(navigation image)
Home American Libraries | Canadian Libraries | Universal Library | Community Texts | Project Gutenberg | Biodiversity Heritage Library | Children's Library | Additional Collections
Search: Advanced Search
Anonymous User (login or join us)
Upload
See other formats

Full text of "Opera philosophica quae latine scripsit omnia,: in unum corpus nunc primum collecta studio et ..."

Gougle 



This is adigital copy of a biK)k ihal was presLTVvd for guiiLTalions on library sIil-Ivl-s ru-lbre il was carefully scaniiL'd by Googlu as parl of a projccl 

to makc thc world's books discovcrablc onlinc. 

Il has survivcd long L-nough for llu- copyrighl lo cspirc and thc book to cntcr thc public domain. A public domain book is onc that was ncvcr subjccl 

to copyrighl or whosc lcgal copyrighl Urrn has cxpircd. Whcthcr abook is in thc public dornaiii may vary country tocountry. Publicdomain books 

arc our gatcways to thc past. rcprcscnting a wcalth of history. culturc and knowlcdgc thafs oftcn dillicult to discovcr. 

Marks. notations and othcr margiiialia prcscnt in thc original volumc will appcar in this lilc - a rcmindcr of this book's long journcy from thc 

publishcr to a library and linally to you. 

Usage guidelines 

Googlc is proud to partncr with librariL-s u> digili/L- public doniain niaUTials and niakL- Uiltii widcly acccssiblc. Public doniain books bclong to thc 
public and wc arc mcrcly llu-ir cuslodians. Nl-vltiIil-Il-ss. this work is cxpcnsivc. so in ordcr to kccp providing ihis rcsourcc. wc havc takcn stcps lo 
prcvcnt abusc by coninicrcial parlics. iiicIliJiiil: placing: lcchnical rcstrictions 011 automatcd qucrying. 
Wc alsoasklhat you: 

+ Make non-commerciai u.se ofthefilvs Wc JcsigncJ Googlc Book Scarch for usc by individuals. and wc rcuucst thal you usc thcsc filcs for 
pcrsonal, non-commcrcial purposcs. 

+ Refrain from mttomutvil qtterying Donot scnd autoniatcd uucrics of any sort to G(K>glc's systcni: If you arc conducting rcscarch on machinc 
translation. optical charactcr rccognition or othcr arcas whcrc acccss to a largc aniount of tcxt is hclpful. plcasc contact us. Wc cncouragc thc 
uscofpublic domain matcrials for thcsc purposcs and may bc ablc to hclp. 

+ Maintain attribittion Thc Googlc "watcrniark" you scc on cach lilc is csscntial for inforiiiiiig pcoplc about this projcct and hclping thcm lind 
additional maturials ihrough Googk' Uook Scarch. Pk-asL- do not rcmovc it. 

+ Keep it legal Whatcvcr your usc. rcmcmbcr that you arc rcsponsiblc for cnsuring that what you arc doing is lcgal. Do not assumc that just 
bccausc wc bclicvc a b(K>k is in thc public domain for uscrs in thc Unitcd Statcs. that thc work is also in thc public domain for uscrs in othcr 
courilrics. Whclhcr a book is slill in copyrighl varius from counlry lo counlry. and wl- can'l offcr guidancL' on wliclhcr any spucilic lisl' of 
any spccilic biK>k is allowcd. PkasL- do not assumc that a b(K>k's appL-arancL- in Googlu Book Scarch mcans it can bc uscd in any manncr 
anywhcrc in thc world. Copyrighl iiilriiigciiicnl liability can bc quitc scvcrc. 

About Google Book Search 

GooglL-'s niission is lo organi/c thc world's information and to makc it univL-rsally accL-ssibk- and lisl-1'uI. Googlc Book Scarch hclps rcadcrs 
discovLT Uil' world's books wlulc liclpniL! amhors aiid publishurs ivacli ncw audiuncus. You cau scaivli Lhrough llic liill lc\l of ihis book on llic wcb 
al |--.:. :.■■-: / / bQQkj . qooqle . com/| 



■■■II 



3 blOS DS5 btb 147 



THOM^E hobbes 



MALMESBURIENSIS 



OPERA PHILOSOPHICA 



QVJE LATINE SCRIPSIT 



OMNIA 



IN UNUM CORPUS NUNC PBIMUM COLLECTA 



STODIO ET LABORE 



GULIELMI MOLESWORTH. 



VOL. IV. 



LONDINI : 
APUD LONGMAN BROWN GREEN ET LONGMAN, 

PATERNOSTER-ROW. 



MDCCCXLV. 



LIBRARY OF THE 
LELAND STANFORD Jh. UN/VER8IJT. 



LTOKDISU: 

MAR 11 1901 



CONTINENTUR HOC VOLUMINE 



I. 



EXAMINATIO ET EMENDATIO MATHEMATICE HODIERNJS. 



II. 



D1ALOGU8 PHYSICU8 DE NATURA AERIS. 



III. 



PROBLEMATA PHY8ICA, PROPO6ITIONE8 XVI DE MAONITUDINE 



CIRCULI, ET DUPLICATIO CUBI. 



IV. 



DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE GEOMETRARUM, 



ET DE MEDII8 PROPORTIONALIBU8 IN GEXERB. 



V. 



QUADRATURA CIRCULI, CUBATIO SPHj£IL£, DUPLICATIO CUBI, 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 

MATHEMATIOE HODIERN^ 

QUALIS EXHJCATUR IN LIBRIS 
JOHANNIS WALLISII 

GKOMKTBIJB PBOFBSSOBIS SAYILUKI 1N ACADBMIA OXONIEN8I. 



DISTRIBUTA IN SEX DIALOGOS. 



CLARISSIMO VIRO DOMINO VERDUSIO, NOBILI AQUITANO, 

Carissime Verdusi, mitto ad te libellum recens edi- 
tum, tibi do, et dedico. Primo, quia placiturum credo. 
" Mihine tuus", inquies ; €€ hominis baeretici ?" Ne 
tumultuare. Nihil hic invenies, quod non possis sine 
scandalo ecclesiae tuse approbare. Geometria, si hsere- 
tica est, tanto forte probabilior est. In doctrinis enim 
pure humanis, nihil tam Catholicum est quam errare. 
Condonemus ergo mutuo, ut Homerice loquar, <rol /*ev iyw, 
ai Si /xoi, ea quae diverse didicimus in Sacris. Secundo, 
quia ingenium tuum novi liberum, candidum, acutum. 
Postremo, quia amicitiam nostram aliquo modo signa- 
tam esse volui ; nec alio potui. Quod tam paucis te 
alloquar, si id quoque amicitise tribueris, facies quod 
sequum est. Vale. 

Servorum tuorum obsequentissimus 

Jul. 1660. THOMAS HOBBES. 






INDEX CAPITUM. 



DIALOOUS 
DB MATHEMATIC£ ORIGINE ET PRINCIPUS SC1ENTI£, ET DE NATURA 

DEMON8TRAT10NIS. - - - - - I. 

DE PRINCIPII8 TRADIT18 AB EUCLIDE. - - ' II. 

ft 

DE DEMON8TRATIONE OPERATIONUM ARITHMETICABUM. - - III. 

DE RATIONIBUS ET REGULA AUREA. - - - - * - IV. 

DB ANGULO CONTACTU8, DE SECTIONIBUS CONI, ET ARITHMETICA 

INFINITOBUM. - - - - , - V. 

DB CYCLOIDE. - - - - - - -VI. 



• 
» 



• 



I 



% - 



EXAMINATIO 



ET 



EMENDATIO 

MATHEMATICLE HODIERNJl. % 



B. SALVE MI A. y DIALOGUS 

A. Et tu mi B. Quid adfers novi ? . '; • . 

B. Novum librum. • 

A. De qua re ? 

B. Mathematica. 

A. Legistin' ? 

B. Legi. ' * 

A. Accuratene scriptum ? 

B. Accuratissime ; quantum saltem ego judico. 

A. Videam quaeso. — Johannis Wallisii oratio 
inauguralis. — Mathesis Unitkrsalis, sive arithme- 
ticum opus integrum, et adversus Meibomii de 
Proportionibus dialogum tractatus Elenchticus. — 
Quid illud sibi vult, Mathesis Universalis sive arith- 
meticum opus integrum? Num mathesin nihilo 
latius patere arbitratur, quam arithmetica ? 

B. Sic dixit fortasse, quod doctrinam rationum, 
quae totam comprehendit mathesin, arithmeticae 
potius considerationis esse judicaverit, quam geo- 
metricae. 

A. Quamobrem autem ? 

B. Causam quidem non ostendit; sed in epis- 

VOL. IV. ' B 



2 EXAMINATIO ET BMBNDATIO 

tola dedicatoria illud affirmat, et ad geometriam 
fuisse relegatam ab arithmetieis, propterea quod 
sine geometria magnam in calculandis fractionibus 
iuvenerunt difficultatem. 

A. Eandemne rem esse censet rationem et frac- 
tionem ? 

B. Ita plane, et id pluribus tum hujus tum alio- 
rom suorum Hbrorom locis disertis verbis asserit. 

A. Assereuti tantum, non etiam demonstranti, 
non est necesse ut assentiamur. Sed legamus. — 
Quantumvis non sim ego prorsus nescitis quanto 
subsidat intervallo. — Quantumvis Wallisius doctus 
sit mathematicus, non est certe Latinae linguae peri- 
tissimus. 

B. Rogo, quidni ? 

A. Qnia qui dicit quantumvis, rem determinan- 
dam relinquit arbitrio tuo ; qui dicit prorsus, ipse 
determinat. Itaque quantumvis et prorstii uon 
cohaerent. Quantttimis doctus Latine dicitur ; sed 
quantumvis doctissimus non item. Similiter, quan- 
tumvis magnus dicitur ; sed non quantumvis injitii- 
tus. Quantumvis et etsi, non idem sonant semper. 

B. Negligentiae huic, si hoc loco non oratorem 
egisset, sed matbematicum, facile ignosci potuisset. 

A. Pergamus. — Norunt melins quam mihi sit 
opus, sigtllathn illa rcpe/cndo, singula immorari. — 
Videturne tibi verba haec Latina esse ? 

B. Miiiimesme. Namdictumoportuit^ffg-u^'*, 
ut et ipse alias loquitur. 

A. Erratuw ergo est typographi. — Unde hic 
solus setertus Jttit, qui serenissimam Anglttv Re~ 
ginam Elizabetham in Grarcis litteris institttat. — 
Latinene hoe ? 

B. Minime. Erat enim scribendum institueret. 



MATHEMATICjB HODIERNiE. 3 

A. Usus est ergo tempore prasente pro praeterito dialogus 



imperfecto. 
B. Ita. 

A. An et ssepe ? 

B. Saepissime. 

A. Absolvamus ergo typograpbam. 

B. Recte. Verum ego illum non laudavi a gram- 
matica, quamquam ipse alias non intelligere et loqui 
Latine dedecus esse censet academico. 

A. Numeros etiam reperimus ab ipsis mundi 
primordiis, prout in cetatum patriarcharum cata- 
logo liquetj per monadas, decadas, centuriasque 
apte dispositos, gradibus scilicet, ne inordinata 
numerorum multitudine et &Td&q laboret calculus, 
vel quidem nullus omnino sit. — Quod iterum tem- 
pore praesente utatur pro imperfecto, quoniam tu 
ita vis, praetereo. Hoc tantum a te quaero, utrum 
ab eo, quod aetates patriarcharum usque ad dilu- 
vium per centurias, decadas, monadas numerentur 
(Gen. cap. 5), inferri possit numerorum nomina eo 
tempore ita ordinata fuisse. 

B. Siquidem caput illud quintum ante diluvium 
scriptum fuisset, illatio illa esset bona. Sed quo- 
niam vel a Mose, vel longo post M osem tempore ab 
Esdra scriptum esse omnes consentiunt, fatendum 
est bonam non esse. 

A. Desideramus ergo in Wallisio aKpifiuav illam 
logices, quam exigimus a mathematicis. — Mathesis 
apud ChalcUeos post diluvium primo Jloruisse cre- 
ditur, deinde apud Egyptios, cum hoc tamen dis- 
cfimine ; ChalcUeorum astronomia, Egyptiorum 
geometria celebrata est. — Unde scit ? Quare cre- 
ditur ? Cui historico ? Oportuit nominasse autho- 
rem suum. Nam contra, astronomiam Chaldaeos 



i. 



2 



4 EXAMINATIO ET EMBNDATIO 

ihalogcs ab Egyptiis didicisse, author est historiae veteris 
._ \ . transcriptor Diodorus Siculus, in secunda parte 
libri primi sic scribens : Chaldaos etiam dicunt, qui 
in Babylane sunt coloni Egyptiorum, propter as- 
trologiam celebrari, quam a sacerdotibus Egyptiis 
didicerunt. Quis haec conciliabit ? 

B. Etiam Wallisium credibile est, ejus quod hic 
dicit, authorem habuisse historiographum aliquem ; 
nam dissentire inter se historicos mirandum non est. 

A. Et prater varia theoremata de novo inventa, 
ipsa ineeniendi methodus multum facilitatur . AU 
gebne, nempe, sive analytic<e usus ultra quam qui 
reteribus innotmt,jam innotescit. 

B. Qoaenam sunt illa theoremata nova per Al- 
gebram inventa ? 

A. Intelligit fortasse ea, quae sunt in Ougthredi 
Clave Mathematica. Sed tamen multa illis pul- 
chriora in libro septimo Pappi extant, inventa per 
algebram, etsi sine symbolis demonstrata sint. 
Sed neutrius theoremata alia sunt quam quae con- 
tinentur in doctrina rectangulorum et triangulorum 
rectilineorum. Falsum etiam est, quod ille innuit, 
algebram et analyticam eandem esse rem. Falsum 
item, algebram methodum esse inveniendi. Sed 
baec posterius magisque suo loco examinabimus. — 
Astronomia eximiis inventis instauratur. — Nu- 
merat hoc loco, observationem stellarum circa 
Jovem ; Solis maculas ; Saturni ansulas ; Jovis 
Jascias; Lunte asperitatem. Sed quid hsec ad 
algebram r Ne a geometra quidem, aut astronomo 
ullo, inventa haec sunt, sed ab illiterato quodam 
Batavo. Nam illi, cui inventio debetur telescopii, 
debetur quoque detectio stellarum Jovialium, ma- 
cuiarum solarium, &c. Nonne et tibi sic videtur? 



MATIIEMATIC,*: IIOUIKRN.E. 



5 



B. Omnino. 

A. Matheiiiatuiii stitdia, non modo pro ea qunm 
in se habent veritate, rulenda essc, qiuv lamen, ipsa 
per se ruii.ypirna et nltra srcpticvrnm Utigia poxita, 
aiiimitm rejiciet valde et ohlectahit ; sed et t/uod 
rertiin aliarum cogiiilioui noit tuio </uidcm nomine 
conthirant multu.ni .— Id quod (le studio mathema- 
tic.-e bic dicit, nonne tibi videtur dici etiain posse 
de studio pbysica?, vet ethicae, vel politioee, vel dc- 
uique scientiae cujuseunque ? 

B. Non. Nam theoremata physicw, quia ac- 
tiones naturales pleraxme sensum fugiunt ; ethica, 
propter voluutatis humaiiie inconstautiaui ; politica, 
propter ethica; ignorationem ; pauca possunt de- 
monstrari. Prreterea, habet mathematica certa 
qua;dam et indubitata demonstrandi principia, qua- 
lia suut definitiones, a.viomata, petiliones ; qua; uon 
habet neque politica, neque ethica, neque etiam 
physica. Quare niathematieaui extra litigia seep- 
ticorum solam eminere recte dicit. 

A. Nonne etiam rationis Itnese ad lineam, vel 
cujuslibet mugnitudinis ad aliam magnitudiuem, 
a* P i(iita seusnm fugit ? Potest tamen demonstrari. 
Au non et vera; physics sua inest veritas, quse vel 
affirmative vel negative enuutiari potest ? Nonne 
litigat cura mathematicis nou minus quam cum 
dogmatieis Sextus Empiricus scepticus t Praterea 
non minus oblectat animum in physicis, vel ethicis, 
vel politicis, inventa veritas, quam in geometricis. 

B. Imo magis ; quanto scilicet iu illis sa?pius 
erratur, quam in geometria. 

A. Etiam vocabula, quibus in physica, ethica, 
politiea philosopho utendutn est, an definiri non 

|>OSSIIIlt ( 

B. Possunt. 



6 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

A. Cur ergo in his magis quam in illis desidei 
principia ? An si assumerentur in physicis, ethicis, 
etpoliticis postulata petitionesque, sicut iuEuclidis 
Elementis Geometriae, eone firmiores fore demon- 
strationes esse judicas ? Si ita judicas, toto ccelo 
erras, Sunt enim eo in6rmiores. Quicquid enim 
assnmitur precario, naturam tollit demoustrationis. 

li. Intelhgo jam quid diceudum erat Wallisio, si 
seutentiam suam &tp/3ȣ voluisset explicare ; nempe, 
scientiam unam altera neque veriorem, neque evi- 
dentiorem esse, sed doctores alium alio peritiorem 
esse, id est, veritatem magis intelligere, melius de- 
monstrare, a tricis verborum melius cavere, et in 
illas si forte incidat, facilius se inde extricare posse. 

A. Vix item matiiro magis judicio quispiam est, 
ijiiam ijiii rebus hisce excrcitati, vel sophismatum 

Jallacias Je/icius deteget, vel syllogisniorum vires 
justamque sequelam assequetur. — Hoc quidem de 

exercitatis in rebus ipsis, verum ; sed de exercitatis 

in libris, falsum. 

B. Exemplo esse potest ipse Wallisius. Atque 
haec sufficiat notasse in oratione inaugurali, nisi 
quod pneterire non possum verba illius ha?c. — Quod 
ego interim nonprofornm tantuvi opto. — Nam^uro 

forma vox est scholastica, non Latina. Reliqua 
qnas summisse legi, vulgaria, vilia esse facile cum 
legebas ipse animadvertisti. Transeamus jam ad 
Epistolam Dedicatoriam. 

A. Cum qute in publicum prodeant, pro more 
scilicet, eoque satis inveterato, nonnullis iuscripta 
soleant prodire. — Non intelligo ha^c. An ille ipse, 
quoties in pnblicum prodit, inscriptus (tm-iy^troc) 
prodit ? 

B. Ad vocem illam relativum qute, subaudien- 
dum est pro antecedente, non omnia, sed xcripta. 



MATHEMATICjE hodibrn^. 7 

A. Bene est. Hoc ergo vult ; edicta regum, dialoous 
quando publica fiunt, inscripta esse, nimirum, ip- *- . 
sorum nomine regum. Et verum est. 

B. Ah, neque sic intelligendum est, sed solum- 
modo de libris. 

A. Si se ita intelligi voluit, quam facile scrip- 
sisse potuit, cum libri qui in publicum prodeunt, 8fc. 
(non prodeant, ut hic scriptum est). Verum non 
satis intelligo quid sibi hic vult vox ea nonnullis, 
quae, solitarie posita sine substantivo, semper sub- 
auditam habet vocem rebus. Quibus ergo rebus 
inscribi solere dicit libros ? 

B. Quibus, nisi nominibus ? ut (post quinque 
aut sex versus) ex his verbis, vestra libuit nomina 
seligere, quibus qui sequitur tractatum duxerim 
inscribendum 9 cuilibet manifestum esse potest. 

A. At melius fuisset, si pracedentia sequentibus 
praetulissent potius lucem, quam debuissent. Sed 
pergo. — Id mihi maxime visum est incumbere 9 ut 
justissimis votis suis, quantum in me est, satisfa- 
ciam. — Suis hic, pro illius, nempe D. H. Savilii, 
non recte utitur. Sed nolle te grammaticam hoc 
loco examinari oblitus eram. — Ex quo, inquam, 
Juec, id est, symbolica, introducta est Vieta, Oug- 
thredi, Harriotti, Cartesii ope, quam ingentes 

fecerit profectus Mathesis universa, nemo hisce 
rebus vel leviter exercitatus ignorare possit. — 
Audin ? 

B. Audio. 

A. Ne ipsi quidem analyticae per potestates ad- 
scribi possunt, quae ille hic ascribit symbolis ; nam 
qusecunque inveniri possunt per symbola ista nova, 
inveniri etiam potuissent per antiquissima symbola, 
nimirum verba. Deinde, quinam sunt ingentes illi 



8 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

profectus, quos fecisse dicit mathesin univei 
ope authorum illorutn quos hic nominat ? Si mihi 
unam solummodo propositionem indicaveris sym- 
bolicse hujus ope inventam, praeter aliquot rectan- 
gulorum et triaugularum rectilineorum metatnor- 
phoses, quae et ipsae sine algebra inveniri potueruut, 
eoncedam tibi omnia quse dixeris ; et quanquam per 
algebram, ut nonnulli existimaverunt, nullum nou 
problema solvi posset, nihil tamen boc ad laudem 
faceret symbolorum ; idem enim fieri per verba pos- 
set. Quaeritur, quis numerus sit, qui, sive assumens 
ternarium sive multiplicans, producit idem. Diceret 
Wallisius: sit qutesitum A; quare 3 + A =3 A; et 
dempto utrinque A, 3 = 2A; et A = 4-. Nomie 
idem esset, si diceretnus, 3 una cum quasito a?quari 
triplo qutesito; et duo qutesita aequari ternario, et 
proinde qunsitum aequari -$-. Vides ergo symboli- 
cam istam, quam jactant, nil omnino propter sym- 
bola, sed propter solam a stipposito ad consequentia 
ratiocinationem valere ; quae securius aliquam 
et multo magis perspicue perficitur oratione. 

B. At mihi quidem utilis videtur propter s; 
bolorum brevitatem. 

A. Q,ui quaeso : Nonne vim demonstrationi 
symbolice scriptarum, quam Latine, memoria tem 
difficilius est ? Et quauquam analytica per sym- 
bola brevius scribatur quam oratione plena, non 
tamen clarius, neque ut a tam multis possit iutel- 
ligi ; partim quod eadem symbola paucis sint com- 
iiinniii ; partim etiam quod verba ipsa, non sola 
symbola, animo simul percurrenda sunt. Cur au- 
tem arithmeticam speciosam ope Vietae, Ougthredi, 
etc, introductam esse dicit ? Quasi veteris 
notas, quibus radix, quadratum, cubus, caeten 



ym- 
ntia 

: 



MATHEMATICK HODIERNjE. 



9 



;ates significabantur a Diophanto, non essent outc 
symbola. 

B. Guid? Nihilne addidit algebrze Vieta, sed 
veterum notas cum literis alphabeti tantum com- 
mutavit ? 

A. Nihil omnino. , 

B, Sed ipsam artem sive methodum, qua a sup- 
positu ad qutcsitum via brevissima pervenitur, quis 
excogitavit primus t 

A. Nescio ; nisi vernra sit, quod memini me 
alicubi legisse, fuisse Arabem quendam Ghebram, 
a quo etiam artem ipsam, si modo ars sit potius 
quara casas, deuominatam esse A/gebram. Syra- 
bola quidem addere, subtrahere, multiplicare, divi- 
dere binomia, trinomia, etc, artis esse fateor, non 
maguae. Sed ut ex supposito inveniatur id quod 
quaeritur, nisi in facillimis quastionibns, id vero 
pernego. Qnid enim magistri syinbolicse hodiernae 
iua\imi, Ougthredu? et Cartesius, aliud praecipiunt, 
quam ut pro quautitate qinesita suppouamns ali- 
quam ex alpliabeto literam, et iude apta ratiocina- 
tione procedamns ad consequentia ? At si ars esset, 
debereut quaenam sit illa apta ratiocinatio ipsa 
ostendere. Guod cum non faciant, algebristae modo 
ab vino supposito, modo ab alio incipere, et modo 
unam, modo aliam viam ingredi, coguntur. Adeo 
ut non minus fortuito quarsitum inveniunt, quam 
sj quis in cuhiculo, jussus initio facto a limine dili- 
genter totum cubiculum intentis oculis et auimo 
percurrere, inveniret latentem aciculam. Praeterea, 
logarithmos invenitne Neperus ope algebra^ : Aut 
qui eauonem condidit sinuuui, tangentium, et se- 
rantium, per arithmeticam speciosam id fecit ? 
Denique quae propositio inventa per algebram non 



10 BXAUISATJO ST SHBNDATIO 

«<w*» depwdft a prop. 16, lib. vL Elementorum Encfidis, 
** ^ ct a prcpp. 47, lib. L ejosdem, aliisqoe nofmnnis 
proposjtionibos, qoas oportet prios scire, qoam 
tpns pcifsit uti regola algebrae. Adeo, geometriae 
algdtaa debetor, non illi geometria. Xam absqoe 
bac, qoaesitom, eta in aequatione contineatnr, sae- 
pftmme ignorator. Imo vero ipsa Analytica per 
potcstaUs, sive com symbolis sive absqoe symbolis 
exerceator, adeo est exigua pars analyticae univer- 
aalis, ot nollos ejos neqoe in angulis, neqoe in 
ctrcoHs, neqoe in solidis osos sit, sed solommodo 
in parallelogrammis rectangnlis et triangolis recti- 
lineis. Ettam in his hoc tantom prastat, ot id, 
qood in illarom qoas modo dixi propositionom 
verborom involocris continetor, eroere valeamos. 
Analysis enim per potestates, non procedit ab 
effecto ad caosam, sed ab ona proprietate ad aliam, 
non, ot est natora causae, priorem, sed ab eadem 
caosa genitam. Analytica ergo haec res admodom 
angosta est, qoanqoam ad trigonometriam in rectis 
lineis exercendam non omnino inotilis ; verom ob 
magnam multitudinem symbolorum, qoibos hodie 
oneratnr, ona com falsa opinione qood plos valeat 
ipsa methodos qoam revera valet, pro peste geo- 
mctrke habenda est. Inde enim est quod investi- 
gatio cansarom, a qoa sola sperari potest scientia, 
negligitor, nimirum, propter spem factam a parum 
acute videntibus magistris, posse per arithmeticam 
speciosam nullum non problema solvi ; cum tamen 
problemata, quae veteres solvere non potuerunt, ad 
hunc usque diem maueant insoluta. Jam si quid 
contra haec dicendum habeas, audiamus. 

Ii. Nihil contra dico. Etsi enim multi hac 
methodo in problematis solidis usi sint, in eo tamen 



mathematicj: hodiebnj:. II 

processus eorum semper desinit, ut pronuntient i> 
problema, cujus constructionem quaerunt per eam „ 
geometriara quae nunc extat, esse rasolubile, atque 
adeo opus esse ad constnictionem ejus quibusdam 
aliis liueis, quie nulla arte accurate duci possunt. 

A. Legamus ergo ulterius. — Partim etiam quod 
nrithmetices jmmteria tam stricta jccerint, ut ceris 
tmmcri*, rationalihus aciticet ct quidem integris, 
coerceantur. 

B. Praevideo hic quid reprebensurus es. 

A. Quid ? 

B. Uuod arithmeticam versari putet circa aliud 
pr»ter nmneros. Nam qui numerus verus uon est, 
omnino non est numerus. 

A. Recte. Sed et illud quoque reprehensurus 
eram, quod explicet qui sint vere numeri per ra- 
tionales ct qiiidem integros. Nam numerus ad 
uumerum irrationalis esse non potest, quoniam 
omnes metitur ttnitus. (Jmin ergo ille numerum 
non verum, et alii surdum dicunt, quantitas con- 
tinua est, et pertinet, non ad arithmeticam, sed ad 
geometriam. Prceterea non recte a veris numeris 
distinguit fraetiones. Quauquam enim soleaut ap- 
pellari numeri fracti, non tamen numerusfrangitur, 
sed res in rerum numerum. Itaque dua; uncis 
non minus uumerus verus est, qviam duo asses. 
Desideratur ergo hic anpijZtta illa, quse tam neces- 
saria est geometrae, quam intelligere et loqui 
Latine academico. Sed pergo. — Ut reapse osten- 
dam etiam geometriea problemata, quatenus saltem 
a positionc sive locali situ abst rahunt, a jirinci- 
p'tis arithmcticis vct ma.rimc dcjicnderc; ct quidem 
eo usque ahesse, ut ad jtrob/emata sive thcoremata 
pure arithmetica slutttmtnanda, (quod tamen nou 



12 EXAMIXATIO KT BMENDATIO 

raro /aetmm tideo), geometrica plame demomstra- 
tkmes simt hmc Jbrinsecus adtocanda ; ut comtra 9 
qtue geometrica habebantur, simplicius qmidem et 
mmitersatims ex pmre arithmcticis, adeoqme unirer- 
salibms, demonstranda videantmr. — Praetereo in gra- 
tiam tuam qaod vox, abstrahunt, hoc in loco 
scholasticum sit, Latinum non sit. Sed rogo te, 
ubi probat id quod hic dicit ? 

B. Probabunt ipsius per totum hoc opus a prin- 
cipiis arithmeticis demonstratae conclusiones geo- 
metricae. 

A. Id ergo videbimus inferius. Interea vero 
mirari mihi liceat visum esse necessarium Euclidi 
numeros alios planos, alios solidos appellare, et tam 
multa de illis demonstrare. N umerus enim neque 
superficies est, ut possit proprie dici planus ; neque 
corpus, ut possit vocari solidus. Sed forte Euclides 
numerum a divisione continui, et demonstrationes 
aritbmeticas a geometricis, non contra ut Walli- 
sius f derivavit. Distulit ergo theoremata arithme- 
tica ad Elementum septimum ; ut in illis demon- 
strandis imitaretur demonstrationes quasdam, quae 
sunt in elementis geometricis antecedentibus. Ita- 
que Elementi ix. propositiones 1 8 et 19, fundantur 
in propositionibus 16 et 17 Elementi vi. Item 
decem primae propositiones Elem. ii., in numeris 
demonstrari possunt ; sex posteriores non possunt, 
propterea quod non omnes lineae sunt commensu- 
rabiles. Ostendat tibi Wallisius, si potest, duos 
numeros, quorum major ad minorem eandem habeat 
rationem, quam majus segmentum lineae divisae 
eztrema et media ratione ad segmentum miuus; 
vel quam habet quadrati diagonalis ad latus. Ipsum 
latus appellabit fortasse numerum ; sed ut te fallat, 
non scribet latus, sed /, vel p> vel aliud aliquod 



MATHEMATIOE HODIERNJB. 13 

symbolum. Coge igitur illum numeros suos eloqui. dialoous 
Dicit, credo, nuraerum alterum saltem esse surdum. *• „ 
Surdum autem est, quod effabile non est. Jam si 
series proponatur nnmerorum, ab unitate incipien- 
tium et unitate cresceutium, infinita ; nonne in illa 
serie numeros omnes contineri putares ? 
B. Certe. 

A. Aut ullum eorum esse ineffabilem ? 

B. Nullum. 

A. Nullus ergo numerus surdus est. Sed per- 
gamus. — Quod autem vel philologica, vel etiam alia 
philosophica, mathematicis immiscuerim ; partim 
illud ad suhjecti explicationem commodum vide- 
batur, partim etiam condimenti loco, 8fc. — Quid 
illud est, quod apparat condimenti scientiae per se 
jucundissimae ? An yikwrovoibv, an yikolov acturus 
est ? 

B. Nihil minus. Nam per philologica, ea intel- 
ligit quae continentur in cap. vi. et quibusdam 
sequentibus de etymologiis nominum numeralium 
Latinorum, plena ingenii ; qualia sunt, Latinorum 
vocem unum derivari a Graeco o \v ; duo a Ivo ; tres 

a TpttQ ; quatUOT a trimpa, ireropa a riropa, et hoC a Ttaaapa; 

quinque a Hvtc, posito quin pro *tv, et que pro re. 

A. Unde haec conjicit ? 

B. Nescio, nisi a congruitate literarum. 

A. Non est inter 6 lv et unum, neque inter qua- 
tuor et Tiaaapa, neque inter quinque et toW, magna 
afiinitas literarum ; et quilibet etiam puer tantun- 
dem conjicere potuit. 

B. Deinde, bellum, inquit, a ir6\t^ fortasse dic- 
tum est. An tandundem conjiceret etiam puer ? 

A. Minime. Non est enim derivatio illa neque 
vera neque verisimilis, sed ridicula, condimenti 
causa. 



14 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialogis B. Exemplum a shnili derivari dicit ; ideoq' 
. , '• nou exemplum sed exsemphtm debere scribi. 

A. Quidni et exsero pro exero, et exsisto j 
extsto, et exsuo pro e.xuo, et exsequia- pro exequite, 
et similia multa scribi jubet ; qualia nemo Latino- 
rum unquam scripsit r Eadem enim est ratio in 
his, quee in exemphtm. Credo sperasse illum novi- 
tate hac fore olim, ut distingueretur ab indoctis 
hominibushujusseculi. Sed errat : sicut enim na 
Hus exemphtm secutus est ille, ita nemo illius exse, 
plum est sequuturus. Sed qusenam sunt ea, qu 
appellat condimenla philosophtca ? 

B. Nescio ; nisi ea intelligat quse disseruit i 
natura mathematicse, et de natura demonstratioui 

A. Pergamus ergo ad reliqua Epistolse Dedica- 
toriEe. Excusans se quod tardius prodierit liher e 
quam speraverat ; — Interea, inquit, temporis bis 
occurrehat eastigandus Hobhius ; Latine primum ; 
Elencho meo in ipsum edito, quo ipsius in tihro Dk 
Corpoke «y tvpiTpqaia castigatttr, et fastus reprt- 
mititr; deinde et Anglice, oh scriptum ipsius An- 
gticanum lonrifiisjartum, quo scttrram agit, $c, — 
Hoc habet mercedis ob politicam suam, Leviathan. 

B. Fortasse Wallisius contra illum iratus scripsit, 
et tanto asperius, qnanto liber ille hominibus ho- 
nestis magis placuit. Sed videamus an in hoc libro 
Wallisii, uihil sit quod mereatur castigari. 

A. Accedentibus jam ad ipsum opus niathe- 
maticum, ubi orationi scientificai debitam 6^3na> 
exigere non modo iniquum non est, sed etiam ne- 
cessariuin, quicquid non accuratissime dictum, id 
liberum erit reprehendere. De rebus enim, qua- 
rum scientia certa esse potest, idem est non accu- 
rate, et false dicere. Itaque qui propter inscitiam 



MATHEMATICJE HODIERNJ5. 15 

scribere vel disserere accurate nesciunt, quoties dialogus 
reprehenduntur, hac defensione uti solent, non esse 
liti^amlum de verbis, ubi res constat ; cum tamen 
de veritate rei nisi accuratissimis verbis coustare 
non possit. Non moror ergo homines illos ambi- 
tiose graves, qui propria? imperitue aliorum pra>- 
tendunt Xoyoitaxia-. Quasi aut esset disputatio ali- 
qua, quse Xoyopaxta non esset, aut veritas aliqua, 
qua; non esset verhorum veritas. In quocunque 
igitur libro, de quacunque seientia, hujusmodi verba 
inveneris : mera et heec koy 0l iax ia t «°» phtcet, dum 
de re constet, de rerhis (itigare : pro certo babeas 
scriptorem illum scientise, quam tractat, imperitum 
esse, iiinorantiamque suam gravitate, ut videtur 
ipsi, sententiobe velle tegere. Nec molestum tibi 
sit, si quicquid, sive in dictionibus hujus authoris 
sive in ratiocinatioue, fep^Suf debita carere videro, 
notavero : ea saltem lege, si quomodo eadem 
ocp-^Jc enuntianda sunt, simul docuero. 
B. Non iniquum postulas. 

A. Prseterea, in pliilologicis illis, ut voeat, con- 
dimentis, postulo ut lieeat mihi conjecturis illius 
apponere conjecturas meas. 

B. Neque hoc iniquum est. 

A. Inscribitur caput primum De Mathesi in ge- 
nere, et de. ohjecto et distrihutiorie ejus. Videa- 
mns ergo quam sit accuratum. — Discipliiue ma- 
thematicir dicuntur otitnes i(l<e sive artes sive 
scientite, qute circa qttanfitateiii pecttliari uiotio 
versantar, nw cottfinitaiii sire discrctam. — Tune 
definitionem hanc censes esse accuratam * 

B. Ego vero satis. Etsi vox illa, pecuHari modo, 
nisi ex sequentibus non facile intelligitur. 

A. Expone ergo verba illa ex sequentibus. 



16 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

dialoous B. Intelligit quantitatem peculiari modo, id est, 
. '• . strictiore sensu, prout ad numerum et magnitudi- 
, nem restringi solet. 

A. At intelligi ita non possunt. Nam versari 
circa quantitatem, sive continuam sive discretam, 
quse eadem sunt cum magnitudine et numero, po- 
sita sunt in ipsa definitione. 

B. Minime. Nam in definitione, per quantita- 
tem continuam intelligit solam quantitatem corpo- 
rum, nempe lineam, superficiem, et solidum, exclusa 
quantitate temporis, loci, motus, et ponderis : per 
quantitatem autem discretam, exclusa oratione, 
solum numerum; propterea quod tempus, locus, 
motus, pondus, vix ullam, inquit, subeunt specula- 
tionem mathematicam, nisi ad modum vel magni 
vel multi considerantur. 

A. Videtur sane non bene intelligere Wallisius, 
quid sit ipsa quantitas. Neque id mirum est ; cum 
nemo geometrarum illorum, qui ante ipsum fuerunt, 
tradiderit quantitatis definitionem ; ipse autem ex- 
aminatione nulla, sed tantum lectione, suam fecerit 
geometriam alienam. 

B. Quomodo autem quantitatem definis tu ? 

A. Quantitas est, per quam qtuerenti de qualibet 
re, quanta sit, apte respondetur ; sive, quod idem 
est, per quam cujuslibet rei magnitudo determi- 
natur. Verbi causa : longitudine proposita, qusero 
quanta ea sit. An responderi apte putas, longitu- 
dinem esse ? An potius quod sit tanta, quanta est 
ulna, vel quanta est aliqua alia mensura vel men- 
surse ; vel quod sit ad longitudinem expositam in 
hac vel illa ratione ? Similiter, si quaestio fiat de 
superficie vel solido, non apte respondebitur nisi 
per mensuram aliquam vel comparationem cum 



MATHEMATICiE HODIERNjE. 17 

aliquo mensurato. Alioqui quaerentis animus nihil malogu» 
habet, in quo acquiescat, determinatum. Non sunt . '; , 
ergo longitudo, superficies, solidum, quantitates 
ipsae, sed quanta, vel potius, sine scholarum etiam 
antiquarum barbarismo, tanta. 

B. Nihil video propter quod haec non sint accu- , 
rate dicta. Sed quid inde infers ? 

A. Istuc infero, tempus, locum, motum, pondus, 
non minus proprie quantitates dici, quam linea, 
superficies, et solidum. Cum enim neque haec 
neque illa quantitates sint, sed quanta, aeque sunt 
utraque quantitates. Cumque tam illa quam hsec 
quantitatem habeant, sunt aeque utraque quanta. 
Quare in definitione hac Matheseos universalis, 
nihil est neque <Upi(Sk neque vytec. Multa habet 
Archimedes in libris suis per motum et tempus 
demonstrata, quse tamen ne Wallisius quidem ipse, 
credo, negabit esse et bene demonstrata et pure 
mathematica. 

B. Quid Wallisius negaturus sit nescio. Sed 
tempus, locus, etc, mihi quidem videntur quanti- 
tates non minus proprie dictae, quam magnitudo, 
et numerus ; nec quantitas a magnitudine aliter 
distingui, nisi quod per quantitatem intelligimus 
determinate tantum, magnitudo autem vox sit 
indefinita. Video item alteram post adhibitam 
mensuram comparationemque cum alio actu semper 
dici; alteram non semper. Sed desidero adhuc 
definitionem mensurce. Mirandum enim esset, si 
qui geometrise, quam sine mensuratione assequi 
nemo potest, prima principia posuit, mensuram 
nusquam definisset. 

A. Definitio partis (subaudi, aliquotce) tradita 
ab Euclide initio Elementi quinti, paucis mutatis 

VOL. IV. C 



1S 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



iiiALocrs erit definitio memurts. Est enim mensitra Mj 
. *• . tudo una alterius,guando ipsa vel ipsins niultipta, 

alteri applicata, citm ea coincidit. 

B. Definitio hsec fere eadem est cum axiom. 8. 

Elem. i. EucHdis. Nam videmus quotidie omue 

genus rerum per itp&ppomv mensurari ; sed ple- 

rumque repetitam. 

A. Definitio ergo hsee, cum sit mensurationis 
quotidiana? descriptio accurata, ipsa quoque defi- 
nitio accurata est. Quaenam autem sunt quanti- 
tates illae, quas discretas vocat ? 

B. Numerum et orationem. 

A. Scio. Sed quid significat vox ea discreta? 

B. Ponitur hoc loco pro interrupta, sive intcr- 
eisa. Exempli causa ; Euclidis, iu prioribus qui- 
dem sex Elementis, diagrammata ex Hneis constant 
perpetuis, sive continue duetis, quibus exponitur 
lectori quantitas continua ; deinde, in tribns Ele- 
mentis sequentibus, lineis usus est punctim desig- 
natis, sive lineis intercisis, ut expoueret quantitatem 
nmiieri. Videtur ergo Euclidi origo numeri con- 
sistere in divisione integri continui ? 

A. Certissime. 

B. Sed Wallisio, contra, ex compositione itnorum. 
A. Guauquam is, qui primus numeravit, utrum 

corpus corpori apposuit, an in corpora divisit, 
nihil referat ; posterius tamen verisimilius est ; nisi 
putem illum hominem unum vocasse unum; deinde 
unum hominem et unam arborem duo ; item unum 
hominem, et unam arborem, et unum moutem, 
ires ; et sic deinceps. Numerus enim, absolute 
dictus, suppouit in mathematicis uuitates, ex quibus 
constituitur, inter se ajquales : ajqualitatem autem 
unitatum in quantitate oriri nisi a divisione integri 




MATHEMATIC/E HODIliRN.E. 



19 



contiuui in partes aequales, vLv potest cogitari. i 
Uttit tamen hoc sit, nisi numerus consideretur ut 
sic ortus, scientia arithmetica fere periit. Nam 
ex additione unitatum theoremata arithmetica 
valde pauca, ex divisione continui omnia possunt 
demonstrari. Deinde oratio, cur ponitur, primo, 
inter quantitates ? An quia oratio una quam alia 
longior esse potest ? Quare ergo non potius ponitur 
inter quantitates genus ejus, netnpe sonus? Nam 
et sonorum alius est longior, alius brevior. Cur 
non sunt etiam latratus, ruditus, mugitus, quanti- 
tates, et quidem discretae ? Deiude cur est oratio 
discreta quantitas. An quia dividitur ? Si ita sit, 
quidni sonus tubae dicetur quantitas continua? 

B. Orationem esse qttantitatem, et quidcm dis- 
cretam, dicit Aristoteles. 

A. Credo. At non uunc quaerimus quid sit Aris- 
totelicum, sed quid sit ro a* pi fa. — Tempus tractat 
astronomia. — Tractat quideni, sed an uttempus? 
Proprietatemne temporis ullam demonstrant astro- 
nomi ? Ut loquereutur de tempore necessarium 
erat propter motum. Annum, mensem, diem, horas, 
et horarum minuta prima, secunda, etc, definiuut 
astronomi, non ad temporis proprietates, sed partes 
cognoscendas quse motu corporum eoelestium dis- 
tinguuntur. — Jtem chronologta. — Cbronologia his- 
toriae quidem, sed non scientise, pars est. — Locus 
autem in steriometria, quantum ad ejus capaci- 
talem. — Quid quaeso interest tnter loci capa- 
ritutem, et loei magnitudinem f 

Ji. Plane nescio. 

A. Sed verebatur, puto, ne si dixisset magnitu- 
dinem, etiam locum ad quantitatem proprie dictam, 
quem ante inde expulerat, videretur reduxisse. — 



20 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

dialogus Orationem tractat musica aliarum. — An ut oratio- 
- J * . nem, an nt sonum ? Ut sonum certe, qualis est 
musica hodienia ; quanquam hoc fortasse rectius 
dixit, quam sensit. Nam antiquitus tum verba tum 
modos componere ejusdem erat artis musicae. — 
Motus autem et pondus in mechanicis prcesertim 
considerantur. — Quid? An mechanici opus esse 
putat demonstrare ? Vel motus et ponderis nullas 
esse proprias passiones quae demonstrari possunt ? 
Quis nescit omnia, quae recte facit mechanicus? 
fieri ex prsescripto et secundum regulas mathe- 
maticorum ? Mathematici ergo est, ut aliarum 
quantitatum, ita etiam motuum et ponderum ra- 
tiones demonstrare. Vides igitur quam crassa 
haec sunt Wallisii professoris, et ab fecpi/Sci? im^fwviicti 
aliena. Sed doctrinam rationum omnem fatetur 
•considerationis esse vel arithmeticae, vel geome- 
tricse ; neque nescit, credo, ipsis rationibus suas 
esse certas quantitates : nam una ratio major alia 
vel minor esse potest. Est ergo ratio quantitas 
proprie dicta, etiam ex doctrina illius. Respondeat 
mihi jam, utrum numerus sit ratio. Negabit, puto. 
Qui fit ergo, ut tractetur in arithmetica, et sola 
quidem, ut ille vult ? Rursus, utrum ratio sit linea, 
vel superficies, vel solidum. Nihil horum. Vel 
quantitas continua, vel discreta. Neutram dicet. 
Qui fit ergo, ut tractetur in pure mathematicis ? 

B. Si ratio, neque continua quantitas, neque 
discreta sit, non videtur saltem mihi omnino esse 
quantitas. 

A. Quid ita ? Si quis quantitatem omnem con- 
tinuam vel non continuam esse diceret, necessarium 
faceret ut omnis quantitas alterutra earum esset. 
Sed non idem sequitur ex divisione in continuam 



MATHEMATtC-E nODlERNJE. 



21 



. discretam. Itaque ut ratiouem ad aliquod dialogbs 
quantitatum genus referam, quautitas dividenda '' . 
est in absolutam et relattvam. Absoluta est longt- 
tudinis, superficiei, solidi temporis, motus, per se 
considerata quantitas. Relativa est, qua determi- 
uatur quanta sit quEeltbet dictarum magnitudinum, 
ut comparata cum alia ejusdem generis. Deinde 
iLbsnluta quantitas alia est corporum, ut longttudo 
corporis ; alia temporis, ut longitudo temporis ; 
alia motus, ut velocitas et pondus. Item rationum 
alia est geontetrica, alia arithmetica. 

B. Iu quo ergo genere ponis rationem numeri 
ad numerum ? 

A. Rationem tam geometricam quam aritbme- 
ticam divido in rationem rei ad rem, et rationem 
rentin ad ree. Putasne in ullo alio quantitatum 
geuere collocari oportere ratiouem duarum uluarum 
ad duos palmos, quam in qua collocatur ratio unius 
ulnpe ad palmum unum ? Aut rationem plurium 
ad plura aliam esse speciem ratiouis, quam uuius 
ad unum ? Aut aliam quidem esse speciem quan- 
titatis tres ulnas, aliam autem unam ulnam ? Aut 
deuique rationem unius ulnse ad tres ulnas, nou 
eandem esse, quam habet unum ad tria ? 

li. Sunt quidem haec ita manifesta, utmirandum 
sit Aristotelem quantitatem dtscretam nominasse. 
Est euim ratto uumeri ad mtmerum nihil altud, 
quam ratto partium aliquotarum quantitatis cou- 
timue ad quantitatis coutinuee partes aliquotas, et 
inter se et illis sequales. Itaque, ut more meo 
cum AristotelicU loquar, stcut calor a calido 
abstrahit, ita numerus abstrahit ab iusequalitate 
partium, dum cousiderantur partes nou aliterquam 
quatcniis plures. 



22 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



A. Recte. Sed discedis jam a Hbris. 

B. Quidni? 

A. Procedanius ad alia. — Qttamquam autem h 
omnia in discip/inis ntathemttticis tractentur, 
tamen per se et primario, sed quatenus vel mei 
rantur vel numerantur. 

B. Ne mihi quidem hoc placet ; propterea 
quod geometriam ipse definit inferius scientiam esse 
magnitudinis, quatenus est mensurabilis, et aritl 
meticam scientiam esse numeri, quatenus numei 
bilis. Itaque magnitudo et numerus non melioi 
juxe, ex illius sententia, quautitates sunt propi 
dictse, quam illse altera? locus, tempus, motus, ett 

A. Vides ergo necessitatem eirca scientias 1 
quendi ubique fap^Sfic Nam qui ita non feceri 
obliti eorum quse scripseraut, neque habentes i 
ideas rerum, cogentur sibimetipsis turpiter i 
tradicere. 

B. Da quseso scieutia?, quam appellant mathe- 
maticam, definitionetn aliquam accuratam. 

A. Mox faciam. Legamus interea rationei 
ipsius nominis mathematicar apud Wallisium ; 
quare videtur illi impositum esse solis geometriae e 
arithmeticie. — Si <le Mathematum sire Mathesct 
nomine qu&ratur, cur hac appellutione insig 
antur illa; diseiplinte ; ideo foriasse fuit, qttonia; 
mathemata apud multos quidem sola, apud alio 
antiqnorum primo ante altas disciplinas loco edis- 
ccliaiitiir ; adeoque, tor' UoxV, ^iaSij^aro dicta, qttia 
irpBTopa$r)Ta. — Quoniam haec mtfortasse ita esse, nos 
quoque Jortasse aliter essenon minus probabiliter 
affirmarepossumus. Fortasse ergofuit,quodveritas 
theorematum circa magnitudinestantum et numen 
antiquitus docebatur, et propterea a magistris t 



MATHEMATICE HODIERN^. 5 

cipuli eam fya&w t id est, didicerunt, intellexerunt, nuu 
perceperunt, id quod sine summa evidentia facere 
non potuerunt. De aliis rebus, sine principiis mani- 
festis et sine accurata ratiocinatione, iu porticibus 
et ambulacris, a sedentibus ambulantibusve, scho- 
lastice, id est, oTo X atntwc disserebatur, quemadrao- 
dnm nos uuuc disserimus per fortasse. Et quidem 
si propter boc dicebantur mathematica, non est 
difficile universaliter definire quid sit matbesis. 
Est eniui mathesis, cognitio reritatis per demort' 
strationem. 

B. Scientise ergo, juxtatuam definitionem, sunt 
omnes matheiuatica?. Cur ergo Greeci uon omnes 
scientias sic vocabaut ? 

A. A.nnon omnes sic vocabant, quse traditie 
erant demonstrative ? Nam qure theoreraata de- 
monstrata habuerunt Grreci veteres, prseterquam 
circa quautitatem ? 

B. Puto uulla. 
A. Vides ergo causam cur illae scientis, quarura 

subjectum est quautitas, solae habitse sunt ab 
antiquis raatheraaticie, et sic appellantur etiam 
hodie. Itaque si illo tempore doctrina^ moralis 
et civilis fuissent demonstratee, cur nou credam 
et illas pro mathematicis haberi potuisse ? Non 
enim subjectum, sed demonstrationes faciunt ma- 
thematicam. 

Transit jam ad scientiarum mathematicarum 
species. — 5««/ autem dtJtcipUtue matkematica alin; 
pura, alia mixtte. Puras didmus Ulas, (/ua: 
pUBltitatem absolute consideratam tractaut, pront 
u i/ia/cria abstraltitur. Mixtas autem illas ap- 
pillamns, in t/titbus pra?ter considerationcm t/uan- 
titafis, sive multitudo illa juerit sive magnitutlo. 



21 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialogv9 ettam subjectum cui inest connotatur. — Hseci 
. '• . tibi videntur dicta esse accurate ? 
B. Ita. 

A. Annon qui quantitatem eonsiderat, coi 
derat eam prout abstrabitur a materia ? An vox 
quantitas abstracta non est a conereta voce quan- 
tum? Quaenam autem est ea scientia, quae non 
modo qnantitatem considerat, sed etiam subjectum 
ejus r Quasi subjectum non consideraretur tunc, 
quando considerantur ejus accidentia. Cuj 
quaeso, scientia; subjectum est, sine accideutibus 
consideratura corpus ? 

B. Nullius. Neque dicit ille subjectum ci 
quantitate sua considerari, sed connotari. 

A. Si connotari non sit considerari, qui fit ut, 
sola quantitate considerata, scientia appelletur 
mixta ? Video eum nihil hic videre. Scribit quae 
didicit puer. Scientia enim, quemadmodum sub- 
jectum ejus, nempe mundus, non dividitur per 
puram et mixtam in species, sed in partes; eo 
modo qui dicetur infra, postquam legerim bujus 
capitis reliqua — Verhi gratia,ubi in arithmctica 
tradititr hi.i duo quatuor efficere, nnmeri hic 
seorsim consideranfur, et abstractim ab omni 
materia subjecta. — Vide qujeso hominis negli- 
gentiam, doceri dicentis in arithmetica, bU duo 
efficere auatuor. Si doceatur hoc in arithmetica, 
etiam in arithnietica demonstratur. Quis hoc 
unquam demonstravit aut demonstare conatus 
est, aut ex principiis arithmeticorum nunc positis 
demonstrare potest? Ne assumitur quidem ut 
communis notio, neque ut petitio, sed a pueris 
domo affertur.— In aliis secus est, verbi grtttii 
docei astronomia aqttaforem et zodiacnm 



bus 
ut. 





MATBEMATIC/E nODIERNJE. 



25 



mutuo i/t btnis punctis secare. — Astronomia Ulud 
non docet ; neque opus proprium astronomi est 
illtid demonstrare, sed geometra*. Observat astro- 
nomus duos solis motus, diurnum et annuum, in 
duobus fieri eirculis maximis ; deinde, ut geometra, 
investigat quem faciunt angalum. Itaque omnia 
fere theoremata astronomorum demonstrata sunt a 
Tbeodosio, Menelao, aliisque geometris, qui scrip- 
serunt de Sphsera. — Est enim arithmetices mthjec- 
tum pitriux i/itiddaiii ct itnt-sis ahstractiim, i/itttm 
suhjectum gcometritc. — Neque verutu est hoc, neque 
ratiouem, propter quam verum sit, aut is aut alius 
quisquam unquam attulit. Deinde longimetriam, 
planimetriam, et stereometriam numerat inter ma- 
tbematicas mixtas ; cum tamen longitudo, superfi- 
cies, et solidnm sint per suam ipsius distributionem 
geometria; purse subjectum adcequatum. — Neque 
iiitcrim mcchaniccs ct arc/iitectoniccs ob/iiisceitdum 
est. Qiiarum iitiinjitcprrcsertim mec/ianica, geo- 
mctricas mcitsuras i/a tal mo/em corpoream a/ipli- 
cat, ttt et interim poudertiiii ct ririitm inotricium 
ratioriein liabeat. — Rursus meclianicam annumerat 
scientiis, quasi mechanici esset demonstrare. Mi- 
rum ni et calceamentaria mathematicis mixtis an- 
numerauda sit, quia metitur pedem. 

B. Antequam transeas ad Caput ii., prsesta quod 
promisisti, scieutiarum distributionem et singula- 
rum definitiones accuratas. 

A. Cum scientiae nec sine ratiocinatione acqui- 
rantur, neque in ratiocinatione locum habeant voces 
ambiguae, quales sunt metaphorse et totum tropo- 
ruro genus ; anteqnam accingamur ad ratiocina- 
tionis opus, nempe scientias, discamus oportet 
accurate loqui, id est, prsefinito loqui. 



26 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



i B. Quid illud est, praefinito loqui ? 

A. Praefinito loqui, est vocabulis uti prtcdefinilis, 
prEesertim Ulis ex quibus constare debeDt con- 
clusiones demonstrandae. Sunt enim definitiones 
principia scientiarum, sive propositiones in demon- 
stratione omuium primae ; quse uisi accuratae sint, 
quse sequuturse sunt omnes incertae erunt. Ai 
rate autem definire, dependet ab intellectu voci 
ab observatione quomodo siguificationes earui 
pro diversitate circumstantiarum variantur, et quid 
sit quod in omni illa significatiouum varietate 
est commuue ; nam id quod per vocabulum aliqnod 
ubique intelligitur, illud est significatio ejus accu- 
rata. Quod si necessarium aliquando fuerit ut 
vocabulo utamur novo, facile est illud definire, id 
est, quid nos verbo nostro intelligi volumus expli- 
care. Itaque hoc recte facere ante omnes scienti; 
discendum est. Et haec quidem sive peritia 
prudentia recte definiendi, quse acquiritur e: 
rientia circa verborum usum, vocatur Philosophi 
Prima. 

B. Suppouamus autem hominem ratiocinari ac- 
curate jam posse. Qusero quot sunt scientiae, et 
quomodo per definitiones proprias alise ab aliis 
distinguuntur ? 

A. Una est omnium remm scientia universalis, 
quse appellatur Philosophia, quam sic definio. — 
Pkilosophia est acctdentium rjua apparcnt, ex 
cognitis eorum generationibus ; et rursus ex cog- 
nifis accideiitibit.s.geiierafioitum qiue esse possnnt, 
per rectam ratiocinationem eognifio aa/uisita. 
Quaerunt euim philosophi omnes circa rem cogni- 
tam, vel quid ab ea produci potest, vt 



S 

,rum 
quid 

:tate 
jiiod 
ccu- 
t ut 
e, id 
xpli- 

t: 

phia 




MATHEMATIC.fi HODIBRNjB. 27 

produci potuit. Quot sunt ergo rerum species, dialoous 
tot sunt philosophiae totius partes sive scientiae ^ ^ 
particulares. 
B. Sed qua methodo distinguendse sunt ? 

A. Eadem qua distinguuntur ipsa phsenomena 
sive accidentia quse apparent, nimirum, incipiendo 
a maxime communibus. 

B. Quse sunt illa ? 

A. Magnitudo et motus. Et quoniam hsec in 
omni corporum actione effectum partim producunt, 
ut motus, partim augent vel minuunt, ut magni- 
tudo, prout major est vel minor, scientia, in qua 
determinantur magnitudines tum corporum tum 
motuum, primo loco ponenda est : nam primo loco 
discenda est, quippe quod sine illa cseterse acquiri 
non possunt. 

B. Scientia haec quomodo appellatur ? 

A. Geometria. 

B. Defini geometriam. 

A. Geometria est sdentia determinandi magni- 
tudines. 

B. Breviter quidem satis, sed parum perspicue. 
Non enim intelligo quid sit magnitudinem deter- 
minare. 

A. Magnitudinem determinare, idem est quod 
ostendere quanta sit. 

B. Quomodo autem ostenditur vel cognoscitur 
magnitudo exposita, quanta sit ? 

A. Comparando eam cum magnitudine alia men- 
surata, vel quse habeat ad mensuratam rationem 
cognitam. Itaque geometria definiri potest sic: 
geometria est scientia, per quam cognoscimus mag- 
nitudinum inter se rationes. Sed quoniam eae cog- 
nosci non possunt, nisi exposita sit quantitas aliqua 



28 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

DiALoGcs per mensuram cognita, juxta quam caiterre possuni 
- '• sestimari, definitio geometriae clarior erit, si sic 
dicamus ; geometria est scientia determinandi mag- 
nitudinem, sive corporis, sive temporis, sive rei 
ciijiislibet non mensurat<e, per comparationem ejus 
cum alia rel aliis magnitudinibus mensuratis. 

B. Exquisite hoc. Et quouiani magnitudo con- 
tinua quaelibet data dividi potest in partes quotlibet 
aliquotas, ratione ejus adquamlibetaliam non mu- 
tata, manifestum est arithmeticam iu geometria 
contineri. Sed cupio etiam definitionem audire 
arithmetica; seorsim a geometria. 

A. Aritkmetica est scientia defermiiiundi nntl- 
titudinem rerum non niimeratarum, per compara- 
tionem cum numerata rel numeratis. Itaque qui 
de quantitate loqueus continua, geometra est, idem 
de eadem loquens quantitate ut divisa in part< 
aliquotas, est arithmeticus. 

B. Assentior. Progredere ad alia. 
A. Proximo loco poni oporteret Physica Uni- 

versi, siquidem ab homine acquiri posset, qua de- 
terminaretur magnitudoet motus universi tanquam 
corporis unius, et qua;cunque inde consequuutur. 
Tertio loco, succedit scientia, qna determinantur 
corporuoi ccelestium visibiliura, id est, stellarum 
tum fixarum tum planetarum, comprehenso etiam 
globo telluris, et motuum quibus eorum unum- 
quodque fertur, magnitudines ; appellaturque As- 
tronomia. Quarto, scientia qua motus corporum 
invisibilium determinantur, a quibus calor, frigus. 
lumen, caterseque qualitates generantur, et opera- 
tiones non visre, gradnsque earura fiunt : vocatur 
autem Physica. Deinde ad astrorum partes veni- 
entes, id est, ad partes globi terrestris, (nam astro- 



MU 

: 





MATHEMATIC.E IIODIERN.E. 



29 



rum sublimium partes non satis percipimus), infinitffi ou 

statira apparent rerum subluuarium species,quarum . 

magnitudines, motus, actionesque consideranthe 
sunL Harum autem scientiarura nomina vel ab 
ipsis subjectis, vel ab erainentibus subjectorum qua- 
litatibus, derivari solent ; ut quae de plantis tractat, 
phytologia ; de corporibus animaliura, anatomiat; 
de visioue, optica; de ratiocinatione, logica; de 
moribus humanis, ethica; de civitate, poHtica, etc. 
B. Si tantam speculandi materiam prsestet unica 
species homo, quando putas otium nobis fore com- 
templandi ca?teras ? Transeamus jara, si volueris, 
ad Caput ii. 

A. De geometria, et aritkmetica speciatim ; 
earum definitiones, objecta, principia, ct affec- 
tionesj easque vere scientias esse. 

B. Accuratior forte erit hic quam in praeceden- 
tibus. 

A, Non puto. Geometrise et arithmeticae du- 
pliees affert definitiones, alteras ab objecto, alteras 
a fiue. — Priori modo deftnitur geometria, scientia 
magnitudinis qitatenus meiistirafiilis. 

B. Non accurate hoc ? In definitionibus enim 
Aristotelicis, sijrnum esse solet summa? ;,<.„ : : „m„- vox 
illa quatenus. Nam accuratam definitionem, juxta 
Aristotelem, dictam esse oportet non modo de omni 
etper se, sed etiam quatenua ipsum. 

A. Recte id quidem Aristoteles ; non tamen in 
omni definitione ea voce utitur. Subjectum^Ay- 
sicte dicit Aristoteles esse corpus mohile, quatenus 
mobUe. Vides corpus inobile significare subjectum 
ipsum. In co autem considerari possunt multa, 
qna? physicus non considerat. Itaque ut opus phy- 
sici in sola mobilitate determinaret Aristoteles, 



30 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

DIALOGD9 adjecit illud quatenus mohile, Sin dixisset. 

- '• . iioam scicntiam csse in qua demonstrantnr affec- 
ttones corporis orienles ex ejus mohilitate, non 
puto adjecisset quaienus viohile. Sic Wallisius 
potuit dixisse, geometria est scientia magnt, qua- 
tenus mensurahilis, sed non magniludinis quafenus 
mensurahUis ; propterea quod in corpore quidem, 
sive magno sive parvo, sunt alia multa qure con- 
siderari possunt praeterquam quod sit menxurabile ; 
in magnitudine autem nihil. Deinde illud, sci- 
entia magnitudiiiis, sive etiam magni, tantem abest 
ab Liptfitiit, ut sit absurdum, Quid quasso est scire 
magnitudinem, vel scire magnum ? Prreter alicujus 
dicti veritatem, nihil sciri dicitur ; itaque nisi 
num sit propositio, sciri non potest. 
B. Quomodo definit arithmeticam ? 

A. Arithmeticam vero esse scientiam nu; 
quatenus numerabUis. 

B, Eadem sunt et hic vitia. 

A. Posteriori rero modo, geometrtam dico 
entiam hene mensurandi ; arithmeticam autem sci- 
entiam bene numerandi. — Quid est mensurare ? 

B, Mensuram definiisti supra, describens id quod 
faciunt qui aliquid mensurant, nimirum mcnsuram 
esse applicationcm, &c. Itaque mensurare est ap- 
plicare mensnrara ad magnitudinem mensurandam, 
quoties fieri potest, ut mensurae ad mensuratum 
ratio ad sensum exponatur. Itaque corpora cou- 
sisteutia quidem per lineas, liquida autem et quae 
fiuida suut per rasa, mensurari soleut. 

A. Nonne ergo bene mensurare sciunt, qui men- 
suras meusurandis beue vpooa Pl t6£ttr, id est, applicare 
sciunt f Omnes ergo homines, per detinitionem 
hauc Wallisii, suut, uon minus quam ipse, geome- 



cujus 

: 

o set- 



mathematicjE hodiern^:. 31 

tra ; ut etiam omnes, qui multitudinem quam rident 
numerare possunt, sunt, ut ille, arithmetici. 

B. Sed per mcnsurabHitatem et numerabilita- 
tem, intelligere se dieit, quici/uid ad eorum singnlas 
qffecliones et kabjtndmet inrcstigandas et intelli- 
gcnilas attinef. 

A. Itaque per mcnsurare et numerare intelligit 
demoustrare. Voluit certe idem quod est in defi- 
nitione mea, qmeqmd magt uiu dtm m determinal, 
sire Jacit cognitam. Sed quia illud uon intellex- 
erat, eloqui uon potuit. — Quod illas autem scierdias 
dixerim, non est eur i/uisf/uam miretur, &c. Ha- 
hent enim subjce/a, principia, e/ affcctiones, easi/uc 
de subjectis,demonstrationibus maxtme sctentificis 
demonstratas. — Vera quidem, neseiente illo, est 
consequentia ; at si vox principia id signifieat quod 
vult ipse, vera non est. Habet certe geometria 
principia sua, nempe puncti, lineae, superficiei, so- 
lidi, anguli, figurse etc, definitiones ; et pneterea 
axiomata per se manifesta, et petitiones quasdam 
non iniquas. H*ec sunt principia geometrite. Per 
haec demonstrantur subjecti quanti affectiones. 
Ille autem hsec non intelligit, neque principia 
ipsa, aut quomodo conducaut ad demonstrationem. 
Audi quid dicit de principiis. — Principia </uod at- 
tinet. pttnctiiM quidem cst priitcipium magnititdinis, 
unitas au/em nuiueri, ut vulgo perhibetur. Nam 
ex Jluxit pinicti /inca, ex fluxtt littea: superficies, 
tuperficiei vero corpus oriri traditur. Ifem ex 
uiiitatibiis iiuineros fieri satis lii/uct. — Vtden' quam 
paucis verbis quantam suam iudicavit ignorantiam ? 
Probaudum susceperat geometriam arithmeticam* 
vere scientiam esse. Medium probandi assumit, 



i;. 1668. Quc 



et ariiiimeticnm" ? 



32 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

* i/uod snbjecla habeant et principia et affeclim 
de subjecto demonstratas. Assurapti partem unam, 
nempe quod habeant principia, sic probat; punc- 
tum ijitidfiii tnagnitudinis, u/iittis autem nuineri 
principiuin vu/go perhibetur. Censen' tu geome- 
tram esse, qui quod probare debuit, ab authoritate 
probat vulgi ? 

B. Peccatum fateor est, nec parvum. 

A. Demus autem ei satis hoc demonstratura et 
An geometram esse dices, qui, cum geometriam et 
arithmeticain priucipia habere ostendere deberet, 
ex eo probat quod punctum est principium magni- 
tudinis, et unitas nuineri ? Intelligisne quomodo 
punctum principium esse potest geometria? ? 

JB. Nullo modo. 

A. Aut unitas arithmeticte? 

B. Tantundem. 

A. Aut eaudem rem esse mngnitudinem et 
metriam ? Aut numerum et arithmeticam ? 

B. ^Eque. 

A. Aut puucti definitionem et punctum ipBi 
esse idem ? 

B. Quid tu ha?c tam absurda a me qusris ? 

A. Quid ? nisi ut mihi dicas sicubi argumenti 
hujus vim latere sentias. 

B. Dicam quod sentio ; nempe fraudi illi fuisse, 
quod cum vox punctum priucipium sit libri Ele- 
mentomm Geometria; Euclidis, habuit ipsum pro 
principio geometrife, pariterque, quia vox unitas 
prima est in libris ejusdem arithmeticis, putavit 
unitatem principmm esse scientise arithmetica?. 
Miror sane hominem Peripateticum adeo oblitum. 
fuisse Aristotelis sui, ut nou meminerit principia 
alia esse, ut nos loquimur, essendi, alia cognoscendi. 



tite- 
ncri 
me- 
tate 

sse. 



MATHBMATICiE HODIERNJE. 33 

A. Pronnm est oblivisci, quse non inteliigas. dialooos 

B. Est in his illius verbis quod non minus repre- > ^ „ 
henderem, quam ea quae tu, quanquam in geome- 

triae professore turpissima, modo reprehendisti. 

A. Quid illud est ? 

B. Oriri lineam ex fluxu puncti, traditum est 
non inepte. 

A. Recte id dicit. 

B. An punctum fluit. 

A. Quidni r 

B. Movetur ergo. 

A. Verum dicis. 

B. Aristotelis est, nihil moveri praeter corpus. 

A. Verum hoc quoque. Non enim puncti nulla 
est quantitas, sed nulla computatur. Nec ipsum 
punctum nihil, aut indivisibile est, sed indivisum. 
Itaque qui dicunt tellurem esse punctum, non im- 
proprie loquuntur, quoties de ea agitur, ut in astro- 
nomia, describente lineam motus annui. Neque 
lineae latitudo nulla est, sed nulla consideratur in 
demonstratione. Alioqui impossibile esset, quod 
postulat Euclides, lineam ducere; et per conse- 
quens tota periret Euclidis geometria. 

B. Recte. Negato enim quod possit duci linea, 
neque in illius Elementis, neque in quocunque alio 
libro geometrico quicquam extat demonstrati. Esto 
ergo verum quod hic dicit Certus tamen sum 
aliter sensisse ipsum cum Elenchum scriberet 
contra Hobbium, eadem dicentem quse nunc dicis 
tu, quem ob id ipsum convitiis onerat. 

A. Tanto est nequior. Sed pergamus. — Non 
minus recte tamen, me judice, diceretur, si mag- 
nitudinis principium diceremus (prout hic loci 
principii vox videtur intelligenda) ipsam exten- 

VOL. IV. d 



■M 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



sionem, seu partium extra partes posilionem- 
Quot mrsus sunt hic imperite dicta ! Pritno, per 
vocem illam rtdetur, nescire se innuit quomodo 
vd\ priiicipium sit hoc loco iutelligenda, quam ipse 
hoc loco posuit ; niniirum, fatetur se non intelli- 
gere qute ipse scribit. Secuudo, cum ex professo 
loquaturde principiis geometrife et arithraeticffi, id 
est, de principiis scientiarum, id est, de priucipiis 
cognoscendi ; principia tamen quterit maguitudinis 
et numeri. Tertio, principium magnitudinis ex- 
tensionem esse dicit, id est magnitudinis principittm 
esse magnitudinem. Quid enim aliud est extensio, 
prout is ea voce hic barhare utitur, prater magni- 
tudinem ? Extensio, proprie loquendo, actio est 
illius qui aliquid ex curvo rectum facit. Ille autem 
positioncm esse dicit partium extra partes. Quam- 
obrem ? Nimirum ut salva sibi sit opinio sua 
Apopatetiea, quod idem magnitudine corpus, locum 
modo majorcm, modo minorem occupare possit. 

B. Fortasse ; nam in Elencho suo Hobhium, 
qui aliter sentit, strenue vituperat 

A. Quarto, cum dixisset ante, opinionem eorum, 
qui magnitudinis principium dicunt esse punctura, 
non ineptam esse, addit non minus reete diceretur 
etc. ; quasi utraque posset esse vera. Sed per- 
gamus. — Ntimsri principimm duccremus ab ea 
modificationc, qua f/uid unum multa dicimus. — 
Primo, quid est illud quod appellat rerum modifi- 
cationcm ? Aut quid aliud hic dtcit quam quod 
res ita modificantur, ut res una sit unum, et multse 
multa. Accurate. Deinde, prout ab idcutitate 
oritur unitas, ita et a rernm diversitale oritur 
numerits. Docte. Scilicet idem est unum, diversa 
multa- Sed nonne et diversum est unum ? (iuid 



MATHEMATIC* HODIEHN.F.. 



ergo id quod recte, cum vulgo, ante dixerat, 
uumeri principium esse unitatem, nunc mutat ? — 
8ed ct ipsa unitas non incummode numeroritm 
cataiogo accenseri possit. — Quomodo non incom- 
mode, nisi et vere * Sed quare non incommode ? 
Uuia, mtmerus de ovini illo dicitur quo qua>stioni 
quot suut ajirmative respondctur : et quia, arith- 
mctica eodem modo et unitatem et ca^teros mnneros 
tractat. Multa habet theoremata Euclides de 
numeris post unitatem certa ratione procedentibus, 
de unitate nullum. Neque quidem numeris priinis 
accenset unitatem. — Et quidem apud grammaticos 
numerus s/ugularis sine sola-cixmodicitttr. — Quam- 
quam in hac qusestione grammaticorum authoritas 
non multum valere debeat, non tamen ideo dicunt 
numerum singularem, quod credant unitatem esse 
numerum, sed quod in numero quidem singulari 
fle.viunem ponant nominis quod significat rem 
unam, in plurali autem, nominis quod significat 
res plures. 

B. ijcpi/3J c . SequiturCaputiii.,i)^iJe»w»(*//-«//o«c. 

A. Dcmonstratio esf syllogismus, qui qffcctiones 
proprias de suhjecto per proprias causas demon- 
strat. — Intelligisue per defiiiitionein hauc quid sit 
demonstratio ? 

B. Quidni? 

A. Intellexti ergo quid significat vox demonstrat. 
Unde autem, si nesciebas quid esset demonstratio ? 

B. Recte dicis. Nam sciebam ante, ex defini- 
tione Aristotelica, quam et ipse apposuit, nempe 

hailC '. d«-oO£i'£<c M troXAoyiofiOE ini^Tjiiovitat i^ aKqGuiv, tai 
Tpwruii', mJ hfliamr, ko.1 yyuiptfioTipi-iv, nal wporipiuy, iui ciinW 

Toii ri//jir(p^(Tfiarot : quain ille reddidit breviorem. 
A. An definitiouem hominis Aristotelicani bre- 



30 



EXAMTNATIO ET EMENDATIO 



dialocus viorem facere dicendus erit, qui iii ejus locum hi 
. , '' - substituerit, definitum ponens in definitione, Jiomo 
ett komo ; quemadmodum Wallisius ponit demon- 
strare in definitione demomtrationis. 

B. Video nunc definitionem Wallisianam vitio- 
sam esse. Sed illa Aristotelica nonne bona est ? 

A. Melior quidem, sed non accurata. Ni 
etsi fieri possit, ut demonstratio ex unico consl 
syllogismo, id tamen rarissimum est. Debuit 
dicere avXXuyur^c q ffuXXoyifffioi. Deinde, illud w 
rt>u.., abundat ; nam ante dixerat *«; *t*,Tuv. Tei 
illud ™i atrlm ™s «i^«-tp^aroc, proprium non est syl- 
logismi demonstrativi, sed omnium syllogismorum 
commune, etiam eorum in quibus tam major qunra 
minor propositio est falsa. Exempli causa ; ayllo- 
gismus legitimus est, omnis homo est lapis ; o?nnis 
lapis est aiiimal ; ergo omnis komo cst anii 
Vides hic conclusionem necessario sequi ex pi 
missis, et propterea prasmissas falsas causas 
posse conclusionis ; ut tamen syllogismi tales 
sint demonstrationes. Postremo, demonstratio 
omnis procedit ab ipsius affectionis demonstrandse 
causa ; ut si ab eo, quod terra interposita sit inter 
solem et lunam, (exemplo utor Aristotelico), eclip- 
sin fieri lunae demonstraretur ; interpositio terrae 
non est conclusionis causa, sed eclipsewc. Fallit 
interdum vox, pro re se ingerens. 

B. Quaenam autem est demonstrationis definitio 
accurata ? 

A. Demonstratio cst syllogismus, vel syliogis- 
mornm series, a nomtnum dejiniiionibns usquc ad 
concttisionem ulthimm derivata. 

B. Quid, si syllogismorum aliquis, vel definitio 
aliqua vitiosa sit ? 




mnis 
mal. 

= 

non 



MATREMATICE hodierve. 



3/ 



A. Neque syllogismus est, qui vitiosus est, ne- 
que definitio, quse vitiosa. 

B. Quid si couclusio sequatur, sine definitione, 
axiomata. Au non erit demonstratio ■ 

A. Erit; modo axioraataillatum manifesta sint, 
tum etiam demonstrari, si imperetur, possint ; qua- 
li;i sunt axiomata sumpta ab Euclide. 

B. Sed ipsa definitio quomodo definitur. 

A. Definitio nonne propositio est ? 

B. Est. 

A. Nonne etiam est explicativa nomiuis definiti? 

B. Etiam. 

A. Quomodo explicatur nomen quodvis, verbi 
gratia, nomen homo 9 

B. Si ponatur vox homo pro subjecto proposi- 
tionis, deinde pro praidicato, nomen quod fit, ag- 
gregatum est omniutn nomiuum quibus homo dis- 
tinguitur a rebus caeteris omnibus. Exempli causa, 
distinguitur ab omnibus accidentibus per nomen 
corpus ; a cajteris corporibus per nomen scntiens ; 
a caeteris sentientibus, sive animalibus, per nomen 
rationaie. Itaque si dicamus homo est corpus 
sentiens rationale, erit illa propositio dcfinith 
hominis. Nomina enim, qua* ad faciendum pnc- 
dicatum aggregantur, complicata sunt in una 
appellatione illa homo, ipsumque hominem ab omni 
alia re distinguunt, id est, quid sit definiunt. 

A. Recte dicis, neque quicquam alhid fecisti 
praeterquam quod resolvisti vocem homo in partes 
suas. Fuisset autem satis illi, qui pnedefiuitum 
haberet animal, posuisse, homo cst animal rationule. 
Definitio ergo dtfinititmis accurata erit hsec : defi- 
nitio est propositio ci/jus prtedicatum est suhjecti 
resolulicum. 



38 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



B. Quid autem fiet si subjectum resolvi n 
potest, ut plerumque fit m generibus summis ? 

A. Cum finis definiendi sit ambiguum tollere, 
per nomina id fieri uou potest, facieudum est 
exempla. Addamus ergo defiuitioui nostrae pauca 
etiam verba, ut tota hsec sit ; definitio est propo- 
sit/o, cttjus pradicatnm est subjecti resolutwutn, 
nbi Jieri potest ; ubi Jieri non potest, exemplffi- 
cativnm. 

B. Perge legere. 

A. Qute tamen definilio non omni detnonstratii 
convenirc 2>"tonda est ; sed ilU qure est 
(juw ctiam np&« demonstratio dieit/ir. Ad demon- 
strationem tuZ sv., sufficit argumcntum abeffeetu. 
Vellem definisset quid sit illa demonstratio 
Nam demonstratio ™d &&i est, quando quis ostendit 
propter quam causam subjectum talem habet affec- 
tionem. Itaque quoniam demonstratio omnis 
scientifica, et scire talem esse in subjecto affectii 
nem est a eognitione causae quae illam necessario 
producit, nulla potest esse demonstratio prreter- 
quam ros boVi. Recte ergo dicit, illam, quse dicitur 
rou Sri, non esse mpfas demonstrationem, id est, non 
omnino demonstrationem. Nam in sermone mathe- 
maticorum, non esse et non proprie esse, idem sunt. 

B. Ratiocinatio quas incipiens a veris principiis 
conclusionem recte infert, proprie dicitur demon- 
stratio. Neque credo Aristotelem demonstratio- 
nem vocasse ne quidem ro« tn ratiocinationem 
ullam in qua esset paralogismus. Necessarium 
ergo est ut intellexerit ratigcinationem qua= iuci- 
pit, non a dcfinitiouibus, sed a suppositis, qualibus 
utuiitur phycici, plerumque incertis. Nou ergo 
debueruut iuterpretes ejus demoustrationem ros han 



- 

on- 

;<lit 

ec- 

r 

ino 

:er- 
tur 



MATHEMATICJE HODIERN^. 39 

interpretari potissimam, sed simpliciter demon- dialoous 

strationem. , !i 

A. Videtur id voluisse Aristoteles, neque dissen- 
tiente Wallisio, qui eam appellat argumentum ab 
effectu. Dicendum ergo est, duplici philosophorum 
inquisitioni, nimirum effectuum ex causis et causa- 
rum ex effectibus, duplex respondere ratiocinationis 
genus, nempe priori, demonstrationem, id est, ra- 
tiocinationem ex definitionibus, quae est scientifica ; 
posteriori, ratiocinationem ex hypothesibus possi- 
bilibus ; quae etsi scientifica non sit, si tamen nullus 
appareat effectus, ne in longissimo quidem tempore, 
quae hypothesin redarguat, facit ut animus in ea 
tandem acquiescat, non minus quam in scientia. 
Frustra autem demonstrationis rov 6n quaerimus defi- 
nitionem, quae demonstratio non est. Sequitur dis- 
putatio ejus contra Smiglecium; primo de Ente 
Mathematico. Quid sit ens mathematicum, non ita 
bene intelligo, ut ipsum, si opus esset, possem defi- 
nire, aut satis distinguere ab ente metaphysico, ente 
physico, ente logico, ente rationali, ente intention- 
ali, et similibus, quae nunc passim occurrunt, neque, 
quod puto brevi introducetur a symbolicis, ab ente 
symbolico, Deinde defendit Euclidis demonstratio- 
nem omnium primam contra Smiglecium, non male, 
nisi quod addendum esse dicat, in nuUa quidem 
scientia expectandum esse, ut omnes ihidem de- 
monstrationes cequali perfectionis gradu proce- 
dant. Nam demonstrationes vocat, quae non sunt 
scientificae ; cum tamen initio hujus capitis demon- 
strationem appellasset a^XKoyarfwy twvnifwytKov. Itaque 
juxta illum, eorum quae scimus, alia magis alia 
minus scimus ; quod est absurdum. — Abunde suf- 
Jicit, quanquam passim immisceantur alicv TO v &-<.— 



40 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



Abunde ergo sufficit, si in Elementis Euclidis non 
omnia tlieoremata demonstrentur demonstrationi- 
bus tou ciun ■, id est, sufficit si alia ejus theoremata 
sciauius esse vera, alia an vera sint necne, nescia- 
mus. An geometriae professor idoneus est, qui 
neque, ut ante ostendimus, scit quEe siut illius sci- 
entise principia, neque, ut apparet hoc loco, quid 
sit tlemonstrare, id est, quid sit tlocere? Miror 
qui factum sit, ut cathedram nactus sit Saviliaiiaiii. 
B. Fortasse, quod in professoribus ilhs eligendis 
plurimum potuerint suffragia homiuum, uou mathe- 
maticorum, sed theologorum. 

A. Quid? Theologite doctores nonne didicen 
logicam ? Nam errores hi nou oriuntur a defect 
geometriie, sed logicae. Unde autem commendatus 
est theologis i 

B. Nosti quo tempore eligebatur, multuui in 
civitate nostra potuisse eos, qui ecclesia? regimeu, 
in sacris, presbyterio adjudicabant ; cujus secta; 
est Wallisius. Praterea commendatior fortasse 
erat propter artem symbolicam. 

A. Igitur ut rem totam diludilius expediam, 
tres prasertim demonstrationum ■mathematicarum 
sifc vHjffos, sivegradus, sive species statuo. Prima 
r/uidem est illa tlemonstratio, qiuv per deductiouem 
ad uhsurdum seu impossihile procetlit. — Scis de- 
monstrandi genus hoc loco dici ducere ad absurdum, 
quia ducit ad contradictoriam propositionis alicujus 
ante demoustratae ostensive ; et quidem per demou- 
strationem n>i jtfn. 

B. Scio ; et proinde theorema nullum, quod ex 
principiis immediate demonstratur, demonstratum 
dici potest per deductionein ttd ahsnrdum. 

.1. Uui dcmunstraverit propositionem quamcun- 



MATHRMATICjE hodiernjs. 41 

que esse veram, nonne simul demonstrat tum con- dialoods 
trariam tum contradictoriam ejus esse falsam ? . '; „ 

B. Absque dubio. 

A. Si igitur propositio ipsa demonstrata sit per 
demonstrationem tov Ju&n, etiam contradictoria ejus, 
eo ipso quod contradictio detegitur, demonstratur 
per demonstrationem rov ton. 

B. Ita censeo. 

A. Secunda demonstrandi ratio est ostensiva 
rovori; ut si recta A C demonstraretur cequalis essc 
recta BC, quoniam utraque demonstrata fuerat 
aqualis ipsi A B ; quce autem sunt eidem cequalia, 
sunt et aqualia inter se. Estque hcec demonstratio 
quidem ostensiva tov 6ti, nonautem tov Si6n. — Dic mihi, 
si AC demonstraretur aequalis esse BC, an ideo 
esset demonstratio ? 

B. Yideris mihi quaerere an demonstratio sit de 
monstratio. 

A. Si demonstratio est, scientifica est. 

B. Recte. 

A. An A C, B C sciri possunt aequales esse inter 
se, nisi sciamus prius utramque sequalem esse AB ? 

B. Minime, neque id dicit Wallisius. 

A. Si sciri non potest AC et BC esse inter se 
gequales, antequam sciamus utramque earum aequa- 
lem esse A B ; neque potest demonstrari illud sine 
demonstratione hujus. 

B. Verum est. 

A. Est ergo demonstratio hujus, pars demonstra- 
tionis illius. 

B. Video quo tendis, nimirum, ad id quod dixisti 
paulo ante in demonstrationis definitione, nempe, 
esse eam syllogismorum seriem, cujus principium 
est in definitione, et finis in conclusione ultima ; 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



mALOGus quod et verum est, et manifestum facit denioustra- 
'• tionem totam, cujus conclusio est, AC, BC esse 
inter se m/itates, esse demonstrationem directam 
toG cioti. Nam utramque AC, BC iequalem esse 
AB demonstratum est per causam efficientem, 
nempe per coustructionem duorum circulorum, 
permutatis centris, saper eandem rectam AB. 
Imo vero, eadem illa constructio causa est quod 
dtue vel quotvis linea^ reetaj inter se aequales siut. 
Nam radius, quo circulus describitur, mensurat per 
iyu^omf distantiam a centro ad circumferentiam in 
locis infinitis eandem. Non ergo est illa dem 
strandi ratio ostensiva ro3 tn. 

A. Neque placet mihi Hla ipsa distinctio dem< 
strationis in ostensivam et dedtictiram ad hnpossi 
bile. Non enim loquutio est doctori scientiarum, 
prsesertim mathematicarum, satis accurata. Nam 
deinojistratio ostensiva idem cst quod demonstratio 
demonstrativa. Est enim altera, ea quse teudit 
recta via ad ipsam propositionem ; altera, ea quai 
tendit ad contradictoriam ejus, via, primo, recta ; 
deinde, per conversionem, ad propositionem ipsam. 

B. Quoties audio quemquam dicere dci/ioitstra- 
tionem tou 5t>, vix me contineo ue interrogem nw fri rt- t 
sed me contineo tamen, ne quod omnes se scire 
dicant, solus videar ignorare. Dic ergo, cum in 
omni demonstratione dicant f/itod verum est, vel 
f/itod falsum, quomodo una demonstratio est quod, 
alia propter r/jtid 9 Nescimus enim f/ttod res ita 
est, nisi sciamus propter f/iiid ita est ; juxta id 
quod solemus dicere Aristotelici, scire est per 
cttusttm scire. 

A. Videtur Aristoteles, cum in Physica animad- 
vertisset nou effectum per causaiu coguitam, sed 



q iu 

: 

SSI- 



MATHEMATICE HODIERNJE. 43 

coutra, causam quneri per cognitos effectus ; atque i 
id non posse accurate fieri, propterea quod similes 
effectus non semper et necessario similes habeant 
causas : ob eam rem potiorem demonstrationem 
eara duxisse, qua effectus per causam demonstratur, 
qure est toZ ?.<Sn, quam ea quag causam coneludit ex 
effectu, quamque propterea appellavit nw Sr*. Quie 
tamen scientifica nou est, et proinde nec vera 
demonstratio. Non enim incipit a definkionibus, 
sed ab hypothesibus, quae falsse esse possunt ; quan- 
quara, si nulla experiraenta, etiam post longissima 
tempora, eas redarguant, satis erunt probabiles ; 
sed theoreraata inde deducta non possunt dici de- 
monstrata. Frustra ergo qua?rit Wallisius demou- 
strationem roi Sr. inter demonstrationes Euclidis. 
Sed pergo. — Si i/uis denii/ue objiciat, vie tres de- 
monstrationis speciesferis.se, citm vulgo dmc tun- 
tiim statuantur, poterit ille, si plaeet, duftrum 
prioritm ntrami/ue demonstraiionem ni 6n diccre. 
Non enim libet tle verbis contendere, modo de 
rebus eonstet. — Benigne sane, qui quid verum sit, 
quia de re non constat, potestatem nobis concedit 
eligeudi. 

B. Eligo igitur hoc ; unum esse demonstratiouis 
geuus nempe rcOAoY., sive conclusio directe demon- 
stretur, sive per deductionem ad absurdum. 

A. In Capite quarto agit de unitate, numero, et 
nuineri principio. — Unitas est secundum i/uam 
ttniimi/uotb/iic iiniiin dicitur. Numerus anteiu est 
v <■ luiilatibus composita mnlfifudo. — Scilicet ita 
definit itnitiitem et numerum Euclides. 

B. An non recte ? 

A. Nnraerum quidera accurate, unitatem autem 
imperite. Nara propter coguationem vocum umtm 




EXAMINATIO ET EMENDATIO 

et unitas, altera in alterius definitione poni non 
debuit ; non magis quam album in definitione albe- 
dinis, aut albcdo in definitione albi. Nihil eniin 
coufert ad mtellectionem vocis concreUe sua ipsius 
abstracta, neque contra, abstractte sua conereta. 
Cavit autem Euclides ne definitione bac in demou- 
strationibus uteretur ; atque ita factum est, ut nul- 
lum inde vitium emanaverit ad theoremata. — Ex 
his atttem unitatis et numeri definitionibus, ple- 
rit/ue arbitrantur uniiatem numerorum catalogo 
non esse accensendam, adeaque nuvierum minimum 
bhiarium esse ; auanqttam illud quidem Eueiidem 
itspiam dixisse non memini. — Si meminisset defini- 
tionis Euclidis, quam proxime supra ipse retulit, 
necesse est ut meminerit sentire Euclidem nume- 
rorum minimum esse binarium, nisi idem sit twk^ 
et iioyucw x\0ot. — Operes tamen pretium Jbrtassis 
crit paitcis ostendere cur unitatem putei/t vere 
numerum esse, aliisque numeris annumerandam. 
Nec hnicforsan adpersabitur EucUdis aliorumque 
sententia probe inteiiecta. — Quid ? An possibile 
est ut probe intelligatur payaca esse ex ^ovd^wv auyttl- 
■\ijSoc? — Citm enim iioiiiiiiiH iiuitcitem, proprie 
loquendo, non modo numcrum esse ncgeid, sed et 
nnmeri parlcm ; adcoqtie numeri principium iinpars 
esse dicaut, ut est magmtudmu punctum et tem- 
poris momentum: intelligendi Jbrtasse stait dc 
monadc, seu nnitatc, non ut numerum singularcm 
designat, sed ut esl comniiiius qutui itumerorum 
omnium denominator. Sic enim ni/meni.s >/>ta/er- 
nartus esf, qui t/uatttor unitates nttmeritt. — Tmie 
hstc, intelligis ? 

B. Puto. 

A. Expone ca qua;so. 



MATnEMATIC/K TIODlERN;E. 



Ifi 



B. Considera fractionera hanc, -f . Quid sig- dialc 
nificat f , ^, 

A. Quatuor unitates. 

B. Quare : 

A. Quia quotcunque partes integri fractionis 
denominator unitas denominat, earum partium nu- 
merator numerat quatuor. Sed unum denominat 
ipsum integrum indivisum ; sunt ergo f- quatuor 
unitates. 

B. Itaquehocdicit; illos, qui unitatem numerum 
esse negant, tunc solummodo id negare, quando 
unitas sit denominator fractionis ut in -f vel -f . 

A. Dicit ergo Wallisius, dum quafuor tantundem 
vafent ac qualuor unitate*, vox illa unitates ?iec 
numerns est, nec pars ntimeri, sed nfl numeri derto- 
minatio seu denominator, vel ipsttm niiincratttiii. 

B. His ergo verbis vides ut ipse, qua obscura 
ante erant, clare eloquutus est. 

A. Ita clare, ut scias quid illis contingere necesse 
sit, quibus ante nascuntur opiniones, post quffi- 
nmtur argumenta quibus possunt defendi ; nimi- 
mm, quemadmodum iis accidit, qui in tenebris 
oberrant, ut quacunque moveantur impingant in 
aliqua offendicula. Nam ut nnilatcm sustineat esse 
numerum, unitates, id est plures, numerum esse 
negat ; nec quatuor, aut tres, aut quotvis unitates 
numerum esse patitur. 

B. Non negat quatuor unitates esse numerum, 
sed vocew illam nnitates numerum esse negat. 

A. Quis nescit vocem illam unitates, aut, si vis, 
vocem illam numerum, non esse numerum ? Nam 
numerus est unitatum multitudo, vox autem non 
est. Quaeritur hic, an in fractione hac -f signifi- 
cante quatuor unitates, quatuor sit numerus, ut 



46 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

ille dicit. Unitates numerus non sint. Imo \ 
unitates esse numerum verum fuit ctiam ante quam 
utla extiterunt nomina, aut ntimerorum aut unitts. 
Quntuor ergo, nisi subauditis unitatibus, vel ww'jt 
numeratis, nihil est. Unitatcs autem numquam 
non erant unitatum numerus. — Rursus, vox illa, 
unitas, esl tiumeri denomiitatio seu numerator. 
Vax autem, una, est numerus seu unitatuui multi- 
tudo (multitudtnis roce laxius accepta, ttt post 
dicetur); dtcit enim qttot vel qttam tnulta? unitates 
adesse dicantur, nimirum tinicam. AVtud au/em 
est negarc unitatem, aliud vero negare unum nu- 
inerum esse. Eodem enhn sensu, ;, Um ?iumerus 
esse negari possit, guamvis ttca numerits esse nm 
negetur. — Primo, obscurum est, quod dicit, deno- 
mtnatio seu numerator, quasi significarent eandem 
rem ; prsesertim cuin superius, quinque versibus, 
dixerat denominatio seu denominalor. An iii frac- 
tione i" denominatio est 4, denominator I ? De- 
inde si vox una sit numerus, erit quoque numerus, 
id est, multitudo unitatum, vox ; id quod nemo in- 
telligit. Sin una sit uumerus, erit illa numerus 
rerum numeratarum, puta, unitatum. Itaque una 
unitas est unitates. Tertio, non est verum quod 
dicit, aliud esse negare unitatem, aliud unum esse 
numerum. Nam illi quibuscum disputat, cum ne- 
gant uuitatem esse numerum, intelligunt per uni- 
tatem ipsum, in concreto, unum. Quarto, h «Vnc 
a quo negatur esse numerus ? Annon h &«"c sig- 
niticat propriissime idem quod nttmerus denarius, 
sicut Sias, rpiat, rirpat, idem quod numerus btnarius, 
ternaritts, quaternarius ? Sed de his negari uon 
potest, quin sint numeri. Itaque h Umc non potest 
negari esse numerus. Postremo, cum probandum 



MATHEMATIC-E HODIBRNiE. 47 

illi esset unum esse numerum, hoc tantum probare dialogus 
conatus est, quosdam, qui contra sentiunt, senten- . _ '* - 
tiam suam non satis demonstrasse. 

B. Quod unum sit numerus demonstrabit forte 
inferius. 

A. Bene est. Pergamus. — Sed revera, si accu- 
rate loqui velimus, non tam unitas quam nullitas, 
si ita loqui liceat, seu nullum, idem respectu nume- 
rarum obtinet, quod punctum respectu magnitu- 
dinis. 

B. Nollem hoc dixisset. Nam cum ab Hobbio 
culparetur quod punctum dixerat esse nihU, negavit 
se ita sensisse. Nunc tamen idem dicit apertissime. 
Cum enim sit ut nullum ad numerum, ita punetum 
ad magnitudinem, certissimum est punctum esse 
nihil. 

A. IUud quoque ineptum est, quod cum in prox- 
ime praecedentibus distinxisset unitatem ab uno, ut 
non numerum a numero 9 nunc cum nullo confundat 
nuUitatem. Hoccine est loqui accurate ? Prae- 
terea, cum dixisset, si accurate loqui velimus, cur 
statim addit si ita, id est, non accurate, loqui 
liceat ? An scribit dormiens ? Sed progredior. — 
At interrogabiturforsan, num velim ego a veterum 
pariter et recentiorum omnium sententia discedere, 
qui uno ore unitatem vocant principium numeri. 
Respondeo, nihil absurdi esse majorum inventis 
addere. — Vide captum hominis mathematici. Ma- 
thematicorum esse putat docere an unum sit vo- 
candus numerus ; quasi non vulgi esset impositio 
nominum, aut quUibet e vulgo non aeque sciret 
atque centies miUe peritissimi arithmetici, utrum 
unum sit numerus necne, id est, juxta definitionem 
EucUdis, utrum homo sit homines necne. Mirarer 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 

dialogus certe, cura non solum ab Euclide, sed etiam ab 
. '• . omnibus tum veteribus tum recentioribus sciret se 
dissentire, errorem in seipso esse non sit saltem 
suspicatus, sed eorum inventis boc addidisse se 
existimaverit ; nisi scirem cujus esset secta?. Qui 
proxime sequuntur, circiter viginti versus, sunt 
gravis et acerba reprehensio temeritatis eorum, 
qui si vel tantilium sciunt, aliorum omnium peri- 
tiam vel flocci faciuntvel superciliose contemnunt. 
Cujus reprehensionis justitia ita manifesta est, ut 
nihil circa eam examinaudum sit, nisi ad quem 
potissimum collimaverit. 

B. Videtur hoc loco eos scriptores omnes per- 
stringere, qui non eadem in mathematicis sentiunt 
qme ipse. 

A. Deinde ad institutum rediens sic scribit. — 
Quod ad rem prtesentem atlinet, assero, et veterum 
sententiam probe intellectam, et qiitc nos asserimus, 
satis constare posse. Ipsa enim principii vox 
duplict saltem acceptatione occurrit, prout nempe 
significat primum quod sic, vel ultimum quodnon. 
Sic si h&redis jus in rem licereditariam ab ipso 
patris interitu incipere dicatur ; erit hoc prin- 
cipium ultimum quod non. Si vero dicamus &&■ 
redis jus inchoari a primo momento successionis ; 
itii/m itu vere dicttur, sed hoc pri/icipium cst 
mum quod sic. 

B. Subtiliter ha;c. 

A. Ita ; ac si dixisset, finera capitis pra;cedentis 
esse principium capitis hujus. 

B. Subtiliter dico, id est, scholastice, vel meta- 
physice. Scholastici enim olim subtilissimi habe- 
bantur. 

A. SubtiUter pro barbere. Quis putabit incho- 



llfC- 



mathematict: HOniRRN.^. 



49 



atum esse jus, vcl aliam rem quamcunque, tunc 
quando neque ipsa neque ulla ejus pars existit. 
Sed quare bomo mathematicus, de mathematicis 
scribens, exemplo utitur juris ? Au etiam juris 
Romani peritus est ? An potius per hoc exemplum 
fieri posse sperabat ut esse crederetur ? 

B. Nescio sane ; sed illum nunc incipere puto 
a principio, ut ille vocat, ultimo r/uod nou. 

A. Unum igitur numerum esse ajjHrmu ; mini- 
mum enim cst y quod ajfirmathe resjiOndet qii/cs- 
tioni, quam multa. — Si dicam responderi etiam 
posse per nullum, scio quod exiget ut respondeatur 
affirmative. Dico ergo qua^stioni, quot siw ijiian/ 
tnulta, non omnino responderi apte et plene posse 
sine negatione. Nam qui unicum babeus filinm, 
qurerenti quot haberet filios, respondet per unum, 
non satis plene respondet, quia et qui plures habet, 
unum habet. Respondendum ergo non est per 
unum sed per unieum, id est, unum nec plures, id 
est, non sine negatione. Ita etiam si respondeat, 
plures habens, duos, nou plene respondet, prop- 
terea quod, qui tres habet, duos habet. Respon- 
dendum ergo est per duos nec plures, id est, non 
sine negatione. Illud ergo, quod pro causa adfert 
quare crediderit unum esse numcrum, causaesse non 
potuit. Vin' causam, quare id contra tum veterum 
tum recentium omnium sententiam verum esse crc- 
(liderit, dicam ego, qui eam scio melius quam illc ? 

B. Volo. 

A, Cum legebat numerorum cifras 1,2, 3, 4, ctc, 
vel ctim audiebat nomina unum, duo, tria, quatuor, 
etc, cifras illas et noniina illa pro numeris ipsis 
nominatis intelligebat : ut et paulo ante, cum dice- 
ret rox unitm est numerus. 

VOL. IV. E 



50 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



B. Credo sane. Sed quomodo unitatem et 
merum definis tu ? 

A. Unum quidem, cum Aristotele, id quod con- 
sideratur ut indivisum ; numerum autem, cum 
Euclide, ex unis collecta plura. Nam vox r\^?oc 
non siguificat multitudinem, eo sensu quo oppoui- 
tur paucis, ut censet Watlisius, sed eo quo oppo- 
nitur uni; adeo ut proprie loquendo, t-x^ Grsecum, 
et Latinum non multa sed plura, idem sint. 
inde lego in margine ; numeri Jracti non 
numcri proprie dicti. Verene hoc "e 

B. Anne fractus integer est, aut nnmeros 
est qui non sit integer ? 

A. Minime. Et tamen id quod per numerum 
fractum intelligitur, est numerus proprie dictus. 

B. Qui fieri id potest ? 

A. Quid significatur per numerum fractum 
hunc, f ? 

B. Significantur tres partes, quarum unitas ha- 
bet quatuor. 

A. Satis quidem intelligo quomodo unum, quod- 
cunque illud sit, possit dividi in quatuor partes ; 
quomodo autem unitas ita dividi possit, non in- 
telligo. 

B. Cum dico unitatem, intelligo ipsum unum in- 
tegrum, quod divisibile est in partes qnot quis 
voluerit. 

A. Utium ergo integrum sit assis. Dic mibi, an 
tres asses sit numerus assium. 

B. Sunt. 

A. Et numerus assium, numerus proprie dictus ? 

B. Est. 

A. Et uumerus unciamm, nonne est numerus 
proprie dictus t 



cum, 

- 

ullus 



MATHEMATICJE IIODIEBN^. 



;,i 



B. jEque. 

A. Et nnmerns quadrantum, nonne numerus 
proprie dictus ? 

B. Etiam. 

A. Et \ sive dodrans, nonne est numerus qua- 
drantum ? 

B. Est. 

^. Tdemque numeras fractus ? 

5. Vicisti. Nam qua ratione diceret aliquis 
numerum integrorum magis proprie numerum dici, 
quam partium, eadem ratione poterit dicere nume- 
rum boum magis proprie dici, quam ovium. Hac- 
tenus ergo non modo non ttfnfi^, sed etiam inepta 
sunt, quae Iegimus ; authoremque tautas subtilitati 
imparem esse indicant. Capite quinto, ubi osten- 
dere pollicetur procreationem, quam appellat etiam 
originationem, numerorum, expectaveram aliquid 
novi, ut quis primus numeros, vel saltem nomina 
numeralia, primus inveuit. Sed de hoc ne verbum 
qnidem habet. 

A. Si igitur ubi prius nulla erat, apponatur 
unitas, sit numerus singularis ; si adhuc addatur 
unitas alia, emergit numcrus binarius ; accedat 
alia, et exsurgit ternarius. Estque Jieec vera nu- 
merorum originatio seu procreatio. — Eleganter 
illud, ubi prius nikil erat, apponatur. Et ex adili- 
tione unitatum fieri numerum, sed nec minus fieri 
per ablationetn partium sequalium ab nno dato, id 
est, per divisionem, pueri sciunt; quare autem per 
additionem potios quam per ablationem, pueri et 
Wallisius juxta nesciunt. Poterat ergo subtilitas 
ha?c, sine ulla existimationis sueb aut eraditionis 
nostrae jactura, prsetermitti, quemadmodum et id 
quod proxime sequitur, nimirum hoc, est igitur 



62 EXAMINATIO KT EMENOATIO 

impossibile ut nmaerus maximus assignetur. Nani 
et hoc pueri sciunt. 

B. Quomodo sciunt pueri, cum ipsos geometras 
loqui audiant de recta divisa in partes numero in- 
finitas, et librum legant Wallisii De Arithmetica 
Jnjinitorum, a magni uominis geometris, Schotenio 
et Hugenio, editis epistolis approbatum " 

A. Nesciant ergo hoc pueri. Deinde ostendit 
dispositionem numeromm in decades, centurias, 
etc, in perpetua ratioue 1 ad 10. 

B. Potuit quoque hoc prseteriri. 

A. Sed exempla affert numerationis Gra:cje et 
Hebraica?, qua^ forsan prreterire se potuisse non 
putavit, quin eruditio ejus minus multiplex esse 
videretur. 

B. Non modo hic, sed etiam inproxime sequen- 
tibus peritiam suam in hoc genere literarum ali- 
quanto magis ambitiose ostentat, quam est opus. 
Guis nescit potuisse numerationem ab initio per 
quamlibet aliam proportionem fieri, si ita libuisset 
primis inventoribus ? Credibile euim est, si nati 
fuissent homiues dodecadactyli, quod numerorum 
progressio fuisset facta per ratioues perpetuo di 
decuplas. Transi ergo ad Caput sextum. 

A. Caput sextum differamus, si ris, in diem 
crastinum. Nara sentio me lacessere. 

B. Placet. 

A. Sed unicum hoc prius legamus. — Tamen quod 
mirum dictu est, in eadem proporitone decupla 
omnes ubiqite terrarum gentes mire conspirani.— 
Quid si falsum hoc sit ? 

B. Minus id mirum erit. 

A. Walli nostri et Armorici GalliBe usque ad 
decem quidem ab unitate progrediuntur, ut nos ; 



it 

: 

n 

;e 

i- 

i- 
3. 
^er 
sset 
aati 
■utn 
iuo- 

;™ 



MATHBMATICfi HODIBRNJ3. 53 

deinde, resumpta unitate, non ad viginti, sed ad dialogus 
quindecim ; et rursus repetita unitate ad viginti ; ^ '; _ . 
inde ad viginti quinque, et a viginti quinque ad 
triginti, etc. : tanquam post decadem, per unius 
tantuir. manus digitos computarent. Sed more 
suo nimis temere, nec satis logice, propositionem 
ex inductione intulit universalem. Memineris cras 
redire, circa eandem horam. 
B. Faciam. Vale. 



DIALOGUS SECUNDUS. 



A. Bene advenis. 

B. Gaudeo. 

A. Capita tria proxime sequentia perlegi, dum 
abesses. Sunt autem tota philologica. 

B. Nonne erudite scripta sunt ? 

A. An quse nec utilia, nec falsa, nec miranda 
sunt, placere posse arbitraris ? Capite sexto, ubi 
pollicetur nominum numeralium Latinorum om- 
nium derivationem a nominibus numeralibus Graecis, 
nihil praestat praeterquam quod conjecturam faciat 
a similitudine literarum. Ut taceam autem quod, 
promissi oblitus, deducit secundum a, non Graeco, 
sequor ; quid tritius esse potest quam duo a dvo, 
tres a rperc, sex ab U, septem ab <*Ta, octo ab 6kto 
derivare? Quid ineptius quam bellum a vdXtfwg 
deducere ; et unum dicere quasi 6 !v, (mallem quasi 
oZros), et inde per hoenum, fohenum, boenum 9 venire 
ad bonum ; quia scholares dicunt unum et bonum 



niALooL-8 esse convertibilia ? Prseterea, quinque a *&w ridi- 
. "' . cule deducit, atque etiam impudenter, mutando 
«V in quin, et r« in que. 

B. Fateor duriusculum esse hoc. 

A. Nec minus centum ab tmw ; et mille a j*ty>«i } 
vel potius a /iup<a et %'^ ta > e t quatuor a rf'offap«. 

5. Memini eum a Tiaoapn processisse ad rf'n-ap« 
Atticum, inde ad poeticum viovpcs, inde ad w™p«, pos- 
tremo ad Cambricum pedwar et Armoricum pevar. 
At a wirvpa vel Wrrupa vel iriropa facihs est transitus ad 
qnatuoT, propter amnitatem literarum p et qu in 
quispiam et qnisquam, nuspiam et nusquam. 

A. Credin' ita esse ? 

S. Scio Massiliam fuisse Phocensium coloniam 
^olorum ; itaque nomen *-iropa, si iEolicuni sit, 
potuisse a Massiliensibus venire ad Gallos. Gallo- 
rum colonia erant Cambri, seu Walli. Cur ergo 
non potuit ex xtTopa, si vox, inquam, ea sit /Eolica, 
fieri pevar? 

A. Potuit. Sed unde didicit ille quatuor ^Eolice 
dici iriropa, aut omnino vocem illam esse Grsecam r 

B. Forte qui pro certo habebat vocem quatuor 
a voce Trimpa derivatum esse, nec videbat quomodo 
id aliter fieri potuit, dubitare noluit quiu ibi esset 
YOX ritopa ubicunque esset iriavp^, et debere wlavpa 
verti Attice in Wm-pa, et postea iu «-fVopa, ut facUis 
esset trausitus ad quatuor. 

A. Julius Scaliger deducit quoque quatuor et 
quinque a Graeca origine, sed aliter. Nimirum, 
cum antiquissimis temporibus tria tantum nume- 
rorum nomina haberent, JV, lio, rpta, dicebant digitis 
numerantes post rpJo, \artpor, et post quatuor « i» «, 
quae Latini pronunciabant quatuor et quinqne. 

B. Snbtilius Scaliger, sed uterque nugatorie 









MATHEMATICjE hodiern^. 



55 



A. Idem censeo. Transeamus ergo ad Caput dulc 
septimum. " 

B. Imo vero ad decimum : nihil enim continent 
septimum, octavum et nonum, prseter numerorum 
variam scriptiouem, nimirum in Cap. vii., raodum 
scribendi numeros per literas alphabeti communem 
Grsecis et Hebrseis ; in octavo item, modum scri- 
bendi per literas alphabeti communem Gnecis et 
Latinis ; in nono de cyphris maxima ex parte satis 
cognitis, csetera partim frivola, partim aliena. Sed 
a voce cyphra, ortum habuisse docet voces ey- 
phrandi et decyphrandi, pro scriptura occulta et 
ejusdem explicatione. — Qua scribendi ratione tem- 
pore helli civilis cum omnes Jere uterentur, ?ion 
pattca knjusmodi scripta in itinere suo (nota quod 
in Anglia itinera faciunt epistolae) iniercepta, tpsi 
(ut ait) e.rplicanda tradebantur. Et qitidem eorum 
nonmdla tam insiiperabiU diffictdtate involuta vide- 
hantttr, ttt fere de illorum explicatione despera- 
verit, nec nisi post diuturiiam inquisitionem incre- 
dibili ktbore superaverit. Quorum non pauca 
specimina in pubitca Bibliotheca Bodleyana Ox- 
onicc consercanda tradtdit. 

A. Ad scientiarum "Wallissianarum cumulum 
ana defuit gloria, bene deciphrandi : merito ergo 
peritiam istam suam ignorari noluit -, praesertim 
cum Thuanus, vitam scribens Francisci Vietae geo- 
metrse et algebristse, ante Wallisium, maximi, in- 
gcnium ejus ab eadem facultate laudavisset. Nam 
cyphra? symbola sunt, et earum coguitio est pars 
symbolica?. Itaque jequum erat, ut ab ea arte ipse, 
ut cui deerat laudator similis Thuano, laudaret sese. 

B. Incipit hinc jam opus arithmeticum. Sed 
antequam ad examinationem ejus veniamus, non 
abs re fore arbitror si geometrise et arithmeticse 



!i<! EXAMINATIO ET EMENDATIO 

priucipia. quautum fieri potest, accuratissime statu- 
amus, praisertim ea quibus utuntur, ab Euclide, 
mathematici omnes : ut qure in illis accurata sunt, 
etiam nos utamur ; qua; accurata non sunt cor- 
rigamus ; et quae desunt suppleamus. Sunt enim 
vera et accurata principia legitimarum demonstra- 
tionum KpiHjpto.- unicum. Definitio ergo puncti 
accuratene tradita est ab Euclide, uempe haec, 
punctum est c/tj//s nnlla est pars? 

A. Accnrata est, sed a geometris plerisque male 
intellecta. Nam verba haee, cujus nulla est pars, 
ita intelligunt, quasi scriptum esset ctijus nuUa 
potest esse pars. Nonne videtur tibi aliud esse 
aetum negare, aliud negare potenliam ? 

li. Negatur actus tum cum dicitur esse indivi- 
sum ; negatur potenlia, cuin dicitur esse dirisibile* 
Euclidis ergo definitio tollit puncti divisionem ; 
at quantitatem non tollit. Nihil enim impedit, 
qno minus qnttiitum sit id quod est indivisuin. Illi 
vero, qui dicunt punctum esse indivisibile, omuino 
tollunt quantitatem ejus, et faciunt ut sit nikil; 
quod ahquoties facit WalHsius in omnibus ejus 
libris mathematicis. 

A. Divisioest opus intellectus; intellectufacimus 
partes. Itaque astrouomi nou in ccelum ascendunt 
ut sphieras dividant, sed quasi divisas considerant. 
Idem ergo est partes Jticere, quod partes conside- 
rare. Ego vero punctum, eodem sensu, sed (ut 
voce ea uti possiraus) aliis verbis, ita defiuiendum. 
accuratius esse censeo : punctum est corpus, cuju$ 
non consideratur, id est, non intrat in demonstra- 
/ioni-m geomctricam, vlla '/uanlitas. 

B. Secundum definitionem hanc, impossibile est, 

• Stc Edh. 1GG8. Qmcrc "iiidivisibile"? 



MATHEMATIC/E HODIEBN^. £ 

ni fallor, «it longitudo arcus circuli comparari dialogds 
possit cum recta linea, quod faciuut cyclometrae, 
per doctrinam tangentium et secantium. 

A. Quid ita ? 

B. Nonne potest sector circuli quilibet in partes 
quotlibet dividi, quae partes omiies erunt totidem 
sectores minores i 

A. Potest. Qnid tum ? 

B. Nonne sector quilibet dcsinit in puuctum ? 

A. Ita. 

B. Si ergo quadrans circuli, exempli causa, in 
tnillies mille sectores minores divisus sit ; nonne 
iidem sectores compositi snnt quadrans ? 

A. Etiam. 

B. Et cnm arcus illi arcum constituunt quad- 
rantis, nonne et centra eorum constituent quad- 
rantis centrum. 

A. Recte ; et quia centrum quadrantis pro 
puncto baberi potest, habebimus punctum punctis 
millies miilibus aequale. Jam qui tangentium et 
secantium magnitudines calculaut, pro pnncto su- 
muut totins arcus dividendi centrum ; et proinde 
latitudines linearum majores justo, uempe, unam 
lineam alia latiorem faciant, et pro exilissimis 
sectoribus exilissima computant rectangula, 

B. Secunda definitio est, litiea est longituda 
i[H<v iiidhiiii habet UWitndinem. Videturne bona? 

A. Minime. Nam quid opus est latitudinem 
negare de longitudine, quasi longitudo aliqua 
posset est lata ? Quamvis enim filum unum alio, 
vel semita una alia latior esse potest, tamen miliare 
unnin latius esse non potest quam aliud miliare. 
Est autem non filum nec semita vise longitudo, sed 
miliare. Euclides ergo in definienda linea hoc 



58 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

BLtLoacs voluit; lineam esse corpus, in quo longitudo qui- 

. "' . dem et sola computatur, latitudo vero uon compu- 

tatur ; nempe, viam corporis moti, cujus corporis 

nulla consideratur nuantitas : quemadmodum li- 

neam definivit Hobbius. 

B. Nihil est in his duabus definitionibus tuis, 
quod non valde comprobem, nisi quod uou mihi 
videatur vox corpus satis bene sonare in defini- 
tionibus puncti et linese. 

A. Cur in definitionelineae vel descriptione hac, 
linea Jit ex flttxtt puncti, non male sonat auribus 
tuis vox fl&rus, cum fluxus non possit esse nisi 
corporis ? Praterea, qui dicunt lineam esse longi- 
tudinem, non loquuntur accurate ; nam longa est, 
potius quam longitudo. Et quoniam longitudo 
lata intelligi non potest, definitio hrec Euclidea 
idem valet ac si dixisset linea est longitudo ; quse 
definitio non est. 

B. Tertia est, linetc autem termtni sunt puneta. 
Quid huic objicies r 

A. Objicio authoritatem Wallisii, qui terminum 
Hneae primum, id est, principium quod vocatur 
ultimum quod non, dicit uou esse ipsius lineae 
terminum, sed linese aatecedentis. Videtur autem 
statuere terminum etiam alterum, nempe, finem 
lineae, esse in linea sequenti, et vocari debere 
primum quod sic. Itaque aut falsus est Wallisius, 
aut Euclides falsus erat, qui terminos lineae in ipsa 
statuit linea. Sed non videtur hoc loco voluisse 
Euclides quicquam definire ; nec aliud explicare 
quam hoc ipsum, terminos Unese non esse conside- 
randos extra ipsam lineam. 

B. Quarta est, recta linea est, quts cx tequo stfa 
infcrjacet puncta. Gualis videtur ? 



MATHEMATIC*; HODIERN-E. 59 

A. Ma!a; nec intelligibitis, nedum accurata. i 
Inter qusenam sua ipsius puneta potest interjacere , 
linea recta, pneterquam iuter extrema ? Et quo- 
modo inter ea ex eequo interjacet magis quam 
curva, nisi forte quod non decliuet ab aliqua alia 
linea, eadem habente extrema, magis in nnam par- 
tem quam iu atiam t Quod si ita sit, quare non 
possunt esse inter eadem puncta extrema plures 
recta; lineae. Prasterea, intelligi non potest quo- 
modo linea recta ex <equo, id est, sequaliter, inter- 
jacere inter sua extrema dicatur, nisi intelligamus 
prius quid sit eequale. 

B. Definitio lequalium ab Euclide, nescio qua 
de causa, praitermissa est; quanquam circa a^qua- 
litatem et rmequalitatem omnis versetur geometria. 

A. Axioma octavum ad Elementura primum Eu- 
clidis, instar definitionis est (cqualium /inearum, 
vel etiam eequalimn superficieriim, nempe lioc, 
qiue sihi mutuo congruunt, ea inter se snnt eequalia. 

B. Non est ea sequalium definitio, quanquam 
vera propositio, et quse multis theorematis demou- 
Btrandis satis bene inservierit ; sed videtur potius 
descriptio qusedam ejus, quod faciunt illi qui mag- 
nitudines rerum metiuntur. Nam qui mensurant, 
mensuram congruere faciunt cum mensurato. De- 
fini ergo aequalia. 

A. Mqualia smit inter se corpora, qiuc eidem 
loco congruere possiint. Et, tcquales magnitu- 
dincs sunt magnitiidines eeipta/ium corporum. 

