil li's intégrales des 
e(|ualions (|ui se rap|iortenl ;i celte dcrnii're iheoiàe. Ce sont le> mêmes 



F/1 M<i( \ i:mi:\t di-.s ondes. 



■n\\ 



|H-iiici|ics (|iir iKiiis avdiis ;i|i|ili(|iics ;i la ilclfiiiiinaliun ilii iniuivcniciit 
dans les suffarcs (•laslifiiics; vu'ici les rcsullats (|u'ils roiiiiiisscnl dans 
ces Ifdis (jiii'sliiiiis : 

l'niir la iH'cmii'ri', rinlr-ralc qui cxpriiuc la (lilln>iim de la rlialciir 
dans lin iirisnie intiiii est 



(0 



= z /' /r^-)'h.f 



' COS V. (,;■ — y. \ (/y.; 



|Minr la seconde ([iii'-linn, l'élat vaiaahle de la surface du li(|iiidc 
ainsi e\|uiin('' : 

( :î ) \- =1 — j f\ y. ) il y I cds / \ ;j. C(is y. ( .>■ — y) il-j., 

et. dans la ([iicstioii ilcs lames élaslii|nes. l'intéui'iile est 
(3| ''=^:: / f'y)(l'-'\ COS;jL-/ cosy. (.c — y.) dy.. 



l'c / 1 -v ) re|tfe- 
Ide. 



Dans cliacune de ces é(|iialions, la fonclinn aiJMlraire f\.v 
seule l'i'lat inilial, / es( le lenips (''CDiile. e e^i la teni|iéi'al lire \ariali 
ou r(ird(Uiiicc \arialde d'un point i]iudconi|iie diuil .r est l'alisi-issi'. 

Il V a donc une aiialoLïie manifesle entre les trois i|iieslioiis. |-ji le- 
coni[iarant anjoiirddiui, on ne peut Miaii(|uei' «l'y reconnailrc des rap- 
purls niiillijilies. ()a retrouve celle analogie dans les trois e(|iialions 
du (|nalrii'ine orilre aii\(|U(dles salisfonl les valeiii-s précédentes de c: 
mais ces rappiirl?. n'ont élc reniar(iiiés iju'apri's (|ue les (]iie>lioiis oui 
été résolues. 

PiMir (diacune des deux équations ( i ) et ('3 ), on peut (drccliier dans 
le seiMMid memhre l'intégi'atiou relative ;i la varialde a. ce qui donne 
une anire forme ;i la fiuuMion c. ("'est ainsi (|ne l'cqualion ( i ) se Iraiis- 
foriiie dans requalion preccdenlc ( h ). On peut, dans ce cas. (ditcnir 
les iutéi;i'ales par divers |)rocedt''s, sans recoui'ir aux tlieoirnies i|ui 
l'xprimeiit les foncticins eu intcLiralcs didinics. 

Nous avons dejii l'ait oliserver. dans noire Mémoire du S juin dcr- 
niei', les rajqiorts {|ue l'Analyse élaldil entre la |iropai;ation de la clia- 
Iciir cl les viliratious des surfaces (dasli(|nes, en S(n'le (jue les formules 



•202 VIMHATIONS DF.S SlliiVCICS i:i. ASTI Ol J£S 

ne ililliTciil (|iii' par la vali'iii' il'uiic iiiriiic indrlcrniiiK'O, (|ni csl l't'cllc 
dans lin cas cl iiiiai;iiiairL' dans raiilrc. 

I.'analoi^ic doiil nous |>arlons ne n'suUc [wiint de la nainrc |diysi(|iii' 
des causes; (die icsidc (oui enlicic dans l'Analyse uiallicinali(|nc, (|ni 
prête des ioriiics eomiiiiines aux plicnoiiii'iies les plus divers. 

Il existe aussi des l'ajiports analyliiiues entre le rnouveinent des 
ondes et les vihrali(Uis des surfaces élasti(|ues, mais la eonsidérati<in 
di' ces rappoils n'ajoute rien aujourd'luii ii la connaissance des plié- 
iionii'iies. Il est évideumienl heaueoup |)lus simple de (diereher les lois 
(lu mouvement des suri'aces élasti(jues dans l'intégrale idle-inème (|ue de 
leeourir indirectement ii l'exauM'ii d'une (|uestiiin dilleiauile, (|ui n'est 
res(due (|ue dans un cas particulier. 11 est ui'ccssaire, [loiir l'ohjet (|ue 
nous traitons ici, d'iiisislei' sur ce dernier point. 

Les é(|iiations din'erculi<dles du nioiivenient des ondes, tidies (|u'ou 
les ciMinail anjonrd'lini, su|i|iosent (jue les mêmes moli'cnles ne cessent 
point de se trouver ;i la surface. L'auteur tUi Mémoii'C où cette (|nestion 
e-t traitée a e(uisidere le cas où les impulsions initiales sont nulles, 
les ondes étant déterminées par l'émer'-ion d'un coi'ps (|ue l'on a [leu 
enfoncé dans le li(|uide; il remaniue que, pour satisfaire ii la condi- 
tion relative ii la surfai'c, il est nécessaire, lors(|iie le mouvement a 
lieu sidon une seule dimi'nsimi, (|ne la lianleur on lli'clic du sei;nienl 
soit une assez |>etite (|nantilé pai' rap|)ort a la lari^cnr tic la section ii 
llenr d'eau, i.'anleiir eu conclut (jue la lignre du serment ploui^é doit 
se confondre sen^ihlement avec l'arc d'une paralxdc, et ([ue l'on |)eul 
t(Uijours introduire dans le calcul l'éijuation de celle dernii're courbe, 
(|U(dle ([ue soit la forme du corps. 

Nous n"ado[)tous |)oint cette conclusion, et nous |)ens(uis (|u'(dle 
altère essentiellement la i^enéralilé de rintéi;rale. De ce (jue le raji- 
port de la tli'clie ii la dimensimi iiori/.ontale du sei^iuenl est un petit 
nomlire, il ne s'ensuit pas «pie la liiiiire du sei;nient se confmide sensi- 
lilemeiil avec l'arc pai'alioli(|iie ; car les rap|iorts des ordonnées des 
deux coni-l)es (|ui répondent ii nue même abscisse peuvent dill'ei'er 
beaucoup de l'unité : ils ponrraieiil élre, |>ai' exemple, i ';, a, 'i, 'i 



ET MOLVEMKM DKS ()M)i:S. 



■ir,:] 



Lors(|ir(iii [)rpn(l l\'\piT'<sinn // ( r— ' -) |ti)iii' rfj)r(''S(Mil('i- rordoniirc 

(le l;i rnurln' {|ni Icriiiiiic le segiiifiit, // ('hiiil l:i loiiunoiir >\r l:i lli'i-lic 
et /relie dr la sectidii, (iii lie ilésii^iie iiu'iiii eus Iri's |iai'(ii'nlier. 

Pour eiiiiservei' il la (|iiestio!i sa iiénéralile, il l'st alisnliiiiienl iiéee>- 
saire i|iif la valeur île rnnliiiiiiee eoiilieiiiir une ioiielion arliidaire de 
.r, et e'esl par l;i smlrmeiil ijiie la llii-nne donnerail re\|dieali(iii 
exaele des l'ails iiidii|iies par les cxpcTieiiees. 

La roiidiliiMi relative aux iiiolreules de la siuTaee est oliseiire ru elli'- 
nièiiie; mais, en rado|itaiil, il siillil, puni' v assiijellir le ealeiil, de siip- 
|»user i|u"iine liuiir, d nne l'nrnie (pieleiini|iie, |)a--se par les exlreiiiiles 
de la seeliiin ii tlenr d'eau, et de ninlli[dier par un petit roeiliriml la 
l'iMietiiui arliitraire qui reprt'si'ute rordonnée. Il en ri'sulte qui' le sei;- 
iiient est peu enloiii'e dans Ir li(|uidi' et ([île sa ioriiie est, d'ailleurs, 
ai'liitraire. L()rs([ii'(iii ne |»n>ei'ilc pas ainsi, les résultats auxijUids l'ana- 
lyse conduit expriment iiulislinetenient les eoiiditinns coniinunes ;i Ions 
les cas partiiMiliers possildes. e'est-à-dire les lois générales de la pro- 
pacjation des ondes, et les conditions s[)éeiales propres au cas ijue l'on 
a considéré. 

lude[iendaiiiinent de celte diseussiiui, il est certain i|iie, en ce i|iii 
concerne les [loints de la snrfaec dont le inouNi'iiii'u I ajiparent e-^t uui- 
loriiie. on n'a di'leriniiii'' par l'Aiialvse les lois de la propai;ation de-; 
ondrs (|ue pour le cas oii la ligure du seiiuieiit ploni;é serait eidle d'un 
arc de parabole. 

Nous iiidi(|uerons niaintenant eu (|iioi consisle la solution (|ne nous 
avons donnée de la i|iieslion des vilirations des surlaces. et ikuis coii- 
sidérei'fuis le cas linéaire, qui est eidni de la lanir (dasliiinc. Les théo- 
rèmes dont j'ai t'ait nient ion, et qui avaient servi ;i donnrr les inli'Lirali's 
dans la théorie de la chalfiir. couvieiineiit aussi ii l'i'qnation dill'eren- 
tielle des surfaces élastiques. Celte applicalion cxi;;!' seuleineiit uu 
examen jdus attenlil', parce que l'equalion e-l du qualiicnn' ordre el 
que l'on doit introduire ii;i doux fonctions arlutraiii's. Ayant ohtcnn 
l'intéLîi'ale jiai' ce procédé, on parvient à eli'ectuer une des intt'grations. 



■2ii', NliniVTlONS DES SllîFVCES ELASTIQLES 

cl l'un trouve l'expression ( /> ) <|ae nous avons l'apportée jjIus liant. 11 
ne l'csle plus (|u"nu seul siL;iie irint(''i;raliou, et. sous ce signe, la fonc- 
tion arbitraire (|ni rejii'éseiile l'état initial. 11 s'agissait, ensuite, iTin- 
lerpréteree résultat et de reconnaître l'eU'et (!_vnauii(]ne (|u"il e\|)rinie; 
il lallait surtout découvrir ces coiisé(|uences sans altérer la genéi'alile 
de l'intégrale, afin d'être assuré qu'elles ont lieu (juelle (|ue puisse 
être la forme initiale de la surface. Les (luestions de ce genre dépen- 
dent de deux éléments ])rincipau\, savoir : i" l'intégration de ré(|ua- 
tion différentielle; 2" la discussion de l'intégrale applicable à toutes 
les formes [lossibles de la fonction. Nous nous sommes attacbés ;i 
résoudre com[)li'tement ces deux difticultés. Nous n'exposerons point 
les l'ésullats de iH>tre Anal vse concernant les lois finales des viliralions, 
mais nous indiquerons ceux (|ni ex|»rimenl l'état de la lame vibrante 
après une valeur moyenne du temps. 

Le svsti'ine, considéré dans tonte son étendue et pour nu même 
Instant, est formé d'une inliiiité de plis ou sillons, alîel•llati^•elllellt 
placés au-dessus et au-dessous de l'axe. L'intervalle (|ni sépare deux 
points consécutifs d'intersection de la courbe avec l'axe est d'autant 
plus petit (|ne les points s(Uit [dus éloignés de l'origine. 

La distance de l'origiiK^ ii cliacun des points (l'intersection au,muente 
comiiie la racine carrée du temps. 

La proffuidcnr de ces sillons alti'rnativcmenl supérieurs et infé- 
rieurs on la dislance de leur sommet il l'axe, abstraction faite du 
signe, n'est pas la même pour les dillêri'iils points; si on pouvait l'ob- 
server eu un même instant dans tiuis les points de l'axe, on trouverait 
(|u'(dlc décroît d'abord, Inrsipi'on s'éloigne de rorigiiie; (|u'cllc devient 
nulle, ce (|iii, pour les parties assez éloignées, détermine un point de 
conlact; (]u'cnsuile (die aiiiiiiieute par degrés et atteint un niaxinium 
beaucoup moindre ([lie le précédeni; au didii, (die diminne et de\ient 
nulle (le nouveau. Cette profondeur est alleruativemenl croissante et 
décroissante dans toute retendue de la lame; mais cidlc des sonimels 
les jdiis élevés, mesurée pour un même inslaiil, diminue eu s'el oignant 



ormine 



Les points de conlact, (|ui marijiieiit les allernalives. 



i-:t moi \ kmknt i»ks omii:s. -ici 

sont en iionilprc intiiii; ils sont s(''jKir(''s |)iir des iiilcrvallcs l'gaiix (Ui 
(jui tL'iidt'iil a ïr (Icvciur. (duicuii îles poiiils iriiilciscctiiHi s'cloigiic, 
coiiime lions l'avons ili(. aver une vilosc varialilc. et Icnr dislancc ii 
rori^inc an^nii'iUp coiiiini' la rarinc raricc du l('ni|is croiilc. Il n'en 
est pas de nirnir drs |iniiils di' ruiitai-t; ils i^lissciil snr \'A\f. et le 
|iai'C()iirciil d'un iiioiivcjnciit niiiloriiR'; 1rs |)liis lianis soiniiicts. doiil 
idiacun csl plai-c ciilic dcnx poiiils di' contacl coiisrcnlirs, onl aussi 
des viU'sscs i-oiislaiilcs. Les iiilervalli's qui si'|iai'rii( driiv poinls de 
l'onlact consrculirs ci'oisscnt |)i'o[iinlioiin(dl<'niriil an l('ni|is. 

I.a loi Ai\ niou\eiiirnl des poinls d'inlciscilioii m- <lc|iciid m de la 
l'ornii- ni de l'étendui- de la dépression inilialr. Ollc ('Icntlni' defcr- 
niiiir principalciiifui la xili'ssc cl la disli-iliulion di's poinls di- i-mitact 
l'I d(',> poinls de pins liaiil sumnicl. La loi snivani laquelle la piot'(ni- 
ileiir des jilis on sillons vai'ie dans elKHiue inlei'\alle enli'e deux poinls 
de l'ontart iM'sulte de la l'orme du d(q)laeenieiil initial. Nous ne jion- 
vons iei d(niner plus d'étendue à celte description ; les roiinnles lepic- 
senlenl di>lincleineiil les étals succes>ils du sysliMiie. en sorti- (|n'oii 
est assure de n'oniclire aucun des ('leinenls dn pheiionii'iie. 

On voit niainli'nant en (|nni celte sidulion, (|ui s'appli(|uc a lon|e> 
les loiaiies initiales (|ue l'on peut coni'e\oir, dilli're decidieijiii a ele 
donnée pour la (|neslion des (Mide>, i|uoi(|ne l'iiiie et l'autre pniv>eiil 
se déduire de> principes (|ui onl servi ii deleruiiiier les lois anaiv li(|ucs 
dn nionveineiil de la clialenr. Au reste, la discussion qui s'e>t devee 
aura un olijct utile si elle ciuitrilMic ii appeler ralti'Ulion des i;ooHi('lr-es 
sur les tlieori'Uies qui cxpriuieul les l'onchons arbitraires eu inte;.rrales 
détinies, el sur leur usai^e dans les ap|tlieali(Mi> de l'Aiialyse ii la IMiy- 
si(|ue. Nous nous pi'(q)osoiis de rappeler ces tlieorèines dans un Article 
subséquent, de citer plus exjtresséuient les ()uviai;es on ils uni ele 
donnés [loiii- la première l'ois, el d'en indiquer les diverses applica- 
tions. 



II. 



34 



nîd Nir.iîMiMNS DES roitr.KS i:t. ^stkji i:s 

L;i Noli' (jui |»i-(''ci'(li' se i'0|)|iiii'li' à ocllc (|ui ;i ('té iiisi'-i'éo (hms le 
lliillrllii ilii iiioi> (le juin. l/aiil('iii- (le Cfllc ilci'nil'i'c Note a piihlir dans 
If lUiUiiiii (le juillet un second Arliele r(uic<'rnaiil les viluations dos 
surfaces ciasli(|ues, ce (|ui nous donne lien d'ajouter les reiiiai'([ues 
sui\antcs : 

1" Nous a\ons ia|i|ioi'(é, dans le Ménioii'c présenté a TAcadéniie des 
Scieiu'es, le S juin iiHi S, diU'ercnts ])i'oeéilés do calcul (|ui cnndnisoni 
à l'intégiale de re(|uati(Mi (A). Le |»i"eniior résulte do l'apidication dos 
tlieoivines (|ui expriment une l'onction ailiili-airo on intéi;i'alos détinies. 
(.'(dijel direct de ocito application n'est pas de soninier une série 
inlinie, mais di' d(''terniinor une l'onction inconnue sous le sii;'ne d'in- 
tei;ralion en sorte (|ue le ri''<ullat de l'iiltéiiration délinie soit une 
l'oiuMioii donnée. 

1.0 second procédé consiste \\ découvi-ir une valeur |iarticulièi'o, telle 
<|ue 



C ^ - SU1 

l 



M 



()ui, étant [trisc pour r. satisfait ;i ré(|U,ilion (,A), ol dont on peut dé- 
«Inii'o i'acilement la valeur î;énérale de o. 

\ousa\ons jii'onvo aussi (|uo cette UM'une iuti'L;i'ale peut se déduire 
<lu d(''\'clo|)pemont ^'\\ série. Lors(pr(ui est une fois |iarveniiii connaiiro 
rinléi;i-ale d'une é(pialion d i ir(''ront iello . il est facile d'arriver par 
d'autres voies \\ ce um'uiio résultat ; mais il nous avait paru utile d'imli- 
(pu'f ces pi'oeédés diilVu'onts dans uiu- re(dn'roho nouvelle dont les 
princi|ios no sont pas L;(''uéralemont connus. 

-i" La j^cnoralite de c( s intéi^i'alos se dennuilre par des pi'incipos 
rigoureux, sans recourir ii la c(Uisi(léralioii indirecte du dévelop|)enient 
de rintei;rale en série ordonnée sidtui les j)uissancos d'une des va- 
rialdes. 

■)" Il importe snitont de remar(pn'i' (|ue la forme de rintéi;iale doit 
clian^icr avec la nature de la (jucstion. Si la surface élasti(|ue diuil ou 
veut déloi'inini'r le imuivomont n'avait pas les dimensions intiiiies. par 
e\em|>le si cette sni'face (''tait lin rectangle dont les aii''los sont a|i- 



ET M(H\i;mi:\t dks ondks. -^c,- 

piivr'i'S sur îles ol)staclcs tixcs, il l'aiidrail cinplovcr riniciiiair s(lll^ 
une l'orme iDlalumciit (lillcrciilc de relie (|iie ikuis a\(ins ildiiiiee dans 
noire .Alémoii'e. (les deux l'eMillals ont enire eiiv une relation nérev. 
saii'e, et l'on penl lonjours déduire l'un de l'anlre; mais il es! Iiean- 
C0U|i pins l'aeile de les eoneinre direelement des e<uulition^ pr<i|i(iM'e>. 
et e'est un des [ninci|ianx avautai;es (.les tliéuri'iues (|im' nou> avenir 
eités. 



EXTRAIT D'LN MÉMOIKH 



HEFUOIDISSniKAT SÉCULAIRK 1)1 (ilJIIIE TKMHHSTHi:. 



K\TI!\1I" I» IN MKMOll!!: 



IlEFROIDISSEMEM SI-CI LAIRE Di: C.LOBE TERRESTKE 



ISullrtin iU'\ S{irii(C-i pur lu Socictc iiliilnnintliiiiiie itc l'iiri<, ji. jS i\ -o ; avril iS>< 



La ([iicstidii lies teiii|ifi-al lires terrestres est fort eoinposée; nous ne 
|iouvoiis ici (|iriiiili(|iier la nature de cette (|uesti(ui, ranalys(> (|ui sert 
il la résoudie, et les résultats reniarqualiles que Fou en dednil. 

La elialeur (|ui se distriliue dans l'inléiieur de la Terre est assujettie 
à trois mouvements disiiii(t> : 

1" L'aelion des rayon>ilii Snleil |HMit'li'e le j^loLe, l't cause des varia- 
lions diurnes et annuelles dans les températures, (".es cliau^fuieiils 
périodi([ues cessent d'être sensibles à (|uel(|ue distance de la surface. 
Au deh'i d'uni' eei'laine profondeur, et jus(|n"au\ plus i;randes distances 
accessibles, la lempéralure due ii la seule inlliieui'e du Soleil e^l 
devenue lixe; tdle est la nH''ine pour les dilIV'i'cnls points d'une iiK'uie 
verticale, et elle est CLtale à la valeur niovenne de la leinperaluie dans 
les [loints de cette verticale sujets aux variations périiidiipie^. (^elie 
i|uanfitc immense de ehaleur solaire (|ui détermine les variations 
annuelles oscille dans l'enveloppe extérieure de la Terie; elle passe 
au-dessous de la surface pendant une partie de l'année, et. pendanl la 
saison opposée, elle lenioule et se dissipe dans l'espace. 

2" Si l'on fait abstrai'tion de l'e premier mouvement [lonr ne consi- 
dérei' i|ue les températures tixe.s des lieux profonds, on reconnait que 
la tempt'ratnre, (|ui est constante dans un lien donné, liiH'ère selon la 
-itualion de rcs lieux par rappoit ii reijuati'ur. Plusieurs l'auses accès- 



272 SI n m: i!i:i lidiniSSKMENT SliClLMltK 

soiros coiicoumil ii ces dillcu'iiro. Il rcsultc tk' rinci^alilc «les li'inpé- 
rjidircs tixcs ijnc hi iliiilciir solaire, (|iii s'est prupaj^ée de[iiiis un liiaiid 
iiuiiiiiic (le sii'cles dans la masse iiilérieiire du i^lohe, y es! assujetlie 
il un nionveineni Mrs leni, devenu si'nsihlenienî uniforuie. (Test en 
vcrlu de ce second niou\enieul (|Ue la elialeui- du Soleil j)ént'ti'e les 
eliinats é(|uino\ian\ , s'avance dans rinlérienr du ^^loite, en uièine 
temps s'él(tii;ne dn plan de ré(|ualeurel se dissijie ;i travers les reliions 
polaiies. 

'!" Il ne sullK pas de considériT les ellcts du foyer cxléi'ieur. il faul 
aussi piu'ter son attention sur le mouvement de la clialeur propre du 
i;l(die. Si la leniperaliire iixe des lieux prol'onds devient plus grande 
il UK'snre (|ir(Ui s'éloigne de la sniTaee en sni\aut une lii^ne verticale, 
il est im|iossilde d'allriliner eel accroissement ;i la ciialenr dn Soleil 
i|ni se serait accumulcc depuis un tri's long temps. {/Analyse démoud'e 
(|ue celte deinière sup[)Osition ne peut être admise. Oi', des oliserva- 
tious IrJ's varices étahlisseut aujourd'liui ce l'ail général (|iic les tem- 
pératures lixes croissent avec la piolondeur. A la vente, la mesuie de 
raccroissement demenre sujette ;i li aiicoup d'iuceititude; mais il 
n'en est |ias de même du résultat priuci|ial, savoir : raugnientalion de 
la temperatui'c avec la protondeiir. MM. les ri'dactcurs (U's Aniuilis de 
Cliiniic cl (le l'IiysKiuc viennent de [)ul)lier les obsersations de ce genre 
(|ui mius paraissent propres ii di'cider l'ntii'remeiit la (|ueslioii. C.ida 
posé, ou comliil avec certitude de la solution analyli(|iie (|ue cet 
accroissement des températures esl du entiércinent ;i une chaleur pri- 
mitive que la l'erre possédait à sou oi'igiiie, et (|ni se dissipe progres- 
sivemeul ii travers la surl'ace. Il faut dmie, comme nous l'avons aniKuicé. 
distinguer trois mouvements de la chaleur dans la masse du globe 
terrestre : 

l.e premier esl périodique et iiaHécte (|ue reuv(do|)pc ; il consiste 
dans les oscillalious de la chaleur s(daii-e. cl détermine les allerna- 
lives des saisons. 

Le second imuivement se rapporte aussi ii la chaleur A\\ Soleil, et il 
est uniforme et d'une extrême lenteur; il ecuisisle dans un lliix coiiti- 



m c, i.oni-. TF.nnESTRF. 27;$ 

iiiicl cl loiijoiirs s('niltl;il)!(' ii Ini-iiH'iiic. (|ni traverse hi m;isse enliere 
(lu glohe lie l'iin et île i'aillie ente du phiii île ré(|iiateiir jiisi|iraii\ 
|)ùies. 

Le tioisii'iiie inoii\eineiit île la elialeiir est variable, et il |iriii|iii| |r 
reCroiilisseiiient séeiilaiie ilii ^lolie. dette clialeiir (|iii se dissipe ainsi 
dans les espaees |ilani''laii-es était |)iii]ire à la Terre, et |iriniili\e: elle 
est due aii\ eauses i|ui siilisislaieiil ii i'Driiiine de eelte plani'le; elle 
aliandoiine lentenienl les niasse> inteiieni-e<, ipii ei}n>erNeii! pendanl 
un tein|w ininh'nse une lenipi'i'alure li'ès ele\ee. (a'Ite li\ pollii'se iriiiU' 
elialeur inlerieur'e et eenti'ale s'est renouvelée dans Ions les àL;('s de la 
i'Iiilnsiipliie . ear elle se pi-esêute d'el le - ini'ini' ;i l'esprit coMHne la 
eause niiliii'elle de plusieui-s phi'iiiuni'iies. |ji (|uesliiin eonsistait ii 
MUMuellre l'exanu'n de eetle o|)iiiion ;i une analyse t'xaele, fondée sui 
la lonnaissatice des luis inatlieinalii|ues de la ])ropat:ation de la elia- 
leui'. (Test ee inou\eineut varialde de la elialeur priniili\e du i^lohe 
(|ui est l'idijel principal du Mi'nnure dont nous doninuis l'cxtiail ; nous 
rapptu'tous les litres des articles, pour indiquer l'oi-ili'c (|iie l'on a 
suivi. 

I. i-A|iii~i' i|i' la i|i|e<li(Mi. Fj|nalion^ (lillÏMeiinelles (le l'élal xariaiile irillir 
sphère ilmil la rliali'iir iiiiliale se ilis<i|ii> dans le \iile. 

II. (ioiidilina lelaliM' à la snri'ace. 

III. Snliilion i,'i''n(''rale, la leiii[ii'ialnre iiiiliale l'Ianl expriniéi' par nue lonc- 
liiiii arliilraire. 

I\ . \p|iliralii.in à la -plière iloiU Ions le.- poiiils mit rem la iniMiie li'iii|ic- 
lalin (' nnlialr. 

\\ ■j'enipiTalnies xarialiles ilaiis nn soliile (l'une prorondrin- iiilinie, ilniil 
l'elat iiiilial M'cait iloinic par une l'onrlion arliilraiie. el ilnnl la siiilare serait 
maintenue à une leiiiperalin'o ciuislaiile. 

\ 1. i-"ln\ iulerieiir de la chaleiu' dans ce solide. 

\ 11. 'renipéraiiires vaiiables dans ini solide iruiie pridondeur iuliuie. doni 
l'i'lal luilial sérail i'N|iriin('' par une ron(ii(Ui ailuliaire, cl d(uil la elialiun- se 
dissipe lihreiiieut h lra\tis la sni l'ace dans un esp^u ç \ide lerniiue par nue 
enceinle d'une tempérai me coiislanle. 

N 111. hn cas où la elialeur initiale osl la même jusqu'à une pruloïKlein 
donnée. Tempérai ure de la sniiace. 

11. 3.: 



07 V 



SI U LK HEIlidlDlSSEMEM SÉCLLAIIU-: 



l\. \p|)li(Mlii(iis iimii(''i'if|m's. 

\. \|ipli(nlii)ii (le la soliiiioii relative à la sphère, el eoinparaisoii avec les 
IriiipiTaliires vaiiahies du solide iiiliiiinieiit piDfdiid. 
\l. Coaséqiieiices générales. 

Pour citer m) exemple de ce i^em'e de (|iiesli(iiis, iKuis clioisiioiis 
celle (|iii esl iii(li(|iiée dans le Vli*' arlicle. 

On suppose un s(dide homogène, de dimensions infinies, terminé 
par nu plan horizontal; lotit l'espace iiilerieur au plan infini est occupé 
par la masse solide; l'espace su|»érienr est vide et terminé de Ions 
colcs par une enceinte solide d'une figure (]uelcon([ue et d'une tem- 
pérai lire constante, (|iie l'on désigne par zéro. 

// e\|U'iiiie la profondeur verticale d'un |ioint du solide, mi sa dis- 
lance il la surface. La tempéralure initiale de la tranche solide dont la 
prolondenr esl // esl donnée, et l'on re|U'éseiite cette température par 
Vin). La ('(inction K( a) est eiilii-rement arhitraire et peut être disciui- 
liiiuc. La 'iultslance dont le solide est formé est supposée connue, c'est- 
à-dire (|ue l'on a mesuré : i" la densité D; 2° la capacité de chaleur C ; 
■')" la conducihilité propre K, on la facilité avec la(|uelle la chaleur 
passe d'une imdécule solide intérieure à une autre; ]" la conducihililé 
extérieure //. ou la facilité avec laquelle la idialeur passe d'une molé- 
cule de la sui'face dans le vide. Ces trois coefficients (",, //, K sont s|ié- 
citi(|ues. comme celui (|ui mesure la densilé; ils ri'glent dans toutes 
les sulistances l'aclion de la chaleur : on en a donné les définitions 
exactes dans les .Mémoires précédents, el l'im a fait coiinailre divers 
niovens de les mesurer. 

('.(da |)osé, le solide ayant son élal initial, on commence à compter 
le temps écoulé pendant (|iie la (dialeur du solide s(> dissijte progressi- 
vemenl dans le vi-de ;i travers la surface. Après un cerlaiii leiii|)S /, la 
tranche dont la pridoiidenr esl //, et (|ui avait la tempi'ratiire initiale 
F( // ), a une lemperature actuelle c (|ui varie avec le temps / el avec la 
profondeur //; la (|uestion consiste ;i trouver celle fouclion c de // cl 
de / (pii exprime, pour clia(|ue inslani, l'elal varialde du solide peii- 
daiil la durée infinie du refroidissement, ('elle (|ueslioii exi;^i'ail une 



1)1 (,l.(»liE TKHIiKSTIÎi:. 



iioiivellt' iiu'IIiikIc (r.\ii;il_\>t' dont dii a (loiiiic le-; incinij'it's ;(|i|ili(;i- 
tions en 1807; elle est coiiiplèteiiieiit résolue par la l'orimile sui- 
vante ( ' ) : 



(I) <■ = 



'"'•" fil . 



il 



h- y k 



Sltl/y« — l> Cl><'/ 



")''/' f 



■V{y.t — F 



• tu py. <ly.. 



( ' ) Dans lo passaiic qui se IrouM- rt'|iriiiliiit ,1 In \\a'^c i 17 de ci' Vuliiine. Foiiricr iiiilii|Uf 
(jue l(>< formules (1 1 et t •.'. 1 du Méuiuire actuel uni élé iiic\,icteiueiit Iranscriles et doivent 
ftre inodiliées. Il nous semble cepeudaut (]ue la formule fondamentale ( 1 1 est exacte et 
qu'on peut la vérifier do la manière suivante : 
I" On a é\idemment 

t/>' _ K t*^r 
')t ^ et) K«- ' 

puisque cette C(pialion est vérifii'e par eluicpie élément di' l'intéirrale. 
•^ On a. pour la même raison. 

K — = //!■ pour H = o. 
ou ' 

Il reste donc simplement à vérifier (pie l'expression de e se réduit à Fi n 1 pour t - o 
Faisons f = o; nous aurons, eu clian;:eanl l'ordre des inléi/rations. 



F( y. I — F'i ï I (li 



sin//« — /) eos/J« 



sin/î2 (//' 



l.'inté.ïralioa par rapport i\ j> peut toujours étri' elfectuée. Il suHit d"eniplo\er les foruiuli'^ 
connues 



r' .rsin/).r(/.r _\ -j. ' 



1- ,.M 
1 



C eos/<.r , 






h > o, /. > o. 

//<o, /,>o: 

''*. I) > o, /. > o. 

/j <' o. /. > o. 



(pii conduisent à la suivante 

h sin h.r — .rcns/>.i \- 

sinc.i il.r = l i 



f 



U'- — x-i 



(o. (■</'. 

<•, l). h étant des constantes //ov(V«v.s-. Par nu simple clianizement de notations, cette der- 



270 SI I! Li- r.Kri{Mii)issi:Mi:NT siici I. vini-: 

La loiiclidii Viy.) l'taiil (■luiniic. on inli'i;rc (rahord [tar lapporl à l'iii- 
<lcl(M'iiiini'i' a, ciidi' les liiiiilcs a — o et y. ^^ yz. \.o résultai ilr ccllr 
iiili'i;raliuii csl iiiic ruiictioM ilc //. On ii)t('i;i-i' cnsnili', par ra|i|Mir( ;i lin- 
(li'fcrniini'c //, cnlrc les liinllcs /^ = ') <'l /> = --c. I.c l'fsnllal de relie inlé- 
i;i'alinn ne l'onln'nt [ilns /;, en snrie (jue r(MHil)lii'nt pour r une lonel ion 
(le // el (les constantes 1), (i, //, K. L'analyse (!(nil (mi déduit eoMte solu- 
lioii ne consiste pas seuleuienl i\ exjii'iniei' les intci^rales pai' la somme 
de pinsienis lernu's exponenliels. Cel usa^^c de valeurs |)articulières 
('■lail c(Mniu depuis l'orii^ine du calcul des diirerences partielles. La 
UK'lhode dont nous parl(Mis c(Uisisle surloul ii delei'uiiuer les foiu-tions 
ai-liilraii-es s(uis les sij^'nes d'iud'L^i'ale définie, en soi'le (|ue le i'(''sullal 
de riiil(''i;i'aliiu) soit une l'onction (|U(dciMi(|Ue, <pii est d(mn(''e, el (|ui 
peul ("'Ire discontinue. 

Ou peul c(Hinailre aussi la (|uantite de (dialeiir (|ui, pendant un 
lem|is donm'. Iravei'se une des ti'amdies Au solide, el , en ^('lierai, il n'v 
a aucun (denu'ul du pliiuKunime (|ui ne soi! claifeiueut expriiiu' pai' la 
S(du(i()ii. Si ['(ui suppose (|ue la température initiale a une um'uic va- 
leur /', (le|uiis la surface ius(|u'ii une certaine piolondeiir A, et (jue, au 



IliiTi' roi'iliiilr MOUS llnlllll' 
.^^ Il 



I 



siii/)/( -1- p vos /'Il 



sin/; J i//t 



\ "■ . 



--r-"- 



K-i 



•'.w |Mii'liliil ri'Uc vulcur ilaiis ri'\|iii'ssi(ill de r, mi nliliiMil ii' l'i'sulliil siii\aiil 






'( V. I — F'( y.) 



,•!> ,h 



!■ = — & 






Si r<in sii|i|iiisi' (|ii(^ lii roiiclioii 



<l \c '> V{y.)\ 



■ ( -i ) 



-'.iiiiiiilc pniir y = A. il rcsic siiii|il('mciil 

i'= Viin. 



C. I). 



Itl GI.OIM. Ti:i!i!i:s ri!K. 

dclii (le cette [n'oloiideui', la teiiipér;itiire initiale est zéro, nu (iduvi- 



^ -f hi 



(2') 






cos/iii siii vei'so// A ///>. 



Si l'on si!|>[)ose iiiliiiie la liiiiie dont loiis les points ont la teni|)iT;i 
Inre initiale />, on tronve, par un examen tri's attenlil'. 



(3) 



I //A l e "^•" / // si 11/)// 



1,1, i 



/ // si 11/)// ', 



K^ 



Pour eonnaiti'e Telat \ariai)le de la surface depuis le eoniiuencenieiil 
du l'elroidisseuienl. il faut siipposeï' // = o, et l'on a 



(4) 



■>. bh 



r — 



(à'ile deiaiii're expi'essi(Ui é(|uivant à l'intégrale indetiiii( 

■îb /" 

(5) e = ^= e"' / e '"dr; 



\ir. -n 



la valeur de la limite U est 



li 



h V7 



V kCI) 

Sons cette l'orme, la \aleur de e est tonte caleulec au nioveii de l;i 
seconde rai)le (|ue M. kraiiiit a donnée dans son Ouvi'aiie Sur bs rcfrui-- 
iKins ((slniiioiiiKjuvs. l.oi'S([ue la vaieui' de / est devenue assez i:rain!e. 
par exemple si (die surpasse mille années, et si la substance ilii solide 
est le 1er, la température variaMe de la sui'l'aee est exprimée sans erreur 
apprecialile par la f'(U'mule trJ's simple 



(6i 



b KCI) 



Ainsi la tiMlipératUi'e de la sni'Iace varie eu raison inverse de la ra- 



-278 SUR LE REFH O 1 1) ISSKMEM SFj:iLAlRE 

cine carrée des temps écoulés depuis le cornmeuceiueut du icIVoidis- 

senuMil. La valeur du temps / étant devenue beaucoup |>lus i^rande (|ue 

mille années, c'est cette éijualiou ( (i ) (pii exprime, eu l'ouclioii de / et 

<ies constantes K, C, D, h, la température varialtle v de la surface du 

i^lolie (erresire, pendant un nombre immense de siècles. 

Si l'iui coni|»arc le luonvemenl de la chaleur dans un solide d'une 

orondenr iutinic ii c(dui (|ui a lii'u dans une sphère solide, d'un rayon 

'S i;iaud, comme celui de la Terre, on reconnaît (|uc les deux ellèts 

ivcut être les mêmes pendant un temps immense, et |i(mi' tontes les 
. . _ _ . _. • ■ I : • .1.. I r 1 1 ...;. i„ 



doivent être les mêmes pendani un temps immense, et |i(mi' tontes le; 
parlio <|ni ne sont pas extrêmement éloignées de la siuCace. H suit d( 
lit (Hie les inlé^rales préceilcutes (htivent aussi être données par les for 
mules (|ui expriment le nnmvemenl variable de la clialiuir dans um 
sphère d'un rayon (|uelcom]ue. 

Dans celle di'rnière question, on désigne par X le rayon total, e( par 
r le ravon d'une couche spliéri(pie iulérienie. La tempéiatui'e initiale 
du scdidc csl connue: elle est représentée pai' K(.r ), et la foiu'tiou Vy.v ) 
est enlieremeul arbitraire; / desii^ue le temps écoulé ii partir de cet 
élal initial, ci c est, après le temps cconb /, la valeur actindlc de la lem- 

■ w'.i-.. I 1 1 l'ii (Piiiiii i>i\iif'liit uni) jtrri I II <> inlil u> t'Li\'itn i^<\ f i)u <\i 



perature d'une couche s|d 
la chaleur s ' 
termine nm 



chaleur se dissi[»e librcmcnl ii la siirlac 



' " "'1 ' '■ '■•'■ •^" "■ ■ 

eri(pie dont le rayon est .r. On suppose (pu' 

' ■'■ ' 'ace dans un espace vide, (|ue 



la chaleur se (lissi[»e liDrcmcnl a la siiriacc uans un espace vmh', (|ue 
termine uih' cnceiule solide dont la tempcratni'C constante est zéro. 
Les coefticients spécitiques D, (1, /i, K mesurent les (|uanlilés (jue nous 
avons déjii delinics. Cela posé, les é(|uations dill'erenli(dles qui expri- 
ment le mouvcnu'Ul de la chaleur dans cette sphère sont 



et 



ûi "~ ni) V(ï?- 



■'. ()C 

j: Oj: 



k -, ~ /M' = o. 

Oc 



Ces deux équations et l'intéitrale (<) ) (pie iu)us allons rapi)Oi'ler oui 
été données, poui' la prcmièr'c lois, dans un .Memoii't' remis à l'inslilut 
de Lraiice, le _> i décembre 1807 ( |). i/i >, i44 L't i:">oj. Il est nécessaire 



Dl r.LOHK TEH15EST[ÎK. 



-27» 



(le tixi'r son attentimi sur l'iviiiiilion (8). |)arco (ju'cllc contient nn 
résultat très simple dans l'analyse îles Icnipératures du glohe. (]elte 
équation se rapporte à l'étal de la siiil'ace; elle montre que l'élément r 
de la température de la surlace au-dessus de la tem|n'ratnre zéro de 
re>paei' vide a uni- l'rlation ni'cessaire avec la valeur (|ui a|)|iarlirnl. 

jiour ce même instant, ;i -— ■• On connailrait cette valeur de 'r'- en 

' <).'■ i)r 

oliservant, dans le même UKunent, la lempiMaturc c de la sui'fai'e cl la 
température c + Acd'un point inlericnr jilacc ;i une pi'otondeur mi'- 

diocrc A.r. I.e l'apport --^ est la mesui'c de l'aocroissement de tempé- 

l'ature. ii paitir de la surface. Or cet, accroisscim'nt (dianiic avec la 
valeur de r, et, dans la (|ueslion actuelle, il est sensihlemnit propdi- 
tioiincl il ci'tle valeur. c'est-;i-ilire que le i'ap|iort de l'accroissement 
-r- il la tciuiiérature de la surface est iim> iiuantite constante , • 

l'ji général, le tlux noi'mal de la chaleur ii la surface d'un coips, tel 
(ju'il est déterminé |iai' l'action mulmdic des molécules solides. e(]iil- 
vaut il la clialeur qui se dissipe ii la surface en vertu du rayonnemenl 
et de l'action du milieu extérieur'. Nous avons montré, dans les Mé- 
moires déjà cités de i8o- et de [8i i, <|uc celterelation est totalement 
indé|iendante de la figure du corjis et des substances dont la masse 
intérieure est fiu'mée, ou de leurs températui'cs. I.e rappoil cmislani 
dont il s'agit ne dépend que des deux qualités pliysi([ues de l'enveloppe 
(jiii ont été désignées par K et //. 

\oici la formule (jui contient la solution générale de la question |)ii'- 
eedenle ( ' ) 

sinp,.r I xV I x\ iiup, 7. r/x 
(9) 



c^iV 



eu 



X sinap.X 



La quantité désignée par/>,est une l'acine de l'équalion transcen- 
dante 



(lO) 



/> \ — ( I — — \ ) t a 11 ?/' \ . 



( ' ) T/icnrie (le l/i ilitilciir, p. 3r.>. Cl Ji^- 



G D. 



2S0 SLl! IJ-: lii:F IJOiniSSEMENT SKf.lLAir.K 

(icitc (''(|ii;ilioii a loiilcs ses racines l'écllcs, donl cliaciinc iloil ('li'c 
mise il la place de/', <lans i"e\|)i'essii)ii de c. Ces racines, ranimées jiac 
(ii'dre en coiniiieneaiil par la plus |)eli(c, soni /',,/<_,, /;, Le si^^ne 



V 



inilK 



|ue (|iie l'on duil doniiei' au nuinhre entier / tonles ses valeurs 



I, y., j, .... el [irendi'e la smniue des lernies. [/indélei'ininée a, (|ui 
eiilre siMis le sii;;iie d'iii le^i'ale, disparaît par riiitéi;rati(in deiinie, (|ui a 
lien depuis a = <> ins(|ir;i c. — \. On ti'(Mne ainsi jjour e une l'onction 
de. /et de /, du rayon total X el des coelticients I), (], //, K. C'est mius 
ectte lornie (|ue doit être mise riiitéi^cale îles éipiations (7) et (S), 
pour représenter distinctenieiil le plieniuni'ne plivsKpie (jui est ro|)jel 
de la (|uesli()n. On peut coniiaitre, au moyen <lc celte rorinule, loiilcs 
les eircouslaiici's du rel'roidis>enient d'un i^lohe solide don i le diaiiii't rc 
n'est pas extrèmenu'ut i;'rand. 

I ne des consé(|uences de cette s(dntioii consiste en ce ([ue le niouve- 
niciit de la chaleur dans l'inlérienr du solide devient de plus en plus 
>imple, il mesure (pie le temps augnu'nte. Loi'sipie le rerroidissenu'ut 
a diii'e pendant un certain tem[ts (|ue l'on [)eiit délerminei', l'étal \a- 
rialde du s(dide est exprinu' sans erreur s(Uisil)le par le premier- ternu' 
de la valeur de c; alius t(Uites les temperalures décroissent en iniMUe 
leni|is el demeurent pioportimiiudles, en sorte (pie les rap|»(U'ts de ces 
lempéralnrcs xariahles sont devenus des nomhrcs c(uistaiits. 

Niuis a\(uis reciuinii, eu ellel, dans nos expériences, (|ue celle dis- 
position iiiiale l't ré^nlii're des températures s'etaldil, dans les corps de 
dimensions médiocres, après un temps assez, court. .Mais, pour une 
spliJ'rc solide d'un rayiui cmnparahle ;i celui de la 'l'en'c, les rapports 
des teiiiperainres ne de\ ieudraienl fixes ([u'apirs un temps immense, 
et r(m n'a aucun nio\en de connailre si ce temps est écoulé, i'oiir 
dcc(Mivrir les lois naturelles du rerroidissemeiit t\u i.;lol)e, il était donc 
nécessaire de considérer les plieii(Uiii''iies pendant t(Mitc la durée de 
l'elal (|iii pri'ci'de cette dislrilHili(Ui liiiale, durée (|in doit siir|)asser 
plusieurs millions de sii'ides. C'est dans celte vue (pie nous a\(ms Iraitt' 
séparément la (|iiestioii ridaliNC au solide d'une |U(dondeur iiilinie. 



DU GLOBE TERRESTRE. -2Sl 

<li)nt toutes los parties auraient leeu la même tenipéraliue initiale h. 
(•r la solution de cette ileinière question doit donner le menu- résultat 
que celle qui exprime l'état variaMe d'une s|dière d'un rayon inlini. et 
dont tous les points auraient eu la tenipéialiirr initiale b. 11 laul duiir. 
dans ré({uation (9), remplaeei' la l'onction F( y.) par une constante l> 
et attribuer une grandeur iniinie au rayon total X. Si l'on procède ;i ce 
calcul avec beaucoup d'attenti<Mi, en supposant d'abord la valeur iii- 
tinie dans l'équation (10), atin de déterminer toutes les valeurs de [>. 
on reconnaît (jue cliaque terme de la valeur de c dans l'équation ((>) 
devient une quantité dillërentielle, en sorte que r est exprimé par une 
intégrale délinie; et l'on trouve exactement pour cette intégrale le 
résultat donné par l'équation ( '3), à laquelle on était parvenu en sui- 
vant une analyse entièrement difïï'rente. 

On ne connait point la densité des coucbes intérieures du globe, ni 
les valeurs des coefficients K, h. (^es deux derniers coefticienls n'ont été 
déterminés jusqu'ici que pour une seule substance, le fer forgé dont la 
surface serait polie. Les expériences que nous avons faites pour mesurer 
ces coefficients ne se rapportaient point à la question actuelle; tdles 
avaient pour oltjet de comparer (juebpies résultats théoriques avec ceux 
(les observations, et surtout de <léterminer, du moins pour une sub- 
stance, les éléments qu'exigent les applications numériques. Nous ne 
pouvons donc aujourd'liui appli(|uer les formules précédentes qu'îi une 
sphère solide de fer, d'un rayon comparable à celui de la Terre; mais 
cette application donne une idée exacte et complète des phénomi-nes. 
Il est facile ensuite de moditier les solutions générales, en supposant 
que les coefficients D, C, h, K varient avec l'espèce de la matière, avec 
la profondeur, la pression et la température. 11 serait nécessaire sui- 
tout tréprouver l'elfet de la pi'cssion sur la propagation de la chaleur. 
On ne pourrait aujourd'hui former sur ces ([uestions que des hypo- 
thèses fort douteuses, parce (ju'on nian(|ue totalement d'observations 
exactes et anciennes. Au reste, les changements (jui peuvent résulter 
de ces diverses conditions affecteraient surtout les températures à de 
très grandes profondeurs, et ils laissent subsister les conséquences 
H. -î^ 



■2H-2 SLU LE IIEFROIDISSEMENT SÉCULAIRE 

générales qui élaieiil l'olijet de notre reclierelie, e( (|ne nous allons ex- 
poser en donnant l'extrait tUi dernier artiele du ^lénioire. Toutefois il 
st néeessaire de reniar(|uer (|ue cesconséquenees ne sont entii'reuieiit 
xactes (|ue si on les rapporte à une sphère de fer solide et lioino;;ène, 
"un diamètre égal à celui de la Terre. Notre ohjet est moins de dis- 
euter les applications spéciales de la théorie à la masse du gloI)e ter- 
restre, dont la constitution intérieure nous est inconnue, que d'établir 
les principes mathématiques de cet ordre de phénomènes. 



Conséquences générales. 

I. Si la Terie était exposée depuis un grand noirilire de siècles ii la 
seule action des rayons du Soleil, el (ju'elle n'eut point reçu une tein- 
péralure piimitive supérieure ;i celle de l'espace environnant, ou 
(|n'elle eût peidu entièrement cette chaleur d'origine, on observerait, 
an-dessous de l'enveloppe où s'exercent les variations périodi(jues, une 
température constante qui serait la même pour les divers points d'une 
même ligne verticale. Cette température unifbi'me aurait lieu sensible- 
ment ius(|u'aux plus grandes distances accessibles. Dans chacun des 
]ioinls su|iérieurs, sujets aux variations et com[)ris dans la même ligne, 
la valeur moyenne de t(Uites les teiupératures observées à chaque in- 
stant de la période serait égale à cette température eonstante des lieux 
profonds. 

II. Si l'action des rayons solaires n'avait pas été prohuigéc assez, 
longtemps pour «lue réchaulTemenl fût parvenu à son tern)e, la tem- 
pérature moyenne des points où s'exei'cent les variations, on la tempé- 
rature actuelle des lieux plus profonds, ne sciait pas la même |iour tons 
les points d'une même verticale; elle décioilrait ii partir de la surface. 



in. Les observations paraissent indiquer que les températures sont 
croissantes lorsqu'on descend à de plus grandes profondeurs, (^ela 
pose, la cause de cet accroissement est une chaleur d'origine, propre 



DU GLOBE Ti:i{RESTRE. -283 

au gloln' lorresti'o, qui suLsislail lors([uo cette planète s'esl foriiiée, ri 
(|ui se dissipe continuellement à la superiicie. 

iV. Si toute cette ehalenr inilialc était dissipée et si la Terre avait 
perdu aussi la chaleur (|u"elle a rceui' du Soleil, la température ilu 
globe serait celle de l'esjtace planétaii'i' où il est placé, (iette tempéra- 
ture foudamentale, que la Terre reçoit des coips extérieurs les plus 
éloii;nés, est augmentée, premii-rement, de celle qui est due ;t la pré- 
sence du Soleil; secondement, de celle (|ui résulte de la (lialeiir pri- 
mitive intérieui'e non encore dissipée. F.es |)rincipes de la Tliéoi'ic de 
la rlialeur, appli(jués ii une suite d"(d)servaliiins ju'écises, (éront un 
joui' connaitre distinctenu'nt la température exti'rieure l'ondamenlale. 
l'excès de température causé |»ar les rayons solaires, et Texci's (|ui c^t 
du il la chaleur primitive. 

V. (;elt<' dernière ([uantile, l'cxccs de température de la surface sur 
celle de l'espace exléi'ieui', a une relation nécessaire avec- l'accroisse- 
ment des températui'cs ohservé à didérentes profondeurs. L ne augmen- 
tation d'un degré centésimal par io'" suppose que la chaleur primitive 
(|uc la Terre a conservéi' élève présentiuiienl la température île sa sur- 
face d'envii'on un (juart de degré au-dessus de celle de l'espace, (le 
ré>ultat est celui qui aurait lieu pour le fer, c'est-ii-dire si l'enveloppi' 
i\i\ glohe terrestre était formée de cette substance. Comme on n'a 
enc(ti-e mesuré pour aucun auti'c corps les trois (|ualités relatives ii la 
l'iialenr, on ne peut assigner que dans ce seul cas la valeur assez exacte 
de l'exci's de température. Cette valeur est projiortionnidle ii la con- 
ductibilité spécifique de la matitu'c de l'cnvtdoppe; ainsi, elle est pour 
le glohe terrestre beaucoup moindre (|n'un (|uarl de degré, i.a surface 
du gloljc, (|ui avait dès l'origine une température très élevée, s'est 
refroidie dans le cours des siècles, et ne conserve aujourd'hui (|u'un 
l'xcedent de chaleur pres([ue insensible, en soi'le que son état actuel 
diflère tri's peu du dernii'rétat au(|uel elle doit paivenir. 

VI. Il n'en est pas de même des lempéi'atuics intérieures; elles sont. 



28i SUR LE UEFROIDISSEMENT SECLLAIiiJ: 

nu coiilraire, heaiicoiip plus grandes que celles de l'espace planétaire; 
elles s'abaisseronl conliiuiellement, mais ne diniinueronl qu'avec une 
cxlrèuie lenleui'. A des profondeurs de loo"'. 200'", 3oo'", l'accroisse- 
uient est très sensible : il jiaiait (|u'on peut l'évaluer à 1" pour jo" ou 
4<)"' environ. On se tromperait beaucoup si l'on supposait que cet 
accroissement a la même valeur pour les grandes distances; il diminui' 
certainement à mesure qu'on s'éloigne de la surAice. Si l'on possédait 
une suite d'observations assez précises et assez anciennes pour donner 
la mesui'e exacte des accroissements, on pourrait déterminer, par la 
Théorie aualvtii|ue (|ue nous avons exposée, la température actuelle 
des points situés à une certaine profondeur; on connaîtrait ;i (juelles 
époques les divei'ses parties de la surface avaient une tenipératuri' 
donnée, e(uribien il a dû s'écouler de temps pourfoi'mer l'état que nous 
observons; mais cette étude est réservée ;i d'autres siècles. La Pbysi(|ne 
est uni' science si récente, et les observations sont encore si impar- 
faites, que la théorie n'y puiserait aujourd'hui que des données con- 
fuses. Touleluis, on ne peut douter que l'intérieur du globe n'ait con- 
servé une très haute température, (|Uoi(jue la surface soit presque 
entièrement refroidie. La chaleur pénètre si lentement les matières 
solides (|ue, suivant les lois mathémati(jues connues, les masses pla- 
cées ;i deu\ ou tidis myriamètres de profondeur pourraient avoir pré- 
sentement la tenqiéi-alure de riucandescence. 

^ll. Si l'ensemble des faits dynamiques et géologiques prouve que 
le globe terrestre avait, à smi origine, une température très élevée, 
comme celle de la fusion du fer. ou seulement celle de 5o(i", qui est 
plus de dix fois moindre, il faut en C(mclure qu'il s'est écoulé une très 
longue suite de siècles avant que la surface soit parvenue à son état 
aeiuel. L'é(|uation 

h' CI) 






ttA^ K 



exprime la r(dation enti'C le temps / écoulé (bqiuis l'origine du refi'oi- 
dissement et compté en minutes sexagésimales, la tempéiature ini- 



J)L (,L01!E Ti:nRESTRE. 



28o 



[ialc h ooniptt'e en degrés centésimaux, et l'accroissement oltservé, (pu 

peut être :,'„ ou ,-„. Le rapport -^ est environ lo')) poui'le l'ei': il e-l. ilr 

plus, liuit l'ois plus gi'and jioui' les luatières communes de renveluppc 
terrestre. 



VIII. L'accroissement A ou la dilTérence (|ue l'on oliserve à des pro- 
fondeui's nK'diocres, comme île loo'" à joo'", entre la température li\i' 
d'nn eeilain point d'une verticale et la température tlxe d'un seeond 
|)oinl de celte verticale plaeé ii i '" au-dessous du pi'emier, varie avec 
le temps suivant une loi fort sim[)le. ("et accroissement a été, à une 
certaine époque, double de ce qu'il est aujouid'Iini. Il aura une vajeui- 
d(MiK fois moindre qtie sa valeur actuelle lors(|u'il se sera émule, 
depuis le commencement du refroidissement, un tem[»s quatre fois plus 
grand (jue celui qui s'est écoulé jus(iu'à ce jour. En général, l'ac- 
ci'oissement \ varie en raison inveise de la racine carrée des temps 
écoulés. 

IX. La température d'un lieu donné de la surface diminue par l'ellcl 
du refroidissement séculaire du glohe: mais cette diminution est 
énormément petite, même dans le cours de [dusienrs siècles. La ipian- 
tité dont la température de la surface s'ahaisse pendant une année 
est égale à l'excès actU(d de la température, divisé par le double ihi 
nombre d'années écoulées depuis l'origine du refroidissement. 

Nous avons démontré, dans le Mémoire, (pie la variation séculaire n 
de la tem[»éralure de la surface est exprimée par l'équation 

K A 

On désigne [tar A le nombre de degrés dont la température augmente 
lois(|ue la profondeur augmente de i™; T est le nombre de siècles 
écoulés depuis l'origine du refroidissement; ir est la quantité dont la 
température de la surface s'al)aisse pendant le cours d'un siècle. Le 

rapport y est d'environ 7, 'y poni' !<■ fer': il peut être neuf fois moindre 



28C Slli LE REFROIDISSEMENT SECULAIRE 

pour le g!ol)o tei restrc. A peut ('(re supposé :'- ou ^j- Quant au iionil)ic T, 
il l'st évident ([ii'on ne peut l'assigner; mais on est du moins eerl.iin 
(|u"il surpasse la (lnré(' des (enips iiistori(|ues, telle (|u'on [>eut la eon- 
nailic anjoufiriiui par les annales authentiques les plus aneiruncs : 
ce nombre n'est done pas moindre (|ue soixante ou (|natre-vingts siècles. 
On en conclut, avec eeilitude, que ral)aissenieiit de la tempcralurc 
pendant un sil'cle esl plus petit (|ue -jr~ d'un degré centésimal. 
Depuis IHcole grecque d'Alexandrie jus(ju'à nous, la déperdition de 
la (dudeur centrale n'a pas occasionné un abaissement tliermométri(|ue 
d'un 288"' de degré. Les températures de la supertleie du globe ont 
diminué autrefois, et (dles ont subi des changements très grands el 
assez rapides; mais celte cause a, p(Uir ainsi dii'C, cessé d'agii' ii la 
siirlace : la longue durée du phénoniène en a rendu le progrès insen- 
sible, el le seul fait de celte durée sul'tit pour prouver la stabilité des 
températures. 



X. D'autres causes accessoires, propres à einujue (limai, ont une 
inlluence l)ien plus sensible sur la valeur moyi'nne des températures 
il l'extrénu' surface. L'expression analytique de celte valeur moyenne 
contient un coefficient numéri<jiie (]ui désigne la facilité avec liHjmdle 
la chaleur des corps abandonne hi dernii're surface et se dissipe dans 
l'ail'. Or cet él.il de la superficie peut subir, par les travaux îles 
iionimes, lui par la seule action de la nature, des altéralions accitlen- 
lelles (]ui s'étendent ii de vastes teii'itoires : ces causes inllueiit jU'o- 
L;iessiveinent sur la leni|)éralure moyenne des climats. On ne peiil 
ilouter que les n'snltats n'en soient sensibles, tandis (|ue l'eiret de 
refroidissenienl du gbdu' est devenu inappréciable. La bailleur du sol. 
sa coniîguratimi, sa iiainre, l'étal superliciid, la présence et l'i'tendne 
des eaux, la direcliuii des venis, la siliiation des mers voisines, con- 
cmirenl, avec les posilions géiigraplii(|iies, ii déterminer les lem[)éra- 
liires des climats, (l'est ii des causes semblables, et non à l'inégale 
diiiée des saisons, (|ue se ra|)porteraienl les dilIV'renees observées dans 
les tem|iéralures des deux héniisphères. 



DU GLOBE TERRESTRE. 



•2ST 



XI. On peut Cdiinaiti'i' iruiie manière assez approchée la (|iiaiilité 
(le chaleur priinilive tjiii se perd dans un lieu donné, à la siuTaee de la 
Ti'iic. pendant un certain temps. Kn supposant la conducihililé propre 
neul'fois moindre que celle du fer, ce qui parait résulter d'une expé- 
rience lie M. il.-B. de Saussure, on trouve (jue la quantité de (dialeui 
qui se dissipe pendant un siJ'cle par rellet du refroidissement pro- 
gressifdu glohe, et (|ui traverse une surface d'un mètre carré, écjuivaut 
à celle qui fondrait un prisme de i;lace dont ce mètre carré sérail la 
hase, et dont la hauteur serait environ 3'". L'abaissement de la tempé- 
rature pendant un siècle est insensible, mais la quantité de chaleur 
perdue est très grande. 



XII. La quantité de chaleur solaire qui, |>entlant une partie de 1 an- 
née, pénètre au-ilessous de la surfaee de la Terre et cause les variations 
périodiques est lieaucoup plus grande que la ([uantité annuelle de cha- 
leur primitive qui se dissipe dans l'espace: mais ces deux elfels dif- 
fèrent essenfielleiniMit en ce (|ue l'un est alternatif, tandis que le 
second s'exerce toujours dans le même sens. La chaleur primitive qui 
se perd dans l'espace n'est remplacée par aucune autre: celle (pie le 
Soleil avait conimnni(|uée à 1 i Terre, j>e[iilanl une saison, se dissipe 
pendant la saison o[)posée. Ainsi, la elialeur émanée du Soleil a cessé 
de[)uis longtemps de s'accumuler dans l'interieni' du globe, et (die n'a 
plus d'autre elTet i|ue d'y maintenir l'inégalité des climats el les aller- 
nalives des saisons. 

Nous ne rappelons point ici les conséquences (juc nous avons démon- 
trées dans les Mémoires précédents en donnant l'analyse des mouve- 
ments périodi(|ues de la chaleur à la surface d'une sphère solide; nous 
remarquerons seulement que l'étendue des variations, les époques suc- 
cessives qui les ramènent, la profondeur où (die cesse d'être sensible, 
la ridalion très simple de cette profondeur avec la durée de la période, 
en un mot, toutes les circonstances du phénomène, telles ({u'on les a 
observées, sont clairement représentées [)ar la solution analyti([Ue. Il 
siilTirait de niesiii'er avec précision (|ueb|ues ri'sultats [irincipaux, dans 



i88 SUR LE UEFHOIDISSEMEXT SÉCULAIRE, ETC. 

i:n lira donné, poui' vn conclure la valeur numérique des coeflicients 
(|ui mesurent la conduciMlité. C'est l'examen de quelques expériences 
de ce genre qui nous a donné lieu d'évaluer ;i un trente-sixième de 
degré l'élévation actuelle de la température de la surface du glolje au- 
dessus de la température fixe des espaces planétaires. 

Nous ajoutons, en terminant cet Extrait, que les valeurs numéii(iues 
(jui y sont rap[)ortées ne peuvent être regardées comme exactes, ou 
nieiiic comme très a|)procliées; car elles sont sujettes à toutes les incer- 
liludcs des observations. Mais il n'en est pas de même des prineipes 
de la théorie; ils sont exactement démontrés et indépi'udants de toute 
liypotlièse physique sur la nature de la chaleur. Cette cause générale 
est assujettie à des lois mathématiques immuables, et les équations 
diliërentielles sont les expressions de ces lois. Les expériences mon- 
(rent jusqu'ici (|ue les codlicicnts qui entrent dans ces é(|uations onl 
des valeuis sensiblement constantes lors(jue les températures son! 
(■oni[)rises dans des limites peu diiïéi'cntes. Quelles que puissent èti'e 
ces variations, les é(|ualii)ns dinerenlielles subsistent; il l'audrait seu- 
h'nient moilitiei- les intégrales [lour avoir égard ;i ces variations. Les 
é(|ualions fondamentales de la Théorie de la chaleur sont, à propre- 
ment parler, pour cet ordre de phénomènes, ce ijue, dans les questions 
de Stati(pie et de Dynamique, sont les théorèmes généraux et les équa- 
tions du mouvement. 



SI I! L'ISVCE 



THÉOUÈMi: l>E DESCARTES 



i{i-:ciii:k(;he de^ limites des ka(J\es. 



IL 



SI II L'ISAGi: 



THÉ OR KM E 1) i: DE S CARTE S 



lîKciiKi'.ciii-. i)i:s i.iMiTKS !)i:s I!\(:im:s. 



/iiilli'liN (les Snciuc'^ jHii- 1(1 Sorit'tc ijliiloiiialliiijiic de l'iiris-, p. r",() j iG:'). octoliii' iS:^ 
cl 11. iSi à is-. (lérenilire 18-20. 



Si, dans le |>n'iiii('i- iiiriiiliiT \ (riiiu' ('(iiiatioii aii^rhciqui' \ = o 
(loiil les cocrticiciits soiil drs iKUiihi'cs (Idiiim's, on sul)stilu(' sncrcssi- 
vcnicnl deux noinhri's a v{ h. cl si les dcnx rcsiillals A cl 15 de ces 
siihsiilnlions oui des si.uncs dillcrmls, ri'M|iialioii .\ =0 a an nioin-> 
une racine rccllc coni|irisc ciilic les limites d et //. Le nondnc do 
racines rc(dies comprises entre ces mêmes limites |)oni l'ait è lie i, mi 
'). ou "), on lin nomhre im|iair (|ii(dcon(|iii'. Si. au contraire, le< deux 
résultats A et B ont le même sii^iie, rei|iialion [leiit avoir un nomlirc 
|iair lie racines réelles entre les limites r/ cl l>: et il pi-ut arriver aussi 
(juil n'v ait ani'iine racine entre ces mêmes nombres. 11 suit de ces 
|)ro[iositions, (|ui sont démoiitri'cs dans Ions les Traités élémentaires 
d'Algidire, (jue la sulpstitntioii des deux nomlires [>ro|iosés a et h dans 
la lonction X ne siiftit jioint |Mtur l'aire reconnaître comliieu re(iuatioii 
a de racines c(nnprises entre ces deux nomhres. 

Pour resoiulre cette dernière nueslion. il est nécessaire de siilislituei 



292 SI !! i;is\(;k m tiikoiîkmi: dk hksc \I!Ti;s 

CCS ilcii\ liinilcs (i l'I II ihiiis la (oncli(iii et dans les ronctioiis X', X". 
X'". . . . ijiic l'on en (Irdiiit par des diircrciitialioHS successives. 

I.'ulijcl de ci'Ke Niile esl d'exposer la mélliode (jiie l'on doil siii\iT 
pour d(''lerniiiier les liiniles des l'acines en snhstiUianl ain>i divei's 
noiidires dans les l'onclions ili!l'ei'enlielles. et d'ajonterii celle nietliode 
une r('i;le spéciale pour dislinj^uer facilement les l'acines imaginaires. 
Supposons donc (|ue l'on considin-e les ronclions sui\anles : 

^/\ d' \ 
\. -7—' "/ ■^' ■■■' 

il.r il.i- 

el (|u'on les écrive tmiles dans l'ordre in\'erse, 

.... \'\ \\ \, X, \, 

la dernii're elanl le |u'cmier membre de la proposée. Le nombre des 
l'onclions (''criles esl /// -i- 1 , si le deiiri' de reijnalion esl ///. el la pre- 
mière l'ouclion esl un nombre constanl posilif. 

Si ['(Ml siibsliliie un nombr<' <i dans la suite di's ('(uictions et si l'on 
écrit le signe — on le signe ^ de cliaiiue résultat, ou l(U'mera une 
suite de signes (|ue ikuis désigneiNUis par (a); subslitnanl aussi un 
muubre A, plus grand <|ue a. dans la même suite des l'onclions, el 
reuiari|uant les signes des résultats, on formera une seconde suite de 
signes (|iie nous désignerons par (3). l'.ida posi', (Ui examinera com- 
bien, dans la preinii're suite de signes (a), il y a de cliangenicnls de 
signe en passant d'un terme ii \\\i autre, c'est-ii-dire c(mibieii de l'ois. 
dans celle suite, il arriM' (]ue deux signes voisins sont — ou -. On 
examiniM'a aussi combien il v a de ces cliangemeiils de sigiu' dans la 
seeiuide suite ( 3 ). On comparera, sons ce ra|)port. les deux suites de 
signes (y.) et ( 'i ), cl ['(Ui déduira de celle comparaison les conse- 
(|ueuccs suivanles, (|ue nous allons d'abord énoncer, et dont nous 
d(Uiuer(His ensnile la denionsli'aliou : 

i" Si les deux suites de signes { y. ) et ( [ii ) ont un égal nombre de 
cliangemenls de signe, il esl impossible (|ue l'eiiualion X n ail au- 
cune rai-ine t'iilre les limites d el l>: en soiie ([n'il sérail eiilii'reuieiil 
inutile de idn'rclier des racines dans cet intervalle. 



PANS I. \ RKCFIERCUR DKS MMITI-S llKS lîVCINKS Jdiî 

2" La sccoiidi' sui((' ne |iciil. dans aiirmi cas, avuir |iliis de cliaiii^i'- 
inents dv signe <in"il n'v en a dans la ini'inii'ic. 

3" Si, dans la scccnidc snili', il sr triinvc nn seul rlian^cnicnt di' 
signe (le moins (jne dans la |ii-enii('ie. la pro|)Osé(' a nne racine réelle 
comprise enti'c a et />, et il ne |)ent pas y avoir pins d'une racine dans 
cet intervalle. Dans ce cas, la racine conipi-ise entre u et A e>l entii're- 
ment séparée de tontes les antres. Aloi'> il est l'aeili' de procéder ;i la 
rt'cherche de cette raciiii', soil par la metlmde e\égéli(|in' de \'ii'te, on 
par la rci^le des fractions contiiiui'S de |-"ontaine on de I.aLirange, ou en 
faisant nsage, comme Daniel lîernonlli et Kiiler, des simIcs rei-iir- 
i-entes, on enfin, e' jiar la \i>ie la pins courte, en snivani l,i niellMule 
d'approximation de Xewlon, ;i hujnellc il e>t nécessaire d'ajiniler les 
remai'ijues (po' nous avons pnliliées dans i-e Uecucil. l'in jii'neral. l'em- 
ploi de toute méthode d'approximation suppose (jne la l'acine rherclii'c 
est sépai'ce de toutes les antres, c'csi-ii -dire (|m' Von connait di'ir: 
limites (I et /' entre les(]uelles la j)roposée ne peut a\iiir (|ne i-etle 
seule racine. 

4" Si, dans la |U'emii're snile, on com|ile un \)\\i^ ;,'rand mimlire de 
eliangements de signe (|in' dans la secomle, et si l'excès dn pi-einiei' 
nmniire sur le second e-t 2, l'tMinaliim X = o ])ent avoir deux racines 
entre les limites a cl A; il peni arriver aussi (]ue ces deux racim's soicnl 
inntiiinaires. Le sens exact de celle dernii're proposition c>l i[ue. si l'on 
peut s'assurer d'une manii'i-e (|n(dcon(|ne (|u'il n'y a aucun munhre. 
compris entre ^/ et A, ([iii rende nulle la fonction X. il est certain (|iie 
cette (Nination a an moins deux racines imaginaires. 

La dillerence des deux nombres de changements de siyiie dans les 
suites (7.) et ( |i ) étant su|i|)os(''e 2. il est m'-cessaii'e (jii'il y ait deux 
l'acines réidies dans rintervalie de ^/ ii A on (|u'il n'v en ait aucune; il 
est impossible (|u'il v eu ait une seule. On doit donc, dansée cas. 
(diei'chei' deux racines entre les limites proposées; et, si cc< racines 
mamiueiit dans cet intervalle, (dles man(|uent ans-i dans re(piation. 

5" Si, dans la première suite ( a), on compte trois changements île 
signe (le plus ([lie dans la seconde suite ( |i ), il y a necessaii^unent nne 



2\)'4 



siii i/isACK nu TiiEoiîi: MI-: de desc uîtes 



faciiK' l'rcllc dans rinlcfvallc (!<■ a ;i A; il ne jiciil pas y en avoii' deux, 
niais il pciil v en avoir Irois; et, s'il n'y en a pas (l'ois, les denx (|ui 
nian(|urnl dans l'inlcrNalIc nian(|n('nl anssi dans l'tMination. 

I']n i;('in''i'al , la pi-dpnsrc ne pcnl pas a\(iii' dans rinli'i'vallc des 
liniilcs <i cl // plus de racines (pTii y a d'nnilrs dans l'exci'S du 
noiiiliir des (diaiii^'ciiicnts de silène de la suite (a) sur le nombre des 
rliaiiiicinenls île sit^ne de la suite ( !ii ) ; nous désignons par / cet exei'S. 
ou dill'erenee entre les deux nomlu'es de idiani(enieiits de signe des 
deux siiiles. Si, dans l'iiilervalle de <i ii /', l'eiiuation n'a pas un noinlu'i' 
de racines li'idles égal ;i /, celles qui iiiaïKjuent sont en iiouiiire [lair 
'j.i; (dies correspondent ii iiii pareil noiiilire :^/(le racines imaginaires 
(|ui inaiH|iient ilaiis ré(|nalion pidposi'e : ainsi le nouihre des racines 
imaginaires de ré(|ualion est toujours égal au nombre des racines (|ui 
man(|uenl dans Ions les iiilervalles. 

Il elail nécessaire d'expli(juer en ces termes la pi'oposiliou géné- 
rale (|ue nous voulons démontrer [tour l'aire connaitre directement son 
nsag<' dans la re(dier(d)e des limites des racines. On \oit (jiie celte 
ri'gle iiidi(|ue a\ec précision les iuler\alles dans les(|uels on doit cher- 
idier les racines el le nombi'i' des racines (|iril peut y avoir, lui ell'et, 
si le nombre / est zéro, c'esî-;i-dire si dans la suite (a) on ne compte 
|>as plus de (diangemenls de signe (pie dans la snile ([i). rinlervalle 
des nombres a cl A es! un de ceux dans lesipiids ou ne doit (diercliei' 
aucuiie racine, (ne metliode (rapproximatioii (pii conduirait ii di\iser 
de pareils intervalles en moindres partn-s, dans la vue d'y découvrir 
(|Uid(|ues racines, sérail par cida même exlriunemeut iiii|)airaite. (i'esl 
ce (|ui arrive lors(|u'on proi'i'dc ;i la séparation des racines en siibsli- 
liianl dans la proposée une (|naiilité moindre (pie la jiliis |tetile dille- 
reiici! de ces racines. 

!.a proposiliim générale (|ue l'on \ienl d'i'mmcer n'esl aulre cliose 
(|uc rexiension du tlieori'iiic (|ui exprime la ridalion coniiiie entre le 
nombre des racines positives d'une e(|ualion et le nombre ({{'<■ (diange- 
menls de signe (|ue |»réseiile la suite des c(i(d'licieiils; el cetle applica- 
lion de la ri'gle de Descaries se présenle d'idlc-meme dans la re(dier(die 



DANS [, \ HECHERCHE DES LIMITES DES !;A(:INES. -2!):; 
(les limites des racines. En eil'el, si Ton (liiniiiiie iriine eeftaiiie iiiiaii- 
lité positive cMoutes les racines d'iiiie éi|nation en snlistitnant .)-!-(/ 
au lien de -v, et si l'on reniar(|ne (jue re(|iiation en .)' n'a (iliis, dans la 
suite de ses eoel'tirienls, autant de elianiicinents <le sii;ne (nTil \ en 
avait dans réijuation en r. ei'llr dillerenee indi(|ne eoinhien on doit 
clierrlier de racines dans l'intervalle de o à (/; or le calcul de la traiis- 
l'oruiée en .»' e>t le ujènie que celui <le la suhstitulinn de n dans les 
Ion étions diU'érentielles ( ' ). Ce pi'océdé est beaucoup ]diis sini|de (|iic 
la méthode des cdscadcs. d'ailleurs incomplète et confuse. 

I.a proposition iiénérale que nous avons rapportée peut étie déduite 
lin llieiul'me de Descaries: elle peut au>>i èli'*' démontrée directement 
comme il suit, et alm-s ce lliéorl-me en devient une i'ons(''quci)ce néces- 
saii'e. Cette demoiisli'alion est celle (|ui a ete doniM'c antrtd'ois dans les 
cours d'Analyse de l'i^cole l'(dyteclini(|ue : (die n'avait |tninl cncDi'e 
été imprimée. 

Déinoml raLuiii . 

i" Si, dans la ^uite (cjt des r(incti(Uis 

..., X'^ X, X, X. X, 

on substitue une (]uantité népitive — «, et si le nombre est intinimeni 
îirand, tous les résultats de la substitution ser'ont alternativement posi- 
tifs et négatifs; en sorte (|ue dans la suite il ne se trouvera (|in' >.\i'-^ 
cbaniïements de sii;ne. Kn effet, l'équation X = o étant du dei^ce m, la 
[tremiére foncti(ui de la suite est i . '. . i .. .m: la seconde a pour premier 
terme 2. 3. 4. ..//?.»•; la ti'oisléme a poui' premiei' terme 3. 1...///.1-: la 
(|uatri('me '| ...//;.;' ; ainsi de suite. Donc, le nombre substitue étant 
— X, les signes des résultats sont 



il iM_' peut V avoir (jue des cliani;emenls de signe dans la suite (y.). Le 
nond)re de ces changements est m. 



