Full text of "Oeuvres. Publiées par les soins de J.-A. Serret, sous les auspices du ministre de l'instruction publique"

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ŒliVKES 


DE  LAGRANGE. 


PARIS.   -  niPRlMERH'   DE  GAUTHIKR-VItLARS/SUCCESSEUli  DE  MALLET-KACHELIEU, 

Quai  (les  Aiifjustins,  55. 


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(El  \  Il  ES 


DE  LAORANliE, 


PUBLIEES   l'AU    LKS   SOINS 

DE   M.  J.-A.  S  EUR  ET, 

sous   LES   AUSPICES 

DE  SON  EXCELLENCE 
LE   MINISTRE   DE  L'INSTRUCTION  PUBLIQUE. 


TOME   SIXIÈME. 


PARIS, 


(iAUTHlER-VILLARS,   JMPRIMliUR-IJBRAIRK 

I)K     L'ÉCOLE     POLYTECHNIQUE,     DU    lU'KEAlJ    DES    LONGITUDES, 

SUCCESSEUR  DE  MxVLLET-BACHELIER, 

Quai  des  Auguslins,  55. 

MDCCCLXXIII 


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l 


TROISIÈME  SECTION. 


MÉMOIRES 


KXTRAITS    DKS 


UECIIEILS  DE  L'ACADÉMIE  DES  SCIENCES  DE  PARIS 


LA  CLASSE  DES  SCIENCES  MATHÉMATIQUES  ET  PHYSIQUES 
DE   L'INSTITUT   DE  FRANCE. 


VI. 


RECHERCHES 


LA  LIBRATIOrS  DE  LA  LINE, 


D\NS   LESQIJELLES   ON   TACHE  DE  KÊSOUDRE 


LA   QUKSTION    PKOFOSÉE   PAR   L'ACADÉMIE   ROYALE   DES  SCIENCES 
POUR   LE   PRIX   DE  L'ANNÉE  1764. 


RECHERCHES 


LA  LIBRÂTION  DE  LA  LUNE, 


DANS  LESQUELLES  ON  TACHE  DE  KÉSOIDRE 


LA  QUESTION  PROPOSÉE   PAR  L'ACADÉMIE   ROYALE  DES  SCIINCES 
POUR  LE  PRIX  DE  L'ANNÉE  1764  (*). 


(Prix  de  l'Académie  Royale  des  Sciences  de  Paris,  tome  IX,  1764.) 


I. 

Cet  écrit  a  pour  objet  d'examiner  les  différents  mouvements,  appa- 
rents ou  réels,  que  la  Lune  peut  avoir  autour  de  son  centre.  Je  suppose 
d'abord  que  cette  Planète  a  une  ligure  quelconque;  et  je  cherche  le 
mouvement  qu'elle  doit  recevoir  de  l'action  de  la  Terre  et  du  Soleil. 
Quoiqu'un  très-grand  Géomètre  ait  déjà  donné  des  méthodes  et  des  for- 

(*)  Dans  ce  premier  travail  sur  la  lihration  de  la  Lune,  Lagrange  donne  une  explication 
satisfaisante  du  phénomène  de  l'égalité  entre  les  mouvements  moyens  de  translation  cl  de 
rotation  de  la  Lune  ;  mais  il  n'est  pas  aussi  heureux  à  l'égard  du  phénomène  de  légalité  entre 
le  mouvement  des  nœuds  de  l'équateur  lunaire  et  celui  des  nœuds  de  l'orbite  de  la  Lune  sur 
l'écliptique. 

Il  fallait  de  nouveaux  efforts  pour  obtenir  une  solution  complète  du  Problème  du  mouvement 
de  l'axe  lunaire.  L'illustre  Auteur  y  a  consacré  assurément  de  longues  méditations,  car  ce  nest 
que  seize  années  plus  tard  qu'il  présenta  à  l'Académie  de  Berlin  sa  célèbre  Théorie  de  la 
libration  de  In  Lune.  [OEiwres  de  Lagrange,  t.  V,  p.  i.)  [Note  de  r Éditeur.) 


6  RECHEKCHES 

mules  générales,  qui  peuvent  aisément  s'appliquer  a  la  recherche  dont 
il  s'agit  ici,  néanmoins  il  m'a  paru  plus  commode  de  reprendre  la  ques- 
tion en  entier,  et  de  la  résoudre  par  une  méthode  que  je  crois  nouvelle 
à  plusieurs  égards  et  qui  est  d'un  usage  simple  et  général  pour  tous  les 
Problèmes  de  Dynamique.  Cette  méthode  me  conduit  naturellement  à 
trois  équations  générales,  qui  reviennent  au  même,  pour  le  fond,  que 
celles  (pi'on  trouve  dans  les  Mémoires  de  l'Académie  de  1754,  pages  4^4 
et  425;  et,  pour  en  faciliter  la  comparaison  à  ceux  qui  voudront 
prendre  la  peine  de  la  faire,  j'expose  en  peu  de  mots  les  principales  dif- 
férences qu'il  y  a  entre  elles  par  rapport  à  la  diversité  des  dénomina- 
tions. D'après  ces  é(juations,  j'examine  quels  changements  l'action  de  la 
Terre  et  du  Soleil  doit  produire  dans  la  rotation  de  la  Lune  et  dans  la 
position  de  son  axe.  Après  avoir  prouvé  que  l'action  du  Soleil  est  pres- 
que insensible  par  rapport  à  celle  de  la  Terre,  je  trouve  qu'en  supposant, 
avec  M.  Newton,  que  la  Lune  est  un  sphéroïde  allongé  vers  la  Terre, 
cette  Planète  doit  faire  autour  de  son  axe  une  espèce  de  balancement  ou 
(le  libration,  par  lequel  sa  vitesse  de  rotation  est  tantôt  accélérée,  tantôt 
retardée;  et  j'explique  alors  avec  facilité  pourquoi  la  Lune  doit  nous 
montrer  toujours  à  peu  près  la  même  face,  quoiqu'elle  n'ait  point  reçu 
d'abord,  comme  il  est  très-naturel  de  l'imaginer,  une  rotation  exacte- 
ment égale  à  son  mouvement  moyen  autour  de  la  Terre.  Je  fais  voir  en- 
suite que  l'axe  de  cette  Planète  doit  être  sujet  à  un  mouvement  semblable 
à  celui  de  la  Terre,  comme  M.  d'Alembert  l'a  déjà  démontré  dans  la  sup- 
position que  la  Lune  soit  un  sphéroïde  homogène  et  elliptique  dans  tous 
les  sens;  mais  je  diffère  essentiellement  de  lui  sur  la  quantité  de  la  pré- 
cession et  de  la  nutation  qui  doit  avoir  lieu  dans  cette  hypothèse;  je 
donne  la  raison  de  la  différence  qui  se  trouve  entre  nos  résultats,  en  fai- 
sant voir  que  les  formules  qui  sont  vraies  pour  la  Terre  ne  s'appliquent 
pas  indistinctement  à  la  Lune,  comme  le  suppose  cet  Auteur.  Je  fais  voir 
de  plus  que  la  tigure  de  la  Lune  pourrait  aussi  être  telle  que  la  préces- 
sion de  ses  points  équinoxiaux  fût  exactement,  ou  à  très-peu  près,  égale 
au  mouvement  des  nœuds  de  la  Lune,  comme  l'a  trouvé  AI.  Cassini;  et 
dans  ce  cas  je  démontre  qu'il  ne  doit  plus  y  avoir  de  nutation  sensible 


SUR  LA   LIBUÂTION  DE   LA    LUNE.  7 

dans  l'axe  de  cette  Planète.  Au  resl(ï,  c'est  aux  AstrononK-s  seuls  ;»  nous 
instruire  pleinemciil  lii-dcssiis;  mais,  pour  les  iiirllrc  plus  à  |torl<'c  de 
connaître  ces  dillércnls  niouvcmeiils,  je  propose  des  iiictliodes  (|ii('  je 
crois  assez  simples  pour  déterminer,  par  le  moyen  des  observations  des 
taches  de  la  Lune,  la  position  de  son  axe  de  rotation  et  la  (piantilé  de  sa 
libration  tant  apparente  que  réelle. 

Tels  son!,  en  abrégé,  les  points  prin(i[)au\  de  la  Disserlalioii  sui- 
vante. L'Académie  Royale  des  Sciences  ayant  proposé  pour  le  sujd  du 
Prix  de  l'année  prochaine  :  «  Si  l'on  peut  expliquer  par  (|uel(|iu'  raison 
»  physique  pourquoi  la  Lune  nous  présente  toujours  à  peu  pri-s  la  même 
»  face;  et  comment  on  peut  détermiuei-  par  les  obsei'vations  et  par  la 
»  théorie  si  l'axe  de  cette  Planète  est  sujet  à  (juelque  mouvement  pr(q)i(', 
»  semblable  à  celui  qu'on  connaît  dans  l'axe  de  la  Terre,  et  (\u\  pi-oduit 
»  la  précession  des  équinoxes  et  la  nutation  »;  j'ose  lui  présenter  le 
fruit  de  mon  travail  sur  cette  importante  matière.  S'il  ne  répond  pas  en- 
tièrement aux  vues  de  cette  savante  Compagnie,  au  moins  servira-l-il  à 
jeter  de  nouvelles  lumières  sur  un  des  prin(i|)aux  phénomènes  célestes. 

H. 

Comme  il  n'est  question  ici  que  du  mouvenu'Ut  (|ue  la  Lune  doit  avoir 
autour  de  son  centre  de  gravité,  en  vertu  de  l'action  du  Soleil  et  de  la 
Terre,  il  est  évident  qu'on  peut  regarder  le  centn;  de  la  Lune  comme 
immobile  par  rapport  à  la  Terre  et  au  Soleil,  en  transportant  à  ces  deux 
Planètes  en  sens  contraire  le  mouvement  que  la  Lune  a  ié(dleuient  autour 
d'elles,  c'est-à-dire  en  imaginant  que  la  Terre  et  le  Soleil  se  meuvent  au- 
tour du  centre  de  la  Lune,  supposé  fixe,  comme  les  verrait  un  observa- 
teur placé  dans  ce  centre. 

Cela  posé,  j'imagine  par  le  centre  de  la  Lune  un  plan  parallide  :i 
l'écliptique,  aucjuel  je  rapporte  la  position  des  centres  de  la  Teire  et  du 
Soleil,  comme  aussi  celle  de  tous  les  points  de  la  masse  de  la  Lune.  Pour 
cela,  ayant  mené  du  centre  de  cette  Planète  dans  le  |)lan  dont  je  |tar!c 
une  ligne  fixe  et  dirigée  vers  le  premier  point  iVAries.   !a(|uelle   sert 


8  RECHERCHES 

d'axe  commun  à  toutes  les  abscisses  :  soient  x  l'abscisse  et  j  l'ordonnée 
rectangle  (|iii  répondent  à  la  projection  du  centre  de  la  Terre  sur  ce 
plan,  et  soit  z  l'autre  coordonnée  rectangle  qui  exprime  la  distance  du 
centre  de  la  Terre  au  point  qui  en  est  la  projection;  soient  aussi  x' ,  y',  z' 
les  coordonnées  semblables  pour  la  position  du  centre  du  Soleil;  enfin 
soient  X  l'abscisse,  et  Y,  Z  les  deux  ordonnées  correspondantes  à  un 
jxtiiil  (|iu'l(()n(iuc  a  de  la  masse  de  la  Lune. 

Il  est  visible  : 

f''  Que  la  distance  de  ce  point  au  centre  de  la  Terre  sera  exprimée  pai' 


^'x  —  X)'-hir  —  Yy-h{z  —  Z] 


quantité  que  j'appelle  R,  pour  abréger; 

2^  Que  la  distance  du  même  point  au  centre  du  Soleil  sera  exprimée 
de  même  par  la  quantité 


v/(.^'  — Xf +  (j'-  \y-h{z'  —  Z)', 

que  j'appelle  R'. 

Donc,  si  l'on  nomme  T  la  masse  de  la  Terre  et  S  celle  du  Soleil,  chaque 

point  a  de  la  Lune  sera  tiré  par  deux  forces,  l'une  dans  la  direction  de 

T  .  S 

la  ligne  R,  égale  à  r-?  l'autre  suivant  la  ligne  R',  égale  à  jr^- 

De  plus,  si  l'on  prend  l'élément  du  temps  dt  pour  constant,  on  aura 

-TTT'  "TTT'  777  pour  les  forces  accélératrices  dont  le  point  a  est  sollicité 

suivant  la  direction  des  espaces  dX,  dY,  dZ,  qu'il  parcourt  dans  l'in- 
stant dt,  et  il  faudra,  par  le  principe  général  de  la  Dynamique,  que  ces 

T      S 
forces  prises  en  sens  contraire  et  combinées  avec  les  forces  ^^^  vrj:^  tien- 
nent le  système  de  tous  les  points  a,  c'est-à-dire  la  masse  entière  de, la 
Lune,  en  équilibre  autour  de  son  centre  de  gravité  supposé  fixe. 

III. 

C'est  un  principe  généralement  vrai  en  Statique  que,  si  un  système 
quelconque  de  tant  de  corps  ou  de  points  que  l'on  veut,  tirés  elKicim 


SUn   LA   LIBRATION   I)K   LA   LUNE.  9 

par  (les  puissances  qiK'Iconqui's,  csl  cii  ('M|uilil)i'(',  cl  (jn'd!!  ilonnr  à  et' 
système  un  pclil  niotiveiiiciil  (|nclc()ii(|iic,  en  vcriii  (ln(|ncl  cIkkiiic  |)()inl 
parcoure  un  espace  intiniment  pelil,  la  sonnue  des  puissances,  nnilli- 
pliées  cliacuiie  par  l'espace  que  le  iioinl  oii  elle  est  appli(pn''e  |»;M'c(uirl 
suivant  la  direction  de  cette  même  puissance,  sera  toujours  éi^ale  a  zéro. 
Dans  la  question  présente,  si  Ton  iniai^ine  que  les  lii^nes  X,  V,  Z,  H,  R' 
deviennent,  en  variant  intiniment  peu  la  position  de  la  Lune  autour  de 
son  centre, 

X-f-aX,     V-t-r5Y,     Z-^oZ,     K-i-oK,     K'-^oir, 

il  est  facile  de  voir  que  les  dill'eiences 

ôX,  oY,  ôZ,  ôR,  ôl{' 

exprimeront  les  espaces  parcoujiis  en  même  temps  par  le  |)oiiil  y  d;ins 
des  directions  opposées  à  celles  des  puissances 

d'X        d'\        d'Z.       T  S 

^-^'  '--dF'  ^:^'  ""W  "ir^' 

(jui  sont  censées  agir  sur  ce  point;  on  aura  donc,  pour  les  conditions  de 
l'équilibre,  l'équation  générale 


/[ 


d'\  ^     ,^^        d'\ ,     ,-.         d'Z       -,,  T,     ,„,         S 


(II-   '  '         df  '  '       '  dP 

savoir,  en  changeant  les  signes. 


=r:o; 


(A)        ^('ccid'XèX  -h  d'\  d\  -h  d'ZoZ   -\-T  f^  -+.S  r^^=:o. 

Les  quantités  ^X,  5Y,  oZ,  fîR,  oW  ne  sont  autre  chose  que  lesdillereii- 
tielles  des  lignes  X,  Y,  Z  prises  à  l'ordinaire  et  afl'ectées  de  la  caractéris- 
tique ^  au  lieu  de  la  commune  d,  poui-  les  distinguer  des  autres  dilleren- 
tielles  des  mêmes  lignes  qui  ont  rapport  au  mouvement  ré(d  du  (  (ups. 

Quant  au  signe  d'intégration  /  ?  il  i'st  mis  pour  mai(|uer  la  somme 

de  toutes  les  formules  semblables  cjui  lépondent  à  tous  les  élén)enls  y 
de  la  masse  de  la  Lune. 

VL  2 


10  RECHEKCIIES 


IV. 


ScoLii:.  —  Ia'  t)riiHij)('  de  Statique  que  je  viens  d'exposer  n'est,  dans 
le  fond,  (ju'iine  généralisation  de  celui  qu'on  nomme  eoniniunément  le 
principe  des  vitesses  virtuelles,  et  qui  t!sl  reconnu  depuis  longtemps  par 
les  Géomètres  pour  le  principe  fondamental  de  récjuilihre.  M.  Jean  Ber- 
uoiilli  est  le  premier,  que  je  sache,  qui  ait  envisagé  ce  principe  sous  un 
poiiil  (le  vue  général  et  applicable  à  toutes  les  questions  de  Statique, 
comme  on  le  peut  voir  dans  la  Section  IX  de  la  nouvelle  Mécanique  de 
M.  Varignon,  où  cet  habile  Géomètre,  après  avoir  rapporté  d'après 
M.  Bernoulli  le  principe  dont  il  s'agit,  fait  voir,  par  diUerentes  appli- 
cations, (ju'il  conduit  aux  mêmes  conclusions  que  celui  de  la  composi- 
tion des  forces. 

C'est  aussi  ce  même  principe  qui  sert  de  base  à  celui  ([ue  M.  de  Mau- 
pertuis  a  donné  dans  les  Mémoires  de  l'Académie  d(!  1740.  sous  le  nom 
de  loi  du  repos,  et  que  M.  Euler  a  développé  ensuite  et  rendu  très-gé- 
néral dans  les  Mémoires  de  l' Académie  de  Berlin  pour  l'année  lySi. 

lilntin  c'est  de  ce  principe  que  dépend  celui  de  la  conservation  des 
forces  vives,  comme  M.  d'AIembert  l'a  remarqué  le  premier  à  la  fin  de 
sa  Dynamique;  ce  qui  peut  d'ailleurs  se  démontrer  généralement  ainsi. 

Soit  un  système  (|U('l(onque  de  tant  de  corps  <ju'on  voudra  m,  m  , 
m", . , . ,  (|ui  pèsent,  ou  qui  soient  attirés  vers  des  centres  par  des  forces 
(|U('lconques;  soient  P,  Q,  R, . . .  les  forces  qui  agissent  sur  le  corps  m, 
cl  p,  q,  /',...  les  distances  respectives  de  ce  corps  aux  centres  de  ces 
forces;  soient  aussi  P',  Q',  R,  .  . . ,  P",  Q",  R", ...  les  forces  des  corps 
m',  m",...,  et /j  ,  q' ,  /',...,  //,  q",  r",...  leurs  distances  aux  centres  des 
forces;  si  l'on  imagine  ()ue  tous  ces  corps  semeuvent,  durant  un  instant 
quelcon(jue  dt,  par  les  espaces  ds,  ds',  r/,s",...  avec  les  vitesses  t^,  ç^',  (^",..., 
il  faudra,  par  le  principe  général  de  la  Dynamique,  que  le  système  des 
corps  m,  m  ,  m  ,...,  animés  chaïain  des  forces 

1)1  (/v  m' dv'  m"dv" 


SUU    L\    LII{|{\TION    l)K   I.  \    LUNE.  il 

dans  ia  direclioii  mcinc  des  csjjaccs  r/.v,  ds' ,  ds" ,...,  soil  en  ('(|nird)r('  :iv<'c 
les  forces 

mV,   mi),   m\{,..,      m' V  ,   m' (Y ,   m' W , .  .  . ,     m"  P",   m"  Q" ,   ///' K", .......  . 

Or,  si  l'on  considère  le  svsU'nie  pendant  que  les  corps  chanj^ent  intiiii- 

inent  peu  de  position  en  parcourant  les  espaces  ds,  ds',  ds" il  csl 

clair  que 

(/f),   (Iq,   dr,...,     df}',   (hj' ,   r/i ',...,     (//)",  (l(j\   dr",...,... 

exprimeront  les  espaces  parcourus  par  chacun  des  corps,  dans  des  direc- 
tions contraires  à  c(dles  des  forces  P,  Q,  R,...,  P',  Q',  R',...,...;  <>m  aura 
donc,  par  le  principe  de  l'cijuilihre  dont  nous  parlons, 

—  —j—  ds  -!-    inV  [—  dp)  -+-   mQ(—  dq)  4-   mRi^—  dr)  -+- .  . 
-j —  ds'  -+-  m'  V  i  -    (/j/    -+-  nt'Q'  '.  —  dq'    -+-  m'  R'  —  dr'  )  -4-  .  .  .  , 

-  -^-f—  ds"+  m"  P"  -  dp"  ;  +  m" Q"(-  dq" )  -+-  m" U"i  -  dr"  )  -<-  . . 


I  •         1       /  I  ds     ds'     ds"  .   •    »  ' 

Mettant,  au  lieu  de  dt,  ses  valeurs  — »   ^»  ^  '••   et  intei>rant,  on 

aura 

nn-  -h  ni'  v'-  -+-  m"  v"-  -t-  .  .  .  :=  m  V'  -f-  m'  V"'  -I-  m"  \"-  -h  .  .  . 

—  ?,  m 


f  P  d/)    +  ()  dq  -t~   l{  dr  -h...) 

—  2  m'  /  (  P'  dp'  -+-  Q'dq'  -f-  H'  dr'  -h .  . .  ) 

-  2  m"  j\  P"dp"-h  Q"dq"-h  \{"dr"-h  . . .  ) 


V,  V,  V",...  étant  les  valeurs  primitives  de  e,  v',  i>",...;  et  celte  équation 
renferme,  comme  on  le  voit,  la  conservation  des  forces  vives  prise  dans 
toute  son  étendue. 

2. 


12  RECHERCHES 

Au  reste  le  principe  de  Statique  que  je  viens  d'exposer,  étant  t'omhiné 
avec  le  principe  de  Dynamique  donné  par  M.  d'Alemberl,  constitue  une 
espèce  (le  lorinule  générale  qui  renferme  la  solution  d(;  tous  les  Pro- 
blèmes (jui  rci^ardent  le  mouvement  des  corps.  Car  on  aura  toujours  une 
équation  semblable  à  l'écjuation  (Aj  (Article  précédent),  et  toute  la  dif- 
ficulté ne  consistera  plus  qu'à  trouver  l'expression  analytique  des  forces 
qu'on  suppose  agir  sur  les  corps  et  des  lignes  suivant  lesquelles  ces 
forces  agissent,  en  n'employant  dans  ces  expressions  que  le  plus  petit 
nombre  possible  de  variables  indéterminées,  de  manière  que  leurs  diffé- 
rentielles désignées  par  le  ^soient  entièrement  indépendantes  les  unes 
des  autres;  après  (juoi,  faisant  séparément  égaux  à  zéro  les  termes  qui 
se  trouveront  multipliés  par  cbacune  des  diff'érentielles  dont  je  parle, 
on  aura  tout  d'un  coup  autant  d'équations  particulières  qu'il  en  J'audra 
pour  la  solution  du  Problème,  comme  on  le  verra  dans  les  Articles  qui 
suivent. 

V. 

Soient  présentement  : 

n  rincliiiaisoii  du  plan   de  l'équateur  lunaire  par  rapport  à  celui  de 

réclipti([ue; 
c    la  longiliide  du  nœud  descendant  de  l'équateur  lunaire,  c'est-à-dire 

l'angle  que  l'intersection  de  cet  équateur  avec  l'écliptique,  ou  avec 

le  plan  parallèle  à  l'écliptique  et  passant  par  le  centre  de  la  Lune, 

fait  avec  l'axe  des  abscisses  (Article  II); 
'j)  la  distance  d'un  méridien  lunaire  pris  à  volonté  sur  la  sui'face  de  la 

Lune,  et  qu'on  appellera  dorénavant  le  premier  méridien,  au  nœud 

descendant  de  l'équateur,  cette  distance  étant  comptée  à  l'ordinaire 

sur  l'équateur  et  selon  la  suite  des  signes. 

11  est  aisé  de  voir  (|ue  ces  trois  variables  suffiront  pour  déterminer,  à 
cbaque  instant,  la  situation  de  la  Lune  par  rapport  à  son  centre,  qui  est 
censé  immobile;  aussi  ce  seront  les  seules  qu'il  faudra  faire  vai'ier  dans 
les  difTérenlielles  des  lignes  X,  Y,  Z,  R,  R'. 


SUR   LA    LIBRATION   DE   LA   LUNE.  13 

Soiciil  (le  plus  : 

/•  le  rayon  ou  la  distance  d'un  point  (juclconfiu»'  «  au  conlrc  d»'  gravite 
de  la  Lune; 

P  l'angle  que  ce  rayon  iait  avec  h;  [)lan  de  l'équateur,  ou  la  distance  du 
point  a  à  l'équateur  comptée  sur  le  méridien  qui  passe  par  ce  point; 

Q  l'angle  (|ue  le  méridien  passant  par  le  point  y  fail  avec  le  pn-iiiicr  mé- 
ridien, c'est-;i-dire  la  distance  entre  ces  deux  méridiens  coniplcc 
sur  l'équateur  en  allant  d'occident  en  orient. 

Il  est  visible  (jue  ces  trois  nouvelles  indéterminées  ne  dépendent  nul- 
lement de  la  position  de  la  Lune  sur  son  centre,  mais  seulement  de  la  si- 
tuation particulière  de  chacun  de  ces  points  a  par  rai)i)ort  a  tous  les 
autres.  Ainsi  ces  quantités  r,  P,  Q  ne  seront  variables  dans  nos  forum  les 

(|ue  relativement  aux  intégrations  indiquées  par  le  signe  J  dans  l'eci na- 
tion (A). 

Au  reste  il  est  bon  de  remarquer  d'avance  que,  comme  on  suppose  que 
le  centre  de  rotation  de  la  Lune  soit  dans  son  centre  même  de  gravité,  on 
aura,  par  la  propriété  connue  de  ce  centre,  les  trois  conditions  suivantes 


(B) 


ra/sinP  =  o,       farcosP  sinQ  =  o,       /  a/cosP  cosQ  =  o. 


YL 


Maintenant,  pour  avoir  les  valeurs  des  coordonnées  X,  V,  Z  cxpiimees 
rn  r,  P,  Q,  co,  £,  -,  je  considère  que  l'angle  P  peut  être  regardé  coiimic 
exprimant  la  déclinaison  du  point  a  vu  du  centre  de  la  Lune,  et  rapporté 
à  l'équateur  lunaire;  et  que,  dans  cette  supposition,  l'angle  Q  -h  '.),  (pie 
je  nommerai  Q',  pour  abréger,  sera  l'ascension  droite  du  même  point 
comptée  à  l'ordinaire  depuis  le  nœud  descendant  de  l'éiiuateur.  l)om-, 
en  rapportant  le  point  a  au  plan  de  l'écliptique  lunaire  (j'appelle  ainsi  le 
plan  que  nous  avons  imaginé  parallèle  à  réclipti(|ue  et  passaiil  par  le 
centre  de  la  Lunej,  lequel  est  incliné  a  Téqualcur  de  l'angle  r.  on  lion- 


U  RECHEUCHES 

V("i;i  fiicileinciil,  par  les  foimules  do  la  Ti'igoïKMUÔti'ic,  sa  latiludc  que 
j'appellerai/)  et  sa  longitude  que  je  nommerai  q' ;  car  on  aura,  coninie  il 
est  aisé  de  le  démontrer, 

sin;?  —  sinP  ces  -  —  cosPsinQ'sinTT, 

sinP  sinTT  H-  cosP  sinQ'coSTr 
C)  \  """'  ~~  cosp 

CCS  P  CCS  Q' 
cosp 


smq 
cosg' 


Mais  il  est  clair  d'autre  part  que  l'angle/?  n'est  autie  chose  que  l'angle 
tait  parle  rayon  ravec  le  plan  des  X  et  Y;  et  que  q'  -i- ô,  que  je  nomme  q, 
est  l'angle  que  la  projection  de  r  sur  ce  plan  fait  avec  l'axe  des  X  ;  on 
aura  donc,  comuie  il  est  facile  de  le  concevoir  même  sans  figure, 

Z  =  rsinp, 
(Dj  '  Y  :=  rcos/?  sinr/ = /-cos/^  cos^' sine  + /cos/?  sin^'cosE, 

\  \z=  rrosp  cos^  =  rcosp  cosq'cose  —  rcosp  sin^'siru, 

et,  substituant  pour  sin/?,  pour  sin^'  et  cos^'  leur  valeurs  ci-devant, 

/  X  =  /-cosP  cosQ'cost  —  r  cosP  sinQ'sine  cost:  —  /sinP  sine  sin-, 
(E)     l  Y  =/-cosP  cosQ'sine -+- rcosP  sinQ'cose  cost: -I- /-sinPoosesin-, 
\  Z  =  r  sinP  cosTT  — /-cosP  sinQ'sinTT, 

où  l'on  se  resouviendra  que  Q'  —  Q  -f-  '.). 

VII. 

On  diiierentiera  d'abord  ces  valeurs  de  X,  Y',  Z,  en  faisant  vaiier  seu- 
lement f>),  £,  Tî  (Article  V),  et  en  mettant  la  caractéristique  d  au  lieu  de 
la  r/,  pour  avoii'  celles  de  oX,  oY',  oZ;  on  diiierentiera  ensuite  les  mêmes 
valeurs  X,  Y,  Z  deux  fois  à  l'ordinaire,  pour  avoir  les  dilférentio-ditféren- 
tielles  r/-X,  <^-Y,  c/'Z;  après  quoi  on  fera  les  produits  </^X  ^X,  d-\  o\. 


SUR   LA   LIBRATION    DE   LA   LUNE.  I 

r/^Z  fîZ;  et,  apri's  avoir  ofïacé  ce  qui  se  détruit,  et  mis  pour 

sinO'rosQ',     siu^Q',     cos'O' 
leurs  valeurs 

ysinsQ',    }  — ^cos9,Q',    | -h  '  ros-zQ', 
ou  aura 

r-  cos'P[f/(</w-f-  C0S7:</e)  +i  siii  •.'.0'(  siii^7T</£'—  dr.'  i  -4-  (-()s?.Q'  s'ww.d-  di  \ 


<  -t-  /--sinP  cosP[sinQ'  siiirr^^e  -4-  ?.  cos-n  dn  de) 


X  of.y 


X  0£ 


-I-  cosQ'(rf^7r  —  sirnTCOSTrc/e^:] 

/•-  cos' P  ïdicosn  dr,)  -+-  r/s  —  |  si u^tt  de)  —  sin 2 Q'[sin'r  r/o) r/e  -i-| f/f  sin 7:  <•/;:  1]   - 

-t-  COS1Q' [\ d [sin-z de    —  sinr  r/oi^/::]!  j 

+  r^sinP  cosPf  sinQ'[sin7T^/-'»  +  (i(sin27:(/£)]  ^  / 

-4-  cosQ' [sinr: f/o)-' -f-  s'm-îzde do)  ■+■  d  cosz ^tt )]]  1 

-4- /•- sin- P[c?i  siii'Trr/e)] 

;•-  ros^  P  [sin  rr  c/o  c/e  H-  j  sinr  ces  tt  r/£'+  \  d-r.  +  sin  ?.  Q'  (  c/o)  r/r  —  j  sin  -  d-  ■ 

—  cossQ'l  s\WKdr,)de  -+-  fsin::  cour  de-  -+-  ^  d'r.   \^ 

-+-  r'sinP  c.osP[—  sinQ'l?.  cosn  do  de  -+-  cosit  de'  -t-  dor)  )'><èi:. 

I  -\~  cosQ'  d^r.)  -f-  cos~dH\] 

-+-  /•'sin-P[r/=7T  —  sinr  cosrf/e^] 


"  On  multipliera  cette  quantité  par  a,  et  l'on  en  prendra  l'intégrale  <'u 
faisant  varier  seulement  r,  P,  Q  ^Vrticle  V  1;  on  aura  ainsi  la  valeur  de 

jx^d'XèX  +  d'\  ÔY  -+-  d'Z az :, 

(ju'il  faudra  substituer  dans  l'équation  f  A^,  Article  III. 


16  RÉCIIEKCIIES 


Vlll. 


Remarque.  —  Il  va  plusieurs  moyens  (ral)réger  le  calcul  de  la  va- 
leur de 

cP\  ÔX  +  d'\'  ÔY  -f-  cP'L  ÔZ  ; 

en  voici  un  (jui  (|uoi(|ue  indirect  est  néanmoins  préférable  par  sa  simpli- 
cité et  sa  généralité.  On  commencera  par  chercher  la  valeur  de 

et  pour  ce  j'observerai,  dans  la  supposition  présente,  que  la  valeur  de  X 
devient  celle  de  Y,  en  mettant  simplement  —  coss  à  la  place  de  sins,  et 
siuc  à  la  placé  de  cose,  c'est-à-dire  en  augmentant  l'angle  s  de  90  degrés; 
ce  qui  aura  par  conséquent  lieu  aussi  dans  les  valeurs  de  d\^  et  de  d\'^  ; 
d'où  il  s'ensuit  que,  dès  que  Ton  aura  la  valeur  de  d'X,  on  en  pourra  tirer 
tout  de  suite  celle  de  dX--^dY^,  en  négligeant  simplement  dans  le  carré 
de  d\  tous  les  termes  qui  renfermeraient  sinecose,  et  effaçant  dans  lés 
autres  les  carrés  sin^s  et  cos-s;  après  cela  il  n'y  aura  plus  qu'à  faire  le 
carré  de  d/u,  et  l'on  aura,  après  quelques  réductions, 

ff\' -h  d\\-h  dZ' 

=  r^  cos'P[^o)'  +  2  cosTr  f/w  ds  -h  de- — -^  sin'7:  f/e-  -+-  ^  dz- 

-+-  7COS2Q'  sin-rr/e^  —  dn-}  —  siniQ'sinzd- de] 

-h  2/-'sinP  cosP[sinQ'(sinTrrfo)f/£  -+-  sin- costt*'/*^) 
-f-  COsQ'idod-  -t-  cos-ndsdi:)] 

-+-  /■;  sin'P  [sin-Tzde'  -+-  dv:']. 

Je  dillérentic  à  présent  cette  é({uation  par  rj,  c'est-à-dire  en  affectant 
les  diflérentielles  de  0  au  lieu  de  d;  j'aurai,  après  avoir  divisé  par  2, 

^X  Ôf/X  +  dYèdY  +  dZàdZ 

=  r'^  cos^ P  [ f/w  ô  do)  -+-  ces 7:  di  0  dfj)  -f-  cos t:  f/w  d,de  —  si n  r  do)  r/e  or  4- . . .]  -f- 

Je  ne  mets  pas  cette  différentielle  en  entier  parce  que  je  ne  veux  que 


SUK    I.\    LIHKAÏION    DE   LA    LU.NK.  17 

donner  une  idée  de  la  iiiélliodc  (|ii('  je  [H'oposc.  .Mainiciiaiil  je  coiisicJèrc 
(JIK'  ^ (IX  (îst  la  niriiic  chose  (|nc  c/oX,  coimiH'  il  est  aise  de  s'en  coiivain- 
creen  considéranl  la  iialmc  du  (lalciil  diUV'if'nrKd  ;  il  en  csl  de  inèiiic  des 
autres  difTérences  afi'ectéos  de  o(/;  on  peut  donc  mettre  pai  loin  f/o  au 
lieu  de  fW,  et  l'on  auia 

d\  ddX  -+-  d\  dàY  +  d'A  doL 

=  /■'  C0S'P(^/w  r/(5ù)  -f-  rosTîr/e  dnu)  -f-  ros7:<^/(.)  dût  —  s\i\r.  (/'jide  or.  ..)+...  . 

On  prendra  Tintéi^rale  de  eelte  équation,  et,  regardant  les  difFérences 
alleetées  de  ^  comme  de  simples  variables,  on  fera  disparaître  leurs  dif- 
férentielles par  l'opération  assez  connue  des  intégrations  par  partie;  ce 
qui  donnera 

r/XoX  -+-  r/VoY  +  rflrTl  ~   UrPXôX  ^   rP  \  (JY  ^  r/'ZoZ) 
=  /•'  COS^  P  (  fffj)  OM  -(-  COS-ndi  riM  -h  COSTT  r/f.)  rîj  -+-...)-+-..  . 

—  /     /•-COS^P[<'/-wfî&)  -h  r/(coS7Tr/£)r]'to  +  d[cos-doi)rJi  -t-  sin-f/wr/î  'It  ■+■ .  .  .] -h  .  .  A. 

Or  il  est  aisé  de  comprendre  que  cette  équation  doit  être  identique  et 
que  par  conséquent  il  faut  que  la  partie  algébrique  du  preniier  nieMd)re 
soit  égale  à  la  partie  algébrique  du  second,  et  la  partie  intégrale  à  la  par- 
tie intégrale;  donc,. n'ayant  égard  qu'à  la  partie  intéi>i-ale  de  l'un  et  de 

l'autre  membre,  et  ôtant  le  signe  / ,  on  aura  sur-le-cliamp 

d'  X  0  X  -+-  d' Y  0  Y  -+-  d' Z  rîZ 

=  /•^cos-'P[<'/^^)  0'j>  ■+-  d{  cos-ds)  o«  -f-  d{cos-do>]  rh  -+-  sinTT  douh  o-  -h  .  .  .]  h-  .  .  .  . 

On  peut  remarquer  encore  cjue  cette  valeui-  ne  dillere  de  celle  de 

d\  0  d\  -h  d\  0  d\  -h  d'L  6  r/V,, 

qu'en  ce  (|iie  la  lettre  d  q[\\  était  après  la  o  dans  les  ditlérenlielles  allee- 
tées de  0^/  se  trouve  maintenant  devant  les  (|uantités  mêmes  (|ui  iiiulli- 
plient  ces  dilïérentielles,  et  (|ue  les  autres  termes,  (pii  ne  renlei  nient 
M.  •  3 


18  KECHEKCHES 

point  de  semblables  différentielles,  ont  des  signes  contraires.  Ainsi,  ayant 

la  valeur  dr 

d\'  +  r/Y^  +  (17?, 

on  aura  facilement  celle  de 

d'  X  âX  +  </»  Y  ÔY  -^  d' Z  oZ, 

dont  ou  a  besoin  dans  la  solution  de  tous  les  Problèmes  de  Dynamique 

(jiroM  voudra  traiter  suivant  notre  méthode. 

IX. 

Jusqu'ici  la  position  de  l'axe  de  rotation,  autour  duquel  nous  suppo- 
sons que  la  Lune  tourne  en  décrivant  d'occident  en  orient  l'angle  r,j,  est 
absolument  arbitraire,  et  nous  pouri'ons  prendre  telh;  liijine  (ju'il  nous 
plaira  pourvu  qu'elle  passe  par  le  centre  de  gravité;  mais  le  calcul  sera 
beaucoup  simplitié  si  l'on  suppose  qu'abstraction  faite  des  forces  étran- 
gères, la  rotation  de  la  Lune  doive  être  uniforme,  et  son  axe  une  ligne 
fixe  et  invariable.  Voyons  donc  les  conditions  qui  résultent  de  ces  suppo- 
sitions; pour  cela  il  n'y  a  qu'à  faire 

T  3=  o,     S  =  o 
dans  ré(iuation  (Aj,  ce  (jui  la  réduit  à 

^Cy.{d'XèX-hd'Yè\-\-d'ZèZ):=o; 

et  il  faudra  que  cette  équation  soit  vraie  en  faisant 

f/'o)  =:  O,      dî  =  O,     ^/tt  =  O  ; 

or,  dans  ce  cas,  on  aura  (Article  VII j 

d'\d\  -h  d'Y àY  -^-  d'ZàZ 

=  r^sinP  cosPcosQ'sinTrt/w'ôe  —  r=sinPcosPsinO'r/o)'Ô7:; 


SUK   LA    IJBHATION   DE  LA    LUNE.  19 

donc'  réqualion  à  véritirr  st'i'îi 

siii7:^/(.)'oe   T      ,    .    „         „        /w       '!''<' or.    f      „    .    „         ...    rw 
^-^ I  a/' sinP  rosP  cosQ j-^  I  «/•  sin  I*  rosi*  ■^lllO  rr=  o, 

laquelle  doFine  séparément  les  deux  suivantes  (  Ailielc  I\  ,  ii  l:i  liu^ 
(F)  /  ar^siiil*  cosP  rosQ' rr:  o,       |  «/^^  siii  P  eosP  sitiQ'      o. 

Telles  sont  les  conditions  nécessaires  pour  que  la  Lune  puisse  d'elle- 
même  tourner  uniformément  autour  d'un  axe  fixe;  par  (onsécjuenl  si  l'on 
suppose,  comme  les  observations  de  la  libralion  paraissent  le  démontrer, 
(|ue  ces  conditions  aient  lieu  dans  la  rotation  de  la  Lune,  il  faudra  négli- 
ger, dans  la  valeur  (Article  VII)  de 

(P X  Ô\  -f-  r/-  Y  6\  +  (/' Z  èZ, 

tous  les  termes  où   se   trouvent  sinPcosPcosQ'  et  sinPcosPsinQ';  el 
pour  avoir  l'intégrale 


Çxld'XdX 


-hd'YoY-hfl'ZoZ, 


il  n'v  aura  plus  qu'à  mettre  au  lieu  de  Q'  sa  valeur  Q  -4-  oj;  ce  i|ni  donne 

cos2Q'=  cos?.Qros20)  —  sin?Q.sin:>^), 
sin?.Q'  ^rr  P0S2Q  sin?.''»)  -f-  siiioQ  cas-?.',). 

En  supposant,  pour  abréger, 

|a/    cos'P       H,       /«/-sin'P    -k, 

/  ar-'eos'PcosaQ  —  M,       /  ar' cos'P  sinaQ  =  N, 

on  tr(»Mvei'a  poni'  la  valeur  de 

—  I  oc{d'\o\-h  >h V  è\  -t-  (h /.  oZ 


(T.) 


3. 


20  RECHERCHES 

une  expression  de  cette  forme 

ilôco-t-Eôe-f-HâTT, 
dans  laquelle 

il  =  — y — — — -  H  H T- —  (  M  sin  2  <■,)  +  N  cos  ?.  w ) 

dt-  2  dt^ 

sinnd-nde  ,.,  -,    .         , 

H -T^ (M  005203  —  N  sin2&)), 

E  = ^^^^ H  +  —^^ (K  -  ^H) 

^  (M  Sin20)  H-  NC0S2r,)) 


dr- 

\disin-Ti  dt)  —  sitiTTc/M  dn 
dp 


M  cos  2  0)  —  Nsin2  0)), 


n  _  —^^ H  +  ^  (^H  +  K)  4- ^j^^ (,H  -  K 

f/&)J7T  — 4sin7Tf/^£     -_     ,  TVT  ^ 
(  M  81112  0)  H-  JN  cos  2  0)) 


dV 
s'\m:d(,ide  -f-  ^d^n  -+-  ysin::  cosTrt/e' 


(  M  cos  2  0)  —  N  sin  a  o)  ; 


X. 

ScoLiE  I.  —  On  aurait  tort  de  croire  que  les  conditions 

1  ocr'  sinPcosPcosQ'  =  o,        /  ar^sinP  cosP  sinQ'=  o 

rendissent  notre  solution  moins  générale;  car  je  vais  démontrer  que, 
dans  (juelque  corps  (jue  ce  soit,  on  peut  toujours  trouver  trois  axes  qui 
passent  par  le  centre  de  gravité,  par  rapport  à  chacun  des(|uels  ces  deux 
équations  aient  lieu  en  même  temps. 

Pour  cela,  imaginons  pour  un  moment  que  la  position  de  la  Lune, 
(|ue  je  considérerai  ici  comme  un  corps  quelcon(|uc,  soit  tixe  par  rap- 


SUU   LA   LIRRATION   DE   LA   LUNE.  21 

poil  ;m   plan  de  son  (''clipt'Kjiic;  et  cherchons  \;\  position  du   phm  dr 
ré(|iiateur  de  manière  qnc  l'on  ;iil 

I  ar'sinPcosP  COsQ'  -  o,       /  ar'sInProsI*  sinQ'=  o; 

on  mira  <l'ahord,  en  combinant  les  formules  (C)  de  l'Article  VI, 

sinP  ^=:  sin7:cos;?sin^'  -4- cost:  sin/?, 

cosP  sinQ'=  cost:  cosp  sinq'  —  sinr:  sin/>, 

cosP  cosQ'=  cosp  cos^'; 
donc 

sinPcosPsinQ'  =  sin7i:cosTr(cos'/^sin'i7'—  sin-/>)  -+-  (cos'r  —  sin'Tr)  cos/y  sin/>>  siny' 
sinPcosPcosQ'  =  sinwcos^psin^'cosy'-i-  cosn^sin/>»cos/>cos7', 

et,  en  mettant  pour  q'  sa  valeur  q  —  î  afin  que  l'angle  q'  ail  une  oriiiinc 
fixe, 

sinPcosPsinQ' 
=  sinTT  co97r(cos'/:'  sin'7  cos''î  —  2.co&'p  sin^  cosy  sinecose  -t-  cos^p  cos'7  sin-r  —  sin*/») 
-+-  (cos'tt  — sinV)  [cosp  sïnp  sinr/  cosc  —  cos/ysin/jcosy  sine). 

sinPcosPcosQ' 
=  sin77Cos'/>'sin7COS(/(cos'£  —  sin'e)  -t-  sin  r  sinîcosî  (cos'/^sin'^  —  cos7>»cos'y) 
+  cos7T(sin/>'COS/Jsin7sins  -+-  sin/.'COS/>cosy  cose). 

Donc  si  l'on  fait,  pour  abréger, 

1  ar^  cos'/>  sin'^  =  A,  /  xr-  cos'p  cos-g  —  B, 

/  xr^  ros'/>  situ/  cos^  =  C,  /  xr^  cosp  s\up  sin  7  ~-  |), 

j  ar''  cosp  sin/?  cos^  =  E,  1  xr^  sin'p  —  F, 


•22  .  RECHERCHES 

on  aura 

/  a/'sinPfosPsinU' 
~  sinTTCos7T(Acos^c  —  iC  sinîcosî  -+-  Bsin"^  —  F)  -h  (cos^tt  —  sin^Tr)  (Dcose  —  Esins)  =  o, 

/  xz-^sinPiosPcosQ' 
=  sin-f(A  —  B)  sinîCOS£-i-C(cos'^s  —  sin^c)]  -+- cos7r(Dsinc -+- Ecosi)  =  o, 

deux  ('(|uations  d'où  l'on  tirera  les  valeurs  de  £  et  n. 
L'A  première  nous  donne 

langTT  Esins  — Dcose 


I  —  tang'-        A  cos'à  —  2C  sinecose  -f-  Bsin'e  — F 
et  la  seconde  nous  donne  aussi 

—  Dsine  —  E  cose 


langr  =: 


A  —  B  )  sin  e  cos  e  -+-  C  (  cos'  e  —  sin' e  : 


donc,  chassant  tangTiet  faisant  sins  =  a^  on  aura,  après  les  réductions, 
une  équation  de  cette  forme 

ax  -^  bjc^  -h  {f-\-  gx^  )  v/i  —  x'^=o, 
ilans  laquelle 

a  =  CDK  -f^  EHK  -  C^E  -  2CHD  +  2D=E  -  E', 

b=:-  2CDK  -  EHK  -f-  3CDH  -^  ^C^E  —  3I)^E  +  E% 

/=CEK-C'D-^E'D, 

g^=DHR  — 2CEK  — CEH-f-2CM)+  IP  — H'I)-3E^D, 

K  étant  =A  — F  et  H  =  A  —  B.  Cette  équation,   étant  dégagée  des 
signes  radicaux,  devient  celle-ci 


h^  ^-  g-=  i^  -f-  g-^        '         b^-v-  g 


hKjuelle,  ayant  son  dernier  terme  négatif,  et  ne  renfermant  aucune  puis- 
sance impaire  de  .r,  aura  nécessairement,  comme  on  sait,  au  moins  deux 


SUR   LA   LIBRATION   DE   LA   LUNK.  '  1^ 

racines  réelles  et  égales,  l'une  positive  et  l'autre  négative;  donc,  puisiiuc 

X  f'-\-  £^X' 

lange  =  — =  — ?— :' 

°  ^1 -p»  a  -+-  bx- 

on  aura  au  moins  une  valeur  de  tange,  el  par  ('onsé(|U('nl  de  l'aiiglf  i\ 
et  cette  valeur  étant  substituée  dans  l'expression  de  tang;:  ci-dessus,  on 
aura  l'angle  n  correspondant.  Ayant  les  angles  ê  et  tt,  on  aur;i,  coinnic 
on  le  v(>it,  la  position  du  pian  cherché  de  l'équateur  pai-  rappoil  ;iu  \\\:\\\ 
(loMiic  (le  l'ccliptique.  Si  D  =  o  et  E  =  o,  alors  tang7:  =  o,  cl  le  |)l:iii 
cherché  tomberait  dans  le  plan  donné,  ce  (jui  est  évident,  p;iicc  (jnc  les 
deux  équations 

1  xr^  cosp  sinp  siny  =^  o,      I  xr^  cos/>  sinyv  cosq  ^^  o 

sont  analogues  aux  équations  de  condition 

/  ar'cosPsinPsinQ'=:  o,      i  xr-  cosPsinP  cosQ'=o; 

mais,  (m  reprenant  les  équations  (jui  résultent  immediatenicnl  de  ces 
deux  dernières  équations  et  y  mettant  D  =  o  et  E  =  o,  on  trouve 

sinTT  cos7r(  A  cos'e  —  ?.C  sine  cose  -+-  B  sin'e  —  F)  =  o, 
sin7r[i  A  —  B)  sine  cose  -(-  Cicos'e  —  sin'e)]  ~  o, 

équations  qui,  outre  la  racine  n  =  o,  donnent  encore 

cosTT  =  o,      (A  —  B)  sine  cose  -+-  Cicos'e  —  sin'e  ^  =  o; 

savoir,  en  faisant  tangs  =  t, 

B-  A 

/'  -I-     — Q—     /    —    I    =    O, 

dont  les  d<'ux  racines  sont  nécessairement  réelles,  à  (anse  du  deiniei- 
terme  négatif;  de  là  il  s'ensuit  que  si,  après  avoir  trouvé  par  les  é()u;i- 
tions  ci-dessus  la  position  du  plan  cherché,  on  regarde  niinutcnant  (  <• 


24  RECHERCHES 

plan  comme  donné,  on  trouvera  encore  deux  autres  plans  qui  auront  la 
même  propriété,  et  dont  la  position  par  rapport  à  celui-là  sera  détermi- 
née par  les  équations 

CGsr  =  o,      /H y; —  /  —  I  =  o. 

Donc  :  i**  ces  deux  derniers  plans  couperont  le  premier  à  angles  droits; 
2*^'  ils  se  couperont  l'un  l'autre  avec  un  angle  égal  à  la  différence  des 
angles  qui  ont  pour  tangentes  les  deux  racines  de  l'équation  en  t;  c'est- 
à-dire  qu'en  nommant  t' et  t"  ces  racines,  la  tangente  de  l'angle  en  ques- 
tion sera,  à  cause  de  /'r=  —  i, 

/'  _  t"        t'  —  t" 


/'  t"  O 


XI. 


ScoLiE  II.  —  A  l'égard  des  quantités  H,  K,  M,  N  de  l'Article  IX  Téqua- 
lionsfG;],  il  est  clair  que  leur  valeur  dépend  entièrement  de  la  figure  et 
de  la  constitution  intérieure  de  la  Lune;  car,  soit  D  la  densité  d'une 
particule  quelconque  a,  on  trouvera  aisément 

et  l'on  aura 

H=  Çhi'di'Qos^VdVdq,  K=  Ç h r' chsm'V  cosV (II* (l(), 

M=  |D/v/rcos^P^Pcos2Q(/Q,  N  =  /  Dr'^//ros^P^P  sinaQ^/Q; 

et,  pour  avoir  la  valeur  complète  de  ces  intégrales,  il  faudra,  après  avoir 
substitué  pour  D  sa  valeur  en  r,  P  et  Q,  intégrer  :  i"  en  faisant  variei-  r 
et  en  mettant,  après  l'intégration,  sa  valeur  en  P  et  en  Q,  qui  dép^'iid 
de  la  figure  de  la  Lune;  i^  en  faisant  varier  Q  et  en  mettant,  après  l'in- 
téi^ration  Q  =  c,  o  étant  la  circonférence  d'un  cercle  dont  le  rayon  =  i; 

3"  en  faisant  varier  P  et  en  mettant,  aitrès  l'intégration,  P  --  7,   et  dou- 


SUU   LA    IJBHATION    DE   LA    LUNK.  25 

l)laMt  les  termes.  (]omme  la  tii^qn-c  de  l;i  Liiiic  <'sl  snisiltlciiiciil  s|>licn(|U(', 
(»ii  ne  s'éloiaiiei'a  |)as  de  la  vérilr  en  la  l'ci^ardaiil  coiiimc  l'oiincc  de  dil- 

O  I  ~ 

férentes  couches  à  pni  près  sphéri(|ues  cl  dont  cliaciiiic  soit  partout  de 
la  même  densité;  soit  donc  /'(i  -h  eq)  le  rayon  variai)le  d'iiin'  couclic 
quelconque  de  densité  unii'ornic,  /'  étanl  le  ravon  de  cette  couche,  (|ui 
est  perpendiculaire  au  plan  de  l'écjuateur,  e  uiu;  <|uantilé  constante  très- 
petite,  et  I  une  l'onction  (juclcoiupie  d(;  /',  P  et  Q,  qui  soit  nulle,  lors(jue 
P  =  90".  On  remarquera  :  1"  (jue  la  (juantité  D  sera  une  fonction  de  r' 
seulement;   2''  que,  si  l'on  néglige  les  carrés  et  les  puissances  plus 

Il  ■•  •  I     •  dir'^^)        ^ 

hautes  de  e,  on  aura,  (;n  laisanl,  |)Our  alirei^cr,       ,  ,-    =  X, 

dir'^'f' 
r" dr  =  r"dr'  +  e       .    ^'  dr'  =  r"dr'  -\-  e\di' ; 
clr 

d'où  il  suit  ({u'on  aura 

n=  I  D  r'Ulr'  cos^  P  dP  dQ-he  j  D\  dr'  ces'  P  dV  dQ, 

K=  Cbi-'Ulr'  sin^P  cosP  d^  dQ -\- e  fhXdr' siu'P  cosVdVdQ, 

M=:    /  l)/'^c//'C0S^PC0S2Qf/I>^/O+  e   /   I)\r//-'  C0S'PC0S2Q(/Pr/O, 

N  =  I  D r"dr'  cosn* dV  sin^QdQ  -^  e  C DX dr'  cos'V dV  ^in^Qdi). 

Soit 

fl)r'Ulr'=::F; 

on  aura 

j])r*  dr'  cos'  P  d  V  d()  =  F    /  cos'  P  dV  dQ  —  c  F   Tcos'  V  dV  =  \  c  F  : 

on  trouvera  de  la  même  manière 

/  D  r''  dr'  siii-P  (OS  P  dV  dQ  =  "  cF, 

JDr''dr'  cos^P^/P  cos^Q^/Q  =  o,      JDr'Ulr'  cos^P</P  sïu.iQdQ  =  o; 
VL  4 


H 


26  RECHERCHES 

on  aui"j  donc 


(I 


/  à  irès-pnu  près   ' 
K  =  f  t-F-He  /  I)Xr//'sin^PcosPf/P^/Q  f  K  =  i^cF; 

M       e  1  l)\(/r'  cos'V  (JV  coszQdQ, 

N  =  e  ToX  dr'  cos' P  dV  sin  ?. Q  f/Q. 

D'on  l'on  voit  :  i*'  que  les  cfiiantités  H  et  K  sont  des  quantités  finies: 
a*'  que  les  quantités  M  et  N  sont  des  quantités  très-petites  par  rapport 
à  H  et  K,  étant  de  l'ordre  de  e;  3°  que  la  quantité  K  —  |H  est  aussi  une 
quantité  très-petite  du  même  ordre,  étant  égale  à 

e  TdX  dr'{  sin^  P  —  ',  cos^  P  ;  ces  P  dP  dQ. 

Quant  à  la  masse  de  la  Lune,  on  la  trouve  en  intégrant  l'expression 
de  a,  savoii',  dans  la  supposition  présente, 

0  /V//-  cosP  dP  dQ  rr   D  r"dr'  ces  P  dP  dQ  +  ^  DX'dr'  ri.s  |>  dP  dQ, 
et  son  intégrale  sera 

oV;  /  I)  r"dr'  -¥-  e  j  DXV/r'  ces  P  dP  dQ, 

d' r'^'i 
en  prenant  ici  X'  pour  la  valeur  de      ,  ,  '• 

Donc,  nommant  cette  masse  L,  on  aura,  aux  quantités  de  l'ordre  de  r 
près, 

L  =  2C  j   \)r"dr',      d'où       j\)r''dr'=^- 

Or,  ([uoique  sans  connaître  la  valeur  de  D  on  ne  puisse  délermirier  le 
r;ippoil  (le   F  on  de   jDr'dr'  à    jDr-dr  ,  ou   peut   néanmoins  trouver 


SlJli    L\    LlHKVIiON    l)K    L\    LUNE.  27 

(les  liinilcs  nilic  lesquelles  ee  rapport   doit  nécessairnnciil  (liiiiciircr. 
Il  csl  clair  :  i"  (|iie,  si/exprime  la  valeur  de  r'  à  la  surhice, 

parce  (pic  /•  '  csl  loujours  <lf-r  -\  de  plus  on  ;i 

^'l)/"w/r'-  {Dp-  •   Çr'^dW        j\)r",/r'=\Dp-  '  p-'V/D; 

ce  (|ui  donne 

3/-  ^  1)/'-///'-    5  p)/'«^/r'=  jr'^^r"-/'  'l\) 

égale  a  une  (juantité  positive  si  dD  est  négatif,  cl  a  une  (|u;nitilc  nci-a- 
tive  si  dD  est  positif,  parce  que  /•'-  </';  donc.  2"  si  la  dcnsile  diminue 
du  centre  a  la  circonférence, 

CDr"c/r'<lp  lDr"(lr': 
mais  si  elle  augmente, 

ainsi,  dans  ce  dernier  cas,  la  valeur  de  F  sera  contenue  entre  les  limites 

•^ —      cl     -=  ~ 

2  c  5    2  c 

Si  la  densité  était  partout  la  niéine,  on  aurait  alors 

5    9.  c 

XII. 

ScoLiE  III.  —  On  peut  au  reste  déterminer  l:i  ti-uie  de  h.  I.une  p;ir  l;i 
Théorie,  en  supposant  qu'elle  ait  été  originairement  lluide,  (  t  (|n'<lle  ;iit 
conservé,  en  se  durcissant,  la  forme  qu'elle  aurait  diï  premlie.  en  vertu 
de  la  iiravitation  mutuelle  de  ses  parties,  combinée  avec  l:i  Icrce  eentri- 

4- 


28  KECirERCHES 

fuge  et  avec  l'attraction  de  la  Teire.  Pour  cela,  nous  supposerons  que  le 
premier  méridien  de  la  Lune,  d'où  l'on  commence  à  compter  les  angles  Q, 
soit  celui  qui  passe  |)ar  la  Terre,  lorsque  le  lieu  moyen  de  cette  Planète 
est  égal  à  son  lieu  vrai ,  et  nous  regarderons  l'attraction  de  la  Terre 
coinine  agissant  dans  le  sens  du  diamètre  de  l'équaleur  qui  se  trouv<' 
<lans  le  premier  méridien;  ce  qui  est  vrai  à  très-peu  près,  à  cause  que  la 
Lune  nous  présente  toujours  sensiblement  la  môme  face.  Or  soient  ç/  le 
rapport  de  la  force  centrifuge  à  la  pesanteur  sous  l'équaleur  de  la  Lune 
Ht  0  la  distance  moyenne  du  centre  de  la  Lune  à  la  Terre;  on  trouvera 
généralement  poui'  la  figure  de  chaque  couche 

ç  =  A  cos-P  -¥-  B  ros^P  cos^Q, 

et  les  deux  (juantités  A  (;t  B  seront  déltM-minées  par  les  deux  équations 
suivantes 

/  J)(/(B/'^)  +  /'^fy]  -   f\)dB]  =o, 
\   e  T.p-'     Q.C  ic  J  \         J  ) 

fi  et  n  étant  égales  à  ce  que  deviennent  I  DdA  et  /  DdB,  lorsque  r'=/; 

la  démonstration  de  ces  formules  est  facile  à  trouver  par  les  principes 
établis  par  MM.  Glairaut  et  d'Alembert;  je  ne  la  donne  point  ici,  pour 
ne  pas  m'écarter  trop  de  mon  objet  principal.  On  aura  donc  dans  cette 
hypothèse 

ar'  dr'  dr' 

et  par  conséquent  on  trouvera 

D\ dv' cos^ P dV dQ  ={ic  j  f) di  A r'^ )  -f-  fi  c  /  D d,  B /'^ ), 

j  \)\dr'sin'PcosVdPdQ  =  ^c  Cl)d(\r'')  +  ^c  fl)diB, ■"■'), 

JDXdr'cos'VdPcos7.QdQ  =  -^c  f[)d{Br"), 


K  ( 

I   3Ï  5/'*       5L/'^B 


SUR   LA    LIHHATION   DE   LA    LUNE.  29 

et 

TdX  dr'  cos»  P  dV  sin  ?. Q  (/Q  =  o. 

Par  là  on  aura 


M 

(L) 


=  i^  rD^/(Br"),      N  =  o, 

K  -  {H  =  -  ^  Td  J(  Ar")  -  ^^^  Tor/  |{/  -  . 

Si  l'on  suppose  D  =  i,  on  aur;)  alors 

M=i£^,      N  =  o,     K-;-H  =  -i^(A'  +  4B'), 
i5  i5  ' 

en  prenant  A' et  B'  pour  les  valeurs  de  A  et  B,  loi'S(|ue  r  ~J'.  Mais,  si 
l'on  veut  avoir  égard  aux  conditions  de  l'équilibre,  on  aura,  par  les 
équations  (K),  quelle  que  soit  d'ailleurs  la  densité  D, 

en  mettant  r'  ^^f.  Si  l'on  supposait  de  plus  la  densité  constante  et  ei;ak' 
à  I,  on  aurait,  à  cause  de  L  =  —y-  dans  cette  hypothèse, 

5L9  ,  „,  i5T/^  i5T/"' 

\'f>  —  T^ —  la  BV  —  - =  '-^  • 

loL-icp"'  *^'  2pn5L-2ç/^l         4Lp» 

Du  reste  on  remarquera  que  e(A'-h  B')  sera  dans  ce  cas  l'ellipticile  dii 
premier  méridien,  et  eA'  celle  du  méridien  qui  est  à  90  degrés  de  là: 
d'où  il  suit  que  les  deux  demi-axes  de  l'équateur  seronl/(i -heA'-^eB'j 
et/f  I  -h  eA'),  et  que  son  ellipticité  sera,  à  très-'peu  près,  eB'. 

XllI. 

Il  reste  encore  a  trouver  la  valeur  des  deux  termes  I  -^  et  I  -j^  de 
l'équation  (A).  Pour  cela,  soient 
0    le  ravon  de  l'orhite  de  la  Terre  autour  de  la  Lune,  i»ioii't«'  sur  !<•  plan 


30  RECHERCHES 

(le  l'iM  li|)ti(|iir  ItiiKiiic:  ou,  ce  (lui  reviciil  au  mémo,  le  rayon  de 
l'oibiti^  (le  la  Lune  autour  de  la  Terre,  réduit  a  l'écliptique; 

•j  la  longitude  de  la  Terre,  vue  du  centre  de  la  Lune,  ce  qui  est  la  même 
chose  que  la  longitude  de  la  Lune  vue  du  centre  de  la  Terre  et 
augmentée  de  1 80  degrés: 

À  la  langente  de  la  latitude  de  la  Terre,  vue  de  la  J^uiie,  et  supposée  au- 
dessus  de  l'écliptique  lunaire,  laquelle  est  égale,  mais  de  signe 
contraire  à  celle  de  la  Lune  vue  de  la  Terre. 

On  aura,  comme  il  est  très-facile  de  le  concevoir, 

X  =^[j  cosj>,     r  =  p  sin  v,     2  =  pX  ; 

et,  si  'Ç  exprime  la  longitude  du  nœud  ascendant  de  la  Lune  et  i  la  tan- 
gente de  l'inclinaison  de  r(U'l)ile,  la  valeur  de  À  sera,  suivant  les  déno- 
minations qu'on  vient  de  poser, 

>.  =  —  /sin(  u  —  180"  —  Ç)  =  i  sin  v  —  'C\. 

Soient  aussi 

p'  le  rayon  de  l'orbite  apparente  du  Soleil  autour  de  la  Terre, 
•j    sa  longitude. 

11  est  visible  qu'on  aura 

x'  —  ^  =  p'C0S!j',      y'  —  !•:=  p' siiiu',      z'^=-z, 
savoir 

:r'=  p'cos^'h- p  cosî;,     j' =  p'siny'-i- psinu,     2'=z  =  p/.. 

On  fera  donc  toutes  ces  substitutions  dans  l'expression  de  R  et  de  R' 
^Article  II),  et  l'on  aura,  api'ès  quel(|ues  réductions  fort  simples,  en 
substituant  pour  X,  Y,  Z  leurs  valeurs  [Article  VI,  équations  fEjj,  et 
réduisant, 

R2=p-^(i  4-  X'^)  — 2p(Xcos-jH- Ysiii-j  +  Z/.   +X--4- Y■-^-Z- 
=  p',  I -+- X^)  —  ^.pA-sin  l'[sin  J  — £  sin--i- À  ros- I 

—  2  pr  cos  P  sin  Q'  [sin  ly  —  e)  ces 7:  —  /.  sin  7:]  —  ?.p/'  cosP  cosQ'  ces  (  j  ---  e)  -+-  /•'. 


SUK   LA   Lin  RATION  DE   LA    LUNE. 
On  ;iur!i  de  même 

H"=p'»-+-  9.p'pcos{v'  —  v)  +  pHi  -^-l']—  ?.p'(XcosLi'-(- Ysiiij' 

—  2piXcosu  + Ysin;;-l-/J.)  -+-  \'-hY'-{-Z' 

=.p'''  -+-  9.p'p  cos{v'  —  v)  +  p'(n-  X-)  —  2p'/'siii  V  sin(y'  —  e)  smitt 

—  2p'rrosPsinQ'sin(u'  —  e)  cost:—  ?.p'/(usP  fusO'cosf  v'  —  e) 

—  2prsinP[sin(u  —  e   sin;:  -f-  X  cos-] 

—  2  pr  cos  P  sinQ'[sin(u  —  e)  costt  — Xsin;:]  — ^.o/fosP  cos  O' cos  (u 

Suhstituanl  au  lieu  de  Q'  sa  valeur  Q-\-'»,  et  l'aisimi,  |Mnir  ; 
après  avoir  développé  les  sinus  et  les  eosinus  de  Q  -\-  w, 

r  =;  siniv  —  ê)  sinTi-f-  /.  cost:, 

A  —■  sinw  sin()^  —  e)  eosTr  +  rosr.)  cos,  -u  —  £/  —  /.  siiKo  sin-, 

A  =  coso)  siii  V  —  e)C0S7:  —  sinr.)  cos(  v  —  e)  —  l  cos'osin-, 

r'=:  sin(i;'  — e")  sinTT, 

A'-— sincosin(i;'—  e)  cosr-t-  coso)  cos  v'  —  e), 

A':^  coso)  sin(u'  —  e)  cost:  —  siiir,)  cos(  v'  —  e), 


31 


—  e)-f-/•' 


lhn'lJ(•|• 


M 


on  aura 


K'=^P'(H-XM  —  2p/sinPxr— 2p/-cosP  cosOx  A—  2p/(osP  siiiOx  A-f-/-% 

K'-'     p''-i-2p'pcos(u'— u)  +  p'(i  4-X-)  —  ?./-sinP  X  (pT  +  pT 

—  2/-cosP  c«»sQ  X  (p'A'  +  pA   —  .'. /'rosP  sinO  x    p'A'H-  p  A  '  -+-  /•-. 


XIV. 


.le  (lillerentie  maintenant  la  valeur  de  R-  (ju'on  vicnl  de  iroiiNci .  •  n 
faisant  varier  seulement  r.j,  s,  tt,  et  en  écrivani  n  ;iu  lieu  de  r/:  j";i(ii;ii.  en 
l'ctenant  les  lettres  F,  A,  A,  et  divisanl  |)ar  2, 

KôR=  — prlsinPôr-hcosProsQ-^A  ^ cosP  sin(JoA  , 


32  RECHERCHES 

On  a  de  plus,  en  négligeant  les  carrés  et  les  autres  puissances  de  r  vis- 
à-vis  de  p, 

—  = ^ H ^— ^  (TsinP -i- AcosPcosQ -4- AcosPsinQ). 

On  multipliera  donc  ensemble  ces  valeurs  de  R^R  et  dt3^^  en  ayant 
attention  de  rejeter  tous  les  termes  qui  renfermeraient 

rsiiiP,     /cosPsinQ,     rcosPcosQ,     r^  sinPcosP  cosQ,     r^sinP  cosP  sinQ, 

par  la  raison  que  l'intégrale  de  ces  termes,  après  avoir  été  multipliés 
par  a,  est  égale  à  o  [Article  V,  (B);  Article  IX,  (F)]  ;  on  multipliera  en- 
suite chaque  terme  du  produit  par  a,  et  l'on  en  prendra  l'intégrale,  en 
se  souvenant  que  l'on  a  [Article  IX,  (G)  j 

/  a/'cos'P  =  H,        /  a/=cos»Pcos2Q  — M, 

/  a/- sin'P  =:K,       /  a/' cos'P  sin2  Q  =r  N, 
ce  qui  donne 

r«r'cos^Pcos=Q={(H-4-M),        /  «r' cos^P  sin^Q  =  ^î  H  —  M), 
a/-^  cos'P  sinQ  cosQ  =  yN. 


/' 


Par  ce  moyen,  on  aura 
•aôR  3p^ 


ï- 


[Krar  +  |H(AôA  + AôA; 


^'  p*:i  +  >.')^ 

-+-|M(AÔA- AÔA)  +  |N(AÔA  -(- AÔA;]. 


Or  on  trouve,  par  la  différentiation  de  T,  A,  A  (Article  précédent), 

âr  =  —  cos(u  —  £)  sinrôe  -i-  [sin(u  —  e)  cost:  —  ?.  sinrjôr, 

ôA  =  [cos'^)  sinf  u  —  e)  cost:  —  sinw  cos(u  —  e)  —  Xcosoj  sin7:]oo) 

—  [sino)  cos(u  —  £)  cost:  —  cosco  sin(u  —  e)]Ô£ 

—  [sino)  sin(u  —  ej  sinr:  -f-  ?iSinco  costtJôtt; 


SUR   LA   LIBKATION   DE   LA    LUNE.  33 

syvoii',  coiniiK'  il  csl   facile  dit  le  voir-,  par  la  seule  iiispei  lion  des  loi- 
mules  (Mj,  Article  précédent, 

ôA  =;  Aôw  -+-  (A  euSTï  ■+■  V  cosr.)  sIiit:  oe  —  T  siiir,>o7r. 

On  a  (le  iiièiiie 

d\=  —  A  or.)  —  (A  C0S7T  -I-  r  si  ri'.)  sinr  ôe  —  F  coso)  or; 
donc 

AfîA  +  AoA=  FiA  roso)  —  A  sinw  )  sinrôe  —  r(A  sino)  -+-  A  coso^ôr, 

AoA  —  AâA  =^  2AAÔ0)  -f-  2AA  cosrôe  -+-  r(A  cosco  -+-  A  sino^sin-oe 

—  r^A  sino)  —  Acosr.))©?:, 

AôA  H-  AâA=::^  (A'  —  A-)âo)  -+-  (A'  —  A')  cosrôe  -4-  T  A  cosr.)  —  Asinw^  siriTToe 

—  Fl  Asino  +  Acoso)  iôt:. 

Donc,  si  l'on  l'ail,  pour  abréger,  * 


•aôK  3p2 


I    CiOl 

J  lî^ 


0'ao)-4-  E'Ôc-^II'ot:  , 


on  aura 


i2'=MAA-i--^N  A=-A'), 

E'  =  (  —  K  H-  ;  lI;Fcos(;;.— £,sin7:H-7M[2AAcos7:-f-F(Aeosc)-t- Asino)tsin7:] 
-(- j]N[(  A'  —  A'jcosTT-i-  F(Acoso)  —  A  sinwj  sinr], 

n'=  (K  —  jH)F[sin(u  —  e)  ces-  -  >.  sin-]  —  i  MF(  A  sino)  —  A  cosa) , 
—  jNF^  Asinco  -+-  Acosw). 

Ou  remarquera  que  dans  ces  formules  j'ai  mis  pour  Acosw  —  A  sinoj 
sa  valeur  cos(;;  —  e),  et  pour  A  sinw-t- Acosw,  sinf-^  —  s,  cost:  — >.  sinr: 
mais  j'ai  conservé  dans  les  autres  termes  les  lettres  F,  A,  A,  laiil  pour 
rendre  les  expressions  moins  composées  que  pour  les  raisons  (ju'ou  ven  a 
plus  bas. 

VL  5 


34  RECHERCHES 

XV. 

Hr^'  el  poiii- 
cela  il  suffira  de  reiiiar(]U(^r  :  i°  que,  dans  l'expressiuii  de  R-  f Ar- 
ticle Xni),  on  peut  négliger  les  termes  pT,  pA,  pA  vis-à-vis  de  o'T'. 
p'A',  p'A',  parce  que  le  rayon  p'  de  l'orbite  du  Soleil  (?sl  incomparable- 
ment plus  grand  que  le  rayon  p  de  l'orbite  de  la  Lune;  vt^  que  la  valeur 
(le  R'-  ne  différera,  après  cela,  de  celle  de  R-,  qu'en  ee  (ju'il  \  aura, 
au  lieu  de  p'ii  -\-}.^), 

p"  -+-  7.p'pcos{v'  —  V)  -+-  p^(i  -f-  1^1, 

quantité  qu'on  peut  réduire  par  la  même  raison  à  o''^;  et  au  lieu   des 
r,  A,  A,  p  et  ).),  (r  ,  A',  A',  p'  et  zéro);  d'où  il  s'ensuit  que,  si  l'on  fait 
paieillement 


n  •    0  ^ 


f     R" 


on  trouvera  aussi 


i2"=  MA'A'+ jN(A'^  -  A"), 

E"  =  '  — K-f-^H)r'cos(y'— £)sin7r-+-|M[2A'A'cos7T  +  r'(A'cosM  +  A'sin(,))sin7:] 
^  i>'[( A'2  —  A'-)  cost:  -h  r'(A'cosw  —  A'sino))  sinTr], 

n"=   K  — }H)r'sin^u'  — sjCosTT  — |Mr'(A'sin6)  —  A'roso) 
—  iNr^Vsino)  +  A'cosw). 

XVI. 

Remarqm:.  —  La  valeur  de  R  de  l'Article  XHI  nous  fournit  un  moyen 
commode  et  simple  de  trouver  la  position  du  centre  apparent  de  la  Lune 
pai'  rapport  à  son  équateur  et  à  son  premier  méridien.  Car,  comme  la 
quantité  R  expriuîe  la  dislance  de  chaque  point  «  de  la  Lune  au  centre 
de  la  Terre,  il  est  évident  qu'elle  sera  la  plus  petite,  lorsque  le  rayon  r 
sera  dans  la  ligne  qui  joint  les  centres  de  la  Lune  et  de  l;i  Tei  re,  c'est- 


SUR    L\    I.IIJI,  \'l  I  ON    DE    I. A    LliNK.  35 

à-diic  (|ui  |»;iss('  ():ir  le  conti'O  ;i|)|);ir('iil  df  l:i  Liiik'-.  donc  si  l'on  l'ail  :  la 
distance  du  cciiIit  a|)|»ar('iil  de  la  I,  il  lie  ail  |daii  de  rc(|iialciii  lunaire  ~ '|  ; 
la  distance  du  iiiéiidicii  (|ni  passe  |>ar  le  ceiiire  appan-iil  an  premier  iiie- 
ridieii  =  ^,  il  n'y  anra  ((n'a  mettre,  dans  l'expression  de  U,  <}  au  lieu 
de  P,  et  0  au  lien  de  O,  et  faire  ensuite  sa  dilTérentielle  e-ale  ii  zéro,  en 
regardant  -^  et  ^  coinine  variaMes;  ee  qui  donnera    . 

—  2pr(r  cos'];  —  A  eosO  siii'|  —  A  siiiô  siii<]/)^/(|^ 

-f-  pip /■  (  A  ros '1  sin G  —  A  ces ^\  cos 0  i  r/O  ^^  «>  ; 

d'où  l'on  tire  sé[)aréiiieiil  les  deux  é(piatioiis 
Tfos^];  —  AcosOsiu'l  -  Asinôsinij^  :_:  o,     Acos^^sinô  —  Acos'^  cos6  =  «>; 

la  dernii're  donne  d'al»ord 

sinO  __  A 
cosô  "  A  ' 


(I  ou 


SM1&  -= 


.,       fOS&  = 


V/A^  H-  A^ 

ensuite  la  première  nous  donnera 

sin  ^j; 


v'A^  +  A^ 


fos  4^       A  ces  0  -t-  A  sin  0 
't,  en  substituant  pour  sin 5  et  eos^  les  valeurs  qu'on  vient  de  trouver 


sin-^ r 

ces  <^>  ~  y/A^  -f-"Â^" 


d'où  Ton  tire 


r  .     ,         v/^»  +  A' 

sin'l»  =:  — — ^: ,      CCS  J;  =    ,         -  -       .  -  'i 


v/r=  4-  A-'  -f  A^ 

mais  on  a  par  les  valeurs  de  \\  A,    V  i  Article  Xlll,    M;), 

r^  +  A=  +  A^  =  I  -4-  X'^; 
donc,  sul)sliluanl  cette  valeur,  on  aura 


r  =  sin 4/  v/''  -♦-  ^" '     y/ A=  4-  A'^  =  ros 4^  v  '  -<"  '•' 


:^C  RECHERCHES 

cl  [M\r  là 

A  :=cos0cos4'v/i  -(-  ^%     A  =  sin0cos'|  V  I  -^  '^  • 

Ainsi  ['(ni  ;iura  les  valeurs  de  Ti  A,  A  exprimées  par  les  angles  0  et  ti>, 
et  vice  versa  on  aura  ces  angles  exprimés  par  les  quantités  \\  A,  A, 
c'est-à-dire  par  les  angles  oo,  s,  n  et  v. 

On  trouvera  de  la  même  manière,  en  changeant  simplement  T,  A,  A 
en  V,  A',  A',  et  faisant  /  =  o,  les  angles  0'  et  6'  qui  donnent  le  centre 
apparent  de  la  Lune  vue  du  Soleil,  c'est-à-dire  du  centre  de  l'hémisphère 
éclairé;  et,  comhinant  ces  angles  avec  les  angles  0  et  -},  il  serait  aisé  de 
déterminer  généralement  les  phases  de  cette  Planète. 


XVII. 

Corollaire  général.  —  Il  faut  maintenant  suhstituer  dans  l'équa- 
tion (A)  les  valeurs  que  nous  avons  trouvées  (Articles  IX,  XIY  et  XV j; 
ce  qui  la  changera  en  celle-ci 

0-— lL_,0'-pO"^8^^-rE--^^E'-^E"^a. 

V     0^(1  + x^r 

laquelle  devant  être  vraie,  quelles  que  soient  les  valeurs  des  dilféren- 
tielles  o'o,  Oc,  ott  f  Articles  III  et  IVj,  nous  fournit  les  trois  suivantes 


(2)  E — ^E'-^E"  =  o, 

(3)  n :i^__^n'-^n"=o. 

La  première  de  ces  équations  servira  à  déterminer  les  lois  de  l;i  iol;i- 


6 

9' 

(i  +  X'' 
3T 

Y 

p^i 

3Ï 

5 

SlIU    LA    LIHKATION  DE  LA    LUNK.  37 

lion  (le  la  Lune  aiiloiir  (h^  son  axe,  la  seconde  à  (Ictcnnincr  la  inilalion, 
et  la  troisième  à  déterminer  la  prércssion. 

XYIII. 

Scoi.rE.  —  Les  équations  fi),  (2),  (3),  (|ue  nous  venons  de  li-oiivcr, 
répondent  exactement  aux  équations  (Gj,  H;,  (K;  données  par  M.  d'A- 
lemhert,  dans  les  Mémoires  de  l'Académie  de  l'année  r^S/j,  paijjes  /ja'i 
et  425,  pour  la  précession  des  équinoxes  et  la  notation  de  l'axt;  de  la 
Terre,  en  vertu  de  l'action  du  Soleil  et  de  la  Lune. 

Pour  en  l'aire  la  comparaison,  on  remarquera  : 

1"  Que  les  angles  P,  s,  71,  dans  les  formules  de  .M.  d'Alemherl,  lépoii- 
(l<'iil  dans  les  nôtres  aux  compléments  des  angles  'ù,  e,  rr; 

2"  Que  les  lignes  /et  a  —  l^  dans  celles-là  ont  dans  celles-ci  pour  va- 
leurs rcosP  et  rsinP,  et  que  les  angles  X"  sont  la  même  chose  que  les 
compléments  des  angles  Q'; 

■^°  Que  les  angles  V,  X',  V,  X  répondent  aux  compléments  des  angles 
^-180",  Q-5,  f-i8o«,  Q-$'; 

4"  Que  les  angles  v'  et  -j  répondent  ici  aux  angles  i»  —  (e-f-  270'^j, 

'j'—  (£+  270°). 

Enfin  on  mettra  dans  les  formules  citées  T  au  lieu  de  L,  et  0,  0'  et  —  ). 
au  lieu  de  //',  u  et  p  . 

XIX. 

Résolution  de  l' équation  (i) 

J'observerai  d'abord  qu'en  regardani  la  Lune  conime  peu  didennir 
d'un  globe,  ainsi  qu'elle  l'est  en  effet,  les  (juanlités  .M,  N  sonl  incompa- 
rablement plus  petites  que  les  quantités  H,  K  '  Article  XI^;  d'où  il  >^iiii 
(jiU',  dans  l'expression  de  12  (Article  IX),  on  peul  négliger  les  lerme>  (|iii 


:JS  RECHERCHES 

renferment  M  el  X  vis  ;i  vis  de  ceux  (jiii  renferment  H;  ce  qui  la  réduit  à 

d[d(j'>  H-  cosTT^e) 


dt^ 


H. 


J'observe  ensuite  (ju'au  lieu  de  l'ani'le  oj,  (jui  représente  le  muuvenienl 
de  rotation  de  la  Lune,  il  est  beaucoup  plus  commode  d'employer  l'angle  5 
(Article  XVIj,  lequel  est  toujours  nécessairement  Irès-pelit,  à  cause  que 
la  Lune  montre  toujours  à  peu  près  la  même  face  à  la  Terre.  Or,  pi>ur 
Irouvei*  la  valeur  de  w  en  0,  on  aura  recouis  aux  formules  de  l'Article 
cité,  et  l'on  remarquera  : 
i^^Que 


Asinr.)-i-x\.cosw:=y/i-4-/-  cos^p(cos0siiioj-i-sinô  coso))=:y'n-/^  cos^j^  siii  oj-f-6y, 
et  que  de  même 

A  cos c)  —  A  sin  Cl)  :=  v'  I  -I-  V  cos '\)  cos  (  m  4-  0  )  ; 
2"  Qu'en  substituant  pour  A  et  pour  A  leurs  valeurs  [Article  XIV,  (M)], 
A  sinoj  4-  A  cosco  =  sin(y  —  ej  CGsr  —  XsinTr, 

et  (jue,  pai-  les  mêmes  substitutions, 

A  cos  w  —  A  sin  oj  ^^  cos  {u  —  e  )  ; 
d'où  il  s'ensuit  que  l'on  aura 

sin(&)  -+-  0 ) sin(u  —  e)  costt  —  X sin?: 


cos  (  00  -H  ô  I  cos  (  u  —  e  ) 


ou  bien 


lang(w  H-  ô)  =  lang(u  —  e)  cos-  —  ÂsinT:  séc(i;  —  e) 

=  tangi^;;  —  £)  —  ?.  sin'  -  lang(y  —  e)  —  /.  sin::  séc(y  —  ej, 

parce  que,  comme  l'on  sait, 


.       r  I  —  COSTT 

sin'-  = ; 

2  2 


SUH    I.A    IJIM;\TI0N   I)K   I.  a    I.UNE.  39 

'^"  Que  la  quantité  >.,  (|ui  dénote  l:i  limiiciitc  de  l:i  hiliUnlr  de  l;i  l.iiii.' 
(Article  XlIIj,  est  toujoni's  une  (|ii;iiiiité  assez  petite,  puisipie  s;i  jjliis 
tj^rande  valeur  est  d'euviioii  tangS^q'; 

4"  Que  I'aui;I(;  tt,  (jui  représente  l'iiK  linMison  de  ré(|ii;iteui'  liiii:iire  ji 
l'éOipti(iue  '  Arti(de  V),  est  aussi  tri's-petil;  car,  suivant  les  uliservali(»Ms 
de  .M.  Cassini,  on  a  tt --  2""^o',  et,  suivant  relies  de  .M.  Maver,  on  ;i  seu- 
lement TT  =  l^2C)\ 

D'où  il  s'ensuit  (ju'on  aura  à  tiès-peu  pri's 

tanpfo)  +  0)  — -  laiii^  v  —  sj, 
et  par  eonséqùent 

ou,  si  l'on  veut  faire  le  calcul  plus  exn,('t(MneMt,  en  ne  néglii(e;in!  iiiie  les 
quantités  de  l'ordre  sin*?:  et  de  >.-sin-7: 


.)  +  d  =  v  —  £ 


1  %\W~  tang  V  —  i)       .    . 

2 Asin7:sec(j>  —  e; 

I  +  tang'i  Xi  —  z)  \  H-  tang^(y  —  e) 


=  u  —  e  —  sin=-  sin(2u  —  2£)  —  /  sin-  cos(u  —  z\ 

2 

Mais  nous  nous  contenterons  ici  de  {)rendre  simplenu'ut  ^  —  i  pour  l;i 
valeur  de  '/j  -i-  5,  ce  qui  nous  donnera 

w  =  y  —  5  —  ô,     du)  ------  cIj  —  (h  —  (/O 

et 

f/o)  -h  cosr.de  =  dv—  (i  —  costt',  de  —  dB  —  dv  —  -?  sin-  -  dz  —  ^/5  =  du  —  db, 

en  négligeant,   comme  on  vient  de  le  l'aire,  les  termes  de  l'ordre  de 
sin'---  Faisant  donc  cette  substitution  dans  la  valeur  de  i>  ci-dessus,  on 


aura 


dv 
Soit  mainlenanlA'  le  mouvement  nmveu  de  hi  Lune  autour  de  la  lei-re. 


40  RECHERCHES 

on  aura,  en  regardant  l'orbite  de  cette  Planète  comme  circulaire, 

d\'  _         T 

(il  faudrait  mettre  à  la  vérité  T  +  L  au  lieu  de  T,  mais  la  différence  (fui 

en  résulte  est  trop  petite  pour  (ju'il  soit  nécessaire  d'en  tenir  compte  ici). 

Donc 

3T        _  3t/V'      I      _  3dy' 

3,    ,  ^.  |~   dr-    I  +  >;-•  ~  dp  ' 

f?[i  -+-  V)- 

en  négligeant  le  carré  de  la  quantité  très-petite  À. 

On  trouvera  de  même,  en  nommant  V  le  mouvement  moyen  de  la  lerre 

autour  du  Soleil, 

3S  _  3r/V^' 

V      >       , 

mais  on  rciiiin  qucra  que  V  =  ^7?  a  tres-peu  près,  et  par  conséquent 

Zd\''  I     3JV^ 

-dp-  =  Wo~dF    ""^™^' 

d'où  il  s'ensuit  que  l'on  peut  négliger  entièrement  le  terme  ...  i>"  venant 
de  l'action  du  Soleil,  vis-à-vis  du  terme  —j—-  il'  qui  vient  de  l'action  de 
la  Terre,  de  sorte  que  l'équation  (i  deviendra  simplement,  après  avoii' 
fait  les  substitutions  précédentes  et  divisé  par  ^  -, 

(4)  -f/^e-^-  ,/=;,_   ^i2'=:0. 

Il 

Or,  par  l'Article  XIY,  on  a 
et,  par  l'Article  XVI, 


A  =  cos  B  cos 'I V  I  "•"  ^■%     A  =  sin  6  cos  '|  y'  i  -f-  À' ; 


SUR    LA    LIBRATION    l)K   L\    LUNE.  ki 

tlouf,  puisque 

sin0ros0 -- ^sin9.0,     et     sin'ô  —  cos'ô  =  —  ros2  9, 
oii  aui;i 

mais  ou  a  (Articles  XVI  et  XIII) 


(l'uù  l'on  lire 

fos^"  v' I  4-  ^'  =  v'i  -^  >'sin»7r  —  aXsinTTCOSTrsinfu  —  e)  —  sin'7:sin'(u  —  e   =  i , 

en  négligeant,  eomme  nous  l'avons  fait  jusqu'ici,  les  ternies  où  se  trou- 
vent les  ({uantités  très-petites  >.  et  sinrr  fonnanl  des  produits  de  deux  ou 
de  plusieurs  dimensions. 

De  plus,  si  l'on  suppose,  ce  qui  est  permis,  <]ue  le  premier  méiidicu 
de  la  Lune  soit  celui  qui  passe  par  la  Terre,  lorsque  le  lieu  vrai  de  cette 
Planète  est  égal  à  son  lieu  moyen,  il  est  clair  (jue  l'angle  0,  qui  représente 
la  distance  du  méridien  qui  passe  par  le  centre  apparent  de  la  Lune  à 
son  premier  méridien  (XVI),  sera  toujours  très-petit;  car,  suivant  les  ob- 
servations de  la  libration,  cet  angle  ne  va  guère  au  delà  de  (S  degrés; 
par  conséquent  on  aura  à  très-peu  près,  et  avec  une  exactitude  sulïisiuitr 
pour  notre  objet,  sin2$  =  2O  et  cos2$  =  i.  Doue  enfin 

12'=-iN-f-M0. 

Il  ne  reste  plus  qu'à  trouver  la  valeur  de  f/-j;  pour  cela,  ou  remar- 
quera que  V  —  180"  est  la  longitude  vraie  de  la  Lune  (Article  XIII  ^  ;  par 
conséquent,  si  l'on  appelle  m  le  rapport  du  mouvement  de  l'anouialie 
uioveuue  de  la  Lune  à  son  mouvement  moyeu,  et  (|u'ou  n'ait  e-jnd  (pi'ii 
sa  première  inégalité,  ou  auia 

j  —  180"=  long.  inoy.  Q,  —  n  sitiwV, 
VL  6 


42  RECHERCHES 

a  étant,  suivant  M.  Glairaut,  6^19',  et  m  un  nombre  très-peu  différent 
de  l'unité;  d'où  l'on  tire 

d^xj  =  ni^a  sinmV  dS'^. 

Faisant  donc  ces  substitutions  dans  l'équation  (4)  ci-dessus,  on  la 
changera  en  celle-ci 

3  M  3  N 

—  tPQ j5-  0  r/V=  +  -^  d\'  -h  m'a  sin  m  V  ^/V'=  o, 

H  2  H 

d'où  l'on  aura,  par  les  méthodes  connues, 

(5)    0  =  Csm(^Vy^  — j -!-—[,- ces  (^Vy—jJ- --3^- snw,,V. 

""'        H 

C  est  l'une  des  deux  constantes  indéterminées  introduites  parla  double 
intégration,  l'autre  ayant  été  supposée  telle  que  l'angle  d  soit  nul  lors- 
que V  =  o,  c'est-à-dire  lorsque  le  lieu  vrai  de  la  Lune  est  le  même  que 
son  lieu  moyen. 

De  là  il  est  facile  de  voir  que,  si  l'on  veut  tenir  compte  des  autres  iné- 
galités du  mouvement  vrai  de  la  Lune,  et  qu'on  suppose  pour  cela 

V  —  180"  =  long.  moy.  d  —  a  sin mV  ~  b  sinnV  —  c  sinj^V  —  .  .  . , 

on  trouvera  pareillement 


=  C  sin 


m'a        .       ,,  n'b 

sin  mV  — . ^TTT  sin«  V  —  .  .  . . 


,       3  M  ,       3  M 


XX. 


Conséquences  qui  résultent  de  la  formule  précédente  par  rapport 
à  la  lihration  de  la  Lune  et  à  sa  rotation. 

Comme  l'équateur  lunaire  n'est  que  très-peu  incline  à  récli|)lique,  il 
est  clair  que  l'angle  Q  représentera,  sans  erreur  sensible,  la  libration  de 


SUU   LA    LIBHATION    DE   LA    LDNE.  43 

la  Lune  en  longitude;  d'où  I'(M)  voil  (|U(!  cetU'  iihritlion  dilleiern  un  peu 
de  celle  qui  a  été  supposée  jusqu'à  présent  p;ii  les  Astronomes.  Pour  vu 
l'niic  l:i  comparaison  avec  |)ius  de  l'jiciiilé,  on  iiielliM  l'expression  de  0 
sons  l;i  l'oiine  suivante 


3M 


=:  — a  siii/«\  —  b  siii/iN  —  ... ~ — --r.  siii///  \ 

H  3  M 

,,    .    /,.     /3M\         NT  /   ,^   /3M 

^(.s.n(^Vy/-g-j  +  — ^.-cos(^Vy_ 


3M 

b 

H 

3M 

n-  - 

H 

sin/i\ 


et  l'on  remarquera  (|u'elle  comprend,  |»our  ainsi  dire,  tiois  sortes  de  li- 
hra  lions. 

La  première  est  représentée  par  les  termes 

—  a  sin  m  V  —  b  sinnY' —  .  .  . , 

(|ui  expriment  la  différence  entre  le  mouvement  viai  et  le  mouvement 
moyen  de  la  Lune;  ainsi  cette  libration  est  purement  opti({ue,  et  c'est  la 
seule  qu'on  ait  observée  jusqu'ici. 

La  seconde  est  contenue  dans  les  termes 


3M 
H 


3  M 
H 


sin/?t\ 


3iVl 
H 


3  M 
H 


sin/îV  —  .  . ., 


et  vient  en  partie  de  l'irrégularité  du  mouvement  de  la  Lune  et  en  partie 
de  la  non-sphéricité  de  cette  Planète;  mais  elle  sera  presque  insensible, 
en  supposant,  comme  on  l'a  lait  au  commencement  de  l'Article  précè- 
dent, M  incomparablement  plus  petite  que  H,  et  cela  doit  en  effet  être 
ainsi;  autrement  il  serait  impossible  que  les  Astronomes  ne  s'en  fussent 
pas  encore  aperçus. 

La  troisième  enfin  est  celle  qui  est  représentée  par  les  termes 

■     --(V?)-,4i['-<HvVf)} 

et  qui  ne  dépend  aucunement  du  mouvement  de  la  Lune  autour  de  la 

6. 


44 


RECHERCHES 


Terre,  mais  simplement  de  sa  figure  non  sphérique.  Elle  sera  la  plus 
grande,  lorsque 


2  CM 


et  alors  sa  valeur  sera 


N±V^N^-t-4C'M' 

2M  ' 


le  signe  -+-  a  lieu  lorsque  la  libialion  se  fait  dans  le  sens  de  la  rotation 
de  la  Lune,  e'est-à-dire  d'oeeident  en  orient  par  rapport  au  eentre  de  la 
Lune,  et  d'orient  en  occident  par  rapport  à  la  Terre;  et  le  signe  —  est 
pour  la  libration  du  côté  opposé,  d'où  l'on  voit  que  ces  deux  librations 
ne  seront  jamais  égales,  excepté  si  N  =  o,  auquel  cas  elles  seront  en- 
tièrement analogues  aux  oscillations  d'un  pendule  simple  de  la  lon- 

srueur  ^^rr-?  (fui  décrirait  des  arcs  écçaux  à  2C. 

Au  reste,  soit  que  N  =  o,  ou  non,  la  durée  d'une  libration  entière  com- 
posée d'une  allée  et  d'ui;  retour,  sera  toujours  égale  à  la  durée  d'une 
oscillation  totale  du  même  pendule,  ou  bien  elle  sera  au  temps  pério- 

dique  de  la  Lune  comme  i  :  t/  -^^  • 

A  l'égard  de  la  rotation  de  la  Lune,  comme  on  a  trouvé  dans  l'Ar- 
ticle XIX 

V  —  e,     à  très-peu  près, 


0)  -\-  u  = 


on  aura,  en  substituant  les  valeurs  de  -j  et  de  ô. 


m' 


3M 
H 


—  C  sin     \ 


3  M 
H 


r  —  ros 


sin  m  V 


/3M 
VIT 


3M 
H 


3M 
H 


iin// V — ... 


D'où  l'on  voit  : 

1°  Que  la  rotation  moyenne  de  la  Lune  est  égale  à  son   mouvement 
moyen  autour  de  la  Terre,  moins  le  mouvement  moyen  de  ses  points 


SUR   LA   LIIiKATION   DE   LA   LUNE.  45 

équinoxiaux;  condition  nécessaire  pour  (jiic  cette  Plani'lr  nous  itrcscdl»' 
toujours  à  peu  près  la  même  face; 

7^  Que  la  vitesse  de  la  rotation  vraie  de  la  Lune  est  variable;  cette 
vitesse  étant  à  celle  du  mouvement  moyen  autour  de  la  Terie  dans  le 
rapport  de  d(o  à  d\ ,  c'est-à-dire  de 

dz        3  M        ma                 ,,       3  M        nb 
'  -  ^  -^  ir  3M  '''^'''^  ^  TT 3M  '^''^^  -*-•■• 

à  I . 


Ainsi, 

faisant  V 

=  o 

,  on 

a 

dz 
'      dW^ 

3  M 
H 

ma 

H- 

3M 
H 

ri" 

nb 

m'  — 

3M 
H 

3M 
U 

H- 


n     /3M 


pour  la  valeur  de  la  vitesse  primitive  de  rotation,  (jui  aura  dû  être  impri- 
mée à  la  Lune  au  commencement  de  son  mouvement.  Donc,  à  cause  de 
l'indéterminée  C,  il  est  clair  que  cette  vitesse  aura  pu  être  quelcon(|ue, 
pourvu  qu'elle  différât  très-peu  de  i,  c'est-à-dire  de  la  vitesse  du  mouve- 
ment moyen,  et  que  d'ailleurs  la  valeur  de  M  ne  soit  pas  nulle,  ni  né- 
gative. 

XXL 

Remarque.  —  Jusqu'ici  les  Astronomes  avaient  toujours  supj)osé  (\[\v 
la  Lune  tournait  autour  de  son  centre  d'un  mouvenieni  parrailenieiil 
uniforme,  et  ils  avaient  été  obligés,  en  conséquence,  pour  sauver  le  phé- 
nomène de  la  non-rotation  apparente  de  cette  Planète,  d'imaginer  (lu'elle 
eût  reçu  d'abord  une  vitesse  de  rotation  exactement  égale  ;i  celle  de  son 
mouvement  moyen  autour  de  la  Terre,  ou  plutôt  de  celui  de  ses  points 
équinoxiaux;  ce  qui  était  néanmoins  très-dilïicile  à  comprendre.  Il  me 
semble  que  la  Théorie  précédente  fournit  un  dénouement  tout  simple  de 
ce  paradoxe,  ou,  pour  mieux  dire,  ce  paradoxe  n'a  point  lieu  dans  la 


46  RECHERCHES 

Théorie  tjue  je  viens  de  donner  de  la  rotation  de  la  Lune.  Ainsi  je  puis,  à 
cet  égard,  me  flatter  d'avoir  pleinement  satisfait  à  la  première  partie  de 
la  (|ii('sli()n  proposée  par  l'Académie. 

XXII. 

ScoLiE.  —  Si  l'on  suppose  la  Lune  homogène,  et  que  sa  ligure  soit 
celle  d'un  sphéroïde  dont  l'équateur  et  les  méridiens  seraient  des  el- 
lipses, comme  dans  l'Article  XII,  on  trouvera  (Articles  XI  et  XII),  en  fai- 
sant D  =  r, 

i5  i5 

M 

d'où  l'on  aura  —  =  eB' =  à  l'elliptieité  de  l'équateur,  c'est-à-dire  à  la 

quantité  dont  le  demi-axe  de  l'équateur,  qui  est  à  peu  près  dans  la  même 
ligne  (jue  le  centre  de  la  Terre,  surpasse  l'autre  demi-axe,  cette  quantité 
étant  supposée  divisée  par  le  rayon  de  la  Lune;  donc,  suivant  l'Ar- 
ticle XX,  la  Lune  fera  réellement  autour  de  son  axe,  en  vertu  de  l'action 
de  la  Terre,  des  oscillations  exprimées  par  la  formule 


Csin(Vv3eB'J. 

Si  l'on  veut  que  l'allongement  de  la  Lune  vers  la  Terre  ait  été  produit 
par  l'action  même  de  la  Terre  sur  cette  Planète  supposée  fluide,  alors  on 
aura  (Article  XII j 

en  —  — • 

-  4p^  L 
Pour  évaluer  celte  expression,  nous  ferons,  avec  M.  Chiiraut, 


«;t  avec  M.  de  Lalande 


^=6,, 


f-1 


SUR   LA   LIBRATION   DE   LA    LUNE.  kl 

(/'  «'Si  le  rayon  dv  la  Terre);  ensuite  nous  prendrons 

p  =  6of, 
t'e  (|ui  donnera 


p        1 1  X  60  ' 
(If  là  je  Irouve 

n>  ^36  ,-— rr;  84l4 


lo  000  000  I  000  000 


Donc  le  icnips  d'une  oscillation  totale  sera  de 

1 000  000        .      ,  .    ..  .        1 0/0  • 

— ^  .    .      mois  périodiques  =  environ  3040  jours. 


On  peut  regarder  au  reste  tout  ce  que  nous  venons  i\v  dire  sur  la  lihia- 
tion  de  la  Lune  comme  un  commentaire  de  la  Proposition  XXXVIll, 
Livre  III  des  Principes  Mathématiques. 

XXIIl. 

liésolution  de  l'équation  (2) 

E ^^L_^E'-^E"=o. 

On  aura  d'abord,  en  négligeant  dans  la  valeur  de  li  (Article  IX,  les 
termes  qui  renferment  les  quantités  très-petites  M,  N  et  K  —  |H, 

_,       €?(cosTr</&) -f- c?e)  „ 
^= dP "' 

expression  qu'on  peut  mettre  sous  cette  forme 
cos7rrf(</w-l- cosTrrfe)  „       s\midr.d(ù„    ,    sin»7r  rf'e -f- siiiu  cos7r(y;Tr/e  ., 

-lû^ ^ dF^ — °"*" dF  '  "' 


i8  RECHERCHES 

ou  simpleinent,  a  cause  de  sin;r  très-petit,  et  de  dn  et  dz  très-petits  aussi 
par  raj)p()rt  à  d'j^,  comme  on  le  verra  dans  la  suite, 

dô ^ dp — "' 

c'cst-à-dirc  (Article  XIX) 

„       . ,  sin  t:  d-K  doi  __ 

E  =  i2coS7:- i -H, 

En  second  lieu,  on  aura  (Article  XIV) 

E'  =  —  !  K  —  '  H)rcos(i;  — £)sin7:-h  MAAcos7H-^Mr(A  coso)  h-  Asin'>3)sin7r 
-h|N(A'  —  A')cos7:  -i-yNr(Acosco  —  AsinwjsinTr, 

c'^est- à-dire,  en  substituant  pour  A  et  pour  A  (Article  XVI)  les  expressions 


COS0  cos4' v''i  "^  ^•%     sin0  cosi};^!  "^  ^•^ 
et  mettant  il'  à  la  place  de  MAA  +|N(  A^—  A^)  (Article  XIV), 

E'=  O'cosr  ^  r  sinT:  [(iH  -  K)  cosf  y  —  e)  -h  |M  cos4/v/i  +  ^''  cos(&)  —  6) 

—  -^  N  CCS  (|i  v^  I  H-  }r  sin  (  &)  —  6  )  ] , 


On  iiicUia  ici,  comme  dans  l'Article  XIX,  i  au  lieu  de  cosd/y  i  -f-  X*  et 
•j  —  £  — 5  au  lieu  de  co,  c'est-à-dire  v  —  z  —  2 5  au  lieu  de  oj  —  5,  ou  bien 
simplement  'j  —  z,  à  cause  que  l'angle  ô  est  toujours  très-petit,  et  l'on 
aura 

E'=:ircos-  -}-  rsin7:[(7H  —  K  +  ^M)cos(u  —  e)  —  |Nsin(,u  —  £,]. 
On  substituera  donc  ces  valeurs  dans  l'équation  proposée  (2),  et,  ôtant 

O        /\~7 

ce  (|ui  se  détruit  en  vertu  de  l'équation  (i),  on  aura,  après  avoir  mis     . , 

•3  j  .  .  .  3  S 

au  lieu  de et  eli'acé  les  termes  qui  contiennent  -7-  comme  dans 

p',I-f-/-!- 


SIJK    LA    LIBHAIION    I)K   LA   LUNE.  49 

rArticIc  MX,  rriiintlioii 

(6)      -  dT.d'.^  -  ^  "~i^JlJL^  r  cos(i>  -  e)f/V'-h'  ^^  rsind;  -  i)d\'=o. 
an  ?.  II 


OrfAiticIrXIlI 


r  =  sin  (  u  —  e )  sin t:  -+-  X  cost: 


X  =  /sin(i;  —  Ç); 


et  (Arliclc  ciU') 

donc 

rcos(Li  — e)  =  I  siii:^.^—  2e)sin7r-f  7/  sin(2u  — e  — Ç)  cos-—  .' /sinf  Ç  — e)  cosr, 

r  sin(u  —  £  ;  =  i[i  —  cos(?.i;  —  ?.£)]  sinvr—  -j  /cos(2u  —  e  —  i;)  cost: 
H- ^/ros(i;!  —  e}  COSTT. 

De  plus 

0)  =  y  —  £  —  6     cl     f/o)  =  ^u  —  r/£  —  r/6  =  (i  -+-  iJ.)(l\\  à  très-peu  près, 

|U.  étant  le  rapport  de  la  [)i'écession  moyenne  des  points  équinoxiaux  lu- 
naires au  inouvemenl  moyen  V;  en  faisant  ces  substitutions,  on  remar- 
quera que  les  termes  qui  renferment  les  angles  'Ç  —  e  deviendront,  par 
l'intégration,  beaucoup  plus  grands  que  les  autres,  parce  qu'ils  auront 
alors  pour  diviseur  la  quantité  très-petite  /jl  —/>,/>  exprimant  le  ia|)p(trt 
(lu  mouvement  rétrogriidc  moyen  des  nœuds  de  la  Lune  à  son  nmuve- 
mciit  moyen  V;  donc,  n'ayant  égard  (|ii'aux  termes  doiil  nous  parlons, 
on  cbangera  l'équation  ((i)  en  celle-ci 

3(H  —  y. K-t-M)/'cos77    .  3N/cos-         ,.,       ,   ...        3N'sin7: 

D'on  Ton  liic,  en  prenant  ^  pour  la  valcui'  ufoyenne  de  ;:,  lors<|Uc  V  =  0, 

3(H  - '^Kh-MI/coskt         .,       ,  ,  3N/C0SCI  .    ,.^       ^       3Nsinn       ' 

(8      7r  =  c ^— — .,,     C0S(4-'-  +-; r-, r^  Sin   Ç  -  T) -+"  777-— nT  *  • 

VL  7 


50  KECHERCHES 

Et,  en  supposant  que  tc',  'Ç ,  i  soient  les  valeurs  de  tt,  Ç,  s  li)rs<|ue  V  ==  o, 
on  aura 

.      3(11  —  o,K  +  M)/cosG7        ,^,       .  3N/C0SGÎ  .    ,.^, 


XXIV. 

Résolution  de  l' équation  {'^) 

n ^J_^n'_^n"  =  o. 

1°  La  valeur  de  II  est,  par  l'Ai-ticle  IX,  en  néi^lii^ean!  les  iennes  mul- 
tipliés par  les  constantes  très-petites  31,  N,  f|H  —  K  j, 

2*^  La  valeur  de  II'  est,  par  l'Article  XIV  [en  mettant  sinf  :^  ;;  au  lieu 
de  Asinw  —  Acosoj,  et  cos(-j  —  a)  au  lieu  de  Asinw  +  Acoso),  comme 
dans  l'Article  précédent,  et  négligeant  de  plus  la  quantité  iiiiinimciit  pe- 
tite du  second  ordre  Xsin;:,  comme  on  l'a  fait  toujours], 

[{K  — jHjcosTT—  '-MlTsind;  — £)—  ;-Nrcos(!.-  s; 

■>  On  mettra,  comme  dans  l'Article  précédent,  |sin;r+^/cosfÇ  —  cjcos7r 
au  lieu  de  Fsinfz;  — =),   —  |^sin(r  —  £j  costt  au   lieu   de    rcosf'j  — s), 

(i  -Hu.jf/V  au  lieu  de  du),  et  -^—  au  lieu  de ^;  on  cHacera  le 

3S 
terme -77  IT,  par  les  raisons  alléguées  (Article  XIX),  et,  divisant  l()ut<' 

P 

I  équation  (ij  par     -^- — H,  on  aura 

, il  +  2K        (p-  (2K  — H)cos7t'— M 

''~       2(i  +  p.)U  siii-r/\  "^  4(n-,a)H  "^^ 

(2lV  — H)cos-— M  cosrr  .  ^  a.     o        N/cos-  .     ,^ 

4(H-a  H  sin-  4('  +  /-^-'H  sHi- 


9 


SU»    LA    LIBKATION    \)K    LA    LUNE.  51 

(le  (|in  (loiiiic,  en  iiilri;i';iiil,  iipi'i's  ;iv(>ir  mis  zs  au  lien  de  n  ('), 

^■"""^  2(n-;ji)H  sirr^T/v  "^       4(1+ ^ul) h 

/;  ('la ni  (''i;al  ;i 

On  remarquera  que  la  valeur  de   v^  pciil  èlre  négligée,  parce  (iirellc 
ne  eonliendra  pas  le  divis(!ur  [}— p  qui  se  Irouve  dans  les  autres  lerines. 


XXV. 

Conséquences  (/ui  résultent  des  formules  précédentes  f8),  (gj,  par  rapport 
à  la  précession  des  équinoxes  et  à  la  nutatiori  de  l'axe  de  la  Lune. 

Si  Ton  fait,  ce  (pii  est  permis, 

H  —  2K -+- M      /*  cos^',     N      lis'xwg, 
savoir 

cl  (|u'()n  melle  i  an  lieu  de  eost?,  oii  aura,  en  négligeant  [j.  visa-vis  de  i  , 
3/1/  ,.,  3NsiiiGT-,. 

COS(  ^  -  £  +  g-/  H jj|—  V  , 


£  =  ■/)  — 


4   ;y.  -/>)H  ^"■^-  °'  i 

3(H  — 2K-fM),,  3/t/ 


4  H  4(1'' — /')'lsi"^ 


, sin(?  —  £  H-g')  r 


(*)  Le  procédé  dinléj^ralion  employé  ici  par  Laiiianire  est  tout  à  fait  défectiieiix  ;  la  Mibsii- 
tution  dewà  -.  avant  l'intégration,  ne  saurait  olVt'f;liv(>incnl  être  re-ardée  comme  légitime. 

[Xntr  (le  l'KdtIrtir.) 

[**)  Il  y  a,  dans  le  texte  primitif,  plusieurs  fautes  de  signes  (pu  ont  peu  d'importance;  nous 
avons  cru  devoir  toutefois  les  faire  disparaître.  .  [Moir  de  Vhdnvur.  ) 

7- 


52 


RECHERCHES 


D'où  l'on  voit  : 

I"  Que,  si  N  n'est  pas  =^o,  l'inclinaison  de  l'équateur  sera  sujette  à 
une  diminution  ou  augmentation  constante  selon  que  N  sera  positive  ou 
négative  ; 

2°  Que  la  valeur  de  ix,  c'est-à-dire  la  précessioii  moyenne  des  équi- 

noxes,  sera 

3(H-2K-|-M) 
4H 

3°  Que  le  pôle  de  l'équateur  de  la  Lune  décrira,  jxnidanl  une  révcdu- 

tion  des  nœuds  de  l'orbite  par  rapport  aux  no!uds  (!('  ré(juateur,  un  petit 

cercle  dont  le  rayon  sera 

3/»' 
4(p-/>)H" 

Mais,  si  \J-^=p,  c'est-à-dire  si  le  mouvemenl  des  points  équinoxiaux 
de  la  Lune  est  égal  au  mouvement  des  nœuds  de  l'orbite,  comme  l'a 
trouvé  M.  Cassini,  les  formules  précédentes  ne  serviront  plus;  mais  il 
faudra  mettre  d'abord  au  lieu  de  ts  sa  valeur 

et  au  lieu  de  vj  sa  valeur 


ilii 


4(,u  — p)W  sin; 


SUlIC' 


on  mettra  ensuite  c'— fxVau  lieu  de  i,  et  Ç  —  p\  au  lieu  de  'Ç\  après 
(|Uoi,  regardant  (a  —  piM  comme  une  quantité  infiniment  petite,  on  aura 

COSCÇ  —  l-\r  g)  =  COS((;'—  £'+  g)  —  {!J.  —  IJ)\  Sill'  ;:'—  s'  -h-  g}, 

sin  {'Ç  —  £  -h  g)  =  sm(i;'—  e'  -\-  g)  -+-  (a  —  p)  V  cos['Ç  -—  z'  -\-  g); 
et  les  valeurs  de  i  et  de  t:  deviendront  les  suivantes 


--^3^  +  p-s.n   C-e-f-à^ 


J^' 


iH 


411  sincj 


cos(  'Ç  ~  e'-f    <■  j 


s  un    LA    Ll  H  RATION   DE   LA    LUNL.  o-i 

D'où  il  s'ensuit  que 

3i  11  —  ?.  K  -t-  M  )  Mil 

<'t  (ju'il  n'v  ;mi;i  plus  de  iiiilulion  sciisiMc  (l;ms  I'îixc  de  la  Lune. 

XXYI. 

KiiMAHQiJE.  —  Il  esl  1)011  (le  r{Miiar(|ii('i' {|ii(',  si  l'on  voulait  a|i|)li(jiirr 
à  la  Terre  regardée  coninie  un  sphéroïde  quelconque  les  ronnnlcs  ('8) 
et  (9),  il  faudrait  efTaeer  j)artout  les  lettres  M  et  N.  La  raison  de  cela  est 
(jue,  rani>le  0  n'étant  |)lus  alors  très-petit  par  rapport  à  i>,  il  ne  serait 
plus  permis  de  mettre,  comme  nous  l'avons  fait,  sin(u  —  s)  et  cos(v  —  i, 
au  lieu  de  A  sinoo  --  A  cos'*)  et  de  A  sin  w  +  A  cosw  dans  les  expressions 
de  E'  et  de  H';  mais  il  faudrait  substituer  pour  A  et  pour  A  leurs  valeurs 
[Article  XIII  (M)]  ;  cependant,  comme  les  termes  venant  de  ces  substitu- 
tions seraient  tous  multipliés  par  sin2o>)  ou  cos2'jj,  et  (|ue  oj  serait  dans 
ce  cas  beaucoup  plus  grand  que  V,  étant  à  très-peu  près  dans  le  rapport 
de  27  a  I ,  il  est  claii*  (jue  ces  termes  pourraient  être  négligés  entièreuiciit 
comme  devant  être,  après  l'intégration,  considérablement  plus  jx'tits 
que  les  autres.  M.  d'Alembert  a  fait  le  premier  cette  importante  obser- 
vation, sans  laquelle  il  eût  été  comme  impossible  de  résoudre  le  l'ro- 
blt'Uie  de  la  précession  des  équinoxes  dans  la  Terre  considérée  comme 
un  sphéroïde  à  méridiens  disseml)Ial)les;  mais  elle  n'a  plus  lieu  ii  l'éi^ard 
de  la  Lune,  dans  la(|uelle  w  =  V  à  peu  près;  et  c'est  ce  (jui  fait  (|iie  nos 
résultats  dilTèrent  un  peu  de  ceux  de  ce  grand  Géomètre,  coninie  <tn  va 
le  voir. 

XXVII. 

Scor.ii:  1.   —  En  supposant  la  Lune  homogène  et  de  figure  ellipti(|ue. 
comme  dans  l'Article  XXII,  on  aura  (Article  XII , 

H=i^,      M=:4^eB',      N  =  o,      K  -  '  H  =  -  ^    e  A'-^  ;eH'  ; 
i5  i5  '  l'j 


oi  RECHERCHES 

donc    ArlicIcXXV) 


10  H 


g—o.      A  —  H  —  2k -+- M  ^  ^^  (eA'+ eR'  ,      jj  —  le  \'  -h  7.eW  ; 


donc 


3i(eA' -¥-  eB'  \ 
7r  =  GT -. --^  cos(i:  —  c„ 

o.{iJ.  —  p) 

3i(eA'4-eB')    .    ^^  3e(A'+  R' 

où  Ton  R'iuaiquera  que  eA'H-eB'  représente  l'ellipticité  du  premier 
méridien,  c'esl-à-dire  l'allongement  de  la  Lune  (dans  le  sens  de  la  liijne 
(|ui  joinl  le  centre  de  la  Lune  et  de  la  Terre  à  très-peu  près),  par  rapport 
au  demi-axe  de  la  Lune;  et  que  par  conséquent  le  mouvement  de  l'axe 
de  cette  Planète  dépend  en  ce  cas  uniquement  de  la  quantité  de  cet 
allongement. 

Par  la  théorie  de  la  figure  de  la  Lune,  on  a  (Articles  XII  et  XXII j 

gB=    /3,     = .      ei      ek'  =  \o; 

4p  L,  loooo  ooo  *  ^ 

or  ç  exprime  le  rapport  de  la  force  centrifuge  à  la  pesanteur  sous  l'equa- 
ieur  de  la  Lune;  donc,  si  l'on  nomme  9'  ce  même  rapport  sous  l'équa- 
teur  de  la  Terre,/'  le  rayon  de  la  Terre,  t,  t  les  temps  de  la  rotation  de  la 
Lune  et  de  la  Terre,  on  voit  facilement  qu'on  aura 

/       /  T      /■'  L 

ce  qui  donne 

_  p  T  f' 

'-/^lT^^' 


mettant 
2 


^  au  lien  de  o',  —  au  lieu  de  ^,  67  au  lieu  de  ~,  et  -^  au 


l.       ,     /'     • 

lieu  (Je  -7»  le  trouve 

6826 


I  (loo  000  000 


SUK    LA    Lin  il  AT  ION    DE    LA    LLNL.  55 

(i'oii 


ek': 


79 


lO  ooo  ooo 


cl  |);ir  <'()iis(''(juent 


(loue 


eA  +  eV>'— ■: 

I  o  ooo  ooo 


471 


10  000  000 


(i,  miillipliaiit  ce  iioiiiljrc  par  3Go  degrés,  on  aura,  en  secondes,  fji"  poiii- 
la  piécession  moyenne  des  points  équinoxiaiix  lunaires  dans  un  njois 
pci'iodi(jU(;. 

Pour  avoir  la  nutalion,  il  faut  multiplier  a  par ■>  ou  bien  par   - 

»         '    •       V.  —  p  ^       p 

simplement,  à  cause  de  a  extrêmement  petit. 

Or,  en  prenant  pour  la  tangente  mIc  l'inclinaison  de  l'orbite  iiiiiairr 
tang5°9',  et  pour  lé  rapport/?  du  mouvement  moyen  des  nœuds  au  mou- 
vement périodique  de  la  [.une  —--f^r^^  je  trouve  la  nulation  de  l'axe 

=  3'3f)";  et,  divisant  ce  nombre  par  smzs  (en  prenant  pour  zs,  1  degrés, 
valeur  moyenne  entre  celles  de  M.  (>assini  et  de  M.  Mayer),  j'ai  i"44''5" 
pour  la  plus  grande  équation  de  la  precession. 

Selon  M.  d'Alembert  [voyez  le  dernier  Mémoire  de  ses  Opuscules),  la 
précession  moyenne  des  équinoxes  dans  l'hypothèse  présente  esl  seule- 

ment  de  -^ — - — -■>  et  la  nutation  est  aussi  diminuée  a  proportion; 

c'est  ce  qui  l'ait  (|ue  nos  résultats  ne  s'accordent  point;  mais  j'ai  donne 
ci-dessus  (Article  XYII)  la  raison  de  cette  dilïérencc  ciilic  les  rorninles 
de  ce  grand  Géomètre  et  les  miennes. 


XXVIII. 

ScoLiE  il.   —   Voyons  maintenant  quelle  devrait   être   la    valcui'  de 
eA'-heB',  pour  que  la  precession  moyenne  des  c(juiiioxes  lunaires  lut 


5(i  RECHERCHES 

égule  au  mouvement  des  nœuds  de  la  Lune;  dans  ce  cas,  on  aura  (Ar- 
ticle XXVj 

3(H  — 2K  +  M)  Zhi 

^  4H  4HsmcT  ° 

=  |(eA'+eB')f  i+  -^cosf^-e' 

(lolK- 

eA'+eB'  = 


i 

I  H . ces 

smro 


;?'-£')] 


Donc,  si  l'on  veut,  avec  JM.  de  Cassini,  que  le  nœud  descendant  de 
i'équaleur  lunaire  soit  toujours  au  même  point  que  le  nœud  ascendant 

de  l'orbite  de  la  Lune,  on  fera  s' =  Ç',  et  l'on  aura 


e  A'  +  eB'  =  ^-,~^^-.-  =  -^^- 

^  I  l      \  I  ooo  ooo 

3  (  IH ; 

SUÎ57 


et,  dans  ce  cas,  il  n'y  aura  plus  de  nutation  sensible  dans  l'axe. 


XXIX. 

ScoLiE  ni.  —  Au  reste,  quelle  que  soit  la  valeur  de  eA'+eB,  pourvu 
(lu'elle  surpasse  — ^-^ — ^  je  dis  (lue  le  mouvement  des  équinoxes  lu- 

1  ï  I  ooo  ooo     ••  '  ' 

naires  deviendra  toujours  de  lui-même  égal  au  mouvement  des  nœuds 
de  la  Lune;  car  il  est  clair  qu'on  pourra  toujours  trouver  un  angle  T—  ï 
tel,  que  l'on  ait 


eA'  +  eW 


3      I  H : COS 

smn7 


?'-£')  I 


donc  lorsque  les  nœuds  de  l'équateur  et  de  l'orbite,  à  force  de  s'éloigner, 
seront  parvenus  à  la  distance  Ç  —  s'  entre  eux,  le  nœud  de  l'équateur 
recevra  un  mouvement  égal  à  celui  de  l'orbite. 

Il  est  vrai  ({ue  l'inclinaison  de  l'axe  sera  sujette  à  une  augmentation 


SUK    LA    IJ  HUAT  ION    DE    LA   LUNE.  57 

ou  diminution  constante,  selon  (|iie  £'>>  'Ç  ou  <C  ?»  en  vertu  de  l;u|ii(ll(' 
l;i  vjilt'iir  sin^TT  cliani^cr;!  un  peu,  et  rr(|u;ition 


I  sin?7 


3    i-f-  -r-^— cos(Ç'-e' 


eessei'Ji  d'être  vrjiic:  mais  elle  se  rélaldiia  ensuite  par  la  vaiialion  de  la 
distance  Ç'—i'.  Peut-être  |MMiirail-oii  déuionlicr,  [tarée  raisoiinenieiil , 
que  les  nœuds  de  l'êquateur  liiiiaire  devroni  enfin  eoineider  pour  tou- 
jours avec  ceux  de  l'orhite. 

XXX. 

ScoLiL  IV.  —  Un  moyen  de  dêteruiiner  si  le  mouven)ent  des  iiOMids 
de  l'êquateur  lunaire  est  exactement  égal  a  e(dui  des  na-nds  de  l'orliite. 
ce  serait  d'observer  pendant  une  longue  suite  de  révolutions  de  la  Lune 
la  quantité  de  sa  plus  grande  libration  en  latitude.  Car  il  est  clair  (joe 
celte  libration  peut  être  représentée  sans  erreur  sensible  par  l'angle  (|ue 
nous  avons  nommé  6  ^Article  XVIj,  à  cause  que  l'inclinaison  de  ré(|ua- 
teur  à  l'êcliptique  est  extrêmement  petite;  or  (Articles  XVI  et  XUI 

.     ,  r  sinfu  — e)sin7:-}-X  cost:       sin(u  — e)  sin;:-!- «  sin(u  — Ç  j  cost: 

sin  di  =  -^r=  = ^ ,         = ,  

[en  mettant  pour),  sa  valeur  f  sin (-j  —  Çj  J.  Doue,  si  'Ç=i,   on  aura 

.     ,  sin(u  —  K)         ,   .  .  , 

smd;  =  -  (sm-  -+-  i  COS-), 

y/i-hi'sin'{v—'Ç) 
et  comme  (Artic  le  Xill) 

u  =  lonf;.  d: +  i8o"     el     i:  =  lonfi.  Q, 
lorsque  la  Lune  sera  dans  ses  plus  grandes  latitudes  boréales,  cm  aura 

V  —  i8o"  —  'C.  -^  90", 

savoir 

\j  —  i^  ^  9.70"     el     sin{u  —  Çj=  — 1; 

on  trouvera  de    même  sinf'j  — Ç)  =  i   pour  le>   y\\\>  iir.mde^   latitudes 
VI  8 


58  RECHERCHES 

méridionales;  donc  la  lihiation  totale  en  latitude  sera 

SiOTTH-  ï  COSTT 
2 


v'i  H-  i^ 

ce  qui  va  à  -7  enviion  du  ravon  de  la  Lune.  Soit  maintenant  £>  ou  <u, 

il  est  évident  qu'après  quelques  révolutions  de  la  Lune,  on  devra  avoir 
£  =  Ç  +  180°;  et  alors  sin|  sera  égal  à 

sin  (  u  —  î:!  ) 

-  sm::  -t-  ?  cos::), 


sJ\-\-  /sin'(u  —  Ç) 

et  la  li])ration  totale  égale  à 

—  sioTT -f- «  cost:       1  ,  .  ,    ,    , 

?. =^  -    seulement  du  rayon  de  la  Lune. 

v/'i  +  ;^  9 

XXXI. 

ScoLiE  V.  —  Je  finirai  ces  recherches  par  exposer  une  méthode  par 
laquelle,  ayant  trois  ohservalions  d'une  même  tache  de  la  Lime,  on 
j)()urra  connaître  la  position  de  l'équateur  de  cette  Planète  par  rapport  à 
l'écliptique.  Soient,  comme  dans  l'Article  XHI,  v  —  180"  la  longitude  du 
centi-e  de  la  Lune  et  X  sa  latitude  supposée  australe,  U  —  180''  la  longi- 
tude de  la  tache  et  X  —  /  la  tangente  de  la  latitude,  dans  une  observa- 
tion quelconque;  il  est  facile  de  voir,  en  conservant  les  suppositi(uis  et 
les  noms  de  l'Article  II,  que  l'on  aura 

XX                           r              Y         .                  z  z       . 

=  ces  j,     —  =z  —  :=  smu,     ■ =  -  r.-.  /.  : 


et  de  même 

r  —  V  .  .^  z  —  z  .     , 


(ir 


v/(^-X)^+  (,r- Y)=  ^(^_X)^H-(j-Y)^ 


>  —  X)-  -4-  f  r-  —  Y  r  =  X-  -h  Y-  —  2.x\  —  2jY  =r  p2  —  ixX  —  •?..)•^', 


SUK    LA    LIBHATION   DE   LA    LUNE.  59 

à  Iri's-peu  près;  dont',  en  iH''|L;lii^eant  4es  carrrs  cl  les  puissances  plus 
hautes  de  X,  Y,  aussi  bien  (\uv  leurs  produits,  on  aura 

>•— Y                    y       Y       ^vX        r'Y         .  Xsinu  — Ycosiy 
~ —   = — ' — ^-      '   -        —  suiv  H-  rosu  — 


v/l^-xy^+fT'-Y)^      p      p        p"         p*  p 

•  y      oc 

t'U  uii'Itant  siny  et  cosv  au  lieu  de  —->  —  ;  |);ir  cousiMiueiil,  si  l'on  lait 

9     9^  • 

sinU  ---  sinu»  —  S, 
ou  auca  ré(|uatiou 

(i)  — — =  Y  cosu  —  X  sinu. 

cosu 

On  trouvera  de  la  même  manière 

z  —  Z  z       Z        2^X        zy\ 


si{x -Hf  ^\y —  \f       P        P  P 


Z       ?i 
=  > h  --(Xcosu  -t- Ysinu)=:X  —  /  (hypothèse); 

9       9 


ce  qui  donnera 


,    X  z  —  al 

(2)  — r-!— -  =:Xcosu  +  Ysinu. 


Il  faut  tirer  de  ces  deux  équations  les  valeurs  de  X,  Y,  Z;  et  pour  cclii 
on  remarquera  que,  r étant  le  rayon  de  la  Lune,  on  aura 

X'  -h  Y'  +  Z^  rr^  r\ 

et  que 

(Y  cosu  —  X  siny  )^  +  (X  cosu  +  Y  sinu)^  =  X'  -+-  Y»  =  /•'  —  /?\ 

on  aura  donc 

r'  —  Z'  =  ^ ^-^-^  +  -^— T-> 


()0  RECHERCHES 

d'où  l'on  tire 

_  pi  -\-  hl 

I  -+-  À- 

en  faisant,  pour  abréger, 


Y/(i  +  X^')(r^-::!^)  -p^/^ 


_p^ 
cos'  V 


Ayant  la  valeur  de  Z,  on  trouvera  aussitôt  celle  de  X  et  de  V  par  les 
équations  (i),  (2),  ear 

^        Z  —  pi  ^  _^       Z  —  pi    . 

A  =  — r-^— cosu  —  pSlangy,     Y= — ~— sinu -f- ph. 

(3n  fera  le  même  calcul  pour  chacune  des  deux  autres  observations, 
et  l'on  appellera  X',  Y',  Z';  X",  Y",  Z"  les  valeurs  correspondantes  de 
\,  V,Z. 

Maintenant  on  a  [Article  VI,  (D)j 

Z=rsiny>>,     Y  = /■cos/>  sin^/,     X  = /-cos/?  cosry  ; 
(le  plus,  en  combinant  les  deux  premières  formules  ((]), 

sinP  =^  %\x\p  cost:  4-  cos/^  siii^'  sitiTr 

=  sin/?  cosTT  -f-  ces/?  sinç  cosssin-  —  cos/j  cos(/  sins  siii;:, 

en  mettant,  au  lieu  de  q' ,  q  —  i\  donc,  substituant  pour  sin/^  cos/>siny, 

Z    Y     X 

cos)Dcosûr  leurs  valeurs  --.  -,  — •>  on  aura 

(3)  /'sinP  =  Z  C0S7T  +  Ycosesin::  —  X  sine  sin- 
et  de  Miéiiie  pour  les  deux  autres  observations 

(4)  /-sinP  =  Z'  cosTT  +  V'  cosesinTT  —  X'  sinesinr:, 

(5)  rsinP  =:  Z"cos7:  -h  Y"cos£sin7r  —  X"sin£sin-, 

en  supposant  que  la  position  de  l'équateur  demeure  la  même. 


SDK    I,  \    M  nu  \l  ION    l)i:    L  \    LUNK. 


61 


R('lr;iiicli;iiil    ['('(iiMlioii      ]     de    rc(jii;ili(tii       >     <'l    rciiiiiilioii    ^^      de 
ré(|ualioi)  (4;,  <>ii  ;iiii;i  deux  iioiixcllcs  ('(iinilioiis 

(6  (Z  —  Z'  )  cosTT  -f-  (  Y  —  Y' j  C0S£  siiiT:  ^  (  \  —  \'  ;  sine  siiir:    ;  o, 

(71  (Z'— Z")cos7:4-  (Y'— Y")cos£sinT:  — (X'—  X",siii£  .sin;:  =  o, 

d'oii  l'iMi  liic 

(X— \')sine-(Y  — Y')cose  _  costt  _  (  X'- X")sine  -  i  Y'  — Y")  cose 


Z— Z' 

cl  |»;ir  (  (tiiséquent 


suit: 


/'  -  Z' 


lange  —  ^  y^  _  ^,        y,  _  y„  j  :  ^  ^  _  y,         ^,  _  rj,,  j 

(loimaissaiit  £,  ou  lioiivcia  n  par  la  toiimilc 

Z  —  Z 

*^"^^ ~  (X-X')sin£-(Y-Y')cos£ ' 


liKCIIElU.llES 


lîSÉGÀLlTÉS  DES  SATELI.ITES  DE  .IIPITER 


CAUSÉES   PAR   LEUR   ATTRACTION   MUTUELLE. 


TABLE  DES  TITRES 

CONTENUS   DANS  CETTE   DISSEin  ATION, 


\rlirle. 

<!ii.\piTUE  I.  —  luniiiilfs  i<éiu''rales  pour  le  niou\einenl  des  salelliles  de  Jupiter...  I 

Cii.xpiTUK  II.  —  Détermination  des  forces  perturbatrices  des  satellites IX 

Chapitre  III.  —  Calcul  des  perturbations  des  satellites XXIX 

>î  I.  —  Premières  formules  du  mouvement  des  satellites XXXV 

v^  II.  —  Valeurs  numériques  des  coefficients  des  formules  précédentes XLIll 

^  111.  —  Formules  des  rayons  vecteurs  et  des  longitudes  vraies  des  satellites 

de  Jupiter,  par  rapport  au  plan  de  l'orbite  de  cette  Planète XLIX 

§  IV.  —  Où  l'on  donne  les  inégalités  des  satellites  qui  dépendent  de  leurs  confi- 
gurations, et  qui  ont  lieu  au  temps  des  éclipses LU 

^  V.  —  Comparaison  des  formules  précédentes  avec  les  observations,  et  con- 

sécjuences  qui  en  résultent  par  rapport  aux  masses  des  satellites L\'II1 

Chapitre  IV.  —  Suite  du  calcul  des  perturbations  des  satellites LXXV 

ij  I.  —  Premières  valeurs  du  mouvement  des  apsides  et  des  nœuds  des  satel- 
lites    LXXVIII 

?!  II.  —  OÙ  Ton  montre  la  nécessité  d'avoir  égard  dans  les  calculs  de  l'équation 
du  centre  et  de  la  latitude,  à  quelques  termes  de  Tordre  // ,  des  équa- 
tions (G),  et  (K) LXXXVII 

vj  III.  —  Où  Ion  donne  une  nouvelle  méthode  pour  intégrer  les  équations  pré- 
cédentes   XCII 

^  IV.  ~  Sur  les  inégalités  des  satellites  qui  dépendent  de  la  période  de  douze  ans.  CXVI 

>}  V.  —  Des  durées  des  éclipse^  des  satellites CXIX 

>5  VI.  —  Des  inclinaisons  et  des  nœuds  des  satellites C.XXV 


VI. 


RECHEliCHKS 


INÉGALITÉS  DES  SATELLITES  DE  JUPITER 


CAUSÉES    l'VK    I  l.l'K    ATIKACTION    MIITUKLLE. 


IMiilliiin    :i<llnic  restiit   operis. 
Sen.,  Epi  st.  64. 


(Prix  de  l'Académie  Royale  des  Sciences  de  Paris,  tome  IX,  1766.) 


rmrifïM  iiiri' 


CHAPITRE   PREMIER. 

FORMULES    GÉNÉRALES    POUR    LE     MOUVEMENT    DES    SATELLITES     DE    Jl'PITER. 

I. 

Soient  nommés  : 

/    le  rayon  vecteur  de  l'orbite  d'un  satellite  quelconque  projetée  sur  U- 
plan  de  l'orbite  de  Jupiter; 

p  l;i  tangente  de  la  latitude  du  satellite  par  rapport  à  ce  même  plan; 
F  la  force  que  Jupiter  exerce  sur  le  satellite  à  la  distance  i. 

On  aura  la  distance  du  satellite  au  plan  de  l'orbite  de  Jupiter  égale  à  rp. 

Donc  la  distance  du  satellite  au  centre  de  Jupiter  sera  rsji  -\- p^. 

Par  conséquent  la  force  par  laquelle  le  satellite  est  poussé  vers  .hipi- 

F 

[vv  sera 


luette  force  peut  être  regai'dee  comme  composée  de  deux  luilrcs  :  riiiic 


68  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

p 

parallèle  au  rayon  vecteur  et  égale  à 3^^  l'autre  perpendiculaire 

au  plan  de  l'orbite  de  Jupiter  et  égale  à  ~ — ^• 

Or  on  peut,  en  général,  réduire  les  forces  perturbatrices  du  satellite 
à  trois  forces  uniques,  dont  : 

La  pieniière,  que  j'appelle  R,  soit  parallèle  au  rayon  r; 

La  seconde,  que  j'appelle  Q,  soit  perpendiculaire  au  rayon  vecteur, 
et  parallèle  au  plan  de  l'orbite  de  Jupiter; 

La  troisième,  que  j'appelle  P,  soit  perpendiculaire  à  ce  même  plan. 

Donc  le  satellite  sera  sollicité,  dans  les  directions  dont  nous  pai'lons, 
par  les  forces 

^- j+H,       Q,       — ^^  +  P; 


dont  les  deux  premières  déterminent  le  mouvement  que  le  satellite  doit 
avoir  dans  le  plan  de  l'orbite  de  Jupiter,  ou  pour  mieux  dire,  parallèle- 
ment à  ce  plan. 

n. 

Cela  posé,  soient  : 

/   le  temps  écoulé  depuis  le  commencement  du  mouvement; 
(p  l'angle  décrit  par  le  rayon  /•  durant  ce  temps; 
l'élément  du  temps  dt  constant,  c'est-à-dire,  ddt  —-  o. 

On  aura  pour  la  vitssse  circulatoire  du  satellite,  parallèlement  au  plan 
de  l'orbite  de  Jupiter,  '-^,  d'où  résulte  la  force  centrifui>'e  —X  =  '^', 
laquelle  étant  retranchée  de  la  force  j  +  R,  on  aura  la  véritabh* 

force  qui  tend  à  diminuer  le  rayon  r. 

Donc,  par  le  principe  des  forces  accélératrices,  on  aura 

(A)  _.4L^=__JL^  +  R_q^. 


DES  SyVTELLIÏES  DE  JUPITER.  69 

Maintenant  on  sait  (jue,  si  la  force  perpcndiciihiirc  O  cl;!!!  nulle.  I( 
rayon  /•  décrirail  des  aires  proporlionnellcs  aux  t('in|)s.  de  soric  (|iir  l'on 
aurait,  ii  cause  de  dl  constant, 

2 

niais  la  force  Q  fait  parcourir  perpendiculairement  à  /  l'espace  Q  r//= 
pendant  le  temps  dt\  donc  le  secteur  — -^  croîtra  pendant  ce  ti'inp>  (!.■ 
la  (juantite ;  par  conséquent  on  aura  lecjuatHtn 

<lont  l'intégrale,  en  ajoutant  cdt,  est 

r^d(^-~cdt^  dt  j  Qrd/; 
d'où  l'on  tire 

d(p  _  c-hjQrdt 


(B 


dt     '  r' 


Enfin  on  aura,  en  vertu  de  la  force  perpendiculaire  au  plan  dd  \\^\■- 
l)ite  de  Jupiter, 

dt'     ~     ,  A  -^  *^' 

ou  bien 

</^y3        îdpdr        pd'r  Fp  P 

^  "^  "7^77^  "^  7^  "^  I  ^  7  =^' 

r'ii  +  p-^y 

d'où,  en  mettant  pour  — r-  sa  valeur 
^  rdt' 

d^_         F  H 

tirée  de  ré(|uation  (Aj,  et  eiïaçant  ce  qui  se  detruil.  un  aura  re(|(n.tn)n 
suivante 
/.^  <f^p  d(p'        -y.dpdr        ?  —  l{p 


70  .RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

III. 

ï<es  équations  (A),  (B),  (C)  donneront  r,  9  et/>  en  t,  ce  qui  sutfira 
pour  l'aire  connaître  le  lieu  du  satellite;  à  chaque  instant.  Que  si  l'on 
voulait  connaître  la  figure  même  de  l'orbite  qu'il  décrit,  il  faudrait  éli- 
miner des  équations  (A),  (C)  l'élément  dt.  Or  de  l'équation  (B)  on  tire, 
après  quelques  réductions  fort  simples, 

l'do 
dt 


donc,  si  l'on  substitue  cette  valeur  dans  (A),  (C),  et  qu'on  tasse  pour 
plus  de  simplicité  -  =  u,  on  aura,  en  prenant  d"^  constant, 

3  1    7 

F(i  +  »^f -^Rr^  +  OV^ 
d'u  r  '  ^  do 

i  a)  -7—  +  u ^ =  o, 

«9  c^-^^jQr^dc? 

c,  tl^       ..(p-;,r^q|)_^ 

Supposons  pour  un  moment  que  les  forces  perturbatrices  P,  Q,  R 
soient  nulles;  on  aura  par  l'équation  (c) 

d'p 

dont  l'intéa,rale  est,  comme  on  sait, 

p  =  Gsincp  -f-  H  coscp, 

ou  bien 

p  =  >.  sin(9  —  e), 

X  et  £  étant  deux  constantes  arbitraires.  Cette  dernière  expression  de  p 
fait  voir  que  l'orbite  est  toute  dans  un  plan  fixe,  dont  la  position  dépend 
des  quantités  À,  s,  qui  expriment,  la  première,  la  tangente  de  l'incli- 
naison, et  la  seconde,  la  longitude  du  nœud.  Retenons  maintenant  cette 


DES  SATELLITES   DE  JUPITEK.  71 

mrmc  expression  de  p,  et  supposons,  à  cause  des  lorccs  p('rliirli;iii  iccs, 
X  e(  6  variables;  on  aura 

dp  =r-  dï. sin f 9  -    £ i  -t-  /  ros io  -   e\l do  -    di  n 

Or,  afin  (pie  le  corps  puisse  être  regardé  comme  se  niouvaiil  rfrllciiiciil 
dans  le  plan  déterminé  par  X  et  s,  il  faut  que  la  valeur  de  dp  soil  l:i  hkiik 
que  si  ces  quantités  dcmeui-aient  constantes,  c'est-à-dire,  (|ii(' 

dp  =  Xcos(9  -  e)^/^; 

donc 

^/Xsin(cp  —  £)  =  Xcos(9  —  c)  f/e; 

par  conséquent,  à  cause  de  dy  constant, 


et 


On  réduira  ainsi  l'équation  (c)  ci-dessus  à  deux  équations  du  prenVier 
degré,  qui  donneront  X  et  s  en  9;  d'où  l'on  connaîtra  la  variation  de  l'in- 
clinaison de  l'orbite  et  le  mouvement  de  la  ligne  des  nœuds.  C'est  ainsi 
que  la  plupart  des  Géomètres  en  ont  usé  jusqu'ici  dans  la  recherche  des 
orbites  des  Planètes;  mais  il  nous  parait  plus  court  de  chercher  directe- 
ment la  latitude/?  par  une  seule  équation,  d'autant  plus  que  les  (|ikui- 
tités  X  et  £  s'en  déduiront  plus  aisément;  car,  puisque 

/?  =  Xsin(<p  —  £;,     -^  —  Xcos(9  —  c). 


d^p 

_       ,    .    ,           ,                Idt 

d<f 

sin  (9  —  e)  «9 

d^p                       \dt 

d(f    '  ^       sin(9  —  e)d(f)' 

d(f> 


on  aura 


=  v//'*-^:7?r'     tang(9-e)- ^^^ 


On  pourrait  laire  une  pareille  transformation  sur  l'équation  'a  \  ce 
qui  réduirait  l'orbite  à  une  ellipse  dont  l'excentricité  et  la  posilitni  de  l;i 
ligne  des  apsides  seraient  variables,  ainsi  que  M.  Newton  l'a  pialicpic 


72  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

j3ar  lappoi't  a  la  Lune.  En  effet,  si  l'on  suppose  d'abord 

Q  =  o,     R  =  o,    /;  ==  o, 

l'équation  {a)  devient 

d'il  F 


ont  l'intésfrale,  étant  mise  sous  cette  forme 


s 


u =  pcos(9  —  a), 


donne  une  ellipse  dans  laquelle  -^  est  le  demi-paramètre,  ^  l'excen- 
tricité, et  a  la  longitude  de  l'apside  inférieure.  Qu'on  regarde  mainte- 
nant fj  et  a  comme  variables,  et  qu'on  suppose,  par  une  raison  analogue 
à  celle  que  nous  avons  expliquée  ci-dessus. 


on  trouvera 


du  =^  —  psinf9  —  a)d^, 

dp  ces (9  —  a;  +  p  sin(9  —  a)  rfa  =  o, 

d~u  F  pdy. 

do^  c^        CCS (9  —  a.)  d(f> 

Ainsi  l'équation  (a)  se  réduira  à  deux  équations  du  premier  degré,  d'où 
l'on  tirera  aisément  p  et  a. 

IV. 

Les  observations  nous  apprennent  que  les  inégalités  des  mouvements 
des  satellites  de  Jupiter  sont  très-petites,  aussi  bien  que  les  inclinaisons 
de  leurs  orbites,  par  rapport  a  l'orbite  de  cette  Planète;  d'où  il  suit  que, 

si  l'on  nomme  a  la  valeur  moyenne  de  r,  a  la  valeur  moyenne  de  -r--> 

•^  '  '^  dt 

c'est-à-dire  la  vitesse  angulaire  moyenne,  et  qu'on  dénote  par  n  un  coef- 
ficient très-petit,  et  par  x,  y,  z  des  quantités  variables,  on  aura  les  ex- 
pressions suivantes 

r=  a{i  -i-  nx),     o  =  [j. t -\- ny,     p  =  nz, 


Î)KS  SATELLITES  DE  JUPITLi;.  78 

où  Ton  irmni(iiirr;i  (iiic  les  valeurs  de  x  vi  de    ;-  ne  doivont  rontenir 
'  '  (Il 

;iii(  iiii  Icrine  constaiil;  autrenienl  a  cl  (j.  ne  seraient  plus  les  valeurs 
moyennes  de  r  et  de  -^»  ce  (|iii  est  conlre  l'hypothèse. 


SuhstiUions  maintenant  ces  expressions  de  r,  '^,  p  dans  les  équations 
de  l'Article  II,  et  négligeons  les  termes  qui  se  trouveraient  multipliés 
par  des  puissances  de  n  plus  hautes  que  n^,  parce  qu'une  plus  grand»- 
exactitude  serait  superflue  dans  le  sujet  que  nous  traitons;  nous  chan- 
gerons d'abord  l'équation  (A)  en  celle-ci 

—  na  —, —  =  —  \i  —  9.nx  -h-  ônx-]  [i  —  '  n'  z'    -i-  \\ 
at-        «L- 

i   .  (h'  dy  \ 

—  a{i  +  nx)  (  p.^  -I-  7. nu -~  -^-  '*' "^  )  » 

ou  bien 

d-x  F  /  aF  \  .  F    .,  .  d)- 

na  —, h au-  —  n\  —  -+-  a  u.'^  \  x  -\-  n'  -:  i  o  x^  —  iz^    —  2  n  a  a  -j- 

dt'  a-  '  \a'  ■    J  a'  "  ■    dt 

dr  ^    dy' 

—  in^au.x—, wa—, h  n  =  o. 

dt  dr 

Si  n  était  =  o,  on  aurait 

-'  —  a  a^  -I-  K  =  o  ; 
a-         ' 

donc,  n  étant  très-petite,  la  quantité 

*^ 

—  —  a  iJ.'  -I-  l{ 

a^ 
devra  l'être  aussi;  de  sorte  (|u'oii  |)ourra  supposer 

a  ur  -h  H  =  n  —  \ . 

a  '  a- 

M.  10 


74  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Cette  substitution  faite,  on  divisera  toute  l'équation  par  na,  et  l'on 
aura,  en  mettant  pour  plus  de  simplicité/ au  lieu  de  -, 

VI. 

L'équation  (B)  deviendra,  par  les  mêmes  substitutions, 

dy       \  c         fQ{i  +  nx)dt'\  ,    o    ,    ., 

n^n-i-=\—  +  '- \{i  —  -in-v  -h  3n'x'). 

^  (ft        [^a^  a  J 

Si  n  était  =  o,  on  aurait 

Qdt  ^za^—  ^^ 

supposons  doue 

I  Q(i  +  nx)  dt  =  au \-n—Y; 

J  ^         a  a- 

on  aura,  après  les  réductions, 

-^  =^  —  Q.[j.x  -+-/Y  +  Sny-x-  —  '?.iifxY. 


VII. 

Enfin  l'équation  (C)  se  changera  en  celle-ci 

d'z  (  dr\  dzdx         y*  —  nWz 

dp  V  '   dt  j  dr-  «il  +  nx\ 

cl  l'on  prouvera  ici,  comme  on  a  tait  ci-dessus,  qu'il  t'aul  (juc  la  (|uaii- 
tité  P  soit  très-petite  de  l'ordre  n;  c'est  pourquoi  nous  supposerons 

P  — nUz  F,, 
; =  n  —  /, 

I  H-  nx  cû 

d'où  nous  aurons  l'équation 

d'^z  ,  „,,  dr  dzdx 

-^ h   u' Z  -\-  f  A  -\-  7.niJ.Z  -^ h  2  /i T— —   :^  o. 

dt'        '  '^  '      dt  dp 


DES  S\TKLLiri:S   l)K   JUPITKH.  "S 


Mil. 

Voilà  1rs  formules  par  Ic^ciucllcs  on  poiiir;!  (Ictciiiiiiicr  les  inégalités 
(les  s:ilcHi(('s  de  Jupilcr,  di's  (in'oii  aura  trouvé  les  valeurs  des  <|iiaiilil('S 
X,  Y,  Z  (jui  l'csullrnl  de  leur  at  lion  miiluidlc. 

Pour  rendre  ces  lorniuies  eueorr  plus  coinniodcs  pour  le  calcul,  nous 

substituerons  dans  c(dles  des  Articles  V  et  VII  la  valeur  de  -^  liree  de 
l'Article  VI. 

De  celle  manière,  on  aura,  en  uéi^^ligeanl  toujours  les  termes  allecles 
de  n^ ,  n' , .  . . , 

\       _  «^G^a^  -  3/) X'  -  ^nfz'  -+-  enp.fxY  -  np  Y=  ) 
(E)  -^  -h -z^j-x —f\ —'intj-x'' -h  infxY  =  o' 

Nous  avons  dit  que  les  valeurs  de  £p  et  -^  ne  doivent  renlermer  aiirun 

terme  eonstant;  on  remplira  ces  deux  conditions  par  le  moyen  des  cou- 
stantes/ Ct  c. 


CHAPITRE   11. 

DÉTKIIMINATION    DKS    I  ORCES    P  E  «  1  U  R  B  AT  II  IC  KS    1)  K  S    ^ATKI.I.ITES    I»  E    JLl'lTI.Il 

IX. 

Soient  : 

V    la  masse  de  .lupiter. 
Cl  la  masse  du  premier  satellite, 
Co  lî>  masse  du  second  satellite, 
C3  la  masse  du  troisième  satellite, 
C4  la  masse  du  quatrième  satellite. 


76  KECHEUCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Supposons  de  plus  que  toutes  les  quantités  que  nous  a\ons  nommées 
r, /?,  0,  F,  R,  Q,  P,...,  dans  le  Chapitre  précédent,  soient  désignées  ici, 
relativement  au  premier  satellite,  par 

r,,  />,,  cp,,  F,,  R,,  Q,,  P,,. .  .; 
relativement  au  second  satellite,  par 

l'i,  p2,  92,  F2,  R„  Q2,  P2,. . .; 
relativement  au  troisième,  par 

/■3,  />3,  93,  F3,  R3,  Q3,  P3,. . .; 
et  relativement  au  quatrième,  par 

'■4,  p^,  94,  F4,  R4,  Q4,  P4, 

En  général,  nous  conserverons  toujours  dans  la  suite  les  noms  donnés 
dans  les  Articles  précédents,  avec  cette  seule  différence  que  nous  mar- 
querons les  lettres  d'un  trait  pour  le  premier  satellite,  de  deux  traits 
pour  le  second  satellite,  etc.  (*). 

Enfin  nous  dénoterons,  pour  plus  de  simplicité,  la  distance  entre  deux 
satellites  quelconques,  c'est-à-dire,  la  ligne  droite  qui  joint  leurs  centres, 
par  A(r,  r);  r,  r  étant  les  rayons  vecteurs  des  deux  satellites;  ainsi  la 
distance  entre  le  premier  et  le  second  satellite  sera  désignée  par  Af/-,,  n), 
la  distance  entre  le  premier  et  le  troisième  par  A(r, ,  r.^),  et  ainsi  des 
autres. 

X. 

Gela  posé,  il  est  visible  : 

1"  Que  le  satellite  C,  est  attiré  vers  Jupiter  avec  une  force 


:^  +  p\ 


(*)  Il  nous  a  paru  indispensable,  au  point  de  \  ue  de  l'exécution  typographique,  de  rem- 
placer les  traits  par  des  indices  en  chiffres  arabes.  (Note  de  V Éditeur.  ) 


DES  SATELLITES   DE  JUPITEH.  77 

et  qu'en  même  leinps  Jupiter  est  attiré  Uii-iiième  vers  le  salellilf  ;i\»'c 
une  loree 


rid-h/j] 


d'où  il  suit  que  la  force  totale  qui  Icud  n  ra|>|)r()(l)<'r  le  satellilr  de  Ju- 
piter est 


r^i-hp',) 


Cette  expression  doit  être  comparée  avec  l'expression  de  la  force  centrale 
7 


F 

J.2,^'_^_  ^2\  (Article  I),  c'est-à-dire,  en  la  rapportant  au  premier  satellite, 


E, 
avec  —, ' — r-5  ce  qui  donne  d'abord 

F.  =  ?*  +  €,. 

2""  Que  le  satellite  C,  est  attiré  vers  le  satellite  Ca  avec  une  force 

<^2 

laquelle  peut  se  décomposer  en  deux  autres  :  l'une  dans  la  direction  du 
rayon  mené  du  satellite  C,  à  Jupiter,  qui  sera 


@2ri  y/l-t-jg^ 

Tau  Ire  parallèle  au  rayon  mené  du  satellite  C^  à  Jupiter,  et  qui  sera 

©o'^y/i  -^  pi 

A(/'.,;V;^ 

De  plus  le  même  satellite  C,  doit  être  regardé  comme  attire  par  une 
force  égale,  et  en  sens  contraire,  à  celle  avec  laquelle  Jupiter  est  attiré 
parle  satellite  Cj,  c'est-à-dire  par  une  force 


rlii-hpD' 
et  dirigée  parallèlement  au  rayon  mené  de  ce  dernier  satellite  a  Jupiter. 


78  KECHEKCHES  SUH   LES  INÉGALITÉS 

Donc  l'action  du  satellite  Ca  produit  dans  le  satellite  C,  deux  forces  : 


IIIK* 


. A-,  V  !-*-/>; 


A(r„r,) 
dirigée  vers  Jupitei',  l'autre 


dans  une  direction  parallèle  à  celle  qui  va  du  satellite  Ca  à  Jupiter. 

3"  Or  la  force 

@2r,v/i4-/?? 

se  décompose  en  deux  autres  :  l'une  perpendiculaire  au  plan  de  l'orbite 
(h'  Jupiter 


l'autre  parallèle  au  même  plan  dans  la  direction  du  rayon  r,,  qui  sera 


Air,,  r-.f 
Pareillement  la  force 


/'2V/   I    -t-/>2 


A(/',,r2)^ 


se  change  en  deux  autres  forces  :  l'une  perpendiculaire  au  plan  de  l'or- 
bite de  Jupiter 

et  l'autre  parallèle  à  ce  plan,  dans  la  direction  du  rayon  f\, 

Knfin  cette  dernière  force  se  décompose  encore  en  deux  aulies  :  l'une 
dans  la  direction  du  rayon  r, ,  avec  le  rayon  r.  i\\\l  l'îiiigle  02  —  f\'-  l'autre 


DES  SATELLII  KS   DE  JUPITEU.  7!i 

perpendiculaire  à  celle  dirediun;  la  première  sera  exprimée  par 

la  seconde  par 

@.  r ^ -3  —    .,  ^'    --,    sin(9,  -  9,  ), 

lrl{i-\-pir  I 

et  tendra  a  dimiiiiiei-  l'ant-le  9,,  au  lieu  (|n('  nous  avons  sup|M»si' 
(Article  Ilj  c[ue  la  force  perpendiculaire  Q  tendait  à  aui;niciittr 
l'angle  '^;  c'est  pour(juoi  il  faudra  la  prendre  négativement. 

4"  Comparant  donc  toutes  ces  forces  avec  les  forces  R,  Q,  P  Arll(  !»■  I  . 
ou  bien  R,,  Q,,  P,  (Article  IX),  on  aura  en  conséquence  de  l'ai  lion  du 
satellite  C2  l<^*s  expressions  suivantes 

_        [-r,sin(9»  — 9.)  _  sinfy,  — 9,)1 

On  trouvera  de  la  même  manière  les  expressions  des  forces  R, ,  Q, .  P, , 
en  tant  qu'elles  résultent  de  l'action  des  salelliles  ©3  et  C^  t'I  il  est  ehiir 
(jue  l'on  aura  les  mêmes  formules  que  ci-dessus,  en  njarquanl  seulenieiii 
de  trois  traits  ou  de  quatre  traits  les  lettres  (|ui  soiil  uiar(|uei's  de  deux 

traits  (*). 

XI. 

Si  l'on  veut  avoir  égai'd  aussi  à  l'action  du  Soleil  sur  le  sjileliile  d  ,. 
on  nommera  : 
<D  la  masse  du  Soleil, 
0,  la  distance  du  satellite  C,  au  Soleil, 
0.   le  ravon  vecteur  de  l'orbite  du  Soleil  autour  de  Jupiter. 
di    la  longitude  du  Soleil  vu  du  eeiitre  de  ^"  : 

(*)  Foir  la  Note  de  la  page  7O. 


80  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

et  il  n'y  aura  qu'à  mettre,  dans  les  expressions  de  R,,  Q,,  P,  de  l'Ar- 
ticle X,  ®  au  lieu  de  Ca,  o,  au  lieu  de  A(r, ,  r^),  p,  au  lieu  de  r^,  ^  au 
lieu  de  o^,  et  supposer /Jo  =  o.  De  cette  manière  on  aura,  en  vertu  de 
l'action  du  Soleil, 

D  _  ^  r^'  —  piCOs(t|;  — y.)       cos(d;  — <p,)"| 

'  '  ^  V         à]  ^  — pt— J' 

Q  _.^  1  pisini^j;  —  cp,  )        sin  '  ^  —  9,) 


\\=,^':iii. 


XII. 


Donc,  en  joignant  ensemble  les  forces  qui  proviennent  de  l'action  des 
trois  satellites  Ca,  C3,  C*,  et  du  Soleil  sur  le  satellite  C,,  on  aura  les 
valeui's  complètes  de  R,,  Q,,  P,  exprimées  de  la  manière  suivante 


g;  r^i  —  r2COs(cp2  —  9,)        cos(9,  —  9,)1 
L  r;(i  -t-/>-        ! 

[r,  —  ^3  ces (93  —  9i)        cos(93—  91)"] 

^  f/-.  —  /■4  ces '94  —  91)        cos(94  —  9.)1 
'[  ^"-'■.''  rM.^pé\ 

^  fr.  —  p,  cos(vj;  — 9.)        cosùj>-9,)1 

"^  ^  L         â]  ^  — i] — J' 

0  =  (X  p'^ sin (9;  — 9,)  _  sin(92  —  9i;'j 

L  'Ki+z^^     J 

^  p'3sin(93  —  9,)  _  sin  (93  —  9,  ,ri 

,    fs-  r/'4siiii9,  —  9,)       sini94  — 9,)"] 
^  ^^        A(r,,,-,)3       -    TT— J 

L  '"'i+z^;    J 

.    p-4sin(4;  —  9i)        sin;  (J;  —  9,  H 
I  ÔJ  ^^  J' 


DES  SATELLITES  DE  JUPITEU. 


Hl 


['\Pi  —  i\ 
A  (  r, ,  Ta 

"^l  Afr,.r, 


El 

\p, 


p? ] 

p^     "I 

P*      ■    1 


r:ii-hp] 


61 


XIII. 


Telles  sont  les  expressions  des  forces  perturbatrices  du  salellile  (i, ,  ; 
d'où  il  est  facile  de  déduire  celles  des  trois  autres  satellites  ^o.  ^3.  ^  .• 
En  effet,  un. peu  de  réllexion  suffît  pour  faire  voir  que  les  quantités  R,, 
Q,,  P,  deviendront  R2,  Qa,  Po»  en  marquant  seulement  de  deux  traits  les 
lettres  qui  sont  marquées  d'un  trait,  et  réciproquement  (*;;  ainsi  l'on 
aura  pour  les  forces  perturbatrices  du  second  satellite  les  expressions 
suivantes 


-h  a 


@4 


© 


''2  —  ''i  ços(9i  —  92 


A(r„  i\r 
ri  —  /'a  CCS  (93  —  92  ; 


cos(9, 

ces  (93  —  91 


A(r„  r,Y 

i\  005(94  —  92) 


(9.  —  9^)"| 
^+P\)^\ 


C0S(CP4  — 


à{r„ny 

r,  —  p,  CCS (4^  —  92! 


3s(9«  —  92)1 

](^-+-p]y  \ 


H- 


r 

ces  (  ']) 


r,  sin(9,  — 92)        810(9,-92; 


A(r2,  r, 


/•^j  +  />= 


r3sin(93  — 92)       sin(93—  9 


A(r2,  r,)' 
r4sin(9i  —  92] 


rl{i+pl) 


A(/-2,  rO^ 
û,  sin  '\>  —  92; 


sin(94  — 92)"1 
r]{i  +  p]y\ 

sin(4'  —  92)"] 


0: 


P, 


(*)  Fnir  la  Note  de  la  page  76. 
VI. 


82  IlECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 


© 


/■2/^2 


On  aura  pareillement  les  expressions  de  R:,,  Q3,  P;,,  et  de  R^,  Q,,,  P., 
en  marquant  successivement  de  trois  et  de  quatre  traits  les  lettres  qui 
ne  sont  marquées  que  d'un  seul  trait  dans  les  expressions  de  R,,  Q,,  P,, 
et  réciproquement  (*). 

XIV. 

Il  reste  à  chercher  les  valeurs  des  quantités  A(r, ,  r.^),  A(r, ,  ^3),..., 
qui  expriment  les  distances  entre  le  premier  satellite  et  le  second,  entre 
le  premier  et  le  troisième,  etc.  (Article  IX).  Or  il  est  facile  de  trouver 
((u'on  aura 

A(r,,  }\y  =  {r.ip.--  r,p>y  -h  [r,  siniOj—  9,)]^  -1-  [i\  —  r,  cos(cp2  —  9,)]' 

= /'Uï  +  p' j  —  2/',  r^  [cos(9.  —  cp,  )  + /;,/;.] -4- /•;  (  I -h /?;) ; 

donc,  tirant  la  racine  carrée. 

Air,,  /•,)  =  v'V'(,i-f-/?')  — 2/-,  r^  [005(92—9.)  -^PiPi]  +  rl{i-h  pi) . 
On  trouvera  pareillement 

A{r„  r,)  =  s/r-  {i  -h  p])  —  in  r,[cos'  o,—  (?,)  -h  p,  p,]  -h  r;{i+  pi), 
et  ainsi  des  autres.  On  voit  par  là  que 

Air^,  r,)  =  A{r„r,j, 

car  l'expression  de  cette  dernière  quantité  demeure  la  même,  en  chan- 
geant r, ,  /?,,  9,  en  r.,  p.,  90»  et  réciproquement;  ce  qui  est  d'ailleurs 
évident. 

(*)  Foir  la  Note  de  la  page  7G. 


DES  SATELMTi:S  DK  .IIIMI  Kli.  H:\ 

XV. 

Pour  avoir  iiiaiiitciiaiil  la  valeur  de  o,,  il  ii'v  aura  (lu'ii  cliaii^ci  .  (Ian> 
celle  (le  A^/-| ,  /o  .  /•..  <'ii  0,,  'j>a  eu  '|,  el  ellacei'  la  (juiiulilé  /;..  ^\rliel«i  XI;; 
on  aura  doue  aiusi 

on  trouvera  pareilleuienl 


0=  =  y/'i  (i  4-  />5  )  —  2r2  p,  cos(<j^  —  cp,)  +  p* , 

e(  aiusi  des  autres. 

XVI. 

Nous  avons  supposé  (Article  Xj  que  rattraction  de  Jupiter  sur  les  sa- 
tellites était  exactement  en  raison  inverse  du  carré  des  distances;  c'est 
ce  qui  n'est  rigoureusement  vrai  qu'en  regardant  Jupiter  comme  un 
fflobe  de  densité  uniforme. 

Or  ou  sait  par  les  observations  et  par  la  Théorie  que  cette  Planète  est 
considérablement  aplatie;  de  plus  il  peut  se  faire  qu'elle  ne  soit  pas  pai- 
tout  de  la  même  densité  :  deux  circonstances  qui  peuvent  aussi  intliu'r 
sur  le  mouvement  des  satellites,  et  auxquelles  il  est  bon  par  consé(jueul 
d'avoir  égard  ici.  Pour  cela  nous  supposerons  :  i"  (jue  la  figure  de  Ju- 
piter soit  celle  d'un  sphéroïde  elliptique  peu  dillerent  d'une  sphère; 
2"  que  ce  sphéroïde  soit  formé  d'une  infinité  de  couches  toutes  sphé- 
roïdicjues,  et  de  densités  différentes;  3*^  que  Téquateurde  Jupiter  s(»il 
dans  le  plan  de  Ttubite  de  cette  Planète. 

Cette  dernière  supposition  n'est  pas  tout  à  fait  exacte;  car  on  sait  que 
l'équateur  de  Jupiter  est  incliné  d'environ  3  degrés  sur  le  plan  de  sdii 
orbite;  mais  l'erreur  (|ui  e.n  résulte  est  si  petite  (ju'il  serait  siiperllu  d'en 
tenir  compte. 

Cela  posé  :  soient  A  le  demi-axe  d'une  couche  (|uelcon(|ue.  !•'  son  eHi|)- 


84  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

ticité  et  D  sa  densité;  on  trouvera  par  les  Théorèmes  de  la  ligure  de  la 
Terre  de  M.  Glairaut  (§§  XXVI  et  XLVI,  seconde  Partie)  que  l'attraction 
de  Jupiter  sur  un  satellite  quelconque  produit  deux  forces  :  l'une,  dirigée 
au  centre  de  Jupiter,  égale  à 


2CT 


r'{i-\-  p') 


[/dA.^.V  +  |/d^,A.E)J  +  ^%-^.7l)^.A'E); 


l'autre,  perpendiculaire  à  cette  direction  dans  le  plan  d'un  méridien, 
égale  à 


5r'{i  -hp-)' 


f\)di\Œ) 


{zs  dénote  ici  la  périphérie  d'un  cercle  dont  le  rayon  est  égal  à  i^.  La 
partie 

de  la  première  de  ces  d'eux  forces,  étant  réciproquement  proportionnelle 
au  carré  de  la  distance,  doit  être  comparée  avec  la  force   -— 

^  /'-(l-4-/>^J 

(Article  X)  ;  d'où  l'on  aura 

zr=2C7r  rD.Vf/A+ 1  rDf/(A'E)]- 

L'autre  partie  de  la  même  force 

5r'{i-hp-'rJ 
aussi  bien  que  la  force  perpendiculaire 

,  J'^f'  ,-3-  flUiX^E), 
5r*{i-hp-'rJ 

devront  être  regardées  comme  des  forces  perturbatrices,  et  par  consé- 
quent décomposées  suivant  les  directions  de  R,  Q,  P;  cette  décomposi- 


DES  SATELLITES  DE  JUPITER.  8.> 

tioii  (Haiil  l'aile,  on  aura  les  deux  forces  suivantes 


57 


dans  la  direction  de  la  force  R,  et 

l^^^^^-rD^(A^E) 

dans  la  direction  de  la  force  P;  donc,  si  l'on  suppose 

fDdiX'E) 

^  ~  A'[/DAV/A  H-'f  jDrf(Â»EjJ  ' 

les  forces  perturbatrices  R  et  P,  qui  résultent  de  raplatissenieni  de  Ju- 
piter et  de  riiétépogénéité  de  ses  couches,  seront,  en  général, 

K  = ^»       V  -     j — -, 

5r'{i-hp'y  5r*{i-hp'y 

d'où  Ton  tire  :  pai'  rapport  au  premier  satellite, 

_   vA'^(i-4/>^)        „       vA^T{3p.-ip]), 

lii  —   ^      )        r,  —  j         5 

5r\{i-\-p]Y  5rl{i-\-p]y 

par  rapport  au  second  satellite, 

vA^^(i-4p^)                  vA-Zr(3/.. -:.;>-). 
Kî^    —  •>       *'— 1 ' 

5r^(i-J-/>^)-  5rî(i-|-/?^)- 

et  ainsi  des  autres. 

Il  n'y  aura  donc  qu'à  ajouter  ces  valeurs  à  celles  des  Articles  \li 
et  Xlll.  Au  reste,  comme  l'aplatissement  de  Jupiter  n'est  que  d'environ 

^■>  suivant  les  dernières  observations,  la  quantité  E  sera  fori  j)clite. 

aussi  bien  (jue  la  (juantité  v;  de  plus  le  rapport  de  A"  à  /-  sera  toujours 
exprimé  par  une  fraction  fort  petite;  de  sorte  que  les  forces  perlurl):i- 
îricesdont  nous  venons  de  parler  seront  nécessairement  tirs-pelili's. 


86  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Si  l'on  suppose  D  constante,  on  aura 

_     3E 

~~  I  4-2E 

En  général,  quelle  que  soit  D,  on  aura,  par  les  conditions  de  l'équilibre, 

rDâf(A*E)  =  5A»(E-|ê)  TdA^JA 

f§  étant  le  rapport  de  la  force  centrifuge  à  la  pesanteur,  sous  l'équa- 

teur);  donc 

v  =  5E-fê 

à  très-peu  près. 

XVII. 

Il  faut  maintenant  développer  les  expressions  des  forces  perturba- 
trices P,  Q,  R,  en  employant  les  suppositions  de  l'article  V.  Pour  cela 
nous  remarquerons  d'abord  que  nous  pouvons  négliger  dans  ce  calcul 
tous  les  termes  de  l'ordre  n\  parce  que  les  quantités  P,  Q,  R  sont  déjà 
elles-mêmes  de  l'ordre  n,  comme  nous  le  verrons  plus  bas.  Donc,  met- 
tant premièrement  dans  la  valeur  de  A(r, ,  rg)  [Article  XlVj ,  au  lieu  de  r, , 
a^  (i  -h  nx^),  au  lieu  de  />, ,  nz^•,  et  de  même,  au  lieu  de  r^,  aj\  -+-  nx^), 
et  au  lieu  de  p^,  nz^,  suivant  ce  que  nous  avons  dit  à  l'Article  IX,  on  aura 

=  \/a\  —  la^a^  cos(<}>2  —  'f,)  •+- «^ -h  in{à\x^^  a\x.^  —  nna^a^^x^  -i--*^,)  cos('f,  —  y,)  » 

d'où  l'on  tire,  par  les  séries, 

TT-^3  =  [«' -  2 «,  «2  COS  ('f,  —  y,  )  ^- «^]"  ^' 

—  3 « [«1^, H- a\x.,  —  fl, a, {x^ -^- x^  cos (o.,—  'f ,)]  \n\  —  2 <■/,  a,  cos (^.^—  y, )  -^- ^2]   ''-'-.•■• 

On  trouvera  de  même 


=  [r?-^  -  2^,  rt,cos(Y3— ';»,)  + «'J' 


—  3 «  [«'i.r, -H  rt^.r^—  «,  «3 (x, -4- X3)  COS (4/3—  o,)]  \(i\  —  '2rt,  rt,  cos (i/^,—  », )  -f- «^]'  '■-)-,.., 


DES  SATELLITES  DE  JUPITEK.  HT 

Et  pareillement 

_  3 

=  [a]  -  -la^n^  cos('f,  -  v,)  ^  «(]"  ' 


—  3rt[fl»^,+  «î^-— «,a,(j7,-^j;,)cos('f,-"^,)J[^/;-.i^/,rt,COS((p,— Y,)-^«îj'''+-.--i 

el  ainsi  des  autres. 

xvin. 

Mais  il  se  présente  ici  une  ditTicuité,  par  rapport  aux  (|uantités 

[aj  —  2a,a,  cos(92— 9i) -<- «2]   %      [«' —  2a,  a^  rosl^j  —  9,)  +  a']"', .  .  . , 

c'est  tle  pouvoir  les  réduire  à  une  l'ornie  rationnelle,  condition  absolu- 
ment nécessaire  pour  l'intégration  des  équations  des  satellites. 

Pour  résoudre  cette  difficulté,  on  écrira  d'abord  les  radicaux  proposés 
ainsi 

-  ■'  _  i 

et  la  question  se  réduira  à  changer  en  une  l'onction  ralioiinelir  une 
quantité  de  cette  forme 

(i  —  iq  cosô  -\-  q^)~\ 

dans  laquelle  q  est  un  nombre  moindre  que  l'unité. 

Pour  y  parvenir,  je  remarque  que  la  quantité   i  —  2^co35-f^-  est 
égale  au  produit  de  ces  deux  quantités 

I  —  ^fcosô  +  sinôy  —  i),     et     i  —  ^(cos0  —  siuô  y,  —  '  ); 

je  les  éli'vc  ilonc  l'une  et  l'autre  à  la  puissance        À,  en  ecrivani  au  heu 
du  carre  de  cosf/ ±  sin5  y^— i ,  cos2$  ±  sin  2$  V  —  ••  •''  ainsi  Ar  suilr: 


88  HKCliKKCHES  SUR   LES   INÉGALITÉS 

[i  —  fy(.co.s6±:sinÔ  v'  — I  jj~''~  i  -hlq{cosÔ  ±sin9  \/—i  ) 

^ — ^^ q^icosiB  zL.  sin?. 0  s/  —  ij 

X(X  +  l)(X+2) 


2.3 


çM,cos30±sin3ô  y/— i 


Soil,  pour  abréger, 


I  +  Iq  COS0  -+-  ~ q-'cos^.O  H ^ '-- — : — '-  q'cos3B  +.  .  .=:^  M, 

/^sin&  H ^- '  ^-81112  0  H ^ ^ij^  sin3  0  h-.  .  .  =  N; 

on  aiua 

' I  -  V  (  cos e  +  sin  9  v/— ^)  J~'  =  M  +  N  ^/^ , 

1-  7(cos0  — sin0v/'-^i]~^'  =  M  — Nv^^'; 
donc 

;  I  —  2^  COS0  +  çM-"'-  =  (M  +  N  V  —  ï)  (M  —  N  y/— i" j  =  M'  -^  N-. 

Or,  si  l'on  l'ait  les  carrés  des  deux  séries  M  etN,  qu'on  ajoute  ensemble 
les  termes  qui  ont  le  même  coelficient,  et  qu'on  remarque  que 

cosmô  X  cos/î9  +  sinmO  x  sm?iO  =  cos{m  —  n)6, 

metn  étant  des  nombres  quelconques,  on  trouvera 

{ï  —  iq  cos 6»  +  ^' )-''  =  A  -+-  B  cos 0  h-  C  cos 2 0  -f-  D  cos 3  0  -1-  ...  . 

Et  les  coeiFicients  A,  B,  C,...  seront  exprimés  de  la  manière  suivante 

A  =  i  +  >.^9^+ q^  +  -^ -L^^ q^-^..., 

B  z=  2X(/  +  il— q^  +  1 — 'Ai q' 

^  2  '  2  2.3  ' 


l{l  +  \){'k-^i)  ?.(X  +  i)(Xh-2)(a  +  3 
2.3  2.3.4 


9' 


t  =  2  — ' —  q^  +  2  / q^ 

2        ^  2.3  ^ 


et  ainsi  de  suite. 


DKS  SMKLIJ  ri:S   l)K  Jl'l»H  Kl',.  S<) 

Au  iT'slc  il  lie  scni  nrccssnirc  (jiic  de  coiiiKiili'c  les  deux  premiers  coct- 
ticients  A,  H,  pour  ;iv(»ir  tous  les  ;iuU(\s  {],  D,...;  cjir  on  Irouvcra  par  les 
formules  de  l'Arlii  le  XXVI  de  la   Pièce  sur  le  mouvement  de  Saturne 
Prix  [748J   (*) 

1' 71^ ^-^ » 

1   /)    —    /     (/ 

(4->;7 
et  ainsi  de  suite. 

XI.X. 

Tout  consisl<'  doue  à  délennincr  les  valeurs  de  A  et  B.  Or,  dans  la 
Tliéorie  des  satellites  de  Jupitei',  la  plus  grande  valeur  de  q  esl  d'envi- 
ron |,  eomnie  on  le  verra  plus  bas;  done  q'^  sera  toujours  moindre  que  {  ; 
donc,  si  l'on  fait  >  =  |,  les  suites  A  et  B  seront  assez  convergentes  pour 
qu'on  puisse  se  contenter  d'un  petit  nombre  de  termes.  Os  suites  seroni 
représentées,  en  général,  par  celles-ci 

.  q    .,      o    ?.5    ,      q    25    49 

B        3  q    5    ,       q    9.5    7    ^ 

dont  les  coefficients  numériques  sont  très-aisés  à  calculer. 

Voici  les  logarithmes  de  ces  coefficients  pour  les  différentes  puissances 
de  q  qui  entrent  dans  les  deux  séi'ies  dont  il  s'agit;  les  logarithmes  qui 
répondent  aux  puissances  paires  de  q  sont  ceux  des  coefficients  des  ter- 
mes de  la  série  A,  et  les  logarithmes  qui  répondent  aux  puissances  im- 
paires de  q  sont  ceux  des  coefficients  des  termes  de  la  série  —  • 

(*)  La  pièce  dont  il  csl  ici  qiustion  esl  le  Mémoire  d'Eiiler  inséré  dans  le  tome  VII  des 
P/i.T  rie  PÂcadéniir  Rnvnlr  des  Scicncrs.  [Note  de  rEditi'iir.) 

VI.  12 


90 


RECHEKCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 


'/ 

0,176091 

'r 

1,047096 

<t 

1 , 3 I 56 I 2 

<r 

0,352182 

7" 

1,070577 

7" 

1,328976 

't 

0,449092 

,f 

i,o94o58 

7" 

1,341 565 

<t 

0,546002 

r/^ 

i,ii5247 

1 

q'' 

I, 354154 

<t 

0,612949 

<r 

1,1 36436   \ 

7" 

I ,366o53 

<f 

0,679896 

./' 

i,i5574i 

f 

1,377952 

<f' 

0, 731049 

7" 

I ,175046 

<r 

1,389233 

<t 

0,782202 

r/' 

1,192775 

'r 

1 ,4oo5i4 

ry' 

0,823595 

.y- 
7" 

I ,2io5o4 

^3„ 

i,4ii238 

r 

0,864988 

I ,226895 

./» 

1 ,421962 

<r 

0,899750 

q^" 

1,243286 

7" 

I ,432181 

7" 

0,934512 

<r 

1,258526 

<r' 

1 ,443^400 

V" 

0,964475 

7" 

I ,273766 

7" 

1 ,452160 

<r 

0,9944 38 

7" 

1 ,288007 

7" 

1 ,461920 

7" 

I ,020767 

7" 

I ,302248 

Il  ne  s'agira  donc  plus  que  d'ajouter  à  chacun  de  ces  logarithmes  celui 
de  la  puissance  correspondante  de  q,  et  de  chercher  ensuite  le  nonihre 
qui  répond  à  chaque  somme;  on  aura  ainsi  les  valeurs  d'autant  de  termes 

des  deux  séries  A  et  —  qu'on  voudra;  d'où  l'on  pourra  tirer  pour  A  el  \\ 


DES  SATELLITES  DE  JUPITEU.  !>1 

des  valeurs  aussi  :i|»|)r()clHM'S  i\\\\)u  lo  croira  nécessaire.  INuii  ju^cr  de  l;i 
(|uaiilil(''  (le  ra|)|)ro\iiiiali()n,  on  i'eiiian|uei:i  (|ue  les  dilTérences  des  lo- 
garitlimes  de  la  Tahie  précédente  forment  une  progression  décroissante; 
d'oi!  il  snil  (jue,  si  a[)rès  avoir  piis  la  somme  d'un  n In-e  (|nelcon(|iH' 

de  termes  de  la  série  A  ou      on  regarde  le  reste  de  la  série  comme  une 

propression  géométri(|ue,  l'erreur  sera  toujours  moindre  (jue  la  somme 
de  cette  progression.  Au  leste,  dans  le  cas  même  où  </  sera  la  plus  grande 

(ce  cas  est  celui  où  a  -~—  =  -^^»  comme  on  le  verra  d;ins  la  suite  )  » 
\  ^       (ij       143»  / 

-   .        .        B 
il  suffira  de  prendre  les  dix  premiers  termes  des  seru's  A  et  -  |)our  avoir 

les  valeurs  de  ces  coefficients  en  millièmes,  c'est-a-dire  ;ni\  dix  millièmes 
près,  et  en  prenant  encore  trois  ou  quatre  termes,  ou  |)oussera  l'exacti- 
tude jusqu'aux  dix-millièmes  et  au  delà. 

XX. 

Ayant  ainsi  los  valeurs  des  coetïicients  A,  B,  (">,.  • .  de  la  suite  (|ui  re- 
présente 

(i  —  2fy  ces 5  -+-  q-)   ', 

on  trouvera  aisément  ceux  de  la  suite  <|ui  exprime 

i  —  •:>.q  COS0  +  7^1   '; 
car,  dénotant  ces  derniers  par  'A^,  ^B;,  (C) il  faudra  (|iie  la  série 

,  A  ,  -H  1  B)  COS0  +  (C  )  C0S2  Q  -h'.  .  ., 

étant  multipliée  pai' 

I  —  27  ces  6  -I-  q^, 

devienne  égale  \\  la  série 

A -f- Becs 6 -4- (J  ces 26 -t- .    .. 


92  RECHERCHES  SUR    LES  INÉGALITÉS 

La  multiplication  faite,  on  trouvera,  en  comparant  les  deux  premiers 

termes, 

A  =  (i-+-^')(A)-^(B), 

B  =  (i  -h  q'}{K)  —  29  (A  1  —  ^(C^ 

Or  (G)  est  donné  en  (A)  et  (B)  de  la  même  manière  que  G  est  donné  en  A 
etB;  il  suffira  pour  cela  de  mettre  dans  l'expression  de  C,  Article  XVIII, 
(A)  au  lieu  de  A,  (B)  au  lieu  deB,  (G)  au  lieu  de  G,  et).  +  i  au  lieu  deX; 
ce  qui  donnera 

(C)  _  ^^^^  , 

donc,  si  l'on  substitue  cette  valeur  de  (G),  on  aura  deux  é([uations  en  A, 
B,  (A),  (B),  d'où  l'on  tirera 


(A) 


-^—  [i  -h  q')B  -h  ^q  A 
{îi)  =  — 

Connaissant  (A)  et  (Bj,  on  connaîtra  tous  les  suivants  (Article  XVIIL 

XXI. 

De  ce  qu'on  vient  de  démontrer,  il  suit  qu'on  peut  supposer 

[«' —  ?.a,ft2Cos(cp2— 9,)  H- fl^]   - 

=  T{ai,a2)  +  r,(a,,  «2)008(95  —  9,) 

+  Fvfa,,  «2)  cos2(9,  —  9,  )  +  Ti{a>,aî)  cos3(92  —  9, ,  H-  .  .  ., 

[a^  —  2aiaiC0s(9,— 9i)  +  a^]   ' 

=  A(«,,  «2)  +  A,(a,,aj)  cos(92  —  9,} 

H-  AAa,,  a.)  cos2(92  —  9,)  -f-  A,(a,,  «,)  cos3(9,  —  9, 1  -f- .  .  .  , 

J'entends  par 

r(rti,a,),  r,(ai,a2),  l^i^,,  «2), .  .  .;     A(rt,,«2),  A,(a,,rt2.),  AA<h,  <ii),-  .  - 


U  E  S  S  AT  E  ELITES   I  )  I  :  .1  U  1>  Il  E  K .  m 

(Jt's  ronclions  données  de  a, ,  a.^,  dont  on  ti'ouvcra  ht  valeur  par  les  tne- 
tliodes  des  Artieles  précédents. 

Donc,   si  l'on   fait  ces  subslitiilions  dans  la  «iiianlité  -r--    '    ■     (  Arti- 

•  A(r„  r.)' 

cle  XVIlj,  et  que  l'on  développe;  les  |»ro(luits  des  sinus  et  des  cosinus,  ou 

trouvera 

^/^■^  ^X3  =r(a,,a.,)  4-  r,  («,,rto)  cos(9,  —  (^,)  h-  T^la,,  aj)  cos2(<j),  —  <p,) 
-+-  Tiitti,  a2)cos3(9.,  —  9,)  -t- . . . 

A,  (a,,  aj)  1 


—  3nx, 


a]  A  (a,,  tt'i)  —  a, a. 


3nj;,     a^  A,  (a,,  «2)  —  a, a. 


2A(a,,  a.j-t- Aïia,,  a,) 


J 


COS(C&,  —  O,; 


D  r     îA    /  N  A,(«i,  rt-.)H- A3(a,,  flj)"! 

—  3n^-,     a\A2ia„  a^)  —  a,a,  — ^ — - — '— — ^  cos2((p2  —  9,) 

2         r    2  A  /  \  Aiia,,  a^)! 

—  i«X2     a;  A  (a,,  aj)  —  a,«j — - 

■}        r    5  A   /  ,  2A(ai,  «2)  + Asfai,  «2)1 

—  inx'i    a.  A,  (a,,  aj)  —  a, a, ^ — - — ^ — - — ■'     cos(<p,  —  9,) 

o„      r   2A  /  \  A/a,,«2^  + A3(a,,a2)1 

—  inXi    alAi{ai,  a,)  —  a^a^ 0032(92  —  9.) 


XXII. 


Soit  fait,  pour  plus  de  simplicité, 


„  . «2iaîAi(a,,  a.)  —  2a;A(«,,a2) 

11    {a(,  Cljj  — — — — — ■ ; 

2 


n,  [a„ai] 


112  (a,,  «2 


«,fl!2A2(a,,  «2)  —  2«*  A, (a,,  a,)  -+-  2a,a2A(a,,  a-i) 


Jliiati  «2)  = 


2 

«.«.Aa    «,,  <^/..)  — 

?.«;[  Aîia,,  «,)  -+-  a,a2A,  ia,,a,) 

2 

a,aaAi(rt,,  «2)  — 

2flî  A,(rt,,rtï   -l-a,a,A2(a,,a2) 

94  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

Soit  aussi 


„,  ,                 a,ajA,(a,,  ûî)  —  2ajA(a,,aj) 
W  (a„  ai)  — ^ '. 


„,  ,  ,       a.fljAîiai,  «2,'  —  2«^  A,(a,,aj)  M- 2a,a2A(«,,  «2; 


„,  ,  ,       a,a2A3(«,,a2)  —  2a2A2(ai,a2)  +  «i«2A,(a,,  a^) 

^i{a,,ai)— ■ : > 


,„  ,          ,       aitt^Aiia,,  02)  —  aa,  Ajftti,  «2)  +  «.«2A^(a„  «2' 
H^3(a.,  «2)  — 


On  aura  la  quantité  -r— -^ — 7.-'  exprimée  de  la  manière  suivante 


I 


r(a,,a,)  +  r,:a,,a2]cos(92  —  9,)  -^  r2(a,,  «2)0052(90  —  9,) 


A(r.,  A) 

-+-3n^,[n(û,,a2)+n,  «.,a2)cos(;92— 9,)+n2(«„a2)cos2(92— 9,)+.-.] 

-+-3«X2[*F(«.»«2)^-^ii«.»«2)cos(f2—9i)+^2 («,,«2)  0052(92—9, )-!-...]. 

On  trouvera  de  même,  en  changeant  simplement  r^  en  t\,  a^  en  «3, 
^2  en  93  et  a^a  en  ^^3, 

- — î — -  =  r(a,,«3)  -t-  r,(a,,rt3  cos(93  —  9,)  -f-  Tzla,,  «3'  0052(93  —  9,)  +..  . 
-i-3n^,[n(«,,  «sl+n,  «i,a:i]  005(93— 9, iH-IIs'a,,  cii)  0052(93—9,1  -I-...]. 
-4-3n^3[^  rt,,a3!-i-¥,(a,,«3)C05(93— 9,n-4'2(«,,a3)  0052(93—9,)-+-...]; 

et  pareillement 


I 


r(a,,  tti)  ■+-  r,(a,,  «4)  005(94  —  9,)  -l-  YAa^,  ai)  0052(9,  —  9,) 


A(r„/0' 

-f- 3 /tx,[n(a,,a<)-hn, '«,,«()  005(94— 9i)-l-n2(«,,  «4)  0052(94—9,;-+-...] 

+3n^4[^(«i>«4i-^-^F.(«M«4j  005(94— 9,)+ M^2(«.,  «*)  0052(94 — 9V)-*-...]. 


DES  SATELLITES  DE  JUPITER.  95 


XXIIL 

Cela  posé,  on  aiiiii 

a, (i  -+-  nxt) 


A(r.,r,)'  A(r„r,)» 

=  a, [r(a,,  a2)+r,(rt,,  a,)  cosicps—  cp,)-+-  r,(a,,  a,)  0052(95—9,)  +  . .  .] 

-\-  nx,  a,  rsn (a,,  a-:)  -¥-T{a^,(h)  -\-  [3 II,  (0^,0-^)  +r,  (a,,  «2)]  005(93—9,) 

-I-  [SDaia,,  flj  I  H-  r2(a,,aj)]  0032(92  —  9,)-»-.  .  .1 

-(-  3/t:c2a,[H^(«,,  «2!  H- H'',  (a,,  a-i)  008(92-  9,  ) -l-H^,(a,,  «2)  0082(92—  9,  i  -t-.  .  .]. 
On  trouvera  de  la  même  manière 

.    /    S3  =  a^Cr  ;  a,,  aj)+r,  a,,  «2)005(92—  9,) +  r2(a,,a2)  0082(92  -  9,)-!-. . .] 

-+-  3n^,a2[n(a,,  a,)  +  ni(«i>  «2)  008(93-9,)  H-  H^i  a,,  aj)  0O821  93— 9,  j  -+-...] 
-i-n^2tfj[3M^(a,,a2)+r(a,,a2)-i-[3^,(a,,a2)-f-r,(a,,aj)]oo8(92— 9,) 

H-[3¥2(a,,  aî)H-r2(a,,aj)]  0052(9,  —  9,;  -*-.  .  .1. 

On  aura  ensuite 

^- -  =  -^{1-  2n^2 -+-...). 


rlii+plY 


iJonc 


Mr,,r,Y 


rlii-hpir 

—  ttiT {a,,  02)  —  a^T^ia,,  a^)  ç,os\(if->  —  <^x)  —  a^T^ia,,  «2)0052^92—9,)  —  . . 
3nx,a2[n(a,,  «2) -h  H,  (a,,  «2)  005(92  —  9i)-^  n2(a,,rt2)  0052(92  —  9,)-+-.  •  • 
nXi    -j  -h  3a2¥(a,,  ch)  H-  a2r(a,,  «2) 

L^2 

-4-  [3ajH'',(a,,  «2   -H  a2r,(a,,  aj)]  005(92  —  9,) 

-f- [3a2¥j(a,,  «2   H- a2r2(a,,  02)]  oos2(9j—  9,  ) -f-. .  .     • 


96  •RECHERCHES  SUR    LES   INÉGALITÉS 

Cette  quantité  étant  multipliée  par  008(9.,  —  9,),  on  aura 


r2Cos(9,  —  9,)        cos(9î  —  9^ 


^{n,r,Y 


«2  Fi  (  a, ,  a-.  ) 


rld-hpl? 


"a,r2(a,,a,) -f-2a,r(a,,«j)         i 


<\ 


cos(9î  —  9i 


a^Tiitt,,  a.)  -h  ajFiia,,  «2' 


cosîi(92  —  9,)  — . . 


—  na;, 


3^2 


ni(a,,a2;       „     n2(a,,«2)H- 2n(«,,a2) 
— h  Sa,  — ^ — '■ 


cos(92  —  9. 


3«2  — ■■ ^^ cos2(92  —  9, 


•J 


—  nx,  j 


Sa.Wtia,,  ai)  +  a2r,(a,,  a^ 


_      H^2(«i,«.')H-2¥(a,,  «2'  r2(a,,  a2)-t-2r(a,,a2)        2.         , 

3«5 — h  a2 1 — J-    008(92—9,) 


I  3«j ^ — - — ^ -\-a-,  — ^ )  0082(92  —  9,)-+- 


Enfin,  multipliant  la  même  quantité  par  —  sin((p2  —  ?i  )»  on  aura 


r2sin(92 — 9,)       sin  92  —  9,1 


A(r,,  Tjj 


tr2(a,,  «2 
«2    -^ 


—  2r(«,,a2)         I 


sin(92  —  9, 


Fa  (a,,  «2)  —  F,;  a,,  «2)    .      , 
«2 sin  2(92  —  9, 


fo    n2(a., 

—  nx^     3rt2  — ^^ — 


— sin(92  —  9, 


n3(a,,a0  — n,(a,,a,)    . 
3 a, sm2(92  —  9,) 


■■■] 


DES  SATELLITES   DE  JUIMTKU. 


î)7 


^j(tf,,aj)  —  ?.^(a,,«2)           r,(a,,a,)  —  2r2{a,,«2)        ?•  ,    •    , 
)«i ' -f-  flj 1  sini  c&.  —  Oi 


XXIV 


Soil  niiiiiilcniiiil 


r(«i,  «2 


_  a'chTiiat,  «2)  —  2.a]T{a„  a^ 


ri(a,,  «i; 


a^fl2r2(a,,  a-,)  —  2a^  ri(a,,  «2)  h-  aa^  a2r(« , ,  «j )       a ' 
2  rt!' 


ru«,,  «2) 


«î«2r:i(«o«j)  —  '2.a]Y^{a^,  tti)  +  a*a2r,(a,,  «s; 


fala,,  «2 


a'  «2  r^(ai,  «2)  —  ia]  Yi{a^,  a-i)  H-  a]  a^T^  «i,  «2 


1I:«,,  ni)  =  3— ' -^ L — ^ — ! a^r(«,,  a,  , 


fi  (^    ..  \       o«>2n2(a„a2)  —  2a^n,(a,,a2)-+- 2a^  a2ni«,,a2)  ,  ,,  , 


n.fa,,  «2)  =  3 


«I  «2  Iljla,,  flj)  —  2a]  !!;(«,,  «2)  +  a'  «2  U,  1  «,,  «2 


—  rt|r,(rt,,«2), 


Ilalai,  «2)  =  i~ — —  a\  Talfl,,  a,). 


VL 


i3 


98 


KECIIEKCHKS  SUK    LES  INÉGALITÉS 


VF  rt,,  a,)  =3 


a',a2^,(ai,a3)  —  2a^^(at,ai)       a-a,r,(a.,  a,) 


^Ki(«i,  (li)  --  3 


a'a.WAa,,  a-t)  —  ?.«^  ¥,(«,,  «2)-+-  '2.a]ai^{a^,  a-,) 


g,  «2 Filai,  0,2)  +  ?.a'rtjr(ai,  «,j       ?.<t' 
^  2  «'  ' 


M%f  «,,«,)  =  3 


«'  «2  ^i{a„  tti  ]  —  -^.a]  H^2(«M  «2    H-  «'  «2  M",  (a,,  «.  ) 


a]  a2r3(«,,  ch)  H-  «I  rt2r,(a,,  «,) 


¥3fa„«2)  =  3 


a;  «2 "4^4 («,,«2)  —  9.«']¥3(«,,«9)  -+-  «';«2M^2(«.,«2: 


«;  rt2r4(«i,  «2)  -i-  «'  «2r->(«i,  «5) 


On  aura 


^  r i\  —  r,  cos  ' 01  —  Oi  )        cos (  CO2  —  9,  )' 

<a.  2    — '—. '■ — •  + 


A(r,,r2; 


''2(1+^2)'  _ 


a 


= ^  [lia,,  a.)  H-  ri(«,,  «2)005(92  —  fy]  H-  fîitti,  «2)  cos2(92  —  9,  ).  •  .] 


©2 


^,  [il (a,,  a/}  -h  n,(a,,  «2)  003(92  —  9,  )-f-n2i«,,  «2)  cos?.  ^92  — 9,). .  .j 


II— Y  ^2[M^(a,,  fl!2)  +  H^i(«i,  «2)  cos(92  — 90  +  H^2(«i,  «2)  0032(92  —  9, )•••]■ 


C'est  la  parlic  df  la  Ibrco  R,  ((ni  résulte  de  l'artioii  du  satollilc  (^.> 
(Anicle  Xj. 


DES  SATELIJTKS   l)K  JllPITKK.  !,!, 

xxv. 

S(til  (le  jiliis 

r  I  ^,    ^.  \—  ^^î  ^^  ^^  {a,,a,)  —  7.  a]  a.  Tut,,  a.         a  : 

2  ai 

YAa„  ch)  =  -'  ^^'  •^'' ^ ^"  ^^ ^  ~_gl^'  r,^( «1  >  «2) 

2 

f  r/^,    «  ^  —  ^U^i^iJai,  «ji  —  a]aiTi{a„  «,; 

? 

Il ,  «,    <-< ,   =  3  ''^1  ^^-^J^(^<M  «2)  —  art'ft.  n  rt, ,  a, 

2 

TT^  f  ^,^  ,f ,)  -  t^  ^?  «»  n3(«'>  «»)  -  g?  «-^  n,  (a.,  g,  )  ^ 

2 

2 

w  ,„    ^  \  _  q  «i«:  y. («,,«■.)  —  2a^  a-2  ¥(«,,  «, ,        „  .,  «; 

ï  i\"i,  "j)  —  o      -  ■ (-  1  (a,,  a.,  —  3  — !-, 

W  („    .,  N  _  Q  ^^1  «v^FaÇq,,  a,)  —  a',  a,¥,(a.,  «,         -, 

t;[.u,,Ui)  —  ô (_  r  «M  a.  , 

2  1      -  . 

(î/ r/y    ..  ^  —  -j  ^^1  ^^^ ^^4(^1,  ^Z)  —  a',  a,  W,{a„a,)       ^ 


On  ;iiri;i 
(E 


^  r/.siii(y2  — 
"^'1      A  /■„/•,; 


9r)        sinfç»,  —  o, 


r'i{i  -h plY 


(S. 


^[r,(«.,  «■,)sini9j  —  r^,)  4-  r,(rt,,rt,)sin2(<ps  —  9, 


a 


~  '^Trr^^'  [n,(«„«.)sin(9,—  9,)  +  fi,  V/,,  a^)  sin2'.  cp,  —  c6,.-t-..  .1 

Cl  ,  I  I  J 


€ 


—  «— '  x,[4^,(<7,,rt,!sin((p,—  9,)  -f-  ^,(rt,,a,)sin2,9,  —  9,1-1-.  .  .J 


i3. 


100         RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

C'est  la  valeur  de  la  foi-cc  Q,,  on  lant  (ju'elle  vient  de  rncliitii  du  sa- 
tellite @,. 

XXVL 

h]iniii  (tu  trouvera 


=:n-^  z,  [«,!(«, ,«2)+rt'|  r,(rt,,  «2)  cos(9,— cp,)+rt';  r2(rti,  «2)0082(92— 91)+.. -j 

—  n—j-zA  u]  «2I  («1,  «2) 7  +  '^^I  a,Ti[a,,  a.)  008192  —  9,) 

^'1      L  ^'2 

+  rt^  «2 Tî^rt, ,«2)0082(92—  9,)  +, .  .     . 

C'est  la  partie  de  forée  P,,  qui  vient  de  l'action  du  même  satellite  C2. 

On  changera  maintenant  dans  les  expressions  précédentes  les  quan- 
tités Cor  «2»  ?2»  ^2'  -■■2  en  C.,,  «^3,  '^3,  x^y  Z3,  et  en  C-,,  «.,,  94,  it-,,  c, 
successivement,  et  Ton  aura  les  valeurs  de  R,,  Q,,  P,,  dues  à  l'action 
des  satellites  C3,  C,. 

Il  ne  restera  donc  plus  qu'à  chercher  les  valeurs  de  ces  nièuu's  forces, 
en  tant  qu'elles  viennent  de  l'action  du  Soleil. 

Pour  cela  nous  remarquerons  d'abord  que  le  rayon  0,  de  l'orbite  de 
Jupiter  est  considérablement  plus  grand  que  le  rayon  r  de  l'orbite  d'un 
satellite  quelconque;  d'où  il  suit  que  la  valeur  de  rî,  qui  est  expriuis'e 
généralement  (Article  XVj  par 


v/p'  —  2p,/'cos(4'  —  ?)  +  '''('  +/^') 

se  réduira  en  une  suite  très-convergente,  dont  il  sullira  de  prendre  les 
premiei's  ieruu's:  ou  aura  donc 

I   I         3/'  008  i  d/  —  9) 


l)h:S  SATELLITES  DE  JUPITEH.                              I  M 

donc 

0'                           p,  ?,p,  ^                   1        .    J 

p,  sin(tl;  — 9)        sin(^|;  — 9)  3;'    . 


XXVII. 

Soiciil  ;i  prôscnt  a  la  valeur  moyenne  de  0,  cl  ///  la  valeur  iiKiycinic 

de  -r^i  e'est-ii-dii'c  la  vitesse  angulaire  niovriiiic  de  liipiicr  aiil ■  du 

«/  . 

Soleil. 

On  supposera,  ;i  riniilation  de  ee  (jUe  nous  avons  fait    Arli(  Ir  \\ j, 

p,  =z  a(i -\- nt),     ^  =  mt  -h  ni. 

Dans  ces  formules,  n'^  représente  l'équation  de  la  distance  de  .Inpiler 
au  Soleil,  et  //J  ré(jualion  du  centre  de  .Iu[)iler;  lesquelles  soûl  ((unnM'S 
par  la  théorie  de  eette  Planète.  En  ell'et,  en  n'ayant  égard  (ju'aux  e(|ua- 
tions  elliptiques,  et  supposant  que  ne  soit  l'exeenti'icité  et  U  ranoinalie 
mctyenne,  ou  a  à  très-peu  près 


^  =  ecosU,     J  r^  —  2e siii U. 


On  aura  doue 


-—  =  —{i-^nx\[i  —  ini   T=:  —  [i  -\-  nx  —  ^iit); 
0'        a'  «•* 


donc  entin 

/  —  p,  cos(4' —  9i)       cos(4'  — 9i 


© 


^^[i  4-  3cos?.{4^  —  9,)1  —  «-— -(^,  —  3^)[i  +  3C0S-.V  J;  —  ©,)], 


\i)2  RECHEIÎCHKS  SUR   LES  INÉGALITÉS 

'o,  siii\  ^  —  9,)        sii 


a 


d-l 


in!\p  —  91  '  j 
P^  J 


r  r smafq;  —  o,  )  +  /t —  1^,  —  3£)  sin^.f  a*  —  o,  :, 

Ci'  soiil  les  valeurs  des  forces  R,,  Q,,  P,,  (|ui  viennent  de  l'aelion  du 
Soleil  'Arliele  XI). 

XXVIII. 

Kn  joii>nant  ensein!)le  toutes  ees  différentes  valeurs,  on  aura  les  valeurs 
complètes  des  forces  R,,  Q,,  P,  exprimées  de  la  iiianière  suivante 

K.  ^ TiJT  —r  [r(«,,  «2/  -I-  f ,(«,,  a,)  cos(Q,  —  0,)  +  . .  .1 

—  -tï;^  —  \fi(A,a,)  +  r,<rt,,  «31  005(93  —  9,)  +...J 

%    a\ 

™cr  -T  [ï'  «1,  «4)  H-  r.Oi,  «4)COS(9i  —  9,)  -t-.  .  .] 

Ili      Cl  ^ 

—  '*"^= — 2  -^i  I  n(«,,  (h  +  II,(a,,  «2)  cos(92  —  9,  +. .  .J 

^     TU        ^ 

—  n-^  -T-^i  [n(  «,,  «3)  +  n,:v<,,  «3)  cos(9:,  —  9,)  -+-...] 

TP    a\ 

Q,     Tu         ^  ^ 

—  n  rp-  —; 3C,  [n(«,,  «i)  H-  n,  Y/,,  rti)  cos(94  —  9,)  H-.  .  .  J 

lu     Cl\ 

a]   ^   T       .       ,  . 

y?     L    ci\ 

—  n  -^  -:rXi[W(a„  a.)  -f-  ^F,  ,rt,,  «, )cos(9,  —  9,)  -t-  .  .  . 

U.    a\       ^  '  ■ 

—  n-=^  -T  .^3  [  $'  (  «M  «3  )  -^  H'',  t  «,,  «3  )  cos  1 93  —  9,)  +  ...  j 

«If     fit, 


DES  SATELLII  KS   DE  JIJIMÏKM 


liKi 


n-~  -T,x,\^{a,y  «4)  -I-  ^, («,,«,)  eus (/j^,  —  cp,'  -1-.  .  .J 


(), 


-^  -7  11,  («1,  a2)sin'  cp.  —  (f,  n-  .  .  .J 


~  -f  -^  Lli(«.,«.i)sin(93  —  cp,  )  +  .  .  .J 

—  -f-  —I  1  ri(«i.«0sin(cp4  —  9,)  -<-.  .  .J 
r  ^  -T  X--sin2(4>  — cp,  ) 

®3  ^^      rfî  •  N    •    .  1 

—  n-^-  -^^,  [n,(«,,rt3)sin(cp3  —  9,)  -4-,  .  .J 


—  « 


W-^; — ^■'•^'  '  II'("|'  "«)  sirn^94  —  9,)  -I-.  .  .J 
«?    O    r 


TP    a 


^r.  [M:^i(rt,,  «2  )  sin  O: 


^-nF  -^X;\^K[a,,  «3 )  sin (93  —  9,) 

lu      Cl  ^ 

n—  -^^«[^^irti,  «4)  siiii  9,  —  9,) 


«'  ^  2r ,     ,  . 

"  ~T  ^  ~  ^  X  "i"  ^'"  2  (  4^  —  9,  ), 


Q     TP 
i*i   'n^-  — r2'[«'r(«,,«/)  -i-rt-]r,i «,,«.,)  008(9-.  —  9,  )  +  . . .] 


€3     ?"         r 

"*"''■  ^^= 7  -2'  [rt^  r(rt,,  a,  ;  -4-  «;  r,  !  rr,,  «3  )  COS;  COa  —  9, 

lu     O, .  '  ' 


lO'i  KECIIERCHES  SUR   LES  INEGALITES 

« 

-t-  n  -V  -7  2. [«'Tf  «,,«/;  +  «'r,(a„  «4)005(94  —  9,)  +  .  •  •] 
%    a\      ^ 

a\  m  % 

-+-  /'  -\  177  —  2, 

—  n—^  —z\  a\(uY\a,,  r/,  )  -  ~  H-  a\a^\,  a,,  «,)  005(9,  —  9, 1  4- .  .  . 

^    «;      L  «à  1 

—  n-y^  -4  2J  «'^  «>  r i  r/,,  rt;,  ; ^  +  a\  «3 T, (a,,  «3)  C05( 93  —  9, )+  .  .  ■ 

II-    a\      L  ^^3  -J 

— 7Z'.    «'«iTi  «,,«,; T  +  a\a,Ys[a„a,)  005(94  —  9,)  +.  . . 


€4  r 


Il  lie  reste  plus  qu'à  suhstiluei*  pour  9,,  92,  9,,  9,  et  <];  leurs  valeurs 
\].^  t  4-  //y, ,  ao /  4-  n^Vo ,  [X3  ^  -!-  /iy.^ ,  p,^  ^  h-  nj,  et  mt  -\-  nl\  ee  qui  est 
nTs-l'acile,  ear  il  n'y  aui'a  (ju'à  changer  9,,  90»  ?3»  ?'.'  '^  eii  [^-i  ^'  P-2^ 
à;,/,  [i..j,  ml,  et  ajouter  ensuite  aux  expressions  de  R,  et  Q,  les  quan- 
tités suivantes 

(I2   TP  V-  ^  '  1 

n-^  —r  (j2— Ji)  [r,  «i,«2)SUi(y.2  —  y.,}  t  -^  iTiia,,  a,}  +  .  .  .  \ 

+  «^  "  (J3  —  j<j[r,(«i,  a3)sin(/a3—  ^j.,)if  4-  2fj(«,,«3)  +  .  . .] 

+  «--7^  —  (74  — Ji  )  [ri(«i,  «4)  sin(p.4  —  iJ.i)t-h  ^r.ia,,  «4)  4-.  .  .] 

a^   Q   TP 
+  /i  -^  ^^  ^-  (J  —  ri  )  X  3sin2^  m  —  u,  )  /, 

et 

—  n  -^~  -Y  (j2  —  ji)  [f ,(«,,  «2)  cos(  |U.2  —  [J-M  t  -+-  'zTiia,,  a,}  +  . . .] 

—  "-7^   -T  (ja  — /i)'-r,(«,,  «3.)  C0S(f/3  —  /^-i)  <  4-  ?.r2l«i,  «sî  +.  .  .] 

(^       If  ^~- 

—  n-7jè  —r  ir^  —  y\)  [ri(«i,  «4'»  cosf  a4  —  a,U  4-  ^fji  «,,  «2)  4-  .  .  .] 
+  ;i  ^  ^r^  -y   J  —  ji!  X  3cos2^m  —  u,    t. 

Poui'  trouve!'  les  valeurs  de  Ro,  Q.j,  Pj,  il  ne  i'audia  (]u'ajouter  un  liail 


DKS   SATKIJJTKS   1)K  .11!  PI  TE  H.  lO.i 

;iii\  IcUi'cs  (|iii  n'en  oui  (jn'uii,  cl  eu  olcr  im  à  ('elles  (|in  en  oui  (leii\  ;  el 
;iinsi  des  autres  (|iianlil{''s  R,,  O,,  P,,  R,.  O,,,  P,  [Ailiele  XIII  j  ('). 

A  l'égard  des  Corées  perliirhali'iees  (|iii  vieiiiieiil  de  la  iioii-s|dieriiil<' 
de  .liipiler,  on  (l'ouvei'a,  en  néi;lii^(^anl  dans  les  l'onnnles  de  T Arl'n  le  X\  I 
ce  (|n'on  y  doit  négliij;"er,  (|u"il  faut  ajoulei-  aux  valeurs  de  M,  el  I',  les 
<|nanlilés  suivanics 

vA=   Zr  ^         ,  3vA-^  % 

^(t\   a\  5(1]    a\ 

el  de  niènu'  aux  valeurs  de  R^,  |\  les  (juanlilés 

vk^    V  ,  3vA'  %' 

el  ainsi  de  suite. 


CHAPIïRi:    III. 

CALCUL    DES    P  K  II  T  l   IIIJ  AT  I  O  \  S     DKS    SATELLITES     DE    JLPITKU. 

XXIX. 

Nous  nous  contenterons  ici  de  ehereher  les  lormules  (jui  délerminen! 
le  mouvement  du  premier  satellitt',  parce  que  les  autres  s'en  déduironi 
aYsément  par  les  remarques  des  Articles  IX  et  XIII. 

Pour  appliquer  au  mouvement  du  premier  satellite  les  é(juations  i^c- 
néra'les  de  l'Article  VIII,  il  est  visible  (|u'il  ne  tant  (jue  marquer  les  lel- 
tr<'s  d'un  Irai!  ('  ],  et  substituer  ensuite  pou!'  X, ,  Y, .  Z,  leurs  valeui's  tirées 
de  ((dles  de  R,,  Q,,  P,  ^Xrticde  précédent).  iMais,  avant  (]ue  de  taire  celle 
substitution,  nous  reniar(|uei'ons  (|ne  les  é(|n;!tions    Articles  \'  et  \\ 

li  H —  dur  ~    n~\,        /  <  >   I  -t-  n  r   dt  =:  a  u \-  n  -  Y 

«'         '  «-  , /   "  a  a' 

(*)  P^oir  la  Noie  de  la  |)ago  7G. 

YI.  14 


lOG  HECIJEKCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

0 

ne  peuvent  subsister  dans  l'hypothèse  de  n  très-petit,  à  moins  (jue  h's 

F                                    (i 
<|iianlilés  constantes —  —  «a-,  au. ,    et  les   (iiiantités  variables  R 

et  Q  ne  soient  chacune  très-petites  de  l'ordre  n. 

Or,  en  examinant  les  valeurs  de  R  et  Q  (Article  précédeni  ),  il  est  la- 
cile  de  voir  qu'elles  ne  sauraient  être  supposées  très-petites  qu'en  regar- 

dant  comme  telles  les  quantités  constan les -7553^1  -~^  et  v  —  • 

Soit  donc,  en  général, 

€  a'%  ,.  A' 

Soit,  de  plus, 

c 

F'  «  H 


Nous  aurons,  à  cause  de  /=  —  (Article  V), 


c'est-à-dire,  à  cause  de  F  ==  ?^"  +  C  (Article  X j, 

«2  A Y  — H        a\fQ[i  +  'i^  dt  ^ 

A  l'égard  de  la  quantité  Z,  elle  sera  déterminée  par  l'équation  (Ar- 
ticle VU) 

r=  /i  —  /, 

I  H-  nx  a- 

laquelle  se  réduit  à 

a-  P  —  n  K  5 


TP  n{\  -h  ny^){i  -V-  nx) 
OÙ  l'on  remarquera  que  P  est  déjà  toulc  multipliée  par/i  (Article  XXVlIlj. 


niiS  S\TKLLITi:S   l)K    lUPITEH.  101 

XXX. 


A|)|)lu|U(>iis  maiiilciiatil  ces  ronmilcs  an  premuT  sulcllilc.  Nous  au- 
rons (ral>()r(l  on  subslituanl  la  valeur  de  H,  f  Ai'liclo  XXIX) 


!  .-///: 


K 


i^—  rf  (rt, ,  rt,  )  H-  r,  (r/. ,  a,  )  cos (  p.„  -  p,  )  /  '.-  r,  («, ,  «.  )  COB 2  (  u,  -  y,  )  /  ^  . .  .  I 

1-+-"/.,    • 
_     ^^y-^    .r  r rî (r/, ,  ^/., )  +  n,  (^^ ,  rt., )  cos  (  p,  -  p,  ) ^  -^  n, («, ,  «.,  )  cos '2 (  p.,  -  y,  ) '  ^  •  •  •  ] 

_  -^^ll—x  rn(«,,«,)  +n,(«,,rtj  COS(u,-a,)/  +  n,(r^,«J  COSu(t/.,  -  a,)<  -t-.  . .  ] 

_  __'L>^i_  .r  r  îi  ia  ,  r/,  )  +  n,  [a, ,  «,  )  COS  (  p.,  -  p,  )  t  +  fl,  (r/, .  a,  )  cos  a  ( p,  -  p,  )  /  +  •  .  •  ] 
'^«Zi 

.r,[J  +^cos(w-p,)J 


1  ^  «Z. 


'^ÙL^  r  f  ^^  (rt    a\-\-  T,  («, ,  r?., )  ces  (  p.,  -  p,)  t  +  -ï-,,  (r/, ,  ^/,,  )  cos -2  (  p,  -  p.  )  /  ^  •  •  ■  I 

_      ">^'      .r  r  M^-  (r/, ,  a,  )  H-  ^,  («, ,  «..  )  cos  (p.  -  p,)  /  +  m'",  («, ,  r/,,  )  cos  %  (  p.,  -  p,  )  ^  -^  .  .  .  j 
lZL_..r  r^F  («,,./.)  + M,  (..,,«^)C0S(p,-- p.jZ-fM'-.A»,,".)  cos '2(p,-p,)^^...  ! 

I  -I-  «X, 

^  -illk-sfi  +  |cos2(///  -  p.)0 

H-_'i^-  (r  --  r,)[f,K,^/,)sin(p.,-  p,)/+  u  r.,(«,,  r/,)  sin'2(p,  -  p,)/-^...] 
1  -f-  /?Xi 

H ^'-^■-  (  )•  —  r,  )  [  r,  (r/, ,  ^/ .  )  sin  (  p ,  —  p,  )  ^  -^  -2  r,  («, ,  r/;, )  sin %  (  p ,  —  p,  )  /  -r- .  . .  ] 

'  +  «Zi      '      '  • 

_^  „-.'ii<j    .  (  V  _  ,-  )[r  (rt,.rt/)sin(p,  —  p,)^-^  •i.y.Mt,.  ^/,)sin'2lp,  —  p,)/  ^  ...  I 

I  -H  «X 

//  K ,        .  .,  , 

H ' (  J  —Y)    i  Sin  '2  \  III  —  Pi  ;  / 

I    -H  ///, 

•4 


108 


RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 


XXXI. 

.Miilti|)li;Hil  la  valeur  de  Q,  par  i  -h  Jlx^,  et  laisanl,  pour  abréger, 

ii,(«,,  «j)  =  n,((7i,  «,)  H-  r,(«,,  rtj), 
Il2(«i,  «0  =  n2(a,,  «,)  +  f ,(«,,  «2), 
n3(«i,a2)  —  Ilslrt,,  rt-i)  -!-r3{«,,a2). 


on  aura,  après  l'intégration  et  la  substitution, 


,        r,{rt,.rt.,) 


] 

_, _1A_J w  COS    y-i  —  a  1/  H — !— ^  COS  2    y-,  —  y.,    /  -f-  .  .  . 


COS  2  (  W  —  u.^  )t 


'i^J  '^1 1".  (^.  '  «-i  )  S'"  (  P-.  -  l'-^  )  t  +  i\  («, ,  ^'.  ) 


-i- 


sma  (p^  —  p.,  )/ 


r/^ 


/  /*        r  aï  en  -, 

-7-  /  ^r,  [  n,  (rt, ,  a..  )  sin  (  y.,,  —  y.,  )  /  +  n,  (^/, ,  r/,  )  sin  2  (  p.,  —  y.,  )  ^  -+-  .  .  .  J  <-//? 
"Zi  t/ 

^    '..     /  -^i  [n,  (rt„  rt,  )  sin (  [J.,  —  y.^  )  t  -H  U.,  («, ,  ^r  )  sin  2  f  y.,  _  y.  J  /  -f-  .  .  .  J  dt 


.r,  X  3  sin  2  (  m  —  a  )  /  dt 


T~r  /  •''j  t  "J'i  (  ", .  «.  )  ^In  (  p,,  -  7-,  )  ^  4-  *•,  ( r/, ,  rt ,  )  sin  2  (  p.,  _  p.  j  /-+-...  ]  ,// 

'  /au 


2  (  /^/  —  a,  W  de 


^^^   Axfsin 
-^"Z,J 

:^^    /    (.n  — .1\)  [î^,  (^',  •  f'^  COS  (  f/,  -  p.,  )  ^  -4-  2r,  (rt, ,  r/.J  COS  2  (  IJ..^  _  yj  /  -^  .  .  .  ]  ,// 


DES  SATELI.ITES   DE  JUl»n  l-K.  KM» 

'"  7^1  "  r(.^:.-.>'.)[î'.(^n^'^)f'os(f*,-^)/-<-?-r,(«,-^Ocos2(;A3-fx,)/-h...  |.// 

XXXII. 

I^nt'm,  si  l'on  f;iil 

r  1  «1,  «.  )  rj  a]  r  i,  «1,  (■<■. )  -I-  r  ( ^/,,  a^  •, 

\\i  eu,  a,  '       a]  r,  (  r-;,,  a,)  -1-  f,  f«,,  c/,  . 
r2(ai,  Ui  I        </,  iy  «I,  '^'      ;-  r.i  '<!,  '/:  .. 

r  (a,,  «2)  --  :  «■■Ja.r  (a,,  «,) j? 

r,  «,,«2)  -- rt;a2r,(«,,  aj), 
r2(rti,«2)'     «•;a2r2''rti,  ^2)» 
cl  ainsi  de  suite,  oii  liouvcra 

Z,  ==  — —  3,  [  r  (  «I ,  rtj  -(-  r,  (rt, ,  rt.^  )  cos ( y...  —  u.|  )  /  -t-  I",  (rt, ,  a.^ )  cos 'i  (  a,  —  y ,  )  '  -H  . . .  J 

■^    l^^iy    ^'  [^^''"  '■'3)  ^  '"^i  («.'  «>)  COS(u,,  —  ,y.,  )  /  -+-  '\\_{a„  ff,)  C0S2  (y,,  -  •J.,)t^...] 


'X 


av. 


—  3,  [I  -i-  :]  cos  2  (  W f*i  )  '  ] 


"Xi 


'-^"X, 


3^  [r  ( r?,,  rt,)  -)-  r,  (rt, ,  a.,  )  cos\  f/.j  —  «,)/-!-  I',,  ('-', ,  (V.,  )  cos -2 (  a.,  —  1^,  )/-+-..  J 


'  "•"  "  Xi 

'--—    3,  [  !'(«,,«,)  ^  r,((7,,«,)  0OS(!/.  —  t*,  )/  -f-  r,(rt,.  flj  C0S9.(lX,  —  Lt,  )/-(-..  . 


IJO  RECUEKCIIES  SUR   LES  LNÉGALITES 


XXXlli. 

\i{  le  mouvement  du  satellite  (E ,  sera  déterminé  par  les  équations  sui- 
vantes (Article  Y III) 

■>:■     -^^  -f-  '^.f/.,.r,  — /  V,  —  3«f;.,.rf  -t-  'inj\.r^\^  =  o, 

On  se  souviendra  que  les  quantités  x^  et  -.-'  ne  doivent  renJérmer 
aucun  terme  constant,  suivant  la  remarque  de  l'Article  lY. 