B. Hae quidem definitiones sunt corporum et 
magnitudinum aqualwm, non autem simphciter 
eequalium. Nam temporum, motuum, ponderum, 
aliarumque rerum multarum aequalitati, neutra 
earum applicari potest. 



60 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



A. Tempora, motus, pondera sequalia seorsim 
definieuda sunt ea esse quorum mensura:, sive cor- 
pora qitthus mcnsurantur, tequales sunt. 

B. Nondum defiuiisti quid sit i.p</3iic linea recta. 

A. Recta linea ea est, qua? per tatam viam ab 
uno termino ad alterum tcqtuditer distat a quibus- 
libet lineis, simiiibus et ajqualibus inter se, et eos- 
dcm habentibus terminos. 

B. Intelligo. Sic axis teme linea est recta, 
propterea quod aequaliter distat per totam viam a 
circumferentiis duorum pluriumve circulorum me- 
ridiauorum. 

A. Sed neque definitio hsc intelligi potest, nisi 
ab iis qui intelligunt quxnam lineas similes vel dis- 
similes dicendae sunt. Itaque rectissime fecisset 
Euclides, si liueam curvam prius definisset. 

B, Quid est linea curva ? 

A. Linea curva est cujus terniini, salta quanti 
tate, diduci possunt. 

B. Nam qui aliquid curvum facit, vel ex curvo 
magis curvum, teriniuos ejus adducit. Jam llneam 
rectam egomet definiam eam esse, cujus termint 
diduci non possunt. Defiuitio quinta est, superji- 
cies est qtue longitttdinem latitudinemqtte tantum 
habet. 

A. Bona est. Sexta, superjiciei termini sunt 
linear, similis est tertise, nec definitio, sed propo- 
sitio, qua significatur lineas nou esse considerandas 
ut extra superficiem terminatas, sed iu ipsa, ut 
puucta in linea quani termiuant. 

B. Qiiid est superficies plana ? Nam definitio, 
qua; tniditur ab Euclide, eodem laborat vitio quo 
quarta. Ulud enim, ex ipquo suas intcrjacet lineas, 
uon est intelligibile. Defini ergo superficiem pla- 
uam. 



MATHEMATKM5 IIODIERN^;. 



lil 



A. Faciam. Sed definienda est prius Unea. Est ouu 

ergo linea, ria qua fertur motum pumetum. Jam, , ^ 

superjieies plana est via linea> ila mottr, ut singula 

cju.s puttcta shigulax (lcscriliaiil Hneas rectas. — 
Definitio octava est anguli plaui hjec : planus angu- 
lus est duariim linearum, in plano se mtttuo tan- 
gentium et non in directutnjacentiuiit, altcrius ad 
alteram inclinatio. Hujus defimtionis vitium pri- 
mum est obscuritatis ; nempe in voce incliiiatio. 
Nam secundum Euclidem, inclinatio esse uon potest 
nisi in angulis acutis ; itaque angulus rectus nullus 
est. Secundum vitium est falsitatis. Nam recta 
et curva ita constitui possunt, ut nec jaceant in 
directum, nec coustituant angulum, ut in angulo 
contactus ; nisi putaret angulum contactus esse 
angulum; quod negat, post Pellitarium, Wallisius. 
Itaque Ulis, non Euclidi, falsitas hrec imputanda sit. 
Et prseterea, quia duo anguli recti compositi faciunt 
angulum, nimirum recti duplum, et tamen in direc- 
tum jacent ; contra hanc definitionem. Postremo, 
angulns, quem faciunt dus cirenmferentiie, vel 
circumferentia et recta, mutuo sese tangentes, com- 
parari posset quoad quantitatem cum quolibct 
augulo alio plano ; quippe, cui convenit definitio 
haec anguli plani universalis. Sed nou anguli plaui 
omnes comparari possunt. Est ergo vitiosa defi- 
nitio. 

B. Quomodo definis tu angulum planum accu- 
ratius ? 

A. Sciendum est vocem hanc angulns planus 
ffiquivocam esse. Nam cum iu omni angulo intel- 
ligautor dua; rectse sibi mutuo occurrentes, vel 
saltem ad occursum tendentes, fieri potest ut du- 
plici modo id fiat; qnorum alter est per motum 



62 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

dialocus Unese integrae circularera, alter per contin' 
- , "' - lineae rectae flexionem. Qua? duae angulorum gene- 
rationes adeo sunt diversae, ut ipsi anguli sint hete- 
rogenei, nec una definitione comprehendi possint. 
Habet quidem uterque nomen auguli, sed alter 
simpliciter ita vocari solet ; alter per adjunctum 
angulus contactus. Ha;c, cum non recte intellecta 
fnerint, controversiam excitarunt de angulo con- 
tactus inter Clavium ct PeLlitarium j qua? excitari 
non poterat, si defmitio Euclidis satis fuisset per- 
spicua. 

B. Audiamus ntriusque generis anguli defii 
tionem tuam. 

A. Angvhts, simpliciter dictus, est duarum line- 
arum sibi mutuo in plano congrucntium, facta pt 
motum circtdarcm super allero termino ut centrt 
unius ab altera digressio. 

B. AnguH quantitas quoraodo definitur ? 

A. Quantitas angtdi, simplictter dicti, est qui 
titas arcus circuli cujuslibet descripti ceidro illo, 
in quo linetc qu<e arcum intercipiunt se mutuo ta?t- 
gitul. ab iisdem lineis interceptt. Angnlus autem 
contactus, est duarttm Vtnearum in plano se mutuo 
tangentium digressio Jacta per continuam Jlexio- 
nem. 

B. Quare duo hsec genera angulorum non pi 
sunt sub uno magis ainplo genere contineri 

A. Quia non mensurantur per unius mensurae 
applicationem. Nam angulus simpliciter dictus. 
tantus est quantus est arcus circuli interceptus 
ideoque per arcura circuli mensuratur. At angulus 
contactns, mensuratur per liueani rectam ductam 
a puncto contactus ad circumfereutiam. Itaque 
magnitudines duonim angulorum contactus mi 



■io- 

- 

irae 
:us, 
HS ; 



MATHEMATICE HODIERN.F.. 



63 



sorantur a linea recta, qua; ducitur a puncto con- 
tactus per utriusque circumferentiam. 

B. Intelligendum est hoc de angulo contactus 
circuli tantum. 

A. Imo vero de angulis contactus quarumcunque 
curvarum, modo similes sint; sed quando sunt 
dissimiles, erunt anguli contactus eorum iterum 
diversi generis. 

B. Definitio nona est, rectilineus angulus est 
quem continejit dtue rectce. Probamne esse putas? 

A. Ita. 

B. Si duo arcus circuli se mutuo seceut, vel 
arcus et recta, angulus quem faciunt rectiHueus 
non est, neque angulus contactus. Qualis igitur 
est angulus ? 

A. Est angulus simpliciter dictus. Non enira 
a natura Huearum dependet natura anguli. Potest 
enim a curva Huea in plano jacente circulus de- 
scribi, et arcus interceptus idem erit ac si a recta 
describeretur, et proinde etiam anguli quantitas 
eadem erit. 

Definitio decima est auguli recti, et reeta; per- 
peudicularis, nempe ba?c : cum recta super rectam 
consistens, atigulos qui sutit deinceps cequales fe- 
cerit ; rectus est uterque tpqualhtm angulurttw ; 
et recta insistens, perpendicularis dicitur linece. 
cui insistit. Sequuntur definitiones undecima et 
duodecima angulorum obtusi et acuti, brevissimai 
sitnul et rectissimae ; nimirum, recto hunc quidem 
w um o rem , illum autem majorem esse. Verum divisio 
haec in obtusum, rectum, et acutum, angulo simpli- 
citer dicto soli convenit. Definitio decima tertia ; 
termimts est, quod alicujus crtremum esl. 

B. Neque definitio est hsec, quia vox una per 



61 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



s vocem unicatn definiri non potest : neque omni 
. necessaria; nisi enim iutellexissemus quid sit 

minus, frustra esset definitio tertia, ubi dicit li 

tenninos esse puncta. 

A. Definitio decima quarta, hsec est ; figura 
qiUE sub aliquo vel aliquibus lcrminis comprt 
kenditur. Qua: quidera vera est. Poterat tamen 
idem brevius dici, magnititdo corporis ab omtti 
partefinita. 

B. Neque vero intelligi poteat, ad quid refertur 
relativum t/na; nisi ad magnitudinera. Absurdum 
enim esset dicere, figuram csse figuram quee, 
aliquo, etc. 

A. Decima quinta est ; circulus estfigurapt 
sub una linca comprehensa, qucc peripheria appel- 
latur ; ad quam ab uno puncto eorum qua- intra 

figuram sunt posita, cadcntes omnes recta> linea 
inter se sunt aquales. Definitio heec, etsi vera sit, 
et modus describendi circulum sine geometrarum 
ope satis cognitus, pro accurata tamen haberi non 
debet. Debuit euim ostendisse prius hujusmodi 
figurje constructionem sive generatiouem qua^nam 
esset, ut sciremus aliquam iu rerum natura figuram 
esse, iu qua ab unico puncto ad figurae extremum 
omnes undequaque liuese essent inter se aequales, 
Quod quidera illis, qui nunquam circulum describi 
viderant, videri posset incredibile. 

B. Quomodo autem definiendus est circulus per 
generatiouem ? 

A. Circulus est figura descripta per linea 1 , in 
piano existentis et cttjus untui terminits quiescit, 
circumductionem. (Aua methodo definiendi utitur 
etiam Euclides in definitione sphtertc, coni, 
cylindri. 



irdum 

plana 
tppeU 
% 

: 

1 
1 



mathematica: hodiern.e. 65 

Decima sexta est ; hoc vero punctum centrum dialogus 
circuli appellatur ; id est, punctum quod in gene- I! ; _, 
ratione circuli quiescebat. Decima septima haec 
est ; diameter autem circuli est recta qucedam per 
centrum ducta, et ex utraque parte in circuli peri- 
pheria terminata, quce circulum bifariam secat. 
In qua nihil est non accuratum, nisi quod postrema 
verba, quce circulum bifariam secat, abundent. 
Definitio enim diametri absoluta erat sine illis 
verbis; quse inter axiomata, vel potius inter de- 
monstrata theoremata, ponenda erant. 

Definitiones caeterse usque ad tricesimam quin- 
tam, quae Elementi primi postrema est, ut facillimae, 
ita etiam accuratissimse sunt. Ipsa autem pos- 
trema hsec est iparallelce sunt linece rectce 9 quce 
cum in eodem sint plano, et ex utraque parte in 
infinitum producantur, in neutram sibi mutuo in- 
cidunt. 

B. Quid in hac definitione reprehendis ? 

A. Definitionem hanc parallelarum rectarum, 
quod attinet ad usum, satis bonam esse non nego. 
Sed quoniam parallelismus omnis, tam rectarum 
quam curvarum, tam linearum quam superficie- 
rum, ejusdem est naturae, et una definitione univer- 
sali comprehensibilis : rectius fortasse fecisset, si 
parallelas simpliciter definisset. Prseterea nisi 
causa aliqua in definitione parallelarum rectarum 
appareat, quare duse rectse nunquam concurrant, 
absurdum non erit si hujusmodi lineas possibiles 
esse negaverimus. 

B. Defini ergo simpliciter parallelas. 

A. Duce linece qucecunque, sive rectce sive curvce; 
item duce superficies, plana vel non plance, paral- 
lelce sunt, in quas incidentes linece rectce facientes- 

VOL. IV. F 



66 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

DiALOGua que cum utraque angulos a>quales ad easdem 
. , "' . partes, sunt semper ipstr inier se tef/uales. 

B. Video jara quare parallelse concurrere inter 
se non possunt ; distnientur enim ubique ab Kqua- 
libus rectis, iisdemque requaliter et ad easdem partes 
inclinatis. Recte autem apponuntur verba illa, ad 
e«*rf^mj9ar/e*;namalioquidefiiiitiononessetparal-- 
lelarum simpliciter, sed solummodo rectarura. 

Sequuntur postulata tria : de quibus postulatis 
quaero, quo seusu dici possint demonstrationis 
principia. Postulatur euim ut aliquid possit fieri. 
Principiorum autem demonstrationis natura est, 
postulare ut aliquid sit babendum pro vero sine 
deiuonstratione, Quammus euim in scientiis non 
quid facere nos possumus, sed quid vemm est. 

A. Neque vero sunt postulata haec principia 
demonstrationis, sed constructionis. Necessaria 
tamen sunt, propterea quod ne prima quidem 
theoremata demonstrari possunt sine figurae con- 
strnctione. Nam ex constructione, id est, ex gene- 
ratione sola cognoscuntur constnicti affectiones. 
Postulat ergo Euclides ab initio, duci et produci 
posse lineam rectam ; et quovis centro et inti 
vallo describi circulum. 

B. Erravit igitur Wallisius, qui punctum uihil. 
et Uneam sine omni latitudine esse opinatus est 
Ductio enim, et productw, et descriptw, motus 
sunt, et propterea raotus corporum ; aliud enim 
nihil mobile est; et signant semper aliquid, et 
semper divisibile ; etsi quantum signant, uou sem- 
per inter demonstraudum consideratur. 

A. Sequuutur principia alia, quie appellan 1 
communes notiones. 

B. Quomodo differunt inter se postulata, et 



ies. 
tuci 

- 

hU, 



MATHEMATIC.E BODIBBNjE. 



rummuncs notiones ? Nam etiam communc.s w- 
t i tma i iixiomata dicuutur. Axioma autein cst 
Latine, postuhitiiut. 

A, Sunt revera utraque postulata, Dim-nmt 
autem in eo, quod iu alteris postulatur posse facere, 
in alteris postulatur concedi reruiu esse aliquid, ut 
evidens, sine demonstratione. Sed pergamus. Defi- 
nitiones secundi et tertu Elementi, quje sunt 
nomhium tantum impositiones, accuratae sunt, nisi 
quod detinitio quarta Elementi tertii non sit defi- 
nitio, sed a.rioma, sive suppositio qua notum sup- 
ponitur, nimirum a puncto ad lineam rectam 
brevissimam esse perpendicularem. Similiter de- 
finitiones Elementi quarti, sunt nominum ad placi- 
tum impositiones, ideoque reprehendi uon possunt. 
Ad Elementum quintum definitio prima est, pars 
est niagnitudo maguitudinis, minor majoris, ettm 
minor metitur majorem. 

Ii. Sed si minor non metiatur majorem, num 
ideo non erit illius pars ? 

A. Erit. Sed loquitur Euclides hoc loco de 
parte aliquota ; id est, cum major dividitur in 
partes xquales, illarum uua hsec intelligitur. Sed 
cum esset in geometria loquendum sfepe de mcit- 
sura et mensuratione, deerat tamen hactenus defi- 
nitio mensurce. Definivit partem per definitionem 
meusune. Nam mensura est magnitudo magnitu- 
dinis, minor majoris vcl non minoris, cum iitinor, 
ipsi app/icata xcincl vcl pluries, tpsam tequat. 

B. Omnes quidem omnia per apphcationem 
roetiuntur ; in corporibus consistentibus mensu- 
randis ulna, bracchio, pede utuntur ; in fluidis, 
rasi/ms. UIo nempe spectant, quod dixisti supra, 
locum mensurw in mcnsurati loco quoties contU 



68 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



netur invenire. Illa enim sequalia sunt, quae, sal' 
quantitate, idera capiat locus. Sed et quae sequalia 
non sunt, idem capit locus. Sic enim existimant 
non modo Wallisius, sed etiam metaphysicorum 
scholasticorum fere tota natio. 

A. Quo fundamento autem id putant 

B. Corpora dicunt eadem existentia raodo rai 
fieri, modo condensari : minus autem esse, quan 
quam idem, condensatum corpus, quam rarefactum. 
Fieri itaque potest ut duo corpora inaequalia, quo- 
rum unum sit magis, alterum miuus condensatum, 
in eodem loco sint successive. 

A. Nonne locus Iocato congruere accuratissime 
dicitur ? Nonne Euclides a?qualia esse dicit, quie- 
cunque sibi congruunt ? 

B. Est axioma octavum Elementi primi. 

A. Quoniani igitur corpus utrumque successive 
loco eidem congruit, id est, loco eidera est aequale : 
eruut quoque duo illa corpora, per communem 
notionem primam, inter se tequalia. 

B. Ita videtur. Quid autem est quod tot non modo 
philosophos, sed etiam mathematicos ipsosque pro- 
fessores, potuit in errorem bunc turpissimum in- 
ducere ? 

A. Accidit plerisque hominibus circa ea quae 
ignorant, idem quod pecoribus. Ut enim pecora 
ductorem gregis primum erumpentem quacunque, 
ignara periculi, sequi solent, ita et homines in 
quodlibet absurdum a principe opinionis ducti 
facile incidunt. 

B. Sed quid fefellit ipsos primos ? 

A. Falere primos solet, quod cum sustinuerint 
dogma aliquod, verisimile quidem, sed tamen fal- 
sum, et a dissentientibus difficultatibus urgenti 



ant 

,et 

re- 



; 



MATREMATICjE HODIERNjE. 69 

quas superare nesciunt, ne errasse videantur, fin- dialogus 
gunt possibilia esse qure non sunt possibilia, vel . IL . 
dicunt aliquid quod non possit intelligi ; recipitur 
tamen ab iis, qui malunt sine molestia habere quod 
dicant, quam cum molestia quod sentiant. 

B. Videntur autem intelligere aliquid per rare- 
factionem et condensationem : alioqui non insulta- 
rent in eos qui sentiunt contrarium. 

A. Puto, hoc sentiunt; in tumescenti aliquq 
corpore, nihil illi admisceri corporis adventitii: 
ut, verbi causa, bulliente aqua nihil admisceri pu- 
tant aeris, sed ipsam aquam, eandem existentem, in 
majus extendi spatium loci. Sed ipsos, qui doc- 
trinam hanc de rarefactione et condensatione do- 
cere solent, unico tantum argumento cessuros 
credo : nimirum, si qui stipendium Wallisio, dis- 
pensatores beneficii Saviliani, soluturi sunt, pro 
solidis numerarent illi totidem semisolidos, dice- 
rentque solidos esse frigore, cui fortuito expositi 
fuissent, condensatos, non puto crederet Wallisius 
id fieri (quicquid alias scribere soleat) potuisse. 

Secunda definitio est multiplicis ; proba, nec 
difficilis. Tertia est rationis ; satis inepta. Ratio, 
inquit, est duarum magnitudinum ejusdem generis 
mutua qxuBdam habitudo. 

B. Intelligo eos qui loquuntur de ratione, sed 
de habitudine loquentes non intelligo. Habitudo 
ab habendo dicitur. Qusero igitur, quid est quod 
hoc loco habet ; quid quod habetur ; et an ratio 
dicatur habitudo, ab eo quod ipsa habet aliquid, 
vel ab eo quod habetur ; et siquidem habeat, quid 
-sit quod habet ; sin habeatur, a quo habetur. Quse 
omnia sunt inepta. 

A. Vox illa habitudinis a formulis loquendi orta 



70 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

est. Solebant enim geometra?, cum vellent rati< 
num similitiuiinem explicare, Greeci quidem hac 
voce uti olrwc tx £1 . Latini vero hac, ita se habet : 
quam loquutionem admisit Euclides in definitio- 
nem suam rationis,quam ideo appellavit ra^ <m^ a,t ; 
et Latini certam habitndinem. Et credibile est. 
si Graeci vnlgo pro aftrwc *x" dixissent i&rw; 
Euclidem definiturum fuisse ratiouern per iratky »1 
et Latini per certam essentiam. 

B. Quaenam autem est ralio/tis definitio vera 
accurata ? 

A. liatio cst relatio antecedentis ad conse/fitens 
secunthtin viagnititdinem. 

B. Quid sit antceedens et quid consequens intel 
iigendum est ex definitione relatortim ; sed tann 
non cognoscitur ex hac definitione rationis qm 
titas. 

A. Neque ex definitione trianguli, ipsius trii 
guli quautitas. 

B. Dic ergo quomodo computanda: sint ral 
iium quantitates ? 

A. Primo, non omnis ratio est quanta. 

B. Mirum hoc dieis, rationem aiiam esse nm 
fam, Jiliam non qnantam. 

A. Ita est; nam ratio ina:qualis ad inrequale 
quantitatem habct. Sed ratio squalis ad sequale 
quantitatem non habet. 

B. Quare autem non habet qnantitatem ? 

A. Quia nempe ratio uon est simpliciter magni- 
tudo, sed cum relatioue ad aliam magnitudinem ; 
juxta quam relationem una insequalitas, id est, u: 
ratio iusequalium, alia major, alia minor esse 
test ; uua autem aequalitas non potest. At 
quorum alia mujora, alia minora csse possuut. 



st, 
ns 



MATHEMATICJ: HODIERNyE. /1 

quanta sunt ; caetera oon sunt. Absurdura enira 
esset rogare quanta est jequalitas ; coutra vero 
rogare quanta sit iniequalitas, absurdum uon est. 

B. Sed Wallisius in eodem esse dicet prasdica- 
mento tum Bequalitatem tum iusequalitatem ; et 
proiude, si altera earum sit quantitas, alteram 
etiam esse quantitatera. 

A. Quidnara est illud pr<edic<tme>ituni? An 
domus aut apotheca aliqua, uiute omnes aequali- 
tates inaequalitatesque, quando usus erit, depro- 
mendai reconduntur ? 

B. Prccdicamentnm cst vocabulorum series, se- 
ciuidum amplitudinem significationuni ab Aristo- 
tele ordinata. 

A. Scio, scio has nugas ; nimirum, ex nominum, 
arbitrio Aristotelis, ordinatione uaturam remm 
restimare solere eos, qui ingenio sapiuut alieno ; 
cura, e contra, ex coguitione uaturae disponi de- 
beaut ipsa nomina. 

B. Sed instat Wallisius contra vim argumenti 
hoc modo : Si ratio tcquaiitatis ob eam eausam 
quantitas non sit, >{iiod una ict/ua/itas non est 
magis tcqualitas qttam alia ; ctiam angulus rectus 
<ptantitax ntm crif, tjtiia uitus angu/iis rcctits ncc 
inagis est angulus, ncc major, quam a/iits rectus. 

A. Poterat etiam arguere sic : qnia numerus 
sex nec raajor uec miuor esse potest, quam alius 
ijimiorus sex, numerus senarius non erit quantitas. 
Sed ratiocinatio utraque vitiosa est. Natn in ge- 
nere quautitatis, tam quae inter se requalia quam 
qua; inaequalia sunt, quantitatem habent ; nt an- 
gulus rcctus, quia angulus in genere, et numerns 
«•narius, quia nuraerus iu genere est quantitas. 
Ilatio autem iu genere quautitas iitjn est, sed 



72 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



relatio, sive comparatio. Potest ergo una ral 
qiianta esse, ut tamen alia quanta noii sit, 

B. Verura dicis. Sed ratio aequalitatis ideo 
videtur esse quantitas, qnia et ipsa major vel minor 
quam alia ratio esse potest. Est enim ratio 5 ad 
A.ratio sequalitatis ; eademque major quam ratio 5 
ad 6, et minor quam ratio 5 ad 3. 

A. Aliud est tantum esse absolute et solit* 
sumptum, aliud comparative. Ratio quidem sequ: 
litatis major esse potest quam ratio quantitatis 
minoris ad majorem, ut tamen ipsa quantitas non 
sit. Exempli causa : etiamsi nihil sit, ratio 
tamen ad major est quam ratio ad 0-1, id 
est quam ad minus qnam 0. 

B. Hoc quidem verum est in numeris vel quan- 
titatibus lictis. Sed putasne tu rationes censendas 
esse eodem modo quo nutneri ficti ? 

A. Puto. 

B. Attameu quomodo fieri potest, ut ratio 
noris ad majus quantitas sit, cum ratio quae 
illa major, uempe ratio sequalitatis, quantitas ni 
sit? 

A. Cura ratio sit quantitatum comparatio, expo- 
sitis duabus quantitatibus inaequalibus dupla oritur 
comparatio ; altera minoris ad majorem, in qua 
qnffiriturquantura rainor a majore superatur; altera 
majoris ad minorem, qua quseritur quantum major 
minorem superat. Itaque ratio imequalitatis est 
duplex, altera defecltis, altera excessus. Sicut 
autem numeri fiugutitur ab 0, seu nihilo, superari 
iisdeni intervallis qnibus ipsum 0, seu nihil, su] 
ratur a uumeris non fictis : ita ratio defectit-i BQj 
ratur a nittonc aqualUatit iisdem iutervnllis, qui 
ipsa hiipcratur a rationtlnis ctccssus. Et per 



;io 5 

ane 

qua- 



MATHEMATICjE HODTERNiE. 73 

sequens, ratio sequalitatis superans rationem defec- dialogus 
tus, non tam rationem defectus superat quam . n * . 
defectum rationis, id est, defectum magnitudinis 
qua sequari possit cum eo quicum comparatur. 

B. Videris hoc velle, in comparatione rationum 
promiscue computari excessus et defectus: similiter 
ac si quis babens sui aeris viginti libras, et alieni 
totidem, numeraret indistincte summam quadra- 
ginta librarum, cum deberet numerare nihil. 

A. Ita est. 

B. Sed illud, rationem defectus esse defectum 
rationis, ad mathematicorum aures accedet in- 
suetum. 

A. Credo tibi hoc. Attamen verum esse facile 
agnosces, si animadvertas, quando duse rationes, 
utraque minoris ad majorem, componuntur, ratio- 
nem fieri minorem. 

B. Verum est, et propterea necesse, ut ratio 
defectus sit defectus rationis. Quantitates enim 
omnes ejusdem generis compositse, quantitatem 
faciunt majorem. Etiam defectus si defectui ad- 
datur, fiet defectus major, et tamen ratio facta est 
minor ; ex quo manifestum est quod dixisti, ratio- 
nem defectus esse defectum rationis; ut qui aes 
alienum seri addit alieno, tanto fit pauperior quanto 
plus habet aeris alieni. 

A. Recte capis. Sciendum prseterea est, mag- 
nitudines rationum, tam defectus quam excessus, 
determinari per magnitudinem differentice ; idque 
dupliciter. Potest enim differentia considerari vel 
absolute, ut cum dicimus comparando 6 et 3, ma- 
jorem esse 6 quam 3 tribus unitatibus ; quae diffe- 
rentia est numerus absolutus : vel comparative, ut 
cum dicimus majorem esse 6 quam 3 sui ipsius 



71 



EXAMINATIO F.T EMENDATIO 



dialoou» dimidio. Uude etiam dividi solet in geometricam, 
. . "' , ,. quse a geometris simpliciter ratio appellatur, et 
arithmeticam. Itaque 6 ad 3, et 7 ad 4, sunt 
eadem ratio arithmetiea, propter differentiam ean- 
dem 3 absolute sumptam. Sed in ratione geome- 
trica, 6 ad 3 et 8 ad 4 eadem est ratio, propterea 
quod utrobique differentia est antecedentis dimi- 
dium. Caeterum ratio arithraetica non est habita 
ab omnibus pro specie ratbnis; fortasse quia ad 
illam quse est in definitione ratiouis apud Euclidem, 
habitudincm quandam, nou potuit accommodari. 
Pappus autem rationis tredecim facit species, qua- 
rum ratio arithraetica est una. 
B. Perge legere. 

A. Definitio quarta : Proportio, Graecis <WAoy/a, 
est ratio/uim siiiiiHtuda. 

B. Quamam est differentia iuter rationem simi- 
lem, <P'/iialem, et eandem ? 

A. Nulla omnino. Nam rationes, 2 ad 4, et 3 
ad G, eicdem sunt, et simtles, et tcquales. 

11. Quomodo differunt inter se proportio et ra- 

th, SlVe avaXoyla et \6yac ? 

A. Aoyot quidem, sive ratio, est comparatio quan- 
titatum ; proportio vero, sive u>aXoy/ a , est compa- 
ratio rationum, sive potius repetitio rationis ejusdem 
in aliis quantitatibus. Exempli causa ; 4 ad 3 est 
ratio, et 8 ad 6 eadem ratio iu aliis quantitatibus. 
Sed ambse rationes, 4 ad 3 et 8 ad 6, sunt ayaXoyia. 
Quinta : Rationem habere inter se magnititdines 
dicuntur, qu<e possunt multiplicattc sc muttto sttpe- 
rare. Proba est, si recte intelligatur. Qua? entm 
multiplicata se mutuo possunt superare, homogenea 
sunt; eodemque genere mensurse mensurabilia ; ut 
longitudines lougitudinibus, superficies superficie- 



MATHEMATIC.E HODTERNvE. /5 

bus, solida solidis. Qnse vero heterogenea sunt, rui 

diverso genere mensurse mensurautur. Sin linea: ™ 

pro minutissimis panillelogrammis considerentur, 
ut ah iis considerautur qui niethodo demonstraudi 
utuntur ea, qua Bonaventura Cavalerins in doc- 
trina Indivisihilitim usus est, habebunt uiter se 
ratiouem etiam linea; recta? et superficies plttna- ; 
poterunt enim tales linea; multiplicata; qnamlibet 
fiuitam superficiem planam superare. 

B. Mihi tamen defiuitio haec rationem inter se 
hahentium, ne sic quidem videtur accurata; habent 
enim rationem inter se meusurae longitudinis, tem- 
poris, et motus ; et possuut multiplicatse se mutuo 
superare. Attamen inter lineam et tempus, vel 
inter liueam et motum, rationem esse dici non 
potest. 

A. Potest quidem non miuus dici, quam lineam 
essc tempus. Sed Archimedes aliique geometrae 
non pauci, cum tempus exponere volunt, esto, in- 
quiuut, AB tempus : quos ego culpare, cutn omues 
loquutionem illam bene intelligant, nou auderem. 

B. WalHsius auderet. 

A. Definitio sexta est ejusdem rationis, quse sic 
se habet. 

B. Siste gradum paulisper. Nonne analogiam 
modo definivit Euclides, esse similitudinem ratio- 
num ? Similitudo autem rationum et eadem ratio 
eadem est res. Videtur ergo mihi analogiam sive 
proportionem hoc loco iterum definire. 

A. Minime. Nihil hic peccatur. Quid enim, 
si quis hominem defiuiret esse animal rationale, 
apud uescios quid animal rationale esset ? Itaque 
in definitione hac sexta illud agit, ut proporttonem, 
sive eandem rationcm, per generationem ejus defi- 



EXAMINATIO ET EMKNDATIO 



uiat. Quod ni fecisset, nihil inde ut a prineipk 
deinonstrasset. 

B. Quid ita ? Definitio circuli apud Euclidetr 
uon est descripiio generationis circuli, sed gem 
rati: at nihilo minus constructio trianguli a 
teri inde ab Euclide demonstratnr. 

A. Detnonstratio illa dependet quidem ab ea 
dennitione : sed ipsa definitio dependet a postulato 
tertio, nempe, quo gratis sumitur posse circulum 
quovis describi iutcrva/lo. Jubet ergo, ad con- 
strnctionem trianguli sequilateri, describi circulum; 
quod quo modo faciendum sit, definitio Euclidea 
non docet. Quomodo enim inveniri medium illud 
punctum potest, uisi prius descriptus sit ipse cir- 
culus i Vidit ergo Euclides definitionem analo- 
gi<e, nisi osteuderet quomodo eeedem rationcs 
fierent, inutilem fore ad sequentia. Itaque defiui- 
tionem per generationem addidit hanc : In eadem 
ratione magnitudines dicnntur esse, prima ad se- 
eundam, et tertia ad quartam, cum prima> et ter- 
Ha (cque niidtiplicia, a .secundtc et quartce arque 
mulliplicibus. qua/iscum/ue sit luec multipUeatio, 
utrumque ab utroque, rel una dejieiunt, vel una 
cpqualia su?d, vel ttna exeedunt, si ea snmaniur 
quep inter se respondent. Sed iuveuire, per hanc 
definitionem, hujusmodi quatuor quantitates im- 
possibile est : quia multipHcatio per omnes nume- 
ros, cum infiniti sint, est impossibilis. Non est 
ergo defiuitio hsec, sed hypothesis. 

B. Recte quidem dicis ; est autem hypothesis 
illa vera. Vera inquam est, sed non principium, 
quia demoustrabiiis est, et ab Hobbio (cap. xiii. 
art. 12, libri db corpore) demonstrata; sed a 
definitioue vjusdem rationis per geuerationem, 



MATHEMATIC^E HODIERNyE. n 

diversa est hiec Euclidis. Manifestum enim est duuk 
duas quaslibet velocitates duorum corporum mo- 
torum, habere inter se certam aliquam rationem, 
et quidem, dum velocitates illa* ea?dem sunt, ean- 
dem. Velocitatem autem de6nit Hobbius, poten- 
ttam esse mobUis in temporc detcrminato determi- 
natam loiigitudincm permeandi. Ex his manifestis 
generationem colligit ejusdem rationis. Dicit enim, 
si duo mobilia, utrumquc cc/ocita/c inrariata, per- 
currant dnas longitudwe» tempore codem, eas loit- 
gitndines rationem habere intcr se eandem >/uam 
Juibent relocitates ipstr : et rursiis, ti duo mohilia 
iitriimi/ue cadcin incariata celocitate percurratit 
duas longititdines, habere eas eandcm inter se 
rationem, qttam habent inter se. tempora quibns 
percurruntur. Quibus positis, sint duo mobilia 
ad punctum A, moveanturque requa- t , ■ 

bili velocitate per AB, AC. Et ^-f[ 
velocitatem quidem unius repra^sentet -> b 
AB, velocitatem autem alterius reprtesentet AC. 
Venient ergo alterum ad B, alterura ad C, in eodem 
tempore AC, propterea quod velocitates amborum 
determinantur per spatia qua? eodem tempore per- 
currunt. Similiter, si in parte temporis A C, iisricni 
servatis velocitatibus, alterum veniat ad D, alterum 
ad E, rursus erunt spatia percursa AD et AE ut 
velocitates esedem, id est, ut AB ad AC. Eodem 
modo, si mobile idem veuiat ad B in tempore AC, 
veniet ad D in parte Ulius temporis, puta m AE, 
quae sit spatio AD homologa. Nec tantum verum 
hoc est iu motu, sed etiam in omni genere causa- 
tionis, ubi causa «equalibus temporibus requalia 
semper efficit. Itaque eandem rathnem (cap. xiii. 
art. 6, libri de corpore) sic definivit.- Ratio geo- 



/3 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

niALoaus metrica rtitiom geomctrictp eadem est, qttanth 

. "' causa aliqua eadem tri/iiafi/ms tetiipori/uts a-qualiu 

faeiens, rationem tttramque detcrminat. 

A. Definitio sane haec aecuratissima est, genera- 
tionemque proportionis quasi ante oculos ponit. 
Sed Euclides, per suam hypothesin, rationum doc- 
trinam in Elemento quinto solidissime demonstravit. 
Anne tantundem fecit Hobbius per definitionem 
suam * 

B. Demonstravit uon modo easdem propositioue* 
quas Euclides, sed etiam nonnullas alias non minu! 
difficiles, ne quidem Wallisio ipso contradicente. 
Nam hoc solum de illis pronunciat, non vidert 
ipsius esse. 

A. Id est, simul et laudat et invidet. 
scribis in pugillaribus ? 

B. Noto quod in Grasco pro multiplicibus ab 
Enclide dicitur x<AWXno-«i, et pro multiplicatione 
ituWu-xXuvtaaiiijz. Nam (araKiryuQ) t^Tt\uauiBfii>^ deberet 
verti dttplicatio, et fecfanfc, sicut et tm\ao{uiv < 
lar\a<nao itU, dnplus vel duplicatus. 

A. Quid ergo ? 

B. Magnam facit Wallisius differentiain intcr 
rationem, duplam et duplicatam, triplam et tripli- 
catam, etc, tum in Elencho contra Hobbium, tum 
in tractatu Elenchtico contra Meybomium. 

A. Tanto est indoctior. Sed ego tibi uegotiui 
illud facile expedibo. Euclides enim vocibus illis 
ftirXamw et Dnr\ao!ur pro eadem re promiscue utitur, 
sicut Latini vulgo duplum et duplicatum. Voce 
DuiHnohii, etiam in proportiouibus utitur Euclides 
pro dupla. Lege propositionis ultimre Elementi 
noni textum Gracum. 

B, (av niro fiovuCo< oxoomovv ap&fiot USt 'v-Tfduiatr b> rjj 



MATHEMATICJE HODIERNiE. 79 

2tic\ao(ovi avaXoyiq t«c ot> 6 av^nra^ irpurog ycVijrat, jcai 6 ovpwaQ dialogus 
€xi rov e^xarov roXXairXaffiaff&ic iroiq rtva, 6 yevofievoc riXetoc n * ^ 



torai. 



A. Quid Slgnificat hoC 10CO iv avaXoyta &irXaowt ? 

Nonne significat proportionem sive similitudinem 
rationum quse cernitur in numeris ab Euclide ex- 
positis, nimirum his, 1, 2, 4, 8, 16, etc: in quibus 
numerus posterior prioris semper est duplus ? Nam 
si de ratione ipsa duplicata intelligeretur, numeri 
1, 2, 4, 8, 16, etc, non magis dicendi essent esse 
lv ava\oyiq &irXa<rtW<, quam 1, 3, 9, 2/, 81, etc. Itaque 
propositio hsec Euclidis de numero perfecto, in 
omni progressione geometrica non minus vera 
esset, quam in progressione hac per duplicationem. 
Necesse ergo est ut voce hac &x\a<nw usus sit 
Euclides pro duplicato numero, id est, pro duplo, 
non pro duplicata ratione. Igitur ratio 1 ad 2 
non est subdupla ratio, sed ratio simpli ad duplum, 
sive semissis ad integrum; neque inverse, ratio 
2 ad 1 est ratio dupla, sed ratio dupli ad simplum, 
sive integri ad semissem. 

B. Accurate hsec. AurXa<rtW ergo idem est quod 
duplus, ut apud Euclidem ipsum (Elem. iii. prop. 
20). Voces autem subduplus, subtriplus, etc, bar- 
barae sunt, et ab iis inventae, qui, cum in tenebris 
versarentur, cupiebant quoquo possent modo sese 
promovere. Ostendisti jam Znr\aa(»v apud Euclidem 
significare in numeris duplum. Ostende etiam 
quod significat apud eundem in rationibus dupli- 
catum. 

A. Ecce in definitione Elementi quinti decima, 

8ic dicit EudideS : 6ray U rpia pey£$ri avaXoyov ij, rb 
TTpvTor irpog to rpirov lur\aoiova \6yov tyiiv \iyerai 9 fjwep rpoc ro 

ievTfpor: ubi rationem rationi sibi aequali additam, 



80 



EXAMINATIO ET F.MEXDATIO 



id est, rationem multiplicatam per duo, id est, 
tionem duplicatam, vocari vides BorAufera. 

13. Video vocem illam utrumque significare apud 
Euclidem, tum dttplum, tum duplicatum, quemad- 
modum apud authores Grscos ceeteros omnes. 
Video etiam vocabula Latina duplum et duplicatum 
idem stgnificare, ut et Grceca taAafk, SWAiawc, 
rW, ct-Xamaitk. Sed cur noluit Euclides uti voce 
o (J rXu<«oc, cum potuit, et ad evitandum ambiguitatem 
videtur debuisse, nondum perspicio. 

A. Quaenam esse potest ambiguitas in vocibus 
quee idem significaut ubique. Sunt qui &*fc>9v dis- 
tinguunt afiffAaoW.hoc rmmerum, illud quantitatem 
coutinuam respicere dicentes. Sed inter 
et ItKXntriara differentiam nuHam observant, neque 
grammatici neque mathematici Graeci. Credo equi- 
dem b\*ka*im nomen rectum factum esse a nomiue 
plurali genitivo BmXbWmv. cujus rectus singularis est 
f<TA«(7ir.!;; itaque in propositione ultima Elemeuti 

noni, h ityaXoyia hirXaaiort, idem eSSe qUod iy afaXoylq 

},ir\aoiuy,et in hac definitione decima, \6yor .",-\.,-. , ■■ 
idem esse quod \6yos itv\a<r!ur. Nihil ergo est difli- 
cultatis in eloquutione mathematicorum veterum. 
At recentiores difficultatem sibimet ipsis creaverunt 
ex vocibus barbaris snbdupltim, snbtiiplttm, etc.: 
quippe qui non memineraut ex dupHcatione vel 
etiam multiplicatione ahquid fieri posse aliquand< 
minus. Nam quantitates fictas, quales sunt 0-1 
3-5, et aliae, id est, minores quam nihil; quanto 
plus mnltiplicantur a numero vero, tanto miuores 
fiunt. 

Definitio septima est proportionalium ; accurata, 
sed et facillima. Est enim, definita jam eadem ra- 
tione, tantummodo nominatio eorum qua? rationem 






MATIIRMATIC.*: HODIERN/E. 



Bl 



inter se habent. Octava sicut sexta, demonstra- 
bilis est. 

B. Quomodo rationem majorem definis tu ? 

A. Rationem quidem majorem, rationem esse 
dico majoris antecedentis ad idem consequens, 
vel ejusdem antecedentis ad consequens minus. 
Rationem autem mhiorem esse rationem minoris 
antccei/c/itis ad idem conxeqttens, vel ejusdem an- 
tecedentis ad consequens majus. 

/i. Accurate. 

A. Nona, definitio non est, sed propositio gratis 
assumpta, nenipe, proportionem in tribus terminis 
paucisshnis consistere ; cum tamen accurate lo- 
quendo, consistat in quatuor paucissimis. Omnis 
enim ratio consistit in duobus terminis paucissimis, 
et omnis proportio in duabus paucissimis rationibus. 
Quando vero dxix quantitates medire aaquales inter 
se sunt, id non mnnerum miuuit terminorum. 
Elemeuti hnjus quinti definitiones decem reliqure 
accuratffi sunt. 

B. Transeamus ergo ad definitiones Elementi 
sexti. 

A. Sunt illffi, excepta quinta, quse et ultima est, 
omnes accuratie. Nam illa quinta, cum et demon- 
strari possit et demonstratione indigeat, neque pro 
defiuitione, neque pro principio demonstratiouis 
haberi debet. Est autem hsec ; ratio ex rationibus 
componi dicltur, cum rationum quantitatehhiter se 
atiqitam effecerint rationem. 

B. Demonstra, quoniam demoustrabile esse 
dixisti, ex multiplicatione inier se antecedentium 
duarum rationum, et ex mnltiplicatione inter se 
consequentium, existere ipsarum rationum unius 
ad alteram additionem. 

VOL. IV. G 



S2 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



A. Rationes addendas propone quas vis. 

B. Rationi 2 ad 3 adde rationem 4 ad 5, per 
raultiplicationem. 

A. MuItipHco antecedentes, 2 et 4, in se, qui 
faciunt 8 ; deinde multiplico in se consequentes 
3 et 5 ; producitur 15. Probandum est rationem 
8 ad 1 5, sequalem esse ambabus rationibus 2 ad 3, 
et 4 ad 5. Nam 4 multiplicans 2 et 3, facit 8 et 
12. Est ergo ratio 8 ad 12 eadem qua? 2 ad 3. 
Rursus, 3 mnitiplicans 4 et 5, facit !2 et 15. Est 
ergo 12 ad 15 eadem ratio quse 4 ad 5. Sed in 
his numeris 8, 12, 15, ratio priraa? ad ultimam 
sequalis est ambabus rationibus simul 8 ad 12 et 12 
ad 1 5, hoc est, ambabus ratiouibus 2 ad 3 et 4 ad 5. 
Itaque demonstravi rationem rationi, per multipli- 
cationem in se antecedentium amborum et ambo- 
rum consequentium, additam esse, ut imperasti. 

B. Quomodo autem rationes altera alteri aliter 
addi possunt ? 

A. Si, nempe, ut antecedens est ad conseqnen- 
tem unius rationis, ita fiat consequens alterius 
rationis ad quartam. Nam si rationi 2 ad 3 ad- 
denda sit ratio 4 ad 5, fiat ut 4 ad 5, ita 3 ad aliam; 
prodibit 3f . Ponantur ordine 2, 3, 3£. Ratio ergo 
2 ad 3f est summa rationum 2 ad 3 et 3 ad 3f-. 
Est enim ratio 3 ad 3^, eadem quse ratio 4 ad 5. 
Et siquidem tres quantitates, 2, 3, 3$, multiplicen- 
tur oroQes per4, prodibuntS, 12, 15, iidem numeri 
qui facti erant per multiplicationem. 

B. Recte demonstratum est. Sed nonue sicut 
ratio rationi additur per multipbcationem, ita sub- 
ductio unius rationis ex alia fieri potest per divi- 
sionem ? 

A. Etiam. Nam, exempli gratia, a ratione 8 ad 
15 sit subducenda ratio 4 ad 5. Divido ambos 



MATHEMATIC-E HODIERN^. 



83 



numeros 8 et 15 per 4 ; unde fiunt quotientes 2 et 
3?, qui suut in ratione 8 ad 15. Rursus, divido 
1 5 per arabos numeros 4 et 5 ; et fiuut quotientes 
3? et 3, qui suut in ratione 12 ad 15. Positis ergo 
ordine uumeris 8, 12, 15, si a ratione 8 ad 15 sub- 
trahatur ratio 12 ad 15, id est, ratio 4 ad 5, relin- 
qtietur ratio 8 ad 12, sive ratio 2 ad 3. 

B. An non ratio a ratione subduci potest etiam 
sine his divisionibus ? 

A. Potest. Nam si fiat ut consequens rationis 
subducendze ad autecedens suum, ita consequens 
rationis integrae ad quartam, ratio, qua? post sub- 
ductionem reliuquitur, erit ratio antecedentis ad 
illam quartam. Verbi gratia; si a ratioue 8 ad 
15 auferenda sit ratio 4 ad 5, fiat ut 5 ad 4 ita 
15 ad quartam, quse erit 12. Positis ergo ordine 
8, 12, 15 ; si a ratlone 8 ad 15 auferatur ratio 12 
ad 15, id est, ratio 4 ad 5, relinquetur ratio 8 ad 
12, id est, ratio 2 ad 3. 

B. Clarissime. 

A. Animadverte quam sit ab improprietate ver- 
borum prouum hominibus prolabi in errores circa 
ipsas res. Sicut enim tu pro composita ratione 
stvmpsisti rationem quantitatum compositarum, 
ita Wallisius aliique plurimi rationem duplorum 
sumunt pro ratione dupla, decepti ab improprietate 
L-lo<|iiutionis. 

B. Miror autem quod tam clamose contendat in 
Eiencho Wallisius, compositionem rationum non 
additiouem sed multiplicationem dicendam esse. 

A. Tam diu autem mirari non desines, quam diu 
ab horaine, qui ea scripsit qurc hactenus legimus, 
quicquam expectabis accuratuni. 

B. Ex hac rationum compositione manifestum 



84 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

DiALosrs est, expositis quoteimque quantitatibus, rationei 
. . "' . primae ad ultimam aequalem esse rationibus om- 
nibus primae ad secundam, secundae ad tertiam, et 
sic deinceps usque ad ultimam, simul sumptis. 

A. Est ita ut dicis ; et ejus rei causam ostendit 
ipsa operatio. In quantitatibus enim tribus qui- 
busvis, A, B, C, dubitari non potest quin exposita 
A ad expositam B rationem habeat A ad B ; et 
sitniliter, exposita B ad expositam C rationem habet 
B ad C. Quare ratio A ad C composita est ex 
duabus partibus, nimirum, ex ratione A ad B et 
ratioue B ad C. Et siquidem essent quatuor quan- 
titates, A, B, C, D ; ratio A ad D, propter eandem 
causam, componeretur ex rationibus A ad B et B 
ad C et C ad D. 

B. Video ita esse. Sed hoc melius aliquanto 
videtur mihi demonstrasse Hobbius in libro de 
corpore (cap. xiii. art. 13): definitionem dedu- 
cens a doctrina de motu. 

A. Sed doctrina de motu paucissimis cognita est; 
cum tamen natura omnia, non raodo quie physicae, 
sed etiam quse mathematicse contemplatiouis sunt, 
per motum transigit. Primus qui scripsit de motu 
quod dignum lectu erat, fuit Galilseus. Progredia- 
mur jam ad Elementum septimum ; ubi primo de- 
finitur unitas, sed, ut modo vidisti, male ; deinde 
numerus, contraseutentiamWaliisii, optime. Tertia 
definitioest/>ar/t*,{subaudialiquot2e),quodsit ma- 
joris quantitatis mensura ; et recte, si per partem 
nliquotam intelligatur pars aliijuota numeri. AHo- 
qui pars in definitione mensura, non vtensura in 
definitioue partis pouenda est. Quinta hsec est : 

jroXAarXd trtos MW o fii.l£isiy tou f\u77-nvuc, orQu KarUfiirpeiTat vra 

rou i\a.TTOYoc Latini qui sic vertunt, multiplex est 



MATHEMATICE HODIERN;E. 



85 



major minoris, cum majorem metilur minor, anne 
distinguunt inter multiplex, (qtiod est multiplica- 
/niiij, et miiltiplum ? 

B. Non certe hoc loco ; neque Graeci inter 

lirXaoiov et hxkaoiova. Nam si fecissent, non toXAp- 

■*\*mov dixisset Euclides, sed wo\wXa.rto*a. 

A. Csetera bene se habent. 

B. Transeamus ergo ad definitiones Elementi 
decimi. 

A. Sunt et illse accurata; omnes. 

B. Antequam progrediare, velim dicas mihi quo 
fine, sive cui bono Euclides theoremata illa Ele- 
tnenti decimi difficillima nobis demoustravit. Csete- 
ras enim geometriae partes omnes usui esse video 
in communi vita, aut ad aedificandum, aut ad na- 
vigandum, aut ad machinas, aut ad calculum 
temporis, aut ad picturam, aut ad philosophiam 
naturalem, aut denique ad aliquid. Cui vero rei 
linearum ha^c irrationalium cognitio inserviat, non- 
dum cerno. Scio quae pulchra sunt, difficilia esse ; 
sed ut vicissim, qua; difficilia sunt, etiam pulchra 
sint, necesse non est. 

A. Quo fiue hsec demonstravit certe nescio ; sed 
quin in omni re ingenii splendor ipse per se pul- 
eherrimns sit, dubitandum non est. Attamen si 
ab ipso opere de consilio opificis conjicere Uceat, 
voluisse puto Euclidem, quantum potuit linearum 
omnium in figuris, certa et cognita lege descripta- 
rum, rationes couvertere in rationcs numerorum. 
Quod si natura fieri passa esset, computatio quse- 
libet faeUliraa facta esset, nimirum, in tabulas 
digestis omnium rerum rationibus. 

Restant definitioues Elementi xi. ; illa; quoque 
ad scientiarum severitatem exactissima;. 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 

B. Quid ? Tune sphreram, couum, et cylindrura 
bene definiri existimas per motum semicirculi, 
parallelogrammi, et trianguli super quiescentes 
axes ? 

A. Quidni? 

B. Au stellarum fixarum vel cujuslibet planetse 
sphteram descriptam fuisse putas a conversione 
semicirculi ? Similiter, axes horum corporum, qui 
definiuntur ab Euclide per rcctam lineam quies- 
centem ; nonne axes sunt, etiamsi non quiescerent, 
sed quocunque ferrentur corpora ipsa, quorum axes 
sunt, ferrentur una ? 

A. Tu firmum hoc argumentum esse credis 

B. Ita. Et eodem usus est Wallisms. 

A. Professorne Savilianus reprehendere Eu 
dem ausus est ? 

B. Non Euclidem reprehendit, sed Hobbium. 

A. Etiam Euclidem, si modo eodem argumento 
contra utrumque uti potuit. 

B. Esto. Sed cum lineam definisset Hobbius 
esse corporis, cujus nulla consideratur quantitas, 
moti via : quid opus est, inquit Wallisius, nofione 
motus, ut quid sit linea intelligatur $ Annon 
line<c corport quiescenti insunt, &c. ? Pariter ego 
dico tibi, quid opus est nominare motum, ut intel- 
ligatur quid sit sphrera ? Aunon potest concipi 
quiescens semicirculus in sph&era ? 

A. Si ille Hobbium, etiam tu Euclidem recte 
reprehendisti. Sed errastis ambo, uescientes na- 
turam definitionis. Nonne sunt definitiones scien- 
tiarum principia ? 

B. Sunt. 

A. Et omnis scientia a cognitione 
derivanda ? 



;nt, 
xes 

ntn 



causarum 



MATHEMATICE HODIERNjE. 87 

B. Verum. dialogus 

A. Ergo priticipium scientiae est cognitio causae. ^ "' _^ 

B. Etiam. 

A. Sequitur ergo cognitionem causae contineri 
debere in definitione. 

B. Fateor. 

A. Itaque optime definiunt illi, qui generationem 
rei in definitione explicant. 

B. Etiam hoc concedo ; et in Euclidis sphserse, 
coni, et cylindri definitionibus, generationes illo- 
rum corporum video, quanquam non similiter defi- 
nierat circulum. 

A. At circulum describi posse, qui describi nisi 
per motum non potest, inter postulata ut rem 
notam gratis sumsit. 

B. Saltem dicere debuit Euclides, sphaeram esse 
solidum quale fit, potius quam quod fit, ex circum- 
ductione semicirculi. Nulla enim est sphsera, quae 
per circumductionem facta est a natura. 

A. Qui figuras definiunt, ideas quae in animo 
sunt, non ipsa corpora respiciunt ; et ex iis quae 
imaginantur fieri, deducunt proprietates factorum 
similium, a quocunque et quomodocunque facta 
sunt. 

Vidimus jam principia geometriae tradita ab 
Euclide : quorum aliqua quidem, sed pauca minus 
accurata mutavimus ; reliqua ut irreprehensibilia 
partim prseterivimus, partim confirmavimus. 

B. Revertamur ergo ad Wallisium, et unde di- 
gressi sumus, nempe ad Caput decimum. Nam, si 
bene memini, eramus ad philologicorum et Capitis 
noni finem, tunc cum digredi incepimus. 

A. Sed differamus haec in triduum, quo tempore 
lectis arithmeticae ejus quse restant, ea tantum quse 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialogus materiam colloquio nostro subniinistrare possunt, 
. "' . discutieuda deligam, ne ea qua; utilitatem uullai 

molestiam uimiam uobis allatura sunt, ssepiui 

repetamus. 



DIALOGUS TERTIUS. 



B. Legistin' reliqua arithmeticse Wallisianre r 

A. Ita. 

B. Plenane videntur tibi, sicut anteceden' 
erroribus ? 

A. Minime. Sunt enim pleraque ex iis arith- 
metica; libris desumpta, qui pueris ediscendi scripti 
sunt ; csetera aut Ougthredi sunt, aut maxima 
parte falsa. 

B. Sed quai ab aliis habuit, ipse solus demo: 
stravit. 

A. Neque hoc quidem. Verum hsc inter lej 
dum considerabimus accuratius. In Capite decimo, 
numerationem in notis numeralibus vulgaribus ex- 
plicat, et cujusque uotffi tum proprium, tum loci 
valorem, tam in fractionibus decimalibus quam iu 
integris, exponit; ostenditque, sicut a loco unita- 
fum ad loca praecedentia proceditur per decupla- 
tionem, ita a loco eodem ad loca sequentia proce- 
ditur per subdecuplationem. Guarum quidem 
rerum demonstratio non est, sed constitutio fuit 
arbitraria. Explicatio autem et brevis et perspicua 
et accurata a magistro expectanda erat. Et primo 
qnod :td nmnerationem periodos adhibeat, period- 



rith- 
xipti 
a ex 

non- 
:imo. 



10 



MATHEMATIC.E HODIEHN.£. 89 

umque per loca tria potius quam per quatuor aut dul<k 
alium numerum finiat, non videtur ad artem arith- 
meticam pertinere. 

B. Sumamusnumerumquemlibet; eundem.verbi 
gratia, quem ille sumpsit, 2, 468, 013, 579. Quo- 
modo numerus hic verbis proferendus est ? 

A. Recte prqferendus, non ut Wallisius loqui 
solet, efferendus. 

B. Quomodo, inquam, proferendus est sine 
periodis ? 

A. Periodos utiles esse non negavi ; sed qusero, 
cur locis ternis definiuntur ? 

B. Si notarum valorem verbis enuntiaveris, 
videbis ipse. 

A. Significant notee illse duo millia millium mtl- 
Uum. qitadringenta se.raginta octo millifi milliian, 
tredecim millia et quingenta scptuaginta novem. 

B. Nonne vides verba tua distinguere te, quem- 
admodum ipsae notfe per loca terua distinguuntur ? 

A. Ita, sed Latiue. Distingue jam tu easdem 
notas per nomina numeralia, si potes, Graece. 

B. rOSSUm. ttcoCt tal riffoopfc fivpiucit: /ivpittCajy, i^atta- 
X<Xxa uKtattiaiat m* f'a )tvptn£t$, TftP\(Kut, rttTOKUtna, ifiHofir]- 



A. Sed hse voces distinguunt uotas numerales 
non per loca terna, sed per quaterna, hoc modo : 
24, 6801, 3579. Nihil igitur ad scientiam arith- 
meticam.qua: uuiversaliter omnibus gentibus eadem 
est, sed an diversas gentium dialectos pertinet. 
Deinde, cum dixisset, cypkra; quat locis supremis 
ponnntur nulli prorsus sunt usui, nnlliiis saltem 
necessitatis, scd rednndant potius; tantundem cnim 
rigtqficant 0001, 001, 01, et 1 : subjuugit ridi- 
i.uli-, firri qnidcm uonnnnquam potest ut elegantiw 



90 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



gratia, rel quo numerorum supputandorum col- 
latio commodior fiat, ut in apposito cxemplo, 
ejusmodi rcdundantes ci/p/ira scribantur ; 

Libra; Solidi Denarii 



Nfe, ille elegantia? sestimator imperitus est, qi 
inutiles istas ciphras ad supplcndas lacunas prasfi- 
gere elegantire esse judieat. Deinde paginas duas 
insumit ad declarandum naturam fractionuni deci- 
malium ; quod etiam imperitia? est. Cum enim 
locorum valores iu integris procedant a loco uni- 
tatum, semper per 10 multiplicando, et fractiones 
decimales procedant a loco eodem unitatnm, sem- 
per per 10 dividendo, supervacaneum erat disthi- 
guere loca dextra et sinistra. Nam posita fractione 
hac decimali -j','.-,, erunt facti, dividendo per 10, 
u - + w + 4, sicut integri 10, 100, 1000, facti mul- 
tiplicando per 10, proportionales. Itaque tota 
fractio valebit ^- + ib + m<. Similiter fractio haec 
,** valebit -^ + w + iss. Miror ergo quomodo verba 
hic reperire potuit, quibus fere duas paginas im- 
pleret. 

B. Scis eum non modo professorem geometriEe, 
sed etiam concionatorem esse ; et propterea in 
quserendis verbis necessario et multum exerceri. 

A. Sed cur numeros integros, et partes deci- 
ma/es conjungendas esse censuit, sicut iu hoc nu- 
mero feeit, quem exempli causa proponit ipse, 
3579753? Cur etiam partes delegit 753, quse in- 
versa? sunt integrorum 357 ? Nam lectorem impe- 
ritum a veritate abduceut, tamquam regula illa 
divisionis per 10, non esset aliter vera. 



c 

■ 

; 



MATHEMATICE HODIKRN.T:. 



01 



B. Car ita fecit nescio ; nisi, quia Ougthredus diaj 

fractiones decimales post unitati.s loemn posuit, ut , ! 

quae fiunt a numeris post divisioaem per 10, 100, 
1000, etc, residuis, et separatrice linea, qua quo- 
tiens a numero dividendo separatur, distinxit, eo 
fiue ut additionem, subtractionem, muItipHeatio- 
nera, et divisionem tam integrorum quam fractiouis 
iisdem operationibus comptecterctur ; ideo Walli- 
sius qui forte quid ab Ougthredo fieret, non W 
fieret animadvertisset, numeros ambos iutegrum 
et fractum, conjunxit, etiam ubi non esset opus, 
per imitationem. 

A. Verisimile est. Cur autem tot verbis ad rem 
tam facilem explicatu usus est, manifesta causa est 
quod ea, qua? scripturiebat, cruda adhuc et indigesta 
ilii erant. Qure autem nondum perfecte didiceris, 
nuuquam breviter et perspicue explicare poteris. 

Sequitur Caput undecimum de Notatione Alge- 
braica. 

B. Est in eo capite quod non intelligo. 

A. Ostende locum. 

B. En. Si rero, etc. 

A. Si reroeadem unitatitm mu/titudo, nempe 27, 
in contittua proportionc quadrupla disponatur, 
emerget ouaternionum '/uaternio unus, et duo in- 
super simplices quaterniones, cum tribus residuts 
unitatibus. 

B. Hoc, inquam, non intelligo. Nam si jnbear 
disponere 27 in proportione quadrupla continua, 
id est, in proportione numerorum 1, 4, 16; pro 
primo numero ponerem A, pro secundo 4 A, pro 
tertio 16 A ; quorum summa est 21 A. Diviso ergo 
27 per 21, prodibit ? r sive 1 f, pro A. Et 4 A 
erunt 5-r; et 16A,20-f; qui numeri faciunt ag- 



92 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialogeb gregatum 27- Quod verum esse scio ; sed non 
. '"• . intelligo quoinodo consistit cum uno quaternario 

quaternariorum, duobus quaternariis, et tribus uni- 

tatibus. 

A. Nec mirum. Nam non id voluit Wallisius, 
sed ut numerus 27 disponeretur secundum loca ab 
unitate valoris continue quadrupli. Quod est ve- 
rissimum. Nam si ultimus locus sit unitatum, 
penultimus erit quaternariorum, et tertius sedena- 
riorum. Estautem 27 uno sedenario, duobus qua- 
ternariis, et tribus unitatibus, sequalis. 

B. Video eum ita intelligendum esse ; sed debuit 
sic dixisse. 

A. Male quidem se explicuit. Ostendere enim 
voluit hoc loco quomodo scribendus esset numerus, 
si locorum valores non in ratione continua decupla, 
ut vnlgo fit, augerentur, sed in proportione qualibet 
alia, nt quadrupla vel tripla; vel quod idem est, 
si numerus notarum esset minor quam (nt nunc 
sunt) novem, quomodo scriberetur 27- Et verum 
est numerum 27, qui in proportione decupla scri- 
bitur sic, 27, in proportione quadrupla deberi scribi 
sic, 123, et in proportione tripla sic, 1000. 

B. Sed nullam habet ejus rei demonstrationem. 
Ostende igitur quare ita esse necessarium est. 
Et sit data proportio tripla. 

A. Uuoniam sicut in proportione decupla, novem 
tantum sunt notse quibus utimur, et decima ciphra; 
ita in proportione tripla, duo tantura erunt numeri 
digiti, et tertia ciphra. Erit autem 1 in loco ultimo 
unitas; et in loco tertio, ubi recurreudum est ad 1 
et ciphram, significabit 10 teruarium. Et in loci 
nono, 100 significabit 9, ut enim 3 in 3 facit 9, ita 
10 in 10 facit 100, et in loco vicesiuio septimo, 



MATHEMATICa: HODIBSNJE. 9d 

1000 valebit 27; propterea qaod, sicut 3 ad 27 ' 
sunt in proportione 3 ad 9 duplicata, ita tiumerus 
valens 27, debet esse in proportione 10 ad 100 
duplicata. Scribendus est ergo 27 per has notas, 
ut 1 ante tres cipbras signifieet id quod sit ex ter- 
nario iu se ter multiplicato, id est, 27- 

B. Si esset tantum una nota numeralis pneter 
ciphram, quomodo scriberetur idem numerus 27 ? 

A. Si ita esset, valor locorum procederet per 
rationem duplam, et recurrendum esset alternis 
locis ad 1 et ciphram vel ciphras. Nam 1 in ultimo 
loco significaret unitatem, in secundo ab unitate, 
10 significaret 2, et 1 1 in tertio loco 3, et 100 iu 
loco quarto 4, et 10000 in loco decimo sexto 16. 
ISam ut 4 in 4 facit 16, ita 100 in 100 facit 10000. 
Deinde 1 1 000 in loco vicesimo quarto valebit 20 ; 
et consequenter 1 1001 valebit 25; 1 1010 valebit 
26; et denique 11011 valelrit 2", id est, 1 unitas, 
1 binarius, 1 octonarius, et 1 sedenarius, qut simul 
faciunt 2"- 

B. Verum est. Sed nonne potest, ubi valores 
locorum sunt in ratione dupla, numerus 27 scribi 
per alias notas quam 11011 ? 

A. Potest ; sed assumenda est nota binarii. 
Nam sub his notis proportionis duplae 8,4,2,1, sub- 
scribe 2,2,1,1 ; hoc modo ££{- valebit 2211, duos 
octonarios, duos quaternarios, et prseterea bina- 
rium, et unitatem ; qui numeri faciunt simul additi 
27- 

B. Sed quando opus erit ut paucioribus notis 
utamur quam novem quibus utimur. Perge legere. 

A. His ita explicatis, monendmH duco universam 
arlem algebrtc sivc anahjticte ex hac uno quasi 
fundamento dfpendere. Nam revera quod nobis 



<M 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialoods gradus, sive ascendens sivc desccndens, primtu 

. , "'• - secundus, tertius, etc, illud est algebrisiis, latu. 

quadratum, cubus, etc. 

Concedo latus, quadratum, cubum, fundamentum 
esse, cui insistit, dicam ? an contra cum Wallisio, 
ex quo depcndet regula algebrte? Sed non inde 
dependet ars analyticae. At ille illam, qnam modo 
tractavit numeratiouem, nempe, per locorum va- 
lores in proportionibus decuplis, qnadruplis, triplis, 
etc, algebra? fundamentuni esse statuit; id quod 
difficile est credere, cum ante illum multi fuerint 
algebristffi, sed qui numeratioues has novas edidtt 
ipse primus est. 

B. Nusquam tamen, quod memini, numeration 
bus istis in sequentibus ntitur. Sed per fundamen- 
tum intelligit non illud, sed proportionum ab uni- 
tate incipientium varietatem omnem. Itaque verum 
est quod dicit. 

A. Esto. Cur autem paulo post de veteribm 
loquitur algebristis, ac si id aut ignorassent aut 
dissimulassent, et causam iguorantise eorum eam 
esse dicit i/uod arithmeticorum unum, non vero, ut 
oportuit, nullum, cum jmncto geometrico compara- 
rent? 

B. Certe in Elencho suo coutra Hobbium, multis 
in locis affirmat pnnctnm esse nihil. Postea vero 
in alio libello defendens librum suum De Angulo 
Contactus et De Arithmetica Injinitorum contra 
eundem Hobbium, negat se ita dixisse. Nun 
auteni illum saltem sic sentire satis intelligo. 

A. Video phantasiam ejus, aliis ideis omnibus 
deletis, solis occupatam esse symbolis. Qui enim 
aliter fieri potuit, ut symbola radicuni numerorum 
etiam non quadratorum numeros appellaret sanu: 



MATHEMATICE HODIERN£. 



95 



ct matbematicus ? Qui fieri potuit, ut geometriam diaukjuj 
ab aritbmetica dependere diceret,qui sciret radices .. . '"•. _. 
numerorum quadratorum rite extractas esse de- 
monstrari non posse, nisi per quartam proposi- 
tionem Elementi secuudi Euclidis pure geometri- 
cam ? Deuique qui potuit veterum geometrarum 
omnium capitibus ita insultare, ut diceret eos alge- 
bram ignorasse, idque quia nesciebant punctum 
geometris idem esse quod nikil arithmeticis, qui 
sciret si punctum nihil sit, neque lineam, neque 
xuperjiriem, neque solidum quiequam esse ? Prje- 
terea, cousidera proxima ejus verba hsec : Non 
flH (inea bipedalis bipeda/i addita Jacit quadru- 
pedalein, ideo duo et duo faciunt quatuor, sed 
potius ijuia hoc, ergo Ulud. SubinteHigitur, ergo 
geomefria ab arithinetica dependet, non hcpc ab 
illa, Belle admodum. Dic mihi propositio illa, 
duo et duo Jaciuul quatuor, estne definitio ? 
B. Non. 

A. At axioraa * 

B. Ita. 

A. Est ergo lumiue naturali cognitum ; non a 
magistro arithmeticae repertum, sed cum ipsa ver- 
borum intellectione a pueris receptum. Non ergo 
habet ab arithmetico geonietra, lineani bipedaten 
lineee bipedali additain faeere lineam qnadru- 
pedalem. 

B. Non sit ergo axioma, sed ab arithmetico 
demonstrandum. 

A. Quis autem illud arithmeticus aut demonstra- 
vit, aut demonstrare se debuisse judicavit ? Satis 
eniro a nutrieibus, dum nomiua nuinerorum pueros 
docent, demonstratur. Quid, quod hrfinitai sunt 
quaiititates contiuua?, quarum unius ad aliam ratio 



96 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialooub numerts explicari non potest f Quomodo ergt 
- contemplatiouis sunt arithmeticse, qus versatur 
tantum in rationibus numerorum f Contra vero, 
inter numeros ratio imlla est, qua> non exponi possit 
lineis. Quid, quod radices numerorum, quse alge- 
bram fere totam sustentant, plerreque, ut ante 
monuimus, numeri non sunt * Quare et calculus 
earum non arithmeticus sed geometricus est. Quid 
denique, quod cum ad aequationem ventum est, 
problema plerumque demonstrari non potest sine 
aliqua effectione geometrica f Hsec cum ita sint, 
quid censes, geometriam arithmeticae, an hanc illi 
subordinatam esse f 

B. Ego vero nunquam dubitavi quinaritbmetica 
geometria? pars, nec ea magna, esset. Nam ex 
Euclidis libris pure geometricis, educi facile potej 
arithmetica ; cum Iibri aritbmetici, ne omnes quidcm 
simul qui unquam seripti sunt, aut quos scripturus 
estWallisiuSjSufficiant ad produceudam centesimam 
partem theorematum geometricorum, qua? nuuc 
habemus. 

A. Adde et hoc, quod sicut regula alligationis, 
et regula falsi, ita regulam algebra unam esse ex 
regulis arithmetica?. 

li. Sed multo illis ampliorem. 

A. Assentior. Sequiturusussymbolorum.nempe, 
necessttas, brevitas, j^rspicuitas — Prhno, inquit, 
necessitatis causa ; cam pro niancro adhuc ignoto 
substituitur symbolum, seu character, eousque 

dum ipse innotescit Quasi problema, quod sub- 

stituto symbolo seu charactere investigatur, inves 
tigari non posset sine symbolo. 

B. Aupotest ? 
A. Quid t Au vox hsec ignotum vel qiKcsitunt 



HATHEMATICiE UODIERNiE. 



97 



minus denotat numerum (iuem quaerimus, quam dial( 
Ittera A, vel R, vel character p 9 Aut minus recte 
dicemus tfuaisiti quadratitm, quiun A A, vel Aq, 
velA»? 

B. Sed brevior est scriptio per literam unam, 
quam perintegrum vocabulutn. 

A. IIoc quidem concedo tibi de brevitate scrip- 
tionis, non autem de brevitatc cogitatorum ; quia 
non characteres soli, nec sola verba, sed res ipsae 
cogitaudae sunt, qnae abbreviari non possunt. 

B. Nescio quid respoudeam. 

A. Deinde, si necessitas illa absoluta non sit, 
sed ex supposita brevitate, quid dices de secundo 
BSQ symbolorum, nempe, de brevitate, quare primus 
usus non sit supervacaneus ? 

B. Nescio hoc quoque. 

A. Derode quod addit : — brecitatis et Jacili- 
tatis eausa, eum t/lttd noii raro citius peragatur 
pcr xi/titbola seu species, quam per ipsos numeros : 
— nisi intelligatur de scriptioue, falsum est. Nam 
et res, et verba, et symbola cogitanda erunt; quorum 
ultimum erit inutile. Jam vero quod ad perspi- 
cuitatem attinet, ego sane iu legendis demonstra- 
tkmibus per symbola scriptis, quam per verba, 
majorem semper reperi difficultatem. Tu, quiconica 
ejus symbolice scripta legisti, magis ea perspicua 
esse existimas, quam conica Apollonii vel MMorgii ? 

B. Ego in legendis conicis Wallisii, cum inci- 
derem in propositionem aliquam longiusculam, 
partim laboris impatientia, partim quod eam jam 
ante aliunde veram esse scirem, nec de methodo 
ejus dubitarem, demonstratiouis viam nimiuni levi- 
ter exatninavi. 

A. In demonstrationibus per symbola, opera- 
VOL. IV. H 



98 EXAM1NATI0 ET EMENDATIO 

dl*u)gus tionum supersunt, inquit, vestigia. — Nonue videi 
■ tur tibi operatiomim vestigia expressiora esse, verba 
et cipliras scriptas, sine quibus operatio fieri non 
potest, quam symbola, quibus carere potest, et 
semper caruit operatio arithmetica f Nisi forte 
putes A + B dicendam esse additionem, aut AB vel 
AXB multiplicationein, et -j-divisioneni esse A per 
B. Sed Res, iuquit, tota exemplo melius patebtt. 
Itaque probletna adducit, quod et per algebram et 
sine algebra solvi potest ; et utroque modo recte 
solvit; ita tamen ut solutiouibus illis nihil possit 
esse magis appositum ad ostendendum quod algebra 
non est analytica. Problema autem sic se habet 
carmine redditum : 

Accessit virgo tres supplex ordine Divos, 
Et tulit aeeedens asses, quot nescio, secum. 
Oratus ductos geminavit Jupiter asses [ 
Protinus iila Jovi tres asses grata pependit. 
Quotque superfuerant duplavit Phocbus Apollo ; 
Grata itidem Phcebo tres virgo reddidit asses. 
Pallas tunc reliquoa geminavit virginis asses ; 
Assibus et tandem tribus est donata Minerva. 
Unicus et superest, quem secum rettulit, assis. 
Dic mihi quot fuerant quos primo virgo ferubat ? 

Solvit autem per algebram sic : 
Pro ignoto numero assium al- 

latorum ponit IV 

Qui duplatus a Jove fit . . . 2V 
Inde Jovi solutis 3 assibus, 

restant 2-/ — 3 asi 

Gui duplati ab Apolline,fiunt . A-J — - 6 asses. 
Inde Apolhni solutis 3 assibus, 

restant W — 9 as 

Qui duplati a Pallade, fiunt . 8V — 18 asses. 



MATHEMATIC.t HODIERN*. 



Inde Palladi solutis 3 assibus, 

restant 8*^ — 21 asses. 

Sed restabat unus tantum assis. 
Est ergo ] assis - 8V — 2 1 asses. 
Et additis utrobique 21 assibus, erunt 22 asses 

= 8*/. 
Et 21 asses = 1 V, id est, numero assium allatorum. 
B. Recte sane, et breviter. 

A. Fateor: sed in hac operatione quid vides, 
propter qnod dicenda sit analytica ? Sive, quod 
idem est, quodnam est hic compositum qnod resol- 
vitor? Dicesne duplationem illam esse resolutionem ? 

B. Minime. 

A. Q,uid ergo ? An ternorura illorum assium 
subductio resolutio est ? 

B. Non videtur. 

A. Neque est ; nam methodus tota est synthetica. 

B. Quid autem est resolvere. 

A. Resolvere, est id, quod compositura est, de- 
texere, ordine qui sit ordini compositionis con- 
trarius. 

11. Declara hoc aliquo exemplo. 

A. AccipeexemplumWallisiiproblemasolventis, 
ut dicit, sine algebra, hoc modo : 

Relictus est assis 1. Itaque si Pallas reddat 
virgini quas acceperat 3, fiunt quatuor. Si illa 
reddat Palladi quod ab ea acceperat dimidium, 
fiunt 2. Deinde si Apollo reddat quos acceperat 3, 
fiunt 5 ; et illa Apollini quod acceperat dimidium, 
fiunt 2£ ; et Jupiter quos acceperat 3 asses, fiunt 5^. 
Et illa quod a Jove acceperat dimidium fiunt 2J. 
Itaque orania redeunt ad statum primum. 

B. Recte, breviter, et analytice. Nam quod 
factnm in problemate describitur ab initio ad finem, 



100 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



id per mutuam redditionem fit infectum a fine 
initium. 

A. Versus ipsius Wallisii sunt ; neque enim hoc 
tacere potuit ; etsi absque eo satis id mauifestum 
erat ; nam ductos geminavit Jupiter asses, nei 
dixisset alius. 

B. Problema ergo vetus est. 

A. Fortasse; at certe ingeniosumest,factumque, 
ut arbitror, data opera ad notaudos ethnicorum 
sacerdotes, quod qui ad deos accedebant illis medi- 
antibus, fiebant, etiam exauditi (ut virgo hrec), 
pauperiores. 

B. Propone jam exemplum aualyticse vera?, qua 
problema datum resolvitur in sua principia, nempe 
definitiones et axiomata. 

A. Sit propositum, exempli causa, super lineam 
rectam ad unum et idem ejus punctum constituere 
tres angulos tribus angulis trianguli dati, unui 
quemlibet unicuilibet requalem. 

B. Datum sit triangulum ABC, 
A. Per verticem B duco rectam DE, 

quam suppono angulum facere DBA 
angulo BAC sequalem, 
EBC requalem angulo BCA. Cum 
ergo angulus ABC sit communis, erunt tres anguli 
ad A,B,C, sequales tribus angulis ad B, unus uni. 
Sumatur in BE (si opus est, producta) BF requalis 
AC; et jungatur CF. Ciuoniam ergo duo latera 
BF, BC trianguli BCF, aequalia sunt lateribus AC, 
BC trianguli ABC, utrumque utrique, et angulus 
FBC requalis, per hypothesin, angulo BCA, super- 
posita BF ipsi CA cum ipsa congruet, et BC cum 
ipsa CB, et angulus FBC cum angulo BCA; et 
proinde etiam CF latus cum latere AB. Sunt ei 



noe 
um 
mo 



am 
ere 

: 




MATHEMATICE HODIERN*. 101 

iequales inter se AB, CF, (per axioma octavum i 
Elementi primi Euclidis) et aDgulus BFC aequalis 
angulo BAC, (per Eucl. i. 4.) Qui autem ad 
punctuin B in recta linea DF coustituuntur anguli, 
omnes simul a?quales suut omuibus simul angulis 
constitutis ad punctum C in recta AC producta ad 
G. Nain partes simul omnes sequales sunt toti 
utrobique. Cum ergo angulus BCF aequalis sit 
angulo ABC, et FBC sequalis BCA, erit reliquus 
FCG sequalis reliquo DBA sive BAC. Sunt igitur 
rectse AB, CF, quse ostensae sunt aequales, incli- 
natie ad easdem partes secundum augulos aequales. 
Parallelje autem sive tequidistantes lineaB defini- 
untur esse ilhe, qua; ab wqualibus rectis requaliter 
ad eagdem partes inclinatis distinentur. Parallelse 
ergo sunt BF, AC. Atque hactenus ratiocina- 
tionem, qua tres anguli trianguli rectiliuei duobus 
rectis jequales esse demonstrantur, in partes ex 
quibus erat composita resolvimus ; quae analysis est. 
li. Gmomodo autem ex illis crat composita ? 

A. Sic. Ex eo quod AC, DF sunt parallelse, 
concludunt angulum DBA aequalem esse angulo 
alterno BAC, et angulum FBC alterno BCA, et 
sngulum ABC communem ; et proinde tres DB A, 
ABC,FBCa:qualesessetribusBAC,ABC,ACB, 
unumquemlibet uni. Scienduma utem est, quod si 
analysts plenissime perageretur, non minus prolixa 
esset quam ipsa esset demonstratio, sumpta ab ipsis 
principiis usque ad illatam conclusiouem. 

B. Quin natura analyseos talis sit qualis hic 
explicatur, dubitari nou potest. Attamen ne ima- 
ginari qnidem possum quo facto idem fieri possit 
per algebram. 

A. Neque bercle ergo. Nam extra compara- 



102 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



locus 
quam 

;ates; 
■ i t ad 
d 1. 
jergo 
;ctan- 
(8-A) 

utrin- 
Suare 



dialogds tionem rectangulorum, (et triangulorum, quae sunt 
. *"• . ipsorum dimidia), iu geometria; et extra potes- 
tates numerorum in arithmetica ; algebrae locus 
nullus est, neque in illis analysis magis est quai 
synthesis. 

B. Exemplum ostende algebrje per potestate 
ita dividens 8, ut qnadratum unius partis sit : 
rectangulum sub tota et reliqua parte, ut 2 ad 1 . 

A. Radix quadrata quaesiti sit A. Reliquus ergo 
numerus est 8-A : quadratum ipsum, AA : recta 
gulum quaesitum, 8 x (8-A). Vis ergo A A: 8 X (8-t 
: : 2 : 1 esse proportionales. 

B. Volo. 

A. Sunt ergoAA=I6 x(8-A); et additis utri 
que 16 A, erunt AA+16A = 16x8 = 128. Qu 
16 + A, VI 28, A, sunt continue proportionales. 
Datur ergo A; et proinde etiam AA, et rectan- 
gulum8x(8-A). 

B. Sed datum esse A, nondum satis perspicio. 

A. Datur media proportionalis inter extrem 
16+A et A, nempe, V 128. Quare descripto cir- 
culo, cujus diameter est 16, a quovis puncto ejui 
ducatur tangens aequalis ■/ 128 ; ab extremitate 
ejus ducatur per centrum recta ad adversam cir- 
cumferentiam, eritque pars ejus intercepta inter 
tangentem et circumferentiam sequalis qutesitae A ; 
ut manifestum est per Eucl. Elem. iu. prop. ! 

B. AcVieta in bajusmodi rationibus exponendis 
atia utitur operatione. Nam ex medio puncto 
differentias cognitai describit circulum, cujus radius 
potest radicem numeri 1 28, et semissem dbTerentia 

A. Eodem recidit utraque operatio. 

B. Objicio etiam nondum inventam esse Ula 
radicem. Numeri enim 1 28 radix quadrata nulla e 



MATHBMATICK HODIERN^. 103 

A. Imo radicemhabet,sed nullo sequalem numero. dialooos 
Nam nmneri 16 et 8, qui faciunt 128, in linea . , ™' . 
recta similiter divisa in partes aliqnotas distingui 
puuuul ; et inter illas rectas inveniri potest media 
proportionalis, cujus quadratum erit ipse numerus 
128. 

B. Etiam hinc intelligi potest problemata quan- 
qaam aritbmetica, quae sine ope geometriae inveniri 
possuut per algebram, nulla esse. 

A. Ne crede igitur nimium post ha?c vamloquio 
professorum. Sed quid quaeso in ratiocinatione 
hac observas, propter quod dicenda sit analysis ? 
An cum ventum esset ad analogismum hunc, 16+ A 
: >J 128 : : */ 128 : A, aberamus longius a principiis, 
qaam cum accessissemus ad prop. 36, Elem. iii. 
Euclidis. 

B. Agnoseo hic quidem cursum quendam et re- 
cursum inter Eequalitatem rectangulorum et jequa- 
litatem rationum ; sed utra barum viarum magis 
teudat ad principia, statuere nondum possum. Sed 
progrediamur ad Caput duodecimum. 

A. Capita reliqua minus molesta erunt. Nam 
quse iu Ulis recta sunt, ut sunt plurima, trita suut 
et edita iu omnibus fere libris arithmeticis. pneter 
algebraica, qus ex Oughtredi Clace Matkematica, 
ubi multo brevius et apertius traduntur, desumpta 
sunt. Ea vero qnae Wallisii propria sunt, falsa 
sunt. Id quod habet sub iuitiuin hujus capitis, 
nempe hsec verba, siinf atttem fractiones seu nu- 
meri fracti non tam numeri quam unitatis frag- 
menta, suum est, idemque falsum et absurdum. 
Nam eo ipso quod fragmenta suut, fragmentorum 
numeru* sunt. Neque cuim ratio ulta adduci 
potest quare uncise, sextantes, trieutes, besses, 



104 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialogds dodrantes, cseteraque fragmenta assis, minus pr< 
. . "'• , . prie numeri appellantur unciarum, sextanthim, I 
quam animalia, numerus animalium. Capite 
cimo tertio traditur fractionum scribendarum ratio 
eadera quam vulgo sciunt, praater notationem frac- 
tionum algebraicarum, quas nemo intelligit uisi 
aliunde doctus. Uuis enim intelligit quod 2 Qu i 

3jR idem valeat quod^j^^ - , nisi qui ante id < 
dicisset. 

B. Sed quse regula est divisionis per symbols 
accurata ? 

A. Differatur hoc ad examinationem Capitis 
vicesimi, id est, ad locum proprium. Examinetur 
jam Caput decimum tertium ; ubi primo loco i 
dum docet demonstrandi additionem numerorm 
ut vocantur, digitorum. Verbi, iuquit gratia ; 
2+3 = 5j sic demonstrntur. Poiunttur primum c 
puncta, et deinde tria, gitcc omnta, si numerentur, 
reperientur quinqite. Libet hic quserere, cum 
dicat quod repcricutur quinqtte, a quo reperientur. 
Utrum ab eo qui scit, vel ab eo qui nescit, duo et 
tria esse quinque ? Si ab eo qui scit, id ei demon- 
stratum erat tunc cum uesciret. Sed qui potuit 
id fieri uumerando ab eo qui sciret tantum quid 
essent duo et tria, nesciens quid essent quinque ? 
Vides ergo ut nugatur. 

B. Sed perge. 
A. Vel stc. Quoniam notum est cx ipsa nitm 

rorum procreatione, gttam Capite quinto tradid 
ntus, quod sit 1 + 1-2«* 2+1-3 et 4+1-5, ■ " 
eruiit ctiam 2+3-1 + I +3 ; et 3 + 1 = 4 ; et 4 + 

Quomodo autem notum est per Cap. v. quod sit 
4+1-5 f Num id illic demonstratur ? Vel si de- 
monstretur, ex quibus principiis ? 



rac- 
uisi 
*!« + 

Idi- 

.ola. 

pitis 
_etur 
i mo- 
}rum, 
atia ; 
»/ duo 



MATnEMATIC.S IJODIERNa:. 



105 



B. Caput illud quintum definitionum est, vel, ut dial< 
ipse dicit, quse ibi traduntur sunt instar defiuitionum. , " 

A. Prineipium ergo est, 4 + 1 = 5. Cur non et 
2+3=5, seque principium est, et prohide indemon- 
strabile quod erat demonstrandum ? Non intellex.it 
WalUsius, saltem oblitus est l + 1 binarii, 2+1 vel 
1 + 1+1 ternarii, et sic deinceps, esse defiuitiones, 
neque accedere ad magistros arithmeticse, nisi qui 
jam sciunt quot snut iu quolibet numcro digito 
unitates. 

B. At in numeris, quos articulos et compositos 
vocant, methodus addendi qusenam sit satis de- 
monstravit. Num et hoc negas ? 

A. Non nego. Sed ita demonstravit quemad- 
modum omnes ; nam qui id quod ipsi faciunt inter 
operandum, clare eloquuntur : ut qul dicit ; 8 et 7 
sunt 1 5 ; subscribo unitatum loco 5 ; reservo 1 ad 
locum deeadum ; deinde, quod reservabatur cum 9 
et fi et 8 sunt 24 decades, id est, dua3 ceuturise et 4 
decades ; subscribo decadum loco 4 et centuriarnm 
loco 2, ut numerus totus fiat 245 : non modo tres 
numeros 80, 68, 97, simul addidit, sed etiam recte 
additos esse demonstravit. Quid habet ille amplius 
in demonstratione tripaginali praeter abundantiam 
verborum et obscuritatem symbolorum ? 

B. Nihil. Sed non animadverterat voces illas 
puerorum, dum numeros ita addunt, additiouis esse 
demonstratiouem. 

A. Similiter demonstrationes substractionis, mul- 
tiplicationis, et divisionis, sunt ipsae voces operau- 
tium, subtrabentium, inquam, inultiplieantium, et 
divideutium. Capite decimo quarto de subductione 
tractat, quam eodem modo demoustrat quo demon- 
stravit additionem. 



106 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

B. Transeamus ergo ad decimum quintum, de 
additione et subductione speciosa. 

A. Quod habetur hoc capite, totum desumptum 
est ex Capite ii. et iii. Oughtredi Clavis Mathe- 
maticce, cujus sunt brevissimze, veruntamen plenis- 
sima?, regulae ; altera additionis, nempe ut conjun- 
gantiir magnitudines scrvatis signis ; altera de 
subductione, nempe ut conjuncta utraque magni- 
tudiiie tini/enfur omttia xigna tiiagititudinis subdu- 
cenda:. Additionis exemplum apud Oughtredum est, 
ad 5 A 



fiunt 5 A— 3 A, sive 2 A. 
Ubi Wallisius videns differentiam magnitudinum, 
nempe 2 A, poni ab Oughtredo pro 5 A— 3 A, duas 
facit regulas ex una ; alteram, ubi signa similia 
sunt, alteram ubi dissimilia, regulam magistri sui 
elegantissimam non necessario corrumpens ; idem- 
que facit circa regulam subductionis. 

B. Videtur mihi in hoc capite docere debuisse 
Wallisius, quo pacto numeri dati radix alterius 
numeri dati radici commodissime addenda vel sub- 
duceuda sit. 

A. Addido radicum commodissima non fit sine 
multiplicatione ; multiplicatio autem infra traditur 
Capite decimo octavo. 

B. Istuc ergo eamus. 

A. Duo igitur capita integra prsetermittemus ? 

B. Sed percurramus leviter. 

A. Titulus Capitis decimi sexti est De addittonit 
et subductionis probatione. Per probationem in- 
telligit detiioiistiationem. 

B. Minime : nam neque additi subductionem, 
additionis; neque residui additionem, subductiouis; 



MATHEMATIC.S IIODIEKNJE. 



107 



neque.probationem noventariam, demonstrationem dial< 
esse ipse dicit. 

A. Quoniodo autem probatio est, si demon- 
stratio non est f Immerito ergo reprehendit Ra- 
mum, quod examinationes illas negaverit esse pro- 
bationes, affirmaveritque veritatem operationis satis 
ex ipsa apparere operatione ; id quod ego paulo 
ante dixi, nempe, operationem ipsam suas veritatis 
esse demonstrationem. 

Capat xvii. additionis et subductionis exercitium 
est; ubi computat primos annos a mundo condito 
ad annum prBesentem, nempe, ab initio ad dilu- 
vium ; a diluvio ad A rphaxad ; ab illo ad Tharam ; 
a Thara ad Abrahamum et promissionem. 

B. Siste paulum. Cujus rei promissionem ? Sa- 
lutisne gentium in semine Abrahami, an promis- 
sionem terrae Canaan ? 

A. Non distinguit, habens fortasse utramqne pro 
eadem. Deinde, a promissione ad Exodum ; ad 
Templum ; ad Christum ; ad aeram vulgarem ; ad 
annum Christi 1655. Deiude, de annis morse et 
servitutis Israelitarum in/Egypto disputat,eteorum 
computat mirabile incrementum. 

B. Scio. Nempe ut obiter chronologiam sacram 
emendaret. 

A. Nec tamen emendationes suas satis probat ; 
nec si probasset, pars ulla hujus capitis ad arith- 
meticam pertineret. Vides ergo hominis ostenta- 
tionem miseram, quicquid aut in scientiis, aut in 
linguis, ant in historia scire se sibi videbatur, in 
publicum importnne proferentis, certa juxta et in- 
certa, etiam in libro mathematico. 

Accedo jam ad Caput xviii. De multiplicatiotie. 
Audi ergo, primo, quomodo definit multiplicationem. 



108 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



pulogus Multipltcare, iuquit, c&t numcrum inrenire qui 
, '"' . tam fiabcat rafioiwm ad numcrum datum. Utrum 
propositio hasc (nam definitio non est) vera an falsa 
sit, unico exemplo intelligi potest. Sit datus nu- 
merus quilibet 6, et data ratio 4 ad 5. Potesne 
tu aut ille uumerum quaesitum invenire per solam 
multiplicationem ? Datus 6 multiplicandus est, sed 
per quem numerum ? Quis, inquam, est multipli- 
cans ? An multiplicantem invenias per multiplica- 
tionem? Productus erit 7.3. Nam 4, 5, 6, 7\, 
sunt proportionales. Numerum ergo quxsitum 
nou invenies nisi divideudo 7i per 6. Emerget 
autem quotus 1*7=77=^- Quauam autem multi- 
plicatione reperies istum T ? 

B. Intelligit iUe datum oportere esse multipli- 
eantem, eumque unitatis multiplum. 

A. Alii quidem ita intelligunt. Interea vero 
defiuitio quam ipse affert, vitiosa est ; quam tamen 
ad alias etiam quantitates applicat, paulo inferius 
dicens, mtdtiplicare esse datte alicui quantitatt 
afiam in data ratione exhibere. 

B. Erravit. 

A. Tanto decuit illum minus definidonem repre- 
hendere allatam ab Euclide, nempe, quod numerus 
nnmerum muf/iplicare dicitur, quando quot snnt in 
ipso unitates, toties componitur is gui multiplica- 
tur, etfactus est aliquis. 

B. Quid est quod hic reprehendit r 

A. Quod vox hrec, is aui muftipficatur, posita 
sit in definitione muttiplieationis. 

B. Nonne merito ? 

A. Ita. Sed cum tantillo opere emendari po- 
tuit, rectius fecisset, arbitror, si emendata potius 
usus esset. quam si falsam iu locum ejus substi- 
tuisset. 



MATHEMATIC^: HODIF.RN.r.. 109 

B. Sed quomodo corrigenda est t 

A. Sic. Numerus numerum multipticarc d'tcitm\ 
gnando quot smit in illo unitates, lofies Cfmipoiiititr 
hic, et aliquis fit. 

B. Recte ; et tam parva mutatione emendata 
est, ut sine ullo geometriae damno, etsi peccatum 
sii contra logicam, potuisset retineri. 

A. Etiam retinebitur. Reliqua capitis hujus 
eadem sunt qure vulgo traduntur, sed verbosius, 
adeoque obscurius ab Wallisio. Quod autem ad 
operationis demonstrationem attinere videatur, nihil 
affert; neque vero opus erat ut afferret, cum, ut 
j:im nepnu dLxi, ipsa operatio perfecta sit perfecti 
operis demonstratio. 

B. Sequitur Caput xix., De Divinione. 

A. Nihil hic video novi praeter tritarum jam 
omnium manibus regularum declarationem longam 
et frigidam, et, siquidem id tibi aliquid videbitur, 
operationis formam aliquoties variatam. 

B. Operationis alicujus formam variare non equi- 
dem difficile esse arbitror iis, qui formam ejus uuam 
aliquam jam intelligunt, si tamen alio et alio loco 
scribere residaam, vel alio atque alio modo diviso- 
rera multiplicare et subducere, formam operationis 
novam constituere dicendum sit. Additionem et 
subductionem radicum quadraticarum praitermis- 
sam ab Wallisio in hunc locum rejecisti. Ostende 
ergo nunc, qua methodo operationes illre perfici- 
antur commodissime, id est, ubi fieri potest, accu- 
ratissime ; ubi fieri non potest, cum minimo errore. 

A. Sed ostendendum primo est quomodo radix 
quadratica multiplicanda sit per numerum. Radi- 
cem autem per numerum multiplicandi regula hrec 
est. Quadretur tum numerus tum radix ; et quad- 



110 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



rata inter se multiplicentur ; eritque facti radi 
factum quaesitum. Exeraplum : sit radix qua- 
dratica 4 multiplicanda per 6 : quadratum radicis 
quadraticffi 4, est 4 : quadratum a 6 est 36 : 4 in 
36 producit 144 : radix 144,nempe 12, est id quod 
fit ex ductu 6 in radicem quadraticam 4, id est, 
in 2. Quod sic demonstro. Sint duo quadrata, 
AA=36, BB=4 : erunt ergo AA, AB, BB, con- 
tinue proportionales, iiimirum, in rarioue A ad B. 
Est autem A B id quod fit ex radice A, sive 6, in 
radicem B, sive 2. 

B. Recte hoc. Sed cur non melius est dati 
quadrati radicem primo invenire, et deinde invi 
tum multiplicare per datum numerum. 

A. Quia, nisi numeri dati sint quadrati, iuventa 
radix accurata non erit ; sed error aliquis certe 
inerit, qui post major fiet per multiplicationem, 
quae multiplicatio per hanc regulam evitatur. 

B. Video, hoc exemplo, quod datis duobus qua- 
dratis circa diametrum, completi super totam dia- 
metrum quadrati utrumvis complementornm, me- 
dium est proportionale inter quadrata data. 

A. Ita est. 

B. Adde jam radici quadraticse radicem qua- 
draticam. 

A. Regula bsec est. Quadrati inter se multipli- 
centur ; producti radis inveniatur, dupliceturque ; 
duplicatre addantur numeri quadrati dati ; radix 
summse est summa radicum propositarum. Exem- 
pli gratia : radix quadratica numeri 9 sit addenda 
radici quadraticse numeri 25. Quadrati inter se 
multiplicati faciunt 225 ; cujus numeri radix quad- 
ratica est 15, qui duplicatus est 30; cui numero 
si summa quadratomm addatur, nempe 34, fiunt 






MATHEMATICff! HODIERN^. 



111 



C4 ; cujus radix 8 aequalis est radici numeri 9 una dialogus 
curo radici numeri 25. Demonstratur autem sic. 
Mukiplicatse inter se radices faciuut unum ex com- 
plementis; et duplicatus facit duo complementa 
ad duos quadratos, 9 et 25, super eandem dia- 
gonalem dispositos ; additis ergo ipsis quadratis, 
fit quadratum a recta sequali lateribus ambobus. 
Illius ergo radix aequalis est summse radicum pro- 
positarum. 

B. Recte. Multiplica jam numerum radicum 
lu numerum radicum. 

A. Regula est haec. Ducatur quadratornra unus 
in alterum ; radix producti multiplicetur per factum 
ex numeris. Exempli causa : sint 8 radices qua- 
dratieaenumeri 9 multiplicandae ln 3 radices quadra- 
ticas numeri 4. Quadrati 4 et 9 inter se faciunt 
36 : factus ex numeris 3 et 8 est 24 ; qui multipli- 
catus in radicem quadraticam 36, = 6, facit 144. 
Tantundem faciunt 8 radices quadraticje 9, id est, 
24 in 3 radices quadraticas 4, id est, in 6. Demon- 
stratur autem sic. Radix 9 in radicem 4, est radix 
ejus qui fit ex 9 in 4, per regulam primam supra 
traditam. Quare 8 radices quadraticae 9, iu 3 ra- 
dices qnadraticas 4, est id quod fit ex 24 radicibus 
quadraticis ejus numeri qui fit ex 9 in 4 ; id est, 
quod fit ex 24 in 6, id est, numeri 144. 

B. Iu numeris quidem quadratis operabimur per 
banc regulam accuratissime ; etiam in numeris non 
quadratis miuor multo erit error, quam si radices 
extractas non veras post multiplicaremus : nam 
inultipHcaremus una errorem. Sed eademne est 
methodus multiplicandi radices cubicas, quae fuit 
multiplicandi radices quadraticas ? 

A. Eadem. Nam illici ostensum est productum 



112 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



niALoooa ex radicibus inter se, radicem esse producti 
- '"' - qnadratis inter se. Idem autem hic ostendam i 
radicibus cubicis, quadrato-quadraticis, et caeteri 
potestatibus. Sit enim datus cubus AAA; cujus 
proinde radix est A. Sitque datus numerus B, et 
per consequeus datus est cubus ejus BBB. Dico 
factum ex A in B, esse radicem cubicam numeri 
facti ex AAA multiplicati per BBB. Factum 
enim a cubis est ABABAB,cujus radix cubica est 
AB. 

B. Ostende operationem in numeris, multipli 
cans radicem cubicam numeri 64 in numerum 5 

A. Hoc est, in radicem cubicam numeri 125. 
Multiplico 64 in 125, et factus est 8000; cujus 
radix cubica est 20, factus ex 5 multiplicatis i 
radicem cubicam numeri 64, id est, ex 5 in 4. Si- 
militer, si duo numeri multiplicentur interse, facti 
radix quadrato-quadratica fequalis erit facto ex 
ipsorum radicibus quadrato-quadraticis. Exempli 
causa: sint multiplicati inter se 16 et 81 ; factns 
erit 1296, cnjus radix quadrato-quadratica est 6, 
factus ex 2 radice quadrato-quadratica numeri 16, 
et ex 3 radice quadrato-quadratica numeri 81. 

B. Manifesta ha?c sunt. Sed si plures radices 
quadratics, puta 6 radices numeri 4, ducendse sint 
in plures radices, puta in 4 radices numeri 9, quid 
faciendum est ? 

A. Divide nunc numerum radicum quadratica- 
rum per numerum aliiim radicum quadraticarum. 
Verbi gratia, divide 6 radices quadraticas numeri 
36, per 2 radices quadraticas numeri 9. 

Quadratum dividendi dividatur per quadratum 
alterum, et numerus per numerum. Qnotientis 
radix estquotiens quaesitus. 



MATHEMATICjE HODIKRNjE. 113 

Exempli causa : sit quadratum 36. cujus 4 radi- dialogus 
ces dividendse suut per 2 radices quadrati numeri 4. . " L . 

Divido ergo 36 per 9 ; qaotiens est 4. 

Divido item 4 per 2 ; quotiens est 2. 

Interpono inter quotientes notam radicis. Itaque 
quotiens quaesitus est 2 V4. Et 4 V 36, id est 24, 
si dividatur per 2 V9, id est 6, erit 2 V4, id est 4. 

B. Quomodo autem radix quadratica numeri 
non quadrati, a radice quadratica numeri etiam non 
quadrati subtrahitur r 

A. Si radices illae sint commensurabiles,per hanc 
regulam. Dividatur uterque numerus per max- 
imam amborum mensuram communem. Radix 
autem majoris dividatur in rationem radicis quo- 
tientis ad radicem quotientis. Exempli causa : sit 
radix quadratica 20 subducenda ex radice quadra- 
tica 45 ; divisis 45 et 20 per communem eorum 
mensuram maximam 5, quotientes sunt 9 et 4, et 
eorum radices 3 et 2. Divide ergo radicem qua- 
draticam 45 in rationem 3 ad 2 ; eritque segmentum 
minus radice quadratica 20 ; ex quo cognoscitur 
residuum ad radicem quadraticam 45. 

B. Sed radix quadratica 45 cum numerus non sit, 
dividi in rationem 3 ad 2 accurate non potest. Ve- 
lim ergo scire cujus numeri radix sit illudresiduum. 

A. Aliam igitur methodum radices commensura- 
biles tum subducendi tum addendi, nec quadraticas 
modo sed etiam cubicas, habebis ex Clave Mathe- 
matica Oughtredi ; additionis quidem hanc. Di- 
vidatur uterque numerus per maximam amborum 
mensuram communem ; radices utriusque quo- 
tientis simul addantur ; totius quadratum per 

VOL. IV. i 



eandem comntunem mensuram multiplicetur ; pro- 
ducti radix est radicum numerorum propositorum 
summa. Exemplum operationis affert hoc. Sit 
radix quadratica 147 addenda radici quadraticse 12. 
Divisis ambobus numerisper maximamcommunem 
meusuram 3, fiunt quotientes 49 et 4 ; quorum 
radices sunt 7 et 2. Quadratus a (7 + 2) est 81, 
qui ductus iu eaudem communem mensuram 3, 
facit 243, cujus radix quadratica jequalis est radi- 
cibus quadraticis utriusque numeri 147 et 12. 
Substractionis autem exemplum hoc est. Quadre- 
tur, non ut ante, summa, sed differentia radicum 7 et 

2, quse est 5 ; cujus quadratus est25 ; qui multipli- 
catus per eandem maximam communem raensuratn 

3, facit 7» ; cujus radix est a?qualis numero qui 
relinquitur deducta radice quadratica 12 ex radice 
quadratica 147. 

B. Num demonstrat hoc Oughtredus? 

A. Minime. Propositum enim illi puto erat 
algebram non omnibus scribere, sed geometris, qui 
quomodo demonstrandum esset ex ipsa operatione 
intelligere possunt. 

B. Demonstra hoc ta. 

A. Quod datum est sumo, radices numerorum 
147 et 12 esse commensurabiles. Suntergo esdem 
radices numerorum quadratorum. Ut ergo 147 
ad 12, ita est quadratus numerus ad quadratum 
numerum. Dividantur ambo per eorum com- 
nuincm mensuram maximam 3, eruntque quoti- 
eutes 49 et 4. Estergo, ut I4"ad 12, ita quadratus 
numerus 49 ad quadratum numerum 4 ; et ut radix 
quadratica 147 ad radicem quadraticam 12, ita 7 
ad 2. Additis simul 7 et 2, fit 9 ; cujus quad: 
est 81 : qui nuraerus multiplicatus per coramum 



idratus 
nunem 



MATHEMATIOE HODIERN-E. 115 

Daenmrain maximam 3, facit 243. Ut ergo 147 ad 
49, ita est 243 ad 81 : et ut 1 2 ad 4, ita est rursus 
243ad81. Quare ut 147+12 ad 49+4, ita est 
243 ad 81. Et proinde ut radix quadratica 117 + 
radice quadratica 1 2 ad radicem quadraticam 49 + 
radice quadratica 4, id est ad 7+2, ita est radix 
quadratica 243 ad radicem quadraticam 81, id est 
7+2. Quare radix quadratica 243 sequalis est 
radici quadratics 147+radicequadratica 12. Quod 
erat demonstrandum. 

Similis est demonstratio subdnctionis. Est enim 
ut radix quadratiea 147 ad radicem quadraticam 
12, ita 7 ad 2. Quare si subducatur 2 ex 7, erit 
ut radix quadratica 147 — radice qnadratica 12 ad 
radicem quadraticam 12,ita 7 — 2, id est 5, ad 2. 
Est autem quadratus a 5=25 : qui multiplicatus 
per eandem maximam mensuram commuuem 3, 
facit75. Est ergo ut radix quadratica 147 — radice 
quadratica 12, ad 7 — 2, ita radix quadratica 75 ad 
7 — 2, sive ad 5. Est ergo radix quadratica 147 — 
radice quadratica 12, wqualis radici quadratica? 75. 
Eadem est methodus etiam in subducendis adden- 
disque radicibus cubicis, et radicibus csterarum 
potestatum, nisi quod in additione et subductioue 
radicum quadraticarum quadratorum, qui ex divi- 
sione numerorum per maximam eorum communem 
raeuauram oriuntur, summa vel differentia ducitur 
in communem mensuram ; in caeteris vero potesta- 
tum radicibus, summa et differentia potestatum 
propriarum addendae, et substrahendse, et per 
numerorum propositorum maximam commnnem 
mensuram multiplicandae sunt. 

B. Sunt ha?c quidem liquido etbreviter demon- 
strata; sed fortasse etiam demonstrata sunt in capite 



[16 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



nte, 
•pus 

rs 

test 

igh- 

ipe, 

quo 

oibus, 

neque 

anrao 

mis et 

•andis 



DiAiocns sequente, ubi multiplicare et dividere docet WalH 
. "^ . sius algebrice. 

A. Operationum harum neque in eo capite. 
neque in toto hoc opere, etsi ab illo appellatur opus 
arithnieticum rntegrum, ne mentio quidein ulla 
Nihil enim aliud istic docet, quam multiplicare 
dividere symbola, ut cuilibet manifestum esse potest 
qui caput illud legerit ; et ba:c quoque ex Ough- 
tredo et Digghesio. Itaque caput illud, nempe. 
Caput xx., transiliamus. Etiam Caput xxi., in quo 
agit de multiplicationis et divisionis probationibus, 
possumus, cum nihil contineat neque boni neque 
mali, ut innocuum quidem sed inutile sine dai 
praeterire. Caput xxii. continet multiplicationis 
divisionis exercitium in mensurandiset comparandii 
rectangulis ; in quo nihil quidem reperio, quod ut 
falsum redarguendum sit ; omuia vere puerilia, et 
non necessaria, facilia tamen, eademque verbosis- 
sime ut pueris scripta sunt. Sequitur Caput xxiii., 
cui titnlus, Euclidis Elementum seeundum arith- 
metice demonstratum, id est, ut mox subjungit, 
lotumfere Elementum secundum. Nam demonstrat 
theoremata priuia tantum decem. Sed quomodo 
demonstrat ? Theorema primum per symhola scrl 
bit ; et pro omni argumento, patct, inquit, ex cal- 
culo. 

B. An pleniorem exigis demonstrationem, qu 
est calculus f 

A. Minime. Sed cum esedein propositiones per 
calculum demonstratai exteut apud Clavium, quor- 
sum attiuuit alioruin laborein oyinpiZiaQat r 

B. Fortasse ille brevius eas demonstravit. 
A. Tantum abest ut demonstrationes Wallisii 

breviores sint illis Clavii, quanquam symbolice 



LTI- 

•al- 

: 






MATHEMATICE HODIERNvE. 



117 



scriptie, ut plusquam triplo sint long 



ngiores. Et pne- 
terea, citius intelliget lector quilibet, etiam symbo- 
licus, decem illas demonstratioues Clavii, quam 
quamlibet unam ex demonstrationibus Wallisii. 
Denique propositiones ilke a quolibet, qui earum 
iutelligit demonstrationesgeometricas, non minus 
ad numeros applieari possunt quama Clavio appli- 
catse sunt. 

B. Pergamus ergo ad Caput xxiv.,Z)<? Geod&sia. 
Sed primo, dic mihi quid differt Geodasia a 
Geometria ? 

A. Nihil, nisi quod quibusdam hominibusmirum 
in inodum placet vocum Gracarum efformatio ali- 
qua vel compositio nova, ad ostentatiouem peritise 
linguae Graeca?. Sed diu nunc est quod ea vox, 
significans terra? divisionem, pro parte artis agri- 
mensorum usurpata est. Nosti quam exigua et 
trita pars ea sit geometriae, qua utuntur agrimen- 
sores. Docetur autem hoc capite novi nihil, sed 
quomodo triangulorum, et proinde poli/gonorum 
rectilineornm, arese ad numerorum calcutum re- 
duci solent. 

B. Nonne etiam circuli et sectorum raensura- 
tionem, et quadraturam circuli hic docet r 

A. Scribitur quidem in raargine libri, mensuratio 
circuli ef portionum ejus ; et paulo inferius, de 
circuli guadratura ; et ratio perimetri circula- 
ri.s ad diumetrum. In textu autem negat se hasc 
docere, sed de illis fusius dictum esse dicit in sua 
Arit/imcfica Injinilorum. Dicit prseterea, Josephum 
Scatigerum, Hererinum Longomontanum, et nu- 
perrimc Thomani Hobbes, immortales sibi inde 
singulis laudes deberi somniantes, mire hallucma- 
fos esse. 



118 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



B. Socios adjungit Hobbio non ignobiles. 

A. Sed quid habet ipse Wallisius de quadratt 
circuli insua Arithmetica Iiifinitorum. 

B. Tu, sivoles, videbis ; nam afferam tibi eti 
illum librum, postquam hunc excusserimus, exi 
tiendum. 

A. Caput xxv. est de quantitatum invicem com- 
paratione quoad d\fferentiam, et quoad rationem : 
id est, ut vulgo loquimur, de rationibus arithmetica 
et geometrica. Dicit autem sciendum esse quan- 
titates non nisi homogeneas comparandas esse ; et 
hoc quidem recte. Deinde subjungit, si quis au- 
tem contrariumfecerit, puta, datte Hneic ad dntam 
superficieni, vel temporis ad lineain, rationem 
inquirens, tdetn erit ac si qtursieerit qiiautiim lcin- 
poris tfquetur lineai. 

B. Videtur hic repetere illud quod Hobbio ante 
objecerat, quod quantitatem temporis cum quanl 
tate lineae comparaverit. 

A. Prffitereo Ioqmitionem illam barbaram, idem 
erit etc. Sed a te qurero, utrum idem sit quffi- 
rere quam rationem babet quantitas temporis ad 
quantitatem lineae, et quterere quantum temporis 
sequatur lineae. 

B. Puto. 

A. Quantitas temporis, quid est ? 

B. Nonne ipsum tempus determinatum 

A. Et quantitas lapidis, quid est? 

B. Non est respondendum uunc ut prius, nera] 
esse ipsum lapidem determinatum. 

A. Refugis scilicet absurditatem dicti, lapis est 
f/uantilas. Attamen non minus absurde dicitnr 
tempus esse quantitatem. 

B. Quid ita : Cum in prffidicamento quantitatis 
tcinpus sit, lapis uon sit. 



lte 
ti- 

em 



MATIIEMATICiE HODIERN^E. 



119 



A. Quamdiu est, quod terapus sit in illo prasdi- 
caraento, et a quo ibi eollocatum : 

B. Positum ibi est ab Aristotele. 

A. Si non posuisset, non ibi esset. Nihil ergo 
agis, uisi ostendas quare sic collocatum esse opor- 
tuit. Tantum quidem dicitur esse tam coijjus 
uaturafc qunm tempus; neutrum autera dici potest 
abstracte tpiantitas. Omnis euim quantitas, si ac- 
curate loquendum est, aut fongitwlo est, aut super- 
jiciesy aut solidum, sive ut quidam loqui solent, 
corpus matheuiaticum. Tempus autem, et motus, 
et vis, ca;teneque res de quibus quperi potest quan- 
tae sunt, quantitates habent, quibus quanUe suut 
deterrainatur, aliquas vel aliquam ex illis tribns, 
nimimm illas ipsas quibus mensurantur. Temporis 
jam mensura quaenam estf 

B. Motus. 

A. Scio. Sedipsius motus qusenain est mensura ? 

B. Linea. Nam per Hneas metimur motus, sal- 
tem metiri possmnus, et per motum tempus. 

A. Recte. Et quod mensuram metitur, metitur 
etiam mensuratum. Est ergo Hnea mensura tem- 
poris : potest autem temporis mensura comparari 
cam Unea, hoc est, linea cum linea. 

B. Imo, necesse est ut comparetur, quia alioqui 
non esset mensura. Videojam.quanquamabsurdutn 
sit Hneam dicere tempori aequalem esse, non tamen 
absurde dici quantitatem linese sequalem esse tem- 
poris quantitati. Assentior ergo tibi, quseri posse 
rationem quautitatis temporis ad quantitatem liues, 
etsi non ad ipsum terapus, ut neque ullius quauti- 
tatis ad corpus naturale. Pudet ergo mei, tum 
etiam Wallisii, cui in hac re et nounulUs aliis nimium 
temere crediderim. Sed non satis intelligo cur 



120 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



potius quantitatem littear dicis, quam simplici 
lineam. 

A. Quia accurate loquentes, lineam dicemus 
longam, potius quam longitudinem. Est eniiu 
linea id quo longitudines mensuramus, nempe, cor- 
pus aliquod, ut funis, virga, brachium, pes, vel 
aliquid simile; et quia dum eo utimur in rebus 
mensurandis, unam ejus dimensionem, nempe longi- 
tudinem, solam consideramus, ob eam rem obtimiit 
Iiabere et dici longitudinem. 

B. Fuimus sane ego et Wallisius tardiores qnai 
ut hiec ita esse, nisi ab aliis moniti, intelligeremus 
caeterum ego aliquanto magis cavi quam ille, ne 
deridere viderer ea quse non satis intelligerem, et 
postea vera esse apparerent. Nou ergo comprobo 
ea quffi subjungit, nimirum, quterere quara rationem 
habeat quantitas linefe ad quantitatem temporis, 
non viinus ahsttrdum esse, quam si qtueratur quot 
colores constituunt so?titm, et qnot soni constitttunt 
gravitatem. 

A. Sed ille se a seommatis abstinere ideo non 
potuit, quia ex eorum numero est, qui de iis qi 
semel conceperint dubitare nou possunt. 

B. Quos dicis ? 

A. Eos dico qui in eivitate degentes, civitatisque 
comraodorum participes, et a civili potestate accipi- 
entes quod vivunt, summo tamen imperanti civitatis 
imperare, saltem non obedire, postulaut. 

B. Mitte ista. Perge legere. 
A. Ita faciam. Vides interim quantitates tei 

poris et linese esse homogeneas ; bomogenefe eni 
quantitates sunt, ut in superioribus colloquiis agw 
visti, quarum mensune 'i^ap^yxn. Accedens frii 
ad distinctionem rationis arithmeticai a ratioi 



MATHEMATICJS HODIERNJE. 121 

geometrica, illam esse dicit qua comparantur mag- dialogus 
nitudines secundum djffierentiam ; et id quidem . '"' ^ 
recte ; hanc, secundum quam una est alterius quo- 
tupla vel quantupla. 

B. Quid est illud quantuplum ? Latinum certe 
non est. 

A. &wop(a \6ytay 0tf proverbium Gracorum, quod 
Latine sonat cui hceret oratio tussit, verum est ; 
sed et verum est eos, qui dicendo progredi alias 
nesciunt, necesse aliquando habere nova verba 
cudere quae nihil significant non plus quam tussis. 
Nam cum deberet dicere rationem geometricam 
esse tunc, cum una quantitas tanta est respectu 
alterius, quemadmodum superius dictum est, et* 
ignorans naturam rei dixit esse tunc, cum una quan- 
titas est quantupla alterius. 

B. Imo vero, non ignorans, sed nolens videri 
edoctus ab Hobbio, (nam is illum hoc docuerat), 
voluit saltem aliter loqui, ut videretur dissentire. 
Infaeliciter. 

A. Paulo post, eadem exemplo illustrans, se- 
cundoj inquit, qucesito satisfit ubi ostenditur quotu- 
plum sit hoc ad illud 9 (voluit dicere hoc illius), 
omissa voce quantupla. Ex quo intelligitur ratio- 
nem diametri ad latus geometricam non esse, 
cum altera alterius totupla esse non possit. Itaque 
melius aliquanto fecisset, si retinuisset quantuplum. 

B. Quomodo vertitur Anglice quantuplum vel 
tantuplum ? 

A. Viderint lectores Angli. Sed lego. — In pos- 
teriori, de ratione sive proportione quceritur, djffie- 
rentia interim minime considerata. — Quid ? In 

♦ Sic Edit. 1668. 



122 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialogus coraparatione geometrica 4 ad 2, vel 2 ad I, 

. "'• . laue habita est ratio differentije r 

B. jEque ac in ratione arithmetica. Nam diff 
rentia inter 4 et 2 est dimidium antecedentis, i 
differentia inter 2 et l.est item dimidium differen- 
tiffi inter antecedens et consequens ; quarum diffe- 
rentiarum si uulla haberetur cousideratio, nulla 
cousideraretur omuino ratio. 

A. Divisionis, inquit, quotiens ostendit rationem 
dwidui ad divisorem, Verum est. Sed in sequeu 
tibus, quoties proposito suo expedit, quotientem 
semper dicit esse dividui ad divisorem rationem 
ipsam ; quippe qui absque eo regulam auream de- 
monstrare non potuisset. Si pondus, inquit, A 
sit ad pondus B, vt linea a ad lineam fi, non tamei 
dici potcst vicissim, ut pondus A ad lineam a, tta 
pondtts B esse ad lineam fi, 

B. Siquidem per 2 i0, 'dus intelligat jionderis 
quantitatem, non video cur non possit ita dici. 
Nam quantitates ponderis et linere exhiberi possunt 
in duabus liueis. 