(1) Algèbre latine iJe Haies. Dublin, 1784. — Hcclicrclies de .M. Biidan, ilc rL'iiiv(?rsit('' 
de France. — Résolution des équations numériques de Lagrange. 



2!)G SUH Ll SAdK 1)1 THEOlîKME I>K D KSC A KT ES 

i>" Si le iMiiiilii'c siilisliliK' c/ est y:, tous les résultais ont le sii;iic -f-, 
et il ne rrstc aiiriiii rliani;('im'iit de signe dans la suite (a). 

i" Si le noinlire siilistiliié (t, <|iii est d'alioid égal ii — ce. angnieute 
pai- degi'és inliniinent petits, dejiiiis —ce iiisiiu";! -h x, il deviendra 
siieeessivenient égal ;t chacune des racines léelles (jiie peut avoir 
ré(]nation X^o, et nous allons [U'oiiver (jne, lorsipie (/ deviendra égal 
il une de ces racines, la suite ( a ) perdra un cliangeruent de signe. 

JMi ellet, le uouihi'e ci aiignientaiil par degrés insensibles, la suite (a), 
(|ui avait d'aliord tous ses signes alleruatils, s'aitt're progressivenienl ; 
idie ne |)enl coniuiencer ii suhir ([uehjiie (diangenient (|u<' si le nombre 
snlistilué l'ait évanouir une des ronetions ..., X", X'", X', X', X; car 
aucune de ces ([uautités ne peut changer de signe si (die ne devient 
d'alKU'd nulle. !l se présente ici deux cas dillerents : le [ireuiier a lieu 
lors(]iie la substitution du nombre it l'ait évanouir la deriiii're fonc- 
tion \. c"es(-ii-dire lm'S(|ne le nombre substitue est une des racines 
{■('■elles de ri'ijuatiou; le second casa lieu loi'S(|ue la substitution de (/ 
rcml iiulb une des tonctions intermédiaires, lidies (|ne X", X", X", X'. 
Ou pourrait aussi supposer (|ue le même nombre a l'ait évanouir ;i la 
l'ois plusieurs de ces l'tuictions, mais nous ferons d'abord abstraction 
de ce cas singulier, parce ([u'il suppose entr( les l'mictions une cei'- 
taiiie ridation (|iii n'a point lieu en géni'M'al. 

Dans le premier cas, c'esl-;i-dire lors(|ue la valeur de X est la seule 
{|ui devienne nulle, le signe du dernier résultat, dans la suite (a), est 
[•emplacé paro. Si le i'(''sultat de la siibstitnliini de a, dans la l'onction 
|)i'écédente X'. est +, la suite (a) est ainsi termiii(''e ..., +, o. (auice- 
vons inaiufeiianl (]ue l'on substitue, au lieu de ii , di'iix nombres iiitini- 
inciit peu dillerents, l'iiii moindre (jiie (( cl l'autre plus grand (|ue (( \ 
il est facile de voir (pie la suite (a) aura [iris trois états successifs indi- 
(]ues |iar la Table suivante 



(1) 



■"est-ii-dii'c (jiie, les deux derniers termes de la suite (a) donnée |)ar 



DANS Lv iii:i:iii-R(;iii-: des limitks des i!\(;iM:>. ±u: 

l;i sul)stitiition de a ('lanl par liypotlièst' -o. Ii's deux ili'inii'is Ifriiirs 
(le la suite (jiii répoiiil ;i <^f/ soiil nrccssairoiiiciit — . — . ri (|iic lo deux 
ik'i'iiiers termes de la suite (|ui ré|)i)iid ii '^ a sont -^. — . Cette eoiisé- 
([uence se prouve eomine il suit : 

Désignant la l'ouetiuii X tiar '^(.r ) et X' ou ', - par 'v'(.r), et w élaul 
nue quantité iiitiniineut petite, du a 

9 ( « — 4) ) -^ 9 ( (7 ) — (i) 9'( « ) et 9 ( « -7- 0» ) := 9 ( <7 I ^- w '-■'('/). 

()|-, par liypotlièse, 'j((i) est nulle et o'((i) e>! itnsitive. Doue la suhsli- 
fuliou (lu nombre <^a donne un i-ésnital néiialit', savoir — woico- 
Onaut au nouilu'e >r/. il donne, pai' la sulistitniion, un l'ésiillal all'eete 
du signe — , savoir — w o'i a ). 

Donc la suite de signes (a), eu prenant les élals sueerssil^ ipii 
répondent à <". <i, ^('^ a pei'dii nu ( lianiienient de signe, la sneees- 
siou étant devenue -^ o et -^-i-. 

Il en sera de même si le résultai de la snltsliliilien de u dau> X 
donne le signe — . Ew elf'et, la \aleur 'j'ia) est alors uégalive; donr 
ç.(c/ — oj), ou — w-y((^/), est uiu- (juautité |)osilivc. el zia-î-M), on 
ojç.'i/7j, est une (]uantité négative; doue la Table pi'érédente (i) e-;| 
remplacée par la TaMe 

(< - - 

(2) ■ a . . . — (> 

\>o ... - - 

Ou voit par l.à (|ue la suite des signes ( x ) a pei'du un eliaugemeul dr 
signe lorsque le uomiu'e siilislilué a passé jiar la valeur a ([iii lait éva- 
nouir la dernière l'onction. 

il est diuic démonti'é que la suite des signes (a) perd un (diange- 
ment de signe toutes les t'ois (|ue le nombre substitué devient égal ii 
l'une des racines réelles de la proposée. 

4" Si le nombi'e substitué l'ait évanouir une des ('(uu-tious intermé- 
diaires .... X', X", X\ X", X , et non la dernière X. la suite (y.) con- 
serve autant de cbangements de signe qu'elle en avait an|tai'avant. cui 
II. 38 



ma SI li i;i SA(iE m thkoréme ni-: descautes 

l'ilr |)cril deux cliaiii^ciiiriils désigne ;i l;i l'ois. 11 ne |)etit arriver (jne 
l'un lie ces deux cas. Vdici la iireuve de cette proposition. 

Considérons (rois lonclions C(Hisécutives, snvoir celle qui devient 
nnlle, celle (|ni préc(<le et celle (jni suit. Supposons que les deux 
|)reniii'res donnent les résultats suivants, qui sont ceux de la Table ( i) : 



a 



Si la Iroisii'uie lonction donne un résultat positiC, on forniei'a la 
Taille suivante : 



(:^) 



i>:; 



On en coindura (|ue, le noniitre substitué étant devenu égal \\ a et 
pins grand (|in' ii, la suite des signes a pei'du deux changenienis de 
signe, savoir H et !- , qui sont remplacés par +H- et -+- -r . 

Si, au coutraii'c, la Iroisii'me ionction donne un résultat négatif, on 
aura la Talde suivante : 



(i) 



!> " 



Dans ce cas, le nombre sui)s(ilué passant par la valeur c/, la suite (a) 
des signes ne pei'd aucun changenn'ut de sigiie. 

On a supposé (jue les deux preinii'rcs fonctions donnaient les résul- 
tats iudi(|nés dans la Table (i ). Si, au contraire, la ])reniière fonction 
a le signe -, les résultats donnés par les deux premières lonclions 
seront ceux de la Table (2), savoir : 



, a 
a 



— o 



Dans ce cas, la troisii'UH' fonction donnera le signe + ou le signe — . 
Si sa valeui' est positive, on aura la Table suivante : 



(■') 



— o 



', > <l 



1>VNS LA ItECHERCHE ItKS LIMITI-S ItES li^CIM-S. iiin 

en sorte qiit^ la suite (a) des sii^nes n'aiiia [lerdu ;uicun ihaniii'meiil 
(le signe. 

Afais si la troisième forictioii doiiiie le siiiiie —, on aura la Table sui- 
vante : 



(6) 



n 



ee ([ui prouve (|ue la suite ( a ) des signes aura perdu deux ehaugetnenls 
de signe. 

.\insi, le nombre a que l'on substitue dans la suite des fonetions 
prenant suceessivement tontes les valeurs possibles depuis — x jus- 
qu'il ^y^, la suite {y.) di-s signes des lésullats ne demeure pas la 
même; elle s'alti're de la manièrr suivante 11 ne peut v survenir dr 
cliaiigement (|ue lorsque le nombre a fait rvanonir une des t'oinlious. 
Si ee nomjjre devient égal à une raeine ré(dli' de la pro[)osfr. la 
suite (y.) [)erd un eliangement de >igne. Si la fonetion ipii s'('van(Uiit 
n'est point la dernière X. mais une des ibnetions inti'rmediaii'es. la 
suite (a) conserve tous les eliangements de signe qu'elle avait au[)a- 
ravant, ou elle en perd deux à la fois. Par conséquent, cette suite ne 
peut point acquérir de nouveaux eliangements de signe à mesure (jue le 
nombre augmente, elle ne peut ([u'en perdre; et c'est ainsi (ju'elle passe 
progressivement de son premier état, où l'on compte m eliangements 
de signe, ii son dernier état, où clic n'a plus aucun eliangement de 
signe. Ou déiluil de ces l'cmarques les conséquences suivante-^ : 

Si la juoposée X = o a toutes ses racines réelles eu nombre ni, il 
arrive nécessairement un nombre /// de t'ois qu'elle perd un seul elian- 
gement de signe; et comme le nombre total des (diangements de signe 
qu'elle peut perdre est m, il s'ensuit (jue les valeurs de a qui l'ont éva- 
nouir une des fonctions intermédiaires ne donnent lieu ;i aucune dimi- 
nution du nombre des eliangements de signe, ("e nombre se conserve 
lorsi|ue la valeur de a rend nulle une des fonctions intermédiaires, et 
il dimiuiK' d'une unité lorsipie cette valeur de a rend nulle la dernii're 
lonclion. 



:500 SLlî LlS\<il-: Itl TIIKORÈ.MK DE DESCMîTES 

Si la |)i'(i|i(is(''c' a 1)1 — 2 racines réelles et deux racines ima^^inaires, 
il ari'ive un iiomhre de Ibis égal à m — i> que la suile (a) perd !iii 
seul (diangenieiil de signe; el. j)ar eonsé(iuent, il arrive seulenieni nue 
IViis (]ne, la valeur de ti l'aisaut évanouir une fonction intermédiaire, 
deux (diaugenients de signe disparaissenl eiiseuiMe. 

l'ji général, si la piiiposée a un nondii'c r/i ~ -li de racines ré(dles. 
et un iMUubre 2/ de racines imaginaires, il est évident (|ne ni — it 
changements de signe disjiai'aissont un à un dans la suite ( a ), el, par 
ronsé(|uenl, il arrive nn nombre de l'ois égal à /que, la valeur de a fai- 
sant évanouir une l'onction intermédiaire, deux changements de signe 
ilisparaissent ensemhle. 

Nous av(His supposé ins(]u'i(i (jue le uomlire substitué ne fait pas 
i''vauonir en ummuc temps deux on plusieui'S fonctions diiiV'renli(dles, 
mais seulemi'iil une de ces fonctions. On pourrait se dis[)euser de con- 
sidérer b's eas où nm- m(''me valeur de a. sidislilnée au lieu de .r, rend 
nulles plusieurs fonctions ;i la fois : car ces valeurs siuguliéi'cs du 
noud)re substitué n'auraient plus la nièuie propriété si les coeflicieiils 
de la pr(qiosée subissaient un changement iutinimeiil petit. RFais, 
comme il s'agit ici des priuei]ies élémentaiiX'S de l'Analyse algé])i'i(|ue. 
il convien! de démontrer explicitement que le cas où plusieurs fonc- 
lions s'évanouissent ensemble est en ellet compris dans ccdni où l'on 
suppose ([u'um- seule des fondions devient nulle ; il est facile de prouver 
(■elle dernii're pro|iosilion, comme on le verra dans la seconde Partie 
de celle Noie, (|ui sera insérée dans le llnlliiiii suivant. \(Uis termi- 
n(Uis celle-ci par l'exposé des cousé(|uenci's générales de la démonslra- 
liou précédenle. 

(tu eu ((UM lut immédialement le théori'Uie que nous allons énoncer, 
et (|ne nous regardons comnie un des éléments principaux de l'analyse 
des é(|uations : 

/ //(- ('(juiituiii (lu c/r_:,'7c ///, \ ;^ o, (jlani proiniscc. si I On forme la suite 

\ '« , \ = "' ' . \:"'-2), .... \''. \ . w \, 

f/tii ennifirenil Imites les foniilo/is différentielles (lèri\'('cs de X, cl si iim 



1)\N? LA HECHERCIIE UE> LIMITES DE? RATINES. 301 

suhsiitiK' (11/ lieu de .r //// nomhrc ont iniiclli nient rroi^sant a, (/ni nroit 
loutes ses ra/eurs successives depuis — yi jtisf/u d — yz, on ohscive la rela- 
tion suivante entre les rueines réelles ou imaginaires de la proposée et les 
changements de signe cpie prese/ite lu suite des résultats numéric/ues des 
substitutions : 

Le nomhrc des eliangcmcnls de signe, (iiii était m, dtniiniie de plus en 
plus, jusipéa ce (ju il devienne nul: d ne peut punais au^/ne/tter: aulanl 
il (irrice de fois (pie la suite perd un seul eluin gemcnt de si^/te. aiita/il 
l é(pnili(ui a de ranites réelles: et autant il arme de fois que la suite perd 
dcu.i- changements de signe en même temps, autant ié(]itation a de 
racines imaginaires. 

Ce tlii'oirino compreml, comme on If verra dans la secomlc Parlii' 
(le celle Note, les cas particuliers oi'i |)lusieurs fonctions s"évanonissent 
en même temps. 

Les propositions énoncées ci-dessus dans les paragraphes i°, 2", '>". 
V'. l>:i?'i' 29'-2. sout dos corollaires évidents de ce théorème. Il en est de 
mi'iiic de la proposition générale (|ni lermine le paragraphe 5". Si les 
valeurs substituées a et l> sont respectivement — x et o ou o et ~ x. 
les signes des valeurs numi'!ii|ues des l'onctions dili'érentielles sont les 
signes mêmes des coet'ticienls de la [iroposée, et l'on ol>tient ainsi la 
règle connue [lour la distinction des racines positives ou négatives, (tn 
voit (|ue cette ri'izle. qui a été donnée pour la première fois |)ar Des- 
cartes, dans sa (ieométrie. et la proposition plus générale a laquelle elle 
appartient, dérivent clairement des jii'opriélés de la suite des signes 
([ne roii furme en substituant dans les fonctions dillerentielles une 
grandi'ur continuellement croissante de|)U!s l'infini négatif jiisi|u';i 
l'inlini positif. L'application de cetti' ri'gle ;i la recherche des limites 
des racines est aussi une consé(|uence manifeste du théorème pré- 
cédent, ijui expi'ime ces propriétés. 



302 



SI |{ LLSAdl:; 1)L T1IÉ0RÉMI-: J)E ItESCAllTES 



II. 



On ;i (Icnioiilrr dans la picniirrc Partie tie cette .Xoto (ju'en sul)sli- 

tuanl dans la suite des lonetions dillerentielles X '" , X'"-' X\ X 

lin iinmlire a contiiuielleinenl eri)issaiit depuis — -x. jus(jtrà -h ac, on 
fail dis|iaraitre successivement les m changements de signe de la suite 
que niins avons désignée |»ar (a). Autant de Ibis cette suite perd un 
seul clMingeinenl de signe, autant réquation X = o a d(! racines réelles: 
et aillant de l'ois cette suite perd deux changements de signe ensemble, 
aiilanl l'équation a de couples de racines iniaginaii'es. Il faut niainte- 
naiil examiner aver alleiilioii le cas oii la substitution du nombre a l'ait 
évanouir ;i la l'ois plusieurs fonctions. 

Nous supposons donc (]iie la valeur de a, substituée dans les l'iuic- 
tions dill'érentiidles, rend nulles plusieurs fonctions intermédiaires 
conséciilives. en nombre /, en sorte (|ue la suite des signes (a) c(Ui- 
tienl un nombre / de zéros intermédiaires, et ([u'elle est ainsi repré- 
sentée : 

. . . -^. o, o, . . . , o, o, -^ . . . . 

Il s'agit d'alxu'd de former les deux suites ([ui répondent, l'une à ■< «. 
et l'autre à >• r/. Ou suppose ici que les d(Mix signes extrêmes et dif- 
ferenls de zéro sont -f- et -t- ; ou pourrait ainsi supposer — et -r-, ou 
-f- et — , ou — et — ; mais, (|iuds {[lie soient les signes extrêmes, on 
ponri'a toujours déterminer, comme il suit, les signes intermédiaires 
des deux suites ijui répondent à <C(i et >". 

l-;n ell'et, soit /\.r) l'une (juelcomjue des fondions diiïérentielles ijui 
répondent ii l'un des zéros intermédiaires, par exemple au ciiH|uième; 
on aura re(juation générale 



(E) 



f{" - o>) =/('0 - 03/'(r,) - ^/"(") - ^^/"'i'^^ 



-^ ri") — T^/^(") 

2.3.4- 2.à.4.') 



et, comme les cin(| premiers termes deviendraient nuls par bypothi'se, 



DANS LA UJLCIIEIÎCIIE DES LIMITES DES UACINES. ;il);! 
la valeur de f[ a — co ) sera :,-^V^ /"'u/~). Or r(a) répoiul au nre- 

:>. .0. I ..j •' - ■ ^ ' ' 

iiiier (les sipiies extrêmes, (|ui est -r- : doue le signe (jue l'on iliiit viy'wv 
au-ilessus du l'imiuiénie zéro, et (|ui fait partie de la suite enrres|iiin- 
dante ii ■< f/, est contraire au signe de /'(«'); ainsi l'on doiteiiiri' le 
signe — au-dessous du eiiniuii'me zéro intermédiaire. 

^lais si l'on considère le t|uatriènie zéro intermédiaire, réquation iK) 

(ait connaiti'e que la valeui' de f{(i — w) est — ^ /"('«). Dans ce 

cas. /'\(i ) répond au jtremier signe extrême, qui est — . Donc le >igm' 
que l'on doit écrire au-dessus du (juatrième zéro intermédiaiie, et (jui 
l'ntie dans la suite correspondante à <Ca, est le même (|ue le premier 
de^ signes extrêmes, qui est ici -r. 

t^n général, on prouve, de la même manière, (jue, pour l'oinier la 
suite de signes correspondants ii <'^c/, il laut écrire au-dessus de 
chaque zéro intermédiaire un signe dillérent du premier signe ex- 
trême si ce zéro intermédiaire est de rang impaii': et que, si ce zéro 
intermédiaire est de rang pair, il faut écrire au-dessus un signe seu)- 
blahle à celui du premier signe extirme; et il est évident (|ue cette 
règle doit être suivie soit que le premier signe extrême soit — ou — . 

Quant à la suite de signes qui répond à > c/, elle se déduiia de 
l'équation générale 



I 



et l'on en conclut que, poui' former cette suite de signes, qui i-e[)0ud ;i 
>> (-/. il faut écrire au-dessous de chaque zéro le même signe que le 
premier signe extrême. 

Il est donc tri'S facile maintenant d'écrire les deux suites de signes 
([ui répondent à <Cn et à >r/. Il faut, pour la pi'cmière, éciire au-des- 
sus du piemier zéro intermédiaire un signe conlraiie au premier signe 
extrême, au-dessus du second zéro un signe senil)laljle au premier 



soi SUR LUSAdE l>i: THÉO RÉMI-: DE DE S CAR TE S 

sii-no cxlrûiiic, au-dessus du Iroisii'iiir zùi'o un sii^nc coiilraii'c, au-des- 
sus du (juadii'ine /éru uu sii;nê senildalde, ainsi du lesle, en eliau- 
i;caut aiter-naliveuieul de si^ine, ce ipii donne ;i la preuiièi'e suite le 
|)lus L^rand uoiuhre possible de eliangemonts de sii,nie. Mais, [)Our 
lorniei- la seconde suile de sii^nes ([ui répond à >• (i, il faut répéter au- 
dessous de (dia(|ue zéro intermédiaire le premier sii;ne extrême, (|ui est 
eonnu, ee (|ui donne à la seconde suite le moindre nombre possible de 
eliaui^cnients de signe. 

Il suit néeessTiirement de celte manière de l'ormer les deux suites : 
I" t|iie, si le nombre de /éi'os intermédiaires est [lair, la [)remil're suite 
({iii l'époud il <C(i présente un nombre // de cbaugements de signe 
plus ^raud (|ue le nombre /• de cbangements de signe comptés dans 
la secimde, et (|ue la dili'ereuce // — /' est un nombre pair: 2" (|ue, si le 
nombre de zéros intermédiaires est impair, le nombre h de ( liange- 
meiilsde sii;ne de la première suite peut, dans uu seul cas, être égal 
au nombi-e/(le (diangements de signe de la seconde, mais que. dans 
t(uis les autres, li est plus grand que li, et que la dilléreuce h — k est 
encore un iKunbre pair. 

Ainsi, cette dilléreuce // — k ne peut être ni négative, ni uu munbi'c 
impair; il est néi'essaii'e ([u'elle soit un des nombres o, 2, '\, (i 

Mais si les l'onclions diU'érentielles consécutives (|ui s'évanouissent 
par la substitution de a comprennent la dernii're o(.c), on conclut 
laciliMnenl des remarques précédentes que le nombre h des ( bange- 
menls de signe de la première suile surpasse le nombre /■ de (diange- 
ments de signe de la seconde, et (|ue la dillérence li — k, qui alors peut 
être lin iKuiibre pair ou impair, est toujours égale au nombi'e d(>s f'oiic- 
(i(uis exti'émes (|ui s'évanouissent. Or l'équation proposéi' a, dans ce 
cas, sidoii le tlieori^me de lluddes, aillant de racines égales au munlirec/ 
(pTil si' tromc de ces ronctions extiêmes (|ui s'évanouissent; diuic la 
suite { y. ) des siii'iies perd dans ci' cas autaiil de cliangements de signe 
(jiie re(|nalioii a de racines réidles égales au nombre a. 

iMiiin. ou pourrait supposer (|ue le nombre siibstiliie l'ait évanouir 
plusieui's ronctions ditrereiitielles. ou intermédiaires, ou extrêmes, et 



DANS LA lil-CHERClIE DMS LIMIIKS DKS UVCINKS. :!o:i 

(jifil rend milles en même temps d'autres fonctions dans dillricnlo 
parties de la même suite, séparées les unes des autres par des loue 
lions non évanouissantes : dans ce cas, on connaîtrait le nomhrr total 
de ehani^ements de sii^nn- que la suite (y.) a [)erdus en ajoutant Ic- 
divers l'ésultats donnés par les réi^les précédentes. 

Ayant doio' rnnméie toutes les consé(|neiices possibles de la snhsti- 
Inlion d'un noinlue eroissant (/, nous sommes parvenu ii la dennui- 
slralion du tlieori'ine ifénéi'al don! voici rt'nmicé : 

Si l lin forme la siiilc des funelutns 

\'"\ X'"-'- \, \, \ 

/(If 1(1 (lijférenlidtion du premier iiiendtre de reijiKilion X = o, el si. axaul 
si(hsli(ii('' ddits ces fdiielioiis un Duiiie luimhre <i, oit rcm(ir(jue eomhieii il 

y (i de fois ou diins lu suile des n'sulluts des sulislilutiiuis. A 

iiomhre des e//(iiiL(e//ie/Us de sif;"(' de lu suite sera d dutanl plus ^ruml 
'/lie lu ruleiir suhsliuu'e u sera moindre. 

Si I on donne uu nombre u une vuleiir eonliniiellemenl eroissiiiile 
di/iuis une valeur nèi^alne 1res i;r(inde A /usf/iiu une ruleur //osi/iiC /n s 
i:runde !!, on fera dis/mruilre sueeessncme/il tous les e/ian^emenls de 
si<j;ite de lu suite des résultats. La suite /lerd un elian^ement de sinnc 
toutes les fois (/lie le nombre substitué devient éi^al il V une des raeinis 
réelles, en sorte (jiie l éijuation a aiitunl de raeines réelles, égales ou in- 
égales, (/lie la suite /wrd de eliangemenls de signe /mr la substitution des 
ruleiirs de a i/iii rendent nulle la dernière fonction. 

La même c'/iiation a autant de ruei/tes imaginaires i/iie la suite /lenl île 
e/iangements de signe jiar la siibstiliilinu des râleurs de a i/iti rendent 
nulles une ou /iliisieitrs des fonetuuis inti rniédiaires. et i/iii ne rendent 
jiuiut nulle X. 

(l'est à ce lluMurme (jue se rapportent la rl'irle de Descaries et les ap- 
plications qu'on en a faites jMuir la reclieiclie des limites des racines. 
Il résulte evidcmmeul de la dénmnstration piérédente (jLi'il no peut 
v avoir, dans l'intervalle de deux limites quelcon(|nes a et b. plus di 
U. 3.J 



:?0G STR L'LSVC.K DU THÉOHÈME DE DESCADTES 

racines (|iic la siiile |)('iil de changeiuenls de signe lors(|ne le nombi'e 
siihslitiié passe dt^ la valeur a à la valeur h; on coiinait ainsi coiiilnen 
lin doit cheri-lier de racines dans cet intervalle. (](dles (jiii sont ainsi 
indiquées dans rinter\alle de d \\ h, et (|ni ne s'y tronvent ])oiiil, 
ne peuvent être (pi'en n(inil)re pair; elles correspondent à autant de 
racines imaginaires. Ainsi, il y a de cei'lains intervalles où les racines 
imaginaires manquent deux à deux, comme \\ y a des intervalles oi'i 
les l'acines réelles subsistent. 

Il nous reste ii donner une règle générale pour distinguer facile- 
ment les intervalles où man(]uent les racines imaginaires de ceux où 
les racines ré(dles sulisislent. 

Nous nous bornerons présentement à l'énoncé de cette dernière 
ri'gle, (|ui resont nue des dif'iicultés principales de l'analyse des é(pia- 
tions. 

Si ré(|uation X = avait tontes ses racines réelles inégales et que 
l'on connût cette propriété, le théorème précédent, on même la seule 
application de la règle de Descaries, sulïirait pour séparer toutes les 
racines, c'est-:i-dire pour assigner ii cliacune deux limites enti'c les- 
(|U(dles (die serait seule comprise. En elïel, on donnerait au nombre 
substitué a dillèrentes valeui's, telles (jue —100, —10, —1, o, +1, 
+ 10, -t-ioo. et l'on connaîtrait les intervalles dans lescpuds on doit 
clicrcher b^s racines, et le nombre des racines (pii peuvent s'v trouver; 
(^n subdiviserait ensuite ces intervalles, et, [xtur le l'aire avec oidre. on 
pouri'ait suivre le [H'oci'dé (|iu' nous allons décrire. 

Désignant |iar a et h les deux limiles d'un intervalle où l'on clierclie 
[)lusieurs racines, on comparei'a la suite ( y.) des résultats de la substi- 
tution de a il la suite ( Jii ) des résultats de la substitution de h; éci'ivant 
sur une liiiiic lioi'izontab» la pi'cmii're suite, et |)rocédant de la gauche 
il la droite, on iiiar(|uera, au-dessus de (dia(]ue lei'Uie, combien la suite 
conllent de (diani^cmenls de signe jus<|u"ii ce terin(>, et y com|iris ce 
terme. Le nombre ainsi maripié, (jiie nous désignerons, eu général, 
|»ar //, ani;ineutera, ou du moins ne pourra pas diminuer, depuis le 
premier tei'ine de la suite jusqu'il dernier. N, |)onr le(|ii(d il aura sa va- 



liANS LA KECIIEKCIli: DKS LIMITKS DES HACINES. :!()T 

leur complète H. Ayant écrit aii-d('>sous de la suite ( a ) la suite ( 3 ) du 
résultat de la suhstitulion de h, on comptera pareillement dans cette 
seconde suite le nombre k des changements de signe, à partir du pic- 
niier terme à L;auche jus(|n"à un terme ([uelconque, et y com|)ris ce 
terme. Ainsi, ce nombre ani^mente, (lu du moins ne |ieut pas diminuer. 
lors(]n'ou passe d'un terme à un autre vers la droite; les premières va- 
leurs de // et /■ sont <i et o, et les deruii'i'es. qui correspondi'ut an 
lern)e X, sont 11 et K. 

On [)reiidra aussi la dilTérence des deux nombres correspondants // 
et X', et l'on écrira chaque valeur de cette ditiérence o entre les deux 
fermes qui répondent ii // et /': la première valeur de o sera o. et la 
dernière H — K, ou A: les valeurs successives de ces nonil)res //. /■. c 
et leurs valeurs complètes II. K, A se déterminent facilement à la seule 
inspertion des suites ( y. ) et ( 3 ). 

Considérant la suite des nombres o, ;i parlii- du dernier à droite, qui 
répond ii X, et passant de la droite à la gauche, ou s'arrêtera au pre- 
mier de ces nombres que l'on trouvera être égal à l'unité. Désignant 
par •^ " ( .r ) la t'onctiou qui ré])ond à ce terme i de la suite ( o ), on sub- 
stituera au lieu de r. dans cette fonction et dans toutes celles qui la 
>uiveut à droite, un nombre a' compris eiilre (i et h, limites de l'inter- 
valle. Ce nombre intermédiaire d' doit être du même ordre décimal (]ue 
(I et />. si cela est possible, ou il doit ('Ire de l'oi'dre immédiatement 
inférieur. Ayant fait ces substitutions de a' dans Ç/" ( J") et dans toutes 
les fonetions placées ;i la droite de celle-ei, (ui aura divisé riiilervalle 
des deux liiuites en deux autres intervalles nu)iiulres et, si toutes les 
l'acines de la |)roposée étaient leelles, on trouverait, par ces sidxlivi- 
sions, deux limites distinctes pour chacune «les racines. 

Si re(|uatiou X = o peut avoir des lacines imaginaiies, la subdivi- 
sion des intervalles ne suftit pas pour déterminer la nature des racines, 
mais on v parviendi'à au moven de la ri'ule suivante : 

Ayanl désigné la fonction z,'" (x) rorrcsponchinU' an terme i , marqué, 
comme on l'a dit plus luiul . dans la suite ( c ). (ui exanuncra si. dans cette 



308 S[I|{ i;iS\(.K Dr TIIKOUKME DK I) KSC \ iiï KS 

siiilc. ce Icrnic I rst pirccdr à i^iinc/tc du Icrmc o. Si vida n d poiiil /ira. 
nii jirorrdcrii à Id stdidivision de l'inlcixaUc comme on le fcnul si loulrs 
li's nui lies rldic/it ircllcs ; mais si ce Icrmc, (jiti es/ ncccssdircmciil siiici 

de :i, est précède de O. on ccririi l'crpression — ' ,,^ ' , ; c/. y faisan f 

, , of"-''(r7) . • , ■ . / / 

.)■ = a. on Iroincra lu râleur — ^—~ — -■> ce f/ai se rcetiiil a prendre le 

o '" ' ( a ) ' ' 

(piolii ni de deii.v (pianlilès déjà connues. Si ce (pioUcnl /l'es/ pas moindn 
tjiic la différence h — a dis dea.r limi/es, on sera assuré ipi il iiianipie dcii.e 
racines dans rin/e/valle de a l'i A; dans ce cas. on reiranelicra 2 de chacini 
des Icrmes de la suite ( ^j) à partir di- celui (jiii répond à '^"' ' (.r ) jiis- 
'pi'aii dernier terme à droite, ipii repond it X, et l'on conservera les râleurs 
précédemment traînées, pour les termes de cette suite ( ) ipii sont à la 
ii(iiic/ie de o" ' (.r); cela étant, on aura une nouvelle suite ( c ) pour ce 
même intervalle compris entre a et l>. On continuera donc I application 
littérale de la présente réi^lc. et. en opérant ainsi, on paivundra piomptc- 
nient . et sans aucune incertitude, à la séparation de toutes les racines { ' ). 

Nous n'examinons poini ici les cas sini^ulicrs 011 les lunclions dillr- 
icnticllcs ont des taclonis <-oniinnns, parce (pTils se lésolvenl facile- 
inenl an moyen des lliéorl'ines connus sur les racines éi^ales. 

An lien de snhsiitiu'r l'une des limiles*^/ dans i'exiiression — ' ,„ , -; 

I o'" {,/■) 

un peut aussi snlisliliUT la plus i^raiule limile h, cl c(Muparer le <|iio- 

lienl + J , — à la dillérence h — a. Si ce finolienl u est pas moindre 

(|ue h — a, on est assuré (|n'il manque deux racines dans l'intervalle ; 
enfin, on lirerait encore la même conclusion si la somme des deux 

iiiio len s — i — - et + ry,— n etail pas moindre (iiie l> — a. 

Ainsi, toutes les fois (pie la différence h — a des deii.v limites n est jhis 
plus 'j;rande (pie la somme des deu.v ipioticnts. on est assuré <pie deii.v ra- 
cines mampient dans l intervalle, et ipi ClIes correspondent l'i ileu.v racines 
im(iv,inaires dans iéipiation \ ;= o. .\u moyen de ce caracli're et de la 

I ' I Colle ri'.slo est enlièromonl (l(''mcinli'i''e dans le Premier /.ifri- de F lit/ih »• (fct ee/iiei- 
fiiiiis- (tcieniiiiices, publiée en i8jo, iiprès la mort de Foiirier. G. t). 



nvNS i.\ Ri:(:!iEH(:iiK dks i.imitks !»r.s ii\i;iM:>. :;««) 

siii)ilivisi(iii (U'S intervalles, on ai'rive iK'eessaii-eiiieiit ii ilisliiiLiiHT 
luiiles les raeiiies. C'est pour eUeetuer cette disliiietioii (|iie MM. [.;i- 
j;i'aiii;(' et W'aiàu^' ont proposé autrelbis d'employer l'eiiualion dont les 
racines sont les diiréicnces des racines de l'éqiiatio'n donnée; et cette 
sointion considérée en elle-inérne est exacte; mais, dans le plus j;ranil 
nond)re de cas, (die ne peut élre d'ancnn usai;i'. Les diliicnltes propres 
il celle dei-nii're méthode sont trop connues pour (jn'il soii nécessaire 
de les l'appeler; celle (|ue nous venons d'exposer conduit inimédiate- 
menl ii la désiL^nalion dos limites des raciiu's. Nous pourrions aussi 
in(li(]ner divers autres procédés pour distingin-r les racines ima;ii- 
naires; mais il serait inutile de idierclier une métliode exégéli(|ne plus 
simple que celle (|ue nous pi'oposons ici. (lu jui^era par l'exainen appro- 
l'ondi de la (luestion, autant i]ue |tar l'application même, (|ue ci'lle 
là'i^le est générale, et (]ii'elle exige tirs jn'u di^ calcul. Les principes 
dont non> l'avons déduite t'ont connailre : i" (|n'il v a des intervalles 
extrémemeul grands dans lesi|nels on ne doit cliei'clier aucune rai'ine : 
ce sont les intervalles pour les(jiiels la valeur A de la diUéreni'e est o; 
2" qu'il y a autant d'intervalles distincts qu'il y a de racines réelles : ce 
sont ceux pour les(|U(ds la dillercnce A est l'unité: >" qu'il v a des iii- 
lervalle> d'une troisii'uie soile, dans lesqiuds les racines niamiuenl 
deux ;i deux; c'esl-;i-dire qu'il sullif d'être assuré (|ue re(|nati(m n'a 
|)oint de racines dans ces mêmes intervalles jiour eu conclure avec 
cerlitude qu'idle a un pareil nombre de racines imaginaires : ces inter- 
valles sont ceux pour lesquels l'un des ([uotients 



o!"- ''(«') 



(/>) 



9 " (//) V" [h) 

ou leur somme, n'est pas moimli'e que la ditlerence h — a des deux 
limites. 

Les propositions i|ne nous axons rap|)ortées dans cette Note ne con- 
cernent pas seulement les é(|uations algél)ri(|nes; (dies s'appliqnenl 
aussi il la reclierclic des limites des rai'ines. <|ucllc (|ne soit la iialuri' 
des étjuations, pourvu (|iie l'on considi're les lonctions diUereiiIndies 
de tous les ordres. 



^OTE RELATIVE AL' MEMOIRE PRECEDENT, 

Tau m. Gaston DARIlOliX. 



L'rciil ilf l'ouricr ([110 nous veiKuis (1(> re|ii()(liiire nirrite. p;ir hi niiiivcaiilc 
(les i(l(''('s ;iiissi liieii que |i;u- l;i chiih' de la l'éiliKiion, d'èlre [ilacé à cCaO du 
Méiiiiiiri' jusit'iinMil admiit' où Sliinii a exposé la démoiistralioii coinpléle el 
déliiiilive de son eélébre lliéorènie ('). C'est à Descartes ipie l'on doit faire 
leinonici' la considération des variations et des permanences de si.unes dans 
nne série linéaire ; mais Foinier a, le jiremier, snbslitiié aux constantes rjni 
liiinriMil dans In suite de Descaries des fonctions, doiil les sij;iies peuvent 
changer lorsipie la variable indépendante prend toutes les valeiu's possibles. 
Sltn-ni, d'ailleurs, s'est toujours ]ilu à i-ecoiinaiti-e tout ce (|u'il devait à Fou- 
I ici', connne le niouirera le passai;e suivant, iiue nous emiiruntons à un Article 
du lliilh'lin lie hVnissac ('-) .• 

« M. Fiiuiiei' a fait connailre les pi'incipes de sa lielle théorie dans le Ilid- 
Iclln (Ir lu Sdvirir pliihHixiilii'itie de 1810; il a donné (|neli|ues iMilres frag- 
ments dans divei's Mémoires (pi'il a lus ,à l'Aeadémie ; mais l'Ouvrage qui doit 
renfermer l'ensemble de ses Iravanx sni' l'Analyse algébrique n'a jias encore 
été publié, lue parlie du mannsrrii cpii coiilient ces ]ir(''cienses rechei'ches a 
élé ciimniuniqui'c à qneli|nes |iersounes. AI. Fouiiei' a bien voulu m'en accor- 
der la lecture <'l J'ai |iu l'étudier à loisir. Je déclare donc (jue j'ai eu pleine 
connaissance de ceux des travaux inédits de M. Foui'ier qui se rapportent à 
la résolution des éqnalinus, et j(> saisis celle occasion de lui témoigner la 
reconnaissance dmit ses lioiités m'ont |)énétré. trest en ni'appu\anl sur les 
principes (|n'il a posés el en imitant s(>s demouslralions (|ue j'ai trouvé les 
ninncaux theorenn's que je \ais énoncer. » 

Fa pro|)(»sition fondamentale démontrée par Fonrier dans le Mémoire pré- 
céilent est souvent attribuée à Hudaii de Hois-Lanrent. F'n passage de l'éloge 

( ' ) Miiiiiiirr sur ht ix\oIiil!iiii ilc\- l'i/iialium- iiiiiiii'ricjiif^ I MriiiiHrc tta ,Sai'ii//ly r'Iniii- 
i^crs, 1. VI: iSfi). 

( - ) Jiinh Si- {l'un Mruiini-f sur Ui rc\iiliitiiiii i/i's- ci/ii/ifioii^' //u/i/i7wij/ii's ; |i,ir M. Cil. Sri n.M 
1 liia r\(M(ir'înic (les .Sciences le j'i mai iî^-';i). — JiulU-iin de IVi-ussac, t. \1. |>. 4ii,i- 



NOTE Ul-LATIVl' M MLMOlHi: IMtÉCÉDEM 



:;ii 



lie Foiiiicr pur Arago, où la quoslioii est trop notioin(?nt trancht'o en t'aviMir 
lie niuiaii, a beaucoup coutriiiiié à répamlie celte oi)itiion, qn'uu exaiin'n 
délaillé et atlenlit' ne parait pa^ riiuru-mer. l/éclat et limportatice îles (lécoii- 
vertes île Fouiier dans la théorie de la chaleur ont surtout attiré ralteiuinn 
des géomètres; on n'a pas rendu assez de justice aux découvertes de l'illuslrr 
savant relatives à la résulution des éi|uations numériques. Comme Fourii-i- 
n'a jtas eu le temps d'y mettre la dernière main et de les publier dans leur 
ensemble, on ne les a peul-èti-e pas étudiées avec toute l'attention qu'elles 
méritaient. La méihode de sé[)aration des racines qui est exposée dans le 
Mémoire précédent, si elle le cèile eu [)récision et en élégance à celle que 
l'on déduit immédiatement du ihéoième de Sturm, est bien suiiérieure dan^ 
la pratique à celle de Lagrange, qui repose sur la considération de la plii- 
petite racine de l'équation aux dilTérences. La l'réfacetiue Xavier a placée au 
commencement de V Analyse f/es é'jualio/u déterminées établit, d'ailleurs, de 
la luanièie la jilus incontestable, non seulement que Foin-ier a connu son 
théorénu' ilès 17S7, mais encore qu'il l'a exposé publiquement à l'Écob' l'ol\- 
lechin(|ue dans les années 179O, 1797 et i8r)3. D'après cela, voici l'ordre ilaii< 
lequel se présentent les publications respectives de Fourier et de Budan : 

1. Flxposition du théorème dans l'enseignement de Fourier à l'École Poly- 
technique en 1796, 1797 et iSo3. Nous négligeons ici plusieurs Communica- 
tions aux Instituts de France et d'F^gyptc dont on connaît les dates, mais dont 
il ne reste aucune trace écrite. 



i. l'nhiicalion faite en iSoO par liiidan d'un Ouvrage intitulé \oinetle me- 
thode pour la rés<diili'in des éiiiinlinns de de^'ré qiieleonqiie. Ce Traité con- 
tient une méthode absolument insignifiante pour la séparation et le calcid 
des racines. Voici tout ce qu'on y trouve sur le théorème de Fourier (p. iG, 
II" 39 ) : 

« On peut déduire de la règle de Descartes les deux propositions sui- 
vantes : 

I" Une équ'ili'in en r dont tntiles les racines sont réelles a a ataiit de racines 
comprises entre zéro et p (jii' il y a de ]>ernianences de siirnes dans la transfor- 
mée en .V — />, de ]dus ijiie dans l'équation en u\ 

2" Une équation de cette espèce ne peut avoir, soit une, soit deux, soit a ra- 
cines comprises entre zéro et p si la transformée en .c — /> n'a pas respectice- 
ment une. ou deu.r. ou n permanences de si;; nés. de plus (jue l'équation 
en X. 



:i\i NOTE i!i:i,\Ti\i: \i: ^h-:muii;e pitECEUENT. 

» Nous Mvons lie l'(.)i'les faisons de ci-oirc i]ih' la scciiiide |ini|i(i>ilion est 
appliralile à une r(|iia(ioii (luclroiique. » 

\'A |iliis loin (p. 3(i) : 

" Si la scidnilc proposition nionlionnue au u" 3!) étail admise comnio un 

piincipe géiiofal, ce piiiifi|)r' fournirait, etc Mais ooinnic nous n'a|ipoi'- 

tons point ici <l<' preuve de la i;(''néralilé de ce ]ii'incipe, elc " 

Vinsi Itudan si)U|iconne seidenient la xéiité de la proposition, et il n'en 
lait d'ailleurs aucun nsa,i;e. (l'est ii propos de cet Ouvrage de l'.udanque l'ois- 
sini écrivait à Eourier, le •! 'i a\ril 1807 : 

« Un docteur en médecine \ienl de publier un Ouvrage sur la résolutir)n 
numérique des équations. ... Le docteiu' a ciilrcvu votre 1lH''oréme sur les 
cliani;ements de .signes; il a de ferles raisans de penser (pi'il a lieu dans le 
cas des racines imaginaires; j'en ai de hien jdus l'ortes (|ue h^s siennes, |iuis- 
ipu' vous m'avez dit aulrel'ois (pic vous a\iez une démonstration générale de 
celte ]iroposition. Vous devriez bien publier au moins les dill'érents théorèmes 
sur lesquels est bnidée votre méthode pour résoudre les éipiations, .... )> 

I!. l'ji 181 I , Undan [irt'scnte il l;i première classe de l'Insliliit ( \cadi''niie (les 
Sciences) un Mémoire où la proposition se ti-ouve enlin nellement énoncée 
et (lemonti-(''e. I^es commissaires Lagrange et Legeudre hml un llapp(U'l l'avo- 
rallie avec (pu^lipies r(>striclions; mais ni le lîapport, ni le Mémoire ne sont 
imprimés. 

'1. I'',ii iS'.o, piililicalion par l''oui-ier du Mémoire précédent. 

.'i. Imi i8',i, l'.iidan imprime nue seconde édition de sa -\iiincllr nirlhoilc 
liniii lu I ('soliiliiiii lies riiiiiiliniis ilc dcL^rv ijnelcomiur. lu ap|ieiidice à cet 
Ouvrage contient li' Mémoire de iSi 1 cl le liap|iort des 1 (immissaires. 

I,a di''moiisIialioii de liinlan, bien inférieure à celle de Eourier, est pure- 
ment algébrique et ne s"applii|uc pas aux é(|uatioiis transcendantes; idle a 
aussi rinconvénient d'exigei' la démoustiation préalable de la l'égle de l)es- 
larles et d'un lemme de Segner (pii n'est e\acl d'ailleuis (pie |iour les éipia- 
tions complètes (' ). Elle riqiose toutefois sur un principe ipii nii'rile d'être 
ronnii. 

IvlanI donnée une suite de nombres 

A, 1!, C, I). E, ..., 



( ' ) SI l'on iiiuUi|ilic un pi>l\ iiniiii' alL;éiirii|ui' onlnniH' par .'■ — a. Ii' iimiilirc ilrs [■iTiiia- 
luMiiTS ilii priHliiil iK_' ptMil (Mrc iiircriciir a ccliii ilu piiK iiôiiu' iirirnilil. 



NOTK l!KI. \TI\!': \l MKMoiiiK l' l! I- C K l> i:\| 

riirinoii.'- le? siiiiiiui'> 



iiiins iini'Diis l:i siiili' 



B,=: A^ I!, 

^,. 1".,. <:,. i>,. i-:,. 



i|ili' lîililail :||i|irllc \d jircinièir suit'' S'iiii nntlairc de \;\ silllc (li.iMlli'O. \|ipll- 

i|il.llil hi iiii''iiir iiU'IIjimIl' ;'i eclli' |ifcil]ir|-(' suite, nii ;i!iia la i!eil\ieiiie <liil<' 

M 1111 m a luire A,, IJ ., ... et l'on puiina ((iMliiiiii'i- aiii-i iinh/liiiiiiienl. < )ii eii ira 

le Talileaii 

V !! C |t !•: ... 

A. i;, c, il, K, ... 

A. I!, C, I), I-:, ... 

\, !î; C: 1); E; ... 

V. lî. i:. it. K. ... 



(Ii)lil le inoile lie liirinal imi e-l i(leMlii|ile à celui ilil liiai],i:le ariliiiiiéli(|(ie, 
|(iiisi]iie cliai|!ie inMnlire ilii Talileaii e>l éi;al à la suiiiiiie île relui ipii e>( au- 
dessus et (le eeliii i]iii i>l place à u:,uiclie. (À'Iu posé, IJiulan ileiiinnlre |e^ 
lieux leuimes >ui\anls : 

/.(■ nniiihic (les viiridliuiis conlciitics tliiiis la iii:-iiiiri c siiitf. de A n F /'"/ 
iwvmiilc. est tiiiijdiirs iiijci irnr mi rLinl l'i celai des iiiiitiliuiis vonipriscs iliiii\ 
lu jiailic cornsiK) ndditti' . de A, ii K,, '/'■ l'une ijueleiiiiiiiif des suites sniiiiiin- 
Inii es. 

Ite Jilus, si I du fiiitue des suites eu (iitiL:iiU(de . lelh s (jue eellt s-ei 

A,; \,, IJ,; A, 1!,. C,; A;, l!„ C,, 1),; 

le iKiuihic (-les riiriiitiiiiis iju'elles juéseiiteut est tiuijnui s inférieur ou é^iil u 
eelui lies eariut imis ijui se Iroueeiil diiiis les /m/lies eurres/'cuduntes 



\; \. I!: \. !!. C; \. 

'/(' In lueniii le suite. 



C. U: 



Le reste de la déiiioiislralien ne présente rien qui nierile d'èti'e si:;iial(''. 



il. 



-I<> 



:îI'. 



NO II-: liKLMINI. M MKMOir,!. riiECHIlKM 



Le IciliMir |i(Mil Jniicr iiiaiiileii;iiil si los lails (|iii' ikhis venons d'exposer 
iiislilleiil ral'lirinatiiin d' Uapo el raîliiliiilioii du lliéoi-èine à liiidaii. Pour 
lions, la conidiisioii s'impose. Si le tliéoièrne doit perler le uoni il iiii seul 
géomèlre, e'esi à l'"oiirii'r ipie nous devons le reslilucr. En tlierclianl à inelli'e 
cette conelnsion hors de doute, nous n'avons pas été t^nidé par le désir, eoui- 
uiun à trop di' eonnneulaleurs, d'exalter leur auteur aux dépens de Ions les 
antres. Mais il n(His a tonjoni's paru que l'ailniiralile démonstration de l-'on- 
rier, la seule ipii soit reproiluite dans les ()nvrai;es modernes, a tw) intégré! 
scienliliijue liii'u snjU'riein' ;i celui de la projiosilion, considérée en elle- 
même; c'est ce ipii nous a délerminé à étudiei' les dilTéi'ciits éléments de la 
question, el à enli'eprendre les recdiei'clies ])réeédentes, cjui n'idl'raient d'ail- 
leurs aucune dillicullc''. 



son TION D'I \K (Jl KSTION l'Ali I ICI I.IKHI-: 



CAI.CLI, DKS LXÉliALITÉS. 



SOLLTION I) LM: (JIKSTION 1' Vr.TICl I.IKI;!. 



r.ALCUL DES IXÉrrALÏTÉS, 



y<iinfaii liiitlcliii (If. .Scicmv: pur 1(1 Sociftc plnlinititt/injUf de l'aria 



I.;i (|uesli(m siiivanle ollri' une ;i|)|ilii'alii>ii ilu calciil des inci^alilc^ 
liiit'aii't'S. ('.v{ cxciniili'. Iirs siinplc, est iH'oprc à ilonniT iiiic [ii'i'iiiil'ic 
iii>rKm (li'S résultats i|r l'c calrul <■( des coiislructidiis (jiii les rr|ii-c''- 

SCIltl'Ilt. 

On propose de diviser l'iinité en trois parties, cjui peuvent ètic iiié- 
1,'ales. mais (|ni sont assujetties ;i eette condition (|ne la pins i;i-ande 
des trois parties ne doit pas snrjiasser le produit de la j)ln> petite 
par I -^ r; le nombre donne /-exprime la limite de rinéiialile. Si ee 
nombre était nid. les trois |)arties di'vi'aienl être é^'ales. et le jiroldi'me 
aurait une seule solution. Lors(]ue la limite donnée a nn^' \aleui- posi- 
tive (jU(dcon(|ue. la {|uestiou est indéterminée; (die a une inlinité de 
solutions. 

Il est trJ's facile d'exprimer par des inéi^alités toutes les c(mditions 
(le la ([iiestion. et de résoudre ces inéi^alités par l'application des ri'i;les 
ifénéi'ales. On arrive ainsi à la construction suivante, (jiii tait coiinailre 
distinctement toutes les solutions |)ossihles. exprime leur earacti're 
commun et mesure l'étendue de la (|nestion. 

La liiiue mm" re|u'ésente la longueur de l'unité ( /Z^'. i ). Ayant formé 
le Ciwrè mm' m" II, on piDlonitc indetiniment le i'('tte ///// et l'ini jirend 



:î18 SOLI TKtN I) l NK Ol KSTION I' A UTICL Ll KRE 

///"//' (''i^ali' il ruiiilc iiuii' : on [)roloiit((' aussi ///;/' l'I l'on l'ail /// //" (\i;al(' 
il nuit : cnsiiiU', (l(''sii;naiit pai' iili la (juaiitilc (loiiin'O qui est la liinilc 
lie rinri^alili'. ou l'orme Irois oai'rés iloiit le côlr est /■, l't on les place 
(■(unuie rin(li(|uc la ti^^iirc, aux poiiils //, //', //'. Cola posé, ou tiaci' : 
i" (lu [Miiul /// les (Iroilcs iita. iiib\ 2" du [)oiiil /// les deux dcoilcs 



Ki-. I. 




m' (t\ tu' h : )" du poinl ///' les deux droites ///"c/", »i" h" . (m^s trois svs- 
tl'iues. doul cliaeiin es! loi'Uié de deux Iii;ues, et (|ui parlent des points 
III. III , m" , se coupenl cl loiiiient, |iar leurs intei'sections. un hexai;(Mie 
iiieiiulier i;>'!'|"i(i. Si l'on uiar([ue un |)oinl (pndi-iMUjue u. de l'aire 
de cet l)exai>'oiie et si l'on prend les coordouuces de ce point par i'a|)- 
port il la lii;ne proposée mm' , ces coiudonnées orlliogonalcs. (|ui sont 
').'j. et 'j.in. expriment une solution de la (|iU'slion [iroposée; l'aliscissc 



nt cvLcri. i)i:s im:c. \ijtks. :ji!t 

niy. est l'une des parties, ronloiiiice ay. (^st la secoiule partie, et, jnir- 
laiit eelte ordonnée y.a surl'axe, on trouve \i! m' pour la troisii'Uii' |iailir 
chercliée. 

L'aire de I lexaiione est le lieu de toutes les solutions possibles; 
c'est-îi-dire que eliaque point de cette aire fournil une solution, et (|n'il 
n'y a de solutions possibles (|ue celles (jui répondent aux points \\v 
Taire. 

A luesui'e (jue la limite /'de rinéi;alité diuiinur, le polyiione forme 
par les trois systi^'mes de droites devient de plus en plus petit, et. lors- 
que r = 11, il se réduit à un seul [loint, qui est le centre de gravité du 
triangle mm' m' . 

Si la valeui' de /• augmente indetiniment et sans limites, l'aiic de 
l'hexagone augmente de plus en plus: les lignes ///(/, mh se rap[)rochent 
des lignes////// ', //////' et Unissent par coïncider avec elles. La ligne /////' 
se rap[)ioclic de l'axe ////// et se confond avec cet axe; la ligne m'a se 
rapproche de la diagonale m' ni' et coïncide avec elle. Il en est de 
même des lignes m"a", m //'. qui se rapprochent res[)eetivemenl de la 
perpendiculaire ///'/// et de la diagonale //?"///'; ainsi, en supjiosant la 
limite /infinie, l'hexagone se confond avec le triangle ////// ///". 

Le rap[)ort de l'aire de l'hexagone à l'aire totale du triangle mm' m" 
est la mesure exacte de l'étendue de la question proposée. Si Ton de- 
mande quelle probabilité il y a qu'en partageant au hasard la ligne 
//////' en trois parties, il ariivera que la plus grande de ces parties ne 
surpassera pas le produit de la |ilus petite par i 4- /", on aura, pour la 
mesure de cette probabilité, le rap[iort de l'aire de l'hexagone ;i Taire 
du triangle. 

On pourrait se proposer une question semblable en considérant un 
nombre quelconque de parties. Les constructions géométriques ne suf- 
firaient plus pour représenter la solution; mais on déduirait toujours 
celte solution de l'analyse des inégalités, et Ton déterminerait aussi 
par les mêmes principes la mesure de l'élendue de la question. 



MÏH RELATIVE AU MÉMOIRE i'KÉCÉDEM, 

r.ui M. (.\sioN liAiiBiirx. 



I)c>ii;iiiins |iiii- .< . t , ; les Irùis pallies. < )ii aiiia 

il) j- -t-,v4- ; =r I, 

ri li'> iné.^alilés suivantes (li.'vninl èlre salisl'ailes 

u< ;(i-T-/-), ; < J-(i -r /■), 

V < ;( 1 -- /■), ; <.V (1 -r '■). 

.r< r(,i + /■), ,)•<./ (1 + /•), 

.j- '_:> o, Y > f>, ; > o- 

!.!■> Iiiiis (ieinières, on s'en assnre aisénienl, sniil des eonsiMiiiences des si\ 
(u-eiuieies. On penl donc les négiig'ei-. Si l'on remplace dans les six ]irei)iici-es ; 
par sa \aleur détlnite de ré(|nalion (i), on a les inégalités nouvelles 

I .r('_> + /■) -+-.)■( I -)- /■) < I -I- /■, 
X{ T -h /•) -f-,v > I, 



V ( 'J + /• ) + .'■ ( I -i- /■ ) < I + /•, 
I -.o 

1 y [■i -i- /•) +■!■ > 1, 

I .r < r(i -)- /■), 

r <.c(i 4- /•), 

pii ne ronliennent pins i|ue .; el )•. Si l'on roii>ideic co d<'ii\ parlii'> connue 
e^ coordonnées r(^'lanL;nlaires d'nn poini, (ui i'>l evidennnenl c'ondiiil ,'i la 
onsirnclion de l''oinicr; car (diacune des ine^aliles (■xprinie i|ne le point 
.' , y ) doit se trouver d'un certain côté par rapport à une droile dont on oli- 
ienilra ré(pKition en i-eniphn ani dans rin('',::alilé le sii;ne r - on -_: par le sii;iir 
!'(''ualilé. Alix six inéiialiles corresjiondeul les six l'otés de riiex,ii:one de 
i'onrier. 

(!etle question (les inéi;alilés a licaucou|i oceiipi' T'uuriei'; il a\ail l'inlenlion 
de pnldiei', dans son L;rand Ouvrai;»' sui' la 'l'Iu'oiie des eipiatiiuis, inie élude 



NOTE. 321 

(léveloppéc sur ce sujet. Nous croyons utile do joindre à la Note qui précrdi- 
les deux passages suivants, que Fourier a insérés dans V Histoire de l'Acailé- 
niiv, pour les années iSaS et i^i\. {',. 0. 



PREMIER EXTRAIT. 

{Hisioirr tic rAcadêmie pour iSj3, p. XXIX.) 

M. Fouriora lu, daus les séances du m et du 17 novembre i82'5, un Mémoire d'anahsc 
indéterminée sur le calcul des conditions d'inégalité. L'auteur s'est proposé de traiter dans 
ce .Mémoire un nouveau genre de questions, et d'établir les principes d'un calcul qui oiïri' 
des a|ipli(ations variées à la Géométrie, à l'.Vnalyse algébrique, à la Mécanique et à la Théorie 
dos iirobabilités. Nous allons indi(picr le caractère principal de ces rcchorclics. et nous 
citerons quelques exemples simples, propres à en faire connaître l'objet. 

Une question est. en général, déterminée lorsipie le nombre des équations qui cxprimcni 
toutes k's conditions proposées est égal au nombre des inconnues. Dans la théorie dont il 
s'agit, les conditions ne sont pas exprimées par des équations: c'est-à-dire cpi'au lieu d'é- 
galer à une constante ou à zéro une certaine fonction des inconnues, on indique au moyen 
des signes < ou > que cette fonction est |ilus grande ou moindre que la constante: 
c'est ce ([ui constitue une inéi-'alité. ()n suppdse. par exeuqjle. que cpiatre indéterminées 
doivent être assujetties à un certain nombre d'inégalités du premier degré, et <pril faut 
trouver toutes les valeurs possibles do ces inconnues. Le nombre des inégalités pourrait 
être moindre que celui dos inconnues, ou lui (Mrc égal, et même il peut être Ijcaueoup 
plus grand: il est en général indéfini. Jl s'agit de trouver des valeurs des quatre inconnues 
cpii, étant substituées simultanément, .•satisfont à toutes les conditions proposées, soit que 
ces conditions consistent seulement dans certaines inégalités, soit qu'elles comprennent 
aussi des éi|uations. Une (picstion de cette espèce admet une infinité de solutions: elle est 
indéterminée. Il faut donner une règle générale qui serve a trouver facilement toutes les 
soluliiins possibles. On jugera d'abord (lue des questions semblables doivent se [iréscnter 
fréquemment dans les applications des théories mathématiques. Dans plusieurs cas on peut 
arriver à la solution par des reniar(iues particulières propres a la ([uestion ipio l'on veut 
résoudre: mais si le nombre des conditions est assez grand, et si elles se rapportent à trois 
ou a plus de trois varial)les. si les inégalités ne sont pas linéaires, la suite des raisonne- 
ments devient si composée ipi il serait presque iin[)ossiblo à l'esprit le plus exercé de l,i 
saisir tout entière. Il faudrait d'ailleurs recourir a des considérations ditTérentes selon !a 
nature de la (|uestion, comme cela arrive à l'égard de plusieurs problèmes que l'on résout 
sans le secours de l'.Vlgèbre. Il était donc nécessaire de ramener à un procédé général et 
uniforme le calcul des conditions d'inégalité; on supplée ainsi, par une combinaison régu- 
lière et constante des signes, aux raisonnements les plus ditliciles et les plus étendus, ce 
qui est le propre des méthodes algébriques. L'exposé do ees règles générales est Tobjet 
du Mémoire: nous citerons en premier lieu un exemple très sinqde de ce genre de ques- 
tions. 

On suppose <pi'un plan triangulaire hoiizontal est porté par trois appuis verticaux pla- 

II 41 



322 NOTh. 

('('■s aux fiommels (1rs :iiii;l('s. I,;i Ibrcc ilc rluii|ii(' ii|i|iiii csl (liiiiiice ri cxininu'C par i; 
c'est-à-dire ([ue, si l'on plarait sur un appui un piiiils moindre ipn' l'unilc, rr poids serait 
su|ip(irlc'', mais ipio l'appui serait aussilot rompu si ]{'. |ioids surpassait i. 

On propose t\v placer un poids donné, par exemple ■>. sur la table tiaaujulaiie. en 
sorte cpi'auenn des Irois appuis ne sial rompu. La question si'rail délermini'e si le poids 
donné étail i; idle est insiilidile si ee |ini(ls surpasse tr<iis: elle est indéterminée s'il est 
moindie (pie 3. Dési.nnant par deux ii:eonn(U's les coordoimees du poini eu l'on doit placer 
le [loids pro])osé, et |)ar Irois autres ineonimes les pressions exercées sur les a|>pins. el 
supposaul. jiour simplifier le calcul, (puî le trianiile est isoscèle-rectau^ile. (in MÙt (pie la 
(piesliou lenl'ernu.^ cin(| (pianlilés inconnues el un(( ([\n esl connue, savdir le poids pro- 
posé. Or les |u'inoipes de la Slaliipio donnent inuuédialemenl trois é(pialions: el l'on y 
joindra, pour (duupie sommet, deux inéL;alilés fpii exprimeni fpie la pression est posilive 
el moindre (pie i. Il esl (''videni (pie loules les condilions de la (pieslion seroni alors 
exprimées. Il ne s'a.Liil plus (pie d'appli([ii(M' les règles i;énérales du ealc.ul des iii(''L,'alil('s 
linéaires; on en déduira Uuiles les \al(uirs possibles des coordonnées inconnues, el r(ui 
dési;.'nera ainsi leus les poinis du lriani:Ie dii le poids doiUK'' peul élre plae(''. Si l'en l'orme 
celle solulion. on Iroine ipie les poinis donl il s'ai;il S(^ réunisseni dans l'inlerieur de la 
Table, el (■(■luposeiil \iii liexai;one l(U'S(|iie le poids donné est compris eiilre i ei -i. Celle 
figure devieiil le triangle lui-même si le poids esl ineimlre ipie l'iinih'': elle esl un Iriangle 
plus pelil si le poids est coiii|iris entre ', el 'j, et elle se reduil .à un seul poinI si le poids 
esl égal à 1: enlin. l(U'S(|u'il surpasse '!. la figure ii'exisle plus, piirce ipie les lignes (pii 
doiveni la roriuer cessent de se renconlrer. 

Voici la conslriiclion (pii serl à Iracer ces lignes. IlésignanI p.ir i le C(jle du Iriangle 
isoscéle-reclangle, ou di\ise l'iinib'^ |),ir le poids donne (pi'il s'agil (1(> placer, el r(ai porte 
lu longueur mesurée par le (pielienl : r sur eliaipie ci'ih'' de l'angle dreil. ii p.nMir du 
sominel de eel angle, ce ipii donne deux poinis i et i: •>" sur un des coU's de l'angle 
droil, à parlir du soumiel de l'angle aigu, ce ([ni donne nu Iroisiéme poinI !: >" sur l'aiilre 
c(')lé de l'angle droil, à parlir du sominel de l'angle aigu, ce (|ui donne un (pi<ilri(une point 4 
On (déve, par le point i, une ligne perpendiculaire sur le cijli' où se Iroinc ce point, el 
par le point -i une deuxième ligne perpendiculaire sur l'autre e('ité: enlin (Ui mène une 
Iroisiéme ligne droite par les poinis 3 on ,(. Ces trois lignes ainsi tracées lerminent, sur la 
surlaiM^ du triangle, l'espacii m'i le [loiiit donné peut élre placi' sans (pi'aueun des ap[niis 
soit rompu. 

H serait l'acile de r('',^(iiidre sans calcul une ipiestiou aussi simple: mais, si le nombre des 
appuis esl |)his grand (pie '1, si linir l'orce esl inégale, si la lable horizontale porte déjà en 
certains |ioinls des niiisses données, on si l'on doit \ placer non un seul poid-, mais plu- 
sieurs. (Ui ne peul se dispenser de recourir au cali'ul des inégalités. I.'in'uiiltf^f tir cette 
inetliiule emisiste en ee i/ii'/l ■■•iijfit. tliiiis tiiiis les eus. (I'(i pi-iiiiei- /e\ eaiidilhvfi de lu 
ijiieslinn, ee ijiu est jiieile, et île coiiilihier ensuite ee.s e.rjife.s.MiiiK <iii iiiomii de eè^les 
^(•iiefides ijiii xiiiil tiiii/niiiw li s ine'iiies ; et l'un Ineiiie itiiisi ht sitliitinii, à l(i(fiieUe ou ii'iiii- 
rait jiu inireeiiif ijiie jiur nue suite de riiisniiiieiiieiits très eiiiiijili'iiies. 

Les (piestions (pie l(ui traite diius ce .Mi'inoire soûl lonles in(l(''teriuiiiees, p.irce (pi'elles 
■ idiuelleiit une inlinite de solutions; imiis elles dilVerent enire (dies (piani à l'étendue. Dans 
les unes, les conditions exigées resireignent beaucoup celle ('■lenilne; pour d'aulres, l'e- 
nnuieratioii de lonles les solutions nossibles esl moins limitée; il esl nécessaire, dans cer- 



NOTE. ;B{ 

laines reelicrelies. de considérer les ([ueslions sons ce rappoi't. L'n examen altenlif jironve 
(|ne lïMendiie propre à el)a(pie question est une quantité mathénialiiiue (pie 1 on |ieut tou- 
jours é\aluei' en nombres : e'est en cela ipie la Théorie dont on expose les piimipes se lie 
à celle des probabilités, et il \ a en effet divers problèmes, dépendant do celle dernière 
science, qui se résolvent par le calcul des inéj;alilés. Or on ne peut mesurer l'élenilne ou 
capacité d'une ipieslion sans com|irendre dans l'énumération toutes les solutions pos- 
sibles, en Sorte (pi'on doit ici l'aire usai;e liu Calcul intégral: et, en etièt, l'auteur a re- 
connu ipie le nombre qui mesure l'étendue d'une question quelconque est toujours 
exprimé par une intéi^rale délinie multiple, dont les limites sont données. 11 esl très facile 
d'ell'ectuer ces intéi;rations successives, (pnd «pi'en soit le nombre, et si l'on écrit les 
liniiles des inlé^rales, en SI' servant delà notation pro]iosée tlans l.i Tln-oric aiiah tique 
de la chaleur, la quantité cpie l'on veut déterminer est exprimée sous la forme la plus 
wnérale el la jibis simple. 

Il est éxident que les conditions proposées [lourraient être telles ipie la question n'ad- 
ndt aucune solution possible. Dans ce cas. le calcul développe l'opiiosition récipro<pn! des 
conditions, et montre rini|iossibilité d'y satisfaire. Ainsi la mi''thode a pour objet ; i' de 
reconnaître si la (piestion peut être résolue: ï' do trouver dans ce cas toutes les solu- 
tions qu'elle admet: 3' de mesurer par un nombre l'étendue propre à la question. Il arrive 
souvent aussi, dans ce s;cnre de recherches, que l'objet ]irincipal n'est pas de trouver 
toutes les solutions, mais d'en reconnaître une ou plusieurs limites. Sous ce point <le vue. 
la question n'est pas indéterminée ; et il en (sl de même de celle ijui consiste à mesurer 
r(''tendue: mais ces i[uestions dépendent de la même analyse. Xous ne pouvons ici qu'indi- 
i|uer bien imparfaitement les applications et les résultats de celte méthode : on s'est borné 
a citer qiud(pies exemples. 

Nous venons <le rapporter li> jiremier. Le seciuid concerne une question de .Mécanicpie 
analofrue à la précédeiUe. mais ipii en dilTèri> en ce que la (piautité ineoimue est une 
limite et. par conséquent, a une seule valeur. 

On suppose qu'une-surfaco plane et horizontale, de fifjure carrée, est portée sur quatre 
apjuiis verticaux, placés aux sommets des aniiles: chacun des appuis peut supporter un 
poids moindre (pie l'unité, mais il romprait aussit('it s'il était chargé d'un poids plus grand 
(]ue cette unité. On manpie un poini quelcon(pie sur la table horizontale, et l'on demande 
(piel est le plus grand poids (pie l'on puisse |ilacer en ce point donné, sans (praucuu des 
appuis Soit rompu. Ce plus grand poids, c'est-à-dire la force de la table en ce lieu, dépend 
évidemment de la position du point. Concevons (ludii y élève une ordonnée verticale pour 
représenter le plus grand poids qui répond à ce lieu, et (pi'ayant fait cette construction 
pour chaque point de la table horizontale on trace la surface courbe i\\\\ passe par toutes 
les extrémités supérieures des ordonnées. 

Il s'agit de délerminer la nature et les dimensions de cette surface. Or la solution dé- 
duite du calcul prouve (pie la surface (pii serait ainsi tracée n'est point assujettie à une loi 
continue : elle est formée de plusieurs surfaces h\perl>oliipies. différemment situées : la 
(juestion est résolue parla construction suivante. 

On divise le carré en huit parties égales, au moven des deux diagonales et de deux 
droites transversales, dont chacune joint le milieu d'un c(")té au milieu du ci'ité opposé. 
Chacune de ces huit parties est un triangle rectangle ([ue l'on divise en deux segments, 
dont l'un a deux fois plus de surface que laiilre. Cette division s'opère en menant une 



324 NOTE. 

lii;nc droite do l'angle droit du Iriaiiglc i'i l'un des angles du carré. On prend pour liase 
(le cliaeun de ces segments celui do ses li'ois côtés qui est parallèle à un coté du carré. 
Pour trouver le plus grand poids (pn puisse être placé en un iioint donné du plus grand 
segnienl, il laul, i)ar co point, mener une parallèle à la liaso du segmeul, jusipi'à iii ren- 
contre do celle dos doux diagonales dont le point est le plus éloigné, et mesurer sur cette 
(larallèlc la longueur interceptée entre le point île rencontre et le point donné; l'unité, 
divisée par cette longueur inler(xiplée. est la \aleui' cliei-cliée du plus grand poids. 

Si ce point donné est situé dans le ])elil segment, il faut, [iai-co point, mener une paral- 
lèle à la hase du segment, jusqu'à la rencontre de celui des cotés du carré dont le point 
dnnni' esl le plus distant, et mesurer la partie di' cette parallèle qui est interceptée entre 
le [loint lie l'encontro et le point donni'. L'unité, divisée |iar la moitié do la longueur inter- 
<-,eptée, exprime la valeur cherchée du plus grand poids. En appliquant l'une ou l'autre 
règle à chacun des seize comparliuieuts du cai-n'', on connaîtra le plus grand poids qui 
liuisse être jilacé en chaque point de la table rectangulaire. On voit que la valeur ilo l'or- 
donnéo \'erticale qui mesure ce plus grand poids n'est pas assujettie à une loi conliiuie. 
Cette loi change tiuit à coup lorsipi'ou passe du grand segment au petit segment. 11 serait 
facile de trou\er cette solulioii sans calcul, et l'auteur l'avait donnée depuis longtemps. 
Mais, si la figure du |ilan est dillerente, si la table supporte déjà en certains points des 
masses ilonnécs, il esl nécessaire de recnuiir aux ivgles ipii serveul à la comlànaison des 
iu(''galit(''s. 

Parmi les a]iplicalions que l'aiiteur a faites de sa méthode, les unes onl, comme les 
d(Mix ])récédentes, pour principal objet do faire connaître la nature do ce niuiveau genre 
de probh'uies et la forme générale du calcul. D'autres concernent des (pu'slions très ditli- 
ciles et très étendues, dont la solution ('tait nécessaire aux progrès des théories analy- 
tiques. L'une se rapporte à l'usage des équations de condition, si inqiorlaut ])our la forma- 
tion des tables aslronomiipies. 11 s'agit do trouver les valeurs des incoiuuu:-s telles que la 
plus graiule erreur, abstraction faite du signe, soit la moindre possible : ou telles que l'er- 
reur nuivenne, c'est-à-dire la sonnue des erreurs, abstraction faite du signe, di\isée |iar 
leui' nombre, soit la moindre possible. 

Une sec(mile applii'alion se rapporte à l'anahse génf-rale: elle a pour objet de former les 
termes successifs do la valeur do chacune des inconnues (|ui entrent dans des équations 
littérales données. L'auteur considère la résolution des équations littérales à plusieurs in- 
connues comme dépendante de la recherche simultanée de toutes les racines; soit (pie le 
noin!)ro de leurs termes soit Uni, ce que l'opération indique, soit cpi'ou développe ces ra- 
cines en séries infinies. 

Dans l'iiiie et l'autre question (pie l'on vient, de citer, les cas où il ne se lrou\e (piiine 
siMihi inconnuo sont déjà résolus, et ils ont |iu l'être sans lo calcul des conditions dinéga- 
lilé; mais cotte recherche prend un caractère tri's dillérenl lors(prou veut retendre à un 
nombre (piolconipie d'inconnues, La solution dépend alors d'une lliéorio particulière, dont 
les principes se reirouveni dans les ipiestions les plus diflicilcs et les plus variées, f. esl 
celte tli<!'orie i]ue l'auteur s'est proposé de former. 



NOTE. M-i 



SECOND EXTRAIT. 

(Histoire th- t'Jciulcmii' pour iS2-î. p. XLVII. ) 



Nous avons iiKiii[iu'', dans les analyses précéiicntes. l'ori.iiiiio et l'objet du calcul des con- 
ditions d'inéj;alilé, dont M. Fourier a luit des a|)plicali(ins très variées à la Mécaniiine. à 
l'Analyse générale, à la Géométrie et à la Tliéorie des Probabilités. Une des questions les 
plus remarquables, dont le Mémoire cité contient la solnlion, est celle qui se rapporte au 
Calcul des erreurs des observations. Nous ne pouvons ici faire connaître que très suc- 
cinctement les principes de cette solution. 

On considère dos fonctions linéaires de plusieurs inconnues ./■. i . ;,...; les coefficients 
numériques ([ui entrent dans les fonctions sont dos quantités données. Si le nondire des func- 
tions n'était pas |)lus grand que celui dos inconnues, on pourrail Irouvor pour .''..). :. . . . 
un svstème de valeurs numériques tel que la substitution sinudtanée do ces valeurs dans 
les fondions donnerait pour chacune un résullat nul. Mais on ne peut pas, en général, saiis- 
faire à cette condition lors(pic le nombre des fonciinns surpasse celui des inconnues. Sup- 
posons maintenant que l'on atlril.nie à ,'■..) . z. . . . des valeurs numériques -x. 3.-; 

et ([ue. en les substituant dans une fonction, on calcule la \aleur |iositive ou négative du 
résultat de la suljstilulion: on considère comme une erreur ou écart le résultat positif uu 
lu'gatif qui dirt'ère de zéro; et, faisant abstraction du signe, on prend |iour mesure de l'er- 
reur le nombre d'unités positives ou négatives que le résultat exprime. 