XXXI  Y. 

Il  ne  s'agit  donc  plus  que  d'intégrer  les  équations  (jue  nous  venons 
de  donner;  pour  cela,  on  commencera  par  rejeter  tous  les  termes  affectés 
de  /^,  et  l'on  cherchera  par  l'intégration  les  valeurs  de  x\,  y^,  z^  ;  on  sub- 
stituera ensuite  ces  valeurs  dans  les  teimes  qu'on  avait  négligés,  et  l'on 
en  tirera  de  nouvelles  valeurs  de  x^,  j,,  :;,  plus  approchées  que  les  pre- 
mières. On  opérerait  ainsi  de  suite,  si  nous  avions  eu  égard  aux  termes 
atï'ectés  de  n},  n\....  Par  ce  moyen,  l'intégration  de  la  preniière  et  de  la 
troisième  équation  de  l'Article  précédent  se  réduira  à  celle  d'une  équa- 
tion de  cette  forme 

-; (-    M-/<   -f-    1    =0, 

(it- 

T  étant  une  l'onction  composée  de  siinis  et  de  cosinus  (Tangles  multiples 
de  /;  or  l'intégrale  de  cette  équation  est,  comme  l'on  sait. 


(i  siiiM/  +  H  cosM/ 


cos M  tj ' T  sin  M  /  dt  —  si ii  M  /  / '  1'  cos  M  /  dt 


DES  SATELLITES  DE  JlIPi'IEU.  Ml 

(le  soilc  (|tr('ii  sii|)|)()saiil 

'I' =:;  A -f  B  f'os/;/    I    bs'iwpt    ■   (1  fos^y/    i    r  sjury/ -i   .  .  . , 


on   :iiii';i 


A         /'  ,        A  li  C  \         .. 

Sp  -^  i"  -^  ivP  -  ^-^ - M=  -  f--rw  -■■■)  "" ^^ ' 

I  ,^  uh  (jc  \         ., 


B 


H  el  G  sont  les  valeurs  de  n  et  de  rT-j.  lorscnie  /  r.   o. 

On  voit  de  là  que,  pour  avoir  la  valeur  de  //,  il  n'y  a  (|u'à  diviseï'  eha- 
eun  des  sinus  et  des  eosinus  qui  entrent  dans  T  [)ar  p'  —  M-,/^  étani  le 
coeiricient  de  t,  et  y  ajouter  encore  deux  autres  ternies,  (jui  renrerniciil 
sinl\U  et  cosMif  avec  des  coefficients  arbitraires. 

Il  ne  peut  y  avoir  de  dilïiculté  que  dans  le  cas  où  /j  serait  éiial  ;i  M: 
car  alors  le  diviseur/?-  —  M^  sera  nul,  et  les  termes 


M  n 

jj-  —  W  p-  —  M-        ' 


aussi  bien  (}ue  les  lerines 

M(p'  —  M-;  />■■—  M^       ^ 


deviiMidiaienl  —  oc  ,  -i-  oc  :  ce  qui  ne  fait  rien  connailre. 

Poiii'  résoudre  cette  dillicnlté,  on  supposera  (jue />  ne  soit  |tas  loul  a 
t'ait  égale  ;»  M.  mais  qu'elle  en  difVére  d'une  (juaiilile  inliniiin'iil  pclih": 


112  KECUEKCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

et  rnii  liouvcrn  (|ii('  les  deux  premiers  teniH's  se  réduisent  à 


—  siiiM/, 

2/> 


el  les  deux  aiilics  à 


—  oosM/; 


d'où  l'on  voil  (|(ie  l;i  valeur  de  //  eoiitiendra  des  ternies  multipliés  j)i!r 
l'angle  t. 

Au  reste,  si  dans  la  quantité  T  il  se  trouve  des  termes  de  eette  l'orme 
(OS/?/  ou  sïnpl,  p  étant  égal  à  M  H-  /ib,  il  est  visible  que  ces  termes  aug- 
menteront beaucoup  par  l'intégration,  puisqu'ils  se  trouveront  divisés 
|)ar  la  (juantité  très-petite/?^  —  M*  =  nb{2M  -f-  nbj. 

Donc,  si  ces  sortes  de  termes  ont  des  coeiîicients  linis  dans  l'équation 
difïérentielle,  ils  deviendront  comme  infinis  dans  l'intégrale;  et,  s'ils 
n'ont  que  des  coefficients  très-petits  de  l'ordre  n  dans  la  différentielle, 
ils  deviendront  finis  dans  l'intégrale,  et  appartiendront  à  la  première 
valeui'  de  u. 


^1.    —    Picniieres  formules  du   mouvement  des  satellites 
de  Jupiter  autour  de   eette  Planète. 

XXXY. 

Si  l'on  substitue  dans  les  trois  équations  de  l'Article  XXXIII  les  va- 
leurs X,,  Y,  et  Z|,  qu'on  rejette  d'alsoid  tous  les  termes  alïectés  de  //,  et 
(fue  l'on  fasse,  pour  abréger, 

h,  =  g^  —  1^J.^^^^  —  yj't \  a,,  a-,)  —yj'{a„ai)  —  x,f(a,,  ai)  —  {K,  -]-  {y.,, 


DES  SATELLITES  DE  JUPITER 

011  (couvera  les  trois  équations  suivantes 


\]:i 


-^^^-+-MJ^, -f-/L, 


L  [J.2  —  [J.i  )  J    ^  .     '  -^ 


-  X3/    f/a„  a,\  -+-  -^iii-  r.(a„  «3)]  cosfjy.,  -  a,)/ 
l-  p-a  —  y-i  J  • 


A2(«i.  «3)      C0S?.(a3  —  u,)/  -(-... 


^[y-3  —  y-i) 


~  X^fA  fil«.,«4: 


2^. 


+  -^^r.( 


y.,  —  /j 


«,,«,) 


COS{  [J.,  ~  ij.,)t 


X* 


/  |^r.(«„  a,)  +  ^(^^^^__^  r.(a„  «o]  cos2(/..,  -  y.,  a 


^'^{^-^îi^j^l^'^'^^"'-^-^^^ 


dy 


-,,/,[î^e„s„.-,,K^|^^eos,„._„,.-....] 


^  rr,(a,,a4 
L  M-.  —  [M 


TAat,ai 


CCS {[x,  —  ij.,)t -h  — —  CCS 2 (  a,  —  a,  ) /  + . 

2  1^-4         f/-i) 


] 


3/; 
Ki  7- — =^-^ ces 2 (m  —  u.At 


~dF 


+  N,2,  =0. 


M. 


Ili 


RKCHKKCHES  SUR   LES  INEGALITES 


XXX  VL 

La  première  équation  étant  intégrée  par  la  inétliode  de  TAr- 
licle  XXXIV,  on  trouvera  (|ue  la  valeur  Je  x,  renfeime  premièrement 

le  terme  eonstant  —  irrr'  lequel  devant  être  nul     Article  XXXIII),  on 

aura  l'équation  L,  =  o. 

blnsuite  la  valeur  de  x,  renfermera  deux  termes,  tels  que  siuM/  et 
eosM,/,  avec  des  coefficients  arbitraires,  lesquels  pourront  se  réduire  à 
un  seul  terme  représenté  par  £,cos(M,^-+-  w,);  -,,  o-j,  étant  pareillenuMit 
des  constantes  arbitraires. 

De  cette  manière,  si  l'on  t'ait 

Z,  r/,,«,^^f, («,,«,)  H-   -  ^'^''     f,{a,,(h] J^, --, 

L                  y---  —  y-i              J  (  i"2  —  i"i  )  —  M  ; 
E,{a>,a,)  =  \fAa„a,)  +  —^^ — ^  f,(./„  «,)  1  ^^ ^4 ^, 

Z,{a,,a,)=\ï\{a>,a,)+  :^-^^ "^  ' ^-    — ^^' 

L  3(f/, - 


T^ich,  eu] 


Cfiy.,  —  y.,Y-M- 


i'\  (le  même 


^^"      Fil  a,,  ^31 '-^, rjy, 

y-3  —  (M  J  (  P-3  —  y-i  )"  —  M , 

^,(«,,«37— ^--r rryî 

J  4    U3  —  y.,)^  —  M^ 


5  !  U3  —  ,y- 1  ) 


ri  ainsi  des  autres,  et  (ju'on  suppose  de  plus 


^-^(-^) 


/ 


[x,j  4(/7t  —  a,)''—  M;  ' 


hKS  SATKLIJI  KS   l)K  .1  Li  1*1  ï  KM.  ll.-i 

on  :)iir;i 

X,  =--  £,  COS(M,/  -+-  '.),  ) 

•/.. I  Z,  { «7,,  a-,  )  nos(  [x-î  —  a,  :  /    h  Z.  //, ,  a.,  i  cos  ■->. i  y...   -  y.,  :  /  ^^-  .  .  .  | 

—  ■/, I  Z,  '  a^ ,  (li  )  cos  (  U3  —  lJ.i)t  -I-  Z,  (  rt, ,  «3  )  cos  ■?.  (  //:,  —  p.,  )  /  "H  •  •  •  | 

—  y.,  I  z,  (  f<, ,  a,  )  cos (  y.j  —  (j.,  )  I  +-  Zj  f  «-^ ,  rr,    cos ?.  ( f/.j  —  a,    /-(-...] 

—  K,  3,  cos'>    ni  —  r/|  1/. 

Ayant  trouve  la  valeur  .r,,  on  aura  l'expression  du  rayon  vrcicur  /, 
(le  l'orhile  du  [)renuer  salellile  rapportée  au  plan  de  l'orhile  de  .lupilcr, 
par  la  formule  r^  -~<:/,(i  -\-nXi)  [Article  IV j. 

Or,  en  examinant  cette  expression  de  /', ,  on  reconnaîtra  aisément  y\m' 
le  terme  /za,c,  eos(M,  i -h  w,)  représente  féquation  elliptique  qui  vient 
de  l'excentricité  de  l'orbite,  de  sorte  que  nc.^  exprimera  la  valeur  de 
rexcentricité,  et  M^t-\-o)^  sera  l'anomalie  moyenne;  d'où  l'on  voit  (|ue 
le  mouvement  de  cette  anomalie  sera  au  inouvemenl  moyen  du  satellite 
comme  M|  à  y-,  î  P'>i"  conséquent  le  mouvenu'nt  moyen  de  la  ligne  des 
apsides  sera  au  mouvement  moyen  du  satellite  comme  /x,  —  M,  à  a, .  Nous 
verrons  plus  bas  (Article  XLV),  qu'en  négligeant  les  quantités  de 
l'ordre  n,  on  a  M,  — /j.,»  de  sorte  que  la  ligne  des  apsides  sera  fixe,  au 
moins  par  cette  première  approximation. 

A  l'égard  de  o),,  on  le  déterminera  par  le  moyen  d'une  époijue  (|ut'l- 
<"onque  donnée  de  l'anomalie  moyenne;  ainsi  les  quantités  s,  et  ^-jj,  dé- 
pendent entièr(;ment  des  observations. 

Les  autres  termes  de  la  valeur  de  t\  expriment  les  inégalités  (|ui  vien- 
nent de  l'action  des  trois  satellites  Co»  C»,  C,  et  du  Soleil  sur  le  sa- 
tellite C,. 

XXXVIU. 

On  substituera  maintenant  la  valeui'  de  r,  dans  la  seconde  ecpiatHUi 
de  l'Article  XXXV,  et  l'on  tirera  par  l'intégration  la  valeur  de/,,  mais 


116  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

i»ii  aiii'a  allt'iilion  de  faii'c  évanouir  auparavant  f  Article  XXXIII]  le  Iciiiic 
constant/,  I!,;  ce  (|ni  donnera  H,  =  o. 
Soil,  pour  al»rci;-cr, 

(l>,(rt,,a2)=     ^'^"'     S,(«,,«2)  -+-  -, ~ — -r,(rt,,rt2), 

P-2  — y.,  (p.,  —  f/.,)' 

2(^.2    —   f^.,)  4(^.2—//.)' 

<!),(«,,  ûo)  —  „,    ^^' — -  E,{a,,  a,)  +     ,     '^' ^,  Tsia,,  «2), 

SiiM  —  y.,)  9(p.2  — p.,)^ 


't  pareillement 

^,'«,,«3)=  — ^^^— S,(à,,  «3)  +  ; ~ — -  r,(a,,rt3', 

P-3—    f^..  (^3—    p.)' 

2(^.3  — jy.i)  4ip.3  — p.,  )' 


et  ainsi  de  suite. 
Soil  (le  plus 


m  —  u,  '"^'       8(m  —  jw.,)'' 


ou  ti'ouvera 


2jai£i  ^. 
M, 


y\  =  -—  "Cl     sin (M, t  H-  0), 


-+-  '/.2[^i(«i,  «2)  sin(a2  —  ,a,  )/  +  4>2(«i,  (I2)  sin?.  y..  —  a,  )f.  -\-  .  . .'] 
-+-  -/sC^if^i,  «3)  sin(f/.3—  u,  :/  +  02(«,,  «3)  sin2(f/3  —  a,  /  +  .  .  .  J 
+  X^L^iî^M  «4)  sin(jy.i—  a,)<  +  <î>j(«M  Ui)  s'm  ■?.  [j i  —  a,  ;/  h-  .  .  .] 
-4-  K,y,  sin2(  /;;  —  «i)'- 

XXXIX. 

Puisque  'v,  =  a,  ^  + '^/i  (Article  IV),  ou  aura,  eu  couuaissaul  -/,, 
l'expression  du  mouvement  vrai  du  premier  satellite  par  sou  nu)uveinenl 
nunen. 


DES  SATELLITES  DE  JUPITEH.  117 

Le  terme  —  ^— ,j''~  sinfM,/ -l- o),  )  rejjr'ésciilcra  rr(ju;iti()ii  du  (ciilic 

(|ni  vienl  de  l:i  lii;ure  eHi|)li(|ii('  de  l'oihile,  et  les  lermes  suivants  cxpii- 
iiHToiit  les  iiK'j^alilcs  causées  par  radidu  des  trois  autres  satellites  et  du 
Soleil. 


I^nliii  ré(|iialiou 


donnera 


XL. 


>.,  elvy,  etaul  des  quantités  arbitraires;  ear  il  est  visible  (jue  celle  e\|U('s- 
sion  GsinN,  i  +  H  cosN|/,  laquelle  représente  généraleuienl  la  valeur 
de  r,  ''Artic  le  XXXIV),  peut  se  réduire  à  celle-ci  :  À,  sin'N,^  ■+-  /},}. 

XLI. 

On  aura  donc,  à  cause  de  p,  =  nz,  f  Article  IV), 

/>,  :=  /?/.,  sin;N,  /  ^-  tî,  i 

=  langenie  de  la  laliludc*  du  satellite  par  lapporl  au  ])lan  de  l'oi  bile  di'  .liipiiir  ; 

d'où  l'on  voit  (jue  l'oibite  réelle  du  satellite  sera  toute  dans  un  plan  pas- 
sant par  le  centre  de  .lui)iter,  et  dont  on  connaîtra  la  position  eu  reuiar- 
(juaut  :  i"*  (jue  /?>.,,  étant  la  plus  grande  valeur  de/?,,  exprimera  la  tan- 
gente de  riu(dinaison-;  2"  (|ue  N,?-1-vî,  sera  la  distance  du  satellite  au 
nœud  ascendant,  comptée  sur  l'orhite  de  .lupiler,  hupudle  étant  reliau- 
(  lu-e  de  la  longitude  moyenne  y.,/,  on  aura  'a,  -  N,j/  —  7;,  pour  la  idii- 
gitude  moyenne  du  nœud. 

Au  reste,  puis(jue  l'on  a  ici  N,  =  ;j-i  Arti(de  \\\\  ,.  le  uu)uveuu'u( 
dunœud  sera  nul,et  sa  longitude  moyenne  sei'a  y:,,ou  plutôt  Vio"  y;,, 
(juanlité  qui  dépend  des  observations;  mais  il  Tant  se  souvenir  que  (  e  r(>- 
sultat  n'est  exact  (ju'aux  quantités  de  l'ordre  //  près. 


118  RECHERCHES  SUK    LES  INÉGALITÉS 

XLII. 

()ii  Iroiivcra  de  même,  pour  le  second  satellite,  les  i'ormules  suivantes 

^..  — -  e,  cos(M2 1  -t-  0)2) 

—  i\'E.x{a2,  «,)  ces  (p.,  —  1J.1)  l  -\-  E2(«-2,  «1)  cos?.(,a,  —  p-,   /  -f- .  .  .] 

—  ^3 [H, («2,  «3)  cos(jU.3  —  y.-/)  /  H-  !E2(«2,  «3  )  cos2(  p.3  —  p.2 1  /  -(- . . .] 

—  x^"^!  ( ^'"  ^^''  )  ^^^ (  .'^■*  —  p-2  ^  ^  -1-  — 1  (  <^2'  «4  )  ces  2  (  a^  —  u-i  )  f  -)- . . . ] 

—  Kv  |3-. ces i{m  —  a-2 )  t; 

■)\  =  —  ^'—  sin  (  M2  ^  4-  0)2  ) 

-I-  '/i  [^1 1  «2,  «1  )  sin  (  y-,  —  y.2 )  /  -f-  <ï\. (  «2,  «,  )  sin  ?,  ( p.,  —  /-'-;  )  '  +  •  •  •  ] 
+  X3 [^ï^i ( «2,  «3  )  sin  ( y.i  —  [M  )  /  +  <î>2 ( a,,  «3  )  sin  2  (  U3  —  p., )  /  -4-  .  .  . ] 
-^  X4  [4>,  (a2,  «4  )  sin (  wi  —  uj)  t  H-  <^2(  a-,,  ^^4 )  sin 2  (  ly..,  —  y.,  ;  /  h-  .  .  .] 
-f-  R2  5/2  sin  2  (  m  —  y.2  )  t  ; 
2,  =  >.osin(|y.2/  -i--/32). 

Et  l'on  aura  ensuite 

/%  :=  «j  (I  -4-  nX,  ),       <p,  3=  f^.2  /  -f-  /l|-,,       j)^_  =  7Î  22. 

Quant  aux  (juantités  marquées  par  E  et  4),  on^iura 


H,  (  tto,  a,  )  =   r,  (  «2,  «,  '1 H ^-  r,  i  «..,  <'«,  I    ; — 

L  [M  —  lJ-2  J   (f-l 

Z..(  «2,  «i)  =     rv(«2,  a,  )  H --^^ ■  f-Àfh,  a,  ) J^, TTi 

'       L  2  i  f^.,  —  [J.;  i  J  ^  (  f-^-1  —  y-i  r  —  M  2 


4),ia2,  a,)  =  — ^-^-  Zaa,,  «,  )  -f-  ; ^-    -  T,  («2,  «,), 

jU-,  —  y-i  (y-i  —  iJ-i) 

$2  («2,  a>)  =     ,    '^'"'     -  £,(«2, '«,)  +  7 ^^^^ -r2  («.,«.)» 

2.{iJ.,  —  iJ.,)  4;a,  — /J.2)- 


DES  SATELLITES   DE  JUPITER.  IIÎJ 

OiiliT  (('1:1,  on  ;mr;i 


y^    =    .  ^.-.-(3.. M 

Entin  un  trouvera  les  deux  conditions  Lo  =  o  et  H.  =  o,  (|ui  scivironi 
à  déterminer  les  deux  constantes/^  et  t..  f  Article  XIX). 

On  ;uiia  des  l'ormules  analogues  pour  le  troisième  et  le  (|uatiiéme 
salcdlite,  ({ue  nous  nous  dispenserons  de  rappeler  ici,  parce  (^u'idles  se 
déduisent  à  l'œil  de  celles  que  nous  venons  de  donner. 


1^    il.   —   l  alcurs  niintériqucs  des   coefficients   des  foi  mules 

précédentes. 

XLIII. 

Soit,  en  général,  suivant  l'Article  XVIII, 

_  j^ 
\  I  —  ■>.  (/  ces  9  +  q-)   ^  =  A  -4-  B  cos  9  +  C  ces  "y.O  -h  \)  ces  3  0  -i-  . . .  ,- 

q  étant  une  fraction  moindre  que  l'unité;  on   aura,  en  faisant  y  =  — 
et  ô  —  'fo  —  9,, 

[a;  —  2«, a.  cos (9s—  9,)  -h  01]'-=  a]  [A-f- B  cos(cp2— 9,)  +  CcoS2(<p2— cp,)-l-.  .  .J; 

donc.  (Article  XXI) 

Tv»., «ïi  — -^5    r,(«,,«2  =-7'    r.:irt,, a,)— -^>  — 
«2  «2  ^2 

On  trouvera  de  même,  en  faisant  successivenieni 

a,  a, 

q  r_"  -,      q=  -^      q 


a: 

<l. 

a 

5 

y  = 

—  — > 

H  —  - 

'^.l 

«4 

rtj 

120  RECHERCHES  SUR    LES  INÉGALITÉS 

on  innivera,  dis-je, 

A  B 

A  ^  B 

r-,«,, «i)^' ~T'     ii(«i, «4)  = -7'* • -5 

A  B 

r(a.,a3)=  -T'       r,(a„«3)=--  tt'"-; 
"3  "3 

et  ainsi  (le  suite. 

A  l'égard  des  quantités  V[a2,  a,)'  Tl'^a»  «))'•••'  '^  est  évident  qu'elles 

doivent  être  égales  à  leurs  réciproques  T{a^,  a^),  r(«,,  «3),...,  car  les 

fonctions 

c(]  —  1  a,  a,  CCS (9,  —  cp,)  -*-  ^^2»      <^\  —  ^«i  «3  ces' 93  —  9,  )  +  «,,.  •  • 

demeurent  les  mêmes,  en  changeant  «,  en  «2  tH  «2  <?«  «o  <>li  bien  a^ 
en  «3  et  «3  en  «1,. . . . 

XLIV. 


De  la  on  trouvera  (Article  XXIV),  q  étant  égal  à  -? 


r(a„  «2)  =  ^ ^ — » 

2 

r2(«„  «2)  =  ^ ^ ^— î 

ï-  o^E  — 2o'D  +  fl^C 


Et,  par  l'Article  XXV,  on  aura 


r,  (a„  «0  =  ^^ ^-^ h  q' 

Yi[a„  a,)  = ;^-^ — 5 

Tala,,  «2)  =  ^ — ? 


DES  SATELMIKS   DE  JUPITEH.  121 

cl  CCS  mcmcs  l'ormules  scrviioiil  ;mssi  [)()iii'  les  quantités 

f(rt,,a3),     f(«,,rt,),     f  (rtj,  «3),  •  •  .,     f(«i,a3),     f(a,,a,),     fia,,  a^), .  .  ., 
on  taisant  successivcniciil 

a,  a,  «j 

'       «3       '       a4       ^       a, 

Mais,  pour  les  (|u;iiililés  l'éeipi'oijucs  I'(«2»  <^i)»  I'(^^2»  </|,n.--.  "•'  ^'H'a 
les  tbnnules  suivanles 

r-/  N        ^B  —  2A 

2 

^  ^C  —  2B  +  20A        I 

2  7- 

p^  .       ^D-2C-f-^B 


r3(«2,  a,  )  = 


2 

gE  —  2D  -I-  ^C 


p  ,  .       (jC  —  7.qA 

T,  (  «2,  «,)  =  --      ■ 


rj(«j,  «,) 


2  9' 

gD-  qB 


r  f  >       ^E  —  ^C 

r3(a2,  a,  )  =  ^ ^i— 


lesquelles    iiuroul    lieu     pareillement    pour    les    (|uanlités    VUf_t,  a^), 
r(<73,  ai),...  en  taisant  eoninie  ei-devant  q^  --■> 


XLV. 

Un   iiuniera   ensuite    les  quantités   marquées  par  Z  et   |)ar  •!•     Arli- 
(  les  XX.\I\   et  XXXVIII),  ce  qui  n'aura  aucune  difficulté.  On  i-enuir- 
M.  16 


122  RECHERCHES  SUR  LES  INEGALITES 

(juci'a  seulement  que,  à  cause  de  1—7^  ^ng  (Article  XXIX),  on  aura 
en  négligeant  la  (juantité  ng  qui  est  de  l'ordre  n, 

f=l):',     eldelà    f,^!J.',    ,f.  ^  [A,    f^  — lA>    f^^'^'U 

par  conséquent  (Article  XXXVj 

M,  =  (y.,,     et     pareillement     M, -- y.,,     M,  =  y.,,     M,       u,. 

Dttnc,  supposant  ^—  ~i  on  aura 

Z.(a,,  a-i)=     f,(rt,,  a,'  H T,[(h,  a,)     — — — — , 

I  s  —  i  j  (s  —  ly  —  i 

L  2(5  —  1)  J4(5  — 1)2— I 

Z3{a,,a2)=     r3(a,,«v)  +  51 — ^ — -r4«,,rti)     — c^ ' 


<ï),(«,,  aO  =  — ^—  E^(a„  «2)  +  ; ^  r,(«,,  «2), 

5  —  I  [s  —  ly 

<1>4«.,  «2)  =  ^Z^  ^^(«"  «0  +  '^{s-iY  ^'^''"  "^^' 
2  I        --^ 

ois  —  l)  t)(S  —  I  )' 


De  Dicnie,  en  faisant  s  =  —,  on  aura 


Z,  (  «1 ,  «,  )  ;-::       r,  (  «, ,  a,  )   H — —  r  i  <*, ,  Cfj  ; 


{s-iY-i 


q^(a,,  «3)  = Jii(«,,  «3)  +  ■ Ta  a,,  a,), 

s  —  I  [s  —  I  )^ 


l 
l)i:S  SATELLITES   1)K  .lUPlTLK.  1:>:H 

l*;ir(Mlloiii('nl  (tu  lioiivcr;!,  .v  (''l;iiil  (''ii;il  ;i  — ? 


-,\<l:,  t(^ 


5—1  J   (i  —  I  )-  —  I 


2        „ 


•  .s  —  I                                 [s  —  I  )' 
> 

«'I  îiiiisi  (l<'s  ;mli'('s. 

XLVI. 

(]ela  posé,  on  it'iiiaKjiKMa  : 

r"  Que  les  quantités  [J.^,  [x^,  [j..^,  [x,,  expriment  les  vitesses  angulaires 
moyennes  des  satellites  C,,  Ca,  C3,  C  autour  de  Jupiter  (Articles  IV 
et  IX);  d'où  il  suil  (jue  ees  quantités  sont  réciproquement  itropoition- 
nelles  aux  temps  périodiques  des  mômes  satellites. 

Or  on  a.  par  les  observations,  en  négligeant  les  secondes, 

Révolutions  périodiques. 

@,  €:..  ©3  d, 

iJi8''27"',     3Ji3''i3"',     7J3''4?'",      i6J  i6''3?."'. 
DiMic.  réduisant  ces  quantités  en  minutes,  on  aura 


I  I  I 

■  y      tJ-i  =  7: — ^  5      "-3  "  — -. 


'  2547  01 1 3       '  io3o?.        '  24032 

2'  Oiic  l'on  a  généralement  (Article  XLY) 

c'est-a-dirc,  à  cause  de  /=-^  (Article  V    v\  de  V=W-h€  (Arlicle  X) 


124  RECHEllCIIES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

et  par  conséquent 


y-\ 


a] 


1 

aV 


l'  —  — • 


d'où  l'on  voit  (juc  les  quantités  «,,  «>.  a.^,  a.,  sont  entre  elles  comme  les 

quantités  -^»  —^5  —^■>  -i ;  ainsi  l'on  trouvera  les  valeurs  de  ces  quan- 

■  i^-]    (J-l    y-l    ^t 
lités,  ou  plutôt  de  leurs  rapports,  qui  sont  les  seules  dont  nous  ayons 

besoin  ici. 

Au  reste,  comme  ces  valeurs  ne  sont  exactes  qu'aux  quantités  de 
l'ordre  n  près,  nous  emploierons,  pour  les  distances  moyennes  des  sa- 
tellites, les  déterminations  que  M.  Cassini  a  tirées  des  observations,  les- 
quelles ne  s'écartent  d'ailleurs  que  très-peu  de  la  loi  de  Kepler;  on 
aura  donc,  en  prenant  le  demi-diamètre  de  Jupiter  pour  l'unité. 


«1 


5,67;     a2  =  9»oo;     «3=^14,38;     «4^^^25,30. 


XL  VII. 

Par  le  moyen  de  ces  valeurs  numériques  et  des  formules  des  Arti- 
cles XVIII  et  XIX,  i'ai  trouvé  les  déterminations  suivantes 


7  =  — 
a. 

y  = 
«3 

7  =  ^ 

a, 

a., 

a:, 

A 

3,029 

1,456 

1 ,  122 

2,973 

1,342 

2,362        i 

B 

4,947 

1,624 
0,780 

0,740 

4i8ii 

1,376 

3,563 

C 

3,760 

0 ,  204 

3,542 

0,660 

2,410 

D 
E 

2,869 

0,341 

0,041 

2,475 

0,493 

1,539 

2,368 

0,107 

0,009 

1,640 

0,197 

0,924 

F 

2,3ll 

0,046 


0,002 

i,3o8 

0,077 

0,478 



DÈS  SATELLITES  DE  JUPITER. 

Et  de  là  (Article  XLIV) 


125 


r 

0,224 

(«.,  «3) 

(«'l,  «4) 

1 

\a.,  ((3) 

(//,,  a,) 

(«3,    «i7 

0,087 

0,007 

0,2l3 

0,027 

0,142 

r. 

o,3i3 

0,082 

o,oo3 

0,286 

0,021 

0,175 

ï". 

o,Gn 

0,104 

0,017 

0,559 

0,088 

0,882 

r, 

0,499 

0,048 

o,oo5 

o,4i5 

0,082 

o,255 

ï". 

o,43G 

0,022 

0,001 

0,334 

0,027 

0,  i56 



1 

1 

î". 

— 0,059 

— o,oio 

— 0,001 

—0,078 

—0,000 

— o,o5o      j 

f. 

—0,412 

-0,099 

—0,017 

-0,457 
— o,365 

— o,o56 

-0,327      i 

r. 

—0,276 

— o,o52 

— o,oo5 

—0,029 

—0,240 

r. 

—0,111 

—0,024 

—0,001 

—0  234 

— 0,026 

-0.172 

■■■ 

" 



i      

1 

(«,,  «,) 

(«3,  «.) 

(«4,    «1) 

(«3>    «2) 
-1,467 

(«4,    «2) 

(«;,   «3^ 

r 

—  1,471 

-i,i36 

-     1,039 

-1,097 

-1,349  ; 

^- 

-4,378 
-1,298 
-0,988 
—0,786 

-7,828 

—  20,875 

—  0,116 

—  4,395 

-8,684 

— 4,63i 

1     ^^ 

—  0,898 
-0,166 
—0,081 

—  I  , 262 

-0,828 

—0,960 
—0,592 

—     0,017 

-o,858 

-0,341 

0,004 

-o,465 

—0,096 

— o,35i 

1 

... 

'      

1     ^. 

1,796 
-o,654 

6,012 

19,681 

1 ,  802 

7,542 

2,438 

î", 

—  0,253 

—  o,o58 

-0,781 

.    — o,i57 

—0,575 

I3 

-o,438 

-o,i83 

—  0,022 

—0,595 
— o,865 

—0,082 

-0,422 

?. 

— 0,175 

— o,o58 

—  0,004 

-0,074 

— o,3oi 

1 

1 

126  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

D'où  enfin  (Article  XLV) 


[a„  ch) 

(«,,  Ui) 

(«,,  «4) 

(«2,  «i) 

(«2,  «3) 

(  «2,  «4  ) 

~l 

—0,739 

— 0, i33 

— 0,025 

-57,643 

—  o,8i5 

— o.o58 

~i 

179,000 

0,187 
0,023 

0.016 

—  0,637 

91,562 

0,539 

0,682 

0,001 

—  0, 162 

0,698 

0,012 

0,180 

0,004 

0,000 

—  o,o54 

0,184 

0,004 

*, 

•1 .  7o5 

0,337 

o,o54 

—  112,714 

2,928 

0,147 

*. 

—350,982 

— 0 , 292 

—0.023 

-  O:703 

— 182,169 

—0,908 

*3 

—  1 ,025 

—0.029 

— 0,001 

—  0,148 

—  1,081 

— o,oi5 

*. 

— 0 , 205 

— o,oo5 

—0,000 

—  o,oo3 

—  0,240 

— o,oo5 

... 

■ 

"2 

~6 

.     "< 

'î'. 

*2 

*3 

^•4 

(«3,  a,) 


-o,ol3 


—0 

000 

0 

38o 

— 0 

01 1 

— 0 

002 

0 

000 

«3,  «2) 


-o , 409  —  3 1 , 5oo 


-  0.635 


0.041 


—  60.322 


o,8o3 


o.i63 


(tts,    «4)  itti,    «I 


— 0,224 


.338  — o.( 


o. 130  0.273 


-0.066 


1.659 


-4,338 
-0,400 


0,041         —0,089 


o .  224 


«4,  «2 


-o,363 


-o.oo3 


0,354 


-0,004 


— 0,001 


(«4,    «3) 


•1  ,243 


-0.064 

-o,o53 


-0.492 


-0.129 


-o.o52 


DES  SATELLITES   DE  JUPITER.  127 

hji  ('(msiilhiiil  celle  (lei'iiii'i'e  T;il)l(',  un  voit  (|ii'il  y  ;i  des  (|ii;inlilés  doiil 
les  valeurs  iiiiiiieri(jiies  soiil  Coil  ^i-aiides;  |(dles  sniil  les  (|iiaiili lés 

— ji«,,«'<.\     'E.,' a,,  ((,),     Z-^(r<.,  r/,  ),     Z,'«.,,  «2,, 

et  leiii'S  coiTespoiidaiiles 

'^(«.,«2),      <I>,(rtï,«,),     ^l\[u,,a,),     <I),(rt3,«,!, 

La  raison  poui' laquelle  ces  quantités  ont  des  valeurs  si  considérables, 
(•'('Si  (jue  le  diviseur  li(s—  i)"  —  i  se  trouve  fort  petit  dans  le  cas  où 

v  =  —  et  .ç  =  — ;  et  (lue    nareilleuienl    le   diviseui"     s —  1 /- -     1   esl   turi 

y.,  y.2  '  '  ' 

itelil  lors(|iie  ^  —  —  et  s^^—,  comme  il  esl  facile  de  s'en  assurer,   au 
'  ^2  y-i 

moyen  des  valeurs  de  a,,  u..,,  1x3  données  ci-dessus. 

Cette  remarque  est  d'autant  plus  essentielle  qu'elle  sert  à  expruph  r 
pour(juoi  les  équations  empiriques  des  satellites  de  Jupiter  sont  en  cHél 
les  seules  (|ui  puissent  être  bien  sensibles  ft'o//- plus  bas  Articles  LVIII  et 
suivants  j. 

XLVIH. 

il  ne  reste  plus  maintenant  (|u'à  clierclier  les  valeurs  des  (|iianlil(''s  ,3 
et  V  (Articles  XXXVl  et  XXXYIII), 

Pour  cela,  on  remarquera  que  la  quantité  ///,  (|ui  représente  la  vitesse 
aniifulaire  moyenne  du  Soleil  autour  de  Jupiter  Article  XXVFI;,  est 
extrêmement  petite  par  rapport  aux  (juantités  a,  vitesses  moyennes  des 
satellites;  d'où  il  suit  (ju'elle  pourra  être  négligée  vis-a-vis  de  ces  dei- 
ni('res  quantités;  or  on  a  généralement    Articles  cités) 

o  _  3  /   _      y      \    f _      y      r.  _         3  /■ 

^   \  m  —  y.j  4(w  —  y  Y  —  M'  m  —  y  '  S   /;/        a  •' 

c'est-;i-dire,  ii  cause  de./  =  y."  et  M  —  u.  f  Arti(de  XLV), 

!  '    y  —  TT. — ::  i^ 


m  —  y.j  ^{m  —  yY  —  y}        ^        m  —  y.'         8 ( m  —  y. Y ' 


1^8  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

donc,  (Ml  négligeant  la  quantité  m,  on  aura 

(3:^1,    y  =  — i-f=--îr. 

A  l'égard  des  quantités  ^  et  c  qui  doivent  être  déterminées  par  les 
équations  L  =  o  et  H  =  o  (Articles  XXIX,  XXXV  et  suivants^,  il  est  inu- 
tile d'en  chercher  la  valeur,  puisqu'elles  ne  se  trouvent  point  dans 
l'expression  des  coefficients  de  nos  formules. 

^  111.  —  Formules  des  rayons  vecteurs  et  fies  longitudes 
vraies  des  satellites  de  Jupiter  par  rapport  au  plan  de 
r orbite  de  cette   Planète. 

XLIX. 

Dans  les  formules  suivantes,  j'ai  remis,  au  lieu  de  ///, ,  n/.y,  /</;,,  ///,, 

S,  ©^         ^  @4_ 


(£        d;        ^        (£ 

les  quantités  -^,  -^•,  -rè-,  -^  (Article  XXIXj;   et  j'ai   substitué  pour 


n¥n,  /ïKa,  /'Kj,  n\^  leurs  valeurs  en  nombres;  car,  puisque  nK  =  -ttj,. 
(Article  cité)  et  que  —  =  u?  (Article  XLYI),  et  par  conséquent  aussi 
—  =1  m-,  on  aura  /îK  =  — ;  donc 

m^  ,  m- 

n  K,  r=  — -  5      /t  K:  =  ^  5  •  •    • 

Or,  m  étant  la  vitesse  moyenne  angulaire  du  Soleii  autour  de  Jupiter 
et  tj.  les  vitesses  moyennes  angulaires  des  satellites,  on  aura 

m  iJi8i'27"'         m_     S'iS^'iS"'        /??  _     7Ji3>i3"'        m_    i6ji6''32"' 

Ix,  ~  4332J^i2''2o"'  "    fZ  ~"  4332^''^(y"  '    'u-,  ~  4332-'l2l'20"'  '    17.,  ~  4332^'  I 2''  ?.o'"  ' 

d'où  l'on  tire  à  très-peu  près 

«K,  =  -— :=  0,000-<)0()  2,   nK:.:   0,000  000  7,   7Î  Kj  ="  0,000  002  7 ,   «  K4  -  0,000  O  ! /{  !^. 


DES  SATELLITES   DE  JUPITEK.  liO 

Oiili'c  ccl;!.  ;iii  lirii  de  y., /,  a.j/,  y.;,/,  ij..,f  ci  r/t/,  t\\i\  i<'|)i'('S<'iil('i)l  les  v;i- 
It'iirs  inoycimcs  des  angles  Ç/,,  ç-o,  o,,  Oj  et  ^j/,  e'est-à-dire  des  longiludes 
moyennes  des  (jiialre  salellites  et  du  Soleil  vus  de  .liipilei',  et  lapporlrs 
an  plan  de  son  orhite.  j'ai  mis  les  lettres  //,,  it.,,  ii^.  u.  cl  c. 

De  nu'me,  an  lieu  de  M,^-f  oj,,  M^/  t  oj^,,  .M,/  o)),  M,,/  J- '»;.,,  ano- 
malies moyennes  des  sal(dlil''s,  j'ai  sulisliluc,  pour  pins  de  simplicité, 

V,,  V,.  v,,v,. 

Enfin  j'ai  exprimé  les  rayons  vecteurs  en  demi-diamètres  de  .Jupiter, 
et  les  lo!)gitudes  en  minutes.  De  cette  manii'rc  j'ai  trouvé 


Hayon  vecteur  du  pieniiffr  satellite, 
r  =  5,67(1  -t-z'^iCOS  V|  ) 

.-+-  -^[4,19008 («,.  —  /?,)  —  ioi4,93cos2(/^,— /<i)  —  3,87005 3  (//^ — ll^)  —  1,0a  ros4  ("a^"i)---J 


%^[o,75cos(»j— w,  )  — 1,06 cos'^ («,  —  «,)  —  o,i3cos3(«j  — </,  )  —  o,o2C'os  \  in  —",)•••] 


-(--^[o,i4cos(K(  — //,  )  —  o,o9C0S'2(«i  —  //,)  —  o,oocos3(/<(  —  «,)  —  0,00  cos4  ("4— «,)•••] 

—  0,000000g  CL  s  2  (('  —  ^(^). 

Hayon   vecteur  du  deuxième  satellite. 
/\  =  9 ,  00  (  1  -1-  //  c.^  cos  V,  ) 

-t-^  [5 18,78  ces  (/A,  —«2)  -H  5,73cos'2(//,  — ";;)  -1-  1 ,3Gcos3(//|— //J  -(-o,49cos4  ('«',  —  ".,)•••] 
-T  —  [7, 16  cos (//j  —  II.,)  —  82  i ,07  cos 2  (//,  —  it.,)  —  G, 29  cos  3  (//.,  —  II.,)  —  1 ,66  cos 4  (",,  —  "J- •  .J 

-+■  --=:i  [0,52  cos  (//,  —  «2)  —  4)^5  cos 2  («^  —  II.,  ;    —  (),  1  I  C0(:;3   //,  —  //.^J  —  O.O^  COS^  [/'^  —  l'jl-\ 

—  0,0000060  cos  2  (('  —  Wj  ) . 

M.  .: 


130  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Hayon  vecteur  du  troisième  satellite. 

r,=  i4,38{i-H/i£3C05V3) 

-(--%i[5,88cos(«,  —  Wj)  -+-  o,i9COS2(w,  —  «,,)  -^  o,o3cos3(w,  —  //,)  -t-  o,oocos4(",  —  «O--] 

2/"  ' 

-I- —[452,98  cos  [i(^  —  //,)  -h  9. 1 3  cos  2  [il.,  —  u^]  H-  2. 1 G  cos  3  (?/,  —  u,)  -+-  0.59  cos  4  (w^""  "a)-  •  •] 

H-  -^[7,46  COS[u^  —  «3)  —  33,62  C0S2  («^  —  W,  )  —  3,95  C0S3  («^  —  II)  -t-  O.9Ô  C0S4  («^  —  11^...^ 

—  0,0000392  cos  2(1'  —  ?r). 

Rayon   vecteur  du  quatrième  satellite. 
r^=  25,3o(i  -+-«£, cos V,) 

^^=^ [5,66 cos (;/,  —  «J  -i-  o,oi  coS2(?/|  —  ir)  +  0,00 cos 3 (?/,  —  «,')  -^  0,00 cos4  (",  —  "«)•••] 

-^^[9,18  cos (w,  —  wj  -H  o, 1 7  C0S2 («j  —  «^  )  -+-  0,07  cos 3 (Wj  —  ?/j  )  -f  0,00 cos 4  (//,  —  « J. . .] 

+-%ï[3 1 ,55 cos (//,  —  wj  -r- 1 ,62 cos 2 (?/,  —  «J  -+-1,35 cos 3 [11^  — 11,]  -^  0,43  cos 4  [a.  —  //>  ) . . .] 

ù 

—  0.0003754  COS!î(*^  —  "J.  " 

LI. 

Longitude  vraie  du  premier  satellite. 
Çi=  »|  —  (i i4''35')/?£,  sinV, 

— -%[95oo'sin(Hj—w,)  — 1 22721 4'sin2  («2— «,)— 3526' sin3(//j—w,]  —  7o5'sin4(//j— //,)...] 

—  -% [n 58'sin («,  —  «,)  —  1 007'sin 2  (?/,  —  //,)  —  i o i  '  sin  3  (  «,  —  «,  )  —  1 8' sin  4  (  ?/,  —  //,)...] 

_ulj[i88'sin(//,  —  //,)—  81' sin  2  (w,  —  «,  )  —  3'sin3(//,  —  w,  )  —  o'sin4(//,  —  ?/,)...] 

—  o",o47?iD2(p  — wj. 


DES  SAIKLLITKS   l)K  .ILIMI  Kit.  1:51 


Longitude    vrnit'    dit    denxif'me    satellite. 
y..=  //j  —  (  1 1 4"  35' ) Il  £,,  sin  V , 

-H-^[--  387482'sin(//|— w..)  — 2727' sin -2 («,  —  «,)  — Sog'sin  3 (//|—Kj)  —  i a' sin 4  («,—«,,)...] 

-<i-  ~[\ootS-'  )^\n{ii  _^-   ti .)  —  626246' si  lia  (//j—  «,)—  37 17'sin  3  (//,—  //.,)  —  82.5 'sin  4  («j— "3)...  J 

-i-— ^[îoG'sin(/^,  —  i(  ^  -■  {i  '3' sin 2 («,  —  «,)  —  52' sin  3 (//^  —  w.J  —  17' sin  4  (/^<  —  '/,)...] 
—  o",  igo  sin2(('  —  «.,). 


Longitudt  vraie  du   troisième  satellite. 

•- ,  =  11^  —  (  1 1 4°  35'  )  //  =  ^  sin  V , 

-+-  -  '[i3()6'  sin(«|  —  //,)  —  38' sin  2  (w,  —  //J  —  8'  sin3(«,  —  //,,)  —  1  sm  1  [u^  —  «3) . . .] 
t/t 

-t--^[— 207375'sin(/r,  — /r  '  —  27()o'sin2i//,— ;r)  —  559'sin3(/^^— «.)  — 142'sin  ((// —  n  '...] 

lu 

-(-—[5703'sin (//(  —  «,)  —  1491  i'sin2(//j — //,)  —  i37()'sin3(«,— //j)  —  3o6'sin4  ("4  — ".,)•••] 
—  <>",977  sini  r  —  if .  i. 

Longitude  craie  du  (juatrième  satellite. 
'^,=  ;/,  —  (ii4°35')//.%sinV, 

-(--^[768'sin(«,  —  u^)  —  o'sin2(«|  —  //J  —  o'  sin  3(//,  —  i/^  )  —  o'  sin 4  (",  —  ",  1  . . .  ] 

-t-  — [1219  'sin(/^  —  w,)  —  i5  'sin 2 (//..  —  «J  —  3  'sin3(/r^  —  «J  —  o  'sin 4  ("..—  "<  )•  •  •] 

-i--^[—  iG9i'sin(«,—  «J  —  444'sin2(//,  —  i/.)   -  i8o'sin3(//.,  —  «,)  —  59'sin4(//,  —  ",)...] 
—  4"?2<»8  sin 2(1'  —  ll^). 


132  RECIIEKCIIES  SUK   LES  INÉGALITÉS 

l^i  l\^  —  Oh  l' on  (loiuic  les  inégalités  des  satcUilcs  qui  dépoulcut 
de  leurs  configurations,  et  (jui  ont  lieu  au  tenijjs  des  éelipses. 

Llf. 

Il  esl  visil)lc  (jue  les  éclipses  des  satellites,  c'est-à-diie  leurs  conioiu- 
lions  avec  Jupiter,  arrivent  lorsque  leurs  longitudes  œ  diffèrent  de  i8ode- 
i^rés  de  la  loni>ilude  'i>  du  Soleil  vu  de  Jupiter;  de  sorte  (|u'on  aura  géné- 
ralement ré(|uation 

o  —  (|»  =  i8o", 

(Ui  l)ieu,  en  mettant  poui'  g  et  }  leurs  valeurs  //.  +  ny  et  v  +  n], 

u  —  ('  =  i8o"  -4-  «J  —  ny, 

où  it\  exprime  ré(]uation  de  Jupiter,  ny  l'équation,  ou  plutôt  la  somme 
des  é(juati()ns  du  satellite,  et  u  —  v  la  distance,  ou  bien  l'élongation 
moyenne  du  satellite;  donc,  pour  avoir  la  conjonction  vraie,  il  n'y  aura 
(]u'à  ajouter  au  temps  de  la  conjonction  moyenne  la  quantité  n}  —  ny 
convertie  en  temps,  à  raison  du  mouvement  moyen  du  satellite  au  Soleil, 
conversion  (ju'on  fera  aisément  en  multipliant  la  quantité  proposée  par 
o,  1  I  79  pour  le  premier  satellite,  par  0,2369  pour  le  deuxième,  par  0,4771 
pour  le  troisième  et  par  1,1  [G9  pour  le  quatrième;  et  changeant  ensuite 
les  degrés  en  heures,  les  minutes  de  degré  en  minutes  de  temps,  etc.  ;  ces 
nombres  se  trouvent,  en  divisant  les  durées  des  l'évolutions  synodi(jues 
des  satellites,  lesquelles  sont  de 

I  j  18''  0.8'"  '^6%     3J I V"  17'"  54%     71  3"^  59"  3(>,     161  1 8''  5™  7% 

i)ar  3(io  degrés,  après  avoit  réduit  le  tout  en  secondes. 

un. 

Nous  allons  (bjuc  donner  ici  les  équations  des  conjonctions  des  satel- 
lites; u)ais  nous  ferons  abstraction  de  celles  qui  viennen!  de  l'excentri- 
cité <l('  Jupiter,  et  des  excentricités  particulières  des  satcllilcs,  pincr  (|u«' 


DES  S\TI:LIJTI:S   DK  JUPITKU.  I3:i 

1rs  unes  soiil  assez  coiiiiiics  des  Asiroiioincs,  cl  (jnc  1rs  iiiilrcs  ne  soiil  j);is 
assez  exactes  pour  (|ii'()ii  puisse  s'y  lier, 

IJV. 

EqiKition   (lu  incntin   sdtf^Uile. 
-^[— 1 097" sin(//.j~ //,)-*-! 44800'" si  117, (/r^ — //,)  -+-  \  i()"'sin '$(//., — //,)  -»-8V"siM  ^(//,  — //,  .  . .  | 

-+-  — -'  [— I  i7"'siii  \ii..  —  //,)  -(-  I  i9"'>in',A((/, —  //,  j  -^  i7."sii)  ii  /r  —  //,  ;  —  i"'siii  \\ii ,—  ",)•••] 

-(-  ^  [—  ■A2"'  sin  (  K^  —  i(^  )  -H  9'"  sin  2  (  «,  —  //,  )  ■+-  o'"  sin  3  (  ?/,  —  //,  )  -+-  o'"  sin  4  ( //,  —  w,  ) .  .  .  | . 

Equalion  du  deuxième  sutellite. 
-^[9181  o'"  sin  (  //,  — 1(,  )  -t-  ()4()'"  sin  2  («,  —  //,  )  -f- 1 2 1  '"  sin  3  (w,  —  //.,  )  -+-  3'"  sin  4  («,  —  k.,  ) . . . ] 

-f--%^[— 2385''sin(/r— /A0-4-i48383™sin2(w3— /^,)-r88i"'sin3(/^— /^,)-i-i9'>'"sin4(/r— //.  ..  .| 

-i--^[—  I  r9"'sin(//,      //.,)  -+■  740'"  sin2(«^  —"2)  "•"  I2"'sin3(//,  —  n.^)  -t- 4'"  sin 4  ("4  —  "■,)•  •  -J- 

LM. 

Equation  du  Iroisièine  satellite. 
-'^[— ()24'"  sin(//,  —  «3)  -f-  18'"  sin'2(//,  —  11.^)  h-  4'"sin3(//,  —  a,]  -h  t>"'sin4f/^,  —  it.].  . .] 

-+-  -=^  [99075'" sin  (//.,  —  if.)  -i- 1 3 1 9"' sin 2 (//.,  —  u.)  -+-  267'"  sin  3 («.^  —  //  j  -h 68'" sin 4  {".,  —  ",) • . . ] 
Vi       ' 

■H     J-[ — ï>72.-V"sin(w^  —  II)  -t-7i24'"P'n2!/r — //j)  -i-G27""sin3û/. — u.)  -*-i46'"sin  4  (//—//).  . .]. 

\M\. 

Equation  du  quatrième  satellite. 
% [—  858'" sin  1/,  —  /',  )  h-  o'" sin 2 1  w,  —  if.]... ] 

+  -^[—  1  jt)2"'sini  /^^  —  //,  I  -t-  i8"'sin2(  /'.^  —  ",  )  —  r"^'"  ->   "^  —  ",  ]  —  o"'siM  û"j  ~  "<  )•  •  -J 

-t-  —  [ 1 888'"  sin  [ii^  —  //,  )  -1-  496'"  sin  2  (w^  —  ''4  )  -(-  20 1  "'  sin  >  (// ,  —  //^  )   v  G(j'"  sin  4  (/a,  —  /^, ) . . .  J  . 


134  RECHERCHES  SUR   LES   INEGALITES 

J'iii  iiédiffé  dans  ces  formules  les  termes  dus  à  l'action  du  Soleil,  et 
()ui  sont  de  1;»  loiine  de  sin2(^'  —  u),  parce  que  ces  termes  deviennenl 
nuls  ;iii  leuij)s  des  cou  jonctions  où  l'on  a  m  —  c  =  i8o". 

tîj  \  .  —  Conijuiidisoii  (les  Jorinules  prccvdciitcs  (ivec  les  ohsc/va- 

lioiis,  et  coiiscquciiccs  (jui  en  résiiltcnt  par  rappori  aux  masses 

(les  satellites. 

LVIH. 

Nous  nous  conlciilerons  ici  de  comparer  nos  fonnnles  avec  les  Tables 
de  .M.  Wargentin ,  (|ui  sont,  comme  l'on  sait,  le  résultat  d'un  grand 
nombre  d'observations;  mais,  avant  d'entreprendre  ce  parallèle,  il  est 
bon  d'avertir  que  les  Tables  de  ce  grand  Astronome  sont  dressées  de  ma- 
nière qu'il  n'y  a  aucune  équation  soustractive,  quoique  les  équations 
qu'il  a  employées  soient  de  nature  à  être  tantôt  additives  et  tantôt  sous- 
tractives;  cela  vient  de  ce  que  l'Auteur  a  retranché,  par  avance  des  épo- 
(jues,  chacune  des  plus  grandes  équations  soustractives;  de  sorte  que  les 
équations  des  Tables  se  trouvent  nulles  dans  le  cas  où  elles  auraient  été 
les  plus  grandes  à  soustraire,  et  que  leur  plus  grande  valeur  est  double 
de  ce  (ju'elle  aurait  dû  être. 

LIX. 

\i\\  examinant  les  dillerents  termes  de  la  formule  de  l'ArilcIe  L\\,  on 
voit  qu'il  v  en  a  un  dont  !e  coelïicient  numérique  est  très-grand,  et  vis- 
a-vis duquel  tous  les  auirei-  termes  ne  sont  presque  d'aucune  considéra- 
tion; c'est  le  terme 

-—^  I  l4oo()'"  sni  o.\  II.  —  «I  , 

d'où  résulte  une  équation  qui  a  pour  argunu'nt  2  a.,  —  ii,j,  savoir  le 
double  de  la  distance  inoyenne  du  second  satellite  au  premier,  au  temps 
des  conjonctions   de  celui-ci,   et   dont   la   plus  grande    valeur  est   de 

^144800™,  '—  exprinnint  le  rappoit  de  la  unisse  du  second  satellite  à 

celle  de  Jupiter. 


Di:S  SATELLITES   DE  .111  Pi  TEK.  l;}o 

Pour  mieux  connaître  la  ikiIiiic  de  celle  iiié^alilc  (|iii  doii  ixoir  licii 
dans  les  conjonclions  du  lucmici' s;it(dlilf,  il  faiil  cliciMlirr  sa  pî-iiodc. 
hujucdie  dépend  du  r;i|)|»(nl  des  rcvoliirKtns  svn(>di(|ii('s  des  deux  |)rt'- 
niiers  satellites.  Or,  suivant  .M.  \Vari>'enlin,  on  a  puiir  lu  dnicc  de  l:i  rc- 
volnlion  svnodiqne  du  pi-eniier 

,i,8''-.,S'":r)^5(i'5.S'i. 

cl  pour  ('(die  (\[\  second 

•^)JI3''l7■"53^i5'7'l; 

d'où  Ton  li'ouve,  en  additionnant  successivenieni  ces  noudues.  oik 
2]-j  révolulions  du  premier  (ont 

437J3''43'"rK)^3i', 
cl  (]ue  i2'3  révolulions  du  second  i'onl 

^3^^  3''  4i'"  '  '■'  ^f)'; 
ainsi,  pendant  que  le  premier  (ail  une  révoliilioii  p;ii  liippoil  :iu  Soleil. 

123 

le  second  ne  (ait  que  -j-  d'une  pareille  révolulion:  (\\)i\  il  siiil  (jiie  l;i 

distance  ii.,  —  a,  du  second  saUdiite  au  premier  augmeule,  dans  l'inlei- 

valle  d'une  conjonction  i»  l'autre,  de   i-y-  —  i)  36o";    pour  av(tir  une 

exaclilude  plus  grande,  on  additionnera  de  nouveau  les  péiiodes  du 
premier  et  du  second  satellite  (jue  nous  venons  de  trouver.  iiis(|u';i  ce 
qu'ils  fassent  des  sommes  à  peu  près  égales,  cl  l'cui  Irouvern  (|ue 
44953H  révolutions  du  premier  ("oui 

795Gi()Ji3''28"'8*2(j', 

cl  (|ue  22386()  révolutions  du  second  font 

7956i()J  1 3''  32'"  i()^  10'  : 

c'est   ixmrnuoi  on  aura,   au  lieu  de   la   IVaclion  —7-'   c(dle-ci  lie;iiiconh 

,  223860 

plus  exacte  yj—p^^- 


136  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Soit  mainlenaiil  ^  la  distance  du  second  satellite  au  premier  an  temps 
d'une  conjonction  de  celui-ci,  cette  distance  deviendra,  après  ii  révo- 
lutions f), 


'^-^'^  (.44^38 -'^^^^^"^•-"'' 


donc  on  aura 


//îi'TTSO  \    „.  _^  /      1818  y    „,, 

-  «.-".)-  ^^0  +  n  (g^5^  -  .j  3bo.>=  56  --  .,  (^^-^  +  .  )  3(>o", 
et 

•        l       r  ï8l8       -^       \ 

siii  2  :  «>  —  «,    =  siii  (  2  &  —  w  ..   y  (j  oDo°  I  ; 

iloiK  ,  pour  (jue  cette  quantité  redevienne  sina^,  i!  l'an!  (jue 

i8i8«  .    ,  44^538  / 

,,  g»t.  =  I,      ce  qui  donne     n  =  — ^^-  =  247,270; 

449^38  ■  ■  1818 

c'est  le  nombre  des  révolutions  du  premier  satellite  qui  exprime  la  pé- 
riode de  l'équation  sinafwo  —  m,;. 

Or  247  révolutions  l'ont  à  très-peu  près 

437J3'>44'"o% 
et  —^  de  révolution  t'ont    11 ''28'"  7';   donc  la  période  cherchée  sei'a  de 

lOO  /  1 

437J  i5''  i2'".7\ 


LX. 

Voyons  à  présent  quelle  doit  être  la  marche  de  cette  équation;  poui' 
cela,  nous  supposerons  0  =  o,  c'est-à-dire  que  les  deux  satellites  se 
trouvent  à  la  fois  en  conjonction,  et  nous  aurons,  après  un  nombre 
quelconque  n  de  révolutions  du  premier  satellite, 

sm  2 [  u,  —  M,  )  =-  —  siu    II  ,.  ^.-,..  3L)o"   , 
V    449^38         / 

(^*  )  La  k'ilre  n  a  élé  alVcclée  [iliis  haut  a  un  autre  usago  ;  le  duuble  eui[)loi  (juc  nouj  cruyoïis 
devoir  sii^naler  n'a  ici  aucun  inconvénient.  {T>î«te  de  V Editeur.) 


DES  SATELLITES  DE  JLl>ITKI{.  I.'JT 

on  hicn  en  IViisîuil,  itoiir  îihrriicr,  p=      \[  ^     ôi^^il  an  nombre  des  révo- 

'  loi o  ■ 

huions  (|ni  foiinrnl  la  priiodr  de  r(''(|nalion 

SU)  ?.  (  M-.  —  M|)  =  —  sm  —  3')o". 
I' 

De  lîi  on  voil  (jnc  rr(|na(ion   sin  2 ''//.,  — m,j  sera  nnllc  an  coMiincncc- 
nionl  (lo  la  période,  (jii'ensnile  (die  deviendra  soustrarlive ,  el  (|n'(lle 

sera  la  plus  grande  à  sonsiraire  loi'S([ne  n~  ^,  c'esl-a-dire,  an  (piarl  de 

la  période;  après  (jnoi  (die  redeviendra  nulle  à  la  nioilie  de  la  peiiude, 
ensuite  se  ciianij^era  en  additive  croissante  jusqu'aux  trois  (juarts  de  la 
période,  où  (die  sera  la  plus  grande,  et  enfin  déeroilra  pendant  le  dei- 
niei'  quart,  pour  se  retrouver  nulle  au  commencement  de  la  période 
suivante. 

LXI. 

Je  dis  maintenant  que  l'équation  que  nous  venons  d'examiner  est  la 
même  que  celle  qui  se  trouve  dans  les  Tal)les  du  premier  satellite,  dési- 
gnée par  la  lettre  C,  el  (jui  est  la  seule  qu(;  les  observations  aient  fait 
connaître  jusqu'ici.  \in  effet  :  1°  la  période  de  cette  équation  est,  selon 
M.  Wargentin,  de  437'' i9''4i"'  environ,  ce  qui  s'accorde  admirableineni 
bien  avec  ce  que  nous  avons  trouvé  dans  l'Article  LIX;  car  la  ditléicnce 
de  4'' 28™,  qui  s'y  trouve,  n'est  d'aucune  considération  par  rapport  ;»  nn 
intervalle  de  4^7  jours;  2"  si  l'on  examine  l'équation  C,  on  verra  (lu'en 
(Jtant  toujours  3™'^o''  (moitié  de  la  plus  grande  valeur  de  cette  équation, 
selon  la  remarque  de  l'Article  LVIIlj,  et  établissant  le  commencemen! 
de  la  période  (qui  est  divisée  en  1000  parties)  au  nombre  750,  on  verra. 
dis-je,  (jue  la  mar(  lie  de  cette  équation  est  la  même  que  celle  de  re(|na- 
tion  sin2(//2  —  ai)  de  l'Article  précédent.  De  plus  on  trouvera,  par  b  ^ 
Tables  du  premier  et  du  second  satellite,  que,  dans  les  conjonctions  du 
premier  satellite  qui  répondent  exactement  au  nombre  750.  l'élonga- 
tion  du  second  sal«dlite  est  nulle.  Donc,  etc. 

VL  iS 


138  KECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

LXII. 

De  là  il  suit  que  les  nombres  C  des  Tables  du  premier  satellite  ne  sont 
autre  chose  que  les  distances,  c'est-à-dire,  les  élongalions  du  second  sa- 
tellite au  premier,  au  temps  des  conjonctions  de  celui-ci,  le  cercle  étant 
supposé  divisé  en  looo  parties,  de  sorte  que  le  nombre  75o  réponde 
aux  conjonctions  des  deux  satellites  et  25o  à  leurs  oppositions.  Cette 
remarque  fournit  un  moyen  de  rectifier  les  époques  de  ces  nombres,  si 
elles  en  avaient  besoin,  et  de  les  prolonger  autant  qu'on  voudra,  sans 
(craindre  de  s'égarer. 

LXIII. 

La  plus  grande  valeur  de  l'équation  G  du  premier  satellite  est  de  7"', 
dont  il  ne  faut  prendre  que  la  moitié  (Article  LVIII);  donc,  comparant 
cette  valeur  avec  le  coefficient  de  l'équation  sin2(a2  —  "0'  'f^^uel  est 


-^  144800",  on  aura 


*     d'où  l'on  tire 

7 


@2        ,^Q  7 

—  144800  =-, 


— l  r= —r-^. —  =:  0,00002/11  T  =  7 àpcuDrès; 

TP        289600  '  ^   '       40000        ^       ^ 

c'est  le  rapport  de  la  masse  du  second  satellite  à  celle  de  Jupiter.  Si  l'on 
prend  la  masse  de  la  Terre  pour  l'unité,  on  a 

TP  =  363,9, 

ce  qui  donne 

_  ,,     ,        I  1       , 

d; ,  =  o.ooo^qA  =  — ^'     a  PPU  près. 
'•  1200 

Supposons  que  la  densité  de  ce  satellite  soit  la  même  que  celle  de 
Jupiter,  ou  au  moins  qu'elle  n'en  dilTère  que  très-peu,  ce  (jui  est  très- 
naturel,  on  trouvera,  en   prenant  le  demi-diamètre  de  Jupiter  pour 

l'unité,  que  celui  du  salellile  est  0,0289,  c'est-à-dire,  environ  — r^   ce 

(|ui  donnerait  pour  le  temps  (jue  le  satellite  doit  employei'  à  entrci'  dans 


DES  SATELLITES   DE  JUPlTEIi,  KU> 

r<»nil»ic  (le  .liipilcr  .■V"i4\  <'<'  <llii  esl  a  peu  pri'S  le  milK-ii  ciilrc  les  rcsnl- 
lats  des  observations  de  M.  Maraldi  et  de  M.  Winston  {Mémoires  de  l'Aca- 
démie, 1734). 

LXIV. 

Il  sciall  loiil  il  lail  inutile  (rexamincr  1rs  anii'cs  termes  de  la  Iniiiiiilr 
de  l'Aiiiclc  LIV;  car  il  csl  clair  (|u'il  n'en  ponnait  icsnilcr  (jin'  des 
équations  extrêmement  petites,  et  par  conséquent  insensibles,  à  moins 
(ju'on  ne  voulût  supposer  les  masses  du  troisième  et  du  quatrième  satel- 
lite énormément  grandes  par  rapport  a  celle  du  second,  ce  qui  ne  parait 
guère  naturel;  d'ailleurs  l'équation  que  nous  avons  examinée  est  la 
seule  (ju'on  ait  juscju'ici  déduite  des  observations. 

LXV. 

Passons  donc  à  la  formule  de  l'Article  LV,  qui  renferme  les  équations 
des  conjonctions  du  second  satellite.  Parmi  tous  les  termes  dont  cette 
formule  est  composée,  j'en  distingue  d'abord  deux  qui  sont  beaucoup 
plus  considérables  que  les  autres  par  les  coelficients  numériques  dont 
ils  sont  affectés,  savoir 

— ^9i8io"'sin(a,  —  u,)  +  -^  i48383'"  sin2(M3  —  w^); 

dont  l'un  vient  de  l'action  du  premier  satellite,  et  l'autre  de  l'action  du 
troisième.  Ces  deux  termes  produisent,  comme  l'on  voit,  deux  é(juatioii> 
dont  les  arguments  sont  u^—  Mo,  distance  moyenne  du  premier  satellite 
au  second,  et  2(^3  —  ^0)'  double  de  la  distance  moyenne  du  troisiènn* 
satellite  au  second  au  temps  des  conjonctions  de  celui-ci. 

Je  remarque  maintenant  que  la  durée  de  la  révolution  synodi(|ue  du 
troisième  satellite  est  de 

7J  3'' 59""  35*  55' 23'', 

selon  M.  VV'argentin;  ce  qui  donne,  pour  Gi  révolutions, 

437J3''35"'3i   i8', 

18. 


IVO  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

et,  pour  II102I  révolutions, 

7956 19J 1 3'' 29'"  1^55*; 

« 

or  nous  avons  déjà  trouvé  que  449^38  révolutions  du  premier  sont 

7956i9Ji3''28'"8«26S 
et  (jue  223860  révolutions  du  second  sont  (x\rliele  LIX) 

795619J  i3'' 32'"  i9*4'^*j 

donc  les  mouvements  des  trois  premiers  satellites  au  Soleil  sont  entre 
eux  comme  les  nombres  449^38,  22386o,  111021,  et  les  différences 
entre  les  mouvements  des  deux  premiers  et  les  mouvements  du  second 
et  du  troisième  sont  au  mouvement  du  second  comme  les  nombres 
225678,  II 2839  au  nombre  223860;  donc,  pendant  que  le  second 
achève  une  révolution  au  Soleil,  les  angles  u^  —  u^  et  «3  —  Wo  croissent 

,         225678  or     o       *  112839   o/-     o         1  1'  1  /  1-        • 

de  — ~r  ^^o    et tt—-  û6o'^;  donc  1  anele  2 (m,  —  Woj  diminue  a 

2238bo  2238bo  o  »    •*  -/ 

chaque  révolution  du  second  de  la  même  quantité  dont  l'angle  M|  —  112 

,        225678  O/-     ,1         I  1 

augmente,  savoir  de  — ^37^  060*';  donc  la  quantité 
°  223800  1 

?/i  —  U,  -f-  2(  «3  —  M2) 

est  toujours  la  même  dans  les  conjonctions  du  second  satellite. 

Examinons  donc  une  conjonction  quelconque  de  ce  satellite,  et  voyons 
quelles  sont  les  élongations  du  premier  et  du  troisième,  c'est-à-dire,  les 
valeurs  de  m,  —  Wo  et  de  z^3  —  u.,;  je  prends  pour  exemple  la  première 
conjonction  de  l'année  1760,  laquelle  est  marquée  dans  les  Tables  à 
2^i3''42™5o%  à  quoi  ajoutant  la  moitié  des  plus  grandes  équations,  sa- 
voir, i''35™6*  (Article  LYIIIj,  on  a 

2Ji5''i7'"56'* 

pour  le  temps  moyen  de  la  conjonction  moyenne  du  second  satellite;  je 
trouve  de  la  même  manière  que  les  premières  conjonctions  moyennes 


DES  SATELLITES   DE  JUPITER.  iM 

(1(1  pi'ciiiicr  *>l  )lii  lioisiiMnc;  SiilcHitc  ont  di'i  iirrivci-  :i 

Il  H)"' /j<S'»48^      ri -y       iJ 'i'' 54'"  f)!")» 

(I(î  temps  inovcn  ;  d'où  je  coucliis  (jn'iiii  temps  de  l;i  (  onjoiii  lion  du 
second  satellite,  le  premier  était  plus  avancé  de  i'V'^'<)"'i  <<'  «lui  lait 
24i"2.V,  et  (jue  le  troisième  était  en  ai-rière  de  i  V  )7"',  ce  (|ui  vaut 
!^o"27';  donc 

«I  —  U2  =  9.41"  ■?4'     <^l     "3  —  ":■  =^  —  3o"  27'  ; 

(>ar  coiisé(|ueiil 

n,  —  u^  -f-  9. («3  —  u-,)  =  180" 3o'  =  180"     à  liès-|}('u  près. 

On  aura  <lonc,  en  général, 

■>.  (  M3  —  Uj     =r  I  80"  —  (  M,  —  «2  )       cl       Sin  "2(113  —  th  i  :=  si  R    M,  —  M,    ; 

ainsi  les  deux  l<'i'mes 

-^„  9i8io"'sin(a,  — /<,j -t-  ^;^  1 48383'"  sin.), (  Mj  —  Mj) 

peuveni  se  réduire  à  un  terme  unique,  tel  que 

[-—■  91810'"  +  -^  i48383"'j  sin(M,  —  Mj)» 

le(juid  ne  donne  ([u'uiu'  équation  dépendante  de  l'eloni>ation  du  premier 
satellite  au  second. 

LXVI. 

Soit,  dans  une  conjonction  du  second  satellite,  m, —«2  =  0,  on  aura, 
par  ce  (|ue  nous  avons  démontré  dans  J'Ailicde  |)récédent.  après  n  révo- 
lutions de  ce  même  satellite, 

.  2256-18  .,  . 

a,  —  U:t=:  d  -h  n  — -T^  3bo", 
225800 


par  consequen 

2238DO  /  V  2238bo 


sin  1  M,  —  a, )  =  sm  (  0  -+-  n    _^J.    3bo" )  —  sni (Q  -h  n  -^ttt^  3(>()"  1 


142  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 


d'où  l'on  voit  que  cette  quantité  ne  peut  redevenir  sin5,  à  moins  que 

ï8i8 
22  386o 


,  .  i8i8  .    1 

on  11  ail  n — ^^^  =  i,  ce  qui  donne 


i2386o  „ 

i?.i,i35; 


[8i8 


c'est  le  nombre  des  révolutions  du  second  satellite  qui  forment  la  pé- 
riode de  l'équation  sinfw,  —  u^),  et  l'on  trouvera  que  cette  période  est 
la  même  que  celle  de  l'équation  du  premier  satellite,  savoir  (Article  LIX) 

437J  I5^I2'"7^ 

-,  1-       1  I      223860 

Mettons  n  au  heu  du  nombre      ,,  ^  -,  nous  aurons 

sin (m,  —  W3 )  =  sin  (  0  h 36o"  |  ; 

donc,  supposant  au  commencement  de  la  période  $  =  0,  c'est-à-dire,  les 
deux  premiers  satellites  en  conjonction  à  la  fois,  et  faisant  successi- 
vement /i  =  o,  n  =  ^,  71  =  ^-,  n  =  -^  et  n  =  p,  on  trouvera  que  l'é- 
424' 

quation  dont  il  s'agit  est  nulle  au  commencement  de  la  période,  qu'en- 
suite elle  augmente  jusqu'au  quart  de  la  période,  où  elle  est  la  plus 
grande;  que  de  là  elle  diminue  et  redevient  nulle  à  la  moitié  de  la  pé- 
riode, après  quoi  elle  se  change  en  négative,  etc. 


LXVII. 

Si  l'on  compare  maintenant  la  marche  de  cette  équation  avec  celle  de 
l'équation  C  des  Tables  du  second  satellite,  on  verra  qu'elles  s'accordent 
parfaitement,  pourvu  que  l'on  ait  attention  d'ôler  constamment  de  cette 
dernière  équation  iG'"3o*  moitié  de  sa  plus  grande  valeur,  et  qu'on  fixe 
le  commencement  de  la  période  au  nombre  25o.  Ainsi  les  nombres  C 
(les  Tables  du  second  satellite  indiquent  les  élongations  du  premier  au 
temps  des  conjonctions  du  second,  de  sorte  que  le  nombre  25o  répond 
aux  conjonctions  des  deux  satellites,  et  le  nombre  760  à  leurs  opposi- 


DES  SATELLITES   DE  JL'PITEH.  143 

lions.  {Voyez  là-dessus  ]:i  disscrlation  de  M.  Wargenliii  (|ui  csl  ii  l:i  ific 
des  observations  du  second  satellite,  dans  les  Mémoires  de  la  Société 
(/'Upsal  pour  l'année  1743.) 

LXVIII. 

Il  ne  reste  donc  plus  qu'à  égaler  le  coefficient  de  l'équaliou  s\n(u,—ii.i} 
à  la  plus  grande  valeur  de  l'équation  C  des  Tables,  ce  cjui  donne 

-^  9181  o  -I-  -^  i483»3=  — -, 

de  sorte  (ju'en  suj)posant  C3  =  mC,,  on  aura 

@,  ?.3  ®3  33m 

el 


T        183620  -4-  296766  m  T        183620  -+-  296766  wt 

Soil  par  exemple  m  =  i,  c'est-à-dire,  les  masses  dw  premier  el  Au  li'(ti- 
siènie  satellite  égales  entre  elles,  on  aura 

T-^-W^  483386  =  ^'^^^^^^^9  -  745^     environ  ; 

d'où,  »ui  supposant  les  densités  des  satellites  égales  à  celles  de  .lupilei', 

on  lire  leui's  demi-diamètres  =0,0409=  environ  ^  de  celui  de  .lupiler; 

ce  (|ui  donne  poui'  le  temps  que  le  premier  devrait  employer  à  entrer 
dans  l'ondn'e  5'"ji%  et  pour  le  temps  (|ue  devrait  employer  le  troi- 
sième 9'"2l^ 

Au  reste,  (juel  (|ue  soit  le  nombre  m,  comme  il  lU'  saurait  être  ni  iiilini 

ni  nul,  il  est  clair  (|ue  les  (juantités  -j^-,  -^  sont  lonjours  necessaire- 

iiiciil    moindres  que    la   fraction    — ;^—t-t  =  0,0001  i  1 ,  c'esl-à-dire,   en 
'  296760 

j)reuanl  la  masse  de  la  Teire  pour  l'unité. 

Cl  el   C -cT  0,0404.  .. ,     (Miviron     — r- 

2i) 


IH  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

LXIX. 

A  l'égard  des  autres  termes  de  la  formule  de  l'Article  LV,  il  est  facile 
de  voir  qu'ils  ne  donnent  que  des  équations  extrêmement  petites,  et  qui 
peuvent  par  conséquent  être  négligées;  en  effet,  le  terme  qui  a  le  plus 
grand  coefficient  numérique,  après  ceux  que  nous  venons  d'examiner, 

est 

(E- 

-~  [—  2385'"sin(  u^  —  w«  ]; 

or  nous  avons  trouvé  que  -^  <  0,0001 11...;  donc  la  plus  grande  équa- 
tion sera  <<  16*. 

LXX. 

L'équation 

«,  —  u-i  -^  liui  —  M.j  =  i8o"3o', 

trouvée  dans  l'Article  LXV,  et  d'où  nous  avons  tiré 

sin2  U:  —  ?<2)  =  sin(  M,  —  M;,     à  très-peu  près, 

est  une  suite  du  rapport  que  nous  avons  établi  entre  les  révolutions  sy- 
nodiques  des  trois  premiers  satellites;  ce  rapport  n'est  pas  exact  à  la  ri- 
gueur, mais  il  ne  s'écarte  de  la  vérité  que  d'une  quantité  infiniment  pe- 
tite, de  sorte  qu'au  bout  de  1000  ans  l'erreur  qui  en  pourra  résulter  sera 
encore  presque  insensible. 

En  effet,  on  trouve  qu'il  faudrait  environ  1 317900  ans  pour  que  l'é- 
quation dont  nous  parlons  devînt 

U^  —  u.  -+-  2(M3  —  Ui)  =  36o°, 

pourvu  que  les  moyens  mouvements  des  satellites  fussent  assez  exacts 
pour  pouvoir  être  employés  dans  une  si  longue  suite  de  siècles.  (Voyez 
l'Ouvrage  de  M.  Wargentin  cité  ci-dessus.) 

LXXL 

La  formule  de  l'Article  LVI,  qui  renferme  les  équations  du  troisième 
satellite,  ne  nous  présente  qu'un  terme  qui  puisse  être  de  quelque  con- 


DES  SATELLITES  DE  JUPITEH.  1V5 

sidéralion  :  c'csl  le  Icriiif 

-™- 99075'"  si n(Mv—  Ui), 

(loMl  rni'i^iiiiicnt  est  Prloni^iilioii  du  second  salfdlitc  au  troisième  au 
l(Mni)s  des  conjonctions  de  celui-ci. 

Avant  d'entrer  dans  le  détail  de  rinéi,falilé  (jui  en  résulte,  voyons  si 
elle  est  assez  considérable  pour  qu'on  doive  en  tenir  compte.  Pour  cela 

on  substituera,  au  lieu  de  -—-^  sa  valeur  trouvée  ci-dessus  ^Ai'ticle  LXIII;, 
savoir  -rrr- — '  et  l'on  trouvera 

2O9()00 

-^99075'"  =  2'"  24% 

de  sorte  (|ue  l'inégalité  dont  il  s'agit  montera  a  4"'  i8%  à  cause  (jue 
l'équation  sinfw^  —  113)  est  tantôt  additive,  tantôt  soustractive. 

Maintenant  on  sait  que  les  mouvements  moyens  du  second  et  du  hoi- 
sième  satellite  sont  entre  eux  comme  les  nombres  23386o  et  1 1 1021  Ar- 
ticle LXV),  d'où  il  suit  que,  pendant  que  le  troisième  achève  une  révo- 
lution au  Soleil,  la  distance  m,  —  u.,  ausçmente  de  — - — ^  36o";  de  sorte 

que,  si  l'on  appelle  0  l'élongation  du  second  satellite  au  troisième  au 
temps  d'une  conjonction  quelconque  de  ce  dernier,  on  aura,  apiès  //  ré- 
volutions, 

.         I I 2839 

«2  —  Uf  =;  6  -+-  « =-  Jbo", 

I I I 02 I 

et  de  là 

.     ,  :      Ir  II283f)^.       \  .      /'  l8l8      .,^,       \ 

sin(«.  —  «3   =  sm  [9  -\-  n 3bo"    =s\n  [S  -¥-  n >bo"    ; 

\  III  ()■>  I  /  ^  111021  / 

,,    ,    ,,  .  I        .   •     I      I  '  •  ,      1 1 1021 

d  ou  I  on  voit  :  i"  fiue  la  période  de  cette  eciuation  sera  de  — 77-77-  revo- 

'  '  '  10  lu 

lutions  du  troisième  satellite,  ce  qui  revient  au  même  que  celles  du  pre- 
mier et  du  second  satellite  (Articles  LLX  et  LXVI);  2°  (|ue  si  l'on  prend 
pour  le  commencement  de  la  période  une  conjonction  du  troisième  sa- 
VT.  K) 


HO  UECHEKCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

tellite  dans  laquelle  î/  =  o,  c'est-à-dire,  que  le  second  satellite  soit  aussi 
en  conjonction,  on  liouvera  que  la  marche  de  l'équation  dont  il  s'agit 
sera  entièrement  analogue  à  celle  de  l'équation  du  second  satellite  (Ar- 
licle  LXVI). 

Lxxn. 

L'équation  (jue  nous  venons  d'examiner  ne  se  trouve  point  dans  les 
Tables  du  troisième  satellite;  M.  Wargentin  s'est  contenté  de  l'indiquer 
dans  la  Préface  de  ses  Tables  {Mémoires  de  la  Société  d'Upsal,  pour  l'aii- 
née  i74Jtj'  '^'"  •'  ''■'  •  Midtœ  etiam  ohservationes  salis  manifeste  indicant 
tertium  œquatione  alia  indigere  cujus  fere  eadem  est  quantitas  et  natura 
cum  œquatione  nova  primi;  sed  quoniam  obse/vationes  non  paucas  habeam 
quœ  eam  vel  minorem,  vel  nullam  arguant,  hujus  œquationis  in  Tabulis 
nuUamhahere  rationem  satius  judicavi;  et  ailleurs  i  dans  la  Dissertation 
(]ui  est  à  la  tète  des  observations  du  second  satellite)  :  ïn  motibus  tertii 
satellitis  deprehenditur  inœqualitas  quœdam  quœ  indicat  eum  esse  retar- 
datum  in  conjunctionibus,  sed  acceleratum  in  oppositionibus  secundi;  et 
plus  bas  :  Est  etiam  hœc  inœqualitas  tertii  similis  inœqualitati  supra  de- 
scriptœ  secundi;  ce  qui  s'accorde  parfaitement  avec  ce  que  nous  avons 
trouvé  dans  l'Article  précédent.  Il  est  vrai  que  cette  équation  a  paru  à 
M.  Wargentin  de  la  même  quantité  que  celle  du  premier  satellite,  au 
lieu  qu'elle  n'en  est  qu'environ  les  deux  tiers,  suivant  notre  Théorie; 
mais  ce  savant  Astronome  avoue  lui-même  qu'il  ne  regarde  pas  son  ré- 
sultat comme  fort  exact,  l'ayant  trouvé  quelquefois  moindre,  et  même 
nul,  et  que  c'est  pour  cette  raison  qu'il  a  cru  devoir  s'abstenir  d'en  faire 
usage  dans  ses  Tables. 

LXXIII. 

Avant  de  quitter  la  formule  de  l'Article  LVI,  nous  dirons  deux  mots 
des  termes  qui  dépendent  de  u,,  —  u^,  élongation  du  quatrième  satellite 
au  troisième,  et  dont  le  plus  considérable  est  celui-ci 

-^   7  124'"  SU)  2  (m,  —  W3J. 


^  7i24  =  m; 

©, 

'"                      / 

r 

7i?4 

DES  satki.lh  i:s  m:  juimteu.  v»7 

Supposons  d'Mlxtid  (juc  rfMiiKilioii  (iiii  t'ii  pi(jvit'iil  soil,  lorstju  elle  l'sl 
la  plus  grande,  de  m  minulcs;  on  aura 


donc 


d'oîi  Ton  voit  que,  pour  que  m  soil  au  moins  =  i,  il  faut  que  la  niasse 
du  quatrième  satellite  surpasse  de  beaucoup  celles  des  trois  premiers. 

Si  l'on  veut  (jue  la  densité  de  ce  satellite  soit  la  même  que  celle  d<'  Ju- 
piter, on  trouvera  son  diamètre  =0,0519^/^  '^^  celui  de  .hipilcr;  et 
pai-  conséquent  le  temps  qu'il  doit  employer  à  entrer  dans  Toinhrc 
=  (i5™46^)vm;  ce  qui,  en  faisant  w  =  i,  est  assez  conforme  au  ré- 
sultat des  observations  de  M.  Maraldi. 

Cette  équation,  au  reste,  supposé  qu'elle  montât  à  quelques  minutes, 
ce  qui  ne  serait  nullement  impossible,  mériterait  d'autant  plus  rallcii- 
tion  des  Astronomes  qu'elle  varie  beaucoup  d'une  conjonction  à  l'autre; 
en  effet,  les  révolutions  synodiques  du  troisième  et  du  quatrième  satellite 
étant  de  G19176*  et  i4475o7%  on  trouve  que  l'angle  u.,  —  u^  doit  aug- 

1  '  1         •  I  •     •<  I  /   610176  \    ■}/•      u 

menter  pendant  une  révolution  du  troisième  de        ,  :' i    j')<>  , 

^  \  1447007         / 

c'est  à-dire,  diminuer  de      "    - —  36()^;  donc,  nommant  5  l'angle  u.,  —  ir^ 

1447^07 

dans  le  temps  d'une  conjonction  quelconque  de  ce  satellite,  on  aura, 

après  n  révolutions, 


8?.833i   _  ,         ,  i65666o        _. 

Il,  —  //,  =  g  —  »     ■  ■    , —  3do"     et     2(  M4  —  M3)  =  20  —  «  — ,-^-^ — 3()i>", 
1447^07  1447507 


(I  ou 


.    /    ,  209155     .    \ 

sin  2 1 M4  —  Ml )  =  sm    2  &  —  /i     .;  ^ —  .ibo"    : 
\  1447007         / 

I      '  •    1     1            •        •                         I    '4475o' 
par  conseciuent  la  période  de  cette  e(|ualion  ne  sera  (pie  de  — ^  ré- 
volutions, c'est-à-dire,  de  6,920  révolutions,  ce  qui  l'ail  49''  i4''  12'"  à  peu 

M)- 


\'iH  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

près.  Ne  serait-ce  jjuiiit  là  la  souire  de  ces  inégalités  qu'on  observe  dans 
les  eonjonclions  du  troisième  satellite,  et  qui  font  des  sauts  considéra- 
bles d'une  conjonction  à  l'autre?  C'est  une  vue  que  nous  proposons  aux 
Astronomes  qui  s'occupent  de  la  Théorie  des  satellites. 

LXXIV. 

Il  ne  resterait  plus  qu'à  examiner  les  équations  des  conjonctions  du 
(|iiatrième  satellite,  contenues  dans  la  formule  de  l'Article  LVHI;  mais 
ayant  déjà  trouvé  (Articles  LXIH  et  LXVIH) 

©j  rz:  0,00003.417  ^)        ®i    61    @3  <<0,000l  I  I  2^, 

on  verra  aisément  que  les  coefFicients  de  ces  équations  ne  s'étendent 
point  au  delà  d'un  petit  nombre  de  secondes;  ce  qui  est  trop  peu  de 
chose  pour  qu'on  doive  en  tenir  compte  dans  le  mouvement  de  ce  sa- 
tellite, surtout  vu  l'imperfection  qui  règne  encore  dans  les  Tables  de 
Jupiter. 


CHAPITRE   IV. 


•^UITE    DU   CALCUL    DES   PERTURBATIONS    DES   SATELLITES    DE   JUPITER. 


LXXV. 

Ayant  trouvé  les  premières  valeurs  de  00,  y,  z  (Articles  XXXVl  et  sui- 
vants j,  on  reprendra  les  équations  de  l'Article  XXXII;  et  après  y  avoir 
mis  an  lieu  de  X,  Y,  Z  leurs  expressions  (Articles  XXX  et  suivants),  sans 
négliger  les  termes  de  l'ordre  n,  on  substituera  dans  tous  les  termes  de 
cet  ordre  les  valeurs  trouvées  de  oc,  y,  z,  et  l'on  aura  de  nouvelles  équa- 
tions en  £c,  y,  z  plus  exactes  que  celles  de  l'Article  XXXV,  et  qui  s'inté- 
greront encore  par  la  même  méthode. 


DES  SATELLITES  DE  JUPITER.  U9 


LXXVL 


Soil  pour  le  premier  satellile  (ees  foiinules  s';i|)pli(jiieiil  éi^aleinciil 
aux  trois  autres,  suivant  les  remarques  des  Articles  IX  et  XIII ; 

L.  =  g-,  -  2^,U, -^ —  f  (a„  a.) ^ —  r(  a„  a,) ^ —  f  (a„  «4) 


Nî  =y.î-f-n/,  [x2r(«,,aî)  +  X3r{«.,«3)  -f-x^f  (a,,a4)-HfK, -f-|x,J  -4-2ny.,/H,. 
Supposons  de  plus  (Arlieles  XXXVI  et  XXXVIII) 

^^^  [S, (,«,,  a.)  cos(|t/2  —  fx,  )/  +  E.ia,,  «2)  cos2(jU2  — //,)/  -•-•  •  •  j 
[S, (a,,  As)  cos(|(/3—  a,)«  -}-  E2(a,,a3)  C0S2(fX3  — u,)^  +•  ■  .J 
[E,(ai,  a,,)  cos(a4  —  y.,);  H-  ^.(ai,  «»)  C0S2(|U4  —  fx,)^  -f- .  .  .] 
3,  cos2(m  —  a,)/, 

I  H-  «Xi 

'^''       [<î^,(a,,  a,)sin(jy-,  —  w,)/  +  <t>2(«,,  a3)sin2(|a2  —  ,u,)<  +.  .  .  | 
[<I),ia,,  a,)  sin(,u.3  —  u.M  +  Ojla,,  «3)  sin2(fX3  —  ij.y)t  H-.  •  .  | 
[<I>,(rt,,  a,)  sin(y.4  —  y-.)^  +  ^^(a,,  ^4)81112(^7.4  —  a,)^  -<-••■] 
H ^^^ —  y,  sin  2  (  m  —  y.,  )  t, 

et  Taisons  a:',  =  (5,  -h  \,,  )',  =  &,  -i- y,  (nous  verrons  hienlùt  la  raison  de 
ces  substitutions).  Les  équations  de  l'Article  XXXIII  se  changeroni  en 


I  4-  «X. 

X3 

ï  +  ny^ 

I  +  /IX. 
K, 

I  H-  n'/j 

+ 

X3 

I  +  «x, 

ÏJ 

I  +  TIX' 

K, 

150  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

celles-ci,  dans  lesquelles  nous  avons  négligé  les  termes  affectés  de  /^^ 

(G)  ^  +  M-; X,  -f-/,L,  -  n{6(j.]  -  3/,)^^  -  inf^z'i  -  nf]  Y^ 

—  nx-'/i^i    n,(«i,  «j)  H ^-^—  ri(a,,  «2)     cos(fZ2—  f/,  )/ 

L  f^î  ~  /^i  1 

—  «Xj/.^,     n2(«i,  «2)  H ^ — r  fïia.y  Ch)      C0S2(f/2  —  f^-i)^ 

—  nXzf^^i    il, (a,,  «3)  H ^-^—  r,(a,,«3)     cos(ft3—  ^.,)/ 

—  nXifiX,    flala,,  as)  H -, — — r  fî{a^,  a^)     coS2(f/3  —  y-^it 

L  2(^/3      p.,  )  J 

—  nxif>xi  ni(«i, «4)  H ^-^  ri(«i, «4)   cos(f/4  —  y-1  )/ 

L  F-*      i"i  J 

—  nx^fxOCx    fîîO,,  «4)  H -. — — r2(a,,  a,  1     cos^l  ^^4  —  f/.,   / 

I  2(^4       p.,  )  J 

— /iK,/^,    I .        — -  cos2(m—  u.,)n 

— /r/2/,a;2['$'\rt,,  «2)-*- M:^il«i,  «2)  COS(, a,— /y.,  z^+M'^irt,,  «2)0082(^.2— a,  )/-!-...] 

— «X4/i-=«^4[^  «i,«4)+^.(a.,a4'COS(|y.4— |a,U+'$"2(a,,"4)cos2(jU4— ^y., (/-f-...j 

-+-  n  K,/,  H [1  -+  I  cos  2  (  m  —  p.,  )  ^] 

"•-  '^Zs/i  ( Jî  —  Ji  )  [r,  (a,,  aa)  sin (  /;.j— p.,  )  /  -f-  2r2(«i,  «2  )  sin  2  (  /y.2— a,  )/  —  ...] 
-•- '^Xa/i (js  —  ri )  [r, (a„  «3) sin (  JU3— iW.,  ) ^  +  2 fîla,,  «3 )  sin 2 (|U3— //,)  /  — . . . j 
-t-  '^X*/'  (/♦  —7'  )  [fi  («1»  «4)  sin(p.4— //,  )  /-4-  2f  2(ai,  «4  )  sin  2(^/^.4— |U.,:i  /  — ...j 


DES  SATELLITES  DE  JUPITER. 


L51 


-f-  nKi/i  (J  —  j,  )  X  3  sin2(m  —  ju,  )/ 

^,  Ln,(a,,a,)sin(/ji2— f/,)'-<-nj(«i»«j)sin2(/yij— f;i,)/-i-...Jf// 

-I-  2 «xa/  f^ii  /  ^•,  \  n,  («,,«,)  sin {}j.^—im)  t  -+-  nï(a,, «3,1  sin  2 (fx,— |U, j / -t- . . . J  r// 

/'        r  en  «) 

^,  L  n,  (a,, «4) sin (/jii — p.,)  t  -(-  IIî ta,,  a«) sin 2  (/ji»— /a,) /  -f- . . . J  ^/ 

—  2nK,/i/a,  j  x,X.3sin2.{m  —  ij.t}tdt 

-^'^■f^lJ'<F-<  j  ^i[^ i[a^, a*)sin\ [Xi  —  IX,) t -^-W^ia^a^) s\n2{ixi—[ji,) t 

-+-  2  nK,f, ,u.|  /  ^  X  I  sin  2  (  m  —  a,  t  clt 

-h  2 nx^/i .y-i  I  T-^~.r')[f  I (a., «2) cos(|u,  — lU, ) ?+2 F^ (a,, a^)  cos 2 '/y.,.— |tji,) /-f  ...J  (fl 
-{--?. ny if] [J.,  I  (js— Ji)[ri(«.,a3)cos(jy.3— |uO'-<-2r2(«.,«.'>)coS2{/ji3— |u,)/-f-...Jf// 
-h9.nyif\u,  j  (ri— J.Tr,(a,,a4)cos(f/i— f/,)^-f-2f2(«,,«4  C0S2(u4  —  ^u,)^ +  ...]<'// 

—  2nK,/"i.ri  I  (  J  —  7'r  )  X  3  C0S2  (w  —  a,  ]tdt  ^=  o, 


.\dt 
.\dt 
Adt 


il)  -^  -I- 2a,x,  — /,H,  —  3/tjy.x; 


9.ny.,f,x, 

L  F-^  —  P-i 


)  rj(ai,aj) 

-   COSi  u.,  —  ix,)t  -\ -^ C0S2(Uj  — u,)/- 

2(fXj  — fX.) 


^      fr,  a,,  rts)  r2(a,,ûf3, 

4-  •>.  n  yif,x\    00s  [  U.3  —  u.,)t  -\ ; cos 2  (  u,  —  u,  /  -+- . 

L  '^•3  —  F-^  '  "      — 


,.      fr,  a,,a4, 

L  y-i  —  y-i 


cos    Ui  —  u.,  I  ^ 


l{[Xs  —  ix, 
2(f/,  —  a, 


C0S2(/;i4— /:jI,)/-^, 


152  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

3 

—  2nK,/;a;,  X  7- :  C0S2(m—  [XiU 

-f-  n■/■^f^  \x,  [n,(«,,aj)  sinfjUj  — fa,  )/4-nj(a,,a,)sin2(p.2  — f.,  )/H-.-.Jc^' 
-+-  «^3/  /  ^1  [ n, ( a, ,  «3 }  sin  (  p.3  —  a,  '  /  H-  n. ( fti,  «3)  sin  2 (  y.j  —  /7.,  )  /  + . . . j  (// 
-+-  WX4/.  /  ^1  [ n ,  ( a, ,  «i )  sin ( f;.4  —  f/, U  +  II,f  a, ,  «4)  sin 2 (|y.«  —  fj.,  ~^ < ■+- . . .]  f// 

-t-  «K,/,  I  a:,  X  3  sin 2 ( m  —  fJ-i)t  dt 

-+-  71  Xj/  I  ^2  [^1  («o  «.' )  sin ( jy..  —  /7.,) ^  -f-  Tsia,,  a,  j  sin 2(  /y.^  —  p.,) / -4-  ...j  c?/ 
-•-  f^Xif^  j  ^3[^t(«.»«3)sin(p.;5  — /x,)<H-T2(a,,a3  sin2(f;.,  — p.,!/H-...j  f// 
-f-  ny^f,  j  a^ilW  litti,  ai)  s'mijj.i  — )^,)  t  -hWiia,,  Ui)  sino.  {^i  —  fj.^)  t  -¥-...]  dt 

H-wK,/  /  ^  XTsin2(m— v.,)^^^ 

+  ''/(.î/'  /  (j2~J'i)  [ri(a,,«,)  cosî  U2— f.,.)<-i-2r2iai,«2)  cos2(,p.2— p.,.)<H-...]c?f 
-+-  '*X^/'  I  (  J3— 7')  [f  i(«i,  «3)  cos  U3—  fj.,)  /  -h  2r2(a,,  «3»  C0S2  (  u,—  fx,)  /+...]  r// 
+  '^'/a/Î  I  ^  J«~Ti'  [Til^i,  a^)  cos(p.4— fJ-i)^-f- 2 Fs; «,,«<)  cos2.  ^a^—u., )/-]-,..]  f// 

—  il  k,/,  /  (  J  —  ri  )  X  3  cos  2  (  m  —  f^i  )  /  =  o, 


nyif^z,    f, (a„  a/^  h ^— —  r,(«,,  a.)     cos  im  —  y-.)^ 

L  p-2  — p.,  J 

rt/j/z,    r,(a,,a2)  H — — -  r2(a,,«2)     2Cos(/;-,  —  u.,)t.  . . 

L  ^  ^  f-2  I''-'  )  J 


DES  SATELLITES  DE  JUPITER.  153 

/i/i/.2.     r,   «,,  «OH ^^^—  f,  («,,«3)      COSffx,  —  fy.,)^ 

"1  ^3—/^..  J 

ny,f,zA  f;fa,,  «,)  h ■ — ^ ^^(rti,  fls)     cosaC/M,— /^.  )^-  •  • 

I  2(^3  —  ^,)  J 

n/,f\zA  r,(a,,a,  ;  h '-^ —  r,(a,,  «4)     oos(/y.4  —  ft,)/ 

L  /^-.  —  f^.,  J 

ny^fxZA  fi(a„a,)  -\ ■ — '-^ TAa,,  a,)     cosafu,  —  [J.,)t. .  . 

L  2(a4  — fx.)  J 


/î  K ,/, 


7.  (ni 


cos2(m  —  [j.t)t 


—  /iXî/i  ^2  [r(ai,  ch)-\-  f,  (a,,  «2)  cos(  uj— f/.|  j  /  +  f  .(a,,  «2)  cos?.  (fx,— p.,)  ^..] 

—  «Xî/ *3  L r («1, «3) -h  f ,  i«,, «3)  cos  ( Uj— /7., )  ;-j- r,(a,,  «3)  cos  2(/y.3— p.|)  /...J 

—  nxifiZi  Lr(ai,«4)H-tii«i»«4)cosi/y.4— f^.i)^+r2(«i,«4)  cos 2(11/4— ;/,)/...]  =0. 

LXXVIL 

Si  l'on  rejette  dans  les  équations  (G)  et  (H)  tous  les  termes  affectés 
(le  /i,  coniine  ;iussi  tous  les  termes  constants  qui  doivent  être  nuls  par 
les  conditions  de  l'Article  XXXII,  on  a 


^^-  +  M;x,  =  o,      ---+2a,x.  =  o. 


D'où  l'on  lire 


2  U  I 

X|  =  £,  cos(M,/  +  0),;,     }!  = Tj-  £1  sin(M,/  -+-  w,), 

ce  qui  donne  pour  .r,  cl  v,  les  mêmes  valeurs  que  nous  avons  déjà  trou- 
vées (Article  LXXVj. 

•     La  quantité —s,  sin(M,/H-  '>),)  n'est  que  le  premier' lei  nie  de  l'é- 

VL  20 


Voï  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

quation  du  centre  calculée  dans  une  ellipse  mobile  (Article  XXXVIII); 
si  l'on  voulait  avoir  le  terme  suivant,  c'est-à-dire  celui  qui  contient  le 
carré  de  l'excentricité,  il  n'y  aurait  qu'à  mettre  au  lieu  de  oo^  dans  les 
termes  —  w(6p.,  —  3/,  j^c^  et  —  3na,^?  des  équations  (G),  (H),  la 
valeur  de  x,  qu'on  vient  de  trouver. 

On  aurait  donc,  en  négligeant  toujours  les  termes  constants, 

î^  +  M;x, -/i;Gaî-3/.)  ^cos2(M,^  +  o),)  =  o, 
d\  c* 

-~   -+-  2a,X,  —  3 /M/,  —  CCS 2 (M,  /  -f-  «,)  =  o. 

dt  '2 

La  première  de  ces  équations  donne  (Article  XXXIV) 

e]  ces 2 (M,  t  -h  (,h) 


Xi  =  £,  cos(M,  t  -+-  w,)  —  n{Gu.]  —  3/, 


3M 


c'est-à-dire,  en  mettant  au  lieu  de/,  et  de  M^  leurs  valeurs  appro- 
chées a"^  (Article  XLVj, 

X,  =  e,  ces  (M,  /-+-&),)  —  «—  cos2(  M,  t  h-  o),). 

2 

Donc,  substituant  cette  valeur  de  x,  dans  la  seconde,  et  l'intégrant 
ensuite,  on  aura 

y,  =  —  i^  £,  siii(M,/  +  «,)  +  '^j^  £|sin2(M,  /  -f-  oj,). 

Ce  qui  s'accorde  avec  ce  que  l'on  sait  d'ailleurs;  mais  nous  verrons  plus 
bas  qu'il  y  a  dans  l'équation  (G)  d'autres  termes  qui  influent  considéra- 
blement sur  l'équation  du  centre,  et  qui  empêchent  qu'on  ne  puisse  re- 
garder l'expression  précédente  comme  assez  exacte,  même  dans  le  cas 
où  l'on  néglige  les  quantités  de  l'ordre  n. 

Il  en  faut  dire  autant  de  l'expression  de  la  latitude  que  nous  avons 
déjà  trouvée  (Article  XL);  mais  avant  que  d'entrer  dans  cette  discus- 
sion, il  est  bon  de  voir  ce  que  donnent  les  nouvelles  valeurs  de  M  et  de  N 
(Article  précédent)  pour  le  mouvement  des  apsides  et  des  nœuds. 


DES  SATELLITES   DE  JUPITER.  155 

§  J.  —  Prcinicrcs  valeurs  du  luow^cruciit  des  apsides  et  des  nœuds 

des  salellUes. 

Lxxvin. 

Nous  avons  li-ouvé  (Article  LXXVI) 

M|  =  3f;.;  —  2/;  —  /t/,  [/.nift,,  a^)  H-  X3n(«,,  «,,)  +  /«îlfrt,,  rt.)  -1-  ;  K,  -1-  }y.,  j  ; 
or,  on  a  généralement  (Article  XXIX) 

fi' 
/ 


(1  ou 


/=T-^=/^-'('  +  «^)' 


et  par  conséquent 

donc,  négligeant  les  termes  affectés  de  n,  on  aura 

M;  =  p.^  [i  —  2/ig-,  — «-/oïl  («,,«,)  — n;)(;3n(rt,,rt,)  — «Xi  II  (a,,  a^)  —  }K,  —  |«y.,j. 
Maintenant  on  a  par  ré(iuati()n  L,  =  ^,  —  . . .  de  l'Article  LXXVI 

g-,  =  L,  H-  2f.,  H,  H [z=f  («.,  «2 )  -i-  Xarya.,  a,)  -F -/■,  if  (rt,,  rt,   -f-  !; K,—  ix,  j  ; 

I  -|-  IV f\ 

donc 

M  ;  =  f/ ^  [  I  —  « •/,  [n  (a, ,  a,)H- 2  r  («, ,  rt,)]  —  n •/,,  [_ Il  (a, ,  «^ H-  2  Ti  «, ,  (h)\ 

—  «Xi[n(«,,a4)+2r(fl,,«4)J  —  |nK,— |w/.,  -  2nL,  — 4"yi  '^  J» 

les  quantités  L,,  H,  devant  être  déterminées  par  la  condilioii  (\\\v  les 
équations  (G),  (H)  ne  renferment  aucun  terme  constant. 


156  RECIIEUCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Pour  remplir  ces  deux  conditions,  on  supposera  que  {x^)  soit  la  quan- 
tité constante  qui  entre  dans  la  valeur  de  ^^;  car  la  valeur  de  Xt  étant 
composée  de  sinus  et  de  cosinus,  il  est  évident  que  le  carré  x-^  contien- 
dra nécessairement  des  termes  constants,  quoique  x,  n'en  contienne 
point;  de  même,  soient  (^j),  (Yj)  les  quantités  constantes  qui  entreront 
dans  les  valeurs  de  z^^,  Y^;  on  aura  donc 

fX  -  n{6iJ.]  -  3f,)  {X])  -  ^nf,{z\)  -  nf\{Y\)  =  o,     -/.  H,  -  3/tp,(^-?  )  =  o; 

d'où  l'on  tirera  L,  et  H,,  qui  seront  de  l'ordre  de  /i;  c'est  pourquoi  on 
peut  négliger  dans  la  valeur  de  Mj  les  quantités  2/«L,  et  /^/^p.|H,,  (jui 
seraient  de  l'ordre  n~. 

LXXIX. 

Donc,  si  l'on  fait,  pour  abréger, 

g,  =r'/^j[n(rt,,«,)  -+-  2f  (a,,tt,)]  -^'/ji^ia^a^)  -+-  2f(a,,a,)] 
-4-X4[n(«.,«4)  4-2r(av,  «4)]  +  |K,  +  |x,, 

et  de  même  (Article  IX) 

S^  =  X^['^{a2,a,)  -h  2r(«2,  «,)]  -+-  X3[n(«.,  «3)  -I-  "if  [a-,,  a,}\ 
-+-'/.i[li{a-2,  «4)  -h  2r(«2,  a,}]  +  fK, -f-  fjcj, 

g,  =  Xi  [n  ( «3,  «1  ■)  -1-  2  f  ( «3,  «.  )  ]  -4-  Xî  [ n  (  «3,  ih )  4-  2  r (  «3,  ci, ) J 
-!-x4[n(a5,  «i)-t-  2r(«3,  «4)]  4-|K3  +  fjtî, 

§4  =  Xi[n(a4,  «.)  H-  2r(a4,«.)]  +  X''[U(a.i,  a,)  -4-  21(^4,  «2)] 
-^X3[ff(«i,  «3) +  2r(a4,rt,)]  -f  ^-K4-t-|K4, 


DES  SATELLITES  DE  JUPITER.  157 

un  aura 

Mî=//î(i-nê,),     M,  =  p.,(i-inê,), 

M^  =  [xl{i  —  ne,),     Mj  =  |v.î(i  —  |n6,j; 

(i  ainsi  des  autres. 

Or  le  mouvement  de  la  ligne  des  apsides  étant  au  mouvement  moyt'ii 
comme  fx  — M  à  /x  (Article  XXXVII),  cette  ligne  avancera  pendant  une 

révolution  de  — 36o",  d'où  l'on  connaîtra  le  mouvement  des  apsides 

de  tous  les  satellites. 

^  LXXX. 

Pour  évaluer  en  nombres  les  quantités  ê,  il  faut  commencer  par  cher- 
cher les  valeurs  des  quantités  U(a,,  ao),...,  lesquelles  dépendent  des 
quantités  A(«,,  ao),...,  c'est-à-dire  des  coefficients  de  la  série  qui  repré- 

_  5 

sente  la  quantité  radicale  (i—  2qQ  -hq^}    '^  (Articles  XX  et  suivants). 
Soit  donc,  comme  dans  cet  Article, 

(i  —  7.qcos9  -h  q')~^  =  iA)  -+-  (B)cos9  +  {C)coS'i9  -h.  .  ., 

on  aura,  en  faisant  ^  =  —  et  5  =  ^2  — 9»» 

(I2 

[rtj  — 2a, «2  008(92— 9.,)+«']  '=«7''[(A)-4-(B)cos(cp2— 9ij+>C)  cos2;92— 9,)+...  |: 
donc  (Article  XXI) 

A(a„a,)  =  a7''(A),     A,(a„  a,)  ==  «j-^lB), 

De  même,  en  faisant  7=  -^,   =—,...,  on  aura 

A(a,,a3)  =  «7'(A),     A,(rt„  «3)  =  a7^(B), .  . ., 

et  ainsi  de. suite;  où  l'on  remarquera  que  les  quantités  réciproques 
\{a2,a,),  A(a3,  <2,), . . .  sont  les  mêmes  (jue  les  (juantitês  A(a^,  cf.,), 
A  (a, ,  «3  ) , .  ■  •  (  Article  XLIII  ) . 


158  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

Cela  posé,  on  trouvera  (Article  XXII),  q  étant  égal  à  — 


n.«„«,)=?M:=2â!<ll±21(A.). 

2a; 

II2 1  «I ,  «2  j  —  ;; ? 


2a, 


et  de  là,  en  faisant,  pour  abréger. 


p'_^(C)-2^MB)  +  2g(A) 
1 

g(D)-^'(C)  +  ^(B) 

r'o  —  — ■ ■ , 

2 

• > 

on  aura  par  l'Article  XXIV 

n(a,,  «2)  ==  3 ^ «3^, 

2 

n,(a,,a2)=3-î ^ ^ q^\S, 

2 

ît  /  ^        „^^P3-2ç3P,-t-^^P, 

2 

On  trouvera  des  expressions  semblables  pour  les  fonctions  II  de  {a^ ,  «g) , 
(«2»  «3),  •  •  • ,  en  faisant  q  ^=  —•,  =  —,  — 


DES  SATELLITES  DE  JUPITEU.  159 

De  l;i  inc-me  m;ini('r('  on  Irouvcra  (iiie  l'on  a,  n  riant  cncnic  (''î?al  à  —, 

a, 

•2.a\ 


d'où,  en  taisant 


2 

_7(C)-9.(B)  +  2</(A' 

VI  —  

0,  =  <?(»)-2(Cj  +  ^(B)^ 


on  tire 


II(rtj,  «,)  =  3  ^ 


9. 

^f 

vo. 

-?.Q,-+- 

2qQ 

2 

qQ. 

-20,4- 

VQ. 

n,(«„«,^  =  3^-^^^ — -^-  ■  "^^'-c, 


expressions  (jui  serviront  aussi  pour  les  quantités  fTf«3,rt,),  n(«3,f/a;,  .. 

,.  •        .                  •               .             Ui               a, 
en  taisant  suceessivement  <7  —      ,  a  — —, 


LXXXL 

Ayant  (loiie  t'ait  le  calcul  de  ces  dillerentes  (|iianlites,  j'ai  tiouve  les 
valeurs  suivantes  : 


160 


RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 


7=^ 

7  =  ^ 

7  =  ^ 
«4 

7  =  '-^ 
^'5 

"2 

"3 

(A) 
(B) 
(C) 

14,494 

2,654 

1,366 

i3,856 

2,198 

8,288 

27,331 

4,095 

1,399 

26,083 

3,179 

i5,i44 

23,754 

2,544 

o.55o 

22,646 

i,85o 

12,400 

(D) 

19,323 

I ,  i5i 

o,5i5 

17,547 

i,i85 

9,402 

P 

2,856 

0,395 

0,099 

2,734 

0,287 

1,627 

P, 

5,767 

0,912 

0,298 

5,539 

0,709 

3,342 

P. 

5,268 

0,639 

0,186 

4,783 

0,541 

2,972 



Q 

-  5,887 

-  1,847 

-   1,199 

—  5,692 

—   1,633 

-  3,985 

Q, 

-10,717 

-  2,547 

—   i,o3i 

— 10,335 

—  2,068 

—  (3,909 

Q. 

—  9>o59 

—   i.5io 

-  0.336 

-  8,993 

—  1.075 

! 
—    5,423 

(«,,   «J 

(a„a,) 

(«,,  «4) 

(«3,   «3) 

(«.,«4) 

K'  «4) 

II 

0,534 

o.o5o 

0,008 

o,5i4 

o,o36 

0,389 

(a^,  «,) 

(«3,  «,) 

{"v  «,) 

(«3,  n,) 

(^'4'  rt,) 

(«4,  «3) 

fï 

4 ,  5o4 

2,579 

2,  128 

4,401 

2,454 

3,837 

DES  SATEIJJTKS   DE   JUPITEH.  Kil 


LXXXU, 


A  l'égard  des  valeurs  de  r(«,,  «^y,  • . . ,   nous  livs  avons  doiiiices  ci- 
dessus  (Article  XLVIl),  aussi  bien  que  relies  de  /^K,,  wKo,...  ( \y- 

ticle  XLlXj;  cl  pour  ce  (|ui  csl  des  (|uantilés  /r/  =  y—  (Article  XXIX  j 

on  aura,  en  faisant  A,  denii-dianièlre  de,  Jupiter,  égal  à  i,  el  nietl:inl 
\)i)uv  a,,a.^,...  leurs  valeurs  (Article  XLVI),  on  aura,  dis-je, 

nxi  =  <),o3i  lov,     /ix..  =  o,oi?.34 V,     ny.i  =  o,oo^S^v,     ///,  ^^  (j,o()i5fiv, 

la  (|iiantité  v  dépendant  de  la  figure  et  de  la  constilulion  inicrieure  d»- 
Jupiler,  comme  on  l'a  vu  (Article  XYI). 

LXXXIII. 

Toutes  ces  substitutions  faites,  on  aura,  après  avoir  lemis  au  lieu  de 
/</, ,  ny., , . . . ,  les  (juantités  ^5   IF''"  "^ 

«êi  =  0,982-^  H-  o,i24-7rr-  +  0,022 -H?r-  -f- o,oi244o  v -+-  o,oooooo3, 

/^ê2  =  1,562  ^=j!-  -f-  0,940—^  +  0,090-^  ^-o,oo4936v-f- 0,0000010, 

f^  C^  f^ 

«ê,  z=  0,807  -^  -I-  1,467  -Tjfî-  H-  0,678-;=;:^  +0,001986^-1-  o,ooooo4n, 
Lj  i^  Li  ^ 

;iêi  =  o,o5o  ^5;j^  -I- 0,260-;^  -4- '1,1 89  ^^  +0,000624^-1-0,0000222. 


LXXXIV. 

Passons  maintenant  aux  formules  qui  donnent  le   mouvement  des 
iiaMids,et  nous  trouvons  d'alîord  pour  le  premier  satellite ''Article  f.XXA' 

N';  =  it:\  -\-  nf,  r/.f  «,,  a,i  +  y^ta,,  a^^-^y^fia,,  a,)  +  |  K,  +  f  y.,J  4-  2// y.,/;  H,  ; 

c  est-à-dire,  en  mettant  a.7  au  lieu  de/,,  et  négligeant  le  terme  y.ny.,/]  H, 
VI.  21 


162  RECHERCHES  SUR   LES  INEGALITES 

qui  est  du  second  ordre,  à  cause  que  H,  est  déjà  de  l'ordre  de  n  (Ar- 
ticle LXXVHI), 

NJ=:/7.;  (n-  nxj: {tty,  a,) -\-  /ixsf  («,,«3)  +  nx,Y{a,,a,)  -i-|/iK,  -t-  \nv.,\  ; 

donc  si  l'on  t'ait,  pour  ahréger, 

CT,  =  7,,r(a,,  «2)  +  X3r(«i,«3)  +x*r(rti,  a^)  -+-  |K,  -h  Ix,, 

de  même 

m,  =  X, r(rt2,^a,)  +  XaTfaî,  «3)  +  X''^{a„  «4 )  +  f  K2  -+■  |)t-., 

GT3  =  Xi  r  (  rt„  «,  )  +  Xî  r  (  «3,  flîj  )  4-  X4  r  (  «3,  «4  )  -+-  f  k,  -f-  f  xs, 

X  C/J  U5 

ftJi  =X'r('^4,«.)  -\-yjT{a,,  «2)  +  X3r(rt4,<'3)  +TK4  -I-  f)t,. 
On  aura  poui'  tous  les  quatre  satellites 

N'  =  fjij(i  -f-  «GTi),     N,  =  ,u,(  I  +  -nusi), 

N^  =  fjlj(l  +  /iCJî),       N,  =:  p.2(I  +  |/IGT2), 


Pour  tirer  de  là  le  mouvement  des  nœuds,  on  remarquera  que 
{l±  —  N)  t  —  -rj  exprime,  en  général,  la  longitude  moyenne  du  nœud 
ascendant  (Article  XLI);  d'où  il  suit  que  le  mouvement  de  la  ligne  des 
nœuds  sera  au  mouvement  moyen  comme  |ut. — N  à  p.,  c'est-à-dire,  comme 

à  r;  par  conséquent  les  nœuds  reculeront  à  chacjne  révolution 

de  i/iw  X  360*^. 

LXXXV. 


Or,  on  trouve  par  l'Article  XXXII,  en  faisant  successivement  q  —  —■> 
«, 

g  =  -,.0 
^         rf3 

r(«,,  «2)  =  ^^'V  +  r(a,,  aji, 
r(ai,  a-i)  =  q^fi  -+-  r(a,,  a,), 


DES  SATELLITES   DE  JUPITEIt. 


103 


ensuite, 


Y{a„  a,]  =  \-\-  f  («2,  «,  ), 
r(aj,  a,)  =  A  -4-  V(ai,a,!, 


«•««  (jui  donne  f  Article  XLVIIj 


(«1,  a,) 

(«.,  «3) 

(«1,  «i) 

(«:-,   rts) 

(  «•.,  «4  ) 

(  «3,    «« 

T 

0,981 

0 , 1 2(i 

0,018 

0.942 

0,087 

O.57O 

f 

(«2,    «1) 

(aj,  «,) 

(a^,  a,) 

(«3,  «2) 

(a,,  «2) 

(«4,     «3) 

1,558 

0,320 

o,o83 

i,5o6 

0,245 

I  ,oi3 

LXXXVI. 

(El  ©2 

Donc,  faisant  ces  substilulioiis,  et  reniettant  -^5  -^'••-  ;>u  lieu  de 


T      TP 


''/<'  'V-i'  •  •  •  '  *^'^  ynra 


C-  ©•  d' 

ncî,  =  0,981  -^  +  0,126  -^  H-  0,018  w^  -+-  0,0 1 8660 V  -I-  o,oooooo3, 


Ti: 


T 


@  (S  (E 

nm2  =  1,558  -^  -f-  0,942  -—  -+-  0,087  -^  -4-  0,0074^4 '-^  -1-  0,0000010, 

WGÎ3  =;  0,320  -^  -4-  i,5o6  -^^^  -\-  0,576  ^  -f-  0,002904V  +  0,0000040, 


^-    @,  ,^    (E2  o    ®3  o,- 

«GTi  =  o,o83  -^   -t-  0,245  -^  -\-  \,o\ô  -^  -¥-  o,ooo93(»v  -f-  0,0000222. 


Hi'i  RECHERCHES  SUR    LES   INEGALITES 

^  W.  —  Oà  l'on  montre  la  nécessite  d'avoir  égard,  dans  les 
ealculs  de  l'équation  du  centre  et  de  la  latitude,  ii  quel(iues 
termes  de  l'ordre  n  des  équatioîis  (H)  et  (K). 

LXXXVII. 

Nous  avons  trouvé  (Article  LXXVII) 

X,  =  £,  cos(M,  ^  +  w,  ),     y,  = ;r^- £,  siii' M,  ^ -+- ^)i  ); 

(111  trouvera  de  même 

X2  =  £2  ces (  Ma  <  H-  wj )»     y2  = M    ^'  ^^'^  (  M2  /  +  w-i  )  ; 

et  ainsi  des  autres.  Cela  posé,  si  l'on  reprend  l'équation  (G)  de  l'Ar- 
ticle LXXVl,  et  qu'on  substitue  dans  le  terme 

«X2/i^2^i(«i,  a-i)  cos(|U.2  —  iM)t, 

au  lieu  de  x^  sa  valeur  Xi+S^,  on  verra  que  la  quantité  XaCosfiLr.a— a,j  ^ 
renfermera  un  terme  de  celte  forme 

cos[( Mj  —  y-^H-  'M  ;  t  -f-  r,)^'\  =  ces     (  y-,  ■ ^  IJ.2  \  /  -+-  0)  J  i  *  )  ; 

lc(iuel  étant  intégré  deviendra 

n^2    \  .  I 

COS       I  U.^ ^2  1    /  -f-  0)j 


/i  §2  ^    \  ^        /  /î  êi 

ainsi  le  terme 


IX,-—  IX,]     -    ^  p.,  _   — -  p., 


^X^y»  ^i(«n  a2)^..cos(a2  —  iJ.,)t 

(*  )  Les  formules  (jui  suivont  sont,  dans  le  texte  primitif,  entachées  d'erreurs  provenant  de  ce 

(pie  l'Auteur  a  employé,  par  inadvertance,  la  formule  M  =  ;jt ■>  au  lieu  de  M  =  p.  (  1  — —  1 

(Article  LXXIX)  ;  nous  avons  cru  devoir  faire  subir  aux  formules  la  rectification  nécessaire. 

(Note  (le  r Éditeur.) 


DES  SATEI.LITKS   \)E  JUIMTKK.  Kio 

(l(;  rcqiuilioii  diUV'rcnlielle  ddiincr;»  dans  la  valeur  dc.r,  le  terme  suivanl 


"X^/' "î^' («..<<>)  COS      U, -IM]   t-hCh 


r/         ne. 


y- — -y- 


/i6,    y 

u, a, 


cos 


(^•'~^"^)''^"'J' 


le(juel  appartient,  comme  on  voit,  à  la  première  valeiii- de  x,.  Pareille 
ment  le  terme 


donnera  dans  la  valeur  de  x,  le  terme 


i3  X3/.M^.(a.,  «3; 

2    iy.,(ê,  ^u,  — 63^/3^ 


COS 


(^/^■<-  "V'^v  '"^""^J' 


et  il  en  sera  de  même  de  (|uelques  autres  termes  de  l'équation  (Gj  dont 
nous  parlerons  plus  bas. 

On  trouvera  de  la  même  manière  dans  la  valeur  de  Xo  les  termes 

-  Më ^ ^  cos        ,v.2 a,  W  -t-  0),     , 


£3  Xa/a^.lfla,  ^3) 
2    aa(ê-,a.,— .êjU-a) 


COS 


(fx,-  ^«3J   /  +  0).,J 


lesquels  étant  de  nouveau  substitués  dans  le  terme 

nXifi  ^t{ai,ai)  Xn  cos  (  «2  —  u,  )  / 

de  l'équation  (  Gj,  en  donneront  deux  autres  de  cette  l'orme 

1        ^ifr,  .  t,  x^f-,^i{a2,  ai)         1/  «o,     \,  ,        I 

ï«Xî/.^'  «'.«'   r  ^"^^g — ^-g —  cos     (u, —y.,    /  +  ^).    , 

2    a^ibjU,  —  S,y.|)  LV  2         /  J 

/.  irr  £3  y3/i^i(a2,  «3  1  /  «Sj      \  ,  | 


166  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

le  premier  do  ros  deux  ternies  produira     à  cause  de  [j.  ii ^  j  =M 

dans  la  valeur  de  x,  un  terme  qui  sera  multiplié  par  l'angle  t  (Article 
XXXIV);  ce  qui  donnera  des  arcs  de  cercle  dans  le  rayon  vecteur  de 
l'orbite;  le  second  y  produira  le  terme 

2  f/,(b3y.3— g,a,)  2    a2(b2//2— êsf^-s)  [  \  2         /  J 

qui  est  de  la  même  forme  que  celui  que  nous  avons  déjà  trouvé. 

Ces  termes  en  reproduiront  d'autres  dans  la  valeur  de  Xa,  de  la  même 
forme  que  ceux  que  nous  venons  d'examiner,  d'où  il  renaîtra  encore 
dans  la  valeur  de  x  d'autres  termes  de  même  espèce  que  les  précédents, 
et  ainsi  de  suite  à  l'infini. 

LXXXVIIL 

De  la  je  tire  ces  deux  conséquences  fort  importantes  :  i''  que  les 
termes  dont  il  s'agit,  quoique  de  l'ordre  n  dans  l'équation  différentielle, 
appartiennent  cependant  à  la  première  approximation  et  ne  doivent 
point  être  négligés  dans  les  premières  valeurs  de  oc,  y;  2*^  que  la  mé- 
thode ordinaire  d'approximation,  suivant  laquelle  on  emploie  à  chaque 
nouvelle  correction  les  valeurs  trouvées  dans  la  correction  précédente, 
est  absolument  insuffisante  pour  calculer  ces  sortes  de  termes. 

On  appliquera  le  même  raisonnement  à  l'équation  (K)  et  l'on  en  tirei-a 
des  conclusions  analogues  par  rapport  à  la  valeur  de  :;. 

LXXXIX. 

Il  est  donc  nécessaire  d'avoir  une  méthode  particulière  pour  intégrer 
les  équations  (G),  fKj;  on  verra  dans  le  paragraphe  suivant  comment  je 
m'y  suis  pris  pour  arriver  à  ce  Iml;  mais  il  faut  commencer  ici  par  voir 
quels  sont  les  termes  de  ces  équations,  auxquels  on  doit  avoir  égard. 

Pour  peu  (|u'on  examine  l'équation  (G),  on  reconnaîtra  aisément  (jue 


DES  SATELLITES  DE  JUPITEK.  1(17 

les  termes  dont  il  s';igi(  viennent  uniquement  des  termes  (jui  renl'eriiieiil 

X:,COS{lX,—  U,)  t,        ^jC0S(jtZ3  — /Jl,)  /,        X  i  cou  { {J.t  —  fJ.,)  t, 

}'■,  sin  (  jUi  —  jU,  )  t,     j;,  sin  ( //,  —  //,  )  t,     y\  sin (  [j.^  —  //,  )  t, 
j  Xi  sin  (  ju,  —  fXi)  t  dt,       I  Xj,  sin  (/y.3  —  y.,)  l  dt,       j  Xi  sin  (  p.^  —  [j.,j  t  dt, 
j  Ki  ^OS (  /7.,  —  y.,  )  ^  dt,        j  >-3  COS ( f/.3  —  (J.,)  t  dt,        j  }':  COS (  y.,  —  a,  1  /  (/t, 

en  (ani  (|u'()n  y  substitue  Xj,  Xj,  x^;  y2»  ya»  y^»  à  la  place  de  X2,  x^,  x\; 
y-2^ .y -i^ }"*'■•  *'<'  ^oi'to  qn'on  pourra  réduire  cette  éqnation  à  ((dle-ci 


L) 


d'\, 
dtr- 


Mîx, 


—  ^f'  X2 ^'  (  ^"  «2 )  X2  COS  (  f/.,  —  y. ,  ) 

—   «/iX3^l(«I.«3)X3COS(fZ3  —   f/.,) 

—  '(/"'  X*  "î".  i  «1 ,  «4  )  X4  COS (  ju,  —  1^,  ) 
-+-  nfrii  r,(a.,  a,)y2sin(fz,  —  /x,) 
-<-  n/x3  r,(a,,  a3)y3sin(y3—  f^-*) 
-•-  «/'  X<  r, ( a,,  tti)  y.i  sin ( /^i4  —  u-i ) 

+  2n/,  jUiXî'ï^ilai,  «2)  /x2Sin(|u.,  —  y.,)  tdt 
+  2n/,  ,u,X3^.(«.,  «3)  /x3Sin(iU,  —  f/,)ff// 
-(-  ?.n/,  y,Xi^F,(a,,  «4)  /  X4  sin(|W4  —  fx.)  /^// 
-I-  2  «/  u,  5(;2  f ,  («,,  «2  )  /  y,  COS  (  ju,  —  jU,  )  /  (// 
H-  2w/;y,  x.3fi(«i,a3)  /  v,cos(fx,  —  f/,)/<:// 
-<-  2n/,y,x4r.(a,,  a*)  I  y>cos{iJ.,  — u,)  t  dt  =  o. 


168  KECHERCHES  SUR   LES  INEGALITES 

A  l'égard  de  l'équation  (K),  on  trouvera  qu'elle  se  réduit  de  même  à 
celle-ci 

(N)  ^-^^"^' 

—  nfx  -/2  f  jffli,  aji  2,  ces;  p.,  —  u,  )  / 

—  n/i  X3  f ,  (  «, ,  as  )  Z3  CCS  (  «3  —  lJ-i)t 

—  «/;  •/',  r,  ( a,,  «4 )  z,  cos(  f/.i  —  p.,  )  ^  =  o. 


xc. 


Comme  noire  dessein  n'est  pas  d'avoir  égard  dans  les  valeurs  de  x,  y 
et  z  aux  termes  de  l'ordre  n,  mais  seulement  à  ceux  qui  ont  des  coeffi- 
cients finis,  nous  pourrons  négliger  dans  les  équations  (L)  et  (N)  tous 
les  termes  qui  se  trouveront  affectés  de  n^,  parce  que  ces  termes  seront 
encore  de  l'ordre  n  après  l'intégration. 

Or  les  équations  (G), et  (H;  donnent,  en  rejetant  les  termes  affectés 
de  n, 


dP 

-+- 

M]  x,  =  o, 

f/y, 

—, V-  Il 

dt 

d'où  l'on  tire 

r/y,        2u., 
dt         m: 

d-\, 

dt^    -"" 

et,  intégrant. 

2U, 

dt   =°' 

il  ne  faut  point  ici  de  constante,  ce  qui  est  évident  par  la  nature  de  nos 
formules;  on  trouvera  de  même 

2^.2   C/Xj  T.IJ.i    </X3  2fJ.i    f/Xj   

^'~MÎ~dT-'''    '^"¥1"^-°'    ^''^"mT^"''' 


DES  SATELLITES  DE  JUPITEU.  Hi<> 

donc,  sul)s(ilu;ml  ces  valciiis  de  v\,,  y^,  \\  dans  l'équation  (L)  de  l'Ar- 
liclc  picccdrnl,  on  clianii^era  les  Icinics 

nf,  -/j  TA  a,,  «,  ]y.,sini  [Xi  —  ij.,  )  l 
-^  nj\  X,  r, (  a,,  «3)  y,  sin (;;.,  —  p.,  j  / 
H-  nf,  74  r,  ( «,,  «4 )  ^4  sin (  [j.,  —  !J.,)t 


en  (M'ux-c) 


et  les  termes 


en  ((îux-ci 


'  ".A  X-^  ^  r,  (  «,,  a,)  -^  sin  (p.j  —  //,  )  / 


^' '^'^  '^'  1^'  ^' ^""  ""^  "^  ^^"  '  ^"  ~  ^^  )  ' 


-<-  '-'*,/'  '/'.  ;^  r,  (  rt,,  «4  )  -^  sin  (|y.4  —  /7.,  )  /, 


2  n/  p.,  72  r,  (  a, ,  rt,  )  /  y,  COS  (  f/,  —  y.,  )  /  r// 
-t-  ^-  '^/  P>  X3  r,  («,,  «3)  /  ya  ces  (/y-s  —  f-,  )  <  rf/ 
+  2/i/,  u,  74  r,  (a,,  «4)  /  y4  cos(p.4  —  p.,^  /r/^ 

/y  «2  „  ■  /*(/x.  , 

4/î./,,a,7-  ^  r,  («,,  «2;  I  -y-  cos(  u,  —  /7.,  )<r// 

H-  i  nf,  u,  73  ^  f ,  (  a, ,  as  )  /  —.-  ces  (  /y.;,  —  y.,  )  /  r// 

-¥-  L\nf,u.r/:,  ~  r,;^,,  a^)  j  -y-  cos(ju.,  —  u,   l<f(. 


M 


170  KECHERCHES  SUR    LES  INÉGALITÉS 

([ue  l'on  pont  (Micore  changer  en  ceux-ci 

4  nf\  a ,  y 2  ^  T,  (  a, ,  a,  )  X2  cos  (  fz,  —  y.,)f 
-^  4  '?/  y-,  x,T  ^  r,  (  «, ,  rt, ) X3  cos (  (j-i  —  u,  I  / 

-+-  4  nf,  a,  Xi  ^  f ,  (  «,,  «.,  )X4  COS(  p.,  —  a,  y  / 


dt 


dt 


-\-  nnf,  a,  /,  ■ —  r,  (  a,,  a-i  )  j  x^  sin  ^  a,  —  a,  1  / 

+  4 nf,  a, X3  ''^^^^y-—  r,  (  a„  a^  \  j  X3  sin (  a,  —  a,  )  / 

,      ..  aAiXi  —  a,  )  ç;  ,  C        •  # 

-I-  4  nf,  u.,  yj  ■ —  ' —  r,  (  rt, ,  «4  )  I   Xi  sin  (  /y.4  —  ,u,  )  /  dt. 

Par  ce  moyen,  l'équation  fL)  ne  contiendra  plus  que  des  termes  de  la 
forme  de 

x,cos(/ji2  —  iJ-\)t,     -^  sm(/jt2  —  |U,)<     et       /  x^SMUfx,  —  y.,  )tat. 
Je  reprends  maintenant  l'équation 

^-i-M,x,  =  o, 

la(|UL'lle,  étant  rapportée  au  second  satellite,  devient 

^+M2^X2==o; 

je  multiplie  cette  dernière  par  sinf[j,2  —  [J-t  )tdt\  je  l'intègre,  j'ai 

rd'^x,  r 

\  —rpr-  sin (  ij.2  —  a,  ]tdt  -ItM]  j  x^  sin  ( «j  —  u,  )tdt  t=  o; 

je  change  l'expression 

1  -^  sm  uj  —  u,)tdt 


DES  SAIKLLITKS   DE  JUIMTEH.  171 

en  son  équivalente 

~  sin  I  IJ.J  —  fx,  t  —  {jj.,—  u,  )X2  cosi  f;i2  —  f/.,  )  /  —  (  p.,  —  [j.x )'  /  X2  sin  (  fj.^  —  iJ.i)t  dt, 
el  il  me  vient  re(|ii;iti<)i) 

^Sin(|U2— /:x,)/— (/y.2— )y.,)x,COS  u.,— (y.,)^-KLMj'— (/uiv— f^..)']  /  \,S\i\[u.,  —  iJ.iitdt=o; 
(foii  je  lire 


[[x-2  —  u.,)X2C0S(|y.j  —  iM,)t j-  smiu,  —  f^.i)/ 

J  ''.^">(f'.-f<.)"/'= M;-(f,.-^- 

Je  trouve,  de  ht  même  manière. 


/  X3sin(f/3  —  fj.,  tdt 


f/x,    . 

,|U3  —  (y.,)X3COS(p.3  —  [J-i)t -7-  smi  Us—  [x,}t 


M'3—   (,^3—   y-O' 


(  y.4  —  fA,  )X4  COS (  f;.4  —  a,  )  /  —  -^  sm (  /y.^  —  iJ.>)t 

j  "•'*"'  f^'-  f>""=  ^ M;-(^..-f,,)- 

On  fera  toutes  ces  substitutions  dans  l'équation  f  L),  moyennant  (juoi 
elle  n'auia  plus  (jue  des  termes  de  la  forme  de 

dXi     . 
X, COS ( ju-î  —  [j.,)t     el       J-  sm ( /y...  —  (j., ) t. 


XCI. 

Donc  si  l'on  l'ail,  pour  abregei-, 


172  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

et  de  plus 

on  mira,  pour  le  premier  satellite,  l'équation 


{M^)-^  +  M]x. 


"'/'  1^  ^1  («M  «^;  X,  COS  i  fX2—  |U,  )  /  —  /i/  x,  n,  (//, ,  ch)  -T-'  sin  (  «i—  y.,)  t 


^/X^ 4^i(a,,  «3) X3  ces ( jy.3—  .a,  )  /  —  nf\ x^  H,  (a,,  «3)  -17'  sin  ( p.3—  p,) ^ 


</^ 


«/ X4  ^Fi  \a„  m) X4  ces [ij.i—u., )  t  —  «/ ;^4  II,  (a,,  «O  -r^  sin  ^ y^—  a,)  /  =  o ; 


et  (le  même  pour  les  trois  autres  satellites 


:m.)'|^^  +  m^x. 


nfiYj  *F,  («2,  «,)  X,  COS  I ,a,  —  y.,)  /  —  « />/,  II,  «2,  «,)  -y!  sin '  y.,  —  aj)  / 


c  z  dx 

nfi'/jW^ich, «3! X,  COS {[J.3  —  y.,}  t  —  nf^x,  fl,  «,,  «,,)  -^^  sin  [yi—y^)  t 


nfjX,^,[a,,a,)\,  cos  [y.,—  [m)  t  —  nf^x^UJ/i:,,  Ui)  -~  'i\n[y,— y.-^t  =  o. 


DES  SATELLITES   DE  JUPITEK.  173 


(Il- 


-  -  Cl'  Xi  -m  ■■  « 


^  . ,^.    '",  (a,,  a,)x,  cos  [ij.,—  u.^)t  —  «/(•/,  H,  (a,,  «,)  ~  sin  (  a,—  a,)  / 

—  nf.Xi^i («4, «j)X!  cosi,u,—  ui) /  —  nf^Xi  Ai («4,  «2)  —  sin (  a,—  u.4)/ 

<yx 


'^/"' X'  ^î'  I  \^^4»  «3)  Xs  cos (f.3—  U.4)  ^  —  /î/ X3 n,  («1,  a,)  -rr'  sin  (  y.3—  u, )  /  =  o. 


dt 


Pareillement  on  aura,  par  rapport  aux  variables  3,  ces  quatre  (''(jua- 
tions  ^Article  LXXXIX) 


(N.)  -7.-77^  +NÎZ. 


—  nf,  '/■.  r,  I  a,,  «2  )  Zn  cosf  y-j  —  u,  1  / 

—  't/î  X3  Ti  (  «I ,  «3  )  2,  ces  f  U3  —  IX,)  t 

—  w/'i  X'  ^>   '^^i'  '^i    2'  cus^  a,  —  a,  j  /  =  o, 


(N,)  ■  ^-+N^z 


dp 

—    "/'  X'  Ti  (  «»,  rtl  )  Zl  fOS  I  /Z,  —    Uj)  /  : 

—  nfi  Xi  Ti  (  «2,  «3  )  23  cos  (  (U.3  —  «j  )  /  . 

—  Il  fi  7 ,  r,  (  «2,  «4  )  2,  cos  (  ,u,  —  u,   /  ^=  o , 


174  RECHERCHES  SUR    LES  INÉGALITÉS 


.(N3)  ^^Nf^3 


—  "'fi  ÏJ  ^.(«a,  «1  )  Z.  COS(  a,  —  JU3)  / 

—  n/3  5^2  f ,  (  «3,  «2  )  z,  cos  (  a,  —  [j.î]  t 

—  n/3  X4  r,  (  a3,  «4  )  Z4  cos  (  |J.^  —  IJ.3  )  t  =  0, 


(N,)  ^+^;-' 


—  n/i  -/.f ,  (a*,  «1  ;  2i  cos(f/,  —  [Xi)  t 

—  n/4  X2 r,  (ai,  «s  )  2j  cos( fj(.2  —  Ui  )  / 

—  f^f*  Xi  r,  ( a4,  «3 )  23  cos (  1J.3  —  iJ.i)t  =  o. 


^   111.   —  OÙ  ron  donne  une  nouvelle  méthode  pour  intégrer 
les  équations  préeédentes. 


Je  fais 


d'où  je  tire 


xcn. 

XjC0s(u2  —  p.,  )  /  =r=  P,  X2  sin(fX2  —  |Uil  /  ^=  p, 
X3C0s(/j.,  —  lJ.^)t  =  Q,  Xssiniitxj  —  ^i)  t  =  q, 
X,  cos  (  (Xi  —  a,  )  /  =  R,     Xj  sin  {y.i  —  [j.,]  t  ^  r, 

-^sin{^2— p.,)^=  ^  -if^.2  — a,)P,  . 


<5?X3         .  J(/  „ 


</x4     .  dr        , 


DES  SATELLITES   DE  JUPITEK.  175 

Je  substitue  ces  valeurs  dans  l'équation  (M,),  ce  (jui  la  (  liaiii^e  vu 
(•('llt'-ci 


~"  '^f'ïj  r^>(«<»«3^  —  (^'■3  —  f/,  )fi,(rt,,«3)J  iJ  —  nf,x>Û,{a,,  «.)-^ 

—  '*/  X*  \  ^^^^  (  «1,  «1  )  —  (ju.  —  |u,  )  n,  (  a,,  a,  ij  H  —  nf\  y,  fl,  (  «,,  <i*  i  -j:  =  o. 

(Vesl  l'équation  (ju'il  s'at^il  maintenant  d'intégrer,  en  regardant  U-s 
quantités  P,  Q,  R,  p,  q,  r,  chacune  comme  une  variahie  particulière. 
Pour  y  parvenir,  voici  comment  je  m'y  prends. 


XCIH. 

Je  reprends  les  formules 

dXi    .    ,  .       dp       , 


d^3     ■    I  .du  ^ 

-^^  Sin( [Xi  —  a,)  t  =  -jf  _(^.3_p.,  )Q, 


dt    -"""^^        '"  dt 


dx.     .    ,  dr 


^f   sin(^, -/z,U=  -^ -(^,  —  a,)H, 


et  je  trouve  de  même 


dx,  dp 

-^  COS(f/.  —  fi,)/=  -^  -f-^/x,  —  u,)/>, 

dx,  dQ 

-^  COS[ix,  —  ix,)t=  -^  -t-    p,  —  a,)^, 

dx,  JK 

-^  ces  i  fi,  —  /Lt,  )  '  =  7/7  "•"  '  1^<  ~  >"'  )  '- 


176  RECHERCHES   SUR    LES  INÉGALITÉS 

De  là  je  tire,  par  la  difTérentiation,  les  formules  suivantes 


-^  COS(  p.,  -  p.,  U  =  -^  +  2!  p.,  -  f;.,  j  ^   -  (fx,  -  p.,J^  P, 


f/'Xâ    .  d-a  dQ 


iy-3  —  [J-^rq, 


d'Xs  d'Q  ,  dq 

-^  COSi.a,  -  a,  )  /  =  -^  +  2(^.3  -  iJ.,)  ~j  —  {(j.,  -  p.,  f  Q, 

r7'X4     .    ,  d'r  ,  dK 

7lF  ^""^  '  ^^  ~  ""  '  ^  ^  TIF  ~  ^'  ^ '"'  ~  ^■'  ''  777"  ~  '  ^''  ~  "'  ^' '"' 

rf^\,  c?^R  dr 

-jj^  cos[u.,  —  a,  )  t  =z  -^  +  2 (  p.,  —  p., j   ^  —  i f^«  —  y-'    ^^• 

Cela  posé,  je  multiplie  d'abord  l'équation  (M2)  par  sin([j.2  —  fj-,j  ^  j'ai 

-^  sin  ( p-,  —  pi,  )  ^  +  ^I 2  ^2  sin  i  p.  —  p,  )  ^ 

/'/j  ^il«2>  a,  )x,  sina^pi  —  ^,j  ^ 

/,  X.  n,  '  a.,  a,)-r-  [—  i  ^  cosa  t  p.  —  p,  )  /  J 

/,  Xi  ^1'.  (  a„  as)  X3  [sin  ^p.3  —  (x.)  t  —  sin(  p.3  —  2  p,  +  p,  )  /] 

—  -  f,  xs  IL  (  «2,  «3  )  -jr  [—  ces  (  p3  —  Pi  )  /  +  ces  (  p3  —  2  p,  +  p,  j  /] 

—  -/îX^^il"^,  «Ox,  [sin(p4  —  p,)  ^  —  sini/x4  —  2p.  +  p,)  /] 

—  -fi  X*  n,  (  r/2,  a,  ]  -77*  [  —  f'os  :  p,  —  p,  )  /  -4-  cos(  p4  —  2  p,  +  p,  )  /]  =  o. 

Je  ne  conserve  dans  cette  équation  que  les  termes  analogues  à  ceux  de 
l'équation  (M,),  c'est-à-dire,  les  termes  qui,  en  faisant  pour  x,,  Xo,...  les 
substitutions  de  l'Article  LXXXVII,  en  donneraient  d'autres  où  le  coef- 


DES  SATELLITES   DE  JUPITEU.  177 

ficiciil  (le  /  sérail  presque  é^al  ;i  u.,,  cl  (jui  soiil  les  seuls  aux(niels  nous 
devions  avoir  éi;ai(l  dans  riiilégralion  de  l'équalion  de  rArliclc  \(Â\. 
J'aurai  donc  siiiiplcniciil 

~(ÎF  ^•"^^■'  —  y.,) /-H  M;;x,sin(f/,  —  /7.,  )  / -i-  -/<•/,  IL  («.,  <^>)-jt 


•>. 


lit 


n 


d\. 


-/'  '/  '  ^ï^'  (  «^'  «3  )  Xa  sin  (  /J.3  —  u,  )  /  -H  -/;  ■/,  Il ,  :  a„  u,  )  -jp  cos  [ix,  —  ij.,)  l 
—  -/iy/F,i  rt,,  «4  j  x»  sin  (y.4  —  a,  )/ -I-  -  fjy^  IL(«2,  «,  i -r^  ros(a*  —  a,  i  /  -  o. 

o.  '  '  "?.  (Il 

Je  subslilue  au  lien  de 

-^'  sin(f/2  — /y.,)  /,      X,  cos(/7.2  —  u,  )/,.  . . 
leurs  valeurs  en  P, /?,,..;  j'ai 


(>°) 


<//» 


r/^ 


dt 


—  -f-^'h  [^«(«î.  «4.)  —  (f-4  —  a>  'fl,(a„  a*)]  r -i-  -/;•/*  ft.(«2,  ^^)^T  =  »• 
Je  multiplie  en  second  lieu  la  même  éq'ualion  (May  par  cosfp.o  —  a,;/; 


J'>' 


cos(jy.-.  —  p.,  )  ^  H-  M'  X2  cos (;7.2  —  u.^  )  / 


./i  Xi  ^1  («2,  «,  )  X,  [i  -f-  cos?.(|y.,  —  p.,    /  I 


- /j  X'  III  ^  «-''  "'  )  -JTT  siri  2  (  iM  —  Ui  1  / 


dt 


-  fi  'li  4^,  [cii,  iii)  \i  [cos(jy.3  —  y.,  )  t  -f-  cos (, 0.3  —  aa^  -f-  /m,  j  /] 


-/' X3  ÎL [0-2,  «3 )  777  [sin  (|7.3  —  ;7., )  /  +  sin ( y.3  —  2 p.,  -4-  y.,  )  / ] 


<// 


VI. 


23 


178  .         RECHERCHES  SUR  LES  JNÉGALITES 


fi  X»  ïï.  ( «2,  «4 )  -^  [sin  ( fy.4  —  y-,  )  /  h-  siii (  a,  —  ->. y.,  +  y, )  /]  —  o, 

équation  que  je  réduis,  par  la  raison  (jue  j'ai  dite  tantôt,  à  celle-ei 

-~  COS(|a,—  y.)  /  -f-  M'^-X2  C0S(jU2—  y,)  / /.•/,  ^,(rti,  rt.)  X, 

"   - ,/^  X3  ^F,  (a.,  a,)  Xa  ces ( p.3  —  y,  )  t /.  73  ïï,  ( </,,  «,  1  -j-'  sin  (  y,,  —  a,    / 

~  -h  X<  ^'  «''  "'  )  X4,cos  (  p..  —  y,  )  /  —  -  /,  y,  n,  («i,  rt,    -.—  sin  ^,  —  ^,U—  o, 
laquelle  me  donne,  après  les  substitutions, 

-^  -f-  2  (  uo  —  a,  )  -^  -f-  [M^  —  (  y.2  —  a,  )']  P  -  -/./.  ^V,  (  a,,  a,  )  x, 

—  ,-^/>  x=  [  ^1  (  «2»  «3  >  —  (  P-3  —  /^-i  j  n ,  ( a-i,  «3  )  J  Q  -  1  fi  7,3  fl ,  ;  «:,  «3 )  -^ 

~  "-/-^X^  f^'i(«j,  «4)  —  if-4  — y..)n,(a2,  a4)jR'—  -/iX-.  H,  «2,  «1)77  =o- 

En  troisième  lieu,  je  multiplie  l'équation  (M3;   par  sin(p,3  —  y.,j/; 
j'aurai,  après  les  réductions  et  les  substitutions, 


^  -  ?.f  p.,  -  a,  )  -^  +  [M .^    -  (  p.3  -  y,  /  1  (/  -^  -^-  y.  7,  n,  -  ^/3,  «.  )  -^ 

-  fi'h-  [^i(«3,  «2;  —  (^-2  —  ,u.,)n,(a3,  a,)J  />  +  -/J7-.. IÎ,'«3,  ^^.i  -î- 


-/3  7.n,  a.,  ^4;^- 


-/3X4    [^>««3,   «4)   —   (>.4    —    y,    )ÏI,(rt3,   «4)]    r    -f-     -/3  74   n,      «:,,   r/4   1       7-    =0. 


DES  SMKLIJTKS    l)K  .lUIMTEK.  I7<> 

En  (juatrièmc  lieu,  je  imilliplir  l:i  mcmc  <'(|uati(»ii  p;ir  cdsfp.j  —  /j.,j/, 
cl  je  trouve 

(4°) 


<l'0  (1(1  n 


-  -/3  X2  [^.  (<^»  «-  y-v  —  y-i  )  ri,  [a,,  «,  )J  P  —  -  /;.  /,  lï,  1  a  ,  a, ,  '-f^^ 

-*  ?,  '      '  (Il 

~  ~/s  X4  [  *ï^.  («3,  «4  )  —  l  a-,  —  a,  )  n,  f  «„  «4  H  K /,  x<  ri,  («3,  a,  )  -j   —  f». 

En  cinquième  lieu,  je  iiiulliplie  l'équation  [W^]  par  ^\\-\[\}.^  —  \i.^)t\  j'ai 


(5») 

_  _  2(//,  -  p,  j  -^  -f-  [M;  -  if7.,  -  ^.,  f  J  r  -i-  -/  X.  n,  ^«4,  «,  )  -^ 

—  -/4X»['*Î^'(«'.'«')  — (^^2  — fx,)ri,(a4,  «■-.)]/>+  -f,yjÛ>{a„a,)-j^ 

—  ^/4X3[^'(«4,«:.)  —  (//3  — f^,)fii(«4,  as)]  (J-^^frizU^ia^a^)^  =o. 

En  sixième   et   dernier    lieu,   je   multiplie  la   même   équation    par- 
éos (p.,,  —  p.,)  /,  et  je  trouve 

m 

'dF  "^  "^^^^  ~  ^"^Tt  ^  ^^'  ^  ^^"'  ~  ^'^'^'^  ~  '^'^''^'  "^'^^^  ^'^^' 

—  -/*X'  [^i(«.i.«:!)  — l/^j— f-^i)  n,(a„  a,)\  P  —  ^/x,  ft,(«,,  «>^^ 

23. 


180  RECHEKCIIES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Voilà,  comme  on  voit,  six  équations  différentielles  de  la  même  nature 
que  l'équation  de  l'Article  XCII,  et  qui,  étant  combinées  avec  cette  der- 
nière équation,  sulfiront  pour  déterminer  les  sept  variables  x,,  P,  ;>,  Q, 

XCIV. 

Pour  cet  effet,  je  multiplie  l'équation  de  l'Article  XCII  par  e^"',  l'équa- 
tion (i*')  de  l'Article  précédent  par  a,  e^-'r//,  l'érquation  (2")  par 
k.e'^'dt,  l'équation  (3*^)  par  ^,e^'''dt,  l'équation  (4")  par  B^e^'U/t, 
l'équation  (5"j  par  7,  e'-'''dt,  l'équation  (6°)  par  C^e^'^dt  (a,  fi^  7,,  A,, 
B,,  G,  et  V<  sont  des  constantes  indéterminées),  et  après  en  avoir  fait 
une  somme,  j'en  prends  l'intégrale;  j'ai 

j  [-TiF-^'^'  7F  -^^^'  ^^^'  7F  -^^'  7F  "-  ^'  7F  ^C'  Jt^)'     '" 

+  (-"/. Z^fi.l^P «.)+'^-^i (P -.'^>)-^B../3X.", {"„^'.)-l^J\-A. i°", i^'p «.))  ;|^ 
-f-  f  -  2  a,  (p-  .,)  +  -  'fij,  X  JI.  («3,  ^'.)  +  -  V,  /1  X.n>  (^'P  «.)  j  7^ 

-^(-'</',xJM«p'ïJ-^A,/2xJ^K>«J-^B,y;x,n,K,«j+'2C,(p.,,-a,)j^ 


DES  SATELLITES   DE  JUPITER.  181 

-^  (  -  "./',  x=  [^\  ("> > «.)  -  ( Pv  -  ."0  '''(  (". .  «J  J 

-f-A,[M?-(fx,-p.)=]   -Jb,/.xJt.K«,)    .(p,-f.,)n,K,«,)J 

-  ^  c,y;  X,  [t,  («.,  «,) .-  (  p.,  -  u.)  fi,  («, ,  «,)  J  )  p 

-  J  7../;  X:.  r-î',  K,«,)  -  (p..  -  y-...)n.  («.«..)  J  )  y 
^  (  -  7  ^.y.  Xi  R'.  K>  «.) — (  f*4  -  Pi)  ",  («,,  «4)  J 

-^^./;x,['^^.K.«J-(f*4-^)n,(«3,«4)J+7,[Ml-(p.-p,r])/- 
'  -^A„/;xjM'-(«.^,.0-(^-^)n, («„«,)] 

xcv. 

Cela  t'ait,  je  transforme  les  expressions  intégrales 
en  leurs  équivalentes 


18-2  RECHERCHES  SUR    LES  INÉGALITÉS 

De  même  je  cliauge  les  expressions 


/^/.V.     /|e-.,,..., 


en  celles-ci 

x,e^''  _  V,  f  x,e'''r//,      pe'''-\Jpe'"dt,..  .  . 

Par  ce  moyen,  l'équation  se  trouve  composée  de  deux  parties,  l'une 
finie  et  l'autre  indéfinie,  laquelle  renferme  les  quantités  intégrales 

fxe'"'dt,     fpe'''r/t,    fpe'''clt,     fge'^'dt,    fQe'''dt,    fre'"dt,    flie''dt. 

Je  fais  les  coefficients  de  ces  quantités  chacun  égal  à  zéro,  ce  qui  me 
donne  sept  équations  entre  les  sept  inconnues  «,,  [i>,,  •/,,  A,,  B,,  G,  etV,, 
savoir 

(ri 

V;-  -  [a,/,x,n,(a,.  a,) -t-p,/,x,ft,(a.,a.l  +  r'/<'/-'ft' "•■*)]  ^'' 

(2°) 

V, 


DES  SATELLITES   DE  JdPlTEK. 


183 


V,V 


{3«) 


V, 


^^'/«Xî  r^il  «4,  «j)     -  (|y-2  —  a,  )n,(  «,,  a,  t      -  o. 


2 


p.V;- 


(4°) 


w/,X3n,(a,,a.,i-i--A,/5y3n,(a2,«3)— 2B,(/i3— ^,.H--C,/,Xsn,ia4,«3 


—  2  ^'/'X-' [^'i(«j) «3)  —  iy-z  —  p-i)n,(«2, a,)]  -+- (3,[M.?  — (//3  —  u, )■■'] 

—  2  y./«X3[^«(«4',  «3)  —  (^3  — /Li,)n,(a4,a3)j  ~o. 

B,V;—    -  a,/,X3n,ia2,  fls)  —  2^,(1^3  — j:^,)^ y,/ ^3 II,  («4,  «a)    V, 

'      —  -  ^ i/'Xs  [^'  '  ^"  «3 )  —  (  ^3  —  y-!  ) fil  (  a„  «3  ]  -+-  B,  [ M \  —  (  |u.3  —  u,  r  ] 

€1/4X3  [^i(««,  ^3!  —  .y-3  —  |tjt.)n,(ai,r/3)j  =:o. 


(6°) 

■/,V'-i-    n/,Xin,(a,,a4)+^A,/,x4n,(a:,«4)  +  "B,/3X4n,(«3,«4)~?C,(.w,— u,)   V 
2c,/jX«  [T,  (  «2,  «4    —  (fi*—  a,)n,'  a^,  «4)] 


P«/3X<  [^i(«».  «0  —  (i^4  —  a,   n.ia,,  a»)]  -^  y.[>J'—  (,".  —  /a.Y]  =  0. 


18^ 


RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 


(7^) 


C.V  J  —    -  «1/2X4  n.  (  «2,  «4  )  -»-  ^  [S1/3Z4  n,  (  «3,  a,  )  —  2  y,  (  |y.4  —  y.,  )    V . 


//.«  [^'i(«i'  «1)  —  (a4  —  a,)ni(«,,  04)] 


-  A,/,X4fM^i(«2,  «4)  —  (itx,  — /yi,)n,(a2,«4)] 


—  -B/3xJ'^i(«^'«4)  —  (f/4  — f/,)n,(a3,  fl,  ;]  +C,[M^— (1UI4  — f/,)'l  =  o. 


Ensuite  j'ai  l'équation  intégrale 

,_.         r^x.  dp        .    dV       ,    d>i       „   ^/Q  r//-       ^  r/R 

^    '         [_  r//  '  ^^  '  rf^        '^'  c//  '  dt         "  r/^  '  dt 

-  V,+  ^  ^,./;X,n,  K,  /^r,)  -h  ^  [5,/,  X,  n,  [a,,  «,)  -♦-  ^  7,/;  X,  n,  («„,  r/,)  j  X 


■'^,V,-/(/i  y^.^n,K,«^.)  +  2A,(p,-,a,)-^B,/;x,n,  (./,,^^)-^C,/;,  x,n,(yr,  r.jjy; 


■  A, V, -  2a,  ( p.,  -  a,)  +  -  (i,./;  Z, n,  («.„ r/,;  -+-  -  7,  /;  x,n,  («r,, «.,)  )  P 


-s,  V,  -  «/;  x,,n,  («, ,  ./j-  -  A,./;  X3  n,  («,,  r,3)+2B,(p, -p,  )-  -  C,/;  x,,n,  [a, ,  ./3)  )  y 


■7,V,-/^/;x.,lMa,/^)-^A/,zJV«,A)-^B,/,,,x,^,K/^0^-'^C,(^-a,)V■ 


■C,V,  +  ^'V.x,r\K,'^)  +^' W,xJI,K,«4)^-^-7,(^-^))b]^'''"' 


const. 


DES  SATELLITES   DE    lUPlTEK.  185 

XCVI. 

Qu'on  mulliplio  rtujuutioii  (2")  par  zty/— r,  cl  (ju'oii  v  ajout»'  rt'Mjua- 
tion  (3"),  on  aura 

(Q)       [M^  -  (jx,  -  /ix.  ±  V,  v/^)'J  (A.  ±  «.  s/'^) 

—  n/  x^  [^i(«.,  «2)  — (y.2— w..±V,y/'— I  )n,(a,,aj)J 

-  ; /3  Z^  1"^'  («3,  «.)  -  (/^.-  ^-.±  V,  s/^=T)  II,  (  «3,  a,)]  fB,  ±  (3,  y/^) 


De  même,  en  multipliant  l'équation  (4^)  par  ±  v/—  ''  <"'  >  stjoutant 
l'ôquation  (5"*),  on  aura 

(K)       [M^-(p.3-/^,±VV=^}1(B.±(3,s/=7) 

—  rif\  y^3[4^,(a,,«,)  — (p.3  — y.,±V,v/— i)n,(a,,  «3)] 

-^/^X3['î'.(«^»«3)-(,v-.-p->±V,v/^)n,(a.,  «3)J(A,±a,v/^^) 
--/*X3fr(a4,a.)-(^.-p..±VV=T)n,(«„a3iJ(C,±-/.y/^)=o. 


Entin,  multipliant  l'équation  (6°)  par  ±  y/—  i,  et  y  ajoutant  l'équa- 
tion '7'';,  on  aura 

(S)       [m:  -  (iJ.,  -  a,  ±  V.  s/^y]  (C,±y,  v'^) 

—  «/  X^  î^' i«'>  «4 ;  —  (  «4  —  w.  ±  V,  y/—  I  )  n,  (a,,  a«  )  J 

-  -A 'h  ^'^''^«-  «' ^  -  ^  "■'  -  V-^^^  \/^=^)n,(a„  a.)J (B,  ±  (3.  v  ^)  =0. 

Chacune  de  ces  trois  équations  en  vaut  (l(>u\,  comme  on  voit,  ii  cause 

de  rambiguilé  du  sii^iic  de  \  —  1 . 

VL  24 


186  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Maintenant,  il  est  visible  par  l'équation  (i«)  que,  si  n  était  =  n,   on 
il  u  mit 

c'est-à-dire,  à  cause  de  M?  =  l^?(i  —  n^i)  (Article  LXXIX), 
Vî-f-^.î  =  o     el     \]  =  -^]. 
Supposons  donc,  en  général, 

et  l'équation  dont  nous  parlons  se  changera  en  celle-ci 

(T)  |aï((', -ê,)-  ^/,x,  [f.(a2,a,)A,  +  ri>(fl2,«,)a,V,] 

-  ^/a  X-  [^.  («3,  «,  )  B,  +  n, («3,  «.  )  [3,  V,] 

-  -/4X.  r^.(«4,«,)C,  +  n,(aM«.)y.  V,]  =0. 


L'équation 
donne 


XCVII. 


V,  =  //.,(  I t'i  jy'— i;     donc     V,  y/— i  =  —  iWi(J  —  {«^'i  ); 

donc,  substituant  cette  valeur  dans  l'équation  (Qj,  aussi  bien  que  celle 
de  M;,  qui  est  [xl{\  —  wêa)  (Article  XXIX j,  on  aura 

[pf(i  —  n&n)  —  [«2—  a,  q=(y.,(i  —  i^t'-)]']  (A,±a,v/— i  ,i 

—  ■î'»/4x4^'(^*'  «2)— L/^-:  — p-i=p^'-i(i— T^*^)]n,(rti,  «2)]  (c,±y,  v— i)=o. 


DKS  SATELLITES  DE  JUPITËK.  IHT 

Donc  : 

i"  Si  l'on  j)r('M(l  le  signe  supérieur,  cl  ([u'on  néglij^c  les  Iciincs  affec- 
tés (le  II,  on  aura 

h^\  —  (^2  —  ■>■V■^Y^,  (a,  -4-  a,  v/— l)  —  o\ 

ce  (|ui  donne 

V, -I- a,  V^— I  =  o     et     Xxsj — 1=—  A|. 

2"  Si  l'on  prend  le  signe  inférieur,  el  qu'après  avoir  oté  ce  qui  se  dé- 
truit on  divise  toute  l'équation  par  n,  on  aura,  en  nétiligeant  toujours 
les  termes  afl'ectés  de  n, 

(V)     a;  (^  c,  —  o.J  (a,  —  «,  v'  — I  )  — / '/^  [  ^'(«i'  «O  —  fz-afliia.,  rtjjj 

—  i/s'X»  fH^i{«3,  «2)  — /u,  n,(«3,  «.)J  fB,  —  (3,  v'^) 

—  if<X2[^i(«i.«2)  —  ,'^'  n,(a4,  «Oj  (C,  —  y,  y/— 0  =  o- 

On  tirera  de  même  de  l'équation  (R) 

et 

(U)        ^^^^t;.-ê3)  (B,-(3,v^=^)-/,X3|t,(a.,«3)-/^.3n,(a.,  «3)J 

—  i/>X3  [^i(«2,  «3)  —  ,"-3  11,(^2,  «3)]  (A,  —  a,  ^— l) 

—  {fij^i  [4^.  («1,03)  —  u.^îi^{a„ch)\  (C,  —  y,  s/— I  j  =  o; 

et  de  l'équation  (Sj 

y,  v^— I  =  —  C, 

et 

{ W)      ixl  [^  i>,  -  ê,j  (C,  -  y.  /-~i  j  -fr/j  \  H^,(«.,  «.  )  -  p..n,(a„  a,)] 

—  i/Zt[^A«2>«i)  —  p-.n,(rf2,  «OJ  (A,  —  a,  v/— ï  j 

—  i/sX*  [^'(«3,  «4)  -  p-.n.{a3,  a^lj  (  B,  —  [3,  V  —  I  )  =  o. 

.4. 


188  RECHEKCHES  SUR   LES  INEGALITES 

XCVIII. 

Soi!  l'îiil,  pour  plus  de  simplicité, 

o  o 

(i,  Q.)  =  Wt{a,,  tti)  —  ix^Uiiai,  a^), 
(i,  3)  =  '4^,(«,,«3)  — |y.3n,(a,,  «,), 

O  o 

(2,  i)  ='<F,(«2,  a.)  —  f/.,II,(a2,  «,); 

et  ainsi  des  autres. 

Soit  de  plus  p  =  /i,  v,. 

On  aura,  en  faisant  ces  substitutions  dans  les  équations  (V),  (Uj,  (W), 
et  mettant  à  la  place  de  a,  \/— I,  p,  v'^— I,  •/,  \/— I  leurs  valeurs  —A,, 
—  B,,  —  Cn  Itîs  équations  suivantes 

(  9.[j.l  (  -^  —  ê,  )  A,  — /  xv(i,  2)  — /r/.(3,  3.)  B,  — /4  xÀ^,  2)  C.  =  o, 
(X)        I  2/..=,(-^  -ê,)B,-/r/;.(i,3)-/,x3(2,3)A.-/;x3(4,3)C,  =  o, 

d'où  l'on  tirera  facilement  les  valeurs  de  A,.  B,,  C,.  • 

Or,  en  néglia^eant  les  termes  affectés  de  n,  on  a  V,  =  a,  y/—  i  (Article 

précédent);  donc,  puisque  «,  = -^^  on  aura  «,¥,  =  —  ,a,  A,;  t't  de 

v/— I 

même  ^iV,  =  —  p.,  B,,   y,  V,  =  —  a,C,.  Donc  l'équation  fï)  de  l'Ar- 
ticle XCVI  deviendra,  après  toutes  les  substitutions, 

(Y)        2^.:(^-2-  _ê,^  __/;y^,(,.,  ,)A,-/35^,i3,  i)B,-y;x,i4,  nC^o; 
c'est  l'équation  qui  donnera  la  valeur  de  p. 


DKS  SATELLITES   DE  JUPTI  EK.  189 

XCIX. 

Soil,  pour  alu'éiifor, 

-2-  -  ê.  -^  -  6, 

y.'  x- 

fi  ainsi  des  autres;  les  équations  (X)  donneront,  après  avoir  mis  au  lien 
<'''./i»./2'- ••  l(Hii's  valeurs  approchées  y.^,  y.^, . . .  f  Ailiclc  XLVj, 

A,  =  [(i,2)K3K, -(i,o.)(3,4j(4,  3)-+-(i,3)(3,2)K4 

+  (I,  3)  (3,  4)  (4,  2)  +  (1,4)  (3,  2)  (4,  3) -4- (1,4)  (4,  2)  K;,]  4' 
li,=:[(i,3)K,K,, +  (i,4)(4,  3)K..  +  (i,2)(2,  3)K. 

+  (1,4)  (2, 3) (4, 2) +  (1,2)  (2, 4)  (4, 3) -(1,3)  (2, 4) (4, 2)]  5^, 

C,  =  [n,4)K,K3-t-u,3)(3,4)K,-ii,4)(2,  3)(3,2) 

+  (I,2)(2,3)(3,4)  +  (I,3)(2,  4)(3,2)  +  (i,2)(2,4)K3]4- 

chacune  de  ces  quantités  étant  divisée  par 

K,  K3  K,  -  (  3,  4)  (4,  3)  K,  -  (2,  3)  (3,  2)  K, 

-  (2,  3)  (3,  4)  (4,  2)  -  (2,  4)  (3,  2)  (4,  3)  -  (2,  4)  (4,  2)  K3. 

Ces  valeurs  étant  ensuite  substituées  dans  l'équation  (Y),  on  auia,  apri-s 
les  réductions, 

(Z)     K.K,K3K,-(3,4)(4,3)K,K,-(2,4)(4,2)K,K3-(2,  3)(3,2)K.K, 
-(4,  i)(i,4)K,K3-(3,  i)(i,  3)K,K,-(2,  0(1,  2)K,K« 
-[(2,  3)  (3,  4)  (4,  2) -f- (2,  4)  (3,  2)  (4,  3)]  K, 
-[(3,  I)  (1,4)  (4,  3) +  (4,  i)(i,3)(3,4)]K. 

-[(2,  i)(i,4)(4,2)  +  (4,  i)(i,2)(2,4)]K3 

-[(2,  i)(i,3)(3,2)  +  (3,  i)(i,2)(2,3)]K, 
+  (2,1)  (1,2)  (3,  4)  (4,  3) -(2,1)  (1,3)  (3,  4)  (4,  2) 
-(2,1)  (1,4)  (3,  2)  (4,  3) -(3,1)  (1,4)  (2,  3)  (4,  2) 
-(3,  I)  (1,2)  (2,  4)  (4,3) -f- (3,1)  (1,3)  (2,  4)  (4,  2) 
4-(4,  i)(i,4)l>,3)(3,2)-(4,  i)(i,2)(2,3)(3,4) 

-(4,I)(I,3)'.2,4)(3,2)  =  0, 

(*)  Lagrange  emploie,  dans  ce  paragraphe  et  dans  les  siiivanls.  diverses  lettres  telles  que 
K,  X)---  H"'  f^"'  ^^^  précédemment  affectées  à  un  autre  usage,  mais  il  n'y  a  pas  ésidemmenl 
de  confusion  à  redouter.  {Nota  de  f  Editeur.) 


190  RECHERCHES  SUR   LES  INEGALITES 

équation  qui,  en  remettant  au  lieu  de  K,,  Ko,...  leurs  valeurs,  et  ordon- 
nant les  termes  par  rapport  à  p,  montera  au  quatrième  degré,  et  donnera 
par  conséquent  quatre  valeurs  de  jo,  que  nous  dénoterons  par  f/,  p",  p'",  p'' . 


Les  calculs  que  nous  venons  de  faire  dans  ce  paragraphe  n'appartien- 
nent proprement  qu'au  premier  satellite;  mais  il  est  aisé  de  les  appli- 
quer à  chacun  des  trois  autres,  suivant  les  remarques  faites  ailleurs.  En 
effet,  pour  les  appliquer,  par  exemple,  au  second  satellite,  il  n'y  aura  qu'à 
marquer  de  deux  traits  toutes  les  lettres  qui  ne  sont  marquées  que  d'un 
seul,  et  réciproquement  ôter  un  trait  à  celles  qui  en  ont  deux,  et  ainsi 
de  suite  (*);  ainsi,  dans  l'équation  (Z),  il  ne  faudra  qu'échanger  entre 
elles  les  lettres  K,,  Ka,  et  les  nombres  i,  2.  Or  on  verra  aisément  que 
cette  permutation  ne  produira  aucun  changement  dans  l'équation;  d'où 
il  s'ensuit  que  les  valeurs  de  p  seront  les  mêmes  pour  le  second  satellite 
que  pour  le  premier.  On  en  dira  autant  par  rapport  au  troisième  et  au 
quatrième,  de  sorte  que  l'équation  (Z)  servira  pour  tous  les  quatre  satel- 
lites, et  c'est  ce  qui  fait  que  cette  équation  monte  au  quatrième  degré. 

Cl. 

Reprenons  maintenant  l'équation  (P)  de  l'Article  XCV,  et  substi- 
tuons-y, au  lieu  de  a,,  |S,,  y,,  leurs  valeurs  A,  \/—i,  B,  \/— i,  C<  \J—i 


(Article  XCVII),  et  au  lieu  de  V<  sa  valeur  /j.,(i  —  iw^V—  i  (Article 
XCYIIj,  c'est-à-dire,  fp.,  —  ^  p J  V—  i ,  à  cause  de  /x,(^,  =p  (Article  XCVIII), 
on  aura,  en  négligeant  partout  les  termes  affectés  de  n,  excepté  dans  e^'', 

p/x,       ,   /r/P      dp   , \  [clQ      (ùi   , \        ^    /V/R      dr   I \  ,— 

+  A,  (ap,  -  fx,  )  [p  -  P  v/~^  j  -^  B,  ('ip,,  —  p,  )  (y  -  Qv/^  j 

(*)  Voir  la  Note  de  la  page  76. 


DES  SATELLITES   DE  JUIMTEK.  1<)1 

c'esl-à- diii' ,     en     mctlanl     au      lieu     de     e        '"''  ^        >;i      xiilnii 
(•os(p.,  —  ^np)  t  4-  siiiffx,       k'^?)  ^  >^  S/'—  '' 

—  C,  f -^-(2fA  — a,)RjJcosU-'^p  Wx\/^=const., 

équation  qui,  à  cause  du  radical  y  — i»  lequel  peut  avoir  inditlV'rcin- 
nient  les  signes  -i-  ou  — ,  se  décompose  en  ces  deux-ci 

-^  C,  (^  ^  {la,  -  p,  )  /•  H  COS  Ù,  -  ^  M  / 

el 

-+■  C,  r^  +  (  2  .(^i  —  ,^  )  'j  J  sin  U,  -  ^  p  )  / 


192  RECHEKCIIES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

D,  et  E,  étant  deux  constantes  arbitraires  que  nous  déterminerons  dans 
un  moment. 
On  aura  donc  par  là 


.7)      P-, 


-a,(|-(.,.-,,)p)-b,(|-(.,,-,,)q)-c,(|-(.,.-,,)r) 

=  D,  sin  (^u,  -  ^  pj  ^  _  E,  cos  (^p,  -  ^  p)  t. 

équation  qui  sutfira  pour  trouver  la  valeur  de  x,,  comme  on  le  verra 
ci-après. 

Cil. 
Soit,  lorsque  i  =  o, 

Xi  =  Al,       Xï  :^  Xj,       X3  =  X3,       X4  =  X4, 
</x^  _  ^  _  V  ^'^^  —  V  ^^^'  —  V 

dt^^''    dt~^''    w-^"    w-^" 

On  aura  (Article  XCII) 

P  =  Xo,     Q  =  X3,     R  =  X4,     />  =  o,     g  =  o,     r=o; 
ensuite 

^_Y        ^Q-Y        ^^-Y 

dp        .  ,  V        ^/o  ^        dr  ,^ 

Donc,  substituant  ces  valeurs  dans  les  équations  (a)  et  (|3j,  et  faisant 
t  =  o,  on  aura 

D,  =  Y. -i-A,Y,-t-B,  Ya  +  C.Y^, 

E.   =   —   (|Ul,  X,    -h    A,p.,X2   +   B,    a3X3-^C,fX4X4). 

cm. 

Soit  maintenant,  pour  abréger, 

^-(2^.-,a.)P  =  (P),     ^_(2p,-^...)0  =  (Q),     ^-(2^,-p.,)R  =  (R); 


DES  SATKLLITKS   \)\i    lUI'ITKK.  193 

l'équation  (y)  deviendra 

lj.,x,  _A,(P)-B,(Q)-C,(K)^l),sinL-  ;p)'-  E.  ces  L  ~'{p)  f- 

Substituons  successivement,  dans  cette  é(|iiati()n,  ;in  lieu  de  p,  ses 
quatre  valeurs  ,o',  p",  p'",  p"'  fArliele  X(IIX),  on  aura 

[j.,  X,  -  A',  (  P  )  -  ir,  (  Q  )  —  C;  (  K  )  :---  D;  sin  U,  -  '^  P'  )  ^  —  E;  cos  U,  -  ^^  p'  )  /, 
p.,  X,  -  A".  (P)  -  JV; (  Q )  -Cl{R)  =  \y;  sii.  L.,  --  ^  p"  )  /  -  E';  ros  /p.,  -  ;  p"  )  /, 

a,  X,-  A';'(P)-  b:(Q)-c':'(K)^^  i)':'sin  L  --  ~  p"'\i-e":cosL,  -  ^  f)  /, 

p.,  X,  -  AV'i  p  )  -  li'^l Q )  -  CVt  K)  =  1)7 sin  (f^.,  -  ^  p'A  t  -  EV  eus  f p,  -  '-  p'A  t, 

A', ,  B',  ,  C'j  ,  D',  ,  E',  ;  A'.^,  B., ,  C'2 ,  D'o ,  E'2 . . . .  étant  ce  que  devienneni 
les  quantités  A,,  B,,  C<,  D,,  E,  lorsque  p  devient  p',  p", .... 

Donc,  éliminant  de  ces  quatre  équations  les  trois  inconnues  (P),  (Q), 
(Rj,  on  aura  la  valeur  de  x,. 


CIV. 


Pour  cet  effet,  je  multiplie  la  seconde  équation  par  a,,  la  troisième 
par  ,':;,,  la  (pialrième  par  7,  (a,,  [■J^,  7,  étant  de  nouvelles  indéterminées); 
après  quoi  je  les  ajoute  toutes  quatre  ensemble,  et  je  fais  évanouir  sépa- 
rément cliacun  des  coeiricients  de  (P),  (Q),  (R);  j'ai 

/  A',  -t-  a,  A",  +  ;3,  A";  +  -/,  AV=--  o, 
(ô)  I  b;  +  «,  H':  4-  ;3,  W;  -t-  y,  B7  =  o, 

(  c,  +  «,  c;  +  ^,  c:  -f-  y,  c:  =  o, 

M.  25 


f^' 

(i  +  a. 

+  (3. 

+y.) 

oc 

,1)': 

(/, 

(i-f-a, 

+  {3. 

+y.) 

^. 

d; 

y., 

(i-f-  a, 

+  ^, 

+y.) 

y- 

DV 

194  rechi:k(;iies  suh  les  inégalités 

et 

sin  (^.  -  -  A  t  - ':l^ cos(/.,  -  -  p"  )  ^ 

V         ^-     /         a, (in- a, +  [3,-1- y,         V^       2'    / 

sin  U  -  '^  pi  /  -  — -A^         ,os  U  -  '-  p'"  )  ^ 

— — '-^-^ r  sin    u, &'^   ^ ^ ^— V- cos   p., p'M  / . 

u,'i-l-a,  +  ^, -1-y,  V  2      /         y-,  i  +  a.-f-p, +y,i  V  2'    / 


GV. 

On  peut  simplitier  cette  expression  de  x,  en  supposant,  en  général, 

D,  =  —  (5|Sinw,,     El  =  —  ô,  cosm,; 

ce  qui  donne 

D. 


Ô,  —  y/DJ -h  E^      langùj,  =  g-, 


savoir 


ô,  =  v(  Y,  -h  A,  Y2  -f-  B,  Y3  4-  C,  Y4  f  +  (f/,  X,  4-  A,  p.,  Xî  -h  B.fXsX,  4-  C,  ij.,  \,)-, 

,an„,,  ^  _        .  Y.-hA.Y,  +  B,Y3-f-C.Y,     __ 
''    '  y.|  X,  -f-  Ai  [M  Xo  4-  B,  Us  X3  -f-  (],  a,  X< 

Par  ce  moyen,  on  aura 

I),  sin  (y.,  —  -  p|  /  —    E,  ros  (,u, p)  '  =  <5i  cos     (  ,a,  -  -   -  p  W  +  o),      , 

et  d<>  là 

D',  sin  (  /7.| p'  )  '  -    ^^ I  «"'OS  (  y..  - —  p'  )  /  =  0',  cos    (  u,  —  -  p'  W  +  o',  h 

D';sin  Lj.,  —  -  p"j  /—  E';cos(u,  —  -  f\  t-  5"  ces    (y.,  -  -  p"  )  r^  o»';    : 
et  ainsi  de  suite. 


DES  SATEI.IJTES   DK  JUPITEK. 

noue,  si  l'on  l'ail,  pour  plus  de  siiin)li(il(', 

a,  ô, 


|t;.,(i  -i-a,  -I-  (3,  -f-  y, 

p.  «5;" 


,'       £. 


/:/.,(i-l-a,  -I-  |3,  H-y,  )■ 


y.  «5' 


|u,  (  iH- a,  H- (3, -4- y,  )  '        ^/.(i-t-a, -4-[3, -l-y,; 


on  aura 


X, =:  e,  ros 


'  I  (^"  ~"  o  f'  j  '  "'"  '"'  J  "^  ^ '  ^^^    V'-'  ~  o  f"  )  '  "^  '"  '  I 


£,  cos    I  p.,  —   -  p'"    /  -+  0),      +  e'.T-os 


„.,__p.v|/_^„.v 


195 


CM. 

ScoLiE.  —  A  l'égard  des  valeurs  de  «,,  /3,,  y,,  on  les  trouvera  aisé- 
ment par  résolution  des  équations  (^);  mais  on  pourrait  encore  se  servir 
d'une  autre  méthode  assez  simple,  que  j'exposerai  ici  en  |)(mi  de  mots. 

Qu'on  multiplie  la  seconde  de  ces  équations  par  h  et  la  troisième 
|)ar  c  (^  et  c  étant  deux  indéterminées),  et  qu'on  les  ajoute  toutes  en- 
semble, on  aura 

A',  H-  6B;  -hcC\-+-  '  A",  -h  b B;  +  cC[ )  a,  +  ( A";+  hh";-^  cC")  (3, 

H-  (AVh-  l)B'^-h  cC^jy,  —  o. 

Or,  pour  avoir  la  valeur  de  5c,,  on  fera 

A",'-f-  />  B',"+  c  (:;"=  o,      AV  ^  h  B';  -h  c  CV=  o, 

et  l'on  anr;i 

__  \.\-hbii\-\-cC\ 

""'"'    A':^  6B':-hcc:' 

Les  (|uaiilites  h  et  c  doivent  donc  éti'c  telles,  (|ut'  l'on  ail 

A,  -+-  />B,  -h  t(,,  =  o,' 
en  mettant  successivement,  au  lieu  de  p,  p"  et  r/\ 

25 


196  RECHERCHES  SUR    LES  INÉGALITÉS 

Or  l'équation 

A,  -h  bM,  -I-  cC,  =  o, 

si  l'on  y  sLibslilLic  les  valeurs  de  A,,  B,,  C,  (Article  XGIX)  cl  qu'on  Tor- 
tlonne  par  rapport  à  p,  sera  de  cette  forme 

p^  —  Mp  +  N  =  o, 

dont  les  racines  devront  être  p'"  et  p''';  c'est  pourquoi  on  aura  M  =  p"'-^p'^' 
et  N  =  p'" p^",  d'où  l'on  tirera  />  et  c;  on  trouvera  de  la  même  manière  les 
valeurs  de  |3,  et  de  y,. 

CVII. 

Ayant  Uouvé  la  valeur  de  x,,  on  trouvera  celle  de  y,  par  l'équation  (H) 
de  l'Article  LXXVI. 

On  aura  donc,  en  négligeant  les  termes  affectés  de  n  {'), 

y,  =  -  2 £'.  sin  1^  (^p.,  -  "  p'  j  /  +  0.;  J  -  9.  £':  sin  [(/^.  -  ^  P"  j  ^  +  <  J 
—  as'l'sin  M  p.,  —  -  p"'\t  -+-  W"    —  asV'sin    (p-  —  ^^P'")  ^  +  <    • 

CVIII. 

On  aura  des  expressions  semblables  pour  les  valeurs  de  Xa,  yo,--. 
[voyez  la  remarque  de  l'Article  C). 


CIX. 


Pour  peu  qu'on  examine  ces  valeurs  de  x  et  de  y,  on  verra  aisément 
qu'elles  renferment,  pour  ainsi  dire,  quatre  équations  du  centre  prises 
dans  des  ellipses  mobiles,  dont  les  excentricités  seraient  m' ,  ni\  nz"\ 

(*)  Lagrangc  rejelle  en  outre  les  termes  constants  (lui  doivent  disparaître  par  les  condi- 
tions de  r Article  XXXII.  [Notr  de  r Éditeur.  , 


DES  SATELLITES   I)K  .11  IMIKU.  197 

/<;'",  et  les  aiioiiialics  moyennes 

(l'on  l'on  voit  tjnr  les  nionvt'iiH'nts  de  t-cs  anomalies  seront  an  nmnvc- 

MJcnl  moyen  du  salellile  comme  i —,1 — ^  i —  cl    i ~ 

9.    u.  "y.    u.  9.    a  ■?.  y. 

il    I  ;  par  consécjncnl  les  apsides  avanceroni  {\r 

-  —  •  ibo°,       -  !—  •  Sbo",       -  *—  •  i(K»",       -  ; —  •  3bo" 
9.   p.  ?.    y.  7.    a  '.>.     a 

à  clia(|ne  révolution  du  satellite. 

On  poiinail,  par  la  méthode  de  l'Article  III,  réduire  ces  quatre  c(|ua- 
tions  à  une  seule,  dans  laquelle  l'excentricité  serait  variable  et  le  mou- 
vement des  apsides  non  uniforme;  mais  je  crois  ([u'il  est  plus  couimodc 
de  les  laisser  sous  leur  forme  natui'clle. 


ex. 

On  suivia  une  méthode  analogue  pour  trouver  la  valeur  de  :;,,  ;iu 
moyen  des  équations  (N,),  (Na),...  de  l'Article  XCl.  Mais,  sans  entrer 
dans  de  nouveaux  calculs  à  cet  égard,  il  sulfii'a  de  remarquer  (|ne  les 
équations  dont  nous  parlons  peuvent  se  déduire  des  équations  (M,;, 
(Mo),..  -,  en  changeant  x  en  z,  M  en  N,  ^  en  F,  et  supposant  nulles 

toutes  les  (juantités  marquées  par  la  lettre  II  ;  d'où  il  s'ensuit  : 
[•'  Que  si  l'on  fait    Article  XCVIII; 

(I,  ?.  )  =  r, 'a,,  a,),     (i,  3)  =f,(a,,  rta),       (  ?.,  i)  =  f  .(a^,  a,  ), .  .  .; 

ensuite 

Tt,  -, 

K,  =  —  2   -,         K,  =  —  3. 


'h  y.î 


on  aura  pour  A,,  B,,  (^,  les  mêmes  expressions  (|ne  d;ins  l'Arlicle  XdIX, 
et  la  vahîui'de  7  devra  se  déterminer  au  moyen  de  re(|ua(ion    Z  . 


198  RECHERCHES  SUR   LES   INÉGALITÉS 

2**  Que  si  l'on  suppose,  lorsque  /  =  o, 

Z^  =:  Z,,       Zi  ^=  Z2,       Z3  =  Zj,       Zi  :^-  Z4, 


777-     "     ^-"^"      dt  "^"      rf/  "    *' 


ri  (in'oii  fasse 


y,  =z  V(  V,  -+-A,V2-I-  B.V'aH-  C,V4)'+  (f/.,Z,  +A,f/.2Z2  +  Bi/y-aZa-h  C,U<Z4)% 

—         V. +  A.V.+  B,V., +  C.V4 
'       p.,Z,  -f-  Ai^-jZ,  H-  R1P-3Z3  H-  Cif/iZj 

ensuite 

■'     "  a,  (iH-  a,  +  (3,  +  y,  )'         '        p.,  (i  +  «1  H- (3, -4- yi) 

-m  P'Xl  "in   y'/i 


,     >, 


■'         p.,(H- a,  +  (3,  -)-y,;'  '  ,a,l  I -+- a,  -4- ji,  -f-y,) 

les  quantités  a,,  |3,,  7,  étant  déterminées  par  les  équations  (^j  de  l'Ar- 
.tiele  GIV,  on  aura 

z,  =  ?:,  sinrfu,  +  %')/  +  /i',  1  -f-  K  sin  r(  y.,  +  "  0-")  /  -f--/;':  1 
-f-  r; sin  r  (  P-.  +  ^  cr'"  )/+•/]  :'l  +  >,7  sin  f  (  y.,  +  %'^- W  +  v; 7I . 
et  ainsi  des  autres  quantités  z.^,  z^,  z^, 

CXI. 

Cette  expression  des,  est  composée,  comme  l'on  voit,  de  quatre  termes, 
chacun  analogue  à  l'expression  de  s, ,  trouvée  dans  l'Article  XL,  laquelle 
donne  un  plan  mobile  dont  l'inclinaison  est  constante;  donc,  pour  trou- 
ver la  position  de  l'orbite  d'un  satellite  quelconque,  il  n'y  aura  qu'à  ima- 
giner quatre  plans  passant  par  le  centre  de  Jupiter,  dont  le  premier  se 
meuve  sur  celui  de  l'orbite  de  cette  Planète,  en  gardant  toujours  avec  lui 


DKS  SVTKLIJIKS    l)K  .1  11  IMTKU.  1!)!» 

la  inéllKf  iiicliiiaisoii  ;  le  sccdiitl  se  iiictivc  de  l;i  iiiciiic  iiiiiiiic'i'c  sur  le  |iic- 
iiiicr;  le  Iroisii'iiic  sur  le  second,  cl  (-iiliii  le  (|ii;ilii('mc,  (lui  s('r;i  ccliii  do 
l'ol'hitc  du  salrllilc,  se  meuve  |»;ireilleiiieiil  sur  le  (roisii'uie.  Ainsi  U"- 
quJMililés  n/' ,  ni",  nk" ,  /ù.^"  seronl  les  laiigenles  des  iiu  liiiaisons  du  (iie- 
inic^r  plan  sur  celui  de  JuplUîr,  du  second  sur  le  premier,  du  lioisii'ute 
sur  le  second  el  du  (inali'iènie  sui'  le  ti'oisièuie,  et  les  auLijles 


f -H 7')  t  -h  y)',    (  a  -h  -  a")  t  -¥-  7)",    (  y.  -+-  -  7'"]  I  4-  n'" ,    (  y.  -t-  -  <7'M  /  -4-  //' 


seront  les  distances  du  satellite  aux  nœuds  dw  preuru'i-  plan  avec  crlui 
de  7^ ,  du  second  avec  le  premier,  du  troisiè'me  avec  le  second  el  i\\\  (|iia- 
trième  avec  le  troisième;  d'où  l'on  voit  (jue  les  nœuds  de  ces  (pialre 
plans  rétrograderont  pendant  une  révolution  du  satellite  de 


n  d'  n  7"       .  n  a"'       .  n  7''       , 
•  ibo",       -  —  •  -3DO",       -  —  •  000",       -  - —  •  obo". 

2     V.  '.>.      <J.  2      IJ.  2       U. 


Si  l'on  voulait  connaître  directement  la  position  du  j)lan  de  l'orhite  du 
salcdlite  par  rapport  à  celui  de  l'orbite  de  Jupiter,  on  y  parviendrait  par 
la  méthode  de  l'Article  III;  car,  nommant  n-  la  tangente  de  l'inclinaison 
et  1  la  distance  du  satellite  au  nœud  ascendant,  on  aurait 


n'dz^ 


V  do' 

savoir,  à  cause  de  o  =  uJ  -+-  ny. 


tang4;  = 


HZ  d(^ 
ndz 


.   /  ,         (fz'  ,         u.zdl 

d'où  l'on  tire,  pai'  les  logarithmes, 

expression  dans  la(|uelle  les  imaginaiies  se  détruiront   unituellenienî, 


200  KECHEUCHES  SUR  LES  INEGALITES 

mais  (ju'il  sera  difficile,  peut-être  impossible,  de  réduire  à  une  forme  finie. 
Ainsi  je  crois  qu'il  vaudra  mieux  s'en  tenir  à  la  formule  de  l'Article  CIX. 

CXII. 

Telles  sont  les  premières  valeurs  dut»  variables  x,  y,  z  dans  lesquelles 
on  a  négligé  les  quantités  de  l'ordre  de  n.  Si  l'on  veut  y  avoir  égard,  il 
n'v  a  (ju'à  substituer  ces  mêmes  valeurs  dans  les  équations  de  l'Ar- 
ticle LXXVl,  et  les  intégrer  ensuite  par  la  méthode  ordinaire  (Ar- 
ticle XXXIV). 

Nous  n'entrerons  point  dans  ce  détail,  qui  n'a  d'autre  difficulté  que  la 
longueur  du  calcul,  et  qui  d'ailleurs  ne  paraît  guère  nécessaire  dans  la 
Théorie  des  satellites. 

Il  y  a  cependant  encore  quelques  termes  des  équations  (G)  et  (K)  de 
l'Article  LXXVI  auxquels  il  ne  serait  peul-èlre  pas  inutile  d'avoir  égard; 
ce  sont  ceux  qui  viennent  de  Faction  du  Soleil,  et  qui  renferment  les 
quantités  X,,  y,,  s,,  multipliées  par  cos2(m— p.ji,  ou  par  sin2^m— fj.,j^; 
car,  en  substituant  au  lieu  de  ces  quantités  leurs  valeurs  trouvées  ci- 
dessus,  on  aura,  à  cause  de  m  très-petit  (Article  XLVlll  j,  des  termes  qui 
augmenteront  beaucoup  par  l'intégration,  et  qui  appartiendront  aussi 
en  quelque  manière  à  la  première  approximation;  je  dis  en  quelque  ma- 
nière, parce  que  ces  termes,  quoique  fort  augmentés  par  l'intégration, 
se  trouveront  encore  assez  petits  par  rapport  à  ceux  que  nous  avons 
trouvés  jusqu'ici. 

En  effet  les  termes  dont  il  s'agit  étant  tous  multipliés  par  nK  =  -^ 

(Article  XLIX),  et  devant  être  divisés  par  des  quantités  de  l'ordre  de  m 
et  de  n,  seront  encore  après  l'intégration  de  l'ordre  de  m  et  par  consé- 
quent très-petits.  C'est  là  la  raison  pour  laquelle  nous  n'avons  point  eu 
d'égard  à  ces  sortes  de  termes  dans  les  calculs  précédents;  d'autant  plus 
que  notre  objet  principal  est  de  déterminer  les  inégalités  des  satellites 
causées  par  leur  action  mutuelle,  conformément  au  Programme  de  l'Aca- 
démie. Je  pourrai  peut-être  dans  une  autre  occasion  reprendre  plus  au 
long  ces  recherches. 


DES  SATKIJ.ITKS   l)K    lUPITEM.  201 


CXIII. 


Rkmahqt'e  I.  —  Nous  avons  vu  (pic  les  (|u;(Ulil(''S  o  cl  ç  dcjjcndcut  do 
doux  ôquations  du  qualrièuio  degré  (Articles  XCIX  et  (^Xj.  Or  il  peut 
arriver  deux  cas  qu'il  est  bon  d'examiner.  Le  premier  est  celui  où  ces 
équations  auraient  des  racines  égales;  le  second,  celui  oii  élit  s  ;iiii';iicnl 
des  racines  imaginaires. 

Voyons  donc  ce  (|u'il  faudia  l'aire  dans  ces  deux  cas  : 
i"  Supposons  que  doux  (juelconques  des  valeurs  de  p  soient  égales 
entre  elles,  par  ex(Mnple  p"'~p"'.  On  fera  p^''  —  p"'-+-i,  /étant  une  (|iiaiililé 
évanouissante,  et  l'on  aura  (Article  XCIX) 

A';  =  A';'+  F/,    B7=  B;"-f-  g /,    0'  =  c;"-i-  h /, 

F,  G,  Il  étant  les  cocHicients  (le  dp'"  dans  les  dillerentielles  de  A",, 

b;",c;". 

Donc  les  équations  (5)  de  l'Article  CIV  deviendront,  en  taisant 
M.  +  7'  =  ^^  <'f  7<^  =  ^' 

A',  4- «A",  +  6 a; +6' F  =  0, 

b;  +«B';  +  />B;"-r  cG^o, 
c;  -t- «€';  +  /> c;"+eH  =  o, 

d'où  l'on  tirera  a,,  b  et  c. 

On  aura  de  même  (Article  CIV) 

Ô7  =  ô  ;"  +  A  /    01    r,)';  =  f.)";  -+- 12  /, 

A  et  il  étant  pareillement  les  coelFicients  de  dp.^  dans  la  diirérentiali(ni 
de  ^"1  et  w"j . 
Donc 

cos|^^f^,-  ^V'j'  +  ^'J 

=  cos     (  a,  —   -  p'"  j  /  -(-  o)",'     +  /  (  ^  /  —  0  j  sin     (  y.,  —  -  o"'\  t  -I-  m[    • 
VI.  26 


•202  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Donc  les  tonnes 

£;"C0S[   L,  -   ^A  l  +  <]  +  £7C0S      L.,  ~     ~  p'^  )/  +  0) 

(le  la  valeur  de  x,  (Article  CIV)  se  changeront  en 


Or 


" '         '        y.,  ( I  +  a,  +  (3,  H-  y, )       p.,  (n-  a,  +  6 ; 


07  y,  « 


4-  a,  +T" 


'     .      |y.,(n- a,  4- [3, -f- y,)        f/., 
Donc  la  valeui'  de  x,  deviendra 

X,  =  e',  cos    (p., p'  )  ^  +  «'.     +  ^I  cos    {|J-^-~  -  p" I  ^  +  w" 

Par  conséquent  celle  de  y,  sera  (Article  GVII),  en  négligeant  les  termes 
de  l'oi'dre  de  n, 

y ,  =  -  s>.  e;  sin  \U'-  '^  p'j  ^  +  «',     -  2  e"  sin    / /a,  -  ^  p"  W  +  «;'  J 

[(p,~^p-)/  +  <J 

;^.-o)cos[(,.-^p^)..<]. 


6a7  +  cA 

y.i  (i  -h  a,  H-  /> 

-SOT 

co, 


sin 


/^i(I  -4-  «1 


De  là  on  voit  (jue  les  valeurs  de  x,  et  de  y,  conlieiidrout  dans  ce  cas 
un  terme  multiplié  par  l'angle  t,  lequel  donnera  par  conséquent  une 
équation  dont  la  valeur  ira  toujours  en  augmentant. 

On  résoudra  de  la  même  manière  le  cas  de  trois  racines  égales,  et  l'on 


DES  SATKLLITES   l)K   lUIMïKH.  203 

h'oiivrr;!  pour  lois  dans  les  valeurs  de  x,  et  de  y,  des  termes  (|ui  contieii- 
dr(ni(  l'angle  /  avec  son  carré  t'-\  et  ainsi  de  suite,  s'il  y  avait  (jualic 
racines  étçales. 

:<"  Soicnl  uiainteiiant  p'"  et  p"'  imaginaires;  on  les  mellra  d'ahord  fee 
(|ni  est  toujours  possible  comme  on  sait;  sous  celte  l'oruie 

p  et  c/  étant  des  (juanlités  réelles;   moyennant  (juoi  les  (|uaiitités  A",', 
H,",  C"',  A'.',  IV,\  CV  se  l'amèneront  à  la  forme  suivante 


A";.    P+Qv/-i,     AV=P-Qy/-., 

b;"=  h  +  s  v^^,    bv  =  k  -  s  v/~ , 

(::=  T  +  V  v^,     cv  =  T  -  V  v/'^ . 

Faisant  ces  substitutions  dans  les  équations  (à)  et  supposant 
/3,  -f-  y,  =  2b,  ^,  --  2C\/—  1 ,  les  imaginaires  disparaîtront,  de  sorte 
qu'on  aura  pour  a^,  b,  c  des  valeurs  réelles;  donc  les  quantités  /5,,  y, 
seront  encore  de  cette  forme 

(3,  -   b  -\-  c  \J—  I ,      y^=:  b  -     c  \J—  I . 

De  plus,  on  verra  par  l'Article  Cil  que  les  quantités  D',",  \i"[ ,  D',',  K7 
seront  aussi  de  la  forme 

Donc  on  aura  aussi 


f/,(i -(-a,-f-(3, -+-y,)  ^        '      u,(i -i-a.-f-p, +  y,  I 

=   /<   -h   /  y  —  I  , ~ =  h   —    l  y'—  I 


f/.ii -l-a, -f- (3,-i-y,  )  ^        '      p.,(n- a,  H- {3,-(-y,^ 

26 


204  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Or 

sin    y.,  -  -(p±:q\/  —  i)\i 

/  n    \  Il         , /  "    \  ■     '^         

=rsin(a, —  -/?)/ X  cos-  7/v— ï=FCOS^p.,  —  -p\  /  X  sin  ^  qt^^  —  i, 

f'I  lie  iiiômo 

I  n    \  n         r ,     .     /  "     \  .     Il         • 

=  cos  (p., p\  ^X  cos  -  qt  ^—i  ±sin  (y,  —  -p\  ^Xsin  -  qt  sj  —  i . 

Donc  les  termes 

sin    y,  -  -p'"  W-  —-—T-'  cos    y.,  -  -  p'"    / 


_a,i  i  +  a,+  {3,+y,)         V'        ^' '    /  f/., (i  +  a,  +  (3,  H-y 

'  sin    y., p'^)/ ^ ' L -cos    u, p'M  / 


a,  (1  + a, +  {3,  H- 7,)  \''         a'     /  («..(i  4- a,+ |3, +  y,)  V'         2' 

(le  la  valeur  de  x,  (Article  CIV)  se  changeront  en 

2    H  sin  (y, p\  t  —  /i  cos  (y, /^  )  M  *^°^  ~  'l^  V  ~  • 

—  '^^    L  cos  ( p.,  —  -  /> I  if  +  /  sin  (a,  —  - /> )  '    sin ~  qt  v'^  X  y/"^, 

c'est-à-dire,  en  mettant  au  lieu  de  i^os    qt\j—  i  et  sin-^/y— i  leurs 

-?'/'       7'/'      -5-'/'       5-'/' 
valeurs  exponentielles >  ■ — , 

f  H  —  /  )  sin  (y.  —  7  />  j  ^  H-  (  L  -f-  /i  )  cos  ( y,  —  -  /' )  H 
'''  [(H  +  /)  sin  L  -  ^  y^)  /  -  (L-  /O  cos  (y,  -  " />")  /  1, 


e-^' 


DES  SATELLITES  DE  .HIPITKH.  205 

expressions  cjui  jtt'iivciil  encore  se  changer  en  celles-ci 

^  '^/'    r/     w  \       I      -j'i'    r/     'i  \       ] 

£  e"      ros     la, />  j  /  H-  '.)  M-  se  cos     I  a, />]/-+-''.)    , 

en  l'aisanl 
H  —  /=— Tsinoo,     L -4- /<  =:  Vros'T),     11  +  /= — Tsino),     // — L--;?cos'.). 
On  mettra  donc  ces  termes  au  lieu  des  ternies 

e"  cos  r  U,  -  '-^  rA  l  +  r,)';'l  +  £7  cos  Up..  -  '^  ^A  t  +  0.;1 

(le  la  valeur  de  x,  de  l'Article  CIV,  et  l'on  aura 

X,  =  £',  cos      (  w, p'  )  ^  +  ''>'i       +  ^'i  ^OS      (  y., f\t  +  6)  I 

H-  £  e-      cos     If/, />  W  -f-  ^.)     -h  £  «?         cos     (  y., p\  l 

d'où  l'on  tire  (Article  XC) 

o'  \  t  -+-  rj\       —  2  e"  sin     (  a, ■  P"  )  ^ 


2£,   SIM 


^7'/'     . 

—  2  £6"     sni 


4-  rij, 


(y.,-^/>)/  +  oï] 


3.  £  e    ■     soi       y. 


7  W  -f-  '.. 


Ainsi,  (Lans  ce  cas,  les  valeurs  de  x  et  de  y  contiendront  deux  Iim mes. 
Il  « 

l'nn  multiplié  par  e-    ,  et  l'autre  par  e   '    ,  lesquels  donneront  dans  le 

mouvement  des  satellites  deux  équations,  dont  l'une  ira  toujours  en 

augmenianl  et  l'autre  ira  en  diminuant. 

Si  les  valeurs  de  p  étaient  toutes  quatre  imaginaires,  on  ferait  sur  les 
deux  [U'cmiers  termes  de  l'expression  de  x  (Article!  Cdll  ,  les  nuMiies  rai- 
sonnements et  les  mêmes  réductions  (jue  nous  venons  de  taire  sui-  les 
deux  autres. 

On  en  dira  aulanl  des  valeurs  de  c.  Ies(|uelles  sont  enticrenieiil  ana- 
logues a  cidles  de  x  (Article  ClXy;  di'  sorte  (|ue,  si  l'éciuation  en  7  avait 


20()  RECHERCHES  SUK   LES  INÉGALITÉS 

(les  racines  égales  ou  imaginaires,  les  latitudes  des  satellites  se  tiouve- 
raient  sujelles  a  des  variations  qui  augmenteraient  de  plus  en  plus. 

CXIV. 

REMA.KQLE  II.  —  A  l'égard  des  quantités  s',,  s],...,  oj,  ,  ',)'[,..., 
£', ,  s'a,...,  il  faudra  les  déterminer  par  le  moyen  des  observations; 
mais  il  y  a  là-dessus  une  remarque  importante  à  faire  :  c'est  que, 
comme  il  n'y  a  proprement  que  les  huit  quantités  X,,  Y,,  Xo,  Y2,  X;,, 
Y3,  X,,,  Y'4  qui  soient  absolument  arbitraires  (Article  Cil),  et  que  les 
quantités  dont  nous  parlons  sont  au  nombre  de  32,  on  aura  24  condi- 
tions à  vérifier. 

Il  en  est  de  môme  des  quantités  1\ ,  !'[,...,  75',  ,  vj",...,  ).2  '  ^ô'---' 
y;., ,  vj;,  '•••  (Article  CXj. 

CXV. 

ScoLiE.  —  Nous  avons  déjà  donné  les  valeurs  de  ê,,  §2»  ^3»  ^^  (Article 
LXXXII)  aussi  bien  que  celles  de  w,,  zs._,,  ^3,  w,,  (Article  LXXXVI). 

Ainsi,  pour  avoir  les  valeurs  de  p  et  de  a,  il  ne  s'agira  plus  que  de 
trouver  les  valeurs  numériques  des  coefficients  de  l'équation  (Z)  (Ar- 
ticle XGIX)  dans  les  deux  cas  (Articles  XCVIII,  CIX). 

Premier  Cas. 
Suivant  les  formules  de  l'Article  XCVIII,  on  a 

o  o 

(i,  2)  =  ¥,(«,,  «2 1  —  u,n,(«,,  «2  !; 

donc,  faisant  les  substitutions  de  l'Article  XCI,  et  mettant  partout  fx.  au 
lieu  de  Mo,  on  aura 

(i,  2)  =  "$■,(«,,  «2)  -H  2 r,(«,,  a,)  —  4  — r,(a,,a..) 

y-- 
-  (.?,(«.■  a.)  +  4  ^-^-^  r,(«„ «.)■)  4^^-i^' ., 


DES  SATELLITES  DE  JUPITEU  207 

ce  (|ui  se  rciluil  ;i 

On  liouvciM  (le  même 

(i,  3)  —  W,{a„  «:,)  -h  2f  ,(a,,  aa)  —  7.W,{a,,  a^)  —  4fi(«.,  «0, 
(2,  0  —  *F,  («j,  «,)  -{-  2f,(a2,  «,  )  —  2^,  (as,  a,)  —  4?,  i«v,  a,); 

cl  îiiiisi  (les  ;iiiti'('S. 

Or  nous  iivnns  dcja  donne  les  valeurs  des  quanliiés   1  ,  ci    I  ,     Ar- 
ticle \LVIlj;  il  ne  reste  plus  qu'à  chercher  celles  de  M-,  el  de  M  ,. 

Pour  cela,  il  faut  auparavant  chercher  les  valeurs  des  quantités  M  .  M  , 

cl    M.,,  Or,   en    taisant    a  = —•>  on  trouve     Article  XXII),  à   cause   (!<■ 
A{a,,a.)  =  a-'  (A),  X^ia,,  a.)  =  a7'  (B),...  ^Article  LXXXy, 

9.  al 


2a, 


et  de  même,  a  cause  de  A{a2,  a,)  =  \(a,,  a.2),... , 


H^  («2,  a,): 


2a, 


Wf«     _     .         ^(C)-2g'(B)  +  2^(A) 

4  ,(«„  a,  )  -  ^^3 

Donc  f  Article  LXXXj 

4'"  { a,,  «2)  =  n  («2,  a,  ,     W,  \a„  a,   =  H, (  a.,  a, ) .  .  . , 
^  (a2,  a,)  =  n  (a,,  a.),     M:', (a-;,  a,  )  ^  lï.ia,,  «j).  .  ., 

c"est-;i-ilirc,  (juc  les  quantités  H  sont  les  réciproques  des  (|iiaiililc>  II. 


208  RECHERCHES  SUR    LES  INÉGALIÏÉS 

On  aura  donc  (Article  XXIV) 

W,  (a„  aO  =  3  -' 1 „ 


-4-2^' 


expression  qui  servira  aussi  pour  les  quanlités  analogues  ¥,(«,,«3), 
Wi  (a.,,  «3  ), . . . ,  en  faisant  successivement 


a,  «2 

o  =  — ,       q  =  — 


Ensuite  on  aura,  pour  les  quantités  réciproques, 

^P,  —  aPi  +  agP        qC  -f-  agA        ^ 


»F,  (a„a,)  r=  3- 

et  ainsi  des  autres. 

Pareillement  on  trouvera  (Article  XXV j 


r 


^^a„a,}  =  3^ ^^  +r.ia.,«,)-  3^% 


W 


2  ^ 

et  ainsi  des  autres. 

De  là  on  tire,  en  employant  les  valeurs  de  la  Table  de  l'Article  LXXXI, 


(a.,  «2) 

(«1,  «3) 

(«.,  «4) 

.      («2,     «3) 

(«2,    «4) 

(«3,    «4) 

^\ 

-   1,708 

—  0,181 

—  0,008 

-      1,733 

—   0, l32 

—     0.887 

?, 

o,366 

0 ,  068 

o,oo3 

o,i53 

o,o36 

0,214 

(a-i,  «.) 

(«3,    «.) 

(«4,    «l) 

(«3,  «2) 

(«4,  a,) 

(«4,    «3) 

^, 

I  ,2o3 

J 1.699 

2g,33o 

i,58o 

14,871 

3.489 

?. 

—  6,181 

-13,371 

— 4o,o52 

—  6,5oo 

—  16,188 

—     7,089 

ensuite 


DES  SATELLITES  DE   lUPlTEHs^ 


209 


(1,^) 

(•,3) 

(•,4) 

(^,3) 

('^,4) 

(3,4) 

-  1.578 

—  0/21 3 

—  0,004 

—  i,i55 

—  0 , 1 G2 

-  0,765 

{2,  i) 

(3,  0 

(4,  0 

(3,2) 

(4,2) 

(4,3) 

-  2,305 

-  o,3G3 

— 10,040 

-  i,4'4 

—  0.289 

-  i,33i 

Doue  l'équation  (Zj  de  l'Article  XCiX  deviendra 

(e)  K,  K2K3K4-2,532K,  K.-o,468K,K3 -1,633 K,K, 

—  0,040X3  K3  —  0,077 K,  K4  —  3,732X3 K« 
H-  i,oi3K,  +  1,641  Kï,  ■+-  2,593X3  H-  1,373X4  —  5,599=:^  o, 

où  il  n'y  aura  plus  qu'à  substituer  au  lieu  de  K,,  Kg,  K;,,  K,,  Iciiis  valeurs 


X' 


1  2  ^ ,  2  * ,  2 


-64 


%2 


Z3 


X^ 


Second  Cas. 
On  aura  ici  (Article  CX) 

(1,2)  =  r,(a,rt2j.     11,  3)  =  r,(«,,a3),.  • -,     (2,  i)  =  r, !«.,«. j>' 


Donc,  faisant  successivement  q—    -•>  a—  — ?•   -^  on  aura    Articles 


XXXII  et  XLIIl 


ensuite 


i,2)^r/^B,     (i,3)  =  9^B,...; 

2,  !)=:</ B,        (3,  1)  =:yB, 


VL 


27 


210  REtiHERCUES  SUR   LES  INEGALITES 

Donc,  en  employant  les  v«ileurs  de  B  données  dans  rAilicle  XLVI 
«n  trouvera 


('•^) 

(1,3) 

('-4) 

(2,3) 

(^4) 

(3,4) 

-  1,963 

—  0,252 

-  0,037 

-  1,884 

—  0,174 

—  I ,i5i 

(a,  I) 

(3,  I) 

(4,  I) 

(3,2) 

(4,^) 

(4,3) 

—  3,ii6 

—  0.G40 

—  0, i 06 

—  3,011 

-  0.489 

—  2. 025 

et  l'équation  fZ)  se  changera  en  celle-ci 

(Ç)  K,  K,  K3  K4  -  ?.,33i  K,  K,  -  o,o85K,  K3  -  5,675K.  K, 

—  0,006X2  K3  —  o,  161  Ko  K4  —  6,120X3  K4 
-+-  2,i24K,  +  0,096X2  H-  0,1 14R3  H-  4'73^  ^i  "*~  '  "'9/2  ^^  *^' 

dans  laquelle 


K,  =  2-! ?        k2  =  2- ;        K3  =  2-^ 

7j  X^  7.3 


K.  =  2i^ 


7j 


Il  resterait  maintenant  à  tirer  de  ces  équations  les  valeurs  de  p  et  a, 
d'où  dépendent  les  principales  inégalités  de  l'équation  du  centre  et  de 
la  latitude  des  satellites  de  Jupiter;  mais  comme  nous  touchons  au  terme 
fixé  par  l'Académie  pour  l'admission  des  Pièces,  nous  nous  contenterons 
ici  d'avoir  donné  la  méthode  et  les  principes  nécessaires  pour  déterminer 
ces  sortes  d'inégalités,  et  nous  remettrons  ce  travail  a  un  autre  temps, 
où  nous  nous  proposons  de  suivre  et  de  discuter  avec  attention  ces  points 
importants  de  la  Théorie  des  satellites. 


DES  SAÏELMTKS   l)i:  JUIMTEU.  211 

^  l\  .  —  S/n  /es  inc^alllrs  des  sdtcUitc.s  de  Jupiter  (jui  dcpcndcut 
de  la  prriodc  de  l 'i  (lh.s. 

ex  VI. 

Les  Tables  du  prcinicr  cl  du  sccoiid  salcllilc  ne  l'cnt'enncnl  (juc  les 
é(|uations  qui  dépendent  de  l'anomalie  de  Jupiter  avec  celles  (|ui  dé- 
pendent de  la  période  de  4^7  jours  dont  nous  avons  parlé  au  long  dans  le 
^  V  du  Chapitre  précédent;  cependant,  il  est  facile  de  se  convaincre,  et 
M.  Wargentin  l'avoue  lui-même  dans  les  dissertations  (ju'il  a  mises  ii  la 
tête  des  observations  de  ces  deux  satellites  [Mémoires  de  la  Société  d' Up- 
sal,  années  1742  et  1743),  que  les  équations  attribuées  à  l'inégalité  du 
mouvement  de  Jupiter  ne  s'accordent  pas  entièrement  avec  l'équation 
du  centre  de  cette  Planète;  d'où  il  s'ensuit  qu'il  doit  y  avoir  dans  le 
mouvement  de  ces  deux  satellites  des  inégalités  particulières  qui,  ayant 
des  périodes  à  très-peu  près  égales  à  la  révolution  de  Jupiter,  se  trouvent 
pour  ainsi  dire  fondues  dans  la  grande  inégalité  qui  vient  de  l'excentri- 
cité de  cette  Planète;  c'est  ce  que  la  Théorie  confirme  d'ailleurs,  car  on 
a  vu  que  les  équations  du  centre  des  satellites  (Article  CVII)  doivent  ren- 
fermer quatre  termes  tels  que 

2  « e  sin     La p  |  /  -1-  w    ; 

or,  dans  le  temps  des  éclipses,  on  a  u  —  i^  =  180"  à  très-peu  près  f  Ar- 
ticle Lllj;  donc   u  —  uJ  =  r8o"  -h  c,   donc 

sin     iy.—  "  rA  /  4-  o)    =  sin  M  i  —  ^  J  (  180»  H-  c  )  -(-  w 

=  —  sm       I ^     ('  -f-  w ~  180"    : 

L  \         ^-  y-  /  :>  V. 

d'où  l'on  v(»ii  (|iie  les  é(|uations  provenant  de  ces  Icrmcs  auicnit  drs  pé- 
riodes égales  à  la  révolution  de  Jupiter,  plus  à  "'-  de  celle  K'volulion. 

2". 


212  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Au  reste  on  ne  doit  pas  se  flatter  de  pouvoir  jamais  déterminer  ces  sortes 
d'inégalités  par  la  simple  Théorie;  car  les  valeurs  de  p  (Article  CXV) 
dépendent  des  quantités  y^,  c'est-à-dire  des  masses  des  satellites,  dont 
la  plupart  sont  encore  inconnues.  Ainsi,  ce  n'est  que  par  des  observa- 
tions multipliées  et  réitérées  qu'on  peut  espérer  de  perfectionner  à  cet 
égard  la  Théorie  des  deux  premiers  satellites. 

CXVII. 

Ou  a  aperçu  de  pareilles  inégalités  dans  le  mouvement  du  troisième 
et  du  (juatrième  satellite;  ce  sont  celles  qui.  dans  les  Tables  de  M.  War- 
gentin,  répondent  aux  arguments  E  et  G. 

En  consultant  ces  Tables  {voyez  les  Tables  des  satellites  imprimées 
parmi  celles  des  Planètes  de  M.  Halley),  on  trouve  :  i*^  que  le  nombre  E 
achève  huit  périodes  exactes  dans  l'intervalle  de  cent  années  juliennes, 
d'où  il  s'ensuit  que  chaque  période  est  de  douze  ans  et  demi;  2°  que 
dans  le  même  espace  de  temps  le  nombre  G  achève  8-j^^j^  périodes,  ce 
qui  donne  i2""%[3o  pour  la  <lurée  de  chaque  période;  mais  ce  dernier 
élément  a  été  réformé  dans  les  nouvelles  Tables  du  quatrième  satellite 
imprimées  à  la  fin  de  la  Connaissance  des  mouvements  célestes  poui'  l'an- 
née prochaine  :  suivant  ces  Tables,  le  nombre  C,  qui  fait  ici  le  même 
effet  que  le  nombre  G  dans  les  premières,  achève  8^^^  périodes  en 
cent  années  juliennes;  d'où  l'on  tire  pour  la  durée  de  chaque  période 
i2^"%i  i5  environ. 

Or,  si  l'on  imagine  que  chacune  de  ces  deux  équations  soit  représen- 
tée par  un  seul  terme  tel  que 


siii     (  I ^  c  -f-  0)  —  —  )  180" 


(c'est  le  cas  où  l'orhite  seiait  une  ellipse  mobile),  on  trouvera  aisément 

que  la  quantité  —  sera,  i)our  le  troisième  satellite,   =  -^^  —  0,0870, 
'  '  ?.  p.  '  ^639.  ' 

et,  pour  le  (jualiii'me,   =  7——  =  0,0237.  ^"  pourrait  trouver  de  même 


DES  SATKM.ITKS   DK  .lUIMTEK.  213 

les  valeurs  des  qujuilités  (»  (|ui  dépendent  des  époques  des  aii^iiiiiciils  E 
et  C,  aussi  bien  (|ue  les  eoelliciciils  m  (|iii  expi'iment  les  j)lus  i^i-indcs 
équations;  mais,  pour  (jue  toutes  ces  déterminations  fussent  exactes,  il 
l'audinil  (|iie  les  aiilres  termes  (jui  doivent  ciilrci-  (l;iiis  les  équations  du 
eentre  lussent  nuls  à  la  fois,  ce  qui  parait  assez  dillicilc;  d'ailleurs  les 
incertitudes  et  les  variétés  qu'on  trouve  lorsqu'on  eonipare  les  observa- 
tions de  ces  deux  satellites,  et  (ju'on  veut  fixer  h's  (juantités  et  les  pé- 
riodes des  équations  dont  nous  parlons,  donnent  tout  lieu  de  cioire  (|ue 
ces  équations  sont  plutôt  des  résultats  de  dilférentes  équations  particu- 
lières qui,  ayant  à  peu  près  les  mêmes  périodes,  se  confondent  ensemble, 
comme  nous  l'avons  déjà  observé  par  rapport  aux  deux  premiers  satel- 
lites. 

CXVIII. 

Je  finirai  ces  remarques  par  donner  un  léger  essai  de  calcul  sur  les  va- 
leurs des  quantités  p,  et,  pour  plus  de  simplicité,  je  supposerai  que  les 
masses  du  premier  et  du  quatrième  satellite  soient  considérablement 
plus  petites  que  celles  du  second  et  du  troisième;  bypolbèse  <(ui  n'a 
d'ailleurs  rien  de  choquant. 

Donc,  puisque  /,  et/,  sont  des  quantités  fort  petites,  K,  etK,  seront 
fort  grandes,  par  conséquent  l'équation  (s)  de  l'Article  CXV  se  réduira  ii 
très-peu  près  à  celle-ci 

K,  kjKjK^  —  i,633K,  Ki  =  o, 
d'oii  l'on  tire 

K,  —  o,     ou  bien     K4  :=  o,     ou  l)i(Mi     K,  K3  —  i,633  =  o. 

On  aura  de  plus  par  les  formules  de  l'Article  LXXXVI ,  en  mettant 

©     (S;., 
n-/j,  rr/o,...  au  lieu  de  -^^  'W">""'  ^^  '^''  «'onservant  que  les  teiMues  ijiii 

renferment  /o  et  /:,,  on  aura,  dis-je, 

g,  =  0,9827.,  -+-  0,124x3,    êv  =  60,40/3,    03  =  1 ,4^7X-'    ^■'  =  o,?<>ox,  -1-1,1 3ij/,. 