A, Consentanea hsec sunt ns quse ubique habel 
loquens de natura quantitatis ; confundit enim 
abstraetum cum concreto, quantitatcm cum onaiito, 
tanquam significarent idem. Sed vide quam im- 
perite loquitur in sequentibus. Nosti geometras, 
quando datur area rectanguli cum uno coeffaceu- 
tium, latus alterum solere invenire per applica- 
tionem areie ad latus datuin ; arithmeticos autera, 
dato numero et uno numerorum per quorum mul- 
tiplicationem factus est, alterum invenire per divi- 
sionem. Itaque propter similitudiuem methodi, 
divisio arithmeticorum et applicatio geometrarum 
pro eadem re haberi consuevit. ExempH causa : 



MATHEMATICJE HODIERN^. 123 

si rectangulum dicatur ease 12, intelligitur couti- i 
nere 12 rectangula jequalia et toti similia ; quod 
si dividatur per 6, intelligitur per 6, sex ex Utis 
rectanguhs. Ita ut si quferatur quoties 6 rectan- 
gula coutiueantur in 12 rectangulis ejusdem cum 
Hlis raagnitudinis, respondebitur (secundum quo- 
tientem) 2. Itaque applicatio geometrarum et 
divisio arithmeticorum eadem fere res est, ut et 
ductio geometrarum et arithmeticorum multipli- 
catio ; nisi quod multiplicatio linese per numerum, 
nunquam producit super6ciem, sed lineas ; nec 
applicatio numeri ad planum facit unquara lineam. 
Quod autem latus, id est liuea, per applicatiouem 
prodeat, cum per divisionem prodeat numerus rec- 
tangulorum, id contingit, quia similitudo et a=qua- 
Htas rectangulorum facit ut alterum quidem indicet 
numerum rectangulorum similium et aequalium, 
alterum vero numerum multiplicantem. Neque 
in rectangvlis tantum, sed etiam in quibuslibet 
parallelogrammis idem accidit. Quod cum ille non 
videret, mire se torquet, cruda et indigesta cogitata 
sua explicare cupiens. Itaque divisiouem esse ne- 
gat, nisi Kamxpiitnriki quotieutemque non proprie 
dici id quod prodit, nec respondere questkrai 
quol aut fjuoties ; cum tameu manifestum sit, 
id, quod prodit, esse latus cujus segmeuta sunt 
uumerus segmentorum indicans quoties numerus 
miuorum parallelogrammorum contineatur in pa- 
rallelogrammo toto. Exempli gratia ; in parallelo- 
grammo ABCD, diviso A B in 6 partes iequales, 
et AC in 2 partes sequales AE, EC, latus AC, 
nempe quotieus, est 2, indicans sex parallelo- 
gramma contenta in A F contineri bis m toto 
parallelogrammo B C. Deinde paulo post, ufri 



134 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



magnitudo, inquit, aliqua numero dividttur, non 
tam divisio est quam multiplicatw. Quod falsum 
est ; imo vero absurdum, niagnitudinem per nume- 
rum dividi, ut nulla tamen fiat divisio. Nam si 
qua^ratur quoties 2 A reperiantur in 1 A, respon- 
detur accurate 4 semel ; aeque ac si qusereuti quo- 
ties 12 contiuentur in 6, responderetur -w. At 
quaritur, inquit Wallisius, quoties uumerus qua- 
draforum tn area A B, contineat numertim longitu- 
dinum in latere K, ut proventat numerus longitudi- 
iunii in latere B. Itaque in numero quadratorum, 
id est in parallelogrammo, contiuetur numerua 
lougitndiuum : id est, lougitudines aliquot faciunt 
superficiem. Quod et absurdum est, et contra 
quae proxime ante dixerat, niinirum, hic nou qua;ri 
quoties A continetttr in plano A B. Sin per numeros 
quadratorum et longitudiuuui intelligi vult nu- 
meros simpliciter, ut seusus sit, uumerum aliquem 
simpliciter, id est, nullarum rerum numerum con- 
tineri in area parallelogrammi AB, loquitur ali- 
quanto etiam absurdius. 

B. Veritatem circa differentiam inter applica- 
tionem plani ad lineam, et divisionem numeri per 
numerum, pauci suut qui non intelligunt, sed viden- 
tibus quasi per nubem, utrum accuratissime con- 
veniant inter se nec ne, non satis constat. 

A. Imo vero, potius id quod coustat nescientes 
eloqui. coguntur a sua ipsorum <Vj>u ( ioXoy('y veritat 
quam enuntiare nesciunt, contradicere. Quod 
proxime sequitur, rationes omnes (subaudi geome- 
tricas) ouarmiicuni/ue atl inriccm quantitatum esite 
inter se homogeneas, peracutum est, adeo ut non 
intelligatur. Ubi defiuivit homogcneum ? 

B. Nusquam. Sed definiisti tu honiogeneas 






MATHEMATICF. HODIERN^E. 



125 



quantitates eas esse quaruua mcusurse congruere 
possunt. 

A. Sed qusenam mensura est qua computantur 
inter se duae rationes ? Per lineam minorem 
metimur majorem ; et per superficiem minorem, 
majorem superficiem ; nimirum, unam alteri super- 
ponendo. Sed an et rationem majorem superpo- 
nendo metimur, vel ratio rationi superponi potestr 

B. Minime. Sed possunt quantitates ipsae, qua- 
rum ratio quseritur, uua supra aliam poni ; et 
rationes ipsse sic comparari ; ut fecit Hobbius, 
Cap. xiii. Art. 6, libri de corpore, in quo capite 
theoremeta Elementi quinti Euclidis omnia, et 
nonnulla alia non minus pulchra, breviter et per- 
spicue demonstravit. 

A. Si ab illis qua* ibi dicta sunt suam hanc 
rationum homogeneitatem derivavit, recte fecit; 
id nescivit tamen. Praeterea, quod dicit lineam et 
pondus heterogenea esse, verum est ; potest tamen 
esse ut eorum quantitates sint homogenese ; nam 
ut linese ad lineam ratio in duabus lineis exhibetur, 
sic etiam eorum* ponderum ratio in duabus lineis 
exhiberi potest. Ut enim cubus ad cubum ejus- 
dem materiae duplum, ita est pondus ad pondus 
duplum ; et ut utrumvis ad suum duplum, ita linea 
ad liueam duplam. Erit ergo ut quantitas ponderis 
ad longitudiuem linese qua: ipsum repnesentat, ita 
qnantitas pouderis dupli ad longitudinem linese 
dupta? ipsum reprsesentantis. Sed pergo. — Si com- 
paretttr, inijuit, qitoad ratioiicm ijiuidripondium rt 
bipondium, ratio est dupla ; s't fi/iea ouadrupedalis 
ad pedttlem, ratio est qttadrupla ; quee rationes 
ad invicem eomparari possunl, nempe, h<vc illius 



• Sic Edit. 



"duorum ponderum." 



126 



KXAMINATIO ET EMENDATIO 



dupla est. — Bene se habet. Sed rjuid si pro qua- 
dripondio et hipondio posuisset sex pondo et tri- 
pondium, et pro lineis quadrupedali et pedali lineam 
duodecim pedura et trium pedum ; quomodo argu- 
mentum ejus quadrasset? Quomodo, inquam, ra- 
tionem posteriorem prioris quanta pars esset, 
ostendisset ? 

B. Sic. Si comparatur quoad rationem se: 
pondo et tripondium, ratio est dupla ; si linej 
duodecim pedum comparatur cum linea duorum 
pedum, oritur ratio sextupla. Quse rationes com- 
parari possuut ; nempe, haec illius erit tripla. 

A. Quid ita? Rationem 12 ad 2 triplam esse 
censes rationis 6 ad 3 ? 

B. Video : nam ratio 16 ad 2 est tripla rationis 
6 ad S. Sed fraudi illi et mihi fuit, quod in ex- 
emplo Wallisiauo tum quantitates tum rationes, 
altera alterius dupla est ; id quod contingit in pro- 
gressione per duplationera sola, alias non item. 
Sed miror cur hic dicit rationem 4 ad l duplaui 
esse rationis 2 ad 1 , cum ipse in Elencho multis et 
malis verbis contendat rationem illam dicendam 
esse non duplam, sed duplicatam. 

A. Deinde causam reddens discrimiuis inter 
comparationem duarum quantitatum quoad diffe- 
rentiam, et comparationem earundem quoad ra- 
tionnn, imperitiara suam ostendit etiam amplius. 
Nam cum ostendere deberet differentias quanti- 
tatmn excessuum vel residuorum esse homogeneas, 
ostendit tantum ipsa quanta, nempe excessus et re- 
sidua, esse homogenea. Nescit enim distinguere in- 
ter quantum et quantitatem. Secundo, cum dicat 
vhi autem comparatiofit quoad rationem, 0M emer- 
gel ratlo comparatorum genus non raro deserit, et 



MATHBMATICiE HODIBRNjB. 127 

transit in genus numerosum, manifeste prodit harom dialogus 
rerum ignorantiam invincibilem. "'" - 

B. Invincibilem ? 

A. Talem, inquam, quae a nullius hominis al- 
terins ignorantia snperari potest. Comparatio, 
inquit, non raro relinquit comparatorum genus. 
Concedit ergo qnod relinqnit comparatorum genus 
aliqnando. Snnt ergo comparatio et comparatum 
aliqnando homogenea. Praeclare pro gradu doc- 
torali et officio professoris geometriae. 

B. Vide quseso, omissis quae ille erravit, an ego 
sensnm tnnm de hac re satis capiam. Videris enim 
tn sentire rationem rationi, geometricam geome- 
tricse, et rationem rationi, arithmeticam arithme- 
ticse, homogeneam esse. 

A. Ita. 

B. Et rationem geometricam arithmeticae hete- 
rogeneam. 

A. Etiam. 

B. Et in quantiSy lineam lineae, snperficiem sn- 
perficiei, et solidnm solido homogenea ; sed altera 
alteris heterogenea. 

A. Nimirum, sic sentinnt omnes. 

B. Sed qnantitatem, in abstracto, cujnscnnqne 
rei quantitati, in abstracto, cujuslibet alterius rei, 
homogeneam esse, ideoqne linearnm, snperficierum, 
sotidorum, temporis, motus, vis, ponderis, roboris, 
resistentiae quantitates esse homogeneas, etsi ipsae 
res sint heterogeneae. Item, loqnendo de iisdem 
rebus pluraliter, quantitates plnrium linearnm, su- 
perficierum, solidorum, temporum, motuum, virium, 
ponderum, resistentiarum, esse homogeneas, tum 
inter se, tum etiam numero ; nnmernm autem non 



I2S 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialogds esse quantitatem, sed quantitates vel quauta, vel 
- "'• plura quaecunque. Nonneitaest? 

A. Ita profecto arbitror. 

B. Et ego ; nam clare et accuratissime quod r 
est, eloquutus es. 

A. Quirl autem volunt ista postrema verba, et 
transit in genus tiumcrosum ? 

B. Valent illa forte in homine matbematico. 
idem quod tussis in oratore. 

A. Sed vide id quod sequitur ; primo, an sit ve- 
rum ; secundo, an consentaneum illis quae alias 
dicere solitus est. Verba hasc sunt : Et tptidem 
cuvi duplum et dimidium, triplum et triens, per- 
indepro rationum nominibus habenda siut, ditnidii 
atttem et trientis notte 4-, -J- numerts (Jractis) t. 
censeantur, t/nidni et dupli, tripli notte, -f 
2, 3? Atque hac potissimum de causa ego tofam 
doctrinam rationum arithmetica 1 potius qtiam geo- 
metrictc specttlutionis esse (iittutno. 

B. Neque vera suut, neque dissentanea iis qua? 
sensit scripsitque pluribus in locis ; uec tameu iis, 
qua: in nonuullis aliis locis scripsit monitus, con- 
sentanea. Plerumque enim, «t nunc, numerum 
fractum, sive quotientem, eandem rem esse dicit 
cum ratione. Sed cum mouitus ab Hobbio esset, 
numeros fractos quotieutesque omnes esse quanti- 
tates absolutas, rationem autem omnem quantita- 
tem comparativam esse ; negavit se dixisse, quoti- 
entem esse rationera ipsam, sed ratiouem esse pei 
quotieutem. Tractatus ejus de Arithmctictt InJ 
nitorumtotus eo fundameuto nititur, quodquotien; 
sit ipsa divisoris ad dividendum ratio, ut quod -! 
sit ratio 1 ad 3. 

A. Si ita est, neque totus iste tractatus ullhi: 



MATBBMATICf HODIERN.F.. 



129 



est pretii, neque is qui illum scripsit. Scripserat 
Ougbtredus Capite sexto Cfarix Ma tkem atieca, sub 
initium, quod quotiens divisoris ad dividendum ra- 
tionem indieat. Verura in editione Angliea invc- 
nio eo loco, quotietitem esse rationem Ulam ipsjun. 
Forte ergo liber ille Angbcus ex versione est ipsius 
Wallisii. 

B. Nescio, sed parum refert ; non enim creditur 
Oughtredum sic verti voluisse. 

A. Pergens : Comparativttcm, qiue cvt qnoad 
dfferentiam, ad qitmititatati : at qme qitoad ra- 
tionem, adqualitatcm refercitdain esse, ait. Nempe, 
illam ad pradicanieiituni quantitatis, banc ad pra> 
dicamentutn qualifatis. Sed quare? Quia ab 
Euclide defiuitur vw* eyims. En hic Mm/yopt/iHwW pro- 
fessorum academicorum. Gluid autem signiricat 



B. Habitudinem qualitaticam, ut ille nunc verttt. 
Sed fateor me non intelligere neque quid sit habi- 
fudo, neque quid sit ijiiaUtativa. Dices fortasse tu 
hoc loco tussiisse etiam Euclidem. 

A. Sequuntur deinceps dua? paginae in quibus 
interpretatur quid sint progressio geometrica et 
progressio artthmetica, continua et interrtipta : 
ubi non tam deest veritas, quam abundant verba. 
Caput vicesimum sextum, coutinet solutiones qua- 
rundam qiuestionum facilium per progressionem 
arithmeticam, sine demonstrationibus, ut apud vnl- 
gus aritbmeticorum practicorum. Caput vicesimum 
septimum eadem et nonnulla alia ejusdem generis 
per symbola demoustrat, minus perspicue, nec bre- 
vius quam possint demonstrari oratione plena. 
Deniqiie capite vicesimo octavo eadem brevius 
scribit, sed obscurissime. Caput vicesimum no- 
VOL. IV. K 



130 



EXAMINATIO KT EMENDATIO 



DIAL0CD8 num continet criticismos super voeibus ra/io 
. '" - . tionalis, Mm»t B*y««v<iWFW,wi4 "Tt*"B quantnplum, 
etc: quomm criticismorum aliquos snperius ab- 
surdos esse ostendimus. Itaque caput boc dimi- 
8issem jam, nisi quod prasterire non placet, quod 
dicit Euclidem quidem in Elcmcnto dccimo ratio- 
vules appellare lineas, qna? potentia ta/itu/ii sitnt 
commenxurabi/es : reriim alibi non ruro obttnet 
rationa/ia tantnm ea dtci, r/utv et ovuutT r <i smit ; 

Ut proinde Sit aXoyov give a&QTav, atqtte aavfifitrpov. 

Non enim puto aut Euclidem usquam, aut geome- 
tram alium quemcunque, «ftVov et uaiufiTpov pro 
eodem usurpasse. Non ergo illi credendum esse, 
nisi authorem et locum indicaverit. Quis enim, 
qui Elementum decimum legerit, nescit infinitas 
numero esse quantitates inter se commensurabiles, 
quie tamen siut irrationales ; propterea quod r£ v ^ 
arbitrarie sumptae commensurabiles non snni 
Pars hujus capitis reliqna continet partem eoi 
quse habet Clavius ad finem Elementi quinti de 
distributione rationum in suas species, nimirum 
multiplicem, submitltip/iceiii, stipcrparticu/arem, 
superpartieutem, etc. Praeterire autem non pos- 
sum verba ejus hsec, Et qnidejn ipsce fractiones 
nihil aliud xiint rjuain rationes. Nolo diutius ueget 
se quoticutem dicere divisoris esse ad dividendum 
rationem. Nequc haec, Fractionis itaque numera- 
tor et denominator perinde sunt afi/ue rationis 
antccedens ad conseqtteus. Ihv.v, etsi vera sunt, 
verbis illius prioribus coutradicunt. Neque hjec, 
Xunt enim rationcs, iton miiius quam numeri, vera? 
qtiantitates. Nam si quantitates rationum effari 
cogeretur, uecessarium esse videret pro ratione 
<equalitatis ciphram ponere, id est, conhteri qu< 




MATHEMATICjE HODIERNiE. 131 

ratio aequalitatis media est inter rationem quam dialogus 
habet quantitas ad quantitatem, et rationem quam . " L ^ 
habet privatio quantitatis ad privationem quanti- 
tatis ; et proinde, quantitatem rationis quam habet 
aequale ad aequale, esse nihil. Sequitur Caput tri- 
cesimum, de rationum compositione. 
B. Differatur si vis, in diem crastinum. 



DIALOGUS QUARTUS. 



A. Etiam bodiernus nobis sermo totus fere erit 
de rationibus. Capite praesente de rationum agit 
compositione, prout definitur ab Euclide (Elem. vi. 
defin. nlt.) : Ratio ex rationibus componi dicitur, 
quando rationum quantitates inter se multiplicatce 
efficiunt aliquam rationem, in Grseco, ™>a \6yov. Sic 
enim invenio in libro cujusdam anonymi, edito 
centesimo abhiuc* anno, in quo sunt definitiones 
et propositiones Euclidis omnes Graece scriptae. 
Wallisii liber, ut videtur, loco hujus definitionis 
hanc habet : Quando rationum quantitates inter se 
multiplicatcB aliquas effiecerint. Quse duae lec- 
tiones sensu nihil differunt. Nam si duo termini 
unius rationis multiplicentur in duos terminos alte- 
rius rationis, id est, antecedens in antecedentem et 
consequens in consequentem, orietur ratio ex dua- 
bus illis rationibus composita ; vel quod idem est 5 
orientur duae quantitates quarum ratio aequatur 

# Edit. 1660 et 1668, " ab hunc." 

K 2 



132 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



ALnaas duabus illis rationibus simul sumptis. Itaqtie coi 
' v \ __ . positio rationum est rationum unius ad alteram 
additio, ut supra ostensum est. Quare compositio 
rationum de qua hic loquitur Euclides, est ipsissima 
rationum unius ad alteram additio. 

B. Manifestissime. Additio tamen htec per 
multipHcationem perficitur. 

A. Verum; at non per multiplicationem ratio- 
num, sed per multiplicationem terniinorum. Ter- 
mini autem non sunt rationes, id est relattones, 
sed correlata, quas Euclides hic appellat rationtiiii 
quantitates. 

B. Ita est. 

A. At Wallisius hgec non intelligit, ut 
proxima ejus verba manifeste apparebit -, sunt 
autem haec : — Quid per ratiomnn quaiiti/atcx i» 
lelligil Euclides non inter interpretes com-enit 
num scilicet ijisos terminos, num quod ex eorum 
coinparatione provcnil. — Qiue proveniunt inde, 
nempe, a multiplicatione terminorum in terminos, 
habent quidem rationem ex propositis rationibus 
compositam ; terarini autem rationum compouen- 
darum esse non possunt. 

B. Profecto Euclidem hoc loco professor nosl 
non intellexit. Neque, credo, authorem ullt 
vidit qui quantitates rationum eo modo 
pretatus sit. 

A. Alias quoque animadverti eum, qiue scripsit 
dubitans an essent vera necne, auihusdam, id est, 
authoribus anonymis, individuis vagis attribuere. 
Sed quid tibi videtur oratio hsec : Utrtmvis autem 
diratur, perinde esl : ptita, si rationis A ad B 
termini in tcrminos rationis „ ad (i respccthc du- 
cantur, nempe A /« «, B in ft ut proveniat ratio A 



iiim 
tmt 



ibus 
aen- 

ster 
Jum 
ter- 

ipsit 



M.\T1IEM.\T1C.E HODIEItNJ:. 



133 



tfoe ctiam ratto ~ dtiea/ur in 
proveniat }bt, perinde est. 



in a ad 6 tn 
rationem 4-, u 

B. Oratio quidem valde symbolica est, sed quam 
non intclligo. Nunquam enim multiplicari aliquid 
:uiflivi, neque imaginari possutn, nisi ut fieret vel 
multiplo major, nempe quando multiplicatio fit per 
numerum integrum, vel multiplo ininor, quando 
multiplicans est numerus fractus. Non itaque 
intelligo qnomodo aliquid multiplicari possit nisi 
per numerum integrum vel fractuin. Veniam ergo 
niibi dabit Wallisius, si non intelligam quomodo 
ratio A ad B duci possit in rationem n ad (3. Ra- 
tionem per numemm multiplicari posse, seio; ut 
qnando ratio multiplicata per 2, duplicatur, et per 
3, triplicatur, et per (, fit ratio ratiouis sesquialtera. 

A. In omni multiplicatione fit ut multiplicaus 
ad uuitatem, ita productus ad multiplicatum. Ita- 
qne quot contiuet unitates ratio A ad B, toties 
X in ^-contiuet rationem « ad 0. Sauiue sunt qui sic 
loqunntur? Aut professorem talem ferre sequum 
est academicos, si ad illum expuendum satis habe- 
rent virium • Paulo post, cum dixisset ratiouem 
duplam componi ex sesquialtera et sesquitertia : 
(quod venim est, si per rationem duplam intelligit 
ratiouem dupli ad simplum ; alioqui falsum ; uaiu 
dupla ratio exponi per pauciores quam tres termi- 
nos non potest, ut nec ratio simpla per pauciores 
qnam duos) : subjungit, hoc est, ut loqmuitur mu- 
sici, ex diapente et diatessaron componttur diapa- 
son. Verunine hoc ? 

B. Equitlem artis musicx iruperitus sum. Scio 
tanien ex diapente et diatessaron componi diapason. 

A. .Sed a tono imo ad quintum quot numeran- 
tur toui : 



134 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



B. Si extremi assumautur, quatuor cum se: 
touio. 

A. A quinto ad octavum quot? 

B. Si itidem extremi numerentur, tres cum sei 
touio. Intercedunt autem inter imum et quintum 
toni duo et semitouium ; inter quiutum et octavum. 
touus et semitonium, et summus tonus duplo acu- 
tior est quam imus. 

A. Quomodo autem conveniunt haec cum coi 
positioue rationis sesquialterje et sesquitertise 
faciendam ratiouem duplam ? 

B. Nescio, nisi ratiouum apud musicos et geo- 
metras diversa sit computatio. 

A. Videri vult scriptor hic omnium artium 
peritus esse, cum sit omnium quidem artium impe- 
ritus ; duarum autem, quas profitetur, theologia? et 
gcometrije imperitissimus. Quod habet deinde de 
ratiouis a ratione ablatione, quam hic vocat fii-ijp 
rfwit rationis imminutionem, per divisionem, re- 
spondit e coutrario iis quae habentur de rationum 
qua? fit per termiuorum multiplicationem composi- 
tioue ; nec poterat id non videre. 

B. Sed et aliter ratio a ratione detrahi potest, 
siue divisioue. Nam si ratio 2 ad 3 dctrahenda sit 
ex ratione 4 ad 5, et fiat ut 2 ad 3 ita 4 ad aliam, 
fi ; erit ratio residua ratio 6 ad 5 ; ut expositis 
numeris 4, 6, 5, videre est. Nam subducta ratione 
4 ad 6, id est 2 ad 3, ex ratione 4 ad 5, reliuquitur 
ratio C" ad 5. 

A. Lego. — Utrum hcrc rationum eomposith, 
additio judicanda ■fit l «« muttiplicatio, haud xatis 
rit/etitr apitd arithvtcticos, vel etiam geometrico», 
corulare. — Videtur his verbis rcspicere ad Clavium, 
qui (ad Prop. 23, El. vi.) conteudit, compoai/ioi 



im, 
:u- 

ad 



MATHKMATICE HODIKRNLE. 



135 



hanc et detractionem non esse proprie addilioncm i 
et suhxtractionem ; quia alias, inquit idem Clavius, 
exxet fo/itiu eequtde par/i, et minus ; et major pro- 
portio posset detrahi e.r minore. Quve, ut viden- 
tur illi, absurda, pluribus exemplis ex opinione 
contraria deducit (ad finem El. ix). 

II. Nescieutibus ratiouis majoris ad miuus, id 
est, quantitatis ad quautitatem, naturam divcrsain 
esse a ratione minoris ad majus, id est, privationis 
quautitatis ad privationem quautitatis, et mediarn 
inter utramque esse rationem asqualium, satis ab- 
surde sonat majorem rationem a minore detrahi 
posse, et totam rationem ejusdem parte esse mino- 
rem. Sed si considerare vellent quod qui addit 
privationi privationem, quantitatem facit miuorem, 
et qui privationem a privatione detrahit, quanti- 
tatem facit majorem ; facile dici ferrent rationem 
majorem a minore, et totam a parte posse subtrahi. 

A. Erravit, scio, Wallisius, sed cum doctissimo 
Qavjc : Joctissimo quidem Jesuitarum, et scriptore 
omuium sfeculorum diligentissimo. Wallisius autem 
non, ut Ule, quresibuudus erravit, sed errorem illius 
amplerti satis habuit, quomodo qmerendum ulterius 
esset iguorans. Attamen obtinuit, etiam contra 
sententiam Clavii, ut vocetur compositio rationis, 
proptL-r vim credo etiam intus latentis veritatis, 
addi/io potius quam multiplicatio. Sed id tegre 
fert Wallisius; quiacertum est, inquit, ipiantitales 
inricem niul/iplicuri, non addi : quasi diceret, quia 
mmpOt it io rationuni jit per multipiica/ionem ter- 
miitfirinn, crgo compositio ra/iounm ett n.ullipli- 
catio rationum. Itaque paulo post, designandam 
atitem maliiii, inquit, per notam x multiplicatioim, 



136 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

'/itam per + addi/ioiiis. Adeoque quae ex J-et-! 
coiuponitur ratio, scribenda est^-x-l-, non autem 



B. Certe non male scribi credo Aada + B ad fi 
pro compositioue rationum A ad n et B ad /3 ; qua: 
quam pro multiplicatione fractiouum male scrib 
retur •£-+4-, et recte v x "5"- 

A. Ita sane, si modo per symbola scribere om 
nino necessarium esset. Quod addit : Adeoque 
to/a Ula defraciionum /nidtip/icatione et dkisione 
tradenda doctrina, de rationum continualione et 
iniminutiont' / ariter tntelligetida ertt ; sunt enim 
ipsissima eadctn res i promissio est Capitis xlv., de 
fractionum et rationum rationibus, ab initio usque 
ad fiuem absurdissimi. Deinde, non tdem, inquit, 
ttmat ratio ditp/ica/a. trip/icata, etc, quod ratio 
tripla, ditp/a, etc. Est iu sono, fateor, aliquod 
discrimen, ut inter dissyllaba et quadrisyllaba ; sed 
tamen idem significant. Nam quicquid duplicatur, 
fit non miuus dupluin quara duplicatum ; et quod 
subduplicatur, (ignosce loquenti non Latine), fil 
DOD niiiiiis dimidiura quam subduplicatum. Et ot 
ratio 1 ad 4 est duplicata rationis 1 ad 2, ita etiam 
dupla est, nempe ratio defectus duplicata sh*< 
dupla. 

B. Memini haec eadem eodem modo explicj 
esse in colloquiis superioribus, et vera esse sati 
seutio. 

A. Quod autem ratio iterata non dupla dicend 
sit sed duplicata, confirmatum putat ab Euclidi 
qui perpetuo utitur hoc sensu vocibus caXaelora, 
TpnrXnawnt, etc, non SiVXw, rptrXuv, ueque ttrXit 
wXtgmt sed vim millam habet; nam utitur cirXuo/o» 
in prop. ult. Elem. ix., et in prop. 20, Elem. iii., 



MATHEMATIC.E IIOIHE RN.E. 

sigmficandam rationem dupli ad simplum. Non 
itaque verum est, quod ea utitur perpetuo in sensu 
altero. Prjeterea, fieri potest ut Euclides non satis 
ipse perspexerit ratiouis naturam : imo vero fieri 
aliter non potest, cum definierit rationem per 

Capite xxxi.,ubi tractatProgressionem Geometri- 
cam, regulam affert generalem, qua terminorum 
omnium invenitur summa, nimirum hanc : — Si ter- 
minu.i nltimus per cominunem ra/ioneiii multiplice- 
tur, sire i/uod tantnndein est, prugressto per iiuum 
adhuc gradnin cont/nuefiir, atque inde aiiferatur 
terininus primun, ct ijiiod rcstat per numerum unt- 
tate minorem qnam est communis ratio, dividatur ; 
prodtbit progressionis summa. — Quam regolam 
deinceps demonstraturura se esse dicit. Id autem 
quod deinceps legitur, demonstratio non est, sed 
iudicatio quod ita contingit esse in progressione 
numerorum ipsius arbitrio sumptornm. Neque, si 
in progressione omni numerorum tuo meove arbi- 
trio sumptorum idem contingeret, non tamen de- 
monstratio esset ; tnm quia causa accidentis non 
apparet, tum etiam qnia inductio particularium, nisi 
numero inrmitorum, regulam uon facit universalem. 

B. Verba ejus hfec, regultc demonstra/ionem 
deinceps exponemus, non spectant ad id quod 
sequitur, uimirum, si in progressione adjuncta, 
etc., sed ad id quod babetur Capite xxxiii. ad 
numemm G8, qui incipit, si terminus maximu*, etc. 

A. Ergo vocem iltam deinceps, toties ubique, 
pnesertim in Hbris mathematicis occurrentem, 
criticus mathematicus doctor ille non intellexit. 

B. Fortasse regulam tamen quam hic exposuit, 
illic demonstrabit. 



138 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

A. Certone ? 

B. Puto. Venim si reguke denioustratioitem 
aliquam ejus ipse habes, profer quteso. 

A. Sciendum prius est, in omui multiplicatiom 
esse ut nuuierus productus ad numerum lnultipli 
cauduui, ita multiplicautem ad unitatem. 

B. Scio. Nam opus multiplicationis aliud non 
est quam numerum invenirc, qui toties contineat 
multiplicandum quoties multiplicans continet uni- 
tatem. 

A. Tenes. Sit ergo numerorum quotlibet con- 
tinue proportioualium series, A, B, C, D ; in qua l 
sit ininirmis. Fit ergo B ex multiplicatione A p 
aliquem numerum integrum vel fractum. Sit r 
tiplicans, primo, integer quem tu vis. 

B. Sit multiplicaus 3. 

A. Est ergo 3 A=B ; et 3 B=C ; et 3 C=D ; 
et ut A ad B, ita I ad 3, ut tu modo ipse demou 
strasti. 

B. Concedo. 

A. Sed iu proportionalibus, ut primum antec< 
dens ad primum consequcns, itasummaanteceden 
tium omnium ad summam consequentiutn miuiium. 

B. Recte. 
A. Et in serie proposita, A,B,C,D, omnes ante- 

cedentes sunt A.B.C, et omues consequentes B,C, 
D. (iuare ttt 1 ad A + B+C, ita 3 ad B+C+D. Et 
proiude 3A+3B+3C=B+C+D. Et subductis 
utrinque B+C, restabit hinc quidem D, illincautem 
3A+2B + 2C. Habemus ergo aequatiouem unam, 
D=3A+2B+2C; et sublato utriuque A, sequa- 
tionem alteram, D— A=2 A+2 B+2 C. Quare 
(iiviso nuraero dato D — A per 2j quotiens eri 
+C ; cui adjunctus datus D,dat summam quxsitam. 



MATHEMATICE HODIERNJE. 139 

B. Nihil clarius. Sed sit janj multiplicans nu- dialogus 
merus fractus, puta •—. 

A. Erit igitur B=-|-A ; et C=-rB ; et D=t<3 ; 
et proinde ut A ad B, ita 1 ad -|- Item, ut 
A+B+C ad B+C+D, ita 1 ad -f. Quare B+C+ 
DH-A+tB+tC Et sublatis utrinque B+C, 
fit aequatio haec, D=t A+t-B+t C; et rursus, 
sublato utrinque A, fit haec,D — A=t-A+t B+-f C. 
Quare diviso D — A per -5-, erit quotiens A+B+C. 
Datur autem D : cognita ergo est summa simul 
omnium. 

B. Multo magis perspicua et amoena demonstra- 
tio haec est, quam illa professoris nostri algebrica. 

A. Quidni ? An comparanda est algebra cum 
methodo analytica ? Sed de demonstratione Wal- 
lisiana videbimus inferius. 

B. In numeris proportionalibus, terminorum ul- 
teriorum investigatio apud nostrum aerumnosa est. 
Sed lege quae sequuntur. 

A. Progressionis cujusvis inchoatce terminum 
ultimum, a primo satis remotum, invenire. 

B. Operatio, inquam, quam docet per notationem 
exponentium, et iterationem* quam requirit operis, 
ita ut nisi palpando progredi non liceat, et ignoran- 
tia finis odiosa res est. Ostende igitur illius rei 
methodum certam. 

A. Sint continue proportionales A,B,C,D,E, 
Communis autem multiplicans sit M. Sunt igitur 
ipsis A,B,C,D,E, aequales A,MA,MMA,MMMA, 
MMMMA, si modo sumantur eodem ordine, sin- 
guli singulis. Vides ergo progressionem generari 



* Sic Edit. 1668. 



140 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

duloocs ex raultiplicalione termiiii minimi A. primo per 

- "* . roultiplicautetn communem M ; et deinceps, per 

ipsras multiplicantis potestates ordine ascendentes, 

nempe. per MM qnadratn m. M M M cubum, M M M M 

quadrato qur.dratum. ete. 

Ii. Video. 

.'(. Et esse qoot termini tot potestates ascenden- 
tes, demptis duabus ; nam M non est potestas, scd 
radix. Sloltiplicationcs autem tot sunt quot sunt, 
dempto iino, ipsi termini. Jam datis duobus tan- 
tum terminis primis, dalur M, nimirum, dividendo 
B per A. Quseritur autem, verbi gratia, terminus 
post A quartus. Scribe M quater, utMMMM. 
Quia ergo daturM, daturquoque MMMM. Datur 
autem et A. Datur ergo MM.MMA, terminus 
quxsitus, nempe, quartus incipiendo a B. Mnlti- 
plicationes enim una pauciores sunt quam tennini. 

B. Teneo. Et siquidem terminus postularetur 
centesimus, deberet M multiplicari in se nonage- 
sies novies, et productus in A, ut haberetur ter- 
minus centesimus. 

A. Ita est. Sedlabor aliquanto minor erit, ubi 
multi sunt progressionis termini, si multiplicatio 
fiat per potestates altiores. Nam sj multiplicaus 
sit 3, nou est necesse ascendenti ad eubiculutn, 
niultiplicationem incipere a 3 : possumus eni: 
incipere a cubo ejus 27 5 vel ab alia altiore potesti 
cognita. 

D. Sed cur tu pro multiplicante ponis M, cui 
Wallisius ponat ubique R? 

A. In causa certe non est quod libeatab illo dis- 
sentiri, sed ne alios, ut ille, iuducam in crrorem. 
Ego euim pono M, literam multipUcantis initialem 
ille R, literam initialem ratio/iis. Nam in progi 



■ 



itio 
ans 
lm, 

: 

Jis- 



MATHEMATIC.E HODIERN.E. 



141 



sione, exempli causa, 2,6,18, concedimus ambo 
communem multiplicantem esse 3, sive R sive M 
appellatur : ille autem hoc amplius, rationem 2 ad 
6 esse 3. Et propterea, quein numerum ego com- 
munem multiplicantem voco, appellat ille com- 
munem ratiouera. Unde fit ut nonnulH illius secuti 
authoritatera, rationem putent esse numerum, ni- 
mirum quotientem ; quod est erroneum. 
B. Imo vero absurdum. 

A. Video hic symbola ab illis quibus bacteuus 
usus est, diversissima. 

B. Non sunt illa symbola algebrica, sed Hterae 
Arabicae. 

A. Legitne ille Arabica, ut clericus r 

B. Nescio. Seda viro doctissirao et illius lingua* 
peritissimo accepta libro suo visura est iili Arabica 
hffic inserere. Nam progressionis geometricfc 
exemplum, inquit, elegans est,et vetustum et forte 
omninm primum. Ostenditur autera hoc excmplo 
in quam immanem summam per paucas duplica- 
tiones excreseit unitas. 

A. Ostenditur prseterea legisse tllum Edwardi 
primi statutum, de mensuris Anglicunis, ut eo 
transcripto videretur etiam peritus juris. Nam 
absque his, qu« ad scientiam arithmeticre nihil 
pertinent, caput hoc tricesimum primum vix conti- 
neret duas paginas. 

//. Datis terminis primo et ultimo, quomodo In— 
venitur, quem quis postularet, terminus inter- 
medius ? 

A. Dato quidem numero terminorurn, facillime. 
Divido enim ultimum per primura, et quotiens erit 
potestas aliqua ex ascendeutibus ; nempe, si ulti- 
mus fiat a multiplicatione quadrati in tcrmiuum 



142 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



priinuni, erit tenninus iiltimus tertius ; si fiat i 
cubo in primum, erit ultimus quartus, et sic dein 
ceps. Dato ergo terrninorum nurnero, cognosc 
quota sit in ascendeutibus potestas illa, ex cuji 
multiplicatione in terininum primum fit ultimu; 
Diviso ergo termino ultimo per primum, innotesci 
potestas illa cujus radix propria est communis mul- 
tiplicaus. Exempli causa : si sit progressio data 
3, 6, 1 2, 24, 48, 96 ; et communis multiplicans M ; 
progressio luec 3, 3M, 3MM.3MMM, 3M MM;M, 
3 MMMMM, eadem erit qua? est data. Datur 
autem numerus terminorum C. Fit ergo 96 ex po- 
testate quarta in 3, id est, ex multiplicantis surdo- 
solido in 3. Diviso ergo 96 per 3, habetur multi- 
plicantis surdo-solidum 32, cujus radix propria, 
nempe 2, est communis multiplicans. Quo mnlti- 
plicante cognito, quilibet termiuus intermedius 
statim invenitur, ut qui fit ex 3 in 2, vel in 4, vel 
in 8, velin 16, etc. 

B. Methodus, ut quse procedit ab ipsa termino- 
rum geueratioue, recta est. 

A Capite tricesimum secuudum loquitur de 
origine et usu logarithmorum, ut ex primis ejus ver- 
bis manifestum est, imperite. Verba hrec sunt. — 
Est autem ea, quam superiore eapite tradidimns, 
regula (de terminis remotioribus intermediis quasi 
per saltum inveniendis), inaximi i/uidein iuomeufi 
regnla; non tam ob eum quem jam ostendhmis 
illtus ttsum, quam ob inslgniora, i/uir inde dejlnx- 
erunt,conimoda. Ex hoc e.nhnjundainento dependet 
mirijinim illud logarilhmorum iiiventnm. — Nse, i 
Nepperi inventoris, et Briggn iogarithmorum inven 
toruni excultoris, clarissimis ingeniis non multw 
tribuit, qui principium tam facile inventionis i 



MATHEMATICJE HODIEJIN.E. 



143 



signat, quam est ex datis primis terminis progres- i 
siouis inventio ulteriorum, Praiterea, quod per 
eam regulam inveniri putet logarithmos termino- 
rum intermediorum, falsum est. Nani e contrario, 
qui hac utuntur regula, non logarithmos per ter- 
minos progressiouis, sed terminos progressionis 
inquiruut per logarithmos datos, nimirutn, per 
potestatum ascendentmm indices arithmetice pro- 
portionales. 

B. Unde ergo illi in mentem venire potuit tam 
iungne iuveutum. 

A. Observaverat ille inter duas quantitates ex- 
tremas, cum media? interponi possint tum geome- 
trica? tum arithmetica; numero infinitse, quanto 
plures interponuntur, tanto minus geometricas et 
arithmeticas inter se differre. Inde, nec aliunde, 
venit ei in mentem, quod valde multis mediis inter- 
poatia in ratione geometrica, totidemquein ratione 
arithmetica, altera? ab alteris noii differunt nisi in 
notis numericis a prima adeo remotis, ut postrema?, 
retentis prioribus, sine damno calculi possint neg- 
ligi: et per consequens.ea qiiae permultiplicationem 
et divisioiiem solebant supputari, per additionem 
et substractionem satis accurate expediri. Quae 
deinceps scribit Wallisius de logarithmorum usu, 
pauca sunt, et transcripta ex initio libri de loga- 
rithmis editi a Briggio. 

B. Videamus jam ea qua? continentur in Capite 
xxxiii., de Progressione Geometrtca per symbola, 

A. Toto hoc capite difhcultas, prseter eam 
quam faciunt ipsa symbola, fere nulla est. Itaque 
uuius tantum theorematis demonstrationem exami- 
nabimus, in qua regulam demonstrare conatur, qua 
vulgo utuntur qui quarunt summara progressionis 



144 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



geotnetricse datse. Ait ergo (ad Art. 68), Si tei 
iiiunrs mii.iimiis incoinmuncin rutionc.in dticafur, r 
e.r proilucto aiiferatur tcrminus miniiiuix, 
(hinmijiic per rationem communem unitate minuta 
dividtitur ; t/uotiens exhibet totius progressioi 
stiminam, iioc est, K _, =s. 

B. Ita. Nam U est terminus ultiraus, R coi 
munis multiplicans, A terminus minimus. 

A. Pergamus. — Quis, inquit, hitnc primus : 
renerit reguiam, piane ignoro ; et qtiidem utnt ea 
pierique utantur, nou memini tamen me illam 
tapitm dcmonstratam vidisse ; cttm tamen 
maxime demonstratione indigeat. Nobis ergo ) 
iibttit dcmonstrntionem comminisci. 

B. Lege demonstratiouem ipsam. 

A. Ponamus^ui^mt^numerum terminorum, T= J 
Adeorjue ART=AR4. El dividenda propont 
(AR4— A) per (R— 1). Cum igitur sit R) A R 4, . 
AR3. — Non amplius intelligo quid sibi vult. 

B. Dicit, si quantitas facta sitex multiplicatioi 
A in R, et producti in 4, quotientem esse facti 
ex A in R, et producto in 3. 

A Non vult hoc, sed aliquid aliud. 

B. Nescio ; sed aliis iu locis symbola similia id 
siguificant quod dixi. Ut Pag. 172. /. 23, ubi sic 
loquitur, quoniam F) ABF (AB, scribo in quoti- 
ente AB. Hoc est ABF diviso per F, quotiens 
erit A B. 

A. Recte quidem illud ; falsum ergo hoc, R) 
AR4 (AR3. Nam R) AR4 (A4 verum est. Si 
enim A4 in R facit AR4, etiam AR4 divisus per 
R, dabit quotieutem A4. 

B. Videtur hic lapsus esse aliquis vel festinanti 
calami, vel typographi. 



MATHEMATICE HODIEKN.E. 



145 



A. Sive lapsus sit, sive arcanum aliquod artis dialooi 
symboliwe, vim certe habet oinnem demonstrationis 
hujusulterioremexaminatiouem priecideiuii. Tran- 
siliemus Caput tricesimum quartum, ut quod iiihil 
alind est praster earuudem demonstrationum bre- 
viorera, et fere totam symbolice scriptam, syuopsin 
«ecam. Caput tricesimum quintum est Elementi 
quinti Euclidis demonstratio arithmetica ; quod 
quidem Eleraentum symbolice cuilibet et suis sym- 
bolis transcribere, facile est. 

B. Quid ? Demonstrationes ejus nihilne aliud 
sunt prreter transcriptiones ? 

A. Non id dico ; sed cum facile sit demonstra- 
tiones Euclidis una cum definitionibus ejusdem 
scribere symbolice, facilius est theoremata ejus 
inferre ex assumpta sine demonstratione hypothesi. 
Nam cum totum illud Elementum quintum ex defi- 
nitione dependeat ejusdem rathnis, Ule, neglecta 
definitione Euclidis, loco ejus substituit hauc: 
(iqmilitus svse ideiUitas rationis est (pquaUtas sive 
identitas quotorum. Deinde subjungit : puta, si 
ttt j-j , est et a : a : : b : /3, el contra ; qitod nobU 
erit dejinitionis loco. Similiter, rationem majorem 
et miliorem definit sic : ubi quotus major est, ibi 
ratio major ; ubi niinor, viinor est. 

B. Propositio est, definitio non est. Quanquam 
autem definitio non sit, sed propria passio, vera 
tamen erit demonstratio. 

A. Erit, modo ipsa passio fuerit prius demon- 
strata. 

B. Demonstrata est Capite xxxiii, per proposi- 
ttonein 16 Elem. vi. Euclidis, neinpe, si quatuor 
quantitatcs Jiierinf proportionales, factum ab es~ 

VOL. iv. L 



146 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

/remis aquatur facto a mediis, et contra. Sed h( 
Euclides in lineis, Wallisius in numerisdemonstrat. 

A. Quid opus erat f Nam numerorum rationes 
omnes accommodari possunt lineis, quanquam 
contra, non omnes ratioues linearum cotnpetant 
numeris. Sunt enim linete niulta^ inter se incom- 
mensurabiles ; numeri autem iucommeusurabiles 
esse non possunt. Sed videamus ipsam demon- 
strationem. Capite tricesimosecundo, quo amanda- 
mur, nihil est qnod eo respicit. 

li. Qiuere in Capite tricesimo tertio, quod totum 
est de continue proportioualibus. Lege proposi- 
tionem vicesimam primam. 

A. Cotitiuue proportionaliiiin, si duorum quo- 
rumvis rectangulum per termiiium piimttm diri- 
datur, prodibit terminus, eujus videx, site di.t- 
tantia a primo, (equatur illorum indtcibtts simul 
sumptis. Quod verum est. Dum autem propo- 
sitionem ejus banc vicesimam primam percurro, 
intelligo quid significant symbola propositionis 
sexagesimae octavse ejusdem Capitis. Nam R) 
AR4 (AR3 hoc siguificant, quod diviso numero 
qui fit ex A* in 4, et ex producto AR multiplicato 
per potestatem cujus index est 4, quotiens erit 
factum ex AR in potestatem cujus iiulex: est !J. 
Quod nou negatur. Sed hocciue est demoustrai 
nimirum rem ita obscure enuntiare, ut a nei 
intelligi possit, nisi qui non modo illius norit sym- 
bola, sed etiara methodo naturali idem potest 
demonstrare? 

B. Etsi propositionem veram esse ex tua per- 
spexi deinonstratione, nescio tamen an illius demon- 

• Sic EdiL 1660 et l*>*y. 



MATHEMATJCjE HODIERNJE. 147 

stratio sit legitima. Lego enim symbolica ista ut dialogus 
pueri Homerum, quibus ad singula vocabula adeuu- lv - „ 
dum est lexicon. Illud autem AR4 ne in lexico 
quidem est. 

A. Sit quidem vera demonstratio. At quomodo 
transferri potest ad proportionales, quae nec con- 
tinuae sunt, nec in eadem serie continuarum, quales 
sunt 2 : 4 : : 3: 6, vel 3: 9 : : 4 : 12 ; ubi distantiis et 
indicibus locus non est ? Nondum ergo proposi- 
tionem illam (Eucl. vi. 16) demonstravit. 

B. Redeamus ad Caput xxxv, unde frustra di- 
gressi sumus. 

A. Imo transiliamus et illud, et proximum illi 
xxxvi. Credo enim Elementum quintum ex hypo- 
thesi, quam ille assumpsit, aut recte demonstratum 
esse, aut si vitium aliquod irrepserit, praeter ipsam 
scriptionem symbolicam, non illius imperitise, sed 
typographo vel transcriptori tribuendum esse. Est 
autem Caput xxxvi ejusdem Capitis xxxv brachy- 
stenographia. Caput xxxvii unicum habet pro- 
blema hoc, datis tribus proportionalihus invenire 
quartum; quae est Regula Aurea. Cujus constructio 
haec est ; tertius multiplicetur per secundum, et 
productus dividatur per primum. Quae vera, et 
vulgo recepta est. Demonstrans autem sumit, 
quod Capite xxv loco definitionis nullo jure hahuit, 
ubi quotientes sunt cequales, ibi rationes sunt 
ecedem ; et ubi quotiens major est, ibi niajor ratio ; 
ubi minor, minor. 

B. Si sint duo quotientes aequales, exempli 
causa, numero 4, qui est quotiens divisi 20 per 5, 
aequalis sit4, quotiens divisi 12 per 3; dicit ergo 
4 ad 4 esse in eadem ratione ; quod non intelligo, 

L 2 



148 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialogds nam aliquid deest. Forte hoc vult; eandem 
■ "'' - rationem 20 ad 5, et 12 ad 3; vel " = £=4. 

A. Improprie quidem loquutus est ; verum au 
est quod demonstrare voluit, uee fecit. Postquai 
enim dixisset, cum sit A : a : : B : (3, subjuugit, hoc 
est - a - ■ | : quod nondum constat, sed erat prius 
demonstrandum. Argumentatio ex coucessa hypo^ 
thesi satis procedit ; sed demonstratio non est. 

B. Regula Aurea quomodo aliter demonstrari 
potest ? 

A. Eo modo quo demonstratur ab Eucli( 
(Elem. ix. 19). Vel sic ; numeri plani sunt rectan' 
gula sub rectas, quanim partes aliquotse numeran 
tur. In duobus autem rectaugulis sequalibus, 
latus unum primi ad latus unum secundi, ita latus 
reliquum secundi ad latus reliquum primi. Quare 
in numeris planis sequalibns, est ut factor unus 
primi ad factorum utrumvis secundi, ita coefficiens 
secundi ad coefficientem primi. Si dentnr ergo 
tres numeri A, B, C, et quseratur D ; quia factus ex 
A in D sequalis est facto ex B in C, divisoque A D 
per A proveniet D, etiam diviso BC per A pro- 
venit idem D. Quae est Regula? Aurese demonstratio 
naturalis. Nullus enim numerus rerum aequalium, 
quales sunt partes aliquotae, multiplicatus per nu- 
merum, producit numerum alium quam numerum 
rerum numeratarum ; propterea quod ratio aequali- 
tatis, cum ipsa non sit quantitas, non addit neque 
detrabit quantitati rationum, quam habent ipsi 
numeri. 

B. Satis elare. Sed putaram potuisse fieri ali- 
quanto brevins. 

A. Nescio, nec credo ; melius est autera quod 
probandum susceperis, pluribus verbis mauifeste 



de 



MATHEMATICE HOIMERN*. 



149 



denionstrare, quain paucioribus non demonstrare. 
Sequitur Aurea." Regula*praxis, idest, exemplaope- 
rationis vnlgaria. Deinde, exemplnm aliud, ubi 
quseritur quola hora sit Athenis quando est Oxo- 
nice octava: cujus praxis nullaesse potest, nisi Hs 
qui seiunt doctrinam sphKrse, et circulorum quos 
in illa finxcrunt astronomi. Ii vero nulli sunt, qui 
non regulam hanc ante didicerunt. Non erat ergo 
arithmetici hoc docere, cujus est omnia docere ab- 
stracte a rebus numeratis, id est, universaliter. 
Deinde, quod monituin lectorem voluit, ne quando 
frandi sit, quod ea tanquam proportiwialia hahc- 
antur, quee proportiuna/ia non sunt, ad arithmeti- 
cam non pertinet, sed ad philosophiam, ut ex suo 
ipsius exemplo est manifestum. Posito, inquit, 
quod pondus, gravitate sua motum, dnobits tempo- 
rit momentis 20 pedes descendat; quteratur quot 
pedes descensurum sit momentis 10. Sifiat miiili- 
plicatio numeri tertii per secundum, titijue dirisio 
produc/i per primum,prodibit iptar/ns, 100- At ille 
nnmcrus qua>sito non safisfacit. 

B. Nonne ergo Regula; Aures definitio, tradita 
initio hujus Capitis, falsa est ? 

A, Minime. Sed numerus qui in una quaestione 
secundus est, in alia debet fortasse esse tertius. 
Pra?terea, quaeritur aliquando, datis tribus numeris, 
quis sit ad tertium in ratione primi ad secundum 
duplicata vel triplicata, pro ratione rerum numera- 
tarnm; ut in hac ipsa qua?stione, ubi gravia non 
percurrunt spatia in eadem ratione, sed in dupli- 
cata momentorum temporis ; ut a Galileo demon- 
-stratum est in Dialogis de Motu ; id quod Wallisius 
nesciit. Uua ratione descendunt gravia, vel fluida e 
vase efftuunt, non est arithmetici docere, sed physici. 



150 



BXAMIMATIO F.T EMENDATIO 



i B. Sed qui obiter physicum theorema doi 
arithmeticus, anculpandus est? 

A. Non : parergon est, si doceat. Siu lil 
aritlimetico inferat, neque deraonstrat neque cone- 
tur demonstrare, quod fecit ille, ineptum est. Quse 
scquitur per tres paginas, est praredentium sym- 
bolica scriptio. Deinde, ostendit quomodo mnlti- 
plicari, in regula: aurese operatione, possint inter 
se duffi quantitates heterogeneae, vel una per 
alteram dividi possit ; puta, quomodo pondas in 
lineam multiplicari, vel per eam dividi possit; di- 
citque utruraque fieri per reductionera utriusque 
quantitatis ad uumeros ; et quidem recte. 

B. Sed nonne fieri potest etiam per reductionem 
ad lineas, cum ipsi numeri ad Uneas reduci possint ? 
PraHerea fieri potest ut pondus ponderi sit incom- 
mensurabile : tunc autem reduci ad numeros 
possunt, adlineas possunt. 

A. Commodius certe reducunter ad lineas. 
ille quanquam non satis, non male tamen fecit. 

B. At ille Hobbium, quia rationem pouderum 
et tinearum mediantibus lineis pcrmutavit, accer- 
rime increpat in Elencho. 

A. Tanto ille nequior. Venimus jam ad Aui 
Regulam iuversam sive reciprocam, quara docet 
Capite xxxviii. Ubi expositis, inquit, tribus 
quantitatibns, quarilur quarta reciproce propor- 
tioua/is. 

Demoustrationera regula? hujus deducit ab eo, 
quod in rectaiigulis jequalibus laterasuut reciproce 
proportionalia. Quod quidera recte fecit, sed 
necessario. Fateatur ergo hic, quod negavit ante, 
arithmeticara a geometria, non coutra, geometriara 
ab arithmetica dependere. Caetera transeo, coi 



iim- 

: 




mathematic;e hodiern^. 151 

sint trita. Sequitur Caput xxxix, de Aurea Regula dialogus 
composita; quam primo per duas operationes, . Iv * „ 
deinde per unicam absolvit, sed non demonstrat. 
Nam ratiocinatio ejus ex eo dependet, quod regula 
composita ea est, qua, datis quinque numeris, in- 
venitur sextus, ad quem ita se habeat tertius, ut 
factus ex compositione rationum primi ad tertium 
sibi cognominem, et secundi ad quartam sibi quoque 
cognominem. Ratio enim effectuum componitur 
ex rationibus causarum singularum unius ad singu- 
las causas alterius ejusdem generis ; ut hominum 
ad homines, et mensium ad menses. Itaque, ut 
exemplo utar quod ipse adfert, si 4 academici in 3 
mensibus expendant 20 libras ; quot libras expen- 
dent academici 6 in mensibus 12. Numeri dati 
sunt quinque ; 4 academici, 6 academici, 3 menses, 
12 menses, 20 librae. Scribantur ergo ^f-, -£-. Ratio 
jam quae oritur ex compositione rationum 4 ad 6, 
et 3 ad 12, est ratio 12 ad 72. Quare ut 12 ad 72, 
ita est 20 ad qusesitum. M ultiplicatus ergo 72 per 
20, fit 1440 ; qui divisus per 12, dat quaesitum 120. 
Caput xl, de regula societatis, nihil habet in neu- 
tram partem singulare ; itaque transiliri potest. In 
Capite xli, ubi tractat de numeris fractis, noto 
primo haec verba ; supponit arithmetica unitatem 9 
sive unum 9 numerorum primum esse ; quod est fal- 
sum. Supponit hoc Wallisius, non supponit arith- 
metica; nam unitatem Euclides numeriim esse 
negat. Sed quaestio haec non magis ad arithmeti- 
corum, quam ad vulgi cognitionem pertiiiet. Et 
quid de ea sentiendum sit, a nobis satis dispu- 
tatum est supra ad Caput iv. Secufcdo, verba haec : 
Unum aliquod in partes dirimendum, vero aliquo 



152 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialociib numero designari nonpotest: nam et hoc 
, , 1V / _. est ; quia tres quartse partes unius cujuslibet rei 
non minus verus est numerus, quam tres quartte 
partes uniusoetonarii. Et simpliciter, tres partes 
sunt a?que verus numerus ac tria tota. Sed pro 
veris numeris haberi, inquit, jior solent. Neque 
hoc concedo. 

B. Sed probat ex eo, quod sub numeri appc, 
tione apud Euclidem non cementur. 

A. Quia numerus horainum sub appellatione 
numeri apud Euclidem non censetur, ideone sequi- 
tur quod uumerus hominum non est numerus ? 
Cur autem numerus hominum magis est numerus 
quam numerus partium unius hominis? 

B. Nescio, sed perge. 

A. Hoc quoque animadversione dignmn est,quod 
dicit, ex imperfecta ct impossibili radicum e.itrac- 
tione oriri numeros sitrdos V3, V5, etc. Numerus 
enim nullus est, qui non est in progressionis hujus 
arithmeticse serie, 1, 2, 3, etc. : si continuetur qi 
tum potest. 

B. Nihil manifestius. Sed ignosce. 

A. Quidni • Condonamus ei non modo hanc, 
sed omnem ejus, quantacunque sit, ignorantiam ; 
sed falsa eorrigentibus liceat vera investigare. 
Fractionem mox laboriose definit esse, qua unius 
integri pars tndicatur, quai ad totum illam ratio- 
nevi habet, quam hahet fractionis numerator 
denominatorem. 

B. Male hoc. Ni enim cognitum prius sit qi 
sit fractio, cognosci non potest quid sit numcrator, 
aut denominator fractionis. 

A. Poterat brevius, verius, et plcnius, uatui 



i — 
que 

lla- 




ad 

uid 
(or. 



MATHEMATIC.E IlODtEKN*. 



153 



fractionis explicasse sic : Jractio cst numerus par- 
tium ; propria ijitidrm ttnitts ; inipropria vero plit- 
riiiin qttam nniit.i. 
B. Accurate. 

A. Deinde verba ha*c, sed el hinc etiam patel 
rationum et fractionum identitas sive ajfini/as 
maxima, illorum sunt qui quid accurate dicendum 
sit ignorant. Vox enitn illa ({ffinitas matheinati- 
conim non est. Si ratio et fractio eadem res sit, 
quid opus est loqui de affinitate i Si diversae, quo- 
modo affines ? 

B. (iuia fractio rationem indicat dividendi ad 
divisnrem. 

A. Horologium indicat horam. (luare ergo non 
est horologii et liors vel identitas, vel saltem 
maxima affinitas ? Nou ita ratiocinari solent ma- 
thematici. Porro lirec, quippe nil aliud sunt Jrae- 
tiones quam rationum denominatores, accurata non 
sunt. Nam fractio denominat numerum certum 
certarum partium, ut |, id est, tres partes quartas; 
qui numerus est ahsolutus: ratio autem quantitas 
est non absoluta, sed comparativa. Non ergo 
denominat fractio rationem, sed ostendit quantita- 
tem numeri absoluti, ut 3, comparati cum numero 
absoluto, ut 4. 

B. Non video quomodo hrec negari possunt. 
Neque quicquam illum juvat quod deinceps habet, 
nimirutn, quod Aurea Regula rationum rationes 
corttpttrat ; et qitod opus sit ari/hme/ici tion iiiinus 
ratioiiuin, qitant ttumerorum rationes contemplari. 

A. Caput xlii. est de additione et subductione 
fractionum. Ciuod de additione dicit earum frac- 
tiouum, quarum idem denominator est, verum est: 
et quidem demonstratum esset, nisi medium ipsum, 



154 



EXAMIXATIO F.T EMENDATIO 



quo utitur ipse, alias negasset. — Numeri, ir 
2 et 3, simul additi consfitiiiinf 5, ijwcciiik/io 
il/(C shit qute numerantur ', puta, sire integra sit 
partes. Et qua ratione 2 et 3 homines simt 
/lomines, efe.. etidem plane ratione 2 ef 3 semisses 
sunt 5 semisses. — Cum crgo 2 et 3 lioraines sunt 
verus numerus ; etiam 2 et 3 semisses, vel etiam 
2 et 3 centesima? sunt verus numerus ; sunt autem 
fractiones ; est ergo fractio verus numerus. Guod 
cum ille in prtecedentibus seinper negaverit, prt 
positum non demonstravit. Ostendit paulo pos 
duarum fractionum diversos habentium denomina- 
tores, ad duas alias qtiae denomiuatorem eundem 
habent, rednctionem. Exemplo utitur -fet v> q uas 
fractioues ad eundem deuominatorem reduci de- 
monstrat, nempe, ad fractionem hauc 
et quidem, cum aliis plerisque, recte. Adeoqui 
mirum est, quod non viderit fractiones et rationes 
quautum differunt. Nam si ratio ~, id est, juxta 
illum ratio 1 ad 3, addatur rationi )-, id est, ut illi 
placet, rationi 1 ad 4, summa erit ratio -^-, id est, 
ratio 7 ad 12 : quod raanifeste falsum est. Si enim 
ratio 1 ad 3 addatur rationi 1 ad 4, summa erit 
ratio 1 ad 12, id est, secundum Wallisium, ,7. 
Itaque Eequales iuter se erunt -~ et ^-. Vel t 
ponendo rationes eo modo quem docet Euclide; 
erunt -f + ^~ = 7T- Similiter, fractio $ addita frac 
tioni ht duplicatur, et fit 1. At ratio 1 ad 2, ad- 
dita ratioui 1 ad 2, duplicatur, et tit ratio 1 ad 4. 
Sunt ergo per illutn. qui fractionem et rationem 
pro eadem habet re, £ et 1 inter se requales. 
Quod vides quam sit absurdum. Sed absurda 
quje in ipsis numeris satis patent, descripta sym- 
bolis symbolorum imperitos, quse est OtititBl sym- 



utem 
luod 

pro- 
post, 
oina- 
"dem 

pias 
de- 

q"ue 



MATHEMATIC-E HODIERN/E. 155 

bolorum, facile fallunt. Neque, si non fallerent, tt*u 
qmcqoam valerent synibola nisi ad obscuritatem 
alioqui clarissimis induceudam. 

Sequuntur Caput xliii, de fractionum multipli- 
catione et divisione, et Cuput xliv, de fractionum 
reductionibus ; iii quibus ut uihil falsum, ita niiiil 
novum reperimus, neque in demonstratis neque in 
demonstrationibus. Caput ultimum Epilogus est, 
quo prsecedens opus arithmeticum se dicit absol- 
visse. Doctrinam enim c!c ratiouum rationibus 
traditam esse ait in doctrina fractbnum ; quod 
quam recte factum sit, audisti modo. Et siquidem 
ipse huic doctriuae theoremata ulla superstruxisset, 
absurda ea esse intellexisset ipse. 

B. Non puto. Nam hacc doctrina fundamentum 
est totius fere tractatus illius, quem inscripsit 
Arithmctiram hijinitoruin ; quem tractatum una 
cum tractatibus de conicis sectionibus et de angulo 
cuntactittt, mecum attuli ut examines. Nam illos 
exammari cupio. 

A. Examinabo. Sed ad opus itttegrum artth- 
metkum desunt adhuc regula> alligationis etfahie 
potitionis: quarum altera, inquit, tum aliis de 
cousis, tum quod illa noti adeo frequentis usus stt, 
altera .sitte magno dispendio post introductam 
arithmeticam speciosam, eareri* possit. Q,uod 
utrumque falsum est. Nara et regula? alligationis 
apad mercatores usus est satis frequens ; et regula 
fals® positionis, cum dependeat ab hoc theoremate, 
ut mium falsum suppositttm est ad errorem a se 
natttm, ita altcriiiii falsum suppositum est ad 
errorem i/tdem a se natuni, demonstrari potest 
sine algebra. Demonstratio longiuscula est. Sed 

* Sic Edit. 1660 et 1668. 



156 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



legere eam poteris in fine Libri quiuti Bartholomae 
Pitisci, de Triangulis. 
B. Legam. 

A, Sed deest etiam ad opus aritkmeticum inte- 
gTKM,methodus inveniendi radicem cujusque potes- 
tatis datx : item ars analytica, nisi illa arithmeticaj 
pars, vel regula aliqua, non sit. Qme an recte 
praetermisit, item an ea quie tradidit recte tradidit, 
tuum est considerare. 

B. Restat adhuc percurrendus tractatus Elencl 
ticus contra Meybomium, de Proportionihus, 
cum dedicatione. Dedicatio paginas habet qu: 
quaginta; opus dedicatum, sexaginta duas. 

A. Scio. Sed non est illa tam dedicatio, qu: 
laborantis lapsum suum in conicis corrigere mis* 
rabilis labor et perplexitas. 

B. Scripserat, Sect, Con. prop. 47 : fn para- 
holoide euhieali diamctros esse sihi hivicem paral- 
lelas: quod Robervallus illi falsura esse indicavit. 
Lege ergo, ut sciamus si quid afferat nunc quod 
sit rectius. 

A. Non est tanti tota geometria ; sunt enim 
paginae sequentes duodecim, quibus quaeritur aequ; 
tionis, nescio cujus, radix q, adeo stigmosae symbi 
lisque seribillatae, ut nulla humana patientia exara 
nari possint. Illas igitur abominans praetereo; 
praesertim cum diametrum paraboloidis cubici ne 
sic qnidera inventam esse dicat. Sed aequatio illa 
cujus radix est q, (y autem quid sit nescio), illum 
vexaverat ; itaque homo viudictae amans ulcisci 
parat. Nempe, inquit, vexnndti adkuc cst cequatio 
illa fjtup nos vexavit hactenus, ut tandem qitid certi 
prodat. Assimulansque Proteo aequationem, ea 
occasione usus, versus ex Homeri Odyssea pliu 



MATHEMATIC-E HODlBRNiG. 



157 



quam duodecem inseruit. Deinceps autem re- 
sumptam eandem sequationem vexat frustra, nec 
quidquam adhuc certi prodit Proteus. 

B. Transeamus ergo ad ea quae habet contra 
Meyboiaium. 

A. Prsetereo illa quse ex Meybomio affert pro- 
prium iuventum extollente ; (nam et Wallisius non 
minus gloriose, et multo magis contumeliose, 
scribit quam Meybomius) ; et Ulud, quod non satis 
distiuguat Meybomius inter t6 &*6 et ™ i™-<> : quia 
propero ad ea quae scribit de natura rationum. 
Priraum igitur quod reprehendit Wallisius, est 
quod Euclidis illud in definitione ratiouis, wpib pftfac, 
vertit per certa t/tnxdam relatio, propterea quod 
™6, qualitatem respicit. Si quid peccavit hoc 
loco Meybomius, peccatum est quod illud, quod 
Euclides insignificanter dixerat, id voluit dicere 
accuratius. Verteret Wallisius habitudinem qua- 
litatitam, quanquam qualitatha vox Latina nou 
sit, neque intelligibilis. Habitudo autem in quali- 
tatibus nihil aliud est quam habitus, id est, facilitas 
agendi consuetudine acquisita. Hoc, iuquam, ita 
est Latine. Ergo, secundum Wallisium, ratio est 
duantm magtti/itdimim liomogenearum ea quee, 
secitnditm </itaii/i(a/em, e.it JaeUiku agendi con- 
mittittUne acquisita. Qua definitione quid potest 
esse magis ridiculum f Non respexit Euclides ad 
praedicamentum qualitatis, in voce n»d, sed ad 
vocem in enuntianda rationum similitudine vulgo 
usitatam, 0$™$ ! X ", ut in prtecedentibus notavimus ; 
atque inde definit rationem per alit/uem habilum, 
seu, quod hoc loco idem est, per babitnm quendam, 
(subaudi, nescio quem). Rectius ergo Meybomius 
rationem defiuivit quam aut Wallisius aut ipse 



158 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialoccs Euclides. Quid enim ratio aliud est, quam m. 
IV ' . tudo unius quantitatis, quateuus ad aliam co: 
paratur ? 
B. NihU. 

A. Sed vide WalHsii super hsec scholiastae verba, 
Latiue ab ipso versa, subtilitatem. Verba sunt 
ha?c : est autem alia, t/utp dtcitur relatio secunih 
excessum et defcctnm. 

B. Quid ? Aliane ratio, an alia relatio ? 

A. aWij vxi<rts, id est, alia habitudo. 

B. Cur ergo uon vertit per alia habitudo, 
per alta relatio ? 

A. Quia ratio, quae hic ionuitur, ea est quam 
vulgo vocant rationem arithmeticara, quam Walli- 
sius negat esse rationem. Itaque homo subtilis, 
sententia? sufe convenienter locum vertens, maluit 
relutionem dicere quam habitudinem, qua3 vox est 
in definitione rationis. Deinde paulo infra, praeviso 
qnod non inepte qurerere quis posset, an insit in 
ratione qualitas aliqua ; respondet, ut fignrarnm 
magnituilo ad quantitatem spectat, ita figurnruni 
species spectat ad qualitatem. Quasi aliud in 
figuris compararent geometrK praeter quantitates ; 
aut esset aliqua ratio magnitudinumquaeesset qua- 
litas. Ulse ipsse ratio et incliuatio, propter qi 
figuram qualitatibus accenseri poscunt, ambie sui 
quantitates, nec ut quales, sed xit quantte consii 
rantur a mathematicis. Quod Meybomius quantui 
a quoto non distinguat, ab Wallisio recte reprehen- 
ditur. Deinde, quod Meybomium reprehendit, 
quia in locis aliquot veterum, ubi emendatio 
bebat fieri per t imkaattim, emendat per eiwXaotov, 
rito fecit. Sed quod Meybomius idem signific: 
censuerat cnrKaeiwv et ctrkaaias, recte eensuit ; Wj 



rba, 

unt 

I 



|ua- 
uas 
unt 
ide- 
tum 



MATHEMATICJE HODIERNiB. 159 

sius autem id negando, imperitum se ostendit lin- dialogus 
guae Graecae, etiam ejus qua utuntur geometrse, ut IVa 
in verbis ab ipso recitatis manifestum est, oh \iytt 

orl bvo \6yoi rov kvog $ix\a(Tiot eiffl, rai tovto fitv yap»* aAAa 
oti b Xoyoc 6 ix t&v tivo hwXaeUir e?i : id est, nOfl dlCtt dudS 

rationes unius esse duplas, quod tamen est verum, 
sedrationem ex duabus compositam esse dupli- 
caiam. 

B. Non capio. Vellem professor noster osten- 
disset quare duae rationes sequales compositae non 
faciunt rationem unius duplam, et quare duplum 
simpli non sit ejusdem simpli duplicatum. 

A. Sed harum vocum alium sensum esse dicit 
apud matbematicos. 

B. Credo. 
A. Et ego, etsi non semper, tamen ssepissime ita 

esse. Id quod ex eo contigit, quod, ut dixi ante, 
non ausi sunt rationem minoris ad mediam duplam 
esse dicere rationis ejusdem minoris ad maximam. 
Quae tamen magnitudine dupla est, quamquam 
numero rationum dimidia ; ut ratio 1 ad 2 dupla 
est rationis 1 ad 4 quantitate, etsi contra, ratio 1 
ad 4 dupla sit, si spectes rationum numerum : id 
quod ssepe alias dixi, nimirum, in rationibus mino- 
ris ad majorem, quae sunt rationes defectus, mul- 
tiplicatio rationum quantitatem rationis minuit, 
divisio auget. Deinde, quod Meybomius dicit, Si 
rationum magnitudo sit exploranda, illa major est, 
cujus termini longius inter se distant, falsum est : 
nam 1 ad 2 majorem habet rationem quam 1 ad 4 ; 
cum tamen termini 1 et 4 longius inter se distent 
quam 1 et 2. Quod etiam vidit Wallisius. Rur- 

• Sic Edit. 1660 et 1668. 



160 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

dialogcs sus, Meybomius reprehendit definitionem Euclidis 

- tT * fElem. vi. 5) ut falsatn ; non recte : poterat tameu 

ut non defiuitionetn ; nam potest demonstrari. 

B. Et demonstravit Hobbius. 

A. Vidisti jam quam sunt natune rationum, de 
i|ua litigant, ambo ignari. 

B. Reliqua ergo ne examines. Attuli autem 
mecum alterum illum librum ejus, De Angulo Con- 
tactus, De Sectionibns Conicis, et De Arithmctlcu 
Infinitorum :' ut cum perlegeris, excutiamus sicut 
hunc. 

A . Libet autem, antequam discedas, videre utrum 
recte reprehenderit Mersennum. Mersennus, iti 
Cogitatis Physico-Mathematicis, Proportto, inquit. 
uyuu/ittiti.s, nihili siiiti/itudinem refert. Proportio 
mnjoris inaiqua/itatis attoUitur supra nihilnm. 
Proportw minoris incequalitatis deprimitur infra 
nihilum. Contra haec, ea quse affert Wallisius con- 
tinentur omnia his verbis : Qui simphtm dicit, non 
ille rem nuUies apponi intelligit, sed semel ; et 
qui stthdnp/uin poni dicit, non aliquid aufcrri dicit y 
sed saltem semisscm poni. Qiue satis illos ouidem 
redarguereut, qui simplum, vel semissem, vel trien- 
tem nihil esse dicerent, vel quautitatem habere 
nullam ; sed contra Mersennum, qui nihil horum 
dicit, sed semissem, trieutem, etc, aliquid esse et 
ijiiantitatem positivam esse concedit, nihil faciunt. 
Nam ilHus verbis, non semissem ueque trientem, 
etc, aliquid esse negatur, sed tantum semissis sive 
trientis, etc, ad iutegrum rationera quantitatem 
habere, id negatur. In legendis ergo mathematicis 
uon nimis est acutus. 

B. Sed nosti juxta sententiam Wallisii, sera 
sem, et semissis ad totum rationem, eandem i 
rem. 



■ 



MATHEMATICiE HODIERNjE. 161 

A. Scio. Vidimus jam in hac parte operis ma- dialogus 
thematici, professoris vestri quot sunt errores: *y* „ 
scilicet, plures quam censor ullus, quantumvis seve- 

rus, in omnibus scriptis omnium mathematicorum 
editis invenire potest. 

B. Id quidem nescio. Verum si de omnibus 
simul doctrinse partibus judicium facies, non medi- 
ocriter doctum esse existimabis. Theologus enim 
est, et logicus, et physicus, et metaphysicus, et 
politicus, et ethicus, et peritus juris Romani et 
Anglicani. Praeterea, linguas novit Hebraeam, 
Arabicam, Teutonicam, Gallicam, Italicam, Armo- 
ricam, quarum specimina et criticismos vidisti in 
hoc libro ; et praeterea symbolicam, quae, ut lingua 
quaedam universalis, est instar omnium. 

A. Vidimus quidem videri velle haec nosse, 
neque quicquam aliud praeter errores et nugas 
nosse. 

B. Liber hic alter, quem examinaturi sumus, 
videbitur tibi fortasse melior. Vale. 



DIALOGUS QUINTUS. 



A. Bene advenis ; sed te expectabam heri. 

B. Venire non potui. Tu vero tanto plus 
habuisti otii librum, quem tecum reliqui, perle- 
gendi. 

A. Perlegi, nisi quod tractatus de Sectionibus 
Conicis capita aliquot, quae symbolis nimium im- 

VOL. IV. M 



162 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

pedita erant, transilui ; et tractatus de Arithmetica 
Iiifinitorum, cum capita prima et reliquoruru 
omuium fundameiita falsa esse invenissem, cietera 
legi quidem, sed examinare nolui. Capite primo 
de Angulo Contactus, occasio declaratur contro- 
versiae de natura ejus inter Clavium et Peletarium, 
nempe propositio decima sexta Elementi tertii 
Euclidis, una cum demonstratione ejusdem. Pro- 
positio quidem Grrece et Latine, (Grrece in eorum 
forte gratiam qui Latiue nesciunt), demoustratio 
Latine tantum repetitur. In secnndo, controver- 
siam illam ostendit diremptam ab Euclide non 
esse. Nec mirum ; Euclides enim de fntura super 
verbis ejus tanto post tempore inter Peletarium et 
Clavium controversia ne somniavit quidem. Capite 
tertio, controversiam intimius, (ut itle parum Latine 
loquitur), aggreditur : anguli plani defiuitionem 
afferens hanc ; angnlus, inquit, planiis est uinttia 
vXfmc, seu inelinatio, duaritm linearum in platio 
sese tangentium et non in direclum posilarum. 

B. Definitio quidem Euclidis est. Sed anguli 
plani natura ubi explicatur ? 

./. In ipsa definitione. 

B, At non agnosco ; nam repugnat iis qure 
idem scripsit Euclides (Def. 5, Elem. xi). Ibi 
enim definit rectte linetc ad planuin incliiiationem, 
ifeui plani ad planum tnclinationem, esse angu/um 
acutum. Cum ergo omnis inclinatio ad planum 
sit inclinatio ad Hneam in platio, erit, per hanc 
definitionem, omnis angulus acutus. 

A. Sed non videtur vox inclinatio eodem sensu 
accipieuda esse hic, atque in Elemento nndecimo. 
Scias ergo nonnullos esse qui, etsi a positis prin- 
cipiis nunquam non recte ratiocinentur,ipsa tamen 



UATHKMATICS HODIEBN/R. 



1G3 



principia non satis feliciter semper ponunt. Opor- i 
tuit prius defiuitum esse quid sit incliuatio, quam 
per ineHiiationem definiisset angulum planum. 
Quod cum uon fecerit, iu causa fuit quod Wallisius 
frustra se torserit in vocibus tXtne et <WWio. Sapit 
euim definitio Euclidea plus quam satis de vulgi 
imaginatione anguli, cum dicaut hoc vel illud non 
Jactitm esse in angnlo. Sic quoque accipit Clavius, 
cum contra Peletnrium disputaus, angulum rectum 
majorem esse dicit quam est angulus semicirculi, 
nt totum quam pars ; deceptus eo quod superficirs 
aliqua intercipi videtur inter arcum et taugentcin. 
Itaque naturam anguli, vulgi more, in arcta quadam 
superficie consistere arbitrabatur : quod est falsum. 
B. lmo vero, adeo absurdum, ut nemo illud 
unquam aperte dicere ausus sit ; quanquam, inhse- 
rente illa falsa imaginatione, id dixeriut ex quo 
inferri possit. 

A. AudiamusWallisium. —Et qttidem ipxm /inen- 
concurrentes, quanivis tottr Jorsan ine/incntnr a<l 
inriccm, angulum tamen non alibi i/iiam in ipso 
puncfo concnrsus Jbrmant. — Nonne hinc sequitur, 
ipsa puncta formare angulum ? 

B. Plane. Et siquidem punctum sit, ut vult 
Wallisius, nihil, duo nihila fonnabuut angulum. 

A. Videntur mihi dnae Hneae, etiamsi non con- 
corrant, si tamen eadem regula qua generautur 
producta^, concursura: sint, angulum efficere. 

B. Hoc quomodo sit possibile vix intelligain, 
msi sciero quis sit quem tu appellas anguium. 

A. Angnlnm simpticiter, exeluso angulo con- 
tactus, appello, linete, qiue cireulum deserihit, 
eoncersionis tolius portionem : angn/i autein qitatt- 
titatem, quaiititatem arcus quoUbet temporc 



164 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

descrtpli Itaque qui dicunt angulum du; 
rectis e centro coutiueri, non supcrficiem, sed 
arcum contineri intelligunt, vel intelligere debent. 

B. Itaque quidein censeo : nec Wallisius aliter 
sentire potest, quicquid tuenda; existimationis 
eausa dixerit in contrarium. 

A. Itaque angulum contactus angulura simpli- 
citer dictum non esse, ex eo probandum erat, quod 
recta circulum tangens nullum abscindit arcum. 
Wallisius autem hoc partim ex Pelitario, partim 
ipse ex eo probare vult, capite quarto, quod linea: 
illsenon sunt una ad alteram inclinata?, quamquam 
quid sit inclinatio adhuc nesciatur. Inclinationem 
autem in angulo eontactus nullam esse, satis qui- 
dem, sed operationibus a motu circulari deductis 
tandem demonstrat. Ex quo nihil aliud efficitur, 
prseterquam quod angulus contactus non sit angulo 
sirapliciter dicto homogeneus. Quod quidem vemm 
est, ut tameu verum quoque sit quod angulus 
contactus sit verus angulus, idemque quantus. 
Capite quinto idera probat Pelitarius ex prop. 1 . 
Elem. x. Sed angulnm omnino non csse, aut 
nullara habere quantitatem, non probat. Capite 
sexto respondetnr ad argumenta Clavii. — Ego, 
dicit Ciavius, angulos illos ejusdem esse generis 
mtgavi hac solum de causa, quod migidus eontaeitu, 

quantumvis mtdtiplicattts, aiigidtiin acttttnn rerti- 
lineum superare neqneat. — tiuod quidem argu- 
meutuin firmum esset, si modo angulus contactus 
esset angulo rectilineo homogeneus. Est ergo 
homogeneus aut nullus. Nullum esse respondet 
Wallisius. Quorsum igitur dicitur angidas nm- 
tactus, potius quam pttnctum contaetus ? Sed 
neque ille nullum esse demonstravit, sed tautum 



V. 



MATIlEMATICiE HODIERN^. 165 

nullum rectilineum. Quod autem angulus con- dialogus 
tactus angulus sit, et quantus, verum heterogeneus, 
post demonstrabitur. Rursus Clavius, ut angulus 
planus efficiatur, sufficit, inquit, duas lineas in 
plano ad invicem inclinari, non autem requiri ut 
se mutuo secent. Quod Wallisius non negat ; incli- 
nari negat. Quid autem est inclinatio, si duae 
lineae tunc non inclinantur ad se invicem, cum a 
diversis regionibus utraeque concurrunt ad idem 
punctum ? At inclinatio y in definitione anguli, 
non sumitur, ut in Elemento undecimo, pro 
angulo rectilineo acuto ; ita ut angulus praeter 
acutum nullus sit. 

B. Quin arcus et tangens ad se inclinentur, du- 
bitari non debet. Non ergo solvit argumentum 
Clavii. 

A. Atqui haec sunt praecipue quae disputantur 
Capite sexto ; ubi neuter ob ignorationem naturae 
angulorum veritatem constanter tenet, sed modo 
hic, modo ille incidit in absurda. 

Capite vii probare conatur Wallisius anguli sim- 
pliciter et anguli contactus bfioytyttav. — Primo 
inquit, quce mutuo possunt vel addi vel auferri, ea 
non sunt heterogenea. — Conceditur. — At angulus 
contactus y siquidem sit angulus, et recto auferri 
potest, ut maneat angulus semicirculi internus y et 
recto adjungi potest, ut fiat angulus semicirculi 
externus. — Percepistin' hujus argumenti vim ? 

B. Ita. Si, inquit, superficiem illam, quse se in- 
gerit inter tangentem et arcum, auferas, remanebit 
angulus quem efficiunt diameter et arcus. Quod 
per se manifestum est, quia aufertur pars a toto. 

A. Ergo per Wallisium uterque angulus, tam 
semicirculi quam contactus, est superficies. 



166 



EXAMINATIO ET EMENUATIO 



B. Id quidem, quauquam sit absurdum, mani 
feste sequitur. 

A. Secundo dn<v, inquit, quant/tatex, i/ 
altera cst major, altera minnr, sitnt Jtomo^ 
Coiiceditur. — Sed angnlus contactus, siquidcui sit 
angulus, et angulns qitivis recti/iiieits, ejiismodi snnt 
quantitutes ; id est, quarum altera altera potest 
esse major vel minor. Negatur. 

B. Sed probat ex propositione 16 Elem. iii. 
Euclidis. 

A, Nego hoc quoque. Nam per illam proposi- 
tiouem probatur hoc soium, iutercedere inter tau- 
gentem et arcum superfieiem aliquam, non autem 
angulum aliquem. 

B. Tertioy angulus, inquit, semicirculi ad 
gidnin rcctum rcctiHneum certam habet et dei 
miiiatam rationem. 

A. Coitceditur. 

B. Habehil ergo rationem ad reliquuvi : id 
ad anguluin coutactus. 

A. Negatur. Non est euim augulus contactus 
pazna reliqaa anguli recti rectiliuei, neque, dempto 
angulo semicirculi cx angulo recto rectilineo, re- 
linquitur angulus coutaetus. Verum autem est, 
dempta superficie intercedente inter diametrum et 
arcum, quod relinquitur superticies qua? iutercedit 
inter arcum et tangentem ; quam superficiem puta- 
vit Wallisius essc- augulum. 

Caput viii testiraonium babet Domini Heurici 
Savilii. Is vero quadratum et circulum bomogenea 
esse osteudit ; de angulo contactus, eo loco, ne 
vertiuill quidem. Sed paulo inferius de bac re 
dubitasse eum fatetur ipse Wailisius. Nec si aliter 
scnsissct, ullius apud tnatbematicos, qui omnia 



tem 

: 



MATHEMATICE HODIERNjE. 167 

rationibus, authoritatibus nihil pensitant, momenti dialogus 
esset. Capite ix continetur, primo, argumentnm ^ v * . 
Peletarii deductum ex gratis assumpto lemmate, 
angulos semicirculorum, id est, quos faciunt di- 
ametri cum semiperimetris, esse cequales. Quod 
verissimum quidem est, sed omnino idem quod pro- 
bandum erat. Inde autem demonstrare, quod 
angulus contactus non habet quantitatem, impos- 
sibile est. Sequitur quidem inde angulum contac- 
tus nullam partem esse anguli qui continetur a 
diametro et circumferentia ; non autem quod non 
habet suam sibi quantitatem; nec quod angulus 
contactus unus altero non possit esse vel major, vel 
minor, vel sequalis. Ea autem quse per lemma 
suum tria enuntiantur, non sunt de angulo con- 
tactus, sed de ipso contactu ; quasi essent qui ipsum 
contactum angulum esse dicerent. 

B. Sed per contactum intelligi vult contactus 
angulum. 

A. Credo. Sed quod non loquutus sit accurate, 
in causa erat quod naturam anguli non perspexerit. 
Verum lemma illud Peletarii Capite x demonstrare 
frustra conatur Wallisius. Nam etsi verissimum 
sit, tamen nisi ex definitione anguli simpliciter 
dicti, sive rectilinei, demonstrari non potest. 

B. Quomodo autem lemma illud demonstra- 
bis tu r 

A. Quantitas anguli rectilinei, per definitionem 
meam, est quantitas quam habet arcus interceptus 
inter duos radios, comparata ad quantitatem totius 
perimetri. Sed angulus factus inter diametrum et 
tangentem, nullum intercipit arcum. Est ergo 
quantitas anguli contactus nulla pars quantitatis an- 



ics 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



guli rectilinei. Cluare arcus semicirculi solu< 
absque angulo contactus, rectus est. 

II. Si angulus contactus nulta pars sit ejus, qui 
efficitur a tangente et diametro, quare dicitur i 
gulus 5 Et quomodo diei poiest qitantus ? 

A. Dicitur augulus, quia formatur a du: 
liueis in communi puncto concurreutibus. Qoantu 
dicitnr,propterea quod unius anguli eontactus quan- 
titas potest esse vel major vel minor quam quauti- 
tas alterius. 

In quinque paginis qiue faciunt Caput x, ad 
probandum quod angulus semicirculi est rectus 
affert sex demonstrationes, quarum ne nnaquidem 
satis tirma est ; ideoque Caput undecimum totum 
occupat objectio contra Caput x, et ad objeetiouei 
responsio. (Auod non fuisset necessarium, 
sent legitiuiEC demoustrationes ejus. Elige quai 
iibet et quam putas firmissimam. 

B. EUgo quartam, ubi cum angulum eonstituis- 
set in semicirculo rectum ABC, supponit ABsuper 
terminum diametri uioveri circulariter ad ten 
num oppositum. Quauto ergo eo motu minuiti 
perpetuo angulus ad A, tanto augetur angulus ad C. 
Itaque augulus in circumferentia perpetuo servatur 
rectus. Uuare et rectus erit, quando AB est in 
ipBO dmmetro in C. Itaque angulus semicircuti i 
C erit rectus. 

A. Ita qoidem, cujus crus alterum 
semicirculum taogat in C. Sed si 
crus alterum sit arcus, nou est ne- 
cesse, non inqnam necesse est prop- 
ter vim hujus demonstrationis, nisi et angulus 
1'actus al) AB et areu BC sit etiam rectus ; quod, 
qtiauquam veium sit, Clavius nou coneedct 



MATHEMATICJE flODTERNJE. 169 

Capitibus xii et xiii argumenta, quae adducit, dialogds 
nihil amplius probant quam quod angulus contac- . v * . 
tus anguli rectilinei non est pars : quod non negatur. 

Capite xiv, argumenta explicat desumpta ex op- 
tica Vitellionis, (ut ne bujus quidem philosophiae 
partis ignarus esse videretur) : sed ab illis nihil 
aliud derivari potest, praeterquam quod angulus 
contactus angulo rectilineo nihil addit. Quod qui- 
dem fieri potest, ex eo quod quantitati nihil addit 
non modo quantitas nulla, sed etiam quantitas 
heterogenea. 

Postremo, capite xv, respondet ad Clavii quae- 
dam corollaria. Quorum unum est, quod potest 
aliqua quantitas continue et infinite augeri, et 
tamen augmentum illius quantumcunque minus 
semper erit decremento hujus: quod quidem eo 
sensu quem hoc loco habere debet, dictum est 
plane absurdum. Alterum, transiri posse a minore 
ad majuSy vel contra, et per omnia media ; nec ta- 
men per tequale : quod est absurdissimum. Hiccine 
fuit qui adeo superbe insultaverat Jos. Scaligero, 
quod dixerat latera 12 dodecagoni majora esse 
perimetro circtdi circumscripti ? Qaod quidem 
absurdum erat, sed non tam quam monstrum hoc 
Clavii, propter quod geometriam ipsam non magni 
facerent homines non geometrae. At notat hoc 
non ut absurdum Wallisius, sed ut falsum. 

B. Restat, quoniam angulo contactus quantita- 
tem tribuis, sed anguli rectilinei quantitati hetero- 
geneam, ut ostendas quare sit heterogenea ; et qua 
mensura quantitates duorum angulorum contactus 
possint mensurari. Primo autem, quid est illud 
esse homogeneum ? Etquid est esse Jieterogeneum? 

A. Homogenew quantitates sunt, quarum men- 



1/0 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



sQrie applicari possunt una ad alteram, ita ut con- 
gruant. Itaque cum linea lineae applicari possit, 
et superficies superficiei, et solidum solido applic 
concipi potest, erunt quantitates eorum homogenea?. 
Item quia quantitas temporis per lineam mensurari 
potest, et linea linea? applicari potest, erit quan- 
titas temporis quantitati linea? honiogenea. 

/?. An tempus et linea congruere inter se po: 
sunt ? 

A. Non. Nec id dixi ; sed mensuram linese, et 
mensuram temporis, quse amba? sunt linea?, con- 
gruere posse. Etiam motus et ponderis quanti- 
tates ad lineas reduci possunt, et proinde eorutr, 
quantitates homogeneje sunt. 

B. Quid ergo homogeneum non est ? Nai 
solidum et linea ad numeros reduci possunt ; 
autem numerus numero homogeneus. 

,4. Numerus numero, si quse numerantur sunt 
homogenea, homogeneus est ; alioqui heterogeneus, 
ut dua? Uneae et dure superficies. Nisi enim nu- 
meri ex unis homogeneis constent, ipsi homogenei 
non suut. Numerus enim omnium rerum est com- 
munis ; et linere sunt numerus linearum, quadrata 
numerus quadratorura, fractio numerus partium. 
Prasterea, augulus rectilineus cum angulo rectilineo 
congruere potest, cum posstnt per arcnm circuli 
arabo mensurari ; arcus autem cum arcu ejusdera 
circuli congruere potest. Anguli autem contactus 
mensura eum anguli rectilinei raensura congruere 
non potest, quia angulus rectilineus non niensura- 
tur per lineam uisi circularem, et quidem quatenus 
circularem ; meusura autem anguli coutactus i 
linea recta quatenus recta. 

B. Quomodo id fieri potest - 



MATHEMATICiE HODIERN.fi. 171 

A. Circulum non modo circino describi posse dialogu» 
nosti, sed etiam continua flexione rectae. Ut enim . ** . 
recta linea frangi potest in polygonnm qnotvis late- 

rnm aequalium ; ita flecti potest, id est, in omni parte 
frangi, in polygonum laterum numero infinitorum. 

B. Scio. 

A. Prior generatio lineae circularis est generatio 
ab initio, nulla praeexistente linea recta ; posterior 
praeexistentis rectse mutatio in curvam circularem. 

B. Ita est. 

A. Sunt autem curvarum aliae magis, aliae minus 
curv^. Itaque et curvitati omni sua est certa 
quantitas. 

B. Est. 

A. Et curvitati circulari sua certa quantitas. 

B. Etiam. 

A. Si quseratur autem duorum arcuum aequalium 
in diversis circulis, uter sit magis curvus, quomodo 
respondebitur ? 

B. Nescio, nisi quod mihi quidem videatur minor 
circulus esse magis curvus. Nam legi in Galileo 
quod arcus circuli, si radius esset infinitus, esset 
linea recta. 

A. Ego vero omnium circulorum perimetros, si 
totas spectes, dico aeque esse curvas ; item partem 
perimetri unius, similem parti alterius, esse seque 
curvam. Nec dissentio a Galileo. Nam si in pe- 
rimetris diversorum circulorum arcus sumpseris 
aequales, magis curvus est is qui sumitur in peri- 
metro minore. Id quod voluit Galileus. Verum 
si sumpseris arcus proportionales, aeque curvi sunt ; 
ut quorum curvitates oriuntur a totidem rectae 
lineae fractionibus, in partibus totidem, quae sunt 
munero infinitae, proportionalibus. 



172 



BXAHINATIO KT EMENDATIO 



simt a 



B. Manifesta hasc suut, sed nou mihi videutu: 
sads respicere ad anguluni contactus. 

A. Dico igitur quantitatem anguli contactus ( 
quantitatem curvitatis pcrimetri, quam coutiugit. 
Vide figuram hanc, ubi centris A 
et B descripti sunt duo circuli CD, 
CE, contigui in C. Ducta autem 
recta CD secans circuluiu alterum 
in E, alterum in D, non modo os- 
tendit quod similes arcus CE, CD 
requalem habent curvitatem, sed etiam quod illa 
cunitas distributa sit in majori circulo per ma- 
jorem arcum quain in niiuuri ; contravero, partem 
CE iu minore perimctro niagis curvam esse quam 
pars perimetri majoris, puta CF. ipsi arcui CE 
sequalis, idque in ratione chordae majoris CD ad 
chordam minorem CE r id est, in ratione radii AC 
ad radium BC. 

B. Nihil clarius. Sed quid hsec ad angulum 
coutactus ? 

A. Ducatur ergo taugens CG, determiuahitque 
il!a (|iianto arcus CE, propter eurvitatem suam in 
arcu minore, magis recedit a taugeute quam arcus 
CD. propter curvitatem eandem in arcu majore. 

B. Video reliqua. Recta a puncto eontactus, 
cum secet omnes circulos interiores transeuntes 
per C proportionaliter, determinabit quantitatem 
curvitatis arcuum ajqualium in unoquoque circulc 
sumptorum ; et proinde earum curvitatum 
mensura; quse mensura cum sit linea recta CED, 
partes ejus omnes, applicatee sibi invicem, sequales 
cum iequalibus congruent. tiuare atiguli contactus 
iuter se homogenei sunt, habentque quantitatem, et 
sunt angulis rectilineis heterogeuei, Perge modo. 



mathematica: hodiern^:. 173 

A. Hactenus tractatus De Angulo Contactus, dialogus 
quem vides ejusdem esse farinae cum opere ejus . v * „ 
arithmetico integro. 

B. Progrediamur ergo ad tractatum de Sec- 
tionibus Conicis, qui distinguitur in tres partes ; 
quarum prima prooemium habet et propositiones 
viginti : secunda, propositiones viginti et tres : 
tertia, propositiones sex. In procemio plus pro- 
mittit quam post prsestat. Supponit autem propo- 
sitio prima, planum quodlibet conflari ex infinitis 
parallelogrammis ivqualibus, quorum quidem sin- 
gulorum altitudo sit totius altitudinis pars aliquota 
infinite parva. Prsetereo, quod si planum parallelo- 
grammum non sit, conflari ex parallelogrammis 
non potest. Praetereo item, quod planum finitum 
ex infinitis parallelogrammis conflari non potest. 
Ille autem hoc voluit conflari planum ex infinitis 
numero parallelogrammis ; idem putans esse infi- 
nita parallelogramma, et infinita numero parallelo- 
gramma. Id quod notare volo, hoc est, quod 
supponat partem aliquam aliquotam esse infinite 
parvam ; nam est contradictio in adjecto, non minor 
quam si quis diceret curvam aliquam lineam esse 
rectam. Cum enim dicit partem aliquotam, dicit 
quantitatem in quantitates divisibilem perpetuo 
divisibiles. Si ergo pars aliquota sit infinite parva, 
erit illa nihil. Et quia pars aliquota ad totum est 
ut unum ad numerum, erit quoque, ut nihil ad 
quantitatem, ita unitas ad numerum. Nonne hoc 
aeque absurdum est, ac illud Clavii, transiri posse 
a minore ad majus, nec tamen per cequale ? Et 
multo magis absurdum quam ulla aut Scaligeri 
conclusio, aut Orontii ? 

A. Ita est. Neque recte dicit consentaneum 



174 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

i esse hoc geometria; indivisibiliura Cavallerii, 
per indivisibilia iutelligit indivisa. 

B. Falsum quoque est quod dicit, planura quo» 
Hbet conflari ex infinitis parallelogrammis aequa- 
libus. Neque enim trianguli constant ex parallelo- 
grammis, sed ex trapeziis ; neque ullum aliud 
planum ex parallelogrammis constat, prreter paral- 
lelogrammum. Neque sequitur ex doctrina Caval- 
lerii, sicnt ex doctrina hae Waliisii, nnllam c.s.sc 
cnjuscunqne plani aUitndincm. Propositio erj 
prima nihil egit. 

A. Dicit fortasse idem sentire se quod Caval- 
lerius, nempe, esse altitudines suorum parallelo- 
grammorum infinite parvoram non prorsus nullas, 
sed valde exiguas. 

B. Quid ergo opus erat dicere, infinite parrax, 
cum suffecisset dixisse nou consideratnrum 
illorum altitudines ut quantitates : Deinde Propi 
sitione secunda, ubi demonstrare vult triangulum 
totum sequale esse omnibus basi parallelis, suppo- 
nitque triangulum divisum esse in parallelogramraa 
altitudines habentia infinite parvas ; et quia illa 
parallelogramma sunt arithmetice proporticmalm, 
concltidit, et quidem recte, ea simul omnia toti 
triangulo esse sequalia : auimadverto, quod si alti- 
tudines nulhe sint, ut is supponit, nulla erit pro- 
portio arithmetica, nisi 0, 0, 0, 0, etc, sint arith- 
metice proportionales. Neque erunt parallelo- 
gramma toti triangulo iequalia, nisi infinities nihil 
possit esse tequale alicui rei ; ueque si per infiiiite 
parcum intelligit exiguum, necesse erat facere illa 
exigua. An in ratione arithmetica non fuissent 
toti non sequalia, si altitudines supposuisset quas- 
cunque ? Tota ergo haec propositio unicam habet 



MATITEMATIC/E FIODIEHNJK. 



173 



demonstrationem, quse poterat decuplo esse brevior. 
Itaque qute sequuutur Propositiones iii, iv, v, et vi, 
etsi veras habeant couclusiones, vitiosas continent 
ratiociuationes. Easdem tamen eonclusiones nemo 
non novit, uec recte non potest, et breviter deraon- 
strare. Propositio vii, praeter terminorum, quibus 
utuntur scriptores couici, definitiones, unicam 
habet demonstrationem, et momta qupedam ne 
non recte intelligeretur, illi qui non satis accurate 
loquitur plane necessaria. Propositio quara demon- 
strat, lisec est : planum coui sectionem efficiens, 
ti unum ex parallelis in cono circulis secet secnn- 
dum rectttm ipsiiu diametro perpendicularem, 
etiam reliquos illi pttrafletos ctivulos secabit 
secunditm rectas, qiur ipsoruin diametris paral- 
lelix sunt pcrpeiidicit/ares : quse per se perspicua, 
nec uova est. Hanc ergo propositionem, ut non 
falsa continentem, quod deberi puto absentiae syra- 
bulorum, dimittamus. 

A. Expectabam hic ut demonstraret circulorum 
omnes in cono perimetros, perimetro basis paral- 
lelas, coni totius superticiei esse fequales ; ut ante 
minuta paralleloejramma triangulo toti. 

B. Et ego. Sed id forte oblitus prretermisit ; 
nam, propter secundam Arithmetictc Jnfinitoruin, 
non potuit videre falsitatem. At Propositione iv, 
eadem illa methodo ostendit semiparabolae planum 
ex infinitis constare lateribns quadratorum, arith- 
metice proportionalium ; et recte quidem, modo 
latus quadrati concedamus esse parallelogrammum. 

A. Sed illud falsum est. 

B. Scis autera ex falsis verum, etsi non contra 
ex veris falsum, concludi posse. Idem eodem modo 
Prnpositio ix probat de conoide parabohco, quod 



176 



EXAMINATIO F.T EMENDATIO 



DUtoora coustat ex infinito numero planorum aritbmetict 

■ v ' proportionaliuin. Quod eonccdimus ut verum, sed 

non ut novum, nec hic demonstratum, uisi illa 

plana sint cylindrusi. Quod tu iterum dices i 

falsum. 

A. Quidni t 

B. Propositio decima est, quod pyramidoidis 
parabolici et plani per arem secantis contntittii.\ 
xcctio c.st parabota, Quod eat falsum, nisi addat 
quod sectio transire debeat per angulos oppositos. 
Cum euim couoidis parabolici planique per axem 
communis sectio sit parabola, impossibile est ut 
idem contmgat in pyranridoide, aut ulla alia figura 
basem habente rectiliueam, nempe, polygonum. 

A. Propositio xi figuram exhibet aliam novam, 
quam appellat cuneum parabolicum: qui nibil aliud 
est, ut mihi videtur, quam simpliciter cuneus, 
nimirum, prisma cujus basis est parallelogrammum 
acies autem Hnea recta. Quod quidem piisma e 
aggregatum triangulorum, quorum quidem bases 
simul omnes faciunt paralletogranunum, vertkvs 
autem lineam rectam. Qua3 est figura tecti domus. 

B. Temere hsee. 

A. Sequuntur rursus inveuta alieua. Itaque 
Propositio xii ostendit quid sit latus rectum, kto 
parameter, sive jtuta qtuim possunt ordiuatim 
applicatai. — Paramcter luec non uspiam, inquit, 
vel in coni sectione vel in ipso cono realitcr cri.vtit. 
sedsota imaginatione sttppletiir. — -Quod est falsum, 
natumque ex imperitia hominis in conicis semidi ici.i. 

B. Quaniam autem est recta illa in coni sectione 
realiter existens parameter ? 

A. Dicam. Describe parabolam, (non nunc, 
sed cum fueris apud te), et coinprehende parallulo- 



MATHEMATICE HODIERNJE. 1/7 

grammo, cujus unum latus tanget parabolam in dialogus 
vertice et faciet angulum cum diametro. Angulum ._ v * . 
illum ducta recta secans lineam parabolicam alicubi, 
dividat bifariam, et compleatur parallelogrammum, 
cujus unus angulus est in vertice, alter est in linea 
parabolica. Erit autem parallelogrammum illud 
vel quadratum vel rhombus. Hujus latus est para- 
meter. M editare, inquam, hoc tecum, et judica an 
parameter magis sit imaginaria quam diameter, 
vel alia quaevis linea. Est autem ubique ut inter - 
cepta diameter ad illam, ita illa ad ordinatim appli- 
catam. Id quod Wallisius enuntiat per quantuplo 
major est vel minor, etc, tantuplo, etc. : quse voces 
quantuplum et tantuplum neque Latinse sunt, neque 
quicquam significant. 

B. M iror certe aliense Latinitatis reprehensorem 
tam acrem, toties barbare scribentem non sensisse. 

A. Fieri potest ut linguse Latinse usum aliqua 
ex parte labefactaverit studium nimium linguse 
Arabicae. 

B. Non puto. 

A. Proximo loco, quamlibet parabolam cuilibet 
cono aptari posse, (puto nam* obscure), demon- 
strat ; neque enim nova res est, neque difficilis. 
Propositiones decem hujus partis primse reliquse, 
ubi de ellipticis et hyperbolicis pyramidoidibus et 
cuneis, et de ellipsium et hyperbolarum parametris 
imaginariis loquitur, eodem laborant vitio. Vides 
ergo sectiones conicas, quatenus in ipso cono con- 
sideratas, quam parum intelligit. Quod attinet ad 
considerationem earundem sectionum extra conum, 
ea scribit quse, quia non intelligi, reprehendi non 

* Edit. 1660 et 1668, nam. Quaere, nonf 
VOL. IV. N 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 

possunt. Nam theoremata, excepto quadrngesimo 
septimo, quod suum est et falsum, ab aliis vere 
demonstrata sunt ; Wallisii autem demonstrationes, 
propter densitatem symbolorum, non apparent. 
Neque quicquam habent, etsi verae essent, prpeter 
analysin aliense syntheseos. Ea igitur trausilio, 
properans ad tractatum de Arithmetica Injinitorum, 
quo nihil unquam quisquam vidit iu geometria 
turpius. 

B. Incipiamus ergo ab Epistola Dedicatoriu. 

A. Non est necesse. Nihil enim continet prseter 
ordinem suarum ipsius cogitationum, quibus per- 
ductus est ad absurdam illam ejus circuli quadra- 
tnram. Neque in tractatu ipso ulterius legam 
quam ad propositkmem xli : quia priores has pro 
fundamento ponit omnium quae sequuntur. Prima 
propositio est lemma, vel potius problema hoc : 
.SV proponatur series quantitatuin arifhmciice 
proportionalium, sive juxta natnralem nmncrorum 
consequittionem continue crescentium, a puncto rcl 
(cyphra seu nihilo) inehoatarum, pntaO, 1,2,3,4, 
etc. ; propositum sit inquirerc qmtin hahct rationem 
eartim omninin aggregatitm ad aggregatum toti- 
detn maximce arquatiuni. 

B. Rationem habet tota series ad numerum ter- 
raiuorum multiplicatum per maximum, eandem 
quam habet semissis ad integrum. Summa enim 
terminorum omnium, ut iu hac serie 0, 1,2,3,4, 
asqualis est producto ex numero terminorum ducto 
iu semissem maximre. Itaque cum termini hicsint 
quinque, et maximae semissis 2, erit productus ex 
2 in 5 sequalis 10. Est autem 10 sunniia termino- 
rum omnium. Idem contingeret in alia quavis 
progressione arithmetica incipiente a cyphra. 



MATHEMATICE HODIERNJE. 179 

0, 3,6, 9; ubi summa maximse et minimse, id est 9, dtalogus 
ducta in semissem numeri terminorum, 2, facit 1 8, „ v * „ 
semissem ducti 9 in numerum terminorum 4. Geo- 
metrice etiam probari potest, eodem argumento 
quo triangulum ostenditur parallelogrammi sui esse 
dimidium. 

A. Notissimum est. Sed non hic de veritate 
quaeritur conclusionis, sed demonstrationis. Nam 
per inductionem probat. Inductio autem demon- 
stratio non est, nisi ubi particularia omnia enume- 
rantur, quod hic est impossibile. Itaque cum post 
exposita aliquot particularia subjungit; — Etpari 
modo quantumlibet progediamur, prodibit semper 
ratio subdupla : — libenter velim scire, unde id scit, 
nisi causam proferat aut sciat quare necessario ita 
est. Secunda propositio eadem est cum prima, 
(et propterea falsa, ut alio tempore ostendetur), 
nisi quod addit idem contingere, etsi numerus ter- 
minorum sit infinitus. 

B. Id certe falsum est. Siquidem enim nume- 
rorum termini numero infiniti essent, etiam ter- 
minus maximus solus per se infinitus esset, et 
summa terminorum numero infinitorum semissis 
esset infinitse summae infinities multiplicat». 

A. Non ille primus se induit absurdis quse cir- 
cnmstant contemplantes infinitatem. Propositio 
tertia baec est : Triangulum ad parallelogrammum y 
super cequali basi ceque altum, est ut 1 ad 2. Imo 
vero, non ergo, sed propter causas ab Euclide dictas 
(Elem. 1. prop. 41). Idem dicendum est ad pro- 
positionem quartam de conoide parabolico, propter 
causas ab aliis exhibitas. Propositione quinta, 
eadem methodo probare vult lineam spiralem esse 

N 2 



180 



EXAMINATIO KT BHBNDATIO 



atl arcum circuli sibi respondentem, ut I ad ! 
Quod est falsum. 

li. Etiam confitente Wallisio, qui in scholio ad 
propositionem xiii, per spiralern intelligere se dicit 
arcuum omniuin infinite parvorum aggregatum. 

A. Sed in propositione Hac loquitur manifeste de 
spirali descripta ab Archimede. Propositiones ergo 
vi, vii, viii, ix, x, xi, xii, xiii, sunt falsae, ut qnae 
ab hac dependent. Prseterea, quam absurdum est 
liueam, constantera ex infinitis numero arcubus 
infinite parvis, appellare spiralem ! (lu;v si regii- 
Iariter sive regulari motu generetur, necessario erit 
arcus circuli. Itaque etiam propositiones xiv, xv, 
xvi, xvii, xviii, quee fundantur supcr hanc ejus 
spiralis interpretationem, sunt omnes falsre. Ne- 
que ducta^ a centro ad ajquales illos exiguos arcus, 
erunt arithmetice proportionales. Comparata hsec 
ad sequeutia leviuscula sunt. 

B, An pejus in geometria esse potest, quam 
facere spiralem constare ex arcubus circuli, iis- 
demque a rectis e centro interceptis arithmetice 
proportionalibus, quique etiam a?quales eflficiunt 
angulos ? 

A. Satis quidem absurda illa sunt. Sed videa- 
mus et hKc, propositionis xix lemma. — Si propo- 
natnr series quantitatnm in duplicata ratione arith- 
metice proportionalinm. sive jit.rla seriem nttinero- 
rum quadratieorum continue cresceiifium, a piuicto 
vel inchoatarum, ul 0, 1,4, 9, 16, etc : proposi- 
tmii xit inquirere quam habeat illa rationem ad 
xrriew totidetu maxinitr ipqualimn. Ftat incest 
•ratio pcr vioduni itidttctionis, ttt in propositioi 
priiiia. luritque 



MATHRMATICiE HODIERN-E. 181 



0+1 13 11 
l + l~"2~6~3 + 6 


DIALOGUS 
V. 


0+1+4 5 1 1 
4 + 4 + 4~ 12"" 3 + 12 


* , ' 


0+1 + 4 + 9 14 7 1 1 
9 + 9 + 9 + 9 36 18 3 ' 18 





Et sic deinceps. Ratio proveniens est ubique 
major quam subtripla, seu \. Excessus autem per- 
petuo decrescit, prout numerus terminorum auge- 
tur ; puta f , -—, ^, -£-, ~, -£-, etc. ; aucto nimirum 
Jractionis denominatore, sive consequente rationis, 
in singulis locis numero senario, (ut patet) ; ut sit 
rationis provenientis excessus supra subtriplum, 
ea quam habet unitas ad sextuplum numeri termi- 
norum post : adeoque. 

B. Permitte mihi eadem una tecum inspicere. 

A. Illud 7-7, quid sunt? Fractionesan rationes? 

B. Utrum vis. Nosti enim huic scriptori eandem 
esse rem, rationem et fractionem. 

A. Est ergo -f fractio, et 7- fractio, et 7^7 sum- 
ma earum, eademque aequalis \. 

B. Ita. 

A. Sed fractio -f- est nihil ; ergo sola fractio f 
per se sequalis estfractioni _. Satin 9 hoc absurdum? 

B. Ita est ; sed non magis quam doctrina ejus 
de spirali. At fortassis 7^7 unica est fractio, et 
proinde aequalis \ ; et illa aequalis f- , et hsec 
aequalis f + -f . Quid hic absurdi est ? 

A. Nonne vides, dum copulatas quantitates pro 
fractione una habes, facere te r+f, id est-f> 
aequalem -\ ? 

B. Video, Sed etsi ponat \^\ pro unica frac- 

tione, ponit fortasse -f + f- pro duabus. 

A. Esto. Quomodo ergo unica ratio 3 ad 6 



a?qualis est duabus rationibus 1 ad 3 et t ad 0, 
qiiod ille dicit ; cum rationem 3 ad 6 superare 
dicat rationein 1 ad 3 ratione 1 ad 6 ? 
B. Nonne recte ? 

A. Miuime. Quoniam enim \- est ratio 3 ad 6, 
eademque aequalis duabus simul rationibus 1 ad 3 
et 1 ad 6 ; si componantur ratione* 1 ad 3 et 1 ad 
6, erit ratio proveniens (per illum) ratio 3 ad 6. 

B. Recte. 

A. Componuntur autem rationes quando ratio- 
num quautitates, id est, tam antecedentes quam 
consequentes ipsarum, inter se multiplieantur. 
Rationes ergo 1 ad 3 et 1 ad 6 composita;, faciunt 
rationem 1 ad 18. Vel sic, fiat ut 1 ad 6, ita 3 ad 
aliam, et oritur 18. Et proinde, expositis bis 
numeris 1, 6, 18, priores duo habent rationem 1 ad 
(S, et posteriores ratiouem 6 ad 18, sive 1 ad 3. 
Quare ratio -f- rEPqualis est rationi 1 ad 18. Est 
ergo, per Wallisium, eadem ratio 3 ad 6 qua; 
ladlS. „ 

B. Monstri simile est. 

A. Similiter, rationem 5 ad 12 requalem 
rationibus 1 ad 3 et 1 ad 12, simul sumptis ; qu;v 
duae rationes composita? faciunt rationem 1 ad 30 : 
itaque 5 ad 12 eatidera habet rationem, quam 
1 ad 36. 

B. Itaque quicquid ex hac operatione inferetur, 
pro indemonstrato habendum est. 

A. Inferetur autem primo, propositio sequens, 
ncmpe vicesima. — Si proponatur terie* qttanti- 
itiituu i/t dwplicata ratione arithmetice propor- 
tioimlitnii, tWC jttxtti srr/cw ntuinronnn t/tate/ra- 

: :■ I.ila. 1660« 1668. QmM "rationOB.' 1 



facit 



MATHEMATICiE HODIBRNJB. 183 

ticarum cantinue crescentium, a puncto vel in- dialogu* 
choatarum ; ratio quam habet illa ad seriem . v * . 
totidem maxinue cequalium, subtriplam superabit ; 
eritque excessus ea ratio, quam habet unitas ad 
sextuplum numeri terminorum post ; sive, quam 
habet radix quadratica termini primi post 0, ad 
sextuplum radicis quadraticce termini maximi. — 
Clare hic loquutus est. 

B. Jntelligo. Rationem, quam habet series 
crescentium ad seriem totidem maximae sequalium, 
majorem esse dicit quam ratio 1 ad 3, tanto quanto 
est ratio unitatis ad sextuplum numeri terminorum 

post 0, hoc est, in serie H4tt> (="«")> rationem 5 
ad 12 majorem esse ratione 1 ad 3 sive 4 ad 12, 
tanto quanta est ratio 1 ad 12. 

A. Recte intelligis. Est autem falsum. Nam 
ratio 5 ad 12 aequalis esset ambabus simul ra- 
tionibus 1 ad 3 et 1 ad 12 : quae rationes compo- 
sitae, juxta definitionem Elem. vi. 5, faciunt ratio- 
nem 1. ad 36. Est ergo ratio 5 ad 12 sequalis 
rationi 1 ad 36. Vel si inter 5 et 12 interponamus 
4, ut sint tres quantitates 5, 4, 12, ratio primse 5 
ad tertiam 12 major erit ratione 4 ad 12, id est, 
ratione subtripla, tanto quanta est ratio 5 ad 4. 
Itaque, per bonum vestrum professorem, eadem 
est ratio 5 ad 4 et 1 ad 12. 

B. Error manifestus est, et quidem major illo, 
quem erravit in doctrina spiralium. Quod non 
facile credidissem. 

A. Vide jam id quod inde infert, nempe, si series 
baec quadratica esset infinita, summa crescentium 
ad summam totidem maximarum, esset accurate in 
ratione 1 ad 3. Sic enim probat. — Cum autem, 
crescente numero terminorum, excessus ille supru 



184 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



].i m.oi.i a rationem siihtrip/am itu coiitinito miitnntnr, 
. v ' tandem qMOf>is axsig?iabi/i minor ecadat, ul patct : 

si in infinitum procedatttr, prorsus evanilurus est. 
Adeoque, si (quse est propositio xxi) proponatnr 
series hifinita rjiiaiititafinii in duplicata ratione 
arithmelice proportionalium, sive ju.rta seriem 
numerorum ffuadraticorum, cojitinue crescentim 
a punclo sive inchoatarum ; erit illa ad seri 
tottdem maxinue <equalium, ut 1 ad 3. 

B. Videtur sane excessum rationis, si perpetuo 
minuatur, debere tandem evauescere ; saltem tam 
exiguum esse, ut nullins deberet esse considera- 
tionis. Itaque pereunte excessu rationis supra 
subtriplam, relinquetur prsectse subtripla. 

A. Ita certe, nisi una crescerent quantitates 
comparatse. Vide seriem primam '— t . Nonne 
majorem ratiouem liabet + 1 ad 1 + 1, quam 
l ad 3, id est, quam ratio subtripla r 

B. Ita quidem, sed ut, addita ad consequenti 
unitate, esset subtripla. 

A. Deiude, vide seriem secundam " + . + . . Nom 
ratio seriei crescentis 5 ad seriem maximarum I 
majur est quam subtripla ? 

B. Etiam. Ita vero ut, addito ad consequeni 
numero 3, fiat subtripla. 

A. Manifestum ergo est, si procedatur iu iufini- 
tum, numerus crescentium major erit numero sub- 
triplo maximarum ; eritque excessus numerus major 
quam ut possit dici. Tantum abest ut series cre- 
scentium, quantumvis procedeudo, possit esse sub- 
tripla seriei maximarum. 

B. Error est manifestissimus. 
A. Ex propositione bac dependent non modo 

onmes sequentes usque ad 30, sed etiam omnes 



iem 



MATHEMATICiE HODIERNJB. 185 

illae quibus rationem determinat parabolarum et dialogus 
paraboloideum ad circumscripta parallelogramma. . ** . 

B. Sed rationes, quas assignavit, verae sunt, et 
a mathematicis receptae. 

A. Vere quidem, et jamdiu circumlatae sunt, sed 
sine demonstratione. 

B. Demonstratae extant ab Hobbio, cap. vii libri 
db corpore, editione Latina. 

A. Propositio xxxix : Si proponatur series quan- 
titatum in triplicata ratione arithmetice propor- 
tionalium, sive juxta seriem numerorum cubicorum, 
continue crescentium, a puncto vel inchoatarum, 
puta ut 0, 1 , 8, 27, 64, etc, propositum sit inqui- 
rere quam habeat illa rationem ad seriem totidem 
maximcB (equalium. Fiat investigatio per modum 
inductionis, ut in prop. i et xix. Eritque 

0+1=1 2 l 1 



1 + 1=2 


4 4 


+-z 










0+1+8 = 


= 9 3 


1 




1 






8 + 8 + 8 = 


=24 8 


4 


+ - 


8 






+ 1 + 


8+27 = 


36 


4 




1 


+ i- 


27 + 27 + 


27 + 27 = 


108 


12 




4 


12 



Et sic deinceps. Ratio proveniens est ubique 
major quam subquadrupla, seu \. Excessus autem 
perpetuo decrescit, prout numerus terminorum 
augetur, puta-^, -j~> -^, -£-> ir* TT> e ^ c ' > oucto nimi- 
rum fractionis denominatore, sive consequente ra- 
tionis, in singulis locis, numero quaternario, (ut 
patet), ut sit rationis provenientis excessus supra 
subquadruplum, ea quam habet unitas ad quadru- 
plum numeri terminorum post 0. Adeoque. 