Cela posé, on demande quelles valcui-s numéricpu'S X, V, Z, ... il faut attribuer à ■>■. y. 
z, ... [lour que le plus grand écart provenant do la sidisiitution dans les diverses fonc- 
tions proposées soit moindre que le |ilus grand écart (pie l'on trouverait en substituant 
dans les fonctions tout autre système de v.deurs dili'éront do celui-ci X, \. Z 

On pourrait aussi chercher un système X', \', Z', ... do valeurs sininltanées do r. \ . 

z tel que la somme des erreurs, jirise abstr,icli(ui faite du signe, fût moindre ipu' la 

somme des erreurs provenant de la substitution de tout système dilTérenl X'. V, Z', . . .. 

L'une et l'autre ipu>stion se rosohonl par l'analyse des inégalités, quel (|uo soil le 
nombre des inconnues. 11 suflit d'o\|)rimor les cundilions propres à la ijucslion. et d'appli- 
quer aux inégalités écrites les règles gi''néralos do ce calcul. On supplée ainsi, par un pro- 
cédé algoritlimi(pie, à dos raisonnements très composés, qu'il faudrait changer selon la na- 
ture de la ipieslion, et qu'il serait, pour aiii>i dire, impossiljle do former si le noudire dos 
incimnues surpassait trois. 

Pour faciliter les ap[ilications lorsque le muidiro des valeurs est assez grand, il convient 
de réduire les opérations au moindre noudire possible. Ou y p.irvient en considérant les 
propriétés des jouet io/it crtrcmcw Nous ai)pelons ainsi celles qui peuvent être ou plus 
grandes ou plus petites que toutes les autres. La construction suivante représente claire- 
ment la méthode qui iloit être suivie pour arriver sans calcul inutile aux valeurs de -r.j', 
z. . . . qui donnent au plus grand écart sa moindre valeur. Quoique cotte construction 
soit propre au cas de deux variables, elle suffit pour faire bien coauailrc le procédé 
général. 



320 >()TE. 

.(■ cl.) sdiU. (liins le plan iKjrizoïilal. les (•oonl(;niu'es d'un [loiiil qaek'onquf. L ordiinnôe 
verticale c mesure la valeur de la fonctinii; elia(|ne itu-galitc esl représentée par un plan 
dont la situation est donnée. Dans la question dont il s'aï;il. le nunihre de ces [ilans est 
<loulile <]» noinlire des fonclions. pai'cc qu il faut attribuer a eliatpie valeur le siune — et 
le siijne — . On ne considère que les parties des ]ilans qui sont placées au-ilessus du plan 
horizontal îles m ; el <'es parties su]iérienres des plans donnés sont indéfiniment pi-olon- 
yées. Il liuil principalement reniaripier ipie le sysiéme de Ions ces plans forme un \ase 
(pu leur sert de /iii/in- ou à enveloppe. La liiinre de ce vase extrême est celle d'un lujlyèdrc 
il(uil la convexité est tournée \ers le plan hori/.onlal. Le point inférieur du vase ou po- 
lyèdre a pour ordonnées les valeni's \, V. Z ipii soiii rolijel de la question; c'esl-a-dire 
que Z est la moindre valeur possible du |ilus i;rand écart, et ipie \ el ^' sont les valeurs 
de .1- et ) propres à donner ce nùninuun, abstraction faite du signe. 

Pour alleindri' prouiplernenl le point inférieur du vase, on élé\e en un point ipielconquc 
du plan horizontal. [)ar exem|ile à l'origine des ■•■ et y. inie ordonnée verticale, jusipi'à la 
rencontre ilu plan le plus éh'vé: c"est-à-dirc que. parnd tous les points d'intersection 
que l'on lrou\e sur cette verticale, on clioi-iit le plus dislaiit du |ilan des .ci. Soit ///, ce 
pouil d'iuli'r.-eclion |>lacé sur le plan extrême. On ile.-cend sur ce même plan dc]iuis le 
point ///i pisipi'ii un piiinl m^_ d'une arête du polyèdre, ol. en suivant cetle arête, on des- 
cend depuis le |ioinl in.^ jusqu'au sonnnet »(,i commun à trois plans extrêmes. A jiartir du 
point III t. ou continue de descendre suivant une seconde arête jusqu'à un nouveau sommet 
///■,; et liin conlinue l'application du mêiiK" [U'océdé, en suivaid toujours celle des deux 
aréles qui conduit à un sommet moins élevé. On arrive ainsi très prochainement au point 
le plus bas du polyèdr(^ Or cette construction représente exactement la série des opéra- 
tions numériques ipie la règle analytique prescrit; elli' rend très sensible la marche de la 
méthode, qui consiste à passer successivement d'une fonclion extrême à une autre, en 
diminuiml de plus en jikis la valeur du plus grand écart. Le calcul des inégalités l'ail ciui- 
naitre (pie le même procédé convient à un nombn» ([uelcdUipie d'inconnues, parce (pie les 
huictions extrêmes ont, dans tous les cas, des propriétés analogues à celles des faces du 
pohèdre ipu sert de limite aux plans inidinés. En général, les propriétés des faces, des 
arêtes, des sonuuels et des limites de tous les ordres subsislenl dans l'Analyse générale, 
ipiel (pie soit le nombre des inconnues. Les bornes de ces Extraits ne nous perineltenl 
|ioinl une exposition détaillée, qui pourrail seule donner une ciumaissance complète de la 
nu'thode cl de l'ordre qu'il faut établir dans les o|>érali(uis numériques lorsque le nondu'e 
des l(mcti(nis est 1res grand: mais la conslriicti(Ui précédeiile suffit pour montrer le carac- 
tère de la solution. 
Nous indi(pierons maintenant l'objet d'une i-echerche plus générale, commune à toutes 

les (|uostions de l'analyse des inégalités. .<■..».; ii, t désignant les inconnues, il 

s'agit de trouver pour ces cpiantités des valeurs ipu satisfassent a lui n(unbre (pielconipie 
de conditions lin(''aires dont chacune est exprimée par le signe '"■ ou _. et (pii contien- 
nent .c .) , c, ....". '. On procédera comme il suil pour éliminer successivenu'nt .i\ y. 
z Chacune des inégalités donne évidemmenl iiour .1 une conililion de la forme 

.i> A -^lî.) ^C; -^... 

ou de la forme 

X < a -i- '^y — Y ; — .... 



NOTE. .!2T 

On compare chacune des coiulitioiis de îa première forme à chacune ùe:~ condition^ de l:i 
secomie, et l'on écrit, pour exprimer celle comparaison. 

a— 3) ^ Y- — ••■> A — B.r-C3— .... 

Par ce moyen on forme de nouvelles inégalité-s où .r n'entre |dns. Il arrive presque lou- 
jours cjunn assez iirand noudjre do ces nouvelles inégalités subsistent évideuniieut. i:t 
(|u"il est inutile de les écrire. Ces réductions se présentent d'elles-mêmes, et elles sim- 
plifient beancoup le calcul. 

Lorsqu'on a remplacé les iné.;;alités ipii contenaient r. y. z (/. / par relies ipn 

contiennent seulement i, z. ..., ir. /. on élimine y suivant le même procédé: et conti- 
nuant l'application de cette règle, on obtient dos conditions finales où il n'entre qu'uni- 
seule inconnue t. On en déduit pour cette dernière inconnue des limites numéi'iipies, doni 
les unes sont de la forme t > n. et les autres de la forme t < l>. On n'a plus à considérer 
que la plus petite B des limites /', et la plus grande A des limites '(. S'il arrive que .\ soil 
un nombre plus grand (pie I). on (ui conclut avec cerlilude que la question proposée n a 
aucune solution possible; el c'esl à ce caractère que l'on reconnaît si les condiiiiuis imm- 

posées en .r, >-, ; u. t peuvent toutes subsister à la fois. Lorsque la liniLle B ncst 

pas moindre que la limite \. la (pieslion pi-nposée ne renferme point do conditions incom- 
patibles, et, généralement parlant, elle admet une iniinilé de solutions. On attribuera doue 
à i une valeur ((uelconcpie comprise entre .\ et B. et. substituant cette valeur de / dans 
les conditions qui ne contiennent que « et /, on trouvera des limites numériques pour //. 
Or il arrivera nécessairement que la ])lus petite des limites supérieures de i/ surpass('ra la 
plus grande des limites inférieures de //. On prendra donc pour u une \aleur queleonipie 
comprise enire ces limites. Subsliluanl p(uu- t/ et t leurs valeurs numériques <lans les con- 
ditions qui contiennent u et /. et une autre in(-onnue seulement, on déterminera de la mènie 
manière la limile de cette nouvelle inonnuc: l'application de la même règle fera connaître 
les valeurs de toutes les indéterminées : car il est ini|(Ossible, comme nous l'avons dit. que 
l'on ne trouve pas |)0ur chaque incomiue une valeur conq)rise entre ses deux limites. Celte 
contradiction ne pourrait avuir lieu que pour la dernière inconnue r. et cela arrive lorsque 
les conditions proposée* renfermenl quelque impossibilité ijue le calcul a développée. 

La règle précédente se présente en quelipu' sorte d'elle-même; mais il est lu'cessairi- 
d'en donner une démiuistralion cumplèle. Celle (]ui est rapportée dans le Mémoire consiste 

à |)rou\er qu'après l'idiinination d'une incimnue : i" les conditions exprimées en r. : 

II. I doivent toutes sulisister, si la (lueslion admet une solution possiljle: ■,'," que, n'cipro- 
quement, si ces conditions subsistent, on peut satisfaire à toutes celles qui ont élé propo- 
sées: ainsi, la question ne perd point de son élendui^ lors(]u'on élimine une des inconnues. 
Cette question demeure exaclcmenl la même juscju'a la lin du calcul. Il n'v a aucune sobi- 
tiuii de la question lu'opnsée qui ne puisse être trouvée ]iar ra]iplieation de la règle. 

Il ne nous reste plus qu'à considérer le système de toutes ces solutions réunies, el a 
montrer dislinctemenl en ipmi consiste cet assendjlage. Nous clinisissons pour exemple le 
cas où les conditions linéaires proposées, en ncaubre ([uelconque, renferment trois incon- 
nues X, >■, z. Car les mêmes conséquences s'appliipieut à un nombre quelcouipic d'indé- 
terminées. 

Si l'on résout, par la mélliode de l'auteur, d(>s inégalités qui contieiment x, _>•, z el i\c> 
coefficients numériipies donnés, on peut former séparément chaque solution, c'est-à-dire 



328 \OTE. 

(•lui(|iie sjslèmc de trois \aliHirs x, p, y qui, subsliluées ;i .c, )-, c, salisibiit ii loiiics les 
conililions e\|iriiiiées. Ces v.ileiiis simiiltan(''es a, [i, 7 sont les iruis coordonnées d'un cer- 
tain point. Toute solution possible est ainsi niari|uée par un point dont les coordonnées 
sont les valeurs de .r, y, :. Or on reconnaît que l'assemlilage de ces points forme, dans 
t(ius les cas, un volume leiiuiné par un poljèdre; et tout s\stème d'inégalités entre trois 
inconnues .< , j-, :. quelle ipio soit la (luoslion d'Analyse, de Mécanique ou de Physi(pie à 
kKpielle SCS conditions se rap|iortenl. conduit à une solution générale représentée par un 
certain polvèdre (|ue l'on pcul construire. Chaque pninl du \olinnc (pie ce pohèdrc ter- 
mine marque une solution parliciilière de la question. Si elle n'admet qu'une seule solu- 
tion, ce (|ui est le |iropre di^s (piestious déterminées, le volume se réduit à un seul point. 

Si les inégalités renferment seulement deux variables .r et 1, le \ olumc se réduit à lain- 
d'une ligure plane lermiiiée par un polygone. Lorscpie la solution proposée n'admet aucune 
solution possible, les plans ou les droites qui délerminaienl le polyèdre ou 1<' polvgone se 
Irouveni dans des situations respectives telles que la figure n'existe point. 

Les (|ueslions que cette analyse résout ont des étendues inégales. Les unes sont assu- 
jetties à des conditions [ilus restreintes, (pii limitent beaucouji le lieu des solutions; les 
antres (Uit de telles conditions (]ue le système de toutes les solutions possibles occupe un 
plus grand intervalle. L'étendue propre à cliac[ue solution est toujours une quantité ipie 
l'on peut exprimer en nombre; la mesure de celte étendue est celle du \olume i|ue ter- 
mine le polyèdre correS[)ondant à l,i solution générale. Ouelque diverses que soient les 
questions proposées, elles peuvent toujours être comparées entre elles sous le ra|)port de 
leui- étendue: c'est principalement cette considération qui couslilue le calcul des inégalités; 
c est par là (pie celte analyse se lie à la théorie des probaLiilités. 

Lorsque le nombre dos inconnues ne surpasse pas trois, la valeur du \(ilume ou de 
laiic (pu r(''p(md à la solution donne la mesure de l'élenduo de la question. Si l'on consi- 
dère plus de trois inconnues, retondue de la question cesse d'être représentée par une 
construction géomctri(pie, et toutefois on la détermine encore par des intégrales déOnies 
qu'il est très facile d'ell'ectuer, cl d(uit les limites sont indi(iuées par le calcul anal\ tique. 
Les fonctions extrêmes remplacent, comme nous l'avons dit, les faces, les aiêtcs, les som- 
mets, et reproduisent indéfiniment dans l'analyse générale toutes les propriétés des ligures 
et de leurs termes des différents ordres. 

Si les conditions sont exprimées par des inégalités mai linéaires, la ([uestion ne change 
jiomt de nature, et peut encore être traitée par les mêmes princi[ies; mais l'objet principal 
(lu Mémoire est d'établir les éléments de cette brandie de l'analyse indéterminée. Un \(iit 
ipi'elle comprend nue classe très étendue de questions, susceptibles des applications les 
plus variées, et ipii sont résolues par un calcul unirorme, analogue à la méthode algé- 
braïuc. 



TKIIISIKME SEr.TTON. 



MITKS ET MKMOIIÎES 



lAiiarrs iii:s 



\\N \i.i-s i)K ciiimif: i-:t iik pii^shjik. 



II. 



-ii 



\OTi: 



LA CHALEllU l{ A VOXA A.XTE. 



NOTE 



LA CHALEUR RAYONNAME 



.^/iiia/cs (le Cliiimc et de l'In^iijue, SiM'ie 1. Tniiic IV: 1S17, |i. riS. 



Dan> riîxirail dr fOiivraKe de M. Fonrii'i' sur la Théorie iiiatlicina- 
tiijiic de la clialinir. nous avons énomr la loi (|ui déterminf riutensilé 
des rayons soilis d'nn nuMne point d'une surface éehanfTee. Il esl 
exactement démontré (|ue l'intensité des ravons n'est pas la même, 
qu'elle dépeml de l'aniile compris eiilic le ravon et la surface doni il 
sort, et qu'idie est pr(qiortmnnelle au sinus de cet angle. On a reconnu 
(|ue ce résultat, déjà indiciué par les ex[)ériences de ^I. Leslie, est uio' 
conséquence nécessaire de l'équilibre de la chaleur ravonnante : car 
cet équilihre ne prmrrait avoir lieu si l'éniission île la chaleur était 
assujettie ii une autre loi. On sait aussi (|ne ce rapport constant de 
l'intensité an sinus de l'aniile d'émission n'est point altère pai' I; 
rétlexihilité pins ou moins parfaite des surfaces; enfin on a don 
l'explication pliysi(iue de cette loi. La suite de ces propositions fornu' 
la Théorie mathématique de la chaleur rayonnante, telle (ju'elle a ete 
donnée pour la première fois dans les Mémoires de .M. Fourier (jue nous 
avons cités, l/inéijale intensité des rayons émis n'est point, comme (ui 
aurait pu le présumer d'ahord, l'eiret des forces ré|uilsives (jui a.gisseiil 
il la surface des solides. Elle provient de ce t|ue la chaleur envovée |)ai- 
les molécules intérieures assez voisines de la surface pour concourir ;i 
l'émission directe est interceptée en [)lus grande partie lorsqu'elle 



ne 



;m NOTE 

li'iid il sortir sous une direction inclinée que sons la dii'cction noi'- 
inalc. 

Kn iiidi(|iianl les dill'érentes preuves que l'oti peut donner de la loi 
de rémission, nous avons ajouté (|ue, si rt'/lc loi n'avait point lien. 
I àjiiiUhic de la clialciir ne pourrait potnl s'ctah/ir: (jac des corps placés 
dans an espace ride, terminé par une enceinte entretenue à une lenipèra- 
lurc constante, n actpnrrau-nt point ou ne eonservenaent point lu letnpc- 
ralurc de I enceinte ; (ju'ils cJui lifteraient de température en changeant 
de forme ou de situation : (pie les uns seraient incom/iarahleme/it plus 
éc/iaiijfés (pie les autres, et (pie l'on troiHcrait. par e.reniple. la tempéra- 
ture de I eau bouillante ou du fer fondant en certains points d un espace 
terminé pur une enceinte placée. C'est, en ellel, ce (|ni aurait lieu si les 
rayons de chaleur étaient également intenses (|uelle (|ue l'ut leur direc- 
tion. (]e résultai est très reniarqual)l(> en lui-niénie, el il est |)ent-élre 
|dns |)ropre (|u'aiiiun autre à rendre sensilde la vérité physique qu'il 
s'aiiil d'élaldir. 

Plusieurs de nos lecteurs ayant désiré connaître textuellement la 
démonstration de cette proposition, nous avions le dessein d'extraire 
de rOiivragf les passages ([ui la contiennent; mais l'auteur a bien 
voulu y ajouter quel(|ues développements, afin de rendre entièi'ement 
élémentaii'e l'exposition de cette partie de sa Théorie. C'est dans cette 
viu' (|u'il nous a eomniuniiiué la Note suivante. 

Si un espace M enlii'icmenl vide d'air (//:;■. i) est terminé par une 
surface spliéri(|in' S, (|u'une cause extérieure (|uelcon(jue retient ii la 
tenqiérature e(uislanle zéro, et si l'on donne la même tempéi'atnre 
zéro il lin coi'ps sphéri(jue a très petit, (|iii est placé en un |ioint (|n(d- 
con(|ue / de cet espace ^1, il est évident (|u<' la molécule a conservera 
sa lem|)éraluri' zéro. 

On suppose maintenant (|ue l'on éli've la température de l'en- 
ceinlc S, el (|u"on lui donne une valeur constante a an-dessus de zi'ro: 
il s'agit de déterminer la (|uanlite de chaleur que la molécule sphé- 
)'ii|ue u. reçoit de l'em'einte, et la tem|)ératin'e (|u'elle doit ac(|uérir. 



SUR L\ CIIALKI R RAYONNANTE. 333 

/• désigne le rayon de la surface splierique; 

a sa température permanente; 

p le rayon incomparablement plus petit de la nutlécule; 

jn- la distance du centre de la moli'ciile au centre de l'espace; 

a la tempéralure (|ue la molécule doit ac([uérir el conserver; 

// exprime la (juantité de chaleur excédenle (]ui est émise pendant 

l'unité de fem|)s par l'unité de surface, lorsque la température est 

élevée d'une unité. 

Fi.?. >. 




Cette définition el le calcul (|ui détermine la tenipeiature a en fonc- 
tion des (juantités connues a, /•, t; sont fondés sur les principes sui- 



vants 



I. <Jn détermine deux températures tixes, savoir : celle de la ;,Hace 
fondante et C(dle de l'eau bouillante. On suppose que l'ebullition a Heu 
sous une pression de l'air déterminée. Cette pression est mesurée par 
une certaine liauteur du liaronii'Ire, le mercure de cet instrument avant 
la température de la jilace fondante. Un prend pour l'unité de lem|ié- 
i-ature la diirérence des deux températures tixes. 

On mesure les (juantités de < lialeur en exprimant par un nombre 
combien elles contiennent de fois une ceitaine (juanlité prise pour 
unité. 

Cette unité est la quantité de clialeur nécessaire pour porter un 
corps donné (une masse de U^x formant l'unité de [)oids ) de la tem- 
pérature de la glace fondante ;i la température de l'eau bouillante. 

On pourrait |)i'endre |)our la température (jui répond à zéro sur 



:«6 NOTE 

Trilirllc llu'iiiioinr(ri(|iii' collo de la glace fomlaiilc, ou celle de la 
cuiii^élalioii du ineriiire. ou une teuipéralure luiV'iieurr (|U("Ieon(|ue. 
Si l'on d('sii;iiail par /j'to la teiiipéraliire de la i;laee tondante, eelle 
i\v l'eau honillanle serait désignée |)ai' i. Tue niasse de ter égale ii 
l'unité de poids, et ayant la température zéro, recevrait donc la teni- 
pératui'e i si l'on ajoutait une quantité de chaleur r égale à eelle «jui 
est prise pour unité. Une température quelconque désignée par z est 
celle (|ne la même masse recevrait si l'on ajoutait la (juanlité de cha- 
leur zr. 

Si une masse solide conserve dans tous ses points, en veitu d'une 
cause (|nelconque, une température constante, et si (die est placée 
dans un espace vide d'aii'. il en sortira pendant l'unité de temps une 
certaine (juantité de chalcui' toujours leniplacée par la cause (jui main- 
lie ni la température. On suppose (|ue la surlace XZ i/iii'. 2) appartienne 

Fig. ■:. 



il la superficie de ce solide, (jue son étendue soit ctdie de l'unité de sur- 
face, et que la température fixe du corps soit zéro. On désigne ]iar A la 
(juantité de (dialeur (jui sort de cette unité d<' surface peiulant l'unité 
de temps. Si la tempéi'aturc constantes du sidide est 1 au lieu d'être zéro, 
la (juantité de chaleur s(ulie de l'unité de surface XZ pendant l'unité 
de temps sci'a A -\- //. I.e produit de l'émission sera augmenté de /i. On 
ne peut douter (juc tous les corps n'envoient une grande quantité de 
(dialeni' dans l'espace (|ui les environne, (|uellc (|ue soit leur tempéra- 
ture, et même si (die était iuférieui'c .à tontes celles (pie l'on a (diser- 
vées jus(]n'ici. (ietfc pnqiriélé se manifeste surlont dans les cil'ets (|ui 
dépendent de la réilcxion du froid, cl dont M.M. l'ictel et Prévôt ont 
doiiiii' les premiers re\jdicali(Hi : mais nous pouvons nous dispenser 
d'avoii' égai'd ;i cette émissi(Mi de la chaleur aux températures infé- 
rieures. Les consé(|uences (|ne l'on se propose de démontrer seraient 



SI |{ LA CHALEII! [UVO N \ \ \ Tl-.. :nT 

oncore vraies si la (|uaiUité désisnéo par A rtail nulle. Il osl souIoiir'iiI 
nécessaire^ de ri'mar([iior que le ('(U'IThmciiI // n'cxitrinic point la (|nan- 
tité totale et absolue de chaleur (|ni sort de l'nuité de surface XZ 
retenue à la température r pemlanl l'unité de temps, mais seulement 
la ([uanlité excédanle due à l'élévation i de la lempéi'aturc. 

Si la température eonstanle de la surlace XZ est égale ;i h. h dési- 
liuant une fraction on un certain nombre d'nnilés de tempéralure. la 
(|uautilé de chaleur émise pendant l'unité de temps sera lili; elle eroil 
proportionnellement it la température A, ou du njoins ce rapport a une 
valeur sensiblement constante pour les températures que nous pouvons 
facilement observer et mesurer. 

Si la niasse était (tlongée dans l'air, l'émission de la chaieui- ncca- 
sionnerait dans le milieu nn courant dont la vitesse dépendrait de la 
tenqtérature h. Dans ce cas, et si la valeni- de h était tirs i;raude. la 
([uantité de (dialeur émise ne serait pas exactement re|irésentee par l/h: 
il fandr-ail y ajouter un nouveau terme dont (Ui peut ici faire abstrac- 
tion : cai' l'émission a lien dans le vide, et les iiriqtositious que ['(Ui \a 
démonlr'cr |tonr des températui'es moyennes sciaient eucmc viaies si 
les températures excédaient les limites ordinaires des observations. 

!,ors(|ue l'etendin' de la surface XZ est s an lieu d'être i , v désii;iiant 
une fraction, nu un certain mniibre d'unités de surface, la tjnantilé de 
chaleur émise pendant l'unité de temps est lis. 

Les observations (uit fait conuaitre (|ue la forme de la surface 
écliaiiHee XZ n'iulliic point sur la quantité de chaleur émise. Cette 
quantité serait encnre éifale ii // si l'aire XZ ap|iaitenail ii la siipi'ilicie 
d'un siilide irnne forme (jn(dcoii(|iie. Seiileinenl cette forme |)onrrait 
être telle (|ne des rayons de chaleur envoyés par une partie de la sur- 
face XZ tombassent sur une autre partie de cette même surface. 



il. In clément w de la surface XZ ayant la température i-onstanle A 
envoie pendant l'iiiiité de temps une quantité i\v chaleur excédanle 
éjiale à lilt. Chaque point m de cet eléineiil est le cciilre d'une intinilé 
de rayons (|ui se succèdent sans inleriiiplion. cl composent un hémi- 

u. Xi 



338 NOTK 

sphi'rc toujours l'iMiipli do chaloui'. La eapaciié d'an rayon donné est 
j)ro|)orlioMiicllc ;i Taire (|u'il ocrnpc sui" la siii'facc liémispliériquc dont 
le centre est en m el dont le rayon serait i. Si l'on suppose (ju'un de 
ces rayons 1{ occupe un Irl'S petit espace z sur la surface de l'hénii- 
splii'i-e, dont réiendne est -ir., r. désii^nanl la lonj^iieiir de la denii-cir- 

conléience don! le raxonesl i. la capacité du rayon R sera le rapport ^• 

On p<uirrai( ('(nicevoir (|ue tims les rayons qui s(U'tent du point /// ont 
la même i/ilcNsilc . c'est-à-dir'c, (|n';i égale capacit('' ils contiennent la 
même (|nanlite de clialeur, et alors la distrihution de la clialenr dans 
riiemisplii're serait nnii'oi'me. L'Iiypollièse (|ue l'on l'ormerail ainsi est 
entii'i'emeut conti'aii'c aux (iropi'iélés naturelles de la clialeur. La coni- 
|M)silion lie riiemisplii're n'est point liomoi;éne : l'intensilé de clia(]in' 
ra\iiu e>l exactement pro|vn'lionn(dle an cosinus de l'ani^lc ([in- la 
direction de c<' rayon l'ait avec la normale à la snri'ace. Ainsi, l'inten- 
silé du ravoii perpendiculaire est doiihle de cidle du rayon ijui (ail 
avec la surface un an^le éi;al au ti(M's d'un droit. Il est très facile de 
reconuaiire (|ue si l'éniissinii de la (du leui' est assujettie ii celte loi, 
ré(|uilil)re snlisisie de Ini-méine dans tontes les pai'ties de l'espace, et 
l'on prouve, |iar uiu' analyse semlilalile. (|ue l'équilibre ne [leu! snl»- 
sisler sans cette condition. Les Mémoires cités dans l'Extrait [irécéLlenl 
(■(uilieniieiil la déinonshalion de ces lliéori'nies. On ne st^ |)i(qiose point 
ici de la rap[)orter, mais seulement d'examiner cpods st'raienl les elléls 
de l'émission de la chaleur si tons les rayons avaient une éi;ale inten- 
sité. 

Pour mesurer l'intensité ; d'nn rayon \\ dont la capacité est inti- 
iiimenl petite, ou sup[iose ([ue tous les autres rayons (pii partent du 
même point /// et rem|)lissent l'Iiémisplil'ic ont cette même intensité r, 
et (jii'il eu est de même de tous les autres points ///, ///', m" \ ... i\c 
l'unité de sui'face \Z. Dans ce cas, l'acci'oissemenl de la clialeur émise 
pendant l'unité de temps, et <jni serait dû ii l'élévation de lenipéra- 
Inre !, aurait une valeur diiferentc de //. Ou représente |)ar ; celte 
valeur, cl elle est la mesure exacte de l'intensité du ravou. Il est maui- 



Sun L\ CFIM.RlIi nWONNANTK. XM) 

ft'slc <|iie tous les rayons iiiliiiiincnl jtclits ([iii, sorhint (riin iin'iiir 
poiiil f//. l'ont avci- la surlaci' XZ iiii ni(''fiif ;ini;li' o sont ('■^ialcnicnl 
intenses, ou plutôt on ne eonnait aucune cause pliysi(|uc i[ui |)uissi' 
rendre leur inlensilé inépile. Il n'en est jkis de même des deux ravons M 
et R' (]ui sortii'aient de la suii'ace sous des ani^Ics diflérents z> et c': le 
rapport de leurs inlensilés ; et ;' i)enl être ctdui d'une certaine fonction 
du sinus de o à la incnie fonetion du sinus de o . j-ji ijenéral. on doil 
représenter rintensilé ; par :,'-F('sin'^ ), i;- étant un coeCtlcient con- 
stant, et F(siii':/) une fonction dont la nature ru' peut être di''teriniiu''e 
(|ue par les observations. 

III. Si l'arc BN(", i/ig. ''>), dont le rayon est i , tourne autour de l'axe 
(i.M, il décrira l'héinisphi're, et l'élénienl NN' décrira une zone qui est 

Kic'. i. 




occupée par tous les ravons sortis du point M sous le même angle N.MH, 
(lésiiirié par z; retendue de cette zone est 2-cossr/ç. : ainsi les ray(ms 
don! elle est la hase ont une capacité totale égale à cos^r/'^. Kn re- 
présentant ieni' intensité par s^Vi sin^), le produit s(V( siiio ) cosç; r/ç, 
exprimera la ([uantité de (dialeur émise sons l'aniile s par l'unité de 
surface: c'est-ii-diic ijuc si, pour clia(|ue point ///, ///, m", m'" de l'iuiile 
de surface XZ, on prenait tons les rayons (|ui, sortant sous le même 
an^île ':-, ont leur hase sur wwv zone liémispliéri(]ue égale ii 2-coso</ç.. 
la (|uanlité île clialeui' fournie ])emlant l'unité de temps j)ar ces seuls 
r'avons serait i,''F(sino) cosç. ^/ç.. 

Il suit de là ([n'en intégrant celte diirérentielle depuis ç, =o jiis(|ir;i 
o = :',-, la somme doit être égale au coefticienl // : car ce coefficient 
mesure [lai' livpollièse le produit de l'émission totale. On doit donc 



:U0 

avilir hi iiinilition 



NOTE 



= / A'F(sinv)cos 



<K. 



Kii (li'si^iianl siiiç- pai' n, on a A = i,'' / V{'j)(h\ cl l'iiil(''i;ral(' doil ("'tri 
prise (le o = o ;i o ^ -.~, (iii de 7 -- o à c: = i : ainsi le coflticiciil A' •'>! 



r'..> 



)'/- 



l'cxpicssion liénrralc de l'intcnsilé dans los (|UOsti()ns de ce genre esl 



F(>) 



f 



Y[r;)<h 



si l'on sn|)|)osai( (|ne l'inlensité fVil la même ponr lous les rayons. 
(|iHd (|iie IVil l'angle o, la l'onction F(sinÇ') serait i; on aurait ;,•=/'. 

Si l'on snppose (|ne l'intensité est proportionnelle au sinus de 
l'angle d'émission, ce qui est le cas de la nature, la fonction F(sin-j) 
est é"alc il si no : on a aloi's 



/ V('7)(h 



el 



'.h. 



Dans ce cas, l'inleiisité ; d'un ravon H sorti de la siirtace siuis 
l'angle o est aZ/sino. La (|Uântité h représente rintensilé luovenue: 
e(dle du rayiui noriiial est ■ili: c'est-ii-dire (|in', si tous les l'avons 
avaient celle même intensité, le [irodiiit de rémission serait dmilile «le 
ce (|iril est eu ellél. l/inlensité de ce rayon, (|ni l'ait avec la siirl'ace 
un angle égal an tiers d'un ili'oit, est //; elle est égale ii l'inleiisité 
moyenne: c'est elle (pTil l'aiidrail donner ii Ions les rayons pour (|iie 
le prodnil de ri''inissi(m l'ut égal à celui (|iic l'on |iourrait ?nesnrcr par 
les observations. 

I\'. Les principes (|iu' l'on vient d'étaldir siiftisenl pour déterminer, 
au moyeu d'une analyse l'orl simple, tons les ellets de la chaleur raviui- 



SI 11 I. \ Cil vij:i I! i; \^ ow wie. ww 

liante, taiil (|iie I on n'a [loinl criard ;i la rt'tk'xiltilitf des surlaccs. 
L'explication complète de cette deinii're pi'o|)riété exigerait des déve- 
loppeinenls plus étendus. On peut en l'aire ahstraetion li)rs(|n"oii se 
propose senleinent de calculer les teitipéi'alnres dans un cas pailieu- 
lier comme celui de l'éi^ale iniensilé des rayons. On |uuirrail aussi 
omettre l'article précédent: mais la i'eniar([ne ijuil contient est néces- 
saire |ionr com[iarer riivpollièse d'une égale intensité ii celle d'une 
intensilé piupoi'tionnelle an sinu> de l'auLile d'émission. 



\ . On suppose maintenant <|ue la distriliution de la chaleur dans 
riiémispht're est uniforme, et ii s'agit de déterminei', pour ce seul cas 
on tous les rayons smit é^alenn'iil iulenses. la tempei'alure (|ue doil 
acquérir une moléi'ule spheri(|ue u. placée ii la dislaïu'e i,'- du cenlre de 
l'espace s[tliéi'i(|ue. On snp[)ose aussi (jiu' l'elat de la superiicie de la 
nKjlccule est le même tjne l'étal de la surface intérieure de l'i^nceinte. 
Par conse([uent le cocfticienl // est commun aux deux surfaces. 

La molécule spliérique dont le centre occupe le point /reçoit pen- 
dant cliaqnc instant uiu' cerliiini> (|uantité de chaleur de tous les points 
de l'enceinte S dont la tem|iéraluie est a, cl elle envtue aussi, par sa 
propre surface, nue certaine (juantité de chaleur (|ui dépend de sa 
température. Supposons (|ne l'on donne ;i cette sphéi'e intiniment [le- 
lite 'j. une température a telle (|ue la quantité de chaleur envoyée |iai- 
la moli'cule [leudant ini instant soil égale ii cidle (|u'elle recevrait de 
l'enceinte pendant le nn'me teiM|)s; il est manii'este (|Ue la teuipera- 
ture y. ne pourra varier. 

Si l'on donne ;i la splii're a une température moindre (|ne a, cette 
molécule recevra une (|naiitité <le chaleur plus grande (|ue celle (|u'elle 
envoie; elle s'échanlfera de plu> en plus, sa tem[)éralnre s'approcliant 
conlinu(dlement de la valeur a. Si, au contraire, la molécule reçoit 
d'abord une lempéralnre plus i;ramle (|ue y., la (|uanlilé de chaleiu' 
perdue pur la molécule surpassera celle (|u'i'lle reçoit, et la lempéra- 
tnre ilimiuuera en s'approidnint conlinuellemciit de la valeur y. 

Pour déterminer la tem|iéralure ([ue doil aci|uérir la molécule lors- 



:iVl 



NOTE 



(jii'on hi place an point / de l'csponc, il faut donc trouver une valeur a 
(le la température (|ni soit (elleqin^ la clialeui'pei'tlue par cotte sphère tj. 
soit éi^ale ;i la clialenr reçue [tendant le même teiDps. 

p étant le l'ayon de la splii're u., la (|uaulité de ( lialeur (]ui sort i\o. 
la molécule pendant Tunité de temps est /i.^ir.p'-y.. Il reste à déler- 
minci' la (|uanlité de cliahuir (jue cette molécule reçoit. On consi- 
dérera d'abord l'action d'un seul point M de la surface spl)éri(|uc S. 
On désigne par o l'angle 31AB; l'arc MB sera ro, r étant le rayon de 
la surface sphcri(|ue. L'ordonnée iMP sera Asincp; l'abscisse PA sera 
/•coso, et P/ sera rcoso — i,'. 

Kn désignant [)ar r la distance M/ du point M au centre de la molé- 
cule, on aura 

1'--" '■" siii-o -H (/■ coso - ,i')'= '■'"- 2^'/- C0S9 + .:,'-. 

Le rayon dont le centre est en M, et (|ui enveloppe la molécule spbé- 
i'i(|m' a. oci npe une certaine partie de la surface bémispliéri(|ue dont 
le centre serait aussi en M, et qui aurait pour rayon la distance y. 
L'éti'udue de cette portion occupée par !e rayon incident est -p'-; on 
plus cxactenienl cette étendue ne dillere de ~p- que d'une (|nantité 
inliniment petite par rapport à elle-ménu', parce (|U(^ le rayon z est inti- 
ninient petit par rapport à t. La surface de ce même liémisplii're est 

2zy-' : donc la capacité du ravon incident est 



~ — r OU - ^hi I on 



désigne par (o l'aire d'un élément inliniment |)elil amjuel le point M 
appai'ticnl. la (|iianlité de ciialcnr envovée par cet élément à la molé- 

cide u. iiendant l'nnile de temps sera //-^,cor/. 

Si réiéim'ul .MAI' de l'ai'c i5M tourne autour de l'axe liD, il tracera 

une zone spliéri(jue (jui envoie à la molécule une quantité de clialeur 

exprimée par 

lia ^ — r j-/' siiio/' f/o on '/A —; ro- siiio <•/'-!. 
■'.y- y- ' ' ■ 

Mu intégrant cette différentielle d(>puis 9 = jus(|u'à 9 = -, on con- 
iiailra la ([uantilé lotale de (dialeiir reçin- par la nudécnle ;x; et. comme 



SIR LA CIIVLEIR liAYONN VNTE. 3i3 

la quantité de chaleur perdue est h . |-:-x. on doit avoir l'équation 



■\y- 






II esl facile de déterminer la valeur de y., ou 

/•- siii'v do 



au l'a 



a /■" r-iinocio 

4,', /•-— •2,A'/-C0SÇ. -f- ,:,'■- 

On désignera par n le rapport donné -^ et supposant cos-;- =/j. on 

I r^' —dp 

4 J_ 

L'intégrale / !- ^ est 

./ I — 2 111) -^ n- 



l_ I — 2 np — n - 



et Ia constante est 



log(i — ?.itp -I- li- ) -T- consl. 



loïf I — 2« — «-) 



puisijue l'intégrale doil être nulle lorsque p = i; on n donc 



1 — > iip -h II- "in \ I 

et faisant p — ^ i. on a 



I , / I — 2 np — II- 
loir ' 



2 «/' — /( - \ 
2 « — II'- I '■ 



r'- "'^^ ^^ lo. p"-^": " =i io.(i-^v 

, f 1 — 2 np -^ a- 2 « '^ L( I - - /n- n \ i — /( / 



il suit de là que la valeur de a est donnée par l'équation suivante 



I /• / r 
y. ^= -j a - oiT 



Si. pai- exemple, g— -^r, on aura a = ^rtiogj; et lors(|u'nn augmen- 



3k'* 



NOTK 



fera l;i vïilour tic ~ depuis ', jiis(|irà i, le rapport - augmentera (le]niis 

V, log'3 jiis(|u';i lintiiii. 

[.(irsque ^ est nul, l'expression devient > et l'on ti'ouvera, par la 
' /■ ' I) ' 

règle connue, soit en dilFérentiant, soil en lédnisant en série, a = \(i. 
Ainsi la iriolécnle, étant placée an centre de la sphère, ac([uerrait 
seulenieni une température égale à la moitié de celle de l'enceinte. 
Lors()u'on élitignerait cette molécule du centre, (die prendrait une 
température (Fînilant plus grande (|u'elle serait plus voisine de la su- 
perticie. Cette température acquise deviendrait d'ahord égale à celle 
de l'enceinte; ensuite elle augmenterait toujours si l'on rapprochait la 
molécule de la surface, et (die jiourrail devenir aussi grande ([u'on le 
V(Midrait. 

\'i. On peut délerminer en (|uel point la molécule doit être placée 
pour (|ue >a lem|)éi'ature ait nne valeui' donnée égale à //i<i, /// étant un 
nornhre (jmdcoïKine. Il suffit de résomlre re(|ualion 



:,/« 



- lof;- 

/i V 1 — /( / 



en rei;ar(lan! comme l'inconnue le l'apport // ou '"- ; (|ueslion ([u\ appar- 
tient à la théorie des é(|ualions, et dont la solution est facile. 

On voit donc (|ue, si les ravons (jui sortent d'un point /// d'une sur- 
face é(dniu(Iée avaient la même intensité sous toutes les directions, 
rc(|nilihre de la ( haleur ne pourrait s'élaldir dans nu espace tei'ininé 
|)ar une surface sphéri(|ue enirelènne ii inie l(Miipéralure constante. 

I.a undécnle sphéri(|ue (jne l'on y placerait changerait de tempéra- 
ture en (diangeani de posi(i(m. On pourrait placer le centre de la molé- 
cule en un l(d point (|ue la (|uanlité de chaleur qu'elle recevrai! fut 
incom|>aral)lement |)lus grande (|in' pour' un aniic point. Snp|iosons, 
pal' exem|)le, (jin- la molécule ;;. soil d'ahord ii la Icmpei'alnre a; sa 
siii'face perdrait la même (|nantilé de chaleur A (pi'nm' surface de 
même élendiu' (pii ferait partie de l'enceinle. Si donc le lieu où l'on 
place la molécule était t(d (|u"(dle l'cci'il de l'enceinle une (|minlilé de 



sert j. \ ciiM.KMî nwowwTF.. ir,:; 

chaleur ogak- à A. elle roiiscivcfail iici'osaircinciil l;i Icniprriitiirc a 
qu'on lui aurait donnée ()i- ou peut toujours (l(''sii:nri- le point ili' l'cs- 
jiacc où la iliak'Ui' ri'i'iu' tv-l l'i^'alo à A. l't (-"csl en l'o point --l'nirinrnt 
(|ue rt''i|nilil)rc a lieu : il M'rait iinpossiblo pour tou> les auti-cs: la nio- 
léi'ulc, ]ilac;('r' au centre de l'espace, l'ecevrait soulcinent une (|ininlilc 
lie elialeiir éiiaie il 'A: et, eu l'approi-lLint de la paroi intér-ieure de 
rcnccinle. on trouverait des points pour lesquels la elialeur reçue est 
cent fois ou mille lois plus i;i'ande (]ue A. Il en n'snltei-ait donc une 
teuiperainre ae([uise ineoniparaldeinent plus ^i-;iinl<' que celle- de Ten- 
ceinle; ce (|ni c>l contraii'c ii toutes les observations. 

-Mais si le rayon Ml qui siuldu |)oinlM(le l'enceinte conlienl.ii éi^ale 
capacité, d'autant ukuus de cindeur (ju'il l'ait un |ilus petit aui;le avec 
l'clcnient île la surface s. ei si mih intensité est pi-o[iortionnidle an 
sinus lie cet aniile. la (|u;iulite totale di' chaleur reçue [lar la inolc- 
cnle V. est égale à A. (|uelle que soit la distance JA dcsi!.'uee par :,■. 
('.ette |U(qMisition im' dépend m de la foiine de l'enceinte, ni de celle 
du locps tini on inlininient |)etil <j. <|ui reçoit la idialenr. 



^ 11. On n"a |i(Mnt cousidi-ré dans le calcul |»i'ei-edent la priqiriété 
(]ue peuvent avoir li's sniTaces de réfléchir une partir de la clndeui' 
iin"idcnt(> qu'elles recoiveni des corps environnants: et roii n'a point 
e\pli([ue la cause phvsi(|ue du décroisscnient de l'intensité des rayon-. 
et les ell'ets qui résulteraient de toute autre loi de décroisseinent. ('.es 
parties de notre Théorie nécessitent nu exanuMi |ilus ap|ii'of(Uidi : au 
reste, il est facile de vcur que, dans le cas d'une émission honioiri'ne. 
la molécule a, placée au centre de l'espace >|du'i'ique, en ac(|ueianl la 
])r(q)riéle de réiléchii- une partie des rayons incKicuts, ne prendrait 
point une température eiiale ii c(dle de l'enceinte. 

En eti'el, « lia(]ue point M de renceinte envoie à la molécule un rayon 

de clialeui' d(Uit l'iuleusite est a/i. et la caiiaciti' -.. • 

' >. I- 

Donc la quantité de chah iir envoyée ii la lUidécule par un élément oj 
de la surface intérieure de l'euceinte est -^— "t>; en multipliant cette 
(I. 44 



346 NOTE 

(Iciniiu'c (jiiaiilitc pai' le rapporl de la surface entière [\T:r- à l'clé- 
iiHMit co, on Ireiivcra la (juaiiUté (olale àv chaleur 2Tzp'-ah que reçoit 
la molécule [j.; et cette; ijuantité est deux t'ois moindre que celle qui 
est envovée dans l'espace [lar la même molécule retenue à la lemptira- 
ture constanle (/; car celte deruii're (]uanlité est évidemment ^Mp-d/i. 
Si maintenant on suppose (|ue la lUfdécule n'est |)oinl pénétrée par 
toute la chaleur incidente, mais (|u"(dle en repousse une partie, il est 
visihie (|u'il n'eu |)eiit point résulter que la chaleur reçue devienne 
e(juivalente à la chalenr perdue. Il semble même ipu' l'on pourrait en 
lonclurc (|ue rinéi-alilé serait encore plus grande. .Mais cette dernii're 
conséquence ne peut être admise. En ellel, quoique l'on ne connaisse 
pas encore; la nature de cette force (]ui, s'exerçant à la surface, repousse 
vers res|Kice exierieni' une partie de la (dialeur im-ideiiti', et l'empêche 
de pénétrer dans le solide, on sait <|ue cette même cause contient ou 
r'élléchit dans l'interieui' des coi'ps une partie d(î la chaleur rayonnante 
(|ui tend à se poi'ter dans l'espace environnant : I'uim' et l'autre pro- 
priété ont une cause commune. Si l'on change l'état de la surface, et 
si, en lui donnant un poli plus pai'fait, on diminue d'une cei'taine p.arlie 
d'tdle-méme la (juantité de chaleur émise, on diminue dans le nuMue 
rapport la quantité de chaleur admise, c'est-à-dire c(dle ([ui, étant 
fMivoyée au solide par les corps environnants, jtt'ut traverser sa sur- 
face; et jténéti'er dans l'intérieur. Dans tons les cas, il est manifeste 
que la molécule ;j., placée an centre de l'espace, soit (]u'elle jouisse 
(in non (h; la faculté dt; rêtléchir uru' partie des rayons, ne pourrait 
prendre dans rhy|)Otlièse de l'émission homoi^ém' (|u"nne tcnq>(;ratnre 
très inférieure ii celle de l'enceinte. Or ce dernier résultat n'est pas 
moins contraire aux faits (jue si la tempéiainre était trop élevée. On 
voit, par exemple, (]u'en |ireiiant pour la tempêratuic constanle ci 
de l'enu-einte; c,(;lle qui ié|)oud ;i la fusion d"um> certaine^ substance. 
<in trouverait (|uc la molécule placée an rentre doit acijucrir la l<'m- 
peradire de; la glace fondante. Il sulliiait, [loiir (|iic ce résultat eut 
lieu, qiu; la température designée; j)ar zéi'o élans le' e'alcul ])rée'eelenl 
<i'it iiru' vale'iir inférieure à ceîlle de la glae'c, e't tedle e]ne; la te;mpéra- 



SLR L\ CHALE 11! HAVONNANTE. 



3i7 



lure de la glace lût moyoniic entre cellr qui répond à zéro et celle ijne 
l'on attribue à l'enceinte. 



VIII. On a représente par A la i[iiaiitite totale et ahscdue de i-lialeni 
que l'enceinte de surface einoie dans l'espace pendant l'unilc de tenip> 
lorsque la température de la surface est zéro. Dans le calcnl precedeni. 
on a dû faire alistractiun de cette quantité A ou la re^'ai'der coniine 
nulle: en ell'et, si l'enceinte S avait la température constante zéro, la 
molécule ;j. [)laeée en un point ([nelc<in(]ne de l'espace conserverait la 
température zéro si elle l'avait reciu' d'abord. Pour (jue ici eliét ait 
lieu, il est nécessaire, on (|ue la (|nantite A soit nulle, "u (|ue la clia- 
leur reçue par la molécule soit toujours éi^ale à celle ([u'elle envoie 
elle-même dans l'espace. Hans le |iremier cas. (|ui est purement bvpo- 
tbeti<|iie, la lemjiei'ature prisr poui' zéro coi'iespondiait ii l'état des 
corps ijui n'émettent aucune i-baleiir. Dans le second cas. l'équilibre 
a lieu il la triri|iei'ature zéro, pari'c (|iie l'émission est assujettie a la loi 
de décroissement i|ui r-eud rei ('(|nilibre possible. 

L'analyse précédenti' prouve donc que. si une partie seulement de la 
cbaleur émise, savoir C(dle i|ni est due à l'élévation « de la tem|)éra- 
ture. n'était point assujettie ;i la mémi' loi. et ([d'elle fut au contraire 
uniformément distribuée, on observerait, à partir de la température 
zéro, (les eHéts énormes opposés ;i tontes les observations, et l'equilibri' 
de la cbaleur ravonnante cesserait eutii'remeni de subsister. Si l'un 
clioisit poui' la température desii,'uee |)ar zéro celle qui oonvienl a la 
congélali(Ui dn mercure, et si la valeur dési^'iH'e par» est la temiiera- 
ture de la lilace fondante, un li-ouvcra sur le rayon HA un [loint K tid 
(|ue la nodécnle. vêtant placée. ac(|neira aussi une température égale 
a (/. cl l'un lionvera entre les points M et i^ un point E [)Our le(iU(d la 
température serait celle de l'eau i)(uiillante. Riitin. on trouverait entre 
B et E un point E" oii la lem[icrature acquise par la molécule serait 
c(dle qui repond ii la fusion du 1er. l'iuir que ces résultats eussent 
lieu, il ne serait même pas nécessaire que toute la cbaleur émise par 
les corps fût assujettie ii une distribution uniforme: il suftlrail que la 



:{VS NOTE SI li l,\ Cil VI, El I! lîUO.NNVME. 

loi n;iliir('llc du (ItMToissciiu'iil ne lu! ]i(iini observée ;ni di'la du Icriiic 
(|iii coiTcspoiid il hi li'iii|ii''r;iliir(' zéro. 

Ainsi le l'iiil i^éiiéral de re(]nilil»ri' de l;i (diidcur ravoniiniilc sii|i|tose 
(]iril n'y a iiiiciine parlie île la elialeur émise ijui ne soit assnjcllie ii la 
loi (iiie nous avons dcnionlfee. Si, |)oui' uni' [loi'lion (|n('lcon(|ni' de i-fl{o 
eliaienr projetée, l'émission elail lionioi^i'iie, l'iMiiiililiie serait triuii)lé 
dans loiilc la masse, et l'on oliservi'rail, ;i pariii' iriiii point fixe, loiite< 
les lein|ieratnres possiiiles dans un esparc oii il ne peut \ en avoir 
iin'nnc seule. 



QUESTIONS 



TIIÉIIinK IMIVSKHK IH: L\ niVLKlU RAV)>\\NT]:. 



QUESTIONS 



THÉORIE PHYSIQUE DE LA CHAEEIH RVYOWVNTE. 



Animlts de Cfiiniic et df Ph)siquc, Si'ne I. Tome VI. p. 259: 181 ' 



On s'est proposé, dans les Noies suivantes. d"e\aniiiicr diverses 
questions r(dalives ;i la TlK'orie plivsi(]ue de la clialeiu' rayonnante, et 
de raïueiier aii\ piàncipes i:énéi-aii\ de eetle llit-orie |)lusieiir> lait^ 
renian]iial)les dont rexplicalioii avait d'alnji'd païai sujette ;i (|iiel(|iii' 
incertitude. 

Lors(|u'oii expose, le soir, ;i l'air lllne. des corps de dillérenle es- 
pi'ce, on (diseive qu'ils se refroidissent tri's inégalement. Les suh- 
stances ni('lalli(|ues polies coii-iervenl pins l(Higîeni[is h'ur ( lialenr: la 
terre, l'iierlie, la laine se l'elinidisseiif proinptenient ii leur surface, l u 
tlieifUdinilre ddut la houle est noircie pri'iid une (ern[terature tixe. 
inférieure à celle (]ue niartjueiait i-e même (hermométi'e si la liunlc 
était couverte d'une envidoppe melalliijue. Il s agit de com|)arer ces 
faits, et spécialement le dernier, avec ceux (|Ui servent de fondenieiil ;i 
la Théorie de la chaleur rayonnante. On a demandé comment l'explica- 
tion de ces elfels peut se concilier avec un piineipe (|ue tou^ le> physi- 
ciens pai'aissi'iil avoir admis, et (|ni suppose (|ue la faculté de recevoir 
la chaleur est toujoni'S égale ii c(dle de la commun i(|uer. 

Vax ihennoinètre étant expose ii l'air pemiaiit la nuit, si l'on place 
un mii'oir métalli(|ne concave dirii^c vers le ciel en sorte que la houle 



3.v2 OrKSTIONS Sllt I. \ TU KO K I M PinSlOlK 

(In llKM'ninini'tic (I(tii|ii' le lover, on observe un iibnisseineiit sensible 
(liins la lenipéralnre. Il s'ni^il de donnei' l'explication exaele de cet 
l'Iiet. el d'exaniinei' si la fonne eoaeave dn miroir eoneonri ii l'anj;- 
nu'nler <'n niellanl le lliernionièlre en eoniniuniealion avee nne |>ln> 
i^i'ande [lai lie d n r]r\. 

On a demande encore d "apivs ([uels pi'inci|M's on pourrait déinonti'cr 
le ravonneiiM'nl de l'air, el s'il contriliue aux ell'ets (|ne l'on vient de 
rapporler. 

i.a loi d'émission d<^ la (dialenr a donné lieu aussi ii plusieurs (|ues- 
li(Uis sur la nature d<' celle loi, sur les diverses preuves (jiriui en |M'nt 
appoilei', et sur la cause pliysi(|ne (|ni la délermiiK'. On a demandé, |)ar 
cxi'iiiple, si, pour expli(|uer cetle cause, il est ueeessaire de considérer 
les ravons de idialenr émis jiar une nndécnle S(di(le voisine de la sui'- 
tace comme ('laiil eu partie al)sorlM''s par les imdécnles inlerine(liaii'es 
(|ni la séparenl de l'espace extérieni', el si la même loi ne snlisislei-ait 
point eiicin'c eu snpposani (juil ne s'opi're aucune al)Soi'|tli(ni. 

On a l'ondé celle remai-(|ue sur l'analyse inén)i' (|ui conduil à l'ex- 
pression de la (|iKiiilil(^ de i lialeur émise; car celle expression parait 
iiidepeuilante de la loucliiiii ipii représente p(Mir nue distance donnée 
la (|iiaulil<'' de chaleur ahsorhée. 

.N(Mis allons examiner sommairemenl les {|iieslioiis |)recedentes, et 
indi(|ner les princi|)es (|iii servent ii les résoudre. 



II. 



!)<' I<t loi <l (uiissioii dv 1(1 clnilcur myoïiiidntc. 



On rappidiera d'aliiu'd les lliéiurmes i^dalils ;i remissi(Hi de la cha- 
leur rayonnaule, car ils s'a|)j)lii|uenl a loules les (inestions (|ue l'on 
vient d'énoncer. 

Ou peut arriver par dillerenles voies ii la connaissance de la loi iini 
irii'le rémissiiHi île la chaleur ravouuanle. Il esl nécessaire de cmisi- 
derer, sons plusieurs points de vue, celle proposition rondameutale. 

Si l'iui mesure, an moyen tl'un miroir melalli(|ue couca\e cl d'un 



I)K L V Cil VI. Kl I! r. W ()\\ \\\E. 



:!.>:{ 



llieniioiiK'lrc placé au Iovit, rdicl ilc l:i cltalçur rayunnaiitr (|u"iiii(' 
surface plane cchaiinV'O envoie à une icrlaine di.-lanre, et si l'on fait 
varier Tinclinaison de la surface, on voit (]ue riuteri<ilé île la i;lialeur 
eiuise est sensii)lenienl propoi-lionnelie au sinus de TauLile eonipri> 
enire eliiuiue ravon et l'eleineul de la surface iloiil il sort. 



III. 

Celle loi a été d'alioi-d indi(jin''e jiar' le< oliservalicuis, ensiiile ou a 
denionlre (|irelle esl une i'onsei|iH'nre île ri'i|uil ihre de la (dialeiii' 
rayonnante, lui ell'el. si, dans nn [loint (|uelcoiu{ue d'un espaei' ipu' 
termine nue enveloppe S(dide. opai|ne. retenue ;i nui' leinpiMatnn' 
constante, on place niu' nioli'cule élevée iravaru-e ;i i elle um'Uic leni[M'- 
ratui'e, il est certain ijne l'i'tat de l;i nudecnle ne suliira aiu'un eli;iii^.'e- 
nn^nl. Or, on peut denionlrer (jne le lait i^eni'ral, ipii conslilne l'eipii- 
liltre (le la elialenr i-avonnante, n'aurait point lien >i les rayons ipii 
lra\ersenl nn rnénu' élenieul de la >nilai'e de renceinte avaient la 
même intensili' dans tontes le> ilii-ectioii>. Il l;iiit donc rhiMelin- (jnelle 
esl la loi lin decroisseuienl de l'intensité (|ni rend ri'qnilibre possible. 
Le résultat de celle i-echerclie étant la loi tdle-UH"'mc ipu' nous a\on> 
énoncée, on voit i|u'il v a une eonnexion certaine entre cette loi de 
ri'mission et le fait jirinci[(al elaldi |»ai' les (diservatioiis cmnmnne^. 
Cette relation est analogue ii celle ipii subsiste entre la [u-opiii'tc (|ne 
les li{|niiles oui de conserver' letn' niveau ii la -nrfaee et le thi'iuvine 
qui l'ail connaître la diininnlimi i\\\ poid> occasionnée par l'iinmei^ion 
du solide. Il esl évident ([ue ce ilei-nier tbéoi'i'UU' sei'ait tri'> imparlai- 
lemenl connu s'il était senlemenl fondi' >ni- des inesnies douiu'e> par 
l'expéi'ience. et si l'on ne di'uuinlrait point i|n il est nu rc-^iillat ni'ce-<- 
saire de l'éipiilibrc des lii|nides. 

I\ . 

Il est facile de \oir comment l'éipiilibre de la chaleur s'établit on se 
conserve d'après celte loi. Il sullit de eoiisidi'rcr le> ronseijnence:- sui- 
vantes. 

II. i". 



:}oV Ol ESTIONS SL'Ii L\ THEORIE l'IIVSlOUE 

l'iie moliTiilc rccoil loiiioiirs la nirnic (|ii;mti((' de i-lial<'iii\ (|ucl t\i\t' 
soil le point de r('S|)ac<' (lu'cl'ic oi'ciipc. {'.Ikkhic rléinciiL de la sinTacr 
d'iiii roi'ps ciivoie à r('iivi'l()[i|M' solide autant de chaleur qu'il l'U rrc(>il 
de (■(■(le cnvelôiipe. La elialeiir iut('rr('[it(''e |)ar un sceonil r(U'|is, place'' 
cntrr le incniicr cl l'cncciulc, (»sl exactement com[icnscc par celle (]ue 
le second coips envoie au pceniier. Kn ijéiicral, ré(|uililti'e s'etaldit 
d"clenienl à élément. (dia(|ue particule d'une surlace envoyant ;i une 
aulre surface (|uelcon(|ue. tinic ou inliniment petite, une (|uaiitité de 
idialeiir i'ii;oureus(Mnent éi^ale ii c<dle (|u'(dle reçoit. 

Ces c(uisé(iucnces n'auraient point lieu si foute la clialeur envoyée, 
ou une portion tri's sensilde <le cette clialeur, était assujettie à une loi 
d'émission dill'erente de celle (jue l'on a énoncée. Les corps elianp;e- 
raienl de temj>cralure en chanL;eant de situation. Les liquides, ac(|ne- 
ranl dans leurs diverses parties des densités inci^ales, ne demeni'e- 
raicnl point eu ecpiilihi'c dans un lieu d'une température uniforme; 
ils y sei'aicnt animés d'iin nnuivement perpétuel. 



On peiil encoi'e arriver ii la connaissance de cette loi en consid(''i-ant 
la cause pliysi(|ue de l'émission, il est évident, en ell'et, que, dans les 
c(U'ps S(dides non diaphanes, il n'y a (pi'une couche Iits peu é|)aisse 
(pii puisse envoyer inuucdiali'meni une pai'tie de ses rayons ilans l'es- 
pace cxicrieiir. Cette couche solide esl cidie i|ui esl la plus voisine dt' 
la supcrtii-ie. 

Le même ell'el a lieu pour la lumière (jui. dans les corps opacpn-s 
dont la surface est éclairt'-e, n'est ('mise que par les moh'culcs extrême- 
ment voisines de elle surface. 

l.ors(|irun poinl matériel, place ;i une |)etile profondeur au-dessous 
di- la superficie, projette sa chaleur en la dirigeant vei's l'espace exté- 
rieur, une L;rande partie de ( hacpn' i-avon est arrêtée |)ar les molécules 
interni(''diaires. La (|uantité de (dialeui' interceptée ih'pcml d'niu' cci-- 
taine fonclion de la dislance, et, (pndie que soif la natni'c de cette 



I>E L\ (Il A LE! K It V\ ONN WTi;. 



■MV6 



l'oiirtion. on trouve, par iiiic analyse exacte, <|ue la t|uantilé totale île 
clialenr rayonnante qui sort sous uni' direction donnée esl ]iro[ioi'lion- 
n(dle au sinus de lanule d'émission. 



VI. 



Il est tri'S t'acile (rapercêvoir ce derniei' résultat en considéianl 
elia(|ne point matériel ((Munie le centre d'une inlinile de rayons i|ui 
ont tous la même intensité; cai' il suit de c(da même (|ne les (|Mantités 
de clialeur qui traversent un >eiil élément de la sinïace, selon dilii'- 
reutes dii'cetions, son! d'autan! moindres (pu' la direclion est |dus 
obii(pie. et (|u'elles sont proj)ortionn(dles au sinus des aniiles d"emi>- 
sion : mais un ne |ieut pas en i-onelure que hi irn subsisterait cucme >"ii 
n'y avait aucune absorption. En ellet. le ibéortune suppose (lUe la mas>e 
est formée de deux parties, dont l'une envoie immédiatement au didioi- 
ses rayons ou une poi'lion de ses ravons. tandis que l'auti'e n'en peut 
{)oint envoyer dans le incine espace. Si tous les points du solide con- 
couraient ;i l'émission, la loi cesserait d'avoir lieu. 

On peut (dioisir des fonctions quelconques pour représenter la (piau- 
lite de (dialcur alisorbéc ii une dislance dimnce; mais il y a une condi- 
tion c(uniiiune ii la(|uelle ces foniiioiis smil assujetties. (!barnnc d'(db'> 
doit avoir ses valeurs nulles pour loiilcs les dislances (|ui surpa>senl 
une certaine ([uantité moindre (|ue l'epais^eui' de l'eni^einte. Ain>i l'on 
peut ilonner une forme arbitraire ;i la courbe ipii représente la fone- 
li(Hi. pourvu que toutes les ordonnées soient nulles ior^ipie l'abMisx- 
surpasse une certaine lijîue plus petite (|in' la profondeui- de la masse. 
Si cette épaisseur de renceinte était moindre ipu' la plus ;^randc dis- 
tance ii laqindlc la (dialeur se poi'te imnieiliatcnicnl . la bd d'('Mnissi(iii 
serait clianiice, ou [ilnti'il (die ne pourrait è|rr cnnservee (jne par l'in- 
Ihience des cor[»s extéi'icurs, s'ils avaienl eiix-im'Mncs la priquiéle d'ab- 
s(U-ber la cbaleui' rayonnante : il faut donc re;;ardei- celle priqirieté 
comme une des causes nécessaires de la bd d'émission. On la su[)pose 
laciteinenl lors(|u'on calcule les ejicls iln ravonncment en ne con-i- 



:!.)(• QIESTIONS SI I! I. V rilEOIIli; l'MVSHHE 

(li'i'iiiil (|ii(' les iiKiliM'ulcs l'xli'rincnii'nl xoisincs de la siipcriicie: on la 
Mi|i|iiis(' aii>si li)i'S(|ii"()ii r('|ii'('S('ii(r la qiiantilc de cliali'iir ii)li'rr('|i(('c 
par mit' loiidioii iloiil Imilcs les lici'iiil'rcs vaiciii's sdiit luillcs. 

On (Idil a .M. I.cslic les in'cniii'rrs ('\|u''i-i('ni-('s <nii ont l'ail ronnaifrc 
(jni' l'inlcnsiti' des ravinis sorlis il'nn nirnic ('lémcnt *\i' la siiilarc 
varie avec Tanglc (i'rmission , et (jirt'lli' est |)i'{)pi)rlionn('ll(' au sinus de 
iTl ani;li'. On a rcmniin t'iisiiilc : i" (|iu' celte mémo loi est la eondi- 
lioii iKTessaire de re(|ni liliic de la (dialenr rayonnante; -2" ([n'idle n'est 
point tronidee, dans le ea> de ré(]nililire, par la rellexibilité inipart'aite 
des surfaces; l" (|ir(dle sn|tpose le rayonnement uniforme des molé- 
cules intérieures, et rextiinMion des rayons envoyés par les pidnls 
situes il une certaine distance de la superticic; en sorte (\Ui' la loi 
éiKMUce n'est autre (luise (|iie l'expi'ession matliemati(|lie de ces deux 
c(Midiiions. Os propositnuis, et cidles (jui composent aujourd'hui la 
Théorie matliemati(jue de la chaleur raytuuiante. ont été données, 
pour la pi'cmil're fois, dans les Mémoires (]iu' imus a\dns remis, il y a 
plusieurs années, ;i l'InslitMl de l'i'ance. et i|ui contiennenl aussi les 
lois i;(''n(''i'ales de la |iropagati(Ui de la idialeur dans linterieni' des so- 
lides. 

Vil. 

h!.i//nssii)n de la (jiKUtlitv de fluilriir dircrlc ou rclh-cliic (fuc n-rtiil 
un pniiil (liiul 1(1 posiluiii es/ (loiincc. 

Apri's avoir etalili la hd à la<|iielle l'i'mission e^t assujettie, mi déter- 
mine facilement la (|uanlite de chaleur ([ii'une surface donnée env(ue, 
soit directement, sidl par voie de i-cllexion, ii nue nudcciile extn'ine- 
nieiil petile. Si la molécule \J. ( Jli^- i) est placée dans un poiiil d'un 
espace \ nie d'air, terminé par une enceinle solide, et si diverses |»ar- 
lie> (Kl et hli de cette em'einle (Uit des lemperalures diHerentes <i et h. 
on multipliera la tiMiipérature (i di' chacune de ces parties |>ar la cujxi- 
'7/r 7 de la surface ciHii(|ue </ 7.^/, dont le sommet est en y., cl ({ui em- 
iirasse l'aire (///. On entend [)ar la cd/xici/i- du cône, (nj.ii l'aire a (ju'il 



iti: I. \ cii \!,!:! i; I! u ow w ri:. ;i,iT 

iiili'n-(>|)(t'rai( sur la sni-faiT s|ilici-i(]ii(', iloiil Ir ccnlrc i's( en v.. et (jiii 
a riiinU' pour r'avoii. 

lui rni'iiiaul i\f< |ii'iniiiits sciiililalilcs pour huiles les iiarlics nu. />//. 
finies (Ui iiitiiiiiuent peliles. (jonl la leiii|H''ralure csl (lillereiilr. cl eu 
lireiiaiil la S(umue de ces jU'eiluils a y. — //i — nu aura rexpressiou 



Fin. I. 



/ N 



/* 



lie la (jiiaiitité de elialeiir reçue. Oii l'ait alislraclinu de la ndlexilMlili'. 
!• esl-a-dire i|ue I on cousidi're le< -iurl'aces coiiiuie eiihereuiciit [U'ivi'cs 
de la taciille de rellecliir la elialeiir. 

VIII. 

Si le lIieriiKiiui'tre luiiuiiueiil [lelil a. plaei' dau^ iiii [xuul de l'c^- 
[tace i|ui leriuiue l'eucciule, a ac(|uis une leui|pei al ure li\e. el m I'ihi 
iuter[ii)>e nue suiTace (/V/' ( //i,'. 2)doul la lein|ieral lUf e-.| la uii'iue(|iM' 



cidic de la [KirlidU ciu'i'es|ioU(lanle (/</ de l'euceiiile. il suit e\ideiiiuieul 
de la |Uii|Misinou précédeiile i|iie la luoleciile 'j. conservera sa leiujiéra- 
lure: car elle rece\ra de la surlace iuter|n)m'e c/\/'aiilaul de chaleur 
(lu'idle eu rece\rail de la siirlace caidiei' </</. Il n'eu serail jias de uu''iiic 
si la surface «ci' était [dus éelianliée ou moins éclianllee ijiie la Miilaee 



;î.ï,s 



OIKSTIONS SI I! I. \ TFIi:oi;iK l'HVSIOll' 



(•orrcspoiulaiilc c/c^. I);iiis le [U'cmicr cns. la Iriniirralurc de la iiiolrculc 
s"(''li've, et clic s'ahaissc dans le scconil. |{ii cH'et. la ca[iacitc ilii coiie 
ilcniciii'c la iiiciiic: mais le fadeur (|iii multiplie la mesure de l'ctte 
rapacité cliaiii^c avec la température de la surface. 



I.\. 



Supposons maintcnaiil (|Ué la surface interposée rr (f/'i^-. 3) jouisse 
le la faciille de irHécliir toute la clialeui' (|u'(dle reçoit; pour connaître 




s(Hi aciion sur la midéculc a, c"est-ii-dire le (|uanlilé de chaleur (|u"(die 
lui einoie. ou multipliera la capacité du corn' (|ui enveloppe le miroir 
par la Icmpératui'c // de la jinrlion />/> de l'cncei^ile dont la chaleur est 
rcllechie sni' la molécule. On pourr'ait doue aussi faii'c ahslraclion de 
la surface iulerposee rr, ci allrihner la température // à la piu'liou tia 
de reuceiiile, dont la (dialenr est interceptée par le miroir. Les sur- 
IJiccs telles (|nc //■, (|ni réll(''(diissen( toute la clialeni' (pi'ellcs reçoivent, 
aL;i>senl sur la nndecule connue si (dies n'avaient point de (en)pei'a- 
Inrc pi-o[H'e; elles ont seule ment c(dle des surfaces dont (dles ndléidiis- 
seiil la (diah'ur. L"ell'el de la réilexion est de Iransporler la Icmpéra- 
Inrc /> diiue cerlaine partie A/mIc rcncciule an mii'oir lui-même //. ou, 
ce ijui est la même (du)se, ;i la surface m/. d(Hil ce miroir inlerceple la 
cjialcur. 

l.ors(|ue la surface A/y. diuil la clialcuicsl icllcchic, u'a pas dans tontes 
>e> parliez la menu' leujpi'ral ure, il fani considérer se|)ai-énH'nl. dans 



DK \.\ CUM.KI I! Pi \'\()\\ W I K. :io'.t 

<'Ott(' surface /'A (//i;. i ), uni- pnilinii Vu tiiiic ou iiitiiiiiiiciil [ictii,'. 
dont tous les points aient une iiiènic temiiéralurc 3. On (Irtci'uiincra 
ensuite (|uelle est la portion pz iln miroir ipii relléehit, an point 7.. la 




elialeni' <li' l'elenient Yi. Le |iroiIiiit de la ti'niperatnre 3 par la eapa- 
eiti' du eone Z'xp e\[)riinera l'ai-timi de la snri'aïc y-j. Il siil'lirail aussi 
de transportei' la teuip(''ralure 'i ;i ri'li'nient a (i' , dont la ( lialeur es! in- 
tei'ceptée parla portion zz du miroir. Si l'on l'oi-me des produits sem- 
Idahles |)our toutes les |»arties de la snrl'aee AA, l't --i l'on prend la 
somme des produits, ou eonnaitra laction totale dn miroii'. 



XI. 

La midi'cnlt^ y. étant placée dans un espace vide- d'air (pie termine 
une enceinte AAAA {//g. "i ), dont toutes les parties ont une tempéra- 




ture cousiaule //. ae([uei'ra eeite température a de l"eueeiule. Si l'on 
met entre u. et reneeiiite un plateau //A, dont la température // soit 
moindre (pie (/, le tlieriiKmii'tre s"al)aissei'a ; car on remplace raclion 
de la surface aa |»ar cidie de la surlace interposée ////. e( le rappiul de 
ces actions est cidui des temnératures a et />. 



;!(io oi i:sTi(t\s si li i. \ iiiÉoiiiK l'insioi K 

si. (!(• jiliis, on place un miroir concave n |)ro|)iT ;i rcllccliir mii' la 
niolcciilc u. les ra\()ns ([u'il reçoit du |ihilt'au l>i>, le lliei-iuonii'li'c 
s'altaissera (le nouveau, lui elle!, le iniroii' /v inlerecple la chaleur en- 
vo\ee |iar la |iai'lie \\\\ île renceinle, cl il la remplace par une (|uaiililc 
(lonl la |)iiiposi(ion précéilenle donne rex|ii'ession exacle. Il l'aul, pour 
trouver celle expressiiMi, mulli]»lier la i'a|)aeilé iln c('me r^i.r par la 
lem|)eralure h de la sni'face // //, d(Uil les rayons son! rellccliis 
par rr. 

l/ellel du miroii' est de Iranspiu'Ici' la lempéralure A du plaleau lili \\ 
sa pi'opre sniTacc rr, ou. ce (jui est la même chose, à la siu^ace KR, 
dont /■/■ intercepte les rayons. 

.\II. 

La molécule u. a\aul ac(|iiis la température conslanhw/ de renceinle, 
si l'on dispose, comme la lii;ure riiidi(|iie. deux surlaces iiii'lairK]nes 
pidies rr. zz { II". '' ). cl un c(M'ps /// dont la tem|»eralurL' h soit moindre 




(|ue cidic de reiicciiite, le Ihcrmoml'lre \s. s'al)aissei'a. l'Ji ell'et. le mi- 
l'olr /•/■ inlerce|»lc l'action d'une partie \\\\ de renceinle ; il la remplace 
par c(dle du miroir liii-incme. Pour delerminer cette deriiK'rc action, 
il l'aul miilliplier la capacité dn c('inc ru.r par la lempéralure des corps 
dont rr ridléchil la chaleur sur la molécule \i.. Or tous les rayons 
partis dn corps m et (|ui lomhent sur le second miroir z.z sont rélli'- 
chis sur le premier rr. et ensiiile sur la iiioli'cnle a. Donc la (empi'ra- 
I lire (priM'anl ait rihiier il la surlace //■est la température /' du corps /y/, 
l/ell'el du second miroir pp est de donner ii sa surface la lempéralure A 
(lu cfU'ps m. cl l'ciret dn premii'f miroir rr est de diuincr celle mi'iiie 



DK LA CHAI.Kir; itVIOWAXTK. :î(il 

Iciiipératiire h à sa propre surl'aco, ou. cv (|iii est la nièiiic cliiist'. de 
Iransportor celte (cmpérafiii'c A ii la |iailic ilc rciiccinle dont les ravons 
soiil interceptés. 

On voit Jonc (jiic l'ailion <le la surface \\\\ est icinpiacce par celle du 
miroir rr, et (jiie le rap[)(/rl de la |)reirii('re action à la seconde est celui 
de la lempératui'c h ii la leni[)éralnr(' ti. Non seulement ees proposi- 
tions e\pli(|uent clairemeni ral)ai-~si'menl de la températni'e. mais 
elles en donnent la valeur exacte. On (ditieuili-ait eefte valeur en delei- 
niinant, d'après les mêmes principes. Tartion de toutes h's parties de 
l'enceinte. Si le corps ui \\'v<[ pas d'une Iri's petite dimension, ou 
n'est pas tri'S éloiirné de a, il faut avoir i'piVi\ ;i l'aetion directe tle m 
sur ;;.. 

