Full text of "Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt"

See other formats

Google 


This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project 
to make the world's books discoverable online. 

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books 
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover. 


Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the 
publisher to a library and finally to you. 


Usage guidelines 
Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the 


public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to 
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying. 





We also ask that you: 


Ἔ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individual 
personal, non-commercial purposes. 





and we request that you use these files for 


Ὁ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine 
translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the 
use of public domain materials for these purposes and may be able to help. 


Ἢ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 


* Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of 
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe. 






About Google Book Search 


Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers 
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web 
a[nttp: //books . google. con/] 




















2... 2 


6000471001 


PAPPI ALEXANDRINI 


COLLECTIONIS 


QUAE SUPERSUNT 


E LIBERIS MANU SCRIPTIS EDIDIT | 
LATINA INTERPRETATIONE ET COMMENTARIIS 


INSTRUXIT 


FRIDERICUS HULTSCH. 


{ y ἣν Er 
ffs AE evo 

jo δος 

| EL 3 
VOLUMEN II. ' £N | 
"SN Pid 


INSUNT LIBRORUM VI ET VII RELIQUIAE. — ὃ 


BEROLINI 
APUD WEIDMANNOS 
MDCCCLXXVII. 


PRAEFATIO. 


΄--».»ὕ.»... 


In edenda hac Pappi Alexandrini collectione cum aliae 
difficultates multae ac permagnae obstabant, tum id sedulo 
elaborandum erat, ut concinna et recensendi et adnotandi et 
interpretandi ratio atque etiam aequabilitas quaedam dicendi 
generis formularumque per omnem operis complexum serva- 
retur. Itaque ne minima quidem totius collectionis pars in 
publicum prodire potuit, antequam omnis verborum contextus 
recensus, perpolitus, Latina interpretatione et commentariis 
instructus esset. Sed initio ne hoc quidem constabat, quo 
ordine pensum per complures annos continuandum absolve- 
rem. Nam cum seposito, ut par erat, secundi libri frag- 
mento primum tertii libri initium pertractare coepissem, sta- 
tim equidem cognovi nudam interpretationem non satis esse 
ad verba Graeci scriptoris illustranda, sed tamen, quanta 
commentariis amplitudo concedenda esset, non ita facile de- 
liberanti mihi liquebat. Primum enim necessitate quadam 
mens et consilium interpretis eo deducebatur, ut quam la- 
tissimi commentarii pro tanta rerum a Pappo traditarum et 
gravitate et difficultate adderentur: at sic intolerabilem in 
modum horum voluminum ambitum augendum esse mox 
animadvertebam, neque taámen medio in opere editoris prin- 
cipis esse videbam ea iam praestare quae, nisi finita editione 
et omnium prompto adspectu sub oculis posito, commode 
explicari non possent. Ergo brevitati quidem inprimis in- 





PRAEFATIO. VII 


stero editori, qui restituendae veleris scriptoris orationi in- 
tentus esset, accuratissime indaganda erant et notanda; in 
quibus multa sine dubio apparuerunt absurda, multa etiam 
temere composita; sed alia rursus satis probabilia ac minime 
inconcinna, quae quidem nos, prout cuiusque loci ratio ac 
natura ferebat, interpolata esse significavimus aut suspi- 
ciones certe quasdam adnotavimus, tamen eadem scholiorum 
instar aestimanda eaque de causa non plane neglegenda esse 
existimamus. Ne multa, nisi nimiam typorum, quibus libri 
exprimuntur, varietatem evitare voluissem, haec quae bono- 
rum interpretum scholia esse dico, similiter atque olim in 
Heronis geometria, diversis litteris ab ipsa Pappi $criptura 
distinxissem. | 

Sed ut ad propositam redeam, confectis septimi libri 
commentariis ac tum interpretationis octavi libri lineamentis 
primis descriptis, ad initium collectionis redii et reliquos de- 
inceps libros exegi. lta cum. denique ad sextum, qui est 
de rebus astronomicis, pervenissem, plures quam in omni 
reliquo opere repperi difficultates, plures haesitandi causas, 
plures nostrae de veterum mathematicis scientiae lacunas. 
Quid, quod in iis sexti libri partibus, quibus Pappus scripta 
quaedam his etiam temporibus servata percensuit ac nonnulla 
minus recte composita esse demonstravit, multa dubia fuerunt 
atque obscura? at vero deperditis aut nondum in publicum 
editis aliis libris, quorum censuram Pappus ibidem egit, cum - 
eos quos ille reprehenderet locos nobis comparare non liceret, 
quid tandem paulo probabilius coniici, quid certius constitui 
potuit? Sed compertum habebam Autolyci et Theodosii libro- 
rum nondum editorum, quos Pappus passim citat, praestan- 
tissimum codicem Romae in bibliotheca Vaticana latere; huius 
igitur apographum, antequam Pappi mei secundum volumen 
in lucem prodire concederem, illinc repetendum esse decrevi. 
Itaque anno 1876 in Italiam profectus trimestri spatio cum 
alia quaedam Pappi scripta adhuc ignota conquisivi, tum illos - 








ΜΠΠΠΠΜΙΙ 


ΘΟΟΟ47Ί0ΟΙ 


ΘΟΟΟ47Ί00Ι 


418 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ c. 


4 γ΄. Τριῶν κύχλων μεγίστων πιεριφέρειαι αἱ AB LAT 
A4 μεγίστου χύκλου περιφέρειαν τὴν Bf τεμνέτωσαν, καὶ 
ἔστω ἑχάστη μὲν τῶν AB AT 44 ἐλάσσων τεταρτημορίου, 
ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ F^ δεῖξαι ὅτι συναμφότερος ἡ B-44 τῆς 


AT" μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. 5 
Κείσϑω τῇ AT ἴση j ΓΕ. ἐπεὶ 
7 ul ἐλάσσων τεταρτημορίου ἡ AT, ἐλάσ- 


cuv ἄρα τεταρτημορίου καὶ ἡ ΓΈ" 

/ ἐλάσσων ἄρα ἡμιχυχλίου T, 4" οὐκ 
ἄρα Ó 44 κύχλος τιροσαναπιληρού- 10 
μενος ἥξει διὰ τοῦ E. γεγράφϑω 
οὖν διὰ τῶν E 4 μέγιστος χύχλος ὁ 
E4AZ, καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν AT 

4 τῇ ΓΒ, ἡ δὲ AT τῇ DE, ἴση ἄρα 
ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὸ E τῇ ἀπὸ τὸ 

τοῦ 4 ἐπὶ τὸ Β' ἴση ἄρα ἐσεὶν ἡ B. A 

᾿ περιφέρεια τῇ 4E περιφερείᾳ. ἐπεὶ 

f δὲ παντὸς τριπιλεύρου αἱ δύο τῆς λοι- 

πῆς μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ μὲν 4E. 
τῇ AB, ἡ δὲ ET τῇ ΓΑ͂, συναμφότερος ἄρα fj BALA τῆς AT 20 

μείζων ἐστὶν ἢ Qin. 

ὃ δ΄. Τεσσάρων χύχλων μεγίστων περιφέρειαι αἱ 4B AT 
A4 4Ὲ μεγίστου κύκλου περιφέρειαν τὴν BE τεμνέτωσαν, 
xci ἔστω | μὲν BI' ἴση τῇ 4, fxdor δὲ τῶν 418 ΑΓ 
A AE. ἐλάσσων τεταρτημορίου" δεῖξαι ὅτι συναμφότερος 25 
ἡ BAE συναμφοτέρου τῆς Γ΄ .] ἐσεὶ μείζων. 

Τετμήσϑω ἡ VA δίχα τῷ Z, χαὶ γεγράφϑω διὰ τῶν 
ΟἹ Z μέγιστος χύχλος ὁ AZH, καὶ κείσϑω τῇ 42 ἴση ἡ 
ZH, καὶ γεγράφϑω διὰ μὲν rà» H E μέγιστος χύχλος ὃ 
HEK, διὰ δὲ τῶν H 4 μέγιστος κύχλος ὁ Η.1Θ. καὶ ἐπεὶ 30 
ἴση ἐστὶν ἡ μὲν HZ τῇ Z4, ἡ δὲ AZ τῇ ΖΓ, ἴση ἄρα 
ἐστὶν καὶ ἡ “Ἢ τῇ ΓΑ͂. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ EH τῇ 

4. P?" add. B(S) 3. τετάρτη μορίου A! ex τετάρται μορίου, 
coniunx. BS 7. τετάρτη μορίου A, coniunx. BS, ilem vs. 8 οἱ 95 
13. τῶν ἘΠῚ A, distiüx. BS — 20. τῆς 4T Hw, τῆι ΑΓ ABS — 33.4 
in marg, (BS) — 27—80. τῶν .4Z — τῶν HE — τῶν ΜΙ, dislinx. BS 


LIBER VI. PROPOS. 8. 4. 479 


MI. Trium circulorum maximorum circumferentiae af ay Prop. 
αδ secent maximi circuli circumferentiam f, et sint singulae 
af cy aó minores quadrante, gy autem aequalis ipsi yó; 
demonstretur esse fa 4- αὃ » 2ay. 

Ponatur ye — ay. lam quia ay minor est quadrante, 
minor igitur quadrante etiam ye est; ergo «e minor semicir- 
culo; itaque circulus aó completus non transibit per e"). lam 
per puncta e ὃ maximus circulus δὸζ describatur (sphaeric. 4, 
20), et quia ex hypothesi est ὃγ — γβ, et δα» construclione ay 
- γε, recta igitur a ὃ ad & aequalis est rectae ab a ad f? 
(sphaeric. 5, 3); ergo circumferentiae fa δὲ aequales sunt 
(elem. 5, 28). lam quia omnis trianguli sphaerici bina latera 
reliquo maiora sunt (propos. 4), sunt igitur 

αὃ 4- δὲ.» ae, id est» ay -- γε. Et quia est 
δὲ — af, οἱ ay — ye, est igitur 
Ba - od » 2ay. 

IV. Quattuor circulorim maximorum circumferentiae o Prop. 
&y αὃ a& secent maximi circuli cir- 
cumferentiam fe, et sit βγ — de, et 
singulae af ay aó ac minores qua- 
drante; demonstretur esse 

Ba -- ae *» ya 4- a. 

Circumferentia yÓ bifariam sece- 
tur in ζ, et per à ζ maximus circu- 
lus of describatur, ac ponatur ζῇ — 
ab, et per ἡ 8 ducatur maximus cir- 
culus yex, et per ἢ à maximus cir- 
culus z03. lam quia est ab — Ly, 
et 0C — Ly, propter ea quae superiore 
N lemmate demonstravimus est etiam δὴ 
N - ya. Eadem ratione etiam demon- 
7  stratur &x — fa. lam quia in trian- 





*) Maximos enim circulos in sphaera sese bifariam secare demon- 
strat Theodosius sphaeric. 4, 44 (Co), qui liber hinc usque omisso auc- 
toris nomine citabitur. 


6 


480 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHSZ C. 


ΒΑ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ δὲ τριτιλεύρου τοῦ HEA ἐπὶ μιᾶς 
τῶν πλευρῶν τῆς H.4 δύο συνεστᾶσιν ἐντὴς αἱ 4.4 AH, 
ci Α4Ὴ ἄρα τῶν .4EH ἐλάσσονές εἰσιν, ὥστε αἱ “ΕΗ 
ivt 44H μείζονές εἰσιν. Vor, δὲ ἣ μὲν EH τῇ AB, ἡ δὲ 
H4 τῇ AT: συναμφότερος ἄρα ἡ B.AE συναμφοτέρου τῆς ὃ 


ΓΑΔ μείζων ἐστίν, ὅπερ: — 


ε΄. Τούτων προδεδειγμένων ἔστω τὸ ε' ϑεώρημα τοῦ 
y τῶν Θεοδοσίου σφαιριχῶν ἄλλως δεῖξαι. 





Ἐπὶ γὰρ μεγίστου 
κύχλου περιφερείας τοῦ 10 
18Γ ὃ πόλος ἔστω τῶν 
παραλλήλων ὁ ΑἹ, xal 
τοῦτον τεμνέτωσαν δύο 
μέγιστοι χύκλοι πρὸς ὁρ-- 
ϑάς, ὧν ὃ μὲν ΒΓ τῶν 15 
παραλλήλων, ὁ δὲ ΕΖ 
λοξὸς πρὸς τοὺς παραλ- 
λήλους, καὶ ἀπειλήφϑω- 
σαν ἀπὸ τοῦ ΕΖ ἴσαι 
περιφέρειαι ἑξῆς ἐπὶ τὰ 20 
αὐτὰ μέρη αἱ ΗΘΚ, καὶ 
γεγράφϑωσαν κύχλοι διὰ 


τῶν H Θ K σημείων παράλληλοι τῷ ΒΓ οἱ ΜΝ ΞΟ ΠΡ’ 
δεῖξαι ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ IE τῆς ME. 

Γεγράφϑωσαν γὰρ διὰ τοῦ .4 xal ἑχάστου τῶν K H O25 
μέγιστοι κύχλοι οἱ 4K 40 4Η- φανερὸν δὴ ὅτι ἑκάστη 
τῶν ΑΚ AO AH περιφερειῶν ἐλάσσων ἐστὶν τεταρτημο- 
piov (ἐπειδὴ τεταρτημορίου ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ 441 ἕως τοῦ 


BE μεγίστου χύχλου). 


ἐπεὶ οὖν τριῶν μεγίστων χύχλων 


περιφέρειαι αἱ ΑΚ 4 AH. μεγίστου χύκλου τοῦ ΕΖ 30 
περιφέρειαν τέμνουσιν, καὶ ἔστιν ἴση 1j ΚΘ τῇ ΘΗ, ἑκάστη 





σημεῖον Theodos. sphaer. 3, 5 


5. τῆι AT (ante ovveuq.) ΑἸΒδ, τῆι ΤῊ ASBIS 

à E — τοῦ T" AB, τὸ πέμπτον — τοῦ τρίτου 8 
44. κύκλοι — 325. τῆς ME] haec 
paulo aliter enuntiala sunt atque apud Theodos. 


7. εἰ add. BS 
43. ὁ A] τὸ 4. 


49. ἀπὸ Theodos. 


LIBER VI. PROPOS. 5. 481 


guli sphaerici yea uno latere zCe duae maaimorum circulorum 
cireumferentiae ηὃ δὰ intra constitutae sunt, propter lemma II 
sunt 70 - δα « ye - ea, id est 
αὲ - δηὴ *?» αὃ 4- δη. Sed est δὴ — fla, et 
δὴ — ya; ergo 
fa - ae *» ya -- a6, q. e. d. 

V. His praemissis propositum sit quintum theorema ter- ProP- 
tii Theodosii sphaericorum libri!) aliter demonstrare. 

Etenim in circumferentia maximi circuli αβ. sit paralle- 
lorum polus «, et hunc circulum ad rectos angulos secent 
duo maximi circuli, quorum alter fy sit unus parallelorum, 
alter autem && obliquus ad parallelos, et in circulo && aequa- 
les cireumferentiae continuae ηϑ 9x ad easdem partes ab- 
scindantur, et per puncta x ϑ ἡ describantur circuli u» 5o 
πὴ paralleli circulo &y; demonstretur circumferentiam σπτξ ma- 
iorem esse quam ἔμ. 

Describantur per « et singula puncta x J ἢ maximi cir- 
culi ex «9 an; apparet singulas circumferentias ax a3 ar 
minores esse quadrante (quoniam exo hypothesi duo maximi 
circuli af'y By ad rectos angulos se secant, itaque propter 
sphaeric. 4, 15 circumferentia ab « ad maximum circulum 
By «quadrans est). lam quia trium maximorum circulorum 
circumferentiae ax «9: a» secant maximi circuli cireumferen- 
tiam εζ, et x9: 9? aequales sunt, ac singulae ax «3 «7» wmi- 


4) Ipsam propositionem repetere Pappus supersedit, quae a Theo- 
dosio his verbis est enuntiala: ᾽Εὰν ἐπὶ μεγέστου χύχλου περιφερείας ὃ 
πόλος ἢ τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς 
ὀρϑαᾶς, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς 
παραλλήλους, ἀπὸ δὲ τοῦ λυξοῦ κύχλου ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφ ϑῶσιν 
ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγέστου τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν γε- 
νομένων σημείων παράλληλοι χύχλοι γραφ ὥσιν, ἀνέσους ἀπολήψονται 
περιφερείας τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγέστιου κύχλου τὰς μεταξὺ αὑτῶν, καὶ μεί- 
Cove ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τῆς πορρώτερον. 


Co, ἐπὶ ABS 48. τῶν ΗΘΚ — οἱ ΜΝΞ OIIP A, distinx. BS 
295. τῶν ΚΗΘ A, distinx. BS 47. τετάρτη μορίου À, coniunx. BS, 
ilem vs. 28 et p. 482, 4. 45 


? 


5 


482 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHS c. 


δὲ τῶν .4K .4O 4H ἐλάσσων ἐστὶν τεταρτημορίου, διὰ 
ἄρα τὸ προδεδειγμένον συναμφότερος 1) KAH τῆς 9 μεί- 
ζων ἐστὶν ἢ διτιλῆ, ὧν συναμφότερος 7, K AT τῆς ΑἿΣ ἐστὶν 
Our; (αἱ γὰρ τρεῖς αἱ ΑΣ .4K AT ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν 
διὰ τοῦ πόλου) " λοιπὴ ἄρα ἡ TH τῆς XO μείζων ἐστὶν ἢ δ 
διπλῆ. ἴση δὲ ἡ SO τῇ TY- ἡ HY ἄρα τῆς TY μείζων 
ἐστίν. ἴση δὲ jj μὲν HY τῇ HIE, ἡ δὲ YT τῇ ΞΉ- μεί- 
Lov ἄρα ἡ HE τῆς EM, ὕπερ: “α 

ς΄. Ἔστω δὴ δεῖξαι μὴ οὐσῶν συνεχῶν τιῦν ἔσων πιερι- 
φερειιῶν (τοῦτο γὰρ οὐχ ἔδειξεν Θεοδόσιος), καὶ ἔστω τὸ τὸ 
αὐτὸ σχῆμα, αἱ δὲ ἴσαι περιφέρειαι ἔστωσαν αἱ ΗΘ KA, 
καὶ ἔστωσαν οἱ παράλληλοι κύχλοι οἱ MN EO IIP ΣΤ, 
x«i γεγράφϑωσαν διὰ τοῦ L4 καὶ ἑκάστου τῶν H O K 4 
μέγιστοι χύχλοι οἱ Ἢ 416 AK 4.1’ ἔσονται δὴ ἐλάσ- 
σονες τεταρτημορίου. καὶ ἔσται διὰ τὸ ἐπάνω δ' ϑειύρημα τὸ 
συναμφότερος ἡ «1.4 συναμφοτέρου τῆς ΚΑΘ μείζων, 
συναμφότερος δὲ ἡ «AX συναμφοτέρῳ τῇ Y 40 ἴση ἐστίν 
(ἐκ πόλου γάρ εἰσιν τοῦ MN κύκλου)" λοιπὴ ἄρα j XH 
συναμφοτέρου τῆς DO YK μείζων ἐσείν. ἴση δὲ ἡ ΦΘ 
τῇ ΧΡ' λοιπὴ ἄρα ἡ PH τῆς YK μείζων ἐστίν, don δὲ 20 
ἡ μὲν PH τῇ ἘΠ, ἡ δὲ ΥΚ τῇ ΜΞ’ μείζων ἄρα καὶ jj 
XII τῆς ME, ὅπερ: — 

ζ΄. Ἔστω viv ἄλλως τὸ αὐτὸ δεῖξαι. ἐπὶ ydg μεγίστου 
χύχλου περιφερείας τοῦ .4BT' ὃ πιόλος ἔστω τῶν παραλ- 
λήλων, καὶ τοῦτον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι χύχκλοι οἱ “Ε}5 
ΒΓ πρὸς ὑρϑάς, ὧν ὃ μὲν BU ἔστω τῶν παραλλήλων, ὃ 
δὲ 4E λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ ἀπὸ τοῦ 4E 
ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΗ OK, καὶ γεγράφϑωσαν παράλλη- 
λοι χύχλοι οἱ .11 ΝΞ ΟΠ PX: λέγω ὅτι μείζων ἐστὲν 
jj OP τῆς NA. 1 80 


9. s A! in marg. (BS) 43. αἱ παράλληλοι, omisso κύχλοι, B 
(sed αἱ mulatum ex oi) cod. Co, ei del. Co 18. τῶν HO K.4 ABS, 
distinx. Hu — 45. 4' AB, τέταρτον ΒΒ 46. μείζωνων A, efto. ὧν 
B, corr. S — 17. post ἐστεν (sic A), quod om. S, add. διὰ τοῦ ^4 ABS, 
del. Co — 18. λοιπῆε À, corr. ΒΒ ἡ XH Co pro ἡ XN. 30. λοι- 


LIBER VI. PROPOS. 6. 7. 483 


nores quadrante, est igitur propter lemma supra (III) de- 
monstratum κα -4- o» *»» 2a93. Sed quia ex hypothesi circuli 
p» polus est a, ideoque ax — a6 — or, est igitur κα -- ac 
— 2a0; restat igitur τὴ *»» 209. Sed est 09 — τυ (sphaeric. 
2, 10) ; ergo qv » τυ. Εἰ est yv — z$, et τυ — u$; ergo 
nb  5u, q. e. d. 

VI. Sed propositum sit idem demonstrare, si non con- 
tinuae sint circumferentiae (id quod Theodosius omisit), et, 
manente ceferoquin ea- 
dem figura, aequales sint 
circumferentiae 29: xÀ, et 
sint paralleli circuli uv 
5o πῷ στ, ét describan- 
tur per α et singula pun- 
cia ἡ 9 x À maximorum 
circulorum | cireumferen- 
tiae a7 αϑ ox αλλ; hae 
igitur minores erunt qua- 
drante (V). Ac propter 
superius IV theorema erit 

λα -4- o5 ?» xa -- a9, et, quia circuli wu» polus est o, 
Àa - oy — va 4- ag; restat igitur 

χη» 99 -- vx. Sed est 9 — xw; restat igitur 

Uo * vx. Sed est Ψη — πσ, οὐ vx τῷ u$; ergo 

7z0 *» u£, 4. e. d. 

VII. lam propositum sit idem aliter demonstrare.  Et- 
enim in maximi circuli αβγ circumferentia sit polus paralle- 
lorum, et hunc circulum duo maximi circuli δὲ y ad rectos 
angulos secent, quorum alter (y sit wnus parallelorum, alter 
autem δὲ obliquus ad parallelos, et in circulo δὲ aequales 
abscindantur circumferentiae Cy 9x, et describantur paralleli 
circuli 44 »$ oz oo; dico circumferentiam go maiorem esse 
quam »4À. 





πηι (sine acc.) A, corr. BS 33. ζᾧ ΑἹ in marg. (BS) 25. μέγιστοι 
add. Hw auctore Co 


Prop. 
6 


Prop. 
7 





LIBER VI. PROPOS. 8. 485 


Scilicet cireumferentia 2» ipsi 59: aut commensurabilis est 
aut non. Sit primum commensurabilis. Εἰ ex hypothesi ζη 
3x aequales sunt; ergo etiam Jx ipsi 79 commensurabilis, 
ideoque tres £y 59 Jx inter se commensurabiles sunt. Hae 
iam in aequales portiones dividantur, velut, si sit Cn : ἢ 
— 5:2, in punctis z v g x y, et per haec paralleli" cir- 
culi ovr ocv fy yx Ow describantur. Εἰ quia circumfe- 
rentiae Cv «v vy 29 99 9x xv yx inter se aequales sunt, 
circumferentiae igitur oo ὦ α αο o fv vy y δὰ propter 
V lemma inaequales sunt deinceps a maxima Qo incipientes. 
Atque est numerus circumferentiarum Qc ὦ ἃ ,«0 numero 
ipsarum »y, y óÓÀ aequalis; ergo propter elem. ὃ. 48 o 
maior est quam »4. 

VIII. Sed iisdem suppositis non sit commensurabilis cir- Prop. 
cumferentia ζῃ ipsi 59; dico etiam sic go maiorem esse 
quam »À. 

Nam si non sit, aut 
aequalis est aut minor. 
Sit primum minor, et 
ponatur » y — oo, et 
cum ires sint lineae 
similiter ortae!) ἂν » y 
v0, sumatur alia quae- 
dam v ὃ, quae ipsi »o 
commensurabilis, ea- 
demque et maior quam 

yy et minor sit quam 
»À, et sint paralleli 
circuli z y 1 ὃ, et po- 
natur yc — ψϑ, el 
sit parallelus circulus zw. lam quia singulae V2 τ ipsi 79 


4) Sunt enim eiusdem circuli cireumferentiae portiones. 





26. Ν Γ (ante NO) Hu auctore Co pro NT 27. τῆς δὲ N,T A 
(BS) 28. ἡ NA ABS, lineolam ad 4 add. Hw oí X7T' AB, sed 
.T simile numerali |G, quae nota transiit in S 299. ἡ HT] HT A^, 


NT B cod. Co, corr. $ 





486 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓῊΣ c. 


HT τῇ ΗΘ, μείζων ἐστὶν καὶ ἣ 20 τῆς Ν 4 πολλῷ ἄρα 
f PO τῆς Ν 4 μείζων ἐστίν. ἀλλὰ ἡ PO ἴση ἐστὶν τῇ Ν Γ᾽ 
ἡ ΝΙΓ ἄρα τῆς N.4 μείζων ἐστὶν 1) ἐλάσσων τῆς μείζονος, 
ὅπερ ἀδύνατον" οὐκ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΡΟ τῆς ΝΑ͂. 

10 ϑ΄. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων λέγω ὅτι οὐδὲ ἴση. εἰ ὅ 
γὰρ δυνατόν, ἔστω, καὶ τεεμήσϑωσαν αἱ HZ OK δίχα τοῖς 

T Ψ, καὶ ἔστωσαν οἱ 
"6 παράλληλοι κύκλοι ot 
ad M ΤΩ WA. ἐπεὶ oiv 

p MxMA—————— αἱ ΤΖ TH ἴσαι εἰ- 10 
", | civ, ἄνισοι ἄρα εἰσὶν 
ὥ — αἱ PO QO ἀρχύόμεναι 
PL lu NL » ἀπὸ μεγίστης τῆς PO. 
πάλιν ἐπεὶ αἱ ΘΨΚ 

ἴσαι εἰσίν, ἄνισοι ἄρα 15 
εἰσὶν αἱ Ν 4 4.4 ἀρ- 
χόμεναι ἀπὸ μεγίστης 
τῆς N 4. ἐπεὶ οὖν 
£ μείζων ἐστὶν ἡ μὲν 

PO τῆς Q0, i óà20 
NA τῆς 444, μείζων ἄρα ἢ διπλῆ ἡ PO τῆς Nd, ὕπερ 
ἀδύνατον (προδέδεικται * κα “) οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ PO 
τῇ N.4. ἐδείχϑη δὲ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων: μείζων ἄρα ἐστὶν 

ἡ PO τῆς ΝΩ͂. 

11 v. Πάλιν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὃ πόλος 25 
ἔστω τῶν παραλλήλων, καὶ αὐτὸν τεμνέτωσαν πρὸς ὀρϑὰς 
οἱ ΒΓ AE, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι ot ΚΑ MN 
AO, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΞΙΗ τῇ MK: λέγω ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν 
ἡ ZH τῆς HO. 


. τῆς N 4 — τῆς N 4 AB (τῆς vó utroque loco S) 2. 8. τῆι 


2 
ΝΟ ἡ ΝᾺ ἄρα ABS, corr. Hu auctore Co 4. τῆς N.4 Co pro τῆς 
N 4 5. 6€ add. Αἱ in marg. (BS) 6. 7. τοῖς VT A, distinx. BS, 


recte collocavit Co 46. ei NZ 744 A, ac similiter B, αἱ » d δὰ S 
47. μεγίστης) μεέζονος coni. Co; sed scriptor praeter ν d δᾺ alias de- 


inceps sequentes lacite significat 20. 21. ἡ δὲ N A τῆς AA AB, ἡ 


LIBER VI. PROPOS. 9. 40. 487 


commensurabiles sunt, propler lemmata VI et VII maior est 
«Q0 quam ν ὃ; itaque multo go maior est quam v» à. Sed oo 
ipsi »; aequalis est; ergo v» maior est quam » δ, cum ta- 
men minor Sit »y et maior »d, id quod fieri non potest; 
ergo go non est minor quam »4. 

IX. lisdem suppositis nego etiam oo ipsi νὰ aequalem 
esse. Sit enim aequalis, si fieri possit, οὐ circumferentiae 
bn 9x bifariam in punctis v V secentur, et sint paralleli cir- 
culi τω ψ à. lam quia aequales sunt τζ v», inaequales igi- 
tur sunt Qo «o a maxima Qo incipientes (lemm. Vj. Rur- 
sus quia JU yx aequales sunt, inaequales igitur sunt » ὃ ὁλ 
a maxima » ὃ incipientes. lam quia maior est ρω quam «0o, 
et » Ó quam δά, aíque etiam «0 maior quam ν ὃ (lemm. VI; 
nam ex hypothesi lemmalis VII aequales sunt Cy 9x, itaque 
eliam τὴ JY aequales), maior igitur est oo quam dupla ν ὃ, 
id quod fieri non potest (nam ex hypothesi est go — νὰ, et 
demonstrata est γᾷ « 2» 0); ergo non aequalis est go ipsi 
»λ ἢ. Sed eandem ne minorem quidem esse demonstravimus 
quam νὰ; ergo go maior est quam »4. 


Prop. 
9 


X. Rursus in maximi circuli circumferentia sit polus Pro. 


parallelorum, eumque circulum ad rectos angulos secent ma- 
aimi circuli fly δὲ, et sint paralleli circuli xÀ uv» 5o, sitque 
Pu — ux; dico ζῃ minorem esse quam 79. 


*) Haec sic restituere conati sumus verbum προδέδεικται suo loco 
servantes et post id ipsum lacunam statuentes. Verum etiam antea 
quaedam intercidisse videntur; neque tamen his additis demonstrandi 
ratio satis elegans ac pressa videtur. Ex Commandini sententia inde 
ab ἐπεὶ οὖν p. 486, 48 Graecus scriptor sic concluserit: ἐπεὶ οὖν ἡ 
N 4 μείζων ἐστὶν τῆς 7144, ἐλάσσων ὥρα ἢ διπλῆ ἡ N.4 τῆς N 4. 
πάλιν ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ μὲν ΡΩ τῆς 20, ἡ δὲ N 4 τῆς 4.4, δέ- 
δειχται δὲ xol (lemm. VI etc.) ἡ 90 μείζων τῆς Ν᾿ 4, μείζων ἄρα ἢ 
διπλῆ ἡ PO, τουτέστιν ἡ ΝΑ͂ (ex hypothesi), τῆς Ν᾿ 4, ὅπερ ἀδύνατον. 
προδέδειχται γὰρ ἐλάσσων. 


δὲ ν τῆς δὰ 8 44. προδέδεικται * * *] lacunam indicavit Co, προ- 
δέδειχται γὰρ ἡ ΝΑ ἐλάσφων ἢ διπλῆ τῆς N,4 coni. Hu, vide adnot. 
ad Lat. 23. τῆι ΝΖ AB, τῇ v0 S, corr. Co — 25. τ A! in marg. (BS) 


488 ΠΆΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ c. 


i 

ἐστιν ἡ ZH τῇ ΗΘ’ μείζων γὰρ dv ἦν ἡ EM τῆς MK, 

οὐκ ἔστιν δέ" οὐχ ἄρα ἴση ἐστὶν 

ἡ ΖΗ τῇ ΗΘ. λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ 

μείζων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω, ὃ 

xci χείσϑω τῇ OH ἴση | HII. 

ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ΗΠ τῇ HO, μεί- 

ζων ἄρα ἣ PM τῆς ΠΙΚ' πολλῷ 

ἄρα μείζων ἐσεὶν ἡ EM τῆς MK, 

ὅπερ ἀδύνατον: ὑπόχειται γὰρ τὸ 

ἴση" οὐκ ἄρα μείζων ἐσεὶν ἣ ΖΗ 

τῆς ΗΘ. ἐδείχϑη δὲ ὅτι οὐδὲ 
Toy: ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ZH τῆς ΗΘ, ὕπερ: — 

12 ia^. ΔἜέδεικται μὲν οὖν ὅτι ἐὰν ἢ κύχλος ὁ ΑΒΓ, καὶ 
τέμνωσιν αὐτὸν δύο μέγιστοι χύχλοι οἱ ΒΓ AE πρὸς ὀρϑὰς 15 
καὶ ἀποληφϑῶσιν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ZH. ΗΘ, xoi. γρα- 
φῶσιν παράλληλοι χύχλοι οἱ ΚΑ MN ΞΟ, γίνεται μείζων 
ἡ EM τῆς MK. ἔστω δὲ μείζων ἡ ZH τῆς HO: λέγω 
ὕτι πολλῷ μείζων ἐστὶν ἣ EM τῆς MK. 

Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ZH. τῆς ΗΘ, κείσϑω τῇ ΗΘ30 
ἴση ἡ ΗΠ, καὶ γεγράφϑω παράλληλος κύκλος ὁ ΠΡ. ἐπεὶ 
οὖν ἴση ἐστὶν ἡ HII τῇ ΗΘ, μείζων ἐστὶν jj PM τῆς ἯΚ' 
πολλῷ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ EM τῆς MK, ὥστε, ἐὰν μεί- 
Lov ἡ ΖΗ τῆς ΘΗ, γίνεται καὶ ἡ EM τῆς MK μείζων, 
ὕπερ: “- 25 





Περὶ τῆς εἰς τὸ ς΄ ϑεώρημα ἐνστάσεως τοῦ y' λήμματα. 

13 if. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ δύο διήχϑωσαν αἱ 
4A AE ἐν ἴσαις γωνίαις ταῖς ὑπὸ Β.414 EAT" ὅτι ἐστὶν 
dg τὸ ὑπὸ ATE πρὸς τὸ ὑπὸ EBA περιεχόμενον ὀρϑογώ- 
νιον, οὕτως τὸ ἀπὸ LAT πρὸς τὸ ἀπὸ AB. 30 

Περιγεγράφϑω περὶ τὸ AE. τρίγωνον κύχλος, καὶ 


48, ὅπερ S, o A, om. B.— 414. re ΑἹ in marg. (BS) δεδεικται 
Alex δέχειχται. 396. ΞΔ, feror ΒΒ τοῦ P A*, τοῦ T A!, τοῦ τρέ- 
Tov B, τοῦ τρίτου τῶν σφαιρικῶν 8 λήμματα Hu pro λῆμμα 


LIBER VI. PROPOS. 44. 44. 489 


Nam si non sit, aut aequalis est aut minor. lam pri- 
mum non est bn — η9; sic enim propter lemma V esset 5u 
* Lx, quad est contra hypothesim; ergo non est £7 — 79. 
Sed nego etiam esse ζῆ ? 59. 8i enim fieri possit, sit ζῆ 
» 99, et ponatur yz z» 99, et describatur parallelus or. 
lam quia est zz -- $39, propter lemma V igitur est ou *»» ux; 
itaque multo ἔμ *» ux, quod fieri non potest; nam ex hy- 
pothesi est ἔμ τ ux; ergo non est Cp ?» 99. Sed ne ae- 
qualem quidem esse demonstravimus; ergo 57; minor est quam 
n9, q. e. d. 

XI. Demonstravimus igitur, si sit rnaz'tmus circulus ay, rop 
eumque circulum duo maximi circuli ad rectos angulos secent, 
quorum alter fy sit unus parallelorum, alter autem δὲ obli- 
quus ad parallelos, et aequales abscindantur circumferentiae 
6n 99, et describantur paralleli circuli xÀ uu» 5o, fieri ἂμ 
maiorem quam ux. Sed sit ζη maior quam $3; dico multo 

maiorem esse áu quam yx. 

ó 5 Nam quia maior est 5» quam 
η9., ponatur ηπ z $9, et de- 
scribatur parallelus circulus zr. 
Iam quia est πῇ — 99, propter 
lemma V igityr Qj. maior est quam 
ux; multo igitur ἔμ maior quam 
px; itaque, si sit £y maior quam 
79, fit etiam Su maior quam ux, 
q. e. d. 





€ 


Lemmata ad disceptationem de VI theoremate libri I1I sphaericorum spectantia. 
XII. Sit triangulum ay, in quo duae ducantur rectae Prop. 
δα «& in aequalibus angulis βαδ &ay; dico esse Óy- ye : ef- βὸ ' 
— ay? : af?. 
Describatur circulus circa triangulum ee, et iungatur Cr; 


*) Hanc propositionem repetit Simsonus de sectione determ. etc. 
(Opera quaedam reliqua p. 16). 


27. m A! in marg. (BS) 
Pappus II, . 32 


LIBER VI. PROPOS. 48. 491 


parallelae igitur sunt rectae Cy gy, quia circumferentiae CÓ δὴ 
aequales sunt!). Ergo est ey: γῆ — af : BC (elem. 6, 2); 
itaque etiam o? : ay. yn 2 af? : a8- 865 (elem. 6, 22. Sed 
est ay- yn 2 Óy- γε "ἢ, itemque αβ' βζ — εβ. 80; ergo etiam 
ay? : ày . ye — aff? : eg - 8, itaque vicissim ay? : af? — y. ye : 
eB - 86. 

Rursus iisdem suppositis, si rectae 
δα a& extra triangulum ducantur ,. ita 
ut puncta ὃ & sint in productá gy, et 
productae afl «y circulum circa ade 
δ ε triangulum descriptum. secent. in punctis 
C ἡ, :dem plane contingit ?). 

Et similis est demonstratio, adhibità 
elementorum libri I1I propositione ὅδ. 

XIII. Sed sit à». ye: efl- BÓ, id est ay-yn : ag. 9C » PP 
cy? : afi?; dico esse etiam {, cay » L βαδἢ. 

Nam quia est 

ay. yn : aB- 85 » ay? : a8?, vicissim est (VII propos. 5) 

«y. yy : ay? 5» ag. 85 : a?. Sed est (elem. 6, 1j 

ay: yn : ay? zs yn : ey, et 

αβ. βξ : ef? — 0L: af; ergo etiam (VII propos. 7. 

«y: yy « ag : βζ. Ergo si fecerimus 

«y : yy Ξε afl : c, erit à » BL (elem. 5, 10). Sit 

«y * yn Ξε af : Bx, et iuncta zx producatur ad 9; pa- 
rallelae igitur sunt 8» 95 (elem. 6, 
2); itaque est 


wv 
S3 


4) Propter elem. 3, 26, quia ex hypothesi anguli ζαδ᾽ 550 aequales 
sunt; unde statim efficitur, iunctá $c, angulos ηζὲ £e aequales (elem. 
3, 27), itaque rectas £x &8y parallelas esse (Co). 


**) Utrumque enim rectangulum propter elem. 8, 86 aequale est 
quadrato ab ea recta, quae ex y ducta circulum tangit. 


2) Hunc alterum casum, qui adhibetur infra VII propos. 36 lemm. 
XXI et propos. 40 lemm. XXVII, nos addidimus, figuram Simsonus l. c. 


*) Ex Graeci scriptoris sententia haec propositio, si res ferat (conf. 
propos. 20 extr.), etiam sic legenda est: Sit e8- 80 : dy - ye « ef? : «y? ; 
dico esse etiam { βαδ « [. sew. 

32* 





LIBER VI. PROPOS. 44. 45. 493 


circumf. ey — circumf. 09 **); ergo 
 circumf. £z ?» circumf. δζ; itaque etiam (elem. 6, 55) 


L cay *» L βαδ, q. e. d. 


XIV. Duo maximi circuli egy Bey invicem se secent, sit- Prop. 
4 


que circuli ef» polus à, et describantur maximi circuli ὃξ 
ÓÀ circulum fy secantes in punctis & ἢ, eV aequales sint 
circumferentiae β8 yn; demonstretur rectam a ὃ ad & aequa- 
lem esse rectae a ὃ ad η. 

Circumferentia ey bifariam secetur in puncto x, et per 
ὃ x describatur maximus circulus óxÀ. Quoniam circumfe- 
rentiae βὲ ny, itemque &x xo inter se aequales sunt, tota 
igitur Bx ipsi xy aequalis est. lam quia per bipartitam sec- 
tionem circumferentiae βεηγ et polos circuli ey descriptus 
est maximus circulus óxÀ, hic igitur etiam per polos circuli 
Bsy transibit!) ad eumque rectus erit?). lam quia in circuli 
PBxy diametro quae a x initium habet circuli circumferentia 
xÓ ad rectos angulos insistit, eaque circumferentia in puncto 
ὃ secta est, et circumferentiae ἐκ xn aequales sunt, propter 
sphaer. 2, 12 igitur recta a ὃ ad 8 aequalis est rectae a ὃ 
ad η, 4. e. d. 

XV. Sint maximi circuli αβγ feny, «t sit circuli ey 
polus 9, et maximi circuli δὲζ óxÀ δηϑ' ita describantur, ut 
circumferentia ex in puncto x bifariam secetur; dico primum, 
si circumferentiae βὲ yy aequales sint, etiam C4 49 aequales 
esse, tum, si f& maior sit quam vy, etiam LÀ maiorem esse 

**) Propter elem. 3, 26, quoniam, iunctá 9e, anguli ηϑὲ ϑεδ ae- 


quales sunt; hic igitur habemus conversum illud lemma, quod ad 
propos. 12 adnot. 4 breviter attigimus. 


4) Utitur scriptor et hoc loco et paulo post, id quod Commandinus 
recte vidit, Theodosii sphaericorum libri 11 propositione 9 conversa, 
quae Graeco sermone sic fere sonuerit: 'E&v ἐν oq«(o« δύο κύκλοι 
τέμνωσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς διχοτομίας τοῦ 
τμήματος τοῦ ἑτέρου κύχλου μέγιστος κύκλος γραφῇ, ἥξει καὶ διὰ τῶν 
τοῦ ἑτέρου πόλων. Ergo hoc loco, quia circuli ey οἱ Bey invicem se 
secant, maximusque circulus x4 et per polos circuli egy et per bipar- 
titam sectionem (διειχοτομέαν) circumferentiae alterius circuli, quae est 
inter puncta sectionis cum circulo a8», descriptus est, efficitur circulum 
óxÀ etiam per polos circuli ey transire. 


2) Quoniam maximus circulus óx4 circulum ey, per polos eius 
transiens, secat, eundem ad rectos angulos secat propter sphaer. 4, 45. 


Prop. 
45 


494 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ C. 


ἐλάσσων ἐστὶν ἡ BE τῆς HI, ἐλάσσων ἐστὶν καὶ ἡ Z4 
τῆς .19. 

Ἔστω γὰρ πρότερον ἣ BE τῇ HI ion: λέγω ὅτι καὶ 
ἡ ZA τῇ .10 ἴση ἐστίν. 

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΗΓ, ἴση ἐστὶν καὶ 1j ἀπὸ δ 
τοῦ 4 ἐπὶ τὸ E τῇ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὸ H: ὃ ἄρα πόλῳ 
τῷ 4 καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν 4E 4ΉΗ κύκλος γραφόμενος 
ἥξει καὶ διὰ τοῦ λοιποῦ σημείου. γεγράφϑω, καὶ ἔστω ὃ 
HME: ἔσται δὴ παράλληλος τῷ ΑΒΓ. ἐπεὶ οὖν δύο χύ- 
κλοι οἱ HME ΕΚΗ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν τοῦ τὸ 
ἑνὸς πόλων καὶ τῆς διχοτομίας τῆς Κὶ γέγραπται μέγιστος 
κύκλος ὁ 4ΚΑ͂, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ EM περιφέρεια τῇ ΜΗ 
περιφερείᾳ. ἀλλ᾽ ἡ μὲν EM τῇ Z.4 ἐστὶν ὁμοία, ἡ δὲ 
MH τῇ 40: καὶ ἡ ΖΑ ἄρα τῇ 4G ἐστὶν ὁμοία. καὶ 
εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Z4 τῇ 40, ὅπερ τὸ 
ἔδει δεῖξαι. 

17 ig. Ὑποκείσϑω δὴ τὸ αὐτὸ σχῆμα, καὶ ἔστω μείζων 
ἡ BE τῆς ET, ἴση δὲ ἡ EK τῇ ΚΕ΄ λέγω ὅτι 3) ΖΑ vig 
40 μείζων. 














Κείσϑω τῇ BE ἴση $ PM, καὶ γεγράφϑω μέγιστος 20 
κύκλος ὁ “ΗΝ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ BE τῇ MI, ἴση 


ἐστὶν ἡ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὸ E τῇ ἀπὸ τοῦ d ἐπὶ τὸ M: ὃ 


LIBER VI. PROPOS. 16. 495 


quam 43, denique, si 8e minor sit quam zy, etiam LÀ mi- 
norem esse quam 42. ' 
Primum enim aequales sint circumferentiae fe my; dico 
etiam LÀ 439 aequales esse. 
Quoniam enim circumferen- 
& tiae fe ny aequales sunt, propter 
superius lemma etiam recta a ὃ 
ad & aequalis est rectae a ὃ ad η. 
Ergo circulus ex polo ὃ et inter- 
vallo δὲ sive à descriptus etiam 
per alterum punctum transibit. 
Describatur, et sit £45; hic igi- 
tur circulo ef» parallelus erit 
(sphaer. 2, 1). lam quia duo 
À circuli ἐμῇ €x se invicem se- 
cant, ac per polos unius et bi- 
partitam sectionem x maximus circulus ÓxA descriptus est, 
hic igitur etiam per polos circuli ξκὴ transit (p. 495 adnot. 1) ; 
itaque circumferentiae &u 479 aequales sunt (sphaer. 2, 9). 
Sed similis est && circumferentiae GÀ, et μη circumferentiae 
À9 (sphaer. 2, 10); ergo etiam LÀ ipsi 49 similis est. Εἰ 
sunt eiusdem circuli; ergo aequales sunt LÀ A9, 4. e. d. 
XVI. Iam eadem figura supponatur, et sit circumferentia 
fe maior quam £y, et εκ — κξ Ὦ ; dico £A maiorem esse quam 49. 
Ponatur circumferentia yu — fe, et describatur maximus 
circulus du». lam quia fe y aequales sunt, propter lemma 
XIV recta a ὃ ad 8 aequalis est rectae a ὃ ad μ; ergo cir- 





*; Haec ipsa verba statim docent fieri non posse, ut plane eadem 
figura in hac atque in superiore propositione supponatur; nam qui illic 
est circulus βεηγ hic transit in 8euy, et quae illic est ἡ} hic sonat £y. 
In codicibus autem similis certe superiori figura ita exarata est, ut 
bemisphaerium, et quicunque in eo sunt circuli ac rectae, in planum 
circuli «8y proiecta sint, quae ratio, nisi aut absurdam aut minime 
perspicuam figuram describere libet, retineri non potest. Itaque Com- 
mandinum potius in figura delineanda secuti sumus. 


8. 9. à HME Hu, ὁ HKE ABS, ὁ EMH voluit Co 10. of HKE 
EMH ABS Co, corr. Hu 44. τῇ .10 (post ἄρα) Co pro τῆι 409 





Prop. 
16 





LIBER VI. PROPOS. 46. 497 


culus ex polo ὃ et intervallo de sive dp descriptus etiam per 
alterum punctum transibit. Transeat, et 81} εσμ, et sumatur 
sphaerae centrum ὁ, et iungatur οὗ; haec igilur perpendicu- 
laris erit ad circuli eos planum (sphaer. 1, 10; nam circuli 
&0j, polus est à), ideoque centrum eiusdem circuli erit in 
recta 0o. Sit σε, et iuncta eg producatur ad τ, itemque 
iuncia, οὗ ad τ, et iungantur eo ogx πρ oG πη yx. Ac 
quoniam et punctum zz ei utrumque punctorum Qo 9G in cir- 
culi ec& plano sunt, tria igitur puncta habemus in eodem 
circuli plano. Rursus quia recta οὗ in circuli óxÀ plano est, 
punctum igitur zx in eodem est plano. Atque item recta opx ; 
ergo eliam o in circuli ÓxÀ plano est. Sed in eodem est 
punctum 90; ergo 7:90 recta est!). Eadem ratione etiam πηξ 
recta est (nam puncta zr; τ sunt in plano circuli £04; sed 
etiam in plano circuli δηξϑ, et punctum ἢ est in ipsa sec- 
tione planorum circuli egg et 059; ergo recta est zwv). Et 
quia circumferentiae ex x5 aequales sunt, est igitur 
L £ox — L xo$; itaque (elem. 6, 3) 
ξρ : Qt — €O : OT. 

Sed quia quaeritur, quae sit ratio cireumferentiae LÀ ad 49***), 

**) Quia recta &à communis est sectio circulorum &4 fieuy, et 
punctum £ inter & y positum est, recta o£, quae est in plano maximi 


circuli Buy, producta concurrat oportet cum producià ἐμ, quod sec- 
tionis punctum a Pappo notatur r. 


4) Quoniam propter elem. 44, 3 duorum planorum communis sec- 
tio recta linea est, puactorum z Q 60, quippe quae planorum ἐσμ óxÀ 
communia demonstrata sint, nulla alia positio esse potest nisi in com- 
muni circulorum sectione, id est in recta. 


***) Verba Graeca τές ἡ ΖΑ. zegugégsix τῇ 40. non. ipsam. qui- 
dem proportionem, sed hanc minus definitam quaestionem significant: 
sitne 44 ΣΞὝ 19, an vero — 49. Nam id tantummodo agitur; neque 
certa propottionis formula ex hypothesi elici potest. Nos autem nibil 
impedivit, quin perspicuitatis causa ipsas proportionum formulas pone- 
remus, 4888 Graecus scriptor etiam hac de causa evitavit, quia for- 


mula τ : - a geometrica ratione abhorrebat. 


3. ὃ EXZM et 4. 5. τοῦ M.XE coni. Hu 7. ἡ OE] ἡ ΠΗ͂ Co 
(at vide adnot. ad Latina) 8. ἐπὶ τὸ T A! ex ἐπὶ τὸ P IIH HT 
add. Hu — 1!2—44. τοῦ 4E.4 — τοῦ 4E.4 — τοῦ ΖΕ. AB cod. Co, 
corr. S Co 46. 41. τὰ γὰρ ΠΤ A, distinx. BS 


498 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ cC. 


τίς ἡ ZA περιφέρεια τῇ 40, τουτέστιν ἡ ΕΣ τῇ ZH, ζητήσω 
ἄρα τίς γωνία ἡ ὑπὸ ἘΠΡ τῇ ὑπὸ PIIT. τίς ἄρα ὃ τῆς ἘΠ 
πρὸς ΠΤ τῷ τῆς EP πρὸς PT; ἀλλ᾽ ὁ τῆς EP πρὸς PT 
ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΟ πρὸς ΟΤ΄" ζητήσω ἄρα τίς ὃ 
τῆς ΕΟ πρὸς OT λόγος τῷ τῆς ΕΠ πρὸς ΠΤ λόγῳ" ζη-5 
τήσω ἄρα τίς ὃ τοῦ ἀπὸ ΕΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΤ λόγος τῷ 
τοῦ ἀπὸ ἘΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΤ λόγῳ, καὶ ἐναλλὰξ εἰς ὃ 
τοῦ ἀπὸ ΟΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ἘΠ τῷ τοῦ ἀπὸ OT πρὸς τὸ 
ἀπὸ TII, καὶ διελόντι τίς ὁ τοῦ ἀπὸ ΟΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΕ 
τῷ τοῦ ἀπὸ OII πρὸς τὸ ἀπὸ TIL. τίς ἄρα τὸ ἀπὸ ὙΠ 1 
τῷ ἀπὸ ΠΕ; τίς ἄρα ἡ TII τῇ ΠΕ; ἀλλ᾽ ἡ ΠΕ τῇ ΠΗ 


























ri am ? Ϊ ] 

L—D 

ξ —— Án: 
1 

ἴση" ἔχει δὴ σύγκρισιν: ἔστιν γὰρ μείζων. ἐπεὶ οὖν μεί- 
Lu» ἐστὶν ἡ TII τῆς ΠΗ, τουτέστιν τῆς ΠΕ, ἡ ΠΟ ἄρα 
πρὸς ΠΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΟΠ πρὸς IIT* καὶ 
τὸ ἀπὸ OII ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ 15 
τὸ ἀπὸ OII πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΤ. καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ EO 
ἴσον τοῖς ἀπὸ ΕΠ ΠΟ (ὀρϑὴ γάρ ἐστιν ἣ ὑπὸ EIIO γω- 
»νία), τὸ δὲ ἀπὸ TO τοῖς ἀπὸ TII IIO (ὀρϑὴ yàg ἣ ὑπὸ 
TIIO) - καὶ τὸ ἀπὸ OE ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ἘΠ μείζονα Àó- 
yov ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ OT πρὸς τὸ ἀπὸ TII. καὶ ἐναλλὰξ 30 
τὸ ἀπὸ ΕΟ πρὸς τὸ ἀπὸ OT μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ 
ἀπὸ ἘΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΠ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀτιὸ OE πρὸς τὸ 
ἀπὸ OT μείζονα λόγον ἔχει ἤτιερ τὸ ἀπὸ EII πρὸς τὸ ἀπὸ 


LIBER VI. PROPOS. 46. |: 4909 


id est eu ad o», quaeram igitur, quae sit ratio anguli &zrg ad 
oz. Ergo quaenam est ratio? 
" 


ET € . £0 ᾿ 
57.:—€.9 Sed demonstravimus —- — ““- ; ergo quae- 
zT ρὲ ot ot 


ram, quae sit 


ξο ἐπ 


vor a,» 80 Porro quaeram, quae sit 

to? «m? tos 

o : E et vicissim 

to?  o:? ΜΝ ἐοξ--ἐπὸ  or?—;z31? . 
ππιτος, οἱ dirimendo ——,— : —— ,— , id est 
€7t Zt ἐπ στ 

oz? o7? 

m ib Ergo quaenam est 


vu? : me?? ilaque quaenam est τσὶ: ze? 
Sed 7:8 aequalis est ipsi zzy; rectam autem zz: comparare licet 
cum zz; nam eda constructione est z:v *» zv. am quia est 
πε *» πῆ, id est 
» πε, est igitur (elem. 5, 8) 
ὁπ: πε» O7t : στ; Maque etiam 
077? : πε *» 07? : πεῖ, id est componendo (VII propos. 3) 
on1?--z1:? | on? z12. . . . . 
—za ^ Q4) ique etiam (quia anguli ezro oz 
recti sunt) 
0€? : πε» 0t? : ztv3, et vicissim (VII propos. δ) 
0€? : 01? *» πεϑ: z:1?; itaque etiam 
&0 : Ot 7» πο: zt. Sed demonsiravimus esse 
€0 : 0t — €0 : Qv ; ergo est 
&0 : Qt 7» επιπε; ilaque (adnot. 2) 
L eto ^» [ 07v; ergo 
circumf. eg *» circumf. oy. Sed est 


3) Hoc loco scriptor theoremate quodam utitur, quod facile ex 
elem. 6, 8 derivatur. Nam si in triangulo egy 


a recta «d ad basim ducta angulum « bifariam secet, 

est 8d : dy — Ba: «y. lam si «e ita ducatur, ut 

ANS sit [. Bas *» [ cay, fit igitur 8e : ey ?» 880 : dy, ita- 
que eliam βὲ: &y ^ B«: «y. Paulo post conver- 

EP d € / sum theorema adhibetur hunc in modum: si sit 


Bt : ἐγ  βα: ay, esse eliam { Bae » [ cay. 


4.9. τέὴ ZA περιφέρεια τῆς 446 — τῆς CH — τί γωνία — τῆς 
ὑπὸ PIIT ABS, corr. Co 8. ro ante ἀπὸ ΕΠ add. BS 9. τὸ om. 
ABS, add. Hu (conf. ad p. 504, 7) 10. πρὸς τὸ ἀπὸ TII] πρὸς ἀπὸ ILI 
AB, πρὸς ἀπὸ ἐπ S, corr. Co 13. δὲ voluit Co — 23. λόγον add. BS 





500. . TIAHIIOY XYNATOTHA c. 


TII, καὶ ἡ EO ἄρα πρὸς OT μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἣ 
ἘΠῚ πρὸς IIT. ἀλλ᾽ ὡς 7; EO πρὸς OT, οὕτως 1; EP πρὸς 
PT: ἣ EP ἄρα πρὸς PT μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἘΠ 
πρὸς IIT. διὰ δὴ τοῦτο μείζων γωνία |j ὑπὸ ἘΠΣ τῆς 
ὑπὸ ΣΠΤ μείζων ἄρα ἣ ἘΣ περιφέρεια τῆς ΣῊ περι-ὃ 
φερείας. ἀλλ᾽ ἣ μὲν EX τῇ ΖΑ ἐσεὶν ὁμοία, ἡ δὲ SH 
τῇ .1Θ’ μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ Ζ.1 τῆς .10, ὅπερ: — 

19 VC. Αλλ᾽ ἔστω 7, ZA ἴση τῇ 40. λέγω ὅτι ἐλάσσων 
ἐστὶν ἡ EK τῆς KE. 

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἣ Ζ.1 τῇ 440, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπεὸ 10 
EHE τῇ ὑπὸ ΣΠΤ' ὃ ἄρα τῆς ἘΠ πρὸς ΠΤ λόγος ὁ αὐ- 
τός ἐστιν τῷ τῆς EP πρὸς PT. ἐπεὶ δὲ ζητῶ εἰς περι- 
φέρεια ἡ ἘΚ τῇ ΚΞ, Ὀμήσω ἄρα τίς γωνία ἡ ὑπὸ EOK 
τῇ ὑπὸ KOT- ζητήσω ἄρα τίς ὁ τῆς EO πρὸς OT λόγος 
τῷ τῆς EP τιρὸς PT λόγῳ. ἀλλ᾽ ὁ τῆς EP πρὸς PT λό- ιὸ 
γος ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ἘΠ πρὸς IIT: ζητήσω ἄρα τίς 
ὁ τῆς ἘΠ πιρὸς IIT τῷ τῆς EO σιρὸς ΟἿ᾽. ἔχει δὲ σύγ- 
χρισιν. ἐπεὶ οὖν jj EO πρὸς OT μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ 
ἡ ἘΠ πρὸς IIT. (τοῦτο yàp προδέδειχται), ἀλλ᾽ ὡς ἡ ἘΠῚ 
πρὸς IIT, οὕτως ἡ EP πρὸς PT, j EP ἄρα πρὸς PT3w 
ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΟ πρὸς OT. διὰ δὴ τοῦτο 
ἐλάσσων ἐσεὶν ἡ ὑπὸ EOK τῆς ὑπὸ ΚΟΤ'' ἐλάσσων ἄρα 
περιφέρεια ἡ ΕΚ τῆς KE, ὅπερ: — 

30 vy. Τεμνέτωσαν ἀλλήλους δύο μέγιστοι κύκλοι ot ABI 
ΒΡΓ,, xai ἔστω ὃ πόλος τοῦ ΑΒΓ χύχλου ὁ d, καὶ ye-15 
γράφϑωσαν μέγιστοι χύχλοι οἱ “12. 40 4.1 AN, καὶ ἔστω 
ἴση ἡ ΕΞ τῇ ΠΗ: λέγω ὅτι, εἰ μὲν ἴση ἐστὶν ἡ BE τῇ 
MT, ἴση ἐσεὶν χαὶ ἡ ZO τῇ JN, εἰ δὲ μείζων ἐσεὲν 3) 


8. 4" add. Βιδ) 432—144. τέ περηρέρεια — τί γωνία — τῆς 
ὑπὸ KOT ABS, corr. Co 45. λόγῳ — πρὸς PT om. S λόγος 
add. Hw auclore Ὁ. 18. ὃ add, BS — 34. oy" add. B(Sj 96. 4Z 
44 46 ABS, transposuit Co — 4N Co, N4 AB; sed cum N in. A si- 
aile sit L4, in. S migravit ηδ (similiter posthac vs, 38 el p. 502, 1, ubi 
ἫΝ AB, 2 S) 





LIBER VI. PROPOS. 41. 48. 501 


eircumf. eG ^- circumf. CÀ, et 
circumf. σῇ — cireumf. 49; ergo 
circumf. £À » circumf. 49, q. e. d. 
XVII. Sed, reliquis manentibus, sit ζλ — A9; dico esse Prop. 
ex « ab. Iu 








Quoniam enim est LÀ — 49, id est eg — σὴ, anguli igi- 
tur ἐπσ σπτ aequales sunt; itaque propter elem. 6, 3 est 
&m : zv — eg: Qr. Sed quia quaero, quae circumferentiae 
ex sit ralio ad circumf. x5, quaeram igitur, quae anguli eox 
sit ratio ad angulum xov. Ergo quaeram, quae sit ratio 


19:0. Sed statim demonstravimus esse *€ — ὅπ. 

or^ gr e πτ 
quaeram igitur, quae sit 

fo ἐπ 


s, ,," Haec autem inter se comparari posse superiore 
lemmate demonstravimus. lam quia est 
&0 : 0t 7» Er : πὸ, alque 
ἔπι : UD — ἐρ : QT, est igitur 
89: QT « &0: οὐ. Ergo est 
L &ox « L xor; itaque etiam 
circumf. ex « circumf. x5, q. e. d. 
XVIII. Duo maximi circuli ay gy invicem se secent, Prop. 
et sit circuli «gy polus δ, et describantur maximi circuli óZ 
99 ὃλ ὃν, sitque e£ — zu; dico, si primum sit βὲ — uy, 





502 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHS Cc. 


BE τῆς MI, μείζων ἐστὲν ἣ ZO τῆς AN, εἰ δὲ ἐλάσσων 
ἐστὶν 1 BE τῆς ΜΓ, ἐλάσσων ἐστὶν $; ZO τῆς .“Ν. 
Ὑποχείσϑω ἴση ἡ 
BE τῇ ἯΓ' ἴση ἄρα 
ἐστὶν ἣ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ ὃ 
τὸ M τῇ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ 
τὸ Ε' ὃ ἄρα πόλῳ τῷ 
Ζ διαστήματι δὲ &vi τῶν 
AE AM κύκλος γραφό- 
Mevog ἥξει καὶ διὰ τοῦ 10 
λοιποῦ σημείου. γεγρά- 
φϑω, καὶ ἔστω ὁ ETM, 
xai τετμήσϑω δίχα ἡ 
AI τῷ P, καὶ γεγρά- 
φϑω διὰ τῶν 4 P μέ- 15 
γιστος κύκλος ὁ Α͂ΡΣ. 

| xai ἐπεὶ ἴση ἐσεὶν 
ΕΞ vij IM, ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΕ τῇ MUI ἴση ἐστίν, ὅλη ἄρα 
ΒΞ τῇ ΓΠ ἴση ἐστίν: ἴση ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὸ 5 τῇ 
ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Π. πόλῳ οὖν τῷ 4 διαστήματι δὲ υ 
ἑνὶ τῶν 4A 4Π κύκλος γεγράφϑω ὁ ἘΟΠ. καὶ ἐπεὶ ἴση 
ἐστὲν ἡ EO τῇ ΟΠ, ἀλλ᾽ ἡ μὲν ΞΟ τῇ ΘΣ ἐυτὶν ὁμοία, 
7 δὲ ΟΠ τῇ Σ.1 ἐστὶν ὁμοία, καὶ ἡ OZ ἄρα τῇ Σ. ἐστὶν 
ὁμοία. καὶ εἰσὶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ OX 
τῇ ΣΑ͂. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν $ EB τῇ DM, ἴση ἐστὶν 25 
καὶ ἡ ZZ τῇ ΣΝ’ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ZO λοιπῇ τῇ ΝΑ͂ ἐστὶν 
ἴση, ὕπερ: “- 

21 Aa δὴ ὑποκείσϑω τὸ αὐτὸ σχῆμα, ἔστω δὲ μείζων 
j ΒΕ τῆς ΓΞ, ἴση δὲ ἡ EY τῇ EU, καὶ γεγράφϑω διὰ 
τῶν 4 1" χύκλος μέγιστος ὁ ΑΨΚΑ λέγω ὅτι μείζων 30 
dori» ἡ ΖΘ τῆς 40. 