B. Eadem est methodus quae in propositione 
xix. An et iidem errores ? 

A. Plane iidem. Nam si T = ~f +~r rationes sint, 
impossibile est ut ratio 2 ad 4 sit sequalis duabus 



18 



EXAMINATIO ET EMENOATIO 



dialocus rationibus 1 ad 4 et 1 ad 4. Nam ratio 2 ad 4 du- 
y- . plicata esset rationis 1 ad 4. Sed ratio 1 ad 16 
duplicata est ratiouis 1 ad 4. Esset ergo ut 2 ad 4, 
ita 1 ad 16. Conclusio autem, quam deducit ex 
hac propositione xxxix, est propositio xl, uempe 
haec : Si proponatur series quantitatum in tripli- 
cata ratione arithmeiice proportioita/iuiii, sice 
juxta seriem numcroritm cubicorum continue cres- 
ccntium, a puncto vel inchoatarum ; ratio, quam 
habet illa ad seriem totidem maxima- wijtta/iitm, 
subquadriiplum superabit ; eritque excessus ea 
ratiu, quam habet unitas ad quadruplitm mtmcri 
terminorum post ; sive, quam habct radix cttbit 
trriiiini priini post 0, ad ijuadrtiplum radi< 
cttbicie termini niaxinii. 

B. Erit, inquit, excessus rationis quam babet 
series crescentium ad totidem maximas, snpra ra- 
tionem subquadruplam, ea ratio quam habet nnitas 
ad quadruplum numeri terminorum post 0. Id 
in hac serie a+ 8 + g , ratio 9 ad 24 superabit rationem 
subquadruplam, et excessus erit ratio l ad 8. 

A. Nonne ergo ratio 1 ad 8, composihi cum 
tione subquadrupla, faciet rationem 9 ad 24 ? 

B. Certissime. 

A. Sed ratio 1 ad 8, et ratio 6 ad 24, id est, sub- 
quadrupla, faciunt ratiouem 6 ad 192. Est ergo 
ut 9 ad 24 ita 6 ad 192. Vel si ponantur ordine 
hi numeri 9, 6, 24, ratio 6 ad 24 est subquadrupla. 
Superat autem ratio 9 ad 24 ratiouem 6ad 24 sub- 
quadruplam, ratione 9 ad 6. Est ergo ut 9 ad 6 
ita 1 ad 8. Siccine soleut ytvptrpti» professoi 
publici t 

B. Eundem errat errorem, nunc et anle. 
.1. Deindc quod infert : Cnm ttutem, cresccn, 



ea 
wi 

i 

bet 

ra- 
tas 

est, 
em 

. 

ub- 



MATHEMATIOB H0DIERNJ5. 187 

numero terminorum, excessus iUe supra rationem dialoous 
subquadruplam ita continuo minuatur, ut tandem . y ' „ 
quolibet assignabili minor evadat, (ut patet) ; si 
in infinitum procedatur, prorsus evaniturus est. 
Adeoque (quae est propositio xli) si proponatur 
series injinita quantitatum in triplicata ratione 
arithmetice proportionalium, sive juxta seriem 
numerorum cubicorum continue crescentium, a 
puncto seu inchoatarum ; erit ille ad seriem to- 
tidem maximce tequalium, ut 1 ad 4 : falsum est. 

Est enim in prima serie 7^7 , summa crescentium, 
major quam subquadrupla totidem maximarum, 
tanto quanta est semissis unitatis. In serie se- 
cunda, summa crescentium superat subquadruplam 
maximarum tribus unitatibus. In tertia, novem 
unitatibus; etc. Quousque procedendum esse putas, 
ut summa crescentium sit tandem maximarum sub- 
quadrupla ? 

B. Quanto plus proceditur tanto pejus. Pro- 
positio est falsa. 

A. Deinde propositione xliii : Pari, inquit, me- 
thodo invenietur ratio seriei infinitce quantitatum 
in ratione quadruplicata. quintuplicata, sextupli- 
cata, etc, arithmetice proportionalium, a puncto 
seu inchoatarum, ad seriem totidem maximcs 
aqualium ; nempe in quadruplicata 1 ad 5, etc. 

B. Falsum est ; ne examines. 

A. Imo vero, quid afferant novi quse sequuntur, 
ulterius ne quseramus ; cum ab his dependeant 
caetera omnia. 

B. Ne imaginari quidem possum quicquam, 
quod aut Wallisius aut eorum ullus qui libros ejus 
literis ad ipsum scriptis laudaverunt, contra hsec 
tam perspicue demonstrata afferre possunt. 



188 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

A. Extantne geometrarum literte, quibus ge- 
ometria hrec WaUisii comprobatur ? 

B. Extaut quidem, editae ab Wallisio ; alten 
Hugenii, altera nescio cujus, sed dicunt aliqui est 
Schootenii, vix Latina. Praeterea Robervallus, pro- 
fessor Parisiis celeberrimus, idemque alias iu de- 
monstrationibus propriis satis cautus, chartul 
cujusdam manuscripta? exemplaria aliquot in An- 
gliam transinisit, in qua doctrinam de comparatione 
parabolarum et conoideum ex illis faetarum ad 
parallelogramma et cyliudros circumscriptos, ui 
hoc tractatn De Arhhmcthti hijinhorum expositam, 
uegat ab Wallisio primo, sed a se inventam esse 
asserit. Quod nou fecisset nisi doctriuam ipsam 
veram esse censuisset. 

A, Mirandum uon est si illi, qui maximamope- 
ram in eo posuerunt ut rationeui arcus ad radiuca 
ad numeros reducerent, methodum hanc syniboli- 
cam incaute amplexi sint. Sed ut Robervallus, qui 
geometrarum primus esse vult et fere est, paralo- 
gismos tam crassos videre non potuerit, profec 
mirauduiu est. 

B. Habet hoc peculiare Robervallus : cum egre- 
gium quis a se inventum theorema in publicum 
emiserit, ut statim distributis chartulis dicat idem 
a se inventum esse prius. Itaque theorema de 
solido hyperbolico, inventum a Toricellio, postquam 
esset editum ad se rapuit ; et nunc methodum de 
comparatione paraboloideum, editam a WalHsio e 
solo Wallisio diguam, suam haberi incautus petit. 
Idem Hobbium, qui xqualitatem inter spiralem i 
parabolicam primus vidit, quia ipse candem priu 
demonstraverat appellat plagiarium. 



MATHEMATICE HODIERN^E. 



189 



B. Et nierito : siquidem Robervalli demoustra- 
tionem ediderat ut suam. 

A. Bed dcmonstrationem RobervalH negat se 
vidisse ; sed cum convenissent Parisiis in ccenobio 
Miuituorum, ipse, Mersemvus, Robervallus, et quar- 
tus quem nou nominat, incidissetque sermo de 
comparatione spiralis et parabolieae, " videtur", 
inquit Hobbius, " liuea spiralis requalis esse rectie 
quse subtendit semiparabolam ; cujus quidem axis 
sit Bequalis semiperimetro circuli spiralem contU 
nentis, basis autem ejusdem circuli radio." Itaque 
creta designans figuraiu in pariete, sic arguebat: 
" Quoniam in axe parabolae, motus, quo parabola 
geueratur, augetur juxta ratiouem temporum du- 
plicatam, motus autem iu baseestuuiformis; item, 
quiamotus. quo generatur spiralis in eirculo, auge- 
tur in ratioue temporum riuplicata, et in radio est 
uniformis : videtur similis esse generatio unius 
generationi alterius; et proinde, si vertexsemipara- 
bolse eum termiuo basis connecteretur per Hneam 
rectam, rectam illam, ut quse eandem babet gene- 
rationem, sequalem esse oportere spirali." Quas 
Hlatio vera non erat, sed contra conclusionem quam 
probare couatus est. Id cum animadvertisset 
Robervallus, " recta", inquit, " semiparaholain sub- 
tendens, fit a motu utroque uniformi." Itaque 
abjecta creta errorem agnovit Hobbius. At Rober- 
vallus postridie eandem propositionem ad Mersen- 
num demoustratam attulit. Quam tamen demon- 
strationem non vidit Hobbius, sed postea theorema 
idem sua methodo demonstravit, ediditque. 

A. Si ita est, inventionem illam Hobbio potius 
quam Robervailo adjudicarem, et hunc quam illum 



190 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



duloocs dieerem plagiarium. Sed quo teste rem ita ei 
- v " . probaverit, si opus sit 

B. Qusesivit Hobbiusperepistolamaquarto illi 
quem non nominavit, utrum cbartula illa ipsii 
esset Robervalli, uecne. Is autem nescire se re- 
scripsit, cujus esset ; sed paratum se testem esse, 
lucem et methodum demonstrationis sua? accepisse 
ab Hobbio llobervallum. Sic enim scribit GalHce 
" Jc n'ay pas veu sa demonstration, mais quoyqu'il 
fasse, il ne peut desnier que vous ne soyez cai 
qu'il ait trouve cette proposition, puisque vous li 
avez dotine 1'tdoe, et le sujet de lu trouver, C 
ce que je tesmoigneray tousjours." 

B. Quoniani parabola: et paraboloideum ci 

parallelogrammis, et conoideum cum cyliudriscom- 

parationem, neque methodo hac Wallisiana, neque 

ab ullo alio (quanquam vulgo receptam) demon- 

strationibus editis demonstratam esse dicis, age, 

quam habes ejus rei demonstratiouem, proferillai 
A, Proferam, puto, eamque universalem. 
Describatur parallelo- 

grammum ABCD ; iutel- 

ligaturque basis AB mo- 

veri parallela ad CD, ita 

ut, dum movetur, per- 

petuo decrescat donec 

evanescat in puncto C ; 

sitque ratio diminutie 

AB ad ipsam AB inte- 

gram ubique eadem quse 

ratio AC ad AG, vel 

ubique duplicata, vel tri- 

plicata, vel in alia quacunque ratione rationis t 

rationem. Dum AB eo modo decrescit, punctuin 




l. 




/ 












/ 


7 









V. 



MATHEMATIC,£ HODIERNJE. 191 

B describat lineam aliquam, puta BEFC. Dico jam, dialogus 

si ratio AC ad AG sit eadem quae ratio AB ad GE, . 

spatium ABEFC esse ad spatium DCFEB ut 1 ad 1 ; 

si vero ratio AC ad AG sit duplicata rationis AB 

ad GE, spatium DBEFC esse ad spatium ACFEB 

ut 1 ad 2 ; si triplicata, ut 1 ad 3 ; et sic deinceps. 

Intellextin , ? 

B. Intelligo, et siquidem ita esse demonstraveris, 

video esse facillimum paraboloidis cujuscunque ad 
suum parallelogrammum, et conoidis cujuscunque 

ad suum cylindrum rationem exhibere in numeris. 

A. Assumoautemprimo^ttorfgwa ratione mobilis 
velocitas augetur, eadem ratione augeri* quoque 
spatia ab ea iisdem vel cequalibus temporibus per- 
cursa. Secundo, quod si inter duas rectas interpo- 
nantur medice tum arithmeticce tum geometriae 
numero infinita>, h<e et illce magnitudine non dif- 

Jerent ; saltem d\fferentice earum minores erunt 
qualibet quantitate finita. 

B. Utrumque manifestum est; et potest de- 
monstrari. Nam incipiendo a maxima extrema- 
rum, major est media aritbmetica quam geome- 
trica. Quanto autem minus inter se extremae 
differunt, tanto differentia inter mediam arithmeti- 
cam et geometricam minor est. Itaque si mediae 
tum arithmeticae tum geometricae ubique interpo- 
nantur, minus inter se different omni quantitate 
effabili. 

A. Recte. Itaque in parallelogrammo ABCD 
concipiatur latus A B moveri ad latus C D parallelws, 
et movendo decrescere donec tandem evanescat in 
puncto C ; et per talem motum descripta sit figura 
ABEFC, relicto complemento DCFEB, cujus 

• Sic Edit 1668. 



192 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



DiALOGtis linea BEFC describitur a termino B decrescentis 
. v " _ . A B. Eodem autem tempore nioveri intelligatur 
latus AC ad latus A B* uniformiter ; potest igitur 
liaberi CD pro mensura temporis ; rectie autem 
ipsi CD paralletee, termiuata? ab uua parte in linea 
BEFC, in altera parte in recta AC, erunt men- 
surae partium temporis iu quo AB moveturad CD, 
et AC ad BD*. Sumatur jamin rectaCD adpla- 
citum punctum O, ducatur OS parallela lateri B 
seeans lineam BEFC in E, et rectam AB in S. Et 
rursus, apuncto Q,sumpto in CD arbitrarie, duca- 
tur eidem lateri BD parallela Q.R secans BEFC in 
F, et AB iu R. Ducantur etiam EG, FH parallela? 
CD, secantes AC m G et H. Postremo idem suppo- 
natur fieri per omnia puucta lineBe BEFC. Habes 
constructiouem. 
B. Habeo et teneo. 

A. Dico jam esse, ut aggregatum omnium velo- 
citatum, quibus describuntur recta? QF, OE, DB, 
cseteraeque omnes eadem methodo geuita?, ad aggre- 
gatum rationnm temporum designatoruni per rectas 
HF.GE, AB, et cEeteras, ita planum DCFEB ad 
plauum ABEFC. Sicut enim AB decrescendo per 
lineam BEFC intempore CD, evanescit in pnnctuin 
C, ita CD*, ipsi AB sequalis, decrescendo per ean- 
dem lineam CFEB, eodem tempore evanescit in 
punctum B, descripta recta DB aiquali AC. Sunt 
ergo velocitatcs, quibus describuntur AC et DB, 
inter se a^quales. Rursus, quoniam eodem tempoi 
quo punctum O describit rectam OE, eodem tem- 
pore punctum S describit rectam SE, erit OE ad 
SE, ut velocitas qua describitur OE ad velocitatem 
qua describitur SE. Et propter eandem causam, 

• Sic Edit. 1668. 



ur 

■ 

m 

D 

Et 
1- 
n 

x 

: 



matiiematic.t: iiodiern.e. 



)!>3 



QF erit ad RF, ut velocitas qua describitur QF ad 
velocitatem qua describitur RF ; et sic de creteris 
omnibus rectis recta: DB parallelis. Ut ergo rectse, 
quae sunt parallela; lateri AB, terminanturque in 
Hnea BEFC, sunt mensurce temporum ; ita rectae, 
quEe sunt parallelae lateri BD, terminatfeque in 
eadem linea BEFC, sunt meusura: velocitatum. 
Nam concessum est, in qua ratione augentur velo- 
citates, in eadem augeri rectas eodem tempore per- 
cursas, id est, rectas QF, OE, BD, etc. 
B. Verum est. 

A. Jam liuese illae omnes QF, OE, DB,etc, con- 
stituunt plauum DBEFC, et linere omnes HF, GE, 
AB, etc, constituuut planum ACFEB : quarum illse 
sunt aggregatum velocitatum, hte aggregatum tem- 
porum. Ut igitur aggregatum velocitatum ad 
aggregatum temporum, ita complementum DBEFC 
ad fjgurain ABEFC. Siquidem ergo rationes DB 
ad OE et OE ad QF fuerint ubique rationum AB 
ad GE et GE ad HF (exempli causa) triplicata?, 
erunt vice versa rationes OE ad DB et QF ad OE, 
rationum GE ad AB et HF ad GE snbtriplicatse. 
Quare aggregatum oinnium QF, OE, BD, etc, ag- 
gregati omniura HF, GE, AB, etc, erit (per assump- 
tum secundum) subtriplum. Ut ergo aggregatum 
velocitatum ad aggregatum temporum, quibus de- 
scribuntur figura deficiens et complementum, ita 
erit ipsum complementum ad figuram ipsam, nimi- 
rum, complementum DBEFC ad figuram ABEFC : 
quod erat demoustrandura. 

B. Sequitur hinc, quod cum in triangulis basis 
decrescit in ratione temporum, parallelogrammura 
erit sui trianguli duplum ; cumque basis semipara- 
bulie decrescat in ratione temporum duplicata, erit 

VOL. IV. O 



194 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

parallelogrammura sure parabolns sesquialterum, ul 
et cylindrus sui conoidis parabolici duplum. Cum 
item basis paraboloidis cubiei sive parabolastri 
primi, decrescat in ratione temporum triplicata, 
erit parallelogrammum sui parabolastri primi ses- 
quitertium ; et cylindrus sui coni triplum ; et pa- 
rallelopipedum sui pyramidis triplum. Et sic de 
caeteris figuris, prout postulant rationes juxta quas 
generantur. 

Ttaque theorema hoc universale, nempe : in 
omnijigura generataper motttm qnanti decrescen- 
tis donec evanescat in punctum, secunduni quamli- 
het rationem constantem ab initio motus ad jii 
ratiottemjigurte faetee ad coniplemeiitiint ejtts, 
est, ad id quofigura Jacta superatur ab eafigx 
qtue faeta esset, si quantum generans mansisset 
integrum, eam esse qttam habet ratio reliqui ad 
reliquum ad rationem ablati ad ablatum ; ideoque 
ubi reliquum ad reliquum est in ratione ablati ad 
ablatum duplicata vel triplicata etc, ibi figuram 
factam ad complementum esse duplum, triplum, 
etc, respective : theorema, inquam, hoc habet 
claritudinem per se tantam fere, ut possit haberi 
pro axiomate, atque ob hanc fortasse causam veri- 
tatem a tot geometris agnitam fuisse*, etsi a nemine 
hactenus demonstratam. 

A. Itaque Wallisius, qui nil tam difficile 
arbitratus est quin per artem analyticam inveniri et 
solvi posset, artemque analyticam nihil aliud esse 
quam vocabulorum et orationis loco notis quibus- 
dam novis, quie vocaut symbola, ratiocmationis sua; 
vestigiapingere,theorematahfficaliaquedifficihora, 
quc ut certa jamdudum circumferebantur, nova a 

• Si, Kdii. 1668. 




MATHEMATICiK HOOIERNT*;. 



195 



se methodo demonstrata esse opinatus est. Ut quia 
videbat cum omnibus, in progressione numerorum 
a cyphra sive 0, summam numerorum progredien- 
tium dimidiam esse summa; uumeri maximi toties 
sumpti quot sunt termini progressionis, idem acci- 
dere etiam affirmavit ubi Hneae latitudinis infinitae* 
exiguffij crescentes a puncto, secundum progressio- 
nem eandem, constituent superficiem qualeincun- 
que. Quod, nescientibus illius encomiastis et 
nonnullis praterea geometriae professoribus,falsum, 
neque nisi de triangulis rectilineis universaliter, 
pronunciandum est. 

Vidisti jam tractatus WalHsii, tum geometri- 
cos tum arithmeticos, nullius esse pretii, ut qui 
nullam continent veri theorematis demonstrationem 
novam ; sed vel aliorum demonstrationes symbo- 
Hce, id est obscure, transcriptas ; vel suas ipsius 
falsas ; vel etiam aliquando, praesertim iu Tractatu 
cie Arllhmeliea Injinitornm, theoremata ipsa falsa. 
Judicaergo, ipse Wallisius et doctrinaj W r allisiana; 
comprobatores et encomiastae, quales sunt mathe- 
matici. Legisti etiam Ehmchitm ejus, et vidisti 
quam sit refertus convitiis rusticauis. Judica ergo 
quam necessaria conditio sit ad theologire doctora- 
tum, ut quis sit vir bonus. Convitiorum causa fuit 
ira. Sed quae causa iraj ? Nempe, homiues ambi- 
tiosi cupidique regnandi, non modo in foro externo, 
sed etiam in interno, ad omiie dictum vel seriptuin 
quod cupiditati eorum adversatur, illico excaudes- 
cutit ; et siquidem audent, maledictis onerant. 
Causa autem ignorantis est, partim quod scientias 
non ipsarum amore, sed lucri causa adeunt, ut sti- 
pendia mereantur ; maxime vero quod scientiam 

* SicEdii. 1688. Qnaare, -■ infinit*^" 



non in rerum ipsarum imaginibus, sed in verbis 
magistrorum quEerunt, iisque non semper intellectis. 
Itaque principia ignorantes, id est naturam puueti. 
lineae, anguli, rationis nescientes, in absurda qi 
recensuimus delapsi sunt. 
B. Sic puto. 

A. Accessit quoi[ue scientiis damnosa illa multi- 
tudo symbolorum, quorum fiducia attentionem ad 
rerum ipsarum ideas remiserunt, qua?, inventa ad 
leniendum nobilium adolescentulorum in quferen- 
dis problematum arithmeticorum solutionibus mo- 
lestiam, adeo visa est res elegans, ut nibil esse 
neque in arithmetica neque in geometria tam diffi- 
cile videretur, quod ope symbolorum solvi non 
posset. Itaque omnes laudare et magnifacere sci- 
entiam quandam, quam nominarunt symbolicam; 
etiam homines, quibus uihil videbatur ad emineu- 
tiam deesse pra^terquam ut docti essent in mathe- 
maticis, magistris usi sunt symbolicis, frustra. 
Verum, sicut sine suspicione criminis nemo fit 
inexpectato et repentine dives, ita nemo ullo modo 
sine magno studio et labore fiet doctus. 

B. Parumne prodest ad solutionem problematum 
mathematicorum ars analytica, et ad analyticam 
usus symbolorum ? 

A. Imo multum. Sed quid hoc ad nuperintro- 
ducta symbola? Literse A,B,C, etc, quibus solis 
usi sunt geometrre veteres, nonne sunt symbola ? 
Plura autem s&pius ii-ox^oia.y quam adjuvant. Quod 
autem analysin attinet, non minus apparet in scrip- 
tis Euclidis, Archimedis, Apollonii, aliorumque 
antiquorura, quam Vieta?, Ougtredi, et cseterorum 
algebristarum. Quid enim est analytica hsec re- 
centium ? 



cti, 
u» 

lti- 



MATHEMATICJE HODIERN^. 197 

B. Est ars qua, a quaesiti suppositione, pervenitur dialogus 
per consequentias ad vera, naturae ordine priora : . v * . 
et synthetica, qua reciproce, a veris prioribus veni- 
tur ad quaesiti conclusionera. 

A. Euclides ergo et caeteri antiqui ea perpetuo 
usi sunt. Quid enim, cum apud illos theorema 
legis quod incipit a Si, nonne vox illa Si denotat 
aliquid esse suppositum ? Exempli gratia ; aequa- 
litatem angulorum, unde per consequentias venitur 
ad aliquod prius, quae est aequalitas laterum. Haec 
autem est analysis. Deinde reciproce, ex aequali- 
tate laterum concluditur aequalitas angulorum, 
quod ante erat quaesitum ; quae est synthesis. Ita- 
que ne crede symbolicam hanc hodiernam veteribus 
in usu fuisse, aut omnino cognitam, neque, ut qui- 
dam nimium astuti homines dixere, nescio quam 
ob causam, dissimulatam. Sed Wallisio laudato- 
ribusque ejus nunc amissis, convertamur ad alia. 



DIALOGUS SEXTUS. 



DB CYCLOIDE. 

B. Post cognitam dimensionem circuli, latere 
non potest dimensio cycloidis. 

A. En tibi de cycloide propositiones viginti duas. 

PROPOSITIO i. 

Sit semicirculus BCD, cujus centrum A. Sup- 
ponaturque punctum B moveri uniformiter in arcu 



198 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



dialocds BCD, qui sit divisus bifariam in C; eteodemtem- 
. \'" . pore moveri* eadem velocitate in recta AC. Suiit 
autem anguli ad A recti. Et quia motus rectus 
centri A a;qualis est motui circulari per arcum 
BCD, quando punctum B est in I), erit descripta a 
centro A recta, transiens per C, aequalis ipsi arcui 
BCD. 

Sit ea recta AE, cui a?quales ponantnr DF, BG, 
nempe, qua? possit decem semiradios, AB ; erit 
ergo AE sive DF aequalis arcui BCD. Compleatur 
rectangnlum BDFG. 

Jam ad descriptionem cycloidis, dividatnr tnm 
arcus BCD, tum recta BG, iu partes iequales quot- 
libet. Ego utraraque lineam secui iu partes duo- 
decim ; uempe, arcum ad puncta I.2.3.4.5.C. 
7- 8.9. 10.11. D; etrectam BG in totidem partes 
adpunctaa.€.y.S.*.<:.f.O.«.ic.X. Etper illa puncta 
duxi totidem rectas diametro D B parallelas. Item 
per singula puncta divisionis arcus BCD, singulas 
rectaslateri BGparallclas; quas appello paratte tas 
ttt/ittedinis, ot quie designant partium circumferei 
tia: BCD altitudines. Quibus constructis, eri 
arcus Bl, pars arcus BCD, scqualts Bn, parti 
ipsius rectsc BG, et tota BG toti arcui BCD 
sequalis. 

In recta AE notentur divisiones eaedetn quas sunt 
in recta BG, nempe 1.2.3.4.5.6.7-8.9. 10. 1 l.E. 
Et radio \a ducatur arcus aa seeans parallelam 
altitudinis primam in a. Quando ergo pnuctum B 
deberet esse 3 propter motum circularem, in arcu suo 
ad punctum 1, erit, proptermotum rectum centri, 



■ gic Edlt 1660 et 1668. Qu;pre "rt eodeui tempore i 

■i puiwtnm A cuduui veluoljjte," ele. 



MATHEMATlCyE HODIERNS. 



199 



in puncto a. Motus enim centri non variat alti- 
tudines circulatione acquisitas, qure semper sunt in 
altitudinum parallelis. Deinde radio 2 /3 ducatur 
arcus circuli, secans parallelam altitudines secun- 
dam in b. Quando ergo punctum B propter mo- 
tum circularem deberet esse in suo arcu ad 2, erit 
propter motnm rectum centri iu eadem parallela 
altitudinis, ab b; eritque arcus a a aequalis arcui 
Bl, et arcns fi b requalis arcui B2. Item si radio 
3y describatur arcusyc, secaus tertiam altitudinis 
paraltelam in c, erit arcus yc tripla arcus Bl. 
Eadem methodo constituuutur reliqua puncta 
d,e^f,g,h, i,k, l; per quie puncta cylclois debet 
transire. Quseest descriptio cycloidis. 

Consectarium primum. Manifestum hinc est, 
arcus omnesno, fib, yc, usque ad arcum semi- 
circuli GF, esse in ratione continua arithmetica. 

Consectarium secuudum. Manifestum quoque 
est, si plures fierent divisiones, accuratiorem fore 
cycloidem, ratione arithmetica semper servata : 
et denique, si arcus ducerentur eadem methodo 
tot quot duci possibile est, impleretur spatium 
planuin comprehensum duabus lineis curvis, nempe 
arcu semicircnli GF, et linea cyeloide FrfB, et 
denique recta BG. 

PROPOSITIO II. 

Spatium trilineum inclusum cycloide et duabus 
rectis BG, GF, squale est semicirculo ABCD. 

Nam arcus GHF, \l, «£, t i, 8ft, et ca-teri, 
secundum rationem arithmeticam perpetuo decres- 
centes. a>quales suut totidem arcubus semicir- 
culorum integris, descriptis a radiis, quorum 
uiaximus quidem esset EG, caeteri vero minores 



200 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



decrescentes, scilieet secundum eandem ration' 
arithmeticam, donec evanescerent in pnncto 
Sed arcus hi constituerent semicirculum, m 
radius EG in partes aliquotas divisus sit, in quol 
partes dividi illum est possibile ; constituerent, 
inquam, semicirculum EGHF. Quare compositse 
HneseBGHF, B X l, B«£, Bit, B0A, K v g, Btf, 
et creteri, omnes eadem methodo descriptibiles, qui 
dupU sunt arcuum GHF, XI, kU, ii, etc, cuncti 
constituent spatium duplum semicirculi EGHF. 
Sed spatium inelusum cycloide et arcu GHF et 
recta BG, est ipsum spatium quod constituitur a 
lineis illis compositis BGHF, BA/. etc. Est ergo 
spatium inclusum cycloide et arcu GHF et recta 
BG, duplum semicirculi EGHF. Reliquum ergo 
spatium inclusum cycloide et duabus rectia BG, 
FG, tequale est semicirculo. Quod erat demou- 
strandum. 

Cansectarium i. Sequitur binc, spatium coi 
prehensum cycloide et duabus rectis DF, DB. 
triplum esse semicirculi genitoris. Nam rectan- 
gulum totum quod fit a semiperimetro, id est a 
DF, in diametrum BD, est semicirculi quadruplum. 

ConsecL ii. Manifestum quoque est, spatium 
duabus curvis, nimirum cycloide et arcu BCD, et 
recta DF inclusum, duplum esse semicirculi geni- 
toris ABCD. Est enim semicircnlus ABCD unum, 
quorum trilineum inclusum cycloide et rectis D F, 
DB est tria. 

Consect. iii. Sequitur etiam, rectam quamlibet 
parallelam basi DF et interceptam a cycloide 
arcu BCD, Eequalem esse arcui sibi coudj 
sumpto a contactu ad punctum B. Tota 
recta DF :equalis est toti arcui DCB, per ] 



1G, 

on- 

... 

IB, 



MATHKMATICA IIODIERNE. 



201 



thesin. Quoniam ergo spatium trilineum compre- r 
bensum cycloide, arcu BCD, et rectaFD, duplum , 
est seinicirculi ABCD, et recta FD dapla estfc, 
erunt singulie rectfe singulis areubus {propterea 
quod similiter generantur) a?quales, id est, recta 
/11 sequalis arcui Bll, recta k 10 sequalis arcui 
B 1 ; et sic de caeteris. 

Consectarium hoc tertium etiam sic demonstratur 
seorsim. 

Sumpto quolibet arcu B3,cujus sinus productus 
sit ad cycloidem in c, et pars intercepta sit 3 c. 
Uuonium ergo, per constructionem, quo tempore 
per motum circularem punctum B deberet esse in 
3, eodem tempore per motum rectum debet de- 
scripsisse rectam arcui B3 aequalem, erit recta 3c 
ipsi arcui B 3 jequalis. Itaque si vera sit cyclois, 
non modo basis ejus DF aequalis erit arcui BCD, 
sed etiam omnis alia reeta inter arcum BCD et 
cycloidem intercepta, basique parallela, erit arcui 
sibi contiguo terminato in B aequalis. 

Quod si motus centri rectus motui circulari per 
arcum BCD sit inequalis, erunt parallelae inter- 
ceptse arcubus suis contiguis proportionales qui- 
dem, sed insequales ; et per consequens, non erit 
ea vera cyclois quam dehnivimas. 

PROPOSITIO III. 

Recta DG dividit bifariam tum triangulum rec- 
tilineum BGF, tum partes ejus, nempe spatium 
cycloidale externum BGF et bilineum BFB. 

Secet recta DG cycloidem in m. Eritque trian- 
gulum rectilineum G6 F a^quale quartfe parti rec- 
tanguli BDFG, id est, semicirculo genitori ; et tria 
spatia, nempe triangulum G6F, spatium cycloidale 



202 EXAMINATIO ET EMKNDATIO 

DiAtocrs exteraum BFG, et bilineum BFB, inter se sequalia. 

- ','' Rursus, triangulo rectilineo G6F sequale est trian- 
gnlum rectilineum G6B. Dividitur ergo totum 
triangulum BGF a recta DG bifariam. Pars ergo 
cycloidalis spatii comprebensa parte cycloidis Fw 
et duabus rectis FG, Gwi, una cum parte bilinei 
BFB, compreheusa ab eadem parte cycloidis Fjb 
et duabus rectis F6, 6 «7, aequale est duobus spatiis, 
nempe cycloidali BGtn et parti bilinei BwtGi?. 
Cum autem triangulum rectilineum G6F aequale 
sit spatio cycloidali BFG, ablato communi spatio 
GwiB restabit spatium BmGB (parsbiliuei BFB) 
aequale spatio FG/«, parti cycloidalis spatii extei 
reliqua^. Quare spatium cycloidale ablatum, nem 
BG/w, requale est parti reliqure bilinei F6m. 
ostendero jam spatium cycloidale FGw* requale 
esse spatio F6jm parti bilinei BFB, necesse est ut 
quatuor illa spatia siut inter se aequalia. Dividatur 
recta G6 bifarium, id est, in s, ducaturque recta 
F* secans cycloidem in »; eritque triangulum rec- 
tilineum GF* a?quale triangulo *F6. Superat 
autem triangulum GF* spatium cycloidale FGm 
spatio trilineo snm, minus spatio bilineo F«F. 
Sed triangnlum *F6 (triangulo GF* aquale) 
superat spatiumF6w (partem biliuei BFB) eodem 
spatio trilineo snm, minus spatio biliueo FnF. 
Sunt ergo partes trianguli G6F diremptre a parte 
cycloidis Fm, iuter se a?quales. Itaque recta DG 
secat tum rectangulum totum BGF tum partes 
ejus, etc, bifariam. Guod erat demonstrandum. 



itio 
'B) 
nmi 

ipe 
Si 



PROPOSITIO IV. 

Paiies dua? cycloidalis spatii BFG, ut et partes 



IIATIIEMATIOK HODIERN.B. 203 

bilinei BFB direroptae a recta DG requiponderant diau 
super ipsam DG. , 

A puncto B ducatnr recta Bo secans rectara DG 
in ipso arcu BCD: eritque Bo ad DG (propter 
arcum semicirculi BCD) perpendicularis ; distautia 
ergo puncti B a recta DG est recta Bo. Item 
centro E, radio EG, descripto arcu secante DG in 
p, recta Fp erit distantia puncti F a recta DG. 
Et sunt rectae Bo, Fp inter se aequales. Cum ergo 
spatia FGm et mGB ostensa sint aqualia, et sequa- 
Hter distent a recta DG, quEe dividit illa bifariam, 
etiam super ipsam DG a^quiponderabunt. De par- 
tibusbilinei nempe V6m, B6m eadem est demon- 
stratio. Giuare partes, etc. Quod erat demon- 
strandam. 

Per eandem causam demonstrari potest, quod 
centrum gravitatis etiam spatii cycloidalis interni 
BFD, tenninati cycloide ipsa et duabus rectis BD, 

DF, est in eadem diagonali DG. 

propositio v. 

Centrum gravitatis spatii cycloidalis extenri 
BGF, est in s. 

Juncta enim FA et divisa in I, ita ut FI sit ad 
IA ut 2 ad I, erit punctura I centrum gravitatis 
trianguli rectilmei BFD, quod quidem triangulum 
rectUineum BFD duplum est spatii bilinei BFB. 
Est autem punctum I in concursu rectarum SS et 

DG. Itaque si ceutrum librre statuatur in L, ubi 
16 dividitur bifariam, erit eentmm gravitatis 
bilinei BFB in K, ubi 6M dividitur bifariam. Est 
enim triangulum BFD duplum bilinei BFB. Rur- 
sus, juncta BE erit divisa iu M, ita ut BM sit ad 
M E ut 2 ad I , nempe in concursu rectarum DG et 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 

dulooub 06. EritergoM centrum gravitatis trianguli BFG. 

■ — ^ . Cum ergo centrum gravitatis bilinei BFB sit in K, 

erit centrum gravitatis spatii cycloidalis externi 
BG F iu r, ita ut M*,MK sint ajquales. Et prop- 
terea, puuctum * est in concursu parallelse 
DG. Quod erat demonstrandum. 

Conseclarium. Centrum gravitatis spatii interni 
cycloidalis BFD, est in puucto L, ubi diagonalis 
DG ita dividitur, ut GL sit ad LD ut " ad 5. Cum 
enim spatium cycloidale internum BFD triplum sit 
spatii cycloidalis externi BGF, si centrum librae 
statuatur iu puncto 6, erit 6* triplum distantise 
centri gravitatis spatii cycloidalis interni ab eodem 
puncto 6. Sed 6s est triplum GL. Est ergo 
centrum gravitatis spatii cycloidalis intemi BFD 
in L. Dividitur autein recta DG, ita ut GL sit ad 
LD ut 7 ad 5, cum sit L in concursu n et DG. 

PROPOSITIO VI. 

Quadriliueum m6CB, comprehensum duabi 
curvis B;«, BC, et duabus rectis 6m, 6C, a^qui 
est quadranti ABC. 

Secet enim recta 6B arcum BC in q. Quoniai 
ergo triangulum rectilineum AB6 est pars octava 
rectanguli BDFG, erit idera requale quadranti 
ABC. Ablato ergo spatio communi AByC, erit 
reliquum spatium 6<yC aequale bilineo Bt/B. Sed 
spatium 6»*BC, comprebensum a parte cycloidis 
Bwi et duabus rectis »16, 6C, ostensum est sequale 
quadranti ABC. Itaque, si ipsi addatur spatium 
67C, et eidem auferatur bilineumB^B, erit factum 
spatium W26CB, comprehensum duabuscnrvis Bm, 
BC, et duabus rectis m-6, 6C,sequale {ut aute) qua- 
dranti ABC. Quod erat demonstrandum. 




Spfltiflm cicauidalc mtennim BA/L 
sumapflrtecrckidff B/et dflabflsrects AB. A^ 



•> . -i »d» 



CSt trifiKQB 6/i 



V« »- r- 



BC6m mqnale est quadiaaU ABC Qure 
drifiDeum ABm6 zqaale est seamarenk) eenkan; 
cm si afldaffli tnfiram m6/ fit tpaffium erciaidaAe 
mtegrnm B A/l Spiinm erso erckfldaiie B A/ 
Qood 



PBOPOEITIO TTIL 

S dncfltsr reeta DC, et prodneatflr *d BG m 
N ; jiaictB FX txflnmbst per puurluui/, 

Cam esim DX traBsest per C. erit BX aBquafis 
cfiametro BD. Et qoonmm BG est asqualff arcui 
semieireufi genhcrk, erit GX eirraraif quo areos 
BCD sapcnt < fiaa « Uum BD. Eat aatos 6E 
a— ni—»« ipans BG, et 6/ wmiim** damrtii shre 
rectaeBX. Quare recta E/cst m aawik reetae GX. 
Etiam FE est sonsBs FG. Ut «50 FG ad GX, 
itm FE Ad E/. Trenat erso FX per puDetum/ 
Qnod 



•- • 1 • 1 ;.•••- m <i't 



r«f '111 ^ 



q u a draiif i s ABC eteyusdem 



:i 1 11 1 -1.:- « 



Trianguhm 6EF mqsale eflt quadncuti ABC 



i * i ^ • 1 #>> 



ww ? 



enttruu^ 



gulum F/6 acquale dmririk» quadrato ab /6, IU> 
liquum igksr tria&gulflaa reetifiueutt F£/sc*}flak 



206 



EXAMINATIO ET EMKNDATIO 



DiALocus est reliquo spatio, nimirum, spatio quod relinqui- 

. VK . tur, dempto a quadrante ABC triangulo rectilinet 

ABC, id est, spatio incluso intra arcumBCet sub 

tensam ejus. Quod erat demonstrandum. 

propositio x. 

Si ducta Bo produeatur ad basim cycloidis BF 
in h, erit recta Dw duie quintse ipsius DF, sive ip- 
sius arcus BCD. 

Ostensnmenim est in praecedentibus arcum qu 
drantis, cujus radius est aequalis rectse BD, aequale: 
esse rectaa qua? potest decem semiradios, id i 
quae potest decem radios seraicirculi genitoris. 
autem DF.per constructionem, sequalis arcui BCD. 
Giuoniam autem angulus BoD in semicirculo est 
rectus, et quatuor rectse 6G, 6B, 6D,6Fsunt nequa- 
les, item quatuor anguli BDo, GBo, 6DB, 6FD 
mter se sequales ; erunt triangula GDB, BDo, 
D«o similia. Est ergo ut BG, id est, arcus BCD, 
ad DB diametrum, ita BD diameter ad D«. Est 
ergo Dh cequalis recta; quam appellavimus Z, sive 
duabus quintis rectse quas potest decem semiradios, 
id est rectje BF, id est arcus BCD. Quod erat 
demonstrandum. 

PROPOSITIO XI. 

Centrum gravitatis bilinei contenti linea cycloi- 
dale By*F et recta BF, est in eo puncto diagonalis 
DG, quod ipsam ita dividit in K, ut DK sit ad KG 
ut 7 ad 5. 

Est enim triangulum AFD quarta pars rectan- 
guli DG, id est, requalis semicirculo gcnitori : et tri- 
angulum BFD a?quale duplo semicirculo genitori. 
Quoniam autem centrum gravitatis trianguli AFD 



XATHKSLinCX BODfltXX. 307 



est in rata DG ad I . (aaat Fl cst adlAat 2adl. w*m«h» 



dafis uipiafw cydaide B/Fetdaabss nrtis 
BD, DF,csee m pand» Let Idiwni BFBaeaaale 
nekealo ejesanarii)): crit biEacuB 
triaagwhna irrliiirw— BFD, vti 
BFG, cst dao. Qaoaaaai ersa eeatraat sjnssrilafK 
figane B/FD, oand cst trial «* i» L «suut 11* 
LK iater se ia laakme redpwa na^umtiaaaa 
KL et LL 8 opu pmattiim L sti/boaatnr Gou&xmm 
fifane, trbugiifaiam BFD cft biiraum BFB. fiiwpowa 
in I ct K, j p ^ i u p w ii ft i n i flimm F.ni ihmh ¥ m iiIiim 
^atUjto laiaTnrii BFB. tfaiudgffattidtaniana^^ 

wirfltHiMBi iuttca an viuii «^u&dnaiti^ ^ct «uV- 
apratt, <et* ad iriliueinL <tui*4i^ 
*b eudou aren iguavLVEunt» «1 dm* ra&u* m mgptiv 

nt «a*ta part waBBXgtsBEmtitoi 
mat <cnm 1w£hi jnurtfc tamsmie 
ipa» «a^eomflri «91» *r* »<&« ^urtkaa 
ad AedbBna «Et&m yaertxm vmfqxtnsu&ri 




Cenftro E, swStp EG *vel EF. <<bwdbutur t*uukaf> 
cuhs GRF. fiecras EA in & £nUju* 11* «njimtk 
C4 id 1<§£ id «^tflrfne yarfi tart«wi* ***&* j&JE, 
sit ursb CTEF- uupra tm x&tih* «^ tqpbsu A C 

JEjbu fifiteumim **t fftnp. Jbg tjuud Vrkaiguixm 
irrti&wn, FI/' mjuak «nt jibiuo iuclim> Mteu 
arani yH a flnnitiif « ipsh* *uta**uittmu id «taflL ioU 
ueo BFB- Dueatur ££ jK*?<&tlKmbaffe *d JKfc* 
im £L JboB <daphmi pkoiunj JLil^K uufc isut* fettu** 



tn. 




planum quadrantis ERF. Quoniam igitur tri 
gulum rectilineum EF/ et bilineum RFR 
duplum bilineumRFR,erit triangulura rectilineum 
reliquum F/R aequale trilineo FSR incluso intra 
radios FS, SR et arcum quadrantis FR. Est ergo 
bilineum RFR ad trilineum FSR, ut E/ ad /R; 
id est, ut sexta pars semiperimetri circuli geoitoris 
una cum tertia parte excessus ipsius semiperimetri 
supra tres radios ejusdem circuli, ad dictam sextam 
partem semiperimetri mulctatam duabus tertiis 
prsedicti excessus semiperimetri circuli genitoris 
supra tres radios. tiuod erat demonstrandum. 

Consect.i. Rectangulum sub SR, R/ aequale 
est duplo trilineo FSR; et rectangulum sub FE, 
E/ sequale duplo bilineo RFR; propterea quod 
sequalia sunt, alterum duplo triangulo F/R, alti 
rum duplo triangulo FE/. 

Consect. ii. Rectangulum sub SR et dupla R8 
est sequale exeessui quo segmentum RFR superat 
trilineum conclusum rectis FS, SRet arcu qua- 
drantis FR: quod trilineum est complementum 
quadrantis ad quadratum radii. Nam rectangulum 
FE/ superat rectangulum SR/ duplo rectanj 
SR in 8R. Quare triangulum FE/superat trii 
gulum S R/ ipso rectangulo S R in 8 R. 

PROPOSITIO XIII. 

Trilineum 6/w, clausum duabus rectis G;«, 
et parte cycloidis fm, aequale est trilineo FE/, 
clauso duabus rectis FE, E/ et parte cycloidis F/. 

Est enim planum, clausum parte cycloidis F/iw 
et duabus rectis F6, 6«/, sequale qnadranti ERF 
(Prop. iii). Ablato ergo commuui spatio trilineo 
F/RF, clauso duabus curvis, neinpe arcu FR et 



od 
18 



gulo 
riaa- 

.,6/ 

'Ef. 



MATHEMATICjS IIODIERN/E. 



209 



parte cycloidis F/", et recta/'R, restabunt ex altera nuteein 

parte trilhieum FEf, ex altera parte 6mf, inter se , ] 

Quod erat demonstrandum. 



PROPOSITIO XIV. 

Triltneum dfm sequale est compleuieuto qua- 
drantis ERF ad quadratum radii E R. 

Sunt enim triangula rectilinea VEf, FR6 requa- 
lia, propter altitudinum inter se, et basium inter 
se sequalitatem. Quare utrumque eorum sequale 
est bilineo RFR. Est autem tam triangulum rec- 
tilineum 6EF, quam trilineum 6Fw, aequale qua- 
dranti ERF, et proinde jequalia inter se, Itaque 
si auferatur commune triangulum rectilineum F./R, 
restabunt ab una quidem parte duo triangula FEy, 
FR6, qure sunt inter se aequalia, et ambo simul 
sequalia duplo bilineo RFR ; ab altera vero parte 
duo trilinea, nempe triangulum rectilineum F/'R, 
et trilineum Qfm, quas ambo simul aequalia sunt 
duplo complemento quadrantis ERF ad quadratum 
radii KR. Sed cum duo triangula EEf, FR6 
aequalia sint duplo bilineo RFR, erit triangulum 
F/R jequale uno complementorum prsedictorum : 
est enim quadrans sequalis duplo bilineo RFR uua 
cum complemento ipsius quadrantis ad quadratum 
radii. Q.uare trilineum 6fm sequale est altero 
complementorum. Trilineum ergo 6fm, etc. Quod 
erat demonstrandum. 



PROPOSITIO xv. 

Spatium cycloidale AB./, terminatum duabus 
rectis AB, Af et curva Bcmf requale est qua- 
dranti ABC una cum quadrato ABzC. 

Ostensum enim est (Prop.vi) quod quadrilineura 

VOL. IV. p 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 

i »»6CBterminatumduabusrectis mG,6C, et duabus 
curvis, arcu BC et curva Bcm, est sequale qua- 
dranti ABC. Cui additum spatium 6,/jm, sequale, 
ut in prsecedente ostensura est, complemento qua- 
drantis ABC ad quadratum ABzC, facit planum 
comprehensum a duabus curvis Bm/ et arcu BC, 
et a recta t /C, sequale quadrato ABsC. Cui si 
addatur rursus ipse quadrans ABC, fit totum pla- 
num, terminatum duabus rectis AB, Aj\ et curva 
Bffl/, pequale utrique simul, quadranti ABC et 
quadrato ABsC. Quod erat demonstrandum. 

B. Cumrectangulum,/Vs;Cduplum sit quadran- 
tis ABC, et rectre parallela:, quas complent trili- 
neum ( /BC/, crescant a puncto B secundura pro- 
gressionem arithmeticam usque ad Cf ajqualem 
arcni BC, ego credidissem, juxta doctrinam Wal- 
lisii in sw&Arithmeticalnfinitorum, spatium planura 
y"B C/ aequale esse dimidio rectangulo f* z C, id 
quadranti ABC. 

A. Vides ergo regulse Wallisiamc falsitatem, 
quod extra figuras reetangulas et earum partes 
nihil valet. 

Consect. i. Si ducatur recta BJ, erit factum 
spatiutn bilineum BJ'B asquale dimidio quadrato 
ABsC. Ducta enim recta,/*- perpendiculari ad 
BG in w, et juncta fz, erit rectangulum fz, con- 
tentum sub J'C, quse a?qualis est arcui ABC, et 
sub radio f*, cequale duplo quadranti ABC ; et 
proinde totum rectangulum B./ sequale duplo qua- 
dranti una cum quadrato ABzC. Et triangulum 
rectiliueum AB/* aequale uni quadranti ABC una 
cum dimidio quadrati ABssC. Quare quod restat, 
bilineum B/B, sequale est alteri dimidio quadrati 
AB*C. 



al- 
ura 

: 

tes 



MATHEMATICE HODIERN.E. 211 

Consect. ii. Reeta fz ita secat cycloidem, puta dialocub 
iu c, nt bilineum cjc et triliueum czE sint inter . \ 1- . 
se xqualia ; quod ex eo manifestum est, quod spa- 
tium cycloidale /ABra/, et quadrilaterum recti- 
lineum ABs/ sunt inter se Eequalia. 

Comect. iii. Triangulum rectilineumysB sequale 
est bilineoyBy". Est enim triangulum/C:;, cujus 
XaXxsfC aequale est arcui BC, et latus C; eqoah 
radio AC,a>quaIequadrantiABC. Quoniam autem 
trianguIumysB una cum quadrato ABrC requale 
est spatio cycloidali /BA, ablato communi trian- 
gulo rectilinco,/A B, erit reliquum triangulumy'2 B 
sequale reliquo bilineo f Rf, id est, dimid'10 qua- 
drato ABsC. 

PROPOSITIO XVI. 

Solidum descriptum a plano cycloidali B/FDB, 
moto super basem D F per quadrantera circuli, est 
wquale duabus tertiis solidi quod fit a rectangulo 
DG f moto item super eaudem basem et per qua- 
drantem circuli. 

Jntelligatur rectangulum D G moveri super basem 
DF immotam, donec rectffi DB, FG, caeteraque 
intermedia? parallelae descripserint singulre suos 
quadrantes , quo facto, dictum rectangulum DG 
iusistct plano cbartae perpendiculariter, in com- 
muni sectione D F ; eritque descripta quarta pars 
cylindri recti. Erit autem arcus quadrantis, de- 
scripti ab unaquaque parallelarura dictaruin, a?qua- 
lis arcui BCD, et quotalibet pars ejus aequalis 
parti cognomini arcus BC. Prseterea, sinus rectus 
quot«libet partis arcus quadrantis descripti a DB, 
requalis erit chordae arcus cognominis descripti nh 
AB. Ubi enim arcus quadrantis arcui semicirculi 



212 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



est sequalis, si sumantur in utroque eEedem part 
quse reeta chorda est arcus sumpti in semicirculo, 
eadem recta erit sinus rectus arcus analogi in qua- 
drante. Itaque si ducatur recta parallela et asqualis 
rectse DB, terminata in DF et BG, secans cycloi- 
dem iu 1, parte duodecima arcus BCD,erit chorda 
Bl sequalis sinui recto partis duodecimge arcus 
quadrantis descripti radio qui sit asqualis rectae 
DB. Quare si in arcu quadrantis, descripti a pa- 
rallela per 1, sumatur pars ejus duodecima, et de- 
mittatur inde in chartre plauum recta perpendicu- 
laris, incidet illa in parallelam altitudims quse 
transit per 1. 

Similiter ostendi potest, quod si sumatur pars 
sexta, id est arcus B2, sinus rectus duarum duode- 
cimarum partium arcus quadrantis descripti a 
parallela per a, ea iucidet perpendiculariter in 
parallelam altitudinis quee transit per 2. Et sic 
de cseteris partibus quadrantis. Itaque arcus qua- 
drantum descriptorum a rectis parallelis ipsi DB, 
decrescunt in ratione arithmetica, donec evanes- 
cant in puncto F. Plana autem quadrantum 
eorundem decrescunt in ratione arcuum duplicata. 
Quare aggregatum quadrantum omnhim, descrip- 
torum a dictis parallelis sumptis usque ad cycloi- 
dem, id est, solidum descriptum a plano cycloidali 
B/TDB, est ad solidum descriptum a conversione 
spatii cycloidalis externi BGFy"B, et ad solidum 
descriptum a rectangulo DG, ut 2 ad 3. Quod 
erat demonstrandum. 

Consectarium i. Sequitur hinc quod solidum 
descriptum a triangulo FBD, solidum deseriptum 
a bilineo BFB, et solidum descriptum a plano 
cycloidali externo BGFyB, esse inter se requalia; 



mathematica: bodikrn^. 2t$ 

et nnam quodlibet eorum asquale quartse parti coiri 
ejusdem altitudinis et basis cum cylindro descripto 
a rectangulo DG. Est enim conus, id est, solidum 
descriptum a triangulo rectilineo DGF converso 
super rectum DF, tertia pars cyliudri descripti a 
revolutioni rectanguli DG super eandem rectam DF. 
Consfct. ii. Mauifestum hinc est eadem methodo 
demonstrari posse, sumpta quavis alia pnrallela 
altitudinis, ut Af terminata ex una parte in dia- 
metro DB, ex altera parte in cycloide, et ductayV 
perpendiculariter ad BG, quod solidum factum a 
conversione plani cyctoidalis Bm/'A circa rectam 
Af per quadrantem circuli, aequale esse duabus 
tertiis solidi facti eodem tempore a conversione 
rectanguli Att supra eandem Af 

PROPOSITIO XVII. 

Centrum gravitatis semicirculi genitoris ABCD 
ita dividit radium AC in O, ut pars AO sit ~ arcus 
BCD. 

Si fiat ut tertia pars arcus BCD ad tertiam 
partem subtensa;, id est, diametri B D, ita duae 
tertiae radii A B f id est, una tertia diametri BD, 
ad quartaui, erit terminus illius quartee sumpta; ab 
A versus C centrum gravitatts semicirculi ABCD 
(lib. i, cap. ix, prop. i, Guldmi de Cetitro Graci- 
tatit). Sit tertnirius ille O. 

Est ergo tertia pars diametri BD media propor- 
tionalis inter tertiam partem arcus BCD et AO. 
Quoniam ergo diameter (per superius demoustrata) 
est media proportionalis inter arcum BCD et duas 
quintas arcus ejusdem, etiam tertia pars diametri 
erit media proportkmalis inter tertiam partem 
areus BCD et tertiam partem duarum qumtarum, 



214 




EXAMINATIO ET 



sive sex quindecimarau), dicti arcus BCD. Sed 
tertia pars sex quindecimarura est -5 . Ciuare AO 
est -5- arcus BCD, sive rectae AE vel DF. Itaqne 
centrum gravitatis seinicirculi genitoris ABCD ita 
dividit radium AC in O, ut pars AO sit -~ arcm 
BCD. Quod erat demonstrandum. 

Coroll. Ducta ab O recta Ov parallela diametro 
B D, secans rectam A.z in », erit punctum v centrum 
gravitatis quadrantis ABC. 



ALITER. 



Si fiat ut arcus BC ad duas tertias subtensae 
BC, ita A$ semisubtensa ad quartam sumendam 
ab A versus C, erit terrainus ejus centrum gravitatis 
semicirculi. Demonstratum est a Jo. de la Faille, 
prop. xxxvi. Sed ut arcus BC ad subtensam BC, 
ita subtensa BC ad -f- arcus BC, id est, ad unam 
quintam totius BCD. O-uare, ut arcus BC ad \ 
subtenstc I»C, ita A£, id est, semisubtensa, ad duas 
tertias duarum quintarum arcus liC, id est, ad 
unam tertiam duarum quintarum totius arcus 
BCD, id est, ad ~ arcus BCD. Quod erat demon- 
strandum. 

D. Si fiat semicirculus aeueus accuratus, qui sit 
ejusdem ubique crassitudinis, isque in puncto O 
tenui filo suspeusus maneat plano liorizontis paral- 
lelus, quin recta DF aiqualis sit arcui semicirculi 
genitoris, dubitari amplius uon potest. 

A. Etsi experimenta talia vim tion babeant de- 
monstrationis, juvat tamen operis cum coutempla- 
tione consensio. Itaque semicirculum peneum fieri 
curavi, et suspendi ab eo puucto, et parallelismum 
horizontalem inveni exactissimum. Sed procede. 



1 lta 
cus 

;tro 
■um 

usse 



MATHEMATICiE H0DIERN.fi. 215 



DIALOGUS 
VI. 



PROPOSITIO XVIII. 

Invenire centrum gravitatis segmenti BCB, con- 
tenti arcu quadrantis et subtensa arcus BC. 

Invento centro gravitatis trianguli rectilinei 
ABC, fiat ut segmentum BCB ad triangulum 
ABC, ita distantia inter centra gravitatis qua- 
drantis ABC et trianguli ABC ad aliam. Et illa 
inventa ponatur a puncto v versus arcum in eadem 
recta As, nempe vr, et erit r centrum qusesitum. 
Datur autem ratio bilinei BCB ad triangulum ABC, 
nempe ratio FR ad FE, et est centrum gravitatis 
segmenti BCB in recta A*, in qua sunt centra 
gravitatis tum trianguli tum quadrantis ABC. 
Datur ergo punctum r, id est, centrum gravitatis 
segmenti BCB. Factum ergo est, quod erat 
faciendum. 

B. Video etiam aliud sequi scitu non indignum, 
nimirum, planum, quod nascitur ab aggregatione 
rectarum, quae aequales sunt partibus arcus B C per- 
petuo a nihilo crescentibus juxta rationem arith- 
meticam,quando applicantur ordinatim ad terminos 
curvarum sibi aequalium, nempe B 1, B2, B3, etc, 
aequales esse plano quod nascitur ab aggregatione 
sinuum rectorum eorundem arcuum, quando illi 
sinus ordinantur singuli ad terminos arcuum suorum 
in recta quae sit ipsi arcui BC aequalis. Nam quod 
aggregatum sinuum rectorum omnium ita ordinato- 
rum aequale est quadrato radii, demonstrarunt 
fortasse plures, sed invenit et demonstravit primus 
Christopherus Wren, astronomiae professor Gres- 
hamensis. 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 



PROPOSITIO XiX. 

Solidi. quod fit a conversione trianguli rectilinei 
FDB per quadrantem circuli super basem FD, 
centrum gravitatis est in plano quadrantis descripti 
setnidiametroyy et ereeti ad planum chartae, et in 
ea recta quae ducta a puncto y dividit arcum ejus- 
dem quadrantis bifariam, distatque a puncto y, 
quod est iu basi, tantum qnanta est dodrans duplae 
rectae Av. 

Factum enim solidum a revolutione integra tri- 
atiguli FDB super basem FD, est conus cujus cen- 
trum gravitatis dividit basem FD ita ut pars ad 
vertieem sit ad reliquam ut 3 ad 1, id est in y. 
Quare plamim erectum ad planum chartse in com- 
muni sectione FD secans eam in y, est planum 
xquilibrii tum ipsius coni, tum etiam dimidii vel 
quotaelibet partis ejus. Planum enim aeqnilibru 
dividit hiec in momenta aequalia. Est ergo ceu- 
trum a?quilibrii solidi, quod fit a quarta parte con- 
versiouis trianguli FD, in plano quadrantis de- 
scripti a y y et erecti ad planum chartre. Quoniam 
autem arcus quadrantis descripti a DB duplus est 
arcus BCD descripti ab AB, et centntm gravitatis 
semicirculi BCD distat a centro A intervallo AO, 
erit centrum gravitatis semicirculi descripti a DB 
in distantia a centro Dtanta, quanta estdupla AO. 
Sumatur DT requalis duphe AO, ducaturque FT 
secansyyin V. Quare, quando in conversione tri- 
anguli FDB recta. DT fit plano chartse perpendi- 
cularis, erit punctum T centrum gravitatis semicir- 
culi descripti a diametro DB. Secet recta FB 
rectamyy iu X. Quare quando in conversione 
trianguli FDT, yV est ad plannm ehartae erecta, 



MATHEMATIC.E HODIERN-E. 



217. 



erit punctum V centruDi gravitatis semicirctdi de- dialoous 
scripti a semidiametro yX. Et sic contiuget in . , V1, . 
intersectionibus rectarum omnium, quae sunt paral- 
lelse recta* DB, cum recta FT, ut centra gravitatis 
quadrantum descriptorum ab ordinatis in triangulo 
FDB, sint in intersectionibus ipsarum ordinatarum 
cum recta FT. Sed iutelligendum est triangulum 
FDT erectum esse ad plannm chartae. Itaque 
ornnes semicirculi, descripti a couversione triauguli 
FDB super basem FD, jequiponderabunt super 
rectam FT, erectam ad planum chartae. Sed quod 
equipmiderabunt etiam super yy similiter erectam, 
manifestum est ex eo, quod F-y est ad y D, ut 3 ad 1 . 
Est ergo ceutrum gravitatis semiconi, descripti a 
triangulo FDB, in puucto V elevato perpendicu- 
lariter super planum chartae sive horizontis in y, 
et distat a puncto y, quod est in base, tautum 
quanta est ■*- arcus seraicirculi descripti a semidia- 
metro y X, sive dodrante rectae DB. 

Rursus, quoniam ceutrum gravitatis quadrantis 
ABC est ad ►■ in recta As, quae dividit arcum BC 
bifariam, erit quoque centrum gravitatis quadrau- 
tis descripti a DB iu recta quse dividit anum 
qnadrautis ejusdem bifariam ; distabitque tautum a 
puncto D quanta est dupla A •• . Snmatur D? aequa- 
lis duplse A', ductaque Ff secet rectam yy in v. 
(Auoniam ergo D? est distautia centri gravitatis 
qnadrantis descripti semidiametro DB a puncto D, 
et Af estin recta quae dividit arcuui BC bifariam, 
erit quoque y « distantiacentrigravitatisquadrantis 
dattripti a r X, et in recta quae dividit arcum ejus- 
dem quadrantis yX bifariam. Idem accidit in 
caeteris omnibus nrdinatis trianguli FDB. Est 
igitur F^ diameter aequilibrii solidi, quod fit a con- 



EXAMINATIO ET EMENDATIO 

ALocua versione trianguli FDB super basera FD: etrecl 
Vl ' . yv, sumpta in recta quae dividit arcum quadrantis 
descripti a yX bifariam, diameter sequilibrii altera. 
et yv dodrans sive | rectse D^, id est, duplae A*. 
Itaque punctura intersectionis ambarumyi' et F?, 
id est, punctum ipsum * , est centrura gravitatis 
solidi quod fit a conversione trianguH FDB per 
quadrantem circuli. Quare solidi quod fit, etc. 
(iuod erat demonstrandum. 

Consect. Centrum gravitatis quartse partis 
cylindri descripti a conversione integra rectanguli 
DG super latus FD, est in plauo quadrantis de- 
scripti ai^in distantia a puncto l, quod est in 
base, tanta quanta est D?, et est in recta quae divi- 
dit arcum ejusdem quadrantis bifariam. Et cen- 
trum gravitatis diraidii cylindri ejusdem, est in 
recta quae ex l erigitur plano chartse perpeudicula- 
ris in distantia sequali rectae D T. 



, 



PBOPOSITIO XX. 

Invenire centrum gravitatis solidi, quod fit a con- 
versione plani cycloidalis DBF circa basem DF 
per circuli quadrantem. 

Sumatur l\ aequalis rectse D^, et collocetur 
uiras ejus terminus in recta D F ad l , et alter ter- 
minus in plano quadrantis erecti ad plauum chartae 
in U, ita ut £ \ faciat cum recta U aiigulum semi- 
rectum; jungaturque »j, seceturque oi, tam supra 
quam infra, bifariam a reeta oa, quse secet ux iu r. 
Dico punctum r esse centrum gravitatis solidi pro- 
positi. 

Quoniam enira solidum propositum est ad soli- 
liiiin rteseriptum eodem tempore a rectangulo D(i 
ut 2 ad 3, (prop. xvi), et ceutrum gravitatis solidi 



MATHEMATICjE hodikrn^ 219 

fecti a rectangnlo DG est in plano erecto ad viaimvb 
chartam in 11, et utriusque centrum gravitatis in ^ . 
recta quae facit cnm diametro sui quadrantis angu- 
lum inclinationis semirectum, cumque centrum 
gravitatis solidi a conversione simiti trianguli DBG 
sit similiter positum ad planum super rr , erit cen- 
trum gravitatis solidi propositi, propter rationem 
magnitudinum 2 ad 1, in eo plano quod distat s 
plano per 11 ex altera parte, ita ut riistantia t£ sit 
ad distantiain ejus, ex altera parte reciproce ut 2 
ad 1. Erit ei^go centrum gravitatis sotidi propositi 
in plano quod ad planum chartae est erectum in ##. 
Nam i( est 3, quorum 4> est -\~. Rursus, centrum 
gravitatis solidi propositi est in recta, quae facit 
cum recta ** angulum semirectum. Rectarum ZZ f 
9^9 intersectio sit «#. Quoniam jam mv est ad «*r 
ut 2 ad 1, id est, in radone sotidi propositi ad 
sotidum factnm a simiti eonversione trianguti DBF; 
et centrum gravitatis sotidi a trianguk) DBF 
est in v ; si fiat * centrnm tibrae, distabit eentrum 
gravitatis solidi propositi a centro librae *, ita ut 
distantia v* sit dupla djstantne centri gravitatis 
sotidi propositi ab eodem puncto <*. Erit ergo in r 
Quod erat demonstrandum. 

Consect. Sequitur hinc punetum «*, positum 
item in recta £«, ita ut iacsat cum recta ZZ angu~ 
lum semirectum, esae centrum gravjtatis utriusque 
simul sotidi, nempe sotidi propositi, et sotidi &cti 
a simiti conversione trianguti DBF. 

B. Oedo equidem, et praeterea punctum C esse 
centrum gravitatis utriusque simul sotidi, nempe 
solidi propositi, et sotidi quod fit a converskwae 
simiti plani cyeloidatis externi BFG. Video etiai* 
basem FD ita dividi a plauo asquitibrii «* P ut pars 



220 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

i5 Fff sit ad reliquam ut 5 ad 3, ut fit in semiparabo! 
„ nec mirum, cuni ratio solidi propositi sit ad suum 
complementum eadem quaa plani semiparabolici ad 
complemeutum suum. Caeterum BD iion dividitur 
iu 3 ad 2, ut diameter semiparabolae. Cujus 
causam non video. 

A. Nequeego; sed neque quare ita esse debeat. 
Ex iis, quaj demonstrata sunt de ratione propositi 
solidi, facti a eonversione ejus circa basem FD, ad 
solidum factum a simili conversione rectauguli D G, 
et de centris gravitatis ipsorum, methodus apparet 
inveniendi rationem solidi facti a couversione cujus- 
libet partis ejus abscissse aparallelaaltitudiuis qi 
cunque. Nam si plauum cycloidale, cujus bi 
(exempli causa) est A/, convertatur super basem 
suam Af recta quidem AB describet quadrantem 
iutegrum, reliqua: autem ipsi parallelae describeut 
arcus quadrantum minores semperin ratione arith- 
metica, donec in puncto f describatur nihil. Ex 
quo, ut ante, inferetur solidum factum a conversione 
plani cycloidalis ABf super basem Af duplum 
esse solidi quod tit a simili conversione trianguli 
y'AB. Cognitisque magnitudinum rationibus, 
venieutur, ut ante, eorum centra gravitatis. 



ad 
tur 

at 

$iti 

ad 

G, 

aret 

ijus- 

sem 



PROPOSITIO xxi. 
Solidum factum a conversioue rectauguli 



Df 



per quadrantem circuli, circa diametrum circul 
genitoris DB, (quae est cylindri totius sic facti 
altitudo), est ad solidum factum a conversione 
ejusdem rectanguli DG circa rectam DF, (quae est 
cylindri hujus altitudo), ut DF ad illius altitudi- 
nem DB. 

Sunt enim cylitidri inter se in ratione composiu 



MATHEMAT1CE IT0DIERN;E. 221 

basis ab basera, (id est, diametri basis ad diametnim nutoen 
basis duplicata), et altitudiitis DB ad altitudinem 
DF. Sunt autem reetse DF, DB, D« continue 
proportionales (prop. x). Est igitur basis ab basem, 
ut DF ad X)u. Compoiiitur ergo ratio cylindri, 
facti a conversione plani DG circa altitudinem 
proprium DB, ad eylindrnm factuin a conversione 
circa altitudinem propriara DF, ex rationibus alti- 
tudinis DF ad Dw, et DB diametri basis ad DF, 
hoc est, rectse D« ad altitudinem DB. Si rom- 
poiiantur ergo ratio liD ad D«, (id est, ratio basis 
ab basem), et ratio DB ad DF, id est, D« ad DB, 
erit ratio cylindri facti a conversione ejusdem rec- 
tanguli DG circa DB, ad cylindrum factum a con- 
versione ejusdem rectanguli circa DF, in ratione 
composita ex rationibus DF ad D«, et D« ad DB ; 
et propterea, cylindrus ad cylindrum, et proinde £ 
illius ad i bujus, est ut DF ad DB. Guod erat 
demonstrandum . 

B. Si certum esset quod cylindri sunt iuter se 
in ratione composita ex rationibus basis ad basem, 
et altitudinis ad altitudinem, dubitari non posset 
de tht-orematis hujus veritate. Sed ubi est hoe 
demonstratum : 

A. Demonstravit Hobbius, libro de corpore 
(cap. xiii, art. 14). Quod caput ipse Wallisius 
non iittprobavit, sed quia nibil in eo reperit quod 
potuit rodere, Hobbii ipsius esse negavit. Non 
quod alienum revera esse putaret, sed quia instituto 
ejus mentiri expedivit. Theorema hoc non modo 
in quantitatibus factis, sed etiam in omni genere 
rerutu factarum verum est. Neque arte logica^, 
sed ratione tantum naturali opus est ad veritatem 
ejus agnoscendara. Satis enim mauifestum est, 



222 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

dialogus quod omnis effectus naturalis ad omnem effectuui 
. ^' . naturalem rationem habet compositam ex ratioui- 
bus earum rerum quse causas eorum componunt 
integras. Nihil enim in effectu esse potest, quod 
non fuit in aliqua parte causse sua; ; nec in caui 
quod non in effectum derivetur. 

B. Mihi nova quidem hsec contingit doctrina, 
attamen verissima est ; ct procedens a contempla- 
tione quse in iis qui jurant in verba magistrorum, 
raro invenitur. Videamus jam consectaria. 

Co?tsect. i. Conus, qui fit a conversione triang 
F D B circa D B diametrum circuli genitoris, est ad 
conum qui fit a conversione ejusdem trianguli circa 
DF, utDFadDB. Sunt enim ut ipsi cylindri. 
Habent autem vertices, ille in B, hic in F. 

Consect. ii. Solidum factum a conversione plai 
cycloidalis D Y>J" F circa D B, est ad solidiun factum 
a conversione ejusdem plani cycloidalis circa DF, 
ut DF ad DB. Sunt enim ut ipsi coni. 

Consect. iii. Excessus cylindri facti a conversione 
reetanguli DG circa DB, super solidum faetum ;i 
conversione plani cycloidalis DByF circa eandein 
D B, est ad excessum cylindri facti a conversione 
rectanguli DG circa DF, super solidum factum a 
conversione plani cycloidalis DB./F circa eaudem 
DF, ut DF ad DB. Sunt enim hi quoque ut cylin- 
dri ipsi. 

PROPOSTTIO XXII. 

Centrum gravitatis semicirculi, cujus diametei 
est DF, id est, recta cequalis arcui BCD, est m 
recta qua?, ducta a ceutro, dividit ipsum seniieireu- 
lum bifariam, et distat a centro D tantum quanta 
est recta a;qualis duabus tertiis semiradii AB. 



MATHEMATIC.E HODIERN.E. 223 

Ostensum enim est, quod centrum gravitatis 
semicirculi ABCD est in recta AC, quje a centro 
A dividit semicirculum A BCD bifariam ; distatque 
a puDcto A tantuni quaiita est AO, id est, quanta 
est dua? quindecirase recta? DF, sive arcus BCD. 
Sed in omnibus semicirculis centra gravitatis situin 
habent similem. Quare ceutrum gravitatis semi- 
circuli, cujtis diameter est DF, distat a puncto D 
tantum quanta est dure quindeciraje arcus semi- 
circuli, cujus diameterest DF, sequalis arcni BCD. 
Est autem arcus semicirculi, cujus diameter est 
requalis arcui BCD, aequalis (perprop. ii*) quinque 
semiradiis, sive quintuphe BO. Itaque centrum 
gravitatis distat a centro D, tantum quanta est 
duse quindecimpe quintuplas AB, id est, duse tertiae 
semiradii AB. Quod erat demonstrandum. 

Consect. Dato centro gravitatis semicirculi, 
datur quoque centmm gravitatis dimidii ejus ; 
atqueetiam cujuslibet sectoris qui sit semicirculi 
quotalibet pars. 

B, Metbodo, ut videtur, eadem qna centra gra- 
vitatis partium cylindri facti a conversioue plani 
DG circa DF inventa sunt, inveniri possuut etiam 
centra gravitatis partium cylindri facti a conver- 
sione ejusdem plani DG circa DB. Quid ergo ea 
quse restant non demonstras ? 

A. Primo, quia hfec parata habui ; ccetera non- 
duni contemplatus sum. Secundo, quia alia figura 
describenda esset, in qua semicirculus, cujus dia- 
meter est DF, esset describendns.et non paucioribus 
lineis quam hsc onerata est, oneranda ; id quod 
mihi quidem operte pretium esse non videtur. Nam 



■ Fru=lra qiwetur in Inu.-tatu hoc propontio sLi|>m citiilu. 



224 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

dialogus semicirculorum quidem, et quadrantum, et aliorum 
v» sectorum centra gravitatis cognoscere, utilitatem 
aliquam habet ad magna aedificia, propterea quod 
saxa grandia talis formae, appensa a centris gravi- 
tatum suarum, elevari in altum possunt horizonta- 
liter, et proinde apte collocari ; quod aliter fieri 
non potest, sine multo labore, atque etiam periculo 
ne, dum vectibus detorqueantur, diffringantur. 

B. Redigis mihi in memoriam fabulam vulpis et 
racemi. 

A. Irride quantum libuerit. Ego haec nihilo- 
minus relinquam illis quibus longius speratur tem- 
pus vivendi. Credo te qui demonstrationibus 
legendis animum acriter intendere solitus es, satis 
jam tandem defatigatum esse. 

B. Ego vero minime. Delector enim paradoxis, 
qualia sunt haec, quse legimus fere omnia. 

A. Itaneais? 

B. Quid ni? Quod punctum magnitudinem, 
etsi aliquando non consideratam, aliquam tamen 
habeat, paradoxum non est ? 

A. Est quidem, sequutis doctorum authoritatem ; 
utentibus autem ratione propria, paradoxum non 
est. 

B. Quod ratio ea quidem, quam habent inter se 
duo insequalia, quantitas sit, ea vero, quam habent 
duo sequalia, quantitas non sit, paradoxum est. 
Quod in tribus continue proportionalibus, quorum 
primum est minimum, ratio primi ad secundum 
semissis est rationis primi ad tertium: quod an- 
gulus rectilineus est quantitas conversionis radii 
circa centrum : quod angulus contactus est quan- 
titas, esse tamen angulos ad quos ille rationem 
habeat nullam : deinde illa, quae hinc deduxisti, 



MATHEMATlCiE HODIERNiE. 225 

nempe, latus quadrati, quod quadratum aequale sit dialogus 
decem quadratis a quarta parte diametri, aequale . V1 * „ 
sit arcui quadrantis, contra Archimedem: quod 
arcum vel angulum dividis in rationem datam : 
quod centrum gravitatis semicirculi tantum distat 
a centro circuli, quanta est^arcus ejusdem semi- 
circuli : nonne haec tua et Hobbiana paradoxa sunt 
geometrica ? 

A. Sunt quidem paradoxa ; nihil tamen impedit 
quo minus vera sint. Et fortasse in rebus, quales 
sunt hae, speculationis aliquanto profundioris, nihil 
tam parodoxum est quam ipsa veritas. 

B. Paradoxum quoque est, quod regulam alge- 
brse, id est delicatorum hominum geometriam 
totam, in figuris curvilineis parum aut nihil valere 
dicis. 

A. In scriptis geometricis aliorum nulla credis 
esse paradoxa? Primo, lineam latitudinem non 
habere, et tamen duci posse ? Secundo, angulum 
planum esse inclinationem quam habent duae lineae 
concurrentes, iu ipso puncto concursus ? Tertio, 
posse transiri a majore ad minus per omnia media, 
nec tamen per aequale ? Quarto, duplicatum minus 
esse quam simplum ? 

B. Cujus hoc sit non memini. 

A. Nonne omnes affirmant in ratione minoris ad 
majus duplicata, exempli causa, in his continue 
proportionalibus 1,2,4, rationem 1 ad 4 duplica- 
tam esse rationis 1 ad 2 ; iidem tamen, cum 
Euclide (Elem. v. prop. 8), rationem 1 ad 2 quae 
est simpla, majorem esse quam ratio l ad 4 quae 
est duplicata ? 

B. Non sunt haec paradoxa. 
A. Quid ergo sunt ? 

VOL. IV. Q 



226 EXAMINATIO ET EMENDATIO 

B. Absnrda. Sed ultimnm hoc, de duplicata 
ratione, ex eo natum esse videtur, quod Euclides 
utitur voce SivXaeto,; semper pro duplicata, nunquam 
pro dupla. 

A. Quid autem f An geometram decet tlieore- 
matum veritatem ex usu verborum, an ex rebus 
ipsis recte conceptis, restimare ? Sed quod Eucli- 
dem ais nunquam uti voce iarXauAm pro dnplo. 
verum non est. Leg/e Elem. iii. prop. 20, quae sic 

Se habet : l» kuiXjj i"| irpuc iy wvrpy yttt im ^ntXauiui 
n-pfic rfi riptinpilq, etC 

B. Tua illa, quanquam paradoxa, vera 
sunt, nt mihi videntur, et futura aliquando cndo.ra. 
Interea tu, qui defendis omnem doctrinam Hobbi' 
anam, quid dicturuses ad ea quse habet in Physica 
suaetPolitica? Et primo, iu physica, quod omuium 
rerum naturalium causas dicit esse motum, eumque 
moti et contigui corporis ? 

A. Sive verum hoc sit sive falsum, paradoxum 
certe non est. Nam Aristoteles, quem sequitur 
schola, idem dicit, si non et amplius, cum dicat 
naturatn nihil aliud esse prieter motum ; motum 
autem proprium esse corporis. Quod iuteruum 
esse dicat, non negat quiu causam habeat in ex- 
terno. Nam affirmat alibi, nihil posse movere 
seipsum. Ab hoc principio orsus, causas qualita- 
tum sensibilium et phsenomenwn naturalium fere 
omnium satis probabiles deducit Hobhius ; id quod 
illi, quibus principium hoc videtur falsum. 
nunquam poterunt. 

B. Maximam partem effectuum naturalium de- 
ducit ille a motu quodam, quem vocat circularem 
simplicem ; quem motum, vereor ne lectores, ex- 
ceptis paucis, non satis concipiant. Nam etsi talis 



dnpio, 
uae sic 

tamen 
idojra. 
lobbi- 



MATHBMATICJE HODIERN^. 227 

motus ad producenda phaenomena naturae fere dialogcs 
omnia sit omnium motuum aptissimus, quia tamen ._ VL „ 
a nemine ante illum animadversus et explicatns est, 
lectores pauei ductum orationis, qua motus ille 
describitur et computatur, facile sequi possunt. 

A. Si quis manu teneat corpus aliquod figurae 
cujuscunque, puta pilam, e qua pila promineret 
stylus scriptorius ; an difficile est imaginari, quo 
modo ille eo stylo possit literam aliquam alphabeti 
ductu continuo exarare r 

B. Nihil facilius. 

A. Quod si plures simul styli prominerent, ita 
ut tabellam aliquam omnes simul tangerent ; nonne 
idem eodem tempore literas plures exarare poterit? 

B. Mille, si vult, et tot sint styli. Sed illae 
erunt omnes inter se similes et aequades. 

A. Id quidem manifestum est. Sed quis interea 
motus et qualis dicetur totius pilae ? 

B. Profecto, quem motum habet unius styli 
cujuslibet cuspis, eundem habebit cuspis styli alte- 
rius cujuscunque ; imo vero punctum unum quod- 
libet tum pilae tum manus. 

__. Motus jam pLUe ipse est, quem appellat ille 
motum circularem simplicem, non modo quando 
pilae puncta describunt circulos, sed etiam quando 
quaslibet alias describunt figuras, modo puncta illa 
motu suo ad loca redeant unde moveri inceperunt. 
Cujus motus proprietas una est, ut quaelibet linea 
in pila sumpta feratur sibi semper parallela. Notan- 
dum est etiam hoc, quod naturae non repugnat tali 
motu, quamquam velocissimo, describi posse figu- 
ram etiam minutissimam. Hunc motum telluri 
quidem toti attribuit Copernicus ; Hobbius autem 



228 EXAMINATIO ET KMENDATIO 

etiam soli, et planetis omnibus, et singulis etiani 
minimis eorum partibus. Aliam ejusdem motus 
proprietatem ostendit esse, quod heterogenea se- 
gregans congregat homogenea. Atque ex his pro- 
prietatibus causas reddit omnium fere phrenomeiwn 
naturalium satis probabiles, tautas ubique magni- 
tudiues et velocitates supponeus, quautas effectus, 
cujus causa quaeritur, postulat. 

B. Nihil a physicis, quorum principia, ut geo- 
metrarum, proprio arbitrio certa statui non possunt, 
amplius requirendum est, quam ut causse rerum 
tales esse possint. Itaque physica illa Hobbii tam- 
diu improbanda non est, quamdiu nemo eorundt 
effectuum per alios motus causas reddiderit pi 
babiliores. 

A. Id quod nunquam. credo, fiet. Nam causa 
naturulis omnis rei est motus aliquis. Ii autera, 
qui philosophia: maximc nunc studentes naturain 
motus minime contemplati sunt, in hanc unam rem 
incumbunt, ut nova acquiraut phamomena ; cui 
phsenomena sola experiendo, causa; ratiociuando 
motu cognoscendre sunt. 

B. Qui corpora eorporibus admovendo nova et 
mirabilia ostendunt natura? opera, mirum inmodum 
incendunt animos hominum amore philosophise, et 
ad causas investigandas non parum instigant, eoque 
nomine laude digni sunt. 

A. Ita est ; nam historiam naturalem, sine qua 
scientia naturalis frustra quteritur, locupletaut. 
Sed iutueri et admirari naturse opera, ut puer pul- 
chritudiDem libri plus contemplatur quam literas, 
non est hominis philosophi ; id quod faciunt qui 
videntes phamomena, non considerant quo agente, 
quo motu, et quo modo generari potuerunt. Nam 



um 
im- 

iro- 

sa 
■n, 
m 
in 
tn 



MATHEMATICjE HODIERNiE. 229 

si experimenta rerum naturalium scientia dicenda dialogus 
sit, optimi omnium physici sunt pharmacopoei. V1, _. 

B. Caeterum dogmata aliorum de iisdem rebus 
consideremus paulisper. Luminis quaenam est 
causa efficiens ? Lumen, dicit aliquis, est corpus, 
cujus particuke, exeuntes e sole, penetrant oculos 
animalium, unde vident. Quidni eadem facilitate 
et veritate dicant etiam tenebras esse corpuscula, 
quse exeuntia ab aliquo corpore tenebroso et de- 
lata ad oculos, faciunt ut non videant. Lumen, 
dicit alius, et magis accedens ad veritatem, est 
inclinatio ad motum. Sed id quod jam est ad 
motum inclinatio, quid impedire potest, ne non sit 
ipse motus ? Si quaeras quse sint causae rari et 
densi, dicit alius quod idem corpus, quo plus quan- 
titatis habet, eo rarius, quo minus, eo densius esse. 
Sed quaeris, puto, tu qua de causa, et quo pacto 
effici potest, ut idem numero corpus, id est, corpus 
sibi semper aequale, possit habere quantitatem modo 
minorem, modo majorem. 

B. Ego vero id non quaero ; scio enim quod est 
impossibile. Sed corpora videmus modo augeri, 
modo diminui ; quse tamen eadem esse dicimus. 

A. Non autem idem numero corpus esse pos- 
sunt, nisi idem esse censeas totum et pars. Sed 
haec nihil attinent ad densum et rarum. An putas 
idem vas, plenum aquse, majus minusve esse, quam 
si plenum esset quocunque alio corpore ? 

B. Minime profecto. 

A. Quidam ex philosophis hujus seculi causam 
rari et densi explicat hoc modo. Si dato corpori 
immisceatur quantitatis plus, fit rarum ; si minus, 
densum. 

B. Nullus omnino est efFectus naturalis, cujus 



I 




EXAMINATIO ET EMENDATIO 

dialogus causa non facillime sic expediatur, et eodem modo 
qao phannncopolfe temperant sua pharmaca 
praescriptum medicorum. Recipe : corporis puri, 
ad Hbitum ; gravitatis, gradus octo ; quantitatis, 
paululum ; coloris flavi, quantum sufncit. Mis( 
Fiat aurum. Lepidam narras philosophandi 
thodum. 

A. Et eam quidem philosophise reformatae. Vide 
jam autiquiorem. (luseritur quaenam sit causa, 
quod magnes ferrum ad se trahit. Respondetur, 
per aupmodtiay Quseritur rursus, quid est ovfixadiia. 
Respoudetur, occulta qualitas. Qua;ritur etiam, 
quid est occulta qualitas. Respondetur, quai 
uescimus. Nonne ad primam interrogationei 
melius responsum esset, vescio ? 

B. Minime sane. Sic enim visi fuisseut, 
jactura aliqua authoritatis suse, nihilo plus sap< 
quam vulgus hominum. 

A. Ita est. Respexerunt ergo ad utile, desert 
honestate. 

B. In politica autem, quis unquam aute illum 
tautum summis imperantibus juris attribuit, 
quicquid illi jusseriut, eo ipso quod jnsserint, shie 
injuria esset ? 

A. Imo vero, qua» civitas unquam extitit, i 
summo imperanti minns juris concessum est ? Civi- 
tatis Romanse imperium summum quis jure habuit r 

B. Ipsa qnidem civitas semper. Civitatis autem 
munus exequebatur modo uuus, modo alius ; et 
post Tarquinium, aute Caesarem, Senatus Populus- 
que Romanus. 

A. Legistin' unquam, quod llomse pro injuria 
habitum sit, quod de cive Romano coustituisset 
Seuatus Populusque Romauus? 



MATHEMATICJS HODIERNJS. 231 

B. Non memini. diajlogus 

A. Cur ergo injuriam nominaremus nos, id quod VL „ 
constitueret Senatus Populusque Anglicanus ? 

B. Non faceremus : sed quod unus homo vel 
pars aliqua populi juberet, non dubitaremus ali- 
quando injustum dicere. 

A. Quid autem intelligis per injustum 9 

B. Id quod factum est contra leges. 

A. Quid sunt leges ? 

B. Jussa civitatis, id est, jussa cmriae sive coetu* 
illius, qui a civibus eligitur, ut totam civitatem re- 
praesentet. Non enim pars millesima civium Roma- 
norum potuerunt in Forum convenire. 

A. Non ergo ille unus homo, aut pars populi 
habebat imperium summum. 

B. Minime. 

A. Nondum ergo ostendisti, injustum esse habi~ 
tum quod factum est a summo imperante, sed tan- 
tum sententiam tuam de forma refriminis mmmi 
subindicasti, de qua hoc loco disputare nolo, Dicam 
tantum, quod est verissimum, si singuli cive* repre- 
sentari se jusserint ab uno homine, et per vmm> 
quens, illius esset imperium summum, id qtiod ilkr 
jusserit non minus pro justo habendnm &mt, qm$u 
si idem jussisset senatus et plebe, eaodem habeata* 
authoritatem. Nihil ergo in politka peecarit <*rte 
hactenus. 

B. Nihil profecto. Sed parturit Jam Afigtta, *t 
hoc ipso die speratur nascitura Pax tt Impcrinm 
firmum : quod, nisi JwrtituK Libra. GUxdiu* Itetli, 
et Virga SchoUt in eadem mtst umm, Atmurunm 
esse vix potest. 

A. Finem ergo *enivmiba* w*&ri* %x$$A*w im- 
ponentes, si placet, wrpunm, ec ^rwcmm \kc*m, 



232 EXAMINATIO BT EMENDATIO, ETC. 

dialoous ut illi, qui de imperio Anglise nunc deliberant, 

. V1 * . id decernant quod ad ipsius gloriain amplificandam, 

et ad statum civitatis confirmandum, erit conveni- 

entissimum ; maxime vero ut velint imperium in 

eum locum, unde avulsum est, restituere. 

B. Amen. 



FINIS. 



DIALOGUS PHYSICUS 



DE NATURA AERIS, 

CONJECTURA SUMPTA AB EXPERIMENTIS NUPER LONDINI 
HABITIS IN COLLEGIO GRESIIAMENSI. 



ITEM 



DE DUPLICATIONE CUBI 



VIBO CLARISSIMO ET AMICISSIMO 

SAMUELI SORBERIO 

THOMAS HOBBES 

S.D. 



Inter varia ludentis naturae spectacula, doctissime Sor- 
beri, quae per sphaeram vitream concavam exhibuit 
nuper vir genere et ingenio nobilis in Academia Lon- 
dinensi, illa in primis cognitione tua digna sunt qaeu 
pertinent ad naturam aeris ; adeoque ad artem tuam, in 
qua excellis, vitae humanae, quantum patitur natura, 
conservandae. Sphaeram hanc una cum tota machina 
et usu ejus in dialogo sequente, quantum sine pictura 
potui, descripsi. Inter alia autem ejus miracula scitu 
digna, commendo tibi hoc, caeteris omissis, unum con- 
siderandum : quod animal in eo inclusum, propter muta- 
tionem quandam aeris in sphaera in qua includitur factam, 
valde cito moriatur. Causam mortis plerique esse 
dicunt, quod aer intra sphaeram, quo vivunt animalia 
omnia quibus sunt pulmones, exuctus sit. Ego contra, 
neque aerem exugi posse, neque inclusum animal, etsi 
exuctus esset, tam cito moriturum esse existimo. 
Actio quidem, quam mors illa sequitur, videri potest 
vel suctio quaedam, et propterea exuctione conclusi 
aeris interfici animal, respiratione sublata, vel etiam 
compulsio aeris ab omni parte versus centrum sphaerae 



cui animal iiicluditur. Et sic videri potest niori a 
tenacitate compressi aeris, quasi aqua suffocatura, uitni- 
rum, hanstnm in intiuia pulmonum aerem solito tenaci- 
orem,inter arteriam etvenampulmoniscursum sauguinis 
intercipiendo sistere. Sed cur ego, quje mox lecturus 
es, anticipo : Nam pra'judicare tibi nolo. Sed iu re, 
quse a corporis humaui structura sestimanda est, ad te 
scribens, adjiciendum hoc pntavi de interfectionistnodo. 
Praeter experimenta circa naturam aeris, quse fuere 
multa, et qua3 ad physicam meain confirmandam quasi 
naturje cousilio quodam oblata diceres, habent et alia 
adpartesphysica* alias conducentia ; ita ut dubitandum 
uon sit quiu conventus hii promoveudis scientiis plu- 
rimum sit profuturus aliquando, id est, cum seientiam 
motuum veramaut inveneriutipsi,aut meam receperint. 
Nam conveuiaut, studia conferant, experimenta faciaut 
quantum volunt, nisi et principiis utantur meis, nihil 
proficient. Ignorato enim motu ignorari naturam 
recte censuit Aristoteles. Si ad seientias sufticeret inge- 
iiiuiu. iiulln nobis scientia jamdudum defuisset. Nova 
euim hrec Academia ingeniis abundat excellentissimis. 
Sed aliud est ingenium, aliud ars. Arte hic opus est. 
Qua*. per motum fiunt. eorum causre per cognitioiiuiii 
motus investiganda* sunt ; qua*. cognitio, geometria* 
pars uobilissima, hactenus intacta est ; nisi quod hanr 
ego viam illis, qui nou ad victoriam conantur, sed atl 
veritatem, aliqoatenus pneivi. Sed frustra, ut videtur, 
dum vivo. Certant enim inter se viventes de 
[Certant mecum politici multi et clerus de jui . 
Certant mecnm de geometria arithmeticomm ^eim* 
quoddam novum, cujusproprium est unutn sive iu liueU 
sive in quadratis promiscue computare. Certant uiccum 
de physica e Sociis Greshameusibus illi, quibus uiaxiine 



237 

creditur, et * sunt quasi reBqxtomm mairistri. Exldbeot 
machinas novas, ut nciiiim suum et miras osteodant 
nugas ; quemadmodum facnmt qui carcuinapGmt anj-ma» 
lia exotica, spectanda non sine pretSo. Hi mrhi oomes 
inimici sunt. Fueere me ex Anglta in Gaffiam coegit 
cleri pars nna; et rursas fiigere e Gaffia in Afigfiaa 
coegit cleri pars alia. Alffebristae conTitaantnr. tf Gre- 
sbamenses antem," quaeres, ^qnomodo te laeseruntr" 
Scies. Pntaram me methodum qnasdam inrenisse 
interponendi inter duas lineas rectas quascunqiie doas 
medias proportionales ; metbodumqoe iHam scriptam, 
ipse rnre agens, Londinum misenun ad amicum, ot 
geometris nostris copiam ejus feceret Contisit pos- 
tridie ut erroneam esse anhnadvetlereui, et ad ean- 
dem scripsi palinodiam. Erat unus ex illis, qui rithim 
idem interea ridens, id qnod facile factu erat, refutavit. 
Refutationem hane in archiva Societatis, etiam ab 
authore ipso damnatam esse scientes, retulerunt. O 
praeclare factum et generose! Verum ita est, ut 
saevissime, nec minns dolo qnam rirtute, de ingeniis 
certent viventes*.] Morieris ergo, inquies, bono pub- 
lico. Sic puto, sed non tanto, ut ob eam caiwam debeam 
uno minuto temporis citins relle morL Vivamus qoam 
diu et quam bene possumus ; et mntoo amemu§. Vale. 



• Sic EdiL 1668. 

f In edit. 1661 non imreniimtiir reria uneis «K-hr^ 



AD LECTOREM. 



Quisquis es qui Physicam, id est, scientiam causarum natura- 
lium, non in te ipso quseris, sed in libris magistrorum, cavendum 
tibi est ne aut parum intelligas, aut intellecta non recte sup- 
putes. Natura omnia per conflictum agit corporum, motus suoe 
sibi mutuo imprimentium. Itaque in conflictu duorum corporum 
tam fluidorum quam durorum, si intelligas in utroque corpore 
qualis fiat motus, id est, qua via et quantus, ad Physicam ac- 
cedes lector non inidoneus, et motuum causas, recte supputando, 
invenies saltem probabiles. Caeterum si dictionibus inanibus 
contentus, videberis tibi intelligere quae intelligi non possunt, 
tanto errabis magis, quanto rectius ratiocinabere. In librisphy- 
sicorum multa occurrunt quse capi non possunt : qualia sunt quae 
dicuntur de rarefactione ct condensatione, de substantiis imma- 
terialibus, de essentiis, et alia multa : quae si conabere explicare 
verbis illorum, inepte : si tuis, nihil dices. Haec monitus lege, 
judica, ignosce. Vale. 



PIALOGUS PHYSICUS 

DE NATUBA AERIS 



T1GE JfTPUCATiOKE CTEl. 



A. Orato te video. 

B. Et «ro te fibentar ««&>; ram rideo cpufeii, 
nihiL ita me ebrifiBnni diei fdlpor oceaxwiL 

J- Asade igrtur nritrij donee motus ifle urpuD 
visorfi immodicus re»ederiL 

B. Rene manesu Sakst emm, upinar^ lawdtudo 
a calore sofis Ingnsmodi fabrmmt afiqraiituhns 
angere. Sed operandi modum, 9110 tak* etffoetu* 
produrit aut lnx sut eaiar. mm «ate ridaa <4uo4 
omnis ixm modo ««gl eed «taam xmam tuutatw 
motns afiqios ot in sentksnte t£ mutafcu, 4* tjuud i* 
motas a morente afiquo •exterao j seu a rafrufc «it, « 
qiro tempore tii I&nd ikobtk prai^ 
ampfiiB dubifea ^w&ixti&uss^^ 
quia forte stanteB, eedettteft, tmb&ute^ tatueii wut^ 
se satis krtriBEqs&baDt. 

-4. Potoermil^ prop^ ea&dm» 
an et saEqruk eorum moperetur 3 icatt *uutafctti «6 
sangmms, iuh quaeudo ttffuuditur^ iwutit a**w, 

2*. Et didntabaut ^iudtw 
Nunc antem et vu&uj&m Hurxw ^mm #m 



240 



DE NATURA AERIS. 



iidem confitentur, et ad sententiam tnam de moi 
per quem fit visio, accedere incipiunt. Nam i 
Societate nostra pauci sunt qui aliter sentiunt. 

A. Quaenam est illa Societas vestra ? 

B. Circiter quinquaginta viri philosophi, dc- 
trina et ingenio maxime conspicui, constitueruu 
inter se singulis septimanis convenire in Collegio 
Greshamensi ad promovendam philosophiam natu- 
ralem. Ubi quantum quisque ad eam rem habet 
vel experientise, vel artis, vel instrumenti, tantum 
contribuit. Quibus rebus et uova deteguntur phse- 
nomena, et rerum naturalium caus:e facilius 
veuiuntur. 

A. Cur viros dicis quiuquaginta ? Nonue pott 
quilibet alius adesse qui vult, convenientibus, pm 
in loco pubiico ; et super visis experimentis sua 
reque ac illi, sententiam dicere ? 

B. Minime. 

A. Quo jure prohibebunt ? Anne Societos i 
constituta est diplomate publico? 

B. Non arbitror. Sed locus ubi couveuiunt i 
est publicus. 

A. Ergo si domino loci placuerit, ex quinqi 
ginta fient ceutumviri. 

B. Fortasse, sed nobilissimi utihssimique iusti* 
tuti gloria certe et gratia debebitur his primis. 

A. Ita certe, si quid invenerint quod sit generi 
humano, vel patrise, sive ad defensionem sive ad 
ornamentum insigniterutile ; alioqui coutemnentur 
et illi, et propter illos ipsa philosophia. 

B. Sperandum certe est aliquid tale excogita- 
turoscssc hos, aut de scientia uaturali ulterius des- 
peraudum. Cseteruui conantium, quanquam frustra, 
laudanda est voluntas. 



DE NATURA AERIS. 241 

A. Recte dicis, modo voluntas ea ad scientias 
ipsas, non ad ingenii gloriam dirigatur. Sed dic 
quaeso, in causis rerum investigandis quam sequi- 
mini methodum ? 

B. Proferuntur primo experimenta, deinde alio 
die, quam quisque causam phaenomeni esse suspica- 
tur, eam viva voce, ut potest, explicat. Nam his- 
toriae naturali scriptae non satis fidimus ; neque si 
certissimae essent, satis inservire possent instituto 
nostro, nudae existentes circumstantiarum, quae ad 
causas naturales inveniendas sunt necessariae. 

A. Rectum quidem illud est, de non temere cre- 
denda historia. Sed an etiam ea phaenomena quae 
unoquoque fere die unusquisque vestrum videre 
potest, suspecta sunt, nisi illa omnes simul videatis? 
Aut ea quae videtis in conclavi experimenta, quae 
sane pauca esse constat, satis esse creditis ; ea 
autem, quae vobis quotidie ostentant ccelum altum, 

■ 

pontusque et lato pectore tellus, satis esse non 
putatis ? 

B. Sunt enim naturae opera quaedam critica, 
non nisi arte et diligentia nobis cognita ; in quorum 
uno aliquo naturae, ut ita dicam, artificium, id est, 
modus operandi manifestius se prodit, quam in 
centies mille phaenomenis istis quotidianis. Talia 
autem sunt experimenta nostra, quorum unius 
causa inventa ad numerum infinitum aptari potest 
phaenomenun communium. 

A. Quaenam sunt illa ? Sed prius audire cupio, 
quinam sint illi homines docti qui vestram consti- 
tuunt Academiam. Nam Academias appellant 
societates ejusmodi Galli Italique. Talem aiunt 
esse Parisiis hodie in domo domini Mommori. Et 
cum ego eram Parisiis, conventum habuimus non 

VOL. IV. R 



242 DE NATURA AERIS. 

multum dissimilem in coenohio Minimorum. quau- 
quam nec certus numerus, nec diebus preestitutis 
eonveniebamus, apud virum optimum et bonarum 
artium promotorem insignem, F. Marinum Mersen- 
num, qui inventa nostra publicavit iu libro, quem 
inscripsit Cogitata Pk>/.sico-Mat/n'»iafica. Namut 
quis problema aliquod demonstrasset, ad illum 
ferebat, ab illo et cseteris examinandum. Sic vo; 
quoque, puto, facitis. 

B. Minime, sed ut dixi, viva voce. Quod quEeris 
quinam sunt, paucos illos, quos in eo numero ' 
facie vel scriptis ru nosti, nominabo ; cseteros non 
est necesse. Ibi est C. 

A. Novi hominem. Probus est, subtilis, et ing 
niosus. 

B. Et D. 

A. Non carebitis ergo historia naturali. 

B. Suut quoqne assidui E, F, G. 

A. Numerus sunt. 

B. Et H, I, K. 

A. Non placent inter physicos algebristae. Nai 
mihi nunc experimenta illa vestra critica. 

B. Primum est de vacuo et natura aeris, per ma- 
chinam quandam, quam vereor ut possim tibi verbis 
satis perspicue describere ; nam pictam non habeo. 
Est vas quoddam vitreum, sphEericum, concavum, 
magnitudinis ut capiat circiter quinquaginta aquse 
sextarios, quod appellaut Rectpiens. Hujus fundo 
immissus est tubulus cavus, rectus, prominens 
extra recipiens, cum clavicula, per quam transitus 
aeri vel prohibetur vel conceditur prout volumus. 
Recipienti adjungitur inferne vas ajneum, cylindri- 
cum, cavum, longum pollices quatuordecim, cujus 
cavitatis diameter est tres pollices. Cylindri sum- 



DE NATURA AERIS. 243 

mitas perforata est ad latus, oblique, ut quaudo 
opus erit occludi et recludi possit. Parteui per- 
foratara appellaut valvulam. In cavitatera hujus 
vasis cylindrici, ab una parte inseritur pars tubi, 
quie prorainet e recipiente : ab altera parte adigitur 
cylindrus solidus ex ligno, qui corio tectus ita 
exacte, ad ingressum aeris prohibeudum, cylindri 
cavitatetn exfequat, ut intrudi et retrahi nisi satis 
magna vi non possit. Cylindrus hic solidus vocatur 
Suctor, quippe qui adhibetur ad aerem e recipiente 
exugendum. Intellextiu* ? 

A. Ita. Ex duobus vasibus concavis, altero 
vitreo, sphaerico, altero seneo, cylindrico, fit vas 
uuum concavum ; in cujus commissura transitus 
aeri ad libitum permittitur vel negatur : et valvula 
est, per quam aer e vase inferiore, nempe cyliudrico, 
emitti potest, quaudo opus erit, in apertum ccelum. 

B. Teues. Suctorem autem, quia vis requiritur, 
machinula quadam, quali utimur ad teusionem 
balistarum, ferrea, dentata, iu cylindrum impellunt 
revelluntque. Est prseterea in recipiente summo 
orificium satis amplum, una cum operculo et clavi- 
cula, quibus ad aerem ambientem admittendum vel 
excludendum aperiri et claudi potest. Iraaginare 
jam, transitu inter recipiens et cylindrum ameum 
non impedito, suctorem usque ad summitatem 
cyUndri adigi ; deinde transitu aeri, versa clavi- 
cula, occluso, suctorem aliquantulum retrahi. Uuid 
putas inde sequuturura ? Nonne relictus a suctore 
Iocus erit vacuus r Unde enim nisi a recipiente 
replercttir, cum transitum ambienti aeri neget 
suctor, cylindri concavum exacte implens ? 

A. Neqne unde repleri potest, nec quid sequutu- 
rum sit sciri posse puto, nisi natura aeris sit ante 



244 



DE NATUBA AERIS. 



cognita. Ideof|iie vereor ne ex suppositis quibui 
dam aeris proprietatibus concludant spatium, quod 
a suctore retracto relinquitur, esse vacuum ; et 
ab eo rursus, quod spatium illud est vacuum, talem 
probare veliut esse iiaturam aeris qualem supposue- 
rant: id est, ue demonstrent sine principio demon- 
strationis. 

B. Qualem autem aeris naturam imaginaris ti 
qua supposita, spatium illud repleri potest r 

A. Egone? Suppono aerem fluidum, id est, 
facile divisibilem in partes semper fluidas semper- 
que aerem, eo modo quo omne quantum divisibile 
est in semper quanta. Nec suppono tantum, sed 
credo quoque, modo aerem intelligamus ab omni* 
teme aqureque effluviis purum, qualis putatur esse 
ather. Neque est qui hactenus ullam adduxit 
rationem, quare ita esse non potest. Contra vero, 
si pars aeris, quanta est minima quam vidisti 
unquam gutta aqnae, fluida est, quomodo tibi pro- 
baturusf est aliquid quod pars dimidia ejus partis, 
vel, si vis, centies millies millesima, non sit ejusdem 
uaturre, nempe rluida et aer, aer iuquam purus t 

B. Sed plerique nostrum naturam fluidam a uon 
fluida distinguimus niagnitudhie partium ex quibus 
corpus aliquod constat, et quasi compingitur. 
Itaque nou modo aerem, aquam, et liquorem 
omnem, sed etiam cinerein et pulverem tanquam 
fluida contemplamur. Et fluida ex non fluidis 
composita esse posse non negamus. Nam divisi- 
bilitatem illam infinitam non concoquimus. 

A. Divisio quidem infinita concipi nou potest, 
divisibititas autem facile. Ego, contra, distinctio- 



e- 

■■ 

st_ 



• SicEdit. 16(il et 1688. 



I Sic Edit. 1668. 



DE NATURA AERtS. 



2« 



nem non capio inter fluida et non fluida, quam 
sumitis a magnitudiue partiura ; nam si caperem, 
ruina illa, sive rudera illa, quae jacent in ecclesia 
Paulina, mihi dicenda essent fluida. Sin propter 
nimiam lapidum magnitudinem fluida Ula esse 
negaveritis, defini mihi magiiitudinem illam, quam 
liabens pars mentis muri, propter eam sit dicenda 
fluida. Tq vero, qui divisibilitatem infinitam non 
capis, dic mihi quas tibi apparet eausa, quare Deo 
omnipoteuti difficilius esse putem creare corpus 
fluidum, et cujus partes actu diffluant, omni data 
atomo minus, quam creare oceanum. Itaque de- 
sperare me facis omnem coiiventus vestri fructum, 
dicendo quod putant aerem, aquam, et ca;tera 
fltiida constare ex non fluidis : tanquam si murum, 
eajos ruentes lapides aliquousque discurrent, dice- 
rent esse fluidum. Si sic loquendum est, nihil non 
est fluidum. Nam etiam raarmor cnmminui potest 
in partes omni atomo Epicureaua minores. 

H, Si tibi id concessero, quid sequitur? 

A. Seqnitur hoc, ut non necesse sit locum, qui 
a suctore revulso relictus est, esse vacuum. Nam 
dum suctor rctrahitur, quanto relictus Iocus major 
fit, tanto minus loci relinquitur aeri externo, qui 
retrusus a suctore moto versus extema, proximum 
sibi aerem similiter movet, et hic alium, et sic con- 
tinue: ita ut necesse sit aerem tandem compelli in 
toeam desertum a suctore, ct mtrare inter superfi- 
cicm suctoris convexam et cylindri concavam. 
Supposito eniru aeris partes esse infiuite subtilcs, 
impossibile est ut via illa, qua retrahitur suctor, 
illre non se insinuent. Prirao enim, contactus 
superficicrum istarum per omnia puncta perfectus 
esse uon potest, quia ipsa; superficies fieri iiifiinte 



246 



DB NATURA AERIS. 



laeves non possunt. Deinde, vis illa, quse ad snc- 
torem revellendum adhibetur, cavitatera cylindri 
aiiquantulum distendit. Postremo, si in confinio 
duarum dictarum superficierum higrediatur una 
tantum atomus dura, aer purus ea via ingredietur, 
conatu quantumvis debili. Poteram etiam com- 
putasse aerem illum, qui propter eandem causam 
insinuasset se per cylindri valvulam. Sublatam 
ergo vides consequentiam a retractione suctoris ad 
locum vacuum. Sequuturum hoc quoque est, 
aerem illum, qui est in locum a suctore desertum 
irapulsus, quia magna vi impulsus est, motu valde 
celeri et per circuitum inter summum et imum in 
cylindro moveri ; cum nondum sit quod motum ejus 
possit debilitare. Scis autem nihil esse quod sibi 
motum aut impertiri possit, aut diminuere. 

/?. Esto locus ille relictus plenus, ut dicis, aere 
puro, id est, ego interpretor, corpore aethereo. 
G.uid jam, si versa clavicula transitus detur aeri e 
recipiente in subjectum cylindrum, eventui 
putas ? 

A. Permistum iri puto aerem utrumque, et mo1 
eodem circumferri in utroque vase, celeri quidem, 
sed tanto temperatiore quam ante, quanto idem 
motus majori quantitati aeris communicatur. 

B, Observavimus autem, versa clavicula, sont- 
tum fieri quasi aeris e recipieute in cylindrum 
irrurapentis. 

A. Mirura hoc non est, propter aeris in cylindro 
cum aere recipientis collisionem. Sed quomodo 
hpec esplicatis vos ? 

B. Duphci modo. Primo et potiori, sic. Su[ 
ponimus aeri, in quo vivimus, inesse vim elasticam, 
id est, aerera partibus constare vel saltem abuudare 



DE NATURA AEBIS. 



247 



ea natura prteditis, ut poudere iucumbentis atmos- 
phserze compressse conentur quantum possunt con- 
tranitendo simulatque corpuscula illa removentur, 
vel quacunque de causa cedunt, sese a compres- 
sione Iiberare. Intelligetur autem melius id quod 
dicimus, si concipias aerem hunc prope terram 
quasi cumulum esse corpusculorum, quse alia aliis 
superjaceutia lanam referuut, cujus pili exiles et 
flexibiles veluti totidem elastra tum facile flecti et 
convolvi possunt, tum etiam perpetuo conantur 
sese extendere et restituere. Veluti si quis lanam 
manu undiquaque comprimeret, unumquodque 
tamen filum ejus potentia sive principio pneditum 
est sui dilatativo, cujus virtute, laxata manu, lana 
apontaneo motu se distendit et restituit. Atque 
per partium aeris vim hanc elasticam, plurimorum 
circa vacuum et naturam aeris phzeuomenwn nou 
est difficilis explicatio. Alter modus est — 

A. Differatur paululum ille alter modus. Interea 
qujero a te, nonne omnis hypotheseos lex liaec est, 
ut quae supponuntur omnia debeaut esse sua natura 
possibilia, id est, cogitabilia ■ 

B. Omuino. Et quse hic suppouitur vis, qua 
pressa se restituunt, facile quidem cum in multis 
rebus conspici, tum in aere concipi facillime potest. 

A. Hoc quidem verum est. Nam videmus lami- 
nam chalybeam balistse tensee, per vim illara sive 
principiura restitutionis, simul ac sublatum est im- 
pediraentum, velocissimo motu redire ad eonsuetam 
rectitudinem. Credere tamen non possum phdo- 
sophum fuisse illum, qui balistse, aut arcus, aut 
cujuscunque machinas elasticpe, experimentum ex- 
bibuit primus. Philosophi est talium rerum causas 
vel veras, vel saltem probabiies invenire. Q.uam 



24S 



1)E NATURA AERIS. 



autem lanae compressee, vel lauiinae chalybeae, 
atomi aerea» restitutionis causam afferuut philo- 
sophi vestri experimentarii ? Vel tu quam causam 
affers verisimileni, propter quam balistae lamiua 
chalybea consuetam rectitmlinem tam cito reeipit ? 
B. Causam ejus rei certissimam non possum 
dicere. Quod iu causa uon sit remotio impedi- 
menti, certe scio ; quia causa motus omnis con- 
sistit in actione aliqua in corpus movendum. 
Rursus, remoto impedimento uou credo laminam 
resilire impulsam ab ambiente aere, neque a pon- 
dere ullo atmosphaerae ; cum aer ille contigw 
comprimi a tensione balistse non possit ; et 
posset, etiam lamina plumbea idem patereti 
Porro qnod lamina illa moveatur sponte sua, 
est, ut ipsa sui ipsius motus sit principium, irapos- 
sibile est ; et ne a nostris quidem coucedetur. 
Quid ergo restat, nisi ut couatus ille ad rectitu- 
dinem sit ipse verus motus localis, sed intra 
spatium imperceptibile, velocissimus tamen, ut 
velocissimura raotum procreat ? 

A. Recte loqueris, et theorema rairabile ff 
methodo, ut philosophum decet, perfecte demo; 
strasti. Quaero autem in corpore quod couatur 
sui restitutionem, qualis sit partium motus 

B. Motus ille rectus esse non potest ; quia si 
rectus esset, totum corpus, (verbi gratia) ipsa ba- 
lista eo motu absportaretur, eo modo quo abspor- 
tari solet telum. Necesse ergo est ut conatus ille 
sit circularis, talis, ut omne corporis se restituentis 
punctmn faciat circellura. 

A. Id vero necesse non est ; sed ut motus ti 
sit, ut eo id quod raovetur redeat ad locum um 
moveri ccepit, id profecto uecessarium est. Si 



3n- 
ius 

■ 

os- 

ur. 

ntu- 

ntra 

: qui 

acili 
non- 

tU 

a si 



DE NATURA AERIS. 249 

causa, quare filum laneum post compressionem se 
extendit, quaenam est ? 

B. Quanquam causam tibi veram dicerem, tu 
tamen veritati non acquiesceres, sed ulterius me 
interrogabis qusenam hujus sit causae causa ; unde 
ibitur in infinitum. 

A. Minime vero. Nam ubi ad causam veneris 
aliquam aeternam, ibi te interrogare desinam. Dic 
ergo, particularum, quae constituunt naturam chaly- 
beam, vel laneam, vel aeream, motum illum quae- 
nam causa efficere potest ? 

B. Respondeo tibi, particularum illarum aeris, 
quas filis laneis comparavi, particulae adhuc minores 
motum illum restitutionis efficiunt per motum suum 
proprium naturalem reditionis in se, cujus princi- 
pium est nullum. 

A. Partes ergo corpusculi omnis aerei moveban- 
tur seorsim motu illo in se redeunte, antequam 
corpusculum illud ex illis minoribus componeretur. 

B. Fieri aliter non potest. 

A. Etiamne sic sentiunt tui socii ? 

B. Unus fortasse aut alter ; caeteri non item. 

A. Credo. Nam motus hic restitutionis Hobbii 
est, et ab illo primo et solo explicatus in libro de 
corpore, cap. xxi, art. 1. Sine qua hypothesi, 
quantuscunque labor, ars, sumptus ad rerum natu- 
ralium invisibiles causas inveniendas adhibeatur, 
frustra erit. Vidisti autem jam elastrum illud 
aeris, quod supponunt, aut impossibile esse, aut re- 
currendum esse ad hypothesim Hobbianam, quam, 
fortasse non intelligentes, rejecerunt. 

B. Nescio quid ad haec respondendum sit. Sed 
si tu per hanc hypothesim tuam caetera hujus ma- 
chinae phaenomena expedieris tam clare, quam illi 



250 DK NATURA AERIS. 

fecerunt per suppositam gravitateiu atmosphferae, 
tuam ego veram esse existimabo. Sed habent qno- 
que hypothesim aliam, qua phaenomena eadem sal- 
vari posse putant, Cartesiauam. Visum Cartesio 
est aerem nihil aliud esse praeter congeriem cor- 
pusculorum magnitudine et figura variis flexibilibus 
prreditorum, a calore, pra;sertim solis, a terra et 
aqua elevatorum, et in materia setberea illa, qua; 
tellurem uudiquaque circumfluit, natantium : illa 
antem corpuscula ab indesinente motu matertae 
illius sethereae ita moveri et in gyrum verti, ut 
teusa et circulariter mota, caatera omnia a se repel- 
laut: eadem autem motum illum gyrationis frij 
facta amittere, et reddi flaccida. 

A. Memini quidem Cartesium hoc dixisse 
natura aquae, cujus partes anguillis comparavit. 
Sed naturam aeris, si bene memini, similem esse 
dicit virgultis arborum. Sed quisquis talis suppo- 
sitionis author fuit, parura refert. Nam ipsa hypo- 
thesis, iu qua motus supponitur materias subtilis 
sine causa velocissimus, et pneterea corpusculorura 
innumerahiles vertigiues diversae ab illius materiae 
unico motu generat«, vix sani hominis est. Sed 
redeamus ad hypothesim priorem, ubi aeri tribuitis 
gravitatem. Primo, explicaudum esset quid sit 
gramtas. Quod gravitas est conatus ab omni loi 
ad centrum terrse, sciunt omnes. Conatus autei 
motus est, quanquam imperceptibilis. Cujus cona- 
tus sive motus imperceptibilis causam efhcientem 
quibus machiuis investigatis ? Namidprimo quse- 
rendum erat ; deinde, quomodo a gravitate atmos- 
phaerse phaenomena machime vestne salvari pos- 
seut. tiuod atmosphserae insunt permistas corpori 
aethereo multse tum aqute tum etiam terrae parti- 



|uie 
illa 
riae 
ex- 
3 el- 
S«- 

de 



DE NATURA AERIS. 



251 






culae, facile persnadeor. Sed quod in medio 
sethere sursum, deorsum, quaquaversum motoe, 
nec semper alterae alteris innitentes, gravitent, in- 
couceptibile est. Ligna et corpora ca?tera aqua 
leviora, ponderi tamen totius addunt aliquid, quia 
utrumque corpus grave est. At in setherea sub- 
stantia, quse gravis non est, nisi dum subsidunt, 
gravitare non possuut. Q-uomodo euim, dum non 
subsidunt, si gravitas conatns sit deorsum, dicen- 
tur gravitare, aut aerem comprimere quanquam 
laneum ? 

B. Indigent haec meditatione majore, quam ut 
subito assentiar. Verum pergamus ad experimenta 
nostra, ut videamus an causse earum reddi possint 
per suppositiones tuas ? Et primo — 

A. Primo, ipsas tibi suppositiones debeo pro- 
ponere et, ut eas intelligas, explicare. Nosti a 
Copernico introductam esse hypothesim hanc, 
nempe terram motu annuo circumagi circa solem, 
ita ut axis ejus semper sibi feratur parallelws. Quod 
autemde axe dixit, verum qnoque est de omni alia 
ltnea recta in corpore telluris considerata. 

B. Scio hoc, atque hypothesim illara pro vera 
haberi hodie a doctis fere omnibus. 

A. Motum hunc appellat Hobbius circularem 
ximpficem, quia omne punctum teme, dnm tota 
facit suum circulum, describit (ut ab eo demonstra- 
tum est libro de corpore, cap. ii. art. 1) suum 
quoque circulum. Eodem capite, art. 10, ostendit 
a motu circulari simplice motum generari etiam 
circularem nhuplicem, Itaque cum ab iisdem 
doctis causa motus annut putatur esse sol, talem 
quoque motum ascribit soli. Et his quidem hypo- 
thesibus non ad hrec, sed ad alia pliamomena sal- 



252 



DE NATURA AERIS. 



vauda utitur. Sed de vacuo dicturus et naturj 
aeris, aliam assumit hypothesim, hanc, quod terra 
motum sibi proprium habet, ab ipsa natura sive 
creatione acceptum, etiam circularem simplict 
Et per suppositionem hnnc multa de causis naturj 
libus perspicue demonstrat ; eam autem qualis i 
sic intelliges. Sume tibi iu manus pelvem, in cujus 
fundo sit aliquantulum aqua: : quantulumcuuque, 
modo visibile. Nonne potes tu aquulam illam, 
pelvem movendo, ita movere, ut circum currat, 
elevans se, eirca pelvis superficiem concavam? 