Un détermine aussi, par un calcul eutii-remeni sembiaiile. l'eil'et 
contraire qui aurait lien si li- corps /// ^ Jig- <» ). nn si le jtlatean hh 
(Jig. ri), étaient plus écliandés (|ue l'enceinte. 

l/explication des elFets produits par la l'etlexion apparent!' du l'roid 
est entii'i'euu'nt due ii M. Pn-vol. de tieni've. Il a reconnu le premier 
que ces pliénomi'ues iudi(juent nue j)i-o|)ositiou générale l'ort im|ior- 
taïUe, savoir, (]ue les corps émettent leui- chaleur rayonnante à toutes 
les tenipéi'atnres, et (ju'ils se l'envoient mutuellement, de même que 
les corps éclairés se <Minmuni(]uenL leur lumière. 31. Prévôt a déve- 
loppé dans plusieurs Ouvrages cette notion, (jui est très féconde, et a 
prouvé qu'elle embrasse tous les faits connus. 



XIII. 



Nous avons attribué jus([u'iei une dimension infiniment petite ii la 
molécule spliéri(jue a qui reçoit l'impression de la chaleur. Pour 
étendre les mêmes pi'opositions au eas oii les dimensions sont finies, 
il est nécessaire de distinguer les dillerentes parties de cette surface. 
On reconnaît ainsi, par un examen très attentif, la rause qui fait varier 
l'intensité des effets avei' la {li>lance du miroir rr à la surface l/h dont 
les rayons sont réiléchis (Jig. 5 l.et avec la dislance du thermomètre [J. 
11. 46 



Md O TESTIONS Sllî L\ THEOniK l'IIYSIOlE 

;m miroir rr. ()ii voil en riu'inc temps (iiie le calcul des ellets de la elia- 
ieiir rélléchie diJli're (olalemeiil de celui des ell'ets eal(iplri()ues de la 
liimii're: luais celle partie de la (juestion nécessileiail iiiu' e\|)licali(>u 
plus éleudue. 

XIV. 



f.es rayons dr cliahMir (|u'une surface reçoit des corps voisins sont eu 
partie rélli'cliis ])ar cetle surface, (lliacuu d.c ces l'ayons se divise en 
den\ antres, dont l'un est renvoyé vers res|)ace. et dont l'autre j)énètre 
le solide. Les propositions |U'écédentes se ra|iporlent it deux cas ex- 
trêmes el (ipposés. Dans le premiei', (ui snp|)(>se ([ue la réllexil)ilité di'^ 
surfaces est nulle, en sorti' (]ne r|ia(]ue rayon incident péiii'ti'c tout 
entier dans l'intérieur dn coi-ps. Dans le second cas, on suppose (|ue 
la réllexiliilili' es! parfaite. c'cst-;i-dire (juc li! layou iin-idenl est ren- 
vové loni ciiliei' \('rs l'espace extérieui'. Si les superticies de lous les 
corps avaient une de ces di'iix <|nalilés conli'aires, en sorte (juc les uns 
fussent proj)res ii rci'cvoir [ouïe la clialeiii' incidente, el les aulres ii la 
repousser eutii'renu'iil, (ui delerminerail rii^oui'enseiuenl, par les tlieo- 
rJ-mes (|ue nous avons énonces, lous les effets île la clialeur directe on 
lellccliie. 

On oliserve ;i la surface des cdr'jis un élal mixte (|ui |)arlici[ie de 
l'une el de l'autre propriété, et l'on peut alors diviseï' clia(|iM' éh'meul 
de la sni'face en deux pai'lies, éi^ales ou inégales, doni l'une est jU'ivée 
de tonte réilexiliililé, e| ihiut l'auirc esl un miroir parfait. I.e ra|)porl 
de ces deux parties esl un coellicieni douni' (|ui de|iend de l'clat de la 
surface, l't (|ui. d'apri's les oliscivalions, esl sensiblement cinislanl 
lorsijue les cliangemenis de lempcralurc sont peu considéraldes. 

Si une parlii'iile to de la snnci'licie d'un corps a la l'acnllé de réllécliir 
loule la riiidcnr iin'idenle (|ni lui esl en\(>yee. elle n'a [ilns aucune 
icnipeiat ure pi'opre. Ea lorce ijui s'cxei'cc ;i la surface |)our re|)(Missei' 
louli' la chaleur envoyée par les oltjels \(iisins repousse aussi vers l'in- 
lérieur dn s(dide toute la riialcur (ju'il aurait émisiî à raisini de sa lem- 
|iéralni'e. Si, mu conirairc, la rellexiliilile de rch'meut «> esl nulle, la 



DE LA CinLEUR nWONNVNTI-. rjlJIÎ 

cliali'iir qu'il reçoit en dinVTcntt's iliirctions y |M'iH'trc (oui cntiiTc. 
et il en est de même de eelle qu'il émel eu veilii (l(> sa température. 
Elle s'écliappe eutièremenl sans être rapptdée par aiioinie forée a^is- 
sanl à la surface. Enfin, si la réilexibilité de l'élémenl w a une valeur 
moyenne, le même eifi/t s'opJ're eneoro dans les denx sens opposés. Le 
rayon r ijui loruhe sur o;. cl doni la direction l'ail avec celle surface un 
angle o, est divisé eu deux piirlies y.r, ( i — a)/', dont la preiuif're y.i 
peu ('Ire le solide. e| dont l'auli'e ( i — a)/' est rellécliie. I.e coefticient y. 
est une fraction ([ni mesure la ri'tlexiliilité de la surface. Si le même 
l'ayou /• tendait ii sortir du scdiile suivant la direclion contraii'c, il sérail 
aussi réduit ii yr. cl la partie équivalente ;i ( i — y.)r serait rapp(dee 
vei's l'intérieur du cor|)S parcelle même force (]ui nqioussait une jiai'lie 
(lu rayon incident, ("-'est en cela (jne consiste l'éiialilé réciproijue de la 
foi'ce émissive et de la force absoibante. Nous ne connaissons aucune 
expérience (jui ohli.ue de modilier ce principe; mais il est nécessaire 
de remar(|uer ([u'il n'est démontré lignureusemeut (]ue pour le cas de 
re(Hiililire. 

En eU'el. lorS(|ne la tempérainre de l'cuceinle. el C(dle des corps 
placés dans l'espace (|u'elle termine, est commune et constante, un 
élément co de la snperlicie d'un de ces coi'ps envoie smis l'angle d'émis- 
sion ç. une certaine (|nanlilé de chaleur /■ ([ni soi't de l'intérieur du 
(•oi'|)S, et celle particule eu recoil. dans la même direction, une ((nau- 
tile ('(jnivalente rt\n\ |)énétre le solide. Si l'on cliaui;i' l'étal de la sur- 
face co, et ([ue l'on réduise ainsi ;i yr la ([iiaiilile de clialenr émise, il 
est certain ([ue Ton réduit aussi ;i yi- la i[nanlile de i lialeur reçue. Les 
denx ([uantités ([ui Iraversenl l'elemenl en sens contraires varu^ut 
exactement dans le méui" ra|i|ioi't lors([u'on fait varier l'élat de la 
surface. Cette proposition ainsi énoncée, pour le cas de l'équilibre, 
appartient à laTiiéorie matliemati([ue ; mais diverses observ.itions indi- 
quent ([u'elle peut être [irise dans iiu sens [dus étendu, el ([ne le coefti- 
cient /• conserve sensiblement la nuMue valeui' dans deux autres cas, 
savoir : lors(|u'on change la tem[)êrature du corps ([ni envoie le rayon /•, 
et lors(|u'on chau!,'e l'an^ile '^ (lue sa direction fait avec la surface w. On 



ZCk QUESTIONS SUT. LA THÉORIE PHYSIQUE 

reniarf|uo le premier di\ ces deux elFeis si l'im iipjxjrte, dans un espace 
i'ernié donl la ItMiipéraUire a esl uniforme, deux corps entierenienl 
scmblaliles w e( ///', doii( l'un /// a une tempéiatui'e a -Jr A plus grande 
(jue celli' di' l'enceinle, el l'autre /// a une température moindre n —A. 
IjC progrJ's du refroidissement de /// esl le même que le progri's de 
l'échanU'emenl de /// . Ainsi, la ditlerenee A, qui est positive pour i'mi 
des c(n'ps et nétîative ]iour l'autre, varie par les mêmes degrés dans 
les deux cas. Au reste, ce lésultal ne doit être considéré comme très 
exact que si les températures sont comprises entre des limites peu 
étendues. 

La {)lnparl tics faits (jui composent la Théorie pliysi(|ue de la chaleur 
rayonnante ont été découverts par M.M. Leslie et de Humfoi'd. On trouve 
dans leni's Onvi'ages des expériences ingénieuses et variées (pii ont, 
pour ainsi dire, créé une nouvelle hraïu'he de la Phvsi(|ne générale. 
Ces décinivcrtes avaient été pi'éparées par une oliservatiou capilalc et 
par diverses autres r'cclierches dues à M. i\I.-A. Piclel. Ses piemiers 
résultats ont dirigé les vues des physiciens sur un ordre entier de faits 
que l'on avait à peine entrevus, et (]u'il remlait sensibles par des in- 
struments foi't analogues à ceux dont on s'est servi depuis, (l'est peu 
de temps après que M. Prévôt a d(Uiné rexjdication générale donl nous 
avons paidé. l'allé comprend les faits qui venaient d'être oljservés par 
M. i'ictet, et s'applique aussi h ceux (|ui ont été découverts dans les 
années suivantes. 

XV . 

Du rayonneniciil de Ifiir. et de lefl'et des miroirs métalliques. 

Un (hermoml'tre a exposé pendant la nuil ;i l'air lihre, sous un ciel 
découvert, acquiert une température ti\e <i lors(|ue la chaleur (]u'il 
perd, soit par- l'ii'radiation, soit par le contact, est ê(|uivaleute à celle 
qu'il reçoit. On ne peut (huiler (|ue le ra\i)unemeiil de l'air et des corps 
dont la chaleur rayonnante peut traverser l'air ne c(uiconre ii cet é(pii- 
lihi'C. \l\\ elfel, supposons (jiie l'on place à uik! l'crlaiiK! dislaiice du 



DK i.\ CHVF.Eli; F! \V(»\\ WTE. 3G.S 

thermomètre u (/ii{. 7) un ohstarle E\l (|ni interccple une partie de 
l'aspect du ciei : il est évident (]iie l'iiii ])ent dniinir ;i la surface EE une 
température r lelle (juc le lliermomètri' y. eonscrvc sa température 
précédente a. Or ci'lte superticie KE, que Ion peut d'ali(U"d supposer 
privée de toute réflexibilité, envoie à a une grande (|uantité de chaleur 




rayonnante, dont l'ellel p(uirrait être rendu très sensible et être me- 
suré. Cette (|uanlité est précisément celle (|ue le thermomètre y. enver- 
rait à la sui'lace KK. si cet instrument y. avait lui-même la tempéra- 
ture c La même quantité é(|uivaut au produit de r par la capacité du 
cône E;j.E; et, puis(jue la température a n'est point changée par la 
présence de rtilistacle, eette (juantité de chaleur envoyée pai- EE com- 
jiense exactement ('{'lie (jue [j. rec'cvail dans les mêmes directions avant 
(jue l'on appoitàt l'olislacle, c"est-;i-di;-c cidleipie l'ohslacle intercepte 
dans les directions Ea, Ea. et dans toutes les directions intermé- 
diaires. On voit |iar l;i ([ue le thermomètre placé sous un eiel decfui- 
vcrt reçoit, à travers un espace atmosphérique quelconqiie/y.r ( //if. 8 », 

Vis. S. 




une iïrande quantité de chaleur (|ui sert à compenser, ou entièrement 
011 eu partie, relie (]u'il envoie dans le même espaee. H est nécessaire 
d'insister sur la remarque précédente. A défaut de celte considération, 
on ne se formerait qu'une idée confuse du phénomène. 



366 



(M KSTIONS sur. L\ IHÉOHIE IMFYSIOUK 



Lii clialciir l'cçiii' |)ar le llicrmoiiii'li-c dans les direct ions siipi'- 
ricni'os provient du ravonneiiieiil des par(i( nies de l'aii' on des corps 
mêlés ;i ce llnide, cl i^éneiali'nienl de toule la matière (joi peut rece- 
voir les r'avons de chaleur envoyés par !(> eoi'ps a, et ([ni est conlenne 
dans II' sei^nieiil rru.i-c indctiiiimenl pi'(doni;é. Celle dernière pi'oposi- 
lion est nue consé(pience nécessaire du |)i'incijie de l'émission de la 
clial<'ni' à tontes les tempérainres. Les conditions mathématiciues de 
réipiililire de la clialenr lavonnanle ponri'aient être démontrées indé- 
pendamment de ce pi'ineipe ; mais il n'y a aucune autre notion (|ni 
puisse servir de rondement ii l'explicalioii pliysique de tons les faits 
observés. 

XVI. 



l'oiir se représenter l'ell'el de la clialenr envoyée par l'air au corps u. 
suivant les directions ru., c'u., nj., il tant considi'i'er (|m' (dia(|ne parti- 
cule de l'air a ( //.a'. H ) (jiii reçoit de u. un rayon de elialeiii' lui envoie 
un rayon cdiiti'aire, (jui serait v'j,:\\ au premier si la tempeiatnre z de 
la molécule cz était éi;ale à celle <lii thermomètre. La (|nanlilé envoyée 
par II é(|uivaut au produit de la capaciti' du c(')ne intinimeiil petit i[j.i 
par la tempéialui'e z. On peut voir. d'apri'S ce princi|)e, (]ue la cli ileiir 
envoyée an ihermomi'tre |iar la masse d'air (]ni répond aux dii'ectious 
]M-es(pie verticales est moindre (|ue c(dle ipii lui est envovée |Kir l'air 
dans les directions (d)li(pies; c'esl-ii-dir-e (pu' la (dialeur ravounante 
ipi'iiue masse d'air occuj>anl le segment atmosphérique cnj-cr envoie 
au therm(mii'ti'e sui'passe celle (ju'il l'eeoit d'une masse d'air contenue 
dans un segment atiiiospli(''ri(]Uiw''c' ij.c'c' (jui a la même ca|)aci|{'' (pu' 
le premii'i', mais dont l'axe est moins ohlicpu'. 

(aile diilV'reuce jn'ovient de ce (|ue le d(''croissement de la densité 
l't de la tenip(''ralure de l'air est heaiiconp plus rapide dans les direc- 
tions ij.c' r' voisines de la verticale ipie dans les direclions (diliijues 
[J.fr. L'action de l'atmosphi're sur le lliermomi'tre peut (hmc être re|iré- 
senlée pai' celle d'une env(doppe solide demi la temperalni'e ne serait 
])as uuii'oi'me, mais serait un peu moindre dans les parties (pii ri'pon- 



\)E i.\ cnvi.Kii! i; vvow \\ IK. :]^i- 

(li'Ot ;iux lignes vei'tiralcs (|iii' il;iii> irllcs (]ni rr|toii(l('iil aii\ directions 
inclinées. 

C'est pour celle raison qu'en cliangeant la position de la >uiTace VA'. 
(_fif(- 7 ) sans changef sa teni|)ei'alnre c et la capacité du cône Ivxl-;, on 
l'ait varier la lein|H''ratnre du tliernjomètre. Il seli've lors(|u"on l'ait 
passer l'axe '}.ni de la position oblique ii la position verticale. 

Hécipi'Oi|uenient. si le tlieriuonii'tre 'x ;i acquis une certaine tempé- 
rature fixe, étant [ilace au-dessous d'un ohsfaide, on d'un nuaije au 
zenitli, et si l'on écarte l'obstacle, (ui >i le nnaL;e descend vers l'boii- 
/ou. laissant la boule a ii découvert, on id)serve une dinjinulion sen- 
sible de la lenipératuie. Ol cll'et sultirait [loni' prouver le ravonneuient 
de l'air. 

Wll. 

Si le iberinornl'tre [x, exposé le soir ii l'air libi'e sous un ci(d serein, 
est |»aivenu ;i nue température lixe, et si l'on interpose nue surface 
inétalli(]in' extrémenuml (ndie //■, dont le coips <j. occu|(c le lover. c| 

ris. <^■ 




ilonl la concavité soit tournée \ei-s le ciel, l'eiinilibi'e cessei'a d'asdir 
lieu. Vax ell'et, on peut remplacer la chaleur rayonnante qui. Iiaversani 
l'atmospbi'rc ou une partie de raluiospbére. parvient jus(|u'au ibiuino- 
niétre par ctdie d'une envel(qi|ie solide dont la leniperature diminue 
dcqniis la base jns([n"au sommet. Donc le mii'oir n\ f\\\\ intercepte en 
partie le rayonnement terrestre, rellecliil en même temps sur le llier- 
niomètrc les rayons plus froids de la surface supérieure. L'ellet de la 



368 OUESTfONS SL:U 1. \ THÉORIE PIIVSIOUE 

réllcxion csl de doiinoi'. à cliiujuo partie pp de la surlju'c du miroir, la 
tempérai 11 l'c d'im élémciil eori-es|)ondanf si de l'enveloppe, ou, ce (]ui 
est la iiiènie cliose, de donner cette (enipérafurc ii la partie IIH de la 
surlaee leri'cstre (jui esl couverte par pp. (lette snlistiUilion de la tem- 
pérature î des i'(''i;ions supérieures ;i la température de la snri'aee ter- 
restre doit, en g(''néi'a!, icl'roidir le tliermomi'lre. 11 l'anl remarquer 
loutclbis (|ue cet ellel est Iri's comj)Osé, qu'il dépend d'une mnllilude 
de c;iuses variatdes (jiii peuv(Mit le nnxlilier, on même le elianger eu- 
lii-remenf. Les coi'ps intérieurs donlou inlei'ceple l'aclion peuvent être 
tri's froids ii leur extrénn:' superlieie; la loi du deci'oissement de la cha- 
leur d;ins r^iir esl souvent intervertie jusqu'il uim' grande dislance de 
la lerre; <'nlin la réilexiliilile imiiarfaite de la surface interposée rend 
l'oliservation im'ertain<'. Ainsi, le résultai précédent exige le coneour> 
de plusieurs circonstances favorables. M. \\'ollaston est le premier au- 
teur' de cette l)elie ex|)érience, (|ni coufiiine les résultats découverts 
par M. Cil. Wells. 

XVIII. 

il suil des mêmes principes (jue l'aliaissement du tliermomélre [leul 
être observé (|uoi(|ue l'axe du miroir soit incline vers l'Iioiàzon : mais 
<|ue. loiiles les antres coiiditious étant les mêmes, i'ell'et doit être un 
peu |dus intense dans la direction verticale. La cause de l'ahaissement 
du tliermomi'lre subsiste peiulant le ji>nr. Le?- observations l'ont 
l'eiidne plus sensible après le coucher du Soleil, cl l'eiret |teut ê'tre dif- 
licile il distinguer lors(|iie ce! asti'c esl sur l'hoiazon : mais cet ellêt 
conserve siui inlensité; raction qui s'exerce à travers l'atmosjilière est 
toujours é(|iii\alente ;i celle d'une SLirface supérituire plus froide (]ue 
l'air (pu eiivironne le thermomètre. Ci'tle eoncliisiou esl eoiitirinée [lai' 
des ohservalions d'un aiiti'c genre, dont l'examen ajipartieiil ;i la théo- 
rie iiiathêmaliijue de la chaleur. 

Ou voit aussi i\[\c la forme c(nu'ave du miroir concourt ii rendre 
rabaissement plus sensible. Il ne résulte pas di; cette forme cpie le 
tliermomi'lre est mis en comninnie.ilion avec une ]>lus grande elendue 



DK I. \ (Il \l.i:i 1! I! VVdW VNTK, 



30! I 



(lu cifl. r;ir, h- mii'oir otaiil (■oiiravc, rclfiiiliii' ddiil il s"airi( ol nioimlrr 
(lu'rilL' lir le serait >"il clait plan; cl, de [iliis, l'iiileiisite de l'eUel ne 
dépend iiiilieineiit de eetle eleiidue : idle dépend de la tempe ralnre des 
nndéciiles dont le miroir l'élleidiil la (dialeiir sur le lliernnimf'lre. Ainsi 
la lorme eoneave dn miroir augmente rell'et oliserve. parée qu'elle 
reunit les rayons sur la surfaee de rinsirnmeut, el la l'ail eonimnnii|uer 
avec les régions les plus iVuitles de l'air. 



\l\. 



Du rcfroidisscniciil des corps exposes le soir ii I dir lihn 



Si. dans \\n espace occupé par un fluide aériforme et h-rminé par 
nneem-einte solide entretenue ii une température eonslanle. on plaee 
des ciu'ps de dillerente espi'ce .M, N, I', ees eoi-ps eonserveriuif on ae- 
(|Ueri'onl la température de l'enecinte. Si celte env(doppe solide venaii 
il (diani;er de lemperalnre, par exemple >i elle se refroidissait rapide- 
ment, les eoi-ps M, N. V se rel'roi<liraient aussi; mais les (diani;enn'uls 
s'opereiaient avec des vitesses inéi^ales. (>t effet dépend des dimen- 
sions et de la forme de elia(|ne coi'ps, de leui' capaeife de (dialeui', de 
leur eonduciliilili' propre ou relative, enfin des (|ualiles du milieu, et 
à\\ mouvement (jui i-esulte des variations de densité. 

Si l'un de ces c(U'ps est tel que son en\elo|)pc extérieure ciuiimu- 
iiii|ue tacilemeut sa clialeiir au milieu, soit [lar voie de ravonnemeni, 
soit par le contact, et surtout si la conducihilité propre de la malii'ie 
est très faihie, le refroidissement de l'exlréme surface sera piMUupt et 
irf's sensilile; car chacune de ces conditions favorise ce ndroidisse- 
ineut. liUes sont réunies dans certaines siilisfances telles que la laine, 
le duvet, la siue. le verre, le noir de fumée. On trmive les conditions 
opposées dans les substances melalli(|ues pidies. Ou \oit par la (ju'il 
serait i'acile di' distinguer d'avance les corps dont la suiTace siildi-a des 
variations de tenijieratui'e plus rapides et [dus étendues. Il faut remar- 
(jner de plus que, si, eu vertu de ses (jualités propres, un des corps se 
"• 17 



:!-0 OL'ESTIONS SUI! LA TUKOIUE IMIVSIQI i: 

refroidissait protnptomiMit à sa siirlaco. il pmiiraif inlluer, par cela 
nièmc, sur les corps voisins, cl (]ue leur leniperalure deviemlrail 
tnoiudre qu'elle \n' l'aurait été sans cette cause accidentelle. 



X.\. 



l.ors(|ue le Soleil, après avoir écliaiiH'é la surface de la Terre ci 
l'air (]ui l'environue, s'ahaisse au-dessous de l'Iiorizon, tous les objets 
placés dans l'atuiosplière. l'aii' lui-uième, et la partie non éclairée de la 
surface terrestre se refroidissent prompterneut. Il s'opî'i'e dès le coiu- 
nienccinenl de la nuit un ell'el analoi^ue à celui (jui aurait lieu dans un 
espace fermé dont on refroidirait renceinle. Ainsi, l'on oliservei'ait des 
teinperatur'cs Iri's inét;ales ii la superticie de dillcrents corps. 

('elle iné!j,alilé des tein[)ei'atures sera moindre, et l'on ne jtourra 
point la mesurer, si l'air est ai^ilc; car les mouvemeuls de ce tluide 
(•(Micourent ii under les températures et ii les rendi'e umius inci^ales. 

Il est surtout nécessaire, comme on l'a dit plus liant, de remaripier 
(jue le tliermomi'tre e\[)ose ii l'air reçoit la (dialeur rayonnante de 
toutes les molécules solides ou (luides au\(|uelles il peu! Iransmell rr 
ses pi'opres ravons; car la [tropi'ieté de reci'voir la idialeur est la miMiie 
(|ue celle de la communiquer. Si l'on considérai! seulement le rayon- 
nemenl du corps a vers le ei(d, sans avoir egaril ;i l'ellel contraire du 
aux rayons ijui lui ari'ivenl dv l'atmosphère, ou ne se formerait pas 
une i(lé(î com|)l<'le du |>liénomène. Un espace indctini, t(d que ccacc 
( /ii(. S), est continuellenu'ut rempli de rayons de (lialeiir (jui le ti'a- 
versent dans les direclions cru., ^rij., et se portent sur la molécule a, 
Idute la matière que renfermi' cet espace, et (|ui peut recevoii' la clia- 
leur lavonnante du point a, et par cousé(|uenl l'air lui-même, envoient 
il ce point des rayons dont une partie seulenu'iil est interceptée par 
l'air inferieiii-. Le rayonnement dmit il s'ajiit s'opère plus librement 
dans la dii'cction vei'licale, pai'ce que l'air y a moins dr. densilé, à éga- 
lité dr dislance du point u.; et re rayonnement vertical proiluit nioin-^ 
di; rhaleur (jur dans les directions (ddi(|ues, parce (pu', toutes les 



HE L\ CIIM.Kt i; l!VV(»\\VMi:. ;5T1 

tiiitros conditions (Irniriii-inil Ifs iiitMiics, la Irnijifratarc dr l'air est 
moindre. 

Si, dans un espace semblable, on interpose une surface EK i fi<^. - ) 
que la chaleur ne puisse traverser aussi librement qu'elle traverse 
l'ail-, (Ui arrête le rayonnement qui est (lirii;e vers a, et on le remplace 
jiar celui de l'oli^iaide. Il laul lonjours joindre au ravonneiuent ])r()pre 
de cet (distacle Ivl-^ la (dialcur relli'cliie ([ii'il pourrait (Mivover ii raison 
de l'etal de sa sn[ieriicie. Si la surface interposée a une température c, 
tri' s voisine de c(dle des cinudies de l'air aux points H, \]. ci, par cou se- 
(|nent. supérieure à la lem|ieratnre i des parties de l'air lieaui'ou|i jdiis 
éloignées, le ihei-momi'tre recevi'â de l'obstacle plu-; de cbalenr ipi'il 
n'en recevait auparavant dans les nu-mes directions. Celle diliërcuce 
sera principaleuient sensible suivant la direction verticale. On voit 
ainsi pour ([uelle cause riulcr|iosilion d'un Inil du d'un abri, on c(dle 
d'un niiàiie éteiulu. (|ui est un abi'i cloiirne. lempèic le froid de la 
nuit. L'obstacle n'empé'idic point tjne le corps exposi' ne laisse t'cbapiier 
la même (]uautitc di' ( balenr rayonnante. Il est évident (|n'il lU' peut 
prodnii'e un Ici ellél ; mais il inlei'ce[»le les l'ayons fr(»ids {|iie le lliei-- 
niomètre recevait, et il lc< i-emplace pai- s,i [)ropre (baleui' et par c(dlc 
i|n'il l'élli'idiit apri'S l'avoii- reçue de tons li'S coi'ps iufei'ieurs. Il pre- 
ser\(' le tbermomi'tre des i-ayiuis froids ipii deseenilent de l'atnujspbère 
penilant la nuit, commi' il le [U'ései'verail pemlant le jour de la chaleur 
diiecte du Soleil. 

\\l. 



i'oiir se représenter distiiu'tement l'elal <\n ibermouiètr*', il fan! 
concev(dr (jue l'aclicui de ratinos|dii're est remplacée par c(dle d'une 
envcdoppe sidide ii hupudlc le iherimuni'tre envoie sa chaleni'. Mais on 
ne doit [loint supposer (|ue linstiinuent ne reçoil rien ou presijue l'ien 
en échange de cette chaleur (pi'il envoie : il reçoit, au contraire, de 
l'enveloppe une très grande (|iiantite de chaleur rayonuante, et, s'il 
était possible de supprimer cette chaleur, ou causerait un abaissement 
extrême de la temperatnie: mais le thermomètre envoie au corps supe- 



:î72 OIKSTIONS SI ii I. \ !ll!:(»i;ii: l'il^SlOl E 

lirnr |)!us (le clialciii' ([u'il n'en rccoil. et lii perle (|iril siil)il iI;iiin rcl 
('M-|i:irii;e esl ('iiliiTenieMl rôiiijieiisée |i;ti' l;i clialeiii' (iii'il ;ic(|iiier'l daiis 
sdii éeliaiii;e avee l'air el les corps voisins. En ellef, la leiupéralnre 
li\e lia lliei-nuMiii'Ire (le\ieiil moindre (|iie celle de l'aii'; en soric (|ne 
ce Ihiide el les corps eiivirnnnanls lui e(irnninni(]nenl leur (dialenr. 
soil jiar le conlacl. soi! par l'iri-idialion. 

On \ienl de voir que la présence des nnai,n's, s'ils no sont pas trop 
élevés, l'end nmindres ou nulles les dillV'rences de tenipéi'alnre (jih' 
l'on pourrait (diser\er ;i la surface des corps lors(prils se refroidisseul 
apri's le conidier du Soleil ; mais, si l'ail' esl tran(|Uille el le ciel serein, 
l'inégalité des |eiii|iéi'alui'es subsiste loni;temps, et elle est i'acile ;i 
remarquer. 

WII. 

On pourrait la mesurer direclemcnl, mais divers elï'els nK'léorolo- 
i;i()iies siillisenl pour la rendre manireste. L'air (]ui envir(Mine les corits 
dont la surface se refroidit Iri's prom|)temcnt leur eommuni(|ne uiu' 
partie de sa clialcur. soil par le contacl, soit même jtar le rayonne- 
meul. La lempéralnre île ee lluide doit d(Uie diminuer, et cet aliaisse- 
nieiit peut être assez ij;raiid pour (|ue le menu volume ne jinisse con- 
ti'iiir la iiK'ine (|uaiitilé d'eau en elat de vapeur, felle esl la cause 
i;iMiérale de la formalKUi de la rosée. 

l^'udaul (pie riiiimidile de l'air se résout en eau pendant la unit el 
se dépose sur les corps froids, il arrive pi'es(]iie liMijours (|ne les olijels 
dont la surface se refroidit plus lenleiiieiit ne S(uit point convcrls de 
rosée, (a- dernier ellél est troj) reiiiar(|iialilc pour n'avoir jias été ob- 
servé dans Ions les temps : la mention la [dus ancienne (pie l'Iiisloire 
en ait Iransmise reinonle ;i don/e mi treize sii'cles avant l'i'i'c elire- 
(ieitnc. 

Wlil. 

Si l'on expose pendant la iiiiit, sous nu ci(d ouvert et exempt de 
nnai^'cs, de l'eau ('(mienne dans un vase (rime petite proliuideur, el si 
je support de ce vase est trl's peu projd'c ii conduire el c(uniiiuni(pier 



i)K I. \ cinijjr; ii ^^ ow wtk. 37:! 

I;i cIkiIi'IIP (11' la ïriTe, la t('m|ieralLir(' ilii ri(|iii(lc s'ahaissci"! de |iliis en 
|)liis: ellr st'ia de plusieurs (h'^^i'és iiioiiulrc que celle du lliciiiuiniJ'lic 
placé dans l'air ;i i™ mi ?.'" aii-dcssiis du va<e, et la dillerence peut èlrc 
assez i;raiide puiir déterminer la con^clalion. indepeiidaiiiiiiciit iiicini' 
du froid produit par l'évaporalion. 



WIV. 



l-es corps solides dont la surface perd facilement sa elialeiir refroi- 
dissent iiis(|u':i une certaine dislance l'ail' (|ui les environne, et cela 
a lieu surtout si la surface est tidleuient placée (|ue l'air, devenu plus 
froid, ne soit pas entraîné pai" son poids. Il serait dillicile de ri'C(ui- 
nailre ce (lécroisseineul de la clialeur de l'air dans le \i)isinaL;c des 
corps peu eleiulus, s'il n'elail rendu seiisilde par la foriuatiiui de la 
rosée: mais on peut luesuri'r le |)rincipal ellet <le ce i;cnrc (|iii m- rap- 
porte il la surface même de l'Iiori/.iui. (!ette oliservatioii est duc ;i 
AI. M. -A. Picict, (|iii a reconnu, le jucmier, (|ue la température de 
l'alniosplière diminui' depuis les couclii'S iiitV'rienres jus(]u'ii une liaii- 
leiir assez, considcraiile. (a' déeroissenieiit est contraire à celui (|ne l'on 
oliserve dans les reliions les plus élevées de l'atmosplière. Il cesse 
d'avoir lieu si l'air est ai;"ite, ou si le ciel est couvert de iiuaiics (|ui in- 
lereeptenl en même temps la chaleur layonnante de la Terre vers les 
eieiix, et les ravoiis froids ijui se dirii;eiit vers la reri'c. 

(JiianI il la diminiiliou (pie subit la température de l'aii". ii mesure 
(pi'oii s'éloii^ne de la Terre ;( de iii"indes hauteurs, nous av(uis supposé 
( (■ lait général dans les explications précédentes; mais on pmirrail 
aussi le (liduire des mêmes principes. Ce phénomène lésulte du con- 
cours de plusieurs causes : l'une des principales est l'exlinctiim pro- 
gressive des ravons de idialeur dans ratim:is[)lu're. Il est facile de 
prouver (|uc, si l'air (|ui enveloppe la Terre [lerdait ^a tluitlite en con- 
servanl sa transparence, et même si sa densité était iiuiforme, la tem- 
péi'ature diminuerait encore depuis la surface de la Terre jus(|u'au\ 
limites de l'atuKKplii're. 



:5T'i. OllKSIKtNS SU! I. \ T II KO I! I K l'inSlOlK 

Dos oljsciNalioiis v;iri('('s cl |ir(''<-isi's, publit-es il v a |ii'ii (raniiées 
par M. \\'('lls, oui lait coniiailrc exactement les eiiroiistaiiees (|ni dé- 
tetniiiieiit la ruiinaln^i de la rosée. L'aiileiii' de ees e\|i(''r"ieiiees l'ii a 
déduit 1111 ri'siillat for! i'eniar(|nal»le, (jni n'avait pas encore été annoncé : 
il consisle en ce (pie le r(droidisseineiit des corps exposés à lair lihre 
pendant la nuit est rellél du layonnenienl vers le ciel; ce (pii ex|)li(ine 
en HM'iiie triiips la loiinalion de la l'Osée, raliaisseinenl de la leni|ié- 
latnre dans les couches inl'erieures de l'air, el divers aiiti'cs pliéno- 
iiH'iies. 

XW. 

De l uu'ij;alilr r/r.v h'nijwntlnn's uuhijnivs par dca.v //icn/toa/c/rcs. 
I (in naini cl I diilrc imtaUujuc. 

Il lions reste \\ examiner une dcrnièic (pieslion relative ii la dillt'- 
rence (|ne l'on (diser\e pendant la nnil dans les tein|iéralnres de deux 
lliermomi'tres. dont liiii est noirci et l'anln' c(niveit d'une eiiv(doppe 
niétalliqne (let ell'et est analoi,uie à c(d'ii dont nous avons déjii parlé. 
cl (|ni consiste dans riiiei;al l'cIVoidissenieiil de diverses sulistances; 
mais il dépend snrtont d'une cause spéciale (pu coiitinne d'agir lors(pie 
les lempiTaliires sont deveiines fixes, et (pii c(Hiserve la dill'ereniU' de 
ces teni|iéralnres. l'oiir reconiiailre cette cause, il tant la considérer 
dans le l'ail snivaiit, ipii ne dillere (|n'eii a|>parence de c(dui dont on a 
demande rexplication. Li' (diangement (|ne siiliil une sntTace mi'tal- 
ii(|iic, lorscpi'on la couxre d'un enduit noir, augmente dans un rap|)orl 
îieaucoup plus i;rand la (|uaiilité de ilialeiir rayonnante émise pai' la 
surface ([u'il n'anf^inenle la (|uaiitil('' de chaleur totale c(uniiiiini(]ni''e ii 
l'air. Ce l'ésultat est donne inimedialemcnt |iar r(d)Servatioii. Imi ellét. 
supposons ipruii vase (huit la suri'ace extérieure a l'éclat melalli(|ne 
soil rein|di d'un !i(piide eidianllV', el (|ue l'on observe la durée du re- 
rroidissemenl dans l'air, nu le temps / (pii s'écoule pendant que l'excès 
de la tenipéralure du vase siii' c(dle de l'air passe d'une valeur donnée 
n il une valeur moindre //. On trouvera (|ue le temps / (pii rc[)ond à 



[tK \.\ (iivi.Kii; I! v» (tw wTi:. in;; 

cet ahaissPiiu'iit de t('iii|tt'ialiiri' ti — h es! l)i'aucoii[i jiliis p:iaiiil (|iii' 
le temps /' (|iii irpomlrait à ci'ltc iiirmi' iliUV'reiH'f a — h, si l'on cou- 
vrait toute la surface du vase d'uu veiiiis noie. Le rapport - a pour 
valeur:^, ou une IVacliou un peu j)lus grande i|uc ',. 

i*our mesurer la (]uantité de eliaienr rayoniianlc émise |iai' une 
partie de la surtace du même vase, on reçoit ses ravonsii une rcriamr 
distance sur un miroir melalli(|ue concave, an f'over du(|uid es! nii 
tliei'inomJ'tre d'air trJ's sensiMe. La cjuantili- doni la température du 
lliermomi'tre s'eléve au-di'ssus île celle de l'îiir indi(|ue l'eUél du rayon- 
nement : or, si la ])arlie de la surface eclianll'ée dont les ravons tonilienl 
sur le mii'oir est couverte d'un enduit in)ir. le résultat est Ijeaucoup 
plus grand que si cette même surface a l'éclal métallique. La tem|)é- 
rature du vase étant la même dans les deux ras, et supposée égale à 
celle de l'eau houillante. l'élévation du tliermoniètie est sept fois oti 
huit fois plusgrande lors(|Ue la surface rayonnante est noircie que lor>- 
({u'elie est métalli(|ue. Ainsi, le changement d'état de la superficie faci- 
lite heaucon|) plus l'émission de la chaleni' rayonnante <]u'il ne faeilile 
le refi'oidissement total (|ui s'opère dans le uiilien, tant par le <onlarl 
de l'air (|iu' par le rayonnement. 



.\.\V[. 



Ce dernier fait a un ra(»porl nécessaire avec rinéi^^alité de tempéra- 
tui'e (jiie l'on oliserve [lendaiil la nuit entre lieux tliermomi'Ires, dmit 
l'un est noirci et l'autre enveloppé d'une feuille métallique. On con- 
naîtra distinctement la l'idatioii de ces deux clfets en examinant les 
condition-^ i|ni déterminent la tempeiature tixe d'un tliermonil-ti-e 
exposé à la chaleur lavonnanle d'une [lartie de la surfai-e d'un vase. 

Si le vase est [)lus echanllé ijue l'air, le tliermomi'Ire s'eli've et prend 
une temjiératnre moyenne, comprise entre e(dle de la surface rayon- 
nante et ccdie de l'air. Le thermomètre [•aivienl ii nu état fixe lorsqu'il 
|»erd, il clia(|ue instant, dans le milieu, une ([uautilc de chaleur égale \\ 
celle qu'il acquiert par le rayonnement du vase. Il faut considérer que 



:?7fi Oli:SI[o\S SI ii 1. \ I III'OI'.IK IMl^Slol F. 

Il' tliciiiionii'lrc (|iii icroit k's layinis de l;i siuracc crliaiiHee lui (uivdic 
aii>>i uni' |)aili(' ilc sa clialoiif rayoïiiiaiite; mais la (|iiaiitilé cnviiyct' 
ol iiioiiidrc (]ii(' la qiiaiilitr rcciio, pui'LC (jiic les icinpri'aliiics ne Sdiil 
iKiinl les mr'riH's; cl la (lili'crcncc des deux ([uanlilés est la chali'iir 
ac(|uisc, (''(jiiivalcnlc à la clialciir coinnHiiiicuiéc an inilii'ii. 

Si. au coiilr'airç. le coi'ps rayonnant csl iiujins ('l'IiauH'i' (pic l'air, le 
llicrni(nni'ti'c s'al)aissc cl prend encore une tcinpcrainrc lixc conipiisc 
entre celle dn niilien et celle de la surface du corps. Il reçoit de celle 
surface une certaine (|uantilé de chaleur rayonnante ; mais il lui envoie 
une (|nantilc pins grande, et la (lillërence est la chaleur pei'due jiar 
rell'el du iav(ninement mutuel. Eu même temps, le thermomi'trc, élan! 
moins ctdiaull'e t\uv l'ail', acipiicrl une (inanlile de (dialcur l(mioiii> 
éiiale à celle (|u'il peid dans son e( liante avec la surface rayonnante. 

XXVll. 

On détermine facilement, au moyen de ces condilicuis, la tempéra- 
ture ti\e |3, (|ue le tliermniiH'trc u. doil ac(]uéiir lorsqu'il est exposé ii 
la chaleur rayonnante (]u'uue surface donnée S ( //i,'. lu) lui envoie, soit 



liir'ccli'ineul, snil par l'inlermediai re d'iiii miroir concave M. lui desi- 
L;nant parc/ cl // les Icmpcraliircs ine,i;alcs du milieu et de la surlacc 
ravonnaiilc. (Oi Irniivera celle r(dalion Ires simple 



('■) 



«=(/' — (I ) 



■ H- A 



/■ el // sonl des coeilicieiils (jui dcpciiilenl de l'état des surfaces du 
tliermomi'tre el du vase. 

/■ e-.t la (|miiilile de (dialeur rav(niiiaiitc (|ue la houle ;;. du ihernio- 



i»K I. \ Cil \LEi i; !! vtow wrr. 



377 



iiil'trt' coiivcrli" (rini ciiiliiit mur cl iclfiiiir ii la tciiipiMaliiir /.('tk rece- 
vrait pendant l'iiniti' de temps du vase erlianfl'é si la siir'i'aee df ec vase 
était lioirrie. et si sa lempératlife ti\e étail celle de Teaii lidiiil lanle. On 
c(nn|)i'i'nd dans la valenr de /• la idialenr rayniinante ipii, tombant snf 
le mii'dir', e>l rellecliie ail l'ovei' 'J.. et celle (jue je va^e pourt'ail envnvcf 
an tliermnnil'lre par le ravninieiiient direiM. 

On dosiiiiie par // la ijuantile de cliali'nr (|ne la même -nrl'ace a. 
élevée ;i la température li\e de l'ean Itonilland', c((mmnni(|nei"iit pen- 
dant I nnile de temps, par li' contact et par le ravonnement . aux corps 
s()lid<'S on lluides (|iii l'environnent, si la IcMipi'i-atnre constante de ces 
corps l'iail zéro. On ne l'ompiend point pai'mi l'CS corps environnanis 
le vast' éidianlle SS. dont rellet disliini e>t représenti' par /■. 

L'e(|Uiilion |)récedenle est iienérale et s'ap|)li(|iie, par conse(HK'nl, au 
cas où la surface rayonnante S est moins ('cliaiiHée ijue le milieu. 
Dans ce cas, on délermine encore la température Ji par l'equalion {c), 
ou 



(O 



(I — b I— Il 



\\\lll. 



Si \'iu\ clian;^!' l'i'lat de la >nirace ravonnaiite S en la couvrant d'une 
léuille melalli(]in'. ctdle du llieiinomi'ti'c a demeurant noircie, le eoef- 
tieieiil /• prend une valeur dilléicnle ////■. (|ni, dans les expériences les 
plus connues, est liiiil t'ois ou iieiil' rr)is nmiudre (|ue /•. 

Si l'on ciuivre le tliermoml'lre y. d'une enveloppe melalln|ne. le vase 
deineui'ant noirci, la valeur de /• devienl an>si ei;ale à ////■. J,a rractimi /// 
a la mi''nie valeur (|ue dans le cas preci-ileiit. la |iropriete d'emetti'e la 
(dialeiir rayonnante étant la même (|ne c(dle de l'ahsorlier. Dans ce 
second cas. oii la surface a est metalli(|ue. le coçl'licient li devient éi^al 
il ////. it étant une fraction (|ui approche lieaucoup de '-'^. 

Si les surfaces du tiiermomètre et du vase sont l'une et l'autre mé- 
lairK[ues, le coeflicient // e([nivaut à //A. et le cotd'licient /• à ///'/■. fous 
II. 4S 



378 QIESTIONS SIR LA TIIKOHIR IMIVSIQliE 

cos résultais sont plciiiciiicul coiitii'iiu's par les oliscrvaliuiis. De 
qiiel(]iie manière (|ii{' l'on lasso variiM' l'rlal des suriarcs, cl soit (jm- 
Iciii' l('iM|j(''ralui'i' sdit [tins grande ou moindre {|ue celle du milieu, on 
trouve les mêmes valeurs de r et //. et l'on peut aussi déterminer direc- 
tement ce dernier coeClicient en comparant les <lui'ées du icIVoidisse- 
menl des vases dont la superficie est mélalli(|ue ou noircie. 

Nous f'cr(uis remar(]uer ici (|ue .AI. I.eslie a donné depuis longtemps 
l'explication des ellels distincts de la chaleur communiquée au con- 
(act. et de la idialeur rayonnante. On Ironve dans ses Ouvrages l'ex- 
pression exact(> des conditions de l'équililiic, le tliermomètrc étant 
placé dans l'air et exposé à l'action rayonnante d'une surlace. 



XXIX. 

On voit mainlenanl. au moyen de l'eijnation 

[3 — o _ r 
b — a r -1- Il 

que la valeur de |j ne varierai! point si, en cliangeani l'état de la sur- 
face S, on aiigmenlail dans le même rapport l'ellet h du l'efi'oidisse- 
menl et re!l'c( /• du l'ayonnemcnl. Il est facile d'ajierctivoir sans calcul 
la vei'iic lie relie consé(|nence ; car, la lemp(''ralnre du lliei'inomèlre \j. 
ayant [>ris sa valeur li\e 3, si l'on idiange la surface i;. (|ni était noircie, 
et si on la couvi-e d'une envclojipe métalli(|ne, tontes les autres con- 
<litions demeurant les nu'mes, on diminuera ;i la fois la (|uanlité de 
chaleur ray(uiiiante (|ne le Ihernuuni'tre reçoit du vase l't la (juanlité 
lojide de chaleur (|iie ce I hernnuui'tre communi(|ue aux autres c(M'ps 
«Mivironnants, soit par le contact, soit par le ravonnement. Or, si l'on 
supposait (]ne ces deux (juantiles diminuassent dans le même ra|)porl. 
et (|ne, par exemple, l'une cl l'antre fussent r'cduiles \\ la moitié de 
leiir> vah'iii-s précédentes, la chaleur ac(]uise par le rayonnement du 
vase ne cesserai! point d'être eg;de ;i la (dialenr peidiic dans le mihen. 
Honc la !em|)era!ure 3 n'êprou\i'rait aucun (liangement. 

V.u ireneral. si le cliani>ement d'eta! d'une surface aU'ectail éiiale- 



I)i: LV CHVLKlMt I! WONN WTi:. 



371) 



ment la propriclc <1 ciiii'ttie la clialfiir rayiiniiaiitt' ( ou. rt' (|ni est la. 
iiK'mt^ cIkisc, crllc dr la rcL-t.'voir ) et la [iruprictt' de coiinniinitiuci- la 
rhaleiir il l'air par le i-onlart ( i»ii, ce (jiii esl la même chose, celle de 
la recevoir de l'air par le coiilact ). ou ohserverait des résultats tri's 
ditlerents de ceux ([ue toutes les expériences uous oui uioutrés. Deux 
thermomètres, l'uu metalli(|ue et l'autre noirci, exposés de la même 
manière aux rayons du Soleil, preudi-aient la même température. L ele- 
vaticui d'un thermomi'tre au loyer d'un miroir concave <|ui leflechit la 
chaleui' rayonnante d'un vase eidianllé serait la même, soit ijiie la 
lidiile du thermomètre lût noircie, soit ([u'elle IVil enveloppée d'iine 
léiiille de métal. On reiiiai(|nerait aussi (|ue le tem|>s nécessaire pimr 
aliaisser la température du vase d'un deiiré donné ;i un antre devien- 
drait douhle. tri[de, quadruple, ii raison du (dianiiement de la >urracc 
de ce vase, lors(]iie l'élévalion du thermomètre placé au loyer du mi- 
roir deviendrait deux t'ois, trois l'ois, (|uatre l'ois moindre, lîiitiii. un 
thermomi'tre noirci cl un llieiiiKUiii'tre iiietalli(|ue exposés de hi même 
manière à rini|nession d'un corps l'roid, ou, ce ijui est la même cliose, 
placés pendaiil la nuit sous un ciel découvert, acquerraieul des tem- 
pératures égales. 

Si. au contraire, le cliani;-enient d'état d'une surface ai;it ineiiaic- 
ment sur la propriété de communiquer la clialour à l'air par le contact 
et sur la propriété d'émettre la chaleur rayonnante, tous les elï'ets 
seront semhlahles it ceux (|ue l'on ohscrve. Il est imjtortant de recon- 
naître (|u'ils constituent un l'ail uiii(jue. parce ([u'on acquiert ainsi le 
moven de les pi'évoir et de les calculer' exactement : ce qui est le liut 
de toute théorie. 

L'inégalité de température tixe de deux thermomètres (jui ne dii- 
l'iTcnt (|ue par l'elat de la surface n'est donc point contraire an prin- 
ci[)e gênerai (|ui su[)pose la l'acuité de communiquer la chaleur ecjui- 
valente à celle de la recevoir: mais il faut considérer que ces deux 
propriétés ne sont identiques que lorscjn'elles s'exercent de la même 
manière. La facilité avec laquelle la chaleur rayonnante se dissipe it 
travers la surface est égale ii celle de cette même surface pour absorber 



380 (H KSTIONS SU! I. V TI!É()l!li: l'II^SIOlK 

la clialt'iir liivoniKiiitc ilrs corps voisins. Il en l'sl i\v iiH'ine lois(|ue la 
(■«iitinninicalion a lien pai' le conlar!. i,a l'acililc de cclic coiiiiniinira- 
liiiii ne cliaii^ic |iniiit, soil (|iic l.i l'Iialciir passe d'une sni'i'aee donnée 
dans l'air, soil (|n"(dlc passe de l'air dans cette iinMiie snrl'ace. Ainsi, 
les den\ pmpi'ii'ti's que l'on cousidi'i'e sont e^^ales entre (dies loi's- 
(|n'(dles se rapportent a nn nuMne mode de connniinicalion, et, dans 
les antres cas, (dIes sont tri's dill'ercntcs. 

An reste, la transmission Ar la (dialenr an contact s'exerce encore 
par \(iie île ravinineinenl , car la (dialeni' sensilile an lln'rmomi'lre n'a 
(jn'nn seul mode de commnniealion, e(dni ([ni est [iropre ;i la matii're 
ravonnanle; mais, si la dislance ii hKpndIe les rayons >e portent iminé- 
diaiement esl Iri's pelile, r(dret ;^enéral n'est piunt le même (|ue si les 
rayons émis peuvent traxcrser l'aii' on les s(dide< diaphanes. 



.\\.\. 



On ponrrail ein'ore ponrsnivre cel examen et reidierclier la canse 
j>livsi(]ne de l'inéi^ale iniliience dn clianL;('ment de la snrl'ace; mais 
cette discnssi(Hi exi^crail des expériences ([iii n'ont point encore été 
laites. On ne connail (]ne livs imparlaileinent les ell'ets de la cltaleni' 
l'ayonnanle dans les espaces yiiles d'air, el le i liaiii^i'iiienl ijuils subi- 
raient dans ci'S es[iaces si l'on faisait yarier l'état des surfaces, l'olili- 
(juilé de rémission ou les leinpératnres. I,a plupart des (dl'ets (jue les 
physiciens ont (d>sei'yés sont trop ciunplexes, et ils soiil Iroji modiliés 
par la présence de l'air el la proximité des cor[)s solides, dont la lem- 
|)éi"ilure esl \ariahle. pour (|n'on en puisse déduire ayec précision les 
éléments simples de la Iheorie. 

(".('pendant, rensemldi' des ohseryations iii(li(|iie avec assez, de yrai- 
seinl)lance une canse plus :;éiiérale, (jiii tient il la nature même de la 
chaleur et lait varier iuéi^alemeiit riiileiisité /■ du ra\onuemeut et l'in- 
tensité // du rid'roidissemeul total. O résultat est aiialoLÇiie aux pheiio- 
mi'iies pliotom(''lri(|nes : il proyienl de ce (|ue la idialeiir perdue par les 
c(U'ps ijiii SI' reiroidisseiit dans l'air se diyis<' en deux parties (|ni ne 



I) r. r. \ c 11 \ 1. 1: i i! n \ > 1 1 n \ a n t e. :î8i 

possodoni point ;iii iih'imc (Ici^ir des proprictos si'ml)l:i!ilos ii ci'Ilcs de 
la liiiiiiei'c. Le rcrniidissciin'iil d'un rurps dans un milieu arrifortnc 
est un ellft Iri's cuniposc, (|iii dépend de l'espèce el de la den>iti' du 
lliiide, des mouvenieiils <[ni' le-^ (dianiicnients de ti'nipéraUire oreasion- 
nent dans ce niilien, de l'elal îles siirlaces. el de la nature de tons les 
corps voisins. On ni' peut douter (|u"il n'y ait une |)ailic de la ehalenr 
qui se eoniuuini(|ne ii l'air par le conlacl, et une anli-e jiartie (|ni tra- 
verse direrteinent ce fluide. Celte sci-unde pai'tie, du la (dialeui- ia\oii- 
nanle. est (dle-niènie, dans les liaule- teinjicratiii'es. lorrnee de deux 
autres, dont l'une ne |>eut pénétrer que les milieux elasti(|ucs. pendant 
que 1 antre se transmet ii travers les solides ou les li(|uides diaphanes. 
On l'cdtserve en interposant, h (|U(di|iie distance d'un rinps très 
écliaulie. une lame mince d'eau lihna'e, e| en ]ilacanl au delii nu ther- 
momètre d'air extrêmement sensilde. |.;i ehalenr ravonnaiite est arrêtée 
preS((ue tout enlii're à la preinii'i-e >uiTace de la tal)le glacée: le reste 
traverse la i;lace et pruduil sur le tlicrmomi'tre nu ellet [teii intense, ii 
la véi'ilé. iinus (pii devient de plus en |dns sensihle ,'i mesure ipic le 
coi'ps rayonnant e>| plus eclianli'c, el l'inlensilé de retiél ci-oil plus 
ra[)idement eni'ureqne Ic^ lempei'alure<. La (dialeur rayonnante parti- 
ci[ie il diverses pr(qu'ietes de la Inmii're; (dic pénètre ;i travers les mi- 
lieux (dasli(|ues, se ridlccliit sur les siii-faces midalliinies pidies. est 
ahsdiliee par les corps noirs, el sa lellexion sui' les uiidaux |iarait lui 
imprimer aussi des dispositions spéciales, semhlahles à celles de la 
lumii're. l ne petite partie de la (diah'iir rayonnante joint a ces pro- 
priétés celle d'élre transmise par les sidides ou les li(|uides diaphaui'S, 
el d'être sujette aux t'orees rét'raelivcs. 

De ce (]ue la chaleur sensihle au iherniomi'lre peut éti-e ainsi divisée 
en ililTéi'cnJes poilions ou ne doit [las coiodnre (|u'elle esl l'ormée 
d'éléments de diverse nature. .Nous savons, au conlraire, (|ue la rh:i- 
lenr lumineuse, la ehalenr rayonnante ohscure, et celle (|ui, ne Ira- 
versant jias lair. est c(unnniniqnée ii ce milieu par le conlael ehan- 
gent d'étal et de |>ropriétés, et se convertissent les unes dans les autres 
lorsque les températures varient; el il eu est de même de la chaleur 



382 Ol KSTIONS SI R L\ TIIKORIE PMYSIOUE 

lion si'iisil)l(i au tliermomi'trc qui entre dans la composition des corps 
solides on liquides. Cette séparation des diverses parties de la clialenr 
(ine les corps ahamlonnent en se refroidissant, et dont nous avons 
souvent ohseivé les ellets distincts, l'ait assez connaitre comment le 
clianticnieni d'état de la siiiTace d'un corps pent inlluer tri'S inégale- 
ment snr la clialenr émise par irradiation et sur la chaleur conimuni- 
(jiiée par voie de contact. L'application d'un enduit noir augmente 
beaucoup la propriété d'absorber ou d'émettre la chaleur rayonnante, 
mais ne produit pas le même eU'et snr la partie de la chaleur qui est 
enlevée ou ajiportée par le contact toujours renouvelé des particules 
de l'air. On pent réciproquement augmenter beaucoup l'eiïet du con- 
lart sans changer celui du rayonnement : c'est ce([ui arrive lorsqu'on 
aimnieiite la vitesse du courant d'air. 



XXXI. 

Nous remarquerons à ce sujet (|ue Newton, ([ui a recherché le pre- 
mier la loi du rel'roidissement des corjis. les supposait placés dans un 
courant d'air d'une vitesse constante. C'est dans cette hypothèse seu- 
lement qu'il regarde la quantité de cbabuir perdue à chaque instant 
eoinme sensiblement proportionnelle ii l'excès de la tenipéraliire du 
(■(U'ps siirc(dle de l'air, il ne déduisait point ce résultat d'une notion 
livpollictiqne de la eomniiinication de la chaleur : il le i'ondait sur ce 
(jiie les particules de l'air amenées au contact par le courant uiiirornie 
devaient prendre une lein|iérature proj)orli(uin(dle ;i celle du corps. 
Nous citerons li's expressions méiiies de C(^ grand géoini'lre. /•,'.(• /i;/ic 
c.vcniplmn { fcrruni ). ionni in laco //i^u/o uln reiiiiis i-oiistanlcr spi- 
riircl ...; loani (iitlcm fcrnuii non in acre Ininijinthi. svil m vvnto unifiii- 

inilcr spirantc. iil (ter <i fciTo calcfuctns setnpcr ahripmlur a vcnto Sir 

cnini (ti'/'is iHirlcs <f<iii(ilcs (V(jnnUlnis Icniponhits (■(tlc/iuiir su/il . cl calii- 
rcin voiici'pcrnnl caloi'i [cm propnrlionuletn. ( liihiil. ciilor. hduv. ScKVlon. 
Ripent. \'A\{. II(M'slev. l.ond.. I. IV, p. '|<'7; 17^^^-) 

On ne connaissait point alors les eH'cIs distiiicis dc^ la chaleur raymi- 



DE L\ CHALHli; I! W 0N\ WTK. :is:{ 

nanti'. I.o l'ofroidisseincnt dc-^ ror|)s dans Tair trani|nilli' , (in plnh')! 
dans l'air (pii n'a d'anli-cs inonvcnicnis (|n(' ccnx qni ivsnltciit des 
ciiangcnicnls de dcnsilr. ^u\\ nnc loi dillÏTcntc, qnc Nt'wtnii n'a poiiil 
coiisidi'rt't' : cl l'on sait (jnc Ir (■(((■rtii-ii'nl dcsii^nc par /i cnnlicnl, dans 
co ras. nn Icrnic (|ni di'prnd de la (fin|M''ralnrc. (](da a lien, en iiriiéral. 
I(j|-s(|ni' li's li'inpcralni'i's SDnt l'di'vi'i's. cl liir^([nc la rlialcnr rayonnante 
est une partie assez eonsidéralilc de la idialeiir perdue pendant le re- 
l'roidissenient. 



XXXII. 



La ndation (]iii snhsisie enti'c la nature des surfaces cl la i'aculti' 
d'al)S()rl)cr la chaleur rayonnante devient sni'tont manifeste dans les 
expériences pliotométi'iipies ; cai'. en exposant ;i une vive Ininii're deux 
thernionii'tres d'air tri's scnsildes, dont l'nn a nne honle de verre 
transparent, et l'antre nne lionle noircie, on oli>erve (|nc la tempéra- 
ture (In second s'(di've an-dessns de celle iln pi'cmiei'; et la diHerence 
ci'oit avec l'intensité de la Inniiei'c. Le même pliénomi'ne a lien dans 
le vide: il v est même pins st'nsihle, parce (pie les corps v perdent 
moins fai'ilcment lenr idialeni'. Il s'opi'rc encore nn eilel semidalilc 
lors(|n'on cxposi' anx ravons dn Soleil denx îliermomi'tr-es, dont l'nn a 
nne boule argentée et l'antre nne honle dorée. Le pi'cmier s'idi'Nc 
nmins (|nc le second ; la Inmil're, étant pins facilement ahsoihce par la 
sni'face doi'ce, rc(dianllé pins (|n'(dle ii'eidniulfe l'antre snrlai'e : et. 
comme la facilite de pei'dre la chaleur dans le milien est eL;aie on 
pres(|ne éLiale de jiart et d'antre, il est ni'ccssaire ([ue la Icmperainre 
li\e de la surface dorée surpasse cidle de l'aulre theianomi-tre. aiin (pie 
la clialenr acquise demeui'c toujours eipiivalcute ii la idialeur pei'due. 
On \(iit pal' la (pie c'est une cause sendilahlc (pii détermine la ihlic- 
reiice de température des denx lherm(jiiiétres noirci ou metalLupic ex- 
posés à la même impression de la (dialenr layoniiante. Nous pens(ms 
(|ue l'on doit reuarder. dans tons les cas. cette inégalité de tem|iéra- 
tnre comnic un ellel |iliotométii(pie. Il est du ii la jnirtie de la chaleur 
(jui a des propriétés communes avec la lumii're. 



384 QUESTIONS SI K LA TliÉORlK l'HYSIQUE 

xxxm. 

I>('s reniarqucs itri-cédenlcs pcuvi'iit servir ii (ictiTiiiiin'r la li'iii[)(''- 
radiic (le l'air loi'S(|ii(' le llioniioiiii'd*' est exposé au rayonnement 
d'une surface plus érliauHee ou moins éeliaullëe (|ue le milieu. 

LU liieiniomi'lie jiiact' dans l'air n'en indi(iue la lempéralure que si 
ce fluide el (ous les (-(U'iis en\ ironnauls oui et coiiservenl cette (emj)t'- 
rature commune. Ou connailia si celte dernière condition est remplie 
en ohservant dans l'air deux ihermomi'Ires. dont l'un est noirci, el 
dont l'auli'e esl séparé du milieu par une envidoppe mélalli(|ue: cai' 
CCS deux instranm'Uls niar(|Ucronl le nn-nie degré dans un lien d'uiu' 
leinpénilure unircu'uie. et ils mar(|ueronl des dei;rés dillérenls lors- 
(ju'ils seront égalenuMil exposes aux i-a_vons d'un corps ipii n'aurait pas 
la lcm|»eralnre commune. Si la surface rayonnanle est |dus éidiaufi'ée 
(po' l'air, le llicrnnuni'li'e noirci s'i'li'vcra plus (|ne celui doni la houle 
esl couverle d'une feuille ni<''lalli(|ue. L'elfet c(uitraire aura lieu si la 
surface (>st plus froide (|ne l'air. Imi ij;énéral. l'ineiialiti' de tempi'raliire 
de ces deux ihei'inomi'tres fait connaiire la |iresence d'un corps (|ui 
leur envoie sa chaleur ravonnante ou sa lumière, cl (pii n'a point la 
même tempérai ni'c (|in' l'air. 

Eu id)ser\ant la ditl'érenci' des deux instruments, on peul mesurer 
assez exactemenl : i" l'intensité du ravounemeiit, 2" la températui'e 
même de l'air. Aucun des deux llieruKuni'tres n'imli(|in' cette lempé- 
ralure: car ils sont (ous li's deux plus échaulfcs {|IH' l'aii-, ou Ions les 
deux plus l'roid>. 

lui iijeucral, la lempéralure de l'air est égale ii c(dlc du ihermomètre 
métalli(|ue, plus la dill'erence de> lempcralures des deux tliermo- 
mi'lres divisée par un nomhre conslanl. Il faut pi'cmlre celle dilféreiice 
a\i'c le signe h si le tlieiniomi'tre noirci es! le moins (''le\e, cl la 
prendr-e avec le signe — daris le cas contraire. i*'n choisissant junir 
exemples les ohservations les plus connues, on Ir'onve (|ue le diviseui' 
cousiant dillere peu de '1 . Il dépend ilc la jiosilion du llici-momi'lr'c par 
l'apport aux corps rav(Minanls. 



DE L \ CM U.Kl i; 1! \> (t\N W li;. 



:5S;i 



Oii \(iit |i;ir lii (|iriin llicrimniii-lri'. i'\|i(i>i'' |ii'ii(l;iiil la nui! sniis im 
l'ii'l serein. iiiili(|ii(' une leiii|ieratiir-e inf'er'ienre ii celle de raie. Aiii^i 
la (lilierenee eiiti'c la le[ri|ieraliii'e de la Terre (|ni se eoiivre de rosée et 
i-elle de l'air, il i '" on ■_;'" de liauleiir. est un [umi pins i/rande (jue eidle 
(|ni a été rnesiuM'e. |-]n ellVl. en snlistilnanl an llierinnmi'lre sn|K'i-ieii,- 
])iaee dans l'air deii\ anlre^ ihei'iniunelres. iliuil le ])reniiei' v. a nne 
enveloppe nietalli(|ne el le second a est noiici, on a lonjoni's reiMar(|ni' 
que ee deiwiier y. e>l moins élevé ipie a' : doni' ils indi(|nenl l'un l't 
l'autre une leinpei'alni-e inri'rieiii'e ii i^dle de l'ail'. Ils sont relenns dans 
eel elal par l'aelion eon^lanle des l'ayons Froids ([u'ils l'eeoivent a Ira- 
vers l'atniosplu're. 

\on> allons niaiiilenauL rappeler, dans un dernier arli(de. les divers 
eirels (le ee rayonneineiil. 

\\\IV. 



l.'ini|)ression des ravons froids (|iii' la siirlaee de la Terre reçoit ciui- 
tinnelleinenl, et dans tontes les direi-timis. ;i travers les es|iaees atnio- 
splieriiines e^t rendue seiisilde pendant la nuit [lar la l'orinalioii de la 
rosée: cet ellét suppose presi|ue toujours ipie la lernperature des corps 
devieiil nioindre (jiie c(dl<' de l'air. 

On reconuait direclenieiit la même cause iti e\|)osanl. a|H'i's le cou- 
cher du Soleil, nu tliermomi'tre à l'air liln-e. î. a température iju'il in- 
di(|ne aiiiiiucnle lors(]ii'on |ilaee aii-dessns de rinstrnmeiil un oli^la( le 
(|ni intercepte l'aspect (rniie partie du eiid. 

Otte elévatiiui de la temp(''iatiire est plus grande m. tiMite> les aii- 
ti'es conditicms demeurant les méiiies. la >uiTaee interposée coupe les 
ravons v(usins de la verticale. 

On peut réunir au l'over des miroirs mi'talli(|iies C(uicavesces ravoiis 
<]ni descendeiil ii travers l'atmosplit'i-e, et (|iie l'on desiiiiie comme 
Iroids parce (|ne les particiile> nialerudles (jui les envoient oui une 
température inlérieiire ;i ctdie du corps (|ui les reçoit. 

Le décroisseineiU de température ([lie l'on oliseive a|U('s le couclier 
du Soleil, depuis un point situé à une assez jirande hauteur jusipTa la 
11. v.> 



:iS(i Ol KSTIONS SI I! i.\ 1111:01111; î'inSIOl K, ET*.. 

stirfacc (Ir l;i IVitc, csI du au rcrroidisscuicul de cctlc siiiTacc. (|ui 
|)cr(l tri's |)riiin|il('uu':il sa chaleur par rirradialioii. 

Tous les cllcls (]ui' l'on viciil de ra|i|i(di'r sout nioiudrcs ou ccsscut 
cntii'rciuciil si le cifd se coiiNrc de nuages ('pais, c! si l'air csl a^itc. 
parce (|ue les ^l'auds n]ou\'eiiients de l'ahuospliJ're lendeul ii ini'der les 
!eui|»eralures cl diuiiuiiciil rinllueiice r-(dative du ravouiiemeul . eu 
auLiiuciilaul la i|iianlilé de chaleur enlevée ou coiuuiuui(|Uce jiar le 
eoulacl de rair. (JuanI aux uua;;i's, ils iutereepteut les rayons (|ue le 
lIieruKMui'tre l'eeevait. cl les reuiplaeeul jtar d'aulros rayons dont l;i 
leuipératiii'e esl un peu plus élevi'c. 

Celle niiTue cause, ([ni ai;it conlinnidleincul el de toiiles paris sur le 
iherinonii'ti'e lors(]ue la transparence de l'atmosiihiu'e n'est point Irou- 
lilt'e. esl indi(jni'c par d'antr'es (dl'ets (|ue nous ne considéi'ons [muiiI 
ici, el (]ni peuvent aussi sei'vii' ii eu mesurei' rintensité: mais aucune 
oliservation iic la rend plus nianifeste (|ue rin(''i;ale teuiperatnre de 
deux Ihernionii'tres, dont l'nii esl noii'ci et l'autre iuétalli(|ne. Il n"v a 
(|iH' l'inlliUMice rayonnante des cor|)S l'roids qui puisse abaisser la teiu- 
péralure du premier tliermoinélre au-dessous de eidle du second, el 
rendre ainsi ni';;ative la diH'érenee"(]ue produirait eii sens contraire la 
picsence <ln Soleil. 

I>a plu|iart des (|neslious (jtii sout l'oiijet des Notes pi'écédentes 
avaient été examinées et l'csolues dans les (Jnvraii'i's de .M.\I. Prévost el 
Leslie. I{lles anraieni été expli(|in''es d'une manii're plus elaii'c el plus 
compli'le par les auteurs de ces (luvrai^'es, ou par les saxauts rédacteurs 
de ces A/uia/rs. Tonhd'ois le rappro(dicmcnl (jue nous en av<Mis l'ail ne 
sei'a poiiil sans niilile. Il a pour liul de montrer (|ue la solution de ces 
(|neslions dépend d'un petit nombre de piancipes. et (|ne les ell'els les 
[dirs varii's de la (dialeiir rayonnanle se laménent l'ai'ilemeul ;i la 
théorie conniu'. 



HKSl Ml': TIIKOMIOI K 



'NOIMIIKTKS m: L\ riULElll m^OWWTK. 



KI-:SL.ME rUKOUIQl [• 



PROPHIÉTÉS DJ: la CIIVLEIU RAYON V.ME 



iiutali-s de Cliiiiitc cl tic P/i}<iijUc, Soric 1. Toiin' WVll, p. ■>](>: iS>.'\. 



\niis i'i''iini>sons dans co Mniioirc les llK'ori'nics (|iii i'\|H'iniciil les 
lois lie rr(|iiililii'i' ilc la rlialciir l'avoiiriaiilc. aliii iranjn'liT rallcntion 
sur celle iiDiivi'Ilc hraiiclic île ia Pliysiiine iiiallieniarK|iie. en in(li(|iiaiit 
ses limites aeUielles el les reelierelius (]ni poiiriaieiil servir ii la |ierlee- 
tionnor. 

l. 

Ciia(|lie élément de la snrlaee exItTieiire d'un eorps éeliaiill'é est le 
centre d'une infinité de raxons de idialeiir (|ui se ré|)audenl dans i'es- 
pai'c suivant différentes direi'tions. Cet t'Iemenl peiil être eniisidcré 
comme un dis([Ue infiniment petit, >ervant di' iiase ;i des evliiidre> ipii 
ont tonte-; les i uchnaisinis possihies, et d(Uit idiaenn conlieni une inti- 
uile de layons paralli'h^s. 

I^a (dialeur l'avonnanli' envoyée ainsi dans IN'spaee extérieur par 
releuM'ul (•) d'une sni'l'ace est loianée de deux parties dislini'les : l'une 
sort de l'intérieur même de la masse M ii laipudle la <uri'aee ro uppar- 
lient: l'anlre est celle (|ue la miMiie siirlace w rellecliil et (jn'idie a recui' 
des eorps environnants. Nous ne connaissmis piiint la nature des l'oi-ees 
(pii [irojetteut au didiors la chaleur dont les eoi'|is sont penelrc'^. ou (jiii 
rétlécliissent vers l'e-iKice extérieur une partie des rayiuis (jui tomiieni 



:î!M) l'.KSI Mi: riIKdltlnl V. 

sur \;i siipcrtii'ic; iiiiiis nous dliscrvuii'^ irs ctlcls i|iir ces (•;iii>('> \n-n- 
iliilx'iil ; i-'i'sl le iiilriil ili' CCS i'il'cis (|!ii csl robjcl de luis ii'clicrclh'S. 

L;i cliiiltMir iiii-idciilc (jiriiii rlrniciit oj reçoit des corps enviroiiiKHils 
se divise en deux (Kirlics, dont l'une pcnl'li'c l;i ni.-isse .U, tandis (|ne 
l'anlrc esl rétlé(d!ie dans l'espace exlt'i-icnr. en i'orniant l'angle d'inci- 
dence éi;al il l'angle de i'etic\i(ni. Oiniiil an\ rayons (jU!' le corps .M 
leinl il projelci-, ils sont soumis ii l'action d'nnc cause senililahlc. cl 
snliissenl une sort!' de l'cllexion inli'i'icnre. l'ne jiai'lie de ceux ijui 
sont ('Miis |)ar les inoleciiles du corps M les pins voisines de la surlace, 
et (]iii parvienncsit ii ridcnienl (o sons nn eertain angle, poiirsiiivenl 
leur roule en ligne droite dans resjtacc envinninant. (l'est en cela (|ne 
consiste rcnii-^sion [iropi'c. l'ne antre partie de la idialeni- «|ne le cor|)s 
tend il projeter ne [leni'trc pas an delii de (o : (die rentre dans la niasse. 

Les ra vous propres émis par le corps .M ii ti'avei's l'idénient fo s'ajonlent 
aux raviuis (|ue celte petite sni^lacc reçoit de rexierieur cl (|n'(dle rellé- 
eliit. I.a (luanlité totale de (dialcur ravonnaiite envoyée par oj se ciun- 
pose de ces deux cspi'ccs de l'ayons, les uns projcli's directenienl, les 
autres l'cllcidiis. Il csl évident (juc les l'ayons envoyés par les corps cxté- 
rii'iirs et (|iii sont reilécliis [)ar (o se riu'inent aussi de chaleur directe et 
de chaleur réllécliie. Xoiis ne eoiisideriHis poini ces raviuis ii la surlace 
des corps extérieurs (|ui les renvoieni, mais ;i la surlace du corps M 
ipTils péiii'lren! ou (|ni les l'idlecliil. 



I)i\crs( s expériences avaient diuine lieu de l'oindiire (|ne la (|iiaiilile 
lie chaleur ra\(Uinante (ju'uii clemcnl lo di' la surlace envoie dans une 
direction donnée est d'à nia ni moindre (|ue celle direcli(ui l'ail un angle 
pins petit a\('c la surlace o), cl (|iie celte (|uanlili'' esl proporlioiinelle au 
siiiiiN de rinclinaison. Nous alhms l'aire connailrc comment la théorie 
ediijirme el expliijiie cette conseijiiencc. ! ne proposilimi de celle iia- 
Inrc. analogue aux théori'nies de (iéonictric et de Slaliinie, pi'Ut eli'e 
iiidiipiee par la \iiie expérinienlalc : mais idle exige une deimuisl ralimi 



DES l'RÔIMilETKS DE I. \ CIIM.Ell! I!\^()\^\^TE. :!!lf 

th(''()ri(|U(' (|iii li'vc tdiis los doiilcs provenant de la (liltiriiltr dc^ inc- 
siiM's et (le rerrriir iiicvitahlc îles olisci'vatioiis. 

]| Tant d'alxinl ilctinir cxai'lcinrnl la incsiu'r dv la (]iiaiililr de ili;i- 
Iciir cnviivéi' à r('s|iari' rxtéi'iciir. dans clKHjni' dircclion, |iar ini iiicnir 
éli'incnt de la sn[i('rtici('. Pour nda, un se i-i'pi'csiMilf Imis les lavons 
parallidc^ (jiii fornicnl nn srni i-vlindi'c olilii|ii(' dont la hase rs! le 
ilisi|ni' oj, cl dont l'axe l'ait avec celte hase un anifle z. Ces lavons. 
inces>ainnieiit renouvelés, ti'aversent nn dia|dii-aL;ine qni serait trace 
dans le cvlindrc |>er|iendii-nlaireinent ;i son axe, ii une distance (|nel- 
coïKine de co, el l'on |)ent concevoir (jne cet eU'el snhsisie toujours le 
même durant un certain temps pris pour unité. Si l'on pou\ait re- 
cueillir toute la chaleur (|ni traverse ainsi, pendant l'unilé de temps, 
le dia|ilirai;iiie du cylindre, et di'lerminer coiiihien elle l'ondrail de 
glace, cette ijuantilé de glace fondue serait exprimée en nomhre 
d'unité de |)oids; c'est ce nomhre (|iie nous prenons pour la mesure 
exacte de la quantité totale de chaleur contenue dans le cylindre 
(d)li(pie. C'est ain-~i (|ne l'on peut comparer entre elh's les (|uanlites 
respectives de idialenr envovees |>ar le même élément dans des direc- 
tions diti'érentes. Celte delinilion est lirs propre à éclairer la (|uestion 
et suftirait en quel(|ne smle pour la résoudre; mais il est nécessaire 
de l'onder cette résolution sur nue deimmslralion [losilivc .\ons l'avons 
déduite d'un lait tri's général donne par les (d)servations oominnues. 
savoir re(|uilihre de (dialeiir qui s'i'tahlit entre tous les corps placés 
dans le même iniliiMi. 