Κατεσχευάσϑω γὰρ τὸ σχῆμα ὁμοίως τοῖς ἐπάνω, καὶ 


——— - — —À —— 


2. τῆς .4N in A prima manus mutavit in τῆς 22H, quod propa- 
gatum est in S, τῆς ἀμ B 8. διαστκήματι À 15. τῶν 4P A, di- 
stinx. BS 26. τὴ σὴ S ἄρα add. Hu λοιπῇ om. S τῇ ηλ S 


48. initio «$5? add. B(S; 80. τῶν 41 A, distinx. BS 





N^ N^ 





LIBER VI. PROPOS. 49. 503 


esse etiam 59 — ὧν; tum, si sit fe »» uy, esse L9 0» ἂν: 
denique, si sit s « uy, esse C9 « A». 
Supponatur primum fe — uy; ergo propter propos. 14 
recta a ὃ ad & aequalis est rectae a ὃ ad 4; itaque circulus 
ex polo ὃ et intervallo de sive p descriptus etiam per alte- 
rum punctum transibit. Describatur, sitque ezu, et circum- 
ferentia £z bifariam secetur in puncto o, et per ὃ Q descri- 
batur maximus circulus ógc. lam quia est δὲ — πμ, et 
Be — uy, etiam tota βξ toti zzy aequalis est; ergo propter 
propos. 14 recta a ὃ ad ξ aequalis est rectae a ὃ ad z. lam 
ex polo ὅ et intervallo δὲ sive ὅτε describatur circulus ἔοσε. 
Et quia est 
£o — or, et Eo — 90, et ort — σλ, est igitur eliam 
$a — σλ. Et sunt eiusdem circuli circumferentiae; ergo est 
$e — σλ. Rursus quia fe — μγ, est igitur 
ζσ — 0v; itaque per subtractionem 
L9 — ἂν, 4. e. d 
lam vero eadem figura supponatur!), et sit e ?» ἔγ, et Prop. 
εὖ — ψξ, et per ὃ ψ describatur maximus circulus dyxàÀ; ü 
dico esse C9 » Ao. 











Construatur enim figura similiter ac supra, et quia ae- 
quales sunt circumferentiae εὖ wj, ideoque (elem. 5, 27) 
4) Conf. supra p. 495 adnot. *. 


504 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ c. 


ἐπεὶ Vor ἐστὶν ἣ ὑπὸ ἘΠΤ γωνία τῇ ὑπὸ ΧΠΡ, ἔστιν ἄρα 
ὡς τὸ ἀπὸ ῬΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΤΡΧ πρὸς 
τὸ ὑπὸ XET. καὶ ἐπεὶ ζητῶ τίς ἣ ΖΘ περιφέρεια τῇ 40, 
τουτέστιν ἡ ΕΗ τῇ ΚΦ, ζητήσω ἄρα τίς γωνία ἡ ὑπὸ EXT 
γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΧΣΡ' ζητήσω ἄρα τίς ὁ τοῦ ἀπὸ ἘΣ πρὸς 
τὸ ἀπὸ ΣΡ λόγος τῷ τοῦ ὑπὸ XET πρὸς τὸ ὑπὸ TPX, 
τουτέστι τῷ ἀπὸ ΕΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ. ἔχει δὲ σύγχρισιν. 
καὶ ἔστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ἘΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ μείζων τοῦ ὃν 
ἔχει τὸ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ. ὁμοίως γὰρ τῷ ἐπάνω 
δείξομεν. ἀλλ᾽ ὡς τὸ ἀπὸ ἘΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ, οὕτως 10 
τὸ ὑπὸ XET πρὸς τὸ ὑπὸ TPX. τὸ ἄρα ὑπὸ XET πρὸς 
τὸ ὑπὸ ΤΡΧ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ 
ἀπὸ XP. διὰ δὴ τοῦτο μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ EXT τῆς ὑπὸ 
ΧΣΡ. μείζων ἄρα ἣ ΖΘ περιφέρεια τῆς .10 περιφερείας. 

22 Ἔστω δὴ ἴση ἡ 40 τῇ ZO- λέγω ὅτι ἐλάττων ἐστὲν 15 
ἡ EY τῆς ΨΕ. 











Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν περιφέρεια ἡ ΖΘ τῇ 40, ἴση ἄρα ΄ 
ἔσται καὶ ἣ ΕΗ περιφέρεια τῇ ΚΦ (ὁμοία γὰρ ἡ μὲν ΖΘ ᾿ 
τῇ EH, ἡ δὲ .10 τῇ KO), ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ EXT 
τῇ ὑπὸ ΧΣΡ ἐαεὶν ἴση. ὃ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΣΕ πρὸς τὸ ἀπὸ 2 
ΣΡ λόγος ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ὑπὸ ΧΕΤ πρὸς τὸ ὑπὸ 
TPX. ἐπεὶ δὲ ζητῶ τίς ἡ EY τῇ WE, ζητήσω ἄρα τίς ὃ 


LIBER VI. PROPOS. 40. 505 


L ἐπτ τῷ ἰ χπρ, est igitur propter propos. 12 
7tQ? : €? — τρ 0X : q6-es. Εἰ quia quaero, quae sit 
ralio cireumferentiae 

C9 : Ao, id est em : xg, quaeram igitur, quae sit 

ἰ ἐστ: [. oo; itaque quaeram, quae sit ratio?) 

t0? χει. £0? επϑ 

sgh reset d Ὗ agi agr 
parari possunt; similiter enim ac supra (p. 
499) demonstrabimus esse 





Haec autem inter se com- 


&71? eg? . . 
—3 ^ --ς, Sed demonstravimus etiam 
70 00 

en? X6: 6t 


ng! τριρχ 
q8:6t : tQ: QX Ὁ 602 : 0g?; itaque propter propos. 13 
L ἐστ * L xoo. Ergo est 
circumf. ey *» circumf. xg, id. est 
circumf. $9. 9» circumf. 4o. 
lam sit circumferentia 4o — C3; dico esse ev « ψξ. 
Quoniam enim circumferentiae G9: 4o aequales sunt, et 
C9 similis cireumferentiae ey, et Ào similis ipsi xg, aequales 
igitur sunt cireumferentiae δῇ xq; itaque est etiam (elem. 
ὅ, 27) 
L €0* — [, yao. Ergo propter propos. 12 est 
€9? : gg? — χει δὲ : TQ- oy. Sed quia quaero, quae sit 
ratio &v : ψξ, quaeram igi- 





; ergo est 


2) Ex huius libri propositione 42, collata etiam propos. 13, facile 
derivatur lemma huius modi: si extra triangulum ory ad productam 
basim rectae σὲ co ita ducantur, ut sit [. ἐστ — ( χσρ, esse etiam 
χει ετ : 10- 0x Z— c0? : ag?.. Et conf. supra p. 499 adnot. 2. 








2. τὸ (ante ἀπὸ ITE) add. Hu auctore Co 3—5. r£ ἡ ΖΘ — τῆς 
40 — τῆς ΚΦ — ἄρα τί — γωνίας τῆς ABS, corr. Co 4. γωνία 
ἡ ὑπὸ el 6. λόγος A? in rasura — 7. τὸ om. ABS, item posthac usque 
ad finem cap. 38 saepius ante ἀπὸ in (formula quadrati; semel etiam 
(p. 506, 2) ante ὑπὸ in formula rectanguli 412. τὸ ante ἀπὸ ΣΡ add. 
S, item p. 506, 3. 4 47. τὴι 410 ABS, corr. Co 90. τῆι ὑπὸ XEP 
ABS, corr. Co 31. 23. πρὸς τὸ ὑπὸ TPC ABS, corr. idem 29. rí 
ἢ EY τῆς ΨῈ ABS, corr. idem 

Pappus II. 33 


Prop. 


506 d ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ c. 


τοῦ ἀπὸ ἘΠ πρὸς τὸ ἀπὸ IIP λόγος τῷ τοῦ ὑπὸ XET 

πρὸς τὸ ὑπὸ TPX, τουτέστιν τῷ τοὺ ἀπὸ ΕΣ πρὸς τὸ ἀπὸ 

ΣΡ. ἔχει δὲ σύγχρισιν. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ἘΠ πρὸς τὸ ἀπὸ 

ΠΡ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ἘΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΣΡ, 

τουτέστιν ἤπερ τὸ ὑπὸ XET πρὸς τὸ ὑπὸ TPX, καὶ τὸν 
ὑπὸ XET ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ TPX ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ 

τὸ ἀπὸ EIL πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΡ. διὰ δὴ τοῦτο ἐλάσσων ἐστὶν 

ἡ ὑπὸ ἘΠῚ τῆς ὑπὸ XIIP: ἐλάσσων ἄρα ἡ EY τῆς EP, 

ὕπερ: “- 

23 WW. Zederyuévov δὴ τούτων ἑξῆς ἀποδείξομεν sig 010 
ταῦτα ἐλήφϑη. “ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύχλου περιφερείας ὃ 
πόλος ἢ τῶν παραλλήλων καὶ τοῦτον τέμνωσιν δύο μέγιστοι 
κύκλοι, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν τεαραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς 
πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἀπὸ δὲ τοῦ λοξοῦ κύχλου ἴσαι 
περιφέρειαι ἀποληφϑῶσιν ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ με- 15 
γίστου τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν γενομένων σημείων 
χαὶ τοῦ πόλου μέγιστοι κύκλοι γραφρῶσιν, ἀνίσους ἀπολή- 
ψονται περιφερείας τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, καὶ 
μείζονα ἀεὶ τὴν ἔγγιον τοῦ μεγίστου κύχλου τοῦ ἐξ ἀρχῆς 
τῆς ἀπώτερον". 30 

24 Ἐνϑάδε οἴονταί τινες προσχεῖσϑαι τὸ πρὸς ὀρϑάς, 
ἐπειδὴ xai εἰς τὸ πρὸ αὐτοῦ ἀποδείχνυται ἐν τοῖς εἰς τὰ 
σφαιρικὰ λαμβανομένοις ὅτι δεῖ τιροσκεῖσϑαι τὸ πρὸς ὀρϑάς. 

᾿Ἐὰν yàg ἐχϑώμεϑα τὸν διὰ τῶν στόλων τῆς σφαίρας 
τὸν ΑΒΓΔ x«i τοὺς τέμνοντας αὐτὸν δύο μεγίστους κύ- 35 
χλους τοὺς ΒΕ“ ΜΈΓ, ὧν τὸν μὲν BEA τῶν παραλλήλων, 
τὸν δὲ .4EI' λοξὸν πρὸς τοὺς παραλλήλους, καὶ ἀπολά- 
ϑωμὲν ἀπὸ τοῦ .4ET ἴσας τὰς ZH HO, καὶ γράψωμεν 
διὰ τῶν Z Η O παραλλήλους τῷ BEA, οὐ πάντως 


3. τῷ τοῦ Hu pro τὸ 40. (9^ add. Hu. 44. ἐὰν — 30. ἀπώ- 
τερον paucis admodum mulatis (quae nos hie adnotamus) repetita sunt 
e Theodosii sphaer. 3, δ 13. post χύχλοι apud Theodosium vulgo 
additur πρὸς ógóéc 46. διὰ 02] x«l διὰ Theodos. 48. post zag- - 
αλλήλων add. τὰς μεταξὺ αὑτῶν Theodos. 49. 30. ἔγγιον τοῦ ἐξ 
ἀρχῆς μεγίστου κίχκλου τῆς πορρώτερον Theodos. 94. initio x^'* add. 
B (Paris. 2368) — 39. τῶν ΖΗῸ A, corr. BS 


LIBER VI. PROPOS. 34. 507 


tur quae sif ralio [, ὃπετ: L, χπρ, ac porro, 
quae sit ralio) 
e LAC , id est em 
"0?  TQ-0y "9! ' op 
parari possunt (u£ supra p. 499 demonstra- 
tum est). lam quia est 
87:2 : 7:9? S» c0? : 0Q?, id est 
» X6:6t : tQ: oy, est igitur 
X46:6t : TQ- QX « 6r? : πρ'. Ergo propler propos. 15 est 
L ἐπτ « L xo; aque 
cireumf. εὖ & circumf. v5, 4. e. d. 


: haee autem inter se com- 





XIX. His igitur demonstratis exponemus, quem ad finem 
haec lemmata adsumpserimus. "Si in circumferentia maximi 
circuli", inquit Theodosius sphaer. 5, 6, "sit polus parallelo- 
rum, eumque circulum secent duo maximi circuli, quorum 
alter sit unus parallelorum, alter autem obliquus ad paral- 
lelos, atque ab obliquo circulo aequales circumferentiae dein- 
ceps ad easdem partes maximi illius paralleli abscindantur, 
el per puncta quae ita fiunt ac per polum maximi circuli 
describantur, hi inaequales cireumferentias a maximo paral- 
lelo abscindent, et maior quidem semper erit ea quae pro- 
pior est primario maximo circulo, quam illa quae remotior". 


Hic nonnulli verba "ad rectos angulos" addenda esse 
existimant, quoniam item ad quintum eiusdem libri theorema 
inter lemmata, quae ad sphaerica adduntur, eadem verba 
"ad rectos angulos" deesse non posse demonstretur. 


Nam si cireulum αβγὸ per polos sphaerae transeuntem Prop. 
et duos maximos circulos BeÓ «ey eum secantes exponamus, M 
quorum alter βεδ sit unus parallelorum, alter autem oey ob- 
liquus ad parallelos, et a circumferentia «e aequales portiones 
Cm 99 abscindamus, et per puncta ζ η 2 circulos ipsi βεὸ 
parallelos describamus, hi non utique secabunt circumferen- 


4) Conf. p. 505 adnot. 2. Quae autem hoc loco nos addidimus, 
ea Graecus scriptor omisit, quoniam in superiore propositione eadem 
iam tractata sunt. | 

33* 


508 IIAHHOY ZYNATOTHS c. 


3 
τέμνουσιν τὴν AB περιφέρειαν (ἐὰν δὴ ἡ ἡ 4E. μὴ μείζων 
Ύ - 
τετραγώνου). εἶτα ἀποδείκνυται ἐν τοῖς εἰς τὰ σφαιρεκὰ 
M ) ^ ! 3 
Urt τὸ πρὸς ὀρϑὰς κεῖται, ἵνα ἢ τετραγώνου. εἶτα τὸ αὐτὸ 





« m A ^ * 
οἴονται προσχεῖσθαι τῷ ς΄ ϑεωρήματι, διότι διὰ τοῦ πρὸ 
αὐτοῦ, φασιν, δείκνυται [ἐκεῖ δὲ χρήσιμόν ἐστιν τὸ πρὸς 5 
2 , » M] ^ , 2} 4 - ςς »" 
ὀρϑας). ἔστιν δὲ τοῦτο σφόδρα εἴηϑες ἐρεῖ γὰρ τις οὐχὶ 

ev ^ y 3 « 

διὰ τοῦ πρὸ αὐτοῦ, ὅπου χρήσιμον ἣν αὐτοὺς προσϑεῖναι, 

^ 3 - ς 
τοῦτο δειχνύεις: πάντως οὖν καὶ ἑτέρα δεῖξις 7) μὴ προσ- 
χρησαμένη τῷ πρὸ αὐτοῦ δείξει τὸ προκείμενον". ἔνιοι δὲ 
οἴονται διὰ τοῦτο προσκεῖσθαι" γράψαντες γὰρ παραλλή- 
λους κύχλους καὶ ϑέντες τῇ KH ἴσην τὴν H.4 καὶ διὰ τοῦ 
“ γράψαντες παράλληλον κύχλον τὸν 4A λέγουσιν “᾿ ἐπεὶ 
οἱ ΔῈΓ “ΕΒ τὸν 418Γ[4΄ πρὸς ὀρϑὰς τέμνουσιν, τετρα- 
γώνου ἄρα ἐστὶν ἡ EB: ἐλάσσων ἄρα τετραγώνον ἡ AE 

-« e) , » c » € 2 N 3 , c mlt - 
τοῦ ἰδίου κύχλου᾽᾽, ἕνα εἴττωσιν “ἐπεὶ οὖν XvxAov τοῦ ἘΘ 15 
) M ) j bz 2 Δ -^ } M - 2 ’ Nod M 
&rL &vJetag τῆς ἀπὸ A ρϑὸν τμῆμα ἐφέστηχε τὸ 5&1 xal 
τὸ συνεχὲς αὐτῷ, καὶ διήρηται ἡ τοῦ ἐφεστῶτος περιφέρεια 


0 


—— ——— —-— 


4. τεμοῦσιν coni. Hu auctore Co δὴ Hu pro μὴ 2. τέτρα- 
γωνου) in promptu est τεταρτημορίου coniicere; at scriptor et hoe loco 
et passim posthac τετραγώνου circumferentiam eam appellat quam la- 
tus quadrati circulo inscripti subtendit 3. εἶτα τὸ αὐτὸ Hu, εἷς δὲ 
τοὺς διὰ τῶν πόλων ABS, alii autem ad rectos angulos Co 4. ς΄ A, 
e B, ἕχτῳ 8 5. 6. ἐκεῖ — ὀρϑάς interpolatori quidam addidisse vi- 
detur ex vs. 7 5. ἐστιν ro. Hu auctore Co pro ἐν τῷ 7. αὐτοὺς 
forsitan "interpretes theorematis' significet; αὐτὸ voluit Co 


LIBER VI. PROPOS. 234. 509 


tiam ef (secant scilicet, si «e€ non maior sit quadrante). lta- 
que in /emmatis ad sphaerica ostenditur verba "ad rectos an- 
gulos" propterea apposita esse, ut circumferentia «e quadran- 
lis esse stgnificelur. Proinde eadem sexto theoremati addenda 
esse opinantur, quoniam id ipsum, inquiunt, ex quinto de- 
monstratur. Hoc autem perquam ineptum est; nam 'ure ali- 
quis contra dixerit: "minime ex quinto, ubi opus erat ea 
verba apponere, sextum theorema demonstres necesse est; nam 
sine dubio alia etiam demonstratio, quae non innitatur su- 
periore 4/heoremate, efficiet id quod propositum est". Alii 
vero eadem verba his de causis adiicienda esse censent. Post- 
quam enim parallelos circulos descripserunt et cireumferentiae 
; κῃ aequalem ηλ 

| posuerunt et per 
À parallelum cir- 
culum 4£ descrip- 
serunt, sic dicunt: 

" quoniam maximi 

g circuli aey βεὸ 
maximum αβγὸ 

ad rectos angulos 
secant, circumfe- 
rentia igitur e 
quadrantis — est; 
ergo circumferen- 

y tia 45 minor est 
quadrante circuli 4$" ; quae praemittunt, ut pergere possint hunc 
in modum : " quoniam circulo 59 in recta ἔν ἢ perpendiculare 





ἢ Ad ea quae totá propositione 24 traduntur una tantummodo 
figura in codicibus exstat similis illi quam Theodosius sphaer. 3, 6 
exhibet; at quinque demum figuris appositis quae supra nosira con- 
iectura descriptae sunt, verba et Pappi et eorum, contra quos disputat, 
denique etiam interpolatoris cuiusdam, perspicua facta sunt. Atque 
hoc quidem loco nos, litteris μ᾿ » additis, circulum £Au» plenum de- 
scripsimus; itaque breviter "in recta £v", id est in recta quae circulo- 
rum «»Éy £ÀAu» sectionis puncta iungit, diximus pro Graecis ἐπὶ εὖ- 
ϑείέας τῆς ἀπὸ E. Item paulo post segmentum £àuv appellavimus quod 
Graecus scriptor obscurius τμῆμα τὸ X.4 x«l τὸ συνεχὲς αὐτῷ Ssignili- 
cat. Ceterum ubique proxima propositio 22: conferenda est. 


510 ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTHX c. 


εἰς ἄνισα κατὰ τὸ 44, καὶ ἔστιν ἐλάσσων 5 ἡμίσεια 14A, 
ἣ ἄρα daó τοῦ E ἐπὶ τὸ 4 ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν". εἰς 
τοῦτ᾽ οἴονται χρήσιμον εἶναι τὸ πρὸς ὀρϑάς, ἵνα ἡ Ed 
ἐλάσσων ἢ ἢ ἡμίσεια τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος. ἔστιν δὲ 
τοῦτο εἰχαῖον. ἐάν τε γὰρ μείζων j ἢ ἡμίσεια ἐάν τεῦ 
25 ἐλάττων ἢ ἡμίσεια, γίνεται τὸ τπιροκείμενον. ἐὰν γὰρ εἰς 
κύχλον, ὡς τὸν IIO, διαχϑῇ τις εὐθεῖα παράλληλος τῇ 
διαμέτρῳ τὴν ἀπὸ τοῦ Θ, 


ὥσπερ ἡ ἀπὸ τοῦ ΞΕ, κοινὴ 
E S τομὴ τῶν IUS 45, καὶ ἐπ᾿ 10 
z αὐτῆς τμῆμα ἐπισταϑῇ, ὡς 
τὸ Ξ.1, καὶ ἐπ᾽ αὐτοῦ vv- 
deam ς * Ὃς ri AS 


xóv σημεῖον ληφϑῇ, ὡς τὸ 
^1, ἣ ἀπὸ τοῦ .1 ἐπὶ τὸ Ξ 
ἐλάσσων ἐσεὶν πασῶν τῶν 15 
ἀπὸ τοῦ .1 πρὸς τὴν με- 
ταξὺ τῆς τε διαμέτρου χαὶ 
τῆς παραλλήλου αὐτῇ προσ-- 
πιπτουσῶν εὐθειῶν, ὡς 
ἑξῆς δείξομεν - ὥστε οὐδὲ διὰ τοῦτο προσετέϑη ἂν τὸ πρὸς 20 
ὀρϑάς [ἀλλ᾽ ἐπειδὴ συμβαίνει, ὅταν μὲν 1) AE τετραγώνου ἢ, 
μείζονα πάντως γίνεσϑαι τὴν OII τῆς ΠΡ, ὅταν δὲ μείζων 
ἢ ἐλάττων ἢ, ποτὲ μὲν ἡ OIL τῆς PII μείζων, ποτὲ δὲ 
ἐλάσσων ἔσται, ποτὲ δὲ ἴση αὐτῇ" τοῦτο γὰρ ἑξῆς]. 

χ΄. Ἔστω δὲ νῦν δεῖξαι τὸ λημμάτιον τὸ λαμβανόμενον 25 
εἰς αὐτό. 

Ἔστω κύκλος ὃ ΑΒΓ, διάμετρος δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ταύτῃ 
παράλληλος ἡ 4Ε, καὶ ἐπὶ τῆς 4Ε εὐθεῖας τμῆμα ἔφε- 
στάτω τὸ 4ZE ὀρϑὸν πρὸς τὸν ABT, καὶ εἰλήφϑω ix^ 
αὐτῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ Zl λέγω ὅτι 80 
ἡ ZA οὐ μόνον ἐλαχίστη ἐστὶν τῶν πρὸς τὴν 4B περιφέ- 
—— 4. ἢ (ante ἡμέσ!) Hu auctore Co pros, 1, 3. ἡ 4E ἡ Hu pro ἢ 
AH — 5. γὰρ om. S — 8. τῇ ἀπὸ τοῦ Θ᾿ buc transposuit Hu, eum 
in ABS vs. 10 post τῶν /TE 4E addita sinl παράλληλος τῇ ἀπὸ τοῦ Ὁ 
48. ἑαυτῆι A(B), corr. S 80. 94. προσετέϑησαν of ὀρϑοί ABS, corr. 
Hu. 34. ἀλλ᾽ — 34. ἑξῆς inlerpolalori tribuit Hu 33. ἡ ΟΠ Co 








LIBER VI. PROPOS. 24. $11 


insistit segmentum &Àu», eiusque circumferentia inaequaliter 
divisa est in puncto ἃ, et portio ἀξ minor est quam dimidia 
pars (otius circumferentiae, recta igitur quae a ἃ ad & ducitur 
omnium minima est" !). Additamentum igitur "ad rectos ah- 
gulos" ad hoc utile esse existimant, ut £À minor sit quam 
dimidia pars circumferentiae segmenti constituti. At hoc ab- 
surdum est. Nam sive δὰ maior sive minor est quam dimi- 
dia, contingit id quod propositum est. Nam si in circulo, 
velut zzJ, ducatur recta diametro zz parallela, velut 5»**), 
communis sectio circulorum πνξϑ ἔμλν, in eáque segmen- 
tum velut ἔμλν constituatur, et in eo quodlibet punctum 4 
sumatur, recta ἀξ minima est omnium a puncto ἃ ad 
circumferentiam quae est inter diametrum Jr οἱ paralle- 
lam ἕν pertingentium, ut deinceps (propos. 22) demonstra- 
bimus; quapropter ne haec quidem 
idonea causa fuerit, cur illud "ad 
rectos angulos" apponeretur [sed 
quia contingit, ut, si «e quadrans 
j Sit utique maior fiat oz; quam 7g. 
Sin vero αδ maior vel minor qua- 
drante erit, oz: vel maior erit quam 
πρ, vel minor, vel eidem aequalis; 
nam haec deinceps (propos. 25—27) 
ostendentur |. 
XX. Iam vero lemma, quod huc adsumitur, demonstran- Prop. 
dum est. 2 
Sit circulus «fy, cuius diametrus fy, eique parallela 
recta de, et in ea segmentum OLe insistat perpendiculare ad 
circulum αβγ, et in circumferentia eius quodvis punctum 2 
sumatur, et iungatur CÓ; dico rectam CÓ non solum mini- 
mam esse omnium quae ad circumferentiam ὁβ pertingunt, sed 





4) Horum quoque verborum sententia proximá propositione illu- 
siratur. 

**) Rursus ut supra (adnot. *) perspicuitatis causa litteras μὲ v 
addidimus. 


«ὦ ᾿ 
dipempeevmm adi 1 


7. B(S), om. ἃ 


512 TIAHIIOY XYNATOTHX c. 


θειαν προσπιπτουσῶν, ἀλλὰ xai, ἐὰν διάμετροι ἀχϑῶσιν 
αἱ EOK 410.4, τῶν πρὸς τὴν .K περιφέρειαν προσπι- 
πτουσῶν. 


«Ἱιήχϑω γάρ τις 1] ΖΝ, καὶ 
ἤχϑω ἀπὸ τοῦ Ζ κάϑετος Pais 
τὸ ὑποχείμενον ἐπίπεδον" πε- 
σεῖται ἐπὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν το- 
μήν. πιπτέτω ἡ ΖΗ], καὶ ἐπε- 
ζεύχϑω ἡ MN. καὶ ἐπεὶ ζητῶ 
εἰ μείζων ἐστὶν ἣ ΖΝ τῆς ΖΑ͂, τὸ 
ζητήσω ἄρα εἰ τὸ ἀπὸ ΝΖ τοῦ 
ἀπὸ Z4 μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ τῷ 
μὲν ἀπὸ ΝΖ ἴσα ἐσεὶν τὰ ἀπὸ 
NMZ, τῷ δὲ ἀπὸ 4Z τὰ ἀπὸ 

AMZ- ὅτι ἄρα ἡ NM τῆς 4M. ἐστὶν μείζων. ἐπιζευχϑεῖσα 15 
ἡ MO ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ τὰ E 4^ ἔσται δὴ διάμετρος ἡ 45 
τοῦ ΑΒΓ κύκλου, x«i ἔσται ἣ μὲν ME μεγίστη, ἡ δὲ MA 
ἐλαχίστη, ἡ δὲ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων" 
μείζων ἄρα ἐστὶν ἣ MN τῆς MA, ὅπερ: “- 

27 κα΄. Τούτων δὴ προδεδειγμένων ἔστω δεῖξαι τὸ ϑεώ- 20 
ρημα, ὅπου διὰ τοῦ πόλου καὶ τῶν ἀποτεμνομένων ἀτιὸ 
τοῦ λοξοῦ κύκλου ἴσων περιφερειῶν οἱ κύχλοι γράφονται. 

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστον κύκλον τὸν ΑΒΓ δύο κύκλοι 
μέγιστοι τεμνέτωσαν πρὸς ὀρϑὰς οἱ ΒΓ 4E, ὧν ὃ μὲν ΒΓ 
τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ 4E λοξὸς πρὸς τοὺς τιαραλλήλους, 25 
καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΗΘ, πόλος δὲ 
ἔστω τῶν παραλλήλων ὃ .4, καὶ γεγράφϑωσαν μέγιστοι 
χύχλοι οἱ «Ὁ ,ΑΔΝ .4E:. δεῖξαι ὅτι μείζων 1, MN τῆς 
ΝΕ [πρόσκειται δὲ τὸ πρὸς ὀρϑάς, ἵνα γένηται τὸ πρό- 
βλημαὶ. 30 

“Προσαναπεληρώσϑωσαν οἱ BI AE κατὰ τὸ ΑἹ, καὶ 
ἐπεὶ τετραγώνου ἡ 4K, ἀλλὰ xal ἡ 4.1, μείζων ἄρα ἐστὲν 








6. πεσεῖται] ἣ πεσεῖται vel πεσεῖται οὖν coni. Hu 46. τὰ Ea 
A, disinx. B (τὰ E ὅ S) 30. ΚΑ A! in marg., xf?" B(Sj 
36 et p. 544, 10. αἱ ZH ΜΘ Poppus perinde ac cap. 24. 30 sq. serip- 
sisse videlur — 39. 30. πρόσχειται — πρόβλημα interpolatori tribuil- Hu 


LIBER VI. PROPOS. 33. 513 


eliam, si diametri 9x δὅϑλ: ducantur, omnium quae ad cir- 
cumferentiam óx pertingunt. 

Ducatur enim quaelibet recta ζν, et a ζ ad planum sub- 
iectum perpendicularis ducatur, quae in communem sectionem 
planorum ὅζα ey cadet (elem. 44, 38). Cadat in punctum 
M, et iungatur μν. Et quia quaero, sitne C» maior quam Có, 
quaeram igitur, sitne 

D?» LO? Sed es D? — Cu? -- μν2, et 
L9 — Lu!-- uó?; ergo demon- 
strandum est u»? ^» uó?, vel 
u» 5 uà. 
lungatur 43 et producatur ad 5 a puncta circumferentiae ; 
ergo a£ circuli diametrus erit, et propter elem. 5, 7 μὲ ma- 
xima, μα autem minima erit omnium rectarum quae a u ad 
circumferentiam ducuntur, et ea quae centro propior est sem- 
per maior remotiore; ergo est u» ?» uó, q. e. d. 

XXI. His igitur praemissis demonstrandum est theorema, 
in quo per polum et per terminos aequalium circumferentiarum 
ab obliquo circulo abscissarum mazimi circuli describuntur !). 

Etenim in sphaera maximum circulum ay duo maximi 
circuli 8y δὲ ad rectos angulos secent, quorum alter By sit 
unus parallelorum, alter autem δὲ obliquus ad parallelos, a 
quo abscindantur aequales 
circumferentiae 55 79, po- 
lus autem parallelorum sit 
&, et describantur maximi 
circuli «3j an» αζξ; de- 
monstretur — circumferen- 
tiam 4» maiorem esse 
quam »&. 

Compleantur circuli 
By δὲ, atque invicem se 
secent in punctis x ἃ, et 
quia utraque circumferen- 
tiarum. ὄχ δὰ quadrantis 


heorema significari, de quo 
licet sphaer. 3, 6. 





4) His verbis apparet idem Theodo 
Pappus inde a cap. 48 huius libri agit, s 








Prop. 
48 


25 


29 


514 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHS c. 


ἡ .10 τῆς ΖΚ. ἐπεὶ οὖν δύο κύκλοι τέμνουσιν ἀλλήλους 
οἱ ΒΓ. E44, καὶ ἔστιν ὃ τοῦ ΒΓ. πόλος τὸ «{΄, χαὶ 
γεγραμμένοι εἰσὶν μέγιστοι κύκλοι οἵ 41 Ν ΑΞ, καὶ 
ἔστιν μείζων ἣ .10 τῆς ΖΚ, ἴση δὲ ἡ OH τῇ ΗΖ, μείζων 
ἄρα καὶ ἡ MN τῆς ΝΞ διὰ τὰ προδεδειγμένα, ὕπερ: c 5 

xQ. ““έγω δὴ ὅτι, ἐὰν μὴ πρόσχειται τὸ πρὸς ὀρϑάς, 
οὐ πάντοτε γίνεται τὰ χατὰ τὴν πρότασιν. 

“Ὑποχείσϑω δὴ τὰ αὐτὰ, καὶ ἔστω ἐλάσσων τετραγώνου 
ἡ K4* λέγω ὅτι καὶ οὕτως γίνεται τὸ πρόβλημα. 

ἀπειλήφϑωσαν γὰρ ἴσαι αἱ ΖΗΘ, καὶ γεγράφϑωσαν 10 
οἱ κύκλοι οἱ 4M -4N 4E. καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν τε- 
τραγώνου ἡ KA, ἡμικυκλίου δὲ ἡ KA, μείζων ἄρα τετρα- 
γώνου ἣ .1.1: μείζων ἄρα ἡ 40 τῆς KZ' μείζων ἄρα καὶ 
35 MN τῆς ΝΞ, ὕπερ ἔδει δεῖξαι. 

[!λλὰ δὴ ὑποκείσϑω 7, Κα ἐλάσσων τετραγώνου, καὶ 15 
ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι αἱ ZH HO: μείζων ἄρα ἡ 40 τῆς 
ΚΖ καὶ ἡ MN τῆς ΝΞ. 

xy. λλὰ δὴ ὑποχείσϑω τὸ αὐτὸ σχῆμα, xci ἔστω 
μείζων τετραγώνου ἡ K4, xci ἀπειλήφϑω τετραγώνου ἣ 
KZ: ἔσονται δὴ αἱ ἀπολαμβανόμεναι ἴσαι ἤτοι ἐφ᾽ ἑχά- 30 
160€ τοῦ Z ἡ ἐπὶ τὰ Ζ 4 μέρη ἢ ἐπὶ τὰ Ζ Κὶ μέρη. 

Πϊπειλήφϑω ἐφ᾽ ἑχάτερα τοῦ Ζ, xal ἔστωσαν αἱ ΖΗ 
OZ, καὶ γεγράφϑωσαν οἱ μέγιστοι κύκλοι [καὶ προσανα- 
πεπληρώσϑωσαν οἱ ΓΒ EA κύκλοι]. καὶ ἐπεὶ ἡμιχυχλίου 


dex» ἡ ΚΑ, ἧς ἡ ΚΖ τεταρτημορίου ἐστίν, λοιπὴ 1j .1Ζ 25 


3. οἱ BT ἘΠῚ Δ (item B3 ex of gy, ed«), corr. 8 6. χβ' Hu, ΚΓ' 
Arec.inmarg. (BS) πρόσχειται AS, πρόσχηται Β (de coniunctivi forma 
in & vide Buttmann, Ausführliche Grammatik | p. 545 ed. secund., et 
G. Curtium, Studien zur griechischen und lateinischen Grammatik vol. VI 
p. 400) 7. πάντοτε add. Hu 8. ἐλάσσων τετραγώνου] exspectamus. 
ἐλάσσων ἡ τετρ,; sed eliam posthac scriptor τετράγωνον brevius ponit 
pro τετραγώνου, i. e. τεταρτημορέου, περιφέρεια 43. μείζω À, corr. 
BS — ^4. jom. AB,add. S — 45. initio add. xJ' A rec. in marg. (BS) 
45. ᾿Αλλὰ — 41. τῆς NE del. Co 48. xy' add. Hu — 34. τὰ ΖΑ͂ — 
τὰ ZK Δ, distin. BS — 33. 24. χαὶ — χύχλοι interpolatori tribuit Hu. 
35. ἧς Hu pro ὧν τετάρτη μορίου A, corr. BS, item p. 846, 4 
λοιπὴ BS, λοιπὸν A, λοιπὴ ἄρα coni. Hu 


LIBER VI. PROPOS. 44. 45. 515 


est, maior igitur est A9: quam ζκ. lam quia duo maximi 
circuli βγὰ εδλ invicem se secant, et circuli &yÀ polus est c, 
et maximi circuli αϑμλην αζξ ita descripti sunt, ut A9. ma- 
ior quam Lx, Jy autem ipsi ηζ aequalis sit, maior igitur est 
μν quam »$ propter ea quae supra (propos. 16) demonstrata 


sunt, q. e. d. 


ΧΧΙΙ. lam dico, non additis verbis " ad rectos angulos", 
non in omni casu id contingere quod propositum est. 


Supponantur eadem; 
sit autem xÓ minor qua- 
drante; dico etiam sic pro- 
blema fieri. 

Abscindantur enim ae- 
quales circumferentiae C7 
99, et describantur circuli 
maximi αϑμ αην αζξ. Et 
quia κα minor quadrante, 
et xÀ semicirculus est, ÀÓ 
igitur maior est quadrante; 
itaque 49: maior quam κζ; 


ergo etiam propter propos. 16 u» maior quam »$, 4. e. d. 


XXIII. Sed supponatur eadem figura; sit autem xó ma- 
ior quadrante, et abscindatur quadrans xb; aequales igitur 


ἕξ 





quae abscinduntur circum- 
ferentiae aut ad utramque 
partem puncti 5 erunt, aut 
versus punctum ὃ, aut ver- 
sus punctum x. 


Abscindantur ad ut- 
ramque partem puncti ζ 
aequales circumferentiae Cr 
C9, et describantur, wt 
supra, maximi circuli. Et 
quia xLÀ semicirculus, et 
xb quadrans est, reliqua 


Prop 
24 


Prop. 
25 


516 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ c. 


τεταρτημορίου ἐστίν: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ -4Z τῇ ΖΚ. ὧν ἡ 
ΗΖ τῇ ΘΖ ἴση ἐστίν" λοιπὴ ἄρα ἡ A4H τῇ OK ἴση ἐστίν᾽ 
ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΝΞ τῇ ΞΙΜ' ὥστε, ἐὰν μείζων ἡ τε- 
τραγώνου ἡ KA, καὶ ἀποληφϑῇ τετραγώνου E KZ, & δὲ 
ἐφ᾽ ἑκάτερα τοῦ Z ἀποληφϑῶσιν ἴσαι, οὐ γίνεται τὸ πρό-ὃ 


βλημα. 






καὶ ἔστω τετραγώνου ἢ 
V δεῖξαι. 


30 x0. ἀλλὰ δὴ ὑπο- 
κείσϑω τὸ αὐτὸ σχῆμα, 
ΚΖ, καὶ ἴσαι ἀπειλή- 10 
φϑωσαν éni τὰ Z 4 μέρη 
€ αἱ ZH HO, καὶ γεγρά- 
lj UN 7? φϑωσαν οἱ μέγιστοι κύ- 
κλοι. ἐπειδὴ τετραγώνου 
ἡ ΚΖ, μείζων ἄρα ἡ ΚΖ 18 
τῆς O1: μείζων ἄρα xai 
ἡ AM τῆς ΝΞ, ὅπερ ἔδει 
κε΄. Aia δὴ ὑποχείσϑω τὸ αὐτὸ σχῆμα, καὶ ἀπει- 
gu ἴσαι ἐπὶ τὰ Ζ K μέρη αἱ ZH HO, καὶ yeygd- 20 
φϑωσαν οἱ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΘ .4ZN 4ΗΞ. καὶ 
ἐπεὶ τετραγώνου ἐστὶν ἡ ΚΖ, ἀλλὰ καὶ ἡμιχυχλίου ἡ ΚΛ, 
λοιπὴ ἄρα ἡ Z4 τετραγώνου ἐστίν: ἡ Z.4 ἄρα ἴση ἐστὲν 
τῇ ΖΚ [ὧν $ OH τῇ ΗΖ ἴση ἐστίν)" λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΘ 
τῆς Ζ.1 ἐστὲν ἐλάσσων: ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ MA τῆς ΝΞ, 25 
ὕπερ: “- 

32 xc. Ὥστε ἀποδέδειχται ὅτι, ἐὰν μὲν ὀρϑοὲ τέμνωσει, 
πάντοτε γίνεται τὸ κατὰ τὴν πρότασιν, ἐὰν δὲ μὴ ὀρϑοὲ 
τέμνωσιν, ἐὰν μὲν ἡ ΚΔ ἐλάσσων ἢ [τῆς τοῦ] τετραγώνου 
[πλευρᾶς], πάντοτε πάλιν γίνεται τὸ κατὰ τὴν πρότασιν 80 





7. K.4' A! in marg., κε΄ Α rec. (B), om. S 8. αὐτὸ add. Hu 
auctore Co 41. τὰ Z4 ἃ, distinx. BS 44. ἐπεὶ δὲ ABS, corr. Hu 
auctore Co 49. KE' A! in marg., xs A rec. (BS) 20. τὰ ΖΚ 


A, distinx. BS αἱ ΖΗΘ ABS, corr. Co (vide vs. 12) 22. 23. ἡμι- 
κυκλίου — ἄρα add. Hu 484. ὧν — - ἐστίν del. Hu 36. post ὅπερ 


LIBER VI. PROPOS. 46. 47. 517 


igitur AC quadrans est, ideoque AG — Dx. Αἱ em hypothesi 
est Cy — C9 ; restat igitur λὴ — x9; itaque propter propos. 15 
erit etiam »5 τ ἔμ. Ergo, si xó maior quadrante sit, et qua- 
drans x£ abscindatur, atque aequales cireumferentiae ad utras- 
que puncti & partes abscindantur, non fit problema. 


XXIV. Sed supponatur eadem figura, sitque quadrans Prop. 


xt, ei aequales circumferentiae Cy 29: versus punctum à ab- 
scindantur, et describantur, wt supra, maximi circuli!). Iam 
quia xL quadrans est, maior igitur est χζ quam 34; itaque 
propter propos. 16 maior et μὲ quam ἔν, 4. e. d. 


XXV... Sed suppona- P 


tur eadem figura, et ab- 
scindantur aequales cir- 
cumferentiae £y 29: versus 
punetum x, et descrihan- 
tur maximi circuli a39u 
αηξ atv. Εἰ quia χζ qua- 
drans et xÀ semicirculus 
est, reliqua igitur CA qua- 
drans est; itaque ζλ — ox ; 
restat igitur x9 « LÀ; ergo 
propter propos. 16 est et- 
iam μὲ « £y, q. e. d. 
XXVI. Sic igitur demonstravimus, primum, si ad rectos 
angulos circuli gy δὲ se secent, utique fieri id quod propo- 
situm est, tum, si non ad rectos angulos se secent, si pri- 
mum xà minor sit quadrante, rursus propositum utique fieri ; 





4) Sed tamen scriptor litteras geometricas hoc et proximo theore- 
mate paulum immultavit. Nam quoniam intererat seriem μ ἔ v ex 
propos. 25 retinere, in hoc theoremate maximus circulus est «Qu, qui 
in superioribus propositionibus fuerat e£; ac similiter cetera. 


add. τὸ σχῆμα ABS: 27 sqq.] cap. 32 aut totum a posteriore scrip- 
tore additum, aut ab ipso quidem Pappo compositum, sed passim inter- 
polatum esse videtur 27. Kc Alin marg., xc A rec. (BS) 98. τὸ 
S, τὰ AB 29. τῆς rov el 30. πλευρᾶς del. Hu auctore Co, item 
p. 548, 4. 3 830. τὸ Hu pro τὰ 


26 


rop. 
27 


518 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΡΩΓῊΣ c. 


(rob στοιχείου), ἐὰν δὲ ἡ ΚΙ μείζων ἢ ἱτῆς τοῦ] verga 
γώνου ἱπλευρᾶς), οὐ πάντοτε γίνεται, ἀλλὰ ἐὰν ἀπολάβω 
τὴν ΚΖ τετραγώνου, ἐὰν μὲν αἱ ἀπολαμβανόμεναι. στερι-- 
φέρειαι ἴσον ἀπέχωσιν τοῦ Ζ, οἱ γραφόμενοι κύχλοι μέγι- 
Gro. ἴσας ἀπολήψονται τὰς μεταξὺ αὑτῶν, ἐὰν δὲ αἱ ἀπο-ὃ 
λαμβανόμεναι ἔσαι ἐπὶ τῆς Zl. ἀπολαμβάνωνται, οἱ γρα- 
φόμενοι κύκλοι διὰ τῶν πόλων ἐλάσσονα ἀπολήψονται τὴν 
ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου τῆς ἀπώτερον, ἐὰν 
δὲ αἱ περιφέρειαι ἐπὶ τῆς ΖΚ ἀπολαμβάνωνται, συμβαίνει 
τὸ κατὰ τὴν πρότασιν, τουτέστιν οἱ διὰ τῶν πόλων γρα-ἴῦ 
φύμενοι ἀπολήψονται μείζονα τὴν ἔγγιον τοῦ ἐξ ἀρχῆς 
μεγίστου κύχλου τῆς ἀπώτερον" ὥφτε, ἐὰν μὲ ὀρϑοὶ τέμνω- 
σιν, γίνεται μὲν τὸ κατὰ τὴν πρότασιν, οὐ πάντοτε δέ (ἐὰν 
μὴ αἱ ἀπολαμβανόμεναι ἐπὶ τῆς ZK dnoAaufdvorrat). 

33 κζ΄. Ἐπειδὴ τρεῖς μόναι διαφοραὶ τῆς ϑέσεως τῶν 15 
μεγίστων κύκλων θεωροῦνται ἐν τῇ σφαίρᾳ [ἢ γὰρ ὀρϑοὺς 
εἶναι δεῖ αὐτοὺς πρὸς τὸν ἄξονα ἢ διὰ τῶν πόλων τῖς 
σφαίρας ἢ κεχλιμένους πρὸς τὸν ἄξονα), ἐπὶ τῶν τριῶν 
τὰς ἀποδείξεις ποιεῖται ὃ Αὐτόλυκος. 

Καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν o! καὶ β΄ καὶ γ' ϑεώρημα ἐπὶ τῶν 3. 
προειρημένων τριῶν ϑέσεων τῶν κύχλων ϑεωρεῖται, διὰ 
τοῦτο καϑολικῶς καὶ περιλητιτικῶς Pm? αὐτῶν τὴν ὅλην 
σφαῖραν παραλαμβάνει. ἐάν τε γὰρ τὸν μέγιστον χύχλον 

. ὀρϑὸν πρὸς τὸν ἄξονα ὑποϑώμεϑα, πάντα τὰ ἐπὲ τῆς ἐπε-- 
φανείας τῆς σφαίρας σημεῖα στρεφομένης τῆς σφαίρας κύ-- 25 
χλοὺς γράψει παραλλήλους τοὺς αὐτοὺς πόλους ἔχοντας τῇ 
σφαίρᾳ, καὶ πάλιν ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερδίας 


4. τοῦ στοιχείου del. Co 3. KZ Hu pro ΚΘ, item vs. 4. Ζ 
pro €, vs. 6. Z./ pro. G4, vs. 9. ZK pro OK 5. αὑτῶν Hu pro. 
αὐτῶν 6. ἀπολαμβένονται AS, corr. B. 7. πολων A? ex moÀ- 
λων (zóÀev B) ex πολλῶν) ἐλάσσονα Hu pro ἔλασσον 8. ἔγγειον 
A, corr. BS, item vs, 44 44, τῆς ΖΚ Hu pro τὴν ΘΑ 45, KZ 
ΑἹ ἴῃ marg, KZ' À rec. (BS) 49. ὃ αὖτος xvxlog A!, corr. A3 
30. τὸ μὲν πρῶτον καὶ δεύτερον καὶ τρίτον S, ac similiter posthac 
33. μέγιστον χύχλον add. Hu anclore (Ὁ 35. χύχλους — 37. σφαίρᾳ 
ipsa Aulolyci verba sunt prop. 4 





LIBER VI. 519 . 


si autem xó maior sit quadrante, non in omni casu fieri. 
Nam si quadrantem χζ absciderim, si primum (erm?ni circum- 
ferentiarum abscissarum aequaliter a ζ distent, maximi cir- 
culi per polos descripti aequales circumferentias in ma:imo 
parallelo intra se comprehendent, si autem aequales circum- 
ferentiae in ipsà CÓ abscindantur, circuli per polos descripti 
abscindent minorem eam quae primario circulo maximo pro- 
pior est quam illam quae remotior; denique si cireumferen- 
tiae in ipsà &x abscindantur, contingit id quod est propositum, 
nimirum circuli per polos descripti abscindent maiorem eam 
quae primario circulo maximo propior est quam illam quae 
remolior. Ergo, si circuli gy ó& non ad rectos angulos se 
secent, contingit id quidem quod propositum est, neque ta- 
men in omni casu (scilicet non contingit, nisi si aut xà mi- 
nor quadrante $i aut. aequales circumferentiae in ipsà Cx 
abscindantur). 


DE AUTOLYCI THEOREMATIS. 


XXVII. Quoniam tires tantummodo diversae positiones 
maximorum in sphaera circulorum considérantur (namque aut 
perpendiculares eos esse oportet ad axem, aut per polos 
sphaerae transire, aut ad axem inclinatos esse) sub his twi- 
bus rationibus Autolycus!) demonstrationes suas facit. 

Et quia theoremata eius primum secundum tertium ad has 
tres quas diximus positiones perlinent, in iis totam omnino 
sphaeram breviter comprehendit. Nam sive maximum cir- 
culum axi perpendicularem supposuerimus, omnia in super- 
ficie sphaerae puncta, dum sphaera vertitur, circulos paral- 
lelos describent, qui eosdem cum sphaera polos habebunt, 
eaque puncta aequali tempore similes parallelorum circulorum 

4) Autolyci περὶ κινουμένης σφαίρας propositiones edidit Dasypo- 
dius in "Spbaericae doctrinae propositionibus Graecis et Latinis", Ar- 
gentorati 4572, p. 36—40; plenum "Autolyci de sphaera quae movetur 
librum' ex codice Vaticano in Latinum convertit Ios. Auria, Romae 
4587; nos Greecum contextum anno 1876 ex bibliotheca Vaticana re- 


petivimus, itaque in adnotationibus quae mox sequuntur nonnulla emen- 
datius edimus quam apud Dasypodium leguntur. 


520 TIAHTIOY EYNATOTHZ c. 


τῶν παραλλήλων rà σημεῖα διεξέρχεται, καὶ [ἐπὲ τὰς πτερι-- 

φερείας) ἃς διεξέρχεται ἐν ἴσῳ χρόνῳ ὕμοιαί εἶσιν αἵ zegi- 

φέρειαι, ἐάν τε αὐτὸν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας ἢ λοξὴν 

πρὸς τὸν ἄξονα ὑποϑώμεϑα, ταὐτὰ συμβήσεται. ἕνεχα οὖν 

τούτου ἐπὶ τῆς ὅλης σφαίρας ἐποιήσατο τὰς ἀποδείξεις ἐπὶ" 
τούτων τῶν ϑεωρημάτων. 

84 Τὸ δὲ δ' ϑεώρημα ἐπὶ μόνης τῆς μιᾶς ϑέσεως ἁρμόζει, 
Ürav ὃ μέγιστος κύχλος ὀρϑὸς ἡ πρὸς τὸν ἄξονα, ὥστε 
πάντα τὰ λαμβανόμενα σημεῖα ἐπὶ τῆς σφαίρας μήτε ἀνα- 
τέλλειν μήτε δύνειν, ὃ xal χαραχτηριστιχὸν καὶ ἴδιόν ἐστιν τυ 
ταύτης τῆς ϑέσεως. 

35 Τὸ δὲ & καὶ αὐτὸ χαραχτηριστιχόν ἐστιν καὶ ἴδιον τῆς 
διὰ τῶν πόλων τῆς σιραίρας" ἐπ᾽ οὐδεμιᾶς γὰρ ἄλλης τῶν 
δυεῖν ϑέσεων πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας 
σημεῖα xol δύνει καὶ ἀνατέλλει, ἀλλ᾽ ἐπὶ μόνης ταύτης. — 15 

36 Τὸ δὲ ς΄ ϑεώρημα χαραχτηριστιχόν ἐστιν χαὶ αὐτὸ τῆς 
λοινιῆς ϑέσεως τῆς λοξῆς πρὸς τὸν ἄξονα οὐδεμία γὰρ τῶν 
ἄλλων ϑέσεων ἔχει τὸν μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον δύο 
χύχλων ἴσων τε καὶ παραλλήλων, καὶ τούτων τὸν μὲν ὄντα 
ἐν τῷ φανερῷ ἡμισιραιρίῳ διὰ παντὸς ὄντα φανερόν, τὸν 50 
δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ διὰ σπταντὸς ἀφανῆ- ἐφάψεται μὲν γὰρ 
πᾶς μέγιστος ἐν σφαίρᾳ κύχλος δύο κύχλων ἴσων τὲ zai 
παραλλήλων, ἀλλ᾽ οὐχ ἀεὶ φανερῶν οὐδὲ ἀεὶ ἀφανῶν. 

317 Πάνυ οὖν χαλῶς καὶ κατὰ λόγον πρότερον τὰ χαϑο- 
λιχὰ ϑεωρήματα προειπὼν [ἐν τοῖς ἐφεξῆς τρισὶ πρώτοις 25 
ϑεωρήμασι ϑεωρεῖται] μετὰ ταῦτα τὰ ἴδια καὶ χαραχτηρι-- 
στιχὰ vOv εἰρημένων ϑέσεων ἐχείϑεται ἃ συμβαίνει γίνε- 
σϑαι ἐφ᾽ ἑχάστης ϑέσεως [ἴδια], καὶ τὰ λοιπὰ ἅπερ ἐπὶ 
χοινῷ πάντα ἐσεὶν ϑεωρήματα καὶ σωζόμενα ἐπὶ μιᾶς μό- 
νης ϑέσεως (ἀλλὰ καὶ ἐπὶ δευτέρας, ἑξῆς τῇ τάξει τίϑησιν. 20 

38 Εὐθέως γοῦν τὸ ζ΄ αὐτῷ 9sdorua σώζεται ἐπί τε Óg- 
ϑῆς τῆς διὰ τῶν πόλων ϑέσεως καὶ ἐπὶ τῆς λοξῆς πρὸς 

4. ἐπὶ τὰς περιφερείας inlerpolatori tribuit. Hu 3. αὐτὸν Hu, 
«i A, αὖ B, om. S 8. ἄξονα, diare] dEovero A, ἄξονα τὰ B, ἄξονα 
τότε 8, ὥστε corr, Hu (nempe Co) 35. 96. ἐν roi; — ϑεωρεῖται 





LIBER VI. 521 


circeumferentias permeabunt, et circumferentiae, quas aequali 
tempore absolvent, similes erunt; sive maximum circulum 
per polos sphaerae sive obliquum ad axem supposuerimus, 
eadem contingent. Quapropter in his theorematis de tota 
sphaera demonstrationes suas composuit. 

Quartum autem theorema ad unam tantum positionem 
aptum est, si maximus circulus ad axem perpendicularis sil, 
ita ut omnia quae in sphaera sumuntur puncta neque orian- 
tur neque occidant, id quod huius positionis peculiare ac 
proprium est. 

ltem quintum theorema peculiare ac proprium est posi- 
tionis per polos sphaerae; minime enim in reliquis duabus 
positionibus omnia quae sunt in superficie sphaerae puncta 
et occidunt et oriuntur, sed in hac una. 

Item sextum theorema peculiare est alterius positionis, 
videlicet obliquae ad axem; nam in nulla alia positione ma- 
ximus circulus duos aequales et parallelos circulos tangit, et 
ita quidem, ut eorum alter, qui est in conspicuo hemisphae- 
rio, semper conspiciatur, alter autem, qui est in occulto, 
semper lateat. Omnis enim in sphaera maximus circulus 
duos aequales ac .parallelos circulos tangit, sed eos, praeler 
illum unum casum, nec semper conspicuos nec semper la- 
tentes. . 

Egregie igitur et subtiliter primum generalia theoremata 
praemittit, tum propria et peculiaria earum quas diximus po- 
sitionum, quatenus in unaquaque positione contingunt, explicat, 
denique reliqua omnia theoremata, quae cum in commune 
valeant, in una tantum positione (interdum tamen etiam in 
altera) servantur, suo deinceps ordine proponit. 

Nam statim septimum eius theorema et in perpendiculari 
per polos positione et in ea quae ad axem obliqua est ser- 


del Co 88. ἴδια del. et τὰ add. Hu. 48. 29. ἐπὶ κοινωνοῦντα ἔστιν 

A, ἐπικοινωνοῦνταά ἔστι BS, communia sunt Co, corr. Hu (nam vix veri 

similis est coniectura ἐπὶ χοινῷ νοούμενα ἐστιν) 31. γοῦν B, γ᾽ οὖν A, 

οὖν 8 31. 88. τε ὑρϑῆς et καὶ ἐπὶ — p. 522, 8. λοιπῆς ϑέσεως om. S 
Pappus II. 34 


822 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ c. 


τὸν ἄξονα " ἐδείξαμεν γὰρ ἡμεῖς πῶς δύναται σώζεσθαι Bor 
τῆς διὰ τῶν πόλων ϑέσεως τὸ ϑειώρημα. ἐπὶ eine d 
λοιπῆς ϑέσεως οὐ δύναται σώζεσθαι" οὔτε γὰρ ἀναϊγέλλει 

τι ἐχεῖ οὔτε δύνει. 

39 Τὸ δὲ η᾿ λέγεται ϑεώρημα ἐπὶ μόνης τῆς jolis - 
τὸν ἄξονα ϑέσεως" ἐπὶ γὰρ τῆς ϑέσεως τῆς : διὰ τῶν πόλων 
τῆς σφαίρας τὰ ἅμα ἀνατέλλοντα σημεῖα ἅμα χαὶ δύνει, 
χαὶ τὰ ἅμα. δύνοντα ἅμα καὶ ἀνατέλλει" πάντες γὰρ ἐκεῖ 
οἱ χύχλοι οἱ τέμνοντος, τὸν ὁρίζοντα δίχα τέμνονται. ὑπ᾽ 
αὐτοῦ, καὶ ἡμικύχλια ὑπέρ τε τὸν ὁρίζοντα & ἔχουσιν xai ὑπὸ 
τὸν ὁρίζοντα, χαὶ διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν τὰ ἅμα ἀνατέλ- 
λοντα ἅμα καὶ δύνει, καὶ τὸ ἀνάπαλιν. 

40 Ὁμοίως δὲ καὶ τὸ 8ϑ' αὐτῷ ἐπὶ τῆς αὐτῆς θέσεως quó- 
νῆς παραλαμβάνεται" βούλεται γὰρ τοὺς τοῦ αὐτοῦ ἐφα- 
πτομένους μὴ ἄλλου τινὸς ἐφάπτεσθαι ἢ μόνου τοῦ deils 
φανεροῦ. 

41 Τὸ δὲ V ἐπὶ τε τῆς διὰ τῶν πόλων ϑέδεως σιὔξεται 
καὶ ἐπὶ τῆς λοξῆς πρὸς τὸν ἄξονα, μόνης δὲ ᾿αὐξὸς τῆς ἐπὶ 
τῆς λοξῆς ϑέδεως ἀποδείξεως ἐμνήσϑη. ἡμεῖς δὲ τεροδάϊτε- 
δείξαμεν σωζόμενον τοῦτο xal ἐπ᾽ ἐχείνης τῆς ϑέσειος - Φπὶ 10 
μέντοι τῆς ὀρϑῆς oc τὸν ἄξονα ἔραμεν sg δὶς μὲν δὺς 
ἔσται ὀρϑὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα ὃ διὰ τῶν πόλων τῆς σῴαϊ- 
φὰς, ἀεὶ δέ. 

43 Ἐπὶ δὲ τοῦ ια' ϑεωρήματος τὴν χαλεπωτέραν εἴλη 
ϑέσιν τὴν λοξὴν πρὸς τὸν ἄξονα ἐν τῷ λέγειν “λοξὸς, 
πρὸς τὸν ἄξονα" καὶ “μειζόνων ἐφάπτεται ἢ ὧν ὃ 
χῆς ἐφήπτετο", ἐπιστάμενος τῆς διὰ τῶν πόλων ϑέσεως 
ὑπολειπομένης ῥᾳδίαν εἶναι τὴν ἀπόδειξιν" ἐδείξαμεν γὰρ 
ἡμεῖς züg καὶ ἐπ᾿ ἐκείνης τῆς ϑέσεως κατὰ πιάντι 
τοῦ ὁρίζοντος τοῦ μεταξὺ τῶν παραλλήλων ὧν ἐφάπτι 
τάς τε ἀνατολὰς χαὶ τὰς δύσεις ποιεῖται. 


49. 30. πρδαπεδείξαμεν σωζομένου τούτου ABS, corr, Hu 45. γῆν 
λοξὴν om. S 30. τοῦ (ante μεταξὺ) Hu pro τὸν 





LIBERA YI. 522 


vaiur; nam demonstravimus nos quidem etiam in positione 
quae est per polos tbeorema servari posse. Tamen in ter- 
tia positione servari Bon potest, quoniam illic neque oritur 
quidquam neque occidit. 

octavum theorema in una obliqua ad axem positione 
enumiiatur; nam in positiene quae per polos sphaerae est quae 
puncta simul oriuntur, ea simul etiam occidunt, et quae si- 
mul occidunt, ea item simul oriuntur. Omnes enim illic cir- 
culi horizontem secantes ab eodem bifariam secantur semi- 
cireulosque et super horizontem et infra horizontem habent, 
ob eamque causam quae punota simul oriuntur, ea simul 
etjam .oocidunt, et vice versa. 

.Sttniliter nonum theorema in eadem sola positione scrip- 
ior adsumit; vult enim circulos, qui eundem circulum tan- 
gunt, nullum alium tangere nisi eum qui semper conspicitur. 

Decimum autem theorema et in ea positione quae est 
per poles et in illa quae obliqua ad axem .est servatur; ipse 
jamen .unius ohliquae ad axem positionis demonstrationem 
ootumemoravit!). Nos autem praeterea demonstravimus idem 
etiam in altera positione servari. At vero in tertia, videlicet 
 perpendienlari ad axem, exposuimus, quemadmodum circulus 
qui per polos transit non bis perpendicularis sit ad horizontem, 
sed semper. | 

Sed in undecimo theoremate?) difficiliorem positionem 
ebliquam ad axem adsumpsit sic dicens: "obliquus ad axem" 
et "maiores tangit quam quos primarius tangebat" ?), non 
ignorans positionis per polos, quam omisit, demonstrationem 
facilem esse. Etenim nos ostendimus, quemadmodum cir- 
culus etiam in iHa positiene per -omnem locum  horizontis, 
Qqui.est inter ees .parallelos quos tangit, et ortus οἰ occasus 
efficiat. 


4) 'E&v ἐν σφαίρᾳ μέγιατος κύχλος λοξὸς ὧν πρὸς τὸν ἄξονα ὁρέζη 
TO Tt φανεθὸν τῆς σφαίρας χαὶ τὸ ἀφανές, ὁ δεὰ τῶν πόλων τῆς σφαί- 
ρας Ἄψῳυλος ἐν μιᾷ περιορᾷ «τῆς σφαέρας δὶς ἔσται ὀρϑὸς πρὸς τὸν 
ὁοέζαντα Autol. prop. 40. 