Ii. Possuni, et facillime. Nam pelvem utraque 
manu comprensam agitabo circulariter ; sed utcir- 
culos faciat valde parvos, ne aqua exiliat. Quod 
cum faeiam, aqua, quK in fuudo erat, sine dubio 
exurget, et per superficiem pelvis concavam cir- 
cumfluet. 

A. Sed motus illius circularis, quia moturum te 
dicis pelvem utraque manu circulariter, ubi erit 
centrum ? 

B. Centrum ? Inexpectatum hoc dicis. Re- 
spondeo tamen, centra sunt, non unuin, sed plura; 
tot credo quot possunt in corpore pelvis considerai 
puncta, et (quod sequitur) totidem circeili, iiqu 
inter se asquales. 

A. Descripsisti ergo motum illum, quem voci 
Hobbius circularem shnplicem ; nisl quod per c 
cularem intelligit ille motum in se redeuntt 
queralibet. 

B. Sic intelligo quoque ego. Nihil est concep 
facilius. Supponatur ergo, ut jubes, talem esse 
tclluris motum circularem simplicem, naturae* ip- 
sius congenitura. 

» Sic Etlit. 1(>6S. 



DB NATURA AERIS. 253 

A. Quod si per omnipotentiam divinam annihi- 
latum, vel procul in alium locum ultra stellas fixas 
translatum esset telluris hujus dimidium, nonne 
credis partem reliquam enndem motum retenturam ? 

B. Credo, et (quia video quo tendis) dico prae- 
terea, etsi unica ejus atomus hic relinqueretur, quod 
etiam illa atomus eodem moveretur motu circulari 
simplice. 

A. Particulae ergo illae terreae aqueaeque, quae 
aeri nostro interspersae vestram faciunt atmosphae- 
ram, eundem habent illum motum circularem sim- 
plicem congenitum. 

B. Necessario sequitur. 

A. Siquidem autem sol, sive praecipue sive solus, 
particulas illas a terra elevat, ut vestri credunt, et 
cum illis ego ; mihi quidem non incredibile videbi- 
tur, quanto aer proprior terrae est, tanto illum par- 
tibus terreis esse pleniorem. 

B. Dubium non est. 

A. Intellexti ergo hypotheses meas:primam,quod 
aeri interspersse sunt particulae multae terreae, prae- 
ditae motu circulari simplice naturae suae congenito : 
secundam, quod major est quantitas earum particu- 
larum in aere prope ad terram, quam in aere a 
terra remotiore. 

B. Sunt quidem hypotheses haud absurdae. 
Restat ut ostendas eorum usum ad salvanda phae- 
nomena quae nunc dicturus sum. Primo, quoniam 
vidi, recipiente, ut nos loquimur, paene exhausto, 
vel, ut tu vis, suctione saepe repetita, manubrium, 
quod forte manibus ejus qui suctorem revellebat 
elapsum*, retro ferri versus cylindri summitatem : 



* Deest eU in edit. 1661 et 1668. 



254 DB NATURA AEBIS. 

explica ergo primo per hypotheses tuas, si pote? 
quare id sit necessarium. 

A. Quoniam per suctoris retractionem aer pun 
impulsus erat, partes autem terrese impulsse no 
erant, major erat ratio particularum terrearun 
quse extra cylindrum suctori contiguse erant, 
aerem purum, in quo motum suum exercebant, 
post revulsionem quam ante, Quare particulie 
illae motae, minus habentes loci ad motum suum 
naturalem exercendum, alia? aliis impingebant, et 
propellebant. Necesse ergo erat ut particuke, 
quae suctoris superficiei contigua: erant, suctorem 
propellerent. Quod est ipsum phaenomenon. Hoi 
autem connotandum est, quod a surgente suctort 
aer qui erat intra cyliudrura, eadem via, qua : 
travit, exprimeretur. 

11. Fieri quidem ita posse facile video; neqm 
illic quicquam video mirabile pneter ipsam hyp 
thesim. Quam tamen minus aliquanto mirabilem 
esse fateor, quam est suppositio nostra de aeris 1 
elastica. 

A. Ut operum natura mtrabiiium causae quoque 
sint mirabiles, a ratioue alieuum non est ; neque 
hominis philosophi esse censeo, corporum quorun- 
dam, ut solis et stellarum, mirabiles supponere 
magnitudines, contra vero mirabiles exiguitates 
non admittere -. cum virtutis ejusdem infinitse 
sit utraque creare, tam maxima quam miuima; 
et mirandorum effectuum causas reddere sine 
mirandis hypothesibus, sit impossibile. Hypo- 
thcsim legitimam faciunt duse res ; quaram priroa 
est, ut sit couceptlbilis, id est, non absurda ; altera, 
ut ab ea concessa inferri possit phsenomeni nece; 
sitas. Harum prima caret hypothesis vestra ; nis 



DE NATURA ABRIS. 2»5 

fortc coiicedamus, quod concedendura non est, 
raoveri posse aliquid a seipso. Supponitis enim 
aeris particulam, quaj certe dum premitur quiescit, 
ad sui restitutionem moveri, nullam assignantes 
talis motus eausam, prseter illam ipsam particulam. 
B. Nosti experimentum illud de vacno Torricel- 
lianum. Cylindrum cavum, vitreum, ab una parte 
accurate clausum, ab altera jiarte apertum, reple- 
tum argento vivo invertunt immerguntque in vas 
apertum, in quo vase continetur etiam argenti vivi 
quantum opus est ad os cylindri contegendum. 
Itaque argentum vivum descendit e cylindro in 
subjectum vas. Nonne ergo spatium, quod in cylin- 
dro ab argento vivo deseritur, remauebit vacuuin ■ 

A. Non est necesse. Si in fundum usque maris 
vesica detrudatur pleua aeris, atque illic rupta 
exitum pneberet aeri ; putasue aerem illuro, jam 
liberum, in fundo maris mansurum, an potius as- 
censurum esse ad superficiera aquai ? 

B. Ascendet profecto manifeste ebulliens. 

A. Quare autem ? Noli mibi nunc sic respon- 
dere, nempe accidere hoc, quia minus est aer quam 
aqua gravis : sed osteude a quo motore, per corpus 
aquffi, minus mobile quam est ipse aer, penetrans, 
istuc fertnr. 

B, Aqua deorsum conatur multo magis quam 
aer. Necesse ergo est, ut mibi saltem videtur, ut 
aqua per conatum quem habet ad centrum terrse, 
majorem quam habet aer, aerem premat, et aer 
pressus fundum premat, et fundus pressus aerem 
repercutiat, tanto conatu ut aquam dimovens ne- 
cessario emergat. 

A. Quid si in vase clauso aqua inferior existeus, 
versus aerem, super ipsum existentem, supponatur 



256 



DB NATURA AERIS. 



ascendere eodem conatu quo tendit naturalitei 
deorsnm, quid fieret ? 

B. Aer, rursns aquam penetrans, locum in cylin 
dro capesseret inferiorem. 

A. Cur autem idem non contingeret, si pro aqu 
poneremus in cylindro argentum vivum ? 

B. Continget idem. 

A. Cogitajam in experimento TorricelHano, a 
gentum vivnm descendere in subjectum vas, con- 
tinens etiam argentum vivum ; argentum autem 
vivum quod in vase est, ascendere eodem couatu 
quo descendit in cyUudro, et premere ascendendo 
superjaceutem aerem, qui aer, (supposito univer- 
sum mundum esse plenum), pressionem surgentis 
argenti vivi effugere nou magis potest, quam si 
ambo corpora conclusa essent in uno et eodem 
cylindro. Quare necessarium est ut aer penetret 
ipsum corpus argenti vivi, vcl transeat inter super- 
ficiem argentivivi convexam et cylindri concavam. 
Vides igitur hujus phamomeni rationem reddi posse 
sine snppositione vacui, vel elastri, vel motus cir 
cularis simplicis atomorum. 

B. Si quod* revera aeris pondus sit, vel si t 
motus sit particularura terrearum qualem tu sup- 
ponis, nihilne conferunt ad asceusum et descensum 
argenti vivi in cylindro ? 

A. Etiam conferunt ; nimirum, ut argentuni 
vivum aliquantulo minus descendat, quam si j 
externus esset purus et sine pondere. 

B. Scimus quod ad altissimi montis radicem £ 
gentum vivum, quod est in cylimlro, magis subsid 
quam in monte summo. 



' Sic Edit. 1661 et \m%. 



DB NATURA AERIS. 257 

A. Sed et particulae illte, quie iuterspersae aeri 
ita moventur ut supposuimus, magis confertas sutit 
ad radicem montis quam in summo. Nam lioc 
quoque supposuimus. 

B. Iu vas apertum infudimus aquam ; in aqua 
fistulam statuimus erectam, longam, esilissimam. 
Observaviraus autem aquam e vase subjecto iu 
erectam fistulam ascendisse. 

A. Nec mirum. Nam superficiem aqme parti- 
culae aeri interspersBe aqua?que contigua?, motu suo 
verberabant ; ita ut aqua non potuit in fistulam 
non ascendere, et seusibiliter quidem in fistulam 
valde angustam. 

B. Revertor ad phaenomena machinae nostrae. 
Si quis post impulsionem revulsionemque suctoris 
aliquoties repetitam, epistomium superni orificii 
recipientis conetur extrahere, inveuiet illud valde 
gravitare, tanquam si multarum librarum pondus 
ab eo penderet. Unde contingit hoc ? 

A. Ab aeris, qui est in recipiente, fortissimo 
conatu circulari, facto a violeuto ingressu aeris 
inter superficiem suctoris convexam et cyliudri 
concavam, generato per iteratam illam impulsio- 
uem rcvulsionemque suctoris, quam vos perperam 
vocatis exuctionem aeris. Nam propter naturse 
plenitudiuem, epistomium extrahi non potest, quin 
aer, qui est iu recipiente epistomio coutiguus, una 
extrahendus sit. Qui quidem aer si quiesceret, 
facillime epistomium sequeretur. Sed dura velo- 
cissime circuit, satis difficulter sequitur, id est, 
videtur esse valde gravis. 

B. Verisimile est. Nam ut aer novus in reci- 
pieus paulatim admittitur, etiam apparentem illam 
gravitatem paulatim perdit. Vidimus item aquam 

VOL. IV. S 



258 



DE NATURA AERIS. 



demissara in recipiens, post suctoris aliquot 
procatioues ita bullire, ac si supposito igne fer- 
vesceret. 

A. Id quoque accidit propter velocitatem aeris, 
ut dictum est, in recipiente circumeuntis ; nisi 
forte aquam illam, dum bulHt, calidam quoque 
esse deprehendatis. Nam si certi essemus illam 
plus calescere, alia causa phamomeni excogitanda 
esset. 

B. Imo, certi sumus quod non plus calescit sen- 
sibiliter. 

A. Quid ergo tali aquae motui conferre posse putas 
majorem vel miuorem atmospha?ra: gravitatem ? 

B. Neque illum motum attribuunt, puto, atmos- 
pbaBra?. 

A. Ab hoc experimento mauifestum est, quod 
recipieus per exuctionem hanc, quam vocatis aeris, 
non fit vacuum. Nam moveri aqua non potuit 
a movente aliquo motu et contiguo. Itaque p] 
nomenum hoc demonstrationem suppositiouis mere 
continere videtur non infirmam. Prseterea, dic 
mihi, bullientem aquam potuistin' couspicere * 

B. Quid ni i 

A. Nonne visionem fieri concedunt vestri, per 
actionem continuam ab objecto ad oculum ? Nonu< 
etiam putant actionem omnem esse motum, 
omnem motura esse corporis ? Quomodo erj 
potuit ab objecto, nempe aqua, ad oculos tuos 
motus per vacuum, id est per non-corpus, derivari ? 

B. Non affirmant nostri ita vacuum esse reci- 
piens, ut nullus omnino aer relictus sit. 

A. Nil refert an totum recipiens vacuum sit, 
magna ejus pars. Nam utrumvis supponati 
derivatio motus ab objecto ad oculura iutercipiel 




pn 
ine 

108 



DE NATURA AERIS. 



259 



B. Ita videtur; 



habeo quod respondeam. 
Pergo igitur ad experimenta. Per eandem reci- 
procantis suctoris operam, etiam animalia, si in 
recipieiite concludantur, tamquam exucto aere 
iutra duo vel tria minuta horae morientur: quod, 
concesso vacuo, mirandum non est ; Degato, nescio 
quomodo evenire potest. 

A. Credin' tu animalia ista tam cito iuterempta 
esse, eo quod carerent aere i Quomodo ergo sub 
aqaam vivunt uriuatores, quornm aliqui, assueti a 
pueritia, caruere aere per horam integram ? In- 
clusa in recipiente auimalia occidit motus iile idem 
vehemeutissimus, quo distenduntar rumpanturque 
inclusse vesica?. 

B. Discedo iterum a machina, et causam quaeronoti 
omnibus experimenti. Si quis phiala?, omni corpore 
prseter aerem vacua, os apertum labiig undique 
arcte complectens, aerem intus contentum conetur 
exugere, primo, labra inde difficulter revelli sentiet; 
deiiule, si phiahe iuverss os in aquam quantulam- 
cunque iminergat, videbit aquam in phialam ascen- 
dere altius quam est subjecta? aqua? superficies. 
Qusero cur aqua contra naturam suam ascendit, 
praeterquam ut spatium impleat, quod in phiala 
factum erat, sugendo, vacuum r 

A. Vacui fuga causa rei esse non potest. Si 
aerem exuxisset, aut aer alius, dum phialam a labiis 
ad aquam transferrebat, ingressus esset ; aut post- 
quam transtulisset, aqua ingressa non esset. Faci- 
lius enim ascendit aqua quam aer. Quid ergo 
effecit ut aqua ascenderet ? Conatus aeris ad 
exitum e phiala. Quod sic intclliges. Qui phialarn 
sugit, nihil ad pulmones attrahit, ut faciunt qui 
respirant, neque in ventriculum deglutit, uti infans 



DE NATUBA AERIS. 



qni matris sugit ubera. Exucto ergo aeri qu ! 
tocus est quo se recipiat ? Nullus. Non erj 
exugitur. Suctio ergo uihilne, inquies, agit ? Imo 
nmltuin. Nam ab illa fit, primo, ut labra sugentis 
ad collum phiake ita arcte adhereant, ut non facile 
divellantur, incipiente disjunctione ab ambitu con- 
tactus exteriore. Secundo, fit sugendo, ut aer qui 
est intra phialam, conetur per eam partem exire, 
ubi suctionis est initium, hoc est, per phiahe os. 
Itaque ore phialse quautulumcunque in aqnam im- 
merso, si conatus aeris quem habet a suctione, 
major sit quam vis qua aqua gravitat, necessarim 
est, ut aer aquam penetrans exeat, et in locum ej 1 
asceudat aqua, donec vi suctionis decresceni 
conatus aeris ad exeundum, et aqua? ad subsi- 
dendum, fiant a^quales. 

B. Nihil probabilius. Dic mihi nunc, quam 
causam habet vis illa admirabilis, qua pilae 
plumbese, vel etiam sagittse, emittuntur e fistulis 
ilHs quas appellant sclopetos ventaneos ; quorum 
fabricam nemo fere nescit eorum qui convt 
solent cum philosophis. 

A. Sclopetus ventaneus, ut et machtna vestra, 
duos habet ventres et suctorem. Machina vestra 
foramen habet cum clavicula in ventrium commis- 
sura ; sed sclopetus hic in commissura ventriui 
forameu habet cum valvula, quam aer a suct 
incussus facile aperieus, intrat in ventrem ulterio- 
rem, et pro maxima vi qua incussus fuerat exituni 
tentans circumcurrit, donec ope lingula: dato exitu, 
per ventris ulterioris fundum erumpat, tauta vi 
quautam multi et validi ictus suctoris conferunt. 
Itaque mirum non est, si pilam exitui opposi 
per satis longum spatium ejiciat. 



ne, 

un 

isi- 



DE NATURA AERIS. 



261 



B. Sed quomodo possunt k-tus illi satis fortes 
esse ad aerem iucutiendum, cum suctor talis esse 
debeat ut ventrem anteriorem adasquatc impleat ? 

A. Est in suctore ipso, ut nosti, foramen cum 
vakula, quae valvula, dum retrahitur suctor, ab 
aere extenio facite aperitur. At dum impellitur, 
aperitur iila valvula quae est in ventrium amborum 
commissura. 

B. Memini ita esse. Nec dubito quin effectus 
illius veram unicamque causam reddidisti, eatidem- 
que qua? mirabiles illos in machina nostra excitavit 
motus aeris. Quam autem illius effectus causam 
nostri reddunt vel reddituri sunt nescio. Redeo 
rursus ad experimeuta maehinae nostrae. Appen- 
dunt iu bilance ad unum libra; brachium vesicam 
inflatam ; ad alterum, plumbi tantum ut fiat sequi- 
librium : et demittuut in reeipieus ita ut pendeat 
ab opereulo. Vidimus autem, exucto aere, prae- 
punderare vesicam. Ponderatur ergo aer in loco 
ntCDDj et per consequeus a prjeponderatione vesicse 
iiiiuludunt gravitatem ejus csse aliquam. Etiam 
quauta illa est, aliquatenus iutelligunt. 

A. Quod quidem lanx, in qua est vesica, niagis 
deprimitur quam altera, certi esse possunt, oenlis 
testibus. Quod autem id a gravitate aeris naturali 
aceidit, certi esse non possuut; prcesertitn si quae 
sit gravitatis causa efticiens, nesciunt. Causam 
autem gravitatis quamnam assignaut '. 

B. \nllam adhue, sed per experimentum ipsum 
iltam quaerunt. Ciuimiam autein vesica, etsi non 
prieponderat, propendit tamen, ostende propter 
quam causam propendit. 

A. UuikI ve&ica, sive follibus sive flatu oris 
distenta sit, gravior sit quain eodem vcsica non 



262 



DE NATUBA AERIS. 



distenta, negare nolo, propter majorem quantitatei 
atomorum follibus, vel corpusculorum fuligineorum 
ab halitu, inflatorum. Ab experitnento autem, 
quod fit a vesica inflata, nihil colligunt quod 
satis certum. Oportuit lancibus impouere duo v; 
pondere aqualia, quorum alterum esset accurs 
clausura, altemm apertum. Sic enim non inflatus, 
sed inclusus tantum, aer ponderatus esset. Quando 
igitur aerem sic ponderatum videbis, meditabimur 
postea quid dicendum sit de phjenomeno quod 
retuleris. Quod attinet ad causam gravitatis, mihi 
quidem nihil videtur verisimilius, quam quod causa 
illa quae potuit a principio homogenea compellere 
et heterogenea dissipare, eadem nunc potest bomo- 
genea, dissipata per violentiam, iterum congregai 
et heterogenea vi compulsa disjicere. Moti 
autem, qui id potest, alius esse non potest praet< 
motum illum circularem simplicem, quem definivit 
Hobbius, libro de corpore, cap. xv, appellatqoe 
a\icub\Jermentaiione?n, et de eo proprietatem banc 
demonstrat, quod congregat homogenea et hetero- 
genea dissipat. Motus autem hujus initium in sole 
esse supponit. 

B. Placet mihi tua magis hypothesis, quam il 
de vi aeris elastica. Nam video quod a verit: 
illius, veritas dependeat vel vacui vel pleni ; sed a 
veritate hujus, nihil sequitur in neutram partera 
quaestiouis. Aeris, inquit, structura similis est 
compressse lanpe. Bene est. Lana fit ex filis. 
Recte. Sed cujus figurse? Si parallelopipedi, 
nulla potest esse compressio partium : si non 
parallelopipcdi, erunt inter fila illa spatia qusedam 
relicta ; quse si vacua sunt, supponunt vacuum, ad 
probandum quod vacuum est possibile ; si plei 



?m, 

£ 

tus, 
ido 
mr 
lod 
ihi 
lsa 
ere 

= 

ter 
vit 



DE NATURA AERIS. 2G3 

plenum dicnnt quod vacuum putant. Procedo jam 
ad experituenta alia, et referam, primo, ea quse 
igni accidunt incluso in recipiente. Candelam 
ardentem immissam in recipiens, et in medio ejus 
pendentem, postquam, clauso ejus orificio, cceptum 
est suctorem reciprocare, intra spatium semi-minuti 
horse vidimus extiuctam. 

A. Candelam ardentem demissam tn fodinam, 
unde effodiunt carbones terreos, quanqnam fodina 
neque clausa erat neque obscura, sed ut in aquula 
quse in fundo erat tamquam in speculo videretur 
ccelum, tamen sine nllius snctoris opera candelam, 
itiquam, antequam pervenit ad mediam altitudiuem 
fodinse, intra spatium semi-minuti hora? vidi ex- 
tinctam. 

Ii. Carbones ligneos bene accensos demissos, 
ut diximus, in recipiens, ab initio snctionis vidimus 
statim languescere, et post spatinm trium minuto- 
rum non potuisse ignem amplius videri. 

A. Carbones terreos bene accensos, demissos, 
ut modo dixi, in eandem fodinam, vidi primo lan- 
guescere, deinde intra spatium trium vel quatuor 
minutorum non potuisse ignem videri amplius ; 
attameu intra tantundem temporis, e fodina ex- 
tractos, mrsus ignescere. 

B. Contigit idem carbonibus quoque nostris, 
immisso aere. Mirum ni illaui fodinam machina 
nostra imitetur. 

A. Procul dubio imitatur, nisi quod fodrase illae 
non omni tempore experimentum exhibent. Utro- 
bique enim extinctio iguis eandem habet causam. 
Quod sic intelliges. Aerera, quem vi qua suctor 
in cylindro a?neo retractus* ingredi cogit inter 

* SirKdii, 1661 ct 1668. 



264 



DE NATURA AEHIS. 



superficiem suctoris convexam et cylindri con- 
cavam, quetn deinceps cursum habere arbitratis ? 
B. Cursum habet, primo, secundum lincas ill; 
erectas, quse coustituunt cylindri superficiem con- 
cavam ; deinde, per Hneas quee constituunt super- 
ficiem lacunaris cylindri ejusdem. Itaque partes 
aeris ingredientis per lineas rectas diametraKter 
oppositas, movebuntur undiquaque motibus obviam 
contrariis. Necessario ergo se mntuo prementes 
conabuntur per liueas interiores ; et propter pres- 
sionem undique a?qualem, motum quidem habebunt 
in neutram partem sensibilem, conatum autem 
vehementem unaquasque pars contra partem sibi 
occurrentem. 

A. Necesse ergo erit, ut totus ille aer, donec 
durent illi conatus oppositi, consistentiam majorem 
habeat quam si partes ejus solo contactu eonjuu- 
gerentur. 

B. At neque candela, neque carbones in cylii 
collocati sunt, sed in recipiente. 

A. Scio. Sed lineje, per quas motus ingredientis 
aeris desiguantur, aperto trausitu, in corarauui 
ostio se mutuo secant, et per cousequens, licei 
inverso ordine, conatns aeris similiter proeedet i 
recipiente atque in cylindro ; eademque erit utr 
bique aeris consistentia, media quaxlam inter con 
sistentias aeris puri et aquse. Cogita ergo, qui 
sit naturis earum ad candelara vel ignem vel vitam 
animalium, qu» saltem vitam pulmonibus rtebeut, 
extingueudam vis similis consentanea; quamque 
necessarium sit conatu ilio circulari in ouini puncto 
recipientis motum vehemeutem, quanquam invisi- 
bilem, fieri. Simili modo circa vim, qua eandela 
carbonesque igniti extinguuntur in fodiuis, detei 



DE NATURA AERIS. 265 

minari (quanquam phaenomenon iilud constans 
non sit) a ratione alienum non est, et dicere quod 
aliquando aer, e parietibus fodinae ab omni simul 
parte efflatus, velocissimus et oppositis motibus 
fodinam impleat. Nam eadem omnia sequentur 
quae in recipiente. Mirandum igitur non est, si 
effectus sint utrobique similes. 

B. Extincti semel carbones cur reviviscunt ? Et 
cessantem semel vitam quomodo recipiunt ani- 
malia? 

A. De ea re quid sentiunt vestri r 

B. Fuere eorum aliqui, qui remansisse dixerunt 
in carbonibus illis, quanquam extincti videbantur, 
particulas quasdem igneas, quae admisso aere ven- 
tilatae caeteram molem denuo accenderunt. 

A. Nae illi, quae dicerent, non videntur cogitasse, 
sed sortitos esse. Credin' tu, in carbone ignito 
partem aliquam non carbonem, sed ignem esse, aut 
in candente ferro partem inesse quod ferrum non 
sit, sed ignis ? Ab unica scintilla magnae urbis in- 
cendium nasci potest. Atqui si ignis corpus ab 
ignito diversum sit, non plures potuere esse partes 
igneae in toto incendio, quam in una illa scintillula. 
Videmus corpora diversorum generum a luce solis 
tam per refractionem quam per reflectionem factam 
in speculis comburentibus accendi posse ; neque 
tamen quenquam esse credo, qui putet particulas 
igneas, a sole ejectas, transire posse per substan- 
tiam globuli cristallini. In aere intermedio ignis 
nullus est. Motus autem in partibus minutissimis 
corporis combustibilis, si talis sit ut partes illas 
minutas ita dissipet et disjiciat ut aerem ad oculum 
satis fortiter moveat, ideam ignis faciet, non aliter 
quam oculo vehementer percusso vel fricato oriri 



266 DE NATURA AERIS. 

solet phantasma lucis. Sed naturam et causam tam 
ignis quam lucis, in libro de corpore cap. xxvii 
satis explicavit Hobbius. (Juoniam ergo ignis na- 
tura a motu tali dependet, ut vis percussionis oculi 
exoriri faciat phautasma lucis ; quanquam vis illius 
motus in recipiente, ut loquimiui, evacuato dimi- 
nuta sit, oppressa ab aeris intus commoti consis- 
tentia, non tamen extinguitur ; et propterea levata 
oppressione, satis habebit virium ad excitandam 
phantasiam lucis, quanquam debiliorem. Idem 
sentiendum est de vita animalium, quas in reci- 
piente vel fodina videntur quidem esse mortua, 
motus tamen internus partium calorificus, vita? pro- 
prius, nondum extinguitur, et proinde vitam paulo 
post recipiunt. 

B. Quando autem est, quod de homine vere prc 
nuntiare possumus quod est mortuus, sive, quod 
idem est, animam expiravit? Cogmtum enim est 
homines nounullos pro mortuis habitos, postridie 
elatos, revixisse. 

A. De puncto temporis, quo anima a corport 
separatur, difficile est statuere. Perge igitur ; 
experimenta alia. 

B. Si demittatur in recipiens vesica mediocriter 
inflata, illa per reciprocationem suctoris ampliu! 
distenditur, et tandem, si opera urgeatur, disrum- 
petur, Quare autem ? 

A. Quia cuticula omuis ex filiculis constat, quae 
pra^ter* figuras, contactum per omnia puncta ac- 
curatum habere non possunt, Pervia ergo est 
vesica, cum sit cuticula, nec aeri tantum, sed etiatu 
aquae, qualis est sudor. Eadem ergo aeris, per vin: 



* Sif Edit. 1668, Qufore " proptcr figm 






DE NATURA AERIS. 

incussi, est compressio intra vesicam quae extra, 
cujus conatus, propter viam motuum undiquaque 
decussatam, tendit uudiquaque ad superficiem ve- 
sicae concavam. Quare necessarium est ut undi- 
quaque intumescat, et crescente conatus vehementia 
tandem laceretur. 

B. Si acus, magnete excitus, libere pendeat intra 
recipiens, sequetur tamen ille motum ferri quod cir- 
cumducitur extra recipiens. Item objecta, intus 
posita, ab iis qui extra sunt videbuntur, et soni 
intus facti audientur. Omnia hsec seque post atque 
ante exuctionem aeris, nisi quod soni sunt aliquauto 
post quam aute debiHores. 

A. Manifestissima hsec sunt sigua reeipientis 
semper pleni, nec posse inde exugi aerem. Quod 
autem soni iude sentiantur debiliores, signura est 
consistentiae aeris. Cousisteutia autem aeris a motu 
ejus est per lineas diametraliter oppositas. 

B. Etiam duo pendula ?equalia et similia, iu alti- 
tudine aequali, si alterum in aere libero, alterum in 
vacnato recipiente suspensum sit, simulque retracta 
sint a situ perpeodiculari ; eorum itiones et redi- 
tiones simul absolveutur ; diiferentia saltem mani- 
festa non apparet. 

A. Credo. Recipiens enim non erat, ut putastis, 
magis vacuum post quam ante suctionem. 

B. Si duo corpora dura, puta, marmora plana, 
bene lrevigata, se mutuo secundum superficies suas 
planas tetigerint, illa, ut scis, ita cobserebunt, ut 
in aere suspensa marmor inferius a superiore sine 
magno pondere, aut alia magna vi, separari non 
possit. Ponderi hoc attribuunt nostrum aliqui 
columnse atmosphaerica?, cujus nixus per resultum 
terminattir in superficie inferiore iuferioris marmo- 



2G8 



DE NATURA AERIS. 



ris, quod per consequens etiam sustentat. Sed n< 
ejusdetn marmoris superticiem premat ejusdem 
eolumme directum poudus, prohibet marmor supe- 
rius contiguum. Siquidem ergo illa marmora sic 
colmTiMitia transferantur in recipiens, atque illic 
suspeudantur, exucto autem aere marmor inferius 
cum superiore cohferere desinat, dubitari non potest 
quin causa assignata vera sit. Et transl 
recipiens fuere, sed sine successu expectato. 
hilo enim magis desierunt cohrerere : forte, qi 
uon satis bene coaptata fuerant. 

A. Imo, quia nihil istic erat qund ageret atmos- 
phssnc pondus. Experimento hoc excogitari contra 
DpimoBem eorum, qui vacuum asserunt, aliud ar- 
guinentum fortius aut evideutius non potuit. Nam 
si duorum coha?rentium alterutrum secuudum eam 
viam, in qua jacent ipsje contiguse superficies, pro- 
pulsum esset, facile separarentur, aere proximo 
locum relietmn successive semper influente. 
illa ita divellere, ut simul totum amitterent coi 
taetum, impossibile esset mundo pleno. Oportei 
enim aut motum 6eri ab uuo termino ad alium 
instante, aut duo corpora codem tempore in eodei 
esse loco ; quorum utrumvis dicere est absurdi 
Causam autem quam assiguant, vide quot quau- 
tisque incommodis laboret. Et primo columnara 
Ulam atmospluericam, quam superficiei superioris 
marmoris iuuiti volunt, qus sequuntur. Confiteii- 
tur enim tum ipsi, tum alii omues, ponderationem 
omnem couatum esse per Hneas rectas uiuk-quaque 
ad ceutrum terrse ; et proinde, non per cylindmm 
vel columnam 6eri, sed per pyramidem, cujus ver- 
tex est centrum terrse ; basis, pars superficiei at- 
uiosphiera 1 . ltaque si pyramis illa secetur a cohie- 



lii 

nu 

IOS- 



DE NATURA AERIS. 2fii> 

rentibus marmoribus, talis erit pyramidis iliius 
figura, qualem definiet ambitus iutersecantis eam 
marnioris. Couatus crgo punctorum oinuium pon- 
derantium propngabitur ad superiiciem marmoris 
supcrioris, antequam possit propagari ulterius,puta, 
ad terrara. Postquam autem conatus ad terram 
propagatus fuerit, aer rurstis per resultum inde 
conabitur secundum easdem retro rectas ad su- 
perficiem inferiorem inferioris marmoris. Nam 
incidentes perpendiculares perpendiculariter re- 
flectuntur. Quoniam ergo marmor snperius ita 
suspensum est, ut conari deorsum non possit, omnis 
conatus innitentis pyramidis sistetur in marmore 
superiore. Non ergo propagabitur ad terram. 
Neque ergo fiet resultus ad marmor inferius. Non 
ergo oritur a resultu conautis atmosphserse, quod 
marmor inferius ita sustentatur, ut a contactu cum 
superiore nou separetur. 

B. Certissimum est. Illi autem, qui causam 
ejus talem reddiderunt. non erant fortasse geome- 
tra?. Miror tamen paralogismum hunc non vi- 
disse geometriBe professores, qui reflectionum vias 
ignorare non debuerunt. Sed vis illa elastica, 
quam in aere esse dicunt, nihilne ad marmor susti- 
nendum conferre potest r 

A, Nihil omnino. Non enim conatus in aere 
est ullus ad ceutrum terra? magis quam ad aliud 
quodvis punctum universi. Quoniam enim gravia 
omnia tendunt a circumferentia atmosphrerEe ad 
centrum teme, et inde rursus ad circumferentiam 
atmo9pha;ra , , per easdem lineas reflexas, cotiatus 
sursum conatui deorsum sequalis erit, et proiude 
mutuo se perimentes neutra couabuntur via. Quiu 
aqua gravis sit, non dubitatur ; et siquidem homini 



2"0 DE NATURA AERIS. 

jacenti in arida* superponeretur satis magna c< 
lumna aquae, quae illius corpori nec praeterea ulli 
rei inniteretur, proculdubio a tanto pondere bomo 
contereretur. Caeterum eidem bomini jacenti in 
fundo maris, columna; ejusdem inniteutis pondus 
non seutiretur. Nam loeus omuis iu figura sph&- 
rica materiae, quantumvis subtUis, a conatu (si 
quem babeat) a circumferentia ad centrum arcuatus 
siveconcameratus est, ita ut non possit ruere, nec, 
per consequens, in ruinam niti. Id quod perspicue 
tibi descripta figura, si tanti esse putas, demou 
strabo. 

B. Tanti esse puto. Demoustra ergo. 

A. Centro terrae A, radio AB, quanta est sei 
diameter atmosphaerffi, describatur circulusBCDB. 
Sitque pars atmosphaerae intra totam posita ubi- 
cunque bc : super quam insistat columna atmos- 
phaerica efbc. Dico columnam efbc non premere 
gravitate sua partem bc. Nam si preinit, propter 
gravitatem premit materiae atmosphaerae. Conatus 
igitur columnae efbc preraet partem bc versus 
centrum A, id est, per rectas bX, cA, et caeteras 
mtermedias. Omnis enim coiiatus corporis grai 
est a eircumferentia ad cen- 
trum terne undiquaque. Quare 
bc, quffi major est quam ut 
possit descendere in triangulo 
bc\, non potest descendere uisi 
faciat rectas AA, cA divergere, 
ut sit descensioni locus. Sed 
fieri hoc non potest, quia cona- 
tus atmosphasra; in db et gc 



ou- 



Sio lidit. 1661 et 1 



Quaere " 



xriilaui lerram" '! 



DE NATURA AERIS. 



271 



ntundem facit AA et cA convergere, quantuin 
poudus in hc facit easdein divergere. Non potest 
ergo pars hc (propter magnitudiuem) quantumvis 
gravis sit, desceudere ; neque ergo premere sive 
gravitare. Quod erat demonstrandum. 

B. Quod solum in Academia nostra ad philoso- 
pbiam didicisse me somniaveram, hoc tu mihi 
totum, demonstratione tua expergefacto, ademisti. 

A. Utraque euim illa phantasia tum gravitatis 
atmospheeree, tum vis elasticae sive antitupiae aeris, 
somuium erat. Siquidem autem illis concederetur 
esse aliquam in filiculis aeris antitupiam, qusereret- 
que aliquis unde illa,curvata quidem sedquiescentia, 
moverentur rursus ad rectitudinem : deberent illi, 
si physici haberi voluut, causam ejus aliquam pos- 
sibilem assignare. Alioqui idem facieut quod illi, 
qui ad questionem f/uotam sonuit respondere au- 
dent, quauquam primum ictum non audierunt. 
Praaterea, si possibile esse negarem, ut diligentia et 
arte humana duse superficies corporum durorum 
inter se per omnia puucta ita accurate cougruse 
fiant ut ue minimo quidem corpusculo creabili 
transitus permittatur, non video quomodo illi aut 
suam hypothesim tueri, aut negationem nostram 
improbitatts arguere, jure possent. 

B. Experimeutum tibi a machina nostra adhuc 
unum, (sed omnium mirabilissimum), uec plura 
referam. Suctorem qui usque ad cylindri summi- 
tatem intrusus fuerat, postquam omnis aeri aditus 
occlusus esset, vi manuum ad imum retractum 
vidimus : ita ut spatium iu cylindro vacuum satis 
magnum esset. Suctori deinde pondus plus quam 
ceutum librarum appensum fuit, Vidimus sucto- 
rem, simul ac libertatem nactus esset, sua sponte 



2/2 DE NATURA AERIS. 

uua cum appeuso poudere ascendere usque ad cy- 
lindri summitatem. Jam si locus a retraeto matotti 
relictus vacuus erat, quomodo vacuuui illud, id est, 
illud nihii, pondus omuino trahere potuit ? Sin 
locus ille aere erat pleuus, quibus funibus attrahen 
quibus uncis prcnsare potuit suctorem i Quanta 
vis illa elastica aeris externi erat, qna plusquam 
centum librarum pondus rursum in cylindro ameo, 
et suctori per omnia puncta contiguo, coactum est 
ascendere? Hserent hic nostri. Quomodo hae 
expedies tu f 

A. Expedivi ante. Aer enim a retractione sui 
toris retro pulsus, nec locum in mundo (ut supp 
nimus pleno) quo se recipiat inveniens, nisi qaei 
ipse, corpora contigua suis locis pellens, sibi faci 
ret, perpetua pulsione in cylindrum tandem cogitui 
tanta velocitate inter cylindri concavam et suctori 
convexam superficiem, quanta respondere solet viri- 
bus illis magnis quas ad suctorem revelleudum 
necessarias experti estis, Aer autem ille qua velo- 
citate ingreditur, eandem ingressus retinet, simul- 
que latera cylindri ienei, vi elastica prEediti, undi- 
quaque distinet. Conatur ergo aer, in cylimlro 
vehementer motus, contra oranes partes superficiei 
cylindri concava? : frustra quidem dum suctor retra- 
hitur ; sed quam primum suctor manu emiss 
aerem impellere cessat, aer ille qui ante incussi 
erat, propter conatum in omne punctum superficiei 
cyliudri internse et vim sris elasticam insinuabit se 
inter easdem superficies eadem velocitate qua im- 
pulsus fuerat, id est, ea velocitate qua? respondet 
viribus impulsionis. Si ergo tanta ponderis vis 
suctori appendatur quanta manuum vis erat qn 
impellebatur, velocitas qua idera aer e cylindro exit- 



DE SATtfRA AERIS. 2/3 

locum in mundo pleno nullum habcns qm> u reci- 
piat, suctorem rursns ad cylindri summitatem im- 
pellet, propter eandem causam quae effecit ut suctor 
paulo ante impulerit aerem. 

B. Verisimile est. Ca?tera experimenta ma- 
chinaa, qui videntur ad easdem hypotheses tuas non 
difficulter reduci posse, pneteribo. 

A. Fateris ergo nihil hactenus a collegis tuis pro- 
motam esse scientiam causarura uaturalium, nisi 
quod unus eorum manhinam invenerit, qua raotus 
excitari aeris possit talis, ut partes sphserre simul 
undiquaque tendant ad centrum, et ut hypotheses 
Hobbianae, ante quidem satis probabiles, hinc red- 
dantur probabiliores. 

B. Nec fateri pudet ; uam est aliquid prodire 
tenus, si non datur ultra. 

A. Quid tcnus ? Quorsum autem tantus appa- 
ratus et sumptus luachinarum factu difficilium, ut 
eatenus taurum prodiretis quantum ante prodierat 
Hobbius ? Cur non inde potius incepistis, ubi ille 
desiit } Cur principiis ab eo positis nou estis usi ? 
Cumque Aristoteles recte dixisset, tgnoralo mota 
ignorari naturam, quomodo tantum in vos susci- 
pere ouus ausi estis, et erigere homiuum doctissi- 
raorum, uon modo nostratium sed etiam exterorum, 
expectationem proraovendae physicse, qui doctrinam 
de motu universalem et abstracte (quod facile et 
mathematicum erat) nondum statuistis ? Adcausas 
autem propter quas proficere ne paululum quidera 
potuistis, nec poteritis, acceduut etiam alia; : ut 
odium Hobbii, quia niraium libere scripserat de 
Academiis veritatem : (nam ex eo tempore irati 
physici et mathematici veritatem ab eo venientem 
non recepturos se palam professi suut : " doctri- 

VOL. IV. 5 



274 



DE NATURA AERIS. 



iiatu Hobbii," inquiebat Owenus vice-cancellai 
Oxouii, " quiecuuque ea sit non recipiemus"): 
quod paucissimi sunt eorum qui scieutias profitt 
tur, qui veritates difficiles ab aliis quam a se in- 
ventas esse non doleatit. Sed missa haec facientes, 
pergamus ad pbrenoniena pbysica quorum causas 
non a macbina ista, sed aliuude didicitis. Imagi- 
iiare sphseram vitream, cavam, e qua promineat 
collum, illud quoque cavum. Per collum immitta- 
tur fistula senea, qua; transieus per centrum perti- 
neat fere ad fundum. Sit autem interstitium inter 
collum et iinmissaui fistulam ita clausum, ut aeri 
pervium non sit. Per fistulam simul et collum 
transadigatur clavicula, qua possit trausitus aeri et 
aqua? vel dari vel obstrui ad libitum. Totius in- 
strumenti figuram videre potes ad finem cap. xxvi 
libri Hobbiani de corpore. In sphjeram hanc 
vitream si aqua per fistulam injiciatur magna vi, 
(ut fit in clysteribus), operaque repetatur quoties 
visum erit, (potest autem hoc modo aqua impleri 
circiter sphaera? dodrans), deinde, si versa clavicula 
exitus patefiat, aqua ascendens paulatim omnis eji- 
cietur. Causam hujus phsenomeni Hobbius hanc 
assignat. Aer, quo ab initio sphaira plenus* erat, 
a corpusculis illis terreis motus motu circulari sira- 
plice quem paulo ante descripsimus, vi injcctionis 
coactus, qui quidem purus est exit aquam injectam 
penetrans in aerem extrinsecum, locum relinquens 
aquEe. Sequitur ergo, corpusculis illis terreis minus 
relinqui loci, in quo motum suum uaturalem exer- 
cere possint. Itaque in se mutuo impingeutes 
aquam urgent ad egressum : egredientem aer ex- 



"PleiiK*," eJit, Kitil tt um. 



DE NATURA AERIS. 2/5 

temus (quia universum suppouitur esse pleimm) 
penetrat, locumque egredieutis aeris* successive 
occupat, donec corpuscula, quantitate aeris eadem 
restituta, libertatem motui suo naturalem recipiant. 
Concessis autem illius hypothesibus, causa phreno- 
meni manifesta est. Tui autem quibus bypothesibus 
idem phjenomenou explicuere ? 

B. Nescio. Sed cur non potest aqua quae, cum 
injiceretur, particulas aeris comprimebat, ab iisdem 
particulis se explicantibus rursus rejici ? 

A. Quia locum explicatEe majorem non requi- 
runt, quam compressae. Quemadaiodum in vase 
aqua pleno, in qua esset multitudo auguillarum, 
anguillas sive in se volutas sive explicatas idem 
semper capit locus. Propellere ergo aquam per 
vim elasticam, quse alia non est quam motus cor- 
porum se explicantium, non possunt. 

B. Comparatio illa aeris cum aqua anguillis 
plena, uostris, credo, non displicebit. Aliqui enim 
non mininue inter nos authoritatis in ea sunt 
opinione, ut si per vacuum intelligatur locus omni 
substantia corporea vacuus, non esset valde repug- 
nandum. Supponentes enim constitutum esse 
aerein ex corpusculis qure sine interstitiis componi 
non possunt, uecessarium esse vident interstitia illa 
corporese substantite, vel (ut apertius dicam) corpo- 
ris, eapacia esse. Sed quod sic vacuum intelligunt 
plenistcE, prsesertim nuperi, id uon credunt. 

A. Cur non credunt ? 

B. ftuia plenistse disputantes contra vacuum, 
argumenta sumunt ab eo quod liquida suctione 
oris per fistulam ascendit : et ab eo quod in hortu- 



■ SicEdiu lii'il et 1688. 



2/6 DE NATURA AERIS. 

lanorum hydriis, superne clausis et crebris for: 
nibus inferne pertusis, aqua non descendit. N: 
talia, iuquiunt, argumenta huc tantum tendunt, 
nullus detur locus in regionibus his inferioribus 
non sit aut corpore visibili aut aere repletus. 

A. Nerao est eorum quos plenistas vocas, 
vacuum aliter iutelligit quam pro loco in quo n' 
omuino substautia est corporea. Si quis negli- 
geutius loquutus dixerit, in quo non sit corpus 
visiiiile rel aer, ideo dixit, quia per aerem totum 
illud intellexit corpus, quod praeter terram et astra 
reliquum spatium omne complet. Illos qui hoc 
ucgant, non alinrum sententias arbitror aniraad- 
vertisse, propriis intentos. tiui per fistulam ore 
aquain sugit, aerera medium prius sugit, quo dis- 
tentus aerem externum removet : qui remotus, 
locum (inpleno) habere uisi proxiraum removendo 
non potest : et sic continua pulsione aqua tani 
pellitur in fistulam, succeditque aeri qui exugii 
Iu hydriis autem perforatis ideo haeret aqua, 
quse per tantillura foramen exiturit adeo exigua 
est, ut non possit ita in longitudinem se diffundere, 
ut descendendo aditura aeri faciat per foraminum 
eircumfereutias ; neque aer ab exeunte aqua pulsus 
locum alium (in raundo pleuo) habere potest, pne- 
tcrquam quem aqua deseret. Vides ergo causam 
naturalem tum ascensionis aqwe iu fistula per suc- 
tionem, tum non-descensionis per foramina liydria;. 
Vides etiam quam ineptum sit ad explicationem 
effectuum talium advocare verba metaphorica, ut 
fitgant i-fir/fi, korrorem naturcs, ete. : quibus olim 
ad existimationem suam tueudam usse sunt scholie. 
B. Phajnomeu&m quidem circa vacuum causas 
recte a te assiguatas esse credo. Qund autem 
neminem esse dicas qui per vacuum intellexit cor- 



Dtus, 
;ndo 



DB NATURA AERIS. 



277 



pore visibili et aere vaeuum, non faeile couces- 
serim. Videntur euim mihi tum Democritus, tum 
Epicurus, sic intellexisse. 

A. Si per vacuum quid illi intellexerunt a doc- 
trina Lucretii judicandum est, idein iutellexerunt 
qviod ego, nempe, locnra omni corpore vacuuni 
visibili et invisibili. Sed et illi non plentslce fuere, 
sed vacuixtte. 

Hactenus de natura aeris. Transeamus ad 
aquam. Si in pelvera infundas aquam, et in aquam 
segmentum pauni lanei oblongum, cujus pars nna 
in aquam sit immersa, altera extra pelvem propen- 
deat, aquapannuru illum paulatim ascendeus made- 
faciet usque ad pelvis labrum : et siquidem pars 
quae est extra pelvem, propendeat infra aqure qnje 
est in pelve superficiem, aqua decurret. (liuenani 
hujus effectus a collegis tuis causa redditur • 

B. Nihil de ea re audivi hactenus, nisi quod 
phtenomenon lioc, et illud alterura siphouis flexi 
sive bicruri, causam habeant eandem. 

A. Id vero impossibile est. Nam in uphone, 
nisi ambo crttra aqua impleautur, aqua e pclvi non 
ascendet. Ascensionis causa in paunum est motus 
ille tcrrearum atoraorum qua; aqua? contigu;e suut, 
inotus, inquam, circularis simplex, aeri in qno 
moventur communicatus : quse atomi aquam feri- 
eutes in materiam laneam inctitiunt, incu*s:e 
autem magis magisque madefaciunt, donec madida 
tota sit. Cum vero tota niadida fuerit, tunc si 
pars panui extra pelvem superficie aquse qufle io 
pelve est inferior sit, aqua per pannum defluet 
propter excessum gravitatis aqus in segmento 
panni externo super gravitatem ejus quae est in 
segmento intra pelvein. Nam gravitatis quautitas 



2/8 DE NATURA AERIS. 

in eadem specie corporis non sequitur gi 
molem, secl altitudinem : quamquam de pondf 
aliter sentiendum est. 

B. Hypothesim tuam de corpusculorum terreo- 
rum in aere terram ambiente moru circulari sim- 
plice, confirmat quidem experimentum hoc 
hydria hortulanorum : magis tamen illud altei 
de machiua quam modo descripsisti, in qua inji 
per vim aqua rursus ejicitur. Machinse autem 
ficem novi. 

A. Nonne et ille unus est ex collegis tuis ? 

B. Minime. Est enim machinopceus, non 
losophus. t 

A. Siquidem philosophia sit (ut est) sciei 
causarum, quo magis philosophi habendi sunt 
qui machinas ad experiraenta commodas inv 
runt, experimentorum causas nescientes, quam hic 
qui causas nesciens excogitavit maehinas? Diffe- 
rentia enim nulla hic est, nisi quod alter quod nescit 
nescire se fatetur, alteri non fatentur. 

B. Post aquae et aeris naturas examiuatas, 
gamus (si ita vis) ad naturam ignis. Et pi 
ignis quid est ? Corpus an accidens ? 

A. Qui igncui, et effectus ejus, quotidie vides 
et seutis et nominas, tibiue opus est ut dicat ali* 
quis quid sit ? 

B. Ego ignem vidi sinemateriaignitanunquam. 
Lignum, carbonem, ferrum, materiam denique 
quamcunque, si candescat et caletaciat, ignem voco: 
et tu quoque. Mihi ergo videtur ignis corpus 
vel potius multa simul in ligno, vel alia ma 
ignita, corpuscula ignea. 

A. Sed corpuscula illa suntne ignita ? 

B. Non ignita, se<l ignis merus. 



nescit 
trimo, 



DE NATURA AEIIIS. 



2/9 



A. Sed dixisti modo ignem esse ignita corpora. 
Itaque per ignem intelligis corpora quae in ligno, 
vel alia materia, candescente et calefacieute caudes- 
cunt et calefaciunt : ita ut ignis non sit nisi qtii 
corpus sit et in igue alio, qui rursus sit in igne ter- 
tio, et sic in infinitum. Et propterea, ignem corpus 
esse a corpore ignito diversum, dictu absurdum 
est. Dum quserimus ergo quid sit ignis, non aliud 
quaerimus quam causam, quare lignum, vel nlia 
materia, Iucet et calefacit : id est, causas quaerimus 
lucis et caloris, vel potius sensionis nostrse, qua 
lucem et calorem percipimus. 

B. Negari hoc profecto non potest. Sed lucis et 
caloris causre verae quseuam sunt ? 

A. Illae ipsre quas in libro de corpore, cap. 
xxvii, ab hypothesibus suis, methodo demtmstra- 
tiva, non obscure derivavit Hobbius ; quasque hic 
(quia liber extat) deducere nou est iiecessariuin. 
Sufficiat quod modo te docui, ignem uon esse ab 
ignito corpore diversum. Guid autem de frigore 
et glacie opinamini vos ? Num etiam frigus et 
glaciem corpuscula putatis frigida et glacialia esse, 
in materia frigida et glaciali ? 

B. De causis frigoris et glaciei nondura certi 
aliquid invenimus. Guod autem aqua dum con- 
gelatur rarefit, experientia didicimus. 

A. Rarefit ? .Non intelligo. Siquidem enim 
eandem numero aquam majorem dicas implere 
locum congelatam quam non congelatam, id dicis 
quod animo concipere nunquam poteris. Nam 
idem numero corpus eandem semper habet quan- 
titatem, nimirum, loco quera implet, sub quacunque 
figura, semper a;qualem. Sin aeris particulas in 
aquam inter congelandum ingressas simul cumaqua, 



DE NATUHA AERIS. 

majorem occupare locum dicas quam aqua aola, i 
mirum dicis. 

B. Dico, aquam eandem numero in cylindro 
vitreo altius ascendisse congelatam quaui non cou- 
galatam. 

A. luttHigo. In causa erat quod aqua congelata 
levior est, quam non cougelata. Norunteniin omnes 
glaciem natantem parte sui aliqua, extra aquam in 
qua uatat, eminere. Ciuod autem corpora omuia 
quse mole sequalia aqua graviora sunt, subsidunt ; 
et quffi leviora, eminent ; quje autem asquali gravi- 
tate sunt, ita uatant ut summa eorum superficies 
collocata sit in superficie aqua^, demonstravit Ar- 
chimedes. 

B. Ad generationem ergo glaciei explicandam, 
necessarium esse video, non modo quid sit scire 
quod aquam facit congelatam leviorem quam ante 
erat, sed etiam quid sit quod eandem facit du- 
riorem. 

A. Leviorem facit, quiequid conatum ejus ad 
centrum terrre minuat sive impediat ; id vero aliud 
esse non potest praeter motum alicujus corporis 
conatui deorsum oppositum, si non diametraliter, 
at saltem oblique ; idque, sive glacies fiat in vase 
per nive mistum sal, sive in locis apertis, ut in 
oceauo septentrionali vel meridionali. Sed et du- 
riorem facit motus aliquis oppositus. Nam durum 
dicimus illud tantum corpus, cujus parte uua tnota 
necessario cedit totum : ut lapis durus dicitur, quia 
si unam ejus partem premas, totus cedet, aut pars 
pressa non cedet, saltem sensibiliter. Unus igitur 
motus tum levitatem glaciei, tum duritiera, sive 
eonsistentiain partium, efficere potest. Motu* 



DE NATURA AERIS. 



281 



ltcm itle (quod attinet ad maria congelata) facile 
concipitur esse motus aeris vehernens, oceanum et 
terram undiquaque radentis per circulos meridiauos 
in polis oppositis eoncurrentes. Talis enitn motus 
aeris aquai particulas summas protrudens compin- 
git, id est, totam facit duriorein : simulque unam- 
quamque particulam a centro terrae magis removet 
quam quanta est terrse semidiameter. Necesse 
ergo est tali motu aeris particulas aquse summas 
aliquantuluin sustineri t unde tota aqua compacta 
sive congelata redditur levior. Interea vero atomi 
illae terrea? motu suo circulari simplice compactas 
aqure particulas omnes simul coucutiunt, ita ut 
nulla ejus pars moveri possit sine reliquis, id est, 
aquam totara duram faciunt. Similiter in vase 
aceidit nive et sale eircumdato. Nam liquescente 
nive, qui in nive est aer, exiens, superficiem undi- 
quaque radit vnsis aquam continentis, et eundern in 
nqua producit effectum quem modo descripsimus iu 
congelatione marium, nempe, leviorem aquam et 
duriorem facit. Diaphaneitas autem (nam et hoc 
notatu dignum est) aliquautulum miuuitur, propter 
aeris cum aqua sumina mistiouem. Diaphanum 
enim omue per partium positionem turbatam 
albescit. 

B. Diaphauum autem a turbato situ partium cur 
albescit ? Scio quidem vitrum, in partes miuutas 
coutritum, nou amphus diaphanum esse, sed album ; 
et ex aquee particulis conflictis factam spmnam, 
albam esse ; et multa similia. Praiterea diaphana 
omnia polita esse scio, et bomogenea ; et proinde, 
apta esse ad radios lucis ita reflectendos, ut lucidi 
partes suo ordiue quasi pingantur, faciantque to- 
tim Bpeciem distiuctam; sed ignoro causam. 



282 DE NATURA AERIS. 

A. Ut diaphanum quodlibet est speculum, 
qaoque partes ejus quantulrecunque, nisi planje et 
iu eodem plano sint, sunt totidem specula, reprjC' 
sentantque totidem objecta lucida, sed minutissii 
quorum imagines confertffi exhibent non uni 
lucidum magnum, sed ex omnibus conflatum unui 
colorem ad lucem proxime accedentem, quam voca^ 
mus albedinem. Itaque corporum, quae natura 
alba sunt, superficies constant ex sirperficiebus in- 
numeris, prte exiguitate quidem sigillatim visu non 
perceptibilibus, convexis tamen, et per consequens 
lucem ita reflectentibus, ut ab omni parte ad ocu- 
lum pervenire possit tantum radiorum, quantum 
sufficit ad faciendara visionem ; quod quidem ab 
una simplice superficie fieri non potest. 

B. Qualem autem superficiem habere debet ol 
jectum, ut appareat uigrum ? 

A. Ut album luci, ita mgrttm tenebris simile est. 
Et propterea superficies corporis niaxi talis esse 
debet, ut nullus radius (vel paucissimi) eorura qui 
ab objecto lucido in eam incidunt, reflecti ita pos- 
sit, ut ad oculum perveniat ubicunque positum. 

]'. Qualisnam est illa ? 

A. Ea quse componitur ex partibus, minutissimis 
quidem et qus visum singulse fugiunt, sed erectia. 
Nam si minutissima? sint ercdemque erectie, omnis 
radius in eam incidens a lucido objecto ubicunque 
posito, reflectetur in subjectum corpus, et per con- 
sequens ad oculum venire non potest : et sic nigrum 
non tam videtur, quam a circumstante visibili dis- 
tinguitur. 

B. Hanc ipsam nigrediuis causam reddidit iti 
frequente consessu unus ex nostris, tibi beue 
nitus et amicus : sed non persuasit. Respons 1 



»rje- 

ma, 

tum 

tum 

^ca- 

tra 

;n- 

on 

ns 

:u- 

ira 

ab 

. 

st. 



DB NATVJRA ABRIS. 



283 



nim fuit, quod si ita esset, vestem omnem pilosam 
oportere esse nigratn. Et visus est plurimis recte 
respondisse. 

A. Quid, pilosne illos putavenmt esse corpora 
adeo exigua, ut videri non possent ? Conjicere 
hinc Hcet quam sunt illi boni ratiocinatores : et 
quse sit ab illis expectanda philosopbia naturalis. 
Fortasse nigredinis causam illam pro vera admit- 
tere uon voluere, quia eadem iu libro de corpore, 
cap. xxvii, art. ultimo, ab Hobbio primo assignata 
est. Quam autem duritiei causam assignatam ab 
illis audiisti ? 

B. Ab aliquibus tres : primam, partium magaitu- 
dinem: secundam, quod partium superficies mutuo 
se tangant : tertiam, partium intricatam positio- 
nem. Quarum sufficit ad corporum quorundam 
indurationem unaquaelibet. 

A. Quiu corpuscula (qualia sunt atomi quas 
supponit Lucretius, atque etiam Hobbius) jam ante 
dura, facile possint ab aliqua dictarum causarum 
compingi, ita ut totum ex illis factum durum fiat, 
dubitandum non est. Sed qui duritiei causam assig- 
nare vohtut, debent illi causam indicare duri jirimi. 

B. Ita videtur. Quidam enim e nostris, cnm 
redarguere illos vellent qui partium cohaesionem 
glutini cuidam tribuebant, interrogaverunt eoa, 
(et recte quidem ut nobis visum est), quodnam 
esset glutinis illius aliud gluten. 

A. Eodem jure utens circa primam et ultimam 
dictarum cauHarum, similiter quaero ego, quid sit 
in particulis duris totius duri quod efficit duritiem. 
Nam argumeutum, quo vos usi estis contra illos 
qui supposuerunt gluten illud, aeque railitat contra 
vos ipsos. 



284 



DE NATURA AERIS. 



B. Corpuscula dura prima, fnerunt fortasse si 
creata : atque alia quidem majora, alia minora, ab 
initio. 

A. Esto. Nam prima ad primam causam recte 
referuntur. Sed si dura ex primis duris fieri di- 
cant, rjuare non et fluida fieri putant ex primis 
fluidis ? An creari flnida maxinia potuere, ut cetber, 
tmnima non potuere ? Qui corpusculum durum 
aut fluidum primus fecit, potuit, si libuisset, illud 
fecisse tum majus, tura minus quocuuque corpore 
dato. Quod si fluidum fiat ex non fluidis. ut vos 
dicitis, et durum ex duris tantum : nonne sequitur 
ex fluidis primis, neque fluidum fieri, ueque durai 

B. Ita videtur. Qurenam ergo duri et 
sunt principia ? 

A. Quid aliud nisi, fluidi quidcm, quies : di 
autem, motus quidam ad iltum effectum prodi 
cendum idoneus ? Per quictem iutelligo duarum 
partium inter se quietem, cum se mutuo tangunt 
quidem, sed nou premunt. Nam et fluida movei 
tota possunt, retcnta fluiditate ; et dura quiescei 
ut tamen partcs eorum moveantur. 

B. Quo motu et quomodo ? 
A. Exempli causa, aer qui revulso suctore 

chinEE vestra; impellitur in eyliudrum ajncuin, t 
quidem non movetur, sed iu eodem manet loeo : 
verum particuUe ejus omnes, ut magno motu in- 
gressse sunt, sic etiam magno motu intus cieui 
unaquseque contra aliam per latus cylhidri op] 
situm ingressam. Et proinde motus illarum 
brevissimis spatiis suut velocissimi, et propter mu- 
tuam oppositionem circulares. Atque hinc maui- 
festum est vehementem esse in aere ita moto et 
clauso compressionem, quantam scilicet eflic« 



vos 
tnr 

I 

du- 
um 



DE NATURA AERIS. 981 

poteSt vis illa qua incussus erat ; atque etiam a 
tanta compressione aliquem gradum cousistentia: 
fieri, quamquam coiisistentia aquEe minorem. Quod 
si esset in iisdem particulis aeris omnibus, pra^ter 
motum illum quo altera alteram premit, motus ille 
eircularis simplex, isque satis vehemens : impossi- 
bile fere esset unam earum a suo circello dimoveri, 
quin reliquis particulis resistentibus, totus siinul 
inovciLtur, id est, totum durum esset. Durum 
enim est totum illud, cujus nulla cedit pars nisi 
cedente toto. Vides ergo posse fieri duritiem in 
fluidissimo aere per raotum hunc circularem sira- 
plicem particularum, quibus duo motus contrarii 
aute dederant vertiginem. Vidisti quoque gradum 
duritiei dari aliquem posse a sola compressione : 
id quod confirmatur etiam in generatiotie carnis 
intra musculos humatii corporis. Nam caruis, qua; 
in musculis continetur, materia illuc advecta est 
vel per arterias, vel per nervos. Nou per arterias, 
in qutbus uihil fertur pneter sanguinem : caro 
autem nou ex sanguine constat, qui salva carne 
elui potest. Quare materia carnis defertur ad 
musculos per nervos. Materia autem qure in nervis 
continetur tenuissimus spiritus est: qui cura in 
□msculis fit caro, cunstat ex innumeris filiculis 
adeo miuutis et fissilibus, ut visum tandem fugiant. 
Unde autem fieri hoc potest, nisi quod spiritus e 
cerebro, nervorum raeatus longos arctissimosque 
transiens, per compressioneui inspissetur ? Atque 
talis quidcm esse potest causa efficiens ilurt priiui. 
Duri autem seaatdi, id est, duri a eoha?sione du- 
rorum primorum, causa potest esse motus ille idem 
eircularis simplex conjunctus cum contactu eorun- 
dem superficiali, vel etiam intricatione. At ai 






286 DE NATURA AERIS. 

supponamus cum illis, duritiei causam esse magn 
tudinem aut crassitiem partium : quam ratiouem 
reddere poterimus cur durior vel firmior sit aqua 
congelata, quam est eadem aqua ante congela- 
tionem ? 

B. Viderint illi. Ego enim aliense pbilosophise 
narrator tibi, non defensor sum. 

A. Prseterea quse ratio diaphaueitatis reddi po- 
test corpomm eorum, per quae transparent objecta 
omnia visibilia non minusdistinctaquamper aerem 
purissimum ? Nam si vitrum aut cristallus con- 
sisteret ex duris corpusculis hamatis, perplexis, aut 
quomodocunque poris disjunctis, impossibile esset 
ut radii lucis transirent per diaphanum sphaericum 
sine variis reflexionibus, quibus ordo partium tur- 
baretur, et confusa fieret visio : quod experientia 
quotidiana ostendit esse falsum. 

B. Experimentorum quae fecimus aut recepimus 
observatu digua, ea sunt (quantum memini) qure 
jam retuli. 

A. De qusesitis autem circa naturam rerum alia- 
rum, quid statuunt ? Et primo, magnes quo in- 
strumento, quo motu, attrabit vel abigit ferrum ? 
Quid illum ad meridianum applicat, in meridiano 
inclinat ? (Auis motor, quo motu, aquam e mari 
et fluminibus in nubes transfert, aut e radicibus in 
arborum summitates ? Ubi sunt pulmones vento- 
rum ? Quis motor, quo motu, oceani restus facit 
et sestuum varietates ? Quse corponim yarietas 
varietatem efficit odorum et saporum ? Liquores 
qui in oculo idem efficiunt, cur in caeteris organis 
diversissima operantur ? Lumen quid est ? A quo et 
quo motu geueratur, frangitur, et fiectitur ? Phar- 
maca quo motu operantur ? Qua Gorgoue ligna. 



DE NATURA AERIS. 



287 



;que res non paucje, lapidescunt? Denique, 
vita quid est, et quomodo generata ? 

B. De liis rebus oondum statuerunt. Nec ita 
diu est quod de natura quserere incepimus, ut tantos 
processus expectare debeas. Parutnne est quod 
doctrinam de vacuo, et de natura et pondere aeris, 
fere jam patefecimus, et brevi, spero, perfectam 
daturi sumus, nitnirum, postquam experimenta 
nostra in altissimo illo monte fecerimus qui est iu 
iusula Teneriffa ? 

A. Bene est. Expectemus partum montis. Ego 
interea physica contentus Hobbiana, naturam et 
varietatem motus contemplabor. Etiam politicae 
ejusdem et ethica? regulis ad vivendura utar. 

B. Recte quidem de politica. Est enim illa, 
ut physica nostra, experimentalis: nam vicennii 
proxime superioris experientia nimium confirmata 
est. Quid autem, quadraturam circuli, quam ille 
ante annum edidit, una cum divisione anguli, et iis 
qua? adjunxit de cycloide, de centro gravitatis se- 
micirculi, etc. : etiamne illa approbas ? 

A. Quid ni r Cum causam dissentiendi omnibus 
esse videam unum eundemque errorem : quod liue- 
arum rectarum numerum multiplicare per uume- 
rum rectarum, perinde habent ac multiplicare per 
numerum simpliciter : ut manifestius apparebit in 
seqaentibus. Transmissa est huc nuperrime e 
Gallia, authore anonymo, Gallice scripta duplicatio 
cubi geometrica, ut mihi videbatur, cui exemplar 
a bibiiopola traditum est, satis bene demonstrata. 
Fuere autem quibus aliter visum est. Vidi enim 
duas ejus refutationes. 

Duplicationem cubi demonstratamne esse di- 
Videam qua;so. 



288 DK NATUKA AERIS. 

A. Ex ipsa videbis refutatione qupe sequitur. 

" Summa dictorum in pseudodiplasiasmo cubi 
nupero, rescissis quae tum in schemate tum in con- 
structionibus suut superflua, haec est. 

" Exposita A D recta* continuetur ad V, ut sit D' 
semissi rectae AD aequalis. Centro A, distani 
AD, scribatur DO circuli quadrans, bisectus in Q 
et QS rectsc AD perpeudicularis. Bisecta vero 
SD in T, centro T, ducatur per V circulus VXYZ. 
Cui occurrat DX, rectse AD perpendicularis, in ~" 
ADin Y: etQSinZ. 

"Affirmat rectas DY, DX, mediasesse propoi 
tionales inter DA et DV. Quod sic conatur d< 
monstrare. 

" Ductis rectis VX, XY, erit angulusYXY 
semicirculo rectus : ductaque XT et continual 
propter bisectam S D in T, occurret circulo in 
Adeoque ducta YZ, erit angulus XYZ in semicir- 
culo reetus : ipsaque YZ rectas XV parallela. 

"Producatur XD ad P, ut sit DP rectse AD 
aequalis. Si itaque YZ producta rectae PD occurrat 
in puncto P, erunt (propter similia triangula PDY, 
YDX, XDV) rectreDP, DY, DX, DV continne 
proportionales. Et consequenter (propter cubos 
in ratioue laterum triplicata) cubus lateris DY 
subduplus cubi lateris DP sive DA. Atque hi 
tenus recte. 

" Rectam autem YZ coutinuatam puncto P 
currere, probare frustra eontendit. 

"Ducta PV, et bisecta in a, ducatur ah recl 
DY parallela, rectse DP occurrens in c : rectseqi 
ab perpeudicularis Td. Bisecta vero dv in 



>n- 

5 



■ Vidc Figuram Dc dupticntium Cnbi. 



DB NATURA AERIS. 289 

centro g, ducatur per a semicirculus ahb recta: 
DP occurrens in h, recbeqiie ah in b. Ideoque 
propter ca sequalem semissi rectae DV, tum cg 
seraissi TD, erit ah semissi YV aequalis. Adeoque 
juncta Vb et continuata, occurret puucto Y. Duc- 
tisque bh, ha rectis, erit angulus bha rectus, ipsae- 
que bh, ha semissibus rectarum YX, XY sequales 
et parallelas. 

" Quae quidem vera sunt. Sed non item et se- 
quentia, nempe : bisecta itaque YZ in i, junctaque 
ih; erit Ythb rectaDgulum, et YA rectse XV 
parallela. Sed et YZ eidem XV parallela est. 
Ergo et YZ, sicut ipsa Y6, producta occurret 
puncto P. 

" Hffic ille. Sed male. Sequitur utique ex prse- 
dictis Xihb parallelogrammum esse, sed uon item 
rectangulum : adeoque nec Y6 recta; XV paral- 
lelam. Non enim (quod ipsi fraudi fuit) quia bha 
anguhim rectum esse ostenderat, ideo bhi rectum 
esse sequitur: nisi simul demonstrarat, rectam ah 
continuatam ad punctum i pertingere." 

B. Mirandum sane est, quemquam esse qui, cum 
demonstrationem tam facilem et perspicoam non 
intellexerit, de quaBsitis tamen in geometria nobi- 
lissimis, prssertim bominibns (ut putabat) exteris, 
auderet respondere. Confitetur Xihb esse paral- 
lelogrammum : negat esse rectangulum. Q,uis enim 
non videt, completo circulo ahbk, ductam hg, et 
productam ad circumfereutiam iu k, requalem esse 
et parallelam TZ : et Pft, «T esse a^quales, et per 
consequens ah productam transire per centrum T, 
et proinde secare X Y bifariain et ad angulos rectos 
m j r 

A. Atqui refutator tantum abesse ait, ut eo 



290 DB NATURA AERIS. 

argumento quicquam de mediis proportionalil 
concludatur, ut quantacunque sumatur DP, (sive 
ipsi AD asqualis, sive major, sive minor), eadem 
demonstratione non minus concludatur easdei 
DX, DY medias esse proportionales inter eandi 
DV atque hanc DP quamlibet. 

B. Fieri non potest quin is, qui ita temei 
absque demoustratione, pronuntiare ausus sit, nec 
demonstrationem ita perspicuam capere potuit, 
non modo arte sed etiam intellectu destitutus 
fuerit. 

A. Ita tamen fuit ingeniosus, ut epistolas missas 
a rege, aliisque qui bello civili a rege stabant, 
scriptas scriptura occulta, sed interceptas, iuter- 
pretatus sit, sive (ut loquuntur) decyphraverit, 

B. Intelligo quem dicis. 

A. Conatur pneterea demonstrare, quod 
modo non demonstrata, sed etiam falsa sit: 
modo. 

B. Nil refert quo modo. Quicquid enim 
demonstrato non convenit, non refutatio est 
refutatum. 

A. Legamus tamen. 

" Ponamus DV=1 : adeoque DA vei DP^ 
Cum itaque sint ejusdem circuli, tum AD radius, 
tum AS sinus graduum 45 : erit AS= V2 ; et 
SD = 2— V2; et TD = 1— 4^2. Adeoque 
TV=2 — £*/2;etDY=3— V2; etDX= V3 — V2. 
Ideoque tribus, DV, DX, DY, quarta propor- 
tionalis (quam quidem abscindet YZ recta ad 
rectam DP continuata) erit 3 — »/2 in V3 — ^2, 
hoc est 1.997 fere : minor quam DP=2. Adeoque 
YZ producta occurret recta^ DP, non quidem in 
puncto P, sed in puncto aliquo inter P et D. 



:em 
lem 

- 

jre, 



DE NATURA AERIS. 291 

consequenter, cum sit XYZ angulus rectus, erit 
XYP recto major. Verum itaque non est, vel 
rectam YZ continuatam ad punctum P pertingere ; 
vel PYX, aut bhi, augulum rectuin esse ; vel hi ean- 
dem esse rectam atque ah continuatam, aut rectee 
VX parallelam ; vel denique, rectas DX, DY, me- 
dias esse proportionales inter DV, et DP, recta* 
DA aequalem. Quod demonstrandum suscepi." 

Quid contra demonstratiouem bane adduci posse 
putas? 

B. Satisvideo DY aequalem esse 3 — V2. Itaque 
cum DVsit 1, DXerit V3 — -/'2. Quare V3 — V2 
ducta in 3 — V2, erit tribus DV, DX, DY quarta 
proportionalis. Quare autem quarta Ula sit 1.997, 
non intelligo. 

A. Neque ego. Tribus ergo illis proportionali- 
busquseremusquartam nos. SitDA 1000. Eritque 
AC V2000000=1414; et semissis ejus AS=707; 
a quo detractus semiradius, relinquit 207 ; et hic 
detractus a DA, relinquit 792 pro DY. Nara HS, 
AY, sunt sequales. Quare 792=3— v"2. Radix 
792 est aequalis 28 fere. Itaque nuraerus qni fit a 
28 in 792, est quartus* proportionalis, quara ille 
facit minorem radio, id est, minorem quam 1000; 
i'iim sit plus quam duodecuplo major. Praeterea, 
cum dixisset DX esse V3 — -% etDY=3— V2, 
id est, DX esse radicem DY: quomodo non vidit 
eadem ratioue DY debere esse radicem quartse 
proportionalis ; et proinde 3 — V2 multiplicatum in 
se (non in DX), esse quartam ; et DV, id est, 
1 multiplicatum in se, facere DX; et sic 1 in I 
auqualem esse 3 — *f'2, sive DY ? 



' Quartux, eilit. 1(561 ct 1G(>8. 



292 

B. Sed quid est quod in hoc tam brevi calcuJ 
illi fraudi esse potuit ? 

A. Fraudi fuit, quod etsi symbolicus esset sati 
parum tamen erat geomctra. 

B. Non id quajrebam, sed erroris fontem qui « 
in ipso calculo. 

A. Alius non est, quam quod putavit DX aequj 
lem esse V3 — -J2. 

B. Noune DX est media proportionalis intt 
D V et DY, id est, inter 1 et 3 — J2 ? Factus ergo 
ex 1 in 3 — J2, id est, 3 — -/2, (uam 1 multiplieans 
nihil mutat), squalis est quadrato a DX, et ipsa 
DX aiqualis *'3 — V2. 

A. Sic certe computavit refutator, sed male. 
Quamquam enim 3— -J2 multiplicatus in ununi sim- 
pliciter, faciat 3 — J2, nihil mutans : multiplicatus 
tamen iu unam lineam, nimirum in DV, facit rect- 
angulum sub DV et DY. Rectangulum autem sub 
DV et DY non potest sequale esse suo lateri DY. 
Vides ergo errorem huuc tantum ex eo natum esse, 
quod computaverit pro recta ltnea rectaogulum. 

B. Certissime : et causa erroris fuit, ut dixisti, 
ignoratio geometria». 

A. Altera refutatio cujus sit nescio : sed > 
profecto est probabilis, et melioris algebrista; qu; 
est WalHus.* 

" Ponatur," iuquit, " AB, sive AD=2." 

" Erit DF, sive DV=1 : ergo AV=3. 

"BRsive AS=V2. 

" Ergo SV, sive YD=3— V2. 

"Cubus AD=3. 

" Cubus DY=45— V1682=4 fere. 



Sw Edii. Uiys. 



DE NATURA AERIS. 293 

"Nam 45—^1681=4. 

" Est ergo DYpaulo minor majore mediarum in- 
ter AB=PD, et DV=DF." 

B. Sed quomodo demonstrat quod cubus aDY, 
aequalis sit 45 detracta radice numeri 1682. 

A . Ex eo quo DY est aequalis 3— V2 : qui mul- 
tiplicatus in se, et rursus in productum, facit 
45— V1682. 

B. Exhibe formam operationis. 
A. Ellam: 

3— ^2 
3—^2 

— Vl« + 2 
?— V18 



9-V72 + 2 
3—^/2 

— ^/162+ 12— ^/8 
27—^/648+ 6 

27— *J\&.— >/648 + 18—^/8 



Sed ut eam examinare possis, meminisse oportet 
duarum regularum alteram multiplicationis, quae 
haec est : Radix duorum numerorum inter se multi- 
plicatorum, est cequaJis facto ex eorum radicibus. 
Alteram additionis, quae est haec : Radix numeri 
confiati ab utroque numero, et ex dupla radice 
numerorum inter se multiplicatorum, est summa 
radicum ipsorum numerorum. Quas regulas jam- 
dudum tibi demonstravi. 

B. Et memini quidem. Sed cur ponis ^72 pro 
2 V18? 

A. Quia radix numeri quadrupli dupla est radicis 
numeri simpli. 

B. Cur pro facto ex V2 in V72, ponis 12 ? 
A. Quia V2 in «72 facit V144 : id est, 12. 



294 

B. Ostende jam totum productura aequaleni 
45 — V1682 : id est, (quia video numeros affirmatos 
27. 12.6.esse45), ostende numeros negatos, nempe, 
*/162. V648. V8. simul additos esse «/1682. 

A. 648 in 162 facit 104,976. Hujus radix 
duplicata est 

Summa conflata ex 648 et 162 est . . 8 
Ergo V648 + -J\Q2 est -J\A. 

Rursus 1458 iu 8 est 11664. Hujus radix 

duplicata est 216 

1458 + 8 est 1466 

Radix sumirue est . . . . */16l 

B. Possumus idem aliter computare sic : Cul 
a 3 — «/2 aequabs est cubo a 3 (id est, 27) mii 
tria quadrata a 3 in «/2 (id est, «/1458=38^ ) pli 
tribus quadratis a */2 in 3 (id est, J 8) miuus cubo 
a «/2 (id est, — 2). Q.uantitates affirmata: sunt 27 
et 18, id est 45. Negata; sunt 38^- et 2. Itaque 
cubus a 3 — V2 est 45 — 40^- , id est, multo minor 
quam 45 — V1682. 

.4. Vides ut non consentiaut inter se calculi 
arithmetici, utque faciunt 2, qui est cul>us, sequali 
lateri cujusdam quadrati quod est teqnale 8. 

B, Hi duo calculi, quamquam facti secundi 
regulas algebrse, non tamen consentiunt, 
inter se neque cum calculo geometrico. Certissi- 
mum enim est DY esse mediarum inter AD et DV 
maximam ; et prohide cubura a DYesse4. Pro- 
blematum ergo geometricorura examinatio per al- 
gebram plerumque inepta est. Itaque nec Scali- 
gerum Clavius, nec Hobbium Walhus * circa 
circuli quadraturam legitime refutavit. Sed cal- 

• Sic Edit. 16C8. 



ope, 

, 

216 
466 
1682 
lubos 

linus 
pius 
cubo 
it 27 
aque 
linor 

dculi 

alem 

idum 
ieque 



DB NATURA AERIS. 



295 



culus arithmeticus cum a geometrico differat, cur 
tantillum differt, nimirum, quanta est differentia 
interV1681 et V1682 } 

A. (iuia qui lineas consideratas sine latitudine 
multiplicat, non facit planum, sed numerum line- 
arum. At tlle qui lineamrectam in lineam rectam 
ducit, numerum linearum non facit, sed superficiem 
plauam. Inde euim necessario accidit, ut in lateri- 
bus planorum, puncta quae sunt iu angulis com- 
munia duarum rectarum bis numerentur, et in 
lateribus cuborum ter. 

B. IntelHgo jam, non modo quod duplicatus sit 
cubus, ratio perimetri circuli ad radium inventa, 
vera cyclois descripta, centmm gravitatis semicir- 
culi repertum, angulus in data ratione divisus, 
linese parabols vel cujuscunque paraboloidis curvs 
sequalis inventa recta : sed etiam cur ante hoc 
tempus inventaa non suut, nempe, quod periude 
habitum sit multiplicare res per numerum simpli- 
citer, et per numerum rerum earuudem. 

A. Si recta ai producatur donec secet diagona- 
lem DB, puta in /, erit D/ diagonalis quadrati, 
cujus latus est media arithmetica inter DY et DX. 
Id enim sequitur necessario, si modo DY, DX 
mediag sint proportionales inter AD et AV. 

B. Necessitatem illam nondum percipio. 

A. Nisi ita esse meditando invenias ipse, demon- 
strabo ego ; sed alio tempore. 

B. Sed antequam discednmus, dic mihi an ex 
illis literis V. A. Q. R. authorem nosti proble- 
matis r 

A. Literae ilhe initiales sunt horum verborum, 
Vn Aatre Que Robernal. 

B. Discedo jam multo, ut mihi videor, quam 



296 DS NATURA AERI8. 

ante certior : et quse dixisti omnia teneo et probo, 
nisi quod causam quare suctor retractus, et deinde 
manu elapsus, ad summitatem cylindri velociter 
ascendat, recognoscens recte assignatam esse non 
putem. Nam incredibile est in motu particularum 
(quas supponis) terrearum, tantam inesse vim ut id 
efficere possit. Quod autem aerem qui incussus 
fuerat expelli inde infers, ego contra, ideo sucto- 
rem subito ascendere existimo, quia, retractione 
cessante, aer qui impulsus magna vi fuerat, eadem 
vi inter suctoris superficiem convexam et cylindri 
concavam expellitur, et proinde (supposita plenitu- 
dine mundi) aer externus, ad locum suum restitu- 
tus, simul suctorem restituit ad locum unde re- 
tractus ante fuerat. 

A. Idem censeo. Erravi: et errorem meum 
recte correxisti. 



FINIS. 



PROBLEMATA PHYSICA. 



AD REGEM. 



Fero ad te, potentissime, serenissime, optime Rex, 
humillimeque offero, problemata quaedam mea circa 
Naturae Phaenomena, non modo illa quae ab omnibus 
observari solent, sed etiam illa alia quae ab hominibns 
ingeniosis per artem et machinas nuperrime exhibita 
sunt : meditationum mearum physicarum partem maxi- 
mam et probabilissimam. 

Redegi autem ea, ordinis causa, ad capita septem. 
i, De Gravitate. n, DeiEstibus Marinis. 111, De Vacuo. 
iv, De Calore. v, De Duro et Molli. vi, De Tempes- 
tatibus Aeris. vn, De diversis Motuum generibus. 
Quibus adjecta est Duplicatio Cubi. 

Principia physica, non ut definitiones et axiomata in 
mathematica, certissima sunt, sed tantum supposita. 
Effectus enim Naturae idem quin a Deo Naturae condi- 
tore multis modis conduci potuerit, nihil prohibet. 



AD REGEM. 



Quoniam autem quicquid producitur, per motum 
ducitur, is qui suppositis raotibus quibusdam possibilibus, 
illis usus demoustrandi priocipiis, propositi phsDomeni 
necessitatem recte intulerit, is inquam tantum 
quantum ab humana ratione expectari debet. 

Neque illud parvum est. Etsi enim rem ita revera 
generatam esse non probet, ita tamen generari posse 
quoties materia simul et motus in nostra potestate sunt, 
satis probat. Id quod humanis rebus non minus utile 
est, quam si cognitge essent ipsK causae naturales. 

Naturse autem contemplatio, etiam sine Ulis se' 
demonstrationis legibus, modo verbis, qualia in scripto- 
ribus Physicfe non raro reperiuntur, inanibus et ineptis 
non turbetur, omnium animi operum nobilissimum est 
illis saltem, quibus otium est a studio rerum communi 
vitse necessariarum. 

Quod a me in hoc libello effeetum est, munus 
scio tanto Rege indignum. Attamen si spectetur (quo 
modo oblationes spectare solet Deus) una cum anitno et 
re offerentls, non ingratum fore sperare debeo. 

Verum ut hrec ad tuam Majestatem ferrem, multse 
impulerunt causie. Primo, quod cognoscenda essent a 
judice cujus esset intellectus optimus, et ratio ueutrius 
partis studio inflexa, nec verbis significantibus quidem 
nihil, sed qualia difficultatibus pressi ne nihil dicerent ud- 



meni 

- 

■vera 

>osse 
sunt, 
utile 

iveria 

■ipto- 
leptis 
. est : 
imnni 

- 

(quo 
10 et 



AD RBGEM. 301 

decunque arripiunt, perturbata. Deinde, quem studium 
Naturae delectat. Praeterea, qui experimenta de quibus 
hic disseritur, ipse nosti. Et denique, cujus judicio si 
placent, a contradicentium contemptu et raaledictis 
possim protegi. 

Restat ut, more offerentium, adjungam oblationi pre- 
culam: nempe, ut lectione dignari velis brevem quae 
sequitur Apologiam pro libro meo, quem de Republica 
sermone patrio scriptum appellavi leviathan. Non 
tamen ut apologiae qualicunque, sed Amnestiae generali 
confidere consilium mihi sit. Nec ut me non modo 
venia, sed etiam gratia tua jam utentem, et beneficio tuo 
gratissimo ornatum, apud Majestatem tuam purgare 
necesse habeam : sed ut, eorum causa qui malevolis 
meis temere credentes aliter de me quam aequum est 
sentiunt, sententiam meam duriusculam publice possim 
aliquantulum emollire. 

Primo, dogma ibi quod theologorum sententiae com- 
muni contrarium sit, nullum directe affirmo : sed, ut 
diffisus, illorum decretis disertis verbis submitto, quorum 
est in Ecclesia regenda summa authoritas. Deinde, 
postquam 'Ecclesiae authoritas restituta esset : nam dum 
haec scribebam, Ecclesiae Anglicanae regimen nullum 
erat, sed unusquisque quicquid voluit libere scripsit 
ediditque : neque scripto neque colloquio illa unquam 
defendi. 




AD REGEM. 

Praeterea, nihil scripsi contra episcopatum, m 
contra episcopum quemquam protestantem. Quam ergo 
causam habeat episcoporum nostrorum quisquam de me 
loquendi tanquam de Atheo, plane nescio. Nonnolli 
tamen eorum, ut audio, id faciunt : atque etiam illam a 
clementia tua profectam Amnestiam, qua et ipsi usi sunt, 
mihi invideutes, illius libri memoriam cum dedecore 
meo, in concione etiam coram te ipso, contra charital 
Christianam refricant. 

Quoniam autem plerisque eorum displicuit etiam 
Uber meus de cive, in quo doguiata illa quibus offen- 
duntur non apparent, fieri potest ut segre ferant quod 
Ecclesise authoritatem dependere faciain a potestate re- 
gia: id quod credo uon videbitur Majestati tuae athei.svim 
neque ktvresis, cum Ecclesia Anglicana nihil aliud 
quam populus tuus. 

" Sed quid tu", objiciet aliquis, " omnino haec tn 
cura religio non philosopbise pars sit, sed legis ?" 

Recte quidem hoc, siquidem qui sic objiciunt, sic 
lirent. Sed mea hsec illo tempore scribebautur, 
Regnum Christi summissceleribus prateudebatur. Ji 
ergo hypocrisim sceleratorum hominum indign; 
Scripturae Sacrae de Regno Dei qnid dicerent quam 
potui penitissime scrutari statui 

Tautae igitur calumniae cansa in libris meis nulla est 



core 

: 



AD REGEM. 303 

Vitam meam nemo, puto, accusabit. Qualis autem 
eram in ipso mortis pene articulo, testem cito reveren- 
dissimum virum Episcopum Dunelmenensem*. Quse 
cum ita sint, lectores meos monitos hic vellem, ne 
malevolorum convitiis temere credentes aliter de me 
quam sequum est sentire velint: nec vitio vertant, si 
contra hostes tuos pugnans, et quaecunque potui tela 
corripiens, gladio uno usus sum ancipite. 

Majestatis tuae (post Deum) sanctissimae 
fidelissimus subditus 



Thomas Hobbes. 



* Sic edit. 1662 et 1668. 



INDEX CAPITUM. 



DE ORAVITATE 



DB JESTIBUS MARIMS 



DE VACUO 



DE CALORE ET LUCE 



DE DURO ET MOLLI 



DE PLUVIA, VENTO, ALIISQUE CG3LI VARIETATIBU8 



DE MOTUUM SPECIEBUS 



CAP. 
I. 

II. 

III, 

IV. 

V. 

VI. 

vh. 



Adjuncta est etiam 



DUPLICATIO CUBI. 



PROBLEMATA PHYSICA. 



CAP. I. 

PROBLEMATA DE GRAVITATE. 

A. Quamnam putas esse posse causam, quod cap. i. 
lapides aliaque corpora terrestria in altum projecta ^T^iuto. 
sive evecta, et dein demissa, ad terram rursus de- 
scendunt, idque (quantum scimus) sua sponte? 
Credere, cum philosophis antiquis, quod terram 
ament vel appetant, non possum : neque quod per 
contumaciam aliquam, desinentes progredi, manere 
tamen nolint ; cum tota teilus fluctuari in aere noti 
dedignetur. Veruntamen in aere nihil neque video, 

neque imaginari possum, quod illa dejiciat. 

B. Causam gravitatis in appetitu collocare, insa- 
num est. Homines enim, sicut caetera corpora 
gravia, ab alto necessario nisi sustineantur cadunt : 
et casu (quod tamen minime appetunt) aliquando 
pereunt. Necesse ergo est, ut gravia, postquam 
motus quo projiciuntur extinctus sit, aut maneant, 
aut ab aere moto ad terram referantur. Nam cor- 
pus omne quod quiescit, novi motus initium sibi 
ipsi dare non potest. Probabilius ergo nihil est, 
quam quod motus aliquis ipsi telluri insit, (quem 
homines, propterea quod terrae insistunt, percipere 
non possunt), quo aerem facilius a se rejicit quam 
caetera corpora. Hoc enim supposito, et praete- 
rea quod locus corpore vacuus nullus sit, necessitas 

VOL. IV. x 



PROBLEMATA PHYSICA. 



descensionis aliorum corporum facile demonstrari 
potest. Nam rejecto aere, necesse est (in mundo 
pleno) ut in rejecti locum ea succedant quse diffi- 
cilius rejiciuntur. 

A. Verum supposito in prssentia vacuum non 
esse, (nam qusestionem illam in aliud tempus diffe- 
ram), qui fieri potest, ut terra aerem aut aliam rem 
quamcunque a se projiciat ? 

B, Ostendam tibi, idquc exemplo nimis famih- 
ari. Si utraque manu pelvem tenens, in qua sit 
paulum aquae, illam circumagas, sed intra spatium 
quantum potes minimum, videbis aquam per latera 
pelvis assurgere et exilire. Ex quomanifestumest, 
motum esse quendam, per quem id quod sic move- 
tur corpora sibi contigua etfluida a se rejicit. 

A, Talem motum esse certo scio. Ejus enim 
generis est motus ille quo agricola cribrum circum- 
agit ut frumentum cribrando purget. Nam quae 
granis frumenti corpora heterogenea sunt, ad me- 
dium cribri coguntur, grana autem frnmenti ad 
latera rejiciuntur. Sed figuram motus quem dicis, 
applicatam videamus ad terram : ut motum illum 
in convexo sphffira?, non in pelve concava consid 
remus. 

B. Sit circulus punc- 
tim descriptus, cujus 
centrum A. Intra hunc 
sint tres circuli mi- 
nores, B, C, D : qui cir- / 
culi tellurem reprasen- , — - 
tent procedentem a B \/_c_j 
ad C, et a C ad D, sem- jT j 
per tangentem circu- \~ — 
lum illura punctis de- ^s. 




PROBLEMATA PHYSICA. 



307 



signatum cujus centrum est A, semperque aerem 
(notatum per K et F) projicientem. Supposito ^ 
jam quod mundus nou esset plenus, sequeretur, 
propter aeris dispersionem, ut multa loca essent 
vacua. Sed mundo pleuo, hoc tantum sequitur, ut 
partes aeris inter se omnes loca mntent. 

A. Sed quid est quod lapidem descendere cogit, 
puta, a puncto G ? 

B. Si aer projiciatur omnis ultra G undequaque, 
sequitur necessario, ut lapis tandem veniat ad 
terram : supposito, inquam, mundo pleno. 

A. Quare autem fit descensus crescente semper 
velocitate ? 

B. Quia dum descendit novam accipit impres- 
sionem ab eadem causa continuata, nempe ab aere, 
cujus ut una pars ascendit, alia, mundo pleno, de- 
scendit lapidem impellens. 

A. Quod si pars aeris descendens lapidem pellat 
deorsum, eadem ratione pars aeris ascendens eun- 
dem sursum pulsura est : itaque lapis nec descen- 
deret nec ascenderet, sed maneret ubicunque. 

B. Ab ascensu et descensu partium aeris se 
mutuo prementium nou lit quies, sed excursio ad 
latera, quemadmodum duo corpora mollia com- 
pressa expandunt se ad compressionem : unde effi- 
citur ut per motum partium aeris verus motus aeris 
tendat versus polos, et propterea in omm parte 
subsidat: et dum pars superior lapidem depellit, 
inferior cedit. Nam ex ipsa figura manifestum est, 
quod motus telluris intra circulum punctis desig- 
natum, partim progressivus est, nempe, pro magni- 
tudine diametri per A, et partim circularis, quia 
omnia ejus puncta describunt circellos inter se 
a^quales. Quoniam autem in omui puncto aeris 




308 



PROBLKMATA PHTSICA. 



cadenti lapidi nova contingit impressio, nov 
etiam ubique accidet iucremeutum velocitatis. 

A. Ita certe videtur. Nam acceleratio tert 
ribus aequalibus semper est requalis : ita ut spati 
percursa, si ineipiant a quiete, sint in duplicata 
ratione temporum ubicunque sumpta, ut ostensuin 
est a Galileo. Video autem hinc phamomeni cujus- 
dara solutionem, quam ante videre uon potui. 
Scis duo pendula longitudme aequalia, si a perpen- 
diculo per angulos sequales simut removeantur, 
itiones et reditiones simul facere. Et quamquani 
arcus quos motu suo describuut, continuo decres- 
cant, tempus tamen in quo majores arcus de- 
scribuntur, tempori in quo describuntur minores 
est a^quale. 

B. Ita est. Vidistin' unquam experimentum in 
quo illud verum non erat ? 

A. Etiam. Nam si pendulorum alterum a t 
pendiculo dimoveas, exempli causa, per angu! 
80 graduum, alterum per angulum 60 gradui 
tunc itiones et reditiones non simul fient. 

B. Sed iuferri hinc non potest, quod ternp» 
inaequalia erunt quando anguli sunt aequales. 

A. Sed quando anguli sunt inaequales, 
accidit inaequalitas temporum ? 

B. Ab ipsa insequalitate angulorum. Nam t 
quos faciuut, sunt spatia qus percurruntur : 
quibus pendulum quod a majore altitudme \ 
scendit, velocius movetur quam quod a miuore. 

A. Qiiii 1 hacteuus dixisti, facile credo, ab oiri 
bus recipientur : nisi quod telluris cum pelve i 
cribro eoraparatio ipsa, phantasia: potius soboles 
quara ratioms esse videri possit. Nonue satis est 
quod telluri, quam quiescere existimfibant veteres, 
dedimus jampridem motum super eentrum suum 



PROBLEMATA PHYSICA. 



309 



propter diem, deinde motum in ecliptica propter 
annuni, ut dandus sit illi etiam novus hic motus & w 
neque rectus, necjue proprie loquendo circularis ? 

B. Non hoc videri tibi novum debet, qui scis 
quod corpus omne tot motus simul habet, quot 
sunt extra ipsuni corpora agentia : veruntamen, 
in unum motum compositos. Nam etsi multarum 
partium corporis unius multi siiit niotus, totius 
tamen uuus est motus. Nonne qui navigat, movetur 
simul cum nave : et interea, quaquaversum super 
tabulata ambulat, manibus varie jactatis, saugruue 
per veuas, spiritibus per nervos discurrentibus, 
pulmonibus dum spirat, lingua et labris dum 
loquitur, inquietis ? Multiplex ergo telluris motus 
res tibi uova esse nou potest. Quod autem attiuet 
ad ipsum hunc motum quem cum motu pelvis vel 
cribri comparo, quamquam familiaritate despica- 
bilis sit, uon tamen ob eam rem negaudum est 
quin tali motu natura uti possit. Illi vero qui 
suppositionem hanc aspernantur: cum ascensus et 
desceusus sint motus, et nihil possit initium motus 
cojuscunque dare sibi ipsi, etper consequens causa 
gravitatis sit necessario motus aliquis : ilH, inquam, 
motum alium assignare debent, et causam descen- 
sionis gravium inde demonstrare. Id quod neino 
hactenus fecit. Cajtemm, cum multa alia phseuo- 
mena praeter gravitatem per bunc motum esplica- 
verim, liumilitatem exempli, credo, non contemnes. 
Siquidem autem vera gravitatis causa fortuito tibi 
ostenderetur, nou dubito quin non minus videretur 
tibi phantastica ea quam bic assignavi. 

A. Sed ad quas cceli partes spectare supponis 
motus istius tui polos • 

B. Suppono eos eosdem esse cum polis eclipticae. 



PROBLEMATA PHYSICA. 

tiuoniam etiim terrse axis per omnem mott 
annuum semper est sibi ipsi parallelus, necessarium 
est tali parallelismo conservando, ut poli motus 
hujus et motus annui sint iidem : quantum saltem 
judicare sensus potest. Circulus enim quem punctis 
notavi, et intra quem moveri terram suppono, mag- 
nitudinem respectu solis habet insensibilem : nam 
suppono hoc quoque. 

A, Etsi satis intelligam quo modo gravia deorsum, 
idque velociter in medio Ioco inter polos motus 
hujus, id est, sub eclipticam dejiciantur: non tameu 
satis capio, quomodo idem fieri possit sub eclipticae 
polos. Dicturus enim puto non es, quod lapis 
descendit velocius inter tropicos, quam prope 
polos eclipticre. 

B. Non multo qnidem velocius. Potes autem 
animadvertisse, quod flocci nivis quo proprius 
acceditur ad polos, eo majores sunt : id quod 
signum nou minimum est, quod cadunt a loco 
sublimiore apud nos quam in partibus polo arctico 
propinquioribus ; et ob eam causam in minores 
partes cadendo dividuntur, more aqua? ab alta 
rupe perpendiculariter decidentis. Sed utcunque 
id sit, videre potes ex ipsa figura, quod motus 
rejecti aeris in E et F non est ad terram perpendi- 
cularis, sed tendit partim quidem in altum, partim 
vero versus polos : et propterea etiam sub ipsos 
polos non multo tardius movetur quam iuter tro- 
picos. Prsterea, motum hunc suppono non modo 
in terra, sed etiam in sole, et luna, et reliquis 
stellis tam fixis quam errantibus : quorum motuum 
compositione, motus aeris a medio mundi versus 
polos augeri aliquantum necesse est. 

A, Verisimile est. 



PROBLEMATA PHTTSICA. 



311 



B. In reddendis causis naturalibus ultra verisi- 
mile ire hominibus nou conceditur. Veruntamen i 
meliora ha?c suut, quam ut aut causam descensionis 
gravium dicamus esse gravitatem, ubi quaeritur 
causa gravitatis : aut quod gravia a terra attra- 
huntur, cum qua^ritur quomodo attrahnutur, quibus 
nimirum uncis, quibus funibus. 

A. Vellem etiam hoc scire, cur terra facilius hoc 
motu aerem rejicit quam alia corpora. 

B. Globus telluris totus cum sit aeri undequa- 
que contiguus, nihil rejicere aere prius potest. 
Rejectus simul aerem proximum facilius movet 
quam aliud corpus, qualecunque illud in aere esse 
contigerit : propterea quod similia corpora similes 
motus facillime recipiunt : quemadmodum accidere 
videmus in chordis duarum lyrarumsimilitertensis, 
ubi pulsata una, concutitur alia similiter tensa, 
etsi uon proxima. Praeter aerem autem, corpus 
nullum est quod motum non habeat aliquem, qiiam- 
quam invisibilem, partium suarum internum, quo 
natura ejus sive species ab omnium aliorum cor- 
porum naturis et speciebus distinguitur et dignos- 
citur. 

A. Quffi causa est quod gravia qusedam corpora, 
ut lignea, sed cava et repleta pulvere nitrato ali- 
quantulum humectato : quamquam lignum, et pul- 
vis ille, et humor, omnia sint gravia: ascendunt 
tamen simul atque pulvis accensus sit ? 

B. Eadem quse sustentat hominem natantem in 
flumine. Nam homo sustentat se, aquani pedibus 
repellendo. Ignita se allevant repellendo aerem 



A. Vas seneum, vel ex alia materia gravi, nata- 
bit, si sit superne concava. Quam ob causamr 

B. Ita quidein, si sit satis concava, ut quantum 



312 



1'ROBLEMATA PHYSICA. 



opus sit capiat aeris. In causa antem est, q 
tantum illi ioest aeris, ut totum simul vas et 
facilius a terra rejici possit, quam moles aqua 
bobus asqualis. 

A. Unde fit ut piscis : maxime vero qui valde 
latus tenuisque sit, ut passer et rhombus : in fundo 
maris tanto aquas pondere incumbentis oppressus, 
non pereat ? 

B. Quia gravia omnia tendunt ad globi terres- 
tris centrum. Nam a descensu partium gravis 
fluidi eodem tempore omnium versus unum punc- 
tum, necessario oritur ubique coucameratio talis 
pars superior mferiorem premere non possit. 

A. Concameratio similis cur non in aere qu> 
est ? 

B. Est. 

A. Quomodo ergo (id quod a philosophis 
busdam e Societate Greshamensi scribitur) aer 
inferior a superiore gravitante comprimitur, uude 
oriri scribit aeris quandam vim elasticam ? An aer 
prope terram, impurus per commistas illi particulas, 
dicetur gravitare ? 

B. Quid si aqua* oceani permisti essent pulvis- 
culi terrse: an ideo pisces in ea aqua opprime- 
rentur ? 

A. Minime quidem, dum pulvis ille, etsi 
beus, ab aqua sustentatus fluitat. 

B. Sed fluitant quae sunt iu aere sive al 
phsera atomi teme. Itaque qui sic scripsei 
non satis rei naturam contemplati sunt. 

A. Tuahasc, sive vera sive falsa, specimen veri 
certe habent. Et quoniara nemo causam gravitatis 
ullam hactenus assignavitprajteripsamgravitatei 
tuis in prasentia acquiescam. 



ravis 
mnc- 
lisut 

: 

I aer 



PROBLEMATA PDTSICA. 



PROBLEMATA DE jESTIBUS MARISIS. 

A. Qu£ causa est quod ad idem litt.ua affluat, et 
inde rursus refluat, oceanus bis in die naturali? 

B. Redeundum est ad pelvem ; in qua vidisti 
modo, ut per latera ejus, cum moveretur, aqua cir- 
cumibat simul et ascendebat. Cogita nunc quid 
eveniret, si a labris summis pelvis per fundum 
transieus affixus esset obex, qui circumeuntis aqua3 
cursum impediret. Nomie aqua cum iu illum obi- 
cem impingeret, reverteretur subsidens gradatim ? 
Nonne et idem contiugeret etiam ad alteram par- 
tem obicis, quauquam non eodem tempore ? Quod 
cum fiat, necessarium est, ut in omni motus aquae 
periodo aqua elevetur et subsidat ad idem latus. 

A. Sed quem in oceano obieem vides similem 
illi quem in pelve statuis ? 

B. Situra oceani magni nosti ex tabulis geogra- 
phicis, ut inter orientem et occidentem extendatur: 
primo, ab Iudia ad partem australem Americae; 
deinde, ex altera parte Americs ad Indiam. Ita- 
que si terra motum habeat qualem supposui, nasce- 
tur inde cursus aquarum oceani ab India versus 
fretum MageUanicum : quod fretum molem tantam 
capere uon potest. Itaque obex qui cursum oceani 
impedit, et per litora assurgere et residere faeit, est 
pars illa Americae Australis quae Magellanico freto 
adjacet. Quod autem de litore Americae obverso 
ad Orientem dixi, intelligendum etiam est de litore 
averso. Surgens autem ad btora Atnericse Austra- 
lis oceaiius, causa est a;stuum maris Atlantici, et 



314 PROBLEMATA PHYSICA. 

marium omnium quae ab illo in Septentrionem 
tinuata suut: nisi quod partim augeantur etiam a 
mari magno Australi, per fretum Anian inter Asiam 
et Americam in maria septentrionalia influente. 
Quod autem mare unoquoque die ad eundem locnm 
bis repleatur, argumenti loco mihi est, quod perio- 
dus motus, quem in terra supposui, uno die natu- 
rali bis corapleatur fere. 

A. Sed uonne etiam mare Mediterraueum ex- 
tenditur ab Orienteiu Occidentem ? Curnou etiam 
in illo similes fiuut testus ? 

B. Fiunt : sed, pro longitudine et aqure qm 
tate, minores. 

A. Geuote et Anconre ffistus nulli sunt, vel 
tem insensibiles. 

B. Veuetiis autem, et ad litora Palfestins, valde 
sensibiles sunt. Ca^terum, propter cursum secun- 
dum longitudinem maris Mediterranei et Sinus 
Adriatici, minus assurgit aqua iu litoribus a quibus 
minime impeditur. 

A. Quomodo autem his rebus ita se immiscet 
luna, ut in noviluniis et pleniluniis aestus mariui 
ubique insigniter augeantur ? 

B. Motum quem iu tellure supposui, suppono 
quoque in sole, et luna, et caeteris stellis omuibus. 
Quod autem attinet ad motura huuc quatenus in 
sole et luna consideratur, polos ejus eosdem esse 
suppono cum polis circuli jequiuoetialis. Quo sup- 
posito, sequitur, quoniara sol, luna et terra in 
omuibus noviluniis et pleniluniis sunt in eadem 
fere recta liuea, ut motus hic teme velocior fiat iu 
noviluniis et pleniluniis quam in quadrantibus. 
Nam motus hic solis et Iuuje communicatus terne, 
raotum itlius sirailem necessario auget : maxime 



anti- 



PROBLF.MATA PBYSICA. 



315 



tamen cum sunt in eadem linea recta ; id quod 
contingit in uoviluniis et pleniluniis solis. 

A. Quaenam autem causa est, quod bis in anno, 
nimirum in sequinoctiis, sestus fiunt omnium multo 
maximi ? 

B. Cseteris anni temporibus, qoia terra non est 
in plano circuli aequinoctialis cselestis, motus terras 
ille quem facere sestum supposui, tanto minus auge- 
bitur, quanto motus obliquus debilius agit quam 
perpendicularis. 

A. Satis essent hsec probabilia, si terra et stella 
motus tales revera haberent quos tu suppouis. Sed 
de hoc, nee sine ratione, dubito. Nam cum aeris 
rejectionem, motibus hujusmodi adhserentem, cau- 
sam esse dicas quod caetera corpora omnia ad terram 
descendant : cur non aeque dicendum est, cum sol 
et luna aerem rejiciant, caetera corpora prreter 
aerem omnia ad stellas omnes similiter itura, et 
sic solem et terram in unum corpus coalitura esse f 

B. Non est necesse. Nam si duo corpora aerem 
a se rejiciant, reprimetur utriuque motus aeris, ita 
ut illa duo corpora coire non possint : nisi dicamus 
aerem, ab utroque simul corpore rejectum, expelli 
e natura rerum. 

A. Videntur ergo duo astra quaelibet inter se 
distantiam quandam teuere ab hac causa determi- 
natam, et proinde ad se invicem propius accedere 
vel longius abire non posse quam pro sequilibrio 
virium. Videtur etiam, supposito quod poli motus 
hujus (considerati in sole et luna) sunt in plano 
requinoctialis, motus ille solis causa esse motus 
terrae diurni. Atque etiam, quia motus terrae est 
in plano eclipticse, terram debere motum lunse 



316 



PROBLEMATA PHYSICA. 



(iare respondentem motui diurao ipsius terrae super 
eentrum proprium in plano eclipticae. 

B. Idem videtur etiam mihl. Quid enim veri- 
similius esse potest, quam ut causa motus diurni 
terras sit motus aliquis in sole ? Et msi volveretur 
luna super centrum proprium, faciem ejus aspice- 
remus modo unam, modo alteram : quam tai 
videmus, unam semper et eandem. 

A, Restat unum circa aestus marinos phjenoi 
non omnium mirabilissimum : nempe, iugens ille 
fluxus qui singulis noviluniis et pleniluniis cernitur 
in flumine Sabrinae, et alter in contraria parte 
Anglia? in litore agri Lincolniensis. Quatn putas 
hujus phaenomeni esse causam f 

B. Causa asstuum nostrorum communis, sicut 
aute dixi, est partim aqua Ula, quas fertur per mare 
Atlanticum versus Septeutriones : partim illa quae, 
iufluens in fretum Anian et partem Asiae et Europae 
Borealem circumfluens, tendit rursus in Austrum 
per mare Germauicum et Hibernicum, et facit ut 
aqua maris in illis locis altissime se elevet. Atque 
hinc necessario accidit, ut in ostiis fluminum, qme 
et ampla sunt et directe obvertuntur locis ubi 
aquae ab hoc concursu sestuum accumulantur, fluxus 
majore quam alias impetu fiat. Sinus autem ad 
ostium Sabrinae mari Atlantico, et sinus ille alter 
in agro Lincolniensi, mari Germanico directissime 
obvertuntur, ambo magni existeutes. Ego tanti 
aestus qui aliter fieri possunt, non intelligo. Quas 
autem causas* harum rerura philosoplri Collegii 
Greshameusiscausas* reddunt hisce probabiliores 5 

A, De causis adhuc omnino silent. Illud tuum 



pice- 
.men 

ime- 



' Sic edit. 1662 et 1668. 



marinis. 



PROBLEMATA PHY8ICA. 317 

de obice oceani aquam impediente ne procedat, oap. n. 
sed revertatur, memini legisse me alicubi in d« mtabos 
scriptis Cancellarii Baconis. 

B. Ita est : sed motus aquae causam adscribit 
motui diurno primi mobilis, qui motus primi mo- 
bilis, cum sit in circulo cujus centrum est centrum 
terrse, propellere aquam non potest. Etiam Gali- 
leus causam aestuum horum terrae motui cuidam 
adscribit: quem motum terra habere non potest, 
nisi sol, terra, et luna solido aliquo vinculo con- 
necterentur, tanquam in fune pendulo totidem pilae 
plumbeae. 



CAP. III. 

PROBLEMATA DE VACUO. 

A. Ad probandam universi plenitudinem, nullum 
nostin' argumentum cogens ? 

B. Imo multa. Unum autum sufficit : ex eo 
sumptum, quod duo corpora plana, si se mutuo 
secundum amborum planitiem communem tangant, 
non facile in instante divelli possunt; successive 
vero facillime. Non dico impossibile esse duo 
durissima marmora ita cohaerentia divellere, sed 
difficile ; et vim postulare tantam, quanta sufficit 
ad duritiem lapidis superandam. Siquidem vero 
majore vi ad separationem opus sit quam illa qua 
moventur separata, id signum est non dari vacuum. 

A. Assertiones illae demonstratione indigent. 
Primo autem ostende quomodo ex duorum durissi- 
morum corporum conjunctorum ad superficies ex- 
quisite laeves diremptione difficili, sequitur pleni- 
tudo mundi. 



318 



PROBLEMATA PHYSICA. 



B. Si duo plana, dura, polita corpora, ut 
mora, collocentur unum supra alterum, ita ut 
eorum superficies se mutuo per omnia puncta 
exacte, quantum fieri potest, contingant : illa sin< 
magna diflicultate ita divelli non possunt, ut eodi 
instante per omnia puncta dirimantur. Veruntt 
men marmora eadem, si communis eorum super- 
ficies ad horizontem erigatur, aut non valde incli- 
netur : alterum ab altero facillime, ut scis, etiam 
solo pondere dilabentur. Nonne causa hujus 
ha^c est: quod labenti mannori succedit aer, 
relictum locum semper implet ? 

A. Certissime. Quid ergo ? 

B. (Auando vero eadem uno instante divell 
conaris, nonne multo major vis adhibenda est ? 
Quam ob causam ? 

A. Ego, et mecum puto omnes causara statuunt, 
quod spatium totura iuter duo illa raarmora divulsa 
simul uno instante implere aer non potest, quanta- 
cunque celeritate fiat divulsio. 

B. An qui spatia in aere dari vacna contendunt, 
in illo aere solo dari negant qui marmora iila con- 
juncta circundat? 

A. Minime, sed ubique interspersa. 

B. Dum ergo illi qui marmor unum ab alt« 
revellentes aerem comprimunt, et per consequens 
vacuum exprimunt, vacuum faciunt locum per re- 
vulsionem relictum : nulla ergo separationis erit 
diflicultas, saltem non major quam est difficultas 
corpora eadem movendi m aere postquam separata 
fuerint. Itaque quoniam, concesso vacuo, difticultas 
marmora illa dirimendi nulla est : sequitur, per 
ditficTiltatis experientiam, nullum esse vacuum. 

A. Recte quidem illud infers. Muudi autem 



PROBLEMATA PHYSICA. 319 

pleiiitudine supposita, quomodo demonstrabis pos- 
sibile omnino esse ut divellantur ? 

B. Cogita primo corpus aliquod ductile, nec 
nimis durum, ut ceram, in duas partes distrahi : 
quse tamen partes non minus exacte in communi 
plano se mutuo tangunt quam laevissima marmora. 
Jam quo pacto distrahatur cera, consideremus. 
Nonne perpetuo attenuatur, donec in filutn evadat 
tenuissimum, et omni dato crasso tenuius : et sic 
tandem divellitur ? Eodem modo etiam durisshua 
columna in duas partes distrahetur, si vim tantam 
adhibeas quanta sufficit ad resistentiam duritiei 
superandam. Sicut enim in cera partea primo 
extimae distrahuntur, iu quarura locum succedit 
aer : ita etiam in corpore quautumlibet duro aer 
locum subit partium extimarum, quse primae vul- 
sionis viribus dirumpuutur. Vis autem quie superat 
resistentiam partium extimarum duri, facile supe- 
rabit resistentiam reliqnarum. Nam resistentia 
prima est a toto duro, reliquarum vero semper a 
residuo. 

A. Ita quidem videtur consideranti quam cor- 
pora quaedain, prsesertiin vero durissima, fragilia 
sint. Caeterum de duritie iuterrogabo te alio tem- 
pore. Ad vacuum nunc revertor. Quas causas, 
sine suppositione vacoi, redditurus es illorum effec- 
tuum qui ostenduntur per machinam illam quae est 
in Collegio Greshamensi ? 

B. Machina illa eosdem effectus producit, quos 
produceret in loco non magno magnus inclusus 



A. Quomodo ingreditur istuc ventus? Machi- 
nam nosti cylindrum esse cavum, .Tueum : in quem 
protruditur cyliudrus alius solidus ligueus, corio 



320 PROBLEMATA PHYSICA. 

tectus, quem suctorem dicunt, ita exquisite con- 
gruens, ut ne miuimns quidem aer inter corium et 
ees intrare (ut putant) possit. 

B. Scio. Et quo suctor facilius inrxudi possit, 
foramen quoddam est in superiore parte cylindri, 
per quod aer (qui suctoris ingressum alioqni im- 
pedire posset) emittatur. Quod foramen aperire 
possunt et claudere quoties usus postulat. Est 
etiam in eylindri cavi recessu summo datus aditus 
aeri in globum concavum, vitreum : quem etiatu 
aditum clavicula obturare et aperire possunt quoties 
volunt. Deuiqne in globo vitreo summo relinquitur 
foramen satis amplum, (clavicula item claudendum 
et reeludendum), ut in illum qua? volunt immittere 
possint experiendi causa. Tota denique machina 
non multum differt, si naturam ejus spectes, a 
sclopeto ex sambuco quo pueri se delectant imi- 
tantes sclopetos militum, nisi quod major sit, et 
majore arte fabricatus, et pluris constet. Suctorem 
autem intrudunt et revellunt (quia vi magna opus 
est) nou manibus semper, sed ssepius cochlea ferrea. 
Sed quid vides tu in tanto apparatu et artificio, 
quod probet dari vacuum ? 

A. Video, si suctor trudatur usque ad fundum 
cylindri senei, obturenturque foramina, sequuturum 
esse, dum suctor retrahitur, locum in cylindro 
cavo relictum fore vacuum. Nam, ut in locum 
ejus succedat aer, est impossibile. 

B. Credo equidem suctorem cum cylindri cavi 
superficie satis arcte cohserere ad excludendum 
stramen et plumam, non antem aerem neque aquam. 
Cogita enim quod nou ita accurate congruereut, 
qtiin undequaque interstitium relinqueretur quan- 
tuin teuuissimi capilli capax esset. Retracto ergo 



PROBLEMATA PHYSICA. 



321 



suctore, tantum impelleretur aeris quantum viribus 
illis eonveniret, quibus aer propter suctoris retrac- 
tionem reprimitur : idque sine omni difficultate 
sensibili. Quanto autem interstitium illud minus 
esset, tanto ingrederetur aer velocius. Vel si con- 
tactus sit, sed non per omnia puncta, etiam tunc 
intrabit aer, modo suctor majore vi retrabatur. 
Postremo etsi contactus ubique exactissimus sit, vi 
tamen satis auctaper cochleam ferream tum coriniD 
cedet, tum ipsum jes : atque ita quoque ingredietur 
aer. Credin' tu possibile esse duas superficies ita 
exacte componere, ut has compositas esse suppo- 
uunt illi : aut corium ita durum esse ut aeri, i|ui 
cochlea; ope incutitur, nihil omniuo cedat f Corium 
qnanquam optimum admittit aquam, ut ipse scis, 
si forte fecisti unquam iter vento et pluvia Mfurac vl 
al,/!,,^. Itaque dnbitare non potes quin retractus 
suctor tantumaerisincylindrum ( adeoque in ipsum 
recipiens incutiat, quantum sufficit ad locum sem- 
per relictum perfecte implendum. Effectus ergo 
qui oritur a retractione suctoris, alius non est quam 
ventus: ventus, inquam, vehementissimus, qui in- 
greditur undequaque inter suctoris superficiem 
couvexam et cylindri amei coiicavam, proceditque, 
versa clavicula, in cavitatem globi vitrei, sive, ut 
vocatur, reei/tie/ifi.*. 

A. Oansam video nunc unins ex machime mira- 
bilibus, nhnirum, cur suctor postquam est aliqua- 
tenus retractus et deinde amissus, subito recnrrit 
ad cylindri summitatem. Nam aer, qui vi magna 
impulsus fuerat, rursus per repercussionem ad ex- 
terna vi eadem revertitur. 