21i  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

Donc,  puisque 

^  -  ê,  ^  -  ê, 


Xi  X^ 

on  a,  pour  les  quati'e  valeurs  de  p,  les  équations  suivantes 

—   —  0,08272  —  0,I24Xî  =  O' 

F-  ' 

-^ 0,260  y,  —  1,13973  =  f) 

f-4 

-7-0,9407.  7-    -1.467X3 

l^ X  ^- 0,408  =  o, 

X^  X3 

d'où  l'on  tire  à  peu  près 


p  =  0,701^.3 72  -1-  o,47oa2  73±v;o,73i|(/3X2  +  o,470f-2X3)'-<-o,4o8f^,^3X2Xs' 

Ainsi  l'on  aura  les  quatre  valeurs  de  p,  qui  donneront  pour  chaque 
satellite  quatre  équations,  dont  les  périodes  seront  de  i  h — -  révolu- 
tions de  Jupiter. 

§  V.  —  Des  (i'irées  des  éclipses  des  satellites  de  Jupiter. 

CXIX. 

La  durée  d'une  éclipse  dépend  de  quatre  éléments  :  de  la  largeur  de 
l'ombre  de  Jupiter,  de  la  vitesse  du  satellite,  de  sa  latitude,  et  de  l'incli- 
naison de  sa  route,  laquelle  peut  être  prise  pour  rectiligne  pendant  tout 
le  temps  de  l'éclipsé. 

Soit  donc  a  l'angle  que  le  demi-diamètre  de  la  section  de  l'ombre  sous- 
tend  au  centre  de  Jupiter;  cet  angle  est  donné  par  les  observations  pour 
chacun  des  quatre  satellites. 

Supposons  de  plus  que  9  dénote  la  longitude  du  satellite,  et  p  la  tan- 
gente de  sa  latitude,  au  moment  de  la  conjonction 


DES  SATELLITES    DE    lUPITEH.  215 

Kiiliii  soil  'f  —  i>  I;»  loni^iltidc  du  s;ilcHil<'  ;iii  moment  de  son  entrée 
d;ins  ronihi'c;  de  sorte  (jnc  -]>  i'\|niiii('  rani^lc  (|iril  pMiconil  sur  le  plan 
de  .liipilcr  depuis  l'iinmersion  jusqu'à  la  conjoiidion. 

(Jn  ;iur;(,  |)oiir  la  valetii'  de  /;  (|ni  y  répond,  p  — •-  ^  à  peu  près. 

Cela  posé,  supposons,  pour  plus  d'exaclilude,  (|ue  la  serlion  de 
l'onihi'c  soil  une  ellipse  semblable  à  celle  des  méridiens  de  Jupiter;  il 
est  visible  qu'on  aura 

Demi-grand  axe  de  l'ellipse va, 

Dcmi-pelit  axe  (  E  élaiii  relliplirité  comme  dans  l'Article  XVI).     va  i  —  E), 
\hscisse  prise  depuis  le  centre y^, 


Appliqui'îc  correspondante v  ip 

Donc,  par  la  nature  de  l'ellipse, 


./p 


dp 


'='"'^"•1^'^^)  =':^»-E)S 


é(]nation  d'où  l'on  tirera  ^. 
On  aura  donc 


oc'n  —  Ef  —  ^'(i  —  EY  =  p'  —  2^^  ^ 


!v+'^ 


d'où  l'on  tire,  après  les  réductions. 


'^±'— -V^'-"'^ 


dp' 

~d^\ 


-P' 


Le  si^ne  +  donne  la  valeui'  'J/  pour  rimniersion.  coiniiie  nous  TnNon^ 
sn|)posé,  et  le  signe  —  donne  an  contraire  la  valeur  de  ^  pour  l'eniersion. 


cxx. 

Substituons  maintenant  [j.l  -f  ny  au  lieu  de  '>,  //;•  au  lieu  de  />.  el  de 
même  nî)  au  lieu  de  a  (car  il  est  évident  que  la  (juantile  «  doit  être  du 


216  RECHERCHES  SUR   LES   INÉGALITÉS 

même  ordre  que  la  quantité/?;;  on  aura,  en  ne  négligeant  que  les  termes 

affectés  de  /?% 

zdz 


^  I—  E  ^  (I  —  E)^  [j.dt 


CXXI. 

Pour  convertir  cette  expression  en  temps,  on  la  divisera  par  la  vitesse 

(lo  dy 

dt        '  dt 


angulaire  qui  est    '^  =  u.-^n^-j-;  ce  qui  donnera,  en  négligeant  tou- 


jours les  /^^ 

f;.(i— E)^     ^  '  iJ.{i  —  Ef\^[j.dt^  '  ij-dt"  J 

Donc  l'intervalle  entre  l'immersion  et  la  conjonction  sera 

a(i  — E)^  '  ii{\  —  Ey\^^.dt  '  i).dt  "  J 

et  l'intervalle  entre  la  conjonction  et  l'émersion  sera 

^a(i  — E)^     ^  '  ^[\  —  hy\_i>.dt  y.dt  "  J 

Par  conséquent  la  demi-durée  sera 

w'         dy 


-Jd^[j-Ey--z' J ^  -^sJoHi-Ey-z\ 

f/li— E)*  (j.ii  —  L)    u.dt  ^ 

CXXII. 

Il  paraît  que  les  Astronomes  ont  toujours  supposé  jusqu'à  présent  que 
les  durées  des  éclipses  des  satellites  étaient  les  mêmes  avant  et  après  la 
conjonction;  ce  qui  n'est  pas  vrai  à  la  rigueur,  la  différence  étant  de 

w'         zdz         ,       -    ,.       ,  pdp 


■>     c'esl-à-dire  de 


lj.{i  —  Ey   ij.dt  '  .    y?[\  —  Eydt' 

d'où  l'on  voit  que  ces  durées  ne  peuvent  être  égales  que  dans  deux  cas 


DES  SATELLITES  DE  JUPITER.  217 

i"  Iors(jiio /)  ^- o,  c'csl-ii-diic  l()rs(Hi('  lii  laliliidc  du  satcllilc  est  millf, 
et  (juo  par  ('onst'(|iiciil  I'im  lipsc  est  cciilralr;  7"  l()is(jU('  dp—o,  savoir 
lorsque  la  latitude  est  la  plus  i^raiidc,  on  Mcii  (jiie  le  satellite  esl  dans 
les  limites. 

CXXIII. 

Supposons  maintenant  qu'on  ait  observé  la  demi-durée  d'une  éclipse 
de  satellite,  laquelle  soit  de  A  secondes;  on  aura,  en  remettanl  poui'  /?<î 

et  nz,  a  et/), 

dy 
I  —  n — ^ 


OÙ  il  faudra  prendre,  pour  [j,,  36o  degrés  divisés  par  le  temps  périodi(jue 
réduit  en  secondes;  ou  bien  on  convertira  immédiatement  la  durée  A  en 
degrés,  et  l'on  aura  simplement 

I  —  n — V 
dt 


I  — E 

d'où  Ton  lire 


A  = ^  sla^[x-'£.r--p\ 


p  =  i^-E)^cr-ùr[x^.nj!^y 


c'est  la  tangente  de  la  latitude  du  satellite  au  moment  de  la  conjonction. 

CXXIV. 

Ayant  ainsi  la  latitude,  et  connaissant  d'ailleurs  le  lieu  du  nœud  pai- 
les  observations  des  plus  grandes  durées,  on  trouvera  aisément  l'incli- 
naison de  l'orbite;  il  n'y  aui'a  pour  cela  (|u'à  diviser  la  tangente  de  la 
latitude  trouvée  par  le  sinus  de  l'élongation  de  Jupiter,  vu  du  Soleil,  au 
nœud  du  satellite;  le  quotient  sera  la  tangente  de  l'inclinaison  de  l'orbite. 

C'est  ainsi  que  tous  les  Astronomes  en  ont  usé  jusqu'ici  pour  déter- 
miner la  position  des  plans  des  orbites  des  satellites. 

Mais,  si  l'on  pouvait  connaître  avec  assez  de  précision  par  la  Tliéoiie 
VI.  28 


-218  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

le  moment  de  la  conjonction,  on  pourrait  trouver  immédiatement  l'in- 
elinaison  de  la  route  du  satellite  dans  l'ombre  par  les  observations  des 
immersions  et  des  émersions;  car  nous  avons  vu  que  la  dilïérence  entre 
les  durées  avant  et  après  la  conjonction  doit  être 

pdp 


(loue,  divisant  cette  différence  par  — —    j^,,->  on  aura 

'       uj  I  —  t.y 

—4-  =  -4-     taneenle  de  l'inclinaison  de  la  roule  du  saiellile. 
udt        d<fi 

Mais,  outre  que  cette  métbode  exigerait  dans  les  Tables  des  satellites 
un  degré  de  précision  dont  elles  sont  encore  bien  éloignées,  elle  serait 
encore  le  plus  souvent  impraticable,  à  cause  qu'on  ne  peut  pas  toujours 
observer  à  la  fois  les  immersions  et  les  émersions. 

Je  finirai  ces  recherches  par  dire  un  mot  des  variations  qu'on  a  aper- 
çues jusqu'ici  dans  les  positions  des  orbites  des  satellites. 

^   \  I.  —  Des   inclinaisons  et  des  nœuds  des  satellites. 

cxxv. 

Le  premier  satellite  est  le  seul  dont  l'orbite  paraisse  à  peu  près  fixe; 
son  inclinaison  est,  selon  les  Tables,  de  S**! 8',  et  le  lieu  du  nœud,  à  io% 
i4"3o';  du  moins  les  demi-durées  observées  cadrent  assez  bien  avec  ces 
éléments. 

Le  nœud  du  second  paraît  aussi  tixe,  mais  son  inclinaisun  est  sujette 
à  un  changement  considérable,  dont  la  période  est  de  3i  ans;  la  plus 
grande  inclinaison  est  de  3°47'27",  et  la  plus  petite  de  2" 29' 2",  de  sorte 
que  la  variation  est  de  i"i8'25",  ou  bien  de  89' 12",  tantôt  en  plus,  tantôt 

en  moins,  ce  qui  fait  environ  -=  de  l'inclinaison  moyenne. 


l)i:S  SATELLITES  DE  JUPITEH. 


•21!» 


CXXVL 

l^i)  (liaiigciiiciil  si  considLTahlL'  ik;  sauiail  s'cxpliqurr  (|u«'  par  les  toi- 
iiiiilcs  (le  l'ArlicIe  CIX.  En  efret,  suj)j)OS<)iis  (|U('  la  valeur  de  :;"  ne  ren- 
t'ernic  (jiic  deux  lenu(!S,  ou  au  moins  (jue  les  deux  auhes  soient  assez 
pt'tils  pour  pouvoir  être  néi^ligés,  de  sorte  qu'on  ait  simplement 


X' sin 


(  p.: -+- -  0-' j  / -f- r/,      -l-}."sin     L/, -h  -  a"]  /  H- /;'; 


On  aura,  en  nouiuiaiil  n-..,  la  tangente  de  l'inclinaison  de  l'orbite  et  ^., 
la  distance  du  satellite  au  nœud  ascendant  (Article  CXIj, 


savoir,  en  négligeant  les  termes  de  l'ordre  de  n, 


langez 


r,  =  i/i';  -+-  r'  -t-  2.  x;  >.;'  ces  f^  (  o-'  -  œ"  )  ^  +  r;  ;-•/):;], 

K  sin     (  w,  -f-  -  a' I  /  +  rû     -+-  X"  sin    (im  -f-  -  a"  j  /  -+-  y);' 
X'jcos    1^2+  -  cf']  t-h-n'^     +X"cos    Lj-f-  -  a"\t-h-n" 


Donc  la  plus  grande  valeur  de  -3  sera  =  X'a  H- ^'ô ,  <'t  la  [)lus  petite 

=  ^-2  "  ^2  '■>  ^^^^ 

n(X',  + /"  )  =  tang3''47'27"     et     «(X,  —  A,  j  =  iang?.''29'2"; 
par  conséquent 


1,527; 


d  011  1  on  tire 


X;  +  >/^  ^tang3°47^27"_ 
X',  —  >."  ~  tang2°29'2" 

K  0,527  Q  •  I 

:r7-  =  — ^— ^  =  0,200  =  environ  -= 
/j        2,027  ^ 


28. 


220  UECIIERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

Maintenant  il  est  clair  que  la  valeur  de  To  redeviendra  la  même  lorsque 
l'angle  -((?'—  a")t  se  trouvera  augmenté  ou  diminué  de  36o  degrés  pris 
une  ou  plusieurs  fois;  donc,  puisque  la  longitude  moyenne  du  second 
satellite  est  exprimée  par  [xa,  la  période  de  la  variation  de  To  sera  de 


révolutions  de  ce  même  satellite.  Or  cette  période  est,  selon  les  obser- 
vations, de  3i  ans,  ce  qui  répond  à  peu  près  à  3 189  révolutions  du  se- 
cond satellite;  donc  il  faudra  que 

n  I  . 

zh (o"'—  o"")  =  ^r-5-  =  o,ooo3i36. 

2f/.2  3109 

CXXVII. 

Ayant  trouvé  1\  =  ^  X, ,  on  pourra  simplitier  les  expressions  de  To  et 
de  tangio,  et  l'on  aura  à  très-peu  près 

r2  =  >;ri-f-  ^  cos(^^  {(7'-(j")t  +  -f]',  —  -n"A 

^^  '  -*  ces    (;/.,+  -  a' w  +  '/jM 

ces     1  p.2+  -0-")  t  +■/]"     sin    (  p.2+  -  a'\  t  +73', 


Soit  fait 


cos=|^(^/..,+  %'j^  +  73;J' 

■|.=  f/^-..+  ^^  cr' W  +  -/3;  -f-</, 
^  étant  une  quantité  fort  petite,  on  aura 

lang  -I       lang  \[,u  +%')/+,;]  + j^y ^-- ;^ 

COS^  |^(^p..  H-  -a'j  /  +  ■/],  J 


DES  SATELLITES    DE  JUPITEU.  221 

à  peu  près;  donc 

^  ^  ^  •'^'" [  Y' "^  ?  ^" )  '  ^  ■''" J  ^'^^ I  \^'  +  ?  ^' )  '  -'  "^U 

—  ■=  cos     (  y.,  -{-  -  (t"\  t  +  r"^      sin     (  y.,  -f-  ^  C7' |  /  -I-  r,!, 


I 

=  —  ■=  Slll 
5 


-  ^cr'—  (r")/  +  -/î,  — •/).,  h 


donc 


'^2  =  f  y.j  -+-  \^'y-^  'n[  —  p  sin    -  (>'  —  a"  )t  +  ■/)'■,  —  /;"     • 

D'où  l'o!)  voit  :  i''  (jue  le  mouvement  du  nœud  sera  de  -^  par  révo- 

lution;  2"^  que  ce  mouvement  sera  sujet  à  une  équation  analogue  à  celle 

de  l'inclinaison,  laquelle  montera  à  ^^-  =  1 1°27'. 

Ces  derniers  résultats  ne  s'accordent  pas  à  la  vérité  avec  les  observa- 
tions des  demi-durées,  par  lesquelles  il  parait  que  les  noeuds  sont  à  très- 
peu  près  fixes;  mais  j'observe  :  i"  que  la  quantité  a'  peut  être  nulle,  au- 
quel cas  le  nœud  n'aura  plus  qu'un  mouvement  d'oscillation;  2"  (ju'il 
est  impossible  que  l'attraction  produise  un  changement  dans  l'inclinai- 
son sans  produire  en  même  temps  un  changement  analogue  dans  le  lieu 
(lu  nœud  (voyez  plus  bas,  Article  CXXX). 

CXXVIIl. 

Voyons  maintenant  comment  on  pourrait  satisfaire  à  ces  deux  condi- 
tions, savoir 

± (a' — a")  =  o,ooo3i36     et     (t'=:o. 

Poui'  cela,  nous  conserverons  ici  les  hypothèses  de  l'Article  (IXVIIL 
moyennant  (|n(»i  i'cciuation    Çj  de  l'Article  (W\  se  réduiiM  à  «•clic-ci 

K,  kl  Ivj  IVj  —  5,673  ivi  Ki  ;^  o, 


222  RECHERCHES  SUR   LES  INÉGALITÉS 

laquelle  donne 

K,  =o,     ou  bien     K4  =  o,     ou  bien     K3K4  —  5,676  =  o; 

cette  dernière  équation  se  réduit  à  celle-ci 

/  ^       —  \  (  '^      _  \      5,675 
ou  bien 


--^.M--m3J--^X^X3=o, 


rr^  —  [  ,y-2  sr^  -f-  [x^  GT3 )  cr  +  y.^  p.3  nj^  cts  —  i ,  4 1 9  [M  [J-3  '/j  7j  =  o. 
Or,  suivant  les  mêmes  hypothèses,  on  a  (Article  LXXXVIj 

cîj  =r  o ,  942  73     el    GJî  —  1 ,  5o6  72  à  peu  près  ; 

donc 

G72  5Î3  =  o ,  942  X  1 ,  5o6  73  73  —  I  »  419  X'  X3  ; 

donc,  faisant  pour  plus  de  simplicité  /g  =m;(2»  et  mettant  o,496ao  au 
lieu  de  p.3,  on  aura  l'équation 

o"'  — (o,942w  +  o,747)^27jO-  =  o; 

d'où  l'on  tire 

a  =  o     et     0-=:  (0,942m  H- 0,747 )p-ïX2- 

Donc  on  satisfera  à  nos  conditions  en  prenant  pour  7'  la  première  de 
ces  deux  racines  et  pour  a"  la  seconde,  et  supposant 

-  (0,942m  H-  0,747  )X2  =^  o?  ooo3i36, 

ce  qui  donne,  à  cause  de  ny^  =  ^^  =  0,00002/417  (Article  LXHI 1, 

«j  z=  27  à  très-peu  près. 

Il  est  vrai  que  cette  détermination  ne  s'accorde  point  avec  ce  que  nous 
avons  trouvé  dans  l'Article  LXVIII;  mais  cela  n'est  point  surprenant  vu 
le  grand  nombre  des  quantités  que  nous  avons  négligées  dans  ce  calcul  : 
aussi  ne  l'ai-je  donné  ici  que  comme  un  essai,  me  réservant  de  le  re- 
prendre dans  quelque  autre  occasion. 


DES  SATELLITES  DE  JUPITER.  223 


GXXIX. 


La  position  de  l'oilùlc  du  lioisirmc  satcdlilc  est  aussi  sujetle  à  des  va- 
riations forl  r(!marqual)l('s;  sou  inclinaison  parait  avoir  ('-Ir  la  plus  pt'litc 
«Ml  i<M)7,  011  cllo  n'était  que  d'environ  ^)  degrés,  et  depuis  lors  «die  a  tou- 
jours été  (Ml  augiiUMilant,  de  sorte  (ju'(MI  i7G3on  l'a  trouvée  de  V'27', 
ce  qui  l'ait  27'  (MI  ()(>  ans,  et  par  eonsécjuent  rnviron  -JÀ')"  par  an. 

Quoicju'on  ne  eonnaisse  pas  eneore  le  terme  de  eette  augmentation,  il 
y  a  cependant  tout  lieu  de  croire  (ju'elle  est  périodicjue  coniine  celle  du 
second  satellite;  car,  suivant  la  comparaison  que  M.  JMaraldi  a  faite  d'un 
très-grand  nombre  d'observations  des  demi-durées  depuis  1G71  jus- 
(ju'en  17G3,  l'inclinaison  se  trouve  à  très-peu  près  la  môme  a  intervalles 
éi;aux  avant  et  après  i()97. 

A  l'égard  du  nœud,  les  Tables  de  M.  Wargentin  le  supposent  tixe,  à  10% 
i()"3',  mais  M.  Maraldi  trouve  qu'il  doit  avoir  un  mouvement  direct  d'(Mi- 
viron  3  minutes  par  an;  selon  ce  savant  Astronome,  il  était,  à  io%  i''52' 
en  1697,  et,  à  io%  i7*'9'en  1763. 

Ces  variations  peuvent  s'expliquer  de  la  même  manière  que  celle  du 
second  satellite,  pourvu  qu'on  suppose  que  la  période  de  l'inclinaison 
soit  beaucoup  plus  longue;  taisons-la  de  r  révolutions  du  troisième  sa- 
tellite; il  faudra  (jue  l'on  ail 


^ (,'-,")   ■ 


,1 


pr(Mious  pour  7  la  même  racine  (jue  ci-dessus,  cl  pour  7'  une  des 
(l(Mix  autres  racines,  par  exemple  celle  qui  résulte  de  re(juation  Arti- 
(  le  LXXXVI) 

K,  =  o,     savoir     a"  =  u.iGJ,  =  a,  (0,981  ;^,  H- o,  i'>.()X3); 
mettons,  au  lieu  de  a,,  4,ol\!\ 'x.r,  au  litMi  de  / ;, ,  ffiy.,,  et  au   lieu   de 
"X2  =  -^  ^'^  valeur  «),()0()02'|i7,  on  aura 

r=  o ,  00004796  -I-  o ,  oooooHi  5  m  =:  -  i 

2  /^-a  '' 


224  RECHERCHES  SUR  LES  INÉGALITÉS 

sim=  lo,  on  aurait  environ  r  =10000,  ce  qui  donnerait  à  peu  près 
195  ans  pour  la  durée  de  la  période. 

.Maintenant,  si  l'on  dénote  par  w-3  la  tangente  de  l'inclinaison  et  par  ^3 
la  distance  au  nœud,  et  qu'on  suppose  }.'3  =  v).3,  v  étant  une  fraction 
assez  petite,  on  aura  comme  dans  l'Article  CXXVI 

Ta  =  ^3    1  +  V  ces  (  -  (<7'—  <T")t  -h  r,l  —  -ni     > 

4^3  =  (,^3  +  -  (>'  J  /  +  7)3  —  V  sin    -  ((7'—  a"  i  t  -h-n',  —  -/il  h 

ou  bien  (à  cause  de  (j'=o  et  de  {J-^t=  à  la  longitude  moyenne  du  sa- 
tellite que  nous  dénoterons  parwa) 

vT  (^^"  >        "W 

T3=/3      I+VCOSi «3  —  /îj+fla    1    h 

,  ,  .      (tld"  ,  „\ 

W.3  —  4^3  =—•//,  —  V  sin  I iii  —  r,  3  H-  ■/)  3  1  5 

où  W3  —  c|>3  est  la  longitude  du  nœud. 

Supposons,  ce  qui  est  permis,  que  la  longitude  moyenne  Wg  soit  comp- 
tée depuis  le  point  où  se  trouvait  le  satellite  au  moment  de  la  plus  petite 
inclinaison  de  son  orbite,  on  aura 

cos( — 733-1-7)3)=::  —  I,     donc     — 7)3 -I- 7)3  =  180"; 

par  conséquent  les  formules  précédentes  deviendront 

•,,  (  11(7"      \  ,  ,  .    na" 

73  ^  /,    I  —  V  cos  —  w,   5      u^  —  uvs  =  —  7; ,  -+-  V  sm Wj. 

\  2  y.3     ■  /  '  1  fj.3 

Donc  la  vitesse  du  nœud  sera  à  la  vitesse  moyenne  du  satellite  comme 
y  —  cos —  lu  à  I  ;  d'oii  l'on  voit  que  le  mouvement  du  nœud  sera  di- 

2f/.3  2fl3  ^ 

rect  tant  que  cos  —  Wg  sera  positif,  c'est-à-dire,  tant  que  l'inclinaison 

9.  jU.3 

sera  au-dessous  de  la  moyenne. 

Au  reste,  si  je  donne  ici  ces  formules,  ce  n'est  pas  que  je  les  regarde 
comme  fort  exactes  et  conformes  au  mouvement  du  troisième  satellite; 


DES  s\ti:mjti:s  di:  iiimtku.  225 

mon  objet  est  simpleineiil  de  dunner  une  idée  de  la  manière  dont  on  pour- 
rait rendre  raison  de  raui;inenlation  d'inclinaison  cl  du  mouvement  di- 
rect des  nœuds  de  ce  satellite,  phénouiènes  (|ui  paraissent  assez  dillicilcs 
à  expliquer. 

cxxx. 

Le  quatrième  satellite  est  aussi  dans  le  même  cas  (|uc  le  Iroisiènn-  ii 
l'égard  du  mouvement  des  nœuds.  M.  Maraldi  l'a  trouve  d'cuviron  ^»'  VV 
par  an  suivant  l'ordre  des  signes;  mais  M.  Wargenlin  ne  le  t'ait  (jue  d'en- 
viron 4' 24"  dans  ses  nouvelles  Tables. 

Quant  à  l'inclinaison,  ils  la  supposent  constante  et  de  2"'M)';  mais  il  \ 
a  tout  lieu  de  croiic  (|ue  cette  détermination  n'est  |)as  tout  ii  lait  exacte; 
car  il  parait  dillicile  (|uc  les  nœuds  aient  un  mouvement  direct,  tandis 
(|ue  l'inclinaison  denieure  la  même.  D'ailleurs,  M.  VVargentin  icniaripu' 
que  les  nœuds  ont  dû  être  stationnaires  vers  la  fin  du  siècle  dernier,  ce 
qui  prouve,  ce  me  semble,  qu'ils  étaient  anparavant  rétrogrades,  et  que 
leur  mouvement  n'est  qu'une  espèce  d'oscillation,  comme  nous  l'avons 
déjà  supposé,  à  l'égard  du  troisième  satellite;  or  je  dis  qu'un  tel  mouve- 
ment ne  saurait  avoir  lieu  dans  le  nœud,  sans  qu'il  ait,  dans  l'inclinaison, 
une  variation  analogue;  c'est  de  quoi  il  est  facile  de  se  convaincre  en  je- 
tant les  yeux  sur  la  l'orinub'  de  l'Article  III 

(/'/.  sin (9  —  £ )  =  À  cos (9  —  s) de, 

laquelle  exprime  la  relation  qu'il  doit  y  avoir  en  général  «'iilre  le  mou- 
vement du  nœud  et  la  variation  de  l'inclinaison. 

Je  fais  cette  remarque,  moins  pour  faire  naître  des  doutes  sur  les  ré- 
sultats de  ces  deux  savants  Astronomes,  (juc  pour  les  engager  à  se  rendre 
de  plus  en  [)lus  attentifs  à  la  détermination  d'éléments  si  délicats  et  si 
difficiles. 

Au  reste,  quand  on  sera  bien  assuré  de  l'exactitude  de  ces  éléments, 
on  pourra  alors  se  servir  de  nos  formules  pour  donner  à  la  Tbéorie  du 
(|uatrième  satellite  de  nouveaux  degrés  de  perfection. 

VI.  29 


ESSAI 


LE  PROBLÈME  DES  TllOIS  CORPS. 


9.0. 


ESSAI 


LE  PUOBLÈNE  DES  TROIS  CORPS. 


Juvat  intègres  accedere  fontes. 
Ll'cr. 


Prix  de  l'Académie  Royale  des  Sciences  de  Paris,  tome  IX,  1772.) 


AVERTISSEMENT. 

Ces  Recherches  renferment  une  Méthode  pour  résoudre  le  Prohlènie 
des  trois  Corps,  différente  de  toutes  celles  qui  ont  été  données  juscju'à 
présent.  Elle  consiste  à  n'employer  dans  la  détermination  de  l'orhite  de 
chaque  Corps  d'autres  éléments  que  les  distances  enlre  les  trois  Corps, 
c'est-à-dire,  le  triangle  formé  par  ces  Corps  à  chaciiie  inslanl.  Pour  C('i;i, 
il  faut  d'ahord  trouver  les  équations  {\u\  déterminent  ces  mêmes  dis- 
tances par  le  leiups;  ensuite,  en  supposant  les  distances  connues,  il  fînit 
en  déduire  le  mouvement  relatif  des  Corps  par  rapport  à  un  plan  fixe 
(|uelcon(jue.  On  verra,  dans  le  premier  Chapitre,  comment  je  m'y  suis 
pris  pour  remplir  ces  deux  ohjets,  dont  le  second  surtout  demande  une 
analyse  délicate  et  assez  compliquée.  A  la  fin  de  ce  Chapitre,  je  ras- 


230  ESSAI   SUR   LE   PROBLÈME 

semble  les  principales  formules  que  j'ai  trouvées,  et  qui  renferment  la 

solution  du  Problème  des  trois  Corps  pris  dans  toute  sa  généralité. 

Le  deuxième  chapitre  a  pour  objet  d'examiner  comment  et  dans  quels 
cas  les  trois  Corps  pourraient  se  mouvoir  en  sorte  que  leurs  distances 
fussent  toujours  constantes,  ou  gardassent  au  moins  entre  elles  des  rap- 
ports constants.  Je  trouve  que  ces  conditions  ne  peuvent  avoir  lieu  que 
dans  deux  cas  :  l'un,  lorsque  les  trois  Corps  sont  rangés  dans  une  même 
ligne  droite,  et  l'autre,  lorsqu'ils  forment  un  triangle  équilatéral;  alors 
chacun  des  trois  Corps  décrit  autour  des  deux  autres  des  cercles  ou  des 
sections  coniques,  comme  s'il  n'y  avait  que  deux  Corps.  Cette  recherche 
n'est  à  la  vérité  que  de  pure  curiosité;  mais  j'ai  cru  qu'elle  ne  serait  pas 
déplacée  dans  un  Ouvrage  qui  roule  principalement  sur  le  Problème  des 
trois  Corps,  envisagé  dans  toute  son  étendue. 

Dans  le  troisième  Chapitre,  je  suppose  que  la  distance  de  l'un  des  trois 
Corps  aux  deux  autres  soit  fort  grande,  et  j'applique  la  solution  générale 
du  Chapitre  premier  à  cette  hypothèse,  qui  est,  comme  l'on  sait,  celle 
de  la  Terre,  de  la  Lune  et  du  Soleil. 

Enfin,  dans  le  quatrième  Chapitre,  je  traite  en  particulier  de  la  Théo- 
rie de  la  Lune;  j'y  donne  les  formules  qui  renferment  cette  Théorie,  et 
je  fais  voir,  par  un  léger  essai  de  calcul,  comment  on  doit  se  servir  de 
ces  formules  pour  en  déduire  les  inégalités  du  mouvement  de  la  Lune 
autour  de  la  Terre. 

Le  défaut  de  temps  et  d'autres  occupations  indispensables  ne  m'ont 
pas  permis  d'entrer  la-dessus  dans  tout  le  détail  nécessaire  pour  répondre 
d'une  manière  convenable  aux  principaux  points  de  la  question  proposée 
par  l'Académie  :  aussi  ai-je  d'abord  hésité  si  je  lui  présenterais  ces  Re- 
cherches pour  le  Concours,  et  je  ne  m'y  suis  déterminé  que  par  l'espé- 
rance que  cette  illustre  Compagnie  trouvera  peut-être  ma  Méthode  pour 
résoudre  le  Problème  des  trois  Corps  digne  de  quelque  attention,  tant 
par  sa  nouveauté  et  sa  singularité  que  par  les  dilFicultés  considérables 
de  calcul  qu'elle  renferme. 

Si  l'Académie  daigne  honorer  mon  travail  de  son  suffrage,  ce  sera  un 
puissant  motif  pour  m'engager  à  le  perfectionner,  et  je  ne  désespère  pas 


DKS  TIU)IS  COllPS.  231 

de  pouvoir  lir(;r  de  ma  Mùlhodc  mic  Tliéoric  de  la  l.iine  aussi  coinplètc 
(ju'on  puisse  le  deniauder  dans  Télal  d'imperfection  où  est  encore 
l'Analyse. 


chapitre:  phkmier. 

lORMULES    GÉNÉRALES    POUH    I,  A    SOLUTION    DU    PIt  O  It  L  KM  K    DES    IJUMS   (  ORPS. 


Soient  A,  B,  C  les  masses  des  trois  Corps  qui  s'attirent  muluellemenl 
en  raison  directe  des  masses  et  en  raison  inverse  du  carré  des  dislances; 
soient  nommées  de  plus,r,  j,  z  les  coordonnées  rectangles  de  l'orbite  du 
Corps  B  autour  du  Corps  A,  x  ,y\  z'  les  coordonnées  rectangles  de  l'or- 
bite du  Corps  C  autour  du  même  Corps  A,  coordonnées  qu'on  suppose 
toujours  parallèles  à  trois  lignes  fixes  et  perpendiculaires  entre  elles; 
enfin  soient  r,  r',  r"  les  distances  entre  les  Corps  A  et  B,  A  et  C,  B  et  C. 
en  sorte  que  l'on  ait 


/•  =  y/^2_|_^y.2^2%      r'—s^x'^^y'^+z'-,      r"=zsl[x'  —  xY-^{j'  —  yY->r{z'—zY. 

On  aura,  comme  on  sait,  en  prenant  l'élément  du  temps  dt  coiistanl, 
les  six  équations  suivantes 


(A 


B 


d^x 
dp-^ 

/A+B 

-*- 

;^)-q;^- 

7k)^'  =  o. 

dp  "^ 

rr 

-1- 

^)^-(^- 

^,)r'  =  ". 

d'z 
dp-^ 

/Ah-B 

-1- 

;^)-4;i-.- 

,k)^'=o; 

d-x' 
dP    ^ 

/A  +  C 

H- 

^)-B(^- 

7?r.)x=o, 

d'y' 
dp    ^ 

/A^C 

-h 

;^)>-«{p- 

1   \ 

d'z' 

1- 

/A-.C 

-1- 

Jh.'^Rd- 

I    \ 

1      7.     1»  • 

dP 


23i  ESSAI  SUR   LE  PROBLEME 

dx" 


dx 
"7 


—  ,  ot  (|ii'ensuil('  on  k's  ajoute  ensemble,  on  aura,  à  cause  de  x"—a:'~x, 
A 

d-'x       dx'd'x'       dx"d'x"  ^,/,  _^n^r\('^^-^  ^  •^'^^'  -^  ^"d^"\  _  „ 
(/r  JidP  \dr-  '  \Lr'  Tir"  Ar  '  J 

On  Irouvera  de  même 
dfdy      dr'dy      dr"dY'    ,  ,  A  +  B  +  Cl  ("^  -f-  ^^-^  +  ■''"'^^'"\ 


A  +  B  +  L)     TT-T  H-  -V.   ,-■   -^- 


=  0, 


"Crf^^  Bf//=  Af/^^  '^  '\Cr'  Br'^  A/-" 

Donc,  ajoMlanl  enseml)le  ces  trois  équations  et  niettant 

/■  dr  à  la  place  de  x  dx  -+-  y  dy  +  z  dz, 
/■'  dr'  à  la  place  de  x'  dx'  +  y'  dy'  -\-  z'  dz', 
r"dr"     à  la  place  de     x"dx"  +  y"dy" -\-  z"dz" , 

on  aura  une  équation  intégrable  dont  l'intégrale  sera 

^^^dx'-^dy-+dv      dx'^+dy+dz"      d.r"'-^dy'^dz"'       ,,A^R^pY'^i  '\       r 

/étant  une  constante  arbitraire. 

Ce  sont  là  les  seules  intégrales  exactes  qu'on  ait  |)u  trouver  juscju'à 
présent;  or,  comme  il  y  a  en  tout  six  variables  a?,  j,  s,  oc' ,  y' ,  z',  il  est 
clair  que,  si  l'on  pouvait  trouver  encore  deux  autres  intégi'ales,  le  pro- 
blcMue  serait  réduit  aux  premières  différences;  mais  on  ne  saurait  guère 
se  tlatter  d'y  parvenir  dans  l'état  d'imperfection  où  est  encore  l'Analyse. 

in. 

Supposons,  pour  abréger, 

dx^  +  dy^  -+-  dz- 


dl- 

5 

t'^  — 

dx'' 

+  dr'- 

'  +  dz" 

dP 

,"2 

dx"' 

+  dy' 

''  +  dz"- 

dp 


DES  TKOIS  COUPS.  235 


fil  soiic  (|ii(-  //,  u' ,  II"  cxpiiiiicnt  les  vitesses  rehthves  des  Coips  B,  (>  ;iii- 
loiir  (le  A,  cl  (le  (1  ;iiil(»iir  (le  lî;  il  esl  clair  (lu'oii  aura 


d'(r")  _  x'd'x'-t-fd'x'-^  z'd'z' 
9.  do    ~~  dP 

d''{r"^)  _  x" d-'x" -f- r" d'r" -\-  z" d^z" 


idP    -      "  dp  ^"   • 

Doue,  inctiaiil  dans  ees  équations  au  lieu  de 

d^x       d^y        d-z        d'-x' 
~dP'     HF'     Ip'     Ifp''"' 

leurs  valeurs  tirées  des  équations  (A),  (B),  (C),  et  faisant  attenti(ui  (juc 

X-  -\-x-  +  z^  =  t'-,     :r'2 -t- y  4- 2"  =  r'%     x'"^ -\-  y'"' -\- z"- =  r"\ 

et 

/•■  +  r'=  —  r"' 

XX  H-  yy   -\-  zz= ? 

f.>2  ^    f,l'2  _   ,.1 

XX  H- r'.r"-i-  z' z" ^  x'^  -f- j'^  -+■  z'^  —  (x' X -hr' X  -\-  z' z)  =: , 

on  aura,  après  avoir  fait  passer  tous  les  termes  du  même  eôté, 

Id'ir')        /A-+-B        C\  C  /  I         I  \ 

2.dP  \     r^  r^l  2  \r^       v  y 

Donc,  si  l'on  peut  avoir  les  valeurs  de  u^,  a"',  a"-  exprimées  en  r,  r', 
r"  seulement,  on  aura  trois  équations  entre  ces  trois  dernières  variables 
et  le  temps  t,  à  l'aide  desquelles  on  pourra  à  chaque  instant  déterminer 
la  position  relative  des  Corps. 

3o. 


236  ESSAI  SUR  LE  PROBLEME 

IV. 

Or  on  a,  en  difTérentiant  les  valeurs  de  ur,  u-,  u"- , 

dxd^x  H-  dyd^.r  -\-dzd^z 


udu  =: 


dP 


dx'd^x'-h  dr'd'r'-\-dz'd'z' 
u'  du'  = '-^ , 

„  ,  „      dx"  d'x"  +  dr"d'f"  +  dz" d'z" 

donc,  si  l'on  fait  ici  les  mêmes  substitutions  que  ci -dessus,  et  qu'on  sup- 
pose pour  un  moment 

^V  =x'dx  +x'df  +z'dz, 
dW  =  xdx'  -^j'df'  -+-  z  dz' , 
d\"=  x'dx"  -hfdx"+z'dz", 
à  cause  de 

xdr  -+-  rdy  -+-  zdz  =  rdr,     .v' dx' -h  y' dj' -h  z' dz'  =  r'dr',     x" dx" -\- y" dy" -\- z" dz"  =  r" dr" 


on  aura 

,,,u"=  -  (^^  +  ^r"dr"-  A  (^  -  i  ^  dV 
Soit,  pour  abréger, 


r'dr'  /   I  I   \     /v' 


DES  TROIS  CORPS.  237 

et  l'on  aura 


BR', 


r 

2(A  +  C) 

r' 

2(B  +  C) 

(le  sorlf  que  les  équations  (F)  devientlfont 

;'  d'il-)       \  +  fi      „r/->        1  /  1         1  \      ,        ,,       „,^  ,   „    I 

1    o.at-  r  \_r^        2  \r^       r^J  \ 

et  il  ne  restera  plus  (ju'à  trouver  les  valeurs  de 

dV,     d\',     d\". 
Pour  cela,  je  fais 

dp  =:  x'  dx  +  ^•'  (/|-  -\-  z'  dz  —  X dx'  —  ydy'  -—  z  dz' , 

et  comme  l'on  a 

XX  +  yy   -+-  zz  =: 5 

ou  aura,  en  ditlérentiant, 

X  dx'  -\-  ydy'  -f-  z  dz'  -+-  x'  dx  4-  y'  dy  4-  z'  dz  ^^  rdr  -+-  r'  dr'  —  /"  dr"  : 

(loue 

, ^ ,       rdr-\-  r'  dr '  —  r"  dr"  +  dp 
a\  = 


d\ 
et  ensuite 


7. 
I       r  dr  -f-  /■'  dr'  —  r"  dr"  —  dp 

d\"=r'dr'-d\. 


238  ESSAI  SUIl   LE   PROBLEME 

savoir 

r'  dr'  -f-  r"  dr"  —  rdr  —  da 

d\'  = • 

2 

Tout  se  réduit  donc  maintenant  à  avoir  la  valeur  de  dp  ;  pour  y  par- 
venii',  je  difFérentie,  et  j'ai 

d^p  —  x'd'x  -hr'd-y-h  zUhz  —  xd^x'  —  yd^y'  —  zd-z'; 

je  substitue  à  la  place  de  d'-œ,  d-y,  d'z, . . .  les  valeurs  tirées  des  é(|ua- 
tions  (A)  et  (Bj,  et  faisant  les  autres  substitutions  convenables,  je 
trouve 

rf'p_       i/A  +  B       C        A^C       B\  2  ^l  \         i\    „      „/  I 


OU  bien 


r'—r"—r"'\  =  o. 


V. 

Supposons,  pour  mettre  nos  formules  sous  une  forme  plus  simple, 


r"-hr"'  — 

r' 

-P^ 

r' 

_l_  r"^  —  r'2 

P'^ 

r^^r'^—  r"' 

2 

2 

2 

I                  I 

=  9' 

I 

77 

-^.  =  .'. 

u"  +  u"'  - 

-  u' 

=  v. 

H' 

+  u"'  —  u" 

-v', 

II' -h  m"—  u"- 

et  l'on  aura  d'abord,  pour  la  détermination  de  dp,  cette  équation 
(H)  ^+Cpq-  Bp'q'-\p"q"=o. 

On  aura  ensuite 

^v^^-L^P,    ,/v'=*!^,    dy"=±:z±. 


tl  (Hl 


1)I<:S  TROIS  COHPS.  239 


'^^  =    ^T^   +  q((lp"-^(^p), 


Mais 


(lOMC 


'^1^'--  ^ri^-  +q'i^lp"-d9), 


<l\\"  -=         ■       +  v"  [dp  -  dp). 


-pr,  =  jï-q'^      2  rdr       dp'  +  ./// 


2/rfr        7.dr 

-;jr  =  -^-q^dp  -^dp  ); 


on  tr'()iiv('i';i  de  iiirmc 

2  /•'  dv'        2  r/r' 


r  *  r  ' 

'i.r"dr"        idr" 


q[dp^dp"), 
q'{dp'-\-dp); 

de  sorte  (|ii'('ii  siil)stituant  ces  valeurs,  et  l'ais;iiit  poiii'  plus  <le  sinipliciic 

(  dQ  =  q'dp'—  q"dp"  -  qdp, 
dQ'  =-qdp-\r  q"dp'  -t-  q'dp, 
dQ"=:  —  qdp  —  q'dp'  +  q'dp, 


on  ;uir;i 


cl  (]»'  là 


t<--^-Q.      R'=-^-0'.      H'--    ;;^-Q", 


,.=.^_(Aiti^_+^UcQ, 


240  ESSAI  SUR  LE  PROBLEME 

Maintenant  on  aura 


(t^-t^)''"-^'-'^-^"^^^-^/^" 


2  \/ 


donc,  ajoutant  ces  deux  équations,  et  mettant  q"  à  la  place  de  q  —  q',  on 

;uir;i 

on  li'ouvera  de  même 


d'-{r') 

A  +  B  +  C 

idP 

r 

d'(r'') 

A  +  B  +  C 

2  dt' 

r' 

d'ir"') 

A  +  B  +  C 

donc,  faisant  toutes  ces  substitutions  dans  les  équations  (G)  ou  (Fj  des 
Articles  précédents,  elles  deviendront  celles-ci 

C[p'q' -p"q"A-    Q;  =  o, 

^)  {  ^^717^  -  ^^^^^^  -  B  .  pq    +p"q"+  Q')  =  o, 

^dt.  r"  -M-pq-p'g'-^Q")  =  o. 

Ainsi  l'on  pourra,  à  l'aide  de  ces  trois  équations,  déterminer  les  trois 
rayons*  r,  r'  et  r"  en  t,  ce  qui  donnera  pour  chaque  instant  la  position 
relative  des  Corps  entre  eux. 

Il  est  bon  de  remarquer  que,  si  l'un  divise  la  première  de  ces  équations 
par  C,  la  seconde  par  B  et  la  troisième  par  A,  et  qu'ensuite  on  les  ajoute 
ensemble,  on  aura  (à  cause  de  dQ -h  dQ' -\- dQ"  =  o ,  et  par  conséquent 
Q  -h  Q'  -h  Q"  =  const.)  celle-ci 

laquelle  pourra  tenir  lieu  d'une  quelconque  des  trois  équations  (Kj. 


DES  TROIS  CORPS.  241 


VI. 


On  peut  encore  mettre  les  mêmes  équations  (K)  sous  une  autre  forme 
que  voici. 

Je  multiplie  la  première  de  ces  équations  par  d{r'^),  et  je  rinlèij;re  en- 
suite pour  avoir 


A  -h  R  -f-  Cj  r -  C  Ç{p'q'  -  p"q"  ;  d  /')  -  C  fiUi  r'   -f-  L  =  o, 


L  étant  une  constante  arbitraire. 
Or 

mais 

dQ  =  q'dp'  —  q"dp"  -  q  dp-, 

(le  plus,  à  cause  de  r^  =p'  -\- p" ,  on  aura 

{p'q'-p"q"}d{r')-r'{q'dp'-q"dp") 

=  -  {p'q'-p"q")(dp'-h  dp") -h  ip'+p")  {q'dp'-  q"dp")  =  q{p"dp'-  p'dp"); 

de  sorte  que  si  l'on  fait,  pour  abréger, 

dP  =  q{p"dp'  -  p'dp"  -  r'dp), 

on  aura,  en  négligeant  la  constante  L  qui  peut  être  censée  contenue 
dans  P,  et  divisant  toute  l'équation  par  r^, 


dP  r  \i 

Faisant  de  même 

dP'  =  q'  p'dp  —  pdp'  -¥-  r'^dp), 

dP"=  q" ( /; dp' -  p'dp  -+-  r"Hlp), 
VI.  3i 


■m  ESSAI  SUR  LE  PROKLÉME 

on  trouvera  par  des  opérations  semblables  aux  précédentes 


lit'  r"  \r'-        ^1 


clr-  r'"  \r 

Et,  si  l'on  retranche  ces  équations  respectivement  des  équations  (K) 
trouvées  ci-dessus,  qu'ensuite  on  divise  les  équations  restantes  par  r,  r', 
r",  on  aura  ces  trois-ci 

d'r      ,    A  +  B  +  C       ^(p'q'-p"q"    ^   ^\^^^ 


dp  V-  \  r  I 

,(I'r'        A  +  B+C       .Jpq+P'q'        ,     l*'\ 


d^r"       A  +  B  +  (  : 


,{^11^^^=.. 


VII. 

Nous  avons  donc  réduit  les  six  écjualions  primitives  (A),  (B^  (|ui  rcn- 
lermenl  la  solution  du  Problème  des  trois  ('orps  pris  dans  touti'  sa  géné- 
ralité à  trois  autres  é([uations  entre  les  trois  dislances  r,  r ,  r'  et  le 
temps  /.  11  est  vrai  (|ue  ces  réduites  l'cnrcrmcnl  cbacnnc  deux  signes 
d'intégration  (ce  ([ui  est  évident  en  substituant  l(>s  valcuis  de  (J.  0  •  0  • 
ou  de  P,  P',  P"  et  de  (h),  et  (]u'à  cet  égard  cdlcs  sont  moins  simples  (|ue 
les  équations  primitives;  mais,  d'un  autre  côte,  elles  ont  l'avantage  de 
ne  renl'ermer  aucun  radical,  ce  ([ui  nu'  paiait  d'une  grande  iniporlance 
dans  ces  sortes  de  ProbUMues. 

Supposons  donc  (|u'on  ait  dcternrmé  pai'  les  (Mpialions  \^\\)  ou  (M)  les 
ti'ois  variables  /•,  /•',  /•"en  /;  on  ne  connailra  encore  pai'  l;i  (|ne  la  posi- 
tion relative  des  ('.or|)s,  c'est-;i-dir(\  le  triangle  (|iu>  les  lidis  Corps  loi  nuMit 
ii  cba(|Ui'  instant;  ainsi  il  reste  l\  voir  comment  on  pourra  delcrmin(>r 
ensuite  l'orbite  mèuu'  de  clKKjne  (loi'ps.  c'est-à-dire,  les  six  variables  .r. 
V.  z,  a-',  y\  r.'. 


DES  TROIS  CORPS.  243 

VIII. 

Pour  cet  oflet,  nous  remarquerons  d'abord  qu'en  connaissant  /•,  r' ,  r" 
on  connaîtra  aussi  u  u\  u" ,  et  (l\,  r/V,  dN"  par  les  (brniules  de  l'Ar- 

en  mettant//'  a  la  place  de 

Ifi      1       .,'3  u"^\ 

et  ('"  à  la  place  de j  les  dix  équations  suivantes   • 

^'  -f-  y'  -f-  z'  =  r\ 

x''  -h  r"  -^  z"  =  r'', 

xx'  +  yy'  -\-  zz'  =  p" , 

X  dx  -\-  ydy  -h  z  dz  ^=  rdr, 

x'  dx'  -+-  r'dy'  +  z'  dz'  =  /■'  dr' , 

x'  dx  -h y'  dy  -\-  z'  dz=z  d\, 

X  dx'  -h y  dy'  -\-  z  dz'  =^  d\' , 

dx""  -t-  dy""  -+-  dz'  =  lûdP, 

dx"  -+-  dy"  +  dz"  =  u"  dP, 

dx  dx'  +  dy  dy'  +  dz  dz'  =  i>"  dV. 

Or,  en  regardant  les  quantités  x,y,  s,  x' ,y' ,  z' ,  dx,  dy,  dz,  dx' ,  dy\ 
dz'  comme  autant  d'inconnues,  il  est  clair  que  les  équations  précédentes 
ne  sutrisent  pas  pour  les  déterminer,  puisqu'on  aurait  douze  inconnues, 
et  seulement  dix  équations;  mais,  si  l'on  joint  à  ces  équations  les  trois 
équations  (D)  de  l'Article  II,  on  aura  alors  une  équation  de  plus  qu'il  n'y 
a  d'inconnues,  et  la  difficulté  ne  consistera  qu'à  résoudre  ces  équations. 

IX. 

J'observe,  à  l'égard  des  équations  de  l'Article  précédent,  qu'elles  ne 
peuvent  tenir  lieu  que  de  neuf  équations,  parce  que,  en  éliminant  quel- 
(jues-unes  des  inconnues,  il  arrive  que  les  autres  s'en  vont  d'elles-mêmes, 

3i. 


242  ESSAI  SUR  LE  PROIiLÉME 

on  trouvera  par  des  opérations  seml)lables  aux  précédentes 


dP  r"'  \r"'' 


Et,  si  l'on  retranche  ces  équations  respectivement  des  équations  (K) 
trouvées  ci-dessus,  qu'ensuite  on  divise  les  équations  restantes  par  r,  r', 
r" ,  on  aura  ces  trois-ci 


^îl         A  4-  B  +  C 

ip  "^      r^~^ 


(M)  {-TJT 


d'r'        A  +  B+C 


dr-  r" 

d^r"       A  +  B+C        J-pq-p'q'    ,    1 

dp    "^         r"-'  \  r"  / 


VII. 

Nous  avons  donc  réduit  les  six  équations  primitives  (A),  (B)  qui  ren- 
ferment la  solution  du  Problème  des  trois  Corps  pris  dans  toute  sa  géné- 
ralité à  trois  autres  équations  entre  les  trois  distances  r,  r-,  r"  et  le 
temps  t.  Il  est  vrai  que  ces  réduites  renferment  chacune  deux  signes 
d'intégration  (ce  qui  est  évident  en  substituant  les  valeurs  de  Q,  Q',  Q", 
ou  de  P,  P',  P"  et  de  dp),  et  qu'à  cet  égard  elles  sont  moins  simples  que 
les  équations  primitives;  mais,  d'un  autre  côté,  elles  ont  l'avantage  de 
ne  renfermer  aucun  radical,  ce  qui  me  parait  d'une  grande  importance 
dans  CCS  sortes  de  Problèmes. 

Supposons  donc  qu'on  ait  déterminé  par  les  équations  (K)  ou  (M)  les 
trois  variables  r,  r',  r"  en  t;  on  ne  connaîtra  encore  par  là  que  la  posi- 
tion relative  des  Corps,  c'est-à-dire,  le  triangle  que  les  trois  Corps  forment 
à  chaque  instant;  ainsi  il  reste  à  voir  comment  on  pourra  déterminer 
ensuite  l'orbite  même  de  chaque  Corps,  c'est-à-dire,  les  six  variables  x, 
y,  z,  x',  y',  z'. 


DES  TllOIS  CORPS.  ii.J 


VIII. 

Pour  cet  eflbt,  nous  remarquerons  d'abord  qu'en  connaissant  /•,  r' ,  r" 
on  connaîtra  aussi  a  u\  u",  et  dX,  dW  d\"  par  les  loriuules  de  l'Ar- 

liclc  \  .  De  sorlc  (|u'on  aura  (en  mettant />"  à  la  place  de 


et  V  a  la  place  de ^ les  dix  équations  suivantes    . 

^1   ^_   yl   -<_    2'  =   /•% 

xx'  4-  >  j'  +  22'  =  />", 

^  t/.r  -}-  y  dy  -h  zdz  =  r  dr, 

x'  dx'  -+-  y' dy'  -h  z'  dz'  =^  r'  dr', 

x'  dx  -h y'  dy  -{-  z' dz  =  d\, 

X  dx'  -+-  y  dy'  -h  z  dz'  ■=  dW , 

dx''  H-  dy^""  -f-  dz'  =  lûdP, 

dx'-  +  dy"  +  dz'^  =  u'Hit-, 

dx  dx'  +  dy  dy'  -\-  dz  dz'  =  c"  dt\ 

Or,  en  regardant  les  quantités  x,y,  z,  x',  y',  z\  dx,  dy,  dz,  dx' ,  dy', 
dz'  comme  autant  d'inconnues,  il  est  clair  que  les  équations  précédentes 
ne  suffisent  pas  pour  les  déterminer,  puisqu'on  aurait  douze  inconnues, 
et  seulement  dix  équations;  mais,  si  l'on  joint  à  ces  équations  les  trois 
équations  (D)  de  l'Article  11,  on  aura  alors  une  équation  de  plus  (ju'il  n'y 
a  d'inconnues,  et  la  difliculté  ne  consistera  qu'à  résoudre  ces  équations. 

IX. 

J'observe,  à  l'égard  des  équations  de  TArlicle  précédent,  qu'elles  ne 
peuvent  tenir  lieu  que  de  neuf  équations,  parce  que,  en  éliminant  quel- 
ques-unes des  inconnues,  il  arrive  que  les  autres  s'en  vont  d'elles-mêmes, 

3i. 


2U  ESSAI  SUR  LE  PROBLÈME 

de  sorte  qu'on  tombe  par  ce  moyen  dans  une  équation  où  il  n'entre  plus 
que  les  quantités  ^^  r'%  />",....  Pour  le  prouver  de  la  manière  la  plus 
simple  qu'il  est  possible,  je  prends  d'abord  les  trois  équations 

xdx  ■+-  ydj-  -\-  zdz  =  rdr, 
x'dx  -^  f'df  ■+-  z'dz  =  dY, 
dx'dx  H-  dy'df  +  dz'dz  =  v"dt\ 

et  j'en  tire  par  les  règles  ordinaires  de  l'élimination  les  valeurs  de  dx, 
dy,  dz;  j'aurai,  en  faisant,  pour  abréger, 

oc  =zy'dz'  —  z'dy',  od  =  z  dy'  —  ydz' ,  a."  =  yz'  —  y'z, 
^=z'dx'  —  x'dz',  ^'z=xdz'—zdx',  ^"  =  zx'  —  z'x, 
y=zx'dy'  —  y'dx',  y'=:ydx' — xdy',  y"^=^xy'  —  yx' , 
0  z=x{y'dz' ~  z'dy')  —  y{x' dz'  —  z'dx' )  +  z{x'dy'  —y'dx'), 

j'aurai,  dis-je, 

,         «  rdr  -f-  a'dY  -f-  a"v"dP 

dx  =  — ^ 5 

0 

,         e>rdr-he,'dY-{-ô"v"dP 
dy=:^ ^ ^ » 


dz 


_  y  rdr  -+-y'dY  -\-  y"v"df^ 


Or  je  remarque  que  l'on  a 

a'  ■+-  (3=  ^y^  =  {x''-hy''--^z"){dx'^  +  dy"+dz'')  —  {x'dx'-^y'dy'-^z'dz'y 
=  r"u"dP—{r'dr')\ 

a"  4-  ^"  -\-  y"=  {x'-{-y'  +  z')  {dx" -f-  dy"  -h  dz")  —  {xdx'-hydy'  -i-  z dz')'- 
=  r'u"dr-—dY'\ 

a"' -^-  ^'" -^y"'  =  (x'  -h y-  -h  Z-)  {x"  -h y'^  -h  z" ]  —  [xx'  -^  yy'  -\-  zz'Y 
=  r'r''-^  p"\ 

a!z'-h^^'-+-yy'={x'dx'  +  y'dy'-hz'dz'){xdx'  -hydy'  4-  zdz') 
—  [xx'  -hyy'  +  zz'  )  {dx"  H-  dy"  -+-  dz") 
=  r'dr'dY'  —  p"u"dt\ 


DES  TKOIS  CORPS.  245 

uoc"  -f-  (i(3"  +  yy"  ={x'(lx'-^y'(ly'  4-  z'dz')  {xx' -\- yy'  -f-  zz'  ) 

—  {xdx'  -4-7^//'  -^-zdz')  {x"-hx"  -f-  z") 
=  p"r'dr'—  r''dY', 

oc'(x"-\-  (â'(3"  -f-  y'y"  =  ':r  c/^'  +  ydy'  H-  2  ^Z^'  )  {xx'  -+-  jj'  -f-  zz'  ) 

—  (  ^-'f/^'  H-  jV/r'  -f-  zV/2'  )  (  ^'  -f-  r'  +  2'  j 
=  /y'<l\'—  r'r'dr'; 

tle  sorte  que,  si  l'on  carre  les  trois  équations  précédentes,  et  qu'on  les 
ajoute  ensuite  ensemble,  on  aura,  après  avoir  multiplié  par  oS  et  fiiit  les 
substitutions  convenables, 

è'(dx'-\- dy'-h dz')  =  {idry-[r'' u" dP  —  \  r" dr" )]  -h  d\'ir'u"dt'  — d\") 
-{-  (  v"dPy[r'r''  —  p"')  + 1  rdrd\{r'dr'd\'—p"u"dt') 
+  7.rdrv"dtHp"r'di'—r"dV')+o^dWv"df[p"d\'~r'r'dr'). 

De  même,  si  l'on  prend  les  trois  équations 

XX  H-  yy  +  zz  =  r% 

x'x  -f-  y'f  4-  z'z  =  p", 

xdx'-\-ydr'-^zdz'=  d\', 

et  qu'on  en  tire  les  valeurs  de  x,y  et  z,  il  est  facile  de  voir  (ju'on  aura 
pour  37,  y,  z  les  mêmes  expressions  que  l'on  a  trouvées  plus  haut  pour 
dx,  dy,  dz,  en  y  changeant  seulement  rdren  r-,  d\  enp" et  v"dt'^  en  f/V; 
donc,  faisant  les  mêmes  opérations  et  les  mêmes  substitutions  (jue  ci- 
dessus,  on  aura  cette  autre  équation 

ovx--f- >-^-|-  z')  =  r'lr'Hi"dt-~    r'dv'y^  -\- p"'[rUi'HlP  —  d\'^) 

-f-  dy"{r'r"  —  p"'   ■+-  ir'p"\r'dr'(l\'  —  p"u'UlP) 

■+-  7.r^d\'{p"r'di'-r"-dV)  4-  ip"dW'{p'd\' -  v'r'dr' ,. 

Or  on  a 

dx^  4-  dy'  -+-  dz^  =  u^dt\     el     x'  -h  y'^-h  Z-=  /•- 


* 


246  ESSAI  SUR   LE  PROBLÈME 

donc  on  aura  les  deux  équations  suivantes 

d'u'dP=rdryii'''u"dr—  r"dr") -h  d\'(r'u"dP  —  d\") 

-+-  ( v" dth'i r'  ;•'=  —  p"')  +  ■?.  r  drd\ (  /■' dr' d\'  —  p" u"dP  ; 

+  2rdri'"dP{p"r'dr'—r"d\')  -h  id\ v" dP{p" d\'  -  r-r'dr'), 

oV^=  r^'^r'-u'UlP  —  r'-dr")+  p"-{r-u''dr  —  d\''\ 

H-  d\"ir'r"  —p"'i  -h  Q.r'p"{r' dr'dy  —  p" u"dP 

-h  2r'd\'{p"r'dr'—r"dV')  +  ip" d\' {p" d\' -  r'r'dr'  . 

D'où,  chassant  â'-,  on  aura  une  équation  entre  les  seules  quantités 
connues  r^,  r'^, .... 

X. 

Si  l'on  tire  de  la  dernière  équation  la  valeur  de  $-,  on  aura,  en  rédui- 
sant et  effaçant  ce  qui  se  détruit, 

0'=  r"ir'u"dP  —  r'dr'^  —  d\")  -h  ip" r' dr' dV  —  p"Ui''dP; 

et,  cette  valeur  de  â-  étant  substituée  dans  l'autre  équation,  on  aura 

r'Hr^u''dP  —  r'dr"  —  dY")u'dP  -}-  {2p" r' dr' d\'  —  p'" u" dP)u' dP 
=  (rdr}'{r"u"dP  —  r"dr")  -+-  dY\r'u"dP  —  d\" j 

-h{v"dt')'{r'r"  —p"')  ■+-  irdrdV {r' dr' d\'  —  p" ir-dP) 

+  2  /■  dr  ^"  dV  [p"  r'  dr'  —  r"  d\'  }-h-2dV  v"  dP{p"dV'  —  r' r'  dr'  )  ; 

OU  bien,  en  ordonnant  les  termes, 

(  r'r"  —  p"-)  (  V? u'-  —  v"')  dV  -f-  (  /■  dr.r'  dr'  —  dVdV  )' 
_  [rHr'dr'  r-  —  2p"r'dr'd\'+  r''-d\'qiûdP 

—  {^r'^^^rdr)'—  ip" rdrdW  -f-  r^d\']u"'dP 

—  2[p"  [r  dr.  r'  dr'  -\-  d\  dY')  -  r'  r'  dr'  dV  —  r"  r  dr  d\']i'"  dP  ^  o. 

Or  (  Article  V) 

^^.^dp"-^dp^     et    d\'=^Bl:=^: 


DES  TKOiS  COUPS.  2'»7 

(le  plus  on  a,  par  les  lonimlcs  du  iiirme  Arlicl»', 

r '  =  //  -<-  //' ,      r'^  —  p^  i>" ,      r"'  =  f)  -h  p' , 

ci  (le  niômc 

u'=v'  -h  v",     u'^  =  v  -{-  ('",     u"'  =  v  +  v'  ; 

donc,  si  l'on  fait  ces  substitutions,  et  (|u'()n  suppose  poui'  plus  de  sim- 
plicité 


V 

-   ni-'''^'' 

V  +,/('''/''" 

-  '*  \    dt 

)  ^''\<", 

H 

=  r'{^ 

■)'-(^ 

1" 

=."(■-:;/'■ 

'-Hm 

dt  I        ^'  V     dl        ''    dt      dt 


-m 
/'"(f)'-('-:^-/'f)i-'"(l)^ 


l'équation  suivante  deviendra,  après  avoir  été  multipliée  par  -^, 

,v-\         ,w        /  n  I    n\,     f  n         i<i\  ,/v  ^i    •       ^ii'i\         fdp  djj'-i- d/J  d/j'-h  d/j' dp"-j- dù'\^ 

(  N  )      1 0  [pp  -i-  pp  -^/Jp  )  (w  -+-  w"-h  VV  )  —  4{l(>-hl  K  -h  l'v  )  -+-  I  -i-^ '- — '—— — '- — '- — !—£-  )    =  o. 

Il  faut  donc  que  cette  équation  ait  lieu  en  même  temps  que  les  trois 
équations  (K)  de  l'Article  V;  de  sorte  que,  comme  elle  ne  contient  d'ail- 
leurs que  les  mêmes  variables  que  les  équations  (Kj,  et  qu'elle  est  d'un 
ordre  moins  élevé  d'une  unité  que  celle-ci,  on  pourra  la  regarder  comme 
une  intégrale  de  ces  mêmes  équations  (K),  mais  intégrale  particulière  à 
cause  qu'elle  ne  renferme  aucune  nouvelle  constante;  ainsi,  si  l'on  in- 
tègre les  équations  (K)  en  y  ajoutant  les  constantes  nécessaires,  ces  con- 
stantes devront  être  telles  qu'elles  satisfassent  à  l'équation  fN).  De  sorte 
que,  si  l'on  ne  veut  pas  se  servir  de  cette  dernière  équation  à  la  place  de 
l'une  des  équations  (K),  il  faudra  néanmoins  y  avoir  égard  dans  la  dé- 
termination des  constantes;  mais  pour  cela  il  sulllra  d'y  supposer  par- 
tout i  =  o. 

Au  reste  nous  ferons  toujours  usage  de  cette  équation  pour  détermi- 
ner la  constante  qui  doit  entrer  dans  la  valeur  de  -t-î  résullaiite  de  l'inté- 
*  dt 

gration  de  l'équation  (H)  de  l'Article  V. 


248  ESSAI  SUR  LE  PROBLÈME 

t. 

XL 

Reprenons  maintenant  les  équations  (D)  de  l'Article  II,  et  faisant, 
pour  abréger, 

3i  =  y dx-x  dy,  V  =  x'  dx'  —  x'  dr',  l"  =  f"  dx"  -  x" dy" , 
i;.z=  zdx  —  xdz,  fi'  =  z'  dx'  —  x' dz' ,  p."  =  z" dx"  —  x"  dz", 
V  =  z  dy  -  y  dz,     v'  =  z'  dy'  —  y'  dz',     v"  =  z"  dy"  -  y"  dz", 

on  aura,  après  avoir  multiplié  par  dt, 

l      /'      r         , 

(0)  (g^^^-^^6.//, 

V         v'        v"  , 

Or  je  trouve,  comme  plus  haut, 

}i-\-  ij}-{-v-=^{x^-]-y'i-{-z^)(dx''-\-dy''-hdz^)  —  (xdx  ■+■  ydy-h  zdzy=.r^ii^dt-—  (rdr)-, 

et  par  analogie 

>/2  +  ^'î  -+.  v'2  =  r"  u"  df  —  { r'  dr'Y, 

>/'j  +  p."  3  +  v"^  =  r"'  II"  'dP—i  r"  dr')  '  ; 
je  trouve  de  même 

VA'-+-(x^'-i- vv'=  (xx'-i-yj'-^zz')  {(Ixdx'-hdjdr'-^dzdz')—  {x' dx -[- y' dj -^  z' dz)  [xdx'-^ydy'-i-zdz') 

=  p"i,"d('-dYdy'=p"v"d('—  (— )'+  (— )'' 
et  par  analogie 


DKS  TKOIS  CORPS.  2W 

Donc,  si  l'on  l;iil,  pour  plus  de  siuiplicité. 


Il     -  /•'  lO  — 

Yi'=r"u"  - 
n"=r"'u"'- 


rdr 
(Il 

r'dr'V 


dl 

'^dT 


et 


en  sort»'  (juc  l'on  ait 

).=  +  _a^  +v^  =11  dP,  l'I" -h  iJ.'[j"-hv'v"=m'dt\ 
>.'=  _,_  y/ ^-^y'^  =  U'dt\  n"  +  fj.'/'  +  vv"  =  Wdt\ 
>/'2  _^_  y/'2  _^_ ,y'i  —  ïi"Jp,     /./.'  +  y.'j.'  -+-  vv'  =W"dP, 

on  aura,  en  carrant  les  trois  équations  (0)  et  les  ajoutant  ensemble, 

équation  qui  est  aussi,  comme  l'on  voit,  d'un  ordre  moins  élevé  d'un»' 
unité  que  les  équations  (K);  et  comme  elle  renferme  la  constante  arbi- 
traire a--\-h--^c-  qui  ne  se  trouve  point  dans  les  équations  (K),  on 
peut  la  regarder  comme  une  intégrale  complète  de  ces  mêmes  équa- 
tions. 

XII. 

On  pourrait  croire  cjuc  l'écjuation  (E)  que  nous  avons  trouvée  dans 
l'Article  II  pourrait  ainsi,  en  y  substituant  les  valeurs  de  u,  u'  et  m",  don- 
ner une  nouvelle  intégrale,  mais  il  est  facile  de  voir  qu'il  n'en  résulterait 
VI.  32 


250  ESSAI   SUR   LE  PROBLÈME 

(ju'iiiie  équation  identique,  car  l'équation  dont  il  s'agit  se  réduit  d'a- 


hord  a 


u'-       ti"^  .        n      n   (  '^  ï  *    \       p 


et,  mettant  pour  w,  u  et  u"  leurs  valeurs  tirées  des  formules  f  J),  on  aura, 
en  rejetant  ce  qui  se  détruit, 

Q  +  Q'  +  Q''=/, 

ce  qui  ne  renferme  aucune  nouvelle  condition,  car  les  quantités  Q,  Q', 
Q"  sont  déjà  d'elles-mêmes  telles  que  d'Q  +  JQ -4-  r/Q"  =  o  (Article  V). 
Au  reste,  si  l'on  combine  l'équation 

Q  +  Q'  +  Q"=/ 

avec  les  équations  (N)  et  (P),  après  y  avoir  substitué  les  valeurs  de  u, 
u'  et  u",  on  pourra,  par  le  moyen  de  ces  trois  équations,  déterminer  les 
trois  quantités  Q,  Q'  et  Q",  lesquelles  ne  renfermeront  par  conséquent 
que  les  variables  finies  r,  r' ,  r"  et  leurs  différentielles  premières  dr,  dr\ 

dr"  avec  la  quantité  -j-\  ainsi,  substituant  ces  valeurs  dans  les  équa- 
tions (K),  on  aura  trois  équations  du  second  ordre  entre  les  variables  /•, 
/•'  et  r\  dans  lesquelles  il  n'y  aura  plus  qu'à  substituer  la  valeur  de  -j-' 

Donc,  si  à  l'aide  d'une  de  ces  équations  on  élimine  la  quantité  —  des 

deux  autres,  on  aura  d'abord  deux  équations  purement  du  second  ordre 
entre  les  variables  r,  /-',  r"  et  t\  ensuite,  si  l'on  différentie  la  valeur  de 

^5  et  qu'on  mette  la  valeur  de-^  dans  l'équation  (H),  on  aura  une  troi- 
sième équation  entre  les  mêmes  variables,  qui  ne  sera  que  du  troisième 
ordre.  De  sorte  que  l'on  aura,  par  ce  moyen,  pour  la  détermination  des 
variables  r,  r'  et  r",  deux  équations  différentielles  du  second  ordre  et  une 
du  troisième;  et  ces  équations  suffiront,  comme  on  le  verra  dans  un 
moment,  pour  la  solution  complète  du  Problème  des  trois  Corps. 
Nous  croyons  cependant  qu'il  est  encore  plus  simple  et  plus  commode 


DES  TROIS  CORPS.  251 

pour  le  calcul  de  sul)slituer  dans  les  équations  (K)  les  valeurs  de  Q,  Q' 
et  Q"  tirées  des  équations  (J);  car,  quoique  les  équations  résultantes 
puissent  monter  à  des  ordres  plus  élevés  que  le  second,  elles  auroni 
toujours  ce  grand  avantage  que  les  variables  s'y  trouveront  p(;u  mêlées 
entre  elles,  et  (jue  l'analogie  (jui  y  règne  facilitera  beaucoup  leur  réso- 
lution. 

XIII. 

Des  dix  équations  de  l'Article  VIII  il  n'en  reste  donc  plus  ([ue  neuf, 
et  des  trois  équations  (D)  de  l'Article  II,  ou  (0  j  de  l'Article  XI,  il  n'en 
reste  plus  que  deux;  de  sorte  qu'on  n'aura  en  tout  que  onze  équations 
pour  la  détermination  des  six  variables  a?,  j,  z,  x\y' y  z'  et  de  leurs  diffé- 
rentiel les  f/.r,  dy,...',  d'où  l'on  voit  qu'il  est  impossible  de  déterminer  ces 
variables  directement  et  par  les  seules  opérations  de  l'Algèbre;  mais  on 
pourra  en  venir  à  bout  au  moyen  d'une  intégration,  comme  on  va  le  voir. 

Je  suppose  que  l'on  veuille  connaître  les  valeurs  de  ^,7,  -;  on  aura 
d'abord  l'équation 

Q)  ;c- +  j^  +  z^  = /•». 

Ensuite,  multipliant  les  trois  équations  (0)  de  l'Article  XI  respecti- 
vement par).,  [J.,  V,  et  les  ajoutant  ensemble,  on  aura 

Cl  o  A 

ou  bien,  en  faisant  les  substitutions  du  même  Article, 

{K       (  77  +  -5-  H — r  1  ^^'  =  a{rdx  —  xdr)-\-  b{zdx  —  xdz)-\-  c{zdy  —  y 
\  C  B  A  / 


dz 


Enfin,  multipliant  les  mêmes  équations  (0)  respectivement  par  z, 
—y,  X,  et  les  ajoutant  ensemble,  on  aura 


Iz  —  f-.r-*-  vx        K' z  —  a' y  +  v' X        1" z  —  |u"j  +  v" x  


C  B  A 


=:  (az  —  h  y  -h  ex  i  dL 


Or    il    est   aisé    de   voir   que    l'on    a    À- —  ^jlv -h  va?  =  o,    et    (pic 

32. 


2o2  ESSAI   SUR   LE  PROBLÈME 

—  X's  -h  ij.'y  —  v'.r  csl  la  môme  (|ii;mlil(''  (jiic  nous  avons  (Icsi^iiôc  pins 
liani  par  o  ^Article  L\  )  ;  donc,  puis(jn'on  a  déjà  trouvé  (  Aiiiclo  X) 

on  aura,  en  faisant  les  subslitutions  du  niùnic  Article  X, 


{!'  z  —  iJ.\r-{-y 


'^y=\{pi>' 


+  pp" -\- p' p"  u"  -  ^ 


dp. 


ilr. 


et  par  analoi^ic 

{l"z  —  II"  y  +  v"  xy^\  I  pp'  -f-  pp"  +  //  //'  )  w"'  -  -, 

De  sorte  (|ne  l'équation  ci-dessus  deviendra 

R  A  ■  * 

Ainsi  on  aura  trois  é(|uations  [Q),  (R)  et  (S),  à  l'aide  desciuelles  on 
pourra  déterminer  facilement  les  valeurs  de  a:, y,  z,  dès  qu'on  connaîtra 
c(dles  de  /•,  /•'  et  r". 

On  |)eut  trouver  de  semblables  formules  pour  la  détermination  de  a;', 
y,  s';  et  même,  sans  faii'(>  un  nouveau  calcul,  il  sullira  de  cbanger  dans 
les  précédentes  B  en  C  et  C  en  H,  d'accentuer  les  lettres  qui  n'ont  point 
d'accent  et  d'effacer  l'accent  de  celbîs  (jui  en  ont  un,  sans  toucber  à 
celles  qui  ont  deux  accents.  Il  faut  seulement  observer  que  la  quantité  dp 
ne  (bauge  point  de  valeur,  mais  seulement  de  signe,  lorsqu'on  cbange 
entre  elles  les  masses  A,  B,  C  et  les  lettres  accentuées,  ce  qui  se  voit 
clairement  par  l'équation  (H)  de  l'Article  V. 


XIV. 


Supposons,  pour  abréger, 
Il       W       ¥' 


^/4  (  pp'  +  pp"  +  p'p"  )  n'-^  ~  1'        y  4  (  pp'  +  pp"  +  p'p"  )  u"'  —  T'' 


DES  TROIS  COR  PS.  253 

cl  l'on  aura  ces  trois  ù(jualioiis 

j,.J_|_  j!_|_   2«—    ,.2^ 

HZ  —  h  y  -f-  ex  =  Z, 

a  {ydx  —  X <ly   -+-  bi z dx  —  x dz ')  +  c{z dy  —  ydz )  ----  T d/ . 

(^oinuK'  les  constantes  «,  h,  c  sont  ailiitraires  (Aiticle  II y  cl  iir  dc- 
pcndcîntque  de  la  position  du  plan  de  projection  des  orbites  des  (j)rps  H 
et  C  autour  du  Corps  A,  il  est  facile  de  voir  qu'on  peut  prendre  ce  plan 
de  manière  que  l'on  ait  è=o  etc  =  o;  car  pour  cela  il  sullira  (jirdii  ail 
/;  =  ()etc=:o  au  commencement  du  mouvement,  c'est-à-dire,  lorsque 

Supposant  donc  h  =  o  et  c  =  o,  on  aura 

az=^Z,     a  {ydx  —  xdy)  =  Tdt; 

donc 

Z 

z  =  —■> 
a 

et,  à  cause  de  x-  -h y''  -h  :=- —  /-,  on  aura 


•^  a-  ' 


(IdMC 

y  dx  —  xdy a  T  di 


(le  sorte  (|u'en  Taisant 


on  aui'a 


cl  de  là 


x^-hy'  n''r-—Z^ 


,  a  T  dt 


^=la»g?. 


Z                    /  .       7J    .                        /  ,       Z= 
=  —5       >-=_i//'- :,  smcp,       x=i/r^ 


coso. 


254  ESSAI  SUR   LE  PROBLEME 

XV. 

Mais  si  l'on  ne  veut  pas  s'astreindre  à  la  supposition  de  6=0  et  c=o, 
ce  qui  oblige  de  prendre  le  plan  de  projection  d'une  manière  détermi- 
née, voici  comment  on  pourra  déterminer  les  quantités  ce,  y,  z  avec 
toute  la  généralité  possible. 

Soient 

Iz  —  wî r  -+-  nx  =  X,      "kz  —  ij.f  4-  v^  =  Y, 

/,  m,  n,  >.,  p.,  V  étant  des  coefficients  indéterminés,  et  X,  Y  deux  nou- 
velles variables;  on  aura 

V  r/ X  —  X  (l V  =  [m  v  —  n  a)  [j  de  —  x  dy)  -+■  [n  1  —  h)[zdx  —  x  dz)  -+-  [Ijj.  —  m  >.)  [z  dy  —y  dz]  ; 

donc,  faisant 

mv  —  n/7.  =  ha,       ni  —  Iv  =:  hb,       ly.  —  ml  ■=.  h  a, 

on  aura  l'équation  (Article  XIV) 

YdX-XdY  =  kTclL 

Supposons  maintenant  que  l'on  ait 

/(X'  +  Y'O  -+-  gT"  =^  X- -^ y-"  -1-  2^ 

substituant  les  valeurs  de  X,  Y  et  Z  en  x^  y  et  z,  et  comparant  ensuite 
les  termes  qui  contiennent  les  mêmes  puissances  de  oc,  y  et  z,  on  aura 
ces  six  équations 

/(  /^  +V)  +  ga'=\,  f{  Im  H-  7//)  H-  gah  =  o, 
/(w^ -I-  [j?)  -\-  gb-  =  i,  f{ In  -h  Iv)  -\-  gac  =  o, 
/"(  n'  -+-  v^ )  -+-  g-c'  =  I ,      /( mn  -i-  //v  )  -l-  gbc  =  o, 

lesquelles,  étant  combinées  avec  les  trois  précédentes,  serviront  à  dé- 
terminer les  neuf  inconnues  /,  m,  n,  ).,  a,  v,/,  g,  k. 


DES  TROIS  CORPS.  255 

XVI. 

Ola  l'ail,  on  aura  donc,  à  laust;  do  x- -\- y'' -h  z- =  r- ,  l'rqualion 


(I  ou 


donc 


YdX-\dY  _  flf'ïdt 


Donc,  si  l'on  fait 


X'-4-Y^  r'-gZ' 


do=fhI^ 


on  aura 


Y=:y/^:^^y^sin9,       ^=\/^ 


^r^ COS9. 


Ainsi  l'on  connaîtra  les  trois  quantités  X,  Y,  Z,  à  l'aide  desquelles  on 
pourra  déterminer  x,  y,  z. 

Pour  cela,  on  prendra  les  trois  équations 

Iz  —  my  4-  nx  =  X,       "kz  —  y.y  -+•  vx  :=  Y,       az  —  hy  -t-  ex  =  Z, 

et  on  les  ajoutera  ensemble  après  les  avoir  multipliées  respectivement  : 
T**  par//,/).,  ga\  2*^  \i^Y  fm,  /[j.,  gb;  '5°  pary>î,/v,  gc;  on  aura  sui-ic- 
cliamp,  en  vertu  des  écjuations  de  l'Article  précédent, 

z=f(l\  +  'kY)-hgaZ,    y=-f{ni\+'j.Y.-ghZ,     x=f{n\-\-^j\  -hgcZ. 

XVII. 
Maintenant,  comme  on  a  supposé 

^'-<-r'-+--s'=/(X'^-+- Y')  -^  gz\ 

on  aura,  en  substituant  les  valeurs  de  x, y,  z  qu'on  vient  de  li'ouvrr,  ri 


256  ESSAI  SUR   LE   PROBLÈME 

('()mj);iiaiit  les  termes  lioniogènes, 

/(/=  H-/??--f- W-)  =  I,  /'/.  ^  mu.-h  n-j  =:ii, 
fO?  -+-  u?  -f-  v^i  ==  I,  la  -+-  mb  +  ne  —  o, 
già'  -+-  h-  -1-  C-)  =  I,         /«+  /-'.^  -4-  vc  =  o, 

et  ces  équations  devront  être  identiques  avec  les  six  qu'on  a  trouvées  ci- 
dessus  (Article  XV),  et  pourront  par  conséquent  être  employées  a  la 
place  de  celles-là  pour  la  détermination  des  inconnues  /,  m,.... 

Or,  comme  il  faut  satisfaire  en  même  temps  à  ces  trois  autres  é(|ua- 
tions  (Article  XV j 


m  V  —  n  u. 


ha,       n't.  —  Iv  =^  kh,       lij  —  ml^=  kc, 


je  remarque  (jue,  si  l'on  ajoute  ensemble  ces  dernières  équations  après 
les  avoir  multipliées  respectivement  :  i"*  par  /,  m,  n;  2"  par  À,  ti,  v,  on 
aura  ces  deux-ci 

h  (  la  +  mb  4-  /?6- 1  =:  o,       /i  (  Àa  4-  jt/  />  -f-  V c  )  ^  o, 

lesquelles  s'accordent  avec  la  cinquième  et  la  sixième  des  précédentes; 
ainsi  l'on  peut  déjà  réduire  à  une  seule  les  trois  équations  dont  il  s'agit, 
et  l'on  y  satisfera  par  la  détermination  de  l'inconnue  /•.  Or,  si  l'on  ajoute 
ensemble  les  carrés  de  ces  équations,  on  aura 

k- ( a--\-  h--\-  f'  )  =  1  m  v  —  //  y.  )-  +  (  /i >,  —  / v  )=  +  (  lu.  —  mlY 

=  il'  -+-  m-  -h  n')  il-  -+-  [j:'  h-  v')  —(11  +  mu  +  nv  f  =  y^ 

en  vertu  des  six  équations  ci-dessus;  de  sorte  qu'on  aura 

k  =  —_     ' 

fs^!a'-hb--h  c- 

Donc  il  n'y  aura  plus  qu'à  satisfaire  aux  six  équations  trouvées  plus 
liaut  :  c'est  ce  qu'on  pourra  exécuter  de  plusieurs  manières  à  cause  qu'il 
y  a  plus  d'indéterminées  que  d'équations. 


DES  TROIS  CORPS.  257 

On  aura  U'abord 

I 

^~  a'  -+-  i'  +  C ' 

ensuitr,  si  l'on  (liasse  À  des  doux  équations 

Il  -f-  mu  -f-  nv  -    o,       la  -h  [j.h  -^  vc  —  o, 

on  aura 

( am  —  bl  ij.  -h  [an  —  cl)  v  ^=  o, 

et,  chassant  a,  on  aura  de  même 

(  bl  —  am    A  -h  (bn  —  cm  »  v  =  o, 
d'où  je  conclus  qu'on  aura 

l  =  {cm  —  bn}è,     ij.z=[an  —  cljd,     v  =  [bl  —  am  â, 

§  étant  une  inconnue  qu'on  déterminera  par  l'équation 

laquelii'  donnera 

fè''[{cm  —  bnY  -{-  [an  —  cl)-  -\-  [bl  —  amf]  =  i; 
mais  on  a 
[cm—bn^-^ian — cl)''-h{bl—amf=:{à--hb^-\-c^  {l--\- m- -\-n^j—(al -\- bm-i-cn i^  =  -p-i 


à  cause  de 


a-  -h  b^  -\-  c-  =  -■)      l'  H-  m-  -\-  n^  =.  -jr  ■)     al  -\-  bm  -\-  cm  =  o 
S  f 


par  les  équations  ci-dessus;  donc  on  auni 


g  ^s       ^a'-hb'  +  c 

VI.  33 


258  ESSAI  SUR  LE  PROBLÈME 

r\  il  ne  rcsli'i'a  qu'à  satisfaire  à  ces  deux  équations 

f  l^  +  m-  -f-  «')  —  1 ,     la  -h  inh  -f-  ne  r -  u. 
Supposons,  pour  plus  de  simplicité, 

a^^hcosoc,     b  =  hsinacose,     c  = /i  sina  sine; 
on  aura 

de  sorte  (|u<' 

h-^sja}  +  b'-^  c\ 

et  la  seconde  des  deux  équations  précédentes  deviendra 

/cosa  +  sina  (m  coss  -t-  /isinej  =  o; 

soit  donc 

/=  sina  sinv;, 

et  l'on  aura,  en  faisant  pour  plus  de  simplicité/==  i, 

sin=a  sin'-/;  +  in"  -+-  ;i2  =  i,     cosasinvi  +  mcosj  -f-  n  siiu  =  o. 

Donc 

m  cos£  +  «sine  =  —  cosasin/î; 

donc 

m-  -4-  «'  —  (m  cos  c  +  n  sin  zf  =  (m  sin  e  —  n  cos  £)' 

=  I  —  sin^asin'/j  — cos=asin'7;=  i  —  s'xn'n  —  cos-n; 

et,  liranl  la  racine  carrée, 

m  sine  —  n  cose  =  cosy;  ; 

de  sorte  qu'on  aura 

m  =  sine  cos/î  —  cosa  cose  sinrî, 
n  =  — cos  £  cos-/)  —  cos  a  sine  sin  7;  ; 

cl  (le  là  on  trouvera  les  valeurs  de  X,  /x,  v  par  les  formules  précédentes. 


DES  mois  CORPS.  259 

On  ;iur;i  de  (('lie  iiianiùre 

/  =r.  sina  siii/,, 

m  =  sine  cosy;  —  cosot.  cose  sinr,, 
/î  =  —  cos£  cosT)  —  cusî<  sine  sin/;, 
>.  =  sin  a  cos/m 

|U  =  —  sine  sin/)  —  rosa  rose  cos/,, 
V  =  cose  siny;  —  cosasinc  costî. 

Si  l'on  subslilue  ces  valciiis  (l;»ns  les  expressions  de  x,  jel  r  de  l'Ai- 
licle  X\  i,  il  est  l'aeile  de  voir  (jue  les  (juanlités  X,  Y  et  j  ne  sont  aiilre 

chose  (jue  les  coordonnées  rectangles  de  la  même  courbe,  (jui  est  repré- 
sentée par  les  coordonnées  x,y,  z,  mais  rapportée  à  un  autre  plan  de  pro- 
jection, dont  la  position  dépend  des  angles  a,  s  et'/j.  En  efiét,  si  l'on  consi- 
dère les  deux  plans  des  coordonnées^,/,  et  des  coordonnéesX,  Y,  l'angle  « 
sera  celui  de  l'inclinaison  de  ces  deux  plans,  l'angle  yj  sera  celui  (jue  la 
ligne  d'interjection  de  ces  plans  fait  avec  l'axe  des  abscisses  x,  et  l'angle  i 
sera  celui  (|ue  l'axe  des  abscisses  X  comprend  avec  la  même  ligne  d'in- 
tersection. Or,  comme  l'expression  des  coordonnées  X,  Y  et -r  est  plus 
simple  (jue  celle  des  coordonnées  ^,j,  z,  il  est  clair  (jue  le  plan  de  pro- 
jection auquel  appartiennent  les  coordonnées  X,  Y  et  j  est  i)lus  j)ropr(' 

(|ue  tout  autre  plan  pour  y  rapporter  les  mouvements  des  trois  Corps,  ou 
plutôt  le  mouvement  relatif  de  deux  de  ces  Corps  autour  du  troisième. 

On  voit  donc  (|ue  la  position  du  [)lan  de  projection  n'est  point  du  tout 
indifférente,  et  (jue,  parmi  tous  les  plans  possibles  qu'on  peut  faire  passer 
par  le  (>)i'ps  A,  il  y  en  a  un  (jui  doit  être  choisi  de  préférence,  paice  (|ur 
les  mouvements  des  Corps  B  et  C  autour  de  A  sont  pai-  lapporl  ii  ce  phni 
les  plus  simples  qu'il  est  possible. 

Cette  remarque,  qui  me  parait  de  quebjue  importance  dans  le  Pro- 
blème des  trois  Corps,  n'avait  pas  encore  été  faite,  parce  que  personne, 
(jue  je  sache,  n'avait  juscju'à  prés(;nt  envisagé  ce  Problème  d'une  ma- 
nière aussi  générale  que  nous  venons  de  le  faire. 

33. 


260 


ESSAI  SUR   LE  PROBLEME 


xvin. 


Nous  prendrons  donc,  à  la  place  des  coordonnées  x,y,  2,  celles-ci  X, 


.r     / 


Y,  ^5  pour  représenter  le  mouvement  du  Corps  B  autour  de  A;  et  comme 

l'on  a,  à  cause  de  /?  =  ^^  (Article  XV), 
sis 


Y:- 


x^  +_)•''  +  2'  =  r-, 


il  est  clair  que  o  sera  l'angle  décrit  par  le  Corps  B  autour  de  A  dans  le 
plan  de  projection,  c'est-à-dire,  la  longitude  du  Corps  B  dans  ce  même 

Z  . 

plan;  et  que  -j-  sera  le  sinus  de  la  latitude.  Ainsi  on  aura  '^Article  XVI), 

à  cause  de/=  i, 

k 


s/a'  -h  b'-{-c'       l^ 


Pour  le  (^orps  B  : 

Rayon  rerieur  de  l'orbiu-, 
Longitude.. 


r, 


Tdt 


A       r^_ 


Sinus  de  la  latitude -7- 

hr 

.    Pour  le  Orps  C  : 

Rayon  recteur  de  l'orbite r' , 

Longitude / 


Tdt 


Z' 

Sinus  de  la  latitude 7—  • 

fir 

Les  valeurs  de  T  et  de  Z  sont  données  par  les  formules  de  l'Article  XIV, 


DES  TROIS  CORPS.  201 

ci  pour  avoir  celles  de  T'  et  Z'  il  n'y  aura  qu'à  changer  dans  celles-là 
l'acccint  zéro  en  '  et  '  en  zéro,  et  ensuite  B  en  C  et  (]  en  H. 

Quant  à  la  quantité  h,  c'est  une  constante  arbitraire  qui  dépend  du 
mouvement  initial  des  Corps;  mais  il  faudra  la  prendre  telle,  (|M'(dle 
s'accorde  avec  l'équation  (P)  de  l'Article  XI,  dans  laquelle  le  second 
membre  est 

rt'  -f-  /;'  -f-  c^  =  /t'  ; 

de  sorte  qu'il  n'y  aura  qu'à  prendre  pour  h  la  lacine  carrée  de  l;i  valeur 
du  premier  membre  de  cette  équation  lorsqu'on  y  fait  /  =  (). 

XIX. 

Les  formules  que  nous  venons  de  trouver  servent  à  déterminer  i<'s 
orbites  des  Corps  B  et  C  autour  du  Corps  A  par  rapport  à  un  plan  (ixc 
passant  par  ce  même  Corps;  mais  il  faut  voir  encore  comment  on  peut 
déterminer,  par  leur  moyen,  la  position  inuluelle  de  ces  orbites.  Pour 
cela,  nous  commencerons  par  remarquer  que  si  l'on  considère  le  triangle 
formé  à  chaque  instant  par  les  trois  Corps  A,  B,  C,  et  dont  les  trois  côtés 
sont  /%  r'  et  r" ,  et  qu'on  nomme  Ç,  T,  'Ç"  les  trois  angles  opposés  à  ces 
côtés,  on  aura,  comme  on  le  sait,  par  la  Géométrie  élémentaire. 


COS  'C,  : 

= 

9.r'r"          ~  r'r" 

cosÇ' 

~ 

/■'  4-  r"'  —  r"         // 

rr                    --■            //  ' 

?.r/-                  rr' 

oos  Ç" 

= 

r^^r'^  —  r"^  _  p" 

•y.rr'                 rr' 

Or  on  a  (Article  VIII) 

p"  :=  xx'  -+-  rr'  -\-  zz'\ 

donc 

,^,,     xx'  H-  rr'  4-  zz' 
ces  C  = -^, ) 

rr 

Ç"  étant  l'angle  formé  au  centre  du  Corps  A  par  les  rayons  recteui  s  /  ci  / 
des  deux  autres  corps  B  et  C. 


262  ESSAI  SUR  LE  PROBLÈME 

Qu'on  imagine  maintenant  deux  plans  passant,  l'un  par  le  Corps  A 
et  par  les  deux  points  infiniment  proches  dans  lesquels  s'est  trouvé  le 
Corps  B  au  commencement  et  à  la  tin  du  temps  infiniment  petit  dt,  et 
l'autre  par  le  même  Corps  A,  et  par  les  deux  points  infiniment  proches 
où  le  Corps  C  était  au  commencement  et  à  la  fin  du  même  temps  dt;  ces 
deux  plans  seront  ceux  des  orbites  des  Corps  B  et  C  autour  de  A,  et  ils  se 
couperont  nécessairement  dans  une  ligne  droite  passant  par  le  Corps  A, 
laquelle  sera  donc  la  ligne  des  nœuds  des  deux  orbites. 

Soit  co  l'inclinaison  de  ces  deux  plans  l'un  à  l'autre,  2  la  distance  du 
Corps  B  à  l'intersection  des  deux  plans  ou  à  la  ligne  des  nœuds,  c'est-à- 
dire,  l'angle  compris  entre  le  rayon  r  et  la  ligne  des  nœuds,  et  l' la  distance 
du  Corps  C  à  la  même  ligne  des  nœuds,  c'est-à-dire,  l'angle  formé  par  le 
rayon  r'  et  la  ligne  des  nœuds;  si  l'on  imagine  une  sphère  décrite  autour 
de  A  comme  centre,  et  que  par  les  points  où  les  deux  rayons  r,  r'  et  la 
ligne  des  nœuds  traversent  la  surface  de  cette  sphère,  dont  nous  suppo- 
serons le  rayon  égal  à  i ,  on  mène  des  arcs  de  grands  cercles,  on  aura 
un  triangle  sphérique  dont  les  trois  côtés  seront  S,  |'  et  Ç",  et  dont 
l'angle  opposé  au  côté  T' sera  ov,  de  sorte  qu'on  aura,  par  les  formules 

connues, 

ces  'Ç"  =-  ces  c  cos  l'  h-  sin  ç  sin  l'  ces  oj  ; 

donc 

xx'  -X-  Yy'  ~i~  zz' 
cos  H  ces  i'-i- sine  sine' ces  C)  =  '-^, 

Supposons  maintenant  que  pendant  le  temps  dt  le  Corps  B  décrive  au- 
tour de  A  l'angle  infiniment  petit  d^,  et  que  le  Corps  C  décrive  l'angle  d^' , 
il  est  clair  que,  tandis  que  les  lignes  oc,  y,  z,  r  croissent  de  leurs  diffé- 
rentielles dx,  dy,  dz,  dr,  l'angle  |  croîtra  de  d^,  et  l'angle  w  demeurera 
le  même,  parce  qu'on  suppose  que  la  position  des  plans  des  orbites  des 
Corps  B  et  C  est  la  même  au  commencement  et  à  la  fin  de  l'instant  dt-,  de 
même,  en  faisant  croître  les  lignes  x',y' ,  z' ,  r'  de  leurs  différentielles ^o:', 
dy ,  dz',  dr' ,  il  n'y  aura  que  l'angle  |'  qui  variera  en  croissant  de  d^'.  Or, 
comme  l'équation  précédente  doit  être  identique  et  indépendante  de  la 
loi  des  mouvements  des  Corps  B  et  C,  il  est  clair  qu'on  pourra  y  faire  va- 


DES  TROIS  CORPS.  ny.i 

l'U'V  les  (juantités  x,y,  z,  r  et  z  (jui  ai)|);u'lienn('nl  au  Corps  H  indépen- 
damment des  (juantités  x',y,  z' ,  r'  cl  Z'  qui  appartiennent  au  (^orps  (], 
et  vice  versa  celles-ci  indépendauinicnt  de  eelles-Ià;  d'oîi  il  .suil  (pTcii 
faisant  varier  d'abord  x,  y,  z,  ret  c,  ensuite  x',  y\  z',  r'  et  ç',  enfin  les 
unes  et  les  autres  en  même  (euips,  on  tirera  de  l'équation  doni  il  s'ai^it 
les  trois  suivantes 

(— sin>  ros?'-i-cosfcsni^'cos'»)a0  =^—  ^^ ^^^—— 1 s£_j^ , 

/•'/•  rr' 

y   .    y,        .y        y,  ,.,  x.x' ^yy' -If  zz' )  (1  f'       X  (I  x'  -^-y  (l)'' -\- Z  il  z' 

(sin  $ sin  |' ■+-  ces l  cos ^'  coso) ) d6  dô' 

_  (  xx'  -h  yy'  -+-  zz'  )  dr dr'       ( x'  dx  -(-  >•'  dy  H-  z'  dz  )  dv' 

(  X  dx'  H-  ydy'  -f-  z  dz'  \  dr        dx  dx'  +  dy  dy  '  -f-  dz  dz' 

Donc,  si  l'on  fait  dans  toutes  ces  équations  les  substitutions  de  l'Ar- 
ticle VIII,  on  aura  ces  quatre-ci 

p" 

cos£cosH'-+-  sin£  sin?'coso)  =  f—-,-, 

rr 

...  y,  y      •      y,  P"  f^''  +  f  d\ 

—  sin  £  cos E  H-  cost  sin?  cosc)  =  — -r-r? —  ' 

r^r  dO 

n'fli-'-^  r'dW 

—  ces  H  sin  ^'  +  sin^  cosË'  coso)  =  — ; — j^ ? 

rr'dd 

.    .,    .    .,,             .,        ^,                 p"drdr'—dV.rdr'—d\'.r'dr+rr'v"dP 
sni^sm^  -^cos4cos^'cosw=  ^^ ,,,„„^lQ^l(^f 

Or  il  est  facile  de  concevoir  (jiie  le  carré  du  petit  espace  (jue  parcoiiri 
le  Corps  B  dans  le  temps  dt  est  exprimé  également  par  dx'-ir  dy'^-t-  dz- 
et  par  r'-dO'^  -h  dr-,  de  sorte  qu'on  aura 


rde  =  s/dx^  -+-  dy-"  -f-  dz^  —  dr 
et  par  conséquent  (Articles  VIII  et  XI) 


.   _  \ju^dt'  —  dr^  _  dt^n 
r  r' 


264  ESSAI  SUR   LE   PROBLEME 

et  de  même 

r'  r'"^ 

Ainsi  les  seconds  membres  des  quatre  équations  précédentes  seront 
tous  donnés,  dès  qu'on  connaîtra  r,  r'  et  r"  en  t  (Article  cité);  de  sorte 
qu'on  aura  quatre  équations  entre  les  trois  inconnues  'ê.,  B'  et  w,  par  les- 
quelles on  pourra  non-seulement  déterminer  ces  trois  inconnues,  mais 
encore  avoir  une  équation  entre  les  quantités  r,  r',  r",  u,  w',...,  et  cette 
équation  sera  la  même  que  celle  qu'on  a  déjà  trouvée  plus  haut  (Ar- 
ticle X)  par  une  voie  bien  différente. 

XX. 

Supposons,  pour  abréger,  que  les  équations  précédentes  soient  repré- 
sentées ainsi 

cosEcost'-4-  sin^  sin^'coso)  =  À, 

sinË  cos^'  —  cos^  sinTcGso)  =  u, 
cosË  sinH'— sin^  cos^'cosw  =  V, 
sinH  sinc'-f- cosËcosH'cosco  =  —  CT, 


en  faisant 


p"  _  p"dr-hrd\  _  p"dr'-hr'd\' 


P 


"drdr'^  dV . rdr'  +  dWr'dr  —  rr'v'dP 


r'r'HlQdB'  ' 

il  est  facile  de  réduire  ces  quatre  équations  à  ces  deux-ci 

ces ( H ±  ^' )  ( I  =F  CCS (ù)=^l±m, 
sin  (  H  ±  H'  )  (  I  =p  ces  w  I  =  M  ±  V, 

lesquelles,  à  cause  de  l'ambiguïté  des  signes,  équivalent  réellement  à 
quatre  équations.  Élevant  ces  deux  équations  au  carré,  et  ensuite  les 
ajoutant  ensemble,  on  a 

(i=pcosw)'  =  (À±ro;=-f-  i(U=hv)% 


DES  TROIS  CORPS.  2G5 

«l'oti,  à  cause  de  l'ambiguïté  des  signes,  on  tire 

—  COSCi)  ■=  ?,GT  +  p.V,  I  -+-  COS-ù)  =  X-  H-  p.^  -f-  V-  4-  !57^  ; 

de  sorte  qu'éliminant  cos^ij  on  aura 

I  H-  (  ?.C7  -4-  iJ.y  Y  =  l'  -f-  p.'  +  v^  -f-  xs\ 

Si  l'on  substitue  dans  cette  équation  les  valeurs  de  ).,  /j.,  y,  zs,  comme 
aussi  celles  de  dû  et  de  dO',  on  aura  une  équation  qui  sera  la  même  qu<î 
l'équation  (N)  de  l'Article  X;  ce  qui  peut  servir  à  confirmer  la  bonté  de 
nos  calculs. 

L'équation 

—  CCS  0)  =  ),m  -t-  uv 

donnera 

0OSCO=r^^ — 


r'r"d6de' 


s/nn' 


ce  qui  fera  connaître  l'inclinaison  oj  des  deux  orbites. 

Connaissant  w,  on  connaîtra  aisément  ^  et  ^';  car,  en  multiplianl  le? 

deux  équations 

cos(^  -I-  ^')(i  —  cosw)  =  l-\-Tiy, 

COSiX  —  ^')(l-+-  COSO)  =:X  —  57 

l'une  par  l'autre,  on  aura  celle-ci 

Y  (ces  2^  -I-  C0S2^')sin'w  :=  l^  —  CT"  ; 

et  de  même  les  deux  autres  équations 

sin(^  +  ^')  (i  —  cosw)  =  fjiH-  y,       sin(^  —  ^')(i  4-  cosw)  —  y.  —  v, 

étant  multipliées  ensemble,  donneront 

—  7(cos2^  —  cos2^')  sin^w  =  p.^~  vS 
(i'oîi  l'on  tire 

C0S2^=   ^—^ ,         C0S2^'z=  — ^--i- , 

sm'w  sm^6) 

VI.  34 


366  ESSAI  SUR   LE  PROBLÈME 

ou  bien,  en  mettant  à  la  place  de  rs-  sa  valeur 

I  +  cos'  w  —  )?  —  i"-^  —  ^^1 
tirée  (le  l'équation  trouvée  ci-dessus,  on  aura,  à  cause  de  cos^'^j=  i  — sin'^w, 

COS  2  £  =  I  H r—„ '  1  ces  2  H  ==  I  H r-r ? 

d'où  l'on  tire 


sint=^ ; )      sinE^-'^ : ^•, 

sinco  sinw 

c'est-à-dire,  en  substituant  les  valeurs  de  X,  p.,  v,  et  Taisant  attention 
que  r'^dB''  =  u^dt'  -  dr-  etr'^dQ'-  =  u'^dt^  -  dr'\ 


.    ^        i/(  f^f"'  —  »"' )  u'-'df  —  rH  r'dr'  Y  +  ip"  [  r'dr'  )  d\'  —  r"  dV" 

sin?  =  — f- — ' ^ : T~-— ' 

/T'^sin6)aS 

.    .,,       JTr^r'^—p"')  u' dp  —  r'^irdi'Y -h  ip" (rdr)  dY  —  r'dV 
sin  S,  =  -'^-^ — ' r^— . .Q   ^ » 


ou  bien  (Article  XIIJ) 


irtfR'sinoi 


sin  l'  =  "l^Pf"'  -^  PP"  ^  P'P"^  "'  "- 


2/"' ^/n  sinco 

XXI. 

Si  l'on  veut  que  les  trois  Corps  se  meuvent  dans  un  même  plan ,  on 
aura  alors  w  =  o,  et  par  conséquent  cosw  =  i  et  sinw  =  o;  donc 

21  =  4 ipp'  +  pp  +  p'p" ) "%    2'  =  4 ( pp' -^ pp  -^ p'p" ' "'' 

et  j)ar  analogie 

2"=  4(/^A*'  +  pp"  +  y^'/>  "  )  "  '■• 

De  sorte  que  les  quantités  Z  etZ'  (Article  XIV)  seront  nulles,  et  par 
conséquent  les  mouvements  des  trois  Corps  s'exécuteront  dans  le  même 


DES  TROIS  COUPS.  267 

plan  (|ii('  nous  avons  |)ris  |Mtui'  le  phiri  dr  proicclion  (Article  XVllI).  Or, 
si  l'on  siihsliluc  les  valeurs  de  //-,  a"-,  n"'-  tirées  des  é(|iiali(ms  pi'écé- 
dentes  dans  l'équation  (Pj  de  l'Arlicle  \1,  on  aura  une  é((ualion  en  r,  r', 

„     .    flr      dr'       do  ,  , ,  .  ,  . .        i        •  ■ 

/•    et   -r-,    -y—,    -^,    pai'    la(|nelle    on    pouria   deleiniiner   celle    deiinere 

(juantilé  -y^-,  suhsliluanl  ensuite  la  valeur  de  -/  dans  celles  de  i,  2i',  1" , 
(Il  <it 

Il  I       ..      ,..      ,..>  •      '  '      "    .    <l''     '''■'      '^''' 

on  aui'a  les  valeurs  de  ir ,  a  - ,  a  -  exprimées  en  r,  r  ,  r   et   -t-?   -y—?  -rjj 

seulement;  ainsi,  mettant  ces  valeurs  de  //'-,  u'-,  u"-  dans  les  équa- 
tions (F)  de  r Ailicle  III,  on  aura  enfin  trois  équations  en  r,  r\  r"  et  /, 
lesquelles  seront  simplement  dilTérentiellcs  du  second  ordre,  au  lien  que 
les  équations  générales  (K)  de  l'Article  V  montent  au  quatrième  ordre, 
lorsqu'on  les  délivre  des  signes  d'intégration. 

Au  reste  je  crois  que,  dans  le  cas  môme  dont  il  s'agit,  ces  dernières 
équations  seront  toujours  préférables,  parce  qu'elles  ont  l'avantage  sin- 
gulier de  ne  renfermer  aucun  radical,  ce  (jui  n'aurait  point  lieu  dans  les 
équations  où  Ton  emploierait  les  valeurs  de  u,  u' ,  u"  déterminées  par 
les  équations  ci-dessus,  valeurs  ({ui  renfermeraient  nécessairement  des 
radicaux  carrés. 


RÉCAPITULATION. 

XXII. 

Pour  résumer  ce  qui  vient  d'être  démontré  dans  ce  Chapitre,  soient 
nommées  :  A,  B,  C  les  masses  des  trois  Corps;  r,  /',  /"  les  distances  entre 
les  (^orps  A  et  B,  A  et  C,  B  et  C;  et  supposant,  pour  abréger, 

r'2  -+-  r"^  —  r-  ,       r'  -+-  r"'  —  r"  „       r'  -h  r'^  —  r"- 


34. 


268  .    ESSAI  SUR  LE   PROBLEME 

on  aura,  en  prenant  l'élément  du  temps  dt  pour  constant, 

(H)  Çl  +  Cpq~Bp'q'-Ap"g"=o; 

I  (IQ  =  g'  dp'  —  q"dp"-qdp, 
(I)  </Q'=   qdp   -h  q" dp" -h  q' dp, 

{  f/Q"=  —  qdp—  q'  dp'  +  q"dp  ; 

-^ ,r—  - ^'1/9  -p"q'  +  Q)  =o, 

[r"')       A  +  B  +  C       ,,  ,    ,      „„ 

J77-; p A{-pq-p'q'  +  Q")  =  o. 

Ces  équations  serviront  à  déterminer  les  valeurs  des  distances  r,  r',  r" 
en  t;  après  quoi  on  pourra  trouver  directement  et  sans  aucune  inté- 
gration les  valeurs  de  tous  les  autres  éléments,  d'où  dépend  la  détermi- 
nation des  orbites  des  Corps  B  et  C  autour  du  Corps  A. 

En  effet,  si  l'on  nomme 

u,    \  /  B,  /A, 

u' ,  [  la  vitesse  du  Corps  \  C,  autour  de  l  A, 

C,  (b, 


on  aura  d'abord 


?.(A-f-B-^C: 


CQ, 
(J)  {  u''=  --v--^---^-^  +BQ', 


/■ 

2(A-i-B 

+  C) 

2(A  +  B 

+  C) 

AQ' 


Si  l'on  nomme  ensuite 


f    l'angle  parcouru  par  le  Corps  B  autour  de  A  dans  un  plan  supposé 
fixe  et  passant  par  A,  c'est-à-dire,  la  longitude  de  B, 


DES  TROIS  CORPS.  209 

^    l'angle  de  la  latitude  de  B  par  rapport  à  ce  même  plan, 
'/  la  longitude  de  C, 
4^'  sa  latitude, 

et  qu'on  fasse,  pour  abréger, 

P  =;  pp' -+. pp"+p'p"=  r'  r'-'  —  p"'  =  i(2  /•' r"  -h  2  /•-  r"'  -+-  7.  r" r"'  —  r*  —  /•'*  —  /•"♦) 
=  -  |(r  -f-  r'  +r"){r-h  1'  -  r"  )  (/•  -  /•'  +  /■")  (r  -  r'  -  r"), 

1 


y 


y." 


Jdir"')y        ,f(fpy  ((fp'Y        (      ffp'         ,dp\<i9        ,.J'I[ 


dt    j     '  ^'  V  dt   J    '  ''  \  dt  I     '    ■  \  ''    (//        ^    dt  I  dl    '    '     \  dt 


P  \-^n-]  -^P\7ï7  )+/'  I-ttt)  +M/^  -17 -p 

d{,-) 


n  =    rHû   — 

n'  =  r'ur-  - 

W=.r"Ui"'  — 


■xdt 

d{r")V 
o.dt 

dir"^ 
T-dt 


w 

/  dp  Y     f  dp  y 

"¥' 

p     \idtj  ^\idtj 

\j/" 

~P                  \ldt)    ^\9.dl) 

en 

supposant 

u''  +  h"'  —  H' 

on  aura  sur-le-champ 


M*  -f-  U"'  —  m"  „  f<=  -+■  U'^  —  m"^ 


n     ¥'     ¥' 


siinL  = ,- )     -77  = r~, ,1 


270  ESSAI  SUR   LE   PROBLÈME 

et 

sin'l  =: — ^   — 


?./</''  '       dt  hr' ■  cos^ '^' 

Il  faut  remarquer  que  ces  formules  renferment  deux  constantes  (jui 
ne  sont  pas  arbitraires,  mais  qui  doivent  être  déterminées  par  des  équa- 
tions particulières;  ce  sont  :  l'une  la  constante  h,  et  l'autre  la  constante 

qui  peut  être  ajoutée  à  la  valeur  de  -^  déduite  de  l'équation  (Hj  par  la 
voie  de  l'intégration. 

Voici  donc  les  équations  qui  serviront  a  déterminer  ces  constantes 

(N)    ,6PU-4,:2c-  +  r./+2%.'')  +  ('^^^±^^^^^^^ 

en  supposant 

U  —  w'-^vv"^v\'"=u-u''  —  v"^  =  \\iii^u'--\-iiûu"-  -+-iii'H("'~  II''—  u'*  —  n"^) 

et 

On  pourrait,  si  l'on  voulait,  employer  ces  équations  à  la  place  de 
deux  quelconques  des  équations  (Kj;  mais,  comme  elles  sont  assez  com- 
pliquées, il  vaudra  mieux  ne  s'en  servir  que  dans  la  détermination  des 
constantes  dont  il  s'agit;  et  pour  cela  il  est  clair  qu'on  y  pourra  sup- 
poser partout  t  —  o. 

Or  si,  pour  plus  de  simplicité,  on  suppose  que,  lorsque  f  =  o,  on  ait 

f/r  dr'  ^  111  ,1 

-^  =  o,  -^  ==  o,  et  que  de  plus  les  rayons  r,  r  coïncident,  en  sorte  que 

l'angle  Ç"  compris  entre  ces  rayons  (Article  XlXj  soit  nul,  ce  qui  est 
toujours  permis  lorsque  cet  angle  est  variable,  on  aura,  à  cause  de 
r"-  —  r-  -{-  r'^  —  2rr'cosÇ"  (Article  cité), 


,       dp" 


donc 


dt  ="" 


dp  dp'  dp 

-y- ="  o,      -i— =o,      -^  --.o; 

dt  '       dt  dt  ' 


DES  TROIS  CORPS.  271 

(Je  sorte  que  rcMjiKilion    N;  (Icvicndr;! 

mais  à  cause  de  r"^=  {r'—rY  on  iiur;»  P=o;  donc  aussi  -^  =  o.  Ainsi 

il  faudra  prendre  la  valeur  de '-^^  en  sorte  qu'tdle  devienne  nulle  l<»is(|ue 
/  =  oC). 

L'équation  (P)  se  simplifiera  aussi  beaucoup  parles  mêmes  supposi- 
tions, et  elle  deviendra 


/•'M'       r'^u'       r"'u''  /  pv        pv 


C^  B^  A^  V^B        ^^^  1^^^ 

où  il  faudra  prendre  pour  r,  /',  r",  //,  u\  a"  les  valeurs  (jui  rrpondrni 
à  /  =  o. 

Quant  aux  constantes  qui  pourront  entrer  dans  les  valeurs  de  Q,  Q' 
et  Q",  elles  seront  entièrement  arbitraires  et  ne  dépendront  (|ue  des 
valeurs  initiales  de  m,  u' ,  u" ,  qui  sont  à  volonté. 

Entln,  si  l'on  nomme  encore 

dO   l'angle  élémentaire  décrit  par  le  Corps  B  auloui-  du  Orps  A  dans 

l'instant  dt, 
dO'  l'angle  correspondant  décrit  par  le  corps  C  autour  de  A, 
'si     l'inclinaison  mutuelle  des  orbites  des  Corps  B  et  C  autour  de  A, 
^     la  distance  du  Corps  B  au  nœud  de  ces  deux  orbites, 
^'    la  distance  du  Corps  C  au  même  nœud, 

on  aura 

^_  v/ÏÏ       dQ'  _  y ir 
dt  "   r'  '      dt  ~    r''  ' 


coso)=r ,      sinH—  ^ ^^'       sui^'-     — ^^ =• 

y/nil'  arsinwy^n'  î/'sinwy'II 

(*)  Il  faut  remarquer  que,  dans  le  cas  dont  il  s'a}j;it  ici,  ré(|ualion  (N)  est  encore  satisfaite 
si  l'on  prend 

(Nnfr  de  V Éditeur.) 


272  ESSAI  SUR   LE   PROBLEME 

CHAPITRE   H. 

SOLUTION  DU  PROBLÈME  DES  TROIS  CORPS  DANS  DIFFÉRENTS  CAS. 

xxin. 

Nous  allons  examiner  dans  ce  Chapitre  quelques  cas  particuliers,  où 
le  Problème  des  trois  Corps  se  simplifie  beaucoup  et  admet  une  solution 
exacte  ou  presque  exacte;  quoique  ces  cas  n'aient  pas  lieu  dans  le  Sys- 
tème du  monde,  nous  croyons  cependant  qu'ils  méritent  l'attention  des 
Géomètres,  parce  qu'il  en  peut  résulter  des  lumières  pour  la  solution 
générale  du  Problème  des  trois  Corps. 

XXIV. 

Le  premier  cas  qui  se  présente  est  celui  où  les  trois  distances  r,  r\  r" 
seraient  constantes,  en  sorte  que  le  triangle  formé  par  ces  Corps  demeu- 
rât toujours  le  même  et  ne  fit  que  changer  de  position. 

On  aura  dans  ce  cas 

<//•=:  G,      dr'=  0,      dr"  =:  o, 
et  par  conséquent  aussi 

dp  =  G,      dp'  =  o,     dp"  =:  G  ; 

donc  les  trois  équations  (K)  deviendront 

^~^^~^^  -hC(p'q'-p"q"-hQ)  =o, 
{a)  {  ^^   '  "   '   "  -f-  B  (pq  -^p"q"  +  Q'  )  =  g, 

M-  pg  —  p'q'+Q")  =  o; 
d'où  l'on  voit  que  les  ([uantités  Q,  Q',  Q"  seront  pareillement  con- 


A 

r 
+  B  + 

C 

A 

r' 

+  B  + 

c 

DES  TROIS  COUPS.  273 

slyiites,  en  sorte  (lu'oii  ;iiir;i 

iiHtycuiiaiil  (juoi  les  ('(jualioiis  (Ij  su  rùduironl  ;i  ccllrs-ci 

(J  dp  =  O,       (j'drj  =:  (),      (j"(fp  =  o, 

Ies(|uell('s  (lomuToiit  ou  </  =  (>,  q'zi^o,  (y"=  o,  (»u  (lrj^={).   I-Aainiiions 
séparément  ces  deux  cas. 

XXV. 

Soit  d'abord 

9  — o,     q'=o,     q"—o; 

donc 

r—r'z=  r"  : 


de  sorte  (|U(!  h'  triangle  formé  par  les  trois  Corps  sera  équilatère;  les 
équations  (a)  donneront  donc 

et,  ces  valeurs  étant  substituées  dans  les  formules  (J),  on  aura 

A  +  B-1-C 


a-=  «'■'=:  u:^z=z 


Maintenant  on  aura 


^1 „// . 


donc 


de  plus  l'équation  (H)  donnera  -^  =  o,  par  conséquent 


(z  étant  une  constante  arbitiaire  qui  doit  satisfaire  \\  l'écjuation  (Nj, 

Or  on  trouve 

l  =  l'  =  l"^r*oi'; 

VI.  35 


274  ESSAI  SUR   LE   PROBLÈME 

(le  soi'lc  que  l'équation  dont  nous  parlons  deviendra 

9/'^  M*  —  6/'-a^a^+  a*  =^~  o, 
c'esl-à-dire, 

d'où 

X'  =  3 r-u'  =  3{A  -h  B  -h  C)  r. 

Ainsi  l'on  aura  satisfait  à  toutes  les  équations  du  Problème;  de  sorte 
(jue  la  valeur  de  r  demeurera  indéterminée;  d'où  il  s'ensuit  que  le  sys- 
tème des  trois  Corps  peut  se  mouvoir  de  manière  que  les  trois  Corps 
forment  toujours  un  triangle  queleonque  équilatéral. 

Ayant  trouvé 

4 

on  aura 

4P?/^— 2  =  0,      4Pm'^— 2'=o,      4Pa'"-r':=o; 

doue 

sint];  :=  o,     sin'y=o; 

d'où  l'on  voit  (|ue  les  trois  Corps  seront  toujours  nécessairement  dans 
un  même  plan. 
On  trouve  ensuite 

n  =  ïi'  =  n'  =  r'u\ 

4        4  4 

donc,  à  cause  de  t|i  —  o  et  ^'=  o,  on  aura 

r/cp  dc(>'  /  I  I  }\  II' 

u  ^  ~jr  ^  [c  ~^  \  "^  H/  T '■ 

mais  l'équation    P)  donnera 

'''^ih^h-'-T-^xn^jc-^w)'""'' 


on  l)i('ii 


fi'=  (Tr  +  -^  +  x)  '''«'- 


DES  TROIS  CORPS.  275 

|»;ir  (■((iis('(jiiriil 

donc 

</9  _  d(^  _  "  __      /À  -»-  B  -f-  C 
(Il  ~  UT  ~  r  "^  y  r»~ 

Ainsi  les  (iorps  li  cl  C  ne  l'cronl  (jlic  tourner  autour  du  Corps  A  ;ivcc 
une  vilcssc  angulaire  constante  et  éi^ale  à  i/ ;^ — -■ 

XXVI. 

(Ir 
Examinons  niainlenant  l'autre  cas,  où  -^  =  o  sans  (}ue  q,  (j \  (f  soieni 

nuls,  et  substituons  d'abord  dans  les  équations  (J)  les  valeuis  de  CQ. 
MQ'  et  AQ"  tirées  des  é(|uations  [a)  ci-dessus;  on  aura 

A  +  B  +  C  ,   ,        „ 

u-  =  ^ L{p  q  —  p  q  ), 


A 

/■ 
-^B 

+  C 

A 

r' 
-l-B 

+  C 

ib)  \  u'-—   '  ^  —  \\\pq  -4-  p"q" }, 

-A{-pq-p'q'); 

d'où  l'on  voit  que  les  vitesses  relatives  des  Corps  seront   aussi  con- 
stantes, mais  non  pas  égales  entre  elles  comme  dans  le  cas  précédenC 

Or,  puisqu'il  faut  (juc  -^  =  o,  on  aura  donc  aussi  -7,7  ~o,  »'t  re(|ua- 
tion  (H)  deviendra 

(c)  c pq  -  li p'q'- A p"q"=o. 

Ensuite  ré(|uation  (N)  deviendra  (à  cause  de  dr  =  o,  dr'  -  o.  dr    -  o. 
et  dp  -^  o,  dp'  —  o,  dp"  —  o,  dp  :=  o) 

i6PU=:o, 

savoir 

P  =  o,      ou      U  :^  o  ; 

35. 


276  ESSAI  SUR   LE   PROBLÈME 

ainsi,  en  combinant  l'une  ou  l'autre  de  ces  équations  avec  l'équation 
précédente  (c),  on  pourra,  par  leur  moyen,  déterminer  deux  (luelcon- 
ques  des  trois  indéterminées  r,  r' ,  r" ,  et  le  Problème  sera  résolu. 
Supposons  d'abord  P  =  o,  on  aura 

(r-H  r'H-  /•")(>+  /•'—  r")[r—  r' +  v"    (/■—  r' —  r"  \  —  o; 
donc,  puisque  r,  r' ,  r"  sont  supposées  positives,  on  aura  ces  équations 

r -{- r' — /'"=z  o,      ou      /• — r'  -^  y"  ^=0,      ou      /■ — /' — /■"  =  o, 

d'où  l'on  tire 

r"  =  r -\- i'\     ou     /•'=/•+/■",     ou     r  = /■' 4- /""  ; 

c'est-à-dire,  que  l'une  des  trois  distances  doit  être  égale  à  la  souiux^  des 
deux  autres,  ce  qui  montre  que  les  trois  Corps  doivent  être  toujours 
rangés  dans  une  même  ligne  droite. 

Imaginons  que  les  trois  Corps  A,  B,  C  soient  rangés  de  suite  dans  la 
même  direction,  en  sorte  que  l'on  ait 

;■"  =  /■'  —  r, 

et,  taisant  pour  plus  de  simplicité  r'=  mr,  il  n'y  aura  qu'à  substituer 
dans  l'équation  [c]  mr  à  la  place  de  r' ,  et  {m~i)r  à  la  place  de  r"; 
l'inconnue  /'  s'en  ira,  et  l'on  aura  une  équation  qui  servira  à  détermi- 
ner m.  On  trouvera  donc 

rri^  -^   m  —  i  )^  —  i     ,       ,     . 
i)  =  /'-  =  (  nv  —  m  )  r\ 

» 

,     ■  i-h(m  —  if-  —  m' 

p  = r^  =  (i  —  m)r^, 

i  -h  m^  —  (m  —  I)' 
p  = ^ i'  =  mr\ 


Lm^        (m  —  i)^J  r^ 
'  m. 


3  m^  —  3  m  -f-  I    i 
I         m^  —  3  m^  +  3  m    i 


,3     ,.3 


m  —  I  !^ 


DES  TROIS  CORPS.  277 

cl,  («'S  .substitutions  étant  laites  dans  l'équation  (c),  clh'  deviendra,  après 
avoir  (le  multipliée  par  Tn-{m  —  i  f  r, 

[  (I ^    C  (  —  3  «/=-(-  3  «t  —  I  )  -h  R  m^  ni'      3  m  4-  3  )  —  A    m  —  i  iM  i  —  m^   =  o. 

laquelle  étant  ordonnée  par  rapport  i»  m  montera  au  cinijuiènie  (icyrr. 
et  aura  par  eousécjuent  toujours  une  racine  réelle. 

Il  est  bon  de  reniarcjuer  ici  que,  quoique  nous  ayons  supposé  r"  —  /  /, 
la  solution  n'en  renferinera  pas  moins  tous  les  cas  possibles,  a  cause  (jue 
les  distances  r,  r' ,  r",  étant  prises  sur  une  même  ligne  droite,  peuvent 
être  positives  ou  négatives,  suivant  la  dillerente  position  des  Corps. 

Maintenant,  a  cause  de 

dr  =  o,     dr'  =  o,     dr"  =  o,     dp  =  o, 

on  aura 

1  =  0,     2'=o,     2"=o; 

de  sorte  que,  comme  on  a  déjà  P  =  o,  on  aura 

siin];  =  o,     sini|;'=o, 

ce  qui  montre  que  les  trois  Corps  doivent  se  mouvoir  dans  un  plan  ti\( 

XXVII. 

Supposons  maintenant  l'autre  facteur  U  égal  à  zéro,  on  aura 

\]  =  if^'  -h  vv"  -t-  v'  v"  ^^  U?u'-  —  l'"'  r=  O. 

Or  les  équations  (/>)  donnent 

--— =  -(A  +  B  +  C)y   --<p  q  -}>  q     -^  ^-,    pq  ^p  q   ), 

d'où,  en  multipliant  par  r'-r'-,  et  mettant  à  la  place  de  r^  et  r'^  leurs 
valeurs  p'  -h  p"  et  p  h-  p",  on  aura,  à  cause  de  (7'  -  -  q  —  q\ 

v'Uû—  r'u"  =  (—  Cq  +  liq'  —  \q")V  -+-  iCpq  -   Bp'q  ~    \p'  if^p  ; 


278 
mais 


ESSAI   SUR   LE   PROBLEME 


Cpq  —  B/7'g'  —  Ap"  q"  ^=  o 

|);ir  !'(Mjuation  (c)  ;  donc  on  aura  simplement 

,'iu'  —  r^u"  =  {—  Cq  -f-  B</'—  kq')V, 

ri  l'on  ti'ouvera  de  même  par  analogie 

r"'M'  —  r^u"^={Cq  -+-  B^'—  Aç")P, 

r"'u''—r"u"'={Cq  -+-  Bq'  +  \q")P, 

d'où  il  est  facile  de  tirer 

p"u^  ^  ^^/'=-C^P,     p" u"  -  r'u" -.  -B^'P, 

et  par  conséquent 


donc 


„  _  p"u'-hCqP  __  p"  u"-  +  B^'  P 


"2  -^  p"'u'ii"+p"^[^q'ii'  +  ^qu")-^^^qq'^' 


et  de  là,  à  cause  de  V  —  r'^r"^  ~-p^-> 

p 

=  ;:^[("'-C^/>")(""-B^y')-BC;v'^^y'j. 

Mais  les  mêmes  équations  [h]  donnent 

«'-  ^9/  =  (-77- +  p^j  '^ 
„       ^   ,   „       /A  +  C^     B\    ,^ 

donc,  en  substituant  ces  valeurs  aussi  bien  que  celles  de  q  et  q  ,  on  aura 
■A  +  B        C  \  /A-+-C        B  \ 


U  =  P 


."3  /  \      ,,'3     ^  -jrA-^^^' 


.'3       ,"i  i  \  ,.3 


^)] 


DES  TROIS  CORPS.  -11'.) 

(Ml  Iticii 


IJ  =  V 


D'où  l'un  voit  (iiir  l'cnjuation  U  =^  o  ne  pcul  dunncr  (jtic  celle-ci  V  —  o, 
l'autre  facteur  de  U  ne  pouvant  jamais  devenir  nul,  à  cause  (jue  les 
layons  /•,  r' ,  r"  et  les  niasses  A,  lî,  C  sont  des  quantités  positives. 

XXVIII. 

L'équation  P  =  o  étant  donc  la  seule  qui  puisse  satisfaire  au  cas  (pie 
nous  examinons,  ce  cas  n'aura  lieu,  comme  nous  l'avons  vu  plus  haut, 
(jue  lorsque  les  trois  Corps  seront  rangés  dans  une  même  ligne  droite, 
et  que  leurs  distances  seront  dans  le  rapport  exprimé  par  l'équation  (V/  . 

Or  nous  avons  déjà  trouvé  que  les  trois  Corps  doivent  se  mouvoir 
dans  un  plan  fixe;  de  sorte  que,  connaissant  la  vitesse  u  du  Corps  li  au- 
tour de  A,  il  n'y  aura  qu'à  la  diviser  par  r  pour  avoir  la  vitesse  angu- 
laire des  Corps  B  et  C;  mais,  si  l'on  veut  faire  usage  des  formules  gé- 
nérales de  l'Article  XXII,  on  remarquera  qu'à  cause  de  P— o  on  a 

(Article  XXVII) 

u-  _  u"  _  u"' 

~2  —  y-2  —  jïïi- 
mais  les  équations  [b)  donnent 

donc,  substituant  les  valeurs  précédentes  de  u'"^  et  u"-,  et  faisant,  pour 
abréger, 

.A  +  B  +  C)(i  +  1  +  J,) 

on  aura 


280  ESSAI  SUR   LE  PROBLÈME 

(loue  aussi 

r=:/r/?,     v'=kp',     v"=kp". 

Ainsi  on  aura  (Article  XXII) 

n  =  A-  r%     n'  =  h  r'\     W  -  k  r"\ 
¥  =  kp\     ¥'=  kp'\     ¥"=  kp"'; 

mais,  à  cause  de  P  —  o,  on  a 


p,  _    ,.'2  ,."2^         ^'2  _    ,,2, ,"2^         ^".   -^    ,.2,,':. 

donc 

IJ,-   _    /,.  ,,'2  ^//2^  \y<  ^   ff  ,.2  ,,"2^  ^Y>'  ^     /,-  ,,2  ,.' 


donc  l'équation  fP ;  deviendra 


r'        r'^        / 


'*  *  C         li         A 


(1  ou. 


r-        I-        r 


"2 


''=ic-^B+T^'" 


ensuite,  à  cause  de  6  =  o  et  4^'=  o, 


cit  ~  cit  ~  /Ac  '^  B  '^  A 


XXIX. 

Nous  avons  supposé  ci-dessus  que  les  rayons  r,  r',  r"  étaient  constants, 
et  nous  avons  vu  que  cela  ne  peut  avoir  lieu  que  dans  deux  cas,  savoir  : 
lorsque  ces  trois  rayons  sont  égaux  entre  eux,  et  lorsque  l'un  d'eux  est 
égal  à  la  somme  des  deux  autres.  Supposons  maintenant  que  ces  trois 
rayons  soient  seulement  dans  un  rapport  constant  entre  eux,  et  voyons 
dans  quel  cas  cette  condition  pourra  avoir  lieu.  Soit  donc 

/•'  =  nu;     r"  =  m , 


DKS  TKOIS   COUPS.  ■1H\ 

mvl  /M'l;iijt  (It's  (ju;iiiliies  constantes,  t'I  l'on  aura  d'aljoid    Ailn  le  XXII  y 

p  ~  a  r\     p'  --  ix'  r\      p"  -—  y."  r\ 


pj  M  I. 


(Ml  faisant,  pinii'  ahrci^cr, 


—  "    +  n^  —  i  ,  _  I  -4-  /i'  —  nû         ,/_'-<-  '"'  —  '* 


'         '         /  '         ,/       » 

W—    -— -,        Î7T=I -,        nî=:— -  —   I-^in  —  Gî 


Donc  l'tHiualion  (Hj  dcvicndia 

</-^p  C  /^.  GJ  —  J3  ^.'  5t'  —  A |U"  5t" 


)u  bien,  en  faisant 


|)()ui'  abréger, 


et  intégrant 


dp-  r  -^' 


/  :z=  C  f/.  M  —  B  IJ.'  ro'  —  A  IJ."  Txi" , 


(lo 


y.  étant  une  constante  arbitraire  éi^alé  à  la  valeur  de  -j  lors([uc  /=:=:<). 
Ensuite  on  aura 

aij  =  i{[j.  uj'  —  ij.  U5  I  —  —  m  I  a  —  /  I  —  I  —  , 
VI.  36 


282  ESSAI  SUR   LE   PROBLÈME 

donc,  en  intégrant, 


0'  =  -^Aii^+J^^^+^ 


2( — [j.Tn—  u.'m' 


r 


-/(^-/t)^-". 


k,  k'  et  k'  étant  des  constantes  arbitraires. 

Faisant  toutes  ces  substitutions  dans  les  équations  (K),  et  divisant 
ensuite  la  seconde  par  m-  et  la  troisième  par  n- ,  elles  deviendront 
celles-ci 

d-" ( I' )     A  H-  B  -H  c ( I  —  w/gt'  +  ii:' m" )      , .     r I       .  r dt \  dt       . 

o.dr-  r  J   \  J     r  I  r' 

dnr-    _  \-\-C-+-Bli  —  {y.rn-h [j."t;j") m]  _  IW   T/     _  ^  f^Ji]  ^  _  ^  ^  „ 
2<//-  m'r  m-  J    \  J    r\l  r^         m^  ~    ' 

lesquelles  devront  être  identiques;  de  sorte  qu'on  aura  ces  conditions  à 
remplir  : 

o       ,.             ,    .          „    „          A  +  C +  B[i  — (aro +  ,a'V)m] 
I "  A  +  B  +  L  I  —  [j'.m'  +  y/  txs'  )  = ~ ■ ■ — - 


_  B  H-  C  H-  A[  I  +  (f/GT  +  [J.'rrs'  )  n]  _ 
_  _  . 

,,               Bcj'            Acj"  ,  .  ^ 

2"  L5T=  —  =  —  5      ou  bien      «  =  o     ei     /  =  o; 

Ces  deux  dernières  conditions  peuvent  toujours  se  remplir  par  le 
moyen  des  constantes  indéterminées  k,  k'  et  k";  ainsi  la  difficulté  ne  con- 
siste qu'à  satisfaire  à  celles  des  groupes  i"  et  2". 

Or,  si  l'on  fait,  pour  abréger, 

0  ^--  ij.u!  4-  tj.u."  -\-  [J.' [J."  —^  —  \{i  -\-  m  ■+-  n){i  -\-  m  —  n)[\  —  m  -f-  « ) ( i  —  ni  —  n], 


DES   TROIS  COIU'S.  28:5 

on  |)()iirr;i  irdiiirt'  les  deux  ('((ualious  du  groupe  i"  ii  ('(dlcs-ri,  |i;ir  des 
liîiusl'oi  iM;ilioMs  jinalot-ucs  i»  ('(dlcs  de  rAi'dclc  XXV^II, 

[€)     (—  CcT  -f  Bth'  —  \m"  )  ô  -f-  p."  >  "-  o,     (dro  -f-  Hro'  —  Acr"  '  6  —  ///.  —  o. 

Ainsi  il   /l'y   aura  (|u'à  coiiihiui'i-  ces  deux  é(iualioiis  avec  cidlcs  «lu 

groupe  a",  savoir 

,,  licj'  Agt"  ,  .  .     - 

(-C7  = —  = ■>      ou  bien      a  =  o     c^l     /       <>: 

ce  (jui  l'ail  deux  cas  (|ue  nous  allons  examiner  séparément. 


XXX 


Soit  d 

'abord 

- 

Ccj  =  — 

Be' 

Acj" 

donc 

Ji^'  =  — 

B 

>     el 

ct" 

=  — 

mais  on 

a  f  Artic 

le 

XXIX) 

CT  — 

td'  —  ct' 

'  = 

o; 

donc 

n^Cuj 


savoir 

'  I        m^ 


"^•C    '     B         A 


Or  il  est  visible  que  la  quantité  ?r  +  -77-  +  t  ne  saurait  jamais  de- 

'■  '■  (i  B  A 

venir  nulle,  à  cause  que  les  masses  A,  B,  C  sont  des  quantités  positives; 

ainsi  il  faudra  que  l'on  ait  73-  =  o,  et  par  conséquent  aussi  zs'=o,  tz'=^o\ 

or,  dans  ce  cas,  on  aura  X  =  o,  et  les  deux  équations  [e]  ci-dessus  auroui 

lieu  d'elles-mêmes;  de  sorte  que  toutes  les  conditions  se  trouveront 

remplies,  et  le  Problème  des  trois  Corps  sera  résoluble  exactemcni  (hms 

rbv|totli«'se  de 

nT=;o,     m' -^  o,     m"=^o, 

36. 


28 1  ESSAI   SU  H    LE   PROBLÈME 

ce  (jiii  floiiiKM^n 

et  pnr  consôcjuonl 

r=z  r'  =  r", 

c'est-à-flire,  les  dislancos  entre  les  Corps  égales  entre  elles,  eoimiie  dans 
le  cas  de  rArticle  XIV;  mais  avec  cette  différence,  que  dans  le  cas  pré- 
sent elles  peuvent  être  variables. 

Poiii-  connaître  le  mouvement  des  Corps  dans  ce  cas,  on  icpi-cudra  les 
é(jn;)lions  différentielles  de  l'Article  XXIX,  lesquelles,  en  faisant 

/=C/.  =B/.'=AA", 

se  réduisent  à  cette  équation  unique 

dHr')       A  +  B  +  C        . 
^ f=  o. 

Multipliant  par  d{r-),  et  intégrant  ensuite,  on  aura 

2(A  +  B  +  C)r-/r'=:H, 


[^(/")T 
L  2<^<  I 


H  étant  une  constante  arbitraire;  et  de  là 

rdr 


dt 


V'H  +  2(A  +  B  +  C)/-+/r= 


niovcnnant  (|Uoi  on  connaîtra  t  en  r,  et  vice  versa,  r  en  t. 
Maintenant,  puisque  wr=o,  ^'=o,  ■^"=0,  on  aura 

donc  (Article  XXII) 

2{Ah-B  +  C)       ^ 

M'  =  U''  =  U"'  =  -^ —  -4-/. 


De  plus,  ayant  ).  =  o,  on  aura 


dp 


^==^' 


DES  TROIS  COUPS. 


285 


«M  rcWv  constîmlc  a  dcvi'n  être  délcrminrc  en  sort*^  qu'cllr  siilisfjisso  a 
l'ôquation  (N);  on  peut  donner  pour  ccl;»  à  /  telle  valeur  (jn'oii  voudra; 
mais,  en  ne  faisant  aueune  supposition  partieulière,  l'équation  f  N  i  devra 
être  identique  avec  celle  que  nous  avons  trouvée  ci-dessus  pour  la  déter- 
mination de  r,  et  leur  comparaison  donnera  la  valeur  de  c/. 
En  effet,  à  cause  de  r  =:  r'=  r",  on  aura 


P=P'^P"=~- 


(loue 


P-  ^'"■ 

4  ' 
et  de  même,  à  cause  de  a  =  //'=  //",  on  aura 


v  =  v'=v"  =  —  : 

2 


donc 


U 


3  m* 


ensuite 


^=^'=^"=ï(^-)'-^'(^)-'-=^'=(^ 


-I-  /■-«■-: 


et  l'é(juation  (N)  deviendra 


9  y*  M*  —  6tt- 


"■'irfr'-^'-'^''^ 


K^T^'T^"' 


ou  bien 


I  3/-=//' 


SI^^V-. 


:-=  o  ; 


d'où  l'on  tire 


3r'M^-3(^'V-a^=:o. 


Or  on  a  déjà  trouvé 


28(j  ETSSA!  SUR  LE  PROBLÈME 

donc,  substituant  cette  valeur  et  résolvant  l'équation,  il  viendra 

/■  dr 


\J -  ^  +2(A  +  B-»-C)r+/r^ 
Comparant  donc  cette  équation  avec  la  précédente,  on  aura 

et  par  conséquent 

d'où  l'on  voit  que  H  doit  être  nécessairement  une  quantité  négative. 
On  aura  ensuite 

rdry_    ce' 


u  =  n'^n"  ^rui'~ 


et 


v.-_  u/,_  u;._   '"^  _  l'iÈlV-^  /«V^-  ^  _H  -  -  - 
^-^  -^   "     4  [-^-dt)  ^^aj   -4.3^  4   ~  3- 


donc  l'équation  (P)  deviendra 


d'où  Ton  lire 

.         a    / 1         ï         I 

y/S   \C  B  ^ 

Or,  puisqu'on  a  déjà  trouvé 

et  que 
on  aura 


DES  TROIS  COHPS.  -287 

d'ailleurs  on  ;i 

4P       3a\     ei     H  =  u'  -~  u"; 

(ionc  1)1)  aiir;i 

4Pm'-     2  =  0,       iPu"-l' r^zo,       4P//"'-^     r'r^O; 

<M  pai'  conséqucnl 

siinj;  -~^  o,        siin|>'=  o, 
c'csl-à-dir»', 

(■<"  (|ui  iiionlrc  (juc  les  Corps  H  et  C  doivent  se  mouvoir  dans  un  nicnic 
plan  fixe  passant  par  le  Goips  A. 

Maintenant,  si  l'on  substitue  dans  les  expressions  de  ~  et  ~    les  vn- 

leurs  «le  II,  ]\',  M\  W\  H  '  et  de  //  trouvées  ci-dessus,  on  aura 


rTT  ' 


dt        dt        rV3 
et  par  conséquent,  en  substituant  la  valeur  ci-dessus  de  dt, 

j    dr 

^  ~         r  6(A  +  Bh-C)  3/"  ' 

(|ui  est  l'équation  polaire  d'une  section  conique  rapportée  au  foyer,  el 

dans  laquelle  -^^ — —-7, est  le  grand  axe  et  x-rr — w^^r   ^^  paramètre. 

Ainsi  les  Corps  B  et  C  décriront  dans  ce  cas  autour  du  Corps  A  deux 
sections  coniques  semblables  et  égales,  dont  l'espèce  et  la  forme  dépen- 
dront des  quantités  arbitraires/et  c/.,  lesquelles  pourront  se  déterminer 
par  les  équations 

2      -i  1   2      -xi'^^^'V       f        -      2(A-+-B  +  C) 

dr 
en  donnant  à  u,  r  et  y-  les  valeurs  qui  conviennent  au  premiei'  instiiul. 


288  ESSAI  SUR   LE  PROBLÈME 

XXXI. 

Reste  à  examiner  le  cas  où  a  =  o  et  ).  —  o;  or  la  supposition  de  >  =o 
réduit  d'abord  les  équations  (e)  à  celles-ci 

V —  C  M  -f-  B  cï'  —  A  cj"  )  (3  =  o,     (  C  57  -h  B  ro'  —  A  cî" ,  ô  =  o, 

lesquelles  donnent  ou 

0  =  0, 

ou  l)ien 

(IcT -f- Bct'—  Agî"=  o,     et     Ccj -f- Bro'—  Aro"^=  o, 

c'est-à-dire, 

Cm  =^  o     et     Bc7' —  A5t"=  o. 

Or  j'observe  d'abord  que  ces  deux  dernières  équations  sont  inutiles; 
(  ai'  on  aurait  d'abord  ts  =  o,  ensuite,  à  cause  de  sy"=  ^7  —  ttt',  on  au- 
rait zô"  =  ~  z!^' ;  de  sorte  que  l'équation  Bsr'— A^"=o  deviendrait 
(BH-A)t?'=o,  ce  qui  donnerait  7rr'=o;  on  aurait  donc  57  =  2?'=  sû":=o, 
ce  qui  rentre  dans  le  cas  que  nous  avons  examiné  ci-dessus. 

Il  faut  donc  faire  5  =  o,  de  sorte  (jue  la  solution  du  Problème  sera 
rentérmée  dans  ces  trois  équations 

ô  =  o,     À  =^  o,      x  =  o. 

La  première  donnera  (Article  XXIX) 

(  I  +  m  -I-  ^  i  f  I  +  /??  —  n)  il  —  ni  -h  n]  il  —  m  —  n)  =  o; 

donc 

I  ±  m  ±  /i  =  o, 


et  par  conséquent 


o. 


c'est-à-dire,  que  l'une  des  trois  distances  r,  r\  r"  doit  être  égale  à  la 
somme  des  deux  autres,  et  conséquemment  que  les  trois  Corps  doivent 
être  toujoui's  rangés  dans  une  même  ligne  droite. 

Ce  cas  est  donc  analogue  à  celui  de  l'Article  XXVI,  mais  il  est  plus 


DKS    rUOlS  COUPS.  -289 

i>éiu''i"il .  en  ce  (|ii('  les  dislaiiccs  cuire  les  (lorps  peuvent  clr»;  vari;il)l('.s, 
poui'vii  (|U('  leurs  lîipporls  soieiil  coiislaFils. 

On  déterminera  ces  rapports  |)ar  ré(|iiati(m  /  =  o,  cl  pour  cela  on 
poiiira  supposer,  couiuie  dans  l'Arlicle  cité,  que  les  Irois  (lorps  A,  !>,  (] 
soient  disposés  de;  suite  dans  une  uicnie  lii^ne  droite,  en  sorte  (|ue 
r"=r'  —  r,  c(ï  (jui  donnera  n  =  m—  r;  on  substituera  donc  cette  valeur 
de  n  dans  l'expression  de  ).  de  l'Article  XXIX,  et  l'on  aura  une  équation 
eu  m  qui  sera  la  même  que  l'éijuation  (d)  de  l'Article  XX\'l.  Mais  il 
faut  voir  encore  si  la  condition  (h;  «  =  o  peut  avoir  lieu;  (,'t  comme  la 
constante  a  doit  être  déterminée  par  l'équation  (N),  tout  se  réduit  a 
savoir  si  cette  équation  peut  subsister  en  y  faisant  a  =  o,  c'est-à-dire, 

-^  =z  o,  à  cause  de  -j-  =  a  —  l  \  —  (Article  XXIX  )  et  de  >.  =  o. 

Or,  en  supposant  —  =  o,  et  substituant  pour/',  r"  et/?,  //,  //'  leurs 
valeurs  (Article  cité),  on  aura 

P  =  {[xij.'  -+-  au."  H-  u.'iJ."  )  /■% 

■?.nlr\  ■ 


■^-'        ,  ,     „  „    ,         /'?.r(lr\ 

,    ,  „  „      .       lo.rdvx 


>.r(/ry 


dp  du' +  dp  dp' +  dp' dp'' -^d^-  //  ,      /    ,,  j'-^-'^^f'^Y 

~^ dT' —       "^  ^^'"'      '^^'       '''  '''  ^  '  7/7"  )  ' 

mais,  par  la  nature  des  quantités  a,  n.' ,  ij.",  on  a 

p.'  -f-  y."  =  I ,      U-+-  y"  =  m-,      y.  4-  a'  =  n-  ; 

de  plus,  on  a,  en  vertu  de  l'équation  ^  =  o, 

(j.u.'  -+-  yu."  -\-  y'  y"  =  o  ; 

donc  on  aura  aussi 

y  -f-  y'  y"^  -+-  y"  y''  ~  o,      y! m'  +  yy!"'-  -f-  y!'  y^  =  o,      y."n'  -+-  y'  y.'  -4-  yy"  —  o  ; 

VI.  37 


290  ESSAI  SUR   LE   PROBLEME 

de  vSorte  que  toutes  les  quantités  précédentes  P,  ^,. . .  seront  nulles,  et 
conséqueinment  l'équation  (N)  se  trouvera  vérifiée  d'elle-même. 


XXXIl. 

Maintenant  il  est  clair  qu'à  cause  de  a  =  o  et  X  =o  les  trois  é(jua- 
tions  différentielles  de  l'Article  XXIX  se  réduiront  à  celle-ci 

en  faisant,  pour  abréger, 

Fi=Ah-B+C(i-  ij.'jjs'  +  ij."m"  ), 

Cette  équation  étant  donc  multipliée  par  d{r-),  et  ensuite  intégrée, 
donnera 

H  étant  une  constante  arbitraire;  d'où  l'on  tire 

,  rdr 

dt  = 


/H-t-2F/'-i-/r^ 

moyennant  quoi  on  déterminera  t  en  r,  et  par  conséquent  /•  en  t. 

De  plus,  si  dans  les  équations  (J)  de  l'Article  XXII  on  substitue  les 
valeurs  de  Q,  Q',  Q"  de  l'Article  XXIX,  on  aura,  en  vertu  des  équations 
du  groupe  i"  du  même  Article, 

2  F        .,        ,        2  m' F  „        „        2/i'F 

u'= h/,      u"  = \-m'f,      11'"'=- h//^/; 

donc 

i^j.V  ,.      ,      2f/.'F         ,.       „      2//"F 


DES  TROIS  CORPS. 


29  f 


De  la  on  trouvera 


Il  =m* 


n"=-ii/^s 


à  cause  de 

et  par  conséquenl 


^.y.'-^!J.[j."-^y.'[j."=o, 


Ij}  =  rri^n},     fjJ^  =  /i%     p."-  :=  m^ 


Doue,  si  l'on  substitue  ces  valeurs  dans  l'équation  (P),  (die  dcviendia 


(I  ou 


I        m-'       W 1    /      „ 


d'où  l'on  voit  (jue  H  doit  être  une  quantité  négative. 

Or,  a  cause  de  P  =  o  et  de  2  =  o,  1'=  o,  1"=  o,  on  aura 

sirnl»  :=  o     et     sin^|;'  =  o, 

ce  qui  montre  (jue  les  deux  Corps  B  et  C  doivent  se  mouvoir  dans  un 
même  plan  fixe  passant  par  le  Corps  A,  et  l'on  trouvera  ensuite  pour  les 
angles  de  rotation 


It  ~  dt  ~  hr'   VC  "^  B  "^  A  j  ""  ~' 


292  ESSAI   SUK   LE   PUOBLÈME 

Et,  si  l'on  substitue  la  valeur  de  dt,  trouvée  ci-dessus,  on  aura 

,  dr 

do  ■= 


I  ^F~ 


—  H 


équation  polaire  d'une  section  conique,  rapportée  au  foyer,  dans  la- 
(|U('lle  ^  sera  le  grand  axe  et  —  ^  le  paramètre. 


XXXIII. 

Nous  venons  donc  de  voir  que  le  Problème  des  trois  Corps  est  réso- 
luble exactement,  soit  que  les'  distances  entre  les  trois  Corps  soient  con- 
stantes, ou  qu'elles  gardent  seulement  entre  elles  des  rapports  constants, 
et  cela  dans  deux  cas,  savoir  :  lorsque  les  trois  distances  sont  égales  entre 
elles,  en  sorte  que  les  trois  Corps  forment  toujours  un  triangle  équilatère, 
et  lorsque  l'une  des  distances  est  égale  à  la  somme  ou  à  la  différence  des 
deux  autres,  en  sorte  que  les  trois  Corps  se  trouvent  toujours  rangés  en 
ligne  droite. 

Or,  si  Ton  suppose  que  les  distances  r,  /■',  /'"  soient  variables,  mais  de 
manière  que  leurs  valeurs  ne  s'écartent  que  très-peu  de  celles  qu'elles 
devraient  avoir  pour  que  l'un  des  cas  précédents  eût  lieu,  il  est  clair  (juc 
le  Problème  sera  résoluble  à  très-peu  près,  et  par  les  métbodes  connues 
d'approximation;  mais  nous  n'entrerons  pas  ici  dans  ce  détail,  qui  nous 
écarterait  trop  de  notre  objet  principal. 

J'avoue,  au  reste,  qu'on  pourrait  résoudre  les  Problèmes  précédents 
d'une  manière  plus  simple  par  les  formules  ordinaires  du  Problème  des 
trois  Corps  entre  les  rayons  vecteurs  et  les  angles  décrits  par  ces  rayjons, 
si  l'on  voulait  se  borner  d'abord  à  l'hypothèse  que  les  Corps  se  meuvent 
dans  un  même  plan  fixe;  mais  il  ne  serait  pas  aisé,  ce  me  semble,  d'en 
venir  à  bout  par  les  mêmes  formules,  si  l'on  supposait,  comme  nous 
l'avons  fait,  que  les  Corps  pussent  se  mouvoir  dans  des  plans  dillerents. 


DES  TKOIS  CORPS.  29:{ 


CHAPIIKl-:    III. 

MUOI  h  ICATION     UKS    K(HV  MULES     UU    CIIAl'ITUK     l' Il  E  M  1  K  U ,     IMJL»     L  li    CAS    UL     I,    (»  \ 

SUPPOSE  yuE  l'un  des  tuois  coups  soit  Éloigné  ues  ueux  authes. 

XXXIV. 

Le  cas  (jue  nous  allons  examiner  a  lieu  dans  le  Système  du  uiondc,  par 
rapport  à  ces  trois  Planètes,  le  Soleil,  la  Terre  et  la  Lune,  dont  les  deux 
dernières  sont  beaucoup  plus  éloignées  de  la  première  qu'elles  ne  le  sont 
l'une  de  l'autre;  mais  nous  ne  considérons  ici  le  cas  dont  il  s'agit  (juc 
d'une  manière  générale,  et  seulement  pour  voir  quelles  modifications 
cette  supposition  doit  apporter  aux  formules  générales  de  l'Article  XXll. 

Supposons  donc  que  le  Corps  C  soit  beaucoup  plus  éloigné  des  Corps  A 

et  13  que  ceux-ci  ne  le  sont  entre  eux,  en  sorte  que  les  (|uantités  /'  et  r" 

soient  fort  grandes  par  rapport  à  la  quantité  r;  pour  cela  nous  prendions 

une  quantité  /,  que  nous  supposerons  constante  et  très-petite,  et  nous 

ferons 

,_R        „      R' 

l  l 

en  sorte  que  R  et  R' soient  des  (juantités  finies  et  comparables  à  /■.  Or,  si 
l'on  nomme,  comme  dans  l'Article  XIX,  'Ç"  l'angle  formé  au  cenliv  du 
Corps  A  par  les  rayons  vecteurs  r  et  r'  des  Corps  B  et  C,  on  aura 

.^„       r=  +  r"  —  I-"- 
cosC  = -, ? 


<i  ou 


0(1   i)H'll 


Donc,  si  l'on  fait 


on  aura 


/•''-  =  r'=  —  ■?.  r'r  eus  ^"  -f-  /■% 

z  =  rcosi;", 
R'-  =  R--  -.«/Uz  4- /'/•=: 


294  ESSAI  SUR  LE  PROBLÈME 

(loiir 


R^        „        R'       2Rz 

r''  =  -^,      r'"  =  -. r-  4-  r\ 


De  là  on  aura 


I  i 

7  ~n 


r^~R"*        ^~^'  ^  8R^  ^  i6R' 

~  R        R^  2  R^  2  K^ 


i^~  R3 


I  i'        3i'{2.Kz  —  ir-j        i5i'{7.Ki  —  ir'Y    ,    '65i^7.]{i  —  ir 


,./',  —  K^    '  ?,R5  8R'  i6R» 

_  «3        3i'7.       iHi5z'  —  3r')  /«(35z' —  i5zr^) 

~  R^  "^  lv~  "^  ^K^^         "^  2F  ^  ■  ■  ■ 

Donc  (Article  XXII} 

R^      Rz        ,  Rz  .        „     Rz 

_       3/^z       /^(i5z^— 3r^)  i«(35z3  — i5zr^) 

I         i'        3/^z        i^{i5z-  —  3r-)        «"(SSz^  —  i5zr'^ 


y 


R'         R^  2R'  2R' 


et  de  là 

3i^z        i^i^ï^ — 3r^)       i^(20z^  —  i2zr') 


PI 


K'  2R3  2R^ 


Rz       I       i'z      i^3z'—r')      i*{i5z'—qr'z)      i'{35z*—3oz'r'-h3f") 

Rz       /-z 
77^"^  R^ 


''^  =-77^-^7-^R^^— Rï— + — nr — -^ ^ ^^••' 


//'^"l 


DES  TROIS  COUPS.  295 

Or,  comme pq  est  une  quantité  très-petite  de  l'ordre  de  P,  et(jue//7', 

/)"q"  sont  (les  (juantités  fort  grandes  de  l'ordre  de  -,  il  est  clair  (ju'eii 

substituant  les  valeurs  de  ees  quaiililés  dans  ré(|uation  (H)  les  Iciiiics 
(^^pq,  ^^p'q\  \p"q"  ne  pourront  être  homogènes,  ii  moins  (jue  la  niasse  C 

ne  soit  inlininient  grande  de  Tordre  -,  vis-à-vis  des  deux  aulies. 

Supposons  done  C=  -^^  et  l'écjuation  ^11)  de  l'Article  XXII  dcvicndia, 
après  les  substitutions, 

d'où  l'on  voit  que  la  quantité  ^  est  de  l'ordre  de  -î-,  de  sorte  <|ur  la 
quantité  -^  sera  aussi  du  même  ordre. 
Donc,  si  l'on  fait,  pour  abréger, 

„.  ^(7      r(A-i-B)K      3D1         TB       3I)(3z--/^)         .  rD(ioz^-6z/-)  1 


on  aura 


dp <7 

dl  i 

<'t  il  faudra  pnMidre  la  valeur  de  a  telle,  ([u'elle  soit  nulle  lorscjui'  /  =  o. 


qdp 
q-dp' 


XXXV. 

6/'z^/R       /^[(i5z^—  3/^)^R-  3z</(Rz)] 


W 


R« 


q"dp"z 


d{\\i)       idr       i'd(Ki)       /»[3z^(Rz)  —  Rc?(r^)] 

,-,.3  +        ,..        -^  l{2  -^  ||4 

/^[(i5z'  — 3/')fl?(Rz)  — 6Rz</(r^)] 

2R^ 

/^[(35z3  — i5zr'W(Rz)  — (ï5z'  — 3r^)R</(/-^)] 

2  R«  ^  "^  " 

c/(Rz)       iUljKi) 
ir'     "^       R' 


296  ESSAI  SUR  LE  PROBLÈME 

De  sorte  que  les  valeurs  de  dQ,  clQ'  et  dQ"  deviendront 


.^       2  dr 


d^r')        3z[(/(Rz)  — g-c//]] 
R»     "^  R«  J 


2R* 


;i5z^— 3r')6?(/-^)        (35z^  — i5zr';[c/(Rz)  —  a  ^/^  ] 


2R' 


2R« 


I  ^(/(Rz)^-(7</^l       .,  r— 6zf/R  +  (/(Rzi-»- (7(7/  I 


^Q"^  1  M(Hz)  +  a(//i  _  26^' _  ., r 


—  6z  i/R  -h  d{  Rz)  -i-  (j<Jt 
~R^ 


Donc,  faisant  toutes  ces  substitutions  dans  les  équations  (K),  elles 
deviendront 


id'(r')      A  +  R 


.dr 


-D 


3z 


'-r'        n      dit-']       3z[J(Rz)  —  <7(//]\ 
R^       ^j  \         R^     "^  R^  / 


,5z3_g,.2z        /v      Szdjr')       (i5z'— 3/-^)  [</(Rz  j  —  gc//]' 


:s^) 


ri5z'  — ' 

'^L — ^ 


2R^ 


35z^—  3oz'/-'-+-3r* 

2R^ 


fi5z^— 3r'W/(/'^i       (35z^— i5z/\[t/;Rz  — o-c//] 


r/      fi5z^— 3r'W/(/-^i 


2R^ 


)]-- 


=consi., 


d^{K^)        dHKz)        d'(r'\ 


d{Rz)  -hadtl       rA+B 


1  _  i  A  +  B    _        _ 


consl., 


T.i^'dt'  idP 


D 


dp        i^R 


I  TDz        ,  Rz        ,    rd{Ri)  +  (Tdt~\ 

_  D(3z'  — r^j  _  A  _  •  r 

~        2R'  /■      'L 


D(5z^  — 3zr'^        A  +  R 
lïV        ~  "^        R~ 


consl., 


DES  ÏHOIS  COUPS, 
dont  les  (Jeux  dernières  se  réduisent  à  celles-ci 


297 


d'{  W 
■?.  (Il- 

1)/. 


"  "  Tî 

-^  (  A  -f- 15 


iW 


\\i 


-f- 


\\7. 


/ 


dt 


+  ...=:  const., 


>7lll 


'iM 


3z[J(Rz)-7<//| 
R* 


)J 


.     (5z^--3zr-'        /•/      ■izd{r'-)      (iSz'-Sr^')  [</(Rz)  —  (Tr//]\  1 
'     I         iï^         "^V  \  W~^  ^R^  jl" 

Ainsi  l'on  aura,  à  la  place  des  équations  (K)  de  rArticle  XXII,  les  trois 
équations  (g),  (h)  et  (i),  dans  lesquelles  on  n'a  négligé  que  les  quan- 
tités très-pt;tites  de  l'ordre  de  i^  et  des  ordres  suivants,  et  ces  équations 
serviront  à  trouver  les  valeurs  de  r,  R  et  z  en  t\  moyennant  quoi  le  Pro- 
l)lènH3  sera  résolu  dans  toute  sa  généralité,  puisqu'il  ne  s'agira  plus  en- 
suite ({ue  de  substituer  ces  valeurs  dans  les  formules  qui  donnent  les 
latitudes  et  les  longitudes  des  Corps  B  et  C  (Article  XXII).  Or,  comme 
l;i  supposition  de  i  très-petit  simplifie  aussi  beaucoup  les  substitutions 
dont  il  s'agit,  nous  allons  donner  encore  les  valeurs  de  sin-i/,  sinV  et 

de  -^■>  —j--»  exprimées  en  r,  R  et  z;  mais  nous  ne  pousserons  pas  la  pré- 
cision au  delà  des  quantités  de  l'ordre  de  i. 

XXXVI. 

Pour  cela  nous  connnencerons  par  clierclier  les  valeurs  des  vitesses  a, 
u\  il";  or,  si  dans  les  équations  (J)  on  substitue,  à  la  place  des  quantités 
(>Q,  BQ',  AQ  ",  leurs  valeurs  tirées  des  équations  (K),  on  a,  en  général. 


=  const. 


u"'  = 


d'ir^) 
-xdv 

2  dp 

dHr"' 
idP 


A  +  B  +  C 


+ 


/• 

A 

+ 

]{ 

+ 

C. 

/•' 

A 

4- 

B 

-f- 

C 

—  O  p'q'  —  p"q"). 


W  pcj 


P"<1")^ 


^-pq-p'q' 


VI. 


38 


298  ESSAI   SUR   LE  PROBLÈME 

Donc,  fiiisant  ici  les  mêmes  substitutions  que  ci-dessus,  et  supposant, 
pour  abréger, 

^  o.dt'     "^       r    ^  R^ 


:k] 


M 

N 


dHKn        I) 


■?.dP  K 

J^(Rz)       (A-+-B)Rz        Dz 


J/^ 


R= 


on  aura 


«2  =  L  — 


iD(i5z'  —  9'''zi 


M        BR  z 


M        I  /  BRz       ^, 


B       3D(3z-'— /•=, 
r  2R^ 


Or  on  a 


donc 


Pu' 


Pm' 


Pu"'z= 


P  -    p/>'  +  pp"  H-  /?'/'"  ~   pi'  -+-  p'p" 

_  LR'(r=— zn        D(r^— z^)(i5z»  — gr'z 
__  _  __ 

MR^(r=  — z^)        'B\Vi[r'  —  'û\ 


MR^(r'  — z=)        BR'z(/-=  — z=)        l\R^(r'— z-) 


De  plus,  en  taisant,  pour  abréger, 

R'[(/(0]'  +  /-^[(/(Rz)]^  —  2Rz(/(Rz)  (/(/•')    ^    2cr[Rz</>r^j-/'^'t/(Rzj] 


r//^ 


.// 


V  _  H^[fi^(Rz)]*-+-r^[</(R^)]^-2Rzc?(Rz)c/(R=l       2o-[R^  JvRz) -Rz^(H^)J      „ 


Rz I  d{\V) d(vj  +  [^(Rzj]^]  -  d{\\ z)  c/(R'/--^)        ^[K. ,/(,.») _  ,., ^(R.)] 


dp 


dt 


H/(7^ 


DES  TFIOIS   COUPS.  2!Mt 

on  aura 

y       1'       v/       ^        V.      A        9  A        r 

2.  --;  T-î      2  =  —  »       2  -  -  -^ — h  -. 1 ; 

l'  l*  i*  /3  /'' 

donc,  subsliluant  ces  valeurs  dans  les  expressions  de  sin  f  et  sin-V  ^Ar- 
ticle XXII),  el  faisant  encore 


>.=  K^(/-_z')  (m  +  /'*^'^') 


2 


on  aiiia.  aux  (juaiilités  de  l'ordre  i-  près, 


A 


(/) 


ou  bien 


(/' 


.     ,  A^/X  +  Bv/'X-/> 
^  /r(A  +  B)r 

.     , ,  iB  Jl  —  iu. 

""^^  /r(A+B)R- 


siu'l  —  * 


^"'"        2/.(A  +  B)rv/>. 


^"'^=/r(A+B)R- 

la  quantité  ^  étant  une  constante  qu'on  déterminera  par  l'écjuation  ^P'), 
comme  on  le  verra  ci-dessous. 

Ainsi  l'on  connaîtra  par  ces  formules  les  latitudes  4-  cl  ■:  des  Corps  B 
et  G  par  rapport  à  un  plan  fixe  passant  par  A. 

On  voit  par  la  ({u'on  aura  à  très-peu  près 

sin4''  iBr       _  Br 

"sin^  ^    (A-+-B)R  '~  {\'-^'B)r'' 

ce  qui  donne  un  rapport  bien  simple  et  très-remarijuabU'  cnlie  les  Inli- 
ludes  (les  Corps  B  et  C. 

38. 


300 


ESSAI  SUU   LE   PROBLEME 


XXXVII. 


On  (rouvei'a  ensuite 


n  =  Lr 


o.dt 


iD(i5z^  —  9/''z)  r- 


H 


II 


H--(^)"] 


i*  \  o.dt 


+ NR'  —  2MR1 


(/(R^)</(Rz)'' 


-4- 


et,  a  cause  de 


M        I /BRz        N^ 


z'         i  \    I 


N        ,         B        3D(3z'-/- 
-^  +L h j^ 


„       N         B         3D(3z'— r 


9.1        2.r 


4R' 


on  aura  de  même  (Article  XXII) 


^■  =  M-'-(^"^' 


^,^r^rNRz_ 


(/(Rz 

2C^; 


1        I  TBR^z        NR=       ^,„ 


z  4- 


W'  = 


:r--(L- A^  3D(3^.-,-)X  N,^^  ,/,lU)rf(.-)  I 

i    L         \  2/-  411=  /  2  2f/f'  J 

iTNRz       /f/(Rz)\^  _  a' I        i  /Jî        3D(3z' — /')  \  ^ 

"iJ'^^Ur-  4K'  jR/+.... 


:dt 


Donc,  si  l'on  substitue  ces  valeurs  dans  les  expressions  de  -j-  et  -î^; 


DES  TROIS  CORPS.  MOI 

et  que  l'on  fasse,  pour  abréger, 

NRz        /^/(Rz)\-'      7' 


e  = 


9.  (Il    }  4 

BRz        3D(3z'  — r')z 
2/-  JW 


73  =  —  LKz h 


p  =MR' 


d{W)V 
idt 


NR»       ^/;R')</(Rz 
V  =  —  MR  / h  ^ 


2  idO 


on 

aura 

/' 
\  dt 

Cî  4-  /  f  £  + 

B 
A  +  B 

^) 

""           /rr»  ces' vl> 

(m; 

) 

f  ^9' 

/B 

_'°+A  +  B 

/BR'z 

+ 

\ 

V 

y 

\   dt  A-R'cos^i];' 


XXXVIII. 


Voyons  maintenant  comment  on  doit  déterminer  la  constante  k  et  les 
autres  constantes  du  Problème.  Pour  cela,  on  supposera,  comme  dans 
l'Article  XXII,  que,  lors((ue  t—o,  on  ait 


dr  dt' 


dt         '      dt 
par  ronsécjucnt 


o,      -7-  =0,     ;'  =o; 


■f"  — 


dr  r/R  di 

</<  '      dt  '  '     dt 


à  cause  de  z  =  /•  cosÇ";  et  l'équation    P')  de  l'Article  cité  donnera 
»  /r'  =  MR'  +  iB  (^- ^--p j  , 


:î02  essai  sur   LE   PUOlJEÈiME 

d'où  l'on  liicra  aisément  la  valeur  de  k,  en  ayant  soin  de  rapporter  les 
valeurs  de  R,  /■  et  de  M,  N  au  point  où  t  =  o. 

De  plus  on  se  souviendia  (jue  la  valeur  de  a  doit  être  prise  en  sorte 
(ju'elle  soit  nulle  lorsque  /  =  o. 

XXXIX. 

Au  reste  il  est  bon  de  remarquer  que,  dès  (jue  l'on  aura  trouvé  les  la- 
titudes ^  et  'Y ,  on  pourra  avoir  aisément  les  valeurs  des  vitesses  en  lon- 
gitude ^-r-  f^t  -^  par  le  moven  des  vitesses  réelles  ii  et  u  . 

^  al         dt    ' 

\i\\  eiïet,  nommant  (Vj  l'angle  déerit  par  le  rayon  /•  dans  le  temps  dt 
on  aura,  comme  nous  l'avons  vu  dans  l'Article  XIX, 

uH/P  ^  rUW'  -+-  dr'; 
or  il  est  iacile  de  voir  que 

donc 

uUlt-  =  r=  cos-'l'  <h^  ~^  ''  ^^'^'  "^  '''''■"' 

donc 


/  û"      77ÂJ;  \  2  _  TjIF 

r/9  __  V  /-^  ~  \^  y    ~  \rdt 
dt  ~  cost|; 

■  m')  {  et  de  même 

dçl_  _  V  ;^~  \dr)  "  [r'dtj 
dt  cos^j;' 

donc,  en  substituant  les  valeurs  de  ir  et  ii''\  on  aura 


d<^ 

\/^ 

dt^         \rdt)                   9AVr' 

dt 

cosvl' 

rfcp' 

Vî- 

d'Y'        /  dR  y       iB'/ 
dp         [lidt,    "^  }\r' 

dt  ~ 

cosj;' 

DES  TKOIS  COUPS.  :iO:J 

Ces  l'ormules  pciivcnl  (|ii('l(|iierois  rli<'  plus  coiiiniodcs  ([ik'  les  prccf*- 
(h'iites,  siii'Ioiil  l(tis(|ii('  les  (|ii:iiili les  /•,  K  N;iiH'iil  Iri'S-pcii,  cl  (|iir  les  l;i- 
titiides  •]>,  •il'  soiil  loil  priilcs. 


CHAPITRE   IV. 


DIO     1,A    TMKOllIi;    l)K    LA    L  U  Mi 


^    ï.  —   Applicalion   des  fornuilrs  du  C'Iiapili'c  préccdcnt 

a   cette    Théorie. 

XL. 

Pour  faire  cette  application,  il  n'y  a  (jii'à  imaginer  que  le  Corps  A,  qu«' 
nous  avons  regarde  coniine  immobile  et  au({U('l  nous  avons  rapporté  les 
mouvemenis  des  deux  autres,  soit  la  Tcric,  (jue  le  Corps  B  soit  la  I.une, 
et  que  le  Corps  C,  que  nous  avons  supposé  beaucoup  plus  éloigné  du 
Corps  A  que  ne  l'est  le  Corps  B,  soit  le  Soleil,  dont  la  distance  à  la  Terre 
est  en  ellet  très-grande  par  rapport  à  la  distance  entre  la  Terre  et  la  Lune. 
Ainsi  /sera  le  rayon  vecteur  de  l'orbite  de  la  Lune  autoui-  de  la  Terre. 
/•'  le  rayon  vecteur  de  l'orbite  apparente  du  Soleil,  et  /"  sera  la  distwuce 
rectiligne  entre  le  Soleil  et  la  Lune. 

De  plus  'h  représentera  l;i  latitude  de  la  Lune  par  rapport  à  un  plan 
tixe  que  nous  prendrons  pour  l'écliptique,  et  'V  représentera  la  latilinle 
du  Soleil;  ç;  sera  la  longitude  de  la  Lune  et  o'  celle  du  Soleil,  comptées 
à  l'ordinaire  dans  l'éc  liplique. 

Pour  savoir  quel  est  ce  plan  que  nous  prenons  ici  pour  l'écliptiijue, 
et  que  nous  avons  vu  dans  le  Cbapitre  I"  être  celui  par  rapport  aucjuel 
les  mouvements  des  Corps  B  et  C  sont  les  plus  simples  qu'il  est  possible, 


:m  ESSAI  SUR    LE  PROBLÈME 

nous  remarquerons  que,  d'après  les  suppositions  de  l'Aiticle  XXXVIII, 
on  trouve,  lorsque  t  =  o, 

).  =  o,     |y.  =  o,     v  =  o; 
de  s(»rl('  (ju'on  aura  aussi  [Article  XXXVI,  formule  (/)] 

donc,  puisqu'on  a  en  même  temps  (Article  XXXVIIIj 

dr  dr'  , 

^1  =  "'    777=°'    '="• 

il  s'ensuit  que  le  plan  dont  il  s'agit  est  celui  dans  lecjucl  le  Soleil  et  la 
Lune  se  trouvent  en  même  temps,  lorsqu'ils  sont  à  la  l'ois  en  conjonction 
et  dans  leurs  apsides. 

Maintenant,  puisque  nous  avons  fait  (Article  XXXIA"; 


on  aura 


/■        .  /• 

7  =  'r 


de  sorte  (jue,  si  l'on  suppose  (ce  qui  est  permis)  que  les  valeurs  moyennes 
de  r  et  de  R  soient  égales  à  l'unité,  on  aura  i  égal  à  la  valeur  moyenne 

de  -7^  c'est-à-dire, 

. parai! .  0 

para  11.  moy.  (E 

or,  en  prenant  07' 3o"  pour  la  parallaxe  horizontale  moyenne  de  la  Lune 

et  ()"  pour  celle  du  Soleil,  on  aurait  i=  ir^  =  ^  à  très-peu  près;  d'où 

l'on  voit  que  la  quantité  i  sera  en  effet  très-petite. 

Or,  comme  les  observations  nous  apprennent  que  les  orbites  de  la  Lune 
et  du  Soleil  sont  presque  circulaires,  il  est  clair  que  les  variations  des 
quantitésr  et  R  devront  être  fort  petites;  de  sorte  que,  si  l'on  fait 

/  '  =  I  -+-  X,     R-  =  I  -I-  X, 


I»i:s  TUOIS  COUPS.  :{05 

\  cl  X  (Icvroiil  rlic  des  (|uantil6s  assez  pclilcs  par  rappijil  :i  runilc;  cl 
(le  j»lns  elles  lie  (Icvroiil  ((iiilcnir  aiieiiii  Icrinc  constant;  aiilreiiieiil  les 
valeurs  nioycmiesde  /•<'!  W  ne  seraieiil  plus  éi;ales  à  i ,  eoiilre  I'Iin  polliese. 

Ddiic  le  carré  de  la  vilesse  angulaire  de  la  l,iiiie  --  sera  ii  peu  pii's  ei^;tl 

à  L.  on  ei;al  :i 

cl  le  carre  de  la  vilcssc  aiimilairc  du  Soleil  autour  de  la  Terre  --  scia 
à  (icn  pii's  ci^al  à  .M,  ou  égal  à  D  (Article  XXXVI). 

Mais  on  sait  que  la  vitesse  angulaire  de  la  Lune  csl  ii  c(dle  du  Soleil 
environ  comme  i3  ;i  i ,  de  sorle  (pie  leurs  carrés  sont  ;i  [)eu  près  eiilic  eux 
comme  169  à  i;  d'où  l'on  voit  (pic  la  (piaiilité  I)  doit  être  beaucoup  plus 
pelite  (pie  la  (piantité  A-l-lî,  et  cela  dans  une  raison  peu  dillereiilc  de 
[  a  i()().  Donc,  si  l'on  suppose,  ce  qui  est  permis, 

A  +  B  =  1 , 

cl  (pie  l'on  fasse 

I)  =  x\ 

on  aura  î<  = -^  environ,  et  c/.'-  sera  presque  égal  à  2/;  en  sorle  (pie  l'on 

pourra  regarder  les  quantités  i  et  a-  comme  du  même  ordre. 
De  [)lus  on  a,  comme  on  sait, 

¥='^' 

le  nombre  c  étant,  par  la  Théorie  de  la  [irécession  des  écjuinoxes  de 
M.  d'Alembert,  égal  à  environ  ^■,  et  par  celle  des  maiées  de  M.  Dani(d 

Hcrnoiilli  égal  a  -;  donc,  puisque  (Arliclc  XXXIV) 

@:^IJ.      ©=C  =  i^, 
M.  3g 


306  ESSAI  SUR   LE   PROBLEME 

on  aura 

ainsi  les  quantités  B  et  D  seront  à  peu  près  du  même  ordre  i. 

Au  reste,  pour  ee  qui  regarde  la  vraie  valeur  de  c/.,  il  faudra  la  déter- 
miner par  le  l'apport  connu  entre  le  mouvement  moyen  du  Soleil  et  celui 
de  la  Lune,  rapport  qui  est,  suivant  les  nouvelles  Tables  de  M.  Mayer,  de 

iiS29°45'4o",7     à     160^9"  2  3' 5"^. 

Quant  au  coeiîîeient  0,  qui  est  encore  assez  incertain,  comme  il  se  trouve 
partout  multiplié  par  les  coefficients  très-petits  «-  et  i,  il  suffira  de  le  con- 
naître à  peu  près,  puisque  Terreur  qui  en  pourrait  résulter  ne  serait 
que  de  l'ordre  de  i^. 

XLL 

On  fera  donc  toutes  ces  substitutions  dans  les  formules  (/;,  ig), 
[h),  [i]  du  Cbapitre  précédent,  et,  mettant  pour  plus  de  simplicité  y  à 
la  place  de  Rz,  on  aura 

(l(j  -'-  -~ 


dt 


—  iot'\  ê(i  +  x)~'+  2  Y^:i  +  X)   ' I  4-  X)  ii-f-  X)  '' 

— /=a-[io\'(i-4-xr  ^— 6Y(i+x)(i-f-  xr~j— ..  ., 


d'x 

0.  (W 


3y^(i  +  X)    ■^  — 'I+x:(i  +  X)   '  I 

|-  C'i-h\)~^dx+3  f\(i-^Xf'dY-  7dt}\ 

1  —  Y'd  +  XT^-^Yd+xUl  +  Xl"^ 
12  2       ' 

-icc'  I  —  3  Cxi  H-  Xf'dx  -f-  —  f\Hi  -f-  Xr^(^/Y  -  ^dt)  \ 

/       3   r  -^ 

1  (i  H- x)(i-f-X}   '(d\  —  7dl) 


l'x' 


DES  TROIS  COUPS.  307 

/  35  -  »  -1      -^  1^ 

—  Y*  i-f-Xj   ■^-i5v'(i-t-xj(i  +  Xj   '  +  -(n-xj'(n-xr'  ■ 

i5  r  -23/»  s 

35  f  -s. 


t/ 


Y(l-t-Xj(H-Xj     '{dY-cdt) 


foiisl,, 


?.<//- 


[v(i+xr^+ r 


+  /a'ê      Y(l  +  X)     ^+/       i  +  x~'{dY-+-r;dt) 


-+- ..    —  CUlISl., 


i*) 


;7^  -HYd-f-X;    '"h- jd  +  x)    '(dx-hadt) 


-^  a'j-îi  +  X)    ^ 


g,,  -HX;     ^-4-        Y>(,  +  Xj     ^' l-f-x^d-f-Xj' 


—  ;a' 


-/    «  +  X,   ^/x-+-3  A-'i-hX)   '{d\-c>dt 

5\H,i-^\f^—  3Y(n-x:i(i+xr^ 

i'a'/  -  3  I  Y(I  H-  Xr^</x+  -^  rY'(l  +  \f^[d\-(jdt: 
-/(i+x)(n-X)   '(d\  —  (7dt) 


consi. 


Or,  comme  les  quantités  x  et  X  sont  assez  petites,  on  aura  assez  e\ii 
temenl 

2  y  iC)  ITtS  ■    ■    *' 


(  1  -f-  X  )    '  =  I 


3x        i5x^  _   35x^ 
2    "^     8     ~     16" 


,._^Yr7  ^         3X^'        5X'         35X* 

Il  -+-  X)       =  I  —     —    H-    —    -I 

2  b  ib  128 


39- 


308  KSSM   SUU    LE    PROBLÈME 


I  -f-X)   -  =  i — 


3X        i5\2       35X3 


2  8  1 6 

,,  -^  5X       35X^       loSX^ 

I  -hX)   '==1 h 


i+X)   '  =  1 


2  8  i(i 

7X       63X= 


(i+X)-^=,-ÎA^-f-^-.... 

2  o 

Di'  suite  (ju'en  substituant  ces  valeurs  dans  les  etjuatiuns  précédentes, 
et  mettant  de  plus  dans  les  trois  dernières  la  valeur  de  o"  tirée  de  la  pre- 
mière par  l'intégration,  on  aura  trois  écjuations  en  x,  X,  y  et  /,  qui  s<'ronl 
intégrables,  du  moins  par  approximation,  par  les  méthodes  connues, 
puisque  les  variables  y  seront  toutes  sous  une  forme  rationnelle  et 
entière. 

XLll. 
Ensuite  on  aura  (Article  XXXVI) 

E  =  — -  +  ;  I  +  X)   '  -  yA-i\^  ,  +  \  ,,   ^'  _  (,  +  X  (  I  +  X     M, 

N  =  -^^+v  i+x)    ^_3^-^v'H-X)    \ 
cl  (le  là 

/  =  M       I-+-X       i+Xi— Y^l—  yll4-X,     -p   +5-      -f--  V-^     -7-  -i-7     —  7     I+X    -7— 

'  4  v^f       ;      2    (Il  ^  (h       I     4  (/{' 

-+-  /ca-[v    I  -I-  X)     ^^I 


-hX)— Y^I+X       M, 


a=:  N    '  I  +  X  )  (  I  4-  X    —  Y-] 7   +  --7 > 


1  ,         -.     (I\  l  d\  \         1  ^  (/x  i  d\ 


l)i:S  TKOIS  CORPS.  ;{(M) 

iiKjyciiiKinl  (|ii()i  on  aiir;) 


l  ôa^     [j.  \ 


sin-];   :r-   -      -^ ^—> v_. 


('iiliii  les  roi'imilcs  (le  l'Arliclc  XXXÏX  (lomicroiil  ' 

el  (juanl  à  la  conslniUe  /c,  on  la  déterminera  par  récjiuuioii 

(X)  /.*=:M(H-  X-  2/a^cY)  -¥-  /a'€(i  +  X)[(i  +  xr'^Y  — nJ, 

en  y  faisant  t  =  o. 

On  se  souviendra  au  reste  que  les  valeurs  de  x,  X  et  y  doivent  ètrt; 

r/x    (/\     </y      .     ,       ,,      , 
prises  en  sorte  (|ue  -y-?  -jy,  -j-  soient  nulles  lors(jue  t  =  o,  cl  que  v  y\v- 

viimne  alors 

(le  plus  il  faudra  aussi  que  la  valeur  de  cr  tirée  par  l'intégralion  de  l'c- 
(juation  ip)  soit  telle,  (ju'(dle  s'évanouisse  lorsque  ^  =  o. 

^11.  —  De  Vititégratioii  des  ('(luafioits  qui  donnent  les  mouvements 
de  la  Lune  et  du  Soleil. 

XLlll. 

Le  Problème  des  mouvements  de  la  lAine  et  du  Soleil  se  réduit  à  la 
reeherehe  des  quantités  x,  X  et  y,  lesquelles  dépendent  de  l'intéi^Mation 
des  équations  {q),  (r),  {s}  de  l'Arliele  XLl,  à  (juoi  il  faut  joindre  Trijua- 


310  ESSAI  SUR   LE   PROBLÈME 

lion  [p]  comme  subsidiaire.  Si  les  variables  x,  X,  y  ne  se  trouvaient 
dans  les  équations  que  sous  la  forme  linéaire,  l'intégration  serait  facile 
par  les  méthodes  connues;  or  il  est  aisé  de  voir  que  les  termes  où  ces 
variables  se  trouvent  multipliées  entre  elles  sont  tous  fort  petits,  à  cause 
que  les  coefficients  or  et  i  sont  très-petits  et  que  les  variables  x  et  X  sont 
aussi  supposées  fort  petites;  ainsi  l'on  pourra  d'abord  négliger  les  termes 
dont  nous  venons  de  parler,  pour  pouvoir  trouver  les  premières  valeurs 
approchées  des  variables,  et  ces  valeurs  serviront  ensuite  à  en  trouver 
d'autres  plus  exactes,  et  ainsi  de  suite. 

Pour  donner  un  essai  du  calcul  qu'il  faudra  faire  pour  cet  objet,  nous 
rejetterons  d'abord  dans  les  équations  du  paragraphe  précédent  tous  les 
termes  multipliés  par  i,  et  qui  dépendent  de  la  parallaxe  du  Soleil;  l'er- 
reur sera  d'autant  plus  petite  que  ces  termes  sont  en  même  temps  mul- 
tipliés par  la  quantité  très-petite  «-. 

De  cette  manière,  les  équations  [p],  [q),  (r),  (s)  deviendront 

d(T  -  -  -  - 

(a)         -^  =  y(i+xi    '  — SaH-fi -4- Xi    % 


—  2.0.' 


3y^,h-X)   '-(i-f-x)(i-f-X)   ' 

—  f(i-h\~Kh  -+-  3  Ty  1  +  \)~''{d\  -(jdt)\ 


=  consl.. 


^^X  -  ' 

\y)       —j- 2a^iH-X)    '  =  consl., 


d'\ 
d? 


-f-Yi'iH-X;    '  H- a-'Y(i -l-X)   '-i-|fi-l-x)   '  (d\ -\- a  dt)  =  consi. , 
où  il  n'v  aura  plus  <ju'a  réduire  en  série  les  puissances  de  i  -hx  et  i  H-X. 


DES  TKOIS  CORPS. 


:M1 


XLIV. 


Négligeons  encore  les  produits  de  deux  ou  de  plusieurs  diuieiisions 
de  X  et  X,  on  aura,  à  la  plaee  des  équations  précédentes,  celles-ci 

d(T         I  3x       oa^XN 


[SV  (.  -  ^^-)  +  ^  +  3  J(i  -  ^  v(./v  -  .r/oj  =.  cunsl., 


~j—  +  (x^X=  const., 


(l'\  (  ,       3x        3a^X 


j  4-  /  (  I ^  j  (  r/y  +  7  J/  )  =  consl. , 


lesquelles,  en  substituant  la  valeur  de  a,  se  réduisent  à  ces  trois-ci 

d'y. 


;e) 


dp 


d'x  ,  3x' 


a^X=  const., 


-  3a^r3Y-— (i-  3a-)  (    i  \dtf-h-  i  /  \dt  i  \\,/(  1 
5 Y'  —  I )  \  +  5  /  X Y  f/v  ^  i)x'  I  Y  df  I  \\  dt  1 
—  5(1-  3a^)  /  \\dl  f\di 


— -  coiisl. 


r/^Y 


i-n) 


,  -   -i-  i  2  -f-  a-  Y  -I-    i  —  ^x' .  j  dt  j  Y  (/^ 

YX  -^    /  X  (/y  -t-   /  r//  /  v\  '//  -h  (  I  —  3  a^  )   /   \  (//  /  V  r// 

_  lii'  (  \y  -  3  ^'.//  fyXdf^  =^  coiisi 


312  ESSAI   SUK    LE   PROBLÈME 

XLV. 

(^ummc  les  variables  x  et  X  sont  supposées  tort  petites  vis-à-vis  de  la 
variable  y  qui  est  finie,  on  peut  d'abord  négliger  dans  l'équation  f/j)  les 
termes  qui  renferment  x  et  X;  on  aura  ainsi  cette  première  équation 
approchée 

^  +  !  2  -f-  cf})  y  +  (i  —  Sa-*)  /  dt  /  y  dt  —  consl., 

laquelle  étant  ditï'érentiée  deux  fois  devient 

d''\  d'^\ 

—. h  (  2  -i-  a^  )  -; 1-  (  I  —  3  a-  V  =  o, 

dP        ^  '  dt- 

qui  est  intégrable  par  les  méthodes  connues. 

Pour  en  trouver  l'intégrale,  il  n'y  a  qu'à  supposer  y  =/cosi />/-f- «), 

ou  bien,  puisqu'on  veut  que  -^  =  o  lorsque  Z  =  o,  on  fera  simplement 

v=/cos/^/, 
(4  l'on  aura,  après  les  substitutions,  cette  équation  en/> 

/?"  —  (  2  +  a^  )  /?-  -f-  I  —  3  a-  =:  o. 


d'oii  l'on  tii'e 

ou  bien,  en  négligeant  les  puissances  de  (/.  plus  hautes  (|ue  la  seconde, 

/>^  =  I  dz  2  a  H 


et 

a 

4 


/j  =  I  ±  a r  • 


Donc,  dénotant  \vàv p  l'une  de  ces  valeurs  et  par  q  l'autre,  on  aura 

Y  =fcospt  -f-  gcosqt, 

/"et  g  étant  des  constantes  indéterminées  <}ui  doivent  être  telles,  (jue 
lors(|ue  t  =  o  on  ait  v  =  Rr  =  i  ;   ce  qui  donne  /+  g  =  i . 


DES  TIUHS  CORPS. 


:J1:{ 


Clïerchons  maintenant,  d'après  cette  première  valeur  approchée  de  \ , 
celle  de  s'm^  par  les  formules  (t)  de  l'Article  XLII;  on  aura  M  =  a-, 
en  négliijeanl  les  (juanlilés  x  et  X;  donc  aussi  k'-  —  v-,  t'\  /e  —  y 
[équation  ^oc ) \\  donc 


I  /'  r/y 

/.  ~  a-  '  I  —  y'  ,  —  -7   -^  -f-  0- 

4  \  '^f 


el 


Or 


iii^  ^  vi. 


d\  y, 

-^  =  -pfsinpt-qgsinql, 


-f 


dt^'L 


fsinpi       gsinql 


donc 


<T  = '-   sinpt 


dt  P  '  q 

en  négligeant  les  j)uissances  supérieures  de  a;  donc 

A  =  a*[i  —  fcospt  +  g-cosgO'—  if^^^pf  —  g^^in*/^'] 
=  a'[i  —  /-  —  g^  —  ^fgicospt  cosqt  —  sinpf  sinqt  f] 
=  a-li-f^-g'-2fgcos{p-¥-q)t]; 


niais 
donc 
donc 

donc  enfin 
M. 


l  =  -1  y.\fgl\  —  cos [pA-qjq  =  ^x'fg  sin'  i  ^-^  t  j  , 


siii  tj;  ^  2  \jfg  sin  (  — t 


4o 


314  ESSAI   SUR   LE   PROBLÈME 

Or,  «'oiiime  on  doit  avoir  /+  g  —  i,  on  peut  supposer 


cl  \\)n  aura 


f=[^^^-]  '       è'  =  ^i"^V' 


iin  '\i  r=  siii  /  sin  ( ~  t  j , 


l'angle  /  étant  arbitraire  et  dépendant  de  l'inclinaison  primitive  de  l'or- 
l)ite  de  la  Lune  ;  en  effet,  il  est  clair  (jue  la  plus  grande  valeur  de  sinvj; 
sera  sin/,  de  sorte  (|ue  /  exprimera  la  plus  grande  latitude,  c'est-à-dire, 
l'inclinaison  de  l'orbite;  donc,  puisqu'on  sait  par  les  observations  que 
l'inclinaison  de  l'orbite  lunaire  est  assez  petite,  et  d'environ  S'' 8',  la 
constante  g  sera  toujours  très-petite  et  la  constante/ presque  égale  à 
l'unité;  car  on  aura  à  peu  près 


(sin  2"  34')'  =  environ 


DOO 


<le  sorte  que  la  quantité  g  est  encore  plus  petite  que  la  quantité  i,  (]ui 
exprime  le  rapport  des  parallaxes  de  la  Lune  et  du  Soleil;  d'où  il  s'ensuit 
«jue  l'on  pourra  négliger  sans  scrupule  les  termes  qui  se  trouveront  mul- 
tipliés par  le  carré  et  les  puissances  plus  liantes  de  g. 

XLVI. 

Il  est  facile  de  voir,  par  l'expression  de  ûwh  qu'on  vient  de  trouver, 

<jue  l'angly  ^      ^  t  n'est  autre  chose  que  la  distance  de  la  Lune  au  nœud, 

c'est-à-dire,  l'argument  de  latitude;  d'où  il  s'ensuit  que,  si  l'on  retranche 
cet  angle  de  la  longitude  de  la  Lune  dans  son  orbite,  on  aura  la  longi- 
tude du  nœud.  Donc,  si  ht  dénote  la  longitude  moyenne  de  la  Lune,  on 

auî-a  \h  — ^|/  pour  la  longitude  moyenne  du  nœud;  oi',  les  longi- 
tudes moyennes  étant  à  peu  près  les  mêmes  dans  les  orbites  des  planètes 
v\  dans  l'éclipticjue,  ht  sera  la  valeur  moyenne  de  o,  et  h  sera  par  consé- 


DES  TKOIS  CORPS.  315 

queiit  Cigale  à  ce  (|iril  doil  v  avoir  de  constant  dans  la  valeur  de  —-•  Or 
les  rorinuies  de  l'Arliele  XLil  donnent,  en  rejelanl  x  et  ^j/, 


^  =  vL  =  v^'-«^(3v'-i), 


et,  à  <;uisr  de  y  =  fco^pt,  on  aura 

/j  =  i  /  I—  1-:^ I  j  a'  =  I  —  -^     a  peu  près. 


Mais  on  a  aussi 


d'oii  l'on  voit  ([ue  la  position  du  nœiui  est  fixe,  du  moins  par  eette  pre- 
mière approximation;  ce  qui  ne  doit  pas  paraître  surprenant,  vu  que  les 
valeurs  de  p  et  q  ne  peuvent  tout  au  plus  être  censées  exactes  qu'aux 
quantités  de  l'ordre  de  «'-  près. 

Pour  savoir  maintenant  laquelle  des  deux  valeurs 

I  ±  a y- 

4 

doit  être  prise  pour/;,  on  remarquera  ([u'en  supposant  l'inclinaison  de 

l'orhile  nulle  on  a 

Y  =fcospt  =  cos  pt; 

mais  on  a  (Articles  XXXIV  et  XLIj 

Y  =  Rz  =  RrcosÇ"=  cosC; 

donc  • 

cospt  =  cost"     cl    /;/ 3=  Ç"=  çp  —  cp', 

puisque  Ç"  n'est  autre  chose  ([ue  l'angle  compris  entre  les  deux  rayons  r 

cl  /■';  donc 

p  =  h  —  /i\ 


en  nommant  ///  cl  h' t  les  valeurs  moyennes  de  9  et  de  9';  or  on  a  dcj;» 
trouvé  h  =  i  —   ,  et,  pour  avoir  A',  on  prendra  la  partie  constante  de  -j--> 

40. 


316  ESSAI  SUR  LE  PROBLEME 

(jui  est  ^  ^'M—-a;  de  sorte  que  h'  =  a,  et  par  conséquent 

donc 

a' 

Ainsi  il  faudra  toujours  avoir  soin  dans  la  suite  de  prendie  poui/-»  une 
valeur  telle,  que  ses  deux  premiers  termes  soient  i  —  a,  et  pour  q  une  va- 
leur dont  les  deux  premiers  termes  soient  i  -h  «;  celle  remarque  est 
d'autant  plus  importante  que  les  quantités/^  et  q  seront  données  doréna- 
vant par  des  équations  particulières  dont  chacune  montera  cependant  au 
quatrième  decfré,  comme  on  le  verra  ci-après. 

XLVII. 

Ayant  trouvé  la  première  valeur  approchée  de  v,  on  la  substituera 
dans  l'équation  (Ç)  qui  donne  la  valeur  de  x,  en  y  négligeant  d'ahord  les 
termes  où  x  et  y  sont  mêlés  ;  ce  qui  la  réduit  à  celle-ci 

(P\ 

-jj  -4-  (i  +  4a') X  —  a' [9 Y'  —  '^{Jsdtf]  =  consl.; 

or,  puisque 

y  =if  cospt  -+-  gcosqt, 

on  aura,  eu  négligeant  les  g^, 

Y^  :=/'  cos-pt  ■+  ifgcospt  cosqt 

•  =  - /^ ( I  +  cos 2 pt)  -\-fg [ CCS [p  -\-  q  t  -\-  eus  p  —  q  l  \, 


et 


s\npt       g^'vnql 
~P  V 


f'      ■     .  2 /£•     . 

•-—^wi'piA — î^-5  sin/v/ suit// 
p^         '  pq         '  ^ 

^,  (i-cos2/?/)-^[cos(/>-f-7  /-  COS' p-q  t]: 


DES  TROIS  CORPS.  UT 

floue,  sul)stituant  ces  valeurs,  cl  rcjclaiil  tous  les  tei'iiics  ((nisUnils,  a 
<;iii,s('  (|u'il  De  (loil  y  en  avoir  aucun  dans  la  valcui' de  x  par  I'Iin  pollicsc, 


on  iHira 


-  -(-  (i  4-  4a')x "^^o '-  cos?,/^/ 


3  «-.A- 


\_{ipq  -H  ij  cos(^  -\-  q)l  +  {  ip<j  —  I  )  cos(/>  —  q  )l]      <j- 


Ainsi  la  valeur  de  x  sera  de  cette  t'ornie 


x=z  a  cosmt  +  oc-f'J  cos9.pt  -\-  a\fg[B  coslp  -\-  q)t  -\-  B,  cos' p  —  q)t]. 
et,  la  substitution  faite,  on  aura 
a  cosmt .{  —  m^  -I-  I  -(-  4a') 

-hcx'f'COS7^pt\j(—^p'-hl-h^x'}—    4U)/>^  +  i)  j 

-+-  o(}fgcos[p  -^  q]t\  Z/  [  — i/>  -f-ç/i^-t-  I  -+-  4a'] —^ ^ 

-4-  x'Jgcosip  —  q  )  t  \  B^l  —  [p  ~  q  )'  -h  i  -¥-  4^'] ^-^ =  «•• 

Donc,  égalant  à  zéro  les  coetricients  de  (diaiiuc  cosinus,  on  ;iur;i  les 
écjuations  suivantes 

—  m'  H-  I  -1-  4a'  =  o, 
.      J  [-  /ip^-hi-h  4a^] ^-^-^ =  O, 

/y    —    «  -+-  o  )'  -(-  I  H-  4  a'I ^-i =  o, 

pq 


//,[-:7>-gr-M  +  4«^] 


3  3pq  —  I  ) 
pi 


318  ESSAI   SUR   LE   PROBLÈME 

d'où  l'on  tire  ' 


m  =  v^i  -I-  4^'» 

A  =  — -, r^ 7 —  —  —  2     a  peu  près, 

B  ^ ^{-^pq  +  ^) _  , 

B  =  ^i^pq-i)  ^  g 

'      pq[—(p  —  q?-^i-+-^oc'] 

La  constante  a,  qui  est  demeurée  indéterminée,  dépend  de  l'excentri- 
cité de  rorl)ite  lunaire,  et  doit  par  conséquent  être  fixée  par  les  obser- 
vations. 

Ainsi  l'angle  mt  représentera  l'anomalie  moyenne  de  la  Lune,  c'est- 
à-dire,  sa  distance  à  l'apogée;  de  sorte  (jue  [h  —  m)t  sera  la  longitude 
moyenne  de  l'apogée,  ht  étant,  comme  plus  haut,  celle  du  lieu  de  la  Lune  ; 
mais,  comme  nous  avons  négligé  dans  l'équation  (Çj  des  termes  où  x  se 
trouve  multiplié  par  %'-,  on  doit  s'attendre  à  ce  que  la  valeur  de  m  ne  sera 
exacte  qu'aux  quantités  de  l'ordre  de  oc-  près;  c'est  pourquoi  on  aura 
dans  cette  première  approximation  m  =  i  et  m  —  h=.o,  en  rejetant  les  a^  ; 
ce  qui  donnerait  les  apsides  fixes. 

Venons  maintenant  à  l'équation  (sj  qui  donne  la  valeur  de  X;  et  comme 
cette  quantité  ne  doit  contenir  aucun  terme  tout  constant,  il  est  clair 
qu'on  aura  simplement 

^  +  «^  =  "' 

et  que  la  valeur  de  X  sera  de  cette  forme 

X  =  6  cosn/, 

d'oii  l'on  trouvera,  par  la  substitution, 

—  «-  +  a'  =  o,     «  =  a. 

Le  coelficient  indéterminé  b  dépend  de  l'excentricité  de  l'orbite  du 
Soleil,  et  nt  est  par  conséquent  l'angle  de  l'anomalie  moyenne;  de  sorte 


DKS  TIU)IS  COHPS.  3i!) 

(|IH'  ' n  —  h' 1 1  sev.i  l;i  loMi-iliidc  de  rajjogrc  du  Soleil,  (jui  est  ici  iinijc  ;, 
(•;nis<!  (ju«' 

//'=  a,     /i  =  a. 

XLVUI. 

Pnis(|ii('  l'on  ooiiiiail  déjà  l:i  iovuiç  des  premiers  termes  des  v;ileiirs  v,  x 
t'I  X,  on  pourra  aisément  trouver  les  suivaiils  e(  reelilier  en  même  temps 
los  coellicients  de  ceux  qu'on  a  déjà  trouvés;  pour  cela,  il  n'v  aura  (|u'a 
substituer  dans  les  termes  négligés  des  équations  proposées  les  valeur- 
(ju'on  vient  de  trouver,  et  l'on  aura  la  forme  des  termes  qu'il  faudra  in- 
troduire dans  les  nouvelles  valeurs  de  y,  x  et  X;  on  donnera  à  tous  les 
ternies  des  eoeiïieients  indéterminés,  et,  la  substitution  faite,  on  fera 
égaux  à  zéro  les  termes  analogues,  e'est-à-dire,  ceux  qui  renferment  l<s 
mêmes  eosinus;  on  aura  par  là  autant  d'écjuations  (ju'il  en  faudra  pour 
la  (Jétermination  de  tous  les  coeiricients. 

Ainsi,  reprenant  l'équation  (vj)  et  substituant  dans  les  termes  qui  l'en- 
ferment X  et  X  les  valeurs  de  x,  X  et  y  trouvées  ci-dessus,  il  viendra  des 
termes  de;  la  forme 

af  ces  p  ±  m  ]  ty  <igcos(g±m) t, 

x\f'co^  -ypzhp)/,  x\f'gcos{-?.p±q  t, 

x\pg  ros  (  /^  ±  ^  ±:  p  t,     x\f'gcos  [p±q±q)t, 
hf  ces ( pztfDl,  hg ces iq±n  t; 

on  supposera  donc 

Y  z=fcospf  -^  gco^qi  -+-  afP  ros  [p  -h  m]t  -h  af  r,  e..s  (  p  -~  m   t 
-+-  ag  (J  cos  i  q  -+-  m   t  -+-  ag  (),  ros  (  q  —  m  )  /  -f- .  .  . , 

et,  prenant  pour  x  et  \  les  expressions  de  l'Article  XLVIl,  on  aura  Te- 
([uation  suivante,  dans  laquelle  j'ai  négligé  les  (juantités  affectées  de  cr. 
de  (ta-  et  de  a',  à  cause  (|ue  l'on  a  négligé  dans  l'équation   vj  ;  les  termes 


320  ESSAI  SUR   LE  PROBLÈME 

où  X  se  trouvait  k  la  seconde  dimension, 

r    r^/                  ^.              ,       1— 3a^\       3af  f           ,j                 I                i  — 3a^  \"1 
cos(/-'-Kw)^    «/  /•    — (/p-4-wV-f-'2-f-a-— 5) r-l  H -, Tj ;— 

^'  L        \  [p^"')  J       4    V     y^'+z"     [p-^'f)      p(p-^"'}Jj 

^'  L         \  [p—'»YJ       4    \      p->n     [p—m)      P(P—'")JA 

.    V       ^  (     ,  V.  ■>      I  — 3a'\      3^/ir/  V  I  ,_3a'  XI 

L  \  ('7-+-'")/        4    \      '/+"/     (c/H-/?/|-     f/(fj-^"i)/j 

s    r      ^  (  , .  >       I  —  3  a-  \       3  <7£-  /  7  1  I  —  3  a=  \  ~] 

/        L       \  l'y—"')/      4   \     </— '"    (//— w)"    (7  — ^'0 /J 

On  égalera  donc  à  zéro  les  coefficients  de  ces  différents  cosinus,  et 
l'on  aura  : 

I  — 3a' 

1°  —  p-  -+-  2  H-  a- —  =  o , 

p- 

equation  d'où  l'on  tirera  la  même  valeur  de/?  que  ci-dessus  (Article  XL\'), 

de  sorte  qu'on  aura 

a'' 

et  l'on  sera  maintenant  assuré  que  cette  valeur  est  exacte  jusqu'aux 
(juantités  de  l'ordre  de  a-  inclusivement; 

2°    —  7'  -H  2  -)-  y. : ^ —     I T,\-\ — — ; =  O  ; 

'1  4  \  7/  4  4 

or,  comme  nous  négligeons  les  quantités  de  l'ordre  de  «*,  on  aura  (en 
mettant  pour  p  ei  q  leurs  valeurs  approchées) 

p-  —  i  -+-  3cc- 

=  —  2a, 


DES  TROIS  COIU'S.  321 

(le  suilc  (jtK',  a  cause  de  B  =  —  [\  cl  li  ^  —  G  f  Ai'liclr  M.\  II   ,  rc(|iiarK.ii 
pnk'cdciilc  se  rcduiia  à 


I  —  3a^         3a^/'-  /  i\  ^  ...    ^ 

-   a'  -\-  1  -^-  a' =^—     I -f-  i5/-3c'r     o. 

'  q'  1      \         q'I 


i>ll   l>iC|| 


7       (  -  +  « 7^  -^  i5/^aM  ^--f-  I  —  3«- ^  —  o; 


(ri)îi  l'on  liru  d'abord,  aux  quanlilcs  de  l'oidie  5<*  près,  en  ayant  c^urd 
a  la  l'cniarquo  de  l'Article  XL VI, 


«'        3a^/^'  ^  /         iSpa 


s/' 


a-         3  a?/""-        1 5/"-  a* 


I  -1-  2a  4- 


4 


5C 

=  I  4-  2a  H 1-  3/*-a% 

2 


et  de  là 


'  428  42 

on  aura  donc  ici 

p^q               a'    ,     3/=a\ 
i i  — —  I -4—  — : 

2     -'      4         4 

par  conséquent  le  mouvement  moyen  du  nœud  (jui  est  leprésente  par 
[h  -  ^^^)  t  (Article  XLVI)  sera  =  -  ^^-~-  t,  ce  ([ui  s'accorde  avec 
les  (djservatioiis: 


3"  P 


i-3an    3r 

—  7y4-/n)'-4-2H-a'     :^    —  7 

'  ',p^m)\\      41 


I  —  3  a^  "1      3  r  p  I  1  —  3  a- 

i-f 


/>-f-m      {p-\-in^      p  p^m 
M.  4' 


•î-2-2  ESSAI    SU  H    LE   PROBLÈME 


40  /> 

5-   . 


, ,     ,   ,    I  —  3  a-  ]    3  r         p  I  ,  _  ,^  5,2 

p—m,'}      4  p—ni      {p~mY     p'p—m)J 


(V()\\  l'on  lir<'  h  [K'ii  près 


p=-i,  p.=l.  (,=-■.  (,,.-! 


XLIX. 

On  repassera  présentement  à  l'équation  (Ç)  pour  trouver  une  valeur 
<le  X  plus  exacte  que  celle  de  l'Article  XLVIL 

Pour  cet  effet,  on  commencera  par  substituer  dans  les  termes  de  cette 
dernière  équation  qui  suivent  les  deux  premiers,  à  la  place  de  x,  X  et  y, 
IfMirs  valeurs  trouvées  dans  les  Articles  précédents,  et  négligeant  les 
(juantités  de  l'ordre  de  g-,  aussi  bien  que  celles  qui  seraient  affectées 
de  y-  multipliée  par  a-,  aa^  b^,  ba-  et  a',  à  cause  que  nous  avons  rejeté 
dans  la  même  équation  les  termes  de  l'ordre  c<^  dans  lesquels  x  et  X 
pouvaient  former  ensemble  des  produits  de  deux  dimensions,  on  aura 
par  ces  substitutions  des  termes  de  la  forme 

x-f-coso.pt,  x-fgcos{  p±(^   t,     x'af'cosi  pdz  mdzp   t. 

y.-agfcos [  p  ±  m  ±  q  )  t,     x\f'^  cos/{pt,  yJf^gcos  3p±q)i, 

y.'hf-cosi-^.pdrin   l,  x-hcosnt,  oc-hgfcosp±q±n    /: 

«■'est  poiir(|uoi  on  supposera 

X  =  ((  v()<,ml  -T-  y.  f-i  cos2pt 

-+-  n-fgH  ros  p  -^  q)t  +  x'/gB,  ros  p  —  q)t 

-+-  yraf-Ccos  ■?.p  H-  m    t  -+-  y.  af't\  rosi  o.p  —  ml 

4-  xUtgfU  r-os  p  -\-  q  -h  m  ]i  -\-  y?  agf  cos  p  -h  q  —  m  ;  f 


DES  ÏIIOIS  COUPS.  .'{2:5 

<*t  sul)sti(ii;iiil    (('(le    \;ilriir  de   x   ;iussi    Ijicii    (|iir   celles   de    ^    et    X    des 
Ai'ticles  |)ré('(''(leiils,  on  ;iiir;i,  en  iiéi;lii;e;int  ce  (ju'on  dnil  négliger, 

L  -*  -i  '      p[p—iii)       /i'p—//i){i/j-ni)  J 

Ainsi  il  n'y  aura  plus  qu'à  égaler  à  zéro  les  coefficients  de  ces  dille- 
rents  cosinus,  pour  déterminer  les  inconnues  m,  A,  B,  B  ,  C, ,  C\ 

Le  eoelticient  de  cost/z/  donnera  la  valeur  de  m  exacte  juscjuaux 
quantités   de   l'ordre   de   î<-   inclusiveuient,   et  l'on   aura,   à  cause   de 

P  =  —  J  et  /^,=  7  (Article  précédent^,  l'équation 

,    ,  Qx-f"^  Za}f'^  qoc-f-  Qa*/"* 

2  /)-  —  m-  )        L^p  (  p  -h  m  )        ^p'^p  —  '"  î  2 

ou  hieii 

—  m'  +  I  +  4  5c^ -^ •'    ■'    =  o, 

p(p-hm]  9. 

d'où,  en  mettant  [)0[ïv/,  p  et  m  leurs  valeurs  approchées  i,  on  lire 

m-=:  i  —  9.7.^     cl     m.  =:  i  —  5c'; 

de  sorte  que  le  mouvement  de  l'apogée  {h  —  ntj  l  deviendra    -4  /.   a 

cause  de  //  =  i r- 

4 

Comme  notre  dessein  n'est  point  de  doinier  ici  une  Tlieoiie  complète 
de  la  Lune,  nous  nous  contenterons  de  ce  léger  essai,  (|ui  jieul  siillire 
poui-  donner  une  idée  de  la  méthode  (ju'il  faudra  suivre  dans  l'inlegra- 


3-2i  ESSAI   SUR   LE   PROBLEME 

tion  des  équations  différentielles  de  l'Article  XLÏ,  aux(iuelles  nous  avons 
réduit  le  Problème  des  mouvements  de  la  Lune  et  du  Soleil  autour  de  la 
Terre. 

Quaiul  ou  aura  trouvé  les  valeurs  de  x,  X  et  y  en  t,  c'est-à-dire,  de  r, 
r'  et  /'",  on  aura  d'abord  les  latitudes  'J>  et  '/  par  les  formules  {t)  de  l'Ar- 
ticle XLII,  et  ensuite  on  aura  les  longitudes  9  et  9'  par  les  formules  iii) 
du  mr-me  Article;  ou  bien,  comme  Y=:RrcosÇ",  en  connaissant  y,  r 
•  'I  H,  on  connaîtra 

cos  -C"  =  ^       ; 

^(i  +  x)(n-Xi 

or  'Ç  est  l'angle  qui  exprime  la  distance  de  la  Lune  au  Soleil,  de  sorte 
(jue,  comme  la  latitude  du  Soleil  est  très-petite  et  peut  par  conséquent 
être  négligée,  on  aura,  par  la  propriété  connue  des  triangles  sphériques 
rectangles,  cosÇ"=  cos-i  cos(©  —  o'),  et  par  conséquent 

Y 

cos(9  —  9' 


cos^  v/iH-  X  +X  +  xX 


Ainsi  l'on  aura  par  ce  moyen  la  distance  'f  —  9'  de  la  Lune  au  Soleil 
comptée  sur  l'écliptique;  mais  la  longitude  ç'  du  Soleil  est  assez  connue 
par  la  loi  de  Kepler,  que  cet  astre  suit  assez  exactement,  puisque  les  dé- 
rangements que  la  Lune  pourrait  y  produire  ne  seraient  que  de  l'ordre 
de  ïB  ou  de  iyrn,  comme  on  le  voit  par  l'équation  (/-)  de  l'Article  XLI; 
donc,  en  ajoutant  cette  longitude  à  la  distance  9  —  9'  des  deux  astres,  on 
;iura  bi  longitude  9  de  la  Lune  comptée  à  l'ordinaire  dans  l'écliptique. 


Le  Chapitre  promier  du  Mémoire  qu  on  vient  de  lire  mérite  d'être  compté  parmi  les  liavaux 
les  plus  importants  de  l'illustre  Auteur.  Les  équations  ditférentielk^  du  Problème  des  trois 
Corps,  lorsqu'on  ne  considère,  ce  qui  est  permis,  que  des  mouvements  relatifs,  constituent 
un  système  du  douzième  ordre,  et  la  solution  complète  exige,  en  conséquence,  douze  intégra- 
tions: les  seules  intégrales  connues  étaient  celle  des /o/yy'.v  vh'es  et  les  trois  que  fournit  le 
principe  des  aires  :  il  en  restait  donc  huit  à  découvrir.  En  réduisant  à  sept  le  nombre  des 
intégrations  nécessaires  pour  l'achèvement  de  la  solution,  Lagrange  a  fait  faire  à  la  question 
un  pas  considérable,  et  les  géomètres  qui  se  sont  occupés  après  lui  du  Problème  des  trois 
Corps  ne  sont  pas  allés  an  delà.  Leurs  efforts,  cependant,  n'ont  |)as  été  inutiles  :  des  méthodes 


DES  TROIS  COUPS.  :J2o 

nouvelles  ol  int,'énieuses  ont  été  proposées,  comme,  par  oxemjile,  colle  cpio  Jacobi  a  dévelop|»é<' 
dans  son  célèbre  Mcmoirc  sur  rcliinindlion  des  luviuls  duns  le  Prnblf'itw  des  trois  Corps; 
mais  CCS  méthodes,  comme  celle  de  Lagrange,  font  déiicndn'  la  solution  du  Problème  de  sept 
intégrations. 

La  méthode  de  Lagrangc  est  des  plus  rcmar(|ual)les;  elle  montre  fiue  la  solution  complète 
du  Problème  exige  seulement  (pie  l'on  connaisse  à  cliiKpu'  instant  les  côtés  du  triangle  l'orme 
par  les  trois  Corps;  les  coordonnées  de  clia([ue  Corps  S(!  déterminent  ellèctivement  ensuite 
sans  aucune  dilîiculté.  Quant  à  la  recherche  du  triangle  des  trois  Corps,  elle  dépend  de  trois 
é<}uations  dillérenlielles,  parmi  lesquelles  deux  sont  du  (Icuxièmc  ordre  et  la  troisième  du  troi- 
sième ordre;  ces  é(piations  renfernruint  deux  constantes  arbitraires  introduites,  l'une  par  le 
princi|)e  des  forces  vires,  l'autre  par  celui  des  nirrs,  en  sorte  (|ue  les  dislances  des  Corps  sont 
des  fonctions  du  temps  et  de  wvc/"  constant  es  arbitraires  seulement.  Parmi  les  doi/ze  arbitraires 
(pie  l'intégration  complète  doit  introduire,  il  y  en  a  donc  trois  qui  ne  figurent  pas  dans  les 
expressions  des  distances,  circonstimce  que  l'examen  des  conditions  du  Problème  |)ermet  d'ail- 
leurs de  mettre  en  évidence  à  priori. 

Préoccupé  assurément  do  rap|)lication  «pi'il  \ oulait  faire  de  sa  nouvelle  méthode  ii  la  'J'/ieonr 
de  fa  Lune,  application  (]ui  fait  l'objet  du  Chapitre  IV  de  son  .Mémoire,  Lagr.ii)gc'  a  néi/lii^^é 
d'introduire  dans  ses  formules  la  symétrie  que  comportait  son  analyse,  symétrie  qu'un  très- 
léger  changement  dans  les  notations  |)ermet  de  rétablir.  Les  masses  des  trois  Corps  étant 
représentées  par  A,  B,  C,  Lagrange  étudie  les  mouvements  relatifs  de  B  et  C  autour  de  .\,  et  il 
est  bientôt  amené  à  introduire  en  outre,  flans  ses  formules,  les  quantités  qui  se  rapportent  au 
mouvem(>nt  relatif  du  Corps  C  autour  de  B.  Une  telle  direction  des  calculs  est  in&mtestable- 
inent  défectueuse,  au  point  de  vue  de  l'élégance  mathém(iti(iue,  en  ce  sens  que  les  coordonnées 
des  trois  orbites  relatives  considérées  ne  figurent  pas  symétriquement  dans  les  formules;  mais, 
pour  éviter  cet  inconvénient,  il  suffit,  comme  nous  venons  de  le  dire,  d'une  simple  modification 
dans  les  notations  de  l'illustre  Auteur,  et  cette  modification  revient  à  introduire,  au  lieu  des 
mouvements  considérés  :  i"  le  mouvement  relatif  du  Corps  B  autour  deC;  -t."  celui  de  C  autour 
de  A;  3"  celui  de  .\  autour  de  B. 

Un  habile  géomètre  allemand,  M.  Otto  Hesse,  a  repris  récemment  l'analvse  de  Lagrange  en 
se  plaçant  au  point  de  vue  que  nous  venons  d'indiquer,  et  il  a  publié  son  travail  dans  le 
tome  LXXIV  du  Journal  de.  Crelle  (imprimé  à  Berlin  en  1872).  M.  liesse  ne  considère  (lue 
ce  qu'il  nomme  le  Problème  restreint,  c'est-à-dire,  celui  qui  a  pour  objet  de  déterminer  à 
chaque  instant  le  triangle  des  tn>is  Corps;  c'est  à  ce  Problème  restreint  que  Lajjrange  a  ramené 
d'ailleurs,  comme  nous  l'avons  dit  plus  haut,  le  Problème  général.  M.  Ile-sse,  malgré  son  incon- 
testable talent,  n'a  pas  réussi  à  perfe(;tionner  l'analyse  rigoureuse  que  nous  devons  à  Lagrange, 
car  une  inadvertance  l'a  fait  tomber  dans  une  erreur  grave,  que  nous  indiquerons  plus  loin,  et 
(pii  infirme  absolument  sa  conclusion.  Ajoutons  que  la  notation  particulière  dont  le  géomètre 
allemand  fait  usage,  pour  abréger  l'écriture  des  formules,  ne  paraît  pas  préférable  à  celle  de 
son  illustre  devancier. 

Pour  justifier  les  remanpies  qui  précèdent,  il  (!st  nécessaire  d'entier  dans  quelques  détails; 
nous  le  ferons  d'une  manière  succincte,  en  introduisant  dans  l'analyse  de  Lagrange  les  modifica- 
tions nécessaires  pour  rétablir  la  symétrie  des  formules,  et  en  dégageant  la  solution  de  tout  ce 
(pii  n'est  qu'acces.^oiro. 

1.  Soient  .r,  V,  3  les  coordonnées  rectangles  du  Corps  B  par  rapport  à  C;  r',  >  '.  s' celles  du 
Corps  (;  ]iar  rapport  à  .\  ;  .r",  >■",  2"  celles  de  A  par  rapport  à  B  ;  on  aura 

(0  ./;-(-.r'-!- j:"=  o,    J"H-.v'-^  r"=  o,     z-h  z' -{-  z"  ~  o. 


326  ESSAI  SUR   LK   PROBLEME 

Soient  aussi 


Les  équations  difîérentielles  du  mouvement  forment  (rois  groupes  dont  l'un  est 


d^x       A  H- B  H- C  K  (  ^        ^'       ^" 

—j-^  H ^3 — —  .r  —  A  I  —  H -^ n.  I  =  o. 