III. 



Que l'on se représente une enceinte solide l'erniée de tontes parts, 
entreti'nne. ]»ar des causes extiu-ienres (|uelconques, ii une tempi'ra- 
ture constante (i. commune ii Imis les points de celle enceinte. On 
place dans l'intérieur de ce vase rermé plusieurs corps (|ni [)euveut 
différer entre eux pai- la l'orme el les dimensions, par la nature de la 
suhstanee et par l'état des surfaces. L'équilihre des tem[ieratni<'s tend 
à s'étalilir de plus en nlus entre tous ces cor])s, et c'est une couse- 



:5!)-i l!i:Sl MK TUKOlîKU 1! 

i[ll(Miri' iiinilil'csli' iIm jHiliri|ic (le l;i (■(UimiUlliciilioll '.le l:i eliali'tll-. lui 
l'iicl, deux iiH)lccnl«'s Miisiiirs. doiil les Iciiiprralurfs smil d'niioi'd dit- 
Icrciilcs, cxciTciit, riiiidirinciiiciil ;i ce |ii'iii('i[i(', une ;iiti(in Iclli' (pic 
hi |):irlicul(' la iimiiis (''cliaiiliV'c l'ccdil de i'aiilrc imc jiariM' dr la rha- 
Iciii- cxccdaiili' : cl l'cllc ilialciif c(iiniiiimi(|iicc liiiil ((injdiirs par cli-c 
cxaclciiiciil |(rii|ii)iiM)iin(dlc ii la dillcrciicc ilcs lcm|ici"ilnics. li rcsiilli^ 
de !■{' |iarlai;i' coiiliiiii(d cl de la leiii|>«''ral lire tixi' du vase (|iie loiis les 
(•orps i|iril rciireniic Iciideiil (■(iiilimudleiiiciit ii ac(|nei-ir le iiicine 
dei;rc de idialcur. 

Si l'dii sti|i|»iisc ([lie la lciiip(''i'aliirc (!, (•(iiiimiinc ;i Idiiles les parlies 
de rencciiilc s(didc. csl aussi celle (|iic Ton a d(Uiii(''c aux cdi'ps M, \, 
1'. places (lan> l'espace (jiic cette enceinte termine, il ne pourra snr'- 
vciiirancnn cliaiii^ciiienl , et (diacnn do corps conservera celte lenij»'- 
l'alnrc priiiiilixc ('.. Mais si un on plusieurs de ces corps avaient une 
leinperatiire iiKHiidre (|iic ('.. lors(]irils on t (^'le ajipdrlcs dans renée in te, 
ils s'\ ('■idiaiiHeroiil pidi;ressiveinent, cl, apri's un certain teiiips. \\< 
auront aci|iii> une leniperalnre lirs peu dillV'reutc de tl. Olte dille- 
reiicc diininiie de plus en plus, et de\ienl plus |)elile (|ne l(Mile (jiiaii- 
lile d(Hinee. Le nieiiic (dlel se produit en sens contraire si la teinpc- 
ralurc initiale dc>- corps .M, \, I' surpasse celle de renceiule. I.c l'ait 
^('•iK'ral (|iie l'on vieiii d^Mioiicer snhsiste, (|U(d (|ue soit ["('tat des 
diverses parlies de la sni^lacc de renceintc: il siillit (|iie tous les points 
aient nue lein|M'ralnre c(uniiinne et coiistanle. (!e l'ail est indépendant 
de la nature cl de la rorinc des corps M, N, I', solides, li(|iii(les ou aeia- 
riu'ines. La (|uaiitite de chaleur (]ui pciièti'c ces corps, et le temps ijin^ 
idiaciiii met a rac(|ucrii', diiri'rcul lieaucoiip sidon l'espi'ce des suh- 
slances: mais leur température tiiiale est la iinMiic; (die est ii(''ces- 
>aircmcul c(dle de renceintc. dette consid(''ralioii de rc(|uilil>re tics 
Icmpci'alurcs dans un vase (erme est le vrai rondemeiit de la Tlie(uie 
mallicmali(|ne de la (dialciir rav(mnaute. cl dérive, comme muis I a\(uis 
dil. (in principe de la c(Uiimiinical ion de la (dialciir : c'est, dans cette 
(da>^e de |)li(''noin('iies, le l'ait le plus i^M'uicral et le pins conslanl (|ne 
1(01 ait ()l)sei'V(''. 



DKS PROPRIETES DE EA CIIALEIR RAYONNANTE. 



:vxi 



lY 



Il faut maintfiianl ('\|>li(|ii('r coimnciil (•cdc nolioii i\o ïrt^mWhn- 
scTl il iltHcriiiiiicr la loi ilii rayonncincnt. ('.iia(|iic partie iiiliniiiicii! 
]ii'tili' lie la siiiTarc (l'un l'urps rcliaiilIV' rsl le centre d'un liénii^phèie 
rein|»li île chaleur raviiiiiianle. T(Uis les éléments île la surface liénii- 
splieiii|iie ( ilonl le ravnu es! i ) suni (r'aversés, penilant la durée d'un 
niènie inslanl. par des (|uanliles de (dialeur (|ue l'un ne sei'ail pninl 
rmiile il supposer e^^ales. Il s'ai^il de découvrir la loi de la distriliution 
de la clialeiii' il la surface de riiéiuis|»li('ro. l'ourccla. on considi're une 
enceinte solide que teruiinenl de toutes paits des surfaces d'une foriiie 
donnée, retenues dans (diaciin de leurs points ii une température com- 
mune et constante C. On se re|)résente (|u'une molécule splierii|ne. 
inlinimenl [letite, est placée dans \i]) des |)oints de res|iace inlericur. 
par exemple au centre d'nne surface splierique, cl l'on se pi'opose de 
diderniiner la températui'c liiiale i|ne la moli'cule doit ac(|iierir. ('ette 
lem|iera(ure finale est hdle (|ue la molécule l'ayant acquise envoie ii 
renceinte une quantité de chaleur précisément égale à celle qu'elle en 
reçoit; car, si ces deux (|uanlilés n'étaient pas égales, il est évident (jue 
la molécule changerait de tempera! lire : c'est sur ce principe iiiie le 
calcul est fondé. Nous supposons que l'on ii^nore si les rayons envoyés 
par un élément oj de l'cnccinle, sidon dilIVM'entes directions, ivm- 
tieiineiit, en elfet. d'aillant moins de (dialeur (]u'ils sont plus inclines 
sur M. ci (|uelle est la loi du decroisscinent, c'est-ii-dire quelle est la 
qiiaiitile de idialeur eonteniie dans le cylindre (|ui a pour hase (o. et 
dont l'axe fait avec la même surface tu nu angle donne o. On regardera 
donc celte quantité de (dialeur contenue dans (diaijue rayon comme 
propoiiionnelle à une fonction indéterminée du sinus de l'angle ci, et 
l'on trouvera iaeilement. |Kir les règles eommunes du Calcul intégral, 
l'expression de la tem|ieraliire finale a (jue la molécule doit ac(|Uerir. 
Cette ex|iression contiendra la fonction indéterminée /(sino). On 
eliercliera ensuite ii reconnaître la nature de la fonction en comparani 
la valeur de a ii celle de la Icmpeiature commune de l'enceinte. 
li. 5o 



•.m HÉSIMÉ TIIKOKIOIJK 



V. 



Ce soiil (les calciils de rr. i;('nn' (jui nous nul [irouvé (juc la (|iiaiUilc 
totale (le clialciir rayoïinaiilc envoyée par un élément (|ueleoni|iie i\u 
vase lernie est. eoniiae les expérienees l'avaient inili(pie, proportion- 
nelle an siiins de rinelinaison. Par exemple, nous avons supposé une 
enceinte splH'iifpie. et la moléeule placée an centre, on un espace ter- 
miné par deux plans infinis et |iai-allides (|ni tiennent lien de l'enceinte. 
Nous avons aussi attribué à cette enceinte la l'orme d'une enveloppe 
{■vlimlri(pie lerminée par deux (aces circulaii'cs. Dans ces divers cas. 
et dans tons ceux (pie nous av(Uis soumis au calcul, on trouve (jne, si 
la (puinlité de chaleur envoyée par le (lis(pie intiniment polit co était la 
nn'nie dans toutes les dir'cctions, les jdiéuoménes seraient totalement 
c(Ui(raires ;i ceux (pu' l'on ohserve. La température acquise jiar la 
molécule changerait avec sa situatmn dans l'espace. On tronveiait la 
leniperalnre de la L;lace dans une enceinte retenue au dei;ré de l'éhul- 
lllion de l'ean, et celle de la l'nsion du l'ei' dans niu' enceinte i^lacée. 
Mais si. an contraire, la (dialenr envoyée est en clia(|ue élément pro- 
portionnelle au sinus de rin(dinaison, il n'y a ;'ucnn point de l'espace 
intérieur dans hvpu'l la molécule n'ac([ui('re la tempérainre même de 
renceinle. Il serait siiperllu de rapjiorter ici ces calculs; on les trouve 
dans noire Aienudre de 1811 { Xdi/iCdN.r Mcnidircs de IWcddnnic royah 
(les Scir'/iccs. I. \ ), articles 90, 'Jl, '.)(!, el dans les Annales de Cliiinn 
• 1 lie l'liysi<iuf. Imne IV, paj;e iiicS, année iSi-;. 

VF. 

Il esl l'acile de ^généraliser ces conseqneiiccs et de demontrei- (|ue, si 
la (diah'iir contenue dans chaipu' ravtui est proporlionncdie an sinus 
de rau;;le ipie ce ravon l'ail avec l'i^i'um'iit ([ui l'envoie, la leniperalnre 
linale acipiise par un corps placé dans un \ase l'erme ne dépend pmiit 
de la l'orme du vase, el (pr(dle esl loujours la im''nie (pie la leiiipéra- 
tiire de l'enceinte, (le résultai a lieu, ipnds (pie soient le munhre des 



DRS PrttirUlKTKS I>K l.\ ClULKUli ItWONNWTi: :!!».•; 

corps, leurs dimensions et les lienx <|n'ils oeenpent. (;li;i(|nr l'Irint'nl 
intinimeni pelit de !;i snriiiei' d"iin de ces corps, on de celle do l'cn- 
ceinle, es( la hase eoniinniic d'une infinité de rayons ijni s'idcML^ncnl 
di' ce centre, et l'orment nn lH''nns|)lii're l'cnipli île clialenr. I.c nicno' 
tdeinent reçoit, selon les iliredidns contraires, nn pareil nombre de 
rayons respectivement é;;an\ ;i cen\ (|n'il envoie, et (|ni, par eoiisc- 
ipient. apporteiil des (juaulites de (dialeiir proportionnelles an\ sinn> 
de l'inelinaison. ( Art. U(i cl i)7 du Mémoire déj;i ci lé de i <Si i .) 

Il est surtout nécessaire di' remar(|uer : i" (|iie la eonse(|iienee ma- 
tliemati([ue dont il s'agit appartient an cas di- re(]uilil)re, c'est-ii-dire 
a cidni où tontes les parties de l'eni-einte ont une temperainre com- 
mune : dans ce cas. il est demmitré' (|ue les (juanlites de chaleni- 
envoyées en dilieicnts sens par un nn'mi' élément sont ciilre elles 
comme les sinus de l'incdinaison ; 2" (|ne celle i|nanlite de chaleur 
envoyée |iai' la surl'aee co n'est |)as seulenn'ut fiuanee du j)rodnit de 
r(''niis>i(m direcle, mais eneori' de la chaleur réllecliie par le même 
élément. Ainsi la proposition |)récédeule exprime la lui de l'émission 
totale on etdie du rayonnement, et non la loi de l'emissiim ilirecle, (jim' 
l'on poin-i'ail supposer tri's ililVerenl^'. 



VII. 



Après avoir l'cconnu, (lar l'exaunni des (jneslions précédeulcv. (juc 
les résultats des (d)servations sont (dairennuil expliiinés di's (|ue l'on 
regarde les quantités de chaleur eii\(iyees par chaipu' particule de la 
surlaee comme proportioniudlo aux >inus de I imdinaison, uimi- a\ou> 
eonsidéi'é attentivement les eimse(|uences les plus i^enérales de celle 
loi. On peut les énoncer enmm(^ il suit : 

I" J.ors(|ue la hii dont il s"ai;it suhsiste, re(|niiihre de la chaleur 
rayminante a lieu d'élément ;i élément. c'esl-:i-dire (|ue, si l'du c(un- 
pare seidement deux surfaces inlinimeut petites (o cl (•>' (|ni siml eu 
présence l'une de l'autic, soil ([u'elles apparliennent ;i l'enceinle un 
aux masses (|n'(m y a placées, il arrive lonioin> (|ue l'un des (deuMUits 



:î96 I5ESLME THKOKIOl K 

(•(•(•(•il (le l'aulrc une (|ii;iiitit<'' de chulvyw cxuclemcut ri^iile ;i vvWo (|iril 
lui envoie. (Xtc propriété ne peut convenir (]ir;i la loi préeédeinniep.t 
énoncée. l/é(jniliiire d'élénienl à élément ne résulterait (rauciiiH' autr'c 
loi : il suppose nécessaireineni (|ne la chaleur envoyée ou l'eçue est pro- 
|)oilioiiiiclle an sinus de l'angle que le rayon l'ait avec la surface ( Mé- 
moire de r 8 [ i , ail. 96). 

.i*^ Si, en désignani un élément de l'espace intérieur, on calcule 
comjjieu cette sphère intinirnenl petite reçoit de chaleur de toutes les 
parties de l'enceinte ou des corps interposés, ou tiouve une (piantite 
constante (|ui ne ile[ieud aucnneuH'ut de la position du point lui de la 
lii;iire du vase. (',lia(|ue point de l'espace est le centre d'une intinité de 
rayons d'une éi;ale intensité (jui arrivent et s'éloii;nenl selon toutes les 
directiiuis. 

i" Il est facile de mesni'cr la (|uanlité de chaleur qu'uru' surface 
d'niH' fiuine (]uelcon(|ue, et dont toutes les parties in)t la même tem- 
pérature, envoie ii un |>oint de l'espace lors(|ue ré(|uilihrc suhsiste. 
Il laul rei;arder ce jioiut comme le sonnnet d'un cùm- (|ni envelop|ie 
la suiTacc donnée, et tracer uni' surface liémispliéri(]m' d'un rayon 
égal ;i 1, don! le centre soit en ce point. La pai'tie de la surface hemi- 
sphéri([ue (|ui est conqirise dans ce coin', c'est-ii-dirc la capacité, ou 
l'ouverture du cône, nu'sure la (|uantilé de idialeur einoyée.Nous avons 
appliqué celte construction dans um- Xole mlitiilée : (Jiicslion sur ht 
Tlivorir pliysujiu- de la vlidlvnr rayiiniKiiilc ( A/t/id/cs i/r Clmiiif ri dr 
/'/lysii/i/c. t. \ I, aiiu(''e iMry, art. 7 et <S). 

Si l'un cousidi're le cas de ré(|uilihri', la consé(juence est rigonreu- 
semenl exacte. Si les surfaces (Mit des températures inégales, mais 
assez peu d ill'erenles, et si les iucidenc(^s ne S(»nt pas li'és ohli(|iU's. ou 
peut eucoi'c faire usage de celte conslruction en considérant separc'- 
menl l'cllét de clia(|iH' surface. On e\pli(|ue li'i'S (lairenn'ul. pal' ce 
moyen, plusieurs elfets reiiiar(|iialdes, par exemple ceux (|ni depeudeiil 
de la ridlexion apparente du froid ( AiiikiIcs de Chimie cl de Vhysujnc . 
Note citée, arl. ',>, 10 e| I \). 

V Si l'on conçoit une surface tracée d'une manii're (|U(dconque dans 



DES PROPRIÉTÉS DE LA Cil VLEl R liAVONNAME. :î!t7 

r('S[)aco que l'enceinte termine, et si, désignant un élément w de crtic 
suiTaee non matérielle, on eonsidere la «juantité de elialeur (|ni le li'a- 
verse dans toutes les directions, on voit (|ue la loi du rayonnement est 
observée |)ai' l'apport ;i l'et clcmcnl, rii M)rte tjue les cylindres dniil il 
est la hase contiennent des iinanlitcs de (dialeur proportionnelles ans 
sinus des aui^les (jue les axes des cylindres t'ont avec cette hase: reli'et 
esl le même (juc si ['(di'mcnl co a|iparlenait ;i la surface de l'un des CDrps 
(|ni niil la température liiialr. Ainsi. I(>rs(|!r(in retire un de ces corps M, 
\, 1' di' Tespace intérieur, le rayomiemenl qui avait lieu en chaque élé- 
ment de la su|)erticie de ce eoi'ps conlinne de suhsister à la surfaee (|ni 
termine le volume qu'il occupait. 

C'est la (listrihution homoiiène (|ue nous venons de deci'ire i\\i\, ii 
pidprement pai'Ier, constitue l'eiiuililire de la chaleur rayonnante, ci 
détermine la temperatuie de l'espace intéi'ieur. Si l'on divisait cet 
es|)ace en proporti(»ns égales, el (|ue l'on put recueillir la chaleur (|ue 
renteiine clKKjiie poi'tion an eommencement d'un instant détermine, 
ou trouverait ces (juanliles éi,'ales. et leur valeur commune serait la 
mi'rne ;i liiiit autre instant. 

OmM(|ue la chaleur ne puisse pas être comparée aux matières aéri- 
lorme>. on peut remarquer ici (|u'elle j'Uiit d'une propriété stati(|Ui' 
analiigiie ii celle de ces fluides. I,a densité, et pai' conséquent la force 
l'epiii-ive (]iii nait de l'action de ht cliaieni-, sont les mêmes dans tonle- 
les parties de l'espace m"i re(|uililire est forme. Lors(|iie cette égale dis- 
trilinlion e>t ctahlie. il n'y a aucune cause (|ui puisse changer les tem- 
pératures. 

Mil. 



AprJ's avoir démontre les theoirmes énonces dans les articles précé- 
dents, nous avons désiré connaitre la cause physi(|ue dont ils dérivent. 
\ oici les lesnltats de celle recheiclie : on suppose d'aliord que la réllexi- 
hilile des surfaces est nulle ; on considérera ensuite l'ctiét de l'Ctte pr'o- 
iniélé. 

l-(U'S(|ne la chaleur (loni un coi'ps est pénétré s"é(dia|»|)e à travers la 



:«)« ItKSllME THEORIOIIE 

supci licic, cl se |i()it(' dans l'espace eiiviioiinanl, il est eer(aiii ijiie les 
lavons émis ne [n'ovicnnenl pas scnlcinenl de i'exirènie surface. Les 
points nialériels (|ni sont h une distance ti'i's petite de la snperlicie 
concoiii'cnt cvidcninieiit ;i l'crnission. Nons ferons i'einar(pier ici (pie, 
dans la Tln'oi'ie dont nons exposons les éléments, on considère des 
températures limitées comparables à c(dles ((ui déterminent les pliéno- 
mi'nes naturels à la surface du glohe terrestre. Pour les cor|)s opa(|ues 
cl pour cet ordre de températures, il n'y a (pie les points situés ii une 
profondeur extrêmement petite dont la chaleur émise puisse arriver 
direclemenl au delà de l'extrême surlace. Il est visilde (|ue dans les 
directions inclinées le produit total de rémissi(Ui doit être moindre, 
paice (|ue les ra\(ms projeles ont ;i traverser une plus grande dislance 
dans la masse solide, et (]ue, par consé(jiient, il y en a une plus grande 
pallie d'interceptée, l'our deiinir avec précision ce dernier elfet, (|ne 
l'on se représente (//i;'. i ) un cylindre ohli(|nc (|iii aurait [lonr hase un 

Fis, 1. 



clément intiniment petit w de la surface d'un coips éelianlfé, et (|uc 
l'on prolonge ce cYlindre dans la masse solide. Si, par un point z tri-s 
\iiisin de la hase co, on trace un diajdiragme n perpendiculaire ;i l'axe 
du c\lindre, celle section a sera traversée selon la direction de l'axe 
par la clialenr (pie les molécules /y?///' du cylindre placées au-dessous 
du point t. cl les plus \'oisines di^ ce point, envoient dans cette direc- 
tion, (iiie partie de la clialenr (|ue ces molécules projettent paralli'- 
leiiient ;i l'axe n'arrivi^ |ias jus(|u';i la surface extérieure (o: (die esl 
inlerceplée et éteinte par les niolécules scdides intermédiaires. Si l'on 
Iracail entre m et 7, il une certaine distance o du premier diaphragme 7, 
nu second diaphragme t' perpendiculaire ;i l'axe, il est certain (jiie la 



DKS PROPRIÉTÉS DK L\ Cil \l. KIR I! V'» O \ \ \ NTK. 890 

clialpur rayonnante ([ni liaverse z' selon la direelion de l'axe dn cy- 
lindre serait en moindi-e (piantité que celle qui traverse 7: c'es(-;i-dire 
que la ehalenr A (|Ui |ias>e dans cette direction ii travers n se trouve 
rétluile ;i une nioindi'C valeui'/;A lors(|u"elle a [larcoiiru dans le solide 
l'intervalle c. Klle est diminuée de (1 — /mA, et la i'raction p dcpcnd 
de suivant une ccriaiiir lui. ()ii l'eprésentera donc ce ra|)[»ort /> [lai- 
une l'onction indi'lcruiinec de l'i'siKo'e [larcoui'u 0. Si l'on considère 
(|ue toutes les niolei-ulcs A\\ s(didc. avant par liy|Mitlii'sc la mèiiie teni- 
liératnic, envoient la niénie (juanlité de chaleui' et (|u'c|les la pro- 
jt'ltent ej^aleiuent dans tous les sens, ou p()urra t'ornier lexpi'cssitui de 
la (piantité totale di' cli;ilenr qui s(MI du solide ;i tr-avers un élément f-j 
de la Mirl'ace selon une diii'iiioii di'lei-miuee : cette expi'essi(Ul con- 
tiendra la l'onction /( ), (|ui. étant retranchée de l'unité, mesure la 
ipianlile de clialeui' eleinle dans un inlervalle (juelcon(]ne 0. Il e^t Iri-s 
facile d'établir ce calcul el de c(im(>arei' entre elles les (juanliles de 
clialeiir ravonnante (pii s'eeliappent >elon deux directions diU'ereiites, 
en traversant un même clément cj de la siiperticie. On rec(Uinait ai(ir>. 
ce qu'il était aise de pi'cvoir. (|ne le rapport de ces (|uantités esl indé- 
pendant de la ronction /'( ), (|ui deteiinine la loi de l'extinclion. Oiielle 
que puisse être cetli^ loi. le rapport dnnl il s'agit esl eeliii des sinus des 
auirles (|ue les axes di's eylindies (ont avec l'élément. Au reste, cette 
même eonsé(|uence se |)résenle d'cdie-méme, et la démonstralion n'exi- 
geiail aucun ealcul. comme on le voit dans l'arlicle Miivant. 



I\. 



lui etl'et. désignant par co un ceiide intiniment ]ietit pla<'é ii la >ur- 
l'ace du solide, on mène par le cenir-e de (o une normale à celle >uri'ace. 
et l'on l'orme dans l'inlM/i'ieur de la masse un eylindre di'oit dont cette 
normale esl l'axe, el dont to esl la hase. Dn centre de co on trace dans 
le solide ( ji'^. -1 ) une -^urrace hémi>plieri(|ue (jui a pour rayon :. et l'on 
jji'idonge le eylindre droit juscju'à l'i; <|u'ii n/neonlre la surl'ace hemi- 
s|)lieri(|ue. oii il inlerceple une portion intiniment petite s. On c(jn- 



voo 



RESUME THEORIOI E 



slriiit aussi un ( ylindic oIili(|ue ilout co rst la iiasc, ol dont l'axe, nu-né 
dans riutéricur du solide, l'ait avee la base to un ani^le o. Ce cylindre 
est pi'oloniié ius(|u";i la rencontre de la surface liémis|diéiique. où il 
rireonsciil une section i. Entin du centre de oj et d'un l'avon s — o 
on li'ace une seconde siirCaee héniispliéri(|ue qui l'oupe aussi les deux 
cylindres, et forme dans le [ueinier une section \', et dans le second 
une section g' . Un élément du cylindre orlliogonal est compris entre 
les sections s et .v', dont la distance est o, quantité intiniment petite 
par rapport à i. et un élément du cylindre oblique est compris enti'e 
les sections n cl t', dont la distance est la même que o. 



ri;;. 2. 




(iliaque point intérieur /// de la masse solide uniformément écliaullée 
envoie dans toutes les directions une certaine quantité de (dialeur A. 
dont une jtartie /;A arrive dii'ectement jus(|u à une certaine distance î 
du point m. 1, 'autre partie ( i — j))X est interciqdée. La fraction p est 
d'aillant plus petite (|ue la loni;ueur i parcourue dans la niasse solide 
est plus i^raiide : cl celte fraction est nulle si la distance parcourue 
l'i^ali' ou surpasse A, (|uanlilé extrêmement petite. 

Cela posé, il est facile de comparer, ciunme il suit, les (|uantités de 
chaleur (|ne les deux éléments solides des cylindres envoient jusiin'ii 
la siiperlicie au dfdii de to. Désignant paiw/ la clialeur émise, selon la 
direction normale, par relément cvlindri(|ue dont la hase est .v et la 
hanlenr o. et désignant par h la chaleur émise, sidon la direclion de 
l'axe oldiijui', |)ai' relément du second cylindre (hmt la hase est i. on 
voil i|ui' les (|naiitilés (t v\ h sont proporlioniudles aux noIiiiiics des 
éléments, et par conséquent aux hases ,v et c:, puis(|ue ces éléments 



itKS l'Uoi'i'.iETES i)i: I. V ciiAi.Kii! l!v^(l^^A^T^.. ',01 

nul une liauleiir romiiiiiiit' : of. il rt'siiltf ilc la ronslriniioii ([iic v 
est égak' à ^siiio. l:ii rii'cl, sdit i la loni;iii'iii' d'un ivliiiilic di'nil (jni 
aiirail [loiii' l>ast' s \ Ji'i:'. i): que l'on divise ce sididi' en dt'iix paitirs 
en Iracant uni' section - (|iii lasse avec Taxe 1111 ani^le z.. et t]iii' Ton 
Iraiispose ces deux parties. 1 11 smte ([iie li's deux liases opposées .v et s 
eoincident, et que les hases 7 <■( 7 soient parall(de>; ou aura formé un 
cvliiuire ol)li([ue dont la hauteur est siu--.. I.e volume du eyliudie 
droit u'avani |ioinl (diani^e. il e>I évident ipie Ton a eette e(|uatiou 
v =z 7 siu s. 






l.a jtartie de la chaleur désiçiiiée par a, qui, apri's avoir parcouru la 
dislaui-e z, traverse co, est /ki: et hi partie de la (puiulite de chaleui- A. 
(pii, api'i's avoir jiareouru la mi'ine distance i, travers(! oj sous l'incli- 
iiaisou o. vs{ /)/> ou /^r/sins. Doue les deux (|nantilés de chaleur qui 
sorleni des éléments solides (]ue l'on ciMupare, et (jui parviennent jus- 
(pi'a la siiperticie au didii de oj. souI euti'e (dh'S dans le rajq»(nt de i ;i 
sin 'v. 

J.a même consé(|ueiu;e a lieu si. ti-aeani ( A'i?'. y.» une troisième sur- 
tare hémisphérique d'un rayon t — 2C, on compare les (|uautites t\c 
chaleur envovi'cs par deux autres éléments corres|Huidants du cylindre 
orthojional et du cvlindre (dili(|ne. On pi'Ut diviser ainsi le> vidumes 
des deux cvlindres en une multitude de partie-^ dont cliacum' est iiiti- 
uiment petite par rap|ioit au volume entier, et la eonséciuence precé- 
(Iciile s'appli(|ue a tous les éléments intermédiaires ([ue I on compai'e. 
Donc les (|nantités totales de chaleur (|ui sortent de cha(]ue cylindre 
et îi'avei'sent le même élément (o sont entre idles dans le rappiul de i 
il sin s. 

il. i' 



402 



ni-SlMK TIII-.or.loL'K 



\. 



Si la clialciii' s'éclKi|i|)ail lilircinciil ;i travers la siipci'ficii' des ((irps. 
rosl-ii-dirc s'il nCxislail aiiciiiir l'orcf cuiili-aire à l'éinissidii, le ravoii- 
ncmciit aurait lirii suivant la loi (|iic l'on vient d'énonciM'. Il smlirait, 
il ti'avcis cliaiinc partirnle oj iIc la sni'lace en liiHÏTentes (lii'crtiims. des 
(]uanlilés de idialcnr cxarlcincnl iii'upnilionnrllcs anx sinus des an^ilcs 
(|iir CCS directions l'ont avec oj. (',(da resiilie, connne on vient de le voir, 
des deux causes suivantes : i" cliai|ue molécule de la masse eidiaullee 
(Mivoie dans Ions les sens une égale (|uantilé de chaleur, et celte ([iian- 
lile est la ini''nie |ioui' tontes les molécules, |MiiS(|n"(dles onl par liypo- 
llii'se la même température; :>." les nudecnies trI'S voisines de la snper- 
ticie sont les seules qui puissent projeter direelement une jiartie de 
leur chaleur au d(d;i de celle suri'ace. La loi émuicée est une conse- 
(piencc nécessaire de celle éi^ale irradialioii, et de rexlmclion totale 
des ravoiis i|iii (Mit |»arcourn dans la masse une distance extrémemenl 
pelile A. Si cet intervalle A (pii delermiiie rexlimiion compli'te a\ail 
une i;i'aiideur iinie, le résultai ne serait pas moins facile ii connaiire: 
nii'.is MOUS ne considérons |ioinl ici celte (|uesiion. 

On a prouvé aussi, dans les articles précédents ( \ I e( \\\ ). ((ue cette 
même loi du rayonnement étahlil dans res|iace i'ermé re(piilihre des 
températures. Umic. la rétlexihilile étant sup|)osée nulle, cet (''(|iiilihre 
aui'ait nécessairement lieu en vertu des deux causes phvsii|ue> diuit 
(in vient de parler. 

Il faut remar(pier mainleiiant {|ue le mouvemeni de la ( lialenr dans 
linlerieur des snhstances scdides se détermine par' les mêmes priii- 
ci|)es. Il snllit de supposeï' ipie idiainn' molécule est le centre d'une 
iiiiinilé de ravons d(ml ehaciiu conlieiit, dans loiis les sens, la même 
(juanlili' de (dialeui', et (]ni sont tolalemenl ahsorlies lui'siiu'ils onl 
|iarc(Mirn dans la masse opa(|iie un intervalle impei'ceptihlc A. L'inten- 
^ile, (jiii est la même pour tous les rayons sortis (l'un seul point, varie 
d'un point il nu autre et dépend tle la tempêralure de ehaijue point. 



DES PIIOPRIÉTÉS DE I. V Cil M. RI P, M \V()N\ WTK. 'm:\ 
D'apiTs cela, on détermine la (|nai)lile de ehali'iii' que reçoit et [)erd 
une particule solide trnne lii^ine donnée, et l'on forme les éipialions 
diiïéronlielies ([ni expriinenl |;i proijagation de la chaleur dans les 
corps solides. Ainsi la loi du raycnuK'iiient lihrc à la surface des corps 
et celle de la disirihution de la idialeiii- dan- l'intérieiii' de ces cin'|is dé- 
rivent Idutes d'un fait extrémcini'ul -iin|)le, savdii' l'irradiation uni- 
lorun' de clia(|ue molécule erliaulfee. 



XI. 



Nous .avons fait abstraction, dans i-e ([ui pi'ecède, d'une propriété 
pliysi(|uc (|ui se manifeste ;i la su]icrlicie des corps; celle de réllécliir 
une partie de la chaleur rayiuinante euvoyee par les olijets extérieurs, 
fous les coi'ps ne j(nii>seut pidut au même ileiin'' de celle facnlle de 
l'Cpousser les rayons lurideuls: et eeux doiil l,i retlexihilite esl plus 
parfaite conservent plu^ louiilemps leur propre «halenr. Toules les 
observations concoiireut ii monirer une ndalion nécessaire entre la 
propriété d'enu'ttre la ehaleur et c(dle de la rellechir. L'une et l'auli-c 
dé|)endenl de r(''tat de la supei-liiie; el lorsque, en changeant cet état, 
on diminue (ui l'on angmenle la ndlexilulile. on augmente on l'on <li- 
ndnnc le pouvoir d'émcltre la idialeur intérieure. Nous ne rapporterons 
poini ici des faits genéi'alemeiit eoiinns. et qui s(nit exposés dans tous 
le> fl'ailes de Plivsi(|Ue. Noll'c olqel principal est de leeonnaitl'e la rau->e 
(jui maintient la loi du ravonnement dans un vase ferme, nonolistant la 
retlexihilile plus iMi moins parfaite des surfaces iuterieni'es t\i\ vase on 
des corps contenus. 

Si nni> enceinte fermée, retenue ;i une lempéralnri' invariable, con- 
tient divers coi'ps (jiii aient reeii eelte uKuiie leuqieratur(\ on ([ui l'aient 
ac(]nise progressivement dans renceiiile. I'e(|uilibre a lieu ([uel (iiie 
soit l'état des diverses parties de la surface inlerienre du vase on des 
iorps(|u'il renferme. Nous admetton> ce fait général comme dcuine pai' 
les obsei'vations. La (]uestion consiste ii assigner Iri's distinctement les 
pi'iqiriétes plivsiques ([u'il su|ipose. Or nous \ciious de [ii'ouvcr que, si 



vov iiKSi MH TU i: OUI nui: 

rrinissioii s'opiTi' lihrriiicnl, l'ii sorlc (pic tous les rayims ([iii par- 
vicnnciil dr riiiltMicur de la masse jiisiiirà la sii|t(iiiri(' |ii'iiclrass(Mil 
iliri'i'Iciiii'nt dans rcspacr cxlt'i'iriir. la !(ii ciiniu'iM» s'étaMirait d'rlii'- 
iiit'inr. Il l'aiil iiiaiiilniaiit cxiiliquci' |M)iii'(|iioi cette loi subsiste eiK'orc 
si la surface ac(]ineft la Faculté de reileclnr en pailie la chaleur im'i- 
deiite, et par ci)iisé(|iienl celle de cnnteiiir en pailie la clialenr iiilt'- 
rieiire. On ne peut doutei' (ju'api'cs le cliant;cnient d'elal de la sui'l'ace 
les rayons Ac chaleur en\i»yes [lar un ('leincnf (o, selmi diU'erentes direc- 
tions, ne contiennent encore des (|uautités de clialenr prop<utiiuinelles 
aux sinus des inclinaisons ; car ré(|uilihre des teiMp(''ratnres ipii résulte 
de cette loi ciHitiune d'avoir lien. Mais il faut reniar(|ucr que, si l'émis- 
sion cesse d'être totale, la rétle\ilidit('' cesse d'(''li'e nulle. .Vlors on doit 
ajoiilei- à la chaleur pro|ire (jue les molécules projettent la partii.' de 
la fdialenr incidente (|ue les surfaces i'e|]é(diissent ; et l'on apei'coit 
d'aliord que c'est cette conijtensation (|ni maintient la loi du rayonne- 
ment nécessaire à re(|uilil)l'e des températures. Il s'agissait de démoit- 
Irer l'cxaclitude matliémalii|iie de la compensation, en déterminant 
a\('c pi'i'cision les conditions pliysi(|ucs dont (die di'pend. Nous ayons 
donné cette démonstration dans rarti(de ')'.) de notre Mémoire de iSi i 
( Xd/ncdii.v )l('ni()ircs de i Acculvimc nnulv des Scic/icis. I. \ ). l-]lle est 
tri's simple cl exempte de toute incertitude ; on peut la présenter 
comme il suit. 

XII. 



Si I on considi're, en pretnier lien, le cas de l'émission lihre où la 
chaleur intérieure sortirait sans (d)stacle. et la idialeur incidente serait 
enlii'remeiil ahsorhee, on a vu (article \ 11! ) (|ue la loi du ravonnemenl 
(|ui dclerminc re(|uilil)re des températures s'étahlirait (r(dle-ni(''me : 
idie snhsislerail dans tontes les parties de l'espace ([lie renceiiilc ter- 
mine. Si mainteiianl ou suppose (|ue l'elal des surfaces de renceiule 
ou des corps contenns siihil un (diaiii^cmcnt (|ii(dcon(|ne , (|iii leur 
donne, il un certain degré, le pouvoir de rell(''cliir une partie de la 
I lialeiir incidente, lions disons (|ne la dislriliiition de la chaleur rayon- 



DES IM{n['r, IKTKS DK (.V «Il V l.i; L !! 1! \\ i ) \ \ V \ I K. '.O:; 

liante (Icmcui'C In iinMiit' i|irau|inrii\;nil, cl (jiie, si ci' ciiaiiiicmi'iit dr 
l'i-tal d'imi' [lailif qii('lcnii(|iii' (1rs siii-fact'S est siii\i (j"nii ou lic plii- 
sii'iirs aiiti'cs, la li)i ilii [•:iyi)niirini'iil coiilmiirra île siilisisiri- sans aii- 
l'Unt' allci'alidii. l'ii xulc i\\\r la (|iianlili' de clialciw fiivoyi'c jiar '•> dans 
une ccrtaint' dircrtion sera lonjunis la nirnii' (|iu' si la i'tdh'N.d)ililc ii;iil 
iiiilli'. 

l-'n l'Ilcl, di'sii;nons |iar /• la (]nantih'' de rlialriir ([iii serait envnyée 
|)ar le diM|ne inliniineiit petit w sidon nne direction dcter[ninéi\ >i 
reniissiiin etail c()ni|d('tc. connue on l'a siippost'' d'altord. cl soil -^ 
l'angle ([lie celle dii'cclion l'ail a\('i- la surface co ( //:,'■. ] ). Par le 




point ///, ceiili'e de .-■;, on (di'Ve une normale ///// ii la surface, et l'oii 
trace nue di'oile ///() dan> la direct ion dn layoïi (jue l'on çonsidèi'c; on 
l'ail passeï- nn plan par les droites ///// et ///(), et dans ce plan on nii'ne. 
de l'anli'e c("it(' de la normale, nne droite /// \ (|ni fait avec cj nn ani^le 
e-al à 9. 

l.ors(|ne remissi(Ui (!'lait compli'le, l'élément co envoyait dans l,i 
direclion ///() nn ray(ni /■, et il envoyait an>si, sons la in(''nie incli- 
naison 'v, mais dans la diicdion allerne //i \ . nn rayon ei;al ii r. lui 
ni(''me temps cet ch'-menl (•> i-ece\ail un rayon (''i^al ;t /'dans la direc- 
ti(Mi ()///, et nn antre ray(Hi /■ dans la direcrnm i /// ( art. \'I ). (diaciin de 
ces ravons incidents |u''n(''lrail liliremenl la surface, et (^tait totaleineul 
ahsoiiie parce (]ne la rellexiliilile elail nulle. Snppoxuis (pi'aii coni- 
niencenienl d'nn instant détermine A il s'opi're dans l'état de la snr- 
Caco co nn (diaiiiicmenl (jindeompie, en sorte (jiie le r.iyon (^niiis selon 
la direction w<) soil diminue et devienne cl^mI ■( -/./■, produit de /• par 



',0G RÉSUMÉ THEOIUQUE 

iiiie riaclidii a. La inèiiic cause aii;iia sur le lavdii /-que la surfacç rece- 
vait au iiiriiH' instaiil dans la dircclioii alterne i tu, et (|ii'elle ah.^orbail 
eiiluTenieiit. l ne partie seulement de ce rayon incident sera alismiiée 
[lar (o, et l'autre |)arlie sera réilécliie. Admettons (jne la partie alisoi bée 
soit a/', la traction a étant la même (|ue la |)i'ecedente; la partie du 
ra\iin (ini est retlechie par oj sera ( i - a )/■; elle s'ajoutera au rayon a/- 
(lue OJ émet dans la même direction ///(), et par conséquent la quan- 
tité totale de chaleur (|ue l'élément envoie dans la direction ///O sera 
rj ,■ _^ ( I _ a )/-^ ou /■, égale à celle (jiii était envoyée lors(|u'on suppo- 
sait l'émission complète. 

Il ii'v a aucune partie iulinimenl jietitc to de la surface île l'eui'einte 
ou des corps contenus ii hujuelle (ui ne puisse ajqdiijuer la um'^mic con- 
>é(|ueuce. Si donc une (Ui jdusieurs parties de ces surfaces sulussent 
un (diaii^emeiit quelcon(|ue. au commencement du même instant A, 
il ot évident (|ue les quantités de chaleur envoyées dans toutes les 
ilirceli(ms ilenH'ur'ent les mêmes (|u'anparavant. 

Si un n(Uiveau (diaugoment succi'de au premier, ou prouvera de la 
mêuH' Muinière (|ue les quantités de (drdeur envoyées ou reçues dans 
nue direction (|indconi|uc ne soiit |>oint (diangées, en sorte (|u'il est 
enlii'rement iuq)ossilde de causer (|U(d(|ne altération lians la loi du 
ra\(mnemcnt en faisan! varier l'état des surfaces. Cette conse(|uence 
est fondée sur le principe (]ue nous av(ms admis, savoir : (|ue, si le 
ravon émis /•, (|ui traversait la surface dans le cas de la i-clle\iliilitê 
iiidle, est i-éduit il v.r par un cliangement de la superficie, la partie du 
ravon extérieur incident /" (|ui sera al)soid)ee apri's ce changement est 
aussi a/-. Mais la conséquence dont il s'agit n'aurait pas lieu si le 
piMivoir d'cmi'tti-e la chaleur dans nue certaine direction n'était pas 
toujimi's égal an pouvoir d'ahsorhcr la ehaleur incidente qui aiaive 
dans cette mêuu" direction. Ta dlslrihnlion de la (dialcni- rayonnante 
dans l'espace feruu' variei'ail avec l'ctat îles surfaces : or i-etti' distri- 
hulom est toujours la même, pnis(|iie rc(|uilihre des t(Muperatures 
subsiste (juelle (|ue soil la nature des surfaces. I)(nu', le l'ail gênerai 
de re(|uilihre des tenq)ératures dans un vase ferme prouve (pu- s(Uis la 



DES PROI'HIKTKS DK I. V Cil \l. RIT, li \Y(tNN \ NTK. V(I7 

même inclinaison los dcnx ctlris de Tcrnis-iion ri de I alisoiplion snal 
précisément éiranx. 

li l'ésnltc néccssaiiMMncnl di' ccKc riialilr (jiir la (jnanlilr lolalr de 
(diali'iir projetée un retleeliie par nn (dément (|ii(di'nn(|iie m de Tune 
des snri'aces. dans elia(|nr direction, par exemple srion la liiiiie /;/tl. 
est, après le (dian^ement de la snrl'ace. la nn^ne (|n'aiipaiavan( . Ivllc 
est lonjoiirs éijale ii la (piaiilih' (pii si'rail projetée par fo daii^ celle 
direction >i le jionvoii' l'Oiissil' de <•> était total. On pent ans>i recon- 
naitif la vérité de celte deiaiii're proposition eu calcnlant l'idlet îles ré- 
flexions successives et indetiniinrni répétées que les rayons snlusseni 
dans rintcrieni' île rem-finle; la démonstration précédente, i]in' l'on 
trouve dans luis preniiei's .Mémoires, d i^prii^i' rnt li'iemi'nt de ce calcul. 

( »n voit maintenant (|iieile est la c;in<e pliysique ipii maintient l'eiini- 
lilire de la chaleur lavonnante noiio|)>t;int les cliaiii^enn'nts d'élat des 
snri'aces. Klle ronsisie dans celle relation tiecessaii'e entre la laiMilti' 
(remettre la chaleur intiuieure et cidie di' repousser la (dialeur iiiri- 
deute. Am-i Texaunni matliematn|ue des conditions de rcijuilihre de 
la chaleur ravoiiuaule ne l'ait pas senlemeut ciuinaitre les lois de cet 
éqnilihre; il nons en montre la canse dans rirradialiou nniloiaue des 
moh'eiiles éclianll'ees, dans l'extinction que snjiii la chaleni' eu traver- 
sant les milienx o[)a(|nes. et dan> rc\i>tenee iruiu' l'oree qui s"(qi|iose 
éijalement à TiMuission des ra\oti> intirienis et it rintioilnclion des 
rayons incident>. 

Mil. 



Il se pri''seute, an >njet de la piojiosiliou ili''Uiotil ri'^e dans raiticlc 
précédent, nin:' reniarqne trl'> importante sans laqindle on poni-i"iit se 
foriner uni' idée inexaele de notre Tlii'orie. l ne partie de l.i idialenr 
intérienre <|ne le corps tend :i projeter e>t l'eteiine, eomme nous l'avons 
dit. par nne force qui l'i'side ii la snrl'ace. et eclle même i;ause. on une 
force éqnivalenle, di'termine la léllexion d'une partie de la clialeni' 
envoyée pai- les l'orps environnants. Di'siurjant par /-la qnanlili' de clia- 
ienr que l'idemenl oj projettei'ait ^ous l'auLile ^ si la sui'l'ai'e etail privée 



vos RÉSUMÉ TllÉOKIOli: 

(le lôul |i()iiV(iii' ilr rrllrcliir lii cliiilciir, la (]uaiililr rmiM' csl sculenU'iil 
7r hirsquc ce pniivoii' cxisli', cl la IVaclinii a est la mesure du pouvoii' 
(l'(''Uiissiou. I)('sii;iiau( aussi par /• la chaleur que r'('<;oi( to sous la même 
incliiiaisou o, la |»ar(ic de ee((c elialeui' ineidenle qui s'inlroduit dans 
la masse esl seulement a/'; la serotidc IVaclion a est égale ;i la préeé- 
deuli' : mais II ue s'ensuit pas (|ue la valeur de eelte IVaclion soil la 
même |)(iur loirs les ani;les (rincidence. Si Ton suppose (ju'uii ravoii 
extérieur dillerent du premier liuiilie sur le même éliMiieiit oj. en l'ai- 
sanl a\cc la siirrace un autre angle o', et {|Ue celle ciialelir ineidenle 
suit /■', il ne pénétrera dans la masse qu'une partie a'/- . Or nous ne 
suppos(uis point (pie la i'raetiou a' soil néeessairemeiil ('gale ;i la précé- 
deiile a; des idiservations précises, faites ii des tempéralures Iri's ilillé- 
renles s(uis des incidences obliques, pourraient seules nous apprendre 
si la iraclifui i — a (]iii mesure la rétlexibilité varie avei' l'angle d'inci- 
dence cl avec la lempéi'alnre. (Jnoi ([ii'il en soil et de (|U(d(|uc manii'ii' 
(]ue celle ([iicsli(Ui expérimenlale soil résolue, on doit comdure (|iie, 
poni' une lempcralure déterminée c et p(Hir une même inclinaison '^, 
la (iiianlile de clialenr propre émise esl rj.r, si la partie de la chaleur 
incidente /■ (|ui péiii'lre la masse esl ar. A la vérité, (|U(d(jues expé- 
riences iiidi(|uenl (|iie, si les chaiigemenls de température sont peu 
considérahles, la force de cohihilion cl, par conséqnenl, de réilcxioii 
demeure seiisiblemenl la même; et cela arrive aussi lorsque les incli- 
naismis ditlêreiil peu entre <dles cl ne sont |)as (ri'S petites. -Mais ces 
observations soiil irop incertaines et Iriq» bornci's pour servir de fon- 
demeiil ii une conséquence malliêmalique. 



\1V. 



N(Uis allons considi'i-er mainlenant l'elfel des reib'xions mnlti|)les 
ipii s'opi'i'enl dans rinlérienr d'un vase l'ermé doiil toutes les |)arlies 
conservenl une lempéradirc cmnmune. (ie poiiil de la (piesti(Ui a été 
déj;! traité dans un .MiMiioire ipie ,M. l'oissmi a publié récemmeiil ( .1//- 
iKih's de ('liiniic cl de l'/nsitjuc. année i8-i'|, juillel, p. 22") ). Mais il esl 



|)i:S l'IKtPHIÉTliS DE r,\ ClIALKli; liAVONNANTi:. VO!) 

Utile (rcxainiuer lo nièinp ohjcl sous tliUm'uts points de vue; la dis- 
cussion (les opinions contraires a l'avantage de fixer l'attention et d'ex- 
citer de nouvelles reelieiches. 

Nous supposons, eoinnie pireédeniinenl. i]\\i\ dans l'inlericnr d'nn 
vase fermé et vide d'air, dont la tempri'ature est conslanle, se IronvenI 
un ou |dnsienrs corps (|ui ont jirésenli'ineni la température eiunninio'. 
Xous supposons aussi que les diverses parties de la surface intérieni'e 
de l'enceinte, on de la surface des corps contenus, jouissent inégale- 
ment de la propriété de réilédiir la (dnilenr. Il s'agit de calculer la 
quantité totale de chaleur qu'un clément to, d'une des surfaces envoie 
dans une direction donnée, soit par voie d'émission directe, soit |»ar 
voie de réilexion. 

l'ar un point ni, (Jii^. ')) cenlr'c tin disque inliniment petit to,, on 




nii'iie au point une droite ///,() (|iii l'ait avec w, l'angle ç.,. On tr'ace 
un plan (|ni passe par la droite ///,() et |tai' la normale ///,//, élevée sur 
co, au point ///,. Dans ce plan, et de l'antre coté de la normale, il faut 
mener par le point m, une seconde dioite /.v, ( (|ui fasse avec co, un 
angle égal à ç.,. Cette droite prolongée rencontre l'une des surfaces en 
nu |)oint ///,, et l'ail en ce |)oint avec la surface l'angle 9^. Ou éli've 
II. 02 



/dO 1U:SIMK ! IIÉOlilOI !•: 

au point iii-, iiiic seconde normale ni,ii, à la surface de l'eMceinte ou 
des corps contenus, et l'on l'ail passer un second plan par' celle nor- 
male ///,//, et par la seconde droite nt,\. il faut ensuite traeci' dans 
ce second plan, et de l'autre coté de la normale mj),, une troisième 
droite III ,-2 t|ni lasse en ce point /«o avec la surface un ani;le ci;al 
il 'j,, et celle droite proloni;ée rencontre l'une des surfaces en un 
point ///,. 

On continue ainsi indéiiniment d'élever des normales aux points où 
les droites pr(don^ées renconlrenl l'enccinle. On ftit passer un |ilan 
pai' uiu' de ces droites et par la normale c(U'respondante : et dans ce 
plan on trace, de l'autre colé de la normale, une nouvelle droit(> (jui, 
formaiit l'an^ie de réflexion é^al ii rani;le d'incidence, détermim^ sur 
l'enccinle on sui' les corps contenus un nouveau point de l'encontre. 
(!etle coiislriiction représente la route d'un l'ayoa (|ui. ])artant de O 
dans la direction Ow,, est réfléchi successivement par les surfaces inté- 
rieures aux points in^,m.., m,, ..., iiii-,, m j\ et iécipro(jiienu'nt l'un 
de ces points, tel (jue w,, envoie, dans la direction w,'>, un rayon (|ui 
est réfléchi successivement pai' les sur-faces aux poinis iii^. ii/^, ii/,, el 
par'vient en O srrivaut la dii'ection iii,0. Il eir est de même de t(urs les 
poirris II/., m,, ..., w,, (|ni enir'eiil dans la sér'w' (|ue l'on a formée; au 
r'i>ste, il est évideul ([ne les li^^nes (|rri joii;rient ces points O, ///,, m. 
ne sont pas en i^énéra! dans un si'irl [)lan; on les a toutes l'amenées 
an plan de la //i,-'. "> . 

Si l'oir a|)pli(|ue la même conshucrion ;i clra(|ue poirrt tel (jire i/i, du 
pi'ernier' élément (o,. on formera un sysliuiie de l'ayons (|ui partent Ions 
du poini O, et (|ui, élarit rélléchis par o;,, fo_,, w.,, ... sur la surface de 
l'enceinte ou des cor[)s, interceptent sur celle surface un second clé- 
ment (0^. I.e sysli'ine des rayons l'éfléchis par' oj^ inlerceptera sirr' les 
sur'faces rrrr troisii'ine élément (o,,, aiirsi de siiili' indéfiniment. Orrairl 
au pr'cmiei' élemenl eu,, ri esl sirpposé infiirimenl petit: c'est-ii-dir'c (]ue 
ses dimensions décroissent de plus err plus, et deviennent moindr'cs 
(|ue loiile i^iaudenr donnée. 

Désii,Mions par' /■ la (jiiantile de chaleur' (|ue relémcnt co, errverrait 



DES Pr.orRlÉTKS DK I, V CilALELU UAVOWANii:. '.Il 

ilirpctenient au polnl si. à la si]rt'a('(> do cet élément (o,. la rrtlcxihililé 
était nulle, ou, ce (jui est la niéuie chose, si le pouvoir tremi>si()u était 
lolal. Supposons que toutes les surfaces de l'enceinte et des corj)s con- 
tenus jouissent de celte même pi'oprirlc d'émission complète, et (|ue 
ré([uilihi'e (les températures soit i'ormé; la chaleur que le [)oint ///, 
envoie sous rinclinaison ç, au point O est égale à celle ([ue le point ///, 
envoie sous la même inclinaison z, au [toint ?»_., et par conséijnent elle 
est aussi éî;ale à la chaleur que //?_, envoie ii w, dans la direction con- 
traire r/>.,Tn, (art. YI et MI). Ainsi chaque rayon qui part de co, et se 
dirige vers le j)oint correspond à un rayon équivalent que oj_, envoie 
à co, et dont la direction est telle que, s'il était réiléchi par oj,, il par- 
viendrait au point 0. Donc la somme de ces derniers rayons est r. 

Si le pouvoir émissil'de co, n'est |ias complet, cet clément ne projel- 
lei'a jtlns vers le [Miint <> le l'avnn Inlul /•, mais seulement a,;', en expri- 
mant par la fraclion y., le pouvoir énii.-sii'de co, sous l'inclinaison -^,: el. 
si l'émission ;t la surlace co^ n'est pas cdinpli'te, la somme des rayons 
que coj envoie à co,. et (pii paiviendraieni au point s'ils étaient rélle- 
cliis par co,, n'est plus égale à r, mais seulement à a_./-, la fraction y..^ 
mesurant le pouvoir émissif de co^ sous l'inclinaison ç-,.. 

On prouve de la même manii're qu'en désignant par a,, x., y... 

y.j le [touvoir d'émission à la surface des éléments co,, to.,. co,, ....co,. 
sous les inclinaisons s, . s^, ç ; ç.^, la quantité a^r exprime la cha- 
leur totale ([ui sort de l'élément co^, et tomhe sur l'élément précédent 
suivant de telles directions que, par l'ellét des réflexions successives, 
elle pourrait arriver au p(tint 0. 



\\. 



On calculci'a maintenant la (juantilé totale de chaleur on directe on 
réfléchie (pu» l'élément co, envoie au point 0. et l'on examinera si celle 
chaleur éijuivant ;i /■; car, le calcul donnant ce résultat, la loi du rayon- 
nement serait ohservée. Lue première partie de celte ([uantité totale 
de chaleur envoyée par co, au point est celle qui sort, ;i ti'avers cet 



412 RESUME TllEOlUgiiE 

(■'lémciil. (le l'inlrrieur iiiriiic de la masse : elle est a,/-. Kii la eonipa- 
raiU h r, on voit (jii'elle en diliere d'une (|iiaiitilé égale à (i — «i )''• 

Oi' rélénienl (o , |)i'ojeUe sur co, nii rayon de clialeur jiropie exprimée 
par 7..,/'. et qui, étant lélléelii par co,, se réduit à a^( i — a,)/-. 

Ainsi les lavons sortis de w, et or^, et (jiii tombent sur le p(diil 0, ap- 
portent nne quantité de idialenr exprimée par a, /■+ a2( i — a, )r. (!etl(^ 
somme n"esl point égale kr; mais ladillerenee, qui était (i — a, )/• lurs- 
(in'on ne tenait eompteqne<hi rayon sorti de w,, est diminuée de la (|iian- 
tité 7.A I -- a, )/• envoyée par (o.. Elle devient (i — a, )/•— a.,{i — a, )/• 
,111 ( I _ 7.| )( I — Ko )/•, [luisijne le laeteur ( i — y.,)r est eomnuin aux 
deux termes que l'on eompare. De pins, l'élément to, envoie à to.^ un 
ravon a,/- ([ui, étant réiléehi par co^ et eiisiiile jiar (<),, se l'éduit ;t 
5,^( I __ a, )( I — 7., )r. Done, en tenant eompte de ce troisii-me rayon sorti 
de (0 ,, el comparant toujours la somme des chaleurs re(;ues par le point 
il la (pianlilé/-, on voit (|ue la dilTérence, (|ui était^i — a, ){'i — y... )r, de- 
vient encore moindre. Klle est ( i — a,;( i — a^ )(i — a.,)/-. En généi'al, 
la somme des quantités de chaleur qui sortent d'un nombre (juelconque 
d'éléments (o,, (o^. co,, et (jui. [lar l'eUel des réilexions multipliées, sont 
eiivovées par oj, au [>oint O, «lill'ère de la valeur totale /• d'une (|uantilé 
égale il ( I — a, )( I — a^ ). . .( I — a,)/-, c'est-ii-dire au pi'odiiit de cette 
valeur totale /par toutes les Iraetions (jui nu;surenl, sons les incliuai- 

SIU1S res|»eclives o,, 'y-, '^,, le pouvoir réileeleur des surlaces dont la 

chaleur est soilie. (lelte seule proposition sullit piuir expliijiuM' tons 
les ell'els des réilexions successives. 

On voit (|ne le calcul de ces ell'ets c(uisisti' uniijuement dans l'ap- 
|ilicalion des règles communes de la (^atoptrique, et d'un principe 
d(''iiionlré dans nos .Mémoires précéileiits, savoir, l'égalité précise des 
ponvoirs d'émission ('l d'alisorplimi sidon nne direction déterminée. 
Si l'un des nom lires a,, a^, .... a, est é^al ii l'unité, c'est-ii-dire si l'une 
des surl'aci's a un pouvoir l'cllectenr nul, il est évident i|ue le rayon 
reçu par le point O est complet, pni-^iiiie la diUéi'cnce de ce rayon ii la 
valeur totale /• est nulle. Dans ce cas, le nombre des réilexions est 
limité. Mais si aucune des surfaces n'a un pouvoir réilecleni' nul. le 



DES PROPRIETES DE 1. V CIIVLEI R li VVONN \ Mi:. .i:', 

produit ( I — a, l(i — y...)t i — Xj)... se (briiu'ia il'ii» iioiiii)!'i' inliiii 
(le facteiiis (lui niesureiit la irilexihililé des surfaces w, , eu., m.. . . . 

sous les iiirli liaisons ç.,, ç,_.. o., On sera assuré (jiie ce produit esl 

mil s'il y a une iiitiiiilé de ces l'art eu rs i — a,, i — a_,, . . . don! cliacuii 
soit plus |)eti! ([u'uiie (|iianlili'' deleiiiiiuee A nioiiidie qiu' Itinih': cai' 
ce produit serait moindre qu'une puissaïu'e eutii're A' de la i'raelion A, 
(]ucl(jue i^rainl (jue fut l'exposant /. On ponriait donc prouver (pie le 
|)roduil est moindre (pi(> toute i;randeur [U'oposée : ce (|ni ne peut 
être prouve!' (]u"à l'égard d'une (pianliié nulle. Admettons maintenant, 
comme une conséquence sensible de la nainre de tous les corps, que 
la l'éflexihililé ne puisse devenir totale sous quel(|ue inclinaison (jue ce 
soit, en sorte que le plus i^rand i\f> facteurs i — a,, i — a^. i — y... . . . 

soit, dans tous les cas, un no m lire déterminé o moindre que l'uni lé; on 
en comdura avec certiliide (jue le [iroihiit de tous ces facteurs est nul. 
Dojic la somme des rayons direcis on rellécliis, envoyés au point O par 
C0|, sera égale à la valeur totale que nous avons désignée par r. 

Cette conséquence est rigoureuse. Iors(|u'on admet que la réllexihi- 
lilé ne peut jamais être totale. Mais si l'on concevait un tel état de sur- 
faces (]iie, pour de certaines incidences, la réilexion fut compilée, le 
produit des facteurs i — a,, i — x^. i — a.,, .. . |)(Uirrait n'être [loiiil 
nul. Alors la s(unme des quantités de chaleur émises par (o,. co^, co,, ... 
;i l'iiitini, et qui tomlient sur le point O, ne serait pas égale à r. Mai-; il 
ne s'ensuit [tas, comme on le verra liieiiUM, (jiie la loi du iMyiniiicment 
total ne soit jias conservée. Il en lesulle seulement une exee[ition sin- 
içuliére et |)iirement nialliémali(jue, analogue à celle que présente 
l'équilihi'c non stable dans les lliéories dynamiques. Avant d'examiner 
celle question, nous ajouterons une reinarque très propre à rendre sen- 
sible l'elfet des réflexions successives. 



XVI. 



On suppose que le point O envoie à co, la (|uantité de cbaleurque 
nous avons designée par r, cl (jue ce rayon total soit successivement 



VIV RÉSLiMÉ THÉCtlilOl E 

rétléclu |iar les (■[('■mcnts oj,, co., to,,, ..., Mj. Après ces rôncxioiis. doiii 
le iiiunhiT est délcnuiné ('( riial à /, la valeur du rayon sera réduite à 

( I — a, ) ( I — X. ) ( I — ^3 ) • . ■ ( 1 — «; ) '■• 

l'ji i(>in|iai'aiil celle expression ;i celle de l'arlicle précédent, on voil 
(juc la somme des rayons qui sortent de oj,, co^.oj,,, .... co^, et qui, par 
l'cU'el des réilexions successives, lomlienl sur le point 0, dillere de la 
valeur totale /' d'une quaiililé précisément éi^ale à celle d'un l'ayon 
é(|uivaleut /■ (|ui, parti du point O, aurait sulii des réflexions succes- 
sives sur ces mêmes surfaces oj,, m.,, ..., coj. dette propnsili(Ui est 
vraie quel que soil le nombre des réilexions; (die uons nionire (|ne la 
clialeur reçue par le point approcdu' de ])lus en plus du layon total /•, 
il mesuie (ju'elle se l'orme d'un |)lus i^rand nombre de parties <|iii 

sinlenl de w,, (o., Mj. Si l'on ne considi're ici que des l'ésullals 

|ilivsi(|ues et mesni'ablcs, on ne |ieiil douter (|ue ce rayon d<' clialeur 
<|ui, pailani du point 0, suliirait des i-éllexions continmdles sur les sur- 
faces w,, OJ w^ ne tinil pai' devenii' totalement insensilile. Or ce 

lavon, (|iii s'eleiul par dei;;rés, est ii clia(|ne l'ois le complémeiil exacl 
de la (jminlité de clialeur ([ui, suivant inu; roule contraire, se réniiil 
en (o, et arrive au point O. Doue la somme des '"lyous ([ue (o, envoie ii 
ce point () est éyale a la valeur complèle (|ue l'on a désignée par /•. 

I^noncer cette dernière [iropositi(Ui, c'est dire, en des termes dill'é- 
l'cnls, (]iruu ravon (|ui suliit des réflexicms indélinies s'éteint par de- 
grés et tolalcmeiil. On pourrait même rccduuaitre immédialemeni cl 
sans aucun calcul l'identité de ces deux propositions. Ce sciait la ina- 
iiil're la plus simple de demonirer l'eiret des réilexions successives; 
mais lions avons préféré rexprimer par le calcul. 



\MI. 

Il ue nous reste plus (|u';i considérer ce qui aurait lien si l'on pou- 
vait tellement cliauger l'elal de (|U(d(|ues parties des surfaces que pour 
de certaines incidences la rellexiliilile fui totale. L'examen de cette 
qni'slion fournit une consé(|uence reiuar(inalile. 



DKS PROPIUKTÉS DEL\ CÎMLlMIt It AVO \ \ V \ Ti:. Vl.i 

Si toutes les siiriaees de l'enct'iiite et des eor[is eonleniis clirH'iil 
ilouéesd'iin {)oiivoii' d'éinissioii eoiii[del, la ehaleiir émise par les iinde- 
eiiles solides [)laeées à une tirs pelile prorondciii'. niiiinie ou Ta prouvi' 
(art. Vlll). serait assujettie ;i la loi du rayouueiueul éuoueée dans les 
arlieles VI et VII: ré(|uiril)re des températures se formerait île lui- 
même. Lorsqu'il est établi, un élément co, envoie dans uu(! direilion 
di'tei'minée. par exemple, sons l'inelinaison o,, une (piantite de elia- 
leur i"j:;[\(' à /•. Si présentement on opi're un eliani^'emoit i|ueleon([ue 
dans l'état tli's surfaees co, , to_,, co.,, . . . , il est eertain ( ai-l . XII \ (]ih' la 
(juantité de chaleur envoyée au point |)ar co, demeurera toujours éii;ale 
il /•; mais elle ne consiste pas seulement, comme cela avait lieu d'alioi'd, 
dans la chaleur (]ui sort de w,; elle se forme de diveises parties. I.a 
première est celle qui est projetée par to,, et (pii est devenue moindre 



(|ne /". L ne sec(uide partie result( 
sortent de o^, oj,, co,, 



projetée par co,, et (pii est devenue moindn 
•■•■'*■ de (miles les (juantitfs de chaleur t\u 



'!■••• ^ ■■'- '^ I , - |... 

sortent de co^, co,, co,,, ... ;i l'inlini, et ijni ai'riveni jiar des ndlexioiis 
successives surco,. d'oii elles parviennent au jmiut O. On a de>i^iié pai' 
a,, a_,, a,, ... les fraelions ipii ex|)rinient, sous les inclinaisons res|iec- 

tives, le pouvoir d'émission di'S surfaces co,, co^., co,, Or, si l'on veut 

considérer comme entièrement arhiti'aires les valeurs de ces fraetiijiis. 



considérer comme entièrement arhiti'aires les valeurs de ces fraetiijiis, 
il arrive, dans un nomhre de eas iulini, que la somme des quantités de 
chaleur sorties de co,, co^, co.,, ..., et ({ni parviennent an point 0, n'est 
pas é(|uivalenle ;i /■. il est fa<'ile d'assigner des videurs de a, , a^, a.,, . . . 
pour les(ju(dles c(da n'aurait poini heu. (Jepeinlanl on a demiuilré 
(art.XH) (pi'nn chaniicment (|nidc(niijne de l'état des sui'faces lU' peut 
diminuer la quantité totale de ehalcnr envoyée au point O par co, ; et 
cette démonstration s'appli(|ue ;i toutes les valeurs (pie l'on allrihue- 

rait aux fractions y.,, x,^, a., On se demande comment il se peut 

faire que la chaleur totale rcc.'ue par le point O soit encore égale à /■, 

quoicjue la somme des (|nantités sorties de co,, co^, co et reçue par 

ce point soit moindre (pie /•. Pour résoudre (dairement cette qu(>s- 
tion, il faut remarcpier (pie, dans le cas dont il s'agit, la chaleur totale 
ref'ue par le [Kiint compreudi-ail une troisii-me pai'tie, savoir, la cha- 
reste dans l'enceinle, où (die suliit des réflexions 



leur contenue (pii r 



ftl6 HÉSLJMK TIIEOUIOUE 

coiiliiiiii'llrs. Cclto clKiloiir s'jijoLitf il celle (|ui es! projelée piir les élé- 
nieiils oj|, oj., (o,, ... ; elle compli'le la quanlilé l'cçiie par le |)oiiit 0. 
e( la l'end é(|iiivalente ;i /'. lui ell'et, en adoK'ttant coiiiine passible un 
cliani^cnient il'élat des sni'i'aees (jni leur donnerait sous de eei'laincs 
incidences une iélle\il)ili(é îolale, on admet, par cida même, ([ne la 
chaleur (|ni clait répandue dans l'cnceinle continue de circuler entre 
les éléments ijue l'on considère, parce (|u'idle suhit la réflexihililc 
tolali' sous ces mêmes incidences. 

Il serait inutile de développei' davantaLi'e celte remarque; on en 
|)OUi'rait rendre la vérité plus sensible en attribuant à l'enceinte une 
l'orme délcrminée, comme celle de la split'i'c ou tie l'cllipsoide. Si donc 
les fractions a,, rj..,, 7.^, ... salisl'ont aux conditions (pii l'cmlent néces- 
sairement nul le |U'odui( indélini (i — a,) (i — a/) — «s ) • . • . la 
s(unme des (pianliles de cliali'ur envoyée par (o, an point est éi^ale 
à /•, comme elle l'élail avant le cliaui^ement d'étal de la surface. Mais s'il 
était |)hysi([ucinen( [lossible (jiie les valeurs des fi'aclions a,, x., a,, ... 
ne rendissent [)as ce pi'odnit nul, il arriverait encore (pie la somme 
des chaleurs lecucs serait é^ale ;i /'. Il n'esl pas matliéma(i(]uemeut né- 
cessaire (ju(i le produit de tous les facteurs soit nul pour que la loi du 
raviuinemenl soit conservée apri's le (dKini('enient d'état tle la surface. 

Si l'on l'ail absiraclion de celle (dialcur c(uilenue, on se formera 
l'idée d'un cas pui'enient rationnel où, les surfaces étant douées de la 
rédexibililé Iolale sous de cerlaines incidences, un point détermine 
de rint{''rieur de l'cm'cinlf' ne recevrail pas des (|uanlités égales de 
clialenr dans loules les directions; ce cas n'est jias niatli(''niali([uemcnl 
impossible, mais il ne peut subsisl(M' |)liysiquemen[ . 

Vm sup|)osiinl méuH' (|ue la l'éllexibililé devint nulle sous île cer- 
laines incidences, la (dialeur conlenue rélablirail l'unilormilé de la 
ilislribnlioii, el la <|uanlilé de celle (dialeur conlenue, (pii rend la deii- 
sité liomopi'iie, ne p(uirrail élrc augnienlée (Ui diminuée, parce (|u'il n'v 
a qu'un seul (''i|iiilibre possible. Onoi (|n'il en soit cl iiid(''peii(lamineiit 
de liuile considéralion sur la rellc\ibililé conshiulc ou \ariablc, on sur 
I ell'cl de-; réflexions iniiniment répétées, il est rigoureusemenl pi'ouvé 



DES PltOl'ItlLTI-S DE E\ CIIVLELH liWOWVME. 'jl" 
<[iriin cliangoiiioiit (lucItMiiKiin' de rcl;il «les siiiraces ne [)i'ut jamais 
altérer ré(juilil)r(' ni la (]iiaiili(c tolalf de i-liaicur envoyée par elia(|iii' 
élément. C.e dernier tliéori-nie ainsi énoneé est fondé sur nne démnn- 
sti'alion siin[il('. r\('ni|ili' de loiilc olisnirité. et (|iii ne suppose jioiiil 
le ealeul des réilcxioiis iiiiilliples. On eoniiail mainleiiant p(iiin|mii il 
était préféraîde de ehoisii- la fornie de démoiislralion ra|)|)orlée dans 
l'artiele 99 de iiotir pnniiiT Oiivra.yc et dans l'artielc XJI du pi'ésenl 
Mémoire. 

XVIII. 

Si r(tn eompare la eonsli-nctioii et les propositions (jni sont r(d)iel 
des artieles ]iréeédents (XIV, XV, XVI et XVII) avee celles (|ue Ton 
trouve dans le Mémoire cité (art. I i ), on reeonnaitra (jue, sur divers 
points essenli(ds. nous n'admettons jioiul l'opinion du savant auleui- 
de ee ^lémoiie. 

Nous remar(|iHM'ons priuci|ialemeut (|u"ou ne peut point eonclnri' de 
la Tliéoi'ie niathémati(|ue de la elialenr la proposition exprimée dans 
cet Ecrit, pac!;e ^'io : (jne, si une suifaee ac(|niert la propriété de rétlé- 
lir en partie la (dialenr incidente, ht clmlcur éiinse sera diniiiiuéc siii- 
Viinl lin même nipport de n à i (/i//ls toutes les i/itvctio/is. et fju'il cit scia 
le rncine à l'égard de la chahur absorbée . en sorte e/ae la totalité de ectte 
halear se trouvera réduite à la Jraiiu)n ii de celle (j(u tombe sur l élément. 
.Xous disons au eonlraii-e i[ue. pour maintenir Tccpulilire de la cli;ilciir 
rayouuaule, (jiicl (]ne soit le nouv(d étal des surfaces, il siiCtil (|uc, le 
pouvoir d'éuiettre la chaleur suivant une certaine direclidu elanf dé- 
signé par la fracticm //. le pouvoir d'ahsorlier la chaleur suixani la 
même direction soit aussi exj)i-imé par //. 

On peut montrer, par le calcul des réllexions successives et cunl'oi-- 
niémeut aux |)rincipes énoncés dans l'arlicle XV. ([ni' la somme des 
(juantités de chaleur on directe ou réilechie envoyées par un élément 
dans une direction (juelconipie e(|uivant ;i c( Ile (|ui serait projetée par 
cet élément si le piouvoir d'émission elai! (olal. .Mais si, pour déduire 
cette conséquence, il fallait supposer (|ue le pouvoir d'émettre on 
IL 53 



V18 IJKSLIME TIIKOHIQIIE 

(l'iil)snrl)cr la chalciii' ne varie pas avec rinclinaison . la proposilioii 
ne sciail pas pi'ouvre. Loi'stjudii examine attentivement les diverses 
(lénmnslralions (|iie l'on pent donner <le cette proposition, et même 
celle <jui est rappoi'tée dans le Mémoire cité, on voit qu'elle e\ii;e seu- 
lement qm' les deux ellets d'émission et d'absorption soient égaux |)()ni' 
nue méiiie diiccfiou. C'est la seule consécjnence exacte que l'on puisse 
déduire de la considération de ré([nilihre (jui s'établit dans un vase 
l'ei'nu'. Nous n'examinons point ici la (|uestion de savoir si le pouvoir 
d'émission exprime [tar la l'raclion n demeure le même sous toutes les 
incidences. Nous disons ijuc cette pruposilion n'est point démiuilrée 
cl (|uc, pal' cousé(|nent, on ne doit pas l'admetd'e dans le calcul des 
réile\i(Uis siH'cessives, qui en est l'éellement indépendant. Il im|ioi'le 
ÎKMUcoup de réduire au moindre nombre possible les piincipt's mallié- 
nia(ii|iu's d'une théorie. 

On avait (d)jecté contre la démonstration |)ro|iosée dansée .Ménu)ire, 
pai;i' i.)') ( ' ), (|ne, si l'on prend une ceilaiue [tartie d'une unité, (ju'on y 
ajoute nue certaine partie du l'este, puis une certaine partie du second 
reste, ainsi de suite, il ne s'ensuit pas, comme on le suj)()osail, que 
ces restes successil's deviennent nécessairemenl pins petits que toute 
i;randenr ilonuéi'. L'auteur, eu reconnaissaul, dans un article sup[)lé- 
menlaii'c, la vérité de cette reniar(pH^ (Aiiintlcs de CltiiiiK- cl <lc l'Iiy- 
si(jitc. août iHi'/i, p. 'li'-)' ajoute (|ne, pour la (|ucslion pliysi(|m' dont 
il s'agit, les fractions qui mesurent le pouvoir émissifdes surlaces m' 
peuvent |)as décroître iudétinimeut. ï\iais celle dernière proposition 
ainsi énoncée n'est point évidente, |)arce (|ne l'on ignore suivant (|ntdle 
loi le pouvoir éinissif pourrait décroilrc avec l'inclinaison. 

Dans ce nn-me article supplémentaire, l'anlenr l'emanjuc (|ue le lail 
geiu'ral de l'cipiilibre snp|>ose une iwdalion néccssaii'e eulre li's lois de 
rabsiH'plimi et de l'émission, et que celle rcluUon suhsislcniil jH'ul-cIn 
jKiuriiiiciii/imlédcloisdiffcrcnlis. Nous disons, ;i ce sujet, (|iie la rela- 

( ' ) Il s a^il ici ilo \i\ |ia,m' ■>\\ du Moinoiri; cilr plus li:iiit de l'uissoii. Ce Mr'iuoir'c usi 
irlui qui liailc ilç lu iluili-iir rc) iininiiilc. et. i|ui ii élé inséré, en iS'.'i, an lonie XW'I des 
.'liiiuili\ lie Chiiiiir II de i'h).\iqiie, p. yy/i-'ili. (i. I). 