B. Atque hoc quidem argumenti satis est etiam 
solum, quod locus a suctore relictus 11011 est vacuvis. 



322 PROBLEMATA PHYSICA. 

Quid enim aut attrahere, aut impellere suctoi 
potuit ad locum illum unde rctractus erat, si cylin- 
drus fuisset vacuus ? Nam ut aeris pondus aliquod 
id efficere potuerit, falsuni esse satis supra demon- 
stravi, ab eo quod aer in aere gravitare non potest. 
Nosti etiam quod, cum e recipiente aerem omnem 
(ut ille loquuntur) exugeriut, possunt tamen trans 
vitrum id quod intus fit videre, et sonum si quis 
fiat inde audire. Id quod solum, etsi nullum aliud 
argumentum esset (suut autem multa), ad proban- 
dum nullum esse in recipiente vacuum abunde 
sufficit. 

A, Ad illud autem, quod si vesica aliquatenus 
inflata in recipiente includatur, paulo post per es- 
uctionem aeris inflatur vehementius et dirumpitur, 
quid respondes ? 

A. Motus partium aeris undequaque concurren- 
tium velocissimus, et per concursmn in spatiis bre- 
vissimis numeroque infinitis gyrationes velocissimfe 
vesicam in locis innumerabilibus simul et vi magna 
instar totidem terebrarum penetrat*, prasertim si 
vesica antequam immittatur, quo magis resistat, ali- 
quatenus inflata sit. Postquam autem aer penetrans 
semel ingressus est, facile cogitare potes quo pacto 
deinceps vesicam tendet et tandem rumpet. Verum 
si antequam rumpatur, versa clavicula, aer externus 
admittatur, videbis vesicam, propter vehementiaiu 
motus temperatam, diminuta tensione rugosiorem. 
Nam id quoque observatum est. Jam si hsec quam 
dixi causa, minus tibi videatur verisimilis: vide an 
tu, aut alius quicunque imaginari potest, quo pacto 
vesica distendi et rumpi possit a viribus vacui, id 
esL niliili. 



• Sic Edit. 1662 et 1668. 



PROBLEMATA PHYSICA. 



323 



Unde autem fit ut aniraalia tam cito, nimi- 
rum, in spatio quatuor minutorum horse, in reci- 
piente interficiantur ? 

B. Nonne animalia sic inclusa insugunt in pul- 
mones aerem vehementissime motum ? Quo motu 
necesse est nt transitus sanguinis, ab uno ad 
alterum cordis ventriculum interceptus, non multo 
post sistatur. Cessatio autem sanguinis mors est. 
Possunt tamen animalia, cessante sanguine, revi- 
viscere, si aer externus satis mature intromittatur, 
vel ipsa in aerem temperatum, antequam refrixerit 
sanguis, extrahantur. Idem aer in recipiente car- 
bones ardentes extinguit : sed et illi, si dum satis 
calidi sunt eximantur, relucebunt. Notissimum 
est, quod in fodinis carbonum terreorura (cujus 
rei experimentum ipse vidi) ssepissime e lateribus 
fovea* ventus quidam undecmaque exit qui fossores 
interficit ignemque extinguit, sicut illorum reci- 
piens : qui tamen reviviscunt, si satis cito ad aerem 
liberum extrahantur. 

A, Si phialam aquse in recipiens dimiseris, ex- 
ucto aere bullire videbis aquam. Quid ad hoc re- 
spondebis ? 

B. Credo profecto in tanta aeris motitatione 
saltaturam esse aquam : sed ut calefiat, nondum 
audivi. Sed imaginabile non est saitationem illani 
a vaeuo nasci posse. Spero jam certum te esse, 
nullum esse machinffi illius phEenomenon, quo de- 
monstrari potest ullum in universo locum dari cor- 
pore omni vacuum. 

A. Mundura scis finitum esse, et per consequens 
vacuum esse oportere totum illud spatium quod 
est extra mundum, infinitum. Quid impedit quo 
minus vacuum illud cum aere muudano permis- 
ceatur ? y 2 



324 PROBLEMATA PHYSICA. 

B. De rebus transmundanis nihil scio. 

A. (Auid de experimento censes Torricelliano, 
probante vacuum per argeutum vivum, hoc modo? 
Est, in figura, A pelvis sive aliud vas, et in eo ar- 
gentum vivum usque ad B. Est autem C D tubus 
vitreus concavus, repletus quoque argento vivo. 
Hunc tubum si digito obturaveris, erexerisque in 
vase A, manumque abstuleris, descendet argentum 
vivum a C : verum non effundetur totum in pelvem, 
sed sistetur in distantia quadam, puta in D. Nonne 
ergo necessarium est, ut pars tubi inter C et D sit 
vacua ? Non enim, puto, negabis quin superf 
tubi concava, et argenti vivi convexa, se mui 
exquisitissime contingant. 

B. Ego neque nego contactum, neque vim < 
sequentise intelligo. Si quis in argentum vivum 
quod in vaseestvesicamimraerseritinflatam, nonne 
illa, amota manu, emerget ? 

A. Ita certe, etsi esset vesica ferrea, vel ex i 
teria quacumque praeter aurum. 

B. Vides igitur ab aere penetrari posse argentt 
vivum. 

A. Etiam : et quidem illa ipsa vi, quam a pon- 
dere accipit argenti vivi. 

B. Simul atque argentum vivum descenderit ad 
D, altius erit in vase A quam ante : nimirum, plus 
argenti vivi erit invase quam erat ante desi-ensum, 
tanto quantum capit pars tubi CD : tanto quoque 
minus erit aeris extra tubum, quam ante erat. Ille 
autem aer qui ab argento vivo loco suo extrusos 
est, (supposita universi plenitudine), quo abire 
potest, nisi ad eum locum qui in tubo inter C et D 
a descensu argenti vivi relinquebatur ? Sed qua, 
inquies, via in illum locum successurus est ? Qua, 



i\ onne 
t D sit 
erficie* 

mutuo 

m con- 
ivum 
lonne 

1 

pon- 



PROBLEMATA PHY8ICA. 



325 





nisi per ipsum corpus 

argenti vivi aerem ur- 

gentis? Sicut enim 

omne grave liquidum 

sui ipsius pondere ae- 

rem quem descenden- 

do premit, ascendere 

cogit (si via alia non 

detur) per suum ipsius 

corpus : ita quoque 

aerem quem premit 

ascendendo, si via alia 

non detur, per suum 

ipsius corpus transire 

cogit. Manifestum igi- 

tur est(supposita mun- 

di plenitudine) posse 

aerem externum ab ipsa gravitate argenti vivi cogi 

in locum illum inter C et D. Itaque phaenomenon 

illud necessitatem vacui non demonstrat. Quoniam 

autem corpus argenti vivi penetrationi quae fit ab 

aere nonnihil resistit, et ascensioni argenti vivi in 

vase A resistit aer : quando illae duse resistentiae 

sequales erunt, tunc in tubo sistetur alicubi argen- 

tum vivum, atque ibi est D. 

A. Si phialam, collum habentem longiusculum, 
eandemque omni corpore praeter aerem vacuam, 
ore sugas, continuoque phialae os aquae immergas, 
videbis aquam aliquousque ascendere in phialam. 
Qui fieri hoc potest, nisi factum sit vacuum ab 
exuctione aeris in cujus locum possit aqua illa 
ascendere ? 

B. Concesso vacuo, oportuit quaedam loca vacua 
fuisse in illo aere etiam qui erat intra phialam ante 



CAP. III. 



DeTtcoo. 




326 PROBLEMATA PHTSICA. 

suctionem. Car ergo non ascendebat aqua ad i 
implenda absque suctione ? Is qui sugit phialani, 
neque in ventrem quicquam, neque in pulmones, 
neque in os e phiala exugit. Quid ergo agit? 
Aerem commovit, et in partibus ejus conatnm su- 
gendo efficit per os exeundi, et non admittendo, 
conatum redeundi. Ab his conatibus contrariis 
componitur circumitio intra phialam, et conatus 
exeundi quaquaversum. Itaque phiala: ore aquai 
immerso, aer in subjectam aquam peuetrat e phiala 
egrediens, et tantundem aquae in phialam cogit. 

A. Prseterea vis illa magna suctionis facit, ut 
sugentis labra cum collo phialrc aliquando arctis- 
sime cohaereant propter contactum exquisitissimum. 



PROBLEMATA DE CALORE ET LUCE. 

A. Qvm causa est caloris ? 

B. Unde nosti an sit in rerum natura quicqiu 
calidum praster teipsum ? 

A Quia sentio me a corporibus quibusdam a 
calefieri. 

B. " Calefacit, ergo calet " : non est bona ( 
sequentia. Sed qnam sentis ipse corporis tui i 
tationem dum calescis ? 

A. Video cutem mihi astate quam liyeme i 
explicatiorem. Et sum quandoque debilior t 
prse calore. Et sentio quasi spiritus vitales exhi 
Etiam sudo. 



PROBLEMATA PHT8ICA. 



327 



B. Sunt ergo accidentia illa quornm causas oar. iv. 
quseris. Dixi supra, quod a uiotu quem in sole, 
terra, et caeteris astris supposui, aer dissipatur -. et 
per conseqnens ni mundus plenus esset, innumera- 
bilia essent in aere loca exigua vacua. Sed mundo 
pleno, proximae partes aeris per continuam loci 
mutationem succedunt in locum disjectarum par- 
tium, nec vacua esse sinunt. 

Cnm ergo a motu illiusmodi solari aer juxta su- 
perficiem terrae, nt dixi, laceretur, nisi corporis 
aliquid ex ipsa terra egrediens rupturam illam re- 
sarciret, rursus ad vacuum redeundum esset. Sin 
aliquid ex ipsa terra egrediatur, tunc manifeste fieri 
per liuuc motum vides, ut fluidae partes e terra 
cogantur exhalare. Idemque contingit corpori 
humano : quod quoties homo sentit, calidum se 
s dicit. Similiter, quoties terram videt aquse 
terrseque particulas emittere sestivo tempore iu 
plantas, a calore solis id fieri judicat, 

A. Verisimillimum est. Nec minus verisimile 
est, "»fioni mi" 1 " ** mnii fl"' 



328 



PROHLEMATA PHYSICA. 



pcr laboreni jactitantur, mirum non est 
eorum aliqua etiam ejiciatur. 

A. Multa sunt qua? hominem calefaciunt absque 
omni audore et exhalatione, ut caustica, urticse, et 
alia. 

B. Proculdubio : sed non sine contactu. Non 
enim operantur a distantia. 

A. Quomodo est calor causa lucis, idquein coi 
poribus aliquibus magis, aliquibus miims? Sunl 
etiam in quibus lueeni producere nunquam potest. 

B. Calor non est causa lucis : sed in corporibus 
multis eadem causa, id est, idem motus, est utrius- 
que tum lucis tum caloris. Non sunt ergo inter se 
calor et lux, ut causa et effectus, sed effectus ejus- 
dem caxiste gemini. 

A. Quo pacto ? 

B. Apparitionem fieri lucis scis nnte ocolos, qi 
cunque spectas, etiam fricando, premendo, vel per- 
cutiendo oculum. Id quod aliunde nasci non potest, 
quam a restitutione partium oculi pressi vel per- 
cussi ad situm naturalem. Nonne sol rejicieudi 
aerem ocuium premit ? Nonue corpora Uluminata 
idera faciunt, licet debilius, per reflectionei 
Etiam organa visionis, oculus, cor, cerebrum, pi 
sioni aeris resistit per conatum contrarium ad 
stitutionem versus externa. Cur ergo non oriretur 
apparitio lueis ante oculos, a^que ac in oculi pres- 
sione vel percussione ? 

A. Orietur, non nego. Sed illud quod npparet 
a percussione, quid est ? Nihil enim nunc ante 
oculum est, quod non ibi erat prius. Nam si 
videretur potius ab aliis : vel si nocte fieret, loci 
ubi fit illuminaretur. 

B. Phantasia est j qualis cst imago in speculo 



an 

nt 
st. 
us 

IS- 

erse 
ejus- 

qua- 
per- 
>test, 
per- 
iendo 
inata 
iiem? 
pre*- 
dre- 



PROBLEMATA PHYSICA. 



329 



quale est spectrum ; qualis est macula ante oculum 
a conspecto sole, vel igne candescente ; quale deni- 
que est somnium. Sunt enim hffic omnia snb vex- 
illo phantasise, nullis fulta corporibus, nulli corpori 
insidentia. 

A. Cur autem, quando solem aut lunam, aut 
aliud corpus intueris, non illa quoque spectra esse 
dicas, et phantasmata t 

B. Etiam illorum apparitiones phantasmata esse 
dico. Quamquam enim sol, ut et onine corpus, 
realiter existat et maneat, circulus tamen ille splen- 
didus, magnitudinis (ut videtur) pedalis, sol non 
est, msi plures sint soles. Nam in vitris qupe 
speciem multiplicant, videres viginti soles, si species 
illa esset ipse sol. Est solis apparitio utroque oculo 
sua. Item uno oculo paulum detorto, duo fiunt 
soles in coelo, vel neuter sol est. Etiam eodem 
tempore videtur sol in ccelo et in flumine, id est, 
neuter eorum sol est. 

A. Siquidem h;ec vera sunt, video sequuturum 
illa qure a doctis appellantur accidentia corporum, 
praeter motum et magnitudinem omnia esse phan- 
tasmata, noo objectis sed seutienti adhaerentia. 
Sed unde evenit, ut corpora a certis gradibus calo- 
ris alia candescant et lueeant, alia non luceant ? 

8. Corpora quae lucent omnia motum Ulum 
habeut, quem supposui esse in sole et terra. Cui 
motui, ut tiat lux, certus requiritur gradus velocita- 
tis, quo visionis organum satis fortiter movere 
nossit. Omuia corpora non nimis fluida, a satis 
magno calore lucebunt. Ferrum, lapis, aurum ab 
igne vehemente lucebunt. Aqua non lucehit, quia 
partes ejus ante avolant quam gradum velocitatis 



etluce. 



330 PROBLEMATA PHYSICA. 

cap. iy. acceperint, quantus ad commovendum videndi or- 
^T ganum postulatur. 

A. Sed corpora sunt permulta quorum partes 
calefactae facile avolant, quae tamen inflammantur 
et lucent : ut oleum et vinum. 

B. Quod ad oleum attinet, non inflammatur per 
se solum sine alia materia combustibili, quantumvis 
calefactum. Non sunt ergo partes olei, sed mate- 
riae oleo unctae quae evolantes lucent. Sunt autem 
in vino particulae, quae habent motum illum quem 
in terra supposui satis velocem ; quae a contactu 
flammae externae facile lucent. 

A. Unde sciri potest talem motum inesse parti- 
ctdis vini ? 

B. Nunquamne tantum bibisti vini, ut lucernae, 
mensae, fenestrae, omnia commoveri tibi viderentur? 

A. Aliquando, non saepe. Memini autem ire et 
redire omnia motu reciprocante qualem descripsisti. 
Quid tum ? 

B. Nihil aliud, praeterquam quod ejus rei causa 
erat vinum. Cujus particulae habebant motus illius, 
quem supposui, magnum gradum : quem auxit for- 
tasse nonnihil, postquam in ventriculum et venas 
receptse erant, corporis humani internus calor. 
Atque eo motu concussae venae et (propter continui- 
tatem corporis) cerebrum, faciebant ut motus ille 
qui erat in cerebro et nervis opticis et reiiquo vi- 
dendi organo, videretur tibi esse in fenestra et 
cseteris objectis. 

A. Quid est flamma ? Putavi enim illam, quae 
ab exiguo straminis dum comburitur manipulo exit 
flamma, centies majorem esse quam erat ipse mani- 
pulus. 



PROBLEMATA PHYSICA. 



331 



B. Decepit te phantasia tua. Si baculum mauu 
tenens, cujus sit ignita pars extrema ut luceat, illam 
velociter moveas, sitque motus ille circularis, vide- 
bitur circulus vel areus circuli ignitus ; sin motus 
sit rectus, linea recta ignea, major vel minor pro 
ratione velocitatis et spatii quodpercurritur: cujus 
rei causam satis nosti. 

A. Causam puto esse, quod motus ab impres- 
sione prima in organo duravit usque dum ab 
objecto igne totus circulus, vel tota linea recta de- 
scripta esset. Ex quo necessarium erat, ut ignis 
ille in omnibus lineae, sive rectae sive curvie, punctis 
simul videretur, cum ab omni parte sensum semper 
sequaliter excitaret. 

B. Causam ipsam dixisti. Scintilla ignis, etiam 
minima visibilis, velociter ascendens videtur linea 
ignea. Propter eundem illum motum quem sup- 
posui, videtur etiam latior. Et propterea omnis 
flamma necessario apparet multo major, (puto plus 
quam centies major), quam est corpus ipsum unde 
exit. 

A. ScintilUe quid sunt : 

B. Sunt ligni, vel cujuscunque corporis inflam- 
mati, minutissima frusta: quse frusta a motu illo 
primum eriguntur, deinde effringuntur et evolant 
cum aere una ascendente. Sed antequam evolant, 
si ignis extinguatur, partes illae erectas nec evectas 
naturam habent fuliginis : et sunt combustibiles, 
id est, dissipabiles iu frusta adhuc minutiora. 

A. Etiam e frigidissimo lapide extundi potest 
scintilla lucens. Non videtur ergo omnis sciutilla 
propter calorem splendescere. 

B. Nou: sed, ut dixi ante, caletet splendet prop- 
ter illum quem toties dixi motum. Motus autem 



332 



PRORLEMATA PHYSICA. 



ille nunc a vi collisionis oritur. Nam scintilluli 
Ularum uuaquieque est frustnlum exiguum ipsius 
lapidis, et vertiginem suam fomiti praparato im- 
primit. Atque hoc modo propagatur ignis quantum 
volumus. 

A. Guo pacto comburit omnia fere combusti- 
bilia lux solaris, vel per refractionem in vitro coi 
vexo, vel per reflectionem a vitro concavo 

jB. Pressus a sole aer premit vitrum convexi 
tali modo, ut actio contiuuetur per corpus vitri 
liuea recta, non eadem qua? a sole ad vitrum, 
vergente aliquanto ad perpendiculum ; deinde eon- 
tinuata per oppositam ejusdem vitri superficiem in 
aerem, divergit a perpendiculo. Unde fit ut tota 
actio tandem m arctissimum spatium coucludatur. 
Itaque necesse est, ut si iu illo spatio collocetur 
materia combustibiHs, ea ab actione unita, id 
a motu facto per convergentiam vehementis 
comburatur. 

Eadem ratio est combustionis per reflexionem. 
Nam sic etiam actio tota in arctissimum spatium 
redigetur. Sed de his rebus fusius et accuratius 
tractatum est in libro quem inscripsi De llomine. 

A. Cur non potest esse, ut sol sit corpus aliquod 
tale quale nos vulgo nominamus ignem, et n 
ejus transire per vitri poros, eo modo ut in pum 
vel fere puncto coujuugantur ? 

B. Num dari vitrum potest quod sit totum pori 
Si tale vitrum dari non potest, tum eflectus ille a 
transitu radiorum solis per poros vitri produci nou 
potest. Vidisti accendi combustibilia per globum 
solidum vitreum, quaecuuque pars ejus soliobverte- 
retur. Id quod fieri non potest, nisi vitrum totum 
sit pori. Praeterea neque ego ueque tu iguem 



isti- 
ion- 

S 

■ou- 

1 iu 

:ota 

tur. 

>cetur 

d est, 

issimo 

[■iiieni. 
ium 
.tius 
ne. 
uod 

ori? 



etluce. 



PROBLEMATA PHT8ICA. 333 

imaginari possumus alium quam quem vidimus, cap.iv. 
neque alium quam qui ab aqua extingui potest. Decaiore 
Verum non modo per globum vitreum vel cristalli- 
num solidum comburuntur combustibilia, sed etiam 
per globum concavum (modo et diaphanum sit) 
plenum aquae. Quomodo ergo radii solis, quos 
supponis igneos, transire aquam possunt ut non ex- 
tinguantur. 

A. Nescio. Nec quicquam corporeum a sole 
emitti puto. Nec si emitteretur, intelligere pos- 
sum quo pacto jamdudum sol ipse non consumptus 
fuerit. 



CAP. V. 

PROBLEMATA DE DURO ET MOLLI. 

A. Quid durum appellas, quid molle ? 

B. Durum appello ego, et mecum omnes, corpus 
illud cujus pars loco suo non facile dimovetur nisi 
cedente toto. Corpora caetera appello mollia. Adeo 
ut durities et mollities sint altera alterius gradus. 

A. Unde est quod corpus aliud alio durius sit, 
vel (quoniam gradus sunt) mollius : atque idem cor- 
pus modo durius, modo mollius ? 

B. Causa ejus rei est idem ille motus partium, 
quem a principio in sole, terra, et astris supposui- 
mus: et unde non modo gravitatem, et maris 
sestus, sed etiam calorem et lucem derivavimus. 
Qui cum non sit circa centrum partis sed motus 
ipsius centri, non est semper perfecte circularis. 
Non enim a circulatione est quod aer laceratur, et 



etmoUL 



334 PROBLBMATA PHYSICA. 

cap. v. caeteri effectus producuntur, sed a reciprocatione 
Deduro in linea quacunque. 

Pro causa ergo duritiei suppono reciprocationem 

illam et velocissimam esse, et intra spatia brevis- 

sima. 

A. Conceptu difficile est. Utinam hsec visibili 
aliquo experimento emollire velles. 

B. Quando tensam vides, exempli causa, ballis- 
tam : putasne partes ejus moveri ? 

A. Minime. Scio omnes quiescere. 

B. Quomodo hoc scire potes ? Nullo certe ar- 
gumento, praeterquam quod moveri non cernis. 
Vides quidem laminam totam quiescentem: cre- 
dendumne ergo est quiescere etiam partes ejus 
omnes internas, cum tot sint argumenta quae evin- 
cunt contrarium ? 

A. Quo argumento motum inesse evinces in par- 
tibus laminse chalybese, dum manet tensa ? 

B. Si nervum quo tenetur tensa discindas, aut 
quocunque modo a vi tendente liberes, protinus 
motum laminse videbis velocissimum, quo se resti- 
tuet ad situm unde vi tensionis dimota erat. Motus 
hujus quse causa est ? 

A. Ipsa nervi laxatio, vel laminae utcunque libe- 
ratio a vi tendente. 

B. Quod si laminse non tensse, sed tamen cur- 
vissimse, capita nervo connecterentur, deinde dis- 
cinderetur nervus : non credes laminam illam tunc 
recursuram esse ad situm rectiorem. In quo ergo 
consistit differentia ? 

A. Laminae tensae, elastrum quoddam intus in- 
est : laminae vero sine tensione curvae, elastrum 
nullum est. 

B. Quid est elastrum ? 



PROBIEMATA PHTfSICA. 



335 



A. Per elastrum intelligo partium internarum 
conatum restituendi se ad situm, a quo per tensio- 
nem abductse fuerant. 

B. Conatus quid sit non plus intelligo, quam 
quid sit elastrum. 

A. Per conatum intelhgo principium motus in 
lamina tensioni contrarium. 

B. Sed principium motus quantumvis insensi- 
bile, tamen motus est. Scis autem nihil esse qnod 
principium motus sibi ipsi dare potest. Quid ergo 
laniinte tensse et quiescenti conatum dedit ad situm 
priorem revertendi ? 

A. Ille dedit qui ipsam tetendit. 

B. Fieri non potest, Ille enim conatum pror- 
sum dedit : sed conatus hic est retrorsum. 

A. Concedatur conatum esse motum, et motum 
illum esse in partibus internis lamiiia? semper sive 
tensae sive non tensa? : quo pacto inde infers, quod 
necessarium sit, simulatque a vi tensionis liberatur, 
ut ea ad situm pristinum restituatur r 

B. Hoc pacto. Cum sit in partibus lamina; 
motus qualem dixi, invisibitts quidem sed tamen 
velocissiraus, etiam ante tensionem, motus ille qui 
ante tensionem fiebat secundum longitudinem quam 
habuit ab ictibus malleorum chalybe adhuc can- 
dente, tensam nune ad eundem situm continuo 
urget. Itaque ablato impedimento, ad situm prio- 
rem laminam restituet. 

A. Sed antequam removeatur impedimentum, 
couatus ille nullumne effectum producet ? Nam 
conatus ille motus est ; et motus omnis effectum 
aliquem habere debet. 

B. Etiam,effectum aliquem habebit; nempe hunc, 
ut tempore fiat, longo inquam tempore, ut couatus 



PROBLEMATA PHYSICA. 



ille procedat sccundum Iongitudinem laminae, n( 
ut ante tensionem, sed ut tensai. Atque inde fiet, 
ut, sublato impedimento, restitui tameu sine eadem 
vi qua aute tendebatur non possit. 

A. Ita est. Nain ballista quae diu tensa mansit, 
conatum se restituendi debilitatum tandem propter 
partium resistentiam perdit. Sed ab hoc interno 
partium motu reciproco quotnodo iufers totius du- 
ritiera ? 

B. Si cuilibet illarum uni vim applicaveris, ne- 
cesse est ut partes reliquas commoveris, antequam 
illa una sensibiliter moveatur. Totum ergo cedi 
aut illa pars sensibiliter non cedet. Corpus 
cujus pars non cedit nisi cedente toto, durum 

A. Corpora dura ab igne liquescunt aliqua, 
tamen omnia. Unde hoc r 

B. Durissima corpora illa sunt, in quibus 
tium motus et velocissimus est, et intra spatia bre- 
vissima. Itaque si ignis, iu quo motus partium 
valde velox est, sed in spatiis majoribus, satis ve- 
hemens sit ad superandam duri resistentiam.faciet 
ut partes duri motum suura exerceant iu spatiis 
majoribus, et proinde ut resistant minus, id 
durura eraolHbit : quando autem in tantum emi 
untur dura, ut suo ipsorum pondere diffluant, ti 
liquifieri illa dicimus. 

A. Unde accidit ut durissima quaeque fi 
sima sint ? 

B. Quando durum aliquod, exempli causa, 
gam ferream flectimus, spatia in quibus fit mo1 
ille partium non augemus, ut facit iguis. Sed partes 
alias iu convexitatem distrahiraus, alias in cavita- 
tera comprimimus: idque in uno praesertim puncto. 
In quo puucto, vel quasi puucto, si resistentia v 



uam 
;det, 

! 

bre- 




PROBLRMATA PHYSICA. 33" 

ferrese a vi flectente superetur, proximarum par 
tium cohassio subito vincitur, victa? fere antequain 
pars estima frangeretur. 

A. Vidi vitruni figuram habens qualem hic ap- 
pictam habes: nempe, AABC solidam. Cujus si 
partem BC effringas, totum in pulverem discutie- 
tur. Causam phtenomeni tam iusiguis scire cupio, 
verisimilem saltem. 

B. Experimentum vidi. Causam, primo, figurae 
dicam. Virgam ferream vitro liquefacto, quod 
intra fornacem in vase continetur, iutingunt. A 
virgse termino pendebit gutta vitrea, liquefacta 
quidem, sed tamen satis tenax, similis lachrirafe : 
quam excidere iu aquam sinunt. Inde oritur cauda 
illa ACB : qua rupta, iu aquam incidit, primo, 
graudis illa gutta AA ; 
et statim sequitur 
cauda ACB, et casu 
curvatur. Gutta ergo 
AAextinguitur priina, 
et post guttam cauda : 
idque successive, ex- 
tinctione a fundo in- 
eipiente. Coguitajam 
corporis hujus vitrei 
generatione, videamus 
quid ab ea inferri po- 
test. 

Q.uoniam pars AA prima extinguitur, motus in 
ea partium, qui ab igne in majoribus spatiis fere- 
batur, ab aqua cogetur in spatia minora : et proinde 
motus partium versus B velocior fiet. 

A. Quid ita ? 

B. Si sumas virgam e ferro, aut materia dura 

VOL. IV. % 




etmolli 



338 PROBLEMATA PHYSICA. 

cap. v. quacunque homogenea, et illius terminum quidem 
d» doro alterum manu teneas, terminus autem alter cale- 
fiat dum candescat, poteris eam etiam sic illaesus 
tenere. Verum si simul teneas et partem canden- 
tem subito extinguas, manus tibi ita vehementer 
uretur, ut tenere illam diutius non possis. 

A. Nota res est. 

B. Vides ergo, ut motus partium ab A versus 
C et B vehementior multo factus sit quam ante, 
atque etiam in spatiis arctioribus propter extinc- 
tionem partium inferiorum : utque omnis motus 
partium inferiorum unitus sit paulatim in puncto B. 
Atque hinc fieri credo, ut cauda illa BC, quanquam 
exilis, difficillime tamen frangatur. Quoniam autem 
motus hic in omnibus vitri particulis non solum 
circularis est, sed etiam propagatur in longitudi- 
nem a fundo A ad cuspidem B : propter reactionem 
vaporum ex aqua calefacta in guttam A A agentium, 
totus motus spiralis fiet, et per illum diffindetur et 
torquebitur materia vitrea ab imo ad summum in 
fila vitrea innumerabilia, ut fiunt in arboribus a 
succo surgente quo nutriuntur fila iignea. 

Itaque, si caudam illam ACB flectas (exempli 
causa) in C : id quod majorem requirit vim, quam 
quis facile crederet : fila illa vitrea omnia simul 
flectes. Atque eadem flexa tenebuntur, donec 
rupto vitro in C simul omnia liberentur. Tum 
vero subito simul omnia resilient (velut arcus fra- 
gilis et nimium tensus, rupto nervo) in particulas 
innumerabiles. 

A. Nihil verisimilius. Et natura, si in alia re 
ulla, in hac se prodidit, et in illa de restitutione 
laminarum in ballistis. Quo phsenomeno suppositio 



PROBLEMATA PHY8ICA. 339 

tua de motu illo reciprocante partium minutissi- cap. v. 
marum in duris, plane videtur mihi demonstrata. Deduw 
Est et in speculis vitreis (quod saepius animad- * ,DoUi 
verti) ex quo suppositio eadem non parum con- 
firmatur : nimirum, inesse in vitro motum illum 
quem dicis conatum partium internarum. 




Esto enim speculum vitreum AB : sitque ob- 
jectum in C, candela : oculus ad D. Jam a refrac- 
tionibus et reflectionibus pluribus ad utramque 
superficiem, (si prima incidentia satis sit obliqua), 
multas simul videbis candelae imagines, ut E, F, G, 
ordine ut hic describuntur. Caeterum si oculum ad 
C, candelam ad D transferas, apparebunt imagines 
illae ordine non eodem quo ante erant. Guod 
tamen manifestius cognoscetur, si speculum sit 
coloratum, ut rubrum vel caeruleum. Sed causam 
ejus nullam imaginari potui ante hunc diem. Nunc 
autem fieri posse puto a conatu illo per fila, ut in 
ligno. Quem conatum acquirere potuit vitrum in 
fusione et refrigeratione, per eam viam qua vitrum 
candens fundebatur. 

B. Corporum durorum plurimae species sunt, 
metalla, lapides ete., quae in visceribus terrae sunt 
et fuerunt a creatione universi: et praeterea, li- 

Z 2 



et molli. 



340 PROBLEMATA PHYSICA. 

cap. v. quores et succi diversi qui indurari possunt. Causa 
Deduro autem quae ex non duris dura efficit universalis, 
alia puto esse non potest praeter motum aliquem, 
non totius, sed partium minimarum, et illum ipsum 
quem dixi. Quod si quis motum alium (nihil enim 
mutatur nisi per motum) ad hunc effectum produ- 
cendum excogitaverit aptiorem, et monstraverit : 
ad illius sententiam libens accedam. 

A. Scimus aquam indurescere etiam oceani, in 
partibus non nimium remotis a mundi polis. Unde 
sit? 

B. Nosti solem versari semper intra tropicos, 
aeremque a se semper (ut supposuimus) a se reji- 
cere, atque etiam idem facere terram. Itaque fieri 
non potest quin ab utroque magnus nascatur aeris 
motus versus utrumque polum, superficiem terrae 
et maris semper radens. Ab hac rasione necesse 
est ut partes illae terrae et aquae circellos suos quos 
faciunt contrahant, id quod est durescere: et primo 
quidem in superficie cuticulam induere, quae est 
glacies prima : postea vero, eodem motu perseve- 
rante, cuticulam aliam aliamque, cooperante etiam 
glacie prima: donec tandem evadat glacies cras- 
sissima. 

A. Si ita est, non opus est ut interrogem, quo 
pacto fiat ut aquse urceus a nive sali mixta, etiam 
sestate, non procul ab igne congeletur. Sale enim 
et nive circundato urceo, e liquescentibus illis aer 
sive ventus exprimitur, qui radens undequaque 
urcei superficiem extimam, motum partium ejus in 
spatia arctiora redigit: et sic actione ad interna 
propagata, aqua tandem quse intus est indurescit. 
Sed uude contingit ut aqua in puteo profiindo raro 
congeletur ? 



CAP. VI. 

PROBLBMATA DB PLUVIA, VBNTO, ALIISQUB 

CCELl VARIBTATIBUS. 

A. Quid pluviam efficit, et quomodo ? 

B. Motum aeris (qualem ante descripsi), conan- 
tem ad partium aeris diremptionem, necessario 
sequitur conatus perpetuus (quia locus vacuus 
nullus est) omnium partium fluidarum quse sunt 
in superficie telluris, ad illa loca supplenda quae 
alioqui essent vacua. Hinc fit, ut maris et terrae 
partes fluidissimae et minutissimae surgentes aeri 
se immisceant : quse collectse fiunt nubes. Harum 
pars maxima inde oritur ubi maxima est aquse 
quantitas, nimirum, a partibus oceani maximis, 
quae sunt mare Indicum, mare Australe, et mare 



et molfi. 



PROBLBMATA PHYSICA. 341 

B. Quia puteus profundus est instar urcei magni, cap. v. 
cujus superficiem extimam radere aer non potest, d*. do ro 
nisi terra, qua circundatus est urceus, valde sit 
spongiosa. 

A. Cur non congelatur yinum, sicut aqua ? 

B. Etiam vinum congelabitur, si frigus magnum 
sit et diuturnum. Sed motus internus partium 
vini, sicut et multorum aliorum liquorum, fortior 
est, et in majoribus circulis, quam motus partium 
aquse : et propterea minus facile indurescit, prae- 
sertim usque ad centrum. Partes enim vini qua- 
rum est motus ille fortis, recipiunt se ad centrum. 
Vini autem quod illic est, reliquo congelato, fortis- 
simum est. 



342 PROBLEMATA PHT8ICA. 

cap. vi. quod novum a veteri mundo separat, Atlanticum : 

DepiuYi.,vento, supra quae maria sol rectior incedit quam supra 

**3£u?* T * C8Btera > et propterea majorem inde elevat aquae 

quantitatem. Quse cum in nubem coaluerit, de- 

scendit rursus in pluvia. 

A. Si sol aquam, ut dicis, elevat, cur non et 
sustinere potest ne recidat ? 

B. Etiam sustineret, credo, nisi multae partes 
concurrentes pondere suo vim elevantem supe- 
rarent. 

A. Gfcuae causa est concursus ? 

B. Qtricquid lationi earum se opponit, et tan- 
tisper retinet dum aliae supervenerint, ut montes 
vel ventus. Praeterea, quando feruntur versus 
polos, ubi vis solis propter obliquitatem minor est, 
unde descendunt paulatim pondere suo. Sed quia 
pondus illud tendit ab omni parte ad centrum 
terrae, necessario coguntur descendendo in spatium 
arctius, et guttulae contactu crescunt. 

A. In altissimis montibus cur tam saepe uingit, 
tam raro pluit ? 

B. Quia vapores elevati supra summos montes, 
ubi motus aeris est liberrimus, ab illo motu aeris 
cougelantur, antequam in guttas majusculas, quales 
faciunt pluviam, uniantur. Guttulae autem sic con- 
gelatae sunt nix. 

A. Cur tam raro pluit in iEgypto, cum tamen 
in locis aequatori propioribus pluvia tanta sit ut 
inde Nili oriatur inundatio ? 

B. Causa, ut dixi, descensionis pluvise una, et 
forte maxima, est collectio et in nivem inspissatio 
vaporum circa montes magnos, quae Lunae Montes 
appellantur: praecipue vero existente sole prope 
aequinoctialem, qui aquam tunc potentissime elevat, 



PnoltLEMATA PHYSICA. 



343 



et a majoribus maribus. Montes autem illi in qui- t 
bus suut Nili scaturigines, maximos esse coustat, d,, 
et sub sequatore, et prope mare Indicum. Miran- *'™ 
dum ergo nou est, si in illis montibus maxima sit 
uivis copia. Quae nix liqucscens Nilum auget, 
cujus aqua mensibus Aprilis et Maii descendit 
versus /Egyptum, et illic elevatur, maxime circa 
sotstitium ffistivum : itaque terram inundat. 

A. Cur ergo uon inundat bis in anno, id est, 
quoties sol est in sequatore ? 

B. Ab asquinoxio autumnali progreditur sol ad 
tropicnm Australem, ut nivem in lateribus mon- 
tium qui .Egyptum spectant liquefacere nou possit. 

A. Oportet autem ut sit iuundatio sirailis ex 
parte montium Australi. 

B. Descensus quidem aquarum major profecto 
debet esse, quia major est Hquefactse nivis copia. 
Inundatio autem nuila esse potest, uisi inundaretur 
mare Indicum, quod moutes Ulos alluit. 

Guod ad causam attinet cur tam raro pluit in 
.Kirypto, eam esse puto, quod valde magni montes 
prope ^gyptum nulli sint in quibus nubes sisti 
possunt. Montes euim unde Nilus oritur, distant 
inde circiter 2000 mille passuum. Qui proximi 
sunt ab uuo latere, sunt moutes Nubire : ab altera 
parte, Sina et moutes Arabiae satis dissiti. 

A. Unde oriuntur venti ? 

D. Prsecipue, ut videtur, a motu uubium. Par- 
tim etiam a re quaeunque in aere mota. 

A. Nubes a ventis ferri manifestum est. Videris 
ergo effectum ponere ante causam. 

B. Si nubem movere nihil posset prnter ventum, 
objectio illa bona esset. Sed nubem gravitate sua 
deacendere posse certissiuiuiu est. Uuaiido autem 



344 PROBLEMATA PHYSICA. 

cap. vi. sic descendit, fieri non potest quin aerem ante se 
i*piuvia,Yento, U8( l ue ad superficiem terrae propellat, et rursus a 
aiii»qii« ca»u ra- terra repellatur idem aer : unde ventos fieri necesse 

netatibtu. * 

est quaquaversum, qui nubes alias in quas incidunt 
propellent. 

A. Esto. Sed nubium motus tardus quomodo 
ventos efficit tam veloces ? 

B. Non unius aut duarum nubium, sed multa- 
rum plerumque et magnarum effectus est ventus 
magnus. Praeterea, facto jam vento, cogitur aer 
ssepissime in loca nubibus jam ante camerata : et 
propterea ventorum vis ab angustia loci maxime 
augetur. 

A. Cur Auster magis quam alii venti pluviam 
adfert ? 

B. Ubi sol est potentissimus, et maria amplis- 
sima, id est, in partibus terrae (respectu nostri) 
australibus, ibi plurima est in aere aqua, quam ad 
nos adferre solus Auster potest. Verum imbres 
magnos vidi etiam aliquando a vento boreali, sed 
in sestate : ita ut nubes illas allatas prius ab Austro, 
et praeterlatas, putarem a Borea relatas esse. 

A. Vidi aliquando navigans undas ingentes, et 
magnam maris concussionem, cum tamen nullus 
omnino perciperetur ventus. 

B. Quid autem paulo post ? 

A. Flusquam voluimus, procellam ingentem, id- 
que intra minus quam quartam partem horae. 

B. Id est, ventus ante veniebat, post aderat. 
Venientem autem percipere non potuistis, quia 
motus aeris tendebat, propter descensum nubium, 
deorsum : qui aer ab aqua reflectebatur sursum, et, 
donec vicinus erat, supra vela. Itaque ventum 
non sentiens, non esse existimabas. 



PROBLEMATA PHYSICA. 345 

A. Qui fieri potest ut navis a vento acta, pro- cap. vi. 
grediatur tamen aliquando in eadem linea recta, D JphM^to, 
quasi a vento non impulsa sed attracta ? ^tibuT* 1 *** 

B. Scire prius oportet, quod corpus omne in 
aliud corpus impingens, sive perpendiculariter sive 
oblique incidens, semper tamen agit in linea quae 
est ad superficiem corporis in quod incidit perpen- 
dicularis. Exempli causa: pila ferrea e sclopeto 
in parietem missa, eam aliamve materiam ita im- 
pellit, ut pars icta recedere cogatur in linea quae 
est ab superficiem perpendicularis. Nam si via 
pilse sit ad parietem obliqua, motus ejus compo- 
netur ex duobus motibus, altero ad parietem paral- 
lelo, altero perpendiculari. A quorum motuum 
primo nullus in pariete effectus esse potest. Ictus 
ergo totus erit a motu altero, nempe perpendicu- 
lari : quare pars parietis percussa recedet in linea 
perpendiculari sola. Nec nisi ita esset, ulla esset 
ictus obliqui et perpendicularis differentia quoad 
vim. Quod falsum esse sciunt omnes. 

A. Quomodo autem haec ad navem transfers ? 

B. Sit AB navis, prora A. 
Jam si ventus spiret ab A ver- 
sus B, progredi navis non po- 
test, quomodocunque obten- 
sum sit velum. Sit CD ad 
navem perpendicularis, sitque 
velum E C oblique tensum, in 
quocunque angulo E C A. Sit- 
que CF perpendicularis ad EC. 
Vides ergo progressuram navem pro ratione CA 
adDF. 

A. Ita est. Sed si ventus fere contrarius esset, 




346 PROBLBMATA PHY8ICA. 

cap. vi. id est, si angulus ECA valde exiguus esset, navis 
Df»piavia,yento, credo tardius iret in linea CA, quam lateraliter. 
rieSlw 0611 ^ B * Tardius certe tanto iret, quo ventus esset 
magis contrarius : sed navis lateraliter tardius ibit 
quam credis. Nam motus ad latera duae causae 
sunt : quarum altera est ventus ille qui incidit in 
ipsum latus navis ; altera est veli sinuatio. Qua- 
rum causarum prima nihil fere efficit, quia pondus 
aquae quod a latere navis propellendum est, maxi- 
mum est : secunda motum navis in anteriora ali- 
quantum impedit. 

A. Quod navis motus lateralis, nisi in longis- 
sima navigatione, non multum impediat facile 
concedo : sed veli sinuationem accelerare navem 
credidi, potius quam impedire. 

B. Error est. Nam impedit : minus tamen quan- 
do ventus a puppe spirat. 

A. Videtur ergo, si tabula aliqua lata, eademque 
tenuis, pro velo vento obtenderetur, commodiorem 
fore : quia minus sinuatur quam velum ex lino. 

B. Vela lignea quot incommoda secum allatura 
sunt, facile providere licet, etiam absque experi- 
entia. Expertum tamen vidi in velo ligneo quid 
efiicere ventus potest. Vidi enim tabulam ligneam 
quatuor trochiscis impositam, et in medio ejus pro 
malo erectum baculum, et baculo affixam aliam 
tabulam instar veli ; atque ita collocatam, ut ven- 
tus in eam incideret obliquissime ; nempe, in an- 
gulo multo minore quam est angulus in praecedente 
figura ACE, id est, ita ut esset in situ ad ventum 
fere contrario. Tabula haec cum velo suo ligneo in 
pavimento sub dio, spirante vento mediocri, collo- 
cata est. Evenit autem, ut primo immota paulisper 



PROBLEMATA PHYStCA. 



347 



ct quasi dubitabunda staret, sed non diu: deiude om < 
subito et velociter procurreret, donec a scabritie t], (1 i,i.j,..v, 
pavimenti everteretur. J5 

A. Antequam relinquamus navem, dic mihi qui 
fit ut exiguo gubernaculo maxima navis a cursu 
suo deflectatur. 

B. Id fit non solo gubernaculo. Navisaguber- 
naculo in aqua stagnante converti non potest, neque 
iu aqua naturaliter profluente, modo navis liberaet 
soluta sit. Opus est profluente per vim externaui 
vel venti vel reniorum. In tali profluente si guber- 
naculam ad aquam labentem a prora ad puppim 
oblique teneatur, actio aquse in ipsum impingentis 
non obliqua erit, sed, ut supra ostensum est, per- 
pendicularis : uiide necesse est ut navis a cursu 
deflectatur, atque ita deflectatur tit prora teiidat iu 
eam regionem ad quam incliuatur in puppe guber- 
uaculum. Animadvertisti credo, in flumine Tamesi, 
KKJgttt qusedam descendere navigia a partibus An- 
glite occideutalibus, per flumen uondum ita profun- 
dum ut prope urbem : quorum guberuacula latiora 
multo sunt quam guberuacula maxiinarum navium. 
Quare hoc, nisi ut aquaui multam sustiueant, quse 
in non profundo flumine intercipienda est prope 
aquae superficiem ? 

A. Qute causa est nivis ? 

B. Eadem quam, cum Ioqueremur de duritie, 
supposui pro causa duritiei. Motus euim ille quem 
supposui in tellure et sole aerem rejicientibus, mag- 
num aeris conatum eflicit a Zona Torrida utrinque 
vitpiis polos, Qui aer per nubes uondum gravi- 
ilisMimis transiens, guttulas, ex quibus nubes con- 
Btat, radesdo cougelat, eodem plane modo quo 



348 PROBLEMATA PHYSICA. 

cap. vi. aquam maris et fluminum congelari dixi. Guttulae 

De P iuvia,vento, autem sic congelatse sunt nix. 

d^ne«B]iTa. ^ Quomodo ergo congelantur guttae majores, 
maxime vero tempore sestivo, in grandinem r 

B. In sestate maxime contingit ut nubes constent 
ex maximis guttis, utque maxima copia aquse ele- 
vetur. Itaque spatio inter terram et nubes arctiore 
facto, motus aeris tanto fit velocior: et proinde 
guttas illas congelat non in ipsis nubibus, sed a 
nubibus cadentes. Nec tamen totas congelat, (quod 
cadendi exiguum tempus non patitur), sed in su- 
perficie tantum: ut manifestum est, ex eo quod 
multo quam glacies aut nix citius liquefiunt. 

A. Cur non aliquando nubes, etiam integraegra - 
vidseque, congelantur in unam magnam glaciei 
molem ? 

B. Ita, credo, congelantur quoties tonat. 

A. Sed quare ita credis ? 

B. Propter ipsum sonum, qui proprie Jragor 
dicitur : sonum dico, qualem efficit duorum corpo- 
rum difiractio. Qui fragor quomodo fieri possit in 
corpore non duro, intelligere non possum. 

A. Imo, pulvis ille quem appellant aurum fulmi- 
nans, mollis est. Attamen si sequabiliter calefiat, 
fragorem edit simUem tonitrui. 

B. Sed pulvisculi illius particute singuke per se, 
cur non possunt esse durae, etsi totus cumulus mol- 
lis sit: quemadmodum arense acervus mollis est, 
quanquam granum ejus unumquodque durum est ? 
Sales omnium generum similes sunt glaciei, et fra- 
giles ut glacies. Etiam ut fiat aurum fulminans, 
dissolvitur aurum ope nitri et salium aliorum : et 
granum unumquodque auri fulminantis per se, si in 
ignem injiciatur, crepitat, id est, fragoris sonum 



PROBLEMATA PHYSICA. 



349 



imitatur. Quare si tiat ut granorum cumulus simul cap. - 
crepitet, necesse. est ut fragor magnus sit. n, ^i ,. 

A. Sed antequam aurum fiat fulminans, dulcifi- ^llu 
catur, ut cliymistarum verbo utar : id est, sal elui- 
tur, et deinde paulatim desiccatur. 

B. Id est, aqua evaporatur, sal relinquitur: sal- 
tem aliquantum, quod siccatum indurescit. Non 
ergo ab auro fragor ille, sed a sale esse potest. 
Sunt enim pulveres etiam alii quibus aurum nullum 
inest, qui tamen calefacti sonum edunt non mino- 
rem quam aurum fulminans. Chymista quidam 
nostri temporis affirmat, quod sal tartari et nitrum 
cum paululo sulfuris mixta, et in pulverem redacta, 
et calefacta, fragorem efficiunt quantum facit sclo- 
petus militaris qui musquettus appellatur. 

A. Videtur mihi opera? pretium facturus, qui 
experiri vellet quantum effectum haberentpulveris 
istius (auri inquam fulminantis) plures simul librce 
in magno sclopeto poliorcetico, gradatim a favilla 
calida calefacta;. 

B. Idem sentio. 

A. Quid est id quod nubes, ut dicis, congelatas 
frangit? 

B. Quando dies calidi sunt, sol magnam excitat 
copiam vaporuui tum e mari, tum etiam e locis om- 
nibus palustribus. His vaporibus pendentibus as- 
surgunt alii aliique. Sfcpe autem dum pars ascendit 
et para descendit, nubes fiunt spissse et simul ca- 
vernosag, per quas expressus aer multis in locis 
transiens nubes congelat, eo quem ssepius dixi 
modo iuduraus. 

A. Id coneessum ante est. Qusero autem, non 
unde in glaciem concrescunt, sed a qua causa post- 
quam durescant diffringuutur. 



350 PROBLEMATA PHTSICA. 

J3AP-VI» B. Suppositio hic adhibenda est nova. 

De piavia, ^ento, A. Non omnia ergo continet pelvis. 

^2^^ ** E. Quid ita ? Suppositio enim quam adjunctu- 
rus sum, non obstabit : quae haec est, quod motus 
ille quem supposui in terra, sole, et astris, est etiam 
in eorum minimis particulis. Nam si motus talis 
in tellure revera insit, quare dubitabimus an insit 
etiam in singulis partibus ejus seorsim ? Nam to- 
tum et partes ejusdem sunt naturae. Si pars aliqua 
terrae quantulacunque sublata esset e rerum natura, 
num ideo motus ille tolleretur in parte reliqua ? Si 
magnetem frangas, unaquaame pars ejus virtutem 
totius retinebit, quanquam pro ratione magnitudi- 
nis diminutam. Cur ergo idem non fiet in parti- 
culis terrse ? 

A. Supponatur. Atque etiam, quod simul cum 
aqua (nam video quo tendis) multse in nubes ele- 
vantur a calore solis atomi terreae. Quid inde se- 
quitur ? 

B. Si nubes gravidae permultae, alise ascendentes 
aliae descendentes, concurrant, faciantque per con- 
cursum concavitates plenas aere, et concursu con- 
tinuato spatia illa cava coarctent, ita ut ab expressi 
aeris motu fiat glacies : necesse est ut atomi illae 
terreae, quse aquam non tam facile penetrant, relin- 
quantur in illis cavitatibus, minoribus tandem quam 
pro ratione spatii quod illarum motus postulat. 
Itaque alterse in alteras impingent, et motu inde 
aucto glaciem subito, modo hic modo illic, rum- 
pent, et sese liberabunt, tonitrua et fulgura facien- 
tes pro numero carcerum eflfractorum. Fulgur enim 
phantasia est ab actione aeris in oculum. 

A. Saepe etiam sereno ccelo nec tonante fulgur 
vidi, praesertim vespere. 



PROBLEMATA PHYSICA. 



351 



CAP. VI. 



aliisqae ccbH th- 
rietatibas. 



B. Nimirura, quando nubes et pluvia sunt infra 
horizontem in loco unde videri nubes non poterant, Depiavi^mto, 
nec audiri tonitrua. 

A. Nubes congelari primus supposuit Cartesius : 
et inde contingere aliquando, ut plurima fragmenta 
glaciei situm inter se talem habeant, ut tanquam 
totidem specula plures imagines solis in oculum 
reflecterent. 



CAP. VII. 

PROBLEMATA DE MOTU PERPENDICULARI ET 
OBLIQUO : REFRACTO ET REFLEXO : DE PRES- 
SIONE ET PERCUSSIONE: DE TRACTIONE ET 
PULSIONE. 

A. Si pila a dato puncto parietem feriat perpen- 
diculariter, et rursus ab eodem puncto eundem 
parietem oblique, quaenam erit ratio virium inter 
se quibus parietem urgent? Exempli causa, sit 
paries AB, datum punctum E, sclopetus CE, a quo 
emittatur pila perpendiculariter ad F. Sitque sclo- 
petus alter D E, a quo emissa pila incidat in parie- 
tem ad G oblique, sed velocitate pari. Quam 
rationem habebunt inter se earum ictus ? 

B. Vis ictus per- 
pendicularis erit ad 
vim obliquam in 
ratione rectae EG 
ad rectam E F. 

A. Qui fieri po- i 
test ut tantasit dif- 



A F 



G 




352 



PROBLEMATA PHYSICA. 



ferentia ? Num virium suaruin tantum perde: 
tantillo spatio potest, quantum est EG ? 
c - B. Minime. Supponemus enim nullam om 
perire partem velocitatis. Sed causa differentise 
est, quod.velocitateutriusque pilaeexistente sequali, 
altera ad parietem citius quam altera perfertur, in 
ea temporum ratione quam habet EG ad EF. 
Quanquarn enim utriusque pihe consideratie ahso- 
lute velocitas eadero sit, considerata tamen in i 
rum accessu ad parietem major est illa in E F quj 
in EG, in ratione ipsarum EF, EG. 

A. Quando pila non penetrat parietem, sed ab e 
repercutitur, angulusne idem fit cum pariete dum 
rcpercutitur, qui erat cum incideret : ut fieri i 
prensum est in radiis solaribus ? 

B. Si angulos mensuraveris prope parietem, < 
ferentia sensibilis non erit, quae alioqui erit sal 
magna. Motus enim pilse perpetuo a repercussi- 
one languescit : quod nou fit in reflectione radio- 
rum solarium. 

A. Quauam est causa repercussionis ? Coq 
enim quod procedere non potest, motum sui 
perdidit. Unde ergo nascitur motus ille repen 
siouis ? 

B, Motus repercussionis, sicut et reflectionis 
oritur a parietis resistentia. Inter reflectionem 
luminis et pike consideranda differentia est, re- 
spondens motibus differentibus pressionis et per- 
cussiouis. Actio enim qua reflectitur lumen, est 
pressio aeris, sive cujuscunque medii diaphani, cou- 
tra corpus unde reflectitur; quam efficit sol, vel 
aliud corpus luceus vel illuminatum ; nec alia res 
est pra^ter conatum contrarium in reflectente. 
quando viri duo pectoribus premerent duos bai 



abso- 

7 

abco 
dum 
i de- 

satis 
russi- 
radio- 

.ercus- 
tionis, 



PROBLEMATA PHTTSICA. 



353 



terminos, etsi alter alternm non removeret, uterque cap. m. 
tamen iuveniret in seipso aptitudinem satis magnam De ootu 
retrocedendi, atque etiam reprimeudi quicquid cor- P" ldiclu '' 
poris a tergo est. Talis est uatura reflectionis, 
quantum attinet ad lumen. Jam si radii solares 
oblique incidant, actio tamen est ad superficiem in 
quam inciduut perpendicularis. Itaque paries sive 
corpus quodcunque reflectens, resistendo motura 
illum retrovertit perpendiculariter, ut ab F ad E: 
sed a vi quaj est in parallela per EH, quia motus 
ille parietem non premit, nihil aufert. Atque lioc 
pacto duo illi motus, quorum alter est ab F ad E, 
alter ab E ad H, componunt unum motum iu recta 
GH, quse facit angulum cum BG a^qualem angulo 
incidentise FGE. 

Sed in percussione, qualis est motus pilae contra 
parietem, quam primum pila repercutitur, partem 
velocitatis suas amittit, vergetque ad terram suo 
pondere. Ita ut anguli quos faciunt mcidentes et 
repercussi, requales esse non possint, nisi mensu- 
rentur prope punctum parietis iu quo facta ee.t 
percussio. 

A. Si tabula erigatur super plauum aliquod, etsi 
dejici facile potest etiam a solo digito pressus*, 
pilatamen a musquetto eam non dejiciet sed trans- 
adiget. Quam ob causam ? 

B. Dum tabulam digito dejicis tempus consu- 
tnitar, dum motus, quem parti imprimis quam di- 
gito tangis, caeteris partibus omnibus communicari 
pnssit. AKoqui iMiim non dejieietnr: totum eniin, 
nisi omnibus partibus inotis, dejici non potest. 
Pilse autem percussio tanta fit celeritate, ut partera 



' Sic edit. 1662 



354 



PROBI.EMATA PHYSICA. 



in quam ineidit ante perrumpat quam cseteris 
tibus, quas necesse est simul cadere, communl 
lc * possit. 

A. Ictus mallei clavum profunde iu lignum 
subito adiget. Quodnam pondus capiti cjusdem 
clavi impositum, usque ad eandem profunditatera 
adiget,' et quanto tempore ? Problema enim 
quod ssepius audivi discussum inter physicos. 

B. Differentia quae est inter modum quo opi 
tur pondus, et modum quo operatur ictus, facit ut 
calculus sit difficillimus. Nam ictus ad uuum quasi 
punctnm ligni, celeritate sua resistentiam caetera- 
rum partium antevertit : unde clavus facilius in- 
greditur. Sed pondus nec tempus resisteudi prae- 
venit, et resistentiam auget. Sed quantum 
quanto tempore, illud est quod detenninare imj 
sibile esse puto. 

A. Qugenam est difTerentia in* refleetionem 
recursum, qualem experimur in tormentis bellii 

11. Repercussio omnis, proprie loquendo, recur- 
sus est : at non e contrario omnis recursus est 
repercussio. Repercussio semper fit a reactione 
corporis percussi : sed recursus non semper. Re- 
cursus euim non fit premendo pulverem nitratum, 
sed a vi flamma^, quae acceuso pulvere quaquavi 
sum aequaliter movetur. 

A. Recursum illum natum esse putaram ab 
in canouem redeunte postquam flamma et pila ex- 
plosa? essent. Nam ut loci tantum, quantum 
vacuum propter explosionem reliuqueretur, tam 
subito aere intraute per forameu exiguum illud quo 
pulvis accendebatur, impleri posse non putaram. 

B. Flamma illa nihil aliud est practer pulvei 

* Sicedit. 1662 et 1668. 



itera 

iera- 

it nt 
uasi 
era- 
i in- 
prte- 

:cur- 
est 
ione 
Re- 
tum, 

Z 

i ex- 



PROULEMATA PHYSICA. 355 

ipsum, qui dissipatus in partes minutissimas, viden- 
tur, propter splendorem, majorem moiera habere v 
quam revera habent, Et ad mensuram qua semper 1 " 
magis dissipautur, plus aeris per pulveris partes 
dissipatas subingreditur. Etiaui per foraraeu illud 
exiguum unde pulvis accenditur, ingreditur aer. 
Qui duo motus cum siut in aere contrarii, motus 
ex illis compositus minor erit quam ut tormentum 
possint repellere. 

A. Audivi assereutes sclopetnm, magis vel minus 
justo oneratum, pilam semper ita ejicere ut signum 
nuuquam feriat, sed semper asigni latere aberrare : 
sed oneratum certa quadam pulveris quantitate, 
nuuquam errare. 

B. Quomodo id ita esse possit, uon intelligo. 
Quando enim qua? in causa sunt omuia aiqualia 
Bunt, effectus inasquales esse non possuut. Simul 
atque pulvis iguescit, et antequam pila ejecta sit, 
sclopetus recurrere incipit. Causa ergo esse debet 
in manu iilius qui sclopetum tenet, vel (si sit tor- 
mentum bellicum) in terra cui iusistit propter in- 
clinationem vel scabritiem. Causain aliam hujus 
eveutus imaginari non possum'. 

A. Unde oritur refractio ? 

B. Quaudo actio fit iu recta ad superficiem cor- 
poris pressi vel percussi perpendiculari, refractio 
omnino nulia erit. Propagabitur enim actio io Imea 
perpendiculari. Verum si pressiovel percussio sit ob- 
iiqua, refringetur actio in eam partem quam natura 
coqioris, per quod actio propagatur, determinabit. 

A. Quomodo refringknr lumen ? 

B. Si actio procedat per corpus quod minus, in 
corpus quod magis resistit, et ad punctnm superfi- 
ciei in quam incidit rectam ducas perpendicularem, 



356 



FROBLEMATA PHYSICA. 



procedit actio non per lineam mcidentise contiuua- 
tain, ged in alia, ad perpendicularera convergente. 
^ A. Cur ita ? 

B. Ostendi ante quod incidentia operatur tantum 
in perpendiculari. Sed simul atque actio procedit 
tilterius versus interna, operatur partim in perpen- 
diculari, partim in iucidente continuata: propterea 
quod major jam facta resistentia motum illum in 
iucidente continuata debilitat, et convertlt versus 
perpendicularem. 

A. In corporibus dinphanis verum esto. Sed 
sunt corpora raulta per quse transire lumen omnino 
non potest. 

B. Actio quidem per quam fit lumen, nullum 
non corpus permeat. Nam actio hsec pressio est. 
Quicquid autem premitur, premit id quod proxime 
a tergo est: et hoc aliud, in infinitum. Luraen 
autem corpora quaedam non permeat. Naui par- 
tium quorundam corporum iuteruarum tanta est 
iusequahtas et diflferentia quoad figuras, ut actio in 
transitu inmuneris refractiouibus et reflectiouibus 
ita debilitetur, ut autequam perraeaverit, debilior 
fiat quam ut in orgauo videndi visionem producere 
possit. 

A. Si corpus diaphanum fuerit, et actio propa- 
getur in corpus quod minus resistat: exempli causa, 
a vitro iu aerem : qua via teudet in iilo aere r 

B. A puncto unde operatio exit, ducatur ad su- 
perticiem vitri recta perpendicularis. Actio jam a 
resistentia quam passa erat liberata, diverget a per- 
pendiculari quantum ad perpendicularem ante con- 
vergebat. 

A. Uuando pila plumbea sclopeto emissa per 
aerem, peuetrat muruin teneuni, etiamne tunc tiet 
refractio versus perpendicularem? 



PROBLEMATA PHYSICA. 357 

B. Si terra omnis sit ejusdem generis, fiet re- cap. vn. 
fractio versus perpendicularem. Nam etiam tunc De moui per- 
motus parallelus in primo ingressu a resistentia P endicula]ri ' etc - 
debilitabitur. 

A. Unde fit ut pila,si in fluvium mittatur valde 
oblique, penetretque, repercutitur tamen in aerem ? 

B. Quando pila valde oblique emittitur, quan- 
quam motus velox sit, accessus tamen ad aquam 
deorsum tardus est. Et cum accesserit, aquam 
ante se multam pellit cogitque assurgere ; quae aqua 
pondere proprio statim deorsum tendit; unde fit ut 
aqua subter ipsam pilam ascendat, idque cum ea 
vi quae satis sit descensum pilae in aqua superare, 
et sursum pellere, eo modo quo fieri solet in reflec- 
tione. 

A. Quo motu (quoniam effectus omnes motui 
ascribis) ferrum ad se trahit magnes ? 

B. Eodem motu quem supposuimus ante in terra. 
Quanquam autem partes minimae terraeomnes talem 
habeant motum, non tamen suppositum est earum 
reciprocationes aequales esse, neque iisdem tempo- 
ribus perfici, neque super polis iisdem, aut paral- 
lelis. Nam si ita esset, corpora omnia eequaliter se 
mutuo attraherent. Nam consensus talis motus, 
viae, velocitatis, et polorum, fieri non potest absque 
conjunctione ipsorum in centro motus eorum com- 
muni. 

Itaque si ferri natura cum natura magnetis ita 
conveniat, ut motum similem ejus qui est in mag- 
nete, facile recipiat, eo modo quo lyrae chorda 
recipit motum alterius chordae similiter tensae : id 
quod verisimile est, quia magnes species quaedam 
est minerae ferreae : necesse est post motum mag- 
netis receptum, ut ferrum ad magnetem, nisi impe- 



358 PROBLKMATA PHYSICA. 

i. diat magnitudo ponderis, admoveatur: propterea 
,. quod motus eorum, dum inter se distant, tempore 
** differentes se mutuo cogent ad centrum aliquod 
commune. Quod si ferrum ad magnetem asceudat, 
opus erit ut aut majore vi, aut majore propinqui- 
tate, pondus ferri lapis vincat; tuuc vero ferrum 
ad magnetem assiliet tanta velocitate, quanta ab 
eadem altitudine desceuderet ad terram. Sed si 
tum lapis tum ferrum. super aquam natet, attractio 
visibilis erit in majore distantia : propterea quod 
impedimentum quod est in pondere aliquatenus 
removetur. 

A. Unde est quod magues dum natat non qui- 
escit, donec se praecise in meridiauo collocaverit r 

B. Non se semper collocat in meridiano, sed 
ubique fere cum deviatione aliqua. Causam autem 
esse puto, quod axis motus magnetici parallelus 
semper est axi ecliptica? : niiuirum, axi motus si- 
milis in terra, extra quem situm motu suo gaudere 
noii potest. 

A. Consensus motuum in terra et magnete unde 
oritur? Credin' illis qui terram aliud uon esse 
dicunt, quam magnum magnetem? 

U. CJilbertus, eorum qui de magnete scripserunt 
probabiliter primus, sic putavit. Cartesius tellu- 
rem ejusdem uaturje esse censnit cuin caeteris astris, 
(excepta summa ejus scabie non valde profunda), 
et splendescere. Ego nihil definio. Maguetis 
autem virtutem oriri credo ab babitu in ipsa mi- 
uera lougissimo tempore acquisito, propter situm 
in aliquo meridiano, vel potius in aliquo circulo 
maximo eorum qui transeunt per polos ecliptieie, 
qui poli iidem sunt CUHQ polis motus similis quem 
in terra supposuimus. 



PROBLEMATA PHYSICA. 359 

A. Si ita est, non opus est ut te interrogem cur cap. vh. 
limatura ferri, imposita magneti in distantia qui- De mota pw- 
dem ab ipsius polis utrinque aequali, jacebit axi P endlcalari > «*• 
parallela : in aliis autem locis inclinabitur ad polum 
magnetis sibi proximum. Nec quare, si obelisco 
ferreo magnes affricetur ductu continuo, obeliscus 
ille eosdem habebit polos. Neque cur magnes et 
ferrum, sive duo magnetes, super aquam natantes 
alter ad alterum ita se applicet, ut eorum axis sit 
communis, et poli similes in eandem regionem 
spectent ; et per consequens similes poli se mutuo 
repellant. Nam omnia hsec oriri possunt ab uni- 
one motuum. 



360 PROBLBMATA PHYSICA. 



PROPOSITIONES XVI DE MAGNITUDINE 

CIRCULL 



AD LECTORBM CYCLOMETRLS STUDIOSUM 

PR-ffiFATlUNCULA. 

Ne multitudine linearum in diagrammate a le- 
gendo deterreare, monendus es, rationem circum- 
ferentiae circuli ad diametrum demonstratam esse 
a constructione prima, constante ex lineis satis 
paucis, et facile distinguendis. Habes ergo quod 
promittit titulus, in duabus primis propositionibus 
plene praestitum. Si tamen propositionum caetera- 
rum pulchritudo, ut illarum etiam demonstrationes 
legere et examinare velis, suadeat, a lineis reliquis 
minorem habebis molestiam : et quanto plus pro- 
gredieris, tanto semper viam invenies procliviorem. 



CONSTRUCTIO I. 



construc- Describatur quadratum ABCD, et dividatur in 
. Tl °- quatuor quadrata aequalia a duabus rectis EF, GH, 
se mutuo secantibus in I ; ducanturque diagonales 
AC, BD. Centro A, radio AB ducatur arcus qua- 
drantis B D, secans rectam E F in K, et rectam G H 
in k, et AC in P ; itaque arcus BD sectus erit 
bifariam in P. Ducatur DK secans AC in O, 
et producatur ad BC in M. In producta BC su- 
matur CL aequalis CM. Item in DC sumatur recta 



DE MAGNITUDINE CIRCULI. 361 

CN sequalis CL vel CM ; jungaturque BN, qufe construc 
secabit DL in diagonali AC ad O. Ducatur quoque . TI °* . 
AK secans diagonalem BD in V, et HG in q, et 
BN in Vj et producatur ad BC in w. Per punctum 
ducatur recta RS parallela BC, secans AB in R, 
et CD in S, ducaturque AS secans FE in u, et pro- 
ducatur ad ductam DM . Producatur item RS ad 
eandem DM in Z. 

PROPOSITIO i. 

Producta AS incidet in M. 

Quoniam enim angulus BCN sectus est bifariam 
a CO ; erit ut BC ad CN sive CM, ita BO ad ON. 
Sed ut BO ad ON, ita est (propter triangula BOR, 
NOS similia) RO ad OS ; et quia anguli OCS, 
COS sunt aequales, erunt quoque tum rectae SZ, 
CS, OS, tum RO, DS, SV (propter triangula KAD, 
KVO similia) inter se aequales. Quare ut BC ad 
CN vel CM, ita est DS ad SC. Et componendo ut 
DS ad DC sive BC, ita est BC ad BM. Sunt ergo 
BM, BC (sive AB) et DS continue proportionales. 
Producta ergo AS transibit per M. 

PROPOSITIO II. 

Recta BM aequalis est arcui BD. 

Ducatur per O recta rs parallela DC, secans AD 
in r et BC in s. Cum ergo sit ut DS ad SC ita BC 
(id est DC) ad CM, et componendo ut DS ad DC 
ita BC vel DC ad BM, per praecedentem ; erunt 
B *, BC, BM continue proportionales ; atque etiam 
earum potentise, nempe potentia B*, potentia BC, 
potentia BM erunt continue proportionales. Sed 
potentia BC tripla est potentise CL sive CM. 
Quare potentise rectarum B*, BC, BM sunt in ra- 



362 DE MAGNITUDINE CIRCULl. 

tione 3 atl I continua. Centro C radio CM descri- 
batur arcus quadrantis MN ; item radio DS descri- 
batur arcus quadrantis ST, et radio SC describatur 
arcus quadrantis CZ, 

Quoniam ergo potentia DC tripla est potentia; 
CM, erit potentia arcus ST tripla potentiae arcus 
CZ ; et arcus BD aequalis arcubus ambobus ST et 
CZ. Est autem potentia totius arcus BD tripla 
potentiae arcus MN ; et a tota BM ut semidiametro, 
descriptns arcus quadrantis Mw sequalis erit utri- 
que simul arcui BD, MN. Est ergo ut BC (recta 
composita ex B* et * C, quarum potentis suut ut 3 
ad 1 ) ad arcum BD (compositutn ex arcubus ST, 
CZ, quorum potentise sunt ut 3 ad I ), ita arcus BD 
ad arcum M/« (compositum ex arcubus BD et 
MN, quorum potentiae item suut ut 3 ad 1). Suut 
ergo recta BC, arcus BD, et arcus M»i contiDoe 
proportionales. 

Sed recta BC est semidiameter circuli, cujus pe- 
rimetri arcus BD est pars quarta. Quare recta 
quae est sequaiis arcui BD, erit semidiameter cir- 
culi cujus perimetri arcus Mt« est pars quarta. Est 
ergo BM aequalis arcui BD. 

Coroll. Sequitur hinc rectam qua? aequalis est 
arcui CZ, radhim esse circuli descripti a CM, ideo- 
que arcum CZ aequalem esse rectae CM, et arcuru 
ST aequalem esse rectaj BC. 



PROPOSITIO III. 

Itecta PC dupla est tlifferentiae inter semidiaj 
ualem et semiradium, eademque media proportion- 
alis inter CM et ipsius semissem. 

Diagonalis enim AC ilividit arcum BD bifariai 
in P. Ducatur QP siuus rectus arcus BP, t 



DE MAGNITUDINE CIRCULI. 363 

pleaturque quadratam AQPa:; et producatur QP 
ad DC in o, et xP ad BC in y, eritque oy quadra- 
tura, et Ho differentia inter Do et DH, id est inter 
semidiagonalem et semiradium. Ducta autem recta 
LN, erunt anguli CLN, C?y> yCP, CPo semirecti 
requales. Transibit autem LN per P; quare erunt 
Ly, yC, Po, Co, oN, omnes inter se aequales ; et 
unaquseque earuin semissis rectae CL sive CM, 
eademque sequalis differentiae inter DC et Do vel 
QP. Est autem Co ad Ho ut DC ad Do, vel ut 
Do ad DH, vel ut CP ad Co. Quoniam ergo CL 
est aequalis duplse Co, erit CP dupla Ho, eademque 
media inter Co plus oP (id est CM) et ipsam Co, 

LEMMA. 

Si numeri integri quotlibet proportionaliter mi- 
nuantur in ratione 2 ad 1, maximus omnium con- 
sequentibus omnibus cum assumpta unitate erit 
aequalis. ExempH causa, in numeris 16. 8. 4.2. 1, 
cousequentes omnes simul sumpti sunt 15, cui ad- 
dita unitas facit ut sit Bequalis maximo 16, ftem 
in his 8. 4.2. 1 , consequentes simul sumpti snnt 7 : 
quem numerum addita unitas facit sequaleni max- 
imo 8. Quod si numeri quotcunque minuantur in 
ratioiie 3 ad t, tunc consequentes omues simul 
sumpti cum dimidio minimi, sequales eruut diinidio 
maxiini ; ut in his numeris 27. 9. 3. 1, maximus 27 
duplus est 9+3+1 addito i, qui uumerus est 13^, 
semissis tnaximt ; et in his 27 + 9+3 et addito -j, 
consequentes una cum -j sunt semissis raaximi 27. 
Sin nuraeri quotlibet proportionaliter miuuantur in 
ratione 4 ad l, consequeutes simul omnes unacutn 
tertia parte miuiini eruut tertia pars maximi : ut in 
his numeris 16+4 + 1 addito i, consequentes simul 



364 



DE MAGNITUDINE CIRCULI. 



omnes cutn i faciunt 5y, quie est tertia pars m; 
imi 16. Causa autem hujusmodi proportionum 
obscura non cst. Nam numeri bisectione, quain- 
quam infinities bisecti, nunquam devenietur ad ni- 
hilum, sed restabit semper uuitas ; neque triseetio 
perpetua numerum quemcmam reducet ad nihilum, 
sed restabit semper pars aliqua. 



PROPOSITIO IV. 

Quadrata a rectis lineis, qua; peqii.iles snnt ai 
ab caeterisque consequentibus usque ad puncti 
M, simul sumpta, sequatia sunt quadrato ex PC sive 
kp. 

Guadratum enim ex PC latus habet quod est me- 
dium inter IP et ipsius duplum, id est (per prop. iii ) 
inter CM, sive arcum CZ, et ipsius semissem. Sed 
quadratum ex ab eum consequentibus qnadratu eX 
caeteris arcubus omnibus terminatis in AM, suiit 
(per lemma prcecedens) dimidium quadrati ab arcu 
CZ. Quare quadratum quod illis ommbuB est 
requale, habebit pro latere mediam proportioualem 
inter arcum CZ, idest rectam CM, et ipsius semis- 
sem. Media autem illa est ipsa recta PC, ne: 
dupla recta? GQ, quse differentia est inter A( 
AQ. Dico prajterea, quadrata arcuura eorum 
una cum quadrato ab arcu CZ dimidium facere 
arcus ST, sive rectie BC ; et proinde quadratum 
quod illis omnibus est iequale, habcre pro lat< 
rectam AQ mediam inter AB et AG. 

Coroll. Et propterea, quadrata ex omnibus il 
arcubus, assumpto quadrato ab arcu ST, (<juod 
quadratum requale est quadrato ABCD), ;equ;dia 
esse duobus quadratis sirau! a radiis AB et 
cujus latus erit recta ducta a puneto D ad punci 



lum. 
tum 



DE MAGNITUIMNE CIRCULl. 365 

Q, -, cujus rectje D(A quadratum Eequale est sex qua- i*o», 
dratis a semiradio AG ; ac proinde ipsam DE duc- 
tam, eequalem esse diagonali quadrati cujus latus 
est Gk vel FA, quarum utravis potest triplum ejus 
quod potest AG. Etiam (propter eandem ratio- 
nem) quadrata omnia rectarum SZ, Y6, una cum 
consequeutibus simul omnibias per rectam SM 
scandentibus, simul sumpta, faciunt dimidium qua- 
drati a recta DS ; et proinde quadratum quod illis 
omnibus iequale est, pro latere habet mediam pro- 
portionalem inter DS et ipsius semissem. Semissis 
autem ejns est recta F*. 

PBOPOSITIO v. 

Recta AO est media proportionalis inter AB et 
quatuor quintas partes ipsius AB. Recta autem 
DS media est proportionalis inter AB et duas quin- 
tas ejusdem AB. 

Ducatur AE, secans RO in » : in quam demitta- 
tnr ju-ipeiidicularis BX. Quia ergo triangula ABE, 
AXB angulum habeut ad A communem, et augulos 
ad B et X rectos, erit ut AE ad AB, ita AB ad AX. 
Suut ergo AE, AB, AX coutinue proportionales. 
Ducta autem X_/"secaute AB in J'ad augulos rec- 
tos, eruut etiam similia triangula AXB, AJ"K. 
Habent enim anguluin ad A commuuem, et angu- 
los ad X ety" rectos. Ducto igitur arcu/A secante 
AC in k, eruut tres arcus BP, eO, J'h continue 
proportiouales. Sunt etiam coutinue proportkm- 
ales BM, AB, RO sive DS. Ut ergo arcus BD, sive 
mta BM ad AE, ita est reciproce (propter AB 
mediam in utroque analogismo) AX ad RO. 

hitervallo AX intelligatur descriptus arcus qua- 
drantis, seC&UE AC alieubi ; eritque ut arcus BD 



366 DE MAGNITUDINE CIRCULI. 

ad arcum deseriptum ab AE, ita arcus descriptus 
ab AX ad DS vel RO. Erit etiam ut semissis arcus 
BD ad semissem arcus descripti ad AE, ita semis- 
sis arcus descripti ab AX ad RO. Transibit enro 
arcus ab AX per punctum O. Sed AO media est 
proportionalU inter duplam AR et rectam RO. Est 
autem eadem AO media proportionalis inter AB 
et quatunr ejus quintas ; et propterea pohst viee- 
cuplum ejus quod potest pars quiuta radii AB ; id 
est, quadratum ab AO est ad quadratum ABCD ut 
4 ad 5. Quare quadratum ab RO est ad quadratum 
ABCD ut 2 ad 5. 

Coroll. i. Sequitur hinc, si ducatur recta gd pa- 
rallela BC, secans AB in g, illam dg mediam esse 
proportiona]em iuter kg et ipsam dg ; et proiude 
utramvis earum jequalem esse dimidio arcus per 
BD, id est sequalem esse arcui BP. 

CoroU, ii. Quia Kd potest quiutuplum ejus 
quod potest semiradius BE, poterit dg quintuplum 
ejus quod potest quarta pars radii AB; et ambre 
simul in unam rectam compositse possunt decem 
semiradios ; sequitur eam quae potest decem semi- 
radios, aequalem esse arcui BD. 



PROPOSITIO VI. 



:mi- 



Recta DS asqualis est duabus quintis arcus BD. 

Cum enim DS(per prsecedentem) media sit pro- 
portionalis inter ABvel DC, et duas ipsius quintas, 
ent arcus ST media proportioualis inter arcum 
BD et duas quintas partes ejusdem arcus. Sunt 
autem continue proportionales dua; quintae radii 
AB vel DC, recta DS, recta DC, arcus BD ; con- 
timie etiam proportiouales duse quintae arcoa BD, 
totus arcus ST, et arcus BD. Sed in utroque or- 



DR MAGNITUDINE CIRCULI. 367 

dine arcus idem ponitur BD, arcus autem ST raop. vr. 
eequalis est rectre DC. Est ergo etiam DS requalis 
duabus quintis arcus BD. 

Coroll. Semissis ergo rectse DS sequalig est 
quintae parti arcus BD. Quare si semissis DS (id 
est, F«) quintuplicetur, tota sequalis erit rectae BM: 
et proiude arcus Mm aequalis est quiutuplae BE. 
Cum enim arcus ST sequalis sit reeta* AB, erit 
arcus quadrantis descripti a dimidia DS aequalis 
rectse BE, et arcus descriptus a dimidia DS quin- 
tuplicata aequalis quintuplse BE. 

PROPOSITIO VII. 

Semissis arcus BD (nempe BP), recta QP (quse 
media est proportionalis inter AB et AG), et RO 
sive DS, sunt continue proportionales. Quoniam 
AB media est proportionalis iuter arcum BD et 
rectam DS vel RO, eademque media proportionalis 
inter AC diagonalem, et ejusdem semissem, uempe 
AI, erit ut arcus BD ad diagonalem AC,ita reciproce 
AI ad DS vel RO ; et per consequens,utBPsemissis 
ipsius arcus BD ad AI, itaAI semissis AC ad eandem 
DS vel RO. Sunt ergo arcus BP, recta QP (sive 
AI), et DSsive RO, coutiuue proportionales. Sunt 
autem tres arcus BP, eO, etfk cotitinue propor- 
tiouales. Nam B/' est quinta pars lateris AB, et 
Ay quatuor quintae ejusdern AB ; et \aroindeJ7i Ht 
duai- quintae arcus BD, quam sequalem esse rectae 
RO ostensum est in corollario prascedentis propo- 
sitionis. Cum ergo arcus eO medius sit propor- 
tionalis inter arcum BP et arcum fh, erit arcus 
eO medius proportionalis inter arcum BP et rectam 
RO ; et proinde sqnalis rectse QP ; sunt ergo arcus 
BP, recta QP, et recta RO continue proportionales. 



368 DE MAGNITUDINE CIRCULr. 

Coroll. Quia ergo recta gd et arcus BP s 
requales, eruntg-rf, QP,ROcontiuue proportion; 

propositio vm. 
Ut radius BC ad semissem arcus BD, ita est 
DS vel RO ad semiradium Gl. Cum enim RO, 
AB, BM (sive arcus BD), suut continue propor- 
tiouales, erit ut AB ad semissem BM (id est, ad 
arcum BP), ita RO ad GI semissein lateris BC. 



ipti 



PROPOSITIO IX. 

Recta AE requalis est arcui quadrantis descripl 
radio AI vei XQL. 

Cum enim arcus quadrantis descripti radio DS 
vel RO lequalis sit lateri AB, et R« sit dimidia RO, 
areus quadrantis descripti ab R» vel ab »0 erit 
iequalis semiradio BE. Qnare arcus quadrautis 
descriptus a subteusa Ah sequalis erit subtensa? 
duarum rectarum AB, BE, id est, rectse AE. Os- 
tensum autem est quod AE, sive Ad est niedia 
proportionalis inter arcum BD et ipsius semissem 
BP; et manifestum est arcum quadrantis descripti 
ab AQ, vel AI medium esse proportionalem inter 
eosdem arcus BD et BP, cum ipsa AQ, sit media 
proportionalis inter AB et AG: sequitur ergo rec- 
tam AE, ct arcum quadrautis descripti radio AQ. 
vel AIj esse inter se sequales. 

pbopositio x. 

Recta CO a^qualis est subtensffi arcus BK. 

Ducatur subtensa BK, et producatur indefinite. 
Erunt ergo puncta O et V in eadem recta RO. 
Triangulum autem OKV est squUaterum ; et AK 
secabit rectam \ik bifariam et ad angulos rectos 



DE MAGNITUDINE CIRCULI. 

ini*. Erit ergo ©K aequalis ipsi KE. Quare recta ennr.-. 
BK dividit angulura CBN bifariam ; et tum angu- 
lus CBK, tum angulus KBN, est tertia pars suiguli 
EBD. Itaque anguli KBN, NBV suut aequales, et 
divisi ad agulos rectos in v. Sunt ergo latera BK, 
BV inter se aequalia. Sed BV aequalis est OC. 
Ergo OC aequalis est ipsi BK, subtensae arcus BK. 
Coroll. Est ergo recta SC vel SO media propor- 
tionalis inter chordam arcus 30 graduum, et ejus- 
dem chordae semissem. 

PROPOSITIO XI. 

Producta BK transibit per punctum rfin diagonali 
AC, et secabit rectam SZ in Z ; eritque BZ aequa- 
lis diagonali AC vel BD. 

Producatur BN ad arcum M« in t; et a pnncto 
M demittatur perpendicularis Mc, secans B* pro- 
ductam in c. Quoniam ergo recta B£ et arcus BD 
sunt aequales, et AK, DM parallelse, et recta KV 
divisa bifariam et ad angulos rectos in «; recta 
DM secabit rectam B/ ad angulos rectos in r ; 
eruntque Dt et tZ aequales. Producta ergo BK 
incidet in Z. Est enim ut VK ad Kr, ita DZ ad Zr. 

Rursus quia radius BC triplum potest ejus quod 
potest CN vel CM, etiam media proportionalis inter 
BC et semissem ejus BE, quae est recta AI, triplum 
poterit ejus quod potest media proportionalis inter 
CN sive CL et semissem ejus. Semissis autem 
rectae CL ostensa est Po vel Co; et proinde PC 
media est proportionalis inter CLet semissem ejus 
Co. Sed BI sive AI potest triplum rectae PC, id 
est (propter triangula BCN, Blr/similia) triplum 
rectae I d. Transit ergo BZ per punctum d. 

Coroll.i. Recta G# est aequalis rectae Btt. Cmn 

VOL. IV. B 



370 DE MAGNITUDINE CIRCULI. 

enim lequales sint PC, Irf, dempta communi 
restabunt IP, Cd aequales : unde sequitur Gg, BQ, 
quae ipsis IP, Crf suut iequales utraque utrique, 
aequales etiam esse iuter se. 

Coroll. ii. RectaGQest tequalis rectae Bg. 
enim G,','', Bg, composita; faciunt totam BG. 

Coroll. iii. EK vel Wh sequalis est HS. In tri- 
angulo enim aequilatero KVO, quia rectaVK dupla 
est rectae EK vel Wk, etiam recta VO dupla erit 
ejusdem EK vel HA. Est autem eadem dupla 
rectae HS, quia 10 est quadratum cujus latus est 
aequale HS. Itaque juncta SA, et producta ad D, 
in i, sequalis erit rectae AO sive rectse Ae. 



st 



SCHOLIUM. 

Ex iis quae hactenus demonstrata sunt, facile est 
cuivis rectae datae aliam rectam invenire, qua* habet 
ad Ulam rationem semidiametri ad arcum qua- 
drantis circuli, illa semidiametro descripti. ExempU 
causa, si sit data recta Rw, et quayatur recta aequa- 
lis arcui quadrantis descripti semidiametro R/i, 
ducatur a centro circuli A recta A», et producatur 
ad BM in E, erit BE jequalis arcui descripto ab 
Rw. Siiniliter si quaeratur recta linea a?qualis 
arcui quadrantis descripti a lineola wV, ducatur 
AV et producatur ad BM in w, eritque Ew vel EL 
aequalis arcui quadrantis descripti ab nV. Item si 
data recta qualibet in recta BM, quaeratur arcus 
circuli ipsi aequalis, invenietur hoc modo. Sit data 
recta AE ; sumatur in BM recta Ba aequalis AE, et 
ab a demittatur perpendiculariter recta a£, secans 
AM in 6, et a puncto £ ducatur EQ parellela lateri 
BC, erit arcus quadrautis descripti ab Ati sequ; 
rectce Q€ sive AE. 



DE MAGNITTTDINE CIRCULI. 



371 



Proponatur invenire rectara aequalem arcni qua- scholipi 
drantis descripti a majore segmento lateris AB 
secti extrema et media ratione. Semidiametro AG 
describatur arcus secans AE in S; erit ergo $E 
segmentum majus lateris AB secti extrema et media 
ratione. Ponantur in AB, RO, AD, rectae A£, Bi, 
Rij, A0 singulae aequales ipsi SE. Jungaturque ift 
secans AM in X, et RO in ij, et ducatur recta An, 
et producatur ad BC in e. Erit ergo recta Br 
aaqualis arcui quadrantis descripti radio A£; (quia 
est, ut BC ad CM, ita Rij ad Bt) : eademque sequalis 
arcui descripto a majore segraento A£, nempe arcui 
18, eademque majus segmentum rectae BM diviss 
extrema et media ratione in t ; et eM segraentum 
minus. 

Sin quaeratur magnitudo rectae Ba, quae est dia- 
gonalis quadrati a majore segmento Bi, eademque 
rectae BD divisae extrema et media ratioue seg- 
mentum majus ; cum ex eo quod sit segmentum 
majus difficulter vel non omnino demonstrari pos- 
sit, primo mechanice illuin comparo cum recta FE 
vel AB, et illam inveuio proxirae, et sine differeutia 
sensibili, accederead magnitudinem rectae FK,quaa 
est sinus rectus 60 graduum. Itaque juxta regulam 
analyticic, suppono diagonalem BA esse ipsi FK 
aequaleni, Cafculum autem ineo. Quadratum ab 
FK asquale est sedecim quadratis a quarta sui 
parte. Ergo quadratum a diagonali BD sequale est 
32 quadratis a quarta parte lateris AB vel FE. 

Et quoniam quadratum a B\ supponitur aequale 
quadrato ab FK, id est tribus quadratis a dimidia 
AB, id est duodecim quadratis a quarta parte AB 
vel EF, erit quoque quadratum a BA aequale duo- 



3/2 DE MAGNITUDINE CIKCULI. 

srnouDM. decim quadratis a quarta parte lateris AB ; i 
lateris Bi quadratum a?quale sex quadratis a quarta 
parte ejusdem rectae FE. 

Fiat ut 32 ad 12, ita 12 ad aliam, quze erit 4J. 

Quoniam ergo BD, BX, XD sunt continue pro- 
portionales, etiam earum quadrata erunt continue 
proportionalia. Erit ergo quadratum a XD mi- 
nore segmento, tequale 4k quadratis a quarta parte 
lateris EF. Sumpta ergo Dp, qua; sit tatus qua- 
drati ffiqualis dimidio quadrato a quarta parte 
lateris DA, juncta H p erit ffiqualis DX. Cum enhn 
HD quadratum jequale sit quatuor quadratis a 
quarta parte lateris DA, ducta H p erit latus qua- 
drati quod sit 4£ quadrati lateris DA. Quare po- 
tentia recta? DX vel Hp duplicata? erit 18, id est 
quadratum a DX duplicata erit a^quale 18 quadratis 
a quarta parte lateris DA. Potentia ergo recta: 
BX tripla est potentise Bi, (cujus quadratum est 6), 
et sesquialtera potentia? FK. Quare ipsse recta: 
BX, FK, sunt a^quales. Inveuta ergo est magni- 
tudo recta? BX. 

Sequitur hinc, (per Elem. xiii, prop. 4), daplam 
DX sequalem esse recta? qua? subtendit totam DA 
et minus segmentum A//. Nam quadratum sub- 
tensre illius triplum estquadrati a majore segmeuto 
Bx vel A£. Quid ad hs?c dicturi sunt, qui Eucli- 
dem nusquam errasse volunt ? Euclides tamen 
linex rationalis extrema et media ratione seeta? 
utrumque segmentum lineam esse irrationalem 
dicit, cum et totum quadratum a DA, et quadra- 
tum utriusque segmenti, sint ut numerus ad nu- 
merum. Bene quidem ratiocinatus est Euclides, 
sed falso usus est principio illo primo, punctum e 



DE MAGNITUDINE CIRCULI. 



3/3 



indivisibile ; et propterea, sectores, et triangula scholic 
et rectangula minuta, pro lineis rectis pronriscue 
semper numeravit ; adeo ut Elementum decimum, 
ingenii quidem magni specimen, sed inutile, etiam 
magna parte incertum reddidit. 



CONSTRUCTIO CUBI. 

Sit data recta qusecuuque AG. Descriptoqne 
ab ea quadrato ducatur diagonalis AI, cujus po- 
tentia dupla est poteutiae lateris AG. Rursus, e 
recta ad punctum I erigatur perpeudicularis \y 
sequalis lateri AG, jungaturque A y : poterit ergo 
A-y triplum ejusquod potest AG. Eritque circulus 
descriptus ab diametro A-y, circulus maximus in 
sphsera iu quo inscribitur cubus cujus latus est AG : 
eademque fequalis rectas FK vel Gk, quse itidem 
potest triplum ejus quod potest AG. Similiter 
quadratum a CL tertia pars est quadrati a BC, et 
BC diameter spluers in qua cubus a CL inscribitur. 
Qua? proportio universaliter vera est in omni tri- 
angulo rectangulo, cujus angulus unus est tertia 
pars recti. Itaque DS triplum potest recta? SO vel 
RV ; et DO potest ejusdem quadruplum. Item 
AO triplum potest ejus quod potest OC, propterea 
quod est ut AO ad DS, ita CO ad SO vel SC. 

PROPOSITIO XII. 
Arcus quadrautis BD ajqualis est lateri cubi cir- 
cumscripti, una cum latere cubi iuscripti, spbaerae 
eujus diameter sequalis est rectse BC. Si enim 
di;seriptus iutelligatnr circulus centro I, iutervallo 
IE; et cubus cujus unum quadratum estABCD: 
circulus descriptus centro I radio I E si intelligatur 



3"4 DE MAGNITUDINE CIBCUL1. 

transire per cubi ceutruru, sphaera in qua cin 
ille esset maximus tanget omma cubi latera; et 
propterea spheerse circumscriptus erit. Quoniam 
autem latus cubi circumscripti AB potest triplom 
ejus quod potest CL vel CM ; erit cubus a CM, is 
qui inscriptibilis est eidem sphserDe, cujus maximus 
circulus describitur semidiametro IE. Demonstra- 
tur autem ab Euclide, Elem. xiii. prop. 15. 

Coroll. Sequitur hinc ductam NL esse latus 
tetrahedri in eadem sphsera inscripti. Potentia 
enim rectse NL dupla est potentia^ CL ; quare po- 
tentia BC poteutise ejusdemNLest sesquialtera ; 
et proinde, per Elem. xiii. 13, erit recta NL latus 
tetrahedri inscripti sphaerae eidem. 



PBOPOSITIO XIII. 

Rectai AB, Ag, AR, AG sunt coutinue pro| 
tionales. 

Osteusum enim est (prop. 7) rectas gd, Q.P, RO 
esse contiuue proportionales. Ostensum etiam est 
(prop. 8) esse ut BC ad gd, ita RO ad GI vel AG. 
Sunt ergo quatuor rectse AB, Xg, AR, AG con- 
tinue proportionales. 

Coroll. Sequitur hinc cubum a BC duplum 
cubi ab Ag ; et cubum ab Ag duplum esse cul 
ab AR, et cubum ab AR duplum esse cubi ab AG. 



ipor- 

RO 
l est 
AG. 

con- 

rabi 



PBOPOSITIO XIV. 

Compleatur quadratum Agdz, et producatur zd 
ad BC iair ; producaturque gd ad DC in £., et inter 
DC et D£ sumatur media proportionalis D*u ; et 
erit quadratum a Dw aequale circulo descripto 
semidiametro AG vel IH. Est enim BM requj 



DE MAGNITUDINE CIRCULI. 375 

quartse parti circnli descripti semidiametro AB, et prop. • 
per consequens fequalis erit perimetro totius cir- 
culi descripti a semisse recta? AB; et habebit dia- 
metrum asqualem AB. Quare triangulum rectau- 
gulum cujus latera circa rectum angulum MBG 
sunt BC et BM, erit lequale circulo descripto semi- 
diametro quje sit semissis rectse AB. Huic autem 
triangulo a*quale est rectaugulum sub AB et dimidia 
IJM, id est rectangulo ABstt ; et rectangulo huic 
requale est quadratum rectae Dw, medise propor- 
tioualis iuter AB sive DC, et dimidiam BM qute 
est D£. 

PROPOSITIO XV. 

Dato quadrato invenire requalem circulum. 

Sit datum (in fig 2) quadratum ABCD cui inve- 
niendus sit aequalis circulus. Secetur latus AB 
quadrifariam in E, F, et G ; compleanturque qua- 
drata partium, qua* eruut sedecem inter se aequalia; 
ducanturque diagonales AD, BC, secantes se mutuo 
iu centro quadrati ad H. Centro H intervallo HE 
vel HG ducatur perimeter circuli secans AB in E 
et G, et diagonales in R et S. Secabit autem cir- 
culus latera reliqua etiam quadrifariam, transieus 
per puncta P, M, O, N, Q, et L. 

Dico circulum hunc a^qualem esse quadrato 
ABCD. Producatur HF ad circumferentiam in T. 
Si ergo trilaterum AER, eontentum duabus rectis 
AE, AR et arcu ER, sequale sit trilatero FTE con- 
tento duabus rectis EF, FT, et arcu ET, manifes- 
tum est triangulum AHF, nempe partem octavam 
totius quadrati, a:quale esse sectori HRT, octavse 
item parti totius circuii : et sic de cajteris partibus 



3*6 DE MAGNITUDINE CIRCULI. 

quadrati et circuli sequalibus. Sin dictorum trila- 
terorutn alterutrum altero majus sit, circulos qua- 
drato insequalis erit. 

Supponamus ergo trilaterum quidem contentum 
duabus rectis AE, AR et arcu ER majus esse trila- 
tero EFT, contento duabus rectis EF, FT, et arcu 
ET : illi autem seqnale esse trilaterum Aer, con- 
tentum duabus rectis A.e, Ar et arcu re. Erit ergo 
recta AE major quam Ae, et AR major quam Ar. 
Et recta Hr major quam HT, et arcus circuli re 
non major quam arcus RE. Arcus autera re pro- 
ducatur donec occurrat producta? HT in t. Itaque 
trilaterum contentum duabus rectis«;F, Yt, et arcu 
ct, multo major erit quam trilaterum conteutum 
duabus rectis EF, FT, et arcu ET. Quare sector 
Hrt totius circuli pars octava superat triangulum 
AHF, octavam partem quadrati ABCD, plusquam 
triangutum AHT superatur a sectore eodem Hrt. 
Circulus ergo per r, e, t major est quam quadratum 
ABDC. Similiter ostendi potest, si trilaterum AER 
poneretur miuus esse trilatero EFT et {per conse- 
quens) Hrminorquam HR, circulum descriptum 
radio Hr minorem fore quam quadratum ABDC. 
Sunt ergo requalia iuter se quadratum ABDC et 
circulus cujus semidiameter est HR. Dato 
quadrato circulus inventus est aequalis. 



PROPOSITIO XVI. 

Dato circulo aequale iuvenire quadratum. 






Circulo per R, T, S inveniendum sit asquale qua- 
dratum: sit datus circulus per R,T, G. Ducatur 
per T latus uuum quadrati illius, quod circnluni 
circumscribit, uempe XV, dividaturque TV bifar 



DE MAGNITUDINE CIRCULI. 



377 



in d, ducaturque H d quse secabit arcum in E, ita i 
ut sit sicut T d ad rfV, ita FE ad EA. Sed FA di- 
viditur quoque bifariam in E, transibit ergo Hd 
per communem sectionem rectse FA et arcus TR. 
Erit ergo circulo per RTG a^quale quadratum de- 
scriptum super latus AB, ut in pra;cedente propo- 
sitione demonstratum est. 

Potuit ergo problema hoc demonstrari sine ope 
medise proportionalis inter semidiaroetrum et se- 
missem peripheria» circuli ; nisi aliquando ea quse 
prope sunt, longe qurereremus. 

Diagonalis cujuslibet ex dictis sedecim quadratis 
subtendit decimam partem totius perimetri circuli, 
ita ut arcus SG sit una vigesima pars ejus, et arcus 
GTE tres vicesimze partes, e.t rursus ER vicesima 
pars ejusdem, et arcus RS, quarta pars totius pe- 
rimetri, quinque vicesima: partes. Nam si HT 
semidiameter divisa sit extrema et media ratione 
in F, recta HF, majus ejus segmentum, a?quale erit 
subtensas arcus GP, per Elem. xiv. prop. 4. 

Reddidi jam rationem omuium fere linearum in 
figura prima descriptarum ; circulum quadrato 
xqualem, et circulo quadratum a^quale exhibui; 
etiam inter totam AB et semissem ejus duas iuveni 
medias continue proportionales, id est cubum du- 
plicavi ; quod etiam methodo alia aute feceram, ea 
nempe qus sequitur ; non pleuioris aut clarioris 
demonstrationis causa, sed ut objectiones a profes- 
soribus noatris geometria? publicis editre, quam in- 
eptas sint lectori appareat. 



378 



DUPLICATIO CUBI. 



Sit (in %. 1 ) data AV, secta in D, ita ut AD sit 
dupla DV. 

Quadratum ab AD, majore segmento, sit ABCD. 

Sit tum BR tutn AS tequalis semidiagonali AI. 

Producatur CD in P, ita ut DP sit sequalis AD. 

Dueatur RS et producatur. 

Fiat SY aequalis DV, et jungantur RY, PV. 

Ergo rectse RY, PV eruut parallelre et cequales. 

Connectantur PY, VR secans DC in X. 

Ergo PY, VR sunt jequales, et PYRV parallelo- 
grammum. 

A puncto V ad rectam PY ducatur perpendicu- 
laris VZ. 

Et divisa PV bifariam in a, radio aV vel aP 
describatur semicirculus qui transibit per D et Z. 

Ergo anguli YZV, ZVX sunt recti. 

Divisis AB, DC bifariam in E et F, ducta EF 
cabit RY bifariam iny. 

Ducatur af secans YV in T, et ZV in e. 

Ergo af dividit parallelogrammum PYRV bi 
riam, et suut tres rectrc PY, af, VR sequales et 
parallehe. 

Ducatur aZ, qua; est asqualis aV. 

Ergo VZ divisa est bifariam et ad angulos 



I 



Etiam DS divisa est bifariam in T. 
Ergo circulus descriptus radio TV vel TY tn 
ibit per Z. 



DUPLICATIO CUBI. 



3/9 



Jungatur YX secans ttfm i. Et iT dimidio YZ, 
eademque dimidia XV, et YZ, XV aquales. Secta 
autem est PX a recta aT bifariam, quiay* est di- 
inidia RX*. 

Et anguli VYX, ZVX in semicirculis recti. 

Ergo aoguli PYX, YXV snnt recti. 

Ergo ZYXV est rectangulum. Et triacgnla 
DPY, DYX, DXV snnt rectangula, et aequiangula. 

Et qnatuor rectie DP (sive AD) DY, DX, DV 
continue proportionales. 

Et cubus a DX, minore mediarum, duplus cubi 
a DV. Itaque inventus est est cubus duplus cubi a 
DV. Quod erat facieudum. 

Sequitur hinc cubum ab AD duplum esse cubi a 
DY, id est, ut 8 ad 4. 

Praxis facillima est. Nam descripto quadrato 
ABCD, et sumpta AS, sinu 45 graduum ; et divisa 
SD bifariam in T, circulus centro T, intervallo TV 
descriptus, transibit per X, Y, medias qiuesitas. 
Vel sic: a puncto S ducatnr perpendicularis secans 
semicirculum descriptum radio aV, iterum in Z; 
et PZ producta incidet in Y, punctum qusesitum. 
Est entm angulus VZP in semicirculo rectus. 

Contra hrcc objiciunt algebristie duos calculos 
arithinetieos : quorum primus est Johanuis Wallisii, 
professoris geometriaa SaviLiani in Academia Oxo* 
uiensi, talis : 

"Ponamus DV=1, adeoque DA vel DP=2. 



* " Jungatur YX, secnns af in i. Scrta autem est PX ■ rccta 
uT bifarinm. Ergo ducta XT, et producta, incldct \a Z. Et 
XZ lerjualia est ujamctro YV. Ergo tum Te quam Ti eat se- 
missia roctiu YK, Bt jiroinilc iotflf M atjuales. lit anguli, etc." 
K.Jit 1662, 



380 DUPLICATIO CUBI. 

Cum itaque sunt ejusdem circuli, tum AD radius, 
tum AS sinus graduum 45 ; erit AS= V2 ; et 
SD=2— V2 ; et TD = 1— ± V2. Adeoque TV=2 



— i V2 ; et DY=3— V2; et DX= V3— V2. Ideo- 
que tribus DV, DX, DY quarta proportionalis 
(quam quidem abscindet YZ recta ad rectam DP 
continuata) erit 3 — V2 in V3 — V2, hoc est 1. 997 
fere; minor quam DP=2» Adeoque YZ producta 
occurret rectae DP, non quidem in puncto P, sed in 
puncto aliquo inter P et D. Et consequenter, cum 
sit XYZ angulus rectus, erit XYP recto major." 

Ad calculi hujus examinationem, notanda est 
differentia inter arithmeticorum multiplicationem, 
et ductionem geometrarum, satis per se sine de- 
monstratione mathematicis cognita. 

Arithmetici quantitates aliasque res omnes mul- 
tiplicant multiplicandum semel vel saepius nume- 
rando. Quae multiplicatio nihil aliud est quam 
aequalium, quatenus sequalium, additio. 

Itaque numerus sic factus speciem numerati non 
mutat ; cum numerus linearum sint semper lineae, 
planorum semper plana, et solidorum solida, et 
rerum res ejusdem generis. 

Geometrarum ductio semper est ductio lineae in 
lineam, vel in superficiem : nimirum lineae in li- 
neam ut fiat superficies, lineae in superficiem, ut 
fiat solidum. Nam ultra solida non progreditur 
geometra, qui surdosolida, quadratoquadrata, qua- 
draticubos, cubicubos non agnoscit. Speciem ergo 
ductio geometrica semper mutat, faciens ex lineis 
non lineas, sed superficiem ; et ex linea in superfi- 
ciem non superficiem, sed solidum. 

Praeterea geometrarum quadrata, cubi, et solida, 



DUPLICATIO CUBI. 381 

sunt vere quadrata, et cubi, et solida. Arithmeti- 
corum autem numeri quadrati, numeri cubi, nu- 
meri plani, triangulares, pyramidici, figurse non 
sunt, sed propter similitudinem aliquam in situ 
punctorum sic appellati ; nec ductio linese in li- 
neam multiplicatio unquam recte dicitur, nisi linea 
multiplicando toties sumatur, quot sunt in linea 
multiplicante puncta, id est, nisi infinities sumatur, 
ut fiat superficies. Itaque qui multiplicat lineam 
per numerum, superficiem non facit ; nec qui su- 
perficiem per numerum multiplicat, faciet unquam 
solidum. His positis, calculum examino. DY, in 
figura prima, aequalem esse triplae DV minus latere 
quadrati sequalis duplo quadrato a DV, recte qui- 
dem vidit, et proinde aequatio illa D Y=3 — V2 vera 
est. Sed proxima sequatio, DX= V3 — V2, insana 
est. Causa autem quare veram esse credidit, haec 
est. Posuerat initio DV=1. Quoniam ergo DV,id 
est 1, DX, 3 — V2, sunt continue proportionales, 
multiplicatis inter se extremis 1 et 3— V 2, media » 
id est DX, erit radix producti, id est V3 — V2* 
Nam in multiplicatione arithmetica unitas nihil 
mutat. Sed linea DV multiplicata in DY lineam, 
facit rectangulum, inter cujus lateraDY,DV media 
proportionalis est DX. 

Quia ergo DV sequalis est 1, erit rectangulum 
sub DY, DV aequale sui ipsius lateri, id est (ut no- 
tavi supra) DY infinities sumpta aequalis est eidem 
DV semel sumptse. Quod mihi quidem videtur 
insanum, sed lectoribus nolo praej udicare. 

Deinde, quod dicit 3 — V2 in V3 — V2 esse tri- 
bus DV, DX, DY in ratione continua quartam, et 
aequalem 1.997 fere; nimirum, quarum partium 



382 DUPLICATIO CUBI. 

AD est 2, vel 1997 quarum AD est 2000 : impos- 
sibile est : cum uterque factor sit linea, nec nume- 
rum linearum faciunt, sed superficiem. 

Secundus calculus est professoris geometriae in 
Collegio Greshamensi, talis : 

" Ponatur AB, sive AD=2. 

"EritDFsiveDV=l. 

" Ergo AV=3. 

cc BR sive AS= V2. 

cc Ergo SV sive YD=3— V2. 

cc Cubus AD=8. 

" Cubus DY =45— V1682=4 fere. 

"Nam45— V1681=4. 

cc Est ergo DY paulo minor majore mediarum 
inter AB=PD, et DV=DF." 

In hoc calculo, si verborum sequamur sonum, 
unitas non mutatur, sed (ut in arithmetica fieri de- 
bet et solet) servatur semper eadem, nempe DV. 
Applicata ergo ad calculum cubi, multa habet ab- 
surda. 

Primum, quod posita recta AD=2, facit cubum 
ab AD=8 : hoc est, cubum sui lateris quadruplum. 

Secundum, quod facit cubum a DY=45 cubis a 
DV — VI 682 quadratis ab eadem DV. Et, per 
consequens, (additis utrinque VI 682), cubum a 
DY+ VI 682=4 5 cubis a DV fere, id est, quatuor 
cubos sequales quadraginta quinque cubis ab eadem 
recta fere. 

Nam VI 682, cum sit linea, cubo a DY nihil 
addit. 

Tertio facit V8 aequalem cubo a semidiagonali 
AS, id est, diagonalem AC sequalem cubo a sui 
ipsius dimidio» 



DUPLICATIO CUBI. 383 

Verum si unitas mutari intelligatur, ut sit primo 
una linea, deinde unum planum, postremo unum 
solidum, (quanquara etiam sic aequatio illa maneat 
absurda, 45 — V1681=4, id est linea sequalis 45 
cubis, falsitatem indicans*), ad veritatem prope 
quidem accedet calculus, non tamen ut attingat, 
atque ea de causa non attingat, quia est verusf. 
Quod sic ostendo : 

Quoniam DY=3, DV= V2, et AS= V2 : duca- 
tur cubice DY — AS ut sequitur. 

DY— AS 

DY— AS 



DY 5 — DY in AS 

— DY in AS + AS J 

DY 5 — 2DY in AS + AS 3 

DY— AS 

— DY 5 in AS— J2DY in AS 2 — AS 3 
DY 3 — 2DY 5 in AS— JDY in AS 2 

DY 8 — 3DY 2 in AS— 3DY in AS J — AS 8 



In hac cubicatione, AS semel tantum ducitur in 
DY, cum sit linea, et communis omnibus cubi com- 
plementis, nec auget quadrata, nec propterea pro- 
ducti cubi est pars. Quando vero AS convertitur 
in numeros, numeri illi erunt cubi sic facti partes, 
eaedemque ter numeratse, unde differentia illa parva 
quae est interV1682 etV1681 est planum, non 
linea, sicut et caeterae partes omnes lineae AS. 



* In edit. 1662 desunt verba in uncis inclosa. 
t Sic edit. 1662 et 1668. J Sic edit. 1662 et 1668. 



384 DUPLICATIO CUBI. 

Necesse ergo est ut computatio in numeris faciat 
cubum paulo majorem quam revera est, et ut 
VI 682 sit numerus solidorum. Et quoniam AS 
est quantitas negata, apparebit cubus a DY, nu- 
meris sestimatus, justo minor. Calculus ergo in 
numeris ubi linea qusecunque sumitur pro unitate, 
(cum linea divisibilis sit in semper divisibilia, uni- 
tas autem divisibilis non sit), necessario falsus est, 
et proinde ad confutandum aut confirmandum cal- 
culum geometricum inutilis. 



FINIS. 



DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

GEOMETRARUM : 

UBI OSTENDITUR INCERTTTUDINEM FALSITATEMQUE 

NON MINOREM INESSE SCREPTIS EORUM QUAM 

SCRIPTIS PHYSICORUM ET ETHICORUM. 

CONTRA FASTUM PROFESSORUM GEOMETRLE. 



VOL. IV. C C 



AD ILLUSTRISSIMUM DOMINUM 

D. HENRICUM BENNET 

BARONEM DE ARLINGTON, 

SERENISSIMO BEOI CAROLO II A CONSILIIS ET SECRETARIUM PRIMARIXJM. 



Cum senectutis meae solatium maximum tuae, illustris- 
sime Domine, opi debeam, ingratus essem nisi tantse 
gratise vestigium aliquod, etsi obscurum, extare cura- 
rem. Quod cum alia non possum, vulgata via scho- 
larium facio, dedico tibi libellum, non male moratum, 
sed tamen audaculum : geometrarum enim totam inva- 
dit nationem. Quid, inquies, si injuste ? Mihi quidem 
id dedecus magnum esset : sed quod ad te, qui ad altiora 
institutus es, quemque morum et officii mei erga teip- 
sum, non nugarum mearum inspectorem facio, non 
pertinebit. In magno quidem periculo versari video 
existimationem meam, qui a geometris fere omnibus 
dissentio. Eorum enim qui de iisdem rebus mecum 
aliquid ediderunt, aut solus insanio ego aut solus non 
insanio: tertium enim non est, nisi, quod dicet forte 
aliquis, insaniamus omnes. Cseterum sine judice lis 
est, nisi quod judicem aliquando seipsam constituet 
nondum imbuta posteritas. Videri tibi interea vir 
bonus, etsi pessimus geometra, satis habeo. Deum 
precor ut te optimo Regi ministrum optimum diutis- 
sime conservare velit. 

Servorum tuorum humillimus 

Thom. Hobbes. 



INDEX CAPITUM. 



DB PUNOTO 
DB LIMEA 
DB TERMINO 
DB LINEA REOTA 



DB SUPERFICIE 



DB SUPERFICIEI TERMINIS . 

DB SUPERFICIE PLANA 

DB ANOULO 

DB FIOURA 

DB PETITIONE PRIMA ELEM. I EUCLIDIS 

DB RATIONE 

DB RADICE ET LATERB 

PROP. 16. ELEM. III EXAMINATA 

DB DIMENSIONE CIRCULI . 

DB MAONITUDINE GIRCULI HUOENIANA 

DB SBGTIONE ANOULI 



DB RATIONE QUAM HABET RECTA COMPOSITA EX RADIO ET 
TANOENTE 30 GRADUUM AD RADIUM IPSUM. ITEM DE 
PROPOSITIONIS 47, ELEM. I DEMONSTRATIONE 

Addita est 



CAP. 
I. 

II. 

III. 

IV. 

V. 

VI. 

VIL 

vm. 

IX. 



XI — XVII. 

XVIII. 

XIX. 



XXI. 

XXII. 



XXIII. 



APPENDIX DE MEDIIS PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 



CONTRA GEOMETRAS. 



Contra geometras, amice lector, non contra 
geometriam hsec scribo. Artem ipsam, artium 
navigandi, aedificandi, pingendi, computandi, et 
denique (scientiae omnium nobilissimse) physicae 
matrem, seque ac qui maxime laudibus extollendam 
censeo. 

Cseterum ubi geometrse encomiis artis quam pro- 
fitentur, imperite an astute nescio, suas ipsorum 
laudes immiscent, licitum mihi, puto, erit distin- 
guere. Quomodo autem scientiam hanc laudare 
soleant magistri ejus, ex uno Clavio intelligere pos- 
sumus, laudante illam in Prolegomenis ad Eucli- 
dem hoc modo : " Si vero nobilitas atque prsestan- 
tia scientiae ex certitudine demonstrationum quibus 
utitur, sit judicanda: haud dubio mathematicse 
disciplinae inter cseteras. omnes principem habebunt 
locum. Demonstrant enim omnia, de quibus sus- 
cipiunt disputationem, firmissimis rationibus, con- 
firmantque ita ut vere scientiam in auditoris animo 
gignant, omnemque prorsus dubitationem tollant : 
id quod aliis scientiis vix tribuere, etc." Et paulo 
infra: "Disciplinae mathematicae veritatem adeo 
expetunt, adamant, excoluntque, ut non solum 



390 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

nihil quod sit falsum, verum etiam nihil quod tan- 
tum probabile existit, nihil denique admittant, quod 
certissimis demonstrationibus non confirmant." 

Quibus verbis (quia sciens, non scientia demon- 
strat) non artem ipsam, sed magistros laudat. 
Certitudo scientiarum omnium aequalis est, alioqui 
enim scientiae non essent : cum scire non suscipiat 
magis et minus. Physica, ethica, politica, si bene 
demonstratae essent, non minus certae essent quam 
pronunciata mathematica : sicut nec mathematica 
scientiis aliis certior esset, nisi recte demonstraren- 
tur ea quae pronuntiat. 

Itaque per hanc epistolam hoc ago, ut ostendam 
tibi non minorem esse dubitandi causam in scriptis 
mathematicorum, quam in scriptis physicorum, 
ethicorum, etc. 

Omitto inter geometras dissentiones et mutua 
convitia, quae signum certissimum ignorantiae sunt. 
Ipsa aggredior principia, et interdum etiam de- 
monstrationes. Sive enim principia falsa sint, sive 
illatio necessaria non sit, demonstratio nulla est. 
Pro geometris autem omnibus oppugnabo Euclidem, 
qui omnium geometrarum magister existimatur, et 
interpretem ejus omnium optimum Clavium. 

Itaque primo loco examinabo Euclidis principia : 
secundo, ea quae principiis illis innitentia videntur 
mihi esse falsa, sive ea sint Euclidis, sive Clavii, 
sive cujuscunque geometrae, qui principiis illis vel 
aliis falsis usi sunt : atque ita oppugnabo, ut meli- 
ora rejectis substituam, ne artem ipsam videar 
labefactare velle. 



GEOMETRARUM. 



CAP. I. 

DE PUNCTO. 

Definitio Euclidis prima puncti est, haec : punc- 
tum (<nnu7or) est cujus pars mdla est. 

Quid definitione hac intellexit Euclides, difficile 
est scire. Signum enim, quatenus signum, nomen 
quanti non est, sed relattonis : quanquam quicquid 
sit quod in signum alicujus rei statuas visibile, ne- 
cessario corpus sit, et proinde quantum etiam et 
divisibile est, et partera babere potest. Etiara 
verba illa, cujus pars est nulla, dupliciter intelligi 
possunt : aut pro indiviso ; pars euim non intelligi- 
tur, nisi nbi prjecesserit divisio : vel pro indivisii/ili, 
quodper naturam suam divisionis est incapax. lu 
priori sensu, punctum quautitas recte dicitur : 
in posteriore, non item ; eum omnis quantitas di- 
visibilis sit in semper divisibilia. Itaque si punctum 
sit indivisibile, carebit linea omni latitudine: et 
quia nihil est longum quod non habeat latitudinera, 
erit Huea plane nihil, Quanquam enim longitudo 
lata non sit, longum tamen omne latura est. Vide- 
tur etiam Eucltdem ipsum iti ea opinione fuisse, 
puuctum, quanquam partem actu non habeat, po- 
tentia tameu divisibile esse et quantitatem : alioqui 
non postulasset a puncto ad punctum duci posse 
lineara rectam : quod impossibile est, nisi linea 
habeat latitudinera aliquam. Verum sive ita sen- 
serit Euclides, sive aliter, manifestum est punctum 
divisibile esse, ex eo quod, secta linea in duas par- 
tes, habebit utraque pars duos terminos, id est, duo 
puncta extrema : et per consequeus punctum divi- 
dens secatur, si quantitas sit, in duas quautitates ; 



392 DE PRINCIPIIS ET KATIOCINATIONE 

si nihil sit, in diio nihila. Etiam circulus s 
potest in sectores quotcunque : et proinde, cum 
omnis sector desinat in punctum, secabitur quoque 
centrum in totidem puucta, partes totidem centri ; 
sive centrum illud quantitas sit, sive niliil. 

Definitio ergo puncti apud Euclidem, quemad- 
modum eam intelligunt geometrre post Euclidem 
omnes, vitiosa est. Quam tamen, si nullum in 
geometria errorem peperisset, prEeteriissem. 

Defiuitio puncti vera, et quse vitium nullum in 
demonstrationes illatura sit, talis esse debet: punc- 
tnm est divisibi/e quidcm, sed cujus pars mdla iu 
dcmonstratioue consideranda est : id est, conside- 
randum est, non ut punctum, quod Grzece nry/4 di- 
citur ; neque ut <my,i,), quse Grsece est distinctio 
visibilis ; qnae ambo quanta sunt : sed ut signum 
quod Grace est *muutr, quo verbo utitur Euclides 
Signum enim quanti uomen non est. 