4) ᾿Εὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύχλος λοξὸς ὧν πρὸς τὸν ἄξονα δρίζη 
τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας aai τὸ ἀφανές, ἄλλος δέ τις λοξὸς μέγιστος 
xüxloc μειζόνων ἅπτηται ἢ ὧν ὁ ὁρίζων ἅπτεται, χατὰ πᾶσαν τὴν τοῦ 
ὁρέζοντος περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῶν παραλλήλων χύχλων «v ἔφαπτε- 
ται τάς τε ἀνατολὰς χαὶ τὰς δύσεις ποιεῖται. Haec. nos e codice Va- 
ticano descripsimus, cum quibus convenit Auriae interpretatio; “8 Υ- 
podius autem codice .mutilato et lacunoso usus est. 

3, Graeca μειζόμων — ἐφήπτετο recle. quidem ad sensum, ,8 
verbis liberius mutatis a Pappo citata sunt. 

34* 


524 ΠΛΠΠΟΥ XYNATOTHZ c. 


43 Ἐπὶ δὲ τοῦ ιβ΄ ϑεωρήματος φανερὸν ὅτι ἐπὶ μόνης τῆς 
λοξῆς ϑέσεως συμβαίνει τε xal ἁρμόζει. 

44 [46i μέντοι καὶ τοῦτο μὴ ἀγνοεῖν ὅτι ὀρϑοὶ μὲν πρὸς 
τὸν ἄξονα μέγιστοι κύχλοι πολλοὶ οὐ δύνανται ὑποστῆναι, 
εἷς δὲ μόνος καὶ μονογενής, διὰ δὲ τῶν πόλων τῆς σφαί- ὃ 
ρας «cl λοξοὶ πρὸς τὸν ἄξονα ἄπειροι. χαὶ οἵ μὲν διὰ 
τῶν πόλων τῆς σφαίρας πάντες στρεφομένης τῆς σφαίρας 
ἐφαρμόζουσιν ἑαυτοῖς, οἱ δὲ λοξοὶ πάντες μὲν οὐκέτι, Pxei- 
vov δὲ μόνοι οἵτινες τοῦ αὐτοῦ τῶν πταραλλήλων ἐφάπεον- 
ται (ὃς πιαράλληλος περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐσεὶ τῇ σφαίρᾳ 10 
χαὶ ἔτι ὀρϑὸς πρὸς τὸν ἄξονα). μήποτ᾽ οὖν διὰ τοῦτο καὶ 
ὁ Αὐτόλυκος, ἀρχόμενος τὰ παραχολουϑοῦντα ἴδια καὶ 
χαρακτηριστιχὰ ἑκάστῃ ϑέσει ἐχείϑεσθαι, ἀπὸ τῆς ἁπλου- 
στάτης καὶ πρώτης ἤρξατο ϑέσεως. αὕτη δέ ἐστιν dj τὸν 
μέγιστον κύκλον ἔχουσα ὀρϑὸν τιρὸς τὸν ἄξονα - μονογενὴς 15 
δὲ αὕτη ἐστὶν jp ϑέσις, ὡς ἔφημεν, καὶ μεταχίνησιν οὐδ᾽ 
ἡντινοῦν ἐπιδεχομένη. μετὰ δὲ ταύτην τὴν τῇ τάξει ἁπλου- 
στέραν. αὕτη δέ ἐστιν ἡ διὰ τῶν πιόλων τῆς σφαίρας, xad 
ἥν, ἔφημεν, ἄπειροι μὲν δύνανται χύχλοι γράφεσϑαι διὰ 
τῶν πόλων τῆς σφαίρας, τεάντες δ᾽ ἑαυτοῖς ἐφαρμόζοντες 20 
διὰ τὸ τοὺς πόλους ἑστηκέναι xci μὴ μεταγίνεσϑαι. ἣ δ᾽ 
ἄλλη ϑέσις ἔχει μὲν ἐπί τινων τοῦτο, ὡς ἔφημεν, ἐπὶ δέ 
τινῶν οὐκ ἔχει" ταύτῃ οὖν ταύτην μὲν τρίτην τῇ τάξει ἔϑης 
κεν, τὴν δὲ ἑτέραν ἐν δευτέρᾳ χώρᾳ κατέταξεν.] 

45 κη΄ Ταῦτα μὲν οὖν εἴρηται λόγῳ περιοχῆς, ζητεῖται 25 
δ᾽ ἐν τῷ βιβλίῳ, ὅπερ ἀναγκαῖον παραμυϑήσασϑαι, ztüc 
τὰ μὴ ἔσω τοῦ ἄξονος ὄντα σημεῖα, ἀλλ᾽ ἐπὶ τεῆς ἐπιφα- 
γνείας τῆς σφαίρας, χύχλους γράφει συμπεριαγόμενα τῇ 
σφαίρᾳ. εἰ μὲν γὰρ τὰ σημεῖα εἱστήχει καὶ μὴ συμπερεή- 
yero τῇ σφαίρᾳ, πιϑανὸν ἦν τὸ λέγειν ὅτε ἣ γραμμὴ ἣ yi 30 
vouévi ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὑπό τινος σημείου 
κύχλου ἐσεὶν περιφέρεια, εἰ δ᾽ αὐ πάλιν jj τε σφαῖρα ἐστρέ- 

4. initio K&/. add, A rec. (BS) 3 sqq.] totum caput 44 mani- 
festa interpolatoris vestigia prodit 48. ἐχτίϑεϑαι (sic) A, ἐχτέϑετας S, 
corr. B 34. ἡστηκείκενειι A, prius xe expunxit. prima manus 
μετάγεσϑαι coni. Hu — 35. xy add. Hu 





. LIBER VI. 595 


Denique duodecimum theorema in una obliqua positione 
contingere et congruere apparet. 

[Neque tamen hoc ignorare licet, perpendiculares ad axem 
maximos circulos non plures constitui posse, sed unum tan- 
tum et una ratione genitum, per polos autem sphaerae aut 
ad axem obliquos infinitos numero. Et ii quidem qui per 
polos spbaerae transeunt, dum sphaera vertitur, ipsi inter se 
congruunt!); obliqui autem non item omnes, sed illi tantum 
qui eundem parallelum tangunt (qui quidem parallelus et eos- 
dem cum sphaera polos babet et ad axem perpendicularis est). 
.-Hac igitur de causa, nisi fallimur, Autolycus, cum ea quae 
cuiusque positionis propria et peculiaria sunt exponere in- 
ceperit, a simplicissima: et prima initium fecit; haec autem 
est, quae maximum circulum perpendicularem habet ad axem. 
AÁtque haec quidem positio, ut diximus, una ratione gignitur 
neque ullam mutationem recipit. Deinceps eam  posittonem 
addil quae superiori simplicitate proxima est; haec autem est 
per.sphaerae polos, iuxta quam innumerabiles, ut diximus, 
circuli per polos sphaerae describi possunt, qui omnes pro- 
pterea inter se congruunt, quod poli sphaerae stabiles et 
motus expertes sunt. Reliqua autem positio in aliis hoc pro- 
prium habet, ut diximus, in aliis non habet. Quapropter 
banc tertiam ex ordine posuit et illam alteram secundo loco 
collocavit.] 


XXVIII. Haec igitur summatim dicta sunt; sed illud in 
hoc libro quaeritur quod probare opus sit, quomodo puncta, 
quae non intra axem, sed in superficie sphaerae sunt, dum 
unà cum sphaera circumaguntur, circulos describant. Nam 
si puncta starent neque cum sphaera circumagerentur, facile 
fidem haberes ei qui lineam in superficie sphaerae ab aliquo 
puncto effectam circumferentiam circuli esse diceret; vel si 
rursus sphaera circumageretur in eaque punctum aliquod si- 


4) Id est, si unus quilibet ex his circulis, dum sphaera vertitur, 
ipse non moveatur, sed suo loco maneat, omnes reliqui ex ordine in 
circumactione sphaerae cum hoc congruunt. 


526 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ c. 


φεῖὸ xdi τὸ δημεῖον ὁμαλῶς ἐφέρετο κατ᾽ αὐτῆς συμπερι- 
ἀγόμενον αὐτῇ, ὑπολειπόμενον μέντοι ἢ ὑπεχτρέχον κατὰ 
τὰ αὐτὰ τῆς σφαίρας, καὶ οὕτως ἂν εἶχέ τινὰ λόγον. ὑπο- 
λειπόμενόν te γὰρ τῆς σφαίρας ἐξ ἀνάγχης τόπους μεῖα- 
μεῖβον χατὰ συνέχειαν ἂν γραμμήν τινα ἐγέννα ἐν τῇ ἐπι- 5 
φανείᾳ τῆς σιραίρας, ὑπεχτρέχον δὲ τῇ αὐτῷ λόγῳ [κύκλον 
γράψιειεν ἂν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας], μήτε δὲ ὕπο: 
λειπόμενον μήτε ὑπεχερέχον, ἀεὶ δὲ τὸν αὐτὸν τόπον ἐπέ- 
χον ἐν τῇ σφαίρᾳ σερεφομένης αὐτῆς, ϑαυμαστὸν ἴσως ἂν 
δόξειεν τεῦς χύχλὸν γράψειεν. ὀφείλει yàp τὸ γράφον περί τὸ 
τι γράφειν ἑστός, εἶ δὲ πὲρὶ ὃ γράφει οὐχ ἕστηκεν, πῶς 
γράψει τὸ γράφον; πάντα μὲν οὖν τὰ ἐν τῇ σφάίρᾳ ote 
φομένης αὐτῆς οὐχ ἕστηχεν, μόνος δὲ ὁ ἄξων ἕστηκεν, xal 
ἐπὶ τὸν ἑστῶτα ἀπὸ τοῦ φερομένου αἰεὶ σημείου χάϑετος 
ἄγεται καὶ συμβάλλει τῷ ἄξονι δῆλον ὅτι xard τι σημέϊον" 15 
δεῖ ἄρα τὸ σημεῖον xu9^ ὃ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις αἵ εὐ- 
ϑεῖαι ἑστηχέναι, ἐπεὶ καὶ ὁ ἄξων ἕστηχεν. καὶ ἐπεῖ τὸ 
μὲν σημεῖον ἐν τῷ ἄξονί ἐστιν, ἣ δὲ ἀχϑεῖσα χάϑετος ἐν 
τῇ σφαίρᾳ, στρεφομένης τῆς σφαίρας συμπεριάγεται μὲν 3 
εὐθεῖα μετὰ τοῦ ἑτέρου πέρατος τοῦ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας 20 
τῆς σφαίρας, fornzév δὲ τὸ ἐπὶ τοῦ ἄξονος. ἀνάγχη οὖν 
συμπεριφερομένην ταύτην τὴν εὐθεῖαν σὺν τῇ σφαίρᾳ, χαϑ᾽ 

9 μὲν φέρεται ἣ σφαῖρα κινουμένης αὐτῆς, xa9^ ὃ δὲ πε- 
περάτωται ἑστώσης, καὶ μὴ μεταμειβούσης τὰ πέρατα, κατ᾿ 
ἐπισεέδου φέρεσϑαι. ἕστηκεν δ᾽ ἐκεῖνο τὸ ἐπίπεδον, xod? 25 
οὗ φέρεται [τοῦτο δὲ τὸ ἐπεύτεδον οὐκ ἀλλαχόσε ἐσεὶν ἢ ἐν 
τῇ σφαίρᾳ). ἐπεὶ οὖν ἐπίνεδον ἑστὸς ὑπόκειται, xa9^ οὗ 
φέρεται ἡ εἰρημένη εὐθεῖα, καὶ ἔστιν εἰλημμένα ἐπ᾿ αὐτοῦ 
oo τυχόντα σημεῖα [τὰ πέρατα τῆς φερομένης εὐθείας τό 
τε πρὸς τῷ ἄξονι καὶ τὸ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς δφαίραρ], 30 
δυνατὸν δέ ἐστιν ἐν ἐπιτέδῳ τιαντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματε 
κύκλον γράφειν, δῆλον ὅτι ἡ κέντρῳ μὲν τῷ ἐπὲ τοῦ ἄξονος 

5. ἄν add. Hu — 6. 7. κύχλον — σφαίρας interpolatori tribuit Hu. 

44. ἐδτώς A[BS) corr. Hu 93. συμπεῤιφερομένης ταύτης τῆς εὐθεέας 
ABS, corr. Hu auctore Co 33. ὃ δὲ Hu pro ἃ di 35. φέρεται 
ἔστηχεν ἐχεῖνο ABS, corr, Hu auctore Co — 26, 37. τοῦτο δὲ — σιξαίρᾳ 





LIBEB. VI. 527 


mul eanversum ferre(ur, sed id tardiorem aut celeriorem mo- 
tum, quam spbaera!), aequabiliter haberet, etiam sic id quod 
propasdum est ratipnpem aliquam haberet. Nam et, si tardius 
quam sphaera punctum procederet, necessario positiones suas 
cpntinuo mutans lineam quandam in sphaerae superficie de- 
scriberel, et, si celerius, eodem modo; at vero, si neque 
relinquatur naegue praecedat semperque eundem locum in 
sphaera, dum haec convertatur, obtineat, iure mirum videa- ᾿ 
tur, quampdo circulum describere possit. Nam id quod J;- 
nenm. describit in stabili aliqua superficie. describat necesse 
es$; sin id, in quo describitur, instabile est, quomodo id 
quod descrihit faciat lineam? Qmnia quidem in sphaera pun- 
cta, dum haec qonvertitur, locum suum mutant praeter unum 
axem qui ηιπιοδι δ stat; itaque apparet ad eum axem a 
puncto quod circumfertur semper perpendiculares duci posse 
easque axi in aliquo puncto occurrere. Ergo, quoniam axis 
siat, eliam punctum, in quo illae perpendiculares concurrunt, 
stare oportet. Εἰ quoniam id punctum in axe, recta autem 
perpendicularis in sphaera est, eius rectae, dum sphaera con- 
verltur, id punctum, quod est in superficie sphaerae, simul 
converlitur, id autem, quod est in axe, stat. Itaque cum 
baec recta simul cum sphaera circupagatur et, quatenus 
sphaera converütur, moveatur, quatenus autem /n 1950 aae 
terminum habet, loco suo stet, cumque eosdem semper ter- 
mjnos retineat, ipsam in plano circumagi necesse est. Ποὺ 
3gtem planum, jn quo fertur, stabile est. Ergo cum stabile 
planum οὐ ip hoc ea quam diximus recta inque ea duo puncta 
quaelibet supposita sipt, atque omni centro et intervallo cir- 
£ylum in plano describere liceat, apparet eum circulum, cuius 
centrum est puuctum in axe, radius autem intervallum ab 


4) Apparet τῆς σφαίρας a scriptore brevius dictum esse pro his: 
"quam circulus parallelus in sphaerae superficie, in quo id punctum est". 


interpolatori tribuit Hu 37. ἑστὼς ABS, corr. Hu, item p. 528, 4 
29. $9. τὰ πέρατα — σφαίρᾳς interpolatori tribuit Hw 29. φαινο- 
uáyac 8 89. ἐν add. Hu auctore Co 84. δῆλον ὅτι ASBS 


528 ΠΆΠΠΟΥ XYNATOTHS c. 


σημείῳ διαστήματι δὲ τῷ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας 

σημείῳ κύχλος γραφόμενος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γραφήσεται, ἐφ᾽ 

οὗ ἡ εἰρημένη εὐθεῖα ἐφέρετο" τὸ ἄρα σημεῖον τὸ ἐπὶ τοῦ 

ἄξονος ἑστὸς αἴτιον ἐγένετο τοῦ χύχλον γραφῆναι ὑπὸ τοῦ 

ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείου [ἀδύνατον γὰρ μὴ5 
ἑστῶτός τινος αὐτὸν γραφῆναι)" οὐχ ἄρα δυνατὸν ἣν τὸ 

πρόβλημα γενέσϑαι, εἰ μὴ κάϑετος ἦν ἀχϑεῖσα ἐπὶ τὸν 

ἑστῶτα ἄξονα. 

[Kai τοῦτο δὲ δεῖ εἰδέναι ὅτι, ὅτε κάϑετον ἄγει ἐπὶ 
τὸν ἄξονα xal ἐχβάλλει τὸ διὰ τοῦ ἄξονος xol τῆς καϑέτου τὺ 
ἐπίπεδον, ὡς ἐπὶ ἑστηκυΐας τῆς σφαίρας τοῦτο ποιεῖ. ἀμή- 
χανον γάρ ἐστιν σιρεφομένης τῆς σφαίρας χάϑετον ἄξαι 
ἐπὶ τὸν ἄξονα" δεῖ γὰρ προῦποχεῖσϑαι ἐπίπεδον, ἵνα iv 
τῷ ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης εὐθείας τε καὶ σημείου τυχόντος. 
dz τοῦ σημείου κάϑετον ἀγάγωμεν Pri τὴν εὐθεῖαν. qégo- 15 
μένου δὲ τοῦ σημείου ἐν τῷ στρέφεσϑαι τὴν σφαῖραν καὶ 
παριόντος ἀμύϑητα ἐπίπεδα, τῆς δὲ εὐθείας ἑστώσης, οὐ 
δύναται κάϑετος ἄγεσθαι ἐπὶ τὴν εὐθεῖαν, ὅταν δὲ καὶ τὸ 
σημεῖον στῇ καὶ ἣ εὐθεῖα, τότε νοουμένων αὐτῶν ἐν Épi- 
πέδῳ δυνατὸν ἀπὸ τοῦ σημείου ἐπὶ τὴν εὐθεῖαν κάϑετον 30 
ἀγαγεῖν. 

41 xW. Ὅτι δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ τυχόντος σημείου τῶν ἐπὶ τῆς 
σφαΐρας ἐπὶ τὸν ἄξονα κάϑετος ἀγομένη ἐντὸς τῆς σφαίρας 
αὐτῷ συμτείπιτει οὕτως δειχϑήσεται 

Ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς ἄξων ὃ 4B, πόλοι δὲ αὐτῆς τὰ 30 
«1 B σημεῖα, καὶ εἰλήρϑω ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας 
τυχὸν σημεῖον τὸ D, καὶ ἤχϑω χάϑετος ἐπὶ τὴν .4B* λέγω 
ὅτι ἐντὸς τῆς σφαίρας τῇ AB συμπίπτει. 

Mj, γάρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατόν, συμπιτπιτέτω αὐτῇ ἐκτὸς χατὰ 
τὸ 4 σημεῖον, καὶ ἔστω ἡ F4 ἐπὶ τὴν AB χάϑετος, ἀαὶ80 
εἰλήφϑω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ E σημεῖον, καὶ ἐπεε- 
ζεύχϑω 5 ΕΓ. ἐπεὶ οὖν τὸ E σημεῖον κέντρον ἐστὶν τῆς 
σφαίρας, ἴση ἐστὶν ἡ ET τῇ ΕΑ͂" μείζων ἄρα ἡ E4 τῆς 


5. 6. ἀδύνατον — γραφῆναι οἱ totum cap. 46 interpolalori tri- 
bui Hw 16. στρέφεσθαι A? ex στέφεσϑαι — 33. χϑ' add. Hu 





LIBER VI. PROPOS. 38. 529 


eo puncto ad punctum superficiei, in eodem plano describi, 
in*quo ea quam diximus recta ferebatur. ltaque punctum 
stabile in axe effecit, ut circulus a puncto quod est in super- 
ficie sphaerae describeretur. Ergo problema solvi non po- 
terat,' nisi δὰ stabilem axem recta perpendicularis deducta 
esset. | 

[Atque hoc etiam sciendum est, si quis rectam perpen- 
dicularem ad axem ducat et planum, quod per axem et eam 
perpendicularem transit, producat, id nisi stante sphaera fieri 
non posse. Nam dum sphaera convertitur, recta ad axem 
perpendicularis duci nequit. Necesse est enim. planum an- 
tea suppo$Situm sit, ut, cum in plano recta quaedam et quod- 
libet punctum sint, ab eo puncto perpendicularem ad illam 
rectam ducamus. Quodsi punctum unà cum sphaera con- 
versa feratur et innumerabilia plana percurrat, illa. autem 
recta stet, "perpendicularis ad rectam duci non potest; at 
vero; si'et punctum οἷ᾽ recta stent, cum haec in uno plano 
cogitentur, ab eo puncto ad rectam perpendicularis potest 
duci.] 

XXIX. Sed rectam, quae a quolibet in sphaera punclo Prop. 
perpendicularis ad axem ducitur, intra sphaeram axi occur- 
rere sic demonstrabitur. 

Sit enim sphaera, cuius axis αβ el 

poli & 8, et in superficie sphaerae quod- 
' libet pünctum γ sumatur, unde recta ad 
αβ perpendicularis ducatur; dico hanc 
intra sphaeram: ipsi af? occurrere. 

Etsi non est, tamen, si fieri possit, 
occurrat extra sphaeram in puncto Ó (sit 
igitur yÓ perpendicularis 84 fe), et 
sumatur sphaerae centrum .&, eti iun- 
gatur ey. lam quia punctum & centrum 
sphaerae est, aequales sunt &y ea; ila- 





$5. 96. 'πολλοὶ δὲ αὐτῆς τὰ 4B A, corr. BS 30. x«l — κάϑετος 
interpolata potius quam a Pappo scripta esse videntur 


530 TIAHIIOY ZYNATOTHE c. 


EF. καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν τὸ ED καὶ μείζων $ ἘΔ 
τῆς ΕΓ, καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ἘΓΑ͂ γωνίας τῆς ὑπὸ EAT. 
μείζων ἐστίν. ὀρϑὴ δ᾽ ἡ ὑπὸ EAT". μείζων ἄρα ὀρϑῆς ἡ 
ὑπὸ ΕΓ." τριγώνου ἄρα τοῦ EF4 αἱ δύο γωνέαι δύο ἀρ- 
ϑῶν μείζους εἰσίν, ὅτεερ ἀδύνατον" οὐκ ἄρα 1j ἀπὸ τοῦ Γ5 
ἐπὶ τὴν AB. κάϑετος ἀγομένη ἐκτὸς τῆς σφαίρας αὐτῇ avu- 
πέπτει. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ κατὰ τὰ πέρατα τοῦ 
ἄξονος τὰ La Β"δὐπὸρ, ἄφαννἡ! ido: dio rop. bruni 
χάϑετος ἀγομένη ἐντὸς ninr& τῇς σφαίρας, ὅπερ ἔδει 
δεῖξαι. 10 
48 λ΄. Ἐν τῷ δ΄ ϑεωρήματι ὁ Θεοδύσιος ψευδαγραφεῖται. 
ἀποδείξας γὰρ τὴν NO ἡμέραν μείζονα τῆς MH. ἡμέρας 
ὑπενοήϑη ὡσαύτως ἀποδείξειν ὅτι καὶ ἡ προγεγενημένη νὺξ 
τῆς NO ἡμέρας τῆς ἐπιγινομένης νυχτὸς τῇ MII ἡμέρᾳ 
ἐλάσσων ἐστίν. 15 
Ἔστω γὰρ ἡ πρὸ τῆς Ν ἀνα- 
τολῆς δύσις ἡ P, καὶ κείσϑῳ τῇ 
PN ἴση ἡ HX. ἰχαϑ᾽ ὑπόϑεσιν, καὶ 
ἔστω ἐπὶ τοῦ ὑποκειμένου σχήμα-. 
τος γινόμενος ὁ λόγος). εἰ μὲν οὖν 30 
ἐλάσσων ἦν [καὶ ἡ NO τῆς MIL, 
ἐγένετο ἂν αὐτῷ καὶ ὅλη $ NA 
ὕλης τῆς 41 ἐλάσσων, καὶ αἱ παρ- 
αλλαγαὶ τῶν ἴσων περιφερειῶν αἵ 
NP ΠΣ ὡσαύτως ἐπεραίνοντο. νυνὶ 25 
δέ, ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΘΩ͂ τῆς 4M. μείζων δὲ ἡ ON τῆς 
ΜΠ, οὐκ ἔστιν φανερὸν ὅτι καὶ ὅλη ἡ AN ὅλης τῆς ATI 
ἐλάσσων ἐστίν" δυνατὸν γάρ ἐστιν καὶ ἴσην γίνεσϑαι καὶ 
μείζονα. μὴ οὔσης δὲ ἐλάσσονος τῆς 4/N οὐχέτι δυνησό- 
μεϑα λέγειν διότι ἡ ΝΡ περιφέρεια ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ 80 
παραλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἤπερ ἡ ΠΣ. ἔδει οὖν προδείξαντα 
ὁ, ἡ om, ΔΒ, δά, S, , T, δὴ Al gui 10. δεῖξαι Hu auc 
lore Co pro ποιῆσαι ὀ141. A add. A rec. (BS) —— vevdoygoqe- 
ται (sic) A, ψευδογράφεται S, corr. B 43. τὴν ΝΘ B, post τὴν 
in A duae litterae paene evanidae, in S lacuna 44. τῆι ΜΖ ἡμέρας 
AB, τῆς μπ ἡμέρας 8, corr. Hu A8. xa" ὠπῴϑεσιν — 80. λόγος 





LIBER VI. — 581 


que &Ó ^ cy. Et quia in triamgmlo &eyd est ed Ὁ ey, angu- 
lus etiam eyó maior est angule δὸγ. Sed er hypothesi an- 
gulüs δὸγ rectus est; ergo angulus eyó maior quam rectus; 
trisbguli igitur eyd duo anguli maiores sunt duobus rectis, 
id quod fieri nequit. Ergo recta, quae a y ad ef perpen- 
dieularis ducitur, non extra sphaeram ipsi αβ accurrit. Ác 
similiter demonstrabimus egaudem non occurrere im axis ter- 
minis a 9; ergo intra occurrit. ltaque recta, quae a γ ad a6 
perpendieularis dueitur, intra spbaeram cadit, 4. e. d. 


IN THEODOSII LIBRUM I DE DIEBUS ET NOCTIBUS. 


XXX. Theodosium in quarto theoremate libri primi de 
diebus ei noctibus!) quidam falso interpretantur. Nam cum 
demonstravisset diem »9 maiorem esse die μὲσ’ ἢ, consenta- 
neum erat ab eodem demonstrari etiam noctem, quae diei »9 
praecessit, minorem esse nocte, quae diem gr secutura est. 

Sit enim e occasus ante ortum », et ponatur π΄ — Qv 
[ex hypotbesi, et fiat ratiocinatio in figura supposita]. Si 
igitur »9 minor esset quam Qr, ex illius ratione etiam tota 
»Ó minor fieret quam (ota ὅπ, et permutationes aequalium 
cireumferentiarum »Q πα similiter perficerentur. Nunc au- 
tem, quoniam Jó minor quam ὃμ et 9» maior est quam 
Hz, non apparet etiam totam ὃν totà dz; minorem esse. Nam 
fieri potest, ut et aequalis et maior sit. Quodsi ὃν non minor 
sit, iam non licebit dicere circumferentiam ve minore tempore 
occultum Ahemisphaerium permutare quam πα. Ergo a Theo- 

4) Theodosii librorum duorum περὶ ἡμερῶν καὶ νυκεῶν» proposi- 
tiones edidit Dasypodius in "Sphaericae doctrinae propositionibus" (conf. 
supra p. 549 adnot. 4) p. 235—856; plenos "Theodosii Tripolitae de die- 
bus et nootibus" libros in Latinum convertit Ios. Auria, Romae 4591. 
Sed de iis quae supra a Pappo disseruntur liquido iudicari non poterit 


ante quam Grdecus contextus in lucem prodierit. Quem nos manibus 
tenemus, atque ex his schedis ea quae proxime sequuntur citamus. 

*) diyo δὴ ὅτι καὶ ἡ πρὸ τῆς Θ δύσεως ἡμέρα (id est dies v9) 
μεέζων ἐστὶν τῆς μετὰ τὴν M ἀνατολὴν ἡμέρας (id est die uz). Theo- 
dosíus manu scriptüs. 


interpolatori tribuit Hu 34. καὶ del. Hu auctore Co 35. ἐπεραέ- 
vovro AB? Paris. 28368, ἐπερεύνονεο Β΄, ànepeívovto S S 


532 TIAUHIOY. ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ 7. 


τὸν Θεοδόσιον ὅτι αἰεὶ αἱ συντιϑέμεναι περιφέρειαι τῶν 
νυχτῶν xci τῶν ἡμερῶν ἐπὶ τοῦ 4I μέρους τῶν συνειϑε- 
μένων περιφερειῶν ἐπὶ τοῦ .1}} μέρους ἐλάσσονές εἶσιν, 
οὕτως ἐπιλέγειν. ὕτι καὶ, τὰ λοιπὰ δειχϑήσεται ὁμοίως 
[ταῦτα ἐπεὶ τοῦ ὑποκειμένου σχήματος. s 0 y 
49 , λα΄. Ἡμεῖς δὲ τὸ παραλελειμμένον ὑντὸ τοῦ dei 
σίου ἀπεδείξαμεν 4 Hl ai τοῦτον τὸν τρόπον. Ὁ 
νατελλέτω γὰρ ὃ ἥλιος πρὸς τῷ Ζ, δυνέτω δὲ πρὸς 
τῷ H, καὶ ἔστω ἐλάσσων ἡ 472 τῆς «1, καὶ πάλιν ἔστω 
ἡ μὲν προγεγενημένη δύσις τῆς Ζ ἀνατολῆς ἡ Θ, 1 δὲ τιρο- τὸ 
γεγενημένη ἀνατολὴ τῆς € δύσεως ἣ Ν, ἔτι δὲ ἔστω ἡ μὲν 
μετὰ τὴν Ἡ δύσιν ἀνατολὴ. ἡ Κ, ἡ δὲ μετὰ τὴν K ἀνατο- 
λὴν δύσις ἡ jj «Ἱ, καὶ ἔστω ἡ μὲν ZO νὺξ ἐλάσσων τῆς HK 
νυκτός, ἡ δὲ ΘΝ ἡμέρα μείζων τῆς ἹΚΟῚ ἡμέρας" λέγω" ὅτι 
ὅλη ἡ 4N rui τῆς A ἐλάσσων ἐστίν. 15 
50 Ei γὰρ μή, ἤτοι ἴση ἐστὶν ἢ μείζων. ἔστω πρότερον 
low. ἐπεὶ οὖν ἐλάσσων ἐ ἐστὶν ἧ μὲν 42 τῆς 4H ἣ δὲ ΖΘ 
τῆς BK, ὅλη. ἄρα ἡ 40 ὅλης τῆς 4K ἐλάσσων ἐστίν. 
ἔστω οὖν αὐτῇ ἴσῃ ἡ 41Μ. ἔστιν δὲ xai ὅλη ἡ ἡ N4 ὅλῃ ἢ 1.1 
Toy: λοιπὴ ἄρα 1, ON λοιπῇ τῇ M. tor dattv. ἐπεὶ οὖν 2 
5, ἥλιος ἀνατείλας μὲν πρὸς τῷ Ν ἔδυνε τιρὸς τῷ Θ, ἐν 
ᾧ ὃ ἥλιος τὴν ΘΝ διαπορεύεται, ἡ ΘΝ παραλλάσσει, τὸ 
φανερὸν ἡμισφαίριον. ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ὃ ὕλίος τὴν ΝΘ 
διαπορεύεται, χαὶ τὴν ἴσην τὴν MAC ἐν ἴσῳ ἄρα ὁ ἥλιος 
τὴν MA διαπορεύεται καὶ À ON παραλλάσσει τὸ φαγερὸν 25 
ἡμισφαίριον. ἐν t ἴσῳ δὲ ἡ ΘΝ παραλλάσσει τὸ φανερὴν 
xal j «11 [ἴσαι γὰρ οὖσαι ἴσον ἀπέχουσιν τῆς ϑερινῆς 
συναφῆς," ἐν ἴσῳ ἄρα ὁ ἥλιος τὴν Ἢ.1 διαπορεύεται xai 
j M. παραλλάσσει τὸ φανερόν. ἀλλ᾽ ὁ μὲν ἥλιος τὴν 
M.4 διαπορεύεται ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἑκατέραν τῶν 30 
ΔΚ ΚΑ διαπορεύεται, ἡ δὲ "1.1 παραλλάσσει τὸ φανε- 


5. ταῦτα — σχήματος interpolatori tribuit Hu 6. 44 A! in 
marg. (BS) 40. προγεγεννημένη (post uiv) A, corr. BS, item statim. 
posthac 43. τὴν H. δύσις AB, cob " δύσις S, corr. Hu auctore. Co 
47. ἡ Z4 δὲ ABS, corr, Hu.— 33. τὴν 99 B, τὴν HO AS 





LIBER VI. PROPOS. 49. 533 


dosio primum demonstrari oportebat summas circumferentiarum 
noctium et dierum in parte d» (velut à9 -- 9v) semper mi- 
nores esse quam summas circumferentiarum in parte de; tum 
vero idem addere debebat reliqua etiam similiter demonstra- 
tum iri. 

XXXI. Nos autem id quod Theodosius omisit ratione 
plane astronomica demonstravimus hunc in modum. 

Oriatur enim sol ad punctum ζ et occidat ad $, et sit Prop. 
δὲ minor quam dy, ac rursus sit occasus, qui ortum Z prae- 
cessit, 9, et ortus, qui occasum J' praecessit, », ac porro sil 
ortus, qui occasum ἢ sequitur, x, et oceoasus, qui ortum x 
sequitur, À, et sit nox C9 minor nocte yx, diesque 9v maior 
die x4; dico totam d» totà δὰ minorem esse. 

Nam si non m?nor sit, 
aut aequalis est aut maior. 
Sit primum aequalis. . lam 

. quia ex hypothesi ὃζ minor 
est quam dy, οἱ 59 quam 
ηκ, tota igitur 99 minor est 
quam tota Óx. Sit igitur ipsi 
d9 aequalis dp. Sed ex hy- 
pothesi etiam totae và δλ ae- 
quales sunt; restat igitur 9v 
ἀξ HÀ. lam quia sol, post- 
quem ad » ortus est, occidit 

ad 9, quo igitur tempore ipse 
cireumferentiam »9 permeat, eo circumferentia »9 apertum 
hemispbaerium permutat.  Aequali igitur tempore sol et cir- 
eumferentiam v2: et ei aequalem &À percurrit;. itaque aequali 
tempore et sol cireumferentiam uA percurrit et circumferentia 
»2 apertum hemisphaerium permutat. Sed aequali teinpore 
et »9 et μὰ apertum hemisphaerium permutant (quippe quae 
aequales sint el aequaliter ab aestivo contactu distent) ; ae- 
quali igitur tempore et sol circumferentiam &4À percurrit et 
ipsa μλὰ apertum permutat. Sed sol circumferentiam 44A eo- 
dem tempore percurrit quo circumferentias ux -- xÀ, et μὰ 





ΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΡῊΣ c. 


VM 

gir ἐν ᾧ ἡ μὲν MK ἀνατέλλει dj δὲ Καὶ 
τὼ φανερόν" ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος | 
κα διαπορεύεται xal. d; μὲν MK. ἀνατέλλει. 
αλλάσσει τὸ φανερόν. ὧν ἴσος ὁ χρόνοῃ ἐν 
ΚΑ διαπορεύεται καὶ ἡ ΚΑ παραλλάσσει τι 
τέλλει μὲν γὰρ πρὸς τῷ K, δύνει δὲ τερὸς a 
πὸς doa. ὁ χρόνος "ἀν ᾧ ME rna 


χρόνῳ διαπορεύεναι. jen αὐτὴ d — μἐλὴ 

πάλον δύνει (τοῦτο γὰρ inae LI 

De ges e e "A je 8 ffiq 
"Boro δὴ πάλιν μείζων ἣ NA eie 44, xai 

τῇ AN ἴση ἡ AE, ; ky δὲ sai ἡ 40 loy τῇ ΑΙ Moemi 

Apis; VON dni MAE. doy ἐστίν, χαὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ $15. 

ἥλιος τὴν ΘΝ διαπορεύεται xal 1, ON παραλλάσσει τὸ φα-. 

νερόν. e 4» δὲ ὁ ἥλιος τὴν ON ἐν τούτῳ ped. 

xai ἐν ᾧ ἡ ON. παραλλάσσει τὸ φανερόν, ἐν τούτῳ 

ΜΈ: ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν WE διαπορεύεται καὶ; 

ἡ ΜΕ. rage Moos, "τὸ φανερόν. ἀλλ᾽ ὃ μὲν ἥλιος δια- i 

πορεύϑται τὴν ME σιεριφέρειαν ἐν τούτῳ τῷ is M 

[ὁ Md ἑκάστην τῶν MK KA AR διαπορεύεται, 

MÀ παραλλάσσει τὸ φανερὸν ἐν τούτῳ τῷ; χρόνῳ à Ἢ 

“μὲν MK. ἀνατέλλει ἡ δὲ ΚΙ παραλλάσσει ἡ δὲ AE δύνει 

dri» "δὲ 4 "διαπορεύεται]. ἀλλ᾽ ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὃ ἥλιος», 

τὴν ΚΑΊ διαπορεύεται ἴσος ἐστὶν τῷ χρόνῳ ἐν [ry 4 

"παραλλάσσει τὸ φανερόν" καὶ λουτὸς ἄρα ὃ 

ὁ ἥλιος τὴν MK διαπορεύεται ἴσος. τῷ. 

dj ἫΚ ἀνατέλλει, "καὶ ὁ χρόνος ἐν ᾧ καὶ ὁ ἥλιος τὴν 

διαπορεύεται ἴσος τῷ Wise andi μεριά τς ,ὔτ 


Ὥ je πη ὠαῆ! 





LIBER Vt. ῬΆΘΡΟΒ. We. 535 


bderh témpore apertum permutat, quo ux ori&r ac &À aper- 
tum permutat; aequali igitur tempore et sol oirowmiferentias 
bx -- xÀ peretrrit, set fex oritur ac »* apertum permutat. 
Sed témpus quó sol cifomferentiam x& percurrit aequble est 
ei quo ipsà xÀ npertum pernwHal; ver&o pef sübtraconem 
terhpes quo 90] cireumferehtiatm rex ;percurrit «eqnale est tem- 
pori quo 4x oritur. Sed id fieri non potest; nam ommem 
eiréüinferehtitth sol maiore tempore perocurr& quam ipsa cir- 
cumfeérentia oritur vel rursus occidit, id qued deinceps (pro- 
pos. 35) 'demunstrabinas; ergo ciroumferentiae νὸ 94 &on sunt 
Wedquales. 

lam vero sit vd *» Ὅλ, et ponatar δὲ s: d»; atque po- 
Sita eret etiam dp -- 09; vestat igitur μξ ax »9, et aequali 
tempore sol 'oireumferentiam 
»9 yerourrit et ipsa »J aper- 
*wm permutat. Sed eodem 
tempore 86] circumferentiam - 
»9 ac pf percurrit; et uo 
tempore ciróumferentia 9 
apértum — permutat, eodem 
psa w5; ergo aequali tem- 
"pore δὲ sol circumferentiam 
μὲ pereurrit et ipsa 5 aper- 
t&m 'permatet. Sed sol qui- 
dem circumferentiam yis :ee- 
dém tempore percurrit quo 
ipsas px w- xÀu- A5; eireumferentia autem μὲ eodem tem- 
pre 'apeiut spemutat quo ciPeumferentia x oritur ipsaque 
Δ periti 'hc ἀξ occidit. "Sed tempus quo :sel cireumferen- 
tium *À pércurrit *hequiale 'est ei quo €»4 apertum 'permutat ; 
ergo 'bér «ubiraetionem tempt&s quo sol viredümferentias «ux Ὁ 
AE peéréàrrit -Néquale 'estei quo ipsa ex oritur ac λξ occidit. 





ἑκατέραν τῶν MK 45 διαπορεύεται ἴσος ἐστὶν τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ μὲν 
MK ἀνατέλλει ἡ δὲ [4E ϑύνει 30. post ἴσος add. ἔστι A, sed. del. 
prima m. 


Mes τ aet» 


eodem tempore «ur wm. Tm δ᾽ 
tum perinutat: —m ΞΡ "ume - 
Mx - zÀ perucs 2 - e7 νι 


* A - “424 


J.P ign 


Sel tempus que s» -mer--——uc τε € — — 
ei quo ipsa χὰ cwm ——- — 0o —.. 
lempus quo sol "rum : - — ww 
peri quo ux oz m 00 lo onm —— 
cirenmferentiam s, nm» emm e-—^ ai 
eumferentia oritc* - ὑπὸ e - 4 
pos. 53 demonstrwme ^» ——--- 
aequales. 
lam vero Θ΄ »1 *. $ "mp: 0 
Sila erat etiam d. — € κι e ε- 
«mm "Oma 
« -— z -——XX ἈΚ: 
΄ " —  ῪἋἫἋ 
P2 «ESO -. πω» 
7" Φ . 
t «ip» 
z 5... 4 
? ἔν" ;^* “ UP  -— 
P —— 
- - 1 5 
.)π- 
ined '- 
in- 
cm 
Aur, 
bg . 
---- —— Nunc 
r per- 
ET ; οἱ ot 
- οἱ v 4 , )4"- 
C» UA μὰ ἜΑ E p 
Lid e pertum. ras AE sol —- 
. .. oriatur. 
"T permuta woe. 
UOYYG X) pere a. uam. per- 
USO perso Atia oritur 
» pyéreure ew... manifesto 


— — 
—— — — 


€x ar aomy τι; 

E 
FC ver. ^ 
"'& inan fm 


ὲ 


536 TIATITIOY ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ c. 


ἐστιν ἀδύνατον (πᾶσαν γὰρ περιφέρειαν ὃ ἥλιος ἐν τιλείονι 
χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ. αὐτὴ ἀνατέλλει ἢ πιάλιν δύνει;, 
ὥστε οὐχ ἂν cip μείζων ἣ N4 τῆς 4.4. ἐδείχϑη δὲ ὅτι 
οὐδὲ lon^. ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ NA τῆς 41.4. ὁμοίως δὲ 
xoi ἐπὶ τῶν ἑξῆς δειχϑήσεται. τούτων οὖν προδεδειγμέ- 5 
γων προβήσεται καὶ ἣ τοῦ Θεοδοσίου ἀπόδειξις κατὰ τὸν 
εἰρημένον τρόπον. 

52 λβ΄. Ὅτι δὲ πᾶσαν περιφέρειαν ὁ ἥλιος ἐν πλείονι 
χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ ἐκείνη ἡ “περιφέρεια ἀνατέλλει. ἢ 
πάλιν δύνει, νῦν δείξομεν. δόξει δέ τισι φανερὸν εἶναι 10 
τοῦτο καὶ μὴ προσδεόμενον ἀποδείξεως " “ἐπεὶ γὰρ ὃ μὲν 
ὕλιος ἐνιαυτῷ τὸν κύχλον διαπορεύεται, αὐτὸς δὲ ὃ κύκλος 
ἐν νυκτὶ xol ἡμέρᾳ ἀνατέλλει, γίνεται ὁ χρόνος ἐν ᾧ ὃ 
ἥλιος τὸν κύκλον διαπορεύεται πολλαπλάσιος τοῦ χρόνου 
ἐν ᾧ ὁ κύκλος ἀνατέλλει. ἐπεὶ οὖν ἐν μείζονι χρόνῳ δ15 
ἥλιος τὸν ὅλον κύχλον διαπορεύεται ἤπερ αὐτὸς ὃ κύκλος 
ἀνατέλλει, καὶ τὰς xarà μέρος τοῦ κύχλου περιφερείας ἐν 
μείζονι χρόνῳ ὁ ἥλιος διελεύσεται ἤπερ ἐχεῖναι αἱ “τερι- 
φέρειαι ἀνατελοῦσιν ἢ δύσονται. ὥστε φανερὸν τὸ προ- 

53 κείμενον καὶ οὐ προσδεόμενον τιλείονος ἐπισχέψεως". πρὸς 90 
olg ῥητέον. διότι, εἰ μὲν αἱ κατὰ μέρος ἴσαι περιφέρειαι 
τοῦ ζῳδιαχοῦ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλουσιν ἢ πάλιν δύνου- 
σιν, συμφανὲς ἂν ἡμῖν ὑπῆρχεν τὸ λεγόμενον" αὐτός τε γὰρ 
ὃ κύκλος ὁμαλῶς ἂν ἀνέτελλεν καὶ οὕτως οἱ χρόνοι πρὸς 
ἀλλήλους συνεχρίνοντο, ἐπειδὴ καὶ ὁ ἥλιος ὁμαλῶς κινού- 35 
μενος ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὰς ἴσας περιφερείας διέρχεται. νυνὶ 
δὲ τοῦ μὲν ἡλίου ὁμαλῶς διαπορευομένου τὸν κύχλον, ai- 
τοῦ δὲ τοῦ κύχλου ἀνωμάλως τὰς ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις 
ποιουμένου οὐχ ἐξέσται ἡμῖν λέγειν ὅτι, πλείονος ὄντος 
τοῦ χρύνου ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὸν χύχλον διαννορεύεται ἤττερ αὐ- 30 
τὸς ὃ χκύχλος ἀνατέλλει, πλείων. ἔσται ὁ κατὰ μέρος χρόνος 
ἐν ᾧ ὁ ἥλιός τινα περιφέρειαν διαπορεύεται ἐκείνου τοῦ 
χρόνου ἐν ᾧ ἐκείνη ἡ περιφέρεια ἀνατέλλει τε καὶ δύνει. 

54 τούτων δὴ τοιούτων ὑπαρχόντων οὐκέτι πρόδηλον καϑέστη- 


8. .4B A! in marg. (BS) 48. x«l ἐν ἡμέρᾳ S 33. ζωδιακοῦ 


LIBER VI. 5231 


Àt hoc fieri non potest (namque, μέ statim dicimus, omnem 
cireumferentiam sol maiore tempore percurrit quam ipsa ori- 
lur vel occiditj; ergo non maior est »ó quam δὰ. Sed ean- 
dem neque aequalem esse demonstravimus; ergo vÓ minor 
est quam δλ. Idem similiter in reliquis ostendetur. His igi- 
tur praemissis Theodosii demonstratio ea qua diximus ratione 
procedet. 


XXXII. Sed restat ut demonstremus omnem circumferen- 
tiam a sole maiore tempore percurri quam illa cireumferentia 
oritur vel rursus occidit. Quamquam id nonnullis consenta- 
neum esse neque demonstratione egere videbitur. "Quoniam 
enim sol annuo tempore circulum zodjiacum percurrit, ipse 
autem circulus unius diei noctisque spatio oritur, tempus quo 
sol cireulum percurrit multiplum est temporis quo circulus 
oritur. lam quia sol maiore tempore totum circulum per- 
currit quam ipse circulus oritur, item particulares circuli cir- 
cumferentias maiore tempore sol percurret quam illae orientur 
vel occident; quapropter id quod proponitur consentaneum 
est neque subtiliore inquisitione eget". Contra quos sic dis- 
serendum est: si particulares zodiaci circumferentiae, quae 
inter se aequales sunt, aequali tempore orirentur vel rursus 
occiderent, manifestum nobis esset id quod proponitur; nam- 
que et ipse circulus aequabiliter oriretur et tempora item in- 
ter se compararentur, quoniam sol, cum aequabiliter feratur, 
aequali tempore aequales circumferentias percurrit. | Nunc 
vero, cum sol quidem circulum zodiacum aequabiliter per- 
currat, ipse autem circulus inaequabiliter ortus suos et oc- 
casus faciat, non licet nobis dicere, propterea quod sol ma- 
iore tempore circulum percurrat quam ipse circulus oriatur, 
particulariter tempus quo sol circumferentiam aliquam per- 
currit maius esse eo tempore quo illa circumferentia oritur 
vel occidit. Quae cum ita se habeant, nequaquam manifesto 





ABS 93. ὑμῖν Α, ἡμεῖν B, corr. S 94. ἂν add. Hu 96. διεξέρ- 
χεέται S, item p. 538, 4. 6 29. ἔξεστι» coni. Hu 34. δὴ Hu pro δὲ 
Pappus II. Jo 


598 ὁ ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ c. 


κεν διότι πᾶσαν περιφέρειαν ὁ ἥλιος ἐν πλείονι χρύνῳ 
’ M € , ) ’ ὯΝ , i 
διαπορεῦδται ἥπερ ἡ περιφέρεια ἀνατέλλει ἢ πάλεν δύνει. 
, | € 3. * | € ’ 2 , , 
γόϑεν δὲ ὅτι οὐχὶ vOv μὲν ὅλον xvxAov ἐν πλείονι χρόνῳ 
, " 5" ς , 2 Li € 3 & , 
διέρχεται περ αὑτὸς ὃ κύκλος ἀνατέλλει, ot δὲ κατὰ μέ- 
T NP. 
goc χρόνοι à» οἷς ὃ ἥλιος ἑχάστην περιφέρειαν τοῦ κύκλου 
διέρχεται, ἐλάττονές εἰσιν τῶν κατὰ μέρος χρόνων, ἐν οἷς ἔχά- 
στη τῶν τοῦ κύχλου περιφερειῶν ἀνατέλλει; ὅτι γὰρ δυνατόν 
ἐστιν ἐπί τένων κενήσδων γίνεσϑαι τοῦτο, φανερὸν ἐχ τούτου. 
ὅδ "Eoro τρίγωνον ὀρϑογώνεον τὸ 4184 ἐρϑὴν ἔχον τὴν 
Β γωνίαν, xul ἑχατονταπλασία συναμφότερος ἡ ΔΑ AB τῆς ΑΒ, 1 
καὶ γεγράφϑω περὲ κένερον τὸ 24 κύχλος, καὶ ἐκκείσϑω 


3t 





τις εὐθεῖα ἡ NO ἴση τῇ BA, καὶ διαπορευέσϑω τὴ μὲν 
N σημεῖον ὁμαλῶς φερόμενον τὴν NO ἐν ὥραις δέκα, ἡ δὲ 
B συμβολή, xa9' ὃ συμβάλλει ἡ .4B τῇ BA, διαπορευέσϑω 
τὴν B4 ἐν ὥρᾳ μιᾷ, καὶ τετμήσϑω 1, EH. περιφέρεια δέχα 15 
χατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπιζευχϑεῖσα ἐκβεβλήσϑω ἡ .42Ζ1΄. ἐπεὶ 
οὖν ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ E σημεῖον τὴν EH διαπορεύεται ἐν 
τούτῳ τῷ χρόνῳ τὸ B τὴν Β.1 διαπορεύεται, ἐν «p δὲ τὸ 
E τὴν ΕΖ ἐν τούτῳ τὸ B τὴν ΒΓ, καὶ ἔστιν ὃ χρόνης ἐν 
ᾧ τὸ E τὴν EH «διαπορεύεται τοῦ χρόνου ἐν ᾧ τὸ E τὴν 20 
ΕΖ διαπορεύεναι διπλάσιος, zai ὃ χρόνος ἄρα ἐν ᾧ τὸ B 
τὴν B4 διατιοφρεύεται τοῦ χρόνοι: ἐν ᾧ τὸ B τὴν ΒΓ δια- 
πορεύεται διπλάσιος. ἀλλὰ τὸ B τὴν B4 διέρχεται ἐν 
ὥρᾳ μιᾷ τὸ B ἄρα τὴν ΒΓ διελεύσεται ἐν ἡμιωρίῳ. καὶ 
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν "EZ περιφέρεια τῇ ZH, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ 5 
EAZ γωνία τῇ ὑπὸ Z.4H* ὡς ἄρα συναμφύτερος ἡ d 


LIBER VL. PROPOS. 80. 520 


constat omnem circumferentiain a sole maiore tempore per- 
curri quam ipsa circumferentia oritur vel occidit. Quid enim 
impedit quominus s(atuamus totum quidem circulum maiore 
tempore a sole percurri quam ipse circulus oriatur, particu- 
laria autem tempora, quibus sol singulas circuli cireumferen- 
tias percurrit minora esse temporibus particularibus quibus 
singulae circuli cireumferentiae oriuntur? Namque in quibus- 
dam motibus hoc fieri posse ex hoc lemmate manifestum est. 


Sit triangulum orthogonium «60 recto angulo 2, sitque 
δὰ - ag — 100 αβ, et circa centrum o describatur circulus 
εζη, ei exponatur recta quaedam νϑ — (0, et punctum qui- 
dem » aequabiliter procedens rectam »39 decem horis per- 
currat, punctum autem f, in quo scilicet rectae ag ὃβ con- 
currunt, ipsam βὲ una hora percurrat, et circumferentia δὴ 
bifariam secetur in puncto 5, et iuncta αζ producatur ad y 
( punctum concursüs cum recta 80). lam quia, quo tempore 
punctum e circumferentiam 6j, eodem punctum f rectam 60, 
et quo tempore punctum 8 circumferentiam &C, eodem punc- 
tum f rectam fy percurrit, et punctum 6 circumferentiam 
δὴ duplo maiore tempore quam ipsam εξ absolvit!), ergo 
eliam punctum β rectam βὺ duplo maiore tempore quam 
ipsam fy percurrit. Sed ex hypothesi punctum f rectam βὃ 
una hora permeat; itaque 9 rectam fy dimidia hora permea- 
bit. Et quia circumferentiae e£ C» aequales sunt, est etiam 

L εαζ — L Cay; ergo propler elem. 6, 3 
δα : αβ — dy : yB ; itaque componendo 


te 


4) Statuit igitur scriptor punctum ᾧ in circumferentia «3 ab s ae- 
quabiliter procedens eodem tempore ad y pervenire quo punctum y 
rectam βὺ percurrit ita, ut, si spatia aequalibus temporibus in utraque 
linea emensa &' yy', £C y'y" etc. notentur, semper rectae sint αζγ' 
ci" y" etc. 


40. xol ἑχατονταπλασία — τῆς AB add. Hu auctore Co 49. εὐ- 
ϑεῖα ἡ NO AB, corr. S — 13. τὴν NO AB, corr. S 45. περιε(έρειαν 
A, corr. BS 33 (initio). τὴν B4 A!Bl, τὴν Ε4 A?B3S 

35 * 


Prop. 
du 


540 ΠΆΠΠΟΥ ZYNATOTHS ^. 


AB πρὺς τὴν AB, οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν ΒΓ. ἑκατοντας 
πιλασία δὲ συναμφότερος ἡ 44 AB τῆς AB* ixarovra- 
πλασία ἄρα zal ἡ 4B τῆς ΒΓ. ἐὰν ἄρα «εοιήσωμεν ὡς 
τὴν AB πρὸς ΒΓ, ofruc τὴν ΘΝ πρὸς NE, ἔσται οὖν 
καὶ j NO τῆς ΝΞ ἑχατονταπλασία. χαὶ ἔστιν toy ἡ Bd 5 
τῇ NO: ἴση ἄρα xai ἡ BF τῇ NE. ἐπεὶ οὖν τὸ N ὑμα- 
λῶς κινούμενον διαπορεύεται τὴν ΝΘ ἐν εἴραις δέχα, τὸ 
ἄρα ἑκατοστὸν αὐτῆς μέρος ἐν ὥρας δεκάτῳ διελεύσεται, 
τὸ δὲ B ἀνωμάλως χινούμενον διέρχεται τὴν ΒΓ ἐν ὥρας 
ἡ ἡμίσει. δύο οὖν ὑπαρχουσῶν κινήσεων καὶ τῆς μὲν ἀνω-ἴὸ 
μάλου τῆς δὲ ὁμαλῆς, ὁ μὲν ὅλος χρόνος ἐν ᾧ τὸ Ν τὴν 
ΝΘ διέρχεται ὁμαλῶς τοῦ ὅλου χρόνου τοῦ ἐν ᾧ τὸ B τὴν 
B4 διέρχεται ἀνωμάλως πλείων ἐσείν, ὁ δὲ κατὰ μέρος 
χρόνος iv ᾧ τὸ N τὴν ΝΞ διέρχεται τοῦ κατὰ μέρος χρό- 
vov. ἐν ᾧ τὸ B τὴν BI διέρχεται ἐλάσσων ἐστίν. ὥστε 15 
οὐϑὲν ἀπέχει καὶ ἐπὶ τῆς τοῦ ἡλίου κινήσεως καὶ τῆς τοῦ 
χύχλου ἀνατολῆς τὸ αὐτὸ γίνεσθαι, τὸν μὲν ἥλιον iv μεί-- 
ζονι χρόνῳ διαπορεύεσθαι τὸν κύχλον, αὐτὸν δὲ τὸν χύχλον 
ἐν ἐλάσσονι ἀνατέλλειν, πάλιν δὲ ἐκ τῶν ἐναντίων τινὰς 
μὲν περιφερείας τοῦ κύκλου ἐν τιλείονι χρόνῳ ἀνατέλλειν, 30 
τὸν δὲ ἥλιον αὐτὰς ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ διέρχεσθαι" μειου-- 
μένου γὰρ τοῦ τάχους τῆς ἀνατολῆς τοῦ κύκλου, τεόϑεν ὅτι 
οὐχὶ μειοῦται ἐπὶ τοσοῦτον ὥστε τινὰ περιφέρειαν αὐτοῦ 
ἐν μείζονι χρόνῳ ἀνατέλλειν ἤπερ ὁ ἥλιος ἐκείνην τὴν πιερε-- 
φέρειαν διέρχεται; 25 
Ay. dei oiv ἡμᾶς ἐπισκέψασθαι πότερόν ποτε TOU 
ζῳδιακοῦ τὸ τάχος τῶν £n ἄπειρον αὐξομένων καὶ ἐπ᾿ 
ἄπειρον μειουμένων ἐστίν, ἢ τῶν ἐπ᾿ ἄπειρον μὲν αὐξομέ- 
γων οὐκ ἐπ᾿ ἄπειρον δὲ μειουμένων, ἢ τῶν ἐπ᾽ ἄπειρον 
μὲν μειουμένων οὐχ ἐπ᾿ ἄπειρον δὲ αὐξομένων, ἢ οὔτε τῶν 30 
ἐπ᾽ ἄπειρον μειουμένων ore τῶν ἐγι᾽ ἄπειρον αὐξομένων. 
ὅτι γὰρ περί τινα μεγέϑη ταῦτα γίνεσϑαι συμβαίνει, φα- 
γερὸν ix τούτων. 


3. ἄρα add. S, δὴ μ΄ ποιήσωμεν Hu. pro ποιήσω οὖν 
ἄρα coni. Hu — 7. διιπορεύεται τὴν Hu pro ὑπόκειται τῆι 





LIBER VI. PROPOS. 80. 541 


δα 4- ag : afl 2 0g : yB. Sed ex hypothesi est 
δα 4- αβ — 100 ag; ergo etiam 
Bà τῷ 100 8y. Si igitur fecerimus 9v : νᾷ — 0f : By, 
erit etiam 

»9 τῷὸῊ, 100 νξ. Et ex hypothesi est v9 τῷ (à; ergo etiam 

γὲ — fy. 
lam quia &x hypothesi punctum » aequabili motu rectam »39 
decem horis permeat, centesimam igitur eius rectae partem 
horae decima parte percurret; punctum autem β, quod in- 
aequabiliter movetur, rectam y dimidia hora percurrit. [{8- 
que cum duo sint motus, alter aequalis, alter inaequalis, 
totum quidem tempus, quo punctum » rectam »3 aequabiliter 
percurrit, maius est toto tempore, quo punctum f rectam β 
inaequabiliter; sed particulare tempus, quo punctum » rec- 
tam »$ percurrit, minus est particulari tempore, quo f rec- 
tam y permeat. Quamobrem nihil impedit, quominus in solis 
motu et circuli zodiac? ortu idem contingat, scilicet ut sol 
circulum maiore tempore percurrat, ipse autem circulus mi- 
nore oriatur, et rursus e contrario quaedam circuli cireum- 
ferentiae maiore tempore oriantur, sol autem eas minore tem- 
pore percurrat. Nam si velocitas, qua circulus oritur, magis 
magisque imminuitur, quid impedit, quin adeo imminuatur, 
ut quaedam eius circuli pars maiore tempore oriatur, quam 
eandem sol percurrat? 

XXXIII. Ergo nobis considerandum est, sitne zodiaci ve- 
locitas ex numero eorum quae in infinitum et augeantur οἱ 
minuantur, an eorum quae in infinitum quidem augeantur, 
neque tamen in infinitum minuantur, an eorum quae in in- 
finitum minuantur, neque tamen in infinitum augeantur, an 
eorum quae neque minuantur neque augeantur in infinitum. 
Etenim in quibusdam magnitudinibus ea contingere ex his 
apparet. 


N τη NO A, τὸν τὴν vo B, τὸ ἡ τὴν qe S, corr. Co — 45. dore etc.] 
ΙΓ add. A! in marg. (BS) 48. dà το χύχλον A, corr. BS — 26. Ày' 
huc transponit Hu (vide ad vs. 15) 27. ζωδιαχοῦ ABS 28. τῶν 
ἐπ᾿ ἀπείρων A, corr. BS — 30. μὲν add. Hu 


542 ΠΑΠΠΟΌΥ͂ ZYNATQTH2 c. 


55 Παντὸς γὰρ τοῦ προτεϑέντος μεγέϑους μείζονα γίνεται 
χαὶ πάλιν ἐλάττονα πάντα τὰ ἐ;τὶ τῶν ἀδιορίστων προβλη- 
μάτων γινόμενα. 





Δυνατὸν γάρ ἔστιν περὶ τὴν δοϑεῖσαν εὐθεῖαν παντὸς 
τοῦ παραβεβλημένου ἤδη χωρίου ὑπερβάλλοντος τετραγώνῳ 5 
μεῖζον χωρίον παραβάλλειν ὑπερβάλλον τετραγώνῳ καὶ πα- 
λὲν ἔλασσον,, καὶ τοῦτο γίνεται ἐπ᾽ ἄπειρον. [ἐπὶ ταύτης 
οὖν τὸ μέγεϑος τῆς παραβολῆς αὔξεται ἐπ᾿ ἄπειρον καὶ 
πάλιν μειοῦται. 

59 Τῶν δὲ ἐπ᾽ ἄπειρον αὐξομένων οὐκ ἐπ᾽ ἄπιξιρον δὲ 10 
μειουμένων ἐστὶν τὸ ἐπὶ τοῦ τιρογεγραμμένου τριγώνου γι- 
γόμενον. 

Ἐὰν γὰρ ἢὶ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τμηϑῇ δίχα ἡ -4T 
χατὰ τὸ E, καὶ διαχϑῇ ἀπὸ vob E εὐθεῖα ἡ ZEH, ἔστι 
μεῖζον τὸ ΖΗΒ τρίγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. καὶ παλιν 15, 
ἐὰν διαχϑῇ ἣ OEK, μεῖζόν ἐστε τὸ BOK τοῦ ZBH τρι- 
γώνου. καὶ αἰεὶ διαγομένων ἐπ᾽ ἄπειρονι τῶν εὐϑειῶν 
αὐξηϑήσεται τὸ τρίγωνον. οὐδέποτε δὲ ἡ διαχϑεῖσα εὖ- 
ϑεῖα ποιήσει τρίγωνον ἔλασσον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τοῦτο 
οὖν τὸ μέγεϑος αὔξεται μὲν ἐπ᾽ ἄπειρον, μειοῦται δὲ 20 
οὐχέτι, ἀλλ᾽ ἔστι τι μέγεϑος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἔλασσον 
0 οὐχ ἔσται τρίγωνον. 