,(l-x'       A-)-Bh-C     ,       -r.  l  X        x'        x"\ 


cW 


cPx"       A  +  B  +  C 


B  -H  C      „         r-   f  ■'^  •■^'  ^"  \ 


et  dont  les  deux  autres  se  déduisent  du  précédent  en  changeant  x  en  j  et  en  z.  A  cause  des 
formules  (i),  les  équations  de  chaque  groupe  peuvent  être  réduites  à  deux  distinctes;  ces 
équations  coïncideraient  avec  les  équations  (A),  (B),  (C)  de  Lagrange,  si  l'on  y  faisait  le  simple 
rliangement  de  x,y^  z,  ^",  r",  z"  en  —x",  —  j",  —  z",  — -r,  —y,  — z. 
Du  groupe  (3)  et  des  deux  groupes  analogues  on  déduit 

x(Py — yd'x       x'd'^y'  —  y'd'^x    *  x"d^j" — y"d^x"  _ 
XdP  ^  TTrTP      ~  ^  "^CdP  ~  "' 

équation  ijui  subsiste  quand  on  exécute  la  substitution  circulaire  {x,r,  z)  et  qu'on  répète  cette 
sulislilution.  On  conclut  de  là  les  trois  intégrales  des  aires,  savoir 

/    rdz—zdr       y'dz' — z'dr'        y"dz" — z'dy" 
l         Xf/f  b(/t  Cdl 

]zdx  —  xdz       z' dx' —  x' dz!       z"dx"—x"dz"       , 

^4)  xdt      ^—-Wdt -^ cdt =  ^^' 

I  xdy  —  ydx       x'dy' — y'dx'       x"dy" — y"dx" 

'         Xdt         ^  Bdt  ^         "~Tdi  ""  '  ■ 

f/,  //,  c  étant  trois  constantes  arbitraires. 
Ensuite,  si  l'on  fait 

,  ,,  ,       dx^ -h  dr^ -h  dz'^  ,.       dx''^-r-  dr'^-h  dz''^  ,,.,       dx"'^  ^  dr"'^-t-  dz"- 

et  que  l'on  ajoute  ensemble  les  équations  du  groupe  (3)  et  des  deux  analogues,  après  avoir 
m\dtiplié  ces  équations  respectivement  par 

•idx        idx'        "xdx"        -idr        'i^dy'        idy"        idz        idz'        idz"  . 

T"'     ~B~'     "(T'    ~Jr'    ~B~      ~Tr'    "X"'     IF'     TT' 


(6) 


DKS  TU  OIS  COUPS.  •.)>' 

(■('((ui  (Idiinc,  jiiir  rinU''i;riilion,  re'([ii;iti()ii  des  forces  vives,  Siivoir 

//.'       If"       u"''\  t^x  i   '    ■       '  '    \       / 


ABC/         ^       .    -    .    -;  ^  ^^        g^.,        (.^.„ 

/'étiinl  une  conslanle  arbilniire. 

"2.  Posons 

(8)  .r'.v"-hy'y"-hz'z"=  - /k     .r".v -hy"f -h  z" z  ^  —//,     .rjr'-t-jj'^-  zz' =  — //, 
ou,  ee  (|ui  revient  au  môme, 

(9) =P, =P, =P, 

un  aur.i 

(10)  /-•  =  //  +  //',     r"  =  p\-^jj,     ,"'  =  j)^p'; 
faisons  en  outre 

,^  J !__  J L-'J L—  " 

^'  '/  ,.'3  ^./O    —    •/>  ^»J  ^i    -~    'l    1         ^..1  ^./3   ~    7    » 

ce  (jui  (lonneia 

Si  l'on  dilTérentie  deux  fois  la  première  équation  (2),  après  l'avoir  éle\ée  au  carré,  on  aura 
I  (■/-(/••')       /    (Px  d'y  (Pz 


2     (W         \"^  r/r'  '^^'  dp     '  -^  dp 

et  celle  formule  subsiste  (juand  on  y  remplace  x,  y,  z,  /•,  u  par  .r',  1',  z',  /'.  a'  ou  par  x",  y",  z", 
/•",  «".  Si  donc  on  multiplie  les  équations  (3)  par  .r,  .r',  .r"  respectivement,  et  i|u'on  ajout*' 
ensuite  chacune  des  écpiations  résultantes  avec  celles  qu'on  en  dé  luit  par  le  chani;ement  de  / 
en  1  et  en  z,  on  aura,  en  \erlu  de  la  formule  précédente. 

I   d'jr')       A  +  B  +  C        .  , ,, 

^  -^jp-  H y—  -^  A  [jj  <l-l>'q')  -  iP  =  o, 

,   ON  y   «  'l'('-")       A  +  B-t-C       --,    „  „        ,   ,, 

(i3)  {  ____i  + _ .^B(y/r/"-/A/')-«"=o, 

1  r/^(/-"')        A-^B-l-C        ^ 

2  r/r  /• 

Ces  formules  (i3)  répondent  au\  forniides  (F)  de  La.urange,  ou.  ce  qui  revicni  au  niènn'.  <nn 
formules  (K),  en  tenant  compte  des  foiuiules  (J)  de  l'Auteur. 


328  ESSAI   SUR   LE   PROBLEME 

Ajoutons  les  quatre  étiuations  {i3)  et  (7),  après  avoir  divisé  les  trois  premières  par  A,  15,  C 
respectivement  ;  on  aura 

Cetle  équation  coïncide  avec  l'éiiuation  (L)  de  Lagrange,  quand  on  y  permute  les  lettres  / 
et  /•";  c'est  une  transformée  de  l'intégrale  des  forces  vives;  elle  ne  renferme  que  les  seules 
distances  /•,  r',  r". 

;{.  Daiuès  les  formules  (i),  les  trois  quantités 

{x'd.r"-hr'(/j"-h  z'dz")  —  (,r'V/,r'  H- J'"c(f'-H  z"f/z'  ). 
(  .x"(U  -+-  r'dj  4-  z"(lz  )  -  (  .r  t/x"  +  j  dr"  -+-  z  dz") . 
(,r  dx'  -hy  dj' -f-  z  dz'  )  —  [x'dx  -^y'dr  -+-  z'dz  ] 

sont  égales  entre  elles.  Si  Ton  désigne  par  [jdt  leur  valeur,  on  aura,  par  le  moyen  des  for- 
mules (8), 


1  x' dx"-f-y-'dy"^  z' dz"=  {[  —  dp  -j-pdt),     x" dx' -\- y"dy'-ir  z" dz' — 
i5  )   ',  -r'V/x  -^r"dY-^z"dz  =  {[  —  dp'  ^-  odl),     x  dx" -hydr"  -h  z  dz"  = 
X  dx'  -hj  dr'  -^  z  dz'  =  ■l-(  —  dp"-t-  p  dt),     x'  dx  -+-  r'  dj  -+-  z' dz  = 


dp  —  &  d(  ) . 
dp'—  u  dt  ), 
dp" —  ^dt). 


\:a  quantité  auxiliaire  p  que  nous  introduisons  n'est  autre  chose  que  celle  qui  est  désignée 

p^u- 1.  dans  le  Mémoire  de  Lagrange;  il  est  évident  que  celle  quantité  peut  être  exprimée 

eu  fonction  des  vitesses  «,  «',  /<",  des  distances  r,  r',  r"  et  de  leurs  différentielles  r//-,  dr' ^  dr". 
En  effet,  considérons  quatre  directions  respectivement  parallèles  à  celles  des  rayons  /■.  r'  et 
des  vitesses  «,  «';  soient  L,  M,  N  les  cosinus  des  angles  formés  par  la  direction  de  /•'  avec  les 
directions  de  ;/,  «',  r;  L,,  M,,  N,  les  cosinus  des  angles  formés  par  les  directions  de  u'  et  r,  de  // 
et  ;■.  de  u  et  u' .  On  aura  entre  ces  six  cosinus  la  relation  connue 

t  I  -  (  L' ^  M' -+- N- +  L^  +  MJ  +  Nî)  +  (  L^î -^  M'Mî -^  N'Nï) 

j         +  2  (  L,  MN  +  M,  NL  ^  N,  LM  -+-  L,  M,  N,  )  -  a (  LL,  MM,  +  MM,  NN,  -f-  NN,  LL,  )  =  o. 

(  tn  a  d'ailleurs,  par  les  formules  précédentes, 

^^_i^dt-^dp"^     M  =  -^,     N  =  -^, 
2  /•  //  dt  II  dt  rr 

(17) 

dt  —  dp"         ,.         dr         „  W -h  II 

7-/— •        M,=  ;-'        N,= 

irudt  udt  'iii 

Faisons,  pour  abréger,  avec  Lagrange. 

,     ,  «'*  -i-  «"'  —  w'  «'■*  -f-  w'  —  u'' 

18  =<•.      


DKS  TKOIS  roHPS  :{-2!» 


d'où 

(19)  II'  —  c'  -+-  ('",      «"  —  ('"  -♦-(•,      //'■■'  =  {>-{-  (/, 


o( 


i.    i=r  /•  '   0'  —  'i 


l'équation  (iG)  deviendra,  ii])rc's  la  substitution  dos  valeurs  (17), 

c'est  précisément  l'équation  (N)  de  Las^range.  Si  l'on  supjKjse  (jue  u\  u'\  u"'  y  soient  rem- 
placées par  leurs  valeurs  tirées  des  équations  (12),  la  quantité  auxiliaire  p  ne  dé|)endra  (|ue 
des  distances  r,  r\  r"  et  de  leurs  dillérentielle^s  du  premier  et  du  deuxième  ordre. 

i.  Puisqut>  l'on  a 

[xcùc' —  x'dx]  -+-  [ydr' — r'àr)  -+-  [zdz' —  z'dz)  —  odt. 

il  s'ensuit,  par  la  ditlérenliatioM. 

[xd^x'  —  x'd^x]  -^  {rd\y'  —  y'd-Y)  +  [zd- z'  —  z' d'z)  ^  df^tt , 

et,  si  Ion  élimine  les  dillérentielles  secondes  des  coordonnées  au  moyen  dos  équati(jns  (3)  et 
de  celles  qui  s'en  déduisent  par  le  changement  de  x  en  r  et  en  z,  on  aura 

( 2-2  )  ^  Jl  ^  Àp<i  ^  B//y'  H-  C//'/  ^  0 ; 

cette  équation  n'est  autic  (]ui'  l'éipiation  11]  de  Lairianije.  en  lenant  conitilc  du  chanJiemenl 
de  notation. 

5.  Hevenijns  niainteiiant  aux  ('M|uations     j)  :  on  a  identiiiucmciil 

{ydz  —  zdy)  [y' dz'  —  zdx')  -f-  {zdx  —  xdz){z'dx'  —  x'dz'  )  -^  [xdy—y  dx)  [x' df  —  r'dx') 
=  [xx'-i-Yy'-i-zz')  (dxdx'-i-drdy'-^dzdz')  —  [x  dx'  -r-  \  ih'  ^  zdz')  [x'  dx  -^-  y' dr -i-  z'dz), 

el  cette  formule  subsiste  quand  on  écrit  ./■',  r',  z'  ou  ./•",  ,t",  z"  au  lieu  de  x,  > ,  z,  ou  bien 
./;",  r",  2"  ou  X,  Y,  z  au  lieu  de  x'.  r',  z'.  D'après  cela,  si  Ton  fiiil 

fi^  -i-  b-  -h  c'  =  /■■, 
VT.  42 


330  ESSAI   SLK    KK    PHOJJLEME 

et  qut'  Ion  ajoute  les  équations  (4  /,  après  les  avoir  élevées  au  carré,  on  aura,  en  faisant  usasse 
de  la  précédente  formule,  ainsi  que  des  formules  [i],  (5),  (i5)  et  (i8), 

'(   -rc[--K;l)>c^["-Kf)>^["--i(f)>''-^ 


ce  ([ui  est  l'équation  (P)  de  Laii;range. 

Si  maintenant  on  suppose  que  ii^,  it'^.  u"^  soient  remplacés  partout  par  les  valeurs  tirées 
des  formules  (i3),  et  que,  par  le  moyen  de  l'équation  (21),  p  soit  éliminé  des  équations  (22) 
et  (28),  celles-ci  ne  contiendront  plus  que  les  distances  /•,  /•',  /-";  la  première  sera  du  troisième 
ordre  et  l'autre  du  deuxième;  en  les  joignant  à  léquation  (14),  on  obtiendra  le  système  diffé- 
rentiel indiffué  par  Lagrange.  Ce  ([ui  précède  résume  la  partie  essentielle  du  Mémoire  de 
l'Auteur. 


6.  Différentions  les  équations  (5)  et  remplaçons  ensuite  les  différentielles  secondes  par  les 
valeurs  tirées  des  équations  (3)  et  des  analogues  :  on  aura,  en  faisant  usage  des  formules 
précédentes, 


(h 


..B^c.,^.A(,/'|;:-,.f).A,,  =  „, 


d^ 


(i  — 

ip-2(A+B  +  C)l;:^-^CU-^-V'^Uc/c=o. 
dt  ^  '     (le  Y     (It         '    rit  j  '  • 


Ces  formules  coïncident  avec  les  équations  (I)  de  Lagrange,  quand  on  tient  compte  des  équa- 
tions (J)  de  l'Auteur.  M.  Hesse  leur  substitue  les  trois  combinaisons  obtenues  quand  on  les 

ajoute  entre  elles,  après  les  avoir  multipliées  respectivement  par  -5  -,  -,  puis  par  yts^ 

rr— 7;)  'n-^i''  1'^''^  ''"^'"  ''^"^  ^^'  P'  -''"'  ^^  i>reiiiière  combinaison  n'est  autre  chose  que  l'équa- 
tion (6);  la  deuxième  combinaison  donne,  en  se  servant  des  formules  (12), 


(25) 


(Ar'  dt  "^B/-'^  dt  ■^C/-"-^  dt 

f  (    ..dp  ,,dp  „2dp"\ 

\  '    fh         '      ili         '      Il    / 


DES  TROIS  COUPS.  531 

enfin  la  dernière  combinaison,  (jui  seule  contient  o,  est,  on  faisant  usage  de  i'é(iuation  ('/'^), 

/  A  +  B^C\  ,/  , ,        A-^B-H(:\  ,/  „,     _  A-t-B  +  C\ 

P^  =/.-A ^ — U,yA ^ — U,y'-^-  --j-^ 1 

(*6)   I     'It  'Il  'Il  'Il 

Supposons  que  l'on  différentie  l'équation  (aSj,  ce  qui  fera  disparaître  l'arbitraire  /,  et  que 

de  l'équation  résultante  on  tire  la  valeur  de  o  _l  pour  la  substituer  dans  l'équation  (26).  Alors, 

commet',  K'^  «"'  représentent  les  valeurs  fournies  par  les  équations  (i3),  les  équations  (6). 
(aS)  et  (26),  qui  sont  toutes  du  troisième  ordre  et  ne  renferment  aucune  arbitraire,  consti- 
tueront, d'après  M.  Hesse,  le  système  différentiel  duquel  dépendent  les  distances  r,  /•',  /•", 
quand  on  ne  fait  pas  intervenir  les  principes  des  forces  vives  et  des  aires.  Enfin,  si  des  mêmes 
équations  (6),  (^5)  et  (2G)  on  tire  les  valeurs  de  d{u''),  d{a'''),  d[u"^),  pour  les  porter  dans 
l'une  des  équations  (24),  celle-ci  donnera,  d'après  le  môme  géomètre,  une  valeur  de  r,  qui 
sera  seulement  du  deuxième  ordre;  en  portant  cette  valeur  dans  l'équation  (23)  et  enjoignant 
ensuite  cette  équation  aux  équations  (14  )  et  (26),  on  obtiendra  un  système  composé  de  deux 
équations  du  deuxième  ordre  et  d'une  du  troisième  ordre,  dans  lequel  figureront  les  deux 
constantes  arbitraires /et  /. 

Telle  est  la  solution  que  M.  Hesse  propose  dans  son  Mémoire.  Celte  solution  [)araît,  à  première 
vue,  beaucoup  plus  simple  que  celle  de  Lagrange,  mais  il  n'est  pas  difficile  de  reconnaître  l'in- 
exactitude de  la  conclusion  de  M.  liesse.  Effectivement  l'équation  (-^6),  aj)rès  qu'on  en  a  éliminé 

ù'-^  par  l'équation  (23)  différentiée,  n'est  pas  autre  chose  que  l'équation  (6)  multipliée  par  le 

r'  r'"-  /•"'' 
facteur  x  "*"  r"  "^  T~  '  '®^  ^^^^^  équations  du  troisième  ordre  qui  composent  le  premier  sys- 
tème de  M.  Hesse  ne  sont  donc  pas  distinctes.  Le  deuxième  système  du  même  géomètre  ne 
saurait,  en  conséquence,  avoir  d'existence  réelle,  puisque  les  équations  du  premier  système 
sont  impropres  à  fournir  les  valeurs  des  différentielles  du  troisième  ordre,  ou,  ce  qui  revient 
au  môme,  les  valeurs  des  différentielles  <■/("'),  d{n'^),  d{u"').  On  ne  saurait  se  dispenser, 
dans  la  recherche  dont  nous  nous  occupons,  de  tenir  compte  de  l'équation  (21),  comme  Lagrange 
a  eu  soin  de  le  faire. 

(Note  de  l'Éditeur.) 


42. 


SUR 


L'ÉQUATION  SÉClLAIItE  DE  LA  LINE, 


suit 


L'ÉaUAïION  SÉCULAllIE  DE  LA  LINE  "'. 


Nec  cum  fiducià  invcniendi,  ncc  sine  spe. 
Sesec,  Ntit.,  qua-st.  vu,  29. 


[Mémoires  (lo  l' Académie^  Royale  dos  ScionCi'S  de  Paris,  Savants  étrangers, 
I.  Vil;  1773.  (Prix  pour  l'ann(''o  1774-)] 


L;i  question  proposée  par  l'Académie  Royale  des  Sciences  pour  le 
sujet  du  Prix  de  Tannée  1774  t3st  double  et  renferme,  à  proprement 
parler,  deux  questions  difîerentes. 

Dans  la  première,  on  demande  par  quel  moyen  on  peut  s'assurer  qu'il 
ne  résultera  aucune  erreur  sensible  des  quantités  qu'on  aura  négligées 
dans  le  calcul  des  mouvements  de  la  Lune. 

Et,  dans  la  seconde,  on  demande  si,  en  ayant  égard  non-seulement  à 
l'action  du  Soleil  et  de  la  Terre  sur  la  Lune,  mais  encore,  s'il  est  néces- 

( * )  Ce  premier  essai  de  Lagrange  sur  V Equation  séculaire  de  la  Lune,  qui  a  obtenu  le  Prix  de 
l'Académie  Royale  des  Sciences,  pour  1774,  est  antérieur  de  dix-huit  années  au  Mémoire  sur  le 
même  sujet  que  l'Auteur  présenta  à  l'Académie  de  Berlin  [OEiivrcs  de  Lagrange,  t.  V,  j).  G87). 

C'est  en  1787  (juc  La[>laoe  fit  connaître  sa  mémorable  découverte  de  la  cause  qui  produit 
ré(}uation  séculaire  de  la  Lime;  mais,  dès  1783,  Lagrange  avait  reconnu  que  les  moyens  mou- 
vements des  planètes  pouvaient  être  sujets  à  des  variations  séculaires  dépendant  des  excen- 
tricités et  des  inclinaisons;  il  avait  môme  fait  l'application  à  Jupiter  et  à  Saturne,  ce  qui  ne  lui 
avait  fourni  que  des  variations  presque  insensibles  [OEuvrcs  de  Lagrange,  t.  V,  p.  38i).  Les 
formules  (jui  se  rapportent  aux  planètes  sont  applicables  au  cas  de  la  Lune  ;  mais  ce  ne  fut  que 
plus  tard,  en  1792,  (|ue  Lagrange  s'occupa  de  c^Ui>  im[>orlan(e  api)licalion. 

{Noir  de  r Éditeur.) 


330  SUn   L'EQUATION   SÉCULAIRE 

saire,  à  l'action  des  autres  planètes  sur  ce  satellite,  et  même  à  la  tigure 
non  spliérique  de  la  Lune  et  de  la  Terre,  on  peut  expliquer,  par  la  seule 
Théorie  de  la  gravitation,  pourquoi  la  Lune  paraît  avoir  une  équation 
séculaire,  sans  que  la  Terre  en  ait  une  sensible. 

Le  Mémoire  suivant  est  destiné  uniquement  à  répondre  à  la  seconde 
de  ces  deux  questions.  On  y  verra  :  i°  que  l'équation  séculaire  de  la 
Lune  ne  saurait  être  expliquée  par  la  seule  Théorie  de  la  gravitation,  du 
moins  en  prenant  cette  équation  telle  que  les  astronomes  l'ont  adoptée 
d'après  feu  M.  Mayer;  2°  que  les  preuves  que  l'on  a  de  l'existence  de  cette 
môme  équation  ne  sont  pas,  à  beaucoup  près,  aussi  solides  et  aussi  con- 
vaincantes qu'on  pourrait  le  désirer.  Je  serai  suffisamment  récompensé 
de  mon  travail  si  l'illustre  Compagnie,  à  qui  j'ai  l'honneur  de  le  présen- 
ter, daigne  l'honorer  de  quehjue  attention,  et  surtout  s'il  peut  exciter 
d'autres  plus  habiles  que  moi  à  le  pousser  plus  loin,  et  à  décider  irrévo- 
cablement l'importante  question  de  l'équation  séculaire  de  la  Lune. 

Quant  à  la  première  question,  j'avoue  que,  après  y  avoir  médité  long- 
temps et  avec  toute  l'attention  dont  je  suis  capable,  je  n'ai  rien  trouvé 
qui  pût  me  satisfaire,  ou  qu'on  pût  du  moins  ajouter  à  ce  que  M.  d'Alem- 
bert  a  déjà  dit  sur  ce  sujet  dans  les  derniers  volumes  de  ses  Opuscules. 
J'ai  donc  cru  pouvoir  me  dispenser  de  traiter  cette  question,  et  je  me 
flatte  que  l'Académie  voudra  bien  ne  pas  m'en  savoir  mauvais  gré;  en 
récompense,  j'ai  tâché  de  m'étendre  d'autant  plus  sur  l'autre  question, 
et  d'entrer  dans  des  détails  astronomiques  que  cette  illustre  Compagnie 
n'a  pas  demandés,  mais  que  j'ai  crus  indispensables  dans  la  matière  dont 
il  s'agit. 

1.  Quoique  la  Théorie  de  la  gravitation  universelle  ait  jusqu'ici  par- 
faitement rendu  raison  des  inégalités  périodiques  qu'on  observe  dans  les 
mouvements  des  Corps  célestes  et  surtout  de  la  Lune,  elle  n'a  cependant 
pas  encore  fourni  d'explication  de  l'équation  séculaire  de  cette  planète. 
M.  Halley  est  le  premier  qui  ait  soupçonné  une  accélération  dans  le 
moyen  mouvement  de  la  Lune,  comme  on  le  voit  par  ce  passage  de  la 
seconde  édition  des  Principes  mathématiques  :  Fa  collatis  quidem  ohser- 


I)K   [.  V    lAlNE.  :j:i7 

vationihus  eclipsium  hahrloniris  ctirn  ils  Alhate^rui  cl  eu  m  liodierms,  Hal- 
leyiis  noster  niotnni  mcdiuni  Lhikc  curn  rnotii  (liuriio  Teirœ  colUitiini  j)aul(i- 
tim  accelerari,  primas  omnium,  (juud  scium,  deprehendit,  page  4^  i .  .M;ns, 
soit  que  ce  grand  Astronome  n'ait  j)as  cru  |K»iiv()ir  entièrement  compter 
sur  l'exactitude  des  observations  (jui  lui  avaient  donné  l'accélération  de 
la  Lune,  soit  qu'il  ait  regardé  celte  accélération  comme  trop  peu  sen- 
sible pour  qu'on  dût  en  tenir  compte  dans  le  calcul  du  lieu  de  cette  pla- 
nète, il  est  certain  qu'il  n'y  a  eu  aiicim  égard  dans  les  Tables  qu'il  en  a 
publiées  depuis.  Cependant  la  reiiiar(|tie  de  M.  Halley  n'est  pas  demeurée 
infructueuse  :  deux  savants  Astronomes,  .MM.  Dunl borne  etMayer,  ayant 
entrepris  d'examiner  de  nouveau  ce  point  iuïportant  de  la  Tbéorie  de  la 
Lune,  ont  non-seulement  l'cconnu  l'existence  de  l'équation  séculaire  de 
cette  planète,  ils  en  ont  de  plus  déterminé  la  quantité  :  le  premier  l'a 
tixée  à  lo  secondes  pour  le  premier  siècle,  et  le  second  a  7  secondes  dans 
ses  premières  Tables,  et  ensuite  à  9  secondes  dans  les  dernières;  et 
comme  les  Tables  de  la  Lune  de  IM.  Maycr  ont  été  généralement  adoptées 
par  les  Astronomes,  l'accélération  du  mouvement  de  la  Lune  est  main- 
tenant regardée  comme  un  l'ait  dont  il  semble  qu'il  ne  soit  presque  pas 
permis  de  douter. 

31.  de  la  Lande  a  néanmoins  remarqué,  dans  son  Astronomie,  qu'il 
restait  encore  quelque  incertitude  sur  les  observations  (jui  ont  servi  à 
déterminer  ce  nouvel  élément  de  la  Tbéorie  de  la  Lune,  et  qui  se  rédui- 
sent à  deux  éclipses  de  Soleil  observées  en  977  et  978  près  du  Caire,  par 
Ibn  Jonis,  Astronome  du  calife  d'Egypte  Aziz;  comme  ces  observations 
sont  les  seules  que  nous  ayons  pour  servir  de  terme  de  comparaison 
entre  les  anciennes  observations  des  Babyloniens  et  celles  de  ces  derniers 
temps,  il  faut  avouer  (jue,  si  l'on  était  obligé  de  les  rejeter,  on  perdrait 
les  principales  et  même  les  uniques  preuves  décisives  que  l'on  ait  de 
l'accélération  du  moyen  mouvement  de  la  Lune;  car  je  ne  puis  croire, 
avec  M.  Mayer,  que  cette  question  puisse  se  décider  pav  la  simple  com- 
paraison des  observations  du  siècle  passé  avec  celles  de  ce  siècle,  les  va- 
riations qui  peuvent  se  trouver  dans  le  mouvement  moyen  de  la  Lune, 
dans  le  court  espace  d'un  siècle,  étant  nécessairement  trop  petites  pour 
VL  43 


338  SUR  L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

pouvoir  être  attribuées  à  d'autres  causes  qu'aux  erreurs  des  observations 
et  à  l'incertitude  qui  a  encore  lieu  dans  quelques-unes  des  équations  de 
la  Lune. 

Quoi  qu'il  en  soit,  en  attendant  que  le  temps  et  les  recherches  des 
astronomes  nous  apportent  de  nouvelles  lumières,  la  Théorie  est,  ce  me 
semble,  le  seul  moyen  que  nous  ayons  pour  décider  un  point  d'Astro- 
nomie si  important.  Il  s'agit  donc  d'examiner,  Te  plus  soigneusement 
(|u'il  est  possible,  si  la  gravitation  universelle  peut  produire,  dans  le 
mouvement  moyen  de  la  Lune,  une  altération  sensible  et  conforme  aux 
observations;  c'est  la  question  que  je  me  propose  de  traiter  dans  ces 
Recherches. 

2.  Pour  que  le  moyen  mouvement  de  la  Lune  soit  assujetti  à  une  allé- 
ration  croissante  comme  le  carré  du  temps,  ainsi  qu'on  le  suppose  dans 
les  Tables,  il  faut  que  la  formule  générale  du  lieu  vrai  de  cette  planète 
l'enferme,  outre  le  terme  Z  qui  représente  le  mouvement  moyen,  encore 
un  terme  de  la  forme  «Z^,  «étant  un  coefficient  positif  et  très-petit;  ce 
dernier  terme  représentera  donc  l'équation  séculaire,  qui  sera  toujours 
additive  au  mouvement  moyen  avant  et  après  l'époque  qu'on  aura  tixée 
pour  le  commencement  de  cette  équation,  et  qui,  dans  les  Tables  de 
Mayer,  tombe  au  commencement  de  ce  siècle.  Donc,  nommant  zs  le  rap- 
port de  la  circonférence  au  rayon,  on  aura  m  x  36o°  pour  la  valeur  de 
l'équation  dont  il  s'agit  au  bout  d'une  révolution  de  la  Lune;  et,  nom- 
mant ensuite  v  le  rapport  du  mouvement  moyen  de  la  Lune  à  celui  du 
Soleil,  on  aura  mv- x  Sôo*' pour  la  quantité  de  la  même  équation  au  bout 
(le  la  première  année  après  l'époque;  enfin,  multipliant  cette  quantité 
par  loooo,  on  aura  la  quantité  de  l'équation  pour  le  premier  siècle, 
la(|iielle  étant,  suivant  M.  Mayer,  de  9  secondes,  on  aura  cette  équation 

loooo  ixsv"-  X  36o"  =:  y", 
c'esl-a-rlire,  eu  réduisant  aussi  les  degrés  en  secondes, 

1 0000  .  36o .  3Goo  ;  cï  y '  =z:  c)  ; 


DE   I.A    LUNE.  :WÎ) 

d'où  l'on  lii'L' 


I  oooo .  36o .  36oo  rn  v*  ' 
01*  on  a  à  Irt's-pcii  près  t^t  =  (J  et  v'-  =  i-yS;  donc  on  aura  cnvii'on 


I  53'J  C)'>.0  ()<)<)  OOO 

.  3.  Telle  doit  donc  être  la  valeur  du  coellicienl  t  de  l'équation  sécu- 
laire, dans  riiypothèsc  que  cette  équation  soit  réelle  et  croisse  constam- 
ment comme  le  carré  du  leuips;  mais,  comme  il  peut  se  l'aire  aussi  (ju'ellc 
ne  soit  qu'apparente,  et  que  ce  ne  soit  dans  le  fond  qu'une  équation  pé- 
riodique, mais  dont  la  période  soit  très-loni^ue,  il  est  bon  de  voir  en 
particulier  quelle  devrait  être  sa  valeur  dans  ce  cas;  car,  quoique  l'eflet 
de  l'équation  séculaire  puisse  être  sensiblement  le  même  dans  l'un  et 
dans  l'autre  cas,  pendant  un  intervalle  de  temps  peu  considérable,  il 
deviendra  cependant  fort  différent  au  bout  d'un  grand  espace  de  temps; 
de  sorte  que,  si  cette  équation,  au  lieu  d'être  réelle,  n'est  qu'apparente, 
elle  devra  nécessairement  avoir  une  tout  autre  valeur  que  celle  que 
nous  venons  de  trouver,  pour  pouvoir  répondre  à  la  fois  aux  observations 
babyloniennes  et  arabes  qui  ont  servi  de  données  dans  la  détermination 
de  cet  élément.  Mais  pour  cela  il  est  nécessaire  de  commencer  par  exami- 
ner, en  peu  de  mots,  comment  on  peut  accorder  ces  observations  par 
l'introduction  d'une  équation  séculaire  réelle;  ensuite  nous  verrons  ce 
qui  doit  en  résulter  dans  l'hypotbëse  que  l'équation  séculaire  ne  soit 
(ju'apparente. 

4.  Comme  les  observations  les  plus  distantes  entre  elles  sont  celles 
qui  peuvent  fournir  les  déterminations  les  plus  exactes  des  mouvements 
moyens  des  planètes,  on  a  employé  dans  la  détermination  de  celui  de  la 
Lune  la  plus  ancienne  éclipse  dont  la  mémoire  nous  ait  été  conservée, 
et  qui  est  celle  que  Ptolémée  rapporte  avoir  été  observée  à  Babylone  le 
19  mars  720  avant  J.-C.  (Almagesle,  Livre  IV,  Cbapitre  VI).  M.  Cassini 
ayant  comparé  cette  observation  avec  celle  d'une  éclipse  de  l'année  1717, 

43. 


3i0  SUR   L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

où  la  Lune  s*est  trouvée  à  peu  près  dans  les  mêmes  circonstances,  a  trouvé 
le  mouvement  séculaire  de  la  Lune  de  io'^7"49'52";  or,  si  le  mouvement 
moyen  de  la  Lune  était  tout  à  t'ait  uniforme,  il  est  clair  qu'on  devrait 
toujours  trouver  le  môme  résultat  en  comparant  ensemble  d'autres 
observations;  mais  on  a  reconnu  dans  ces  derniers  temps  que  les  obser- 
vations arabes,  dont  on  a  parlé  ci-dessus,  comparées  avec  les  observa- 
tions de  ce  siècle,  donnent  environ  2'36"|  de  plus  pour  le  mouvement 
séculaire  de  la  Lune.  M.  de  la  Lande,  dans  \es  Mémoires  de  l'Académie, 
année  lySy,  trouve  qu'en  employant  le  mouvement  moyen  qui  résulte 
des  observations  arabes,  la  longitude  de  la  Lune  dans  l'éclipsé  de  720 
avant  J.-C.  est  moindre  de  1^27'  que  l'observation  ne  l'a  donnée;  or, 
comme  M.  de  la  Lande  suppose  le  milieu  de  cette  éclipse  4?  minutes 
plus  tôt  que  M.  Cassini,  il  s'ensuit  qu'il  faut  ôter  de  i''27'  le  mouvement 
relatif  de  la  Lune  au  Soleil  pendant  47  minutes,  lequel  est  de  23'52"; 
ainsi  l'on  aura  l'^S'S",  qui,  étant  partagés  en  24^,  nombre  des  siècles 
écoulés  entre  l'observation  dont  il  s'agit  et  1700,  donne  2'36"|,  dont 
le  mouvement  moyen  séculaire  est  plus  grand,  parce  que,  comme  en 
remontant  on  avance  contre  l'ordre  des  signes,  une  longitude  moindre 
indique  un  plus  grand  espace  parcouru.  C'est  ce  qui  a  engagé  les  Astro- 
nomes à  appliquer  au  mouvement  moyen  une  équation  séculaire  propre 
à  sauver  cette  différence. 

5.  En  effet,  soit  œ  le  mouvement  séculaire  moyen  dont  la  marcbe  est 
uniforme,  et  j  l'équation  séculaire,  que  nous  supposerons  d'abord  pro- 
portionnelle au  carré  du  temps;  et,  prenant  le  commencement  de  ce 
siècle  pour  époque,  on  aura,  après  m  siècles,  le  mouvement  moyen 
=^mx  -{-  m'^y,  par  conséquent,  en  faisant  m  négatif,  on  aura,  pour 
m  siècles  comptés  en  arrière,  le  mouvement  moyen  = — mx  -\-T7ry. 
Soit  maintenant  a  le  mouvement  séculaire  moyen  trouvé  par  M.  Cassini 
d'après  l'éclipsé  de  720  avant  J.-C.  et  a  -h  |3  le  mouvement  séculaire 
moyen  trouvé  d'après  les  observations  arabes  de  977  et  978;  et  comme, 
entre  les  années  720  avant  J.-C.  et  1700,  il  s'est  écoulé  ^[\\  siècles,  et 
que,  entre  les  années  978  et  1700,  il  s'est  écoulé  environ  7I  siècles,  on 


DE  LA   LUNE.  3^*1 

aura  —  (24 -g-)  a  et  ~  {']  i)  [oc -h  p>)  pour  les  mouvements  moyens  qui  se 
rapportent  aux  années  720  avant  J.-C.  et  978  :  donc,  si  l'on  veut  (jue 
la  l'onnuk'  —  mx  -\-  rn^y  satisfasse  à  la  fois  aux  observations  de  ces 
années,  il  n'y  aura  qu'à  supposer  successivement  m^  i[\\,  =  7i»  <*' 
former  ensuite  les  é(jua(ions 


c'est-à-dire, 
d'où  l'on  tire 


•«•  — (24î)r=a,     X  — {-]{)}' =  a  +  <^; 


j=  -^,      x=a  +  (241)7  =  a  +  (24i)  r^' 


Or  on  a  trouvé  a  =  io^7*'49'52"  et  fj  =  2'36"|;  donc  on  aura 
j=z9",o,,     eldclà     ^=  10^70  53' 34",64; 

ce  qui  s'accorde  à  très-peu  près  avec  les  éléments  que  M.  Mayer  a  em- 
ployés dans  ses  dernières  Tables,  où  il  fait  le  mouvement  séculaire 
moyen  de  10^7*^  53' 35",  et  l'équation  séculaire  de  9  secondes  pour  le 
premier  siècle,  à  compter  depuis  1700. 

6.  Supposons  maintenant  que  l'équation  séculaire  ne  soit  pas  con- 
stamment proportionnelle  au  carré  du  temps,  mais  qu'elle  dépende  du 
sinus  d'un  angle  qui  varie  peu,  en  sorte  qu'elle  ne  suive  la  loi  du  carré 
que  pendant  un  certain  espace  de  temps;  soit  A  +  ,aZ  cet  angle,  Z  étant, 
comme  ci-dessus,  le  mouvement  moyen  de  la  Lune,  et  /j.  étant  un  coeffi- 
cient très-petit,  de  manière  que  l'angle  /Jt,Z  demeure  encore  très-petit 
vis-à-vis  de  l'angle  fini;  et  comptant  A  au  bout  d'un  grand  nombre  de 
révolutions  de  la  Lune,  on  aura  pendant  cet  intei'valle  de  temps 

sin(A  -I-  aZ)  =  sin  A  -+-  u.Z  cosA  —  — —  sinA 

2 

à  très-peu  près;  d'où  l'on  tire 

„j 2Z  cosA       2[sinA  —  sin(A -t- jtJtZ)] 

~~    f/.  sinA  //'  sin  A  ' 


342  SUR  L'EQUATION  SECULAIRE 

de  sorte  que  réqualion  séculaire  apparente  tZ^  sera  véritablement  im'- 


2i      r^         .        sinA  —  sin(A-f-aZ) 

'  ZCOSA  -^  r     / 


présentée  par  la  formule 

|y.  smAL  (J- 

et  par  conséquent  s'éloignera  à  la  longue  de  la  loi  du  carré  du  temps. 

7.  Voyons  donc  quelle  doit  être,  dans  cette  hypothèse,  la  valeur  du 
coefficient  i,  pour  satisfaire  aux  mêmes  données  du  n°  4.  Soit  ô  la  quan- 
tité de  l'angle  p.Z  au  bout  d'un  siècle,  on  aura  au  bout  de  m  siècles 

^.  =  mO;  donc 

mO 

ainsi  l'équation  séculaire  sera,  pour  m  siècles, 

11 
—-—. — -  [m  9  CCS  A  -+-  sin  A  —  sin  (  A  h-  m  6  )  1  ; 
p.^'sinA'-  ^-^ 

lorsque  7?z  =  i,  cette  quantité  devient  (à  cause  de  Q  très-petit]  -y,  qui 

sera  donc  la  quantité  de  l'équation  séculaire  pour  le  premier  siècle. 
Nommons  donc,  comme  ci-dessus,  y  cette  valeur  de  l'équation  sécu- 
laire et  oc  le  mouvement  séculaire  moyen;  on  aura,  après  m  siècles,  le 
mouvement  moyen  égal  à 

nix  -\-  .     r    ,  Tmô  CCS  A  +  sin  A  —  sin  (A  -f-  m  0)1. 
y^sinA"-  -" 

Faisant  donc  successivement  m  =  —  i[\\  et  =  —  7^,  pour  avoir  les 
mouvements  moyens  qui  répondent  aux  années  720  avant  J.-C.  et  978, 
on  formera  ces  deux  équations 

-  (24ï)^+  gT^^  [-  (^4t)  6  ces  Ah-  sin  A-  sin  [A-  (24I)  6]J  z=  -  (24  jj  «, 


DE  LA   LUNE.  348 

c/ost-à-dire,  en  changeant  les  signes, 


cotA 


I       /        sin[A-(?.4{)6] 


_  27  r 

d   \       """''   '    (24^  \'  sinÀ 

e  l  (7i)(y    \  SinA  / 


a» 


=  a  -^(3; 


d'où  l'un  tirera  aisément  x  et  j  (|uaiid  on  connailia  A  et  0;  ensuite  on 
aura,  comme  dans  le  n°  2, 

I  0000  /  CT  v^  X  36o°  =  j, 

d'où  l'on  tirera 


looGorov^X  36o° 


8.  Supposons,  par  exemple,  que  l'angle  A-j-aZ  soit  égal  au  double 
de  la  longitude  de  l'apogée  du  Soleil  (on  verra  plus  bas,  aux  n"*  30 
et  suivants,  pourquoi  nous  choisissons  cette  hypothèse);  on  aura  donc, 
en  prenant  toujours  le  commencement  de  ce  siècle  pour  époque,  A  égal 
au  double  de  la  longitude  de  l'apogée  du  Soleil  en  1700,  et  6  au  double 
du  mouvement  séculaire  de  cet  apogée;  ainsi  l'on  aura,  par  les  nou- 
velles Tables  de  Mayer, 

A  =  6^ i5°25'  12",     el     8  =  3"^o'  =  (en  parties  du  rayon)  0,063994- 
Substituant  ces  valeurs  dans  les  équations  précédentes,  on  aura 

ar    r  ,-     -,  I        /         sin73''io'\  I 

3°4«  L  88" 44    \        s\ni5°'?.yjj 

2  >•    r  ^     ^,  I        /         sinio"5q'\T 

X  —    ^     .    ,      —  col  I  5°  25'  -t-   -7. -.y      I  +  -.    — ï; ?7  =  «  +  3> 

3*^40' L  2b<'24'  \        sini5"257j  ^' 

c'est-à-dire, 

X 7^1 —  (  —  3,62636  4-  --V^qt;-  )  =  a, 

0,00399  V  1,54869/ 

■y  r    r-^r  ï'  7l66q\  . 

-  3,62636  H j-. — ■-    =:  a  -^  ;3  ; 


,06399  \  "  0,46077 


3i4  SUR  L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

ou  bien,  en  réduisant, 

1,30788  o,u)868  ^^ 

0,06399"^  0,00399'^ 

d'où 

0,06899^  1,30788^ 

■^'=~  i,5o656'^'      ^""''"^  i,5o656'^' 

et,  à  cause  de  a  =  io^7*'49'52"  et  ^  =  2'32"  (n°  5;, 

^7  =  10^7° 52' 4",    j)-=  — 6",456; 

d'où  l'on  voit  que  la  valeur  de  y  doit  être  négative  et  égale  à  environ 
deux  tiers  de  la  valeur  qu'elle  doit  avoir  dans  le  cas  de  l'équation  con- 
stamment proportionnelle  au  carré  du  temps;  quant  au  mouvement  sé- 
culaire moyen,  il  ne  diffère  que  de  i'24"  de  celui  (ju'on  a  trouvé  dans  le 
cas  dont  nous  venons  de  parler. 

Dans  l'hypothèse  présente,  on  aurait  donc  pour  l'équation  séculaire, 
qui  devra  être  ajoutée  au  mouvement  moyen  au  bout  de  m  siècles  comp- 
tés depuis  1700, 

—  3'2r',  775    m  cou 5° 25'+  15,627    I ; — - — -, ^— ^       ; 

\_  \  sm  i5"25  /  J 

et,  pour  les  siècles  qui  précèdent  1700,  il  n'y  aura  qu'à  prendre  m  né- 
gatif. 

Et  la  valeur  du  coefficient  i  sera 

6  I 

environ. 


1 0000 .  36o .  3600  xnv'  2  3o6  880  000  000 

9.  On  trouverait  des  résultats  différents  si  l'on  adoptait  d'autres 
hypothèses  à  l'égard  de  l'angle  A-t-jutZ,  et  il  est  clair  que,  tant  qu'il  ne 
s'agira  que  de  satisfaire  aux  données  du  n°  4,  on  sera  le  maître  de  don- 
ner telles  valeurs  qu'on  voudra  à  A  et  à  p.;  de  sorte  que  le  Problème  de 
l'équation  séculaire  de  la  Lune,  envisagé  sous  ce  point  de  vue,  est  entiè- 


DK   LA    LUNE.  345 

l'ement  indéterininr  cl  ne  pciil  rtic  résolu  parle  secours  des  observations 
seules.  Il  esl  vrai  (\\n'  les  A^tioiioiiics  supposent  coniiiiunéuient  que  les 
équations  séculaires  tics  planètes  ne  peuvent  être  que  proportionnelles 
aux  carrés  des  temps;  niais  il  parait  (jiic  la  siinj)licité  et  la  facilité  de 
cette  hypothèse  sont  les  seuls  molil's  (lu'ils  ;iiciil  de.  l'enihrasser. 

Ce  n'est  donc  que  par  la  Théorie  (ju'on  pcul  se  llallcr  de  déterminer 
la  Idiiiic  de  l'équation  séculaire  des  planètes  et  de  la  Lune  eu  particu- 
lier; et  la  question  est  de  savoii'  si,  parmi  les  inégalités  (jui  résultent  de 
l'attraelioii  nuiluelle  des  Corps  célestes,  il  doit  yen  avoir  de  l'espèce  de 
celles  que  nous  avons  supposées  ci-dessus  dans  le  nioiivenieiil  de  la 
Lune,  et  dont  l'eflc't  ne  doit  être  sensible  qu'au  bout  de  plusieurs  siècles; 
or,  pour  ce  (|ui  regarde  la  Lune,  quoiqu'il  soit  démontré  que  ses  inéga- 
lités périodiques  sont  entièrement  et  uniquement  dues  à  l'action  du 
Soleil  combinée  avec  celle  de  la  Terre,  cependant  il  parait  très-dillicile  et 
presque  impossible  de  déduire  de  la  même  cause  l'inégalité  séculaire  de 
cette  planète;  du  moins  aucun  de  ceux  (jui  ont  travaillé  jusqu'à  présent 
à  la  solution  du  Problème  des  trois  Corps  n'a  pu  trouver  dans  la  formule 
du  lieu  de  la  Lune  des  termes  propres  à  produire  une  altération  vraie  ou 
même  seulement  apparente  dans  son  mouvement  moyen;  sur  quoi  on 
peut  voir  surtout  les  judicieuses  et  fines  remarques  de  M.  d'Alemberl 
dans  les  volumes  V  et  VI  de  ses  Opuscules. 

Mais  il  y  a  une  circonstance  à  laquelle  on  n'a  point  encore  fait  atten- 
tion jusqu'ici  dans  les  calculs  des  mouvements  de  la  Lune  :  c'est  la  non- 
sphéricité  de  la  Terre,  laquelle  produit  une  petite  altération  dans  la  force 
(jui  pousse  la  Lune  vers  la  Terre,  en  sorte  qu'il  en  résulte  une  nouvelle 
force  perturbatrice  de  l'orbite  de  la  Lune,  laquelle,  étant  combinée  avec 
celle  ([ui  vient  de  l'action  du  Soleil,  pourrait  peut-être  produire  des 
termes  qui  donneraient  l'équation  séculaire  de  la  Lune.  Ce  point  mérite 
donc  d'être  discuté  soigneusement;  c'est  ce  que  nous  allons  faire  avec 
tout  le  détail  (jue  la  dilliculté  et  l'importance  de  la  matière  exigent. 

10.   Soit  X  le  rayon  vecteur  de  l'orbite  qu'un  Coi'[)s  décrit  dans  un 
plan  fixe  en  vertu  de  deux  forces,  l'une  4'  dirigée  vers  le  centre  des 
VI.  44 


3i()  SUR  L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

rayons  vecteurs,  et  l'autie  H  toujours  perpendiculaire  à  ces  rayons; 
nommant  9  l'angle  parcouru  pendant  le  temps  /,  on  aura,  comme  l'on 
sait,  les  deux  équations 

dt- 
La  seconde,  étant  multipliée  par  2X'd'Zi  et  ensuite  intégrée,  donn»' 

x^  do  r 

k  étant  la  valeur  de  —jf'>  lorsque  /a?^n^<p  est  nul;  et  de  là  on  tire 
d'abord 

III.  dt  =  --^=£É^=- 

Ensuite,  substituant  cette  valeur  dans  la  première  équation  et  pre- 
nant c?!p  constant,  on  aura 

d^  —  ^  X-  A — ï — 

,,.  X         I  do 

IV.  —, 1 —  ^ 


dt        X         h'-hifUx'do 


o. 


M 

Donc,  si  la  force  W  est  composée  d'une  force  —  et  d'une  force  pertur- 


bati'ice  4>,  on  aura,  en  faisant  —  =  u, 


d-u  M        „ 

V.  -7—  -+-  M  —  7-  —  12  =  o, 

d9'  h' 


ou 

TLxdx       2  M 


0^^ 


12=—  ^^ 


2  M    /•       ,  , 


k'-h9.fllx^d<f 


I)K   I.A    LIJNK.  3i7 

El,  si  les  forces  perturbatrices  II  cl  <!•  sont  très-petites  par  rapport  à  la 

...     M 

forc(î  [)rnicipaH!  — >  on  aura  a  Ircs-pcu  près 

d'il  I  /„       <I)       o.M   r\\(h       Wdu\ 

do'  /,'  \  II-         /r  J     II'  tûd'^l 

h  II-  \     j  h'ii^  I 

Ces  i'orniulcs  sont  assez  coiniues,  mais  nous  avons  cru  devoir  les  ra[t- 
peler  ici  pour  épargner  à  nos  lecteurs  la  peine  de  les  aller  chercher 
ailleurs. 

11.  Pour  applicjuer  maintenant  ces  formules  au  mouvement  de  la 
Lune,  nous  supposerons  d'abord  que  cette  planète  se  meuve  dans  Vi:- 
cliptique,  c'est-à-dire,  (jue  nous  ferons  abstraction  de  l'inclinaison  de 
son  orbite,  qu'on  sait  toujours  être  fort  petite;  il  sera  ensuite  aisé  d'y 
avoir  égard  si  on  le  juge  à  propos.  Dans  cette  supposition  donc,  si  l'on 
nomme  a  le  rayon  vecteur  de  l'orbile  du  Soleil,  S  sa  masse  et  (]  la  dis- 
tance ou  l'élongation  de  la  Lune  au  Soleil,  on  trouve  que  l'action  du 
Soleil  sur  la  Lune  produit  deux  forces  perturbatrices,  l'une  dans  la 
direction  du  rayon  vecteur  x  de  l'orbite  de  la  Lune  autour  de  la  Terre, 
laquelle  est 

l'autre  perpendiculaire  au  même  rayon  vecteur,  et  qui  est 


S^(^-^)sin-/), 


^  étant  la  distance  rectilignc  entre  la  Lune  et  le  Soleil,  en  sorte  que 


Or,  comme  a  est  environ  quatre  cents  fois  plus  grand  (jue  x,  on  aura,  avec 
une  approximation  sullisante, 

I    I         3j;cos7)        (3  —  iScos'vî  )^* 

44. 


348  SUK   L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

donc,  substituant  cette  valeur,  cl  faisant  attention  que 

H-cos?.y)  ,  Scosyj  H- cos3/) 

2  4 

sins>.-/3  .  sin/)+sin37) 

cosy)Sin7)  = ?      cos^T]  sinv]  = 7 -> 

1  4 

on  aura,  par  l'action  du  Soleil  sur  la  Lune  : 
Force  pevinrhatrice  dans  la  direction  du  rayon, 

iH-  3 cos 2 •/] ^  —  ^—    ^^ h  1 5 cos 3 ■/!    x^ ; 

2(T*  40"     \        ^-  / 

Force  perturbatrice  perpendiculaire  au  ray^on, 

oc  C 

—  -^ —  sin  2/;  >c.x  —  5— 7  (  3  sin/)  4-  1 5  sin  3-/)  )  x-. 

2  (7  O  0" 

12.  A  ces  forces  provenant  de  l'attraction  du  Soleil,  il  faut  mainte- 
nant ajouter  celles  qui  viennent  de  l'attraction  de  la  Terre;  et  comme 
on  veut  avoir  égard  à  la  non-sphéricité  de  sa  figure,  il  est  nécessaire  de 
considérer  en  particulier  l'attraction  de  chaque  particule  de  la  Terre  sur 
la  Lune  et  d'en  chercher  les  forces  résultantes. 

Pour  faciliter  cette  recherche,  nous  commencerons  par  établir  cette 
proposition  préliminaire,  qui  est  assez  facile  à  démontrer  et  qui  peut 
être  aussi  utile  dnns  d'autres  occasions  : 

Si  un  point  A  attire  un  autre  point  B  a^'ec  une  force  quelconque  F,  et 
qu'on  propose  de  décomposer  cette  force  suivant  trois  directions  données 
perpendiculaires  entre  elles  ;  soit  A  la  distance  entre  les  deux  Corps,  et  soit 
d\  l'accroissement  de  cette  distance  en  supposant  que  le  Corps  attiré  B  pat- 
coure,  suivant  l'une  des  directions  dont  il  s'agit,  l'espace  infiniment  petit 

dv.,  on  aura   —  F  y-  pour  la  partie  de  la  force  F  qui  agit  suivant  celte 

même  direction . 

De  là  il  s'ensuit  (jue,  si  l'on  détermine  la  position  du  ])oinl  1^  par  l'ap- 
port au  point  A,  par  trois  variables  a,  jS,  y,  dont  les  différenlielles  da, 


I)K   LA   LUNE.  3iy 

fip,  dy  soient  dans  les  diriH-tions  suivant  lesquelles  il  s'agit  de  décom- 
poser la  force  F,  en  sorte  ([iie  l;i  dislanee  A  soit  une  l'onetion  de  a,  [i>, 

.        I  '      .  Ml-  clA    (/^     (JA  ,  -,. 

'/,...,  et  (ju  on  dénote,  comme  a  I  ordinaire,  |)ar    ,-  »  -jz^^  -j-  les  coelli- 

^        (la.     ap      ay 

cients  de  da,  dfi,  d/  dans  la  dillérenlielle  de  A,  on  aura 

„  dA  ^,  dA  ,,  (JA 

-^d^'      -^'71^'      -^di 

pour  les  trois  forces  résultantes  de  la  force  F. 

Si  F  est  proportionnelle  à  ^»  ce  (jui  est  le  cas  de  l'attraction  céleste, 

on  aura 

r-jK       dA  ,1 

^d^  =  -^  =  -dp 

j)ar  conséquent,  les  trois  forces  dont  il  s'agit  pourront  se  représenter  pat 
les  coellicients  de  da.  dfi,  d/  dans  la  différentielle  de  -ri  en  sorte  (|n'il 

suffira  de  trouver  la  valeur  de  -  et  de  la  différentier  par  les  méthodes 

ordinaires. 

Si  le  point  B  est  attiré  en  même  temps  vers  différents  points  A,  A', 

A",...,  dont  les  dislances  à  B  soient  A,  A',  A",.,.,  et  dont  les  attractions 

soient 

M       M'        M" 

il  est  visible  (ju'il  n'y  aura  ([u'à  chercher  la  valeur  de  la  quantité 

M        M'        M' 

el  la  différentier  suivant  a,  jS,  y;  les  coefficients  de  i/a,  dp,  dy  dans  cette 

différentielle  donneront  immédiatenKuit  les  forces  cherchées.  Donc,  en 

général,  si  le  point  B  est  attiré  par  un  Corps  de  figure  quelconque  et 

(loiil  la  masse  soit  M,  en  considérant  chaque  élément  dM  de  ce  Corps 

comme  un  point  attirant,  il  faudra  prendre  d'ahord  la  somme  de  tous 

I      dM         o  •       .        •  •  .1  ,-. . 

les  —r-i  en  taisant  varier  uni{[uement  les  (juanlites  qui  se  rapportent  aux 


350  SUR   L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

éléments  dM,  et  regardant  les  «,  fi,  7  comme  constantes;  dénotant  cette 
somme  par  1,  on  y  fera  varier  ensuite  les  quantités  «,  /3,  y  relatives  à  la 
position  du  point  B,  et  l'on  aura 

d2      f/2      dl. 
dZ'     rt^'     Tfi 

pour  les  trois  forces  suivant  da,  dfi,  dy  auxquelles  se  réduira  l'efï'et  de 
rallraclion  totale  du  Corps  M  sur  le  point  B. 

13.  Cela  posé,  pour  pouvoir  appliquer  avec  facilité  cette  méthode  à 
la  recherche  des  forces  qui  résultent  de  l'attraction  de  toutes  les  parties 
de  la  Terre  sur  la  Lune,  nous  considérerons  le  centre  de  la  Terre,  ainsi 
que  le  plan  de  son  équateur,  comme  fixes;  et  nous  y  rapporterons,  tant 
la  position  de  chaque  particule  dM  de  la  Terre  que  celle  du  centre  de 
la  Lune,  en  ayant  attention  d'employer,  pour  déterminer  la  position  de 
ce  centre  des  lignes  variables,  dont  les  différentielles  aient  les  mêmes 
directions  qu'on  veut  donner  aux  forces  résultantes  de  l'attraction  totale 
de  la  Terre  sur  la  Lune. 

Nous  supposerons  de  plus  que  l'axe  de  la  Terre  soit  un  de  ses  trois 
axes  naturels  de  rotation,  et  que,  par  conséquent,  les  deux  autres  se 
trouvent  dans  le  plan  de  l'équateur;  car,  quelle  que  soit  la  figure  de  la 
Terre  et  la  disposition  intérieure  de  ses  parties,  la  rotation  constante  et 
uniforme  qu'elle  a  autour  de  son  axe  sulRt  pour  nous  convaincre  que 
cet  axe  est  nécessairement  un  de  ses  axes  naturels  de  rotation;  de  sorte 
que,  comme  les  deux  autres  doivent  être  perpendiculaires  à  celui-là,  ils 
ne  peuvent  être  placés  que  dans  le  plan  de  l'équateur. 

Donc,  si  l'on  nomme  /  la  distance  d'une  particule  quelconque  dM  de 
la  Terre  au  plan  de  l'équateur,  et7?2,  n  les  distances  de  cette  même  par- 
ticule aux  plans  des  méridiens  qui  passent  par  le  deuxième  et  par  le  troi- 
sième axe  naturel  de  rotation  de  la  Terre,  on  aura  d'abord,  par  les  pro- 
priétés du  centre  de  gravité, 

//f/M  =  o,      lmdM  =  o,       lndM  =  o, 


DE   LA    LUNE.  :}o1 

et,  par  les  pi'opi-irtrs  des  axes  naturels  de  rotation,  on  aura  en  même 
h'iiips 

/  Ini  f/M  =  o,         /  In  (IM  =0,         /  nin  <l},\  =  o. 

14.  Dans  le  cas  où  les  deux  liéniis[)li(,'res  de  la  Terre  sont  supposés 
semblables  et  de  densité  uniforme,  il  est  faeib;  de  voir  qu'on  aura  de 
plus,  en  général, 


/' 


p  étant  un  nombre  impair  quelconque,  et  P  une  fonction  quelconque 
de  m  et  de  n;  et,  si  la  Terre  est  un  sphéroïde  de  révolution,  on  auia 

/  /t?Q  du  =  0,       I  mm  (IM  =  o, 

Q  étant  une  fonction  quelconque  de  /  et  n,  et  U  une  fonction  (jucl- 
conque  de  /  et  m;  mais  ces  quantités  ne  seront  plus  nulles  dès  qu'on 
voudra  abandonner  ces  hypothèses  et  regarder  la  Terre  comme  ayant 
une  figure  quelconcjue. 

15.  Soient  maintenant  w  l'obliquité  de  l'écliptique,  z  la  longitude  de 
la  Lune  comptée  depuis  l'équinoxe  du  printemps,  et  j  sa  latitude;  nom- 
mant q  son  ascension  droite  et/?  sa  déclinaison,  on  aura  par  la  Trigono- 
métrie ces  deux  équations 

cosp  cosq  =  cosy  cosz, 
ainp  =  coso)  sinr-H  sinro  oos>'  sinz, 

d'où  il  est  facile  de  tirer 

cosp  sinq  =  —  siiu.)  siiir-i-  cosf.)  cosy  sinz. 

De  plus,  il  est  aisé  de  voir  que,  si  l'on  nomme  p  le  rayon  de  l'orbite 
lunaire,  cl  (jui'  1  soit  la  distance  de  la  Lune  au  plan  de  l'équaleur,  a  sa 
distance  au  plan  passant  par  le  colure  des  équinoxes,  et  v  celb'  au  plan 


352  SUR   L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

qui  passe  par  le  colure  des  solstices,  il  est  aisé  de  voir,  dis-je,  que  l'on 

aura 

X  =  psin/7,     y.=^  pcosp  sïiKj,     y  =:  pcosp  cosq, 

et  par  conséquent 

},  ^p(cosr,)  sin>--4-  sinw  cosj'  sinz), 
[j.=  —  p(sin'»  sin}-  —  coso)  cosi'  sin^i, 

V   =  p  C0SJC0S2. 

Ainsi  l'on  connaîtra  les  coordonnées  rectangles  X,  u.,  v  de  la  Lune,  rap- 
portées au  plan  de  l'équateur. 

16.  Or  il  est  clair  que  l'ordonnée  X  est  toujours  parallèle  à  l'ordon- 
née /,  mais  les  autres  ordonnées  /x  et  v  ne  peuvent  être  parallèles  aux  or- 
données m  et  n,  que  dans  le  cas  où  le  deuxième  axe  de  rotation  de  la  Terre 
passerait  par  les  équinoxes;  ainsi  il  faudra  encore  changer  les  coordon- 
nées p.  et  V  en  deux  autres  qui  soient  toujours  parallèles  aux  coordon- 
nées met  n,  ou  bien  on  changera  ces  dernières  en  deux  autres  parallèles 
à  celles-là;  ce  qui  est  d'ailleurs  plus  convenable,  à  cause  que  la  ligne 
des  équinoxes  est  à  peu  près  fixe,  au  lieu  que  le  deuxième  et  le  troisième 
axe  naturel  de  rotation  de  la  Terre  changent  continuellement  de  position, 
à  cause  de  sa  révolution  diurne  autour  du  premier  axe. 

Soit  donc  'Jj  l'angle  que  le  deuxième  axe  de  rotation  de  la  Terre  fait  avec 
la  ligne  des  équinoxes,  c'est-à-dire,  la  distance  du  premier  méridien  à 
l'équinoxe,  en  nommant,  ce  qui  est  permis,  premier  méridien  celui  qui 
passe  par  ce  même  axe,  et  qui  est,  par  conséquent,  fixe  sur  la  surface  de 
la  Terre;  on  verra  aisément  que,  si  l'on  désigne  par  m'  et  n'  les  nouvelles 
coordonnées  dont  l'une  serait  perpendiculaire  et  l'autre  parallèle  à  la 
ligne  des  équinoxes  dans  le  plan  de  l'équateur,  on  aura 

m'  =  m  cos^'  +  n  s\n^,     7i'  =  n  ces 4'  —  '«  sind;. 

Et,  comme  les  coordonnées  /,  m' ,  n'  qui  répondent  à  la  particule  clM  de 
la  Terre  sont  respectivement  parallèles  aux  coordonnées  >.,  ii,  v  qui  ré- 


DE   LA    LUNE.  353 

pondciil  :iii  cciili'c  (le  la  [jinc,  il  csl  chiir  (|ii('  la  dislancc  A  de  cette  par- 
ticule il  la  Lune  sera  exprimée  par  la  roriimlc 


slil  —  lY  +  ilx  —  m'Y-^  {v  —  n')\ 


17.  Soit,  poui'  abréger,  i^  ^  m- ^  n^  =  r"^  (/•  étant  la  distance  de  la 
particule  ^M  au  centre  de  la  Terre);  on  aura  aussi  P  -h m'^  -h  n'^  =  r-  ; 
et,  coiuuie  ou  a  déjà  1^  +  ijr -^  v' =  p^ ,  ou  aura,  eu  substituant  les  valeurs 
de  X,  (X,  V  et  développant  les  ternies, 

A''=p^—  ?,p/(cos&)  sinv"  +  sinw  cosj  sinz) 
-+-  3.pm'(siru.)  sinj-—  cosw  cosj  sinz) 
—  ?.p/i'  cos>-  cosz  -+-  r\ 

où  l'on  reuiai'ciuera  que  le  rayon  p  de  l'orbite  de  la  Lune  est  infiniment 
plus  grand  que  les  quantités  /,  m,  n,  r;  en  sorte  qu'on  pourra  exprimer 

commodément  la  valeur  de  -r  par  une  série  fort  convergente. 

Pour  cela  je  suppose 

^=z/(cos«sin>-H-sin6)Cosrsinz')  —  m'(sino)sin)-— cosojcosrsin2)-f-n'cosrros2; 

ou  bien,  en  substituant  les  valeurs  de  m'  et  n', 

p  =1  /(COS&)  sinj-  -h  sino)  cos>-  sinz  ) 

—  m[(sinr.)  sin>- —  cosco  cosj  sinz)  ces  4"  +  cosr  cosz  sini];] 

—  «[(sinw  sin^-—  cosw  cosr  sinz)  sint|i  —  cosr  cosz  costl»], 

en  sorte  (pie  l'on  ait 


A  =  y''p^  —  9.PP  -\-  r-  ; 

et,  regardant  les  quantités  p  ei  r  comme  très-petites  du  même  ordre  vis- 
à-vis  de  p,  on  aura 

A  p  ?.p'  '^'^  2.4  p*  2.4.Dp^ 

c'est-à-dire,  en  ordonnant  les  termes  par  rapport  aux  puissances  de  p,  «m 
VL  45 


354  SUR   L'ÉQUATION  SÉCULAÎUE 

ne  poussant  la  précision  (|U(3  jusqu'aux  infiniment  petits  du  troisième 
ordre, 


I 


I         p        3p'  —  r'        5p^—  3pr' 


18.  Faisons  encore,  pour  al)réger, 

P  =  cosw  sin>'  H-  sin«  cosj-  sio/;, 

Q=z  —  (sin63  siii)-  —  cosw  cosj"  sinz)  ces 4^  —  cosj-  cosz  sirn];, 

R:=  —  (sino3  sin/—  coso3  cosj-  sinz)  sirn];  H- cosj-  cosz  cos^*, 

de  manière  que  la  valeur  de  p  soit  représentée  par  /P  +  mQ  -+-  /?R,  et, 
substituant  cette  quantité  à  la  place  de  p  dans  l'expression  précédente 

de  "Y  1  on  aura,  à  cause  de  /  -  =  /'-  H-  m-  4-  n-, 
1       I      /P-f-///Q  +  /?R 

T     =     -    -^ n 

-i  0  0 

/'(3P^—  i)  +  /»^(3Q^  -  i)  -t-  /^'(3R'  -  i)  +  6  (//»PQ  +  //^PR  +  w«QR) 
/'(5F-3P)-+-/«^(5Q'-3Q)  +  «'(5R;^--3R) 


2  Cl' 


Vil 


Donc,  multipliant  cette  quantité  par  dM,  et  intégrant  en  ne  faisant 
ai'ier  que  les  quantités  /,  m,  n,  on  aura  la  valeur  de   I  — r-  ou  de  i 
(n"  12);  ainsi,  en  faisant  attention  que  (n°  13) 

jldM  =  o,  mdM  =  o,         lndM=io, 

I  Im  d^\  —  (..         /  In  du  =  o,         j  uni  dM  =  o, 

....  .....  I.5/W//P0R         ■      .    ,        A  1  11 

(  )  Lagrangc  a  omis  ici  le  tormo ^ — ^-~ ,   qui  est  du  mémo  ordre  que  les  derniers 

fermes  conservés. 

[Noie  de  r Éditeur.) 


I)K   KA    LU. m:.  355 

cl  suppusanl,  pour  [iliis  de  simplicilr, 

n'<IM  =  h'M,      I  nl'dM  =  h"M,      j nmuni  =  //"='M, 

ou  aura 

1= 1 M 

P  2  0^ 

/'(SF- 3Pn-3/"P(5Q^-i)  +  3/'"'P(5R'-i)  ,, 
-I _ ! jyj 

^   .ir'(5Q'— 3Q)  +  3g-"Q(5P»-i)4-3g-"'Q(5R^-i)  \^ 

2p^ 

/t3(5R3_  3|^^_j_  3/,'n{{5P'  —  I)  -h  3  h"H{{5Q' -  I) 

2p* 

19.  Or,  comme  p  est  la  distance  du  centre  de  la  Lune  au  centre  de  la 
Terre,  et  que  :;,  y  sont  deux  angles  dont  l'un  représente  la  longitude  de 
la  Lune  sur  l'écliptique  et  l'autre  sa  latitude,  il  est  clair  qu'en  l'aisanl 
varier  ces  trois  quantités  à  la  fois  on  aura  —dp,  p  cosyHz  et  ody  pour 
les  trois  petits  espaces  que  le  centre  de  la  Lune  parcourra  suivant  la  di- 
rection du  rayon  p  et  suivant  deux  autres  directions  perpendiculaires  à 
celle-ci,  dont  l'une  parallèle  au  plan  de  l'écliptique  et  l'autre  daus  un 
plan  perp(;ndiculaire  à  l'écliptique.  Ainsi,  prenant  ces  trois  quantités 
pour  les  diflerences  de/.,  d^j,  d-^j  (n"  12],  on  aura 

_  ijl      _j (jl      i_  dl 

dp        û  ces  >•  dz        p  dy  ' 

pour  les  expressions  des  forces  résuUanles  de  l'aUraclion  de  toutes  les 

45. 


356  SUR   L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

parties  de  la  Terre  sur  la  Lune,  et  dont  les  directions  seront  les  mêmes 
((ue  celles  des  petits  espaces  —dp,  p  cos y dz,  pdy. 

Si,  au  lieu  du  rayon  p  de  l'orbite  réelle  de  la  Lune,  on  introduisait  le 
rayon  x  de  son  orbite  projetée  sur  l'écliptique,  et  qu'au  lieu  de  la  lati- 
tude y  on  introduisît  la  distance  perpendiculaire  de  la  Lune  au  plan  de 
Técliptique  q,  ce  qui  ne  demande  que  de  mettre  partout,  dans  l'expres- 
sion de  2, 

sjx-  +  q"" 

à  la  place  de  p,  et        ^  ^       à  la  place  de  sin  r  et  cos  y,  alors,  en 

faisant  varier  les  trois  quantités  x,  z,  q,  et  prenant  —  dx,  xdz  et  dq 
pour  da,  d^,  d-^,  on  aurait  les  trois  forces 

_^      1  ^      "El 
dx       X  dz        dq 

qui  seraient  équivalentes  aux  précédentes,  mais  dont  la  première  agirait 
suivant  la  direction  du  rayon  x,  la  seconde  perpendiculairement  à  ce 
rayon  et  parallèlement  à  l'écliptique,  la  troisième  perpendiculairement 
à  ces  deux-là. 

Comme  cette  dernière  manière  d'envisager  les  forces  qui  proviennent 
(le  l'action  de  la  Terre  sur  la  Lune  est  beaucoup  plus  convenable,  lors- 
(ju'on  ne  veut  pas  considérer  l'orbite  réelle  de  la  Lune,  mais  son  orbite 
projetée  sur  l'écliptique,  ainsi  (|ue  nous  l'avons  fait  plus  haut,  nous 
nous  V  tiendrons  dans  la  recherche  présente,  et  nous  remarquerons 
d'abord  qu'on  peut  faire  abstraction  de  la  latitude  de  la  Lune  /,  qui 
étant  toujours  assez  petite,  et  étant  d'ailleurs  tantôt  positive,  tantôt  né- 
gative, ne  saurait  influer  que  très-peu  sur  son  mouvement  moyen;  c'est 
pourquoi  on  pourra  simplifier  nos  formules  en  y  supposant  d'avance 
y  =  o  et  p  =^  X ,  ce  qui  donnera 

P  rz=  sino)  sin  2, 

Q  =  cos'^.)  sinz  cos 4^  —  cosz  sini|, 

R  =  cosco  sinz  sirn];  +  cosz  cos^];; 


DE   LA    LUNE.  357 

cl  l'on  n'aura  plus  qu'à  considérer  les  deux  Ibrces 

(la:       X  dz 

parallèles  à  rédipti(|ue  el  dirigées,  la  première  suivant  le  rayon  x,  et  la 
seconde  perpendiculairement  à  ce  rayon;  do  sorte  (lue  si  l'on  tait,  pour 
abréger, 

1*    =  SmO)  C0S2  =:  -;-, 

az 
(J  =  cosc)  cosz  cosq;  -1-  sinz  sm'l»  ==  -y^? 

i>/  Il        ^'^ 

U  =  coso)  cosz  siinp  —  smz  cos^p  =; -y-î 

on  aura,  pour  la  force  qui  agit  suivant  la  direction  du  rayon  x,  cette  ex- 
pression 

^  +  3 «'(3P'  — i)  +  6^(3Q'  — 0  +  CH3R'-  I) 


X'  0.x' 

p(5P^— 3P)+3f^P(5Q'-i)+  3f^^P(5R'-i) 

x^ 


M 


-H  2 o-^-:^ :^i- — ^—^ '     ^^    ^'^•' :  m 

x^ 

hH5^'  -3R)+  3A'3R(5P'— I)  h- 3/t"3R(5Q^- i)  „ 

-h  2  — î^— — ^— ;  M, 

x^ 

el,  |)our  celle  qui  agit  perpendiculairement  au  rayon,  celle-ci 

a^PP4-6^QQ^+c^RR' 

x^ 

_/n5P'-i)P'+/'»[(5Q^-i)P'+ioPQQ']H-/"'[(5R'-i)P'-t-ioPRR']., 

~H  J : aï 

1X^ 

o^'(5Q'-0Q'  +  g-'='[(5P=-i)Q'-f  ioQPP']-i-g^"^[(5R»-i)Q'  +  ioQRR'L, 

-t~  3 1 — - — — — ■ JVl 

1X^ 

A^(5R'-i)R'+/i''[(5P'— i)R^-4-ioRPP^]  +  /r='[(5Q'— OR'  +  ioRQQ'J 

ix^ 

La  première  de  ces  deux  forces  sera  donc  celle  qui  pousse  la  Lune 
vers  le  centre  de  la  Terre,  en  vertu  de  l'attraction  de  toutes  les  pai'ties 


338  SUR   L'ÉQUATION  SÉCULAIUE 

(le  la  Terre;  et  il  est  visible  que  le  premier  terme  —  de  l'expression  de 

cette  l'orce  représentera  l'attraction  de  la  Terre  sur  la  Lune,  lorsqu'on 
n'a  point  d'égard  à  sa  figure  et  qu'on  la  suppose  toute  concentrée  dans 
un  point;  de  sorte  (jue  les  autres  termes  de  la  même  formule  exprime- 
ront la  force  perturbatrice  de  la  Lune,  dans  la  direction  du  rayon  vec- 
teur, provenant  de  la  non-spbéricité  (h;  la  Terre;  ainsi,  joignant  cette 
force  à  celle  (ju'on  a  trouvée  plus  haut  (n"  11)  suivant  la  même  direc- 
tion, on  aura  la  valeur  de  la  force  totale  perturbatrice  0  (n*^  10). 

La  seconde  des  forces  trouvées  ci -dessus,  agissant  perpendiculaire- 
ment au  rayon  vecteur  de  l'orbite  de  la  Lune,  devra  être  pareillement 
ajoutée  à  celle  qu'on  a  trouvée  suivant  la  même  direction,  en  vertu  de 
l'action  du  Soleil,  et  l'on  aura  la  valeur  de  l'autj'e  force  perturbatrice  II 
(numéros  cités). 

20.  Si  la  Terre  était  sphérique  et  composée  de  couches  concentriques 
de  densité  uniforme,  il  est  facile  de  voir  (ju'on  aurait  nécessairement 

(n« 18) 

a?=b'-  =  c-,     et     p=o,     f"=o,     /"'=<>,     0^=0,...; 
par  conséquent  les  deux  forces  ci-dessus  se  réduiraient  à 

M    ,    3 «^ ( P^  +  Q^  +  R^  —  I )  3t^MPP'+QQ^+RR^J  vr . 

■  JVj  ,       -  M  ; 


X'  2  x^  .X 


mais  on  a 


P2_|_0'+R^  =  i,     PP'  +  OQ'  +  RR'  =  o, 

comme  on  peut  s'en  convaincre  par  les  valeurs  de  P,  Q,  R,  P, . . .  ;  donc 
la  première  des  deux  forces  précédentes,  celle  qui  agit  dans  la  direction 

M 

du  rayon  vecteur,  se  réduira  à  —•>  c'est-a-dire,  a  ce  qu'elle  serait  si  la 

Terre  était  concentrée  dans  un  point;  et  la  seconde  deviendra  entière- 
ment nulle,  ce  qui  s'accorde  avec  ce  que  l'on  sait  d'ailleurs. 
Au  reste  les  conditions  de 

a'  =  h'  =  c'     el  de    f  =  0,    f'^  =  o,... 


I)i:   L  V    MINE.  350 

peuvent  avoir  lieu  (rime  infinilé  de  iii;inii'res  diirérenles,  cl  sans  (juc  le 
Corps  soit  S[)héii<|ii('  et  de  (Iciisih'  iiiiiforinc  (l;iiis  (Iiikiiic  (■oiiclic;  iiniis, 
quoique  ces  conditions  sufliscMit  |)()iii'  icndic  milles  les  l'oicfs  pciliiiha- 
trices  que  nous  venons  de  trouver,  cependant,  conniu.'  les  expressions 
précédentes  ne  sont  qirap|)rochées,  il  est  clair  que  les  forces  perturba- 
trices ne  seront  réellement  nulles  que  lorsque  tous  les  autres  ternies 
qu'on  a  négligés  s'évanouiront  aussi  en  même  temps.  Il  n'v  a  peut-êtie 
que  le  seul  cas  où  le  Corps  est  sphériciue,  el  de  densité  unilornie  dans 
chaque  couche,  dans  le(]uel  les  forces  perturbatrices  soient  exacteiix  ni 
et  rigoureusement  nulles;  mais  c'est  ce  qui  parait  assez  dillicile  it  dé- 
montrer. 

Si  l'on  suppose  que  la  Terre  soit  un  solide  quelconque  de  révolution, 
en  sorte  que  tous  ses  méridiens  aient  la  même  figure,  et  que  de  plus 
toutes  les  parties  de  même  densité  y  soient  distribuées  de  manii're 
qu'elles  forment  des  couches  semblables,  supposition  qui  parait  la  plus 
naturelle  et  la  plus  générale  qu'on  puisse  faire,  du  moins,  en  tant  qu'on 
regarde  la  Terre  comme  ayant  été  originairement  fluide,  on  aura,  dans 
cette  hypothèse, 

6'=c-,    /"=/"%    et    g'  =  o,     g"=o,     g"'=o,     /i'=o,     /i''=n,     //"'=o, 

comme  il  est  facile  de  s'en  convaincre  avec  un  peu  de  réflexion:  ainsi,  à 

cause  de 

P^  +  Q=  +  K^=i,     Cl     PP'  +  QQ'-fRR'  =  o, 

les  deux  forces  perturbatrices  provenant  de  la  non-spliéricilé  de  la  Terre 
deviendront 


2  X'  X" 


3{a^-h^jPF^   ^    3(/3-3/3)(5P'-i)F 


9.X^ 


M, 


dont  la  première  agira  suivant  le  rayon  vecteur  a-,  el  l'autre  perp«'ndi- 
culairement  à  ce  rayon. 


360  SUR   L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

En  supposant  que  la  Terre  soit  un  sphéroïde  elliptique  et  homogène, 
on  aura,  en  nommant  a  le  demi-axe  et  jS  le  donii-diamètre  de  l'équateur, 


y.'       ..      [3\ 


et  le  rapport  de  [3  à  a  est,  par  la  Théorie  de  la  figure  de  la  Terre,  égal  à 

I  H — r-5  et  par  les  ohservations  éeal  à  i  H ^• 

lio  *■  "170 

En  général,  quels  que  soient  la  figure  de  la  Terre  et  l'arrangement  in- 
térieur de  ses  parties,  pourvu  que  è^  =  c-,  on  trouve,  par  la  Théorie  de  la 
précession  des  équinoxes,  que  la  précession  moyenne  annuelle  des  équi- 
noxes,  en  vertu  de  l'action  combinée  du  Soleil  et  de  la  Lune,  est  expri- 
mée par 

3(^2 cc-\ 

.^,, — -  (1  +  o-v')  coso)  X  mouv.  diurne  ^, 

L\Ky 

-7  étant  le  rapport  de  la  masse  de  la  Lune  à  celle  de  la  Terre,  v  le  rapport 
du  mouvement  de  la  Lune  a  celui  du  Soleil,  et  w  l'obliquité  de  l'éclip- 
tique.  Or,  par  les  observations,  on  sait  que  la  précession  moyenne  est  de 
5o";  donc,  exprimant  aussi  en  secondes  le  mouvement  diurne  du  Soleil, 

qui  est  de  5q'8"=  35/i8",  on  aura,  à  catise  de  cosw  =  cos23°2q'=  -=--^ 

T  "^  '.  1000 

et  V-  =  178, 

/»-  —  0}  200000  I 


b'^  9760548(1  +  178(7)        48,80274(1 +  1780-1' 

donc,  si  cr  est  —  suivant  M.  Daniel  Bernoulli,  on  aura 

70 

6^  —  a-  7  I      , 

— T. —  =  7  QQ       / — 7q  =  — ^  a  peu  près. 

O-  4jOO0274-24o  173 

21.  Ayant  donc  trouvé  les  valeurs  des  forces  perturbatrices  <I>  et  n, 
tant  en  vertu  de  l'action  du  Soleil  que  de  celle  de  la  Terre  regardée 
comme  non  sphérique,  il  ne  faudra  plus  que  les  substituer  dans  les 
équations  VI  et  VII  du  n°  10,  pour  pouvoir  déterminer  les  inégalités  de 


m-:  LA   LUNE.  :jfjl 

la  Lune,  (jui  J'('*siiUeiil  de  rcs  deux  caiisos;  nuiis,  coiiimo  les  cflels  de  hi 
première  oui  déjà  été  sullisamiTienl  eximiinés  pîir  les  géomètres  (jui  oui 
(ravaiilé  sur  la  Théorie  de  l;i  Lime,  et  que  noire  oljjel  n'est  (|ue  dr  re- 
eherelier  si  la  non-spliérieité  de  la  Terre  peut  servir  à  explicjuei'  l'éij na- 
tion- séeulaire  de  la  Lune,  il  suffira  d'avoir  égard,  dans  les  équations 
dont  nous  venons  de  parler,  aux  termes  provenant  de  l'aelion  de  l:i 
Terre,  soit  seule,  soit  eomhinée  avec  celle  du  Soleil,  et  même,  parmi  ces 
termes,  à  ceux-là  seuls  (|ui  [)aiailront  pouvoir  produire  une  altération 
dans  le  mouvement  moyen.  Nous  ferons,  [)our  cet  <'(ret,  les  remar(jues 
suivantes. 

22.  Nous  avons  déjà  vu  que,  pour  que  la  Lune  ait  une  écjuation  sécu 
laire  réelle,  il  faut  que  l'angle  du  mouvement  vrai  ç;  renferme,  outre 
l'angle  du  mouvement  moyen  Z,  qui  est  proportionnel  au  temps  t,  en- 
core le  terme  iZ-  (n°  2);  et  si  l'équation  séculaire  n'est  qu'apparente, 
alors,  au  lieu  du  terme  «Z-,  il  faudra  (ju'il  y  en  ait  un  de  cette  forme 

2  i      ( ,.         .        sin  A  —  si  11  (  A  -4-  u.  Z 
'  /  cos  A  -{ ^ * — : 


fjt  sin  A 


a  étant  un  coefficient  très-petit  (n°  6);  donc  on  aura  dans  le  jiremier 
cas,  abstraction  faite  des  autres  inégalités, 

9  =  Z  -f-  /Z-, 
d'où  l'on  tire  à  très-peu  près 

Z  =  cp  —  /o% 
et,  supposant  r//  =  7^r/Z, 

dt 

^  =  «(.-2^9). 


Dans  le  second  cas,  on  aura 


9 


\,        .    ,   sinA  —  sin(A -+-jmZ)  I 
/  cos  A  H ^— ^     , 

^  J 


VL  46 


362  SUR  L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

d'où  l'on  lire  do  même 


Z  =  o '-. — r    9  cos  A 

^       p.  sinA  |_^ 

t't  (le  là 


sinÂ  —  sin(A  +  |ucp)" 


dt  V  "2.1     cos  A  —  cos^A  +  f/9, 

d(^  L        siuA  II 


Or  l'équation  VÏI  donne 

donc  on  aura  dans  le  premier  cas 

et,  différentiant,  on  trouvera 

n  2  ?iu  du 


</tp 


I  —  2  i  co  )  +  2  m  ïf'  ; 


or,  comme  -■,  rayon  vecteur  de  l'orbite  de  la  Lune,  est  une  (luantité  à 

très-peu  près  constante,  il  s'ensuit  que  la  valeur  de  —  contiendra  néces- 
sairement un  terme  tout  constant,  qui  sera  exprimé  par  2ink^'/^,  -f 
étant  le  terme  tout  constant  de  la  valeur  de  lî^ . 
Dans  l'autre  cas,  on  aura  l'équation 

,r       ii  cosA  —  cos(A H- acp)"]     I      rn^/v 

""*  L'  ~  iiïïÂ -^ J  - 1  "  j  7;^' 

d'où  l'on  lire 

n    ■y.nuduV  2/     cosA  —  cos(  A -<- fxy)  ]  .     ,,  sin(A-+-fjt9) 

\^u^  «9      L        smA  /x  J  smA 


DE  LA   LUNE.  :m 

(If  sorte  (jiiL'  dans  ce  eas  il  faudra  (lue  la  valeur  de  —  contienne  tiii 
ternie  de  la  l'urnie 

2  in  h  '  y' : — .     ^  > 

'  sinA 

[j.  étant  un  eoefïîcient  extrêmement  petit. 

On  peut  conclure  de  là,  en  général,  (jue  l'équation  séculaire  de  fa 

Lune  ne  peut  avoir  lieu  à  moins  que  la  quantité  --  ne  contienne  (mi  un 

terme  tout  constant,  ou  un  tenue  qui  renferme  le  sinus  d'un  aui^le  (jui 
varie  infiniment  peu,  et  qui  soit  par  conséquent  à  très-peu  près  constant, 
au  moins  pendant  un  grand  nombre  de  révolutions;  dans  le  premier  cas, 
l'équation  séculaire  de  la  Lune  sera  réelle  et  ira  en  augmentant  comme 
les  carrés  des  temps;  dans  le  second,  elle  ne  sera  qu'apparente  et  ne  dif- 
férera des  autres  équations  du  mouvement  de  la  Lune  que  par  la  lon- 
gueur de  sa  période. 

23.  Tout  se  réduit  donc  à  examiner  si  la  quantité  —  peut  contenir 

des  termes  de  l'espèce  de  ceux  dont  nous  venons  de  parler,  et  pour  cela 
il  n'y  aura  qu'à  considérer  les  différents  angles  dont  les  sinus  ou  cosinus 

entreront  dans  la  valeur  de  — ?   et  à  voir  s'il  v  a  (iiiehiue  combinaison 

lÛ-  .11 

de  ces  angles  qui  puisse  donner  un  angle  constant  ou  à  peu  près  con- 
stant; alors  on  n'aura  égard  qu'aux  termes  qui  pourront  donner  de 
telles  combinaisons  dans  les  équations  YI  et  VII,  et  il  sera  facile  d'en 
déduire  l'équation  séculaire  chercbée. 

Je  remarque  donc  d'abord  que  les  forces  perturbatrices  de  la  Lune, 
qui  dépendent  de  l'action  du  Soleil,  ne  renferment  que  les  sinus  ou  co- 
sinus de  l'angle  vj  et  de  ses  multiples,  avec  les  deux  variables  x  ou  —  et  7, 

et  (jue  celles  (jui  viennent  de  la  non-spbéi'icité  de  la  Terre  ne  contiennenl 
que  les  sinus  ou  cosinus  des  angles  z  ti^  avec  la  variable  x-,  car,  pour 
ce  (jui  regarde  l'angle  oo,  qui  exprime  l'obliquité  de  réclipti<|ue,  on  doit 
le  considérer  comme  une  quantité  constante. 

46. 


364  SUR   L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

Je  remarque  en  second  lieu  que,  7  étant  le  rayon  vecteur  de  l'orbite  du 
Soleil,  on  aura,  comme  l'on  sait, 

?-       X — ' 

À  étant  la  distance  moyenne,  ;  l'excentricité  et  S  l'anomalie  vraie;  de 
même,  x  étant  le  rayon  vecteur  de  l'orbite  de  la  Lune,  on  aurait,  sans  les 
forces  perturbatrices, 

I                I  H-  e  cos^ 
—  =u= , 

X  l 

l  étant  la  distance  moyenne  de  la  Lune,  e  l'excentricité  de  son  orbite,  et 
s  l'anomalie  vraie;  mais,  à  cause  des  forces  perturbatrices,  on  aura 

X  l 

V  étant  une  variable  très-petite  et  dépendant  uniquement  de  ces  forces. 
De  là  il  est  facile  de  conclure  que  les  inégalités  du  mouvement  de  la 
Lune,  abstraction  faite  de  l'inclinaison  de  l'orbite,  mais  en  ayant  égard 
à  la  non-spbéricité  de  la  Terre,  ne  pourront  dépendre  que  de  ces  cin([ 
angles  S,  s,  r,y  z  et  'b;  et  il  est  facile  de  se  convaincre,  en  particulier,  que 

la  valeur  de  —  se  réduira  à  une  suite  de  termes  de  la  forme 

A  sin  ( m  t  +  ns  +  pn  -\-  qz  -^  r^  j, 

m,  n,  p,  qy  r  étant  des  coefficients  indéterminés  exprimés  par  des  nom- 
bres entiers  positifs  ou  négatifs,  en  y  comprenant  zéro  et  l'unité;  or,  si 
l'on  se  rappelle  que  l'on  a 

^  z=  anomalie  du  Soleil, 

s  =  anomalie  de  la  Lune, 

•//  =  dislance  de  la  Lune  au  Soleil, 

z  =  longitude  de  la  Lune  comptée  depuis  l'équinoxe, 

4>  =  distance  du  premier  méridien  de  la  Terre  au  colure  des  équinoxes, 

et  (ju'on  examine  les  rapports  de  ces  angles  entre  eux,  lesquels  sont  à 


I)K   LA   LUNK.  ;]0o 

très-pou  pri's  connus  par  les  observations,  on  verra  aisément  (ju'il  n'v  a 
4|ue  cette  combinaison  :;  — 2  — y?  et  ses  multiples  qui  puissent  lonner  des 
angles  presque  constants;  en  ellet,  il  est  clair  que  s  -  ^  sera  égal  à  la 
longitude  de  la  Lune  moins  c(dle  du  Soleil,  plus  la  longitude  de  l'apogée 
<lu  Soleil,  c'est-à-dire,  égal  à  la  distance  de  la  Lune  au  Soleil  plus  la 
longitude  de  l'apogée  du  Soleil;  par  conséquent,  nommant  a  la  longi- 
tude de  l'apogée  du  Soleil,  on  aura 

2  —  ^  =  7!  H-  a  ; 
<lonr 

2  —  ^  —  yj  =  a. 

Or  on  sait  que  a  est  une  quantité  presque  constante,  qui  ne  varie  que 
de  i*^5o'  par  siècle,  suivant  les  Tables  de  Mayer,  de  sorte  (jue  l'angle 
3  —  2  — ï5  et  ses  multiples  seront  dans  le  cas  dont  il  s'agit;  ainsi,  dans  la 
recherche  de  l'équation  séculaire  de  la  Lune,  il  suffira  de  tenir  compte 
des  termes  qui  renfermeront  les  trois  angles  z,  |,  yj;  d'où  je  conclus 
d'abord  que,  dans  les  expressions  des  forces  perturhatrices  provenant  de 
la  non-sphéricité  de  la  Terre,  on  pourra  rejeter  les  termes  qui  contien- 
dront les  sinus  ou  cosinus  de  l'angle  cp;  ce  qui  servira  beaucoup  à  sim- 
pliTier  ces  expressions. 

24.   De  cette  manière  on  aura  donc,  d'après  les  formules  du  n"  19. 
pj  _  sin'o)(i  —  cos2^) 


, r)2 _  1)2 _  ^-  —  sin'^d  —  C0S2Z) 

'     ~     ~  4 

D3  _  sin^6)(3sin-z  —  sinSz) 
F-  4 . 

PQ,_  pj|j_  (4  —  3sin'o))sinwsin2  -t-sin'wsinSz 
cl  iMiites  les  autres  quantités  Q%  QP-,...  seront  iiuilcs. 


ma  SUR  L  EQUATION  SECULAIRE 

Et  comme 

F=^,        Q'^^,        R'.:.^, 

dz^  dz^  dz^ 

on  aura,  par  la  différentiation» 


PP'  = 


sin^w  sinaz 


QQ'^RR-^-''"^^"""^^ 


.^.x»,       sin^w(cosi;  —  cos3i; 
pjp'— 


Q-P-  +  .PQQ'^  R-F  +  .PRR-=  ^^  "  ^  ^"^'"'  ^^""  ^"'^  ^  ''"'"  '"'^' 


toutes  les  autres  quantités  Q'-Q',  R^R',...  étant  nulles. 

Faisant  donc  ces  substitutions  dans  les  formules  du  n°  19,  et  suppo- 
sant, pour  abréger, 

B  =  M    rt' I  — 


^       3M  /  ,       h'-^c'\    .   , 

C  = d^ sin-w, 

2     V  1       ) 

.     D=  — (2/^—3/"- S/''^»)  (sinr,. -^sin^cjV 

on  aura,  à  cause  de  la  non-sphéricité  de  la  Terre  ; 

Force  perturbatrice  dans  la  direction  du  rayon, 

3B-i-Ccos2z  Dsin2  +  Esin32 

1  X*  x^ 


Force  perturbatrice  perpendiculaire  au  rayon, 

Csin2  2       D  cosz -4- 3E  C()s3z 

X*  2X^ 


t)E  LA   LUNE.  âOt 

25.   II  faut  maintenant  reprendre  les  expressions  des  forces  pertur 
batrices  résultant  de  radioii   du  Soleil  (n°  11)  et  y   substituer  à   la 

place  de  a  sa  valeur  -;  mais  il  ne  sera  pas  nécessaire  de  faire 

celte  substitution  en  entier;  car,  parce  (jue  nous  venons  de  remarquer 
dans  le  numéro  précédent,  il  est  visible  qu'il  sulfira  d'avoir  égard  aux 
termes  qui  contiendront  des  sinus  ou  des  cosinus  de  l'angle  |  -f-  vj  ou  de 
ses  multiples.  Or  la  valeur  précédente  de  cr  donne  celles-ci 

•  '^  4         >-      3î'         >.       £         „v 

—,  =  Ti 1 T-z COSÇ  H r-rCOSaç  -i-  -r^COSSc, 

(7^  r  /•  2  A-*  i\K^  ■  ' 

l-^-3£'-|-— -  ,  3£'-(--  3 

1  8        4£-t-3î        ^  2  „      j'  £' 

-  = vi ' \i —  cosÇh r^ — cos2ç-t-.-:COs3Ç-i-  — -cos4?; 

fJ  h  A  y.  A  O  A 

donc,  substituant  ces  valeurs  et  rejetant  tous  les  termes  qui  contien- 
draient d'autres  angles  que  ^-+-yj,  on  aura,  par  l'action  du  Soleil  : 

Force  perturbatrice  dans  la  direction  du  rayon, 

—  Jï^yj^^^^  3£')COS(^  +  -/3)4-  !— Lcos3(^H--/3))  x' ; 
Force  perturbatrice  perpendiculaire  au  rayon, 

S    /3  i5e'  \ 

—  gy,  { -(4e  -•-  3£')sin(^  4-  ■/]  )  H siii3(^  -H  -/j)!  ^'. 


Joignant  donc  ces  forces  à  celles  du  numéro  précédent,  on  aura  les 
valeurs  des  quantités  $  et  H,  lesquelles,  en  mettant  pour  plus  de  sim- 

-  a  la  Diace  ae 

V 


plicité  —  à  la  place  de  r^»  se  trouveront  exprimées  de  la  manière  sui- 


368 
vante 


<P  =  - 


SUR   L'ÉQUATION  SÉCULAIHE 


TTT  (  I  -+-  —  +  4-  C0S2(^  H-  -/J  jj 


3g  r 

4v^/  L 


3+^\  cos(^ +  ■/!)  +  ^cos3(H  +  rj)1:r-' 


3B-hCcos2z  Dsinz  +  Esin3z 

2 

2  ^*  X^ 


n  = 


8v- 
3e 


sin2(E  +  v])^ 


3e-\    .      ,,         ,        5  e-    .    „   ., 

I  H 7-    sin  i  £  +  •/■;)  -I 7-  sin  3  £  -f-  r;  ) 

4  /  ■  4  '  . 


C  sin  2  2;       D  cosz  +  3E  cos3  0 


ix" 


26.  On  substituera  maintenant  ces  valeurs  de  4>  et  de  n  dans  l'équa- 
tion VI  de  l'orbite  de  la  Lune,  laquelle  deviendra  par  là,  à  cause  de 


07  =   -7 
II 


Vin. 


dHi 
1^ 


I        r         3  e-        qe'  ,^  T 


-f- 


3e 


/[V'/f'lu* 


9^'' 


5e^ 


3  H-  -^    cos(^  +  -/;)  H cos3(H  + 

4  /  ^ 


..] 


3  II''  2  e<' 

H j—  ,B  +  Ccos22)  4-  -7-—  (Dsinz  H-  EsinSz) 

2/f'  /r^ 

9e'     rsin2(H -t- •/;)   7         9e'  sinaf^  H- y!)<i&i 
3£      r/        3en   fsinf^  +  -/-i)  ,         5e'  Tsin  3(H -+- /;  )  , 

-^f^1A"^t)j  — û^ — "^'^"TJ  — «^ — 

3e      r/     ^    3e'\  sin(^  H-yj)  f/«        5e' sin3  (^  +  yj  )  f/?< 


4   /          if^r/^                 4  M*f/9 

y^  (  C  j  II  sin  7.  z  (I<^ /  u'^  CCS  z  do /  u-  ces  3  z  do  ) 


I   f ^  sïniz.udu         1)  cosz.u^du        3E   cos3  2.«'i/w\ 
/i  '  \  </cp  2  do  2  f/(p  / 


DE   lw\    LUNE.  300 

J'ai  supposa,  dans  cette  (''(|iiati()fi ,  la  masse  M  «le  la  Tcnc  égale  à 
riinité;  de  sorte  que,  si  l'on  sn|)pos('  aussi  ^-e  (jui  est  également  permis^ 
qiH'  la   distam-c   moyenne  /  de   l;i   Lune  à  la  Terre   soit   =i,  on  aura 

— -  =  f  ;  par  ('()nsé(|uent,  comme  on  a,  p;ii'  les  Théori'Uies  de  |[n\i;liens, 

^         /M    ,      ,  ,  .   •     ,•  1     I     , 

Jl  '  y  IT  *'8'''  ^"^'  rapport  du  temps  periudujue  de  la  Lune  au  temps 

périodi(jin'  de;  la  Terre,  on  ^'C  (|ui  est  la  même  (diose;  au   rapport  du 

m(»nvemenl  moyen  de  la  Terre  à  c(dui  de  la  Lune,  l;i  (|uanti(e  ■>    ou 

bien  y,  exprinn'ra  le  rapport  du  mouvement  moyen  de  la  Lune  à  celui 
du  Soleil,  lequel  est  environ  de  i"3  :  i,  ou  plus  exaclenu'nt  y/  178^  :  i . 

27.    De  plus  on  aura,  à  cause  de  /=  1  (n^  23), 

Il  =  i  -{-  e  C0S.S  -f-  e, 

et  il  faudra  que  la  quantité  vue  contienne  ni  aucun  terme  tout  constant, 
ni  aucun  terme  affecté  de  cos5;  ainsi,  après  avoir  substitué  cette  valeur 
dans  l'équation  précédente,  on  y  fera  disparaître  tous  les  termes  qui 
renfermeront  cos,y,  ainsi  (|ue  ceux.  (|ui  ne  contiendront  aucun  sinus  ou 
cosinus;  ce  ({ui  donnera  deux  équations  dont  l'une  servira  à  déterminer 

cls 
le  rapport  -r-  qui  est  supposé  constant,  et  l'autre  servira  à  déterminer  la 

constante  k;  mais,  comme  l'écjuation  VU  n'est  pas  exacte,  à  cause  des 
différents  termes  qu'on  y  a  négligés  comme  inutiles  dans  la  recherche  de 
l'équation  séculaire,  on  ne  pourra  déterminer  de  cette  manière  les  deux 
quantités  dont  il  s'agit;  ainsi  l'on  se  contentera  de  rejeter  les  teiines  en 
question  sans  faire  attention  aux  conditions  nécessaires  pour  la  destruc- 
tion rigoureuse  de  ces  termes,  et  l'on  pourra  prendre,  sans  erreur  sen- 
sible, pour  A*  sa  valeur  approchée  i,  et  pour  -y-  sa  valeur  donnée  par  les 
observations. 

Supposons  donc  -7-  =0,  et  soient  de  idus =.rr,,  -^  =({,  ensor  e 

W.  4; 


370  SUR  L'ÉQUATION   SÉCULAIRE 

quep  —  i  désigne  le  rapport  du  mouvement  de  l'apogée  de  la  Lune  à  son 
mouvement  moyen  en  longitude,  or  —  i  le  rapport  du  mouvement  de 
l'apogée  du  Soleil  au  mouvement  moyen  de  la  Lune,  elq—i  le  rapport 
du  mouvement  des  points  écjuinoxiaux  à  ce  môme  mouvement  moyen 
(n°  23);  il  est  facile  de  voir  que  l'équation  VII  deviendra  de  cette  forme 

où 

et  Q,  sera  composée  de  différents  termes  de  la  forme  Acos(<2  -+-  a(p);  et 
l'on  sait  que  chacun  de  ces  termes  donnera  dans  la  valeur  de  v  le  terme 

correspondant  — ^  cos(a  H- «9);  de  sorte  qu'on  aura  facilement  par 

ce  moyen  la  valeur  complète  de  v. 

28.  Pour  avoir  les  termes  qui  doivent  composer  la  valeur  de  Ù,  il  n'y 
aura  qu'à  substituer  dans  les  termes  de  l'équation  VII,  qui  sont  affectés 
de  quelques  sinus  ou  cosinus,  i  +  ecos^  à  la  place  de  u,  parce  qu'on 
peut  négliger  dans  la  première  approximation  la  quantité  très-petite  v; 
on  pourrait  même  négliger  aussi  le  terme  ecos5,  qui  est  fort  petit  vis- 
à-vis  de  r ,  la  valeur  de  e  étant  environ  ■^;  mais  comme  on  sait  que,  dans 
la  Théorie  de  la  Lune,  il  se  rencontre  des  termes  qui  augmentent  beau- 
coup par  l'intégration,  il  faut  voir  si  de  pareils  termes  ne  peuvent  pas 
venir  du  terme  ecos^;  or,  comme  les  coefficients  /?,  z;^,  q  et  n  dilTèrent 
peu  de  l'unité,  il  est  d'abord  clair  que  les  deux  termes  qui  contiennent 

sin(?-f--/3)  et  sinz  sous  le  signe  /  5  étant  multipliés  par  cos^,  en  donne- 
ront deux  autres  qui  contiendront  sin(^  -i--n  —  s)  et  sin(z  —  ■^)»  ^t  qui, 
étant  multipliés  par  dcp  et  intégrés  ensuite,  se  trouveront  augmentés 

dans  les  raisons  de  i  à  ■ —  et  de  i  à ;  ainsi  il  sera  bon  de  conser- 

57  —  n  q  —  n 

ver  ces  termes. 


DE  LA   LUNE.  371 

De  plus,  les  termes  qui  contiennent  des  sinus  ou  cosinus  de  2(^-+- vj) 
et  de  iz,  étant  multiplies  par  cos^,  en  donneront  d'autres  qui  contien- 
dront des  sinus  ou  cosinus  de  2  ''ç  +-  yj)  —  s  et  de  2:^  —  ^;  et  ces  sortes 
de  termes  augmenteront  beaucoup  dans  la  valeur  de  v,  puisqu'ils  devront 
être  divisés  par  les  quantités  très-petites  [izs—pY  —  ri^  et  {:iq—pf  —  n'^\ 
il  faudra  donc  aussi  avoir  recours  aux  termes  de  cette  espèce. 

A  l'exception  des  termes  dont  nous  venons  de  parler,  on  pourra 
mettre  partout  ailleurs  1  \\  la  place  de  m,  et  l'on  trouvera,  toutes  réduc- 
tions faites, 

ii=  Lcos2(H4-r))-(-Mcos(^-(-yî)  -i-Ncos3(EH-r})  -f-Pcosaz-hQsinz  4-Rsin33 
-t-Scos[2(Ç-H»3)  —  a]-i-Tcos(Ç4-  yj—  .v)  -1- Vcos(2z  — .v)-t-Xsin(z  — .y), 

OÙ  les  coefficients  L,  M,...  auront  les  valeurs  suivantes 
T  _    9e'     ,       9£' 


8vVi-^       8v=/.-* 


Cî 


/  3£2\  /  3g2 

ik"^       k*g 
2I)         D 

2E  E 

g  ^  _  ^7£'g 9flf__ _  _^  9^'^P 

l6v'/t^  2V'/(\25J — p)  l6v^    ' 

T  -  _  ''K""t)^ 
/iv'k*l{rD—p)' 

3  Ce  Ce  Cpe 

~~  U^  "  k*{'2.q  —  p)  ~  Tk^"* 

'  iDe 

^=-'k^-:rf)' 


47- 


372  SUIl  L'ÉQUATION   SÉCULAIRE 

Et  (le  là  on  trouvera 

_  Lcos2(^ -i-yî)        Mcos(^  +  -/3)        N  cos3(  H -f- y)) 

Pros?.2        Qsin2         RslnS^        S  CGsT^-fH  H- "/!  )  —  .^1 
.\q^  —  n'^        q-  —  n^        ()q^ — n-  (aro  —  pY — n^ 

TcosiçH-y)  —  S)       Vcos(2z — s)         Xsin(z  —  s) 
{rs  —  pf — w'  {y.q — pY  —  "'        iq  —  p?  —  n} 

29.  II  ne  s'agit  plus  maintenant  que  de  substituer  à  la  place  de  u  sa 
valeur  i -+- eeos^  +  r,  dans  la  quantité  — -i  c'est-à-dire  fn°  25  i,  dans 
celle-ci  [x  étant  =  - 

—  irT~,  sin 2 ( H  -^  •/)  ) ,  ,.    ^  '  sin ( Ë  +  ■/) 

sin3(E  -+-•/))  +  Cm  sin?. z cosz «^cosSz, 


et  de  tenir  compte  uniquement  des  termes  qui  contiendront  des  sinus  ou 
cosinus  de  l'angle  |  +  vj  — s  ou  de  ses  multiples  quelconques  (n"23j; 
nous  allons  pour  cela  examiner  séparément  chacun  des  termes  de  la  quan- 
tité dont  il  s'agit,  et  nous  supposerons,  pour  abréger,  l'angle  ^  +  rj  —  - 
égal  à  a,  ainsi  qu'on  l'a  déjà  fait  plus  haut.  Et  : 
i*'  Il  est  clair  que  le  terme 

Q£^ 

—  tfi-7  sin2(^  +  -/3) 

pourra  donner  un  terme  de  la  forme  sin2«,  pourvu  que  la  quantité  — 
en  contienne  un  de  la  forme  cosa^;  or 

—  =  I  —  4(ecos^  +  V)  H-  io(e  cosi  ->t-  vf  —  . . .; 

ainsi  l'on  aura  d'abord  dans  la  valeur  de  —•>  en  vertu  du  terme  —  A^', 

celui-ci 

4P 

—   -y—. ,   C0S2Z; 


DE   LA   LUNE.  373 

ensuite  on  trouviira,  en  xmIu  du  terme  10.2e  cos^.ç',  cet  autre-ci 

loe  V 

; -; COS  2  Z  : 

{'2-q—pY-n-' 
(Je  sorte  que  le  terme  dont  il  s'agit  donnera  le  suivant 

oeW  2I*  5e  V 

—  ' '  '  smcia. 


2"  Le  terme 

^^(■  +  x) 

donnera  un  terme  de  cette  forme  sina  ou  cosa,  pourvu  que  la  quantité 
—  en  contienne  de  la  forme  cos^  ou  sinz;  or 

—  =  I  —  5(ecos5  4-  f  )  H-  i5(ecos5  H-  c)'  — . . .  ; 

et  il  est  visible  que  le  terme  —  ^v  donnera  d'abord  celui-ci 

5Q      . 

~ r  sinz, 

q^  —  n} 

et  que  le  terme  i^ .ieQo?>s.v  donnera  celui-ci 

i5eX 

ainsi  le  terme  en  question  donnera  le  suivant 

)  /  50  i5eX  \ 

cosa. 


^''•^    4  /  /'  5Q  i5eX 


l^v'l  \      i[q'—n')       il{q—pY—n'^ 

3"  Le  terme 

i5e* 

donnera  un  terme  de  la  forme  sin3a  on  cos'35<,  pouivti  que  la  quantité 


:J74  SUU   L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

—  en  contienne  de  la  forme  cos'iz  ou  sin3z;  mais 

—  =  I  —  5(e  C0S5-I-  v)  -+-  i5(ecos5  -\-  vf. .  . , 

et  l'on  trouvera  que  le  terme  —  5^'  produira  celui-ci 

5R 


9^'  -  ^' 


sin3z, 


et  que  les  autres  termes  n'en  produiront  aucun  de  cette  espèce;  donc  le 
terme  dont  il  s'agit  donnera  simplement  celui-ci 


i5e^  5R 

COSvia. 


4°  Le  terme  Cu  sin2z  en  donnera  un  de  la  forme  sin^a,  si  a  ou  v  en 
contient  un  de  la  forme  cos2(^  +  -/j)  ;  or  le  terme  de  cette  forme  qui  esl 
contenu  dans  v  est 

C0S'2(^+  7)); 


4gj'  —  n^ 

ainsi  l'on  aura,  pour  le  terme  dont  il  s'agit,  celui-ci 

CL 


2(4c5'  —  n" 
5^  Le  terme 


sinsa. 


D 

w  cosz 

2 


en  donnera  de  la  forme  cosa,  si  u"^  en  contient  de  la  forme  cos(^  -f-  >5); 

mais 

u'^  =  1 -i- -2  6  coss -\- li/ -\- {e  coss -{- vy, 

et  l'on  trouve  que  iv  contient  d'abord  le  terme 

2M 

^,— ^cos(^  +  .), 


DE   LA    MINE. 

«'I  (|ur  2e<'0S5.('  conticndi'a  le  Icrmc 

<l()ii('  (Ml  ;uir;t,  pour  le  tenue  en  (jiieslion,  e(;lui-c.i 

D  /      M  eT 

-^i :,  +     r; ■-. T  1  f^osa. 


Knfin  le  teiiiie 


3E 


«Vos  3  2 


375 


<l()iinera  un  leiine  de  la  l'orme  eos'-ia,  si  u-  en  eonlienl  de  la   tuiiiic 
oos3(|  -h-/));  or  on  trouve  que  o.^  contient  celui-ci 

2Ncos3(^  +■/;) 


9GJ^  —  n' 

et  que  les  autres  termes  de  la  valeur  de  m^  n'en  contiennent  aucun  di 
celte  espèce;  ainsi  l'on  aura  simplement  le  terme 


3E        N 


2    957^  —  n^ 


C0s3a. 


Rassemltlanl  donc  tous  les  termes  qu'on  vient  de  trouver,  on  aura  les 
trois  suivants 


"t)e^  / ?.P_  5eV  \  CL  1    . 


i5eX      \      D/     M 


L        8v'A         \Q'—n'      f 


q'—ii'      {q—pY—n'/       1  Ver'  — n^      2[(ct  — />!*— 
i5£^  5K  3E         N 


l(lv'X    2(9/jf- 


3E         N       \         „ 

— IT :. :,     ces  3  a, 


n 


qui  seront  contenus  dans  la  valeur  de  —•>  et  qui  pourront  par  consé(|iiiiii 
donner  une  équation  séculaii'e;  et  il  est  facile  de  se  convaincre,  avec  un 


37()  SUR    L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

peu  de  réflexion,  que  ces  termes  seront  effectivenient  les  seuls  de  eelle 
espèce  qui  pourront  entrer  dans  la  valeur  de  —■>  du  moins  dans  la  pre- 
mière approximation;  ainsi  il  n'y  aura  qu'à  voir  si  l'équation  séculaire 
qui  en  résulte  est  conlorine  ou  non  aux  observations. 

30.  J'observe  d'abord  que,  si  l'on  suppose  que  les  deux  hémisphères 
de  la  Terre  soient  semblables,  supposition  à  laquelle  il  n'est  presque  pas 
permis  de  renoncer,  du  moins  sans  les  raisons  les  plus  fortes  et  les  plus 
décisives,  on  aura  fn*^^  14  et  18) 

/=  o,    f'  =  o,     f"  =  o;     g—o,     g'=o,    g"=o;     h  =  o,     li'—o,     /i"  =  o; 

donc  fn<^24) 

D  =  o,     E  =  o, 

et  de  la  fn"  28) 

Q  =  o,     R  =  o,     X=o; 

d'où  il  s'ensuit  que,  dans  ce  cas,  les  trois  termes  ci-dessus  se  réduiront 
à  celui-ci  unique 

ro£' /'  2P  5e\         \  CL        1    . 

Lbv' \      ^q^  —  n^       {"xq  —  p)'-  ~  II-  j        21457^  — /j-)| 

de  sorte  que,  comme  a  exprime  la  longitude  de  l'apogée  du  Soleil  (n"23), 
on  aura  une  équation  séculaire  apparente  et  analogue  à  celle  que  nous 
avons  examinée  dans  le  n'^  8;  ainsi  il  n'y  aura  plus  qu'à  voir  si  le  coef- 
ficient de  cette  équation  est  tel  qu'il  faut  pour  répondre  aux  observa- 
tions. 

Pour  cela,  je  remarque  que,  suivant  les  observations,  on  a 

G'4i"  —I 


^  !  3"  10' 35         ii8i" 

3  . 

ce  qui,  à  cause  de  v^  —  178,  ne  ditfèi'c  pas  beaucoup  de  -— ;-:  ensuite  on 


DE   LA  LUNE.  :n7 

a  aussi  par  les  ()l)scrvati(»ns 

_ i6" 5^1___. 

^      '  ~       365:J-(i3"io'3r>')      ^^     q  —  i  —  —  3(35.  (,30,0' 35"  ^^ 

d'où  l'on  voit  (juc  les  (juanlités  zs  cl  «y  sont  |)r('S(|ii(^  r^alcs  ii  riiiiilr;  du 
moins  la  différence  en  est  si  petite  (jii'il  serait  inutile  d'en  tenir  conipte 
dans  les  coeHicients. 

De  plus  on  a  déjà  ohservr  (|ue  la  constante  k  est  aussi  à  très-peu  près 
égale  à  l'unité;  du  moins  la  diflerenee  ne  peut  être  que  de  l'ordre  de  i^ 

et  de  —  ;  c'est  pourquoi  on  aura,  sans  erreur  sensible  fn"  27 j, 

L  =  7—-  >      P  =  - ,      V  =  o  ; 

et,  faisant  ces  sui)stitulions  dans  le  coellieient  du  terme  sin2a  trouvé 
ci-dessus,  on  verra  que  tout  se  détruira,  en  sorte  que  ce  coefficient  de- 
viendra nul  de  lui-môme. 

31.  Si  les  deux  termes 

9e'     —  2P  CL 


8 v^  4 ^'  —  ^'      ^- 1 4 ^^  —  '^^ ) 

ne  se  détruisaient  pas,  on  aurait  une  quantité  de  l'ordre  de  — -';   de 

même,  si  les  différents  termes  de  la  valeur  de  V  ne  se  détruisaient  pas 
entre  eux,  cette  quantité  serait  de  l'ordre  de  Ce,  et  par  conséquent,  à 
cause  de 

le  terme  • 

9e'  5eV 

Sv*  {iq  —  pY  —  n- 

serait  de  l'ordre  ='*e-C,  c'est-à-dire,  du  même  ordre  (jue  les  autres  termes, 
à  cause  que  -7  et  e-  sont  à  peu  près  (le;s  quantités  du  même  ordre. 

vï.  4» 


378  SU«    L'ÉQUATION   SÉCULAIRE 

Ainsi  le  coefficient  de  siii2Cf,  chins  la  (iiianlité -i  serait  de  l'ordre 
de  — •  c'est-à-dire,  de  l'ordre  de  -^  ,/   „   ,  à  cause  de  s  éq;al  enviion  à  7^ 

v^  (60) -.180  ^  <io 

et  de  V-  égal  environ  à  180. 

Dénotons,  pour  plus  de  simplicité,  ce  coefticient  par  [j,  en  sorte  (ju<' 

la  quantité  -7  renferme  le  terme  /Bsinsia;  et,  si  l'on  regarde  l'angle  « 


comme  constant,  on  aura 


/ 


— 3-=:[3sino.a.cp; 


donc  (équation  VU) 


f/(p        6  sin-:». 


a 


(It  =   -; , Cp  (!o. 


et,  à  cause  que  le  terme  tout  constant  de  ir  est  ii  ti'ès-peu  près  égal  à  1 , 
et  que  k  est  aussi  presque  égal  a  i,  on  aura,  en  intégrant. 


t     ou     Z  ^  co  —  ' o^ 


(Z  étant  l'angle  du  mouvement  moyen  répondant  à  l'angle  du  mouve- 
ment vrai  'j)  ;  d'où 


donc  fn''2) 


et  de  là 


2 


(3  sinaa  .  __  9 

2  10000 .  3(io.  3600. sjv' 


1 0000 .  36o .  3(  )o  ' .  GTV^  s  i  I  i  9.  a  ' 

c'est  la  valeur  que  doit  avoir  le  coefficient  [B  pour  pouvoir  répondre  aux 
observations.  Or  nous  avons  vu  ci-dessus  que,  si  les  terines  qui  com- 
posent la  valeur  de  ce  coefficient  ne  se  détruisaient  pas  entre  eux,  du 

moins  à  très-peu  près,  ce  coefficient  serait  de  l'ordre  de  -,.    /   t^  -  ■  d'où  il 
'        ^  (di))^  100 

(*)  La  lettre  ct,  qui  vient  d'être  employée  pour  un  autre  usago,  (lôsignc  ici,  comme  au  n"  -2. 
le  rapport  de  la  circonférence  au  rayon.        '  {]Vnte  de  V Éditeur.) 


I)i:   \.\    I.IJNK.  370 


sV'iKsiiil  ([lie  l'on  dcviMil  iivoii'  iilois  pour  la  valeur  de  C  une  (|uaiililé  de 
ioo)'.3()o.cT.sin  2a 


l'ordre  7— tt-ot^ . ■<  <»u  bien    à  caiisi;  dii  zo  =  cnviiuii  (> j  de  l'ordre 


-, rr- .         -,  mais  on  a  l'ii"  2i) 

donc    il    l'audrail    (pic    la    (jnaiililé    cr  —  fiU    de     l'urdi'c    de 


100)=".  i8o.sin2a.sin=o) 

Si  l'on  snj)j)OS(!  la  Terre  cilipliqno  et  homogène,  on  a  (n"  20),  à  cause 
(jue,  la  dislance  de  la  Lune  à  la  Terre  ayant  été  supposée  éiçale  a  i,  le 

ravon  de  la  Terre  est  environ  et» al  à  -v-^  on  a,  dis-ie, 

^         ()()  J 

a'  =  -—r. —  >     h^  —  c''  =  V  --; —     I  4-  ^r- 

5(6o)-^  5  (bo)^  \         280 

donc  on  aura  à  très-peu  pi'ès,  dans  cette  hypothèse, 

A'  -4-  c'  I  I  I 

X 


2       ~       5(6o)^  ^  ii5  (6of.575' 

or  il  est  visible  que  cette  quantité  est  à  peu  près  du  même  ordre  que  la 
précédente,  à  cause  de  (looj^. 90  =  900000,  et  (60)^.575  =  2070000; 
d'où  Ton  peut  d'abord  conclure  que,  si  les  principaux  termes  du  coeffi- 
cient de  sin2a  ne  se  détruisaient  pas,  ce  coelTicient  serait  à  peine  suiTi- 
sant  pour  donner  une  équation  séculaire  conforme  aux  observations. 

En  général,  quelle  que  soit  la  figure  de  la  Terre,  pourvu  ({u'elle  soit 
an  solide  de  révolution,  on  a,  par  la  Théorie  de  la  précession  des  équi- 

noxes, 

b^  —  à"         I       , 

___  =  _     a  peu   près; 


or  il  est  bien  aisé  de  se  convaincre  que  la  quantité  b"^  est  nécessairement 

48. 


moindre  (juc  le  cai'ré  du  layon  de  ré(|ualenr,  c'est-h-dire,   <C  777 — ,  (''' 


380  SUU   L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

distance  de  la  Luiio  à  la  Terre  étant  prise  pour  l'unité);  de  sorte  qu'on 
aura  [h-  étant  égal  à  c-) 

2  171^.(60)^  62580O 

D'un  autre  côté,  on  a  trouvé  que,  pour  que  le  coefficient  de  sin^a 
répondit  aux  observations  dans  l'hypothèse  où  les  principaux  termes  de 
ce  coefficient  ne  se  détruiraient  pas,  il  faudrait  que  la  même  quantité 

'- —  a^  fût  de  l'ordre  de ^ ~ ^7-'  c'est-à-dire  (à  cause 

2  (100  J^  ioo.siii2a.sni''oj 

que  fj)  est  l'obliquité  de  l'écliptique  et   a  la  longitude  de  l'apogée  du 

Soleil),  de  l'ordre  -, — q — ■   ,  ko^^,  ■ — ^rrrr;—    r/^/'  quantité  qui  est 

^'  (loo)^  i8o.sin(i5°  j)(sin23^4)         70484     ^  ' 

de  beaucoup  plus  grande  que  la  précédente;  d'oi^i  il  s'ensuit  que,  même 
dans  cette  hypothèse,  on  aurait  peine  à  expliquer  l'équation  séculaire 
de  la  Lune,  par  le  moyen  du  terme  dont  il  s'agit. 

.Mais,  puisque  nous  avons  trouvé  que  le  coefficient  de  ce  terme  est  à 

peu  près  luil,  du  moins  aux  quantités  de  l'ordre  de  -  près  (car  les  va- 
leurs de p  et  de  k,  que  nous  avons  prises  égales  à  l'unité,  n'en  ditfèrent 
réellement  que  par  des  quantités  de  ce  même  ordre),  il  est  clair  que  la 

vraie  valeur  de  ce  coefficient  sera  nécessairement  de  l'ordre  de  —  •  par 

conséquent,  le  terme  dont  nous  parlons  sera  tout  à  fait  insuffisant  pour 
produire  ré(juation  séculaire  de  la  Lune,  telle  que  les  Tables  de  Mayer 
la  donnent. 

On  trouvera  à  peu  près  le  môme  résultat,  si  l'on  a  égard  à  la  variabilité 
de  l'angle  «,  auquel  cas  l'équation  séculaire  ne  sera  qu'apparente  et 
devra  avoir  la  valeur  déterminée  dans  le  n"  8. 

On  conclura  donc  de  là  (jue  l'équation  séculaire  dont  il  s'agit  ne  sau- 
rait venir  de  la  non-sphéricité  de  la  Terre,  tant  qu'on  y  suppose  les  deux 
hémisphères  semblables;  mais,  avant  de  prononcer  sur  l'impossibilité 
d'expliquer  cette  équation  par  l'attraction  de  la  Terre  supposée  non 
sphérique,  il  est  à  propos  de  voir  ce  ([ue  la  dissimilitude  des  hémi- 
sphi'res  peut  donner  sur  ce  j)oint. 


I)K   I.  \    I.UNE.  381 

32.  1*0111'  cel:!,  il  no  s'agit  (jui!  (rcxamincr  l'cU'el  des  autres  termes 
(Ir  la  loniuilc  (lu  u"  29,  c'est-à-dire,  de  eeux  (\\\\  coutiennent  eosa  el 
cos''i«,  et  (|ue  nous  avons  vus  d(;voii*  disparaître  lorsque  les  deux  hé- 
misphères de  la  Terre  sont  semblahles.  Or  on  a  ( u"  27  j,  aux  inlininirni 
petits  de  l'ordre  i^  près, 

M  =  j^.     N=^,     Q  =  l),     K  =  K, 
i5ee  2  De 

l    =  —    7 :^ -'>  \  = » 

4v^/ I— />)  i-p 

où  l'on  remarquera  que  i  —p  est  une  quantité  très-petite,  égale  à  — - 

environ  (n**  30).  Substituant  donc  ces  valeurs  dans  les  deux  termes 
dont  nous  venons  de  parler,  ils  se  léduiront  (en  y  négligeant  ce  qu'on 
doit  y  négliger)  à  celui-ci 

lequel,  comme  l'on  voit,  disparaît  de  lui-même. 

Il  arrive  donc  de  nouveau,  par  une  fatalité  singulière,  que  les  deux 
principaux  termes  du  coeOicient  de  cos«  se  détruisent.  Si  cela  n'étail 

pas,  il  est  claii'  que  ce  coellicient  serait  de  l'ordre  de  — v; — »  c'est- 

à-dire,  à  cause  de  n'-  =  i  —  —  à  très-peu  près  (n°  27),  de  l'ordre  de  -y-. 
or  X,  distance  du  Soleil  à  la  Terre,  est  environ  égale  à  l\oo  (*j,  puisque 
celle  de  la  Lune  à  la  Terre  est  supposée  égale  à  i  ;  donc  r-sera  de  l'ordre 
de  -•,  de  plus  il  (!st  facile  de  voir  (\uv  les  quantités  D  et  E  ^n"  24; 
doivent  être,  généralement  parlant,  plus  petites  que  la  quantité  (ù  dans 


(*)  Le  texte  primitif  porte  200  au  lieu  de  400;  c'est  assurément  une  simple  erreur  typoirra- 
phique  que  nous  avions  le  devoir  de  faire  disparaître;  car,  à  l'époiiue  où  Lagrange  publia  son 
Mémoire,  la  parallaxe  du  Soleil  était  déjà  connue  avec  une  certaine  précision. 

(Note  (le  l'Éditeur.) 


382  SUR  L'ÉQUAÏION  SÉCULAIRE 

la  raison  du  rayon  de  la  Terre  à  la  distance  de  la  Lune,  c'est-à-dire, 
dans  la  raison  de  i  :6o,  parce  que  les  quantités  a-,  h-,  c-  ne  sont  que  de 
deux  dimensions,  au  lieu  que  les  quantités  /\  /'',  /"•'  sont  de  trois 

£l) 

''n'*  18j.  Ainsi  on  peut  regarder  les  quantités  de  l'ordre  de -^  comme 

e'C 
(lu  même  ordre  que  celles  de  l'ordre  -;^\  d'où  il  s'ensuit  que,  si  les  prin- 
cipaux termes  du  coefficient  de  cos«  ne  se  détruisaient  pas,  ce  coeffi- 
cient serait  du  même  ordre  que  celui  de  siii2a,  dans  le  cas  où  les  termes 
de  celui-ci  ne  se  détruiraient  pas  (n°  31);  ainsi  on  pourra  faire  ici 
le  même  raisonnement  (|ue  nous  avons  fait  dans  le  numéi'o  précédent,  et 
en  tirer  des  conclusions  semblables.  Il  est  vrai  que,  comme  les  quan- 
tités/\/'%/"^  sont  indéterminées,  on  pourrait  les  prendre  telles,  que 
les  coefficients  de  cosa  et  de  cos'3a  eussent  la  valeur  requise  pour  don- 
ner l'équation  séculaire  de  Mayer;  mais  il  est  facile  de  se  convaincre 
qu'il  faudrait,  pour  cela,  supposer  aux  deux  hémisphères  de  la  Terre  des 
figures  trop  dissemblables  pour  qu'on  pût  les  accorder  avec  les  mesures 
des  degrés  et  la  Théorie  de  la  précession  des  équinoxes  et  de  la  nutation 
de  l'axe  de  la  Terre. 

33.  Comme,  dans  les  calculs  précédents,  nous  avons  toujours  fait 
abstraction  de  l'inclinaison  de  l'orbite  lunaire  à  l'égard  de  l'écliptique, 
on  pourrait  peut-être  douter,  au  premier  aspect,  si  cette  circonstance  ne 
doit  pas  apporter  quelque  changement  à  nos  résultats;  mais,  pour  lever 
ce  doute,  il  suftit  de  remarquer  que  l'inclinaison  de  l'orbite  ne  peut 
avoir  d'autre  influence  dans  nos  calculs  que  d'introduire  un  sixième 
angle  Ç  égal  à  la  distance  de  la  Lune  au  nœud,  lequel  se  combinerait 
avec  les  cinq  autres  que  nous  avons  considérés  dans  le  n°  23;  or,  comme 
le  mouvement  des  nœuds  est  assez  prompt,  étant  à  celui  du  Soleil  dans 
la  raison  de  i  :  i8,  il  est  facile  de  se  convaincre  que  cet  angle  Ç  ne  sau- 
rait donner  aucune  nouvelle  combinaison  qui  puisse  servir  à  expliquer 
l'équation  séculaire;  de  sorte  qu'on  est,  ce  me  semble,  bien  en  droit  de 
conclure  que  cette  équation,  si  elle  est  réelle,  ne  peut  être  l'effet  de  la 
figure  non  sphérique  de  la  Terre. 


I)K   L  \    MI  M-:.  :5S3 

34.  Apri's  avoir  ('xainiiir  rcllcl  de  l'adioii  de  la  Terre  stii'  la  f.iiiie, 
eu  égai'd  à  la  ii()ii-s|»lieri(il(';  (I(î  la  Teiie,  il  convieiKlrail  aiissi  (l'eiili-er 
dans  im  j)aieil  examen,  rcdalivenienl  ;i  la  lii^iire  non  s|)liéri(|iie  de  la 
Lune;  car  il  esl  clair  (ju'il  doit  résulter  aussi  de  celte  circonstance  de 
nouvelles  forces  perturoatrices  de  l'orhile  de  la  Lune,  et  il  pourrait  ar- 
river que  ces  forces,  couihinées  avec  celles  (jui  vieuuenl  de  l'action  du 
Soleil,  pussent  servir  a  exprupier  l'équation  sé('ulair<*.  Aussi  T Académie 
demande-t-elk;  expresséinenl,  dans  son  Programme,  (|n'(!n  ail  éi;ard  ;i  la 
fliijure  non  sphérique  tant  de  la  Terre  que  de  la  Lniie.  D'ailleur-  l'examen 
dont  il  s'agit  ne  peut  avoir  de  difiiculté  après  ce  (]ne  nims  avons  démon- 
tré jusqu'ici,  puisqu'il  doit  être  aisé  (l'appliquera  la  i.une  les  formules 
que  nous  avons  ti'ouvées  pour  la  Terre;  mais  il  ne  sera  pas  même  néces- 
saire d'entreprendre  un  nouveau  calcul  sur  cet  objet,  pour  décider  la 
question  de  l'équation  séculaii'e,  et  l'on  pourra  s'en  dispenser  par  les 
considérations  suivantes. 

Il  est  clair  que,  pour  avoir  les  forces  perturbatrices  de  l'orbite  de  la 
Lune,  provenant  de  la  non-sphéricité  de  cette  planète,  il  n'y  aura  qu'à 
prendre  les  formules  des  n"'  19  et  suivants  en  sens  contraire,  en  appli- 
quant à  la  Lune  les  quantités  qui,  dans  ces  formules,  se  rapportent  à  la 
Terre. 

Ainsi  0)  sera  l'inclinaison  de  l'équateur  lunaire  sur  l'écliptique,  la- 
quelle est  d'environ  2  degrés;  z  sera  la  longitude  de  la  Terre  vue  de  la 
Lune,  et  comptée  depuis  le  nœud  de  son  équateui';  de  sorte  (|ue,  comme 
on  sait  par  les  observations  que  les  nœuds  de  l'équateur  lunaii-e  coïnci- 
dent toujours,  du  moins  à  très-peu  près,  avec  ceux  de  l'orbite  de  la 
Lune,  l'angle  :;  sera  égal  à  la  distance  de  la  Lune  au  nœud  de  son  orbite, 
angle  que  nous  avons  déjà  nommé  Ç  ci-dessus  (n"  33);  'i>  sera  la  distance 
du  premier  méridien  de  la  Lune  au  nœud  de  son  é<juateur;  el  pnisijue 
la  Lune  présente  toujours  à  la  Tenc  la  même  l'ace,  à  la  libiation  piès, 
qui  est  très-petite  et  périodique,  si  l'on  prend,  ce  qui  est  |iermis,  pour 
premier  méridien  celui  qui  est  dirigé  vers  le  centre  de  la  Terre,  lors- 
que la  libration  est  nulle,  et  qu'on  nomme  A  l'angle  de  la  libralion. 
on  aura  d'  =  Ç-i-A.  Enfin  la  quantité  j  exprimera  la  latitude  de  la  Terie 


384  SUR   L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

vue  de  la  Lune,  et  aura  par  conséquent  la  même  valeur  que  dans  les  for- 
mules citées,  où  elle  dénote  la  latitude  de  la  Lune  vue  de  la  Terre; 
de  sorte  qu'on  aura,  en  nommant  /  l'inclinaison  de  l'orbite  lunaire, 
tangj  =  lang;(  sinÇ,  ou,  à  très-peu  près,  à  cause  de  y^  très-petit, 
v  =  /sinÇ,  Quant  à  la  quantité  A,  qui  exprime  la  lihration  de  la  Lune, 
elle  doit  être  proportionnelle  à  l'équation  du  centre  de  la  Lune  ou,  plus 
exactement,  à  la  somme  de  toutes  les  équations  qui  affectent  le  mouve- 
ment moyen  de  cette  planète;  il  pourrait,  à  la  vérité,  s'y  joindre  encore 
une  équation  provenant  de  la  lihration  physique,  supposé  qu'elle  ait  vé- 
ritahlement  lieu:  mais,  comme  il  n'y  a  encore  rien  de  hien  constaté  sur 
ce  point,  ni  par  la  Thé.orie,  ni  par  les  observations,  on  pourra  se  dispen- 
ser d'y  avoir  égard;  et  d'ailleurs,  quand  on  en  voudrait  tenir  compte,  on 
trouverait  aisément  qu'il  n'en  pourrait  rien  résulter  pour  l'équation  sé- 
culaire de  la  Lune,  à  moins  de  faire  des  suppositions  trop  forcées  et  trop 
peu  admissibles  sur  la  figure  de  cette  planète. 

On  voit  donc  par  là  que  l'expression  des  forces  perturbatrices  de  la 
Lune,  provenant  de  la  non-sphéricité  de  sa  figure,  ne  pourra  ren- 
fermer que  les  mêmes  angles  qui  composent  les  arguments  des  iné- 
galités de  la  Lune,  produites  pai'  l'action  du  Soleil,  c'est-à-dire,  les 
angles  'E,  s,  r},  'Ç  (n"'  23  et  33);  or  il  n'y  a  aucune  combinaison  de  ces 
angles  ni  de  leurs  multiples  qui  puisse  donner  un  angle  constant,  ou  à 
très-peu  près  constant,  à  moins  d'admettre  des  multiples  fort  grands, 
auquel  cas  le  coefficient,  qui  affecterait  le  sinus  ou  le  cosinus  d'un  tel 
angle,  serait  d'autant  plus  petit,  et  par  conséquent  insuffisant  pour  l'ex- 
plication de  l'équation  séculaire  (sur  quoi  voii'  le  VP  volume  des  Opus- 
cules de  M.  d'Alembert)  ;  ainsi  on  peut  être  assuré  d'avance  que  la  non- 
sphéri(;iié  de  la  Lune  ne  peut  être  d'aucune  utilité  dans  la  recherche  de 
cette  équation. 

35.  Je  n'entreprendrai  pas  maintenant  d'examiner  si  l'éijuation  sécu- 
laire de  la  Lune  peut  être  l'effet  de  l'aclion  des  autres  planètes  :  cette 
discussion  nous  mènerait  trop  loin  et  demanderait  même  un  Ouvrage 
particulier,  auquel  le  défaut  de  temps  et  mes  occupations  actuelles 


DE   LA  LUNE.  :î85 

m'eiiipêrhent  do  inc  livror;  iii;iis  il  ne  partit  |);is  impossible  i\v  pouvoir 
décider  la  (jiicstioii  à  priori,  par  des  considérations  analofçues  à  celles  du 
numéro  prcccdcnl.  l-ji  ('(Ici,  il  csl  Facile  de  voir  (jue  les  ex|)i'essioiis  des 
forces  j)crturl)a(iices  de  la  Lune,  produites  par  l'acliou  d'une  [)laiii'le 
queiconcjue,  ne  peuvenl  dépendre  (jue  des  angles  s,  n,  'Ç  r(dalirs  ii  la 
Lune,  et  des  angles  analogues/,  yj',  Ç'  relatifs  à  la  planète  {s'  étant  l'ano- 
malie de  la  planète,  -/j'  son  élongation  à  la  Terre,  et  Ç' sa  distance  au 
nœud);  de  sorte  que  ces  expressions  ne  renfermeront  (jue  des  sinus  ou 
cosinus  d'angles  formés  par  la  combinaison  de  ceux-ci  et  de  leurs  mul- 
tiples; et  l'on  prouvera  aisément  que  la  (juantité  —  ne  pourra  être  formée 

que  de  pareils  sinus  ou  cosinus;  et  si  l'on  veut  avoir  égard  en  même 
temps  à  l'action  du  Soleil,  il  se  joindra  encore  à  ces  six  angles  celui  de 
l'anomalie  du  Soleil,  qu'on  a  nommé  ci-dessus  ^.  Tout  se  réduira  donc  à 
examiner  si  l'on  peut  trouver  une  combinaison  des  sept  angles  5,  n,  'Ç, 
s',  '(]' ,  Ç',  5  et  de  leurs  multiples,  laquelle  donne  un  angle  tout  à  fait,  ou  du 
moins  à  très-peu  près,  constant;  or,  d'après  les  valeurs  connues  des  rap- 
ports de  ces  angles,  on  pourra  s'assurer  aisément  qu'il  n'est  guère  pos- 
sible de  former  de  telles  combinaisons,  sans  employer  des  multiples  assez 
grands;  d'où  l'on  peut  conclure  que  les  termes  qui  pourront  produire 
une  équation  séculaire  ne  se  présenteront  qu'après  plusieurs  correc- 
tions de  l'orbite,  et  seront  par  conséquent  d'un  ordre  beaucoup  trop 
petit  pour  pouvoir  donner  une  équation  sensible  et  conforme  aux  obser- 
vations. 

36.  Puis  donc  que  ré(jualiou  séculaire  de  la  Lune,  telle  que  les  Tables 
de  Mayer  la  donnent,  ne  peut  être  l'effet  de  la  non-spbéricité  de  la  Terre, 
ni  de  celle  de  la  Lune,  ni  de  l'action  dc^  autres  planètes  sur  la  Lune,  et 
par  conséquent  ne  saurait  être  expliquée  par  le  secours  de  la  gravitation 
seule,  il  faut  que,  si  cette  équation  est  réelle,  elle  provienne  de  quelque 
autre  cause,  comme  de  la  résistance  que  la  Lune  éprouverait  de  la  part 
de  quelque  fluide  très-rare,  dans  lequel  elle  serait  mue;  mais  comme, 
d'un  autre  côté,  l'bypotbèse  d'un  fluide  très-subtil,  dont  la  résistance 
altérerait  sensiblement  le  mouvement  des  Corps  célestes,  n'est  pas  encore 
Vl.  4y 


386  SUR  L'ÉQUATION   SÉCULAIRE 

bien  confirmée  par  les  observations  des  autres  planètes,  que  même  elle 
paraît  être  contredite  par  celles  de  Saturne,  dont  le  mouvement  va  en 
se  ralentissant  au  lieu  de  s'accélérer,  comme  cela  devrait  être  en  vertu 
de  la  résistance  de  l'étber,  il  me  semble  qu'on  ne  doit  pas  admettre  cette 
hypotlièse  uniquement  dans  la  vue  d'expliquer  par  son  moyen  l'équation 
séculaire  dont  il  s'afifit. 

Je  dis  :  si  cette  équation  est  réelle;  car  il  me  parait  (jue  les  preuves  (jue 
l'on  en  a  jusqu'à  présent  ne  sont  pas  bien  décisives,  puisqu'elles  sont 
fondées  uniquement  sur  quelques  observations  faites  dans  des  siècles 
fort  éloignés,  et  sur  l'exactitude  desquelles  on  ne  saurait  guère  compter. 

37.  M.  Dunthorn,  le  premier  après  M.  Halley  qui  ait  adopté  l'bypo- 
thèse  de  l'accélération  de  la  Lune,  et  le  seul,  ce  me  semble,  qui  soit 
entré  là-dessus  dans  quelques  détails,  ne  s'en  est  pas  tenu  à  la  simple 
comparaison  des  observations  des  années  720  avant  J.-C.  et  977,  978 
après  J.-C.  avec  les  modernes,  pour  prouver  la  nécessité  de  cette  accé- 
lération; il  a  aussi  discuté,  dans  le  même  objet,  quelques  autres  obser- 
vations faites  dans  les  siècles  intermédiaires  [voir  le  volume  XLVI  des 
Transactions  philosophiques)',  mais,  quoique  ces  observations  paraissent 
confirmer  en  gros  l'accélération  du  mouvement  moyen  de  la  Lune,  elles 
ne  s'accordent  cependant  pas  entre  elles,  à  beaucoup  près,  ni  sur  la 
(juantité  de  l'accélération  séculaire,  ni  même  sur  la  loi  de  cette  accélé- 
ration; c'est  ce  que  je  vais  faire  voir  en  empruntant  les  résultats  des 
calculs  de  ce  savant  Astronome. 

Les  observations  qu'il  a  examinées  sont,  en  les  rangeant  par  ordre 
cbronologique  : 

i*^  Une  éclipse  de  Lune  observée  à  Babylone  le  9  mars  720  avant  J.-(]. 
et  rapportée  par  Ptolémée  dans  le  IV  Livre  de  son  Almageste,  (Cha- 
pitre VL  On  ne  sait  d'autres  circonstances  de  cette  éclipse,  sinon  qu'elle 
a  commencé  plus  d'une  heure  après  le  lever  de  la  Lune,  et  qu'elle  a  été 
totale.  M.  Dunthorn,  ayant  fait  à  cette  observation  les  réductions  con- 
venables, a  trouvé  que  le  commencement  a  dii  être  à  6^4^'"?  ensuite, 
l'ayant  calculée  par  ses  propres  Tables,  qui  n'ont  jamais  été  publiées, 


1)K   LA   LUNE.  387 

que  je  saclie,  il  ;i  lioiiv»'  (|ii('  le  ((niiiiiciicciiiciil  ;uir:iil  dû  ôlrc  ii  H'' 32'"; 
ce  qui  donne  une  anliciiKilion  de  i ''/|(>"' •'<'  r()l)s<'rv;irK»n  sur  les  Tables, 
et  par  conséquent  une  ciiciir  de  .Vj  miiiiilcs  sur  l;i  loni^iludc  calculée. 

2"  Uni!  éclipse  de  Lune  observée  à  liabylone  le  ai  décembre  382 
avant  ].-(].  (il  faut  i'emai'(juer  que  ÎNI.  Duutliorn  rapporte  l'aussement 
cette  éclipse  à  l'année  3[2j.  La  coinmencenient  en  a  été  ol)servé,  au 
rapport  de  Plob';mée,  une  denii-beure  avant  la  tin  de  la  nuit;  d'où 
M.  Duntborn  dit  <jue  ce  coiniucnccnicnt  a  été  ;i  6''/|2"'  du  matin,  tandis 
que  les  Tables  ne  le  lui  donnent  qu'à  8''i5'";  ce  (]ni  l'ait  une  anticipation 
de  i''33'",  et  par  conséijucnl  une  erreur  de  47' i5"  sur  la  longitude 
calculée. 

3"  Une  éclipse  de  Lune  observée  à  Alexandrie  le  22  septembre  200 
avant  J.-{'.,  et  rapportée  par  Ptolémée  d'après  Ilipparcjue.  Cette  éclipse 
a  dû  commencer  une  demi-beure  avant  le  lever  de  la  Lune,  ce  qui  re- 
vient, suivant  M.  Duntborn,  à  5^32'",  tandis  que  les  Tables  ne  lui  don- 
nent que  G^  [  2'";  ce  (jui  l'ait  une  anticipation  de  J\o  minutes,  et  par  consé- 
quent une  erreur  de  •io'so"  sur  la  longitude  calculée. 

4"  Une  éclipse  de  Soleil  observée  parTbéon,  à  Alexandrie,  le  16  juin 
364  après  J.-C,  et  rapportée  dans  son  ('ommentaire  sur  VAlmageste.  Le 
commencement  en  a  été  à  3^i8"';  d'où  JM.  Duntborn  conclut  la  distance 
de  la  Lune  au  Soleil  de  39'4i",  tandis  que  les  Tables  ne  la  lui  donnent 
que  de  35'25";  ce  qui  fait  une  diiïérence  de  4' 16",  qui  est  l'erreur  des 
Tables  au  temps  de  l'observation. 

5°  Une  éclipse  de  Soleil  observée  au  Caire  le  i3  décembre  977,  et 
dont  le  commencement  est  arrivé  Iors(|ue  le  Soleil  était  baut  de  i5''4^'> 
et  la  tin  lorsque  la  bauleur  du  Soleil  était  de  33^  degrés.  .M.  Duntborn 
conclut  de  là  (juc  le  commen(;ement  de  cette  éclipse  a  dû  être  à  8^21'",  et 
la  lin  à  i()''4  >'"  <lu  matin;  cl  il  trouve  (juc  l'erreur  de  ses  Tables  sur  la 
longitude  de  Va  Lune  est  de  7' 36",  dont  la  Lune  s'est  trouvée  plus 
avancée. 

<6°  Une  éclipse  de  Soleil  observée  dans  le  même  endroit  le  8  juin  978, 
et  <|ui  a  commencé  lorsque  le  Soleil  était  haut  de  56  degrés,  et  tini 
lorsqu'il  était  haut  de  -26  degrés.  M.  Duntborn  trouve  que  le  commen- 

4y. 


:îs8  sur  L'équation  séculaire 

cément  de  cette  éclipse  a  dû  être  à  a''3i™,  et  la  fin  à  /j'^So'";  d'où  il  con- 
clut l'erreur  de  ses  Tables  sur  la  longitude  de  8'45"  dont  la  Lune  était 
plus  avancée. 

Ces  deux  observations  se  trouvent  dans  VHistoire  céleste  de  Tyclio  et 
sont  tirées  d'un  manuscrit  arabe,  qui  renferme  les  observations  de  Ibn 
Jouis  et  qui  se  trouve  dans  la  Bibliothè(iue  de  Leyde;  ce  sont  celles 
dont  nous  avons  parlé  au  commencement  de  ces  Recherches. 

Enfin  une-  éclipse  de  Soleil  observée  à  Nuremberg  par  Walter,  le 
29  juillet  147H»  laquelle  donne  une  erreur  de  10  minutes  sur  la  longitude 
calculée;  mais,  comme  il  en  résulte  aussi  une  erreur  en  latitude  de 
9' 12",  M.  Dunthorn  croit  cette  observation  trop  inexacte  pour  qu'on 
puisse  s'y  fixer. 

Rassemblant  maintenant  ces  résultats,  on  aura  les  éléments  suivants  ; 

ANNÉES  ERREURS 

des  des 

observations.  Tables  de  Dunthorn. 

720  avant  J.-C — 54.   <> 

382         »         — 47-  ï5 

200  »  —  20 .  20 

364  après  J.-C —  4- 16 

r)^^  »         -f-    7 .  36 

978         »         +   8.45 


78         )) +10.29 


38.  Il  paraît,  en  général,  par  cette  Table,  que  le  mouvement  de  la 
Lune  a  dû  s'accélérer  continuellement  depuis  l'année  720  avant  J.-C. 
jusqu'à  présent;  voyons  donc  quelles  doivent  être  la  quantité  et  la  loi  de 
cette  accélération,  pour  répondre  aux  observations  que  nous  venons  de 
rapporter. 

Pour  cela,  je  remarque  qu'entre  la  première  et  la  troisième  observa- 
tion il  y  a  un  intervalle  de  620  ans;  qu'entre  celle-ci  et  la  quatrième  il 
y  a  un  intervalle  de  563  ans;  (ju'entre  la  quatrième  et  la  cinquième  il  y  a 
un  intervalle  de  61 3  ans;  qu'enfin  entre  la  cinquième  et  la  septième  il 
y  a  un  intervalle  de  5oo  ans;  d'où  l'on  voit  que  ces  intervalles  ne  sont 


DE   LA    LUNE.  :i8!) 

pas  fort  différents  entre  eux,  en  sorte?  (|ii'()ii  poiiri'a,  sans  craindn'  de 
grandes  erreurs,  les  prcMidre  cl  les  Irailer  comme  égaux. 

De  cette  manière  donc  les  erreurs  des  Tal)les  de  Dnnlliorn  seront  à 
jx'ii  j)rivs,  dans  des  inlervallcs  de  temps  égaux, 


54', 


20  , 


«', 


10  ; 


et,  si  l'on  suppose  que  ces  erreurs  soient  ducs  ii  une  é(juation  (jui 
augmente  comme  les  carrés  des  temps,  et  qu'il  faille  de  plus  cliangcr 
l'époque  et  le  mouvement  moyen  des  Tables,  il  est  clair  que  les  dille- 
rences  secondes  seront  constantes,  et  que  la  moitié  de  la  valeur  de  cellf 
difîerence  constante  prise  négativement  sera*  l'équation  séculaire  pinir 
un  espace  de  temps  égal  à  l'intervalle  d'une  observation  à  l'autre;  or  je 
trouve,  en  prenant  successivement  les  diflerences. 


Erreurs  des  Tables 

-   54 

— 

■10 

— 

4 

-h  8 

■+-    lu 

Promières  difTérences 

-  34 

— 

iG 

— 

I'2                 — 

2 

Secondes  difTérences 

— 

18 

4 

—     10 

et  comme  les  différences  secondes  sont  trop  inégales  entre  elles,  je  crois 
pouvoir  en  conclure  qu'on  ne  saurait  sauver  les  erreurs  des  Tables  pai- 
un  simple  cbangement  de  l'époque  et  du  mouvement  moyen  combiné 
avec  une  équation  séculaire  qui  augmente  comme  les  carrés  des  temps. 

39.  Mais  voyons  encore  si  l'on  pourrait  concilier  les  observations 
avec  les  Tables,  en  introduisant  dans  celles-ci  une  équation  séculaire 
apparente,  qui  dépende  du  sinus  d'un  certain  angle  qui  croisse  ou  dé- 
croisse uniformément. 

Soient/J  le  changement  qu'il  faudrait  faire  à  l'épociue  des  Tables  pour 
l'observation  de  720  avant  J.-C;  q  le  changement  qu'il  faudrait  faire  au 
mouvement  moyen  pour  55o  ans  environ,  ce  qui  est  l'intervalle  moven 


.m)  SUR  L'ÉQUATION  SECULAIRE 

enlre  les  observations;  a  l'argument  de  l'équation  séculaire  pour  l'ol)- 
servatiou  de  720  avant  J.-C;  9  le  mouvement  ou  la  variation  de  cet  argu- 
ment pour  55o  ans,  et/  le  coefficient  ou  la  plus  grande  valeur  de  l'équa- 
tion :  on  aura  donc  pour  les  erreurs  des  Tables  dans  les  cimj  observations 
<lonl  il  s'agit,  supposées  équidistantes,  les  quantités 

p  +fs'wx, 

p -^  g   +/sin(a  +  9), 
/;  -1-  ?.^  -h/sin  {ce  -+-  29), 
p  -^  'i(J  H-/sin  (  a  -t-  39), 
/;  +  4y +/sill(a  +  49j; 
donc 

p  -{-  fsincc  ■=■  —  54, 

p -^  (]   -+- f  sin  { oc -+-  9,  =  —  20, 
p  -\-  iq  -h /sin  :  a  H-  2 9 )  =  —  4» 
p  -^"iq  +/sin(a  +  39)  =  8, 
p  +  ^(J  +/sin(a  +  49y  =  10, 

équations  par  lesquelles  on  pourra  déterminer  les  cinq  inconnues  p,  y, 
/,  a,  9,  Pour  cela,  j'ajoute  la  première  et  la  troisième  :  j'ai 

^{p  -\-  q)  H-/[.sina  H-  sin  («  -h  29  ]  =  —  58; 

mais 

sin  a  +  sin  [a  -h  o-o)  =  2  ces  9  sin  (a  +  9); 

donc  on  aura,  en  divisant  par  2, 

p  -\-  q  -1-/COS9  sin  (  a  +  9  j  =  —  29, 

et  de  là 

_P  .  ,  20  -h-  p  -\-  q 

f  sm  (  a  +  9    = '- '- i  ; 

•^  ^^  C0S9       ' 

or  la  seconde  équation  donne 

/'sin  (a4-9j  =  —  20  —  p  —  q  l 


DE  LA    LUNE.  :}iM 

«loue,  coiiipni'îinl  ces  deux  Vîilcur's,  on  ;iuim 

?«  )  +  P  -h  (1 

— =  ?,()  -h  p  -{-  a; 

coscp  '         ^ 

d'oii 

p  +  (J=:  1 1. 

i  —  nos  9 
De  nx'inc,  en  ;ijoul;iiil  l;i  sccitiido  (!t  la  quatrièiiie  (^qualiuii,  on  ;iiiia 

■2.{p  -h  o.q)  -f-/[siii  (a  -+-  9J  -f-  sin  (a  +  3(p)]  =  —  12, 
savoii',  it  cause  de  siii  fa  H-  çjj  4-  sin  (a  -h  3(p  j  =  2f(>S'^  sin  f  «  -i-  :^p;. 

/7  +  ?.y  -f-/cos(p  sin  (a  H-  29)  =  —  (^; 

d'où  l'on  tire 

/.   .  ,  6  -h  )P  H-  2  o 

^  coscp       ' 

et,  connue  la  troisième  équation  donne 

/sin  (a  4-  ?.9)=:  —  4  —  /;—  2^, 
on  aura,  par  la  comparaison  de  ces  valeurs, 

6H-  p  +  2(7  , 

'- ^  =4  +  »  +  2y; 

C0S9  '         ^ 

et  de  là 

4COS9  —  'i 


r-^^g  = 


I  —  COS9 


On  comparera  de  même  entre  elles  les  trois  dernières  équations;  cl 
comme  M.  Dunthorn  regarde  l'observation  de  Walter,  qui  a  donné  10  mi- 
nutes d'erreur,  comme  un  peu  suspecte,  nous  prendrons,  en  général,  a/// 
pour  l'erreur  de  cette  observation;  ainsi  l'on  aura  d'abord,  en  ajonlanl 
la  troisième  et  la  cinquième  équation, 

2  \p  -+-  3 </  ^  4-/ [sin  ( a  -f-  ?.  9  )  +  sin  ( a  4-  4 9 )]  =  2  w?  —  4, 
et,  à  cause  de  sin  (a  -f-  29)  +  sin  (a  +  4'?)  =  2COS9  ^'^  '  <^  "•"  '^9  !- 
p  -h  3g  +/COS9  sin(aH-  3o)  =  /;/  —  2; 


:î92  sur  L'EQUATION  SECULAIRE 

d'où 

f  •    I      ,    -i    \       m  —  'i'-p  —  Zq 
•^         '  ^  coscp 

mais  la  quatrième  équation  donne 

/sin  (a-+-39)  =  8— />—  3^; 
doue 

m  —  'î  —  f)  —  3q 

3  —  p  —  6(/  = ^- ; 

'  ^  coscp 

d'oii 

m  —  2  —  8  CCS  9 
»  +  3ûf  = ^• 

'         ^  I  —  coscp 

On  a  donc  maintenant  les  trois  équations 

20  coscp  —  2Q 

p-h   q= ^ ^5 

4  coso  —  6 
p  -\-  aq  = 1 

^  '  I  —  coscp 

m  —  2  —  8  cos  o 

y  -H  3ûf  = --^ 

^         ^  I  —  coscp 

d'où  l'on  tire  d'abord  celles-ci 

_  —  1 6  cos  9  +  23  _  />?  -t-  4  ~  1 2  '^■t>s  9 
^  I  —  cos  9  I  —  cos  9 

cl  par  conséquent 

—  i6cos9  +  23  — -  m-h  4  ~  '^  C0S9; 

d'oii 

iq  —  m 

COS  9  =  — ^ 

4  . 

On  voit  donc  que  cette  équation  ne  saurait  subsister,  en  adoptant 
10  minutes  pour  l'erreur  des  Tables  sur  l'observation  de  Walter;  car  on 
aurait  alors  2m  =  10  et  //z  =  5,  ce  qui  donnerait 

COS9  =  -r-  =  Sh 

4 


HE   LA   LUNE.  393 

En  général,  comme  C0S9  doit  être  nécessairemenl  <  j ,  il  faudra  que 
l'on  ait--^<i;  donc  ,()_m</,  et  m>i5;  donc  :?m>'^(>;  en 
sorte  que  l'erreur  des  Tables  au  temps  de  l'ol.servalion  dont  il  s'agit, 
loin  d'élre  moindre  (|ne  celle  que  M.  Dun(li..rn  a  Ircuvéc,  .levrait  être 
au  contraire  lr..is  fois  ,,lns  grande;  ce  qui  ne  saurait  élre  admis,  puis- 
qu'il faudrait  que  Walter  se  fut  trompé  d'environ  une  heure  sur  le  temps 
de  l'éclipsé  (|u'il  a  observée. 

40.  Si  l'on  désigne  par  -  :.«.  _2/>,  -  ^c,  -  2^,  _  2e  les  erreurs 
—  54,  —  20,...  en  sorte  que  l'on  ait  les  équations 

p  -h  f^\na=  —  xa, 
P-^  ^  -f-/sin(a-t-  9)  =  _2^, 
p  -h  ig  -hfsinicc  -+-  ?.(p)=:_26-, 
P  -+-37+/sin(a  +  3  9)  =  -2f/, 
Z' +  4^+/sin  (a  +  49)  z=  —  2e, 
on  trouvera  ces  trois-ci 

26  cos©  —  a  —  c 


p-h    g 
p  -\-  iq 


I  —  COS(p 

2CCOS9  —  f>  —  d 


I  —  cos< 


^^3^^2^^cos9--^-e^ 
I  —  C0S9 

d'où  l'on  tire  sur-le-champ 

q  =  ^{c-b)roso+a~b  +  r-  d  ^  o^jd  ~  c)cos<^  +  b  -  c -^  d-e 
et  de  là 

2(c  -  6)  COS9  +  a-b^-c-d=i{d-c)  coso  ^b-c^d-e, 
savoir 


VI. 


C0S9  =  ^LzJii±ZiL:zZ^îLL£ 

2  (  6  —  2  6-  4-  </) 


5n 


394  srjR   L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

connaissant  l'angle  z»,  on  connaîtra />  et  q,  et  ensuite/et  a  par  les  équa- 
tions ci-dessus;  cette  solution  peut  être  utile  dans  d'autres  occasions,  et 
c'est  ce  qui  nous  a  engagé  à  la  rapporter  ici. 

41.  Au  reste,  comme  M.  Dunthorn  n'a  point  publié  ses  Tables  de  la 
Lune,  et  que  par  conséquent  on  ne  peut  savoir  quel  degré  de  confiance 
elles  méritent;  que  d'ailleurs  les  Astronomes  paraissent  être  convenus  de 
regarder  celles  deMayer  comme  les  meilleures,  j'ai  cru  qu'il  était  impor- 
tant de  voir  ce  (jue  ces  dei'uières  donneraient,  et  j'ai  prié  en  conséquence 
un  très-habile  Astronome  (M.  B***)  de  vouloir  l)ien  calculer  les  lieux  de 
la  Lune,  au  temps  des  observations  rapportées  ci-dessus  d'après  les 
Tables  de  Mayer,  pour  en  déduire  les  erreurs  de  ces  Tables;  je  l'ai  même 
engagé  à  entreprendre  ce  travail  deux  fois,  premièrement  en  adoptant 
l'époque  et  le  mouvement  moyen  de  la  Lune  de  Cassini,  et  y  appliquant 
les  équations  données  par  les  Tables  de  Mayer,  et  ensuite  en  faisant  le 
calcul  uniquement  d'après  ces  dernières  Tables;  car,  comme  la  différence 
de  3'42",  qui  est  entre  les  mouvements  moyens  séculaires  de  la  Lune 
suivant  Cassini  et  suivant  Mayer,  tient  piincipalement  à  l'équation  sécu- 
laire introduite  par  ce  dernier,  ainsi  qu'on  l'a  vu  au  commencement  de 
ce  Mémoire,  si  l'on  veut  faire  abstraction  de  cette  équation,  il  paraît 
naturel  qu'on  rétablisse  le  mouvement  moyen  tel  que  Cassini  l'a  trouvé; 
or  il  ne  sera  pas  inutile,  dans  notre  recherche,  de  connaître  les  erreurs 
des  Tables  dans  cette  hypothèse,  et  de  les  comparer  à  celles  qui  ont  lieu 
dans  l'hypothèse  de  l'équation  séculaire. 

Voici  les  résultats  de  ces  calculs;  l'Auteur  m'a  assuré  les  avoir  faits  el 
revus  avec  beaucoup  de  soin,  et  de  manière  à  pouvoir  compter  entière- 
ment sur  leur  exactitude. 


DE  LA    LUNE. 


395 


BRREUnS 

ERREURS 

LiEi;x 

des  obseivaiioiis. 

DVTK 
des  éclipses  obsoivées. 

.!.'s 

'l'iihli's  de  Maycr 

avec 

des 

TaLIcs  de  Mayer 

sans 

l'cquatiuri  séculaire. 

l'équation  séculaire. 

Habyluiio 

■]i.o  avant  .I.-C.     Mars  19 

-    24! 55" 

-   u3;3o" 

Babylone 

38'2 IX'C.    22 

-    26. 

—    1 1 . 3o 

Aloxiinflric 

Aloxandrio 

200 SopL  '>.'>. 

—  '7- 

—  12.40 

—      i.i5 
-(-   12.12 

364  après  J.-C.     .lu in    iC) 

Caire 

977 l>i"t;-    "2 

978 Juin      8 

—     1 .22 

-t-     0.18 

-+-  20.42 
-+-    1G.35 

Caire 

Il  faut  i'('inar(jii(M',  îi  Tégaid  dos  deux  premières  observations  de  cette 
Tal)le,  (ju'oii  a  supposé  dans  le  calcul,  (raj)r('s  .M.  de  la  Lande  [Mémoires 
de  l'Académie,  année  1  ySy),  que  la  diderence  des  luéiidicus  entre  Paris  et 
Babylone  n'esl  que  de  2''32"',  tandis  (jue  M.  Duntboni  la  l'ait  de  2''4i'"T' 
à  canse  que,  suivant  Plolémée,  Babylone  est  plus  ;i  l'orient  qu'Alexandrie 
de  5o  minutes,  et  que  la  différence  des  méridiens  entre  cette  dernière 
ville  et  Paris  est  fixée  à  i''5i"'|. 

Si  l'on  voulait  adopter  la  détermination  de  Dunlliorn,  alors  les  erreurs 
des  Tables  au  temps  des  deux  premières  observations,  c'est-à-dire,  en  720 
et  382  avant  J.-(].,  deviemlraienl  d'environ  5  minutes  plus  grandes. 


42.  Si  l'on  prend  les  erreurs  contenues  dans  la  dernière  colonne  de 
la  Table  précédente,  mais  en  omettant  celle  de  l'année  382,  et  substituant 
à  la  place  des  deux  dernières  la  valeur  moyenne  i8'-|,  on  a  cette  suite  de 
nombres  —23.^,  — 1|,  H-i2|,  +18^,  dont  les  différences  premières 
sont  22|,  12^,  ()[,  et  dont  les  diflérences  secondes  sont  —  ()y,  —  0^ . 
Iesqu(dles  sont  trop  inégales  pour  qu'on  en  puisse  rien  conclure  direc- 
tement pour  la  loi  de  l'équation  séculaire  ('n"38);  on  pourrait  cepen- 
dant, en  changeant  seulement  de  (|ucl(jucs  minutes  les  cireurs  dont 
il  s'agit,  rendre  leurs  différences  secondes  constantes  et  égales  à  la  va- 

5o. 


396  SUR  L'ÉQUATION  SÉCULAIRE 

leur  moyenne  —8  des  précédentes;  alors  on  aurait  4  minutes  pour  la 
(|uantité  de  l'équation  séculaire  dans  l'espace  d'environ  55o  ans,  ce  qui 
donnerait  à  peu  près  8  secondes  pour  l'équation  séculaire  au  bout  du 
premier  siècle;  mais  nous  ne  nous  arrêterons  pas  davantage  là-dessus, 
et  nous  passerons  à  examiner  les  erreurs  des  Tables  mêmes  de  Mayer, 
qu'on  voit  dans  la  pénultième  colonne. 

il  est  d'abord  évident  que  le  but  de  ce  savant  Astronome  a  été  princi- 
palement de  faire  cadrer  ses  Tables  avec  les  observations  arabes  de  977 
et  978;  mais  on  doit,  ce  me  semble,  être  un  peu  surpris  de  ce  que  ses 
Tables  ne  représentent  pas  mieux  l'observation  de  720  avant  J.-C,  qui 
a  toujours  servi  de  base  dans  la  détermination  des  moyens  mouvements 
de  la  Lune;  cependant,  si  l'on  fait  attention  que  le  calcul  a  été  fait  en 
prenant  avec  M.  de  la  Lande  6*'  1 1""  pour  le  temps  de  l'opposition,  tandis 
que  suivant  M.  Cassini  elle  a  dû  arriver  à  G^'dS'",  on  verra  que  cette  diffé- 
rence de  47  minutes  en  produira  une  d'environ  24  minutes  dans  le  lieu 
de  la  Lune  (n°  4  ci-dessus),  ce  qui  réduira  l'erreur  des  Tables  de  Mayer 
à  enviion  —  i  minute. 

Il  paraît  donc  très-probable  que  cet  Astronome  a  suivi  le  calcul  de 
M.  Cassini  pour  la  détermination  du  lieu  de  la  Lune  dans  l'éclipsé  de  720 
avant  J.-C,  et  qu'il  a  par  conséquent  tàcbé  d'y  accommoder  ses  Tables 
au  moyen  de  l'équation  séculaire  qu'il  a  appliquée  au  mouvement  moyen. 
Mais  si  la  correction  que  M.  de  la  Lande  a  faite  au  calcul  de  M.  Cassini, 
et  dont  il  rend  raison  dans  son  Mémoire  sur  les  équations  séculaires 
[Mémoires  de  l'Académie,  année  ij^'j),  est  fondée,  il  est  clair  que  le  mou- 
vement moyen  et  l'équation  séculaire  de  Mayer  devront  être  un  peu  al- 
térés pour  que  ses  Tables  puissent  représenter  également  l'observation 
de  720  avant  J.-C.  et  celles  de  977  et  978  après  J.-C. 

Soit  X  le  nombre  de  minutes  dont  il  faudrait  augmenter  le  mouvement 
séculaire  de  Mayer,  et  y  celui  dont  il  faudrait  augmenter  son  équation 
séculaire  pour  le  premier  siècle,  à  compter  depuis  1700;  il  est  clair  que, 
en  gardant  l'époque  du  lieu  moyen  pour  1700,  le  lieu  moyen  pour  978  se 
trouvera  plus  avancé  de  —  'j^x-h  {'Jj^y,  et  pour  720  avant  J.-C.  de 
—  ilijx-h  (24^)^7;  or,  comme  l'erreur  des  Tables  de  Mayer  est  presque 


DE   LA    LUNE.  :î07 

iiiillr  |)()iir  r()l).s(M'v;i(i()ii  de  (jycS,  il  finidia  l'iiiro  (l^ilioid 

\)o\w  (|U('  le  lieu  moyen  ne  clKUige  p.is  en  97^;  cl  l'on  ;iiii-;i  |»;ir  lit 

ensuite,  |)om' détruire  l'errcm' de  —  2  V')  j"  que  les  Tables  doiinnii  poiii 
l'observalion  de  720  avant  J.-(l.,  on  l'ei'a 

ce  (jui,  à  eause  de  x  ^=  7  { j,  donne  à  ti'ès-|)cn  près 

j  =  Vi  =  3"i      et     ^rrraS"; 

en  sorte  que  {'('(juation  séculaire  devrait  être,  pour  le  premier  siècle, 
(le  ia"|,  et  le  mouvement  séculaire  moyen  de  10*  7° 54' o". 

i3.  Ce  changement  dans  l'équation  séculaire  et  dans  le  mouvemeni 
moyen  diminuerait  aussi  beaucoup  les  erreurs  des  Tables  dans  les  obser- 
vations intermédiaires;  car  le  lieu  moyen  se  trouverait  plus  avancé 
d'environ  i3  minutes  pour  l'observation  de  382  avant  J.-C,  d'environ 
17  minutes  pour  celle  de  200  avant  J.-C,  et  d'environ  ;>  minutes  pour 
l'observation  de  364  après  J.-C,  de  sorte  que  les  erreurs  trouvées  dans 
la  dernière  colonne  de  notre  Table  précédente  en  seraient  diminuées 
d'autant. 

Il  est  vrai  qu'en  changeant  le  lieu  moyen  les  valeurs  des  équations  doi- 
vent aussi  changer  un  peu;  mais  on  peut  ici  négliger  ces  variations  (jui  ne 
peuvent  monter  qu'à  quelques  secondes;  en  effet,  il  est  clair  (|u'il  n'v  aura 
que  les  trois  principales  équations  de  la  Lune,  savoir  Y  équation  du  centre, 
Vévection  et  la  variation,  qui  puissent  recevoir  un  changement  tant  soil 
peu  sensible,  tandis  que  le  lieu  moyen  augmente  ou  diminue  de  (jucl- 
ques  minutes;  or,  à  cause  que  dans  les  observations  dont  il  s'agit  la 
distance  de  la  Lune  au  Soleil  est  o  ou  180  degrés,  la  variation  sera  nulle, 
et  l'évection  aura  pour  argument  la  sim|)lc  anomalie  de  la  Lune;  de  plus. 


398  SUR  L'ÉQUATION   SÉCULAIRE 

comme  toutes  les  éclipses  rapportées  dans  notre  Table  ci-dessus,  à  l'ex- 
ception des  deux  dernières,  sont  arrivées,  la  Lune  étant  assez  éloignée  de 
ses  apsides,  on  trouvera  aisément  que  la  différence  produite  par  le  chan- 
gement des  équations  dont  nous  venons  de  parler  ne  pourra  guère  mon- 
ter à  I  minute. 

Il  n'en  serait  pas  de  même  pour  les  deux  éclipses  de  977  et  978,  qui 
sont  arrivées  fort  près  des  apsides  de  la  Lune,  où  un  degré  de  dilFérence 
dans  raiioinaiie  peut  donner  jusqu'à  7'^  de  variation  dans  l'équation  du 
centre;  mais,  puisque  nous  avons  fait  en  sorte  que  les  changements  du 
mouvement  moyen  et  de  l'équation  séculaire  se  compensent  mutuelle- 
ment au  temps  de  ces  éclipses,  le  lieu  moyen  de  la  Lune  n'a  point  été 
altéré  par  ces  changements. 

44.  Au  reste,  comme  les  observations  qui  nous  ont  été  transmises  par 
Ptolémée  ne  sont  rapportées  que  d'une  manière  fort  vague,  et  que  d'ail- 
leurs on  sait  qu'il  est  très-di(ïicile  de  fixer  le  commencement  ou  la  fin 
d'une  éclipse  de  Lune,  à  cause  de  la  pénombre  et  de  l'atmosphère  de  la 
Terre,  qui  en  rendent  les  phases  douteuses  et  qui  font  que  nos  meil- 
leurs Astronomes  s'y  trompent  quelquefois  de  plusieurs  minutes,  malgré 
l'exactitude  de  nos  instruments  et  les  soins  scrupuleux  qu'on  a  coutume 
d'apporter  à  ces  sortes  d'observations,  il  s'ensuit  qu'il  y  a  très-peu  de 
fond  a  faire  sur  les  observations  que  nous  venons  de  discuter  ci-dessus 
pour  en  déduire  l'équation  séculaire  de  la  Lune;  et  si  l'on  joint  à  cette 
remarque  celle  que  M.  de  la  Lande  a  déjà  faite  sur  l'incerlitude  des  deux 
observations  arabes  de  977  et  978,  au  sujet  desquelles  feu  M.  Bevis,  sa- 
vant Astronome  anglais,  qui  avait  entre  les  mains  une  traduction  du 
manuscrit  arabe  d'où  elles  sont  tirées,  lui  dit  qu'il  avait  de  fortes  raisons 
de  douter  si  c'étaient  de  véritables  observations  ou  de  simples  calculs 
(Astronomie,  Article  Li85),  on  conviendra  sans  peine  que  l'existence 
de  cette  prétendue  équation  séculaire  est  encore  très-douteuse;  de  sorte 
que,  comme  la  Théorie  y  parait  en  même  t(!mps  contraire,  le  meilleur 
parti  qu'il  y  aurait  à  prendre,  du  moins  jusqu'à  ce  que  le  temps  nous 
ap[)orte  là-dessus  de  nouvelles  lumières,  serait  peut-être  de  rejeter  entiè- 


DE   LA   LUNE.  399 

l'oment  cette  équalioii,  en  conservant  ncniunoiiis  le  mouvement  moyen, 
tel  que  M;iyci'  l'a  rlahli,  l('(|iicl  |»arail  assez  Iticn  d'accord  avec  les  ob- 
servations de  ces  deux  dcrnicis  sii'cics.  |K)iir  lesquelles  re(|iialion  sécu- 
laire est  d'ailleurs  prcscjue  insensible. 

Eîi  cITel  le  savant  Astronome  dont  j'ai  parlé  ci-dessus,  ayant  compare 
avec  les  Tables  de  Mayer  les  observations  de  (juelques  éclipses  de  Lune 
du  xi\^  et  du  xvi^  siècle,  rapportées  par  Riccioli  dans  son  Almageste,  a 
ti'ouvé  les  résultais  suivants 

TEMPS    MOVr.N,    A    PARIS,  EnRF.l'RS 

ties  oppositions  oliservdcs.  tles  Tables  de  Mayer. 

Il        III  m 

1457  3  soplombrc       10 10 —  1 

1464  21   aviil                   I?. 3o -f-  I 

i5oo  5  novembre       1259 +2 

iSyS  8  décembre          7?.! —  1 

La  première  de  ces  (juatre  éclipses  a  été  observée  à  Mellicum,  en  Au- 
tricbe,  par  Purbacli  ef  Regiomontanus,  la  seconde  à  Padoue  par  Regio- 
monlanus,  la  troisième  à  Rome  par  Copernic,  et  la  (juatrième  à  Urani- 
bourg  par  Tyclio. 

On  voit  d'abord  que  les  erreurs  des  Tables  de  Mayer  sont  très-petites, 
et  (jue,  de  plus,  elles  sont  les  unes  positives  et  les  autres  négatives;  ce 
(jui  prouve  que  l'époque  et  le  moyen  mouvement  sont  assez  bien  établis; 
il  n'y  a  (jue  l'observation  de  ifïoo  pour  laquelle  l'erreur  des  Tables  est 
un  peu  sensible;  mais  je  crois  (|u'il  faut  la  rejeter  [)lutùl  sur  l'observa- 
tion même,  qui  n'est  rapportée  par  Copernic  [De  Revolutionibus  orbium 
cœlesdum,  Livr(î  IV,  Cbapitre  IV)  (jue  d'une  manière  un  peu  vague,  d'au- 
tant plus  que,  cette  éclipse  n'ayant  pas  été  totale  comme  les  autres,  il 
lui  aura  été  difïicile  d'en  fixer  le  temps  du  milieu. 


RECHEUCHES 


THÉORiK  DES  PERTURBATIONS 


QUE  LES  COMETES  PEliVEM    ÉPROl  VER  F'AR   l;A^.TIO^   DES  PLANÈTES. 


VI. 


RI'CIII'liCIIES 


THÉORIE  DES  PERTURBATIONS 


QUE    LES   COMÈTES   PEUVENT   ÉPROUVKH    l>AK    l/ ACTION   DES   PLANÈTES. 


[Mcilinhrs  (les  Savants  étrangers,  t.  X,  1785.  Prix  de  l'Académie  pour  1778. 


Os  Recherches  sont  divisées  en  quatre  Sections,  que  je  vais  parcoiiiii 
sommairement. 

Dans  ia  première  Section,  je  donne  d'ahord  les  équations  i^éneralcs 
du  mouvement  d'une  comète  autour  du  Soleil,  en  ayant  égard  aux  per- 
turbations (|u'elle  peut  éprouver  par  l'action  d'une  ou  de  plusieurs  pla- 
nètes, et  en  rapportant  les  lieux  tant  de  la  comète  que  des  planètes  à  des 
coordonnées  rectangles.  Je  simplifie  ensuite  ces  équations  en  parta- 
geant chacune  d'elles  en  deux,  dont  l'une  ap|)artienne  à  l'orbite  imn 
altérée  et  dont  l'autre  renlerme  l'ellet  des  perturbations,  et  je  fais  voii 
qu'en  négligeant,  à  l'exemple  des  grands  Géomètres  qui  ont  déjà  traité 
la  Théorie  des  comètes,  les  carrés  et  les  produits  des  forces  perturba- 
trices, on  peut  considérer  à  part  l'action  de  chaque  planète,  et  prendre 
la  somme  des  effets  de  leurs  différentes  actions  pour  l'effet  total  de  leurs 
actions  réunies.  Enfin  je  montre  comment  on  peut  satisfaire  aux  équa- 
tions dilTérentieiles  des  perturbations,  dans  le  cas  où  la  comète  serait  à 

5i. 


404  RECHERCHES  SUR    L\   THEORIE 

une  distance  du  Soleil  infiniment  grande  par  rapport  à  la  dislance  de  la 
planète  au  Soleil  :  d'où  résulte  naturellement  une  transformation  de  ces 
mêmes  équations,  laquelle  en  facilite  beaucoup  l'intégration  relative- 
ment à  la  partie  supérieure  de  l'orbite  de  la  comète.  Cette  transforma- 
lion  tient  lieu  des  métliodes  synthétiques  proposées  jusqu'ici  pour 
simplifier  le  calcul  des  perturbations  dans  les  régions  supérieures  de 
l'orbite,  et  elle  a  en  même  temps  l'avantage  de  conserver  l'uniformité 
dans  la  marche  du  calcul. 

La  deuxième  Section  est  destinée  uniquement  à  l'intégration  des  équa- 
tions différentielles  de  l'orbite  non  altérée,  et  contient  une  solution 
complète  du  fameux  Problème  que  Newton  a  résolu  le  premier,  et  une 
foule  d'Auteurs  après  lui.  Je  me  flatte  que  mon  analyse  pourra  paraître 
encore  digne  de  rattenlion  des  Géomètres  par  sa  simplicité  et  par  sa  gé- 
néralité; elle  est  d'ailleurs  nécessaire  pour  les  calculs  de  la  Section  sui- 
vante, et  fournit  différentes  formules  qui  sont  d'un  grand  usage  dans 
tout  le  cours  de  cet  Ouvrage. 

Dans  la  troisième  Section,  je  m'occupe  de  l'intégration  des  équations 
diff'érentielles  des  perturbations.  Je  fais  voir  comment  leurs  intégrales  se 
déduisent  naturellement  de  celles  des  équations  de  l'orbite  non  altérée, 
en  y  faisant  varier  les  constantes  arbitraires  qui  représentent  les  éléments 
de  l'orbite  :  ce  qui  conduit  directement  à  exprimer  l'effet  des  perturba- 
lions. par  la  variation  des  éléments  de  l'orbite  considérée  comme  ellip- 
tique; et  ces  variations  se  trouvent  déterminées  par  des  formules  difl'éren- 
tielles  assez  simples,  dont  chacune  ne  demande  qu'une  seule  intégration. 
Je  fais  ensuite  usage  des  transformations  proposées  dans  la  première 
Section  pour  les  parties  supérieures  de  l'orbite;  les  formules  difleren- 
tielles  dont  il  s'agit  deviennent  par  là  composées  d'une  partie  absolu- 
ment intégrable  et  d'une  partie  non  intégrable,  mais  qui  est  toujours 
d'autant  plus  petite  que  la  comète  est  plus  éloignée  du  Soleil,  en  sorte 
qu'elle  devient  insensible  lorsque  la  comète  est  à  une  très-grande  dis- 
tance du  Soleil.  Je  termine  cette  Section  par  les  formules  générales  qui 
expriment  l'altération  de  la  durée  des  révolutions  anomalistiques  et  pé- 
riodiques de  la  comète. 


DES  PEHTUUBATIONS  DES  COMÈTES.  405 

L;i  (jii:ilrième  Section  coiiticiil  rMiipliciitioii  «les  iiiélhodes  et  des  for- 
mules données  dans  les  Sections  précédentes  aux  perturbations  des  co- 
mètes, et  en  j)ar'liculier  à  celles  de  la  comète  de  i532  et  de  1661 .  Tout»- 
la  dilliculté  de  cette  application  consiste  dans  rintéi^ration  des  formules 
dill'érentielles  qui  déterminent  les  variations  des  éléments  de  l'orbite. 
Après  avoir  mis  ces  formules  sous  une  forme  plus  simple  et  plus  com- 
mode pour  le  calcul,  \v,  montre  les  obstacles  (|ui  s'opposent  ii  leur  inté- 
gration générale,  et  (|ui  obligent  d'avoii'  recours  aux  (juadratures  des 
courbes  mécaniques.  (lomme  la  niétbode  de  ces  (juadratures  est  assez 
connue  par  les  Ouvrages  de  Cotes  et  de  Stirling,  je  n'entre  là-dessus  dans 
aucun  détail;  niais  je  remarque  qu'il  y  a  des  cas  où  l'usage  de  cette  mé- 
lliode  cesse  d'être  légitime  :  c'est  lorsque  la  distance  entre  la  comète  et 
la  planète  perturbatrice  est  fort  petite  et  approcbe  de  son  minimum.  Je 
donne  pour  ces  sortes  de  cas  une  méthode  particulière,  qui  réduit  l'inté- 
gration aux  logarithmes  ou  aux  arcs  de  cercles,  et  ne  peut  jamais  être 
sujette  à  aucun  inconvénient.  Tout  ce  (jue  nous  venons  de  dire  ne  regarde 
que  la  partie  inférieure  (h;  l'orbite  de  la  comète;  car,  pour  la  partie  supé- 
rieure (le  cette  oibile.  dans  laquelle  la  distance  de  la  comète  au  Soleil 
sera  beaucoup  plus  grande  que  la  distance  de  la  planète  au  Soleil,  je  fais 
voir  que  la  partie  des  formules  différentielles  qu'il  reste  à  enregistrer  se 
partage  de  nouveau  en  deux  parties  :  l'une  indépendante  du  lieu  (b;  la 
planète,  et  (jui  est  absolument  intégrable;  l'autre  qui  contient  les  sinus 
ou  cosinus  de  l'angle  du  moyen  mouvement  de  la  planète,  et  (jui  n'est 
intégrabb;  i)ar  aucune  méthode  connue,  mais  dont  je  démontre  (jue  l'in- 
tégrale est  nécessairement  beau( oup  plus  petite  que  celle  d(;  la  |)remièj'e 
partie,  en  sorte  (ju'on  peut  la  négliger  entièrement;  et,  au  >'as  (ju'on 
voulût  pousser  l'exactitude  plus  loin,  je  donne  un  moyen  d'approcbiM- 
de  plus  en  pkis  de  la  vraie  valeur  de  celte  intégrale.  D'où  il  s'ensuit  que, 
dans  les  régions  supérieures  de  l'orbite  des  comètes,  on  peut  déterminei- 
leurs  perturbations  par  des  formules  analytiques,  qui  ne  (Jemandenl  que 
des  substitutions  numéri([ues  pour  donner  les  résultats  cherchés,  comme 
dans  le  cas  des  planètes.  Je  considère  enfin  la  coinél(;  des  anne(îs  i  V>>!  {'.{ 
i(j<)r ,  (jue  l(;s  Astronomes  attendent  vers  17^9  ou  1790.  et  je  déduis  des 


VOO  RECilEHCHES  SUR   LA   THEORIE 

éléments  de  cette  comète  toutes  les  données  nécessaires  pour  le  calcul 
de  ses  perturbations.  Comme,  dans  le  Programme  de  1778,  on  n'exige  pas 
(|H('  les  concurrents  donnent  les  résultats  numériques  de  ce  calcul,  je 
m'abstiens  d'entrer  dans  aucun  détail  à  cet  égard;  mais  je  me  Halte  qu'il 
n'y  aura  point  de  calculateur  tant  soit  peu  intelligent  qui  ne  soit  en  état 
d'appliquer  à  la  comète  dont  il  s'agit  la  Théorie  exposée  dans  cet  Ou- 
vrage. 

Tels  sont  les  principaux  objets  du  travail  que  je  soumets  au  jugement 
de  l'Académie;  j'en  serai  suffisamment  récompensé  si  cette  illustre  Com- 
pagnie daigne  l'honorer  de  quelque  attention. 


SECTION  PREMIÈRE. 


KyU.VTlONS  DIFFERENTIELLES  DU  MOUVEMENT  D  UNE  COMETE  AUTOIR  DU^OLEIL, 
EN  AVANT  ÉGAUD  AUX  PERTURBATIONS  Qu'eLLE  PEUT  ÉPROUVER  PAR  l' ACTION 
DES    PLANÈTES. 


1 .  Je  prends  la  masse  du  Soleil  pour  l'unité,  et  je  nomme  m  la  masse 
(le  la  comète,  a,  a',...  les  masses  des  planètes  perturbatrices.  Il  est  clair 
(juc  ces  quantités  m,  a,  a',...  doivent  être  des  fractions  très-petites, 
puisqu'elles  expriment  les  rapports  des  masses  de  la  comète  et  des  pla- 
nètes à  la  masse  du  Soleil;  en  effet  on  sait  que  Jupiter,  la  plus  grosse  de 
toutes  les  planètes,  a  environ  mille  fois  moins  de  masse  que  le  Soleil;  et 
quant  aux  masses  des  comètes,  quoiqu'elles  soient  inconnues,  on  ne 
|)cut  guère  les  supposer  plus  grandes  que  celle  de  Jupiter,  autrement  il 
pourrait  résulter  de  leur  attraction  des  dérangements  sensibles  dans  les 
orbites  des  planètes;  ce  que  les  observations  n'ont  pas  encore  fait  con- 
naître, et  ce  qu'on  ne  suppose  pas  d'ailleurs  qui  arrive  dans  le  Problème 
des  comètes,  tel  qu'on  l'a  envisagé  jusqu'à  présent. 

Nous  regarderons  donc  dans  la  suite  et  nous  traiterons  les  quantités 
m,  a,  [j! ,...  comme  des  quantités  très-petites,  dont  il  sera  permis  de  né- 


DES  pi: KTUU BATIONS  DKS  COMETES.  i07 

gligcr  les  puissances  cl  les  iHoduits  de  deux  ou  de  plusieurs  dimensions. 
Cette  supposition  est  conforme  à  ce  que  les  Géomètres  oui  |)r;ili(|ii('  jus- 
qu'ici dans  la  Théorie  des  planètes  principales  et  dans  celle  des  comètes, 
et  une  plus  i^rande  exactitude  ne  serait  peut-être  d'auc  une  iilililé. 

2.  .Te  rapporte  les  orbites  que  la  comèle  et  les  planètes  décrivenl  ;iii- 
loui'  du  Soleil  à  des  coordonnées  rectangles,  prises  du  centre  de  cet 
astre,  et  parallèles  à  Irois  droites  fixes  et  perpendiculaires  entre  elles. 

Et  je  nomme  ces  coordonnées  a-,  j^,  z  poui-  l'orhilede  la  coiiii;te;  ?.,  r,, 
Çpour  l'orbite  de  la  planète  [x;  B',r/,  Ç  pour  l'orbite  de  la  planète  a',  etc. 

Je  nomme  de  plus  r  la  dislance  de  la  comète  au  Soleil,  ou  le  rayon 
vecteur  de  son  orbite;  p  le  rayon  vecteur  de  l'orbite  de  la  planète  a;  f/  le 
rayon  vecteur  de  l'orbite  de  la  planète  p/,  etc. 

Enfin  je  désigne  par  R  la  dislance  de  la  planète  p.  à  la  comète;  par  H 
la  distance  de  la  planète  (x'  à  la  comète,  etc. 

Il  est  clair  qu'on  aura 


^^^^^ri-^z\     p  =  v'^^  +  y]'H-i:S      p'=y/^'-^-f--/,'2-t-r^  ..., 


3.  Cela  posé,  si  l'on  décompose,  suivant  les  directions  des  trois  cooi- 
données  rectangles  x,  y,  z,  toutes  les  forces  qui  agissent  sur  la  comèle 
pour  lui  faire  décrire  son  orbite  autour  du  Soleil,  savoir  :  les  attractions 

—  ■>  ^î  ~i  '  '  •  exercées  par  le  Soleil  et  par  les  planètes  sur  la  comèle,  el 
les  attractions  —5  -^5  4rî---  exercées  par  la  comète  et  par  les  planètes 

f,2      p2      p'2  I  ri 

sur  le  Soleil,  et  qwi  doivent  être  transportées  à  la  comète  en  sens  con- 
traire; el  qu'on  égale  la  somme  de  toutes  les  forces  (jui  agissent  suivaiil 

la  ligne  x  et  qui  tendent  à  diminuer  cette  ligne  à j-- .  la  somme  de 

toutes  les  forces  qui  agissent  suivant  j  à ^;  et  la  somme  de  toules 

d^  z 
les  forces  qui  agissent  suivant  z  i\ r— >  dt  étant  les  éléments  du  temps 


vos  HECHEKCHKS  SUK   LA    JllÉOllII': 

supposés  conslaïUs,  on  aura  ces  trois  équations 

d'^x       [i-ir  m)  X  î ^  —  'i        W         ,  [ ^  —  l'        l'  , 


o, 


dp  /•'  •■  V    R'  pV       '■  \     H''  p 


d'z        {i-\-m)z  (z  —  'C 

'       U.        7ZT-    -H    —  1     -H    'J. 


yi  yi 


df  /■'  •■  \    K'  pV       ■■  \    K'^  p 

lesquelles,  d'api'ës  les  principes  connus  de  la  Dynamique,  serviront  à 
déterminer  le  mouvement  de  la  comète  par  rapport  au  Soleil  regardé 
comme  immobile. 

4.  On  aura  des  équations  semblables  pour  le  mouvement  de  la  pla- 
nète \L  autour  du  Soleil,  en  tant  qu'elle  est  dérangée  par  l'action  de  la 
comète  et  des  autres  planètes;  pour  cela,  il  n'y  aura  qu'a  cbanger,  dans 
les  équations  précédentes,  les  quantités/??,  x,  j,  z,  r,  appartenant  à 
l'orbite  de  la  comète,  dans  les  quantités  analogues  p.,  S,  rj,  Ç,  o,  appar- 
tenant à  l'orbite  de  la  planète,  et  vice  versa,  celles-ci  en  celles-là. 

Mais  il  faut  considérer  que  pour  notre  objet  il  n'est  pas  nécessaire  de 
tenir  compte  des  termes  affectés  des  quantités  très-petites  m,  fx,  tj.', . . . 
dans  les  équations  de  la  planète,  parce  que  les  quantités  S,  vî,  Ç  dépen- 
dant de  ces  équations  ne  se  trouvent  dans  les  équations  de  la  comète 
que  dans  des  termes  déjà  affectés  de  la  quantité  très-petite  /jl. 

On  peut  donc  réduire  les  équations  de  la  planète  p.  aux  deux  premiers 

termes,  savoir 

d^i      (  I  -f-  u.  )  l 

dt-  p^ 

et  l'on  réduira,  par  des  raisons  semblables,  les  équations  du  mouvement 


OKS  PEUïUniiAïlONS  DES  COMÈTES.  '«Of» 

de  la  planèlc  p.'  à  celles-ci 


d^'c: 

-+- 

(i +  //.') 

l' 

-- 

di^ 

P'* 

"> 

d'ft' 
dp 

-f- 

9" 

W 

o, 

d'-Ç 
dp 

-f- 

9' 

'C 

o; 

et  ainsi  pour  les  autres  planètes  pei(ui])ali'ices. 

Ces  réductions  sont  fondées,  comme  l'on  voit,  sur  la  supposition  que, 
dans  le  calcul  des  perluihalions  des  comèles,  on  néglige  les  perturba- 
tions des  planètes  perluihaliices.  Si  cette  supposition  n'est  pas  rigoureu- 
sement exacte,  elle  est  du  moins  permise  dans  la  première  approxinia- 
iion,  à  laquelle  nous  nous  contenterons  ici  de  borner  nos  Kecherches,  à 
l'exemple  des  grands  Géomètres  qui  ont  tiailé  avant  nous  le  Problème 
des  comètes. 

5.  En  considérant  les  expressions  des  (juantités  r,  p,  p',...,  R,  R',..., 
il  est  aisé  de  voir  (ju'on  peut  mettre  les  équations  précédentes  sous  une 
forme  plus  simple  que  voici  : 

Pour  la  comète. 


dt'        *  'dx       ■'         dl  ■'  </f 

d'r  ''T-         ''(;-Ti)         /(7-1F 


dP  dy       '  dn  ^         d-n' 


,1  .  / 1        I 

d'z        ,  r  \p         \{i  \p 


=  (i  -h  m)  —, 1-  a  --^^—rz 4-  a'  - 


y      li'J 


dp   ~'     ^      '  dz        '  de,  '  <  ^■••' 

Pour  la  planète  y., 

VI.  52 


ilO  RECHERCHES  SUR    LA  THÉORIE 


Pour  la  planète  jx', 

I—  '  fi—  I  — 

d'I'  ,9'       d-n'  ,9'       d^'C       ^  ,/  p' 


cl  ainsi  des  autres. 


d'-     dl 
r         r 


Dans  ces  formules,  les  expressions  -j—^  -tt'*"  dénotent,  suivant  la 
notation  reçue  parmi  les  Géomètres,  les  coefficients  de  dx,  dy,...  dans 
la  (litTérentielle  de  -•,  et  ainsi  des  autres  expressions  semblables. 

6.  Si  l'on  suppose  que  dans  le  mouvement  de  la  comète  on  fasse 
abstraction  des  forces  perturbatrices,  il  faudra  rejeter,  dans  les  équa- 
tions de  la  comète,  les  termes  affectés  de  p-,  ,a', ...  ;  on  aura  ainsi 

Pour  l'orbite  non  altérée  de  la  comète, 

j  d  -         j  d  ~         ,  d  - 

a^x       ,  r        d-y  r        d' z        ,  ,     r 

di'  dx        dt-  (!)•         (W  dz 

Nous  pouvons  supposer  que  les  quantités  x,  y,  z  se  rapportent  à  l'or- 
bite non  altérée,  et  sont  par  conséquent  déterminées  par  les  équations 
précédentes;  dans  cette  supposition,  il  est  clair  cjue  les  vraies  valeurs 
des  quantités  x,  y,  z,  dans  l'orbite  troublée,  ne  peuvent  diderer  des  pré- 
cédenlcs  que  par  des  quantités  très-petites  de  l'ordre  de  /jl,  a',...,  qu'on 
peut  désigner,  pour  plus  de  simplicité,  par  la  caractéristique  f),  à  la 
manière  des  différences  ordinaires;  et  la  rechercbe  des  perturbations  de 
la  comèt(;  se  réduira  à  déterminer  les  valeurs  des  différences  fî.r.  âv,  oz. 

7.  Dorénavant  donc  les  (juantités  x,  y,  z,  r  appartiendi'ont  toujours 
à  l'orbite  non  altérée  de  la  comète,  et  devront  par  consé(juent  se  déter- 
miner par  les  équations  du  numéro  précédent.  Dans  l'orbite  troublée. 


DKS  l'KKTUUlîATlONS  DES  COMETES.  Vil 

ces  quantités  (leviciidronl  x-\-ox-,  v-hây,  z-+-(iz,  r -t- or,  et  (l(;vi'(iril 
être  délerniinées  par  les  ('ujinilioiis  du  n"  5,  m  inetlaiit  dans  ces  tHjua- 
tions  ces  nouvelles  (juanlilcs  à  la  place  des  premières  jo,  y,  z,  r.  0\\ 
comme  l(;s  dillercnccs  àx,  ây,  oz  sont  très-petites  de  l'ordic  a,  a',...,  il 
sullira  de  conserver,  dans  cette  substitution,  les  premiî'res  diin<'nsioiis 
de  ces  différences  f  pai-  l'hypothèse  du  n"  1;,  dans  les  termes  non  alleclés 
de  p.,  /j,',...;  et,  dans  les  termes  aiïectés  de  ces  quantités,  on  pourra  né- 
j^ligcr  tout  à  l'ail  les  ditlerences  dont  il  s'aj^it. 

Ainsi  donc  le  terme  ^—  de  la  première  équation  du  n"  5  deviendra 

dl 
le  ternie  [i-hin]  -r-  «le  la  même  équation  deviendra 

dj'  /d'j  d^'-  d'~ 

^'  ^  '"^^  ^  "  "^ "'^  Ki^^ '^^' "*"  d^- "•'■  "^  d^  °' 

et  les  autres  termes  demeureront  les  mêmes. 

On  transformera  de  môme  la  deuxième  et  la  troisième  é(juation  ^yi 
mouvement  de  la  comète,  et,  effaçant  ensuite  les  termes  qui  se  détruisent 
en  vertu  des  équations  du  n"  6,  on  aura  ces  trois-ci,  qui  serviront  à  dé- 
terminer les  valeurs  des  quantités  fî.r,  ^y,  ^z,  dues  aux  perturbations 
de  la  comète  : 

Pour  les  perluvbations  de  la  comète. 


ï\'2  RECHERCHES  SUR   LA   THÉORIE 

C'est  donc,  de  l'intégration  de  ces  équations  ([ne  dépend  la  solution  du 
Problème  des  peiiurhations  des  coniëtes.  Nous  allons  nous  en  occuper, 
après  avoir  l'ail  (|uel(|ues  reniar(jues  générales  sur  la  nature  de  ces 
é(|!ialions. 

8.  J'observe  d'abord  (jue,  comme  ces  é(iualions  ne  renferment  que 
les  premières  dimensions  des  variables  (ix,  f)r,  rî^,  on  peut  cliercber  à 
pari  les  valeurs  de  ces  variables  pour  les  dillerents  termes  aflectés  des 
(juantilés  |jl,  '/,...,  et  qui  viennent  de  l'action  des  différentes  planètes 
dont  ces  (juantités  sont  les  masses;  car  il  est  visible  que,  si  l'on  réunit 
ensuite  ces  différentes  valeurs,  on  aura  les  valeurs  complètes  des  va- 
riables (^x,  h',  ^^,  qui  satisfont  aux  équations  proposées. 

En  général,  il  est  facile  de  concevoir  que,  lorsqu'on  néglige,  ainsi  que 
nous  l'avons  fait,  les  carrés  et  les  produits  des  forces  perturbatrices, 
l'effet  total  de  ces  forces  doit  être  égal  à  la  somme  des  effets  (|ue  cliacune 
en  particulier  produirait  si  elle  était  seule. 

0.  Je  remarque  ensuite  (jue  les  termes  multipliés  par  les  masses  a, 
11',...  des  planètes  perturbatrices  deviennent  d'autant  plus  petits  que 
les  quantités^,/,  s  sont  plus  petites,  c'est-à-dire,  que  la  comète  est  plus 
près  du  Soleil.  En  effet,  en  supposant  x,  y,  z  des  quantités  très-petites 
vis-à-vis  de  ^,  75,  Ç,  on  a  à  très-peu  près  (n"  2} 


t/  ~         (I  -         (l  - 
\        \  0  0  p 


d'où  l'on  voit  nue  la  (luantité 775  ainsi  (lue  ses  différences  divisées 

^  '  p        II  ' 

par  d'i,  dri,  dÇ,  seront  du  même  ordre  de  petitesse  que  les  (juantités  x, 
y,  z.  Par  conséquent,  si  l'on  suppose  que  ces  quantités  soient  devenues 
de  l'ordre  des  quantités  p.,  a/,...,  il  est  (  lair  que  les  termes  dont  il  s'agit 
seront  pour  lors  de  l'ordre  de  a'-,  au.', ...  ;  de  sorte  qu'on  pouira  les  né- 
gliger, d'autant  plus  (jue,  dans  ce  c:is,  la  ([uantité  -  devient  d'autant 


DES  PEKTOKIÎATIONS  DES  C(3MÉTES.  Vi:{ 

plus  graiiflo.  (a\s  tcniirs  disparaissani,  il  est  visil)le  (ju'oii  pourra  satis- 
faire aux  ('([ualioiis  pi'oposées  par  la  siipposilioii  de  r)x=^o,  oiv  =  o, 
oz  =  ().  Ainsi  l'on  pciil  ici^arder  ces  valeurs  comiuic  les  liuiilcs  des  v;i- 
riahles  oa;,  nv,  oz,  du  côlc  du  Soleil. 

10.  \'oyous  maiuteiiant  (pudJes  sont  les  limites  des  mêmes  variables 
du  colé  opposé. 

Supposons  donc  les  quantités  x,y,  z  infiniment  grandes  vis-à-vis  de  2, 
n,  Ç;  on  aura  ici  fn"  2) 


rlL  fil         d-  (P-  (Pl  iPl  r/-'-  <nl  fPl 

-  — *^ VI —  - — -  ^  ^ '--^ T,-\ —^  0-\ ; ;-  Ey,H : r-  cC 


:  C.  H ; •/■;  '_  ■ 


H        /•       (l:r  '       dy  (Iz   '       1  (l.t'   '        'x  d)^  'X  dz'   '        dxdy'         dvdz    '       dr dz 


J'ai  poussé  ici  rapj)ro\iuiation  jus(|u'a  la  seconde  dimension  des  (juau- 
tités  ^,,  ri,  Ç,  parce  (|ue  la  diiïérentiation  par  d^,  dn,  dÇ  fait  disparaître 
une  dimension  de  ces  (juantités. 
Ou  aura  donc 


dl 


d- 

r 

dx 


d^l 
r 

dx- 


r 


d'- 
r 


dx  </>•  dx  dz 


•1^ 

dn 


r 


r 


d^- 
r 


dy        dx  dy  '         dy^  dy  dz 


d'C 


d' 


dz        dx  dz  dy  dz 


d'  -  d'-  - 

/'  /• 


Qu'on  substitue  ces  valeurs  dans  les  équations  du  n**  7,  en  n'ayanl 
égard  qu'aux  termes  affectés  de  [j.,  par  la  remarque  ci-dessus  (n°  8j,  on 
aura  les  équations  suivantes 


d'- 
'd£' 


U._  _fi_  .U  -J^  Ur  -  -^  .U  %  Uz  --^à 


d  -       d  - 


VI V 


RECHERCHES  SUR   LA  THEORIE 


rl'Sy 


r  -^>^ 


d^i 


d'iz        ,  .  r    ^  p 

dl'         ^  'I  dzdx  \  i-f-w 


çU  -^  f  ^r  - -^  .U -4- (^.  - -i^- A 


d^'- 


dzdv 


d^l 


Sz- 


d~       d- 


di    di 


iK        dz 


Or  on  a,  par  les  équations  de  la  planète  fj,  fn"*  5), 


d-  y.f         ^-  ^2  ^- 

Q  I       «•£  p  I       a^-n 


9  _ 


d^C 


dl        i-h  (j.  dp       dn         I  +  y.   dP        c^Ç         i  H-  a   dV  ' 

taisant  ces  substitutions  dans  les  pénultièmes  termes  des  équations  pré- 
cédentes, on  verra  incontinent  que,  si  les  derniers  termes 

di  d'-  d'- 

r  r  r 

'    dx^      '   dy  '  dz 

n'existaient  pas,  et  que  l'on  eût  a  =  m,  on  satisferait  exactement  à  ces 
équations,  en  faisant 


^X  =    -^  l,        ôr  =    — ^  yj,        Ô2  r:  .    -^^-  t. 
I  H-  f/   ■  "  I  -f-  p.  '  ■+  f'- 


Supposons  donc 


0^  =  — ' —  c  +  a, 
I  •+  ft  " 


ar-y^_-.  +  p, 


(52 


I  -I-  [J. 


ç-f-y; 


si  l'on  substitue  ces  valeurs,  et  qu'on  rejette  les  termes  qui  auraient 
pour  coefTicient  — ^ —  =  - — ^^— ^^J ^-^ — ,  d'après  l'hypothèse  éta- 

•  I  H-  y.         i  -\-  m        (  I  H-  /7.  )  (  I  +  m  )  '  •'  ' 


DES  PEKTU  II  BATIONS   DES  COMÈTES.  ilîi 

b!i(»  dans  h;  n"  1 ,  on  auia  ces  nouvelles  équations 


,,  /  ,i'i      ,/.i      rf'i  \     ,/■ 

d'à  (  ''  >'    o  '■  ' 


/,/'•-  d-'-  .!■'-     \        ,1'- 

d'y  I  '^  I'    n  I'        \  '■ 


.J'observe  (|n'(»n  peut  salisfaire  à  ces  équations  en  faisant  a  =  Kit-, 
p  =  Kj,  7  =  Kz,  K  étant  un  coefficient  constant;  car  elles  devieniu  ni 
pur  là 

/>  /     '^  -  d'-  d^-       \  d- 

<Px  _  (  ''  ''      .  ''     -   )  k  '' 

(i/-  \  dx^  dx  dy^        dxdz"  )  ^  dx^ 

,,  /  d'-  d'-  d'-       \  d- 

f/^^  \dy  dx  dr^  dydz     j  ^  dy^ 

1  d^-  d^-  d^-     \  d'- 

dp  \dz  dx  dz  dy  dz^       /  "'  dz 

» 
Vfais  les  équations  de  l'orbite  non  altérée  '  n°  6)  donnent 


/2  ''~         .,  d-  d- 

<Px  r       d-f  r        d^z  r 


l*]nsnit<!  je  reniar(|ue  (|ue  la  (inanlité  -  est  une  fonction  lionioj^ène  de  .r. 

(I  -      d  -      d  - 

y,  r-  de  la  dimension  —  i.  (lu'ainsi  les  (luantilés  -,    ,  -r-^  -r-  soni  aussi 

'  ^  dx     dy     dz 


416  RECHERCHES  SUR  LA   THÉORIE 

des  fonctions  homogènes  de  oo,  y,  z,  mais  de  la  dimension  —  2.  Donc 
par  le  Théorème  connu  concernant  ces  sortes  de  fonctions,  on  aura 


d'-  cP-  (P-  d- 

r  r  r  r 


^  -+-  TTrTTT.  y  +  :7r77r  2  =  -  2 


dx^  dx  dy  "^        dx  dz  dx 


d'-  d'-  d'-  d- 

r  r  r  r 


-, — J-  ^  -+-    — r-r   T  -i — î — r-  ^  =  —  2  -,—  5 
dfdx  ar  dy  dz  dy 


d^-  d^-  d'-  d- 

r  r  r  r 

X  +  -, — 7—  r  ■+-  -p—  z  =  —  2 


dz  dx  dz  dy  -  dz'^  "  dz 

C'est  de  quoi  on  peut  d'ailleurs  s'assurer  paF  la  difPérentiation  actuelle. 
Ces  substitutions  faites,  on  verra  d'abord  que,  pour  satisfaire  aux  trois 
équations  dont  il  s'agit,  il  suffît  de  satisfaire  à  celle-ci 

K(i  -h  m)  =  —  2(1  +  m)  K  -f-  p., 

hiquelle  donne 

K 


3(1  + m; 
Donc  enfin  on  aura 


§x=—^^l-h-—^ :^, 

1  +  (JL  ^       3{i-+-  m) 


5  F-  ,  ^ 

or  =  ~- —  y]  -+-  ^- — y, 

n-  ^         3  I  H-  m  r 


i  -+-  [JL  0(1  +  m) 


Ce  sont  les  limites  cherchées,  dont  les  quantités  rix,  ây,  âz  s'iippio- 
chent  d'autant  plus  que  la  comète  s'éloigne  davantage  du  Soleil. 


DES   PERTURBATIONS  DES  COMÈTES.  VI7 

1 1 .   De  l;i  il  s'ensuit  que  si  l'on  suppose,  en  général, 


o\r  =  u  I  — H ^ —  )  -f-  ô\r' , 

'^  \3(i-f-  m)         «  H-  y-/ 


dz  =  u.(- — -  +  -l-\  -^dz', 

qu'on  substitue  ces  valeurs  dans  les  équations  du  n*"  7  et  qu'on  y  tasse 
les  réductions  enseignées  ci-dessus,  on  aura,  en  n'ayant  égard  qu'aux 
termes  affectés  de  p.,  et  faisant,  pour  abréger, 


S       r        i  -h  fi.  \dx  '       dy  dz     ^ 

on  aura,  dis-je,  ces  transformées 


-m^  =  ^'^'''\d^^^''^dJdy-'^^7h^''J-^     dx 
-dr=^'^"'Adidi^'-^7^'^^d^''  h'-d^- 


^i\  ^^  ^s 

Dans  ces  équations,  j'ai  mis  à  la  place  des  quantités  -r^t  -j-->  -rr  leurs 

'^\\        '^ÏÏ        '^ÏÏ 

eciuivalenles — ; 7-5 7— ^  pour  mettre  plus  d'uniformité  dans 

i  6'^-  «)•  dz     '  ' 

les  formules. 

VI.  53 


4i8  RECHERCHES  SUR   LA  THEORIE 

12.  On  peut  aussi  donner  une  l'orme  semblable  aux  équations  primi- 
tives (lu  n°  7.  En  effet,  si  l'on  fait 


d'-         rf'          ^l    \ 
^  _  I       I      p         p  ^      p     I 

a       p        \f/H  dn  "         dt,     / 


et  que  l'on  fasse  abstraction  des  ternies  affectés  de  [}.' ,  on  aura 

h-  /  f^'-  '/'-  f^'-  \  ^M Î7 

=:  (  I  H-  /??  )  \  -j—  ox  H-  - — ~  ôy  -\-  -j — j-  àz  I  —  a 


dp  \dx^  dxd'i-    '■         dxdz      J       ''         dx 

d^èy 


dp  ~''-^"'\dvk-^''-^dP^-^ 


troz  /*     . 


13.  On  voit  que  la  quantité  -  contient  les  deux  premiers  termes  de 

la  quantité  -^  développée  en  suite  ascendante  par  rapport  aux  puissances 

de  X, y,  z;  comme  la  quantité  ^  contient  les  deux  premiers  termes  de  la 

même  quantité  ^  développée  en  suite  ascendante  par  rapport  aux  puis- 
sances de  ç,  n,  'Ç.  en  négligeant  (ce  qui  est  permis  ici)  la  différence  infi- 
niment pelit<'  entre  et  l'unité  :  d'où  résultent  naturellement  les 

*  j  -\-  (j. 

conclusions  que  nous  avons  trouvées  plus  haut  (n°''  10.  11). 

Il  s'ensuit  aussi  de  là  que,  tant  que  r<p,  il  est  plus  simple  de  se  ser- 
vir des  formules  du  n"  12,  et  qu'au  contraire,  lorsque  r>_/5,  il  est  plus 
avantageux  d'employer  celles  du  n"  11;  d'autant  plus  que  dans  celles-ci 
les  termes  affectés  de  p.,  et  qui  sont  l'effet  des  forces  perturbatrices,  de- 
viennent presque  nuls  lorsque  la  comète  est  à  une  grande  distance  du 
Soleil. 


DES   PEHTUUBATIONS   DES  COMETES.  '^19 

Si:CTION    DEUXIÈME. 

I  NTEtiUATION    DKS    ÉQUATIONS    I)  1 1' K  É  U  K  NT  I  ELL  ES    I)  E    I    O  K  11  I  T  Ë    .NON    ALTÉRÉE. 

14.  Ayant  décomposé  les  équations  générales  du  mouvement  de  la 
comète  en  équations  de  l'orbite  non  troublée  (n"  6j  et  en  ériualions  des 
peilui'balions  (n"7j,  nous  allons  nous  occu[)er,  dans  cette  Section,  de 
rintéij;ralion  des  premières.  Nous  pourrions,  à  la  vérité,  nous  en  dis- 
penser, puisqu'on  sait  d'avance,  par  les  Tliéorèmes  de  Newton,  (jue, 
sans  les  forces  perturbatrices,  la  comète  doit  décrire  autour  du  Soleil 
une  section  conique  dont  cet  astre  occupe  le  foyer,  et  que  le  temps  doit 
être  proportionnel  à  l'aire  parcourue,  divisée  par  la  racine  carrée  du 
paramètre.  Mais,  comme  nous  avons  besoin  de  connailre  les  intégrales 
mêmes  des  équations  dont  il  s'agit,  il  est  beaucoup  plus  court  et  en 
même  temps  plus  direct  de  chercber  ces  intégrales  par  l'intégration 
effective  que  de  les  déduire  des  propriétés  des  sections  coniques. 

Les  équations  qu'il  s'agit  d'intégrer  sont  celles-ci,  en  mettant  pour 

./-'      r/'      ./i 

-r-'  -r—'  -7—  leurs  valeurs 
(l.x     d)  •      (Iz 


X 

}• 

z 

r' 

'   -,3'   - 

,.3 

dp 

+ 

{i  -h  m]  X 

=  0 

(l'y 

■+- 

{i  ~\-  m    y 

=  0, 

dl- 

,,3 

d'z        [i  -h  m  )  z  


On  peut  intégrer  ces  équations  y.w  différentes  méthodes:  celle  doni 
je  vais  faire  usage  m'a  paru  une  des  plus  simples. 

Je  remarque  d'abord  que,  en  supposant  les  deux  premières  équations, 
on  peut  satisfaire  à  la  troisième  en  faisant 


z  ^  hx  -h  c}  \ 

53. 


420  RECHERCHES  SUR    LA   THÉORIE 

h  etc  étant  deux  constantes  arbitraires;  et  il  est  visible  que  cette  valeur 
(le  z  est  en  même  temps  l'intégrale  complète  de  la  troisième  équation, 
puisqu'elle  renferme  deux  constantes  arbitraires. 

Je  multiplie  maintenant  la  première  des  trois  équations  différentielles 
proposées  par  2dx,  la  seconde  par  2dY,  la  troisième  par  2dz;  ensuite 
je  les  ajoute  ensemble,  et  j'intègre  :  j'ai 


(b; 


dx' ■+- dr^ -+- dz^  ,  l\ 


a  étant  une  constante  arbitraire. 

Je  multiplie  ensuite  les  mêmes  équations  par  x,  y,  z,  et  j'ajoute  à 
leur  somme  l'équation  précédente  :  j'ai,  à  cause  de  r^  =  x'^  -^ y"^  -H  ^^ 


(c; 


2     dV  '  '  \r        a 


Cette  équation  étant  multipliée  par  d{r'^),  et  ensuite  intégrée,  donne 
celle-ci 


:») 


'id[n 

1     dt 


3(1  +  /»/       / 


a 


o. 


h  étant  une  nouvelle  constante  arbitraire.  Or 


- d'' {r^)  z=z  r d'' r  +  d r-      et 


[i^^-I 


t-Hlr-; 


donc,  si  l'on  divise  l'équation  (Dj  par  r'- ,  et  qu'on  la  retrancbe  de  l'é- 
quation (C),  on  aura,  après  avoir  divisé  par  r, 


d^r 
dF 


+  ('  +  '")  (7. -77)=»' 


équation  qui,  en  faisant  2/i  —r=:p,  prend  cette  forme 


d-p      ,  p 

dt^  r^ 


qui  est,  comme  l'on  voit,  semblable  aux  équations  primitives. 


DES  PERTURBATIONS  DES  COMÈTES.  V>1 

C'est  pourquoi  ou  aura  sui-le-cliaMip  cctlt'  iulégrale  p  =^  f.r -\-  f^ y ,  ou 


hu'U 


(E)  7J1—  I  =fx-^g}\ 

fei  gôXimi  doux  uouvelles  constautes  arl)ilrair('S,  on  sorlo  (\ur  riiilri^iali; 
esl  complète;. 

Les  équations  (A)  et  (E)  offrent  déjà,  counur  l'on  voit,  deux  inté- 
grales finies.  Ou  trouvera  la  troisième  au  moyen  de  l'équalioii     1)^, 

laquelle  se  réduit  à 

r  dr  ,     , 

— ■=:  dt  V  2  '  I  +  /n  ) , 

dont  l'iutéi^rale  est 

■?.\/r h        2V/r //  / ^ — - 

i  étant  encore  une  constante  arbitraire. 

Cette  équation  détermine  ren  t,  et  les  équations  (A)  et  (E),  combinées 
avec  celle-ci  r^  =  a?-  +  j-  -1-  z'^,  servent  à  déterminer  x,  y,  z  ^w  r-,  ainsi 
l'on  aura  x,  y,  z  en  /,  Mais  ces  valeurs,  pour  être  complètes,  doivent 
renfermer  six  constantes,  parce  que  les  équations  différentielles  propo- 
sées sont  chacune  du  second  ordre.  Or  l'équation  (A)  renferme  d«Mix 
constantes  arbitraires  b  et  c;  l'équation  (E)  en  renferme  trois/,  g  cl  //. 
et  l'équation  (Fj  en  renferme  encore  deux  autres'^  et  /.  11  y  fu  a  donc 
en  tout  sept,  et  par  conséquent  une  de  plus  qu'il  ne  faut. 

En  examinant  la  chose  de  plus  près,  il  est  aisé  de  s'apercevoir  (|ue 
cela  vient  de  ce  que  la  constante  a  a  été  introduite  par  l'intégration  (jui 
a  donné  l'équation  (Bj,  équation  dont  nous  n'avons  point  tenu  compte 
dans  la  suite  du  calcul  comme  d'une  équation  intégrale.  Il  est  donc  né- 
cessaire d'avoir  égard  à  cette  équation,  et  il  en  doit  résulter  une  écjna- 
tion  de  condition  entre  les  constantes;  en  sorte  (|u'il  n'en  restera  |dus 
que  six  d'arbitraires,  comme  le  Problème  le  demande 


422  RECHERCHES  SUR   LA  THÉORIE 

15.  Commençons  par  déterminer  oo,  y,  z  en  r.  Les  équations  fAj  et  (E) 
donnent,  en  retenant />  à  la  plaee  de  2/1  —  /-, 

substituant  ces  valeurs  dans  oo^ -\- y- ■+- z- =  r'- ,  el  ordonnant  [)ai   raj»- 
poil  a  z,  on  a 

[;c/—  %)^+/'H-§']z^  —  2(^/-H  cg>  pz  +  ('6^H-  c')p^  —  [cf—  bg  'r-=  o, 

d'où  l'on  tirera  z,  et  ensuite  x  el  j. 
Si  l'on  t'ait,  pour  plus  de  simplicité, 


on  trouvera 


^^  l/+  ^'  '■f-J>AL^P-^1 


(G) 


Y  [cf-bgY+p+g'     ' 

f  .  ^  {bf-hcgp-h{cf-bg)q 

'-  ^cf-bgf+p  +  g^ 

16.  Maintenant  l'équation  (B)  donne,  en  chassant  <//,  par  le  moyen 
de  l'équation  { Dj, 

r 

dx^  -^  dp  -h  dz^  = dr^  ; 


a 


mais  les  équations  précédentes  donnent 

d.^-^dr^+dz^=''^^';^:^^'^:'^'f, 

^cf-bgY-i-j^-^g^ 

il  faut  donc  que  ces  deux  expressions  de  dx^ -\- dy- -\- dz'^  deviennent 
identiques  après  qu'on  aura  substitué  dans  la  dernière  les  valeurs  de/? 
et  q  en  r. 


DES  PEUÏUKBATIONS  DES  COMETES.  V-2:>, 

(^es  substitutions  l'aitc's,  on  vcri';»  (jik'  ridcntité  Miira  lien  en  cllcl,  en 
faisant 

4/'_.       ^cf-hgy+p  +  g- 


H)  î-  =  i- 


a  \  -\-  (t 


i  -^  h'  -\-  c 


ï  _i_  /-.s 


C'est  l'équation  de  condition  cherchée. 

Si,  dans  l'expression  de  q  du  iinnn'ro  précédent,  on  substilin-  la  valcni' 
de  (cf—  hg  f^  -hf-  -h  i^'-  donnée  par  Trijualion  (G),  que  nous  venons 
de  trouver,  et  qu'on  y  nicHc  <lr  plus  pour  />  sa  valeur  2/1  —  /•,  elle 
deviendra 


q  =  ^s/h[y-hb-'-hcn\J  r-~  - 


17.  Pour  pouvoir  appliquer  les  formules  précédentes  au  mouvement 
des  comètes,  il  faut  connaître  les  valeurs  des  constantes  (|ue  ces  fornniles 
renferment. 

Pour  cet  efl'et,  je  remarque  d'abord  ({ne  l'équation  (A)  est  celle  d'un 
plan  dont  la  position,  à  l'égard  du  plan  des  coordonnées  a?  et  r,  dépend 
des  constantes  b  et  c.  Ce  plan  sera  donc  celui  de  l'orbite  de  la  comète,  et 
qui  est  déterminé  par  les  observations. 