Est enim geometria, scientia qua ex aliqua vel 
aliquibus mensuratis per ratiocinationem delermi- 
iiamus quantitatcs alias non mensuratas. Recte 
igitur incepit Euclides a defiuitione ?nensura> ! qua 
mensurantur longitudines : et priino loco, mensurte 
Ulius terminum definiit, et signum esse dixit. Sed 
cujus rei signum ? Signura, a quo mensurae ter- 
minus uuus aut alter mensurato applicatur. 

Praeterea si punctum indivisibile esset, id est, non 
ijunntuiu, id est, nihil : sequeretur (supposito, nt 
nunc supponunt scriptores mathematici, quantita- 
tem dividi in infinitum, ut punctum sit pars lineae 
iufinite exigua) partem infinite exiguam lineae rec- 
tae, et quadratum quod sit minima pars quadrat 
et cubum qui sit minima pars cubi, esse inter i 
tequalia. 



GEOMRTRARUM. 



CAP. II. 
DE LINEA. 

Lineam, definit Euclides, longitudhiem esse sine 
latitudine. Scilicet, conformatur hsec ad defini- 
tionem puncti, et propterea eadem omnia habet 
vitia. Nam ut centrum circuli dividitur a sectori- 
bus in partes quotlibet, ita etiam sectorum latera 
dividuntur secunduui latitudioetn. Nam si seetor 
quilibet dividatur in duos sectores, quorum unus 
apud te esset, alter apud me, haberet uterque duo 
latera : et propterea, sive latus illud medium habeat 
latitudinem, sive non-latitudinem, erit divisum iu 
duas superficies, vel in duas non-superficies. Itaque 
omni modo linca est divislbilis. 

Lhiea ab aliis definitur, puncti moti vestigium, 
sive via. De qua definitione Clavius sic loquitur : 
" Matbematici quoque, ut nobis inculcent veram 
liuea? intelligentiam, imaginantur punctum, jam 
descriptum superiori definitione, e loco in locum 
moveri. Cum enim punctum sit prorsus hidi- 
viduum, relinquetur ex eo motu imagmario vesti- 
gium quoddam longum, omuis expers latitudinis." 
Vide matbematicorum, qui subtiliores multo sunt 
quam qui operam dederunt studiis cajterarum ar- 
tium, Clavium subtilissimum, scribentem hoc loco, 
vestigiiiin relinqui longum a motu ejus quod iutl- 
tum habet latitudinem, id est, a motu uihili. Sciunt 
tamen omnes, nihil moveri praHer corpus, neque 
motum concipi nisi corporis posse. Sed corpus 
omue motum vestigium relinquit non modo Iongum, 
sed etiam latum. Definitio igitur Iitie& debebat 
esse hujusmodi : Hnea est vesttgium qiwd relhi' 
quitur a motu corporis, ciijus i/titaititas uoa con~ 
sideratur in demonstratione. 



394 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 



CAP. III. 
DE TERMINO. 

cAP.m. Definiuntur, tertio loco, lineae termini hoc 
De tennino. modo : linece termini suut puncta. Quam defini- 
tionem non reprehendo ; sed ut* ab ea, id quod 
ante dixi, nimirum punctum non esse indivisibile, 
sed tantum in demonstratione non ut divisum con- 
siderari, inde ostendam. Si enim linea secetur in 
puncto bifariam, cum utraque habeat duos termi- 
nos, sitque punctum illud in quo dividitur linea 
omnino nihil : duae partes a divisione factse se mu- 
tuo tantum tangerent, nec haberent ullum punctum 
commune. Et proinde terminus extremus inagis 
distabit a termino alterius linese ad quod* est punc- 
tum dividens, quam a sui ipsius termino altero, ad 
quem itidem ponitur idem punctum dividens : id 
est, major est una partium quam altera, et proinde 
linea illa divisa non est bifariam, ut supponebatur. 
Exempli gratia : linea AB secta bifariam in C, par- 
tes ejus se tangunt tantum ad C, et earum cujusque 
termini (cum sint duse linese) sunt 

omnes quatuor: quare ad C erunt A ff! b 

duo termini, qui sint D et E, et per 
consequens BD major est quam AC. Non est ergo 
AB divisa bifariam in C, nisi D,C,E considerentur 
ut idem punctum. 



CAP. IV. 

DE linea recta. 
Definitio quarta est linece rectce, talis: linea 
recta est quce ex cpquo sua interjacet puncta : id 

* Sic Edit. 1668. 



GEOMETRARUM. 



395 



, (interprete Clavio), in qua nullam punctura in- 
termedium ab extremis sursum aut deorsum, huc D 
vel illuc deflectendo, subsultat : in qua denique 
uibil flexuosum reperitur. Non agnosco bic ora- 
tionem matbematicorum. Quomodo punctumsub- 
sultet sursum et deorsum, huc et illuc, non intel- 
ligo : non tamen credo quemquam esse qui rem 
ipsam, lineam inquam rectam, animo suo uon satis 
recte concipiat, idea nata ab aliqua linea recta ma- 
teriali, quauquam ideas suas non omnes bomines 
possunt oratione seque declarare. Sed neque con- 
tra, illi qui cogitata sua optime describunt, sunt 
semper optimi mathematici. Definire enim voca- 
bula artis cujuscunque uon est ipsius artis, neque 
forte omnino artis opus : sed partim judicii iiatu- 
ralis, quo distmguitur mter cujusque rei essenti- 
alia et non essentialia, partim ingenii ad invenien- 
dum verba et orationem prompti, quibus ea qute 
essentialia sunt proprie et adaequate significentur. 
Itaque diversi homines eandem habeutes ideam 
linese rectte, nou tamen eandcm ejus definitionem 
assignaverunt. Indicat nobis hoc loco Clavius plu- 
rium doctorum hominum lineee tectm defiuitiones, 
Primo loco Procli : nempe, recta est, quae tantum 
prsecise occupat spatium, quantaest distantia inter 
puncta ejus extrema. Secundo, Platonis : recta 
est, cujus iutermedia puncta obumbraut extrema. 
Tertio, Arcbimedis: recta est minima babentium 
terminos eosdem. Quarto, Campani : recta est 
brevissima a puncto ad punctum extensio. Quinto, 
eomm qui dicunt, rectam esse, quas describitur a 
puncto moto nec vacillantc. Quibus ego addo aliam 
authoris recentioris : recta est cujus termiui, salva 
quantitate, diduci non possunt. 



396 DE PRINCIPHS BT RATIOCINATIONE 

Quarum definitionum quamam sit cieteris prse- 
K ferenda, ex duabus rebus judicandum est, idea et 
nsu. Ex idea, an vera sit : ex usu, an priucipium 
demonstrandi idoneum sit. Idea, juxta quam de- 
finita est a Platone linea recta, imago erat projectee 
ab ea umbne : quam quidem projici vidit per rec- 
tam. Itaque quid sit recta satis conceperat: sed 
definitio illa plane sterilis est, uec ullius usus ad 
demonstrandum utrum liuea de qua quaeritur recta 
sit necne, neque ad demonstrandum rationem rectae 
ad curvam. Procli, Archimedis, et Campani defi- 
nitiones verbis quidem differuut, idem autem sig- 
nificant, nempe, rectam esse qiue inter eosdem 
terminos est brevissima : quse orta est ab idea visa- 
rum plurium linearum conterminarum, quarum 
unica visa est recta et brevissima. Atque hac de- 
finitione utitur Archimedes. Quis enim, qui con- 
ceperit in sphaera plures circulos meridianos et 
axem unicum, non judicabit axem tura rectam esse 
lineam, tum brevissimam aliarum omnium quaa 
transeunt a polo ad polum ? Idea unde uatavide- 
tur esse definitio ultima, erat quod videret exten- 
sionem nihil aliud esse praner diductionem extre- 
morum punctorum : contraque, incurvationem nihil 
aliud esse quara adductionem terminorem eorun- 
dem. Quod rectam definiunt, vestigium puncti 
moti, nec vacillantis, a nulla idea ortum est, nec 
oriri potuit: quia vacillare nihil dici potest, nisi 
respective ad vestigium linere jam aute ducta?. 
Neque videtur magis vacillare punctum, dum i 
scribit circumferentiam circuli, quam dum describi 
lineara rectam. 

At definitio EucUdis omnino est insignificaui 



GEOMETRARUM. 397 

Quis enim intelligat quo modo puncta media linese cap. iv. 
ex aequo jacent inter extrema ? De &*•«<*•. 

Quo argumento ostensum est punctum non esse 
sua natura, sed solummodo ut consideratum in de- 
monstrationibus, indivisibile : eodem demonstrari 
potest, lineam non esse sua natura sine latitudine, 
sed solummodo quatenus considerata est inter de- 
monstrandum. 



CAP. V. 

DE SUPERFICIE. 



Definitio quinta, snperficies est quce longitudi- 
nem latitudinemque habet, iisdem omnibus laborat 
vitiis cum definitione linese : cum, exempli gratia, 
bases duorum hemisphseriorum duse sunt, sive 
hemisphaeriorum illorum alterum sit apud Indos 
Orientales, alterum apud Occidentales, sive se mu- 
tuo contingant. Dividitur-ergo una cum sphsera 
etiam maximus ejus circulus, id est, dividitur se- 
cundum profunditatem. Profunda ergo est super- 
ficies quse basis est hemisphserii. 



CAP. VI. 

DE SUPERFICIEI TERMINIS. 

Definitio sexta, superficiei termini sunt linece, 
probat, divisa superficie, duos ejus terminos, id est, 
duas lineas esse extremas utriusque partis : et, per 
consequens, lineam dividi posse bifariam ab uno 
ejus extremo ad alterum. 



398 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 



CAP. VII. 
DE SUPERFICIE PLANA. 

cap. vii. Definitio septima est, plana superficies est> qute 
De «uperficie ex cequo interjacet suas lineas : quam Clavius ex- 
plaiia ' ponens oratione nihil significante, simili ejus qua 
usus est in explicanda definitione linese rectae, 
" Plana," inquit, " est superficies, in qua partes 
omnes in rectum collocatae sunt, ita ut nihil habeat 
incisum angulis, nihil anfractibus, nihil eminens, 
nihil lacunosum." Quae verba ab omni arte aliena, 
ne ipse quidem potuit intelligere. Quod autem 
partes plani omnes in rectum collocatas esse dicat, 
impossibile est nisi planum totum sit una linea 
fecta: quod item superficiem planam talem esse 
dicit, qualis est superficies perpoliti alicujus marmo- 
ris, verum non est, nisi conus aut sphsera marmorea 
non potest perpoliri seque ac superficies plana. 
Rem quidem ipsam et Euclides, et Clavius, et omnes 
homines satis recte concipiunt: sed quse superfi- 
ciei planse essentialia sunt, verbis explicare, saltem 
facile, non omnes possunt. Si superficiem planam 
esse dixeris, quae describitur a linea ita mota, ut 
singula ejus puncta rectas lineas describant, recte 
eam definieris, et clare, et essentiae ipsius con- 
sentanee. 



CAP. VIII. 

DE ANGULO. 



Definitio octava : angulus planus, est duarum 
linearum in plano se mutuo tangentium, et non in 



GEOMETRARUM. 399 

directum jacentittm, alterius ad alteram incti/iatio. 
Ideam sive imaginem anguli, de quo tam raulta di- 
cuntur a geometris, impressam auimo pauci habent. 
Quicquid maxima ex parte in superficie late patens, 
desinit in angustum, dicitur vulgo angulus. Talem 
ideam anguli, etiam Euclides a conspectis duabus 
lineis concurrentibus conceptam videtur voluisse 
hoc loco verbis declarare : neque, ut videtur, om- 
nino cogitaverat aut audiverat quicquam de angulo 
coutactus. Quanquam enim (Elem. iii. prop. 16) 
conatur demonstrare angulum factum a tangente 
et circumferentia circuli minorem esse omni angulo 
acuto, nusquam tamen nominat angulum contactus, 
neque de illo sub alio quovis nomine quicquam 
dicit. Itaque non videtur voluisse comprehendere 
hac definitione angulum planum ullum, qui non 
fuerit ejusdem generis cum angulo rectilineo: quod 
etiam ex eo colhgi potest, quod ad anguli definitio- 
nem necessariam putaverit esse conditionem, ne 
lincie qttee angittinn efficiunt jaceant in directum. 
Verum quid voluisse videtur Euclides, coujicere 
frustra erit : ipsam definitionem verbatim conside- 
remus. 

Quod ut melius faciamus, cum sit res satis magni 
mathematicis momenti, qusque magnas inter Cla- 
vium et Pelletarium contentiones excitavit, rem 
totam descripta figura ponamus ante oculos. 

Sit recta AB divisa bifariam in C, et radiis AC, 
BC describantur duo circuli FI, GH : secetque 
recta ED rectam AB ad angulos rectos in C. 

Videamus primo, quamam sint duse linex quje 
angulum constituunt, et qua? duse angulum non 
constituunt. Rectae DC, CE absque dubio consti- 
tuuut composita? unam rectam DE. Sed an item 






400 DE PRINCIPTIS ET RATIOCINATIONE 

tap. vin. rectse AC, CE constituant unam liueam curvam, 
t)eu> R ui<i. incertutn est: imo vero, certum potius quod non. 
Nam punctum C cousiderabitur vel ut quantum, 
vel ut nihil. Si ut nihil, neque linea DE neque 
linea FI duci potest, ueque considerari. Sin punc- 
tum consideretur ut quantum, considerabitur recta 
quidem DE ut rectangulum, et arcus FI ut orbis 
alicujus latitudinis. Itaque punctum C considera- 
bitur ut pars utriusque communis : et sic erit idem 
punctum consideratum ut majus et minus, id est, 
ut quadratum et circulus ipsi iuscriptus. Guare 
duas rectse constituentes anguluin rectum, nullo 
modo considerari ut una recta possunt. Multo au- 
tem minus, si constituunt augulum acutum. "Quid 
ergo," inquiet forte aliquis, " nullane neque arte, 
neque fortuna dividi potest linea recta in partes 
aliquotas ? Punctum enim si nihil sit, nusquam 
est, neque in media linea, neque in tertia, neque 
in quarta parte ejus. Sin punctum sit quantum, 
auferetur per divisionem aliqua pars recta? divi- 
deudae." Ad quod respondeo : recte dividetur 
recta, si secemus eam per liueam habentem exiguam 
aliquam latitudinetn, ita ut partes utrinque sinl 
aequales, dicamusque totms rectse secandse mediel 
tem esse ad mediam latitudinis liuese secantis : ac- 
curatius autem dividi bifariam, ab humana saltem 
potentia, non potest. Itque ha?c verba duarum 
tinearum, etc, ut obscura reprehendo, propterea 
quod quse diue lineae unam constituant vel nou 
constituant, noudura docuerat. 

Id quod facit duas lineas compositas recte vocari 
miam, est quod idem omuiuo habeant punctum 
commune, quale quidem habent arcus FC, CI : sed 
non item FC, CD, neque EC, CA. 



am 
int 
ta- 
ac- 



GEOMETRARUM. 



401 



Videamus secuiido, quaniam sint linese quse ad cap. ■ 
facieudum angulum deheut se iiiutno tantuin tan- "~~ 
gcre: et (quoniam locuui huuc exponens Clavius 
angulum effici dicit ex hujusiuodi concurstt seu in- 
clinatione) quid sit duarum linearum iu plano eoti- 
cursus. Etiam quid sitjacere in directum. Quid 
etiam sit inclinatio, quam Clavius eandem rem esse 
putavit cum concursu. Et quid sit lineam u liina 
secari, 

Recta arcum, sive aliam lineam curvam, tangit 
tantum, quando tangit quidem, tota tamen est extra 
circulum, ut uullum sit utriusque commune punc- 
tum. Ut qui alicujus domus januam tangit tantum, 
is neque intra domum est, neque in ipsa janua, sed 
totus extra. 

Concurrunt autem dus lineae, quando utriusque 
est aliquod commune punctum, necdum producitur 
ulterius. 

Recta deuique arcum secat, quando pars rects 
est iutra, pars extra circulum. Non est ergo eadem 
res coutactus et concursus : neque quse se plus- 
quam tangunt, necessario se mutuo secant : neque 
recte interpretatus est hoc loco Euclidem Q&viiw, 

Tertio, videamus quid sit jacere irt diiectnin. 
Verba i\\a.jacere m direclum quem locum in lineis 
non rectis habere possunt, non iutelligo : nam si 
vera sunt, juxta interpretationem Clavii, qui dicit 
duos arcus FC, CI jacere in dircctttin, etiam dute 
semisses ejusdem circuli jacebunt in directum ; et 
(quod iude sequitur) punctaomnia totius perimetri 
jacehunt in directum ; et punctum potest moveri a 
loco suo, douec ad eundem locum redeat motu di- 
recto, et fiat periuieter recta liiiea. 

Videamus quarto, quid sit incHnatio. (luando 
VOL. IV. d D 



402 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. vm. recta rectie ad angulos rectos insistit, non dicitnr, 
Dt «Dgnio'' juxta sermonem communem, omnino inclinari in 
utramvis partem rectae cui insistit : quando autem 
altera alteri insistit ad angulos obliquos, tunc incli- 
nari ad eam partein dicitur ubi angulus est acutus. 
Atque hoc seDSU inclinationem intelligit in Elemento 
undecimo Euclides. Itaque minima inclinatio recta? 
CB ad CD tunc est, quando altera ad alteram est 
perpendicularis : maximaautem, quando adraovetur 
CB ad CD motu circulari ita ut amba; coincidant. 
Idem etiam dici potest de inclinatione recta* CD ad 
CA, et rectee CA ad CE, et rectse CE ad CB. 
Motus enim circularis cujuslibet e quatuor rectis 
ad rectos angulos deinceps collocatis, inclinationem 
mensurat, adeoque angnlos eo motu generatos : et 
semper quo major est pars totius circuitionis qtue 
eo motu circulari conficitur, eo major est angulus. 

Jam inclinatio recta CD ad arcum CI quo pacto 
mensurari potest, cum partes omnes arcus CI di- 
vcrsas habeant inclinationes, nisi quod in puncto 
unico C inclinatio maxima est, nempe puncti C 
quatenus in recta DC ad idem punctum C, qua- 
tenus iu arcu IC f Itaque angulus qui fit a curva 
CI et recta CD, omnino ad punctum ipsum C nul- 
lus est, nisi angulus contactus non sit ejusdem ge- 
neris quantitatis cum angulo quem efficit radius 
per motum circularera ad alium locuin translatus. 
De quo fusius dicetur in examinatione Prop. 16. 
Elem. iii. 

Videamus denique, cur ad constitutionem angult 
necessarium fit ut dure Hnese, ipsum efiicientes, non 
jaceant in directum : cujus causam hanc reddit 
Clavius, quod nec duffi partes ejusdem recta?, nec 
duo arcus ejusdem circuli, faciunt angulum. Caete- 



GEOMETRARUM. 



409 



rum non negabit angulum habere quautitatem, cat. i 
neque duas quantitates (ejusdem geueris proxirai) "" 
compositas habere quantitatem utiius duplam, ueque 
duos angulos ACD, ACE esse vere angulos ejusdem 
generis. Quomodo ergo negabit duas rectas CD, 
CE constituere duos angulos rectos, sive unura an- 
gulum recti duplum ? Coutinent ergo duse rectas 
CD, CE, quanquam in directum collocatse sint, 
angulum. 

Postremo, Clavius definitiouem hanc Euclidis 
exponens sic scribit : " Consistit autem anguli cu- 
jusvis quantitas in sola iuclinatione, non in longitu- 
dme, linearum : lineae enim longius excurrentes 
non augent suam inclinationem ; igitur neque an- 
guli magnitudiuem." Quid ergo opus est omnino 
ad essentiam anguli lineis : quse minui possuut 
ambse in infinitum, salva quantkate et natura an- 
guli ? Etiam in angulo contactus, si minuatur 
arcua IC quantum fieri potest, quamam erit diffe- 
rentia inter angulos DCC et DCD ? Scire hinc 
potes an accuratiores acutioresve sint mathematici, 
quam aliarum artium studiosi. 

Restat ut anguli plani naturam explieem, et inter 
angulum contactus et angulum ex circulatione dis- 
tinguam : et utramque definiam si potero clarius, 
accuratius, et ad usum geometricum accomodatius, 

Centro A, motu radii AB, describantur duo cir- 
culi BCD, EFG : neque refert utrum AB sit recta 
an curva, quales sunt curvae punctis signatae AB, 
AH; nam easdem describunt tum superficies tuin 
lineas. Et a centro ad circumferentiam ducatur 
recta AII utcnnque, secans circulum EFG iu I. 
1'ai-it ergo Al'., per motum circularem ad AH, an- 
gulnm BAH: et pergens ad C, facit angulum ma- 



404 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. vin. jorem ejusdem generis. Appellabimus autem hoc 
Deaaguio. genus anguli, angulum genitum ex circulatiane, 
sive motu circulari radii. Itaque ideam anguli 
hujus generis perfectam habes. Caeterum ad defi- 
nitionem ejus legitimam, investiganda prius ea sunt 
quae ipsi sunt essentialia. 

Primum est, ut sit quantum. Hoc autem mani- 
festum est, ex eo quod alter altero major esse po- 
test : ut angulus BAC major est angulo BAH. 

Secundo, quia anguli BAH, EAI aequales sunt, 
sed neque rectse AB, AE, neque plana BAH, EAI, 
aequalia sunt, certum est quod essentia anguli non 
consistit neque in quantitate linearum quibus in- 
cluditur, neque in quantitate superficierum BAH, 
EAI: neque denique consistit essentia anguli in 
magnitudine arcuum BH, EI, cum anguli ipsi aequa- 
les sint, arcus aequales non sint. 

Ubi ergo inveniemus aequalitatem illam, propter 
quam aequales dicuntur duo anguli BAH, EAI ? 

Duo anguli BAH, EAI aequales vocantur, prop- 
terea quod aequales sunt partes, sive potius eadem 
pars, totius circumlationis radii. Sunt enim duo 
arcus BH et EI facti a motu radii, sive recti sive 
curvi, AB eodem tempore. Itaque aequalitaS an- 
gnlorum hujus generis consistit in «qualitate par- 
tium temporis in quo circulatio tota radii perficitur. 
Atque hinc est, nec aliunde, quod tum anguli tum 
sectores, in eodem circulo sumpti, sunt in eadem 
ratione cum suis arcubus. 

Habes ergo naturam anguli ex circulatione ge- 
niti, nempe, eandem cum natura circulationis. Et 
angulus ipse est pars circulationis totius. Et ar- 
cus, et anguli sui, eadem est quantitas. Nomen 
autem anguli arcui datum est, propter lineas quae, 



fiEOMF.TRARUM. 



405 



ductse a centro ad circumferentiam, faciunt ut an- 
gulus eonspiciatur. Neque sunt illfe linea; rectae 
de esseutia anguli, qui sine illis determinatur in 
arcu, quauquam esseutiales sint figuris angulatis, ut 
trlaugulis, quadratis, etc. 

Ex his qua> dicta sunt de natura anguli, brevis et 
clara emergit auguli hujus generis definitio hsec : 
j&mguhu e«t circuitionis,sirc crrettmlationis, radii, 
dttm circiitnm rel partem circttU describit, tjitttnti- 
ter. Dicere emm quod sit htclinatio limeantm, 
anieula; potius est sedentis ad angulum camini, 
quam iuatheinatici, ejusdemque accurati et rigidi. 

Mensuram autem hujus geueris angulorum ag- 
noscunt omnes esse arcum circuli : agnoscunt item 
meusuram et meusuratum essc iu eodem genere 
quantitatis. Idem ergo est quantitatis genus, ar- 
cus et angulus. 

Consideremus jam naturam atiguli contaclus. 
Divisa AB bifariam in K, radio KB describatur 
semicirculus BA : ducaturque recta BL magnitudi- 
nis indefjuitae, sed parallela AF, quae propterea 
tanget circulos BA et BD in puncto B. Suppona- 
mus rectam aliquam, ut BL, Kqualem arcui BA : 
impossibile enim non est. Supponamus etiam BL 
in omui ejuspunctofequaliter flecti sive incurvari, 
ita ut coincidat cum arcu BA : neque enira hoc est 
impossibile, quia ut arcus extensione fieri potest 
linea recta, ita recta per flectionem converti potest 
in arcum circuli. Habemus ergo duos arcus BA, 
BD scqualiter curvos, quanquam magnitudine inse- 
quales. Deinde, si a puncto B ducatur recta BM 
secans utrumque semieirculum, majerem in M, mi- 
norem in N : erunt quoque arcus BM, BN squali- 
ter cunre, cum sint in eadem ratione cum suis cir- 



De aogulo. 



406 DE PRINCIPII8 ET RATIOCINATIONE 

cap. vin. culis integris ; quanquam arcus BM major sit quam 
BN. 

Praterea, in eodem circulo, quo minor est arcus 
eo minorem habet curvitatem, in ratione ipsorum 
arcuum, qui in omni puncto aequaliter flectuntur, 
sive incurvantur. 

Postremo, natura anguli quem faciunt duo arcus 
BA, BD, non consistit in quantitate superficiei 
quam continent: nam anguli quantitas determi- 
nata, superficies illa indeterminata est. Similiter 
neque consistit natura anguli, quem facit recta 
BL cum arcu BM, in superficie indefinita, cui illae 
duffi lineae utrinque adstant. 

" In quo ergo", inquies, " consistit natura anguli 
contactus duorum arcuum, vel arcus et rectae?" In 
eo, quod angulus ille determinat quantitatem cur- 
vitatis : ut ex modo dictis aperte constat. Nam 
cum duo arcus BD, BA sint aeque curvi, erunt etiam 
arcus BM, BN (qui sunt ut arcus BD ad arcum BA) 
aeque curvi. Et quia arcus BM duplo curvior est 
sua semisse, puta arcu BO, erit quoque arcus BN 
duplo curvior quam est idem arcus BO sibi aequalis. 
Atque idem omnino continget in omni alia propor- 
tione arcus exterioris ad interiorem. 

Itaque arcus illi qui angulum contactus dicuntur 
efficere, aliud non sunt (quoniam curvitas major, 
vel mhior, vel sequalis, alteri curvitati esse potest) 
quam quantitas curvedinis circumferentiae. Itaque 
angulum contactus, quem angulum dici volunt 
geometrae, sic definio : Angulus contactus est quan- 
titas curvitatis quce est in arcu circulifacta a con- 
tinua et uniformi flexione linece rect(B. 

Sequitur hinc, in puncto primo rectae BL, nempe 
puncto B, ubi nulla intelligi potest flexio, nullam 



GKOMETRARLM. 



407 



esse curvitatera : et proinde rectam BD cum arcu cap. vm. 
BM in puncto B constituere angulum rectum. Fate- d„ mgoio. 
tur enim Clavius longitudines linearum nil mutare 
in magnitudine anguli : nec ideo angulum contactus 
quicquam detrahere a magnitudine anguli recti 
rectilinei DBL. 

Sequitur etiam angulum contactus non esse ejus- 
dem generis cum angulo rectilineo, quod et Clavius 
fatetnr : cum curvitates arcuum sequales esse pos- 
sunt tunc, quando arcus ipsi sunt insequales. Haec 
tibi satis perspicne puto explicavi. Sin argumenta 
Clavii contra Pelletarium assensum tuum etiam 
nunc impediant, tollatn ea cum istuc venero. 



DE FIGURA. 

Definitio decima tertia, nempe, terminus est 
ffuod alicujus e.rtremum est, sera venit : cum in 
tertia et sexta definiisset terminos Hneai et super- 
ficiei esse puucta. 

Definitio decima quarta, figura est quee aliquo 
rcl alit/uibus terminis comprehenditiir. Qusero 
bic primo, ad quam vocem expressam vel subau- 
ditam refertur vox relativa qum. Si refertur ad 
fignram, definitio erit (figura est Jigura qttrc ali- 
qtto, etc.) vitiosa. Sin ad vocem magnittttlo, tuni 
definitio talis erit: Figura est vtagvitudo qutc 
aliquo vel aliquihm terminix coviprehenttitur : vel 
brevius, figura est magnitudo undiquaque finita. 
Quae quidem definitio est legitima. Sed quomodo 
ex<-ludet ab hac definitione Clavius finitam lineam? 
Dicet fortasse, liueam quae longitudo tantum est, 



408 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. ix. terminos alios non habere praeterquam longitu- 

Defigaw. dinis, et propterea figuram non esse. Gluomodo 

ergo differunt inter se duae lineae finitae inaequales, 

quarum altera recta, altera curva est, si non figura? 

Differunt enim plusquam longitudine. 

Definitio decima quinta: Circulus est figura 
plana sub una linea comprehensa, quce peripheria 
appellatur, in quam ab unopuncto eorum quce intra 
figuram sunt posita, cadentes omnes rectce linece 
inter se sunt cequales. Quam non reprehendo : sed 
quaero, primo, quare latera omnia simul quae consti- 
tuunt ambitum polygoni,non aeque unalinea sunt ac 
perimeter circuli ; qui circulus polygonum censeri 
potest laterum numero infinitorum. Si dicant dif- 
ferentiam consistere in eo quod duo latera polygoni 
non habent punctum commune ad eos quos faciunt 
angulos, sicut habent duo quilibet arcus circuli, 
acquiescam. Caeterum si ita dicant, videant an 
wcpifciav illam propositionis 47, Elem. i, non tollant, 
cui maxima pars geometriae innititur. Qusero se- 
cundo, cur non definivit circulum a circumductione 
radii, ut definivit sphaeram a circumductione semi- 
circuli; nam potuit: et fuisset definitio illa de- 
claratio generationis circuli, et per illam haec defi- 
nitio demonstrari breviter potuisset. In his igitur 
definitionibus reprehendo rfjy aKadrriTa. 

Definitio tricesima quarta: Parallehe recta 
line<B sunt, quce cum in eodem sint plano, et ex 
utraque parte in infinitum producantur, in neu- 
tram sibi mutuo incident : vera quidem est propo- 
sitio, non autem bona definitio. Bona definitio 
ingenerare debet auditoris animo ideam paralle- 
lismi, id est, aequidistantiae. At in hac definitione 
ne una quidem vox est quae significat aut aequali- 



GEOMETRARUM. 409 

tatem aut duarum rectarum distantiam. Neque cap. ix. 
omnino possibile est ideam habere lineae infinite Defigum. 
prodactae. Fortasse, ex eo quod in neutram par- 
tem coincidant, demonstrari potest quod sunt pa- 
rallelae, sive quod ubique aeque distant, sed ex alia 
parallelarum sive aequidistantium definitione. 

Deinde per bonas definitiones demonstrari solent 
et debent conclusiones primae : hac vero Euclides 
nusquam utitur. 

Definitio denique neque demonstrabilis est, nec 
esse debet: cum sit demonstrationis principium. 

Hanc autem demonstrabo a definitione alia hac : 
Parallelce rectcs sunt, in quarum una sumptis 
duobus punctis ad quodcunque intervallum, ab illis 
punctis duce recta Jacientes cum ipsa ad easdem 
partes angulos aquales, ductce ad alteram, sunt 
cequales. Ex qua definitione necessario sequitur, 
duas illas rectas productas nunquam esse concur- 
suras : ut quae ubique ab aequalibus rectis aequaliter 
inclinatis distinentur. 

Definitio mea haec ideam aequidistantiae animo 
ingenerat, nec ab alia priore demonstrari potest ; 
possunt autem ab illa multo brevius demonstrari 
parallelarum rectarum, vel etiam parallelorum pla- 
norum proprietates, quam aut ab Euclide aut a 
Clavio demonstrantur. 

Atque haec dicta sufficiant de definitionibus ad 
Elementum primum, ex quibus cognoscere potes 
quam bene tum Clavius, tum Euclides, tum etiam 
eorum sectatores naturam parallelarum, aut anguli, 
aut lineae, aut puncti intellexerunt. Videamus jam 
petitiones, utrum aequae an iniquse sint. 



410 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 



DE PETITIONE PRIMA ELEMENTI PKIMI. 
DEFINITIONE DECIMA. 

Petitio prima : Ut a quovis pttucto ad quodvh 
ptiiictitni rectain lineam ducere concedatttr, 
* Si concedatar liueam habere latitudliieiii aliqttttB 
1«. visibilem, aequa est: nam a puticto ad pum 
extendi potest ex lino filum. Alioqui factu iim 
sibile est : et propterea petitio iniqua est, 

Sed illa Euclidis ypnpfo), etsi latitudinem hal 
duci non potest nisi in plano. Planum autem de- 
scribi non potest sine ope rectse linea: : ita ut 
neque recta Euclidis, neque superficies plana, ac- 
curate describi possit. Opus est instrumentis me- 
chanicis, qualia sunt regula et norma, id est, non 
accurate. /Equum tamen esse fateor, ut in opificiis 
humanis pro accurato habeatur, quod accurato est 
proximum. Sed quod lineas hyperbolicas et ellip- 
ticas duci posse Euclidistse non concedant, (cum 
certius aliquanto ellipsis et hyperbole ope fili duci 
potest quam linea recta ope regulse), iniquum est. 
Itaque quamdiu geometrse lineas has duci posse 
negant, tamdiu petitio luec miqua est: et propterea 
etiam secunda haberi debet pro iniqua. 

Definitiones Elementi secundi faciles sunt, et 
propter eam causam vitio carent. Idem dico de 
definitionibus Elementi tertii fere omnibus. Fere, 
inqviam : notandum enim est, quod in secunda de- 
finitione Elem. ni, definit tangere, per tangere nec 
secare: incertum relinquens an punctum coutactus 
intelligendum sit iu una tantura liuearum cond| 
rum, an in utraque, an inter utramque. Poi 



quatn 
ctum 

ibrat. 



GEOMETRARUM. 



■111 



enim si (quod ille dicit) puuctum nihil est, consi- 
derari punctum inter utramque : nam contigua 
possunt non modo loco disjungi, sed etiam quali- 
tate aliqua differre, ut colore. Et propterea duo 
sunt : et sic habebimus tria puucta, nimirum duo 
in ipsis lineis contiguis quorum alterum sit album 
alterum nigruni, et inter illa duo puneta tertium 
nullius coloris. Quemadmodum etiam dua? plame 
superficies admotte ad contactum mutuum erunt 
altera alba, altera nigra, altera nihil : et tamen 
omnes simul una superficies. 

Non dubito quin Euclides tangentes circulorum 
semper ducendas putavit per diametrorum termi- 
nos : atcjue ita punctum coutactus semper commune 
fecit trium linearum, nimirum, arcus cireuli, tau- 
geutis cireulum, et lmea: cujusdam per quam tan- 
gens ab arcu dividi et loco separari posset. Neque 
credibile est, si contactum quid sit clare explicu- 
isset Euclides, coutroversiam inter Clavium et Pel- 
ktarium de angulo contactus ullam extitisse. 

Defiuitio decima : Similia circuii segmenta sunt, 
tjiui' nngnlos capiunt leqitales, aut in quihus angitli 
sitnt inter se a>quales. Si in duobus segmentis 
eirculorum valde inrequalium inscriberentur duo 
anguli inter se a?quales f credamne omnem hominera, 
qui agnosceret angulorum illorum aequalitatem, 
necessario etiam agniturum esse ipsorum segmen- 
torum similitudinem inferri posse ratiocinando, id 
est, indevel aliunde demoDstrari posse? Sed tune 
non erit definitio : nam ea debet esse indemon- 
strabilis. 

Cum geometria tota versetur circa quantitates, 
conmKMisurabilia et incoinmensurabilia, xqualita- 
tem et ina^qualkatem, figurarum proportiones ct si- 



412 DE PniNCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

militudines ; cumque principia demonstrandi 
defiuitiones -. quomodo excusari possunt geomei 
luagistri, qui tauto aliis accuratiores haberi voli 
quod nusquam neque quantitatem, neque mensu- 
ram, neque similitudinein definierunt: neque ipsam 
geometriam.cui, ut videtur, studere lioinines :equum 
esse existimaverunt, antequam scirent eiti Umo 9 
Geometriam recte defimas esse, scientiam qua ex 
aUaua vrl afiquibus iitagiiilitdiiiibits mensuratis, 
cognoscimus prr raliociitationeiii alias non vienttu- 
rtttas : meusuram autem esse, materiale aliquid 
quoil liahenti magnititdinem applieatitm semel vel 
plnrics, ipsam ccquat ; videmus enim lincas men- 
surari pede, brachio, etc, plana planis, solida su- 
lidis, fluida vasibus seu locis congruis. /Equalia 
autem esse dices, quat eidem loco congruere pos- 
snnl: similia, </tt<rsofa dijfcriuit magiiitutliitc : ({Oflfr 
titatem denique magnitudinem dejinitam, nem] 
expositione aut comparatione cum alia magnitut 
cognita. Qua> defimtkmes et faciles sunt, et pi 
cipia demonstrandi. 

Clavius, ad prop. 22. hujus Elenienti tertii 
monstrat, quod si duo aut plures rircit/t se niutuo 
tangant interiiis tii utio puncto, a •/uo dntr aut pfit- 
res rectcp educantitr, eritnt et arcus ii.ter qttascttn- 
f/ue duas lineas intercepti, et arcits tii/cr i/ttuittatit- 
que Uneam et punctum contactus intercepti, simifcs. 
Exempli gratia : in figura ad Cap. viii, arcus duos 
BM, BN demonstrat esse similes. Et quidem recte. 
Sed ex eo sequetur arcum utrumque habere latitu- 
dinem aliquam, majorem majorem, minorem mino- 
rem : alioqui falsum erit, Apelle judice, vel alio 
quovis pictore: cum in similibus arcubus inae- 
qualibus latitudines ipsorum arcuum requales 



pos- 

uan- 
mpe, 
dine 

.: 



6B0METRARUM. 4 1 3 

esse non possunt, sed in ipsorum arcuum ratione cap. x. 
inaequales. Etiam nt longitndines inaequales qua- 1>e peutioue 
tenus longitudines similes sint, dictu absurdum est. P rim *' elc - 

Hactenus peccata deftnitionum Euclidis leviora : 
quae tamen, si demonstrationes nullas inficiunt, pro 
nullis habeantur. Accedo jam ad definitiones Ele- 
menti quinti, quae pertinent ad doctrinam rationum 
et proportionum, geometrise medullam. 



CAP. XI. 

DE RATIONE. 



Prima est, pars est magnitudo magnitudinis minor 
majorisy cum minor metitur majorem. Si per par- 
tem intelligat partem aliquotam, et inter partes 
aliquotas numerat totum, (nam aequale metitur 
aequale), bona est : et eadem in lineis est res, pars 
et mensura. 

Definitio tertia: Ratio est duarum magnitudi- 
num ejusdem generis mutua qucedam secundum 
quantitatem habitudo. Quis ex definitione hac, 
Latina sive Grseca, naturam rationis comprehendere 
intellectu potest ? Quid enim est ejusdem generis 9 
Ubi hoc in antecedentibus explicavit ? Quid est 
illud qutedam, sive (ut Graece sonat) aliqualis ha- 
bitudo ? Quid denique habitudo ? Neque hoc 
usquam definivit, neque quantitatem. 

Ideam rationis (de qua hoc loco Euclides) omnes 
perfectam habent. Mercator scit, ex quantitate 
«ollatae a se pecunise, quantum habere debet lucri. 
Colonus non ignorat quantum usum agri communis 



414 DE PRINCIPirS ET RATIOCINATIONE 



habere debet, ex quantitate agri sibi proprii. 
cator, qui tertiam partem collatae pecuuite contulk, 
statim dieet debere* sibi tertiam partera lucri. Co- 
lonus qui possidet tertiam partem agri privatim. 
prompte postulahit tertiam partem usus agri com- 
munis. Uuusquisque enim videt inesse in ea re 
comparatiouem quantitatis ad quantitatem, quanti- 
tatis expensi ad quantitatem accepti. Sed ideam 
hanc ita oratione generali adsequate complecti, nt 
inde regulas generales demonstrare possit, non 
facile potest unusquisque. Juxta hanc ideam vul- 
garem, proportionem in numeris optime definivit 
Euclides, Def. 24. Elem. vii : etsi eo loco non ra- 
tionem, sed proportionem dicat. Proportionem 
autem in alio sensu dicit in Def. 4. Elem. v, pro 
ratiouum similitudine. Quod parvi momenti pec- 
catum est, nisi quod inconstantia iu vocabulis sig- 
num sit obscuritatis in intellectu. Sed ideam illam 
quam habmt Euclides a partibus iisdem uumero. 
rum, raagnitudinibua qua: non setnper suut ut nu- 
merus ad numerum adaptare non potuit. Itaque 
omissa illa responstone/Jrt/V/;/;» adparie», coactus 
est ideam aliam qusrere tum raagnitudinum, tura 
numerorum communem. Noverat in quatuor pro- 
portionalibus primum ad secundum ita se haberv, 
(Grsece, oEr« c h">')> ut tertium ad quartum. Itaque 
a cogitatione vocis ita habeat, quasi ab idea ipsa 
rei (converso verbo tyttv in nomen ox^*c, seu i 
habere in nomen hahitudo) formavit rationis • 
nitionem illam sterilem, ratio cst duarum mag. 
diiium ejusdemgeneris secundum quantitatem / 
tudo •jiuedam : sonum verborum secutus pro ii 
Antequam rationem definiam, uecessarium < 

* Sie edit. 1668. Quare deberif 



GEOMETBARUM. 415 

definire quantitatem, et quantitatum diversa genera 
inter se distinguere. Interroganti enim quantum \>, . „ 
est, qui ita respondet ut interrogantis ammus ac- 
quiescat in eo quod respondetur, necesse est ut 
magnitudinem de qua qujeritur vel exponat ad 
oculos, vel deterniinet per comparationem cum alio 
quanto per mensuram determinato. Animus enim 
in indefinitis non acquiescet. 

Sed quia non omnia quanta mensurantur per 
Hneam, nec per superficiem, uee per solidum, toti- 
dem erunt genera mensurai quot sunt genera quan- 
torum. Corpus mensuratur tot mensuris quot 
habet dimensiones, et proinde tria habet diversa 
genera quantitatum, nempe lineam, superficiem, et 
soliditatem : quarum quantitatum unius pars, pars 
alterius esse non potest. Et in universum, quan- 
titates illse diversi generis sunt, quarum pars unius 
non est pars alterius : vel ut definitur ab Euclide, 
quarum una, quantumvis multiplicata, nunquam 
alteram superabit. 

Linere ergo omnes, sive recta? sive curva?, ejusdem 
suntgeneris quantitates: et quia curva extendi po- 
test, ita ut fiat, nou mutata quantitate, recta, altera 
earum multiplicata alteram superare potest. 

Ab his tribus generibus Clavius excludit nume- 
rnm, tanquam genus ab omnibus tribus diversum. 
Non recte. Numerus semper est in eodem genere 
quantitatis cum numerato. Neque geuere differunt 
unum et plura. Numerus autem et plura, idem 
snnt. Numerus linearum, et lineae, habent idem 
genus quautitatis : item numerus angulorum, et 
angulus ; temporum, et tempus, etc. Quod daritlf 
lineam finitam et lineam infinitam ejusdcm csse 
generis negat, superfluum est : tanquam si quis di- 



416 DE PRINCIP1IS ET RATIOCINATIONE 



ceret ens et non-ens esse diverst generis : lii 
, infinita nulla est. Quod autem dicitur in mnthe- 
maticis injinihtm, id siguificat solummodo indeter- 
minatum, sive indefinitum, id est, quod quantum 
sit non est dictum. 

Distinguendum etiam est iuter quantum et quan- 
titatem, quorum unum nunquara dicitur de altero. 
Prseterea etsi magnitudo, ut longitudo, supeiii- 
cies, soliditas, solis corporihus tribui proprie pos- 
sunt, quantitas tamen multis aliis rebus tribui recle 
potest. Quicquid enim est de quo vere dicimus, 
quod majus vel minus alio est, vel aequale, vel de 
quo vere dicitur magis vel minus vel sequaliter est i 
habet illud quantitatem et dimensionem, vel uiiam 
vel plures. Et proinde, tempori sua quantitas est. 
qua; exponi potest per liueam. Motui est sua sibi 
quantitas, exponenda per lineam. Etiam vis habet 
suam sibi quantitatem, exponcndam per lineam vel 
planuro. Et pondus quautitatem suam, quae ex- 
poui potest etiam per Iineam vel solidum. Nec 
tamen inde inferri potest, aut tempus, aut motum, 
aut vim, aut poudus, esse liueam aut aliam magut- 
tudinem. 

Denique ratio, quoniam ratio alia alia major est 
vel minor, quantitatem habet, et per duas tu 
exponitur. Quandocunque enira exponuntur dua? 
linese, non modo exponuntur ipsse, sed etiam ipsa- 
rum ratio. Ratio enim est, ut eam definiam, mag- 
niltulinis ad magnitudtnem relatio. Neque exponi 
potest nisi per duas lineas, quarum altera antect 
dens altera consequeus, ut in omuibus fere ; 
relationibus, appellatar. 



GBOMETRARUM. 



CAP. XII. 



DE USDEM RATIONIBUS. 

Definitio sexta : in eadem ratione magnitudines 
dicnntur esse, prhiia ad secitndam, et tertia ad 
quartam, cum prhiuc et tertia? mqju mullipHcia a 
secunda' et quarta? feqtte multiplicibus, quaUscun- 
que sit haic multipHeatio, utruniqiie tdi utroque tiel 
iina dejicittnt, vel una tzqualia sunt, tel una exce- 
dttnt : si ea siimantur qwe inter se respondent. 

In hac defimtione nulla meiitio est hahititdinis 
unitis magni/udinis ad aliam, cum tanien ex defini- 
tioue Euclidis verba illa sunt de rationis essentia. 
Itaque aut definitio rationis, aut definitio ejusdem 
rationis, vitiosa est. Neque axioma est, quia non 
est lumine naturali cognoscendum. Neque est ex 
antecedentibus demonstrabile. Neque denique de 
quautitate continua demoustrabile est ex subse- 
quentibus. Et tameu vera est propositio, et con- 
versa propositionis 12 hujus Elementi v. Demon- 
strari autem potest per definitionem quara ego 
posui hanc : ratio est duaruta ma^nitudiiium se- 
cundum quantitatem relatio : et demonstratam 
vidi. 

Clavius, sentiens (ut puto) defhiitionem banc 
egere defensione, longam, de causa propter quam 
" Euclides quatuor magnitudines proportionales et 
non proportionales per earum ieque mnltiplicia de- 
fioierit," orationem instituens, nullam adfert cau- 
sam aliam, prseterquam quod, propter multarum 
magnitudinum incommensurabilitatem, coactus sit 
investigare aliquid quod certum sit convenire qui- 

VOL. IV. E E 



418 DE PRINCIPHS ET RATIOCTNATIONE 

buscunque numeris eandem habentibus prop 
tionem ; deiude idem demonstrare convenire etiam 
in commensurabilibus. Hoc tamen nusquam prae- 
stitum est. Itaque idem est ac si dixisset, ideo 
illum proportionalia sic definiisse, quia definitiouem 
meliorem nondum poterat reperire. 

Exponautur quaLuor numeri proportiouales, 
8:4 : : 6 : 3. Vides hic duas relationes totius ad 
dimidium : suut enim totum et dimidium rela- 
tiva, et relatio totius 8 ad dimidium suum 4, ea- 
dem relatio qiue totius 6 ad suum dimidium 3. 
Idem dici etiam potest de tertiis, quartis, etc, 
a*que ac de diroidiis. Patet ergo rationem esse 
relationem : et ratiouem eandem esse relationem 
eandem. Et propterea proportiouem in numeris per 
parles easdem recte definivit Euclides. Sed inve- 
nire debuit aliquid quod rationibus etiam iM g nitB» 
dinum incommensurabilium conveniret. Curautem 
non fecit ? An impossibile erat ? Nescio, nisl 
quod sit difJicile, Dua* linea: simul atque ductse 
Buut, habent inter se rationem suam, qua?cunqueea 
sit. Et quse causa effieiens erat ipsarum Hnearum, 
eadem erat et causa ejus quam habent inter se ra- 
tionis. Causa ipsarum liuearum efficiens erat ductio, 
id est, motus : quare etiam causa efficiens rationis 
quam habet earum altera ad alteram, erat motus 
ille idem, ex quo motu hnese ipsa: orta: sunt. Etiam 
ratio ilia eadem erat in motibus ipsis, quibus illae 
linese erant descriptae. Quaerenda ergo est ratiouis 
duarum linearum inaequaUum identitas, sive tequa- 
litas, sive similitttdo (quae tria nomina in rationibus 
idem significant) iu motuum ina?qualium aliqua si- 
militudine, id est, in responsione partis ad partem 
vel portionis ad portionem: sive illae partes aliquo- 



GEOMKTRARUM. 



419 




tae sint, sive non sint. Itaque qui tales motus ex- 
cogitaverit, proportionalia ipsa determinabit, duc- 
dsque lineis rectis determinabit exponetque oculis. 

Factu autem difficile non est. Nosti enim, motii 
sive ductu lineae uniformi partes lineae descriptas 
aequalibus temporibus, semper esse inter se aequa- 
les. Item si liuea descripta sit eadem semper velo- 
citate, partes ejus sequalibus temporibus descriptae 
esse etiam inter se sequales. 

Sit recta AB descripta motu 
uniformi, in tempore quocuu- 
que : et in parte aliqua ejusdem 
temporis, eodem motu uniformi 
descripta sit AD pars reetse AB. 
Quoniam ergo motus uniformis erat in omuibus 
partibus aequalibus temporis, descriptae erunt par- 
tes aequales tum totius rectae AB, tum rectae AD : 
sive ilhe partes toti AB siut, vel non sint, com- 
mensorabiles. 

Eodem tempore, motu uniformi quidem ut ante, 
sed tardiore, sit descripta recta AC, faciens cum 
AB angulum quemcunque BAC: et quo tempore 
descripta erat AD, eodem intelligatur descripta AE. 
Quare in rectis AC, AE, pro partibus sive portioni- 
bus sumptis in AB, portiones sequales semper de- 
scribentur in AC : eodem modo quo tota AB 
respondet toti AC, et pars AD parti AE. 

Habebunt ergo partes sequales factae aequalibus 
temporibus in AC ad partes aequales factas aequali- 
bus temporibus in AB eandem rationem, singuUe 
ad singulas, quam habet tota AC ad totam AB, sive 
etiam quam habet AE ad AD. Etiam partes omnes 
aequalibus temporibus faetpe in EC, (differentia in- 
ter AC, AE), ad partes omnes aequalibus tempori- 



420 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

bus factas in BD, (differentia inter AB et AE 
singulie ad singulas, eandem habebunt ratiouem 
quam AC tota ad AB totam, vel AE pars ad AD 
partem. 

Quare si AB et AD sint incommensurabiles, et 
proiude etiam AC, AE incommensurabiles ; intelli- 
gauturqne quotlibet partes sequales sumptfe in AB, 
ita ut restet ad complendam AB pars minor quam 
una earum partium ; et totidem partes sequales in- 
telligantur suraptse in AD, ita etiam ut restet ad 
complendam rectam AD minor quara una harum 
partium ; fiatque idem in rectis AC, AE : omnes 
illee partes aequales simul sumptse in AB, habebunt 
eandem rationem ad totam AB, quam habent par- 
tes similes sequales sumptse in AC ad ipsam AC ; et 
quam habent omnes similes partes a:quales suinptje 
in AD ad ipsam AD ; et quam habent omiu» simi- 
les partes eequales sumpta; in AE ad ipsam AE. 

Esedem ergo sunt ratioues, quas determinat sive 
exponit motns uniformis (id est, motus zequalibus 
temporibus sequales rectas describens) eodem tem- 
pore : uempe, ratio AB ad AC, vel AD ad AE, vel 
differentije DB ad differeutiam EC, sive iu com- 
mensurabilibus sive iu ineommeusurabilibus. 

Quare rationes easdem definio esse illas, quas 
e.rponit in ditabus rectis motus unijormis aiqituli- 
bus temporibus ; vel universalius, in eadem ratione 
sunt, quce determinantitr a causa quacunque icm- 
poribus mqualibus tcquulia ejficiente. 

Iu eadem figura, si jungatur BC, et ducatur DF 
parallela EC secans BC in F : erit triangulum BDF 
simile toti triangulo BAC, propter augulos ad A et 
D sequales, et angulum ad B communem. Simi- 
les autem figuraj non sunt quae differunt plus quam 



GEOMETRARUM. 



421 



magnitudiue : nara si non essent aequianguhe, aut cap. : 
nou haberent latera circa a?quales angulos propor- nTua 
tionalia, non esset inter eas ulla figurse similitudo. n,ioail 
Eadem ergo est ratio AB ad DB, quae CA ad DF, 
Sed ut AB ad BD, ita ostensa est esse CA ad EC. 
Sunt ergo DF et EC a>quales : et proinde (ducta 
DE) triangula ADE, ABC sunt similia. 

Ad definitionem hanc, propositiones illae quae 
sequuntur in Elemento quinto, de permutatione, 
conversione, compositione etc, rationura, accur- 
runt : et ad lucem ejus omnes fere sese demon- 
straut. Euclidis autem demonstratioues duplo 
plures snnt, propterea quod idem in quantitate 
continua seorsim a mimeris demonstrat : et multo 
longiores quain erat necesse, propter sterilitatem 
definitionis rationis. 

" Sed quid", inquies, " opus est theorematum 
pure geometricorum demonstrationes a motu pe- 
teref" Respondeo primo: demonstrationes omues, 
nisi si ientifica" sint, vitiosa- suut ; et nisi a causis 
procedant, scientifica 1 non suut. Secuudo, nisi 
conclusiones a coustructione, id est, a descriptione 
figurarum, id est, a linearum ductione denionstren- 
tur, vitiosn? sunt. Jam omnis; linearum ductio mo- 
tus est : itaque vitiosa est omnis demonstratio, 
cujus priucipia prima non continentur iu defini- 
tionibus motuura quibus figurse describuntur. Sed 
post theoremata aliquot prima deraonstrata, caetera 
ab his dependentia non egent demonstratione quse 
fit a motu, ut quorum demonstrationes in demon- 
strationibus priorum contineutur : nec alia re egent, 
ut intelligantur, praeter illorura priorum expliea- 
tionem, vel conversionem. 



422 DB PRINGIPIIS ET RATIOCINATIONB 



calcolo. 



CAP. XIII. 

Dfi RATIONUM CALCULO. 

cap. xni. Definitio decima irreprehensibilis est, nempe 
De rationum haec : Cum autem tres magnitudines proportio- 
nalesfuerunt, prima ad tertiam duplicatam ratio- 
nem habere dicitur ejus quam habet adsecundam: 
at cum quatuor magnitudines proportionales fue- 
rint, prima ad quartam triplicatam rationem 
habere dicitur ejus quam hahet ad secundam : et 
semper deinceps, uno amplius quamdiu proportio 
extiterit. 

Est autem quod reprehendi potest et debet in 
expositione hujus definitionis apud Clavium. Sic 
enim scribit : " Interpretes nonnulli colligunt ex 
hac definitione, si proponantur plures quantitates 
continue proportionales, proportionem primae quan- 
titatis ad tertiam esse duplam proportionis primse 
quantitatis ad secundam, eo quod Euclides illam 
vocet duplicatam proportionem hujus. Eodem 
modo volunt, proportionem primae quantitatis ad 
quartam, esse triplam proportionis quam habet 
prima quantitas ad secundam, etc. Quod tamen 
nulla est ratione concedendum. Neque enim Eu- 
clides hoc significare voluit, sed docuit tantummodo 
proportionem primae quantitatis ad tertiam, appel- 
lari duplicatam ejus proportionis quam habet prima 
quantitas ad secundam ; propterea quod inter pri- 
mam quantitatem ac tertiam reperitur quodam- 
modo proportio primse quantitatis ad secundam du- 
plicata ; quippe cum inter primam quantitatem ac 
tertiam interponantur duae proportiones aequales ei 
proportioni, quam habet prima quantitas ad secun- 



UEOMETRARUM. 



423 



dam, et sic de cseteris, ut diximus. Non autem cap. j 
intelligit illam duplam esse hujus, ne theorema E 
proponeret, quod merito quispiam concedere recu- Cl 
saret. Quis enim affirmabit, io his numeris con- 
tiuue proportionalibus, 25 — 5 — 1, proportiouem 25 
ad 1 duplam esse proportionis 25 ad 5 : cum po- 
tius eam quis dixerit esse quintuplam :" 

In illis qui putant, positis tribus continue pro- 
portionalibus, ratiouem primi ad tertium duplam 
esse rationis primi ad secundum ; item pusitia 
quatuor proportionalibus, rationem primi ad quar- 
tum triplam esse primi ad secundum, ubi primum 
est omnium maximum : etiam ego sum. Exempli 
gratia : in his numeris, 8 — 4 — 2—1, dico rationem 
8 ad 1 esse triplam rntiouis 8 ad 4 ; et sesquialte- 
rarn rationis 8 ad 2 ; et rationem 8 ad 2 duplam 
esse rationis 8 ad 4. Non solum quia Euclides ra- 
tiones illas triplicatas vel doplicatas appellat, sed 
quia verura est, et lumine naturali a^que manifes- 
tum ac unum et unum esse duo, aut unum et duo 
esse tria. 

Vox qua utitur hoc loco Euclides, nempe cmAaa-iW, 
et vertitur a Clavio duplicata, aliis iu loeis utitur 
pro dupla. Primo in Prop. 20. Elem. iii. Itaque 
angulus in centro, non minus dicitur duplicatus an- 
guli in circumferentia, quam duplus. Etiam a Cla- 
vio vertitur vox illa Gieeca ltir\ao(»v non modo per 
duplex, sed etiam per duplux ; in propositione ipsa 
et in conclusione per d/tplex, scilicet ue dissentire 
videretur propositio a couclusione ; sed in demon- 
Stratione, per dtiplus. Si ergo dnplicutum, duplc.r, 
et duplum, in quantitatibus non idem significaut, 
uon debuit illis uti ut idem significantibus. 

Rursus in propositione ultima Elem. ix, eadem 



424 DB PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

oap. xiii. voce Graeca utitur Euclides pro ratione 2 ad 1 vel 

Deratiomim 4 ad 2, ubi rursus Clavius illam reddit per duplatn. 

caicuio. Nonne ergo et ipse Clavius, ex eo quod dixit Eu- 

clides duplicatam, intellexit (sicut alii) duplam? 

Qui verbi ejusdem significationem modo unam 

modo aliam facit, mihi quidem videtur subjectam 

rem nullo modo intelligere. Quo autem nomine 

appellabunt rationem 8 ad 4 comparatam cum ra- 

tione 8 ad 2 r Dicent illam esse hujus subdupli- 

catam, et rationis 8 ad 1 subtriplicatam. Nume- 

rum autem numeri subduplum dicent, non subdu- 

plicatum ; et numerum 2 numeri 6 non subtripli- 

catum, sed subtriplum : nomina Latinae genti 

inaudita. Itaque cessantis jam linguae verba, quae 

velut testamenta morte confirmata sunt, et quae 

tnutari non debent, suo arbitrio sine necessitate 

mutat. Quid enim omnino significat subduplum 

aut subduplicatum, si significat aliquid prseter di- 

midium : aut subtriplum vel subtriplicatum, praeter 

tertiam partem. Retinebo ergo vocabula propria, 

duplicatum vocans etiam duplum, et triplicatum 

.triplum ; nec pro subduplicato et subtriplicato du- 

bitabo dicere dimidium, et tertiam partera, vel (si 

libet) trientem. Etiam in rationibus (quanquam 

id non concedat Clavius) similiter dicam, nisi id 

falso dici ostendat. Quod enim rogat, " Quis affir- 

mabit in his numeris continue proportionalibus 

25 — 5 — 1, proportionem 25 ad 1 duplam esse pro- 

portionis 25 ad 5 : potius eam quis dixerit esse 

quintuplam": nihil probat. Quid, quia terminus 

primus est quintuplus secundi, et secundus tertii: 

ob eam causam dixerit aliquis rationem 25 ad 1, 

quintuplam esse rationis 5 ad 1, potius quam du- 

plam? Manifestum est rationem 25 ad 5 esse 



GEOMETRARCJM. 



425 



rationem unicam, et rationem 5 ad 1 esse etiam cap. : 
unicam et ipsi sequalein ; et rationem 25 ad I com- d,. „ 
poni ex illis rationibus duabus aequalibus. Quid a 
aliud ergo negat Clavius, nisi rationem ex duabus 
rationibus sequalibus compositam constituere uuius 
earum duplam ! Cur autem hoc negat r Quia 
numerus 25 numeri 5 est quintuplus : scilicet obli- 
tus quaestionis, quae nou instituitur de uumero vel 
magnitudiue aliqua absoluta, quae sit alterius quiu- 
tupla, sed de ratione quse est raagnitudo compara- 
tiva ; itaque rationem unicam 25 ad 5 computavit 
pro quiuque ratiouibus. Natus est error Clavii, ex 
eo quod vulgo apud mathematicos voeabatur ratio 
quiutupli ad simplum quintupla ratio, et ratio du- 
pli ad simplura (ut Elem. ix. Prop. ult.) ratio 
dupla, imperite et falso: naui ratio 2 ad l non 
est ratio dupla, sed simpla, nempe dupli ad 
simplum. Neque qmcquam valet quod illustratio- 
nis causa subjungit, quemadmodum etiam propor- 
tio octupla dupla est proportionis quadruplae : cum 
tamen quadruplee duplicata sit sedecupla, ut hic 
patet 16 — 4 — I. Diflicile conceptu est quomodo 
octupla proportio magis sit quadruplae dupla, quam 
octuplicata sit quadruplicatse duplicata. Esto autem 
octupla proportio quadruplae dupla. Quid sequi- 
turf Nonne, queraadmodnm in his numeris 16 
uuitates duplae sunt octo unitatum ; ita sedecera 
rationes duplas esse octo rationum : et proiude 
etiam duas rationes, 16 ad 4, et 4 ad 1, duplam 
esse rationis 16 ad 4, vel 4 ad 1 ; id quod Clavius 
deraonstratum notlet i 

Postremo, objiciens quaerit, in tribus magnitudi- 
nibus aequalibus, vel in tribus a>qualibus numeris, 
ut 4.4.4, atque adeo continue proportionalibus, 



426 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. xiii. qui fieri potest ut proportio primi ad tertium dupla 
D*mtionum sit proportionis primi ad secundum, cum sit omnino 
^ " 10, eadem ? Profecto si ratio 4 ad 4, nempe ratio eequalis 
ad sequale, id est, ipsa sequaiitas, quantitas sit, valida 
est objectio. Sin quantitas non sit, frivola est: 
cum nihil ad nihil additum, vel per nihil multipli- 
catum semper facit nihiL Antequam autem ad 
hanc et alias ejus objectiones respondeam, non abs 
re erit quantorum genera amplius ex ipsis Euclide 
et Clavo distinguere, et quid sit rationum additio 
et subtractio, ex iisdem explicare : et cur in tribus 
continue proportionalibus, quorum primum est 
maximum, rationem primi ad tertium duplam esse 
dixi rationis primi ad secundum ; non tamenquando 
primum est minimum. 



CAP. XIV. 

ADHUC DE RATIONUM CALCULO. 

Definitio quinta Elementi sexti hsec est : Ratio 
ex rationibus componi dicitur, cum rationum quan- 
titates inter se multiplicatce aliquam effecerint 
rationem : et vera est. Nam si sint proportiones 
illae duae eaedem vel non eaedem, sive prima maxima 
sit vel non maxima, semper illis conveniet defi- 
nitio. Exempli gratia : in his numeris, 4 — 2.6 — 3, 
ubi rationes sunt esedem, si multiplices inter se 
antecedentes 4 et 6, qui faciunt 24, et consequentes 
2 et 3, qui faciunt 6 : ratio nascens erit ratio 24 ad 
6, id est 4 ad 1, id est, duplicata rationis 4 ad 2 



GEOMETRARUM. 



42/ 



vel 6 ad 3. Rursus in iisdem numeris inversis, caf. : 
2 — 4.3 — 6, multiplicatis inter se tum anteceden- dT^ 
tibus tum consequeutibus, oritur ratio G ad 24 sive ™ lculu 
lad4,qujeest duplicatarationis 2 ad4. Rursus siut 
rationes non esedem.utin his numeris, 4 — 2.6 — 4, 
multiplicatis tum autecentibus tum eonsequentibus 
gignetur ratio 24 ad 8 sive 12 ad 4. Expositis 
autem his numeris, 12—6 — 4, erit ratio 12 ad 6 
eadem cum ratione 4 ad 2, et ratio 6 ad 4 eadem 
quse ante. Idem iu horum conversis continget, 
2 — 4.4— 6. Atque hiuc intelligere licet, quid sint 
ilhe quas appellat Euclides rationum quantitates, 
nempe rationum antecedentes et consequentes. 
Nec tamen voluit tantam esse rationera quauta est 
antecedens, aut quanta est consequens ejus : qua- 
rum utraque est quantitas absoluta, sed neutra 
earum ratio. Quautitatem autem rationis 4 ad 2 
interpretatur Clavius per fractionem *-, et rationem 
6 ad 3 per 4- : quas appellat etiam rationis deno- 
minatores. Quas si inter se multiplices, habebis 
quidem fractiouem cujus numerator ad denomina- 
torem rationem habet compositam ex rationibus 
4 ad 2 et 6 ad 3 : propterea quod etiam sic multi- 
plicantur inter se tum antecedentes tum conse- 
quentes, ut prius. Non est autem fractio -f nec 
f ratio composita, nec omnino ratio, cum sit pars 
quantitatis absolutas. Aliud enim est -f, id est 4, 
aliud ratio quaternarii ad unitatem. Ratio enim 
duabus tineis exponitur semper, at quantitas ab- 
soluta unica. 

Quod Clavius hic scribit : " Quoniam denomi- 
nator cujuslibet proportionis exprimit quanta sit 
magnitudo antecedens ad consequentem, dici sotet 
propterea quantitas rationis" : recte quidem dicit 



428 DB PRINCIPIIS ET KATIOCINATIONE 

oap. xiv. exprimit, non recte autem arithmetici dicunt esse f 
Denukmum nempe, quotientem divisionis numeri per numerum 
«•fc" 10 - esse rationem ipsam divisi ad divisorem: unde 
multa in geometriam irrepserunt absurda, et plura 
indies consequentur ; quorum causa magna ex parte 
fuit Clavii haec impropria locutio. Qualis etiam 
videtur tibi haec oratio in mathematicis : quanta 
sit magnitudo antecedens ad consequentem ? De- 
bebat enim dicere, quanta est magnitudo ante- 
cedens ut comparata cum consequente, vel quanta 
est ratio magnitudinis antecedentis ad magnitu- 
dinem consequentem. Scio Clavium linguae Latinae 
scientissimum fuisse : sed huic illius sententiae de 
compositione rationum inimica erat elocutio clara. 



CAP. XV. 

ETIAM DE RATIONUM CALCULO. 

Clavius ex hac definitione quinta Elementi sexti 
recte infert, quod in magnitudinibus quibuscunque 
ordine positis, proportio prinue ad ultimam dice- 
tur componi ex proportione prinue ad secundam, 
et secundce ad tertiam, et tertice ad quartam, etc. 
Cujus etiam demonstrationes aliquot adfert ex 
Theone, Vitellione, Eutocio et Apollonio : ita ut 
nullo modo a Clavio negari possit, qui ean- 
dem in numeris pro definitione ad Elem. vii 
posuit. Itaque in tribus lineis A, B, C 
ordine expositis, ratio A ad C componitur 
ex rationibus A ad B et B ad C : et rursus 
ratio C ad A componitur ex ratione C ad B 
et ratione B ad A. 



A B C 



GEOMETBARUM. 429 

Per defiuitionem quintam Elem. v, quae haec est: c * 
Rationem habere inter se magnitudines dicuntur, d«i 
auce possunt muliiplicata; sese mutuo superare ; eBlc ' 
explicat Euclides, ut recte dicit Clavius, quidnam 
requirant dua? quantitates ejusdem generis ut ra- 
tiouem dicantur habere, nempe, si non habeaut 
hanc conditionem ut altera possit tnultiplicata al- 
teram superare, non esse illas neque ejusdem gene- 
ris, neque habere inter se rationem. 

Unde manifestum est, primo, lineam, superficiem, 
et solidum esse diversa genera, vel potius diversas 
species quantitatis. Nulla enim harum quantumvis 
multiplicata alteram superabit. 

Secundo, angulus genitus ex motu circulari, et 
angulus contactus, diversas sunt species qunnti- 
tatis. Angulus enim contactus nulla unquam mul- 
tiplicatione superabit angulum genitum ex motu 
circulari. 

Tertio, ratio majoris ad miuus, et ratio minoris 
ad majus, sunt diverss species quantitatis. Nam 
ratio minoris ad majus, quanto magis multiplica- 
tur, tanto semper minor est. 



CAP. XVI. 

ETIAM DE RATIONUM CALCULO. 

Clavius, ad prop. 23, Elem. vi, aliam habet me- 
thodum componendi rationes. Sint duse rationes 
6 ad 4 et 2 ad 8 componendse. Fiat ut 2 ad 8, ita 
consequens 4 ad aliam 16: eritque ratio 6 ad 16 
composita ex rationibus 6 ad 4 et 2 ad 8. Positis 
enim ordiue his numeris 6, 4, 16, priores duse 



430 DE PRINCIPIIS BT RATIOCINATIONE 

cap. xvi. habent rationem 6 ad 4, posteriores duae rationem 

Derattaram 2 B.Q. 8. 

caicoio. Habet etiam methodum auferendi rationem mi- 

norem a majore. Sit ratio 1 ad 4 auferenda ratione 
2 ad 4. Fiat ut 2 ad 4, ita antecedens 1 ad aliam 
2 : et collocentur ordine tres numeri 1,2, 4. Ratio 

1 ad 4 componitur ex rationibus 1 ad 2, et 2 ad 4. 
Quare ablata ratione 2 ad 4 ex ratione 1 ad 4, 
reliqua est ratio 1 ad 2. 

Similiter, si ex ratione 3 ad 2 auferenda sit ratio 

2 ad 3, fiat ut 2 ad 3, ita 3 ad aliam 4±. Nam 
positis ordine, 3, 4i, 2 ; ratio 2 ad 3, id est, ratio 

3 ad 4£, aufertur a ratione 3 ad 2, et relinquitur 
ratio 4i ad 2. Atque hae methodi ambae compro- 
bantur a Clavio ad prop. 23, Elem. vi. 



CAP. XVII. 

RESPONSIO AD QUiEDAM QUjESITA CLAVIl. 

Respondeo jam ad quaesita Clavii, et primo ad 
hoc : Quifieri potest, ut positis tribus magnitudi- 
nibus cequalibus 4, 4, 4, ratio primce ad tertiam 
dupla sit rationis primce ad secundam, cum sit 
omnino eadem ? 

Quoniam ratio primse 4 ad secundam 4, quan- 
tumvis multiplicata nunquam superabit rationem 
eandem 4 ad 4, neque quantumvis per medias in- 
terpositas divisa ab illa superabitur: manifestum 
est rationem 4 ad 4 (et in universum, aequalis ad 
aequale) non esse quantitatem, neque posse aequa- 
litates alias aliis majores vel minores esse. Inee- 
qualitatum autem alia alia major esse potest, et 



GEOMETRARUM. 431 

proinde habet quantitatem. Jam quod qujerit cap. 
Clavius, quomodo positis ordine 4, 4, 4, ratio primae u,,p,„'„i„ „'d 
ad tertiam dupla esse potest rationis primae ad SToElft** 
secuudam, idem est ac si quKsiisset, quomodo 
positis tribus cifris 0, 0, 0, ratio prims ad tertiam 
potest esse dupla rationis prima? ad secundam : 
cum revera et proprie loquendo, unum nihil alte- 
rius nihil neque duplum neque duplicatum est. 

Rursus Clavius, ad finem Elem. ix, ut prolwt ra- 
tionera duplicatam non esse rationem duplam, sic 
scribit: " lmprimis igitur compositionem propor- 
tionum," (vocabulis eniui ratio et proportio aliter 
quam Euclides protuiscue utitur), " de qua Euclides 
agit Def. 10, lib. v, etc, et in propositionibus du- 
plicatam, triplicatam, et compositam proportionem 
de magnitudinibus vel numeris demonstrat, dico 
non esse vere additionem proportionum, ita ut du- 
plicata vel triplicata proportio sit duplo aut triplo 
major ea proportione cujus illa dicitur duplicata, 
triplicatave; item ut proportio es pluribus propor- 
tiouibus composita sit vere totum quippiam, cujus 
partes sunt proportiones ex quibus dicitur compo- 
sita. Nam, etc. Si positis his terminis continue 
proportionalibus, 1. 10. 100, proportio 1 ad 100 
non solum duplicata diceretur proportionis 1 ad 10, 
sed vere esset duplo major, etc, quis non videt 
partem esse majorem toto ?" 

Respondeo primo non videri mihi recte iilatum, 
ex eo quod 1. 10. 100 sunt continue proportionales, 
et ex eo quod ratio 1 ad 10 major sit ratione 1 ad 
100, partem esse majorem toto. 

Secundo, si illatio legitima sit, necesse est, quan- 
quam absurda sit, sit tamen vera. Nam ipse Clavius 
utrumque affirmat, nec quisquam negat, nempe, et 



432' DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. xvii. rationem 1 ad 1 00 esse totum, cujus pars est ratio 
R^poMoad 1 ad 10 ; et rationem 1 ad 10 majorem esse ratione 

SucuX ,B " tota l a( * 100# I te q ue 8 * q ua W c yere s^bsit ab- 
surditas, Clavii est : nec solum illorum qui dicunt 

rationem duplicatam esse duplam. Latet autem 

illa vel in assumpto hoc : In magnitudinibus qui- 

buscunque ordine positis, rationem primce ad ulti- 

mam composita est ex rationibus intermediis : vel 

in diverso genere rationis majoris ad minus a 

genere rationis minoris ad majus. Quare proprie- 

tates tum rationum ordine positarum, tum utrius- 

que generis rationum, diligentius paulo conside- 

rabimus. 

Et primo, in rationibus ejusdem generis, sive 
magnitudines decrescant perpetuo a majore ad 
minus, sive perpetuo crescant a minore ad majus, 
compositio vera est. Sint enim tres numeri 100, 
10, 1, quse rationes sunt majoris ad minus. Mani- 
festum est rationem 100 ad 1 compositam esse ex 
rationibus 100 ad 10 et 10 ad 1, eandemque tum 
duplicatam tum duplam esse rationis utriusvis 100 
ad 1 0, vel 1 ad 1 . Item inversim, ubi rationes 
1. 10. 100 sunt minoris ad majus, manifestum est 
rationem compositam 1 ad 1 00 sequalem esse am- 
babus rationibus 1 ad 10 et 10 ad 100 inter se 
sequalibus. 

Deinde in his numeris 16,4,2, manifestum est 
rationem compositam 16 ad 2 aequalem esse dua- 
bus rationibus 16 ad 4, et 4 ad 2: quarum prima 
ratio secundee est duplicata, tota autem ejusdem 
secundse triplicata. Item in his numeris illorum 
inversis 2,4, 16, composita ratio 2 ad 16 aequalis 
est duabus rationibus quarum secunda est primse 
duplicata, composita autem ejusdem primae tripli- 
cata. 



GEOMETRARUM. 433 

Etiam in tribus aliisquibuslibet magnitudinibus, i 
quarum prima est maxima, tertio vero minima, | 
idem coutiuget: ut in his numeris 12, 8, 2, ubi ra- [ 
tio primse ad secuudam est eadem qua; 3 ad 2, 
ratio autem secunda? ad tertiam eadein est qua? 2 
;nl 4. Componamus has primo juxta definitionem 
traditam ab Euclide, Def. 5, Elem. vi, per multipli- 
cationem inter se tum antecedentium tum conse- 
quentium. Oritur autem ratio 12 ad 2, cujus par- 
tes componentes erunt rationes 3 ad 2 et 2 ad £ ; 
id est, (multiplicatis omnibus terminis per4),ratio 
1 2 ad 2 composita ex rationibus 1 2 ad 8, et 8 ad 2. 

Deinde componamus easdem per regulam com- 
positionis aliam, traditam a Clavio ad Prop. 23. 
Elem. vi. Fiat ergo ut 3 ad 2, ita 2 ad aliam, i. 
Expositisque numeris 3, 2, i, erit ratio composita 3 
ad i aequalis rationibus eomponentibus 3 ad 2 et 2 
ad £. Nam multiplicatis omnibus terminis per 4, 
nascentur numeri 12,8,2, iidem qui prius. 

Itaque nihil video quo minus propositio illa, 
nempe, ratio primi* ad ultimam composita est ex 
ratiomhus intermcdiis, pro vera babeatur. Adverto 
etiam obiter, rationes coraponendi methodum hanc 
Clavianam esse veram ratiouum additionem : non 
autem, ut vult Clavius, multiplicationem. 

Quomodo autem eadem propositio, uempe, rali- 
onem prinu ad tdtinntm* compositam esse ex ratio- 
nilnts iuteritiediis, locum habeat quando una ratio 
est majoris ad minus, altera minoris ad majus, 
difhcile explicatu est. Sint contiuue proportio- 
nales 1, 10, 100: sedalio ordiriecolloeatse, ut 1, 100, 
1 0. Cum ergo per propositionem illam universa- 



• Bic Bdit 1668. 



434 DB PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. xvii. lem, ratio 1 ad 10 composita est ex rationibus 1 ad 
Besponaoad 100 et 100 ad 10, sicut totum ex partibus, erit 

SrcuTiT^ ratio l *& 10 ° P ars rationis 1 ad 10. Sed quota 
pars ? Ea scilicet pars, quam geometre duuc ap- 
pellant subduplicatam rationis 1 ad 10. Quia vero 
ratio 1 ad 100 minor est quam ratio 1 ad 10, erit 
pars 1 ad 100 minor quam reliqua pars, quanto 
ratio una minor est quam duae ; et sunt ambae ra- 
tiones 1 ad 100 et 100 ad 10 partes rationis 1 ad 
10, si modo ratio 100 ad 100 (quae quantitas non 
est) pro quantitate computetur ; alioqui ratio 100 
ad 10 non potest esse pars rationis 1 ad 10. Neque 
enim duae quantitates diversi generis, quales os- 
tendi supra esse rationes minoris ad majus, et ma- 
joris ad minus, partes ejusdem quantitatis esse 
possunt 

Quo ergo sensu, inquies, verum est componi ra- 
tionem 1 ad 10 ex rationibus 1 ad 100 et 100 ad 
10 ? Respondeo, verum esse secundum verborum 
sensum proprium, nimirum, si ratio 100 ad 10, sive 
ratio 10 ad 1, addatur rationi 1 ad 100, nasci ra- 
tionem compositam 1 ad 10 sequalem duabus ratio- 
nibus 1 ad 100 et 10 ad 1. Id quod facilius intel- 
liges, si prius duo illa genera rationum quomodo 
crescunt, minuuntur, componuntur, et alterum ab 
altero substrahitur, clarecexplicavero. 

Sumantur ergo quinque magnitudines continue 
proportionales in ratione majoris ad minus : exem- 
pli causa, 81, 27, 9, 3, 1, quarum inversse 1, 3, 9, 27, 
8 1 , sunt in ratione continua minoris ad majus ; et 
media omnium est 9. In his, incipiendo a maxima, 
desinendo in media, tres primse sunt rationes ma- 
joris ad minus ; incipiendo autem a minima, desi- 
nendo in media, tres primae sunt rationes minoris 
ad majus. 



GEOMETRARUM. 43o 

Rursus incipiendo a maxima, ratio prima: ad ter- cap. xvn. 
tiam est major ratione ejusdem primae ad secun- rIJ!^7^i 
dam, nempe duplo major: contra, incipiendo a ^ci'^""" 
minima, ratio primse ad tertiam minor est ratione 
primse ad secundam, nimirum duplo minor, 

Tertio, incipiendo a maxima, semper prima ma- 
jorem rationem habet ad eam quse proprior est 
tertise, quam ad eam qure ab eadem tertia est re- 
motior: contra vero, iucipiendo a minima, semper 
prima minorem rationem habet ad eam qua? tertke 
proprior est, quam ad eam qure a tertia est remo- 
tior. 

Quarto, incipiendo a maxima, rationes sunt ex- 
cessuum quibus majores superant miaores: contra 
vero, incipiendo a minima, rationcs sunt defectuum 
quibus miuores deficiunt a magnitudine majorum. 

Quinto, ratio tertize ad tertiam (qua? est aequali- 
tas) iu rationibus excessuum minor est omni ratione 
excessus: contra vero, ratio requalitatis major est 
omni ratione defectus: et quia ratio ffiquahtatis 
quantitas non est, erit quantitas rationis defectus 
minor nihilo, tanto quanto ratio excessus ipsi re- 
spondens major est uihilo. 

ExempH gratia: exponantur 81. 27. 9. 3. 1. 
in margine efedem magnitudi- 2. 1. o. l. 2, 
nes propoitionales : et quia ratio 81 ad 9 duplicata 
est rationis 27 ad 9, sub 81 ponatur 2 ; et sub 27 
ponatur 1, quse significent duplicatam rationem et 
uuam rationem ; ponatur autem cyphra sub 9, 
propterea quod ratio 9 ad 9 quautitas non est. Si- 
militer sub 1 ponatur 2, et sub 3 ponatur 1. Vides 
itaque rationem 81 ad 9 duplo majorem esse ra- 
tione 27 ad 9, quia ratioues illa> sunt ut duse ra- 
tiones excessus ad unain : item ratiouem 1 ad 9 

KF! 



436 DE PRINCJPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. xvii, duplo minorem esse ratione 1 ad 3, propterea quod 

Re.ponsioad sunt ambae rationes defectus. Quoniam igitur 

StoCkTT*" rat *° ' a( * 9 duplo minor est quam ratio 1 ad 3^ 

manifestum est rationem 1 ad 3 duplo majorem 

esse quam ratio 1 ad 9. 

His intellectis, ostendendum est quomodo in his 
numeris 1. 100. 10., ratio 1 ad 10 componitur ex 
rationibus 1 ad 100 et 100 ad 10. 

Quoniam enim rationes 100 ad 10 et 10 ad 100 
simul additae faciunt rationem aequalitatis, id est, 
altera alterius quantitatem extinguit, restabit ratio 
1 ad 10 pro summa rationum 1 ad 100 et 100 ad 
10 : ut qui unum dederit carenti duobus, facit ut 
careat tantummodo uno. 

Atque hoc exacte convenit cum Def. 5. Elem. vi. 
Nam antecedentes rationum 1 ad 100 et 100 ad 10, 
sunt 1 et 100: consequentes autem 100 ad 10. 
Antecedentes in se multiplicatae faciunt 100 : con- 
sequentes autem multiplicatae in se faciunt 1 000 : 
sed ratio 1 00 ad 1 000 eadem est cum ratione com- 
posita 1 ad 10. Componitur ergo itaratio 1 ad 10 
ex rationibus 1 ad 100 et 100 ad 10, ut partes 
componentes sint vere partes rationis compositae. 
Sed rationes 1 ad 100 et 100 ad 10 non suntpartes 
ejusdem rationis compositae 1 ad 10: neque esse 
possunt, cum sint diversi generis rationes. 

Vides ergo rationem duplicatam duplam quoque 
esse, hoc est duplo majorem esse ratione quae du- 
plicari dicitur. Ut in iisdem proportionalibus 1, 
10, 100, ratio defectus 1 ad 100, duplicata est ra- 
tionis defectus 10 ad 100 (duplicata scilicet de- 
fectus ratione) : et propterea etiam duplo major, 
quia sublatio defectus quantitatem auget. 
Manifeste hinc sequitur theorema hoc universale. 



GEOMETRARUM. 



437 



Si fuerint quotcuuque magnitudines continue i 
proportionales, quarum prima est maxima ; quanto k,,,™,* 
prima ad aliam a se remotiorem quam est proxima, J'£c™, 
majorem rationem habet quam ad ipsam proximam; 
tauto in iisdeui magnitudinibus, inverso ordine col- 
locatis, minima majorem rationem habet ad sibi 
proximam, quam ad remotiorem in eadem distan- 
tia. Exempli gratia: in his magnitudiuibus, 81. 
27.9-3. 1, quanto major est ratio 81 ad 3 quam 
ratio 81 ad 27, tauto major est ratio 1 ad 3 quam 
ratio l ad 27 : quanquam geometrse qui nunc sunt, 
id non concedant. 

Sed ex iis quae hactenus dicta sunt, constat na- 
turam rationis ne Euclidi quidem penitus perspec- 
tam fuisse; raulto autem minus Clavio; sed minime 
omuium illis, qui nunc algebristae perhibeutur. 
Nam hi, a Clavio docti denominatorem rationis in- 
dicare ipsius quantitatem, (ut 4, sive -f, denominat 
iudicatque quantitatem rationis 4 ad I, et 1 indicat 
rationem 2 ad 3: suut autem illi deuominatores 
nihil aliud praeter quotieutes natas ex divisione nu- 
meri per numerum), temere arripuerunt quasi rem 
demonstrat&m, Jraetionem et rationem eandvm mm 
rem, nempe quantitatem absolutam et quantitatem 
comparativam ; qua> comparativa, quantitas om- 
iiino non est nisi respectu ad aliam rationem. Ra- 
ttonis enim magnitudiuo non determinatur nec 
exponitur per unam lineam, sicut quantitas abso- 
luta, sed per duas. Atque ab hoc errore tot ab- 
surda consequuta suut, ut vix magno volumine 
commode contineri possint: quorum praecipua in- 
fra paucis considerabimus, uiia cum aliis quas ex 
aliis principiis falsis iu geometrarum scripta irrep- 
serunt. 



438 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. xvn. Numerat duodecem alia genera rationum Pappus, 
Be.pon.io^i quorum duo considerat in Commentario ad Def. 6. 
o^MBqu». El em# Vj Qavius : nimirum, rationem arithmeticam, 

et rationem harmonicam sive musicam. Atque 
arithmeticae quidem satis bene convenit definitio 
rationis tradita ab Euclide. Nam quantitates duae 
quarum una alteram superat quantitate determi- 
nata, habent inter se habitudinem quandam secun- 
dum quantitatem. Ratio autem quam harmonicam 
vocant, est habitudo quaedam non duarum sed 
trium magnitudinum. De utraque satis multa et 
ingeniosa habet Clavius. Ratio autem arithmetica 
eadem est, cum quanto prima superat secundam 
vel ab ea superatur, tanto secunda superat tertiam 
vel ab ea superatur. Sed ratio harmonica eadem 
est, quando extremae sunt inter se ut differentise a 
media sumptae, major extrema ad majorem diffe- 
rentiam, et minor ad minorem. 

Putasne in aliis scientiis majus peccatum inve- 
niri posse, quam est in geometria non recte expli- 
casse quid sit ratio? Gtuis scriptor ethicus 
usus est definitione boni non bona, vel politicus 
definitione juris vitiosa ? Attamen ejusdem est in 
geometria momenti definitio rationis cujus est in 
doctrina ethica definitio boni 9 et in politica definitio 
juris ! 

Deinde, quod dicit Clavius, proportionem illam 
in tribus numeris, ubi major extremorum est ad 
minorem ut differentia majoris et medii ad diffe- 
rentiam medii et minoris, esse musicam seu harmo- 
nicam : temere dictum est. u In his", inquit, " nu- 
meris 6. 4. 3, est ut 6 ad 3, ita 2, differentia duo- 
rum majorum, ad l, differentiam duorum minorum. 
Quoniam autem 6 et 3 faciunt consonantiam dia- 



GEOMETRARUM. 439 

pason ; 6 et 4 consonantiam diapente ; et denique, cap. xvn. 
4 et 3 consonantiam diatessaron : vocari solet haec j^^^ ^ 
proportio harmonica." Quod si ita sit, cur non ^cu^iT* 
etiam in his numeris, 6. 3. 2, vel in his, 42. 12. 7> 
quae cadunt sub eandem definitionem, eaedem sunt 
consonantiae ? Quare autem facit ratio 6 ad 3, vel 
totum quodlibet ad suum dimidium, consonantiam 
diapason, nescivit Clavius. Id enim primus om- 
nium docuit Galilaeus, postquam Clavius mortuus 
esset. Nugae merae sunt homine mathematico in- 
dignae. 

Hactenus de principiis Euclidis. Sequitur prin- 
cipium aliud, quibus* utuntur hodie geometrae, tale. 



CAP. XVIIL 

DE RADICE NUMERICA ET LATERE QUADRATI. 

Si quadrati duo latera angulum rectum continentia 
divisa fiierint, utrumque in quotlibet partes magni- 
tudine et numero aequales, numerusque partium 
unius lateris multiplicatus sit per numerum partium 
alterius : id est, si duo illi numeri aequales multi- 
plicentur inter se : factus erit numerus quadratorum, 
quorum latera sunt singulae partes lateris totius 
quadrati. Exempli gratia: si quadrati latus sit 
longum lOOpedes, multiplicentur autem 100 pedes 
per numerum 100, unde factus erit decies mille 
pedes : erunt, ut illi assumunt, illi decies mille pedes 
totidem quadrata, quorum uniuscujusque latus sit 
unus pes ; et decies mille pedes longitudine simul 

sumptos aequales esse toti quadrato. Similiter 

* 

* Sic edit. 1666 et 1668. 



440 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. xviii . multiplicatis 1000 pedibus per numerum 100, ori- 
Den^ce~ tur cubus a toto latere. Potuerunt eadem ratione, 
nomeHca, etc jj v j^ i a t ere quadrati bifariam, ex multiplicatione 

2 in 2 pronuntiare quatuor semilatera sequalia esse 
ipsi quadrato. 

Hsec tu absurdiora esse putabis, quam ut quis- 
quam ita computaret. Sed ita est : nec moniti, ab 
illa computatione desistunt. Ita computavit geo- 
metra quidam, qui, propter librum quem inscripsit 
Mesolabium, celebris est : monitusque erroris, re- 
spondit ita se computasse sicut computarunt geo- 
metrae omnes qui fuerunt, qui sunt, et qui post 
erunt aliis in annis. Nihil ergo hic calumniae est. 
Quid autem illos a sensu communi seducere tan- 
tum potuit r 

Decepit illos, primo, idea quadrati numeri qualis 
appingitur, in qua latera multiplicata in se faciunt 
numerum quadratum. 

Secundo, decepit illos, quod crediderint eandena 
esse rem, multiplicare partes inter se 
et ducere unum latus in alterum: 
juxta ideam quadrati geometrici talis, 
ubi tria latera multiplicata per 3 sequa- 
lia esse volunt ipsi quadrato. 

Tertio, decepit illos authoritas Ar- 
chimedis, (cujus hominis propter stu- 
pendissimum ingenium mentionem hoc 
loco invitus facio), qui magnitudinem 
circumferentiae circuli per hujus modi 
multiplicationem demonstrare conatus est. Deinde, 
sseculo proxime superiore, in calculo subtensarum 
eadem methodo usus est Copernicus et Regiomon- 
tanus in doctrina triangulorum, et postremo Clavius 
in tabulis condendis sinuum, tangentium, et se- 
cantium. 




GEOMETRARUM. 441 

Ex hoc errore nascitur alius, nempe, radicem c 
nutneri quadrati esse quadrati geometrici latus. t 
Siquidem eniin multiplicatio numeri producat qua- " 
dratum geometricum, necessario sequetur radicem 
numeri facti esse ipsum latus. Non videbant enim, 
in numeris quadratum numerum et radicem ejus 
esse ambo earundem rerum numeros : et proinde 
radicem numeri quotcunque quadratorum uume- 
rum esse etiam quadratorum, quemadmodum radix 
centum hominum sunt decem homines. 

Postremo decepit illos, quod eandem rem esse 
putarint latus quadrati geometrici et radicem qua- 
drati numeri. Itaque regulam algebrae, quse re- 
gula est pure arithmetica, ad geometriam imperite 
applicantes, ex mgeuiosissima reddiderunt absur- 
dissimam, pro linea, quadrato, et cubo, uuitatem 
promiscue supputautes. Exempli gratia : cum 
scripsisset quidam, si AD ponatur dupla DV, et a 
tota AV detrahatur AS media proportionalis inter 
ipsas AD et DV, quae re- » s d t 

Unquitur VS, erit major ' ' ' ' 

duarum mediarum proportionalium inter ipsas AD, 
DV : ad hoc confutandum sic ratiociuatus est prc- 
fessor quidam geometriae publicus : 

" Ponatur DV aequalis 1. AD erit 2. Ponatur 
AS media proportionalis inter AD, DV, et detra- 
hatur ab AV. Relmquetur VS. 

"Ergo VS sequalis est 3 minus </2. 

"Quac multiplicata in se cubice, facit 45 minus 
"/1682, quod minus est quam quatuor cubi a DV: 
quia 45 miuus V168I, sequales sunt quatuor cubis 
aDV. 

" Cum ergo cubus ab AD sit 8, erit cubus ab VS 



442 DE PRINCIPIIS BT RATIOCINATIONE 

cap. xvm . minor dimidio cubo ad AD, id est, minor majore 

De ndioe mediarum inter AD et DV." 

numerica, etc jj on digputo ^ oc \ oco an ma jor mediarum dua- 

rum revera sit VS, sed specimen exhibeo algebrae 
hodiernae, per quam DV est linea 1 ; et per con- 
sequens AD est 2 lineae ; et per consequens, secun- 
dum hujusmodi algebristas, cubus AD sequalis est 
8 lineis ; et 45 quadrata a DV minus VI 681 aequa- 
lia quatuor lineis, nempe, quadruplus rectae DV. 

Reputa tecum an haec non sint magis absurda, 
quam ulla quae inveniri possunt in ethicis aut poli- 
ticis Platonis aut Aristotelis. 

Regula autem algebrae talis est : theorema quod 
quaeritur, supponatur verum esse ; vel quod facien- 
dum est, supponatur factum. Ex eo supposito, 
assumptis aliis cognitis, inferatur conclusio, et ex 
his aliae conclusiones, donec veniatur ad principia, 
aut ad vera aliunde cognita, quot sufficiunt ad 
suppositi demonstrationem ; vel donec veniatur, 
si ita contingat, ad absurdum aliquod. Nam si 
ducaris ad vera quot sufficiunt ad demonstratio- 
nem, ex illis veris conversis suppositum demonstra- 
bitur : sin incidas in absurdum, falsum esse scis. 

Hac usus est methodo primus (quantum scio) 
Diophantus, paucis adhibitis notis (praeter literas) 
symbolis radicum, quadratorum, cuborum. Nunc 
autem tota algebra, aucta symbolis ab Oughtredo 
et Cartesio, et ab his ad geometriam applicata, 
nomen obtinuit geometrice symbolicoe : infecitque 
hujus sevi geometras, geometrise verae pestis. 

Dixi de principiis. Videamus nunc, an non sit 
etiam aliqua Euclidis vel Clavii demonstratio cujus 
forma sit illegitima. 



GEOMETRARUM. 443 



CAP. XIX. 

PROPOSITIO DECIMA SEXTA ELEMENTI TERTII 

EXAMINATA. 

Qvm ab extremitate diametri cujusque circuli ad cap. xix. 
angulos rectos ducitur, extra ipsum circulum ca- propoatio 
det: et in locum inter ipsam rectam lineam et^^J^ 
peripheriam comprehensum, altera recta linea non 
cadet: et semicirculi quidem angulus quovis an- 
gulo acuto rectilineo major est; reliquus autem 
minor. 

In circulo ABC, cujus » 
centrum D, diameter sit 
AC, ad quam ex A, punc- 
to extremo, perpendicu- 
laris ducatur. Dicohanc 
lineam perpendicularem 
necessario extra circulum 
cadere. Si enim cadet in- 

tra ipsum, qualis est AB: ducta DB, erunt duo 
anguli DAB, DBA cequales ; sed DAB rectus est 
per constructionem : igitur et DBA rectus erit 9 
quod est absurdum. Duo enim anguli in triangulo 
minores sunt duobus rectis. Non igitur cadet 
perpendicularis intra circulum ; neque eandem ob 
causam in ipsam circumferentiam, sed extra 9 qualis 
est EF. Dico jam ex A, inter AE, rectam 9 et 
circumferentiam AB, non posse cadere alteram 
rectam. 

Haec est demonstrationis Euclidis (interprete 
Clavio) pars prima: quam dico vitiosam esse. 
Primo, quod punctum A dicit esse neque intra cir- 
culum neque in circumferentia ejus. Cum enim 




444 DB PRINCIPIIS BT RATIOCINATIONE 

cap. xix. punctum A sit terminus semidiametri DA, a qua 
Propositio describitur circumferentia ABC, necesse est ut 
Bto! a iiH£. P unctum A sit in ipsa circumferentia. Intulit ergo 
hanc conclusionem contra ipsam Euclidis construc- 
tionem, qui supponit perpendicularem FE duci ab 
extremo puncto diametri. At concesso punctum 
A non esse in circumferentia, sed perpendicularem 
FE solummodo radere sive tangere circulum in A : 
erit tamen punctum A extra circulum et ab eo 
separabile, more contiguorum. Itaque ducta per 
terminum diametri recta quadam parellela ipsi tan- 
genti FE, illa cadet inter rectam AE et arcum AB, 
contra demonstrationem hujus partis primse. Per- 
pendicularis enim ducta per terminum diametri 
non erit ipsa tangens AE, sed ipsi parellela, nec 
secabit circulum, sed habebit punctum cum circulo 
commune, nempe ipsius diametri terminum. 

Deinde quoniam utriusque semicirculi sunt duo 
termini, erunt in duobus semicirculis contiguis, ad 
terminum diametri, duo puncta. Nihil ergo pro- 
hibet, quicquid sit punctum, quin duobus terminis 
pro uno sumptis, diameter una cum minutissima 
parte arcus (cum plusquam punctum illud geome- 
trarum, nihil commune sit rectae perpendiculari et 
arcui) haberi possint pro lineis quae faciunt angu- 
lum rectum. Nam crura angulorum de anguli es- 
sentia omnino non sunt : et sic falsum quoque erit 
quod in tertia parte demonstrationis ponit, angu- 
lum quem facit perpendicularis cum arcu, quovis 
angulo acuto rectilineo esse minorem. 

Porro in secunda et tertia parte demonstrationis 
sic dicit : Quoniam ostensum est omnem rectam ex 
A, ductam infra perpendicularem AE, cadere in- 
tra circulum, faciet necessario ea linea cum AC, 



GEOMETRARUM. 445 

angulum rectUiueiim amtum minorem angulo semi- c 
cireuli ; at vero cuin AE, angulum rectHinciim \-„ 
acutum majorem augido contingentite ; cum ille |j| 
sit pars anguli semicirculi, hic vero lotum quid- 
piam respectu angitli eontingentia? . ld i/uod 
liquido constat, ducta recta AB, quomodocitii>/ite 
infra AE. Nam cum hac littea AB intra cireidttm 
cadat, ttt demonstratiim est, erit atigulus rectili- 
neus acutus CAB minor angulo semicirculi conteuto 
sub diametro AC et circuntferentia ABC, cum ille 
/injus sit pars. Angulus vero cojitingentia', con- 
tentus sub langente Jinca AE et circuviferentia 
ABC, minor angulo rectilineo acuto BAE, qttod 
ille hitjus pars sit, 

Assumit hic Euclides angu-lum rectilineum CAB 
partem esse auguli semicirculi, id est, anguli facti 
a recta CA et circumferentia AB : item angulum 
contingentire partem esse anguli rectilinei EAB. 
Sed ex eo manifeste sequitur, quatuor augulos, 
nempe, rectilineum CAB, angulum semicirculi, an- 
gulum contingentia^, et angulum rectum rectili- 
neum, esse ejusdem generis, sicut partes et totum. 
Et per consequens angulum contingentiae (per 
Def. 5, Elem. v) multipiicatum, posse superare an- 
gulum rectum rectilineum. Manifestum enim est 
partem multiplicari posse, donec suum totum su- 
peret. Contradicit ergo Euclides huic definitioni 
suse quiut» Elementi quinti. Cum ergo angulus 
contactus et angulus rectiiiueus siut diversi generis 
((iiantitatis, ita ut altera alteram multiplicata supe- 
rare non possit, (ut ipse Clavius demonstrat) : an- 
gulus contingentia? ablatus nihil auferet ab angulo 
recto rectilineo, non magis quam linea ablata ali- 
quid aufert a quadrato aut superficies a solido. 



446 DE PRINCIPIIS BT RATIOCINATIONE 

cap. xix. Itaque angulus semicirculi angulo recto rectilineo 

Fh>potitio est aequalis. 

H^STeto. Itaque manifestum est angulum contingentiae, 
etsi quantitas sit, non tamen esse quantitatem an- 
guli, sed quantitatem diversi generis, nempe cur- 
vedinis : ut supra ostensum est. Erravit ergo hoc 
loco Euclides, deceptus a sui ipsius definitione 
puncti. In controversia autem inter Clavium et 
Pelletarium de angulo coutactus, veritas erat a 
parte Pelletarii : qui sustinuit angulum contactus 
quantitatem non esse illius anguli, et angulos semi- 
circulorum rectos esse omnes, et inter se sequales. 

Quod autem anguli semicirculo- 
rum sunt inter se aequales, ex eo 
quoque intelligere potes quod su- 
pra demonstravi ; similium arcuum 
sequales esse curvedines. Itaque 
descriptis duobus sectoribus similibus, ABC, ADE ; 
ductisque tangentibus BF, DG, et subtensis BC,DE: 
aequaliter declinabunt arcus BC, DE a tangentibus 
FB, DG, propter aequalitatem curvedinis sive flexi- 
onis primae a punctis B et D. iEquales ergo utro- 
bique sunt anguli contingentiae, et, per consequens, 
etiam anguli semicirculorum. 

Judicabis item de doctrina hac Clavii ex fcetu. 
Nam monstra inde nata sunt. Primum hoc ipsum : 
Angulos semicirculorum esse iruequales : contra- 
rium enim lumine naturali satis manifestum est. 
Secundum hoc : Transitur a minore ad majus, et 
per omnia media, nec tamen per cequale : id quod 
nemo cogitans non videret esse falsum. Sed ita 
est, ut nemo fere hodie philosophetur suo, sed ma- 
gistri alicujus ingenio : ideoque in absurda incidunt, 
non aliter quam totidem oves principem gregis se- 
quentur, etsi in mare se praecipitaret. 




GEOMETRARUM. 



447 



CAP. XX. 

DE DIMENSIONE CIRCULI. 

Principia ista quse supra a me reprehensa sunt, 
mirum est etiam quantum ad pulcherrima geome- r 
tria? problemata invenienda viam obstruxerunt : c 
qnorum exempla aliqua hic tibi exhibere, operre 
pretium esse puto. 

Sit quadratum ABCD. Centro A, intervallo AB, 
descriptus sit circuli quadraus ABD. Secentur 
latera AD, BC bifariam in E et F. Ducta EF se- 
cante arcum BD in G, erit arcus BG totius arcns 
BD pars tertia. 

Per punctum G ducatur recta IGK parellela la- 
teri BC, secans AB in I et CD in K, producaturque 
ad H, ita ut IH sit tripla IG : denique per H du- 
catur recta NO indefinita, et parallela DC. 

Ducatur BG chorda arcus BG, et producatur ad 
NO in O, secans CD in P. Deinde centro B, inter- 
vallo BO, describatur arcus circuli secans BN pro- 
ductam in Q. 

Porro lateri BA adjutigatur in directum AR 
a?qualis duplse GF, et ducta RD, qua: squalis erit 
duplo lateri AD, producatur ad latus BC produc- 
tum Ui S ; eritque CS aequalis tangenti 30 gra- 
dimm ; transibit autem RS per H, terminum se- 
miradii KH. Ducatur Qa parallela NH, secans 
RS in a. Compleaturque parallelogrammum BQah. 
Postremo, diviso arcu BG bifariam in c, ductoque 
sinu arcns Bc, juugatur Rc. Hactenus constructio. 

Erit ergo sinus arcus Bc sexta pars recto ha, et 
ipsi parallelua ; ideoque vel in ipsa ba, vel supra, 
vel infra. Sumatur Xd sexta pars AD, et ducta 



448 DE PRTNCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. xx. Rrf, productaque ut secet ba 9 absecabit sextam ejus 
Dedimenaone partem, propter kd 9 ba iu triangulo Kba paral- 
droulL lelas. Quare absecabit in ba rectam sequalem sinui 
arcus Be. Quod impossibile est, nisi ba transeat 
per c: cum sit ut Arf ( 7-AD) ad AD, ita sinus ar- 
cus Bc ad sextuplum sinum arcus Be. Transit 
ergo ba per c. 

Eodem modo, si arcus B c secetur bifariam, fient 
arcus duodecem, et sinus eorundem totidem : qui 
sinus semper erunt, simul sumpti, minores arcu 
BD, majores tamen recta ba. Eadem methodo, 
bisecando in perpetuum, ostendi potest, rectam 
omnem ductam infra BS ipsique parallelam, termi- 
natam in rectis AB, DS, minorem esse arcu BD : 
et, per consequens, rectam BS, compositam ex ra- 
dio et tangente 30 graduum, non esse arcu BD ma- 
jorem. Minor autem esse non potest : cum locus 
nullus ulteriori bisectioni relictus sit. Etiam geo- 
metrae omnes qui magnitudinem circuli determina- 
runt, arcum BD faciunt minorem quam est recta 
BS. Habes ergo demonstrationem quadraturae cir- 
culi verbis haud multo pluribus quam quos sunt in 
constructione. 

Coroll. i. Si jungatur recta RG secans AD mf 9 
producta bam e 9 et BS in 1, erit Bi tertia pars rec- 
tsd BS, et sequalis arcui BG ; et be aequalis chordae 
BG ; et Af aequalis radio circuli cujus quadrans 
aequalis est arcui BG ; et Ad radius arcus cujus 
quadrans circuli aequalis est arcui B c : et in uni- 
versum, omnes recUe ductae ab R ad arcum BG, 
secabunt A/, et arcum BG, in ratione radii ad qua- 
drantem a se descriptum. Ex quo sequitur facilis 
divisio arcus sive anguU in ratione data, ut infra 
patebit ad cap. xxiii. 



GEOMETRARUM. 449 

Coroll. ii. Juncta AS secante CD in L, erit DL 
aequalis semidiametro circuli, cujus perimetri quar- \ h ~ m [ 
ta; parti aequalis est radius AB. Sunt enim SB, """* 
AB, DL, propter similitudiuem triangulorum SBA, 
ADL, continue proportionales. Est autem SB ad 
AB, ut quadrans perimetri ad radium. Quare et 
AB ad DL est ut quadrans perimetri ad radium, 
uempe DL. 

Coroll. iii. Sumpta in AD parte AM aequali 
rectae DL, ductaque RM, et producta ad BS inci- 
det in C. Cum euim AD sit radius circuli cujus 
perimetri pars quarta est aequalis BS, et AM radius 
circuli cujus perimetri pars quarta est sequalis AB, 
et rectae omnes ductse a puncto R secant BS, AD 
in ratione quartae partis perimetri ad radium, recta 
RM producta iucidet in C. 



DE MAQNITUDINE CIRCULI HUGENIANA. 

Determinationem hanc magnitudinis arcus BD 
tanta diligentia a geometris omuis aevi summis 
quaesitam, quamque veram esse tam manifeste 
modo demonstravi, quam mauifeste ulla apud Eu- 
clidem propositio demonstrata est, professores ma- 
thematici, primo nostrates simul atque apparuit, 
magno conatu irati oppugnaverunt, consentientibus 
etiam et laudantibus caeteris. Sed quibus armis, 
quibns innisi principiis ? Illis quae supra ostendi 
esse absurda : nempe, Si linea multiplicetur per 
iiuineritm, fuvtuvi esse numerum quadratorum : 
Si a numero quadratorum extraluitur radi.r </ua 
vol. IV. G o 



450 DE PRINCIPIIS ET RATIOCTNATtONE 

drata, exlractutn eitte numerum linearum : — Si t 
numero cvborum cxtrahatur radir cubtca, extrac- 
tum numcrum esse linearum : — Punctum essc nihil, 
et lineam duci pos#e qiue nullam habeat latttt 
dinem. 

Qui propositioncm hanc primus exhibuit, demon 
stravit illam juxta methodum Corollarii proxime 
praecedentis, hoc modo : diviso arcu BG bifariam 
in c, duxit sinum arcus bc, quem sinum duplicavit 
producens ad e. Deinde ductam IG, sinum arcus 
BG, bifariam secuit in g ; junctasque cg, eG, pro- 
ductas supposuit ad latus BA productum. Et bi- 
secando rursus arcum Bc, ductoque sinu ejus, et 
diviso \g bifariam, atque eodem raodo bisecando 
quamdiu quantitas bisecari potest, concludebat 
partes arcus BG partibus siuus IG ubique esse pro- 
portionales. Id quod et verum est, et ab illo vere 
Ulatum. Sequitur autera inde, recta Ge producta 
ad BS in i, rectam Bi fequalem esse arcui BG ; et 
proiade totam rectam BS aqualem esse arcui toti 
BD. 

Hoc autem a dictis professoribus impuguatum 
est, partim ex tabulis sinnum, tangentium, et se- 
cantium, partim ab authoritate Archimedis. Uuo- 
niam autem tabulae illa? constructa? sunt per mul- 
tiplicationem linese per uumerum, cujus prodtictum 
falso computaut pro numero quadratorum ; et per 
extractionem radicum ex illis quadratis, quas radi- 
ces falso computant pro numero linearum : argu- 
mentum sumptum ex illis tabulis vim refutandi 
nullam habent*. Et quoniam Archimedes ipse di- 
mensiouem circuli suam demonstrat per radicum 



■ Sic Edit. Hiiis. 



GEOMETRARUM. 



451 



extractionem, authoritas ejus in hac re valere non cap. : 
debet. Neque mirum est, si per hujusmodi calcu- n 
lum, recta ^G producta cadere videatur in rectam ''j 
BA productam, ultra vel citra punctum R. 

Eandem hanc detenumationera magnitudiuis 
arcus BD impugnavit Christianus Hugenius, ex eo 
quod ipse, in Hbro suo quem ediderat de Magttitn- 
fline Circuli, demonstravit ut putat rectam compo- 
sitara ex radio et tangente 30 graduum, qualis est 
BS, majorem esse areu quadrantis BD. 




Descripto enim segmento circuli semicirculo mi- 
nore ABC, et diviso a perpendiculari FB bifariam 
in B ; sectisque rnrsus arcubus AB, BC bifariam in 
D et E; ductisque eorum chordisCE,EB,BD,etDA ; 
et tangentibus CH, BH,BI,IA, et CK,KE,EL,LB, 
BM, MD, DO, OA ; et deinceps bisecando quantum 
intelligi potest, demonstrat (et quidem quantum 
ego video, recte) segmenta CEC, EBE, BDB, DAD 
roinora esse triangulis CKE, ELB, BMD, DOA. 
Quod autem idem iufert, si perpetua bisectione 
fierent infinitanumero segmenta, illaquoque simul 
sumpta minora fore omnibus triangulis, qure seg- 
meutis respondent sirnul sumptis, male infertur, 
nisi recta IBH sit extra circulum, ita ut punetum 
B non sit ambarum linearum recta? et curvse com- 
mune. sed inter utrnmque. Nam si B sit utriusque 

GG'! 



452 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. icxi. lineae commune, omnes illae tangentes numero in- 
De magnitu- finitae constituent ipsum arcum ABC. At si -B sit 
JjJ^J^ extra circulum, quaravis ipsi contiguum, chordae 
AB, BC secabunt circulum non in eodem puncto in 
quo secatur a recta FB, sed utrobique citra ipsum. 
Docet enim Euclides (prop. 2. Elem. iii) rectam 
CB totam esse intra circulum, et (prop. 16. El. iii) 
tangentem esse totam extra circulum. Itaque nul- 
la recta praeter FB transire potest per arcum et 
tangentem ad idem punctum B, nempe ad punctum 
quod vocant contactus, nisi utrique lineae attribua- 
tur latitudo aliqua. 

Itaque falso usus principio hoc, punctum esse 
nihil, post multas demonstrationes intulit, d\fferen- 
tiam inter tertiam partem arcus quadrantis et 
chordam, ad differentiam inter chardam ejusdem 
tertice partis et sinum ejus (sive semiradium cir- 
culi) majorem habere rationem quam 4 ad 3 : quod 
non parum confirmat id quod refutare voluit. Quod 
autem intulit rectam compositam a radio et tan- 
gente 30 graduum majorem esse arcu quadrantis, 
deceptus fecit, eo quod putaret radium circuli non 
minorem esse quam quae ab eodem centro ad tan- 
gentem ducitur, quae est extra circulum. Consule 
ipsum illius librum, cujus mihi exemplar, dum haec 
scribo, deest : nec, si adesset, demonstrationes ejus 
commode hic transcriberentur. 



CAP. XXII. 

DE SECTIONE ANGULI. 

Revertere ad diagramma Capitis xx. 

In illo diagrammate, sit datus arcus trifariam se- 
candus Ba. 



GEOMETRARUM. 



453 



A puncto R ducatur recta Ru, secaus AD in /3, et c 
BC iu y. Secetur By trifariam in & et * : ducantur- i 
que rectffi RS, et Rt secantes arcum Ba in >j et £, et ' 
A0 in 6 et X. 

Dico arcum Ba divisum esse trifariam a duabus 
rectis Rt}, R£. 

Nam propter parallelas B-y, A/3, divisa est etiam 
Aj3 trifariara in v et X ab iisdem rectis RJS, R*. Est 
autem A/3 ad totam AD ut arcus quadrantis de- 
scripti hitervallo Aj3, ad arcum totum BD descrip- 
tum iutervallo AD. 

Etiam arcus quadrautis descripti a tertia parte 
arcus A/3 erit tertia pars Ba. 

Arcus quadrantis descripti ab A0 sit 0/i ; arcus 
autem quadrantis descripti ab Ajl sit (Jv. 

Non diffenmt ergo arcus dno fh et Bo inter se 
longitudine, sed curvedine tantum, cum sit Ba 
minus, /3y magis curva. Idem dicendum est de 
arcu Ofi, et ca^teris omnibus arcubus descriptis su- 
per 0X,X/3, et caeteris arcubns qui adhuc describe- 
rentur super barum sequalibus partibus, comparatis 
cum partibus similibus circumferentiae Ba. 

Intellige jam puncta a et /3 admota esse in lineis 
AB et fia ad /3 et «, et proinde arcum flv jacere in 
Ba. Cougrueret ergo cum arcu ipso Bu, si modo 
omnia puncta 0, X, et omnes partes harura aiquales, 
ferrentur simul in suis qiueque lineis ductis ab R 
donec pervenirent ad arcum Bn. Necesse enim 
esset, si A/3 et Ba divisa essent in partes sequales in 
quot possibile est eas dividi, ut singuta abscinde- 
rent partem arcus Ba rcqualem quadranti super se 
descripto. Ciuare etiam recta Rfl abscindit abarcu 
Bu tertiara partem arcus Bu, nempe Bi;; et RX, 
duas tertias ejusdem. 



454 DB PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONB 

cap. xxii. Est ergo arcus Ba datus divisus trifariam a rectis 
Deieitume RS, Rc. Eodem modo potest arcus non major quam 
"^ arcus BG, dividi quinquifariam vel in ratione qua- 
cunque data. Sicut etiam arcus major quam BG, 
si bisecetur donec pars ejus minor sit quam BG : 
nempe partem inventam duplicando toties quoties 
datus bisectus fuerat. 

Angulum ergo in ratione data divisimus : et prop- 
terea, etiam proportionem datam dividere docui- 
mus in partes aequales quotcunque requirentur. 
Idque methodo brevi et perspicua. 



CAP. XXIII. 

DB QUANTITATB RECTiE COMPOSIT^ EX RADIO 
CIRCULI ET TANGENTE 30 GRADUUM. ITEM, 
DUBITATIO SUPER PROP. 47. ELEM. I, ETC. 

Quadratum rectae compositae ex radio circuli et 
tangente arcus 30 graduum, est ad quadratum a 
radio, ut decem ad quatuor. 

Sit radius circuli AB, cujus quadratum sit ABCD. 
Ducatur arcus BD, qui est quadrans circuli descripti 
ab AB. 

Secetur quadratum ABCD in quatuor quadrata 
sequalia a rectis EF, GH, secantibus se mutuo in I. 
Secet autem GH arcum BD in K: jungaturque 
recta AK, producaturque ad BC in L : erit BL tan- 
gens 30 graduum. 

Rectse BL adjiciatur in directum LM, aequalis 
BC. Erit ergo tota BM composita ex BC radio 
circuli, et CM tangente 30 graduum. 



GEOMETRARUM. 



■155 



Iu CM smnatur CN, aequalis semiradio BG. 
Producatur AD ad y, ita ut Ay sit a>qualis BN : 
jungaturque Ny, quam secet EF producta iu P : 
jungaturque BP, secans GH in V. 

Est ergo (per prop. 47. Elem. i) quadratumaBP 
decuplum quadrati ab NP. Est autem quadratum 
a radio AB quadruplum quadrati ab NP : et prop- 
terea, quadratum a BP est ad quadratum ab AB ut 
10 ad 4. Probandum ergo est rectas BP, BM esse 
sequales. 

Ducatur MQ parallela NP, secans BP productam 
in Q, et EP productam in R. Erit ergo NMRP 
rectangulum. Ducatur a puncto M ad BP per- 
peudicularis MO ; quse producta incidat in EP ad S. 

Sunt ergo triangula BNP, BOM simiiia. Nam 
anguli ad N et O sunt recti sequales, et angulus ad 
B communis. Quare etiam anguli BMO, BPN 
sunt aequalcs. 

Si jam reetae MS, MQ sunt oequales, manifestum 
est aequales quoque esse inter se tum RS, OQ, 
tum etiam MO, MR, et prseterea BO, BN : et per 
consequens, quadratum a BM ad quadratum a BC 
ut 10 ad 4. Quod est propositum. 

Sumatur in BM pars ipsius tertia fta, quod fiet 
sumendo Go tertiam partem rectae GL. Radio au- 
tem Bn descril>atur arcus circuli secans rectam GV 
alicubi, et quidem (sensu judLce) in ipso puucto V. 

Rursus duplicato* Ba, ut fiat B/J duse tertise 
rectae BM : et radio Bj3 describatur arcus circuli 
secans CD in y. iterum (sensu judice) puiictura y 
erit in intersectione rectarum BP, CD. Postremo 
radio toto BM deseriptus arcus circuli, transibit 



CAP. XXIII. 



' Sic cJit. 1608. 



456 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. xxiii . per punctum P. Unde judicio sensuum, tertia 
D^quantitate pars rectae BP aequalis erit tertiae parti rectae BM : 

TZSXS* P roinde tota BP *V»ti* toti BM - 

etc - " Sed haec," inquies, " non sensuum sed rationis 

judicio determinanda sunt." Recte dicis : itaque 

ne videar severitatem disciplinarum corrumpere 

velle, conabimur rem demonstrare. 

In duobus triangulis similibus, si latus unum 
primi majus vel minus fuerit quam latus homolo- 
gum secundi, etiam reliqua duo latera ejusdem 
primi majora vel minora erunt reliquis homologis 
secundi utrumque utroque. Id quod per se satis 
manifestum est. 