(les 



DKS IMÎOPIUÉTKS \\V. I. \ CIIALEl li lïWONNWTI.. VI!) 

tion (loiil il s'agit est celle ijiie mms iivons (lémoiitrée ilaiis iioiff 
nreiiiier .Mémoire (art. '.)'.)); (|ii'elle snlisiste ecitaineiiient. |Uiis(|Me 
i'é(|iiilil)re est conservé, et (|ii"elle le inaiiilient (|iielle (|iie puisse étfe 
la loi lie l'émission sons les diverses incidences. Ainsi, dans ce (iremiei 
.Menioir'c, nous ne lions sommes |)oint liornc ii icmarqner (|iic. \i hs 
[Kl rois i/'/i/ic cf/rrin/e ont piirtoiil lu nie me tcniin-niliirc cl la invmc fiiciilh- 
ntyoniniiilc. lu ijiuuilHé de cluilntr (fii elles einoieiil itirerlentenl à eli(i(jiie 
jtnuil (le i espeiee est parloiit 1<I nièiiie. el iinlépendaiite de Id forme et de 
l'clendiie de l'e/iecink'. Nous avons établi, dans cet Ouviaiic tous les 
autres pi'incipes de la Théorie, et considère tri's expressément le c;is 
on les diilerentes parties de reiiceinle posséderaient inégalement it 
des degrés (|iielcont|nes la faculle d'émelfr'e la chaleur rayonnante. 
Nous avons démontré, dans ce cas ( art. 9'.) de la Section Mil) ( ' ), (ju 
ré(|nilil)re siij)siste nonobstant (ont (diangemeni arbitrair" de l'état 
suii'aces, et (]iie la chaleur totale envoyée ou reçue |>ar cha(|ue élément . 
sous une im linais(Hi (|U(dcon«]ne, est encoi'c, apri'S ce (diangement. la 
UHMue ///le SI la surface était enlièreineiit prkèe de la propriété de ré/léc/dr 
les rayons. Quant au calcul des réflexions inliuimenl multipliées, non 
seulomenl il n'était {)oint nécessaire d'v recouiàr pour démontrer cette 
proposition, mais il est préférable de rendre la démonstration indé- 
pendante de ce calcul: (die est plus claire et pins rigoureuse. 

Nous devons aussi faire observer (|ue la c(nistructiou géomelri(|ue 
rapportée dans le ^lémoirc (p. -Ïji et 2)2 ) est entièrement inadmis- 
sible, pai'ce (jn'idle ne re|irésente point la (juantité de chaleur (ju'un 
point donné iccoit d'un élément de renccinte. 

Suivant cette coustriu'tion, les points <). ()". ()", ... sont les som- 
mets lie surfaces coniiiues, dont les arêtes piolougées dans rinterieiir 

de l'enceinte interceptent les éléments a', a", a" Xous disons i\nv 

ces éléments a', a", a , ... (|ue les surfaces coniciues circonscrivent 
ne sont |)oiiit, comme on le suppose, les parties de l'enceinte don! la 
chaleur rclleciiie |)ar y., y.', a", ... peut arriver au point O, ou. ce (juj 



(') J'iiir p. ')o do ce Vokimc. 



(i. j). 



',20 HÉSI MI-: TilEOISlOl !•: 

l'sl la iiK'iiu' (•liii>t', elles ne soiil point celles (]iii reçoivent par des 
réllexions snccessives la chaleur ([ni' le [joint O envoie à l'élétnent a. 
i.es parties inliniinent petites (jui envoient la chaleur l'éfléchie reçue 
par le point 0. ou (|ui l'eçoivcnl par l'éflexion la chaleur éinaïu'c ilii 
point 0, siuit exaclenient déleriuinees par la construction énoncée 

(arl. Xh ). Nous les avons désiguécs jiar co^, m,,, oj,, Or elles ne 

se c(uiloudenl' |)oint avec les hases a', a", a'", . . . des sui'Iaees eoni(|ues. 
Celle coïncidence n'aurail lieu (jue dans nu cas trJ's |)articulier. Les 
dernii'res raisons des éléments o^,, co_,, oj^. ... sont, en i^énéral, très 
dillereutcs des dernières raisons des ([uanlités a, a', a", ...; c'est- 

;i-dire (jue les uonihres finis r, /n, /;/, ///" proporlionuels aux dei-- 

nil'res valeurs des eleinenls (o,. co_.. co^ ne sont point les mêmes 

(lue les nomhres i . //. //. /;", . . . [iroporlionnels aux valeurs finales des 
éleinenls a, a', y.", ...; par exemple, si les nomhres de la premii're 
sci'ie sont éi^aux, les nomhres de la seconde série eroisseni l'apiile- 
meiil. il n'v a aucun doute (|ii'iine portion infiniment petite d'une sur- 
face conrhe m' j)uisse être regardée coniiiie plane; mais il ne s'ensnil 
pas i|ue, dans rapplicalion aux ell'ets caloplri(|ues, on puisse sn[»poser 
i|iie les directions des ravons s(ulis d'un même point, et réfh'eliis suc- 
cessivement par divers élémenls de la sui l'ace, conconrent aux som- 
iiiels des surfaces coni(|ues. Cette reuiar(]ue a éle faite, dès rori;.iine 
de r \nalvse diirerentiello, pai' les géomi'tres (jui ont Iraiié des sui-faces 
ian>ti(]ues. 

XIX. 



Les propositions que l'on a démontrées dans ce Mémoire forment la 
riicorie mathémati(|iie de la chaleur ravonnante; elles deiivenl huiles 
d'une considéi'alion j)rincipale, cidie de ré(|uilihre (|ui s'étahlit dans 
l'inlcrieur d'une enceinle fermée, relenue ii une température eou- 
stanle. Cette notion a été présentée pour la jU'emii'i'c fois, et soumise 
au calcul, dans nu supplémeni ;i notre Mémoire de 1807 sur la propa- 
.uation de la chaleur, et ensuite dans h^seeoiide l'arlic du ^Mémoire 
de iSi I, Section XI IL MM. Lamhcit, l'iclet, Prevol, Leslie et de Hum- 



DES PUOPUIÉTÉS DE LA CIIALEIR RAYONNANTE. kH 

ford avaient pulilié aiiparavani ilc tri-s liolles recherches sur les pro- 
priétés de hi chaleur layoniiantc. On Ironve aussi, dans diveis antres 
Ouvrages pins récents, des résultats relatifs aux propriétés physiques 
(le la chaleur. Nous citerons, à ce ^njet, les ohservations de .MM. Béinrd 
et de La Roche, et les recherches expérinuMitales et tliéoi'i(|uçs (|iir 
MM. les pioli'sseurs Petit et Dulongont puhliéesdans un Mémoire hi-s 
important couronné par riii^tilut de Frani'c. 

Plusieurs physiciens avaient conclu des ohservations que les (juan- 
lités de chaleur envoyées jtar une partie infiniment petite d'une sur- 
l'ace, dans difT'érentes directions, sont entre elles comme les sinus des 
aiiiiles (|ne font ces directions avec l'élément de la surface. La Théorie 
inalliématique confirme et expiicpic 1res distinctement ce résultat. Klh' 
lîionlre (ju'il est une conséquence nécessaire du fait générai de l'equi- 
liluf di's températures dans une enceinte fermée de toutes paris, '.'ap- 
plication des Sciences nnithémati([ues aux questions naturelles a >nr- 
toul pour ohjet de découvrir les lois îi-és générales, et j)ar consequenl 
ti'i'S simples, auxquelles les phénominies sont assujettis; ces lois sont 
empreintes dans l'enseinhle des ohservations. Les lois de la pro|)a- 
galion de la chaleur dans la matière solide sont exprimées par des 
érjualions dilTérentielIcs; celles de ré(iuilihre de la chaleur inyoïi- 
nante dérivent de mêmes principes et sont encore pins manih'sles. 
Dans l'une et i'autre (|ueslion, nous ne considérons point les pro- 
priétés de la chaleiii- lumineuse. 

Non seulement on déduit du <eul fait d»' l'équilihre des tempéra- 
tures l'expression mathémalicine de la lui du rayonnement: mais on 
reconnaît h's trois causes physi(|ues qui déterminent cette loi. F. a pre- 
mière est la propriété (ju'a cliai|ne nntlécule intérieure d'un solide 
d'envover dans tous les sens des raycnis de chaleur d'une égale inten- 
sité. La seconde est l'extinciion i^raduelle ([ue ces rayons snhisseni 
dans l'intérieur de la masse, et qui est o|)érée totalement lors(|ue l'in- 
tervalle parcouru a une certaine valeur extrêmement petiti'. La troi- 
sième cause est l'égalité qui snhsistf toujours, à la surface, entre le 
pouvoir d'émettre la chaleur intérieure, selon une direction (jmd- 



i22 HËSUMK THÉOIUOIK 

(■oiKjiic, ('( le |KPiiv(iii' d'ahsoi'licr la chaleur exlôricuic (]ui arrive sous 
celle iiiènie iucliuaison. Ouaiil ;i la (|uestion de savoir si celle l'acnllé 
(l'éiiictlre el (l'alKS()rl)er vai'ie avec la direction ou avec la fempéi'alure, 
elle n'est iiulleiueiil décidée par la considération de réquilil)re; il l'au- 
drail y joindre des ex[)ériences vai'iées et très précises sur le relVoidis- 
seinenl des corps dans des (-nvidoppes rei'mées el vides d'air. C-liaiiue 
observation de ce genre a l'avantage de comprendre une série de l'ails 
(]ni se rap|)ortent à des tenipéi'atures dillerentes. On ne peut donc 
|)oinl altirnier, dans l'état acluid de nos connaissances physiques, (|ue 
la (]uanlilé de chaleur intérieni'c (|ui est projetée selon dilï'érentcs di- 
rections, il travers une même paiticulc de la siirlace, décroit précisé- 
ment en raison directe des sinus des iucrniaisons : mais il est cei'lain 
(|ne, poui' un(; nn-me direclion, les deux ell'ets de l'éiuission et de l'ali- 
s(»rplion sont précisément égaux. 

La Théorie nialhémali(|ue de la chaleur rayonnante a commencé à 
se fornier iors(|u'on a apj)li(|né le calcul au l'ait général de l'écjuilihre; 
elle ne com|)r(md encore (|ue la stati(iue de la chaleur, et elle est heau- 
cou|) moins étendue que celle de la propagation dans les solides; mais 
elle a l'avantage d'être fort simple et de n'exiger que les règles élémen- 
laires de l'Analyse. 

Nous regardons comme un l'ait constant el universel que ré(|uilihre 
de la chaleur s'étahlil dans une enceinte rernn''e dont on maintient la 
lempératnrc, el (jue cet é(|uilil)rc sui)siste (|indh's (\[\i' soient la nalni'e 
des corps, leur l'ornie, leur silnalion, et (]iiid (jne soit l'état physi(|ue 
des suiTaces. Ce l'ait est clairement expli(|ué par les trois pro[uiélés 
que l'on a énoncées, savoir : l'égale irradiation, rextinction ;i très 
petite ilislanee, el l'égalité de l'émission et de l'absorption. 

Il suit rigoui'cnsemenl de celle troisii-nn^ [iropriété (|ue ré(|uilil)re 
de la chaleur l'avonnanlc dans un vase l'erun'' ne peut être trouhié pai' 
aucun changemenl de l'elat des siirlaces. \/.\ chaleur totale (|u'nn elé- 
menl de l'enceinle envoie ii un point de l'espace intérieur est exacte- 
ment la ménu' après le changenuMil (|ue celle (|ui était envoyée aupa- 
ravant. Or ce rayon reçu pai' un point de l'espace se l'oi'me : i" de la 



DES l'KOI'RIETES DE I. \ Cil M. ELU I! V 'i () N N \ N TE. 'r2:$ 

(lialeiir projetée ;i travers rélément do la surface ; :>." de la clialeiir rétlé- 
cliie pai' cet élément. On peut, dans ce sec<md ellet, distin,^iier les pro- 
duits d'une seule réflexion, on de deux, ou d'une infinité de réflexions 
successives. Il est facili' d'exprimer la valent' de tous ces efléls [lailiels, 
et de reconnaître ([ue leur somme é(|uivaul an lavon (|ui serait envoyé 
par le même élément si la réflexiliilité de la surface était nulle. Tou- 
tefois cette égalité n'aurait point lieu si la réilexihilité pouvait devenir 
totale sous de certaines incidences. Maison ne pourrait pas eu conclure, 
dans ce cas même, qu'un changement d'étal des surfaces trouble l'équi- 
lilne lie la chaleur rayonnante, et rend inégaux les rayons qu'un point 
de rrs[)ace reçoit en différentes directions; car l'uniformité de la dis- 
Irihution serait conservée par la chaleur contenue, <|ui subirait de< 
réflexions continuelles dans l'inlérieur du vase. 

Pour rendre plus sensible l'ordre des proposilions qui l'on! l'objel 
de ce .Mémoire, nous le terminons par la Table suivante, qui contienl 
le sommaire de chaque article : 

I. Les rayons de clialenr i|iii IiiiiiImmiI sur la >url'ai"i' il'ini eoips se diviseTil 
cil lieux parlies. donl l'une est ahsorhée el l'autre rélléiliie. 

La clinleur layoïmante eiivovée par eliaqiie élénieiit il'uiio surface se com- 
pose de la chaleur émise directeniiMit et de la chaleur rélléchie. 

IL Dvllnilioii iiia!héiiialii]ue de la ipiaiiliti- de chaleur riiiileiiuc dans les 
ravoiis qu'un même éléiuenl de la sui lace envoie selon dill'eienles directions. 

III. \olion générale de l'cquililire de température qui s'élalilit dans l'inli'- 
ririir iTuiie enceinte t'ernire donl toutes les parties ont une tcmpi-ratore coiii- 
miiiii' ri invariahh'. 

I\ . (Je fait général sert à déterniiner la loi du ra\ oiinemeni. piiiici[ie qui 
sert de fondeiueiit à ce calcul. 

\ . Résultats divers du cairui jui'cédeiit. 

^'L En niètue (dénient de la surface envoie en dilTéreiites directions des 
(|nantités de chaleur pro|ioilionnelles aux sinus de l'inclinaison du rayon siii 
cette surface; il reçoit dans (hnqiie direelioii une quantité de chaleur égale 
à celle qu'il envoie. 

\'IL (juiséfpiences reinarquahles de eetlc loi : 

I" L'équilihre s'étahlit d'élément à élément: cette condition ne couvieul 
qu'à la loi énoncée. 

V Chaque point de l'esiiace reçoit dans tons les sens une nièiiie quantité 
de chaleur; el celle quantité est la même jinur tous les points. 



fj2V 



RÉSUMÉ THÉORIQUE, ETC. 



:> (loiisIlMclioii (\n\ rc|iiés(_'nl(', pniir le eus de l'éiinililirc, lu (|iKUilil('' cir 

cliali'iii' oiiNovér ;i un point (loiiiié pitr une siirracc d'iiiiL- loi-nio ([iiclc(ini|Lii'. 

';■' Lii (lisliilnitiiui lioiiiopèrn' (ic la clinlpur ne suliil aiicnn chiiiit^i'iueiit si 

l'un iléplace du si l'on relranclie les corps coiiIeiHis; relie ée;a!e disl i iliiilioii 

esl une condition do l'équilibre. 

^'lll. (Calcul de la qnanlité de cliah'nr (pii est émise par un corps luiil'or- 
niénienl éclianlV.-, et (pii liaxerse liii|-(Muenl une porlion de la supei'licie scdou 
i\]n- direct ion donnée. L'émission élanl su|iposée libre et complète, les quan- 
lilés (le chaleur projetées en diflérentes directions, à travers un inèmc élé- 
ment de la surface, sont [u-o|iorlionn(dles aux siinis des ani^les que ces direc- 
tions l'ont avec la surface. 

I\. (!onstruclion iiéoméli'iqiu" dont un peut deiluiii' ce même résultat. 
\. La loi du ravonncinent libre à la superlicie des corps et les é(|ualions 
liénérales qui expriment la distribution de la clialeui' ilans les solides déri\ eut 
d'un même principe. 

\L tîemarinies i;énérales sur la ])r(qiriélé de réiléibir la clialeur incidente 
et celle d'émettre la clialeiu" inléiieure. 

\IL La loi du ray(Minemenl énoncée dans les articles \l et VIII n'est 
point troiddée par les cliangenienis (jui surviennent dans l'état des surfaces. 
Cette propriété l'ésulte évidemment de l'égalité qui sul)sisle entre le pouvoir 
d't'mettie la chaleur intérieure et celui d'ahsorher la chaleur incidente. 

MIL Le théorème de l'article précédent ne suppose point ipie la fraction 
qui mesiu'e le pouvoir d'émettre la clialem- i>st la même pom- toutes les incli- 
naisons; il suppose seulement que pour une mém(^ inclinaison l'elfet de 
l'émission et eidui de l'absorption sont éi;au\. 

\I\ . (Calcul tie l'elfet des réllexions successives, coirsiruction et notalions. 

W . Expression d(> la dilférence que l'iui ti'ouve entre la (piantilé de clia- 

leiu' ipi'un élément projetterait dans une direction donnée si le pouvoir 

d'émission était total et la somme des ra.\ons directs ou lélléchis qiu' cet 

élément envoie selon celte direction. 

W I. La dilférence exprimée dans l'article précédent mesure l'intensilé du 
rayon <pii aurait sulii en sens contraire les mêmes réllexions. L'un des cfTets 
est le conqdément exact de l'autre. 

WTI. Si l'on supposait un tel changement de l'étal des surfaces que, sous 
de certaines incidences, il put y avoir l'éllexion totale, la loi du rayonnement 
el la disliibution homogène d(! la chaleur qui sid)sislaient au|iaravant seraieiil 
conservées au moyen de la cbalem- contenue, ipii subirai! des i-éllcxions con- 
tinuelles. 

\\ III. Remar(pies sur diverses in-o|)ositiiuis ipii ne peuvent être admises 
dans la riiét)rie matliémaliipie de la chaleur rayonnante. 
\l\. Conséquences générales. 



REMAKUl i:S 



iiKdiiiK M\Tiii':\i\Tioii: 1)1^ L\ i:ii\ij:ii{ iu^iinnintl 



II. 



> 4 



KKMAliOl KS 



THÉOKIi: M VTHÉMVTIQIE DE l.\ CIIAUITI KVYOWAME. 



Aimcdci lie Chiiitic cl de I'liy\irjtii:, Série I. l'iniie \X\ l[I. |i. 3J7: iS:>.j. 



On n |)iilili('' (liiiis i-i' Recueil divers ailicles eonceiiuiiil réiniililire 
(le la ciialeiii' l'ayimnanle. (^ette ilisnissioii a pour ohjel de tixer avec 
préeisinu les éléments d'un urniveau f;enre de {|uostious. el de poi'ier 
li'S physiciens el les ;;é(iMii''tres ii en a|ipr!»roiidir l'élnde. 

Le principe qui a donné naissance à celte tliéorie est cidui sic ré(|ni- 
lihre de la clialeui' ra\(Uinanli' dan> \\\\ espace (jin' termine di' lonle> 
|)arts une enceinte eiilretenui' ;i nue lempéi'alni'c constante. J'en ai 
déduit autrid'ois la démonstration niatliemati(pi(' d'une [ir-oposition une 
les e\|)ériences avaient indi(|néc de|)uis loni;lein|is. sa\dir, (jiie durant 
eel e(|uilil)re de la (dialenr ray(Uinante. une jiarliciile i[Uelconi|ne de 
la surface de l'enceinte e>t le centre d'une inlinilc de rav(nis (|ui cmi- 
tu'iinent d'autant moins de clialcnr (|ue leur direction l'ail un aui;le 
|)lus petit a\ec l;i surface, l'ette (|nautité totale de idiali'ur. (ju'line 
même particule de la supcrticic émet ou ndlécliit. S(dou les did'erenles 
directions, est exacti'uieiit pro|iin'tiiuin(dlc au sinus de l'aniile (|ne le 
rayon fait avec la -iirl'ace dont il >'(diiii.'nc. Les oljsei'vations avaient 
fait connaître ce i-esullat: la théorie prouve {|n'il est une cousé()m'nce 
nécessaire de l'unifoiinité de température dans les diverses parties de 



ws 1!i:mai!(ji i:s si r. i,\ nsKoiiii': m viiikm \Tion: 

l;i siirlarc de rcncciiilc. (l'i.'sl scidii ri'Hc lui (]nc l;i i-|i;ili'iii' ravimiMiid' 
csl (lislriitiiér dans l'espace circoiiserii . Il en résulte (|ne la (|iiaiilile 
Icilale (le elialeili' (|ui li'avei'se un |i()iiit de cel es|)ace, S(diiii liuile- les 
(lireelidiis possildes, peiidani nii inslaiil deieriiiiiK', esl loiijdiii'r- la 
nH'Mie (|ii(dle (|iie siiil la posilidii du |i(iinl (|iie l'on Cdiisidei'e. 

Aprèsavdir démon li'é ce iheni'i'nie, j'ai désire ei m naître (| nid le était 
la cause |di\si(|iie (|ui rend pr(t|Miili(iiinclle an sinus de rincliiiaisiiN 
la (|iianlilc de chaleur iirojetee en diUV'rentes direcliims par un iiièine 
elenienl de la surrace, el j'ai recnniiii (|ue cel idl'el esl du il l'irradialinn 
nnil'orine des molécules Sidides placi'es au-dessous de la siirlai-e. a nue 
Irl'S pelile proiondeiir, et ii rexlindioii (|ni s'opi'ie dans celle couelie 
extrême voisine de la siiperlicie. |-]ii eil'el, j'ai |>roiive (|ue la loi de la 
disirilintion de la chaleur rayounanle peut se deiluire de cette seule 
eonsidéraiion physique. INinr elaldir clairement ce calcul, j'ai fait 
d'abord ahstracliou de la |iropriete des snii'aces iiiie lou a desi- 
L,nee sous le luuu de n'IIc.iihililé. VA\v consiste dans la faculté de 
ie|HMissi>r nue partie de la chaleur incideuie, et de conlenii' une 
partie de la chaleur intérieure, i'ar cou<ei|ueiil, si la surface de I en- 
ceinte était, dans chacune de ses (larties. entii'remcn! privée du pou- 
voir de retenir hi chaleur, la loi du rayonu nienl. telle ipie iiou^ 
venons de l'idioncer, s'elaldirail d'clle-nK'Uie , et la chahuir rayoïi- 
iiaule se trouverait é|;aleiiienl dislriliiiee dans Ions les points de l'o- 
pace circonscrit. 

Il était nécessaire de rélaiilir la propriété dont on avail fait ahslrae- 
tmn : j'ai donc supposé (|iie les divers (déments de la surface inléi'ienre 
de l'euceinle, couservaiii leur lempi'ratiire commiiue, rece\aieut ;i Ai'^ 
dci^i'és éi;au\ ou iiiéi;au\ la pi'ojirietc de ridleidiir la (dialeiir incidente. 
Or il esl certain (|u'iin cliaiii;cment (|Uidcon(|iie de l'état des surfaces 
n'allJ're en rien re(|uilihre de la idialeur. pourvu (|ue ces surfaces dont 
l'état esl (diaui;é retienneul leur température. Il arrive toujours (lu'uiie 
molécule (|ui a la température commune, et (|iie l'on place eu nu 
point (|iiideon(|ue de l'espace circonscrit, conserve celle lempératiiie. 
(l'est ce l'ait Iri's général iude[iendanl de l'etal dos superiicies dont 



m: I. \ cil V Lin I! iiv^onnvnte. ',-i'.) 

j'ai (Idiiiir r("X|)licalioii iiialli(''inali(|iic, l'ii demontiaiU la jii"o[)ositiiMi 
siiivaiilc : 

Si li'jioinoird riiicllrc la clidlciir inUiiciirc <l(ins une rrrlainc dificiiuii 
(Si loujoiirs le inàiic (juc vchii il' itlisoihi r hi ilidlcdi- iiicidcnlc selon Ui 
(hrecliitii iDiitratn . un eintit'j^iinenl cjueli-onciui' . ou lous les e/i(i//^e/)ie/i/\ 
surressi/s (jui suirieiidiineiil ilii/is l'e'/ti/ il's surfaees île l'e/iiriiile . ne 
pourninl Irouhler I ('■(jinldne : piii-ee ijue Id soninie des //uii///i/e's de ejudeui 
cmises ou réjh'elnes selon une <lireehon donnée pur elnnpw èli-rnenl di- la 
supvijn-K' sera, upirs les elnin^e/nen/s su/rmus. prceisénieni cii^ule à celle 
(pu éluU envoyée lors<pn' le pnueoir <le I é/nissu)ii elait eoniplel. 

On Irouvf la (Iriiionslratiim di' ce lliedirinr dans l'ailii-lc 12 d'iiii 
.Mriiioirc |)reC('ili'iit (|iii a |MMir tilrc llèsunie tln-orujue {AnnuUs de 
Cltiinte et lie I'liysi(pu\ iio\ ciiilin' iS^'j. |). ao). Otte iléiiioiislratioii 
avait ('[(• (Idiinrc. pour la jifcmii'rc l'ois, dans l'ai-ticlo 99 d'un Mi'- 
inoiro do iiSt i ( Xoiieiuur Mé/noins de I Aeadénue royale des Sewnees 
de Paris, t. \' ). 

On voit (|iio ce point do ihomio consistait iiniqiionicnl ;i roniai(|iioc 
lo i-ap|iort niallHMnali(|nr (|ni snlisislo ontro la conservation de ré([iii- 
lilire cl réLîalité rigoureuse des deux fai-nites (rémission et d'alisorption 
l(U'S(|u"elles s'exercent suivant la nuMue ligue. 

Cette uiérne ooncUisiou est devenue l'olijel de nouvtdies recherches 
|)uldiées par M. Poisson ( An/iales i/e Clunne e/ de P/iysif/ue. juillet iSiî4. 
p. 22"); août iSa'i, p. j/ja; et janvier iSj'i, p. >- ). L'auteur recou- 
iiait la vérilé du théorème ([ue je viens d'énoncer: mais il pense (|!ie 
la démonstralion (lonu»''e en 1811. et (|ue l'iui a rappelée dans l'ar- 
licle 12 du licsuinc ihcorupie di'jii cite, n'est |>as sul'fisante. Il s'est donc 
proposé de traiter de nouveau celle (pn'sti(ui. et il est arrive ;i la 
uu'iue consé(|iU'nce par le calcul de rellét total des rétlexioiis succes- 
sives. Il me sera facile de montrer : 1" (|ue le résultat de ce calcul est 
im|)licilement contenu, et prouvé de la luaniiu*' la plus générale et la 
|»lus idaiie dans la première démonstration donnée eu 181 i; 2" (jue 
les coiislrni'tious (jui servent de rondement aux calculs de l'auteur m> 



Vit) r.EMAnQlIES SljR !.\ TIlÉOHIi: M VÎHEMATIOir. 

soiil |Hiiiit cxarlcs, pai'cc (|ii'('ll('S repi'éscnlciil sculciiiciit le iiiouvi'- 
iiii'iit (le la clialcur ictlécliir eiiln' des smiact's planes. 

.le rapprllcrai d'abord, non il liln' de |U'l'UVcs, mais souk'nu'nl 
coinino mol ils d'cxamiMi, (lue la dénionstralion dont il s'ai;il a élr 
admise sans ronteslation par tous les i^éoinî'd'es (|ui en ont en eoiinais- 
sance, ri spéeialcment pai' MM. Lagrant;-e, Malus el Biot, qui oui mani- 
Icslé leiii' ojtinion à ce sujet, soit dans leurs Lettres,' soit dans leurs 
(»uvrai;'es. iM. Poisson en avait jiorté aussi le même jugement, eoiunn- 
on le voit dans son dci'uier Mémoire ( A/i/ki/cs de Clunuc cl de l'hysujiic. 
lauvier i.So"). p. [\\ ), et eomme le montrent les exjiressious suivantes, 
(|U(' je cite textuellement. Apri's avoir rappclr la pi-oposition l'elative ;i 
la disirihution homogène de la chaleur ravonnaulf dans un espaec 
lernu', lorsijue la réflexiijilité est nulle, il ajiuite : l' intUnr fait rou- dr 
l>lits d une nidincrc In's i/ii^v/iici/si' //itc r< Ile ('^(di!i' n es/ pi/s lioiildcc par 
la réflixion plus ou moins parfaiu- ipii pcul aaiir lieu sur ces fucincs parois 
{ Hndcliii des Sciences. Société pltilom(illd(pic. année 181 5, p. 91). 

i)e nouvelles e(uisidérations ont anu'ué !\I. Poisson à changer d'avis 
sui- ce point. Il soutient présentement (lue la dennuisti'alion est fau- 
tive, eu ce ([u'elle n'est point ap[)lical)le ii tous les cas, el il en cite un 
exemple ( A/i/ia/i's de Vhinde el de l'hysi(pie. janvier [S^'i, [i. 4'< 1 ' 
el !\'>). .le me propose de prouver (|ue rohjedion diuit il s'agit est 
dénuée de tout fondement; ([ne le cas choisi jjour exemple est préci- 
sément un de ci^w auxquels la démonstration s'applique le |»lus diiec- 
lement; en sorle (|ue, fies deux opinions contraires ([ue M. Poisson a 
puhliées ;i ce siiji'l, c'est la première (pii e>l la véritable. L'article sui- 
vant a pour (d)jel d'eclaireir ce premier point de la discussion; j'ajon- 
lerai ensuile de n<iuvelles remar(|ues ;i c(dles (|ui sont exposées dans 
le résum('' thé(ua(jue, et i]ui concernent le calcul des réilexions succes- 
sives. 

H. 

Dans li^ Mémoii'c intitule Discussion relali<,-e a fa iheoric île la ilm- 
leiir rayonnante ( Annales de Chimie et de l'/iysii/ue. janvier iS^'i ), l'an- 



I>J-: I. A CIIVLKU! IIV» ()\\ \NTi:. ',:51 

teur, apri's avoir préseiilr, pai;('s 'c- ''t 'i 5. la partie de ma (léiiioiislra- 
(idii (ju'il jiii;(' en ("'Irt' la suhstaiici', ('•talilil son (iliicchmi, cl l'ap|)li(]iii' 
au cas ofi deux sui-l'aci-sA cl H s'ciivoicnl ia'i;ipr()(|iiciiii'iil Inir clialciir 
ilaiis la (lirciiioii iirlIiiiiiDitiilc, soil par ('•iiiis'-inn, suit pai' n'Ilcxion. !l 
l'OiTsidt'i'c : I" (jiir, si la iTni'\ii)ililr îles deux siiiiarcs est iiiilli', et si 
leur teinprraliire est la [iièiiie, l'une recevra de raiilic, dans la direc- 
tion noi'uialc, nue (|uantite de (dialenr éi;alc à c(dlc (|ii'clle lui envoie: 
12" que I ég'alitc de tciupcralure sera uiaintenni' si l'on idiani^c seule- 
ment l'étal de la surface A, en sorte ([ne la chaleur émise par A, et 
désij;née jiar /^ soit n'dnite ;i mp, la traction m l'Iaut la mesure du 
pouvoir émissil'. Il est facile de voir eu elfet ([ue l'égalité de lenipéia- 
ture subsiste tiuijfuirs: car, avant le cliani;ement, la chalcni' émise 
par A selmi la normale était /^ et la chaleur réiléchie était nulle : donc 
15 recevait la (|Uantité p : or. a]irt's 1(> (diaui^cmenl. la (dialenr émise 
par A est seulement ////i; mais la chaleur réiléchie est ( i —nnp. en 
sorte (|ue la (|nantit('' total uumuni([ii(''e ;i 15 est encore é;;ale ;i p. 

dette cousé(]uence est évidente, et l'auteur l'admet: u)ais il pense 
(|ue le même raisonnement ne peut pins être apprupié loi'S(]ue, |)ar 
l'eiïet d'un second changement, (|ni sui'viendrail dans la snif'ace 15. la 
idialenr sortie de cette surface ne sei'ait pinségale \\p, mais seulement 
;i iip, n étant la nu'snre actiiidle du pon\dir émissif de 15. hd l'auteur 
change totalement le sens de notre dcmoiislration : le calcul n'c>l 
[)oiut établi comme il doit l'étie, et c'est sni' cette ei'icnr ([ne l'olijec- 
tion est fondée. 

En elfet, avant le changement ([ue la surface 15 vient de suhir. il 
sortait de l'intérieur de cette surface nn*' ([uanlite de chaleur éi;ale 
:i/j, et 15 recevait dans la direction contraiie nue ([uautité de chaleur 
égale l\ p, ([ui. élantal)sorl)ée entiéremeut, com|)ensail la chaleurémise. 

Après le eiiangemcul, la (dialenr sortie de l'intérieur de la surface 15 
est l'éduile à ///> ; et. |)ar un etrel nécessaire de (h- même changeim'iit. 
la chaleur afilnente alisorliée n'est [dus éi;ale ii /; : idie est réduite ;i np: 
le reste (1 — ii)p est relléihi. Ainsi, avant (|ue le (diangement de P> 
eut lieu, la chaleur émise |)ar cette surface était p, et la chaleur ré- 



YM UEMAROIRS SI P. \ \ TIIKOlilE MATHÉM VIKH E 

tlrchii' ('tail nulle; iipri's le cliaiiLjcincnl, la chaleur émise esl /i/>, et la 
eiialeur réllécliie esl { i — // )f>. Dune la ehalenr (jne A l'eeoit de H ilaiis 
la (lirectinn iiDi'niale esl ///> ^ { \ — n )p ou /v. C'est cette (juanlité 
liilale. et non pas seulement ///', (ju'il laiil ninlti|iliei', ou par /.'/ pour 
eoiinaili'e la (piantité île chaleur alisoiliee |»ar A. on pai- i — ni pour 
connaitre la ipiantité de chaleur (]ue A réilecliil. Ainsi la ehalenr (|ni 
pénî'Ire A l'sl ////;; (die é(|uivaiit ;i celle (|ni esl émise par cette inénu' 
siirlace; et la (dialeur (jue A l'étléchil est {i — iiDp. Donc, apri'S le 
(dnini^-ement de H. la (|nanlile totale cjne A renvoie ;i 15 dans la dii'ce- 
lion nornjale esl nij) ^ (i — iiDp. Ainsi idle est éj^ale à /; comme (die 
l'était avant (|ne la surface lî lut chani^ée. 

(!elle (lei-nil're proposition est d'ailleurs une eons(''(|iu'nce nécessaire 
(le l'elat (jiii s'esl formé apri's le seul cliangenienl de la surface A.'Kn 
(dl'el. apri'S ce premier chani;enient, l'éi^alitéde température est maiii- 
ieiiiu', ce ([ui est manil'esle cl ce (|ue reconnaît ex|)rcssément l'anleur 
de r(»hje(Mi(Ui. Ainsi les (juantites de (dialeur qui l(Uiil)ent sur (dia(|ue 
partieule des surfaces de l'enceinte et celles (|ui s'en éloignent 
dcnn'ui'eiit précisément les mêmes (]ue si la surface A n'avait |)as été 
(diaiigée : donc, après le changement de A, la surface J$ iccoil et envoie 
les mêmes (juanlilés de (dialeur (|iie si le changement n'avait |)oint en 
lieu. Il arri\'e seulement ipi'ii la surface de A la (dialenr envoyée 
dans la direction normale n'est plus enlii'rement formée de ccdlc (]ui 
sort de l'inlérieur; elle C(unpreiid aussi la (dialeur réfléchie. .Mais il 
n'en résulte aucune din'érenee (Jans la (|uantit('' totale de (dialeur (lue 
reçoit R, suivant cette direction normale. I'arconsé(|nent. on prouvera, 
il l'égard de la surface T5, et de la même manii're, ce (|ni a clé prouvé 
d'ahord pour la surface A, c'est-ii-diic (|u'aucun i lian,i;enient de 15 ne 
peut Ironhler re(|nilihre. 

Apri'S avoir reconnn (|n(' le seul (diangemeiit de A n'alti're en rien la 
(lislrihulioii de la chaleur rayonnante, il est im|iossihle de ne point 
admettre (jue la même coiiséipience s'a|»|)rKjne ii un second eliaiijic- 
ineiil, savoir ii celui de la surface H; car la chaleur (|U(' celle surface B 
avait envovéc avant d'être changée est par\i'nue en A, et, au nioiiien! 



précis oii le eliaiiiiement de 15 suivicnl. A reçoit h clialt'ur ilrjii 
ciivoyéL'. Supposer le roiitraire, ee serait cniieevoir (|ue le nouvel état 
(le la surface B produit son etl'et avant d'avoir été lornié. Kniin. si l'un 
veut rendre ces conséi|uences eneoi'c plus sensildes. il sudil di' eonsi- 
dei'ei' la distance des deux mm faces conune exlrènieinenl graiule, l'I 
telle que la Inmii'i'eon la clialenr emploie un teuips Iri-s considéralde 
pour Si- portei' de A en B. 

L'exactitude rigoureuse de nod'e démonstration ne peut donc être 
r(mtestée. Elle fait connaître sans aucun doute que tout clianiiemenl 
(|ui surviendrait dans l'état d'nii(> ou de plusieurs parties de l'encfiiile 
ne peut trouliler i'e^ale distiihution de la chaleur layonnante, et (|ue 
la loi de rayonnement est tiinjours la même (|iie si les surfaces étaient 
enlii'ix'nienl priv(''e^ de rédexiliilité. 

Au reste, nous remaitjuerons que, dans la démonstration <l(»iil il 
s'a£;it. nous ne disons [loinl. comme on nous l'allrih^ue ( Ainuilcs de 
C/iif/iic cl (h- l'liysi(jiii\ janvier i82">, p. 'y>.\. ^\w la surface de A est 
seule changée, (]ue l'état des autres cléments demeurant le même, l'é- 
galité des teuq)éi'atiires suhsiste, et (ju'ensuite on change un second 
élément, puis un troisième, etc. Nous avons supposé, au contraire. 
qn'iMie ou plusieurs parties de ces surfaces stihisse/il un elianL!;e/)u-iil 
(jueleaiujue au eomiiieiieenteiil d Un i/iènie iiislanl A ( Annales de Cliiniie 
el de f'//ysi(/ite. novembre i Su j ). On ne peut pas expiinier d'une ma- 
nii'i'c |dus foruH'ile (pie des clianLi'enients son! sininllanés et non suc- 
cessifs, ([u'en disant (ju'ils surviennent au commencement d'un même 
instant déterminé A. Le nouveau changement (pii succedcrail au [»i'e- 
mier, el dont nous avons parlé, est c(dui qui pourrait allecter eomnu' le 
j)remier tous les éléments de la suiface. .Mais murs n'insistons pniut ici 
poui- conserver cette forme de notre démonstration, parce (|u'elle doit 
s'appliquer également au cas où cliacun drs éléments serait sud-essi- 
vement changé. Nous remar(|Uons seulenient (in'il ne nous était pi>int 
nécessaire de faii'c cette dernii're supposition, e{ (|ue nous ne l'a\((ns 
pas faite. 

Dans le cours de cette discussion, rauleur ajoute : il en résulte (iiu', 
11. 



v.îv nEMAi;uii:s si i! i a tueouie matiiémaïioi e 

si l'égalilr (le f('i)i|M''ialiii c est coiisorvéc, ce ne iKuirra ("'tii' ([u'on 
avaiil viiiwd à la sri'ie iiilinic do réflexions (|iii auionl lieu siii' les deux 
liascs. Si CCS expressions siiiiiitieiit que l'équililire est luaiiileiui par 
les rénexioiis inniliples ii|)éi'ées sur l'une et l'auli'e surface, la pro|)osi- 
li(Ui est éviilenle, <'t il est facile de déteruiinei' par le calcul l'ellet de- 
ces réflexions: on sail davaiice (|U(d doit être le résultat. Mais il i-st 
iinporlant de reinar(|uer (|ue, sans recouiir aux détails de ce calcul, 
on esl assure (ju'iin changement ([uelconque de l'élat des su[terficies 
ne peni IrouMcr re(juilil)re de la idialcur ravonnanle : or nous avons 
élahli cette ]iroposilion de nianii're à exclni'e (ons les doutes, en uiou- 
liant (jii'il e>l rii;oni('nsenient iiiipossihle de produire, ou successivc- 
nu'iil ou il la l'ois, aucun clianii'enu'nl dans l'elat des superficies qui 
(rouille re;;;ililc des lenipéi-atnrcs. I.a inéuie déniouslration lait con- 
naître (|iH' celle iinpossihilile provient de ce (|ue la même c;(nse (jui 
diminuerait la cludenr d'émission sous une directicui donnée, et la 
réduir'ait lie i -i la fraction //^ réduirait nécessairement, dans le même 
ra|)poi1, le poiivoii' d'aljsorher la clialeur qui arrive selon la direction 
contraire. 

m. 



l'(Uii' déduire du calcul les mêmes conséquences, il suffit de déter- 
luiiiei' la (piantile totale <lc ( lialenr (|u"un élément de l'enceinle envoie 
dans une direction donnée, et \\)\\ peut c1i(M( lier séparément la valeur 
du produit de rémission directe, et c(dle du [jioduit d'une, de deux ou 
d'un iioml)re(|iielcouquede réflexions. Cecaliml se réduit à l'application 
des |uiuci|)es (|ue nous avons étalilis dans noire Mémoire de iiSri. cl 
dans divers arliides de ce liecueil. Les remar(|iies suivantes ont pour 
o II jet de ra|ipeler (|uel(|nes-uiis de ces principes, et d'en nnuitrei l'usaife. 

I,c> (|nestioiis de ré(|ni!il)re on du moiivemeiit de la idialenr rayon- 
iiaiilc, considi'recs sons le ]ioint de \iie le plus étendu, se réduisent a 
lorinei' rexpressioii aualyli(|ue de la quantité ilc clialeur (|u'uiie sur- 
face iuiinimeni petite envoie à une autre, soit directenieul, soil par une 
on plusieurs réflexions : or celte expression i;énérale esl tri's sim|)le. 



DE L\ CIlM.r.ll! i;\\0\N\\TE. i:5o 

Supposons [/7i^. ") ( ' ). jointe an Mémoin' inséré dans les Anixilcs d,- 
('liif)n('cl (le P/tysù/i/c. noveinhii" 1821. p. 236-281 | (jn'nii ravon declia- 
Iciir /• envoyé |»ar nn point O tonihe dans la direetion ()///, snr une sni- 
f'ace infiniment petite co,. en faisant avec eelte snrfaee un an^le z,, et 
désignons par a, le |ionvoir <réniissioH ou d"a!i-oi-piion de oj, son-, 
raniileç,: la |)ailie du rayon envoyé (jui pénétre co, est a,/', l'aulfe 
pai'lie ( r — a, )/■ est l'etlecliie par co, et tondie sur Wo sous i'an,uie o, : 
une |iartie de la cdialeur ainsi i'éll(''i'iiie j)éuélre co, ; elle est expciinée 
par { i — y., )y..r, y._> désiiiiianl le piuivoir d'émission on d"al)sorption 
de oj. sons l'aniile 0... I.a |>ai'lie restante (jni est rétléeliie par w., a jtonr 
l'xpression ( i — a, n i — y.. )r. Klle tombe snr un troisième élément o,, 
en faisant avec cet élément l'aniile ç.,: elle s'y divise aussi en ilenx 
parties, dont Tune ( i — a, ) ti — y./)y..^r pénètre co,, et Tautre 
( I — a, ) ( r — K^, ) ( 1 — 7., )/■ est relléidiie. (les réflexions se ninlti|dient 
indéfiniment selon la (|nalite des ^ni'laces, et l'on eu consiiléi'e rellél 
jns(]ir;i ce que le rayon envoyé /■ ne contienne plus ([u'nue (|uautit('' de 
clialenr entiè'rement insensible. 

Réci|)ro([uement, en désii;iiaiit par /la quantité de chaleur que l'é- 
lément (0, eiivr'ri'ait an point O, si le pouvoir émissif de co, était coiu- 
plet, et a, étant la mesure tin pouvoir émissif aclnel de oj, sous l'aiiiile 
'^,, a_./- exprime la (|uaulité de chaleur qui sort de co, et arrive' au 
point 0: x_,( 1 — a, )/■ est la i| nantit é de chaleur qui. étant sortie de w_,, 
tombe siii' w, et est réllé( liie par l'ct élément, sous de telles directions 
(|n"elle parvient an |)oint ( >. 

Dans tons les <•;{•>. [xmr forincr /'iwprcssio/t c/c /(t ([iianlitr dv ihalntr 
(jiit soii (1 un clcrtiriil co, sous de telles dirertiiMis qu elle peut (tirner au 
jioiril () après (noir e'/è dnise'e et ré/Iéelae sucrcssHcme//l par son inci- 
tlenee sur un nonihrc (pu-leoinpte d èlènienls intermédiaires (0,. w.. fo,, 
cj,, il faut tnulliplier la valeur r du rayon total par y.j, mesure du pou- 
i,airémissifdeo)iS()usld//^le':/j, et par tous les eoeffiewnts r — y.^. i ~ y.., 
I — y... I — a., (pu mesurent . sous les ineidenres respectnes z^, z>... c.;, o., 
le poueoir rèjleeleur des éléments inlermeduiires. 

(' ) /'"//• In page 109 (le ce Voluim-. tj. I). 



VM; ItEM MtOUEïi SI I! LA TilÉOP.lE M ATIl ÉMAT 1 O T E 

Le nivoii lohil /■ rcjtrt-sciilc ia (HKiiililr de chaleur (|ue le premier 
éléiiienl (<i, enverrait au |)oinl O si ect éléuieul avail un [louvi/ir 
éniissil' ediiiplel. 

IV. 

l.e leniin(> que l'on vient de rapportei- est une eonséqiienee évidente 
de réj;alité (jui subsiste enti'c le pouvoir d'émettre la chaleur et celui 
de l'ahsorber s(uis une même direction. Si l'on joint à cette proposi- 
tion celle qui exprime l'action directe d'une surface infiniment petite 
sur une autre, ou réduira facilement toutes les recherches relatives à 
la (dialeui' ravonnante ii de pures (|neslions de calcul, ce (|ni est pro- 
prement l'ohjet de la théoi'ie. Nous avons donné, dans nos |U'emier> 
(»uvraL;cs, cette e\pressi(ui de la (juautité de chaleur R envoyée par 
une surface infiniment petite co, ;i une autre (o. La chah'iir H, ijui sort 

I I . .• Il • II 'il siiio Cl), sinoi , ,, . 
de w, et l(Hnl>e sur w, est jn'oportionnelie a li '-—, ■— (.Mémoire 

de I li I I , t. \ , p. '-îH, Xoincaii.v Mc/)/nii(:s de l' Acadcnuc royale des Scwnees 
de r In si il lit ). 

La distance )' des deux particules est supposée intiuiment i^raude 
par rapport aux dimensions de ces particules, et cette droite >', qui 
joint un point (lucdcoïKjne <le w et un [loint i|uelcon(]ue de oj,. fait 
avi'c la premii're surface co l'angle o, et avec la seconde co, l'angle 9,. 
J,e coefiicient II dépeud du pouvoir rayonnant de (o, sous l'angle o, et 
lie la tem|)éralure fJ de w,. Les observations peuvent seules faire con- 
nailre les lois des variations de ce coefticicnt pour des incidences très 
ol)li(|ues, on des températures tri's élevées. 

Nous avons aussi prcqiosé la construction sui\anle, qui sert ii trans- 
former l'expression de U. D'un point /// de io et d'un rayon 1 , ou déci'it 
une siiri'ace sphéri(|U<', e( l'on forme le coue ([ui, ayant son sommet 
l'ii ///, embrasse rélémenl opposé (o,. Désignant par s la partie de ia 

, ■ , . • ■• 1 . ''>i ^iii'-'i 
snilace splierupie (|ue le coue interciqUe. on a eviilemment .v = ^-^- , 

et l'on peiii meitri' dans la formule précédente, au lieu <!e la (|uaniité 

., ^') sa valeur -v. dette (Uiverlure ou capacité .s du coue (|ui cir- 



'.1| Slll ', 



DE L\ CIlVI.i:! I! I!\ VON nanti:. V:îT 

ronscrit réléincnt oj, es! la graïKlcur de cot éloniciil vu d'iiii poiiil de w. 
Nous avons siirloiil fail iisai;c de colle oonslriiction pour représenter 
les ellels de la réllexion apparente du froid ( A/uia/es dr Chimie cl <!( 
Physique. 1817, |). 2()()-27()). 

On eoiu'lnt du leiniae pré'édent i|ue. pour tbrnier l'expression de 
la (jnantilé de clialeur ([u'iiii élément intininienl pelil w reçoit d'un 
autre (o, par un noinlii'e (|nelcon(|ue de rellexions, il tant, comme ou 
en voit des e\i'm|)les dans le .Mémoire cité (Annales de Chimie et de 
l'hvsi'iiie. 1817, p. 270). traiispoi'ter à l'élément m,, (jui est le réflec- 
teur le [)lns procliain. la température 3 de l'élément coy dont on veut 
déterminer l'action, et (du'rchei' (]U(dle serait dans cette livpoliii'se 
l'action de oj,, ou la (jnantilé de clialeur (|ue co, enverrait ;i w si cette 
surface oj, avait nu pouvoir émissif total. 11 ne reste plus (]u'ii multi- 
|)lier cette valeur de 1! |»ar les fi actions i — a,, i — a^,, i — a,, i — a., y.,, 
(|ni répondent aux réilexions intermédiaires et au pouvoir émissif 
de C'j,. Ainsi reilel i\v^ réflexions, (pie! iju'en soit le nomltre. est <ie 
Iransporler à l'élénienl le plus prochain la température [i de co,, et de 
diminuer le (louvoir émissif a, de oj^, dans la raison de 1 au |irodnil 
des fractions 1 —a,, i — x^, .... Cette règle suffit pour établir, dans 
les cas les plus composés, le l'alcnl des ellels de la chaleur rayonnante 
directe ou réfléchie. 

V. 

il est nécessaire de ne point supposer (jm' les fractions a,, a_.. a,, ... 

sont indépendantes des angles ç,, ç;_,. ^, Des observations ju'é- 

cises et variées pourront un jour faire counaitre si le pouvoir d'émis- 
sion change avec l'incidence et suivant quelle loi. Ce qui est très 
remartpiahle, c'est qiu' la théoi'ie mathémati(jin' de l'équililire ile la 
chaleur es! enlii'remenl indépendante de ces recherches expérimen- 
tales. 

Lorsipu' re(iuilihre subsiste, c'esl-ii-dii'c lor<(|n"nn corps .M placé 
dans l'espace circonsciil a la même ti'mpéralure 3 que tous les points 
de l'enceinte. (dia(|ue élément fode la surface de .M envoie dans les dif- 



W8 REMVHQUES SI i; L\ TilKOlilK MVTilKMVTIOl H 

f'éi'ciiles directions des (|ii;inlités de clialour proporlioimcllcs ;iii\ sinus 
des angles lorrnés par ecs directions avec la surface co. O rayonne- 
inenl se compose, comme nous l'avons dit. de la. clialeur sortie de .M 
à travers w et de la chaleur réllécliie par (o. La loi serait encore la 
même si foule la chaleur envoyée sortait du corps .M. 

Si le corps apporté dans l'espace n'a point la température [^ de l'en- 
ceinte, la (lislril)ution delà chaleur rayonnante, ou émise ou réllécliie 
il la surface de M, [>eul sui\re une loi tri'S diU'érente. Ni les observa- 
tions ni la tiiéorie u'autoi'isent ii supposer (|iu', dans ce cas, la loi 
d'émission ii la superiicie de M est la même ()ue si la rétlexihilité de 
celte surface était nulle. Mais on peut allirmer(|ue, lors(]ue le corps .M 
aura ac(piis la t<'mperataie ciunmune, (|uel que soit d'ailleurs l'elal de 
sa sni'face. la loi du i-avonnement total sera celle qui aurait lieu si la 
réilexihiiité de cette surface était nulle. Pour déterminer par le calcul 
les (juanlitcs de chaleur (jui sortent de M ;i travers m pendant (|ue le 
corps M se relVoidit ou s'échautfe, on ne peut point supposer (jue la 
fraction (jui nu'stire le pouvoir d'émission est la même pour tous les 
angles. Ainsi l'expression dillérentiidic //ipat cos//, l'apportée dans le 
premier Mémoire de M. l'oisson ( Annales de C/iimic et de P/iysiqae. 
juillet iSa'i, p. 2')()), ne doil [)as élre iiitégréo comme si la valeur de/// 
était conslaiite. Les consé(|uences que l'on déduit de cette intégration, 
|)age ■l'y], ne sont certaines (|uc si l'on suppose la l'étlexihilité nulle, 
DU huiles les lempératures égales. Les remarques (jue nous avons 
faites dans l'article Mil du Hésiinié iheoiicpie (uit eu pour ohjel d'in- 
sister sur celte distinction entre la loi du rayonnement pendant la 
durée de l'élat varialde du corjis M et c(dle i|ui s'établit lors([u'il a 
reçu la tempérai iirc linale. (l'est piuir cela (pie, dans tons les écrits 
(|uc nous av(Uis publiés (bquiis iSoS concernani la clialeur rayon- 
nanle, nous n'avons jamais omis de ra|)|)orler la loi dont il s'agit au 
cas de ré(piilibre, et non ;i l'état variable (|ui le préci'de. Nous pensons 
que ce poini est pleiiienn'iit éclairci aujourd'hui, et ipie notre iquiiion 
est maintenant admise par railleur du .Mémoire cité. 



Di: LA ClIALEl 1! liAVON \ A ME. 



'.:î9 



VI. 

Les remarques précédentes. ;i|i[tli(|iiées au cas de réquilil)i'e. iiinii- 
trent dislinctemenl pour (|ticlle raison l'épialilé des températui'cs iic 
peul être troublée |iar le cliaiiii'enient de l'état <]('> surfaces. Kn ellel. 
lorsque la réflexihililé de la surlace de l'cud'inle était nulle et (|ue les 
points avaient nue nièuie teni|)ératu[-c. chaque élément m de cette 
surlace rei'i'vait d'un autre élément (|ueIcouque to, une (piantilé de 
clialeur K [ii'éi-isénient c;^ale ii celle (ju'il lui en\ov;ilt. en Sdi'te (pie 
rétpiililiie subsistait d'élément ;i élément. Si niaiiUenanl les snrfaees 
w,, (Oo. (o,. ... ac(pii('rent ii un l'crlain dei^ré la tai'iilléde rétlé(diii' les 
rayons incidents, la ([uantilé de chaleur R sortie de co sei'a divisi'c par 
sou incidence snrc'j,. lue por'tion de H sera absorbée parw,. et l'auli-e 
piu'tiim, étant l'élléchie, tombera sur (o^. I^llc s'v divisera de nouveau 
en deux parties, dont une seulement i»énètre fo-., et l'autre se (lirii;-e 
vers to, : ainsi la chaleur lî -oilie de (o comprend des portions dillé- 
reules don! la |uenii('re est absorliée par w,, la seconde jiar oj,, la 
troisième j)ar oj,, ainsi de snile. Or la chaleur sortie d'un élément 
quelconque co^, et (|ui [)ar voie de léllexions [tarvicnt à w où elle est 
absorbée, est exactement la même (|in' celle (jui, sortie de oj et airi- 
vanl après plusieurs réilexions ii la siii'face de oij, est absorbée par ce 
dernier élément. Donc l'équilibre de la (haleur subsiste encore d'élé- 
ment à élément. Chaque parlicnlo w de la surface de l'enceinte donne 
à une autre w, soit imniédialement, soit |iai' un nombre quelconcpie de 
rétlexions, une rpiantilé de sa chaleur pr(q»re exactement ei^ali' a celle 
que LOj lui c(jnimnni(]ue suivant les directions contraii'cs. (Test la con- 
dition univers(dle île ré(|uilil)rc de la chaleur rayonnante: elle ne 
dépend point de l'état <le la superficie. 



VII. 



J'ai iudiqiH', article \\ I dn IU'skuk- llirimijuc nu point de vue très 
sim[)le (jui fait connaître iinmédialenient et sans calcul les elb'ts pai- 



liO ItEMAUQUES SIH L\ TlIÉOrilE M AÏHÉM \T I (J I E 

(icis (les l'rflcxioiis siiccessivL's. \'oici la démonstralioii ijui' colle 
r('iiiar(|ii(' Iburnil : on se servifa de la iiiènu' coiistniction (A^''- J, 
p. 'l'H)) (Ml (lésii^riaiil par ///,, /?/-., ///,. /// . des surfacos intinimoiit petites. 

Si la i-éllcxihilitc de toutes les parties de renceinte est siijiposée 
nulle, el (|ue toutes les températures soient les nuMiies, le point 
{ //^'. > ) reeoil de ridéinenl ///,, dans les direetious telles que ///,(), 
une (|uantité de chaleur s exactement éiiale à celle (|ue ce point envoie 
dans les diicctions couti'aii'es telles que 0///,. ('.Iia(|ue ligiu' telle que 
///^//i-, faisant avec la surface w, le même angle o, (|ue la ligne corres- 
pondaute ///,(), l'idément ///, envoie, dans les directions alternes telles 
(|ue ni. ni,, une (juantité di' clialeur égale ;i :, el l'ceoil la même (|uan- 
lite z dans les directions n/.,ni, : m^ envoie aussi, dans les direclions 
contraires alternes /w_,///3, une (|uanlité de chaleur é(|nivalentc ii p, et 
reçoit de/;/, la même (|uantité p dans les directions contraires, il en 
est lie même «le tous les autres éléments. 

Si l'on change maintenant l'état de la seule surface oj,, en soi1e (|ue 
la (|uautifé z envoyée par ///, au point soit réduite à a, p. la chaleur p 
envoyée par/^^à //?, sei'a divisée ii son incidence sur/;/,, et en [)artie 
réllécliie vers If point (). I,a (juantité rélléchie dans cette direction n>,o 
sera ( i — a, )z. Ivlle s'ajoutei'a à la (dialeur émise a, p, en sorte (]ue le 
point () rccevia de ///,, comme auparavant, uiu' (piantité totale de cha- 
leur égale il p. 

Si, de plus, l'état de la surface w., vient à être changé, on voit, par 
ce qui préci'dc, ([uc la (juantité totale de chaleur envoyée jiar ///^ it ///, 
sera la im"'me (|ii'anparavaiit, c'est-ii-dii'e égale à p, j)arce (jnc la (ha- 
Icur envoyée jiar ///.j, cl dont une |)artie est réfléchie par ///_.. coini)ense 
«■(die que ///^ cc>se d'envoyer directenu'nl ii ///, : donc, rellel [U'oduit 
par nt^ élanl Ir même (jue si la surface (>-)_. n'avait pas été changée, 
rcll'el de ///, sur le point () sera euc(n-e, d'apri's ce (jui |)i-(''C('de, é(|uiva- 
lent il p. Imi général, si un deiaiier élément ///, conserve son ponsoir 
l'iiiissif total, et si les elémenls (jiii le pn'ccdent ///,. ///,, ///_,, //'. sont 
changés d'une manièi'c (jiieleomjue, l'action de ///, sur l'élément [)ré- 
cedeul ///, comidélera toujours la clialeui' «ine ///. envoie ii l'élément ///:j 



DE LA (.HA LE II: RAYONNANTE. 'lU 

qui le préci'dc. et il en sera de même de (ous les éléments antérieui's 
jus(ju'à /«,, en sorte ([ne ///, enverra en une ([nantité totale de elia- 
lenr é!.;ale ii c, comme elle l'était loi'sijue les surl'aces avaient un puu- 
voir émissij' eomplet. 

Dans cet état des surlaees intermédiaires, ehaeuii des éléments/;/,. 
111.^, ///:,. //i; concourt à foi-mer une somme de rayons de chaleur qui, 
étant sortie de ces éléments, ariàve en (), et (|ui est un peu moindi'c 
i]ue c. puisque c'est l'eiret, de ///j <\n\, ajouté ii cette somme, la eoni- 
pli'ti' et donne la valeur totale :. Il est très facile maintenant de se 
lormer une juste idée de la somme de ces rayons sortis des éléments 
intermédiaires w.. w,, m.,, w, >-ous de telles directions qu'ils arrivent 
au point 0. Cette somme diiri're de z d'une quantité précisément égale 
à la chaleur que rélémeiU r/ij, jouissant d'un pouvoir émissif total, 
peut envover par des réflexions successives au point 0. Plus le rani;' 
de ce dernier élément //ij est éloigné, moins la chaleur sortie de cet 
élément et soumise à toutes les réilexions intermédiaires conserve 
d'intensité en arrivant au point O. il suit de là que, si Ton considère un 
nombre immense de réilexions, la somme de toutes les quantités de 
chaleur envoyées par les éléments intermédiaires 7/?^, m,, w.. w, ne 
diliére de c que d'une quantité insensible. Pour que cette dili'érence 
fût appréciable, il faudrait supi)0ser qu'un rayon, après avoir subi un 
nombre immense de réflexions, conserve une valeur sensible, ce (jui 
paiait entièrement contraire à la nature des corps. On peut même en 
conidure qu'il suffit d'un nombre assez borné de ces réflexions pour 
(|ue la somme des rayons envoyés par les éléments intermédiaire> dif- 
fère peu de la valeur complète. 

Toutefois, si l'on voulait considérer le cas purement mathématique 
où le pouvoir d'absorption serait nul. il est certain que la somme 
des produits des réflexions successives n'équivaudrait pas au l'ayon 
total p. Mais on a vu que. même dans cette hypothèse, le théorème gé- 
néral que nous avons énoncé) I)nc sou lire aucune exception.! A it. X\ il 
du Résumé théorique, [>. ] i 7. ) 



II. 



56 



VV2 RKM ARQUES SUR LA THEORIE MATHEMATIQUE 



VIII. 



Si, (huis un espace (|iie termine une eiieeinle entretenue dans tons 
ses points à une température constante Ç, on apporte un corps M dont 
la leni|térature est aussi égale à o, clKuine élément co de la superficie 
de ce corps reçoit de l'enceinte, dans nue direction qui l'ait avec oj un 
aiii^le (piidconque o, une quantité de clialeur entièrement indépendante 
du lieu où le corps est placé, (^etle (|naiitilé ne dépend que de l'angle o ; 
elle est ((uijonrs proporlioniudle ii to sino, et elle est la même ([ue si le 
p(Uivoir émissil' de la sui'f'ace de l'enreinle était nul. Aucun changement 
de l'elal siipiM'liciel de l'enccinle ou du coi'|is M ne ti'ouhle cette dis- 
position, pourvu que les tcmpéralurcs soieul rouservées. 3Iais il ne 
s'ensuit pas que la disposition dont il s'agit snhsiste, si le corps ap- 
porle dans rcs[>ace circonscrit a nue température moindre on plus 
grande (|ueo. En faisant usage des princi|]cs(jne l'on vient de rappcder, 
il csl (lis facile; de distinguer les cas oii la situation du corps M peut 
on non iniUicr sur la quantité de chaleur (|n'il reçoit. 

1" Si l'on place un corps M, d'une tigure (]nelrou(|iie, et dont la lem- 
|ieratuie <'sl zéro, dans l'espace (|ue (ermine une surface concave en 
toutes ses parties, d(uit la rétlexihilile es! nulle, et dont tous les points 
ont la même température 6, l'action <le celle enceinte sur le corps M, 
(|uels (|ue puissent être la ligure de ce eiu'ps cl l'ctat de ses surfaces, 
sera indépendante du lieu on on le |daci' et de la l'orme de l'enceinte. 
Il s'échaull'era toujours ou se refroidira de la même manière. 

2" (',(da aura lieu encore si la surface du corps est convexe dans toutes 
ses parties, (|uelle <|ue puisse être la ligure de l'enceinte. 

Il n'eu sera pas de même si l'on ne satisfait pas ;i l'une des deux 
eiiiidilions r(dativt'S ;i la l'oriiu' coin-c.vc du coiqts, (Ui ;i la l'orme loriccuT 
de l'cnecinte. Dans ce cas, l'ell'et produit peut dépendre heaucoup de 
la silualiou du corps, (|uoi(|iie le pou\dir rayonnant de l'enccinle soit 
supposé total en (duKjue point. 

j" Si la réilexibilité des surfaces de l'enccinle n'est pas nulle, et. à 



DE r, V (.IIVLEir, lUVdWWTE. VV:î 

plus forte raison, si i-llc n'est pas la même dans fous les points, la po- 
sition (le M peut influer Leaucoup sur le progrès et le mode de rceliaul- 
fenient ou du refroidissement. Cela provient de ce que le corps ;\i. diint 
la température n'est pas la même (jue celle de l'enceinte, inteivepte 
une partie des rayons refléidiis. Cette r<dation entre li' lieu du c(U'ps 
fioid inter(U)sé et l'effet d'une enceinte (jui rétléchit la chaleur n'a rien 
lie paradoxal; elle est une cousé(|iience assez évidente de la théorie : 
c'est la proposition eontraire qui sei'ait nu paradoxe. 



IX. 



Si Ton réunit aux [)ropositions rap])ortées dans les articles III. I\ 
et VU du [uésenl ^Mémoire la remar(|ue (|ui est l'objet de l'article Wll 
ilii Résumé théorique, on connaîtra claiiement en quoi consiste l'ellet 
des réflexions mulliplcs. Nous ne rappellerons point ici les consé- 
(|uences que nous avons démontrée.^; nous ajouterons seulemenl. au 
sujet de la dernière reuiar(HU'. (|ne la démonstration rapportée dans 
l'article XVI du Résumé est nécessaire pour expliquer la conservation 
de ré(|uilil)re lorsqu'il survient un changement dans l'état des sur- 
faces. Il ne suffirait pas de [trouver que la somme des quantités de 
chaleur ([ui sortent des éléments w,. w.. w,. ... à l'infini, et (|ui par- 
viennent aprJ's diverses réflexionsau [loint O. équivaut au rayon total /■. 
1-Ji ell'et. les distances dc^ éléments w,. oj., oj,, ... qui s'envoient la 
chaleur pouvant être extrémenienl grandes, on trouverait ([n'en sup- 
posant l'é(|uilihre dejii forme dans une enceinte entretenue ii une tem- 
pérature uniforme, et dont la reflexiliilité est nulle, cette égalité (les 
températures serait d'abord interrompue si l'état superficiel de l'en- 
ceinte était subitement changé, et si l'on n'avait égard qu'il la chaleur 
propre ipii continue d'être émise. 11 s'écoulerait un temps considé- 
rable avant c|ue l'équilibre pût être rétabli sensiblement par les seuls 
rayons (|ui continuent de sortir des cléments cj,, co„, oj^. ... a I infini. 

La distribution de la chaleur serait d'abord troublée. Or, il est eer- 
hùn qu'aucun changement de l'étal des surfaces ne peut produire un 



■ViV r.EMM!OLi:s sur, \a TiiÉonn: mathematiqie 

li'l cll'cl. Oiicl ([iiL- soil le lioiivfl rtiit (li> reiiet'iiid', l"(''(niiril)re ne 
suhil aiiriiiic ;ii(('ralii)n, iiiôiiic inoiiiciitanée, comme le pi'ouvc notre 
|ireinière (lénionslratioii. Doue, pour exj)li(|uei' enliiTemeiit la coiisoi- 
valion (le ré.nalité des t<Mn|H'ra(u!'e.s apri's iiii changement (|uelcon(|ne 
(le l'état lies siu'laces, il ne siiftirait pas de lairc eulicr ilans le calcni 
les (inantites de (dialeur (|ni s(tr|ent des éléments ajirés leur cliani;o- 
ment d'état : il est indispensalde de tenii' ciimiUe de la c'ialeur di'jà 
émise, sortie des éléments avant (|in' leur état IVil idiani^é. Notre 
démonstration comprend imjdieilement l'un et l'antre ellet; elle a 
toute l'etendne de la ([uestion ;i laipndle nous l'avons appli(|née. 

Lorsqu'on examine très attentivement cette (|ueslion. on voit ([ue la 
proposition principale est celle (|ui expi'imi' (|n"un cliangement (pnd- 
conque île la superficie de l'enceinte ne cause ain'une iuteirn|ilioii, 
même momentanée, dans l'éi^alité des températures; car il est très 
facile d'en conclure ([ue le produit des réilexions multi[iliees ;i l'intini 
éi|nivaut au l'avou total : il sulfit de considérer que, d'après la nature 
connue des corps, la clialcur émise ré[)anilue dans l'espace dis[)arait 
t;raduellement par l'efTet (les réflexions successives. Mais de cela son! 
([10- la somme des produits des réflexions en nonihre iiiiini équivaut 
au ravoii total, on ne pourrait point cnnclure que l'égalité des tempé- 
ratures n'est pas interrompue par le changement d'état de la surface. 



X. 



J'ai remai'qné. dans nu Mémoire pi'écédent, qu'on m' peut adnu'llre 
la conslrm'lioii dont M. Poisson s'est sei'vi en calculant l'elfet des ré- 
flexions multiples. Les élénnuils d'une surface courhe peuvent sans 
doute être l'cgardés comme des surfaces planes iniinimeni peiiles, et 
j'ai souvent l'ail usage de cette con>idei'ation dans l'examen des elfels 
de la chaleur directe ou réfléchie; mais il est nécessaire d'avoir égard 
à rinclinaison mutuelle des plans, l.a construction (huit il s'ai;it m' 
repi'ésenle donc point, dans les surfaces courhes. le mouveuM'ul de la 
chaleur l'i'iléidiie. Je ne [mis m'euqtécher de regardei' cette contdnsion 



l)i: LA (.lULKlI! r.AYONNAME. W.\ 

coiiime c'viilonto. cl les r\|>lic;ili()iis (lomiéps par raiiteiir ne irsulvi'iit 
poi[it la ditlicultc. Il sutlira de cilcr rexcnipli! suivant : supimsoiis ijnc 
II' {)()int () soit placé an ccnlrc (riiii (•(■rclc i /'g- 1 ) dont la cii-conrriTnfi' 
est eiitrclrnui' dans Ions ses [xiiiilsii la ni(''ine loinpôi'atnre, et (pic l'on 
veuille eonnaili'e la ipiaiilile de elialeur (pie ce |»oint () reeoil (Kiin (d(''- 
nieiil y.y.. soitdirccteinenl, soil par une siiile indéfinie de r(d1exioiis: 
il esl nianifesle (pu' loule la ehaleni' ainsi envoy(''e an [loint () provieni 
de rek'nieiil y.y. el de i"el(''iuenl y.' y.' dianiéli'aleniont oppose''. Or, sni- 
van! la eonslrin-lion (pii a éle l'objel de noha^ reniarepu', il f'aiidi-ail 
d(''siLiner ;i re\t(''rieni- di' reneeiiile nu p(dnt 0' aussi (•loiisné de la 

Fi;;. I. 




li^ne y.y. (|ue r(^st le point 0, et mener pai' ()' deux droites O'a, ()'a jus- 
qu'il la lencouire de la rireonférenee aux points [î, [5. On manpierait 
ensuite un second point extérieur O" aussi di>(aiit de la lii;ue [5)3 ipu- le 
p(nnt 0', puis on uiènerait. par le point O" et |iai' les jtoiuts jj, 3. deux 
di'oiles ius(|irà la renconlre de la cireoulërenee aux points--, '■, ainsi de 
suite ;i l'intini. On conclurait doue «pie la chaleur envov(''e par des ré- 
tlexions sneccssives, et (jui passe de Tare aa au point O, pi'ovieul des 
pai'lies de l'euceinte ^i3, yV- '^^^ •••• '*i' 'I ''^t manifeste ([ue les arcs 
a' a', y.y S(Uit les seules parties de l'enceinte ([ui communi(pn^ut cette 
chaleur réih'chie par y.y, on, ce (jui esl la nu'iue chose, (pii la rece- 
vraient si elle parlait du point O. Doue la construction com[)rend des 

arcs de pins en pins grands '^'^i, 77, 00 dont la plus grande partie 

n'appartient point à la (pu'slion. On ne rt'sout [toint cette dirticultt,'' en 
disant (jue la tempi^-ratui'c du [khuI est suf'lisaninieut détermini'e pai' 



Vi() r.EMAUQIJES sur, LV THEORIE MATHEMATIQUE 

les nivoiis qui passent à une (lislaïu-c intiniinont pelilc de <'c point. >•{ 
(jn'il n'est pas nécessaire que ces layons rrflrchi^ passent niatliéniati- 
quenicnt |iar le point 0. Sans nous arirlrr aux autres eonsé(jnenees de 
cette explication, nous dirons ijnc les rayons envoyés ])ar les arcs [iji, 

Yy. 00 selon les direclious ([ue la construction détermine, s'é- 

cartcnl de |ilus en plus du point (), et ne restent p.oint, comme on le 
snpjiosc, il des dislances infiniinent petites. Tes arcs aa, [iji, ^7. ••■ 
cioissenl comme les nombres i, 3, "i, .... et le pouvoir d'émission 
|>ouvanl être fort diiierent pour les dillérentes parties de l'enceinte, 
ou \oii (|ue l'cU'et liénéral exj)rimé par cette construction ditl'i're extrê- 
mement de C(dui »|ue l'on trouvei'ait eu suivant un |iroi'édé exact. Il 
est luanifeste que la réllexil)ilité plus ou moins parfaite des parties de 
l'eiuciule dillëreutes de aa, a a n'influe aucunement sur la (juantité 
de elialeur (|ui est rétléchie |)ar aa an point 0. 

Dans le deinier ^lémoire publié jtar le même auteur ( Aniutlcs de 
Clnmic et de P/iysiqiie. janvier 182") ), ou emploie ( [). .'\S ) une construe- 
tiim diirérenle de celle ijui est le sujet «le cet Article. On attribue la 
iorme cvlindriijne au rayon (|ni, lornbarit sur ///,, est successivement 

réiléclii \),w m,, /i/.,,r/i à l'infini | //i,-. M' )]. Désignant para. fi. y. 

0. . . . les éléments de la partie de l'enceinte que ce tilet intercepte, et 
pai- /, /'. /", .. . les angles que les noi'males //>,//,, iiir.n ., "i.t/'.i- ■ ■ ■ fout 
avec les droites /;/, (J , /n^/n,, >n, //!_., .... l'auteur douiu- les é(|uations 
a eos/ = [i cos/' = Y cos;", ... pour déterminer les rapports des élé- 
nn'iits [i. Y, . . . avec le premier a. Nous dirons, à ce sujet, (|ue ces 

é(|uatious n'existent pas, et (|ue les rapports^, ^> •••> c'est-;i-dire les 
dei'uii'res raisons des éléments de l'enceinte interceptés |)ar les rayons 
réllécliis, ne sout point en général les rapports inverses des cosinus. 

Quoique les parties intininnuil petites des surfaces couibes puissent 
être regardées comme planes, il ne s'ensuit nulbunent ijue les mouve- 
uieiits de la chaleur ou di' la lumi('i-e réllécliie puissent éli'c ainsi 
représentés. I,e layon rellechi ne <'(mserve la forme cylin(lri(]ue (jue 

1 ') Voir page 4oi) de ce Volume. 



DE LA r.FlALELi; ItWONNANTE. 417 

«lans un cas très pailiculior. f.cs nqtpoits des éléments de l'enceinte 
où ces l'étlexions s'opèrent, rt ([uc le tilet eireonserit, dépendent de la 
nature des surfaces; c'est une consét|uence nécessaire des principes 
de l'Analyse diirérentielic. 

XI. 