Soient  w  l'angle  que  l'intersection  des  deux  plans,  c'est-à-dire,  la  ligne 
des  nœuds  de  l'orbite  sur  le  plan  des  x  et  y,  fait  avec  l'axe  des  oo^  et 
(j;  l'inclinaison  de  l'orbite  sur  ce  dernier  plan;  il  est  facile  de  prouver 

qu'on  aura 

f  =  tang^i  coso,     6  =  —  lang^];  sinoK 

L'équation  (E)  servira  ensuite  à  déterminer  la  figure  de  l'orbite;  et  il 
est  aisé  de  conclure  de  la  forme  môme  de  cette  équation  que  l'orbite  ne 
peut  être  qu'une  section  conique,  ayant  le  foyer  dans  l'origine  des  ((xn- 
données,  en  sorte  que  r  sera  le  rayon  vecteur  de  l'orbite. 

L(;s  deux  apsides  seront  donc  aux  points  où  -^  =  o;  or,  dans  ce  cas, 

l'éc) nation  (Dj  donne 

r fi  =  o, 

(i 


424  RECHERCHES  SUR    LA  THÉORIE 

équation  dont  les  deux  raeines  sont 


^  v 


[ail 


La  somme  de  ees  deux  raeines  sera  le  grand  axe,  et  leur  différenee, 
divisée  par  la  somme,  sera  l'excentrieité.  Donc  le  grand  axe  de  l'orbite 

sera  «f,  et  l'exeentrieité  sera  w  i  —  — •  que  je  désignerai  dans  la  suite 
par  e. 

Puis  doue  que 

on  aura 

«  y/i  —  e==  \J^lia  =  au  petit  axe  de  l'orbite; 

par  conséquent,  4^  sera  le  paramètre  du  grand  axe. 

Or  on  sait  que  le  rayon  vecteur  qui  répond  à  90  degrés  d'anomalie, 
c'est-à-dire,  qui  est  perpendiculaire  au  grand  axe,  est  égal  au  demi-pa- 
ramètre. Donc  on  aura  à  90  degrés  d'anomalie  /■  =  2 A,  et  l'équation  (E) 

donnera/^  H-  gy=^  o;  d'où  l'on  tire  —  =  —  ^,  égal  par  conséquent  à 

la  tangente  de  l'angle  que  fait  avec  l'axe  des  x,  dans  le  plan  des  œ  et  j, 
la  projection  du  rayon  vecteur  qui  répond  à  90  degrés  d'anomalie  dans 
l'orhite. 
Soit  cet  angle   =90*^+8,  on  aura  donc   ^  =  tang£;  donc,  taisant 

1=  \//-  -h  g- ,  on  aura  ^  =  /sin£, /=/cos£;  ces  valeurs  étant  substi- 
tuées dans  l'équation  (H)  du  n"*  16,  ainsi  que  celles  de  ^  et  c  trouvées 

ci-dessus,  et  mettant  e'-  à  la  place  de  1  —  —1  elle  deviendra 

,.  I  H- tang'd;  cos^(6j  —  e)       ,  ,  .   .,    .     ;  ,-, 

e'=h- 5_jr ^ i  ==/2   I  — sin'<J;sin'  (0  — £)]; 

d'où  l'on  tire 

1= ^ ■ 


\/ 1  —  sin^ 4'  sin'^ (o)  —  e) 


OKS  PERTURBATIONS   DES  COMÈTES.  'ri5 

(lo  sorte  (pi'oii  ;iiii;i 

/. ecose  esine 


v/i  —  sin'''4'  siii'(o)  —  e )  y/i  —  sin'''^'  sin'(&)  —  e) 

18.  Si  l'on  l'ail  coiiicidci'  le  plan  de  l'orhik'  av(M',  celui  de  a;  et  J,  on 
aura  ij;  =  0,  et  l'angle  s  sera  évidemment  celui  (juc  le  i^iand  axe  de  l'or- 
l)il(!  fait  avec  l'axe  des  ce.  Donc,  si  l'on  suppose  de  plus  (|ue  ces  deux 
axes  coïncidenl,  on  aura  aussi  £  =  0;  de  sorte  que,  dans  cette  hypothèse, 
h  =0,  c  =  (),/=  e,  g  =  Oy  et  les  forniules  (G)  du  n"  15  donneront 

P  V 

X  =  —  î      r=  -»     2  =  0, 

e         "         e 
savoir 

2/1  —  r  ■?.  Jli  ^  I         /•-       , 

Or  il  est  visible  (jue,  dans  ce  cas,  ^  et  j  deviennent  les  coordonnées  de 
l'orbite  dans  le  plan  même  de  cette  orbite  ;  et  comme  ces  coordonnées  doi- 
vent être  indépendantes  de  la  position  du  plan  de  l'orbite,  il  s'ensuit  que 
les  valeurs  précédentes  de  x  aiy  exprimeront  toujours,  l'une  l'abscisse 
prise  dans  le  grand  axe  depuis  le  foyer,  et  l'autre  l'ordonnée  rectangle 
dans  le  plan  même  de  l'oibile,  quelle  que  soit  d'ailleuis  la  position  de 
ce  plan. 

Donc,  si  l'on  nomme  o  l'ande  du  ravon  vecteur  r  avec  le  i>rand  axe, 

on  aura,  dans  la  supposition  pi'écédente, 

• 
a:  =  /'C0S9,     y  =:  rs'xno; 
savoir 


o.li  —  r  .  2  Jfi      I 

r  coso  = •      /' sin o  =  — ^ —  \/  r ni 

e  '  e 


e      \  a 


(I  où  I  on  lire 


V  '•<  I  +  e  coso  ' 


i-i-écoso        V  (i  i  +  ecos9 

cette  expression  de  /•  fait  voir  que  cp  est  l'anomalie  vraie  d»'  Torbile, 
comptée  de  son  périhélie. 

M.  54 


V2r>  RECHERCHES  SUR   LA  THÉORIE 

On  aura  donc,  en  général, 

ersino 


pz=ercoso,     q 


cos^j; 


et  l'on  pourra,  par  ces  substitutions,  dans  les  formules  (F)  et  (G),  avoir 
les  valeurs  de  t,  x^y,  z  exprimées  par  la  seule  anomalie  ^. 

19.   Dans  le  nœud,  on  a  5  =  0;  donc  (équation  G) 
{hf-jrCg)p-\-{cf — bg)  g  =  o, 
savoir,  en  subslituanl  les  valeurs  précédentes  de  p  et  q, 

of  H-  6"^'  )  ces©  -+■  [cf  —  bg) \-  =  o, 

où  ç  est  l'anomalie  qui  répond  au  nœud. 

Dénotons  cette  anomalie  par  «,  on  aura  donc 

[bf-\-  cg)  cosa  cos^'  -*-  (  t'/" —  bg)  sina  =  o; 

d'où  l'on  tire 

g  c  sin  a-h  b  ces  4>  ces  a 

f       6  sina  —  ccosi|>ro.s« 

et,  en  mettant  pour  h  et  c  leurs  valeurs  (n"  17), 

g"  __  —  cosw  sina  -f-  coyij;  sinoj  cosa 
•  f  siiiM  sina  +  cos4>  coso  cosa 

maison  a  trouvé  plus  haut  (n"17)  -^  =  tangs;  ainsi  l'on  aura  l'équation 

—  cosw  sina -+- rosd;  sin oj  cosa 

langs=    — . 7-^ ; 

sin&)  sma -f- cos^];  cosc)  cosa 

d'où  il  est  aise  de  tirer 

—  ces  &)  sina  H- CCS  4^  sin  M  cosa  sinw  sinaH- cosd»  coso)  cosa 

Sin£  = 5      C0S£= ^  -^ 

y  I  —  sin'4^  cos^a  y/i  —  siri'di  ros^a 


DES  PERTURBATIONS  DES  COMETES.  427 

et,  en  substituant  ces  vahîurs  dans  les  expressions  de  /et  g  du  n"  17,  on 
trouvera 

/.         /  sin6)sitia\  /  .  coswsinav 

/  =  e     roso)  cosa  H -, —  U      «j-:-  e     suio)  rusa -, ; 

\  cos'l'     /  \  cos^      I 

par  là,  et  par  1rs  vaiciiis  de  h  et  c,  on  aura 

r.        /    n      I    ^       e(cos«  cosa  H- sino)  sina  ccsd») 
/-t-  ce/—  bg)  =  -^ -j ÏJ, 

,,   y,     ,    ,       e(sin(i)C0sa  —  coscosinacosd»)      ,/.,,/.  e' 

de  sorte  que,  à  cause  de  o  =  ercosç;,  a  =  — '■ — r^,  les  formules  (G)  du 

^  ^  '      '  cusq;  ' 

n"  15  deviendront 

^  =:  /-[cos^)  cos(  9  —  a)  —  siiio)  siii(<p  —  oc)  cos^j^], 
■>'=  r[sino)  cos(9  —  oc'i  -+-  cos'.)  sin((v  —  aj  rosd;], 
2  rr:  /•    siii'l  sin(cp  —  a), 

dans  lesquelles  9  —  a  est  ce  (ju'on  nomme  l'argument  de  latitude. 
20.  Si  l'on  fait 


y/fl  —  4  /' 


sinM,     9.t 


/  2  (  I  H-  /?l 


V -!?—  +  '  =  «■ 


et  qu'on  se  souvienne  que  i/ i—  —  =  e  ( n"  17j,  il  est  clair  que  l'équa- 
tion (Fj  du  n'*  15  prendra  cette  forme  très-simpl(> 

u  —  esiuM  =  0, 

dans  laquelle  u  sera  évidemment  ce  que  l'(ui  nomme,  d'après  Kepl<M. 
l'anomalie  excentrique,  mais  comptée  du  périhélie,  et  où  0  sera,  par 
conséquent,  l'ai^omalie  moyenne. 

54. 


428  RECHERCHES  SUR   LA  THEORIE 

Doik;,  commo  5  =  /  loisijue  ^  =  o,  on  voit  que  la  constante  i  n'est 
autre  chose  que  l'époque  de  l'anomalie  moyenne. 

En  appliquant  les  formules  au  mouvement  de  la  Terre  auloiirdu  Soleil, 

et  prenant  la  distance  moyenne  -  pour  l'unité,  on  aura,  en  négligeant 


m  —  „   .„^c-  vis-a-vis  de  i , 

t  -h  i  =  0  =  l'anomalio  moyenne  du  Soleil  ; 

d'où  il  s'ensuit  que  t,  exprimé  en  angles,  représentera  proprement  le 
mouvement  moyen  du  Soleil  pendant  le  temps  écoulé  depuis  l'époque 
d'où  l'on  part;  et  qu'ainsi,  en  divisant  la  valeur,  de  t  par  36o  degrés,  ou 
bien,  si  t  est  exprimé  en  nombres  (la  distance  moyenne  du  Soleil  étant 
l'unité),  en  divisant  la  valeur  de  t  par  le  rapport  de  la  circonférence  au 
rayon,  on  aura  le  temps  exprimé  en  années  sidérales,  puisque  nous  pou- 
vons faire  abstraction  ici  du  mouvement  de  l'apogée  du  Soleil. 
Or,  puisque 

,_4^_4/£_L;_^\  =  f,_- 

a  \  (i       cû        a  /         \,  a 


il  est  clair  qu'on  aura 
donc 

et  comme  (n°*  15  et  16 


—  =z  e  cos«  : 
a 


a 
r=:  -  [i  —  e  CCS  m' 


2 


p  =  "?.  Il  —  r,     q  =  2  <^li  (\  -1^  b^  -\-  c']  \/  V —  // , 


r 


on  aura,  à  cause  de  h 


a{i  —  e'' 


ae 

p=  (COSM 


q  =  —  ^{i  —  e^j  [i  -+-  Ir  -\-  C-)  sinu. 


1 


De  sorte  que,  en  substituant  ces  valeurs  dans  les  formules  (G  j,  on  aura 
aussi  X,  y,  z  exprimées  en  u. 


DES  PERTURBATIONS  DES  COMÈTES.  V29 

Dans  la  parabole,  le  grand  axe  a  de  vie  ni  infini,  |>;u' (•(>ns(''(|n(Mil  l'iini^Uw/ 
estinfîninionl  petit.  Dans  les  eHi[)ses  très-all()nL,^ées,  telles  (jue  sont  les  or- 
bites (lescomiiles,  la  cpiantité  a  est  seulement  tii's-grande;  donc  l'angle  k 
sera  très-petit,  du  moins  tant  (juc  r  n'est  pas  fort  grand 

Dans  ce  cas  donc  on  aura 

I     .  3     .  5      . 

M  =.  sni«  H-  -:  siii'/«  +  -^  siii^M  H siii'//  -t- .  .  .  , 

()  4"  '  •^' 

et  ré(juation  enli'e  0  et  u  deviendra 

ï     .  3     .  5      . 

0  =  (i  —  e)  sin«  -+-  -  sin-^w  +  7-  swx'm  H sin' /<-(-.  .    ; 

^  '  b  40  • ' 2 

mais 

I  — e'  4A 


I  —  <? 


I  -4-  e         «(I  +  e  ] 
donc,  si  l'on  met  pour  B  sa  valeur 


^      /a  (  I  +  m  ) 
et  (ju'on  tasse 

V; 

on  aura,  après  avoir  tout  multiplié  par  w-ô"' 

.        ih  I  3  5 

'  ''        \  -\-  e  b  20a  20«' 

OÙ  (V  sera  une  (juantité  tinie,  puisqu'on  aura 


w  =. 


v-v 


et,  substituant  pour  i/r //  sa  valeur  en  o  trouvée  ci-dessus,  il 


430  RECHERCHES  SUR   LA   THÉORIE 

viendrîi  

i/a/i  sincp 

w  =  -î ~  • 

I  -+-  e  coscp 

Pdiir  In  j)aral)()le,  on  fera  a  =  oc  ,  et  l'on  aura 

.        ,  w' 

où  fà  cause  de  e  =  i  j 

cl  A  sera  pour  lors  égal  à  la  distance  périhélie. 

21.  Nous  l'emarquerons  encore  que,  si,  dans  l'équation  différentielle 

entre  dr  et  dl  du  n"  15,  on  substitue  pour  dr  ei  pour  y/r h  leurs 

valeurs  en  9  (n*"  18j,  on  trouve 


y   2  /i  (  I  --1-  m 


dt=  Kf  — j- r'  do  ; 


et,  si  l'on  différentie  l'équation  qui  donne  la  relation  entre  t  et  u  (  n*'  20), 
el  qu'on  y  mette  —  pour  i  —  ecosM,  il  vient 


y/ 


dt=\./ ~ /'  du  : 


2  f  I  -+-  m 


dans  la  première  formule,  9  est  l'anomalie  vraie,  et  dans  la  seconde  //  est 
l'anomalie  excentrique. 


SECTION  TROISIEME. 

INTÉGRATION    DES    ÉQUATIONS    DIFFÉRENTIELLES    DES    PERTURBATIONS. 

22.  Nous  avons  vu,  dans  la  première  Section,  que  x,  y,  z  étant  les 

coordonnées  de  l'orhile  non  altérée,  et  a:  H-  ^x,   y  -h  §r,  :;  -h  f^r-  celles 


DES  PERTURBATIONS  DES  COMÈTES.  431 

de  l'orbite  troublée  par  raction  d'une  planète  fj.,  ou  a  poui-  la  d('t<'riui- 
nalion  des  (|uanlilés  (ix,  oy,  (iz  les  é(|iiatious  suivantes 


fi'  dx 


—rj-  =  (i  +  m  ,  \  -, — —  ^x  -^    —TT    0)'  H — ; — J-  oz  j  —  iJ.\ , 


d^àz       ,  ...  .      .  •  I  / 

—7-7—  =(•-<-   '"  )  \    —, 7-  0-^  H -• —  Oy  -+-      — TT     oz    I   —   'J.  A, 

en  faisant,  pour  abréger  (n°  12), 

x=lli^,  v=='!lbi),  z=liizil. 

</.^•  </^-  </^ 

23.  C'est  doue  de  l'intégration  de  ces  équations  (jue  dépend  la  re- 
cherche des  perturbations  causées  par  l'action  d'une  planète  quelconque 
sur  la  comète.  Or  celle  intégration  dépend,  comme  l'on  sait,  de  celle  du 
cas  où  il  n'y  aurait  aucun  terme  tout  connu,  à  cause  que  les  variables 
inconnues  ^x,  ^y,  ^z  ne  paraissent  que  sous  la  forme  linéaire.  Ainsi 
toute  la  dillicullé  se  réduit  à  intégrer  des  équations  de  la  forme  suivanle 


d^  ox 

; =1,1-1-  m  ) 

df  ' 


{i-^  m 


./i  d^l 

=    1  -+-/;/     \   -; — J—  6x  H ; 7—  0)'  -f-     -p—     OZ 


dt^ 

d'èz 


dr  \dzdx  dzdr  dz 


24.  Si  l'on  se  rappelle  les  calculs  du  n''  7,  on  doit  voir  (jue  les  é(|ua- 
lions  précédentes  résultent  des  écjualions  de  l'oibile  mui  altérée,  eu  v 


432  RECHERCHES  SUR   LA   THÉORIE 

faisant  varier  les  quantités  x,  y,  z,  des  dillerences  âx,  fy,  oz  regardées 
comnie  intiniment  petites.  Donc  les  intégrales  des  équations  dont  il  s'agit 
doivent  résulter  aussi  des  intégrales  des  mêmes  équations  de  l'orbite  non 
altérée,  en  y  faisant  varier  non-seulement  ces  mêmes  quantités,  mais 
encore  les  constantes  arbitraires  introduites  par  les  différentes  intégra- 
tions, et  (jui,  n'existant  point  dans  les  équations  différentielles,  peu- 
vent, à  leur  égard,  être  aussi  regardées  comme  variables. 

Ainsi  donc,  pour  avoir  les  intégrales  des  trois  équations  différentielles 
du  numéro  précédent,  il  n'y  aura  qu'à  différentier  à  l'ordinaire  les  inté- 
grales de  l'orbite  non  altérée,  trouvées  dans  la  seconde  Section,  en  y  re- 
gardant les  trois  indéterminées  x,  y,  z  et  les  six  arbitraires  a,  b,  c,  /, 
g,  i,  comme  variables  à  la  fois,  et  marquant  leurs  différences  par  la  ca- 
ractéristique ^  [à  l'égard  de  h,  elle  doit  aussi  être  traitée  comme  variable, 
parce  que  c'est  une  fonction  de  a,  b,  c,  f,  g,  donnée  par  l'équation  (H) 
du  n""  16]  ;  les  différences  de  ces  arbitraires  seront  elles-mêmes  les  nou- 
velles constantes  arbitraires  que  les  intégrales  cherchées  doivent  con- 
tenir pour  être  complètes. 

25.  Comme  les  formules  [Çi)  du  n°  15  donnent  x,y,  z  en  r,  et  que  la 
formule  (F)  du  n'*  14  donne  ren  t,  on  pourra  tirer  directement  de  la  diffé- 
rentiation  des  premières  les  valeurs  de  ^x,  oy,  t^z  en  or;  ensuite  on  aura 
^r  par  la  différentiation  de  la  dernière;  mais,  à  la  place  de  r,  il  sera  plus 
simple  d'introduire  l'angle  u,  au  moyen  des  formules  du  n''  20;  et,  pour 
donner  à  notre  calcul  toute  la  simplicité  dont  il  est  susceptible,  nous  re- 
marquerons de  plus  que,  la  position  du  plan  des^retj,  auquel  nous  avons 
jusqu'ici  rapporté  l'orbite  de  la  comète,  étant  arbitraire,  on  peut,  sans 
nuire  à  la  généralité  du  Problème,  supposer  que  ce  plan  coïncide  avec 
celui  de  l'orbite  non  altérée  de  la  comète;  et  l'on  peut,  par  la  même  rai- 
son, supposer  aussi  que  l'axe  des^c  coïncide  avec  le  grand  axe  de  la  même 
orbite,  en  sorte  (jue  les  abscisses  a;  soient  prises  depuis  le  foyer  et  soient 
positives  en  allant  vers  l'apside  inférieure. 

Ces  deux  suppositions  donneront  (n"*  17  et  19) 

t|;  =  o,     «  =  (.);     donc     />  =  o,     c  =  o,    f^e,     g^o, 


DES   PERTURBATIONS   DES  COMÈTES.  ï:V.\ 

cc(\u\  simplifiera  hcaiicouj)  les  expressions  Unies  de  ^,  J,  z;  mais,  coniiiie 
les  dilTéreiices  âh,  ^c,  (ig  ne  sont  pas  nulles,  il  ne  faudra  pas  faire  disjta- 
raître  enlièremiMjt  les  quantités  h,  c,  g-,  niais  il  en  faudra  conserver  les 
premières  dimensions  dans  les  expressions  de  x,y,  z,  afin  de  pouvoir  en 
tirer  par  la  dilférentialion  les  valeurs  complètes  de  (^x,  fy,  âz. 

26.   De  cette  manière,  on  aura  donc  ^n"  15,  foiumic  Gj 

,.  _  fP  -  S<J      ,.  _  f(P  -^/</      ^  _  f^P  +  ^•'/ 

et  par  les  formules  du  n"*  20  on  aura,  à  cause  de  e  =  /, 

af,  r-  o.f T.    . 

/>  =  ^^  (COSf/  — /   ,      (/  =  -^  y  I  — /-■  sm//, 

de  sorte  qu'en  substituant  il  viendra 


2  a  / 

y  =  -  V  I  —  /   smM  -I-  -''-   fosM  —  f), 

û^  n         ac —    . 

2  =  —  (cosw  — /    H-  —  y  I  —J'smu. 

Différenliant  donc  suivant  la  caractéristique  ^,  en  faisant  tout  varier,  r 
supposant  ensuite  les  constantes  b,  c,  g  nulles,  on  aura 


cosu  —  f  ^         rt  ^ .      aii  —  P.       ^         a    . 

ox  = -^  ôa  —  ~  of — ^T-ii—  swuiOfi sinw  ou, 

2  2  2  /  2 


or  = ~  sin uoa z^=^  sin  w  o/^^-  ^ ^r-^^  oi'  H-  -^ ^  ces f/ ou, 

2-  2^1 -y-       -•  2/^2 


dz  =: ■—  où  H --^  sin  u  oc. 

2  2 

Mais,  par  le  n*'  20,  on  a,  en  mettant/à  la  place  de  e. 


u  —/sin  «  =  9  =  2/1/  -^ — - — '  +  i  ; 

VI.  55 


434  RECHEKCHES  SUR   LA  THEORIE 

donc,  faisant  vaiier/;  a,  ielii,  on  en  tirera  la  valeur  de  ou,  la(|uelle  sera 


/  2  (  I  -t-  AJt  )    Oa  .  ^ /.  ^  • 

V         a^         a -^ 

I  —  /"cos  u 


Substituant  donc  cette  valeur  de  (^u  dans  les  expressions  précédentes 
de  ^x,  ^y,  os,  on  aura  les  valeurs  cherchées,  lesquelles  seront  évidem- 
ment de  cette  forme 


èx  =  A  ôa  +  B  (5/-+-  C  dg  +  D  di, 
or  =  E  ôa  +  F  0/"+  G  ôg  +  11  o/, 
ÔZ  =:  Ko/*  -f-  Loc, 


en  supposant,  pour  abréger, 


cosu  —  f       d>t        i{i -\- m)       <\\Mi 


3_^      h{i-v- 


i  — fcosu 


„  «  ;  siii^« 


2   \  I  —fcosu 


C  —  -  --^ — TT-—  sin  M, 
2/ 


a       sinw 


2    I  —/ces, 


i/i  — f-    .  3/      /2(i  +  /n)  4/1  — /-'(•os w 

E  =  -i —  SUMl 4  /  ^ ^ : 

2  2    V         a^  I  —fcosu 


„                  a/"          .             rt  1/  •  —  f  ■  sin«ros« 
F= _Jl su'.u  -\ ^ "^ j. 

2vl— /-'  2  I— ,/COSM 


a  v'i  —  /'       cosM 


2  I  — fcosu 

K  =  -  (ces M  — ./), 


a  V  I  —  /"'    • 
L  =  — î^ ^—  sni  a. 


DES   I»KKTl]IU{ATI()NS   DES  COMÈTES.  435 

Telles  sont  les  valeurs  eoiiiplèles  des  quaiitilés  (ix,  rjij,  02,  en  lanl 
(jifelles  résultent  (les  trois  é(jualions  difrérenliellcs  du  ir23;  et  les(iuan- 
tités  (ia,  f)6,  âc,  (if,  og\  0/ sont  les  six  eonstantes  arbilraiies  que  ces  va- 
leurs doivent  eonlenir  à  raison  des  six  intégrations  qu'elles  supposent. 

27.  Voyons  niaiiilcnaiil  coinnicnt  on  doit  détrrinincr  ces  -loiivelles 
arbitraires;   il  <'st  elair   (|irelles  dépendent  des  valeurs  des  (juantités 

ox,  0)  ,  oc,  et  de  leuis  dilierenees  premières  -tt— '   -yr-'      ly  P'"Jr  on 

instant  quelconque  donné.  Il  faudra  donc  dillérenlier  lis  expressions 
de  ox,  0)',  oc  trouvées  ci-dessus,  en  y  regaidaiit  les  arbitraires  oa. 
^b,  oc,  y,  (ig,  fîf  comme  constantes,  c'est-à-dire,, en  y  faisant  varier  seu- 
lement les  ({uantités  qui  sont  des  fonctions  du  temps  /,  pour  avoir  les  va- 
leurs de  —r~">  ~T~'>  'ir'  lesquelles  seront  représentées,  en  général,  par 
les  formules  suivantes 

r/a.r        d\  .  (IH  ^^       (K  .  d\)  ^. 

(,t  dt  (Il     -^        (It     ^        dt 

ddr       dE  .         dV  ..      dG  ^         dW 


on 


^f-^  717 'h' -^-17'"'' 


dl  dt  dt     ■'        dt     ^    '    dt 


dèz        dK  .,        dL  ^ 

—r-OU   H 7-   ÔC. 


(Il  dt  dl 

Ces  trois  étjuations  étant  combinées  avec  les  trois  du  numéro  précédent, 
on  en  tirera,  par  la  métbode  ordinaire  d'élimination,  les  valeurs  des  six 
inconnues  ^a,  ^6,  fîc,  y,  ^g,  (^i;  et  il  est  aisé  de  voir  que  ces  valeurs  se- 
ront de  la  forme  suivante 

» ,  -x  r.,  ^  ^,  dàx       .^,  d or 

àa  =  A'  ox  -+-  B'  èy  -+-  C  — .--  -+-  D'  -jt-j 

o/=E'ô^-  +  Fo>-(;'^'  +  Il'^\ 
•^  '  (ft  dt 

o  dt  dt 

55. 


430  RECHERCHES  SUR   LA  THEORIE 

ài  —  E"  ox  -^-  l  '  dy  H-  W  -j — h  H"  -^ , 

00  =  K   oz  +  \J  —, —  ? 
«/ 

1-/,  >         ,„(i^z 
oc  =  K  02  -)-  L  —y—  : 

les  quantités  A',  B',  C',...  étant  des  fonctions  rationnelles  de  A,  B,  C,... 
..(de^,^,---. 

28.  Quoique  la  détermination  de  ces  quantités  A',  B',...  ne  soit  pas 
difficile,  elle  pourrait  néanmoins  entraîner  dans  des  calculs  très-longs, 
si  on  l'entreprenait  par  la  méthode  ordinaire;  voici  un  moyen  de  la  sim- 
plitier  beaucoup. 

Ce  moven  consiste  a  chercher  d'abord  les  valeurs  des  constantes  a,  b, 

^         .  ,         dx    dy    dz     y  .  •       ^       o     ^^ 

c,  /,  g,  i,  enx,y,  z,  i,  et  en  -r-»  -j--'>  -jj-i  a  quoi  on  parviendra  tacilement 

par  le  moyen  des  formules  du  n''  14;  ensuite  à  diiïérentier  ces  valeurs 
relativement  à  la  caractéristique  â,  c'est-à-dire,  en  faisant  varier  seule- 

///y*     (l'y*      fi  Z 

ment  les  constantes  dont  il  s'agit  et  les  indéterminées  oc, y,  z,  -j--,  -~,  -j-, 

et  marquant  les  variations  par  â;  et  comme  les  di(Térentiations  relatives 
aux  deux  caractéristiques  différentes  d  ei  ^  sont  totalement  indépen- 
dantes entre  elles,  on  voit  aisément  (|ue  (îJsera  la  même  chose  que  d^, 
de  sorte  qu'on  aura  ainsi  directeuK'nt  les  valeurs  de  ^a,  âh,  r^c,...  en  r^œ, 
d  ox    ^ 

-dF'^y 

Nous  allons  donner  ici  les  résultais  de  ce  calcul,  parce  (ju'ils  nous  se- 
ront utiles  dans  la  suite. 

29.  On  voit  d'abord  (n''  14)  que  l'équation  (Bj  donnera  la  valeur  de  a, 
et  que  l'équation  (D)  donnera  celle  de  h-,  ensuite  l'équation  finie  (E), 
combinée  avec  sa  différentielle,  donnera  les  valeurs  de/et  g;  et  de  même 
l'équation  (A),  combinée  avec  sa  différentielle,  donnera  celhî  de  h  ete; 


DES   PERTUHHATIONS  DES  COMÈTES.  V87 

•'iifin  ['(''(juation  (Fj  donnera  la  valcnr  de  i\  on  aura  donc  d'abord 

I  _  I        dx"* ->r  (If^ -\- dz^  r'  idr^Y 

— y      n  =z  r  —  —  — 


a        r  o.{i-i-m   dp  a        S(i  +  m)dr' 

ensuite  on  trouvera 

y._  (2 A  —  r)dy-\-rdr       ^ _  {^y.h  —  r)dx  -h  x dr 
X  dy—ydx       '      *^  ~        ydx  —  x  dy       ' 

,  _^  z  dr  —  r  dz  _  z  dx  —  x  dz 

xdy  — ydx  ydx  —  xdy' 

or,  si  dans  la   valeur  de  //  on  substitue  celle  de  ->  et  (ju'on  y  nielle 

a  ' 

•?.{œdx ->r ydy ->r  zdz)  à  la  place  de  dr- ,  on  a 

.  _  r'  (  dx-  -\-  dy  +  dz^)  —  [xdx-i-  y  dy  -t-  z  dzY 
~  a(n-  m)</<»  ' 

ce  (jui,  à  cause  de  r^  =x'^  4-7-  -h  5^  peut  se  réduire  à  cette  forme 

h  —  [^  dy  —  T  dx)'^  -^  (  ^  dy  —  y  dzf  -h  {xdz  —  z  dx  )' 
~  2(1-4-  m  )  di'  ' 

mais  on  vient  de  trouver 

z  dy  —  ydz  —  b(xdy  —  ydx  „     x  dz  --  z  dx  =  c{x  dy  —  y  dx)  ; 

donc,  faisant  ces  substitutions,  extrayant  la  racine  carrée  et  supposant, 
pour  al)réger, 

—  K^ 

,  -H  6^  -h  c^  ~      ' 

on  aura 

^  _  xdy  — ydx 

dt  V  2  1-4-  m  ) 

el  l('s  autres  formules  deviendront,  étant  multipliées  par  K, 

„       [ili  —  r)dy  -f-  )•  dr       ,^  2/1  —  r,  dx  -+-  x  dr 


dtsjiii  -\-  m)  fi?/ y/2  (iH- m 

z  dy  —  y  dz  __        z  dx  —  x  dz 

dt\/9Ai-\-  m,  r//  y  2  (  I  -4-  m  ) 


V38  RECHERCHES  SUR   LA  THÉORIE 

Entin  on  aura  fformule  ¥), 


liw  -I- 


/  =  —  ?.  M  / -, 1-  arf^  sin 


\/'--'i-''        V'-a 


sja  —  ^li  ^Ja 


30.   lui  différentiant  ces  équations  par  rapport  à  la  caractéristique  ^, 
et  changeant  partout  §6?  en  d^,  on  trouvera  les  formules  suivantes 


,  or       dx  dox  -'r  d)d è)  -+-  dz  de: 
da  =a''     — -  H 


ÔK  = 


</r  èx  —  dt  ày  -\-  X  d  èy  —  y  d  àx 

dt sj i\\ -\- m) 

_      df{  2  àh  —  èr)  ■+-  dr  ày  +  {ih—  r)d  oy  +  J  d  or  _  /oK 
~  Kf//v?(i  -+-  "t)  ^ 

dx{i  èh  —  or)  +  dr  ox  -\-  [-2  II  —  r)  d  àx  -\-  x  dèr       g  ÔK 
Oê= ■ ^ 


àb  = 


oc 


}Ldt\j  iy  +  m) 
dy  èz  —  dzèy  -^-  z  d  oy  —  y  d  dz        h  ôK 

dx  àz  —  dzàx-\-zdèx^xd  dz        c  èK 


Kdtsj7.[i-h  m)  ^ 

§h  =2(1  +  6=^  +  c')  KôK  +  iK'{bdb  +  cèc), 

dans  lesquelles  il  faudra  substituer  pour  $r  sa  valeur 

X  §x  -h  T  §r  -h  z  èz 


et  pour  d(^r 


xdox  -{-  rdo}^-+-  z  doz         jJc  1  y  -^  ,2  ^ 

\-  d-  dx  +  d ^  dr-\-  d-  oz. 

r  r  r     -  r 


Quant  à  la  valeur  de  ^i,  pour  la  trouver  plus  aisément,  on  supposei'a 


r               h               2  i/f  —  t'-  —  n       ., 
-  =  v,      -=in,      -^ —  =  V, 


DES  PEKÏUH  BATIONS   DES  COMÈTES.  V:u» 

ce  qui  l'fMluira  la  valeur  de  /à  rcHc  Ioiiiil' 


/•->.  (  I    ■+    m  )  y— 

1  =  —  7.t  1/ h  arr  siii  V  —  V  y-i  —  4«; 

(le  sorte  (ju'on  aura,  en  (liHereiiliaiil  suivaiil  o  el  laisaiil  loul  varier, 
excepLé  /, 


di=:  it  1/ 1 —  —  J i  —  ^n  o\  —  \  o\ii  —  in\ 

V  a'  a         ji  _  V2        V  T  Y         -T 


01* 

V  I  —  V^  = 


I  —  4  " 


donc,  sul)stituanl  celle  valeur,  ainsi  que  celles  de  V  et  de  oV,  el  rédui- 
sant, il  viendra 


9.  on 


IV  ôe  -\ -j—  {v  —  2/1) 


..         ,  ^       1 1\\-\- m)  on                           I  — 4« 
â/  =    •  /  \ ■ \ - 


r     h 
OÙ  il  n'y  aura  plus  (lu'à  remettre  pour  (^  et  n  leurs  valeurs  -,  -,  et  par 
'  '  '  a    a         ' 

N      ^  ^     ■                ^.   ,     aor  —  rôa    aoh  —  hoa 
conséquent  pour  0^  et  o/?  les  (luantites 5  ; 

Après  avoir  trouvé  cette  expression  de  ^i,  j'ai  remarqué  qu'elle  avait 
l'inconvénient  de  contenir  au  dénominateur  le  radical  \v  —  v-  —  n, 
savoir 

le(juel,  comme  on  l'a  vu  dans  le  n"  17,  devient  nul  dans  les  deux  apsides 
de  l'orbite;  de  sorte  que,  comme  ^i  ne  saurait  devenir  infini,  il  faut  né- 
cessairement que  le  numérateur  soit  alors  pareillement  nul;  d'où  il  s'en- 
suit (jue  la  formule  sera  en  défaut  dans  ces  deux  points. 

Pour  éviter  cet  inconvénient,  il  faut  tâcher  de  donner  une  autre  forme 
à  la  valeur  de  m,  et  qui  soit  telle,  (|u'il  n'y  ail  aucune  fonction  des  va- 
riables au  dénominateur;  voici  comment  je  suis  paivenu  à  ce  but. 


W)  RECHERCHES  SUR  LA  THÉORIE 

Je  considère  (jiic  la  quantité 

ÔV 


est  la  même  chose  que  celle-ci 


y  I  —  V^ôV  —  V  Ôy  I  —  V% 
et  qu'ainsi  on  peut  réduire  la  première  expression  de  ^i  a  celle-ci 


/ 2  i  +  m)  èa        f  ; ^T-^        7—^  -VI-       ir'v/  , v^   .     , 7~  ] 

r  =  3/  1/ \-  {Ji—Y-—ifï  —  /in)ô\  —\oi^n—\'-^^'i—  ^n); 

y         a'         a 


61 


mais 


zi/r—- h 

-. ay/i-  —  c^  —  n V  a 

y/1  —  4^  v«  v^j  —  4^^ 


et,  par  le  n"  16  et  à  cause  de  A  =  na. 


V  =  1  ,      y/i  -  V^ 


rt  y  1  —  4  ^  V  ^  (  '  +  ^^  "*"  ^^  )  V  '  —  4  ^ 

par  conséquent  (n'^  14) 

—         4'*~2('  ^/i  —  2r    2/> 


y/l  ~  V^— y/l  — 4Ai 


^'i  —  ^n        ayi  —  /\n        a\^/i  —  ^n 


y/l  —  V^  -t-  y/l  —  4^  =  h  2  y  I  —  4'*; 

a  y/ 1  —  /^n 

donc,  faisant  ces  substitutions  dans  l'équation  précédente,  et  effaçant 
les  termes  qui  viendront  de  la  différentiation  de  la  quantité 


a  y/ 1  —  ^n, 

laquelle  divise/?  et  q,  parce  que  ces  termes  se  détruisent  mutuellement, 
on  aura 


y/  2  (  I  +  /n  )  (5a 

)1  =  61 — 

a^  a 

+    ,,    ^    ,      \pd    î =â=={èp-2aèn)] 

a'{i—/\n)l'     ^n{i-hb-'-\-c')        ^/n{i -h  b' -+- c')  J 


DES  PEKTUHBATIONS  DES  COMÈTES.  H1 

Oc  les  formules  (G)  (In  ii"  15  (loiinent 

donc,  siihstiluaiU  ces  valeurs,  on  aura  pour  0/  une  expression  loute  ra- 
tionnelle et  enlii'i'c,  el  (|ui  ne  scia  par  c(uisc(jiicnt  sujcllc  ;i  aucun  iuc()n- 
vénicnt. 

On  reuianjucra  encore,  à  l'ci^nrd  de  o/",  ?ig,  nh,  oc,  (iii'oii  peut  aussi 
les  expi'inu'i'  d'une  uianii-re  [)lus  simple  et  [)lus  commode  a  (jnelcj-ues 
égards,  eu  les  déduisant  directement  des  é(|ualions  (A)  et  (E),  diiïéren- 
liées  d'abord  rcialiveuH'ut  à  la  caractéiislique  fî,  et  ensuite  j)ar  rapjjoil 
à  la  caractéristique  ordiiuiire  d;  ce  qui,  dans  le  fond,  revient  au  même 
que  si  on  les  difFéi-entie  d'ahord  par  rapport  à  cette  dernière  caractéris- 
tique, et  ensuite  par  rapport  h  la  première,  ainsi  (|ue  nous  en  avons  usé 
plus  haut. 

De  cette  manière,  l'équation  (Ej  donnera  ces  deux-ci 

oèh—  or  =  X §f-h  r êg -h f§x -h g ôy,  —  (ldr  =  dxdf-hdrog-\-fddx  -hgddy; 
d'où  l'on  liie,  en  mettant  pour  oody  — vdx  sa  valeur  Kdt  \j2{i  -\-  m) , 

„,. dr{i6/i  —  dr)  -+-  ydàr  —fidy^àx  —  ydàx)  —  gid^èy  —  ydèy) 

K  dt  v/2  (  1  +  m  ) 

.    dx  9.0/1 — dr)->r  X (làr — f[dxox  —  xdox)  —  g[dxdf — xdôy) 

Kdt^2.[i-\-  m) 

De  même  l'équation  l'A;  donnera  ces  deux-ci 

dz  =  xdb  -h  roc  -h  b  ox  -h  c  ô, ,      ddz  -:^  dx  db  -+-  djèc  -+-  bd  ox  ■+-  cd  ôyi 

d'où  l'on  lire 


èb  = 


drôz  —  ydôz  —  b{dyàx — ydèx)  —  c{dyèy'  —  Jf/âj) 


Kdl  v'-ï-fi  -4-  m) 

dxdz  —  xi/dz—b{dxdx  —  xdàx)  —  c{dxày' — xdôy)^ 

Kdt  y/ad-h/n) 
VI.  56 


442  RECHERCHES  SUR   LA  THEORIE 

ce  sont  les  formules  que  nous  emploierons  dans  la  suite,  [)ar  prérércncc 
aux  autres  trouvées  ci-dessus. 

VaiWu  ou  observera  que,  comme  /i  =  -,  on  aura,  i)ar  la  l'orniule    Hj 
du  n"  10, 

de  sorte  que,  en  différentiant  suivant  â,  on  aura  la  valeur  de  on  expri- 
mée à  volonlé  par  oh  et  ^«,  ou  par  ^/,  (ig,  oh,  f)c. 

31.   Les  formules  précédentes  ont  toute  la  généralité  possible;  mais, 
pour  les  appliquer  à  notre  cas,  il  y  faut  supposer  (n"  25) 

6  =  O,       C  =;  O,        o-  =:  O, 

ce  qui  donne  [équation  (G)J 

(h 
z  =  o,      ^=o; 

par  conséquent 

X [x  dy  —  y  dx \y-        .y x dy  —  y dx)x 

donc 

xèx-^r^r         ,-.         X  dèx  -\-ydày       i  x  èy  —  yèx){x  dy  —  y  dx\ 

de  plus  on  aura 

donc,   faisant  ces  différentes  réductions  dans  les  formules  ci-dessus, 
elles  deviendront 

^ ,  ,  dy  hx  —  dx  hy  -t-  x  dèy  —  >•  dèx 

Ùll  =^  ?,  //    -: '■ ? 

dtsJihii-[-  m ) 

X  ox  ■+-  y^y       dx  dôx  -f-  dy  doy 

oa  —  a'  l  — i — Htt^ 

/•'  (I  +  m)  dp 


dj:s  pKirruiujATioNS  des  cometks. 

X \  dy  ox  —  ydhx 
(Il  y'2  /i  (  I  +  m  ) 
o.dyoli 


'»V3 


àf-=^^^àr-rox)-  {.[+";) 


y    dyoy — rddy 


''  dt)Jili{i  +  m)       dt  ^2/1(1  -h  m) 


5,  ^  .      ^  ^  f  „      x\  dx  dx  —  xdôx 

ôg=.---\xox-yox-i-     /-+- 


oh 


ôc=^ 


''  1    dt  yj.}.h[\->r  m. 

y  dx  (5)'  —  X  doy  ?.  dx  oli 

''  dt\l'>.li[i-\- m)       dt'^ili{i->r  ni) 

dy  oz  —  }-ddz 


dt  sj 'ili{i  -\-  m] 

—  dx  oz  +  X  d oz 


a/ 


dt  \j  1  li{i  -Jt-  m) 
/o.{i -[- ni)  oa       "^.(pàq  —  ç  op)       q[p—^an)Qn 

iiiiiis,  à  cause  de  />  =  o,  c=:o,  ^  =  0,  on  aura 

/;  =z y j; ,      ^  =:  f)  ;      oj)  =: y  àx  +  ^  r]/'  +  )  •  ô  o-,      ^q  -_  f  ô  y  ■  4_  j  •  ,5y  _  ^-  ^  „• 

donc 


de  plu; 


f)  oij  —  q  dp  =,/"'  ;  X  èy  —  y  dx)  —  [x''  -h  y^  \fàg , 


«=:-=:  f —  '         0n=  —   •^— ^  : 

a  4  " 


donc  la  dernière  l'orniule  deviendra 


Ùl 


-V"^ 


^  r'oîj 

.  ■?.  [xoy^  —  7' ûx ^ 

m)  on    ,       \.  ■  f 


la'  h 


yifx  —  ^h   of 
2  Jal}^ 


VA  I  on  reniar(|uera  (iiie,  a  cause  ne  n—   -  el  de  on  —  —  -^^^  <  on  aura 
encore  cette  équation  entre  qci,  0//  et  ùj\  savoir 


<t  o/i  —  //  oa  H :=  O, 


56. 


4H  RECHERCHES  SUR    EA  THEORIE 

liiquelle  pourra  Icnii'  lieu  d'uuc  (|U('k'ou(jue  des  trois  premières  for- 
mules. 

Telles  sont  doue  les  valeurs  des  quantités  5A,  ^a,  ^f,  ^g,  ^h.  ^c,  f^i 

^       ^        .       doû:    dèv    dèz  ,  .      •  r  .1  f 

eu  0^,  oy,  âz,  —j—-,  —r—-,  —~\  par  eousequeut,  si  1  ou  met  dans  ees  tor- 

inules  les  valeurs  de  x,  v,  dx,  dy  et  dt  eu  u  et  du,  savoir 


a  „  a 

2 
et  (n^'âl) 


^  =  -{cos«  —  /  ),     r'=-vi — f-cosu, 


(/t  z=:  i/ rdu=z-  v/ f  I  —  fcosii)  du, 

V    2(  I   4-  /»)  2     V     ?.(,!  H-  /??)  -^ 

il  eause  de  e=/,  elles  doivent  devenir  ideulicjues  avec  celles  du  n"  27; 
de  sorte  qu'on  pourra  ti'ouver,  par  la  compaiaison  des  coefficients  de 
ox,  fîy,  oz,  d^x, . . .  dans  les  expressions  de  (^a,  (^f. . . . ,  les  valeurs  des 
(juantités  A',  B',  C',...  des  formules  de  ce  numéro;  lesquelles  valeurs 
seront  nécessairemenl  les  mêmes  que  si  on  les  avait  déduites  des  for- 
mules du  n"  26,  au  moyeu  de  l'élimination. 

32.  Revenons  mainlenaiit  aux  expressions  de  t^.r,  rîj,  rîr-,  trouvées 
dans  le  numéro  que  nous  venons  de  citer;  comme  ces  expressions  satis- 
font aux  équations  différentielles  du  n"^  23,  les  quantités  ^«,  (ÎZ>,  ^c,  ^f, 
^g,  ^i  demeurant  constantes  et  indéterminées,  il  s'ensuit  que,  par  la 
substitution  de  ces  valeurs  de  ^x,  ây,  ^z  dans  les  mêmes  équations,  tous 
les  termes  doivent  se  détruire  d'eux-mêmes,  indépendamment  des  (juan- 
tités ^a,  âb,...;  donc,  en  général,  les  termes  qui  renfermeront  les  quan- 
tités finies  ^a,  ^6,...  se  détruiront  toujours  dans  les  équations  dont  il 
s'agit,  soit  que  ces  quantités  soient  constantes  ou  non. 

Donc,  si  l'on  suppose,  ce  qui  est  permis,  que  les  mêmes  expressions 
de  ^x,  ^y,  (iz  satisfassent  aux  é(jualions  du  u*^'  22  (lesquelles  ne  dif- 
fèrent, comme  l'on  voit,  de  celles  du  n*^  23  (jue  par  les  termes  —  p.X, 
—  [j-Y,  —  fxZ  ajoutés  à  leurs  seconds  membres),  mais  en  y  regardant 
les  six  quantités  (^a,  (^h,  ^c,  ^/,  âg,  ^i  comme  des  variables  indétermi- 
nées, et  (ju'on  en  fasse  la  substitution,  il  est  visible  (jue  les  termes  qui 


DES    l'KUrUnMVTIONS   DKS   COMKTES.  V45 

renfermeront  ces  variables  finies  s'iii  iionl  aussi,  cl  (|uc  les  ('(jiialions 
rcsullanlcs  seront  ( n"  26) 

Kd'oa-hUd'èf-hCU'dfr  4-  \)d'ài        dAdoa-hiiUddf-h  dCdog-h  dDddi  ^ 

-L P- u  o  - •-—- !3 = — y.  \, 

dp  dp 

V:d'oa-^Yd'èf+{^d^Qir-{-\\d'èi         d\idda-hd¥dâf-h  dGdàg-hdliddi  ^ 

dr  dp 

K d'ob  +  L d' oc  -+-  ?.  {d K dob  -i-dL doc) 
dp 

33.  (]()innu'  il  v  a  ici  six  variables  indéternûnécs,  cl  (]u'il  n'y  a  (jiic 
trois  équations  pour  la  dcterniination  de  ces  variables,  il  est  claii*  (ju'oii 
peul  supposer  à  v<donlc  trois  aulres  équations  entre  ces  mêmes  varia- 
bles, et  il  sera  à  propos  de  prendre  ces  écjuations  en  sorte  que  les  diflé- 
rences  secondes  des  variables  âa,  ^h,...  disparaissent  d'elles-mêmes: 
c'est  de  (|Uoi  on  viendra  à  bout  en  supposant 

A  dèa  -+-  B  dèf-h  C  dèff  +  D  ddi 

■■ ^ —  :=  O, 

dt 
Edàa-hFdèf-hGdèg-hHdèi 

^ —  n 

dt  ~     ' 

Kddh  -\-  L  doc 

d, =°' 

car,  en  retrancbant  respectivement  des  écjuations  précédentes  les  dille- 
reiices  de  celles-ci,  on  aura 

dA  dèa  -h  dli  dèf-h  dC  dèg  +  d\)  ddi  __ 

dp  ~       '^'     ' 

dE^dda  -h  d V d of-^ ,/(Ul og  -hdUddi  _  _     y 


dP 

dKdèb  +  dLdôc 


=  — uZ. 


dP 
Avant  ainsi  six  équations  entre  les  six  (juantités    ' 


do/i        dof       dog        ddi        dob        doc 
~dr'      Hf      Ift   '      ~dT'      ~dT^      "df 


U6  RECHERCHES  SUR   LA   THEORIE 

on  (létorminern,  par  réliniination,  la  valeur  de.  chacune  de  ces  quan- 
lités;  ensuite  il  n'y  aura  plus  qu'à  niulliplier  ces  diirérentes  valeurs 
par  dt,  et  les  intégrer;  on  aura  de  celle  manière  les  valeurs  des  variables 
S'a,  ùh,  f}c,  âf,  àg,  ^«qu'il  faudra  substituer  dans  les  expressions  de  ^x, 
oy,  r)z;  et  les  équations  du  n°  22,  qui  expriment  les  perturbations  de  la 
coniète,  seront  résolues. 

'M.   Il  est  important  de  remar(juer  que,  si  l'on  difTérentie  les  expres- 
sions de  ^x,  QY,  d'z,  on  aura,  en  vertu  des  équations  supposées  ci-dessus, 

dox  =  d\  ôa-¥-  d\iof-\-  dC  ôi,>-  -h  dD  ôi, 
doy  :=  f/E  oa  -\-  d¥  of  +  dG  og  +  dU  di, 
ddz  =  dKob  -+-  dL  oc, 

précisément  comme  si  les  quantités  oa,  r}f,  r)g,  S'i,  âb,  oc  étaient  con- 
stantes, parce  que  les  termes  dépendant  des  variations  de  ces  quantités 
sont  précisément  ceux  qui  forment  les  équations  supposées.  D'où  il  est 
facile  de  conclure  que,  si  les  équations  ditrérentielles  du  n°  22  conte- 
naient aussi  les  différences  premières  de  ^x,  rîy,  â'z,  elles  s'intégreraient 
également  par  la  méthode  du  numéro  précédent,  et  l'on  parviendrait 
aux  mènii's  résultats. 

Il  y  a  plus,  et  c'est  ici  le  point  essentiel,  dans  l'orbite  non  altérée  on 
a  pour  coordonnées  x,  y,  z,  fonctions  du  temps  t  et  des  six  constantes 
arbitraires  a,  f,  g,  i,  h,  c,  lesquelles  déterminent  les  six  éléments  de 
l'orbite,  savoir,  le  grand  axe,  l'excentricité,  la  position  du  périhélie, 
l'époque  du  passage  par  le  périhélie,  le  lieu  du  nœud  et  l'inclinaison 
( n"^  17,  19,  20j.  Dans  l'orbite  troublée,  les  coordonnées  sont  x -h  ^x, 
y -h  oy,  z  -h  03,  les  (juantités  àx,  ^y,  rîs  n'étant  autre  chose  que  les  va- 
riations de  X,  y,  z  provenant  <les  variations  âa,  âf,  ^g,  <^«,  ob,  (fc  des 
six  constantes  a,  /,  g,  i,  b,  c,  comme  on  l'a  vu  ci-dessus.  Ainsi,  dans 
l'orbite  troub'éc,  les  coordonnées  sont  exprimées  de  la  même  manière 
(jue  dans  l'orbite  non  troublée,  c'est-à-dire,  qu'elles  sont  les  mêmes 
fonctions  de  /  et  de  a  -+-  o«,  /+  of,  g  -h  og,  i  +  ai,  b  +  (jb,  c  -+-  âc. 


DES   PEHTUinmiONS   DES   COMÈTES.  \hl 

qu'elles  h*  siml  de  /,  (i,  /,  ^,  /,  h,  c  dans  l'(»i'l)itt'  non  troublée.  P;ir  toii- 
sé(|UL'iit  on  peiil  ;»  cIiikiih;  iiislanl  rui-arder  rorbile  troublée  coniiiie 
étant  (le  l.n  inèinc  l'ornic  (|ue  l'orhile  non  Irouhlée,  mais  dont  les  élé- 
ments dépendent  des  (juantilés  a  -k-  'Ja,  f  -\-  of,  g -h  âg,  i -h  oi,  h -\-  nh, 
c -h  r)c,  i('s(ju(dles  étant  variables,  il  s'ensuit  que  les  élénjents  de  l'or- 
bite troublée  seront  variables  aussi,  et  (|ue  les^quantilés  o«,  o/,  ùg,  ai, 
^b,  &c  serviront  à  délerniiner  leurs  variations.  Or,  eoniine  nous  venons 
de  voir  que  les  valeurs  de  ces  quantités  sont  telles,  (|ue  les  dillérences 
p rem  ères  de  î^jc,  oy,  nz  sont  les  mêmes  (|ue  si  ces  (juantités  étaient 
constantes,  il  est  aisé  d'eu  eonelure  (jue  les  éléments  de  l'orbite 
troublée,  (juoique  essentielleujent  variables,  peuvent  néanmoins  être 
regardés  et  traités  comme  constants  pendant  un  instant,  et  (ju'ainsi 
non-seulement  le  lieu  de  la  comète  dans  l'orbite  troublée,  mais  encore 
son  mouvement  instantané,  c'est-à-dire,  sa  vitesse  et  sa  direction,  seront 
dans  ebaque  instant  les  mêmes  que  l'on  trouverait  en  les  déterminant  a 
l'ordinaire  dans  une  orbite  tixe  dont  les  éléments  seraient  ceux  qui  ré- 
pondent à  ce  même  instant. 

3.').    La  diiriciillé  est  donc  réduite  à  déterminer  les  valeurs  des  quaii- 
tile.s  oci,  o/.  og,  <h\  (^h,  lic  au  moyen  des  six  équations  du  n*^  33. 

Or,  en  examinant  ces  équations  et  en  les  comparant  avec  les  formules 

•     I  I  1  1       ^  ^         -N  II  }•  11"  <i  o.r      d  C)' 

qui  donnent  l(!s  valeurs  de  o.r,  oy,  oz  et  de  leurs  dillérences—- —  -—    ' 

^  -^  (Il       (Il 

-7-^  fn"'*  26,  27),  il  est  aisé  de  voir  qu'elles  sont  semblables,  et  (|u'(  Iles 

peuvent  se  déduiie  de  ces  mêmes  formules  en  y  cbangeant  seulenienl  les 

.   ^     ^       .^^    ^  I  i-ff  dàa    dof    do£r 

quantités  oa,  <)/,  ng, ...  en  leurs  dillérences  -j--,  -.y  j  —r—-  ■  ■  ■  •>  et  en  \ 

supposant  en  même  (em|!s 

dox  (/oy  doz 

fiX  =  O,         àr  =  O,         03  =  O,  ;--   =  —    'J.  A,  —j-~  =  —    U.\  ,  —r—   =   —   u/. 

al  at  (it 

Donc,  en  faisant  ces  mêmes  snp|)ositions  dans  les  expressions  de  oa,  o/, 

.V  .V         dnr      ^  III         1(1'  doa 

0 o-, .  . .   en  o^r,         -•    ov on   aura  les  valeurs  des  dillérences  —r  • 

»  (Il        ■  (It 


U8  RECHERCHES  SUR    LA  THEORIE 

^",...;  ainsi  l'on  aura  (n°23j 
dt 

"^"'^  —  -  a(C"X  +  D"Y),     i^  =  -  p.(G"XH-H"Y), 


(It  '■'  lit 

(lob  ,,^,  dèi 


dôb  . ,  d  àc  ,, 

=  —  p.  L  Z,  -T-  =  —  [J.  L  /. 


36.  En  général,  il  est  visible  que  les  équations  du  n**  33  ne  sont  autre 
chose  que  les  différentielles  de  celles  qui  donnent  les  valeurs  de  qx, 

—j—1  ^j,...  en  (^a,  ^f,  o^, ...»  en  y  faisant  varier  seulement  ces  dernières 

quantités,  ainsi  que  les  différences  premières  —jr'>  —fr-'  ~~jj-->  et  met- 

,    ,         ,  1         i-iv  1        tP^x      d-oy     d'dz  ,  .^, 

tant  a  la  place  des  dinerences  secondes  -ttt'  "777"'  ~j7r  '^^  quantités 

—  aX,  — /aY,   —  p-Z;  de  sorte  qu'en  faisant  les  mêmes  opérations  sur 

les  équations  qui  donnent  directement  les  valeurs  de  oa,  «î/, . . .  en  àx, 

ddx     ^  1111  I         1  '        j    ^^«     (l^f 

-1—5  dy,...,  on  aura  sur-le-champ  les  valeurs  cherchées  de-y— »  -j^-, 

*"  V-  C'est  ce  qu'on  peut  aussi  démontrer  à  priori  par  le  raisonnement 


dt 


suivant. 

Soit,  en  général, 


0) 


une  quelconque  des  équations  dont  il  s'agit,  A  étant  une  des  six  con- 
stantes arbitraires  ^a,  ^/,  ^g,  ai,  fî/^  âc,  et  0  la  l'onction  de  t  et  de  àx, 

^       .       dèx-     dày     ddz         ...        .    ,      ,       .,        .      ,    .  ,,      ,         .. 

ny,  âz,  —T—-,  —j—1  -j-  qui  lui  est  égale,  il  est  clair  que  cette  équation 

considérée  en  elle-même  n'est  autre  chose  qu'une  intégrale  première, 
ou  du  premier  ordre,  des  équations  du  n°  23,  dans  laquelle  A  est  la  con- 
stante arbitraire  introduite  par  l'intégration;  donc,  en  différentiant,  on 
aura  cette  équation  du  second  ordre 

</4>  =  o. 


DES  PEKTURBATIONS  DKS  COMÈTES.  Uî> 

laquelle,  ne  contenant  plus  de  constantes  arbitraires,  devra  être  iden- 
tique, c'esl-'i-dire,  iivoir  lieu  eu  inèuic  teuijis  (|ue  les  é(ju;il!ous  dn  uu- 
méro  cité;  de  sorte  (|ue  la  dillereiilielle  (hV  devra  èlre  telle  que,  si  l'on 

y  substilu."  à  la  place  des  dillércnces  secondes  ^,  ^,  ^;^^   leurs 

dp        dp        df 

valeurs  données  par  ces  uièmes  équations,  tous  ses  termes  se  détruisent 
fi  eux-mêmes;  c'est  aussi  de  (juoi  on  pourra  se  convaincre  à  posteriori 
par  le  calcul. 

Or,  comme  les  équations  du  n*' 22  ne  diiïèrent  de  celles  du  n"  23  que 
parce  (jue  les  valeurs  fie  ^^j  ^.  -'^  ont  les  termes  —  ,'j.X,  —  aV, 
—  ixZ  de  plus,  il  s'ensuit  (jue  si,  au  lieu  de  substituer  dans  l'expression 
de  rfO  les  valeurs  de  -^^,  ~^,  -^,  déduites  des  équations  du  n°  23, 

on  y  substituait  les  valeurs  de  ces  mêmes  quantités,  déduites  des  équa- 
tions du  n°  22,  on  aurait  nécessairement  le  même  résultat  que  si  l'on  y 

substituait  simplement  —  u.X,  — /xY,  —  aZ  à  la  j.lace  de  ^^,  ^', 

-^,  et  qu  on  y  ellacat  en  même  temps  tous  les  autres  termes.  Soit  r/A 

ce  que  devient  alors  la  valeur  de  d<[^  (A  étant  ici  regardée  comme  va- 
riable); on  aura  donc,  pour  les  équations  du  n°  22, 

d^  =  </A,     et  de  là     ^l)  ~  ^, 

comme  pour  celles  du  n"  23,  mais  avec  cette  difrérence,  (jue  A  ne  sera 
plus  ici  constante,  mais  une  fonction  donnée  de  t;  et  cette  équation 
4>  =  A  sera  par  conséquent  aussi  une  intégrale  première  des  équations 
du  n*'  22. 

D'où  il  est  aisé  de  conclure,  en  général,  «pie,  pour  trouver  les  inté- 
grales de  ces  dernières  équations,  qui  sont  proprement  celles  qui  déter- 
minent les  perturbations  de  la  comète,  il  n'y  aura  qu'à  dilTérentier  cha- 
cune des  lormules  A  =  <!>  trouvées  plus  haut  (n"*  30,  31),  en  n'y  faisant 

varier  (lue  la  constante  A  et  les  différences  premières  — r-?  —%■>  ^-r^» 
'  ^  dt       di       dt 

d'^ùx    d^oy    d^dz 
et  y  substituer  ensuite  a  la  place  de  -yrr'  ~T/T"'  ~nr  les  quantités  —  a\, 

VI.  57 


450  RECHERCHES  SUR  LA   THEORIE 

—  aY,  — /xZ;  on  aura  par  ce  moyen  la  valeur  de  û?A,  dont  l'intégrale 

sera  celle  de  A. 

Ayant  déterminé  ainsi  les  valeurs  des  dilTérentes  quantités  A  qui 

étaient  auparavant  constantes,  et  (jui  sont  devenues  maintenant  des 

fonctions  de  /,  on  aura  des  intégrales  premières  de  la  même  forme 

(ju'auparavant  ;  par  conséquent  les  intégrales  secondes  ou  finies  qui 

résulteront  de   celles-là   par  l'élimination   des   différences  premières 

(IS.v     ddr    dSz  ^  ,     ,         .        „  1»   <    -1    »         w 

—rr-i  —j—')  —j—  seront  encore  de  la  même  lorme;  d  ou  il  s  ensuit  que 

tant  ces  difTérences  que  les  variables  finies  ^x,  $j,  ^z  seront  aussi  de 
la  même  forme,  c'est-à-dire,  les  mêmes  fonctions  de  t  et  des  diflerentes 
quantités  A  que  dans  le  cas  où  ces  quantités  seraient  constantes. 

Et  il  est  facile  de  se  convaincre  qu'il  n'est  pas  nécessaire,  pour  l'exac- 
titude de  cette  méthode,  que  les  différentes  constantes  A  soient  dégagées 
tout  à  t'ait  (les  variables  dans  les  intégrales  premières  des  équations  du 
11°  23,  ainsi  que  nous  l'avons  supposé  :  il  suffit  de  les  imaginer  déga- 
gées, ce  qui  est  toujouîs  possible,  et  de  les  traiter  comme  toutes  va- 
riables à  la  fois  dans  la  différentiation  des  mêmes  équations  intégrales; 
on  éliminera  ensuite  successivement  les  différentielles  de  ces  différentes 
quantités  A,  pour  avoir  la  valeur  de  chacune  de  ces  différentielles. 

Voilà,  comme  l'on  voit,  un  moyen  aussi  simple  que  direct  pour  dé- 
duire les  intégrales  des  équations  du  n*'  22  de  celles  des  équations  plus 
simples  du  n°  23,  et,  en  général,  pour  intégrer  toutes  sortes  d'équations 
linéaires,  en  supposant  qu'on  sache  déjà  intégrer  ces  mêmes  équations 
dans  le  cas  où  elles  ne  contiendraient  aucun  terme  tout  connu. 

37.  Qu'on  différentie  donc,  d'après  la  méthode  précédente,  les  for- 
mules du  n"  31,  en  y  faisant  varier  seulement  les  quantités  ^h,  âa,  ^/, 

ffg,  01,  nh,  oc,  ainsi  que  les  trois  dillerences  premières  -j—,  —j^^  —j—, 

et  qu'on  y  mette  ensuite,  à  la  place  des  différences  secondes  ^--^  ——•> 

T^t  les  quantités  — p.X,  —  aY,  —  p.Z,  c'est-à-dire,  —iJ.Xdt,  —u.Mdi, 


DES  PEFIÏUKHATIONS  DES  COMÈTES.  kiii 

/or       •  </d)-       j  (loz 
(It  dl  dt 


..1  j,  u   \^      I  1       jdor       j  doy       ,ddz  .         ,  . 

~[j.Lat  a  la  place  de  «  77-'  "  TT'  ^^    /"*'  *^"  ''^^''''  '*'^  ('quations  sui 


vantes 


dè/i  =  -,x^!^{xY-r\)di, 
dda  = ^-  (û{\dx  4-  \dr]. 


m) 
?.r/^  de  II 


\l'o.li[i  +  m)\  y  '' J  r      ]        dt^h.hi 

s/ih'i-hm)lV         rj  /•      J        dt^o.liix^m] 

dèb=       ^--^ Zdt,  # 

dèc  =  ~-=^^=Zdi, 

doi  =3/1  /^^^-tJ^  ^11^  _  ?_!^^_%  .  riJ^^zAIllAÈf- 

et  l'équation  entre  âa,  âh,  âf,  étant  (lifï'érentiée  aussi,  donnera 

a  dàh  —  h  dàa  H î-L^  =  o, 

2 

qui  servira  à  déterminer,  si  l'on  veut,  do/,  en  connaissant  dâh  et  f/cî'a. 
Or  je  remarque  qu'on  a  cette  combinaison 

,^/.  ,        ,^  xdr  —  rdx 

X  doj  -\-  ydog  =  2 —  doli  =  2  JôA  ; 

dt  \j'i.li{i  -\-  m) 

de  sorte  qu'on  aura 

,»          7.dèh  —  xdàf 
d  ûs  =^ ; 

y 

ainsi,  comme 

,^„       o.ihdha  —  adSfi) 

^¥= ^- ' 

on  aura 

dès;  =  —^  \  (af-\-  x)  ddh  —  xli     » 

valeurs  que  l'on  pourra  employer  à  la  place  des  précédentes. 

57. 


io2  RECHERCHES  SUR  LA  THEORIE 

Telles  sont  les  formules  par  riiitégration  desquelles  il  faudra  déter- 
miner les  valeurs  des  quantités  ^h,  âa,  âb,  ^c,  âf,  âg,  ai;  et  il  est  visible 
que  ces  intégrations  ne  demandent  que  de  simples  quadratures,  puisque 
les  quantités  x,  y  et  X,  Y,  Z  sont  censées  données  en  t  d'après  les  mou- 
vements supposés  connus  de  la  comète  dans  l'orbite  non  altérée,  et  de  la 
planète  perturbatrice  dans  son  orbite. 

38.  Connaissant  ces  différentes  quantités,  on  aura  les  éléments  de 
l'orbite  troublée,  au  moyen  desquels  on  pourra  calculer,  par  les  mé- 
tbodes  ordinaires,  tant  le  lieu  que  la  vitesse  et  la  direction  de  la  comète 
dans  un  instant  quelconque,  ainsi  que  nous  l'avons  démontré  plus 
haut  (n'' 34). 

Pour  cet  effet,  on  se  ressouviendra  que  a  est  le  grand  axe  de  l'orbite 

non  altérée,  /\h  le  paramètre  du  grand  axe,  et  e  =  w  i  —  —  l'excen- 
tricité (n°  17). 

Ainsi  a  -h  ^a  sera  le  grand  axe  de  l'orbite  troublée,  l[h  -h  4o^  le  pa- 

,  ,        ,         .,         ,  .  ,  j.  hàa  —  noli  »  •   •.  ' 

rametre  de  cette  orbite,  et  e  +  cfe  =  e  -h  2 son  excentricité. 

ea- 

Ensuite,  en  différentiant  suivant  0  les  valeurs  de  6  et  de  c  de  ce  même 

11''  17,  et  faisant,  suivant  l'hypothèse  du  n°  25,  ^]>  =  o,  on  aura 

ô6  =  —  sino)ô^];,      oc  =  cosc:)  ôJ;  ; 

ainsi  0^  sera  l'inclinaison  du  plan  de  l'orbite  troublée  sur  le  plan  de 
l'orbite  non  troublée,  et  co  sera  l'angle  que  la  ligne  des  nœuds  de  ces 
deux  plans  fait  avec  l'axe  des  x,  lequel  est  en  même  temps  le  grand  axe 
de  l'orbite  non  altérée  (n°  25);  de  sorte  que  o)  sera  proprement  la  longi- 
tude du  nœud  ascendant  de  l'orbite  troublée,  comptée  sur  le  plan  de 
l'orbite  non  troublée  depuis  le  périhélie  de  cette  dernière  orbite. 

En  différentiant  de  même  les  valeurs  de/et  de  ^  du  n"  17,  et  faisant, 
d'après  le  n°  25,  '|/  =  o  et  s  =  o,  on  aura 

q/*=  ôe,     «3g-  =  e  oe  ; 
et  il  est  clair,  par  les  dénominations  du  n°  13,  (jue  90°  -^  âî  sera  la  Ion- 


DES   PERTURBATIONS  DES  COMETES.  V53 

gitude  du  point  de  l'orhite  troublée  qui  est  à  90  degrés  du  périhélie, 
comptée  sur  le  plan  de  l'orbite  non  tionblée,  depuis  le  périhélie  de 
eelle-ei;  mais,  à  cause  que  ces  deux  orbites  uv  t'ont  entre  elles  (ju'un 
très-petit  angle  ^(j/,  et  que  nous  négligeons  ici  les  fî(j>%  il  est  très-facile 
de  prouver  que  rîô  sera  la  longitude  même  du  périhélie  de  l'orbite  trou- 
blée, la  projection  d'un  arc  de  90  degrés  ne  pouvant  dillérer  de  90  de- 
grés (|ue  p;ir  des  (jiiaiilités  de  l'ordre  de  o^}^.  Ainsi  le  petit  angle  os 
exprimera  proprement  le  mouvement  du  périliélie  en  longitude,  en 
vertu  des  perturbations. 

Enfin  on  se  rappellera  que  /  est  l'époque  de  l'anomalie  moyenne  dans 
l'orbite  non  troublée,  c'est-à-dire,  la  valeur  de  cette  anomalie  lorsque 
t  =  o  (n*'20;;  doncf-+-  c?f  sera  aussi  l'époque  de  la  même  anomalie  dans 
l'orbite  troublée;  en  sorte  qu'ajoutant  à  cette  époque  le  mouvement 
moyen  pendant  le  temps  t,  dans  une  orbite  dont  le  grand  axe  serait 
a-{-  âa,  on  aura  l'anomalie  moyenne  qui  servira  à  déterminer  le  lieu  de 
la  comète  dans  l'orbite  troublée. 

Ainsi 


?./ 


\/^ 


étant  (numéro  cité)  l'anomalie  moyenne  dans  l'orbite  non  troublée,  on 
aura  ©  4- 55  pour  l'anomalie  moyenne  dans  l'orbite  troublée,  et  l'on 
trouvera  la  valeur  de  ^0  par  la  dilTérentiation  de  l'équation  précédente, 
en  y  faisant  varier  a  et  «seulement,  en  sorte  qu'on  aura 


oO  =  —  àl  i/  -^ — ^. \-  di. 


Comme  àa  et  (^i  sont  ici  des  quantités  variables,  si  l'on  dilférentie  à 
'ordinaire  cette  valeur  de  0^,  on  aura 


y  a^  a  y  a^  a 

et  substituant  pour  d^)i  sa  valeur  trouvée  dans  le  numéro  précédent, 


454  RECHERCHES  SUR   LA   THEORIE 

on  aura 


_3,/Y^ 


j^û_       1.1,./-^-   ■   ""  ^^       -irUlèg    ^    x{xf—^h)dàf 


(^         f\a^li  isjah^ 


lont  l'intégrale  donnera  directement  la  valeur  de  $5,  qui  est  l'altération 
le  l'anomalie  moyenne  causée  par  les  perturbations. 


39.  Nous  avons  donné,  dans  la  première  Section  (n"*  10,  11),  une 
manière  de  transformer  les  équations  générales  des  perturbations,  en 
sorte  que  les  forces  perturbatrices  deviennent  très-petites  lorsque  la 
comète  est  à  une  cfrantle  distance  du  Soleil;  comme  cette  transformation 
est  d'une  grande  utilité  pour  le  calcul  des  perturbations  dans  la  partie 
supérieure  de  l'orbite,  il  faut  voir  maintenant  comment  elle  peut  s'appli- 
quer aussi  aux  formules  que  nous  venons  de  trouver. 

La  transformation  dont  il  s'agit  consiste  en  ce  que,  si  l'on  fait 


3( 

I  -f-  m) 

y~ 

'^{ 

I  H-  m) 

z 

ÙX  =  U       7i r  H +  OX' , 


3  (  I  -f-  /H  )      '      I  H-  // 


èz  =  u.  {  v-^ :  H ^—  )  +  àz', 


et  de  plus 


^,_n^"iï)  y,^liiii),  z-  '"'(§- -s 


dx  dj'  az 

on  aura  entre  ^x\  ^y' ,  ^z'  et  X',  Y',  Z'  les  mêmes  équations  qu'entre  àx, 
^y,  ^z  etX,  Y,  Z,  c'est-à-dire,  des  équations  de  la  même  forme  que  celles 
du  n°  22,  en  y  marquant  seulement  les  (quantités  (^x,  fy,  ^z,  X,  Y,  Z, 
chacune  d'un  trait. 

On  peut  donc  appliquer  à  ces  équations  les  mêmes  raisonnements  et 
les  mêmes  opérations  que  nous  venons  de  faire  dans  cette  Section  sur  les 
équations  du  n"  22,  et  en  tirer  des  conclusions  semblables.  Ainsi,  si  l'on 
dénote  par  f}a',  cî^',  oc',  5/',  ^g',  ^h',  ^i'  des  quantités  analogues  aux 
quantités  àa,  ^b,  èc,...,  on  aura  des  formules  semblables  à  celles  des 


DES   PERTURBATIONS  DES  COMETES.  455 

n***  31  et  37  ci-dessus,  en  y  iii;ii(|ii;iiil  (riiii  li;iil  les  (jiianlités  oa,  ob,  rîc, 
^/,  ^g,  ^h,  §i,  fiop,  ^y,  (^z,  X,  Y,  Z.  I*:ii'  les  premières,  on  aura  les  valeurs 

(le  na\  fî/>',...  (^n  ^x' ,  —7^-^  '1)"  '•••»  ^l  p="'  ^'"^  autres  les  valeurs  de  r/^a' 
r^^Z/',.  .  eu  X',  V,  Z'. 

Supposous  uiaiiileuanl  (in'uii  siihsiiltic  dans  les  formules  du  n"  31  les 
valeurs  précédentes  de  o.r,  oy,  oz;  il  est  aisé  de  voir  (à  cause  que  ces  quan- 
tités n'entrent  dans  les  mêmes  formules  que  sous  une.  forme  linéaire)  que 
l(ïs  valeurs  d(!s  (juanlilés  âh,  oa.  S'/,...  deviendront 

àh  =  (j.  M  -f-  dh' , 
ôa  =  y.X  -+-  oa' , 
of=iJ.¥  -hof, 

(5A  =  fzB -I- 06', 

oc  =  fxC  -+-  èc' , 
di  z=  p.I  -f-  di', 

en  dénotant  par  aH,  aA,  (iF,...  les  valeurs  de  ^k,  ^a,  ^/,...  provenaiil 

d(î  la  simple  substitution  de  u.  (  ot— — :  H — )  à  la  place  de  ^x\  de 

'■  '     \3(i  -t-  m)         I  -f-  a/  r 

/^  (^-— ;  H r      )  ^  '^  P'=^^6  <^6  "Ik.  et  de  tx  (tt—^ — r  ^ ^ — 1  «  '» 

'     \  3  I  -»-  m  !        i  -\-  m  J  '  '^  ~  \  3  (  i  -1-  m  )        i  H-  m  ' 

place  de  ^z. 

De  sorte  qu'en  faisant 

dz 
2  =  0,      -T—  =  o, 
dt 


et  mettant  à  la  place  de  xdy—ydx  sa  valeur  dt\/2h(i-hm)  (  n***29.  31 
on  aura 


H 


2  A      ^  d[}  •  —  yj  r/j;  -+-  .r  dv}  —  y  di, 


3(1-1- m)        I-^y.  dtsj-y.h'i-^m) 

.  _        <3t'         /  ^        r/^'  -f-  </;■•  \  a-      ix\  -hyri       dx  d'E,.-h  dy  dn  \ 

~"  3(1 -1- m)  \/'        {i-hm)dl')        i  ■+■  [J-X       r»  (i  ■+-  m)'di~  1 


45() 


RECHERCHES  SUR  LA  THÉORIE 


X         y 


F  =  —  ^, :  4  ' 


(i  = 


3(1  + m)  i+p 


B  = 


3  (  iH-  //i  ; 


[\  -\-  ix)  dt \J  1  h[i  -{- m) 

\f-\ )  (Xdx — xdc,)+  —  {ridx — xdn] 

(i  H-  ij.)dtsj''2.hii  +m) 


dtsj7.h{i-h  m] 
lUdx 


dty/7./i(i-\-  m) 


C  = 


(i  H-  ij.)dtsjili[i  -h  m) 
X  d'C  —  t  dx 


(i  H-  ij.)dt\jih{i  -\-m) 


_  3/       /ad  -+- 


•ryj  —  r^       /-'G 


m)\     i  +  f/  f   )    ,    X[fx  —  ^h)¥ 


v/a^A 


/a'/t 


De  plus  on  aura,  par  les  formules  du  n^  37,  en  y  marquant  d'un  trait 
les  quantités  èh,  âa,...,  X,  Y,  Z, 


doh'  =  -u.^^  {xY'-rX')dt, 

^    \    -h    PL  -^ 


dôa'= ^—  a^X'dx-hY'dr), 


dàf'  =  -- 


yrdt 


dôg'  = 


dèb' 


d  de'  = 


y  2  A  (  I  +  m) 

(jLX  dt 
\j7.h{i  +  m) 

F-r 

y/'2/t(l  +  m) 

fJ.X 

sj'2.li[i  -\~  ni 


(/+f)x'+fv'] 


2  dy  de  II' 


dt sjilid  -+-  m 

/•+  ^\  X'  +  I  Y'  I  -       '^^^^^^'^' 
''/  r       J        dts^ih[\+m 

Tdl, 


Z'dt, 


ddi'  =  3t 


v/^ 


-\-  m)  d èa'        ir^  d og'        y  [  fx  —  ^li)d of 


Donc,  si  l'on  ditTérenlie  les  valeurs  de  oh,  ^a,...  données  ci-dessus,  el 


DES  PFJ{TUIU{\TIONS  DES  COMETES.  457 

qu'on  y  substitue  ensuite  les  valeurs  précédentes  de  doh',  dna',...,  il 
viendra 

(l  è/i  =  u  du  -  a  -^^-^  (  ^  V  -  r  X'  j  di, 

m 

dèa=ud\ — a'i\'dsc-h\'dr), 

I  -f-  u. 

yrdl        r  f  f      -^A  Y'       ■'    v  I  7.dy'doli' 


■      dof^udF--J^^££=\lf-^^X'+^r\ 


\J'?.h[i-it-  m)L\         '' J  ''       J       dl\Jili  i  -{-  m) 

[xxdt       [  / /•      •^\  \/       T  v  I  o-dxdèli' 


y,'"2/r  I -4- /;n  I    \  '"  y  '■       J        dt\l7.li{i-\-m 


dèb  =  ij.  c/B  +  ^''^'         T  dt, 

y.  2  A  (  I  4-  m  ) 


doc  =:  a  dC '  "      —  Z' dt, 

\l'2.li[\  -f-  m ) 


dôi  =  a  d\  ^  3/  y  A"  -^  "  '  ^  -  ''"'!^'  +  rif-^-^à^AÈL, 

formules  qu'on  pourra  employer  a  la  place  de  celles  du  n°  37,  avec  les- 
quelles elles  sont  identiques  dans  le  fond. 

40.  En  comparant  les  formules  précédentes  avec  celles  du  n"  37,  il 
est  aisé  d'en  tirer  cette  conclusion  générale,  qu'il  est  permis  de  changer 
dans  ces  dernières  les  quantités  X,  Y,  Z  en  X',  Y',  Z',  pourvu  qu'on 
ajoute  en  môme  temps  aux  valeurs  de  dâh,  d^a,  dâ/,...  les  quantités 
fjLÉ^H,  ad\,  txdF, — 

De  là  il  s'ensuit  que,  soit,  par  exemple,  alT  dt  la  valeur  de  d&h  dans 
les  formules  du  n''  37,  on  aura,  en  intégrant. 


ô/i 


=  j  y.ndt, 


cette  intégrale  étant  supposée  commencer  au  point  où  (^h  =  o.  Suppo- 
sons maintenant  qu'à  commencer  d'un  point  donné  de  l'orbite  on  veuille 
employer  les  quantités  X',  Y',  Z'  à  la  place  des  X,  Y,  Z,  et  qu'on  dénote 
VI.  58 


458  RECHERCHES  SUR  LA  THÉORIE 

par  0^'  la  valeur  de  5A  pour  ce  point,  c'est-à-dire,  la  valeur  de  l'inté- 
grale /  fj/ll  dl  étendue  jusqu'à  ce  point;  soit  TT  ce  que  devient  FI  en  y 

cliangeantX,  Y,  Z  en  X',  Y',  Z'  :  on  aura,  en  général,  par  les  lornuiles  du 
numéro  précédent, 

donc,  intégrant, 


a/j 


=  y. îl  +  /  u.W (h  +  const. 


Soit  H'  la  valeur  de  H  dans  le  même  point  de  l'orbite,  et  supposons  que 
l'intégrale  /  ixU'dt  commence  aussi  à  ce  point  dans  lequel  on  a  supposé 

que  finit  l'intégrale  /  ijJldt;  on  aura  donc  dans  ce  point 

oh' =  y.  ir+  consl.,     donc     const.  =  oA' -    a  H'  ; 
donc  on  aura,  en  général, 

d/l  :=  uU  -  uH'  +  oA'  +   /    jH  (II, 

savoir 

dl. 


oh  =  y  H  -  y.  W  +  TyH  <lt  -f-   /  y  H' 

Supposons  ensuite  que,  dans  un  autre  point  quelconque  de  l'orbite,  on 
veuille  cbanger  de  nouveau  les  quantités  X',  Y',  Z'  en  X,  Y,  Z,  et  soient 
dénotées  par  ^h"  et  par  H"  les  valeurs  de  f)h  et  de  H  pour  ce  second  point; 
on  aura  donc  dans  ce  point 

èh"  =  y  H"  -  y  H'  +   Ty  n  (/f  -^  j  y  W  dt, 

l'intégrale  /  (xWdt  étant  supposée  étendue  jusqu'à  ce  second  point.  Or, 
lorsqu'on  emploie  les  quantités  X,  Y',  Z,  on  a,  en  général, 

dôh  =  y  n  dl,     donc     oh  =  /  fj-lldi  ■+-  consl.  ; 


I)K>    l'Kirn  1!  1{\'I  IONS  DES   COMÈTES.  i59 

sii[)|»()S(»iis  (|iir  riiilciiiîilc  I  ail  <'// (•oiiiiiicncc  à  ce  second  point  dans  Ir- 
(ju(d  r)li  dcviciil  ù/i",  cl  l'on  aura  oA"  =  cunsL;  donc,  en  généra), 

oh  =  /  ail  (Il  -+-  oh" , 

l'I,  snl»slilii;iiit  la  valeur  de  oV/', 

fili  =  [j. H" -  y.  W'-h  f  y. H  (/l  -f    1^ uW (Il  +  r y.  Il  <ll  : 

dans  c<'U('  roniinlr,  la  j)irniière  intégrale  1  u.Yl  dt  est  supposée  com- 
mencer au  point  de  l'orbite  où  âh  est  nul  el  s'étendre  seulement  jusqu'au 
point  où  les  (juantilés  X,  V,  Z  se  changent  en  X',  Y',  Z';  la  seconde  inté- 
grale /  'j.W'dt  est  supposée  commencer  à  ce  point  et  s'étendre  jusqu'à 
l'autre  point  où  les  (juantités  X',  Y',  Z'  redeviennent  X,  Y,  Z;  entin  la 
troisième  intégrale  /  y.  11  dt  commence  à  ce  dernier  point  et  s'étend  indé- 

tiniment;  de  sorte  que  ces  différentes  intégrales  ne  forment  proprement 
qu'une  seule  intégrale,  qui  commence  au  point  où  oV*  est  nul  et  (jni 
s'étend  indéfiniment,  mais  avec  cette  condition  que  la  quantité  H  se 
chaniçe  en  FI'  dans  une  certaine  étendue. 

On  voit  pai-  la  (jue,  dans  l'intégration  de  la  valeur  de  dâh  du  n"  37, 
on  peut  changer  à  volonté  les  quantités  X,  \,  Z  en  leurs  analogues  X', 
V,  Z',  el  rétablir  ensuite  celles-là  à  la  place  de  celles-ci,  pourvu  qu'on 
ajoute  en  même  temps  à  la  valeur  finie  de  âh  la  quantité  |J-H"  —  /jlH'.  (fiii 
est  la  différence  des  deux  valeurs  de  ,aH,  dont  l'une  rj-H'.se  rapporte  au 
point  où  X,  Y,  Z  se  changent  en  X',  Y',  Z',  el  Jonl  l'autre  ;;.H"  se  rap- 
porte au  point  où  X',  Y',  Z'  redeviennent  X,  Y,  Z. 

On  fera  le  même  raisonnement  sur  chacune  des  autres  t'ornuilcs  du 
u"  37,  el  l'on  tirera  des  conclusions  semblables.  Ainsi,  dans  l'intégratidii 
de  la  valeur  de  d o(i,  on  pourra,  pour  un  certain  espace  à  volonté,  clian- 
ger  X,  Y,  Z  en  X',  V.  Z'.  poiiivu  qu'on  ajoute  ensuite  à  la  valeur  tini(> 

58. 


4()()  RECHERCHES  SUR   LA   THÉORIE 

(le  ^a  l'excès  de  la  valeur  de  ;xA  qui  répond  à  la  lin  de  cet  espace  sur  la 
valeur  de  a.A  qui  répond  au  commencement  du  même  espace,  etc. 

Et,  si  l'on  voulait  substituer  à  plusieurs  reprises  les  (juantités  X', 
y,  Z'  à  la  place  de  X,  Y,  Z,  on  ferait  la  même  opération  pour  chaque 
nouvelle  substitution. 

41.  Une  des  déterminations  les  plus  importantes  de  la  Théorie  des 
perturbations  des  comètes  est  celle  de  l'altération  du  temps  périodique. 
Rien  n'est  plus  facile  que  de  trouver  cette  altération  par  le  moyen  de  la 
formule  que  nous  avons  donnée  (n"  38)  pour  l'anomalie  moyenne  dans 
l'orbite  troublée.  En  elfet,  d  exprimant,  en  général,  l'anomalie  moyenne 
dans  l'orbite  non  altérée,  et  0  +■  (^0  l'anomalie  moyenne  qui  a  lieu  en 
même  temps  dans  l'orbite  troublée,  on  aura,  pour  l'instant  du  périhélie 
dans  l'orbite  troublée,  0-+-âO  =  o;  d'où  5  =  — ^5,  ou  fce  qui  revient  au 
même),  0  =  36o"—  fî5.  D'où  l'on  voit  que,  lorsque  la  comète  passera  au 
périhélie  dans  son  orbite  troublée,  une  comète  tictive,  qu'on  suppose- 
rait se  mouvoir  dans  l'orbite  non  altérée,  serait  encore  éloignée  di;  son 
|)éiihélie  de  la  quantité  qui  répond  à  l'anomalie  moyenne  oO  dans  cette 
même  orbite.  Donc,  comme  on  a,  en  général  (n°  20), 


^='V'^ 


i  étant  une.  constante  dans  l'orbite  non  altérée,  si  l'on  dénote  par  o/  le 
temps  qui  répond  à  l'anomalie  âô  dans  cette  orbite,  on  aura 


A  I  -f- 

V  a' 


m^ 


donc 


V  8  (  I  +  /?0 


c'est  le  temps  dont  le  passage  au  périhélie  de  l'orbite  troublée  précé- 
dera le  passage  au  périhélie  de  l'orbite  non  altérée,  ce  temps  étant  ex- 
primé parle  mouvement  moyen  du  Soleil  qui  y  répond  (numéro  cité). 


DES  PEKTUKBATIONS  DES  COMETES.         'i(il 

Dénotons  par  oO'  et  c?5"  les  valeurs  de  o5  (jui  répondeul  à  deux  péri- 
hélies conséeulirs,  et  |)ar  oV,  ot"  les  valeurs  correspondantes  de  ol ,  <ii 
sorte  (|U(^  l'on  ait 


dt 


V  8  (  1  +  m  )  V  8  '  I  -I-  //t  j 


soient  de  plus  /'  et  t"  les  temps  des  j)assaij;es  par  les  deux  pcrilirlies  con- 
sécutifs dans  l'orhile  non  altérée  :  on  aura,  pour  les  tein|is  de  ces  pas- 
sades dans  l'orbite  troublée,  t'—ot',  f"—âl";  donc  la  dillcrcncc  de  («îs 
temps,  e'est-à-dire,  l'intervalle  de  temps  entre  deux  passages  consécu- 
tifs au  périhélie  de  l'orbite  troublée,  sera  t"  —  /'-h  c?/'—  ot",  où  /"—  /' 
est  le  même  intervalle  pour  l'orbite  non  altérée.  D'où  il  s'ensuit  (|ue  hi 
durée  de  la  révolution  anomalistique  dans  l'orbite  troublée  surpassera 
la  uiéuH'  durée,  dans  l'orbite  non  altérée,  du  temps  exprimé  par 

et'  -  01% 
011  pai' 

'èB'-oe"); 


i 


8(i  -I-  m) 

c'est  l'altération  produite  par  les  perturbations. 

Il  faut  remarciuer  (jue,  pour  avoir  les  valeurs  de  âO'  et  cî$",  il  fau- 
drait à  la  rigueur  suj)poser,  dans  ^0,  t  =  t'  —  ^t',  t  =  t"  —  ùi"\  mais, 
connue  nous  négligeons  les  carrés  et  les  produits  des  forces  perturba- 
trices, et  par  conséquent  aussi  de  toutes  les  quantités  résultant  de  ces 
forces,  il  suffira  d'y  faire  /  =  i'  et  /  =  t" . 

Nous  venons  de  déterminer  l'altération  de  la  révolution  aiioinalis- 
tique  de  la  comète;  si  l'on  voulait  avoir  l'altération  de  sa  reviduliou 
périodique,  il  faudrait  défalquer  de  l'altération  précédente  le  temps  dû 
au  changement  du  périhélie.  Or  nous  avons  vu  ^n"  38)  que  le  "|)éi'ihélie 
de  l'orbite  troublée  est  plus  avancé  que  celui  de  l'orbite  non  altérée  de 

l'angle  5e  =  -^:  donc,  si  l'on  dénote  par  5c'  et  os"  les  valeurs  de  ni  (|ui 

répondent  à  /  =  /'  et  t  =  t\  on  aura  ùi"  —  5ê'  pour  l'angle  dont  le  péri- 
héru^  de  l'orbite  troublée  aura  avancé  pendant  um'  révolution:  ainsi  la 


kii-l  KECHEUCHES  SUR   LA  THÉORIE 

qiKuititf'  h  'léfalquei'  de  raltération  de  la  révolution  anomalistique, 
pour  avoir  celle  de  la  révolution  pcriodifiuc,  sera  le  temps  qui  lépond  h 
l'anfifle  ou  a  l'anomalie  vraie  âz"  —  r);'. 

Pour  trouver  ce    temps,  on  pourra  employer  la    lormule   dilléreii- 
tielle  (n"21; 

y  aAi  I  +  m) 

en  taisant  f/9  =  âe'  —  cîs'  et  r  égal  a  la  distance  [)érihélie  dans  Torhite 
non  altérée,  laquelle  est 

a  —  ne        a  a\  i  —  e- 1 ■?.  h 

2  2  2  '  I  H-  f  '!  \  -^-  e 

de  sorte  qu'on  aura,  pour  le  temps  cherché,  la  quantité 

ôe"  -  ai' 


Donc  la  durée  de  la  révolution  périodi(|ue  de  la  comète  dans  l'orhite 
troublée,  c'est-à-dire,  le  temps  qu'elle  metti'a  à  faire  une  révolution 
entière  depuis  son  départ  du  périhélie  jus(ju'a  ce  qu'elle  revienne  sur 
la  ligne  du  même  périhélie,  surpassera  le  temps  de  la  révolution  entière, 
dans  l'orbite  non  altérée,  de  la  quantité 


v/ 


811  +  m 


^e'-^o"^-[^''^    ^'"-'^'' 


laquelle,  en  substituant  pour  âO'  et  f^B"  leurs  valeurs  déduites  de  la  for- 
mule du  n""  38,  et  dénotant  pai'  S'a  ,  ai'  et  par  ou",  r^i"  les  valeurs  de 
oa,  ^i,  qui  répondent  à  /  =  /'  et  /  =  /' ,  se  réduit  a  celle-ci 


3  (  t"  oa"  —  i'  èa'  )  /       a'  ...         I   "xli    \'     de"  —  ôe' 


/       a^  ., 

V  b  1 1  -t-  m  i 


'  ^~  *  /      y' 2 A;  I  H-  // 


DES  PKRTUHBATIONS  DES  COMETES.  'Mi:i 

SECTION   QUATHIÈMK. 

APPLICATION  DES  TIlÉOniES  IMlÉcÉD  E  .\T  KS  AU  CALCIJI,  DES  l>  E  HT  U  n  n  \T  I  (»  VS  DES 
COMÈTES,  ET  EN  P  A  RTI  CU  I,  I  EH  AU  CALCUL  DES  P  E  UTU  U  B  A  T  I  O  \  S  DE  LA  COMÈTE 
DE    l532     ET    DE    I  ()()  I  . 

42.  Celte  application  se  présente  d'elle-même;  il  ne  s'agit  (jnede  trou- 
ver les  valeurs  des  (|uanlilés  o/t,  oa,  ^f,  (^g,  oA,  oc,  oV,  |)ar  l'iulégialiou 
des  formules  du  n"  37,  el  l'on  aui*a  immédialement  les  altérations  des 
éléments  de  l'orbilc  de  la  couièle  dues  aux  perturhations  ('n"38j;  mais 
la  graîidc  dinicuilc  consiste  dans  ces  intét»rations,  les(|uelles,  ii  cause  de 
la  grande  excentricité  de  l'orbite  des  comètes,  ne  peuvent  s'exécuter, 
en  général,  par  aucune  méthode  connue  et  demandent  uécessairenHiil 
des  (juadralures  dt;  courbes  mécaniques. 

Nous  allons  pioposer  les  moyens  (jui  nous  paraissent  les  plus  propres 
pour  arriver  à  ce  but. 

Je  commence  par  substituei',  dans  les  équations  du  n*'  37,  les  valeurs 
de  X,  Y,  Z  (n"  22),  lesquelles,  en  effectuant  les  dilTerentiations  indi- 
quées, deviennent 

X^i-4--""l      v—l^LuA      7-i^lZli. 
p'  R'  P'  H'     '  p'  H-'    ' 

je  substitue  de  plus,  à  la  place  des  quantités  œ,  y,  z,  r,  dt,  leurs  valeuis 
exprimées  par  l'anomalie  excentrique  //,  jiarce  (jue  l'emploi  de  cette 
anomalie  rend  tout  à  la  fois  les  formules  plus  simples  el  j)lus  faciles  ii 
calculer;  ces  valeurs  sont  'en  faisant  h  =  o,  c  =  o,  /=  e,  g  =  o,  par 
riiypollièse  du  n"  25^ 


et  ,.  y 

X=-{COSU~J;,        )■=:  y/rt/j  SlilM,       Z^O         O"  it)   , 

r  = -(ï  ~  fcosu),     </t=\/ ~ if/u     in°**20,-21. 

(]es  substitutions  fiites,  si  l'on  suppose,  pour  |)lus  de  simplicité, 


n—  '         '  • 


kQï  RECHERCUES  SUR    LA  THÉORIE 

on  aura  des  équations  de  la  forme  suivante 


dàn  ^= 

dèg  = 
dàb  = 
ddc  := 
ddi  = 


H- 

:(H)n  +  ( 

I  +  m 

H- 

;cA)n  -+-( 

1  H-  m 

F- 

:(F)rn-( 

i  -+-  m 

F-      I 

:(G)n  +  ( 

I  +  m  ' 

F- 

;(B)n-i-( 

I  4-  m 

F-       r 

:(C)n  +  ( 

1  -\-  m^ 

H-       r 

jDn  +( 

i  -^  m^ 

(fi  lUJ^  du, 
{a]  rn]  du, 
{f]xn}du, 
{g)ij5'}du, 
(  6)  m]  du, 
(c)  Clj]  du, 
ii)  ct]  du, 


dans  lesquelles  on  aura  les  valeurs  suivantes  des  quantités  (H),  (h), 
(A),  (a),... 


A )  =  aM  -  H  sin  u  —  i^ali  yj  cos u\,     {a)  =  — 


a^f 


rsmu, 


(F)  —  —  i/  ~[{fr  -h  x)^^  rr,]f  -h  y.  s^'a/i  [xl  —  x-n)  cosu,    (/)  =  —  ^'a/i  rr, 
(G)=  K/tj  [(,fr-hx)l  +  rri'\x  -haixl  —  XYi)sïnu,     {g)  =  sjalirx. 


:i) 


-V^-^ 


'">  (Aj     ^-^'(G)^  r(A-4/0(p^^ 


fsja^h  i\Jali^ 


{i 


f  \J  à^  Il  isjuli^ 


DES  PEHTUUBATIONS  DES  COMÈTES.  Wo 

Dans  CCS  expressions,  j'ai  conservé,  ponr  plus  de  simplicité,  les  lettres 
00;  y,  /■  à  la  place  de  leurs  valenrs  en  sinw  et  costi;  il  est  facile  de  les  y 
snhstilMer  si  on  le  jni;-e  ii  j)i'opos. 

43.  Il  est  visil)le,  pai'  les  formules  précédentes,  (jue  les  (jnaiitih's  '  H j, 
(h),  fA),  (a),...  sont  toutes  exprimées  par  des  fonctions  ralionneiles  et 
entières  de  s\nu,  vosii,  c,  rj,  ^;  de  sorte  que,  si  l'on  pouvait  exprinn'r 

de  même  les  (lunntités  ^,  rj,  'Ç,  —  et  77:  par  des  fonctions  rationnelles  et 

entières  de  sinw  et  cosw,  l'intégration  des  équations  dillerentielles  dont 
il  s'agit  n'aurait  aucune  dilïiculté.  Voyons  quels  sont  les  obstacles  (|ui 
s'opposent  à  cette  réduction  dans  la  Théorie  des  comètes. 

On  se  rappellera  d'abord  que  les  quantités  ^,  yj,  'Ç  sont  les  trois  coor- 
données rectangles  du  lieu  de  la  planète  perturbatrice,  dont  la  masse 
est  (j.,  que  p  est  son  rayon  vecteur,  et  R  la  distance  rectiligne  entre  le 
lieu  de  la  planète  et  le  lieu  de  la  comète  dans  l'orbite  non  altérée 
(n"®2,  7);  on  se  rappellera  ensuite  (jue  nous  prenons  pour  le  plan  de 
projection  celui  de  l'orbite  non  altérée  de  la  comète,  et  pour  l'axe  des 
abscisses  la  ligne  du  périhélie  de  cette  orbite  (n°  25). 

Nonnnons  ^F  l'inclinaison  du  plan  de  l'orbite  de  la  planète  sur  le  plan 
de  l'orbite  non  altérée  de  la  comète,  et  il  la  longitude  du  nœud  ascen- 
dant de  l'orbite  de  la  planète,  comptée  sur  le  plan  de  l'oibite  de  la  co- 
mète depuis  le  périhélie  de  cette  orbite. 

Soii,  de  plus,  X  l'argument  de  latitude  de  la  planète,  c'est-à-dire,  la 
longitude  dans  son  orbite,  moins  la  longitude  de  son  nœud  avec  l'orbite 
de  la  comète. 

Il  est  facile  de  comprendre  (jue  l'on  aura  pour  |,  yj,  ^  des  expressions 
semblables  à  celles  de  oc^,  y,  ^  du  n"  19,  en  y  changeant  r  en  p,  w  en  42, 
0  en  ^F  et  o  —  y.  en  ). ;  on  aura  donc  ainsi 

\  =  p(cosi2  ces/.  —  sinû  cosM'sinX), 

■ri  =  p  {s'mQ.  ces/  -+-  cosl2  citsTsin/). 

'Ç  =  p  siii  4   sin>., 
VI  59 


466  HECHEUCIIES  SUR   LA  ÏHEOHIE 

Or  on  sait  quo  dans  les  orbites  des  planètes,  à  cause  de  la  petitesse  de 
leur  excentricité,  on  peut  exprimer  tant  l'équation  du  centre  que  le 
rayon  vecteur  par  des  suites  très-convergentes,  qui  procèdent  suivant 
les  sinus  et  cosinus  de  l'anomalie  moyenne  et  de  ses  multiples  (on  trouve 
ces  suites  développées  d'après  les  principales  Tables  astronomiques , 
dans  le  premier  volume  du  Recueil  des  Tables,  publié  par  l'Académie  de 
Berlin);  on  pourra  donc  représenter  par  de  semblables  séries  les  valeurs 

de  ^,  yj,  Ç  et  de  —  pour  cha(jue  planète,  et  il  n'y  aura  plus  qu'à  expri- 

r 

mer  l'anomalie  moyenne  de  la  planète  par  l'anomalie  excentrique  u  de 
la  comète. 

Pour  faire  cette  réduction,  soient  a  le  grand  axe  de  l'orbite  de  la  pla- 
nète, et  M  son  anomalie  moyenne  comptée  à  l'ordinaire  depuis  l'aphé- 
lie; soit,  de  plus,  T  la  valeur  de  l'anomalie  moyenne  0  de  la  comète  pour 
l'instant  du  passage  de  la  planète  par  l'aphélie;  il  est  visible  que  M  et 
^  — T  seront  les  anomalies  contemporaines  de  la  planète  et  de  la  comète, 
lesquelles  doivent  être  entre  elles  en  raison  réciproque  de  la  durée  de 
leurs  révolutions,  et  par  conséquent,  par  les  Théorèmes  connus,  en  raison 
de  \ja^  :  \j oâ  ;  d'où  il  suit  qu'on  aura 


'Vï 


M  =  (9-T 


où  il  n'y  aura  plus  qu'à  substituer  pour  9  sa  valeur  m  — esinw  (n"^  20). 
Comme,  dans  l'orbite  des  comètes,  l'excentricité  e  est  peu  diflerente 
de  l'unité,  il  est  clair  que  les  sinus  et  cosinus  de  M  et  de  ses  multiples  ne 
sauraient  s'exprimer  par  de  simples  sinus  et  cosinus  de  u  et  de  ses  mul- 
tiples; par  conséquent,  il  est  impossible  d'exprimer,  en  général,  ^,  yj,  Ç 

et  —  par  des  ibnctions  rationnelles  et  entières  de  sinw  et  de  cos/f.  C'est 

9 

la  première  difficulté  qui  s'oppose  à  l'intégration  des  équations  du  nu- 
méro précédent. 

La  seconde  difficulté  vient  du  dénominateur  irrationnel  R^;  en  effet  il 
est  d'abord  impossible,  par  la  raison  précédente,  de  réduire  l'expression 


DES  PKKTUUIIA'HONS  DKS  comètes.  V()7 

rationnelle  (le  R-,  I;m|iicII(' est  fn"  2j,  z  étant  =  o, 

à  imc  foiHiioii  ralioiiiicllc  de  siiiw  cl  cosii;  à  plus  forte  raison  le  scia-l-ii 
d'v  réduire  l;i  (luanlilé  irrationnelle  et  rompue  t—- 

44.  On  est  doue  t'oreé,  dans  la  Théorie  des  eomètes,  de  renoncer  à 
l'avantage  d(!  pai'venir  à  des  l'oi-mules  analytiques  (jni  cxprinicnl  les  iné- 
galités de  leur  mouvement  pour  un  temps  quelconque,  telles  que  celles 
que  l'on  trouve  pour  4es  inégalités  des  planètes,  et  la  seule  ressource 
(jui  reste  est  de  déterminer  ces  inégalités  par  parties,  en  partageant 
l'orbite  de  la  comète  en  différentes  portions,  et  calculant  séparément 
l'efTet  des  perturbations  pour  chacune  de  ces  portions. 

En  effet,  tant  (|ue  l'angle  ^  \/ —  ne  sera  pas  trop  grand,  on  pourra 

exprimer  son  sinus  et  son  cosinus  par  les  séries  connues  qui  procèdent 
suivant  les  puissances  de  l'arc,  et  par  là  on  remédiera  au  premier  incon- 
vénient. 

Ensuite  on  observera  que,  tant  que  le  rayon  r  de  la  comète  sera  beau- 
coup moindre  que  le  rayon  p  de  la  planète  perturbatrice,  et  que,  par 
conséquent,  x  ety  seront  moindres  que  p,  on  pourra  réduire  la  quan- 
tité -j-  en  une  série  convergente,  en  prenant  —  pour  le  premier  terme. 

De  cette  manière,  on  pourra  donc  intégrer  les  valeurs  de  d^h,  doa — 
du  n"^  42,  depuis  le  périhélie  de  l'orbite  de  la  comète  jus(ju'à  un  point 

/  a^  r 

de  cette  orbite  dans  lequel    ^  i/ —  t't  -  soient  des  (juantités  encore 

assez  petites. 

Soit  maintenante'  l'anomalie  excentri(jue  qui  répond  à  ce  point;  on 
fera,  en  général,  u  =  u'-h'J,  et,  tant  que  l'angle  v  sera  assez  petit,  on 
pourra  mettre  les  quantités  à  intégrer  sous  la  forme  rationnelle 

i  L  -f-  >J  u  -+-  N  u-  -I-  .  .  .  :  (/-j  ; 


tes  RECHEUCHES  SUR    LA   THÉORIE 

on  intégrera  donc  derechef  depuis  /^  =  w' jusqu'à  u  =  u'\  en  supposant 
l'arc  u"  —  u'  assez  petit,  et  ainsi  de  suite. 

45.  On  peut  faciliter  beaucoup  ce  calcul  par  la  méthode  connue  des 
courbes  paraboliques;  mais,  pour  pouvoir  employer  cette  niélliode  en 
toule  sûreté,  il  faut  ([ue  les  quantités  qu'on  veut  exprimer  par  des  for- 
mules par;iboli(|ues  ne  souffrent  pas  de  trop  grandes  ni  de  trop  l"ré- 
(jiu'.'iles  irrégularités;  autrement  il  arriverait  (}ue,  parmi  les  coeilicients 
de  la  série  parai)olique,  il  s'en  trouverait  de  très-grands,  ce  qui  dimi- 
nuerait la  convergence  de  la  série  et  obligerait  à  la  pousser  a  un  grand 
nombre  de  termes.  Il  est  donc  nécessaire  d'examiner  à  priori  la  nature 
des  qua:itités  ;iuxquelles  on  veut  appliquer  la  méthode  des  courbes  pa- 
raboliques. 

De  ce  que  naus  avons  dit  dans  le  n°  43,  il  s'ensuit  que  les  différentes 

(juantités  (H),  (li)y  (Aj,  (a),...,  ainsi  que  les  quantités  —  etR-,  peuvent 

r 

elle  exprimées  par  des  fonctions  rationnelles  et  entières  de  sinus  et  de 
cosinus  des  angles  u  et  0  y  —•,  c'est-à-dire,  de  l'anomalie  excentrique 

de  la  comète  et  du  mouvement  moyen  correspondant  de  la  planète; 
donc,  si  l'on  suppose  que  ces  deux  angles  varient  en  même  temps  des 
angles  contemporains  [-j  et  7,  chacune  des  quantités  dont  il  s'agit  pourra 
être  représentée,  pendant  ces  viiriations,  par  une  formule  algébrique  de 
la  forme 

dans  laquelle  les  quantités  L,  M,  N,...  seront  toutes  aussi  des  fonctions 
rationnelles  et  entières  de  sinw,  cosw,   sin$  i/  — 5     cos5  i/  — •     Or 

/  y? 

0  ■=  U  —  e  sinw;  donc,  faisant  croître  u  de  /3  et  5  de  7  W  —^5  on  aura 

^  ^  V  ^  r  ~  ^  "^ "^  '  "  ^  ^  +  "~2r~  î^  "^  •  •  •  J  • 

Si  donc  on  substitue  cette  valeur  de  7  dans  la  formule  précédente,  elle 


DES  PERTURBATIONS  DES  COMÈTES.  WJ 

prendra  cottt'  ionnc  plus  simple 

L  +  M  p  -f-  N  p-'  +  . .  . , 
dans  la(ju(dle  les  ([uantités  L,  .M,  N,...  seront  pareillement  des  fonctions 
tont(;s  rationnelles  et  entières  de  sin«,  cosw,  s'inOi/—^^   cos^t/-^^-. 

en  sorte  (jue  ees  (jnanlités  ne  pourront  jamais  aui^menler  au  delà  d'un 
eertain  ternie.  El  il  est  clair  qu(!  la  formule  précédente,  n'étant  poussée 
que  jusqu'au  second  degré,  sera  exacte,  aux  quantités  près  des  ordres  de 
,S^  et  de  7'. 

il  semble  qu'il  faudrait  faire  une  exception  à  l'égard  des  quantités  (Ij 
et  (i)  (|ui  contiennent  des  termes  multipliés  par  t,  et  qui  par  conséquent 

ne  sont  pas  uniquement  des  fonctions  de  sinus  et  cosinus  de  a  et  de  0  \/— ,' 

mais  renferment  aussi  l'angle  même  u;  mais  il  est  facile  de  se  convaincre 
que  cette  circonstance  ne  peut  apporter  aucun  changement  à  la  conclu- 
sion pi'écédente. 

Si  (loin-  on  dénote,  en  général,  par  V  une  quelconque  des  quantités 
dont  il  s'agit,  et  que  Vo,  V,,  Vj  soient  les  valeurs  de  V  qui  répondent  à 

u  =  Uo,       H  =:  Ut  ^  Uo  +  j3,       n  =  U2  =  U,  -¥-  (3, 

il  résulte  de  ce  que  nous  venons  de  démontrer  que,  pour  m  =  w,  -i-  n^ 
{n  étant  un  nombre  quelconque  compris  entre  zéro  et  i),  on  aura,  aux 
quantités  près  des  ordres  de  |S''  et  de  7"^, 

formule  qui  pourra  servir  aussi  par  la  même  raison,  en  faisant  n  négatif 
depuis  zéro  jusqu'à  —  1 . 

Or,  comme  V  =  V„  lors([ue  n  =  —  i,  et  ¥=¥.>  lorsque  n  =  i,  on  aura 

\\  =  \\-  v,  -h  v; ,    V,  =  V,  -f-  v,  -h  v\  ; 

d'où  l'on  tire 

V'  —  ^'  ~  ^'°        V"  —  ^^— ^-^"'-t-V" 

46.  Gela  posé,  séparons,  dans  les  équations  différentielles  du  n"  42, 


470  RECHERCHES  SUR   LA  THÉORIE 

les  termes  divisés  par  R'  des  autres,  et  représentons,  en  général,  cha- 
cune de  ces  équations  par 

R  étant  égal  à  R-,  A  étant  une  des  quantités  ^h,  oa,...,  V  étant  respec- 
tivement ^,  ^'•••'  et  U  étant  [h]  -  (H),  [a)  —  (A),.... 

Qu'on  calcule  les  valeurs  des  quantités  V,  U  et  /?  pour  trois  anomalies 
excentriques  w  =  u^,  u,,  Uo,  dont  la  commune  différence  soit  ]S,  et  qu'on 
marque  ces  valeurs  respectivement  par  Vo,  Uo,  i?o;  V,,  U,,  /?,;  ¥2,1)2»  ^2; 
qu'on  en  déduise  ensuite,  par  les  dernières  formules  du  numéro  précé- 
dent, les  valeurs  de  V, ,  Y", ,  ainsi  que  celles  de  U'i ,  U", ,  R\  ,  R\ ,  et  qu'on 
substitue  partout  dans  l'équation  précédente  z/,  -f-  ^n  à  la  place  de  u, 
on  aura  donc,  en  regardant  maintenant  n  comme  variai)le,  la  trans- 
formée 

V  {R,  +  R^,n  +  R'\nr-J 

qui,  étant  intégrée  depuis  n  =  —  i  jusqu'à  n  =  j  ,  donnera,  aux  quan- 
tités près  de  l'ordre  de  p./3'  et  de  ij.^  ,  la  valeur  de  A  ou  plutôt  l'accrois- 
sement de  A,  depuis  l'anomalie  excentrique  Uq  jus(ju'à  l'anomalie 
M2  =  W(,  +  2p;  en  sorte  que,  désignant  par  Ao  et  Aj  les  valeurs  de  A  qui 
répondent  à  ces  deux  anomalies,  on  aura  Ao  —  Aq  égale  à  l'intégrale  du 
second  membre  de  cette  équation,  prise  depuis  n=—  i  jusqu'à  n  =  i . 
L'intégration  de  la  partie 

(V, +  V',/i  +  V",n'K/« 
n'a  aucune  difficulté,  et  l'on  trouve  sur-le-champ  pour  l'intégrale  totale 

A  l'égard  de  l'autre  partie 

U,  +  IJ>  -I-  U",  n'      , 
j  dn. 


DES  PEKTUKBAÏIONS   DES  COMÈTES.  471 

elle  dépend  de  la  (juadraturo  de  l'hypi  rbole  ou  du  cercle,  suivant  que 
Pl\  est  une  quantité  positive  ou  négative. 

Pour  en  trouver  rintéi^raic,  on  supposera  celte  diirér(!ntielle  égale  ;i 

il 


sJH,  -+-  H',n-\-  H'\  le       s.  I<s  +  K,  n  -f-  H!\  n' 

et  l'on  trouvera  par  la  comparaison  des  termes,  après  avoir  réduit  au 
même  dénominateur. 


2    Ul  11 

K  — 

•       "''"    '        zR" 

!{./{'[— ±H\' 

1  — 

-iU',/J',-U".(/?. 

fi':  \ 
^■Ji:) 

R,K-\K' 

U" 
M—  — ^• 

or  l'intégrale  de  la  première  partie  est  évidemment 

K  +  Lai 


s/H,  -hR\n-h  R'\  n' 


et  celle  de  la  seconde  est,  en  faisant,  pour  abréger,  — —-nr  ^^— —  =  N, 

M     ,       I  4-  N  v/^ft^ 
— ^^  log -5^^» 

si  If^  est  positif;  mais  si  /?",  est  négatif,  cett(;  intégrale  devient 

arciang^N  V— /^,  ). 

On  fera  maintenant  dans  ces  formules  n  =  i  et  w  =  —  i ,  et  l'on  retran- 
chera la  seconde  valeur  de  la  première  pour  avoir  l'intégrale  complète;  or, 
en  faisant  /?  =  i ,  la  quantité  sous  le  signe  \f  devient  i?,  -h  7?',  -f-  Iï\  =  R^, 
et,  en  faisant  ti=—  i,  elle  devient  R^—I{^-^If^=  R^.  Donc  la  valeur 


472  RECHERCHES  SUR   LA  THÉORIE 

complète  de  rintégrale  de  la  ditférentielle  dont  il  s'agit  sera  représentée 

par- 

K+L  _  K-L  INI 

en  faisant 

P  =  \0S ' ^  -  —  lOi'  - — ! ' ^ — -^-^1 

si  R\  est  positif,  ou  bien 


„  v/  —  i^i  J^\  \i'  —  '^'o  R!', 

si  -/f-  est  néi'atif. 

1  o 

Donc  entin  on  aura,  aux  quantités  près  des  ordres  de  p-jS''  et  1^.7^, 
_     ^-(^     /.v    .    .."^  K  +  L        K-L    ,        MP 


A,  -  Ao  =  -^'^    2V'  +  n"  +  — =^  -  - 


^  +  'n\  ^R,  ^R,  isJ±R\ 

47.   Il  n'y  a  que  deux  cas  où  la  formule  précédente  ne  puisse  pas 
servi)-  :  l'un  est  celui  de  Ri\  =  o,  et  l'autre  celui  de  Ril^^  —  ji?',-  =  o. 
Soit  :  i"  i?"j  =  o;  on  aura  à  intégrer  cette  différentielle 

U,  +  U',  n  H-  U''  n-    , 
■ ■ 1 —  ""' 

{R,-^R,nf 

et,  supposant  son  intégrale  de  la  forme 

K  H-  L  /i  +  M  n- 


sjR^  +  R!,n 
on  trouvera  par  la  différentiation  et  par  la  comparaison  des  termes 

2U,     4U',7?,     i(^u';/^:. 


K  = 


R,  R','  3R'- 


2U,       8U'U.', 


^-3/r 


R\         3R-: 

aU': 


(Complétant  donc  cette  intégrale  de  la  manière  que  nous  l'avons  dit, 


DES   PEin  UKirVTIONS  DES  COMÈTES.  473 

on  aura,  à  la  place  do  la  dcrnicTO  équalioii  du  miniéro  |)r(''('édc'nl,  celle-ci 

^.  _  ^.  =  ^^  (,  V,  +  f  V,  +  ^±^^  -  ^=^f^ 

Soit  :  2"  7î,  /f"j  —  \li\-  =  o;  dans  ce  cas,  la  (|iianlilé  //,  -h  If^n  4-  //"//- 

deviendra  ^    '      ' — '—,  cl  l'on  aura  à  intégrer  cette  dillérentielle  ration- 
nelle 

<|u'on  supj)osera  égale  à 


ce  qui  donnera,  en  réduisant  au  même  dénominateur  et  comparant  les 
termes, 


u, 

2U, 

R> 

K  = 

^, 

R' 

3 

L  = 

-+- 

8U';/?, 

R\' 

M  = 

4U", 

Intégrant  donc  et  complétant  dûment  l'intégrale,  on  trouvera,  pour  le 
cas  dont  il  s'agit,  l'équation 

4-8.  Ayant  trouvé  ainsi  la  valeur  de  A2 — Ao  pour  une  portion  d'ano- 
malie excentrique  u^  —  «o»  on  trouvera  de  même  la  valeur  de  A^  —  Ao 
pour  une  portion  suivante  d'anomalie  w,  —  Mo,  et  ainsi  de  suite;  et  ces 
différentes  valeurs  seront  exactes,  aux  quantités  près  de  l'ordre  de  u.fî^ 

et  fjt.7',  [•!>  étant  =  — — — \  — -%  •  •  •  »   et  7  étant  la  partie  correspon- 
dante de  l'anomalie  moyenne  de  la  planète.  Ajoutant  donc  successive- 
VI.  60 


474  KECHERCHES  SUR   LA  THÉORIE 

ment  ces  valeurs  ensemble,  on  aura  la  valeur  totale  de  ^^  —  A„  répon- 
dant à  une  anomalie  excentrique  quelconque  u^— Uç,\  et,  faisant 
uy  —  Uo  =  .'^Go*»,  on  aura  la  valeur  de  Aç  —  A»,  c'esl-à-dire,  l'accroisse- 
ment de  la  quantité  A  pour  une  révolution  entière  de  la  comète. 

Au  reste  il  est  bon  de  remarquer  que  les  formules  précédentes  ne 
doivent  proprement  être  employées  que  pour  les  parties  de  l'anomalie 
excentrique  relativement  auxquelles  la  quantité  R  sera  assez  petite  et 
du  même  ordre  que  les  différences  finies  R',  R",  ce  qui  arrivera  vers  les 
minimum  de  distance  entre  la  comète  et  la  planète;  dans  ces  cas,  les 
formules  dont  il  s'agit  ne  sont  sujettes  à  aucun  inconvénient,  et  résol- 
vent le  Problème  avec  toute  l'exactitude  qu'on  peut  désirer;  au  lieu  que 
la  méthode  ordinaire  des  quadratures  par  les  lignes  paraboliques  serait 

trop  inexacte,  a  cause  que  les  valeurs  de  — ^  seront  fort  grandes  et  que 

R' 
leurs  différences  seront  fort  inégales. 

Dans  tout  autre  cas,  c'est-à-dire,  lorsque  la  distance  entre  la  comète 

et  la  planète  sera  assez  grande  et  que  les  variations  de  cette  distance 

seront  fort  régulières,  on  emploiera  avec  succès  la  méthode  ordinaire, 

tant  j)Our  intégrer  la  partie  Ydu.  que  pour  intégrer  l'autre  partie  — j- -, 

R^ 

et,  comme  celte  méthode  est  très-connue  et  très  en  usage  parmi  les 

Géomètres,  nous  ne  croyons  pas  devoir  nous  arrêter  ici  à  l'expliquer; 

les  Ouvrages  de  Cotes  et  de  Stirling  renferment  tout  ce  que  l'on  peut 

désirer  sur  ce  sujet. 

49.  Quoiqu'on  puisse,  au  moyen  de  ces  différentes  méthodes,  calculer 
les  variations  des  quantités  A  pour  telles  portions  de  l'orbite  qu'on  vou- 
dra, il  ne  sera  cependant  nécessaire  de  les  employer  que  pour  la  partie 
inférieure  de  l'orbite,  dans  laquelle  la  distance  de  la  comète  au  Soleil 
sera  moindre  ou  ne  sera  pas  beaucoup  plus  grande  que  la  distance  de  la 
planète  au  Soleil;  car  pour  la  partie  supérieure  de  l'orbite,  dans  laquelle 
la  distance  de  la  comète  au  Soleil  surpassera  de  beaucoup  la  distance  de 
la  planète  au  Soleil,  il  sera  bien  plus  avantageux  d'employer  la  méthode 


DES  PERTURBATIONS  DES  COMÈTES.  476 

(les  n*'*  30  et  suiv;iii(s,  l:i(|iirll('  nhrci^c  et  simplilic  considérablement  le 
calcul  (les  perlurbalioiis  dans  celle  parlie. 

Pour  faire  nsajj;e  de  celle  rnélhode,  il  ne  s'ai^it  que  de  subsliluer  dans 
les  équations  du  n"  37,  à  la  place  des  valeurs  de  X,  Y,  Z  (|u'on  a  em- 
ployées dans  le  n"  42,  celles  de  X',  Y',  Z'  fn"  39 j;  or  nous  avons  déjà 

remai'(jué  dans  le  n"  13  (jue  la  <]ii;iiilité  -  n'est  autre  (liose  (jue  les  deux 
premiers  termes  de  la  quantité  —  réduite  en  série  ascendante  par  rap- 
port aux  quantités  ^,  yj,  Ç;  donc,  comme  (n"  2) 

ï\'  =  r-—  '2.[xl  -ir yn  H-  z'C,)  -i-p% 

Ç)"^  étant  égal  à  ^"  +  yj-  -!-  'Ç- ,  on  aura,  par  la  formule  connue, 

3(.rg+jy;-t-3-0»       3(.rg  + r/i  +  3i;)p^       5[xl+yn  +  z^y 


1         1        .i.-ç -(-,)■/) -1-3!; 

0' 

R       r   '             r' 

'ir 

donc 

I 

= 

I 

-1- 

xl  +x'^  ^- 

z'C 

S 

^3 

et  par  conséquent 

I         1   çj-        "^[xt-A-  yn  +  z'^f       3(a:^-t- jy3H-zi;)p'       5(a:^+j-/îH-zÇ)^ 

S        11        ir^  9.1'^  ar^  2  r' 

On  différentiera  maintenant  cette  quantité  en  faisant  varier  seule- 
ment ^»7,r,  z,  et  les  coefFicients  de  dx,  dy,  dz  seront  les  valeurs  de  X  , 
Y',  Z';  donc,  en  supposant,  pour  abréger, 

,_        3r?        i5{x'^ -[-rr,-\-z'Çr       i5{xl-hyr,-h  zÇ\p^       35{xl-\-yn -\-  z'Çy 
2, .5  y  pi  -2.r''  ir^ 

__        Z{x\-\- y-r\  -\-  z'Q        3p'        \5\,xi-\- yr,  ->r  z'QY 
y. 5  2/-*  2r' 

on  trouvera 


\'=Wl-^Ts'  X,      Y'  =  n'-/5 +nî'.)-.      7J  =  TV''Ç^m'z. 


(io. 


47G  RECHERCHES  SUR   LA  THÉORIE 

En  comparant  ces  expressions  de  X',  Y',  Z'  avec  celles  de  X,  Y,  Z  du 
n"  42,  il  est  visible  qu'elles  n'en  diffèrent  qu'en  ce  (jue  les  quantités  H 
et  zs  se  trouvent  changées  en  W  et  zy'.  D'où  il  est  aisé  de  conclure  que, 
par  la  substitution  dont  il  s'agit,  on  aura  les  mêmes  équations  ditféren- 
tielles  que  dans  le  n"  42,  en  y  changeant  seulement  II  et  sr  en  Y\'  et  rs' . 
Il  n'y  aura  donc  qu'à  employer  dans  les  équations  du  n*^  42,  à  la  place 
de  n  et  z5y  les  quantités  W  et  t?';  et  l'on  pourra  continuer  à  les  employer 
pour  telle  portion  de  l'orbite  qu'on  voudra  et  reprendre  ensuite  les  pre- 
mières quantités,  pourvu  qu'on  ajoute  aux  valeurs  totales  de  fîA,  ^a,... 
les  quantités  respectives  p.(H"— H'),  |jl(A"— A'),...;  H',  A',...  étant  les 
valeurs  de  H,  A,...  du  n°  39  qui  répondent  au  point  de  l'orbite  où  l'on 
change  Tl,  zs  en  II',  zs'\  et  H",  A", .  . .  étant  les  valeurs  des  mêmes  quan- 
tités pour  le  point  où  l'on  reprendra  n  et  w  à  la  place  de  H'  et  tô'  (n^  40). 

50.  Le  grand  avantage  de  la  transformation  précédente  consiste  en 
ce  que  les  quantités  n'  et  v;' ,  qu'on  substitue  à  la  place  de  II  et  w,  de- 
viennent très-petites  lorsque  la  distance  r  de  la  comète  au  Soleil  est 
beaucoup  plus  grande  que  la  distance  p  de  la  planète  au  Soleil,  ce  qui  est 
visible  par  les  expressions  des  quantités  H'  et  zs'  (numéro- précédent); 
tandis  que  la  valeur  de  II  (n*"  42)  demeure  toujours  finie,  quel  que  soit 

l'éloignement  de  la  comète,  à  cause  du  terme  —•,  qui  ne  dépend  que  de 

r 

la  distance  de  la  planète  au  Soleil,  et  qui  est  l'effet  de  l'action  de  la  pla- 
nète sur  le  Soleil. 

Or,  si  l'on  considère  que  l'on  a,  en  général, 

et  que,  par  conséquent,  x%,  +  yr;  -h  zÇ  est  toujours  nécessairement  ren- 
fermé entre  -l-  rp  et  —  rp,  on  verra  que  le  premier  terme  de  la  quan- 
tité n' sera  de  l'ordre  de  —^^  et  les  deux  autres  de  l'ordre  de  —  ;  et  que 

les  deux  premiers  termes  de  zô'  seront  de  l'ordre  de  ^^?  et  les  deux  sui- 


DES  PERTURBATIONS  DES  COMÈTES. 

vants  de  l'ordre  de  ^,  et  ainsi  de  sn;«-  ^one,  lorsque  r  est  assez  grand 

/•« 

vis-à-vio  <ic  p,  en  sorte  que  -r-  dillère  peu  de  — ■>  le  rapport  de  11'  à  FI  sera 

de  l'ordre  de  •^^  et  ('(dui  de  w'  à  rs  de  l'ordri;  de  — ,?  la  quantité  rs  étant 
/•'  r^  ^ 

déjà  elle-même  très-petite  de  l'ordre  de  —  • 

Donc,  lorsque  ^  sera  devenu  ^  ou  -?  on  pourra,  du  moins  dans  la 

première  approximation,  négliger  les  quantités  II'  et  w'  comme  nulles; 
ou,  si  l'on  veut  absolument  y  avoir  égard,  il  suffira  d'y  tenir  compte  des 
premiers  termes.  Dans  ce  cas,  on  pourra  en  toute  sûreté  employer  la 
méthode  ordinaire  des  ([uadratures  mécaniques  pour  intégrer  les  quan- 
tités dèh,d^a,...\  mais  on  pourra  aussi  les  intégrer  analytiquement, 
du  moins  par  approximation;  c'est  ce  que  nous  allons  faire  voir. 

51.  Pour  cet  effet,  on  commencera  par  remettre  dans  les  expressions 
des  quantités  (H),  (A),  (A),  («),...  du  n°  42,  à  la  place  de  cosw  et  sinw, 
leurs  valeurs  en  x  et  j,  savoir 

cosM=: h  f,     sinw=-=: 

moyennant  quoi  ces  quantités  deviendront  des  fonctions  rationnelles  el 
entières  de  x,y,  r  et  de  ^,  vj,  Ç,  dans  lesquelles  les  quantités  x,  y,  r  ne 
passeront  pas  la  seconde  dimension,  excepté  les  expressions  de  (I)  et 
de  {i),  où  ces  quantités  monteront  à  la  quatrième  dimension;  mais  je 
remarque,  a  l'égard  de  l'expression  de(I),  qu'on  y  peut  réduire  les 
dimensions  de  x,y,  rà  la  troisième.  En  effet  il  est  visible  que  les  termes 
qui,  dans  cette  expression,  peuvent  donner  des  dimensions  de  x.  y,  r- 
plus  hautes  que  la  troisième,  sont  ceux-ci 

^'^    (G) +  -4^  (F), 


autant  que  les  valeurs  de  (F)  et  (G)  contiennent  x ,  y,  r,  élevées  à  la 


*/o  RECHERCHES  SUR   LA  THÉORIE 

seconde  dimension.  Or,  en  ic.Uont.  pour  un  moment, 


\/: 


,y  [(/a-  +  x)  H  -H  jvî)]  =  s,    fl  —  x-n  =  Y, 


on  a 

(F)  =  -Zr  + 


(4^  J'^^  +  \fsjali^  r,      (G)  =  'Ex+  y/^^  rT; 


donc  les  termes  en  question  seront 


ir''x  fr-x\^        I      ir^y       7.frx'\ 


Maintenant,  à  cause  que  nous  prenons  le  grand  axe  de  l'orbite  pour 
celui  des  abscisses^,  et  que  e=/(n''  25),  on  aura  (n°  18) 


donc,  substituant  cette  valeur  de  y  dans  le  coefficient  de  S,  il  deviendra 

r'        .\  ix{r —  II) 


f^a'li        f\ùih  \  «  /  fs/a/i 

et,  substituant  la  valeur  de  oc^  dans  le  coefficient  de  Y,  il  deviendra 

?.  r'  r       2  /'^  r       8  (  A  —  r  )  r       8 ,  //  —  r)r 
fa/i         fali  fil  fti 

Donc,  puisque  S  et  T  ne  contiennent  que  la  première  dimension 
de  oc,  y,  r,  il  s'ensuit  que  les  termes  dont  il  s'agit  de  l'expression  de  (I), 
lesquels  paraissent,  au  premier  aspect,  devoir  contenir  la  quatrième 
dimension  de  ces  quantités,  n'en  contiendront  réellement  que  la  troi- 
sième. 

Cela  supposé,  on  mettra,  tant  clans  les  expressions  de  (H),  (h),  (A), 
(«),...  du  numéro  cité  que  dans  celles  de  II'  et  w'  du  n°48,  à  la  place 
de  a?  et  j.  les  valeurs  rcoso,  rsino  (n''  18),  9  étant  l'anomalie  vraie  de 
la  comète  dans  son  orbite  non  altérée;  on  verra  : 

I"  Que  les  expressions  de  (H),  [h),  (Aj,  {a),...  deviendront  des  fonc- 


DES  PEHTUKHATIONS   DES  COMÈTES.  V7î) 

lions  rationnelles  et  entiî'res  de  S,  y;,  'Ç  et  de  sin'^,  cosfp  et  r,  dans  les- 
qiHilles  r  n(î  montera  an  pins  (jn'au  second  degré,  à  l'exception  des 
([nantîtes  flj  (ît  (/),  dont  la  prcinii;re  eontitsndra  r%  et  dont  la  seconde 
conti<'n(lra  /•'; 

"?."  One  les  expicssions  de  11'  et  rz'  deviendront,  à  cause  de  :;  =  o, 

„,       3(^C0S'j^ -+-r!  sinv)         3rj'— ^(iCOSo -)-rj  sin»)' 

n   =    — i '— '-!-   -\ ! ^ r^ I-i-    -»-..., 

,_  —  3p'-(-  i5(?cos^  -i-r/sin^)'''       —  i5(Çcos<i>-i-y/  sin(f»)|i'-t-  35{Çcosf -+  nsin©)^ 

On  substituera  maintenant  ces  valeurs  de  (H),  {h),  (A),  (a),...  dans  les 
expressions  des  (liU'éi'entielles  doh,  d<^a,  dâf,...  du  n"  42,  et  l'on  y  met- 
tra, à  la  place  de  FI  et  77,  les  valeurs  précédentes  de  FI'  et  zs' \  enfin  on 

mettra  pour  du  sa  valeur  -=^  déduite  de  l'équation  (n''  21  j 


dt  =  •    =z  —  \/  —, :  r  du. 

V'?.A.(i  +  m)        V  2(n-m^ 

52.  11  est  aisé  de  voir  que,  par  ces  différentes  substitutions,  les  va- 
leurs des  difrérentielles  dîlh,  d^a,  dâf,...  du  n''  42  se  tronver.ont  com- 
posées de  ditTérents  termes  de  la  forme 

2  cos'"9  sin"cp  d(û 

'- 1 

rP 

m,  n,  p  étant  des  nombres  entiers  positifs  ou  zéro,  et  1  étant  une  fonc- 
tion rationnelle  et  entière  de  H,  yj,  Ç;  j'en  excepte  seulement  les  termes 
de  la  valeur  de  d^i,  qui  seront  multipliés  pai-  l'angle  /,  et  que  nous  exami- 
nerons plus  bas.  Et  il  n'est  pas  difficile  de  prouver  que  m-^  n  -hp  ne 
sera  pas  >  5  pour  les  premiers  termes  de  zs'  et  fl',  ni  >  7  pour  les  termes 
suivants,  et  ainsi  dn  reste. 
Or  fnM8) 


I  -\-fC0S(u 

à  cause  de  e^=f\  donc,  si  l'on  substitue  cette  valeur  dans  la  formule 


i80  RECHERCHES  SUR   LA  THEORIE 

précédente,  on  n'aura  dans  les  valeurs  de  dùh,  doa,  dâ/,...  que  des 
termes  de  cette  forme  1  cos^^^sinVo,  p.  et  v  étant  des  nombres  entiers 
positifs,  tels  que  fx  +  v  non  >  5  pour  les  premiers  termes  de  n'  et  sr', 
ni  >  7  pour  les  termes  suivants;  j'excepte  toujours  les  termes  affectés 
de  t  dans  la  valeur  de  d^i  [voir  ci-après  le  n°  56). 
Qu'on  substitue  maintenant  dans  1,  à  la  place  de  H,  yj,  Ç,  leurs  valeurs 

en  sinus  et  cosinus  de  ô  i/—^  (n"  43);  et  pour  cela  on  remarquera  que, 

à  cause  de  la  petitesse  des  quantités  W  et  w',  on  peut  sans  scrupule  né- 
gliger l'effet  de  l'excentricité  de  la  planète,  et  faire  simplement 

en  dénotant  par  A  l'anomalie  vraie  de  la  planète  qui  répond  au  nœud 
ascendant  de  son  orbite  sur  l'orbite  non  altérée  de  la  comète;  mais,  si 
l'on  voulait  absolument  avoir  égard  à  l'excentricité  de  l'orbite  de  la  pla- 
nète, il  n'y  aurait  qu'à  ajouter  aux  valeurs  moyennes  de  p  et  de  1  les  iné- 
galités du  rayon  vecteur  et  de  la  longitude  de  la  planète,  inégalités  dont 
les  premières  sont  représentées  par  une  suite  très-convergente  de  termes 
qui  procèdent  suivant  les  cosinus  de  M,  2M,...,  et  dont  les  autres  sont 
représentées  par  une  semblable  suite,  mais  qui  procède  suivant  les 
sinus  des  mêmes  angles.  {Voiries  pages  6  et  8  des  Tables  astronomiques 
de  Berlin,  où  a  dénote  l'anomalie  moyenne  que  nous  désignons  ici 
par  M.) 

Ces  substitutions  rendront  la  quantité  1  de  la  forme 

A  +  Bsinu  +  Ccosu  H-  D  sinau  -+-..., 

/a' 
les  coefficients  A,  B,  C,...  étant  constants,  et  l'angle  v  étant  =  9  i/  —  • 

Ainsi  les  valeurs  des  différentielles  dâh,  dâa,...  se  trouveront  com- 
posées de  deux  sortes  de  termes  :  les  uns  indépendants  de  l'angle  v,  c'est- 
à-dire,  du  mouvement  moyen  de  la  planète,  les  autres  affectés  des  sinus 
ou  cosinus  de  cet  angle  ou  de  ses  multiples. 


DES   PEHTURRATIONS  DES  COMÈTES.  481 

53.  A  l'égard  des  termes  de  l;i  incmière  espèce,  il  est  clair  qu'ils  se- 
ront de  la  forme 

cosi^<p  sin'tp  ddf, 

et  par  conséquent  tous  inlégrables,  /j.  et  v  étant,  par  l'hypothèse,  des 
nombres  entiers  positifs. 

Quant  à  ceux  de  l'autre  espèce,  ils  seront  évideniiuent  de  la  forme 

cosi^cp  sin'cp  sinN  j  ^/(p,     ou     cos^^cp  sin'(p  cosNu  Jcp, 

N  étant  un  nombre  entier.  Ces  termes  ne  sont  intégrables  par  aucune 
méthode  connue;  mais  nous  allons  faire  voir  que,  dans  la  j)arlie  supé- 
rieure de  l'orbite  de  la  comète,  à  laquelle  est  destinée  la  méthode  que 
nous  exposons,  ces  termes  seront  considérablement  plus  petits  que  les 
précédents;  en  sorte  qu'on  pourra  le  plus  souvent'  les  négliger  sans 
scrupule. 

Pour  cet  effet,  je  remarque  que 


dv 


="'^l 


mais  (n*'  20 j 
et  (n°21) 
donc 


,.  /8(i-f-m)    , 

r'f/cp 


dt  = 


^ih[i  -t-  m ) 


,         ir'^d'~jj              ,     ,,        ,         dvs/oc^/i 
dv  = -■>     ei  de  la     a©  = 


Si  l'on  substitue  cette  valeur  de  d(p  dans  les  termes  dont  il  s'agit,  et 
qu'on  fasse,  pour  abréger, 

ils  deviendront 

—  Or/cosNu,     <I)r/siiiNu/. 

dont  rintéi]jrale  est 

—  <I>cosNi; -f-  /  cosNufM),     OsinNi;  —  /  sinNi>r/<I>. 
VI.  6i 


482  RECHERCHES  SUR   LA  THÉORIE 

Les  expressions  /  cosNvd^  et  1  sinNuc^O  représentent,  comme  l'on 

voit,  les  aires  des  courbes  qui  auraient  <1>  pour  abscisse  et  cosN'j  ou 
sinN^i  pour  ordonnée;  et  il  est  facile  de  concevoir  que  l'aire  totale  de 
chacune  de  ces-courbes  sera  toujours  moindre  (abstraction  faite  du  signe) 
que  le  produit  de  l'abscisse  totale  par  la  plus  grande  ordonnée,  laquelle 
est  égale  à  i  ;  de  sorte  que,  dénotant  par  (<I>)  cette  abscisse  totale,  on 
aura  ±  ($)  pour  les  deux  limites  entre  lesquelles  seront  nécessairement 

renfermées  les  aires  1  cosNu  d<l>  et    /  sinNuû^O. 

Or,  dans  la  partie  supérieure  de  l'orbite,  la  distance  rde  la  comète  au 

Soleil  est  supposée  beaucoup  plus  grande  que  la  distance  moyenne  -  de 

la  planète  au  Soleil;  de  plus  la  distance  périhélie ■-,  égale  à  A  à  très- 
peu  près,  est  dans  la  plupart  des  comètes,  et  surtout  dans  celles  dont  on 
attend  le  retour,  moindre  que  l'unité,  distance  moyenne  de  la  Terre  au 

Soleil;  de  sorte  que  la  quantité  ^,^r^  sera  nécessairement  fort  petite.  Par 
conséquent  les  quantités  $  et  (<I>)  seront  beaucoup  plus  petites,  généra- 
lement parlant,  que  la  valeur  de  /  cos^ç  s'in^cpdfp. 

Il  faut  remarquer  au  reste  que,  pour  avoir  la  valeur  de  (0)  pour  toute 
la  partie  supérieure  de  l'orbite,  c'est-à-dire,  la  valeur  totale  de  l'intégrale 
de  d^^  pour  cet  espace,  il  faut  prendre  les  éléments  </$  toujours  avec  le 
même  signe.  Si  donc  dans  tout  cet  espace  la  quantité  $  n'a  ni  maximum 
ni  minimum,  on  prendra  l'intégrale  à  la  manière  ordinaire,  et  l'on  aura 
pour  ($)  la  différence  entre  les  deux  valeurs  extrêmes  de  $.  Mais  si  entre 
ces  valeurs  extrêmes  il  se  trouve  des  maximum  et  des  minimum,  alors 
la  valeur  exacte  de  (<î>)  sera  égale  au  double  de  la  différence  entre  la 
somme  de  toutes  les  plus  grandes  valeurs  de  <ï>  et  la  somme  de  toutes  les 
plus  petites,  en  regardant  les  maximum  négatifs  comme  des  minimum  et 
les  minimum  négatifs  comme  des  maximum,  et  comptant  les  deux  valeurs 
extrêmes  de  0  parmi  les  maximum  ou  minimum,  suivant  que  0  va  en 
diminuant  ou  en  augmentant,  mais  en  ne  prenant  que  la  moitié  de  cha- 


DKS   PFJ{  TU  II  HATIONS   DES  COMÈTES.  ÏSi 

cune  de  ces  valeurs.  C'est  i\a  (juoi  l'on  |)eul  se  convaincre  aisément  par 
l'inspection  d'une;  figure  p;ir;iij()li(|iic  (luciconejuc  (jui  aurait  diUV-rcnts 
maximum  et  minimun). 

Or  jr  (lis  (|n(î,  si  r  ^  (2 -h  jU-j//,  l;i  (juaiililc  <l»  u'ain-i  ni  ni;i\liMnm  ni 
minimum  l(»i'S(|U('  y  sera  impair,  et  qu'elle  aura  un  seul  minimum  au 
périhélie  où  o  =  kSo^'  lorsque  a  sera  pair.  En  ell'et,  à  cause  de 

r= -. , 

I  -f-/  coscp 

on  aura 

coscp  =j,(^-.); 

en  sorte  (jue,  si  /•>  (2  -h  [jl)A,  coscp  sera  négatif  et  ne  changera  point  de 
signe,  mais  sin<p  sera  positif  en  deçà  de  l'aphélie  et  deviendra  négatif  au 
delà.  Or 

(D  _  j-n;  cos'^ysiiry  _      sJ^Ti      ('_^  \'^sin-(p^ 

mais  la  quantité 

I    /         9, /Al* 

diminue  à  mesure  que  r  augmente,  et  vice  versa,  du  moins  tant  que 
r>  f^a  -h  2jh,  puisque  sa  diirérentielle  est 

donc,  si  rest  impair,  la  quantité 

2/t\  :*  sin'cp 


ira  en  diminuant  jus(ju'à  l'aphélie  où  elle  sera  nulle,  et  continuera  à 
diminuer  au  delà  de  l'aphélie  où  elle  sera  négative;  mais,  si  v  est  pair, 
la  même  (|uantité,  après  avoir  diminué  jusqu'à  l'aphélie,  augmentera 
de  nouveau  au  delà  de  l'aphélie,  en  demeurant  toujours  positive. 

Donc,  si  l'on  suppose  que  la  partie  supérieure  de  l'orbite  commence 

(>r. 


484  RECHERCHES  SUR   LA  THÉORIE 

au  point  où  9  =  '/,  r  =  r',  et  finisse  au  point  semhlablement  situé  au 
delà  de  l'apliélie  où  9  =  Sôo*'  —  9'  et  r  =  r' ,  on  aura,    pourvu  que 

r'  >  (2  -)-  iJ.)h, 

si  V  est  impair,  et 


(t>)  =  sJoc'/i 


[cos^^cp'sin'cp'       CCS'*  i8o°sin*  i8o°"l 


rtll 


si  V  est  pair,  étant  la  valeur  de  r  dans  l'aphélie. 

A  l'égard  de  la  condition  de  r'>  (2  -h  rj.)/?,  comme  nous  avons  vu 
(n"  51)  que  p.  ne  peut  être  >  5  pour  les  premiers  termes  de  H' et  z?', 
auxquels  il  suffira  le  plus  souvent  d'avoir  égard,  il  est  clair  que  cette 
condition  aura  toujours  lieu  dans  la  partie  supérieure  de  l'orbite  où  l'on 

suppose  r  beaucoup  plus  grand  que  -,  puisque  pour  Jupiter  et  Saturne, 

qui  sont  les  seules  planètes  qu'on  ait  à  considérer  dans  la  Théorie  des 

perturbations  des  comètes,  on  a  à  peu  près  -  =  5  ou  g-^. 


54.  Si  les  limites  ±  {^)  n'étaient  pas  assez  petites,  en  sorte  qu'on  ne 
crût  pas  pouvoir  négliger  les  quantités  renfermées  entre  ces  limites,  on 
pourrait  les  resserrer  davantage  de  la  manière  suivante. 

Les  deux  ditférentielles 

cosNuf/4),     sinNur/$, 
étant  mises  sous  la  forme 

-j-  cosNuf/9,     -j-  sinNi;</9, 

se  changent,  par  la  substitution  de  ^  ^  ^^/  '  à  (h,  et  par  la  supposition  de 

^^^rr-,  -J-  =  ^  .  en  celles-ci 


(I>V/rosNu,     O'f/sinNi;, 


DES  PEUTUH BATIONS  DES  COMÈTES.  485 

dont  l'intégrale  est 

—  <ï)rosNu-l-  /  co.sNu^Al>',     <l''sinNu—  I  sinNi>  cAl»' ; 

cl  Ton  pourra  appllipu'i'  aux  quantités 

/  cosNuirM»',        /  sinNuri*!»' 

les  niènies  raisonnements  que  nous  avons  faits  dans  le  numéro  préeé- 
dent;  ainsi,  dénotant  par  ((p)  la  valeur  totale  de  l'intégrale  de  (M>\  prise 
comme  nous  l'avons  dit  dans  ce  numéro,  on  aura  de  nouveau  dr  fO')  pour 
les  limites  entre  lesquelles  seront  renfermées  les  valeurs  des  quantités 
dont  il  s'agit. 

Or  il  est  facile  de  se  convaincre  que  la  quantité  4)'  est  nécessairement 
beaucoup  plus  petite  que  la  quantité  <I>  lorsque  r^  est  assez  grand  vis-à-vis 
de  \jc(}h\  ainsi,  en  négligeant  les  intégrales  renfermées  entre  ces  der- 
nières limites,  on  commettra  une  erreur  bien  plus  petite  que  celle  qui 
pourrait  résulter  de  l'omission  des  intégrales  renfermées  dans  les  limites 
du  numéro  précédent. 

On  voit  par  là  comment  on  pourrait  s'y  prendre  pour  pousser  cette 
approximation  plus  loin,  et  diminuer  à  volonté  l'erreur  résultant  des 
intégrales  qu'on  négligerait;  mais  il  suffira,  dans  la  plupart  des  cas,  de 
s'en  tenir  à  l'approximation  du  numéro  précédent. 

55.  Il  nous  reste  encore  à  examiner  les  termes  multipliés  par  l'angle  t 
dans  la  (lilférentielle  d^i,  termes  que  nous  avons  expressément  excep- 
tés ('n*'  51).  Or  on  voit,  par  la  valeur  générale  de  d^i  du  n*^  37  (Section 
précédente),  que  les  termes  dont  il  s'agit  ne  peuvent  venir  que  du 
ferme 


/a:  I  -I- 


,  ^  .   ,   m)  dèa 
a 


il  suffit  donc  de  considérer  ce  terme  et  d'en  chercher  l'intégrale,  en  sup- 
posant que  l'on  mette  dans  la  valeur  de  d^a  les  quantités  X',  V,  Z  à  la 
place  des  quantités  X,  Y,  Z  (n*^  48). 


486  RECHERCHES  SUR  LA  THÉORIE 

Je  reprends  pour  cela  l'expression  générale  de  la  différentielle  d^a  du 
même  n*^  37,  laquelle  est 

dda= ^'^--a'(\dx-\-\  dr), 

I  -f-  m      ^  ■^ 

et,  pour  embrasser  en  même  temps  toute  la  généralité  possible,  je  re- 
marque que,  si  l'on  n'avait  pas  supposé  2  =:o  et  -y-  =  o,  et  qu'on  eût 

par  conséquent  employé  dans  les  calculs  de  ce  numéro  la  valeur  complète 
de  âa  du  n"  30  à  la  place  de  celle  du  n*'  31,  on  eût  trouvé  cette  expres- 
sion plus  générale  de  dâa,  savoir 

dda= —  aU\  dx  -\-  Y  dr  -h  Z  dz  ). 

Qu'on  change  maintenant,  dans  cette  expression,  les  quantités  X,  Y,  Z 
en  X',  Y',  Z',  et  qu'on  y  substitue  ensuite,  à  la  place  de  ces  dernières 

quantités,  leurs  valeurs,  lesquelles  (en  faisant,  pour  abréger,  ^  —  :^  =  P 

sont  exprimées  ainsi  (n°  39) 

dP  dP  dP 

—  -j —  1         I    —  —. —  1        L    =  —j —  . 

dx  dy^  dz 

il  est  visible  que  la  différentielle 

\' dx -h  Y' df  +  V  dz 

ne  sera  autre  chose  que  la  différence  de  P  prise  en  faisant  varier  seule- 
ment les  quantités  x,  y,  z,  qui  appartiennent  à  l'orbite  de  la  comète,  et 
en  regardant  comme  constantes  les  coordonnées  ^,  vj,  Ç  de  Torbile  de  la 
planète. 

De  sorte  que,  si  l'on  désigne  par  la  caractéristique  D  cette  différence 
partielle,  on  aura,  en  général, 

dàa  = ^^  a'DP. 


DES  PERTURBATIONS  DES  COMÈTES.  187 

Or  on  a,  par  lo  n*"  48, 


2r' 


3{xl-hX'n-^  zl^y       3(\r^-(-r-/) +  zÇ)p»       5(\r^ -+- j-/) -f-zÇ)' 


Et  si  l'on  substitue,  dans  (•ctte  expression  de  V,  les  valeurs  de  ^,  n,  ^,  p 

en  sinus  et  cosinus  de  y  (n"  51  ),  il  est  visible  qu'elle  deviendra  de  cette 

forme 

/?  -I-  R  siiiLi  -+-  S  rosi;  -f-  T  sin?.u  -+-  V  rosau  +  .  . ., 

dans  laquelle  R,  R,  S,...  seront  des  fonctions  rationnelles  cl  entières 
de  (Vy  y,  z,  et  dont  chaque  terme  sera  de  plus  divisé  par  une  puissance 
de  r,  dont  l'exposant  surpassera  de  trois  unités  ou  davantage  la  soniine 
des  dimensions  de  a?,  y,  z  dans  le  numérateur. 

Or,  comme  l'angle  v  dépend  uniquement  des  quantités  ^,  /j,  'Ç  (jui 
doivent  être  regardées  comme  constantes  dans  la  différence  partielle  DP, 
et  qu'au  contraire  les  quantités  li,  R,  S,...  dépendent  uniquement  des 
quantités  x,  y,  z  qui  sont  les  seules  variables  dans  cette  différentielle,  il 
est  clair  qu'on  aura 

DP  =:  (IR  +  sinu  (ll\  -I-  cosu  dS  -i-  sin?, u  dT  ■+-  cos?,u  dY  -I-.  . ., 

dR,  c?R,  dS,...  étant  des  différences  ordinaires  et  totales  des  quantités  R, 
R,S,.... 

Donc  on  aura,  en  général,  v 

u  o} 

dàa  = ■- {dlî  H-  sinuf/U  -!-  cosv  f/S  -h  slniv  d'ï  -h  .  .  .  ); 

i  -h  m 

et  cette  valeur  de  d^a,  en  y  faisant  œ  =  rcos'^,  j  =  rsin9,  et  s  =  o,  de- 
viendra identique  avec  celle  du  n*^  50,  mais  elle  sera  toujours  d'une  forme 
plus  simple  et  plus  commode  pour  l'intégration. 

56.  En  effet  on  voit  d'abord,  par  l'expression  précédente  de  d^a,  que 
la  partie  indépendante  de  l'angle  v  est  inlégrable,  son  intégrale  étant 

37 — R,  OÙ  R  est  la  partie  indépendante  de  u  dans  la  valeur  de  P, 


488  RECHERCHES  SUR  LA  THEORIE 

laquelle  sera  par  conséquent  une  fonction  rationnelle  et  entière  de  sin'f 
et  C0S9,  en  faisant 

^  =  rcos9,    y=rsin^,     z  =  o,     r  = 


I  H-/C0S9 


De  là  on  tire  cette  conclusion  importante,  que  la  valeur  de  âa,  c'est- 
à-dire,  l'altération  du  grand  axe  de  l'orbite  de  la  comète,  en  tant  qu'elle 
vient  des  perturbations  de  la  partie  supérieure  de  l'orbite,  ne  contient 
aucun  terme  proportionnel  à  l'angle  (p,  et  qui  puisse  par  conséquent  aug- 
menter continuellement. 

A  l'égard  des  autres  termes  de  la  valeur  de  dâa,  il  est  clair  qu'après 
la  substitution  des  valeurs  de  ce,  y,  r  en  cp  ils  deviendront  de  la  forme 

cosi^cp  sin'9  sinNu  f/9,     ou     cos'^o  sin'cp  cosNu  Jcp, 

et  pourront  être  traités  par  la  méthode  des  n°*  52  et  suivants. 

57.  Venons  maintenant  au  terme 


/2(i  -h  m)  d èa 
a^  a 


de  la  valeur  de  d^i.  En  y  substituant  d'abord  pour  d^a  la  quantité 
a- dR  indépendante  de  :;,  on  aura  la  différentielle 


1  -\-  m 


-W^ 


m) 


tdR, 


dont  l'intégrale  est 


Or  on  a  rn°21) 

donc,  comme  dans  l'expression  de  R  les  exposants  négatifs  de  r  surpas- 
sent de  trois  unités  ou  davantage  la  somme  des  exposants  positifs  de  x, 
y,  z  (n°  54),  il  est  visible  qu'en  mettant  dans  Rr"^,  pour  .r  et  j,  rcoso 


DES  PERTURBATIONS  DES  COMÈTES.  489 

et  /siiîfp  {z  étant  (''i^al  à  zéro),  la  quantité  rne  s'y  trouvera  encore  qu'au 

2  h 
dénominateur;  en  sorte  auv,  substituant  ensuite  7 pour  /,  la 

'  I  -1-/COS9  ^ 

quantité  lir-  deviendra  une  fonction  rationnelle  et  entière  de  sin^  et 

C0S9;  d'où  il  s'ensuit  que 

„  ,  RrUlo 

Rdt=  ^    - 

sera  tout  à  fait  inléûrable. 

Quant  à  rautrc  partie  de  la  valeur  de  dâa,  elle  sera  composée,  comme 
nous  l'avons  vu  ci-dessus,  de  termes  de  la  forme 


cosi^cp  sin'cp  sinJNu  «9,     ou ■ cos'^q;  sin'o  cosNu  «o; 


I  -*-  m 


donc  les  termes  qui  eu  résulteront  dans  la  valeur  de  d^i  seront  de  la 
forme 


—  3ui/-- — '- — -/cosi'osin''q)sinNu^o,  ou  — Sui/-^ fcos''cpsin*©rosNi;rfo. 

'  V  a(H-m)  ^        ^  '  '^V  a(n-mj  •         r 

Ainsi  il  suffira  de  considérer  les  différentielles 

/  cos'^cp  sin'cp  sinNu  Jcp     et     /cos'*9sin''9  cosNuc/ç. 

i 

A  l'imitation  de  ce  qu'on  a  fait  plus  haut  (n"^  52),  on  substituera,  dans 
ces  différentielles,    ^^'^^ —  au  lieu  de  d'f,  et  faisant,  pour  abréger  (  à  cause 

de  di  =  1/77-^ d-j  ) , 


=  /  /  sinNu.Nf/i;  =—  /cosNu  +  \/ rrr- 


ct?         sinNi 


-+-/n)       N 


\V=:  ficosNu.Nr/i.^      /sinNu-  lA,   '"'        çosNu 
J  V  8(i-+-/w)       N 

on  aura  ces  transformées  <lu/V  et  4>û^W,  en  conservant  la  valeur  de  0  du 
numéro  cité. 

VI.  62 


490  RECHERCHES  SUR   LA  THÉORIE 

Intégrant  par  parties,  on  aura 


• 


OV-Tv^O     ei     ^W-Cw(K\ 


et  l'on  démontrera,  par  un  raisonnement  analogue  à  celui  de  ce  numéro, 

que  les  valeurs  des  intégrales  l  Y d<l>  ei  j  ^Y  d<^  seront  renfermées  entre 

les  limites  ±  (V)((I))  et  ±:  (W)(0),  en  désignant  par  (V)  et(W)  les  plus 
grandes  valeurs  de  (V)  et  (  W)  dans  la  partie  supérieure  de  l'orbite,  et 
conservant  la  valeur  de  (0)  de  l'endroit  cilé.  Or  les  maximum  de  V  et  W 
ayant  lieu  lorsque  dY  =  o  ou  dW  =  o,  c'est-à-dire,  lorsque  sinNy  =  o 
ou  cosN'j  =  o,  il  s'ensuit  que  les  plus  grandes  valeurs  des  quantités  V 
et  W  seront  égales  à  /  (abstraction  faite  du  signe).  Si  donc  on  désigne 
par  [t]  la  valeur  de  t  qui  répond  à  toute  la  partie  supérieure  de  l'orbite, 
c'est-à-dire,  la  valeur  de  /  pour  le  point  où  finit  celte  partie  de  l'orbite,  on 

aura  (Vj  =  (/)  et  (W)  =  (/);  et  les  valeurs  des  intégrales  /Vf/<I>,  /  \Vr/<î>, 

pour  toute  la  partie  supérieure  de  l'orbite,  seront  renfermées  entre  ces 
limites  ±  ^O(^)- 

58.  Si  l'on  ne  jugeait  pas  les  limites  assez  approchées,  surtout  à  cause 
que  ia  valeur  de  {t)  peut  être  assez  considérable,  on  pourrait  les  res- 
serrer davantage  par  une  méthode  analogue  à  celle  du  n"^  53. 

En  effet,  en  conservant  la  valeur  de  $'  de  ce  numéro,  et  faisant,  pour 
abréger, 


cosNu 
sinNu 


m)       N 

on  transformera  les  différentielles  Y  d(^  et  YV  d^\>  en  celles-ci  <^'dY,  et 
<I>'r/W<,  dont  l'intégrale,  prise  par  parties,  sera 


$'  V,  -  r  V,  d^'     el     (I)'  W,  -  r W, 


d^'; 


DES  PlîRTUTUiATIONS  DES  COMÈTES.  491 

ot  l'on  démontrer!!  de  la  im-ine  manière  <|ue,  si  fV,)  et  (W,)  sont  les 
plus  grandes  valeurs  de  V,  et  de  W,  dans  la  partie  supérieure  de  ]'orl)ite, 

on  aura,  pour  les  valeurs  des  intégrales  /  Y^d^'  et  /  W,  fM>'  dans  cette 

partie,  les  limites  ±(V<)(0')et  ±(W, )(<!>').  Or,  sans  chercher  les  valeurs 
exactes  de  (V,)  et  (W,),  il  suffira  de  considérer  (jue,  les  pins  grandes  va- 
leurs (le  V  et  W  étant  éi^ales  à  t  (abstraction  faite  du  signe),  et  les  plus 
grandes  valeurs  de  sinNu  et  cosNj  étant  i,  les  plus  grandes  valeurs  de  V, 

\       I        ot? 

et  de  W,  ne  pourront  jamais  être  plus  grandes  que  ^+  i^  VKf y  ^" 

sorte  qu'on  pourra  prendre  dans  les  limites  précédentes  (V,  )  et  fW,) 

\      I      v? 
égales  à  (/)  -f-  ^  \    tt, — '- Kt  comme  la  quantité  ^'  est  nécessairement 

"  ■    '       N  V  8  (  I  -I-  m  )  ^ 

moindre  que  $  dans  la  partie  supérieure  de  l'orbite,  il  est  clair  que  ces 
nouvelles  limites  seront  plus  approchées  que  les  premières,  et  (ju'ainsi 

l'erreur  qu'on  commettrait  en  négligeanl  les  intégrales  1  V,rM>'et  /  W,r/<1'' 
sera  beaucoup  moindre  que  celle  qui  résulterait  de  l'omission  des  pre- 
mières intégrales  /  Vc?0,    /  \V^<Î»;  et  ainsi  de  suite. 

59.  De  ce  que  nous  venons  de  démontrer  depuis  le  n"  4-8  jusqu'ici,  il 
est  aisé  de  conclure  que  les  perturbations  que  la  comète  doit  éprouver 
dans  la  partie  supérieure  de  son  orbite  peuvent  être  déterminées  aiialy- 
tiquement  sans  avoir  recours  aux  quadratures  mécaniques,  sinon  par 
des  formules  rigoureuses,  du  moins  par  des  formules  très-approchées  et 
dont  on  peut  pousser  rapj)roximation  aussi  loin  que  l'on  veut.  Si  ce  Mé- 
moire n'était  peut-être  pas  déjà  trop  long,  je  présenterais  ici  ces  formules 
toutes  développées,  en  sorte  qu'il  n'y  eût  plus  que  les  substitutions  nu- 
mériques à  faire;  mais,  comme  cela  ne  demande  plus  ({u'un  travail  mé- 
canique et  de  calcul,  nous  croyons  pouvoir  nous  en  dispenser  et  nous 
contenter  d'avoir  exposé  les  principes  de  cette  analyse  avec  tout  le  détail 
et  la  clarté  nécessaires. 

Nous  allons  donner  maintenant  une  idée  de  la  manière  doul  on  doii 
faire  usage  des  Théories  précédentes,  en  montrant  comment  on  doit  les 

62. 


492  RECHERCHES  SUR  LA  THÉORIE 

appliquer  à  la  comète  des  années  i532  et  1661,  que  les  Astronomes  atten- 
dent vers  1789  ou  1790. 

GO.  La  comète  de  l'année  i532  a  été  observée  par  Appien,  et  calculée 
par  Hallcy;  ses  éléments  sont  (la  distance  moyenne  du  0  étant  =  i)  : 

Temps  moyen  du  périhélie,  à  Paris,  19  oclobrc 22''29"'o'* 

Longitude  du  périhélie 3^-?.i"']' o" 

Dislance  périhélie 0,60910 

Longitude  du  nœud  ascendant 2^20"  37'©" 

Inclinaison  de  l'orbite Sa^Sô'o" 

Sens  du  mouvement direct. 

Celle  de  l'année  1661  a  été  observée  par  Hevelius  et  calculée  par 
Halley;  ses  éléments  sont  : 

Temps  moyen  du  périhélie,  à  Paris,  26  janvier 23^42'"o' 

Longitude  du  périhélie 3s25"58'4o" 

Distance  périhélie o,4485i 

Longitude  du  noeud  ascendant 2S22"3o'  3o" 

Inclinaison  de  l'orbite Sa^SS'So" 

Sens  du  mouvement direct. 

Comme  les  éléments  de  ces  deux  comètes  sont  à  très-peu  près  les 
mêmes,  on  est  fondé  à  prendre  ces  astres  pour  une  même  comète,  dont 
la  révolution  serait  d'environ  128  ans,  et  qui  devrait,  par  conséquent, 
reparaître  en  1789.  Dans  cette  hypothèse,  on  peut  attribuer  les  diffé- 
rences qui  se  trouvent  entre  les  éléments  de  i532  et  de  1661  en  partie 
à  l'inexactitude  des  observations,  du  moins  de  celles  de  i532,  et  en 
partie  à  l'effet  des  perturbations  que  la  comète  a  dû  éprouver  pendant 
la  révolution  de  i532  à  1661  par  l'action  des  planètes;  et  l'on  ne  saurait 
fixer  au  juste  le  retour  de  cette  comète  qu'en  calculant  d'avance  l'effet 
des  perturbations  qu'elle  doit  éprouver  dans  la  révolution  de  1661  à 
1789, 

61.  Comme  les  observations  de  1661  ont  été  faites  par  Hevelius,  on 
peut  les  prendre  pour  exactes,  ainsi  que  les  éléments  que  Halley  en  a 


DES  PERTURBATIONS  DES  COMETES.  493 

déduits.  On  peut  supposer  de  plus  que  ces  éléments  soient  ceux  de  l'orbite 
non  altérée,  puisque,  en  faisant  abstraction  des  perlurbalions  qui  ont 
précédé  et  suivi  l'apparition  de  cette  comète  en  i(j(ii,  elle  aurait  dû  se 
mouvoir  toujours  dans  le  même  plan  et  avoir  le  péribélie  placé  dans  le 
même  lieu  du  ciel. 

Nous  prendrons  donc,  pour  plus  de  simplicité,  le  temps  du  passage 
par  le  péribélie  en  1G61,  c'est-à-din;,  le  21  janvier  23'' 5o",  temps  moyen 
de  Paris,  pour  l'époque  du  temps  t,  en  supposant  t  positif  après  cette 
époque  «t  négatif  avant  elle,  et  en  se  souvenant  que  t  exprime  l'angle 
du  mouvement  moyen  du  Soleil  (n**  20). 

Nous  prendrons  de  plus  le  plan  qui  coupe  l'écliptique  à  2'''22''3o'32", 
et  sous  un  angle  égal  à  32°35'5o"  (cet  angle  doit  être  du  côté  du  Nord 
et  sur  la  partie  de  l'écliptique  comprise  entre  :d'^22''3o'32"  et 
8^22° 3o' 32")  pour  le  plan  fixe  des  coordonnées  x  et  y,  et  nous  pren- 
drons l'axe  des  x  dans  la  ligne  menée  du  Soleil  au  point  de  ce  plan  qui 
répond  à  3^25*" 58' 4o"  de  longitude  comptée  depuis  le  lieu  de  l'équinoxe 
en  1661.  Nous  rapporterons  ensuite  à  ce  même  plan  et  à  ce  même  axe 
les  lieux  des  planètes  perturbatrices  au  moyen  des  coordonnées  rectan- 
gles |,  Yj,  Ç.  Ces  déterminations  s'accordent  avec  les  suppositions  des 
n°^  2  et  25. 

62.  Gela  posé,  soient,  comme  dans  la  Section  deuxième,  a  le  grand  axe 
de  l'orbite  non  altérée,  [\h  le  paramètre  de  ce  grand  axe,  et  e  l'excentri- 
cité de  l'orbite,  égale  à  v/ 1  —  —  i  la  distance  périhélie  sera 

a  —  ae a  «(i  —  e=) 2/r 

1  2  lii  -\-  e)        i  -\-  e 

Or,  par  les  observations  de  1661,  on  a  conclu  la  dislance  périhélie 

=  0,44851  (la  distance  moyenne  du  Soleil  a  la  Terre  étant  =  i);  on 

aura  donc 

2// 


I  -+-  e 


=  o,4485i, 


Mais  j'observe  que,  comme  les  éléments  de  i(JGi  ont  été  calculés  (lan> 


k9k  RECHERCHES  SUR  LA  THÉORIE 

l'hypothèse  de  l'orbite  parabolique,  il  parait  naturel  d'adopter  aussi 
cette  hypothèse  dans  la  détermination  de  h;  or,  dans  la  parabole,  on  a 
a  =  Qo  ,  donc  e  =  i,  par  conséquent  h  =  o,l\l\S5i . 

Au  reste,  nous  verrons  ci-après  que  cette  valeur  de  h  ne  serait  tout 
au  plus  diminuée  que  d'un  centième,  si  l'on  voulait  la  déterminer  dans 
l'hypolhèse  elliptique  (n°  64j. 

63.  Il  faut  déterminer  maintenant  le  grand  axe  a;  ce  qu'on  fera  par 
le  principe  connu  que,  dans  les  orbites  elliptiques  décrites  par  une 
même  force  tendant  au  foyer  et  variant  dans  la  raison  inverse  des  carrés 
des  distances,  les  temps  des  révolutions  sont  comme  les  racines  carrées 
des  cubes  des  moyennes  distances.  Or  l'intervalle  entre  le  passage  par 
le  périhélie  en  i532  et  le  passage  par  le  périhélie  en  1661  est  de 
128  années  99J  1^21™;  mais  il  faut  remarquer  que,  comme  en  1682  on  a 
retranché  10  jours,  il  faut  aussi  les  retrancher  du  nombre  précédent,  ce 
qui  réduira  le  vrai  intervalle  entre  les  deux  passages  par  le  périhéjie  à 
128  années  89J  t^2i'",  parmi  lesquelles  années  il  y  en  a  32  de  bissextiles. 

Réduisant  ce  temps  en  jours  et  en  décimales  de  jour,  on  aura  donc, 
pour  l'intervalle  dont  il  s'agit,  4684i^o5625. 

Si  les  deux  périhélies  étaient  placés  dans  le  même  lieu  du  ciel,  il  est 
clair  que  l'intervalle  qu'on  vient  de  trouver  serait  en  même  temps  la 
durée  de  la  révolution  de  la  comète;  mais,  comme  les  lieux  des  deux 
périhélies  diffèrent  un  peu  entre  eux,  il  faut  défalquer  de  l'intervalle 
trouvé  le  temps  que  la  comète  a  mis  à  aller  du  lieu  du  périhélie  de  i532 
à  celui  du  périhélie  de  1661 . 

Pour  cela,  j'observe  que  le  périhélie  de  1661  est  plus  avancé  en  lon- 
gitude que  celui  de  i532  de  3''5i'4o";  mais  l'équinoxe  a  reculé,  dans 
l'espace  de  128^89^,  de  i°45'36";  donc,  retranchant  cette  quantité  de  la 
précédente,  on  aura  2°4''42"  pour  le  vrai  espace  dont  le  périhélie  de 
166 1  était  plus  avancé  par  rapport  aux  étoiles  fixes  que  celui  de  i532; 
donc  la  comète,  après  avoir  atteint  en  i532  son  périhélie,  a  dû  parcou- 
rir encore  autour  du  Soleil  un  angle  de  2"4i'4"  pour  arriver  au  lieu  du 
périhélie  de  1661,  parce  que  le  mouvement  de  cette  comète  se  fait  sui- 


DES   PKHTUUHATIONS   DES  COMÈTES.  495 

vant  l'ordro  des  sij,^nes;  ce  serait  le  contraire  si  la  comète  était  rétro- 
i^radc. 

Il  faut  donc  chercher  h;  temps  qui  rrpond  à  l'anomalie  vraie  2"4r4" 
dans  une  parabole  dont  la  distance  périhélie  est  o,;";o9[o.  Or,  dans  la 
Table  générale  du  mouvement  des  comètes  (cette  Table,  calculée  d'abord 
par  Halley,  rendue  ensuite  plus  connnode  par  l'abbé  de  la  Caille,  a  été 
«'tendue  davantage  dans  le  Recueil  des  Tables  publié  par  l'Académie  de 
Berlin,  t.  III,  p.  2  et  suiv.;,  on  trouve  (jiie  pour  l'orbite,  dont  la  dis- 
lance périhélie  serait  i ,  ce  temps  serait  de  iJ,  9:3;  il  faut  donc  iiiiiltiplier 
•e  nombre  par  la  racine  carrée  du  cube  de  0,50910,  et  l'on  aura 
•J,  70107  pour  le  nombre  qu'il  faudra  retrancher  du  nombre  de  jours 
trouvé  plus  haut,  pour  avoir  la  durée  de  la  révolution  de  la  comète  par 
rapport  aux  étoiles  fixes,  laquelle  durée  sera  donc  4684oJ,355i5. 

Or  la  durée  de  la  révolution  périodique  de  la  Terre,  c'est-à-dire, 
l'année  sidérale,  est  de  365^6^9"' io%  ou,  en  décimales  de  jour,  .!<• 
3G5j,25G36.  Donc,  puisque  la  distance  moyenne  de  la  Terre  au  Soleil 
est  prise  pour  l'unité,  et  que  la  distance  moyenne  de  la  comète  est  -, 
on  fera  cette  proportion 


d'où  l'on  tire 


365,25636  :  4684o,355i5  =  i  :  (- 

«_  /^ 4^840, 355i5\^         _  ,^     ^ 
2-  \  365,25636  j    =^5,zt3oi3. 

C'est  la  distance  moyenne  ou  le  demi-grand  axe  de  l'orbite  elliptique 
de  la  comète. 

64.   Il  est  aise  de  conclure  de  l'équation  précédente  que,  si  le  temps 
périodique  de   la  comète   était   plus   long  ou   plus  court   d'un   petit 

nombre /i  d'années  sidérales,  la  distance  moyenne  -  serait  augmentée 

2  ^ 

ou  diminuée  à  très-peu  près  de  la  quantité 

2n 

=  0,1  3220  n; 


^/f 


496  RECHERCHES  SUR  LA  THÉORIE 

de  sorte  qu'il  faudrait  que  n  fût  plus  grand  que  7,  pour  que  la  distance 
moyenne  fût  changée  d'une  unité. 

Or,  quoique  les  observations  de  1 532  faites  par  Appien  ne  soient  peut- 
être  pas  tout  à  fait  exactes,  cependant,  comme  la  comète  dont  il  s'agit 
n'a  été  observée  que  pendant  un  mois,  dans  lequel  temps  elle  a  passé  par 
le  périhélie,  il  est  visible  qu'on  ne  saurait  admettre  une  erreur  de  1 5  jours 
dans  le  passage  au  périhélie,  et  qu'ainsi,  à  cet  égard,  on  est  assuré  que 

la  valeur  de  -  est  exacte  à  o,o5  près. 
2 

Mais  il  y  a  une  autre  source  d'erreur  qui  est  bien  plus  considérable: 
je  veux  parler  de  l'effet  des  perturbations  que  la  comète  a  dû  éprouver 
dans  la  période  de  i532  à  1 661,  et  qui  ont  pu  allonger  ou  diminuer  cette 
période  de  quelques  années.  En  effet,  la  détermination  précédente  du 
grand  axe  étant  fondée  sur  l'hypothèse  que  la  comète  a  décrit  une  orbite 
régulière  autour  du  Soleil  en  vertu  de  la  seule  attraction  de  cet  astre, 
cette  détermination  cesse  d'être  exacte  dès  qu'on  admet  l'action  des  pla- 
nètes sur  la  comète;  dans  ce  cas,  il  est  clair  qu'on  ne  saurait  chercher  le 
grand  axe  de  la  véritable  orbite  décrite  par  la  comète,  puisque  cette  or- 
bite n'est  plus  une  ellipse;  mais  on  doit  chercher  plutôt  le  grand  axe 
de  l'orbite  que  la  comète  aurait  décrite  sans  les  perturbations,  et  que 
nous  avons  nommée,  dans  le  cours  de  ce  Mémoire,  orbite  non  altérée;  et 
pour  cela  il  est  visible  qu'on  ne  doit  pas  employer  la  durée  observée  de 
la  révolution,  mais  cette  durée  corrigée  de  l'effet  des  perturbations. 

Supposons  que  cet  effet  consiste  à  allonger  ou  à  raccourcir  le  temps 
périodique  de  l'orbite  non  altérée  d'un  petit  nombre  n  d'années  sidérales 
pendant  la  période  de  i532  à  1661  ;  il  est  clair  que  ce  temps  périodique 
sera  plus  court  ou  plus  long  de  n  années  que  la  durée  observée  de  la 
révolution  de  la  comète;  par  conséquent  la  distance  moyenne  de  l'orbite 
non  altérée  sera  à  très-peu  près  25,43oi3  =f=  o,i322o/?. 

Or  on  ne  peut  déterminer  la  valeur  de  n  que  par  le  calcul  même  des 
perturbations,  calcul  dans  lequel  la  quantité  a  entre  comme  élément; 
mais,  comme  la  valeur  de  n  ne  peut  être  que  de  quelques  unités,  il  sera 
permis  de  prendre  pour  la  valeur  de  a  la  quantité  25,43oi3  qui  aurait 


DES  PERTURBATIONS  DES  COMÈTES.  497 

lieu  sans  les  perturhalions,  du  moins  (l;ms  lo  calcul  de  ces  perturbations. 
L'erreur  qu'on  pourra  comniettre  par  cette  supposition  ne  sera  que  de 
l'ordre  des  carrés  des  forces  perlurhalriees,  quantités  que  nous  avons 
toujours  supposées  qu'on  néglige  dans  la  Théorie  des  per( inhalions  des 
comètes. 

65.  En  faisant  donc  -=  25,43oi3,  et  prenant  pour  h  la  valeur  dé- 
terminée ci-dessus  (n**  62),  savoir  /<t  =  o, 448^1,  on  trouvera  d'ahord 
l'excentricité  (n**  25) 


=  y/i-  -^  =  0,98222  =/. 


Employant  cette  valeur  de  e  dans  l'équation 

=  o, 44^55 1 

du  numéro  cité,  on  trouvera  h  =  0,444^^  •  c'est  la  valeur  de  h  dans  la 
supposition  que  la  distance  périhélie,  déduite  des  observations,  soit  la 
véritable  distance  périhélie  dans  l'ellipse;  et  l'on  voit  que  cette  valeur 

diffère  à  peine  de  -^  de  celle  que  donne  la  supposition  de  l'orbite  pa- 
rabolique; c'est  pourquoi  on  pourra  sans  crainte  employer  la  première 
valeur  de  h  dans  le  calcul  des  perturbations. 

Comme  le  demi-petit  axe  de  l'ellipse  est  \^ah,  on  trouvera  pour  ce 
demi-petit  axe  4*77612. 

Et,  si  l'on  cherche  l'angle  dont  le  cosinus  sera  e,  on  trouvera  io°49'io": 
c'est  la  valeur  de  l'anomalie  excentrique  qui  répond  à  90  degrés  d'ano- 
malie vraie,  à  compter  du  périhélie,  et  c'est  aussi  la  valeur  de  l'ano- 
malie vraie  comptée  de  l'aphélie  pour  les  points  de  la  distance  moyenne. 

Enfin,  comme  nous  prenons  le  périhélie  de  16G1  pour  l'époque  d'où 
l'on  doit  compter  le  temps  t,  et  que  nous  supposons  que,  dans  ce  péri- 
hélie, l'orbite  troublée  coïncide  avec  l'orbite  non  troublée  (n"  60),  il 
s'ensuit  (ju'on  aura  non-seulement  £  =  o,  ^\/  =  o,  i=o,  mais  aussi  (îs  =  0, 
^^  =  o,  01  =  o,  et  de  plus  oh  =  o  dans  le  même  périhélie  (  n®  38)  ;  donc 
VI.  63 


W8  RECHERCHES  SUR   LA  THEORIE 

les  cinq  variables  âh,  àg,  &b,  âc,  ai  devront  être  nulles  lorsque  /  =  o, 
de  sorte  ({ue,  en  faisant  commencer  dans  ce  point  les  intégrations  des  dif- 
férentielles dâh,  dâg,  dâh,  duc  et  d^i  (n"  42),  il  n'y  aura  point  de 
constantes  à  y  ajouter. 

Nous  remar(jucrons  encore  que,  à  cause  de  f  =  o,  on  aura  simple- 
ment (n"20) 


/ad  H- m)                            ,                       ^      /8(i  +  m) 
0  =  2/1/ ^ 5     el  par  consequcnl     t  =  6  i/ ? 

et  les  angles  t,  ô,  u,'(p  seront  tous  nuls  à  la  fois  dans  le  périhélie  de  i66i  ; 
ils  seront  positifs  après  ce  périhélie,  et  négatifs  avant. 

A  l'égard  de  la  quantité  ^a,  elle  devrait  aussi  être  nulle  lorsque  t  =  o, 
si  la  valeur  de  a  était  exactement  égale  au  grand  axe  de  l'orbite  non 

altérée  de  la  comète;  mais,  ayant  supposé  ci-dessus  -  =  25,43oi3,  on 

aura  (n"  63),  pour  la  vraie  distance  moyenne  de  l'orbite  non  altérée, 

25,43oi  3  rp:  o,  i322o/i, 

laquelle  doit  être,  par  l'hypothèse,  la  même  que  celle  de  l'orbite  trou- 
blée dans  le  périhélie  de  i6Gi ,  où  t  =  o.  Or  le  grand  axe  de  l'orbite  trou- 
blée étant,  en  général,  a-^  oa  (n°  38),  on  aura  dpnc,  lorsque  ;  =  o, 

a-h  da         n   r-i     -î  i 
=  25.430 !  i  qi:  o,  i>3220/i; 


donc 

§a 


1 


ZÇ.  o,  l3220/l. 


D'où  l'on  voil  que  celte  valeur  de  ^a  dépend  du  nombre  n  qui  est  l'effet 
des  |)ei'turi)a lions  dans  la  période  précédente. 

65.  Considérons  maintenant  le  retour  de  la  comète  au  périhélie;  il 
est  visible  que,  en  faisant  isbslraction  des  perturbations,  il  n'y  aura 
qu'à  ajouter  l'intervalle  trouvé  ci-dessus  (n°  62)  de  lo-B'VScy  1^21"',  à 
l'époque  du  passage  par  le  périhélie  de  iGGi ,  pour  avoir  le  temps  du  re- 


DES   PERTUn  HATIONS  DES  COMÈTES.  Wî) 

tour  au  périhélie;  et  il  vieu.l.a  feri  se  souvenant  «iiie  l'année  1700  n'a 
pas  été  bissextile)  le  -iG  avril  1789  ,S  ,'•'.  temps  uH.yen  au  méridien  de 
Paris.  Mais,  pour  avoir  exaetenicnt  le  temps  du  retour  de  la  comète  au 
ix'niw'lie  dans  l'orhite  elliptique  dont  le  demi-j^nand  axe  serait  25,43oi3, 
tel  (lu'on  l'a  déterminé  dans  le  numéro  cité,  il  faudra  retranciier  du 
temps  (j.ron  vient  de  trouver  (P,7..io7,  c'est-à-dire.  lôVjc/'.i,  par  la 
raison  expliquée  dans  ce  même  numéro,  ce  qui  donnera  le  25  avril  i  nHq 

Cette  détermination  serait  entièrement  exacte,  mén»e  en  avant  e-ard 
aux  perturbations,  si  les  deux  révolutions  consécutives  de  i532  à  iGGi, 
etde  iGGi  à  1789.  étaient  parfaitement  égales,  et  par  conséquent  si  l'elfet 
des  perturbations  était  le  même  dans  ces  deux  périodes.  Donc,  si  l'alté- 
ration de  ces  deux  périodes  n'est  pas  la  même,  il  est  clair  (ju'il  ne  faudra 
qu'ajouter,  au  temps  déterminé  ci-dessus,  l'excès  de  l'altération  de  la 
seconde  période  sur  l'altération  de  la  première. 

Or  nous  avons  donné,  dans  le  n"  41,  la  formule  qui  exprime,  en  sé- 
rierai, l'altération  de  la  révolution  périodique  de  la  comète;  appruiu^nt 
donc  ici  cette  formule,  et  marquant  par  un,  deux,  trois  traits  les  quan- 
tités qui  répondent  aux  trois  périhélies  consécutifs  de  1 532,  1661.  1789, 
on  aura  cette  quantité,  dans  laquelle  j'ai  substitué  au  lieu  de  o^  sa  va- 
leur ^  (n"38), 

3{l"'rJa"'-'ii"Sa"^('Sa')  1       ^T* /oAn^a-'"         -«      <>  - 


c'est  la  correction  du  temps,  c'est-à-dire,  le  temps  qu'il  faudra  ajoutei' 
au  25  avril  1789  8''2i-±  pour  avoir  l'instant  du  passage  de  la  comète 
par  la  ligne  du  périhélie  de  i66r,  dont   la  longitude   était  alors  de 
3^25°58'4o",  et  sera,  en  1789  (à  cause  de  la  précession  des  équinoxes) 
de  3^7^46' 16". 

Il  est  bon  de  remarquer  que  la  dernière  partie  de  la  quantité  précé- 
dente, celle  qui  contient  les  quantités  d^^',  âg",  ^g'\  dépend  uni.juement 
du  déplacement  du  périhélie,  comme  on  peut  le  voir  par  le  n"41;  de 

63. 


500  RECHERCHES  SUR  LA  THEORIE 

sorte  qu'on  rejetant  cette  partie  la  quantité  restante  sera  la  correction 
du  temps  pour  le  passage  de  la  comète  par  le  vrai  périhélie  de  1789; 
mais  il  faudra  alors  ajouter  cette  correction  au  26  avril  1789  i*"!!"*, 
temps  du  passage  par  le  périhélie,  dans  le  cas  où  la  révolution  anoma- 
listique  de  iGGi  à  1789  serait  égale  à  celle  de  i532  à  16G1. 

Pour  réduire  ces  quantités  en  temps,  on  se  souviendra  que  nous  expri- 
mons le  temps  par  le  mouvement  moyen  du  Soleil  (n°  20);  de  sorte 
que,  si  la  quanlilé  à  réduire  en  temps  est  exprimée  en  angles,  en  la 
divisant  par  3Go  degrés,  on  aura  des  années  sidérales  de  3G5J,25G3G; 
et,  si  elle  est  exprimée  en  nomhres  absolus  (la  moyenne  distance  du 
Soleil  étant  l'unité),  il  faudra  la  diviser  par  le  rapport  de  la  circonfé- 
rence au  rayon,  c'est-à-dire,  par  G, 283 1 85...,  pour  la  réduire  de  même 
en  années  sidérales. 

67.  La  formule  précédente  est  générale;  mais,  dans  notre  cas,  on 
aura,  par  ce  qu'on  a  établi  dans  le  n"  64, 

t"=o,     èi"=o,     dq"=o; 


de  plus,  à  cause  de  t^=0  \J -q-, [0  étant  l'anomalie  moyenne  de 

la  comète),  on  aura 

/'"=  360"  \/^T-^ '     t'  =  -  36o"  \/^—^ -; 

V  8 (i  -+-/;/ 1  V  8(1  +  m)^ 

de  sorte  que  la  première  partie  de  la  formule  dont  il  s'agit  se  réduira  à 


3 .  36o"     /        (i         , .  „,      .  , , 


m) 


OÙ  rW"  sera  l'intégrale  totale  de  la  différentielle  dùa  pour  la  période 
entière  de  iGGi  à  1789,  en  faisant  t  positif,  et  où  ùa'  sera  de  même  l'in- 
tégrale totale  de  d^^a  pour  la  période  de  iGGi  à  i532,  en  faisant  t  néga- 
tif; de  sorte  (jue,  comme  il  n'y  a  que  la  différence  de  ces  deux  intégrales 
qui  ciilie  en  ligne  de  compte,  il  n'y  aura  point  de  constantes  à  y  ajou- 


DES   l»EKTUI{  HATIONS   DES  COMETES.  501 

ler,  cl  l'on  pourra  prendre  eliaque  intégrale  en  sorte  qu'elle  commence 
au  périhélie  de  16G1,  où  ^  =  o. 

Les  deux  autres  parties  d(;  la  mèine  formule  deviendront 


si 


OÙ  (à  cause  de  âi"=  o  et  âg"  =  oj  il  laudra  prendre  pour  oi'"  et  âg'"  les 
intégrales  des  quantités  dâi  et  d&g  depuis  le  périhélie  de  1661  jusqu'à 
('('lui  (le  i78(),  et  pour  ai'  et  og'  les  intégrales  des  mêmes  quantités, 
mais  depuis  le  périhélie  de  iGGi  jusqu'à  celui  de  i532,  en  supposant 
l  négatif. 

L'altération  du  temps  périodique  est  celle  qu'il  est  le  plus  important 
de  déterminer  dans  la  Théorie  des  perturhations  des  comètes. 

Quant  aux  altérations  des  autres  éléments  de  l'orbite,  on  les  détermi- 
nera directement  par  l'intégration  des  quantités  dâh,  dâa,  dèg,  d^b, 
dàc  {n^^  38,  42  et  suivants),  en  faisant  commencer  les  intégrales  au  pé- 
rihélie de  iGGi,  et  les  étendant  jusqu'au  périhélie  de  1789  ou  de  i532, 
suivant  qu'on  voudra  déterminer  ces  altérations  pour  la  dernière  pé- 
riode de  la  comète  ou  pour  la  période  précédente. 

68.  Voilà  toutes  les  données  et  les  formules  nécessaires  pour  calculei- 
les  perturbations  causées  à  l'orbite  de  la  comète  dont  il  s'agit  par  l'action 
des  planètes.  Or,  [)ariiH  toutes  les  planètes,  il  n'y  a  que  Jupiter  et  Sa- 
turne dont  l'action  sur  la  comète  puisse  être  sensible,  tant  parce  que  les 
masses  des  autres  planètes  sont  trop  petites,  que  parce  qu'elles  sont 
trop  proches  du  Soleil.  Ainsi  l'on  prendra  successivement  Jupiter  et 
Saturne  pour  la  planète  perturbatrice  dont  on  a  supposé  la  masse  p.,  et 
dont  le  rayon  vecteur  est  p,  et  les  coordonnées  rectangles  |,  •/},  'Ç.  Les 
Tables  astronomiques  de  Halley  donneront  toutes  les  valeurs  des  quan- 
tités qui  dépendent  des  lieux  de  ces  planètes  dans  un  temps  quelconque; 
et  nous  ne  croyons  pas  qu'il  soit  nécessaire  d'entrer  là-dessus  dans  aucun 
détail. 

Cuinme  la  distance  de  Jupiter  au  Soleil  est  environ  5,  et  celle  de  Sa- 


502  RECHERCHES  SUR    LA  THÉORIE 

turne  environ  9^,  il  est  clair  que,  si  l'on  fait  commencer  la  partie  supé- 
rieure (le  l'orbite  de  la  comète  aux  points  de  la  moyenne  distance,  c'est- 
à-dire,  aux  extrémités  du  petit  axe,  alors  r  sera  toujours  beaucoup  plus 
grand  que  p,  et  la  méthode  des  n°^  48  et  suivants  aura  toute  l'exactitude 
(ju'on  peut  désirer,  en  négligeant  même  tout  à  fait  les  termes  qui  dé- 
pendent du  mouvement  moyen  de  la  planète  perturbatrice  dans  les  for- 
mules des  quantités  différentielles  d(^h,  dâa,...,  et  en  ne  tenant  compte 
que  des  termes  indépendants  de  l'angle  v,  (jue  nous  avons  vus  être  tou- 
jours intégrables  (n"*  52  et  56). 

Il  y  aura  encore  un  autre  avantage  à  prendre  ainsi  la  moitié  supé- 
rieure  (le  l'orbite  pour  ce  que  nous  appelons  la  partie  supérieure,  car 
on  aura  alors,  pour  le  commencement  de  cette  partie,  w  ==±90,  et, 
pour  la  fin,  u  =  ±  270;  de  sorte  que,  à  cause  de 


x  =  -xosu  —  e),     r  =  iahsinu,     r=-ii  —  ecosu),     dt=K/ relu 

2  /'     .        V  2  y    2(1  +  m  ' 

( u  étant  l'anomalie  excentrique  comptée  depuis  le  périhélie),  on  aura, 
pour  le  commencement  de  la  partie  supérieure, 

ae  n 


dx  /2(i  +  mi        dy  dr       _, 

^=+V"~T— '    -^77="'    dt--' 


et  pour  la  tin 


ae  ,—r  a 

—  1      y=zzrikjan,      r  =  -  ? 
2        '  2 


dx         ,        /Tû  -+-  ni  )        dy  dr  / 2.(1-+-  m) 

(les  signes  supérieurs  étant  pour  le  cas  où  l'on  prendra  les  angles  t  et  u 
positifs,  c'est-à-dire,  pour  la  période  qui  suit  le  périhélie  de  1661,  et  les 
signes  inférieurs  étant  pour  le  cas  oîi  /  et  w  seront  négatifs,  c'est-à-dire, 
pour  la  période  (jui  précède  ce  périhélie),  ce  (jui  simplifiera  beaucoup 


DiiS  PEKTUIUJATIONS  DES  COMÈTES.  503 

l.^s  valeurs  des  <,uantités  »!',  H".  A'.  A", . . . ,  c'est-à-dire.  les  valeurs  <l. 
H,  A,...  pour  le  eommencen.enl  et  pour  la  fin  d..  la  partie  supérieure 
<le  l'orhite  (u'^48j. 

Quant  à  la  masse  m  d.-  la  c.mk.I.,  <,ue  nous  avons  conservée,  pour  plus 
;i  exactitude  et  de  généralité,  dans  les  formules  de  ce  Mémoire,  elle  est 
•"connue,  et  nen  ne  saurait  conduire  U  la  déterminer;  mais  il  est  natu- 
rel de  la  supposer  très-petite  vis-à-vis  de  la  .nass.-  du  Soleil;  de  sorte 
'fii  on  pourra  négliger  partout  la  quantité  m  vis-à-vis  de  l'unité. 


KECHERCHES 


SUR    LA   JUNIÈRE 


DE  lOllMEU  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

D'APKÈS    LES   SEULES   OBSEHVATIONS. 


VI. 

64 


RECIIEUCIIES 


SUR    LA    MASIEHK 


DE  FORMER  DES  TADLES  DES  PLANÈTES 

D'APRÈS  LES   SEULES  OBSERVATIONS. 


[Mémoires  de  F  Académie  Royale  des  Sciences  de  Paris,  année  i77'2.) 


On  s'occupe  depuis  longtemps  à  rechercher  à  priori  les  inégalités  des 
mouvements  des  planètes  d'après  les  principes  de  la  gravitation  univer- 
selle; mais  personne,  que  je  sache,  n'a  encore  entrepris  de  donner  des 
méthodes  directes  et  générales  pour  trouver  ces  mêmes  inégalités  à  pos- 
teriori, c'est-à-dire,  d'après  les  observations  seules.  C'est  à  remplir  ce 
dernier  objet  dans  toute  son  étendue  qu'est  destiné  le  Mémoiic  que  j'ai 
l'honneur  de  présenter  à  l'Académie  Royale  des  Sciences;  heureux  si 
cette  illustre  Compagnie  daigne  recevoir  avec  indulgence  ce  fruit  de  mon 
travail  sur  une  matière  qui  a,  à  la  vérité,  plus  d'utilité  (jue  de  diflicullé, 
mais  qui  ne  mo  })arait  par  là  que  plus  digne  de  son  attention. 

HYPOTHÈSE. 

1 .  Les  inégalités  des  mouvements  des  planètes  peuvent  être  représen- 
tées par  une  suite  de  termes  de  la  forme  A  sinç),  A  étant  un  coefficient 
constant,  et  9  un  angle  qui  augmente  uniformément. 

G4. 


508  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANETES 

Remarque  L 

2.  C'est  sur  ce  principe  que  sont  fondées  toutes  les  Tables  des  pla- 
nètes; chaque  terme  tel  que  A  sine-  s'appelle  une  équation,  dont  A  est  le 
coefficient  ou  la  plus  grande  valeur,  et  o  l'argument. 

Les  Anciens,  qui  ne  voulaient  admettre  dans  le  Système  du  monde 
que  des  mouvements  circulaires  et  uniformes,  représentaient  toutes  les 
irrégularités  des  mouvements  des  Corps  célestes  par  des  cercles  excen- 
triques et  par  des  épicycles;  or  il  est  facile  de  prouver  que,  tant  que  l'ex- 
centricité est  assez  petite  et  que  les  rayons  des  épicycles  sont  aussi  assez 
petits  par  rapport  à  celui  du  cercle  principal,  les  irrégularités  que  l'on 
trouve  par  ce  moyen  peuvent  toujours  s'exprimer  par  une  suite  de  termes 
de  la  forme  Asinç». 

En  effet,  si  l'on  considère  un  cercle  dont  le  rayon  soit  a,  et  qui  soit 
chargé  d'un  épicycle  dont  le  rayon  soit  ma,  et  qu'on  suppose  que,  tan- 
dis que  le  centre  de  cet  épicycle  se  meut  sur  la  circonférence  du  cercle 
principal  en  décrivant  autour  de  son  centre  l'angle  t,  un  corps  se  meuve 
sur  la  circonférence  de  l'épicycle  en  décrivant  autour  de  son  centre 
l'angle  (p,  on  trouvera  que  ce  corps  décrira  autour  du  centre  du  cercle 
principal  un  angle  t-hsc,  où  x  sera  tel  que 


m  sin  cp 


I  +  m  costp 


en  sorte  que  l'angle  x  exprimera  l'inégalité  du  mouvement  provenant 
de  l'épicycle.  Or,  si  l'on  suppose  le  rayon  ma  fort  petit  par  rapport  au 
rayon  a,  on  aura  pour  m  une  fraction  fort  petite,  et  l'on  aura  par  les 

séries 

tang^  =  m  sin  9  (i  —  m  ces  9  -f-  m^  cos^cp  —,..); 

mais 

^=:lang^— — ^ h.... 

Donc,  substituant  la  valeur  de  tanga;,  et  réduisant  les  puissances  et  les 


D'APRÈS  LES  OBSERVATIONS.  o09 

produits  de  sin^  et  de  cos^  en  sinus  et  cosinus  d'angles  multiples  de  '^, 
on  aura  pour  a?  cette  série  assez  simple 

m'sins>.o       /n'sin3<a       m*sin4cp 

X  =  m  sin  9 -\ — I ;— ^  -I-  .  .  .  . 

2  3  4 

Si  l'on  imaginait  un  second  épicycle  dont  le  rayon  fût  na,  et  doiil  le 
centre  décrivit  la  circonférence  du  premier  épicycle,  tandis  que  le  mo- 
bile décrit  la  circonférence  de  ce  second  épicycle,  en  parcourant  autour 
de  son  centre  des  angles  4^  dans  le  môme  temps  que  sont  parcourus  les 
angles  t  et  9,  on  trouverait  que  l'angle  parcouru  par  le  mobile  autour 
du  cercle  principal  serait  t-\-x,  où  l'angle  x,  qui  représente  l'inégalité 
du  mouvement,  sera  tel  que 

m  sin 9  H-  nsinfc?  +  J;) 

tang^=: ^— ^-î-- — ^, 

I -f- m  ces  cp -h /i  CCS  (<p  H- 4^) 

d'où,  en  supposant  m  ei  n  fort  petits,  il  est  facile  de  tirer  la  valeur  de  x 
exprimée  par  une  suite  de  sinus. 

S'il  y  avait  un  troisième  épicycle  dont  le  rayon  îùv  pa,  et  sur  la  cir- 
conférence duquel  le  mobile  fût  mû  en  parcourant  autour  de  son  centre 
des  angles^,  on  trouverait  que  l'inégalité  x  serait  déterminée  par  l'é- 
quation 

tan„^  ^       ^siny +  /tsin(9H-4)+/?sin(y +  ^j;  +  |)     ^ 
I  -h  mcoso  +  n  005(9  +  4')  +/^  005(9  ~t~  4*  "•"  ^)' 

et  ainsi  de  suite. 

Si  l'on  suppose  un  cercle  excentrique  dont  le  rayon  soit  a  et  l'excen- 
tricité ma,  on  trouvera  que,  tandis  que  le  mobile  parcourt  autour  du 
centre  du  cercle  l'angle  /,  il  parcourra  autour  du  point  qui  est  pris  pour 
le  centre  du  mouvement  apparent  un  angle  t-k-  x,  en  sorte  que 

m  sin  t 
lang^  = 


I  -h  m  QOSt 


d'où  l'on  voit  que  c'est  la  même  cbose  que  si  le  cercle  était  supposé 
homocentrique,  et  qu'il  portât  un  épicycle  dont  le  rayon  fût  ma,  et  doiil 


510  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

la  circonférence  fût  parcourue  par  le  mobile  d'un  mouvement  angulaire 
égal  à  celui  dont  le  centre  de  cet  épicycle  parcourt  la  circonférence  du 
cercle  principal;  c'est  ce  qui  a  déjà  été  remarqué  par  Ptolémée. 

De  là  on  voit  aussi  que  le  cas  d'un  épicycle  porté  par  un  excentrique 
sera  le  même  que  celui  d'un  homocentrique  qui  portera  deux  épicycles, 
et  ainsi  de  suite. 

Remarque  IL 

3.  Dans  l'Astronomie  moderne,  on  explique  les  principales  inégalités 
des  planètes  par  la  figure  elliptique  de  leurs  orbites  et  par  la  loi  des 
aires  proportionnelles  au  temps,  d'où  résulte  l'inégalité  qu'on  appelle 
équation  du  centre,  et  qui  est,  comme  l'on  sait,  exprimée  par  la  série 

—  2£  sino  H — ;-  sinao  +  -y  sino sinScs  H-.  .  . , 

4  ^  4  ^  12  ' 

£  étant  l'excentricité,  et  9  l'angle  de  l'anomalie  moyenne  qui  est  pro- 
portionnelle au  temps.  La  loi  de  cette  série  n'est  pas  facile  à  trouver, 
surtout  en  employant  la  méthode  ordinaire,  suivant  laquelle  on  cherche 
d'abord  l'anomalie  moyenne  par  la  vraie,  et  ensuite  on  déduit  celle-ci 
de  celle-là  par  le  retour  de  la  série;  mais  on  peut  y  parvenir  par  la  mé- 
thode que  j'ai  donnée  ailleurs  [Mémoires  de  Berlin,  1769  (*)]. 

Quant  aux  autres  inégalités  des  planètes,  c'est  par  le  principe  de  la 
gravitation  universelle  qu'on  tâche  de  les  déterminer,  et  les  calculs  faits 
d'après  ce  principe  donnent  toujours  des  équations  dont  les  arguments 
dépendent  des  lieux  moyens  des  planètes,  de  ceux  de  leurs  aphélies  et 
de  leurs  nœuds. 

En  général,  la  figure  presque  circulaire  des  orbites  des  planètes  fait 
que  les  forces  perturbatrices  qui  viennent  de  leur  attraction  réciproque 
peuvent  être  exprimées  par  des  séries  plus  ou  moins  convergentes  et 
composées  uniquement  de  sinus  ou  cosinus;  circonstance  sans  laquelle 
il  serait  comuie  impossible  de  déterminer  d'une  manière  générale  l'ell'el 
de  ces  perturbations. 

(')   OEuvres  de  Lagraiigr,  t.  III,  p.  ii3. 


D'A  PU  ES   LES   OIJSEUVATIONS.  511 


l{i:\rA.RQi;R  IIÏ. 


4.  11  y  a  cependant  une  espèce  d'inégalités  qui  paraît  l'iiirc  une  exccj)- 
lion  à  la  règle  générale  :  je  parle  des  inégalités  séculaires  qui  aug- 
mentent comme  les  carrés  des  temps;  mais,  d'un  cùlé,  il  parait  très-pro- 
bable que  ces  sortes  d'inégalités  ne  sont  qu'apparentes  et  ne  viennent 
que  de  quelques  équations  dont  les  arguments  ne  varient  que  très-peu, 
en  sorte  (jue  leur  période  est  très-longue;  de  l'autre,  elles  ne  sont,  à 
proprement  parler,  que  des  cas  particuliers  de  la  formule  générale, 
comme  nous  le  ferons  voir  dans  la  suite  de  ce  Mémoire.  D'ailleurs  il  est 
toujours  possible  de  se  débarrasser  d'avance  de  ces  sortes  d'inégalités, 
et  nous  fournirons  pour  cela  des  moyens  aussi  simples  que  commodes. 

PROPOSITION   I. 

Théorème. 

5.  Toute  série  dont  un  terme  quelconque  est  représenté  par  la  formule 

A  sin  (a  -4-  mx)  -\-V>s'\x\{h  -v-  m^)  -+-  C  sin  (c  -+-  my)  -I-.  .  ., 

m  étant  le  nombre  des  termes  précédents,  est  une  série  récurrente  dont 
l'échelle  de  relation  dépend  uniquement  des  angles  a,  |S,  y, — 

Dénotons,  en  général,  par 

X,      X,1,A,...,  1»        ,x^  ,••• 

les  termes  de  la  série  proposée,  en  sorte  ({ue  l'on  ait 

T("')  =  A  sin  (  a  -t-  m  a  !  H-  B  sin  (  6  -I-  m  |3  )  -h  C  sin  [c  -^  my  )-{-... , 
et  examinons  la  nature  de  la  suite  intinie 

T  -f-  T'^  +  T'x-  -+-  T"'x'  -f- .  .  .  -I-  TC"^^"'  -+-  T("'+"a;"'+'  -i- 


512  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

On  sail  que  _  _ 

sincp  = î 

2  y  —  I 

e  étant  le  nombre  dont  le  logarithme  hyperbolique  est  l'unité;  donc, 
faisant,  pour  abréger, 

K=         ,      L= =-,     />  =  e'v/-',      ^  =  e-«\/-, 

2^  —  1  2y/  — I 

on  aura 

Asin^a  +  ma.)  =  Kp'"+  Lq""; 

de  même,  si  l'on  fait 

2^  —  I  2^ — I 


2 


y/  —  I  2  y/  —  I 


on  aura 

Bsin(6H-m[3j  =  Mr'"H-  N^"', 

C  sin  (  6-  H-  wy  )  =  F  t'"  -4-  Q  u"'. 


et  le  terme  général  T^'"^  prendra  cette  forme 

TC")  =:  K/?""  +  Lç""  -f-  M  /•"'  H-  N s-"  H-  P i""  -h  Q «'"  + .  .  .  . 
D'où  l'on  voit  que  la  suite 

T  +  T'^  +  T'x'  +  T'"^^  +  .  .  . 

n'est  autre  chose  que  la  somme  de  plusieurs  séries  géométriques,  dont 
les  premiers  termes  sont  K,  L,  M,...  et  dont  les  raisons  sont^a;,  qx, 
rx, . . . ,  de  sorte  qu'en  sommant  chacune  de  ces  séries  géométri({ues  on 
aura  la  valeur  de  toute  la  série 

T  4-  Tx  +  T"x-'H-  Vx^  -f- .  .  .  . 


D'APHÈS  LES  OBSERVATIONS.  513 

On  aura  donc  de  cette  manière  l'équation  identique 

K  T  M  N 

I  —  px       I  —  qx       I — rx       I  —  SX 

et  il  est  clair  qu'en  réduisant  au  même  dénominateur  les  l'ractioris  (|ui 
composent  le  second  membre  de  cette  équation,  et  dont  nous  suppose- 
rons que  le  nombre  soit  n,  ce  second  membre  se  transformera  en  une 
fraction  unique  de  la  forme 

[o]  H-  [i]  ^  +  [2]:c'-'-|-  [3]  x^  +  .  .  .  -y-  [n  —  i\x"-' 
(  o  )h-(i)^h-(2)^'  +  (3)^^  +  ...  -h{n)x''  ' 

ou  les  nombres  o,  i,  2,  3,...,  renfermés  dans  des  crochets  carrés  ou 
ronds,  désignent  des  coetficients  différents  qui  dépendent  des  quantités 
K,  L,  M,f^,...,p,q,r,s, —  Et,  comme  le  dénominateur  de  cette  frac- 
tion doit  être  égal  au  produit  des  n  dénominateurs  i—px,  1—  qor. 
I  —  rx,  i  —SX,...,  il  est  d'abord  évident  qu'on  aura 

(o)=i, 

ii)=—p  —  (j-r-s  —  ..., 

("2)  =  pq  -i-  pr  -\-  ps  -\-  .  .  .-\-  (jr  -\-  qs  -+- .  .  ., 
(3)=  —  pqr  —pqs  —  qis  —  .  .  ., 


de  sorte  que  les  coefficients  (o),  (i),  (2),  (3),...  du  dénominateur  de  la 
fraction  dont  il  s'agit  seront  donnés  uniquement  par  les  quantités  p,  q, 
r,s,.... 

Ainsi  la  série  proposée  sera  égale  à  cette  dernière  fraction,  que  nous 
appellerons  par  conséquent yrac/fo/i  génératrice  de  la  série;  d'où  il  est 
facile  de  conclure  que  la  même  série  sera  du  genre  de  celles  qu'on 
nomme  récurrentes,  et  dont  la  propriété  est  qu'un  terme  quelconque  se 
forme  de  l'addition  d'un  certain  nombre  de  termes  précédents,  multi- 
pliés chacun  par  un  coeiricienl  donné;  car,  en  multipliant  la  série 

ï  +  Tx  -+-  T'x'  + . . . 
VI.  65 


514  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

par  le  dénominateur 

i-h(i).i-h    ■2)x^  -h  .  .  .  -h{n)x", 
et  comparant  les  termes  tlu  produit  avec  le  numérateur 

[(>]  -i-  [l]-^  +  [2  Jx-H-.  .  .-\-[}l  —1]^"-', 

on  a  les  équations 

T  =[0], 

T'=-(i)T  +[i], 

T"  =  -(i)T'-(2)T  4-[2], 

T'"  =  -  (i)  T"-  (?)  T'  -  (3)  T  -t-  [3]  , 


T(«-"  =  — (i)T(''-^)  — (2)T("-3'  — .  .  .  — (/i  —  i)T  +  [n  —  i], 
T(")     =z  — (i)T(''-')  — (2)T("  =)  — .  .    —  (/OT, 

T(«+')z=_(i)T(")     —  (2)T("-')  — .  .    —  (w)T', 

et,  en  général, 

TW=.:_(,)T('"-')  — (2)T('"-2)  — .  .  .  — (/i)T("'-"\ 

où  les  coefficients 

-(0^     -{^l     -(3),...,     -(«) 

forment  ce  qu'on  appelle,  d'après  M.  Moivre,  l'échelle  de  la  série  récur- 
rente. 

Corollaire  L 

6.  Puisque /j  =  e*v/-^,  ^  =  e-^^^-' ,   on  aura 

p  -+-  q  =:  e'*/-'  -f-  e-«\/-'  =  2 cos a,     pq  =^  i; 

de  même 

/■  H- 5  =  2?cos(3,      rs  =  i, 

t  -h  u=  9.cosy,     tu  =  i, 


D'APUKS   IJ-:S  OJiSEUVATlONS.  515 

el  ainsi  de  suite;  donc  on  ;iura 

{i  —  px)  {i  ~  (jx)=^  i  —  2x  cos a  +  x', 

{l—  rx){t  —    SX-)=::  J  —  7.x  C.OS^-{-  X\ 

(i  —  tx){i  —  itx)  =  1  —  T.x  cosy  -f-  x\ 


Par  conséqiienl  le  dénoniinateiir 

i  -^  (i)  v  -h  {:>)  X'  -^  {  \)  x^  -h  .  .  .  -h  (n) X" 

sei-a  le  produit  de  ces  -  facteurs  doubles 

2 

I  —  9.x  COSa  H-  ^% 
I  —  "ix  cos [3  -f-  X-, 
I  —  -ix  cosy  -t-  x^, 


D'où  il. est  facile  de  conclure  qu'on  aura  nécessairement 
{n)=i,     (n-i).^(.),     (« -2)z=(2),..., 

c'est-à-dire,  que  les  coefficients  des  termes  extrêmes,  ainsi  que  ceux  des 
termes  équidistants  des  extrêmes,  seront  les  mêmes  :  ce  qui  est  la  pro- 
priété des  polynômes  qu'on  appelle  réciproques. 

Or,  pour  trouver  facilement  les  valeurs  des  coeificients 

(i),  (■>),  (>)'•••(-)     ''"     COSa,  cos [3,  cosy,..., 

on  mettra  le  polynôme;  en  question  sous  la  forme  suivante,  en  faisant, 
pour  plus  de  simplicité,  n  =  2v, 

(i-\-x'-'    +{\)x{i-{- x'-'-')-h{9.)x'(i-hx''-*) -h    ..-|-(v)^-; 

ensuile  on  supposera 

i  -h  x-  =  xz, 

65. 


516  FORMATION   DES  TABLES  DES   PLANÈTES 

et  l'on  remarquera  que 

[j -{- x^Y  =  1 -¥- "zx^ -\~  x*  =  jc^z\  d'où     i  -\-  x*  =  x^z*  —  1), 

{i  -h  x^y  =  i  -h  x^  -hSxHi  +  ^^)  =  ^^z\     d'où     i  -[-  x'''z=x^{z^  ■—  3z), 

et,  en  général, 

en  ne  conlinuant  cette  série  que  tant  que  l'on  aura  des  puissances  posi- 
tives de  z. 

On  fera  donc  ces  substitutions,  et,  divisant  ensuite  tous  les  ternies 
par  cc^,  il  viendra  un  polynôme  en  z  de  la  forme 

z'-^.  [(i)]z-  +  [(2)]^^-+  [(3)]z-3  +  .  .  .+  [(v)], 
où  l'on  aura 

[(0]  =  (0. 

[(3)]  =  (3)-(v-.)(i), 

[(4)]  =  (4)-(v-2)(.)  +  'i^^,   • 


De  même,  si  l'on  substitue  ooz  à  la  place  de  i  -f- ^-  dans  le  produit 
des  V  trinômes 

I  —  2^C0Sa-f-^%      I  —  2X  cos^ -\- x^, .  .  . 

et  qu'on  divise  ce  produit  par  x^,  on  aura  celui-ci 

{z  —  9.  ces  a)  (z  —  2  cos(3)  {z  —  1  eosy).  .  ., 

lequel  devant  être  identique  avec  le  polynôme  précédent,  on  en  conclura 
aisément  les  valeurs  des  coefficients  [(i)],  [(2)],  r(3)],...,  et  de  là  celles 
des  coefficients  (r),  (2),  (3), 


D'APRÈS  LES  OBSERVATIONS.  517 

Quoique  les  formules  précédentes  soient  connues  depuis  longtemps, 
j'ai  cru  devoir  les  donner  ici,. parce  que  j'aurai  occasion  d'en  faire  usai^»; 
dans  la  suite. 

Quant  aux  coellicients  [o],  [ij,  [2],...  du  numéraleur,  il  est  très- 
facile  de  les  déterminer  par  le  moyen  des  équations  trouvées  dans  le  nu- 
méro précédent,  lesquelles  donnent 

[o]-T, 

[.]  =  !' +(.)T, 

[2]  =:T"  +  (.)T' +  (..)!, 

[3]  =  T"+(.)T"+(2)T'+(3)T, 


Corollaire  II. 

7.  On  voit,  par  l'analyse  du  Problème  précédent,  que  non-seulement 
tonte  suite  composée  de  sinus  d'angles  qui  croissent  en  progression 
arithmétique,  mais,  en  général,  toute  suite  composée  de  termes  qui 
procèdent  en  progression  géométrique,  est  récurrente  d'un  ordre  égal 
au  nombre  de  ces  termes. 

Il  est  facile  de  prouver  de  même  que  toute  suite  algébrique  qui  a  des 
différences  constantes  d'un  ordre  quelconque,  multipliée,  si  l'on  veut, 
terme  à  terme  par  une  série  géométrique  quelconque,  est  une  suite  ré- 
currente d'un  ordre  supérieur  d'une  unité;  et  qu'en  général  toute  suite 
formée  par  l'addition  de  deux  ou  de  plusieurs  suites  de  cette  espèce  sera 
pareillement  récurrente  d'un  ordre  égal  à  la  somme  de  ceux  de  chaque 
suite  particulière. 

En  elfet,  on  sait  que  la  somme  d'une  suite  infinie,  dont  le  lermu  gé- 
néral sera  [m  -h  \\p"^x"^,  est  exprimée  par -•>  que  celle  dont  le 

^  *^  '1  — pxy    ^ 

terme  gênerai  sera  ^^ «'"^r"  est  exprimée  par -.  (lue 

c  2  r  I  '^      (i  —  px  ^     ^ 

111.1.                    '1              /;ï  -4-  I  )  (  m  H-  2  )  (  m  H-  3  )    „,    ,„ 
celle  dont  le  terme  gênerai  sera  ^ ^ p"'x'"  esl  expn 


518  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

lïiée  nar  ^ >  et  ainsi  de  suite;  donc  la  somme  de  la  suite  qui  aura 

'         I  —  px)* 

le  terme  général 

Ko+K,(/»-»-iH-I^'^^ ^H-K, ^ ^^ ^  +... 

[  2  2.3 

^  ii        i/:i-t-')U»  +  2)im  +  3)...(m  +  f/  — I ,;  1         „, 
-^  '^^  ; ..3...(^-r) J  P    ' 

sera  égale  à  • 


Ko  K|  Kt  Ka-i 


I — />^        (i — pxy        (i  —  pxY  (i  —  pxf 

c/est-à-dire,  à  la  fraction  simple 

Koji  —  px}'~'  -+-  K,{i—  px-y-'  +  K;(i  —  pxf-'-h  ■  .  ■  +  K,,_, 

[i—px)''- 

d'où  il  s'ensuit  que,  si  l'on  a  une  série  dont  le  terme  général  soit  repré- 
senté par  la  formule 

(K  4-  K'm  +  K"  m'  +  K'" m'  +  .  . .  h-  K(^-'^m^-')p'"x"', 

il  n'y  aura  qu'à  chercher  les  quantités  Ko,  K,,  Ko,...,  K(x_,,  en  sorte  que 
l'on  ait  l'équation  identique 

K  +  K'm4-K"m^  +  ...+  K^i^-')mi^-'i=K„H-K,  w+i  +K2—        ^  ^ 


2 


f  m  -f-i )  ( /7ï  +  2 )  ( /w  +  3)  (  An  +  I  )  i  /??  H-  2 ) . .  .  !  /7z  H-  u  —  i ) 

+  K3   r H-  ...  -4-  K,j.-i —5 r '■ î 

2,3  I*. 3.  .  .(  fy.  —  i) 

et  l'on  aura,  pour  la  somme  de  la  série,  la  fraction  ci-dessus,  dont  le 
numérateur  est,  comme  l'on  voit,  un  polynôme  du  degré  p.—  i  et  dont 
le  dénominateur  est  la  puissance  [j.'^'"^  du  binôme  1  — px;  de  sorle  que 
la  série  proposée  sera  une  série  récurrente  de  l'ordre  [x,  et  dont  l'échelle 
de  relation  sera 


D'APRÈS   LES  OBSERVATIONS.  51î> 

Quant  aux  cooiïicients  K,,,  K,,  K.,,...,  il  est  facile  de  les  Irouvei-  <le  l;i 
manière  suivante.  Qu'on  sui)j)ose,  en  général, 

K  -I-  K'nt  H-  K"  m'  +  K'" ni'  +  .  .  .  -f-  K'i'-'hn'''-'  =  S, 

et  qu'on  dénoie  par  S',  S",  S",...  les  valeurs  de  S  lorsque  m  =  —  i ,  —  a, 
—  6,  ..;  on  aura  donc,  en  vertu  de  l'équation  supposée, 

S'  =  Ko, 

S"  =  Ko-K„ 

S"'  =  Ko-iK,  -4-K,, 

S'^=  Ko  —  3K,  -f-  3  K,  -  K3, 


d  ou  1  on  tire 


Ko  =  S', 

-  K,  =  S"  —  S', 

K,  =  S"'  — 2S"H-S', 

-  K3  =  S--  3S"'-f  3S"-  S', 


en  sorte  que  les  coetficients  Ko,  K,,  Ko,  Kg....  ne  seront  autre  chose  (jue 
les  diflerences  successives  des  quantités  S',  S",  S' ,...  prises  alternative- 
ment en  —  et  en  -h. 

Enfin  il  est  clair  que,  si  la  suite  proposée  est  composée  de  plusieurs 
suites  de  la  forme  précédente,  il  n'y  aura  qu'à  ajouter  en.semble  les 
fractions  qui  expriment  la  somme  de  chacune  de  ces  suites  continuées  à 
l'infini,  et  l'on  aura  une  fraction  unique  qui  sera  égale  à  la  série  pro- 
posée, et  dont  le  dénominateur  sera  de  la  forme 

{i  —  pxY{i  —  qxy...  . 
De  sorte  que  cette  série  sera  récurrente  de  l'ordre 


ayant  pour  échelle  les  coetficients  pris  négativement  des  puissances  j\ 


520  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

r-,  x',...  du  polynôme  qui  résultera  du  développement  de  la  formule 

{i  —  pxf{i  —  qxy 

En  général,  si  l'on  a  une  suite  récurrente  quelconque 

T  -hTx-h  T'x'  -h  T"x'  -+-  T'^'x'  -h  T^x'  + .  . . , 

et  qu'en  dénotant  par  ©  une  fonction  rationnelle,  et  sans  diviseur,  d'une 
ou  de  plusieurs  quantités,  on  forme  les  nouvelles  séries 

(p(T)  +  (?{T)x  +  (^{T")x'-  +  ^(T"')x3  +.  .  ., 

9(T,  T')  +  9(T',  T")^  +  cp(T",  T" ) x' -^  o {V ,  T"):c^  -+-... , 

<p(T,  T',  T";  -4-  o(T',  T",  T")x  +  o(T',  T",  T^^)x'-h..  ., 

et  ainsi  de  suite,  toutes  ces  séries  seront  pareillement  récurrentes,  et 
l'on  pourra  en  trouver  l'échelle  de  relation,  dès  qu'on  en  aura  formé  le 
terme  général  à  l'aide  de  celui  de  la  série  proposée;  et  ces  nouvelles 
échelles  pourront  toujours  s'exprimer  par  les  seuls  termes  de  l'échelle 
de  la  proposée;  car  la  difficulté  ne  consistera  qu'à  chercher  les  coeffi- 
cients d'une  équation  dont  les  racines  dépendent  de  celles  d'une  équa- 
tion donnée.  Problème  dont  l'Algèbre  fournit  plusieurs  solutions. 