60 λδ΄. Τῶν δὲ ic! ἄπιειρον μὲν μὴ αὐξομένων ἐπ᾽ ἄπει- 


7. ἐπὶ --- 9. μειοῦται interpolatori tribuit Hu — 11. γινόμενον B, 
γενόμενον ASS 19. τοῦτο — 22. τρέγωνον interpolatori tribuit. Hu 
389. .44 A! in marg. (BS) 


LIBER Vi. PROPOS. 84. 33. 33. 543 


Ew nwmero eorum quae in infimitum et / augentur οἱ Prop. 


minuuntur omnes magnitudines, quaecunque in problematis 
indeterminatis efficiuntur, vel maiores vel rursus minores sunt 
omni magnitudine proposita. 

Si enim ad datam rectam, velut λζοαδ, conswuctum sit 
rectangulum ofjyÓ maiore latere αὖ, eique additum quadra- 
tum αβεζ, fieri potest, ut maius rectangulum «590 unà cum 
maiore quadrato αηχὰ construatur, et rursus rectangulum. 
αμνδ, quod unà cum quadrato αμξο minus sit quam rectan- 
gulum eyó unà cum quadrato αβεζ ἢ. Atque utrumque fit 
in infinitum. 


Eorum vero quae in infinitum augentur, neque tamen Prop. 
32 


in infiaitum minuuntur, est hoc quod fit in triangulo ad- 
seripto. 

Etenim si sit tÀriangulum ay, 
cuius latus «7 bifariam secetur in 
ξ, et si, producto latere Be, du- 
catur per & ad basim vecta Lem, 
triangulum £y triangulo eyf ma- 
ius est!). Et rursus, si ducatur 
recta 9ex, triangulum 2x? maius 
est uwiangulo $58. Et semper in 

/ produciá βα alüs punclis remo- 
Á ΝΞ ΤΗΝ lioribus sumplis el per & vectis in 
infinitum ductis triangulum auge- 

bitur. Nuuquam autem eiusmodi recta triangulum efficiet 
minus triangulo e, **). | 





XXKIV. Eorum autem quae in infinitum minuuntur, ne- Prop. 
33 


*) Perspicuitatis causa figuram cum litteris addidimus ad eamque 
interpretationem verborum Graecorum, quae absque figurae ratione 
generaliter composita sunt, conformavimus. Ceterum conf. elem. 6, 29, 
Archim. de conoidibus et sphaeroid. prop. 3. 

4) Ductá enim αἰ [| βγ, quia ex constructione est «e — ey, trian- 
gula αελ γξη aequalia ac similia sunt; itaque Δ eed ^ A γεη; ergo 
etiam ἃ cf ^» A eyf (Ce). 

**^ Namque etiam, si, productà &y, similiter rectae per « ducantur, 
maiora triangula fiunt (Co). 


544 . IIAIIIIOY YNATOTHS c. 


A ’ 3 M ^ 2 N - 3 Li - ? 
gov δὲ μειουμένων ἔστι τὸ ἐπὶ τῆς εὐϑείας τῆς ναρμοζο- 
μένης εἰς τὸν χύχλον. οὐ γὰρ πάσης τῆς προτεϑείσης δυ- 
γατόν ἐστιν μείζονα εἰς τὸν κύχλον ἐναρμόσαι. ἐπειδὴ γάρ 
ἐστιν ὡρισμένον μέγεϑος τὸ τῆς διαμέτρου, ταύτης μείζονα 
εὐθεῖαν οὐ δυνατὸν ἐναρμόσαι' imi μέντοι γε τὸ ἔλασσον ὃ 

2 

δυνατόν ἐστιν γίνεσϑαι ἐπ᾽ ἄπειρον [πάσης γὰρ εὐἰϑείας 
δυνατόν ἐστιν ἐλάσσονα ἐναρμόσαι]. 

Φανερὸν δὲ γίνεται τὸ λεγόμενον xoi ἐκ τοῦ μὲ πᾶν 
τὸ δοϑὲν παρὰ τὴν δοϑεῖσαν παραβάλλεσϑαι ἐλλεῖπον τε- 

M » 
τραγώνῳ᾽ τὸ γὰρ παραβαλλόμενον χωρίον οὐκ ἐπ᾽ ἄπειρον 10 
δυνησόμεϑα αὔξοντες ταραβάλλειν, ἐπειδή ἐστίν τι χωρίον, 
€ ^ te e| 

οὗ μεῖζον οὐκέτι δυνατόν ἐστιν παραβάλλειν " μειοῦντες 
μέντοι ye δυνησόμεϑα παντὸς τοῦ προτεϑέντος ἔλασσον 
παραβάλλειν. [ϑεωρεῖται γοῦν τοῦτο τὸ μέγεϑος τῆς πα- 

-« * 3 P7 ^ 3 / . , A] | 3 - 
θραβολῆς ἐπ᾽ ἄπειρον μὴ αὐξόμενον μειούμενον δὲ ἐπ᾽ 15 
ἄπειρον. 

61 Τῶν δὲ μήτε ἐπ᾽ ἄπειρον δυναμένων αὔξεσθαι μήτε 
ἐπ᾿ ἄπειρον μειουμένων [ἀλλ᾽ ἐπί τινα μεγέϑη ὡρισμένα, 
χατὰ πάντων τούτων] ἐστὶν τὸ ὑπογεγραμιμένον. 

2432 * M y / ? ἡ , ἢ ) , M , 

Ea» γὰρ «wot Óvo κύκλοι ξραπτομενοι ἀλλήλων κατὰ 20 
A 2 , , - 4 € «* , , ^ 
τὸ ΑἹ, ἄλλος δέ vig xvxÀog τοῦ μὲν ἑνὸς ἐφάπτηται κατὰ 

b] M EJ / M 1 - * 2 bl ^ 

τὸ B, vov δὲ ἕτερον τέμνῃ χατὰ τὰ D Z4, καὶ ἀπὸ τῶν P 
4 πρὸς τὰς ἁφὰς τῶν χύχλων κλασϑῶσιν εὐϑεῖαι αἱ ΑΔ 
I4 ΒΓ ΒΖ, ἔστιν πασῶν τῶν χλωμένων γωνιῶν πρὸς τὴν 

περιφέρειαν τοῦ ΒΕ.“Ζ κύκλου μεγίστη μὲν ἡ ὑπὸ Γ΄ 1, 2: 
3 - 
ἐλαχίστη δὲ 7) ὑπὸ l'BZ. [ἐπὶ τούτου ovv τὸ μέγεϑος τῆς 
γωνίας μειούμενον οὐκ im ἄπειρον μειοῦται, ἀλλ᾽ ἔστιν 
, , € 2) 3 , ’ , H 
μέγεϑος γωνίας ἣς ἔλασσον οὐκέτι δύναται γενέσϑαι. καὶ 
[4 2 ’ ς J 2 » ) » » 3 ) 
πάλιν αὐξομένη ἢ γωνία οὐκ ἐπ᾿ ἄπειρον αὔξεται, ἀλλ 





6. 1. πάσης — ἐναρμόσαι interpolatori tribuit Hu 8. «Φανερὸν 
— 14. παραβάλλειν] haec quoque interpolatori potius quam ipsi Pappo 
tribuenda esse videntur 41. «v£ov (sine spir. et acc.) ἃ, αὖξον B, 
«U£ov S, corr. Hu 14. ϑεωρεῖται — 16. ἄπειρον et 48. 49. ἀλλ᾽ ἐπί 
— τούτων interpolatori tribuit Hu 36. ἡ ὑπὸ P B 11 A, coniunx. 
BS 26. ἐπὶ — p. 546, 9. γενέσϑαι interpolatori tribuit Hu 26. rov- 
y Βϑτω invito A 


LIBER VI. PROPOS. 84. 545 


que tamen in infinitum augentur, est problema de recta quae 
in circulo construitur . Neque enim, qualibet recta propo- 
sita, fieri potest, ut maior in circulo construatur. Nam quia 
diametri magnitudo definita est, recta diametro maior im cir- 
culo construi non potest; ad minus autem hoc fieri potest in 
infinitum. 

Idem etiam inde apparet, quod ad datam rectam non 
quodvis datum spatium, deficiens quadrato, applicari potest. 
Namque, μὲ Euclides docet elem. 6, 28, spatium applicandum 
non in infinitum augere poterimus, quoniam est spatium ali- 
quod, quo maius nullum aliud applicari possit; minuentes- 
autem poterimus spatium minus omni proposito applicare. 

Eorum denique quae neque augeri in infinitum neque Prop. 
minui possunt est id quod sequitur. 5 

Si enim duo sint cir- 
culi in puncto ἃ exítrinse- 
cus se langentes, unum 
autem ex his alius circu- 
lus intus in puncto f tan- 
gat, alterumque in y ὃ se- 
cet, el a y ὃ ad contactüs 
puncta « β anguli γαδ γβὸ 
ducantur, omnium angu- 
lorum, qui ex y à ducti 
vertices habent in circum- 
ferentia circuli feat, ma- 
ximus est yaÓ, minimus 
autem 780*); itaque an- 





4) Quomodo eiusmodi recta ab uno diametri termino in circulo du- 
catur, docet Euclides elem. 4, 4, eadem quomodo diametro parallela, 
Pappus lI] propos. 43. Conf. etiam elem. 8, 7. 

*) Nam si quilibet alii anguli, vertices in circumferentia gsec ha- 
bentes, velut ycd 794 ducantur, facile demonstratur esse 

L y 7 [ γηδ, id est ^» ὁ γβὸ, et 
« [ γαδ; atque item 

ὦ y99  [, γλδ, id est » 4 γβὸ, et 
« L yxd, id est « [ γαόδ. 


9406 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHS -. 


ἔστι vL μέγεϑος γωνίας ὡρισμένον, ἧς μεῖζον οὐκέτι δύνα- 
ται γενέσϑαι.Ἶ 
62 λε΄. Τούτων οὖν προειρημένων ἀποδείξομεν νῦν ὅτι 
τοῦ ζῳδιακοῦ τὸ τάχος μειούμενον οὐδέποτε ἔλασσόν ἐστιν 
τοῦ τάχους τοῦ ἡλίου, ἀλλ᾽ ἀεὶ τὴν τυχοῦσαν περιφέρεεαν ὃ 
τοῦ ζῳδιαχοῦ ὁ ἥλιος ἐν μείζονι χρόνῳ διέρχεται ἤπερ 
ἐχείνη ἀνατέλλει ἢ πάλιν δύνει. 
Ἔστω γὰρ δρίζων μὲν 
ὃ ..18, ϑερινὸς δὲ ερο- 
κιχὸς 6 BEA, ζῳδιακὸς 10 
dé ὁ 4.1, μέγιστος δὲ 
τῶν παραλλήλων ὃ KNM, 
καὶ ἔστω ἡ ἀρχὴ τοῦ χαρ- 
χκίνου ἐπὶ τῆς δύσεως, καὶ 
᾿ἀπειλήφϑω τυχοῦσά vigi5 
περιφέρεια τοῦ ζῳδιακοῦ 
ἡ 4" λέγω ὅτι ἐν μεί- 
ζονι χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν 40) 
περιφέρειαν διέρχεται ἢ- 
περ ἡ ZO δύνει. 20 
Γεγράφϑω γὰρ διὰ τοῦ O μέγιστος κύχλος ἐφαπτόμε- 
vog τοῦ ἀρχτικοῦ ὃ OR, καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμε- 
τρὸς πρὸς τὴν τοῦ ϑεριιοῦ κύχλου διάμετρον λόγον ἔχει 
δυνάμει ὃν τὰ χκϑ' πρὸς τὰ φκϑ' ἐπείπερ ἡ απὸ τοῦ 
κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ τροπιχοῦ λόγον 25 
ἔχει μήκει πρὸς τὴν ἐκ τοῦ χέντρου τοῦ vgonixo? ὃν τὰ ε΄ 
πρὸς τὰ xy), ἐλάσσων ἄρα ἢ διπλασία ἐσεὶν ἡ τῆς σφαΐ- 
ρας διάμετρος τῆς τοῦ τροπιχοῦ διαμέτρου" 1) ἄρα διπλα- 
σία τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλα- 
σία τῆς τοῦ τροπικοῦ διαμέτρου. ἡ δὲ διπλασία τεῆς δια- 30 
μέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ BEA κύκλου διάμετρον 
μείζονα λόγον ἐχει ἤπερ ἢ MN περιφέρεια πρὸς τὴν 40 
περιφέρειαν, ὡς ἔστι τῶν σφαιρικῶν τοῦ γ' βιβλίου ϑεω- 
ρήματι ιβ΄" πολλῷ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν ἢ τετραπλασία ἡ 
63 MN περιφέρεια τῆς 4 περιφερείας. καὶ ἐπεὶ τὸ τοῦ 35 
κόσμου τάχος τοῦ τοῦ ἡλίου τάχους μεῖζόν ἐστιν ἢ τετρα- 





LIBER VI. PROPOS. 35. 547 


guli intra positi, velut γζὸδ γϑδ, ultra hos terminos neque au- 
geri possunt neque minui). 

| XXXV. His igitur praemissis iam demonstrabimus zo- Prop. 
diaci velocitatem, quantumcunque imminuatur, nunquam so- 55 
lis velocitate minorem esse, sed quamlibet zodiaci cireum- 
ferentiam a sole permeari maiore tempore quam illa ipsa ori- 

tur vel rursus occidit. 

Sit enim horizon «fj, aestivus tropicus βεδ, zodiacus 034, 
maximus paralleloram x»u, et sit à principium cancri in oc- 
casu, et abscindatur quaelibet zodiaci circumferentia d9 ; dico 
cireumferenuam óÓ9 a sole maiore tempore permeari quàm 
ipsa 09 occidit. 

Describatur enim per 2 maximus circulus 94 arcticum 
circulum contingens, et quia quadratum diametri sphaerae ad 
quadratum diametri aestivi tropici proporiionem habet 629 : 
$299 (quoniam recta a sphaerae centro ad tropici centrum 
ducta ad radium iropici proportionem habet 10 : 23), sphae- 
rae igitur diametrus minor est quam dupla tropici diametrus ?). 
Ergo dupla sphaerae diametrus minor est quam quadrupla 
wopici diametrus. Sed dupla sphaerae diametrus ad circuli 
βεδ diametrum maiorem proporüionem habet quam circum- 
ferentia uv» ad circumferentiam 99, ut est in Theodosii sphae- 
ricorum libri ΠῚ theoremate 12; multo igitur circutmnferentia 
μν minor est quam quadrupla circumferentia 09. Εἰ quo- 
niam mundi velocitas maior est quam quadrupla solis velo- 


4) Ergo hoc quoque demonstratum esse scriptor supponit, esse 
L y93  L yid, atque omnino angulum, cuius vertex in circumferentia 
αἴβ (vel «s8) propior est puncto e, maiorem esse angulo, cuius vertex 
remotior. | 

2) Apparet proportionem diametri sphaerae ad diametrum tropici 
a scriptore sumi — y/629: /529 — 25,08:23; qua tamen ratione et 
hoc et reliqua quae supra posuit ex Ptolemaei tabulis (quibus sine du- 
bio usus est) derivaverit, hic breviter explicari non potest. 


3. λὲ Al in marg. (BS) ἃ. ζωιδιαχοῦ À, ζωδιαχοῦ BS, item 
vs. 6. 16 40. ζωιδικκὸς ἃ, ζωδιαχὸς BS 483. ἔστω ἡ) ἔστω 4l 
coni. Hu 


848 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓῊΣ c. 


πλάσιον, καὶ ὃ μὲν κόσμος διὰ τοῦ KNM κύχλου φέρεται 
ὁ δὲ ἥλιος διὰ τοῦ 10.171, ἐν ᾧ ἄρα. ὁ ἥλιος τὴν O4 πιε- 
φιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ Ν μείζονα τῆς NM. 
περιφέρειαν διέρχεται (ἐπειδὴ τὸ Ν ἰσοταχῶς φέρεται τῷ 
χόσμῳ)" ἐν μείζονι & ἄρα χρόνῳ. ὁ ἥλιος τὴν 40) περιφέρειαν 5 
διαπορεύεται ἤπερ τὸ Ν ἐπὶ τὸ M. παραγίνεται. γεγράφϑω 
δὴ διὰ τοῦ O παράλληλος κύκλος ὁ ἨΘΖ. ἐν ἴσῳ, "δὲ 
χρόνῳ τὸ N ἐπὶ τὸ M παραγίνεται καὶ τὸ €) ἐπὶ τὸ H 
ὅμοιαι γάρ εἰσιν αἱ NM ΘΗ περιφέρειαι)" ἐν μείζονι ἄρα 
χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν 410 περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ τ 
Θ ἐπὶ τὸ H παραγίνεται. ἐν ᾧ δὲ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Η παρα- 
γίνεται, ἡ 40 δύνει" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλεος τὴν 
40) περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ ἣ 40 δύνει. ἐν Vo 
δὲ χρόνῳ ἡ 417 δύνει καὶ ἴση καὶ ἀπεναντίον ἣ μετὰ τὸν 
αἰγόχερω ἀνατέλλει. καὶ ἴσας οὔσας αὐτὰς ὁ ἥλιος ἐν loq 15 
χρόνῳ διαπορεύεται" ὥστε xai ἐν πλείονι χρόνῳ ὁ ἥλιος 
τὴν μετὰ τὸν αἰγόκερω τπιεριφέρειαν δίεισιν ἤπερ ἐκείνη 
ἀνατέλλει. πεποίημαι δὲ τὸν λόγον ἐπὶ τούτων τῶν Émi 
τοῦ ζῳδιαχοῦ περιφερειῶν, ἐπειδὴ ἡ μὲν δοκεῖ ἐν πλείστῳ 
ΟἹ χρόνῳ δύνειν, ἡ δὲ ἐν πλείστῳ ἀνατέλλειν. ἐπεὶ δ᾽ ἡ dnóm 
τῆς συναφῆς τοῦ καρχένου ἐν πλείστῳ χρόνῳ δύνουσα πα- 
σῶν τῶν λοιπῶν περιφερειῶν τοῦ ζῳδιακοῦ χύχλου δέδει- 
xat, αὕτη δὲ δέδεικεαι ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ δύνουσα ἤπερ 0 
ἥλιος αὐτὴν δίεισιν, πολὺ μᾶλλον οὖν αἱ λοιπαὶ ἐν ἐλάσ- 
son χρόνῳ δύσονται ἤπερ ὁ ἥλιος αὐτὰς δίεισιν. τιάλεν 25 
ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τῆς συναφῆς τοῦ αἰγόκερω περιφέρεια ἐν πλεί- 
στ χρόνῳ ἀνατέλλει πασῶν τῶν λοιπῶν περιφερειῶν τοῦ 
ζῳδιαχοῦ, δέδειχται δὲ ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ προ» Ὁ 


3. τὴν Θ 9.1 ΜΒ, sed in A .7 mulatum in «1 (incerlum, qua m 
unde τὴν 94 S — 8. ἐπὶ τὸ N. (ante ὅμοιαι) AS, gom. B ὃ. el 
ΘΝ ABS, cor. Co — 43. post πλείονε add. £v ὧν ABS, del, 
lore Co — 43. 44. ἐν lou δὲ χρόνωι ἡ 40 add. A? in marg. (Bs) 
43, elyóxtQm AB, αἰγόχερων S, item vs. 47 48. ἐπὶ (ante roD. 
διαχοῦ) delendum esse videtur — 49. ζωιδιακοῦ A, ζωδιαχοῦ BS, ἢ 
vs. 33. 98 et p. 550, 2 20. ἐπειδὴ ἡ AB, ἐπειδὴ S, cum igi 





LIBER VI. PROPOS. 85. 049 


citas, ac mundus quidem per circulum x»u, sol autem per 
0394 ferlur, quo igitur tempore sol cireumferentiam à3  per- 
currit, eodem punctum » maiorem quam »p circumferentiam 
pertransit (quia » eàdem ac mundus velocitate fertur); ma- 
iore igitur tempore sol circumferentiam 03 percurrit quam 
punctum » ad u pervenit. [Iam per 2 parallelus circulus 29€ 
describatur. Sed quia cir- 
 cumferentiae »4 97 similes 
sunt, aequali tempore » ad 
μοι 9 ad ἢ perveniunt: 
maiore igitur tempore sol 
circumferentiam δϑ per- 
currit quam punctum 9 ad 
ῃ pervenit. Sed quo tem- 
pore ϑ ad ἢ pervenit, eo- 
dem circumferentia δϑ᾽ oc- 
cidit; maiore igitur tem- 
pore sol circumferentiam 
09 percurrit quam ipsa 03 
occidit. Sed aequali tempore et circumferentia δϑ' occidit et 
circumferentia aequalis eique opposita, quae est post capricor- 
num, oritur. Et quoniam aequales sunt, sol eas aequali tem- 
pore percurrit; itaque maiore tempore circumferentiam illam, 
quae est post capricornum, permeat quam ipsa oritur. Atque 
in his equidem zodiaci circumferentiis demonstrationem feci, 
quoniam altera maximo tempore occidere, altera maximo oriri 
videtur (Eucl. phaen. 12. 45). Sed quia circumferentia (velut 
03, quae est a contactu cancri, maiore tempore quam omnes 
reliquae zodiaci cireumferentiae occidere demonstrata est, haec 
ipsa autem minore tempore occidere demonstrata est quam a 
sole permeatur, multo igitur minore tempore reliquae cireum- 
ferentiae occident quam a sole permeantur. Rursus quia 
circumferentia, quae est a contactu capricorni, maiore tem- 





a —Ó. — MÀ € À o M 


corr. Hu — 33. αὕτη δὲ δέδειχται add, ΑΞ im a] 
ἄρα coni. Hw 


548 ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTH? c. 


πλάσιον, xci ὃ μὲν χόσμος διὰ τοῦ KN7M κύχλου φέρεται 
ὁ δὲ ἥλιος διὰ τοῦ “1.1, ἐν ᾧ ἄρα ὁ ἥλιος τὴν Of πε- 
ριφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ N μείζονα τῆς INT. 
περιφέρειαν διέρχεται (ἐπειδὴ τὸ Ν ἰσοταχῶς φέρεται τῷ 
κόσμῳ)" ἐν μείζονι ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος τὴν .1Θ περιφέρειαν 5 
διαπορεύεται ἤτιερ τὸ Ν ἐπὶ τὸ M. παραγίνεται. γεγράφϑω 
δὴ διὰ τοῦ Θ παράλληλος χύχλος ὃ HOZ. ἐν ἴσῳ δὲ 
χρόνῳ τὸ Ν ἐπὶ τὸ M παραγίνεται χαὶ τὸ Θ ἐπὶ τὸ H 
ὅμοιαι γάρ εἰσιν αἱ ΝΗ ΘῊ περιφέρειαι)" ἐν μείζονι ἄρα 
χρόνῳ ὃ ἥλιος τὴν 4€) περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ τὸ 
Θ ἐπὶ τὸ Η παραγίνεται. ἐν ᾧ δὲ τὸ Θ ἐπὶ τὸ Ἡ παρα- 
γἰνετάι; ὁ. 40. δένει» ἂν, aisle doc 204 RITE RR 
40) περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ ἡ «16 δύνει. ἐν ἴσῳ 
δὲ χρόνῳ ἡ 40 δύνει καὶ ἴση καὶ ἀπεναντίον ἡ μετὰ τὸν 
αἰγόχερω ἀνατέλλει. καὶ ἴσας οὔσας αὐτὰς ὁ ἥλιος ἐν ἴσῳ 15 
χρόνῳ διαπορεύεται" ὥστε καὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ὃ ἥλιος 
τὴν μετὰ τὸν αἰγόκερω σιεριφέρειαν δίεισιν ἤπιερ ἐκεένη 
ἀνατέλλει. πεποίημαι δὲ τὸν λόγον ἐπὶ τούτων τῶν ἐπὶ 
τοῦ ζῳδιακοῦ περιφερειῶν, ἐπειδὴ ἡ μὲν δοχεῖ ἐν πιλείστῳ 
64 χρόνῳ δύνειν, ἣ δὲ ἐν πλείστῳ ἀνατέλλειν. ἐπεὶ δ᾽ ἣ ἀττὴ 30 
τῆς συναφῆς τοῦ καρκίνου ἐν τπελείστῳ χρόνῳ δύνουσα sra- 
σῶν τῶν λοιπῶν «τἐριφερειῶν τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου δέδει- 
χται, αὕτη δὲ δέδεικται ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ δύνουσα ἤπερ ὁ 
ἥλιος αὐτὴν δίεισιν, πολὺ μᾶλλον οὖν αἱ λοιπαὶ ἐν ἐλάσ- 
cov. χρόνῳ δύσονται ἤπερ ὁ ἥλιος αὐτὰς δίεισιν. «εάλεν 35 
ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τῆς συναφῆς τοῦ αἰγόχερω περιφέρεια ἐν πλεί- 
στῳ χρόνῳ ἀνατέλλει πασῶν τῶν λοιπιῶν περιφερειῶν ποῦ 


ζῳδιαχοῦ, δέδεικται δὲ ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ ἀνατέλλουσα 


3. τὴν G4 AIB, sed in A 7 mulatum in .4 (incerlum, qua manu), 
unde τὴν 94 S — 8. ἐπὶ τὸ N (ante ὅμοιαι) AS, corr. Β 9. αἱ NM. 
GN ABS, cor. Co 43, post πλεέονε add. ἐν ὧι ABS, del. Hu auc- 
lore Co 43. 44. ἐν ἰσὼ δὲ χρόνωι ἡ 40 add. A* in marg. (BS) 
45. αἰγόχερω AB, αἰγόκερων S, ilem vs. 17 18. ἐπὶ (anle τοῦ ζῳ- 
διακοῦ) delendum esse videlur ὀ 49. CowdtexoU À, ζωδιαχοῦ BS, item 
vs. 93, 38 et p. 550, 2 20. ἐπειδὴ ἡ AB, ἐπειδὴ S, cum igitur Co, 





LIBER VI. PROPOS. 85. 549 


citas, ac mundus quidem per circulum x»u, sol autem per 
094 ferlur, quo igitur tempore sol circumferentiam δϑ' per- 
currit, eodem punctum » maiorem quam »u circumferentiam 
pertransit (quia » eàdem aec mundus velocitate fertur); ma- 
iore igitur tempore sol circumferentiam 029 percurrit quam 
punctum » ad u pervenit. lam per 2 parallelus circulus 239€ 
describatur. Sed quia cir- 
 cumferentiae »u 37 similes 
sunt, aequali tempore » ad 
μ οἱ 9 ad ἡ perveniunt; 
maiore igitur tempore sol 
circumferentiam. δϑ per- 
currit quam punctum 39 ad 
ῃ pervenit. Sed quo tem- 
pore 9: ad ἢ pervenit, eo- 
dem circumferentia 03 oc- 
cidit; maiore igitur tem- 
pore sol circumferentiam 
03 percurrit quam ipsa 03 
occidit. Sed aequali tempore et cireumferentia δϑ' occidit et 
cireumferentia aequalis eique opposita, quae est post capricor- 
num, oritur. Et quoniam aequales sunt, sol eas aequali tem- 
pore percurrit; itaque maiore tempore cireumferentiam illam, 
quae est post capricornum, permeat quam ipsa oritur. Atque 
in his equidem zodiaci circumferentiis demonstrationem feci, 
quoniam altera maximo tempore occidere, altera maximo oriri 
videtur (μοὶ. phaen. 12. 45). Sed quia circumferentia (velut 
03), quae est a contactu cancri, maiore tempore quam omnes 
reliquae zodiaci cireumferentiae occidere demonstrata est, haec 
ipsa autem minore tempore occidere demonstrata est quam a 
sole permeatur, multo igitur minore tempore reliquae circum- 
ferentiae occident quam a sole permeantur. Rursus quia 
circumferentia, quae est a contactu capricorni, maiore tem- 





— 


corr. Hu 23. αὕτη δὲ δέδειχται add. A? in. marg. BS, 94. ovr] 
ἄρα coni. Hu 


Q. 
eC 


66 


96)" ΠΆΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ C. 


ἤπερ ὃ ἥλιος αὐτὴν διέρχεται, πολὺ μᾶλλον ἄρα αἱ λοιπαὶ 
τοῦ ζῳδιακοῦ περιφέρειαι ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ ἀνατελοῦσιν 
ἥπϑρ ὃ ἥλιος αὐτὰς διέρχεται, ὕπερ: — 
λς΄. Ἐὰν δὲ τὸ μὲν Z ἡ δύσις, ἡ δὲ τὸ H ἀνατολή, 
ἔσται ὃ τῆς ZH περιφερείας yoüvoc, ἐν ᾧ αὐτὴν ὃ ἥλιος ὃ 
διέρχεται, νυχτός. ὅτε δὲ ἀνίσων οὐαῶν τῶν Z4 AH x 
γίνεται μέσης νυκτὸς ἢ τροπή, δῆλον [διότι ἄνισός ἐστι 
καὶ ὁ χρόνος τῆς Z4 ἣν δίεισιν ὃ ἥλιος]. ὅτι δὲ καὶ με- 
’ 3 M € Γ᾽ . J M “ ew , ^ 
7: ἔστιν ἡ Z4A4H [nsopeoeva] νὺξ πασῶν τῶν ἐν τῷ 
ἐνιαυτῷ οὗ ἀρχὴ ἣ ϑερινὴ τροπή, δῆλον, ἐπεὶ ἐν πλείστῳ 10 
f ZAH παραλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. ' ἔστω δὴ 
t A M € 
δεῖξαι xai τὰ ἐφ᾽ ἑκάτερα, 
χαὶ ἔστω πρῶτον μείζων ἡ 
ZA τῆς 4H, καὶ ἔστω ἀνα- 
b € M od , No. 
τολὴ ἣ πρὸ τῆς Ζ δύσεως 015 
O, xci τῇ ZO ἴση ἡ ΚΗ' 
2 » » Li « c 
ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὁ ἥλιος 
τὰς ΖΘ ΚΗ διαπορεύεται. 
ἀλλ᾽ ἐν ᾧ τὴν ΖΘ διαπο- 
ρεύεται, ἣ ZO παραλλάα-Ὁ 
σει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, 
ἐν ἐλάσσονι δὲ χρόνῳ ἡ ΖΘ 
--ς---. . ἡ παραλλάσσει τὸ φανερὸν 
ς ) - , 
ἡμισφαίριον τῆς ΚΗ’ εν 
ἐλάσσονε ἄρα χρόνῳ ὃ ἥλιος τὴν ΚΗ δίεισιν περ ἡ ΚΗ 
? J & M € ) γ v » € 
ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ὃν ᾧ ἄρα ἡ KH zag- 
/ hl M € , € c J [od 
αλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, 0 ἥλιος μείζονα τῆς KH 
περιφερείας περιφέρειαν διελεύσεται. διεληλυϑέτω τὴν HA: 
- » ) » 4 M M [4 e b ^ 
τοῦ aga K σημείου ovrog ἐπὶ δυσμὰς ὁ ἥλιος πρὸς τῷ Αἴ 
ὧν ἐστιν ὑττὲρ γῆν. ἵν᾽ οὖν ἐπὶ τῆς δύσεως γένηται, προσ- 3 
διελεύσεταί τινὰ περιφέρειαν. προσδιερχέσϑω τὴν “11Π᾿ 
? e» € 3 ! * δ ζ , kh 
ἐν ᾧ ἄρα v HM ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν 
9. ἀνατέλλουσιν ABS, corr. Hu 3. ὅπερ] o A, om. BS 4. as 
A! in marg. (BS) 7. 8. διότι — ἥλιος et 9. zréorqéorie interpolatori 
tribuit Hu 45. ἡ πρὸ add. Hu 40. 5 ZO AsS, ἡ ζη B cod. Co 
32. post ἄρα add. χρόνῳ S 





LIBER VI. PROPOS. 86. 81. 551 


pore oritur quam omnes reliquae 20diaci cireumferentiae, haec 
ipsa autem minore tempore oriri demonstrata est quam a sole 
permeatur, multo igitur minore tempore reliquae zodiaci cir- 
cumferentiae orienter quam a sole permeantur, q. e. d. 


XXXVI. Quodsi C sit occasus, et ἢ ortus, nocturnum Prop. 
tempus erit, quo sol cireumferentiam 2 permeat!). Iam vero Ww 
apparet, si circmnferentiae Có do inaequales sint, conversio- 
nem non fieri media nocte. Atque item apparet noctem Là 
maximam esse omnium in annuo tempore, cuius initium est 
aestiva conversio, quoniam circumferentia ζδη maximo tem- 
pore occultum hemisphaerium permutat?). Tamen utrumque 
iam peculiariter demonstretur. 


. Sit primum ζδ maior quam δη; et sit 9 ortus qui oc- Prop. 
casum & antecedit, et ipsi £9: aequalis κ᾽ aequali igitur tem- 3 
pore sol circumferentias ζϑ xy percurrit. Sed quo tempore 
$0] circumferentiam C9 percurrit, ipsa C9 apertum hemisphae- 
rium permutat; minore autem tempore circumferentia 29 quam 
xn apertum hemisphaerium permutat; ergo minore tempore 
sol cireumferentiam x7 permeat quam ipsa xy apertum hemi- 
sphaerium permutat. Itaque quo tempore xz apertum hemi- 
sphaerium permutat, sol maiorem quam x7 circumferentiam 
percurret. Percurrat ipsam 7à; si igitur punctum x iam per- 
venerit ad occasum, sol in puncto ἃ adhuc super terram est. 

Ut igitur ad occasum perveniat, aliam insuper cireumferen- 
üam percurret. Percurrat ipsam ἀμ; quo igitur tempore qu 
apertum hemisphaerium permutat, eodem sol ipsam xg per- 


*) Hunc propositionis numerum a Commandino traditum, ne plura 
turbarenmtur, relinuimus, qui rectius omissus esset. 

4) Χρόνον ἡμέρας καλεῖ (Θεοδόσιος) τὸν ἀπὸ ἀνατολῆς ἕως δύσεως, 
νυχτὸς δὲ τὸν ἀπὸ δύσεως ἕως ἀνατολῆς. Commenvlator Theodosii de 
diebus οὐ noctibus initio libri primi. 


2) Quae manifesta esse scriptor hoc loco declarat, eorum accurata 
demonstratio repeti potest ex Theodosii de diebus et noct. I prop. 4, 
idque Pappum meultiquam fefellit; sed ille alia insuper addenda esse 
existimavit. Quo de argumento apte disseri non poterit, nisi Theodosii 
libri in lucem erunt editi. 


552 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΡΗΣ c. 


«τούτῳ xal ὃ ἥλιος τὴν HOM διέρχεται. καὶ ἔστι μείζων 
ἡ MH τῆς ΖΘ, ὥστε μείζονές εἰσιν αἱ ἡμέραι αἱ ἐν τῷ 
674E ἡμικυκλίῳ τῶν ἐν τῷ FA ἡμιχυχλίῳ. [τοῦτο μὲν οὖν 
δειχνύοιτ᾽ ἂν ὥσπερ ἐν τῷ στοιχείῳ δείχνυται, ἐπεὶ δὲ 
μείζων μὲν ἡ Z4 τῆς 4H, ἐλάσσων δὲ ἣ ZO τῆς HM, 15 
O4 πρὸς τὴν 4M οὐκ ἔχει σύγκρισιν, ὥστε ἡ ἀπόδειξις 
οὐ προβήσεται ὡσαύτως, ἂν μὴ δείξωμεν τὰς συναμφοτέ- 
ρὰς ἐν τῷ 4D τμήματι ἡμέρας τε καὶ νύχτας τῶν συναμ- 
φοτέρων ἐν τῷ AE τμήματι ἡμερῶν τε καὶ νυχεῶν uetzovac.] 
δεῖ οὖν ἡμᾶς τῇ προγεγραμμένῃ ἀποδείξει χρῆσϑαι ἵνα καὶ τὸ 
αἵ νύχτες συγχριϑῦσιν. À 
68 Ἔστω οὖν ἡ πρὸ τῆς O ἀνατολῆς δύσις τὸ Il, καὶ 
κείσϑω τῇ uiv ZA ἴση ἡ AK, τῇ δὲ HZ ἴση ἡ ΚΞ. ἐπεὶ 
ἴση ἐστὶν ἡ HZ τῇ ΚΞ, ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὃ ἥλιος ἑκάστην 
αὐτῶν δίεισιν. ἐν ᾧ δὲ τὴν ZI, κόσμου περιστροφή ἐστιν 15 
χαὶ τῆς ΖΠ δύσις. ὁ δὲ χρόνος iv ᾧ ἡ KE ἀνατέλλει 
ἴσος τῷ χρόνῳ ἐν ᾧ ἡ HZ δύνει" Ó ἄρα χρόνος ἐν ᾧ ὃ 
ἥλιος τὴν ΚΞ δίεισιν, ὃς ἐστιν κόσμου περιστροφρή, χαὶ 
τῆς KE περιφερείας ἀνατολή. μείζων δὲ ὃ χρόνος ἐν Qi 
τὴν KH διέρχεται ὃ ἥλιος τοῦ χρόνου τῆς ἀνατολῆς τῆς 30 
ΚΗ: ὃ ἄρα χρόνος ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὴν ΗΞ διέρχεται μείζων 
ἐσεὶν χύσμου περιστροφῆς καὶ τῆς ἀνατολῆς τῆς ΞΉΗ ἐν 
ἄρα κόσμου περιστρορῇ καὶ τῆς ἨΞ ἀνατολῇ ὁ ἥλιος ἐλάσ- 
σονα τῆς EH περιφέρειαν διελεύσεται. διεληλυϑέτω τὴν 
ΗΟΘ' τοῦ E ἄρα ὄντος ἐπ᾽ ἀνατολῆς ὃ ἥλιος κατὰ τὸ Ο Ὁ) 
ὧν προανατεταλχὼς ἔσται, ὥστε ἐν ᾧ ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς 
γίνεται ἐλάσσονα τῆς HO διελεύσεται. ἔστω ἣ ἩΝ" ὥστε 
τὸ N ἀνατολιχὸν ἔσται σημεῖον τὸ μετὰ τὴν Ἡ ἀνατολήν, 
4. ἥλιος S, O7. A, "O B, item vs. 48 3. τῶν ἐν τῶι 44. ABS, 
eorr. Co 3. τοῦτο — 9. μείζονας interpolatori tribuenda esse viden- 
tur (vide adnot. ad Lat.) 4. δεικνύοιτ᾽ ἂν Hu. pro. δεικνύοιτο 
ἐπεὶ δὲ Hu auctore Co pro ἐπειδὴ 8. ἐν τῶι .1.4. ABS cod. Co, corr. 
Co 9. ἐν τῷ 4E τμήματι add. Hu auctore 0 43. ΠΖ ἴσης τῆε ΚΕ 
AB, ἔση corr. S, ἡ Co 45. post. ϑέεεσιν add. διέρχεται A(BS, 
33. ἀνατολὴ Hu, ἀνατολῆς γίνεται ABS, γένεται del. Co ἥλιος AS, 
€ B 34 περιφερείας ABS, corr. Hu auclore Co — 30. προσανας 
τεταλκὼς AB, corr. Paris, 9368 


LIBER VI. PROPOS. 58. 553 


currit, Et est yu maior quam C3; itaque dies in semicirculo 
δὲ maiores sunt diebus in semicirculo dy. [Hoc igitur de- 
monstrari posse videtur, ut in elementis traditur?); sed quia 
CÓ maior est quam δη, et C9 minor quam zu, circumferentia 
.90 ad Ou nullam comparationem habet, quare demonstratio 
non perinde procedet, nisi ostenderimus coniunctos dies 
noctesque in portione Óy; maiores esse coniunctis diebus et 
noctibus in portione δὲ]. lam vero superiore demonstratione 
nos uti oportet, ut etiam nocles comparentur. 

Sit igitur zr occasus qui Prop. 
ortum J' antecedit, et pona- 
tur ὄχ — δ, et κᾷ — nt. 
Quoniam circumferentiae zr& 
x& aequales sunt, aequali igi- 
tur tempore sol utramque per- 
meat. Sed quo tempore ip- 
sam zt permeat, et mundi 
conversio fit et ipsius πζ oc- 
casus. Sed aequalia sunt tem- 
pora quibus x& oritur ac zi 
occidit. Quo igitur tempore 
sol circumferentiam x$ permeat (quo etiam mundi fit con- 
versio), eodem ipsa χξ oritur. Sed tempus quo sol cir- 
eumferentiam x permeat maius est eo quo ipsa x» ori- 
tur (propos. 35); ergo tempus quo sol circumferentiam 53 
permeat imaius est eo quo mundi conversio fit et circum- 
ferentia 75 oritur. Itaque in mundi conversione et circum- 
ferentiae 75 ortu sol minorem quam 75& circumferentiam per- 
eurret. Percurrat ipsam $50; ergo, si punctum ᾧ orietur, sol, 
eum ad o erit, ante ortus erit; itaque, dum in ortu erit, 
minorem quam 50 circumferentiam percurret. Sit y»; ergo » 
punctum orientale erit quod ortum ἢ sequitur; itaque nox 





3) "Per elementum fortasse intelligit Theodosii libros de diebus et 
noctibus, vel potius Euclidis phaenomena" Co. Mihi neutrum proba- 
bile videtur; sed et huius dicti dubia ratio et proximorum verborum 
inconcinna, ne dicam absurda, compositio movent me, ut haec omnia 
interpolatori tribuam. 

Pappus II. 36 


554 | . IAIIIIOY XYNATOTHE C. 


ὥστε ἡ νὺξ ἧς ἀνατολή ἐστιν τὸ N σημεῖον ἐλάσσων ἐστὶ 
- M τ " M € , 1 M * M 
τῆς νυχτὸς ἧς δύσις τὸ Il. ὁμοίως δὲ xoi τὰ λοιπὰ δει- 


E. € ’ Α i097 » $ » « - 
'χϑήσεται. [ὁμοίως δὲ καὶ ἔἕαν τις ἔνστασις ἢ ἐπὶ τῆς γρα- 


69 


70 


- 3 02 € 0 2 ΟΝ , , M $. ἣν - 
φῆς ἐφ᾽ ἧς ἢ ἀνατολὴ ἢ δύσις ἐστὶν ἐπὶ τῆς ϑερινῆς τρο- 
πῆς, ὡσαύτως ἐπιλυσόμεϑα]. 5 

λζ΄. Ἐν τῷ περὲ μεγεϑῶν xal ἀποστημάτων ὃ ZMei- 
σταρχος ἕξ ταῦτα ὑποτίϑεται- πρῶτον τὴν σελήνην παρὰ 
τοῦ ἡλίου φῶς λαμβάνειν, δεύτερον τὴν γῆν onustov τε 
χαὶ χέντρου λόγον ἔχειν πρὸς τὴν τῆς σελήνης σφαῖραν, 
τρίτον, ὅταν ἡ σελήνη διχύότομος ἡμῖν φαίνηται, νεύειν εἰς V0 
τὴν ἡμετέραν ὄψιν τὸν διορίζοντα τὸ σχιερὸν καὶ τὸ λαμ- 
πρὸν τῆς σελήνης μέγιστον κύχλον, τέταρτον, ὅταν ἡ σελήνη 

, € , 04. ) 5 2 ^2 - €4) 
διχότομος ἡμῖν φαίνηται, τότε αὐτὴν ἀπέχειν τοῦ ἡλίου 
2» ) d “- ’ 
ἔλασσον τεταρτημορίου τῷ τοῦ τεταρτημορίου τριακοστη- 
μορίῳ [ἀντὲ τοῦ ἀπέχειν αὐτὴν μοίρας πζ΄" αὗται γὰρ 15 
ἐλάσσους εἰσὶν τῶν Cj μοιρῶν τεταρτημορίου μοέραις γ', 
ce , - ’ , , , 1 € , M ^: 
αἵ εἰσιν τῶν Cj μέρος Àj. πέμτπιτον δὲ ὑποτίϑεται τὸ τῆς 
σχιᾶς πλάτος σεληνῶν εἶναι δύο, ἕχτον δὲ τὴν σελήνην 
ὑποτείνειν ὑπὸ ιε΄ μέρος ζῳδίου. 

, M - c / c : ,? M , 

Τούτων δὴ τῶν ὑποθέσεων ἡ μὲν πρώτη xai τρίτη 20 
xai τετάρτη σχεδὸν συμφωνοῦσιν ταῖς ᾿Ιππάρχου καὶ Πτο- 
λεμαίου. φωτίζεται μὲν γὰρ ἢ σελήνη ὑπὸ τοῦ ἡλίου 
παντὶ χρόνῳ χωρὶς ἐχλείψεως, xa9^ ἣν ἀφώτιστος γένεται 
ἐμπίπτουσα εἰς τὴν σκιάν, ἣν ἐπιπροσϑούμενος ὃ ἥλιος 
ὑπὸ τῆς γῆς ποιεῖ κωνικὸν ἔχουσαν τὸ σχῆμα, καὶ ὃ διο- 25 
Is M] Ἁ “ cet , ? - , 
οἰζων δὲ τὸ γαλαχτῶδες, ὃ ἔστιν £a τῆς προσλαμψεως 
ἡλίου, καὶ τὸ τεφρῶδες, ὃ ἐστιν ἴδιον χρῶμα τῆς σελήνης, 


8. ὁμοίως — 5. ἐπιλυσόμεϑα interpolatori tribuit Hu 6. AZ A! 
in marg (BS) 40. διχοτόμος AB, acc. corr. 858 44. τὸ τε σχιερὸν 
Aristarch. p. 569 ed. Wa 44. 49. τὸ λαμπρος τὴν σελήνην mc με- 
γιστον Α, τὸν λαμπρὸν τῆς σελήνης μέγιστον B, τὸ λαμπρὸν τῆς σε- 
λήνης, omisso μέγιστον, S 48. διχοτομος Δ, acc. add. BS 44. τε- 


τάρτη μορίου (ante τῷ) A, coniunx. BS τῶι τοῦ τετάρτου μορίου ABS, 
corr. Wa τριαχοστημορίῳ] immo τρεχχοστῷ Pappus scripsisse videtur 
cum Aristarcho p. 569 45. ἀντὶ τοῦ — 47. μέρος À om. Aristarch., 


interpolatori tribuit Hu 45. arri B Poris. 2368, ἂν T1 A uofpac 


LIBER VI. 095 


cuius ortus est punctum », minor est nocte cuius occasus 
est zr. Similiter etiam reliqua demonstrabuntur. (Similiter, 
Si qua haesitatio existat de figura, in qua vel ortus vel oc- 
casus est in aestiva conversione, perinde solvemus.] 


IN ARISTARCHI LIBRUM DE MAGNITUDINIBUS ET DISTANTIIS SOLIS ET LUNAE. 


XXXVII. In libro de magnitudinibus et distantiis solis et 
lunae Aristarchus sex hypotheses!) ponit has: 

I. lunam a sole lucem accipere, 

II. terram puncti ac centri rationem habere ad lunae 
sphaeram, 

III. cum luna dimidiata nobis appareat, in nostrum vi- 
sum vergere circulum maximum qui lunae opacugh et splen- 
didum determinat, 

IV. cum luna dimidiata nobis appareat, tum a sole eam 
distare quadrante minus quadrantis parte trigesima [pro " eam 
distare gradibus 87"; est enim quadrans — 905, ideoque 
eius trigesima pars — 3?, et 90* — 85 2 879]. Porro supponit 

V. umbrae latitudinem. esse duarum lunae diametrorum, 

VI. lunam subtendere signi partem quintamdecimam. 

Harum autem hypothesium prima et tertia et quarta fere 
cum Hipparchi et Ptolemaei positionibus conveniunt. Luna 
enim a sole semper illuminatur praeterquam in eclipsi, quo 
tempore lucis expers fit incidens in umbram, quam sol, qua- 
tenus terra lumini eius officit, iacit conicam formam ἢ8-- 
bentem, et circulus determinans lacteum colorem, qui est ex 
illuminatione solis, et cineraceum, qui proprius lunae est, 


4) Θέσεις ipse Aristarchus appellavit. 


S Wa, M A(B) 46. G ML A(B), ἐννενήχκοντα μοιρῶν S, G μοιρῶν 
Wa τοῦ anle rezept. add. Β Wa τεταρτὴ μορίου À, coniunx. 
BS Wa M T. A(B), μοῖραι τρεῖς S, μοιραῖς (sic) γ Wa 47. τῶν 
G μέρος À' A (B Wa), τῶν ἐννενήκοντα μέρος τριακοστὸν S 48. £x- 
τον BS Wa, «ἃ 49. ἐξ ^, i&€ B (Wa), πεντεχαιδέχατον S Aristarch. 
ζωιδίου A, ζωδέου BS Wa 20. 91. τρέτη καὶ τετάρτη S Wa, É χαὶ d 
A(B) 26. προλάμψεως. ABS, corr. Wa 
36 * 


12 


9006 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHZ C. 


ἀδιαφορῶν τοῦ μεγίστου κύχλου ἐν ταῖς διχοτόμοις πρὸς 
τὸν ἥλιον στάσεσιν, τεταρτημορίου ἔγγιστα ἐπὶ τοῦ ζῳ- 
- 3! e 
διακοῦ ϑεωρουμένου νεύει πρὸς τὴν ἡμετέραν ὑψιν" τοῦτο 
M * — , ? 4 ? , e b x 
γὰρ τὸ τοῦ xvxÀov ἐπίπεδον ἐχβαλλόμενον ξει χαὶ διὰ 


-. € , » € , £60» »Ἀ" » 94 ς λή 5 
τῆς ἡμετέρας Θιψεως, ὑποιὰν 7TOT ἂν ἔχῃ ϑέσιν ἢ σεληγη 


τῆς πρώτης 1$) δευτέρας διχοτόμου φάσεως. ἀσυμφωνους 
δὲ τὰς λοιπὰς ὑποϑέσεις κατειλήφασιν οἱ προειρημένοι 
μαϑηματικοὶ διὰ τὸ μήτε τὴν γῆν σημείου καὶ κένερου λό- 
γον ἔχειν πρὸς τὴν τῆς σελήνης σφαῖραν xav αὐτούς, ἀλλὰ 
πρὸς τὴν τῶν ἀπλανῶν, μήτε τὸ τῆς σχιᾶς πλάτος σελη- 
vv εἶναι δύο [διαμέτρων], μήτε τὴν διάμετρον αὐτῆς ὕπο- 
τείνειν [τοῦ κατὰ τὸ αὐτὸ μέσον αὐτῆς ἀπόστημα περιφέ- 


lU 


ρειαν μεγίστου χύχλου] ιε΄ μέρος ζῳδίου, τουτέστιν μοίρας 


, M A M e € , M , 
β΄. κατὰ μὲν γὰρ Ἵππαρχον δξαχοσιάκις καὶ πεντηκοντά- 
χις καταμετρεῖται ὃ κύχλος οὗτος ὑπὸ τῆς διαμέτρου τῆς 
σελήνης, δὶς δὲ χαὶ ἡμισάκις ὃ τῆς σχιᾶς κατὰ τὸ ἐν ταῖς 
συζυγίαις μέσον ἀπόστημα, κατὰ δὲ Πτολεμαῖον 7 διάμε- 
τρος αὑτῆς ὑποτείνει περιφέρειαν κατὰ μὲν τὸ μέγιστον 
ἀπόστημα Ο λα' x", κατὰ δὲ τὸ ἐλάχιστον Ο λε΄ x", ἡ 
δὲ διάμετρος τοῦ κύκλου τῆς σκιᾶς κατὰ μὲν τὸ μέγιστον 
) , - ’ €t M [4 [44 M A] bl U 
ἀπόστημα τῆς σελήνης ξξηχοστὰ μή μ΄, κατὰ δὲ τὸ ἐλάχι- 
στον ἀπόστημα" ἑξηκοστὰ uc. ἐντεῦϑεν αὐτοῖς οἱ λόγοι 
διάφοροι xai τῶν ἀποστημάτων χαὶ τῶν μεγεϑῶν ἡλίου 
καὶ σελήνης ἐπιλελογισμένοι εἰσίν. 
'O μὲν γὰρ ρίσταρχος ἐπάγει ταῖς εἰρημέναις ὕπτο- 
, , M [4 cet eC 9$ 4 b! ^ -—- 
ϑέσεσιν λέγων κατὰ λέξιν οὕτως" ᾿ ἐπτιιλογίζεται δὴ τὸ τοῦ 


2. τετάρτη μορίου À, coniunx. BS Wa ζωιδιαχοῦ À, ζωδιακοῦ 
BS Wa 5. ὁποίαν Wa auctore Co, ὅποι ABS 44. διαμέτρων AB 
Paris. 2368 Savilianus unus, διαμέτρω S, διάμετρον Savilianus alter 
(unde χατὰ τὴν διάμετρον coni. Wa), del. Hu (σελήνης εἶναι dvo Óta- 


μέτρων voluit Co) 42. 13. τοῦ del. Wa, reliqua quoque usque ad 
κύχλου interpolatori tribuit Hu 49. αὐτῆς Wa, γῆς Al, αὐγῆς ASBS 
Saviliani 43. «€ À, i6. B (Wa), πεντεχαιδέχατον S ζωιδίου A, 
ζωδίον BS Wa 43. 44. ἃ B A(B), μοίρας δύο S Wa 44. χαὶ 
πεντηχοντάχις om. S 49. o Àex — o Atx Α (ilem B, nisi quod o), 
distinx. S 21. ἔκ u pu. A(B), ἑξηκοστὰ e u" u" S, o u' u" voluit 


Co, o με' à" Wa 29. ἑξηχοστὰ με΄ S, E uz A(B), o με΄ Wa auc- 


15 


20 


t 


LIBER VI. 597 


haud differens a maximo circulo in dimidiatis ad solem consti- 
tutionibus, quam proxime quadrantem in zodiaco conspectum 
praebens vergit ad nostrum visum. Hoc enim circuli planum, 
si producatur, etiam per visum nostrum transibit, quamcun- 
que positionem luna primae vel secundae dimidiatae appari- 
tionis habebit. Sed reliquas hypotheses ii quos dixi mathe- 
matici diversas statuerunt, propterea quod secundum ipsos 
neque terra puncti ac centri rationem habet ad lunae sphae- 
ram, sed ad sphaeram stellarum fixarum, neque umbrae 
latitudo est duarum lunae diametrorum, neque lunae diame- 
trus [iuxta mediam eius distantiam] quintamdecimam partem 
signi, id est duos gradus, subtendit. Nam Hipparcho!) qui- 
dem lunae diametrus circulum illum, quem ipsa cursu suo 
describit, metitur sexcenties quinquagies, umbrae autem cir- 
culum bis et semis secundum mediam distantiam in coniunc- 
tionibus; at Ptolemaeo?) lunae diametrus in maxima distan- 
tia subtendit 05 34' 20", in minima 0? 35' 20", umbrae au- 
tem circuli diametrus in maxima lunae distantia 0? 40' 40", 
in minima 0? 46'. Unde diversas uterque et distantiae et 
magnitudinis solis ac lunae rationes subduxit. 

Aristarchus enim iis quas diximus suppositionibus haec 
subiungit. verbotenus: "Itaque colligitur distantiam solis a 


4) Ptolem. compos. 4, 8 p. 265 ed. Halma: ἐπὶ δὲ τῶν κατὰ πλά- 
τος πρότερον uiv διημαρτάνομεν καὶ αὐτοὶ συγχρώμενοι χατὰ τὸν “Ἵπ- 
παρχον τῷ τὴν σελήνην ἑξακχοσιᾶχις καὶ πεντηχοντάχις ἔγγιστα κατα- 
μετρεῖν τὸν ἴδιον χύχλον, dig δὲ καὶ ἡμισάχις τὸν τῆς σκιᾶς καταμε- 
τρεῖν χατὰ τὸ ἐν ταῖς συζυγίαις μέσον ἀπόστημα. 

4) Ptolem. 5, 44 p. 848: φανερὸν ὅτι xol ὅλη ἡ διάμετρος τῆς σε- 
λήνης ὑποτείνει μεγέστου κύχλου περιφέρειαν ἑξηκοστῶν μιᾶς μοίρας 
λα γ΄. εὐχατανόητον δ᾽ αὐτόϑεν ὅτι xol ἡ (add. Hu) ἐκ τοῦ κέντρου 
τῆς σχιᾶς τῆς χατὰ τὸ αὐτὸ μέγιστον ἀπόστημα τῆς σελήνης ὑποτεένει 
μὲν μιᾶς μοίρας ἑξηχκοστὰ μ΄ xol yg (i. e. δέμοιρον sive 3). 


tore Co . 36. χατὰ λέξιν etc.] quamvis Pappus ipsa Aristarchi verba se 
citare profiteatur, tamen scriptura eius longe distat ab emendatiore illa 
quae in Aristarchi libro legitur apud Wa p. 569 sq.; at non omnia 
quae miaus recte apud Pappum leguntur ipsi scriptori, immo nonnulla 
eaque graviora librariis imputanda esse videntur 


508 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ C 


ἡλίου ἀπόστημα τοῦ τῆς σελήνης ἀποστήματος πρὸς τὴν 
γῆν μεῖζον μὲν ἢ ὀκτωκαιδεκαπλάσιον, ἔλασσον δὲ ἢ εἰκοσα- 
πλάσιον, τὸν αὐτὸν δὲ λόγον ἔχει καὶ ἡ τοῦ ἡλίου διάμε- 
τρος πρὸς τὴν. τῆς σελήνης διάμετρον, τοῦτο δὲ διὰ τῆς 
περὶ τὴν διχύτομον ὑποθέσεως. τὴν δὲ τοῦ ἡλίου διαάμε- 5 
τρον πρὸς τὴν τῆς γῆς διάμετρον ἐν μείζονι λόγῳ ἢ ὃν ιϑ' 
πρὸς γ΄, à» ἐλάσσονι δὲ λόγῳ ἢ ὃν τὰ uy πρὸς ς΄, διὰ 
τοῦ εὑρεϑέντος περὶ τὰ ἀποστήματα λόγου καὶ τῆς περὶ 
τὴν σκιὰν ὑποϑέσεως καὶ τοῦ τὴν σελήνην ὑποτείνειν ὑπὸ 
ιε΄ μέρος ζῳδίου᾽. “Ἥἐπιλογίζεται δέ εἶπεν "và ἀποστή- 10 
ματα καὶ τὰ ἑξξῆς ὡς αὐτὰ μέλλων ἀποδείξειν προγράψας 
ὅσα συντείνει πρὸς τὰς ἀποδείξεις αὐτῶν λήμματα.  6v»- 
ἄγει δ᾽ ἐκ πάντων ὅτι ὃ μὲν ἥλιος πρὸς τὴν γῆν μείζονα 
λόγον ἔχει ἢ ὃν τὰ ςωνϑ' πρὸς κζ΄, ἐλάσσονα δὲ λόγον ἢ 
ὃν τὰ μ. ζ΄ ϑφζ' πρὸς σις΄, ἡ δὲ διάμετρος τῆς γῆς πρὸς 15 
τὴν διάμετρον τῆς σελήνης ὃν μείζονι μὲν λόγῳ T ὃν τὰ 
ρη πρὸς τὰ uy, ἐν ἐλάσσονι δὲ ἢ ὃν τὰ E' πρὸς τὰ ιϑ', 
ἡ δὲ γῆ πρὸς τὴν σελήνην ἐν μείζονι λόγῳ ἢ ὃν τὰ μι. oxe' 
Sup πρὸς u.L E ἐν ἐλάσσονι δὲ ἢ ὃν μ. κα' ς 
πρὸς σωνϑ'. 20 
73 Πτολεμαῖος δὲ πέμπτῳ βιβλίῳ συντάξεως ἀπέδειξεν 
ὅτι, οἵου ἐστὶν ἑνὸς 3) ἐκ τοῦ κέντρου τῆς γῆς, τοιούτων 
τὸ μὲν τῆς σελήνης ἐν ταῖς συζυγίαις μέγιστον ἀπόστημα 
Ed ι΄, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου σι, ἡ δ᾽ ἐκ τοῦ χέντρου τῆς 0£- 
λήνης Ο ιζ΄ λγ΄, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἡλίου ε λ΄, ὥστε 25 
καί, οἵου ἐστὶν ἑνὸς ἡ διάμετρος τῆς σελήνης, τοιούτων ἣ 
μὲν τῆς γῆς ἄρα διάμετρος y' καὶ β' &", ἡ δὲ τοῦ ἡλίου 
ιη΄ καὶ δ΄ &', καὶ ἣ μὲν τῆς γῆς ἄρα διάμετρος τῆς σελη- 
γνιακῆς τριπλασία ἐστὶν καὶ τοῖς β' ε΄ μείζων, T δὲ τοῦ 


4. 9. πρὸς τὴν γῆν] ἀπὸ τῆς γῆς rectius Aristarch. 5. διχοτό- 
μον Α, διχοτομὸν B, acc. corr. S, διχοτομίαν Aristarch. 40. (£ A, 
e B Wa, πεντεκαιδέχατον S ζωιδίου A, ζωδέου BS Wa 441. xci 
τὰ Hu pro ὡς 45. á 6 «Z ^, s 9 qi B, , μὲ Jc S (apparet με 
significare μύρια, ut u^ libro 1I p. 22 sqq.) σις Wa pro ἐς ex Ari- 
starcho p. 593 48. ἐν] ὃν A(B), corr. S μ. oxe'] μ et superscr. 
oxe ABS, quibus insuper add. notam C, AB 49. u. ζ scriptura co- 


LIBER VI. 559 


terra maiorem quidem esse quam duodevigintuplam distantiam 
lunae, minorem vero quam vigintuplam; atque eandem pro- 
portionem solis diametrus habet ad diametrum lunae, idque 
ex hypothesi de dimidiata juna. Solis autem diametrum ad 
terrae diametrum colligitur in maiore proportione esse quam 
19:3, in minore autem quam 43 : 6, ex ratione quae dc 
distantiis inventa est et propter hypothesim de umbra et quia 
luna partem quintamdecimam signi subtendit". Scripsit au- 
tem "colligitur distantiam" etc., utpote eadem mox demon- 
straturus, postquam lemmata quaecunque ad demonstrationes 
pertineant praemiserit. Ex quibus omnibus concludit solem 
ad terram maiorem proportionem habere quam 6859 : 27, 
minorem autem quam 79507 : 9246, tum terrae diametrum ad 
diametrum lunae in maiore proportione esse quam 108 : 43, 
in minore autem quam 60 : 19, denique terram ad lunam 
in maiore proportione quam 1259712 : 79507, in iminore ,au- 
tem quam 216000 :-6859*). 

At Ptolemaeus quinto compositionis libro (cap. 18 sg.) 
demonstrat, si radius terrae pro unitate ponatur, eiusmodi 


unitatum maximam lunae distantiam in coniunctionibus esse 
40 . . 47 88 
— ἱ -- 539 
64.» 5015 1210, et radium lunae 5; c3, radium solis ὅτ; 
itaque, si lunae diametrus pro unitate ponatur, eiusmodi uni- 


tatum terrae diametrum esse 3, 


3 ᾿. 
terrae diam. — 3, diam. lunae, 


. 4. 
solis 18; itaque 
*) Quae supra Pappus affert, ea singillatim demonstrantur ab Ari- 


starcho de magnit. etc. propos. 7. 9. 45—48. 


dicum ABS eadem ac supra vs. 45 p. κα' c] rursus μὲ et superscr. 
χα, tum Gc A, item B, nisi quod € cum linea transversa habet ut 





vs. 48, et S, qui eandem nolam liberius duxit 20. φςωνϑ9] rursus 
nota C, antecedit in AB(S) 24. Ed ιἼ EO" ABS, ξδς Saviliani, corr. 
Co qn δὲ τοῦ A(B), sed in A lineola super ἡ erasa, numerum 


corr. Co, ἡ δὲ distinx. 8, ἐκ add. Wa 35. Go(L AF A, ott X ΓΒ, 
oL Ay S € À] o t€ & A(B), o εε' u" S, corr. Co 27. β' &'] βὲι 
A (BS) 38. 0 εἼ 4 ) A, δὲ ΒΞ 29. β' &"] I*, AB, τρισὶ πέμπτοις S 


560 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓῊΣ C. 