Quoniam est in triangulis similibus BQM, BMO, 
ut BQ ad BM, ita BM ad BO, erunt BQ, id est Be, 
BM, BO continue proportionales : et ratio Be ad 
BO duplicata rationis Be ad BM, vel BM ad BO. 
Sed ut Be ad BM, ita est BP ad BN. Quare ratio 
Be ad BO duplicata est rationis BP ad BN. A 
puncto P erigatur ad Be perpendicularis, secans 
BM productam ubicunque : quae incidet vel in e, 
vel citra, vel ultra, et abscindet a producta BM 
majorem, vel minorem, quam est ipsa Be. Si in- 
cidat in ipsura punctum e 9 erunt rectae Be, BP, BN, 
continue proportionales. Sin incidat citra vel 
ultra e, erit ratio cujusdam rectse majoris vel mi- 
noris quam Be ad BP, duplicata rationis BP ad BN, 
sive BM ad BO. Quod est absurdum, cum Be 9 
BM, BO, sint continue proportionales. Sunt ergo 
Be, BP, BN continue proportionales. Sed ut BQ, 
ad BP, ita est Be ad BM. Sunt autem BQ, Be 
aequales. Quare etiam BP, BM sunt aequales. 
Radius ergo circuli una cum tangente 30 graduum, 
aequalis est rectae quae subtendit angulum rectum 



GEOMETRARUM. 45/ 

in triangulo rectangulo, cujus latus unum sequale < 
est tribus semiradiis, alterum uni semiradio. Quod D 7^, 
erat demonstrandum. 

Sunt ergo MS, MQ a;quales. « c - 

Est autem MQ, requalia tertise parti BM. Est 
autem MS (propter triangula BGV, MRS sequalia 
et similia) sequalis BV, tertia: parti BP. Itaque 
BM, BP sunt axpiales : et quadratum a BM ad 
quadratum a BC ut 10 ad 4. Quod erat demon- 
strandum. Nec in veritate theorematis sensus et 
ratio dissentiunt. 

Corollarium hinc oritur manifestum, rectas BN, 
BO, ut et OP, PR, item PS, PQ, esse inter se sequa- 
les ; et esse BQ, BP, BO, id est Be, (facta sequali 
BQ}, BM, BN continue proportiouales : et NO, 
MP esse parallelas ; et angulos NOP, OMP, NPM, 
PMR esse omnes inter se sequales ; et denique, 
facto angulo NMw aequali augulo OPS, parallelas 
esse BP, MN seque altas. 

Ex proportione hac modo demonstrata sequitur 
tbeorema novum circa dimensionem circuli, nempe 
hoc : Arcum quadrantis descripti semidiametro 
BM, sequalem esse quinque scmirartus; arcum 
autem quadrantis cujusdam, qui sit sequalis rectse 
AB, descriptum esse a semidiametro quse est media 
proportionalis inter AB, sive CD, et ejusdem duas 
quintas. 

Secetur enim AD, quae sequalis est radio, in quin- 
que partes sequales, quibus adjiciuntur* in directum 
alise duse qoratae, Da, ab. Divisa autem Ab bifa- 
riam in c, describatur semicirculus secans CD in d. 
Est ergo ut \- radii AD ad Ud, ita Drf ad radium 



• Siccdit. 1668. Edit. 1666, » adjiciantar". 



458 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. X3iii. AB. Sed ut j-radii AB ad mediam Brf, ita i 
1.- iiu«i.iiiftti. duo semiradii, id est AB, ad mediam inter AB et 
iuiiique semiradios. Est autem BM, ut modo de- 
"=■ monstratum est, media inter AB et quinque semi- 

radios. Suut ergo DA, Dd, DC, BM, et quintuplus 
semiradius, continue proportionales. Ducta ergo 
Atf, et producta, incidet in M : propterea quod est 
ut MB ad BA, ita BA, id est AD, ad Dd. Quo- 
niam ergo demonstratum est, cap. xx, et defensum 
cap. xxi, contra Hugenium, qui problema hoc pro- 
fuudissime contemplatus, et ex priucipiis Euclidis 
accuratissime ratiocinatus est, rectam BM Beqaalem 
esse arcui BD, eandemque modo osteudi a^qualem 
esse media^ inter AB et quinque semisses ejusdem 
AB, sequitur, propterea quod AB est radius qua- 
drantis «qualis rectse BM, rectam Dd esse radiam 
quadrantis sequalis AB ; et duas quiutas radit AB, 
uempe Db, esse radium quadrantis Dd ; et denique, 
rectam BM esse radium quadrantis sequalis quin- 
tuplse CN, id est quintuplo semiradio. Unde ex- 
surgit etiam, rectam Dd sequalem esse duabus 
quintis arcus BD. Quse omma vidit quidem, et 
edidit Josephus Scaliger : sed cum non recte de- 
monstrasset, damuavit ipse, nil dubitans de prin- 
cipiis Euclidis : sed postquam fuisset convitiis Clavii 
acerbissimis oneratus. 

Cousideremus nunc eadem haec in numeris. Ad 
BM adjiciatur Me aequalis PQ ; eritque N<? tequalis 
OQ, id est GV, id est tertia; parti semiradii BG i 
semissis autem rectse Ne, qui sit Nr, erit sexta pars 
ejusdem BG. 

Erit ergo quadratum a BG aequale 36 quadratis 
ad Nr. Est aatem recta BN octodecupla ipsius 
Nr, et proinde quadratum ejus xquale 324 qua- 



GEOMETRARUM. 



■159 



dratis ab eadem Nr. Est antem B(? vigecupla c 
ejusdem Nr,et proinde quadratum ejus aequale400 Dl , qulll 
quadratis ab eadem Nr. ™£ato 

Est autem Br sequalis novemdecem rectis Nr ; **. 
et quadratum ejus ajquale 361 quadratis ab eadem 
Nr. Majus ergo est quadratum rectae Br, quam 
quadratum rectae BP sive BM. Guadratum enim 
a BP Eequale est tantummodo 360 quadratis ab Nr. 

Inter quadrata a Bt* et BM, id est inter 400 et 
324, sumatur numerus medius proportionalis : cadit 
enim inter quoslibet duos numeros quadratos mras 
medius proportionalis : eritque ille numerus medins 
360, nempe tot quadrata a sexta parte BG, quot 
sunt tequalia decem quadratis a semiradio toto BG. 
Itaqne si gnomon circumponi intelligatur quadrato 
a BM, cujus gnomonis latitudo sit Mr, gnomon ille 
ajqualis erit quadrato ab Nr sexta parte semiradii. 
Hactenus nulla causa est dubitandi de prop. 47, 
Elem. i. 

Rursus, quadratum a CN axraale eat 36 quadra- 
tis ab Nr. Est autem Ce octupla ipsius Nr, et 
quadratum ejus sequale 64 quadratis ab eadem Nr. 
Et quia Cr septupla est ipsius Nr, quadratum ejus 
sequale erit 49 quadratis ab eadem Nr. 

Jam cum CM tangeus sit 30 graduum, erit qua- 
dratum ejus (secundum prop. 47, Elem. i) a?quale 
48 quadratis ab Nr. Est enim AL, secans 30 gra- 
duum, dupla tangentis BL, sive CM ; et AB radius 
duplus semiradii BG. Cum ergo quadratum ab 
AL sit ad quadratum a BL ut 4 ad 1, erit ad qua- 
dratuin ab AB ut 4 ad 3. (iuare etiam quadratum 
tangeutis BL erit ad quadratum semiradii BG ut 
4 ad 3, sive 48 ad 36. Sed quia quadratum a 
BG sive CN est 36, erit quadratum a BL sive CM, 



460 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. xxm. secundum Euclidem, sequale 48 quadratis ab Nr. 

De qaantitate Est autem quadratum a O 49. Quare si gnomon 

JT^T^S? CU 3 U8 latitudo sit Mr, circumponeretur quadrato a 

efc* ' CM, esset ille gnomon aequalis quadrato ipsius Nr. 

Sed ostensum est, quod gnomon cujus latitudo 

sit Mr, circumpositus quadrato a BM, aequalis est 

quadrato ab eadem Nr. Non est ergo quadratum 

a tangente 30 graduum ad quadratum a semiradio 

ut 4 ad 3. Quod est contra prop. 47, Elem. i. 

Non videtur ergo propositio illa universaliter vera : 

sed dubitans nil pronuntio. 

" Error est," inquies, " aliquis vel in illa, vel in 
hac demonstratione." Certissime. Incumbe igitur 
toto animo utriusque examinationi : nec ratiocina- 
tiones tantum, sed etiam principia excute. Impri- 
mis autem, cave ne tenuissima triangula vel sectores 
quantuloscunque computes pro lineis rectis, aut 
parallelogramma obliquangula exigua pro rectan- 
gulis. Id quod evitare non potest is, qui rectan- 
gulum non quadratum sectum putet a linea per 
angulos oppositos bifariam ; ut est in propositione 
34, Elem. i. Quanquam enim in quadrato diago- 
nalis considerari potest ut mera longitudo, atque 
etiam ut minutissimum rectangulum, quia dividit 
oppositos angulos bifariam: in oblongo tamen, ubi 
diagonalis non dividit oppositos angulos bifariam, 
considerari non potest neque ut rectangulum, neque 
ut mera longitudo, sed ut vel triangulum obliquan- 
gulum, vel parallelogrammum obliquangulum. Sed 
ut hanc difficultatem facilius examinare possis, os- 
tendam tibi nunc quanto, juxta Euclidem, quadra- 
tum a tangente 30 graduum majus est quam qua- 
dratum a semiradio. 

Dico autem quadratum a tangente 30 graduum, 



GEOMETRARUM. 461 

uimirum quadratum a CM, sequale esse quadrato a * 

CN una cum tertia ipsius parte, et duobus quadra- 1 m ,„ 

tis ab NM, sive PR, tangentis et semiradii diflferen- ™ r ^™ 
tia, si vera sit prop. 47, Elem. i. oW - 

Super CM constituaturquadratum CMYX. Item 
super BM constituatur quadratum BMZJ'. Etiam 
super BN constituatur quadratura BNgh. Erit 
ergo tum PY, tum gL quadratum differentiae inter 
CM, tangentem 30 graduum, et semiradium CN. 

Constat autem quadratum NA aaquale est* novem 
quadratis a semiradio CN. Quod autem quadra- 
tum B/' seqnale est decem quadratis a CN, supra 
demonstratum est. 

Est ergo gnomon qui quadrato NA appositus est, 
sequalis quadrato NF. Differeutia autem inter 
quadratum MX et NF, est gnomou constans ex 
duplo rectaugulo MP et quadrato PY, cui aequale 
est quadratum gZ. 

Gnomon autem qui adjectus est quadrato NA, 
jequalis est sextuplo rectangulo MP una cum qaa- 
drato gZ. Eat autem gnomon ille aqualis qua- 
drato semiradii. Minus ergo est quadratum seuri- 
radii quam quadratum tangentis 30 graduum tertia 
sui, et prseterea tanto quantum est duplum quadra- 
tum a PY vel gZ. 

Excessus ergo quadrati tangentis 30 graduum 
supra quadratum semiradii, majus est quam tertia 
pars quadrati semiradii, tanto quantum est duplum 
quadratum PY. Quod est contraprop. 47, Elem. i. 

Error autem bic in quadratis ipsis, ut vides, satis 
est senstbilis, etsi in lateribus non tam facile apparet. 
Apparebit autem, si ad -J- rectse BG addideris in 
directum radium totum, sive -f-, atque inter illas 

• Sic edit. 1666 et 1668. 



462 DE PRINCIPIIS ET RATlOCINATtONE 

cai. wiii. mediam inveneris proportionalem. Nain erit i 
ttaoMtt» quidem non valde diversa a tangente: sed tamen, 
•onpodM Si cura diligentia operabere, media illa minor erit 
quam tangens 30graduum, nimirum quam BL: est 
tamen illa media, latus verum quadrati aequalis 
48 quadratis a sexta parte BG, nimirum ab Nr. 

Verum error ille an magnus an parvus sit, nibil 
hic refert. Nam etsi nullus esset, cum tamen pro- 
positio illa (propter principia quibus innititur, 
sunt ut supra ostendi dubias fidei) etiam ipsa dubi 
est. # Itaque temere dictum est a Clavio,ad prop. 
Elem. iii, contra Pelletarium, " Geometricas", id est 
geometrarum, " demonstrationes ejusmodi esse, ut 
consensum extorqueant ac dubitationem omnem 
excludant, nulloque modo quempiam sinant ancipiti 
opinione distrabi, sic ut tum assentiatur si velit, 
tum si nolit dissentiat." 

Si circulus vel triangulum sectum fuerit in qua- 
tuor partes, quaj partes dispersre essent, una ad 
Indos Orientales, altera ad Indos Oceidentales, 
tertia ad Polum Arcticum, quarta ad Antarcticum: 
putasne esse demonstrationem geometricam ali- 
quam, quai me cogere posset ut credam puncta 
eorum verticalia non esse quatuor puncta, sed unum 
idemque punctum ? Item si quid moveatur motu 
sequabili per minus et majus spatium, extorquebitne 
demonstratio ulla ut credam quod nou transeat per 
eequale, aut ut credam vera esse quaj supra ostendi 
esse absurda? 

Si mea ha?c recte demonstrata sunt, animadver- 
tenda tibi prseterea sunt, primo, maximam partem 
propositionum qua? dependent a prop. 4", Elem. iii, 
(sunt autem multae) noudum esse demonstratam. 



Sic ndit. 1666 et Ififi». 



irtem 
m.iii, 
am. 



GEOMETRARUM. 



463 



Secundo, tabulas sinuum, tangcntium, et secan- cap. x 
tium egregie falsas esse ; propterea quod calculus o^ 
eorum dependet a veritate horum duorum as-™' 
sumptorura : 1 . Radix numeri quadratorum non ** 
est numerus quadratorum, sed linearum. 2. Nu- 
merum linearum per numerom ('simpliciter) mul- 
tiplicatum, facere riumerum quadratorum. Cum 
enim quadratum a recta coroposita ex radio et tan- 
gente 30 graduum asquale sit decem quadratis a 
semiradio: si ponatur semiradius 5000, erunt tres 
semiradii 15000 pro BN. Quadratum autem a 
semiradio est 25000000, et quadratum a BN 
225000000: qure duo quadrata siroul sumpta sunt 
250000000, cui requale est quadratum a BM com- 
posita ex radio et tangente 30 graduum. Radix 
autem numeri 250000000 est 15811 — quarum 
partium radius est 10000. Relinquitur ergo pro 
tangente 30 graduum 581 1 — proxime. Est autem, 
in tabulis tangentium, pro ejus quantitate positus 
numerus 5773 — , qui est error momenti satis magni 
in calculis astronomicis, et in calculo triangulorum 
quo utuntur agrimensores. Iisdem principiis quae 
ostendi supra esse falsa, attribuere potes, quod 
quantitas circuli, a magnis ingeniis oroni asvo quee- 
situm, inveniri taraen non potuerit. Quis enim 
praejudicium Archiraedis nonverereturr Etsi liber 
ejus de Dimensione Circuli non mihi videatur ab 
ipso editus ; continet enim tres tantum proposi- 
tiones, nec eas ordine quo oportuit dispositas, nec 
sicut alii ejus libri ad quenquam qui eos conside- 
raret missus, sed ut cui nondum manum ultimara 
imposuerit apud se retentns, ab aliis geometrirc 
noinus peritis post raortem ejus editus. 

Doctrina autera, et ipsa nomina sinuum, taugen- 



464 DE PRINCIPIIS ET RATIOCINATIONE 

cap. xxm. tium, et secantium calamitas geometriae nupera est. 

De quantitate Qui subtensas et semisubtensas, quae nuuc vocantur 

« ^Td^JS dimidiatorum arcuum sinus, calculo primus subjecit, 

<*«• fuit Ptolomaeus. Sinum nusquam scriptum invenio 

anteRegiomontanum: quivero tabulas sinuum, tan- 

gentium, et secantium quibus utimur, primus con- 

didit, fiiit Clavius. 

Secundo, notatu dignum est, causam quod qua- 
dratura circuli, divisio rationis,aliaque pulcherrima, 
sed difficillima geometriae problemata tam diu latu- 
erunt, in illis ipsis esse demonstrationibus qnas 
cogentes esse prsedicant. Primi omnium Arabes 
invenerunt quadratum quadrantis perimetri decu- 
plum esse quadrati a semiradio : quod etsi verissi- 
mum sit, confutavit per extractionem radicum 
Johannes Regiomontanus, qui idem esse putavit 
quadrati latus et numeri quadrati radicem. Audi 
ipsum Regiomontanum : — "Arabes olim circulum 
quadrare polliciti, ubi circumferentiae suae sequaiem 
rectam descripsissent, hanc pronuntiavere senten- 
tiam : Si circuli diameter fuerit ut unum, circum- 
ferentia ejtis erit ut radix de decem. Quae sententia 
cum sit erronea, quemadmodum alibi explanavimus, 
cumque numeros introducat rectilineationem effec- 
turos, numeri ipsi in hoc negotio sunt suspecti." 
Olim ergo, ut vides, magnitudo circuli cognita 
fuisset, nisi obstitissent quae a geometris nunc 
cogentia appellantur. Iterum doctrina haec Ara- 
bum apparuit a Scaligero, atque iterum disparuit 
expulsa exorcismo convitiorum a Clavio. Sed ter- 
tium nunc apparens, docta jam exorcismos et con- 
vitia contemnere, nunquam puto abigetur. 

Notabis praeterea convitiorum causas. Quod 
Scaligerum Clavius, Orontium et Longomontanum 



GEOMETRARUM. 46fr 

alii, convitiati sunt, quae causa esse potuit? Quo cap. xxm. 
laesi fecerunt ? Paralogismus meus damnum tuum Deqna^titote 
non est. Unde igitur irae tantse? An a zelo boni WCI "?" B ? 0,I £ 

o ex ndio circuli, 

communis, nimirum ne corrumperetur paulatim etc 
mathematica? Utinam quidem illis omnibus cura 
boni communis tanta esset, ut nihil omnino in libris 
falsi paterentur esse sine confutatione. Sed ita est 
homo, nisi pracepta vera philosophise moralis ante 
didicerit, ut famam aut lucrum primario, veritatem 
secundario appetat. Inde est quod irascantur illis, 
quorum industria nimia veritatis lux infertur: qua 
patescat omnibus, quantuli viri sunt qui volunt 
haberi maximi. Ego aliqua quidem in Euclidi re- 
prehendi, non tamen ut illum non putem magni 
faciendum esse, qui scientiarum mathematicarum 
tradendarum methodum primus tradidit. Nihil ab 
Archimede editum non laudo. Consilium mihi aliud 
non est, quam arithmeticae et algebrae in demon- 
strandis propositionibus pure geometricis abusum 
tollere, si potuero. Vale. 



vol. iv. n H 



46& DB MEDII8 



APPENDIX. 

Cum in fine Capitis xxii ex data angnli omni- 
moda sectione divisionem etiam rationis omni- 
modam inveniri presumpserim, id nunc qui fiat 
ostensurus sum. 

DB MEDIIS PROPORTIONALIBUS 1N GENERE. 

INTBR DUAS RECTAS DATAS 1NVENIRE MEDIAS 
PROPORTIONALES QUOTCUNQUE. 

Sint primo inveniendse duse mediae inter datas 
quascunque, AB majorem et AV minorem (fig. i). 

Fiat ab AB quadratum ABCD : et in lateribus 
AB, AD sumantur AE, AF, utraque sequalis AV. 

Inter AB et AE inveniatur media Aa, cui aequalis 
in latere AD sumatur Ab: ducaturque ab, quam 
ducta diagonalis AC necessario secabit bifariam et 
ad angulos rectos in d. 

Ducatur etiam diagonalis BD, secans AC in N. 
Itaque AC, BD secabunt se mutuo bifariam et ad 
angulos rectos in N. 

Jungantur Da, JE, ducaturque EF secans AC in 
o ; eruntque AN, Ad, Ao continue proportionales, 
in eadem ratione cum rectis AB, Aa, AE, sive AD, 
Ab y AF; et rectae BD, ab, EF continue propor- 
tionales. 

Centro N, radio NB, describatur arcus circuli 
BG, secans Y)a productam in G: item centro d, 
radio da, describatur arcus circuli ag, secans 6E 
productam in g, ducaturque dg. 

Quoniam ergo est ut AD ad Aa, ita Aa, id est 
A b, ad AE, erunt T>a, JE parallelse, et anguli BDa, 



PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 



467 



Dab, abE sequales : et per consequens, anguli BNG, afpehdi 
adg (dupli angulorum BD«, abg) inter se sequales. "~~ 

Secetur arcus BG in tres partes sequales, quarum 
I'.II sint duse: jungaturque DH, secans latus AB 
iu I. Ducta ergo NH, erit angulus BXII duplus 
anguli BDH, id est, duplus anguli BDI. 

Rectse AI sumatur in latere AD seqiialis AK, 
ducaturque BK. 

Quoniam igitur aequales inter se sunt tam A_B, 
AD, quam AI, AK, erunt quoque inter se sequales 
DI, BK, et secabunt se mutuo iu diagonali AC ad 
P ; eruntque tum DP, PB, tum KP, PI sequales; et 
ducta IK erit parallela rectis BD, ab, EF. Quatuor 
deniqueanguliBI)I,DBK,DIK,BKIeruntsequales, 
et eorum quilibet sequalis duabus tertiis anguli BDa. 

Similiter secetur arcus ag m tres partes sequales, 
quarum gh sint duse, et ha una ; jungaturque tlh 
secans AB in M, et ducatur AM. Angulus ergo 
adh iu centro, qui idem est cum angulo adM, 
duplus est anguli abk in circumferentia. 

Rectoe AM sumatur in latere AD jequalis AL. 
Jungatur dL; qnffl erit ipsi rfM sequalis. Ducatur 
aL. Cum autem (propter tum Aa, Ab, tuin AM, 
AL sequales) sequales quoque sint «L, JM, ilke 
secabunt se mutuo in diagonali AC ad e ; eruntque 
anguli bah, oftM aequalea. 

Ducatur ML ; quae (propter AL, AM sequales) 
erit rectae ab parallela. Guia autem £M, «L secant 
se mutuo in e, erunt quatuor aiiguli abM,baL, AML, 
aLM sequales; et totus angulus «*ML, sive ipsi 
sequalis rfLM, a j qualis tertise parti anguli adg, id 
est, aequalis duabus tertiis anguli abE, sive anguli 
BDa, id est, sequalis angulo BKI vel Dffij et quia 
H R 9 



468 DE MBDIIS 

appkndix. rectae ab, ML sunt parallelse, erit etiam angalus 
adM. sequalis eidem angulo DIK sive BKI. 

Producatur Ld utcunque ad/. Erit ergo angulus 
fdK externus sequalis ambobus simul angulis in- 
ternis dLM, dML. Angulus ergofdM duplus est 
anguli arfM, dividiturque angulus fdM a recta da 
bifariam. Ducatur Ym dividens angulum BPI bifa- 
riam, et secans AB in m. Cum igitur angulus BPI 
duplus sit anguli PKI, erit angulus rriPl aequalis 
angulo^/tfa, et angulus mPd rectus ; et rectee Pi», 
da parallelse, et proinde anguli IPrf, fdP aequales. 
Quoniam igitur IK secat Prf ad angulos rectos, pro- 
ducta Lf incidet in I. Similiter ostendi potest 
rectam Mrf productara transire per K. 

Est ergo quadrilaterum IPKrfl rhombus. 

Jungantur MF et LE ; quse, quia sunt sequales, 
secabunt se mutuo in diagonali ad n. Et parallelae 
sunt tum Da, JE, tum DB,ML; tum etiam IK,EF: 
erit ergo angulus &EL gequalis angulo IDa ; et an- 
guli LEF, LMF aequales duobus angulis BDI, DBK, 
id est duobus angulis ILM, KML, uterque utrique. 

Est ergo quadrilaterum MdLnM rhombus. 

Sunt ergo PB, dl, nM, wE continue proportio- 
nales. 

Sed ut PB ad PI, id est ad PK, ita est AB ad 
AK, id est ad AI : propterea quod recta AP dividit 
angulum BAK bifariam. Item ut dl ad «M, id est 
ad dh y ita est AI ad AL, sive ad AM : quia kd di- 
vidit angulum IAL bifariam. Item ut «M ad nE, 
id est ad F», ita est AM ad AF, sive AE : quia A» 
dividit angulum MAF bifariam. 

Sunt ergo rectae AB, AI, AM, AE continue pro- 
portionales : et AI, AM, sive AK, AL, medise quae- 
sitae. 



PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 469 

Rursus iuter datas quascunque AB, AV, inveni- ArrBNinx. 
eudse siut quatuor medise. Fiat ab AB (fig. ii) ' ' 

quadratum ABCD : sumanturque in lateribus AB, 
AD partes AE, AF utraque sequalis minori AV. 
Sumatur autem iuter AB, AE media Aa, cui in la- 
tere AD sumatur aequalis Ab ; junganturque Da, et 
/>E ; ducanturque DB, ab, 6E, EF. Ducatur etiam 
diagoualis AC secaus DB, ab, EF, in N, d, o. De- 
inde centro N, radio NB describatur arcus circuli, 
secans Do productam in G. Secetur autem arcus 
BG in quinque partes sequales, quarum BH sint 
duse, et BQ. quatuor. 

Item centro d, radio da, describatur arcus circuli 
ag, secans £E productam in g: seceturque arcus^a 
in quiuque partes aequales, quarum gh sint duse, et 
gq quatuor. 

Dncatur DH, secans AB in R: et in latere AD 
sumatur AS sequalis AR. Ducanturque BS, RS j 
eruntque DR, BS sequales ; et propterea, secabunt 
se mutuo in diagouali AC ad T ; et erunt DB, RS 
parallehe; et quatuor anguli NBT,NDT,TRS,TSR 
sequales, et quilibet eorum sequalis duabus quintis 
anguli BDG. 

A puncto S ducatur SX parallela DR, et a puncto 
R ducatur RY parallela BS. Erunt ergo SX,RY 
ajquales, et secabunt se mutuo in diagonali ad Z. 
Itaque quadrilaterum STRZS erit rhombus : junc- 
taque XY erit parallela rectis DB, RS, et ab ; et 
utervis angulorum ZXY, ZYX sequalis erit angulo 
BDR, id est duabus quintis anguli BDG. 

Ducatur do secans AB in M. Ducatur etiam 
AM ; eritque anguhis «iM semissis auguli adM. 
In latere AD sumatur AL fflquatis AM ; jungantur- 
que ML et «L. Itaquc AM, oL secabuut se mutuo 



470 DE MEDIIS 

appendix. (cum sint aequales) in diagonali AC ad e. Quare 
' ' ambo simul anguli dML, eML, sunt aequales an- 
gulo ZXY*. 

. Et quia ad, ML sunt parallelae, erit angulus adM 
aequalis angulo dML, id est angulo ZXY. Junga- 
tur Ld, quae aequalis est dM : et producatur utcun- 
que ad f. Erit ergo angulus fdM duplus anguli 
adM, id est, aequalis angulo BTR, sive DTS, sive 
YZS, sive RZX. Est ergo recta L/rectis BS, ZR 
parallela; et recta dM rectis DR, SX parallela. 
Sunt autem anguli adf 9 ZXY «quales, et tum ah 
tum XY secat AC ad angulos rectos. Sunt ergo 
anguii fdZ, XZd sequales. Quare recta Lf quae 
transit per d 9 incidet producta in X : et propter 
eandem rationem producta Md incidet in Y. Est 
ergo quadrilaterum YZXdY rhombus. 

A puncto M ducatur recta MI parallela LX, se- 
cans AD in I : item a puncto L ducatur recta LK 
parallela YM secans AD in K. Quse duae MI, LK, 
cum sint sequales, secabunt se mutuo in diagonali 
AC ad m. Quia autem LM secat eandem diagona- 
lem ad angulos rectos, et sunt tum dh 9 mM, tum 
</M, m\j parallelae, erit quadrilaterum LdMrriL 
rhombus. 

Postremo, jugantur IE, KF: quae, cum sint 
aequales, secabunt se mutuo in diagonali ad n. 
Quoniam ergo tum IK, DB, tum EF, SR, tum JE, 
Ba sunt parallelae ; et tam IE, KF, quam BS, DR 
secant se mutuo in diagonali AC : erunt anguli 
wIK, «KI, «EF, wFE aequales tum inter se, tum an- 
gulis TBN, TDN, TRS, TSR, et recta FK parallela 

* Sic edit. 1668. 



PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 471 

rectis BS, RY, XL, MI, sicut et IE parallela rectis 
DR,SX,YM,LK. 

Est ergo quadrilaterum I/«K«I rhombus. Quare 
BT, R2, X.d, Mm, K« sunt continue proportionales: 
etpropter angulum BAS, RAY, XAL, MAI divisum 
ab AN bifariam, erunt (per Eucl. vi. 3) rectse AB, 
AR, AX, AM, AK, AE, sicut et AD, AS,AY, AL,AI, 
AF continue proportionales. Itaque inter duas 
AB, AV datas, inventce suut quatuor medise, AR, 
AX, AM, AK, sive AS, AY, AL, AI. 

Ad mediarum uumerum omuem demonstrationes 
applicare singulas impossibile est. Manifestum 
autem est, quod, si arcus BG secetur septifariam, 
inveniri sex rhombos latera habentes totidem cou- 
tinue proportionalia, et consequenter sex medias; 
quemadmodum ex trisectione inventEe sunt duac 
medise, et ex quinquisectione quatuor mediae; atque 
tta in infinitum pro mediis numero paribus. Datis 
autem paribus, omuis mediarum numerus impar 
facile inuotescit per sumptiouem inter singulas pro- 
portionales singularum mediarum. Invenimus ergo 
methodum geueralem inveniendi inter duas rectas 
datas medias ([Uotcunque per sectionem auguli. 
Quomodo autem angulus in ratione data quacumme 
secandus sit, docuimus supra, Cap. xxii. 

Hebc, quanquam certa et demonstrata, corrue- 
rent tarnen, si verum esset quod algebrista; uostri 
dicuut, radicem numeri quadrati, et figuras quadra- 
tic latus idem esse. 

Examiuabimus jam logicae, quam illi jactitant, 
severitatem. 

Yitiosam esse aiunt demonstrationem, in quam 
non ingreditur omne id quod ad constructionem 
assumitur. Ego coutra, demonstrationem in qua 



472 DE MEDIIS 

apprndix. neque propositionem, neque consequentiam ullam 

' *~~ falsam reperio, peccatorum omnium contra logicam 

absolvendam censeo. Neque illorum regulam il- 

lam utcunque speciosam legisse me memini in 

Aristotele, neque in alio scriptore logico. 

Exhibenda mihi igitur est demonstratio legitima, 
ubi assumptum aliquod ad constructionem, non 
tamen adhibetur ad demonstrationem. Demon- 
strabo autem, absque trisectione anguli, inter rec- 
tam datam et ipsius semissem qusenam sint medise 
duae proportionales. 

Sint datae (fig. 3.) duae rectae AD, DV, facientes 
unam rectam AV. Sit autem DV semissis ipsius 
AD ; fiatque a majore AD quadratum ABCD. In- 
ter AD et D V inveniatur media proportionalis DE ; 
cui in lateribus BC, AD ponatur aequalis AO et BR; 
jungaturque RO, et producatur. 

Secetur DO bifariam in K : centro autem K, in- 
tervallo KV, describatur circulus VIMX, secans CD 
in X, AD in M, et RO productam in I. Quoniam 
ergo RO, CD sunt parallelae, anguli deinceps ad O 
et D sunt recti ; et DK, KO aequales ; et proinde 
etiam OM, DV aequales. iEquales item sunt IK, 
KX; et IX diameter circuli VIMX, eademque 
aequalis rectae MV. Itaque ductis rectis VX, XM, 
MI, IV, erit VIMX rectangulum : et tres rectae 
DM, DX, DV continue proportionales. Divisis 
autem MX, IV bifariam in Z et L, ducta ZL transi- 
bit per K ; et secabit tum MX tum IV ad angulos 
rectos. 

In recta IK sumatur IP aequalis DV. Erit ergo 
reliqua PX aequalis DM, et PK aequalis DK : item 
LK secabit angulum DKP bifariam. 



PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 



471 



Producatur CD in G, sccans KL in S: ita ut DG, 
CD sint sequales. 

A puncto P ducatur recta PY perpendicularis 
rectae IP, sequalis autem DG : jungauturque YI, 
GV. 

Quoniam ergo IP est sequalis DV, et PY aequalis 
DG, et anguli ad P et D recti, eruut YI, GV aequa- 
les: et divisa YI bifariam in H, circulus descriptus 
radio HI transibit per P et Y. 

Producta autem YP transibit per M, eritque PM 
a?qualis DX. Cum enim IP, DV sint aequales, et 
IM, VX ajquales et parallelse, et in triangulis IPM, 
XDV anguli ad P et D recti, eruut quoque PM, DX 
sequales. Similiter quia OM est scqualis DV, et 
MI, XV Eequales et parallelpe, erit 01 avqualis eidera 
DX, et tota YM axmalis toti GX. 

Secent autem se mutuo PM et 01 in Q. ^Equa- 
les ergo inter se sunt QI et QM ; sequalcs item an- 
guli QMI, QIM; item anguli OMP, OIP, cum 
sequales sint tum KP, KO, tum KI, KM, tum etiam 
OQ, PQ; et angulus PMI a^qualis augulo DXV, et 
angulus PIM sequalis XVD, propter similitudinem 
triangulorum PMI, DXV, et angulus PQI externus 
duplus anguli intemi PMI vel QIM. 

Quoniam autem OQ, DS sunt paralleUe, transibit 
MY per S. Est enim angulus KSD aequalis angulo 
DXV, propter KS, XV parallelas -, est autera angu- 
lus MQI* ejusdem anguli DXV, sive KSD, duplus. 
Ubicuuque ergo MY secat DG, faciet cum illa au- 
gulum anguli KSD duplum. Cum euim anguli ad 
P et D siut recti, et anguli ad K aequales, atque 
ctiam rectae DK, KP sequales ; producta MP donec 



' Sicedu. 1666 et 1668. Qui 



, PQI. 



474 DB MEDIIS 

>ppbndix . concurrat cum KL, faciet cum illa angulum aequa- 
lem angulo KSD: id quod fieri potest in unico 
puncto rectae KL, nempe S. Quare recta KL di- 
vidit angulum PSD, simulque verticalem ipsius 
YSG bifariam. 

Gtuia vero aequales inter se sunt tum GD,YP, tum 
DS,PS, aequales quoque erunt rectae GS et YS. 
Ducta ergo GY, secabitur a KL producta bifariam 
et ad angulos rectos in T. 

Cum autem in triangulis TYS, DXV, anguli ad T 
et D sint recti, et anguli ad S et X aequales : erit 
angulus TYS aequalis angulo XVD. 

Jungantur HS, HP, HD. Quoniam ergo in tri- 
angulis HPS, HDS, latera PS, DS sunt aequalia, et 
latus HS commune, erunt quoque latera HP, HD 
aequalia; et anguli HPS, PHS aequales angulis 
HDS, DHS, uterque utrique. Circulus ergo de- 
scriptus radio HP, qui transit per I et Y, transibit 
etiam per D. 

Etiam quia rectae DK, KP, ut et anguli ad K, 
aequales sunt, transibit HS per K ; et proinde seca- 
bit IV bifariam et ad angulos rectos in L. Pos- 
tremo, cum anguli KLV, KLI sint recti, et IL, LV 
aequales ; si intelligatur ducta recta Da diagonalis 
rectanguli DVaG, ea secabit diagonalem alteram 
bifariam in H. Cum enim trianguli aequicruri 
PHY anguli ad P et Y sunt aequales, et utrivis 
eorum aequalis sit angulus aDG, aequales erunt au- 
guli YPH, «DG. Augulus autem LSG aequalis est 
utrique simul angulo SPH, SHP ; sed anguli LSG, 
LSY sunt aequales ; quare recta SL producta faciet 
cum Da angulum angulo SHP aequalem. Recta 
ergo Ba (et proinde etiam GV) transit per H. 



PROPOP.TIONALJBUS IN GENERE. 



475 



Dividitur ergo recta GV bifariam in H, et cir- apfendix 
culus descriptus radio HP transit per puncta G, I, ~~ 
P, D, V, Y. Est ergo angulus GYV in semicirculo. 

Est igitur tum IGYV, tum GMXY, tum etiam 
(ut ante ostensum est) IMXV rectangulum. 

Itaque triangula rectangula GDM, MDX, XDV 
similia sunt: et propterea, quatuor rectae DG, DM, 
DX, DV continue proportionales : quarum DM, DX 
sunt medise quaesita;. Item OR, OV, 01, OM cou- 
tinue proportionales : quarum OV, 01 sunt media? 
qussitse. Item PY, PX, PM, PI continue propor- 
tionales : quarum PX, PM suut media? quasitae. 

Coroll. Quotiiam YX, GM sunt parallelae et 
aequales, item GM, VR parallela; et sequales, erunt 
rectae VY et XR aequales. 

Idem demonstrari potest ex eo ipso, quod recta 
DE est media proportionalis inter AD et ipsius 
semissem DV, hoc modo : 

tiuoniam autem RCEy, 7CA/1 sunt quadrata, et 
Cp, CE asquales ; erunt tres rects Cy, i/E, C/i, con- 
tinue proportionales in ratione CE ad C/i, id est, 
in ratione DC ad DE, vel DE ad DF. Si ergo a 
puncto C sumatur C&> sequalis CA, enint Cy, C/i, 
Cw continue proportionales. Quod si ab w ducatur 
ad Iatas DC perpeudicularis, erunt in CE tria spatia 
continne proportionalia quorum minimnm est AE. 
Quouiam autem est ut DC ad DE ita CE ad Ck t 
erit ratio DC ad DE ad rationem DC ad DA nt 
ratio triplicata ad rationem duplicatam. Sed ratio 
DC ad DX est duplicata rationis DC ad DA. Nam 
nou modo DF, DE, DC, sed etiam DF, DX, DA 
suut coutiuue proportionales : et proinde ratio DC 
ad DA duplicata est rationis DE ad DX. Sunt 



4/6 DB MEDII8 

* 

appkndix . ergo DC,DA, DX, DF continue proportionales : et 
Dh y DX medise qusesitae. 

Si quis in hac demonstratione propositionem 
falsam aut non necessariam illationem ostenderit, 
modo qonvitiis se abstineat, (etsi mihi meus error 
placere non potest), veritati tamen studens non 
inique feram. Sed ut eo solum nomine accuser, 
quod postquam ad constructionem assumpsissem 
mediam proportionalem inter extremas, medietate 
illa non sum usus, iniquum est. Dicant velim, illa 
regula a quo magistro logicae profecta est, ut cum 
magistro ipso controversia mihi sit. Sin nullius 
magistri, sed suae ipsorum prudentiae dictamen sit, 
ostendant esse infallibile. Quod dicant sine ex- 
emplo esse, nihil moror : quaeram enim vicissim, 
quis fuit ille qui alia methodo duplicationem cubi 
demonstravit. Euclides multas habet in initio 
Elementorum definitiones, quibus tamen nusquam 
utitur. An definitiones ad demonstrationes minus 
necessariae sunt, quam assumpta. Analytici omnes 
assumunt aliquid ignotum ; etsi ab ignoto per se 
notum fieri nihil potest : sed ope aliorum praecog- 
nitorum problemata multa aut solvunt, aut solvi 
non posse demonstrant. An verum positum minus 
valebit, quam pro vero suppositum dubium ? Er- 
rant qui sic sentiunt. Verum enim tam sui quam 
falsi index est, ut a quo nihil nisi verum derivatur. 

Sed ne quid omittamus quod problemati nobili 
perspecuitatem allaturum videatur, eaudem nunc 
conclusionem ab eo ipso demonstrabimus, quod 
recta AO aequalis sumpta sit rectae DE, id est, 
mediae proportionali inter extremas AD et DV. 

Sumatur in latere DC recta DF eequalis DV, et 



PROPOBTIONALIBUS IN GENERE. 4/7 

describatur quadratum DFrg. Erit autem punc- 
tum r in diagouali DB. 

Deseribatur quadratum QXpq, et erit punctum 
p in eadem diagonali DB. 

Describatur quadratum DEZ-/; cujus etiam punc- 
tum k erit in eadem diagonali DB. Secet autem 
Ik producta latus BC in n, e.t rectam Xp produc- 
tam in u et rectam Fr productam in s. 

Describatur denique quadratum DM/A, cujus 
punctum (' erit in eadem diagonali DB ; cujus qui- 
dem latus hi productum secet In in o, et AB m / ; 
latus autem M/ productum secet BC in m. 

Ostensum autem est tres rectas DM, DX, DV, 
id est M*', qp, gr esse continue proportionales ; 
item OM, DV, id est OM, gX esse a?quales; et 
proinde, dempta communi g-M, sequales esse AM 
et Og, id est, li, vel im, vel FE, et propterea rec- 
tam gM iequalem esse EC, vel kn, vel os. 

Quouiam jam Ik media est proportionalis inter 
In et Is, erunt tres recta? Is, Ik, In continue pro- 
portionales. Erunt item gr, qp, Mi, id est Is, lu, 
lo coutinue proportionales. Est autem utriusque 
analogismi eadem antecedens Is. Quare (per prop. 
28, Elem. xiv) ratio In ad lo duplicata erit rationis 
Ik ad lu. Sed ut Ik ad lu, ita est Mi ad Ik. 

Ratio ergo In ad lo duplicata est rationis lo, sive 
Mf, ad Ik. 

Sed ratio quadrati DkiM ad quadratum TtEkl 
duplicata est rationis M/, id est lo, ad Ik. 

Si ergo quadratum DAiM intelligatur ductum 
perpendiculariter in suum latus Mi, item quadra- 
tum DEA-l perpendiculariter in rectam In sequalem 
lateri AD, fient duo parallelipipeda quorum latera 



478 DE MEDII8 

appendix. et altitudines reciprocantur. Quare (per prop. 34, 

' ' Elem. xi) erit cubus a DM (cubus autem est paral- 

lelipipedum) aequalis parallelipipedo, cujus basis 

est aequalis quadrato DEkl, altitudo aequalis In 

sive AD. 

Sed quadratum DEkl aequale est rectangulo sub 
AD, DV, id est, rectangulo M R : parallelipipedum 
autem sub rectangulo MR ductum in OR aequalem 
AD, est dimidium cubi totius a latere AD, id est, 
aequale quatuor cubis a latere DV. Itaque recta 
DM est mediarum duarum inter AD, DV major, 
etc. Quod erat demonstrandum. 

Ostendam jam rectam DO semissem esse tan- 
gentis 30 graduum. Secet RO rectam Ek in y ; 
eritque Oy sinus 45 graduum. Itaque utraque rec- 
tarum Ay, Dk aequalis erit AB, videlicet lateri to- 
tius quadrati ABCD. Circulus ergo descriptus 
radio DC transibit per k, et circulus descriptus ra- 
dio AB transibit per y. 

A puncto y erigatur recta ya perpendicularis 
ipsi Ay, secans BC in a, producaturque a y ad latus 
CD in z. Erit ergo triangulum C a 2 aequicrurum, 
et anguli ejus ad a et % semirecti. Producatur gr 
ut secet arcum Ck in /3, eritque angulus DC0 tertia 
pars recti. Quare producta D/3 faciet cum latere 
CB angulum aequalem duabus tertiis recti. 

Quoniam autem angulus R?/a est semirectus, et 
angulus CD/3 tertia pars recti, faciet D/3 producta 
cum ya angulum anguli recti partem sextam. Sed 
angulus Ray, qui etiam est semirectus, una cum 
sexta parte recti faciet duas tertias recti. Quare 
juncta f a p et producta incidet in D. Est ergo 
C a tangens anguli 30 graduum, et huic aequalis Cz, 



PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 479 

Sed, propter angulum Cy a rectura divisum bifa- appkkdix. 
riam ab Ry, recta C a dupla est rectae CR, id est, 
rectae DO. 

Coroll. i. Quoniam DV est semissis lateris BC, 
et DO semissis adjunctse CS, et ducta AS transit 
(ut supra ostensum est) per X ; erit ratio BS ad 
DX duplicata rationis AD ad DX. Quare ratio 
OV, sive Wi (semissis ipsius BS), ad DF (semissem 
ipsius AD), duplicata erit rationis AD ad DX, id 
est, eadem ratio quam habet DC adDX. Ut ergo 
DC ad DX, ita est OV sive D/* ad DF. Sunt ergo 
rursus DC, Dh, DF continue proportionales. 

Coroll. ii. Jungatur gy, producaturque ad RC 
in y. Quoniam ergo Xy dupla est kg, erit quoque 
(propter similitudinem triangulorum A^g-, C//7) 
recta yC dupla Cy. Itaque C-y, B/« sunt requales: 
et Ry, qnffi est differentia inter CR et Cy, a>qualis 
differentise inter dimidium lateris et tangentem 30 
graduum. 

Corott. iii. Dupla ry squalis est tangenti 30 
graduum, nempe rcctae C a . Nam Ry, yr suut 



Corolt. iv. Semissis circumferentise circuli de- 
scripti a gr semiradio, a>qualis est lateribus ambo- 
bus cuborum quorum unus circumscribitur, alter 
inscribitur eidem sphsera? in qua maximus circulus 
est qui describitur radio gr semissi lateris AB ; 
quod sic ostendo. Si iu quadratorum eorum quae 
cubi bases sunt, uno quocunque ducatur diagonalis, 
erit quadratum ejus duplum quadrati a latere cubi. 
Rursus si in termino alterutro illius diagonalis eri- 
gatur perpendicularis aqualis cubi lateri, recta quse 
subtendit diagonalem, et latus illud cubi erectum, 



480 DE MEDIIS 

• 

appendix. poterit triplum cubi latus. Erit autem illa sub- 
tendens maxima omnium rectarum qu® intra cn- 
bnm duci possunt ; et per consequens, diameter 
erit sphaerae cni cubns inscribitnr. Nam diameter 
sphaere triplnm potest lateris cnbi in illa sphsera 
inscripti. 

Centro r, radio gr semisse lateris AB, descri- 
batnr circulus i?2£F, ducatnrqne y* parallela et 
sequalis CD, secans diagonalem AC in /x. Quoniam 
ergo ytn aequalis est tangenti Ca, si jnngatnr pi, 
erit illa aequalis eidem Co; cujus quadratnm est 
fiivX. Quoniam ergo latns DC triplum potest rectee 
Ca, (ut manifestum est ex eo quod sinns 60 gra- 
duum triplum potest semiradii, et nt sinus 60 gra- 
dnum ad semiradium, ita radius ad tangentem 
30 graduum), erit cubus cujns quadratum est /ifVA, 
inscriptus in sphaera cujus maximus circulns est 
ijZgF. Manifestum autem est cubum cujus unnm 
quadratum est A8CD circumscriptum esse sphaerae 
eidem titgF ; et ostensum est rectam compositam 
ex latere AB cubi circumscripti, et C a, id est, pi 
latere cubi inscripti, asqualem esse arcni qnadrantis 
BD, id est semissi circuli i2&F. 

Postremo, eadem hsec comparemns cum nnmeris ; 
et (quia radix numeri non semper est numerns) 
quadrata ipsi in numeros convertemns. 

Producatur BC in S, ita ut BS possit decem qua- 
drata a recta DV sive DF ; jungatnrqne AS, quae 
secabit DC in X : quod sic ostendo. 

Quoniam B8 potest decem quadrata a DV, et AB 
potest quatuor quadrata ab eadem DV, erit qua- 
dratum a B8 10, quorum quadratum ab AB sive 
DC est 4 ; sive quorum quadratum a B8 est 40> 



PROPORTIONALIBUS IN GENERE. 48t 

eorum quadratum a DC est 16. Est autem ut 40 appendix, 
ad 16, ita 16 ad 6f . ' ' 

Cumque Dh ostensa sit semissis totius BS, pote- 
rit Dh decem quadrata a semisse ipsius DV, sive a 
quarta parte lateris DC. 

Quadratum ergo a DC ad quadratum a T>h sive 
a DM, est ut 16 ad 10. 

Rursus ut 16 ad 10, ita est 6-f- ad 4. Sed quadra- 
tum a DF est 4, quorum quadratum a DC est 16. 
Quare latus quadrati 16 est ad latus quadrati 10, 
ut latus quadrati 6-f ad latus quadrati 4. Quare 
rectae DC, DA, latus quadrati 6 f- , DF sunt propor- 
tionales. 

Sed ostensum est esse ut DC ad DA, ita DX ad 
DF. Latus ergo quadrati 6-f est ipsa DX. 

Sequitur hinc, primo, rectam DX esse mediam 
proportionalem inter DC, et duas quintas ejusdem 
DC Quadratum enim a DX, nempe DXpq, est 
duae quintae quadrati a DC ; quia 3£ est quinta pars 
16, et 6-f- duae quintse ejusdem quadrati a DC ; et 
propterea sequale rectangulo sub DC et duabus 
quintis ejusdem DC. 

Sequitur secundo, quod ducta AX et producta 
ad occursum BC productae in S, rectam B$ posse 
10 quadrata a DF. 

Sequitur tertio, rectam DE, quse est media pro- 
portionalis inter DC et DF, mediam quoque esse 
inter Dh et DX. Cum enim quadratum a Dh sit 
1 0, quorum quadratum a DC est 1 6, et quadratum 
a DE 8 ; si fiat ut 10 ad 8 ita 8 ad tertium, erit 
illud tertium 6-f-* Unde patet etiam hoc, rationem 
DF ad DE esse ad rationem DF ad DX, ut sub- 
triplicata ad subduplicatam, ut illi loquuntur ; ego 

VOL. IV. i x 



482 DB MEDIIS 

appekdix , autem malim dicere, ut tres rationes minoris ad 
majus, ad duas rationes minoris item ad majus. 

Sequitur qnarto, rectam B8 esse ad DX nt 5 ad 2. 
Cnm enim qnadratnm a Bj sit ad qnadratnm a DC 
nt 40 ad 16, id est nt 5 ad 2, et nt qnadratnm a 
B3 ad qnadratnm a DC, ita ipsa B3 (qnia qnadrata 
sunt in duplicata ratione laternm) ad DX, erit B* 
ad DX nt 5 ad 2 ; et qnadratnm a Ba ad quadra- 
tnm a DF nt 25 ad 2i, id est nt 10 ad 1 ; et ipsam 
Ba ad DF nt /. 10 qnadrata ad /. 1*. Atqne hac- 
tenns qnidem calculi geometricus et arithmeticus 
consentinnt inter se et cnm Euclide. 

Snnt autem rectae DA sive DM, DX, DF sive 
DV, continne proportionales, propter semicircnlnm 
MXV. Quare etiam earundem quadrata sunt con- 
tinue proportionalia. Atqui si redncantur ad nu- 
meros, numeri illi proportionales non erunt. Est 
enim quadratum a Dh 10, quorum quadratum a DX 
est 67, et quadratum a DF 4. Qui numeri non 
sunt proportionales. Redacantur enim adnumeros 
integros, quod fiet multiplicando singulos per 5. 
Facti autem erunt 50, 32, 20, qui proportionales 
non sunt. Sunt enim 50, 32, 20~- continue pro- 
portionales; quorum minimus est justo major. 
Continue item proportionales sunt DC, DA, DX, 
quibus respondent numeri 16, 10, 6~ ; qui propor- 
tionales non sunt. Nam reducti ad integros fient 
80, 50, 32 ; qui proportionales non sunt. Propor- 
tionales enim sunt 80, 50, 3l£, quorum minimus 
est justo minor. 

Unde autem nascitur haec geometriae et arithme- 
ticae dissentio ? Ab eo quod subtendens trianguli 
rectanguli non semper potest latera duo angulo 

* Siccdit. 1666 et 1668. 



PR0P0RTI0NAL1BUS 1N GENERB. 483 

recto adjacentia, cum subtendens illa non sit linea, appendix. 
sed minutum triangulum ; cujus si punctum ver- ' ' 
ticale computetur pro nihUo, terminus alter erit 
trianguli minuti basis. 

Cum enim duae rectae BA, BC punctum habent 
commune B quantitate carens ; si ab eodem puncto 
B ducatur tertia recta faciens angulum quemcun- 
que cum BA vel BC, illa tertia propior erit utrivis 
duarum BA, BC, quam altera earum alteri ; et 
propterea habebit tertia illa cum utravis priorum 
plus quam punctum commune, id est communem 
partem. Quare tres illae rectae una eademque erunt 
recta. Item propter eandem causam, totum circuli 
planum erit linea recta. Quod satis est absurdum. 

Recta ergo subtendens pro linea haberi non po- 
test, nisi quae sit diagonalis quadrati. Illa enim 
dividit angulum rectum bifariam: id quod non 
facit diagonalis rectanguli non quadrati. Unde 
necesse est numerantibus quadrata, (quia minutis- 
simi trianguli basis, quantulacunque ea sit, quan- 
titas tamen est), unam et eandem quantitatem 
saepius numerare. 

Si denique cubos ipsos per numeros investigare 
volumus, impossibile volumus ; quia quadratum 
multiplicatum per numerum facit semper quadrata, 
quorum nulla multitudo faciet cubum. 

Causa ergo quare problemata illa, metiendi cir- 
culum, duplicandi cubum, dividendi angulum, divi- 
dendi rationem, et alia multa inventa hactenus non 
fiierint, nulla assignari potest praeter has : 1°. Quod 
ad ea invenienda abusi sunt arithmetica : 2°. Quod 
errores antiquorum recentiores nimium venerati 
sunt. 3°. Quod qui errores illos conati sunt dete- 

112 



484 DE MEDIIS PROPORTIONALIBUS, ETC. 

appendix. gere, eos imperiti homines (ne sua inscitia simul de- 
tegeretur) convitiis absterruerunt. Quibus tamen 
omnibus propter rei difficultatem, et antiquitatis 
reverentiam, ignosci potest, prseterquam ultimis 
illis convitiatoribus, non geometris, sed insulsis, 
indignis geometria procis. 



FINIS. 



QUADRATURA CIRCULI. 

CUBATIO SPHjERjE. 

DUPLICATIO CUBI. 

UNA CUM RESPONSIONE AD OBJECTIONES GEOMETRLfi 

PROFESSORIS SAVILIANJB OXONI<£ EDITAS 

ANNO 1669. 



AUTHORS 

THOMA HOBBES 

MALME8BURIENSI. 



AD SERENISSIMUM PRINCIPEM 

COSIMUM 

MAGNUM PRINCIPEM ETRURIjE 

EPI8T0LA AUTHORIS DEPICATORIA. 



Quo tempore, Magne Princbps, celsitudo tua cum 
dignitate sua summa et populi universi plausu Anglorum 
terram, urbes, scientiarumque domicilia illustrabat : re- 
centem a praelo opellam hanc celsitudini tuae, humani- 
tatis suae* radiis etiam ad me penetrantibus excitatus, 
cupiebam dedicare. Sed antequam id facerem, semulo- 
rum meorum reprehensiones expectandas esse censui : 
certus, nisi refellerent, non indignum fore quantocunque 
patrocinio hoc munusculum. Prodiit autem nuperrime 
refutatio ex Academia Oxoniensi; typis Academicis; 
authore, geometrise publico Professore; argumentis 
arithmeticis. Illius ergo meisque collatis rationibus, 
quae in titulo operis pollicitus sum confirmare debeo : et 
facio accurate in libello hoc quem tibi nunc oflfero; 
brevem, ut occupato; tibi, ut certaminum hujusmodi 
incorrupto, nec imperito judici. Scio philosophiam 
seriam unicam esse, quae versatur circa pacem et for- 

* Sic edit. 1669. 



488 DEDICATIO. 

tunas civium, principalem : caeteras uihil esse praeter 
ludum. Ludimus enim otiosi in nominibus Grammatici, 
in syllogismis Logici, in sonis Musici, in numeris Arith- 
metici, in motu Physici, in figuris Geometrae, dum otium 
nostrum negotia tuentur Principum. Nec tamen nihil 
agere videmur nobismet ipsis. Prsedia sunt geometris 
problemata, possidentque ea plerique quasi jure feudali 
ab antiquis geometriae dominis Euclide, Archimede, 
aliisque, per servitudinem et pertinaciam. Schola illis 
Prsetorium est, ubi verum constituunt suo arbitrio. 
Jure occupationis inventum novum non acquiritur: 
nimirum, quod quisque ingenii sui proprium opus esse 
judicavit, si parum festinanti preripiat alter, injuria est. 
Legem hanc supercilio damnari iniquam non patior. 
Ratio, si aflferatur, vincat. Sed lectori neque intellectum 
neque patientiam praestare debeo. Itaque provoco ad 
exteros, atque etiam ad posteros, sub tuo, Magne 
Pbinceps, nomine, cui qiue cupis omnia Deus com- 
probet, et quae agis secundet. 

Serenissima) celsitudinis tua) 

servorum humillimus 

Thomas Hobbes. 



489 



QUADRATURA CIRCULI. 



PROPOSITIO I. 

Circulo dato quadratum invenire tequale. 

Sit (in fig. 1) circulus datus BCDE, cujus centrum r*or. i» 
A, divisus quadrifariam a diametris BD, CE. Cir- 
culo hinc circumscribatur quadratum FGHI, quod 
tangit circulum in punctis B, C, D, E. Ducantur 
diagonales GI, HF, secantes circulum in punctis 
K, L, M, N. Secetur semilatus CG bifariam in O, 
ducaturque AO secans circulum in P. Per punc- 
tum P ducatur recta QR parallela GH, secans AG, 
AH in Q et R, et AC in Y: compleaturque qua- 
dratum QRST. Dico quadratum QRST aequale 
esse circulo BCDE dato. 

Quoniam enim recta CG secta est bifariam in O, 
et triangulorum ACG, AYQ bases CG, YQ sunt par- 
allelse, etiam basis YQ, secta est bifariam in P : et 
proinde triangula AYP, APQ sunt aequalia. 

In arcu LC sumatur arcus LV sequalis arcui CP : 
ducaturque AV, secans YPin X. 

Jam APL + PQL + CYP=AVL= ACP, quia APL 
+ PQL=AYP. Nam ACV+AVP=ACP=AVL. 

Quare APL + PQL + C YP= ACV + A VP. 

i\blatis igitur utrinque aequalibus APL, ACV, 
restant PQL+CYP=AVP. 



PROP. I. 



490 QUADRATURA CIRCULI. 

Quoniam ergo AVP sector additns sectoribus 
duobus ACV, APL, facit integrum sectorem ACL ; 
etiam duo trilinea PQL, CYP addita sectoribus 
iisdem ACV, APL, facient quantitatem aequalem 
sectori integro ACL. 

Jam trilineum PQL additum sectori ALP facit 
triangulam APQ. Et (quia ALP, ACV, sectores 
sunt aequales, et triangula AYP, APQ sequalia) tri- 
lineum idem PQL additum sectori ACV facit trian- 
gulum AYP. 

Si ergo PQL, CYP sunt aequalia, totum triangu- 
lum AYQ sequale erit sectori integro ACL. Sin 
PQL sit majus vel minus quam CYP, triangulum 
AYQ erit majus vel minus sectore ACL. Aut ergo 
in triangulo ACG triangulum rectangulum cujus 
vertex sit A, sequale sectori ACL sumi nullum po- 
test, aut PQL, CYP sunt sequalia. Nam si ACV, 
ALP sequalibus, addatur dimidium sectoris utrin- 
que, fient duo triangula sectori ACL sequalia. Ita- 
que quantum trianguli alterius erit intra circulum, 
tantum alterius erit extra. Quod fieri impossibile 
est praeterquam in concursu rectae AO cum RQ et 
CL ad P. Alioqui enim aut triangulum aut quan- 
titas AVP non dividetur bifariam. 

Aliter, directe. 

Sector ACP superat sectorem ACV quantitate 
AVP. Ergo ACP superat triangulum AYP quan- 
titate AVP — CYP. Superat autem quantitate ipsa 
CYP. Sunt ergo AVP— CYP et CYP aequalia. 

Addito utrinque CYP, erunt AVP et 2CYP 
aequalia. Et quia AVP aequalis est ambobus spatiis 
PQL et CYP, erunt PQL et CYP aequalia. 



QUADRATURA CIRCULI. 491 

Aliter, directe. 

Trilineo CVP ablato a sectore AVP, restat trian- 
gulmn AXP. Ergo trilineo toto CYP ablato ab 
eodem sectore AVP, restabit triangulam AYP. 

Ergo sector ACP superat triangulum AYP quan- 
titate AVP—CYP. Sed AVP— CYP est aequale 
PQL. Itaque sector ACP superat AYP quantitate 
PQL. Ergo CYP et PQL sunt aiqualia. Addito 
ergo utriuque CYP, erunt AVP et 2CYP sequalia. 
Et est ergo sector AVP duplus triliuei CYP. Cura 
igitur idem AVP jequalis sit ambobus trilineis PQL 
et CYP, erunt ipsa PQL et CYP inter se requalia. 
Quorum alterum PQL totum prominet extra secto- 
rem ACL, alterum, nempe CYP, totum in eodem 
sectore ACL est immersum. 

Quare triangula AYP, APQ simul sumpta, id 
est octava pars totius quadrati QRST, requalia sunt 
duobus sectoribus ACP, APL simul sumptis, id est 
octava? parti totius circuli BCDE dati : et totum 
quadratum QRST sequale circulo integro BCDE. 

Aliter. 

Si triangulum rectangulum AYQ sectori ACL 
sequale non sit, supponatur triaugulum aliud, primo, 
minus quam AYQ sed simile, habens verticem in 
A, latus Aq, et basira yq, sequale esse sectori ACL. 
Basis autem yq secet arcum CL in p, et rectas AO, 
AG in r et q. 

Quoniam igitur triangulum Ayq sequale eat, nt 
supponitur, sectori ACL, erunt trilinea gLp, Cyp 
sequalia. Et quia supponitur qhp dimidium esse 
sectoris AVP, erit sector ACV una cum trilineo 
Cyp, aequale sectori ALP una cum trilineo qhp, 



492 QUADRATURA CIRCULI. 

prop. l idemque aequale triangulo Aqr. Rursus, quia tri- 
angulum Ayq aeqoale est sectori ACL, erunt trili- 
nea r/Lp et Cyp aequalia, et ambo simul aequalia 
sectori AVP. Et proinde AGV+Cyp aequale di- 
midio sectori ACL, id est triangulo Ayr : totum 
parti, quod est absurdum. 

Similiter, sector ALP una cum trilineo qLp 
aequale erit triangulo Aqr, id est, pars toti : quod 
est absurdum. 

Si Ayq sumeretur supra triangulum AYQ, idem 
sequeretur absurdum. 

Est ergo triangulum ipsum AYQ jequale sectori 
ACL : id est, octava pars quadrati QRST duobus 
sectoribus ACP, APL simul sumptis, id est octavae 
parti totius circuli BCDE dati : et totum quadra- 
tum QRST aequale circulo integro BCDE. 

Inventum est ergo circulo dato quadratum 
aequale. 

Coroll. i. Si centro A, semidiametro Ab, quae 
sit media proportionalis inter latus AC et ipsius di- 
midium, describatur arcus circuli secans AO in b 9 
et AV in c, et AC in A, erit tum sectorculus Abc, 
tum quadrilineum VPic, aequale trilineo CYP. 
Praeterea, si a puncto b ad latus AC ducatur per- 
pendicularis be, erit trilineum hbe dimidium trilinei 
CYP. 

Coroll. ii. Sequitur etiam excessum quadrati 
ABGC supra quadrantem ABC, esse ad excessum 
quadrantis ejusdem supra dimidium quadrati 
ABGC, ut 2 ad 3. 

Ducta enim a puncto L ad latus AC perpendicu- 
lari L/j, erit triangulum ALh dimidium trianguli 
AGC. 



QUADRATURA CIRCULI. 493 

Jam triangulum AGC ad triangulum AYQ est prqp. i. 
ut 5 ad 4. 

Ergo trapezium C YQG est 1 , quorum triangulum 
AGC est 5, et triangulum AYQ 4, et triangulum 
ALA 1£. Et quia triangulum AYQ sectori ACL 
est sequale, triangulum AGC est 5, quorum sector 
ACL est 4. Ergo trilineum CLG est 1, quorum 
sector ACL est 4 : idemque trilineum CLG aequale 
trapezio CYQG. 

Quoniam ergo triangulum ALh est U, quorum 
trilineum CLG est 1, et trilineum CLBG (ipsius 
CLG duplum) 2, qui est excessus quadrati ABGC 
supra quadrantem ABC : et trilineum GLh dupli- 
catum, nempe excessus quadrantis ABC supra ALh 
duplicatum, erit 3 quorum trilineum CLBG est 2. 
Est ergo excessus quadrati ABGC supra quadran- 
tem ad excessum quadrantis supra dimidium qua- 
drati ABGC, ut 2 ad 3. Quod erat demonstran- 
dum. 



CUBATIO SPELERffi. 



PROPOSITIO II. 

Sphcera cujus diameter est CE, aqualem invenire 

cubum. 

Si enim (supposito quod planum quadrati FGHI 
sit in horizonte) erigantur in punctis C, Y, P, Q, 
L, /3, B, r, T, K, 5, E, 7T, e, S, N, Z, D, * R, M, 0, per- 
pendiculares altitudine quanta est recta AC super 
horizontem : planum ductum per illarum terminos 



494 CUBATIO 8VRJRVLJR. 

pbop. ii. erit quadrato FGHI parallelum, et distinctum par- 
tibus iisdem quibus distinguitur quadratum ipsum 
FGHI in dictis punctis. Atque idem continget, si 
eaedem perpendiculares productae sint ad eandem 
altitudinem, AC, infra horizontem. 

Similiter, si in punctis Q, P, 0, R, i?, 2, S, e, 3,T, y ,/8, 
in altitudinem AY erigantur perpendiculares supra 
horizontem, planum ductum per illarum terminos 
erit quadrato QRST parellelum. Atque idem con- 
tinget etiam infra horizontem : eruntque facti duo 
cubi, quorum latera sunt GH et QR. Super cen- 
trum A constituatur quadratum adfg aequale dua- 
bus tertiis totius quadrati GHIF. Quoniam ergo 
quadratum QRST aequale est circulo BDCE, si ad 
puncta Q, R, S, T erigantur rectae perpendiculares 
quarum unaquaeque aequalis sit diametro CE, fiet 
solidum rectangulum aequale cylindro constituto in 
eadem altitudine. 

Hujus cylindri duae tertiae aequales sunt (per 
Archimedem) sphaerae a diametro CE : nempe, par- 
allelipipedum rectangulum cujus altitudo est ag, 
et duae dimensiones reliquae sunt TR et QR, aequale 
erit sphaerae. Inter latus TQ et altitudinem ag 
sumatur media proportionalis kn, compleaturque 
quadratum klmn. Quoniam ergo latera TQ, kn 9 ag 
sunt continue proportionalia, erit quadratum klmn 
aequale rectangulo sub TQ, ag. Quare quadratum 
klmn ductum in suum latus kn aequale erit solido 
sub TQ, kn> ag. Quoniam ergo ratio quadrati akn 
ad quadratum ab ag, duplicata est rationis quam 
habet altitudo kn ad ag y et altitudo TQ ad altitudi- 
nem ag duplicatam habet rationem ejus quam 
habet altitudo TQ ad altitudinem kn, erunt bases 
solidorum sub TQ, kn 9 ag y et altitudines eorundem 



CUBATIO SPH^R^. 495 

solidorum reciprocae. Quare (per Euclid. Elem. xi. prqp- » : 
prop. 34) cubus a kn, et solidum sub TQ, et quadrato 
ab ag, sunt aequalia. Sed solidum sub TQ et qua- 
drato ab ag, aequale est sphaerae cujus diameter est 
CE. Quare cubus a kn aequalis est sphaerae eidem. 
luventus ergo est cubus sphaerae aequalis. 



PROPOSITIO III. 

Invenire rectam cequalem arcui CL. 

Repetatur in figura secunda pars figurae primae, 
in qua quadratum QRST aequale est circulo BCDE. 
Centro A, intervallo AY describatur arcus circuli 
secans AO in d, et AG in b : et per punctum d du- 
catur recta Zc parallela GC, secans AC in Z et AG 
in c. 

Dico rectam Zc aequalem esse arcui CL. 

Nam CG, YQ, Zc sunt continue proportionales. 
Et (per Archimedem de Dimensione Circuli) trian- 
gulum rectangulum, cujus latus unum circa angu- 
lum rectum aequale est perimetro circuli, et latus 
alterum aequale semidiametro, aequale est totius cir- 
culi areae. 

Ergo rectangulum sub semiperimetro et radio, 
sequale est areae ejusdem circuli. 

Ergo rectangulum sub parte quarta perimetri et 
radio, aequale est areae semicirculi BCD. 

Ergo rectangulum sub octava parte perimetri et 
radio, id est rectangulum sub AC et arcu CL, 
aequale est areae quadrantis ACB. 

Ergo quadratum a media proportionali inter AC 
et arcum CL, aequale est areae quadrantis ejusdem 
ACB. 



496 CUBATIO SPHiERiE. 

pbop. iii. Sed quadratum ab YQ aequale est areae quadran- 
^ tisACB. 

Ergo YQ est media proportionalis inter AC vel 
CG, et arcum CL. 

Sed YQ est media proportionalis inter CG et Zc. 
Ergo TLc aequalis est arcui CL, sive octavae parti 
tptius perimetri BCDE, id est semissi arcus CB. 

PROPOSITIO IV. 

Si in latere CG producto sumatur Gi dupla 
rectce Zc, jungaturque Bi secans AC in e: erit ar- 
cus quadrantis descripti radio Ae cequalis lateri 
GC. 

Cum enim recta Zc aequalis sit arcui CL, erit 
recta Gi aequalis arcui BC. Sunt autem triangula 
BG/, BAe similia. Quare ut Gi ad BG, ita BA, id 
est BG, ad Ae. Sed Gi aequalis est arcui quadran- 
tis descripti radio BG. Quare latus BG aequale 
est arcui quadrantis descripti radio Ae. 

Sequitur hinc arcum ef, secantem AG mf et AO 
in g 9 aequalem esse semissi lateris AC, et esse ad 
rectam Zc ut radius ad quadrantem suae perimetri. 

propositio v. 

A puncto L ducatur recta L h parallela lateri 
GC, secans AC in h : et eb parallela eidem lateri 
GC, secans AG in b et AC in e. Dico jam tres 
rectas Zc, hL, eb, sive AZ, Ah, Ae, esse continue 
proportionales. 

Cum enim Gi, AC, eb sint continue proportio- 
nales, item AG, AC, KL continue proportionales, et 
AC utrobique media; erit ut Gi ad AG, ita reci- 
proce KL ad eb. Quare ut Gi ad AG, (id est Zr, 



CUBATIO SPHJERJE. 497 

semissis ipsius G/, ad ItL, semissem ipsius AG), ita prop. - 
AL ad eb. 

Sunt ergo Zc, hL, eb, sive AZ, AA, Ae, continue 
proportionalis. 

Constat hinc rectam AQ aequalem esse dupla? eb. 

Coustat praeterea arcum Z», ductum a radio AZ 
et termiuatum in AG, et rectam LA, secare rectam 
AO in uno et eodem puncto. Alioqui non essent 
Zc, AL, eb continue proportionales. 

PROPOSITIO VI. 

Ut lattts CG vel AC, ad Zc vel AZ, tVa (?** Ae ad 
semissetn laleris CG vel AC. 

Secetur enim AC bifariam in /r, dueaturque £/ 
parallela CG, secans AG in /. Quoniam ostensum 
est Gi, CG, Ae esse continue proportionales, erit ut 
GC ad semissem G/, ita Ae ad seniissem lateris CG, 
id est, at AC vel CG ad Zc vel AZ, ita Ae vel eb 
ad Ak vel A/. 

PROPOSITIO VII. 

Q/tadratitm ab AZ vel Ze cpqitale est dercut qtta- 
dratis a t/uarta parte lateris AC. 

Quadratum enim ab AO aequnle est quinque qua- 
dratis a semiradio CO, id est, viginti quadratis a 
quarta parte AC. Sed AO, Ac sunt jequales. 
Ciuare quadratum ab Ac sequale est viginti quadra- 
tis a quarta parte AC. Sed quadratum ab Ac du- 
plum est quadrati ab AZ vel Zc. Ergo quadratum 
ab AZ vel Zc sequale est decem quadratis a quarta 
parte lateris AC. 

Coroll. Quadratum a G/ quadruplum est qua- 
drati ab AZ, et proinde quadratum a G/seqnale est 
quadraginta quadratis a quarta parte latcris AC 

VOL. IV. K K 



498 CUBATIO IPHHI. 



PR0P081TI0 VIII. 

rwrr. mu Vighti quimque qmadrata a qmrnta parte arcms 
BC zel reeta GI, ttqualia smmt deeem quadratis a 
semu-radio CO. 

Nam viginti quinque quadrata a quiiita parte 
arens BC, sqnalia sunt qoadrato ab ipso arcu BC 
sive a recta GI, id est (per praecedentem) decem 
quadratis a semi-radio CO: vel, quod idem est, 
quadraginta quadratis a quarta parte lateris AC. 

Coroll. i. Decem qoadrata a quinta parte arcus 
BC sunt aequalia qnatuor quadratis a semi-radio CO, 
id est, ipsi quadrato ab AC: quia est nt 25 ad 10, 
ita 10 ad 4. 

Caroll. iL Item, quadratum a duabus quinfis 
arcus BC aequale est quadrato ab Ae: qnia est nt 
25 ad 10, ita 10 ad 4, et sunt arcus BC, radius AC, 
et recta ke continue proportionales. 

CoroU. iii. Item, arcus quadrantis descripti a Gi 
nt semi-diametro, aequalis est quintuplo semi-radio 
CO. duadratum enim ab AC ad quadratum ab 
arcu BC est ut 4 ad 10, ratio autem 4 ad 10 semissis 
est subduplicata rationis 4 ad 25. duare arcus 
descriptus a Gi erit latus quadrati quod est aeqnale 
viginti quinque quadratis a semi-radio CO: quia 
quadratum ab AC, et quadratum a Gt , et quadratum 
a quintupla CO, sunt continue proportionales. 

Coroll. iv. Item, quintupla CO, recta Gi, recta 
CG, recta Ae, et -j- radii AC, sunt continue propor- 
tionales. duorum enim Gi potest 25, eorundem 
AC potest 10. Quorum ergo AC potest 25, eorun- 
dem Ae potest 10. Est ergo Ae media proportio- 
nalis inter AC et duas quintas ejusdem. Ergo 
quintupla CO, recta Gi, etc. 



CUBATIO SFH^ER/E, 



499 



Coroll. v. Eadem Ae aequalis est duabus quintis 
arcus BC. Nam qnadrata a Gi, AC, Ae, sunt {*, £, 
et -£. Quare latus Ae est ~ arcus BC. 

Notandum quod rectse Gi, AC, Ae dupliciter festl- 
mantur : uno modo per partes arcus BC, alio per 
partes radii AC. 



PROPOS1TIO IX. 

Si a ptincto n ducatur recta nm parallela CC, 
secans AC in m : dico septem reclas AC, AY, AZ, 
Ah, Ae, Am, Ak, esse continue proporttonales. 

Cum enim AC, AY, AZ siut continue proportio- 
nales, per constructionem : ostensumque sit AZ, AA, 
Ae esse continue proportionales: positis ordine 
quantitatibus AC, A Y, AZ, Ah, Ae, ratio AC ad Ae 
erit (per Eucl. xiv. 28) duplicata ratiouis AY ad 
Ah. Sed ratio AY ad AZ subduplicata est rationis 
AC ad AZ. Quare ratio A Y ad AZ, eadem est cum 
ratione AZ ad AJi vel Ali ad Ae. Suut ergo AC, 
AY, AZ, Ak, Ae continue proportionales. Rursus, 
quia AC, Ak, A& sunt continue proportionales : 
(nam Ak a*qualis est dimidia; diagonali AG) : et AZ, 
Ak, Ae sunt ostensse continue proportionales : erit 
ut AC ad AZ, ita reciproce Ae ad Ak. 

Quia denique tres rectae Ab, A», Al sunt sequaleg 
tribus A Y, AZ, Ak continue proportioualibus, etiam 
ipsffi sunt eontinue proportionales. 

Sunt ergo septem recta? AC, AY, AZ, Ali, Ae, 
Am, Ak continue proportionales. 

Propositio haec sine alia demonstratione perspicua 
est ab ipso diagramatis intuitu. Itnpossibile enim 
eat ut septem rectae continue proportionales sint in 
ratioue CG ad QY, nisi arcus ab anteccdente de- 



500 CUBATIO 8PHJERJE: 



pnop. ix . scriptus, et recta proxime consequens, se mutuo 
secent in recta AO : ut quemadmodum arcus ab 
AC secat YQ in P, ita arcus ab A Y secet Ze in d. 



propositio x. 

Calculus numericus quadratorum a septem ante- 
dictis rectis AC, AY, AZ, etc. 

Manifestum est (per Eucl. i. 47) quod quadratum 
ab AO ad quadratum ab AC vel AP, est ut 5 ad 4 ; 
quia GC, aequalis AC, secta est bifariam in O : et est 
ut AO ad AC vel AP, ita AP ad AY vel YQ. 

Rursus, quia YQ, parallela GC, secta est bifariam 
in P, quadratum ab AY vel YQ est ad quadratum 
a Zc ut 5 ad 4 : quia GC, Zc sunt parallelae, et recta 
AO secat arcum Yb ad d, et dividitur Zc bifariam 
in d. 

Item, quadratum a Zc, quod est 10 quorum AC 
quadratum est 1 6, est ad quadratum ab AL, quod 
est 8 quorum AC quadratum est 16, ut 10 ad 8, id 
est ut 5 ad 4. 

Itefn, quoniam quadratum ab AC ostensum est 
sequale 1 quadratis a quinta parte arcus BC, dimi- 
dium ejus, hoc est quadratum ab AL, aequale est 
quinque quadratis ab eadem quinta parte arcus BC. 
Sed ostensum est rectam eb, vel Ae, sequale esse 
duabus quintis arcus BC, et proinde quadratum ejuS 
sequale esse quatuor quadratis a quinta parte arcus 
BC. 

Est ergo quadratum ab hh sive Ah, ad quadratum 
ab eb sive Ae, ut 5 ad 4. 

Postremo, cum quadrata ab AC, AZ, Ae sint con- 
tinue proportionalia in ratione 16 ad 10 sive 10 ad 
6£, erit quadratum ab Ae 6? eorum quorum quadra- 



CUBATIO SPH*R,E. 501 

tQra ab Aw sunt quinque, (nam Am est semissis prup- > 
rectae AO), et quadratum ab Ai 4. Sed 6i, 5, 4 
suut continue proportionales in ratione 5 ad 4. 
Nam multiplicatisomnibusper 4,fiunt (rationenon 
mutata) 25, 20, 16, quse sunt in contiuua ratione 5 
ad4. 

Etiam (intermissis quadratis alteruis) quia qua- 
dratum ab Ac est * quadrati ab arcu BC, et qua- 
draturn ab AZ est ~ quadrati ab AC, erit quadra- 
tum ab AC ad quadratura ab AZ, ut 25 ad 16, id 
est, iu duplicata ratioue 5 ad 4. Deutde, quia AZ 
est xqualis semissi arcus BC, quadratum ejus erit 
quarta pars quadrati ab arcu BC, id est, quorum 
quadratum ab arcu BC est 25, eorum quadratum 
ab AZ est <M . Quia autem quadratum ab AC est 
'£ ejusdem quadrati ab arcu BC, quadratum ab ItL 
erit ~. Sed quadratum ab eh est ~. Est ergo, 
rursus, quadratum ab AZ ad quadratum ab eh sive 
Ae in duplicata ratione 5 ad 4. Nam 6j, 5, 4 suut 
eoiitinue proportionales. 

Quare calculus arithmeticus demoustrationi geo- 
metricse proxime pracedenti uon repugnat. 

Est tameu calculus alius arithmeticus, etiam 
verus, qui repugnat, demonstrationem tamen non 
tl< -^tiuit. Procedit autem calculus quem dico, per 
Rggulast Auream. 

Exempli causa : ostensum est quadratum a CG 
pequale esse i quadratis a quiuta parte arcus BC ; 
et rectam AQ duplam esse rectse Ae ; et quadra- 
tum ab Ae sequale esse 4 quadratis a quinta parte 
arcus BC ; et proinde quadratum ab AU aeqnale 
ease l(i quadratis a quinta parte arcus BC j et 
<ji!;ii!ratum ab YU sequale esse 8 quadratis ab 



502 CUBATIO 8PHMRJE. 

feop^ eadem quinta parte arcus BC : denique, quadratum 
a CG ad quadratum ab YQ, esse ut 10 ad 8. 

Examinemus haec jam per Regulam Auream. 
Multiplicetur 8 in se, factus erit 64 : qui divisus 
per 10, facit quotientem 6f pro quadrato aZc. 
Sed quadratum a Zc est quarta pars quadrati a 
toto arcu BC, sive quarta pars 25 quadratorum a 
quinta parte arcus BC ; et proinde erit 6 J quorum 
<3C quadratum est 10. Quare 6| et 6l debent 
esse sequales, nec sunt. DifFerunt enim in ratione 
r ad ~, id est ut 8 et 5, vel 16 et 10. 

Rursus, quadratum a Zc aequale est 10 quadratis 
a quarta parte lateris CG, et quadratum ab hL 
aequale est 8 quadratis ab eadem quarta parte la- 
teris CG. Quare quadratum ab eb deberet esse 
aequale 67- quadratis a quarta parte lateris CG. 
Sed quadratum ab eb sive ke ostensum est aequale 
6| quadratis a quarta parte lateris CG. Itaque 
iterum reperitur dissensio similis prioris. 

Rursus, quia quadratum a CG aequale est 1 qua- 
dratis a quinta parte arcus BC, quadratum ab hL, 
quod est dimidium quadrati a CG, erit aequale 5 
quadratis ab eadem quinta parte arcus BC. Sed 
quadratum ab eb ostensum est aequale esse 4 qua- 
dratis ab eadem quinta parte arcus BC. Est ergo 
quadratum ab hL ad quadratum ab eb ut 5 ad 4. 
Fiat jam, juxta Regulam Auream, ut 5 ad 4 ita 4 
ad tertiam ; eritque illa tertia 3 J pro quadrato rectae 
mn. Quoniam autem recta AO, vel Ac, ostensa 
est media proportionalis inter arcum BC et ejus 
semissem ; erit quoque mn> quse est semissis rectae 
AO, media proportioualis inter arcum quadrantis 
descripti ab kh et semissem ejus, id est, inter Zc 



CUBATIO SPH^R.E. 503 

et semissem ipsius Zc. Quadratum autera a Zc 
srquale est 6\ quadratis a quinta parte arcus BC. 
Differunt ergo rursus eadem ratione qua ante. 
Praeterea, quadrata ab eb, mn, kl, quia suut in ra- 
tione quadratorum ab A», XI, Af, id est in ratione 
quadratorum ab AZ, AA, A^, babebunt eodem modo 
calculum geometricum ab arithmetico diversum 
sicut illa, nempe ut per Regulam Auream quadra- 
tum ab Ak vel kl majns justo sit quanto majus est 
f quamf unius unitatis. 

Postremo, quia quadratum a CG ( 1 6) est ad qua- 
dratum a Ze (10) ut 16 ad 10, sive ut 10 ad 6j, 
quadratum ab eb sive Ae (ut ante osteusum est) 
erit 6i : quod consentit cum calculo geometrico. 
Sed quadrata illa non suut immediata, quia iuter- 
ponuntur quadrata ab YQ et hL, 

Neque mirum videri debet, si calculus per Re- 
gulam Auream producat numerum majorem quam 
calculus per ipsa plana geometrica. Nam numerus 
est quautitates discretae, in quibus uua cum altera 
nihil lutbet commune, sed tot revera sunt res nu- 
meratse quot numerantur. Quadrata autern hrec 
sunt quantitas una continua, qurc cum habeant 
quatuor latera unumquodque non contigua sed 
continua, quoties multiplicantur toties singula la- 
tera eadem numero numerantur, id est, unum- 
quodque latus multiplicatur, et proinde faciunt 
numerum quadratorum justo raajorem. 

Hicc fuse, et (ut credo) perspicue explicui, ut 
sciant taudem geometras qui plana metiri conaoe- 
verunt per Regulam Aaream vel per algebram, 
frustra se facere. 



CUBATIO SPHjEH.E. 



PROPOSITIO XI. 

Si a centro A dueatmr recfa Ar, dicidenx arci 
PV bjfariam, teeafufat latm CG in a, crit Ga /"< 
^,'c?/# oreu 30 gratkatm. 

Dueatur Oo parallela lateri AC, secans latus I 
in o, et arcum BC hi r ; et dueta V>r producatur 
ad latus CG ; illa recta abscindet tnngentem 30 
graduum, facietque cum GC angulum sequalem ■'- 
sive -3 anguli recti. Rursus, quia duo arcus CV, 
LP suut aequales, etiam totus arcus CL secabitur 
ab Aa bifariam. 

Est ergo angulus CA« quarta pars recti ; et 
angulus C«A, sive BA«, tres quartse unius recti, 
sive-^ uniusrecti; et angulus ABrsqualis { 
recti. 

Anguli autem C«A et ABr faciunt -j£ unius r 
Ergo producta recta Br donec occurrat ubieunque 
rectse C«, faciet cum ea angulum sequalem -';. unius 
rectL \am —-, -£-,et-£, faciunt -^-, id est, duos 
rectos, id est, angulum requatem omuibus simul 
angulis qui coustitui possunt super uuam rectam iu 
quocunque puncto ad easdem partes. 

Itaque producta Br incidet iu a : et proptert 
Ga sequiilis est tangenti 30 graduura. 

Coroll, Recta G/, quae osteusa est Eequalis arcui 
BC, eequalis quoque est rectre compositre ex semi- 
diametro circuli et taugeute 30 graduum. 

Item, A/, quae divisa est bifariam a Jcl, dividitur 
quoque bifariam a recta A« ; et ai eeqoaUs est 
lateri BA. 

Iteui, uianifestum est quod B«, secans arcus .' 
graduum, trausit per 6. Producta euiui eb ad I 



DUPLICATIO CUBI. 505 

in q, erit Bq aequalis Ae ; et qb, qG aequales : et prop. xi. 
cum BG+Ga, BG sive Bq+qb, et ipsa Bq sint con- 
tinue proportionales, erit ut Bq ad qb ita CG ad 
Ga. Ducta ergo Bb incidet in punctum a. 



DUPLICATIO CUBL 



PROPOSITIO XII. 

LaUis cubi spluerce circumscripti, additum lateri 
cubi in eadem sphcera inscripti, rectam constituunt 
cequalem semiperimetro maximi in sphtera circuli. 

Cubus enim sphaerae circumscriptus habet pro 
latere BG. Est autem BG aequalis diaraetro 
sphaerae cubo inscriptas, cujus latus est ipsa BG. 

Quadratum autem a BG triplum est quadrati a 
Ga. Latus ergo cubi sphara inscripti est ipsa Ga. 

Sed utrumque siraul, latus cubi circumscripti et 
inscripti, nempe BG et Ga, ostensa sunt aequalia 
rectae Gi, quae recta ostensa est aequalis arcui BC. 
Arcus autem BC aequalis est semiperimetro maximi 
circuli inscripti cubo cujus latus est BG. 

Recta A*, quae transit per intersectionem arcus 
CL et rectae Zc, transit per caeteras omnes inter- 
sectiones arcuum et rectarum similes* et inter se 
aequalium. Ostensum enim est, aequales esse inter 
se arcum CL et rectam Zc. 

Manifestum item est cubum a CG duplum esse 
cubi a TLc ; et cubum a Zc duplum esse cubi ab eb ; 
et cubum ab eb duplum esse cubi a kl, sive Ak. 

* Sic edit 1669. 



506 DUPLICATIO CUBI. 

pbop. xil Constat item, si in recta GH, quae est dnpla CG, 
sumatur Gp quae sit dupla Ae ; cum G* sit dupla 
TjC ; quatuor rectas GH, G/, Gp, GC, esse continue 
proportionales. Itaque posito cubum a GH esse 
64, cubus a G* erit 32, cubus a Gp 16, cubus a GG 
8, cubus a Zc 4, cubus ab eb 2, cubus a Jcl vel Ak 1 . 

Item, sphaeram medio loco proportionalem esse 
inter cubum a sui ipsius diametro, et cubum a qua- 
drante perimetri circuli sui maximi. 

Item, latera quinque figurarum regularium (in 
hac figura ii) distinguuntur sicut sequitur. Si cen- 
tro P, intervallo PY vel PQ, describatur circulus, 
latus pentagoni circulo hinc inscripti erit latus ico- 
sahedri inscripti sphaera cujus diameter est Oo, 
centrum /. Nam quadratum ab YP vel PQ aequale 
est quinque quadratis a quinta parte diametri Oo 
vel GC. Cum enim quadratum a GC sequale sit 25 
quadratis a quinta sui parte, quadratum ab YQ 
aequale erit 20 quadratis a quinta parte ejusdem 
GC vel Oo. Ergo quadratum ab YP vel PQ, nempe 
quarta pars quadrati ab YQ, aequale est quinque 
quadratis a quinta parte diametri Oo. Quare (per 
Eucl. xiii. 16) latus icosahedri sphaerae inscripti 
cujus diamater est Oo, aequale est lateri pentagoni 
inscripti circulo cujus diameter est YQ. 

Latus cubi eidem sphaerae inscripti est recta Ga 
vel Ci, nempe tangens 30 graduum in circulo cujus 
semidiameter est BC. Nam BC, sive Oo, triplum 
potest tangentis 30 graduum, ideoque (per Eucl. 
xiii. 15) Ga est latus cubi inscripti eidem sphaeras. 

Latus dodecahedri in eadem sphaera inscripti, est 
majus segmentum rectae Ga, id est lateris cubi, ex- 
trema etmedia ratione secti (per Eucl. xiii. 17). 

Latus tetrahedri aequale est rectae quae subtendit 



DUPLICATIO CUBI. 50" 

angulum rectum in triangulo cnjus utrumque latus 
circa anguluin rectum sequale est lateri cubi Ga. 
Nam subtensa illa duplum potest rectre G«. Quare 
potentia diametri Oo poteutiaj illius subtensse est 
sesquialtera. Itaque subtensa illa est latns tetra- 
hedri in eadem sptnera inscripti (per Eucl. xiii. 1 3). 

Postremo, latus oetahedri eidem sphsene in- 
scripti, est A/, sive chorda qnadrantis maximi in 
eadem sphaera circuli, cujus quadratum est dimi- 
dium quadrati ab Oo : ideoque latus est octahedri 
ineadem sphsera inscripti (per Eucl. xiii. 14). 



Contra libellum huuc prodiit nuper geometriae in 
Academia Oxouiensi professoris publici, typis Aca- 
demicis, Academia? in prima pagina impressum 
habens sigillum, confutatio: nimirura, ut scirem 
certamen mihi fore contra geometriam Academi- 
cara. Scio ; atque etiam contra geometras hodi- 
enios fere uuiversos. Video adversariorum mag- 
num exercitum. Si non ratiouibus, sed fustibus 
decernendum esset, metuerem. Nunc non metuo. 
Hoc volui. Dignum habere adversarium, si non 
virtute, saltem numero volui. Volui etiam arith- 
meticam istam xpeciosam provocare, ut cum prae- 
stigias quas in geometria facere solita est, simul 
omnes publice ostentasset, totum illud artificium 
detectum a geometria iu perpetuum ablegarem. 

AD PROPOSITIONBM I. 

Confitetur professor Academicus ; si PQL,CYP 
sunt sequalia, totum triangulum A YQ sequale esse 



508 



QUADRATURA CIRCUM, 



i. sectori ACL. Reprehendit quod non sit dem 
stratum. Ego vero denionstratione indigere apud 
iogiwe peritissimos non potui credere. 

Secumlo, satis inquit est ad cottftttationem pro- 
positionis mete disjiinctivte, qtiod non sit a me de~ 
iiK.ntstrata. Non eniin sibt, dicit, inctimbere pro- 
hare Jaham esse, sed inilti iiieiiiitbere probare 
veram esse. Vide, lector, ingenium hominis ma- 
thematici, etiara extra geometriara. Mihine in- 
cumbit demonstrare esse veratn ? Quid est 
deraonstrare, prreterquam docere ? Meum ergo 
est docere professorem publicum. Ille me aocusat 
falsi. Ad quem pertiuet probatio : ad accusatum, 
an ad aceusatorem ? Egone doceam professorera 
hunc publicum ? Qua lege, quo merito hominis 
maledici r Sed nunc faciam, puto, ut tum ille, 
tura sequaces illius demonstrationes meas inte 
gant melius quam vellent. 

Tertio, ut probet triangulum AYQ et sectoi 
ACL non esse tequalia, assumit, ut demonstratum 
ab Archimede, perimetrum circuli ad diainetrura in 
minore ratione esse quam 22 ad 7. Id vero neque 
ab Archimede demonstratum est, neque illius i 
thodo demonstrari potest. Procedit enira per t 
tractionem radicum, assumitque radicem num 
quadratorum in quadrato majore coutentorum, e 
totius quadrati latus: quod est manifeste falsi 
Nam radix numeri quadratorum est numerus i 
quis quadratorum, non aliter quam radix 100 1 
dum est 1 lapides. 

Contra propositionis hujus corollaria uihil ob- 
jicit, praterquam quod proceduut ex suppositioue 
qitud PQL et CYP sunt ttim inter te aqttaMa, tum 
siitiitl sntiijitu arqualia PAV. Beiie est. Quouiain 



CUBATIO SPHJER^, ETC. 509 

ergo utraque haec aequalitas ita manifeste demon- adprop. i. 
strata, ut a nemine unquam refellenda sit: tum 
propositio ipsa prima, tum utrumque ejus corolla- 
rium in tuto sunt. Objectiones ejus contra propo- 
sitionem secundam differamus, ut ad caeteras ejus 
objectiones quae ad plana pertinent, continue re- 
spondeamus, 

AD PROPOSITIONEM III. 

Contra hanc objicit, falsam esse propterea quod 
labam contraxerit ex prop. i .* assumens quadra- 
tum ab YQ cequale esse quadranti ACB. 

Resp. Quoniam ergo ita clare demonstratum 
est, ut dubitari amplius non possit quin quadratum 
ab YQ, aequale sit quadranti, propositio haec cum 
sua demonstratione salva est. 

AD PROPOSITIONEM IV. 

Ruit, inquit, propositio haec quarta cum praece- 
dente, ex qua dependet ; sicut et corollarium ejus. 

Respondeo, veram ergo esse tum propositionem, 
tum corollarium ejus: quia propositio pracedens 
manet inconcussa. 

AD PROPOSITIONEM V. 

Propositionem hanc quintam, nempe Zc, hL, eb 9 
sive AZ, Ah, Ae 3 esse continue proportionales, con- 
cedit esse veram. 

Corollarium autem utrumque negat. Guorum 
primum est, rectam AQ ccqualem esse duplce eb. 
v Manifestum est quadratum ab Ab duplum esse 
quadrati ab Ae, vel ab; sed quadratum ab Ab 
aequale est quadrato ab AY. Est autem quadratum 



510 



QUADRATURA CIRCULl, 



. ab AQ duplum quadrati ab AY. Ergo quadi 
ab AQ quadruplum est quadrati ab eb. Itaque 
recta AQ dupla est rectee eb. 

Secunduro corollarium erat, arcum Zn, ductum 
radio AZ, terraiuatum in AG, et rectam ka, secare 
rectam AO in eodem puucto. 

Miror illum rem tam manifestam videre non po- 
tuisse. Coucessit enim ad propositionem banc, 
rectas Zc, AL, eb, sive AZ, kh, ke, esse continue 
proportionales. Quomodo ergo videre non potuit, 
easdem esse coutinue proportionales in ratione 5 
ad 4 : cum quadratum ab AZ ad quadratum ab AY, 
id est quadratum ab kn ad quadratum kb, sit ut 4 
ad 5, atque etiam quadratum ab kb sit ad quadra- 
tum AL ut 4 ad 5, quoraodo ignorare potuit qua- 
dratum ab AL ad quadratum ab kc esse ut 4 ad o ; 
atque adeo omnes rectas An, AA, AL, kc, AQ, AG, 
esse continue proportionales, sicut et rectas omnes 
CG, YQ, Ze, hL, eb } mn, AC, AY, AZ, kh, km, et 
proinde omnes ipsarura arcus secaturos omnes par- 
allelas, quemadmodura arcus CL secat parallelam 
YQ in recta AO ad P, vel ut arcus Y6 secat pi 
lelamCLin AOadrf? 

Prseterea, quomodo videre non potuitquod 
AQ dupla est eb, ita kc dupla sit mn, et AL duj 
kl, et proinde septem rectas AC, AY, AZ, kh, ke, 
km esse coutinue proportiouales, et duas AZ, ke 
esse medias inter totam AC et semissem ejus kk r 
Probatum ergo est hoc loco cubum ab AC duplum 
esse cubi ab AZ, et cubum ab AZ duplum esse cubi 
ab eb, et cubum ab eb duplum esse cubi ab Alt. 

Itaque perfectissime demonstratum est ex iis qnse 
ille concessit et omnes sciunt vera esse, id quod 
monstrare ab initio propositum erat. 



lelam 

2 

iupla 



CUBATIO SPHjERjE, ETC. 511 

Videant nunc geometre omnes qui sunt vel erunt, a p pbqp. ▼ . 
an convellere haec poterunt. Sin firma sint, videant 
an argumenta Professoris, quae hic et in sequentibus 
in contrarium adducit arithmetica, digna sint re- 
sponsione : et an Professor iste demonstrationum in 
geometria judex idoneus fuerit. Videant porro si 
quaestio deinceps inter me et arithmeticos de hac 
re, alia esse possit quam de rationum numerorum 
in geometria ineptitudine. IUis autem Professor, 
prop. 5, 7, 9, 10, 1 1, et 12, solis utitur. 

AD PROPOSITIONEM VI. 

Propositionem hanc absolvit. Sanse ergo sunt, 
cum suis corollariis, prima, tertia, quarta, quinta et 
sexta. 

AD PROPOSITIONEM VII. 

Septima est, quadratum ab AZ, vel Zc, aequale 
est 1 quadratis a quarta parte radii : quam dicit 
esse falsam, et rectas AO, AZ pro aequalibus sumptas 
esse gratis. 

Tuum est, lector, hoc dijudicare. Quadratum ab 
AO aequale est 5 quadratis a dimidia GC, id est, 
quadratum ab AO est aequale 20 quadratis a dimi- 
dia* GC. Nullum hic dubium est. Quare centro 
A, radio AO, si ducatur arcus circuli secans AG in 
c, quadratum ab Ac aequale erit 20 quadratis a 
quarta parte GC, sive 20 decimissextis totius qua- 
drati a GC ; et propterea quadratum a Zc sequale 
est 1 decimissextis quadrati a GC. 

Itaque absurde fecit Professor destruere conatus 

* Sic edit 1669. Qoare " a quarte parte" ? 



512 



QUATJRATURA CIRCULI, 



i. quod ante non modo eonfessus erat, sed etiam 
objectionibussuisadquiutani propositionemdemon- 
straverat : nimirum, Zc, hh, eh, et proinde etiam 
Ac, AL, AA, esse continue proportionales. Non 
potuit euim non videre quadratum ab AL, sive ab 
AC, ad quadratum ab AY sive Ab, esse ut 5 ad 4 : 
et per consequens, quadratum ab Ac ad quadratuiu 
ab AL esse etiam ut 5 ad 4 : ideoque AO, \c essc 
a?quales: ex eo autem quod quadratum Zr ajquale 
est 10 decimissextis quadrati GC, sequi (quod abs- 
que eo manifestum est) quadratum ab AL tequale 
esse 8 decimissextis, sive dimidio, quadrati a GC 
et per consequens etiam AA, A^, km, A.k, et prre- 
terea AC, AZ, Ae, AA, esse continue proportioi 
Quge es.t duplicatio cubi ex ipsius Professoris 
cessis. 

Sed eadem rursus demoustratione sua evei 
cujus seutentia haec est. Si GC divisa sit quinque- 
fariatn, quadratum totius erit requale 25 quadratis 
a parte sua quinta. Et quia recta AZ, vel Zc, est 
*- rectai GC: quadratum a Zc sequale erit £ quadrati 
a GC. Sed ~ majus est quain * . 

Vera haac esse agnosco, et quadratum hoc uume- 
ricum esse 25 quorum quadratum Ze est 16, et 
singula distincta a sibi proxiniis, tribus lougitudini- 
bus sine latitudine, quarum (per Euclidem) dux 
sunt ipsorum quadratorum coutiguorum terraini, 
tertia est iuter illos terminos media. Atque h;ec 
a geometrarum principiis vere derivantur, quan- 
quam aliquibus fortasse inepta videbuutur. 
quomodocunque accipiantur, rationem eontii 
rectarum prsedictarum AC, AY, AZ, etc, 
lunt: et per consequens, neque duplicationem cul 
qux suis stat priucipiis: neque impediuut quin Gr. 



: prre- 
nafes. 

z 

rertit: 
nque- 
drat.is 



CUBATIO SPH/EH/E, etc. 



5 1 a 



sive dupla Zc, sit jequalis arcui BC, ut in prop. i et a 
iii demonstratum est. 

Examinemus autem quadratum hoc numericum 
Professoris. Quoniam, ut supponit, quadratum a 
Zc est -5- quornm quadratum a GC est -f-j et qua- 
dratum ab YQ ~, quadratum autem ab Ae -£, quod 
minus est quam -£-: erit AO major quam Ae. Est 
autem quadratum ab AG duplum quadrati a GC : 
erit ergo £-, et quadratum ab YQ -"- , et quadratum 
ab AO ^ . Quse rationes, nempe 5 ad 4, conve- 
niunt cum rationibus rectarum AG, AQ, A.c. Quare, 
contra id quod demonstrare voluit, AO, Ac sunt 
jequales. 

Etiam falsum est quod quadratum ab AO vel Ac 
jequale sit -§- quadrati a radio. Quadratnm enim 
a radio est 25. Ergo quadratum a semiradio est 
Gj. Quare quadratum ab AO est 31$. Non est 
ergo quadratum ab AO f- . Quadratis ab AG, AQ, 
Ae, AL respondent numeri hi, 1250, 1000, B00, 
650. 

Quadratum, juxta methodum meam, a radio est 
1 6 ; quadratum ab AO, 20 ; quadratum ab AQ, 25 ; 
et quadratum ab AG, 31$. Uterque ergo calculus 
arithmeticus, inei et illius, consentiunt quateuus 
recte computatur : sed ille, ut manifestum est, 
male computavit. 

Quadratum ergo, inquiet, ab AG nonne duplum 
erit quadrati a radio ? Ita quidem, duplum erit. 
Sed calculo arithmetico nunquam demoustrabitur, 
propter differentiam inter continuam quantitatem, 
et discretam. Ad quam rem plura ex differentia 
illa argumenta sunt. Primo, quod inter duos uu- 
meros raro interponi medius potcst. Secumlo. qaia 
caleulus arithmetieus separat quadrata per tres 

VOL. IV. L L 



514 QUADRATURA CIBCULI, 

ad frop.vil lineas (ut modo dixi) puras, id est nihilias; quas 
' ' calculus geometricus non recipit. Tertio, quia ex 
duabus rectis AZ, Zc, longitudine aequalibus, altera 
AZ vere et proprie est rectangulum, altera Zc tra- 
pezium. Item, rectae omnes quae vocantur latera 
triangulorum, sunt et ipsae triangula. Quarto, et 
praecipue, quia arithmetica nihilo magis pertinet ad 
geometriam, quam ad aliam quamlibet scientiam. 
In geometria, nulla est radix, nullum quotiens. Ita- 
que qui ex operationibus arithmeticis theoremata 
geometrica demonstrare velle didicerunt, operam 
et tempus perdiderunt. 

Quantumcunque autem in numeris sit quadratum 
ab Acj rectas tamen AZ, Zc, simul sumptas, aequa- 
les esse arcui BC, in praecedentibus satis demon- 
stratum est. 

Caeterum erige animum, Professor. Nuntio enim 
tibi, nisi diagonalis AG et recta Bi ita se mutuo 
secent, ut ex quatuor partibus maxima, quae ter- 
minatur in i, sit secans 30 graduum sumptorum in 
arcu BC ; et proxinia illi, quae terminatur in G, sit 
sinus arcus 60 graduum in eodem circulo ; et prox- 
ima huic, quae terminatur in B, sit secans arcus 30 
graduum in circulo cujus radius est B^, vel Ae: 
et minima quse terminatur in A, sit sinus arcus gra- 
duum 60 in eodem circulo, cujus radius est B^, vel 
Ae ; omnia quae in praecedentibus visus sum mihi 
demonstrasse, falsa esse. Dependent enim a prsece- 
dentibus nexu necessario, et facile inde deduci pos- 
sunt a mediocri geometra. Accingere ergo ad 
spem novam, et geometrue tuae nervos (si quos 
habet) intende omnes. 

Quaeres fortasse dissensionis inter calculum 
arithmeticum et geometricum quae sit causa; et 
meum esse dices (quae est tua justitia) causam as- 



CUBATIO SVBMVLM, ETC. 515 

signare. Redde prius gratiam debitam pro multis adprop.vii. 
problematibus, quibus geometriam jamdudum am- 
plificavi. Non solet, inquies, fieri. Recte hoc. 
Faciam ergo gratis. 

Intelligatur sector quadrantis ABC dividi in rec- 
tis lineis ad centrum A numero quocunque ductis, 
sine latitudine. Horum sectorum vertices erunt 
tot puncta, quot sunt factae partes totius sectoris 
ABC. Quare angulus rectus BAC continebit tot 
sectorum exiguorum vertices, quot sunt in qua- 
drante ABC sumptae partes. Sectorum igitur ho- 
rum exiguorum latera non concurrent in puncto A, 
sed ipsum divident. Concurrent ergo extra A, 
nempe GA extra quadratum producta. 

Posita ergo Ac 32, recta sumpta a puncto hoc 
extra quadratum indivisibili, si fiat ipsi Ac aequalis, 
cadet infra c. Et huic addita cQ, cadet infra Q. 
Et huic rursus addita Q6, cadet infra 6. Et tres 
illae lineae sunt sequales tribus Ac, AQ, A6, et in 
eadem ratione. 

Causa ergo quare calculus arithmeticus differt a 
geometrico, haec est ; quod linearum sine latitudine 
nihilitas facit ut calculus arithmeticus incipiat extra 
quadratum, et calculus geometricus incipit in ipso 
quadrato ad punctum A. 

Distantia autem quae est inter A et concursum 
rectarum (latitudine carentium) in GA producta, 
erit in calculo arithmetico unitas. 

AD PROPOSITIONEM VIII. 

Propositio viii haec est : 25 quadrata a quinta 
parte arcus BC, vel rectae Gi, aequalia sunt 10 qua- 
dratis a semiradio CO. 

Falsum est, dicit ; primo, quia arcus BC non est 
icqualis recte Gi. 



5 1 6 QUADRATURA CIRC ULI, 

A D PRop.vn i. Quoniam ergo in i et iii sequalitas haec aperte 

demonstrata est, tollitur haec objectio. 

Secundo, quia quadratum a Gf non est sequale 
10 quadratis a semiradio. 

Quia hoc etiam iterum demonstratum est ad v, 
et ostensum est ad vii argumeuta ejus numerica om- 
nia esse vitiosa : firmse sunt i, iii, iv, v, vi, vii, et viii. 

AD PROPOSITIONEM IX, X. 

Objectiones contra ix et x refutatae sunt in re- 
sponsione mea ad vii: unaque in illius operibus 
sunt geometrica (quae quidem sua sunt) omnia con- 
futata, ut quae falsis principiis innituntur. 

AD PROPOSITIONEM XI. 

Contra xi, quae est haec : — Si ducatur recta A«, 
dividens arcum PV bifariam, secans latus CG 
in a, erit Ga tangens arcus 30 graduum — : primo 
supputationem suam objicit hanc : — est angulus 
CAtf=7-=^-, et ABr= |-= ~- unius recti, non 
^ — . Vide, lector, an dubitari possit quin scri- 
bendum esset pro CAa, CaA : errorque esset typo- 
graphi, quem quidem' in suo libro emendare, sed 
neque objicere neque recitare debuit lector can- 
didus. Quod autem ad propositionem serio op- 
ponit, hoc est : quod punctum concursus rectarum 
Br ct Aa, erit extra quadratum. 

Bene est : at rectae Aa positio mutari non potest. 
Sed fieri, iuquit, potest ut Br producta non transeat 
per a, quia Ga major est quam vera tangens 30 gra- 
duum : caeterum Br concurrens cum Aa producta, 
faciet angulum sequalem -£• unius recti. Haec ille. 
Concedit ergo rectam Br ut vult productam, secan- 



CUBATIO SPH£Rj£, ETC. 517 

tera esse arcus 30 graduum in quadrato descripto la- a 
teribus Eequidistantibus a lateribus quadrati ABGC. 
Quare a puncto concursus rectarum Br et Afl ducta 
secans arcus 30 graduum iu quadrato exteriore, 
parellela erit rectae Br ; et propterea recta Br pro- 
ducta incidet in « : quod negavit ille. Propositio 
ergo bsec xi manet inconcussa. 

Quod autem sequitur, tangens auguli graduum 
j- j- et tangens graduum 30 simul sumptse sunt toto 
radio minores, affirmat ille falsoet sine demonstra- 
tioue, confidens tabulis secantium, sinuura, et tan- 
gentiutn, qure falsre sunt : ut quorum* calculus 
dependetabextractione radicumquadratorum.quae 
non sunt latera quadratorum, neque omnino linere. 
Nam in quadrato ABGC, quatuor snnt quadrata a 
recta CO. Si ergo ex 4 extrahatur radix, erit illa 
radix duo. Duo qnae ? Non sunt duo nihila. 
Quaj sunt ergo res ilhe dure ? Nou sunt duo ca- 
balli. Sunt ergo duo quadrata : quorum quadratum 
ABGC est 4. Suut autem illa duo (radix illorum 
quatuor) aequalia rectangulo AO. Quare radix 
quadrati ab AC est AO : quam radicem geometra; 
mixti sumuut pro latere AC. 

Ciuod autem tangens 30 graduum una cum recta 
GL requalis sit radio CG, mauifestum est ex eo 
quod Aa dividit sectorem ACL bifariam. Nam si 
ducta intelligatur recta La, erunt Gfl et L« wquales, 
et angulus GLa rectus : et propterea, quia angulus 
«GL est semirectus, eruut GL, Lo icquales. Quo- 
niam ergo Ga et «C simul sumptse sunt sequales 
lateri CG, etiam Ga et GL simul sumptae requales 
sunt eidem GC. Quanta autem GL vel Ca sit in 



• Siccdii. mwj. 



518 QUADRATUItA CIRCULI, 

. xi. numeris non examinabo, cum sciam esse incerl 
"" ab ipsa tabularum eonstructione falsa. 

AD PHOPOSITIONEM XII. 

Propositio xii est, latus cubi sphaerse circum- 
scripti addituni lateri cubi in eadem spbaera in- 
scripti reetam constituit jequalem semiperimetro 
maximi in sphiera circuli. 

Negat hanc esse veram : quia quadratum.inquit, 
a BG uon est triplum quadrati a G«, propterea 
quod Br producta non transibit per a. 

Huic objectioni responsum est in responsione ad 
objectiones proxime superiores. 

Negat deiiide rectam As transituram per omnes 
intersectiones arcus Z« cum kL* etc. : eo quod 
AC, AY, AZ, kk etc, non sunt continue propor- 
tionales. 

Sed proportionales esse ad prop. v itemm de- 
monstratum est. Possem etiam, si vellem tanti 
emere maledicta, demonstrare quod recta ducta 
per D et G trausiret per *, atque ductam \Ss a?qua- 
lem esse rectre YQ,. Item, rectam AO modiam 
esse proportionalem inter totum arcum IJC et 
dimidium ejusdem. Sed relinquo hsc Professori 
Saviliauo demonstranda. 

Quarto, negat cuhum a Zc duplum esse cubi ab 
eb: quia nou sunt, inquit, CG, Zc, eb, kl contiune 
proportionales. 

Ego vero eas esse continue proportionales i 
moustravi iterum a prop. v. 

Omnes ergo propositiones meae,excepta secun 
a Professore publico incolumes sunt. 



yic «lit. 1669. Qui 



ecb? 



CTJBATIO SPH^RiE, ETC. 519 

AD PR0P0S1TI0NEM II. 

In ii, ut nunc edita, inventus est sphaerae aequalis ad prop. il 
cubus : nisi et hanc confutaverit Professor. Tri- 
umphabit tamen, quod nisi ille priorem reprehen- 
disset, a me inventus non fuisset. Et profecto, si 
ille, postquam errorem meum detexisset, etiam cor- 
rexisset, id est cubi ad sphseram rationem invenis- 
set, in partem aliquam hujus laudis venire potu- 
isset. Sed illi impossibile hoc erat, propterea quod 
rationem inventam circuli ad quadratum, et de- 
monstratam, intelligere non potuit. 

In demonstratione secundae propositionis priore 
confiteor me errasse. Sed errorem quem? Non 
qui a vitiosis principiis ortus caBtera omnia corrum- 
peret, sicut ille: nec ab ignorantia problematum 
eminentissimorum quae demonstrata sunt jam olim 
ab Archimede aliisque veteribus: sed ab eo, quod 
cum viderem quantum quadrati QRST erat extra 
circulum BCDE, tantumdem circuli esse extra qua- 
dratum, contemplans plana in sublimi, pronuntiavi 
securius quam oportuit idem de sphaera et cubo. 
Neque est cur erubescam confiteri errorem meum, 
quem correxi ipse. Facile erat non modo Profes- 
sori, sed etiam cuilibet mediocri geometrae qui ani- 
mum ad diagramma applicaret, cognoscere quod 
planum per latus RS quadrati QRST, in fig. i duc- 
tum, abscindit a sphaera non solidum sub QR et 
plano PC0, sed sphaBrae segmentum. Mirum ergo 
non est, nec laude aliqua artis aut ingenii dignum, 
hoc vidisse. Diligentia sola opus erat, quae invidis 
et malevolis nusquam deest. Neque tamen ego 
indiligens omnino eram. Nam libelli mei exem- 
plaria pauca sine dedicatione in publicum emisi, ut 



520 QUADRATURA CIRCULI, 

ad pnor. 11. objectionibus geometraruracoguitis.quicquid en 
sem (quemadmodum feci) emendarem. In i 
mihi bene, correctoribus meis successit male. 



AD PROFESSORIS EPILOGUM. 

Pugnavit Professor in praecedentibus de castell 
quodam in geometria uno*, et infeliciter. In Epi- 
logo autem triumplios suos prasteritos de caeteris 
ejus partibus annumerat, quas,in operibus meis non 
recte tractatas antehac, a se refutatas esse dicit. 
Quare autem ? Quoniam monitione, inquit, opus 
esse videbatur qualis fuerim, ne tnagni nomims 
obtentu aliisfraudi essem. Non videntur milii \\\\x 
hic dicit, bene cohasrere. Ne aliis, mqait,J'raiu/i 
essem. Quibus aliis ? An geometris ? At relde 
pauci, aut nulli omuino sunt, prarter discipulos vel 
condiscipulos illius, qui iisdem utuntur prineipiis 
quas modo absurda esse docui. 1111 ergo non magis 
monitione opus habuere, quam Professor ipse. 
Quos ergo monuit, nisi illos qui ratiocinari quidem 
potuerunt, geometriam autem nondum docti erant! 
Hos monuit : id est, bomines liberali ingenio pne- 
ditos, radicum geometricarum et symbolographiai 
nescios, sed ratione naturali ne summis quidem 
geometris inferiores, monuit. Hi erant, apud quos 
maguum mihi nomen esse Professori videbatur. 
Vide, lector, invidiara hominis theologi. Quod viri 
boni de me non male sentiant, valde hetor : nam 
ut nomen magnum mea ipsius pr&dicatione inihi 
compararem, aut ille sibi arrogantia sua, impossi- 
bile est. Est ergo aliquid in operibus meis propter 

• Sic udit. 1669. Quktb, mcut 



CUBATIO SPH£)RJE, ETC. 521 

quod nomen meum magnum est, quod in illis non ad 
est. Itaque, judicantibus viris liberis prudentibus- PR0FESS0RIS 
que, victum se esse conntetur. Sed unde accidit - — . — - 
ut Professor, qui nomen meum magnum esse putat, 
suum esse non putat, cum toties me prostraverit ? 
Conquereretur forte de ignorantia judicantium. At 
cur non magnum nomen habet ille apud algebristas? 
Quia impossibile erat. Sunt enim omnes fere inter 
se aequales. Imo, sunt inter illos aliqui qui celeri- 
tate ingenii Professorem longe superant, et multo 
plures veritates in eodem tempore quam ille con- 
futare possunt. 

Quomodo autem necessarium erat, in qusestione 
mathematica, admonere quemquam qualis fuertm? 
Dicere qualis fuerim, non est meum. Qui conver- 
satione mea usi sunt frequenter, illi dicant. Ego 
dicam tantum, qualis non fuerim. Bellum erat 
civile : ego in partibus contra regem nunquam fui. 
Ego epistolarum neque regis, neque cujusquam qui 
a rege stetit, arcana aperui aut inimicis prodidi. In 
lege Amnestiae quae sequuta est, flagitium meum 
nullum nominatur. Ego illum non lacessivi: tan- 
tummodo respondi, ita ut commoveretur ; quod 
flagitium non est. Conqueritur sicut puer, quia non 
vincit: cum tamen sui ipsius culpa sit, quod non 
videatur multis esse doctus. Ausculta paucis, 
O Professor Academice ! Si vis esse aliquid, fac ut 
quse scribis a quamplurimis intelligantur. Cave 
ergo a Symbolographia, nisi siqua* omnibus cognita 
fuerit. Utilis fortasse esse potest tibi ipsi in musseo 
tuo : sed in populo, et extra sectam tuam (sectam 
dico mathematicam) incantationis et impostura 

* Sic edit. 1669. 
VOL. IV. M M 



522 QUADRATURA CIRCULI, ETC. 

ad similis est Recipe in animum tuum per cogita- 
FBorcs^s» t j onem vehementem rerum ipsarum, non literarum 

EF1LOGCX. * ' 

aut sonorum, imagines. In scientiis, seqnere ratio- 
nem naturalem, sperne anthoritatem magistro- 
rnm : in vita civili, seqnere anthoritatem publicam, 
sperne rationem privatam. Hoc si ita feceris, si 
non ditior, ernditior tamen fies. Opnscnla illa tua, 
Elenchum geometria Hobbiame, Correctionem de- 
bitam, Puncti dUpunctionem, Hobbium Heautonti- 
morumenon, ne magni aestimes: nam pnerilia, rus- 
tica, indocta, inficeta sunt. Neque ea ego quae ad 
tna respondi, digna censeo quae a posteris legantur. 
Permitte maledicta emori, theologe. Ex geome- 
tricis meis quae dnrare vellem, et per te non peri- 
bunt, haec sunt: — i. Quadratnra circuli — ii. Cubatio 
sphaerae — iii. Duplicatio cubi — iv. Inventio media- 
rum qnotcnnque inter duas rectas datas — v. Divisio 
anguli dati in ratione data — vi. Inventio centri gra- 
vitatis semicirculi — vii. Doctrina rationum tota — 
viii. Scabiei quam geometriae affricuerat arithme- 
tica, (quod meorum operum maximum esse judico), 
detersio. Lassescojam. Vale, lector. Ettuquoque 
vale, Professor Saviliaue : et fruere unius et apertae 
reprehensionis gloriola tua sine invidia. 



FINIS VOLUMIMS QUARTI. 



LUNIHN'1 : RICH.iROS. 1T. MAIiriX'* LV\E. 



i 



STANFORD UMVERSITY ! 
Stanford, California