De  plus,  si  dans  la  série  proposée  on  ne  prend  les  termes  que  de  deux 
en  deux,  ou  de  trois  en  trois,...,  les  séries  résultantes 

T  -f-  T'x'  +  T"^^  +  T^'  ^'^  -f- .  .  . . 
T  +  T"x'  4-  T^'^"  +  T"'^^  -f- .  .  . , 


seront  aussi  récurrentes  et  du  même  ordre  que  la  proposée;  et  il  est  fa- 
cile de  voir  que,  si  l'échelle  de  relation  de  celle-ci  est  représentée  par 

le  polynôme 

{i—pxf{i  —  qx)\.., 

celles  des  séries  dont  il  s'agit  le  seront  par  les  polynômes 

{i—  p''x')^{i  —  q'^x^y.  . ., 

(i  —  p^'x^yii  —  q^x^y. . ., 


DAI'HÉS  LES  OBSERVATIONS.  521 

ainsi,  niellant  a?  it  la  plac'c  «le /r-,  ouœ^,...,  les  séries 

T  -h  '\"x  -+-  T'*^-'  -f-  T"^'  -+-..., 
T  -H-  T"x  4-  T''  ^'  +  T' \r '  -h . . . . 


seront  rémn-cntcs  et  anront  ponr  éclicllcs  de  relation  les  polynômes 

(I  —  p'x  fil  —  g^x)' . . .  , 

{i  —  p^xYii  —  g^xy.  .  .  y 


Enfin,  si  l'on  a  difTérentes  séries  récurrentes,  telles  que 

ï  -f-  T'  X  +  T"  X'  -+-  T"  X'  4-  T'"  ^*  4- . . . , 
V  +  V  ^  +  \"x'  4-  \"'x'  -f-  V"  ^*  +  .  .  .  , 
\  -f  \'x  -+-  X"^-'  -¥-  \"'x'  -+-  \'^x*  +  .  . .  , 

1 

et  que  l'on  en  eompose  une  nouvelle  de  la  forme 

9(T,  V,  X,...)  +  9(T',  V,  X',...)^  +  ?(T",  V",  X", .  . .  )^' 4- . .  . , 

celle-ci  sera  encore  récurrente,  et  son  échelle  dépendra  uniquement 
de  celles  des  séries  particulières  d'où  elle  est  formée;  et  la  difficulté  de 
trouver  cette  échelle  ne  consistera  qu'à  trouver  ré(jualion  dont  les  ra- 
cines seront  des  fonctions  données  de  celles  de  (juehjues  équations  don- 
nées, Problème  toujours  résoluble  par  les  méthodes  connues. 

CoilOLLAIlîi:    III. 

8.  De  même  que,  lorsqu'on  connait  le  terme  i^énéral  d'une  série  récur- 
rente, on  peut  trouver  la  fraction  i;énéralrice  de  la  série,  de  même,  en 
connaissant  cette  fraction,  on  pourra  en  déduire  l'expression  du  terme 
général;  car  il  n'y  aura  d'abord  (ju'à  chercher  tons  les  facteurs  du  déno- 
minateur, et  à  décomposer  ensuite,  par  les  méthodes  coiinnes,  la  liac- 
VI.  66 


522  FORMATION   DES  TABLES   DES  PLANETES 

lion  proposée  en  autant  de  fractions  partielles  qu'il  y  a  de  facteurs,  et 
dont  chacune  ait  un  de  ces  facteurs  pour  dénominateur,  en  observant 
cependant  que,  s'il  y  a  des  facteurs  doubles  ou  triples, . . . ,  ou  uy"''^^', 
chacun  de  ces  facteurs  donnera  p.  fractions  partielles,  dont  les  dénomi- 
nateurs seront  successivement  la  première,  la  deuxième,  la  troisième,..., 
la  p."'""  puissance  du  même  facteur. 

De  celte  manière,  la  fraction  dont  il  s'agit  se  trouvei'a  décomposée  en 

autant  de  fractions  simples  de  la  forme ^-  que  le  dénominateur 

'  (i  —  px ;/'    ^ 

aura  de  facteurs,  et  chacune  de  ces  fractions  donnera  une  série  dont  le 
terme  général  sera 

(  m  -+- 1  )  (  /??  -1-  2  )  (  /7z  -h  3  ) .  .  A  m  -+-1  —  i  ^^  „ 

■■ 5 7^ T ^  H/y".r"'; 

I2.i...(/.  —  I)  ' 

de  sorte  que,  en  ajoutant  ensemble  tous  ces  différents  termes,  on  aura  la 
valeur  du  ternie  général  cherché.  Tout  cela  est  trop  connu  pour  que  je 
doive  m'y  arrêter  davantage;  je  crois  cependant  qu'on  me  permettra  de 
donner  ici  une  formule  générale  et  fort  simple,  pour  trouver  tout  d'un 
coup,  à  l'aide  du  Calcul  différentiel,  la  partie  du  terme  général  qui 
vient  d'un  facteur  multiple  quelconque  du  dénominateur  de  la  fraction 
donnée. 

Soit  (i  —  px)'^  ce  facteur,  et  dénotons  par  X  la  fraction  proposée, 
après  en  avoii  retranché  par  la  division  le  même  facteur,  en  sorte  que 

X  .    , 
-soité^ale  à  la  fraction  donnée;  on  cherchera,  en  faisant  varier.*- 

[i—pxf  ® 

et  regardant  dx  comme  constante,  la  valeur  de  la  quantité 

xf- d^-' iJLx-"-' ) 
r .  2 . 3 .  .  .  f  y.  —  I  i  ( —  dxY"  '  " 

ensuite  on  v  mettra  -  à  la  place  de  x,  et  la  quantité  résultante  sera  le 
p  i  H 

coeiricient  de  .r'"  dans  le  terme  général  de  la  série  provenant  du  facteur 

en  question. 

Je  supprime  la  démonstration  de  ce  Théorème,  parce  qu'elle  n'est  pas 

difficile  à  trouver  d'après  les  principes  connus. 


D'APRES   LES  OBSERVATIONS.  523 

("ohoi.r.  \iiti:   IV. 

9.  Concluons  (le  là  (jue  lIkkjuc  fîKiciir  siinplc  ilii  (Imoiniiialcur  de 
la  frac  lion  i:;énL'ralii('C'  proposée,  lel  (|ih'  i  —  px,  donnera,  dans  l'expres- 
sion du  terme  général  de  la  série,  le  tonne  K/>"'a:"',  et  que  chaque  faciciir 
multiple,  tel  que  (i  —  pxf,  y  donnera  les  ternies 

(  K  -H  K'  /«  -f-  k"  m'  -h  h.'" m'  -+-...-+-  K^i"-"  m''-'  )/>"'x"'. 

Si/>  est  imaginaire,  il  sera  réductible  à  la  forme  t  -h  u\'—  i  ,  et  il  y  aura 
nécessairement  un  facteur  correspondant  r  —  qx,  où  q  sera  de  la  forme 
/  —  u\/ —  I  ;  de  là  on  trouvera  que  les  coefficients  K,  K',  K",...  seront 
chacun  de  la  forme 

et  les  quantités  coi'respondantes,  provenant  de  l'autre  facteur  i  —  qx, 
seront  de  la  forme 

h  -  /  y/^^ ,    /i-  r  V  - 1" ,    h"  -  l"  v'^^ ,  • . . . 
Or  soient 


^^ P  ^  H' —  r,      -  =  langa, 
^J*  -f-  l^  =f,     j  =  tangrt,     ^'  +-  /"  =/',     j-,  =  tanga',   .  .  ; 


on  aura 


Donc 


p  =  rf cosa  +  sinay/ — i  j, 

p'"  =  i"'{cosm  y.  -\-  sinma  y*  —  i  ), 

K  =/  f  cosa  H-  siofl  y/  —  i  ), 
K'=/'frosa'-f-  sina'y/  — i  ) 

K  p'"  =  //■"'  ^  cos  (  a  -I-  m  a  )  H-  si  n  '  a  -I-  m  a  ;  sj —  i  J , 
K'/v"'  :=/'/"'rcos(a'-i-  ma.    +  sin(a'-l-  ma.  V— '  J»-  •  ■■> 


66. 


524  FOUMVTIO^    DES  TABLES  DES   PLANÈTES 

el  les  (juanlilés  correspondantes  ne  dillereronl  de  celles-ci  que  par  le 
signe  du  radical  \/ —  i  ;  de  sorte  qu'en  rassemblant  toutes  ces  quantités 
on  trouvera  que  les  facteurs  multiples  imaginaires  (i  —px)^,  (i  —  qxf 
donnei'ont,  dans  l'expression  du  terme  général  de  la  série,  les  termes 
suivants 

[fcos {a  -{-  inx)  +/'  m  ces (  a'  -h  m  oc  )  -t- /"  ///'  eos  ( a"  h-  /;?  a )  +  .  . . ] r"'x'", 

et  chaque  autre  couple  de  facteurs  imaginaires  donnera  des  termes  sem- 
blables. 

Quoique  toutes  ces  choses  soient  assez  connues,  j'ai  cru  devoir  les 
rappeler  à  mes  lecteurs,  parce  qu'elles  donnent  lieu  à  des  conséquences 
importantes  dans  la  matière  qui  fait  l'objet  de  ce  Mémoire.  Une  des  prin- 
cipales, c'est  que,  quelque  dérangement  que  les  Corps  célestes  puissent 
éprouver  en  vertu  de  leur  action  mutuelle,  et  même  de  ia  résistance  d'un 
tluide  très-rare  dans  lequel  ils  nageraient,  leurs  mouvements  en  temps 
égaux  seront  toujours  représentés  par  des  séries  du  genre  des  récur- 
rentes; car  les  termes  les  plus  compliqués  que  la  Théorie  puisse  jamais 
donner  dans  l'expression  du  mouvement  vrai  d'une  planèl(;  quelconque 

seront  de  la  forme 

K  cp'"  c"?  cos  (  a  +  60), 

'D  étant  l'arc  du  mouvement  moyen  et  a,  b,  c,  m,  n,  K  des  coefficients 
constants  quelconques;  or  il  est  clair,  par  ce  qu'on  a  vu  ci-dessus,  que 
toute  série  qui  naitra  de  cette  formule  ou  de  la  somme  de  plusieurs  for- 
mules semblables,  en  donnant  successivement  à  0  des  valeurs  qui  aug- 
mentent en  progression  arithmétique,  sera  toujours  récurrente. 

Donc,  si  l'on  a  une  suite  d'observations  d'une  planète  quelconque, 
faites  à  des  intervalles  de  temps  égaux,  on  est  en  droit  de  regarder  les 
résultats  de  ces  observations  comme  formant  une  suite  récurrente  d'un 
ordre  quelconque,  et  toute  la  ditïiculté  se  réduira  à  trouver  la  loi  de  la 
série;  c'est  l'objet  du  Problème  suivant. 


D'MMIKS   LKS  OBSERVATIONS.  525 


PROPOSITION   11 


Problème. 

10.  Etant  donnée  une  suite  de  termes  dont  les  valeurs  soient  connue^, 
trouver  si  cette  suite  est  récurrente,  et  déterminer  dans  ce  cas  la  forme 
générale  de  ses  termes. 

Soient  les  Um  mes  doiiiiés  el  connus 

T.  T',    r,  T"',  T■^...; 
on  en  formera  la  série 

T  4-  Tx  +  Tx^  -+-  T"x^  +  'V"x'  -^..., 

que  je  supposerai  égale  à  s,  pour  abréger;  et  il  n'y  aura  (|u'à  eliereher  si 
cette  série  peut  résulter  du  développement  d'une  fonction  rationnelle 
quelconque,  où  la  plus  haute  puissance  de  x  dans  le  numérateur  soit 
moindre  que  dans  le  dénominateur. 

Supposons  d'abord  (juc  la  série  proposée  soit  récurrente  du  premier 
ordre;  on  aura,  dans  ce  cas, 


donc 


d'où  il  s'ensuit  que,  si  l'on  divise  l'unité  par  le  polynôme  s,  en  ordon- 
nant dans  l'opération  les  termes  suivant  les  puissances  de  x,  on  trouvera 
nécessairement  un  quotient  fini  de  deux  termes/? -i-  qx. 

Supposons  ensuite  que  la  série  proposée  soit  récurrente  du  second 
ordre;  on  aura,  dans  ce  cas, 

a'  -t-  b'  X 
a  H-  bx  H-  cx^ 

I  a  -h  bx  +  ex-  ^ 

7  ~       a'^hlyx      ' 


a-{- 

bx  ' 

I 
s 

= 

a  -t- 

bx 

:/>  + 

qx 

5-26  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

qu'on  divise  le  numérateur  trinôme  a-^  bx  -[-  ex'-  par  le  dénominateur 
binôme  a'  h-  b'x,  on  aura  un  quotient  binôme/?  -h  qx  et  un  reste  a"x'^  ; 

donc 

I  a"  x'' 

s  ^  a  -h  b'  X 

d'où  je  conclus  d'abord  que,  si  l'on  divise  l'unité  par  le  polynôme  s,  et 
qu'on  pousse  la  division  jusqu'à  ce  que  l'on  ait  dans  le  quotient  deux 
termes  tels  que  p  -+-  qx,  ce  (jui  ne  demande  que  deux  opérations,  on 
aui'a  un  reste  qui  sera  nécessairement  divisible  par  ^c^  et  que  je  repré- 
senterai par  s'  X-,  s'  étant  une  nouvelle  série  de  la  forme 

V  +  V  ^  -f-  V"  X'  4-  \"'x'  -+- 

Donc 

I  s'  X-  a"  x"^ 

~  =  p  -h  qx  -\ =z  p  -h  qx  -\ — , rr-  ; 

s        ^       ^  s  r       ^  a'-h-b'x^ 

par  conséquent 


et  de  là 


Donc,  si  l'on  divise  le  polynôme  s  par  le  polynôme  s',  on  aura  nécessai- 
rement un  quotient  fini  de  deux  termes  tels  que/?'-t-  q'x. 

Supposons  que  la  série  proposée  soit  récurrente  du  troisième  ordre, 

on  aura  alors 

a'  -+-  b'  X  -4-  c'  X- 

s  =■  j -, —  \ 

a  H-  bx  -{-  ex''  -\-  ax^ 

donc 

I         a  -\-  bx  +  ex''  -\-  dx^ 


s              a 

s  ~~  a'+b'x' 

s 

7  " 

a'  +  b'x 

a'  -I-  6'  X  +  e'  x"" 


qu'on  divise  le  numérateur  de  cette  fraction  par  son  dénominateur,  on 
aura  un  (|U()lientde  la  forme/?  +  qx  et  un  reste  de  la  forme  a!' x"^  -\- h" xr^  ; 
donc 

-    ^=^P   -^    qx    -\ ; j- -—  ■ 

s       '^        ^  a'  -h  b'  X  -h  e' x^ 


n'APUKS    I.KS  OliSEKVATlONS.  527 

De  lii  il  s'ensuit  aussi  que,  si  l'on  divise  l'unilé  pai-  If  polviiômc  v,  ci 
(|u'()n  continue  l;i  division  jus(ju'à  ce  (ju'on  ail  dans  le  quolienl  dryw 
termes  tels  (|ue/>  -i-  (/r,  le  reste  sera  tout  divisible  \y.\r  x'^  et  |)OMrra  èlr'e 
i'eprés(;nté  par^'-r-,  s'  étant  une  série  de  la  Coinn' 


V  +  V  ^  +  V" x'  -+■  \"'x'  -+-.... 


On  aura  donc 


donc 


et  de  là 


i  s'x'  a"x'+b"x^ 

s       '         '  s         '        ^  a'  -h  b' X  +  c' x^^ 


a"+b"x 


s        o' -h  b' X -{- c' x^ 


s         a 


'  -+-  b'x  -h  c'  x' 


s'  a"-hb"x 

Or,  en  divisanl  le  numérateur  de  cette  fraction  par  le  dénominateur,  il 
est  clair  qu'on  aura  un  reste  de  la  forme  a"x^,  en  sorte  que 

s  .         ,  eif"x' 


s'       '         '  a"  -{-  b"  X 


Donc,  si  l'on  divise  le  polynôme  s  par  le  polynôme  s\  et  (pTon  pousse 
la  division  jusqu'à  ce  qu'on  ait  dans  le  quotient  deux  termes  tels  que 
p  ~\- q  V ,  le  reste  sera  nécessairement  divisible  par  ,î  -  et  pourra  étie  re- 
présenté par  s"x'',  s"  étant  une  nouvelle  série  de  la  forme 


\^\'x-\-\"x'  +  \"'x^ 
Ainsi  on  aura 


s  SX'  < 

-  r=  //  +  q'x  -<-  —^  =;>'  -f-  (y'  .r  +  -;;^^^,.^  ■> 


a"  +  6" 


(I  ou 


s'-  n'" 

s         a   -+-  b  X 


528  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

et  de  là 

s'        a"  -\-  b"  X  ,„        ,„ 

J7   =  -^;^  =/'+?'■-. 

D'où  il  s'ensuit  qu'en  divisant  le  polynômes'  par  le  polynôme  s\  on  aura 
nécessairement  un  quotient  fini,  tel  que  /j'-h  q"'x. 

Si  la  série  proposée  était  récurrente  d'un  ordre  quelconque  supérieur, 
on  y  pourrait  faire  des  raisonnements  et  des  opérations  semblables.  De 
là  je  conclus,  en  général,  que,  pour  leconnaître  si  la  série  proposée  s 
est  récurrente  d'un  ordre  quelconque,  il  n'y  a  qu'à  diviser  d'abord  l'unité 
par  s  jusqu'à  ce.  qu'on  ait  dans  le  quotient  deux  termes  tels  que/?  -4-  qx, 
et,  dénotant  le  reste  par  s'x-,  on  divisera  ensuite  s  par  s' jusqu'à  ce  que 
l'on  ait  aussi  dans  le  quotient  deux  termes  comme /?  H- ^'a:;  dénotant 
de  même  le  reste  par  5"^-,  on  divisera  encore^'  par /' jusqu'à  ce  que  l'on 
ait  dans  le  quotient  deux  termes  comme  />' '+  qx"\  et  ainsi  de  suite.  Si 
la  série  s  est  véritablement  récuriente  d'un  ordre  quelconque  n,  l'opé- 
ration se  terminera  nécessairement  à  la  /^'""^  division;  en  sorte  que  le 
reste  s^"''x-  sera  nu!;  sinon  l'opération  ira  à  l'infini. 

Lors  donc  qu'on  sera  parvenu  à  une  division  qui  ne  laissera  aucun 
reste,  on  sera  d'abord  assuré  que  la  série  proposée  est  récurrente  d'un 
ordre  égal  au  quantième  de  cette  division;  et,  de  plus,  les  quotients 
trouvés  donneront  la  fraction  même  d'où  la  série  tire  son  origine. 

Car  ou  a  les  équations  suivantes 


I 

=  p 

s' x^ 

s 

s 

s 

=p' 

s"x' 

s' 

s' 

s' 

=  p" 

s"'x^- 

s" 

s" 

s" 
s'" 

=  p" 

'+  q"'x  -h 

s'"  x'' 

s'" 

g(n-2) 


D'APRÈS   LES  OBSERVATIONS.  529 


d'où 


s  =: 


S' 

p  -\-  qx  -\-  —  x^ 


s' 


1  s 

p'  -{-  q'x  -y-  —  x^ 


s" 


p"+q"x^j,x' 


g(n~-\) 


s("—')         p(" 


-0-4-  n'"-^): 


Do  110 


qx 


q  X 


X' 


,(n-l)  _!.  /7(«-i). 


Ainsi  il  n'y  aura  plus  qu'à  réduire  cette  fraction  continue  en  une  frac- 
tion ordinaire,  qui  sera  par  conséquent  la  fraction  cherchée;  et  il  est 
clair  que  cette  fraction  aura  pour  numérateur  un  polynôme  du  degré 
n  —  i ,  et  pour  dénominateur  un  polynôme  du  degré  n,  dont  les  coef- 
ficients donneront  l'échelle  de  relation  de  la  série. 

Ayant  trouvé  ainsi  la  fraction  génératrice  de  la  série,  on  en  déduira 
aisément  l'expression  du  terme  général  de  la  série  pai-  les  méthodes 
connues. 

Corollaire. 

11.  Pour  faire  avec  facilité  la  réduction  dont  il  s'agit,  il  n'y  auia  qu'à 
considérer  la  suite  des  quotients 

p-\-qx,     p'+q'x,...,     y^i"-')  H- y'"-'>^, 
VI.  67 


530  FORMATION   DES  TABLES  DES   PLVNÈTES 

et  ies  disposer  à  rebours,  de  cette  manière 

ensuite  on  formera  par  leur  moyen  les  quantités  suivantes 

l"',=  {p(''-') -hq^''-'^x]'t,"-hx^'E,', 
^iv_-  ^^^(«-.)  _^  q{n-^)x)  ^"'+  x^i;', 
» 

et  l'on  aura"^^^;^  pour  la  fraction  génératrice  de  la  série  récurrente. 

Exemple  I. 

1 2 .   Etant  proposée  la  suite  des  nombres 

I,  2,  3,  3,  7,  5,   i5,  9, -Si,   17,  63,  33,   127,  65,..., 

dont  on  ignore  la  loi,  on  demande  si  cette  suite  est  récurrente,  et  quelle  est, 
dans  ce  cas,  l'expression  de  son  terme  général. 

Ayant  formé  la  série 

.$  =  I  +  Q-x  -t-  3  .r 2  +  Zx^  -\-  <]  X*  -\-  S  x^  -\-  1 5  .r**  H-  9  ^' 

-h  3i.ar»  H-  17X»  -4-  63.^'»-+-  33.r"  -4-  127a-''  +  65x'^  -f- .  .  .  , 

on  divisera,  par  la  méthode  ordinaire,  l'unité  par  cette  série,  et  l'on 
trouvera  le  quotient  1  —  207  et  le  reste  x'^  -\-'^x'^  —  x"*  -\-...,  qui  est, 
comme  l'on  voit,  tout  divisible  para:'-;  on  divisera  donc  ce  reste  par  x-, 
et  l'on  aura  la  nouvelle  série 

*'  =  I  H-  3x  —  x'^  -\-  9^'  —  Sjt"  +  Il  x'^  —  \2tx^ 

+  45x'  —  29a:'  -f-  93.Z"  —  61  a:'"  +  i8,r'   -f- .  .  . , 


D'A  PUES   IJ<:S  OBSKHVATIONS.  531 

par  laqiKîlle  il  l'audra  maiiitenaiiL  diviser  la  série  s\  la  division  faite,  on 
aura  le  quotient  i  —  x  cÀ  le  reste  70-- —  7a?'* -^  21  £t.*  4-...,  Ie(|uel,  étant 
divisé  para;^,  donnera  la  série 

s"=^  7  —  7  :r  -I-  2 1  x^—  2 1  j^'  -f-  49^*—  49-*'  4-  I  o5:c"  —  io5x'  -I-  ?. 1 7 x»  —  2 1 7  x"  -f- . . .  ; 

on  eonlinuera  donc  l'opéiation  en  divisant  l'avanl-dernière  série  par  ^", 

et  l'on  trouvera  le  (iiiolient  -  H-  — ;  eoninie  ensuite  il  ne  i-este  rien,  ce 
'77 

sera  une  marque  que  l'opération  est  terminée,  et  que  la  suite  proposée 
est  elTectivcnient  récurrente  du  troisième  ordre. 

Pour  en  trouver  maintenant  la  fraction  génératrice,  on  considérera 
les  trois  quotients  qu'on  vient  de  trouver,  et  on  les  rangera  ainsi  par 
ordre,  en  commençant  du  dernier, 

l        ^x 

— I 1      I  —  X,      1  —  2x; 

7         7 

ensuite  on  en  formera  les  quantités  ^,  ^',  ^",...  de  cette  manière 

7     7 

v//         /  xy/  ny  ï  -h  3x  -\-  3x^ 

^"=(1—    x)i'  -hx'^  — , 

]^"'={l-'2X]l"-hx'l'- 


et  la  fraction  génératrice  de  la  série  s  sera  jj^,-,  savoir 


I  -h  3x  +  3x' 


l  -^  X  —  IX*  —  2X^ 

d'où  l'on  voit  d'abord  que  l'échelle  de  relation  est 

—  I,     -\-  2,     -1-2, 


G7. 


532  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

en  sorte  que,  si  t,  t\  t" ,  t'"  sont  quatre  termes  consécutifs  quelconques 
(le  la  série  proposée,  on  aura 

Pour  trouver  maintenant  l'expression  du  terme  général,  on  cherchera 
d'abord  les  facteurs  du  quadrinôme 

l  +  X  — IX^ —  2^% 

lesquels  sont 

\-hX,       I+^y'2,       I  —  Xsfi, 

et  l'on  décomposera  ensuite  la  fraction 

I  H-  3^  H-  3^^ 


{\-\-  x){\  -\-  x\Jo.)  ( r  —  ^ ^^2 ) 


en  ces  trois-ci 


I  H-  X 


I  I 

I ^         IH 

-^    —^ 


l-\-X^'i  I —  Xsjl 

d'où  l'on  tirera  sur-le-champ  le  terme  général 

["-!(-  !)'"+/'.-'—_.')   (-s/2)'»-t-   /'l+_!^V^/2)"'j.r'". 

Remarque  L 

13.  Dans  l'analyse  du  Problème  précédent,  nous  avons  observé  que 
les  restes  des  différentes  divisions  devaient  être  nécessairement  divisibles 
par  x"^,  ce  qui  suit  de  la  nature  même  de  la  division,  et  nous  avons  pres- 
ciit  de  diviser  chacun  de  ces  restes  par  x'  pour  avoir  les  polynômes  s', 
s",...,  (jui  doivent  servir  de  diviseurs  à  leur  tour.  Or  il  peut  arriver  que 
quelqu'un  de  ces  restes  soit  divisible  par  une  puissance  de  x  plus  haute 
que  le  carré,  auquel  cas,  après  la  division  par  x',  on  aura  un  polynôme 


D'APRÈS   LES  OBSERVATIONS.  533 

dont  le  premier  terme  coiilicndi;!  vwvovocc;  en  sorte  que  dans  la  division 
suivante  il  viendra  des  puissances  négatives  de  x  au  (juotient,  ee  (|ui 
pourrait  causer  quehiue  embarras;  n)ais  il  sera  aisé  de  l'éviter  en  divi- 
sant le  reste  dont  il  s'agit  par  la  plus  haute  puissance  de  x  dont  il  est 
divisible,  et  mettant  ensuite  cette  puissance  à  la  place  de  .r^  dans  les  for- 
mules du  n**  2. 


En  général,  soient 


,."^i^_l_  /"jpi^+i  -h.  .  .  , 
r"'x-'  -h  l"'x-'-^'  -h.  .  .  , 

5 

les  restes  provenant  de  la  première,  de  la  deuxième,  de  la  troisième,..., 
de  la  [n  —  i)"^'«^  division;  on  divisera  d'abord,  pour  plus  de  facilité,  cha- 
cun de  ces  restes  par  les  premiers  termes 

pour  avoir  des  polynômes  dont  les  premiers  termes  soient  l'unité,  et,  ces 
polynômes  étant  nommés 


s,  s  ,  s" 


j(n-l) 


on  continuera  l'opération  comme  on  Ta  enseigné  dans  le  n''  10. 

De  cette  manière,  on  trouvera  la  série  s  exprimée  par  la  fraction 
continue 


//  -\-  q'  a:  -\ 


n  Et  I       3C 

p"  ->rq"  X  -I- 


[y"-^q"'x  -h 


y^(''-i)-4-  qi"-^^x'' 


et,  pour  la  réduire  à  une  fraction  ordinaire,  on  cherchera  les  valeurs 


534  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

des  quantitésil,  ^',  S",...,  ^'"^  de  la  m^ni^re  suivante 

l"  =  {p("-')  -[.  qi'>-^)x)l'  -h  /'("-')  a;' ^, 
l>^=  {pi"-*)  -I-  q(''-*)x)l"'-h  /'("-'^x'-'V, 


li")=  {p  -f-  qx)l("-')  -+-  r'^"''^("-2^; 

ensuite  de  quoi  on  aura  pour  la  fraction  génératrice  de  la  série, 

où  il  est  bon  de  remarquer  que  le  polynôme  ^'"^  sera  du  degré 

n  +  (0-—  2)H-(p—  2)H-(C7—  2)-f-...-f-(/.  —  2), 

en  sorte  que  l'ordre  de  la  série  récurrente  sera  aussi  marqué  par  ce 
même  nombre. 

Exemple  II. 

14.  Soit  proposée  ta  série  des  nombres 

I,   I,   I,  2,  4,  6,  7,  7,  7,  8,   lo,    12,   i3,    i3,   j3,    i4,   i6,..., 

Ê^owi  /a  loi  est  assez  claire  ;  on  demande  si  cette  série  est  du  genre  des  ré- 
currentes, et  quelle  doit  être,  en  ce  cas,  l'expression  de  son  terme  général. 

On  formera  pour  cela  la  série 

s  ^=  l  -\-  X  -\-  X'^  -\-  1  X^  -{-  ^  X*  -\-  Ç>  X^  -\-  ']  X'^^'  -\-  ']  X''  -\-  ']  X*  -\-  S  x'^  -^  .  .  .  , 

et  l'on  divisera  d'abord  i  par  5,  ce  qui  donnera  le  quotient  i  —  x  et  le 
reste 

—  X'^  —  IX''  —  1X^  —  X"  i^i^  —  X'^  —  2^'"  —  2^"  —  x'^  ît-  ^  —  x'^^  —  ...  ; 

qu'on  divise  ce  reste  par  le  premier  terme  —x^,  et  l'on  aura  le  polynôme 

s'  =lx-^  o.x  +  o.x-  -\-  X"  +**  -1-  X*  -f-  2.2;'  -f-  2  .r*  -tr  .^'^  *  *  -I-  o:'^  -f- .  .  .  , 


D'APKKS   LF.S  ()BSKK\  ATIONS.  535 

par  lequel  on  divisera  maintenant  le  polynôme  s,  ce  qui  dotlHera  le  quo- 
tient I  —  07  et  le  reste 

.r'H- 3. r'-f- 5 jr*H-6:r*+ 6 jc'H- 6. r' 4- 7 ^"-1- 9^" -t-  1 1  ^'°-i-i2.r"-f-i9.x"-i-r2x"-j-...; 

on  divisera  donc  ce  reste  par  le  j)ieinier  terme  x^  pour  avoir  le  po- 
lynôme 

et  ensuite  on  divisera  le  polynônie  s'  par  le  dernier  polynôme  s",  ce  (jui 
donnera  le  quotient  i  —  a?  et  un  reste  nul;  d'où  l'on  conclura  d'abord 
que  la  série  proposée  est  effectivement  récurrente. 

Poiii-  (Ml  trouver  maintenant  la  fraction  génératrice,  il  n'y  ;iiira  (|u'à 
considérer  les  quotients  i  —  x,  i  —  x,  i  —  x,  et  les  premiers  termes  des 
restes  —  x^ ,  x^\  et,  prenant  tant  les  uns  que  les  autres  à  rebours,  on  en 
formera  les  quantités  suivantes 

1  =  ^, 

r  =  I  -  X, 

^"  =  (i  —  x)'il  —  x'^\  =  I  —  ix  H-  2^% 

l^=  (i  —  X)  l"—  x'l'=  i  —  6x-\-^x'—  3.r'  +  X*, 

dont  les  deux  dernières  donneront  la  fraction  cherchée  ^^  savoir 

I  —  5!  ^  -f-  2  .r '■* 


I  —  '6x  -\-  ^x^  —  3x^  -\-  X* 


D'où  l'on  voit  que  la  série  proposée  est  récurrente  du  quatrième  ordre, 
ayant  pour  échelle  de  relation  les  coelïicients  3,  —  4»  ^  —  •  •  Or,  comme 

le  dénominateur 

I  —  3x  -h  ^x^  —  3x^  -+■  X* 

se  résout  dans  les  facteurs 

(1  —  ^)',      I  —  X  -h  x'', 


o3(i  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

et  que  ce  dernier  se  résout  encore  dans  ces  deux  facteurs  imaginaires 

ou  bien 

I  —  (cos6o°  -f-  y/—!  sin6o°)^,     i  —  (cosôo"  —  y  — i  sin6o°}^, 

ou,  ce  qui  revient  au  même, 

on  pourra  décomposer  la  fraction  génératrice  en  ces  quatre-ci 
K  K,  L  M 


i_^       {i  —  xY        ,_e6o°V-i^        ,_e-60'Y-i^ 

et  Ton  trouvera 

K  =  -i,     K,  =  i, 


L  =         "_        -'_  =  e«o-y-- 


g60°V— 1  g-60»y-l  g60°V— 1  g— 60»V- 

/—  I  e30».v/~l 


^ZO'.V'-i  _^  g— 30°.v/-l  2  cos  3o° 

et  de  même 

g—SO°.\/~l 

M 


2  cos3o° 
de  là  on  trouvera  le  terme  général 

[K  -f-  [m  +  i)K,  4-  Le'"«"°-^^'  +  Me-'''-^»"-^^]^", 

c'est-à-dire,  en  substituant  les  valeurs  des  coelFicients  K,  K,,  L,  M  et 
réduisant, 


cos(3o° -f- m.6o°) 
cos3o° 


X" 


D'APIIÈS   LKS  OHSKIU  \TI()NS.  .i:}- 


Rkmakoi  i:   II. 


15.  Au  reste  il  serait  peiit-èli-e  encore  plus  simple  el  plus  coiniiiodr 
(l'euiployei'  dans  \v  ealeul  les  i'(;sles  tels  (ju'ils  se  Irouvent,  sans  les  di- 
viser par  leurs  premiers  termes,  eoinuie  nous  l'avons  dil  ci-dessus;  il 
est  vrai  (jue,  de  cette  manière,  les  quotients  rent'ermeronl  nécessaire- 
ment des  puissanees  négatives  de  œ;  mais  il  n'y  aura  alors  (ju'à  faire 

disparaître  les  puissances  négatives  de  la  fraction  génératrice  ^,77  '  en 

multipliant  le  haut  et  le  bas  par  la  plus  haute  puissance  négative  qui  s'y 
trouvera. 

Ainsi  l'on  peut  réduire  la  solution  du  Problème  précédent  à  cette  règle 

fort  simple  : 

Divisez  l'unité  par  la  série  proposée  s,  et  continuez  la  division  jusqu  à  et 
qu'il  y  ail  dans  le  quotient  deux  termes  qui  renferment  deux  puissances 
consécutives  de  x,  comme  px''  -+-  qv''^';  divisez  ensuite  la  série  s  par  le  reste 
de  cette  division,  et  avec  les  mêmes  conditions;  divisez,  après  cela,  le  second 
reste  par  le  premier,  et  continuez  ainsi  en  divisant  le  nouveau  reste  par  le 
précédent,  de  manière  qu'il  y  ail  toujours  dans  chaque  quotient  deux  termes 
de  la  forme  précédente  ;  si  la  série  s  est  récurrente,  on  parviendra  nécessai- 
rement à  unt'  division  exacte;  et  alors,  nommant 

px'-  H-  (jx'-^\     p'x'  -+-  q'x^-^',     p" x^  4-  q"  x'-^\  .  .  . ,     p^'-'^ix"  +  g'."-'') x'-*-' 

les  quotients  trouvés  dans  les  n  divisions,  on  aura 


px'-  -+-  q x*-"^'  H 

p' x'-" -\- q' x^-*-'  -\ 

p"x''-\-q"x'-*-'  -\- . 

■-^  p{>-i) x" -\- q("-*^ x"-^' 
M.  68 


338  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

Donc,  faisant 

^"=i(y[>(«— O^p  -4-  ^(«-2)xf+'    TH-  \, 


oAî  a//r<^/ 


?(") 


Exemple  III. 

16.  Pour  confirmer  la  règle  précédente  par  un  Exemple,  soit  proposée 

la  série 

I,  4>  ïo,  19,  3i,  46,  64,  85,  109,  i36,  166,  199,..., 

on  en  formera  la  série 

s  =  r-h  4-^  -+-  io.r^  -I-  19^7^  -t-  3i  ,r'  -+-  46x^  H-  64-c"^  -H  85^'  -+-  logx*  -1-  i36a;~'-<-  i66.r'°-(-  .  .  . , 

et  l'on  fera  l'opération  suivante,  qui  est  analogue  à  celle  qui  sert  à  trou- 
ver le  plus  grand  commun  diviseur  de  deux  quantités.  Divisant  d'abord 
I  par  s,  on  trouvera  le  quotient  i  —  [\x,  et  le  reste 

5'  =  6^'  -t-  21  x^  -I-  45^*  H-  78^*  +  120J;''  +  171  ^'  -h  23i  ^'  +  Soo^*  H-  .  .  .  . 
Divisant  ensuite  s  par  s' ,  on  a  le  quotient  ç—  -\ — —•>  et  le  reste 


3^^       qx^       Q.r'        \5x^       45  ar*       63  .r' 

4422  4  4 


s"  —   —, h  —, h  ^ 1 h  ^ 1 -, h  2  I  X»  -t-  27  ;t  '-f-  . 


continuant  ainsi  à  divisera'  par  s",  on  aura  le  quotient  8  +  [\x,  et  comme 
il  ne  reste  rien  de  cette  division,  l'opération  sera  terminée  ;  en  sorte  qu'on 
sera  assuré  que  la  série  proposée  est  véritablement  récurrente. 


D'APUKS    LES  OBSERVATIONS.  o39 

Or,  (uiisque  les  quotients  trouvés  sont 


1  —  4^,       Tt— .  H ,       8-4-4-2^, 


on  l'cia 

^'  =  8  +  4^, 

>://_/',        ■      \  t:/    ,    ■.  _     4  4  4 

et  l'on  iiura  yj^,-»  c'est-à-dire,  en  nuilti[)liant  le  haut  et  le  i)as  par  ^■ 

I  -\-  X  -\-  x^ 


I  —  3  .r  H-  3  x"  —  x-' 


pour  la  liaetion  génératrice  de  la  série  proposée.  On  voit  par  là  que, 
comme  le  dénominateur  de  cette  fraction  est  le  cube  de  i  —  x,  la  série 
ne  peut  être  autre  chose  qu'une  série  algébrique  du  second  ordre;  c'est 
aussi  ce  que  l'on  aurait  pu  reconnaître  d'abord,  puisque  les  difl'érences 
secondes  sont  constantes. 

Rljiarque  III.  , 

17.   Qu()i(jue,  généralement  parlant,  dans  la  fraction  génératrice   .,,„    > 

le  dénominateur  doive  être  un  polynôme  d'un  degré  plus  grand  que 
celui  du  numérateur,  cependant  il  peut  arriver  que  quelques-unes  des 
plus  hautes  puissances  de  x  s'évanouissent  dans  le  dénominateur,  en 
sorte  qu'il  se  trouve  abaissé  par  là  à  un  degré  égal  ou  moindre  que  celui 
du  numérateur;  dans  ce  cas,  la  série  récurrente  qui  en  résultera  sera 
aussi  d'un  ordre  moindre  qu'elle  n'aurait  dû  être;  mais  elle  contiendra 
au  commencement  un  certain  nomltrc  de  termes  irréguliers,  après  les- 
quels seulement  elle  commencera  à  être  véritablement  récurrente.  Ainsi 

68. 


S^i^O  FORMATION   DES  TABLES  DES   PLANETES 

notre  règle  sert  également,  soit  que  la  série  soit  récurrente  dès  son  coni- 
mencemènt,  ou  qu'elle  contienne  d'abord  qucKjues  termes  irréguliers. 
Kclaircissons  ceci  par  un  Exemple. 


•     Exemple  IV. 

1 8 .   Soit  proposée  la  série 

I,  I,  3,  7,   i8,  4?»   123,  39.2,  843,  2'9.()7,  5778,...; 
on  en  formera  d'abord  celle-ci 

s  =  I  -t-  .r  H-  3^,='  +  7^'  +  iSjf*  +  47-^^  +  lî'^.i''  +  329..»,''  -I-  S^'ix*  -<-... , 

el  l'on  procédera  comme  dans  l'Exemple  précédent.  Divisant  donc 
I  par  s,  on  a  le  quotient  i  —  a;,  et  le  reste 

*'=  —  ix"^  —  4-^^  —  1 1  X*  —  iCfX^  —  76.2:*  —  i99'^'  —  521  x'  —  ...  ; 
divisant  ensuite  s  par  s' ,  on  a  le  quotient h •<  el  le  reste 

^  '  9.X^  2,r 

s"  = IX' ^ 38.t:« ^^^--    —     •  •  : 

,  2  2  2  2 

divisant  encore  s  par  5",  on  trouve  le  quotient  4  —  8^,  et  le  reste 

5'"=:  —  5^2'*  —  i5.r*  —  ^ox^  —  n)5.r'  —  ...  ; 

cntin,  divisant  s"  par  s'" ,  on  a  le  quotient 1 -,  el  il  ne  l'cstc  ri<'ii; 

'  *  lox^         lo.r 

d'où  il  s'ensuil  que  la  série  proposée  est  nécessairement  reçut  rente. 
Ayant  donc  trouvé  les  quatre  quotients 


I  I         ,      „  I  1 

\  —  X, H 1       4  —  ox,       1 

.».r-'        IX  io.z-^         10 


X 


DAPRKS   LES  OlîSEin  \T1()NS.  5il 

01)  cil  formera  les  quantités  suivantes 

r  =  —  +  --' 

I  ï      \    V,,  y,  I  2  •  • 

-H H    +  ^   =  —  -^-T  +  ;^— ,  —  ë-^  -<-  ï^  » 

2jc'        2.r  '  5.r*        5^'        ox^        5x 

w.        y,,  I  3  I 

^-=  (  I  -  ^ )  H'"  +  H"  =  -  ^^  +  ^— 3  -  ^-.^ 

D.r'        5^'        o^- 

(lont  les  deux  dernières  donnent  la  fraction  génératrice 

^"'    _    I  —  7.x  -^  X^  —  X'  _ 

^"  i—  Zx  -h  x'      ^ 

or,  comme  j?  est  élevé  à  une  puissance  plus  haute  dans  le  numéralcm 
(jue  dans  le  dénominateur,  il  s'ensuit  qu'en  divisant  celui-là  par  celui-ci, 
jusqu'à  ce  qu'on  arrive  à  un  reste  où  l'exposant  de  x  soit  moindre  que  ->, 
qui  est  le  plus  grand  exposant  du  dénominateur,  la  fraction  se  réduira  à 

.'i  —  nx 

x  —  ■?.  -\ — ; 

1  —  5x  H-  x^ 

d'où  l'on  voit  que  la  série  s  n'est  autre  chose  (|u'uiie  suite  iccui  icuic 

provenant  de  la  fraction 

3  —  ",  X 


I  —  'ix  -^  x' 
à  la()uelle  on  a  ajoute  au  commencement  les  deux  termes  arhitraircs 


x\ 


de  sorte  (ju'en  letranchanl  ces  deux  termes  de  la  sei'ie  s  on  aura  ccllc-t  i 

3  -f-  2jr  -t-  3x-  H-  7  :r'  H-  i8.j  *  -I-  .  .  . , 


542  FORMATION    DES  TABLES  DES  PLANETES 

qui  sera  récurrente  dès  le  eonimencemcnt;  ou  1/ien  on  pourra  diviser  le 
numérateur 


I  —  IX  -\-  X' 


par  le  dénominateur 

I  —  ?>x  -V-  x'\ 

en  commençant  par  le  terme  i,  et,  continuant  la  division  jusiju'a  ce 
que  l'on  arrive  à  un  reste  qui  renferme  un  nombre  de  termes  moindre 
d'une  unité  que  le  diviseur,  on  aura  ainsi  le  quotient  i  -4- a;  et  le  reste 
3ar^  —  nx^\  en  sorte  que  la  traction  deviendra 

3  —  IX 


i  —  'ix  -{-  x' 


d'oîi  il  est  facile  de  conclure  qu'en  retranchant  de  la  série  s  les  deux 
premiers  termes  i  -t-  ^r,  et  divisant  les  autres  par  a:^,  on  aura  une  série 
récurrente  régulière,  dont  la  fraction  génératrice  sera 


3.r 


Remarque   IV 


19.  La  solution  du  Problème  précédent  n'est,  comme  l'on  voit, 
qu'une  simple  application  de  la  Théorie  des  fractions  continues;  mais, 
quoique  cette  Théorie  ait  déjà  été  traitée  par  plusieurs  grands  Géo- 
mètres, il  paraît  que  l'application  dont  il  s'agit  peut  néanmoins  être 
regardée  comme  neuve  à  plusieurs  égards,  et  surtout  relativement  au 
point  de  vue  sous  lequel  nous  venons  de  l'envisager.  En  effet  on  n'avait 
point  encore  de  méthode  générale  pour  reconnaître  si  une  série  pro- 
posée, dont  on  ne  connaît  que  la  valeur  de  quelques  termes  consécutifs, 
est  du  genre  des  récurrentes,  et  pour  trouver  en  même  temps  la  loi  de 
ses  termes.  Le  seul  cas  où  l'on  pût  trouver  à  posteriori  la  loi  d'une  série 
était  lorsque,  en  prenant  les  différences  successives  de  ses  termes,  on 
parvenait  a  des  différences  constantes;  or  il  est  clair  que  ce  cas  n'est 


D'APUKS   LES  OliSEU  NATIONS.  iW 

qu'un  cas  particulier  «le  iiolrc  riiéoi'i(3  générale,  car  on  sait  (juc  loulc 
série  qui  a  des  ditrérenccs  coustanlcs  d'un  ordre  (juelconcjuc  n'est  autre 
chose  qu'une  série  simplement  algébrique;  du  même  ordi'e;  par  consé- 
(juent  ce  n'est  (ju'une  espè(;e  de  séries  récurrentes  dont  l'éclielle,  an 
lieu  d'être  un  polynôme  ()nclcoM(jue,  est  une  puissance  du  hiiiôuic  par- 
ticulier I  —  X  (n*'7j.  J'avoue  (jU(;  la  uielhode  des  dillerences  est  plus 
simple  et  plus  commode  que  celle  des  fractions  continues  (pie  nous  ve- 
nons d'exposer;  aussi  est-elle  préférable  pour  trouvei'  la  loi  des  séries 
qui  ont  des  diflerences  constantes  d'un  ordre  quelconque;  mais,  si  en 
prenant  les  différences  successives  des  termes  d'une  série  on  ne  parvient 
jamais  à  des  dillerences  constantes,  il  faut  alors  avoir  recours  à  notre 
méthode,  pour  voir  si  la  série  est  au  moins  du  genre  des  récurrentes. 

Au  reste  il  est  bon  de  remarquer  que,  si  l'on  prend  les  différences 
successives  des  termes  d'une  série  récurrente  quelconque,  ces  difle- 
rences formeront  elles-mêmes  une  autre  série  récurrente  du  même 
ordre;  car  soit  la  série  récurrente 

T  +  T X  +  ï" X'  +  T"x'  +  T'^x^  -h  T^:r»  +  .  .  . , 
laquelle  résulte  de  la  fraction 

[o]-4-  [i].r  H-  [2].r'-f-.  .  .+  [/i  —  i^x""' 

io)  +  {l) X  -h  il) x"" -\- .  .  . -Ir  {n) x"  ' 

qu'on  mette,  tant  dans  la  série  que  dans  la  fraction,  —j- —   à  !a  place 

de  X,  et  qu'on  divise  ensuite  l'une  et  l'autre  par  i  -\-  x,  il  est  clair  (jue 
la  série  deviendra  celle-ci 

Vx  T'x'  T"x^ 


-f- 


x'""         \i  +  xY         (  I  +  ^)^ 


laquelle,  en  développant  les  puissances  de  \-\-.x,  suivant  les  règles 
connues,  et  ordonnant  les  termes  suivant  x,  se  réduit  à  cette  forme 

T  -f-  (T'  —  T)  X  -h  [T'—o.T  -f  T)  ^'  -<-... , 

c'est-à-dire,  a 


544  FORMATION   DES  TABLES   DES   PLANETES 

en  marquant  par  AT,  A-T,  A^T,...  les  ditlerences  successives  des  pre- 
miers termes  de  la  série  T,  T',  T",...,  c'est-à-dire,  les  difïerences  pre- 
mière, deuxième,  troisième,...  de  ses  termes,  en  sorte  que  l'on  ail 

A  T  =  T'  —  T, 
A^T=3T"-2T'4-T, 

^3x  =  T"'-3T"+3T'-T, 


Ai'T  =  T(i")  —  y-TO^-')  H-  cil- '-  TO^-2)  —  .  .  .  ±  T, 

'  2 

Cette  nouvelle  série  sera  donc  égale  à  la  fraction 

[o](i  +  ^)"-'  H-  [i]:f(i  H-:r)"--4-  [2]jr=(i  -4-  ^)'-^  + .  .  .-h[n  —  i]:r"-' 

(^o)  (i  -\-  x)"  -h  {i)  X  [i  -^-  X  )"- '  -+-  {7.)  x''{i  -\-  X  )"-•'  +  .  .  .  -4-  ( /z  Kr" 

dont  le  numérateur  et  le  dénominateur,  étant  développés  et  ordonnés 
suivant  les  puissances  de  x,  seront  aussi  des  polynômes,  l'un  du  degré 
n  —  \ ,  l'autre  du  degré  n,  comme  ceux  de  la  fraction  génératrice  de  la 
série  primitive;  d'où  il  est  aisé  de  conclure  que  la  série  des  différences 

T  + AT.^^  + An\^-'^  + A'T.,r^  +  .  .  . 
sera  également  une  série  récurrente  du  même  ordre  n  que  la  proposée 

T  +  T'  ^  -^  T"  x-^  +  . .  . . 

On  pourra  donc  aussi  appliquer  noire  méthode  a  la  série  des  diffé- 
rences dont  nous  venions  de  parler,  et  dès  qu'on  en  aura  trouvé  la  frac- 
tion génératrice,  si  elle  en  a  une,  il  n'y  aura  qu'à  y  substituer  — - —  à  la 

place  de  x,  et  la  diviser  en  uième  temps  par  i  —ac\  on  aura  sur-le-champ 

la  fraction  génératrice  même  de  la  série  proposée. 

Si  la  série  proposée  est  purement  algébiique  de  l'ordre  n  —  \ ,  alors 

on  sait  que  les  différences  de  l'ordre  n  —  i  doivent  être  constantes,  et 

par  conséquent  celles  des  ordres  suivants  nulles;  en  sorte  qu'on  doil 

avoir  dans  ce  cas 

A"T  =  o,     A"+'T  =  o, ...; 


D'AI'UKS   IJ-:S  OnSKKVATIONS.  f>45 

or  c'est  aussi  ce  qui  résulte  de  l'anulyse  précédente;  car  dans  ce  cas  la 
fraction  génératrice  de  la  série  aura  pour  dénominateur  f  i  —  a;)",  et  il 
est  lacile  de  voir  qu'en  y  faisant  les  substitutions  et  les  réductions  indi- 
quées pour  avoir  la  fraction  génératrice  de  la  série  des  dillerences,  cette 
dernière  fraction  ne  conliciidi;!  plus  x  à  son  dénominateur,  de  sorte 
qu'elle  deviendra  un  simple  polynôme  du  degi-é  n—  i;  d'où  il  s'ensuil 
que  les  termes  afléctés  de  x'\  x"-^\...  dans  la  série  des  dilférences  de- 
vront être  nuls;  ce  (jui  donnera  donc 

A"T  =  o,     A"-^'T  =  o, 

En  général,  si  la  série  proposée 

qu'on  suppose  toujours  de  l'ordre  n,  contient  une  partie  purement  algé- 
brique de  l'ordre  m  —  i,  le  dénominateur  de  sa  fraction  génératrice 
aura  nécessairement  pour  facteur  la  puissance  (i  —  oo)'",  laquelle  s'éva- 
nouira par  la  substitution  de  — ^ —  à  la  place  de  x;  en  sorte  que  la  série 

des  différences  se  trouvera  rabaissée  d'elle-même  à  l'ordre  n  —  m\  mais 
elle  aura  au  commencement  m  termes  irréguliers,  après  lesquels  elle 
deviendra  régulière  de  l'ordre  n  —  m,  comme  on  l'a  expliqué  ci-dessus 
(n"  18). 

Ainsi,  en  rejetant  les  termes  irréguliers 

ï,     AT.jr,     yj.x\...,     A"-'ï.a.'"-', 

et  divisant  les  autres  par  x'" ,  on  aura  la  série  régulière 

A'—T  +  A"-"'+'T.x  -i-  A"-"'-^^T.:j:=  +  . .  . , 

laquelle  sera  donc  récurrente  de  l'ordre  n  —  rn  ti  ne  contiendra  plus  de 
partie  algébrique. 

VI  69 


546  FORMATION   DES  TAÏÎLES  DES   PLANÈTES 

Remarque  V. 

20.  11  esl  encore  bon  de  reinarquer  que  l'on  peut  toujours  siniplitier 
une  série  récurrente  et  la  rabaisser  à  un  ordre  intérieur,  en  y  détruisant 
quelques-unes  des  séries  partielles  dont  elle  est  composée,  pourvu  qu'on 
connaisse  seulement  l'échelle  de  relation  de  ces  séries,  c'est-à-dire,  le 
dénominateur  de  leur  fraction  génératrice;  car,  comme  ce  dénominateur 
doit  être  un  facteur  de  celui  de  la  fraction  génératrice  de  la  série  totale, 
il  s'ensuit  que,  si  l'on  multiplie  cette  série  par  le  même  facteur,  la  série 
résultante  deviendra  nécessairement  plus  simple,  puisque  sa  fraction 
génératrice  n'aura  plus  pour  dénominateur  que  l'autre  facteur,  en  sorte 
que  les  séries  partielles  dépendant  du  premier  facteur  se  trouveront 
entièrement  éteintes. 

Il  faut  seulement  observer  que,  dans  ce  cas,  la  nouvelle  série  contien- 
dra, au  commencement,  autant  de  termes  irréguliers  qu'il  y  a  d'unités 
dans  le  degré  du  multiplicateur;  de  sorte  qu'il  faudra  retrancher  ces 
termes  et  diviser  ensuite  les  autres  par  la  plus  haute  puissance  de  a-, 
dont  l'exposant  sera  le  nombre  des  termes  retranchés. 

Soit,  par  exemple,  la  série  de  l'ordre  n 

P 

dont  la  fraction  génératrice  soit  ^?  P  étant  un  polynôme  du  degré  n  —  \ , 

et  Q  un  polynôme  du  degré  n,  dont  les  n  facteurs  soient 

r  —  px,      I  —  qx,      I  —  rx,      I  —  SX, ...  ; 

on  aura,  pour  l'expression  du  terme  général  de  la  série, 

ï("')  —  K/y"  -h  L(f  -r  iM  /•"'  -4-  ^ s"'  + 

Maintenant,  si  l'on  suppos(;  (ju'on  connaisse  les  deux  quantités/;  et</, 
on  pourra  simplifier  la  série  proposée  et  la  rabaisser  à  l'ordre  n  —  i,  en 
y  détruisant  la  [)artie  qui  répond  aux  termes  K//",  L^'";  car  pour  cela  il 


D'APKKS   LES    OBSERVATIONS.  547 

n'y  aura  (ju'à  la  imilliplicr  par  le  polynôme  formé  dos  facteurs  i  —px, 
I  —  qr,  c'est-à-dire,  par 

I  —  { p  -^  q  Jc  -{-  pq  x\ 
cl,  désignant  par 

t  -h  t'x  -\-  t"x^  +  l"'x^  H-  t'^x'  -(-... 

la  série  résultant  de  celte  multiplication,  il  est  clair  que  cette  série  aura 

P 

pour  fraction  génératrice  ^?  en  supposant 

Q  =  (i  — /7^)(i  —  ^x)Q', 

en  sorte  que  Q'  sera  un  polynôme  du  degré  n  —  2,  formé  par  le  produit 
des  autres  facteurs  simples  i  —  rx,  i  —  sx, Qu'on  retranche  main- 
tenant de  part  et  d'autre  les  deux  premiers  termes  l  -\-  t' x  de  la  série, 
on  aura 

t"x'  -4-  /"V  H-  V\V'  +  fx'  +...=:  ^  _(/  +  /'^.)  ^  V—{t-^^t'x)Q:_  _ 

Or,  P  étant  un  polynôme  du  degré  n  —  \  et  Q'  un  polynôme  du  degré 

n  —  2,  il  es!  clair  que 

P  — (/+  l'x)Q' 

sera  aussi  un  polynôme  du  degré  n  —  i\  et,  comme  toute  la  série  est 
divisible  para?^,  il  s'ensuit  que  ce  dernier  polynôme  devra  l'être  aussi, 
et  qu'il  manquera  par  conséquent  de  ses  deux  premiers  termes,  en  sorte 
qu'il  sera  de  la  forme  x"^  P',  P'  étant  un  polynôme  du  degré  /i  —  3  ;  donc, 
divisant  de  côte  et  d'autre  par  a:^  on  aura  la  série 

t" -I-  t"'x  -h  l'^x-  -^  rx^-\-. . ., 

P' 

dont  la  fraction  génératrice  sera  r^-,  en  sorte  qu(!  le  terme  général  de 

cette  nouvelle  série  sera  de  la  forme 

M'r"'-H  N'i"'  +  .. ., 

de  manière  qu'elle  sera  récurrente  de  l'ordre  n  —  2. 

69. 


648  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

Or,  si  l'on  traite  cette  série  par  notre  méthode  et  qu'on  en  détermine 

P'  >       .  .  P 

la  fraction  génératrice  ^77?  on  pourra  retrouver  la  fraction  primitive  ^ 

de  la  série  proposée;  car  on  a  d'un  côté 

Q  =  {i-px){i~qx)Q\ 

et  de  l'autre  on  a 

P-^^-f-  t'a:)Q'  =  P'x\ 

et,  par  conséquent, 

En  général,  soit  R  le  l'acteur  connu  de  Q,  lequel  soit  du  degré />,  en 
sorte  que  Q  =  RQ',  Q'  étant  un  polynôme  du  degré  n — p;  on  multipliera 
la  série  proposée  par  R,  ensuite  on  en  retranchera  les  p  premiers  termes 
que  je  désignerai  par  S,  et  le  reste,  étant  divisé  par  x^,  sera  une  série 
récurrente  de  l'ordre  n  —  p;  en  sorte  que  la  recherche  de  la  fraction 
génératrice  sera  beaucoup  plus  simple  que  celle  de  la  fraction  de  la  série 

.     P' 
primitive.  Or  soit  rrj  la  fraction  génératrice  de  cette  nouvelle  série;  on 

fera 

Q  =  RQ'     et     P^SQ'+^i'P', 

P 

et  la  fraction  ^  sera  celle  de  la  série  proposée 

T  -{-  Tx  4-  Ta:'  4- 


PROPOSITION  III. 

Problème. 

21.  Étant  donnée  une  suite  récurrente  dont  on  connaisse  déjà  la  frac- 
tion génératrice,  on  propose  de  trouver  la  fraction  génératrice  de  la  même 
série  continuée  en  arriére. 

Soient 

j      J,       rr//       jm  J(m)      T(m+i) 


D'APKÈS   LES  OBSERVATIONS.  549 

les  termes  de  la  série  donnée,  et  supposons  que,  en  eontinuiint  la  même 
série  en  arrière,  on  ait  les  tenues 

1,  ±,  J,  1,...,^'1,>  '1,..,, 

de  sorte  que  la  série  continuée  des  deux  cotés  soit  représentée  ainsi 

...("•^OT,  ("')T,...,  ™T,  "T,  T,  T,  T,  T",  T'", .  .  . ,  TC"),  TC"-^",..., 

oii  les  termes  en  allant  de  la  i^auche  à  la  droite  soient  tous  formes  les 
MUS  des  autres,  suivant  une  même  loi  générale. 
Soit  de  plus 

[o]  -t-  [i].r  +  [2].r'  +  [3]x^-\-  ..  .H-  [n  —  i'\x"-' 

{o)  -\-  (i) X  -\-  {2) x^ -\-  {3) x^  -h  . . .  -h  in) X" 

la  fraction  génératrice  de  la  série 

ï  +  Tx  -+-  T'x'  H-  T'"^»  +  . . .  ; 
la  question  est  de  trouver  la  fraction  génératrice  de  la  série 

T  -<-  Tx  —  "ï X'  -4-  "''Tx'-  -t-  "'T^*  +  . . . . 

Pour  la  résoudre,  supposons  que  la  fraction  donnée  soit  décomposée 
en  ces  n  fractions  simples 

K  L  M  N 


I — px        I  —  qx        I  —  rx        I  —  SX 
on  aura,  pour  l'expression  du  terme  général  T'"^ x'" ,  celle-ci 

(K//"  H-  Lq'"  -t-  M;-"  h-  N*'"  -f- . . .  ?  x'", 

d'où 

T"")  =  K;;'"  +  hq"'  -f-  M  /•'"  -+-  N  *"'  +  ... . 

Or,  comme  cette  expression  de  T''"'  <loit  être  générale  pour  tous  les 
termes  de  la  série,  il  est  visible  (jue,  poui-  avoii'  les  valeurs  des  termes 

T     "T      "T  {^yr 


550  FORMATION  DES  TABLES   DES  PLANÈTES 

qui  précèdent  le  terme  T**,  il  n'y  aura  qu'à  faire  successivement 

m  =  —  I,     — 2,     — 3,...,     —m; 

de  sorte  qu'on  aura 

("■  T  =  K/>-'"  -f-  L q-'"  -+-  M  /•- "'  +  N 5-'"  -H  ...  ; 

donc  le  terme  général  ''"^Ta?'"  de  la  série 

T  +  T^  +  "  Tx'  +  "T.r»  -\- . . . 
sera  représenté  par  la  formule 

[Kp-"'-^  Lq-"'+  Mr-"'-f-  Ns-'" -^  . ..}  x""; 

d'où  il  est  facile  de  conclure  que  cette  série  résultera  du  développe- 
ment des  n  fractions 

KLM 


XXX 

I I I 

p  q  r 

lesquelles  étant  réduites  à  une  fraction  unique,  on  aura  la  fraction  gé- 
nératrice cherchée. 

Considérons  donc  l'équation  identique 

[o]  +  [i].r  -4-  [i]x'  -+-... -h  [n-  i].r"-'  _       K  L  M 

{o)-h[l)x-i- {2)x^-\- ...-h  {/i).t:"  \—px         I  —  qx         i  —  rx        '"' 

et  voyons  quelle  transformation  on  doit  faire  subir  au  premier  membre, 
pour  que  le  second  se  change  en  celui-ci 

KLM 


I I I 

p  q  r 


Je  remarque  d'abord  qu'en  faisant  x=  o  on  a 

fc]=K-4-L-f-MH-...; 

(o) 


D'APRÈS   LES   OBSERVATIONS.  551 

ensuite,  si  l'on  iiicl  —  à  la  plate  de  x,  et  qu'on  fasse  les  réduetions  oi- 
di  lia  ires,  on  aura 

[oj ./•"  -h  [i  J  J;""   '  -^-  [ij-r""^  -+■ . . .  -h  [n  —  i \x  _  Kx  Lj:  M-t 

{o)x"-h  (i)af'*  -h{7.)x"~^-i-  .  ..-i-{n)        "       p  —  x     »  y  —  .r        r  —  .r       '"'' 

retranelions  eelte  équation  de  la  précédenic,  cl  l'on  aura  celle-ci 

[o]  _  [o]x" -h  [i] ^•"-'-f-  [a] X"  '-H .  ■ . -H  [«  -  i].r  _      Kjj  Ly  Mr 

(o)  (o).r"-(- (i)^-' -f- (a)^""*-!-. .  .-!-(/?)       ~  p  —  x        fj  —  X        r  —  X 

KLM 


On  aura  donc 

[oJ        [o]j:"-i- [i].r"  '^-[a].r"-'-^-..  .-!-[«— i]j:       „,      .,^         „_    ,      „„  _, 

(o)  (o)j(;"H-{i).r"-'-H(a)jr"---4-...-h(/i)  ' 

or,  taisant  a  =o,  on  a  ^^=1;  donc,  retranchant  cette  équation  de  la 

lO)  ^ 

précédente  et  divisant  le  reste  par  x,  on  aura,  en  ordonnant  les  termes 
suivant  les  puissances  croissantes  de  a-, 

—       [«-!]-*-  [/?-  a].r  +  [/^-3]■J^  +  . . .  +  [o]x"-'        ^  vj  ^  v^Tx +  ™Ta^'^-^ '^Tx^  +  .... 
(«)  -1-  [n  —  \)x-\-  («  —  a)j:'-i-  («  —  Z)x^-v-  ...-*-  (o)j:" 

Ainsi  le  Problème  est  résolu. 


Remarqle  I. 

22.  Quoique  l'analyse  précédente  soit  fondée  sur  la  décomposition 
de  la  fraction  génératrice  donnée  dans  les  fractions  simples 

K  L 


I  —  v  X         I  —  nx 


décomposition  qui  suppose  que  les  facteurs  binômes  i  —  px,  \  —  qx,... 
soient  tous  iiiéi>aux,  cependant  il  est  lacihî  de  se  convaincre  que  notre 
démonstration  n'en  subsistei'a  pas  moins  quand  il  se  trouvera  des  fac- 
teurs doubles-,  ou  triples,...;  car  on  sait  que  le  cas  des  facteurs  égaux 


562  FORMATIOiN  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

peut  toujours  se  ramener  à  celui  des  facteurs  inégaux,  en  regardant  les 
quantités  égales  p,  q, . . .  comme  infiniment  peu  différentes  entre  elles; 
de  sorte  que,  comme  la  conclusion  à  laquelle  nous  sommes  arrivés  est 
indépendante  de  la  forme  même  des  facteurs  i  —px,  i—  qx,.,.^  il  s'en- 
suit qu'elle  aura  lieu,  soit  que  ces  facteurs  soient  tous  inégaux  ou  non. 

Remarque  IL 

23.  J'appellerai,  pour  plus  de  simplicité,  polynômes  contraires  ceux 
qui,  étant  du  même  degré,  ont  aussi  les  mêmes  coefficients,  mais  dis- 
posés en  sens  contraire. 

Ainsi  les  deux  polynômes 

(o)  +  (i)^  -t-  (2)^^-f-  I  3)a:3 -4-  .  .  .  -f-  (/l)^", 
(/i)  +  (n  —  i)x  -h  (n  —  2')^-  -1-  [Il  —  3)x'  -t-.  . .  +  (o)  (^)'' 

seront  des  polynômes  contraires. 
Donc,  si  l'on  a 

(o)  =  (/i),     [i)  =  [n  —  i),     (2)  =  (n  — 2),.  .  ., 

ce  qui  est  la  propriété  des  polynômes  qu'on  appelle  réciproques  (n"  6  j,  il 
est  clair  que  les  deux  polynômes  contraires  seront  les  mêmes;  vice  versa, 
il  est  visible  que  tout  polynôme,  qui  sera  le  même  que  son  polynôme 
contraire,  sera  nécessairement y"eci/?^o^^^e. 

De  ces  délinilions  des  polynômes  contraires  et  réciproques,  il  est  facile 
de  déduire  les  propriétés  suivantes  de  ces  mêmes  polynômes  : 

i"  La  somme  de  deux  polynômes  contraires  est  un  polynôme  réci- 
proque du  même  degré. 

Et,  en  général,  si  P  et  Q  sont  deux  polynômes  contraires  du  degré  n, 
le  polynôme  P  +  Qa:""'  sera  un  polynôme  réciproque  du  degré  n-^m. 

2^  Le  pi'oduit  de  deux  polynômes  contraires  est  un  polynôme  réci- 
proque d'un  degré  double;  ainsi  tout  polynôme  réciproque  d'un  degré 
pair  peut  être  regardé  comme  le  produit  de  deux  polynôines  contraires. 


D'APHÉS   LKS  OBSERVATIONS.  558 

'^"  La  somme  ou  la  diirérciicc  de  deux  polynômes  réciproques  du 
même  degré  est  aussi  un  polynôme  réciproijue  d'un  pareil  degré. 

Et  le  produit  de  deux  polynômes  ré('i|)ro(|ues  de  (juehjue  degré  que 
ee  soit  est  toujours  un  polynônn.'  réeiprocjue  d'un  degré  égal  à  la  somme 
des  degrés  de  ces  polynômes.  De  même  le  (juotienl  de  deux  polynômes 
réciproques,  lorsque  l'un  est  divisible  par  j'aulre,  sera  un  polynôme  ré- 
ciproque d'uji  degré  égal  ;i  la  dillerencc  de  ceux  des  deux  polynômes. 

4"  Toiil  |)olynôme  récipro(|(H'  (riiii  degré  impair  est  divisible  par 
I  -\- X,  et  le  (juolienl  sera  aussi  un  polynôme  réciproque;  car  il  est 
visible  qu'en  faisant  oo  =  —  \  les  deux  termes  extrêmes  du  polynôme 
se  détruiront  l'un  l'autre,  ainsi  que  les  autres  termes  é(iuidistants  des 
extrêmes;  et,  comme  i -+- oo  est  lui-même  un  polynôme  réciproque,  il 
s'ensuit  que  le  quotient  le  sera  aussi. 

5^  La  différence  de  deux  polynômes  contraires  est  divisible  par  i  —x, 

et   le  (juotient  est  un  polynôme  réciproque;  car  soient  P  et  Q  deux 

polynômes  contraires  de  quelque  degré  (jue  ce  soit,  il  est  clair  qu'en 

faisant  x  =  i  on  aura  V  =  Q  ou  P  —  Q  =  o;  donc  P—  Q  sera  divisible 

par  i—x.  Maintenant,  si  l'on  multiplie  la  dilTérence  P— Q  par  i  —  x, 

on  aura 

P  — Q  —  P^  +  Q^, 

qui  sera,  par  conséquent,  divisible  par  (i  — x)-;  or  P-hQx  est  un  poly- 
nôme réciproque,  et  Q-i-Pa?  en  est  un  aussi  du  même  degré  (i^j;  donc 
la  différence  P-hQa;  — Q  —  Px  sera  un  polynôme  réciproque  (3");  d'un 
autre  côté, 

(  I  —  xY:=  l  —  2X  -T-  X- 

est  aussi  un  polynôme  réciproque;  donc  le  quotient  de  ces  deux  polv- 
nômes,  c'est-à-dire,  le  quotient  de  P  — Q  par  i  —  x,  sera  encore  un  polv- 
nôme  réciproque  (3^). 

On  peut  démontrer  de  la  mênjc  manière  que  P  — Q^'"  sera  divisible 
par  I  —  X,  el  que  le  quotient  sera  un  polynôme  réciproque. 

Ces  propriétés  des  polynômes  contraires  et  des  polynômes  réciproques 
vont  nous  servir  pour  tirer  dilférentes  conséquences  de  la  solution  du 
Problème  précédent. 

VI.  -TO 


554  FORMATION    DES  TABLES   DES   PLANÈTES 


Corollaire  I. 

24.    Soit  -p  la  fraction  génératrice  de  la  série  récurrente  de  l'ordre  n 

(  A )  T  +  T'.r  +  T'x'-  -f-  T"x^  +  T'^'x^  +  .  .  . , 

P  étant  un  polynôme  du  degré  n,  et  M  un  polynôme  du  degré  n  —  \ . 

Que  Q  soit  le  polynôme  contraire  à  P,  et  N  le  polynôme  contraire  à  M, 

N 
on  aura   —  jr  pour  la  fraction  génératrice  de  la  série 

(  B )  ^T  +  "T X  +  '"T x^  4-  ''T x^^^'ïx'^ 

Donc,  si  l'on  ajoute  ensemble  les  deux  séries  (A)  et  (B),  ou  qu'on  les 
retranche  l'une  de  l'autre,  on  aura  la  nouvelle  série 

(C)  (T±^T)-+-  (T'±:"T)x  +  (T"=t""T)ji^+  ,  T"'± -Tlx^ -+- . . ., 

dont  la  fraction  génératrice  sera  égale  à 

i_M  _  N 
P  ^  Q' 

Supposons  que  le  polynôme  P  soit  le  produit  d'un  polynôme  réci- 
proque n  d'un  degré  quelconque  pair  2v  par  un  autre  polynôme  P',  qui 
sera  par  conséquent  du  degi'é  n  —  2v,  en  sorte  que  l'on  ait 

p  =  np'. 

Soit  Q'  le  polynôme  contraire  à  P';  comme  n  est  un  polynôme  réci- 
proque, il  est  clair  qu'on  aura 

Q  =  nQ'. 

Ainsi  l'on  aura 

J1___N_ 

np'  ^nQ' 


r)'AI»RÈS   LKS  OBSERVATIONS.  555 

c'esl-à-diie,  vu  icduisjÉiil  ;ui  mèiiie  dénominateur, 

MO^=pNF 

pour  In  l'i;ution  génératrice  de  la  série  (Cj. 

Or,  eonnnc  M  cl  \  sont  deux  polynômes  contraires  du  degré  n  -  i  , 
et  P',  Q'  deux  polvnùines  aussi  contraires  du  degré  n  —  iv,  et  que  d'ail- 
leurs Il  est  un  polynôme  réciproque  du  degré  2v,  il  s'ensnil  de  ce  qu'on 
a  démontré  dans  le  n"*  23  ; 

i"  Que  le  dénominateur  nP'Q'  de  la  IVaction  dont  il  s'agit  sera  un 
polynôme  réciprocjuc  du  degré  pair 

?. (n  —  7.11]  -+-  2v  =  2(/i  —  V); 

2"  Que  le  numérateur  MQ' rp  NP'  de  la  même  fraction  sera  égal  à  un 
polynôme  réciprotjue  du  degré  pair  2  ht  —  v—  1),  multiplié  par  1  =p.r. 

Corollaire  II. 

25.  Si  l'on  ajoute  à  la  série  (A],  ou  qu'on  en  retranche  la  série  ;By 
multipliée  par  x,  il  viendra  celle  ci 

{ D)  T  +  (T' ±T) ^  +  (T" dz"T ) x'  -h  (T'" dt"T) x'  +  .  .  . , 

dont  la  fraction  génératrice  sera  donc  égale  à 

M  N:c 

Soit,  comme  ci-dessus, 

Pr=nP'     ei    Q  =  nO'; 

on  aura  donc 

M  Njr  ,        .    _,.  MQ'=r:NP'.r 

ffF  +  ïfô^'      C'^^t-a-d.re,  nFQ' 

pour  la  fraction  génératrice  de  la  série  (D);  d'où  l'on  voit  : 

i"  Que  le  dénominateur  de  cette  fraction  sera  le  même  que  celui  d«« 
la  fraction  génératrice  de  la  série  (C),  c'est-à-dire,  un  polynôme  réci- 
proque du  degré  pair  2  (n  —  v)  ; 


556  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

2"  Que,  si  l'on  prend  le  signe  supérieur,  la  fraction  aura  pour  numé- 
rateur un  polynôme  réciproque  du  degré  2(/i  —  v  —  i)  multiplié  par 
i—x^;  car  ce  numérateur,  étant  égal  à  MQ'— NP'^,  sera  représenté  par 
un  polynôme  du  degré  2{n  —  m)  divisible  par  \  —  x,  et  qui,  par  cette 
division,  deviendra  un  polynôme  réciproque  du  degré  2{n  —  v)  —  \ 
(n*'23,  5");  or  ce  dernier  polynôme,  étant  d'un  degré  impair,  sera  en- 
core divisible  par  i  ■+-  x,  et  deviendra,  par  cette  division,  un  polynôme 
réciproque  du  degré  2(/i  —  v)  —  2  (numéro  cité,  4");  donc,  etc.; 

3"  Que,  si  l'on  prend  le  signe  inférieur,  le  numérateur  de  la  même 
fraction  sera  un  polynôme  réciproque  du  degré  2(71  —  v),  c'est-à-dire, 
du  même  degré  que  son  dénominateur;  ce  qui  est  évident  par  ce  qu'on 
a  dit  dans  le  n**  23  (i**).  Donc,  si  l'on  retranche  de  la  fraction  le  premier 
terme  T  de  la  série,  la  fraction  restante,  après  avoir  réduit  au  même 
dénominateur-,  aura  encore  pour  numérateur  un  polynôme  réciproque 
de  même  degré  (n°23,  3°);  mais  ce  numérateur  doit  être  divisible  par^c; 
donc  il  faudra  que  son  premier  terme,  où  x  n'entre  pas,  soit  nul;  par 
conséquent  le  dernier  terme,  qui  renferme  a?^*""'^  et  qui  a  le  même  coef- 
ficient que  le  premier,  sera  nul  aussi;  effaçant  donc  les  deux  termes  ex- 
trêmes du  numérateur,  et  divisant  les  autres  par  x,  on  aura  un  polynôme 
réciproque  du  degré  2  (n  —  v)  --  2  pour  le  numérateur  de  la  fraction  gé- 
nératrice de  la  série 

(  T'  -  T  )  -f-  1,  T  -  "T  )  ^-  +  i  T"  -  "T  )  X-'-  -h  .  .  .  . 

Corollaire  III. 

26.  Donc,  si  l'on  divise  la  série  fC)  du  Corollaire  I  par  1  qz  r,  ou,  ce 
qui  revient  au  même,  qu'on  la  multiplie  par  la  série 

I  =b  X  +  ,r-  zt  ,r^  -t-  ^  '  ±  .  .  . , 

on  aura,  en  prenant  successivement  les  signes  supérieurs  ou  les  infé- 
rieurs, deux  séries  dont  l'une  sera 

(E)  /  +  t'x  -4-  f'x''  H-  t"'x^  -f-  V'x'  -I-  r  r^  4-  .  .  . , 


D'APRÈS  LES  OBSERVATIONS.  557 

dans  laquelle 

t  =T   -f-T, 

/'  =T'  -f-  T    -<-  T  H-  T, 

/"  =  T"  -f-  T.'  -h  T  4-  'T  +  "T  H-  "T, 

t"'=  T"  +  T"  -h  T'  -I-   T  -f-  T  H-  "T  -^  "T  +  '*T, 


et  dont  l'autre  sara 

(F)  (/)4_(/')a;+(r)^^-l-(r)a;»-l-(<"')a:«-H(r).r»  +  ..., 

dans  laquelle 

[t)   =T  -T, 

(/')  =T'  -  T  +^T  -"T, 

^t")  =  T"  —  ï'  -t-  T  -  T  +  "T  -  "T, 

(  t'")  =  T"  —  T"  +  T'  —  ï  4-  'T  —  "T  -f- "T  —  ^^T, 

Et  ces  deux  séries  auront  l'avantage  de  tirer  leur  origine  de  fractions 
génératrices  qui  auront  pour  dénominateur  un  même  polynôme  réci- 
proque du  degré  pair  2{n  —  v  —  i)  et  pour  numérateur  des  polynômes 
aussi  réciproques  et  du  degré  2( n  —  v  —  i). 

De  même  le  Corollaire  II  fournira  deux  autres  séries  qui  auront  les 
mêmes  propriétés,  et  donf  l'une  sera  la  série  (D),  prise  avec  les  signes 
supérieurs  et  divisée  par  i  —  x^,  ou,  ce  qui  revient  au  même,  niultij)liéc 
par  la  série 

l  -\-  X'  -{-  X*  -^  X''  -\-  .  .  .  , 

et  dont  l'autre  sera  la  même  série  (D),  prise  avec  les  signes  supérieurs 
et  divisée  par  r,  après  en  avoir  retranché  le'  premier  terme  T. 
Ainsi  la  première  de  ces  séries  sera  de  la  forme 

(G)  t  -h  t'x  -^-  t"x'  +  t"'x'  ->r  f^X'  -h  rx'-h.  ..^ 


558  FORMATION    DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

où 

t  =T, 

/'  =  T'  -t-  "r, 

t"=T'  +  T  -h^', 

r=r"+  T'+  'T-i-"T, 


et  la  seconde  sera  de  la  forme 

Ht  (  /  )  H-  •  t'  :X  -\-  (  t"  )  X'  -1-  ,  /'"  )  .r^  H-  f  /'^  ,  x"  -^\t\x'-Jr. 


ou 


(0   =T'  -  T, 

[t')  =T'  —  "T, 
(r)  =  T"'  -  ™T, 

(rj==T'^  — '^'T, 


On  a  donc  par  là  le  moyen  de  transformer  une  série  récurrente  d'un 
ordre  (|ueiconque  n  en  d'autres  de  l'ordre  2[n  —  v)  qui  aient  les  condi- 
tions dont  on  vient  de  parler.  Or,  quoique  ces  transformées  soient  en 
elles-mêmes  d'un  ordre  supérieur  à  la  proposée,  elles  peuvent  néan- 
moins être  abaissées  à  un  ordre  inférieur;  car  nous  allons  faire  voir, 
dans  le  Problème  suivant,  que  toute  série  récurrente  dont  la  fraction 
génératrice  a  pour  numérateur  et  pour  dénominateur  des  polynômes 
réciproques  de  degrés  pairs  peut  être  transformée  en  une  autre  aussi 
récurrente,  mais  d'un  ordre  moindre  de  la  moitié;  d'où  l'on  pourra  con- 
clure que  les  séries  transformées  de  l'ordre  2  (/i  —  v)  seront  réductibles 
à  d'autres  de  l'ordre  n  —  v,  lequel,  tant  que  v  n'est  pas  nul,  sera  tou- 
jours moindre  que  celui  de  la  série  primitive  proposée. 


I)'\IM\ÈS   LES  OlJSEHVATiUiNS.  559 

PROPOSITION    IV. 

Problkme. 

27.  Etant  donnée  une  suite  récurrente  d'un  ordre  pair,  dont  la  fraction 
génératrice  ait  pour  dénominateur  un  polynôme  réciproque  d'un  degrc 
pair,  et  pour  numérateur  un  polynôme,  aussi  réciproque,  d'un  degré  pair  et 
moindre  de  deux  unités  que  celui  du  dénominateur,  on  propose  de  trans- 
former celte  série  en  une  autre  pareillement  récurrente^  mais  d'un  ordre 
moindre  de  la  moitié. 

Soit  proposée  la  série 

t  ^  t'x  -{-  t"x'  ->r  t'"  X^  ^  V  X'  -\- .  .  . , 

dont  lii  fraction  génératrice  soit  représentée  par  la  formule 

[o]  H-  [i]^  +  [2]a:'H-.  .  . -H  [2]  X'''-' -t-  [l]:r^i*-3-4-[o]^:*-^ 

(o)  H-  (1)^-+-  (2)^2_^.  .T-f-  (2)  x'^'^-'^  -4-  \\  )oc^v-'  -I-  (o)  x''f-      ' 

en  sorte  que  la  série  proposée  soit  de  l'ordre  i\j.,  et  supposons  que  cette 
série  soit  transformée  en  une  autre,  telle  que 

9  -4-  (9'7  -t-  ^"y'  H-  ffy^  -4-  Ô'\r'  -1-  . .  . , 

laquelle  ne  soit  que  de  l'ordre  pi,  et  dont  la  fraction  génératrice  suit  re- 
présentée par  la  formule 


A  -t-  Bj  H-  C  r'  +  • .  •  -(-  K ji* 
Je  fais,  pour  obtenir  cette  transformation, 


r  = 


I  -t-  ^=' 


et,  substituant  cette  valeur  de  j  dans  la  dernière  fraction,  j'ui,  apiès 
avoir  multiplié  le  haut  et  le  bas  par  (i  -\-  o?^)'', 

(1  H-  x^')[rt(I-^■^•')'^-'-^-  hx{\-¥-  x-'f-'^  cx\\^  x'Y-^^  . . .  -f  Itx''-'  ) 
A(i  +  jf'f  4-  B^d  H-.r»)i*-"-i-  Cx'ii  -f-  x')^-^-h. .  .-hKx^'  ' 


560  FORMATION  DES  TABLES  DES   PLANÈTES 

et  cette  fraction  sera,  par  conséquent,  égale  à  la  série 

Q'x  B"x^  e"'x' 

d  -+- h 1 h 

i-f-^=        (i-t-^=)'        {i-hx''f       ■■■' 
et,  divisant  tant  la  fraction  que  la  séi'ie  par  i  -ha?^,  j'aurai  cette  traction 

a(i  +  x^y-'  4-  bx{i  -+-  x^)'''-^-h  cx^i  -hx'')^-^-h. .  .  -\-  hx^~' 

qui  sera  égale  à  la  série 

Q  Q'x  Q"x'  e"'x' 


\-hx^       [x^x^f        {i^x'^f        {x-^x-'Y 

Maintenant,  si  l'on  développe  les  puissances  de  i  -^x-,  tant  dans  le 
numérateur  que  dans  le  dénominateur  de  cette  dernière  fraction,  et 
qu'on  ordonne  ensuite  par  rapport  aux  puissances  de  x,  on  verra  que  le 
dénominateur  sera  un  polynôme  réciproque  du  degré  2p,,  et  que  le  nu- 
mérateur sera  aussi  un  polynôme  réciproque  du  degré  2 p.  —  2;  en  sorte 
qu'on  pourra  comparer  terme  à  terme  ces  polynômes  à  ceux  qui  forment 
la  fraction  génératrice  de  la  série  proposée;  et  cette  comparaison  servira 
à  déterminer  les  [l  coefficients 

a,  b,  c,. .  . ,  h 
par  les  coetficients 

[o],   [ij,   [2],...,   [fx-i], 

ainsi  que  les  p.  -h  i  coefficients 

A,  B,  C,    ..,  K 

par  les  coefficients 

(o),    ',!),    (2),.  .  .,    [ix). 

Les  deux  fractions  étant  donc,  par  ce  moyen,  devenues  identiques,  il 
faudra  que  les  séries  qui  en  dérivent  le  soient  aussi;  mais,  comme  la 
dernière  série  n'est  pas  ordonnée  suivant  les  puissances  de  x,  il  faudra, 
pour  pouvoir  la  comparer  à  la  proposée,  l'ordonner  auparavant  suivant 


D'APUÈS  LES  OBSERVATIONS.  561 

ces  mêmes  puissances;  el  pour  cchi  il  n'y  auia  qu'à  y  substituer,  à  la 
place  des  fractions 

I  i  I 


leurs  valeurs  en  séries 
I 

=  1  —      X'^  -\-      X*  —        X''  -i-        X*  —  .  .  .  , 


I  -^x'' 


I 


=  1  —  7.X^ -h  /^X*  —     4-^'  "•"     ^•^'  —  •■•7 


{^-i-x^'Y 


=  1  —  Sx''  -\-  6x*  —  lo  ^'  -<-  i5jr* 


et,  après  avoir  ordonné  les  termes  par  rapport  à  x,  on  aura  la  série 

d-he'x-{-  {6"—9)x'-h{e"'—:>.e')x'-h{ô'''—36"-h0)x*-\-{e''—j^e"'-h36')x' 

dans  laquelle  chaque  terme,  comme  x^-,  aura  pour  coefficient  la  quantité 

2  2.3 

Comparant  donc  maintenant  terme  à  terme  cette  série  avec  la  série 

proposée,  on  aura 

t   =  B, 

t'  =6', 

t"  =  Q"  —  Q, 

t"'  =  Q"'-ie', 

r'=:(5'*— 3  9"  +  Ô, 

r  =0"  —  46"'+3Ô', 


et,  en  général. 


„>,^y.,_(X_,)g,x-,^(^-^)('-3)a(>_.,_(X-3)(X-4)|X-5)^„,.,_^^^ 

2  2.3 

VI.  nx 


562  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

d'où  l'on  tire  réciproquement 


B"  = 

6'"  = 

e^  = 

6"'  = 


\-t, 

-  2/', 

4-  3  /!"  +  2  /, 

-4/'"+ 5/', 

+  6r  +  i4r  +  i4/', 

■+  n/"'    -h  20/"'4-  28 /"-l-  t4/, 

4- 8/^" -4- 27  r  +  48^+42/', 


où  la  loi  de  la  progression  est  évidente;  car  on  voit  que  le  coefficient 
de  chaque  terme,  dans  un  rang  horizontal  quelconque,  est  égal  au  coef- 
ficient du  terme  qui  lui  est  au-dessus  dans  le  rang  horizontal  précédent, 
plus  à  celui  qui  est  à  gauche  dans  le  même  rang.  Ainsi,  dans  la  valeur 
de  6"",  on  a 

i^i-t-o,     8=74-1,     27  =  20-1-7,     4^  ^  2^  "*"  20,     ^1  =^  1 1^ -\- y.a  ; 

et  ainsi  des  autres. 

D'où  il  est  facile  de  conclure  qu'on  aura,  en  général, 

Q(\)  _  ^(/,)  _,_  /  ^  _  j\  iCK-2)  _^ i  ((K-i)  _| V M 1_  ^^x_u) 

2  2.3 

_^  MX-i)(X-2)(X-7)  ^^,_^,  ^  X(A-r)(X-2)(X-3)(X-9)  ^^,_,„^  ^  ^ 


2.3.4 


3.4.5 


Corollaire. 
28.   Donc,  si  l'on  a  une  série  telle  que 

et  qu'on  demande  si  elle  est  récurrente  d'un  oi'dre  pair,  et  produite  par 


D'APKÈS  LES  OHSEUVATIONS.  563 

une  tVarlioii  génératrice  dont  le  iiiiniérateur  et  le  dénominateur  soient 
l'un  et  l'autre  des  polynômes  réciproques  de  degrés  pairs,  au  lieu  d'em- 
ployer immédiatement  la  méthode  générale  de  la  Proposition  II  pour 
résoudre  cette  question,  il  y  aura  de  l'avantaiîc  à  transformer  d'ahord 
cette  suite  en  une  autre  de  la  forme 

0  4-  O'x  H-  &"  j'  -f-  Q"'y'  -{-  O'^y'  -f- .  .  • 

et  a  opérer  ensuite  sur  celte  dernière  séiie  par  la  méthode  citée;  car,  de 
cette  manière,  on  aura  la  moitié  moins  d'opérations  à  exécuter,  puisque 
cette  série  sera  d'un  ordre  moindre  de  la  moitié  que  celui  de  la  série 
proposée. 

Quand  on  aura  trouvé  la  fraction  génératrice  de  la  série  transformée 

0  +  O'x  +  ey^  -h . . . , 

il  n'y  aura  (|u'à  y  mcllre  partout  ^  _,  à  la  place  de  y,  et  diviser  en- 
suite toute  la  fraction  par  \  -\-  x^\  on  aura  par  ce  moyen  la  fraction  gé- 
nératrice même  de  la  série  primitive 

t  +  t'x  -f-  fx""  4- 

Cette  transformation  a  d'ailleurs  encore  un  autre  avantage,  c'est 
qu'elle  facilite  la  recherche  du  terme  général  de  la  série  proposée;  car, 
ayant  trouvé  la  fraction  génératrice  de  la  série  transformée  et  l'ayant 
décomposée  en  ses  fractions  simples,  telles  que 


^r     ï  —  pr     »  —  ^.'" 


il  n'y  aura  qu'à  mettre  dans  chacune  de  ces  fractions  ^  à  la  place 

de  y,  et  la  diviser  ensuite  par  i  -\-  x-\  on  aura  ainsi  les  fractions 


I  —  TSX  -\-  X-  I  —  Ç)X  -^  X^  I  —  IX  -t-  X- 

7'- 


564  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

d'où,  en  faisant 


M'=^ 


V'f-    ^'=iV|-'    ^'=t-v/t 


on  aura,  pour  l'expression  du  terme  général  i''"^ 


Cî^—  I  TTT^—  I 

p r; P 


p-  -  I  '  p-  -  . 


(j"  —  I 


Exemple. 
29.  Soil  proposée  la  série 

i-\-  3  ^  4-  5  o:^  +  6  ^'^  -t-  7  .îr*  4-  9  ^=  H-  1 1  ^*  +  12^'-+-.  .  .  ; 

on  trouvera  que  la  transformée  sera 

I  +  3  }■  H-  6  j^  +  1 2  )-3  4-  24  j}-'"  H-  4^.>'^  -(~  9*^  J**  +  1 9^-  .>''  -+-■••» 

laquelle,  à  commencer  du  second  terme,  est  une  progression  géomé- 
trique dont  la  raison  est  2;  de  sorte  qu'on  aura  sur-le-champ  la  formule 

3r  ,       ,  j.  \  -\-  r 

I  H •)     c  est-a-dire, 


iy  I  —  2  j 

pour  la  fraction  génératrice  de  cette  dernière  série;  d'où  l'on  voit  que 
cette  série,  quoique  du  premier  ordre  seulement,  est  cependant  essen- 
tiellement une  série  du  second  ordre,  mais  dans  laquelle  le  coefficienl 
du  terme  y-  dans  l'échelle  de  relation  est  évanoui  (n°  18);  de  sorte  (|ue 
la  série  proposée  sera  nécessairement  du  quatrième  ordre. 

En  effet,  mettant  — - — ;  à  la  place  de  j,  et  divisant  ensuite  la  friiction 


D'APRES   LES  OBSERVATIONS.  505 

parv  1  -h  a?^,  on  aiir;i  cclloci 

i  -\-  X  -h  x'^ 

(i  -f-  j;')  (i  —  2X  H-  x^) 

pour  la  fraction  génératrice  de  la  série  primitive 

I  -h  3x  -\-  5x'-  -h  .  .  . , 

et  il  est  clair  par  là  (jiie  si  l'on  avait  voulu  opérer  immédiatement  p;u' 
cette  même  série,  suivant  la  méthode  de  la  Proposition  II,  il  aiiiail  lallii 
procéder  jusqu'à  la  quatrième  division  avant  que  l'opération  fût  ter- 
minée. 

PROPOSITION   V. 

Problème. 

30.  Les  mêmes  choses  étant  supposées,  comme  dans  la  Proposition  IV, 
on  demande  une  méthode  plus  simple  que  celle  de  la  Proposition  II,  pour 
trouver  immédiatement  la  fraction  génératrice  de  la  série  proposée . 

On  voit,  par  l'analyse  du  Problème  précédent,  que  la  fraction  généra- 
trice de  la  série  (E),  laquelle  a  pour  dénominateur  un  polynôme  réci- 
proque du  degré  2|j.,  et  pour  numérateur  un  polynôme  réciproque  du 
degré  lu.  —  2,.étant  multipliée  par  i  h-  a?^  peut  se  transformer,  par  la 
substitution 

X 

r 


I  +^' 


en  une  autre  fraction  qui  ait  pour  dénominateur  un  polynôme  en  v  du 
degré  ;x,  et  pour  numérateur  un  polynôme  en  y  du  degré  |u  —  i . 

Or  il  est  clair  que,  par  la  méthode  de  la  Proposition  II,  cette  dernièn' 
fraction  peut  se  réduire  en  une  fraction  continue  de  la  forme 


p  +  qy+ —^ 

//  -f-  q'y  -H ^ 


P'    -+-  q"  y  -+-   —, -;;; 

'  ^  '         p" -+-  q" y  -f- 


,(i^-«)  _i_  fld»-")! 


5C6  FORMATION  DES  TABLES  DES   PLANÈTES 

Donc,  si  l'on  remet  dans  cette  expression  ——,  à  la  place  de  y,  et 

qu'on  la  divise  par  i  -^x^,  elle  deviendra  égale  et  identique  à  la  frac- 
tion génératrice  de  la  série  donnée  (E). 

Or  il  est  facile  de  voir  que,  par  ce  moyen,  la  fraction  continue  précé- 
dente deviendra  celle-ci 


/j[l-hx^)-i-  qx 


p  (i-i-x'}-h(j  x-i ^ 


/j"[l-i-X^)  -4-  fj"x 


•^  p{^-'}  (|-^^2)-+-r/(i*-'),r 


D'où  je  conclus  que  la  série  (E)  peut  se  réduire  elle-même  aussi  en 
une  fraction  continue  de  cette  forme,  c'est-à-dire,  dans  laquelle  les 
quotients  provenant  des  divisions  successives,  au  lieu  d'être  simplement 
de  la  forme 

p-^qx,     i)'-\-q'x,     p" -\- q"x,.  .  ., 

comme  dans  la  Proposition  II,  soient  de  la  forme 


p'x\ 


et  comme  les  iQvmes  p x"^ ,  p' x- ,  p"x'^,...,  dont  ces  quotients  diffèrent 
de  ceux  de  la  Proposition  citée,  n'influent  point,  dans  l'opération  de  la 
division,  sur  les  termes  précédents  /?  4-  qx,  p  -^  q'x,...,  il  s'ensuit 
que,  pour  réduire  la  série  (E)  en  une  fraction  continue  de  la  forme  ci- 
dessus,  il  n'y  aura  qu'à  faire  sur  cette  série  les  mêmes  opérations  que 
dans  la  Proposition  II,  avec  cette  seule  différence  qu'après  avoir  trouvé 
les  deux  premiers  termes  de  chaque  quotient  il  faudra  y  ajouter  encore 
le  premier  terme  multiplié  par  x"^,  et  tenir  compte  ensuite  de  ce  nou- 
veau terme  dans  la  soustraction.  De  cette  manière,  l'opération  se  termi- 
nera après  fx  divisions,  au  lieu  qu'en  employant  la  méthode  de  la  Pro- 
position II  elle  exigera  2i±  divisions. 


D'APHÈS  LES  OBSERVATIONS.  507 

Corollaire. 

31.  Lorsqu'on  aura  ainsi  trouvé  les  (juotients  successifs 

p  -h  qx  -\- px^,    p' -h  (j'x  -h p'x\    p" -\-  <j"x  -^- p"x^,. . ., 

on  pourra  en  déduire  la  fraction  génératrice  de  la  série  j)ar  la  inétliodc 
(In  n^  2,  en  prenant  ces  quotients  à  la  place  des  quotienis 

p  -+-  qx,     p'  -(-  q'x,     p"  -\-  q"x, .... 

Mais  il  sera  encore  plus  simple  et  plus  commode  de  prendre  pour 
quotients  les  simples  quantités 

P  -^  </ >'»    p'  +  (i'X'    p"  -^  y"/'  •  ••  •  »    V'^''"'^  -t-  q^'^-'h-  ; 
car,  ayant  formé  par  leur  moyen  la  fraction  en  y,  il  n'y  aura  plus  qu'à 

y  substituer -^  à  la  place  de  y,  et  à  la  diviser  ensuite  par  i  -i-  x'^, 

comme  on  l'a  vu  dans  le  n'*  28. 

Remarque  \. 

32.  La  méthode  précédente  est  donc  très-utile  pour  reconnaître  si 
une  série  quelconque  proposée  est  récurrente  et  due  à  une  fraction  gé- 
nératrice dont  le  numérateur  et  le  dénominateur  soient  des  polynômes 
réciproques  de  degrés  pairs;  car  elle  réduit  à  la  moitié  le  nombre  des 
opérations  que  demanderait  la  méthode  générale  de  la  Proposition  IL 

Si  la  fraction  génératrice  de  la  série  devait  avoir  pour  dénominateur 
un  polynôme  réciproque  de  degré  pair,  et  pour  numérateur  le  produit 
d'un  polynôme  réciproque  de  degré  pair  par  un  polynôme  quelconque 
donné,  alors  on  pourrait  encore  résoudre  la  question  par  la  même  mé- 
thode, avec  cette  seule  différence,  qu'au  lieu  de  prendre  l'unité  pour  le 
premier  dividende,  comme  dans  les  opérations  de  la  Proposition  II,  il 
faudrait  prendre  pour  premier  dividende  le  polynôme  même  donné;  car 
il  est  visible  que,  de  cette  manière   toute  la  fraction  continue  se  trou- 


568  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

vera  multipliée  jDar  ce  même  polynôme,  et  que,  par  conséquent,  la  frac- 
tion résultant  de  la  réduction  de  cette  fraction  le  sera  aussi.  C'est  pour- 
quoi, après  avoir  trouvé  dans  ce  cas  les  quotients  des  divisions  succes- 
sives, il  n'y  aura  qu'à  chercher,  à  l'aide  de  ces  quotients,  la  fraction 
génératrice  de  la  série,  en  faisant  ahstraction  du  polynôme  donné,  et 
ensuite  multiplier  le  numérateur  de  cette  fraction  par  le  polynôme  dont 
Htous  parlons. 

Exemple. 

33.  Je  prendrai  pour  exemple  la  suite  que  nous  avons  déjà  examinée 
dans  le  n*'  29,  d'après  la  méthode  de  la  Proposition  IV,  savoir, 

i  -h  'ix  -h  5x'  -h  6x^  -{-  'jx*  -h  ()x^  -\-  Il  x*^  -\-  iix''  -h  i3x^ 
■+■  i5^^  -+-  17  .r'"  +  iHx^'  -h  19^'^  +  -21  x"  -h  .  . .  , 

et  voici  comment  je  procède. 

Je  commence  par  diviser  l'unité  par  la  série  donnée 

i  -\-  3x  -\-  5x^  -\-  .  . .  , 

que  j'appelle  s,  et  je  trouve  dans  le  quotient  le  terme  1 ,  à  la  place  du- 
quel j'écris  tout  de  suite  i  +  ^-;  je  multiplie  i  h-  x"^  par  la  série  s,  et  je 
soustrais  le  produit  de  l'unité,  ce  qui  me  donne  le  reste 

—  3x  —  6x^  —  9^'  —  1-2. x*  —  i5:r'  —  18 x'^  —  11  x^  —  .  .  .  . 

Je  continue  à  diviser  ce  reste  par  la  série  s,  et  il  me  vient  dans  le  quo- 
tient le  nouveau  terme  —  3^,  qui,  étant  multiplié  par  le  diviseurs  et 
soustrait  du  reste  précédent,  donne  le  reste 

3^^  -^6x^  -+-  6^^-i-  Gx"  -+-  gx'^  ■+-  i2x'  -i-  . .  .  . 

Ainsi  le  premier  quotient  est 

I  —  3x  -\-  x^. 

Maintenant  je  divise  le  dernier  reste  par  son  premier  terme  '5x'^  pour 
avoir  la  série 

1  -(-  2^'  -4-  2.x''  -f-  2^'  -t-  3.r^  -)-  4-*'*  -*-  4-'*'*  -f- .  .  .  , 


DAPUÈS  LKS  OBSERVATIONS.  5G«) 

que  j'appelle  s',  <'l  p;ir  hujuello  je  divise  la  série  s,  (jiii  a  servi  de  divi- 
seur dans  l'opération  précédente. 

Cette  division  me  donne  d'ahord  le  quotient  i,  à  la  place  duquel  j'écris 
de  nouveau  i-+-œ^;  la  multiidicalion  et  la  soustraction  faites,  j'ai  le 
reste 

X  -^-  ix-  -^  ix^  -{-  2 jf*  -f-  3 jfc'  -4-  4 -ar"  -f-  4  •^'  -t-  •  •  •  ) 

qui,  étant  divisé  derechef  par  la  série  s,  produit  dans  le  quotient  le 
terme  x;  et  ce  terme,  étant  multiplié  par  le  diviseur  s  et  soustrait  du 
reste  ()récédent,  ne  laisse  plus  rien;  d'où  je  conclus  que  l'opération  est 
terminée,  et  que  la  série  proposée  est  récurrente  du  quatrième  ordre,  en 
sorte  que  sa  fraction  génératrice  a  pour  dénominateur  un  polynôme  ré- 
ciproque du  quatrième  degré,  et  pour  numérateur  un  polynôme  réci- 
proque du  second  degré. 

En  vertu  de  l'opération  précédente,  la  série  proposée  s  est  donc  égale 
à  la  fraction  continue 


I  —  3x  -\-  x^  -h- 


3^' 


laquelle,  en  înettant/ k  la  place  de -^»  c'est-à-dire, /(r -f- a;-)  à  la 

place  de  x,  se  réduit  à  celle-ci 

I 

'=(.  +  ^.)(,_3,.,+    3(.  +  x-)y   ' 

savoir 


d'où  l'on  voit  que  l'expression  de  s  en  y  est  la  même  que  celle  en  x,  en 
réduisant  les  quotients 

I  —  3x  -h  x^,     i  -^-  X  -h  X- 
VI.  72 


570  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

aux  deux  premiers  termes 

I  —  Sx,      I  -4-  ^, 

changeant  ensuite  x  en  j,  et  divisant  le  tout  par  i  -t-  a;-. 

Ainsi,  pour  avoir  la  fraction  génératrice,  on  considérera  les  quotients 

I  —  3x,     I  +  X 

avec  le  premier  terme  'ix^  du  reste  de  la  première  division,  par  lequel 
ce  reste  a  été  divisé;  et  l'on  en  formera  (n"  13)  les  quantités 

^  =  1,    -^'.^i-hx,     l"={^-3x)l'-\-3x'l  =  l-'ix; 

on  changera^en  y  dans  la  fraction  ^,y  et,  la  divisant  ensuite  par  i-hx-, 
on  aura  celle-ci 


pour  la  fraction  cherchée,  dans  laquelle  il  n'y  aura  plus  qu'a  mettre 
à  la  place  de  j,  ce  qui  la  transformera  en 


l  -\-  X  -^  x'^ 


[1  -\-  X'')  [l  —  IX  -\-  x^  )' 

ce  qui  s'accorde  avec  le  résultat  du  n°  29. 

Remarque  II. 

34.  Si,  dans  le  cas  du  Problème  précédent,  il  arrivait  que  la  fraction 
génératrice  eût  pour  numérateur  un  polynôme  réciproque  d'un  degré 
égal  ou  plus  grand  que  celui  du  dénominateur,  alors  la  série  aurait  au 
commencement  un  certain  nombre  de  termes  irréguliers,  comme  on  l'a 
vu  dans  le  n*"  18;  or,  si  l'on  se  contentait  d'effacer  ces  termes,  la  série 
restante  serait  à  la  vérité  régulière,  mais  elle  n'aurait  plus  une  fraction 
génératrice  dont  le  numérateur  et  le  dénominateur  fussent  des  poly- 
nômes réciproques  de  degrés  pairs,  comme  auparavant.  Comme  il  peut 


D'APKÉS   Li:S  OBSERVATIONS.  571 

néanmoins  (Hrc  (|ii('I(|ii('rois  ulilc  de  ronscrvcr  ii  l;i  série  cette  propriété, 
nous  niions  voir  ce  (|iril  r:i(i(lr;i  iMirc  pour  cet  cM'cl. 
Considérons  donc  l:i  fiMclion 

\  -\-Bx  -hCx-''  -^.  .  .-h  C.T^'-'  -h  B.r'^'-'  H-  A^'' 
l;i(|M('ll('  soil  supposée  donner  naissance  à  l;i  série 

l  -h  t'x  +  t"x'  4-  t"'x'  -t-  /'"^^  -f- 

Je  dis  que  l'on  peut  diviseï-  le  numérateur  de  cette  fraction  par  son  dé- 
nominateur, en  sorte  que  tant  le  quotient  que  le  reste  soient  aussi  des 
polynômes  réciproques  de  degrés  pairs;  en  effet,  si  l'on  suppose  que  le 
quotient  soit 

P  -f-  Q^  -f-  \{x  +  .  .  .  +  R^2(P-')-2  H-  Q^îCt-'î-'  -I-  P^r^f-O 

et  que  le  reste  soit 

xi[p  -h  (jx  -h  rx--h  ...-+-  /\r2  '-O-^-f-  qx'H'-''-'  -\- px""-'-'^], 

il  est  facile  de  prouver  qu'en  multipliant  ce  quotient  par  le  diviseur 

A  H-  Bx  -f-  Cx^  +. .  . 

et  y  ajoutant  ensuite  le  reste,  il  viendra  un  polynôme  réciproque  du 
degré  2(v  +  p  —  i);  et,  comme  le  nombre  des  coelïicients  indéterminés 
P,  Q,  R,...  est  p,  et  celui  des  coelFicients  indéterminés/?,  q,  r, ...  est  v, 
le  polynôme  dont  il  s'agit  contiendra  v  -f-  p  quantités  indéterminées;  par 
conséquent  ce  polynôme  sera  comparable  au  polynôme 

a  -\-  bx  -\-  ex'  -f- .  .  . , 

où  le  nombre  des  coefficients  donnés  a,  h,  c —  est  aussi  v  -+-  0. 

Maintenant,  puisque  le  reste  est  divisible  par  rf,  il  est  clair  que  les 
û  premiers  termes  de  la  série 

t  -^  t'  X  ->n  t"  X'  -^  .  .  . 


572  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

devront  être  les  mêmes  que  les  p  premiers  termes  du  quotient 

P  H-Q.r-+-R^'  +  .  . ., 

afin  que,  ces  termes  étant  efTacés  de  part  et  d'autie,  ce  qui  restera  soit 
tout  divisible  par  ac^;  on  aura  donc  ainsi 

P  =  /,     Q  =  /',     R  =  t",...; 

donc,  après  avoir  effacé  ce  qui  se  détruit,  et  divisé  le  tout  par  x^,  on 
aura  l'équation 

p  +  qx  -\-  rx' -\- . .  .H-  rx'^^''- ''>-''-{-  qx^(''-'^-'  -+-  px-'^'"-'^ 
"*  A  +  B^  +  C^-  +  ...H-  Cx'^-^  -+-  ïix'-'  -+-  \x"         ' 

d'où  il  s'ensuit  qu'on  aura 

_  P  -\-  gx  -h  rx^  +  .  .  .H-  r.r=(''-' )---!-  qx"^'"^^-'  -+-  px^f-''-*^ 
~"         A.  -h-  hx  -h  Cx'  -h.  .  .-\-  Cx^''-''  +  \ix-''-'  -+-  \x'''' 

On  voit  donc  par  là  que,  pour  rendre  la  série 

t  -+-  t'x  -+- 1"  x''  H-  i"'x-  H- . . . 

régulière,  et  en  même  temps  originaire  d'une  fraction  qui  ait  poui  nu- 
mérateui'  et  pour  dénominateur  des  polynômes  réciproques  de  degrés 
pairs,  il  faut  non-seulement  y  effacer  les  p  premiers  termes,  et  diviser  les 
restants  par  x'^,  mais  encore  retrancher  des  coefficients  de  ceux-ci  les 
coefficients  de  ceux  des  premiers  termes  qui  sont  également  éloignés 
du  terme  p'^'"^,  c'est-à-dire,  en  retrancher  respectivement  les  coeffi- 
cients des  termes  effacés  disposés  à  rebours,  à  commencer  par  le  pé- 
nultième. 

Si  la  série  proposée  avait  pour  fraction  génératrice  la  fraction  ci- 
dessus,  mais  dont  le  numérateur  fût  de  plus  multiplié  par  i  +  œ,  ce  qui 
le  rendrait  un  polynôme  réciproque  du   degré  afvH-p  — ij  +  i,  on 


D'APKKS   I.ES  OBSERVATIONS.  573 

trouverait  par  un  raisonnement  semblable  que,  pour  débarrasser  la  série 
(les  termes  irréguliers  et  conserver  v.n  même  temps' à  sa  fraction  géné- 
ratrice la  même  forme,  il  faudrait  y  effacer  les  p  picmic'i's  termes,  diviser 
les  autres  par  0?!^,  et  retrancher  ensuite  respectivement  des  coellicieiits  de 
ceux-ci  ceux  des  termes  effacés,  disposés  a  rebours,  à  commencer  par 
le  dernier;  c'est  le  cas  de  la  seconde  des  deux  séries  fC)  du  n"  24. 

Mais,  si  le  numérateur  de  la  fraction  au  lien  d'èln-  niulliplié  par 
I  H- a?  devait  l'être  par  i  —  x\  ce  (jui  est  le  cas  de  la  première  des  mêmes 
séries  (Cj,  alors  on  opérerait  comme  dans  le  cas  précédent,  mais  en 
(diangeant  la  soustraction  en  addition. 

lîlntin,  si  l'on  avait  le  cas  de  la  première  des  séries  (Dj  du  n"  25,  où  le 
numérateur  de  la  fraction  doit  être  niultiplié  par  i  —  .■>-,  il  est  facile  de 
voir  qu'après  avoir  effacé  les  p  premiers  termes,  et  divisé  les  autics 
par  x^,  il  faudrait  ajouter  respectivement  aux  coefficients  de  ceux-ci,  à 
commencer  seulement  par  le  second,  les  coefficients  des  termes  effacés 
disposés  à  rebours. 

PROPOSITION  VI. 

Problème. 

Etant  donnée  une  suite  de  nombres  dont  la  loi  de  la  progression  soit  in- 
connue, on  propose  de  trouver  si  chaque  terme  de  cette  suite  peut  être  repré- 
senté par  la  somme  d'un  certain  nombre  de  sinus  d'angles  qui  varient  d'un 
terme  à  l'autre  par  des  différences  constantes  quelconques,  chacun  de  ces 
sinus  étant  d'ailleurs  multiplié  par  un  coefficient  constant  quelconque. 

Les  principes  posés  ci-dessus  fournissent  différentes  manières  de  ré- 
soudre ce  Problème. 

Première  Solution. 

35.  De  ce  que  l'on  a  démontré  dans  les  n"*  5  et  6,  il  s'ensuit  que.  pour 
que  la  suite  proposée  soit  de  la  nature  dont  il  s'agit,  il  faut  qu'elle  soit 
récurrente  d'un  ordre  pair,  et  que  de  plus  la  IVaction  généralrice  ail 


574  FORMATION  DES  TABLES   DES  PLANÈTES 

pour  dénominateur  un  polynôme  réciproque  d'un  det^ré  pair,  lequel 
soit  résoluble  en  facteurs  trinômes  de  la  forme 

I  —  2^  cosa  H-  ar%      I  —  2^  cos[3  -\-  x\  .  .  .  . 

Ainsi,  pour  résoudre  le  Problème  proposé,  il  n'y  aura  qu'à  l'aire  usage 
de  la  métbode  générale  de  la  Proposition  II,  et  chercher  par  son  moyen 
ia  fraction  génératrice  de  la  série.  Cette  fraction,  si  la  série  en  a  une, 
étant  trouvée,  il  n'y  aura  plus  qu'à  voir  si  elle  a  pour  dénominateur  un 
polynôme  qui  ail  les  propriétés  dont  nous  venons  de  parler;  c'est  de  quoi 
on  pourra  s'assurer  aisément  par  les  formules  du  n''  6;  car,  d'abord,  il 
faudra  qu'en  égalant  le  dénominateur  à  zéro  on  ait  une  équation  réci- 
proque de  la  forme 

I  -^{i)x  -h{2)x'  -¥-  (3)x^-f-.  .  .H-  (3)^-'-^-t-(2)x''--  +  (i).r '-'  -+-  x^'  =  o; 

ensuite  il  faudra  que  la  transformée 

r  +  [(Ol^;-  +  [(2)]z-  -f-  [(3)] -'-3  + . . .+  [(v)]  =  o 

ait  toutes  ses  racines  réelles,  inégales  et  comprises  entre  les  limites  —  2 
et  +  2.  On  trouve,  dans  les  Mémoires' de  l'Académie  de  Berlin,  pour  les 
années  1767  et  1768  (*),  des  méthodes  directes  et  faciles  pour  recon- 
naître si  cette  condition  a  lieu,  et  pour  trouver  en  même  temps  la  valeur 
de  chaque  racine  aussi  approchée  que  l'on  veut. 

Supposons  que  ^7,  p,  7,...  soient  les  racines  dont  nous  parlons;  on  fera 

cosa=— 5      cosp=-i      COSy  =-■)■■  ■■, 

2  '2  2 

et  l'on  en  conclura  sur-le-champ  que  le  terme  général  T-'"'  de  la  série 
proposée  sera  de  la  forme 

A  sin(a  +  ma  )  -h  B  sin(6  -+-  m|3)  +  C  siii ,  c  +  my)  -+-..., 

m  étant  l'exposant  du  rang,  et  A,  B,  C, . . . ,  a,  6,  c, . . .  des  constantes 
qu'on  déterminera  aisément  par  les  méthodes  connues. 

(*)  OEuvres  de  Lngrange,  t.  II,  j).  SSg  et  58 1. 


D'APRÈS   LES  OBSERVATIONS.  575 

En  cfTct  il  est  clair,  par  les  formules  du  n"  6,  que  le  dénominateur  de 
l;i  IVaction  génératrice  aura  alors  pour  lacliîur  les  trinômes 

I  —  "f.x  cosoc -h  x',     I  —  2JC  ros(3  4- x^, . . . , 

en  sorte  qu'on  pourra,  par  les  niélliodcs  connues  décomposer  celle 
fraction  en  autant  de  Irai  lions  partielles,  telles  qnc 

F  +  Go:  H-f-I^ 


I  —  a^ccosa -+-^'"        I  —  '?.xcos^-\-x' 

Or  on  sait,  et  il  est  d'ailleurs  très-facile  de  démontrer  que  toute  frac 

lion  de  la  forme 

I 

I  —  2:r  cosa  +  :c* 

donne  une  série  dont  le  terme  général  est 

sin(m  4-  i)a 

■  x'"  ' 

sina  ' 

donc  la  fraction 

F+  Go; 


I  —  2X  cosa -h  ar' 


produira  une  série  qui  aura  pour  terme  général  la  quantité 
F  sin  (  m  -I-  I  )  a  4-  G  sin  m  a 


sina 
mais 


X"'; 


sin   m  4-  I  )  a  =  smmx  cosa  4-  cosma  sin  x; 

donc,  si  l'on  fait 

,.       ,    .  Fcosa4-G 

t"  =  A  sma,      : =  A  cosa, 

sina 

et  par  conséquent 


Fsma  ,        ^F'4- 2FGcosa4-G' 

r  cosa  4-  G  sina 


576  FORMATION   DES  TABLES  DES   PLANÈTES 

le  terme  général  de  la  série  provenant  de  la  fraction 

I  —  2^  cosa  H-  x"" 

se  réduira  à  la  forme 

A  sin(«  -f-  moL]  x'" . 

Ainsi  l'on  connaîtra  les  valeurs  des  constantes  A  et  a,  et  l'on  déter- 
minera de  même  celles  des  constantes  B  et  è,  à  l'aide  des  quantités  H,  I, 
et  sin|3,  cos/3;  et  ainsi  des  autres. 

Deuxième  Solution. 

36.  Puisque  la  question  est  de  savoir  si  la  suite  proposée  résulte 
d'une  fraction  génératrice,  dont  le  dénominateur  soit  un  polynôme  ré- 
ciproque d'un  degré  pair  2v,  supposons  que  cela  soit  ainsi,  et  il  est  clair 
qu'on  aura  dans  ce  cas  f  n°  24) 

P  =  n,     n  =  2v, 

par  conséquent 

P'  =  i,    Q'  =  i,    P  =  Q. 

D'où  il  s'ensuit  que  chacune  des  séries  transformées  du  n''  26  sera  de 
l'ordre  2(2v  —  v)  =  2v,  c'est-à-dire,  du  même  ordre  que  la  proposée; 
en  sorte  que,  par  la  méthode  de  la  Proposition  IV,  on  pourra  les  trans- 
former de  nouveau  en  d'autres  qui  ne  seront  que  de  l'ordre  v,  et  par 
conséquent  d'un  ordre  moindre  de  la  moitié  de  celui  de  la  série  pro- 
posée; moyennant  quoi  la  recherche  de  la  fraction  génératrice  devien- 
dra beaucoup  plus  simple  et  plus  facile. 

Soit  donc  T  un  des  termes  du  milieu  de  la  suite  proposée,  et  soient 

T',  T",  T'",... 
les  termes  qui  suivent  celui-là, 

T,  "T,  "T, ... 
ceux  qui  1(^  précèdent.  On  formera,  par  les  formules  du  n''  26,  les  deux 


D'APRÈS    LKS  onSKin  ATIONS.  577 

séries  transformées  (Ej  et  (F;,  ou  bien  l(!s  deux  autres  (G)  et  (H), 
qu'on  rcpi-ésentcra,  comme  dans  le  numéro  cité,  de  cette  manière 

t  +  t' X  +  t" x''  -f-/"'^='-f-  r^'x''  -+-..., 

(/)  4-  {t')x  +  [^i")x''^{t"')x^-^  {t"')x'^.  ..; 

ensuite  on  transformera,  par  les  formules  du  n"  27,  ces  deux  séries 
dans  ces  deux-ci 

(I)  Q+  S'y  -+-  0"r'  -+-  Ô"'f'  -h  0'V'  +  •  •  •  ' 

(K)  (Q^^^9')y^^e")r  +  {0"')r^  +  i9^nr'  +  ---' 

et  l'on  opérera  sur  l'une  ou  l'autre  de  ces  deux  dernières  séries,  suivant 
la  méthode  de  la  Proposition  II,  pour  trouver  sa  fraction  génératrice,  si 
elle  en  a  une.  Cette  fraction  étant  trouvée  pour  l'une  des  deux  séries 
dont  il  s'agit,  il  sera  facile  d'avoir  la  fiaction  de  l'autre  série,  puisque 
les  deux  fractions  génératrices  doivent  avoir  le  même  dénominateur 
(sur  quoi  voyez  la  Remarque  I,  au  n"  38j,  car  la  difficulté  ne  consistera 
qu'à  trouver  le  numérateur  de  la  fraction  inconnue;  et  pour  cela  il  est 
clair  qu'il  n'y  aura  qu'à'multiplier  la  série  elle-même  par  le  dénomina- 
teur déjà  trouvé,  et  prendre  pour  numérateur  autant  des  premiers 
termes  de  ce  produit  qu'il  y  en  a  dans  le  dénominateur,  moins  un,  les 
termes  suivants  devant  d'ailleurs  s'évanouir  d'eux-mêmes,  ce  qui  peut 
servir  de  confirmation  à  la  bonté  du  calcul. 

Connaissant  ainsi  les  fractions  génératrices  des  deux  séries  (I)  et  (Kj, 
il  faudra  examiner  d'abord  si  leur  dénominateur  commun,  étant  égalé 

à  zéro,  donne,  en  y  faisant  r=  -■,  une  équation  en  z  de  la  même  na- 
ture que  celle  du  n"  35,  c'est-à-dire,  dont  les  racines  soient  toutes  réelles 
inégales,  et  comprises  entre  les  limites  2  et  —  2,  en  sorte  qu'on  puisse 
les  supposer  égales  k 

2C0sa,     2cos(3,     2cosy,..., 

auquel  cas  on  pourrait  décomposer  les  fractions  dont  il  s'agit  dans  les 
VI.  73 


578  FORMATION  DES  TABLES   DES   PLANÈTES 

fractions  partielles 

F  G  H 

\ ^  H h..., 

I  —  2>-cosa        I  —  2;cosp        I—  2vcosy 
(F)  .  iG)  ,  (H) 


I  —  2/  cosa        I  —  2>'  cosj3        I  —  2}'  cosy 

On  mettra  ensuite  clans  ces  fractions à  la  place  de  y,  et  on  les  di- 

visera  par  i  +  ^-,  ce  qui  les  changera  en  celles-ci 

F  G  H 


I  —  2xcosa-+-x-         I  —  "xx  CQ<s,p -{- X-        I  —  2^7  cosy  H- :r:^ 

(F)       .        _^  (G)  ,  (H) 


I  —  2xcosa  +  ^^        I  —  2^  cos(3 -+- a;^        i  —  2^  cosy +  ^^ 
qui  seront  par  conséquent  égales  aux  séries 

;  4-  r  X  +  t"  x''  -\- 1"'  x''  + . . . , 

{t)-^{t')x^{t")x-'^{f')x^  + 

Il  faut  maintenant  distinguer  deux  cas,  suivant  que  ces  séries  répondent 
aux  séries  (E)  et  (F),  ou  aux  séries  (G)  et  (H)  du  n^  26. 

Dans  le  premier  cas,  il  n'est  pas  difficile  de  voir  que  si  l'on  multiplif 
la  série 

t-\rt'x-^t"x''^l"'x''-^... 

par  I  —  .r,  et  la  série 

{t)-\-[l')x  ^{  t"  )x^  +  {  t'"  )  x'  -f-  .  .  . 

par  I  H-  .r,  et  qu'on  les  ajoute  ensemble,  il  en  résultera  celle-ci 

2T  +  2T'^  H-  2T"^--'  -t-  2T"'^^  -1- 

On  aura  donc  dans  ce  cas 

F-t-(F)   F-(F)    G  +  (G)   G-iG) 


T-)-T'x  +  T".r^H-T'V'  +  T"x'  +  ...=    ^ 


:— '^.r  cosa-f- JT''       i — 2  .r  cos  S -4- a;^ 


D'APRÈS   LES  OnSKKVATlONS.  879 

d'où  l'on  tirera  aiséinciit   rcxjucssion  du   iciiiic  général  V"\  comme 
dans  la  soiulion  préfédcnlc. 
Dans  le  second  cas,  la  série 

l  -h  l'a;  ^  l" X'  -(-  l'" x''  +  . . . , 
ét;int  niulli|)li(''('  par  i  —  x-  cl  cnsuilc  ajoutée  à  la  série  ^ 

(  0  H-  (  /'  )  X  -h  (7"  j  ^^  +  (  r  j  ^^  -+- . . . 

multipliée  para:,  donnera  iclUî-ci 

T  +  2  T'  X  -+-  3.  T'x'  -f-  x  T'x^  + .  .  . , 
en  sorte  (jue  l'on  aura 


Or,  si  l'on  fait  dans  cette  équation  a:  =  o,  on  a 


•2  2  2 


Donc,  ajoutant  cette  équation  à  celle-là,  il  viendra 

I  —  2  or  eus  a -f- x''  I  —  2  X  COS  [3 -H  .r' 

d'où  il  est  facile  de  trouver,  pour  le  terme  général  T''"\  l'expression 

i')      •  ,^  o         (G)      .       r 

r  cosma  H : sinma  +  (j  cos/«p  H ; — r-  sinmS  -t-  .  .  ., 

2iiina  2sinp  ^ 

qu'on  réduira  aisément  à  la  forme 

A  sin(a  -i-  my.   -t-  ii  siii  (6  -f-  /?jj3)  h-  .  .  ., 

en  faisant 

2Fsina         .  /., 


4sin'( 


iang6  =  --^,      B  =  i/G'H-  /.     ., 
(G)  V  4sin'(3 

73. 


580  FORMATION  DES  TABLES  DES   PLANETES 

Troisikme  Solution. 
37.  Ayant  noiïfmé,  comme  ci-dessus, 

...,  1,  1,  1,        1,        1,1,1,... 

les  termes  de  la  suite  proposée,  on  en  formera  ces  delix  séries  ('24j 


iC) 


j  (  T  4-  ^T)  +  (T'  +  "T).r  -+-  (T"  +  ™T).r'  +  (T"'  +  "T)^^  + 


(   (T  —  T)  +  (T'  -  "T)  X  +  (T"  —  "'T)x"-  +  f  T'"  -  -T)  .r'  +  .  .  . , 
ou  bien  ces  deux-ci  (n°  25j 

/  ï  _^   T'  +  ^T) a;  H-  ;  T"  +  "T) ^'  +  (T'" -J- "T)  .r'  +  .  .  . , 
)  (T'  —  T  :  +  (T"  —  ^'T  )  X  -f-  (T'"  +  "T)  x'  +  ...; 

ensuite  on  opérera  sur  une  quelconque  de  ces  quatre  séries,  suivant 
la  méthode  de  la  Proposition  V,  en  ayant  seulement  attention  (32)  de 
prendre  pour  premier  dividende,  au  lieu  de  Tunilé,  la  quantité  i  —  x 
si  l'on  choisit  la  première  des  deux  séries  (G),  la  quantité  i  H-a;  si  l'on 
choisit  la  seconde  de  ces  séries,  ou  la  quantité  i  —  oc'  si  l'on  veut  opérer 
sur  la  première  des  deux  séries  (D);  mais,  à  l'égard  de  la  seconde  des 
séries  '^Dj,  il  ne  faudra  prendre  que  l'unité,  comme  à  l'ordinaire. 

On  pourra  donc  trouver,  par  cette  méthode,  la  fraction  génératrice 
de  la  série,  si  elle  en  a  une;  et  pour  cela  il  faudra  se  souvenir  de  multi- 
plier ensuite  le  numérateur  de  la  fraction  qu'on  aura  trouvée  directe- 
ment, par  la  même  quantité  qui  aura  servi  de  premier  dividende,  pour 
avoir  la  véritable  fraction  génératrice  cherchée  (numéro  cité). 

Ayant  trouvé  ainsi  la  fraction  génératrice  de  l'une  des  deux  séries  (C) 
ou  (D),  il  faudra  chercher  encore  celle  de  la  série  compagne,  et  pour 
cela  on  pourra,  si  l'on  veut,  s'y  prendre  de  la  même  manière;  mais, 
comme  on  sait  d'avance  que  ces  fractions  doivent  avoir  le  même  déno- 
minateur, il  suffira  de  chercher  le  numérateur  de  la  nouvelle  fraction, 
en  multipliant  la  série  correspondante  par  le  dénominateur  déjà  trouvé, 
et  ne  prenant  dans  le  produit  qu'un  nombre  de  termes  moindre  d'une 


D'APUKS   I.ES  OBSKHVATIONS.  581 

uiiilé  (jiic  celui  (lu  (léiioiii'malcui';  ou  |M»urr;i  inruic  se  contenter  de  clier- 
clier  ainsi  les  v  premiers  termes  du  produit  (^v  -h  i  étant  supposé  le 
nombre  des  termes  du  dénominateur);  car,  comme  on  sait  que  les  deux 
séries  (C)  doivent  avoir  pour  numérateurs  de  leuis  IVactions  génératrices 
des  polynômes  réciproques  du  degré  2V  —  2  uiullipliés  pai-  1  —  x  ou 
par  i-hx,  il  s'ensuit  que  la  seconde  des  séries  (Cj  aura  pour  numérateur 
un  polynôme  réciproque  du  degré  2v  —  i,  et  que  la  première  aura  pour 
numérateur  un  polynôme  du  mémo  degié  2v  —  i,  dont  les  termes  ex- 
trêmes, ainsi  que  les  équidistants  des  extrêmes,  auront  les  mômes  coef- 
ficients, mais  avec  des  signes  contraires,  polynôme  qu'où  pourra  apjx  1er 
anti-réciproque  ;  de  même,  puisque  la  première  des  deu\  séries  (D  doit 
avoir  pour  numérateur  de  sa  fraction  génératrice  un  polynôme  réci- 
proque du  degré  uv  —  2,  multiplié  par  1  —  x-,  il  est  facile  de  voir  (jue 
ce  numérateur  ne  sera  autre  chose  qu'un  polynôme  anti-réciproque  du 
degré  2v;  et,  quant  à  la  seconde  des  mêmes  séries  fD),  elle  aura  naturel- 
lement pour  numérateur  un  polynôme  réciproque  du  degré  2v  —  2. 
D'où  l'on  voit  qu'il  suffira  toujours  de  connaître  la  première  moitié  des 
termes  du  numérateur  cherché,  puisque  les  termes  restants  seront  les 
mêmes  avec  les  mêmes  signes,  ou  avec  des  signes  contraires.  Sur  quoi 
voyez  encore  ci-dessous  la  Remarque  II  (39). 

Dès  qu'on  connaîtra  les  fractions  génératrices  des  deux  séries  C) 
ou  (D),  on  pourra  achever  la  solution  du  Problème,  comme  dans  le 
numéro  précédent;  car  il  est  visible  qu'en  faisant 


I  -i-a.-' 


■■r 


on  pourra  mettre  les  deux  fractions  génératrices  des  séries  ^C)  sous  la 

forme 

I  —  X    V        i  -\-  X    (  V  ) 

7+^^ 'Y'  7=r^  "^' 

cl  les  deux  fractions  génératrices  des  séries  (D)  sous  la  forme 

i—x'  V  I       (V) 

TT^  y'    i-f-^'  y  ' 


582  FORMATION   DES  TABLES   DES  PLANÈTES 

V,  (V)  et  Y  étant  des  polynômes  en  j,  dont,  les  deux  premiers  seront  du 

degré  v  —  i,  et  le  dernier  du  dep,ré  v;  et  il  est  facile  de  se  convaincre 

que  les  fractions  ^  et  -rr-  ne  seront  autte  chose  que  les  fractions  géné- 
ratrices des  séries  (I)  et  (K)  de  la  seconde  solution;  en  sorte  qu'en  opé- 
rant sur  ces  fractions,  comme  nous  l'avons  enseigné  dans  cet  endroit, 
on  en  tirera,  pour  l'expression  du  terme  général  T<'"^  les  mêmes  for- 
mules que  nous  avons  trouvées  à  la  fin  de  la  Solution  précédente,  en 
remarquant  que  le  premier  des  deux  cas  que  nous  y  avons  distingués 
répond  à  celui  où  l'on  aura  employé  les  séries  (C),  et  que  le  second 
répond  à  celui  où  l'on  aura  fait  usage  des  séries  (D). 


Remarque  l. 

38.  Nous  avons  dit,  dans  la  seconde  solution  du  Problème  précédent, 
que  les  fractions  génératrices  des  deux  séries  (I)  et  f  K)  doivent  avoir  le 
même  dénominateur.  Cela  est  vrai,  en  général,  comme  on  peut  s'en 
convaincre  en  relisant  les  n°*  24,  25  et  26;  mais  il  peut  arriver  que  le 
dénominateur  ait  un  facteur  commun  avec  le  numérateur  d'une  de  ces 
fractions,  auquel  cas  ce  facteur  s'évanouira  de  lui-même,  et  la  fraction 
deviendra  plus  simple.  Dans  ce  cas  donc,  si  l'on  multiplie  par  ce  déno- 
minateur l'autre  fraction,  on  aura  encore  après  la  multiplication  une 
fraction  dont  le  numérateur  sera  le  même  qu'auparavant,  et  dont  le 
dénominateur  sera  le  facteur  commun  qui  s'était  évanoui  dans  la  pre- 
mière fraction.  Par  conséquent  cette  fraction  donnera  aussi  une  série 
récurrente,  mais  dans  laquelle  il  y  aura  au  commencement  autant  de 
termes  irréguliers  qu'il  y  a  d'unités  dans  le  degré  du  polynôme  par 
lequel  elle  aura  été  multipliée  (17).  D'où  il  est  facile  de  conclure 
que,  si  après  avoir  trouvé  la  fraction  génératrice  de  l'une  des  séries  (I) 
ou  (K)  on  multiplie  l'autre  série  par  le  dénominateur  de  cette  fraction, 
et  qu'après  avoir  pris  autant  de  termes  de  ce  produit  qu'il  y  en  a  dans 
le  multiplicateur,  moins  un,  on  trouve  que  les  termes  suivants  ne  sont 
pas  nuls,  ce  sera  une  marque  que  la  fraction  trouvée  est  dans  le  cas 


D'APRES  LES  OBSEHVATIONS.  583 

dont  nous  venions  de  icirlcr;  alors  il  faudra  considérer  ces  derniers 
termes,  el,  aprrs  les  avoir  divisrs  par  la  piiissauce  i\ii  y  (|ni  iiiiilli|die  le 
premier  d'entre  eux,  oti  eherchera  de  nouveau,  j)ar  la  mélliode  géné- 
rale, la  fraction  gcnéralriee  de  la  série  qui  en  est  formée;  on  multi- 
pliera ensuite  celte  fraction  par  la  puissance  de  j,  par  laquelle  on  avait 
divisé  les  termes  de  la  série,  et  l'on  y  ajoutera  les  premiers  termes  dont 
on  a  parlé;  on  aura  ainsi,  après  avoir  réduit  le  tout  au  même  dénomi- 
nateur, une  fraction  (jui,  étant  encore  divisée  par  le  dénominateur  dit 
la  première  fraction  ti'ouvée,  sera  la  véritable  fraction  général lice  de 
l'autre  série  en  (jueslion. 

Remarque  II. 

39.  Il  est  visible  (jue  la  môme;  difficulté,  qui  vient  de  faire  l'objet  de 
la  Remarque  précédente,  pourra  se  rencontrer  aussi  dans  la  troisième 
Solution;  el  cela  arrivera  lorsque  les  termes  du  produit  de  la  série  par 
le  dénominateur  trouvé  ne  fornu'ront  pas  un  polynôme  réciproque  ou 
anti-récipro(jue,  comme  nous  l'avons  supposé  dans  cette  Solution.  Dans 
ce  cas  donc,  il  faudra  chereber  de  nouveau  la  fraction  génératrice  de  la 
série  formée  par  le  produit  dont  nous  parlons;  mais,  comme  cette  série 
contiendra  au  commencement  autant  de  termes  irréguliers,  moins  un, 
qu'il  y  en  a  dans  le  dénominateur  déjà  trouvé,  il  faudra  se  débarrasser 
de  ces  termes  par  la  métbode  du  n"  34.  Voici  donc  comment  on  s'y  pren- 
dra. Ayant  trouvé  la  fraction  génératrice  de  l'une  des  deux  séries  (C) 
ou  (D),  pour  avoir  celle  de  la  série  compagne,  on  multipliera  cette  série 
par  le  dénominateur  de  la  fraction  trouvée,  et,  retenant  les  premiers 
termes  de  ce  produit,  on  retrancbera  des  termes  suivants  ce  qu'il  faut 
pour  (ju'il  en  résulte  un  polynôme  réciproque  ou  anti-réciproque  de  la 
forme  et  du  degré  dont  devrait  être  le  numérateur  de  la  fraction  cber- 
chée,  si  elle  avait  le  même  dénominateur  que  l'autre  fraction.  On  divi- 
sera tous  les  termes  de  cette  partie  retrancbée  par  la  puissance  de  a-  (jui 
en  afiecte  le  premier  terme,  et  l'on  opérera  ensuite  sur  la  série  résul- 
tante comme  on  aurait  opéré  sur  la  série  elle-même,  si  l'on  en  avait 


o8i  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

cherché  direelement  la  fraction  génératrice  sans  supposer  son  dénomi- 
nateur connu. 

Dès  qu'on  aura  trouvé  hi  Traction  génératrice  de  la  série  en  question, 
il  n'y  aura  j)lus  (ju'à  la  multiplier  par  la  même  puissance  de  x,  par  la- 
quelle on  avait  divisé  auparavant  tous  ses  termes,  et  à  \  ajouter  ensuite 
le  polynôme  réciproque  ou  anli-réciproque  dont  on  vient  (h^  parler;  la 
fraction  qui  en  résultera,  après  avoir  réduit  le  tout  au  même  dénomi- 
nateur et  multiplié  de  plus  ce  dénominateur  par  celui  de  la  première 
fraction  déjà  trouvée,  sera  la  fraction  génératrice  de  la  série  compagne 
de  la  première. 

Cette  l'ègle  se  démontre  facilement  par  les  principes  du  numéro  cité; 
nous  ne  nous  y  arrêterons  pas,  d'autant  que  dans  la  pratique  il  paraît 
beaucoup  plus  utile  d'employer  toujours  la  méthode  directe  pour  l'une 
et  l'autre  série;  car,  quoique  de  celle  manière  le  calcul  devienne  un  peu 
plus  long,  il  y  a  néanmoins  cet  avantage  que  l'opération  qu'on  fera  sur 
la  seconde  série  servira  de  preuve  à  celle  qu'on  aura  faite  pour  la  pre- 
mière, puisqu'il  faut  nécessairement  que  le  dénominateur  de  la  fraction 
génératrice  de  celle-ci  soit  le  même  que  celui  de  la  fraction  génératrice 
de  celle-là,  ou  qu'il  en  soit  du  moins  un  diviseur  exact. 

Conclusion. 

40.  Comme  la  troisième  Solution  mérite  d'être  employée  de  préfé- 
rence, à  cause  de  sa  simplicité  et  de  sa  facilité,  je  vais,  pour  la  commo- 
dité de  ceux  qui  voudrDul  en  faire  usage,  récapituler  en  peu  de  mots  les 
procédés  qu'elle  demande.  Pour  cela  je  distinguerai  les  deux  cas  qui 
répondent  aux  séries  (C)  ou  (D),  sur  lesquelles  on  est  libre  d'opérer  :  ce 
qui  fournira  deux  méthodes  différentes  de  résoudre  le  Problème. 

Première  Méthode. 
Soit  T  un  des  termes  du  milieu  de  la  série  proposée;  T',  T",  T", ... 


D'APRÈS   LES  OBSERVATIONS.  585 

les  ternies  suivants,  et  'T,  "T,  "ï,  '"ï,...  les  précédents;  on  en  l'oiinera 
d'abord  la  série  des  sommes 


(T  -+-  T)  -h  (T  -f-  ''T)x  -f-  (T"  +  "T):»:'  +  (T"'  +  "T  .r'  -t-  .  .  .  , 

et,  pour  rendre  le  calcul  pins  commode,  on  commencera  par  diviser 
tous  les  termes  de  cette  série  par  son  premier  terme  ï  H-T,  que  j'appel- 
lerai en  général  p,  en  sorte  que  la  série  résultante  que  je  nommerai  s 
ait  pour  premier  terme  l'unité. 

Cette  préparation  faite,  on  divisera  i  —oc  par  5,  et,  au  lieu  de  1 ,  on 
écrira  d'abord  i  -h  jc^  dans  le  quotient;  ensuite,  après  la  multiplication 
et  la  soustraction  ordinaires,  on  continuera  la  division,  et  il  viendra  dans 
le  quotient  un  terme  de  la  forme  qx\  après  quoi  on  aura  un  reste  dont 
le  premier  terme  sera  de  la  ^orme  p'œ-.  ' 

On  divisera  ce  reste  par  son  premier  terme  p'x"^,  pour  avoir  un  poly- 
nôme dont  le  premier  terme  soit  l'unité,  et  qu'on  nommera  5';  après 
quoi  on  divisera  s  par  s\  et,  au  lieu  de  i,  on  écrira  de  nouveau  i  -^  x- 
au  quotient;  ensuite,  continuant  la  division  comme  à  l'ordinaire,  on 
aura  dans  le  quotient  un  terme  tel  que  q'x,  et  il  viendra  un  reste  dont 
le  premier  terme  sera  de  la  forme  p"x'-. 

On  divisera  donc  aussi  ce  reste  par  son  premier  terme p"x- ,  et  l'on  dési- 
gnera le  polynôme  résultant  par 5";  on  divisera  maintenante'  pare",  en 
écrivant  d'abord  au  quotient  i-\-oc^  au  lieu  de  i  ;  on  continuera  la  di- 
vision, et  l'on  aura  dans  le  quotient  un  nouveau  terme  de  la  forme  q"x; 
ensuite  de  quoi  le  reste  aura  pour  premier  terme  p'x"^. 

On  opérera  sur  ce  reste  comme  sur  les  précédents,  et  l'on  continuera 
ainsi  jusqu'à  ce  que  l'on  parvienne  à  un  reste  qui  soit  exactement  ou  à 
très-peu  près  nul;  dans  le  premier  cas,  on  aura  une  solution  exacte; 
dans  le  second,  on  n'en  aura  qu'une  approchée. 

Maintenant,  soit  n  le  nombre  des  quotients  trouvés,  en  sorte  que  l'on 
ait  les  deux  suites  de  nombres 

p,  p',  p",  />'",...,  /?f«-'),     et     q,  q\  q" ,  </'",...,  q'"-'^; 
VI.  74 


586  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

on  fera 

^  —i, 

=:  I  _|_  (^(«-i)-|-^(«-2;  +^(«-3))^+  (^(«-')^("-2)H-  y(«-Ogf(«-8)  +  ^jf("-2)^(''-^))j' 
• ) 

Et  l'on  considérera  la  fraction  ^%>— '  dont  le  dénominateur  d;*"^  sera 

toujours  un  polynôme  en  jdu  degré 7i,  dans  lequel  le  premier  terme  sera 
l'unité;  en  sorte  qu'il  pourra  être  résolu  en  n  facteurs  simples  de  la 

forme 

I  — nrj,      i-pj,.... 

On  cherchera  donc  ces  facteurs  par  les  méthodes  connues,  et  ensuite 

on  décomposera  la  fraction  elle-même  en  autant  de  fractions  simples, 

telles  que 

F  G 


i  —  mj-      i  —  pr 

Ces  opérations  achevées,  on  reprendra  la  série  proposée,  et  l'on  en 
formera  la  série  des  différences 

(T  -  T')+  (T'  —  "ï)^  +  (T"  — "T)^^-^-f-  {V"  —  "'T)x'-h..., 

([u'on  traitera  de  la  même  manière  qu'on  l'a  fait  à  l'égard  de  la  série  pré- 
cédente des  sommes,  avec  cette  seule  différence  que,  au  lieu  de  prendre 
I  —  X  pour  premier  dividende,  il  faudra  prendre  maintenant  i  -h  x. 
En  suivant  donc  les  mêmes  procédés,  on  parviendra  aussi  à  une  frac- 

lion  telle  que     .,.^„)    ?  dont  le  dénominateur  {^Y"^  devra  être  exacte- 


D'APRÈS  LES  OBSERVATIONS.  5S7 

ment  ou  à  très-peu  près  le  même  que  celui  de  la  fraction  trouvée  d'après 
la  première  série;  ce  qui  pourra  servir  de  confirmation  l\  la  bonté  du 
calcul.  Ainsi  on  pourra  décomposer  pareillement  cette  dernière  fraction 
en  n  fractions  partielles  de  la  forme 

(F)       .      (G)      , 


i  —  mi-        i  —  pr 
Ayant  trouvé  de  cette  manière  les  valeurs  des  quantités 

m,  p,. .  .,  F,  G,.  . .,  (F),  (Gj,.  .  ., 
il  n'y  aura  plus  qu'à  faire 


co.sa=-5    tanga— — ,   A  =  -  i/F' sec'- H- (  J^  )' coser--, 

l  )  col F  tane-  ^ 

9.  1 


cos(3=£,    tang6= "^  ^    ' ^,   B  =  -  i /G^séc'^ -+-(G)»coséc'2, 

2  (G)coi2-Glangi:  2V  2  2 


et  l'on  aura  pour  le  terme  général  T''"^  de  la  série  proposée  l'expression 

suivante 

T("')=:  Asin(a  -1-  ma)  -f-  B  sin(6  -f-  m[3)  -+-.  .  . . 

Seconde  Méthode. 
On  formera  d'abord  la  série  des  sommes 

et  l'on  opérera  sur  cette  série  suivant  les  mêmes  procédés  prescrits  ci- 
dessus,  en  ayant  seulement  attention  de  i)reudre  i  —  x-  pour  premier 
dividende.  On  trouvera  ainsi  les  fractions  partielles 

F  G 

-1-- . . . . 


On  formera  ensuite  cette  autre  série  des  différences 

(T'  —  T)  +  (ï"-^T)x  -f-  rr"-"ï)a;^  H- .  .  . , 


74- 


588  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

et,  la  traitant  de  même  que  la  précédente,  mais  en  prenant  simplement 
l'unité  pour  premier  dividende,  on  obtiendra  pareillement  ces  fractions 
partielles 


(F)       ,      (G)__^ 


-  5JJ     I  —  pr 


ensuite  on  lera 


cosa  =  -î     lang«=  -./■... 


(F)  -         V  4sin 


0 


cosp=!-,      iaugb=        ..    ^,     B=i/G=  +  ^V^ 
"^2  "  (G)  V  4  sin' 


et  l'on  aura,  comme  ci-devant, 

T("'>=:  Asin(a  +  ma)  +  B  sinft  -i-  m(3)  +.  •  . . 

Exemple  L 

41.  Pour  montrer  l'usage  des  méthodes  précédentes,  par  un  exemple 
relatif  à  l'Astronomie,  je  prendrai  la  Table  de  l'équation  du  temps 
de  Mayer  [Tabidœ  solares,  etc.,  p.  i  m),  dont  la  marche  est  assez  irrégu- 
lière, et,  supposant  qu'on  ne  me  donne  qu'un  certain  nombre  de  termes 
de  cette  Table  pris  à  des  intervalles  égaux,  je  me  propose  de  trouver  la 
loi  de  ces  termes,  et  de  connaître  par  là  la  formule  générale  d'après  la- 
quelle la  Table  est  formée. 

Supposons  que  les  termes  donnés  soient  ceux  qui  répondent  à 

os,   asio",  4**  20°,    7»,   ysio", ..., 

dont  l'intervalle  constant  est  2*^10"^,  et,  réduisant  les  minutes  en  se- 
condes, on  aura  la  série  des  nombres  suivants  [voir\ç,  Tableau  ci-contre, 
première  case) 

4-456,  —168,  -i-2';4-  —933,  +220,  +63i,  — 232,  +349,  —823,  —72, 
-1-772,  —287,  -[-358,  —657,  —  36o,  H- 860,  —  i8i,  4-3o5,  —457»  —  616, .  .  .  , 

dont  il  s'agira  de  trouver  la  loi. 


D'APRÈS   LES  OBSERVATIONS. 


589 


Dia 

Îd 

— — - 

^^r   M  ^o   n   CO   *^-r 

ce    CO    CO      O    lO      - 

o 

CO    O 

c\ 

PI  .o  o  m  oo  CO 

Cl  O  CO  m  in    Cl 

B 

o  l.a 

00    o    "-.T  00      Ol  fO 

V—   i^  in    Cl    1^  lO 

- 

o 

05  cr>  (M    o    o  ^-r 

00    1^  ver   CI   «o  v.-r 

T 

1    + 

"T 

in    -.    «    -  ^-r  -o 

o__  >.n    o    o__  -a-   cs^ 

1 

o    o'   o"   o~    -""   o" 

3*^     o'     O      3      o"     3 

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r^co 

O 

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to 

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lO    ^— 

o     1^ 

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r^  o  fo    o  o  fo 

00    d  CO    Cl  m    Cl 
va-    Cl  va-    i^    -    ce 

v-r    -    Cl    o    Cl   CO 
CO    Cl   CO    n   00  in 

^ 

irt 

■^ 

o   fo   m   'O    n   io 

Cl    -      Cl    CI     Cl  ^' 

Cl  CO  in  in  CO  X 

+ 

CO 

1-^  Cl  CT>  =t;    -•  «o 

I' 

-1 

r^  n    o    o   o     1^ 

Cl  i^  to  en  CO  en 

Ci    Oi    Oi    Ol    O)    O) 

00    Cl  «i  00    Cl  Cl 

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CO 

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^ 

1 

1     1 

+ 

fl 

m    Cl   CO   CO    -    Cl     Cl 

O 

-o    CO     -      3    CO     r^    - 

>o 

Cl  v-r  CO   CO    o    Cl    Cl 

m 

70     r^  un     Cl     Cl     r-v  v-r 

CO      o     00     CO    CO      I^    - 

CO 

.  n     c^  oo   va-    rv  i  n     c- 

t. 

o    o 
o     M 

tô 

CO     CO     CO     CO       Cl     CO       — 

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-     o     o     o_  00__  va-    3_^ 

o" 

-T  o'  O    o"  «    -T  o 

o 

o"   -    o    o"   o'   o"    - 

+ 

o     - 

1  + 

+ 

Cl 

!n     r>.   3    Cl  en    -   v-r 

CO    3    -    1^  en    i~«  Cl 

h 

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o     CO     «o       Cl       Cl  CO       Cl 
o     CO     CO      Cl      Cl      Cl    Cl 

rZ- 

in    3  un  CO    ei    Cl  - 
in    en   CO     -   CO   v-r  ce 

1^   Cl    un   CO    V.—    d    00 

00 

va-  CO   va-  CO     c  CO     3 

GO 

I 

1 

« 

v,-r     -,     CO     CO       3     CO       Cl 

00 

3      Cl      3    c-î      o      3      Cl 

CO   CO   oo    Cl    o    Cl   m 

o   CO   CO     d  va-  CO   CO 

b 

fe 

'O 

tn 

Cl     r^  m   un    —    Cl     3 

Cl 

d     o     Cl  tO     Cl  to     O 
O^    o    00    00      Ol    Cl    O 

Ol 

o     Cl    Cl    Cl    o     o     Cl 

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Cl     "^      Cl    Cl      -     lO    CO    <© 

a>    Ci   Cl    lo     Cl    00    in     - 

Clin    ciO<0    cico    — 

o    CO      o    «o      Cl  CO      O      c< 

CO     CO      1^    o    O    o     CO     CO 

Cl  va-   M    Cl    O    Cl   V—   r^ 

CO     o   1  n    Cl  '~o     r~»  'O    Cl 

CO    00     t^  00     1^  CO     3   va- 

tj- 

6 

+ 

oi-n    i-coco    ococo 

t->C^Clt^OOOCOcO 

+ 

r- 

j-j  m    1^   r^   «     oj   -   ~--r 

00  00    -    -    -    Cl  va-  Cl 

0C000<OO      -«CO      -" 

o     o     olClOlO     o      o 

oci    —    or^or^   — 

OClOClXOClO 

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1         1 

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co'-'5    Otococo    o    a> 

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o    Cl  va-  Cl  t**-  Cl  —  00 

1 

Cl    CO      o      Cl  00    'O      02  CO 

CCI  O  va-   -  CO  CO   CO    3 

< 

, 

g. 

C-l       Ol 

^-r 

-a: 

„v—  ^™._.0      -.00      Cl 

CO   «o  v,—   [^  «  m  'O  CO 

-< 

Cl   va-    [^  va-   -    r-«   Cl  00 

Cl     Cl   —    3   un   CO   in   CO 

= 

6 

+ 

f  1 

00 

O 
» 

Cl     Cl     (^  va-  ^cr  m    o    - 

a 

Cl     -   en     -    O     3_^  ^-n^  CO 

«      Cl      o"     o"     o"     -"     Cl      o 

1     -1-     1      1     +     1     +     1 

1      1     +    +    +     1      1     + 

PS 

^ 

î*!        -1 

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r^  CO   >--r    o   CO   vTf    Cl  00 

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V--  CO   CO   en     3     rv  CO 

r^ 

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D 

f^  V-   -     -   v^  ver  CO    -" 

ci    c^     Cl   Cl  00   CO    Cl 

CO 

" 

Cl    ro 

o 
o 

CO    cico    Cîcooo.n    Cl 

o 

Cl    CO     CO     CO      -      Cl      - 

« 

1. 

5 
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c^  -  Lo    Cl  Cl  -    Cl   in 
r^  .n  CO    i-i     i-^  00   v—  v,-r 

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3    o"   o"   s~  o"    o    o    o" 

3~     c'     0      Ô     O      O      O 

= 

, 

» 

2  ^ 

(^ 

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o 

i-O      o    V--    CJl  V--  00     CTO 

va-  CO    t^  un  00  CO  LO 

CO 

fO    rô 

ï^ 

r^  —   CO    Cinio    o    - 

CO      •-      IV.    d    00    CO      O 

CO 

-* 

+ 

+     + 

+ 

o      Cl      o      C^ClOOOOOO 

CO  00    Cl    ->    -  un    o 

en 

v3-  un    o    o  o    Cl  i^  oi 

00      -    CO      o      "-      -     CO 

00 

-in  un    cicicioo    « 

CO   CO     r--  un  in   in    o 

Cl 

3^ 

Cl-      -      CîOl-      ClCO 

oB    r^oo    cioo    ciO-o 
cicricicioicicici 

Cl    —   00   in  CO   en   ij^ 

V. 

T 

^     1-5 

30 
1 

en   in    —   u^  co   va-   o 

s 

Cl  rv   Cl  Cl  Cl  Cl  00* 

Cl 

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-      O 

_ 

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590 


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C  a  O               c 

£    £  £ 

e  c  c              c 

D'APRES  LES  OBSERVATIONS.  591 

Pour  y  parvenir,  j<;  suivrai  donc  1(3S  procédés  détaillés  ci-dessus  (40), 
et  j'emploierai  la  première  méthode  en  opérant  sur  les  séries  formées 
des  sommes  et  des  différences  des  termes  de  la  proposée  équidistanis  du 
milieu. 

Prenant  donc  le  terme  -f-772,  qui  répond  à  i  i^io"  pourT,  et  les  sui- 
vants —  237,  H- 258,...  pour  T',  T",...,  ainsi  que  les  précédents  —72, 
—  823,...  pour  T,  'T,...,  il  faudra  chercher  les  sommes 

T  -h  T,     ï'  4-  T, .  .  . 

et  les  différences 

T  -  T,     T'  -  T, . .  . , 

et,  pour  les  trouver  plus  aisément  et  sans  craindre  de  se  tromper,  il  n'y 
aura  qu'à  écrire  de  nouveau  les  mêmes  termes,  comme  on  le  voit  dans 
les  lignes  troisième  et  quatrième  de  la  première  case,  et  prendre  ensuite 
les  sommes  d'un  côté  et  les  différences  de  l'autre.  On  aura  ainsi  cette 
série  des  sommes 

-H  700,    —1060,   -t-  707,   — 889,   -I-271,  -I-1080,   —  I  I  14,  -+-579,   —625,   —  160,..., 

et  cette  autre  série  des  différences 

-f-844>  -f-586,  +9,  —4^5,  —  9v)i,  -1-640,  -1-752,  -f-3i,  —289,  —1077,,..., 

sur  chacune  desquelles  il  faudra  opérer  séparément. 

Opération  sur  la  première  série. 
Cette  série  sera  donc  représentée  ainsi 

700  —  niCxi.r  -h'oyx^  —  SSQ.r^-t-  «yi  r' -4-  loSo.r"  —  1 1 14.^*'  -t-  57y.r'  —  GaSr*—  i6ox* —  .  . .  , 

et  Ton  aura  d'ahord 

/?  =  70o; 

ensuite,  divisant  tous  les  lernics  par />,  et  faisant  le  calcul  i)ar  les  loga- 


592  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

rilhmes,  comme  on  le  voit  dans  la  deuxième  case,  on  aura  la  nouvelle 
série 

5=1  —  1,51428^  H-  I,OIOOO:c' —  1,27000^'^+  O,  38714.2:'' 

+  1,54286^' —  1, 5g 1 43^^  +  0, 8271 4^' —  o,89286.îc* —  0,22857a:''  — . .  ., 

par  laquelle  il  faudra  diviser  le  binôme  i  —  œ.Le  procédé  de  celte  divi- 
sion est  détaillé  dans  la  quatrième  case,  et  les  calculs  subsidiaires  pour 
les  multiplications  se  trouvent  dans  la  deuxième  case. 
On  a  donc  ce  premier  quotient 

I  H-  X-  H-  o ,  5 1 428  X, 

en  sorte  que 

q  = 0,51428; 

ensuite  on  a  le  reste 

—  i,23i23.r^  -h  2, 26485 jc^  — . .  .; 

donc 

p'  =  —  i,23i  i3; 

et,  comme  ce  reste  n'est  ni  nul  ni  fort  petit,  il  faut  continuer  Topé- 
ration. 

On  divisera  donc  tous  les  termes  du  reste  dont  il  s'agit  par/?',  et  l'on 
aura  la  série 

^'=  I  —  i,5i428.r-(-  1, 01 000 j:^-i-o, 38332 j:'  —  o,3'i3&yx*-+- 1,26017^^  —  i, 6721 3. r*^ -h 0,1 1295 x', 

qui  devra  maintenant  servir  de  diviseur  à  la  série  s. 

Les  quatrième  et  deuxième  cases  contiennent  aussi  le  détail  de  cette 
nouvelle  division,  ainsi  que  les  calculs  subsidiaires  qu'elle  demande;  et 
l'on  voit  que  le  quotient  est 

I  -4-  .r-  -t-  o ,  32522  :r, 

ce  qui  donne 

g'  =  o, 32522, 

et  que  le  reste  est 

o,oo397.r-  —  o,oio34a^  —  0,00812^*  +  0,00790^'  —  0,00464.^'  —  o,oo2l4^^ 


D'APRÈS  LES  OliSEKVATIONS.  593 

Or,  coinmo  l(!s  cooiricicnts  numériques  soiil  ici  l'oil  petits,  on  |)ouii;é 
négliger  ce  reste  et  regarder  ropériition  coniine  achevée;  on  aura  de 
cette  manière,  non  la  vérilaldc  loi  de  la  série,  mais  une  loi  fort  appro- 
chée, qu'il  sera  facile  de  rectifier  ensuite. 

La  première  série  donne  donc  ces  valeurs 

y>  =  'joo,  y  =0,51428, 

p' ^=  —  i,?.3i23,     ^':=  0,33.522, 

qu'il  faudra  substituer  dans  les  formules  du  n"  40;  mais  auparavant 
nous  chercherons  celles  qui  doivent  résulter  de  l'autre  série. 

Opération  sur  la  seconde  série. 
Cette  série  sera  représentée  ainsi 

844  -t-  586a;  -4-  ^x^  —  4'25x'  —  ggi  x'  -+-  i^ox''  ■+-  yâax^  -t-  Six'  —  v.89 x"  —  1072  j:^  -(-..., 

en  sorte  qu'on  aura  d'abord 

divisant  donc  tous  les  termes  par/),  et  faisant  le  calcul  par  les  loga- 
rithmes, comme  on  le  voit  dans  la  troisième  case,  on  aura  (elle  nou- 
velle série 

5  =  1-}-  0,69431  X  -+-  o,uioG6x^  —  o,5o355:c^  —  i ,  i';4>  7-^' 

-H  0,75829:1=' H-  o,89ioox'=-i-  o,o3663jr'  —  o, 34242 x"  —  0,27014^"  -1-..., 

par  laquelle  il  faudra  diviser  le  binôme  1  -f-  x. 

On  trouve  dans  la  cinquième  case  le  détail  de  cette  division,  et  dans 

la  troisième  case  les  calculs  subsidiaires  qu'elle  demande;  et  l'on  voit 

que  le  quotient  est 

I  -h  ^^  -t-  o ,  30569^, 

ce  qui  donne 

q  =  o,  30569 , 

et  que  le  reste  est 

—  1,22290^^  —  o ,  1 9402 X* -I- .  .  ., 
VL  75 


594  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

de  sorte  que  l'on  aura 

p'  =^  —  1 ,  22290. 

Continuant  donc  l'opération,  on  divisera  ce  reste  par/)',  et  l'on  aura 
la  nouvelle  série 

.s'=  1  -t- 0,1 5865 X —  i, 07780 X"—  o,o85i9j;^ —  0,04201  j:^''-i-  o, 87284 .î.'  -h  0,457770." —  1,094160'  - 

par  laquelle  il  faudra  diviser  la  série  s. 
La  division  faite  comme  on  le  voit  dans  la  cinquième  case,  on  aura  le 

quotient 

\  -\-  x'^  -^  o, 53566^, 

« 
par  conséquent 

^'=0,53566; 

et  ensuite  on  aura  ce  reste 

0,00298^2  4-  o,ooo5^^  —  0,00923^'  —  0,00686  ;p^+  0,00769x^-1-  0,01  284  x' H-..., 

lequel,  n'ayant  que  des  coefficients  fort  petits,  pourra  être  négligé,  en 
sorte  qu'on  pourra  regarder  l'opération  comme  finie. 
Ainsi  les  valeurs  résultant  de  la  seconde  série  seront 

p  =844»  (J  =0,30569, 

p' =^  —  1,22290,     ^'  =  0, 53566. 

Résultats  déduits  des  valeurs  précédentes. 

Puisque  nous  n'avons  eu  que  deux  quotients  dans  chaque  opération, 
on  fera  /i  =  2,  et  la  fraction  à  considérer  sera  4-^'  dans  laquelle  on  aura 

d;'  =  I  +  q'y, 

(^"=r  I  -f-  :  q  +  (^)y  +{qq'  ^  p'  )  J^ 
Or,  si  l'on  représente  par  i  —  zsy,  i  —  py  les  deux  facteurs  simples 


D'APRÈS  LES  OBSERVATIONS.  595 

(lu  irinome  ^",  on  aura,  coinnic  l'on  sail, 


cj=  _  g  +  q'  ^  sJiq-q'Y-^p' 


2  2 


r 


■2  2 


et  la  fraction  4?-  se  décomposera  en  ces  deux-ci 

F  G 

1 ■> 

i  —  rsyi  —  pX 

en  faisant 

P  -  CT  -2  [         \Jiq-q')'  -  4/>'  J  ' 

Introduisons  maintenant  dans  ces  formules  les  valeurs  trouvées  ci- 
dessus,  et  prenons  d'abord  celles  qui  résultent  de  la  première  série. 
On  aura  donc 

q  ~^  q    ~  0,83960, 

y  —  y' r=  0,18906,  108  =  9,2765997,  2iog  =  8,5531994, 

y  — ^';^=  0,03574, 

—  4^'=4,92492' 


4,96066,  108  =  0,6955394,  y  log  =:  0,3477697 


\/iq  —  q')—4p'=  2,2'-7''5, 

q  -^  q'  =  0,88950. 


Somme 3,06675. 


Donc 


Différence....      1,38775. 
57  =  0,69387,     p^=  —  ),  53337; 


75. 


59G  FORMATION  DES  TABLES  DES   PLANÈTES 

(le  plus 

log(^-^')  =  9,2765997, 


•ogv/(^  —  g'?  —  ip'  =  0,3477697 , 

Différence....      8,9288800.     Nombre  corr.=:  0,08488, 
logo, 91612  =.  9,9614780, 
logi,  08488  =  o,o3538i8, 

log—  =  Iog35o  =  2,5440680, 


logF  =  2,5o5546o, 
logG=  2,5794498. 

Donc 

F  =  32o,3o,       0^=379,70. 

Employons  maintenant  les  valeurs  données  par  la  seconde  série,  et 
l'on  aura 

q  -+-  9'  =0,841 35, 

q  —  q'  =0,22997,         log  =  9,3616712,  2  log  =  8,  7233424, 

{q  —  ^')-=:  0,05288, 

—  4/j'  =  4,89160, 

4,9444^»  log =:  0,6941206,  —  ^  log  =:  0,3470603. 


\J[q  —  q'  Y  —  kp'  =  2 ,  22362 , 
q  H-  q'  =o,84i35. 

Somme 3,06497. 


Donc 
ensuite 


Différence  ....       i ,  38227  . 
57  =  0,69113,       p  =  —  I,  53248 ; 
log(^'  — g)  =9,3616712, 


logy'fç  —  9')^  — 4p'  =  0,3470603, 


Différence 9,0146109.     Nombre  corr.  =  0,10342. 


DAPHKS  LES  OHSER  VATIONS.  597 

log  I  ,  10342  =  0,0427409. 
log  o ,  8«)(k')8  ^=  c) , f)5?.589o , 

log  —  =  log42?.  :=  ?.  ,6253 1  0.5  , 


Donc. 


log(F)  =  ?.,668.)534, 
log  (G)  =  2,577()oi5. 

(F)  :^- 465,64,       ((ii--:  378,36, 


Il  iaudi';»  lUMinlcnant  subslituer  ces  valeurs  clans  les  formules  du  u"  40, 
poiii  en  déduire  celles  de  a,  p;  a,  h;  A,  B;  mnis  auparavant  il  esl  bon 
de  remarquer,  à  l'égard  des  quantités  zs  et  p,  que  les  valeurs  trouvées 
d'après  les  résultats  de  la  première  opération  ne  sont  pas  tout  a  f';nl  les 
mêmes  que  celles  qui  résultent  de  la  seconde  opération;  ce  qui  ne  doit 
pas  paraître  surprenant,  attendu  que  les  restes  que  l'on  a  négligés 
comme  nuls  ne  l'étaient  pas,  mais  étaient  seulement  très-petits.  On  peut 
même  observer  que,  comme  les  coeflicients  numériques  de  ces  restes 
n'ont  de  cliilTres  significatifs  que  dans  la  troisième  place  décimale  et 
dans  les  suivantes,  les  valeurs  de  t:;  et  p  ne  peuvent  être  exactes  que 
jusqu'à  la  troisième  place  décimale  exclusivement;  aussi  voil-oii  que  les 
deux  valeurs  de  ^,  ainsi  que  celles  de  p,  s'accordent  entre  elles  dans  les 
deux  premières  décimales. 

Nous  donnerons,  au  reste,  k  zs  et  h  p  des  valeurs  moyennes  entre 
celles  qu'on  a  trouvées  ci-dessus;  ainsi  l'on  aura 


tn=     0,69^50,       cosa=  — =      0,34625, 


p  ■=—!,  53292 ,       cos [3  =1  —  =  —  o ,  76646 : 


donc 


=  69^^45',     p  =  180"  —  39"  58'  =  i4o"2'. 


598  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANETES 

Maintenant  on  aura 

logcot-  =  o,  1567916, 
log(F)  =  2,6680534, 

2 ,  8248449  •     Nombre  corr .  =  668 ,  i  o . 
logtang  -  =  9,8432085, 

logF  =  2,5o5546o, 

2,3487545.     Nombre  corr.  =  223,23. 

Différence.  .  .       444 '^7- 
F  =  320, 3o, 

(F).=:  465,64, 

785,94,     log  =  2,8953894. 
Oiez  log  444 ,  87  =  2 ,  648233 1 , 

o ,  247 1 563  =:  log  tang  a  ; 

donc 

a  =  60"  3o'. 

Ensuite  on  aura 


log  séc  -  =  o ,  0859736 , 
log  F  =  2,5o5546o, 


2 , 59 I 5 I 96 . 
Double 5,i83o392.     Nombre  corr.  =  1 52419. 


logcoséc-  =0,2427650, 


log(F)  =  2,6680534, 


2,9108184. 
Double 5,8216368.     Nombre  corr.  =  663 188, 


4A'=  815607 
2A=go3,       A  =  45i. 


D'APRÈS   LliS  OBSERVATIONS. 
On  aura  de  iDéme 

logcot^  =  9,5606727, 
log(G)=  2,5779015, 

2,1385742.     Nombre  corr.  —    137,58. 

3 
logiang|  z^  0,4393273, 

logG=  2,5794498, 

3,0187771  .     Nombre  corr.  =  1044,  i«. 

Différence...    —906,60. 
^=  379,70, 
(G)=  378,36, 


oyy 


doiK 


ensuite 


758,06,        l0g2, 8797036. 

Otez Iog9o6,6o  =  2,9574157, 

9,9222879  =  log  —tango 

/;  =  i8o°— 39°54'  =  i4o"6'; 

logséc^  —  0,4662956, 

logG=  2,5794498, 
3 , 0457454 , 

^^"^'^ 6,0914908.     Nombre  corr.  =  1234500. 

.    3 
log  cosec  i-  =  o ,  0269682 , 

logG=  2,5779015, 
2 , 6048697 . 

^o"^'^ 5,2097394.     Nombre  corr.  =    162084. 

4  B' =1396584. 

2B=Il82,  B=r59î. 


600  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

Connaissant  donc  les  angles  a,  h;  a,  jS,  et  les  coefficients  A,  B,  on 
aura,  pour  le  terme  général  de  la  série  proposée,  l'expression 

A  s\n(a  +  mx)  +  B  sin(6  -h  /nj3), 

où  m  est  la  distance  d'un  terme  quelconque  au  terme  77'i.  qu'on  a  pris 
pour  T,  c'est-à-dire,  le  quantième  à  compter  depuis  ce  même  terme. 

Exemple  II. 

42.  Je  reprendrai  la  série  de  l'Exemple  précédent,  et  je  la  traiterai 
suivant  la  seconde  méthode  du  n°  40,  afin  que  l'on  ait  en  même  temps 
un  exemple  de  l'usage  de  cette  méthode  et  une  confirmation  de  sa  bonté 
par  la  comparaison  de  ses  résultats  avec  ceux  de  la  première  mélhode; 
mais  je  n'entrerai  pas  dans  le  détail  des  opérations  et  des  calculs  qu'il 
faut  faire,  parce  qu'on  le  trouve  dans  les  deux  Tableaux  ci-joints. 

La  première  case  contient  les  termes  de  la  série  proposée  écrits  deux 
fois  les  uns  au-dessous  des  autres,  pour  pouvoir  en  prendre  aisément  les 
sommes  et  les  différences,  et  en  former  les  deux  séries 

-f-772,     —    309,     —    4^5,     — 3o8,     — 592,..., 
—  i65,     +  1 181 ,     —  1006,     —  128,     -f-  229, .... 

Ensuite  la  quatrième  case  contient  le  Tableau  des  opérations  qu'on 
doit  faire  sur  la  première  de  ces  deux  séries,  et  la  deuxième  case  con- 
tient tous  les  calculs  subsidiaires  que  ces  opérations  demandent. 

On  s'est  arrêté  ici,  comme  dans  l'Exemple  précédent,  après  la  seconde 
division,  parce  que  le  second  reste  n'a  que  des  coefficients  numériques 
très-petits,  qu'on  peut  par  conséquent  négliger  sans  erreur  sensible. 

Les  résultats  des  opérations  faites  sur  la  première  série  sont  donc 

/>  =  772,  q  =  0,40026, 

p' =  — 1,28746,    </'=  0,44043. 


T)  APRES   LES  OBSERVATIONS. 


601 


jiia 

<0    v,-r  o    00      C)  ■»     CT 

en  en    -  ^-r   c  m 

5^     S 

—   co 

fcn 

r^   Ci  ^-r  co     Cj  co 

>D    lO 

Ci 

c    V.—  'O     =    Lo     n   — r 

Cl    1^    Cl    00     o     - 

00  •<■*• 

[^  ^_  ~,      „      c    00    00 

Cl  -.o   -o  00    o  m 

+  + 

T 

"l  ''I  "T  '.  "T  ~  '■* 

en    ^-r    c.    -     r^  00 

o'   o"   o"   o"   o    o"    0~ 

i.n     -"    ô'    -   -o"  en 

2 

-o   ce 

■» 

s     • 

-  vo 

T    o 

00      J 

't  T 

1 

>-r  ^-r    o   CI    00    r<1     o 

-        -     --T-     3     •-!     cri       - 

•n  -n  '.D  00    Cl  «er 
•  n   -n     -     —en     ci 

o    o  co    Cl  en    O 

'O      1^  O      O    'O      1^  lO 

I'»   1^  en     —     -    co 

$; 

(^  ^-r 

^■" 

c»   in     Ci  .o     r^  o   i". 

O  CO  en  m  co  m 

^  '- 

<ri      I  >. 

o  co  n;  ®  o  «5  co 

<>1    co    00      1^    CI    00 

T  + 

1 

''■      l^  'O    ?0    tO      -I    00 

r^   -     Cl   o   00   Lfj 

7 

1 

Ci    Cl    Cl  X     C5    es    c; 

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VI. 


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602 


FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANETES 


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C-  — 


D'APRÈS  LES  OBSERVATIONS.  603 

De  même  i;i  cirKjiiième  case  contieiil  If  l;il)l(';iii  des  opérations  à  l';iitc 
sur  la  seconde  série,  et  la  troisième  ease  les  ciilculs  suhsidiaii'es;  on 
voit  aussi  que  le  second  reste  n'a  que  des  cocllicients  très-petits,  en 
sorte  qu'il  peut  être  négligé,  et  (jue  i'opér;ilioii  peu!  élic  regardée 
comme  aclievée  après  la  seconde  division. 

Il  résulte  donc  de  cette  série  les  valeurs  suivantes 

/>  =:  —  i65,  ^:=  7,15708, 

/>'=44, 13394,         g'=-6,3i338. 

Ayant  trouvé  ces  valeurs,  on  cherchera  par  hur  moyen  celles  des 
quantités  w,  p;  F,  G;  (F),  (Gj,  comme  on  l'a  t'ait  dans  i'tlxemple  précé- 
dent, et  en  employant  les  mêmes  formules. 

On  aura  donc,  en  prenant  d'ahord  les  valeurs  résultant  de  la  pre- 
mière série, 

q-]-q'=      0,84069, 

q  —  ^':=- —  0,04017,    log  =  8,6039018,    .'.  log  :^  7,2078036, 
^q  ~-  q'  j^  =      0,00161, 
-~^P'=      4*94984» 


4,95145,  log   =;    0,6947323,  y  log    =   0,3473661, 


\/'\q  —  q'  )'-  —  4/^'  =  2,22522, 

q  -\-  q'  =:  0,84069. 


Donc 
De  plus 


Somme 3,06591. 

Diflérence i  ,38453. 

cj  :=  0,69226,         p=  —  1,53295. 
l<Jg(9  —  q')  =  B, 6039018, 


logy/(ç  —  q'y  —  ^p'  =  0,3473661. 

Différence. .  .  .      8,2565357.     Nombre  corr.  =  —  o,oi8o5. 

76. 


604  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

log I  ,oi8o5  =  0,0077692, 
logo,98i95  =  9,9920894, 

log^  =  log  386  =  2 ,5865873, 


logF  =  2,5943565, 
logG=  2,5786767. 

Donc 

F  =392,97,         G  =  379,03, 

Employant  maintenant  les  valeurs  trouvées  d'après  la  seconde  série, 
on  aura 

g  ~h  q'  =  0,84420, 

g  —  g' ^=         13,47096,         log  =  1 ,1293986,         2  log  =:  2,2587972, 
{g  —  g'Y=         181,46720, 

—  4/^'  =  —  176,53576, 

4,93144,        log  =  0,6929746,        I  log  =  0,3464872, 


Donc 
Ensuite 


v^(  î  —  î'  )'  —  4;^'  =  2 ,  22069, 

^  -+-  ç'=:0,8445'-0. 

Somme 3,06489. 

Différence....       1,37649. 

cj  =  0,68824?         p  ^  —  1 ,53244. 
lo8(y  —  y')=  1,1293986, 


log  s/{g-q'Y-  ^p'  =  0,3464873. 

Différence....       0,7829113.     Nombre  corr.  =  6,06612. 

log  5, 066 12  =:  0,7046755, 
log  7,06612  =^  0,8491800, 

log  —  ^  =  log82 ,5  =:  1 ,9164539, 


log  (F)  =  2,621 1294, 
log(^G)  =  2,7656339. 


D'A  PUES   LES  OBSERVATIONS.  005 

Donr 

(F)  =  417,95,        (G)=:-58'.,.j5. 

Ayant  trouvé  deux  valeurs  de  zs  el  deux  de  r>,  (jui  nr  sont  piis  loiil 

à  fait  identicjues,  comme  elles  le  devraient  être  si  la  solution  clsiit  rii^oii- 

reuse,  au  lieu  qu'elle  n'est  qu'approchée,  nous  prendrons,  comme  d;ms 

l'Exemple  précédent,  les  moyennes  ;iritliméti(|ii('s;  mt>y('nn;nil  ()iini. 

on  aura 

57  =  0,6909.5,        p  =:  —  1,539.69. 

Donc 

cosa  =  —  =  0,34512,        ros(3  =:  -  =  —  0,76634, 

cl  de  là 

a=   69°  49',     j3  =  i8o"— 39°59'=  i4o"i', 

valeurs  qui  s'accordent,  à  quelques  minutes  près,  avec  celles  de  rEx<iM|)lc 
précédent. 

On  substituera  donc  ces  valeurs  ainsi  que  celles  de  F,  G;  (Fj,  (G;, 
dans  les  formules  de  la  seconde  méthode  du  n°  40,  pour  en  déduire  les 
valeurs  de  A,  B;  rt  et  h. 

On  fera  donc  le  calcul  suivant 

iogF  =  2,5943565, 

log2  sina  =  0,2735075. 

2,8678640, 

log(F)  =  2,621 1294, 

o ,  2467346  =  log  tanga. 

Donc 

a  =  60"  28'. 

Knsuile  on  aura 

2  IogF  =  5, 1887120.     Nombre  corr.  =  i54423. 

2  log(F)  — 5,2422588, 

2  log2  sina  =  o,547oi5o, 

4,<>952438.     Nombre  corr.  —    49^7^' 

203996  =  \'. 

Donc 

A  =  45i. 


600  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

On  aura  de  même 

logG  =  2,5786767, 

loga  sin[3  =  o,  1089469, 

2,6876286, 

log  —  (G)  =  2,7656339, 


Donc 
ensuite 


Donc 


6  =  180"—  39°53'=  i4o°7'. 

2  log  G  —  5, 1573534,     Nombre  corr.  —  1 43666, 
2  log  —  (G)  =  5,5312678, 
2  log 2  sin|3  =  0,2178938, 

5,3i3374o.     Nombre  corr.  =  205766, 

349432  =  B^ 

B  =  59i. 


On  voit  donc  que  les  valeurs  de  «,  b\  A,  B,  s'accordent  aussi  avec 
celles  de  l'Exemple  précédent;  ce  qui  prouve  l'exactitude  de  nos  deux 
méthodes. 

Remarque  1. 

43.  Au  reste  il  est  clair  que  les  valeurs  qu'on  vient  de  trouver  ne 
peuvent  être  qu'approchées,  de  sorte  qu'il  est  nécessaire  de  chercher 
les  moyens  de  les  rectifier;  mais  il  est  bon  de  remarquer  que  les  coef- 
ticients  A,  B,  et  les  angles  a,  b  n'exigent  pas  une  aussi  grande  exacti- 
tude que  les  angles  a  et  /3;  parce  que,  ces  derniers  angles  se  trouvant 
multipliés  par  le  nombre  des  termes  m,  dans  l'expression  du  terme  gé- 
néral, les  erreurs  qu'on  y  peut  commettre  doivent  aller  en  augmentant 
d'un  terme  à  l'autre;  au  lieu  que  les  erreurs  des  coefficients  A,  B,  el  des 
angles  a,  i,  demeurent  les  mêmes. 

Ainsi  on  doit  surtout  tâcher  de  déterminer  avec  précision  les  angles  a 
et  |S;  c'est  de  quoi  on  pourra  venir  à  bout  lorsqu'on  connaîtra  un  grand 
nombre  de  termes  de  la  série  proposée;  il  se  présente  ditlérents  moyens 


flr'  =  rt  -f-  /a, 

//  rzr  A  +  >,j3, 

«."=  a  +  fj.oc, 

//'=  //+  fji|3; 

=  {[j.  —  ly., 

b"-  h'=([j.- 

■l)^: 

a"  —  a' 
u.  —  A 

DAPHES   LES  OBSERVATIONS.  ()07 

|)oiir  coin,  in;iis  celui  (|îic  j(!  vais  cmployt'F  nie  pareil  lonl  \\  la  lois  le  plii> 
simple  et  le  plus  exact;  il  est  loiidé  sur  colle  consi(Jérali()n  (jue,  si  l'on 
clierclio  les  valeurs  dos  angles  a  el  h  poui'  dos  termes  do  la  même  séii»'. 
assez  distants  entre  eux,  et  qu'on  noinnu*,  ()ar  (îxemplo,  a' ,  h'  les  va- 
leurs de  a,  b  pour  le  terme  T'^^  pris  à  la  place  deT,  (ît  a",  h"  les  valeurs 
de  a,  b  pour  le  terme  T'i^'  pris  de  même  à  la  place  de  T,  on  aura  neces- 
sairenionl 


et  de  même 


donc 


et  (le  la 


d'où  l'on  voit  que  les  erreurs  qui  pourront  se  trouver  dans  les  valeurs 
de  a  et  |3  ne  seront  qu'à  la  (|7.  —  X)'^'"^  partie  de  celles  des  valeurs  de  a' , 
a"\  h',  h" \  ainsi  l'exactitude  de  ces  déterminations  sera  d'autant  pin.s 
i^rande  que  le  nombre  p,  —  ).  sera  plus  grand,  c'est-à-dire,  que  la  distance 
entre  les  termes  T^^^  et  T^^^^  sera  plus  grande. 

Pour  trouver  les  valeurs  de  a! ,  b'  et  de  a!' ,  b" ,  il  faudra  faire  un  double 
calcul,  en  suivant  l'une  des  deux  méthodes  ci-dessus;  et  il  sera  bon  de  pré- 
férer la  seconde,  qui  est  en  quelque  manière  plus  simple.  D'ailleurs  il  ne 
sera  pas  nécessaire  de  faire  le  calcul  en  entier,  comme  dans  rExemple  II. 
en  opérant  successivement  sur  les  deux  séries;  mais  il  suffira  d'opérer 
sur  la  série  des  sommes,  et  d'en  déduire  les  valeurs  de  F  et  de  G:  car, 
comme  les  coelïicients  A  et  B  sont  déjà  connus,  on  peut  s'en  servir  pour 
trouver  les  valeurs  de  tanga  et  tang/v,  sans  connaitr»^  celles  de  fFj  et 
de  (G);  en  effet  on  aura,  parles  formules  de  la  seconde  méthode  fn"  10;, 


langa 
d'oii  l'on  tire 


F 

1 

t.anff/>=_ 

v/A=  —  F^ 

^         v/B'-G 

F 

sina  —  Y' 
A 

•    A       G 
sm6=  :-. 

()08       FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

De  plus,  comme  on  sait  déjà  que  l'opération  ne  doit  pas  aller  au  delà 

de  la  seconde  division,  et  qu'il  est  clair  que  chaque  division  n'emporte 

que  deux  termes  de  la  série  sur  laquelle  on  opère,  il  s'ensuit  qu'il  suffira, 

dans  le  cas  présent,  d'avoir  quatre  termes  de  la  série  des  sommes,  de 

sorte  que  l'on  n'aura  besoin  que  de  sept  termes  consécutifs  de  la  série 

proposée,  dont  celui  du  milieu  sera  pris  pour  T,  et  les  adjacents  de  part 

et  d'autre  pour 

T',  T',  T",     61      T,    "T,    T, 

pour  avoir  la  série  des  sommes 

T,     T'  +  T,     T"-i-"T,     T"'-f-"T. 

On  choisira  donc  à  volonté  sept  des  premiers  termes  de  la  série  donnée 
et  sept  des  derniers,  et,  pour  avoir  une  plus  grande  exactitude,  on  aura 
soin  de  les  choisir  de  manière  que  ceux  du  milieu  soient  les  plus  grands 
qu'il  est  possible;  car  il  est  facile  de  démontrer  que  l'on  aura  toujours 
des  résultats  plus  approchés  lorsque  le  terme  du  milieu  Tsera  un  maxi- 
mum que  dans  tout  autre  cas,  et  c'est  aussi  pour  cette  raison  que,  dans 
l'Exemple  II,  nous  avons  pris  pour  T  le  terme  772,  qui  est  un  des  plus 
grands  de  la  série. 

Nous  prendrons  donc  les  sept  premiers  termes 

-1-456,  —168,  H- 274»  — 933,  -f- 220,  -i-63i,  —232, 
et  les  sept  autres 

-^358,     —657,     —  36o,     -^36o,     —181,     -f- 3o5,     -447, 

et  l'on  en  formera  les  deux  séries  des  sommes 

—  933,         494'         4^3,         224, 
860,     — 541,      — 352,      —  9y, 

sur    chacune    desquelles   on    opérera    comme    on    l'a    pratiqué    dans 
l'Exemple  IL 


D'APRES   LES  OBSERVATIONS. 


(iOii 


ci 


1 

t-.00 

O 

f^    00 

<". 

'h         "-i 
o  00     r>. 

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o 

LO         1^ 

M 

-  ---o 

^T  m 

o  o 

LO 

- 

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1 

co      fl 

^T^  «O    â     1 

1 

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i^  ci^    c     1 

o"  o 

O 

o"   o"   - 

: 

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C-1 

o      3 

1 

+    +    + 

cri 

1^  ro 

C5  ^T 

"h  "h 

H       "h 

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o     1 

o    co     r^ 

1 

1^    O 

co      1 

t^   r«.   Ci 

cr>  -. 

Ci 

o  -o  ^ 

T 

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1 

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Cl    o    - 

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co 

co 

co 
o" 

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o    ^ 

Ci 
Cl 

o 

r^   r^  ^           '"! 

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Cl       Cl                         J. 

o    o                    T 

o"   o'              "h 

o"    o" 

1^  6 

Cl       Cl 

co    Ç-. 
co     o 
00     CI 

o"   d 

H 

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+ 

+ 

00      Cl      [^ 

co   vr  to 
o  ^—  co 
o     o     - 
co      Cl      - 

o 

Cl 

oo 
co 
co 

-V 

1 

+  1        + 

-      •      - 

1 

1  1 

T 
-    • 

1 

^ 

cri  -  o 

CI 

1 

1 

t3 

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t^  o    c 

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é^  éi  é-j 

Ci 

1 

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^ 

2 

o  ~.—  co 

V—     C) 

co     c^ 

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r^ 

*^— 

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co   ^-r    Ci 

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V,— ^ 

t~i       u      ^ 
o      o      il 

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o 

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-    o 

fO 

00 

uo    co 

S  s  s 

s      1      X      k<     X 

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-f- 

1      1      1 

05       U      « 

a     1     5     =    5 

1      1      1 

^               ;:^       ^      <i^ 

G.    =-    i. 

- 

<       a  C  a 

n    -o 

^_ 

~S-   lO 

co     r^ 

o     ^1 

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0-3    ^o 

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H 

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Cl   ce   ^— 

K  — 

. 

co 

f^    LO        Cl 

'O  co 

. 

à 

o 

co    lO     o 

r-~.  co 

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lotieiit 
viseur, 
vidoiid 

00 

c~.  o    i.O 
-o  o  co 

ci     Cl     M 

00      - 

o    o 
d    o 

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1 

—    to  ra 

c 

1 

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* 

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3     .t    .2 

^ 

sr  -3  -3 

«.—  co 
co      Cl        1 

a-   rs    r3 

b 

osa 

Cl    co       1 

IL.      &.     b, 

t. 

S     S    s 

o 

ro 

^—  co     V— 

o    o_ 

.-   .2  .2 

c 

-a    -a   -a 

UO 

co 

Ci  ■~q_   Cl 

^•ïr 

C5 

M          ta*             ! 

S  S  a 

s 

"x     x    x 

f 

1 

+  +  f 

1 

a     a     o 
b     h     u 

c 

s. 

3       3     3 
sj     a     a 

C 

a. 

** 

c 

Q     "     " 

c 

a 

VI. 


77 


6Î0  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

Le  Tableau  ci-coiitre  contient  les  détails  et  les  résultats  de  ces  opéra- 
tions; les  trois  premières  cases  appartiennent  à  la  première  série,  et  les 
trois  dernières  à  la  seconde,  où  l'on  voit  que  la  première  série  donne 

ces  valeurs 

p  —  —  9^^,  q  =o,52g48, 

/?'= — 1,22341,         (/'=- o,3i332, 

et  que  la  seconde  donne  celles-ci 

y9  =  86o,  (/=  0,62907, 

p'— 1,19493,  ^'=0,20920. 

Ainsi  Ton  aura  : 

1'      fj  ~^' ç'  =0,84280, 

q  —  q'   =0,21616,         log  =  9,3347753,        2  log  =  8,6695506. 
(9-^')'==  0,04673, 
-4p'^  4,89864. 

4,94087,        log  =  0,6937595,        ilog  =  0,3468797. 


Donc 
Ensuite 


sliq  —  q'Y  —  ^p'  ~=~  2,22269, 

q  -;-  q'    =  0,84280. 

Somme 3,06549. 

Différence i ,  87989 . 

57=0,68994,      p=— 1,53274 

log(^  -  q')  =9,3347753, 


logV^(^  —  q'y—^p'  =  0,3468797  . 

Différence 8,9878956.     Nombre  corr.  =  0,097251. 

iog  o ,  902749  =  9 ,  9555670 , 
log  1 ,  09725 1  ^=  o ,  o4o3o6o , 

Iog  _  -^  =  log466,5  ^  :  2,66885i6 . 
2 

log- F  =  2,6244186,       F=-42i, 

log —  G  =  2,7091576,       G=  — 5i2. 


D'APRES   LES  OBSERVATIONS.  611 

Or  on  a  (n°42) 

A  —  45i,       logA      ?.  ,6541765, 

B--5yi,       logB      2,7715875. 


Donc 


lOg—  V,-  -     9,9702421  —  log  —  Sillrt', 
n 

'og—  -g  —9,9375701  -=log  — sin6'. 


Donc 


a'  =  180°  4-  69"  2'  =  249"  2',     ou     36o"  —  69"  2'  --  290" 58', 
b'  =  180°  H-  60°     — :  240°,        ou     36o"  —  60"     T-  3oo". 

A  ([uoi  on  pourra  encore  ajouter  ou  en  retrancher  tel   multiple  de 
36o  degrés  qu'on  voudra. 

2"      g  -h  q'   =  0,83827, 

q — q'  -^0,41887,        log -- 9,6220793,        2  log -9, 244 '586. 
((/  —  (jf')=^  0,17546, 

--4/^  4,77972. 

4,95518,        log  ^0,6950594,        I log  — 0,3475297. 


s/{g  —  q' y  — ip'  =  2,2.2603, 

q    \-  q'    -  0,83827. 


Donc 
Ensuite 


Somme .  3,o643o. 

Différence 1,38776. 

CJ=:  0,69388,  p=  —  1,532  l5. 

log(^-g')  =9,6220793, 


log  s/(y  -  9')^ -4/>'  =  0,3475297. 

Différence 9,2745496.    Nombre  corr.  — 0,18816. 

77' 


G12  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANETES 

logo,8i  184 -'9,9094704, 
log  I  ;  18816  --  0,0748750, 

log  R.  =  log  430  =  2 ,  6334685 . 


et  de  là 


logF^  2,5429389, 
logG  -  2,  7083435; 


F 

log—  =  9,8887624  =  logsina", 
A 


log  Y  =9*9367560  =  logsinft". 


Donc 


«"=:5o"43',     ou     180^'— 50^43':=  129"  17', 
6"=59"5o',     ou     180''— 59^50'=  120"  10'. 

A  quoi  on  pourra  aussi  ajouter  ou  en  retrancher  des  multiples  quelcon- 
ques de  36o  degrés. 

Maintenant  je  remarque  que,  si  l'on  rapporte  les  deux  termes  moyens 
ci-dessus  —  933  et  860  au  terme  moyen  772  de  l'Exemple  II,  on  aura, 
en  nommant  ce  dernier  T,  et  ces  deux-là  T'^\  T^f^\  on  aura,  dis-je, 

1  =  —-],     et    [j.^^5, 

parce  que  dans  la  série  proposée  le  terme  —  933  précède  de  sept  places 
le  terme  772,  et  que  le  terme  860  le  suit  au  contraire  de  cinq  places; 
d'où  il  s'ensuit  que  si  les  valeurs  de  a,  /3  et  de  a,  b,  trouvées  dans 
l'Exemple  II,  étaient  tout  à  fait  exactes,  et  que  celles  de  a',  b',  a",  b", 
qu'on  vient  de  trouver,  le  fussent  aussi,  on  devrait  avoir 

a—']  oc— a',       6— 7[3  =  />', 

a  -i-  5x=^  a",      6  H-  5  {3  ::=  b"; 


D'APRÈS  LES  OBSERVATIONS.  613 

or  on  a,  après  les  substitutions, 

rt  —  7a  —    —  4^8"  l5'r—    —  2.36o"  -I-  7.1)1" /\5' , 

^  —  n  (3  :^3  —  84o"      —  —  3 .  36o° -4- 3.40°, 
a-r-5oc—      401/33'—  36o°--    4()"33', 

b  -\-  5^  —:  840"  12'=  2.360°  -i      120"  12'. 

D'où  l'on  voit  :  i^  que  ces  valeurs  dînèrent  un  peu  de  celles  de  a',  b' , 
a",  b"',  1^  que  les  valeurs  de  ces  dernières  quantités  doivent  être  expri- 
mées ainsi 

a!  =  —  2 .  360°  -f-  2(jo°58', 

6'  ~  —  3 .  36o°  -r-  240", 
«"=  360°-^    5o°43', 

h"  =.      2 .  36o°  -f-  1 20°  I  o' . 

De  sorte  qu'en  faisant  ces  substitutions  dans  les  formules  ci-dessus 
on  aura,  à  cause  de  )j.  ~  5,  X  =  —  7,  et  par  conséquent  p.  —  X  -  -  1 2, 


o!'  —  ci!        83o<'45'         ,.     ^  , 
———  =  — f- r=  6/59', 


ce  = 

12  12 


b"-h'           1680°  10' 
^=z   =  --:l4o°      l'. 


Cette  valeur  de  /3  est  la  même  que  celle  qu'on  a  trouvée  directement 
dans  l'Exemple  II;  mais  la  valeur  de  a  diffère  de  10  minutes  de  celle  de 
cet  Exemple;  or  on  verra,  dans  la  Remarque  suivante,  que  les  valeurs 
de  a  et  /3,  qu'on  vient  de  trouver,  ne  diffèrent  que  de  i  minute  de  la 
vérité,  ce  qui  prouve  l'utilité  de  la  méthode  précédente. 

Ayant  ainsi  déterminé  assez  exactement  les  valeurs  de  a  et  fj,  on 
pourra  s'en  servir  pour  approcher  davantage  des  véritables  valeurs  de  a 
et  b-,  car,  puisqu'on  a 

a  —  '•jO.^r.  a' ,     6  —  7 [3  =  ^';     a  -f-  5a  -=  «",     />  -i-  5 |j  =  />", 

on  aura 

i[a~  a)  —  a'  -^  a",     2  , />  —  (3)  =  6'  -^  b"  ; 


GH  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANETES 

d'où 


c'est-à-dire, 


a'  H-  a"        ,       ^       è'  -f-  h" 

a=^  (X.  \ — 1       o  ---  ^  -\ ; 


i8"iq' 
a=  69"  59' ^  =  60"  5o', 


6:^140°    i'—     —     r^i39°56', 


et  ces  valeurs  sont  aussi  plus  conformes  à  la  vérité  que  celles  qu'on  a 
trouvées  dans  l'Exemple  II,  comme  on  le  verra  ci-après. 

Remarque  II. 

44.  Pour  pouvoir  maintenant  juger  de  l'exactitude  des  résultats  pré- 
cédents, il  faut  réduire  en  formule  la  Table  de  l'équation  du  temps  d'où 
la  série  proposée  est  tirée. 

Pour  cela  je  remarque  que  l'équation  du  temps  n'est  autre  chose  que 
la  différence  entre  la  longitude  moyenne  du  Soleil  et  son  ascension 
droite,  convertie  en  temps  à  raison  de  i5  degrés  par  heure.  Or  soient  <p 
la  longitude  vraie  du  Soleil,  t  la  longitude  moyenne,  œ  l'ascension  droite 
vraie,  a  le  lieu  de  l'apogée,  e  l'excentricité  du  Soleil  et  w  l'angle  de 
l'obliquité  de  l'écliptique;  on  aura  d'abord,  comme  l'on  sait. 


^h 


(i  — e^)V/9 


ecos(9  —  a)]^ 

et  ensuite 

lang^  ~  cosw  langtp  ; 

ainsi  il  n'y  aura  qu'à  déduire  de  ces  formules  les  valeurs  de  z  et  ^  en  (p, 
et  la  différence  a?—/  (laquelle  ne  contiendra  plus  que  des  cosinus  d'angles 
multiples  de  9),  étant  multipliée  par  l'arc  égal  au  rayon,  lequel  est 
57"  17' 44".  et  divisée  ensuite  par  i5  degrés,  donnera  la  valeur  de  l'équa- 
tion du  temps  en  heures,  pour  la  longitude  9  du  Soleil  ;  par  conséquent, 

si  l'on  multiplie  la  valeur  de  x  —  t  par  ^"      "^;  dont  le  logarithme  est 


D'APRÈS   LES  OBSERVATIONS.  G15 

/f,i383338,  on  aura  l'équation  du  temps  en  secondes  de  temps,  comme 
nous  l'avons  employée  dans  les  Exemples  ci-dessus. 

Je  commence  par  chercher  la  valeur  de  t,  et,  pour  y  parvenii'  d'une 
manière  générale,  je  remarque  que  l'on  a 

dy^  j{     nsinr     \  (i  — n')c(r    , 

I  —  n  cosj  \i  --  n  C0SJ7  ^  (i  —  n  cosyY  ' 

d'où  il  s'ensuit  que 

/(.i  —  n?)^dy^    _    Çs/i—  n'dy        n\/\  —  /i-sinr 
{i~  ncosy)-  ~J  I  — ncosj  i--/icosj 

Or  on  sait  que  la  fraction  -^ — -—  se  réduit  en  une  série  de  la  forme 
^  I  —  ncosy 

I  -h  2  K  cos  j  -\  -  2  K-  ces  ly  -f-  2  K'  cos  3  j  -i- .  .  . , 

en  faisant,  pour  abréger, 

K  =  '  —  y/'  -    n' , 
n 

ainsi  l'on  aura  : 

i"  En  mullipliant  par  dy,  et  intégrant, 


p. 


*  •    =:  j  H- 2 K  sm j -; sm2)-H — ^  sin3/ 


I  —  n  cosy  -^    '      1  '3 

2°  En  multipliant  par  nsin/, 

--^ '-  —n(i  ~  K')(smr+  Ksmar-i-  K'sui3k-^    • .); 

i  —  ncosy  '^      J  .  «  /' 

donc,  réunissant  ces  deux  séries,  on  aura 

■ 

j-h[2K-i-«(i  — K')Jsinj-t-    —  h-«(i— K')    Ksinaj-f-    -r-  -i-«(i— K')    K'sin3)  -r... 

pour  la  valeur  de  l'intégrale    /  —■ —      '^•^  • 
^  ^  J  (i  — ncosj)' 

Maintenant  il  est  visible  que   l'on  aura  la  valeur  de  la  longitude 


616  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

moyenne  t,  si  l'on  met  dans  la  série  précédente  e  à  la  place  de  /«,  et 
9  —  a  à  la  place  dej,  et  qu'ensuite  on  y  ajoute  la  constante  a,  qui  est  la 
longitude  de  l'apogée;  on  aura  donc,  en  faisant 


et  observant  que 

e 

on  aura,  dis-je,  cette  formule 

/  =  9H-2esin(9— 3:)-i-2  ie j  Ksin2(9  — a) -i-sf  e -„- J  R'sin3(9  — a:)-t-.... 

Il  ne  reste  donc  plus  qu'à  trouver  la  valeur  de  l'angle  œ  exprimée  par 
une  formule  semblable;  or  l'équation 

langjc  =  cosoj  lang9 
donne  celle-ci 

,  coso)rf  tango  cosMcfcp  -2  cos o>d<jj> 

I -h  cos'wtang^cp       cos^<p  +  cos^wsin'9        i  +  cos'oj  h- sin'w  COS29 

de  sorte  qu'en  faisant,  pour  abréger, 

.  coso)  -r,  sin'o) 

A  =  7—5       Jd 


COS'''w  I  -f-  COS^O) 

on  aura 

,  2  A  Jcf) 

dx  = 


1  -.-  J3  ces  2  9 


Cette  formule  se  rapporte  évidemment  à  celle  que  nous  avons  intégrée 
ci-dessus,  et  il  est  clair  qu'en  faisant 

B  =  —  «    et    j=  29, 

on  aura  sur-le-champ 

2A       /         ^,    .  K'    .     .  K^    .    ^      ,        \ 

X  — o  +  K sm2o  -i ■  sm49  +  ^r  smD9  h  .  .      ; 


D'APRÈS  LES  OBSERVATIONS.  (.17 

mais,  puisque 

n  —  —  B  = , 

on  aura 


,— ^ — ; V^i  4-  acos'o)  -+■  cos'o)  —  sin*&) 2cosc) 

I  -t- COS^O)  I   -t-COS^OJ 

donc 

A_  ___i. 


v/i  —  n^ 
le  plus  on  aura 


i  —  Ji  —  n'  (i  — coso))-  I  — cosw  0» 

K  =  ï rrr ^- — =  —  tang  —  • 

n  sin'oj  I  -h  COS&)  2 

Donc  enfin  on  aura 

•^  =  9  —  (lang  y)  sin2p  4- -Uang-^j  sin49  —  ^(tang  ^j  siniSo-f-..    . 

Donc  l'équation  du  temps  sera  représentée  par  la  ditFérence  de  ces 
deux  séries,  où  j'ai  fait,  pour  abréger,  i—  -°  ^  ^,  savoir 

—  2iesin(9  —  a)  —  '  lang^    -  sin?.9 

■  f  K    \     1-        •  /'  ^  '  .    ^>        •        /• 

—  2i  (  e  -  -  -  1  K  51112(9  —  X)  -: —  lang'  —  sin49 
le 1  k-sin3(9  —  a    —  -  tang''  —  511169  -f- . . . , 


2  n  e  — 


et  il  ne  s'agira  plus  que  de  substituer  dans  cette  formule  les  valeurs  nu- 
mériques des  quantités  i,  e  et  des  angles  a  et  «. 

Or  je  trouve,  par  la  Table  de  l'équation  du  centre  du  Soleil,  de  Mayer, 
que  l'excentricité  du  Soleil  est 

e  = 0,0168022, 

dont  le  loi,^arithme  est 

8,2253662; 

VI.  76 


618  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

ajoutant  donc  à  ce  logarithme  celui  de  2/,  qui  est 

4,4393638, 

on  aura  le  logarithme  de  2.ie,  savoir 

2,6647300, 

auquel  répond  le  nombre  462. 

Ensuite  on  a 

w=;  23°  28'  i5", 

et  par  conséquent 

-  =  ii''44'7'  ; 
2 


d'où 


logtang  -  —  9,3i75o4o,      el      loglang- —  =  8,635oo8o, 
2       '  2 


à  quoi  ajoutant  le  logarithme 

log/--^  4, 1383338, 

on  aura 

2,7733418, 

auquel  répond  le  nombre  593. 

Ainsi  les  deux  premiers  termes  de  notre  formule  seront 

—  462  sin(9  —  a)  —  593  sin2<p, 

où  a,  longitude  de  l'apogée,  est  =  ?>^(f  ~  99*^,  et  ^  est  la  longitude  vraie 
du  Soleil. 

Or  il  est  facile  de  se  convaincre  que  ces  deux  termes  répondent  pré- 
cisément à  ceux  que  nous  avons  trouvés  à  posteriori  d'après  nos  calculs. 
En  effet,  ayant  pris  pourT,  dans  les  Exemples  ci-dessus,  le  terme  de  la 
Table  de  l'équation  du  temps  qui  répond  à  la  longitude  1 1*10'',  et  ayant 
mis  70  degrés  de  distance  entre  un  terme  et  l'autre,  il  est  clair  que  l'on 
aura,  pour  un  terme  quelconque  dont  le  quantième  est  m, 

9  =:- 1 1 M 0°  H-  m.']0°Y 


D'APRES  LES  OBSERVATIONS.  019 

ainsi  roii  aura 

<p  —  a—  8*i"-l-  m.'^o"; 

donc 

sin(<p  —  a)---  —  sin(6i"-4-  m. 70"), 

et 

d'où 

sin 2 9  =:  —  sin ( 1 4o°  {-  m.  1 4o")  ; 

de  sorte  ((u'on  aura  la  lormule 

462  sin(6i"-f-  m, 70")  -h  593sin(i4o''  ;-  m.  i4o";. 

Or  la  formule  trouvée  à  posteriori  est 

Asin(«  -h  ma)  -+-  B  sin(6  -h  m(3), 

c'est-à-dire,  h  cause  de  A  — 45i,   B  =  591(0°  42),    et  «  =  69^59', 
|3  =  i4o°i',  a  =  6o°5o',  Z>-=i39«56'(n°4-4), 

45i  sin(6o"5o'  +  m.6g"5çi')  -\-  Sqi  sin(i3o"56'  -4-  m.  140° i'), 

laquelle  s'accorde,  comme  l'on  voit,  à  très-peu  près  avec  la  précédente. 
On  voit  aussi  par  là  que  les  vraies  valeurs  de  A,  B;  a,  h;  a  et  p  sont 

A  =  462,     6  =  593;     «  =  61°,     bz-1^0";     a --:  70",     jj       i4o", 

d'où  l'on  peut  juger  combien  les  résultats  de  nos  méthodes  approchent 
de  la  vérité. 

A  l'égard  des  autres  termes  de  la  formule  ci-dessus,  il  est  facile  de  se 
convaincre  d'abord  qu'ils  seront  nécessairement  très-petits  vis-à-vis  des 
deux  premiers,  puisque  ces  termes  décroissent  dans  des  raisons  moin- 
dres que  I  :  e  et  I  :  lang-  —  •  En  effet,  si  l'on  suppose 

e=r.  sine, 

-8. 


620  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANETES 

on  aura 

„  sine  £ 

K  = =  lang  -  ; 

iH-cose  2 


or,  ayant 
on  trouvera 
d'où 


loge  =  8,2253662, 

£  =^  56' 46", 

logK  =  loglang28'23"=  7,9167994, 


et  de  là  on  aura  pour  le  coefficient  de  sin2((p  —  a)  le  nombre  2,  9;  en- 
suite on  trouvera  pour  celui  du  terme  sin49  le  nombre  12,  8;  d'où  l'on 
voit  que  ce  dernier  terme  est  le  plus  considérable  après  les  deux  pre- 
miers, mais  qu'en  même  temps  il  est  extrêmement  petit  à  leur  égard,  de 
sorte  qu'on  sera  en  droit  de  négliger  tous  les  suivants;  c'est  pourquoi 
l'équation  du  temps  pourra  être  représentée  avec  toute  l'exactitude  re- 
quise par  cette  formule 

—  462"sin(9  —  a)  —  593"sin2  9  —  3"sin2(cp  —  a)  +  i3"sin49« 

Remarque  III. 

45.  Puisque,  dans  les  Exemples  ci-dessus,  on  n'a  poussé  le  calcul  que 
jusqu'à  la  seconde  division,  et  qu'on  a  ensuite  négligé  le  reste  de  cette 
division  comme  nul,  quoiqu'il  ne  fût  que  très-petit,  il  n'est  pas  surpre- 
nant que  les  valeurs  trouvées  par  ce  moyen  diffèrent  un  peu  des  véri- 
tables; en  effet  on  voit,  par  la  formule  précédente,  qu'outre  les  deux 
équations  proportionnelles  à  sin((p  — a)  et  à  sinatp,  qui  sont  les  plus 
considérables,  il  y  en  a  encore  deux  qui  montent  à  quelques  secondes, 
et  dont  l'une  est  proportionnelle  à  sin/jfp  et  l'autre  à  sin2{o  —  a);  il  est 
vrai  que  cette  dernière,  outre  qu'elle  est  très-petite,  peut  être  combinée 
avec  la  seconde,  de  manière  qu'il  n'en  résulte  qu'une  seule  de  la  forme 
—  Psin(p  H- 2'^);  car,  puisque 

sin2(9  —  a)  =  sin2(p  ces 2 a  —  00529  sin2  a. 


D'APRÈS  LES  OBSERVATIONS.  621 

il  n'y  aura  (jii'ii  faire  pour  cela 

V  cosp  -    5<j3"  -r-  3"cos2a,     l*  sinp  ~r-  —  3"sin2  5i:, 

ce  qui  donne 

3  si  11?,  a 
'  093  -i-  3  ces  2  a 

et  ' 

P  r=  v/(,  593  )'  -1-  2 .  593T3  CCS  2  a  -f-  3^  ; 

et  en  faisant  le  calcul  on  trouve 

/>  — 5'24"     cl     P^   590; 
(le  sorlc  (ju'au  lieu  du  terme  (Remar([ue  précédente) 

593  siii  (i4o" -f- m.  140") 
il  faudra  mettre  celui-ci 

590  sin  (i4o"5' -1- m.  i4o"),    ■ 

ce  qui  altère  un  peu  les  valeurs  de  B  et  de  b,  et  les  change  en  celles-ci 

B  —  590,     et    />  =  i4o''5'. 

Il  ne  restera  donc  ainsi  que  l'équation  i3"sin/|Ç);  et  il  est  clair  que, 
pour  trouver  cette  équation  à  posteriori,  il  aurait  fallu  continuer  l'opé- 
ration et  en  venir  à  une  troisième  division;  on  aurait  pu  par  là  trouver 
les  trois  équatio-ns  à  la  fois,  avec  toute  l'exactitude  requise;  mais  il  y 
a  ici  une  observation  importante  à  faire. 

Lorsque  les  termes  donnés  d'une  série  récurrente  sont  exacts  et  rigou- 
reux, on  est  assuré  de  trouver  toujours  par  nos  méthodes  la  vraie  loi 
générale  de  ces  termes;  c'est  de  quoi  on  a  vu  plusieurs  exemples  dans 
tout  le  cours  de  ce  Mémoii'e;  mais  il  n'en  est  pas  toujours  de  même  lors- 
que les  valeurs  des  termes  donnés  ne  sont  qu'approchées;  car,  dans  ce 
cas,  il  est  clair  qu'il  doit  y  avoir  des  limites  au  delà  desquelles  l'opéra- 
tion ne  saurait  être  continuée  sans  craindre  de  s'égarer;  et  voici  com- 
ment on  pourra  déterminer  ces  limites. 


G22  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

Supposons,  pour  plus  de  généralité,  que  les  termes  de  la  série  sur 
laquelle  il  s'agit  d'opérer  soient  composés  d'entiers  et  de  décimales,  el 
que  leur  exactitude  s'étende  jusqu'à  la  V^'"^  décimale  inclusivement; 
supposons  de  plus  que  le  premier  terme/?  de  la  série,  par  lequel  on  di- 
vise préalablement  tous  les  autres  (n°40)  pour  avoir  la  série  s,  dont  le 
premier  terme  soit  l'unité,  supposons,  dis-je,  que  ce  terme/?  ait  une 
valeur  qui  soit  renfermée  entre  lo'^  et  lo^"^',  ce  qu'on  peut  connaître 
d'abord  par  la  place  de  son  premier  chiffre  significatif;  il  est  clair 
qu'après  la  division  par/?  les  termes  de  la  série  s  ne  seront  exacts  que 
jusqu'à  la  place  décimale  (X  -hz^y^'"^  inclusivement.  Ainsi  tant  le  quo- 
tient que  le  reste  de  la  première  division  ne  seront  exacts  que  jusqu'à 
cette  limite. 

Soit  maintenant  le  coefficient/?'  du  premier  terme  du  reste  dont  nous 
parlons,  renfermé  entre  lo^'  et  lo^'"^',  et  comme  ce  coefficient  doit  servir 
de  diviseur  à  tous  les  autres,  il  s'ensuit  qu'après  la  division  les  termes  de 
la  nouvelle  série  s',  sur  laquelle  on  devra  opérer,  seront  exacts  jusqu'à 
la  (X  -f-  27  -h  zs')'^'"^  place  décimale,  mais  non  pas  au  delà,  de  sorte  que  le 
second  quotient,  ainsi  que  le  second  reste,  n'auront  pas  non  plus  une 
exactitude  plus  grande;  et  ainsi  de  suite. 

De  là  il  sera  facile  déjuger,  dans  chaque  cas  particulier,  jusqu'où  l'on 
peut  continuer  l'opération  avec  sûreté  ;  car  il  est  clair  qu'il  faudra  néces- 
sairement s'arrêter  dès  qu'on  sera  parvenu  à  un  reste  dont  les  termes  ne 
contiendront  plus  que  des  chiffres  douteux. 

Il  est  clair  que  les  termes  de  la  Table  de  l'équation  du  temps  ne  sont 
qu'approchés,  puisqu'ils  sont  exprimés  en  nombres  ronds  de  secondes; 
ainsi  les  séries  que  nous  avons  examinées  dans  les  Exemples  précé- 
dents sont  dans  le  cas  dont  nous  venons  de  parler.  Considérons  le  cas 
de  l'Exemple  II,  et  l'on  aura  d'abord  X  =  o;  ensuite,  dans  la  première 
série,  on  a  (à  cause  de  /?  =  772)  w  =  2,  d'où  il  s'ensuit  que  le  premier 
reste  n'est  exact  que  jusqu'à  la  seconde  place  décimale  inclusivement; 
de  plus  (à  cause  de/?'=  —  r,  23. . .)  on  a  zs'  =  o;  de  sorte  que  le  second 
reste  n'aura  aussi  que  le  même  degré  d'exactitude;  mais  la  plupart  des 
termes  de  ce  second  reste  ne  contiennent  de  chiffres  significatifs  que 


D'APRÈS  LES  OBSERVATIONS.  G23 

dans  la  troisième  place;  donc  ce  reste  doit  être  regardé  comme  douteux, 
et  par  conséquent  doit  être  rejeté.  On  appliquera  le  même  raisonnement 
aux  autres  cas,  et  l'on  en  conclura  que  l'on  ne  doit  pas  aller  au  delà  de 
la  secontie  division,  de  crainte  que  l'opération  ne  donne  faux. 

Remarqtii:  IV. 

46.  L'inconvénient  que  nous  venons  d'exposer  empêche  donc  sou- 
vent ({u'on  ne  puisse  trouver  directement  la  loi  exacte  d'une  séiie  pro- 
posée; c'est  pourquoi  il  est  très-important  de  chercher  des  moyens  d'y 
remédier.  Un  des  meilleurs  est  de  tâcher  de  simplifier  la  série,  en  la  dé- 
gageant de  la  partie  dont  la  loi  est  déjà  à  très-peu  près  connue,  ainsi 
([u'on  l'a  déjà  fait  voir  dans  la  Remarque  du  n°  20. 

Ce  moyen  réussira  d'autant  mieux  que,  comme  le  dénominateur  de 
la  série  ne  dépend  que  des  angles  a,  /3, . . . ,  il  suffira  de  connaître  avec 
précision  quelques-uns  de  ces  angles  pour  pouvoir  détruire  dans  la  série 
la  partie  qui  dépend  de  ces  mêmes  angles;  or  nous  avons  donné,  dans  la 
Remarque  I,  une  méthode  pour  approcher  autant  que  l'on  veut  de  la  vraie 
valeur  de  ces  angles;  ainsi  l'on  pourra  toujours  employer  avec  succès  la 
transformation  dont  nous  venons  de  parler. 

Lorsqu'on  emploie  la  première  ou  la  seconde  solution  des  n°*  35,  36, 
alors  il  n'y  a  qu'à  faire  usage  de  la  méthode  du  n°  20,  sans  aucune  pré- 
paration; mais  il  n'en  est  pas  de  même  quand  on  emploie  la  troisième 
solution  du  n°  37,  ou  (ce  qui  est  la  même  chose)  les  méthodes  du  n°  40, 
ainsi  que  nous  l'avons  fait  dans  les  Exemples  ci-dessus.  Dans  ce  cas,  il 
faudra  modifier  la  règle  du  n°  20,  d'après  ce  que  nous  avons  démontré 
dans  le  n°  34. 

Pour  cela  on  remarquera  que  les  séries  des  sommes  ou  des  différences, 
dont  il  s'agit  dans  les  deux  méthodes  du  n°  40,  ont  des  fractions  généra- 
trices dont  le  dénominateur  commun  est  un  polynôme  réciproque  formé 
du  produit  des  trinômes 

I  —  2x  cosa  -:-  X-,     I  —  IX  cos^ -\' x^,     i  —  ix  cosy  -^  x\. . . , 


6-24  FORMATION   DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

et  dont  les  numérateurs  sont  aussi  des  polynômes  réciproques  d'un 
degré  moindre  de  deux  unités,  mais  qui  sont  en  même  temps  multipliés 
par  I  —  X,  s'il  s'agit  de  la  série  des  sommes  de  la  première  méthode; 
par  1  -+-  X,  s'il  s'agit  de  la  série  des  différences  de  la  même  méthode;  et 
par  I  —X-,  s'il  s'agit  de  la  série  des  sommes  de  la  seconde  méthode. 
Donc,  si  l'on  suppose  qu'on  connaisse  déjà  assez  exactement  la  valeur 
de  quelques-uns  des  angles  a,  |3,  7,...,  et  que  le  nombre  de  ces  angles 
connus  soit  p,  il  n'y  aura  qu'à  former  le  produit  des  trinômes  corres- 
pondants 

I  — '2:c  cosa -t- ^-,      i  —  2^  cos{3  +  x', .  .  . , 

que  j'appellerai,  pour  plus  de  simplicité,  H,  et  l'on  multipliera  parce 
polynôme  connu  II  la  série  des  sommes  ou  des  différences  qu'on  se  pro- 
pose d'employer;  ce  qui  donnera,  après  avoir  ordonné  tous  les  termes 
par  rapport  aux  puissances  de  x,  une  nouvelle  série,  qu'on  partagera  en 
deux  parties,  l'une  que  je  désigne  par  R  et  qui  contiendra  les  p  premiers 
termes;  l'autre,  que  je  désignerai  par  a;PS  et  qui  contiendra  les  termes 
suivants,  lesquels  seront  tous  divisibles  par  ^p,  en  sorte  que,  après  cette 
division,  on  aura  la  série  S. 

On  formera  maintenant  le  polynôme  contraire  au  polynôme  R  (n**  23), 
et  le  dénotant  par  (R)  on  distinguera  quatre  cas,  suivant  la  forme  de  la 
série  que  l'on  aura  employée. 

i"  Si  l'on  fait  usage  de  la  série  des  sommes  de  la  première  méthode, 
on  ajoutera  le  polynôme  (R)  à  la  série  S,  et  la  série  résultante  S  -h  (R) 
sera  de  la  même  nature  que  la  série  primitive  des  sommes;  mais  elle  en 
sera  plus  simple,  puisqu'elle  sera  débarrassée  de  la  partie  qui  dépendrait 

des  angles  connus  a,  /3, On  traitera  donc  cette  nouvelle  série  suivant 

les  règles  prescrites  pour  la  série  des  sommes  de  la  première  méthode, 

et  1  on  en  déduira  la  traction  en  y,  ^  '  ^^^    -,  que  nous  désignerons  ici 

par  ^-  Ayant  trouvé  cette  fraction  en  j,  pour  avoir  celle  de  la  série  pri- 
mitive, on  prendra  la  différence  R  —  (R)a;?  des  deux  polynômes  R  et 
(R)a;^,  la({uelle  sera  nécessairement  divisible  par  i  —  x  (n^23,  5°),  et 


D'APRÈS   LES  OBSERVATIONS.  G25 

après  la  division  on  aura  un  polynôme  rcciproqui;  du  degré  p  —  2,  (jue 
nous  désignerons  par  P,  en  sorte  (|ue 

P(i  -x)  ---  R-(R)^f; 

P 

on  considérera  maintenant  la  fraction  —->  dont  le  numérateur  est  un  po- 
lynôme réciproque  du  degré  2p  —  2  et  dont  le  dénominateur  en  est  un 
du  degré  2p,  et,  l'ayant  multiplié  par  i  -1-  x-,  on  le  transformera,  par  la 

substitution  déjà  la  place  de  — — -■>  en  une  simple  fraction  en  7,  ayant 

pour  numérateur  un  polynôme  Q  du  degré  p  —  i  et  pour  dénominateur 
un  polynôme  ^  du  degré  p  (n°  27).  Pour  faire  cette  transformation  avec 
facilité,  il  n'y  aura  qu'à  employer  les  substitutions  enseignées  dans  le 

n*^  6,  changer  ensuite  z  en  -•>  et  multiplier  le  bas  et  le  haut  par  jf^;  ou 

bien,  ce  qui  sera  encore  plus  simple,  on  fera  d'abord 

^  ^^{\  —  ajcosa)  (i  —  ?.jcos[3). . .  ; 

ensuite  on  retranchera  du  polynôme  P  les  p  —  i  premiers  termes,  et  l'on 
mettra  dans  les  p  derniers,  à  la  place  de  x'^,  x'^^\  ^P"^-,...,  x'^'^'^,  les 
quantités 

et  l'on  aura  le  polynôme  Q;  en  sorte  que  ^  sera  la  fraction  en  y  qu'on 
cherche. 