ἡλίου τῆς μὲν τῆς σελήνης ὀχτωκαιδεχαπλασία καὶ ἔτι τοῖς 
δ' ε΄ μείζων, τῆς δὲ τῆς γῆς πενταπλασία καὶ ἔτι τῷ S 
μείζων: ἀφ᾽ ὧν καὶ οἱ τῶν στερεῶν σωμάτων λόγοι δῆλοι, 
ἐπεὶ καὶ ὁ τοῦ α' κύβος τοῦ αὐτοῦ ἐστιν α΄, ὁ δ᾽ ἀπὸ τῶν 
y ' καὶ β' ε΄ τῶν αὐτῶν ἔγγιστα λϑ' à, ὁ δ᾽ ἀπὸ τῶν ιη΄ ὃ 
χαὶ δ΄ ε΄ ὁμοίως ςχμδ' S ἔγγιστα, ὡς συνάγεσθαι ὅτι, 
οἵου ἐστὶν ἑνὸς τὸ τῆς σελήνης στερεὸν μέγεϑος, τοιούτων 
ἐστὲ τὸ μὲν τῆς γῆς λϑ' δ΄, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου ςχμδ' S: 
ἑκατοντακαιεβδομηκονταπλάσιον [μεῖζον] ἄρα ἔγγιστα τὸ 
τοῦ ἡλίου τοῦ τῆς γῆς. 10 
74 Καὶ ταῦτα μὲν ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσϑω συγκρίσεως ἕνε- 
κεν τῶν εἰρημένων μεγεϑῶν καὶ ἀποστημάτων, ἕν δέ vc 
λῆμμα γράψομεν ἐκ τῶν φερομένων εἰς τὸ δ΄ ϑεώρημα τοῦ 
βιβλίου τῆς ζητήσεως ἄξιον. 
Ἔστω κύχλος ὃ ΑΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐκβληϑεῖσα 15 
ἡ ITA, κέντρον δὲ τὸ E, καὶ ἤχϑω ἀπὸ τοῦ E τῇ 4Γ4 
πρὸς ὀρϑὰς ἡ ΒΕΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ 4 τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφ- 
απτομένη ἡ 40, καὶ κείσϑω τῆς ZO ἡμίσεια ἐφ᾽ ἑκάτερα 
τοῦ Γ $ ΚΓ ΓΑ͂, xai ἐπεζεύχϑωσαν αἱ KA 44 ZA: λέγω 
ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ Kd τῆς ὑπὸ τῶν Z4O. προ- 30 
γράφεται δὲ τάδε. 


75 λη. Ἔστω κύκλος ὁ .4BI, xai διάμετρος ἐχβληϑεῖσα 
ἡ 4Γ4, καὶ ἀπὸ τοῦ 4 ἤχϑω τις εὐθεῖα ἡ 4ΕΖ᾽' λέγω 
ὅτι ἡ 42 περιφέρεια μείζων ἐστὶν τῆς ΓΕ περιφερείας. 
Εἰλήφϑω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύχλου τὸ H σημεῖον, 35 


4. τῆς alterum add. Hu 2. δ΄ ε΄ 45) A(B), τέτρασι πέμπτοις 
5 τῆς δὲ γῆς AS, ἢ τῆς δὲ γῆς B, ἡ δὲ τῆς γῆς Wa, corr. Hu 
S] L' A, ἡμέσει ΒΒ 8. 4. δῆλοι. ᾿Επεὶ γὰρ ὃ etc. Wa 5. 8' &"] 
B* A(B, 8S 19 d'B, 49 4 Α.5 6. δ΄ &"] 4*; A(B), τεσσάρων 
πέμπτων 8 ὁμοίως Gs xu τ΄ A(B), Ὁ del. et notam semissis li- 
berius duxit S 7. τοιούτον (τοιοῦτον B), corr. S 8. 49. à' ABS 





ἡλίου Ὁ exu AU A(B), ςχμδ S" Paris. 2368 (S) 9. μεῖζον del. Co 
(neque id legitur apud Ptolem.) 43. 4 A, δ΄ B, zéragrov S —— τοῦ] 
τοῦ αὐτοῦ voluil Co — 45. ὁ add. BS Saviliani 49. αἱ K4 44Z4A 


A, distinx. BS 39. 4M A! in marg. (BS) 


LIBER VI. PROPOS. 89. 40. 961 


solis diam. — 18. diam. lunae 


4 
zm ὃς diam. terrae. 


Unde etiam solidorum porn rationes manifestae sunt; 
nam quoniam est cubus 4 — 1, cubus 83 - 39- quam pro- 
xime, cubus I8 -- 6644. quam proxime, binc. computatur, 
si lunae solida magnitudo pro unitate ponatur, earum unita- 


tum terrae magnitudinem esse 39-. solis 6644? itaque solis 


9? 
magnitudinem centies et septuagies quam proxime magnitu- 


dinem terrae continere. 


Haec quidem comparationis causa earum quas diximus 
magnitudinum et distantiarum hactenus disputata sint; unum 
autem lemma inquisitione dignum ex numero eorum, quae 
ad IV theorema euiusdem libri Aristarchi feruntur, iam ad- 
scribamus. 

Sit circulus of, 
eiusque diametrus pro- 
ducta ayÓ, centrum «£, 
et ab & ipsi «yd duca- 
tur perpendicularis βεζ, 
et a ὃ recta δῶ circu- 
lum ay tangens, et ad 
utramque partem puncti 
y ponatur circumferen- 
tia yx — γὰ τῷ : ζϑ, et 
iungantur xà δὰ CÓ ; di- 
co angulum xóàÀ angulo 
CÓ9 maiorem esse. 

Praemittuntur au- 
tem haec. 





Prop. 
39 


XXXVIIl. Sit cireulus agy, eiusque diametrus producta Prop. 


αγδι, et a à ducatur quaelibet recta δὲζ; dico circumferen- 
tiam oi maiorem esse quam γε. 


Sumatur enim circuli. centrum ἢ, et iungantur 7e wt: 


560 IIAHIIOY ΣΥΝΑΓΩΏΓῊΣ C. 


ἡλίου τῆς μὲν τῆς σελήνης ὀκτωκαιδεκαπλασία καὶ ἔτι τοῖς 
δ΄ & ᾿ μείζων, τῆς δὲ τῆς γῆς πενταπλασία καὶ ἔτι τῷ S 
uic: dp ὧν καὶ oi τῶν στερεῶν σωμάτων λόγοι δῆλοι, 
ἐπεὶ καὶ ὃ τοῦ «a κύβος τοῦ αὐτοῦ ἐστιν α΄, ὁ δ᾽ ἀπὸ τῶν 
y καὶ β' ε΄ τῶν αὐτῶν ἔγγιστα À9' δ΄, ὁ δ᾽ ἀπὸ τῶν um ὃ 
καὶ δ΄ ε΄ ὁμοίως cxuÓó S ἔγγιστα, ὡς συνάγεσθαι Ost, 
otov ἐστὲν ἑνὸς τὸ τῆς σελήνης στερεὸν μέγεϑος, τοιούτων͵ 
ἐστὲ τὸ μὲν τῆς γῆς λθ΄ δ΄, τὸ δὲ τοῦ ἡλίου ςχμδ' S- 
ἑκατονταχαιεβδομηκονταπλάσιον [μεῖζον] ἄρα ἔγγιστα τὸ 
τοῦ ἡλίου τοῦ τῆς γῆς. 1 
74 Καὶ ταῦτα μὲν ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσϑω συγχρίσεως ἕνε-: 
κεν τῶν εἰρημένων μεγεϑῶν καὶ ἀποστημάτων, ἕν δέ τε 
λῆμμα γράψομεν ἐκ τῶν φερομένων εἰς τὸ δ΄ ϑεώρημα τοῦ 
βιβλίου τῆς ζητήσεως ἄξιον. 
Ἔστω κύχλος t o ΑΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ μιβληϑεῖσα t 
ἡ TA, κέντρον δὲ τὸ E, καὶ ἤχϑω ἀπὸ τοῦ E τῇ ATA ὦ 
πρὸς ὀρϑὰς ἡ ΒΕΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ 4 τοῦ ABI κύκλου ἐφ! * 
απτομένη ἡ 460, καὶ κείσϑω τῆς ZO ἡμίσεια ἐφ᾽ ξκάτερα 
τοῦ Dl ἢ ΚΓ ΓΑ͂, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΚΖ 4. ZA: λέγω τ 
ὅτι μείζων ἐστὶν 7) ὑπὸ K44 τῆς ὑπὸ τῶν ΖΖΘ. προ: Ά 
γράφεται δὲ τάδε. ! 


175 λη. Ἔστω κύχλος ὃ .4BI, καὶ διάμετρος ἐχβληϑεῖσὰ 
ἡ 44, καὶ ἀπὸ τοῦ 4 ἤχϑω τις εὐθεῖα ἡ 4ΕΖ' λόγω 
ὅτι ἡ .4Z, περιφέρδια μείζων ἐστὶν τῆς ΓΕ περιφερείας. 

Εἰλήφϑω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύχλου τὸ Η σημεῖον, " 


4. τῆς allerum add. Hu 2. À ε΄Ἴ 4*; A(B), τέτρασι πέμπεοε « 
S τῆς δὲ γῆς AS, ἢ τῆς δὲ γῆς B, ἡ δὲ τῆς γῆς Wa, corr. Hu 
S) L' A, ἡμίσει ΒΒ 8. 4, δῆλοι. ᾿Επεὶ γὰρ ὁ etc. Wa ὅ. β ἐτ 
B* A(B, β88 49 δ' B, 19 4 Α35 6. δ' εἼ 42) A(B), τεσσάρωπιαι 
πέμπτων S ὁμοίως ὃς χμά L' A(B), ,C del. et notam semissis | 
berius duxit S 7. τοιούτον Α (τοιοῦτον B), corr. S 8. 49. d' ABS 





ἡλίου C exu 4L' A(B), εχμὸ S" Paris. 2368 (S) 9. μεῖζον del. 
(neque id legitur apud Ptolem.) 43. 4 A, δ΄ B, réragrov S.—— 
ToU αὐτοῦ voluit Co 45. ὁ add. BS Saviliani 49. αὖ KA 41 


A, distinx. BS — 32. ÀH A! in marg. (BS) 


562 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ €. 


καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΗΖ ΗΕ’ καὶ γωνία ἄρα ἡ πρὸς τῳ 
Ζ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ Ε ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ τρίγωνον τὸ 
HZ4 καὶ ἐχτὸς γωνία ἡ ὑπὸ 
"4 AHZ μιείζων ἐστὶν τῆς ἐντὸς 
xai ἀπεναντίον τῆς πρὸς τῷ Ζ,5 
τουτέστι τῆς πρὸς τῷ Ε, ἀλλὰ 
a d ἡ πρὸς τῷ E μείζων ἐστὶν τῆς 
ὑπὸ AHE διὰ τὸ ἐχτὸς εἶναι 
τοῦ τριγώνου, καὶ ἡ ὑπὸ 4ΗΖ 
£ | ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ EHA.10 
xai εἰσὶν πρὸς τῷ κέἔντρῳ᾽ 
μείζων ἄρα καὶ περιφέρεια ἡ 42 τῆς ΓΕ, ὕπερ: “- 

A9'.. Κύκλος ὃ 41Β, οὗ κέντρον τὸ 4, καὶ ἐκτὸς τοῦ 
xvxAov σημεῖον τὸ I, καὶ διήχϑω ἡ ΓΑ͂ΖΚ, καὶ ἐφαπτο- 
μένη τοῦ κύκλου ἡ ΓΖ καὶ διὰ τοῦ .Ἵ κέντρου πρὸς ὀρϑὰς 15 
τῇ ΚΙ διαμέτρῳ ἡ 4.4, καὶ τετμήσϑω ἡ I4Z. περιφέρεια 
δίχα τῷ E, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΓΒΑ͂ HE: λέγω ὅτι 
μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΕΓΖ. 

Ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΕΒ ΖΗ. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΕΒ 
τῆς ΖΗ, ἐλάσσων δὲ 7 ΒΓ τῆς ΓΗ͂, ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ μεί-30 
Cova λόγον ἔχει ἤπερ 5» ΖΗ πρὸς ΓΗ. γεγονέτω οὖν ὡς 
ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ, ἢ HO πρὸς ΗΓ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ OFT. 
ἐπεὶ οὖν αἱ ὑπὸ ABE ΕΗΖ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν 
(ἐπεὶ καὶ περιφέρεια ἡ 4 περιφερείᾳ τῇ ΕΖ), καὶ αἱ 
λοιπαὶ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις αἱ ὑπὸ ΕΒΓ ΖΗΓ. καὶ περὶ 25 
ἴσας γωνίας αἵ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν' ἰσογώνιον ἄρα τὸ 
ΕΒΓ τρίγωνον τῷ ΗΘΓ τριγώνῳ: ἴσαι ἄρα εἰσὶν ot ὑπὸ 
ATE ΗΓΘ γωνίαι" μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῆς ὑπὸ ΕΓΖ. 


B0» M € 3 ^ s “ Ld 
μ΄. ἔστω λοιπὸν ἢ αὐτὴ καταγραφὴ τῇ πρότερον, 


4. 9. πρὸς τὸ C τῇ πρὸς τὸ € Wa (paulo post idein mox πρὸς τῷ, 
mox πρὸς τὸ) 9. τρίγωνόν ἐστι τὸ Wa, τριγώνου τοῦ HZ ἡ ἐχτὸς 
etc. coni. Hu 43. 49 A! in marg. (BS) Ἔστω ante xvxàog add. 
Wa . 4". FBATHE Δ, αἱ yg «y ne B, recte distinx. 5 84. περι- 
φέρεια τῆς EZ ^, περιφερείας τῆς εξ B cod. Co, περιφερείας τῆς ηξ 


LIBER VI. PROPOS. 44. 89. 563 


itaque anguli ηεζ ηζε aequales sunt. Et quoniam trianguli 
5LÓ angulus exterior αηζ maior est interiore et opposito ne, 
id est ηεΐζ, sed angulus me, ut exterior trianguli ηεδ, maior 
est quam '9ge, ergo etiam angulus ez£ maior est quam eró. 
Quorum uterque ad centrum est; maior igitur circumferentia 
αζ quam ye, 4. e. d. 


XXXIX. Sit circulus of, cuius centrum δ, et extra cir- Prop. 
culum punctum y, et ducatur recta yAóx, et yb circulum 
tangens, et δὰ per ὃ centrum diametro χὰ perpendicularis, 
et circumferentia «b bifariam secetur in e, et iungantur yfja 
γηξ; dico angulum «ye angulo eyC maiorem esse. 

lungantur ef) Cy. 
Quoniam est 

ee 

By « yr, estigitur 

eg : By o» ζη : my. 
Iam fiat, productà ηζ, 
/"/ 9η:η7 ΞΞ εβ: By, 
et iungatur Jy. lam 
quia propter aequales 
cireumferentias αδ εζ 
(elem. 3, 24) est 

L afe — L εηξ, 
etiam eorum supple- 
menta aequalia sunt, 
id est 
L εβγ — L Cry. Et sunt circa aequales angulos latera pro- 

portionalia; ergo propter elem. 6, 6 est 

Δ &fy — Δ ϑηγ: ergo 
L αγε — L yy3; itaque 
L eye - L eyc. 


XL. Sit denique eadem figura ac supra (p. 561), eae- POP. 





Saviliani (?), corr. S Co 26—28. τὸ «BC τρίγωνον τῷ q9. — ὑπὸ «yc 
ηϑγ γωνέαε Saviliani (?) 29. M A! in marg. (BS) 


504 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ C. 


καὶ τὰ αὐτὰ δεδομένα" λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ KA. 
/ ^ € A . 
γωνία τῆς ὑπὸ ΖΖΘ. 





Τετμήσθω δίχα ἡ ΖΘ περιφέρεια κατὰ τὸ M, καὶ ἐπε- 
ξεύχϑω 7 M. φανερὸν δὴ ἐκ τοῦ νῦν δειχϑέντος ὅτι ἡ 
ὑπὸ Z4M γωνία μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ MAO. ἐκβεβλή- 5 
σϑωσαν αἱ ZEB 4.4 ἐπὶ τὰ Ν A σημεῖα, καὶ κείσϑω τῇ 
444 εὐϑείᾳ ἴση ἡ ΝΖ, xai ἐπεζεύχϑωσαν αἱ NIMM NA ZM. 
καὶ ἐπεὶ κύκλος ἐστὶν ὃ .4BI', xai διάμετρος ἐχβληϑεῖσα 
ἡ LA, καὶ ἀπὸ τοῦ 4 διῆκται πρὸς τὴν κοίλην περιφέ- 
θείαν ἡ 4413, περιφέρεια ἄρα ἡ 43 περιφερείας τῆς ΓΖ 10 
μείζων ἐστίν. ἀλλ᾽ ἡ ΓΑ͂ ἴση ἐστὶν τῇ ΖΙΜ περιφερείᾳ 
(ἡμίσεια γὰρ ξκατέρα αὐτῶν τῆς ΖΘ) καὶ ἡ 413 ἄρα περι- 
φέρεια μείζων ἐστὶν τῆς ZM. κείσϑω οὖν τῇ ΖΙΜ ἴση 
ἢ «40, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἵ 410 OA. ἐπεὶ οὖν ἣ ΑΘΓ 
περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου ἴση ἐστὶν vij ΖΓΒ περιφερείᾳ 19 
τοῦ ἡμικυκλίου, ὧν ἢ 410 περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ MZ 
περιφερείᾳ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΟΓ περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ 
MB περιφερείᾳ. καὶ βέβηκεν ἐγτὶ μὲν τῆς OI περιφερείας 
γωνία ἡ ὑπὸ 4.40, ἐπὶ δὲ τῆς MB γωνία ἡ ὑπὸ NZM: 
ἴση ἄρα ἐστὶν xai ἡ ὑπὸ 4.40 γωνία τῇ ὑπὸ ΝΖΙΜ (καὶ 
ἔστιν ἑκατέρα αὐτῶν ἐλάσσων ὀρϑῆς). καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν 


LIBER VI. PROPOS. 89. 565 


demque hypotheses; dico angulum xó4 angulo CÓ9 maiorem 
esse. 

Bifariam secetur circumferentia C9 in puncto t, et iun- 
gatur uó. lam ex eo quod modo (propos. 41) demonstratum 
est apparet angulum CÓ angulo uóJ maiorem esse. Pro- 
ducantur rectae ζεβ δὰ ad puncta ν 5$, et ponatur Cv — aó, 
et iungantur rectae vnu νὃ Cu. Et quia circulus est ἂρ, 
eiusque diametrus «y producta ad Ó, et a ὃ ad concavam 
cireumferentiam ducta est recta δλξ, est igitur (propos. 40) 


circumf. o£ *» circumf. γλ. Sed est 
circeumf. yÀ — circumf. Cu (utraque enim — 1 C3); ergo 
eliam 
circumf. αξ *» circumf. Cu*). Iam ponatur 
circeumf. «o — circumf. Zu, et iungantur rectae ao οὐ. 
lam quia est 
circumf. aJy — cireumf. ἔγβ (utraque enim semicirculi 
est), et ex constructione 
eircumf. oo — circumf. Cu, vestat igitur 
circumf. oy — circumf. ug. — Et in. circumf. oy insistit 
angulus oey sive dao, in 
cireumf. autem 4 angu- 
lus ucB sive »Qu; ergo 
(elem. 5, 27) 
L δαο τῷ, L νζμ (quorum uterque propter elem. 5, 351 
minor recto est. Et quia est 
αὖ -ῷ ἕν (ex constructione), et 
co — Lu (elem. 5, 29), et 
L óao — ( »Cu, est igitur propter elem. 4, 4**) 


*) Hoc scriptor eo consilio demonstravit, ut appareret punctum o 
inter « £ cadere necesse esse. .Unde sequitur angulum «ó£ maiorem 
esse quam «do, id quod sub finem demonstrationis positum est. 

**) Graeca δύο δὴ αἱ 440 δυσὶ ταῖς NZM ἴσαι εἰσών, et quae 
paulo post sequuntur χαὶ αὖ γωνέαι ἔσαι εἰσίν, vel, ut accuralius cap. 79 
legimus, xe) αἕ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς ymrí«ig ἴσαι εἰσίν quibus- 
dam forsitan abundare videantur; at his verbis nihil nisi Euclidem 
elem. 4, 4 citare voluit scriptor. 


4. χαὶ τὰ αὐτὰ δεδομένα suspecia sunt; nam proprie scribenda 


erant xal ὑποκεέσϑω τὰ αὐτά 6. τὰ ΔΈ, distinx. BS 7. αἱ NM] 
αἱ NHM coni. Hu 40. ἡ AE περιφερείας add. A? in marg. (BS) 
44. ἢ add. BS αἱ 40 O4 ABS Saviliani, corr. Co 47. λοιπὴ 


ante τῇ MB add. Wa auctore Co 


900 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQTH3 C. 


ἡ μὲν .44 τῇ ΖΝ, ἡ δὲ .4O τῇ ZM, δύο δὴ αἱ 4.40 δυσὶ 
ταῖς ΝΖΙΗ͂ ἴσαι εἰσίν. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ 4.410 γωνίᾳ τῇ 
ὑπὸ NZM ἴση ἐστίν: βάσις ἄρα ἡ O4 βάσει τῇ NM ἴση 
ἐστίν. καὶ ai γωνίαι ἴσαι εἰσίν * ton ἄρα ἐστὲν ἡ ὑπὸ 440 
78 γωνία τῇ ὑπὸ ZNM γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ ἡμικυκλίου ἐστὶν ὃ 
ἡ ZAB, μείζων ἄρα ἡμικυκλίου ἐστὶν ἡ ΖΩ4ΒΗ. καὶ βέ- 
βηκεν ἐπ᾽ αὐτῆς ἡ ὑπὸ ΖΙΜΗ͂ γωνία" ἡ ὑπὸ ZMH γωνία 
ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρϑῆς. καὶ ὑποτείνει αὐτὴν εὐθεῖα ἡ 
ΖΡ, τὴν δὲ ὑπὸ PZM ὀξεῖαν ἡ PM- ἡ ΖΡ ἄρα μείζων 
ἐστὶν τῆς PM. ἐχβεβλήσθω οὖν ἡ PM ἐπὶ τὸ Σ, καὶ κεί- 10 
σϑω τῇ ΖΡ ἴση ἡ PS. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ ALIA ὕλῃ τῇ ZBN 
ἴση ἐστίν, «v 1) 44 ἴση ἐστὶν τῇ ΖΕ, λοιπὴ ἄρα 1 E4 





Aouriá τῇ EN ἐστὶν ἴση" καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ἘΩ͂Ν γωνίᾳ 
τῇ ὑτιὸ ENA ἴση ἐστίν" μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ EAN τῆς ὑπὸ 
ANP* καὶ τιλευρὰ ἄρα 7) ΝΡ πλευρᾶς τῆς PA μείζων ἐστίν. 15 
79 ἐχβεβλήσϑθω ἡ PA ἐπὶ «0 Y, καὶ κείσϑω τῇ PN ἴση ἡ PY, 
xoi ἐπεζεύχϑω ἡ ΥΣ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΖΡ τῇ 
ΡΣ, ἡ δὲ PN τῇ PY, δύο αἱ ZPN δυσὲ ταῖς ΣΡΥ ἴσαι 
εἰσίν. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΖΡΝ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ 3PY ἴση ἐστίν 
[χατὰ κορυφὴν γάρ)" βάσις ἄρα ἡ ΝΖ βάσει vij XY ἐστὶν 30 


D 


LIBER VI. PROPOS. 89. 567 


A δαο — ἃ »tu ; itaque 
L αδο — ( Cvu. Rursus quia circumferentia Cof semi- 
circuli est, maior igitur semicirculo 
est cireumf. Caf? ; angulus igitur Quy, 
qui in hac insistit, maior est recto 
(elem. 3, 34). Et hunc subtendit recta 
Co, angulum autem ρζμ recta ou; 
ergo est (elem. 4, 19) 
Lo *» ou. lam producatur ou ad 60, et ponatur 
— Lo. Et quia est recta αγδ — ζβν et αε — Ce, 
restat igitur 
€Ü — £v; ergo etiam 
L εὃν — L &vÀ; itaque 
L εὃν *» L ovà, multoque magis 
L o0» *» L[ ονδ; itaque 
γ0» oÓ.  Producatur ρὃ ad v, et ponatur gv — o», et 
iungatur vo. lam quia est 


L tov — L eov (sunt enim ad verticem), est igitur prop- 
ter elem. 4. 4 
A Lov — Δ ogv; itaque 
L otv — L oov. Sed est 
Louó * Loov, quia angulus ouó extra triangulum 
est!); ergo 
4) Hoc loco error scriptoris deprehenditur, qui pro quadrilatero 
μσυδ' substituit triangulum uod, cuius exterior angulus est oud. .Ne- 
que tamen ea socordia Pappo imputanda esse videtur, sed interpreti 


cuidam, qui Pappi scripturam, quam antiquitus depravatam in suo co- 
dice invenerit, minus feliciter conatus sit restituere. 


4, «i γωνίαι) αἱ λοιπαὶ γωγίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις Wa auctore 


Co 6. 7 "T περιφέρεια ᾿ Wa 7. «yoría (ante ἄρα) A , sed 
« del. prima m. 9. ἡ PMH ZPA ἄρα AB, sed ^4 ante ἄρα del. 
A nescio quae manus, reliqua corr. S 42. τὴ Hu auctore Co pro ἡ 


45. χαὶ S, x/ A, x] B 47. ἐπεζεύχϑω ἡ ov Wa 49. γωνία (ante 
τῇ ὑπὸ) AB, corr. S 


568 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ c. 


ἴση. καὶ ci λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι εἰσίν" 
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ PZN τῇ ὑπὸ PZY. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ PMA 
μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ PXY (ἐκτὸς γάρ ἔστιν τοῦ τριγώνου) " 
καὶ ἡ ὑπὸ PM.Í1 ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ PZN. ἔστιν 
δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ZPN ἴση τῇ ὑπὸ MP: λοιπὴ ἄρα 7) ὑπὸδϑ 
ZNP μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ PAM. ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ ΖΝΡ ἴση 
ἐδείχϑη τῇ ὑπὸ 4400: καὶ ἡ ὑπὸ 440 ἄρα μείζων ἐστὶν 
τῆς ὑπὸ PAM πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ 4,413 μείζων ἐστὲν τῆς 
ὑπὸ PAM. ἀλλὰ τῆς μὲν 414Ξ διπλασίων ἐστὶν ἡ ὑπὸ 
ΚΖ.,, τῆς δὲ ὑπὸ PAM ἐλάττων ἢ διπλασίων ἐδείχϑη ἡ τῦ 
ὑπὸ Z40O-: ἡ ἄρα ὑπὸ KA μείζων ἐστὶν τῆς ὑπὸ Z0. 
|. Eis τὰ ὀπτιχὰ Εὐκλείδου». 

80 μα΄. Ἐὰν ἣ ἀπὸ τοῦ ὄμματος προσπίπτουσα πρὸς τὸ 
χέντρον τοῦ κίχλου μήτε πρὸς ὀρϑὰς » τῷ ἐπιπέδῳ μήτε 
ἴση τῇ ἐκ vot κέντρου, μείζων δὲ ij ἐλάσσων, ἄνισοι o τι 
διάμετροι τοῦ κύχλου φανοῦνται. 

Προγράφεται δὲ τοῦ ϑεωρήματος τάδε. 

Ἔστω (o τρίγωνα ὀρϑογώνια τὰ ΑΒΓ 4Ε2Ζ ὀρϑὰς 
ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς Α΄ 4 γωνίας, καὶ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν 
ΓΑ͂ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν Z4- ὅτι 20 
μείζων ἐστὶν 1) ὑπὸ ΒΓΑ͂ γωνία τῆς ὑπὸ EZA. 


δ 
& 


Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ͂ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ 
ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΩ͂, καὶ δυνάμει καὶ διελόντι καὶ μήκει ἡ 
ἄρα ΒΑ͂ τιρὸς τὴν Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἢ ΕΔ πρὸς 
τὴν 4Z. πεποιήσθω ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν 42, οὕτως ἡ H425 
πρὸς 4I: δῆλον ἄρα ὅτι ἐλάσσων ἔσται ἡ H.4 τῆς 48. 


&. ἡ ὑπὸ MP4 ἄρα AB cod. Co, corr. S Co 10. ἐλάσσων Wa 
49. εἰσοπτιχα ευχλεέδου add. A3 in marg. (S), om. B Co 413. MA 
A! in marg. (BS) 49. roig 41. A, distinx. ΒΒ 24. ἡ add. BS 
26. ὥρα Hu pro ydo 


LIBER VI. PRÓPÓS. 43. 569 


L ouÓ *» L otv. Sed est 
L μρὸ — { Cov; ergo per subtractionem (est entm. sup- 
plementum ogóu. minus supplemento ovL) 

L Cvo *» L οδιι. Sed demonstratus est. {. ζνρ sive 

L Cv — L ao; ergo 

L «do *» [ οὗμ; multo igitur 

L «05 *» οὗμ. Sed est 

L αδὲ το 4 L xÓÀ (quia ex hypothesi circumf. yÀ — 1 
circumf. x«À), et demonstratus est 
(propos. 41) 

L o0 *» L i09, itaque etiam 

» 1LL09; ergo est 
L x0À » L C09. 


IN EUCLIDIS OPTICA. 


XLI. Si radius ab oculo in centrum circuli tendens ne- 
que perpendicularis sit ad planum circu? neque aequalis semi- 
diametro eius, sed maior vel minor, diametri circuli inae- 
quales apparebunt!). 

Ad id theorema demonstrandum praemittuntur haec. 

Sint duo triangula orthogonia e» δεζ angulos ad α ὃ Prop. 
rectos habentia, et By ad ya maiorem proportionem habeat 1 
quam εζ ad C0; dico angulum αγβ angulo ὅζε maiorem esse. 

Quoniam enim est 

By : ya » eC : CÓ, et 

By? : yo? 5» &? : ζὸξ, et dirimendo 

Ba? : ya? *» £0? : LÓ?, est igitur 

ag: oy * δὲ: δζ. lam fiat 
«n: Αγ — δὲ : Ob; manifesto igitur est 


4) Haec est Euclidis opticorum propositio 37, quam scholiastae ali- 
cui Gregorius editor (p. 625) tribuendam esse suspicatur. Graecus au- 
lem ille contextus paucis a Pappo discrepat hunc in modum: '£ev ἡ 
ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ χέντρον προσπίπτουσα τοῦ xvxAov μήτε πρὸς 
ὀρϑὰς ἢ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, μήτε ἴση ἡ τῇ ἐκ τοῦ χέντρου, μήτε 
ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ἐκ τοῦ xérrQov, μείζων δὲ ἢ ἐλάσσων 
τῆς ἐχ τοῦ χέντρου, ἄνισοι αἱ διάμετροι {ανοῦνται. 

Pappus II. 31 


570 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ C. 


ἐπεζεύχϑω 7) ΗΓ [xai ἔστιν ὡς ἡ ΗΑ͂ πρὸς τὴν AT, οἵ- 
τως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν AZ]: ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ .4HT' τρί- 
γωνον τῷ 4ΕΖ τριγώνῳ - ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4ΤῪῊ γωνία 
τῇ ὑπὸ 4ΖΕ" μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ALB τῆς ὑπὸ 4ΖΕ 
γωνίας. ὃ 

81 μβ΄. πὸ μετεώρου σημείου τοῦ 4 ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον 
ἐπίπεδον κάϑετος ἤχϑω ἡ 4B, καὶ συμβαλλέτω αὐτῷ κατὰ 
τὸ B σημεῖον, ἔστω δ᾽ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ εὐθεῖά τις ἡ ΓΖ, 
καὶ ἀπὸ τοῦ B σημείου ἐπὶ τὴν L4 κάϑετος ἤχϑω ἡ B4, 
xai ἐπεζεύχϑω ἡ 4d: λέγω ὕτι καὶ ἡ 414] κάϑετός ἐστιν 10 
ἐπὶ τὴν EA. 

a Εἰλήφϑω éni τῆς D4 τυχὸν ση- 
μεῖον τὸ D καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΑΓ 
ΓΒ. ἐπεὶ οὖν ἢ 4B κάϑετος éni τὸ 
ὑποχείμενον ἐπίπεδον, ὀρϑή ἔστιν ἡ ιῦ 
ὑπὸ ΑΒΓ γωνία: τὸ ἄρα ἀπὸ 7 ἴσον 
L ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν .4B BI. τῷ δὲ 
7 ἀπὸ ΒΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν B4 4Γ τὸ 
ἄρα ἀπὸ 41 ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν 
ὃ .8 Bá D4.. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν 4382 
B4 ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς 44: τὸ 
ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῶν ΑΔ AD: ὀρϑὴ 
ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ “5 γωνία" κάϑετος ἄρα ἐστὶν ἡ 44 
ἐπὶ τὴν DA, ὕπερ: — 

82 (ιγ΄. ἀπὸ σημείου μετεώρου τοῦ 24 ἐπὶ τὸ ὑτιοκεί- 2 
μένον ἐπίπεδον εὐϑεῖα διήχϑω ἡ .3.1Β μὴ οὖσα κάϑετος ἐπὸὶ 
τὸ ἐπίπεδον, καὶ κάϑετος ἀπὸ τοῦ ΑἹ ini τὸ ὑποχείμενον 
ἐπείτεεδον ἤχϑω, καὶ συμβαλλέτω αὐτῷ κατὰ τὸ Γ, xai ἔττε- 
ζεύχϑω ἡ ΓΒ’ λέγω ὅτε ἣ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία ἐλαχίστη ἐστὶν 
κεασῶν τῶν περιεχομένων ὑπό τε τῆς 4B καὶ ἕκάστης τῶν Ἑ 
ἀπὸ τοῦ B σημείου διαγομένων εὐθειῶν ἐν τῷ ὑποκειμένῳ 


4. 9. χαὶ ἔστιν — τὴν 4Z del. Co 6. MB Αἱ in marg. (BS) 
μεταιώρου Al, corr. A3 (BS) 292. τὸ ἀπὸ (ante τῶν 44 .:ΓῚὴ AB, 
corr. S — 25. ΜΓ A! in marg. (BS) 31. σημείων AB, item S, sed 
ov Superscriptum 


LIBER VI. PROPOS. 43. 44. 511 


«5 « of. lungatur xy; ergo est 
A any — ἃ δεζ, et 

L «yy — L ote; itaque - 

L «yg * L ts. 

Similiter lemma, conversum demonstratur : si sint trian- 
gula orthogonia, ut supra, et angulus αγβ angulo te maior 
Sil, esse By : ya » &L : CO). 

XLII. A sublimi puneto « ducatur perpendicularis of Prop. 
ad planum subiectum, cui in puncto B occurrat, atque in 
eodem plano sit recta quaedam yÓ, et a puncto β ad yà du- 
catur perpendicularis 80, iungaturque «Ó; dico rectam aó 
ipsi yÓ perpendicularem esse !). 

Sumatur in recta ;yÓ quodlibet punctum y et iungantur 
αγ yB. lam quia ef perpendicularis est ad subiectum pla- 
num, angulus a» rectus est; itaque : 

ay? — op? -- 8y?. Sed ec hypothesi est 

By? — B0? -- ày?; ergo 

ay? — afi? 4- 80? -- 0y?. Sed est etiam propter. elem. 

41 defin. 5 


o? 4- 80? τῷ a0?; ergo 

ay? — a0? 4- à0y?; 
itaque angulus «dy rectus est et αὖ perpendicularis ipsi γδ, 
4. e. d. 


XLIII. A sublimi puncto « ad planum subiectum duca- Prop. 
Lur recta a non perpendicularis plano, aliaque ab « per- | 
Pendicularis ad subiectum planum ducatur, cui in y occurrat, 
€t iungatur yf; dico 

angulum egy minimum esse omnium qui continentur 
IDsá αβ et qualibet earum rectarum quae a puncto f? in plano 
Swbiecto ducuntur; atque etiam 


* Hoc lemma conversum infra adhibetur propos. 44 med.  De- 
"nonstrationem peculiarem addit Commandinus. 
1) Hoc theorema adhibetur infra libro VIII propos. 8 cap. 45 extr., 
Ubi λῆμμα σφαιρικῶν (immo óztrixó») vocatur, et propos. 43 cap. 34 extr. 
*^ Conf. Baltzer, Elemente der Mathematik, M, 5 $ 2, 40 
qT* 


572 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHS C. 


k| / 3 | ὦ 3 € » 2 - ^v 3 i 
ἐπιπέδῳ, ἔτει δὲ ὅτι ἀεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον 
ἐλάσσων ἐστίν, καὶ ὅτι δύο μόνον ἴσαι αὐτῇ ἐφ᾽ ἕχάτερα 
συνίστανται. | 
: , , γ € , 
a ΖΔιήχϑω yap τις ἕν τῷ Üztoxeuuevg 
3 , d c M 3 M ^ 
ἐπιπέδῳ τυχοῦσα 1 BA, xot à τοῦ ὃ 
[ ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετος ἡ L4, καὶ émne- 
ζεύχϑω ἡ 44 κάϑετος ἄρα ἐστὶν ἡ 
44 ini τὴν B4 διὰ τὸ προδεδειγ- 
μένον. καὶ ἐπεὶ «ὀρϑή ἐστιν ἡ ὑπὸ 
T4 γωνία, μείζων ἐστὶν ἡ 4.44 τῆς υ 
AT: ἡ ἄρα ΒΑ͂ πρὸς τὴν ΑΓ μεί- 
27 . 3 
ζονα λόγον ἔχει ἧπερ 1 BA “πρὸς τὴν 
M ?, SU M M 
"dA. καὶ εἰσὶν ὄρϑαὶ αὐ ὑπὸ ΒΓΑ͂ 
B4: μείζων ἄρα ἐστὶν ἣ ὑτιὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ B.44 
διὰ τὸ πρὸ ἑνὸς δεδειγμένον, ὥστε λοιπὴ ἡ ὑπὸ .4BD15 
ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ὑπὸ 41ΒἘ4΄. ὁμοίως δείξομεν Ὅτι καὶ 
-- ? ’ ? M € € Ml , ? , » 
πασῶν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία" ελαχίστη ἄρα 
»] M € ς Ml , 
éoviv ἡ ὑπὸ ABI γωνια. ᾿ 
88 “Μέγω ὅτι καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἔστιν 
ἐλάσσων. 20 
“ιήχϑω γάρ τις ἢ ΒΕ ἐν τῷ ὑποχειμένῳ ἐτειτεέδῳ, καὶ 
ἀπὸ τοῦ D ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετος ἤχϑω ἡ ΓΕ, καὶ ἐπεζεύχϑω 
ἡ ΑΕ᾿ καὶ ἡ 44 ἄρα χάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὴν ΒΕ. καὶ 
ἐπεὶ ὀρϑὴ ἡ ὑπὸ BAT ὀρϑῇ τῇ ὑπὸ ΓΕΒ ἴση, ἀλλὰ xai 
ἡ ὑπὸ BI4 γωνία τῆς ὑπὸ ΒΓΕ μείζων, ἡ EI ἄρα πρὸς 25 
ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ 4T τιρὺὸς ΓΒ' πολλῷ ἄρα 
μείζων ἐστὲν ἢ ΕΓ τῆς DA. καὶ ἔστιν ἡ ΓΑ͂ πρὸς ὀρϑὰς 
ἑχατέρᾳ τῶν ΓΑ͂ ΓΕ’ μείζων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ E-4 τῆς 2d 
ἡ ἄρα ΒΑ͂ πρὸς τὴν 414] μείζονα λόγον ἔχει ἤτιερ τιρὸς 
τὴν ΑΕ. καὶ εἰσὶν ὀρϑαὶ αἱ πρὸς τοῖς 4' E σημείοις γω- 34 
νίαι" μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ B.44 γωνία τῆς ὑττὸ B.AE: 
ἡ ἄρα ὑπὸ 4184 γωνία ἐλάσσων ἐστὶν τῆς ὑπὸ 48Ε γω- 





w 


^ 


4. ἔτι τε A(B), corr. S &yytov. A? ex s&yytior 2. μόναι S 
46. ὅτε B, om. AS 49. éyyiov. A? ex ἐγγειον 26. 27. πολλῷ «pa 
μείζων) μείζων ἄρα coni. Hu 27. ἡ (ante ED) add. BS 28. x«i ἡ 


LIBER VI. PROPOS. 44. 578 


eum angulum qui ipsi ay propior est semper remotiore 
minorem esse; denique 

binos tantum aequales angulos ad utrasque ipsius αβγ 
partes constitui. 

Ducatur enim in plano subiecto quaelibet 80, eique per- 
pendicularis a puncto y recta yÓ, et iungatur αὖ; ergo propter 
superius lemma αὖ ipsi 8ó perpendicularis est. Et quia an- 
gulus eyó rectus est, maior est δὰ quam «a7; itaque fe : «y 
»βα: αὖ. Et recti sunt anguli &ya βδα; ergo propter pri- 
mum lemma (propos. 42) angulus βαγ angulo βαὸ maior est; 
itaque subtrahendo αβγ minor est quam a0. Similiter de- 
monstrabimus angulum «f» minorem esse omnibus reliquis 
qui reciá a et qualibet a puncto B in plano ductá continentur ; 
ergo angulus og» minimus est. 

Dico etiam eum angulum qui ipsi «y propior est sem- 
per remotiore minorem esse. 

Ducatur enim in plano subiecto quaelibet recta 8e angu- 
lum efly maiorem quam Ofy efficiens, eique perpendicularis ἃ 
puncto y ducatur ye, et iungatur «a5; ergo etiam «e ipsi fe 
perpendicularis est (propos. 43). Et quia angulus βὸγ ut 
rectus angulo recto ey aequalis, et angulus βγδ ipso fye 
maior est!), propler propos. 42 conversam est igitur 

By : yà » By : ye, id est. (infra VII propos. 7 extr.) 

ΕΥ̓: γβ» Oy : yB; ergo (elem. 5, 10) 

&y » Óy. Et recti sunt anguli aye αγδ; ergo, quia 
€y? — a&? — ay?, el 
0y? — a0? — ay?, est igitur 

ἀξ * a0; itaque (elem. 5, 8) 

ag : αὃ * of: ac. Et recti sunt anguli αὖβ cef; ergo 

propter propos. 42 est 

L βαὃ » L Bac; itaque 

L αβὸ « L afe. 

4) Scilicet ex constructione est ( γβ « ( γβε; et recti sunt an- 

8uli δε; ergo ( 8y9  [ Bye. 


— 


"ΕΑ, eraso 4, ἃ 30. roig ΖῈ A, distinx, BS 


9174 , IIAIIIIOY YNATOTHS C. 


€ 


νίας. ὁμοίως δείξομεν ὅτι xai αἰεὶ ἡ ἔγγιον τῆς ὑπὸ «ΑΒΓ 
γωνίας τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστίν. 

84 ““έγω δ᾽ ὅτι ἴσαι δύο μόνον ἐφ᾽ ἑκάτερα αὐτῆς συστα- 
ϑήσονται. 

Συνεστάτω πρὸς τῇ ΓΒ εὐϑείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ ση-ῦ 
μείῳ τῷ B ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τῇ ὑπὸ ABT. γω- 
vie ἴση ἡ ὑπὸ ΓΒΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ΒΖ κάϑετος 
ἤχϑω 7 ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ 42. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ 
ΓΒΖΩ͂ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΖ, ἔστιν δὲ καὶ ὀρϑὴ ἢ ὑπὸ I'AB 
ὀρϑῇ τῇ ὑπὸ ΓΖΒ ἴση, καὶ ἔστιν xoi κοινὴ τῶν τριγώνων τυ 
ἡ ΓΒ πλευρά, ἴση ἄρα ἡ μὲν BA τῇ ΒΖ, ἡ δὲ A τῇ ΓΖ. 
καὶ ἔστιν ἡ ΑΓ κάϑετος ἐπὶ éxovégav τῶν 4Γ LZ: ἴση 
ἄρα καὶ ἡ 44 τῇ [4Z. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ 4B τῇ ΒΖ, 
κοινὴ δὲ ἡ B.4, καὶ ἔστιν βάσις ἡ 4.4 βάσει τῇ 42 Von, 
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒΖ4 γωνίᾳ τῇ ὑπὸ AM4BZ ἐστὲν ἴση. 15 
ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι τῇ ὑπὸ “4184 ἕτέρα οὐ συνίστα- 
ται ἴση. 

Ἢ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα γωνία ἐλαχίστη ἐστίν, αἰεὶ δὲ 
ἡ ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων, ἴσαι δὲ δύο μόνον 
ἐφ᾽ ἑκάτερα αὐτῆς συνίστανται. 20 

85 μδ΄. Ἔστω δύο τρίγωνα và ΑΒΓ AEZ ἴσας ἔχοντα 
τὰς ΒΓ EZ, καὶ τετμήσθωσαν δίχα αἱ ΒΓ EZ τοῖς H Θ, 
καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΑΉ 4O, καὶ ἔστωσαν ἴσαι, καὶ ἡ 
μὲν ΑΗ xd9erog ἔστω ἐπὶ τὴν BT, ἡ δὲ 4O μὴ ἔστω 
χάϑετος ἐπὶ τὴν ΕΖ, καὶ ἔστω μείζων ἡ 44H τῆς ΗΒ ὅτι 25 
ἢ ὑπὸ BAT γωνία μείζων ἐστὲν τῆς ὑπὸ EAZ. 

Περιγεγράφϑω περὶ τὸ “ΒΓ τρίγωνον κύκλος ὁ ΑΒΓ, 
zai ἐχβεβλήσϑω ἡ ΑΗ ἐπὶ τὸ 44. ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ 
AH τῆς ΗΒ, καὶ ἔστιν διάμετρος 7) 44.14, τὸ ἄρα κέντρον 


4. ἢ ἐγγέιον (sine spir. et acc.) A, corr. B (τὸ ἔγγιον Paris. 2368, 
τὶ ἔγγιον S) 8. ἤχω ΗΓΖ ΔΑ, 9. add. A?, ἡ y£ distiox. ΒΒ 10. ὑπὸ 
ΓΒΖ ἴση ABS, corr. Co Sca — 45. A4B4 γωνία A, corr. ΒΒ 48. ἀεὶ 
AB, corr. S. 49. eyy&ov (sine spir. et acc.) A, corr. BS. 944, M4 
A! in marg. (BS) 39. τοῖς MO A, distinx. BS 24. ἔστω (ante ἐπὶ) 
add. A? super vs. (BS) 31. 25. ΒΓ — ἐπὶ τὴν om. S 35. EZ) 


ty Sca 


LIBER VI. PROPOS. 45. 515 


Similiter demonstrabimus, quicunque angulus propior est ipsi 
afl, eum semper remotiore minorem esse. 

Denique dico binos tantum aequa- 
les angulos ad utrasque ipsius ay par- 
tes constitui. | 

In plano subiecto constituatur ad 
reclam yf verticemque f angulus γβζ 
aequalis angulo γβὸ, et a y ad 8C du- 
catur perpendicularis γζ, et iungatur 
cL. Quoniam est 

L γβὸ — ὁ γβζ, et, utpote rectus 
recto, 
L γὸβ — L ytg, οἱ yf latus utrique triangulo commune 
| est, ergo est (elem. 4, 26) 





γὸ — yt. Et «y ad utramque rectarum y γζ perpen- 
dicularis est. (elem. 44 defin. 3); ergo est 
«à — ol. lam quia demonstrala est βὸ — βζ, ct αὃ 
— aL, et latus fa commune est, est igitur 
(elem. 4, 8) 
L αβὸ τ ( opc. 
Similiter demonstrabimus alium angulum Apsi αβὸδ aequalem 
constitui non posse. 
Ergo iria quae proposita erant demonstrata sunt, augu- 
lum e» minimum, propiorem autem semper remotiore mi- 
norem esse, denique binos tantum aequales angulos ad utras- 
que ipsius «(y partes constitui. 
XLIV. Sint duo triangula ay δες aequalibus lateribus Prop 
By sb, quae bifariam secentur in punctis ἢ 2, et iungantur 
ar 023, quae etiam inter se aequales sint, et sit αῃ quidem 
ipsi, &y perpendicularis, 99 autem ipsi εζ non perpendicularis, 
sitque en maior quam 768; dico angulum fey angulo εὖξ 
rem esse. 
a wibatur circa triangulum «By circulus «gy, et pro- 
lg ad À punctum circumferentiae. Quoniam a7 ma- 
59 et αλ diametrus est, centr um igitur circuli est 







80 


87 


916 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ G. 


τοῦ κύχλου ἐστὶ μεταξὺ τῶν 4 Η (τοῦτο γὰρ ξξῆς) " με- 
, » , ΣΝ c ' *» € X ) κα , 
γίστη ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ͂, καὶ aiei ἡ ἔγγιον αὐτῆς μείζων 


[2 





τῆς ἀπώτερον. συνεστάτω τῇ ὑπὸ 42 γωνίᾳ ἴση v on 
LIHM: μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ, τουτέστιν ἡ 40, τῆς HM. 
χείσϑω τῇ .1Θ ἴση ? HK, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΚΒ ΚΓ ὃ 
ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΖ4Ζ2Ζ γωνία ton ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΚΙ. μείζων δὲ 
τῆς ὑπὸ ΒΚΙΓ᾽ ἡ ὑπὸ BAT: καὶ τῆς ὑπὸ EAZ ἄρα μείζων 
ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. 

“ὙὙποχειμένων τῶν αὐτῶν ἔστω ἐλάσσων ἡ H.4 τῆς HB: 
λέγω ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ Β4Γ γωνία τῆς ὑπὸ EAZ.10 

Συνεστάτω οὖν τῇ ὑπὸ 4OZ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΗ͂Ι. 
καὶ ἐπεὶ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΑΗ τῆς HB, καὶ ἔστιν διάμε- 
τρος 7) 41.1, τὸ ἄρα κέντρον τοῦ χύκλου ἐστὶν μεταξὺ τῶν 
4 H* ἐλαχίστη ἄρα ἐστὶν ἣ ΑΗ’ μείζων ἄρα ἐστὲν ἡ HIM 
τῆς ΗΑ͂, τουτέστιν τῆς 40. κείσϑω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΝ, καὶ 18 
ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΝΒ NI: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕσΖ γω- 
νία τῇ ὑπὸ BNI. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΝΓ τῆς ὑπὸ Β4Γ μεί- 
Cuv ἐστίν" μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ Ε42Ζ γωνία τῆς ὑτιὸ BAT, 
ὅπερ: “- 


με΄. Κύκλος ὃ ΑΒΓ, οὗ διάμετρος ἡ 4388, καὶ ἐπ᾿ 30 


4. τῶν 4H. AB, distiux. S 2. ale ἡ &yytiov A, corr. BS 
44. yovíatg ἣ ὑπὸ À, γωνέκ ἡ ὑπὸ B, corr. S 43. 44. τῶν .2H A, 
distinx. BS 30. ME A! in marg. (BS) 


LIBER VI. PROPOS. 46. 47. 941 


inter puncta^« 7 (hoc enim deinceps propos. 47 demonstra- 
bitur). Ergo αῃ maxima est omnium quae ab ἡ ad circum- 
ferentiam ducuntur et, quae ipsi «y propior, ea semper ma- 
ior est remotiore (elem. 3, 7). Constituatur angulus ymu ipsi 
C9Ó aequalis; ergo «75, id est O9: (utpote ez: hypothesi — a), 
maior est quam ἡμέ. Ponatur yx τὸ ϑδ, et iungantur x xy; 
ergo est 
L βχγ τ L εὃζ. Sed est (sí iungantur Bp uy, propter 
elem. à, 21) . 

L βαγ — L Buy, id est (elem. 4, 21) 

7 Lfxy; ergo 
L Bay »» L &óL. 


lisdem ceteroquin suppositis sit αῃ minor quam zB; dico ΕΡΟΡ. 


angulum βὰγ angulo εδξ minorem esse. 


«c 
P 7 7 
Ó 
À 


Constituatur igitur angulus yy. angulo 990 aequalis. Et 
quia «7 minor quam 6, et «À diametrus est, centrum igi- 
tur circuli est inter puncta ἃ ἢ (propos. 47 extr.). Ergo 
minima est am eic. (elem. à, 7); itaque gu maior est quam 
pa, id est quam 30.  Ponatur ἣν — 39, et iungantur p» vy; 
ergo esl 

L Bvy — L εὃζ. Sed est (similiter ac propos. 48) 

L Bvy » L Buy, id est 

7 [ f«y; Waque 

L Bay « L εδζ, q. e. d. 


XLV. Sit cireulus «gy, cuius diametrus og, in eaque Prop. 
41 


570 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ C. 


ἐπεζεύχϑω ἢ ΗΓ [xoi ἔστιν ὡς ἡ ΗΑ͂ πρὸς τὴν 4T, οἵ- 

τως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν 4Z]: ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΔῊΗΓ΄ τρί- 

γωνον τῷ 4EZ τριγώνῳ" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ LH γωνία 

τῇ ὑπὸ 4ZE* μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ 41 ΓΒ τῆς ὑπὸ AZE 
, 

γωνίας. 

81 μβ΄. Ἀπὸ μετεώρου σημείου τοῦ .Α' ἐπὶ τὸ ὑποχείμενον 
ἐπίτεεδον κάϑετος ἤχϑω ἡ 4B, καὶ συμβαλλέτω αὐτῷ κατὰ 
τὸ B σημεῖον, ἔστω δ᾽ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ εὐϑεῖά τις ἡ LA, 
καὶ ἀττὸ τοῦ B σημείου ἐπὶ τὴν I4 κάϑετος ἤχϑω ἡ B4, 
χαὶ ἐπεζεύχϑω ἡ 24/1: λέγω ὕτι καὶ ἡ 44 χάϑετός ἐστιν 10 
ἐπὶ τὴν ΓΖΩ͂. 


Qt 


* , * A “Ὁ Α 
a Βιλήφϑω ἐπεὶ τῆς Γ4 τυχὸν ση- 
« ^ N , * 
μεῖον τὸ D xot ἑπεζευχϑωσαν oat AT 
3 ἢ 
ΓΒ. ἐπεὶ οὖν v) .4B xa9evog ἐπὶ τὸ 
€ J , ’ 2 , ? € 
ὑποχείμενον &zmtmtÓov, ὀρϑὴ ἔστιν ἢ 15 
ὑπτὸ ΑΒΓ γωνία: τὸ ἄρα ἀπὸ 4 toov 
3 ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν 4 ΒΓ. τῷ δὲ 
ἀπὸ ΒΓ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν B4 4Γ’ τὸ 
P 2 4 24 ? M - 3 4 - 
ἄρα ἀπὸ ΑΓ toov ἔστιν τοῖς àno τῶν 
ὃ -4B B4 Γ4. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν 41Β)υ 
B4 ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ τῆς «4 τὸ 
ON ^ ΄- Lr 3 - 
ἄρα ἀπὸ τῆς 4Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῶν 424 AT: ὀρϑὴ 
2 
ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Α14Γ γωνία: κάϑετος ἄρα ἐστὶν 3) 44 
j M b cet 
ἐπὶ τὴν L4, ὑπερ. — 
82 Ly. ἀπὸ σημείου μετεώρου τοῦ 24 ἐπὶ τὸ ὑτιοκεί- 25 
- , € 5 
μενον ἐπίπεδον εὐϑεῖα διήχϑω ἡ 4B. μὴ οὖσα κάϑετος ἐπὶ 
A 25 , N / 2 ^ Ld ? € , 
τὸ ἐπίπεδον, xai κάϑετος ἀπὸ vob 24 éni τὸ ὑτιοχείμενον 
ἐπίπεδον ἤχϑω, καὶ συμβαλλέτω αὐτῷ κατὰ τὸ D, καὶ ἔττε- 
ζεύχϑω ἡ DB: λέγω ὅτι ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία ἐλαχίστη ἐσεὶν 
"- [dd “-- « ew 
κεασῶν τῶν περιεχομένων ὑπό ve τῆς 4B xai &xdovug τῶν 30 
- - e" € 
ἀπὸ τοῦ B σημείου διαγομένων εὐθειῶν ἐν τῷ onoxcuuévo 


4. Φ. χαὶ ἔστιν — τὴν 412 del. Co 6. MB A! in marg. (BS) 
μεταιώρου Al, corr. A3 (BS) 299. τὸ ἀπὸ (ante τῶν 44 .ÍI) AB, 
corr. S 25. ΜΓ A! in marg. (BS) 31. σημείων AB, item S, sed 
ov Superscriptuim 


LIBER VI. PROPOS. 43. 44. 571 


«5 « og. lungatur yy; ergo est 
A any — Δ Ost, et 
L «yy — L óte; itaque 
L oyB »»  ὃζε. 
Similiter lemma conversum demonstratur :. 81 sint trian- 
gula orthogonia , ut supra, et angulus αγβ angulo ÓCe maior 
sit, esse fy : ya *» eL : CO"). 


XLII. A sublimi puncto α ducatur perpendicularis o6 Prop. 


ad planum subiectum, cui in puncto Ó occurrat, atque in 
eodem plano sit recta quaedam yÓ, et a puncto β ad γὸ du- 
catur perpendicularis βδ, iungaturque αὖ; dico rectam αὖ 
ipsi yÓ perpendicularem esse !). 

Sumatur in recta yÓ quodlibet punctum γ᾽ et iungantur 
ay yB. lam quia αβ perpendicularis est ad subiectum pla- 
num, angulus af» rectus est; itaque 

cay? — of? 4- 87? Sed ec hypothesi est 

By? τε βδ3 -ε ày^, ergo 

«y? — o? -- 80? -4- 0/?. Sed est etiam propter. elem. 
11 defin. 5 

af? - 80? — a0?; ergo 

ay? — αὖ 4- àj^; 
itaque angulus ady.rectus est et «d perpendicularis ipsi γὸ, 
q. e. d. 


XLIII. A sublimi puneto a ad planum subiectum duca- Prop. 


tur recta «f non perpendicularis plano, aliaque ab « per- ^5" 
pendicularis ad subiectum planum ducatur, cui in y occurrat, 
et iungatur yf; dico 

angulum «y minimum esse omnium qui continentur 
ipsà αβ et qualibet earum rectarum quae ἃ puncto f in plano 
subiecto ducuntur; atque etiam 


*) Hoc lemma conversum infra adhibetur propos. 44 med. De- 
monstrationem peculierem addit Commandinus. 
4) Hoc theorema adhibetur infra libro VIII propos. 8 cap. 15 extr., 
ubi λῆμμα σφαιρικῶν (immo ὀπτικῶν) vocatur, et propos. 135 cap. 34 extr. 
*'^ Conf. Baltzer, Elemente der Mathematik, M, 5 ὃ 2, 40 
31* 


ὅ80 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ c. 


Ἤχϑω ἀπὸ τοῦ Η τῇ ΒΓ πρὸς ὀρϑὰς ἡ HK* διάμε- 
τρος ἄρα ἐστὶν τοῦ κύχλου. ἔστω τιρότερον μείζων ἡ ΗΑ͂ 





τῆς ΗΓ’ διὰ ἄρα τὸ προδειχϑὲν μείζων ἐστὶν ἡ ΗΚ τῆς 
ΗΑ [μεγίστη ἄρα ἐστὶν ἡ KH, καὶ αἰεὶ ἡ ἔγγιον αὐτῆς 
τῆς ἀπώτερον μείζων]. συνεστάτω τῇ ὑπὸ 4OZ γωνίᾳ ἴση 
ἡ ὑπὸ ΓΗΜ μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΑ͂. τουτέστιν ἡ 40, 
τῆς HM. κείσϑω αὐτῇ ἴση 5 ΗΝ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ 
NB ΝΓ- ἴση ἄρα ἐστὶν jj ὑπὸ BNT γωνία τῇ ὑπὸ E4Z- 
μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ BAT γωνία τῆς ὑπὸ Ε4Ζ. 

Ὁμοίως δείξομεν ὅτι, ἐὰν jj ἐλάσσων ἡ 4H τῆς ΗΓ, "4 
ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑ͂Γ γωνία τῆς ὑτιὸ EAZ, ὅπερ: — 

90 μη΄. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ κέντρον τὸ E, καὶ ἀπὸ 
τοῦ E πρὸς ὀρϑὰς ἔστω τῷ τοῦ χύχλου ἐπιπέδῳ ἡ EZ: 
λέγω ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ ὄμμα τεϑῇ, ἴσαι αἱ διάμε- 
τροι φαίνονται τοῦ κύκλου. I 

Τοῦτο dà δῆλον: ἅπασαι yàp oi ἀπὸ τοῦ Z πρὸς τὴν 
τοῦ χύχλου περιφέρειαν προσπίπτουσαι εὐϑεῖαι ἴσαι εἰσὶν 
ἀλλήλαις καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσιν. 

91 Μὴ ἔστω δὲ ἡ ΕΖ πρὸς ὀρϑὰς τῷ τοῦ γύκλου ἐπι- 
πέδῳ, ἴση δὲ ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύχλου - λέγω ὅτι 3ι 
τοῦ ὕμματος ὄντος πρὸς τῷ Ζ σημείῳ καὶ οὕτως αἱ διά- 
μετροι ἴσαι ὁρῶνται. 

Ἤχϑωσαν γὰρ δύο διάμετροι αἱ ΑΓ Β4, καὶ ἐπε- 
ζεύχϑωσαν αἱ ΖΑ͂ ZB ΖΓ Z4. ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ ΕΑ͂ ΕΓ 
EZ ἴσαι εἰσίν, ὀρθὴ ἄρα 7) ὑπὸ ΑΖΓ γωνία. διὰ τὰ αὐτὰ 35 
δὴ καὶ ἡ ὑπὸ BZ4 ὀρϑή ἐστιν" ἴσαι ἄρα φανήσονται oi 
AT BA διάμετροι. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πᾶσαι. 


LIBER VI. PROPOS. 50. 581 


Ducatur ab ἢ ipsi 9y perpendicularis 9x; ergo in yx cir- 
culi centrum est (elem. 3, 1 coroll.). Sit primum am »» vy; 
ergo propter id quod supra (in propos. 45) demonstravimus 
est xn *» om. Constituatur  μηγ — L 0906; ergo ro, id est 
230, * «u. Ponatur y» — ϑδ, et iungantur v8 vy; ergo est 

L Bvy — L εδζ; itaque (similiter ac propos. 45) 
L foy ?-  εδζ. 

Similiter demonstrabimus, si sit ar « ny, esse [. Bay « 

ὁ εὃξ, q. e. d. 


XLVIII. Sit circulus αβγ, cuius centrum e, et ab e cir- rop. 
culi plano perpendicularis sit εζ; dico, si oculus in recta εζ 
positus sit, circuli diametros aequales apparere. 


£ Hoc vero manifestum; nam omnes 
rectae, quae a puncto ζ ad circuli cir- 
cumferentiam pertinent, inter se aequa- 
les sunt angulosque aequales compre- 


Ζ d hendunt. 
At recta Ce circuli plano non per- 
β 7 pendicularis sit, eademque circuli semi- 


diametro aequalis; dico, oculo in puncto 
C posito, sic etiam diametros aequales apparere. 


Ducantur enim duae diametri a7 
é BÀ, et iungantur Co CB Cy C0. Quo- 
niam tres ae &y eG aequales sunt, rec- 
& tus igitur est angulus ot» (elem. 5, 51). 
5 Eadem ratione etiam angulus βζδ rec- 
2 (us est; diametri igitur ay 8 aequales 
7 apparebunt. Similiter demonstrabimus 
etiam omnes reliquas. 