On voit, j)ar tmis les rcsullals de la discussion précédente, ([u'clle 
ne porte point sur la vérité des |ii'iiicijM's et des propositions qui 
l'oruient noli'c théorie de la chaleur l'ayonuante. Aucun géomètre ii"a 
ctuitesle la vérité de ces propositions. Seuicmen! le celèhre auteur îles 
Mémoires au\([uels nous avons icp(Uidu l'eiiarde comme non applicable 
il tous les cas la démonstration ([ue muis avons dounée d'un de ees 
théoi'èmes : savoirque, le jxiuvoir d'euiellic la chaleur sous une direc- 
tion déterminée étant éi;al au p(tuvoir de ralis(jilier si>us la méiue 
direction, il s'ensuit (|ue la disliihnlion de la chaleur ravoiinante dans 
uiu' enceinte lérinée ([ui ciuiserve une temjH'rature unilbi'mi' ne pour- 
rait être ti'ouhlee par des chaui;emenls (|Uelcou(pn's de l'état des 
surfaces de l'enceinte. L'auleur {A/uki/cs de Chunic et de P/nsùjar. 
juillet i82'|. p. 32") et suiv.) l'ecoiiuaif (\ne ré(|uilil)re des tempéra- 
tures a lieu, eu elfet, (|ue||e (pie S(ut la nature des sui'l'accs. 11 juge 
cette propositiiui vraie et importante ( p. 2)4): mais il en présente 
uiu- autri' dcmonstiatinu fondée sur le cali-nl de leiret total des ré- 
tlexiiins multipliées ;i l'intini. Apii's avoir i'euiar(|ué »|ue j'ai [)rouV('' la 
di^ti'ihntiiin houingéue de la ehaleur jiour le cas 011 la faculté ravon- 
naiite est la ménu' dans toute l'étendue de l'enceinte, il ajoute seule- 
ment : Mais je // di pas nnnniissdiiee (fue l on ai/ ji/st/t/ ici démontre lu 
même proposition, en dviint éL:;iird à lei Jois à lu ehaleur émise et a la 
chaleur réjleelne. Le sens de ces expressions est ([ue l'auteur connais- 
sait dtqmis tri's louLitemps la proposition généi'ale dont il s'agit, et la 
démoiistraliou (|ue j'en avais donnée; qu'il avait admis cette démon- 
straliou, mais (|u'aujonrd'luii il ni' la croit plus suftisantc ( Annales de 
Chimie et de l'hvsiipie. janvier iiSy.'), p. \\ ). Je ne [louvais doue me dis- 
penser d(.' rap[ie|er, dans ma réponse au Mémoire cité, ([ue j'avais le 



ils REMAKOIKS Sll! IATIIÉOUIî: M AT II h:M VTIQ LÎ K 

|)r('niici' (''iioïK'é cl prouvé ce tlit-oriMne clans pliisinu's Ouvrages rendus 
jKililii's depuis I (Si 1 . .Vprl's les éelaii'eissenieuls (|ue reulerine le j)i'é- 
sent éerit, je ne doute poini que l'auleui' du .Aiénioii'e ne reconnaisse 
rexaelilude l'igoiireuse de la preiniiu'e d(Mnonsti'ali(Ui. On ne [leut |ioint 
soutenir une objection (pii <'onsisle ii supposer (|ue le cliangenient 
survenu dans l'élal d'une, surface diminue la chaleur (pi'elle avait en- 
voyée avant (rèlre changée. 

I.a discussion (jui s'est établie dans c'e Keeueil au sujet île la (dia- 
leur rayonnante aura éli' utile ii eetle nouvidle llié(u'ie, en donnant 
lieu d'ex|)Oser avec plus de détail (|u"on ne l'avait l'ail jusi|u'ici les prin- 
cipes et leurs conséqin'uces inipoi'tanles. (iette théorie est en elle- 
niénie beauc<ui|i plus simple que c(dle du nnuivenn'nt de la chaleur 
dans les solides, et ne snp|iose que les notions communes du Calcul 
intégral ; mais l'examen des principi^s demande inie l'xti'éme attentitni. 
Fn publiant proidiainement, sous le titre de Tliroric ///irsif/iic de Ui 
cIkiIcui-, les applications princi|)ales de la Tlivoric aindylitjuc. 'y jiré- 
senterai de nouveau les pro[Misiti(Mis ridatives ;i la chaleiii' rayonnante, 
en ine restreiguaul toutefois enli'e de justes bornes; car un<^ explica- 
tion trop étendue peiil devenir |dus (discui'e (jii'une (hunonsiralion 
tr'J's précise, .l'ai com|nis dans ce second Ouvrage, outre la théorie de 
la chaleur rayonnante et diverses ap|tlications, la question générale 
des tenqn'ralni'es lerrestres, et la denionstralion des équations dillé- 
rentielles du mouvement de la chaleur dans les li(jui!les. 

Pour faciliter la lecture du présent .Mémoire, je b- termine comme le 
précèdent par une indication sommaire de l'objet de chai|ue article. 

I. ()rii;ini' ri olijcl ilc la discussion. 

H. Exaiiiciidc la (léiiioiislralioii li'iiii lliéorèinc principal. On concliil l'iiiiiii- 
icilsciiiciil ilii si'iil piiiicipc (li> l'ôiialité irahsor|ilioii cl du pouvoir d'i'niissioii 
(lu'auciin cliaii^ciNcnl de l'clal des surlaccs (ruiic ciiccinle ou l'ripiililiie des 
IciiipiTalin rs s'csl rorini' ne pciil lidiihlri- rcl ('(piililirc. I.'dhicclioii ipn a\ait 
(ic pii>|Mis(''e coiilrc celle di'inonslralion csl dciiiicc de rondeuicnl . 

III. Lciniiic (loiil on dédiiil l'cxiircssion LK'ncralc ilc la (pianlili' de clialciir 
iprniie siniace iiilininienl pel ile envoie à une aulic, sdil ilircclenieni, soil par 
un nniulne (|uidc(inipie de icdlexions. 



I)K LV C.lfALKCIi I! VYONN WTK. 



\V.) 



IV. Celle expression sullil |miui- léiliiiie à une (|iieslioii ilc cmIcuI loule 
reclierrhe (iiii a pour ol)jel de (lélerniiiier les <'ll'ets de la clialeiir diiecle ou 
rétlécliie. 

\. La loi du rayonrieiiM'i]!, ipii ron>i>l(' en ce (jin' les i|nanlilé> lolales de 
chaleur envoyées soni (U'opoilionnelles aux sinus de> inclinaisons. i|ncl i|Ue 
soit l'élal des suiTaees, se l'appoile an cas de ré(|uilil)re. 

^ I. Loisque louli'> les lein]iéralnres soiil égales, réqnilihie sldl^i-Il■ d'ide- 
inenl à élénienl, quid que soil l'élal des surfaces; c'est-à-dire que <-liai|ne 
éjéun'ul reçoit d'un auli'e, soil direcleiin'nl, soit par une ou plusieurs ré- 
llexion-. aiilanl de (dialenr ipi'il lui en connnninque. 

\'H. On prouve d'inie manière liés simple qu'un (''li''ineni reçoit, dans uni- 
direcliou donnée, des quanlités partielles de chaleur, riu directes ou iéll(''- 
chies, dont la somme ap|)roche de plus en |)lus el indéfininienl d'èlre égale à 
celle (]u'il iece\rail si le pouvoir d'émission (''lait lolal. 

\ III. Examendes cas oii le proi;rès de réciiaulienienl ou du rel'roidis>e- 
nient d'un coips dépend du lieu ([u'il occupe dans l'enceinle uniformément 
échaullee. 

I\. La proposiliiMi énoncée dans l'arlicle \'II ne snilirail poini poin dé- 
montrer (pie le changement d'état des >urfa<'e> ne Ironhie poinI l'éqniUhre. 
On concinrail que cet é(piilihre est iulerronqni, el ne se réiahlil c|ue par de- 
grés, si r<in n'avait |ioinl égaid à la cli.deiu' émise, sortie des éh-nu'iil- de la 
surface avant leui' changrmeul di''lal. 

\. Itemaïques sur le uiouxcnienl de la ihaieiU' dans une enceinte concave. 
Exenq)le tiré du cercle. 

XL Conclusion. 



II. 



HKCHKKCHES EXPÉUniKNTM.KS 



> l K I. A 



FACI LTK COMIICTHICK IIKS COUPS MINCIES 



SOl'MIS A l'ACTUtX DH LA CllAI.Krii 



DKSCHIPTION D'( \ NOrVEAU THI-UMO.AIKTRI- Dl- COMACT 



RECHERCHES EXPÉniMEXTALES 



Sl'R I. \ 



FACULTÉ COMIICTUICE DES CORPS MINCES 



socMis A L ai;t1(in df. i..\ ciiAi.F.rr, 



DESCRIPTION D'UN NOUVEAU THERMOMÈTRE DE CONTACT. 



AiuKile'i de CIninie cl de Pliys-ique, Tome XXXVII, [). ii)i : i8>8. 



La Note que je présenle à l'Académie (') a pour olijet de rapporter 
quelques résultats d'expériences récemment faites avec un nouveau 
thermomètre de contact, (^et instrument indi(|ue la facilité plus ou 
moins grande avec laquelle la chaleur traverse des feuilles on lames 
minces de dillerentes matii'res; il sert ainsi à ranger par ordre de con- 
ducibilité les enveloppes (pii s'opposent ii la libre transmission de la 
chaleur. 

Si des corps de ditTérentes natures demeurent pendant un très long 
temps dans un même lieu, et si la température de l'enceinfr ipii lir- 
mine cet espace a acijuis et conserve une valeur constante, tous ces 
corps prendront la température fixe et commune de l'enceinte. Un 
thermomètre appliqué sur les surfaces les plus diverses, par exemple 
sur des plaques métalli([ues, des tissus de laine, de coton, de lin, sur 
le feutre ou d'autres matières, marquera toujours le même degi'é; mais 
si l'on vient à toucher ces substances, la main ressentira des imprcs- 

(') Institut de Franco, séimce du 17 mars i.Sj.S. 



451 RECHERCHES EXPÉRIMENTALES 

sioiis raloriiiijiu's tirs différentes : certaines surfaces, comme celles 
(les nsétaux (ui du maihre, paraîtront au contact heauconp plus froides 
(juc (Fanlrcs. (|iioi(|u'clk's aient toutes une même température. 

La raison i)iivsi(juc de ce fait est généralement connue. Il est évi- 
<l(mt (|U(' la main dv l'oliservateur étant plus écliaullée que les surfaces 
mises en contact laisse échapper promptement une partie de sa iha- 
leur propre, ([ui se communique aux masses environnantes. Or les 
diverses matii'res jouissent très inégalement de la faculté de recevoir 
et de transmettrez la chaleur (|u"clles contenaient : c'est cette faculté 
conductrice (jue je me suis proposé d'ohserver el île mesurer. Le seul 
usai^e de nos sens suffit pour distini;uer ces qualités spécifiques; mais 
l'art peut les rendre heaucoup plus sensibles, et, ce qui est inq>ortant. 
il nous en donne la mesure exacte. 

Kn observant la durée du refroidissement des liquides dans des 
vases revêtus des différentes enveloppes, (|U(d(|ues [)hYsiciens, et prin- 
cipalement M. Leslie. d'Edimltourg, et le comte de Uumford, avaient 
fait remarquer' rintluence de l'état de la surface sur le rayonnement et 
sur la déperdition de la chaleur. La théorie malhémati(|ue ollVe divers 
autres moyens de mesurer la perméabilité des coips. 11 suffit, comme 
ji' l'ai dcmonti'é, d'observer avec beaucoup de précision le mouvement 
variable de la chaleur dans des vases (jui diOèrent par la matière et 
l'épaisseur, ou de déterminer l'état invai'iable (|ui se forme après un 
(;ertain temps. (Je genre d'observations fournira un jour des Tables pré- 
cieuses pour indicjuer les propriétés calorili([u<'s de tous les corps. 
L'usage du n(Uiveau thermomi'tre de contact a un but plus restreint. 
Il doit précéder et faciliter ces recherches théoriques en donnant la 
connaissance approidu^e d'un très grand nombre de résultats. C.el in- 
strument peut ifcevoir deux formes dill'érentes. Je viens d'éprouver 
riine et l'antre, et il m'a paru utile de publier (|U(d(|ues-unes de ces 
obsi'rvalions. 

J'avais d'abord fait construire, il y a (jueiques années, l'instrument 
extrêmement simple que je vais décrire. Il consiste en un vase coni(|ue 
de fer très mince, rempli de meicure, et terminé, ii sa I)ase circulaire 



SUR LA FACi LTK (;()M)[j(rnu(:i-: des cor.ns mincks. v.» 

intérieure, par une peau d'une épaisseur médiocre. In llierniomi'ti'e 
dont la houle est plongée dans le mercure indi(jui' it chaque inslanl la 
température de la masse li(|ui(l('; la//;'', i montre les diliérentes juir- 

Vig. I. 




lies de rin>ti'unient: AA est le vase coni(|ue rempli de meirnre; /)/>/j la 
siiri'ace tlexihle qui retient le licpiide: cr le thermomèti'e intérieur, qui 



km RECHERCHES EXPERIMENTALES 

ploiij^c dans le niérciiri'; D le support inaintenu h une tenipéraluiT 
tixe, por exemple celle de la chambre où Ton opère. On échauire 
d'aliord, et sépaiénient, le vase conique A jusqu'il une température 
déterminée, celle de /|0"; ensuite, ayant mis sur le support la pla(|ue 
mince <ui la léuille dont on veut mesurer la conducihilité, on pose au- 
dessus de celte placjue le vase conique de mercure; puis on observe 
av<'c soin le refroidissement progressif, en mar(|uant les temps écoulés 
l't les températures correspondantes. 

La loi du refroidissement est donnée par une équation dilTérentielle; 
l'expression finie de cette loi renferme la température tixe du support, 
celle de l'ail' environnant et une exponentielle (jui dépend de la faculté 
i-i.iiducirice des matières que la chaleui' traverse. On peut donc dé- 
dnii'c la mesure de cette faculté de celle des températures observées 
|)our dillérentes valeurs du temps. On obtient comme il suit l'expies- 
sion du mouvement de la chaleur. Nous désignons par H la (|uantité 
de chaliMir (]ui, pendant l'unité du temps, passerait de la surface du 
vase (•(Mii(iue dans l'air si, l'étendue de cette surface étant i, la dill'é- 
rence de la température de l'air à la température fixe de la surface 
était 1 . Ainsi, a étant la température actuelle du vase conique échauffé, 
.V l'étendue de la surface, et (// l'élément du temps écoulé, on aura 
H(.va — ///)(■// pour la quantité de chaleui' qui, [)cn(lant l'instant (//, 
passe de la surface du vase dans l'air, dont //i repi-ésente la tempéra- 
ture tixe. On mesure les quantités de chaleur en exprimant combien de 
fois elles contiennent une certaine quantité prise pour unité; H lepré- 
seiile un certain nombre de ces unités. 

On désigne par /; la (|uantité de chaleur (jui, pendant l'unité de 
temps, traverserait l'unité de surface et passerait de la masse conique 
ecliaulfée A dans le support D si la dillerence entre la température de A 
et celle du sn|iport était i (loo degrés centigi'ades). Ainsi /ih(y. ~ //)(// 
est la (iiianlilc de chaleur (|ui |»asse du vase dans le support, dont la 
température fixe est représentée pai' /^ /> étant l'élendue de la surface 
en contact avec le support; donc iLs(a - m) dt + hl){7. — n)(ll ex- 
prime la chaleui' (|ue le vase peid peudani rinslant (l(. Si maintenani 



SI U LV rVCLLTÉ Co M) l CTlî I C K l>ES COIU'S MINCES. W7 

on représente par r la clialeiir (|iii, étant ajoutée à celle (|tii contieiil la 
masse A, supposée à la tern[)érature o, j)orterait eetle niasse de la tem- 
pérature o à la température i, on aura l'équation ditiërentielle 



(") 



dy.^ [H.vi> — m)dl - hb\ y. ii) f/t]. 



pour l'xpiimer le nnoivement varialile de la chaleur. On intègre (acilt 
ment celte c(|ua(ioM en écrivant 



(0 



P ()< 



rar. en >nlislitiianl cctif \alcnr de y. ilans re(|iiation ( i ), on vérilii 
re(|nali(ni, et l'on a seulement la c{indition 



l> 






Désignons maintenant pai' a„, a.,, y.^,, ti'ois températures conséenlives. 
(|ue l'un oliserve respectivement à la tin de trois intervalles du temps 
dont I iiacun est égal ;i 0, et désignons parc le coefticient exponentiel 



AA- H.v 



(|ne I on regarde eomine inconnu : on eu conciui'a la valeur de z ilcdui te 
des tiois tein|teratures observées; car on a 

y... ^ P ~ o. 

y..<,= P - Qe--'/': 

y..,- y.,, = Q(i — t'-r-'M, 
yj,~ y.,,,:^Qe-'/>(i t'-P'M 



dont 



et 



ou 



,-?'J: 



y■.^ — X'I 

y.i, — a.,>, 



= 7 [l(i£;(3Co— X',) — los(y.',— y-,'))]- 



jS 



\m RECHERCHES i: \ i • e h i m e n ta les 

Il ^Ciisiiil que lOii conniiili'a la valciii' de p ou 

/^ Hs 

par la iri;lc suivaiilf : il l'aiit (ihsoi'vcr les trois températures a„. y.i,, 
y..y,. prendre les l(»i;aritlinies liypei'holiqiies de a„ — ai, et y.o — a^^, et 
diviser la diUérniec di' ces Idj^arithnies par l"iiit('r\alle 0. 

r.iirs(jiii', ajiri's avoir rpioiivé une ecrtame niatiè-re intci'posée, à la- 
i|iicllr (•(uiviciil le eocl'tirii'nl //. on é|)rouvei'a, avec le inènic instru- 
iiicnl. une matière dilîerente, à la(|urlle lépoiid un autre eoetlieicnt /i , 
et (|ue l'on veut eom|>arcr ;i la premii're. on détermine par la rl'jile (]ui 
vient d'être énoncée, et en employant seulement les loi^aritlimes taliu- 
laires, des (|uanl ites ])ro|)oi'tionn(dles aux coefficients inconnus 

A A H.v 



Les (juautifés II, .s, /;, r sont communes, (>l les deux résultais ne dilFé- 
rerout (|ue par les coertîcients // tM //. Doue, si l'on ('prouve smccssive- 
ment plusieurs niatiiu'cs diU'érentes (]uc l'on veut comparer sous le l'ap- 
port de la c(»ndueil)ilité. cl si, au moven de la rèiçle |)récédente, on cal- 
cule les noiuhres l'espectil's (pie t'ournissent les cdiservations données 
par un même instrument, on connaîtra, non les valeurs absolues des 

coeriieients //, // , /i", h mais des nomlires siiecessil's dont, les 

accroissements sont proportionmds aux accroissements des valeurs//, 

/' . /'", /' Ainsi les diflerentcs matii'res seraient raiiiiées, [lar ce 

.procédé, s(d(Hi r(U'(lrc des ((mdiicihilités (pii leur sont propres, ce qui 
est l'oiiiet direct de la recherche, et, si les matii'res (|ue l'on coiupare ont 
des coiidncihilili's croissantes par dci^rés ei^aux, les nombres (humés 
par r(diservalioii croîtront aussi par dci^rés éiiaux. Il suftira donc de 
(dioisir, dans un tri's i^rand nombre d"(d)servatioiis, les résultats (''(|ui- 
distants p(Uir élre assuré (|ue les conducibilités des matii'res aux- 
(|uell('s ces mmibres ri'poudent croissent aussi sc'hm la même loi. Il 
l'aul r('iiiar(|iier (|ue le coerticieni // n'exprime pas la (pianlitc de cha- 
leur (|iie traverse la pla(|iie mince on eineloppc interposée : il com- 



SLll LA l-AClLTi: CO M» l (. l' lî 1 Ci: ItKS COllI's Ail\(:i:S. 'i.i!) 

[ii't'iul aussi la (|uantilt'* de rhalnir (|ui tiaviMsc la siirtari' llcxiMc 
placer aii-dt'ssous du mcrfuic du vase i(iui(|ur. C.clLc addiliun d'une 
quantité à toutes li's valeurs (|ue Tiui veut <'()ni[)arer ne eliauii'e rieu 
aux consi'Mjuenees que l'on \ienl d'énoncer. Ainsi les acci'oisscnieul- 
ile-; noud)res donnés par la ri'^le loi;arilliiui([ue seront constauinient 
pro|K)i'tionu(ds aux accroissements des coel'ticieuts chei-cliés. 

(bousillerons inainleuaiit le cas nii la teuq)éi'alni'e liu su|)|)ort serait 
la même (|in' la lem|)ei-alure de l'air, ce (jui rendrait les procèdes plus 
simples ci eu faciliterait l'application. Si. dans la valeur |n'écedeule 
de P, on l'ait /// = //. ou trouve P=///. Il est évident que, dans ce ras. 
la (em[)ératnre tiiuile du vase doit être celle île l'air. Il faut donc cpTen 
supposant / infini dans requalioii { ■>. \ ou trouve a^=w. lin elfet. 
cela aura lien si P = ///. La lemperalure variable y. est donc /«— (V-"'''. 
Ainsi, en oliservaul deux températures successives, ou ]ioui'i'a déter- 
miner le coefticient exuouenliel : : on aura 



X^z 



/» — ( ) 



l'i 



y.,,-m^iy-?'>; 



nu'tdiut poui' O -;a valeur a„ />/. 



3C(J =: m — { 3C„ — III } ''"!" ' 



tloili- 



x<i — m = ( a,, — /// ) c-'/' : 



p = r [ '"? ' ^x — '" I — loi; ( XI, — »t ' 



Il suftit dom; d'(d)servcr a„, y.<, et de diviser par l'intervalle la dillé- 
renee des loiiaritliuies tahulaiies de a„ — />/ et y.i, — m: le quolienl e-^t 
oroiKU'lionuel à la valeur de :, (lui est 



H> 



h h 



Au reste, l'usa^^e du tliermomi'Ire de contact cpie j'ai décrit est sujet 
il des variations inevilaliles. ijui élaidiraient sans doute des diiiei'em-es 
sensihlcs entre la théorie et l'cdiscrvaliiHi. Le support ne conserve pas 
une lemperature eutit'i'eiuent ti\e; la masse contenue dans le vase qui 
se refroidit n'est pas exactement dans l'elat (|Uc la théorie considère. 



ml 

es 



460 RECHEUCIIES EXPÉRIMENTALES 

(les causes cl (raiilics (iii'il serait superflu de reuiar(|uer me paraisseni 
devoir appoi'ler. dans les lésultats. des différeuces qui écliapperaient 
aux i)l)seivali()iis les plus attentives. Toutelbis, les valeurs ap[)r<>iliées 
(|ui résulteraient de l'usaine de cet instrument suffiraient pour langer 
les dillereules euv(do|)j>es ou [)laques minces (jue l'on se propose ( 
eoiuparer, selon l'ordre des conducibilites, ce qui est le but prinei| 
di> ces recherches. On a surtout en vue la facilité et la multiplicité d 
observations. On j)ren(lni pour la première température y.„~~ni uni' 
valeur commune, '(O degrés centésimaux, et pour une durée fixe, 
dix minutes; on (d)servera la fem])éralure ao — m (jue le therinomi'tre 
mar(|ue après dix minutes écoulées. Ces valeurs de «o — m, (|ui varie- 
ront suivant la nature des matières (|ue la chaleui' ti'aveise, feront con- 
naître ilireetemeut , et sans calcul, l'ordre des conducibilites spéci- 
tii|m's. 

1! l'st évident (jue l'épaisseur de la plaque interposée inlliie sur les 
températures (|ue l'on observe, et l'on pourrait tenir comjitc de cet 
épaisseur, en suivant les principes (|U(! j'ai expli([ués dans l'Introduc- 
tion à la Thconc dv ht cluileiir; mais on ne considiu'c ici (pi'un cU'et 
total et complexe, savoir la (|uantité de chaleur (|ui, ti'avcrsaut les 
surfaces intermédiaires, passe du mercuie dans le support. 

Si l'on remplace la feuille ou envidoppe (|ue l'on a d'abord éprouvée 
par un cor[»s mince dune autre matière, et si l'on mesure de nouveau 
rabaissenn-iil de température (|ui correspond ii un temps donné, on 
liduve que cet abaissement varie d'une maniJ're Iri's sensible, qu(d(|ue 
petite (|ue soit la difï'érence des deux enveloppes. Par exemple, il suffit 
d'ajouter il une premii're plaque mince une simple feuille du papier le 
pins lin pour t\\\i,' l'on trouve une dillerence sensible dans l'abaisse- 
ment de la température. La |dus léi>ère différence dans la (pialite du 
corps milice iuter|)osé se manifeste par le chaui^ement (|ui survient 
dans {■{'{ abaissement de la tem]it''ratiirc. et, ii plus forle raison, ce 
eliaiii^enieiil est très cimsidérable si res|)('ce de la malii're devient tri'S 
dill(''rente ; si, par exemple, on l'cmplace une étoile de toile par de la 
llaiielle dm |);ir du drap, ou le drap simple par un drap tri'S épais. Ces 



SLU LA FACILTÉ C.O M)U CTIi K.E DES COItl'S MINCES, '.(il 

(lilTél'onces étak'nt faciles à pi'év(3ii': elles nous sont annoiieées par le 
seul téinoignai^e des sens; mais riiislnimeiit sert, non seiileinenl à les 
rendre très sensibles à les mesurer: il donne de plus, ee (|ui était Irl's 
important, des indications constantes, et (|iii se reproduisent touidiirs 
les mêmes lors(]u'on vient à éprouver les mêmes expériences. Il laiil 
reinar(]iier (jne cette constance de résultats dépend essentiidlemeiil de 
la Mianil're paifaile dont le contact s'opi're au moyen de la |)ression du 
mercure sur la |)eau mince et flexible qui le relient. Cette ((inditioii, 
(|ui faisait une des diffii'iiltés principales de la construction de ce 
nouvel instrument, était absolument nécessaire pour ({ue ses indic;i- 
tions fussent réaulières et applicables à un îirand nombre de corps: 
sans cela on n'eût point pu comparer les dillerentes substances entre 
elles, <à moins de leur avoir donné préalablement une sni'face suffisam- 
ment plane et unie, poui' que le contact de rinstrumeiU eut lieu sui- 
un iirand n(unbi'e de points. 

.le viens de nionlrer comnieni l'usage du nouveau tliermomètre de 
contact donne la mcsui'e approcliét^ di- la comliicibilite spéciti(iiie. 

Dans ces expériences, la matière (jue l'on veut éprouver doit être 
employée en feuilles minces; on leui' donne une tii's petite epaisseiii'. 
pour éviter l'intluence de leur cbaleur specitique sur la marelie ihi 
refroidissement. 

Le même instrument seil aussi a indiquer la chaleur de ciuitact d'un 
corps, et mesure en (juid(|ue sorte la sensation de cliainl ou de troid 
que ce contact produit. 

Pour les expériences de ce genre, il suffit d'élever la tenq)éralure 
de l'instrument comme je l'ai indi(|ué, et de le [)oser ensuite sur unv 
masse épaisse de la niatii're que l'on veut éprouvei'. 

On obseive le nombre de degrés dont la température s'abaisse, pen- 
dant un tenq)s (bmné, par exempb' ciii(| minutes. 

Cette manière d'employer le tliermomètre de contact conduit ;i des 
résultats remarquables. [,es ditfercnces de l'aljaissemenl <le tenqiei'a- 
ture pour divers corps sont 1res gi'andes. 

Par exemple, j'ai pose le tliermomi'li'c écliautlè sur une masse de fei- 



mi RECHEHCHES EXPÉRIMENTALES 

il S"; je l'ai [josé ciisiiilc sur une masse de i^rès à la même tempéra- 
ture; la (lilléreiice (iii reCrdidissemeiil. dans les deux ras, était d'en- 
viron 5" dès la seconde iiiinnle. I.a ditrérence est encore [dus sen- 
sible si l'on com|Kiie le 1er ;i la liri(]ne, et, à plus forte raison, le fer 
au liois. 

(]es expériences sont extrêmement Hiciles : il suffit que les masses 
sur lesquelles ou pose le thermomètre aient une même température. 

l/ellél qui se produil dans ce genre d'expériences est très complexe, 
et. pour l'exprinier exactemeuf, il faudrait avoir égard à toutes les cir- 
conslances (|ui le moditienl. Toutefois, eu opérant de cette manière sur 
(les (HH'ps dont la chaleur spécili(|ne serait connue, on poui'rait se 
former nue assez juste idée (h' leni' coudni'ihililé jiropre. 

L'usage du Iheiiuiunètre de contact ne diuine, en général, (|ue des 
valeurs approciiées de la conducihililé ; mais il est un 1res grand 
nfunhic de corps, tels (|ue les Iniques, les pierres, les hois et les 
étoiles, |)oiir les(piels ces mesures sont suffisantes. 

Nous avons dit (pu' l'on peut eui|iloyer un autre insti'ument pour 
mesurer la conducihililé. ('e second m.jde d'expérience rend les effets 
encore plus sensihies, mais il exige beaucoup plus de soin; j'avais 
d'alxu'd espéré (|u'il me sérail possible de répéter quehpu's-uues d(î ces 
deruii'res observations en présence de l'Académie : l'extrême dil'liculle 
d'v procéder dans niu' atmosphiu'e variable et agitée iir(dilige d'y re- 
noncer; je me boriu' ;i indicpiei' le principe et (piebpies résultats. 

Cette expérience consiste ;i obserMT, non point, comme dans la pre- 
mière, les abaissements successifs de la tem|)éralure d'un corps (pie 
l'on a d'abm'd éi liaull'e, mais la température finale et fixe que produil 
la idialeur en (raversani dillérentes matii'res. .le. me suis proposé de 
loriner cet état final, pour en déduire la mesure des conducibililés spé- 
citiipies, el j'ai été aidé dans l'établissemenl de ces expériences par un 
plivsicien trî's habile, M. (iolladon. de (ieul've, doiil l'Académie a dejii 
(■(uiriHiué les travaux, et (pii a oblenii, avec M. Siuriii, le prix de IMiy- 
si(pi(' inalli(''maliipie de l'année dernii're. Non seulement il a bien 
vmilii diriger la conslrnclioii de riustrunienl el en régler les dimeii- 



SLIi LA FACl l/iK CoNDL CTISlCi: DES Col'.l'S MINCKS, '.(i:} 
sioiis, mais il y a aJDiiti!' iiiie dis|)()siti(»n spéciale (|iii lui a|i|)artieiil iini- 
(|uempnt. Elle coiisisle à inlorposcr un coussin de nieiruie (|ui délei'- 
niine le contact du >U|)|)iut avec tous li>s |ioints de reuvidoppe. 

Cette nianiiTe de fnrnier un état linal d'e<|uilil)re a FavaulaLTe de 
donner des l'csiiltals qui ne di^pendenl jioint de la chaleur s|)éciti(pie 




de hi snlistance inteiposée. On place celte snlislance ou en\i'loppe 
entre deux vases, dont l'un intérieur A (//i;'. '-î l l'sl maintenu ;i une 
tenij)ératnre constante de i on" (].. tandis ([ne le \ase sn[ierieui' H, posé 
sur l'enveloppe, est maintenu ii la lem|H'ratnn' de la glace fondante. 



W* lîECHEr.CHES EXPÉUIMENTALES 

L;i coiiiliicihilité de l'enveloppe détermine la ([uantité de chaleur 
(|ni |)asse du vase A dans le vase lî; au fond du vase supérieur B est un 
llieiuioini'li'e d'air Iri's sensible ([ui mesure i'etl'et pioduit. (]et air. qui 
s'écliauH'e, est ciuitenu dans la capaeité métallique rrc'c', dont la 
partie inférieure rr est en eonlacl avec le coussin de mercure à loo": 
tandis (jue l'autre partie c'r' est en contact avec la glace fondante. 

L'ail' contenu dans la capacité étant ainsi exposé, d'un côté, ;i l'ac- 
lion de la glace, de l'autre ;> celle d'un corps chauffé à loo", ac(|uieit 
uiH- tempéi-alure intermédiaire et fixe. L'indice coloré ô du tliermo- 
nii'tre d'ail' s'arrête loixjue la quantité di' chaleur qui [iasse dans le 
ihermomf'tre îi travers l'enveloppe est précisément égale ;i celle qu'il 
cominuuKiue ii l'eau glacée. Cet équilibre se forme en (|uelques se- 
condes : c'est l'état final qu'il s'agissait d'(d)server. 

La lenipérature fixe marquée par le thermomi'tre d'air dépend évi- 
demment de la nature de la substance interposée. Si ce corps mince 
appiu'Ie Iri's peu d'obstacle ii la libre communication de la chaleur, la 
lempéralnre finale de l'air du thermomètre est beaucoup plus grande 
<]ue si la chaleur ne traverse ([ue tri'S diflicilement l'enveloppe inter- 
po'-ée. il existe dans tous les cas une relation très simple entre la tem- 
peiatnre ac([uisc et la conducibilité du corps interposé. Pour exprimer 
cette relation, nous ilésignous par //. comme dans les observations pré- 
ledeiites, la (piaiilité de chaleur (|ui, pendant le temps i, passerait de 
la masse du su|>|)(Ul dans l'intérieur du ibermomèlre d'air ;i travers 
l'unité de surface de l'enveloppe si la diUérence de leur température 
elail 1, et par U la chaleur qui, |)eudant l'unité de temps, traverserait 
rnnité de surface en passant de la suriace supérieure r' c du thermo- 
milre d'air dans la masse glacée qui est au-dessus si la dilférence de 
leiii|)eraliire de l'air et de la glace était i; donc /th[^\ ~y.)d/ et 
IIS(a — N)c// sont respectivement les ([uautilés de chaleur (jui, pen- 
daiil l'instant <//, s'écoulenl du suppcu't dans l'air à travers l'étendue /> 
de l'enveloppe, ou passent de l'air dans la glace ii travers l'étendue S 
de la surface supérieure de la ca|)acité du Ihermomi'lre. (Ou désigne, 
pour plus de i;énéralilé, par M la lemj)érature lixe du support, cl par 



SI i; L\ IWCLLTÉ COMXCTliK.i: KlIS COlil'S MINCLS. ',05 

N la t (Ml) pô rat lire tixc de la masse IVoido dans hujuellt' la chalcui- 
s't'coiilc.) Or l'équilibro est clahli i(ns(|iii' la clialeur eonirmiiii(|m'c par 
II' support compense exactemeiil la clialem- (|iie la capacité du tliermu- 
inetre '•i)iiiiiuini(]ue à la i^lace ; on a donc cette équation 



et le rapport 



///^(M -;<)=:llS(a-N; 



h/, 



IIS M 



// 



il siillira (Innc de mesurer a pdur c(Uinailre le ra|)port ^. des deux 
condui'iliilités ridatives /; et H, i-"cst-à-dire des lacilités respectives du 
transport de la chaleur du su|ipoit ilaiis la capacité du tliernionii'ti-e ou 
de cette capacité dans la niasse environnante. Le lajtport ^ doit éti'c 
reiiardé comme connu; il ne change point lorsqu'on remplace une pre- 
mii'rc enveloppe à la(]uelle convient le cocl'ticient // par une seconde 
enveloppe à laquelle convient un autre coef'ticieut /i. Il en est de même 
du coelticient H. (jui demeure h' même. Lors(ju"on éprouve dillerents 
rorps aver le même instrument, la température a est mesurée par le 
llirrnionii'tiT d'aii', (|ni [)cut être construit de dillerentes manières. .le 
ne doiHK' point ici le calcul relatif à ce thermomètre, parce que ce 
calcul, (|ui n'a d'ailleurs aucune dilticnlte. varie selon la construction 
(|ue l'on a prêlêrée; dans tous les cas, je suppose que l'on ait rétrlé cet 
instrument de manière à le rendre très sensible, et (jue l'on ait t'ait une 
anaivse exacte des conditions qui déterminent la position de l'iiulice. 
(Juant aux valeurs respectives ([ue l'(Ui peut attribuera M et N, et (pu' 
nous avons d'abord supposées i et o, des épreuves répétées nous ont 
lait connaître (|ue les observations deviennent plus faciles et les résul- 
tats plus fixes si les nombres M et N ont une moindre différence, par 
exemple si l'on fait 'SI = ^ («So" centésimaux j et ^ — ^, (i "J" centési- 
maux ). 

Lorsqu'on appliquera successiveuu'iU le même procédé à des corps 
minces de différentes espèces, on trouvera des résultats dillerents 
selon la nature des matières (]ue la chaleur traverse. Or l'expéricucc 
II. jy 



166 HECHEHCIIES liXl'EIt IM EN TALES 

nous ;i moiid'é (|iie les dinV'i'ciices sont cxtrcmeinenl i^randcs. l/a<!ili- 
tion d'une siin[ili' (Vuillc df papier à lettre, le plus mince (jue l'on ail 
jui trouver, proiluit dans la position de l'indice une dillVrence de plus 
de 20 lignes. En ajoutant à la preniii'i'e feuille une seconde du même 
papier, on déplace encore l'indice de plus de 2") lignes. Ce déplace- 
ment, (|ni s'opèi'c, comme nous l'avons dit, en (juelqiie secondes, de- 
vient 1res grand lorsque la matière interposée est difticilement per- 
méable à la clialenr; il est, pour certaines substances, de plus de 
100 lignes. 

Nous avons éprouvé avec l'un et l'autre instrument un très grand 
nombre de substances dilTérentes, toutes les principales espl'ces de 
tissus, des peaux, îles fourrures, ou des substances comme le verre, le 
mita, des feuilles de divers métaux, et nous avons trouvé des résul- 
tats spécitiques pour (dia(|ue substance selon sa texture ou sa nature 
propre. 

Si l'on compare les résultats obtenus au moyen du dernier instru- 
ment, (ju'on peut désigner sous le nom de thermoscope de contact, avec 
ceux t|ue donne l'autre instrument décrit en premier lieu, ou remarque 
(|ue les différences, rendues si sensibles dans le tbermoscope, s<inl éga- 
lement manifestes lorsiju'on observe le refroidissement progressif du 
tberniomètre de contact; seulement, avec ce premier instrument, les 
ditférences s(mt mesurées en temps, et l'on peut ainsi les détci'miner 
d'une manièi'c pins commode et aussi précise (jue par le moyen du 
second ajipareil ; les résultats sont moins frappants, mais ils sont aussi 
plus fixes; et, comme ce thermomètre est d'une construction extrême- 
ment siiuple et d'un usage facile, il est très propre à devenir usuel. 

Cet instrument peut servir ;i une foule de recherches curieuses ou 
utiles; il indique des propriétés naturelles <]u'il n'eût pas été possible 
de découvrir par le seul usage des sens; par exemple, il m'a servi à 
recoiinaili'c nu fait ([ue j'avais deptiis longtenq)s soupçonné : c'est (|ue 
la (juantité de chaleur qui passe au tiavers de |)lusienrs corps minces 
sn|ierposés varie suivant l'ordre dans le{|uei on fait celte snper|»osi- 
tion; ainsi j'ai fait l'expérience suivante : j'ai |)lacé le ihermomi'lrc de 



SLU LA FACLLTE COM) L CTKICE DES COUl'S MINCES. Ï(i7 

l'onlact aii-[los?iis du sii|t[ioi't de marhro, don( il était séparé par deux 
rondellos do draj); la idialciir avait ainsi à traverser poau, drap, <liap. 
iiiarhre. Api'i's avoir oliscrvé le rofi'oidissoiiK'iit iH'Oi^ressir, j'ai placé 
une rondelle de enivre, de l'épaisseur d'une feuille de [)a|uei-, sur le 
inarhre sous les deux rondtdles de drap; le ret'roidissenient du tlii'rnio- 
mètre dans un |cni[)s donné a été moindre (jue dans l'expérienee pré- 
cédente; la l'euille de cuivre a été ensuite placée enire les deux ron- 
delles de dra|i; la (|uantité du reiVoidisseniont a été la inénie dans le 
même temps que si l'on eût snppi'inié la (éuille de enivre, comme dans 
la première expérience. 

Knlin j'ai placé la rondelle de cuivir sur celles de drap, immédiale- 
meul an-dessous de la |»eau du thermomètre de contact ; dans ce cas. 
laclialeui' traversait les enveloppes dans l'ordre suivant : ])eau. cuivre 
mince, drap, diap, marbre. Dans ce cas, l'abaissement du llieinio- 
mèlre a été plus grand (|ue si l'on ei'il supprimé la londelle de cuivre. 
Ainsi l'interposition de cette feuille de cuivre facilite la li'ansmission 
de la clialeiM' de la peau au drap, et elle ilirninue la li'aiismission de 
(dialeui' du drap au marbre, fcds sont les eil'ets que l'on observe pen- 
dant les dix piemières minutes; il ne faudrait pas comparer entre eux 
des résultats qui ne correspondraient pas à un même intervalle de 
temps. 

Je ne poursuivi'ai pas davanlaiic lénumération des expériences nou- 
v(dles (|ni ont été faites avec ces instruments. Le thermomètre de con- 
lact doit être considéré comme une main munie de son tln'rmomi'lre. 
Os expériences ne peuvent rien ajouter ;i la théorie mathématique île 
la (haleur; mais tout ce (jui se rapporte aux arts techniques et aux 
iisaiics communs a quebjue droit à l'attention de l'Académie, (^es (d)- 
servations n'intéressent pas moins les sciences que celles qui ont servi 
il déterminer la chaleur spécifique des dilTérentes substances: (dies 
rendent plus manifestes des propriétés physiques dont nos sens lions 
avertissent, mais ([u'ils ne mesuient [»oint : les instruments ont, en 
général, pour (dijef d'ajouter ii nos facultés intcdiectuelles en perfec- 
tionnant nos sens. 



',08 iie(;iih:iiciii:s e\im:himent\les 

L;i lliroi'ic (II' la chaleur, comparable en cela aux lliéories dyiia- 
iiii(|ues, s'ap|)li(|iie à la l'ois au systi'me du monde et aux usai^es les 
|ilus ordinaires de la vie: cette tliéorie nous a t'ait connaître, entre 
aulfcs idioses. reli'el total produit par le rayonnement des étoiles fixes. 
Idie nous a appi'is (jue la température de l'espace qu'occupe notre sys- 
li'nie jdaiielaii'e est ;i Irl's peu pirs de ''lo'' octOi;ésimau\ plus froidi' 
(|ue la teaipéialni'e de la glace l'ondante. Cette même théorie sei't 
encore ii mt^surer rinfluence calorifique des envtduppes diverses, des 
tentures, des tissus, et nous fait découvrir des propriétés naturelles 
• les corps. 

A|)rès avoir rapporté ces nouvelles expériences sur la conducihilité 
des corps minces, j'ajouterai un(> remarque théorique sur les observa- 
tions (|ui peuvent servir ii n)esurer cette propiielé des corps. 

Loi'sque les substances (]ue l'on veut éprouver jouissent ;i un degré 
assez élevé de la taculle conductrice, comme les métaux, on la détei'- 
minc en observant les températures fixes d'une barre prismali(jue dont 
l'extrémité est retenue à une température sensiblement constante. 
L'expérience a prouvé que cet état final est conforme ;i celui ([ue la 
théorie exprime. Les températures observées forment eu elfet une 
série récuricnte dont on déduit la valeur numérique de la ciuulucibi- 
lilé; mais on ne doit point a[)pliquer la même expression aux corps 
comme le marbre, dont la faculté conductrice est très faible, ni même 
à ceux des mélaux (|ue b\ chaleur traverse diftieilemeut. Voici l'expli- 
cation de cette dill'érence : dans les corps d'une faible conducihilité, 
les molécules placées sur une même section [jci'pcndiculaii'e ii l'axe du 
lisme ac((uiêreut et conservent des températures fixes, inégales, qui 
liuiiuuent rapidement depuis l'axe jusqu'à la surface extérieure; mais 
us les malii'rcs dont la conducihilité est plus grande, comme l'or, 
l'argeul, le [ilaline, le enivre, tous les points d'une même section per- 
|)endiculaire ii l'axe prennent sensiblement la même température, (le 
fait est l'acib' ii concevoir, on poui'iait d'avance le supposer- connu : 
mais la théorie analyli(|ue rexpli(|ue aussi de la manii'rc la plus claii'c, 
couinie on le voil par l'expression géuéi'ale (jue j'ai donnée autrefois 



I' 
( 

lia 



su; LA FACLLTK CO M) L CTH I CK J)KS COUPS MINCES. '.()!» 

(Iii iiioiivement uniform.' de la clialeur dans un prisme rectangulaire 
il'nne épaisseur (|nelcon([ue: car cette même solution fait eonnailn' 
i|ue, si la condueibilité pi'(ipi(> est Iri's faible, ou si l'épaisseur de 
la barre est très grande, les points d'une même section normab^ ont 
des températures tri's diU'éreiites. Dans ce cas, l'expression de la tem- 
pérature contient, non seulement la dislance à l'origine, mais aussi le-, 
coordonnées de cliaquo point de la section. 

Il faudrait donc faire usai^e de cette Ou'mule pour déterminer la con- 
dueibilité spécifique d(>s corps <|ui lu' jouissent de cette propriété 
{|u';i un faible degré. C'est cette expression, rapportée page jGj do la 
Tlicoric (le la rhaleur. qui s'applique aux cas dont il s'agit, et non eelle 
de la page jj du même Ouvrage. Celle distinction résulte exjiresse- 
ment de la solution générale. Il suffit de donner à v la valeur zéro dans 
l'expression de c (p. 'K»"» ), et d'inteercr jiai- i-a))poi-t à r enti'c le- 
limites —/et -î- /, afin de trouver une valeur [iropor-tionnelle ii la tem- 
pérature moyenne. 

Il est surlmit nécessaire de remarquer ré(|ualion 



£ lan:.'£ = 



hl 



et la construction qui fait connaître les racines de cette équation lians- 
ceinlanle. On voit ([ue la valeur de la température contient le produit -p- 
eu Mii'te (|ue. >i la condueibilité propre K est supposée tri's faible, ce 
cas ne dillére point de celui oii la demi-epaisseur du prisnn' est tré< 
grande. H suit de la (|ue, si l'on suppose trî's petit le coefficient K. 
mesure de la perméabilité, les tempérainres ne décroissent pas comme 
les termes d'une série récurrenle: cela n'aurait lieu (in'ii une distance 
immense de l'origine; les Icmpéralnrt's s'abaissent d'abord tri's lapide- 
ment à partir de cette origine. On voil, par le calcul numeri(|ne rap- 
porté page 37'! de l'Ouvrage cite, qu'il suffit de s'écarter de l'origine 
de la nH)itié de l'éjjaisseur de la barre pour qiH' la température du pre- 
mier point soit réduite à la einquii'me paitie de sa valeur. Or tontes les 
observations s'accordent avec les résultats lliéori(|ues que l'on vient 



470 R E C H E |{ C H E S E \ P É 11 1 .M E N TA I. E S 

(le ra|t|i('lcr; elles riHiiiIreiil (|iie, si lii condiiciliililé [H'opre est assez 
i;i"iiu!e, les leiii|(éraîiirt's ohsei'vées décroissent comme les termes 
(rime série récurrente: mais, dans les corps dont la t'acnllé condnc- 
Irice e^-t Iri's laihle, si rexpérience donnait des valeurs e\))rimées par 
une suite e\p(Uientielle, c'est alors (|ue l'observation ne s'accorderait 
|)oinl avec la lliéorie; dans ce cas, la forme de l'expression est tidie (|ue 
l'on ne peut plus ometli'e les termes subordonnés. Au reste, les tempé- 
ratures observées sont trop faibles, dans ce même cas, pour que l'on 
puisse en coiu dure avec piw'cision la valeui' de la conducibililé. Les 
pnici'dés (in'uue tlie(U'ic exacte indi(|ue comme les plus |)ro|)res l\ me- 
stirci' la l'acuité conductrice des corps cpii jmiissent ii un l'aible degré 
de cette pr-opriélé dilleren! beaucoup de ceux ipii conviennent aux 
substances niétalli(|ues: ils consisteraient à observer le mouvement ou 
uuil'orme (ui variable de la cbaleur dans des vases de diverses matières, 
et (boit on lerail varier l'épaisseur. Otie (|uestioii analytique se rap- 
IKirte ii celle que j'ai traitée, il y a plusieurs années, dans un Mémoire 
sur la température des babilalions. 



SIH LA 1- VCl LTI-: CONDLCTrilCI-: DES COltl'S MINCKS. 'iTI 



DesiripUon des iteii r i/is/rii/iic/tts (Imil tl csC paiié clans le Mé/iiour 

<lc M. Fituiirr. 

Fig. I. - CoiiiH- (lu IhiTiiKiiiirti-u Je (Miilacl. 

AA e?l mi \asc coniiiiu' do Ter tirs niiiici"; il (■>! rempli i)res(:|iic ('iilièii'inciil 
(le mercui-p; une jinullière -:,■ ;iiiiiiiii- .lu iimii inierieiir sert à lier reineluppi' 
(|iii retient le nieiciire; ;iii |j;ini ilii rone est iiMi' oii\erlin-e ;i\ec un iiiheromi 
an (le - ou S lijilies lie (]i;un(''lre. 

//est un bduclinn (le \\v\H' i|ui s'iiihi|ile (hiu- ce luhe. Il MTl à livrer le lliiT- 
inonu't^ie ce au \ ase et à le inainlenir à la liauleiir ((luxenable. 

La bfjule de ce thernnimèlfe <■ ddil (Mre à (|uid(iiH's lii;nes au-dessus di' la 
liase du c(jne, et enlic'renienl |iliini:i''e diius le luercnre dn \ase. 

Les degfés du tlieiinonn'lre d()i\enl ('lie assez glands pour (pi'on pin--e le- 
subdiviser en di\i(''iues; sans c(da les observations seraient peu e\a(ies. 

L'envelo|ipe hhh doii iMre de peau souple et nunce. Les e\p(!'riences çii(;'ev 
dans le Mémoire nous ont appris (pn^ celle snb>lauce est très propre à cel 
usage, parce (pie la peau eonduil mieux la clial(>iu' ipK' les autres L'toH'es de 
m("'rne ('■paisseui'. 

Il Tant avoir soin (pie C(>lt(> enveloppe ne suit ni >alie, ni chauflëe trop l'or- 
tement. 

Pour se servii- de cet insirumeni lr(''s simple, on opc're de la nianii're sui- 
vante : 

Apr(''s avoir plac(' lY'Udl'e on plaipie mince (pie l'on \eul (''|)roiiver sur un 
su|iport de marine à la temp('raliire de la chambre où \'ai\ o|ieie, on (dianlle 
le \ase conirpie en le pla(;aut sur une poi'de ou Imil Muli'e corps écliaiillé ; on 
attend (pi'il se soit ('de\i'' à 'pi" ou '17'. \u uiomeni oii le lliermoin('lre iii(li(pn' 
■jV'. on le pose >ur renv(do|ipe; on ob>erve a\ec luie montre rin>lanl preci- 
011 il liasse à \o". et l'on noie sa uiarcbe, par exemple de miniile eu minuli' 
jusipi'à la ciinpiieme. 

Si l'on reeoinmeiice aNcc la miMiie ciolVe en \aiianl sa jibice sur le >iipporl 
d(> marbre, on Iroine loiijoiirs le im"'me lésullal, pour\u (]ue la teiiip(}ialure 
de la 1 liaudire soil la ini'iue. 

Si l'on \(iulait se servir de cel iiolrmnenl pour l'aire (les (^\p(''riences exactes 
sur la conduciliiliti- des |da(pies rii;ides, il con\iendrail de placer c(dles-ci. 
lion pa- >iir nu su|iporl di' m a il ire, on le coiilacl ne m ■ rail pa> pal l'ail , mais sur 
un coussin de merciiic analoi:ue à c(diii dont il e>l paiK' dans bi description 
du second appareil. 



Fig •->. — Coupe (lu S(îcoii(l appareil ou llii'iniij<c"ii« de contact. 

A, vase cnliiipie de cnivn» minée; il est l'ernu' par le baul, et l'eau b^ rem- 
plit entièrement. On introduit l'eau par un (Mitomioir e. Le robinet /• sert ;i 
vider le vase. 



IIECHEHCHES E\P KUl MENTA LES. ETC. 



Sur Ir coiixcrclc csl soiiiléc une cMpsulc cin'iilairc cer eu lôlc iniiicc. Ccllf 
r;i|iMilc (|(»il idiilciiii- un [M'iil II. lin de inerciirc écliiiiillt'. (>c iiicniirc liiil loiii- 
linii (II- ((iiissiii au nidW'M ili' l'iMn('l(»|i])0 de peau /;/'/* qui le icciun ic culii'ic- 
niciil. On lii' (■(•Ile ('n\rlii|i]ic dr peau loul autdUl' ihl IkuiI de la cap-ul''. cl 
l'auncau, doni on viiii la siMiion en fnr, scri à la niairilcuii' Icudiii'. Lr nin- 
rurc, eu picssani loulic celle peau euNtdoiipe, lui donne la forme d'un cuiis- 
>iii convexe. 

On inlroiluil le mercure dans la l'apsule, et on l'en relire, au nu)\en d'un 
^(idcl (i el d'mi lulie de fer laléral i;^'. La liautcur du mercui'e dans le godet 
(h'Ieiinine la lension du coussin. 

Au-dessous du vase A e>l une petite lampe qui sert à maiidenir l'eau à une 
leuqjiualure fi\e, par exemple loo" ou Go". Le tliennnnu'lre intérieui- / sert 
à indiquer la leinpéraliiie el pai' couscMpu'nl aussi cidie du hain de nier- 
( nie. 

1! csl le \:ise snpéricui' qui conlieni de la i:lace ou, ce ipii \anl mieux, de 
l'eau II une lem|ii'ralure lixe el peu su|)érieuie à cidie de la cliaudjre oii l'on 
opcie. Le pelil ihemioinel re /' indiipio la lenqa'ralure de celle eau. 

\u fond ilu \a'^e H e^i une capacité métallique dont on \oil la coiqie en 
rrr'c'; c'e>l la Ijonle du lliermoscope indicalenr. La moilié supérieure r'c' fait 
saillie an f(Uid du \ase I! el est en conlacl a\ec la .i;lace on l'eau froide; 
l'.iuli'e moilié inférieure repo>e sni' le C(Mi--siu éclianlfé de meicure. 

Le Inlie recoiirlie /II'/', ipii c<iuuniuuqne a\ec la lapacilé, sert à rendre 
vieillies les dilalalicms île l'air coulenn dans celle capaciié. 

l'oiir c(da, la parlie /'/' de ce Inlie est |deiiu' d'un liquide colori''. (pu 
.-'aliai-se lorsque l'air de la capacité s'échaulfe el se dilate. 

l'oiu' faire l'expérience, ou eidcM' le vase supérieur I! ; oir pose su i' le i our- 
sin de merciue une iiMuhdle de l'elolfe qu'on veui essa\er, el l'on leplace le 
va>e siqiéiieui'. La surface inférieure ce de la capacih'' d'ail-, se Irouvant sépa- 
rée ilii coussin par l'elolfe, en recoil moins de chaleur, el, par cmiséqueiii. 
l'air qui \ esl contenu prend une lemperaliire mo\enne moins élevée. L'in- 
dice o s'arréle eu un poini |diis éli'\é. 

C.el appareil, a\aul des indicalioiis liés ]iromples el ipie l'on peut rendre 
nés \ isibles, ponrrail servir à des expériences faites dans des cours piililics. 



OrATHIDlK SKCTKh. 



\IÉM(lllli:s IIIM'US. 



11. 



IJO 



MI-MOII{l' Sll|{ LA STATIOLI' 



CD.NTI'NWT 



LA IIKMONSIRATIUN III rniM'iri". IlF.S VITKSSKS VIHTl FIIKS 



\. \ TlIKiiniK l»KS MOMKNTS 



MÉMOIKE SIK LA STATIQUE 



r:ONTi:NANT 



LA DEMONSTRATION Dl" PRINCll'K DKS VITESSES VIRTUELLES 



LA TiiEoiîii'; ni: S moments. 



Jinininl de l'Erale Pnlj tfc/i/iiqi/c. V (^aliiiT. |). 20. année iji)>^ 



fjcumftrtf est prohai 1 
Arist. 



I . On I louve dans les écrits des Grecs le germe des théories inéca- 
|ncs (jue nous possédons aujouid'liui. Arcliiiiiède appliqua la Géo- 
élrie à la Stati(|ue, et même la Sta(i(|iii' ii la (iéométrie; il trouva de 
•elle inanii're la pi'emière (jiiailralni'e d'une aire curviligne. Ses décou- 
vertes en .Mécani(|ue servt'iil encore île l'ondeineiit it cette science. 

Les |ilus anciens Traités i|ui nous soient |iarvenus sur la Mécani(pn' 
rationnelle sont ceux d'Arislote: ils ont éle loués saus mesure par s(>s 
cominenlateurs, et di'puis négligés sans examen. Ce |)hilosoplie parait 
avoir counu les principes les plus importants di' la Mécanique. Il expose, 
en termes précis, celui de la composition des mouvements ( ' ); il a même 
eu (|uel(|ue idée de la manière dont les forces centrales agissent dans 
les mouvements en ligne courbe (-). Son explication physi(]ue de la 

(') Miiml'r.itiaii i^ilur (jiind ni iiiiiid sfriiii<liiiii diduietruin in ditabifi jerliir lutidiiiliii^ 
iiccc.f.wri(} ifcii//di/!/i Uitcriiiti prnpurtinncnt jcrliir. {(hiictt. nicchnii . (!ap. ll.l 

( - ) (Jiiiid ij//i(/i-iii c<i quie circiduiii dcsrriliil diiii\ siniid jcratur tationcs uxdiijcstuiii 
est . . . oiiiid nindfin circutiint descrdiciili illiid ticcidil ; et jcriitr caiii quidciii hitioneni 
secitndum circiiinjcrcutiain illiiiit, vcrii i/i trtiiiwcruiin et \ccu/idui/t ceiitriuii. ( Qiiii'sr 
ini'cluni., {'„\\>. II. ) 



nu 
m 



'i78 STATIQUE. 

cause (le r('M|iiilil)r(' des poids iiiéi^aiix dans le levier est ingénieuse, 
(|uoi(|iie ini|iaifaile. Il rapporte à eette preniii're maciiine le tour, les 
nioulles, les roues dentées, le coin (' ), etc.; ailleurs, il enseigne que 
les forées sont égales lorsque les niasses sont réciproquement propor- 
lionnelles aux vitesses (-). Voilà ce qu'il nie senihle avoir reconnu 
dans ses Traités, ii travers mille obscurités et une foule d'idées singu- 
liiT'Cs, ou qui paraissent aujourd'liui incohérentes. On peut ajouter 
(|ue ses éei'its ollVent les premières vues siu' le /iri/icipe des vi/csscs ri/- 
iiirllcs. 

(ialilée et Descartes eurent depuis ()U(d([ue connaissance de cette 
vérité. .lean IJernouUi, (|ni en est, à proprement parler, l'inventeur, 
l'annonça au commeucement du sii'cle sans en publier de démonstra- 
tion ( ro//le H*" Volume de la Mécanique de Varignon). Cette découverte 
fut communi(|uée à Varignon dans le temps (]u'il composait sa nouvelle 
Mee(i/u'(/iie : il parvint à prouver le théorème dans plusieurs cas parti- 
culiers: mais cette énumération, nécessairement incomplète, ne l'a 
point conduit îi la démonstration générale. Depuis, la Mécanique a été 
rapidement perfectiounée : cette science n'a plus aujourd'hui de dilli- 
cultés qui lui soient propres, et, considérée dans ses rapports les plus 
étendus, elle se réduit à une (|uestion de calcul. Ce résultat, l'un des 
plus beaux que l'on ait obtenus dans les sciences exactes, est l'objet 
de la Mécanique analytique. L'auteur de ce grand Ouvrage a vu, dans la 
j)roposition longtemps stérile de Bernoulli, une vérité primordiale, 
dont les conséquences les plus fécondes découlent saus exception et 
sans elloi'l. 

Maintenant (|ue l'importance du ibéoirme est bien établie, il est 
temps de suppléer au silence de rinvenleur, et de reconnaiire si le 
principe des vitesses virtuelles peut être fonde sur des preuves géné- 
rales, exemples d'obscurité et d'incertitude, .le me suis pro|M)sé celle 

( ' ) lu: ijiitr circft vvitem fîiiiit, iid i/i\fini lilir/iin . . . rrjcriiiittir ; iilia niiliiii jrrr niniiKi 
ijuif rircii iiicrliiiiiiriis- siiiit mntiimcs, ad vccirin. { Qi(ir\t iiicc/kiii., Oap. I.) 

( - ) .SV i^U/ir '/ es! quDcl niavcl , p fjllin/ inocrt/ir, y loii^ilKtla prr (jluiin iiiiiltini fsl, 
'' t<'inj)if\ tjiiii it/in'rf/ff, sunr trtiiialt U'nijiorc o {V(^itiilis vts n. dtutuhtim ip^iKs [:i inovchit 
jK-r longiliulinciii tliij)!o m/ijorciii iji/atn y .... {\titiir. aiiscidt., Lib. Vil. (liip. \\.) 



rnclierclie; cl, ([iioiqu'cllc no soil pa^; le seul iuit de cc( Kciit. jr \':ù 
eue principalement en vue. .l'ai pensé aussi (ja"il ne sutfisail |ias iji' 
prouver, d'une maniti'i'e alisolue, la véiilé de la proposition, niai- 
(ju'on devait le faire independamuient de la (■onnaissanec (|ue non- 
avons des conditions de l'équililirc dans les difrérentcs cspi'ccs de 
corps, puis([u'il s'aifit de considérer ces conditions comme des con- 
sé(|Ui'n<'c-. de la pi'opositiun i;enéi'ale. C.cl ojijet se trouve i'eni]ili ])ar 
les démonsd'ations que nous allons rapportci': il niuis scmide (|ir(dlcs 
ne lais.sent rien à désirer sous le douhle rapport de l'étendue et di' 
l'exactitude. Nous supposerons connu le principe du levier, l(d (|u'il 
est démontré dans les Livres d'Archimède, ou, ce qui revient au même, 
le théorème de Stevin sur la composition des forces, et quelques pro- 
positions (juil est aisé de déduire des précétlentcs. 

I. 

■2. Si un corps est déplacé par une cause quelconque suivant une 
certaine loi, chacune des quantités (pii varient avec sa position, comme 
la distance d'un di' ses points à un point ou à un plan fixe, est une fonc- 
tion déterminée du temps, et peut être considérée comme l'ordonnée 
d'une courlie phine dont le temps est l'abscisse: la tangente de l'anglf 
(jue fait cette courbe à l'origine avec la ligne des ahscisses, ou la pre- 
mière raison de l'accroissement de l'orilonnée ;i l'abscisse, exprinc la 
vitesse avec lai|uelle cette quantité coinnieuce à croître, ou. pour nous 
servit' d'une dénomination l'cçne, \d /Iiriiofi de cette quantité. 

Le corps étant soumis à l'action de [ilnsieurs forces, si l'on prend 
sur la direct'hjn de chacune un point tixe dont la foice tende ;i rappro- 
cher le [toint lin svstème où elle est appli(iuée, le produit de cette forci- 
par la llu\ion de la dislance entre les deux j)oiiits est le moment de la 
force : le cor|)s peut être déplaci" d'une inlinilé de manières, et à cha- 
cune répond une valeur du moment. Si l'on iireiid le moment de chaipic 
force poui' un même déplacement, la somme de tons ces moments con- 
temporains sera appelée le monwiit totiil. ou le nmment des forces, pour 



•,H() STATIQUE. 

(■!■ ilépliiccnient. Nous dislingiierons d'abord les déplacements compa- 
lihles avec l'espèce et l'état du système, de ceux qu'on ne peut lui f'aii'e 
rnroiiver sans altérer les eonditious au\([uelles il est assujetti, el nous 
supposerons ces conditions exprimées, autant qu'il est possible, par 
des équations. 

Mainteiiaul le princii>e des vitesses virtuelles consiste en ce ([ue les 
lorces (|ui sollicitent un corps, de (|uelque nature (ju'il puisse être, 
(■tant supposées se l'aire é(|uilil)re, le moment total des forces est nul 
|i(inr cliacuu des déplacements (|ui satisfont aux équations de condi- 
tion. 

Jcau Bernoulli considère au lieu des fluxions les ai'croissemeuts 
naissants. Il faut alors re^jarder chacun des points du système comme 
décrivant un petit espace rectiligne d'un mouvement uniforme pen- 
dant un inslani intiniment petit. (]e petit espace projeté perpendicu- 
lairement sur la direction de la force <'st la vitesse virtuelle; et si on 
la multiplie |)ar la force, le produit représente le inonicnl. .l'adopterai 
ccde lieuicuse abréviation, et tous les procédés usités du Calcul dilfé- 
icutiel. 

Nous examinerons, en piemier lieu, l'éfjuilibi'e des forces ([ui sidli- 
cilcnt un point, et nous clierclierons (|uellc est la valeur du moincnl 
total lors(jue ce point es! inlinimcnt peu dérangé tie sa situation. De lii 
nous passerons à la recherche des conditions de l'équilibre, lorsque les 
forces agissent sur une ligni' droite inllexible ou sur deux surfaces (|ui 
se résistent mutuellement; on peut toujours faire dépendre de ces élé- 
ments l'équilibre d'un système matériel (juelconque. 

'.\. Imi i^cncralisanl le thcori'me de Stevin, on reconnaît (|ue les forces 
qui se font e(|iillibrc sui' un point sont représentées en (|uanli(é et en 
direction par les cotés d'un polygone situés m\ non dans le mt'-nir 
]dan; et cida prouve (|ue, si l'on projette les droites pro|)oi'lionn(dles 
aux^ forces, sur une lii^ne (|ui passe |iar le point qu'elles soUicitenl. la 
somme des projections est nulle. Maintenant, si l'on a]q)elle p, p . 
I>\ ... les forces en é(|uilibre; ii, ii', ii", ... les angles formés par les 



STATIOI K. ',81 

directions de ces forces cl une lii;tii' droite (|iielcon(jiie qui passe par le 
()oiiil oii elles son! appli(]ui''es, e( r// l'csiiace parcouiii su;- la ligne lors 
du dcplaccinent de ce point, la somme des |)i'ojeclions sera 

p (OS « -r />' ces tl' -H /v ■ eus (/' — . . . , 

et la somme des moments 

/) cl/' cos '/ -^ // (/r rus //' -h /' '//' cos i(" -!-.... 

dette dernière qnantitc sera donc nulle, de quelque manii're (|ue le 
point suit déranité de sa jiosition actuelle. 

Cette proposition peut être prouvéi' de dillV'i'entes manii'res : par 
exemple, elle se déduit l'acileinent <\f> propiit-tés du centre de iii'a- 
vité. Si, il partir du |toint moldlc, on porte sur les dii'cctions des Ibrccs 
des lii;nes qui les représentent, le point comniun est, comme mi le 
démontre dans les éléments, le centre de gravité des extrémités de^ 
lignes; d'un autre côté, le centre de gravité de plusieurs points a, 
comme il est aisé de le voir, cette propriété que la somme des carres 
des distances du centre aux ()oinls est un moindre : donc, en nom- 
mant ces distances e, c' . e", c'". .... on aura 

e de — c' de' -r- e" de" -- e'" de'" 4- ... — o. 

4. Supposons maintenant que deux forces égales et contraires, ap- 
pliquées aux extrémités d'une ligne droite inflexible, agissent dans sa 
diiection, et cherchons la valeur du moment total pour un dérange- 
ment (|U(dconque de la ligne. Si Von regai'de d'ahord comme entii'- 
remcnl liltres les deux points ([ue les forces sollicitent, et i\nr l'on 
prenne chacun des deux points pour le centre tixe de la force qui sol- 
licite l'autre, il sera aisé de voir(|iie. leur distance étant une fonction 
de leurs coordonnées, la vitesse virtncdle du premier sera égale à la 
diflcrentiidlc de la distance, prise en faisant varici- seulement les cooi'- 
données de ce point: il en sera de même du second : en sorte que le 
moment total, qui est ici proportionnel ii la somme des vitesses vir- 
tuelles, le sera aussi à la somme des dilleientielles partielles qui repré- 
11. ^^ 



i82 STATIQUE. 

sentent ces vitesses, c'est-à-dire à la tlillerentielle compli'tc de l;i dis- 
tance entre les deux points (roir la Mccaniquc analytique . 1"' Partie, 
2' Sect., art. 4). Ainsi, dans le cas on la distance est constante, la 
valeur' ilii moment total est nulle. 

On peut s'assurer autrement de la vérité de cette proposition. Les 
déplacements (|n'une ligne droite peut éprouver se composent de c\\u\ 
nionvements simples : dans les (rois premiers, la ligne, (|ui se conlon- 
(lail d'ahord avec l'un des (rois axes, demeure |)arallèle à (die-mème. 
el s'avance suivant un de ces trois axes; dans les deux aulres, la ligne 
tourne autour d'un de ses points dans un plan parallèle, ou dans un 
]ilan perpcmliculaire au |)lan rectangulaire où elle se trouvait d'abord. 
( »r. si la ligne n'éprouvait qu'un seul de ces dérangements simples, quel 
(pi'il fût. la somme des moments serait évidemment nulle : de là et des 
princi|)es du (Calcul diirérenti(d, il suit que le moment total relatif à un 
mouvement composé quelcon([ue est aussi nul. 

En général, il ariàve toujours que les nn)nien(s partiels dus aux 
mouvemenis simples d'un système qu(dcon(|ue s'ajoutent pour com- 
poser le moment (olal, de la même manière (]ui' les dillerenlielles par- 
ti(dles forment la ditrérenticllc complète (ro//-plus has, arl. .S). 

Il suit encore de l'expression du m(unenl (olal que, si la distance 
des deux points est variable, et que les forces tendent à l'augmenter, 
la somnni des moments sera négative si cette distance devient, en 
efl'et, plus grande, et positive si la distance diminue. Si les deux forces 
(endent ii rapprocher les deux |)oints, leur unnuent total sera négatif 
ou positif, selon que ces deux points s'approcheront ou s'éloigneront. 

."). Si les deux forces, au lieu d'être opposées, agissent dans le même 
sens, il est clair, d'après ce qui vient d'être dit, que le m(unent de la 
premii're sera égal au moinenl de la seconde pour un même déplace- 
menl de la ligne supposée inilexible. Il en est donc du monn'ut d'une 
force comnn- de son ell'el; l'un et l'autre ne changent point loi'squ'ou 
applique va'AW force à dillérents points de sa direction, considérée 
comme umi ligne solide; au reste, cette conséquence, dont on fera un 



STAÏIOI E. 



i8:i 



usage frôquont. peut se (b'-diiiro immédiatemenl du calcul, cnniiiic il 
suit : 

A|)|)cKins ,r, 1-, ; les coordonnées d'un point indéterminé «le |;i lii;ii(\ 
rapportée à trois plans l'ectanifuiaires, c la longueur de cette ligne 
depuis ce point jusciu'ii celui où elle icncontre le plan de^ -vv. Nous 
désignerons par o les variations dues au dérangenu'ut de la ligne, cl 
par (/ les diirérences Unies des coordonnées de ses dillérents |ioints. Si 
:; varie si-ule de cz, la vitesse virtuelle iln premier point est moindre 

(lue c: dans la raison de r- à c, ou de tlz à r/c Cette vitesse est -7^ cr: 

' /(r 

celle due à la seule variation c.r serait -^o.r; el ov donnerait aussi la 

'II' 

(/y 

vitesse virtuelle -,'-0;. Si les trois changements ont lieu à la lois, 
f/c '^ 

la vitesse virtuelle sera donc 

dx ^ dv ^ dz , 

^X -7~ -^-~ 0\' -T- O Z . 

(/(- de (II- 



Or ou jieut voir cjue la valeur de cette e\|)ression ne dépend point de 
celles des coordonnées r, v, ;, ou, ce (jui est la même chose, ([ue la 
difl'érence prise s(don d est nulle; cai' ou trouve pour cette dillerence, 

en remariiuant ciue -r' -r » -r ^'J'it constantes par la nature de la liune 
' ' de de de ' 

droite, 

<ix ,^ dv dz , 

—^ dox -, 'j- doY - — T- dr,z. 

Ile de (le 

quantité qui se réduit cà zéro. En effet, les points de la ligne déplacée 
ne changeant point de distance, la différentielle prise selon de 
ihr- ^ dy- ^ (Iz- doit être nulle. On a doue l'équation 

dx odx 4- dy odr — dz odz = o. 

(Ui, divisant jiar de et transposant d el c. 

dx ., dy ,^ ''^^ j - 

-7- ao.r -J — y~ (loy ^ ar>: ^ o. 

(le de de 

C'est pourquoi les vitesses virtuelles de deux points quelconcjues de 
la ligne sont les mêmes, de (juelque manière qu'elle soil déplacée. Cette 



VSV STATIQUE. 

proposition ni' signitli' pas (pic la proniii'i'o raison des denx espaces con- 
lcnip(traiiis, parcourus dans le sens de la lii^ne, est ((uijours l'unité, 
mais (|ui' les expressions de ces deux espaces ne peuvent dillérer (|ue 
dans les parties où les dimensions des variations sont élevées. 

G. Si l'on considère denx l'orces (|ui se font é(|uilihre étant appli- 
quées aux extrémités d'un iil inexteiisilde, il sera facile de connaître 
leur inoment total pour un déplacenieni compatiMe avec la nature; du 
corps en é(|uililjre. il suit de l'article précédent que le moment est 
nul toutes les fois (]ue la ilistance est conservée, c'est-à-dire loi'S(|ue 
ré(|natioii de condition est satisfaite. Pour tons les antres déplace- 
ments jiossililes, le moment est positif, et le système en équiliitre ne 
jieiit être troublé de manière que le moment total soit négatif. 

7. ('oncevons maintenant que deux surfaces inllexibles se résistent 
mutiudlement , étant pressées au |ioiiil du contact par deux forces 
égales, contraires, et perpendiculaires an plan du contact : il s'agit de 
trouver la valeur du moment total pour un dérangement queleoii(|ne 
du sysli'me en écjuilibre. Si l'on regarde chacune des normales C(Uiime 
une ligne iiillexihle, on pourra appliiiuer les forces à des points quel- 
coii(|ues de leur direction sans (|ue la valeur du moment total du ii 
un déplacement (jnelconque du système dili'i're de (elle qu'on aurait 
obtenue d'abord pour ce même dé|)lacement. Or (Ui peut remarcjucr 
!]iie, si l'on désigne en dedans des surfaces deux points des perpendi- 
culaires Iri's voisins du point de contact, ces denx points ne peuvent 
être moins distants qu'ils ne le sont présentement dans la situation de 
l'équilibre; eu sorte que la dislance augmente, ou ne cbange [loint. 
toutes les fois (jne le système est dérangé. Cette premii're distance est 
(loue la moindre de toutes cidics (|iii (uil lieu liu'siju'on l'ait varier la 
position res|ie(iiv(i des deux siiperlicies (|ui ne cessent pas de se tou- 
clirr: cl, la loi de continuité etaiil observée, il est nécessaire (jiie la dif- 
fercnliidle soit nulle. D'un autre C('ite, le moment total des deux forces 
est proportionnel ii la variation de la distance des denx points (|n'elles 
sollicitent ; donc ce moment total est nul, quel (]ue soit le déplacement. 



STATIOLE. 'kS.J 

8. On peut parvenir directement à ce résultat par l'énumération des 
dérangements simples que le système des deux surfaces peut éprouver. 
Kn effet, on peut choisir à volonté un point sur chacune des deux sur- 
faces, et, regardant l'une comme lixe, phicer Tautre de manière (pic 
les deux points désignés se confondent dans le contact; puis, sans (|ne 
ce contact cesse d'avoii' lieu entre les mêmes ])oints. faire tourner 
d'une (|nantité arhitraire la seconde sui'face sur la normale au poiiil 
• lu contact, considérée comme un axe tixi'. De plus, les deux >npei-- 
ticies conservant entre elles la même situation, on peut en déplacer le 
système de la même manière qu'un corps solide. Ainsi, il entre on/e 
(piantités arbitraires dans le dérangement des deux surfaces, savoii' : 
deux pour cliacun des deux points désignés, une pour le mouvement 
autour de la normale, et six (|ui répondent, comme on le sait, au 
deplacejuent d'un système solide. Il suit de la <|ue la somme des deux 
espaces décrits lors du dérangemeiil. cl dans le sens de la normale, 
par les points qui se toncliaient d'ahord est une certaine fonction des 
on/.c indéterminées, lesquelles sont toutes supposées nulles dans la 
situation de l'équilibre. La variation de cette somme, qui est la somme 
des vitesses virtuelles, est doni- une fonction linéaire des variations 
ari)iti'aires de ces indéterminées. Il en résulte un moyen facile de rccon- 
naitre la valeur du moment total du ;i un dérangement quelconque : il 
suffira de faire varier séparément une on plusieurs des onze imlétei'- 
minees, et de distinguer, dans chacun des cas en particulier, la valeur 
du ludiiicnt total; cai' la somme de ces valeurs |)artielles sera la valeui- 
complète du moment. Or il est aisé de i-emanjuer (jue. si l'on fait varier 
les deux premières seulement. (Ui les deux suivantes, ou la cinqnif'me 
seule, ou les six dernières, le moment total des deux forces est toujours 
nul : d'où l'on doit conclure que la somme cherchée des moments des 
deux forces est nulle, de quehjue manière (|ue les deux surfaces soient 
déplacées sans (ju'elles cessent de se toucher. 