Il  ne  restera  plus  maintenant  qu'à  ajouter  cette  fraction  ^  à  la  frac- 

V  »  •  0^  -4-  V 

tion  V?  divisée  par  ^,  et  la  somme,  c'est-à-dire,  la  fraction  -^^-nrv —  ^^'"^ 

la  véritable  fraction  en  j,  qui  répond  à  la  série  des  sommes,  et  qu'on 
aurait  dû  trouver  directement  en  faisant  toutes  les  opérations  requises. 
On  traitera  donc  cette  fraction  de  la  manière  prescrite  à  l'égard  de  la 

fraction  ^  \    ,    •>  dans  la  première  méthode  du  n"  40. 

VI.  79 


G26  FORMATION  DES  TABLES  DES  PLANÈTES 

2"  Lorsqu'on  fera  usage  de  la  série  des  différences  de  la  méthode,  il 
n'y  aura  d'autres  changements  à  faire  aux  procédés  qu'on  vient  d'ensei- 
gner, sinon  qu'à  la  place  de  la  somme  S  -f-  (R)  on  prendra  la  différence 
S_(R)  pour  avoir  une  série  de  la  même  nature  que  la  primitive,  et 
susceptible  des  mêmes  opérations;  et  qu'ensuite  à  la  place  de  la  diffé- 
rence R—  (R)a7P  il  faudra  prendre  la  somme  R  4-  (R)ipP,  qu'on  divisera 
par  î  +  a?,  pour  avoir  le  polynôme  réciproque  P. 

3°  Dans  le  cas  où  l'on  emploie  la  nouvelle  méthode  et  où  l'on  veut 
opérer  sur  la  série  des  sommes,  on  suivra  encore  les  mêmes  procédés,  si 
ce  n'est  qu'on  prendra  S  h-  (R)^  pour  la  série  qui  doit  être  de  même 

V 

nature  que  la  primitive  et  qui  doit  fournir  la  fraction  en  j,  y":  ^t  qu'en- 
suite, pour  avoir  le  polynôme  réciproque  F,  on  prendra  le  polynôme^ 
R  —  {B.)x^^\  qu'on  divisera  par  i  —oc-. 

If  Enfin,  lorsqu'il  s'agira  de  la  série  des  différences  de  la  même  mé- 
thode, il  faudra  prendre  pour  (R)  le  polynôme  réciproque  de  R  diminué 
de  son  dernier  terme,  c'est-à-dire,  le  polynôme  réciproque  de  celui  qui 
est  formé  par  les  p  —  2  premiers  termes  de  la  série  après  qu'elle  aura  été 
multipliée  par  II;  ensuite  on  procédera  comme  ci-dessus  (2°),  avec  cette 
seule  différence  qu'il  faudra  prendre  immédiatement  P  h-  (R)^p  pour  le 
polynôme  P. 

Nous  ne  nous  étendrons  pas  davantage  sur  cette  matière,  et  nous  ne 
chercherons  pas  non  plus  à  l'éclaircir  par  des  Exemples,  parce  que  cela 
nous  mènerait  trop  loin,  et  que  d'ailleurs  elle  ne  doit  plus  être  sujette  à 
aucune  difficulté,  après  tout  ce  que  nous  avons  démontré  dans  le  cours 
de  ce  Mémoire. 

Remarque  V. 

47.  Au  reste,  quoique  les  méthodes  exposées  ci-dessus  soient  prin- 
cipalement destinées  pour  les  séries  composées  de  sinus  et  de  cosinus 
d'angles,  elles  peuvent  néanmoins  être  appliquées,  en  général,  à  toutes 
sortes  de  séries  récurrentes;  et  il  suffit  pour  cela  de  remarquer  que, 
lorsque  parmi  les  racines  z?,  p,  a,...  qu'on  a  supposées  égales  à  2C0sa, 


D'APRES  LES  OBSERVATIONS.  627 

1  cos/3,  2  COS7,...  il  s'en  trouvera  d'égales  ou  de  plus  grandes  que  l'unité 
ou  d'imaginaires,  alors  la  série  ne  contiendra  plus  simplement  des  sinus 
et  cosinus,  mais  elle  contiendra  une  partie  algébri(iue  ou  des  exponen- 
tielles réelles;  et  il  sera  facile  de  résoudre  ces  dilTérents  cas  par  des  mé- 
thodes connues. 

Enfin  je  doi^  remarquer,  en  finissant  ce  Mémoire,  que  les  différentes 
méthodes  que  nous  y  avons  données  peuvent  aussi  être  d'un  grand  usage 
dans  la  Physique,  lorsqu'il  s'agit  de  découvrir  la  loi  des  phénomènes 
d'après  les  résultats  de  plusieurs  expériences;  et,  en  général,  elles  pour- 
ront servir  pour  résoudre  un  grand  nombre  de  questions  dont  on  ne 
pourrait  venir  à  bout  qu'en  tâtonnant,  et  d'une  manière  très-imparfaite, 
sans  le  secours  de  ces  méthodes. 


79- 


LETTRE  DE  LAGRANGE  A  LAPLACE, 


RELATIVK    A    I.A 


THÉORIE  DES  INÉGALITÉS  SÉCULAIRES  DES  PLANÈTES 


LETTRE  DE  LAGRANGE  A  LAPLACE, 


RELATIVE    A    I.A 


THÉORIE  DES  INÉGALITÉS  SÉCULAIRES  DES  PLANÈTES '*l 


I  Mémoires  de  l'Académie  Royale  des  Sciences  de  Paris,  année  1772.) 


Je  prends  la  solution  du  Problème  des  trois  Corps  de  M.  Clairaut 
[Théorie  de  la  Lune,  p.  G),  et  j'observe  que,  puisque 


sin  u{g—  j  Q,  du  ces  u  j  —  ces  uic-J,-  j  Q  du  sin  u  )  , 

si  l'on  fait 

g-  —  j  Q  du  cosu^=:  esini,      c  -■    j  Q  dusinu  --.  e  cosi, 

:  I  —  e  cos(^/  —  I); 


on  a 

II 


en  sorte  que  e  sera  l'excentricité  et  I  le  lieu  de  l'apbélie,  et  il  est  re- 
marquable que  les  quantités  e  et  I  peuvent  être  regardées  comme  con- 

(*)  Laplace,  en  reproduisant  celte  Lettre,  à  la  suite  de  ses  Recherches  sur  les  inégalités 
séculaires,  insérées  dans  le  volume  de  1772,  la  fait  précéder  des  lignes  suivantes  : 

«  Ayant  envoyé  à  M.  de  Lagrange  mes  Recherches  sur  les  inégalités  séculaires  des  planètes, 
lorsqu'elles  furent  imprimées,  ce  grand  Géomètre  me  communiqua,  dans  une  Lettre  datée  du 
lo  avril  1775,  qu'il  me  fit  l'honneur  de  m'écrire  à  ce  sujet,  une  méthode  très-élégante  et  que 
les  Géomètres  verront  avec  plaisir,  pour  trouver  directement  les  équations  différentielles  de 
l'excentricité  et  de  l'aphélie;  la  voici  telle  qu'il  me  l'a  envoyée.  » 


G32  LETTRE  DE  LAGRANGE  A   LAPLACE,   ETC. 

stantes,  pendant  que  les  quantités  r  et  u  varient  de  dr  et  du-,  car,  comme 

^1—  =  I  —  esini  sinw  —  e  cosi  cosm, 
Mr 

il  suffit  de  démontrer  que  la  différentielle  de  cette  équation  est  nulle, 

en  ne  faisant  varier  que  les  deux  quantités  esinI,  ecosi;  c'est-a-dire, 

que 

s\\\u.d{e  sini)  +  cos u.d{e  cosI)  =  o; 

mais 

d{e  sinl)  =^  ~  Q  du  cos  u,     el     d{e  cosI)  =:  Çl  du  s'inu, 

donc,  etc.  Je  fais  donc 

;c=:esinl,     j=ecosI; 

-;-—  z=i  \  —  X  sm  u  —  r  cos  u, 

et  ensuite  j'ai,  en  différentiant,  les  équations 

dx  =:  —  Q  cosudu,     df  =  Q  sin  u  du  ; 

si  l'on  substitue,  dans  ces  équations  et  dans  les  autres  semblables,  les 
valeurs  de  r  et  de  w  en  x,  y  et  t,  et  que  l'on  ne  conserve  que  les  termes 
où  3c,y,  x',  y\...  seront  linéaires  et  multipliés  par  des  coefficients  con- 
stants, on  aura  les  équations  cherchées;  il  faut  seulement  avoir  soin  de 
ne  pas  rejeter,  dans  la  quantité  Q  ,  les  termes  de  la  forme 

Ixsmudu,       j  X  cos  u  du,        1  y  sin  u  du,        j  y  cosudu, 

et    les    autres   semblables;    car    ces    termes,    étant    transformés    en 

X  cos  u  -h  j  dx  cos  M, . . . ,  produiront,  dans  les  équations  différentielles, 

des  termes  de  la  forme  demandée;  à  l'égard  des  quantités  j  dxcosu,..., 

on  pourra  les  négliger  entièrement,  parce  que  dx  est  déjà  très-petit  de 
l'ordre  des  masses  des  planètes  perturbatrices. 


RECHERCHES 


ÉQUATIONS  SÉCULAIRES  DES  MOUVEMENTS  DES  NŒUDS 


DES  INCLINAISONS  DES  ORBITES  DES  PLANETES. 


VI.  80 


RECHERCHES 


ÉQIIATIOIVS  SÉCULAIRES  DES  MOUVEMENTS  DES  NŒUDS 


DES   INCLINAISONS    DES   ORBITES    DES   PLANÈTES. 


(Mémoires  de  l'Académie  Royale  des  Sciences  de  Paris,  année  177^.) 


Ce  Mémoire  contient  une  nouvelle  Théorie  des  mouvements  des 
nœuds  et  des  variations  des  inclinaisons  des  orbites  des  planètes,  et 
l'application  de  cette  Théorie  à  l'orbite  de  chacune  des  six  phinètes 
principales.  On  y  trouvera  des  formules  générales,  par  lesquelles  on 
pourra  déterminer  dans  un  temps  quelconque  la  position  absolue  de 
ces  orbites,  et  connaître  par  conséquent  les  véritables  lois  des  change- 
ments auxquels  les  plans  de  ces  orbites  sont  sujets. 

J'invite  les  Astronomes  à  faire  usage  de  ces  formules  et  à  examiner 
si,  par  leur  moyen,  on  peut  rendre  raison  du  pou  d'accord  que  je  trouve 
entre  les  observations  anciennes  et  les  modernes,  les  formules  que 
d'autres  Auteurs  ont  données  pour  cet  objet  étant  insuffisantes,  puis- 
qu'elles ne  représentent  que  les  variations  difîérentielles  des  lieux  des 
nœuds  et  des  inclinaisons;  de  sorte  que  ces  formules  cessent  d'être 
exactes  au  boni  d'un  certain  nombre  d'années,  au  lieu  que  les  nôtres 
peuvent  s'étendre  à  tant  d'années  qu'on  voudra. 

So. 


636         RECHERCHES  SUR    LES  ÉOUATIONS  SÉCULAIRES 

Entin  ou  trouvera,  dans  ce  Mémoire,  des  Tables  des  variations  sécu- 
laires de  l'obliquité  de  l'écliptique  et  de  la  longueur  de  l'année  tro- 
pique, avec  les  formules  nécessaires  pour  calculer  les  variations  sécu- 
laires des  étoiles  fixes  en  longitude  et  en  latitude;  ces  Tables  s'étendent 
jusqu'à  vingt  siècles,  tant  avant  qu'après  1760. 

Article  P'.  —  Forint  des  générales  du  mouvement  des  nœuds,  et 
de  la  variation  de  Vinelinaison  de  l'orbite  que  décrit  un  corps 
animé  par  des  forces  quelconques. 

1.  Soient  x,  y,  z  les  trois  coordonnées  rectangles  qui  déterminent 
dans  cbaque  instant  la  position  du  corps  par  rapport  à  un  plan  lixe 
quelconque;  supposons  que  toutes  les  forces  qui  agissent  sur  le  corps 
soient  décomposées  suivant  les  directions  des  lignes  jc,  y,  z,  et  soient 
réduites  à  ces  trois  X,  Y,  Z;  on  aura,  en  prenant  l'élément  du  temps  dt 
pour  constant,  les  trois  équations 

d'x  _  _  Y      (_l^  —  _  V      ^  —      7 
~dr~        '     dt-        '     dr-  ~     ^' 

qui  serviront  à  déterminer  le  mouvement  du  corps. 

2.  De  ces  trois  équations  je  tire  celles-ci 

dP  -^  '  dP  dv  '" 

lesquelles,  étant  multipliées  par  dt  et  ensuite  intégrées,  donnent,  en 
faisant,  pour  abréger, 

f=C{Yz  —  Zf)dl,      Q=  j{\z  —  Zx)dt,      l\=  j{\y—Yx)di, 

ces  trois  autres-ci 

xdy  —  y  dx  x  dz  —  z  dx ydz  —  z  dy 

'IIF'  ""     '  d}  ^  ^'  di       '    "     ' 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,  ETC.  637 

d'où  je  tire  sur-le-(;liamp  cette  équation  finie 

P^  —  Q)-  H-  Hs  =  o. 

3.  Si  les  quantités  P,  Q,  R  étaient  constantes,  on  du  moins  dans  des 
rapports  constants  entre  elles,  il  est  visil)l(;  (jue  cette  équation  serait 
celle  d'un  plan  tixe  passant  par  le  [)oint  (|ui  (îst  l'orii;;ine  des  coordon- 
nées a?,  j,  s,  et  dont  la  position  dépendrait  des  inèmes  quantités?,  Q,  K. 
Et  il  est  très-aisé  de  démontrer  que,  dans  ce  cas,  l'intersection  du  plan 
dont  il  s'agit  avec  celui  des  coordonnées  a?  etj,  c'est-à-dire,  la  li^ne  des 
nœuds  de  ces  deux  plans,  fera,  avec  l'axe  des  abscisses  x,  un  anii;le  dont 

la  tangente  serait  ^■>   et  que  l'inclinaison  mutuelle  des  mêmes  plans 
serait  égale  à  l'angle  (jui  a  pour  tangente  - — jr 

4.  Or  les  quantités  P,  Q,  R  ne  peuvent  être  constantes  qu'en  faisant 
leurs  différentielles  nulles,  ce  qui  donne 

Ys— Zr=o,     \z  —  lx  =  o,     Xj  — Y^  =  o; 
d'où  l'on  tire 

x  =  n^,    Y  =  nr,    z  =  n2, 

n  étant  une  (juantité  quelconque;  ce  qui  fait  voir  que  les  trois  forces 
X,  Y,  Z  se  réduisent  à  une  seule  essaie  à 


IIv/^'+  r'  +  2', 


et  toujours  dirigée  au  point  fixe  qui  est  l'origine  des  coordonnées. 

Mais,  si  l'on  veut  seulement  que  les  rapports  de  ces  quantités  soient 
constants,  en  sorte  que  l'on  ait 

P  =  mR,     Q=:«R 

(m  et  «  étant  des  coefficients  quelconques),  alors  il  faudra  que  l'on  ait 
ces  deux  équations 


638  KECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

Or,  si  dans  l'cquation 

?x  —  Qr -t-  R2  =  o 

on  met  à  la  place  de  P  et  Q  leurs  valeurs  ci-dessus,  elle  devient 

mx  —  ny  -h  z  =  o, 

et  si  ensuite  on  substitue  dans  les  deux  équations  précédentes  ny  —  mx 
au  lieu  de  z,  on  trouve  qu'elles  se  réduisent  à  cette  équation  unique 

On  aura  donc,  entre  les  forces  X,  Y,  Z,  une  équation  semblable  a  celle 
qui  doit  être  entre  les  coordonnées  x,  y,  z,  et  de  là  on  conclura  aisé- 
ment que  ces  forces  doivent  être  telles  que  leur  résultante  soit  toujours 
dirigée  dans  le  même  plan  qui  est  représenté  par  les  coordonnées  dont 
il  s'agit:  c'est  ce  qui  est  d'ailleurs  de  soi-même  évident;  mais  nous 
avons  cru  qu'il  n'était  pas  inutile  de  le  déduire  aussi  de  nos  formules. 

5.  Voilà  donc  les  seuls  cas  dans  lesquels  un  corps  puisse  se  mouvoir 
dans  un  plan  fixe;  dans  tout  autre  cas,  c'est-à-dire,  lorsque  l'équation 

/n  X  —  n  Y  -h  Z  =  o 

n'aura  pas  lieu,  le  corps  sollicité  par  les  forces  X,  Y',  Z  décrira  nécessai- 
rement une  courbe  à  double  courbure. 

Cependant,  si  l'on  fait  attention  que  les  trois  équations  différentielles 
du  n*"  2,  d'où  Ton  a  tiré  celle-ci 

P^  —  Qr  -H  FU  =  o, 

donnent  également  cette  autre-ci 

Vdx~Qdr^\\dz  =  o, 

qui  n'est  autre  chose,  comme  l'on  voit,  que  la  différentielle  de  celle-là, 
dans  la  supposition  où  les  quantités  P,  Q,  R  seraient  constantes,  ou  au 
moins  dans  des  rapports  constants,  on  verra  que,  quoique  les  rapports 


OES  MOUVEMENTS   DES  NOEUDS,   ETC.  03!) 

de  ces  mêmes  quantités  ne  soient  pas  justement  constants,  ils  pourroni 
néanmoins  être  rec^ardés  comme  tels  pcmdant  (|ue  le  corps  parcourt  It^s 
espaces  intininient  petits  r/a?,  dy,  dz\  d'où  il  suit  (jue  le  plan  représenlc 
par  l'écjuation 

Vx  —  Qr  -H  |{2  =  o 

sera  celui  dans  lequel  le  corps  se  meut  dans  l'instant  où  il  décril  c(;s 
espaces  infiniment  petits;  mais  la  position  de  ce  plan,  au  lieu  d'être 
fixe,  changera  d'un  instant  à  l'autre,  à  cause  de  la  viiiiabilité  des  quan- 

tites  j^,  -j^. 

6.  Nommant  donc  w  l'angle  de  la  ligne  des  nœuds  avec  l'axe  des  ah- 
scisses  x,  et  0  la  tangente  de  l'inclinaison  du  plan  de  l'orbite  avec  celui 
des  coordonnées  x  et  r,  on  aura,  d'après  les  détern)inations  du  n^'  3,  ces 
formules  fondamentales 


langw  =-^,      0=  ^- — Y^ ' 

(|u'on  peut  réduire  à  celles-ci 

P  Q 

Qsinw=— ,     9coso)=Yr' 

7.  Puisque,  dans  l'Astronomie,  on  a  coutume  de  représenter  le  mou- 
vement des  planètes  par  les  longitudes  et  les  latitudes,  nous  supposerons 
que  le  plan  des  coordonnées  x,  y  soit  celui  de  l'écliptique,  en  regardant 
l'écliptique  non  pas  comme  l'orbite  réelle  de  la  Terre,  mais  comme  un 
plan  fixe  qui  passe  toujours  par  les  mêmes  étoiles,  et  nous  prendrons 
l'axe  desiT  pour  la  ligne  des  équinoxes,  ou  plutôt  pour  la  ligne  qui  passe 
par  le  premier  point  (VAries  supposé  fixe,  duquel  nous  comptei'ons  les 
longitudes;  nous  nommerons  ensuite  q  la  longitude  du  corps.  />  la  tan- 
gente de  sa  latitude,  et  r  le  rayon  vecteur  projeté  sur  l'écliptique:  il  est 
visible  (ju'on  aura 

x=rcosq,    f=rsïn<],     z  =  rp, 


640  RECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

ce  qui,  étant  substitué  dans  l'équation 

?x  —  Qr  +  Rz  —  o, 

donnera  celle-ci 

P  cos^  —  Q  sinq  -+■  Rp  =  o, 

laquelle  servira  à  déterminer  p. 

Si,  de  plus,  on  met  dans  cette  équation  pour  P  et  Q  leurs  valeurs 
RÔ  sinw,  Ko  cos^i)  (6],  on  aura,  en  divisant  par  R  et  réduisant, 

p  =  B  sin{g  —  w), 

équation  qu'on  peut  aussi  tirei'  immédiatement  de  la  Trigonométrie 
sphérique. 

8.   Pour  rendre  nos  formules  plus  simples  et  plus  commodes  pour  le 

calcul,  nous  ferons 

s  =  9  sinM,     u  =  Q  cosco, 

ce  qui  donnera  (numéro  précédent) 

p  =  us'mq  —  s  cosg, 

et  les  deux  équations  du  n°  6  deviendront 

R*  =  P,     Rw  =  Q, 

lesquelles  étant  différentiées  pour  faire  disparaître  les  intégrations  des 
quantités  P  et  Q  deviendront  celles-ci 

ds       dR 
R  -j — — i—  s  =  \  z  —  Z  r, 

dt        dt  •'  ' 

_,  du        dR  _. 

R  ~, 1 — 7—  uz=Xz  —  Lx, 

dt        dt 

équations  qui  serviront  à  déterminer  les  deux  variables  s  et  u,  d'où  dé- 
pend la  solution  du  Problème.  En  effet,  ces  deux  quantités  étant  con- 
nues, on  aura  sur-le-champ  le  lieu  du  nœud  cl  l'inclinaison  par  les 
formules 

u  * 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,  ETC.  fi'il 

1^)111'  l'aire  usiiîj;(!  des  ('(jiiMtioiis  pircrdciilcs,  il  ii'v  aiiia  (ju'i»  y  Slil)sli- 
liicr  il  la  |»la('('  des  (jiiaiiliU's  x,  y,  -  leurs  valeurs 

i'COS(j,      /siiuy,      iits\u(j  —  rscosf/; 

et,  coinine  dans  la  rechorclie  du  niouveinenl  des  nœuds  el  de  la  varialiDii 
de  rinclinaison  on  peut  rei^arder  l'orbite  projetée  sur  récliptique  eomuir 
déjà  connue,  du  moins  à  très-peu  près,  les  quantités  r  elz/senint  don- 
nées en  t,  et  il  ne  restera  d'inconnues  que  s  c.{  u 

11  est  bon  de  remarquer  encore,  à  l'éi^ard  de  la  (|uaMlilé  H,  qu'elle  est 

é^ale  à  — r-^>  <iui  est  ce  (lue  devient  la  quantité  — ' — j-^ ■■>  en  y  substi- 

^  ut        ^  '  •  dt 

tuant,  pour^  et/,  leurs  valeurs  (;i-dessus,  de  sorte  (ju'on  pourra  l'ei^ar- 

der  aussi  cette  quantité  R  comme  déjà  connue. 

9.  Tous  les  Géomètres  qui  se  sont  occupés,  jus({u';»  présent,  de  la  re- 
cherche du  mouvement  des  nœuds  et  des  variations  de  l'inclinaison  des 
orbites  planétaires,  ont  cherché  immédiatement  les  valeurs  de  la  tan- 
gente 0  et  de  l'angle  oj;  leurs  formules  sont  faciles  à  déduire  des  précé- 
dentes, mais  nous  ne  nous  y  arrêterons  pas,  parce  que  d'un  côté  elles 
sont  très-connues,  et  que  de  l'autre  elles  sont  peu  propres  à  la  recherche 
dont  il  s'agit  lorsqu'il  est  question  de  déterminer  à  la  fois  les  mouve- 
ments des  nœuds  et  des  variations  des  inclinaisons  de  plusieurs  planètes 
(jui  s'attirent  mutuellement.  [VWr  plus  bas  (23).]  Cest  par  cette  raison 
que,  dans  les  essais  que  j'ai  donnés  ailleurs  sur  la  Théorie  des  satellites 
de  Jupiter  et  de  Saturne,  j'ai  fait  abstraction  des  nœuds  et  des  incli- 
naisons des  orbites,  et  je  n'ai  considéré  que  les  tangentes  de  la  lati- 
tude '"j;  mais  la  méthode  que  nous  proposons  ici  est  préférable,  parce 
qu'elle  conduit  à  des  é(juations  beaucoup  plus  simples  et  |)lus  faciles  à 
résoudre. 


(*)  OE  livre  s  de  Ln grange,  t.  I.  p.  O09,  ot  t.  VI,  p.  67. 


VI.  «I 


{)Ï2 


RECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 


Article  II. — Apj)Ucatioii  des foimules préccdentcs  a  la  lecherche 
(in  mouvement  des  nœuds  et  des  variutions  des  incliiuùsons  des 
orbites  des  planètes. 

10.  Il  faut  commencer  par  chercher  les  valeurs  des  forces  X,  Y,  Z, 
(jui  agissent  sur  une  planète  quelconque  T,  en  vertu  de  l'attraction  du 
Soleil  S,  et  des  autres  planètes  T,,  T.,,....  Pour  cela  nous  regarderons  le 
Soleil  comme  immobile,  et  nous  le  prendrons  pour  l'origine  des  coor- 
données qui  déterminent  la  position  de  chaque  planète  par  rapport  à 
l'écliptique;  nous  nommerons  ces  coordonnées  x,  j,  z  pour  la  pla- 
nète T;  a:,,  j,,  s,  pour  la  planète  T,  ;  x^,  y^,  z^  pour  la  planète  Ta,  et 
ainsi  des  autres,  et  nous  désignerons,  pour  plus  de  sim|)licité,  les  dis- 
tances de  ces  planètes  au  Soleil  par  (TS),  (T,S),  (T2S),...,  et  celles  des 
mêmes  planètes  entre  elles  par  (TT,),  (TT2),...,  (TjTa),...,  de  sorte  que 

l'on  aura 

(T  S)  =  s/x-^  +  T"-f-  z\ 


(T,S)  =  s^x\-\-y]^  z] 


(TT,)  =  ^\x  —  x,f  +  (  r  —y\y  -+-  (>  —  2,  )S 
(TTo  =  \/(^  — ^0'  +  (r— 7Vr  +  (2  -  2^)% 

' » 

(  T,  T,  ^  =  ^{x,—  x^f  +  {f,—  r.Y  +  {z-z,)\ 

11.  Cela  posé,  le  corps  T  étant  attiré  vers  les  corps  S,  T,,  T_.,...  par 
les  forces  d'attraction 

S  T,             ï,_ 

(TS)^'  (TT.?'     (TT,)'"'"' 

si  l'on  décompose  ces  forces  suivant  les  directions  des  trois  lignes  x,  y,  z 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,    ETC.  643 

(xi-pcndiculaires  entre  elles,  on  lura  cellfs-ci 

Sx     ^    'l\{x  —  Xi)       T,{x  —  X,) 


(TS)»        (TT,,'  {'n\y 

Sj"     ,  T,  (  r  —  r,  )      Tî  (.r  —  .n 


(TS/  (TT.p  (TT,)> 

Sz  T,(2  —  2,)  T2(Z  —  2j 


(TS)»  (IT.)"  (TT,j'       "••    • 

Mais  le  corps  S  est  attiré  de  même  pai'  les  corps  T,  T,,  J avee  les 

forces 

T         T.       jr,_ 

(TSj*'     (T.S)''     (T.S)''""' 

les((uelles,  étant  décomposées  suivant  les  mêmes  directions,  duiiiicni 
celles-ci 


(TS)^ 

(T,  S)' 

(T.  S)' 

O 

T.r, 

T2J2 

(TS)' 

(T,Sr 

iT.S)' 

Tz 

T,z, 

TjZ-, 

(TS?       (T.S?       (T,S;^      ■■" 

Retranciianl  donc  ces  forces  des  précédentes,  on  aura  les  véritables 
forces  qui  font  décrire  au  corps  T  son  orbite  autour  du  corps  S,  regardé 
comme  immobile,  c'est-à-dire,  les  valeurs  des  quantités  X,  Y,  Z;  on  ama 

donc 

rs-^T      T,         T^         "]        r_i il         r    I  I    -] 

~  L{TS)^  "^  (TT,)^  ~^  (TT,)'  ^■■■J"^'  ^   l'T,  S)^  ~  (TT;?J-^''^^L(T7S?  ~  (TXfy-'  ^■■' 

et  par  consé(jueril 

V.-Zj^T,[^-^-^  --.j,i^,](r,.-jzJ-^T,[^-.^ 


X3-   Z/ 

81 


Gïï  RECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

12.   On  .sui)stilu(;ra  donc  les  (juaiilités  précédentes  dans  les  deux  équa- 
tions du  n"  8;  ensuite  on  mettra  à  la  place  de  ce,  y,  z  leurs  valeurs 

rcos(j,     rs\nq,     r{us\nq  —  scosq), 

et  à  la  place  de  ^,,  y,,  z,  les  valeurs  analogues 

/',  cos^,,     /',  sin(/,,     /', (m,  sin^i  —  5,  cos^i), 

et  ainsi  des  autres,  en  supposant  généralement  que  les  mêmes  lettres, 
sans  indice,  ou  avec  l'indice  i,  ou  2,...,  représentent  les  mômes 
(juantités  relativement  a  l'orbite  du  corps  ï,  ou  du  corps  T,,  ou  du 

corps  To, On  aura  donc,  en  développant  les  produits  des  sinus  et  des 

cosinus, 

YfZ  —  yz=      '-^  («  -//,)[cos(v  -  Y,)  -  cos(7  H-y,)]  +  ^  (.v+  ,Jsin(v  — 7,)  -  '-^  (.v-  .v,)  sin(</  +  7, 

.■r,z  — .rz,= [s  —  S;[cos(7  — '7,)+  005(7-1- y, )] -i ^  ("-<-"i)  sin(7  —  7,) -i-  -7-^  ("  —  "i)sin(7-h7, 

{;t  ainsi  des  autres  quantités  semblables.  Ensuite  on  aura  f  10) 


(TS)  =  /-v'i  +  ("sinç  —s  cosq  )\ 
(ïiS)  =  ^i^/i  -+-  (a,  sin^y,  —  ^,  cos^,)% 


(TT,)  =:  v'r^  —  2/Ti  CGs(^  —  ^, )  +  /'"'  +  (rusiuq  —  rs  cosq  —  i\u,  sinry,  -\-  i\s,  cosg,)% 
(TTi)  =  v''"'  —  ^ ri\cos{ q  —  q ,]  -h  l'I  -h   ru  sinq  —  rs  cosq  —  r.rhsinqi-h  r.s.cosqiV, 

13.  On  remarquera  maintenant  que,  comme  les  orbites  des  planètes 
sont  fort  peu  inclinées  à  l'écliptique,  les  quantités  6,  Q,,...,  et  par  con- 
séquent aussi  les  quantités  u,  s,  u,,  s,,...  (8)  seront  nécessairement  des 
(juantités  très-petites;  de  sorte  qu'on  pourra,  du  moins  dans  le  premier 
calcul,  négliger  les  termes  affectés  de  ces  quantités  dans  les  expressions 
des  distances  (TS),  (T,S),...;  l'erreur  sera  même  d'autant  moindre  que 
les  quantités  à  négliger  sont  très-petites  du  second  ordre. 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  645 

Les  équations  du  n°  8  deviendront  donc  par  toutes  ces  substitutions 
et  réductions 


„  (Is       r/R  T,  /•/ 

K  —  -(-  — -  v  —  — ! — 

if'        fit  -x 


'        [z-^  — 2/r,  cos(7  —  </,)  H-/-J]' 

X  [(«-//,)  cos  (v  —  y,  )  +  (  s  -h  .V,  )  sin  (y  —  v,  )  —  («  -  «,  )  cos  (7  -^  7,  )  -  (  •*'  —  S  )  si"  (7  -+-  7,  )  ] 


2      l  /•;'* 

'       [,-'_.^,.,.^cos(7-7j  +  /-^]^ 

X  [  ( z/  -  «._,)  cos  (7  —  7,)  H-  (  .y  H-  .V J  sin  (7  —  ,7  J  -  («  _  «.J  cos  (7  -^  7,)  -  (  .v  - .?,)  sin  (7  -+-  7,)  ] 


,^  <tii        c/R  T,  rr,  /  I 

R  — -  H T-  (i  = 


(It         dt  2      ,  ,  , 

[/•^-2/r,  cos(7— 7,)  +  rî]^ 

x[-('^-s)f'os(7— 7,) +  («-*-",)  sin  (7  —  7,)- (^-•^■i)cos(7-+- 7.) -f- («  —  //,)  sin  (7  H- 7,)J 
T, /■/•..  /  I 


X  [  — l'^  — ■^.,)cos(7  — 7.,)-t-(«-t-/z2)  si"(7~"72)  ~(-^~'^i>)  cos  (7 -h  7.J-+-(«  — «.Jsin(7-(-7,,)J 

14.  De  plus  on  pourra  regarder,  du  moins  dans  la  première  approxi- 
mation, les  orbites  comme  circulaires,  et  par  conséquent  les  rayons  r, 
r, ,  /o,...  comme  constants,  et  les  angles  q,  </,,  «/.,,...  comme  proportion- 
nels au  temps,  en  sorte  que  l'on  ait 

q  :=  at,     q,:=a.t,     q.2  =  u^t,.... 

IX,  ij.f,  a.o, . .  •  étant  des  constantes  telles  que  u.f,  a,  i,  u.ol, . . .  soient  les 
mouvements  moyens  des  planètes  T,  T,,  T^ qui  répondent  au  temps  /. 

Donc,  comme  (8)  R  =  — r-^?  on  aura,  dans  celle  hvpotbèse,  H  =  u.r-, 
^    '  (It  -^  '  ' 

et  de  même  R,  =  [J-ir\,  R^  =  //./:;,...;  de  sorte  (jue  ces  quantités  seront 

aussi  constantes. 

Kntin  on  sait  que  la  quantité  rompue  et  radicale 

^r" —  irr,cos{q  —  q,)-*r  r\'\    ' 


646  RECIIEKCHES  SUR   LES    ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

peut  se  réduire  à  une  expression  de  cette  forme 

(/',  r.)  H-(r,r,),  ces' </  —  </,)  +  (^  n),  coso.[q  —  q,} -h  [r,  r,),cos3[q  —  q,) -h  .  .  .  , 

OÙ  les  coefficients  (r,  r,),  (r,  /•,),,  ( r,  rt).,  (r,  r,  );,,...  sont  des  fonctions 
(le  r  et  r,,  qu'on  peut  trouver  par  différentes  méthodes  connues;  de 
même  la  quantité 

[r' —  2/T,  rosf^  —  ^2!  H- 'i]    * 

se  réduira  à  la  série 

I r,  ri)  -+-  (/",  /'jj,  cos;^  —  ^2)  +  (r,  r2)2C0S2(^  —  ^j)  H-  '  /',  /'■.  3  cos3(^  —7,1  -+-...  , 

et  ainsi  des  autres  quantités  semblables. 

Donc,  si  l'on  fait  ces  substitutions  dans  les  deux  équations  ci-dessus, 
et  qu'on  sépare  les  termes  qui  contiennent  les  variables  s  et  u,  sans  aucun 
sinus  ou  cosinus,  de  ceux  où  ces  mêmes  variables  sont  multipliées  par 
des  sinus  ou  cosinus,  on  aura  deux  équations  de  cette  forme 

ùs        ï,r,(r,  /',),  T^r.ir,  i\\, 

-77  H -, («—  "1)  H 7 (m—  «2    H-.  .  .  4-  Il  =r  (J, 

dt  /[fj.r  4  y-'" 

-rr  H 7^ (s  —  s,) ^ [S  —  s,]  -h.  .  .-h^  =0, 

dt  4  y'"  4^''' 

dans  lesquelles  les  quantités  II  et  W  dénotent  la  totalité  des  termes  qui 
contiennent  les  variables  n  eA  s  mêlées  avec  des  sinus  ou  cosinus. 

On  aura  des  équations  semblables  poui-  chacun  des  autres  corps  T,, 
To,...;  il  n'y  aura  pour  cela  qu'à  marquer  de  l'indice  i,  ou  2,...  les 
lettres  qui  n'en  ont  aucun,  et  d'effacer  en  même  temps  ceux  des  lettres 
qui  sont  marquées  à  la  fois  de  l'indice  i  ou  -i, 

15.  Pour  intégrer  les  équations  précédentes,  on  commencera  par  né- 
gliger les  quantités  n  et  M^',  et  l'on  aura  des  équations  linéaires  en  w,  s, 
Uf,  5,,.  .,  (ju'on  pourra  intégrer  par  les  méthodes  connues;  ensuite  on 
substituera,  si  l'on  veut,  ces  premières  valeurs  de  u,  s,  //,,. ..  rians  les 
différents  termes  des  quaniités  n  et  W,  et  l'on  intégrera  derechef,  et 
ainsi  de  suite;  or,  comme  dans  les  quantités  17  el  M  il  n'y  a  aucun  terme 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,    ETC.  (ii7 

(|iii  ne  soit  multiplié  parle  sinus  ou  le  cosinus  d'un  de  ces  angles  q,  y,, 
r/  ±;  y, , . . . ,  il  est  elair  qu(î  ces  (|uanlités  ne  pourront  produire  dans  les 
valeurs  de  s  el  de  a  (jue  des  inéi^alités  dépendanl  des  lieux  des  plani'ies 
dans  leurs  orbites;  de  sorte  que,  lorsqu'on  voudra  faire  ahslraclioji  de 
ces  sortes  d'inégalités  et  chercher  uniquement  les  mouvements  des 
nœuds  et  les  variations  des  inclinaisons  en  tant  qu'ils  sont  indépenihinls 
des  mouvements  mêmes  des  planètes  dans  leuis  orbites,  on  pouti;i  re- 
jeler  d'abord  les  quantités  dont  il  s'agil,  ce  (jui  rendra  les  c(|uali()iis  dil- 
t'érentielles  en  s,  ii,  s,,  u,,...  très-simples  et  très-faciles  à  intégrer.  (Test 
ainsi  que  nous  en  userons  dans  la  suite  de  ces  Recherches,  dont  l'objet 
n'est* que  de  déterminer  la  loi  des  équations  séculaires  des  mouvements 
des  nœuds  et  des  inclinaisons  des  orbites  planétaires. 

16.   Supposant  donc,  pour  plus  de  commodité, 

T2r2(  r,  Ta), 


(o, 

I) 

= 

T, /•,(/',  r, 

)i 

4fxr 

(^ 

o) 

= 

Tr{r„r), 

1 

4/^-.  '-. 

'  ■> 

n\ 

T/-(/'2,  r), 

1 

:o,  2) 


4p.r 


4f^-.  n 

T, /-.(/-s,  r,), 

,  -,  (  2,    I  )  = , ?  •  •  •  5 

4/7.5  r^  4f-2^2 

et  ainsi  de  suite,  on  aura  les  équations  suivantes 
ds 

-T-     +(0,  l)[f(    -U,)  -i-  {o,i)(u   —u,)-\-...  =  o, 

du  ,  ^  , 

-j-     —  {o,    l){S    —  S^)  —  \0,'2.)  \S    —  s-,)  —.  .  .=  0, 

ds,  ■^   , 

--Z-     -»-  ;  I,   o)  [U,  —  U)  4-  (I,  2)  (m,  — /<,)  -+-...=:  O, 

dlli  ,  ,  ,  , 

— (l,  0)(*,  —   *)  —  (I,   2)(5,  —  5j)  — .  .  .=  0, 

dsî 

-r-     -I-  (2,  o)  (M,—  a)  -h  (2,    l)(Mj— M,)  -•-••■=  ••> 

dt 
du 

-j- (2,  0)(52  —    s)  —  {■2.,    l)[Si  —  5,  )  —  .  .  .  =  0> 


Gi8  RECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

C'est  par  i'intégi'ation  de  ces  équations  qu'on  pourra  parvenir  à  une 
seule  solution  exacte  du  Problème  qui  concerne  le  mouvement  des 
nœuds  et  la  variation  des  inclinaisons  des  orbites  de  plusieurs  pla- 
nètes T,  To  To,...,  en  vertu  de  leurs  attractions  mutuelles.  Nous  allons 
nous  en  occuper,  après  avoir  fait  quelques  remarques  qui  serviront  à 
jeter  un  plus  grand  jour  sur  cette  matière. 


Article  III.  —  Remarques  sur  les  ('quatious  qui  donnent  les 
mouvements  des  nœuds  et  les  variations  des  inclinaisons  des 
orbites  planétaires. 

17.  Imaginons  qu'il  n'y  ail  que  deux  planètes  T  et  T,,  et  que  l'orbite 
de  cette  dernière  soit  fixe  et  immobile  :  on  pourra  alors  regarder  le  plan 
de  cette  orbite  comme  celui  de  l'écliptique,  et  y  rapporter  l'orbite  mo- 
bile de  la  planète  T.  De  cette  manière,  0  sera  la  tangente  de  l'inclinaison 
et  00  la  longitude  du  nœud  de  l'orbite  de  T  sur  l'orbite  de  T,;  la  tan- 
gente 5,  de  l'inclinaison  de  cette  dernière  orbite  sera  nulle  :  par  con- 
séquent on  aura  s^  =  o,  m,  =  o,  et  toutes  les  autres  quantités  ^2»  M2»--- 
seront  aussi  nulles,  parce  qu'on  ne  considère  que  les  seules  planètes  T 
et  T,. 

Donc,  dans  cette  hypothèse,  les  équations  du  n"  16  se  réduiront  à  ces 

deux-ci 

ds      ,  du      , 

j-^  -h  {o,  i)  u  =  o,     -jj  —{o,  i]s  =  o; 


d'où  l'on  tire  sur-le-champ  celle-ci 


laquelle  donne 
et  de  là 


5  =:  A  sin  [a  —  (o,  i  )  t'], 
u=  \  ces [x  —   0,1)/]; 


DES   MOUVEMENTS   DES  NOEUDS,    ETC.  6i9 

donc 

*  r  /  -1 

taiiffo)  =  -  =:  tangla  —  (o,  I    /, 

c'est-à-dire, 

0)  —  a  —  (o,  I; /,     et     0  =  ^«■' H- M' =  A , 

où  a  el  A  sont  deux  constantes  arbitraires. 

On  voit  par  là  que  l'inclinaison  des  deux  orl)ilcs  sera  coiisltiiilc,  <'| 
que  le  nœud  de  l'orbite  mobile  de  la  planète  T  aura,  sur  l'orbite;  fixe  de 
la  planète  T,,  un  mouvenienl  rétrograde  dont  la  vitesse  sera  exprimée 
par  la  (juanlilé 

(o,  i)  = '. ,     ou  bien     —  v  »     / 


/îur       '      ^"      -  4S 


à  cause  de  ix=  —,  par  les  Tbéorèmes  connus;  c'est  ce  qui  s'accorde  avec 
le  résultat  des  métbodes  ordinaires. 


18.  En  appliquant  le  même  raisonnement  à  toutes  les  orbites  consi- 
dérées successivement  deux  à  deux,  et  supposées  alternativement  l'une 
mobile  et  l'autre  fixe,  on  en  conclura,  en  général,  que  les  quantités 
(o,  i),  (o,  2),  (o,  3),...  ne  sont  autre  chose  que  les  vitesses  rétrogrades 
des  nœuds  de  l'orbite  de  la  planète  T  sur  les  orbites  des  planètes  T,,  To, 
T3,...,  considérées  comme  fixes;  que,  de  même,  les  quantités  (r,o), 
(i,  2),  (i,  3j,. . .  expriment  les  vitesses  rétrogrades  des  nœuds  de  l'or- 
bite de  la  planète  T,  sur  les  orbites  des  planètes  T,  Ta,  T3, . . .  considé- 
rées comme  fixes;  que  les  quantités  (2,  o),  (2,  1),  (2,  3),...  expriment 
pareillement  les  vitesses  rétrogrades  des  nœuds  de  l'orbite  de  la  pla- 
nète Ta  sur  celles  des  planètes  T,  T,,  T3,...,  et  ainsi  de  suite. 

D'où  il  s'ensuit  (ju'il  suf'tit  de  connaître  les  mouvements  particuliers 

des  nœuds  de  chaque  orbite  sur  chacune  des  autres,  regardée  comme 

fixe,  pour  pouvoir  déterminer  les  véritables  mouvements  des  nœuds  el 

les  variations  des  inclinaisons  des  mêmes  orbites,  relativement  à  l'éclip- 

VI.  82 


G50  RECHEHCllKS  SUR    LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIKES 

lique;  mais  il  faut  pour  cela  intégrer  deux  l'ois  autant  d'équations  de  la 
forme  de  celles  du  n*^  16  qu'il  y  a  d'orbites  mobiles  à  considérer. 

19.  M.  de  Lalande  a  donné,  dans  les  Mémoires  de  l'année  1758,  le 
calcul  du  mouvement  annuel  des  nœuds  de  l'orbite  de  chacune  des  six 
planètes  principales  sur  les  orbites  de  toutes  les  autres,  regardées 
comme  fixes;  on  aura  donc  par  la  les  valeurs  des  coelUcienls  (o,  i), 
(o,  2),...;  mais,  comme  M.  de  Lalande  a  adopté  pour  les  masses  des  pla- 
nètes les  déterminations  de  M.  Euler,  lesquelles  sont  un  peu  différentes 
de  celles  qui  résultent  des  dernières  observations  du  passage  de  Vénus, 
nous  avons  cru  devoir  changer  les  valeurs  des  mouvements  des  nœuds, 
trouvées  par  M.  de  Lalande,  en  sorte  qu'elles  répondent  aux  valeurs  des 
masses  établies  par  ces  observations,  et  qui  se  trouvent  dans  la  Connais- 
sance des  Temps  de  l'année  l'j'jk. 

Les  logarithmes  des  fractions  qui  représentent  les  masses  de  Mercure, 
Vénus,  la  Terre,  Mars,  Jupiter  et  Saturne  (celle  du  Soleil  étant  prise 
pour  l'unité),  telles  que  M.  de  Lalande  les  a  employées  dans  l'endroit 
cité,  sont 

3,37345,  4^39467,  4577139,  3,02666,  6,97184,  6,51985-, 

mais,  d'après  la  Connaissance  des  Temps,  je  trouve  ceux-ci 

3,58930,  /)>5o567,  4»43722,  3,77941,  6,96870,  6,46620. 

Donc,  comme  les  mouvements  des  nœuds  sont  (les  temps  périodiques  et 
les  rapports  des  distances  au  Soleil  demeurant  les  mêmes)  proportion- 
nels aux  masses  des  planètes  qui  les  produisent  (17),  il  faudra  multi- 
plier respectivement  ceux  que  M.  de  Lalande  a  trouvés  par  les  nombres 
dont  les  logarithmes  sont  les  différences  des  précédents,  savoir 

o,2i585,  0,11100,  9,66583,  0,75275,  9,99686,  9,94635. 

Supposant  donc  que  le  terme  t  soit  exprimé  en  années  tropiques,  et 
(jue  T,  T|,  Tj,  T:j,  t.,  T;  soient  les  six  planètes  premières,  suivant  Tordre 


DKS  MOUVEMENTS   DES  NOEUDS,   ETC. 


o;ii 


de  leur  grosseur,  savoir  :  Jupiter,  SiiUinie,   l;i  Tcnc,  Vénus,  Mars  cl 
Mercure,  on  aura  les  valeurs  suivaiilcs 


(o, i)  =  7,5G4, 
(i,o)=i7,773, 
(2,o)=  0,874, 
(3,0)  =4,100, 
(4,0)  =14,060, 
(5,o)=   1,564, 


(o,  2)  :=  o,o3o, 
(1,2)  =  0,0009, 
(2,  j)  =  0,334, 
(3,  1)  =  o,'2o3, 
(4,  i)  =  o,G45, 
(5,  i)  =  0,080, 


(o,  3)  =  OjOoO, 
(1 ,  3)  =  0,0007, 
(2,  3)  =  G,G4G, 
(3,  2)  =  6,703, 
(4,2)=  1,773, 
(5,2)  =  o,8G7, 


(o,  4)  =-0,271, 
(1,4)  =  0,028, 
(2, 4)  =  0,532, 
(3,4)  =  o,5i5, 
(4,3)=  1,701, 

(5,3):rr  3,749, 


(o,  5)  =  0,0002, 
(i,5) =  0,00002. 
(2,5)  =0,077, 
(3,5)  =  o,33o, 
(4,  5)  =  0,01 3, 
(5,4)  =  o,o5i , 


Au  reste,  comme  il  n'y  a  que  les  masses  de  Saturne,  de  Jupiter  et  de 
la  Terre  qui  soient  bien  connues,  et  que  les  autres  n'ont  été  déterminées 
que  d'après  l'iiypotljèse  que  les  densités  sont  comme  les  racines  des 
moyens  mouvements,  on  ne  doit  regarder  comme  vraiment  exactes  que 
les  valeurs  (l(;s  quantités  où,  après  la  virgule,  il  y  a  un  de  ces  chiffres 
o,  I,  2  entre  l(!s  deux  parenthèses. 

20.  Les  mouvements  particuliers  de  chaque  orbite  sur  chacune  des 
autres  étant  donnés,  il  est  clair  que  c'est  un  Problème  purement  analy- 
tique de  déterminer  le  changement  de  position  des  oibites  au  bout  d'un 
temps  quelconcjue.  Les  équations  du  n*'  16  renferment  la  solution  com- 
plète de  ce  Problème  dans  l'hypotbèse  que  les  inclinaisons  des  orbites 
soient  très-petites;  niais,  comme  ces  équations  ont  été  déduites  immé- 
diatement de  la  Théorie  de  la  gravitation  universelle,  il  ne  sera  j)enl- 
être  pas  inutile  de  faire  voir  comment  on  y  peut  parvenii  directement, 
par  la  simple  considération  des  mouvements  particuliers  des  nœuds  de 
chaque  orbite  sur  chacune  des  autres,  regardée  comme  fixe. 

21.  Considérons,  pour  cet  efl'et,  deux  orbites  seulement,  pour  les- 
quelles les  lieux  des  nœuds  sur  l'écliptique  soient  w,  oj, ,  et  les  tangenles 
des  inclinaisons  :^,  !>,,  et  supposons  (jue  la  longitude  du  noMid  de  l;i 
première  de  ces  orbites  sur  la  seconde  soil  j,  et  (|ue  la  tangente  de  l'in- 
clinaison  mutuelle  de  l'une  à  l'autre  soit  r,\  on  sait  que  la  tangente  de 
la  latitude  correspondant  a  une  longitude  (juelcon(|ue  (p  sera,  pour  la 

82. 


65^2  UECHEKCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

première  orbite,  égale  à  0»u\{<p  —  w),  et,  pour  la  seconde,  égale  à 
ô,  sinfç)  —  00,);  et  de  même,  en  l'apportant  cette  orbite-là  à  celle-ci,  la 
tangente  de  la  latitude  correspondant  à  la  longitude  9,  comptée  sur 
cette  dernière  orbite,  sera  exprimée  par  vj  sin  {rp  —  ^). 

Or,  à  cause  que  les  deux  orbites  sont  supposées  très-peu  inclinées  à 
l'écliplique,  il  est  clair  que  les  tangentes  des  latitudes  doivent  être,  à 
très-peu  près,  égales  aux  latitudes  elles-mêmes;  de  plus  il  est  facile  de 
voir  que  le  cercle  de  latitude,  correspondant  h  la  longitude  ©  comptée 
sur  l'écliptique,  se  confondra  aussi,  à  très-peu  près,  avec  le  cercle  de 
latitude  correspondant  à  la  même  longitude  9,  mais  comptée  sur  l'une 
des  orbites.  De  là  il  est  aisé  de  conclure  que  la  tangente  de  latitude 
0  sin  {(p  —  ^)  sera  à  très-peu  près  égale  à  la  différence  des  deux  tangentes 
de  latitude  ôsin(c;  — «)  et  5,  sin(9  —  w,),  de  sorte  qu'on  aura  cette 
équation 

•/2  sin(9  —  «l  j  =  0  sin  (9  —  w)  —  0^  sin  (9  —  w,), 

laquelle  devra  avoir  lieu,  en  général,  quelle  que  soit  la  longitude  9;  on 
aura  donc  nécessairement  ces  deux  équations  particulières 

Tt  sin  tj'  =  6  sin  w  —  9,  sin  m,, 
■/}  cos^'  =  0COSW  —  0,  cosoj,, 

lesquelles  serviront  à  déterminer  le  lieu  du  nœud  commun,  et  la  tan- 
gente de  l'inclinaison  mutuelle  de  deux  orbites  dont  on  connaît  les 
lieux  des  nœuds,  et  les  inclinaisons  sur  l'écliptique.  On  aura,  en  effet, 
par  les  deux  formules  précédentes, 

,        0  sino)  —  Q,  sinwi 

tang(^  =  -. , 

0  C0S&)  —  0,  coso). 


•/]  =  \I[B-  -\-  Q\)  —  200,  cos(w  —  wi). 

22.  Gela  posé",  imaginons  que  la  première  des  deux  orbites,  celle  à 
laquelle  répondent  les  éléments  0  et  oj,  se  meuve  sur  l'autre  orbite  re- 
gardée comme  fixe,  en  sorte  que  l'inclinaison  demeure  constante  et  que 
le  nœud  rétrograde  avec  une  vitesse  représentée  par  (o,  i);  il  est  clair 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  653 

(jue,  dans  cette  hypothèse,  la  quantité  y;  sera  constante,  et  (juc  l'an^^h'  <! 
variera  de  la  qiiaiilil(''  —  fo,  i)  (h,  en  soi'te  (ju'on  aura 

cUn  sin4')  =      r;  cos^'l  —  fo,  0  dl\, 
d[n  cosl^)  :=  —  y)  sin<J>[  —  (o,  i  )  r//]; 

niais,  |)ar  le  numéro  piécédent,  on  a 

n  sinij'  =  0  sinw  —  0,  sine.),,     73  cos^j;  =  0  coso)  —  5,  cosot,; 

et,  comme  l'orbite  à  laquelle  répondent  les  éléments  0^  et  oj,  est  reijjar- 
dée  comme  immobile,  pendant  que  l'autre  orbite  est  supposée  rétrogra- 
der sur  elle  de  la  quantité  (o,  i)dt,  il  est  clair  qu'il  faudra  regarder, 
dans  la  dilïerentiation,  les  quantités  ;;,  et  u,  comme  constantes,  et  les 
quantités  0  et  ro  comnie  seules  variables;  c'est  pourquoi  on  aura  donc 

d{'n  sin^];)  =  rf(  ôsino)),     d[-n  cos^)^=  d{9cosoi). 

Substituant  donc  ces  valeurs  dans  les  deux  équations  précédentes,  elles 
deviendront 

d{  9  sinw)  =  —  (o,  i)  (9  cosw  —  5,  cosw,)  di, 

di9  cosm)  =      (o,  I)  (0  sinw  —  9,  sinw,)  dt. 

S'il  y  avait  une  troisième  orbite  pour  laquelle  le  lieu  du  nœud  fût  oj^ 
et  la  tangente  de  l'inclinaison  O2,  et  qu'on  supposât  (juc  la  [)remière 
orbite  dût  rétrograder  sur  celle-ci,  regardée  comme  immobile,  avec  une 
vitesse  égale  à  (o,  2),  et  en  gardant  la  même  inclinaison  mutuelle,  on 
aurait  pareillement,  en  vertu  de  ce  mouvement, 

d(9  sinw)  =  —  (o,  2)(9cos&)  —  9icosoh)dt, 
d{9cosoi)  =       (o,  2)(0  sinw  —  âî  sinw,)  dt. 

Donc,  si  l'on  suppose  que  la  même  orbite  soit  mobile  à  la  fois  sur  les 
deu\  autres,  il  est  clair  que  les  dillerentielles  de  (?sinoj  et  de  5  cos'o 


6oi  RECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

aui'OiU  pour  valeurs  la  somme  des  valeurs  particulières  qui  répondent 
aux  vitesses  'o,  i),  (o,  2};  par  conséquent  on  aura,  pour  lors,  en  divi- 
sant j)ar  dl, 

r/(9sin&))  ,-.,,,  r  ,  ^r  r 

=  —  (o,  l)(0  COSW  —  y,  COSW,  j  —  (o,  2  ;  \fj  COSW  —  0,  COSOJ2), 


dt 
d(0  cosco) 


'o,  i){0  sinw  —  (5,  sinco, )  H-  (o,  2  ;  ({;  sino)  —  ôj  sinos 


Il  est  aisé  maintenant  d'étendre  ces  formules  à  tant  d'orbites  mobiles, 
à  la  fois,  (ju'on  voudra,  et,  si  l'on  y  met  s,  Si,...  à  la  place  de  5sinro, 
5,  sino), , . . .,  et  a,  u,,...  à  la  place  de  5cosw,  i/,  cosw, , . . . ,  suivant 
les  dénominations  établies  plus  haut,  on  en  verra  naître  les  équations 
du  n"  10. 

23.  Comme  l'on  a 

d  9  sinojj  =  9 cosoidc»)  -+-  sin^dO,     d[6  cosc))  =  —  9  sinoydfji  -+-  coso}d9, 

il  s'ensuit  que,  si  l'on  prend  la  différence  et  la  somme  des  deux  équa- 
tions ci-dessus,  après  les  avoir  multipliées  respectivement  par  cosco  et 
sinw  dans  le  premier  cas,  et  par  sinw  et  cos«  dans  le  second  cas,  on  aura 

—j—  =:—  (o,  l)\_9  —  9i  ces  (  03  —  «,  )  ]  —  i  o,  2  )  [  (3  —  ^2  ces  (  Oi  —  0)î  I  ] , 

d9 

— .    ==      (o,  i)  ô,  sin(w  —  «I  ) -t- (o,  2)  02Sin(cy  —  oy,)  ; 

et  l'on  aura  des  équations  semblables  pour  les  valeurs  de  </w,,  dOf, 

Ces  équations  sont  surtout  utiles  pour  déterminer  les  changements 
instantanés  dans  les  lieux  des  nœuds  et  dans  les  inclinaisons  de  plu- 
sieurs orbites  mobiles  les  unes  sur  les  autres;  mais  elles  seraient  fort 
difficiles  à  intégrer  sous  cette  forme. 

24.  Au  reste  on  doit  se  ressouveuii-  que  les  équations  précédentes 
sont  fondées  sur  l'hypothèse  que  les  inclinaisons  des  orbites  à  l'éclip- 


DES   MOUVEMENTS   DES  NOEUDS,   ETC.  «io.^ 

tique  soient  Iri's-pelites;  ainsi  elles  ne  peuvent  être  i'cp;ardées  coninic 
exaetes  qu'autant  que  celte  hypothèse  a  Jieu.  Si  l'on  voulait  résoudre  \v 
Problème,  en  général,  pour  den  inclinaisons  quelconques,  il  laudrail 
suivre  un  autre  chemin,  ainsi  (ju(!  nous  l'avons  fait  dans  un  Méiiioire 
particulier  sur  celte  matière,  (juc  nous  avons  donné  ii  rAcadémic  dr 
licrlin,  et  qui  renferme  la  solution  compii-te  du  cas  où  il  n'y  a  (|n(' 
dvu\  orhilcs  mobiles  (*) ;  quant  au  cas  où  il  y  aurait  trois  orbites  mo- 
biles, nous  avons  trouvé  qu'il  dépend  de  la  rectification  des  sections 
coniques,  de  sorte  que  la  solution  de  ce  cas,  et  à  plus  forte  raison  celle 
des  cas  plus  compliqués,  échappe  nécessairement  à  toutes  les  méthodes 
analytiques  connues.  Mais,  comme  les  orbites  des  planètes  sont  toutes 
à  peu  près  dans  un  même  plan,  et  qu'il  en  est  de  même  de  celles  des 
satellites  de  Jupiter  et  de  Sa'.uine,  la  solution  générale  du  Probiéinc 
doni  il  s'agit  serait  plus  curieuse  qu'utile  dans  le  Système  du  monde. 

Article  IV.  —  Intégration  des  équations  qui  donnent  les  mouve- 
ments des  nœuds  et  Les  variations  des  inclinaisons  des  orbites 
planétaires . 

25.  Les  équations  qu'il  s'agit  d'intégrer  sont  celles  du  n^  16,  dont  le 
nombre  est,  comme  l'on  voit,  double  de  celui  des  orbites  mobiles;  or, 
pour  peu  qu'on  considère  la  forme  de  ces  équations,  on  vorra  aisément 
qu'on  y  peut  satisfaire  par  les  valeurs  suivantes 

5  =  A  c:in(rt/  -f-  a  ,,  a  =  A  ces  (a/  -f-  a), 
s,  =  A,sin(af  -h  a;,  m.  =  A,  cos(fl/  -l-  a), 
s,=z  k^s'\n{at  -4-  a),       u.:=  A^cosfa/  -l-  a), 


où  a,  a  et  A,  A,,  Ao,...  sont  des  constantes  indéterminées.  1-es  subslitu- 

(*)  OE livres  de  La^rnn^e,  t.  IV,  p.  m. 


G5G         RECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

lions  faites,  on  aura  ces  équations  de  condition 

«A  +(o,  i)(A  —  A,j-i-  (o,  2)(A  —  AO  +..  .  =  0, 
«A,  -4-  (i,  o)(A,  —  A)  4-  (i,  2)(A,  —  As)  +. .  .  =  o, 
«Ao-f-  (2,  o)(A2—  A)  +  (2,  I  )(A2—  A,)  +.  .  .==o, 
■ , 

dont  le  nombre  est  égal  à  celui  des  quantités  A,  A,,  Aj,...,  et  n'est  par 
conséquent  que  la  moitié  de  celui  des  équations  difï'érentielles,  en  sorte 
qu'il  est  égal  au  nombre  des  orbites  mobiles. 

Supposons  que  ce  nombre  soit  n\  on  aura  donc  n  constantes  indéter- 
minées A,  A,,  Ao,...,  et  n  équations  entre  ces  constantes;  mais,  en  éli- 
minant successivement  ces  mêmes  constantes,  on  verra  toujours  que  la 
dernière  s'en  ira  d'elle-même,  en  sorte  qu'il  en  restera  nécessairement 
une  d'indéterminée;  et  l'on  trouvera  pour  équation  finale  une  équation 
en  a  du  degré  ré^"^^ ,  laquelle  servira  par  conséquent  à  déterminer  la 
constante  a. 

Il  restera  donc  deux  constantes  indéterminées  A,  par  exemple,  et  a; 
et,  comme  l'équation  qui  doit  donnera  est  du  /z"^'"^  degré,  on  en  pourra 
tirer  n  valeurs  différentes  de  a\  moyennant  quoi  on  aura  n  valeurs  par- 
ticulières de  cbacune  des  2/z  variables  s,  s^,  So, . . . ,  u,  w, ,  Mo »  •  •  •  >  les- 
quelles satisferont  toutes  également  aux  équations  différentielles  don- 
nées; et  il  est  facile  de  voir,  par  la  nature  même  de  ces  équations,  que, 
pour  avoir  la  valeur  complète  de  cbacune  des  variables  dont  il  s'agit,  il 
n'y  aura  qu'à  prendre  la  somme  des  n  valeurs  particulières  de  la  même 
variable,  en  donnant  différentes  valeurs  aux  constantes  arbitraires. 

Si  donc  on  dénote  par  a,  b,  c, . . .  les  n  racines  de  l'équation  en  a,  et 
qu'on  prenne  n  coefficients  arbitraires  A,  B,  G,...  et  autant  d'angles 
arbitraires  a,  [j,  y,...,  on  aura 

s  =  \  ^in  nt  ^  y.    -4-  B  sin {ht  -\-  ^   -+-  C  sin ( c/  -f-  y    -h .  . . , 

5,  =  A,sin(«/  -i-  a  ;  -f-  B,sin(i/  h-  (3)  +  Csini  c^  4-  y  )  -t-.  .  ., 
52=  A2sin(«;  -I-  Cf.;  -t-_B2sin(6/  -+-  [3)  -t-  CîSini'c/  -f-  y)  h-  .  . ., 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,  ETC.  657 

«  =  A  cosiV//  -A-  oc)  -4-  B  cofiibt  H-  (3)  -i-  C  cosict  -\-y)  -\-  .  .  ., 

M,  =  A.cos  «/  H-  a)  -f-  B,cos(7>/  -f-  [i)  -+-  C,cos,(ct  -hy)  -h .  .  ., 

Mjz=  A,ros(«/-i-  3c)  -I-  B,  oos(/><  -i-  (3)  -h  C,  cos(c/  4-  y;  H--. .  ., 

j 

les  quantités  li,,  IL,...  devant  être  données  par  B  il  A,  d  les  (|ii;iii- 
tités  C,  Ca,. . .  devant  l'être  par  C  et  c,  et  ainsi  des  autres,  de  U\  même 
manière  et  par  les  mènics  é(juations  que  les  (juaiilités  A,,  A.,...  h'  sont 
pai'  A  et  {f. 

26.  Pour  déterminer  maintenant  les  2/^  eonstantes  arbitraires  A,  B, 
C,...,  «,  fi,  y, . . . ,  il  faudi'a  supposer  que  l'on  eonnaisse  les  valeurs  d«'s 
2/1  variables  s,  s^,  s^,,-..,  m,  m,,  Wj,...  pour  une  époque  queleonque,  par 
exemple,  lorsque  /  =  o,  et,  désignant  ces  valeurs  données  par  S,  S,, 
So, . . . ,  U,  U|,  Uo, . . . ,  on  aura  les  é(}uations 

S  :=  A  siria  -f-  B  sin^  -4-  C  siny  -h. .  ., 
S,  =  Aisina  -I-  B,  sin[3  -h  C,  sin-/  +.  . ., 
S2  =  A2  sin  s:  H-  B.  sin  |3  -f-  C,  sin  •/  -4- . .  . , 


U  =  A  cosa  -f-  B  cos(3  -+-  C  cosy  +  .  . , 
U,  :=  A,  cosa  -+-  B,cos|3  -i-  C,  oosy  H-.  . . , 
U2  =  Ajcosa  -+-  Bocos^  -t-  C;,cosy  -f- .  .  . , 

lesquelles,  étant  aussi  au  nombre  de  2n,  serviront  à  déiciiiiincr  toutes 
les  constantes  dont  il  s'agit. 

Quoique  cette  détermination  soit  toujouis  facile  dans  les  cas  particn- 
liers,  au  moyen  des  règles  connues  de  l'élimination,  cependant,  si  l'on 
voulait  traiter  la  (juestion,  en  général,  poui'  un  nombre  quelconque 
d'orbites,  mobiles,  on  tomberait  nécessairement  dans  des  formules  très- 
compliquées  et  dont  la  loi  serait  ditïlcile  à  apercevoir;  c'est  pourquoi 
Vl.  83 


()o8  KECIÏERCHES  SUU   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

j'ai  cru  devoir  chercher  une  méthode  particulière  pour  remplir  cet  objet, 
et  je  me  flatte  que  celle  que  je  vais  donner  pourra  mériter  l'attention 
des  Géomètres,  tant  par  sa  simplicité  et  sa  généralité  que  par  l'utilité 
dont  elle  pourra  être  dans  plusieurs  autres  occasions. 

27.   (Considérons  les  n  équations 

S  =  A  sins:  H-  B  sinj3  +  C  siny  -!~. . ., 
S,  =  Aisiii  j:  ^-  B,  sin(3  -+-  C,  siir/  -h  .  . . , 
S2  =  Aj  siii  y  +  B2  sin  [3  -f-  (>,  sin  y  -h  .  .  . , 


Il  est  visible  que  toutes  les  opérations  qu'on  fera  sur  celles-ci  pourront 
s'appliquer  aussi  aux  autres  équations,  en  changeant  seulement  les 
quantités  S,  S,,  So,...  en  U,  U,,  Uo,...,  et  sina,  sinjS,  siny,...  en  cosi/. 
cos/3,  cosy, — 

On  l'ornuM'a  d'abord  les  (juanlités  suivantes 

S^'''  =  -(o,  i)(S  -S>)-(o,  2)fS  -S.)-.  .., 

S^,''  =  -(i,o)(S,  -  S)-(i,  2)  (S, -S,)-..., 

S^,"  =  -  (2,  o )  (S,  —  S  !'  —  (2,  I)  (S.  —  S, )  — ... , 
> 

dont  la  forme  est,  comme  l'on  voit,  analogue  à  celle  des  équations 
différentielles  proposées  ^16j;  il  est  aisé  de  prouver,  en  substituant  les 
valeurs  ci -dessus  de  S,  S,,  So,...  et  ayant  égard  aux  é(juations  de 
condition  du  n"  25,  lesquelles  doivent  avoir  lieu  également  entre  les 

quantités  a.  A,  A,,  A2. è,  B,  B,,  B.. . . . ,  c,  G,  C,,  C. , . . . ,  il  est  aisé 

de  prouver,  dis-je,  qu'on  aura 

S'^=:aA  sin5cH-/>B  sin[3 -h  cC  siny -^- . .  ., 
S^,''  =  «A,  sin  a  -t-  6B,  sin,3  -t-  cC,  sin  y  -f- ... , 
S.,*  =  rtA.  sin  a  -f-  iB,  sin  [3  -t-  cC.  sin  y  -!-..., 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,    ETC  059 

Kiisiiilc,  (le  la  même  manière  (juc  les  (|iiaiililés  S  ,  S/,  S.,\  •  •  •  sont 
l'oi-iii('(!s  des  quantités  S,  S,,  S.,...,  je  loiiiie  les  (|iiaiilités  S'*',  S',^',  S2',... 
de  celles-ci  S  ,  S,  ,  S.^,'--*  •-'  pîticillerncnt  je  loniie  les  t|iiaiitilés 
S  ^  S,',  S^,.-.  «les  (|iianlilés  précédentes  S '\  S,',  Sj^, ...,  el  ainsi  de 
suite:  j'aiicai,  en  verln  des  mêmes  écjnations  de  eondirK»n,  les  ('MjnarKtn> 
snivaiiles 

S  "^:  rt' A  sina  -h  b'ii  sin,j  -+-  c-L  siny  -h  .  .  ., 

s',  '  =  aWtSina.  -t-  /*'H,sin[î  -4-  cM],  sin/  -4-  .  .  ., 

Sjf  =  aWjsinx  -h  b-RtSin^  -+-  c-'Csin-/  -+-..., 


s  '  =  a^sS.  sin  a  -i-  6'B  sin, 5  4-  cM^  sin  y  —  .  .  . , 

S^'^  =  «'  A ,  sin  a  -I-  h^li,  sin (i  -^  c' C,  sin  y  -r  .  .  . , 

Sj  =:  «^Ajsina  -+-  ^'B^sinj^  H-  c-MJ.sin/  -    .  .  . , 
' » 

el  ainsi  de  suite. 

11  faudra  continuer  ces  suites  d'équations  jusqu'à  la  n"'""  inclusive- 
menl,  la(|uell('  sera  donc  rCj/résentée  ainsi 

S"~'  =  a"-' \  sina-*-A"'  B  sin  3 -r- c"~'<;  siny-r-..., 
S^,"~'  =  a""' A,  sin  a:  —  />"  B,  sinp  -+-  c"-'C,sin-/  -1-  .  .  . 
Sj"~"=a"-'A2sina-i-6''-'B,sin^-hc"-'(:,siny  + 


Cela  posé,  je  considère  l'équation  dont  les  racines  sont  a,  h,  c,...,  et  je 
la  représente,  en  général,  par 

X"  -+-  X  x"~'  4-  y.  X"  ■  -h  V  X"  "•>  -4-  cj  x"~*  4-  .  .  .  =  o, 

en  niellant  x  l\  la  place  de  a  pour  plus  de  généralité.  J'élimine  de  celte 
équation  uni;  des  racines,  comme  a,  en  la  divisant   par  ûo~a,  ce  (jui 

83. 


G60         HECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

me  donne  le  quotient 

X"-'  ^  a-hl)  x"-^  -+-  •  a--hla-h  [j.  )  x"-^  +  («'  -hla-  -\-  y.  a  -h  v)  x"-*  +  .  .  . 

H-  (a"-'  -+- 1  a"--''  -+-  (j.  a"~^  -t-  v  «"  ^  -+-..)  =  o. 

Cette  équation  n'aura  donc  plus  pour  racines  que  les  n  —  i  quantités 
h,  c,...,  de  sorte  que  son  premier  membre  ne  deviendra  égal  à  zéro 
(ju'en  faisant 07=6,  ou  x=c,  ou  ...;  mais,  en  faisant a:=«,  il  deviendra 

n  a"-'  -t-    n  —  i)l  a"-^  +  ( n  —  2  )  u  a"  ^  -\- .  .  . . 

Si,  dans  l'équation  précédente,  on  change  a  en  6  ou  en  c,  ou  . . .  ;  on 
aura  une  é(juation  qui  sera  vraie  pour  toutes  les  racines,  excepté  h, 

ou  c, 

Je  suppose  maintenant  que  je  veuille  déterminer  les  valeurs  des 
n  (juantités  Asina,  Bsinp,  C  siny,...;  je  n'aurai  qu'à  prendre  les 
n  équations 

S  =  Asina-i-  BsinpH-  Csiny-i-..., 
S^'^  =  a  A  sina  -h  b  B  sin(3  -+■  c  C  siny  h-  . . ., 
S^^'=:a^Asina  -+-  è^Bsin[3  +  c^Csiny  H-.  .  ., 


s'"  '^  =  a"-'  A  sin  a  ■+-  h"-'  B  sin  3  -f-  c"^'  C  sin  y  -f-  .  .  . , 

et  les  ajouter  ensemble  après  les  avoir  multipliées  respectivement  par 
les  coefficients  de  l'équation  ci-dessus  pris  à  rebours,  c'est-à-dire,  en 
commençant  par  le  dernier 

a"-'  -f-  l  a"--  -+- 

Il  s'ensuit  de  ce  que  nous  avons  dit  sur  la  nature  de  cette  équation  que 
le  coefficient  de  la  quantité  Asina  deviendra 

n  a"-'  -h  in  —  1)1  a"~-  -4-  (  n  —  2  )  a  a"^^  h-  .  . . , 

et  que  les  coefticients  des  autres  quantités  Bsin^S,  Csiny, ...  devien- 
dront tous  nuls  à  la  fois;  de  sorte  que,  divisant  toute  Téquation  \y.\r  le 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  r.Ol 

(îoefficient  de  Asina,  on   ;iurn  siir-l('-cli;imp  l;i  valeur  de  t'ctte  mèinc 
(|ii:iiili(r.  Donc 

A  sina  —  (a""'  ■+- 1  a"--  4-  f/.  a"-'  -+-  v  a"  '  -4-  .  . .)  ^ 

-I-  (a"-'  -+-  X  a"-'  -+-  fj.  a"-*  -h. . .}  S^'^ 
+  (  a"-» -f- ?i  a"-' -1- . .  .  )  S('\ 


(a-f->)S("-^)-HS("-'), 


divisée  par 

/i  a"-'  -\-  [n  —  i)!  a"-^  -h  (n  —  a.)  fi.  a"-'  -h  {n  —  3)v  a"-*  -f-  .  .  .  . 

On  trouvera  de  même  les  valeurs  des  quantités  lisinp,  Csiny,. . . ,  et 
il  n'y  aura  pour  cela  qu'à  changer,  dans  l'expression  précédente  de 
Asina,  la  racine  û  successivement  en  b,c,.... 

Si  l'on  traite  d'une  manière  semblable  les  n  équations 

S,  =  A,  sina -I-  B,  sin[3+  €,  siny -I-. . ., 
8*,'^=  a  A,  sina  -H  6  B,  sin(3  -(-  c  C,  siny  -I-.  . ., 
S',''  =  rt-A,  sina  -+-  i-B,  sin|3  +  c'C,  siny  -i-  .  .  ., 


on  déduira  les  valeurs  des  n  quantités 

A,  sina,     R,sin|3,     C,  siny,...; 

et  il  est  clair  que  ces  valeurs  ne  différeront  de  celles  de 
Asina,     Bsin,3,     (>siny, ..., 

trouvées  ci-dessus,  qu'en  ce  que,  à  la  place  des  quantités  S,  S'",  S'^*,..., 

il  y  aura  les  quantités  S,,  S\  ,  Sj"  » 

D(.'  là  il  est  facile  de  conclure  que,  si  dans  les  mêmes  valeurs  de 

Asina,     Bsin|3,     Csiny,... 
on  met  à  la  place  des  quantités  S,  S'',  S*^ , . . .  les  quantités  S.,  S.^' , 


(JG2         RECHERCHES  SUK    LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

S^f ou  S,,  S^,",  s''.  . . . ,  ou  ....  on   aura  les  valeurs  des  quaulilés 

Ajsina,     RîSin^,     C^siny,..., 

ou 

AaSina,     B3  5,111(3,     Casiii-/,..    , 

ou  .... 
Enfin,  si  dans  les  valeurs  précédentes  on  change  les  quantités 

c     c      c  .      c!''     c'*>     c^^J  .      <i!--      S'^      S'^ 

en 

U,  U„  U2,...;     U^  U?',  U^...;     U<%  Uf,  e,..    ;... 

(ces  quantités  U\  U^  U^^...;  U',  U^;,  Uj,. ..;...  élanl  formées 
des  quantités  U,  U,,  Ua..-.,  de  la  même  manière  que  les  quantités 
S'\  S';\  S'^  ,...;  S"\  S^  s; ,...;...  le  sont  des  quantités  S,  S,,  S,,...), 
on  aura  les  valeurs  des  quantités  correspondantes 

A  cosa,  B  cos[3,  C  cosy,.  .  ., 
A,  cosa,  R,  cos|3,  C,  cosy...  , 
A.cosa,     B2COSI3,     CsCOSy,..    . 

28.  Au  reste,  dès  qu'on  aura  trouvé  les  valeurs  des  quantités 

Asina,  Bsin(3,  Csiny,...,     ei     A  cosa,  Bcosji,  Ccosy,    .., 

on  pourra 'd'abord  déterminer  celles  des  coellicienls  A,  B,  C,...  et  des 
angles  a,  fi,  7,...;  après  quoi  il  suffira  de  chercher  encore  les  valeurs  des 
quantités 

A,sina,   R,  sinji,  C,  siny,..    ;     A^sina,  BjSinjS,  C,  siny,... 

pour  pouvoir  déterminer  celles  des  autres  coefficients  A,,  B,,  <^..---»  Aa, 

B..,  G. ou  bien  on  pouti'a,  si  on  l'aime  mieux,  employer.les  équations 

de  condition  du  n''  25  pour  déterminer  les  quantités  A,,  A.,...  en  A; 
cl,  comme  les  mêmes  équations  doivent  avoir  lieu  entre  les  quantités  B, 
B,,  B., ,  ainsi  qu'entre  les  quantités  C,  C.,  Co, ....... ,  en  changeant 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,    ETC.  (503 

seulement  a  en  h  ou  en  c,...,  on  aura  également  les  valeurs  de  H,,  \\,,  . 
en  B,  (le  (^,,  (l.,...  en  (^,  et  ainsi  des  aiilres. 

±\).  Si!  n'y  a  que  deux  orhitcs  mobiles,  les  é([ualjons  de  eo/idition 

du  n"  25  seront 

la  -+-  lo,  I)]  A  —  (o,  ij  A,  -TO, 

(  I ,  o  )  A  —  [a  -f-  (  I ,  o)  ]  A ,  :=  o  : 
dOii  l'on  lire  eette  e<|ualion  en  a  ou  en  x  (en  clian^eanl  a  en  x) 

[x  -^  (o,  0]  [.r  -f-    I,  o)]  —  (o,  i)(i,  o)  =  o, 

laquelle  est  évidemment  du  second  degré. 

Si  les  orbites  mobiles  sont  au  nombre  de  trois,  on  aura  ces  trois  équ;i- 
tions  de  condition 

[d  +  (O,  i)  -h  (o,  2)]  A  —  [O,  I)  A,  —  ;o,  2)  A;  —  o, 

1,  o)  A  —  [a  -I-  ;i,  o)  +  (i,  2)]  A,  -f-  (I,  2)  A.  =  o, 

2,  o  )  A  -H  (  2,  1  )  A ,  —  [a  -t-  (  2,  o  1  -H  (  2,  I  )]  A..  =  o  ; 

d'où  l'on  tirera  par  les  formules  connues  cette  équation  finale  en  a  ou 
en  X 

[X-I-  (o,  I  )  -t-  (o,  2)]  [.r^-  (l  ,  o)  ^  (  1  ,  2)]  [x-r  (2,  o)  -h  (2,  l)] 
-[X^{0,l)^  (o,  2)]  (  1  ,  ■2)(2,  I  )  —  [X^  (l ,  o)  -+-  (l  ,  2)]  (o,  2)  (2,  O) 

—  [.r  -I-  (2 ,  o)  H-  (2,  n]  (o ,  I  )  ( I ,  o)  —  (o ,  I  )  (  1 ,  2)  (2 ,  o)  —  (  I ,  o)  (2, 1  )  (o .  2)  =  O, 

laquelle  est,  comme  l'on  voit,  du  troisième  degré. 

S'il  y  avait  quatre  orbites  mobiles,  on  aurait  alors  ces  (|u;itrr  (m|ii;i- 
lions  de  condition 

[a  4-   o,  i    .^   o,  2  )  -f-  (o,  3  ]  A  —    o,  i  )  A,  —  (  o,  2    A.  ~  ,  o,  3  )  A,  —  o, 

(  I ,  o  1  A  —  [rt  -4-  ( I ,  o  1  -+-  :  1 ,  2  -1-  1 1 ,  3  ]  A,  -t-  ^  1 ,  2  )  A,  -f-  ( 1 ,  3 )  Aj  =  o, 
i  2,  o)  A  +  f  2, 1)  A,  —  [rt  -+-  ;2,  o  ,  4-  (2,  i)  -f-  ^2,  3)]  Av  H-  ,  2,  3)  A3  =  n, 
(  3,  o  )  A  4-  i  3,  1 1  A ,  -H  ,  3,  2    A2  —  \a  4-    3,  o )  4-  1 3,  1  )  4-  :  3,  2  ]  Aj  — -  o, 


664  RECHERCHES  SUR  LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

lesquelles  donneraient  sur-le-champ  celle-ci  en  a  ou  en  x, 

[^-f-(o,  i)H-(o,  2)-t-(o,  3)][^H-(i,  o)  H-  (l,  2)-l-(  I,  3)] 
X  [a:-l-(2,o)-l-(2,  i)-l-(2,  3j][^  +  (3,  o)  +  (3,  i)  +  (3,  2)] 

—  [^-^(o,  i)  +  (o,  2)-l-(o,  3)][^-t-(l,o)-f-(l,2)  +  (l,3)](2,  3)(3,  2) 

—  [^+(0,  i)h-(o,  2)  +  (o,  3)][^  +  (2,o)-t-(2,  I  )  +  (2,3)](l,3)f3,  I  ) 

—  [^+(o,  l)-}-(0,  2)  +  (o,  3)][^+(3,  O)  -t-(,3,   l)-4-(3,  2)](l,  2)(2,   I) 

—  [^-h(l,  0)-f  (l,  2)  +  (l,  3)][^-h(2,  O)  +  (2,   I)  +  (2,  3)]fo,  3)(3,o) 

—  [:r -f-  (  I ,  o  !  -f- (  1 ,  2 )  -+-  (  1 ,  3  ; ]  [:c  H-  f  3,  o  ,)  +  ( 3,  I  j  +  (  3,  2  )]  ( o,  2  )  ;  2,  o ) 

—  [x H- (2,  on-  !  2,   I  )  +  (2,  3)][^  +  (3,  O)  -f-(3,  I  )-|-(3,  2)]fO,  l)(  1,  O) 
-\X^[0,   I)  +  (0,  2)  +  (0,  3)][(l,2)(2,  3)(3,    I  )-+-(2,   l)(3,  2)(l,3)] 

—  [.r-f-  (  I,  oi  +  (  I,  2)  -1-  (  I,  3)]  [(o,  2)  1  2,  3)  (3,  o)  -+-  (2,  o)  (3,  2)(o,  3)] 

—  [^-H(2,oj-f-(2,  I  )-+-  (2,  3)][(o,  1  )(i,  3.(3,  o)  +  (i,  o)(3,  I  j(o,  3;] 

—  [x-|-(3,  o)  -f-'^S,  I  lH-(3,  2)]['  o,   I  ;h  I,  2  i  (2,  o)  -4-  (  I,  o)(2,  I  )':o,  2)] 

—  (o,  Ijd,  2)  (2,  3)  (3,  o'î  —  (o,  2)  (2,  3)  (3,  i)(i,o)  —  (o,  3)  (3,  l)(l,2)(2,  o) 

—  (i,o)  (2,  I  -(3,  21  (o,  3)  —  (2,0)  (3,  2)(i,3)(o,  I)  —  (3,0)  (i,  3)  (2,  f)(o,  2) 
-f-(o,  r)(i,  o)  (2,  3)  (3,  2)  -4-  (o,  2)  (2,  o)  (i,  3)  (3,  i)  -t-  (o,  3j  (3,  o)  (i,  2)  (2,  i  )  =  o, 

équation  qui  étant  ordonnée  par  rapport  à  l'inconnue  x  montera  au  qua- 
trième degré;  et  ainsi  de  suite. 

30.  Si  l'on  développe  les  équations  précédentes,  on  verra  que  Icui' 
dernier  terme  disparait  toujours  par  la  destruction  mutuelle  des  quan- 
tités qui  le  composent;  d'où  il  suit  que  chaque  équation  sera  divisihle 
par  X,  et  aura  par  conséquent  x  =  o  pour  une  de  ses  racines.  C'est  de 
quoi  on  peut  aussi  se  convaincre,  à  priori,  par  la  forme  même  des  équa- 
tions de  condition  du  n''  25,  car  il  est  clair  qu'on  peut  satisfaire  à  ces 
équations  en  faisant 

n  =  o     et     A  =  A ,  =:  A.,  ...  ; 

de  sorte  que  «  =  o  sera  nécessairement  une  des  racines  de  l'équation 
en  a.  On  voit  aussi  par  là  que  les  valeurs  de  A,  A,,  Ao,...,  qui  répondent 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,  ETC.  GG5 

à  cette  racine  a--o,  sont  loulcs  égales  eulic  elles.  I>:ir  conséqnent  les 
expressions  de  s,  St,  s.,,...,  k,  n,,  u,,...  (levieiidroiil 

s  =  Asina  +  IJ  sin[l)t  -!-  (3)  +  C  sin(c/  -i-  y)  H-  •  . 
5i  =  A  sina  +  B,  sin{l)t  -i-  [3)  -h  C,  sin(c/  +  y)  -4-. . 
5^=:  Asina  +  B,  sin(6/  +  p)  h-  G  sin(67  -h  y)  +  .  ■ 


u  —  Acosa-f-B  cos(6/  -i-  (3)  +  C  cos{cl  -\-  y)  -\- 
/<,— Acosa-f-B,cos(6/  -h  (3)  -i-  C,cos(c/  -}-  y)  -+- 
//,i_^  Acosa-l-  B2COs(6/  -f  ,5)  --!-  C2COs(67-i-  y)  -\- 


(lans  lesquelles  /;,  c,...  seront  les  racines  des  équations  ci-dessus  en  x, 
après  qu'elles  auront  été  rabaissées  par  la  division  par  x. 

Ainsi,  dans  le  cas  de  deux  orbites  mobiles,  la  (juantilé  b  sera  donnée 
par  l'équation  du  premier  degré 

X  -f-  (o,  i)  4-  (i,  o)  =  o. 

Dans  le  cas  de  trois  orbites  mobiles,  les  quantités  Z>  et  c  seront  données 
par  l'équation  du  second  degré 

^-4-[(o,  i)  4-(o,  2)  +  (i,o)  +  (i,2)  +  (?.,  o)  +(?,,  i)].r 

+  (o,  i)(i,  ?.)  -}-  (o,  'y.){\,o)  -+-  (o,  9.)(l,  ?.)+  (o,  l)(2,  o) 

+  (o,  l)(2,  l)  +  (o,  2)(?,,   l)-!-  (l,o)(?,,  o)  -i-  (l,0)(?.,  l)  +  (l,2)(2,  0)r-0, 

et  ainsi  de  suite. 

31.  Avant  de  terminer  cet  Article,  nous  devons  encore  remarquer 
(jue,  quoique  nous  ayons  supposé  que  toutes  les  racines  a,  h,  c,...  de 
l'équation  en  x  soient  réelles  et  inégales,  il  peut  néanmoins  arriver  qu'il 
y  en  ait  d'égales  ou  d'imaginaires;  mais  il  est  facile  de  résoudre  ces  cas 
par  les  méthodes  connues  :  nous  observerons  seulement  que,  dans  le  cas 
des  racines  égales,  les  valeurs  de  s,  s,,  s,,...,  u,  ii,,  u.,,...  contiendront 
des  arcs  de  cercle,  et  que  dans  celui  des  racines  imaginaires  ces  valeurs 
contiendront  des  exponentielles  ordinaires;  de  sorte  que,  dans  l'un  et 
l'autre  cas,  les  (juantilés  dont  il  s'agit  croîtront  à  mesure  que  t  croit  ;  [)ar 
VI.  8Î 


6GG         RECHERCHES  SUR  LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

conséquent  la  solution  précédente  cessera  d'être  exacte  au  bout  d'un 
certain  temps  (23);  mais  heureusement  ces  cas  ne  paraissent  pas  avoir 
lieu  dans  le  Système  du  monde  (*). 

Article  V.  —  Remarques  sur  les  mouvements  des  nœuds  et  les 
variations  des  inelinaisons  qui  résultent  des  formules  trouvées 
dans  r  Article  précédent. 

32.  Puisque  ^  

langw=-     et     9  =  \/s^-hu-, 

par  le  n°  8  on  aura,  en  substituant  les  valeurs  de  s  et  de  u  (30), 

A  sin  X  +  B  sin  (  ^^  +  §  )  -4-  C  sin  (  c/  -I-  7  )  4- . . . 

tânSfO)  ^^    -— =r r-j ^— zi^ , ; 5 

A  cosa  -(-  B  cos  (  w  -f-  p  )  -(-  C  cos (  r^  -f-  7 )  + . .  . 
0  ^  v/A'+B'-f-C'-+-...-4-2ABcos(6^-i-p— a)+2ACcos(cf4-7-a)-h-...H-'îBCcos[(6-c)?+p-7]T.T  ; 

par  la  première  de  ces  équations,  on  connaîtra  donc  la  longitude  w  du 
nœud  de  l'orbite  de  la  planète  T,  rapportée  à  l'écliptique  ou  au  plan  fixe 
qui  en  tient  lieu,  et  par  la  seconde  on  aura  la  tangente  ô  de  l'inclinaison 
de  la  même  orbite. 

On  aura  des  formules  semblables  pour  le  lieu  du  nœud  et  la  tangente 
de  l'inclinaison  de  l'orbite  de  chacune  des  autres  planètes  T,,  T^,...;  il 
n'y  aura  qu'à  marquer  les  lettres  A,  B,  C,...  de  l'indice  i,  ou  2,  ou.... 

33.  Si  l'on  voulait  déterminer  directement  la  longitude  w  du  nœud, 
il  n'y  aurait  qu'à  substituer  la  valeur  de  tangw  dans  l'équation 

,  cl  lan  g.  M 

do)  — ^--—  5 

I  +  lang^o) 

ce  qui  donnerait,  après  les  réductions,  cette  équation  différentielle 

dM  _  hB--h  rC^-h...-^hA'Bcos{bt-hP  —  o(.)-hcACcos{ct-\-y— (/.)-{-. ..-h{b-i-c)'BCcos[{h—c)(-h^—^]-r- . . . 
dt  ~  i  /\.'-hB'-+-C'-i-  ...)-;-  2  AB  cos  [bl-h  p  —  a)  -i-  2  AC  cos  [et  +  7  —  a)  t- . . .  -hi  BC  cos  [(/>  —  r)  /h-  p  —  7J  -i-  . . . 

(*)  11  convient  de  rappeler  ici  que  les  résultats  ([ui  précèdent  ont  été  reproduits  avec  des 
développements  étendus  dans  la  Théorie  des  vnrintinns  sècidnires  des  éléments  des  planètes 
insérée  dans  les  Mémoires  de  V Académie  de  Berlin,  année  lyGi.  r'oir  le  tome  V  des 
OEuvres  de  Lagrange,  p.  i25.  [Note  de  V Éditeur.) 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  667 

d'où  l'on  puiin-a  lircr  |);ir  riiilrgralioii  la  valeur  de  l'angle  '>).  Si  l'on 

SLJpj)OSL' 

/^B'-l  fC'-i-. ..-.-/;  ABcos(/>'/  +  f>-a)H-cACcos(r/i-7-7.)  +  --  H^'+'r)liCcOS[{b-c)thp--/]-h...^o, 

on  a  l'ccjualion  qui  donn(3  les  niaxima  el  niininia  de  l'angle  oj;  si  done 
cette  é(iualion  est  possible,  l'angle  w  sera  renfermé  dans  des  limites  don- 
nées, et  le  nœud  n'aura  par  eonséquenl  (ju'un  mouvement  de  lihralion; 
mais,  si  l'équation  dont  il  s'agit  est  impossible,  il  n'y  aura  alors  ni  maxi- 
mum ni  minimum;  l'angle  w  croîtra  donc  continuellement,  el  le  nœud 
aura  nécessairement  un  mouvement  continu  et  progressif. 

3i.  Pour  mettre  ce  que  nous  venons  de  dire  dans  un  plus  grand  jour, 
considérons  le  cas  où  il  n'y  a  que  deux  orbites  mobiles;  on  aura  dans 

ce  cas 

A  sina  -h  li  s\n{ bt  +  fi) 
lang&j  =  -T j-r- — ^5 

°  Acosa -4- Bcos(6< -J- (3) 

et  de  là 

6/m_     6B[B  + Acos(6/-f-(3  — a)] 


dt  ~  A=  +  B=  +  2AB cos(6/  -f-  (3  —  a)' 

l'équation  du  maximum  ou  minimum  sera  donc 

B  -f-  A  cos{bt  -;-  [3  —  a)  =o, 
laquelle  donne 

cos{bt  -(-  j3  —  a)=  —  --. 

Cette  équation  n'est  possible,  comme  l'on  voit,  que  lorsque  B  =  ou 
■<  A,  abstraction  faite  des  signes  :  dans  ce  cas  donc  le  nœud  de  l'orbite 
de  la  planète  T  n'aura  qu'un  mouvement  de  libralion;  mais  si  B>A, 
alors  l'équation  deviendra  impossible,  et  le  nœud  aura  par  conséquent 
un  mouvement  progressif  sur  l'écliptique. 

35.  Pour  déterminer  ces  mouvements  du  nœud,  nous  allons  chercher 

la  valeur  de  l'angle  oj  par  l'intégration  de  l'équation  ci-dessus.  Faisant, 

pour  abréger, 

^/  -f-  |3  —  a  —  9, 

84. 


GG8         RECHERCHES  SUll  LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

on  aura  Jonc  à  intégrer  l'équation 

__       lî^  +  ABcosQ        de  —~   '   - ^'  —  A')d(f> 

Â^+lBM^2ABcoscp    '^~   2     '' 2  A'^  +  B^-f- 2ABcos<p' 

or  j'observe  que,  si  l'on  prend  un  angle  ij^  tel  que  l'on  ait 

B  -  A  o 

on  trouve,  parla  différentialion, 

^,^i_ (B'-A^)(/9       . 

"^       2  A' H- B'^ -f  2  AB  CCS  <p  ' 

d'où  il  s'ensuit  qu'on  aura 

2  ' 

et,  en  iiilégraiil, 

9        I 
(,y  =  -  -\-  di  -h  m, 

2 

m  étant  une  constante  qui  sera  égale  à  la  valeur  de  w  lorsque  9  --  o,  parce 
que  ^  est  aussi  égal  à  zéro  dans  ce  cas;  or,  en  faisant  9  —  0,  on  a 

/>;  +  [3  =^  ce, 
et,  substituant  cette  valeur  dans  l'expression  ci-dessus  de  tangos,  il  vient 

sina 
iangw= =  tanga; 

donc  (,)  ~  x;  par  conséquent  m  =^  a;  de  sorte  qu'on  aura,  en  général, 

m 
0)  =  -  ~\-  ÛJ  -i-  a. 
2         ' 

Maintenant  il  est  clair  que,  si  B>  A  (abstraction  faite  des  signes),  la 

quantité  ^ — -  sera  toujours  positive,  quels  que  soient  les  signes  de  B 

et  A;  de  plus,  si  A  et  B  sont  de  même  signe,  cette  quantité  sera  toujours 
<  I  ;  au  contraire  elle  sera  >  i ,  si  A  et  B  sont  de  signes  différents. 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,  ETC.  669 

Daiislo  premier  cas,  on  pourra  donc  supposer 

B-A 

et  l'on  aura  l'équalion 

langv{/  —  cos//  lang- , 

laquelle  l'ait  voir  que  l'arc  ^  est  la  base  d'un  triangle  sphéri(jue  rectangle, 
dont  "  est  l'hypoténuse  et  h  l'angle  compris.  On  i)uurra  donc  regarder 

l'arc  -  comme  l'argument  de  latitude,  l'arc  ^  comme  la  distance  au  nœud, 

en  prenant/*  pour  l'inclinaison  de  l'orbite,  et  alors  la  difrérencc   -  —  -^ 

sera  ce  qu'on  appelle  la  réduction  à  l'édipliquc,  dont  la  valeur  est  alter- 
nativement positive  et  négative.  Désignant  donc  cette  réduction  par  p, 


on  aura 
donc 


^=^p; 


o 


et  par  conséquent 

ro  =  9  +  a  —  pr=z  bt  -.-  (3  —  p  ; 

d'où  l'on  voit  que  la  valeur  moyenne  de  w,  c'est-à-dire,  le  lieu  moyen 

du  nœud,  sera  ^/  4-/3. 

Dans  le  second  cas,  c'est-à-dire,  lorsque  A  et  B  sont  de  signes  diflërents, 

on  pourra  faire 

B-A  I 


B  H-  A       cos  II 

et  l'on  aura  l'équation 

lang-  r=  cos/t  tangij;. 


Dans  ce  cas  t)^  sera  l'argument  de  latitude,    ■  la  distance  au  nœud,  et, 


670         RECHERCHES  SUR  LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

nommant  la  réduction  a,  on  aura 


donc 


^  2 


q;  =  -  -f-  (7, 
^  2 


et  par  conséquent 

w  =  9  -f-  a  H-  a  =  6/  +  [3  -(-  0-  ; 

de  sorte  que  le  lieu  moyen  du  nœud  sera  aussi  hl  -h  [j. 

B  —  A 

Mais,  si  B    'A  (abstraction  fiiite  des  signes),  la  quantité  g—;^  sera 

toujours  négative,  par  conséquent  la  quantité  ,  ^  sera  toujours  po- 
sitive; ainsi  il  n'y  aura  qu'à  prendre  l'angle  ^  négativement,  et  l'on 
aura  l'équation 

A  — B      .     9 

dans  laquelle  A  >  B,  et  qui  donnera  comme  ci-devant 


si  A  et  B  sont  de  même  signe,  ou 

si  A  et  B  sont  de  signes  différents;  mais,  en  faisant  ^  négatif,  la  valeur 
de  ù)  deviendra 

9  ! 

M  =:;  -  —  u;  4-  a  ; 
2         ' 

donc,  substituant  la  valeur  de  (|>,  on  aura,  dans  le  premier  cas, 

w  =  a  -1-  p, 

et  dans  le  second 

co  =  a  —  a; 

d'où  l'on  voit  que  le  lieu  moyen  du  nœud  sera  a,  cl  par  conséquent  fixe. 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  G7I 

Enfin,  si  B  —  A,  on  aura  tangtj^  —  o;  donc  <|  ^    o  cl 

9.  9. 

et,  si  B  —  -'A,  on  aura  lanp,({/  -  :c  ;  donc  ^  —  90**,  cL 

bt-h&  -!-  oc 

36.  On  peut  encore  trouver  la  valeur  de  l'angle  '»>  par  le  moyen  de  sa 
tangente,  sans  employer  aucune  différentiation  ni  intégration.  En  cllel 
on  a,  comme  l'on  sait, 

9  0)  s/—  I  ~  Ioge"v'^  —  log6— 'v/-'  -r=  log  (coso)  +  sin  w  v  —  i  )  —  log  (coso)  —  sin  o  y/—  i  ) 

^  log 5^  =:  log -^_V  . 

COS63  —  smoy/— I  I— lango»y' — i 

qu'on  substitue  donc  dans  cette  formule  la  valeur  de  tango),  en  faisant, 

pour  abréger, 

bt  H-  (3  =  Ç, 

on  aura 

I       ,      Afcosa  +  sinai/ -i)  4- B(cosÇ  H- sinÇ  v^— i) 

0)  =  — ^=r^  log  —j —^^z=^ ) ^^ — -^-z^- 

9  y/— I         A(cosa  —  sinay/— I  j  +  B(cosÇ  -  sinî^y/--  i  ) 

I       ,         Ae»v/~  +  BeV-"^ 

—   =r  log- —= ;=• 

2v^— 1         Ae-V-'-+- Be-V-' 
Supposons  d'abord  B  >  A;  on  mettra  la  valeur  de  &>  sous  cette  forme 

M=   -^log f T Zl 

2  y/—  I 


G72         RECIIEUCHES  SUR    LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

réduisant  ces  deux  logarithmes  en  série,  on  aura 

^  g(a-!;)v'=^_e-(«-ï)\/~         A=    ^î(a-?)v/^  — 6-n«-?)v'-' 

ou  bien 

_  Asin(a  — g)  __  A^sin2(o:-  g)  _^  A^sin3(g  — Q  _^ 

Comme  ~  est  supposée  une  quantité  moindre  que  l'unité,  il  est  clair 

que  la  série  précédente  sera  toujours  convergente,  et  par  conséquent 
d'autant  plus  exacte  qu'on  la  poussera  à  un  plus  grand  nombre  de 
termes;  d'où  il  est  aisé  de  conclure  que  la  valeur  moyenne  de  «  sera  Ç 
ou  bien  ht-hfj,  comme  on  l'a  trouvé  ci-dessus.  Mais,  si  B<  A,  alors  il 
n'v  aura  qu'à  changer,  dans  l'expression  précédente  de  w,  A  en  B,  a  en  Ç, 
eivice  versa,  ce  qui  ne  change  rien  à  la  valeur  de  tango,  et  l'on  aura 
par  ce  moyen 

Bsin(Ç-a)       B=sin2(Ç-a)    ,    B-^sin3(^-a) 
co  =  a  + A " ^^  3Â^" ■"'•'•• 

Cette  série  sera  aussi  convergente  a  cause  de  -^    ;.  i;  par  conséquent 

on  aura  dans  ce  cas  a  pour  la  valeur  moyenne  de  w,  ainsi  qu'on  l'a  déjà 
vu  plus  haut. 

37.  On  peut  aussi  appliquer  la  méthode  précédente  à  la  formule  gé- 
nérale du  n°  32,  et  l'on  trouvera,  en  faisant  ht  -!  p>  -:  Ç,  cl -h  y  =  B,,.., 


w  = 


log(Ag'^-'  +  Bg^^-'+C/^^-'-f-...)  _  log(A6'-"'^-'H-B6'-'^^-'-Cg-^'^-'-...) 


on  réduira  ces  logarithmes  en  séries,  en  commençant  par  le  terme 
dont  le  coefficient  sera  le  plus  grand,  pour  avoir  des  suites  conyergentes, 
et  il  n'y  aura  plus  qu'à  substituer  les  sinus  à  la  place  de  leurs  valeurs 
exponentielles  imaginaires;  mais  il  faut  remarquer  qu'on  n'aura  de 
celte  manière  une  série  véritablement  convergente  dans  tous  les  cas,  à 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  G73 

moins  que  le  plus  grand  coellicienl  ne  surpasse  la  suiiime  de  luus  les 
autres  pris  posilivenient. 

Supposons,  par  exem|)le,  (jue  A  soit  plus  grand  (|ue  la  sonurn-  de  ij, 
C,...;  alors  on  réduira  le  logarillinie  de 

Ae»v ~ -f- Be'^v'-' -I- CeV~ -^ .  .  . 
dans  la  série 


loçA-f-ai' —  I -i i r^. 


2A^ 


done,  ehangeant  le  signe  de  \f^  i  et  prenant  la  dillérence  des  deux 

séries,  on  aura,  après  l'avoir  divisée  par  2  y—  1  ,  et  y  avoir  substitué 
les  sinus  à  la  place  des  exponentielles,  on  aura,  dis-je, 

B  sin (Ç— a)  -+- C  sin(?— a)  -h...       B^  sin  1  (?— a)  +  2BC  sin (Ç  4-^-  2a)  -+- C^ sin 2 (?— a)  -+-.. . 
A  2A' 

Cette  série  sera,  comme  il  est  facile  de  le  voir,  toujours  convergente, 
et  approchera  d'autant  plus  de  la  vraie  valeur  de  w  qu'on  y  prendra  plus 
de  termes;  d'où  il  s'ensuit  que  a  sera  la  valeur  moyenne  de  oj.  En  géné- 
ral, on  peut  conclure  de  là  que,  lorsque  l'un  des  coelficients  A,  B,  C,... 
surpasse  la  somme  des  autres,  la  valeur  moyenne  de  l'angle  w  sera 
égale  à  l'angle  même,  dont  le  sinus  et  le  cosinus  seront  multipliés  par 
ce  coeificient  dans  la  valeur  de  tangw. 

38.  Pour  ce  qui  regarde  la  tangente  0  de  l'inclinaison  de  l'orbite,  il 
est  clair  qu'elle  sera  toujours  nécessairement  renfermée  dans  de  cer- 
taines limites,  à  moins  que  les  racines  b,  c,. . .  ne  deviennent  égales  ou 
imaginaires  (31,  32). 

S'il  n'y  a  que  deux  orbites  mobiles,  on  aura 


6r=r  ^A=  +  B^-f-?.ABcos(6^-f-  (3  — «; 


et  il  est  visible  que  les  deux  limites  de  0  seront  A  -f-  B  et  A  -  B. 

En  général,  il  est  facile  de  voir  (jue  la  valeur  de  0  sera  tuujouis  néces- 
VI.  85 


-t  ... 


074         RECHERCHES  SUR  LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

sairemeiU  renfermée  entre  la  plus  grande  et  la  plus  petite  des  valeurs  de 

la  quantité 

±A±BdzC=h:..., 

en  prenant  les  signes  h  volonté;  mais,  si  l'on  voulait  déterminer  exac- 
tement les  maxima  et  les  minima  de  0,  il  faudrait  résoudre  l'équation 

b  AB  sin  [bl  -t-  ^  —  a)  + 1- AC  sin  (c f  -i-  7  —  x)  4- . . .  -r-  (^  —  c)  BC  sin \[b  —  r)  ^  -^  fi  —  7]  -r-   . .  =  o, 

ce  qui  ne  sera  pas  facile  lorsqu'il  y  aura  plus  d'un  terme. 

39.  Tout  ce  que  nous  venons  de  dire  ne  regarde  que  la  position  de 
l'orbite  de  la  planète  T  rapportée  à  l'écliptique;  mais  on  peut  l'appli- 
quer immédiatement  aux  orbites  des  autres  planètes  T,,  To,...,  en  sub- 
stituant seulement  à  la  place  des  quantités  A,  B,  C,...  les  quantités  A,, 

B,,  C,,...,  Ao,  Bo,  Co, Enfin  il  est  facile  d'appliquer  la  même  Théorie 

à  la  position  relative  des  orbites,  d'après  ce  qu'on  a  démontré  dans 
l'Article  III  (21). 

En  effet,  pour  déterminer,  par  exemple,  la  position  de  l'orbite  de  la 
planète  T  à  l'égard  de  celle  de  la  planète  T,,  on  aura,  en  conservant  les 
dénominations  du  numéro  cité,  les  deux  équations 

Tt  sin  ^  --  0  sin  03  —  0,  sin  co,  =_  .$  —  5,, 

r;  cos'l  ---=-  Ocoso)  —  Oi  cosco,  -^  Il  —  «,; 
donc (30) 

■n  sin  J;  =  (B  —  B,)  ?,\n{bt  -;-  (3j  -i-  (C  —  C)  sin(67  +  y)  -f-.    •> 
•/)COs^l;  =  (B  —  B,)cos(6/  -i-  [3)  +  (C  -  C,)cos(e/  +  y)  +. . ., 

OÙ  (j;  est  la  longitude  du  nœud,  c'est-à-dire,  de  la  ligne  d'intersection  des 
deux  orbites,  et  vj  la  tangente  de  leur  inclinaison  mutuelle. 

Comme  ces  expressions  de  ri  sint];,  yj  cos-i^  sont  entièrement  semblables 
à  celles  de  îsinw  -^5-,  Scosw  —  w,  avec  cette  seule  différence  que  les 
termes  multipliés  par  A  ne  s'y  trouvent  point,  et  que  dans  les  autres  il 
va  B  --  B, ,  C  —  C| , . . .  à  la  place  de  B,  C, . . . ,  il  est  facile  de  conclure,  en 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  675 

général,  ((iic,  pour  appliquei' l(^s  déterminations  du  lien  du  nœud  et  de 
l'inelinaison  de  l'orbite  d'une  planète  quelconque T,  rapportée  à  l'éclip- 
ti(iu(',  à  celles  du  lieu  du  nœud  et  de  l'inclinaison  de  la  même  orbite 
par  rapport  à  l'orbite  d'une  autre  planète  quelconque  T,,  il  n'y  aura  qu'à 
faire  A.-=  o,  et  changer  B,  C,...  en  lî  —  B,,  C--C,,...;  ainsi  nous  n'en- 
trerons dans  aucun  nouveau  détail  sur  ce  sujet. 

40.  Voici,  au  reste,  une  manière  fort  simple  de  trouver  la  position  de 
chaque  orbite  au  bout  d'un  temps  quelconque,  et  d'en  représenter  les 
divers  mouvements.  Ayant  tracé  sur  la  surface  de  la  sphère  un  giand 
cercle  qu'on  prendra  pour  l'écliptique,  on  décrira  un  autre  grand  cercle 
qui  coupe  celui-là  en  sorte  que  la  longitude  du  nœud  soit  a,  et  la  tan- 
gente de  l'inclinaison  A;  on  décrira  ensuite  un  troisième  grand  cercle 
qui  coupe  le  second  en  sorte  que  la  longitude  de  son  nœud  sur  ce  même 
cercle  soit  bt-\-^,  et  la  tangente  de  l'inclinaison  B;  on  décrira  de  même 
un  quatrième  grand  cercle  qui  coupe  le  troisième  de  manière  que  la 
longitude  du  nœud  soit  et -{-y,  et  la  tangente  de  l'inclinaison  C,  et  ainsi 
de  suite;  le  nombre  des  cercles  inclinés  au  premier  devant  être  égal  à 
celui  des  orbites  mobiles,  le  dernier  de  tous  ces  cercles  déterminera  la 
position  de  l'orbite  de  la  planète  T,  et  son  intersection  avec  le  cercle  de" 
l'écliptique  donnera  le  lieu  du  nœud  et  l'inclinaison  cherchée  de  cette 
orbite. 

On  fera  la  même  chose  pour  l'orbite  de  chacune  des  autres  planètes 
T,,  To,...,  en  conservant  les  mêmes  longitudes  des  nœuds,  mais  en  pre- 
nant, pour  les  tangentes  des  inclinaisons,  les  quantilés  A,,  B,,  C,, . . . , 
Ao,  B„  Q,.... 

De  cette  manière,  on  voit  que  le  mouvement  du  nœud  et  la  variation  de 
l'inclinaison  de  chaque  planète  peuvent  être  regardés  comme  le  résultat 
des  seuls  mouvements  des  nœuds  des  différentes  orbites  dont  chacune 
serait  mue  uniformément  sur  la  précédente  en  gardant  toujours  la  même 
inclinaison;  et  ces  mouvements  particuliers  des  nœuds  seront  les  mêmes 
pour  les  orbites  de  toutes  les  planètes,  mais  les  inclinaisons  devront 
être  différentes  pour  chaque  planète. 


070         RECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

La  tlémonstralion  de  celle  construction  est  très-facile  a  déduire  des 
expressions  (30)  des  quantités 

S=zOs'mr,)     et      II  ^zOcosu 

par  le  moyen  des  Théorèmes  du  n°  21 .  Ainsi  nous  ne  croyons  pas  devoir 
nous  arrêter  davantage  sur  cette  matière. 

Article  VÎ.  —   Des  équations  séculaires  des  nœuds  et  des 
incliiiaisous  des  orbites  de  Jupiter  et  de  Saturne. 

41.  Pour  appliquer  la  Théorie  précédente  aux  orbites  des  planètes 
principales,  il  n'y  aura  qu'a  employer  les  données  du  n**  19.  Nous  sup- 
poserons donc  que  les  planètes  T,  T,,  T.,  T3,  T-,,  T^,...  soient  Jupiter, 
Saturne,  la  Terre,  Vénus,  Mars  et  Mercure,  moyennant  quoi  les  lettres 
sans  indice  se  rapporteront  à  l'orbite  de  Jupiter,  celles  avec  l'indice  i 
à  l'orbite  de  Saturne,  celles  avec  l'indice  2  à  l'orbite  de  la  Terre,  et 
ainsi  de  suile.  Ainsi  w  sera  la  longitude  du  nœud  de  Jupiter,  0  la  tan- 
gente de  l'inclinaison  de  son  orbite,  w,  la  longitude  du  nœud  de  Saturne, 
(5,  la  tangente  de  l'inclinaison  de  son  orbite,  et  ainsi  des  autres. 

42.  Cela  posé,  je  remarque  que,  parmi  les  quantités  (o,  i),  (o,  2),... 
de  la  Table  du  n"  19,  ces  deux-ci  (o,  i)  et  (i,  o)  ont  des  valeurs  consi- 
dérablement plus  grandes  que  les  suivantes,  où  il  y  a  aussi  les  chiffres  o 
ou  I  avant  la  virgule;  d'où  il  s'ensuit  qu'on  pourra  négliger  toutes  celles- 
ci,  et  les  regarder  comme  nulles  vis-à-vis  de  celles-là. 

De  cette  manière  les  quatre  premières  équations  différentielles  du 
n"  16  deviendront  simplement 

ds       .      . ,  .  du       , 

■^^  +  \o,  i)(w  —  «<)  =  0,      -jj  —  (o,  i)(5  —s,)  =  0, 

dSi       ,        .  ,  duy       ,        .  , 

^   4-   (l,o)(i/,—    H)—0,  _-  _  (i,o)(5,—   S)  =  0, 

lesquelles,  ne  renfermant  que  les  quatre  variables  s,  u,  .v,,  u^,  pourront 
être  traitées  à  part  et  indépendamment  de  toutes  les  autres. 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,    ETC.  077 

C'est  le  cas  on  il  n'y  ;iur:iil  (|!i('  deux  orI)il('S  inol)iI('s,  cl  ces  orljitcs 
seront,  comme  l'on  voit,  celles  de  Jiipilciet  do  Satnine,  dont  les  masses 
sont  en  effet  trop  grandes  par  rapport  à  celles  des  aiilrcs  planètes,  ponr 
que  celles-ci  puissent  produire  des  dérangements  sensibles  dans  la  posi- 
lion  des  orbites  <le  celles-là. 

On  aura  donc  (30) 

s  .—  A  sina  -î  B  sin  {ht  -i-  ,6), 
u  =^  \  cosa  -i  R  c.os{bl  -i-  (3), 
Si  =  A  sina -I- B.  sin  (/>/!- (3), 
w,  =  Acosa-+- B,cos(A/ -i    [3), 

et  la  (juantité  b  sera  la  racine  de  l'équation 

x-h  (o,  i)  +  (i,o)  =  o, 

en  sorte  qu'on  aura  (19) 

6  =  —  (o,  i)  —  (i,  o)  =  —  25", 337.        . 

On  pourrait  maintenant  employer  la  métbode  générale  du  n^  26  pour 
déterminer  les  constantes  A,  B,  B,,  a,  ,3;  mais  il  parait  encore  pins 
commode,  dans  le  cas  présent,  de  faire  usage  de  la  métbode  ordinaire 
d'élimination. 

On  commencera  donc  par  déterminer  la  valeur  de  B,  en  B  à  l'aide  de 
l'équation  de  condition  (27  et  28) 


laquelle,  à  cause  de 
donnera 


|/;  +  (o,  l)]B-(o,   I)B,  rr-O, 


bz=z   —{o,  l)  —  (l,   o). 


B.  -  -  r^  B  =  -  ^^rr  B  =   -  ^'3497  «. 
(0,1)  7.564  ^-'^ 

Après  cela  on  n'aura  plus  que  quatre  conslanles  à  déterminer,  ce  (|ui 
demande  qu'on  connaisse  les  lieux  des  nœuds  et  les  inclinaisons  de  Ju- 


078  UECIIERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

piteret  de  Saturne,  pour  une  époque  quelconque  donnée,  pour  laquelle 

nous  prendrons  le  commencement  de  l'année  1760. 

Or  on  a,  suivant  les  dernières  Tables  de  M.  de  Lalande, 

s      o      ,       „ 
Longitude  du  nœud  de  Jupiter  pour  1760 3.  8.26.  o, 

Longitude  du  nœud  de  Saturne 3. 21. 36. 17, 

Inclinaison  de  l'orbite  de  Jupiter i .  19. 10, 

Inclinaison  de  l'orbite  de  Saturne ?..3o.2o. 

Donc 

o)  =  98''26'o",  0),  =  iii''36'i7", 

0  =  tangi"i9' 10",     '5,  =  lang2"3o'2o' ; 
d'où  l'on  tire 

5  -=  G  sinw  ■^-  0,022783,     H  ^^0  C05W  =r.  —  0,003378, 
5,  =  0,  sino),  —  0,040684,     Wi  ="-  9i  coso),  =  —  0,0161 12. 

Ce  sont  là  les  valeurs  qui  répondent  à  l'époque  de  1 7G0  ;  par  conséquent, 
si  l'on  suppose  que  t  désigne  le  nombre  des  années  écoulées  depuis 
cette  époque,  où  bien  de  celles  qui  la  précèdent  en  prenant  t  négatif,  il 
faudra  que  l'on  ait,  lorsque  i  =  o,  ces  quatre  équations 

A  sina  -t-  B  sin(3  ^  0,022783, 
A  cosa   i   B  cos[3  r- —  0,003378, 
A  sin  y.  ~  2,3497  B  ^^^^P  ^  0,040684, 

A  COSa  —  2,34976  C0Si3  ::::::  —  0,0l6lI2; 

d'où  l'on  lire 

A  sin  a  =:  0,028127,  B  sin^  —  —  o,oo5344ï» 

A  cosa —— 0,0071800,     B  cos{3 -- o,oo38oi5; 

donc,  à  cause  de  B,  ~  —  2,34973, 

B,  sin  (3  —  0,012557,     B,  cos(3  —  —  0,0089324; 

et  de  là 

A  =  0,029029,     B  =  o,oo6558,     B,  =  —  o,oi54io, 

a  ^  ,80°  -  7 5" 40' 46",     p  =  36o"-  54"34'25". 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  079 

De  sorte  qu'il  n'y  aura  plus  qu'à  substituer  ees  valeurs  dans  les  expres- 
sions ci-dessus  de  s,  u,  s,,  w,  ;  car,  connaissant  les  valeurs  de  ces  (juan- 
lités  pour  un  temps  (juelcontjuc,  on  trouvera  aisément  les  longitudes  o) 
et  o>t  des  nœuds  de  Jupiter  et  de  Saturne,  ainsi  (jik!  les  inclinaisons  de 
leurs  orbites,  dont  0  ci  0,  sont  les  tangentes,  et  cela  par  le  moyen  des 
l'ormules 

lang&j  —     )      0  =  ^i' 4-  a-, 

langco,  =  -  5     0,-—  \ls\  -r  u\. 

43 .  Comme 

sin  ([3  -h  6/)  =  sin^cGS^^  -;   cos(3sinZ>/, 

cos((3  -1-  ht)  =  cosp  cosbl  —  sin (3  s\nbt, 

on  pourra  mettre  les  valeurs  de  s,  u,  ^,,  u^  sous  la  forme  suivante,  qui 
est  en  quelque  façon  plus  commode,  tant  que  ht  est  un  petit  angle. 

Pour  Jupiter, 
s=      0,028127  —  o,oo5344  ces (25",  337/)   -o,oo38o2sin(25",337/), 
u—  —  0,007180  -1-  o,oo38o2cos(25",  337/)  —  o,oo5344  sin  faS",  337/). 

Pour  Saturne, 
Si  =      0,028127  H- 0,012557  cos(25", 337^;  H- 0,006932  sin(25", 337/), 
M,  =  —  0,007180  —  0,008932  cos(25",337/)  +  0,012557  sin  (25",  337/). 

Il  faut  se  souvenir  que  les  années  dont  le  nombre  est  marqué  par  t  sont 
des  années  tropiques,  dont  la  durée  est  de 

365  J  5'' 48'"  45% 

et  qu'elles  doivent  être  comptées  depuis  le  i""'  janvier  17G0  à  midi 
moyen,  à  cause  que  cette  année  est  bissextile. 

On  doit  remarquer  de  plus  que  les  longitudes  00  et  w,  doivent  toujours 
se  compter  depuis  le  lieu  de  l'équinoxe  de  i']G<),  en  sorte  que,  pour 
avoir  les  vraies  longitudes  des  nœuds  des  orbites  de  Jupiter  et  de  Sa- 


G80         IIECIIERCIIES  SUR  LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

turne  sur  l'écliptique  pour  un  temps  quelconque,  il  faudra  ajouter  aux 
longitudes-données  par  les  formules  précédentes  la  précession  des  équi- 
noxes  5o",33G^. 

44.  Comme  la  valeur  de  A  est  plus  grande  que  celle  de  B  et  que  celle 
de  B|,  il  s'ensuit  de  ce  qu'on  a  démontré  dans  le  n^  35  que  le  lieu 
moyen  des  nœuds  des  orbites  de  Jupiter  et  de  Saturne  sera  fixe ,  sa 
longitude  comptée  depuis  l'équinoxe  de  1760  étant  a,  c'est-à-dire, 
io4°i9'i4";  en  sorte  que  les  nœuds  de  ces  deux  planètes  n'auront  que 
des  mouvements  de  libration  autour  de  ce  point  de  l'écliptique.  La  plus 
grande  libration,  ou  excursion  des  nœuds,  aul'a  lieu  lorsque 

C0s(p  —  a  +  ot)  — 

pour  l'orbite  de  Jupiter,  ou 

cos((3  •— a -f- Z>/)  = ~ 

A. 

pour  l'orbite  de  Saturne. 

De  là  on  trouvera  pour  Jupiter 

i8o"4-2i"6'2r  -  25", 337/.^  180'^ di 76' 56' 36"+ 360° fy. 

{[L  étant  un  nombre  quelconque  entier,  positif  ou  négatif,  ou  zéro); 

donc 

25",337f  =  — 55"5o'i5"— 36oV-,     ou     =  98" 2' 67  "-  360° p.; 

par  conséquent,  en  négligeant  les  fractions, 

/  =  —  79^3  —  SiiSou,     ou     =  i3g3i  —  5ii5o/j. , 

ce  qui  donne  les  années  de  la  plus  grande  et  de  la  plus  petite  libration; 
et  l'on  voit  que  la  période  entière  d'une  libration  sera  de  5i  i5o  ans,  ou 

,  .  ^1    1206000 

plus  exactement  de  — l^j^j—  ans. 
*  20,337 

Si  l'on  substitue  ces  valeurs  de  t  dans  l'expression  de  la  tangente  - 
de  la  longitude  du  nœud,  on  ti'ouvera  que  les  longitudes  qui  y  répondent 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,  ETC.  681 

sont,  en  négligeant  les  secondes,  9i"i(3'  et  1 17^23';  de  sorte  que  l'éten- 
due de  la  lihration  du  nœud  de  Jupiter  sur  l'écliptique  sera  de  se^'y'. 
On  trouvera  de  mémo  pour  Saturne 

i8o°-f-  2i«G'2i"—  ?.5",337/    -  _±a7"56'i4"  4-  SGo-'y., 

d'où  l'on  tire 

25",  337  /       1 80"  -  36"  49'  53''    -  3Go"  y., 

ou 

25",  337  /  r: .  i8o"  ~  79"  2'  35"      36o"  u; 

par  conséquent  on  aura 

/=::  20342  —  5ll5op.,       OU       t      :  36806  —  5ll5oy. 

pour  les  années  de  la  plus  grande  et  plus  petite  libration,  en  sorte  que 
la  période  d'une  libration  sera  la  même  que  ci-devant. 

De  là  on  trouvera,  pour  les  longitudes  correspondantes  du  nœud, 
72°iG'et  i36"2.4';  en  sorte  que  l'étendue  de  la  libration  du  nœud  de 
Saturne  sur  l'écliptique  sera  de  64°  8'. 

45.  Si  l'on  veut  connaître  les  inégalités  mêmes  des  mouvements  des 
nœuds  de  Jupiter  et  de  Saturne,  on  pourra  employer  la  série  du  n*^  36; 
il  n'y  aura  pour  cela  qu'à  y  substituer  io4°i9'i4"  à  la  place  de  a,  et 
i8o°4- 2i°6'2i"— 23",  337^  à  la  place  de  Ç  — a  =  p-a^-6^,  et 
faire  ensuite 

■  -  =  0,225qi 

A 

poui'  Jupiter,  ou 

-—  =  —  o,53o85  =  —  — 

A  A 

pour  Saturne;  après  quoi  il  faudra  encore  multiplier  les  coetricients  des 
différents  sinus  par  l'arc  égal  au  rayon,  lequel  est  de  206265",  à  très- 
peu  près. 
De  cette  manière,  si  l'on  fait,  pour  plus  de  simplicité, 

9  =  2i"6'2i"  —  25",337 /, 
VI.  86 


682         RECHERCHES  SUR  LES  ÉQUATIO.NS  SÉCULAIRES 

on  aura  la  longitude  du  nœud  de  Jupiter  égale  à 

3^(4''i9'i4"—  46598"sin?  — 526o"sin2  7  — 792"sin3v  — i34"sin4v  — 24"sin5v  — 5"sinCv  — i"sin7y, 

et  celle  du  nœud  de  Saturne  sera  égale  à 

3s  1 4°  1 9'  i4"  -i-  109495"  sin o  —  29062" sin 2 9  -h  1 0285" sin  3  o  —  4095"  sin 4  ?  h-  i 739" sin  5  <{■ 
—  769" sin 6'^ -H  35o"sin79  —  162" sin 8 oh-  77" sin 9 y  —  37" sin  100 
-f- 18" sin  110  —  9" sin  12 0-^4"  sin  1 3 9--  2"sini4«p  -+-  i"sini  jt-. 

46.  A  l'égard  de  l'inclinaison,  le  maximum  et  le  minimum  auront 
1  ieu  lorsque  l'on  aura  (38) 

COs{^— a-h  bt)  —  ±j, 

ce  qui  donne  dans  notre  cas 

180^-4- oio6'2i"  — 25",337/  =  36o°/y.,     ou     =i8o°  +  36o°a; 

d'où  l'on  tire 

t  = '285']^  —  5n5ou.,     ou     =2999  —  5ii5o|y.. 

Dans  les  années  marquées  par  la  première  de  ces  deux  valeurs  de  t, 
l'inclinaison  de  l'orbite  de  Jupiter  sera  la  plus  grande,  et  aura  la  tan- 
gente 

A -f- B  =  0,035587, 

à  laquelle  répond  l'angle  2°2'i8";  et  l'inclinaison  de  l'orbite  de  Saturne 
sera  la  plus  petite,  et  aura  pour  tangente 

A  -f-  B,  =  0,013619, 

à  laquelle  répond  l'angle  46' 49"-  Au  contraire,  dans  les  années  mar- 
quées par  la  seconde  valeur  de  /,  l'inclinaison  de  l'orbite  de  Jupiter  sera 
la  plus  petite,  ayant  pour  tangente 

A  —  B  =  0,022471» 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  G83 

à  laquelle  répond  l'angle  l'My'iS";  et  l'inclinaison  de  l'orbite  de  Sa- 
turne sera  la  plus  t^^rande,  ayant  pour  tan^Tonte 

A  ~  B,  :    0,044439» 

à  laquelle  répond  l'angle  2°32V|i". 

D'où  l'on  voit  (jue  la  variation  totale  de  l'inclinaison  de  l'orbite  de 
Jupiter  sera  de  45'3",  et  que  la  variation  de  l'inclinaison  de  l'orbite  de 
Saturne  sera  de  i°45'5i".  Quant  a  la  période  de  ces  variations,  elle  sera 
aussi  de  5ii5o  années. 

47.  Si  l'on  voulait  déterminer  les  mouvements  annuels  des  nœuds, 
ainsi  que  les  variations  des  inclinaisons  de  Jupiter  et  de  Saturne,  il  est 
clair  que,  à  cause  de  ce  que  le  coefficient  de  t  est  très-petit  dans  les  ex- 
pressions de  s,  u,  Sf,  iif,  il  n'y  aurait  qu'à  chercher,  par  la  diiïérentia- 
tion,  les  valeurs  de  t/w,  ^«,  et  dO^  dSf,  et  y  supposer  di  =  i;  mais,  sans 
se  donner  cette  peine,  on  pourra  faire  usage  des  formules  trouvées  dans 
le  n°  23. 

On  aura  donc  pour  Jupiter,  en  substituant  la  valeur  du  coefficient 
(o,  i)  et  négligeant  les  autres  comme  nuls,  le  mouvement  annuel  par 
rapport  aux  étoiles  fixes 

"   e-cfT  ^1  CCS  (m  —  W,)"l 

-7,564[i -^ J, 


du 


et  la  variation  annuelle  de  l'inclinaison 

d9  --  7", 564^1  sin  (o)  —  &),). 

On  aura  de  même  pour  Saturne,  en  changeant  w  en  oj,,  Q  en  0,, 
(o,  i)  en  (i,  o),  et  substituant  pour  cette  dernière  quantité  sa  valeur,  le 
mouvement  annuel  des  nœuds  par  rapport  aux  étoiles  fixes 


C?CO:=    -   17     ,773   ^I ^^ J 

et  la  variation  annuelle  de  l'inclinaison 

ddi  =  17",  7739510(03,  —  o). 


86. 


684         RECHERCHES  SUR  LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

On  n'aura  donc  plus  qu'a  substituer,  dans  ces  expressions,  les  valeurs 
des  quantités  w,  w,,  0,  (5,,  correspondant  au  temps  donné  pour  lequel 
on  cherche  les  variations  annuelles  du  nœud  et  de  l'inclinaison. 

Si  l'on  adopte  celles  qui  répondent  à  l'époque  de  1760,  on  trouvera 

Jm  =      6",  428,       clB  :=  -o",o75, 
f/w.  =:  -  8", 665,       J9.  ^      o",  093, 

et  ces  valeurs  pourront  être  regardées  comme  exactes  pendant  tout  le 
siècle  courant. 

Article   VII.   —   Des   équations   séculaires   des  nœuds  et  des 
inclinaisons  des  orbites  de  la  Terre,  de  Vénus  et  de  Mars. 

48.  'Comme  l'action  de  Mercure  sur  les  autres  planètes  ne  peut  pro- 
duire que  des  effets  très-petits,  ainsi  qu'on  le  voit  par  la  Table  du  n*^  19, 
où  les  quantités  qui  renferment  le  chiffre  5  après  la  virgule  sont  toutes 
très-petites,  nous  n'aurons  aucun  égard  à  cette  action,  et  nous  regarde- 
rons, par  conséquent,  comme  nuls  tous  les  termes  des  équations  diffé- 
rentielles du  a«  16,  qui  seront  multipliés  par  quelqu'une  des  quantités 
dont  il  s'agit.  Or,  ayant  déjà  examiné,  dans  l'Article  précédent,  les 
quatre  premières  de  ces  équations,  il  ne  restera  plus  qu'à  considérer  les 
six  suivantes 

(2,  o)  (Mj  —  II)  -1-  (2,  l)  («.  —  M,)  H-  (3,  3)  [il,  —  U^)  +  (2,  4)  [U,  —  W4)  =  o, 


(It 

diu 
Ht 


—  (2,  o)  [s,  —  5)  —  (2,  i)  [S2  —  s,)  —  (2,  3)  {S2  —  53)  -  (2,  4)  («2  —  54)  ^  o, 


ds 

-^  +  (3,  o)  (M3  —  u)  +  (3,  i)  (M3  —  u^  -V  (3,  2)  {lis  —  u-^  -\-  (3,  4)  («3  —  u^)  =  o, 

^  -  (3,  o)  (53  -  5)  -(3,1)  (53  -  ^>)  -  (3,  2)  (53  -  5.)  -  (3,  4)  (53  -  s;)^  o, 

d'i 

-'-i  -f-  (4,  o)  [u,  —  u)  +  (4,  i)  {u,  —  u,)  +  (4,  2)  [U;  —  u,)  -+-  (4,  3)  {il,  —  «3)  =  o, 

~  -  (4,  o)  (^4  —  5)  —  (4,  1)  (*4   —  5.)  —  (4»  2)  {s,   -   s,)  -  (4,  3)  (^4   -  s,)  =-:  o. 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  685 

Dans  ces  équations,  les  quantités  s,  n,  5,,  w,  sont  déjà  connues, 
ayant  été  déterminées  dans  l'Article  précédent  :  ainsi  ces  équations 
suffiront  pour  déterminer  les  six  inconnues  s.^,  u.^,  5j,  u^,  s,,,u,,,  dont 
les  premières  se  rapportent  à  l'orbite  de  la  Terre,  les  deux  suivantes  à 
l'orbite  de  Vénus  et  les  deux  dernières  à  celle  de  IMars. 

Si,  pour  intégrer  ces  équations,  on  voulait  employer  la  méthode  gé- 
nérale de  l'Article  IV,  il  faudrait  les  combiner  avec  les  quatre  d(;  l'Ar- 
ticle précédent,  pour  avoir  autant  d'équations  que  de  variables  s,  u, 
*,,...;  mais  cela  allongerait  inutilement  le  calcul,  puisque  les  quatre 
premières  de  ces  variables  sont  déjà  connues  :  c'est  pourcjuoi  il  sera 
plus  à  propos  de  traiter  ces  équations  à  part. 

On  commencera  donc  par  y  substituer  les  valeurs  de  s,  u,  s,,  //,,  dé- 
terminées dans  l'Article  précédent;  ensuite  on  remarquera  qu'on  peut 
satisfaire  à  ces  équations,  en  faisant 

s,  =  A  sina  -\-  Bj  sin  [ht  +  (3)  h-  Cj  sin(c/  -f-  y), 
ih  ^  A  ces  a  -(-  B2COs(6^  -4-  P)  -t-  C2C0s(c/  -4-  y), 
«3  =  A  sin  a  -i-  B^  sin(6^  -f-  (3)  -f-  C?  sin(c7  -1-  y), 
113=  A  cosa  -4-  B3  cos{bt  +  3)  -1-  C3C0s(c/  -+■  y), 
s^  =  A  sin  a  -f-  B...  s'm{bt  h-  (3)  -t-  C  sin(6'/  -h  y), 
iii  =  A  cosa  -f-  B4  cosiht  h-  (3)  +  C4  cos(c/  -i-  y), 

OÙ  Bo,  B3,  B,,;  Co,  C3,  C^;  c  et  7  sont  des  quantités  indéterminées. 

Ces  substitutions  faites,  on  comparera  les  termes  analogues,  et,  fai- 
sant, pour  abréger, 

(2)  =  (2,  o) -+- (2,  i)  +  (2,  3)  H- (2,  4), 

(3)  =  (3,o)-i-(3,i)-i-(3,2)4-(3,4), 

(4)  =  (4,o)-^(4,I)-^(4,2)-f-(4,3), 

on  aura  les  équations  de  condition  suivantes 

[b  ^-  {2)]B,  -  (2,  o)  B  -  (2, 1)  B,  ~  (2,  3)  B,  -  (2,  4)  B,  ^^  o, 
[6-t-(3)]B3-(3,o)B-(3,i)B. -(3,2)B,-(3,4)B,  =.=  0, 
[6  -f-  (4)] B,  -  (4,  o)  B  -  (4, 1)  B,  -  (4,  2) B,  -  (4,  3)  B,  =  o, 


686         RECHERCHES  SUR  LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

[c  —  (2)]C2  —  (2,  3)C3  —  (2,4)  C4  —  o, 
[6-  ~  (3)]  C3  -  (3,  2)  C3  -  (3,  4)  C,  --  o, 

[c--(4)]c,-(4,2)c.-(4,3)C3--^o. 

Comme  les  quantités  B,  B,  et  b  ont  déjà  été  déterminées  dans  l'Article 
précédent,  il  est  clair  que  les  trois  premières  des  équations  précédentes 
serviront  à  déterminer  les  trois  quantités  B2,  B3,  B,;  à  l'égard  des  trois 
dernières,  il  est  visible  qu'en  éliminant  deux  des  trois  quantités  Co,  C3, 
Ci,  la  troisième  s'en  ira  d'elle-même,  et  l'on  aura  une  équation  finale 
en  c,  qui  sera  de  cette  forme 

[c  +  (2)][c-f-(3)][c  +  (4)]-(3,4){4,3j[c-t-(2)]-(2,4)(4,2)[c-f-(3)] 

-(2,3)(3,2)[c-f-(4)]-(2,3)(3,4)(4,2)-(3,2)(4,3)(2,4)  =  o. 

Ainsi  il  faudra  déterminer,  par  cette  équation,  la  quantité  c;  ensuite  on 
déterminera  deux  quelconques  des  trois  quantités  C2,  G3 ,  C4  par  le 
moyen  de  deux  des  trois  dernières  équations  ci-dessus,  et  la  troisième 
de  ces  quantités  demeurera  indéterminée,  ainsi  que  la  quantité  7. 

49.  Je  remarque  maintenant  que  l'équation  précédente  en  c,  étant 
du  troisième  degré,  donnera  trois  valeurs  différentes  de  c,  qui  satisfe- 
ront également  aux  équations  différentielles  proposées;  d'où,  et  de  ce 
que  ces  équations  sont  simplement  linéaires,  il  est  facile  de  conclure 
que,  si  l'on  désigne  par  c,  d,  e  les  trois  racines  de  l'équation  dont  il 
s'agit,  et  qu'on  prenne  six  autres  constantes  Do,  D3,  D4  et  Eo,  E3,  E-,, 
telles  qu'il  y  ait  entre  les  trois  premières  et  la  quantité  d,  ainsi  qu'entre 
les  trois  dernières  et  la  quantité  e,  la  même  relation  que  nous  avons 
trouvée  entre  les  constantes  Co,  C3,  C4  et  la  quantité  c;  qu'enfin  on 
prenne  encore  deux  autres  indéterminées  0,  s,  on  en  conclura,  dis-je, 
que  les  valeurs  complètes  de  5o,  112',  s^,  u^  ;  5,,  w,  seront  de  la  forme  sui- 
vante 

s,  =  k  sinsî-^Bj  sin(6/-i-[3)H-Cî  sin(c/-(-y)  +  D2  sin((:// -4-â}-f-E2  sin(e^~i-£), 
a,=  A  cosa  — B2COs(i/-f-j3)-HCîCos  'c;-hy)  -+-DïCos(f//-f-(3)  -\-Y.iCos{et-v-  s), 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,  ETC.  687 

«3  —  A  sina^-BJ  sin(i/-t-[3) -t-Cj  sin(c/H-y)  +  D3  s\n{dt  +  6)-\-  Ej  sin(c/-i-e), 
«3  =  A  cosoc -^-H^  cos{bt -\- ô) -hCi  cos{ct -i-  y)  +  Y)i  cos{(lt  -i-ô)-i-  EaCosfeZ-i-e), 
5(  =  A  sina-f-Bi  sin(6/-+-[3)4-C4  sin(c/  +  y)-f-  D-  sin(<://4-(î)-i-E4  sin(e/-f-e), 
M,  =  A  cos  a  H-  B,  cos  (A  /  -f-  (3)  -h  C4  cos(67  -i-  y  )  H-  D4  cos  [clt  -h  0}  4-  E4  cos  [et -ht). 

En  effet  il  est  facile  de  voir  que  ces  expressions  doivent  satisfaire  aux 
équations  différentielles;  et,  comme  elles  contiennent  d'ailleurs  six  con- 
stantes arbitraires,  il  s'ensuit  qu'elles  sont  aussi  générales  que  la  nature 
(kl  problème  l'exige,  puisqu'on  peut,  par  le  moyen  de  ces  constantes, 
donner  aux  six  quantités  5^,  u.2,s^,...  des  valeurs  initiales  quelconques. 

Il  ne  reste  donc  plus  qu'à  faire  les  substitutions  numériques;  et  d'a- 
bord on  trouve,  d'après  les  valeurs  de  la  Table  du  n"  19, 

(2)=-..  i4",386,     (3)  =  11", 521,     (4)  =  i8",i:9; 

de  sorte  que,  mettant  ces  valeurs,  ainsi  que  celles  de  b=  —  2.5", 337, 
Bi  =—  2,3497B  (Article  précédent),  dans  les  trois  premières  équations 
de  condition  (48),  elles  deviendront 

10,95160-1-6,64663  +  0,53284-+-  6,0896  =  0, 

13,81663  -'■-  6,7036.  -h-  o,5i56i  -+-  3,6226  =  o, 

7,15864  H^-  1,77362  -f-  1,70163  -1-12,5446  —  o; 

d'où  l'on  tire 

6,  -  —  o,5o2356,     63  =  0,0426006,     6i=— i,638o6, 

et  par  conséquent,  en  substituant  les  valeurs  de  Bsinj'î  et  Bcosj'':;  de 
l'Article  précédent, 

6,  sin(3=r      0,0026845,       6.  cos (3  r-    —0,0019097, 
63  sin  [3  =  — 0,00022766,     63COs[3  0,00016195, 

6,  sin|3=:      0,0087535,       6,  cos (3  =r:  —  0,0062269; 

ensuite  l'équation  en  c  (48)  deviendra,  en  y  changeant  c  en  x, 

(x  H-  i4,386)f^-T-ii,52i)(:c  -f-  18,179)  —  o,876(^  -1-14,386) 

—  0,943  (^  -I-  I  1,521)  —  44»547  [^  -r-  18,179)  ■"    '2,l3o  ---:  O, 


688        RECHERCHES  SUR  LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 
laquelle,  en  faisant 

x—y—  14,695, 

pour  en  faire  disparaître  le  second  terme,  se  transforme  en 

(j  -  0,309)  (j- 3,1 74)  (j -1-3,484)  — 0,876(7-0,309) 

—  0,943  [y  -  3,174)  -  44.547  (j  H-  3,484)  -  «î.iSo  =  o, 

c'est-à-dire,  en  développant  les  termes, 

j3  —  57,520/  —  160, 653  =;  o. 

Cette  équation  étant  comparée  avec  celle-ci 

j3— 3r'r  —  sr'coso  =  o, 

dont  les  racines  sont,  comme  l'on  sait, 


9 
2rcos^î      —  2rcos 


(^  —  60"),      —  2rcosf| -f-6o°j, 


on  trouve 

r  =  4,3787,     coscp  =  0,9568, 

d'où 

cp  =  16'' 54'; 

de  sorte  qu'on  aura  pour  les  trois  valeurs  de  j 

8,715,      —  5,io3,     —  3,6i3; 
par  conséquent  celles  de  x  seront 

—  5,980,     —19,797,     —  i8,3o8; 
de  sorte  qu'on  aura 

c  ^  -  5", 980,     d  -r,  -^  19",  798,     e  =^  -  18",  3o8. 

On  prendra  maintenant  deux  des  trois  dernières  équations  de  condi- 
tion (48),  et,  y  substituant  la  valeur  de  c,  on  en  tirera  les  rapports  des 
trois  quantités  Co,  C3,  €4-,  ensuite,  changeant  successivement  c  en  c?  et 
en  e,  on  en  tirera  de  même  les  rapports  des  quantités  Do,  D3,  D^,  et  ceux 
des  quantités  Eo,  E3,  E^. 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,    ETC.  m) 

Or  (|ii()i(|ii(',  à  la  rii^iiciii',  il  soil  iiulinV'i'cnt  lesquelles  de  ces  ('M|ua- 
tions  (le  condilion  on  choisisse  pour  ces  délerminalions,  il  y  a  cepen- 
dant une  observation  importante;  à  faire,  hujuelle  peut  être  appli(jucc  :i 
tous  les  cas  senihlaljU'S  :  c'est  qu'il  peut  arriver  (juc  les  é(|ualions  (ju'oii 
emploie  pour  l'élimination  des  inconnues  doniienl  pour  les  valeurs  de 
ces  inconnues  des  IVactions  dont  le  ninucraleiir  cl  le  df-nominalciir 
soient  a  la  fois  des  nombres  très-petits,  auquel  cas  une  erreur  très-petite 
dans  ces  nombres  en  produirait  une  Ix'aucoup  plus  grande  dans  la  va- 
leiii'  de  leur  rapport,  et  rendrait  par  conséquent  fautive  la  valeur  *\r 
l'inconnue  (  bercbée.  Cet  inconvénient  aura  lieu  dans  la  question  pré- 
sente si,  parnii  les  trois  équations  de  condition  dont  il  s'agit,  on  prend 
les  deux  premières  pour  déterminer  les  rapports  des  quantités  Co,  (l,,  (]■,, 
ainsi  que  ceux  des  quantités  Do,  D3,  D.,,  et  une  des  deux  premières  avec- 
la  troisième  pour  déterminer  ceux  de  £3,^3,  E, ,  comme  il  est  facile  de 
s'en  convaincre  par  le  calcul.  Il  conviendra  donc  de  combiner,  dans  le 
premier  cas,  une  des  deux  premières  équations  avec  la  troisième,  et, 
dans  le  second  cas,  la  première  avec  la  deuxième;  de  cette  manière,  les 
équations  à  résoudre  seront  les  suivantes 

8,4o6C2  — 6,646C3  — o,532C(  =0, 

12,19904  —  i,773Ci  —  1,701  C,  =  o, 

5,4i2D2  H-  6,646D3  -I-  o,53?.D4  =:  o, 

1,61904-1-  1,77302 -t-  1,70103  =  0, 

3,922  Ej -H  6,646 Ea  -i-  0,532  E4  =  o, 

6,787E3-f- 6,7o3E2 -f- o,5i5Ei  :=  o, 

d'où  l'on  lire 

C3  =      1,2394c.,         C4  =      o,3i8oCj, 

D3  =  — o,7935Dj,         04= — 0,261 3Di, 

Ej  =:      OjOioSE,,         E3  =  — o,o863Et; 

et  les  trois  quantités  Co,  Do,  E.,  resteront  indéterminées. 

50.   Pour  les  déterminer,  ainsi  (jue  les  aulres  (juantiles  y,  0,  -,  il  faut 
connaître  les  lieux  des  nœuds  et  les  inclinaisons  des  orbites  de  la  Terre, 
VI.  87 


î)90         RECHERCHES  SUR  LES  EQUATIONS  SECULAIRES 

de  Vénus  et  de  Mars,  pour  la  même  époque  que  nous  avons  employée 
dans  l'Article  précédent  pour  Jupiter  et  Saturne,  c'est-à-dire,  pour  le 
commencement  de  l'année  1760,  afin  de  pouvoir  en  déduire  les  valeurs 

correspondantes  des  quantités  s,,  n^,  s.^ 

A  l'égard  de  l'orbite  de  la  Terre,  il  est  clair  qu'on  doit  la  supposer 
dans  le  plan  même  que  nous  prenons  pour  l'écliptique;  mais,  comi)U' 
nous  re^f^ai-fjons  ce  plan  comme  fixe,  tandis  que  celui  de  l'orbite  de  la 
Terre  est  réellement  mobile,  il  s'ensuit  que  la  supposition  dont  il  s'agit 
ne  peut  avoir  lieu  que  pour  un  instant,  qui  sera  donc  celui  de  l'époque 
en  question;  de  sorle  que  le  plan  de  notre  écliptique  fixe  sera  celui  de 
l'écliptique  réelle  et  mobile,  au  commencement  de  l'année  1760;  ainsi 
l'inclinaison  de  l'orbite  de  la  Terre  sera  nulle  pour  cette  époque  :  par 
conséqueni  la  (juantité  O2  qui  en  exprime  la  tangente  sera  nulle  aussi; 
ce  qui  donnera 

5j  =  02  sin'^)2  =  o,       u^  =  6,  cos&)2  =  o. 

Quant  aux  orbites  de  Vénus  et  de  Mars,  on  trouve,  par  les  dernières 
Tables  de  M.  de  la  Lande,  les  éléments  suivants 

s       ..      ,       „ 
Longitude  du  nœud  de  Vénus,  pour  1760 2. 14. 3 1.28, 

«  de  Mars,  »         1. 17. 43.  8, 

Liclinaison  de  l'orbite  de  Vénus,  »         3.23.20, 

»  de  Mars,  »         i  .5i .   o. 

Donc 

0).,=:  74"3i'28",         rj)i=         47"43'8", 

Ô3  =  tang  3^  23' 20",         54  =:  tang   i°5i'o''; 
d'où  l'on  tire 

^3  :=  9,  sino)3  =  0,057070,       M3  :=  63  cos&)3  =  o,oi58oi , 
Si  =  9i  sin';)4  =  0,023867,       "<  ^^  ^<  cosc-)4  ^  0,021731 . 

Comme  ces  valeurs  sont  celles  (jui  répondent  à  l'époque  de  1760, 


depuis  laquelle  nous  comptons  les  années  marquées  par  t  (Article  pré- 
cédent), il  faudra  donc  les  substituer  dans  les  formules  générales  du 
îiuméro  précédent,  en  y  supposant  en  même  temps  t  —  o;   de  cette 


DES   MOUVEMENTS   DES   NOEUDS,  ETC.  «)i)l 

inaniëre,  après  avoir  liiil  aussi  1rs  aiilrcs  suhstitulioiis  du  uicuic  uu- 
iiKÎro,  ol  mis  pour  Asiiia,  Acosa,  Hsiii,'5,  Bcosj'i  leurs  valeurs  Irou- 
vées  plus  haut  (42;,  on  ohlirtidra  les  six  ('(piaiioiis  suivantes 

CjSiny-i-D,  siiio-f  0,010")  E,  sine  ^- o,oHo<S'9.  =  o, 

Cj  rosy  -+-  \)i  coso  -f-  o,oio5  E,  cose  —  o,oo()<»()()  r  :  o, 

1 , 3.394 (^J  siny  —  0,7935  D,  sino  —  o,oH()3  Ei  sinî  —  o,o?.9i7  1  =  o, 

1 ,2394  c,  CCS  y  —  0,7935  \)i  coso  —  o,o863E,  cose  —  0,03.91819  =:  o, 

o,3i8o(;.  siny  —  o,2Gi3Dj  si  no  H-  E,  sine  H-  0,019.984  =  o, 

o,3i8oC:.  cosy  —  0,3.61 3  Dj  roso  H-  Ei  rose  —  n,o35i38  =;  o, 

(jui  serviront  ;i  délei'iuiner  les  six  inconnues  C^  siny,  (L^cosy,  D.^siii  <>,..., 
e(  Ton  auia 

C2siny=:      0,0014840,       CjCosy=:       o,oi5857, 
Dj  sinô  =;  —  o  ,o32o68,         1)^  coso  =^  —  0,0070630, 
Es  sine  ^  —  o,o2i836,         E4  cose  :=      0,028249, 

d'où  Ton  tire  (numéro  précédent) 

Cssiny-         0,0018393,  CsCosy    -       0,019053, 

C4siny—        0,00047191,  C4C0sy=       o,oo5o425, 

Djsino^      0,025447»  D3CO?(5=       o,oo56o44, 

D4sinô=       0,0083795,  D,  coso  :=      0,001 8455, 

E2 sine  ^  —  0,00022894,  E2Cose=       0,00029618, 

EjSine:=       o,ooi8845,  Ej  cose  =:  —  0,0024379. 

On  peut  déduire,  si  l'on  veut,  de  ces  valeurs  celles  des  coelficienls  (].,, 
Do,...  et  des  angles  7,  f),...,  mais  on  n'en  aura  pas  besoin  si  l'on  trans- 
forme, ainsi  que  nous  en  avons  usé  plus  hnul,  les  sinus  et  cosinus  des 
ani^ies  bt  ■+-  [-i,  et -h  y,...  en 

sin(3  cosbt  -+■  cosjS  sin6/, .  .  . ,     cos^S  cosht  —  sin(3  sin/>/, .  . . , 

ce  qui  est  plus  commode  pour  le  calcul,  lorsque  bl  et  a  sont  de  très-petits 
angles. 

87. 


(392         UECHERCHES   SUR  LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

51.  Faisant  donc  toutes  ces  substitutions  dans  les  formules  géné- 
rales (49),  on  trouvera  les  expressions  suivantes 

Pour  la   Terre. 

Sj  =      o,oc>,8i?.7  H-  o,oo?.685  cos(25",337/j  -f-  0,001910  sin(9.5",  337/) 
+  0,001 4B4  CCS (  5",98o^)  —  o,oi5857  sin  (  5", 980/) 

—  o,o32oG8cos(  19", 798/)  H-  0,007063  siii(  i9",798<) 

—  0,000229  cos(  18',  3o8/  !  —  0,000296  sinf  18",  3oSt  , 

112=:  —  0,007180  —  0,001910  ces (25", 337/)  -r-  0,002685  sin(25",337  t) 
-j- 0,01 5857  ces (  5", 980/)  H- 0,001484  sin(  5", 980/) 

—  0,007063  ces (  19", 798/)  —  o,o32o68  sin(  i9",798/  ; 
-+  0,000296 ces (  i8",3o8/  )  —  0,000229  sin(  i8",3o8/)  ; 

Pour  Vénus. 

Si  =      0,028127  —  0,000228  ces (25", 337/)  —  0,000162  sin(25",337/ 
H- 0,001839  cos(  5", 980^)  —  0,019653  sin(  5", 980/) 
H-  0,025447  cos(i9",798^)  —  o,oo56o4  sin(i9",798/) 
+  0, 001884  cos(i8",3o8/)-^o, 002,438  sin(i8",3o80, 

11^  ■=:  —  0,007180  -\-  0,000162  ces (25",  337  /  ;  —  o ,000228  siu ( 25", 337  0 
+  0,019653  cos(  5", 980/)  H- 0,00 1839  sin  (  5", 980/) 
+  o,oo56o4  cosi  19", 798/  i  +  0,025447  sin(i9",798/) 

—  o, 002438  cos(i8", 3o8n  -^o,ooi884sin(i8",3o8M; 

Pour  Mars. 

5i=  0,028127  -4-  0,008754  CCS (25", 337/)  -+-  0,006227  sini25",337/) 
H- 0,000472  CCS (  5",98o/)  —  o,oo5o43sin(  5", 980^) 
4-  o,oo838o  005(19",  798/)  —  0,001846  sin(  19",  798/) 

—  o,o2i836cos(  i8",3o80  —  0,028249 sin(  18", 3o80i 

Ut=-  —  0,007180  —  0,006227  008(2.5", 337 0  +  o,oo8754sin(25' , 337/ 
+  o,oo5o43  cos(  5", 980 /)  + 0,000472  sini,  5", 980/1 
-(-  0,001846008(19", 798/)  H-  o,oo838osin(i9",798/) 
+  0,028249  008  (  18",  3o8/)  —  o,o2i836siii(i8",3o8ri. 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  (m 

Ainsi,  |)i('n;iMl  /  [M»iir  le  mimlxc  des  îiimécs  lr(>|ii(|iies  écoulées  depuis 
le  i"  j;iiivi('i'  l'ji'xi  :i  midi  uiovcu,  ou  l)i(  m  pour  le  iionilirc  des  îinuées 
i|ui  précèdent  celle  époque,  en  laisaiil  /  iiéiialif,  il  n'y  :iui'a  qu'à  calculer 
pai-  les  foirunles  précédentes  les  valeurs  correspondanles  des  (juantilés 
Vj,  ti.,,  .V,,,...,  el  l'on  en  pourra  dé(Juii-e  sur-le-cliauip  les  longitudes',)^, 
0)3,...  des  nreuds  des  orbites  des  planètes  dont  il  s'ai-il,  pai-  rapport  au 
plan  de  réclipti(|ue  de  i7(k),  regardé  conrime  fixe,  ainsi  (|ue  les  inelinai- 
sons  des  mêmes  oiltiles  |iai'  rapport  à  ce  plan,  dont  So,  O3,...  sont  lo 
tangentes;  eai'  on  a 

S  S 

iangc.)j=— »     langw3=— Î--   î 


6-,  =  ^s-  H-  ut ,     03  =  v'*'  -\-  u'i,. .  .  . 

Au  reste,  à  cause  de  ce  que  les  expressions  des  quantités  s.,  s.,, .  s^  eou- 
liennent  plusieurs  ternies,  il  sera  assez  ditficile  de  déternnnei'  si  les 
angles  w.,,  cog,  oj^  ont  des  limites  ou  non,  et  d'en  trouver  les  valeurs 
moyennes,  ainsi  que  nous  l'avons  fait  à  l'égard  de  Jupiter  et  de  Saturne 
dans  l'Article  précédent;  c'est  pourquoi  nous  n'entrerons  pas  dans  celle 
discussion  qui  pourrait  nous  mener  trop  loin. 

52.  Nous  terminerons  donc  cet  Article  par  donner  les  formules  des 
mouvements  annuels  des  nœuds  et  des  variations  annuelles  des  inclinai- 
sons des  orbites  de  la  Terre,  de  Vénus  et  de  Mars,  formules  qui  se  dé- 
duisent facilement  de  celles  du  n""  23,  en  y  faisant  les  substiiulions  con- 
venables, et  supposant  dt  ^=1. 

Ayant  donc  égard  à  l'action  mutuelle  de  toutes  les  planètes,  excepte 

Mercure,  ainsi  que  nous  en  avons  usé  dans  les  reclierclies  précédentes. 

on  trouvera 

Pour  la   Ferre. 

l  ^"   Q    /  r  e  COSiO),-r.)  )  I         ,  ,.    nv  I   ,         ^.COS(W,-0),)   I 

-    b",()4b  Y^-  -^ j- j  -  0,53?.  [^1 ^ J 

(Wj  =:G",874(5sin  w,  — ù))-i-o",334  5.  si"  0)2— m,) -i-G",646{/,  sin((,w— Wj) 

-l-o'',532  0,  si  11  \0)j—o)t); 


694         RECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SECULAIRES 

Pour  Vénus. 

^a,,=  -    4'%ioo|^i ^^^ J-o  ,2o3^i g- J 

.,„       „r        e,cos(a)3— wO  I         ,/  /t  /r  r        04cos(&)3  — W4)  I 

-  b",7o3[. -^^ J_o,5i5[i-— ^^ -J 

fl?03  =4"»  'oo^  sin(oj3— &))h-o",2u3  0,  sin(oj3— Wi)H-6",7o3ôjsin(&)3— W2i 

H- o",  5 1 5  64  sin  (&)3— W4  ;  ; 

Pour  Mars. 
d(ù,  =  —  i4",o6o     I ^g —  o  ,b.|5     I -j^ J 

^  r      e,  cos  (  &)4  —  w,  )  1      „       r      0.,  cos  (  «4  —  «3  1 

-  .,773[-  5; J-'.7o.[. ë^ J 

dB^  =:i4",o6oÔsin,co4— wj -1-0", 645  e,  sin(&Ji—a),)  + 1", 773  Ô2sin(&)4—(i^j) 

-i-i",7oi  ÔaSin'Wi — W;); 

où  û?w2»  <s^^j^3'  <5?o>4  sont  les  mouvements  annuels  des  nœuds  par  rapport 
aux  étoiles  fixes,  et  JS^,  dO^,  dO ^  peuvent  être  prises  sans  erreur  sensible 
pour  les  variations  annuelles  des  inclinaisons  des  orbites  à  l'écliptique; 
mais,  pour  pouvoir  faire  usage  de  ces  formules,  il  faudra  déterminer 
auparavant  les  valeurs  des  quantités  w,  w,,...,  $,  ô,,...,  qui  conviennenl 
à  l'année  donnée,  d'après  les  formules  générales  de  cet  Arlicle  et  du  pré- 
cédent. Si  i'on  emploie  celles  qui  répondent  à  l'époque  de  1 760,  on  aura 
pour  l'orbite  de  Vénus 

d(03^  — 9",  692,      6^63  =:  —  o',o35. 

et  pour  celle  de  Mars 

</oû4  =  -  8", 664,     de,  ^  —  o",  32 1 

Quant  à  l'orbite  de  la  Terre,  nous  remarquerons  que,  puisque  6^  =  " 
pour  1760  (hypothèse;,  il  faudra  que,  dans  l'expression  de  ^cog,  tous  les 
termes  divisés  par  O2  soient  aussi  égaux  à  zéro,  ce  qui  donne  l'équation 

6",  874  Ô  cos(w.^— w)  -+-  o",334  0,  cos  (w.— w,)  -t-  6",  646  Ô3  cos  (&j.^— W3)  -h  o",  532 6»^  cos  (w.^—  wj  =  o  ; 


DES  MOUVK.M  KNTS   DES  NOEUDS,   ETC,  <i<J5 

d'où  l'on  lire,  (xtiir  l:i  valctii"  de  l:i  l;iiii,a'iil('  de  <,)n,  l'expression 

6", 874 0 cost.n-o",334  0,  cos&>,-t-l)",64G0j  cosoj.-t-o",53vt0^  cosw,  _      ()",874^/-t-o".334//,-t-6".()4<J"j->-u"..'S3z», 
6" ^874  0 sinw-i-o''334^,  sinw,H^\646Ô3  srnwj-Ho'.SS'^rs'""»  ~~  ^",874 .v-+-o",534  A-,-t-6",646.v3 -Ho",53-jt  v, 

Substitu;int  donc  l\  l:i  place  (\v  s,  a,  s les  valeurs  (jui  répondent  au 

coninieneeinenl  de  l'année   i-yfio,  et  qui  ont  déjà  été  déterminei's  ci- 
dessus  d'après  les  Tables,  on  aura 

o,o8'-q7  ^  , ,., 

laiigr,),  = ^  ■    •      =  —  0,1  5(j4o, 

d'où 

r.),  =  180°  — 8°  53' 3b"; 

c'est  le  lieu  où  l'orbite  de  la  Terre  doit  eoupei-  le  [)lan  de  ri'(li|)ti(|Lic 

de  1760,  au  oremier  instant  où  elle  abandonne  ce  plan. 

Employant  maintenant  cette  valeur  de  oo^  dans  l'expression  de  JO., 

on  trouvera 

de,  =  0",  56g; 

ce  (jui  donne  l'augmentation  annuelle  de  l'inclinaison  de  l'orbite  de  la 
Terre,  par  rapport  au  plan  dont  il  s'agit. 

On  aurait  les  mêmes  résultats  si  l'on  cherchait  les  valeurs  de  tango^^ 
et  de  5^,  d'après  les  formules  générales  du  numéro  précédent;  car,  Tai- 
sant /  =  1  dans  les  expressions  de  *2  et  de  a.,,  et  mettant  à  la  place  des 
sinus  des  arcs  très-petits  25", 337,  5", 980,...  ces  arcs  mêmes,  et  à  la 
place  de  leurs  cosinus  l'unité,  on  trouve 

s.  =  o',  08797,     U2  =:  —  ()",56?.  19, 

d'où 

iango),= g,.  -  S      9v=  o",569; 

o,5b?.  19  ^ 

ce  (|ui  s'accorde  avec  ce  qu'on  a  trouvé  ci-dessus,  et  pourrait  servii-,  s'il 
cti  ('tait  Ixîsoin,  a  coutii'niei'  la  justesse  de  nos  calculs. 


G9(i         RECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

Article   VIJI.  —   Des  équations  séculaires  du  nœud 
et  de  L'inclinaison  de  L'oibite  de  Mercure. 

53.  Pour  achever  nos  Recherches  sur  les  dérangements  causés  dans 
les  plans  des  orbites  des  planètes  par  leur  action  mutuelle,  il  ne  reste 
plus  qu'à  examiner  ceux  qui  doivent  avoir  lieu  dans  le  plan  de  l'orbite 
de  Mercure.  Or,  suivant  nos  dénominations,  ',i^  sera  la  longitude  du  nœud 
de  cette  orbile,  et  ^g  sera  la  tangente  de  son  inclinaison;  de  sorte  que  la 
(juestion  se  réduira  à  déterminer  les  valeurs  des  quantités  ^5  ^^gsinws, 
W5  =  ^5C0SW5,  par  l'intégration  des  équations  différentielles  d'où  elles 
dépendent,  et  qui,  selon  l'ordre  des  équations  (16j,  doivent  être  la  neu- 
vième et  la  dixième. 

Ces  équations  seront  donc 

• 

-^  H-(5,o)(a5— a)-i-(5,i);a5— aij-t-^5,2)(^M5— M2)-I-:5,3)(W5— M3,,-+-!5,4)(«5— «i>=o, 
(.1 

-j-^— (5,o)(55  — 5)— (5,1  ;(5,s  — s,)  — (5,2;i(55  — «2)— !5,3)(55  — 53)— (5,4)  s,  —  s^  =0, 

lesquelles,  en  y  substituant  les  valeurs  des  quantités  ^,  *,,...,  «,  u^,... 
déjà  trouvées  dans  les  deux  Articles  précédents,  et  faisant,  pour  plus  de 
simplicité, 

f=  -  (5,  oj  -  (5,  i)  -  (5,  2)  -  (5,'3  .  -  (5,  i„ 
M=(5,  ojR  +(5,  ijB,  4-    5,  2)B,  +  (5,  SjB, -t- ;  5,  4;B„ 
N  =  (5,2)C,+  (5,3;C3  +  (5,4;C„ 
P  =  (5,  2)D.+  (5,  3)D3+(5,4)D„ 
Q  =  (5,  2)E,+  (5,  3)E3-h(5,4)E„ 

se  changent  en  celles-ci 

-^— /ms— Acosa)— Mcos(6/+;3)— Ncos(cfH-y)— Pcos(f/f-4-ôi— Oros(e/-f-£)=o, 
-jf-^f.^i  — AsinajH-M  sin  (6/h-(3)h-N  sii)ic^-f-y)-t-Psin(<//+ô)-t-Qsin(e/-i-£)=o. 


DES   MOUVEMENTS  DES   NOEUDS,  ETC.  (597 

Telles  sont  les  équations  (lu'il  s'agit  maintenant  d'intéj'rer;  et  il  est 
faeilc  (h;  voir  que  pour  eela  il  n'y  a  (lu'à  supposer 

Vj  =  A  .sin  a  -H  Bj  sin  (i/  -)-  fs)  -<-  Cj  sin  [ci  -+-  •/)  -t-  D^  sin  (<-//  -i-  <î  )  h-  E^  sin  [et  -i-  s)  ■+- 1\  m\  (ft  -+-  o) , 
//j=  A  cosa  -+-  B5  cos [ùt  ■+-  p)  -+-  Cj  cos  (et  -t-  7)  h-  Dj  cos{(lt  H-  fî )  -t- Ej  cos (et  -»-£)  +  h\  cos [ft  -+■  '^)  ; 

lar,  l'aisanl  ces  sii])Slilulions  et  ('j;alant  ii  zéro  les  ternies  iioinoiiènes,  on 
n'aura  que  ces  quatre  équations  de  condition 

(6  -/)«,  =  M,     (c  _/^Cs=  N,     id  - /^D.,  =  P,     (e-f  E..=  (J, 

lesquelles  donnent 

^_M  N  P.  Q 


h-f     ^'-c-f     "'~d-f'      "^'-e-/' 

de  sorte  qu'il  y  aura  encore  deux  indéterminées  Fg  et  9,  qui  dépendront 
des  valeurs  initiales  de  ^5  et  de  m,,  données  par  les  observations;  ainsi  les 
valeurs  supposées  de  s^  et  de  Wg  sont  exactes  et  complètes. 

Pour  déterminer  les  deux  inconnues  F5  et  ç»,  je  tire  des  Tables  les  élé- 
ments suivants 

Longitude  du  nœud  de  Mercure  pour  1760 i^i5"28'45" 

Inclinaison  de  son  orbite 7"  o'  o" 

Donc 

w„  =  45" 28' 45",     Q,  --  lang  7"  ; 

de  là  on  trouvera 

s,  =  65  sin  Os  =  0,087543,     Mj  =  0s  cos  «s  ^  0,08609?,; 

ce  qui  (en  supposant,  comme  on  a  fait  jusqu'ici,  que  t  soit  égal  à  zéro 
au  commencement  de  i7<Joj  donnera  les  deux  équations 

A  sin  a  ■+■  B;>  sin  [3  +  Cs  sin  y  -1-  Di  sinô  -t-  E:.  sine  -i-  Fs  sin  9  =  0,087543, 
A  cosa  -+-  B;,  cos(j  H-  Cj  cosy  -f-  D^  coso  +  Es  eoss  -+-  F-,  COS9  =  0,08609?., 

par  les(|ueiles  on  pourra  déterminer  F5  et  îj. 

VI.  88 


698         RECHERCHES   SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 
Maintenant  je  trouve,  d'après  la  Table  du  n"  19, 

et  ensuite,  en  employant  les  valeurs  de  Bsinp,  B,  sin^S  déterminées  dans 
les  deux  Articles  précédents, 


BjSinjS^:      0,00028612, 
C5  siny  =      0,024795, 
DjSinô  =  —  o,oo5()52o, 
Es  sine  =:  —  0,00047975, 


BsC0s|3=:      0,00020354, 
CjCosy=      0,264940, 
Ds  ces  â  =  —  o , 00 1 1 1 26, 
Er,  CCS  e  =:  —  o ,  00062066  ; 


entui,  substituant  ces  valeurs  dans  les  deux  équations  ci-dessus,  on  aura 
Fssinç  =  0,039867,  F5  coscp  =  —  0,170972. 

54.  Si  donc  on  substitue  ces  valeurs  dans  les  expressions  ci-dessus 
de  ^5  et  de  «g,  après  y  avoir  cbangé  les  sinus  et  cosinus  de  bt  -+-  j6, 

et  H-  y,...  en 

sin|3  cosbt  +  co.s|3  sinht, . . .,     ces  [3  cos6/  —  sin(3sin  bt,. .  ., 
on  aui'a  b^s  lormulcs  suivantes 

Pour  Mercure. 


Si  =      0,028127  +  0,000286008 
+  0,024795  cos 

—  o  ,oo5o52  cos 

—  0,000480  cos 
H-  0,039867  cos 

«s  =  —  o ,  007 1 80  —  o ,  000204  cos 
-+-  0,264940  cos 

—  0,001 1 13  cos 

H-  0,000621  cos 

—  0,170972  cos 


i5'\33'jt)  -+-  0,000204  b.in(25",337/) 

5", 980/)  —  0,264940  sin(  5", 980/) 

19", 798;)  +  0,001 1 13  sin(  19",  798^) 

i8",3o8^)  —  0,000621  .sin(  18",  3o8/) 

6",3i  1 1)  ■+-  0,170972  sin(  6",3i  1 1) 

25", 337  t)  -+-  0,000286  sin(25",  337  t) 

5", 980/)  +  0,024795 si n(   5", 980/) 

19", 798/)  —  o,oo5o52  sin(  19",  798 f) 

i8",3o8  0  —  0,000480  sini  i8",3o8n 

6",3ii/)  + 0,039867  sin(   6",  3iiO. 


Dans  ces  formules,  t  représente,  comme  dans  les  Articles  précédents, 
le  nombre  des  années  tropiques  écoulées  depuis  le  i*^'  janvier  1760  à  midi 


DES  MOUVEMENTS   DES  NOEUDS,   ETC.  099 

moyen,  on  de  ('elles  (|ni  ont  |)récé(lé  cette  épo(jiie,  si  l'on  fail  /  iiégalit'; 
ainsi  l'on  pourra  par  leur  n)oyen  calculer  pour  un  temps  quelcon(jue  les 
valeurs  des  quanlités  .v.  et  //.  ;  et,  d'après  ces  valeurs,  on  trouvera  le  lien 
du  nœud  ascendant  de  l'orbite  de  Mercure,  ainsi  (jue  Tiiu  linaison  de  s(»n 
orbite,  par  les  formules 


la  n  g  Os  = 


u., 


0.=^^sl 


ojs  étant  la  longitude  du  nœud  comptée  depuis  le  lieu  de  Técpiinoxe 
de  1760,  et  O5  la  tangente  de  l'inclinaison. 

55.  A  l'égard  du  mouvement  annuel  des  nœuds  et  de  la  variation  an- 
nuelle de  l'inclinaison,  quoiqu'on  puisse  les  déduire  aisément  des  for- 
mules précédentes,  il  sera  cependant  plus  commode  de  les  déterminer 
par  le  moyen  de:^  formules  diiïerentielles  (23),  en  y  faisant  dt  =  i . 

De  cette  manière,  on  trouvera  pour  le  mouvement  annuel  des  nœuds 
de  Mercure,  par  rapport  aux  étoiles  fixes, 


flo) 


„    .,  r      e  cos(«s  — 6))  I      u   a   [ 

=  —  i',5b.|     I '— —  o",o8o 

9-!  cosfoi  —  0)2 


o",8(i7l 


3",  749     ' 


f,n\    ,— 


Ô,  C0S(&)5  —  w,)' 


ÔaCOSlGOs  —  OJ3 


Oi  nos  (  Ois  —  W4; 


—  o",o5i  Fi- 

et  pour  la  vai  ialion  annuelle  de  l'inclinaison 

d6i=:  i',5646  siiKfu,  —  &>)  -+-  o'^oHoô,  sin  w,  —  c»,  1  -1-0",  867  C'2sin(o)i 

H-  3",  749^3  sin(r,)5  —  6)3  )  -^  o",o5i  O4  sin(w5 


W2 
0), 


Ainsi  il  n'y  aura  qu'à  substituer  dans  ces  expressions  les  valeurs  des 
quantités^,  Of,...,  w,  oj,,...,  (jui  répondent  au  temps  donné,  ei  (jui  ré- 
sultent des  formules  générales  données  ci-dessus.  Si  l'on  emploie  celles 
(jni  répondent  à  l'époque  de  1760,  et  que  nous  avons  déduites  des  Tables, 
on  li'ouvera,  pour  le  siècle  présent. 


cifjH  =  —  4",  528,     de,  =  -  o",  i4o. 


88. 


700  KECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

Article  IX.  —  Sur  les  changements  de  latitude  et  de  longitude 
des  étoiles  fixes,  causés  par  le  déplacement  de  V orbite  de  la 
Terre. 

56.  Nous  avons  donné,  dans  l'Article  VII,  les  formules  nécessaires 
pour  déterminer  à  chaque  instant  la  position  du  plan  de  l'orbite  de  la 
Terre,  par  rapport  au  plan  dans  lequel  cette  orbite  s'est  trouvée  au 
commencement  de  l'année  1760,  que  nous  avons  prise  pour  époque; 
ainsi,  connaissant  la  position  des  étoiles  fixes  à  l'égard  de  ce  dernier 
plan,  c'est-à-dire,  leurs  longitude  et  latitude  pour  le  commencement  de 
1760,  il  sera  facile  de  trouver  les  longitudes  et  les  latitudes  pour  un 
autre  temps  quelconque. 

Pour  cet  effet,  on  commencera  par  calculer,  pour  le  temps  donné,  les 
valeurs  des  quantités  5.,  et  u.j,  (51),  et  l'on  en  tirera  celles  de  wj  longi- 
tude du  nœud  de  l'orbite  de  la  Terre  et  de  y  inclinaison  de  cette  orbite, 
au  moyen  des  formules 


on  ajoutera  à  la  longitude  wa  la  précession  des  équinoxes  5o",3^  pour 
avoir  la  longitude  du  nœud  de  l'orbite  de  la  Terre,  comptée  à  l'ordi- 
naire, depuis  le  premier  point  àWries,  c'est-à-dire,  depuis  l'intersection 
del'écliplique  et  de  l'équnteur,  et  l'on  nommera  cette  longitude  .r.  Cela 
posé,  comme  l'inclinaison  j  est  toujours  très-petite,  on  trouvera  aisé- 
ment, par  les  formules  différentielles  connues,  que  l'obliquité  de  l'éclip- 
tique  sera  sujette  à  une  variation  égale  à  /cosa;,  et  que   les  points 

ly"  sin  oc 
équinoxiaux  auront  un  mouvement  en  longitude  égal  à  -^ 5^'  et  un 

'V*  S  i  n  oc 
mouvement  en  ascension  droite  élirai  à  —. — 5—:  • 

^         sm  23"! 

Ensuite,  nommant  /  la  longitude  d'une  étoile  quelconque  et  X  sa  lati- 
tude, calculées  en  ayant  égard  à  la  précession  des  équinoxes,  on  trou- 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  701 

vera  que  la  variation  de  cette  étoile  en  longitude  sera 

rcos  /  — ^)langX ■ r— -; 

et  que  sa  variation  en  latitude  sera 

—  r  sin(/  —  x). 

57.  Pour  faciliter  le  calcul  de  ces  formules,  on  remarquera  que,  à 
cause  de  la  petitesse  de  l'angle  j,  on  aura,  sans  aucune  erreur  sensible, 
)'  =  0.,;  donc,  puisque 

:r  =  0)j  H-  5o",3t, 

on  aura 

sin  A- =  sipwacos  5o",3/) -f  coso),sin(5o",3/), 

cos:r  =  cosw,  cos(5o",3/)  —  sinr,),  sin(5o",30; 
par  conséquent  on  aura 

r  sin^  =  ^2  cos(5o".30  +  //iSin(5o",3/), 
jcos^  =  M2C0s(5o",3/)—  Sj  sin(5o",3/). 

De  là  il  s'ensuit  que,  si  l'on  fait,  pour  abréger, 

T=  52  cos(5o",  3t)  -h  «jSin(5o",  3^1 
u  =  M,  cos  !5o",3ri  —  Si  sin(5o",3  0> 

on  aura  v  pour  la  variation  de  l'obliquité  de  l'écliptique,  et 

>       OU 


lang23"7  sinT!3<*| 

pour  le  mouvement  en  longitude  ou  en  ascension  droite  des  poiiHs 
éq  ni  no  xi  aux. 

De  plus,  à  cause  de 

sin   /—  »•■  =  sin/coSvi-  —  cos/sin.r,     cos(/—  x)  =  cos/cos.*  -i-  sin/sina, 


702  RECHERCHES  SUK   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

on  aura,  pour  la  variation  en  longitude  d'une  étoile  quelconque, 


a 


(c-snilong.  +  ucoslong.)tanglalil.  —  ^^^^     3.,^' 

et  pour  sa  variation  en  latitude 

(T  ces  long.  —  u  sin  long. 

58.  Toute  la  dilFiculté  se  réduit  donc  à  calculer,  pour  le  temps  donné, 
les  valeurs  de  s.  et  Uo  d'après  les  deux  formules  du  n°  51,  et  en  déduire 
ensuite  celles  des  quantités  (7  et  u  par  les  formules  du  numéro  précédent. 

Pour  épargner  ce  travail  aux  Astronomes  qui  voudront  faire  usage  de 
notre  Théorie,  j'ai  pris  la  peine  de  calculer  les  quantités  dont  il  s'agit, 
de  siècle  en  siècle,  pour  vingt  siècles,  tant  avant  qu'après  1  760,  en  fai- 
sant successivement  ^  =  —  100,  —  200,  —  3oo....  jusqu'à  —  2000,  et 
ensuite  t=  100,  200,  3oo,...  jusqu'à  2000;  et,  afin  de  pouvoir  mettre 
une  plus  grande  exactitude  dans  les  calculs,  j'ai  d'abord  changé  dans 
les  expressions  de  So  et  deu^  du  numéro  cité  les  cosinus  en  1  — 2(sinus)S 
et  j'ai  ensuite  réduit  les  coetficients  en  secondes  en  les  multipliant  par 
206265. 

De  cette  manière,  j'ai  transformé  les  expressions  dont  il  s'agit  dans 
celles-ci,  qui  sont  à  la  fois  plus  simples  et  plus  commodes  pour  le 

calcul , 

s,  =    393",  9  sin  (25",  337  ri—   iio7",5sinMi2',668/, 

—  327o",8sin(  5",98oO  —     6i2",2sin'(  ■2",99o/) 
H- i456",9sin(i9",798/)  H-i3229",4  sinM  9^,8990 

—  6i",i  sin(i8",3o8/- +       94^,4  sin^  9",  i54r 

!!,=    553",']s\n(7.5'  ,33'jt,  ^-     787' ,8sinM  i2",668^: 
+    3o6",rsin(  5",98o0—  654i",6sin^{  2".99o0 

—  66i4",7sin  i9",7980+  29i3",8sin^(  9", 899/) 

—  ^']",is\n(i8",3o8t   —     i22",2sin^(  9",i540- 

b^nsuite  j'ai  construit  d'après  ces  formules  les  deux  Tables  suivantes. 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,  ETC.  703 

dont  la  première  est  pour  les  siècles  qui  précèdent  raiinée  17^)0,  et 
dont  la  seconde  est  pour  ceux  qui  la  suivent. 

TABLE   1.  TABLE  IL 


VALEURS 

de  t. 

VALEUnS 

do  ... 

VALKCnS 

de  «,. 

—  roo 

-   «"5347 

56 , 3o  j 

—  aoo 

—  16,540 

I!2,77 

—  3oo 

—  ■x\  ,016 

169,38 

—  4  00 

—  '}o,95() 

22(),  l3 

—  5oo 

—  37,365 

283,04 

—  600 

—  43,233 

340, 10 

—  700 

—  i«,57« 

397,37 

—  800 

—  53,369 

454,57 

—  900 

—  57,633 

5l2,OI 

—  1000 

—  61,335 

569 , 5 I 

—  IIOO 

—  6^,521 

627,18 

—  I  xoo 

—  67,121 

684,94 

—  iSoo 

-  09,213 

7  4  2 , 80 

—  1400 

-  7o,7'-*-> 

800,74 

—  1 5oo 

—  71-697 

858. 80 

—  1600 

—  72,099 

916,73 

—  1700 

—  71.910 

974,70 

—  1800 

—  7ï,-'7'^ 

1033,28 

—  1900 

—  70,060 

1091,70 

—  2000 

—  68,287 

1 i5o,o3 

VALKVRS 

de  t. 

VALEl HO 
de  5,. 

VALEURS 
de  «,. 

100 

it 
9,0628 

Il 
—     56, 144 

200 

i8,G48 

—  112,12 

3oo 

28 , 760 

-  '67,93 

"(oo 

39,389 

—  223,55 

5oo 

50,542 

—  279,02 

600 

62,206 

-  334,28 

700 

74,391 

-  389,37 

800 

87,088 

—  444,26 

900 

1 00 , 29 

—  498,97 

1000 

114,02 

-  553,37 

1 100 

128,21 

—  607,70 

1200 

142,96 

—  661.73 

i3oo 

i58,!8 

—  7' S '^7 

1400 

173,90 

-  769- «7 

IDOO 

1 600 

1 90 , 1 2 

—  822,  '^- 

206, 80 5 

—   875,53 

1700 

223,945 

—  928,20 

1 800 

241,75 

—  98 1 .  1 8 

1900 

259,90 

— 1033,43 

2000 

278,54 

— 1085,8") 

704  RECHERCHES  SUR  LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

Enfin  j'ai  déduit  des  valeurs  de  Sg  et  de  u^,  renfermées  dans  ces  deux 
Tables,  celles  des  quantités  a  et  v,  par  le  moyen  des  formules  du  n^  57, 
et  j'ai  formé,  de  cette  manière,  les  Tables  III  et  IV,  qui  suivent,  et  dont 
l'une,  c'est-à-dire,  la  troisième,  donne  les  valeurs  de  a  et  y  qui  répondent 
à  chaque  siècle,  à  compter  du  commencement  de  1760,  en  remontant, 
et  dont  l'autre,  c'est-à-dire,  la  quatrième,  donne  les  valeurs  des  mêmes 
quantités  pour  chaque  siècle,  à  compter  depuis  la  même  époque  en 
descendant.  11  faut  se  souvenir  que  j'entends  par  siècle  un  intervalle  de 
cent  années  tropiques,  lequel  est  moindre  qu'un  siècle  ordinaire  de 
cent  années  juliennes,  la  différence  étant  de  18^27°';  mais,  comme  les 
variations  séculaires  des  quantités  a  eiv  sont  moindres  qu'une  minute, 
il  est  clair  qu'on  peut,  en  toute  sûreté,  faire  abstraction  de  la  différence 
dont  il  s'agit,  et  prendre  indifféremment  des  années  juliennes  à  la  place 
des  années  tropiques. 

59.  Les  quantités  u  représentent,  comme  on  l'a  dit  plus  haut  f57j, 
les  variations  de  l'obliquité  de  l'écliptique  :  on  voit  donc,  par  la 
Table  III,  que  cette  obliquité  n'a  cessé  de  diminuer  depuis  deux  mille 
ans,  et  la  Table  IV  montre  qu'elle  doit  continuer  toujours  à  diminuer, 
du  moins  pendant  l'espace  de  deux  mille  ans  auquel  celte  Table  s'étend. 
La  diminution  séculaire  est,  pour  le  siècle  présent,  d'environ  56  se- 
condes, mais  cette  diminution  n'est  point  uniforme;  elle  n'était,  il  y  a 
deux  mille  ans,  que  de  38",  67;  depuis  lors  elle  a  augmenté  continuel- 
lement, et  elle  n'arrivera  à  son  maximum  que  dans  quatre  siècles  :  elle 
sera  alors  de  56",  76,  ce  qui  diffère  très-peu  de  sa  valeur  actuelle;  mais 
dans  vingt  siècles  d'ici  elle  ne  sera  plus  que  de  49  secondes. 

Si  l'on  prend  23°28'2o"  pour  l'obliquité  moyenne  actuelle,  elle  aura 
dû  être,  suivant  la  Table  III,  de  23°44'5"  au  temps  d'Hipparque,  qui 
vivait  i5o  ans  avant  Jésus-Christ.  Il  est  vrai  que  cette  obliquité  serait 
moindre  d'environ  7  minutes  que  celle  que  les  anciennes  observations 
paraissent  donner  pour  ce  temps-là;  mais  on  sait  que  ces  observations  ne 
sont  pas  assez  exactes  pour  pouvoir  servir  à  fixer  la  juste  valeur  d'un 
élément  si  délicat;  il  doit  suffire,  ce  me  semble,  qu'elles  s'accordent 
avec  la  Théorie  à  prouver  la  diminution  de  l'obliquité  de  l'écliptique. 


DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  700 

et  jusqu'à  présent  on  no  peut  que  s'en  rapporter  à  celle-ci  pour  ce  qui 
regarde  la  quantité  et  les  lois  de  celte  diminution. 


TABLE   III. 


TABLE  IV. 


706         KECHEUCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

60.  Si  l'on  divise  les  quantités  7  par  tang  23°|,  ou  plus  exactement  par 

lang23''28'  :=  o,434i, 

ou,  ce  qui  revient  au  même,  qu'on  les  multiplie  par  2,3o35,  on  aura 
l'équation  des  points  équinoxiaux,  c'est-à-dire,  les  quantités  qu'il 
faudra  ajouter  ou  soustraire  du  lieu  moyen  du  premier  point  d'Aries  sur 
l'éciiptique  pour  avoir  son  lieu  vrai  (57j.  Donc,  si  l'on  convertit  les 
secondes  de  degré  en  secondes  de  temps,  à  raison  du  mouvement  moyen 
du  Soleil,  ce  qui  se  fera  en  multipliant  les  secondes  de  degré  par  2/j,  ou 
plus  exactement  par  la  fraction 

—-—  =  24,3497, 


Ô9'"  8%  3 

on  auia  l'équation  qui  servira  à  corriger  le  temps  de  l'équinoxe;  de 
sorte  que  celte  équation  sera  représentée,  en  général,  par  56,089(7.  J'ai 
donc  construit  la  Table  V  suivante,  laquelle  donne  pour  chaque  siècle, 
avant  et  après  1760,  la  valeur  de  l'équation  dont  il  s'agit,  exprimée  en 
secondes  de  temps. 

Or  il  est  clair  que,  si  l'on  prend  la  différence  des  équations  repondant 
à  deux  siècles  consécutifs,  dans  la  Table  V,  on  aura  l'équation  par 
laquelle  il  faudra  corriger  la  durée  de  100  années  tropiques  moyennes, 
pour  avoir  leur  durée  exacte;  par  conséquent,  la  centième  partie  de 
cette  équation  donnera  à  très-peu  près  l'équation  de  la  durée  des  années 
tropiques  pour  le  siècle  dont  il  s'agit.  C'est  sur  ce  principe  que  j'ai 
formé  la  Table  VI,  d'après  celle  qui  précède  :  cette  Table  fait  voir  que 
la  longueur  de  l'année  a  toujours  été  en  diminuant  depuis  vingt  siècles 
jusqu'à  présent,  et  qu'elle  doit  continuer  à  diminuer,  du  moins  pen- 
dant l'espace  de  vingt  autres  siècles,  et,  si  l'on  soustrait  l'équation 
actuelle  de  5%  56  de  l'équation  qui  répond  au  dix-neuvième  siècle 
avant  1760,  et  qui  est  de  2  7%3i ,  on  aura  21%  75  pour  la  quantité  dont 
l'année  tropique  a  dû  être  plus  longue  au  temps  d'Hipparque  qu'elle 
n'est  à  présent. 


DES  MOUVEMENTS  DES   NOEUDS,   ETC. 
TABLE  V. 


707 


SIÈCLES 

avant  i-jGo. 

ÉQUATION 

<l('s  «  (jiiiiioxcs. 

i^lÈCLBB 

après  i7(»o. 

ÉOUATION 

<li's  «quiiioxcs. 

o 

0 

0 

0 

I 

—       5 'if,' 

I 

432' 

A 

—     1235 

2 

739 

3 

—     2o38 

3 

925 

4 

—     2963 

4 

977 

5 

—     4011 

5 

910 

6 

—      j  1 80 

6 

7.8 

7 

-     6471 

7 

401 

8 

-     7879 

8 

—         38 

9 

—     9407 

9 

—       6o3 

lO 

—     IIODI 

10 

—     1287 

II 

—   128x3 

1 1 

—     2100 

12 

—  14688 

12 

—     3o3o 

i3 

—   1 66()9 

i3 

—     4082 

i4 

—   18775 

14 

—     5253 

i5 

—  20985 

i5 

—     6545 

i6 

—  23297 

i(; 

—     79 'O 

«7 

—  26712 

'7 

—     9473 

i8 

—  28250 

18 

—   1 1 1 1  5 

19 

—  30882 

'9 

—   12865 

20 

—  336 1 3 

20 

—   '4737 

«y- 


708  RECHERCHES  SUR   LES  ÉQUATIONS  SÉCULAIRES 

TABLE   VL 


SIÈCLES 
avant  17G0. 

ÉQUATION   DE   LA   DURÉE 
des  aimées  tropiques. 

SIÈCLES 
après  1760. 

ÉQUATION   DE   LA   DUREE 
des  années  tropiques. 

0 

s 

5,56 

0 

s 

5,56 

I 

6,79 

I 

4,32 

2 

8,o3 

2 

3,07 

3 

9,25 

3 

1,86 

4 

10,48 

4 

0,52 

5 

11,69 

5 

—     0,67 

6 

12,91 

6 

—    1,92 

7 

14,08 

7 

-  3,17 

8 

i5,28 

8 

-  4,39 

9 

16,44 

9 

—     5,65 

10 

17,62 

10 

—     6,84 

1 1 

18,75 

1 1 

-     8,i3 

12 

19,81 

12 

—     9,3o 

I  J 

2 1 ,  06 

i3 

—    10, 52 

14 

22, 10 

14 

-  11,71 

I  j 

23,12 

1  > 

—  12,92 

16 

24, i5 

16 

—    14, o5 

17 

25,38 

17 

-    i5,23 

18 

26 ,  32 

18 

—   16,42 

19 

27,31 

19 

—   I 7 , 5o 

20 

20 

-   18,72 

DES  MOUVEMENTS  DES  NOEUDS,   ETC.  709 

fil .  Quant  aux  varialions  des  étoiles  fixes  en  lonj^nlnde  et  en  latitude, 
un  les  déterminera  aisément  d'après  les  valeurs  des  ([uanlilés  n  ^t  ^  ,1,.^ 
Tables  III  et  IV,  et  par  le  moyen  des  formules  que  nous  avons  données 
plus  haut  (57j;  mais,  couime  ecs  ((uantités  n'ont  été  ealeulées  que  de 
siècle  en  siècle,  et  que  leurs  dillerences  sont  assez  inégales,  si  l'on  vou- 
lait avoir  les  variations  dont  il  s'agit,  d'année  en  année,  ou  du  moins 
<!•'  <lix  ans  en  dix  ans  pour  le  siècle  présent,  il  faudrait,  pour  plus 
d'exactitude,  calculer  de  nouveau,  d'après  les  formules  générales,  les 

valeurs  de  (7  et 'j  qui  répondent  à  ^=1,  2,  3,...,  ou  à  /=io,  20,  '^>o 

Nous  nous  contenterons  ici  de  donner  les  valeurs  qui  répondent  à  /  == . , 
et  pour  cela  il  suffira  de  se  souvenir  qu'on  a  déjà  trouvé  plus  haut  52) 
pour  t  =  I 

^,  =  0",  08797,     ;<,=  -o",562i9; 
d'où  l'on  lire 

0-  =  o",  08783,       V=  ■~o",5629.K 

De  là  il  s'ensuit  que,  pour  un  certain  nombre  d'années  ^  à  compter 
depuis  le  commencement  de  1760,  on  aura,  avec  une  exactitude  suf- 
fisante, 

o-  =  o", 08783/,       V  =  —  o",5621l  l; 

et  ces  valeurs  serviront  aussi  pour  les  années  qui  précèdent  1760,  en 
faisant  t  négatif 

Au  reste,  comme  les  variations  dont  nous  venons  de  parler  ne  dé- 
pendent que  du  déplacement  de  l'écliptique,  il  est  clair  que  les  décli- 
naisons des  astres  ne  soufi"riront  aucun  changement:  mais  les  ascen- 
sions droites  seront  toutes  également  diminuées  de  la  quantité  ^—  , 

'  sinaS"} 

qui  o^t  le  mouvement  des  points  équinoxiaux  en  ascension  droite  ^57). 


MÉMOJKE  SlIU  LA  THÉOKIE 


VARIATIONS  DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES 


tT    EM    PARTICULIEli 


DES  VAKIATIONS  DES  GRANDS  AXES  DE  LEURS  OHHII». 


MÉMOIRE  SUR  LA  THÉORIE 


VARIATIONS  DES  ÉLIÎMEMS  DES  PLANÈTES 


1:t    en    PARTIClLIUll 


DES  VARIATIONS  DES  GRANDS  AXES  DE  LEURS  ORBITES 


(Mémoires  de  la  première  clas.sc  de  1  InsliluL  de  Erance,  année  1808. 


On  entcjid,  en  Astronomie,  par  éléments  d'iuK;  planète  les  quantités 
qui  déterminent  son  orbite  autour  du  Soleil,  supposée  elliptique,  ainsi 
que  le  lieu  de  la  planète  dans  un  instant  marqué,  qu'on  appelle  Yèpoque. 
Ces  quantités  sont  au  nombre  de  rin(|,  dont  deux,  le  grand  axe  ou  la 
distance  moyenne  qui  en  est  la  moitié,  et  l'excentricité,  déterminent  la 
grandeur  de  l'ellipse  dont  le  Soleil  occupe  l'un  des  foyers;  les  trois 
autres,  la  longitude  de  l'aphélie,  celle  des  nœuds,  et  l'inclinaison,  dé- 
terminent la  position  du  grand  axe  sur  le  plan  de  l'ellipse  et  la  position 
de  ce  plan  sur  un  plan  qu'on  regarde  comme  fixe  par  rapport  aux  étoiles. 
Ces  cinq  quantités,  jointes  à  l'époque,  étant  connues  pour  une  planète, 
on  peut  trouver  en  tout  temps  son  lieu  dans  le  ciel  par  le  moyen  de  ces 
deux  lois,  découvertes  par  Kepler,  que  les  aires  décrites  dans  l'ellipse 
par  le  rayon  vecteur  croissent  proportionnellement  au  temps,  et  que  la 
durée  de  la  révolution  est  proportionnelle  à  la  racine  carrée  du  cube  du 
grand  axe.  Les  Tables  d'une  planète,  abstraction  faite  de  ses  pertuiba- 

(*)  Lu,  le  22  août  1808,  à  l'Institut  de  Erance. 

VI.  90 


714  MÉMOIRE  SUR  LA  THÉORIE  DES  VARIATIONS 

lions,  ne  sont  autre  cliose  que  des  suites  de  valeurs  particulières  ré- 
pondant à  des  intervalles  de  temps  égaux,  des  fonctions  du  temps  et  des 
six  éléments,  par  lesquelles  la  position  de  la  planète  est  déterminée 
dans  l'espace  par  rapport  au  Soleil.  Ce  n'est  que  par  l'observation  qu'on 
peut  trouver  les  valeurs  des  éléments  d'une  planète,  mais  il  faut  beau- 
coup d'art  pour  les  déduire  des  lieux  observés;  ce  travail  occupe  les 
Astronomes  depuis  Kepler;  car,  comme  la  précision  des  éléments  dé- 
pend de  celle  des  observations,  de  nouvelles  observations  plus  exactes 
amènent  toujours  des  corrections  aux  éléments  qu'on  avait  déterminés. 

Lorsque,  dans  le  siècle  dernier,  on  entreprit  d'appliquer  le  Calcul  dif- 
férentiel à  la  solution  des  Problèmes  que  Newton  avait  résolus  par  des 
constructions  linéaires,  on  reconnut  que  le  mouvement  d'une  planète 
attirée  par  le  Soleil  en  raison  inverse  du  carré  de  la  distance  dépend  de 
trois  équations  différentielles  du  second  ordre,  qui  demandent  par  con- 
séquent six  intégrations;  ces  intégrations  introduisent  cbacune  dans  le 
calcul  une  constante  arbitraire;  de  sorte  que  la  solution  du  Problème 
renferme  en  dernière  analyse  six  constantes  arbitraires  :  ce  sont  les  élé- 
ments mêmes  de  la  planète,  ou  des  fonctions  de  ces  éléments. 

Mais  les  planètes  ne  sont  pas  seulement  attirées  par  le  Soleil,  elles 
s'attirent  encore  mutuellement,  et  l'effet  de  cette  action  mutuelle  est  de 
déranger  leur  mouvement  elliptique  et  d'y  produire  des  inégalités  qu'on 
nomme  perturbations,  dont  le  calcul  est  long  et  délicat,  et  fait  depuis 
Newton  l'objet  des  travaux  des  Géomètres  qui  s'occupent  de  la  Théorie 
du  Système  du  monde.  En  effet,  les  forces  qui  résultent  de  cette  dernière 
attraction  ajoutent  aux  équations  différentielles  de  leurs  mouvements 
des  termes  qui  en  rendent  l'intégration  impossible  dans  l'état  actuel  de 
l'Analyse,  et  qui  forcent  de  recourir  aux  approximations.  Heureusement 
ces  termes  sont  très-petits  vis-à-vis  de  ceux  qui  viennent  de  l'action  di- 
recte du  Soleil,  parce  qu'ils  sont  multipliés  par  les  masses  mêmes  des 
planètes,  ou  plutôt  par  leur  rapport  à  celle  du  Soleil;  et,  si  l'on  intègre 
les  équations  différentielles  comme  s'ils  n'existaient  pas,  il  arrive  que 
les  constantes  arbitraires  que  l'intégration  ajoute  à  chaque  intégrale  se 
trouvent  augmentées  d'une   petite   partie  variable  due  à  ces   mêmes 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,  ETC.  715 

termes,  doiil  on  ne  peut,  îi  la  vérité,  trouver  la  valeur  finie  et  rigou- 
reuse, parée  qu'elle  dépend  d'une  intégration  (jui  est  impossible,  en 
général,  mais  dont  on  peut  avoir,  [»ar  des  approximations  successives, 
la  valeur  aussi  approchée  qu'on  voudra.  Ainsi  les  éléments  du  mouve- 
ment eHipticjue,  (|ui  par  l'action  seule  du  Soleil  sont  constants,  de- 
viennent sujets  à  de  petites  variations;  et  (juoiciue,  à  la  rigueur,  le  mou- 
vement ne  soit  plus  eHipti([ue,  on  peut  néanmoins  le  regarder  comme 
tel  à  chaque  instant;  l'ellipse  variable  devient  alors  osculatrice  de  la 
véritable  orbite  de  la  planète,  comme  on  peut  le  conclure  de  la  Théorie 
générale  de  l'osculation  que  j'ai  exposée  ailleurs  (*),  et  qui  est  l'ondée 
sur  la  variation  des  constantes.  C'est  de  cette  manière  que  j'ai  considéré 
et  calculé  les  variations  des  éléments  des  planètes  dans  la  Théorie  de  ces 
variations,  que  j'ai  donnée  dans  les  Mémoires  de  l'Académie  de  Berlin, 
années  1781,  1782  et  suivantes  (**). 

Mais  les  variations  dont  il  s'agit  sont  de  deux  sortes  :  les  unes  ne  sont 
composées  que  de  termes  périodiques  dont  la  valeur  dépend  de  la  confi- 
guration des  planètes,  soit  entre  elles,  soit  à  l'égard  de  leurs  nœuds  et 
de  leurs  aphélies,  et  redevient  la  même  lorsque  ces  configurations  re- 
prennent la  même  forme;  les  autres  sont  indépendantes  des  configura- 
tions des  planètes  et  peuvent  croître  avec  le  temps,  ou  avoir  aussi  (\(}9> 
périodes,  mais  extrêmement  longues. 

On  nomme  les  premières  inégalités  périodiques ,  et  leur  calcul  n'a 
guère  d'autre  dilFicuUé  que  la  longueur  jointe  à  l'attention  qu'il  faut 
avoir  aux  termes  qui,  quoique  très-petits  dans  l'équation  diflerentielle, 
peuvent  augmenter  beaucoup  par  l'intégration.  On  peut  détacher  e<'s 
inégalités  des  éléments;  alors  elles  se  simplifient  en  se  fondant  en- 
semble, et  il  en  résulte  des  inégalités  qui  affectent  immédiatement  les 
lieux  de  la  planète  calculés  dans  l'ellipse  :  c'est  pourquoi  il  est  presque 
plus  simple  de  déduire  directement  ces  inégalités  des  équations  dilTé- 
rentielles  par  les  méthodes  ordinaires  d'approximation. 

(*  )  fy)ir  les  Mcmoircs  de  Berlin  do  1779,  p.  1 38,  ot  la  Théorie  des  Fonctions,  Articles  1 1 3 
el  suiv.  [OEiivres  de  Ldi^rangc,  t.  IV,  p.  583). 
(**)  OEuvrcs  de  Lagrangc,  t.  V,  p.  I25  et  suiv. 

90. 


716  MÉMOIRE  SUR  LA  THÉORIE  DES  VARIATIONS 

Les  inégalités  de  la  seconde  espèce  sont  nommées  séculaires,  et  de- 
meurent attachées  aux  éléments  qu'elles  font  varier  à  la  longue  et  d'une 
manière  insensible;  on  les  appelle  séculaires  parce  que  ce  n'est  qu'au 
bout  de  quelques  siècles  que  leur  effet  peut  se  manifester. 

L'observation  a  encore  devancé  sur  ce  point  le  calcul;  car  les  Astro- 
nomes avaient  reconnu  l'existence  de  ces  variations  relativement  aux 
excentricités,  aux  aphélies  et  aux  nœuds,  longtemps  avant  qu'on  connût 
la  Théorie  de  l'attraction  universelle. 

Parmi  les  différentes  inégalités  séculaires,  la  plus  importante  est  celle 
des  grands  axes  des  orbites,  parce  qu'elle  affecte  aussi  la  durée  des  ré- 
volutions, ou  le  moyen  mouvement;  car  il  arrive  par  l'effet  de  l'intégra- 
tion que,  si  le  grand  axe  est  sujet  à  une  inégalité  croissante  comme  le 
temps,  le  moyen  mouvement  en  a  une  qui  croît  comme  le  carré  du 
temps. 

Or  la  première  approximation  donne  dans  les  autres  éléments  des 
termes  proportionnels  au  temps;  le  grand  axe  seul  en  est  exempt  :  c'est 
ce  que  M.  de  Laplace  a  reconnu  le  premier,  par  une  analyse  très-déli- 
cate, dans  un  Mémoire  lu  à  l'Académie  des  Sciences  en  1773;  mais, 
comme  dans  ce  résultat  on  n'avait  tenu  compte  que  des  premières  et 
des  secondes  dimensions  des  excentricités  et  des  inclinaisons  supposées 
très-petites,  il  était  important  de  voir  ce  que  pourraient  donner  les 
termes  qui  contiendraient  les  autres  dimensions  de  ces  quantités. 

Dans  un  Mémoire  lu  à  l'Académie  de  Berlin  en  1776  (*),  je  considérai 
d'une  manière  directe  les  variations  auxquelles  peut  être  sujet  le  grand 
axe  d'une  planète  par  les  forces  perturbatrices  provenant  de  l'action  des 
autres  planètes,  et  je  réduisis  ces  variations  à  une  formule  générale  et 
très-simple  qui,  ne  dépendant  que  de  la  différentielle  partielle  d'une 
fonction  Unie  relativement  au  mouvement  moyen  de  la  planète,  fait  voir 
tout  de  suite  que  le  grand  axe  ne  peut  jamais  contenir  aucun  terme  pro- 
portionnel au  temps,  quelque  loin  qu'on  continue  l'approximation  par 
rapport  aux  excentricités  et  aux  inclinaisons  des  orbites,  mais  en  s'arré- 

(*)  OE  livre  s  de  La  grange,  t.  IV,  p.  235. 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,   ETC.  717 

faut  à  la  première  approximation  par  rapport  aux  termes  proportionnels 
aux  masses  des  planètes. 

On  n'avait  pas  été  plus  loin  sur  ee  point;  mais  M.  Poisson  y  a  fait  un 
pas  de  plus  dans  le  Mémoire  <}u'il  a  lu  il  y  a  deux  mois  (*)  à  la  Classe, 
sur  les  inégalités  séculaires  des  moyens  mouvements  des  planètes,  et  dont 
nous  (**)  avons  fait  le  Rapport  dans  la  dernière  séanee.  Il  a  poussé  l'ap- 
proximation do  la  même  formule  jusqu'aux  termes  affectés  des  earrés  el 
des  produits  des  masses,  en  ayant  égard  dans  cette  formule  à  la  varia- 
tion des  éléments  que  j'avais  regardés  comme  constants  dans  la  pre- 
mière approximation.  En  employant  les  méthodes  et  les  formules  con- 
nues pour  la  variation  des  éléments  elliptiques,  il  a  su  donner  aux 
termes  qui  forment  la  seconde  approximation,  et  qui  ne  proviennent 
que  des  variations  des  éléments  de  la  planète  troublée,  une  disposition 
et  une  forme  telles,  qu'il  est  facile  de  prouver  qu'aucun  de  ces  termes, 
qui  peuvent  d'ailleurs  être  en  nombre  infini,  ne  peut  jamais  donner 
dans  le  grand  axe  des  termes  croissant  comme  le  temps.  A  l'égard  de 
ceux  qui  doivent  provenir  des  variations  des  éléments  des  planètes  per- 
turbatrices, ils  échappent  à  son  analyse  :  pour  suppléer  à  ce  défaut,  il  a 
recours  à  l'équation  générale  des  forces  vives  sous  la  forme  donnée  par 
M.  de  Laplace  dans  le  premier  volume  de  sa  Mécanique  céleste,  et  il  par- 
vient d'une  manière  ingénieuse  à  faire  voir  que  ces  sortes  de  termes  ne 
peuvent  non  plus  produire  dans  le  grand  axe  des  variations  proportion- 
nelles au  temps. 

Cette  découverte  de  M.  Poisson  a  réveillé  mon  attention  sur  un  objet 
qui  m'avait  autrefois  beaucoup  occupé,  et  que  j'avais  ensuite  totalement 
perdu  de  vue.  Il  me  parut  que  le  résultat  qu'il  venait  de  trouver  par  le 
moyen  des  formules  qui  représentent  le  mouvement  elliptique  était  un 
résultat  analytique  dépendant  de  la  foi'me  des  équations  différentielles 
et  des  conditions  de  la  variabilité  des  constantes,  et  qu'on  devait  y  arri- 
ver par  la  seule  force  de  l'Analyse,  sans  connaître  les  expressions  purli- 
culières  des  quantités  relatives  à  l'orbite  elliptique. 

(*)  Le  20  juin  1808. 

(**)  WS\.  do  Liiplaco,  Biot  el  moi. 


718  MÉMOIRE  SUR  LA  THÉORIE  DES  VARIATIONS 

En  efTet,  en  considérant  sous  un  nouveau  point  de  vue  la  variation  des 
constantes  arbitraires  qui  naîtraient  de  l'intégration  des  équations  dilfé- 
rentielles  lorsqu'on  n'y  tient  compte  que  de  l'action  du  Soleil  et  qu'on 
néglige  celle  des  planètes  perturbatrices,  j'ai  obtenu  des  formules  qui 
donnent  les  dilTérentielles  de  ces  variations  sous  une  forme  plus  simple 
que  celle  des  formules  connues  jusqu'à  présent,  parce  qu'elles  ont 
l'avantage  de  ne  contenir  que  les  différences  partielles  d'une  même 
fonction  du  temps  et  des  constantes  arbitraires,  prises  par  rapport  à 
chacune  de  ces  constantes,  et  multipliées  par  de  simples  fonctions  de 
ces  constantes;  de  sorte  que  la  fonction  dont  il  s'agit  étant  développée, 
comme  elle  peut  toujours  l'être,  tant  que  l'orbite  est  elliptique,  en  une 
série  de  sinus  et  cosinus  d'angles  proportionnels  au  temps,  le  terme 
indépendant  du  temps  donnera  sur-le-champ  les  équations  des  variations 
séculaires  aussi  exactes  qu'on  voudra  par  rapport  aux  puissances  et  aux 
produits  des  excentricités  et  des  inclinaisons,  au  lieu  que  jusqu'ici  elles 
étaient  bornées  aux  premières  dimensions  de  ces  éléments.  Ces  formules 
ont  de  plus  l'avantage  que,  étant  appliquées  aux  variations  du  grand 
axe,  on  en  voit  naître  tout  de  suite  des  expressions  analogues  à  celles 
auxquelles  IM.  Poisson  n'est  parvenu  que  par  des  réductions  heureuses 
des  formules  déduites  de  la  considération  du  mouvement  elliptique. 

De  cette  manière  on  démontre  dans  toute  la  généralité  possible, 
et  quelle  que  soit  l'inclinaison  de  l'orbite  primitive  sur  le  plan  fixe, 
(jue  la  variation  du  grand  axe  ne  peut  contenir  aucun  terme  non  pé- 
riodique ni  dans  la  première  ni  dans  la  seconde  approximation,  du 
moins  en  tant  qu'on  n'a  égard  dans  celle-ci  qu'aux  variations  des  élé- 
ments de  l'orbite  troublée.  Ce  qui  empêche  que  la  même  Analyse  ne 
s'étende  également  aux  termes  provenant  des  variations  des  éléments 
des  planètes  perturbatrices,  c'est  que  la  fonction,  dont  la  différence 
partielle  relative  aux  cpordonnées  de  l'orbite  troublée  donne  la  varia- 
tion du  grand  axe,  n'est  pas  la  même  pour  les  planètes  perturbatrices, 
parce  qu'elle  n'est  pas  symétrique  par  rapport  aux  coordonnées  de 
toutes  les  planètes;  c'est  aussi  ce  qui  a  lieu  dans  l'Analyse  de  M.  Pois- 
son, qui  dépend  de  la  même  fonction. 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,  ETC.  liu 

Mais  on  rapportant  les  planètes,  non  au  cenlic  du  Soleil,  niais  au 
centre  commun  de  gravité  du  Soleil  et  des  planètes  autour  duquel  leur 
mouvement  est  presque  plus  ré-ulier  qu'autour  du  Soleil,  j'ol.iiens  des 
équations  dillérenlielles  semblables,  dans  lesquelles  la  fonction  dont  il 
s'agit  est  symétrique,  et  demeure  par  conséquent  la  même  pour  toutes 
les  planètes;  alors  le  calcul  devient  uniforme  et  général,  et  n'est  plus 
sujet  à  aueuiie  exeepiion.  On  a  de  cette  manière  les  variations  des  élé- 
ments de  chacune  des  orbites  rapportées  au  centre  commun  de  gravité, 
et  l'on  démontre  par  une  même  Analyse  que  le  grand  axe  de  chacune 
(le  ces  orbites  ne  peut  avoir  dans  les  deux  premières  approximations 
aucune  inégalité  croissant  comme  le  temps.  Or  il  est  facile  de  passer  du 
mouvement  autour  du  centre  de  gravité  au  mouvement  autour  du  Soleil, 
et,  en  regardant  celui-ci  comme  elliptique,  on  trouve  facilement,  par  la 
Théorie  des  osculations,  les  expressions  variables  des  éléments.  Par  ce 
moyen  je  démontre  la  proposition  générale  de  la  non-existence  des  iné- 
galités proportionnelles  au  temps  dans  les  grands  axes  des  planètes  rap- 
portées au  Soleil. 

L'objet  de  ce  Mémoire  est  d'exposer  les  Nouvelles  formules  que  j'ai 
trouvées  pour  les  variations  des  éléments  des  planètes,  ainsi  que  leur 
application  aux  variations  des  grands  axes,  et  de  développer  surtout 
l'Analyse  qui  m'y  a  conduit,  et  qui  me  paraît  mériter  l'attention  des 
Géomètres  par  son  uniformité  et  par  sa  généralité,  puisqu'elle  est  indé- 
pendante de  la  considération  des  orbites  elliptiques,  et  qu'elle  peut 
s'appliquer  avec  le  même  succès  à  toute  autre  hypothèse  de  gravitation 
dans  laquelle  les  orbites  ne  seraient  plus  des  sections  coniques. 

Ayant  montré  à  31.  de  Laplace  mes  formules  et  mon  Analyse,  il  me 
montra  de  son  côté  en  même  temps  des  formules  analogues  qui  donnent 

les  variations  des  éléments  elliptiques  par  les  différences  partielles  d'une 
môme  fonction,  relatives  à  ces  éléments.  J'ignore  comment  il  y  est  par- 
venu; mais  je  présume  qu'il  les  a  trouvées  par  une  combinaison  adroite 
des  formules  qu'il  avait  données  dans  la  Mécanique  céleste  (*).  Ainsi  son 

(*)  Depuis  la  lecture  do  ce  Mémoire,  M.  de  Laplace  a  publié  ses  formules  dans  un  Su/mlc- 
ment  à  la  Mécanique  cclestc. 


720  MÉMOIRE  SUR  LA  THÉORIE  DES  VARIATIONS 

travail  et  le  mien,  conduisant  au  même  but  par  des  chemins  différents, 
peuvent  servir  également  à  l'avancement  de  l'Analyse  et  de  l'Astronomie 
physique. 

Formules  générales  pour  la  variation  des  éléments  des  planètes. 

\ .  Je  prends  la  masse  du  Soleil  pour  l'unité,  et  je  désigne  par  m,  m', 
m",...  les  masses  des  différentes  planètes.  Ces  quantités  seront  des  frac- 
tions très-petites,  et  l'on  pourra  distinguer  en  différents  ordres  de  peti- 
tesses les  termes  qui  contiendront  ces  quantités  à  la  première,  ou  à  la 
deuxième,  ou  à  la  troisième,...  dimension. 

Je  rapporte  d'abord  le  mouvement  des  planètes  au  centre  du  Soleil 
par  les  coordonnées  rectangles  œ,  y,  z  pour  la  planète  m  ;  œ',  y,  z'  pour 
la  planète  m';  x",y",  z"  pour  la  planète  m",  etc.,  et  je  fais,  pour  abréger, 


/*  = 

--  \Jx-    -r 

■  r" 

-t- 

2% 

r'z=: 

■-  sjx"  -T 

-r" 

-h 

2'S 

r'"-^- 

--Sjx"'^- 

■y"' 

-i- 

Z'", 

r.  ,Y  I  xx'  -^  yy'  -'-  zz'~\ 

„  r ^i _  xx" -^  Vf" -h  ^z''! 


j'ai  pour  la  planète  m  les  équations  suivantes,  dans  lesquelles  t  est  le 
temps  et  où  dt  est  constant, 

(Px        I  -^  m  dQ. 


dl'^  r^  dx 


d\r        I  ~-  m   ^ dH 

d' z        \  -h  m     dQ. 

W'  '^      r'      ^  '^  dz' 


DES   ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,  ETC.  721 

Car, 'si  l'on  forme  les  différences  partielles  de  la  fonction  ù  suivant  les 
variables  ce,  y,  z,  on  a  les  expressions  des  forces  dues  à  l'attraction  des 
planètes  m',  m",...,  décomposées  suivant  les  coordonnées  oc,  y,  z. 

On  aura  de  pareilles  équations  pour  la  planète  m',  en  changeant  m 
en  m',  eix,y,  z  en  oc',  y',  z',  et  réciproquement;  mais  alors  la  fonction  12 
changera,  et  pourra  être  désignée  par  0';  et  ainsi  pour  les  autres  pla- 
nètes. Je  crois  avoir  employé  le  premier  les  équations  des  planètes  sous 
cette  forme  très-simple,  qui  est  maintenant  généralement  adoptée. 

2.  Comme  l'effet  de  l'action  des  planètes  perturbatrices  est  contenu 
dans  la  fonction  Q.,  en  rejetant  les  termes  qui  en  dépendent,  on  a,  pour 
le  mouvement  de  la  planète  m,  en  tant  qu'elle  n'est  attirée  que  par  le 
Soleil,  les  trois  équations 


d'x 
dl^-^- 

I  -"  m 

,.3           ^=0, 

dW 

-^  4- 

dV 

I  -+-  m 

d'z 

dt^^ 

I  -t-  m 

z  z:rz  o. 

1' 

Les  intégrales  de  ces  équations  sont  assez  connues,  et  donnent  une 
ellipse  décrite  suivant  les  lois  de  Kepler;  mais  nous  n'en  avons  pas 
besoin  ici,  et  il  suffit  pour  notre  objet  de  faire  les  remarques  suivantes  : 

i*^  Que  les  valeurs  des  coordonnées  sont  des  fonctions  du  temps  et 
des  six  constantes  arbitraires  introduites  par  les  six  intégrations,  et  que 
nous  désignerons  par  a,  h,  c,f,  g,  h.  Elles  déterminent  la  grandeur  et 
la  position  de  l'ellipse  sur  le  plan  de  projection,  ainsi  que  le  lieu  de  la 
planète  dans  un  instant  donné,  et  on  les  nomme  en  Astronomie  éléments 
de  la  planète  ; 

2^  Que,  si  l'on  dénote  par  2a  le  grand  axe  de  l'orbite  elliptique  de  hi 
planète  m,  en  sorte  que  a  soit  la  distance  moyenne,  son  mouvement 
moyen,  qui  est  proportionnel  au  temps,  sera  exprimé  par  nt,  en  faisant 


"=\/'t. 


VI. 


722  MÉMOIRE  SUR   LA  THEORIE  DES  VARIATIONS 

t't  que  les  coordonnées  x,  y,  z  pourront  être  exprimées  en  séries  de 
sinus  et  cosinus  d'angles  multiples  de  nt,  dont  les  coefficients  seront  des 
fondions  données  des  éléments  a,  b,  — 


3.  Considérons  maintenant  les  perturbations  dues  a  l'action  des  autres 
planètes,  qui  introduit  dans  les  équations  les  termes  dépendant  de  la 
fonction  ù.  Pour  avoir  égard  à  ces  termes,  la  méthode  la  plus  simple 
est  celle  de  la  variation  des  constantes  arbitraires  que  j'ai  employée  de- 
puis longtemps;  suivant  les  principes  de  cette  méthode,  que  j'ai  exposée 
d'une  manière  générale  dans  les  Mémoires  de  l'Académie  de  Berlin  de 
1775,  page  i9o(*),  comme  les  équations  différentielles  auxquelles  il 
s'agit  de  satisfaire  sont  du  second  ordre,  on  conservera  les  expressions 
elliptiques  des  coordonnées  x,  j,  z,  ainsi  que  celles  des  différentielles 

7^'  ~/7'  17'  '^^^^^  ^"  y  regardant  les  constantes  a,  b,  c,...  comme  va- 
riables, et  l'on  vérifiera  les  équations  par  la  variation  de  ces  constantes 
dans  les  différentielles  secondes. 