ἃ. 5. μεγίστη — μείζων interpolatori tribuit Hu (μεγίστη yap 
ἐστιν» elc. coni. Co) 4. αἴεε ἡ &yyttor A, corr. BS 6. τουτέστιν 
7] 40 AB, corr. S 8. τῆι ὑπὸ E4Z Al ex τῆι τηπὸ Β. ΙΖ 19. MH 
A! in marg. (BS) 413. τῷ S, om. AD 48. ἀλλήλοις A, corr. BS 
φᾷ. EA A?(BS) pro nescio qua primae m. scriptura 


582 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ c. 


-- *y 3 ^ 
92 4ῆλον οὖν ὅτι [ἐὰν ἡ κύχλος καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου αὐὖ- 
m M 2 4 2 - Dd ^ ’ 2 et (4 
τοῦ πρὸς ὀρϑὰς ἀχϑῇ τῷ τοῦ κύχλου ἐπιπέδῳ, Orov ἂν 
? M e 2 ᾽ , 72) ^ » 2 / € ^v 
&rL τῆς ἀχϑείσης τὸ ὑμμα τεϑῇ, ἰσαι ὀφϑήσονται. αἱ τοῦ 
χύχλου διάμετροι, ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀνισταμένη 
5 HEP N Dd - / , , » i] - 5 
μὴ ἢ πρὸς ὄρϑας τῷ τοῦ χύκλου ἐτιιπέδῳ, iom δὲ τῇ ἐκὅ 
τοῦ χέντρου ὑπάρχῃ, καὶ οὕτως ἀπὸ τοῦ πέρατος αὐτῆς 
P7 « , . ev ’ 3 , -Φ . € 
ἰσαν αἱ διάμετροι τοῦ κύκλου ὀφϑήσονται'" δῆλον δὴ Ov. 
δ) c ( ^ 3 3 , . 3 ! Y 8 δ - 
ἐντεῦϑεν), &av ἢ ἕν σφαίρᾳ μέγιστος κύχλος, éni δὲ τῆς 
^ 2 - 
ἐπιφανείας τῆς σφαίρας ὑπουδήποτε τὸ ὕμμα μετατεϑῇ 
- e ’ δ , 
χατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, αἵ διάμετροι ἴσαι ὀφϑή- 
σονται. 
3 ^ ^ 
93 ιιϑ΄. Ἐὰν ἢ xóxAoc, απὸ δὲ vob xévrgov ἀνασταϑῇ τις 
- , 3 3 d ΄ῳ 
εὐθεῖα μήτε πρὸς ὀρϑὰς οὖσα τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ μήτε 
ἴση τῇ éx τοῦ κέντρου τοῦ κύχλου, ἐπὶ δὲ τοῦ πέρατος τῆς 
) ! D» - Pd € - , ’ 
ανασταϑείσης τὸ ὑμμα τεϑῇ, ἄνισοι αἱ τοῦ κύχλου διά- 15 
μετροι ὀφϑήσονται. 
n [4 - 
Ἔστω κύκλος ὃ ΑΒΓ, οὗ χέντρον τὸ 4, καὶ ἀπὸ τοῦ 
4 ἀνεστάτω τις εὐθεῖα ἣ 4Ε μήτε πρὸς ὀρϑὰς οὖσα τῷ 
ev , » - ^ - 
τοῦ χύχλου ἐπιτιέδῳ μήτε ion τῇ ἐκ τοῦ χέντρου τοῦ κύ- 
^ » ^v 
xÀov, καὶ ἔστω τὸ Ὅμμα πρὸς τῷ E, ἔστω δὲ τιρότερον 720 
AE μείζων τῆς éx τοῦ χέντρου τοῦ κύκλου τοῦ ΑΒ, καὶ 
», 2 M ^ , ?/— * “- ω LENA / 
ἤχϑω ἀπὸ τοῦ E σημείου &rt τὸ vob xvxÀov ἐπίττεδον χά- 
ϑετος ἡ EZ, καὶ ἐπιζευχϑεῖσα ἡ ZHA διήχϑω àni τὸ T, 
xai ἤχϑω αττὸ τοῦ 4 τῇ ΗΓ πρὸς ὀρϑὰς ἡ -.4B* λέγω ὅτι 
3 , * 
μεγίστη μὲν ὀφϑήσεται 7) ΑΒ, ἐλαχίστη δὲ ἡ HD, ciet δὲ 25 
€ » ^ - ὃ 7 2 3 ,ὔ ’ 
ἢ ἔγγιον τῆς HI τῆς ἀπώτερον ἔλασσων ὑφϑήσεται, Óvo 
δὲ μόνον ἴσαι ἐφ᾽ ἑἕχάτερα τῆς ΗΓ ϑεωρηϑήσονται. 
4ῆλον δὴ ὅτι ἡ ΕΔ χκάϑετός ἐστιν ἐττὶ τὴν 438. ἀπὸ 


0 


4. ἐὰν ὴ — 8. ἐντεῦϑεν tribuit Hu interpolatori, qui et supervaca- 
nea addidit οἱ alia quaedam suae manus vestigia reliquit (nam vs. 9. 
post αὐτοῦ omisit εὐθεῖα, et vs. 4. ἀνισταμένη minus recle scripsisse 
videtur pro ἀνεσταμίνη, el vs. 8. ἐντεῦθεν alieno loco interposuit, ubi 
ἐντεῦθεν ὅτι voluit Co) 49. MO A! in marg. (BS) ἀπὸ A?BS, 
κὐτὸ A! 33. y ZH 4 Co (idque confirmat figurae in codicibus de- 
scriptae ratio) , ἡ HZ. ABS (quod si retinere velis, figuram ita deli- 
neare oporleat, ut punctum £ inler ἡ d cadat, quo facto variae lineac 
rectae, quae ducendae sunl, vix inler se distinguantur) 26. &yytiov 


LIBER VI. PROPOS. 54. 583 


Ἰίδαυθ manifestum est, si sit in sphaera maximus cir- 
culus, et in quolibet puncto superficiei sphaerae oculus ita 
positus sit, ut circuli circumferentiam intueatur!), diametros 
eius aequales apparere. . 

IL. Si sit circulus, et a centro eius recta quaedam eri- Prop. 
gatur, quae neque circuli plano perpendicularis neque semi- 
diametro circuli aequalis sit, et in termino eius rectae oculus 
positus sil, circuli diametri inaequales apparebunt. 

. Sit circulus afy, cu- 
ius centrum δ, et a d eri- 
gatur recta ὅδ, quae ne- 
que circuli plano perpen- 
dicularis neque semidia- 
meiro circuli aequalis sit, 
atque oculus versetur in 
puncto e, sit autem pri- 
mum recta δὲ maior se- 
midiametro circuli ay, et 
a puncto & ad circuli pla- 
num ducatur perpendicu- 
laris && et iuncta ζηδ pro- 
ducatur ad y, et per ὃ ipsi 
*-; perpendicularis ducatur 
of; dico 

maximam apparere diametrum af, minimam my"), et, 

quaecunque diametrus ipsi yy propior sil, eam minorem 
semper apparere remotiore, denique - 

binas tantum aequales diametros ad utrasque ipsius zy 
partes conspici. 

Primum igitur rectam &d ipsi αβ perpendicularem esse 











4) Haec est vis Graecae praepositionis x«r&; excipitur igitur is 
*asus, ut oculus in ipsa circuli circumferentia positus sit. 

*) Conf. Eucl. optic. propos. 88. 
lsine spir. et acc.) A, corr. BS, item p. 584, 5 97. ἑχάτερα AT ex 
ἑκάτεροι 


584 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ c. 


γὰρ μετεώρου σημείου τοῦ E ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον 

xá9erog διῆκται ἡ EZ, καὶ τυχοῦσα διῆχται ἣ .48, καὶ 

ἀπὸ τοῦ Z ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετος ἦχται ἡ 42, καὶ ἐπέζευχται 

ἡ Ε4. ἔτι δὲ καὶ τοῦτο δῆλον ἐκ τῶν προειρημένων ὅτι 

ἡ μὲν ὑπὸ EAZ γωνία ἐλαχίστη ἐστίν, αἰεὶ δὲ ἡ ἔγγιον ὃ 
αὐτῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάσσων, ἴσαι δὲ δύο μόνον ἐφ᾽ 

ἑχάτερα αὐτῆς συνίστανται. 

94 Διήχϑω δή τις ἡ G4K* ἡ ἄρα ΕΔ οὐκ ἔστιν xáSevoc 
ἐπὶ τὴν OK. ἐὰν γὰρ ἢ χάϑετος, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τὴν .4B 
κάϑετος, ἔσται ἄρα ἡ ἘΔ ini τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον, τὺ 

ὕγιερ ἀδύνατον: οὐκ ἄρα 

κάϑετός ἐστιν ἡ ΕΔ ἐπὶ 
τὴν ΘΚ. ἐπεζεύχϑωσαν 
αἱ ΕΑ ΕΒ ΕΘ ΕΚ ΕΗ 

ἘΓ. ἐπεὶ δύο τρίγωνά 15 

ἐστιν τὰ .4EB EOK ἴσας 

ἔχοντα τὰς .4B ΘΚ βά- 
σεις, ὧν ἑκατέρα δίχα 
τέτμηται κατὰ τὸ 4, καὶ 

ἔστιν ἡ EA ἡ αὐτὴ ἐν ἕκα- 20 

τέρῳ τῶν τριγώνων, dri 

μὲν τὴν .4} κάϑετος οὖ- 
σα, ἐπὶ δὲ τὴν OK οὐ- 
κέτι, καὶ ἔστιν ἡ ΕΖ μεί- 

Lov τῆς 4.4, μείζων ἄρα 35 

ἐστὶν ἡ ὑπὸ .4EB. γωνία 
τῆς ὑπὼ OEK. ὁμοίως δείξομεν ὅτι καὶ πασῶν τῶν ὁμοίως 
διαγομένων" ἡ ἄρα 48 μεγίστη δρᾶται. 

90 Πάλιν ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ EHT EOK ἴσας 
ἔχοντα τὰς βάσεις καὶ κοινὴν τὴν EA, καὶ ἡ ΕΔ ἐπὶ οὐδε- 30 
τέραν τῶν ΘΚ ΗΓ xá9evóc ἐστιν, μείζων δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ 
E40 γωνία τῆς ὑτιὸ ΕἘΔΉ (δέδεικται γὰρ ἐλαχίστη ἡ ὑπὸ 
EAH), καὶ ἔστιν ἡ ΕΔ μείζων τῆς 49, μείζων ἄρα ἐστὶν 
ἡ ὑπὸ OEK γωνία τῆς ὑπὸ HET γωνίας {προδέδεικται γὰρ 
καὶ τοῦτο). ὁμοίως δείξομεν ὅτι ἐλαχίστη ἐστὶ πασῶν ἡ 35 
ὑπὸ ΗΕΓ γωνία" ἡ ἄρα HI^ ἐλαχίστη ὁρᾶται. 





LIBER VI. PROPOS. 54. 585 


apparet ez propos. 49; namque, ut ilMc posuimus, a sublimi 
puneto & ad circuli planum perpendicularis ducta est eC, et 
praeterea in circuli plano ducta est quaelibet ag, atque a ζ 
in eam perpendicularis CÓ, et iuncta εὖ, Praeterea ex su- 
perioribus (propos. 44) hoc quoque manifestum est, angulum 
εξ minimum esse, el eum angulum qui ipsi εὖζ propior est 
semper remotiore minorem esse, binos autem tantum aequales 
ad utrasque ipsius εὖξ partes constitui. lam ducatur diame- 
wus quaelibet 9àx; ergo εὖ non perpendicularis est ad 3x. 
Nam quoniam εὖ ad ef perpendicularis est, si etiam ad 3x 
perpendicularis esset, ipsa perpendicularis esset ad circuli pla- 
num (elem. 11, 4), id quod fieri non potest; ergo &Ó non per- 
pendicularis est ad. 9x.  lIungantur &o εβ £9 εκ ey ey. Quo- 
niam sunt duo triangula acf Jex, aequales habentia bases 
αβ Jx, quarum utraque in puncto ὃ bifariam. secta est, el 
recta δ, aequalis in utroque triangulo, ad af perpendicularis 
est, sed ad Jx non item, atque εὖ maior est quam δα, ergo 
propter propos. 49 angulus αεβ maior est angulo Jex.  Si- 
militer demonstrabimus angulum «ef? etiam maiorem esse 
omnibus reliquis qui similiter ducantur; ergo of maxima 
apparet. 

Rursus quia sunt duo triangula Jex y&y, aequales ha- 
bentia bases 9x yy in ὃ dimidiatas, et recta εὖ in neutram 
basim perpendicularis est, atque angulus εδϑ maior est an- 
gulo δὅη (nam angulum εδη, id est eÓC , minimum esse de- 
monstravimus propos. 44), denique &Ó maior est quam 909, 
angulus igitur Jex maior est angulo zy (namh hoc quoque 
Supra demonstravimus propos. 49). Similiter demonstrabimus 
angulum zey minimum. esse. omnium; ergo py minima ap- 
peret. 

Hinc etiam manifestum est, quaecunque diametrus ipsi ἢ 
propior sit, eam minorem semper apparere. remotiore. 


——— ——— 2 x D D—-—- 


4. ἔτι τε A(B), corr. S. 8. ἡ 49K ABS, ἡ ΘΚ Co, corr. Hu 
93. οὐχέτι Hu pro ovx ἐστιν 297. τῆς ὑπὸ EGK ABS, corr. Co Sca 
99. τὰ EHI'EOK A, distinx. BS 34. προσϑέδειχται S 

Pappus II. 35 





δ86 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOT'HZ C. 


96 Koi φανερὸν ürc*loat δύο μόνον ἐφ᾽ ἑκάτερα τῆς ΗΓ 
ὀφϑήσονεαι, ἐπειδήπερ τῆς ὑπὸ Ε4Ζ γωνίας δύο ἴσαι μό- 
vov ἐφ᾽ ἑἕχάτερα συνίστανται γωνίαι. 

Ὁμοίως δείξομεν ὅτι, 

ἐὰν ἦ ἐλάσσων ἡ EA τῆς ὃ 

4.4, [0v«] μεγίστη μὲν ὁ- 

φϑήσεται ἡ ΗΓ, ἐλαχέστη 

δὲ ἡ «48, καὶ αἰεὶ ἡ &y- 

γιον τῆς 44. τῆς ἀπώτε- 

οὖν ἐλάσσων, ἴσαι δὲ δύο 10 

μόνον ἐφ᾽ ἑκάτερα τῆς 

HI (ἢ τῆς 4B) ὀφϑή- 

σονται. 

98 v. Ἐπεὶ οὖν ó κύκλος ἔδοξεν ἐλλείψεως παρέχειν φαν- 
τασίαν τῇ ὄψει καὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ φαινόμενον εἶναι κέν- 15 
τρον τῆς ἐλλείψεως, ἔνστασιν οὐ τὴν τυχοῦσαν ἔχει τὸ ϑεώ- 
onuo: δυνατὸν γάρ ἐστιν ἀποδεῖξαί τι σημεῖον ἕτερον ἐν 
τῷ κύκλῳ κέντρον ὁρώμενον τῆς κατὰ φαντασίαν γραμμῆς. 
προγραφήσεται δὲ λημμάτιον τόδε. 

90 Ἔστω ὡς ἡ BK εὐϑεῖα πρὸς KA, οὕτως ἡ BO πρὸς 20 

40, καὶ ἔστω ἴση ἡ ὑπὸ ΒΖΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΖΩ͂, καὶ 

ἐπεζεύχϑω ἡ KZ: ὅτι ὀρϑή ἐστιν ἡ ὑπὸ OZK γωνία. 
Ἤχϑω τῇ KZ παρ- 

ἄλληλος διὰ τοῦ Θ ἡ 

ΓΘΗ͂, καὶ ἐχβεβλήσϑω 25 

ἡ Z4 ἐπὶ τὸ H. ἐπεὶ 

οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ 

πρὸς ΚΩ,, οὕτως ἡ 

ΒΘ πρὸς τὴν ΘΑ͂, καὶ 

ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ἃ 

ΒΘ, οὕτως ἡ KA πρὸς 4O, ἀλλὰ ὡς ἡ ΒΚ πρὸς BO, 

οὕτως ἡ ΖΚ πρὸς l'O, ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς ΓΘ, οὕτως 

ἡ ΚΩ͂ πρὸς 40. ὡς δὲ ἡ ΚΩ͂ πρὸς 4O, οὕτως ἡ ΚΖ 








6. ὅτι del. Hu 8. «itt ἢ &yyttov (sine spir. δ acc.) À, corr. BS 
44. ἢ τῆς 4B forsitan interpolator addiderit 44. Ν᾿ A! in marg. (BS) 


LIBER VI. PROPOS. 58. 587 


Item manifestum est binas tantum aequales diamewos ad 
utrasque ipsius yy parles conspici, quoniam binos tantum ae- 
quales angulos ad utrasque ipsius εὖζ partes constitui supra 
ostendimus propos. 44). 

Similiter demonstrabimus, si sit εὖ 1ninor quam δα, ma- 
ximam apparere diametrum 7y, minimam autem af"), et, 
quaecunque diametrus ipsi «f propior sit, eam minorem sem- 
per apparere remoliore, denique binas tantum aequales dia- 
metros ad utrasque ipsius y (vel ag) partes conspici. 


L. Quoniam igitur effecimus circulum ellipsis speciem 
eculo praebere et ipsius centrum adspectu ellipsis centrum 
esse, non mediocrem difficultatem habet hoc theorema; pos- 
sumus enim demonstrare aliud in circulo punctum tamquam 
centrum eius quae intuenti conspicitur lineae apparere. Prae- 
mittemus autem hoc parvulum lemma. 

Sit recta fx : xà — 9839: 9ó0, et [, 8C9 — L 9CÓ, et iun- Prop. 
gatur x5; dico angulum 32x rectum esse!). 

Ducatur per 9. ipsi Cx parallela 735, et producatur C9. 
ad ἡ. Jam quia est 

fx : x0 — B9 : 30, et vicissim 
Bx : 89. xà: 90, atque etiam propter similitudinem 
trianqulorum Cx 8y9 
Bx : 89. 25 Cx : y9, est igitur 
Dx: γϑ — xà : 9ó. Sed propter similitudinem triangu- 
' lorum £óx 9039 est 
x0 : 9À — xb: 97; ergo 


*) Conf. Euel. optic. propos. 39. 


1) Huic propositioBà manifestum est respondere duas conversas, 
quas addit Commandinus: 

I. Si sit gx : χ τῷ 89: 99, et angulus 3éx rectus, iunganturque 
βὲ ξδ, esse angulum 879 angulo 34d aequalem, quod lemma infra 
propos. 53 et 54 adhibetur; 

II. Si sit trianguli 9£x angulus ζᾧ rectus, et /. 859. τὸ { 900, esse 
fx: zd — 89:499. Alque haec quidem propositio convenit cum illo 
lemmate quod a Pappo VII cap. 224 citatur. Conf. append. ad illum 


locam. 
3S * 


588 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHY c. 


πρὸς OH (ἰσογώνια yàp τὰ ZA4K A4HO τρίγωνα)" ἡ ΖΚ 
ἄρα πρὸς ἑχατέραν τῶν ΓΘ OH τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον: 

ἴση ἄρα ἡ ΓΘ τῇ OH. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΓΘ πρὸς OH, ol- 

τως ἡ ΓΖ πρὸς ZH: ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΖ εὐϑεῖα τῇ ZH. 

xai ἐπεὶ Vor ἐστὶν ἡ ΓΘ τῇ OH, χοινὴ δὲ ἡ ZO, καὶ Bá-5 
σις ἡ HZ βάσει τῇ ΓΖ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΖ τῇ 

ὑπὸ ZOH ἐσεὶν ἴση - ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα αὐτῶν: ὀρϑὴ 

ἄρα xal ἡ ὑπὸ OZK διὰ τὸ τὰς ΓῊ ΖΚ παραλλήλους 
εἶναι. 

100 να΄. Τούτου προγραφέντος ἔστω ὃ μὲν κύκλος ὃ ABA Wi 
περὶ κέντρον τὸ Ε, ὄψις δὲ μὴ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ αὐτοῦ ἢ 
πρὸς τῷ Z σημείῳ, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Z χάϑετος ἀγομένη 
ἐπὶ τὸ [διὰ] τοῦ χύχλου ἐπίπεδον ἣ ZH μὴ πιπτέτω ἐπὶ 
τὸ Ε κέντρον, χαὶ ἐπιζευχϑεῖσα μὲν ἡ HE ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ 
τὰ B K, ἀπὸ δὲ τοῦ Z σημείου ἐπὶ τὰ B 4] ἐπεζεύχϑω- 15 
σαν αἱ Ζ4 ZB, καὶ τετμήσϑω δίχα ἡ ὑπὸ BZA τῇ ΖΘ, 
xoi ἤχϑω τῇ B4 πρὸς ὀρϑὰς j ΑΘΓ, καὶ ἐφατιϊόμεναι 
τοῦ κύχλου αἱ ΑΚ ΚΓ΄ λέγω ὅτι τῇ πρὸς τῷ Ζ ὄψει ὃ 
-ABUA κύκλος ἔλλειψις φανήσεται κέντρον μὲν ἔχουσα τὸ 
Θ σημεῖον (οὐχ, ὥσπερ οἴονταί τινες, τὸ E), ἄξονας δὲϑυ 
τοὺς I4 BA ovivysig, xai αἱ μὲν ἐπὶ τὴν Β4Ι καταγόμε- 
ναὶ τεταγμένως vj 4I ἔσονταί τὲ καὶ φανοῦνται πεαράλ-- 
ληλοι, αἱ δ᾽ ἐπὶ τὴν .4I χαταγόμεναι διαχϑήσονται μὲν 
ἀπὸ τοῦ K, φανοῦνται δὲ τῇ BA παράλληλοι, καὶ ταὐτὰ 
φανεῖται περὶ τὴν ὁρωμένην ἔλλειψιν, ἃ καὶ τῇ τοῦ κώνου 35 
τομῇ συμβέβηκεν. 

Ἐπεζεύχϑωσαν γὰρ αἱ AZ Zl ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ 4ΖΘ 
γωνία τῇ ὑπὸ OZI. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ OZB τῇ ὑπὸ 
ΘΖ. ἴση" φαίνεται ἄρα ἴση ἡ μὲν 40 τῇ OT, ἡ δὲ ΒΘ 


4. γὰρ τὰ AK Ai, Ζ add. A? (BS) — — 6. ii ndd. A! super vs. 
(BS) 40. N.4 Αἱ in marg. (BS) ὁ 4E ΓῚ A, coniunx. BS, item 
vs. 49 48. διὰ om. Co 45. τὰ BK. — τὰ B4 A, distinx. 


Bs M1. ἡ ΑΘΓ] ἡ AO AB), ἡ cy BIS, corr. A? (qui ^ superscr.) 
Co — 35. ταὐτὰ Hu auclore Co pro ταῦτα 


LIBER VI. PROPOS. 53. 589 


Ux : y9. — Dx : ϑη; itaque (elem. 5, 9) . 
y9 -— Jr. Et, quia anguli yC9. 90m aequales sunt, prop- 
ler elem. 6, 5 est 
79 : ϑὴ — γξ : Cr; itaque 
γξ — ζη. Et quia γϑ — ϑη, et γζξ — Lr, et commu- 
nis ζ9 ἢ, est igitur 
Ly95- L ζϑη; itaque uterque rectus; 
ergo propter parallelas 95 Cx etiam angulus JCx rectus est 
(elem. 1, 29). 


LI. Hoc praemonstrato sit circulus αβγὺ circa centrum Prop. 
£, oculus autem in puncto £L non sit in circuli plano, et ζῇ i 
perpendicularis ἃ & ad circuli planum ducta non cadat in 
centrum e£, et iuncta ηδὲ producatur ad f x, et a puncto C 
ad f δ iungantur L8 CÓ, ct angulus βζδ᾽ bifariam secetur 
rectà C9, et ducatur ipsi βδ perpendicularis recta «9v, ac 
circulum tangentes xo xy; dico oculo in C posito circulum 
afgyÓ visum iri ellipsim centrum habentem punctum 2 (non, 
ut nonnulli opinantur, punctum e); axes autem coniugatos 
fore «y 8à; atque ordinatas, quae ad 80 deducuntur, ipsi 
.«y parallelas et futuras et apparituras esse, ordinatas autem, 
quae ad ay applicantur, a puncto quidem x deductum iri, 
sed ipsi fà parallelas apparituras esse; denique eadem in 
conspectu ellipsis visum iri quae in coni sectione contin- 
gunt!). 

Iungantur enim o£ Cy; aequales igitur sunt anguli αζϑ 
S9Cy. Sed ctiam anguli 929 900 aequales sunt. (ex: hypothesi) ; 


*) His verbis Pappus Euclidis elem. primi propositionem ὃ citat 
(conf. supra p. 565 adnot, Ἐπ). 


4) Multa et in hac propositione et in ea demonstratione quae sequi- 
tur uberius explicanda commentariisque illustranda esse videntur. Εἰ 
pauca quidem attulit Commandinus, quaedam etiam nos breviter signi- 
ficeovimus; alia autem, quae quasi in transcursu absolvi non possint, 
futuro alicui interpreti relinquimus pertractanda. Figuram repetivimus 
ex codicum auctoritate, nisi quod omnem eius positionem correximus;,. 
quae apud Commandinum talis exstat qualem codices exhibent. 


590 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHZ c. 


101 τῇ O4. λέγω δὴ ὅτι xoi, ἥτις ἂν διαχϑῇ ὡς ἡ ΘΙ, 
φανεῖται διχοτομουμένη κατὰ τὸ O. ἐπεζεύχϑωσαν γὰρ 
αἵ «s ΑΚ KIM ME xai αἱ MZ ΖΞ ΖΝ ΖΗ καὶ ἔτι ἡ 
ΖΚ. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς ἐφαπτομένας ἐστὶν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς 

" 





—« 
ΚΔ, ἣ BO ἱπρὸς ΘΩ͂, xai ἔστιν ἡ ὑπὸ BZO ἴση τῇϑ 
ὑπὸ GZ4, ὀρϑή ἐστιν ἡ ὑπὸ OZK γωνία 'τοῦτο γὰρ προ- 
δέδειχται). καὶ ἐπεὶ τὸ διὰ τῶν B Ζ K ἐπίπεδον ὀρϑόν 
ἐστιν πρὸς τὸ διὰ τῶν .4 Z Γ ἐπίπεδον (καὶ γὰρ ἡ 4T 
ὀρϑή ἔστιν τῷ διὰ τῶν B Z Κὶ ἐπιπέδῳ, καὶ τῇ xowij τομῇ 
τῇ ΘΖ ὀρϑὴ ἦκται ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἡ ΖΚ), 1) ἄρα ΖΚ τὰ 
τῷ διὰ τῶν .4 Z Γ ἐπιπέδῳ ὀρϑή ἐστιν" ὀρϑὴ ἄρα ἡ 
ὑπὸ NZK γωνία. xai ἔστιν ὡς ἡ AK πρὸς ΚΞ, ἡ AN 
zrgóg ΝΕ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑτιὸ AZN γωνία τῇ ὑπὸ NZE* 
ἴση ἄρα φαίνεται ἣ .4N τῇ NA. καὶ ἔστιν ὡς ἡ .4Z 
πρὸς ZE, ἡ AN πρὸς NE, ἀλλ᾽ ἡ μὲν ZE τῇ ZM ἴση τε 
ἐστίν (ἐπιζευχϑεῖσα γὰρ ἡ ME γίνεται παράλληλος τῇ AT), 
ὡς δὲ jj (ἽΝ πρὸς ΝΕ, jj .1Θ πρὸς OM: ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ 
.1ΖΘ γωνία τῇ ὑπὸ OZM: ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΘΑ͂ τῇ 
GM. ὁμοίως δὲ καί, ἥτις ἂν ἄλλη διὰ τοῦ O διαχϑῇ, 
φανήσεται διχοτομουμένη κατὰ τὸ Θ' κέντρον ἄρα φαίνε- 20 
ται τῆς ἐλλείψεως τὸ Θ, καὶ συζυγεῖς ἄξονες οἱ 4T" BA, 


LIBER Vi. PROPOS. 58. 501 


ergo «9 ipsi 9y, et 829 ipsi 9ó aequales apparent (Eucl. 
optic. posit. 7), Tam dico, 
quaecunque recta, velut ὧϑμ, per circulum. ducatur, 
eam dimidiatam in puncto J apparituram esse. 
Iungantur enim rectae ÀA»$x xq μπὲ, item ut t£ Ev LÀ, de- 
nique /x. lam quia propter tangentes xe xy (infra VII pro- 
pos. 154) est Bx : xà — 89 : 99, et anguli 829. 900 aequa; 
les sunt, angulus igitur 9£x rectus est (hoc enim supra 
prog»os. 32 demonstravimus). lam quia planum per β C x 
transiens perpendiculare est ad planum quod per a £ 7 transit 
(prO pler elem. 11 defin. 4; etenim recta αγ perpendicularis est 
ad x»lanum per 8 5 x transiens, et rectae 9C, id est communi 
utr£vesque plani secüoni, perpendicularis in uno plano ducta 
CSt 2), recta igitur Cx ipsi αζγ plano perpendicularis est?); 
itaquwae angulus »ix rectus (elem. 44 defin. 3). Atque est 
Àx : xEb-àv: »5*); ergo anguli AZv »t5 aequales sunt (prop- 
Lér  y»ropos. 52 conversam) ; itaque rectae Av »5 aequales appa- 
rent. Atque est (elem. 6, 5) 
AC: C5 τὸ Av: v$, et, quia Bu ipsi γα parallela est, 
C5 — Lu; itaque 
Ab : du m ἀν: νξ. Sed est (propter. parallelas) 
Ày : νὲ — λ : Su ; ergo 
AL: Cu — λϑ: ϑμ; itaque (elem. 6, 5) 
ἰ λξϑ es L 3C. 
Y:rgo rectae 49. Ju aequales apparent. Similiter etiam, quae- 
Cunque alia recta per 9: ducetur, dimidiata in ipso 9 appa- 
Cebi, [taque 
centrum ellipsis videbitur 9, et axes coniugati o» (6, 
et rectae ipsi «y parallelae bifariam secabuntur rectà 
Bd, rectae autem a x duetae apparebunt bifariam sec- 
tae rectà «y, | 


2) *) Vide append. ad hanc propositionem. 


——. 





3. post «£ MZ additum iu A £ del. prima m. 7. τῶν BZK 
ABS ac similiter vs. 8. 9. 44, distinx. Hu 42. ἡ ΑΝ Co Sca pro 
ἡ ΑΜ 15. ἡ Νὴ ἡ N.4 NS, ἡ qÀ B cod. Co, corr. Co 20. φαί- 
γεται) {φανεῖται Hu 31. ol AB 4 ABS, oí rm γα Sca, corr. Co 


592 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ C. 


καὶ αἱ μὲν τῇ 4T παράλληλοι διχοτομηϑήσονται ὑπὸ τῆς 
B4, ai δὲ ἀπὸ τοῦ K διαγόμεναι δίχα τεμνόμεναι φα- 
102 νοῦνεαι ὑπὸ τῆς ΑΓ, ὥσπερ ἡ AR ἀπεδείχϑη. λέγω δὴ 
ὅτε φαίνονται τῇ Β4 παράλληλοι αἱ ἀπὸ τοῦ K διαγόμε- 
ναι. διήχϑω γὰρ λόγου χάριν ἡ ΑΚ, καὶ κάϑετος ἡ 40,5 





xci ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ P, xoi ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΘΖ ΖΠ τ 
ZP. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ .4K πρὸς KE, τουτέστιν ὡς |j 
ΡΑ͂ ngóg τὴν ΞΊΜ, οὕτως ἡ AZ. πρὸς τὴν ΞΖ, καὶ ἔστιν 
ἴση ἡ μὲν 4Z τῇ ΖΡ, ἡ δὲ AZ τῇ ZM, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ 
«ἼΖΡ τῇ ὑπὸ ΞΖΙΜ" xai ἡ ὑτιὸ .4ZO ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ 
ὑπὸ EZII: ἡ ἄρα 0.4 ἴση φαίνεται τῇ ΠΞ, ὥστε παράλ- 15 
ληλοι φανοῦνται αἱ ΑΞ Β4 [ἐπειδὴ αἱ μεταξὺ αὐτῶν κά- 
ϑετοι ἴσαι φαίνονται). 

103 νβ΄, Τούτου δεδειγμένου παραδοξότερόν τι πρόβλημα 
δυνατὸν ἀποδεῖξαι προτείνοντας οὕτως. 

Θέσει ὄντος κύκλου καὶ ἐν τῷ ἐπιτιέδῳ αὐτοῦ σημείου 20 
δοϑέντος ἐντὸς τῆς περιφερείας τόπον εὑρεῖν τῇ ὕψει, ἀφ᾽ 
οὗ τὸν κύχλον ἔλλειψιν ὄψεται κέντρον ἔχουσαν τὸ δοϑὲν 
ἐντὸς τῆς περιφερείας σημεῖον. 

Ἔστω γὰρ ó μὲν δοϑεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ κέν- 
τρὸν τὸ E, τὸ δὲ δοϑὲν ἐντὸς αὐτοῦ σημεῖον τὸ Ζ, καὶ 


LIBER VI. PROPOS. 58. 501 


ergo «29 ipsi Oy, et 99 ipsi ϑ aequales apparent (Eucl. 
optic. posit. 7), am dico, 

quaecunque recta, velut A9p, per circulum ducatur, 

eam dimidiatam in puncto J apparituram esse. 
lungantur enim rectae ÀA»&x xu μπὲ, item ut L5 ἕν ELA, de- 
nique zx. lam quia propter tangentes xa xy (infra VII pro- 
pos. 154) est Bx : xà — 89 : 90, et anguli 859. 900 aequa; 
les sunt, angulus igitur 9Zx rectus est (hoc enim supra 
propos. 52 demonstravimus). lam quia planum per 8 C x 
transiens perpendiculare est ad planum quod per α Z γ transit 
( propter elem. 11 defin. 4; etenim recta a7 perpendicularis est 
ad planum per β Z x transiens, et rectae 9C, id est communi 
utriusque plani sectioni, perpendicularis in uno plano ducta 
est Lx), recta igitur Cx ipsi αξγ΄ plano perpendicularis est?); 
itaque angulus γνζκ rectus (elem. 11 defin. 3). Atque est 

x5 — Àv: v5"); ergo anguli AZ» »££ aequales sunt (prop- 

£er propos. 42 conversam) ; itaque rectae ὧν »5 aequales appa- 
rent. Atque est (elem. 6, 5) 

AU: CB m ἀν": v&, et, quia &u ipsi γα parallela est, 

ζὲ — Uu; doque 

AU Lu m À»:v&. Sed est (propter parallelas) 

Ày : »$ τῷ A9 : 9g; ergo 

AL: Cu τὸ À9 : 9u; itaque (elem. 6, 5) 

L λῖϑ & L ϑζμ. 
Ergo rectae 49 Jy aequales apparent. Similiter etiam, quae- 
cunque alia recta per 29 ducetur, dimidiata in ipso 9 appa- 
rebit. [taque 

centrum ellipsis videbitur 9, et axes coniugati αγ £86, 

οὐ rectae ipsi ay parallelae bifariam secabuntur rectà 

Bd, rectae autem a x duetae apparebunt bifariam sec- 

tae rectà «y, 


2) *) Vide append. ad hanc propositionem. 





—— —— 


3. post «£ MZ additum iu A £ del. prima m. 7. τῶν BZK 
ABS ac similiter vs. 8. 9. 44, distinx. Hu 19.  .4N Co Sca pro 
ἡ 4M 1ὅ. ἡ AN] ἡ N.4 A58, ἡ «A B cod. Co, corr. Co 40. qet- 
νεται) φανεῖται Hu. 21. ol 4B ΓΖ ABS, οἱ 80 γα Sca, corr. Co 





594 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ C. 


δέον ἔστω τόπον εὑρεῖν, ἀφ᾽ ob ὁ κύκλος ἔλλειψις ὀφϑή- 
σεται χέντρον ἔχουσα τὸ Ζ σημεῖον. ἐπιζευχϑεῖσα ἐπὶ τὸ 
κέντρον ἡ ΖΕ ἐχβεβλήσϑω ἐφ᾽ 
ἑκάτερα, καὶ ὀρϑὴ αὐτῇ ἀπὸ 
τοῦ Z ἤχϑω i$ 4T, καὶ ἀπὸϑ 
τῶν 4 D ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ 
χύχλου ἐφαπτόμεναι ἤχϑωσαν 
αἱ 4 ΘΓ, καὶ ἐπὶ τῆς ZO 
ἡμικύκλιον γεγράφϑω ὀρϑὺν 
πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τ 
ἐπίπεδον τὸ ΖΗΘ- λέγω δὴ 
ὅτι, ὁποῖον ἂν ληφϑῇ σημεῖον 
ἐφ᾽ ὅλης τῆς ΖΗΘ περιφε- 
ρείας, πρὸς αὐτῷ τεϑεῖσα ἡ 
ὄψις ἔλλειψιν ὄψεται τὸν κύ- 15 
xÀov χέντρον ἔχουσαν τὸ Ζ. 

Εἰλήφϑω γὰρ τὸ H ση- 
μεῖον καὶ ἐπεζεύχϑωααν αἱ HB 
HZ Η.] ΗΘ. ἐπεὶ οὖν διὰ 
τὰς ἐιραιιτομένας ἐστὶν ὡς i* 
ΒΘ πρὸς ΘΩ͂, ἡ ΒΖ πρὴς Z4, καὶ ὀρϑή ἐστιν ἡ ὑπὸ 
ΖΗΘ γωνία, ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΒΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗ4- 
ἴση ἄρα φαίνεται ἣ ΒΖ τῇ Z4. φανερὸν δὴ ὅτι xoi ἣ 
-AZ τῇ ΖΓ ἴση φαίνεται. καὶ τοῖς προγεγραμμένοις ὁμοίως 
δειχϑήσεται τῆς φαινομένης ἐλλείψεως κέντρον τὸ Z oy-25 
μεῖον καὶ συζυγεῖς ἄξονες οἱ ΑΓ Β.1. 








τ΄ Εἰς τὰ φαινόμενα Εὐκλείδου. 

104 »y. Ἐπὶ vob [f ϑεωρήματος τῶν Εὐκλείδου φαινομέ- 
γων παρεῖται καὶ διὰ τῆς ἀποδείξεως, ἐὰν ὁ πόλος τοῦ 
ὁρίζοντος μεταξὺ τῶν τροπικῶν jj ἢ ἐπί τινος αὐτῶν, πο-ῖο 
σάκις ὃ ζῳδιαχὸς πρὸς ὀρϑὰς ἔσται τιρὸς τὸν ὁρίζοντα ἐν 
μιᾷ περιφορᾷ. διὸ ἀποδείξομεν ἡμεῖς ὅτι; ἐὰν μὲν ὃ πό- 


8. τῶν AT A, distinx, BS — 8. αἱ 46 OT ΑΒ, corr. αὶ 24. πρὸς 
6-/] € corr. A? pro alia nescio qua littera 48. ἡ ὑπὸ BHZ] HZ 


LIBER VI. 995 


circulus ellipsis videatur, cuius centrum sit ζ. lungatur Le, 
quae in utramque partem producatur, eique perpendicularis 
a ζ ducatur ey, et ab e y in circuli plano tangentes ducan- 
tur «9 γϑ, et in recta C9. describatur semicirculus ζηϑ ad 
circuli αβγδ planum perpendicularis; iam dico, si quodvis 
punctum in tota £59. circumferentia!) sumatur in eoque ocu- 
lus constituatur, cireulum visum iri ellipsim, cuius centrum 
est L. ᾿ 

Sumatur enim punctum ἡ, et iungantur y vL ηὃ 759. 
Iam quia propter tangentes a9 y9 est 89 : 9ó — BL: Lo 
(VII propos. 154), et angulus £72 rectus est, aequales igitur 
erunt anguli βηζ ζηδ (propler propos. 52 conversam); ergo 
rectae 9C CÓ aequales apparent. Atque item, iunctis en my, 
manifestum est rectas αζ Ly aequales apparere. Et similiter 
atque in superioribus demonstrabitur eius quae apparet el- 
lipsis centrum esse £5 axesque coniugatos «y 60. 


IN EUCLIDIS PHAENOMENA. 


LIH. In secundo theoremate Euclidis phaenomenon inter- 
pretes demonstrare omiserunt, si horizontis polus vel inter 
tropicos vel in alterutro ipsorum sit, quotiens zodiacus in una 
mundi: conversione rectus sit ad horizontem?). — Quapropter 
nos iam demonstrabimus, 


4) Nimirum ipsis punctis ᾧ 9 exceptis, quae sunt in circuli egyó 
plano. 

2) Comparantibus Euclidis phaenomena, quae nostra aelale exstant 
ex libris manuscriptis edita, non salis liquet, quid maxime omissum 
esse Pappus conqueratur. Sin vero quis in codicum scriptura, quae 
supra p. 474, 44 occurrit, illud δὲς retineri velit, quasi Pappus scrip- 
serit "quotiens bis rectus sit etc.", ne sic quidem ea quam statim no- 
tavimus difficultas levari videtur. Couf. etiam p. 601 adnot. 4. 


corr. A? (A! iterum incerta) 233. τῆς Z. ABS, corr. Sca δὴ A! 
ex di 33. 94. χαὶ ἡ A4Z ABS, corr. Co Sca ^ 26. οἱ AB ΓΖ ABS, 
corr. Co Sca 27. titulum add. S 38. NT A! in marg. (BS) 
B ^, δευτέρου BS 84. ζωιδϑιαχὸς À, ξωδιακὸς BS, item posthac p. 
596. 598 


596 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTH C. 


-- - - δ ζ 
. ῥρίζοντος ἐπί τινος τῶν τροπιικῶν ἡ, ἅπαξ ὁ ζῳ- 
Àog τοῦ ὑρίζοντο 0 Qo ἢ» oS 0 L 
’ 3 ^ e - 
διακός ἐστιν ὀρϑὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἐν μιᾷ περιφορᾷ, 
ἐὰν δὲ μεταξὺ τῶν τροπικῶν, δίς. 
» M ς 
105 Eovw γὰρ ὁρίζων μὲν ὃ .4BO, ϑερινὸς δὲ τροτεικὸς ὁ 
ΓΗ, χειμερινὸς δὲ ὁ ΒΘ, μεσημβρινὸς δὲ ὁ 4448, ζῳδια-"5 
M Lo - 
x0g δὲ 0 BZH, ὁ δὲ τοῦ .4BO ὁρίζοντος πόλος ἔστω ἐπὶ 
- m ^ ἃ “- - € 
τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τὸ .[* λέγω ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ ὃ 
BZH ἅπαξ ἔσται ὀρϑὸς πρὸς τὸν .4BO ὁρίζοντα. 
3 X A] * ΄ι ^. 4 i] , 
ἔπει γὰρ ἐν μιᾷ περιφορᾷ τὸ Η τὴν ΗΓ περιφέρειαν 
διέρχεται καὶ τὴν συνεχῇ αὐτῆς τὴν ὑπὸ γῆν καὶ ἐπὶ volu 
Η παραγίνεται, ἐν δὲ τῇ εἰρημένῃ διεξόδῳ τὸ Η ἅπαξ ἐπὶ 
ΟΝ / ) € c δ᾽ L , . 
τὸν 4| πόλον παραγίνεται xai ὁ ζῳδιακὸς ϑέσιν Aauflavet 
Ml 3 N ew hM ΒΩ c Σ 2 - A] hl ς , 
τὴν &mL τοῦ KZ, καὶ ἔσται ἁπαξ ὑὁρϑὸς πρὸς τὸν opt- 
ζοντα * διὰ γὰρ τῶν πόλων ἐστὶν αὐτοῦ. 
106 Ὁμοίως δὴ καί, ἐὰν ὃ πόλος τοῦ ὁρίζοντος iri vo) 

» , y c c e toD c $2 
χειμερινοῦ χύχλου ἢ, ὡς ὃ E, ἅπαξ ἔσται 0 ζῳδιακὸς ὃρ- 
ϑὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα. [φανερὸν γὰρ ὅτι οἱ δύο πόλοι 

^ m e 2) - ew 
τοῦ ὁρίζοντος οὐκ εἰσὶν ἐν τῷ τροπιχῷ, ἤτοι τῷ ϑερινῷ 
A f e^ A M ^ 
ἢ τῷ χειμερινῷ " οὐ γὰρ τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας Oéye- 
ται ἐλάσσων τις χύχλος τοῦ μεγίστου" ὥστε ἑξκάτερος των 20 

^ 2 A ^ ^ 

τροπικῶν μὴ ὧν διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας vovg β' πό- 
λους τοῦ ὁρίζοντος οὐ δέχεται" ὥστε τὸ H ὑπόγειον γενό- 

) ce A - € ’ , € 9. 3 3 
μενον οὐχ ἥξει διὰ τοῦ ἑτέρου πόλου τοῦ ὁρίζοντος, ἀλλ 
ἑχάτερος τῶν τροπικῶν ἕνα δέχεται πόλον. ἐπεὶ γὰρ τὸ 
H τῷ B ἐστὶν κατὰ διάμετρον καὶ ϑέσιν ἔχει τὸ Η κατὰ 25 

4 3 , M * » € 8 - , e , ^ 
τὸ 4 τὸν πόλον, xat τὸ B aga ὑπὸ γὴν τύπον ἕξει &v τῷ 
χειμεριγιῦ χατὰ τὸ διάμετρον τοῦ 4] τὸν ἕτερον πόλον τοῦ 
€ , e M , ; , ^ - [44 
ὁρίζοντος" ὅτι κατὰ διάμετρόν ἔστιν τὸ H τοῦ B: ὥστε 
οὐδὲ ἐν τῷ ἑτέρῳ τῶν τροπικῶν εἰσιν οἱ δύο πόλοι τοῦ 
€ ἢ b] ) € , , € , ^ ^ » 
ὁρίζοντος, ἀλλ᾽ ἕκατερος ἐν ἑκατέρῳ τῶν τροπικῶν. .80 


P d 


5. ὁ ΒΘ Co proó BE 59. φοραῖ et superscr. πέρι Αἴ 48. τοῦ 
ΚΙ. Co pro τοῦ K40 44. διὰ — αὐτοῦ] conf. adnot. ad Lat. 
47. φανερὸν — 80. τροπικῶν) haec ad Pappi opus interpres quidam 
recentior addidisse videtur 429. γενόμενον coni. Hu 35. 96. xara 
τὸν 4 πόλον et 97. χατὰ διάμετρον alius quivis scriptor prudentior 
quam hic interpolator scripsisset 


LIBER VI. PROPOS. 55. 597 


si polus horizonüis in alterutro tropicorum sit, zodiacum 
semel in una conversione rectum esse ad horizontem, 
sin autem inter tropicos, bis. 

Sit enim horizon o33, et Prop. 
aestivus tropicus yj, hiemalis Ὁ 
B9, et meridianus ade, zo- 
diacus 8zr, polus autem ho- “ 
rizontis sit in aestivo tropico 
punctum À; dico in una con- 
versione circulum fo semel 
rectum esse ad horizontem 
αβϑ. 

Quoniam enim punctum 
ῃ in una mundi conversione 
et C B arcumferentiam zy et eam sub terra quae ipsi continua esl 
per«* urit et rursus ad z pervenit, in hoc autem cursu punctum 
ἢ S€* irnel ad polum δ pervenit zodiacusque positionem χδλ sumit, 
hic  &gitur semel ad horizontem rectus erit; nam semel tantum 
per polos eius transit). 

Similiter etiam, si polus horizontis, velut £e, in hiemali 
wop»ico sit, zodiacus semel rectus erit ad horizontem. (Nam 
mawviifestum est duos horizontis polos non esse in uno tropico, 
δ} aestivo aut hiemali. Neque enim sphaerae diametrum cir- 
culus ullus minor maximo in se recipit; quapropter uterque 
wopicorum, quippe qui non transeat per centrum sphaerae, 
duos horizontis polos non recipit; itaque punctüm ἢ, cum 
SuD terram venerit, non per alterum bhorizontis polum ibit, 
sed uterque tropicorum unum tantummodo polum recipit. Nam 
quà punctum ἡ ipsi f per diametrum oppositum est posi- 
WODeémque ad polum ὃ sumit, ergo etiam punctum f, cum 
Sub terram venerit, in hiemali tropico locum habebit ad po- 
lum ' qui ipsi Ó per diametrum oppositus est (scilicet ἢ ipsi 

P ad diamewum est oppositum) ; itaque in neutro tropicorum 
duo horizontis poli sunt, sed unus in utroque.] 


,, ἢ Sive ab ipso Pappo sive ab interprete aliquo Graeca διὰ γὰρ τῶν 


70^0v ἐστὴν αὐτοῦ scripta sunt, his citatur Theodosii sphaeric. 4 pro- 
POSitio 45. 





998 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ ζ. 


107 νδ΄. Ἔστω δὴ ó πόλος μεταξὺ τῶν τροπικῶν, ὡς ó Θ᾽ 
λέγω ὅτι ὃ ζῳδιαγὸς δὲς γίνεται ὀρϑὸς zro0g τὸν ὁρίζοντα 
ἐν μιᾷ περιφορᾷ. 


Προσαναγεγράφϑω γὰρ ὃ ζῳδιαχὸς κύκλος, καὶ ἔστω 
ὁ BMH, ἔστω δὲ καϑ᾽ οὗ φέρεται παραλλήλου κύκλου τὸ δ 
Θ σημεῖον ὁ ML4O. τοῦ δὴ .1 ἐπὶ τὸν Θ πόλον παρα- 
γενομένου ὃ HMB ζῳδιακὸς ϑέσιν λαβὼν τὴν ἐπὶ τοῦ 
ΝΘΞ ὀρϑὸς γίνεται τὸ πρῶτον πρὸς τὸν ὁρίζοντα. πάλιν 
τοῦ ΜΙ τὴν MMOO περιφέρειαν διελθόντος χατὰ τὴν συ- 
στροφὴν καὶ ἐπὶ τὸν Θ πόλον παραγενομένου ὃ ζῳδιακὸς 10 
ϑέσιν λαβὼν τὴν ἐπὶ τοῦ KOII ὀρϑὸς τὸ δεύτερον ἔσται 
πρὸς τὸν ὁρίζοντα. [μόνα γὰρ τὰ M 1 σημεῖα τῶν ἐπὶ 
τοῦ, ζῳδιακοῦ κύκλου καὶ τοῦ παραλλήλου (τὰ TW 74 κατὰ 
τοῦ MO.4 κύκλου φέρεται), καὶ δὶς μόνον ποιήσει τὸν ζῳ- 
διακὸν κύχλον ὀρϑὸν πρὸς τὸν δρίζοντα διὰ τοῦ Θ ἐλϑόντα 15- 
πόλου ἐν μιᾷ περιφορᾷ κόσμου" ἕχάτερον γὰρ τῶν M 4 
ἐν μιᾷ στροφῇ ὅλον τὸν κύκλον τὸν MO. διέρχεται" ὥστε 
χαὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς περιφερείας σημεῖα τοῦ κύχλου δι- 
ἔρχεται ἐν μιᾷ στροφῇ τὰ M 1- ὥστε καὶ τὸ O σημεῖον 
διέρχεται ἐν μιᾷ στροφῇ ἕχάτερον τῶν M Λ.] 20« 
- 108 νε΄. Ἐπὶ δὲ τοῦ i ϑεωρήματός φησιν ὃ Εὐχλείδης 
“τοῦ μετὰ τὸν καρχίνον ἡμικυκλίου at ἴσαι περιφέρειαι ἐν 


LIBER VI. PROPOS. 56. 509 


LIV. lam sit hortizontis polus, velut 9', inter tropicos; FrOP- 
dico zodiacum in una mundi conversione bis rectum fieri ad 
horizontem. 

Describatur enim circulus zodiacus fj"), sitque μλο 
parallelus circulus in quo punctum 23 fertur. lam cum punc- 
tum ἃ ad 3 polum pervenit, zodiacus βμῃ, sumptà positione 
νϑξ, primum fit rectus ad horizontem (Theod. sphaer. 4, 45). 
Rursus cum punctum 44 in mund conversione circumferen- 
tiam 402  percurrerii et ad polum 9 pervenerit, zodiacus, 
sumptà positione x3:r, iterum rectus erit ad horizontem. [Nam 
ἦγ. ea zodiaci positione quam primum descripsimus puncta zo- 
diaci μὲ ὁ sola sunt communia cum circulo parallelo, eaque 
bis tantummodo in una mundi conversione per polum 2 trans- 
euntia zodiacum rectum ad horizontem efficient; nam utrum- 
que punctorum & À in una conversione totum circulum 404 
percurrit; itaque omnia puncta quae sunt in circuli circum- 
ferentia in una conversione per & À transeunt; quapropter 
eliam punctum J in una conversione per utrumque puncto- 
rum qt À transit.] 

LV. In theoremate XII Euclides " semicirculi" inquit ^ qui 
post cancrum est aequales circumferentiae occidunt inaequa- 


*) Figuram lalem fere exhibemus qualem ex corruptis codicum li- 
neis restituere conatus est Commandinus. Αἱ vero alia ratio emenda- 
tior restat ut quaeratur, cuius difficultas non tam in lincis recte du- - 
cendis, quam in litteris geometricis convenienter ad conlextum scrip- 
toris distribuendis posita est. Conf. adnot. 4 ad propos. 58. 


4. ΝΖ A!in marg. (BS) 6. ὁ M.40] ὁ M.46 ABS cod. Co, 
ὃ ΜΟ. Co δὴ Hu auctore Co pro δὲ 9. διελόντος Al, corr. A? 
9. 40. τὴν» Orooqjv coni. Hu 14. ἐπὶ τοῦ KOIIT voluit Οὐ óev- 
τερον S, B^ A, B B 48. μόνα — 20. τῶν M 4| haec eidem inter- 
preti, qui paule supra nonnulla addidit, tribuenda esse videntur 
49. τὰ M 4| τὰ 40 A, distinx. BS, τὰ 44 M Co. 48. 44. τὰ M A4 
— φέρεται del. Hg. 43. τὰ IM. ei 16. τῶν M4 A, distinx. BS 
46. πόλου Hw auctore Co pro πόλον 49. τὰ M.4 et 90. τῶν MA 
^ distinx. B (rd À μ οἱ τῶν λ “ 5) 41. NE A! in marg. (BS) 1B 
iB?" B, δωδεκάτου S 





600 TIAFIIOY. XYNATOTHS. c. 


ἀνίσοις χρόνοις divovotv, xai ἐν μεγίστοις αἱ πρὸς ταῖς 
συναφαῖς τῶν τροπιχῶν, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ σιρὸς τῷ loy- 
μερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ χρόνοις ai ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἐσημε- 
ρινοῦ". ζητεῖται δὲ διὰ τί περὶ μὲν τῆς χαταδύσεως τού- 
τῶν τιῶν περιφερειῶν λέγει, περὶ δὲ τῆς ἀνατολῆς οὐχέτε. 5 
ἐπαναβέβηκε γὰρ i ζήτησις [καὶ ἀνετράπη! εἰς τοὺς dva- 
τολιχοὺς διορισμούς, ἔστιν δὲ ὅλη Jj πραγματεία τοιαύτη" 
εὑρεῖν οἴκησιν ἐν j λόγου χάριν ὁ χαρκίνος τῷ λέοντι ἐν 
ἴσοις χρόνοις ἀνατέλλει ἱπιρὸς τὸ ἄνω]. ἽὝπιταρχος δὲ ἐν 
τῷ περὶ τῆς τῶν ιβ' ζῳδίων ἀναφορᾶς συναποδείανυσιν τὺ 
δε ἀριϑμῶν ὅτι οὐχ ὥσπερ δύνουσιν αἱ ἴσαι περιρέρειαι 
τοῦ μετὰ τὸν χαρχίνον ἡ μικυχλίου ἐχουσαί τινα πρὸς ἀλ- 
λήλας χρόνου σύγκρισιν, οὕτως χαὶ αὗται ἀνατέλλουσιν. 
εἶναι γάρ τινας οἰκήσεις, ἐν αἷς τῶν ἴσων περιφερειῶν τοῦ 
μετὰ τὸν χαρχένον ἡμιχυχλίου αἰεὶ αἱ ἔγγιον τοῦ ἰσημερι- V 
νοῦ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλουσιν τῶν τερὸς ταῖς συναφραῖς, 
τῶν τροπιχῶν. διὰ τοῦτο οὖν καὶ αὐτὸς ἐπὶ τῶν ἴσον 
ἀπεχουσῶν ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ εἴρηκεν ἐν ἴσοις χρόνοις 


xai τὰς ἀνατολὰς γίνεσϑαι. τοῦτο δὲ συμφανὲς ἐκ τῶν ἐν 


τοῖς φαινομένοις δειχνυμένων. ὁμοίως δὲ καὶ “τοῦ μετὰ 30 


τὸν αἰγόκερώ" φησιν “ἡμιχυχλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν 
ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ τιρὸς 
ταῖς συναφαῖς, ἐν ἐλάττοσι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχέ- 
στοις δὲ ci πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπε-- 
110 ἔχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ". περὶ δὲ δύσεως αὐτῶν οὐϑὲν 55 
λέγει" ὁ γὰρ λόγος τῆς ἀποδείξεως ἐμ"είπτει εἰς τοὺς ἀνα-- 
τολιχοὺς διορισμούς, καὶ ἔστιν ἤδη πραγματεία τιερὶ τού-- 


4. μεγίστοις) πλείστοις μὲν Euclides a Gregorio editus 3. posl 
τροπιχῶν add. ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων Eucl. 8. χρόνοις om. 
Euel. — 4. post ἐσημερινοῦ add. κύχλου καὶ ϑύνουσιν καὶ ἀνατέλλουσιν. 
Eucl. 6. καὶ ἀνετρώπη οἱ 9. πιρὸς τὸ ἄνω interpolatori tribuit Hu. 
40. ζωδίων A, ζωδίων BS 43. αὗται BS, αὐτίε A, et αὐταὶ Coni. 
Hu A5. ei&r ἢ Eyy&tor. (sine spir. et acc.) A, «lel ἡ ἔγγιον BS, αὖ 
corr. Hu.— 47. ἴσον B, ἴσων A*8 — 98. post συναψαῖς add. τῶν rgo- 
πικῶν Eucl phaenom. 43 ἐλάττονι S. 35. posl ἰσημερενοῦ ndd. 
χύχλου xci ἀνατέλλουσιν χαὶ δύνουσιν Eucl. y 





LIBER VI. 601 


libus temporibus, ac maximis quidem temporibus eae quae 
prope contactus sunt tropicorum, minimis autem eae quae 
prope aequinoctialem sunt, aequalibus denique eae quae ab 
aequinoctiali aequaliter distant".  Ambigitur autem, cur de 
occasu quidem earum circumferentiarum dicat, sed de ortu 
non item!). Etenim illa quaestio aliorum cura etiam ad 
orientales determinationes provecta hunc in modum tractatur : 
inveniatur exempli gratia habitatio, in qua cancer ae- 
quali tempore ac leo oriatur. 

Hipparchus quidem in libro de XII signorum ascensione 
per numeros ostendit semicirculi qui post cancrum est ae- 
quales circumferentias, quae inter se temporis comparationem 
quandam habent, non perinde oriri atque occidere. Nam ha- 
bitationes quasdam esse, in quibus semicirculi qui post can- 
crum est eae aequales circumferentiae, quae aequinoctiali pro- 
piores sunt, maiore tempore oriantur quam illae quae sunt ad 
contactus tropicorum. Quapropter ipse quoque de iis cireum- 


4) Comparantibus phaenomena, quae sub Euclidis titulo a Gregorio 
edita sunt, cum iis quae Pappus et hoc loco et paulo post (cap. 409 sq.) 
scribit gravior sine dubio incidit haesitatio. Nam secundum Gregorii edi- 
tionem in clausula duodecimi theorematis pariter de ortu ac de occasu 
circumferentiarum aequaliter ab aequinoctionali distantium, et similiter 
in clausula tertiidecimi theorematis de utroque agitur; at Pappus ab Eu- 
clide in duodecimo de ortu, in tertiodecimo de occasu commemoratum 
esse negat. Ergo ambigitur, utrum Pappus eadem, quae nos apud Grego- 
rium, in suo olim codice legerit nec tameu plene citaverit, an vero aliam 
Euclidis phaenomenon formam in manibus habuerit. "Ac mihi quidem 
clausulae illae, quas e Gregorii editione in adnotatione ad Graeca p. 600, 4 
et 25 adscripsi, ab eo Euclidis codice quo Pappus usus est afuisse vi- 
dentur. Αἱ contra si statueris Pappum ea ipsa quidem legisse, sed in ci- 
tando omisisse, tamen iudicium de toto hoc Pappi loco non immutatur. 
Nam quod apud Gregorium legimus semicirculi eius qui post cancrum, 
itemque illius qui post capricornum est aequales circumferentias aequali- 
ter ab aequinoctionali distantes aequalibus temporibus et occidere et 
oriri, id nihil facit ad eam quaestionem quam hoc loco Pappus proponit, 
num semicirculi qui est post cancrum aequalis circumferentia quae pro- 
xima contactui tropici est, ut maximo tempore occidit, ita etiam maximo 
oriatur, itemque semicirculi post capricornum etc., ut maximo tempore 
oritur, ita etiam occidat. [Incredibiliter etiam omnis huius quaestionis 
difficultas augetur illo loco qui paulo post cap. 443 legitur. Quem equi- 
dem multis de causis spurium esse iudico aliaque genuina illic periisse 
opinor ; at forsitan alii existant qui illa quoque ab ipso Pappo scripta, sed 
a librariis passim corrupta esse existiment. Ne multa, absolvi quaestio 
non potest nisi peculiari eaque longiore disputatione instituta. 

Pappus II. 39 


002 IAHIIOY ΣΥΝΑΡΩΓΗΣ C. 


vov γεγραμμένη Μενελάῳ τῷ ἀλεξανδρεῖ, περὲ ἧς ὕστερον 
ἐπισκεψόμεϑα. ἐὰν μέντοι διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλή- 
λων ἢ ὃ δρίζων, οὕτως δειχϑήσεται. 

111 Ἔστω ὁρίζων διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων ὃ 
«ΒΓΖΩΖΘ, καὶ τοῦ ζῳδιαχκοῦ τὸ μετὰ τὸν χαρχίνον ἣμι- ὃ 
χύχλιον τὸ ΒΞΗ, καὶ μέγιστος τῶν παραλλήλων ὃ ORE, 
καὶ διῃηρήσϑω τὸ ΒΝΞ τεταρτημόριον εἰς ἴσα κατὰ τὰ M 
Ν, καὶ διὰ τοῦ ΑἹ xai ἑκατέρου τῶν IM Ν μέγιστοι κύκλοι 
γεγράφϑωσαν: ἥξουσιν δὴ καὶ διὰ τοῦ £xégov πόλου. 