Il n'en est pas de même si les deux surfaces se séparaient entière- 
ment lors du déplacement. \n reste, il suit de l'article précédent (jUc 
le moment total, qui est toujours itroportioiuud à la variation de la 



V8G STATIQUE. 

distance des deux points (juc les forces sollicitent, et ([ui est de même 
signe, parce (|ue les forces tendent ii diminuer la distance, est néces- 
sairement uni ou positif, (|uel (|ue soit le dérangement qui survienne 
dans la situation des deux surfaces. Ainsi on ne peut pas les faire 
S(n'(ir de la position actuelle de l'équililii-e de manière (|ue le moment 
ait une valeur négative. 

U. Les principes qui viennent d'être exposés suffisent pour déter- 
miiiei' directement, et, poui' ainsi dire, a //non, la valeur du moment 
des forces qui se font éfjuilihre sur un système quelconque, solide, 
tlexihle ou lluide. 

On peut remarcjucr d'abord qu'il suit de l'article 3 que, si des forces 
sont a|)pli(|uées à un point et qu'on leur substitue leur résultante, le 
momeul de celte deinière i'orce, dû à un déplacement quelconcjue, es! 
le même (|ue la somme des moments des composantes pour ce même 
iléplacement. D'un autre coté, le moment d'une force ne change |)oinf 
lors(ju'on l'applique à différents points de sa direction (art. 4). De 
plus, si plusieurs forces parallèles sollicitent un plan, la somme île 
leurs moments sera égale au moment de leur résultante pour un déran- 
gement ()uelconque du plan. Nous ne nous arrêtons point à la démon- 
stration de cette dernière proposition, (|ui peut, d'ailleurs, être regardée 
comme une conséquence des deux précédentes. Les procédés de la 
couq)osi(ion et décomposition des forces, se réduisant à prohuigcr les 
directions des iorces et à composer les i'orces parallides ou celles ([ni 
agissent sur n\[ |ioint, il en résulte celte propriété générale des mo- 
menls, (|n"on ne change pas le moment total des forces pour un dépla- 
cement (|U(dcon(iue, en leur substituant leurs l'ésultantes, ou les com- 
binant suivant les règles connues de la composition et décomposition 
des forces. Ainsi le moment des forces est constant, tant {|ue l'elfel 
(|u'elles tendent à produire n'est point changé. 

iO. C.etle remarque s'applique nalurellenuMità l'équilibre des c(H-ps 
ilurs : en ellêt, si l'on suppose que plusieurs forces appliquées ii un 
ccnps solide se font équilibre, e! cpi'on se pro|)ose de connailre la 



STATIOUE. 



V87 



\;il('iir du moment de ces forces lorsque le corps éprouve un dépla- 
cement quelconque, il suftira de déterminer les résultantes des forces. 
et d'estimer le moment de ces résultantes pour le même déplacement. 
Or, si l'on prolonge les directions des forces jusiju'à la rencontre d'un 
plan commun, qu'il ces ])()inls de rencontri' on décompose clia(|uc 
force en deux, dont Tune sera dans le plan et la seconde perpendicu- 
laire au plan, il sera d'aliord nécessaire, comme on peut s'en assurer, 
i[ue les forces perpendiculaires se détruisent séparément et se réduisent 
à deux résultantes égales, conti'aires, et appliquées au même point. De 
même, en prolongeant les directions des forces qui agissent dans le 
plan jus(|u";i la rencontre d'une commune ligne, et décomposant cha- 
cune d'elles en deux, dont l'une c^l perpendiculaire à la lii^ne, et 
l'autre est dirigée suivant celle li;iiie, il faudra (|uc ces forces perpen- 
diculaires il la ligne aient deux l'ésullantes égales, contraires, et appli- 
quées au même point. Enfin les forces (|ui agissent dans la direction 
de la ligne se réduisent aussi ii deux (|ui se détruisent entièrement; en 
sorte (jue, en tout équilibre d'un corps dur, il se trouve toujours un 
plan, une ligne et un point sollicités pai' deux forces égales et con- 
traires. Les six résultantes étant ainsi déterminées, il est manifeste 
que leur moment total est toujours nid; d'où l'on doit conclure que, de 
(|utdque manii're qu'on déplaci' un corps solide soumis i> l'action de 
[dusieurs forces qui se détruiseni, la somme des moments de ces forces 
est toujours nulle. 



II. On peut prouver par les mêmes moyens la proposition réci- 
proque, (jui consiste en ce cpie les forces qui sollicitent un cor|)s 
solide se font nécessairement é(juilil)re si la somme de leurs moments 
est nulle pour tous les déplacements possibles. 

L'écjuililjre d'un corps solide libre se réduit toujours ii l'opposition 
directe des forces égales. Si le corps n'est pas libre, ce sont les résis- 
tances (]ui dcliuisent les dernii'res l'ésullantes. Les é(]uations de con- 
dition expriment alors que les points du sysliuiie où les forces résul- 
tantes agissent sont tixés ii des poiiils imniobiles. on ne |teuvent être 



V88 STATIQUE. 

Iransporlés Iiois de cerUiinos surf'at'fs. ('/est [iour(|uoi, pour tous les 
dérangemoiits (jui salisCoiil aux équations de condition, le moment 
des résultantes est nul; done le moment total des forces a|ipli(juées 
est nul pour ces mêmes déplacements. 

Comme il arrive souvent que les points du système s'appuient seu- 
lement sur les obstacles iixes, sans y èli'e attachés, il est évident (|u'il 
\ a (les déplacements possibles qui ne satisfont pas aux. équations de 
condition : on voit encore que, par ces déplacements, le moment des 
i-ésullantes est nécessairement positif, puis(|ne la direction de ces forces 
doit être perpendiculaire- aux surfaces résistantes. Ainsi la somme des 
moments des foiccs appli(|uées est positive pour tous les déplacements 
de c(Mte espi'ce; mais il est impossible ([ue l'on dér'ange un corps dur, 
en é(|uilibre, de sorte ([ue le moment total des forces appliquées soit 
néi^atif. Au reste, si l'on considère les résistances comme des foi'ces, 
ee (|ui fournit, comme on le sait, le moyen d'estimer ces résistances, 
le rorps peut être regardé comme libre, et la somme des moments est 
nulle pour tous les déplacements possibles. 



12. Pour connaître la valeur du moment total des forces (|ui sol- 
licitent un corps dur et se font é(]nilil)re, on j.ourrait distinguer les 
SIX mouvements simples dont un pareil coi'ps est susceptible, et l'on 
reconnaitiait sur-le-diamp (|ue, dans chacun de ces mouvements en 
|iarticulier, la somme des moments est nulle. 

('ette propriété des moments, qui consiste en ce (jue la valeur du 
un)iiient des forces appliquées est la même que celle du moment cor- 
respondant des résultantes, présente une analogie manifeste avec le 
pi'incipe des vitesses virtuelles; car, si ré(|iiilibre d'un certain système 
peut être rc'diiil [):ir les pi'ocêdês de la c()m|)osilion des forces ii l'o])- 
posilion directe de résultantes égales, il s'ensuit (|ue la somme des 
moments des forces ap|)liquées est nulle. On ne peut opci'ci' cette 
réduction sans démontrer en même temps la vérité du principe des 
vilcsses virtuelles. Il nous semble ([ue cctie simple l'cmarque aurait 
épargné ;i Narigucm les détails dans les(|uels il se crut obligé d'entrer 



ST.VTKjrF.. .V80 

lorsqu'il voulut prouver la prop()>iliou de BernouUi : car, ayant le pre- 
mier exprujué les ilillercnles espèces d'équililtre, avec beaucoup de 
sagacité et d'exactitude, par les seuls principes de la composition des 
forces, il avait par cola même établi dans tous ces cas la vérité de celle 
proposition. 

La considération des forces se lie donc nalurellenienl à celle des 
moinenis. Ils se composent de la même manière et se transforment 
par les mêmes procédés. De la vient (ju'ils se déduisent en même 
temps, dans le cas de réquilibre. 

!•]. il est facile d'a[ipli(juer ii rê(|uilibre des corps flexibles les [)rin- 
cipes exposés ci-dessus. 

Concevons un sysième de corps solides unis par des fils inexten- 
sibles et sollicités par tles forces (|uelcon(iues, telles qu'il y ait é(jui- 
libre indépendamment de tonte résistance extérieure; il est question 
de déterminer la valeur du moment total pour un déplacement du svs- 
lènie. On remar(|uei'a d"abord que les forces (|ni sollicitent cliaeun des 
corps pi'is en parliculier se déiruiseiU mutuellement; et ces forces ne 
sont pas seulenieul celles (|ui lui élaieiit appli([iiêes, mais aussi celles 
qui proviennent des résistances ou lensions des fils placés en.lre les 
points de ce corps et les points des coi'ps voisins : la somme dei^ mo- 
ments de ces forces qui ai^'issenl surcliacun des corps est donc nulle 
eu parliculier. tTesl pouniuoi, en considérant à la fois toutes les forces 
qui agissent sur tous les corps, on peut dire (|ue leur moment total est 
nul pour tous les dêpiacemenis imaginables, même pour ceux (jue la 
présence des lils ne permet pas. Il faut mainlenant choisir, parmi ces 
déplacements, ceux qui satisfont aux équations de condition, et cher- 
cher quelle est pour ces dernieis la valeur du moment total des seules 
foi'ces qui proviennent des lensions. On recoinuiit bientôt que cette 
valeur est nulle. En ellct, chacun des (ils es! tiré à ses deux extrémités 
par deux foi'ces égales el contraires; et ces mêmes forces, prises en 
sens opposé, sont précisément celles que l'on pourrait substituer au 
fil sans que l'équilibre fut troublé. Or, la distance des points que ces 
II. 62 



'.!»0 STATIQUE. 

(liuix fbi'ci's tenilenl à ivipprorliiM' ('tant conservée, leur inonient total 
(>s( nul, cl il eu esl de même de toutes les forces de tension prises deux 
;i (li'iix. On doit conehire de là (|iie In somme drs momeuls des seules 
(brces ap[)li(|uées au systi'me eu é((uilii)re est nulle pour tous les dépla- 
cenieuls (|ni satisfont aux équations de eoinlilion. 

Si la distance des extrémités des lils n'est pas conservée lors du dépla- 
cement, connue elle ne peut (|ue devenir moindre, et que les forces que 
nous appelons /î>/'ce.« de tension tendent en effet à la diminuer, il s'ensuit 
(|ue la somme des moments de toutes ces dernières forces est négative : 
c'est [)our(|noi la somme des moments des seules forces apj)liquées est 
nécessaireiuiMit positive pour les déran^eni(>nts de cette espJu^e, et le 
svsti'nie eu écjuilihre ne peut jamais être déplacé de manière ([ue le 
moment des forces soit négatif. 

l'i. Su[)posons maintenant (|u'un amas indéfini de corps durs, de 
figure et de dimensions (|uelcoii(|ues, soit sollicité par des forces aux- 
quelles CCS corps résistent, en se servant mutuellement d'ap|)ui, t(d- 
lemeut qu'il y ait é(juilibre; on propose di' déterminer la valeur du 
moment total ()Our un dérangement du système. Pour y parvenir, ou 
remai'(|uera (jue (diacun des corps est en éijuililu'e en vertu des forces 
(]ui peuvent lui élre appliquées et de celles qui équivalent aux résis- 
tances des corps voisins; (|ue ces deruiJ'res forces de pression sont 
égales deux ;t deux cl dirigées en sens contraii'C selon la perpendicu- 
laire au [dan de contact; en sorte que deux forces conjuguées, étant 
prises en sens opposé, tiendraient seules en équilibr»; les superficies 
aiixqindles (dies sont appliquées. U suit de cette dernière condition 
qiM', si le contact dont la pression résulte est conservé, quoique en des 
iiils dijferents, loi's du déplacement du système, le moment total des 
!eux forces est nul; mais que ce moment est négatif si ces deux corps 
se séparent cnliJ'rement. Maintenant, eu considérant ii la fois toutes 
les forces (|ui agissent sur tous les cor|)s, il est certain que la somme 
«II! leurs moments doit être nulle pour tons les déi-angements (|ue l'on 
peut concevoii', même pour ceux (|ui sont empêchés pai' rimpéiiéliahi- 



po 



STMiniE. vni 

li((!' miitiicllc (les solides. Or, |ioiir les déplacements eompalihies avec 
cetle deriiii're eoiiditioii. le iiKiinenl de tontes les forces de pression est 
nul ou néi,'ii[ir. Donc, pour Ions les déran;i'einents possibles, la somme 
des moments des seules i'oices a|)|di(iuées est nulle ou positive : rlle 
est nulle lorsipie les é([ualions (]iii expriment que le eontjef doit avoir 
lieu sont satisfaites, et positive toutes les l'ois (]ue deux corps (jui se 
touchaient et se pressaient sont entièrement séparés : il n'y a aucun 
dérangement possible pour le(|uel la somme des moînents soit néi;alivc. 
Si l'on regardait les fluides incompressibles comme des assemblages 
de molécules extrêmement ténues indépendantes entre elles, et qui se 
résistent mutuellement à la manii're des corps solides, on leura|ipli- 
querait immédiatement le lésultat (pie nous venons d'obtenir, puis(]u"il 
ne dépend ni du mjmbi'c, ni de la li^^uic des corps; mais cette supposi- 
tion, (|ui se piésente si naturellement, ne nous semble pas devoir être 
admise : tout nous avertit, au contraire, que la matière fluide n'esl 
point lin amas de petits corps durs (jui se touchent. Il est vrai que les 
forces qui s'opposent au ra|)pr()chement des éléments voisins pro- 
duisent le même elTet que le e(uitact; c'est pourquoi nous emploierons 
des movens analogues [)our rechercher les conditions de l'équilibre 
des fluides incompressibles. 



I.-). Il est d'abord certain (pu*, si un pareil fluide, soumis à l'action 
de plusieurs forces, demeure en é(|uililire, il n'y a aucun des points 
matériids dont il est conqiosé (jui ne soit sollicité par des forces qui se 
détruisent. Ces forces ne sont pas seulement celles qui étaient appli- 
quées au svstème, mais, de plus, celles qui équivalent aux lésistances 
(lue le fluide oppose à la conqiression : chacune de ces forces de résis- 
tance est le résultat de l'action séparée de certains points de la masse 
sur celui (jm' l'on considi're. Celte action d'un point sur un autre ne 
|)eut s'exercci' (jue dans le sens de la ligne (|ui les joint, (diacun de ces 
deux points en sonll're autant qu'il en pidduit; et ces deux forces, qui 
s'opposent à la compression du lliiide et conlribueiit à en conserver le 
volunu', tendent actuellemeiil à augmente!' la distance des deux points. 



102 STATlQliE. 

Si l'on con.si(l('rt'oii mr-inc l('m[)s los foi'ces appliquées et celles qui pro- 
vicniiiMit ik's rrsislaiices, il esl visililc que la soiinno do l(Mirs monienls 
est nulle pour un (léplaceinent quelconque, conipalible ou non avec l'in- 
compressihililé du iluide. Or ci'tte dernière qualité consiste en ce que 
les forces qui s'opposent à la diminution du volume ne peuvent pas 
être vaincues; ou, ce qui est la même chose, que les distances, que ces 
forces tendent acluellemi'nl à augmenter, ne peuvent pas être rendues 
moiiidi'cs : de soi'te qu'on ne doit pas supj)oser que le Iluide, étant 
incompressible, puisse être déplacé de manii're que C(;s distances 
diminuent. H en faut conclure que la soinme des moments des seules 
forces de résistance ne peut être positive pour aucun des déplacements 
possibles; dofu^ la somme di's moments des seules Ibrces appliquées 
n'est jamais négative, de (juehjue manii're que le système soit déplacé : 
de là il s'ensuit, comme nous allons le pi'ouvei-, que cette somme est 
toujours nulle poui- les déplacements du fluide (|ui satisfont aux équa- 
tions de condition. 

On peut faire voir, en général, que, si les conditions nu\(juelles le 
système matériel est assujetti sont exprimées par des é(juations, et 
ijue pour' aucun des dérangemeuls que le système peut éprouver la 
somme des moments des forces ne soit né:;alive, il est nécessaire 
qu'elle soit nulle lorsipie les é(]uations de condition sont satisfaites. 
En ellel. l'expression analytique du moment total comprenant tou- 
jours les cooi'données des dillérents points du systi'Uie et leurs diffé- 
rentielles linéaires, si l'on did'ércntie les équations de relation entre 
.ces coordonnées, on pourra, dans tous les cas, concevoir, ([uel que soit 
le nombi'C de ces équations, (pi'on s'en sert pour éliminer le plus grand 
nombre possible de dilférenlicllesde la formule qui exprime le moment 
tot;il. Il ne restera |tlus dans cette i'orinule d'autres dilférenlielles (jue 
celles (|u"on doit regarder comme absolument arbitraires. Soient du, 
(la', flti", dit'", ... ces dill'érenticlles restantes, dont les coefficients A, 
B, C, D, ... sont des fonctions des coordonnées, l'uisque. selon l'hypo- 
thèse, la (]uantité 

A du r- lî (/«' + (j du" : l) du" -\- . . . 



STATIOIF.. .',!l:i 

ne pont pas avoir de valciirs negalivcs, il s"(>nsiiil (|irelle n'en pcnl 
avoir non plus de positives; car si. en (léterininant iruiic certaine 
manière les JiHérentielies du. du', du", du', ..., la quantité 

\du — r>dii'^ (>/,/• — ... 

était positive, il sni'lirait de piendre chaenne de ces dilierentielies avec 
un silène contraire pour que sa valeur devint négative : or les varia- 
tions r///. (///', du", du , ... peuvent être choisies à volonté; et, de 
(juehiue inanii're (|ir<in les détermine, il est certain (|uc le deplaceineni 
du système (|ui en résultera sera possible, étant conipatihle avec les 
équations de condiliDU. Donc il airiveriiil (]u"on |)ourrait déranger le 
systènie de manière que la somme des moments des t'nrces tut négative. 
ce qui est contre l'Iiypothèse : ainsi il est néci'ssaire que la quantité 

A du -T- I) du' -+- ('. '/'/" — . . . , 

qui ne peut être ni positive, ni négative, soit toujours nulle lorsijue 
les équations de ct)ndition sont satisfaites. 

Il est aisé d'en taire l'application à l'équililire des tluidcs. En eU'et, 
on exprime par des équations qu'il n'y a aucune des molécules, qu(d(|ne 
petite qu'un la suppose, qui ne conserve son volume; et il est visible 
(jue tous les déplacements pour lesquels cela a lieu sont compaiildes 
avec l'incompressiliilité de la masse fluide. Il suit de cette dcrnii'i'c 
propriété que. pour ehacuii de ces dérangements, la somme i\i'> mo- 
ments des foi'ces appliquées est nulle ou positive : de là, et de ce i|Ui' 
les équations de condition sont remplies, on déduit que cette somme 
est nulle. 

Les fluides incompressibles [irésentent donc aussi ces |)roprielés 
générales, dont la première est le principe des vitesses virtuelles, 
que. de quelque manière que le système en éqnilibre soit déplace, la 
somme des moments des forces est nulle toutes les fois que les e(]ua- 
tions de condition sont satisfaites; (]ue, pour tous les autres déplace- 
ments possibles, le nnunent total est positif, et ([ue, par consecjuent, 
le svstèmc n'en peut éprouver aucun pour le(]iu 1 la somme des mo- 
ments soit négative. 



W* STATIOLE. 

!(). Nous avons (''lô ronduils naturcUomont ;i l'ccoiiuaitre dans un 
système niad'iicl (]ueleon(|uo des forces (]iii s'opposent, dans certains 
corps, an lapprochement des éléments voisins, dans d'autres à leur 
éioignenieni, ou (juelquefois à tout changement de la <lislauce. Au 
lesle. ces expressions ne doivent pas êli'e prises dans un sens absolu : 
les l'orces dont il s'agit ne sont jamais excitées que [)ai' (|uel(jue varia- 
lion dans la distance. La malière des corps durs et des lluides incom- 
pii'ssijdes n'est pas privée d'élasticité. Les raisonnements précédents 
supposent seulement rcxislence de ces l'orces, qui n'est pas incertaine, 
n;ais il se mêle ii l'idée (jue nous nous en lormons aujourd'hui quelque 
chos<î d'oliscnr. L'ignorance oi^i nous sommes de la constitution inlé- 
rienre de la matièi'e ne permet gui're de juger clairement de cette 
action réciproque des points physiques, (|ui conserve les distances et 
[iroti'ge en ([U(d(iue sorte, conti'e tonte action étrangère, la forme par- 
liciiliiu'e du composé. Nous avons déjii évité ces considérations, en 
traitant de ré(]U!lil)re des corps solid(\s, et l'on peut y |)arvenii' de la 
nicme manière dans les deux aud'es cas; mais il y a drs moyens plus 
généraux de trouver les conditions de ré(jnilil)re; nous allons en faire 
usage, et nous étahlii'ons le pi'incipe des vitesses virtuelles sans avoir 
égard à la nature particnlii'ic du système que les forces sollicitent. 
Nous avons pensé (|u'on ne pouvait a|i|)orter trop de soins à présenter 
avec clai'té la démonstration d'un principe (|ui doit servir de base à la 
Mécaniciue. 

II. 



17. Nous avons trouvé dans les articles précédents (|ue la valeur du 
moment des I'oim-cs qui se loni é(|uilibre se réduit toujours ;i zéio, ou, 
plus généralement. (|u'elle est nulle ou positive. \()iei d'aulrt's niovens 
de se convaincre de la vérité de cette proposition : 

Au lieu d(^ transformer, comme nous l'avons fait jusqu'ici, les forces 
(|ui sollicitent le système, nous substituerons à ce système, sur letjuel 
elles agissent, un corps plus simple, mais susceptible d'être déplace 
lie la même manière, et par là nous feions dépendre les conditions de 



STATIOLIE. V!).) 

I'éqiiilil)i'(> (lii syslî'mn dos propriéU's de réqiiilibie du corps (|iii le 
roiiiplace. 

Supposons qm; los |)uissaiu'i>s appliquées à un syslL-me inatéfirl 
solide ou lluide, assujetti h des conditions quelc()ui]ues, aient un nio- 
nieiit total nul pour un certain déplacenienl, il sera laeil(> de reeou- 
uaitre, connue nous allons le prouver rii,'oureuseineiit , (|ue les [)uis- 
sances ne peuvent [loint (qiérer dans le systènie le dérangement eu 
(|ueslion. Soient /^ r/, /■, v. . . . les points où les forces P, Q, R. S, . . . 
sont appli({uées; considéi'ons en particulier le dérangement i]ui a lieu 
lorsque les [)oiiits/), c/. /■, s, .... venanl à se mouvoir suivant des lignes 

(jue nous jiouvons désigner par //, </', /', v' prennent les vitesses 

virtuelles initiales <//>, clq. ch\ t/s. ... rapportées aux directions des 
forces. La valeur du moment est 

et on la suppose nulle; d'oii il s'agit de conclure que ce déplacement 
ne peut pas résulter de l'action des forces. Nous imaginerons un corps 
différent du système, qui passe aussi par les points de l'espace dési- 
gnés par les let(l■es/^ q, r, s, et (jui puisse être tellement dérangé 

que les points/;, c/, r, s étant mus sur les lignes //. c/'. /', .v , .... 

décrivent les espaces infiniment petits contemporains f//), J// , dr, 

ils Il nous sera aisé de démontrer le théorème eu transporlani 

l'action des ibrces sur ce nouveau corps, qui est, comme ou le voit, 
capable des nu'uni's vitesses virtuelles que le système, et que nous 
sup[H)serons de plus ne pouvoir être déplacé que de cette manièi'c. 
Mais il iaul auparavant examiner qu(d peut être ce corps (|ue nous 
substituons au svsti'uie. 



18. On cbei'cliera d'abnrd de quelle manière il faut unir le point /> 
au point y pour qu'en faisant mouvoir ce premier point avec une cer- 
taine vitesse, selon la ligne donnée//, le point q commence à se mou- 
voir suivant la ligne q' avec \\\w vitesse donnée. Oue l'on fasse passer 
par le point/; un plan perpendiculaire à la ligne//, et parle [)oint q un 



496 STATIQUE. 

pliiii p(M'pen(li('uIaiiP à !a lii^nc </'; que par le point /^ on ai)aisse une 
pcM'pcndiculairo h sur la l'oniiiiune inlcfscclion dos deux plans, et que 
par le point on cotte perpondirulairo renoonlre la oonininno intersec- 
tion on élève dans le plan (|ni passe ])ar le point q une seconde per- 
pendiculaire //; enfin, (jU(^ jtar le point </ on abaisse une troisième 
perpendiciilaii'c //" sur la seconde perpendiculaire h' : on pourra 
regarder les doux perpendiculaires A et // comme formant un levier 
dont les deux rayons font un angle invariable mobile autour de la 
commune inlersection , considérée comme un axe. La troisième per- 
pendiculaire //' [UMit aussi représenter uu levier droit moljile autour 
d'un axe fixe, ([ui serait placé dans le second plan, et perpendiculaire 
au levier en un [loint dont le lieu est arbitraire. Si donc on fait mou- 
voir le point /> suivant la ligne //, le levier angulaire communiquera le 
mouvomeni ,à l'extrémité du second rayon; cette extrémité fera mou- 
voir celle du levier droif. et le mouvement initial passera ainsi au 
point c/, dans la direction donnée y'; la position du point d"a[)pui du 
leviei- droit étant arbitraire, on la déterminera de manière que la con- 
dition de la raison proposée dos deux vitesses soit remplie. Si l'on con- 
çoit uu assemblagi; analogue de leviers enire le point c/ et le point/', 
entre le point /'et le point .v, etc., on aniM un nouveau svslèine capable 
des vitesses viiUudios dp, di/, dr. <ls, ..., o'es(-;i-diro susceptible 
(ré[)i-(Mivor le dcplacemenl |)articulier (|no l'on aîtriiuie au premier 
systi'me. el (|ui ne jiourra être dérangé que de cotte manière. 

An reste, il n'est ici quoslion (|ue <lu inouvement initial, el les 
Irvioi's (]ue nous venons de déei'iro soûl propres :i le transmettre. Mais, 
si l'on supposait (]ue les espaces parcouius suivant les lignes //, y', 
/•', . . . soni de grandeur iinie, il faudrait faire quelque cliangemcnt ;i la 
construcli(ui des leviers, en plaçant ii ebacune de leurs extrémités uu 
secteur ([u'un 111 envelopperait. 

1*J. Nous pouvons prouver mainlenanl que les forces qui sollicilenl 
le système n'y occasionneroul pas le déplacement (jui répond aux 
vitesses virluelles dp, dcj, dr, .... Eu ell'el. si ces mêmes forces solli- 



STVTIOLK. W- 

citaient aux points />, q, r. ... rassemlilagc des leviers, qu'on ne sup- 
pose point (rabonl unis au systi'nie, il est certain ([u'elles se (ei'aienf 
équilibre. Cela l'ésulle assez elaii-enieiil du prineipe du levier et de 
celui de la composition des forces pour (|ue nous ne nous arrêtions 
point il le déuioiil!-er : or on doit en conclure (|ue ces niènies forces. 
appli([uées au systl'rne seul, ne feraient [loint éprouver le déplacement 
(jui lient lui être comniun avec les leviers. Supposons le contraire, afin 
de juger si celte liypolliJ'se peut subsister. Les points />, y. /-. \. ... 

venant dmic ;i prendi'c les vitessi^s virtuelles r/p, df/, dr si Ton 

conçoit (|ue le point [> du premier système est uni au |)oint i> du 
second, il en lésultera que l'assemblage des leviers sera entraîné birs 
ilu déplacement que l'iui su]ipose occasionné par les forces, et, par 
bypotbèse, les points y et y, /-et /■, ... <les deux systèmes ne se sépa- 
icront point. De l;i il s'ensuit évidemment que les mêmes mouvements 
auraient lieu si ces points y et y, /"et /•, ... n'étaient pas seulement 
coïncidents, mais unis, ainsi (|ue les points /< et p: conséquence (]u"il 
serait supertlu de démontrer. Ainsi nous sommes obli,i^és do supposer 
t|ue-les forces P. Q. R. ... agissant sur les deux systtMiies réunis, aux 
l)oints p. y. /•, .v produiraient du inouveinent : or cela est impos- 
sible; car muis avons vu que les forces appliquées aux seuls leviers se 
détruiraient muliiellement. Si, dans cet état, on fait coïncitler le pi-e- 
mier systi'ine avec le second et qu'on les unisse, il est manifeste (|ue 
l'équilibre ne peut être troublé. Donc on est |)aiti d'une supposition 
fausse, savoir que les puissances a|q)li(juées au premier système seule- 
ment y occasionneraient le déplacement au(|uel répondent les vitesses 

virtuelles dp. d(j. dr On prouvera de la même manière que (ont 

autre dérangement, [lour lequel le moment total des forces est nul, ne 
peut être occasionné par ces forces; et de là on tire cette conséquence 
paiticulii're, en (]uoi consiste le principe des vitesses virtuelles, (|ue 
si, parmi Ions les dérangements possibles, il n'y eu a aucun qui ne 
réponde ii un moment nul, il doit y avoir équilibre. 

20. Il n'est pas même nécessaire, poui' que les forces se détruisent, 
II. 63 



W8 STATIQUE. 

(|U(' la sDiDiiie (les iniuncnls soit toujours nulle : il snliit (|ircllc ne soif 
pas négative, eu sort(! (}u'il n'y ail aucun déphiceuieut possible pour 
l(Mpiel celte soniuie ne soit nulle ou positive. En ed'et, si celle condi- 
tion est l'cinplie, en conservant la construction (|ui sert de t'oiideUH'nt 
à la dénionstralion précédente, on sera conduit aux mêmes consé- 
quences. On prouve aisément, par la simple théorie du levier, (jiie ces 
forces, iip|)li(juées au second système seulement, ne peuvent v occa- 
sionner un dérangement pour lequel le moment total est positif; et. 
romme on su])pose ([ue la présence des obslacdcs rend tout autre dé))la- 
cement impossilile, il faut (jiie les forces, agissant sur les leviers, les 
maintiennent en é((uilil)re. (let état ne cessei'a point si l'on a[ipli(|ue 
le premier sysli^nic sur le second. Donc ces forces ne peuvent produire, 
séparément, dans le premiei' système, le déplacement en (|uestioii; car 
c(da aurait em'on^ lieu si Ton appliquait h^ secon<l svstinne sur le pre- 
mier; et nous venons de voir ([ue cet elfel est inipossilde. 



21. Uecipro(juement, si des puissances tiennent un svsti'im' malé- 
riid (|U(dcon(|ue en équilibre, il ne peut y avoir am-un déi'an^'euleiil 
possible pour le(|nel la somme di's niomenls soit néj.;a(ive : ce (|ui se 
démonli'e ainsi. Si Ton admet ([ue le svsli'me puisse passer dans une 
t(dl(' [losition qiu' le momeiil des forces soit négalil, il fant eu conclui'c 
([u'il n'y a [loint équilibre; car ré(|uilil)i'e ne cesserait point si ce dejda- 
cemeul devenait seul possibl(^ Il est aisé de se représenter ce dernier 
elfet eu concevant, entre tous les points /a y. r, s, ... (\\\ svsléme, des 
assemblages de leviers pareils à ceux (|ue nous avons décrits ci-dessus. 
el capabbis des vitesses virtuelles qui ré|)ondent au déplacement dont 
il s'ai;it. On n'a pas besoin de démontrer (|ue ré(]uilibre ne serait pas 
troublé par l'apiiosiiion de ces leviers : (U' il est impossible (|u"il n'v ait 
pas du mouviMnent ; car les foi'ccîs se trouveraient alors apiibnpiei's ii un 
assemblag(î de leviers qui ne man(|uei'ait pas d'être drplacé si la somme 
des nmments des forces était négative, ainsi (|u'il résulte de la théorie 
du leviei-. Donc il est nécessaire, dans le cas de l'eiinilibre, (\\ir la 
somme des moments des forces ue soit jamais négative. 



STMIOIE. 



ïm 



22. routes les lois que les dcplacemoiUs que le corps peut éprouver 
sont déterminés pai- des é([ualious de eondition aiiX(|in'lles ils doivent 
satisfaire, le moment total des l'oires (|ui se l'ont é(|uilil)re ne pmit pas 
être positif, ])an-e (jne. si eida avait li(Mi. le moment (|ui l'épond au 
déplacement eoutraire serait né^-atif ( r«//' art. I.")); et comme ce der- 
nier déplaeemeut est én-alement possilde. puis(|n'il satisfait aux é(|ua- 
lions de condition, les forces ne pourraient |)oiut se détruire, comme 
il suit de l'ai'ticle précédent. (Test pour(|Uoi il est rn'icssaiic, dans ce 
cas, que la somme des moments des forces soil nulle pour (|n'il v ait 
équilibre, ce qui est le véritalde sens du principe des vitesses vir- 
tuelles. 3Iais si les déplacements ne sont point assujettis ii des e(|ua- 
tions de eoinlilion, ce (|ni arrive souvent, ré(]uilihre peut sniisister 
sans (|ue le moment des forces soit nul, pourvu qu'il ne soit pas 
négatif. 

Il n'en est pas de même lorsqu'on re^'arde les résistances occasion- 
nées par des obstacles comme des forces appliquées au système. La 
somme des moments des forces doit toujours être égalée ii zéro; mais 
il faut, de plus, avoir égard au signe (|ne le calcul donne pour les forces 
qui tiennent lieu des résistances. 



2'.'>. Nous p(Uivons aussi déduire les conditions généi-ales de ré(ju:- 
lihre des corps de considérations (|ui dill'èrent, ;i (|nel(|ues égards, de 
celles (|ue nous venons d'employer. 

Concevons (|u"uu svsli'uie maleri(d solide on tluide, ou généralement 
d'une nature (juelcon(|ue, et de |)lus assujetti, dans les nn)uvements 
((u'il pourrait prendre, ii de certaines conditions, est sollicité par plu- 
sieurs |)nissances P, O, R, S, . . . ap[»li(|uées aux points p, y, /■, .s, ... ; 
supposons que ré(| nation 

soit satisfaite, qu(dles ([ue soient les variations c//>, i/r/, //r, . . . compa- 
tibles avec les équations de condition; il est ([uestion de prouver (|ue 
le corps demeurera en é(iuilibre. La conclusion sera évidente lorsqu'on 



500 STATIQUE. 

aura déiiiontn'' ccHq proposition pins iit'iiéralc que, si. |M)iir un (It'pla- 
ceniont particulier, rt''([(iation est satisfaite, ce déplacement ne pourra 
être occasionné par les forces, soit (ju'il y ait équilibre ou non. Il l'aul 
«loue imaginer que le corps est déplacé de manière que la somme des 
nnimeiils des forces (pii le sollicitent ii se mouvoir soit nulle, et faire 
voir <|u'il est inqiossilile (|ue les forces lui impriment ce mouvement. 
Nous ferons abstraction de l'action (jue les puissances exerceraient sur 
le corps immédiatement apri'S (pi'il aurait pris une situation dillérente 
de celle qu'il a; car, si la premii're impulsion des forces le maintient en 
équilibre, il ne sei'a pas nécessaire d'avoir égard aux impulsions sub- 
séquentes, les(|nelles pourraient dillerei' des |iremières si le mouve- 
ment avait lieu. Maintenant concevons (|ue la foice P exerce son action 
au moyen d'un til ([ui, étant renvoyé par un anneau tlxe, se réflécliit 
verticalement de bas en liant; son extrémité supérieure est attacbée ;i 
celle d'un levier iiori/ontal ([ui porte un poids à l'autre extrémité; la 
valeur du poids est telle qu'il convient pour leprésenter la force. Le 
lil au(|uel ce poids est attacbé enveloppe un secteur lixe ;i l'extrémité 
lin levier, et passe de suite dans un anni'au de renvoi, au-dessous 
dn([uel le poitls se trouve placé. Il en est de même de toutes les autres 
puissances O, II, S, .... Maintenant, lorsque le point P du système 
(bauge (le |)Ositiijn, en |»rcnant dans la direction de la force une vitesse 

initiale l'cprésentée par f//>, ou, plus exactenn'nl, par --f> le poids se 

meut aussi, et sa vitesse initiale dépend de la construetiou, et particn- 
lii'rement de la raison des deux bras de levier. Mais la vitesse virtuelle 
du |M)ids ne peni diiierei' de celle du point p oh la force P est immé- 
diatiMuent appli(|uée, sans que la quantité de ce poids diU'i'i'e aussi de 
celle de la force P (]ue le poids rem[)lace. Il suit de la simple théorie 
du levier que le moment du poids est égal à celui de la force, ou 
il Vt//>. 

On peiil, aliii de rendre la preuN'e indiqu'iidaute des notions des 
(pianlités iniinimenl petites, supposer que le poids/; ne se meut poini 
en ligne droite et uniformément; mais la ligure du secteur ([ue porte 



STATKMF.. . oOl 

le levior peut être tellement adaptée au iiiouvemeni varié du point j>. 
()u'il en résulte dans le poids un niouvenieiît uniforme suivant uni- 
verticale. Maintenant, comme la consirnelion est arliitraire et (|ni' les 
puissances P. O. R. S. . . . seront toujours remplacées, (juanl ;i Irnr 
elTel acluel. par les poids correspondants pourvu que les (jnanlilés de 
ces poids soient couvenal)les, rien n'empéclie de disposer de la raison 
(les hras de levier eu sorte (|iie tous les [loids aient la même vitesse. 
eu oLservaiit seulement (jue cette vitesse sera positive pour Ions les 
poids (]ui s'élèvent lors du dé|)lacement, et négative pour les autres: 
d-e |)lus. on peut supposer (|ue tous les poids qui s'élèvent coïncident 
au même point de l'espace et que ceux qui s'abaissent se conlondenf 
aussi en un second point placé ;i la même hauteur que le premier. Il 
est aisé de voir que la somme des poids qui s'élèvent doit être éj;ale à 
celle des poids (|ui s'ahaissent. pour que 1 équation 

1» (//) ^ Q ,hi —... — o 

soit satisfaite. C'est pourquoi, si l'on joint par une droite intlexilde les 
deux points où tous les poids sont suspendus, et qu'on fixe au milieu 
un poids double, cette seule force tiendra lieu de toutes celles (jiii 
agissent actuellement sur le systènu'; e( ce (|ui le prouve clairement, 
c'est <]ue ces dernières forces, prises en sens couli-aire. feraient équi- 
libre à la première. On pourra supposer, au lieu de la ligue horizontale, 
une poulie d'un diamètre égal à cette ligne, enveloppée par le prolon- 
gement Ai'i' tils verticaux et chargée à son centre du poids (|ui rem- 
place la force. Il ne reste plus qu'à distinguer si le corps, soumis à la 
seule action du poids, peut éprouver le déplacement dont il s'agit. Or. 
si cela avait lieu, tout le svstème tournerait autour du milieu de l'hori- 
zontale ou du centre de la [)Oulie, c'est-à-dire (iii'uu poids produirait 
seul un mouvement de rotation autour du poini auijuel il est attaché: 
ce dont on pourrait démonti-ei- rimjio.-sibilite si on ne la devait pas 
regarder comme manifeste. 

On peut donc conclure, avec certitiule, que le poids qui remplace 
les forces n'occasionnera point dans le système le dé[)lacement pour 



302 STATIQUE. 

lequel la somme des moments est nulle; que les forces elles-mêmes 
ne peuvent pas produire ee déplacement en vertu de leurs pi'emières 
impulsions; enfin, que cette action des forces ne peut imprimer aucun 
mouvement si, pour chacun en particuliei', la somme des moments est 
nulle. 

i.es transl'iM'mations du genre de celles dont nous venons de faire 
usage nous paraissent fournir le moyen le plus simple de manifester 
rexistence du principe des moments. Si l'on se contentait de substi- 
tuer il chacune des forces un poids attaché à un lil renvové |)ar une 
poulie fixe, on reconnaiti'ait (|ne. pour cha(|ue déplacement du système 
en é<|uilihre, la quantité <le mouvement des poids (jui s'élèvent est 
égale il cidlc des poids (jui s'abaissent; et, quoi(]ue cette remarque ne 
puisse pas être considérée comme une démonstration, néanmoins elle 
ramène le principe des vitesses virtuelles ;i celui de Descartes, ou au 
principe employé par Torricelli. Il est naturel de penser que Jean Ber- 
noulli connaissait quelque construction analogue. On trouve les mêmes 
idées dans un Ouvrage de Carnot, imprimé dès 1783, sous ce titre : 
Essai sur les inachiitcs en gcncral. Ce Traité renferme des vues impor- 
tantes sur la .Mécani(|ue générale, et spécialement sur le principe des 
vitesses virtuelles. 

III. 

l'i. L'équilibre, tel que nous venons de le considérer, est un état 
abstrait que la nature ne présente jamais : la destruction des forces 
n'est |)oint instantanée; à proprement parler, elle ne peut s'opérer 
enlièrement. Les corps en é(|uilibre éprouvent des mouvements peu 
sensibles qui les portent alternativement en deçii et au delii d'un état 
moyen : c'est ce dernier état qui est représenté [lar les formules des 
géomètres. Nous nous pro])osons de déduire des principes exposés 
ci-dessus les conditions de la staliilité de l'équilibre. 

Pour (]ue ré(|uilibre physi(|ue ait lieu, il ne suffit pas que la somme 
des moments des forces soit nulle; car il résulte seulement de cette 
condition (|ue le corps, étant placé dans une certaine situation, la cou- 



;t\tiole. 



303 



servora loujours : mais la staliililr consiste c» ce que le système, étant 
excité par de légères im|iulsi(ms, ne s'écartera pas sensiblement ihi 
lieu (|u'il occupait il'ahord. Supposons donc qu'il en soit ainsi d'un 
corps d'une nature quelronque, soumis à l'action de plusieurs foii-es !'. 
Q, R, S. ... (|ui le maintiennent dans la position A de l'eiiuililu'e. Ou 
voit d'abord (|ue, cet équilibre étant stable, il ne cessera point de l'élic 
si l'on suppose que quel([ues-uns des tléplacements iutinimeni petits 
que le système pourrait éprouver soient rendus impossibles par la pré- 
sence de certains obstacles. (Concevons que le corps puisse être trans- 
porté de A en B, les coordonnées .v, v, :, . . . de ses diUèrenls points 
se cliangeant, lors du déplacement, en .v -^ dv, v -f- dv, :■ — (/:■, ... : 
que, de plus, tout autre déplacement devienne impossible, ellét (|u'il 
est aisé de se représenter (voir art. 21 ). dette dernière cii'constancc ne 
peut pas nuire, ou [dutot elle ne peut ijin' contribuer à la stabilité de 
ré(|uilibre : c'est pourquoi il sera nécessaire ([ue le système, étant placé 
en B, soit sollicité à se mouvoir de B en A, ce quej'on reconnaîtra par 
■ le signe du moment. La valeur du moment est, en général, 

I* ôjj -.- <J 0'/ -- U or T- . . . , 

indi(|uaut les variations dues au déplacement : dans le cas où le 
corps se trouve en B, (die devient 

ou simplement 

d{Vdp — Q 07 -. . .). 

puis(|ue la première partie est nulle par liypolhèse. Maintenant il est 
nécessaire ()ne le déplacemeni de B en A réponde à un moment négatif. 
Pour exprimer l'espèce de ce déplacement, il Tant, au lieu de 0, écrire 
— c/; on a donc, pour la valeur du moment, 

-</(i'r//*-i-Q (/'/-...), 

quantité (|ui doit être néiiative. On reconnaît ainsi ([ue, dans le cas on 
l'ecjuilibre est stable, l'expression 

</(,Pf//'-Q(/'/-Bf//--...) 



oOi STATIQUE. 

doit ('lir posilivo, quels que soienl les accroissemeiils d.v, </y, dz 

supposés d'ailieiirs compaliiiles avec les conditions auxqindles le sys- 
tème est assiijetli. 

25. IJécipi'oqueinent, si c/( Pi'//v + Qc/y + . . . ) est une quantité tou- 
jours positive, le systènie étant supposé placé en A résistera à tout 
eliaiigement d'état; car, de (|uel(|uc inaniJ'rc (|u'on le déplace, il faudra 
détruire la force qui le raniènerait de sa nouvelle position dans la pré- 
cédente s'il n'en pouvait prendre aucune dill'érenle de ces deu\-l;i. 
Ainsi, le corps étant en A, les i'orces ne poui'ront lui imprimer aucun 
noiuvemenl, parce (|ue la somnu' de leurs moments est nulle; et, de 
plus, ces forces j'ésisteront tlans tous les sens aux causes étrangères 
(jiii tendraient à déplacei' le système : or ces deux circonstances ne 
peuvent se l'cnrontrer ((ue dans l'équililtre staMe; d'où il suit que les 
conditions i\v cet é(|uililjre sont : i" que la somme des moments soit 
nulle; 2" (|in> la quantité dilTérenticUe di^V dp + . ..) soit toujours 
positive. 



2(). Nous avons vu (lue ré(|uililire peut avoir lien sans (|ue le 
trmnu'iit total Po/^ + Q oy -1- H o/- -t- . . . soit njl; il sufiit (|u'il soit 
toujtuirs positif: dans ce cas, l'expression 

1* op + Q oy 4- . . . -f- (/( P dp -^ Q ôy -t- . . . ) 

ne se réduit plus ;i la sec(unle [lartie seulement, mais ii la [tremière. 
Si donc au lieu de c) on écrit — (/, on connaîtra (jue la quantité 



(V(lp^(^(l'i 



•) 



doil l(uij(uirs être négative; et, comme cela a lieu pai- liyijotlif'se, il s'en- 
suit (|ue, dans ce cas, r(''(|iiililir(! est toujours stable. Ainsi la comlition 
uni(]ue de ré(|uilil)re pliysi(|ue proprement dit consiste en ce i\w la 
somme des monuMits soif toujours positive; ou, si elle est nulle, ce qui 
doit arriver |)our tous les déplacements déterminés par des é(|uations 
de ciindition, il faut que son accroissement soit toujours positif. Quand 



STATIQIK. .mï 

rolfe coiuUlion n'est pas remplit' pour toutes les situations voisines, 
l'équilibre n'a point lien, et il est impossible <|ue la nature en ollVe 
jamais de semblables. 



'27. Il ne reste plus iju'ii inditiner les moyens de rceonnaîti-e si eeltc 
i[uantilédiiTérenli(dle (/{ V (l[) — ()(/(/ h- . . . ) est toujours [)osilive. Soient 
//, it'. u'\ II'", ... les variables entièremenl arbitraires dont dépendent 
tons les mouvenn-nls possibles du système: on pourra done, [lar des 
éliminations eonvenables. trouver, pour la somiin' des monu-nls 

V dp - Q f/,/^..., 

une expression de cette l'orme 

U>/ii -V'dti - L'dii^^^ l'dii -...: 



l . r , L", \ , ... sont lies fbnetions des variables ii, ii\ u" . ii", .... 
DitTérentianI cette formule et supprimant les termes ([ui contiennent 
r. l'. \ ' , .... parce que (diacun de ces coeftlcients est nul dans le cas 
de l'équilibre, on trouve 

dV du :-(IVdi,'-^<l\'' da"-^..., 
quantité qui est de la l'orme 

a du- ~r l> du du' -^ c du du -\- . . . ^ u' du'- -- h du du -;-...-+-«" du'"- -f- . . . ; 

((, h, c, . . . , a \ 1/ . .... Il . . . . sont des l'oiictions des valeurs (|uc les 
coordonnées ont dans la position de l'équilibre, et ces valeurs sont 
fournies par les é(|nations 

L = O, U'rro, l)^^ O, .... 

Ain.si a. h, r a', h' a", ... sont des constantes connues. 

Si la (|uantité 

Vd/>-^Qd</~Rdr-i-. .. on V du ^ h' du' ^ li" du ^ .. . 

est uiH' différentielle exacte c/V, il est >implcmenî ([uestion de recon- 
naître si V est un minimum : il |iarait même qu'on n'a reclierclié les 
II. 6', 



o06 STATIQUE. 

coiidilioiis (le ro(jiiilil)iT s(al)le que dans ce cas, (lu'on csl Ibmlé à 
regarder conime celui de ia naliirc. L'analyse |)iécédeiUe nous fait voir 
(|iie, dans une liv|iotlièse (|neleon(|ue de forces, on reconnaîtra la sta- 
bilité de ré(|uilil)re en vériliant si la t|uanlité 

(( du- -- h il II du' 4- . . . -T- r/' du'- -t- . . . 

est pusilive pour loiiles les valeurs arhitiaires (|ue l'on |»eut attribuer 

à du. du', du" Celle condition suppose des relations entre les 

(•(leflieienls d, I). c, .... (/' , //, r', ..., c/", ...; et OU les obtiendra de 
la nuMue nianit're (jue s'il s'agissait de distinguer le cas du rnininuini. 

On ((Minait une solution fort simple de cette dernière ([uestion; elle 
se r(''(luit ;i d(''eoinj>osei- la (|iiantité proposée en plusieurs carrés, ce qui 
manifeste sur-le-clianip les relations cliercliées. Si les coefiieients «, ù. 

r u' , h' , i' ((' , . . . s'évanouissent à la fois, la quantité différen- 

tielle (|ui lui succi'de doit avoir aussi des coefticients nuls pour qu'il y 
ait équilibre. Il restera alors à vériiier si la somme des termes où les dif- 
l'erentielles mit quatre dimensions est nécessairement positive. .Mais il 
faut remar(|uei' (ju'ici la mélbode de la décomposition en cari'és n'est 
piHut siiflisanie : nous nous sommes assuré ([ue les relations qu'on en 
déduirait ne seraient pas réciproques, i.a solution généi'ale du pi'o- 
bli'Uie dépend de la tliéoi-ie des é(|nations. 

Nous avons dessein de publier dans ce Uecn(!il une suite de Rlémoires 
contenant des recberches nouv»dles sur la tliéorie des é(|uatious. On se 
propose de reprendre dans son entier le problème de la résolution géné- 
rale des équali(Uis. Ainsi Von aura occasion de traiter la question par- 
ticulière dont il s'agit dans cet article. 



"28. Nous n'avons point considéré les petits mouvenienis (|ue peut 
é|ii'()uvcr le système dans le voisinage de ré(|uilibre. I^a s(dution géné- 
rale du jiroblJ'ine des petites oscillations fournit aussi les conditions 
de la stabilité de ré{juilil)re : et l'on peut eu conclure, de la manière 
1.1 plus directe, (|ue. lors(jue raccroiss(;meut du moment est toujours 
positif, non seulement le corps résiste ii tout cliangenient d'élat, mais 



STMIOLE. 507 

encore il ne doit s'écarter que (oit peu de sa première situation. Cette 
question a été soumise à une analyse très élégante par rillusire auteui' 
lie la Mccdiiiriuc analyli<iii('. 

On peut encore (lénionlrer, par les résultais de celle solution, une 
proposition iniportanle (|ue Daniid lîcruoiilli a connue le [u-einier et 
prouvée dans plusieurs cas parliciiliers : e'esl ([ne les petites oscilla- 
tions des corps se composent d'oscillations simples (jui s'accomplissent 
en même temps sans se nuire (/vw- aussi le premier Vidnme de V Expo- 
sition du Systcme du monde). Sans entrer dans des détails déjà connus 
et qui seraient du ressort de la l)\ nainicpie, je me conlenterai d'ajouter 
les remar(|nes suivantes. (|ui me paraissent appartenir autant à la Pliv- 
sique i^énérale (]u';i la (léomélrie. 

29. On sait que les é(|uations (]ui représentent les petits mouve- 
ments du système sont iln second ordre et linéaires : ces é(|ualious 
sont entre les indéterminées arbitraires dont dépendent toutes les 
coordonnées, lui substituant i\i' nouvcdics indéterminées aii\ précé- 
dentes, on peut, généralement parlant, obtenir des é{|uations séparées 
de la forme 

-pi -i- k^ = o : 

(H- ' 

il est facile de s'en assurer; et cela fournit le moyen d'intégrer les pro- 
posées. On en conclura (|ue. si l'on tixe sur un axe commun horizontal 
différents pendules simples, leurs mouvements peuvent correspondre 
parfaitement avec ceux du systi-me. Le nombre et les longueurs de i-i-)^ 
pendules ne dépendent que de la nature du système et des forces (]ui 
l'animent. Les coordonnées des divers points sont des fonctions linéaires 
des arcs ilécrits par les pendules; la position initiale de ces pendules. 
et les vitesses (|ui leur sont d'abord communiquées, dépendeni de la 
figui'c initiale du système et des impulsions primitives. Ces |)endules 
étant d'abord placés de manii'ro à représente)' le premier état du sys- 
tème, puis abandonnés à l'action de la pesanteur, jointe à la vitesse 
initiale, détermineront à clia(|ue instant la |)osition actuelle du sys- 



508 STATIQUE. 

tî'nio; et tous les mouvements dont le même corps est susceptible 
seront pareillement représentés par ceux du même assemblage de 
pendules. 

Celte construction s'applique aux mouvements de tons les corps en 
général, et il n'y en a aucun dans lequel il ne se trouve certaines indé- 
terminées eiitii'remeni indépendantes entre elles, qui oscillent séparé- 
menl. (Test ainsi que se composent toutes les petites agitations, en 
ap|)arence tumultueuses et confuses, que nous pouvons observer à 
Tapprociie de l'équilibre. 



.')(). Il est aisé de connaître dans quel cas les corps sont disposés ;i 
reprendre leur ligure initiale, dette circonstance dépend des rapports 
de longueurs entre les pendules, c'est-à-dire des dimensions du corps 
et des forces qui le sollicitent. 

i" Lorsque cette disposition existe, l'état initial du corps n'y peut 
appointer de cbangement; el, quel que soit cet étal, le corps reprendra 
sa tigui'C initiale, puis il la quittera pour la reprendre de nouveau : 
loules ces vibrations successives seront de la même durée. 

2" Les impulsions ])rimitives (]ue le corps poui'rait avoir reçues ne 
troublei'onl pas la dis[)osilion dont il s'agit; le corps re|)rendra toujours 
sa premièi'c situation, el les vilcsses initiales sei'ont exaclemeni réta- 
blies. 

)" La durée de ces vibrations ne dépendra ni du la premii're ligure, 
ni des premii'res impulsions, mais seulement de la nature du systènu': 
de sorte ([ue, en quel(|ue lieu qu'il se trouve d'abord placé et de 
(|uel(pic maniiTc (|u'oh le l'rap|ic, il aci-onq)lira ses vibrations dans le 
même temps (|u'il aurait euqdoyé s'il eut de niù dilféicmmcul. C'est 
en cela que consiste l'isoclironisme proi)rement dit, (]ualité singulière 
(pie nous éprouvons dans les corps sonores, et (|ue le Calcul nous 
apprcMul il distinguer, comme on le voit, dans toute matière suscep- 
tible d'osciller régulièrement. (A-tte durée, commune à toutes les oscil- 
lalions possibles, est, :i proprement |)arler, le /o/i du corps, qui cliange 
avec la nature et les dimensions du système, ainsi (ju'il est aisé de le 



STATIQUE. -.m 

remarquer dans le pendule sini|)le. Les eorps se disliibuenl donc en 
deux elasses : eeux qui ne peuvent jamais reprendre leur premièi'e 
figure, et ceux (jui ne peuvent point la perdre, dans ce sens (|u"ils s"v 
retrouvent toujours après un temps déterminé. 

Les conséquences de cette tliéorie générale sont trop multipliées 
pour que leur énumération puisse trouver place dans cet écrit : nous 
avons dû seulement iiuli(]uer ce qui peut contribuer à mieux foire con- 
naître la nature des agitations presque insensibles qui précèdent et 
accompagnent toute espèce d'équilibre. 



IV 



31. Pour rendre complète celte tbéorie de ré(juilil)re. il ne nous 
reste plus ([u'îi traiter des principes mêmes dont nous sommes parti, 
de celui du levier et de celui «le la composition des forces : l'un se 
réduit facilement à l'antre; aussi nous nous occuperons du premier 
seulement. Arcbimi'de a expliqué l'équilibre des poids inégaux dans 
le levier par celui des poids égaux dans la balance. Soit une ligue 
droite cbargée, en cliacune de ses [larlies égales, de poids égaux, et 
en équilibre sur un point tixe placé an milieu : si depuis l'extrémité 
on prend sur la longueur entii'ie 2c/ une longueur 2//, on piuiria, sans 
rompre l'équilibre, réunir au milieu de la ligne 2/? les poids distribués 
sui' cette longueur, et opérer de même sur la ligne restante -la — -j.// : 
alors les bras de levier seront a — h et Ji, et les poids seront pi'0[)or- 
tionnels à li et a — //. 

Il serait inutile de clierclier rien de plus sini[)le que ce raisonne- 
ment; seulement il semble nécessaire de prouver que l'équilibre n'est 
point troublé lors([u'on léunit deux poids égaux au milieu de leur dis-' 
tance; ce qui parait d'autant moins évident ([ue le point d'ap[)ui peut 
se trouver [dacé entre les deux poids. On a remarqué depuis longtemps 
cette imperl'ection de la démonstration irArcliimède (ro?>- les Ouvrages 
de d'Alembert I. et plusieurs géomètres ont tenté d'y remédier. Le 
célèbre Huygens a laissé un écrit particuliei' sui' cet objet. On pour- 



510 STATIQUE. 

mil croire (|irArcliimè(lo nv:iit |iroiiv('' lo Icmmc dont il s'agit, dans nn 
Traité sépiirr sur les centres tic gravité : voici, (mi cHVt, un moyen fur! 
simple (le lever celle pelite difficulté. 



;)2. Il siillil de déni{)nlrer nue deux l'orces égales et parallèles l'uni 
é(|uilibi'e à uni» force douhle placée au milieu de la distance. Eu effet, 
ce lenune étant tnie fois admis, supposons (|n"uii levier en équilibre 
soil chargé, enti'e aulres, de d(Mix [toids égaux P et P aux deux points a 
et h\ si aux deux extrémités et an milieu d'une ligne égale ii la dis- 
tance al) on appli(|ue trois forces parallèles, dont deux soient égales 
et une double et conti'aire, il y aura éiiuilibre. On iieut maintenant 
réunir cette ligne ah en é(|uilibre au levier. (|ni s'y trouve aussi, et 
concevoir (|ue les deux forces égales qui agissent en a et h sont égales 
et contraires aux poids P et P. Il est manifeste que ré(|uilil)re ne peut 
èti'c troublé par cette application de la ligne sui' le levier. Oi', les forces P 
et P se trouvant détruites, il ne restera plus qu'un poids double au 
milieu de la dislance. 

il s'agit maintenant de prouver le lemme en (|ueslion. Je remarque 
d'abord (|ue trois forces égales, (|u'on peut comparer ii trois poids, 
appli(|uées à un point et dirigées suivant les trois rayons ((ui divisent 
le cercle en trois secteurs égaux, se font manifestement é(|uilibre. 



^.-^ 



^ 



-Mainlenanl. par iliacun des points A et H d'une horizontale A15, je 
mi'in' deux lignes (|ui font avec la ligne AB, vX des deux cotés, des 
angles équivalents au tiers d'un droit ; j'apprupie à chacun des points A, 



STVriOl E. 



.•ill 



B. C. D trois forces (|iii se Iniii f(|uiliiiro séparément, et sont loulcs 
escales entre elles. De pins, je snpposc le milieu de la liiiiie sollicite 
pardenx forces doubles des j>récedenles et opposées entre elles. Si la 
tigure est reganlée comme un plan matériel, et la disposition des forces 
telle qu'on le voit ci-contre, il est clair (juc tontes ces forces se dé- 
truisent, excepté celles (|ui se doivent faire e(|uilil)re coni'oiincnn'nl 
au lemme. On uluicnt ainsi la |Meiivc riiiourense de cette proposition. 
(|ni peut d'ailleurs élic deinimlrée de plusieurs maniJ'res. 

.'{;{. Il est aisé mainlenani d'elalilir, au nn)ycn du seul calcul, le 
principe du levier, comme ou [ii'iil le voii' dans les nouveaux Mèmnln-s 
(le Turin, tome 11. En voici wm' démonstration entièrement exacte. Soit 
une force [> a[iplic|uée ii un levier droit en un point a-, dont la distance 
au point d'appui est r: on se propose d'estimer le moment de rotation 
tie celte force, c'est-;i-dire le poids (|ui lui ferait é(|uilil»re étant placé de 
l'autre cùté du point d'apj)ni, ;i une dislance déterminée, qu'on peut 
supposer égale ;i l'unité de mesure. Nous appellerons O ce moment, 
dont la valeur dépend, comme on voit, de p et r; ainsi 

= ?(/'-'■). 
o étant ici l'inconnue. 

.Nous remarquons d'abord i|ue. si /* devenait /> ^ dju r étant con- 
stant, il faudrait aussi augmenter la valeur de Q. Il est manifeste que 
cet accroissement de O u'est rien autre cbose (|uc le moment de rota- 
tion de la force dp agissant ii la distance .r. Donc 

OU, parce que le second meuibre ne (onlieni pas/v. 

iP ( ) 

ainsi Q = ap — h, ou sim|)lemcnt dp. O et/; devant être nuls en même 
temps, quel que soit x. Ainsi, il est prouvé que z.{p,.r) est île la 
i'orma p l ( .r ) . i étant l'inciuinue. 



.il 2 



STATIOllE. 



.Maintenant, si de pari ri d'aulre du point x on prend la distance r. 
et (|n"aux exti'éniifés on applique les forces ^p et '-/>, le moment de 
rotation de ces deux forces, on, ce qui est la même chose, la somme 
des moments île rotation de chacune d'elles sera toujours Q : donc 



ou 



2d(.2-) ^= <!j(j; — e) n- <|(.r-t- e). 



Ditféi'entiant, en regardant (' comme seule variable et représentant 
'/|'|(//)| |)ai' ■\)'(ii)dii, on trouve 



on. faisant 



'y{j.- + e)~'h'{.r — r) 
d/'(-'..r)= ^{o). 
I.e si'iiiiid uH'mhre est une constante inconnue. On a donc aussi 

•li{.r) = n.r -+- h. 



et, intégrant. 



(iiuiime ■-l'(o) = o et '|(i) = i, il s'ensuit que Q =px; ce qui fournit 
le théorème connu. 



-11. Faisons maintenant le rapprochement des did'érentes proposi- 
tions démontrées dans cet écrit, afin de rendre plus sensible leur 
dé|)endance mutuelle. 

Les Crées, qu'on peut regarder comme les inventeurs de la Statique, 
ont fait consister la théorie de l'équilibre dans le seul ])rincipe du 
h'vici'. Descartes et Galilée ont entrevu des vérités plus générales. 
\'arignon, empruntant de Steviii le princi|)e de la composition des 
forces, le choisit pour le fondement de la Mécanique: et les éléments 
de cette science parurent rtre lixés. Hn mémo temps, .l(>an Heinonlli 
proposa le pi'incipe des vitesses virtuelles ou des miunenls : cette 
découverte, dont il est peut-être redevable :i la lecture des écrits de 
Descartes, fut reproduite dans tout son jour, et même rcndiii' plus 



STMIOLE. 01:1 

générale dans la Merdnifjuv <ui<ilyii(iuc. Ce ilernici' Ouvrage, (pie Ton 
doit complei" parmi les plus hclles productions du siècle, offrit la Méca- 
nique sous une foi'nie nouvelle, e( l'un eonnni alors lonic rini[)(»i'lauce 
de la proposition de Bnnoulli. 

Les déuionstr-alions l'apporlécs plus liaiil ni' laissent aucun dcuilc 
sur la vérité de ce principe général: elles servent encore ii en indiquer 
pins exactement la nature et le vérilahli' sens, cl nous conduisent ;i de> 
théorèmes nouveaux. 

Les [)ropriélés de ré(|nililtre dépendent donc enlii'reineul de la con- 
sidération des moments; (dies se deduiseni, avec tonte rexactilude 
i\\n' Ton peut désirer, du seul principe du levier. L'é([uilil)re du levier 
dépend de cidni de la balance: et nous avons ramené ce ilerniei' an ca> 
de trois forces opposées ipii se détruisent évidemment. 

Lorsqu'un corps est soumis ,'i raclioii de plusieurs fVii'ces qui ne se 
font point e([nililii'e. il pemdm plus on nmins, si l'on peut pailer ainsi. 
vers les diverses situations (|ui avoisiuent la sienne. Olte dispositiiui ;i 
être déplacé d'une certaine manii're peut élrc mesurée, et celle mesure 
est le moment. 

Le moment est, au signe pri's, le produit de la force pai' l'ell'et qu'elle 
obtient. 

Le corps [end vers une position domu'c si la somiui» des nioiiionls 
<|ui re|tondeut ii ce (h'placement est négative, cl il prendi'ail cette posi- 
tion s'il ne pouvait se mouvoir autrement : au cinilraire. il est porté à 
s'en éloigner si la somme tics momenis est [losilivc. Ainsi le moment 
n"ex[)rime pas seulement une coml)inais<iii d'idées abstraites, mais on 
peut se 11' représenlcr comme l'exposanl d'une circonstance pliysiqiie, 
savoir de la tendance au déplacement. 

l'armi tontes les situations (fui conviennent à un cor|)s, celle de 
l'équilibre est uni([ue: et. (jiiand le corps v est placé, toutes les antres, 
ou pins exactenieni toutes les situations immedialement |)ro( baines. 
lui sont indifférentes, c'est-à-dire (|ue le moment j)our chacune de ces 
situations est nui. Ce n'est point une imperfection de cette théorie i\i' 
l'équilibre, comme on l'objectait à Descartes, d'avoir ;i considérer les 
II. (y> 



314. STATIQUE. 

petits iiioiivciiuMits (lu systi'iin' : c'est (|u'il est nécessaire de comparer 
l;i position actuelle avec toutes celles (jui l'avoisincnt. 

Lorsque le sysliMiie est en niouvenient, le moment, [)ris en ne con- 
sidérant (]ue le lieu actuel du corps et celui où il se trouvera l'instant 
suivaul, a une infinité de valeurs successives. Tous ces degrés s'accu- 
iiiulenl, pour ainsi dire, dans le mohile, et composent sa forer rive. 
Lors(|u'il n'a plus de i'orce vive à acquérir, le corps est dans la situa- 
tion de l'équilibre relatif; je veux diie (|ue, si on l'v plaçait et (|u"il ne 
put se mouvoii' autrement (ju'il le faisait d'abord, il v denicurei'ait. 

Il n'est pas nécessaiie (|ue le moment soit nul jiour (]ue le corps 
reste en é(|uilibi'o; il suflit (|ue le moment ne soit néi^atif [)onr aucun 
déplaeemeut possible, c'est-ii-dire ijue, de toutes les situations (|ui con- 
viennent au nnibile, il n'y en ait aucune vers la([U(dle il suit porté, soit 
(|u"il n'ait aucune tentlance vers elle, soit (|u'il en ait nue contraire. 
Tids sont les vrais éléments de la Stali(|ue; le principe de la compo- 
sition des forces, la considération des moments de rotation, sont des 
résultats particuliers et i n su l'Usa nts. La théorie générale des nH)ments, 
l(dle (]ue nous venims de re\|)oser, contient toute la science de l'équi- 
libi'c. et a l'avantage de se prêter à l'application du Calcul dilléicnticd 
( roir la Mcca/iit/i/c t(/ui/\-/ii/U('). 

'■]'). Ces propriétés des moments se manifestent de di Hercules ma- 
nii'res; ce (|ui se présente d'abord consiste à cberclier dans tous les 
cas la valeur du moment total. On peut le faire eu distinguant tous 
les mouvements simples dont se forme un mouvement quelcon(|ue d'un 
systinne. Le moment total est la somme des moments dus ti chacun de 
ces miiuveunuils partiels. 

Si l'on sup|iose le systi'tne en équilibre, on trouvera que la valeur 
lin UKimenl est toujours nulle ou jtositive. 

C(da est, pour ainsi dire, évident pour le cas du point en é([uilibre. 
il en est de nn^ne de la ligne droite sollicitée à ses deux extrémités 
par des forces (|ui se détruisent. Par la mémo raison, dans ré(|uilibre 
d'un (il tendu ;i ses deux extrémités, le nnunent est nul ou il est positif. 



STVTIQIE. olo 

Ce résultat a lion aussi dans le cas où deux corps so servant tnntnrllc- 
nient d'appui sont maintenus en é(]iiiii])ie. 

L'effet d'une force ne eliani,'e iioint lors(]u"iin ra|ipli(j(ie ii un point 
quelconque de sa direction, regardée coninie une ligne inllexilile; il en 
est de même du moment de ectte force. 

f 

En général, le imunent des composantes est, pour le même déplace- 
ment, toujours égal à celui des résultantes, (|uoi([iie les unes n'agissent 
pas aux mêmes points que les autres. On démontre d<inc la vérité du 
|)rincipe des moments toutes les fois (jifon ri'duil les forces ([ui se IVuit 
équilibre ii îles irsultantes éiiales et o|iposées. 

Cette réduction se présente d'(dle-méme dans le cas des corps durs: 
et dans tout équilibre d'un paicil corps, il se trouve un plan, une 
ligne et un point pressés par deux forces égales et directement oppo- 
sées : le moment est donc nul dans le cas de l'équilibre. 

Si un système de corps unis |)ar des tils et sollicités par des torces 
qui se détruisent est déplacé de maiiii're que ces tils demeurent tendus, 
le moment est nul: il est jiositif si les extrémités des tils se sont rap- 
prochées; il ne peut jamais être négatif. 

L'n assemblage de molécules solides en équilibre présente les mêmes 
conditions; le moment, ou la lendanee au déplacement, est nul tant que 
les molécules qui se pressaient ne cessent point de se toucher. Pour 
toutes les autres situations, le moment est positif. 

L'é([uilibre îles fluides incompressibles dépend encore de la valeur 
du Uiomenl total. La masse sur lai|uelle agissent les forces qui se 
détruisent ne pourrait changer de situation qu'en augmentant ou 
conservant ou perdant son volume. Le premier cas n'a pas lieu, parce 
(|ue le système a une tendance contraire, c'est-à-dire que les forces ont 
un moment positif pour toutes les situations dans lesquelles cela arri- 
verait; ni le second, parce qu'alors toutes les situations sont indiffé- 
rentes, le moment étant nul; ni le troisième, par hypothèse. 

36. Un peut présenter d'une manière genei"de la |)reuve des propo- 
sitions précédentes. 



,J16 STATIQUE. 

l-oi'S(|irune pdifioii de iiialil'rc solide, llexihlo ou lliiiile, douée ou 
non (l'elaslieilé sensii)le, liln'e ou éiuduvanl la résistance de surfaces 
ou de points lixes, est sollicitée par des forces (|ui se détruisent, chacun 
lie ses points. |nMS séparément, est en éipiililire au moyen des forces 
(|ui peuvent lui être ap|di(|uées et de l'action qu'exercent ininu'dia- 
leuM'iil sur lui d'autres points matériels du systimie. Parmi ces autres 
points, (jui ai;issent sur le pr(>mier, j'en distingue un seul, el je vois 
(|ue le systi'me des deux points en (|in'stioii. considéré isolément, est 
en équilibre; c'est-à-dire que, si l'iui remplaçait par de nouvelles forces 
extérieures c(dles (|ui provienuen t de l'action exei'cée sur cliacun de ces 
deux points par les autres points voisins, il y aurait é(juililire. (h' il est 
certain (|ue l'action recipro(|Ue des deux points éijuivauî à deux foi'ces 
contraires égales et dirigées dans le sens de la ligne (jui joint les 
points. Doue il est nécessaire (]ue les forces (|ui leur sont appliquées 
se réduisent de part et d'autre ii deux forces égales conti'aires et diri- 
gées dans le sens de la ménu' ligne. Si l'action mutuelle des deux 
p(»ints terni actuellement à les éloigner, il faut ([ue les résultantes des 
forces extérieures tendent à les rapprocher; il faut de plus (jue la dis- 
lance des deux jioinls ne puisse pas devenir moindr'e; je veux dire que 
le composé dont ils font partie doit éli'c t(d qu en le déplaçant de toute 
manif're, mais lilirement et en employant une foi'ce infiniment petite, 
les deux points en ([uestioii ne puissi'ut pas se rappr-ocher au priunier 
instant du déplacement, ou, |MUir parler plus exactement, (]ne la dif- 
férentielle première de la distance des deux points ne soit jamais néga- 
tive : cai', si ce rapprochement était possil)le, il aurait lieu en vertu 
des résultantes des forces exléi-ieiires, et le systèu)e des deux |ioinls 
ne serait pas en é(]uilihre. L'existence de cette action récipro(|ue des 
deux points, (|ui s'ojqiose actuidlement à leui" rapprochement, prouve 
doue (|ue le déplacenieni du composé pendant le(|uel ils se rapproche- 
raient n'est pas coiiipatihle avec l'état de ee conq)osé , et ne |ieul se 
làir'e (ju'en liillaiit eonlre des forces (|ui lui sont inhérentes. 

Si les lésultantes des forces a|ipli(|uées aux di^u\ points tendent à 
l(>s éloigner, il faudia, pour les mêmes raisons, (|ue la variation linéaire 



STVTlOn-. ;j)7 

di' Iciii' (lislaiicc ni' [iiiissc jaiimis rtre [losilivc, de (jii('l(|iio iiianiî'i'i' (iiic 
le corps soit (lc|»lacr. 

Il suit (le lii (|iic, dans \r prciniiT cas. les t'(ir(?('s i'(|iiivalcntfs (|iii' 
l'on siiI)slitlH'rail ;i radion des dcii\ poiiils iii' [K-iivcnf pas avoir un 
iiioiiieilt total positif: cl que ilaiis le second, où (dies s'o|iposenl ;i 
l'augmcntatiiin de la dislance, idles ne |)envent pas non pins avoir un 
moment total positif, de (|uel([uc nianii'rc (pie le compose soit déranm'. 
On démontrera de nn^ne (|ne le moment de deux des forces ('(iniva- 
lentes aux résistances mutuelles de deux autres [Kunls ne peut jamais 
devenir positif: et de lii il est aisé de cnuclui'e (pie le niomenl total des 
seules forces appliijnees (jui se f(nil eipiililire ne peut être négatif p<nir 
aucun déplacement. S'il s'aiiit d'un déjilacement (|ni satisfasse à des 
conditions exprimées par des etpiatious. on prouvera facilement (|ue ia 
somme des moments ne |ient ('tre ni néi^ative. ni [lositive. A l'éifard des 
résistances fixes (pie le coi'ps éprouve, il est évident (pie l'action d'un 
point fixe pendant ré(piililiie peut elre remplacée par une force exfe- 
rieui'e. et (|ue le moim'nt de celle fiU'ce, lors d'un (lé|)lacement (pud- 
conque, est nul. S'il s"ai;it d'une surface résistante, la force (|ue r(ni 
|)ourrait substituer à son action lui étant perpendiculaire, le point du 
système (pii éprouve cette action ne peut pas être déplace de manière 
(|ue le moment de la force soit positif: c'est pourquoi la présence des 
obstacles ne cliaui;e rien aux coiisé(piences (pie nous avons déduites 
précédemmenl. 



;37. Au lieu de transformer les forces qui sollicitent le svstl-me, on 
peut le rem|daccr par un nouveau systi'ine capable des mêmes vitesses 
virtuelles (|ue lui et dont les coiiditi(uis de l'écpiilibre soient déjà con- 
nues : on j)rouve de cette manière que si. pour une situation voisine de 
celle (|ue le corps occupe, la somme des mimients est nulle, ou, ;i plus 
forte raison, si (die est |iosilive, il est impossible (pie le corps soit 
déterminé par l'action des forces à prendre celle siuiation. 

Cette proj)ositi(ui est capitale el se tiouve démontrée rigoureuse- 
ment: le principe des moments en est nue consé(]uence évidente. En 



ol8 STATIQUE. 

i;(''iuTal, et soil qu'il y ail équililuc ou uon, le systi'mc ue peut être 
piii'té par les Ibrccs dans uiic positiou pour laquelle la somuie des 
Mionients n'est pas uéi;ative. 

Ou peut ohlfiiir autrcuieul le nirme résultat, et déniontiei' ainsi