Désignons  pour  un  moment  par  la  caractéristique  è  les  différentielles 
provenant  de  la  variation  des  constantes,  tandis  que  la  caractéristique 
ordinaire  d  se  rapporte  à  la  variation  de  t.  La  différence  première  de  x 
aura  pour  valeur  complète,  en  faisant  tout  varier,  dx  -^  ^x\  donc,  sup- 
posant 007  =  0,  elle  sera  simplement  dx\  ainsi  la  valeur  complète  de  la 
différence  seconde  de  x  sera  ddx  -+-  âdx;  mais  la  partie  ddx  satisfait 

à  j'équation  en  x  sans  le  terme  y-  qui  en  forme  le  second  membre , 

quelles  que  soient  les  valeurs  des  constantes,  puisque  l'équation  se  vé- 
rifie identiquement;  donc  l'autre  partie  doit  vérifier  le  reste  de  l'équa- 
tion. Ainsi  l'on  aura 

ddx  _dQ. 

dP    ~~  dx 

de  sorte  que,  relativement  à  l'équation  en  x,  on  aura  par  la  variation 

(*)  OEiwres  de  Lagrange,  t.  IV.  p.  iSg  cl  suiv. 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,  ETC.  723 

(les  constantes  arbitraires  les  deux  équations 

^  0  dx        (10. 

OX  :--.  O,  ,  -,-  . 

Ut'  (IX 

On  aura  de  même,  relativement  à  l'équation  en  j,  les  deux  équations 

.  à  dy      dil 

^•^*     °'     -W  =  d^' 

et,  relativement  à  l'équation  en  z,  les  deux  équations 

.  à  dz      dO. 

àz  — -  o,      —, —  =  — —  . 
df        dz 

Ainsi  l'on  aura  en  tout  six  équations  différentielles  du  premiei'  ordre 
entre  les  six  constantes  arbitraires  a,  b,  c,f,  g,  h,  devenues  variables. 

Maintenant,  comme  x,  y,  z  sont  des  fonctions  supposées  connues  de 
t,  a,  h,  c,...,\\  est  facile  de  voir  que  l'on  a 

-  (Ix   j         dx   „        dx   ,         dx    ,„       dx    ,         dx    ,, 

àx  =z  -j-  da  -\-  -7,  db  H — >—  de  -■ ~t  df  4-  -,—  dg -\-  -yr  d/i, 

da  db  de  dj    -^        dg    ^       dli 

et,  comme  dx  =  ~  dt,  on  aura  pareillement 

èdx        d-x    j  (Px    ,,        d-x    ,         d^x     ,^        d^x     ,  d'x     ,, 

iir  =  dura'^''-^drdrb'^^'^-drdi;'^'-^dïdf'^'f^^dT(i^'^s--- 

ainsi  les  deux  équations  ^x  --  o  et  --:—  =~di  donneront  ces  deux-ci 

dx   ,          dx   ,,        dx   ,         dx  ,„       dx    ,  dx   ,, 

da  db  de  df    ''        dg    °       dh 

(Px    ,  (Px    „        (Px    j         (Px    ,„        (Px     ,  (Px     ,,        dil    . 

-.— -  da  H-   ,—,7  db  -h  -,— .-  de  ~   ,—j-.  dj  -i-    .,  ,     dg  -h  -  — ^  dit  —  -,     (//, 
dtda  dtdb  dtdc  dtdf    -^       dldg    ^       dtdli  dx 

et  l'on  aura  de  pareilles  équations  en /  et  en  s,  en  cbangeant  seulement 
^  en  J  et  en  z. 

Ces  six  équations  donneront  les  six  différentielles  da,  db,...  par  l'éli- 
mination ordinaire;  mais  on  aurait  de  cette  manière  des  formules  très- 

9'- 


72i  MÉMOIRE  SUR  LA  THÉORIE  DES  VARIATIONS 

compliquées.  Heureusement  j'ai  trouvé  une  combinaison  de  ces  équa- 
tions qui  conduit  à  des  résultats  simples  et  très-remarquables,  et  que  je 
vais  exposer. 

4-.  Je  retranche  la  première  équation  multipliée  par  y-y-  de  la  seconde 

cl  OC 

multipliée  par  y-  :  j'ai 

dQ  dx   ,        .    „       ^  ,        ^  ,.      ^  . 


dx  da 

i         AJ  L«  1^ 

1      v^  Liy       1      u  I 

en  faisant,  pour  abréger. 

dx 

dKr 
dtdb 

dx  d^x 
db  dtda 

da 

d\r 
dtdc 

dx  d-x 
de   dtda 

dx 

d'x 

dx    d-x 

^  =  da 

dtdf 

df  dtda 

B  =  f 

da 

d'x 

dTd^ 

dx  d-x 
dg  dtda 

E  =  i!^ 

d\x 

dx    d^x 

7/            7.1 

da  dtdli        dli  dtda 


Mais,  pour  mieux  conserver  la  signification  de  ces  formules,  nous 
emploierons  à  la  place  des  lettres  A,  B,  C...  les  symboles  {x,a,  b), 
{œ,  a,c),  {x,  a,/),...',  ainsi  l'expression 


d-x         dx   r/^r 


db  dtda        da  dtdb 

sera  représentée  par  (x,  h,  a),  parce  qu'elle  ne  diffère  de  celle  de  A  que 
par  l'échange  des  lettres  a,  b-,  et,  comme  elle  est  égale  à  —  A,  il  s'en- 
suit que  l'on  aura 

{x,  b,  a)  .=  —  [x,  a,  b). 

Donc,  en  général,  l'échange  des  lettres  qui  suivent  la  lettre  x  ne  fera 
que  rendre  la  quantité  négative;  et  l'on  voit  aussi  que  [x,  a,  a)  =  o. 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,   ETC.  7-2o 

De  cette  manière  j'aurai 

dil  dx 

-j-  -,-  dt  =  {x,  a,  b)  (II)  '  (.r,  a,  c]  de  \'  [x,  a,  f)  df  4-  [x,  a,  g)  dg  -4-  (x,  a,  h)  dli. 

Les  mêmes  équations  étant  multipliées,  la  seconde  par  -  ."^  et  la  pre- 

d'^  V 
miere  par   /^  j^y  et  ensuite  retranchées  l'une  de  l'autre,  donneront 

dil  dx 

d^  ~db  ^'  ^'  ~  ^■^'  ^''  ^^  ^'"  '^'  ^"^ '  '''  ^  •*  ^'^"  '''  ^■^'  ^'-^^  '^•^'^  '^■^'  ^'  ^^  ''^'" "*"  ^■^'  ^'  ^'^  ^'^'' 

équation  qu'on  peut  déduire  immédiatement  de  la  précédente  par  l'é- 
change des  lettres  a  et  h  entre  elles,  et  en  se  souvenant  que 

{x,  b,  a)  ^=  —  {x,  a,  b). 

Par  le  même  procédé,  mais  prenant  -j-  et  -.-.  pour  multiplicateurs, 
on  aura 

dil  dx 

dx  "de  ^^^  ~  "  ^■^'  "'  ^^  ^^"  "  ^■^'  ^'  ^^  ^^^  ^  ^^'  ^'-^^  ^^"^"^  ^^'  ^'  ^^  ^^  "^  ^■^'  ^''  ^'^  ^^^'' 

ce  qui  se  déduit  aussi  de  la  premiers  en  y  changeant  a  en  c  et  c  en  a. 

Continuant  ainsi,  on  aura  encore  trois  autres  équations  qu'on  pourra 
déduire  successivement  de  la  première,  en  y  échangeant  a  en/,  en  g, 
en  h,  et  vice  versa. 

dO  dr 

Ix  W'  ^^'  "^  ""("^'  "'/)  ^^^^  ~  (*^'  ^'/)  ^^''  "  (^'  '^'Z)  ^^^'  "^'  (-^'Z'  ^)  ^^S"-^  (•^'■/'  /'  '^/'' 

dil  dx 


'ft 


^/O  dx 

On  aura  de  pareilles  équations  pour  les  valeurs  de  -j^  ^?  ^  ^  '"■' 
et  pour  cela  il  ne  faudra  que  changer  dans  les  précédentes  x  en/;  et  l'on 


72G  MÉMOIRE  SUR  LA  THEORIE  DES  VARIATIONS 

,  .,,  111     dO-  dz     (IQ.  dz 

en  aura  encore  de  pareilles  pour  les  valeurs  de  -5 — p-'  -» — ir^'-  •>  en 
'^  ^  dz   fia     dz   do 

changeant  simplement  ^  en  s  dans  celles  qu'on  vient  de  trouver. 
Maintenant,  si  l'on  ajoute  ensemble  les  valeurs  de  -, ^^  -, — r-j 

■'  dx    da      dy^    da 

-r-  -j-i  et  qu'on  se  rappelle  que  Q.  n'est  fonction  que  de  x,  y,  z,  x' ,  y', 

z',...,  et  que  les  constantes  a,  b,  c,f,  g,  h  ne  sont  contenues  que  dans 
X,  y,  z,  il  est  visible  qu'on  aura 

dQ.  dx    ^    dil  dr   ,    dil  dz  _  dil 
dx  da    '    dy  da        dz    da        da 

et  par  conséquent 

-T—  dt  —  \{x,  a,  b)  H-  (j,  a,  b)  —  {z,  a,  b)]db 

^  [(^',  a,  c)  ~h  {y,  a,  c)-¥-{z,  a,  c)]  de 
-h  [{X,  a,f)  4-  [y,  a,  f)  h-  (z,  a,  /)]  df 

-i-  [(■^.  «.  g)  +  (  J.  «'  g)  +  (-s»  a,  g-)]  dg 
-f-  [(.r,  a,  A)  -1-  (jy  a,  h)  -{-  {z,  a,  hj]  dh. 

5.  Pour  avoir  les  valeurs  des  coefficients  de  db,  de,  df,...  dans  cette 
équation,  il  faudrait  substituer  dans  les  expressions  de  [x,  a,  b), 
{y,a,b),  {z,a,b),  {x,  a,  c),...  les  valeurs  elliptiques  (\ex,y,  z  en  t 
et  a,  b,  c,  f,  g,  h,  et  exécuter  les  différentiations  partielles  relatives  à 
ces  quantités;  et  il  est  facile  de  voir  qu'on  aura  pour  les  coefficients 
dont  il  s'agit  les  mêmes  fonctions  des  quantités  /,  a,  b,  c,  f,  g,  h,  soit 
que  les  six  dernières  soient  supposées  variables  ou  constantes.  En  les 
supposant  constantes,  les  valeurs  de  x,  y,  z  satisfont  aux  équations 

d'^x        I  -4-  m 

—j 1 X  ~z  O, 

dP  r^  ' 

d^y^        I  -4-  m 

dt'  r'     ^         ' 

d'^z        \  -\-  m 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,  ETC.        727 

quelles  que  soient  ces  constantes,  puisqu'elles  sont  arbitraires.  Donc  les 
mêmes  équations  seront  encore  satisfaites  si  l'on  donne  à  une  de  ces 
constantes,  comme  a,  l'accroissement  infiniment  petit  et  constant  ^a. 
Or  il  est  clair  que  les  accroissements  correspondants  de  oc,  y,  z  seronf 

*        (f^  -,       ^        (ly  ^        -<        <h  . 
cla  -'       da  du 

et  ces  valeurs  devront  par  conséquent  satisfaire  aux  équations  précé- 
dentes différentiées  suivant  la  caractéristique  o.  Pour  simplifier  ces  dif- 
férentiations,  je  mets  les  équations  dont  il  s'agit  sous  cette  forme  plus 
simple  et  équivalente 

d'x  r 

—j —  =^  (  I  -f-  m  )  -7—  ) 
dP        ^  '  dx 

et,  différentiant  suivant  ù,  j'ai,  à  cause  que  les  caractéristiques  </et  0 
sont  censées  indépendantes  entre  elles,  et  que  par  conséquent  qcI-  est 
la  même  chose  que  d'à, 

d-ox  N         '■     s 

-^^  =  (i  +  m)\-^     dx 

d'  (5j 


dt' 


=  (i-f-m)' 


d'èz       ,  A         r     . 

— Ï-—  =  (i  -f-  m)\  -7 — ,-  ox 
dt^        ^  '\dxdz 

et  ces  équations  seront  satisfaites  également  par  les  valeurs 

dx  ^  dr  ^         ^         dz  ^ 

dx  —  '^-  oa,     ôr  =  -;-  oa,     oz  —  -r-  oa, 
da  ''        da  da 


728  MÉMOIRE  SUR   LA  THEORIE  DES  VARIATIONS 

et  par  celles-ci 


ou  par 


dx 


dz 
db 


db, 


ÙX 


dy  dz 

,    oc,     oy=-i-ûc,     ùzr^-j-àc, 
de  -^        de  de 


et  ainsi  de  suite,  en  prenant  pour  ^a,  ob,  ^c,...  des  constantes  infini- 
ment petites. 

Substituons  les  deux  premiers  systèmes  de  valeurs  de  ox,  ^j,  o:;  dans 
la  première  équation;  elle  donnera,  en  divisant  par  da  et  ^b, 


d^x         ,  \       r  dx 

=  (i-h  m)\  -T--    ,-  H 


d' 


dr 


d' 


dz 


dPda 

d^x 
dPdb 


dx^  da        dxdy^  da        dxdz  da  ^ 


m) 


r  dx 


d'--      ,  d'~      , 

r     dr  >^     dz 


^dx^  db    '    dxdy  db        dxdz   db 


Soustrayons  la  première  multipliée  par  -^  de  la  seconde  multipliée 

dx 


dx 
15 


par  -T-;  on  aura 
dx     d^x         dx    d^x 


r,/' 


da  dVdb       db  dt-da 


=   I  +  m 


r    [dx  dy^       dx  dy 


d' 


r    (dx  dz       dx  dz\ 


_dxdy\da  db       db  da )      dxdz\da  db       db  da) 


] 


Les  mêmes  systèmes  de  valeurs  de  ox,  ây,  dz  étant  substitués  dans  la 
seconde  équation,  il  en  résultera  deux  autres,  dont  la  première,  multi- 

pliée  par  -jj-  et  retranchée  de  la  seconde  multipliée  par  —■>  donnera 


dy    d^r        dy     d^r 

— ^  — '■ —  ^^  (  I  -\-  m 

da  dPdb      db  dPda       ^ 


L  dx  d) 


dx  dy       dx  dy 


dxdy  \db  da       da  db  j      dydz  \da  db 


d'- 

r    (  dy  dz       dy  dz 


dy  dz\ 
db  da) _ 


Enfin  la  troisième  équation,  traitée  de  la  même  manière,  donnera 
celle-ci 


dz     d^z         dz     d^z 


da  dPdb       db  dPda 


=rf  iH-zn       -, 


I         V    f  dx  dz 
\_dxdz  \db  da 


d'- 

dx  dz\  r     (dy  dz       dy  dz 

da  db)       dydz  \db  da       da  db 


]■ 


DKS   KLÉMJ'NTS  DES  PLANÈTES,    BTC.  729 

Qu'on    ajoute    miiiiilcnaiil    ces    trois    nni;.lioiis    rnsfiiiMc,    1,-    s('c.,n,l 
in('ml)ro  s'évanouit,  et  l'on  ;i  sini|>lcincnl 

'^  J^  _  ^  J^  ^  ^  _^  _  ./r    d^r        ./.     ./  .        ./.     ./.. 

^A/    ffPf/h        .M  dP</a        c/a  <lPdb        7W  JFda  "^  d^  dFJh  ~  Tfb  UFIÛl  =  '^• 

Commo  il  n'y  a  propreni.-nl  ,,nr  Ir  /  .h-  varial.lr  dans  <..||r  r.,ua(i.H.. 
elle  est  évidemment  intéi-rahle,  el  son  intc-rale  est 

^i^-^i^  +  ^_^_'/)-    ^h-   _^dz    d'z         dz    d'z 

da  dtdh        db  dtda       da  dldb        Tïb  TûdFx-^  d7i  dJ7lT>  "  Tfb  JfTa  =  ^' 

K  étant  une  constante  qui  pourra  être  fonction  dos  constantes  a,  h,  c, 

Or  il  est  visible  que  le  premier  membre  de  celte  équation  n'est  antre 
chose  que  ce  que  nous  avons  représenté  par 

{x,  a,  b)-\-  ij-,  a,  b)-h{z,  a,  b); 

ainsi  la  valeur  de  cette  expression  qui  forme  le  eoellicienl  de  dh,  .I;,m^ 
la  valeur  de  ^  dt  donnée  ci-dessus  J4),  sera  indépendante  de  t  et  ne 
sera  que  fonction  des  six  éléments  a,  b,  c,f,  g,  h;  et,  pour  avoir  cette 
fonction,  il  n'y  aura  qu'à  rejeter  tous  les  termes  dépendants  de  /  dans 

l'expression  dont  il  s'agit,  après  la  substitution  des  valeurs  de  — ,  -^, 

dx  ''"    '^^^^" 

^v,  déduites  des  valeurs  elliptiques  de  x,y,  z. 

On  trouvera  par  une  analyse  semblable,  en  faisant  varier  successive- 
ment les  autres  constantes  c,/,  g,  h  des  différences  infmimeni  petites  el 
constantes  oc,  •?/,...,  et  employant  des  réductions  analot-ues,  (|ue  la 
valeur  de  l'expression 

(X,  a,  c)  -+-  {r,  a.  Ci  -+-  (  z,  a,  c 

sera  indépendante  de  l,  ainsi  (jue  celle  des  autres  expressions  analogues 
qui  forment  les  coelTicicnts  de  de,  r//',...  dans  la  valeur  de  '^"  ,{t 

dit 


730  MÉMOIRE  SUR   LA   THÉORIE  DES  VARIATIONS 

6.   Dénotons  par  les  symboles  ^a,  b),  (a,  c),  («,/),...  les  valeurs  des 
expressions 

dx    d'x        dy    d\y        dz     d'z    _  dx^    d'x   _  dy    d'y    _  dz^    à-'z 
"da  dtdb  "^  'dâ  dtîb  ^  dâ  dtdb  ^  db  dtda       db  dtda       db  dtda 

dx    d'x        dy    d'y        dz     d'z         dx    d'x    _  dy    d'y    _  dz^    d' z 
la  (itdc  "^  dâ.  dl de        dû  dt de        de  dt da       de  dt da       de  dt da ' 

dx    d-x        d)-    <Py        dz     d'z        dx    d-x  ^  dy^    d'y   _  <jz_    d'z 
'dâ  Itdf  "^  Tlâ  (Udf  ^  la  dtdf  ~  'df  dtda  "  df  dtda       df  dtda' 

lorsqu'on  y  fait  disparaître  tous  les  termes  qui  contiennent  /,  après  les 
substitutions  des  difïerences  partielles  des  valeurs  de  x,  y,  z\  on  aura 
cette  formule  très-remarquable 

-^  dt  =  [a,  b)  db  -+-  {a,  Cj  de  +  i  a,  f)  df  ^  [a,  g)  dg  -f-  [ a,  h  i  dh. 

En  procédant  de  la  niême  manière,  après  avoir  ajouté  ensemble  les 
trois  quantités 

dQdx^.       ^&iU      ^  'ii ,// 
dx    db       '      dy  db       '      dz   db 

dont  la^omme  est  égale  à  -rrdt,  et  fait  des  opérations  analogues,  on 
aura  la  formule 

'^  dt  —  —  a,  b)  da  -f-  [b,  c)dc  H-  [b,  f)  df  +  (  b,  g)  dg  -f-  (  6,  h)  dh, 

dans  laquelle  les  symboles  (6,  cj,  'h,f),  (b,  g),...  dénotent  les  valeurs 
des  expressions 

dx     d'x         dy    d'y         dz     d'z         dx     d'x         dy    d'y         dz     d'z 
db   dlde        db  dtde        db  dtdc        de   dtdb        de   dtdb       de  dtdb 

dx     d^x         dy    d'y         dz     d'z         dx     d'x         dy    d'y         dz     d'z 


db  dtdf       db  dtdf  "  dh  dtdf       df  dtdb       df  dtdb       df  dtdb 

dx     d'x         dy    d'y         dz     d'z         dx     d'x         dy    d'y         dz     d'z 
db    dt(/g       db   dtdg       dh   dtdg       dg    dtdb        dg  dtdb        dg  dtdb 

lorsqu'on  en  fait  disparaître  le  temps  /  après  les  substitutions. 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,  ETC.        7:^1 

Kl  l'on  voit  (|iM'  celle  rormiile  peiil  se  dédiiii'e  de  l;i  |)réeéclentt'  (Mi   \ 
cliangoaiil  eiili'e  elles  les  (jiiaiitilés  (t  el  A,  el  uhseivaiil  (|ti(t 

(h,a)Tzz  —  {a,  h  , 

comme  cela  se  voit  par  les  vaieiii's  des  symboles  (a,  h ,  et  ' b,  a]\  el  cela 
a  lieu,  en  ij^énérnl,  pour  tous  ces  symboles. 

Ou  aura  donc  ainsi  les  quatre  formules  correspondantes 

-j-  dt  =  —{a,  c)da  —  [b,  c)  db  -+-  (c,  /;  df  -h  {c,  g)  dg -\   •  c,  li   <lli. 

dQ. 

-  -  dt=-(a,  f)  da—   b,  f  db  -  (  c,  f  ]  de  -+-  (f,  g}dg-h  j\  h   dh , 

d^l 

-y-  dt  ^-  -    a,  g)  du  —    b,g)db  -    r,  g)  de  -  (/,  g)  df  -+-   g,  h )  dh, 

dQ. 

—r-  dl  =^  —  \  a.  Il  )da  —  { b,  h  )  db  —  y  a,  li    de  —  [f,  h)  df  —  y  g,  h  i  dg. 

• 

7.  Il  est  bien  remarquable  que  les  différences  partielles  de  la  fonc- 
tion il,  relatives  aux  constantes  arbitraires,  puissent  s'exprimer  ainsi 
par  des  fonctions  diflerentielles  de  ces  mêmes  constantes  sans  que  le 
temps  ^y  entre.  Il  s'ensuit  qu'on  pourra  également  exprimer  les  diffé- 
rentielles ^-5  -7-»  -Y-->-'  par  les  différences  partielles  de  la  fonction  iï 
dt     dt     dt        ^  ^ 

relatives  aux  éléments  a,  b,  c,...,  multipliées  par  de  simples  fonctions 
de  ces  quantités  sans  t;  car  il  n'y  aura  qu'à  déduire  les  valeurs  de  ces 
différentielles  des  six  équations  précédenles  par  les  méthodes  ordinaires 
de  l'élimination,  et  il  est  visible  qu'elles  seront  toutes  de  la  forme 

/^  dil      ..dil      ^,dil       .^dil      ^,  //i>       „f/i2\   . 
V^Tb^-^'^db^''^^  ''  df  "-^'dg-^  "  -db  I  ^^' 

dans  laquelle  les  coefficients  A,  B,  C,  F,...  ne  seront  donnés  que  par  les 
coefTicients  (a,  b),  (a,  c),  (b,  c),...,  et  ne  seront  pai-  conséquent  (|ue  de 
simples  fonctions  des  éléments  sans  /;  ce  qui  fournil  un  Tlicorènie  très- 
important  et  très-utile  dans  la  Théorie  des  perturbations  des  planètes. 

92. 


732  MÉMOIRE  SUR   LA   THÉORIE  DES  VARIATIONS 

Il  est  bon  de  reniai'quer  encore  que  la  même  analyse  servirait  égale- 
ment si  ratlraction,  au  lieu  d'agir  en  raison  inverse  du  carré  des  di- 
stances, suivait  la  loi  d'une  autre  fonction  quelconque  de  la  dislance.  Car 
soit,  en  général,  /  la  distance,  et  supposons  que  l'allraction,  au  lieu 

d'être  proportionnelle  à  — ^  soit  proportionnelle  à  9 (r,;  il  n'y  aura  (ju'à 
met  Ire  dans  les  équations  différentielles  les  termes  —-  — ,•  —,  sous  la 

*  »i  3  11 3  »i  3 

forme 


dl  d'-  d'- 

r  r  r 

dx  dy  dz 

et  remplacer  ensuite  -  par  —  /  9  [r]  dr.  De  même,  dans  la  fonction  il,  il 
faudra  mettre 

ûf/9  (  r'  )  dr'        dj9  (  f-'  )  ^''        df^  (  r '  ;  dr' 
V  dx'  dy'  dz' 

à  la  place  de  ~^->  '—^-  -7^5  ^^  ~  /  ?{p')^p'  ''^  ^^  place  de  — ?  en  supposant, 
pour  abréger, 

p'  =  ^(.r  —  x'Y-h  [r  —  r' y  +  '' 2  —  z' Y, 

et  ainsi  pour  les  quantités  affectées  de  deux  traits, 

Enfin,   si   l'on   voulait  aussi   avoir  égard  à  la   figure  des  planètes 
perturbatrices,  il  n'y  aurait  qu'à  substituer  pour  la  planète  m',  à  la 

place  de  m'  j  o(r')dr',  m'  j  Z'{p')dp',  les  quantités  ^dm'  j  (p{r)dr', 

^dm'  I  o{p')dp',  en  supposant  que  les  rayons  r',  p'  soient  dirigés  à 

chaque  élément  dm'  de  la  planète  m',  et  que  l'intégrale  dénotée  par  la 

caractéristique  ^  soit  prise  pour  toute  la  masse  m',  en  ne  faisant  varier 

que  les  coordonnées  qui  déterminent  la  position  de  dm'  relativement  au 
centre  de  la  planète,  et  regardant  comme  constantes  les  coordonnées  oc', 
y,  :;'  de  ce  centre;  et  ainsi  pour  les  autres  planètes.  Cela  suit  du  Théorème 


DES  ÉLÉMENTS   DES   PLANÈTES,    ETC.  7:^3 

(juc  j'ai  (lonnron  1774,  dans  l'Article  X|I  de  la  P'ihce  Sur  l'éqimf ion  sec u^ 
laire  de  la  Lune.  [Voyez  le  tome  Vil  des  Savants  étrangers  {')\. 

8.  Nous  venons  de  montrer  comment  on  peut  obtenir  les  valeurs  d.s 
difrénmtielles  de  tous  les  éléments  par  les  difrérenees  partielles  dr  l;i 
lonetion  il  relatives  à  ces  éléments.  Mais,  pour  le  grand  axe,  j'ai  trouvé, 
il  y  a  longtemps,  que  sa  didérentielle  peut  s'exprimer  par  la  dilTérence 
partielle  de  il  relative  au  temps  t,  en  tant  qu'il  entre  dans  les  valeuis 
elliptiques  de  x,  y,  z.  On  parvient  à  ce  résultat  par  la  considération 
suivante. 

Soit  0  =  o  une  des  intégrales  des  trois  équalions  en  x,  y,  z  dans  les 
cas  où  les  termes  dépendant  de  il  sont  nuls;  la  quantité  <1>  sera  lonetion 

1  dx      dy     dz  , 

(le  X,  y,  Zy  ^,  -^,  —,  et  (le  a,  h,  c,.  ..,  ou  de  quelques-UFies  de  ces 

quantités  seulement.  En  regardante,  b,  c,...  comme  constantes,  l'équa- 
tion r/4)  =  o  devient  identique  par  la  substitution  des  valeurs  de  x,  y,  z 
en  t  et  en  a,  b,  c,...;  maison  les  regardant  comme  variables  et  dénotant 
par  la  caractéristique  5  les  différentielles  relatives  à  ces  variables,  tandis 
que  la  caractéristique  ordinaire  û?  se  rapporte  à  la  variable  /,  la  diiïéren- 
tiation  complète  de  0  donnera  l'équation  c^O  +  ^0  =  o:  et  comme  r/<l) 
est  identiquement  nul  par  l'hypotbèse,  on  aura  simplement  o(i)  =  o. 
Or  il  est  facile  de  voir  que  l'on  a 

d^  dy  •         dz  .dx    dt  ,dy    ilt  ,dz    dt 

dt  (il  dt 

d'^   ,         dA)   ,,        d<l>   , 

-h  -j—  art  -*-  -Yj-  db  -\ y-  de  -h  ...  . 

(la  dl>  de 

Mais  on  a  vu  au  commencement  (3)  que  les  conditions  de  In  variation 
des  éléments  sont 

èx  =  o,  ày=  o,  oz  =  o, 

ddx       (tLl    .         ddy       dil  ^         èdz        dLl    . 
~Tr  —  T'  "''      -77  —  -7—  dt.      ——-  =  —-  de, 

dt  dx  dt  dy  dt  dz 

{*)  OEin'rc'i  de  Ldi^raiiirr,   t.  VK  p.  348. 


7;li  MÉMOIKE  SUR   LA  THÉORIE   DES  VARIATIONS 

donc  on  aura  l'équation 

/  c/^    du        d^    dil        d<^    dil  ■.     .        r/O   ,        f/O   ,, 

/  — -j-  -, 1 T-  J ^-  "~T"  -j—  \dl  -\-  -—  da--   j^  db  -h..  .=  o. 

I     ,  (/.T  dx         ,  dy^  dy  ,azdz  a  a  db 

Yw       '^di  '     "^dt 

Il  s'ensuit  de  là  que,  si  la  (onction  <&  ne  contient  qu'une  seule  des 
constantes  arbitraires  a,  b,...,  on  aura  sur-le-champ  par  cette  équation 
la  valeur  de  sa  différentielle  dégagée  de  toutes  les  autres. 

Ainsi,  en  prenant  l'intégrale  connue 

dx-  -f-  dr^  -+-  dz^  f  i  i 

•^  ï  -h  m'  ' 


idP  \r        ia ^ 

laquelle  résulte  immédiatement  des  trois  équations  fondamentales 


dl' 

-f- 

I  H-  m 

X 

=. 

O, 

d^r 

+ 

I  +  m 

T 

= 

O, 

dt^ 

r' 

d^z 
dP 

-f 

I  H-  m 

'7 

= 

♦;, 

multipliées  respectivement  par  dx,  dy,  dz,  et  ensuite  ajoutées  ensemble, 
et  dans  laquelle  on  démontre  facilement  que  la  constante  arbitraire  2 a 
représente  le  grand  axe  de  l'ellipse,  la  formule  précédente  donne  tout 

de  suite 

dLl    ,         rfO    ,         dLÏ    j        ^  j  i 

-j—  dx  -\ -—  rf V  H — j—  ciz  -h  (  \  -h  m)  d  —  =  o  ; 

ax  df     "^        dz  ia 

et,  comme  ici  les  différentielles  dx,  dy,  dz  se  rapportent  uniquement 
à  t,  il  est  clair  que  cette  équation  peut  être  représentée  plus  simple- 
ment par 

— ,-  n  dt  -\-  [\  -\-  m)  d  —  =  o, 
ndt  ia 


de  sorte  qu'on  aura 


,  ?.a^      dil       , 

da  :rzr ■  — -  n  dt. 

I  +  m  n  cit 


im:s  klkments  des  planètes,  etc.       735 

J'écris  n  (Il  (hiiis  l;i  (riirùreiitialioii  |»;irli('ll('  de  il  pour  (prou  ne  lasse 
varier  le  /  (lu'aulaiil  (jiTil  sci'a  coiiIl'Iui  dans  x,  y,  ;;,  oii  il  est  iiitilliplic 
par  n. 

Telles  sonl  les  foniuiles  les  plus  simples  |)our  la  variation  des  élé- 
ments des  planètes.  Nous  allons  les  employer  d'abord  |)onr  la  variation 
du  i^rand  axe. 

VaIUVTIOIV    du    (iliAJVl)     \xi:. 

Première  approximation. 
y.   i.a  variation  du  grand  axe  -la  est  la  plus  im|)ortante,  parée  {\\xv. 
eelle  du  moyen  mouvement  ni  en  dépend  ii  cause  de  /a  =  i/'  '^^-.  et  le 

point  princij-al  est  de  déterminer  si  la  dillérentielle  da  j)eul  contenir  un 
terme  constant,  tel  que  Y^dl\  car  ce  terme  donnerait  K/  dans  l'expression 
de  a  :  d'où  résulterait  un  terme  proportionnel  à  t-  dans  celle  du  mouve- 
ment moyen,  lequel  donnerait  une  équation  séculaire  croissant  comme 
le  carré  du  temps. 

Comme  les  variations  des  éléments  dépendent  toutes  des  différentiel  les 
partielles  de  la  quantité  il,  qui  est  ujie  lonction  algébrique  des  coordon- 
nées X,  y,  Zy  x' ,  y,  z' ,  x" ,  y,  z" ,...  des  planètes  m,  m  ,  m,...,  il  lanl 
commencer  par  substituer,  ou  du  moins  supposer  qu'on  ait  substitue 
dans  cette  (onction  les  valeurs  elliptiques  connues  de  ces  coordonnées, 
lesquelles  sont  fonctions  de  làxnnt,  cos nt  et  des  éléments  a,  b.  c,  /',  ^',  // 
pour  la  planète  m,  et  fonctions  semblables  de  sin/i7,  Q.oi^n  i  et  des  élé- 
ments a',  b' ,  c,  /',  «•',  h'  |)our  la  planète  m \  en  faisant  n' =:  i/ — - — i 
et  ainsi  pour  les  autres  planètes. 

De  cette  manière  la  quantité  ii  deviendra  fonction  de  siuA//,  cos/?/. 
s'mn't,  cosn't,...,  et  de  a,  b,  c,  f,  g,  h,  a' ,  b',  c  ,/',  g\  h  ,...:  et,  comme 
les  valeurs  des  coordonnées  peuvent  être  réduites  en  séries  de  sinus  et 

cosinus  d'angles  multiples  de  nt,  ou  n  t,  ou  n" t il  est  facile  de  voir 

que  la  lonction  il  pourra  être  réduite  en  une  S(''rie  de  sinus  ou  cosinus 
d'angles  tels  (]uv  int  +  i  n  t  -h  i" n" t  -h...,  en  dénotant  j)ai'/.  / ,  /",...  des 


73(;  MÉMOIRE  SUR   LA  THÉORIE   DES  VARIATIONS 

nombres  entiers;  ces  sinus  ou  cosinus  ayant  pour  coetïicients  des  fonc- 
tions des  éléments  a,  b,  c,f,  g,  fi,  a',  b' ,  c',.... 

La  première  approximation  consiste  à  regarder  dans  la  fonction  il 
tous  ces  éléments  comme  constants;  alors  un  terme  quelconque  de  cette 
fonction  sera  de  la  forme 

,       sin   /  .  .,    ,         .„    „  1 

/  X  int  H-  l' n'  t  -¥-  i  11  /  -i-  .  .  .  N 

ces  \  / 

le  coelficient  /étant  une  quantité  constante. 

Comme  dans  la  différence  partielle  — ^?  il  ne  faut  ditférenlier  que  par 

rapport  au  terme  nt,  où  t  est  affecté  de  n,  on  voit  que  le  terme  dont  il 
s'assit  donnera  dans  la  valeur  de  da  le  terme 

là' lin        +  ces  /  .   ^       .,    ,  ^       •//,/. 

X         .     (  int  +  l' n' t -h  i' n' t 

2H-  /n         —  sin  \ 

et  par  conséquent  dans  la  valeur  de  a  le  terme 

lina-I  sin  /  .  ...          .„    „ 

-  X  mt  +  in'  l  -4-  i"  n"t  -+- 


[i  -h  m)(in  +  i' n'  -4-  /" n" -f- . .  .  ;       ces 


d'où  l'on  voit  qu'il  ne  peut  jamais  en  résulter  des  termes  proportionnels 
à  t,  à  moins  que  l'on  ait 

in  -+-  i' n' -+-  i" n" -\-  .  .  .=  o, 

ce  (jui  est  à  peu  près  impossible,  vu  l'incommensurabilité  des  coetïi- 
cients n,  n\  n",...,  dans  notre  Système  planétaire. 

C'est  ainsi  que  j'avais  démontré,  dans  mon  Mémoire  de  1776,  ce 
Théorème  important,  que  les  grands  axes  des  planètes  ne  peuvent  être 
sujets  qu'à  des  variations  périodiques,  et  non  à  des  variations  croissant 
comme  le  temps  (*).  Mais  ce  Théorème  ne  pouvait  encore  être  regardé 
comme  exact  qu'en  se  bornant  à  la  première  approximation,  dans  la- 
quelle on  fait  abstraction  des  perturbations  qui  font  varier  tous  les  élé- 
ments a,  b,  €,/,  g,  h,  a',  b',  c', 

(*)  OEiwres  de  La  grange,  t.  IV,  p.  255. 


.   DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,  ETC.        T:n 

Seconde  approximation . 

<0.  Dans  cette  seconde  approximation,  nous  aurons  eyarcl  à  la  va- 
nat.on  des  éléments  qui  entrent  dans  la  fonction  12;  et.  comme  ces 
vanations  sont  fort  petites  parce  qu'elles  dépendent  elles-mêmes  <les 
'i'tï^Tcnces  partielles  des  fonctions  1>,  i2',...,  doni  lous  Irs  temn-s  sont 

mull.phés  parles  massesm,;.^^;^^'^....,,„isontdeslVactionstrès.petites. 
on  simplifiera  le  calcul  en  décomposant  chaque  élément  en  une  partie 
n^nstante  et  une  partie  variable  très-petite,  qu'on  pourra  dénoter  par  la 
caracleristique  A.  et  traiter  comme  on  traite  toutes  les  dillerences  finies. 
De  cette  manière  les  éléments  a,  a',  a",...,  b,  h',  b",...,  c,  c  ,  c"  de- 
viendront a  -f-  A«,  a'-h  ^a\  «"+  ^a",...,  b  +  ^h[ b' ^ ^b'  \"\  ^b'' 

^-^Ac,.'-^Ac^c''+A.^...,où.^.^a^...,/.,^^//',...,,,,.,,.,.  ^,^;^^^^ 

dorénavant  des  quantités  constantes,  et  A«,  A«',  Aa"....,  ^b,  ^b\  Aè",.. 
seront  les  seules  variables;  par  conséquent  les  diirérentie'lles  des  élé- 
ments da,  da',  da%...,  db,  db\  db",...  deviendront  simplemen.  d ^o 
db^a!,  ^/Aa",...,  dl^b,  d\b\  dAb",.... 

En  faisant  ces  substitutions,  et  développant  ensuite  par  la  méthode 
connue  suivant  les  puissances  et  les  produits  des  diflérences  Aa,  Aa', 
A/>,  A//,...,  la  fonction  U  deviendra  ii-f- Ai) +  XA^i2 -h. ...et  l'on  aura 


-"=^:?--,^— ,^-- 


ISC 


et  la  formule  de  la  variation  du  grand  axe  deviendra 

dAa  =  "^'^'-^^^y  ///O         (/Ail       ^  ri  A' il 

H-m       \ndl         nclt    "^  2    n dt     "^ 
VI. 


ndl. 
93 


788  MÉMOIRE  SUR    LA  THÉORIE   DES  VARIATIONS 

Dans  ces  formules  la  fonction  il  et  ses'différences  partielles  ne  con- 
tiendront plus  que  t  de  variable,  et  les  différences  partielles  relatives  à  t 
ne  devront  être  prises  qu'en  faisant  varier  dans  Ù  le  /  qui  est  nfTecté  du 
coefficient  n. 

Le  premier  terme  —j~  est  celui  que  nous  avons  considéré  dans  la  pre- 
mière approximation.  Dans  celU'-ci  nous  allons  considérer  le  terine  sui- 
vant — j^i  dans  lequel  Ai2  no  contient  que  les  premières  dimensions  des 
différences  àa,  àb,...,  Aa',  A/>', — 

11.  Je  vais  commencer  par  la  partie  de  Ail  qui  ne  renferme  que  les 
différences  A«,  A/>,.. .  des  éléments  de  la  planète  m.  (x'tte  partie  est  com- 
posée des  teruKîs  suivants 

^A.+  ^A/>+^-^-A.+  ^A/+^As  +  ^AA. 

Comme  les  différentielles  da,  dh,...  sont  remplacées  par  celles  de  A«, 
ilh,  il  résulte  de  ce  que  nous  avons  démontré  plus  haut  (7)  (jue  chacune 
de  ces  différentielles  sera  de  la  forme 

/  ,  dQ.       „  dil       ^,  dil       ^  dil       ^  dil       ^.  dil\    , 
\     da  dh  de  df  dg  dh  j 

dans  hujuelle  A,  B,  C,...  sont  de  simples  i'onclioiis  des  éléments  sans  t. 
Il  faudrait  donc  substituer  dans  ces  fonctions,  ainsi  que  dans  il,  a  -\-  Aa, 
h  -h.Ab,...,  a  -\-  Aa' ,  h' -^  Ab\...  au  lieu  de  a,  />,...,  a\  b' ,...;  mais  cette 
substitution  appartiendrait  h  l'approximation  suivante;  ainsi  on  pourra 
ici  regarder  les  quantités  A,  B,  C,...  comme  simplement  constantes,  et 

la  fonction  ii  comme  simple  fonction  de  nt,  ii' l,  ii" t, Par  ce  moyen 

il  n'y  aura  de  variable  que  la  fonction  il,  et  les  valeurs  des  ditTérences 
Aa,  Ab,  le,...  seront  de  la  forme 

(jii'il  faudra  substituer  dans  la  formule  précédente. 


l)i:S   liLliMEM'S   DKS   PLANÈTES,    lîTC.  im 

Mais  j'ol)serv(.'  (jiic,  si  au  lien  de  siihslitiirr  ers  valeurs  ou  conserve 

au  coulraire  les  (luaiililés  àa,  Sh,  Ar el  (pTou  y  substitue  les  valeurs     . 

«les  dillérences  partielles  de  ii,  (|ue  nous  avons  trouvées  plus  haut  Hij, 
en  y  remplaçant  le  ;  diiréreiitiidies  r/rt.  t/h,  de,...  par  r/Aa,  dM),  d àc^. . ., 
la  (juantité 

/  dil  .  dil  ^ ,        dil  ,  dil  ,  ^      dil  d<ï 

pi'end  iuirnédialeuienl  celle  fonne  élégante  cl  syuiétri(|uc 

{a,  b){^nd\h  —  Xhd \(i 
-^-  {a,  c)  (Aa^/Ac  —  âic  d la 
-+-   a,  f)  (  Art  dHf  —  \f(i  la 
■+- {a,  gi(Aadlg—  Igdlai 
-+-  '  a,li)  (  Aa  dlh  —  \li  d la) 
-f-    6,  c){lh  dAc  —  Ac  dlb 
-h{b,f)iAbdAf—AfdAb) 
-\-  [b,  g)  {/\b  dAg  —  Ag dAb  ) 
-h(bJ)){AbdA/i~  AhdAh) 
-h  {c,f){Ac  dAf  —  AfdAc, 
-f-  (  c,  g){Ac  dAg  —  AgdAc) 
-h  (  c,  Il  )  (  Ac  dA/i  —  Ah  dAc  t 
+  {f,g){AfdAg-AgdAf 
-\-{f,li){AfdAli  -  AlidAf 
-h{g,h){AgdA/i  -  A/idAg  , 

la(|uelle  contient,  connue  l'on  voit,  toutes  les  coml)inaisons  deux  ;i  di-ux 
des  six  éléments  a,  b,  c,/,  g,  h. 

Ici  la  fonction  12  est  censée  entrer  dans  les  valeurs  des  diUerenlielles 
de  Aa,  Ab,  Ac,...,  et  par  conséquent  ce  n'est  que  dans  ces  valeurs  (|u'il 
l'audia  faire  varier  le  t  en  tant  qu'il  sera  affecté  du  coefïicieni  n,  pour 
avoir  la  dilTérence  partielle  relative  à  /  de  Ai2,  dans  l'expression  de  dAu. 

93. 


740  MÉMOIRE  SUR   LA   THÉORIE  DES  VARIATIONS 

12.  Si  maintenant,  dans  les  expressions  données  ci-dessus  des  diffé- 
rentielles d^a,  dM on  substitue  la  valeur  de  Û  en  série  de  sinus  et 

cosinus,  on  aura  des  termes  de  la  forme 

(LsinN/  -4-  McosN^  dl, 
qu'on  peut  réduire  à 

dans  lesquels  N  =  m  -+-  «'/l'H-  i'V4-...,  en  donnant  à  i,  «',...  toutes 

les  valeurs  entières  y  compris  zéro. 

Soit  donc 

Psin(N/+/y) 

un  terme  quelconque  de  (^Aa,  la  valeur  de  Aa  aura  le  terme  corres- 
pondant 

PcosjN^  +  />) 

""  N  ■        * 

H  y  aura  de  pareils  termes  dans  les  valeurs  de  f/A6  et  A6,  et  il  est 
facile  de  voir  que  la  formule  [^adbh—  ^bdùs.a  ne  pourra  donner  de 
termes  sans  t  dans  la  différentielle  partielle  de  Û,  à  moins  qu'on  ne 
combine  ensemble  les  termes  de  d^a  et  de  d^b  qui  ont  le  même  argu- 
ment Ni.  Ainsi  l'on  prendra  pour  dM)  et  b.b  les  termes 


Qcos(Nf  +  tf 
Qsm{^t-^q)dt     et ^ ^ 

Substituons  ces  termes  dans  l'expression 

r,   d{d^h)      ..d[d^a^     . 

àa  -^— ^- ^b -—      n  dt, 

l  ndt  71  dt     J 


elle  deviendra 
PQ 


z^  [(cos(N<  +/?)  cos(,N/  -f-  ^)  —  cos^N/  4-  ^)cos(N/  -^  p)]ndi, 

qui  est  évidemment  nulle. 

Donc  l'expression  dont  il  s'a£?it  et  toutes  les  expressions  semblables 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,  ETC.         TU 

dont  est  composée  la  parlic  de   -^^j^  ndl,  (jui  est  due  aux  variations  d.'s 

éléments  de  la  planète  m,  ne  pourront  jamais  donner  de  termes  con- 
stants; par  conséquent  la  variation  du  j-rand  axe,  en  tant  qu'elle  dépend 
<lc  ces  mêmes  variations,  ne  contiendra  point  de  terme  conslani  <•!  indé- 
pendant de  i. 

C'est  de  cette  manière  que  M.  Poisson  a  démontré  l'al.sen.r  d.-< 
termes  constants  dans  la  variation  du  grand  axe,  due  aux  variations  des 
éléments  de  la  planète  troublée,  après  avoir,  par  une  combinaison  ingé- 
nieuse des  formules  connues  pour  ces  variations,  ramené  les  <lifrérenis 
termes  de  la  variation  du  grand  axe  à  la  forme 

V  C()dt-i^Cvdt, 

13.  Il  reste  à  considérer  les  autres  parties  de  la  fonction  Ml  dépen- 
dant des  vaî'iations  des  éléments  a',  h',  c, . . . ,  a\  b",  c", . . .  des  pla- 
nètes m\  m",...;  mais  on  n'y  peut  plus  employer  les  mêmes  réductions, 
parce  que,  la  fonction  il  n'étant  pas  symétriquepar  rapport  aux  coordon- 
nées X,  y,  z,  x\  y',  s, . . . ,  il  arrive  que  les  fonctions  ir,  Çl\  . . . ,  (jui 
doivent  entrer  dans  les  équations  différentielles  en  x' ,y\  z\  x'\  y",  z", .... 
sont  toutes  différentes  de  la  fonction  12,  comme  nous  l'avons  remarqué 
au  commencement  (1). 

Pour  éviter  cet  inconvénient  et  pouvoir  renfermer  dans  un  même 
calcul  la  détermination  de  la  variation  complète  du  grand  axe,  il  lani 
rapporter  les  planètes  m,  m',  m",...,  ainsi  que  le  Soleil,  à  leur  centn- 
commun  de  gravité,  autour  duquel  leurs  mouvements  sont  j)lus  réi-u- 
liers  à  quelques  égards. 

Fnriation  des  cléments  des  orbites  rapportées  au  centre  codiwkh 
de  gravité  du  Soleil  et  des  plaui'tes. 

14.  Prenons  X,  Y,  Z  pour  les  coordonnées  du  Soleil,  et  conservons 
les  mêmes  lettres  a;,  j,  z,x\y',  z',...  pour  celles  des  planètes,  l'origine 


742  MÉMOIUE  SUR   LA  THÉORIE  DES  VARIATIONS 

de  ces  coordonnées  étant  dans  le  centre  commun  de  gravité;  nous  avons 
d'abord,  par  la  propriété  du  centre  de  gravité,  les  trois  équations 

X  H-  mx  -¥-  m' x' -\-  m" x" -\-  .  .  .  =  o, 
Y  H-  /?i  r-+-  ni'r'-^  ni"r"-{- . . .  =  o, 
Z  H-  m  s  H-  in'z'  -V-  m" z"  +  ...=1:0. 


Ensuite,  si  l'on  fait,  pour  abréger, 
il=.m   [--= 


X)^+(j  -Yf-^{z  -If 


I  H-  m 


\  -\r  m 


] 


nun 


■)'+(r'—  r)'+(-z'—  z] 

i'm."\ 


sl[x"-x'Y^[y"-ff^{z"-z') 


2        r         V 


on  aura  les  équations  suivantes,  dans  lesquelles  je  fais,  pour  abréger, 
m  -\-  m'  -\-  m"  +  . . .  =  M, 


d^  _  da  d^  _  dQ       d^_  (/il 

dp    ~"  r/X'  dp   ~  r/Y  '      dP  ~  dZ 

d'x         I  +  M      _     r/Q           f/^7-  i  +  M      _    dû           d'z 

dp             r^          ~  mdx^       dP  /-■•      ^   "~  m  dr  '       ^F 


i-f-M 


c^-^^'    ^    I  +  M  ^,_     dil  d'y'        i-t-M     ,_     dû  d'z'        i  +  M     , _     (/i2 


dP 


i)j:s  éléments  des  planètes,  etc.  -w 

Ces  équalioiissoiil,  coimiic  l'on  voil,  toiiics  scmlihiblcs  pour  les  diU'é- 
rentcs  planètes,  et  en  même  leinps  scnihlahles  à  (('ilcs  où  les  ((x.idoii- 
nées  sont  rapportées  au  Soleil;  mais  la  ronction  i>  est  ici  h.  niènie  pour 
loutes  les  planètes,  parce  qu'elle  est  symetri(iue  p;ir  n.ppoii  ;,nx  coor- 
données X,  j,  z,  x  ,  y',  z', 

J'avais  donné  ces  équations  relatives  an  centre  de  -ravile  sous  une 
forme  un  peu  diiïérente,  mais  qui  est  la  mènu'  pour  le  fond,  dans  les 
Mémoires  de  l'Académie  c/e  Berlin  de  1777  fj,  et  j'en  avais  drdiiii  diljé- 
rents  Théorèmes  relatifs  aux  centres  de  gravité  des  i)lanètcs. 

Il  est  bon  de  remarquer,  à  l'égard  de  la  fonction  _Q,  (pi'.'llc  n'csl  com- 
posée que  de  termes  du  second  ordre  relativement  aux  masses  m,  m, 
m",...;  car  les  quantités  qui,  dans  cette  fonction,  ne  sont  multipliées 
(|ue  par  m,  m',  m",...,  sont  déjà  elles-mêmes  du  premier  ordre,  à  cause 
<iU(!  les  X,  Y,  Z  sont  du  premier  ordre,  comme  on  le  voit  par  les  trois 
équations  finies  du  centre  de  gravité.  Ainsi  les  différences  parlielirs 

d\  '    </ V  '    f/Z  '    m  dx'   m  clr  '    w77i'  "    ' 

(jui  forment  les  seconds  membres  des  équations  différentielles,  seroni 
toutes  très-petites  du  premier  ordre,  relativement  aux  masses/?/,  m',.... 
On  pourra  donc  traiter  ces  équations  comme  nous  avons  f;iil  à  l'e^i^ard 
de  celles  qui  se  rapportent  au  centre  du  Soleil,  et  en  tirer  (U'^  résultats 
semblables. 

15.   Comme  les  quantités  X,  Y,  Z  sont  du  premier  ordre  iclativcmciil 

aux  masses  m,  m', . . . ,  on  pourra  les  né^li^er  dans  la  valeur  de  -^  d,- 

"^    "^  n  (Il 

la  première  approximation  dans  laquelle,  en   supposant  les  éléments 

<'onstauts,  on  néglige  leurs  variations,  qui  sont  aussi  du  j)remier  ordre. 

Dans  la  seconde  approximation,  couime  les  différentes  parties  de  Ml 

relatives  aux  variations  des  éléments  des  planiMcs  w.  //-'.  ,'// s. .m 

(*)  OEiivies  (le  Lngrangr.  t.  IV,  p.   îoi. 


7U  MEMOIRE  SUR   LA   THEORIE  DES   VARIATIONS 

toutes  senil)lables  et  dépendantes  de  la  même  fonction,  elles  donneront 
toutes  le  même  résultat. 

A  l'égard  de  la  partie  de  ù  dépendante  des  coordonnées  X,  Y,  Z  du 
Soleil,  elle  contiendra  les  termes 

dLl  ^-       dil  ,.      dil ., 
et  l'on  aura  X,  Y,  Z  par  les  trois  premières  équations,  lesquelles  donnent 


\=  Cdt  fdt~,     Y=fdtCdt^,      Z=fdiCd/ 


cm 
dZ 


Comme  les  différences  partielles  de  Q.  relatives  k  ndt  ne  regardent 
que  les  coordonnées  ce,  y,  z,  la  variation  du  grand  axe  2a  dépendante 
de  ces  termes  sera  exprimée  par 

A^a-hAa-rf    d'Q      ^          d'il      ,,          dHl     .A      , 
rr  X  H ,     ...   Y  H 7—77-  /     n dt . 


iH-M       \ndtdX  ^         ndtd\  ndtdZ 

Un  pourra  faire,  dans  les  expressions  des  différences  partielles  -j^^ 

-Ty-'  77"'  les  X,  Y,  Z  nuls,  parce  que  ce  sont  des  quantités  très-petites 

du  premier  ordre;  alors  ces  différences  partielles  ne  seront  plus  que 
des  fonctions  de  x,y,  z,  x' , y\  z',...,  et  par  conséquent  seront  réduc- 
tibles à  des  suites  de  termes  de  la  forme 

P  sin(N^ -h /?), 

en  supposant,  comme  ci-dessus, 

N  =  in  +  i'n'  -+-  i"n"  -1-  .  .  .  . 

Considérons  dans  -7^  un  terme  de  cette  forme:  il  eu  lésuliera  dans  X, 
par  la  double  intégration,  le  terme 

N* 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,  ETC.         7i.i 

Ce  terme  devant  être  miiltiplir    nai-      ^,    ,-,    il  est  visible  (in'il   irt-ri 

'  '         nul(t\  ' 

pourra  résulter  de;  ternie  sans  /,  à  moins  (in'on  ne  [jicnnc  dans  -^^  nii 

'  (l\ 

ternie  qui  ait  le  même  arj^^umtînt  N^  et  qui  soit  par  conséquent  de  la 

même  forme  Psin  (N^ -f-/>),  puiscju'on  sait  <jue  tous  les  fermes  (jni  ont 

le  même  argument  N/ sont  réductibles  à  un  seul  de  cett»-  (orme;  ce  terme 

deviendra 

/Pcos(  N/  -{-/>) 

d'il 
dans  j^^jfjy^^  ^"^  '•'  pi'oduil  des  deux  termes  sera 

/P'sin2(N^H-/?j 

et  par  conséquent  périodique. 

On  peut  conclure  de  là  que,  dans  les  ellipses  variables  que  les  pla- 
nètes peuvent  être  censées  décrire  autour  du  centre  commun  de  gravité 
du  Soleil  et  des  planètes,  les  grands  axes  ne  peuvent  être  sujets  à  des 
variations  non  périodiques,  tant  qu'on  n'a  égard  qu'aux  termes  propor- 
tionnels aux  masses  et  à  leurs  carrés  ou  produits  de  deux  dimensions; 
que  par  conséquent  leurs  mouvements  moyens  ne  sauraient  contenir 
des  inégalités  croissant  comme  les  carrés  des  temps. 

Mais,  quand  on  connaît  le  mouvement  d'une  planète  autour  du  centre 
commun  de  gravité,  il  est  facile  d'avoir  son  mouvement  rapj)oité  au 
Soleil;  car  les  coordonnées  relatives  à  ce  mouvement  ne  sont  (|ue  les 
différences  de  celles  de  la  planète  et  de  celles  du  Soleil.  Ainsi,  r,  y,  z 
étant  les  coordonnées  de  la  planète  et  X,  Y,  Z  celles  du  Soleil,  on  aura 

^-X,  )~  Y,  c-Z 

pour  les  coordonnées  de  la  planète  rapportées  au  Soleil.  Or  les  équations 
données  ci-dessus  (14)  pour  le  centre  de  i;ravité  donnent 

X  =  —  m  X  —  m' x'  —  m" x'  —  .  .  , , 
Y  =  —  ni  y  —  m')'  —  nt"y  "  —  .... 
Z  =  —  mz  —  i)i'  z'  —  m"  z"  —  ... 

VI.  94 


74()  MEMOIKE  SUR   LA   THÉORIE   DES  VARIATIONS 

Ainsi  les  coordonnées  aulour  du  Soleil  sont  données  par  celles  qui  se 

rapportent  au  centre  de  gravité. 

De  plus,  comme  tous  ces  mouvements  sont  à  peu  près  elliptiques,  soit 
autour  du  centre  commun  de  gravité,  soit  autour  du  Soleil,  on  peut 
;iussi  rapporter  à  des  ellipses  variables  les  nouvelles  coordonnées 

x—\,j-  —  Y,  z  —  Z; 

el,  par  la  Théorie  des  osculations  que  j'ai  exposée  ailleurs,  on  aura  les 
viileurs  des  éléments  variables  correspondants,  en  substituant  ces  coor- 
données à  la  place  des  coordonnées  a?,  j,  z  dans  l'expression  de  cha(|ue 

élément  en  x,  v,  z  H  ^,  ~,  ^,   relative  au  cas  où  l'on  regarde  les 
■  dt     (It     dt 

éléments  comme  constants. 

Ainsi,  comme  on  a,  en  général  (8),  pour  le  grand  axe  2a,  l'expression 

I         I       dx"^  -1-  df^  -+-  dz'^ 
■2. a       /'  'î{i  -h  m)  dP 

un  aura  pareillement  pour  le  grand  axe  2a  de  la  planète  rapportée  au 
centre  commun  de  gravité 

I  I        dx-  -+-  dy^  -\-  dz- 


où  a?,  j,  z  et  A'=  \jx-  H-  y-  -h  z-  sont  censés  avoir  buir  origine  au  centre 

couiuiun  de  gravité;  et  cette  valeur  de  —  deviendra  celle  de  —  pour  la 

même  planète  rapportée  au  Soleil,  par  la  substitution  de  .r  —  X,  y  —  Y, 
z  —  Z  au  lieu  de  x^  y,  z  {' ). 

(")  Une  explication,  sur  ce  passage,  est  peut-être  nécessaire.  Comint»,  dans  l'expression 

précédente  de  - — -,  ~t',  j,  z  désignent  les  coordonnées  de  la  planète  par  rapport  au  Soleil,  il 

est  clair  qu'il  suffira  de  substituer  .r  —  X,  y  —  Y,  z  —  Z  à  -r,  y,  z,  si  ces  dernières  lettres 
?ont  employées  pour  représenter  les  coordonnées  relatives  au  centre  de  gravité,  X,  Y,  Z  dési- 
•,MKMit  alors  les  coordonnées  du  Soleil.  Mais  on  peut  aussi  procéder  d'une  autre  manière,  comme 

le  l'ail  Lagrantie.  A  la  force  -, rr-r rr-^ ,^-^5  qui  régit  le  mouvement  ellipticiue 

■^     •-  {.c  —  xy-\-{j  —  \y-i-[z  —  i]'^      ^  '    ' 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,  ETC.         Ha 

17.  (loiuinc  les  (|ii;iiilil'''s  X,  V,  Z  S(Hil  du  iirciiiici-  (lidrr  rrhilivcinciil 
;)ux  masses,  il  sullir;!,  (hiiis  (•elle  siilisliliilioii.  d'iivoii-  ci^îird  ;iu\  sccondo 
diincDsions  de  rcs  (|ii;iiililcs.  Ainsi 


dcviciidia 


Vr^—  i{x\-hr\  -^  zZ)-{-X'-h\^-+-  V 

_  _■_    ^    x\-\^  jY  +  gZ        X^  -^  Y'  +  /?       (xX-hj-Yh- zZ)'    . 

cl  l;i  (luaiitilc  — , -.,,   .,-  deviendra 

'  2  (  I  -I-  M  )  dp 

dx'-^  dr'^dz'  _^  dxd\-h  dydY  -h  dzdZ       d\' -h  dY' -\-  d'/J   „ 

■>. \i-hM)df'     "*"  (i  -1-  M )  (//^  "*       2(1 -h  M)  ^7/'-      ^    ^' 


Par  ces  substitutions  et  en  remettant  —  à  la  place  de  sa  valeur,  on 
lura 

_i_  _  _i_       3?X+jY-t-gZ        dxdX-^  dydY -hdzdZ 

■?n        ?.  a  /•'  ii-f-M)û?/- 

.x-X-f- rY  +  zZ)-— r^(X^+ Y'-H-Z^i  _    d\' ^  d\'  -f-  <yZ'    ... 
ar^  2(n-  M    r//- 


I  -f-  M 

(lo  la  planète  ///  autour  du  Soleil,  rien  n'empêclie  de  sub8tiluer — r -— , 

^  ^  (.r-X)'-t-(r— Y)'4-(2  — Z)» 

pourvu  qu'aux  lorces  perturbatrices  e.xistantes  on  ajoute  une  force  nouvelle  de  nnême  ordre 

(lue  celles-ci ,  égale  à ^^r-r — -; r^r-:; ■ =-77,»  etdirieée  du  Soleil  vers  la  planète. 

{Note  (le  l'Editeur.) 

(*)  Celte  formule  est  inexacte;  le  facteur  3,  qui  doit  multiplier  le  dernier  terme  du  second 
membre,  a  été  omis  par  l'Auteur.  [Note  de  V Editeur.) 

(**)  Le  deuxième  terme  de  cette  expression.  (]ui  est  att'ecté  du  signe  -*- ,  doit  avoir  le 
signe  —  .  [Note  de  r  Éditeur.) 

(***)  Les  fautes  que  nous  venons  de  siirnaler  alfeclent  la  prè>ente  formule.  Pour  rétablir 
l'exactitude,  il  faut  remplacer  par  -t-  le  signe  —  placé  devant  le  troisième  terme  du  secorul 
membre,  et  donner  le  coellicieni  3  à  la  première  partie  du  numérateur  du  (jualrieme  terme. 

[Note  de  r  Éditeur. ^ 

94- 


748  MÉMOIIIE  SUR   LA  THÉORIE  DES  VARIATIONS 

Mais  les  équations  diirérentielles  en  x,  y,  z  de  l'orbite  de  m  rapportée 
au  centre  commun  de  gravité  donnent  (14) 

X  d^x  dil 


r^  {i-hU)  dr-        [i-h  M )  m dx 

y d^y  diï 

/^  ~  "~  (  I  -h  M  j  dp  '^  (  1  -f-  M  ]  /n  df 


z 


d'z  dQ. 


r^  {i-hM)dt-        (  I  +  M )  m  dz 

„    ,      .          ,                   ,.^,     ,         x\-hrY-hzZ    .-,     .      , 
Substituant  ces  quantités  dans  ^^ •>  il  vient 

I    _    I         djXdx  -h  Ydy-h-Zdz)       w  ,*\ 
en  faisant,  pour  abréger, 

■~  /■  2(i-f-M)(Vi^  \-^\\\mdx       mdy       mdzj 

Dans  cette  formule  on  a  (numéro  cité) 

X  =  —  rnx  —  m'x'  —  .  .  . , 
Y  =:  —  iny  —  m'y'  —  .  .  . , 
Z  =  —  mz  —  m'z'  —  ...  ; 

(le  sorte  que  la  fonction  W  est  du  second  ordre  ndativement  aux  masses 

(*)  Cette  t'ornuile  est  inexacte,  comme  celle  d'où  elle  est  tirée;  il  faut  la  remplacer  [>;n-  la 
suivante 

_i_  _  j (  X d\i:  ^  Y  r/^  )■  4-  Z  d- z)  -[  dx ([%.  +  dr dY  ■+-  dz dZ  )       ^ 

■la"  l'j.  (  I  -+-  M  )  dt'^ 

[Note  de  r  Éditeur.) 

(**)  Dans  le  second  membre  de  cette  formule,  il  faut  donner  le  coetïlcient  -à.  au  dénomina- 
teur du  premier  terme  et  le  coefficient  i  à  la  première  partie  du  numérateur. 

(Note  de  F  Éditeur.) 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,   ETC.  749 

m,  m  ,...,  |)uis(iuo  les  dillerences  narliollcs  - — ,-■)  — 7-,  — 7-  sont  (l(!|;i 
'         '  ^  m  (IX     ni  ay     ni  az  ' 

(lu  prcMiiier,  coinnic  oii  l'a  vu  ci-ciessiis.   Ainsi  il  siillil  (J'y  sul)Stiluef, 
\>oui' X,  y,  z,  x',  y',  z' , . . . ,  l(;urs  valciiis  clliitrniucs  à  éléments  con- 
stants; d'où  l'on  voir  (jin'  cvMv  foin-lion  ne  peut  conlcnir  ;iu<  un  terme 
proportionnel  au  temps. 
A  regard  de  la  quantité 

X(/.r-t-  Ydr-hZ(h 

(jui  n'est  que  du  premier  ordre,  elle  pourrait  conlcnir  de  |tarcils  termes 
par  la  variation  des  éléments  dans  les  expressions  d<'  oc, y,  z,  x',y',  z',...; 

mais,  comme  la  valeur  de  —  ne  contient  (lue  la  dilïerentielle  de  cette 

quantité  relativement  au  temps,  il  est  (dair  que  le  temps  disparaîtra  par 
la  diiïérentiation.  Enfin  on  a  prouvé  que  le  grand  axe  20c  de  l'orhile  rap- 
portée au  centre  commun  de  gravité  ne  renferme  point  de  termes  pro- 
portionnels au  temps,  en  ayant  égard  aux  quantités  du  premier  et  du 
second  ordre  des  masses;  donc  le  grand  axe  2a  de  la  même  orbite  rap- 
portée au  centre  du  Soleil  n'en  renfermera  pas  non  plus  :  ce  qu'on  s'était 
proposé  de  démontrer  (*).  On  voit  que  cette  démonstration  est  direcle 
et  générale,  et  ne  laisse  rien  à  désirer. 

Développe  me  ut  des  formules  génét  aies  reUitivement  aii.v  variations 
des  éléments  elliptiques  {**). 

18.  Juscju'à  pi'esenl  notre  Analyse  a  été  indépendante  des  valeurs 
des  coordonnées  elliptiques  x,  y,  z;  mais  tdie  serait  ineninpjeie  si  elle 
n'offrait  pas  les  formules  des  variations  {]{'<>  éléments  elliplicjues.   re- 


(*)  Cette  conclusion,  (|U('  l'ilhisln'  Vutcur  tire  il'une  expression  inexacte  de  — 1  m-  résulte 

pliis,  irurif  nuinivrc  cvidirttc,  de  l'exitression  corrii^re.  La  faute  de  signe  que  nous  avons 
signalée  réduit  donc  à  né<int  la  démonstration.  [Note  de  rji<l(teiir.) 

(**)  Ce  qui  suit  n'a  été  lu  (jue  le  \x  septembre. 


750  MÉMOIRE  8UH   LA   THÉOKJE   DES  VARIATIONS 

duiles  à  la  forme  la  plus  simple  et  la  plus  propre  pour  le  calcul  des  per- 
turbations des  planètes.  Or  ces  formules  demandent  le  développement 
des  fonctions  que  nous  avons  désignées  (6j  par  les  symboles  (a,  hj, 
la,  c),...,  en  y  substituant  les  valeurs  de  x, y,  z  exprimées  en  t  et  en  a, 
h,  c,...;  ainsi  nous  commencerons  par  donner  ces  valeurs  sous  la  l'onnc 
la  plus  simple. 

Sans  chercher  à  les  déduire  de  l'intégration  des  équations  ditl'éren- 
lielles,  ce  qui  serait  trop  long,  et  ce  qui  est  d'ailleurs  assez  connu,  nous 
emploierons  la  considération  de  l'angle  appelé  par  les  Astronomes  ano- 
malie excentrique,  et  que  nous  désignerons  par  u.  Par  le  moyen  de  cet 
angle,  on  a  tout  de  suite  la  formule 

nt  -\-  c  =:  u  ~\-  h  sin  u, 

1  1  II  1  »  1  •  -  ,       ,    ,        / 1  H-  //? 

dans  laquelle  nt^c  est  I  anomalie  moyenne,  n  étant  égal  a  i/ — ^  ■> 

et  où  a  est  le  demi-grand  axe,  b  l'excentricité,  savoir  le  rapport  de  la 
distance  des  foyers  au  grand  axe  2«  de  l'ellipse,  etc  l'époque,  savoir  la 
valeur  de  l'anomalie  moyenne  qui  répond  à  l'instant  d'où  l'on  commence 
à  compter  le  mouvement  moyen  nt.  Ensuite  on  a,  en  prenant  les  ab- 
scisses X  dans  le  grand  axe  depuis  le  foyer,  et  les  ordonnées  j^  perpendi- 
culaires au  grand  axe  dans  le  plan  de  l'ellipse, 

X  rz=.  a{h -^  cosii],     r:=asj\ — ty'smu,     2  =  0. 

En  éliminant  u,  on  aura  les  valeurs  de  x  et  y  en  fonction  de  T\t  et  des 
constantes  a,  b,  c,  qui  sont  les  éléments  du  mouvement  elliptique.  Les 
trois  autres  constantesy,  g,  h  ne  dépendent  (jue  de  la  position  du  grand 
axe  et  du  plan  de  l'ellipse  relativement  au  plan  fixe. 

19.  Ne  considérons  d'abord  que  ces  valeurs  de  ,r,  y,  z\  elles  donne- 
ront par  les  différentiations  celles  de 

dx         d'x         dx         d'x 

7/n  '      (It  da  '      'db  '      ^fnib  '  "  " 


I)i:s  KLliMKNTS   DHS   PLANÈTES,    ETC.  7»;, 

'ju'on  substituera  dans  les  expressions  de  (a,  b)J a,  c),...  ^\u  ,r  (i    ,1 
comme  ces  expressions  doivent  être  in.iépendantes  de  /.  on  pou, ,;.  .n  re- 
jeter les  termes  qui  contiendront  /  hors  des  signes  de  sinus  h  ...s.nus. 
et  faire  u-^o  sous  les  sinus  et  cosinus. 
On  ;i(ir;i  d';il)ord 


du 
dt 

niais  on  ,1 

d'où 

<'l  par  conséquent 


i-H  6cosa'      ^t/         n-  ^r-os/i  lui 


dn 

n 

dn 

dd. 

du 

da 

du 

dh 

— 

du 

de  '' 

= 

3  <la^ 
?     a 

3  Ai 

7.  a  ' 
3nt 


7.a{i  -\-  b  cosu) 

sina 
I  H-  h  cosu  ' 

I 
I  -h  bcosu 


De  là  on  trouvera 


^'^  7.11  -h  b  ros  «  I  ' 

!l*   _     ,       Â^  .:.>  ?>nfcosu        - 

^«  2  f-f-6cosM)^'~'" 

"•^  /  sin-//      \ 

-77-         =       rt  IH ; , 

'Il  — "^'       ^j„  „       <i  sin  «  cosM    , ^ 

'  '  \  I  -  /;-  î  -*    h  ros//   * 

^'  _  _      rt  sin  w 
^«^^  I  -t-  />  fos  // 

dy     ^      (i  cosit 

dZ  ~  ITTT^u  ^'  ■  '''• 


752  MÉMOIRE  SUR   LA  TUÉORIE  DES  VARIATIONS 

DifférentiaiU  encore  ces  valeurs  en  ne  faisant  varier  que  t  et  m,  et  sub- 

(1  }i  Tt  Cl  ûc       d^  y 

stituant  pour  -7-  sa  valeur r 5  on  aura  celles  de   ,,  ,  ?    ,/,  >  — 

1  (//  14-0  ces  u  dt  da    dt  da 

En  faisant  ensuite  dans  les  unes  et  dans  les  autres  t  =  0,  u  =  o,  on 

aura  celles-ci 

dx    .  df    

da  '  da  ' 

dx    df    

db     ~'''  dh     ~''' 


dx    dr    a\Ji  —  b^ 

de  '  de  1  +  6 


d'x  d'Y  n\/x  —  h^ 


=  0, 


dt  da         '  dt  da  2  (  1  -t-  6 

d'x 


dt  db 
d'x 


=  o, 


dtda 

d'y 

dtdb 

d'r 

(  1  -I-  />  I  y/ 1  —  />= 


dtdc  [\-\-bf       dtdc 


Ces  valeurs,  substituées  dans  les  expressions  des  symboles  («,  h), 

[a,  c),  {b,  c),...  du  n"  6,  en  y  faisant  z  =  o,  donneront  enfin 

,                                      na         . 
(a,  01  =  0,       a,c= ?       />,  c)  =  o. 

Ce  sont  les  valeurs  de  ces  quantités,  en  supposant  le  grand  axe  et  le 
plan  de  l'orbite  fixes. 

±i).  Cela  posé,  considérons  maintenant  les  valeurs  complètes  de  .r, 
y,  z  rapportées  à  un  plan  fixe  et  indépendant  de  celui  de  l'orbite.  Nom- 
mons X,  Y,  Z  les  valeurs  employées  ci-dessus,  savoir 


X  =  «  /> -t- cosMi,     \  =  a\/i  —  b's'wu,     Z  =  o. 
Par  la  Tbéorie  connue  du  clianiicment  des  coordonnées  rectaimulaires 


DES  ELEMENTS  DES  PLANETES,    ETC.  75:? 

on  ;),  en  ^(''nri-;il, 

j  =  r/ \ -f- r/' Y  4-r/"Z, 

z  =  'ç\  4-r  V  -4-rz, 

1rs  neuf  coclliciciils  =',  Ë",  £'",  vj',  r/",  r/' ,  T,  'Ç\  'Ç  dcviiiil  siilisl;!!!»'  ;iii\ 
six  équjilioiis  de  ccjiidition 

^"  -f-  n"  -+-  'C-  =^  1 ,         ^'  ?"  -^-  r,'  ■/)"  -h  l'  -ç  =  o, 

^"^  ^  y3"^-t-  r^=u_  I,      ^'  ?"'--  r/  rr-h  -ç  Ç^  o, 

H'"--  -h  //"'  -+-  ?'"••  =  I ,  ^"  ^'"-^  •/)"  -/î'-f-  'Q"  1'"=  o, 

qui  résultent  de  ce  que  par  la  nature  de  la  question  on  doil  avoir  iden- 
tiquement 

x^  -H  )•-■  -\-  z^=\.^-\-  Y-  +  Z\ 

Il  ne  reste  ainsi  que  trois  indéterminées  qui  tiendront  lieu  des  li-ois 
constantes  arbitraires  ou  éléments  /,  g,  h. 

J'adopte  ici  les  lettres  |',  S",  c" ,  r,' ,...  pour  représenter  les  coeflicicnts 
de  X,  Y,  Z,  afin  de  me  conformer  aux  formules  que  j'ai  employées  dans 
la  sixième  Section  de  la  seconde  Partie  de  la  Mécanique  analytique  (*), 
et  de  pouvoir  profiter  des  différentes  réductions  que  j'ai  données  relati- 
vement à  ces  quantités. 

Nous  allons  substituer  ces  valeurs  de  x,  y,  z  dans  les  expressions  t;é- 
nérales  des  symboles  (a,  b),  [a,  c),...,  en  observant  que  les  constantes  a, 
b,  c,  ainsi  que  le  temps  t,  n'entrent  que  dans  les  valeurs  des  trois  (juan- 
tités  X,  \,  Z,  et  que  les  trois  autres  constantes/,  g,  h  ne  sont  censées 
entrer  que  dans  celles  des  coelïicients  ^',  |",  H", — 

Ces  substitutions,  qui  paraissent  devoir  être  très-compliquées,  se  sim- 
plifient d'une  manière  étonnante  par  le  moyen  des  équations  de  condition 

{*)  C'est  à  la  première  édition  de  la  Méni/iii/nr  ofui/ytit/ut-,  publiéf  on  1788.  que  se  ra|>- 
l>ortent  la  présente  citation  de  1" Auteur  et  celles  qu'on  remarquera  dans  les  numéros  suivants. 

{l\otc  (fr  r  Éditeur. ) 

VL  9'"» 


7o/i  MÉM(JIKE  SUR  LA  THÉOIUE  DES   VARIATIONS 

données  ci-dessus.  En  elFet  on  voit  tout  de  suite  que  la  quantité 

dx    (Px         (ly    d^y:         dz     d-z 


da   dtdb         da   dt  dh         da   dldh 

devient 

</X    J^\         d\    d'\         d'L    d'-7. 


da    dl  dh  da    dt  dh  da    dt  db 

De  nième  la  ([uanlité 

dx    d^x  dy     d'y         dz     d^z 

dh   dt  da  dh    dt  da        dh    dt  da 


se  réduit  k 


dh    dt  da        dh    dt  da        dh    dt  da 


D'où  il  suit  (jue  la  (juantité  [a,  h),  qui  est  la  différence  de  ces  deux-ci, 
sera  exprimée  de  la  même  manière  par  les  coordonnées  x,  y,  z  que  par 
les  coordonnées  primitives  X,  Y,  Z.  Il  en  sera  de  même,  et  par  la  même 
raison,  des  quantités  [a,  c)  et  [b,  c).  Ces  trois  quantités  auront  donc  les 
mêmes  valeurs  que  nous  avons  trouvées  ci-dessus  (19),  et  par  conséquent 
on  aura,  en  général,  quelle  que  soit  la  position  de  l'orbite  elliptique  par 
rapport  au  plan  fixe, 

L                /        ^            na         ,      , 
(a,  f))  =  o,     (a,  c)  = 1      {o,c)  =  o. 

21.   Passons  aux  quantités  représentées  par  les  symboles  («,/), 

[a,  g),  [a,  h),  {b,f), Ici  les  quantités  X,  Y,  Z  ne  varient  que  par 

rapport  à  a,  h,  c,  t  dont  elles  sont  fonctions,  et  les  variations  relatives 
'à /,  g,  h  ne  regardent  que  les  coefficients  2',  ^",  |'",  /?', —  D'après  cette 
considération,  si  l'on  fait  les  substitutions  des  valeurs  dex,Y,  z  et  de 
leurs  différences  partielles  dans  la  fonction 

dx    d^x         dy    d-y         dz    d^z 


da  dtdf        da  dt  df        da  dt  df 


iH:s    liLÉMENTS   DKS   PLANÈTES,    h:TC.  755 

<•'  M"  <•"  ol),s(Tvr  (jii,.  les  in.is  premières  ('(iiK.lions  .le  coiMlilion  (l<.iiii(-iit 

ç'  dl'  -f  y/  ^/y,'  4-  Ç'  <l^^'  =  o, 
^"  t/^"  -+-  y,"  ^/y/'  -f-   i:"  d'^^"  ^  o, 
X"(lr!"  -^-  r"'  (h!"  ^  'Ç'd'Ç"  -  o, 
011  ;uii;i  l;i  Irîiiisfoi'iiiéc 

a  dl"^r,'  d-n"^t'  (11"  ,l\  ,l\ 
'  df  d^  It 

_^  l'  d^'^-n'  dn'"-^-^:'^^  dX  dz 
df  da   dl 

^  'i"dl'  +  n"dn'  -^-ÇdC,'  d^  dX 
df  da    717 

_^  ^"d}-"'-i--n"dn"'-h'C'dC"  dY  dZ 
~  df  da   77 

^   '^"dl'-^'n"'dn'^-C'dy,'   dZ  d\ 
df  da    dt 

^  r^r +•/•>" ^•/i"  +  r^/r  dz  d\ 

^  da   777 

-Myis  les  trois  dernières  éqiiiitions  de  condition  entre  |',  T èiani  dil- 

férentiées,  donnent 

r  dr  +  r/  drr  +  r  ^r -=  -  r  ^r  -  yj"  dn'  -  ?"  ,/?' , 

2" (if  H-  ■/j'V/-/î"'+  ?'^y?''=  —  'il" dl[' -  r!" d-n"  —  K"'dl". 

Donc,  si  l'on  fait,  pour  abréger,  comme  dans  le  n'^  23  de  la  Seriion  ciier 
de  la  Mécanique  analytique  {' ), 

dP  =  ^"dl" H-  -n'-'d-n"  -f-  r'V/r", 
^Q—  ?'  r/^'"+  •/;'  drr-{-  'Ç  de,'", 

d{{  =  cd'i'  -1-  y)"f/y/  -f-  ::"^/?' , 

(  *  j  Dans  lii  deuxième  édition,  seconde  Partie,  Section  IX ,  n"  11.         ,  y'ntc  de  rt.ditnir.) 

95. 


750  MÉMOIRE  SUR   L\  THÉORIE  DES  VARIATIONS 

la  tnnclion  dont  il  s'aient  se  réduira  à  cette  forme  simple 

(IfXUda         (It    (kl)        df\dt    da        dt    dn  j       df  \dt    da        dt    da  j 
On  trouvera  de  la  même  manière  que  la  fonction 

dx    d^x         dr    d\r         dz     d^'z 
Tlf  dtda        df  dt  da        df  dt  da 

se  réduit  à  cette  forme 


'   dt  da  dt  da)      df  \     dt  da 


df\     dtda  dtda]      df  \   dt  da  dtdaj       df\     dtda  dtduj 

En  retranchant  cette  dernière  quantité  de  la  précédente,  on  aura  la 
valeur  de  (a,  /),  et  il  est  visible  qu'elle  se  réduira  à  cette  forme 

^/YrfX-Xc/Y\  ^rid\-XdZ\  ^/ZdY-\dZ 


_  dix  "V         dt  )  _  dQ     \  dt  I        dP  _\ dl 

^""'■f'-dj  d^  df  da  df  da 

Or  les  valeurs  de  X  et  Y  (20)  donnent 


\dY  ~  Y d\  =  a' ^ I  —  b' {I  -^  bcosuU/u, 


du  n  r  A  {\\ 

et,  comme  -7-  = r (  19  ,  on  aura 

dt        i  -\-  0  ces  u  ^      ' 


X^Y  — Y(/X 

dt 


=  na^y/i  —  b^ 


Donc,  puisque  ^  =  o,  on  aura  simplement 

dl\  d^na-\j  i  —  6^ 


(«,/) 


df  da 

En  changeant  successivement  a  en  h,  en  c,  et/en  g,  en  A,  on  auia  les 


DES  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,  ETC.        7^7 

viiK'ui's  (les  uiitrcs  (ni;iiitil(''s  représentées  par  {h,f),  {c,/),  (a,  g) 

J';un';iis  pu  siip[)()S('r  loiil  de  siiilc  Z  =  o,  ce  (|ni  ;iui;iit  siiiiplilic  le  rnlciil  ; 
mais  j'ai  été  bien  aise  de  donner  ces  forniules  dans  loiitc  leur  ^éiinjililc, 
paicc  qu'elles  pourront  peut-être  servir  diins  d'iuilres  occasions. 

22.    H  ne  reste  plus  (ju'à  chercher  les  valeurs  des  «juanliles  repie- 
sentées  par  (/  g),  (/,  h),  {g,  h). 

En  faisant  les  mêmes  substitutions  dans  la  fonction 


(/. 


d.r    <l-x        dy    d\r         dz     d'z  dx    d'x         dy    //•>■         dz    d' z 

df  dtdg      df  dt  dg      Hf  Jt'dg  ~  Tîg  dïdf  ~  j^  dt  tlf  ~  d^r  JTJf  ' 


et  observant  que  le  t  ne  varie  que  dans  X,  Y,  Z,  et  «{ue/,  g  \\v.  varient 
que  dans  les  coelïicients  ç',  yj',  ?',  ?",...,  on  aura  tout  de  suite 

^^'^)  =  ^ dt -^^ di ^^ dt ' 

en  supposant,  pour  abréger, 

.,  ^rf£(/r        dri^dr[_        de  dC        d'cl  dV        dn'   dn  dC   dC 

-  df    dg^  df    dg   ^  df^  dg        dg    df        'd^W^W' 

..  ^d^d^       H_éfr_       d^  (i^^  _  d^  d^  _  (Ihi^  dr^  _  d^  dC 
~  df   dg  -^  df    dg  -^  df    dg        dg    df         dg    df   -  -JJi  Tff' 

y._^d^        dr[_dyr_        dt"  dl'"        d^"   dl'"        d-n"   dr/"        dC"   dC" 

-  df    dg^  df   dg  -^  df   dg        dg    df         dg    df         dg  -df- 

Or,  dans  le  n"  27  de  la  Section  déjà  citée  de  la  Mécanique  a/ui/v- 
tique  (*j,  j'ai  trouvé  ces  réductions 

d^'=l"'dV-'^di\. 
dl"'=l'dQ-l"dP, 

et  de  même,  en  changeant  ^  en  yj  et  en  Ç. 
(*)  Dans  la  deuxième  édition,  seconde  l'arlie.  Section  I\.  n"  l','..  \<>tr  <k'  l'IùUiiur.) 


758  MÉxAlOlKE  SUK  LA   THÉORIE   DES  VARIATIONS 

En  faisant  ces  substitutions  dans  les  expressions  précédentes  des  F, 
G,  H,  et  avant  égard  aux  équations  de  condition  entre  |'.  T,  ^",  r}',..., 
on  trouve  facilement 

""  c/f  71^       dg  df  ' 

ç/!P6/R_JP</H  • 

„  _  ^^  d\\  _<^</}}_ 

~  W  ^  ~  f^s  'if 

Or  on  a  déjà  trouvé 

XJY-Yf/X  ,   , 

dt  ^ 

donc,  comme  Z  —  o,  on  aura 

/f/P   dO  f/P   f/Qv  r- 

et,  changeant  g  en  A,  on  aura  la  valeur  de  (/,  h),  et  changeant  à  la  fois  / 
en  g,  g  en  A,  on  aura  celle  de  i g,  h).  Ainsi  on  connaîtra  les  valeurs  de 
tous  les  coefficients  des  variations  da,  db,...  dans  les  formules  du  n"  6. 

23o  Particularisons  maintenant  les  constantes/,  g,  h,  qui  sont  encore 
indéterminées.  Pour  les  adapter  aux  usages  astronomiques,  nous  suppo- 
serons que /soit  l'angle  que  le  grand  axe  de  l'orbite  fait  avec  la  ligne 
des  nœuds,  c'est-à-dire,  avec  l'intersection  de  son  plan  avec  le  plan  tixe 
des  j?  et  y  ;  que  g  soit  l'angle  que  la  ligne  des  nœuds  fait  avec  l'axe  des  a  , 
et  que  h  soit  l'inclinaison  du  plan  de  l'orbite  sur  le  même  plan  tixe. 
D'après  ces  suppositions,  on  trouvera  facilement  les  expressions  de  T, 
?",...  en  sinus  et  cosinus  des  trois  angles/,  g,  A;  nous  les  avons  don- 
nées dans  le  n°  30  de  la  Section  citée  de  la  Mécanique  analytique,  oîi  les 
angles  9,  'h,  w  répondent  à/,  g,  h.  Mais  nous  n'aurons  pas  même  besoin 
de  ces  expressions;  il  nous  sutfira  d'avoir  celles  de  dV,  dQ,  dR,  que 
nous  avons  données  dans  le  n*^  31  de  la  même  Section  ('j,  et  qui,  en  y 

(*)  Dans  la  deuxième  ("^(lition.  seconde  Partie.  Section  IX,  n"  Jl.         {Note  de  /'Édite/// .) 


DKS  ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,    ETC  759 

changeant  9,  ^,  '.>  en/,  ;,^  /i,  (Irvit-nnenl 

dV  =  sin/siii  // 1/^  4-  cosfd/i, 
(iQ  =  cos y  siii  //  (/^  —  siiif  (I/i, 

(/\{  (/f+Ci>s/l</g. 

De  là  on  aura  tout  de  suite 

dP  dQ  d\{ 

'If  'if  flj 

-7-  =  sin/sin/j,      -7  -  =  cos/ biriA,      -r-       fosA, 
dg  -^  c^^  -^  d<r 

dV  .  «?Q  .     .  d\\ 

jT  =  cos /,  -—  =  — sinf,  — -       o. 

dh  -^  dli  •'  il  h 

Sul)stituant  ces  valeurs  dans  les  formules  du   u"  19,  et  exécuUml 

les  diflerentiations  partielles  relatives  à  a,  b,  c,  on  aura,  à  cause  de 

d.na-  .,'dn        na  ,  ,  « , 

— j —  =  j.  na  ->r  a'  —-  =  -19, 

da  da  ■?.  '  , 


„,  naJi  —  b^  ,  na\i\  —  b^         ,  , 

(i,f)=: ^ ,      (a,  £•)  :=  —  — cosn,       a,  // )  =  o, 

2  '-'  2 

{b,f)  =  — -,  {b,  g)  CCS  A,  (b,h)  =  o, 

V  I  —  fi'  V  I  —  b' 

(c, /)  =  (),  'c,g)o,  (c,  Ai  =  o. 

Ensuite  les  mêmes  valeurs,  substituées  dans  les  formules  du  n'   '22. 
<iouneront 

(/,  g)  =  o,     \  f,  h]  -=  o,     (g,  h)  :=  —  na^  y/  r  —  h'  sin  A. 

En  joignant  à  ces  valeurs  celles  de  (a,  h),   a,  c  „  (/>,  Cj,  trouvées  d;in> 
le  n"  20,  savoir 

a,  o)  :=  o,     {a,  c)  =z />,  c   =:  o, 

2 

on  aui'a  les  valeurs  des  (juiiize  svmholes  (jue  nous  avons  ein|dovés. 


760  MÉMOIRE  SUR   LA   THÉORIE  DES  VARIATIONS 

24.  Telles  sont  les  valeurs  qu'il  faut  substituer  dans  les  formules  du 
u"  6,  lesquelles  deviendront  par  là 

r/i2    ,  na  j         1         , 7-;  ,^       I         , jT         .    , 

—  f/t  = de na  V  I  —  b-  df na^J  \  —  o-  ros  //  «£, 

dû    ,           nà-b     j„         na}b  ,    , 

^^  dt=:  -^=:  df-\ ==  coshdg, 

r/i2    ,        na  j 
——  dt  =  —  da, 
de  0. 

dil    ,^        I  , T-^   .  na-b 

-r-r  dt  =:  -  na  J i  —  h-  da =:=  do, 

df  ?        *  il  — ^' 


-r^  dt  =1  -  naJi  —  b'  ces  A  da ■  cos  fi  db  —  no^  v  '  —  ^"  ^i"  ''  dh, 

dii  2         V  V.  I  -  ^-■ 


dQ    ,  _    .     ^    , 

-jj-  dt  =  na^  \j  i  —  0-  sin  n  dg; 

d'oii  l'on  lire  facilement 

da__^dû 
dt         ?ia   de 


(U)  _  i-b^-  dû  _  y/j  -  6"  dO. 
dt  na-b    de  na-b     df 

de  _  _  ^  dil  _  i  —  b'  (lil 
dt  na  da  na^b    db 


df__  s/i  —  b   dO. cos  A  diï 

dt  ~     na'b     db        na^^i  —  b'sinh  db 


dg  _  I  ilil 

dt  ~  na""  v^i  —  b-"  sin  h  dli  ' 

dh  _  cos  h cm I dU, 

dt        na'^  s/ï  —  b-  sin  h  df        na"  y  i  —  b'  sin//  dg 

Voilà  les  formules  des  variations  des  six  éléments  elliptiques  a,  h,  c, 
f,  g.  A,  exprimées  par  les  diflérences  partielles  de  la  même  fonction  12, 
relativement  à  ces  mêmes  éléments;  ce  qui  est  infiniment  commode  pour 


DES   ÉLÉMENTS  DES  PLANÈTES,    ETC.  7(51 

le  calcul.  Or,  comme  il  est  une  fonction  des  coordonnées  x,y,  z,  ce',  y', 
z',...,  en  substituant  pour  ces  coordonnées  leurs  valeurs,  elle  deviciidr;! 
une  fonction  de  u,  de  a,  fj,c\/,  ^,  h,  de  u  ,  dcr/,  //,  c  ,  f ,  ^' ,  h\  de  u",..., 
et  pourra  toujours  être  réduite  eu  série  suivaul  1rs  sinus  et  c(tsiriiis  {\i'^ 

aui^les  u,  u', Alors  le  terme  indépendant  de  w,  u',...  donnera  les  é(ju;i- 

tions  séculaires,  et  les  autres  termes  donneront  les  é(|uationspéri()di(jnes. 
Et,  si  l'on  rapporte  les  orbites  des  planètes  au  centre  commun  de  j^na- 
vité  du  Soleil  et  des  planètes,  on  aura  l'avantai;!  de  l'uniformité  cl  de  l;i 
simplicité  du  e;ilcul  j)our  toutes  les  planètes. 

25.  Avant  de  terminer  ce  Mémoire,  il  est  bon  de  faire  i('inar(|ut'i-  ([iic 
la  Videur  de  -j-^  qu'on  vient  de  trouver,  s'accorde  avec  cellr  (lu'on  y 
trouvée  par  une  autre  voie  (8).  En  edel,  comnie  |)ar  ré(iii;irM>ii  du  ii"  IS 

nt  -¥-  c  =^  u  -\-  b  sin« 

l'angle  u  devient  une  fonction  de  nt  H-  c,  il  est  visible  que  les  différences 
partielles  de  iï.  relatives  à  nt  et  à  c,  seront  la  même  chose;  de  sorte 
(ju'on  aura 


ainsi  l'on  aura 


mais  rr  =  — : — .  donc 


dû 

dil 

de 

~  ndt'' 

du 

1     dil 

dT~ 

na  II  dt  ' 

ia}      dil       , 

da  =: r  //  (It, 

I  4-  m  H  (It 


qui  est  la  formule  du  n°  8;  ce  qui  pourrait  servir,  s'il  était  nécessaire, 
à  contirmer  la  bonté  de  nos  calculs. 

Une  autre  remarque  essentielle,  c'est  (juc,  dans  la  dilférentiatioii  par- 
tielle de  la  fonction  il  relativement  à  «,  on  peut  se  dispenser  de  faire 
varier  la  quantité /^  qui  dépend  de  a;  car,  puisque  ii  est  une  fonction 
VI.  Îl6 


762  MÉMOIKE  SUR  LA   THEORIE  DES  VARIATIONS 

du 


de  nt  -(-  c,  la  portion  de  -^  (|iii  'iépend  de  n  sera 


dil       du 
de         da  "* 

de 
donc,  comme  la  valeur  de  -t.  contient  le  terme 

na  da 

elle  contiendra,  à  raison  de  la  variation  de  n,  la  partie 

1    dO.      dn 
na   de        da 

Donc  la  variation  de  l'angle  nt  -\-c  sera,  à  raison  de  la  variation  de  n, 

dn    ,  2     dil      dn    , 

l  -T—  da  —  —    —j —  i  -7-  dt  ; 
da  na    de       da 


mais 


2     dO.    , 

da— ,-  dt\ 

na   de 


donc  la  variation  sera  nulle.  Mais,  comme  n  est  une  quantité  essen- 
tiellement variable,  la  différentielle  de  ni  est  ndt  -\-  t dn\  ainsi,   en 

n'ayant  point  égard  à  la  partie  tdn,  il  faudra  substituer   j  ndt  -à  la  place 

de  nt  dans  la  valeur  de  u,  ce  qui  fera  disparaître  en  même  temps  les 
termes  qui  se  trouveraient  multipliés  par  t;  mais  l'emploi  de  ces  termes 
était  nécessaire  dans  les  formules  des  variations  dues  à  la  constante  a, 
sans  quoi  on  aurait  trouvé  pour  la  quantité  [a,  c)  une  valeur  fausse. 

26.  Les  formules  du  vC^  24,  quoique  fort  simples,  sont  encore  suscep- 
tibles d'une  simplification  importante.  Il  est  visible  que  la  seconde  équa- 
tion est  de  cette  forme 

dO.    ,  nd'h     ,  ,„  ,    7   . 

-TT-  dt  =    -z==r:Tr      «/  H"   COS  II   di^). 


DES  ÉF.ÉMENÏS  DKS   PLANÈTES,   ETC.  763 

Donc,  si  l'on  fîtil 

df-k-  cos/i  dg^=  d'j^, 

/=?-  I^os/td}^, 


(!l  (|u'()ii  sU|)pose  (jiic  ccUc  valeur  soit  substiliiéc  |i;irl(iiil  :iii  lien  Je/, 

di 


on  aura,  an  lieu  de  la  formiilL'  nui  donne  la  valcnidc  ^,  (('IN'-ci 


ddf^  _\Ji  —  b'  dO. 
dt  na'  b     db 

Ensuite,  en  regardant  il  d'abord  comme  fonction  de /et  g,  el  ensuite 
comme  fonction  de  9  et  g,  en  substituant  la  valeur  de  dç,  on  aura 

dil   ...      dil  ,         dil  ,        dil   .         dil   ,^      I  dil        ,       dil  ,    , 

d'où  l'on  tire 

d^_dQ.       dQ._dLl^  dQ 

df       do        dg        d(û  dg 

On  substituera  donc  ces  valeurs  à  la  place  de  —tf  el    ,— »  et  les  valeurs 

.     db         dh    .      .        , 
de  -7-  et  -y-  deviendront 
dt        dt 


db        i-b'   dil 

v/i  -  b'  dQ 

dt          iin^b     de 

na^  b      f/<p 

dh                          i 

^/i2 

dt               naUli  —  b 

'sinA   df[ 

Par  ce  moven  nos  six  formules  seront 


da         1    dil 

dt        na   de 

db        1-6'  dil 

y/ 1  —  6^  dil 

dt          na}  t)     de 

na^  b      dd) 

de               -y.     dil 

I  -  />'  du 

dt             na    da 

na'b     db 

96- 


764  MÉMOIKE  SUR   LA  THÉORIE   DES  VARIATIONS 


J9  _  y/i  —  b^  dQ. 
dt  "     na^b      db  ' 

dg •  I  dQ. 

(It  ~  «a=v'i  —  6' sin  A   ^/^  ' 

dli^_ I  di). 

f^t  ~       na'sji  —  b'sin/i  (^g 

Nous  remarquerons  ici  que  l'angle  d'^  exprime  proprement  le  mou- 
vement (le  l'aphélie  sur  le  plan  de  l'orbite  mobile;  car  cet  angle  est  le 
même  que  celui  (jue  nous  avons  désigné  par  c?R  (23),  et  qui,  d'après  ce 
qui  a  été  démontré  dans  la  Section  citée  de  la  Mécanique  analytique 
(26;  (*},  représente  la  rotation  de  l'axe  des  X,  qui  est  le  grand  axe  de 
l'ellipse,  autour  de  l'axe  des  Z  perpendiculaire  au  plan  de  l'orbite. 

27.  Maintenant  je  fais 

6  sincp  =  ,5,     il  coso  =  y,         sinA  sing- =:  s,     sin/iCOSg  =  X; 

j'ai,  en  différenliant, 

d{j  =  sin  odb  -h  b  ces  '-ùdo, 

dy  =  ces odb  —  b  sin  9  d(^, 

de  =:  cos/î  sin  g  dh  -f-  sin  h  cos g  dg, 

dl  =  cos  A  cos  g  d/i  —  sin  A  sin  g  dg. 

Substituant  les  valeurs  précédentes  de  db,  do,  dh,  dg,  on  aura 


d^_ 

dt  ~ 

V  I  —  />-  / sm es    dû                 dQ.\        i  —  b' 

"~   ;; —   ~T~^  —j coso  -77-    ^ -7- 

fia'       \    b       do                ■    db  J         Jia'b 

.       dû 
smcp  -7-, 
^  de 

dy  _ 
dt  ~ 

de 

y/i  —  b'  /coso   dil          .        dQ\        I  —  b' 

— ; —    — 7— — -, h  sin  0  -77-     H j- 

na'       \    b       do               '    db  J         na'b 

I           /  cos  A  sin  fi'  dû                 dQ.\ 

dû 

coso  -r— ' 

'    de 

dt 
dl 

juC-  ^i  —  bA      sin  A        dg       """^  dh  j 
I           f  cos  h  cos  g   dû         .       ]dQ.\ 

dt 

na^sj'j—b'\      sin  A        dg    '         ^  dh  j 

C  )  Dans  la  deuxième  édition,  seconde  Partie,  Section  IX.  n°  10.        iNnte  de  r Éditeur. 


DES  ÉLÉMENTS  DES   PLANÈTES,   ETC.  765 

Or,  (Ml  re^ai'dant  42  comme  l'oiidion  de  h  ci  de  -p,  ou  de  |3  et  y,  on  ;t 
l'équation  identique 


(dil     .  dil  \    .,       ,  (dil  du     .       V  , 

Donc 

dû       dO.    .  dû 

_  =  _sm9+-^cos9, 

dU       ,  /dQ  dil    .      \ 

De  même,  en  regardant  ù  comme  fonction  de  g,  h,  ou  de  e,  X.  on  a 

fàl  ,  (lil  ,,  du  ,  dil  ,. 
-7-  (■/£'  -H  -77-  an  =  -—  d-  -h  -p-  rt  / 
dg    ^       dh  di  dK 

(du      .  .         da      .        \,./da.,  du  .   ,  .     \  , 

=  \-rr  cos«  Sing'  ■+-  -rr  cos/i  oosg  )  dn  -+- 1—  sin/i  cos^  —  -p-  smn  sin^  )  dg : 

donc 

dH       [dil  dQ    .      \    .    ^ 

dO.        l'dQ     .  dû  \ 


Substituant  ces  valeurs  dans  les  formules  précédentes,  elles  deviendront 


d^  __      y  I  -  h'  dQ        i-b'     dQ_ 
dt  Tw}       dy         na^b^  ^  de 


dy___  y  1  —  b^  dQ         ï  —  b'      dQ 
d7  ~  nâ'      'd^       'nâF¥^~dc' 

dt  ces  A         dQ 

^^   ~         TW?  y/l  —  6»    dl  ' 

rf>  ces//        dil 


766  MÉMOIRE  SUR  LA   THÉORIE   DES  VARIATIONS 

auxquelh  s  on  ajoulera  ces  doux-ci 


da 

9.       ^/i2 

'di~ 

na   de 

de 

2    dil 

\  —  b'-l     dil           dil 
na'b'  Y  d<^     '   ^  dy 

dt"" 

na   da 

On  voit  que  ces  formules  représentent  les  six  variations  sous  une 
forme  très-simple  et  en  même  temps  symétrique.  On  y  serait  parvenu 
directement  si  l'on  avait  donné  d'abord  aux  quantités  h,f,  g,  h  la  signi- 
fication des  lettres  |S,  y,  s,  >.. 

A  l'égard  de  l'intégrale   j  coshdg,  (jui  entre  dans  la  valeur  de/par 

l'introduction  de  l'angle  9  (26^,  si  l'on  substitue  pour  cosA  la  valeur 

équivalente  i 7-?  elle  deviendra 

T  1  -1-  on<  Il 


I  +  ces  A 

sin^// 


-fr 


dir. 


-\-  ces  A    ^ 


Or 


donc 


donc 


,         Ide  —  edl 
sin-/i        ,  r     '^dz  —  tdl 


J  I  -4-  COS  II     "         j  I 


y/'l  —  £'—ïr 


et,  comme  î  et  X  ne  sont  exprimées  qu'en  sinus  et  cosinus  d'angles,  on 
pourra  réduire  en  séries  les  sinus  et  cosinus  de  cette  intégrale  dans  les 
valeurs  de  sin/ et  cos/. 

En  désignant  cette  intégrale  par  H,  on  aura 

/  =  9  —  i,»-  -1-  n  ;     donc     9  =/  -f-  f^  —  II , 

où  l'on  remarquera  que  /-\-  g  est  ce  que  les  Astronomes  nomment  la 
longitude  de  l'aphélie  dans  l'orbite. 

Les  formules  pi'écédentes  sont  surtout  utiles  lorsque  les  excentricités 


HKS  lil.ÉMENTS  DES   PLANÈTES,    KTi].  7C7 

et  les  inclinaisons  sont  des  (juanlitrs  iiss(;z  petites,  ('((inmc  cehi  a  lien 
dans  notre  Système  planétaire.  Mu  général,  il  es!  visible  (jue  les  (juan- 
tités  p,  y,  e.  X  seront  <lans  tous  les  eas  des  IVaetioiis  moindr«'s  (jue  l'unile. 
et  que  par  eonsé(juent  la  fonction  12  pouria  toujours  être  (lévelo|)p('r 
en  une  série  convergente  relativement  à  ces  <pjantilés. 

28.  Pour  appliquer  ces  équations  aux  variations  séculaires,  il  u'\  aura 
(ju'à  substituer,  au  lieu  de  ù,  la  partie  non  périodi(|ue  de  (ctle  équa- 
tion. Soit  A  celte  partie,  c'est-à-dire,  le  premier  terme  du  développe- 
ment de  Q  en  série  de  sinus  et  cosinus  des  anomalies  moyennes  nt  -f-  r. 
Ht  +  e',...  des  planètes  m,  m',...;  car,  comme;  il  n'est  fonction  (jue  de 
X,  y,  z,  .v' , y,  z',...  et  que  ces  coordonnées  sont  données  par  des  sinus 
et  cosinus  des  angles  respectifs  u,  u',.,.,  lesquels  dépendent  des  angles 
nt  -\-  c,  nt  -h  c',...  (18),  il  est  clair  que  le  développement  de  12  ne  con- 
tiendra que  les  sinus  et  cosinus  de  ces  derniers  angles  multiplies  par 
des  fonctions  des  éléments  a,  b,  f,  g,  /?,  a,  h\  f\  g',  //, \iiisi 

A  sera  une  pareille  fonction,  et  l'on  aura  -r-  =o;   de  sorte  (|ue  Irs 

([uatre, premières  équations  se  réduiront  à  celles-ci,  dans  lesquelles  j'ai 
substitué  pour  h  et  cosA  leurs  valeurs  en  p,  y,  s,  X, 

'^  = 
dl 

d\^       dl  ^ 
(^^   ~~  /la'  y/ 1  —  (3^  —  y'  ^^X  '      dt   ~ 

lesquelles  serviront  à  déterminer  les  variations  séculaii-es  de  rexcrniri- 
cité,  de  l'apbélie,  du  nœud  et  de  l'inclinaison. 

Lorsqu'on  regarde  les  excentricités  et  les  inclinaison^  i\v>  (Mltile^ 
comme  très-petites,  les  variables  ^S,  y,  ê,  X  deviennent  Irès-pctiles,  ainsi 

(jue  leurs  analogues  |3',  y',  s',  X', On  peut  alors  réduire  la  l'onrtidii  A 

en  une  séri(!  ascendante  par  rapport  à  ces  (juantités;  et,  si  l'on  s  arrête 
aux  secondes  dimensions,  ce  qui  suiïit  pour  la  première  approximalion. 
on  aura  des  équations  linéaires  semblables  à  celles  dont  j'ai  donne  l'in- 


rf^_ 

S/i- 

-?>'- 

-f 

dk 

dt  ~ 

v 

nci' 

dy 

dz  _ 

I  —  £' 

—   / 

-  '    ( 

V 

-P- 

-f 

•    dsK 

d^ 

nn' 

^V 

I  —  £■ 

i 

d\ 

nn^ 

7i- 

^•^- 

-r 

de 

768      MÉMOIRE  SUR   LA  THÉORIE  DES  VARIATIONS,   ETC. 

téi^ration  et  la  résolution  complète  pour  toutes  les  grandes  planètes 
dans  les  Mémoires  de  l'Académie  des  Sciences  de  [774  (*)  et  dans  ceux 
de  l'Académie  de  Berlin  de  1782  (**). 

Enfin,  comme  do  est  la  variation  instantanée  du  lieu  de  l'aphélie  dans 
l'orbite,  si  l'on  y  ajoute  la  variation  instantanée  de  de  l'époque  de  l'ano- 
malie moyenne,  on  aura  de -\- d':^  pour  la  variation  instantanée  de  l'é- 
poque de  la  longitude  moyenne,  que  nous  désignerons  par  dQ.  Ainsi, 
en  observant  que 

6  V 1  —  ^' 


6=—  VI  —  b^  — 


I  -H  V  I  —  ^" 

on  aura,  par  les  formules  du  n°  26, 


d^ 
dt  ~~ 

2    dil              bJi-b' 

; 1 ^ — - 

na   da        na'[i-hs,n  —  b') 

dû 

db 

L'angle  6  donnera  la  variation  du  mouvement  moyen,  dépendant  de  la 
variation  de  l'époque,  et  l'on  aura  la  partie  séculaire  de  cette  variation 
en  substituant  la  fonction  A  à  la  place  de  il.. 

Cette  variation  séculaire  est  insensible  dans  Jupiter  et  dans  Saturne, 
comme  je  l'ai  fait  voir  dans  le  Mémoire  sur  les  variations  séculaires  des 
mouvements  moyens  des  planètes  [Mémoires  de  Berlin  de  1783  (***)];  mais 
elle  devient  sensible  dans  la  Lune  et  donne  l'explication  de  l'équation 
séculaire  de  cette  planète,  comme  M.  de  Laplace  l'a  reconnu  le  premier. 
Voyez  les  Mémoires  de  l'Académie  des  Sciences  de  1786,  et  ceux  de 
l'Académie  de  Berlin  pour  1792  et  1793  (*"*j,  où  j'ai  donné  l'applica- 
tion de  mes  formules  à  la  Lune. 

(*)  OE acres  de  Lagrange,  t.  VI,  p.  635. 
(**)  OEiwres  de  Lagrange,  t.  V,  p.  \ib. 
(***)  OEiwres  de  Lagrange,  t.  V,  p.  3(Si. 
(****)  OEiwres  de  Lagrange,  t.  V,  p.  687. 


MÉMOIRE  SUR  LA  THÉORIE  GÉNÉRALE 


VARIATION  DES  CONSTANTES  ARBITRAIRES 


DANS  TOUS   LES   PKOBLÈMES  DE    EA  MÉCANIQUE 


VI.  97 


MIvMOIRIî:  S[JH   la  TIIKOKIK  (iKNKHAIJ': 

VAUIATION  DES  CONSTANTES  VKIÎITIIAIIU'S 

DANS  TOUS   LES   PROBLÈMKS   DK   l,A    Mf:r,AMOUK  (*). 


Mémoires  de   la  |)remiére  Classe  de  l'Inslilnl    de   TiarKc.    aimrc   iSo.s. 


L'application  de  l'Algèbre  à  la  Théorie  des  eourjje.;,  qu'on  doii  ii 
Descartes,  avait  fait  naître  la  distinction  des  (jnantilés  en  constantes  cl 
en  variables,  et  la  découverte  du  (Calcul  diflérentiei  a  appris  ii  sounicllrc 
au  calcul  les  variations  instantanées  de  ces  dernières  (|uanlilés.  Depuis 
on  a  beaucoup  étendu  la  considération  de  la  variabilité,  et  l'on  peut  dire 
que  presque  tous  les  artifices  d'Analyse  qu'on  a  inventés  se  réduisent  ii 
faire  varier  de  différentes  manières,  soit  ensemble  ou  séparément,  lani 
les  quantités  qui  sont  par  leur  nature  variables,  que  celles  cjue  l'étal  de 
la  question  suppose  constantes.  L'art  consiste  à  choisir  parmi  toutes  1(5 
variations  possibles  celles  qui,  dans  chaque  cas,  peuvent  conduire  aux 
résultats  les  plus  simples  v.i  les  pins  avantageux. 

On  sait  (|ii<'  l'intégration  inlroduil  toujours  dans  le  calcul  des  (|u;im- 
tités  constantes  relativemeni  aux  variables  des  écpialions,  el  dont  l;i  va- 
leur est  arbitraire.  On  peut  donc  aussi  l'aire  varier  ces  constantes;  ces 
variations,  envisagées  sous  dill'érents   points  de  vue,  ont   produit   des 

(*)  I.u  le  i3  mars  1809. 

97- 


772       .SUR   LA  THÉORIE  (iÉNÉRALE  DE   LA  VARIATION 

Théories  nouvelles,  parmi  lesquelles  eelle  de  la  variation  des  éléments 
(les  planètes  est  la  plus  importante. 

Dans  le  .Mémoire  (*)  que  j'ai  lu,  il  y  a  six  mois,  sur  cette  Théorie,  j'ai 
cherché  à  déduire  immédiatement  des  équations  dilTérentielles  du  mou- 
vement des  planètes  les  variations  de  leurs  éléments,  en  considérant 
ceux-ci  comme  les  constantes  arbitraires  que  l'intégration  doit  intro- 
duire lorsqu'on  fait  abstraction  des  forces  perturbatrices,  et  en  attri- 
buant tout  l'effet  des  perturbations  à  la  variation  de  ces  constantes.  Je 
suis  parvenu  de  cette  manière  à  un  résultat  général  et  indépendant  de 
la  figure  des  orbites  planétaires.  J'ai  trouvé  que  la  fonction  des  dis- 
tances qui  exprime  la  somme  des  intégrales  des  forces  perturbatrices, 
multipliées  chacune  par  l'élément  de  sa  direction,  a  cette  propriété  re- 
marquable, qu'en  y  faisant  varier  les  seules  constantes  arbitraires,  ses 
différences  partielles  relatives  à  chacune  de  ces  constantes  ne  renferment 
point  le  temps,  et  ne  sont  exprimées  que  par  des  fonctions  linéaires  des 
différences  de  ces  constantes,  et  dans  lesquelles  les  coefficients  de  ces 
différences  ne  dépendent  que  des  mêmes  constantes.  De  là  il  a  été  facile 
de  déduire  les  variations  des  éléments,  exprimées  par  des  formules  dif- 
férentielles qui  ne  renferment  que  les  éléments  eux-mêmes  et  les  diffé- 
rences partielles  de  la  fonction  dont  on  a  parlé  par  rapport  à  ces  élé- 
ments; résultat  important  auquel  M.  de  Laplace  est  parvenu  de  son  côté 
par  la  considération  des  formules  du  mouvement  elliptique. 

J'ai  entrepris  depuis  d'étendre  à  un  système  de  coi'ps  qui  agissent  les 
uns  sur  les  autres,  d'une  manière  quelconque,  l'Analyse  qui  m'avait 
réussi  pour  les  variations  des  éléments  des  planètes,  en  l'appliquant 
aux  formules  générales  que  j'ai  données  dans  la  Mécanique  analytique, 
pour  le  mouvement  d'un  système  quelconque  de  corps;  après  plusieurs 
tentatives  infructueuses  je  suis  parvenu,  non  sans  étonnemenl,  vu  la 
grande  généralité  des  équations  ditférenlielles,  à  un  résultat  analogue 
à  celui  que  j'avais  trouvé  pour  les  planètes,  et  dont  celui-ci  n'est  plus 
(ju'un  cas  particulier.  Cette  nouvelle  Analyse,  qui  fait  l'objet  de  ce  Mé- 

*)  OEucres  de  Lnf^rari^c,  l.  VI,  p.  -\'\. 


DES  CONSTANTES  A  RHITH  ATHES.  77.} 

moire,  sera  le  eoinpiémcnl  d.-  la  Théorie  (!<■  h,  vMii:.ti(„i  drs  constantes 
arbitraires,  et  pourra  être  utile  dans  plusir-nis  Prohlr/nes  de  Mécani(inr. 
Quel  que  soit  le  systènie  de  corps  doiil  on  cli.r.li,.  |r  nionvcnimt,  cl 
de  (juehiue  manière  (pi'ils  agissent  les  uns  sur  les  autres,  on  peut  Ion- 
jours  réduire  les  variables,  (|ui  délerminenl  leur  position  dans  l'espace, 
à  un  petit  nombre  de  variables  indépendantes,  en  éliminant,  au  moyen 
des  équations  de  condition  données  par  la  nature  du  système,  autant  de 
vaiiables  (|n'il  y  a  de  conditions;  c'est-à-dire,  en  exprimant  toutes  les 
variables,  (jui  sont  au  nombre  de  trois  ponrcba(|iie  corps,  par  un  petit 
nombre  d'entre  elles,  ou  par  d'autres  variables  qnelcompies  cpii.  n'étant 
plus  assujetties  à  aucune  condition,  seront  indépendantes.  Cette  réduc- 
tion supposée,  le  Problème  mécanique  consiste  à  déterminer  cbacune 
de  ces  variables  par  le  temps;  or  j'ai  donné,  dans  la  seconde  Partie  de  la 
Mécanique  analytique,  la   forme  générale  des  équations  dillérentielles 
pour  cbacune  des  variables  indépendantes  dont  il  s'agit;  de  sorte  que  la 
solution  du  Problème  ne  dépend  plus  que  de  l'intégration  de  ces  diilé- 
rentes  équations  différentielles,   qui  sont  essentiellement  du   second 
ordre,  et  qui  sont  plus  ou  moins  compliquées  suivant  la  nature  du  Pro- 
blème. 

Supposons  que  dans  un  Problème  donné  on  soit  parvenu  à  intégrer 
complètement  les  équations  dont  il  dépend,  mais  en  faisant  abstraction 
de  certaines  forces  qui  agissent  sur  les  corps  dans  une  raison  quelcon(|ue 
des  distances,  et  qu'on  peut  regarder  comme  des  forces  pertuibatrices 
du  mouvement  du  système.  A  l'imitation  de  ce  qu'on  fait  à  l'égard  des 
planè'tes,  on  peut  réduire  rell'ei  de  ces  forces,  surtout  si  on  les  suppose 
très-petites,  à  ne  faire  varier  dans  la  solution  générale  que  les  constantes 
arbitraires  introduites  par  les  différentes  intégrations;  et,  comme  il  doit 
y  avoir  dcmx  constantes  arbitraires  à  raison  de  chaque  variable,  pnis(|ne 
ces  variables  dépendent  d'équations  dillérentielles  du  second  ordre,  on 
peut  faire  en  sorte  (lue,  non-seulement   leurs  expressions  tiiiies.  mais 
encore  leurs  expressions  dillérentielles,  soient  les  mêmes  <pie  si  les  con- 
stantes dont  il  s'agit  demeuraient  invariables;  de  sorte  (ju'a  chaque  in- 
stant les  lieux  des  corps  dans  l'espace,  ainsi  cjue  leurs  vitesses  et  leurs 


77i         SUR    LA   THÉORIE  GÉNÉRALE  DE   LA  VARIATION 
directions,  soient  représentés  par  les  mêmes  formules,  en  ayant  égard 
aux  forces  perturbatrices,  que  lorsqu'on  fait  abstraction  de  ces  forces, 
comme  cela  a  lieu  pour  les  planètes. 

En  considérant  sous  ce  point  de  vue  la  variation  des  constantes  arbi- 
traires, j'ai  ti'ouvé  (jue  la  fonction  qui  représente  l'intégrale  de  toutes 
les  forces  perturbatrices,  multipliées  chacune  par  l'élément  de  la  dis- 
tance dont  elle  dépend,  jouit  aussi  de  la  même  propriété,  que  ses  dif^ 
férences  partielles  relatives  à  chacune  des  constantes  arbitraires  sont 
exprimées  uniquement  par  des  fonctions  ditlerentielles  de  ces  mêmes 
constantes  sans  le  temps;  de  sorte  que  l'on  a,  pour  les  variations  de  ces 
constantes,  des  équations  différentielles  qui  ne  renferment  que  ces  coh- 
stantes  avec  les  différences  partielles  de  la  fonction  dont  il  s'agit,  rela- 
tives à  chacune  d'elles,  comme  dans  le  cas  des  perturbations  des  pla- 
nètes, forme  extrêmement  avantageuse  pour  le  calcul  des  variations  des 
constantes,  et  surtout  pour  la  détermination  de  leurs  variations  sécu- 
laires. Ainsi  cette  propriété,  que  j'ai  reconnue  à  l'égard  du  mouvement 
des  planètes,  a  lieu,  en  général,  pour  tous  les  Problèmes  sur  le  mouve- 
ment des  corps,  et  peut  être  regardée  comme  un  résultat  général  des 
lois  fondamentales  de  la  Mécanique.  Elle  fournit  en  même  temps  un 
nouvel  instrument  pour  faciliter  la  solution  de  plusieurs  Problèmes  im- 
[)ortants. 

Le  Système  du  monde,  outre  les  perturbations  des  planètes,  auquel  la 
Théorie  de  la  variation  des  éléments  s'applique  naturellement,  en  offre 
encore  un  autre  plus  difficile,  et  susceptible  également  de  la  même 
Théorie  :  c'est  celui  de  la  rotation  des  planètes  autour  de  leur  centre 
de  gravité,  en  ayant  égard  à  leur  figure  non  sphérique  et  à  l'attraction 
que  les  autres  planètes  exercent  sur  chacune  de  leurs  molécules.  En 
faisant  abstraction  de  ces  forces  d'attraction,  qu'on  peut  regarder 
comme  des  forces  perturbatrices,  le  Problème  consiste  à  déterminer  le 
mouvement  d'un  corps  solide  de  figure  quelconque  autour  de  son  centre 
de  gravité,  lorsqu'il  n'est  sollicité  par  aucune  force  et  qu'il  a  seulement 
reçu  une  impulsion  initiale  quelconque;  et  l'on  sait  que  ce  Problème, 
poui-  lequel  d'Aleml)erl  avait  donné  le  premier  les  équations  différen- 


DES  CONSTANTRS    \  HiniK  \  I  KES.  775 

(iellos,  a  élé  résolu  (•(iiiiplrlciiiciil  |);ir  Miilfi'.  On  a  ici,  comme  pour  le 
iiioiivcmciil  (rime  piiiiii'lc  dans  son  orhilc,  liois  ('(|nalioiis  dilIV'rcnliclics 
(lu  second  ordre  entre  trois  varial)les  iiidépendaiiles;  par  coiiscMjueiil  les 
expressions  tinies  de  ces  varialdes  doivetit  l'cnreriner  six  constantes  ai'- 
hitraires  qu'on  peut  rci^arder  coninie  les  eiénuMits  de  la  lotation,  M  dont 
trois  tiennent  à  la  rotation  (die-mème,  et  les  trois  antres  sont  rcdalives 
au  plan  au(|uel  on  i'a[>porte  la  rotation,  coninie  d:ins  le  cas  du  niouve- 
nient  de  translation,  ('es  éléments  deviendront  variables  pai-  l'aclidii  des 
forces  perturhatrices,  et  la  détermination  <le  leurs  variations  est  un  Pro- 
blème dont  la  s(dution  n'a  j)as  encore  été  donnée,  ni  ménu'  lentee,  (|ue 
je  sac.be,  sous  ce  point  de  vue  général.  Je  me  propose  d'en  faire  rui)iei 
d'un  autre  Mémoire;  dans  celui-ci  je  ne  vais  exposer  que  l'Analvse  i^c- 
nérale  et  applicable  à  tous  les  Pi'oblèmes  de  Mécanicjue. 

Formules  générales  pour  la  variation  des  constantes  arbitraires 
dans  les  Problêmes  de  Mécanique. 

1 .  Soit  un  système  de  corps  m,  m', . . . ,  qui  agissent  les  uns  sur  les 
autres  d'une  manière  qucdconque,  et  qui  soient  de  plus  sollicités  par  des 
forces  accélératrices  P,  Q, .  . . ,  P',  Q, . . .  tendant  à  des  centres  tixes  ou 
à  des  corps  mêmes  du  système,  et  proportionnelles  à  des  fonctions  quel- 
conques des  dislances/?,  q,...,  p' ,  q,...,  en  sorte  que  les  différentielles 
?dp,  Qdq,...,  P'dp,...  soient  toujours  intégrables. 

Soient  œ,  y,  z  les  coordonnées  rectangles  du  corps  m;  x' ,  f ,  z'  celles 
du  corps  m,...,  et  soit 

dx'  -+-  dr'  -I-  dz-            dx"  -+-  dy'^  -+-  dz"      , 
T  = v^; m  H -j— m' -h.  . ., 

dt  étant  l'élément  du  temps  supposé  constant. 
Soit  de  plus 

V  =  [   Çvdp  -f-   I  O^A/  +  ...)/;/  -i-  (   /  V'dp'  -^    j  Q'dq'  -h...)  m'  -h  .  .  .  . 

(^ette  ([uantité  V  sera  aussi  une  l'onction  des  coordonnées  j,v,  :■,  ^î"  .  r', 


776  SUR   LA  THÉORIE   GÉNÉRALE  DE   LA  VARIATION 

2,...,  puisque,  en  désignant  [)ar  a,  jS,  7  les  coordonnées  du  centre  de  h» 
force  P,  on  a 

;;  =  ^(^^  aY  +  (  J  -  py  +  (2  -  y)^ 

et  ainsi  des  autres. 

2.  Les  conditions  du  système  dépendantes  de  la  disposition  des  corps 
entre  eux,  étant  traduites  en  Analyse,  fourniront  autant  d'équations  de 
condition  entre  leurs  coordonnées  x,  y,  z,  x',  y',  z',. . . ,  par  lesquelles 
quelques-unes  de  ces  variables  seront  déterminées  en  fonctions  des 
autres;  de  sorte  qu'il  ne  restera  qu'un  certain  nombre  de  variables  in- 
dépendantes, par  lesquelles  la  position  du  système  sera  déterminée  à 
chaque  instant. 

Désignons,  en  général,  par  r,  s,  u, . . .  les  variables  indépendantes 
dont  les  coordonnées  a;,  y,  z,  x' , y' ,  z',...  seront  des  fonctions  connues; 
il  est  clair  que  les  quantités  T  et  V  deviendront  aussi  des  fonctions  de 
ces  mêmes  variables;  et  en  particulier  la  quantité  T  sera  une  fonction 

de  r,  5,  w,...  et  de  leurs  dérivées -T-»  -t-->  77'   ••'   que  nous  dénoterons, 

pour  plus  de  simplicité,  par  r',  s',  u',...;  mais  la  quantité  V  sera  une 
simple  fonction  de  r,  s,  u, 

3.  Cela  posé,  j'ai  démontré,  dans  la  Mécanique  analytique  [Partie  II, 
Section  IV  (*)j,  que  ces  variables  fournissent  autant  d'équations  diffé- 
rentielles de  la  forme 

dP'       (/T        ^V  _ 
dt     ~  ~d7  ^  ~d7  ~  ""' 

dl 


^  ds'        d'V  d\_ 

dt            ds  ds 

dT 

du'  _  dT^  dV 

dt            du  du 


=  o. 


o. 


(*)  Cette  citation,  qui  se  réfère  à  la  première  édition  de  la  Mird/iifjiic  nriplyti</iic,  convient 
aussi  à  la  deuxième  âlition.  i^ote  de  l'Éditeur.) 


DES  CONSTANTES  AHBITUAIKES.  777 

Il  est  visiljl(!  que  ces  équations  seront  toutes  du  second  ordre,  de  sorte 
([ue  les  expressions  finies  de  r,  s,  u,...  contiendront  deux  fois  autant  de 
constantes  arbitraires  (ju'il  y  a  de  variables.  Nous  dénoterons  ces  con- 
stantes par  rt,  h,  c,/,  g^  Il 

4.  Supposons  maintenant  que,  le  Problème  étant  résolu  dans  cet  état 
et  les  expressions  de  r,  s^  n,...  étant  connues  en  fonctions  de  /  et  de  a, 
b^  c,/, ...,  on  demande  de  résoudre  le  même  Problème,  dans  le  cas  où 
les  différents  corps  du  système  seraient  de  plus  soumis  à  l'action  <Ie 

forces  perturbatrices  de  la  nature  des  forces  P,  Q mais  dont  les 

centres  soient  mobiles  d'une  manière  quelconque  indépendante  du  sys- 
tème. 

Désignons  par  —  il  ce  que  devient  la  fonction  V  jxjur  les  forces 
perturbatrices  dont  il  s'agit;  il  n'y  aura  ([u'à  mettre  V  —  0  à  la  place 
de  V  dans  les  équations  précédentes,  pour  avoir  les  équations  du  mou- 
vement du  même  système  altéré  par  les  forces  perturbatrices. 

Ces  équations  seront  ainsi 


jdT 

dt 

dT        dV 

dr    '^    dr 

dh 

dr 

^dT 
ds' 
dt 

dT         d\ 

ds          ds    '~ 

dii 

lis' 

jdT 

dT    ,    r/V_ 

dO. 

dt 

du  ^  du   " 

du 

et,  si  l'on  suppose  que  les  mêmes  expressions  de  r,  s,  u,.  .,  ainsi  que 
celles  de  r',  s',  u',...,  y  satisfassent  encore  en  regardant  comme  va- 
liables  les  constantes  arbitraires  a,  b,  c,/,  g,-..,  la  question  sera  réduite 
à  déterminer  ces  variables  d'après  ces  conditions. 

VI.  ;)8 


778  SUR   LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE  LA  VARIATION 

5.  Nous  ne  considérerons  ici  que  trois  variables  indépendantes,  /',  s, 
u\  mais  on  verra  aisément  que  l'Analyse  est  générale,  quel  que  soit  le 
nombre  de  ces  variables.  On  n'aura  donc  entre  ces  variables  que  trois 
équations,  qui,  à  cause  que  V  ne  contient  point  r',  s',  u',  peuvent  se 
mettre  sous  cette  forme  plus  simple 

,rfR        f/R    ,         dil    , 

d  —-- r-  dt  ■=  —j-  dt, 

ds  ds  ds 

,r/R        dR   ,         dil    . 

d  — — 7—  dt  =  -7—  dt, 

du  du  du 

en  faisant  R  =  T  -  V. 

Dans  ces  équations,  R  est  une  fonction  donnée  de  r,  s,  u  et  de  r',  s',  u  , 
et  i)  est  aussi  une  fonction  donnée  seulement  de  r,  s,  u,  mais  qui  peut 
contenir  encore  d'autres  variables  dépendant  du  mouvement  des  centres 
des  forces  perturbatrices. 

6.  Nous  supposerons  connue  la  solution  complète  de  ces  équations 
dans  le  cas  où  l'on  fait  abstraction  des  seconds  membres  qui  dépendent 
de  la  fonction  Q.;  ainsi,  pour  ce  cas,  les  valeurs  de  r,  s,  u  seront  censées 
connues  en  fonctions  de  t  et  des  six  constantes  arbitraires  a,  b,  c,f,  g,  h, 
et  il  s'agira  de  faire  varier  ces  constantes  de  manière  que  les  express- ons 
finies  de  r,  s,  u,  ainsi  que  celles  de  r',  s',  u\  c'est-à-dire,  de  leurs  dif- 
férentielles -jj-,  j-1  -r:  relatives  seulement  à  /  et  indépendantes  de  la 

variation  des  constantes,  satisfassent  en  entier  aux  mêmes  équations,  en 
ayant  égard  aux  termes  dépendants  de  û. 

7.  Dénotons  par  la  caractéristique  5,  comme  dans  le  Mémoire  sur  la 
variation  des  éléments  des  planètes,  les  différentielles  provenant  de  la 
variation  des  six  constantes  arbitraires  a,  b,  c,f,  g,  h\  on  aura  par  l'al- 
goritbmc  des  différences  partielles,  en  regardant  r,  s,  u,  ainsi  que  r', 


DES  CONSTANTES  ARBITRAIRES.  779 

.y',  a'  comme  fonctions  de  /  et  de  a,  h,  r,J\  g,  //, 

(fr    ,  (Ir    ,,         f/r    ,  dr    ,„       ilr    ,  ilr    ,, 

or  =    ,-  <ia  H-    ,,-  (Ih  -!    -,-  lie  -r    ,/.  (Il  -\-    ,    "A'-^    //  ''"  ' 
(la  dh  de  dj     ■'        (/g-    **        dh 

^  ds    ,         ds     „        ds    ,  ds    ,_       ds    ,         ds    ,, 

os  =  -r~  da  +  -rr  db  -\ — ,-  de  -i-  -    •  df  ^-    ,    dii\-  -,,  dli, 
aa  do  de  dj    ■'        d^^    ^       dh 

^         du    ,         du    ,,        du    ,         du    ,„       du    ,         du    ,, 
du=  -j-  da  4-    ,,   dh  -\ — --  de  -i-  -rr.  df  -!-  -,-  dff-h    ,7  d/i  ; 
da  db  de  dJ    ^        dg    ^       dh 

et  de  même 

• 

,  ,       dr'  dr'    j,        dr'    ,  dr'    ...       dr'    ,  dr'    ,, 

dr'  =  —j—  da  H-  —7-  db  h j—  de  -\ — 7—  df  ^-  -y-  dg  -\-  -rr  dh , 

da  db  de  df     ^         dg     °        dh 

^  ,        ds'    j  ds'    ,,         ds'    j  ds'    ...        ds'    ,  ds'    ,, 

os'  =  -,—  da  H n-  «o  +  -,  -  de  -i n^  df  4-  -,-  di^  -) — ,,-  dh , 

da  db  de  dJ     ''         dg     °        dh 

-    ,       du'    ,  du'    „         du'    ,  du'    ,„        du'    ,  du'    ,, 

Ou'=  —r-  da  4-  -T/-  "t>  H ,-  de  H ,,.-  df  -\ — ,—  di^  -\ ,,-  dh . 

da  db  de  df     ''        dg     °        dh 

En  regardant  les  constantes  a,  h,  c,f,  g,  h  comme  variables  en  même 
temps  que  t,  les  diiïérentielles  de  r,  s,  u  seront  ainsi 

r'dl  +  ôr,     s' dt  -f-  os,     u'dt  -r-  ou; 

donc,  pour  que  ces  différentielles  se  réduisent  à  r'dt,  s'di,  u'dt,  comme 
si  les  constantes  arbitraires  ne  variaient  pas,  il  faudra  que  l'on  ait 

èr=zo,     55=^0,     ou       o. 

8.  Maintenant,  si  l'on  considère  rccjuation 

,  d\\       dK   ,        dil    , 

d  -—- y-  dt—~i~  dt, 

dr  dr  dr 

il  est  facile  de  voir  que,  comme  R  est  une  fonction  de  r,  s,  u  et  de  r' ,  s',  u', 
la  partie  de  la  différentielle  de  y^  provenant  de  la  variation  des  con- 
slanles  arbitraires  sera  simplement 

dn\  ,  ,        f/=R    .  ,         </'R     .  , 

08. 


780         SUR  LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE  LA  VARIATION 

à  cause  de  or  — o,  os^o,  oa  =  o.  Donc  cetle  partie  seule  devra  être 
égalée  au  second  membre  n^dt,  puisque  l'équation  est  censée  satis- 
faite, sans  cette  partie  et  sans  le  second  membre,  par  les  mêmes  valeurs 
de  r,  s,  u,  r' ,  s' ,  u'  en  /,  a,  b,  c,f,  g,  h  que  dans  le  cas  où  il  n'y  a  que  t 
de  variable. 

On  aura  de  cette  manière  lY^jualion 

dn\  ,  ,       dn\    , ,        (/=R     .  ,      dil   , 
dr  '  dr  ds        ,     ardu  dr 

et  pareillement  les  deux  autres  équations  donneront 


dr'ds'   ""           ds'-              ds'du' 

d£l  . 
ds 

f/^R    ^^^,  ^     dn\   ^^,  ^    dn\    ,^^,_ 

dr'du'  ^'     '    ds'du'  ^^    '     du''^ 

dil  ^^ 
du 

Ces  trois  équations,  jointes  aux  équations 

or=:o,     Ô5  =  o,     ô«  =  o, 

renferment  toutes  les  conditions  du  Problème,  et  serviront  à  déterminer 
les  valeurs  des  nouvelles  variables  a,  b,  c,/,  g,  h  en  t. 

Le  but  de  l'Analyse  que  nous  allons  exposer  est  simplement  de  réduire 
les  valeurs  des  différentielles 

da     dh     de     df     dg     d/i 
dï'   r77'   dt'  di'   dï'   dT 

données  par  ces  équations  à  des  expressions  qui  ne  renferment  que  les 
quantités  a,  b,  c,/,  g,  h  et  les  différences  partielles  de  D,  relatives  à  ces 
mêmes  quantités,  sans  le  temps  t,  comme  nous  l'avons  fait  pour  les  va- 
riations des  éléments  des  planètes  dans  le  Mémoire  cité. 

9.    En  multipliant  la  première  équation  par  ^ ,  et  retranchant  les 

équations 

ôr  =  o,     ô*  =  o,     ou  =^  o, 


DES  CONSTANTES  ARBITRAIRES.  781 

multipliées  rcspcctiveiiK'nl  par 

fM{  <lv'         d^W     ,1,'         <m\     (II' 
<//•''    du         dr'ds'    du  '      dr'du'    da  ' 

je  loinic  celle-ci 

dil  dr  -.        dn\(dr  ^  ,       dv'  .  \         dm    (dr  ,  ,      dr'  .  \  d'W    (dv  .   ,       dv'  . 

(//•  t/rt  dr '\da  da      )       dr'ds'  \da  da      )       dr'du' \du  da 

J'aurai  de  même  par  les  deux  autres  équations  ces  transformées 


ds   da  '  dr'ds'  \da  da       )  ds'-     Xda"^  da  '^y   '   'ds'du'\da'^'^~  da 

^  ^  dt—    ^^'^     (—or'—  —  ôA  +  J!-^(—  '^  '_  ^  -^  \         1''^    /^  -^  '_  ^'  -   \ 
r/?«  r/rt      ^  dr'du'  \da  da      j       ds'du'\da  da  °  /        </«''   \^°"~  r/rt  °   / 

J'ajoute  ces  trois  équations  ensemble,  et  comme  Q,  n'est  fonction  que 
de  r,  s,  II,  sans  r',  5',  if',  il  est  clair  qu'on  a 

dil   (h       ^  ^       (lil  du    ^  ^/i2 
dr    da         ds    da        du   da        da 

On  aura  donc  cette  équation 

di},       ^i!^  f^  - ,/  _  ^  -  A    u  d^fds^  -  '  _  ^*'  -  \      Éii/^^5  '_  ^^"'  -^ 
t/rt  dr'^Kda  da      )    '    ds'^  \d(C  da      )       du''\da  da 


é/'R    /r//"  ^  ,        ds  ^  ,       dr'  ^         ds'  ^ 

os   H — -.-  or  —  -7—  os 


dr'ds'  \da    "        da  da  da 

d'R    /dr  ^   ,      du  .  ,      dr'  .         du' 


..) 


dr'du'  \da  da  da  da 

d-K    f  ds  ^  ,      du  ^  ,       ds'  ^         du'  ^ 

-\-     j  ,   j    ,  [-j-OU   -]-  -.-05    —    -7-   OU r-  os 

as  du  \da  da  da  da 

10.  J'y  substitue  maintenant  les  valeurs  de  or,  as,  ou,  oV,  0^',  ou 
données  ci-dessus  (7),  et  j'ordonne  les  termes  par  rapport  aux  dilTé- 
rences  da,  db,  de,  df,  dg,  dh;  on  aura  une  formule  de  cette  forme 

^  dl  -r  A  da  i  Hdb  :-  Cdc  -h  Fdfi-  G  dfr  4-  II  d/i  ; 
da  J  o 


782  SUR   LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE  LA  VARIATION 

et  il  est  d'abord  facile  de  voir  que  le  coetricient  A  sera  nul  par  la  des- 
truction mutuelle  des  termes  qui  le  composent.  On  aura  ensuite 

d'Wfdr  dr'       dr'  dr\       d'W  Ids  ds'       ds'  ds\    .    d'i^fdii  du^  _  da^  du\ 
^  ~   JlV'Xdâ  ~db  ~  Ta  db)  "''  ds'^  \dn  711)  ^  dâ  (11)  ^  (h?~\da  db  ~  da  d~b) 

d'R    fdr  ds'        ds  dr'       dr'  ds        ds'  dr' 


dr'ds'  \da  db  ~^  da  db  da  db  da  db 

dn\    /dr  du'       du  dr'  dr'  du  du'  dr\ 

dr'du'\da  db  ~^  da  db  da  db  da  db) 

c/'R  (  ds  du'       du  ds'  ds'  du  du'  ds 


ds'du'  \da  db  ~^  da  db         da  db        da  db 

y 

En  changeant  successivement  dans  cette  expression  de  B  la  lettre  b 

en  c,  f,  g,  h,  c'est-à-dire,  les  différentielles  partielles  relatives  à  b  en 
pareilles  différentielles  relatives  à  c,f,  g,  h,  on  aura  les  expressions  des 
valeurs  de  C,  F,  G,  H. 

Comme  R  est  une  fonction  donnée  de  r,  s,  u,  /',  s',  u' ,  et  que  ces  quan- 
tités sont  des  fonctions  supposées  connues  de  /  et  de  a,  b,  c,f,  g,  h,  il 
est  visible  que  les  coefficients  B,  C,  F,  G,  H  dont  il  s'agit  seront  aussi 
des  fonctions  de  t  et  de  a,  b,  c,f,  g,  h.  La  question  est  maintenant  de 
déterminer  la  nature  de  ces  fonctions. 


1 1 .  Pour  cela  on  se  rappellera  que  les  fonctions  i\  s,  u  et  leurs  déri- 

dr        ,        ds         ,        du 

dV  ^  ^  dV  "  ""  Tt 


vées  r'  —  -.-,  s' =  ---■,  u' —  -r-  sont  telles  (ju'elles  satisfont  aux  trois 


équations 

,  ^/R        ^R    , 

d  -j— T-  dt  =  o, 

dr  dr 


;     C?R 

"^  ds'   - 

-'^dt^ 
ds 

o, 

,d\\ 
'^du'  - 

d\\    , 
du 

o, 

en  y  regardant  les  quantités  a,  b,  c,/,  g,  h  comme  des  constantes  arbi- 
traires quelconques,  et  la  quantité  t  comme  seule  variable.  Ainsi,  en 
donnant  aux  constantes  a,  b,  c,.,.  des  accroissements  quelconques  ^a, 


DES  CONSTANTES  ARBITKAIUES.  783 

'î/^  rV,...  infiniment  pclits  cl  constants,  c'est-à-diic,  iiidriicndnnts  d.-  /. 
les  équations  dillerentielles  (jiii  en  rrsullcront  seront  encore  satisfaites 
par  les  mêmes  valeurs  de  r.  s,  a  et  de  leurs  difïérenees. 

Désignons  de  nouveau  par  la  caractéristique  o  les  difTérentielles  de  r, 
•V,  II,  /•',  s\  a'  (jui  résultent  des  accroissements  oa,  nh,  ^c,  o/,  ^g,  rJh  ;,(. 
trilmés  aux  constantes  a,  h,  cj,  g,  h-,  il  est  clair  .,m.,  puisque  R  est  une 
loncticu  de  /•,  s.  Il  cl  de  /•',  s\  a',  on  aura,  par  r.lgorillime  des  dille- 
rences  partielles,  ces  diirérenecs  relatives  à  ^ 

.rfll_     d'W  d'l\  rf>R  </>H  ,/.((  ,;,,, 

,/,'  -  57777 ^'  +  ,/w;.. ^^ -'-  ;nnir- '"  +  S7'^  °'-' - ,,77^ -'  +  ~ '"' ■ 

Donc  la  première  équation,  diiïérentiée  suivant  0,  donnera 
"i?^°'^"<S7?-  +  S7P°"-  *^  "'--^^TW-'^-rf?!?-') 

De  même  la  deuxième  et  la  troisième  donneront  ces  deux-ci 
dl^P^ôr-^S^Ôs-^^-^    -.  .     ^^'^-.    ^^'^    ^'.     ^^H 


12.  Si,  au  lieu  des  accroissements  âa,  t^b,  oc,  6f,  og,  o/i,  on  attriluic 
aux  mêmes  constantes  a,  ^;,  c,/,  g,  A  d'autres  accroissemenls  infinimeni 
petits  et  constants  que  nous  désignerons  par  Aa,  Ah,  Ac,  A/,  Ig,  A/i,  v\ 
qu'on  dénoie  par  la  caractéristique  A  les  dilTérences  des  fondions/-,  s, 
u,  r',  s',  II'  (|ui  en  proviennent,  on  aura  (rois  autres  équations  semblables 


784         SUR  LA  THEORIE  GENERALE  DE  LA  VARIATION 

aux  précédentes,  dans  lesquelles  la  caractéristique  â  sera  simplement 
remplacée  par  la  caractéristique  A. 

13.  Qu'on  ajoute  maintenant  ensemble  les  trois  équations  précé- 
dentes multipliées  respectivement  par  Ar,  ^s,  ^u,  et  qu'on  en  retranche 
la  somme  des  trois  pareilles  équations,  dans  lesquelles  le  â'  est  changé 
en  A,  après  les  avoir  multipliées  respectivement  par  â/\  os,  ou,  on  aura 
cette  équation 


Arr/ 
-Ar 

+  A5  d 

-A5 

H-Aa^ 
—  Au 

-dr  d 


—  os  d 


—  ou  d 


f'^^    .     ,     '^^^H     .     ,      d^R     .      ,     d'^n     ,  ,         r/M{     . ,        d^n 


or  H — , — T—  os  -f-  -, — j—  ou  -+-    -r-T~    di 


05'+     ,    ,   ,    ,  ou' 


drdr'  dsdr'        '    dudr'  dr''  '    dr'ds'        ~^  dr'du 

dn\    ,  d^\  dH\    .  d^K     ,  ,         f/^R  ,/.H    ^ 

dr'  drds  dr  du  drdr'  drds'  drdu' 

dn\    .      ,      d\{    ,     ,      d'W     ^  d'W     .,         r/^R     ^,         fAR     ^^ 

^^  +  7777^  0"  +   77777777  0/*'  +     -7:-     0^'+  "T^^  Ô^^' 


(//v/5'  ^/5<:/5'  f/M  f/^'  dr'ds'  ds''  ds' du' 

-. — T-  or  +   -j-    os  4-  -- — j-    ou  -h  -. — j—  or'  4-  ~, — r~  os'  +  -, — j—  du'    dt 
drds  ds^  ds  du  dsdr'  dsds'  ds  du'        J 

f/^R    .  dn\    .  f/^R     ,  d'K    ,,         ^^R     .  ,        d'K 

clrdu^  ''  -^dTdu'"'-^  dlâ^'  °"  -•-  Wdu'  ''   -"-  dTclu'  ''^    dl^    °"' 

r/^R    .     /d'W  rf^R     ,  r/=R    ,  ,         d'W     .,         r/Ml     ,  ,,   , 

^''+77r77:.7^^-^  7777^:7^"+    777777     Ar' +-,—  ,- A/+ 4^  Am' 


f/r^r'  </5f//-'         ■    dudr'  dr"  dr'ds'  dr' du 

d'W    .  d'W    .  d'W     ^  d'W     ,   ,       d'W  d'W  \ 

-dF  ^'-^  dTds  ^'-^  dTdTc  ^"-^  dVd?  ^''  -^  d?d?  ^^'+  7h^'^'')^^^ 

drds'  dsds'  duds  drds'  ds''  ds  du'        ) 

d'W     .  d'W      .  d'W    ,  d'W    ,    ,        d'K    ,  ,        d'W  \   , 

7l7^ls  ^'-^  -JF  ^'-^  diTu^^^^  did7^'"^didJ'^'-^d7di?^''^'^ 

d'W  d'W     .     ^     d'W     .  d'W     ^   ,        d'W    ,  ,        d'R     , 

7  A'-+:7-777A^+:77777-.7A«  + -7-7:7-7  Ar'+,,—  -A5'+    —--    Au' 


drdu'  dsdu'  du  du'  dr'du'         '   ds'du'  du' 

d'W     .  d'W     .  d'W    ,  d'W     ,  d'W  d'W  \ 


14.  Et,  si  l'on  exécute  les  différentiations  relatives  à  la  caractéris- 
tique d  qui  se  rapporte  au  temps  t,  qu'on  efface  les  termes  qui  se  dé- 


DES  CONSTANTES  ARBITRAIRES.  785 

Iruisent  et  qu*on  ordonne  les  autres  par  rapport  aux  (liirérentielles  de  R, 
on  aura 

^-^,      (^'-0'    -  or  A/') 

(P\\ 

-+-f/^^   {^s  as'  -  as  is' ) 

f/'R 
-^d-j-,~     {Auàu'—duAu') 

H-  d   ,,  .  ,(Ar  os'  —  (5r  As'  -h  As  or'  —  os  Ar' } 

d^\ 

-+-  d  .  ,  .  ,  [Ar  ou'  —  or  Au'  -f-  Au  dr'  —  du  Ar') 
ar  du  ' 

^'R 

-I-  d-j-^—r—,  {As  ou'  —  ds  Au'  -f-  Au  os'  —  du  As'  ) 

-t-  d  -. — j-j  (Ar  os  —  or  As  ) 
dsdr'  ' 

7       f^'l^      /A         ^  ^        A       ^ 

^^-diTà^^^'^'-''^'^ 
7  Ai  o;<  —  05  Au) 


du  ds 

+  d  -. — Y~;  (  '^^  ^*  —  ÔM  Ai  ) 
+    ^    (Arc/ôr'-ô/-(/A/-') 
H-   -TTj    (  As  d  os  —  05  d  As  ) 

f/'R       /V         7-     .  '^         1   ,      , 

-f-    -7— rr    (Ai«a  oî^  —  07^  «  A« 
du  ^ 

^'R 

-4-  -,  ,   ■  ,  {Ar  d  §s'  —  ô/'  d  As'  -4-  Ai  c/o/-' —  os  d  Ar') 
dr  ds 

VI.  9'J 


786         SUR  LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE  LA  VARIATION 


_t_  _£^  (  Ar  cl§u'-~  èr  dM'-{-  Au  dèr'-  §u  d  Ar') 
dr'du 

^'^    'As  dàu'—  es  dAu'+  Au  dès'-  eu  dAs'] 


ds'du 
d'R 


dr  dr 
d'R 


-,  [Ar  d §r  —  èr  d  Ar  —  Ar  èr'  dt  H-  èr  Ar'  di) 


ds  dr 
dm 


du  di 
dm 


-  {Ar  d  es  -  èr  d  As  -  A^  èr'  dt  +  es  Ar'  dt) 

-  [Ardou  —  èrd  Au—  Auèr'  dt-^  èuAr'dt) 


drds 


j  [As  dèr  —  es  d  Ar  —  Ar  os'  dt  +  èr  As'  dt) 


d'K 

-1-  -, — j-,  (As  dès  —  es  d  As  —  As  es'  dt  +  os  As'  dt) 
dsds 

r/^R 

7  {As  dèu  —  es  d  Au  —  Au  os'  dt  +  eu  As'  dt) 


du  ds 


+  J^!3:^(A,itdèr-èudAr  -  Ar  eu' dt -{- èr  Au' dt) 
dr  au 

dm 

-,  { Au  d  os  —  eu  d  As  —  As  eu'  dt  -i-  ô^  Au'  dt) 


ds  du 

dm 


-{Au  dèu—  èud  Au  —  Auèu'dt  +  èuAu'dt)  =  o. 


du  du' 

15.  Si  maintenant  on  fait  attention  que  r' dt  —  dr,  et  par  conséquent 

èr'dt  =  èdr^^dèr, 

à  cause  de  l'indépendance  des  caractéristiques  d  et  ^,  et  par  la  même 

raison 

es'  dt  =  d  es,     eu'  dt  ~z  d  eu, 

ainsi  que 

Ar'dt  :-  dAr,     As' dt  —  dAs,     Au' dt  —  d  Au, 

1'  1     1       1         (V  •    .   \    dm     dm     dm       i^,    •     . 
on  verra  d  abord  que  les  coetlicients  de  -, — r-j-,  -, — j-j^  -, — ri  se  détruisent 
*  dr  dr'    ds  ds     du  du 


DES  CONSTANTES  ARBITRAIRES.  787 

(reux-mêmcs,  et  que  le  premier  membre  de  l'équalion  devient  intégraljle 
par  rapport  à  t,  ce  qu'on  ne  pouvait  pas  espérer. 
L'é([untion  intégrale  est  ainsi 

-j-r    ioki'  or   -   or  ilr  ) 
dr  ' 

4-    -TT-    (  ^*  0*   —  OS  as  ) 
ils' 

+        -7-r-       iùiUOU'  —  OUlS.U') 


du' 

(/•R 
dr'  ds' 


'\r  os'  +  ^s  or'  -  or  ^s'  -  os  \r'\ 


J'R 

H-  -,-7-r^  (  Ar  ou'  +  Am  or'  —  or  Am'  —  ou  \r'  ) 
dr  du 

(P  R 

-I-  -,  ,  ,  ,  (Ai  ôw' -f-  AwÔ5'  —  os  ùi.u'  —  ou\s' ) 
ds  du 

-- — —  —  -7—7-7)  {^sou—osMi)^Yk, 
du  ds         ds  du'  / 

ia  quantité  K  étant  une  constante  par  rapport  à  /,  el  qui  peut  être  par 
conséquent  une  fonction  de  a,  h,  c,f,  g,  h  et  de  leurs  différences  rrl;.- 
tives  aux  caractéristiques  ù  et  A. 

A  l'égard  des  valeurs  des  diflérences  âr,  i^s,  5u,  oV,  às\  dw',  il  est  l'a- 
cile  de  concevoir  qu'elles  doivent  être  exprimées  comme  celles  du  n"  7. 
mais  en  y  changeant  les  différentielles  r/ât,  db,  de,  df,  dg,  dh  en  oa,  oV>, 
oc,  ry,  âg,  oh.  Il  en  sera  de  même  des  différences  A/-,  A.v,  Au,  A/-',  A^',  A//', 
en  changeant  da,  db,  de,  df,  dg,  dhen  Aa,  A^,  Ac,  A/,  Ag,  A//. 

16.  Comme  ces  différences  âa,  56,  âc,  of,  âg,  0//,  ainsi  que  Aa,  AA,  At-, 
A/,  Ag,  Ml  sont  constantes,  c'est-à-dire,  indépendantes  de  /  el  ahsoluinenl 


-88 


SUR   LA  THÉORIE  GENERALE  DE  LA  VARIATION 


arbitraires,  l'équation  précédente  subsistera  toujours,  quelques  valeurs 
qu'on  leur  donne.  Supposons  d'abord 


ensuite 
on  aura  (7 


Ah  =  o,    Ac  =  o,    Af=z  o,    Ag 

êa  =  o,      ôc  =  o,      Sf=o,      0g=:O 


o,     A/i  =  o, 

Ô/l   =rJ  O, 


.  dr  .  ds   .  .  du   . 

Ar  =  -y-  Aa,  As  =  -j-  Aa,  Au  =  -r-  Aa, 
da                       da  da 

A    /       ^^'  A  \  r       ^*'  A  A    ,      du'  ^ 

Ar'-—  -r-  Aa,  As'=  -j-  Art,  Au'=  -j-  Aa, 
da                       da  da 


^  dr  ,,         ,  ds 

01     =    -yj-    OU,  OS    =   -77-    00, 

db  do 


du    ^ , 
db   °^' 


dr' 
èr'  ^=  -77-  ob, 
db 


.  ,        ds'  ., 
OS   =;  -rj-  oh, 
db 


§u' 


du' 
db 


db; 


et,  ces  valeurs  étant  substituées  dans  l'équation  intégrale  ci-dessus,  on 
aura,  après  avoir  effacé  le  facteur  commun  Aaâb, 


dm    I  dr   dr' 
d?"  ' 


(//■  dr' 
db  da 


d'K 

d7^ 


\da   db 

/  ds  ds'         ds   ds' 
\7Ui  TTb    ~  Tfh  Thi 


d-\\     /du  ch/_ 
du-    \da   db 

dm     [dr    ds' 


dr' ds'  \da   db 
dm     [dr   du' 


dr'du'  \da  db 


dm 

ds'du' 

dm 

ds  dr'        dr  ds' 


ds   du' 
d7(  'db  ■ 

dm 


db   da 

du  du' 
db   da 

ds  dr' 
da  db 

du  dr' 
da  db 

du  ds' 
da  db 


dr  ds[ 
db  da 

dr  du' 
db   da 

ds   du' 
db  da 


ds  dr' 
db  da 

du  dr^ 
db  da 

du  ds' 
db  da 


:a,b: 


dm 

du  dr 

dm 


dm 

drdu'  I  \da  db 


dr    ds        dr    ds\ 
da  db        db  da  J 

[  dr   du 


d-l\ 


dit  ds'        ds  du' 


ds  du 
da  db 


dr  du\ 
db  da  J 

ds    du 
db  da 


DES  CONSTANTES  ARBITRAIRES.  789 

Je  désigne  par  le  symbole  {a,  h)  une  quantité  constante  relativement 
il  /,  et  composée  des  constantes  a,  b,  c,f,  g,  //,  huiucllc  sera  é^^'lle  ii  ce 
(|ue  devient  le  premier  membre  de  l'équation  lorscjuc,  après  la  substitu- 
tion des  valeurs  do  r,  s,  u  et  de  leurs  dérivées  r',  s',  u'  en  fonction  de  / 
et  de  a,  b,  c,  f,  g,  h,  on  y  fait  t  —  o,  ou  bien  on  m  rejette  tous  les 
termes  dépendants  de  t. 

17.  Or  on  voit  que  les  premiers  termes  de  cette  équation  coïncident 
avec  ceux  de  l'expression  du  coefiicientB  du  terme  lW//>  (buis  la  v;iletir 

de  -j-dt  (10).  Ainsi,  en  substituant  B  h  la  place  de  ces  termes,  on  aura 

simplement 

(   J'R  r/'R  \  [  dr  ds        dr  ds\ 


dsdv'         drds'  j  \da  db        db  da) 
dn\  d'K  \  I  dr  du        dr  du\ 


- 


dudr'        drdu'  I  \da  db        db  da  j 


d'K (7^R  \   lds_  du        ds  du'  _ 

duds'        dsdu'  j  \da  db        db  da  '  ~      '     '' 


d'où  l'on  lire 

.  Ti  =  {a,b: 


d'R  d'K  \  (dr  ds        ds  dr 


drds'         dsdr'  J  \da  db  da  db 

I   d'il    _    d'K  \   [dr_  du  du_  dr\ 

\drdu'        dudr' j  \da  db  da  db) 

d'R  d'l\  \   I  ds  du  du  ds 


ds  du'        du  ds'  j  \  da  db        da  db 


18.  Supposons  ensuite  dans  les  valeurs  de  or,  o^,  îùu,  or',  os',  ou'  les 
diiïérences  ^«,  ob,  o/,  og,  àh  nulles;  on  aura 


èr 

de 

.         ds  , 
os  =  -j-oc, 
de 

^         du  , 
oa  ^  -7-  OC, 
de 

dr'  , 

.  ,       ds'   . 

V,  ,       du'  ^ 

ôr' 

^  de  ^'' 

05  =1^  -7-  OC, 

de 

ou  =  -7-  oc. 
de 

En  substituant  ces  valeurs  dans  la  même  équation  générale,  et  conser- 
vant les  valeurs  précédentes  de  Ar,  A^,  A//,  A/',  A^',  \u' ,  on  aura,  en 


790         SUR  LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE  LA  VARIATION 

c'iTaçant  le  facteur  commun  ^aâc,  cette  autre  équation 


dr'^  \da  de 


dr  dr' 
de  da 


^dH\fds_ds'  _  fjs_(h[\ 
ds'^\  da  de       de  da  1 


ds'^  \da  de 

d'R  (du  duf^ 
du'^\da  de 

r/'R    jdr  ds' 


da  du' 

de  da 


dr'ds'  \da  de 
dn\    (dr  du' 


dr'du'  \da  de 
f/^R    (ds  du' 


ds'du'  \da  de 

ds  dr' 
f/=R 


du  dr' 


dr  ds' 

d'IK 

dr  du' 


fhdr^ 
da  de 

dudr[ 
da  de 

du  ds' 
da  de 

dr  ds 
da  de 

dr  du 
da  de 


dr  ds^  _ 
de  da 

dr  du' 
de  da 

ds  du 
de  da 

dr  ds 
de  da 

dr  du 
de  da 


ds  dr' 
de  da 


du  dr' 
de  da 


■7::-^)  }  ={a,c). 


du  ds' 
de  da 


-h 


r/'R  f/-R  \  f  ds  du       ds  du 

du  ds'       ds  du'  j  \da  de       de  da 


La  quantité  désignée  par  le  symbole  {a,  c)  exprime  la  valeur  de  la 
formule  qui  forme  le  premier  membre  de  l'équation  lorsque  l'on  y  fait 
t  —  o  on  qu'on  rejette  tous  les  termes  indépendants  de  t-,  et  l'on  voit 
([ue  cette  quantité  répond  à  celle  qu'on  a  désignée  par  le  symbole  [a,  b) 
en  ce  que  la  lettre  c  est  partout  à  la  place  de  b.  On  voit  aussi  de  la  même 
manière  que  les  premiers  termes  de  cette  équation  forment  la  valeur  du 

coefficient  C  du  terme  C^c  de  l'expression  de  -.— dt\  ainsi  l'on  en  peut 

déduire  la  valeur  de  ce  coefficient  exprimée  de  cette  manière 


C  =  («,  c)  4- 


_c^R_ 

ds  dr' 

d-\\ 
du  dr' 


r/^R 
dr  ds' 

J-R 

dr  du' 

d'\{ 

dsdu'         duels'  )  \da  de 


dr  ds 
da  de 

dr  du 
da  de 


f/^R   \  /  ds  du 


- 


ds  dr 
da  de 

du  dr 
da  de 

du  ds 
da  de 


DES  CONSTANTES  ARBITRAIRES.  791 

Comme  cette  expression  de  C  résulte  de  celle  de  B,  en  y  changeant 
simplement  ben  c,  on  aura  pareillement  colles  de  F,  G,  H,  en  cliangeani 
successivement  b  en/,  g,  h. 

19.  Ainsi  la  valeur  de  -.—  dt  (10)  deviendra,  par  ces  substitutions, 

-f-  dt  —  (a,  b)  db  -r-  [a,  c)  de  -f-  (a,/)  df-k-  [a,  g)  dg  -f-  («,  A   dli 


lia 


l   rf'R  J'R  \  (Iv  l  ils    „        ih    ,         (h   ,^       (Is   ,         (Is   ,,\ 

^[-dTdF-  lûdF')  cru  [db  '^^  -''  7k  '''  -"  dj-  ''f-"  Tg  ''^  --  dh  ^^V 

f   d^R  d-K  \  ds  (  dr  „       dr  ,         dr  ,„       dr   ,         dr  ,,\ 

/   d^W  r/'H   \  dr  ( du  „        du   ,         du   .„      du   ,         du   ,,\ 

-^[iTdiV  -  dlid?)  dAdb'^^-^dE-'^'-^Tf'^f-^  d-g'^s-^-^iu*"^) 

/    dn\  d'K\  du  [  dr   „         dr  ,  dr   .„       dr   .  dr  ,,\ 

-\di^-  diTd?)  Ta  [db  ^^  ■-  Te  ^^'  -^  df  ^^f-'  d'g ^-  -^  dit  ^'V 

/  d-W  d^R  \  ds  (du  „        du  ,         du  ,_      du  ,         du  ,,\ 

'  ds    „        ds    ,         ds    ,^       ds    ,         ds    ,,\ 
-jrdh  +  -j~  de  -h  -rr-*U^  t-  "S"  ~  nr  "" 


d'W  d'K  \  du  [  ds 


dsdu'        duds'  j  da 

20.  Si  maintenant  on  se  rappelle  que  les  équations  ^r -- o,  ùs~o, 
au  =  o  du  n°  7  donnent 

r//-    „         dr    j  dr    ,,.       r//-  c//'  r//- 

-77- 1/6  ^-  -y-  de  -'r  -Tn  df  -i-  -J-  dg  -i-  -7,-  (///  — y-  da, 

db  de  df  •'       dg   °       dli  da 

ds    ,,        ds   ,         ds   ,„       ds   ,         ds    ,,  ^5    . 

db  -\-  -.-  de  ->r  -jr.  df  -i-  -j-dg-^  -.7-  dh  =  —  —-da, 
db  de  df    -^       dg   ^       dh  da 

du    „        du   ,         du  ,,      du  ,         du    ,,  ^/«  , 

db  de  dj    ''  ■     dg    "       dh  da 

on  voit  tout  de  suite  que  cette  expression  de  -j^dt  se  réduit  à  la  forme 
très-simple 

■^-  dt    :  {a,b)  db  -h  {a,  e)  de  -^  (  a,  f)  dfn-  (  a,  g)  dg  -^-   a,  h ,  dh  : 
da 


792         SUR  LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE  LA  VARIATION 

et  (le  là,  par  l'analogie  qui  règne  dans  nos  formules,  on  pourra  déduire 

immédiatement  les  expressions  de  —rrdt,  -j^dt,...,  en  changeant 

simplement  a  en  b,  c On  aura  ainsi,  en  observant  que  la  valeur 

de  {a,  h)  ne  fait  que  changer  de  signe  par  le  changement  de  a  en  b  et 
b  en  a,  et  qu'il  en  est  de  même  des  valeurs  de  tous  les  autres  symboles 

(a,  c),  (b,c),..., 


fI9 

-^  dt  =-  -  (a,  b)  cla  4-  {b,  c)  de  +  {b,f)  df-i-  {b,  g)  dg  4-  {b,h)dlu 

L-.(ltr=.-  {b,  c)  db  -{a,c)da-h  {c,f)  df  +  (c,  g)  dg  -t-  {c,  h)  d/i, 

^dt=-  [b,f)  db  -  (c,/)  de  -  [a,f)  da  +  (/,  g)  dg  +  if,  h)  dh, 

d9 

--j^dt  =  -{b,  g)  db  -{c,g)  de  -  (/,  g)  df  -{a,  g)  da  +  (g,  h  )  dh, 

dO. 

-^dt=-{b,  li)db  -  (c,  h)  de  -  (/,  h)df-{g,  h)dg-{a,  h)  da, 


formules  entièrement  semblables  à  celles  que  nous  avons  trouvées  dans 
le  Mémoire  sur  la  variation  des  éléments  des  planètes  (6),  et  qui  n'en  dif- 
fèrent que  par  la  valeur  des  symboles  [a,  b),  [a,  c),  [b,  c),.... 

21.  A  l'égard  de  ces  valeurs,  il  est  bon  d'observer  qu'elles  ne  dé- 
pendent pas  de  la  fonction  R  elle-même,  mais  seulement  de  ses  diffé- 
rences partielles  relatives  à  r',  s' ,  u';  de  sorte  que,  comme  on  a  supposé 
R  =  T  —  V  (5),  et  que  V  n'est  fonction  que  de  /',  ^,  w  (2),  on  aura  sim- 
plement 

dR_dT^       dn^dT       dW        dT 
dr'  ~  dr''      ds'  ~  W     ^  ~  ^  ' 

par  conséquent,  dans  les  expressions  des  valeurs  dont  il  s'agit,  on 
pourra  mettre  partout  T  à  la  place  de  R. 


DES  CONSTANTES  AKIUTKAIUES.  793 

Dl'  cette  inaiiil'i'c  on  aura,  en  i^éuéial,  pour  un  symbol»;  (luelcoïKjnc 

(rt,  h), 

j._d-''ïl  <h   (Jr'  _  dr'    dr 

d' T  /  (Is    ds'         ds     ds 
"^  7ïs^\7Ui    dh    ~  dû   db 

d*T  /du  du'        du'  du 
du'''  \(la    db  du    dl> 

d''ï    { dr    ds'         ds    dr'        dr'    ds         ds'    dr 


dr'ds'  \d(C    db     '    da    db  da    db         du    db 

d'T    I  dr  du'         du    dr'  dr'   du         du'  dr\ 

dr'du'  \du    db         da    db  da    db         da   db  j 

d'T    f  ds  du'        du    ds'  ds'  du        du'  ds 

ds'du'  \da    db     ^  du    db  du   db         du   db 

d'T     _    d'T  \   jdj^  ds  _  ds_  J^^ 

ds  dr'         dr  ds'  J  \  da  db  du  db 

d'T  d'T  \    Idr   du  du  dr'^ 

dudr'        drdu' j   \da  db  (ta  db 


duds'        dsdu!  )  \da  db        da  db 

en  faisant  t  =  o,  ou  bien  en  rejetant  tous  les  termes  (jui  contien- 
draient t,  après  la  substitution  des  valeurs  de  T  et  de  r,  s,  u  en  fonction 
de  t,  a,  h,  c,  f,  g,  h. 

22.  On  voit  aussi,  par  cette  formule,  comment  on  pourrait  l'étendre 
au  cas  où  il  y  aurait  un  plus  grand  nombre  de  variables  indépendantes. 

A  l'égard  de  la  fonction  T,  elle  n'est  autre  chose  que  la  moitié  de  la 
somme  des  masses  multipliées  chacune  par  le  carré  de  sa  vitesse,  c'est- 
à-dire,  la  moitié  de  la  force  vive  du  système  exprimée  en  fonction  des 
variables  indépendantes  et  de  leurs  dérivées  relatives  au  temps.  Ainsi 
notre  Analyse  a  toute  la  généralité  et  la  simplicité  qu'on  peut  désirer. 

23.  Lorsqu'on  aura  trouvé  les  valeurs  de  tous  les  symboles  {a,  b), 

[a,  c),  [b,  c), . . .  en  fonction  des  constantes  a,  b,  c on  aura  autant 

d'équations  de  la  forme  de  celles  du  n"  20,  par  lesquelles  on  pourra  dé- 

VI.  ^  'f^«j 


794  SLR  LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE  LA  VARIATION 

terminer  les  variations  de  toutes  les  constantes  par  les  procédés  ordi- 
naires de  l'élimination,  et  il  est  clair  que  l'on  aura  pour  chacune  de  ces 
variations  des  formules  de  la  forme 

—  -  L  ^"^  -h  M  — ^^  -f-  N  --  + 
dl  ~      da  db  de 

dans  lesquelles  les  coefficients  L,  M,  N,...  seront  de  simples  fonctions 
de  a,  h,  c...  sans  t,  comme  on  l'a  vu  dans  le  Mémoire  sur  la  variation  des 
élémenls  des  planètes;  et  l'on  aura  les  variations  séculaires  en  n'ayant 
égard,  dans  le  développement  de  la  fonction  il,  qu'aux  termes  non  pé- 
riodiques. 

24.  Dans  le  cas  des  perturbations  d'une  planète,  ses  trois  coordon- 
nées x,y,  z  sont  indépendantes  l'une  de  l'autre,  et  on  peut  les  prendre 
pour  les  variables  r,  s,  u.  On  aura  alors 


dx^  -t-  dy-  -h  dz^        ,      , 


d'où  l'on  tire 


d'T  d'T  d'I 

dr"  ds"  du" 

jl^T    _  d'T^  _  d'T    _ 

dr'ds'         '       dr' du'         '       ds' du' 

d'T    _  ^T 

dsdr'  '        dudr' 

L'expression  générale  de  {a,  b)  devient  ainsi 

(dr    dr'        dr'  dr         ds  ds'        ds'   ds        du  du'        du'  du 
\da   db         da    db        da  db        da  db        da    db         da   db 

laquelle  s'accorde  avec  celle  du  n'^  6  du  Mémoire  cité,  en  y  changeant 

/■,  5,  u  en  x,y,  z,  et  r\  s',  u'  en  -^5  ~^,  -^  ,   et  effaçant  le  facteur  m 

qui  est  la  masse  de  la  planète,  parce  que,  les  quantités  T,  Y  et  Q.  se  trou- 
vant toutes  multipliées  par  m,  ce  facteur  disparait  de  lui-même  des 
équations  différentielles. 


DES  CONSTANTES  AKBITUAIIIES.  795 

Pour  II'  inouvein(3nt  de  rotation,  nous  avons  donné  dans  la  Mécanique 
analytique  l'expression  de  T  en  fonction  des  angles  y,  '|,  '»,  à  la  place 
desquels  il  n'y  aura  qu'à  substituer  r,  s,  u. 


ADDITION. 

25.  Depuis  la  lecture  de  ce  Mémoire  j'ai  observé  que  l'équation  inté- 
grale trouvée  dans  le  n''  15  pouvait  se  réduire  à  cette  f'oniio  simpb; 

^'-'d?  ^-^^^7/.'  -^^"^-./.'  --'^77'  -^'^-ds'    -°"^-^.'      ^' 

et  j'ai  reconnu  qu'il  était  possible  de  la  déduire  directement  des  trois 
équations  différentielles 

j  dR        dR    , 

d  -.- , r^  dt  -  o, 

dr  dr 

j  d\\        d\\    , 

,  d\\        d\\    , 

d  ~i~, r^  dt  -   o, 

du         du 

par  le  seul  jeu  des  caractéristiques  o  et  A,  et  sans  exécuter  les  ditléren- 
tiations  relatives  à  d. 

En  effet,  si  l'on  ajoute  ces  équations  ensemble,  après  les  avoir  niiilli- 
pliées  respectivement  par  A/-,  A^,  A?^,  on  a 

,     ,^/R        .     ,r/R         ,      ,  r/R        ( d\\   ,  d\\   ,  d\\    ,    \    , 

Ard-j—-  -\-  Asd-rr  +  aud-.—r  —    — ,— A/-  i — ,    A^    r  -,     au]  dt      o. 
dr  ds  du         \  dr  ds  du        j 


Or 


.     ,f/R        ,/,    d\\\       t/R   ,, 
dr'  \      dr'  /       dr' 


H') 

Mais  nous  avons  déjà  vu  que  d/Sr  ^  \r'dt  (numéro  cité)  ;  ainsi  l'on  aura 

.     jdR        ,[ ^    f/R\       dR  ,  ,  , 
^rd^=d[^r^)-^^r'dt, 


lou. 


TCG         SUR   LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE  LA  VARIATION 

et  de  même 

^     ,r/R         ,/,     r/R\         d\\  .   ,  . 


Aiid~~Y  ^-  diAu-j-j]  —  -j  ,  Au'dl. 
du'  \      du  J       du' 


Substituant  ces  valeurs  dans  l'équation  précédente,  on  pourra  lui 
donner  cette  forme  (puisque  R  est  une  fonction  de  r,  s.,  u,  /',  5',  u') 

\      dr  ds  du  J 

On  trouvera  pareillement,  en  changeant  la  caractéristique  A  en  0, 

,/.    r/R        .    r/R         .     r/R\ 
«   ô/' -/-  -:-  05 -,-   -;-  ou  -.—-    —  oR  «/  =-  o. 
\     dr'  ds  du  J 

Maintenant,  si  l'on  affecte  tous  les  termes  de  la  première  équation  de 
la  caractéristique  0  et  ceux  de  la  seconde  de  la  caractéristique  A,  et 
qu'on  regarde  les  variations  Ar,  A^,  ùm  comme  constantes  à  l'égard  de  la 
caractéristique  ^,  ainsi  que  les  variations  ^r,  os,  au,  comme  constantes 
à  l'égard  de  la  caractéristique  A;  que  de  plus  on  se  souvienne  que  le  d 
n'a  rapport  qu'au  temps  t,  et  est  par  conséquent  indépendant  de  5  et  A, 
on  aura  ces  deux  équations-ci 

f/    Ar  0  -rr  -1-  A5  ô  -,—  - ;-  Auo  -,--    —  ôAKdt  =  0, 
\         dr  ds  du  J 

d   §r  A  — -  -f-  (55  A  -,  ,-  H-  ^«  A  -,—     —  A  oR  f/^  =:  o. 
\         dr'  ds'  du  J 

Or,  puisque  les  deux  caractéristiques  0  et  A  sont  indépendantes  entre 
elles,  en  supposant  les  variations  de  r,  s,  u,  r',  s',  u'  relatives  à  ces  ca- 
ractéristiques aussi  indépendantes  les  unes  des  autres,  il  est  clair  qu'on 

aura 

ÔARr    AÔR. 

Donc,  retranchant  les  deux  équations  l'une  de  l'autre,  on  aura  une 


DES  CONSTANTES   AIUnTIl  A  I  UES.  797 

é(lLiatioii  iiil(''gral)le  ichilivcmcnl  ii  /,  et  doiil  riulri^i-alc  sera 

A/-0-   ,   -:  A50-      -!- A«o  ,  ,       o/A  ,  ,        oiA    ,,        o«A  ,  ,       K, 
ur  Us  du  ilr  ds  du 

qui  est  la  nuMUC  (|ii(î  (•(illc  (iiic  nous  avons  drjii  lioiivcc. 

Mais,  (juoiquc  cette  Analyse  soit  hicn  plus  siMi|»lc  (jue  (clh;  du  Mé- 
moire, parce  que  les  diiïérentiations  n'y  sont  (iu'iudi(juées,  elle  peut 
néanmoins  laisser  quelques  doutes  dans  l'esprit,  à  cause  de  la  supposi- 
tion que  nous  y  avons  faite  de  l'indépendance  des  variations  de  /,  ,v,  //, 
/ ',  s'.  Il  relatives  aux  deux  caractéristiques  5  et  A,  tandis  qu'il  n'v  a  ;i 
la  rigueur  d'indépendantes  que  les  variations  oa,  5^,  oc,...  et  \(i,  aA, 
^c,.  ..  C'est  pour(juoi  l'entière  Analyse,  quoique  beaucoup  plus  loiii^iic, 
ne  doit  pas  être  regardée  comme  inutile,  puisqu'elle  peut  servir  :t  incllie 
noire  Théorie  à  r;J)ri  de  loute  objection. 

20.  Au  reste,  d'après  la  forme  que  nous  v(;nons  de  donner  à  l'équa- 
tion intégrale,  on  peut  simplifier  les  expressions  des  symboles  [a,  h ,, 

[a,  c), En  elfet  il  est  facile  de  voir  qu'en  regardant  directement  H 

comme  fonction  de  n,  h,  c,...,  et  substituant  T  à  la  place  de  R,  comme 
nous  l'avons  fait  (21),  si  l'on  suppose,  pour  abréger, 

dr'  "      '      ds'  ~      '      du'  "      ' 
on  aura,  par  l'algorithme  des  différences  partielles, 

^"'     '  ^  da    db     "  dn    db    ''  "dci    db    ~  'db  "da    "  TFf)  T/TT  ~    db    d(J  "" 

et  ainsi  dos  autres  symboles,  en  changeant  seulement  les  lettres  a,  h 
en  c, /,  g,  h,  oîi  Ton  rejettera  après  les  substitutions  tous  les  termes 
qui  contiendront  le  temps  t,  ou  bien  on  y  fera  t  --  o,  pour  (jue  les  va- 
leurs de  ces  symboles  ne  dépendent  que  des  constantes  arbilraiic.s  a,  l>. 

On  voit  aussi,  par  cette  forme  que  nous  venons  de  donner  aux  ex- 


798  SUR   LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE  LA  VARIATION 

pressions  des  symboles,  comment  elle  peut  s'étendre  à  un  plus  grand 
nombre  de  variables  s,  t,  u,...,  et  de  constantes  arbitraires  a,  b,  c, /, 

<r     II 
Q,   II, 

27.  Je  ferai  encore  ici  une  autre  observation  importante.  On  sait  que 
la  loi  de  Mécanique  appelée  la  conservation  des  forces  vives  a  lieu  dans 
tout  système  de  corps  liés  entre  eux  d'une  manière  quelconque,  qui 
agissent  les  uns  sur  les  autres  par  des  forces  proportionnelles  à  des 
fonctions  des  distances,  et  sont  en  même  temps  soumis  à  des  forces 
étrangères  dirigées  vers  des  centres  fixes  et  proportionnelles  aussi  à  des 
fonctions  des  distances  aux  centres;  mais  elle  cesse  d'avoir  lieu,  si  les 
forces  étrangères  ou  quelques-unes  d'entre  elles  tendent  à  des  centres 
mobiles  et  indépendants  du  système. 

Cependant  on  peut  démontrer  par  les  formules  de  ce  Mémoire  que 
les  variations  de  la  force  vive  du  système,  produites  par  ces  sortes  de 
forces  que  nous  regardons  comme  des  forces  perturbatrices,  ne  peuvent 
jamais  croître  comme  le  temps,  mais  doivent  toujours  être  périodiques, 
si  les  mouvements  de^  corps  du  système  sans  les  forces  perturbatrices, 
ainsi  que  ceux  des  centres  de  ces  forces,  sont  simplement  périodiques; 
et  ce  résultat  a  lieu  en  ayant  égard  non-seulement  aux  premiers  termes 
dus  aux  forces  perturbatrices,  mais  aussi  à  ceux  qui  contiendraient  les 
carrés  et  les  produits  de  ces  mêmes  forces. 

28.  En  effet  les  équations  du  système  sans  les  forces  perturbatrices 
sont  de  la  forme  (5) 

,  f/R         r/R    - 

a  -n dt^=  Oj 

(//•'  dr 

,  r/R         r/R    , 

d\\         r/R 

du'        du       ~~    ' 


([uel  que  soit  le  nombre  des  variables  r,  s,  u,. 


DES  CONSTANTES  ARBITRAIRES.  799 

En  ajoutant  ciiscmhle  ces  équations,  après  les  avoic  inMllipliécs  res- 

,       (Ir      ,       ils       ,       du 
peclivemenl  par  r  =  --,  5  =  — ,  u  =   //'■'  O"  » 

,  ,  f/R         ,  ,  r/R  ,  ,  (/[{  ,/l\    ,         >/\\    ,         f/l\    , 

r  il- ,--  -;    s  il --y  +  uil,~,  -4  ...  —  -,     ^//  ^/.v  ,     (hi         .  .       (I. 

ilr  ils  du  di  (Is  (In 

Or  la  prcinièro  partie  de  celte  équation  peut  se  mettre  sous  la  l'orme 

,  /  f/R    ,       d\\   ,       d\\    ,  \        f/R    ,  ,       r/R    ,  ,       d\\    ,  , 

d[-   ,  f  -^  -  ,  ,  s  -1-  ~r',  "  -;■•.. -,-,   dr'  —  -      ■  ds'  -       ,   ,  du'       .       . 

\r//'  ds  du  j        dr  ds  du 

Doue,  puis(|ue  R  ne  eontieut  d'autres  variables  que  /•,  .s.  //, —  /',  s'. 
Il l'équation  prendra  cette  l'orme 

,(,l\\    ,       d\\   ,       d\\    ,  \        j.. 

\dr  ils  du  J 

dont  l'intégrale  est 

f/R    ,       f/R    ,       f/R     , 

dr  ds  du 

a  étant  une  constante  arbitraire. 

Or  R  —  T  —  V  (5);  et,  comme  V  n'est  censé  contenir  que  /•,  s,  u,.  . 
sans  r',  s',  u',...,  l'équation  précédente  devient 

f/T        ,  f/T       ,  f/T         ,  rp      .      ,r 

dr  ds  du 

Mais,  la  quantité  T  étant  exprimée  en  fonction  de  r,  s,  u  et  de  »',  s', 
u',...,  il  est  facile  de  voir  qu'elle  ne  peut  être  qu'une  fonction  homogène 
de  deux  dimensions  de  r',  s\  ii\...,  et  qu'ainsi  on  doit  avoir,  pai'  la 
propriété  connue  de  ces  sortes  de  fonctions, 

f/T    ,       f/T   ,       ^T    ,  _ 

-,     -  /'    -r      ,  r  s'  -r      ,     ■  w'  -f-  .  .  .  =  2T. 

dr  ds  du 

De  sorte  que  l'équation  qu'on  vient  (\o  trouver  se  réduira  à 

T-i-V=a, 


800  SUR   LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE  LA  VARIATION 

laquelle  exprime  la  loi  de  la  conservation  des  forces  vives.  [Voyez  la 
cinquième  Section  de  la  seconde  Partie  de  la  Mécanique  analytique, 
Article  IV  (*).] 

29.  Lorsqu'on  a  égard  aux  forces  perturbatrices,  les  équations  des 
mouvements  du  système  sont  (5) 

,  r/R         r/R    ,         r/0  ^ 

f/-, -—clt^  —-dl, 

dr  (Ir  dr 

fdn._dR  dil 

ds'         ds  ds      ' 

,  r/R         r/R    ,        dil  , 

d   ,  , 7—  dl  ---  -y—  dl, 

du  du  du 


et,  en  faisant  sur  ces  équations  les  mêmes  opérations,  on  aura,  au  lieu 
de  l'équation  T  -t-  V  =  «,  celle-ci 

^      ,,  ridO.    ,         r/û    ,         dil    j  \ 

T  -i-  V  =^a-:    /     -,-  dr  -] -,-  ds  -!-  -.—  du  -r  .  .  .     , 

J   \  dr  ds  du  j 

dans  laquelle  la  quantité 

r/0    ,  r/û    ,         r/0    , 

-  ,     dr  4 — 7—  ds  -;-  - ,—  du  +  .  .  . 

dr  ds  du 

n'est  pas  intégrable,  parce  que  la  quantité  Q  est  en  même  temps  fonc- 
tion de  r,  s.  II,...  et  des  variables  qui  dépendent  du  mouvement  des 
centres  des  forces  perturbatrices. 

Ainsi,  dans  le  cas  des  forces  perturbatrices,  la  constante  arbitraire  a 
de  l'équation  T  -i- V -=  a  devient  variable,  et  l'on  a 

d£L  ,       d£i  ,       dil  , 
da  =  --,—  dr  -; — ,—  ds  -;-    ,  -  du   !..    . 
dr  ds  du 

La  force  vive  du  système  (1)  étant  ex|)rimée  par  ^T,  elle  sera  égale 
à  ia  -  2V;  mais  la  quantité  V  est  une  fonction  donnée  des  variables 
({ui  déterminent  la  position  instantanée  des  corps  dans  l'espace.  Donc  les 

(*)  Dans  la  deuxième  Édition,  seconde  Partie,  Section  V,  n"  22.       [Note  de  rJùlUcur.  ) 


DES  CONSTANTES  ARBITRAIRES.  801 

variations  de  la  constanlc  arLitraiic  2a  scroiil  celles  que  la  force  vive 
éprouve  par  l'action  des  forces  perturbatrices. 


30.   La  quanlilé 


n'est  autre  chose  que  la  diirérenliclle  de  il,  en  ne  faisant  varier  que  les 
quantités  r,  s,  u,...  qui  appartiennent  au  système;  et,  comme  ces  quan- 
tités sont  censées  connues  en  fonction  du  temps  t,  la  quantité  doiu  il 
s'agit  peut  être  regardée  comme  la  différentielle  de  il  par  rapport  an 
temps  t,  en  tant  qu'on  n'a  égard  qu'aux  variables  relatives  au  système. 
Or  les  équations  différentielles  du  mouvement  du  système  ne  renfer- 
mant point  le  temps  fini  /,  mais  seulement  sa  différentielle  di,  parmi  i.s 
constantes  arbitraires  que  les  intégrales  de  ces  équations  doivent  con- 
tenir, il  y  en  aura  nécessairement  une  qui  se  trouvera  ajoutée  au  l<"mps 
fini  t. 

Ainsi,  en  nommante  cette  constante,  les  expressions  finies  de  z",^,//,... 
seront  fonctions  de  t  4-  c.  Donc  la  différentielle  de  il  relative  à  t,  en  tant 
que  t  entre  dans  les  expressions  de  r,  s,  w,...,  sera  la  même  que  la  diffé- 
rentielle de  il  relative  à  c;  d'où  il  suit  qu'on  aura 

d£l        ,   (lil  dil   .  dil  , 

Par  conséquent  on  aura  sur-le-champ  celte  équation  relative  aux  varia- 
tions des  constantes  arbitraires  a  et  c 

da=L-—  dt. 
de 

Cette  expression  de  la  variation  de  la  constante  arbitraire  a  est  très- 
remarquable  par  sa  simplicité  et  sa  généralité,  et  surtout  parce  qu'on  y 
parvient  à  priori,  indépendamment  de  la  variation  des  autres  constantes 
arbitraires. 

31.  Cela  posé,  je  vais  prouver  (juc  la  valeur  variable  de  a  ne  peut 
VI. 


802  SUR   LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE  LA  VARIATION 

contenir  aucun  terme  non  périodique  de  la  forme  lit-,  car  pour  cela  il 


faudrait  due  /^  contînt  un  terme  constant  K.  Or,  la  fonction  il  ne  con- 


(U 


tenant  par  riiypotlièse  que  des  (juantités  périodiques,  il  est  impossible 
(jue  la  différentielle  -r-  contienne  un  terme  non  périodique  K. 

Si  l'on  veut  avoir  égard  aux  secondes  dimensions  des  forces  perturba- 
trices,, il  faudra  tenir  compte,  dans  la  valeur  de  n,  des  variations  des 

constantes  arbitraires  a,  b,  c,  f,  g Pour  cela  on  suivra  un  procédé 

analoûue  a  celui  des  n"^  10  et  11  du  Mémoire  sur  la  variation  des  éléments 
des  planètes,  et  l'on  parviendra  à  un  résultat  semblable,  vu  que  les  dif- 
férences partielles  de  ù  relatives  aux  constantes  arbitraires  sont  expri- 
mées de  la  même  manière  par  les  symboles  [a,  b),  {a,  c),...,  comme  on 
l'a  vu  plusbaut(20).   . 

32.  Dans  l'orbite  des  planètes  autour  du  Soleil,  T  devient 

d.z^  -;-  dy^'  -^  dz'^ 

m -. 5 

2  dt' 

et  V  devient 

m  ( I  -f-  wî) 

■ —  : 

/■ 

r  étant  le  rayon  vecteur  de  la  planète  7?i,  et  la  masse  du  Soleil  étant  prise 
pour  l'unité.  Alors  la  constante  a  devient 

m'(i  -+-  m) 

a  étant  le  grand  axe  de  l'orbite,  comme  on  le  voit  par  l'équation  rap- 
portée dans  le  n"  8  du  Mémoire  cité. 

Ainsi  le  Théorème  sur  la  variation  du  grand  axe  n'est  qu'un  cas  par- 
ticulier de  celui  que  nous  venons  de  démontrer. 

33.  Dans  la  rotation  d'un  corps  solide,  on  a  [Mécanique  analytique, 
Partie  II,  Section  YI,  Article  40  (*)] 

T  r=  '  {Kp'  H-  Bfy^   !   Cr^)  -  Vqr  -  Gpr  -  llpq, 
{*)  Dans  la  deuxième  Édition,  seconde  Partie,  Section  LX,  n"  21 .        [Note  de  l'Éditeur.) 


DES  CONSTANTES  A  15  HIT  II  Al  K  ES.  80.} 

l>,  f],  /étant  les  vitesses  de  rotation  autour  de  trois  axes  perpendieu- 
laires  entre  eux,  et  A,  B,  C,  F,  G,  II  étant  des  constantes  dépendantes  de 
la  figure  du  corps  et  de  la  position  des  trois  axes;  et,  si  l'on  nomme  ,o  la 
vitesse  de  rotation  autour  de  l'axe  instantané  de  rotation,  «'l  a,  u.,  v  les 
angles  que  cet  axe  fait  avec  les  trois  axes  des  rotations  />,  y,  /•,  on  :i 
[Section  citée,  Article  45  (*)] 

y?  — pcosX,     {j 'pcos'j.,     r      pcosv. 

La  force  vive  2T  sera  ainsi 

(a  cos'?v-hB  cos'//-i-C  cos^v  —  ?.F  cos/j.  ces  y—  ?.G  cosXcosv   -  ?.1I  cos?.cos  v.)o'. 

Donc,  s'il  y  a  des  forces  perturbatrices,  la  valeur  de  0  ne  pourra  jamais 
être  sujette  à  une  variation  croissante  comme  le  temps,  en  ayant  ni<"inr 
égard  aux  secondes  dimen.sions  des  forces  pertuibatrices. 

Ce  résultat  s'applique  naturellement  à  la  rotation  de  la  Terre  et  des 
planètes,  en  tant  qu'elle  peut  être  altérée  par  l'attraction  des  autres 
planètes. 

34.  Je  dois  ajouter,  relativement  à  l'analyse  du  n"  25,  (ju'on  peut  la 
rendre  rigoureuse  en  formant  d'abord  l'équation 

A/'     dû  ~j--  —  d-r-dt]—dr     c/A  -— -  —  A  -r-  dt 
\      dr'  dr       )  \        dr'  dr 

+  As     do  -rr  —  Ô~f-  dt]  —  os   {  dl  -7-7-  —  A  -7-  f/; 


ds'  ds       )  \        ds'  ds 

,     f  j.dK       .dl{    .\       .     /  ,,  dl{        ,  r/R   ,  , 
+  Aw    de  -7-7  —  ô-j-dt]  —  ôu     r/A  — —  —  A  -j~  dt  ]  =  o, 
\      du'  du       J  \       du  du        ' 

qui  se  transforme  aisément  en  celle-ci 

d    àr  0  -7^  -:-  As  ô  -j-r  H-  Au  è  -— -  —  or  A -j-^  —  os  A  -j-,-  —  ou  A  -.— 
\  (//•  ds'  du'  dr'  ds'  du' ^ 

/.     .r/R        ,    ,  r/R        j,     ^  dK       ^   ,  ^  d\{       ,  ,  .  dl\        ,    , .  dl{\    , 

—  [  Ar  0 -J- -]~  As  0  —, \-  Auè-j h  Ar'  0  -y-r  -h  As'  ô  -r,-  -i-An'd-r-r]  dt 

\  dr  ds  du  dr  ds  du'  ) 

/  .    ,  r/R       ,    .  c?R       .     ,  ^/R       .  , ,  ^R       .  ,  ^  dK       .  ,  ,  d\{\   , 

H-     or  A  -7-  +  es  A—, r-  ou  A  -, h  o/''A  -j-r  -l-  os'  A  -rr  H-  ou'  A  -,- -    dt  -  : 

\  dr  ds  (lu  dr  ds  du  J 

[*)  Dans  la  deuxième  Édition,  seconde  Partie,  Section  IX,  n"  29.       {Note  de  r  Éditeur. 

loi  . 


SOk.  SUR  LA  THÉORIE  GÉNÉRALE  DE   LA  VARIATION 

Or,  R  étant  une  fonction  des  variables  r,  s,  u,  /',...,  il  est  facile  de  voir, 
par  le  développement  des  difTérenticlles  marquées  par  A  et  ^,  que  les 
deux  formules 

,    ,  f/R      ^   .  f/R       .    .  <^/R       ,  , ,  d\\ 

Ar  (5  — , h  Ai  0  —;—  -i    A?^  o  -7 1-  Ar  0  -y—  +  .  .  .  , 

rf/'  us  du  (Ir 

,    ,  f/R        .    .  ^R         ».     d\\        ,  ,  .    f/R 

ôr  A  -7 !-  ^s  A  -i—  -[-  ^àu~. h  0/-'  A  -j-,-  4- . .  . 

a/"  rti  f/;<  dr 

sont  identiques.  Donc  il  reste  l'équation  intégrable 

,  /■      .  d\\       ,    ^dK       .     .  d\\       .    .  ^/R       ^  .  d^       -    .   rfR\ 

^/    A/-  ô  -, 1-  ^s  §  -7—  H-  Ai/  0  -r^  —  or  A  -^-p  -1-  os  A  -7-7 ou  à  -j~r    =  o. 

y  dr  ds  du  dr  ds  du'  J 

35.  Enfin,  si  dans  l'expression  de  -^^  dt  du  n"  20  on  substitue  les  va- 
leurs des  symboles  [a,  h),  [a,  c) , . . .  données  dans  le  n°  26,  et  qu'on 
dénote,  comme  dans  le  n"  7,  par  la  caractéristique  ^  les  différentielles 
provenant  uniquement  de  la  variation  des  constantes  a,  h,  c, /,...,  on 

aura  l'équation 

d'Y  dj  dT 

f/û    ,  _  ^  .  ^       <h   ^cPT       ^  §^_      d?'  ^^^  _  ^^  ^^  _  Ih,/  ^^ 

^dâ  da      dr'        da      ds'        du      du'  da  da  da         ' 

OÙ  le  i  devant  disparaître  du  second  membre  y  peut  être  supposé  tout  ce 
que  l'on  voudra. 

On  aura  autant  de  pareilles  équations  qu'il  y  a  de  constantes  arbi- 
traires, en  changeant  successivement  a  en  h,  c,f,...  dans  les  différences 
partielles. 

C'est  là,  ce  me  semble,  ce  que  l'Analyse  peut  donner  de  plus  simple 
sur  la  variation  des  constantes  arbitraires  dans  les  Problèmes  de  IMé- 
canique. 


DES  CONSTANTES    AURITRAIHES.  805 


SIPPLÉMRNT  AU  MÉMOIRE  PRKCKIiKiXT. 

L'uhjcl  cit!  CL-  Siipplrmcnl  csl  (!(•  montrer  (-omment  la  formule  du  u"  35, 
qui  renferme  toute  la  Théorie  de  la  variation  des  constantes  arbitraires, 
et  à  la(|uelle  je  ne  suis  arrivé  que  par  une  analyse  longue  et  comprKjuée, 
peut  se  déduire  immédiatement  des  é(inations  primitives  du  n"  S. 

En  eonservant  toujours  la  caractéristi(nie  r)  pour  dénoter  les  difréicii- 
tielles  provenant  uniquement  de  la  variation  des  constantes  arbitraires. 
il  est  facile  de  voir  que  ces  équations  peuvent  se  lucllrc  sous  celle  loi  me 
plus  simple 

as  (Is 

rlù    ,         .  r/U 

-,-  di  --:  0  -7—, 

du  du 

dont  celles  du  11°  8  ne  sont  que  le  développement. 

De  là,  en  regardant  r,  s,  w  comme  fonctions  de  a,  on  tire  tout  de  suite 

f/0   „       dr  ,  f/R        ds  .  d\{        du  .  dK 


—-  dt  -~  -^  Ô  -,-r   -h   'T~  d 


0 


da  da     dr'        da      ds'         da     du'  ' 

et,  à  cause  de 

<5/'--o,     (5.S  r    o,     ou      o, 

on  a  aussi 

,^R  ,dK^  d\\ 

dû  dr.dW        ds  .dl{        du^dR  dr'  ^  ds'    ,  du'    . 

~r-  dt  =1  -—  ô  -j-j-  +  -7-  ô  -— -  +  -7-  ô   ,- ~, —  ôr , —  §s -, —  ou, 

da  da      dr'         da      ds  da     du  da  da  da 

où  il  n'y  a  plus  qu'à  changer  R  en  T  pour  avoir  la  formule  dont  il  s'agit. 
Cette  équation  et  celle  du  n°  34,  par  laquelle  on  voit  que  le  second 
membre  de  l'équation  précédente  est  toujours  indépendant  du  (emps  /, 
sont  le  résultat  de  tout  le  Mémoire,  (jui,  présenté  de  celle  manirrc.  ne 
tiendrait  que  deux  ou  trois  pages. 


SECOiM)  MÉMOIRE  SUIl  \A  TIIÉURIi; 


YARIATION  DES  CONSTANTES  ARBITRAIRES 

DANS  LES   PROBLÈMES  DE  MÉCANIQUE, 

DANS   LEQUEL   ON   SIMPLIFIE    LAPl'LICATION    DES    FORMULES   GÉNÉRALES   A   CES    l'ROltLKMES. 


SECOND  MÉMOIRE  SUR  LA  TIIÉORII- 

Di;  i.A 

VARIATION  DES  COASTAMES  AUlilIKAIllES 

DANS  LES  rilOBLi-MES  DE  Mf^CANlOUE, 

DANS  LEQIEL  ON   SIMPLIFIF,  l'aPPLICATION   DKS   KillMlLIlS   CtNtRALES  A  tKS  PROBLÈMES  (*). 


(Mémoires  de  la  première  Classe  de  llnsliUil  de  France,  année  180g, 


La  variation  des  constantes  arbitraires  est  une  Méthode  nouvelle  dont 
l'Analyse  s'est  enrichie  dans  ces  derniers  temps,  et  dont  on  a  déjà  fait 
des  applications  importantes.  Dans  la  Mécanique,  elle  sert  à  étendre  la 
solution  d'un  Problème  à  des  cas  où  de  nouvelles  forces,  dont  on  n'avait 
pas  tenu  compte,  seraient  supposées  agir  sur  les  mobiles.  Ainsi  lors- 
que, après  avoir  résolu  le  Problème  du  mouvement  d'une  planète  autour 
du  Soleil  en  vertu  de  la  seule  attraction  de  cet  astre,  on  veut  avoir  égard 
aussi  à  l'attraction  des  autres  planètes,  on  peut,  en  conservant  la  forme 
de  la  première  solution,  satisfaire  à  cette  nouvelle  condition  par  la  va- 
riation des  constantes  arbitraires  qui  sont  les  éléments  de  la  Théorie  de 
la  planète. 

Les  observations  avaient  depuis  longtemps  indiqué  les  variali(Uis  di' 
ces  éléments;  mais  Euler  est  le  premier  ([ui  ait  cherché  à  les  délerniinti' 
par  l'Analyse.  Ses  formules  étant  de  peu  d'usage  par  leur  complication, 
et  n'ayant  pas  même  toute  l'étcndac  que  la  (jueslion  peut  coin[tort('r, 

(*)  Lu  le  19  février  1810, 

VL  10?. 


810  SUR  LA  THÉORIE  DE  LA  VARIATION 

M.  (le  Laplace  et  moi  en  donnâmes  de  plus  générales  et  plus  simples, 
que  nous  parvînmes  ensuite  à  réduire  au  plus  grand  degré  de  simplicité. 

Enfin  je  viens  de  donner  dans  un  Mémoire  lu  à  cette  Classe  le  i3  mars 
1809,  et  imprimé  dans  le  volume  des  Mémoires  de  1808  (*),  une  Théo- 
rie complète  de  la  variation  des  constantes  arbitraires  dans  tous  les 
Problèmes  de  la  Mécanique.  J'étais  parvenu  d'abord,  par  une  analyse 
assez  compliquée,  à  un  résultat  simple  et  inespéré;  j'ai  ensuite  trouvé 
moyen  d'arriver  directement  et  par  un  calcul  très-court  à  ce  même  résul- 
tat, comme  on  le  voit  dans  V Addition  et  dans  le  Supplément  au  Mémoire 
cité,  imprimés  dans  le  même  volume.  Mais  l'application  des  formules 
générales  aux  Problèmes  particuliers  demandait  encore  un  long  calcul, 
à  cause  des  éliminations  qu'il  fallait  faire  pour  obtenir  séparément 
l'expression  de  la  variation  de  chacune  des  constantes  devenues  varia- 
bles. Heureusement  une  considération  très-simple,  que  je  vais  exposer 
et  qui  m'avait  échappé,  facilite  et  simplifie  extrêmement  cette  applica- 
tion et  ne  laisse  plus  rien  à  désirer  dans  la  Théorie  analytique  de  la 
variation  des  constantes,  relativement  aux  questions  dé  Mécanique. 

On  peut  regarder  cette  Théorie  comme  toute  concentrée  dans  la  for- 
mule très-simple  que  j'ai  donnée  dans  le  Supplément  cité,  et  qui  consiste 
en  ce  que  la  différence  partielle  d'une  certaine  fonction  dépendante  des 
seules  forces  ajoutées  au  système,  prise  relativement  à  une  quelconque 
des  constantes  arbitraires,  est  toujours  égale  à  une  fonction  des  variables 
du  Problème  et  de  leurs  différences  prises  séparément  par  rapport  au 
temps  et  par  rapport  aux  constantes  arbitraires,  laquelle  fonction  jouit 
de  cette  propriété  singulière  et  très-remarquable,  qu'en  y  substituant 
les  valeurs  des  variables  exprimées  par  le  temps  et  par  les  constantes 
arbitraires  elle  doit  devenir  indépendante  du  temps,  et  ne  plus  contenir 
que  les  mêmes  constantes  avec  leurs  différences  premières. 

Cette  circonstance  de  l'évanouissement  de  la  variable,  qui  représente 
le  temps  dans  la  fonction  dont  il  s'agit,  m'a  fait  penser  que,  si  les  va- 
riables étaient  exprimées  par  des  séries  de  puissances  ascendantes  du 

(*)  Fb//- le  Mémoire  précédent,  p.  771  du  présent  volume. 


DES  CONSTANTES  AH  lUTi;  AI  HES,   ETC.  811 

temps,  la  fonclion  dont  nous  [)aiioiis  ne  coiitiendrait,  après  les  suhbti- 
lutions,  (jiie  les  pieinicrs  termes  tous  constants  de  ces  séries  et  les  coef- 
ficients des  seconds,  à  cause;  des  dillérences  premiiires  des  variables  qui 
se  trouvent  <laiis  la  l'onction.  Or  ces  (juanlités  sont  just(;nii'n!  les  con- 
stantes arbitraires  (pic  rinlci^ration  introduit  niiturcllcnirni  (|;iiis  l'rx- 
pression  Unie  des  variables,  lorscju'elles  dépendent  d'é(pi:itions  <lil]é- 
renticlles  du  second  ordre,  comme  cela  a  lieu  dans  tons  les  ProbliMues 
de  la  Mécanique.  Il  suit  de  là  (pi'en  adoptant  ces  consl;intes  arbitraires 
il  sulFira  d'avoir  égard  aux  deux  [)remiei's  termes  des  expressions  des 
variables  réduites  en  séries. 

Mais  on  voit  par  notre  rormule  du  SuppU'/ne/U  (juc  les  diller(Mitielles 
des  variables,  relativement  au  temps,  ne  s'y  trouvent  que  dans  les  dif- 
férences partielles  de  la  fonction  de  ces  variables  (|ue  nous  :ivoiis  nom- 
mée T,  et  qui  n'est  autre  cbose  cpie  la  moitié  de  lu  foicr  vive  du  sys- 
tème. Si  donc  on  suppose  que  les  valeurs  de  ces  dillérences  partielles 
soient  aussi  réduites  en  séries  de  puissances  du  temps,  leurs  preniiers 
termes  ne  dépendront  que  des  premiers  termes  et  des  coeiricienls  des 
seconds  termes  des  séries  des  premières  variables.  On  pourra  don(^ 
pour  plus  de  simplicité,  adopter  les  premiers  termes  de  ces  nouvelles 
séries  pour  constantes  arbitraires,  à  la  place  des  coeiricients  des  seconds 
termes  des  premières  séries.  De  cette  manière  il  sulFira,  dans  les  substi- 
tutions, d'avoir  égard  aux  seuls  premiers  termes  de  ces  difïerentes  sé- 
ries; et  la  simple  inspection  de  notre  formule  fait  voir  (ju'aloi's  la  dif- 
férentielle partielle  de  la  fonction  des  forces,  relativement  à  cliaenne 
des  constantes  arbitraires,  est  égale  à  la  dilférentielle  d'une  seule  de  ces 
constantes  :  de  sorte  qu'on  a  ainsi  directement  les  différentielles  de  ces 
constantes  devenues  variables,  exprimées  de  la  manii-re  la  plus  simple 
par  les  différences  partielles  de  la  même  fonction. 

Maintenant  on  sait  que  toutes  les  constantes  arbitraires,  (jue  les  dif- 
férentes intégrations  peuvent  introduire,  sont  toujours  rc-duetibles  à  ces 
constantes  arbitraires  primitives;  car  pour  cela  il  n'y  a  (ju'ii  sup[)n.s,r  je 
tem[)S  égal  a  zéro  dans  les  dillerentes  équations  intégrales  qu'on  aura 
obtenues.  On  aura  ainsi  les  nouvelles  constantes  arbitraires  en  fonetion 


812  SUR  LA  TIIEOUIE  DE   LA  VARIATION 

(le  celles  qu'on  avait  adoptées,  et  l'on  en  déduira  facilement,  par  les  opé- 
rations connues,  les  valeurs  de  leurs  différentielles  exprimées  en  diffé- 
rences partielles  de  la  même  fonction,  mais  rapportées  à  ces  nouvelles 
constantes  arbitraires.  Tout  cela  ne  dépend  plus  que  d'un  calcul  connu, 
et  nous  donnerons  les  formules  générales  qui  en  résultent.  Ce  sera  le 
complément  de  notre  Théorie  de  la  variation  des  constantes. 

M.  Poisson  a  lu,  le  i6  octobre  dernier,  à  cette  Classe,  un  Mémoire  sur 
la  variation  des  constantes  arbitraires  dans  les  questions  de  Mécanique, 
lequel  est  imprimé  dans  le  volume  qui  vient  de  paraître  du  Journal  de 
r École  Polytechnique  (*).  Ce  Mémoire  contient  une  savante  analyse  qui 
est  comme  l'inverse  de  la  mienne,  et  dont  l'objet  est  d'éviter  les  élimi- 
nations que  celle-ci  exigeait.  L'Auteur  parvient  en  effet,  par  un  calcul 
assez  long  et  délicat,  à  des  formules  qui  donnent  directement  les  valeurs 
des  différentielles  des  constantes  arbitraires  devenues  variables.  Ces 
formules  ne  coïncident  pas  immédiatement  avec  celles  que  je  donne 
dans  ce  Mémoire,  parce  qu'elles  renferment  les  constantes  arbitraires 
en  fonction  des  variables  du  Problème  et  de  leurs  différentielles,  au  lieu 
que  les  nôtres  ne  renferment  ces  constantes  qu'en  fonction  d'autres  con- 
stantes; mais  il  est  facile  de  se  convaincre  à  priori  qu'elles  conduisent 
aux  mêmes  résultats. 

Voici  maintenant  notre  analyse,  d'après  les  principes  que  nous  venons 
d'exposer. 

1.  En  conservant  les  noms  donnés  dans  le  premier  ^Mémoire,  on  a 
cette  formule  générale  trouvée  dans  le  Supplément  (**) 

dT  ,  f/T  ,_r/T 

f/9  fh  ,dT  ^    ds  ^dj^       du  .  _r/T  _  _dr^  ,   _      ds'       _     du'   .  ^ 

da  da     dv'        da     ds'         da     du'  da  da  du 

OÙ  la  caractéristique  5  indique  des  différences  relatives  uniquement  aux 
constantes  arbitraires  contenues  dans  les  expressions  des  variables  /% 
s,  u. 

(*)  1  j"  Cahier,  page  266, 

(**)  Voir  page  8o5  de  ce  volume. 


DES  CONSTANTES  ARBITKAIKES,  ETC.  813 

Le  point  capilal  de  celle  formule  eslque  le  second  membre  <le  ré(jiia- 
tion  doit  devenir  indépendant  du  temps  après  la  substitution  des  vab'urs 
de  r,  s,  u,  comme  je  l'ai  démontré  d'une  manii'rc  fort  simpb'  (bins  b- 
n"  31  de  V Addition.  C'est  pourijuoi,  si  l'on  suj)pos(',  ce  (jui  esl  toujours 

permis, 

r  r^    a  -i-  oc'  t  -i-  a"  /'  -4- .  .  . , 

s  -:[3-4-  [3'/^-  (3"/=  ^-.  .  .. 

M  r^  y  H-  y' /  4-  y" /'-*... , 

et  ensuite 

-— -  =  X  ^-  X'  <  -h  X"  /-  -)- . . . , 

dr'  • 

— -  =  V  -^  v'  /  -f-  v"  /-^  -^  . . . , 
du' 

tous  les  termes  de  ces  séries,  excepté  les  premiers,  s'en  iront  après  les 
substitutions;  de  sorte  qu'il  suffira  de  substituer  dans  la  formule  géné- 

1  o  ^  II  1  ^•»'  d^       d'V      d'Y 

raie  a,  p,  -/,  a,  [l,  v  a  la  place  des  quantités  r,  s,  u,  -.—  •,  -jj-,  -j-r-  *'*' 
(|ui  la  réduira  d'abord  à  la  forme 

dO.    ,        dot.  --        c?û  ^         dy  ^        dl  ^         du.  ^„       dv  , 

-y—  clt  =  -r-dA-{ — ,~ouL-\-  -~-ov 7-  ox ,-  op 1-  ov  ; 

</«  «a  da    '         r/rt  fm  rm  da    ' 

,  rr      .  p        r         i  ,    \        ,       dr      ,        ds       ,       du 

et,  comme  T  est  une  fonction  de  r,  s,  a  et  de  r  =  -r-,  ^  =    .  ,  u  —    --■ 

(Il  dt  ill 

il  est  clair  que  les  premiers  termes  X,  y.,  v  seront  donnés  en  fonction 
de  a,  /3,  y  et  de  a',  /3',  y',  et  que  ces  fonctions  seront  semblables  au\ 

.        .  d'V     d'Y     d'Y    ,  ,     ,      , 

(onctions  -7-7-5  ~rr->  -7-7  de  r,  s,  u,  r  ,  s  ,  u  . 
dr       ds      du 

2.  Les  équations  dilïérenticlles  entre  les  variabb's  r\  s,  u  et  /  ctiiiii 
du  second  ordre,  les  constantes  arbitraires  ([ue  l'intégration  introduit 
naturellement  dans  les  expressions  de  r,  s,  u  sont  leurs  valeurs  initiales 

.      .  ,  ,  .    .  .   ,         ,    ^,      ,  ]     dr    ds     du    ^  .    . 

«,  (3,  7,  ainsi  que  les  valeurs  initiales  a  ,  p  ,  7  de  ^»  -yy?  ^-  Donc  si,  a 


SV*  SUR  LA  THÉORIE  DE  LA  VARIATION 

la  place  de  ces  trois  dernières  constantes,  on  prend  les  trois  constantes 
X,  fi,  V,  qui  sont  données  en  a,  /3,  y  et  a',  fi',  7',  on  pourra  représenter 
les  six  constantes  arbitraires  du  Problème  par  les  six  quantités  a,  ,3,  7, 

X,   !!,  V. 

Ainsi,  en  substituant  successivement,  dans  la  formule  précédente, 
chacune  de  ces  quantités  à  la  place  de  a  qui  représente  une  des  con- 
stantes arbitraires,  et  changeant  la  caractéristique  5  en  d,  puisque  les 
variations  des  constantes  arbitraires  se  rapportent  maintenant  au 
temps  t,  on  aura  tout  de  suite  les  six  équations 

•  dil  ,        ,,  dil   .        j  dQ   ,^       . 

-,--  dt  ~  dk,  —^  dl  -:.  du.,  —r-  dt  =  dv, 

dx  dp  '  dy 

dil   ,  ,         dQ.   ,  ..       d£ï   ,  , 

-— -  dt  —  —  doc,     -7—  dt  —  —  r/3,     — ^  dt  -  —  dy, 
dl  d[j.  ^'      dv  ' 

qui  sont,  comme  Ton  voit,  sous  la  forme  la  plus  simple  qu'il  soit  pos- 
sible. 

3.  3Iais,  quelles  que  soient  les  constantes  arbitraires  qu'on  veuille 
employer  dans  les  expressions  des  variables  r,  s,  u,  elles  ne  peuvent  être 
que  des  fonctions  des  constantes  a,  fj,  7,  ol' ,  |3',  7',  qu'on  trouvera  faci- 
lement en  faisant  ^  —  o  dans  les  équations  qui  donnent  les  valeurs  de 
r,  s,  II,  et  dans  leurs  différentielles,  et  changeant  r,  s,  u,  r' ,  s',  u'  en 
a,  /3,  7,  a,  /3',  7'. 

Ainsi,  comme  les  quantités  X,  ix,  v  sont  données  aussi  en  «,  p>,  7,  a', 
p ,  7',  on  aura  les  nouvelles  constantes,  que  nous  désignerons  maintenant 
par  a,  h,  c,f,  g,  h,  en  fonction  des  constantes  a,  |3,  7,  X,  p.,  v. 

Donc,  en  différenliant  les  valeurs  de  a,  b,  c,...,  et  substituant  les  va- 
leurs de  dx,  d^,  dy,  dl,  d^,  d^j  qu'on  vient  de  trouver,  on  aura,  en  divi- 
sant par  dt. 


da 

da 

dil 

da 

dil 

da 

dil 

da 

dil 

da 

dQ. 

da 

dQ 

-j- 



-1 

. • 

dt  ~ 

doc 

dl 

~  d^  diJ. 

-^ 

dv 

dl 

da 

d[ji  dp, 

^  dv 

dy' 

db 

db 

dil 

db 

dil 

db 

dil 

^  db 

dQ. 

db 

dQ 

db 

dQ 

dt  ~ 

du 

dl 

dp 

diJ. 

dy 

dv 

^  dl 

da 

-t- 

d[j. 

dp 

'^  dv 

dy' 

DES  CONSTANTES  A  FUJITRAIKES,   ETC.  815 

Or,  eu  n>i>:ir(J;nit  Û  comme  fondion  .le  a,  h,  c,f,  -,  //,  et  ces  quan- 
tités comme  fonctions  do  a,  {-.,  y,  ),.  ;,.,  v,  on  a  par  les  formules  connues 

dx         doc   du         d<x    db      '  doL    de    "^  7/a   df  '^Thcll^  ''    -fh.  Ih' 

d^  ^^(U   i]^        <11U_  d^    ^lc_  ,j[l^        ,//•  ,/(  ►         ,/„.  ,/n         ,//,    ^y, , 
^/^         ^(â   da        d^p    db    '"-  dp    de   -"'  dp  W'^dpVg^^dp'dh' 


I.   l'aisauL  toutes  ces  substilutions  dans  les  cxpivssioiis  pn'c.'-d.-ntes 

I      d(i      (Ih 

lit'  717'"  '  t't  ordonnant  les  termes  suivant  les  dillérences  parlirllrs 

de  i>,  on  voit  d'ahonl  que  le  eoeirieicnt  de  ^  est  nul  dans  la  val.'ur 

i     da  I    .    ,     dû  ,11. 

de  ^,  que  celui  de  -^-  est  nul  dans  la  valeur  de  "j'^.  et  ainsi  des  anln-s; 

qu'ensuite,  en  employant  des  symboles  [a,  h\,  [a,c],  f/y,c],...  analogues 
à  ceux  du  premier  Mémoire,  tels  que  l'on  ait 

\a  i)i.^_^(!]l  _(j^db_  _da_db^    i_  ^  ^  _x.  ^^'  ^^        ^^^^  ^^^ 

dcc  dl       dp  dy.       7/y  d'j  ■•    dl  dy.  "^  7h.  7fp  ^■'  7ÏÇ  7f/  ' 

[rt,  c]  =  —  —  —  —  ^'^  ^  __  ^  ^        ^^^'  ^^        f^  <f^        da  de 
dcc   dl        dp   dix        dy  dv   '''  dî  d x  '^  7[7j.  7lp  ""'  7h   71^  ' 

\b,  cl  -^  -  --  '^^  _  ^1^  ^Ja  _  dl^  dc^  ^  ijl>_  (jc_    ,_ilb_ilc^        db  de 
da.  dl       dp  dfjL       dy  dy    '   dl  dx  "'    du  dp  ^~  7ïÇ  7/y  ' 


on  aura  ces  formules 


"O 


dl  =-^''''^Va  -^^^^'-^7ib   -'^'-n-df  -^l'^Sl^  -^icJ'}^^^^^ 


816  SUR   LA  THÉORIE  DE  LA  VARIATION,  ETC. 

dans  lesquelles  la  loi  de  la  continuation  est  évidente,  en  remarquant 
que  les  symboles  changent  de  signe  quand  on  change  l'ordre  des  deux 
lettres  renfermées  entre  les  crochets,  mais  sans  changer  de  valeur. 
Ainsi 

[b,  a]  =-  -  [a,  6],     [c,  b]  '^  -  \b,  c], .  .  . . 

Ces  formules  donnent,  comme  l'on  voit,  la  solution  la  plus  directe  et 
la  plus  simple  du  Problème  de  la  variation  des  constantes  arbitraires,  et 
elles  s'étendent  à  autant  de  constantes  qu'on  voudra. 


FIN   DU   TOME   SIXIÈME. 


TAliLE  DES  M  ATI  LUES.  817 

TABLE  DES  MATIÈRES 

DU   TOME   SIXIÈME. 


SECTION  TROISIÈME. 


MEMOIRES  EXTRAITS  DES  RECUEILS  DE  L  ACADEMIE  DES  SCIENCES  DE  PARIS 
ET  DE  LA  CLASSE  DES  SCIENCES  MATHÉMATIQUES  ET  PHYSIQUES  DE 
l'institut    de    FRANCE. 


Pages. 

I.  Recherches  sur  hi  libration  de  la  Lune ,   dans  lesquelles  on  tâche  de  résoudre 

la  Question  proposée  par  l'Acadéniie  Royale  des  Sciences  pour  le  pri.x  de 

1  année  1 7G4 ^ 

II.  Recherches  sur  les  inégalités  des  satellites  de  Jupiter  causées  par  leur  attraction 

mutuelle 67 

III.  Essai  sur  le  Problème  des  trois  Corps 'rfxj 

IV.  Sur  l'équation  séculaire  de  la  Lune 335 

V.  Recherches  sur  la  Théorie  des  perturbations  que  les  comètes  peuvent  éprouver 

par  l'action  des  planètes 4o3 

VI.  Recherches  sur  la  manière  de  former  des  Tables  des  planètes  d'après  les  seules 

observations J07 

VII.  Lettre  de  Lagrange  à  Laplace,  relative  à  la  Théorie  des  inégalités  séculaires  des 

planètes 63 1 

VIII.  Recherches  sur  les  équations  séculaires  de.^  mouvements  des  nceuds  et  des  incli- 

naisons des  orbites  des  planètes ti{5 

IX.  Mémoire  sur  la  Théorie  des  variations  des  éléments  des  planètes,  et  en  particulier 

des  variations  des  grands  axes  de  leurs  orbites 7' 3 

VI.  «o3 


818  TABLE  DES  MATIÈRES. 

Pages. 

X.  Mémoire  sur  la  Théorie  générale  de  la  variation  des  constantes  arbitraires  dans 

tous  les  Problèmes  de  la  Mécanique 77  • 

XI.  Second  Mémoire  sur  la  Théorie  de  la  variation  des  constantes  arbitraires  dans  les 

Problèmes  de  Mécanique,  dans  lequel  on  simplifie  l'application  des  formules 
générales  à  ces  Problèmes 809 


PARIS.  —  IMPRIMERIE  DE  GAUTHIER- VILLARS,  SUCCESSEUR  DE  MALLET-BACHELIER, 

Quai  des  Augustins,  55. 


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Full text of "Oeuvres. Publiées par les soins de J.-A. Serret, sous les auspices du ministre de l'instruction publique"

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