24 





. ἔστωσαν οἱ ΑΜΖ ΑΑΝΖ, καὶ διὰ τῶν M Ν παράλληλοσ. 
κύκλοι γεγράφϑωσαν οἱ ZZNK DUM. καὶ ἐπεὶ ἕκαστα: 
τῶν 42 .4NZ ἡμικυκλίων ἐφαρμόζει τῷ 4152 δυτιχῷ 
ἡμικυχλίῳ (ἅμα γὰρ δύνει ἡ MB καὶ, ἡ I'M περιφέρεια, 
ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΜΓ δύνει, ἐν τούτῳ τὸ MM σημεῖον ἔσταε 
διεληλυϑὸς τὴν MI περιφέρειαν), ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ M.1 
διέρχεται τὴν ΜΓ περιφέρειαν, ἐν τούτῳ δύνει ἡ MB πε- 

112 ριφέρεια. πάλιν δὴ τοῦ .4MZ λαβόντος τὴν τοῦ ὁρίζον- 
τος ϑέσιν τὰ MM II ἅμα ἐστὶν ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος, xai τοῦ 
Ν σημείου yevouévov ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος δεδύκασιν αἱ ΠΝ 


LIBER VI. PROPOS. 57. 603 


ferentiis quae aequaliter ab aequinoctiali distant docuit ae- 
qualibus temporibus earum etiam ortus fieri, idque mani- 
festum est ex iis quae in phaenomenis démonstrantur. Si- 
militer etiam "semicirculi" inquit Euclides theoremate XIII 
"qui post capricornum est aequales circumferentiae oriuntur 
inaequalibus temporibus, ac maximis quidem femporibus eae 
quae prope contactus sunt íropicorum, minoribus autem eaé 
quae deineeps sequuntur, minimis eae quae prope aequi- 
noctialem sunt, aequalibus denique eae quae ab aequinocti- 
ahi aequaliter distant". At de occasu earum nihil disserit. 
Nam demonstrationis ratio in orientales determinationes ca- 
dit, quo de argumento iam a Menelao Alexandrino commen- 
tarius scriptus est, de quo posthac videbimus?). Si tamen 
horizon per polos parallelorurn transeat, hac demonstratione 
utemur. 

| Sit per polos parallelorum horizón αβγδξϑ, eX zodiaci se- Prop. 
micirculus, qui est post cancrum; 5r, et maximus parallelorum 
J9-&e, et quadrans βνξ in aequales partes dividatur in punctis 
με ν, et per & et utrumque punctorum μὲ » describantur maximi 
circuli eut ανξ; hi igitur etiam per alterum polum transibunt. 
Iam per jg » paralleli describantur circuli ;uÀ vx. Et quia 
uterque semicirceulorum αμζ ανζ cum semicirculo occidentali 
αδὲ conbruit (nam circumferentiae 84 yu simul occidunt, et 
quo tempore ipsa γμ occidit, eodem punctum μὲ circumferen- 
tiam yp. percurrit, ac similiter idem de circumf. ανΖ demonstra- 
tux), quo igitur tempore punctum 4 circumferentiam 4 per 
currit, eodem circumferentia f occidit. Rursus, cum semicir- 
culus eut positionem horizontis sumpsit, puncta 4 zz simul sunt 
in horizonte, et cum punctum » ad horizontem pervenit, circum- 


2) Nihil quod ad hoc argumentum pertineat sequitur in iis Pappi 
collectionis reliquiis quae ad nostram aetatem pervenerunt. 





4. ἀλεξανδρωι et & super vs. A!— 3. ὁ om. ΒΒ οὕτω ASBS 
5. ζωιδιαχοῦ Δ, ζωδιαχοῦ BS 6. ὁ OXE ABS, corr. Co 7. τε- 
reor?) μόριον A, coniunx. BS 7. 8. τὰ MN Α, distinx. BS 8. τῶν 
MN AB, τῶν vu S 40. τῶν MN Α, distinx. BS 44. ἑχάτερον 
coni. Hu 418. τὰ MI? A, distinx. BS 





J9 * 


604. ΠΛΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHX c. 


NM περιφέρειαι * ἅμα ἄρα δύνει ἡ NII περιφέρεια καὶ 3j 
NM. ἐν ᾧ δὲ ἡ ΠΝ δύνει, τὸ N ἔσται τὴν NIE διεληλυ- 
ϑός" ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ N τὴν NIl περιφέρειαν διέρχε- 
ται, ἐν τούτῳ ἡ NTM περιφέρεια δύνει. ὁμοίως δὲ καὶ ἐν 
ᾧ 10 E τὴν EX περιφέρειαν διέρχεται, ἐν τούτῳ ἡ NES 
περιφέρεια δύνει. ἐπεὶ δὲ διὰ τῶν τιόλων τῶν τεαραλλή-. 
λων γεγραμμένοι εἰσὶν μέγιστοι κύχλοι, ὁμοίας ἀπολήψον- 
ται τῶν παραλλήλων κύχλων περιφερείας τὰς μεταξὺ ab- 
τῶν" ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν MT τῇ 41| καὶ PE περιφε- 
φείᾳ, ἡ δὲ ΝΙ͂ τῇ XP. ἐπεὶ δὲ ἴσαι εἰσὶν αἱ BM MN Oo 
ΝΞ, καὶ διὰ τῶν πόλων μέγιστοι χύχλοι γεγραμμένοι εἰσίν, 
μείζων ἄρα ἡ μὲν EP τῆς XP, ἡ δὲ ΡΣ τῆς ΣΕ" ἐν πιλεί- 
ovt ἄρα χρόνῳ τὸ P τὴν ΡῈ περιφέρειαν διέρχεται ἤπερ 
τὸ Σ τὴν ΣΡ, » καὶ τὸ Σ τὴν ΣΡ ἢ τὸ E τὴν ΕΣ. ἀλλ᾽ ἐν 
ᾧ μὲν τὸ P τὴν PE ἐιερεφέρειαν διέρχεται, ἐν τούτῳ καὶ 15 
10 M τὴν MP, ἐν ᾧ δὲ τὸ Σ τὴν ΣΡ, ἐν τούτῳ καὶ τὸ 
N τὴν NH: ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Ἢ τὴν MD περιφέ- 
θείαν διέξεισιν ἤ ἤπερ τὸ Ν᾽ τὴν NI, τὸ δὲ Ν vj» NII ἤπερ 
τὸ E τὴν ΕΣ. ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν τὸ M τὴν MI διέξεισιν, 
ἐν τούτῳ ἡ MB περιφέρεια δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Ν τὴν [ἴσην Ἰτω 
τῇ) ΝΗ περιφερείᾳ ὁιέξεισιν, ἐν τούτῳ ἡ MN δύνει, ἐν 
ᾧ δὲ τὸ Ξ τὴν ἘΣ διέξεισιν, ἐν πούτῳ. ἡ ΝΞ περιφέρεια 
δύνει" ἐν πλείονι μὲν ἄρα χρόνῳ ἣ ἡ MB δύνει, ἐν ἐλάσσονι 
δὲ ἡ MN, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ ἡ ΝΞ. 

113 [Ὁμοίως δὴ καὶ τὰ ἐπὶ τοῦ EH τεταρτημορίου δειχϑή-- ΞΞΞΒ 
σεται. ὅτι δὲ καὶ ἐν πλείονι ἀνατέλλει ἡ μὲν MB τῆς 
MN, ἡ δὲ MN τῆς NE, οὕτως δειχϑήσεται. τετμήσϑω 
xai τὸ EH τεταρτημόριον ὁμοίως τῷ EB χατὰ τὰ O Ὡ 
σημεῖα, καὶ διὰ τοῦ .4 πόλου xal τῶν O Ὡ σημείων μέ- 


8. αὐτῶν A*BS 40. ἡ δὲ ΝΠ A?BS, ἡ δὲ HII M3 αἱ HM 
ΜΗ, corr. BS 42. τῆς ΣΞ Co pro τῆς EE 80. 24. ἴσην τῇ 
om. Co 35. Ὁμοίως — p. 608, 3. ἡ ΝΞ  Jnterpolatori tribuit Hu 
35. τετάρτη μορίου A, coniunx. BS 987. οὕτω A*BS — 98, τετάρτη, 
μόριον A, coniunx. BS — τὰ OC) el 29. τῶν OG) A, dislinx. BS 


LIBER VI. PROPOS. 57. 605 


ferentiae νην νμ occiderunt; ergo ipsae vz; »u simul occidunt. 
Sed quo tempore circumferentia vzz occidit, punctum » ipsam 
yzt percurrit; ergo quo tempore punctum » circumferentiam 
»;zt percurrit, eodem ipsa »4& occidit. Similiter etiam, quo 
tempore punctum $ circumferentiam 5o percurrit, eodem ipsa 
δν occidit. Sed quia per polos parallelorum maximi circuli 
descripti sunt, hi similes eorum parallelorum circumferentias, 
quae inter ipsos interiiciuntur, abscindent (Theodos. sphaer. 
2, 10); ergo est circumf. uy — πὸ“ oe, et vm — op. Sed 
quia ex hypothesi 8, vu v$ aequales, et per polos maximi 
circuli descripti sunt, circumferentia igitur δρ maior est quam 
Q0, et oo maior quam o£ (supra propos. 21, Theodos. 5, 6) ; 


4 


VA 





ergo punctum o maiore tempore circumferentiam ge percurrit 
quam 6 ipsam o0, et rursus 0 maiore tempore ipsam σρ 
quam À& ipsam $e. Sed quo tempore og circumferentiam pe, 
eodem 44 ipsam y percurrit, et quo σ᾽ circumferentiam og, 
eodem » ipsam »z; ergo μὲ maiore tempore circumferentiam 
Ly percurrit quam » ipsam »zt, et » maiore ipsam »zz: quam 
$ ipsam £e. Sed quo tempore μὲ circumferentiam uy per- 
currit, eodem ipsa uf) occidit, et quo tempore » circumferen- 
tiam »zz percurrit, eodem »q occidit, denique quo 5 ipsam 
$c, eodem ὧν occidit; maiore igitur tempore circumferentia 
Hf, minore vp, minimo »& occidit. 


606 IIAIIIIOY ZYNATQTHZ c. 


γιστοι κύκλοι γεγράφϑωσαν οἱ ZO.4 Z4. ὁμοίως δὴ 
δειχϑήσεται μείζων ἢ ὁμοία ἡ μὲν OY τῆς YT, ἡ δὲ YT 
τῆς TZ, καὶ τῶν παραλλήλων ἄρα τῷ μεγίστῳ at περι- 
φέρειαε " μείζων ἄρα ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ μὲν ΧΩ τῆς ΦΟ, 1 
δὲ ΦΟ τῆς ET: ἐν τιλείονε ἄρα χρόνῳ τὸ Ὡ τὴν 4 Χ δι-ῦ 
ἔξεισιν ἤπερ τὸ Ο τὴν OO, καὶ τὸ Ο τὴν ΟΦ ἤπερ τὸ Ξ 
τὴν HT. ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν τὸ Q τὴν OX, ἐν τούτῳ ἡ OH 
περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν ᾧ δὲ τὸ Φ τὴν ἴσην τῇ ΦΟ, ἡ 
OQ ἀνατέλλει, ἐν ᾧ δὲ τὸ A τὴν ἴσην τῇ ΤΈ διέξεισιν, 





ἐν τούτῳ ἡἣ EO περιφέρεια ἀνατέλλει: ἐν πλεέονε ἄραι 
χρόνῳ ἡ μὲν HO τιεριφέρεια ἀνατέλλει τῆς QO ττιεριφε- 
θείας, ἡ δὲ OO τῆς OX ἀνατέλλει. ἀλλ᾽ ἐν ἴσῳ χρόνῳ 


. ἑχάστη τῶν HO Ω0 ΟΞ ἕχαστῃ τῶν BM ΜΙΝ ΝΞ ava- 


3. ἄρα om. Co, γὰρ fortasse voluit interpolator 4, τῆς ΦΟ Co* 
pro τῆς ΦΘ 5. τῆς (ante ET) Hu pro τῆι τὸ 12] scribi oporte- 
bat τὸ X 6. τὸ ΟἹ oportebat τὸ 4» utroque loco 7. τὸ 2] opor- 
tebal τὸ X 8. τὸ Φ]) τὸ O Co inv τῇ om. Co, item proximo 
vs. 9. τὸ A] oportebat τὸ T 12. ἀνατέλλει ipse Pappus hoc loco 


non repetivisset 43. OX (ante ἑχάστη) Co pro OGX 


LIBER VI. PROPOS. 57. . 607 


Similiter demonstrabimus aequalium circumferentiarum se- 
micirculi qui post capricornum est eam quae hiemali contactui 
tropici est. propior maiore tempore oriri quam illam quae re- 
molior est). 

[Similiter ea quae in quadrante 55 contingunt demon- 
strabuntur. Sed oriri etiam f maiore tempore quam »u, et 
γᾷ maiore quam ὧν, sic demonstrabitur. Similiter ac 85 etiam 
quadrans $5 in aequales partes secetur in punctis o ὦ, et 
per polum α ac puncta o ὦ describantur maximi circuli «ot 
«cL. lam similiter ac supra cireumferentia 9v. demonstra- 
bitur maior esse δὰ quae ipsi vz similis est?2), et vr maior 
eà quae ipsi τ similis?); ergo χω maior est δὰ quae ipsi 
qo similis, et go maior eà quae ipsi τῷ similis est; itaque 
maiore tempore punctum ὦ circumferentiam «X percurrit 4) 
quam o ipsam og, et o maiore ipsam og quam $£ ipsam ἔξ. 
Sed quo tempore ὦ circumferentiam wy percurrit, eodem 
ipsa w* oritur, et quo y eam quae ipsi go aequalis est per- 
currit5), eodem «o oritur, et quo 5 eam quae ipsi τὸ ae- 
qualis est percurrit , eodem £o oritur; ergo maiore tempore. 
circumferentia nw quam «oco, et maiore ipsa «o quam o£ 
oritur. Sed aequalibus temporibus oriuntur y€ ac uf, «wo 


4) Ex scriptoris verbis quae cap. 114 sequuntur colligitur hoc loco in 
Graeco contextu aut talia fere qualia supra inseruimus aut plenam demon- 
strationem similem illi quae statim antecedit casu infelici periisse. Quam 
lacunam, ut equidem existimo, postea explere conatus est interpolator 
quidam, qui insulse admodum ea composuit, quae supra uncis notavimus. 


4) Sic ad verbum convertimus ea Graeca quorum structura redit ad 
schema zregupépeie περιᾳ ἐρεέας {είζων ἢ ὁμοία, velut Autolycus libro de 
sphaera quae movetur propos. 9 ἡ ΓΖ περιφέρεια τὴς EH περιφερείας 
μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία, et λοιπὴ ἡ ΖΘΓ λοιπῆς τῆς KE ἐλάσσων ἐστὶν Ἶ 
ὁμοία, aliaque similiter scripsit (conf. indicem sub ὅμοιος et ὁμοιότης). 
Verum interpolator quid in hac demonstratione eo dicendi genere efficere 
voluerit, non satis liquet. 

8) Sequuntur in Graecis pauca verba, quorum sententia est "et pa- 
: rallelorum igitur maximo circumferentiae " , quae corrupta esse apparet. 
Fortasse interpolator dicere voluit "nam hae circumferentiae in maximo 
parallelorum abscissae sunt secundum propos. 24 huius libri". . 

4) Oportebat, nisi fallor, scribi "punctum x cireumferentiam ye", et 
similiter in proximis. Redit tamen idem dicendi genus infra cap. 423 sq. 

5) Quidni brevius et aptius "q ipsam qo percurrit", id quod etiam 
Commandinus praetulit? 


608 IIAIIIIOY ZYNATOTH2 C. 


τέλλει (ἡ μὲν HO τῇ BM, ἡ δὲ 9O τῇ MN, ἡ δὲ EO τῇ 
ΝΕ. τοῦτο γὰρ καὶ ἐν τῷ στοιχείῳ δέδεικται) " ἀνατέλλει 
Pd δ, J / € , 2 J € uw] 
ἄρα ἕν πλείστῳ χρόνῳ ἡ MB, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ ἡ NA.) 

114 vc. Δέδειχται μὲν ὅτε τοῦ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμιχυ- 
κλίου τῶν ἴσων περιφερειῶν 7) ἔγγιον τῆς ϑερινῆς συναφῆς ὃ 
τοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει, τοῦ 
δὲ μετὰ τὸν αἰγόχκερω ἡμικυκλίου τῶν ἴσων περιφερειῶν 
ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ ἔγγιον τῆς χειμερινῆς συνα- 
φῆς τοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον. εἰ δέ τις ἐπιζητοίη εἰ 

' 3: 02 » , et 2 , / 2 / 
x«i τὸ ἀνάπαλιν γίνεται ὥστε ἐν πλείονι χρόνῳ αἀνατέλλειν VM 
τὰς ἐν τῷ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίῳ ἴσας περιφερείας 
αἰεὶ τὰς ἔγγιον τῆς ἀπώτερον τῆς ϑερινῆς συναφῆς τοῦ 
τροπιχοῦ, τοῦτο δή, ῥητέον, οὐκ ἐν πάσῃ οἰκήσει συμβαί- 
νειν [τοῦτο] δυνατόν ἐστιν. δειχϑήσεται γὰρ ἐπί τινων 
ς , , M] , 3 H 2 , " 
ὁριζόντων παρϑένος μὲν λέοντος ὀρϑοτέρα ἀναφερομένῃ, 1: 
2 /, M] [4 , , 3 , Ld 3 , 
ἀνάπαλιν δὲ ὃ λέων παρϑένου ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλ- 
λων, καὶ λέων μὲν καρκίνου ὀρϑότερος ἀναφερόμενος καὶ 
ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλων. - 





115 ὋὍτι μὲν οὖν ἐν παντὶ χλίματι, ὅπου ἀνατολαὲ xai 
δύσεις εἰσὶν τοῖς ιβ' ζῳδίοις, ὀρϑοτέρα ἀναφέρεται λέον- 20 
τος παρϑένος, δειχϑήσεται οὕτως. 

Ἔστω ὁρίζων ὁ ΑΒΓ, ϑερινὸς δὲ ὃ ΖΉ, καὶ ἐπὶ μὲν 


LIBER VI. PROPOS. 58. 609 


ac μν, 5o ac »$, sicut in elemento demonstratum est5) ; ma- 
ximo igitur tempore L8, minimo »$ oritur.] 


LVI. Itaque demonstratum est primum: aequalium cir- 
cumferentiarum semicirculi qui post cancrum est eam quae 
aestivo contactui tropici est propior maiore tempore occidere 
quam illam quae remotior, tum: aequalium circumferentiarum 
semicirculi qui post capricornum est eam quae hiemali con- 
taetui tropici est propior maiore tempore oriri quam illam 
quae remotior est. lam si quis insuper quaerat, fiatne etiam 
contraria ratione, ut aequalium circumferentiarum semicirculi 
qui post cancrum est eae semper quae aestivo contactui tro- 
pici propiores sunt maiore tempore oriantur quam remotiores, 
hoc quidem dicamus non in omni habitatione posse contin- 
gere. Nam demonstrabimus in quibusdam horizontibus vir- 
ginem rectiorem ascendere quam leonem, et contra leonem 
maiore tempore oriri quam virginem, et leonem rectiorem 
ascendere ac maiore tempore oriri quam cancrum. Sed 
in omni climate, ubi duodecim signis ortus et occasus Prop. 
est, virginem rectiorem ascendere quam leonem 3s 
sic demonstrabitur ἢ). 
Sit horizon αβγ, et aestivus tropicus óy, qui in primo 


6) Recte Commandinus adnotat verbis ἐν τῷ στοιχείῳ Euclidis phae- 
nOmena designari. Quod mirum videtur; sed nos interpolatori quidem li- 
benter id concedimus. Qui si eam phaenomenon formam, quae nunc ex- 
Stat, in manibus habuit, theorema XII, at certe invito Pappo, citare po- 
tuit;' si non, obscurum admodum est, quod ad theorema provocaverit. 


1) Figuras ad similitudinem earum quae in codicibus exstant, quam- 
VI$ diu dubitassemus, describi necesse fuit, quoniam alia forma nulla 
Cum verbis scriptoris congruere visa est. 


—— ———— 


3. πλείστωι AB, πλείονι S cod. Co post πλεέστῳ addi oporte- 
bat μὲν  ροβί ἡ MB add. ἐν ἐλάσσονι δὲ ἡ MN Co 4. Ng A 
in marg. (BS) δ. ἔγγειον et 8. 12. &yyewov. À, corr. BS 14. τοῦτο 
del. Hy, 45. ὀρϑοτέραν A, sed ν deletum 46. παρϑένοι' Hu auc- 
Wre Co pro παρϑένωι 47. ὀρϑότερον ABS, corr. Hu 20. ζωιδίέοις 


A, ζωδίοις BS 22. ὁ 4BK ABS, corr. Co (nisi forte 4BI'K Pappus 
Scripsit) 


610 HIAHIIOY XYNATOTHS c. 


τῆς α΄ πτώσεως ἐφαπτέσϑω τοῦ ὁρίζοντος, ἐπὶ δὲ τῆς δ' 
πτώσεως τεμνέτω τὸν ὁρίζοντα, πόλος δὲ αὐτοῦ ἔστω τὸ 
Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ καὶ τῶν τοῦ ὁρίζοντος πόλων μέγιστος 
κύκλος γεγράφϑω ὃ HOE: ἔσται ἄρα μεσημβρινὸς καὶ ὁρ- 
ϑὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα [διὰ γὰρ τῶν πόλων αὐτοῦ ἐστιν 
γεγραμμένος]. γεγράφϑω δὴ xai διὰ τοῦ 4 ζῳδιαχὸς κύ- 
xÀog 6 BAT, καὶ ἔστω ὁ ΒΓ ἰσημερινὸς κύκλος [ὡς xci 
ἔστιν). ἐπεὶ οὖν οἱ 4H ΒΑ͂Γ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ 
δὲ τῆς ἁφῆς τοῦ 4 καὶ τῶν πόλων τοῦ ἑνὸς τοῦ AH [τοῦ 
ΘῚ γέγραπται μέγιστος χύχλος ó μεσημβρινὸς ó HOAE, 
xci διὰ τῶν τοῦ ἑτέρου πόλων τοῦ BAT ἥξει καὶ ὀρϑὸς 
ἔσται πρὸς αὐτόν, ὥστε καὶ ὃ ζῳδιακὸς ὀρϑὸς ἔσται πρὸς 
τὸν μεσημβρινόν" καὶ διὰ τῶν πόλων ἄρα. [ἔσειν δὲ καὶ 
ὃ. ὁρίζων καὶ ὃ ἰσημερινὸς διὰ τῶν πόλων τοῦ μεσημβρι- 
νοῦ, ὥστε καὶ ἣ κοινὴ τομὴ τῶν τριῶν κύχλων, ὁρίζοντος, 
ζῳδιακοῦ, ἰσημερινοῦ, τὰ B Γ σημεῖά ἐστιν xarà. διάμετρον 
110 ὄντα, ὥστε ἰσημερινός ἐστιν ὁ ΒΓ κύκλος.) διῃρήσϑω ἡ 
AT εἰς y ἴσα κατὰ τὰ Z M, διὰ δὲ τῶν Z M κύχλοι. 
παράλληλοι γεγράφϑωσαν οἱ ΑΖΚ΄.1Π10: ἔστιν ἄρα χκαρ- 
κίνου μὲν δωδεκατημόριον τὸ 4Z, λέοντος δὲ τὸ ΖΗ, παρ- 
ϑένου δὲ τὸ MT. ὕταν μὲν δὴ ἣ MI ἀνατέλλῃ, ὃ ζῳδια-- 
κὸς ἕξει ϑέσιν τινά" ἐχέτω τὴν ΠΝΞ. ὅταν δὲ 5 ZMD 
ἀνατέλλῃ, ὁ ζῳδιακὸς ϑέσιν ἕξει τινά" ἐχέτω τὴν PKO. 
διὰ δὴ τὸ ἐν τῷ Ü' τῶν σφαιριχῶν Θεοδοσίου κα' ϑεώ-- 


4. πτώσεως add. Hw auctore Co — 3. τὸ S, om. ΑΒ 5. 6. due 
γὰρ — γεγραμμένος addidit interpolalor, Theodosii sphaer. f propos. f& 
huc pertinere significans — 6. ζωιδιαχὸς A, ζωδιαχὸς BS, ilem posl— 
hae cap. 445—149 7. 8. ὡς χαὶ ἔστιν inlerpolatori tribuit Hw 
8. BAT Co pro BT φ. ἀφῆς AB, corr. 8 (eadem seripturae varietas 
redit p. 616, 2; sed ἀφὰς etiam AB exhibent p. 544, 23) 9. 40, τοῦ! 
6) si ipse Pappus seripsisset, non antea posuisset pluralem τῶν πόλων, 
40. ὁ HO 4E A, coniunx. BS 43. ἔστιν --- 47. χύχλος interpolatort- 
tribuit Hu — 16. τὰ BT A, distinx. BS — 48. γΊ B AIB), dia S cod. 
Co, τρέα Co τὰ ZM — τῶν ZM 5, distinx. BS 30. δωδεχάτη. 
μόριον A, coniunx. BS, item p. 642, 5 94. B A, δευτέρῳ BS 
KA AB, εἰκοστὸν πρῶτον S, κβ' voluit Co é 











LIBER VI. PROPOS. 58. 611 


»asu horizontem tangat, in secundo autem horizontem secet, 
et polus eius 2, et per 9 ac polos horizontis maximus cir- 
culus ηϑὲ describatur; hic igitur et meridianus erit et ad 
horizontem perpendicularis (Theodos. sphaer. 1, 15).  Descri- 
batur etiam per ὃ zodiacus βδγ, sitque f circulus aequi- 
nocalis. lam quia circuli δὴ fóy se invicem tangunt, et 





€ 


per contactum d ac polos unius, scilicet δη, maximus eircu- 
lus meridianus ηϑὸδε descriptus est, hie etiam per polos al- 
terius, videlicet fy, transibit (sphaer. 2, 4) ad eumque per- 
Pendieularis erit (ibid. 4, 15); quare etiam zodiacus ad me- 
rilianum perpendicularis erit; itaque etiam per polos eius 
transibit. [Sed etiam horizon atque aequinoctialis per polos - 
Wéridiani transeunt; ergo in communi gectione trium circu- 
lorum, horizontis, zodiaci, aequinoctialis, sunt puncta 6 », 
*àque secundum diametrum opposita; quapropter 8» re vera, 
3Cul αὖ initio supposuimus , aequinoctialis circulus est.] Di- 
"datur quadrans Óy in tres partes aequales in punctis ζ μ, 
Pér quae circuli paralleli aZx Auo describantur; cancri igitur 
Signum. obtinebit cireumferentiam óC, leonis Cu, virginis uy. 
3 si circumferentia py orietur, zodiacus positionem quan- 
am habebit: habeat eam quae ἐπὶ figura significatur circum- 
f'rentjá, z:y5 ; et si ζμ orietur, zodiacus aliam quandam posi- 
Uonem habebit: habeat ipsam xo. Ergo propter Theodosii 
Sphaericorum /ibri Il thcorema 21") zodiacus, cum positionem 


*) In ea Theodosii sphaericorum forma, quae ad nostram aetatem per- 
Venit, est theorema vicesimum secundum, ac similiter illud duodecimum, 
Quod. Pappus paulo pest citat, in nostris editionibus 680 decimum tertium. 


612 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ ς. 


ρημα ὀρϑότατός ἐστιν, τουτέστιν μετεωρότατος [ὃ BAT 
πρὸς τὸν ὁρίζοντα, ὃ ζῳδιακὸς ϑέσιν ἔχων τὴν BAT, ale 
δ᾽ ὁ ἔγγιον τῆς 4 συναφῆς τῆς ϑερινῆς τῆς ἀπωώτερων 
ἧσσον κέκλιται" ὀρϑότερος ἄρα ἐστὲν ὃ ΠΝΞ τοῦ PKO. 





ce 


καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν NA δωδεκατημόριον ἀνατέλλει, ὅ ἔστιν τῆς 9 
E ^ L] 
παρϑένου, τοῦ ζῳδιακοῦ ϑέσιν ἔχοντος τὴν ΠΝΞ,, τὸ dé 
ΚΟ. ἀνατέλλει, ὅπερ ἐστὲν τοῦ λέοντος, τοῦ ζῳδιακοῦ 3E 
σιν ἔχοντος τὴν PKO, ὀρϑοτέρα ἄρα ἢ παρϑένος àvagt 
. » Σ A 
ρεται λέοντος imi τούτων τῶν οἰκήσεων, ἐφ᾽ ὧν πάντα τὰ 
- -- ^ A 

117 μέρη τοῦ ζῳδιαχοῇ ἀνατέλλει τε xai δύνει. καὶ φανερὸν Ἐ' 
ὅτι oi ϑέσεις τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου ὀρϑῶς ἔχουσιν τῷ d 
τοῦ β΄. ὅμοιαι γάρ εἰσιν αἱ περιφέρειαι αἱ ALII ZZ MN 
ΓΞ, καὶ ἴσαι αἱ ΠΣ ΡΚ ΣΝ ΚΟ, ὥστε στρεφομένης τῆς 
, ^w ΄- -- , 
σφαίρας ἁρμόζειν ἐν ἴσῳ χρόνῳ [τῷ αὐτῷ] τὰ σημεῖα ἐπί 

τὰ σημεῖα, καϑ᾽ ὃ καὶ ἐν τῷ περὶ κινουμένης σφαίρας! 
δείκνυται, καὶ τὰς μεταξὺ περιφερείας ἴσας ἐπὲ τὰς ἴσας 
* M , ς “ ^ ; 28 
[καὶ μεταξὺ περιφέρεια ὁ τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου]. δεῖ δὲ 
^ » - 2 / N / Y ^v 3 
τὴν ἴσην τῇ MI avavéAAovoav μεταξὺ πάλιν εἶναι τῶν av- 

^ ’ , € ^ 3 M C 3 €* 

τῶν παραλλήλων, διότι ἡ τῆς MTI' ἀναφορὰ ἡ αὐτὴ Aap- 

βάνεται τῇ ΝΞ οὐ προοδεύεται δὲ τὸ ϑεώρημα τοῦτο οὐχ- Ὁ 


4. 2. aut τουτέστιν — ὁρέζοντα, aut saltem ὁ ΒΖΓ add. interpolator 


LIBER VI. PROPOS. 58. 613 


βὸγ habebit, rectissimus erit, id est maxime sublimis ad ho- 
rizonlem, et in ea semper posilione, quae propior est aestivo 
contactui δι minus erit inclinatus?) quam ?n ea quae a con- 
laciu ὃ remotior est; itaque circulus zr»$ rectior est quam 
(xo. Et quia signum γνῷ, quod est virginis, oritur zodiaco 
positionem zz»& habente, et xo, quod leonis est, oritur zo- 
diaco positionem Qxo habente, rectior igitur virgo leone as- 
cndit in iis habitationibus, in quibus omnes zodiaci partes 
oriuntur atque occidunt. Et positiones zodiaci, quemadmodum 
descripae sunt, recte se habere manifestum est ex sphaeri- 
crum libri ll theoremate 19**). Nam circumferentiae àz L6 
μν γξ similes, et π΄ ox ov xo aequales sunt; itaque in con- 
versione sphaerae aequali tempore puncta zr o » ὃ cum punc- 
lis ὃ ζ μ᾽ y congruunt, sicut etiam Autolycus in libro de sphaera 
quae movetur demonstrat?), et aequales cireumferentiae enfer 
parallelos interiectae cum aequalibus. Circumferentiam autem 
Hy, cum oritur, rursus inter eosdem parallelos esse propterea 
necesse est, quia ascensio circumferentiae uy eadem sumitur 
atque ipsius »$; neque vero theorema procedit in maiore ele- 

4) Id est. "planum zodiaci cum horizontis plano maiorem angulum 
efficiet". Eodem igitur sensu ἧσσον xéxArros Pappus scripsit, quo Theo- 
dosius |, c. eum circulum, qui minorem angulum cum plano alterius 
efficit, μᾶλλον χεχλιμένον vocat. |n definitionibus Euclides elem. 14 
def. 7 et Theodosius sphaer. 4 def. 6 nihil nisi quid sit ὁμοέως χεκλί- 
σϑαι exponunt. 

**| In nostris Theodosii editionibus est theorema tertium decimum. 
Conf. supra adnot. *. 

, ἢ) Propos. 2: ᾿Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς 
ἄξονα͵ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανεέας τῆς σφαίρας σημεῖα ἐν τῷ ἴσῳ 
χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διεξέρχεται τῶν παραλλήλων χύκλων 
χαϑ' ὧν φέρεται, et idem media in demonstratione: λέγω οὖν ὅτι ἐν 
ἰσῳ χρόνῳ τὸ I σημεῖον ἐπὶ τὸ E παραγίγνεται καὶ τὸ 4 ἐπὶ τὸ Z etc. 


3.6 BS, om. A. 8. ἔγγειον A, corr. ΒΒ 5. ἐπεὶ add. Hu 8. 7 
8, om. AB 4. 49. τῶι ÍB τοῦ B A, τῷ (f τοῦ β' B(S), τῷ ιγ΄ τοῦ 
f voluit Co 14. τῷ αὐτῷ om. Co 16. 47. ἴσας ἐπὶ --- περιφέρεια 
add. A? in marg. (BS) 47. καὶ μεταξὺ --- χύχλου tribuit Hu inter-- 
polatori, qui haec scribere voluerit: τοῦ ζῳδιαχοῦ τὰς μεταξὺ τῶν 
παραλλήλων —— 0] ἡ coni. Co e| 


^ 


614 IIATITIOY ZYNATOTHS c. 


ἔτι ἐν μείζονι ἐξάρματι, ὅταν ὃ ὁρίζων μειζόνων ἐφάπτη- 

ται ἢ ὧν ὃ ζῳδιακὸς ἐφάπτεται. 

118 X. Ἔστω δὲ νῦν τοὺς ὁρίζοντας εὑρεῖν τῶν οἰκήσεων, 
ἐν οἷς τὰ ὀρϑότερα ἀναφερόμενα τοῦ ζῳδιακοῦ δωδεκατη- 
μόρια ἐν ἐλάσσονι χρόνῳ ἀνενεχϑήσεται τῶν πλαγεωτέρων" 
ἀναφερομένων. 

Ἐχχείσϑω μέγι- 
στος χύχλος ὃ 48- 
ΓΔ, δρίζω» διὰ τῶν 
πόλων τῶν παραΐ- M 
λήλων, καὶ ἔστωσαν 
πόλοι τὰ ΑΓ T, καὶ 
δι᾿ αὐτῶν μέγιστος 
ὁ ΑΘΙΓΓ, τουτέστι» 

μεσημβροινός, καὶ 
ἔστω ϑερινὸν μὲ» 
ἡμικύκλιον τὸ EHE, 
χειμερινὸν δὲ τὸ ΚΖ » 
ζῳδιακοῦ ϑέσις 0r 
μὲν ἡ ΕΘΖ, ó1à δα 
7 ἡ HOK, ἀνατολικῶ» 
ὄντων μερῶν τῶ» 
πρὸς τοῖς Η 4 Ζ, καὶ διῃρήσϑω τὸ ΕΘ τεταρτημόριον ες 
τὰ ζῴδια χατὰ τὰ Δ M λέγω ὅτι ὀρϑοτέρα ἡ Νθ τῆς AM. 
ἀναφέρεται. 

Ἐπεὶ γὰρ ὁ δρίζων ἐστὶν διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας» 
τουτέστιν τοῦ ἰσημερινοῦ, ὀρϑύς ἐστιν πρὸς τὸν αὐτόνσ 
ὥστε xal ὃ ἰσημερινὸς ὀρϑός ἐστιν τῷ δρίζοντι" καὶ διε 
τῶν πόλων ἄρα τοῦ ὁρίζοντός ἐστιν ὃ ἰσημερινός. Port? 
δὲ καὶ ὃ μεσημβρινὸς διὰ τῶν πόλων τοῦ δρίζοντος, ὥσεϑδ 3 
3? κοινὴ τομὴ τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ “μεσημβρινοῦ εἰσιν ot 
πόλοι τοῦ ὁρίζοντος. καὶ ἔστιν ὃ μὲν ἐσημερινὸς φερόμε- 
γος ἀεὶ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος, ὁ δὲ ζῳδιακὸς χατὰ 
δύο σημεῖα μόνα [κριοῦ ἀρχὴ καὶ ζυγοῦ] δεὰ τῶν κοινῶν 
τομῶν τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ μεσημβρινοῦ, ὥστε καὶ ἡ dn0* 
τοῦ ὑρίζοντος ἐπὶ τὸν πόλον περιφέρεια τεταρτημορίου 





LIBER VI. PROPOS. 59. 615 


vatione, cum horizon maiores circulos tangit quam quos 20- 
diacus tangit. 

LVII. Nunc autem horizontes earum habitationum inve- 
Dniantr, in quibus zodiaci signa, quae rectiora ascendunt, 
minore tempore oriantur quam quae obliquiora ascendunt. 

Exponatur maximus circulus ajyÓ, qui sit horizon per 
polos parallelorum íransiens, et sint poli ἃ y, per quos maxi- 
mus cireulus, id est meridianus, a3» describatur, sitque &7 
semicirculus aestivi tropici, x5 hiemalis, et zodiaci positio sit 
inMerdum 69ζ, interdum 53x, ac partes orientales sint ad 
puncta ἡ ὃ ζ, et dividatur quadrans ε8 in (res aequales par- 
les, i. e. tria zodiaci signa, in punctis À μι; dico circumferen- 
üm μ9. rectiorem ascendere quam λμ ἢ). 

Nam quia horizon per polos sphaerae, id est per polos 
dreuli aequinoctialis, transit, perpendicularis igitur est ad eun- 
dem (itaque aequinoctialis ad horizontem perpendicularis est] ; 
ergo aequinoctialis etiam per polos horizontis transit. Verum 
eliam meridianus per polos horizontis transit; itaque commu- 
his sectio circulorum aequinoctialis et meridiani est ea recta 
(We per polos horizontis ducitur [et aequinoctialis quidem 
Semper per polos. horizontis fertur, zodiacus autem in duobus 
ntum punctis per communem sectionem aequinoctialis et 
Déridiani transit]; ergo ab horizonte ad polum est cireum- 

* Haec extrema, ut in Graecis significavimus, nostra coniectura 
|ddidimus, Omnino hinc incipit latissima genuinae scripturae corrup- 
tela, cum et interpolata nonnulla et alia aliis rationibus depravata sint. 
Quae nos, partim Commandino auctore, utcunque in Latinum sermo- 


lém convertimus, Graeca autem, quae probabili coniectura sanari non 


Pessent, intacta relinquere quam temere immutare maluimus. 
-Ἤ M——À 


. 8. ΝΖ At in marg. (BS) 8. 9. ὁ 4B4 ABS, corr. Co 48. τὰ 
4T' A, distinx. BS $4. ἡ HO ABS, corr. Co 38. τοῖς H4Z 
À, distinx. BS τετάρτη μόριον À, coniunx. BS 24. τὰ ζωιδια Α, 
τὰ ζῴδια BS, τρέα ἴαα coni. Hw. κατὰ add. Co τὰ 4M ^, 
üisting, BS 24. 95. λέγω — ἀναφέρεται add. Hu 48. ὥστε — 
ἴοντε propter ταυτολογέαν suspecta videntur 34. χριοῦ — (v^ 

iMerpelatori tribuit Hw (& ἔστεν χριοῦ etc. voluit Co) διὰ Co pr 

V τεεάρτη, μορέου A, coniunx. BS, item p. 646, 8 init. 


616 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTH2 c. 


[μοιρῶν Cy]. xei ἔστιν ἐπὶ τοῦ ὑρίζοντος τὰ EH K Z 
ὄντα τῶν ἁφῶν σημεῖα τῶν τροπικῶν imi τὸν μεσημβρινὸν 
τεταρτημορίου, ὥστε τὸ τεταρτημόριον τὸ ἀπὸ τῶν ΕΗ 
K Ζ ἐπὶ τὸ τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ 
[19 καὶ τοῦ πόλου τοῦ δρίζοντος κοινὸν σημεῖον τὸ Θ. xoi5 
διὰ τῶν Δ M Θ παράλληλοι κύκλοι γεγράφϑωσαν οἱ ΜΝ 
MA BOA4: ἔσται δὴ 0 BOA ἰσημερινός, ὡς προείρηται. 
γεγράφϑωσαν διὰ τοῦ ΑἹ πόλου καὶ ἑκάστου τῶν 4 M 
Ν μέγιστοι κύχλοι οἱ ΑὉ ΑΠΠ ΑΡ ΑΑΣ. καὶ ἐπειδὴ τῷ 
ιβ΄ τοῦ β' τῶν σφαιρικῶν ἴσαι εἰσὶν αἱ ΕΖ HN καὶ 4MWw 
ΝΞ, καὶ αἱ MO ΞΘ, διήρηνται δὲ ἴσαι, εἰς τὰ ζῴδια εἰ- 
σιν διαιρεϑεῖσαι καὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ ἔστιν τὸ Ε 
καρκίνου O ἡγούμενον τοῦ ἡμικυκλίου, χαὶ τὸ H καρκίνου 
Ο ἑπόμενον τῷ ἡμικυκλίῳ, wore τὰ μὲν Δ  Θ .9u- 
pela ἕπεται τῷ E, τὰ δὲ ΝΞ O ἡγεῖται τοῦ H, ὥστε 1Ὁ 
εἶναι τὰ ὁμόζωνα ζῴδια καὶ εἶναι τὸ Θ σημεῖον κριοῦ 
Ο κατὰ τὸ H καὶ ζυγοῦ Ο κατὰ τὸ E. μείζων ἄρα ἐσεὶν 
ἡ μὲν ΒΟ τῆς ΟΠ, ἡ δὲ ΟΠ τῆς ΠΘ, ὁμοίως δὲ καὶ ἡ 
μὲν 4Z τῆς ΣΡ, ἡ δὲ ΣΡ τῆς ΡΘ' ἔσται ἄρα ἣ ΟΘΣ τῆς 
ΠΘΡ μείζων ἢ διπλῆ, τουτέστιν τῇ ὁμοιότητι ἡ ΖΝ τῆς 
MA. ἔστω δὴ τῆς M διπλῇ τῇ ὁμοιότητι 7) “Φ, διὰ 
δὲ τῶν Φ Θ μέγιστος κύκλος γεγράφϑω ὁ ζΦΘΟ,.. ἔσται 


Dui 


4. 4G A(B), μοιρῶν ἐννενήχοντα S, interpolatori tribuit Hu 
τὰ à EH KZ AB Paris. 2368, distinx. S 2. ὄντα σημεῖα τῶν τροπικῶν, 
ἀφ᾽ ὧν ἐπὶ τὸν eic. coni. Co ἀφῶν S, ἀφῶν A, ἀφ᾽ ὧΒ δᾶ. ὥστε 
τὸ) ὥστ᾽ ἔστιν coni. Hu auctore Co τετάρτη μόριον A, coniunx. BS 
τὸ (ante ἀπὸ) A? pro τὸν 3. 4. τῶν EH KZ ABS, distinx. Hu 
6. τῶν 41M O A, distinx. B (τῶν 4 8 u S) 6. 7. οἱ .4M NX ABS, 


corr. Co 7. δὴ ὁ BOA ABS, corr. idem 8. 9. τῶν .1M ΝΕ AB, 
distinx. S, corr. Hu 9. 40. x«l ἐπεὶ διὰ τὸ δωδέκατον Hu 40. 18 
τοῦ B A, iB τοῦ β' B, ϑωδεκάτῳ τοῦ δευτέρου S, “γ΄ τοῦ β' voluit Co 

44. 42. διήρηται δὲ εἰς ἴσα ἡ EO, xol ἡ ΗΘ ἄρα εἰς τὰ ζῴδιά ἐστιν 
διαιρεϑεῖσα, καὶ ἔστιν τὸ E etc. coni. Hu 41. ζώιδια εἶσιν A, Qoia 
εἰσὶ ΒΒ 48. 44. 0 — O ABS, ἀρχόμενον coll. cap. 427, vel ἀρχτιχὸν 
coll. cap. 424 coni. Hu, item paulo post vs. 47 4^4. ToU ἡμιχυχλίου 
ABS, corr. Hw auctore Co 44. 45. τὰ uiv 44MO — τὰ δὲ NEO A, 
distinx. BS 46. εἶναι τὰ] εἶναί τινα vel εἶναι ς΄ coni. Hu ζωιδια 





LIBER VI. PROPOS. 59. 617 


ferentia quadrantis. Et sunt in horizonte tropicorum puncta 
& 7 X* & [|a quibus ad meridianum est quadrantis cireum- 
ferentia]; ergo quadrans est a punctis & ἡ x ζ ad 9 com- 
mune punctum aequinoctialis circuli et meridiani, quod idem 
horizontis .polus est. 
lam per ἃ μ 9 de- 
scribantur circuli pa- 
ralleli ἂν μὲ 838; 
ergo 930 aequinoc- 
tialis erit, ut supra 
diximus. Porro per 
polum « ac singula 
puncta À μ 5 » de- 
scribantur — maximi 
circuli «o or ep oc. 
Et quia propter /heo- 
rema 19 ἢ Jibri WM 
sphaericorum est &À 





7 πε n, οἱ Au -ΞὸΞ νξ͵ 
| et μϑ — 59, atque 
ec constructione quadrans &9. in punctis ἃ uin. aequales 


Par Les divisus est, quadrans etiam ηϑ in tres aequales 
par-4 es, i. e. iria signa divisus est [et est & principium 
ἍΤ «-crj praecedens semicirculum, et ἢ principium cancri se- 
miC€- greulum sequens, quapropter puncta À 4 9 ipsum ε se- 
qu&mmtur, et 9 5 » ipsum ἡ praecedunt; itaque bina signa 
SUT* €, in eadem zona, et punctum 4 arietis principium est 
Ve": us », idemque librae principium versus e]. Ergo est 
βο — onc σε, ac similiter do ?» og ?» o9 (supra propos. 21, 
The e dos. sphaer. 5, 6) ; itaque 090 *» 27:99, id est simili- 
(ΟΝ g pe 2, Ὁ 2u5. Sit similitudine λῳ — ἃ μξ, et per y 9 
dess «-ribatur maximus cireulus c9; hic igitur ad horizon- 


Co ?"* In nostris Theodosii editionibus est theorema tertium decimum. 
UR ἘΠ᾿ supra p. 614 adnot. *. 
--τ-ο-.-. 


ΤᾺ ΕΞ 806.) A, ζώδια BS 47. ζυγοῦ AS, συζύγου B cod. Co 19. ἡ 
ε «1 ἰῆς CO A'S, corr. Β 99. τῶν «^6 A, distinx. BS 
JPsppus II. 40 


618 ΠΑΠΠΟΥ͂ 3TNATOTHS c. 


δὴ οὗτος ὀρϑὸς τῷ A4BI'A ὁρίζοντι (τὸ yàg O ἐσεὶν πό- 
Aog τοῦ Bgltovrng)." 

120 “Ἰέγω οὖν ὅτι, ἐὰν ὁρίζοντα OSA DURO ἤτοι τὸν 
CO00C ἢ τὸν ΗΘΚ (ὃς ἐφάπτεται τοῦ EH ϑερινοῦ τρο- 
πικοῦ ἐν τῇ μεταξὺ τῶν € H πιπτούσῃ οἰκήσει), δειχϑή-" 
σεται παρϑένος λέοντος ὀρϑοτέρα ἀναφερομένη, ἐν "Buh 
δὲ χρόνῳ παρϑένου λέων ἀνατέλλων. 

Ἐπείπερ [ἐν πλείονι χρόνῳ] ὑπεστησάμην owes 
τοιοῦτον μὴ μειζόνων ἐφατιτόμενον ἤντερ εἰσὶν οἱ τροπιχοὶ 
κύκλοι, φανερὸν οὖν ὅτι διὰ τὸ προαποδεδειγμένον τεαρ-᾿ 

121 ϑένος λέοντος ὀρϑοτέρα ἀνενεχϑήσεται. ὑποχείσϑω πρό- 
τερον ὃ ΗΘΚ ὁρίζων, καὶ ἔστω αὐτοῦ ἀνατολιχώτερον 
ἡμικύκλιον τὸ ΗΘΚ, τοῦ μεσημβρινοῦ ὄντος τοῦ Α(ΒΓΑ͂ 
ἐρϑοῦ τοῖς παραλλήλοις καὶ τῷ ΗΘΚ' ἀρχεικὸς ἄρα τοῦ 
HOK ὁρίζοντος ὁ EH ϑερινὸς τροπιχός. καὶ ἔσται καρ- 
xivov μὲν δωδεκατημόριον τὸ Ε.1, λέοντος δὲ τὸ 4M, 
παρϑένου δὲ τὸ MO* ὀρϑοτέρα ἄρα ἡ MO τῆς 4M ἀνα- 
φέρεται. 

122 «Ἱέγω ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ ΑἹ τῆς 
MO. 

Ἐπεὶ yàg δέδειχται μείζων ἢ διπλῆ τῇ ὁμοιότηκι ἡ 
^N τῆς ME, καὶ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ 24 τὴν «ἽΝ διεξελή- 
ÀvS9ev, ἀνατέλλει ἡ .10 (τοῦ γὰρ «1 ἀρξαμένου ἀπὸ τοῦ 
Ν ἀνατολῆς ὑρίζοντος διαπορεύεσθαι τὴν ΝΑ͂, ἡ 4€) ἀν- 
ἐνεχϑήσεται" ἔστιν γὰρ τὸ O ἐν τῇ ἀνατολῇ τοῦ ὁρίζοντος), 
ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ M τὴν EM διαπορεύεται, ἀνατέλλει ἣ 


4. οὗτος Bj, ovrog A, οὕτως S τῶι AB ΤῊ Δ, coniunx. BS. 
5. τῶν zIl A, distinx. BS 6. ὀρϑοτέρα Hu auctore Co pro ὄρϑο- 
τάτη 7. λέων) ὁ λέων Co, om. ABS 8, Faeinep] ἐπεὶ γὰρ Tu 
auetore Co ἂν πλείονι χρόνῳ del. Co 9. ἐφαπτόμενων οἱ o 
superscr. A! , 40. οὖν] ἄρα Hu 48. ἀνατολικὸν coni. Hu — 46. du. 
δεκάτη μόριον À, coniunx. ΒΒ 17. παρϑένου — τῆς ΑΜ bis scripta. 
in AB, sed in A altera scriptura delela 49. post λέγω add. δὴ 8. 
34. ἀνατολῆς ὁρίζοντος] distinctius τῆς ἀνατολῆς τοῦ ὁρίζοντος scriplor 
cap. 138 posuit 





LIBER VI. PROPOS. 59. 619 


tem αβγὸὸ perpendicularis erit (quoniam 9 polus horizon- 
tis est). 


Iam dico, si horizontem supponamus vel cireulum 293 
vel 73x (qui quidem aestivum tropicum δῇ tangit in ea ha- 
bitatione quae inter c 5 cadit), demonstrari virginem rectio- 
rem ascendere quam leonem, et maiore tempore leonem oriri 
quam virginem. 


Quoniam talem horizontem non maiores circulos tangere 
.supposui, quam sunt tropici, propter illa igitur quae supra 
(propos. 58) demon- 
stÀravimus — manife- 
stum est virginem 
rectiorem ascendere 
quam leonem. Sup- 
ponatur primum cir- 
culus 7Jx horizon, 
cuius orientalis semi- 
circulus sit 99x, et 
meridianus oy per- 
pendicularis ad pa- 
rallelos et ad circu- 
lum 73x; ergo aesti- 
vus tropicus δὴ prin- 
cipium est horizontis 
ηϑκ, et cancri sig- 
Dum obtinebit circeumferentiam &À, leonis Ap, virginis £9 ; 
€r&o μϑ' rectior quam Ag. ascendit. | 





lam dico maiore tempore circumferentiam Àu quam μι' 

oriri. 
Quoniam enim ἃν similitudine maior quam dupla 4&4 
demopstrata est, et quo tempore punctum 4À circumferentiam 
Percurrit, eodem circumferentia 94 oritur (nam cum ἃ ab 
DOriz ontis orientalis puncto » incipiet cireumferentiam νὰ per- 
"UTrere, ipsa $4 orietur; est enim 3 in horizonte orientali), 


et Quo tempore μὲ circumferentiam ἔμ percurrit, ipsa Ju ori- 
40* 





LIBER VI. PROPOS. 59. 621 


tur (quod similiter ac praecedens demonstratur) , manifestum 
igitter- est tempus quo A9. oritur maius esse duplo tempore 
quo 443 oritur; itaque maiore tempore Àu quam jg. oritur 
(nan quia demonstravimus | 

tempus ortüs 49 *» 21temp. ort. u9, est igitur 

temp. ort. 2: « 1 temp. ort. 49; itaque subtrahendo 

temp. ort. 49: — temp. ort. 9 *» $ temp. ort. 49, id est 

temp. ort. Au » 1 temp. ort. 49, eoque magis 

temp. ort. 43). | 
Hwursus sit alius circulus 2939 horizon, et meridianus 
«2^9 perpendicularis ad parallelos et ad horizontem c93CG 
(quia 9. polus meridiani est; itaque circuli inter se perpen- 
diculares); dico in hoc etiam casu circumferentiam A4 maiore 
tempore quam 449 oriri. | 
INam quia abscissa est circumferentia Ag similitudine du- 

pla ipsius u£ (supra p. 617 extr.!, manifestum est cireumferen- 
üàm A5 similitudine maiorem esse quam duplam uw (appa- 
ret emnim punctum V inter. & $ cadere; nam circumferentia — 
J9c manifesto non per ipsa & E transibit, quoniam sic Jg - 
25 diametri maximorum circulorum fierent, cum circumferen- 
uae «9μ 3£ minores sint totis semicirculis eu 9C ηξϑκ, id 
quod fieri non potest; sed neque extra μ E punctum Ww cadit ; 
Dàm  «irculus per J w descriptus ex hypothesi etiam per g 
(rans à bit; itaque, si V extra ju £ caderet, circulus gn maxi- 
TOS  «virculos δλζ ηξκ in alio puncto ac 9 secaret, ei commu- 
Bis sS»ectio inde ab e minor esset semicirculo, id quod fieri 
00) otest; ergo inter u( $ punctum y / cadit). Sed quo tem- 
ΡΟ punctum À ab horizontis orientalis puncto g incipiens 
P €circumferentiam gÀ fertur, eodem circumferentia 34 ori- 





Ὁ. ἥμισυ BS, L'A 146. ἐλάσσονος Hu auctore Co pro ἐλάσσων. 
U. ἥκεισυ S, L' AB. 49. ὁ add. Hu. 26. 27. τῶν M A, distinx, 
B5, item posthac 37. ἡ ΘΦΟ ABS, corr. Hu auctore Co 28. διά- 
μέτρος AB3, corr. B!S 29. ἐλάσσονες Co pro ἐλάσσονος γὰρ del. 
Hu EM ΘΖ ABS, coniunx. Co — HEGK A, qt 9x B, τὲ 9x S 
δ΄, 9 add. Hu τῶν O V τῶν Gd» A, distinx. BS, corr. Hu ^ 88. ro- 
U' Co pro τὸ ἐλάσσονος ABS, τὸ ἔλασσον τοῦ Co, corr. Hu — 35. ἀλλ᾽ 
ἐπεὶ ἐν coni. Hu “κινεῖται et ἡ super & A! 








622 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTH? ^. 


τέλλει, ἐν ᾧ δὲ τὸ IM τὴν MP περιφέρειαν κινεῖται ἀρξά-᾿ 

μενον ἀπὸ τοῦ Ψ τῆς 

ἀνατολῆς τοῦ Ópi- 
ζοντος, ἡ MO ἀνα- 
τέλλδι" φανερὸν ὕτιῦ 
ἐν πλείονε χρόνῳ 
ἀνατέλλει ἡ ΑΜ 
τῆς MO, ὡς προε- 
δείχϑη. 

Τῷ δὲ αὐτῷιυ 
τρόπῳ ἐφωδεύσα- 
μὲν ὅτι ἐν πλείονι 
χρόνῳ ἀνατέλλει ἡ 
ΕΑ τῆς 44M, καὶ 
ὀρϑοτέρα ἣ 415 
περιφέρεια, ἥτις ἐ- 
στὲν τοῦ λέοντος, 

ἀναφερομένη ἥπερ ἡ ΕΑ͂, ἥτις ἐστὶν τοῦ καρκίνου. 

124 “έἐδεικται οὖν τὰ προτεϑέντα, κατὰ δὲ Πτολεμαῖον ἐν 
ὀρϑῇ σφαίρᾳ καὶ πρώτῳ κλίματι καὶ δευτέρῳ συμφώνως 20 
ὃ xagxtvog ἐν πλείονι χρόνῳ ἀναφέρεται τοῦ λέοντος, μετὰ 
δὲ μοίρας ις΄ κζ΄ ἐξάρματος πόλου τοῦ δευτέρου κλίματος 
ἕως τοῦ y κλίματος ἐν πλείονι ὃ λέων ἀνατέλλει τοῦ καρ- 
κένου, ὥστε ἀσύμφωνον εἶναι. περὶ δὲ τοῦ ὀρϑότερον [εἷ- 
vat] τὸ τοῦ λέοντος ἤπερ τὸ τοῦ καρχίνου ἀναφέρεσϑαι ἢ 
δειχϑήσεται πάλιν τῷ κα' τοῦ δευτέρου τῶν σφαιρικῶν 
[v προτέρῳ λήμματι]. 

125 νη. Ἔστω διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος ὃ 
.48ΒΓ., πόλοι δὲ τῆς σφαίρας οἱ “4 B, ἕτερος δὲ μέγιστος 
χύκλος ὃ I4 λοξὸς μὲν πρὸς τοὺς παραλλήλους ὀρϑὸς SENS 
πρὸς τὸν ΑΒΓΖά, καὶ διηρήσϑω τὸ ΓΧ τεταρτημόριον εἰς 
τρία ἴσα κατὰ τὰ Σ T, καὶ διὰ τῶν Z T X γεγράφϑωσαν 
χύχλοι παράλληλοι, καὶ ἔστωσαν χοιναὶ τομαὶ αὐτῶν WE a. 
καὶ τοῦ ΑΒΓΩ͂ αἱ 4T 44K. καὶ HO ΕΖ (γίνονται δὴ x«xeg 





44, ἐφοδεύσομεν voluit Co 45. ὀρϑοτάτη ABS, corr. Hu ὅπ m ec 


LIBER VI. PROPOS. 60. 623 


tur, ei quo tempore punctum μὲ ab horizontis orientalis puncto 
y incipiens per circeumferentiam 1 fertur, codem ipsa Ju ori- 
tur; ergo ex jis quae supra (p. 649. 621) demonstravimus ma- 
nifestum est circumferentiam ἀμ maiore tempore quam 443 oriri. 

Eadem rationé usi sumus, μὲ demonstraremus maiore 
tempore circumferentiam &£À quam Ac oriri, et circumferen- 
tiam Au, quae est leonis, rectiorem ascendere quam &À, quae 
est cancri. | 

Sic igitur ea quae proposita sunt demonstravimus; sed 
secundum Ptolemaeum convenienter nosírae quidem rationi in 
recta sphaera et primo ac secundo climate cancer maiore 
tempore quàm leo oritur; at post 169 297" elevationis poli se- 
cundi climatis usque ad tertium clima leo maiore (empore 
oritur quam cancer, quod cum nostra demonsiratione discre- 
pat. Sed leonis signum rectius ascendere quam cancri rursus 
Theodosii sphaericorum /ibri II theoremate 91 demonstrabitur 
(sfpra p. 611). 

LVII. Sit per polos sphaerae circulus αγβδ, et sint Prop. 
sphaerae poli « 8, sitque alius maximus circulus và obli- 605) 
quus ad parallelos et perpendicularis ad ipsum αγβ, et 
quadrans yy in tres aequales partes dividatur in punctis o τ, 
et per o z x describantur circuli paralleli, sintque circulorum 
γχὸ xoÀ v9 εχζ et circuli ayfló communes sectiones γὸ xÀ 
19 εξ (quae quidem etiam diametri fiunt), et sit y» parallela 


ἢ "Hoc theorema videtur quodammodo supervacaneum ; quod enim 
in eo demonstratur, satis superque demonstratum iam fuit" Co. Ac- 
cedit quód in ipsa Graecorum verborum compositione multa reperiun- 
tur, e quibus scriptor posterioris quam Pappi aetatis cognoscatur. 


T———— À————— 


lore Co 22. μοίρας 5, M AB Ic KZ | AS, ις xt' B 93. ἔσω- 
σιοῦ Z A, om. Bi, ἕως τοῦ (' B9, ἔσω τοῦ € S, usque ad tertium Co 
54. edve, om. Co 27. τῷ προτέρῳ λήμματε int interpolatori tribuit Hu 


[ue reo xal τῷ πρ. À. voluit Co) 28. NH A! in marg. (BS) 
" 29. 6 4TB4 coni. Hu (item posthac) 29. οὗ 4B A, distinx. BS 


pr τὸν Á4B FL 4 — τετάρτη μόριον À, coniunx. BS τὸ IX Hu 
Ah ΞὸῸ ΤΆ 89. τὰ CT xai διὰ τῶν CTTX A, distinx. BS 94. τοῦ 
4-7 A, coniunx. BS δὴ Hu pro δὲ 


624 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΙΏΓΗΣ C. 


διάμετροι), ἔστω δὲ παράλληλος τῇ K.4 ἡ ΓΝ (ὃ ἄρα τ 
τὴν ΓΝ παράλληλος κύκλος ὀρϑός ἐστιν πρὸς τὸν ΑΒ 
xxx 5 FN: ἐφάψεται γὰρ κατὰ τὸ D), καὶ ἐπεζεύχϑι 
MN- φημὶ δὴ ὅτι τῆς κατὰ τὴν ΠΡ εὐϑεῖαν τιερεφερι 
ἐν τῷ ΗΘ κύκλῳ ἡ κατὰ τὴν KO εὐθεῖαν περιφέρεια (i 
ἔχει βάσιν τὴν ἴσην τῇ ΞΟῚ μείζων ἐστὶν ἢ διπλασίων» 
ὁμοιότητι. 


e 





Νενοησϑωσαν γὰρ αἱ κοιναὶ τομαὶ πάντων τῶν 
xÀov: ἔσονται δὴ αἱ ZA IIT XM χάϑετοι ἐπὶ τὴν 
καὶ ἐπὶ τὰς ΚΑ xai HO καὶ ΕΖ. γεγράφϑωσαν δὴ 
τῶν X T X καὶ vob 4 μεγίστων κύκλων -τεριφέρειαι 
Y ΑΦ AX: δῆλον δὴ ὅτι δίχα τεμεῖ τὰ ἀτιειλημμ 
ἡμικύχλια τῶν παραλλήλων χύχλων ἡ .4X. ἤχϑωσαν 
χαὶ ἀπὸ τῶν O P πρὸς ὀρϑὰς ταῖς ΚΑΊ ΗΘ ἐν τοῖς 
ἡμικυκλίων ἐπιπέδοις 5 τε ΟἹ καὶ ἡ ΡΑ͂ ἔσονται 
αὗται ἴσαι ταῖς MA IIT, ὧστε ἔσονται αἱ κατὰ τὰς 
ΠΡ εὐθείας περιφέρειαι αἱ NF xoi T Α. ὅτι otv ἡ 


4l. ἡ ΓΗ AB, sed in A H vix differt ἃ N, unde ἡ yr S 2. ; 


"s 


LIBER VI. PROPOS. 60. 625 


ipsi xÀ (ergo circulus parallelus circa y» descriptus ad ipsum 
cy(29 perpendicularis est, et communis sectio est yv; nam in 
pumcetis y » circulorum. circumferenliae se invicem tangunt), 
et iungatur u»; iam dico circumferentiam, quae est secun- 
du rn rectam £o (id est, quae basim ipsi 5o aequalem habet) 
sinnilitudine maiorem esse quam duplam circumferentiam, 
quae in circulo 79 est secundum rectam zc". | 
Intellegantur enim communes sectiones omnium circulo- 
ru mn ; recte igitur σξ vz xu perpendiculares erunt ad rectas 
YO 2cÀ 539 st; (elem. 11 propos. 19, defin. 4). lam per puncta 
O " χ et α describantur maximorum circulorum circumferen- 
uae αὖ og «x; apparet igitur circumferentiam «x bifariam 
Se*«*are circulorum parallelorum semicireulos eos qui maaimo 
C£2-cCelo αγβὸ abscinduntur (Theodos. sphaer. 2, 9). Ducantur 
ak» o Qo in semicirculorum xÀ 79 planis rectae oy ρα per- 
perm diculares ad rectas χὰ 79; hae igitur ipsis 5o zr aequa- 
les  erunt!); ergo circumferentiae gu τὰ erunt secundum 
re*«-tas 5o πρ ἢ. Jam dico circumferentiam cw similitudine 
T*zxiorem esse quam duplam z 4; ergo etiam dimidiam Gy, 


***) Tacite igitur scriptor haec supponit: sphaerae ac circuli αγβὸ 
C€*YAtrum esse μὲ, οἱ £ z o o esse puncta sectionis rectarum yu uv xÀ 
ἡ. in plano circuli «y89. 

4) Scilicet in circulo χσψά diametri portio £o rectá «u bifariam 
S€«atur atque ipsum sectionis punctum circuli centrum est; ergo per- 
pendiculares £9 oy aequaliter a centro distant, itaque propter elem. 
δ, 44 áequales sunt. 

***) Id est, rectae, quae circumferentias cy τὰ subtendunt, ae- 
TUales erunt rectis £o πρ. 

ὁ 


€ AAn2oc κύχλος Hu, ὁ - A, ὃ Ξ B, χύχλος παράλληλος S, ϑερινὸς 
7" €O«4AÀnlos coni. Co τὸν ΑΒ F4 A, distinx. BS 3. κακ ἡ ΓΝ 
— τὸ ΓῚ continget enim ἧι C, omisso ἡ ΓΝ Co, καὶ χοινὴ τομὴ ἡ ΓΝ᾽ 
Éq ξφονται (scil. a£ περιφέρειαι) γὰρ κατὰ τὰ D N Hu 44. τῶν 
ΟΥ̓Χ A, distinx. Β'ὶ 14. 49. αἱ 4d» 4X, AY ABS, transposuit Co 
4. ràv OP A, dislinx. BS ταῖς K.4 N ΘᾺ, v9 coniunx. DS, HO 
COrr. Hu 45. ἡ τε OT ABS, corr. Co δὴ Hu pro δὲ (quae erunt 
Gequales Co) . 47. 2 Co utroque loco pro CIF καὶ T 4] xci ΤΩ 
COti. Hu, ac similiter posthac : 


026 IAllliOY ΣΥΝΑΙΓΏΓΗΣ €. 


περιφέρεια τῆς T 44 περιφερείας μείζων ἐστὶν ἢ Ou. 
ὁμοιότητι [τῆς T4]: 0: ἄρα καὶ ἡμίσεια ἡ GS περιφέ — 
ρεια τῆς TC, περιφερείας μείζων ἐστὶν ὁμοιότητι ἢ διπλοε — 
σίων. καὶ ἔστιν ἡ μὲν NC τῇ YX ὁμοία, ἡ δὲ TG κ' 2) 
OX [ἡ δὲ YX τῆς TC, μείζων)" ὁμοιότητι ἄρα ἡ YX nae-5 
ριφέρεια τῆς ΦΧ μείζων ἐστὶν [ὁμοιότητι) ἢ διπλασίω m. 





p, 
ἔστιν δέ, ἐπείπερ ἴση ἐστὶν ἡ ST τῇ TX περιφερειᾳ, 4a 
διὰ τοῦ πόλου xai τῶν T X σημείων μέγιστοι κύκλοι--ὀ — Jt- 
γραμμένοι εἰσίν - τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς σφαιρικοῖς ἀποδέδειγα:. ται. 

126 WW. Καὶ τὸ παραλειφϑὲν δὲ εἰς τὸ ιβ' καὶ ιγ΄. L 

Τῶν ἐν τῷ μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικυκλίῳ περιφερ t» 
ῇ τυχοῦσα κεριφέρεια ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει 1 ἢ àv, 
τῶν δὲ ἐν τῷ λοιπῷ ἡμικυχλίῳ, 0 ἐστιν μετὰ τὸν αὐγό 
χέρω, T τυχοῦσα ἐν πλείονι χρόνῳ. δύνει ἢ ἀνατέλλει. 

Ἔστω γὰρ ἕν σφαίρᾳ ὁρίζων ὃ ΑΒΓ, ζῳδιακοῦ δὲ τὸ 
μετὰ τὸν καρκίνον ἡμικύκλιον ἐν τῷ φανερῷ ἡμισφαιρίῳ 
AAZ (τὸ 4 ἄρα καρκίνου O ἡγούμενον τοῦ ἡμικυκλίου 
ir τῇ δύσει), καὶ ἔστω ϑερινοῦ τροπικοῦ τὸ ὑπὲρ γὴν 
τμῆμα τὸ J4HI, καὶ ἀφηρήσθϑω τις τοῦ ζῳδιακοῦ περί" 






LIBER VI. PROPOS. 64. 627 


id esi circumferentiam og, similitudine maiorem quam τα 
id est quam duplam τῷ. Atque est 


0g —- vx, et 
τῷ — gx; dico igitur similitudine esse 
vy » $9y. 
"Est vero; quoniam ex hypothesi circumferentiae στ vy aequa- 
les, et per polum et puncta z χ maximi circuli descripti sunt; 
hoc 


enim in Theodosii sphaericis (5, 6) demonstratum οϑί 2), 
LIX. lam sequitur illud quod praetermissum esse .d&xi- ' 
n*tés ad theoremata XII et XIII demonstranda (supra, p. 601. 
60.5). 

Cireumferentiarum, quae sunt in semicirculo post can- Prop. 
crum, quaelibet maiore tempore oritur quam occidit, earum 
autem, quae sunt in altero semicirculo, id est post capricor- 
num, quaelibet maiore tempore occidit quam oritur. 

Sit enim in sphaera horizon «fy, et in aperto hemi- 
sphaerio zodiaci semicirculus, qui post cancrum est, αδὲ (ergo 
α cancri principium est praecedens semicirculum in occasu), 
et sit aestivi tropici portio super terram «my, et abscindatur 
quaedam zodiaci circumferentia de"); dico circumferentiam 
δὲ maiore tempore oriri quam occidere ἢ). 


9) Conf. supra propos. 24. Ceterum recte Commandinus adnotat 
9 Scriptore huius loci analyticam demonstrandi formam adhibitam esse. 

*) Hoc loco scriptor tacite supponit punctum ó inter « & positum 
6556, quemadmodum ex figura perspicitur. 

4) Figuram delineavimus similem ei quae antiquitus tradita esl. 
Conferatur tamen illa quoque forma quam Commandinus finxit. 


.-Ῥ:ὀ----  Ἀ  ὠΕΑΕ 


4. 9 διπλῆ super vs. add. ΑἹ 2. τῆς T 4 del. Hu auctore Co 


T4 ὅτι ἄρα A? in rasura i sZ Hu pro ἡ ST 3. τῆς ΤῸ Hu 
9UCtore (o pro τῆς 4G ἡ δὲ — μείζων del. Co 6. ὁμοιότητι 

*l. Hy auctore Co 8. τῶν "TX Á, distinx. BS 10. v9?" add. 
B(S) παραληφϑὲν S 


ÍÉ καὶ ÍP A, δωδέκατον xci τρισκαιδέ- 
» 45. ζωιδιαχοῦ À, ζωδιακοῦ DS, item vs. 49 et p. 628, 17 

Vl. 0 ABS, ἀρχὴ coll. cap. 129 med., vel ἀρχτικὸν coll. cap. 121 coni. 
Hv, "videtur nota illa O significare principium signi, quemadmodum et 
i1 omnibus tabulis apud Latinos" Co ἡγουμένου ABS, corr. Co 
VV. τὸ ΗΓ Hu pro τὸ 4H 


*CToy BS 








LIBER VI. PROPOS. 61. 629 


Describantur enim per à e paralleli circuli 804 νϑεσχ, 
ergo punctum δ, praecedens ipsum 8, quod sequitur, et in- 
cipiens ab A, prius oritur quam e, quod a 6 incipit; itaque 





circumferentia δὰ similitudine maior est quam eG, quoniam 
etiam tempus maius est?). Ergo circumferentia βὸ similitu- 
dine minor est quam »e. lam per puncta f À describantur 
maximi circuli 98u κλη, circulum αἡγ tangentes?) ; ergo cir- 
cumferentia δὲ, positionem ἀκ habens, orietur eo tempore quo 
Punetum x circumferentiam xc percurret, eademque, posi- 
lionem 83: habens, :occidet co tempore quo : circeumferentiam 
9» percurret. (etenim ade uf9 vÀx positiones sunt eiusdem 
cireuli, scilicet zodiaci, quae propter Theodosii sphaer. 2, 18 
Inter se similes cireumferentias habent, scilicet αἡ — δὰ — ex, 
eU tta — βὸ — 95; itaque similitudine maior est δὰ quam ἐσ, 
οὐ »& quam βδ, ut iam demonstravimus). Atque aequales 
SUnt »x αε μϑ' (nam et μιϑ' et yx ipsi ee aequalis est); ita- 
46 etiam inter se congruunt, eodemque momento x ad s, 


9) Provocat igitur scriptor ad Autolyci de sphaera quae movetur 
Propositionem 3: Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, 
*s ἐν ἴσῳ χρόνῳ περιφερείας διεξέρχεται σημεῖά τινα τῶν παραλλήλων 
XUXÀAGy χαϑ᾽ ὧν φέρεται, αὗται ὅμοιαί εἶσιν. 

8) Nimirum «xy tropicus hiemalis est, quem zodiacus in tribus 
deinceps positionibus gáx «óc 485 tangere dicitur, id quod paulo post 
*we ipse Pappus sive interpolator quidam paucis significat. 


630 ᾿ . ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΗΣ C. 


ΕΔ OB, ὥστε ἐφαρμόζειν τὰς ΚΑΊ E4 ΘΒ περιέφερε £ «35 
λέγω ὅτε μείζων ἐστὶν y KY περιφέρεια τῆς NO τε -mEQV 
φερείας. 





18 Ἐπεὶ γὰρ ὁμοία ἡ μὲν .1.1 τῇ EK, ἡ δὲ 48 τῇ ἘΞΞΞΘ, 
ἔσται καὶ ὅλη ἡ .4B ὅλῃ τῇ ΘΚ ὁμοία. ἡ δὲ 4B --:ῆον 
ΣΝ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία" xai jj ΘΚ ἄρα τῆς ΝΣ μεέξξξεων 
ἐστὲν ἢ ὁμοία. καὶ εἰσὲ τοῦ αὐτοῦ κύκλου" μείζων Como 
ἡ KO τῆς NS. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ OZ- λοιπὴ ἄρα E 8 
Lov ἐστὶν ἡ ΚΣ [ὃ ἀνατολικὸς τῆς AE περιφερείας cmm? 
δυτικοῦ χρόνου] τῆς ON. - καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ ια΄ EixAcéer 0v 
φαινομένων [ἐν ᾧ χρόνῳ) αἱ ἴσαι περιφέρειαι κατὰ Over amm 
τρον οὖσαι ἐν ᾧ χρόνῳ ἣ ἑτέρα ἀνατέλλει ἡ ἑτέρα διύτπε 55 
xci ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα δύνει 7) ἑτέρα ἀνατέλλει, τῇ “«-ΞΞῈ 
ἄρα ἡ ἴση περιφέρεια κατὰ διάμετρον λαμβάνεται ἐν “τῷ 
ἑτέρῳ ἡμικυχλίῳ τῷ ἀπὸ αἰγόκερω Ο, καὶ δειχϑήσεταε ndi di 
ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἢ ἀνατέλλει [ὃ γὰρ χρόνος τοῦ P2——— 
ρου ἡμιχυχλίου τῆς ἀνατολῆς μείζων ἐστὶν ἢ Ó τῆς δύσεω «tl. 

129 t. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων imi τῆς δευτέρας nre 
σεως τοῦ ϑεωρήματος τοῦ μετὰ τὸν GLyÓOXEQU ἡμικυκλίαιτοι " 
ὑπὲρ γῆν τὸ 4ΕΖ, xoi dqmoro9w τις τυχοῦσα πτεριφέρετ 
ἡ AE: λέγω ὅτι ἡ 4E ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἢ dvevélcesm 


4. τὰς ΚΑΒ 4042 ABS, distinx. Co ^5. δὲ .18 A? pro δὲ «B 


LIBER VI. PROPOS. 61. 631 


ὃ, ἡ ad a pervenient!). Similiter etiam & ad 3, ὃ ad 
ad u simul pervenient. Dico circumferentiam ox ma- 
esse quam γϑ. 

Quoniam enim δὰ ipsi ex, et βδ ipsi 9e similis est, erit 
tota BÀ toti 9x similis. Sed 64 similitudine maior est 
v0 **); ergo etiam ὃ. similitudine maior est quam »o. 

nt eiusdem circuli portiones ; ergo J'x maior est quam »o. 

junis auferatur 26; restat igitur ox maior quam »9 [id 

empus quo δὲ oritur maius est tempore quo eadem oc- 

Et quia propter /heorema Xl Euclidis phaenomenon 
qualibus et secundum diametrum oppositis zodiaci cir- 
rentiis quo tempore una oritur altera occidit, et quo 
re una occidit altera oritur, circumferentia igitur ipsi 
qualis ac secundum diametrum opposita sumitur in al- 
semicirculo qui a capricorno principium habet, eaque 

e tempore occidere quam oriri demonstrabitur. 

X. lisdem suppositis 51} in altero theorematis casu se- 

uli qui est post capricornum portio supra terram αεζ, 

scindatur quaelibet circumferentia de; dico circumferen- 
δὲ maiore tempore occidere quam oriri. 


Accuratius sic fere scribendum erat: "ac propter Theodosii 
. 9, 418 est gà — αὐ — ug, et ἀκ — δὲ — B9; itaque gàx αὅε — 
iter se congruent" etc. 

) Theodosii sphaer. 2, 20 citat Commandinus ; at nobis aut figu- 
lineatio aut Graeca verba corrupta esse videntur. 


γῆι CN AB, tij ΜΡ" S, corr. Hu auctore Co 7. μείζων S, M 
ἡ B3 9. 40. ὁ ἀνατολιχὸς — χρόνου interpolatori tribuit Hu 
S eadem ponebantur post τῆς ΘΙ) 40. διὰ τὸ Hu pro rob 
ια΄ B, ἑνδεχάτουϑ 44. ἐν ᾧ χρόνῳ del. Hu, τοῦ τῶν ζῳδίων 
secundum Euclidem coni. Co 4114. 49. «f --- οὐσαι] τῶν ἴσων 
ἀπεναντίον» περιφερειῶν Eucl. 18. καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ] ἐν ᾧ δὲ 

42. 48. ἑτέρα ἀνατέλλει --- δύνει (ante 7 ἑτέρα) add. A? in 
(BS) | 48. τῇ Hu auctore Co pro τῆς 45. O ABS, om. Co, 
ἕνῳ vel ἀρκτικῷ coll. cap. 127 et 421 coni. Hu. 416. 47. ὁ γὰρ 
γεως interpolatori tribuit Hu 417. D BS, om. A 48. gov add. 

40. γῆν B Paris. 2368, τὴν A!, γὴν A?S 


632 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ C 


Κατεσχευάσϑω γὰρ τὰ αὐτά. ἐπεὶ οὖν τὸ ΑἹ doy 
ἐστιν καρκένου ἑπόμενον τῷ ἡμιχυκλίῳ, χαὶ τὸ Z ἡγού 
μενον αἰγόκερω ἀρχή, ἔστιν ἄρα τὸ Z δυτικὸν καὶ τὸ - 
. ἀνατολιχόν: ἡ 4E ἄρα ἀνατέλλει μὲν ϑέσιν ἔχουσα τὴ 
ΒΘ, ὅταν τὸ Θ τὴν NO διέλϑῃ [ὥστε καὶ ἀνατέλλει τὸ 4 
ἑπόμενον τῇ 4E περιφερείᾳ, ὃν τρόπον πρὸς τῇ ἀνατολ, 
χατὰ τὸ B, καὶ τοῦ E ἡγουμένου ὄντος ὑπὲρ γῆν κατὰ τ 
O, ὅταν τὴν ΘΝ περιφέρειαν διέλϑῃ ἀπὸ τῆς ἀνατολὴ 
τοῦ N], δύνει δὲ ϑέσιν ἔχουσα τὴν K.4, ὅταν τὸ Καὶ τὴ 
ΚΣ. διέλϑῃ [ὥστε καὶ ἔδυνεν τὸ E ἡγούμενον τῆς 4E πε 
ριφερείας προδυνούσης τῆς ΚΣ περιφερείας τοῦ Δ΄ ἕπο 
μένου ὄντος κατὰ τῆς δύσεως τοῦ 24]. καὶ ἐδείχϑη πρὸ 
τερον ? ΣΙΚ τῆς ΝΘ μείζων, ὥστε Ó χρόνος ὃ δυτικός ἐστι 
μείζων ἢ ὃ ἀνατολιχὺὸς τῆς ἘΔ περιφερείας, ὁ τῆς Zi 
τῆς ΟΝ. 

180 Αλλὰ ταῦτα μὲν ἱκανὰ τοῦ συντάγματος Εὐκλείδο 
τῶν φαινομένων μόνον ἕνεκεν, ὅτι δὲ τὰ περὲ τὰς ἄνατο 
λὰς καὶ δύσεις τῶν τοῦ ζῳδιακοῦ δωδεκατημορίων ἀτελ 
χαϑέστηκεν, οἶμαι χαὶ αὐτόν σὲ μὴ ἀγνοεῖν. ἕχαστα ὁ 
τούτων ἀπαραλείπτως ἔνεστί σοι xol ῥᾳδίως ἐντυγχάνονι 
τοῖς ὑπὸ τοῦ Πτολεμαίου πεπραγματευμένοις περὲ τούτω 
συντάγμασιν ἐπιγινώσχειν. 


4, ézmoutvoux, eraso ε, A, corr. BS ToU ἡμιχυχλίου. ABS, cor 
Hu auctore. Co 5. ὥστε — 9. τοῦ N interpolatori tribuit Hu 
5. 6. τοῦ 4 ἑπομένου coni. Co 8. ore» add. Hu auctore Co 
9. ἔχουσα Hu pro ἔχον 40. ὥστε — 12. τοῦ 4 interpolatori tribu 
Hu 40. τὸ E ἡγούμενον] ἡγουμένης ABS, τοῦ E ἡγουμένου coni. Ct 
corr. Hu 413. ὄντος πρὸς τῇ δύσει κατὰ τὸ 1 coni. Co 418. ζω 
διαχοῦ Α, ζωδιαχοῦ BS δωδεχάτη μορέων À, coniunx. B (δϑωδεχατξ 
μορέου S) 40. καὶ add. Hu auctore Co 22. post ἐπιγινώσχε: 
add. παππου αλεξανδρξ συναγωγς c n5 ἔχει δὲ των evT. μιχρῶι acram 
νομουμένω ϑεωρημαΐ «πόρων λυσεις Α3 (τέλος τοῦ s" τῆς συναγωγπ 
παπποῦ τοῦ ἀλεξανδρέως B, τέλος τοῦ ἕχτου τῶν συναγωγῶν Πάππον 


LIBER VI. PROPOS. 61. 6033 

Construantur enim eadem. lam quia « principium can- 
cx-3A est semicireulum sequens, et ζ, semicirculum praecedens, 
pms-3nepium capricorni, occidentale igitur est ζ et orientale a. 





Ew-£xo circumferentia δὲ oritur positionem 9: habens, cum 


pUamaetum 2 ipsam »3 percurrit, occidit autem positionem ἀκ 


ha K»ens, cum punctum x ipsam cx percurrit. Et supra de- 
m«o»umstavimus 0x maiorem quam »J; itaque maiore tempore 


OX occidit quam v9: oritur, id est, tempus occasus circum- 
fewe»ntiae δὲ maius est tempore ortus. 

Sed haec satis sint, quantum de solo Euclidis phaeno- 
memnon libro agitur; at vero ea quae ad ortus et occasus zo- 
diaici signorum pertinent imperfecta illum reliquisse te ipsum 
»10m ignorare arbitror. Quorum quidque, si Ptolemaei libros 


de his rebus conscriptos adieris, plene ac facile tibi cogno- 
scere licebit. 


Pappus II. 41 


634 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHE Z. 





IIAHIIOY AAEZANAPEOSZ XYNATOTD H2 7. 


Περιέχει δὲ λήμματα τοῦ ἀναλυομένου. 


Ὁ γχαλούΐμενος ἀναλυόμενος, "EguóÓcQe τέχνον, xor €* 
, 3 ) , , c^ , M A v » 
σύλληψιν ἰδία τίς ἔστιν ὕλη παρεσκευασμένη μετὰ τὴν τά; 
χοινῶν στοιχείων ποίησιν τοῖς βουλομένοις ἀναλαμβανεά. 9 
ἐν γραμμαῖς δίναμιν εὑρετικὴν τῶν προτεινομένων αὐτο €x 
προβλημάτων, καὶ εἰς τοῦτο μόνον χρησίμη καϑεστῶσοε - 
γέγραπται δὲ ὑτιὸ τριῶν ἀνδρῶν, Εὐκλείδου τε τοῦ oto — 
- M ᾽ , m , A » ’ «“΄ 
χειωτοῦ χαὶ Απολλωνίου τοῦ Περγαίου καὶ “Τρισταίου τὸ ^ 
πρεσβυτέρου, κατὰ ἀνάλυσιν καὶ σύνϑεσιν ἔχουσα τὴν ἔφο — 
δον. ἀνάλυσις τοίνυν ἐστὶν ὁδὸς ἀπὸ τοῦ ζητουμένου ὧς 
ς , M - CER 3 , . 3.7 € ΄ 
ὁμολογουμένου διὰ τῶν ἑξῆς ἀκολούϑων ἐπί τι δμολογοιῖ — 
M --ὠ « 
μενον συνϑέσει" ἐν μὲν γὰρ τῇ ἀναλύσει τὸ ζητούμενον ὦ 5 
A € A 
γεγονὸς ὑποϑέμενοι τὸ ἐξ οὗ τοῦτο συμβαίνει σκοπούμεϑ' €x 
xai πάλιν ἐχείνου τὸ προηγούμενον, ἕως ἂν οἴτως dvaxO— 
^ . L4 
δίζοντες καταντήσωμεν stg τι τῶν ἤδη γνωριζομένων ἢ t0£— 
ξ 2 Ld , , . M s ἤ 2᾽ 2 / 
ξιν ἀρχῆς ἐχόντων" καὶ τὴν τοιαύτην ἔφοδον ἀνάλυσιν xo— 
- To - -“- 
λοῦμεν, οἷον ἀνάπαλιν λύσιν. ἐν δὲ τῇ συνϑέσει ἐξ ὑπο-- 
στροφῖς τὸ ἐν τῇ ἀναλύσει καταληφϑὲν ὕστατον ὕποστν)" 
» * E “ 
σάμενοι γεγονὸς ἤδη, xai ἑπόμενα τὰ ἐκεῖ [ἐνταῦϑοι] ?' 
’ : Ἁ ’ ’ i 23 , 3 
προηγούμενα κατὰ φύσιν τάξαντες καὶ ἀλλήλοις éniovyJés— 
τες, εἰς τέλος ἀφιχνούμεϑα τῆς τοῦ ζητουμένου κατασχευῆς ^ 
xai τοῦτο καλοῦμεν σύνϑεσιν. 
2 
Δῖιττὸν δ᾽ ἐστὶν ἀναλύσεως γένος, τὸ μὲν ζητητικδν 
τἀληϑοῖς, ὃ καλεῖται ϑεωρητιχόν, τὸ δὲ ποριστικὸν τοῦ 
προταϑέντος [λέγειν], ὃ καλεῖται προβληματικόν. ἐπὶ μὲν 


1 


2 


4— p. 640, 3. σημεέου ed. David. Gregorius in praef. δὰ EU- 
clidis quae supersunt omnia, Oxoniae 4703; de Edmundi Halley ed'i- 
tione vide nostram praef. vol. I p. xix 4. 9. παππου αλεξανεῖ Οἵ 
συναγωγης ξ περιέχει δὲ λημματα τοῦ αναλυομένου A3 (ΠΑΠΠΟῪ 
ἀλεξανδρέως συναγωγῶν μαϑηματιχῶν τὸ ἕβδομον. περιέχει δὲ Ar] 7 
ματα τοῦ ἀναλυομένου SV et, ut videtur, B) $9. τοῦ ἀναλυομέτ'ον 
τόπου Gregorius οἱ Ha 44. ἐστὶν ἔφοδος V 18. ἐν ante συν9 5 


ct. add. S Gregor. Ha γὰρ om. Gregor. et Ha 44. óU τοῦ τοῦτο 





β 
| 





LIBER VII. 635 


Pappi Alexandrini collectionis liber VIL. 


Continet lemmata loci de resolutione. 


Locus qui ἀναλυόμενος dicitur, Hermodore fili, ut pau- 
«s comprehendam, est propria quaedam materia in eorum 
usum parata qui, absolutis communibus elementis, in linea- 
rum consiructione facultatem problematum quae proponuntur 
solvendorum!) sibi comparare volunt, estque ad hoc solum 
ea disciplina utilis. Quae quidem tractata a tribus viris, 
Euclide elementorum scriptore, Apollonio Pergaeo, Aristaeo 
maiore, procedit per resolutionem et compositionem.  Resolu- 
lio igitur est ea via ac ratio, qua a quaesito tamquam con- 
cesso per ea quae deinceps consequuntur perducimur ad id 
quod compositione conceditur?). Nam in resolutione, id quod 
quaeritur tamquam factum supponentes, illud unde hoc con- 
Ün git et rursus, quid illi antecesserit, consideramus, donec 
la regredientes in aliquid, quod iam cognitum sit vel in nu- 
mero principiorum habeatur, incidimus, atque eiusmodi ra- 
liomem, quoniam veluti retro fit solutio, ἀνάλυσιν vocamus. 
In  eompositione autem vicissim illud, quod in resolutione ul- 
inum effecimus, utpote iam factum praemittentes, eaque 
quae illie praecedunt secundum rei naturam sequentia collo- 
camdes et alterum alteri copulantes postremo constructionem 
quaesiti- absolvimus, idque σύνϑεσιν appellamus. 

Duo autem sunt resolutionis genera, quorum alterum, 
quoniam in vero inquirendo versatur, ϑεωρητικόν sive spe- 
CHalivum dicitur, alterum inveniendo proposito inservit ac 
προβληματικόν vocatur. In speculativo igitur genere primum 

4) Conf. Vincent. p. 46 (commentarii in praef. vol. I p. xxi citati). 
3) Conf. schol. in Euclid. elem. 43, 4 (vol. II p. 803 ed. August), 


Nestelmann ,- Geschichte. der Algébra 1 p. 59 sq., Herm. Hankel, Ge- 
fiche dem Mathematik, Lipsiae 4874, p. 437 sqq. 


—— 
À, corr, BS . 18. τῇ (ante συνϑέσει) om. Ge 20. ἑπόμενα τὰ Hu 
PU rd ἑπόμενᾳ ἐκταῦϑα del. Hu 24. τὸ. uiv γὰρ Gregorius 
36. προτεϑέντος, Gregorius et Ha invitis ABS λέγειν del. Hu 

415 


636 IIATITIOY ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


3 - - , 1 , c P € , 
οὖν τοῦ ϑεωρητιχοῦ γένους τὸ ζητούμενον ὡς ὧν ὑποϑέμε- 
^v LJ 2 
voL xai ὡς ἀληϑές, εἶτα διὰ τῶν ἑξῆς ἀκολούϑων ὡς ἀλη- 
“- M € » 2 € /, , ? /, € 
Juv καὶ ὡς ἔστιν καϑ ὑπόϑεσιν προελϑόντες ἔπε τι 0uo- 
N 3 - 
λογούμενον, ἐὰν μὲν ἀληϑὲς ἢ ἐχεῖνο τὸ ὁμολογούμενον, 
2 M » A A / ^ € 3 / 3  . 
ἁληϑὲς ἔσται καὶ τὸ ζητούμενον, xai ἢ ἀπόδειξις ἀντι-ῦ 
d 3 , 3* 1 , € ’ 3 , 
στροφος τῇ ἀναλύσει, ξὰν δὲ ψεύδει ὁμολογουμένῳ ἐντι- 
χωμεδν, ψεῦδος ἔσται καὶ τὸ ζητούμενον. ἐπὶ δὲ τοῦ προ- 
βληματιχοῦ γένους τὸ προταϑὲν ὡς γνωσϑὲν ὑποϑέμενοι, 
* A] e -᾿ Ld 
εἶτα διὰ τῶν ἑξῆς ἀχολούϑων ὡς ἀληϑῶν προελθόντες ἐπί 
y 
τι ὁμολογούμενον, ἐὰν μὲν τὸ ὁμολογούμενον δυνατὸν ἢ καὶ 10 
ποριστόν, ὃ καλοῦσιν oi ἀπὸ τῶν μαϑημάτων δοϑέν, δυ- 
^ 2 ' M , Ἁ , € 5) ’ 2 ’ 
νατὸν ἔσται καὶ τὸ προταϑέν, καὶ πάλιν ἡ ἀπόδειξις ἀντί- 
στροφος τῇ ἀναλύσει, ἐὰν δὲ ἀδυνάτῳ ὁμολογουμένῳ ἐντύ- 
χωμεν, ἀδύνατον ἔσται καὶ τὸ πρόβλημα. 
[-ΠΖΠιορισμὸς δέ ἔστιν προδιαστολὴ τοῦ πότε καὶ πώς "5 
xai ποσαχῶς δυνατὸν ἔσται xai τὸ πρόβλημα. 
^ * 
Τοσαῦτα μὲν ovv περὲ ἀναλύσεως xai συνϑέσεως. 
3 Τῶν δὲ προειρημένων vo? ἀναλυομένου βιβλίων ἡ τάξις 
ἐστὶν τοιαύτη: Εὐκλείδου δεδομένων βιβλίον α΄, Α,ιπολλω- 
Jj [4 3 - ὔ J 3 L2 , 
vtov λόγου ἀποτομῆς β΄, χωρίου ἀποτομῆς β΄, διωρισμένης 20 
τομῆς δύο, ἐπαφῶν δύο, Εὐκλείδου πορισμάτων τρία, 
AnoAÀAoviov νεύσεων δύο, τοῦ αὐτοῦ τόπων ἐπιπέδων δίο, 
χωνιχῶν η΄, «ΑἌἄρισταίου τόπων στερεῶν πέντε, Εὐκλείδου 
τύπων τῶν πρὸς ἐπιφανείᾳ δίο, Ἐρατοσθένους περὲ με- 
. J , ! , , e 1 M , - 
σοτήτων δυο. γινεται βιβλία Ày , ὧν τὰς περιοχὰς μέχρι }5 
τῶν Α!Ιπολλωνίου χωνικῶν ἐξεϑέμην σοι πρὸς ἐτπείσκεψιν, 
χαὶ τὸ πλῆϑος τῶν τόπων καὶ τῶν διορισμῶν καὶ τῶν 
πτώσεων καϑ᾽ ἕκαστον βιβλίον, ἀλλὰ καὶ τὰ λήμματα τὰ 
ζητούμενα, καὶ οὐδεμίαν ἐν τῇ πραγματείᾳ τῶν βιβλίων 
χκαταλέλοιπα ζήτησιν, ὡς ἐνόμιζον. 30 


2. 3. ἀληϑῶν x«l B5S, ἀληϑῶς xai A 8. xal ὡς ὄντων xaJ 
ὑπ. Hu 8. προτεϑὲν Gregorius et Ha, item vs. 42 9. ἀληϑῶς 
AB, corr. S 45. 46. Διορισμὸς — πρόβλημα interpolatori tribuit 
Hu 46. καὶ (inepte repetitum ex vs. 14) del. Gregorius et Ha 
30. 24. ἀποτομῆς B dvo: ἐπαφῶν δύο A(B), ἀποτομῆς δύο, àreqov 
δύο S, corr. Ha 44. τόπων πρὸς ἐπι(φάνειαν ABS, corr. Hu coll, IV 


LIBER VII. 037 


id «guod quaeritur re vera ita se habere statuimus, tum per 
ea «Quae deinceps consequuntur, tanquam vera sint et per 
hypothesim firmata, ad aliquid concessum progredimur, quod 
quidem si verum sit, verum etiam erit id quod quaerimus, 
et «lemonstratio vice versa resolutioni respondebit; contra si 
in aliquid quod falsum esse constat inciderimus, falsum etiam 
erit id quod quaerimus. In problematico autem genere, cum 
id «uod propositum est tamquam cognitum subiecimus, iam 
per ea quae deinceps consequuntur, tamquam vera sint, ad 
aliquid concessum progredimur; quod concessum si fieri et 
suppeditari possit (quod mathematici datum appellant), fieri 
etiam propositum poterit et rursus demonstratio vice versa 
resolutioni respondebit; contra si in aliquid quod falsum esse 
constat inciderimus, itidem problema fieri non poterit. 

[Determinatio est praevia quaedam distinctio, quando et 
qua ratione et quot modis problema fieri possit.] 

Haec quidem de resolutione et compositione dicta sunt. 

lllorum librorum, quibus de loco ἀναλυομένῳ sive reso- 
luto agitur, ordo hic est. Euclidis datorum liber unus, Apol 
lonià de proportionis sectione libri duo, de spatii sectione 
duo , de sectione determinata duo, de tactionibus duo, Eu- 
clidis porismatum libri tres, Apollonii inclinationum libri duo, 
eiusdem locorum planorum duo, conicorum octo, Aristaei lo- 
corum solidorum libri quinque, Euclidis locorum qui sunt 
ad superficiem libri duo!), Eratosthenis de medietatibus libri 
duo. Omnino igitur sunt libri triginta tres, quorum argu- 
menta usque ad Apollonii conica tibi inspicienda proposui, et 
Dumnerum locorum, determinationum, casuum, qui sunt in 
unoquoque libro, nec minus lemmata quae requiruntur, αἱ- 
hali, neque ullam quaestionem in eorum librorum tractatione 
3 me omissam esse existimo. 


4) Conf. supra IV propos. 28. 


—————— 


Cap. 51,58 45. λγ΄ Ha, .4B A(BS) 81. xol τὸ πλῆϑος — 49. ζη- 
TOUL €y« forsitan interpolata sint 30. x«ra δὲ λοιπὰ A'B), corr. S 


638 HADTIOY ZYNATQTHZ Δ. 


4 Περιέχει δὲ τὸ πρῶτον βιβλίον, ὅπερ ἐστὶν τῶν δεδο- 
[4 ^ 
μένων, ἅπαντα ϑεωρήματα ἐνενήκοντα' ὧν πρῶτα "μὲν 
χαϑόλου ἐπὶ μεγεϑῶν [διαγράμματα) xy, τὸ δὲ δ΄ καὶ x 
ἐν εὐϑείαις ἐστὶν ἀνάλογον ἄνευ ϑέσεως. τὰ δὲ ἑξῆς τού- 
τοις (0. ἐν εὐϑείαις ἐστὶν ϑέσει δεδομέναις. τὰ δὲ τού-Ὁ 
τοις ἑξῆς v ἐπὶ τριγώνων ἐστὶν τῷ εἴδει δεδομέφων ἄνευ 
ϑέσεως. τὰ δὲ ἑξῆς τούτοις ζ΄ ἐπὶ τυχόντων ἐσεὶν εὐϑυ- 
γράμμων χωρίων εἴδει δεδομένων ἄνευ ϑέσεως. τὰ δὲ ἑξῆς 
τοΐτοις ς΄ ἐν παραλληλογράμμοις ἐστὶ καὶ παραβολαῖς εἴ- 
δει δεδομένων χωρίων. τῶν δὲ ἐχομένων &' τὸ μὲν πρῶτον 10 
γραφόμενόν ἐστιν, τὰ δὲ Ó' ἐπὶ τριγώνων χωρίων, ὅτι αἱ 
διαφοραὶ τῶν δυνάμεων τῶν πλευρῶν πρὸς ταῦτα τὰ τρί- 
γωνα χωρία λόγον ἔχουσιν δεδομένον. τὰ δὲ ἑξῆς ζ΄ ἕως 
τοῦ O' καὶ y ἐν δυσὶ παραλληλογράμμοις, ὅτε διὰ τὰς ἐν 
- , c , , DE 5 ll 
ταῖς γωνίαις ὑποϑέσεις ἐν δεδομένοις ἐσεὶν λόγοις πρὸς 1Ὁ 
ἄλληλα" ἔνια δὲ τούτων ἐπιλόγους ἔχει ὁμοίους ὃν δυσὶ 
τριγώνοις. ἐν δὲ τοῖς ἐφεξῆς c' διαγράμμασιν ἕως τοῦ o 
à ’ J , * M A , , i] M , 
καὶ 9' δίο μέν ἔστιν ἐπὶ τριγώνων, Ó' δὲ ἐπὲ πλειόνων 
εὐθειῶν ἀνάλογον οὐσῶν. τὰ δὲ ἑξῆς y ἐπὶ δύο εὐϑειῶν 
[ἀνάλογον οὐσῶν, τὰ δ᾽ ἔστιν] δοϑέν τι περιεχουσῶν qo-») 
/ M 13 5 M “ ’ ' ^ ; ud , 
οἷον. τὰ δὲ ἐπὶ πᾶσιν η΄ ἕως τοῦ Cy ἐν κύχλοις δείχνυται 


4. in marg. δεδομένα « add. Αϑ; verum Pappus ipse et hic et in- 
fra, ubicunque librorum appellationes contextui inseruit (ut hoc loco 
τὸ πρῶτον βιβλίον, ὅπερ ἐστὶν τῶν δεδομένων), titulis superscribendis 
abstinuit; posuit autem eiusmodi titulos inde a cap. 24 huius edit. 

39. πρῶτον ABS Gregor., corr. V Ha 8. etsi, quot sunt theoremats, 
tot etiam figurae, tamen διαγράμματα alienum est ab hoc loco, quia 
ϑεωρήματα statim praecessit 4 xal τὸ x ABS, xd V2, corr. Hu 

5. 6. τὰ δὲ ἑξῆς τούτοις V 6. ε΄ add. Gregor. οἱ Ha τριγώνου». 
AB, corr. S 9. ἐστὶ Hu pro ἔτι 44. γραφόμενόν ἔστιν) "est ἂνε 
lineis" Co; conf. Euclid. dat. prop. 62: ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλαε ς 
λόγον ἔχωσι δεδομένον καὶ ἀναγραφῇ ἀπὸ μὲν μιᾶς δεδομένον τῷ εἴδ᾽ 35 a. 
εἶδος cet., quae cum fugerent Halleium, γραφόμενον asterisco notac« & X 
et sic vertit: "e quinque autem sequentibus primum iam descriptum est" 

τὰ δὲ δ in datorum recensione, quam nostri codices praebent, si» went 
quinque, nempe prop. 68—67 (conf. infra) 48. 44. ἕως τοῦ o xoà) — —-7] 
in nostris datorum editionibus usque ad prop. 74 (conf. ad vs. 44 ^7» 

47. 48. ἐν δὲ τοῖς ἐφεξῆς ς΄ — δ in nostris datorum editionibus s- wem n! 





LIBER VII. 639 


DATORUM LIBER. 


Primus liber, qui est datorum, omnino theoremata nona- 
ginta!) continet. Quorum priora viginti tria ómnino sunt de 
magnitudinibus; quartum autem et vicesimum est in rectis 
lineis proportionalibus sine positione. Sequuntur quattuor- 
decim in rectis lineis positione datis. Proxima decem de trian- 
gulis sunt specie datis sine positione; proxima septem de 
quibuslibet spatiis rectilineis specie datis sine positione; pro- 
xima sex ín parallelogrammis sunt et applicationibus spatio- 
rum specie datorum. Eorum autem quinque quae deinceps 
sequuntur primum quidem est in lineis, quattuor autem de 
wiangulorum areis demonstrant differentias laterum secum 
multiplicatorum ad ipsas triangulorum areas proportionem ha- 
bere datam. Proxima septem usque ad septuagesimum ter- 
tum in binis parallelogrammis demonstrant haec parallelo- 
gramma iuxta angulorum hypotheses proportionem datam in- 
ter se habere; quaedam autem ex his epilogos similes ha- 
bent in binis triangulis. Proximorum sex diagrammatum us- 
que ad septuagesimum nonum duo sunt de triangulis, quat- 
tuor de pluribus rectis lineis proportionalibus; proxima tria 
de binis rectis lineis datum spatium comprehendentibus. De- 
nique postrema octo usque ad nonagesimum in circulis vel 


4) In ea datorum recensione, quae ad nostram aetatem pervenit, 
sunt theoremata nonaginta quinque. Quae praeterea differant inter hanc 
recensionem et illam quam Pappus exponit, vide in adnotationibus ad 
Graeca verba. 


Sex diagrammata sive prop. 75—83; ergo Pappi ἕως τοῦ ο΄ καὶ 9' est 
DUnC prop. 83, ac Pappi δύο ἐπὶ τριγώνων nunc prop. 75 et 76; re- 
liqua non conveniunt; nam sequuntur in nostris editionibus prop. 77 
de duabus figuris specie datis, prop. 78 de datae figurae ad rectan- 
&£ulunm, ratione data, prop. 79 et 80 de triangulis, denique prop. 84— 
88 de pluribus rectis proportionalibus; hae igitur tres propositiones 
"éSpomdent quattuor illis quas Pappus significat: δ' dà ἐπὶ πλειόνων 
"US tre, ἀνάλογον οὐσῶν 49. τὰ δὲ ἑξῆς γ in nostris editionibus 
ju 8ttuor, nempe prop. 841—87 $0. ἀνάλογον — ἔστιν del. Hu 
et 94, τἱ Ha, δοϑεντε A(B), δοϑένται S χωρίῶν A(BS), corr. Gregor. 
Fic ἀφ! τοῦ add. Hu ΟἽ in nostris editionibus est prop. 95 


- 


640 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHX Z. 


τοῖς μὲν μεγέϑει μένον δεδομένοις, τοῖς δὲ καὶ ϑέσει 
[» ἀγομένων εὐθειῶν ἐστιν διὰ δεδομένου σημείου τὰ γενό- 
μενα δεδομένα. 

δ Τῆς δ᾽ ἀποτομῆς τοῦ λόγου βιβλίων ὄντων β' πρότα- 
cic ἔστιν μία ὑποδιῃρημένη " διὸ καὶ μίαν πρότασιν οὕτως 
γράφω" διὰ τοῦ δοϑέντος σημείου εὐϑεῖαν γραμμὴν ἀγα- 
γεῖν τέμνουσαν ἀπὸ τῶν τῇ ϑέσει δοϑεισῶν δύο 
πρὸς τοῖς im" αὐτῶν δοϑεῖσι σημείοις λόγον ἐχούσας τὸ 
αὐτὸν τῷ δοϑέντι. τὰς δὲ γραφὰς διαφόρους γενέσϑαι xa | 
πλῆϑος λαβεῖν συμβέβηκεν. ὑποδιαιρέσεως γενομένης, ἕνεχε: 
τῆς v& πρὸς ἀλλήλας ϑέσεως τῶν δεδομένων εὐθειῶν χα 
τῶν διαφόρων πτώσεων τοῦ δεδομένου σημείου καὶ διὰ τὰ 
ἀναλύσεις xai συνθέσεις αὐτῶν τε καὶ τῶν διορι 

θ ἔχει γὰρ τὸ μὲν πρῶτον βιβλίον τῶν “λόγου ἀποτομῆς : τό- 
ποὺς ζ΄, πτώσεις xà', διορισμοὺς δὲ &, ὧν τρεῖς μέν εἰσιτε 
μέγιστοι, δύο δὲ ἐλάχιστοι" xal ἔστε μέγιστος μὲν κατε: 
τὴν τρίτην τιτῶσιν τοῦ & τόπου, ἐλάχιστος δὲ κατὰ τὴν δευ-- 
τέραν τοῦ c' τόπου wol κατὰ τὴν αὐτὴν τοῦ ζ΄ τόπου, μέ-- 
γιστοι δὲ oi χατὰ τὰς τετάρτας τοῦ ς΄ χαὶ τοῦ ζ΄ τόπου 
τὸ δὲ δεύτερον βιβλίον λόγου ἀποτομῆς ἔχει τόπους εδ' 
πτώσεις δὲ Ey, διορισμοὺς δὲ τοὺς ἐκ τοῦ πρώτου - ἀπά-- 
γεται γὰρ ὅλον εἰς τὸ πρῶτον. 

«Ἰήμματα δὲ ἔχει τὰ λόγου ἀποτομῆς x, αὐτὰ δὲ vn 
δύο βιβλία τῶν λόγου ἀποτομῆς ϑεωρημάτων ἐστὶν ga —. 
κατὰ δὲ Περικλέα πλειόνων ἢ τοσούτων. 

7 Τῆς δ᾽ ἀποτομῆς τοῦ χωρίου βιβλία μέν ἐστιν δύο,. 
πρόβλημα δὲ κἀν τούτοις ἕν, ὑποδιαιρούμενον δὲς" xai? 
τούτων μία πρότασίς ἐστιν τὰ μὲν ἄλλα ὁμοίως ἔχουσα τῇ 
προτέρᾳ, μόνῳ δὲ τούτῳ διαφέρουσα τῷ δεῖν τὰς dmo-. 
τεμνομένας δύο εὐθείας ἐν ἐχείνῃ μὲν λόγον ἐχούσας δο- 


3.3. ἀγομένων — δεδομένα del. Hu (interpolator eas propositiones 
respexit quae in nostris editionibus sunt 92. 93. 95) 3. ἀγομένων. 
A(B), διαγομένων S, ὅτε διαγομένων Ha ἔστιν om. Gregor. et Ha- 
σημείου] desinit Gregor, ὅ. οὕτω A*BSS Ha — 44. διδομένων ABV, 
corr. 8 43. διδομένου ABS, corr. Ha 48. καὶ add. Ha. τὴν 


LIBER VII. 641 


magnitudine tantum, vel etiam positione datis dernonstrantur. 
(* rectis lineis per datum punctum ductis ea quae fiunt e seg- 
mentis data sunt.] 


DE PROPORTIONIS SECTIONE LIBRI DUO. 


Duorum librorum de sectione proportionis una est pro- 
positio subdivisa; quare hanc unam propositionem sic de- 
Scribo: "per datum punctum rectam lineam ducere a dua- 
bus rectis positione datis segmenta abscindentem, quae per- 
&nenliia usque ad puncta in iisdem rectis data, eandem pro- 
porlionem ac quae data est habeant". Verum multas varias- 
que figuras, facta subdivisione, haec propositio habet propter 
rectarum datarum inter se positionem et diversos dati puncti 
caSus, denique propter analyses synthesesque et horum ca- 
suum et determinationum. Etenim liber primus de propor- 
tionis sectione locos habet septem, casus viginti quattuor, 
determinationes quinque, quarum tres sunt maximae, duae 
minimae; estque maxima ad tertium casum quinti loci, mi- 
Dima δὰ secundum sexti loci 'et ad secundum septimi loci, 
tum raximae ad quartos casus sexti et septimi loci. Secun- 
dus autem liber de proportionis sectione habet locos quattuor- 
decim, casus sexaginta tres, determinationes easdem ac pri- 
mus liber; nam ad hunc totus refertur. 
Lemmata libri de proportionis sectione habent viginti; 
lidem quo libri de proportionis sectione continent theoremata 
CLX XXI, vel etiam plura secundum Periclem. 


DE SPATH SECTIONE LIBRI DUO. 


De spatii sectione libri quidem sunt duo, problema vero 
!'! his quoque unum, quod duas subdivisiones habet. Et 
"Dà quidem horum librorum propositio superiori in ceteris 
Smilis est; sed hoc solum differt, quod in illa duas rectas 
àbscissas effici necesse est, quae datam proportionem habe- 
σ----ς 

αὐτῇ,» idem pro τῆς αὐτῆς 460. ιδ΄ idem pro xó 84. ἐστὶν ASV, ἐστὶ 
P'S Ha Ge 36. yop! azo|rou « in marg. add. A? | 


612 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQTH2 Z. 


ϑέντα ποιεῖν, ἐν δὲ ταύτῃ χωρίον περιεχούσας δοϑέν. ᾿ῥη- 
ϑήσεται γὰρ οὕτως" διὰ τοῦ δοϑέντος σημείου εὐϑεῖαν 
γραμμὴν ἀγαγεῖν τέμνουσαν ἀπὸ τῶν δοϑεισῶν ϑέσει δύο 
εὐθειῶν πρὸς τοῖς ἐπ᾽ αὐτῶν δοϑεῖσι σημείοις χωρίον πε- 
Li » e H 1 e 1 lj A 3 « 
ριεχούσας ἴσον τῷ δοϑέντι. xoi αὕτη δὲ διὰ τὰς avrog 
5 αἰτίας τὸ πλῆϑος ἔσχηκε τῶν γραφομένων. ἔχει δὲ τὸ μὲν 
’ , ’ 3 - , , , r4 
α᾽ βιβλίον χωρίοι ἀποτομῆς τόπους ζ΄, πτωσειῖς xÓ, διο- 
T - 4 
ρισμοὺς ζ΄, ὧν δ΄ μὲν μέγιστοι, τρεῖς δὲ ἐλάχεστοι" καὶ 
ἔστι μέγιστος μὲν χατὰ τὴν δευτέραν πτῶσιν τοῦ πρώτου 
τόπου, καὶ ὃ κατὰ τὴν πρώτην πτῶσιν τοῦ β' τόπου, καὶ! 
ὁ κατὰ τὴν β' τοῦ δ΄, καὶ ὃ κατὰ τὴν τρίτην τοῦ c τόπου, 
ἐλάχιστος δὲ Ó κατὰ τὴν τρίτην πτῶσιν τοῦ τρίτου τόπου, 
x«i ὃ κατὰ τὴν Ó τοῦ Ó τόπου, καὶ ὁ κατὰ τὴν πρώτην 
ὦ 3 4 , ) e ’ 3 
τοῦ ἕχτου τόπου. τὸ δὲ δεύτερον βιβλίον τῶν χωρίου ἀπο- 
τομῆς ἔχει τόπους ιγ΄, πτώσεις δὲ ξ΄, διορισμοὺς δὲ τοὺς 
ἐκ τοῦ πρώτοὺῦ - ἀπάγεται γὰρ εἰς αὐτό. 
Θεωρήματα δὲ ἔχει τὸ μὲν πρῶτον βιβλίον μη, τὸ δὲ 
δεύτερον ος΄. 


9 Ἑξῆς δὲ τούτοις ἀναδέδοται τῆς διωρισμένης τομῇθ 
βιβλία β', ὧν ὁμοίως τοῖς πρότερον μέαν πρότασιν πάρ- Ὁ 
ἐστιν λέγειν, διεζευ γμένην δὲ cav την" τὴν δοϑεῖσαν ἄπεε.- 
ρον εὐϑεῖαν &vi σημείῳ τεμεῖν, ὥστε τῶν ἀπολαμβανομεῖς 
γων εὐθειῶν πρὸς τοῖς ἐπ᾽ αὐτῆς δοϑεῖσι σημείοις v1€?* 
τὸ ἀπὸ μιᾶς τετράγωνον ἢ τὸ ὑπὸ δύο ἀπολαμβανομένιε» ? 
περιεχόμενον ὀρϑογώνιον δοϑέντα λόγον ἔχειν ἤτοι πρῶ» 5 
τὸ ἀπὸ μιᾶς τετράγωνον ἢ πρὸς τὸ ὑπὸ μιᾶς ἀπολαμβανεξ 
μένης καὶ τῆς ἔξω δοϑείσης ἢ πρὸς τὸ ὑπὸ δύο dmolap4& “΄ 





-» 


20 


4. ἐπ᾿ Ha pro ἀπ᾽ 7. « À, πρῶτον BS 8. 4 A, τέσσιᾳ» € € 
BS 40. β΄ Ha, 4 A(B), τετάρτου S 45. ξ΄ Ha, Z A(BS), 46. cuc 77 
rov AB Ha, corr. S 19. cap. 9 et 10 ante Halleium ediderat Wi & «€^ 
brordus Snellius in libro qui inscribitur Apollonius Batavus, Lugodà 5. τοῦ 
4608 δὲ add. Snellius ἀναδέϑονται ABS, corr. Hu 46. rere» €* 7 
γωνον ἢ πρὸς τὸ ὑπὸ μιᾶς auctore Simsono add. Hu; his nondum 3€—€^ 
ceptis prius ἀπὸ in ὑπὸ mutaverat Snellius (conf. adnot. ad Latins ) 


LIBER VII. 643 


au t , in hac autem, quae datum rectangulum comprehendant. 
Si«* enim dicetur: "per datam punctum rectam lineam du- 
cex-e» a duabus rectis positione datis segmenta abscindentem, 
quizme perünentia usque ad puncta in iisdem rectis data rec- 
ἴδ zulum aequale dato comprehendant". Haec etiam propo- 
sità«» iisdem de causis magnum figurarum numerum accepit. 
Pràiwmnus liber de spatii sectione habet locos septem, casus 
vi&z&nti quatuor, determinationes septem, quarum quattuor 
nmiccXimae, tres minimae sunt. Maximae sunt ad secundum 
casswam primi loci, ad primum casum secundi loci, ad secun- 
dux) quarti, ad tertium sexti loci; minimae ad tertium ca- 
Sumw» tertii loci, ad quartum quarti loci, ad primum sexti loci. 
Sex-wndus autem liber de spatii sectione habet locos tredecim, 
Cassis sexaginta, determinationes easdem ac primus liber, ad 
qu e m refertur. 


. Theoremata primus liber habet XXXKXVIII, secundus 
ΓΝ "XVI. | 


SECTIONIS DETERMINATAE LIBRI DUO. 


Deinceps editi sunt libri duo de sectione determinata, 

(TUO rum perinde ac superiorum una propositio, sed ea biper- 
Uta. enuntiari potest hoc modo: "datam rectam infinitam in 
τς» puncto secare, ut, abscissis rectis inter hoc punctum et 
P'umcta in eádem rectà data, vel quadratum ex una abscissa 
Vel rectangulum, quod duabus abscissis continetur, datam 
Projportüonem vel ad quadratum ex una abscissa!) vel ad 
rectangulum, quod unà abscissà et alià extrinsecus datàá, vel 

ad id, quod duabus abscissis continetur, habeat, sive ad 


4) "Vel ad quadratum ex reliqua intercepta" Simsonus (Opera quae- 
damn reliqua, Glasguae 1776) p. IX, ad quae adnotavit haec: "lIunc ca- 
sumn lextui Graeco addidimus, nam sine eo essent tantum quinque pro- 
blemata in libro primo; si autem dicatur problema secundum posse in 
duo partiri prout punctum inveniendum requiritur esse inter vel extra 
duO puncta data, ut in sequentibus huius libri ] fit, essent hoc modo 

tum quindecim epitagmata in libro primo, Pappus autem numerat 
Sexdecim, Et praeterea non verisimile est Apollonium problema hoc 
numum omisisse". Hanc Simsoni coniecturam egregie codicis scrip- 
ma, quae mutilata quidem est, sed ἀπὸ etiamnunc exhibet, confirmari 
PParet ex adnotatione ad Graeca. 





LIBER VI. — 645 


puncta quae ab hac sive quae ab altera parte data sunt ne- 
cesse est spectare". Huius quoque propositionis, quippe 
quae bipertita sit ac perobscuras determinationes habeat, de- 
monstrationem pluribus vérbis fieri necesse fuit.  |Hanc rur- 
sus Apollonius demonstrat trita ratione per solas rectas rem 
experiens, sicut etiam in secundo libro primorum Euclidis 
elementorum ἢ, ac rursus ad institutionem magis accomodate 
eandem íracíavit accuratius figuras describens et demonstra- 
tionibus usus idque ingeniose per semicirculos.] Primus 
liber habet problemata sex, epitagmata sive punctorum dis- 
positiones sedecim, determinationes quinque, quarum quattuor 
sunt maximae, minima una. Suntque maximae ad secun- 
dum epitagma secundi problematis, ad tertium quarti pro- 
blematis, ad tertium quinti, ad tertium sexti; minima autem 
ad tertium epitagma tertii problematis. Secundus liber de 
sectione determinata habet problemata tria, epitagmata no- 
vem, determinationes tres, quarum minimae sunt ad tertium 
epitagma primi problematis et ad tertium secundi; maxima 
autem ad tertium tertii problematis. 

Lemmata habet primus liber XXVII, secundus XXIV. 
Insunt in duobus libris: de sectione determinata theoremata 
LXXXIII. 


TACTIONUM LIBRI DUO. 


Deinceps sequuntur tactionum duo libri, in quibus cum 
Plures propositiones inesse videantur, nos tamen hic etiam 
unam ponimus huiusmodi: . punctis, rectis lineis, circulis 
ternis quibuscunque deinceps positione datis circulum ducere 
Per singula data puncta siquidem puncta data sint), qui 
Singula datas lineas contingat". Ex hac autem, quoniam 
in hypothesibus permulta vel similia vel dissimilia data sunt, 


Singillatim diversas propositiones decem fieri necesse est. 
———— 

Fey 4 €x τοῦ τρίτου προβλήματος, omissis reliquis, Snellius — 13. 14. τοῦ 
ἕκτου" ἐλάχιστος δὲ ὁ χατὰ τὸ y' add. Ha 25. ἑξῆς ebundare vide- 
"Ur, x coni. Ca 26. 27. χύχλων ἀγαγεῖν À, corr. BS 28. ἐφι- 
πτόξεενος ABS, corr. Ha 


646 IIAHIIOY XYNATOTH Z. 


δέκα" ἐκ τῶν τριῶν γὰρ: ἀνομοίων γενῶν τριάδες δεάφορθιε 
ἄτακτοι γίνονται ι΄. ἤτοι γὰρ [τὰ] δεδομένα τρία σημεῖα 
ἢ τρεῖς εὐθεῖαι ἢ δύο σημεῖα xai εὐθεῖα ἢ δύο οὐϑεῖᾳι 
xci σημεῖον ἢ δύο σημεῖα καὶ κύχλος ἢ δύο κύκλοι καὶ 
σημεῖον ἢ δύο εὐθεῖαι καὶ κύκλος ἢ δύο κίκλοι καὶ δεὐϑεῖα 
ἢ σημεῖον καὶ εὐθεῖα καὶ κύκλος ἢ τρεῖς κύχλοι. τούτων 
δύο. μὲν τὰ πρῶτα δέδεικται ἐν τῷ δ' βιβλίῳ τῶν πρώτων 
στοιχϑίων" ὃ παρεῖμεν γράφειν" τὸ μὲν γὰρ τριῶν δοϑέν- 
των σημείων μὴ ἐπ᾽ εὐθείας ὄντων τὸ αὐτό ἐστιν τῷ περὶ 
τὸ δοϑὲν τρίγωνον xvxÀov περιγράψαε, τὸ δὲ y δοϑειφῶν 
εὐθειῶν μὴ παραλλήλων οὐσῶν (ἀλλὰ τῶν τριῶν συμπι- 
πτουσῶν) τὸ αὐτό ἐστιν τῷ εἰς τὸ δοϑὲν τρίγωνον κύχλον 
ἐγγράψαι" τὸ γὰρ δύο παραλλήλων οὐσῶν καὶ μιᾶς ἐμπι- 
πτούσης ὡς μέρος ὃν τῆς τοῦ β' ὑποδιαιρέσεως προγράφε- 
ται ἐν τούτοις πάντων. xai τὰ ἑξῆς ς΄ ἐν τῷ πρώτῳ βι- 
βλίῳ, τὰ δὲ λειπόμενα δύο, τὸ δύο δοϑεισῶν εὐθειῶν καὶ 
χύχλου, ἢ τριῶν δοϑέντων κύκλων, μόνον ἐν τῷ δευτέφῳ βι- 
βλίῳ διὰ τὰς πρὸς ἀλλήλους ϑέσεις τῶν κύκλων τὸ καὶ 
εὐθειῶν πλείονας οὔσας καὶ πλειόνων διορισμῶν δεομένας. 
12 Ταῖς προειρημέναις ἐπαφαῖς ὁμογενὲς πλῆϑός ἐστιν 
προβλημάτων παραλειπόμενον ὑπὸ τῶν ἀναδιδόντων, καὶ 
προσανέδωχα ἐν τοῖς πρότερον τῶν εἰρημένων δύο βιβλίων᾽ 
εὐσυνοπτόν τε γὰρ καὶ εἰσαγωγικὸν μᾶλλον ἦν ἐντελὲς δὲ 
χαὶ συμπληρωτικὸν τοῦ γένους τῶν ἐπαφῶν. πάλιν μιᾷ 


4. δέκα Ha pro δὲ καὶ τριάδες Ha, τρίαδε Α, τρία δὲ ΒΒ (triadis 
differentiae Co) 2. τὰ del. Hu διδόμενα ABV, corr, cod. Paris. 
2368 S 3. εὐθεῖαι (post τρεῖς) Bs-Ha, εὐθείας AS εὐθεῖα x«l δύο 
εὐθεῖκι À, corr. Co 5. ἢ δύο εὐθεῖαι καὶ κύκλος post ἢ σημεῖον καὶ 
εὐθεῖα καὶ κύκλος transponunt Co et Ha. 1. δΊ »4 A, τετάρτῳ BS 
8. ὃ παρεῖμεν γράφειν Hu, ὁπερημὲν γράφων A(S), ὁ περε μὲν yga- 
{ων B, ὅπερ ἣν μὲν γράφων Ha, ὃ παρίη γράφων coni. Ge. — 9. εὐ- 
ϑεέας recte AS, εὐθεῖαν B* Ha 44. ἀλλὰ τῶν τριῶν συμπιπτουσῶν 
abundare videntur 44. μέρος ὄντος τοῦ s ὑποδιαιρέσεως ABS, corr. 
Ha, nisi quod τοῦ omisit, quod restituit Ge 45. ἐν τούτοις πάντων 
xai τῶν ἑξῆς coni. Ca, ἐν τούτοις" πάντα καὶ τὰ ἑξῆς Ha 48. 49. διὰ 
- δεομένας} conf. Haumann p. 61 sq. 20. Ταῖς — p. 648, 48, πτώ- 
σιν] haec forsitan alius scriptor mathematicorum perilus Pappi collec- 





LIBER VII. 647 


Nam ex tribus dissimilibus generibus triades diversae inor- 


dinatae existunt nümero decem. Etenim data sunt 
I. aut trià puncta 
II. zvwtres rectae 
III. zvwt dào puncta et recta 
IV. aut duae rectae et punc- 
tum | 


VI. àut duo circuli et punctum 
VII: aut duae rectae et circulus 
VIII. aut duo circuli et recta 

IX. aut punctum et recta et 


circulus 
V. aut duo puncta et circulus — X. aut tres circuli. 


Horum duo prima demonstrata sunt in quarto primorum 
elennentorum libro (propos. ὃ et 4); id quod describere su- 
persedimus. Nam "tribus datis punctis", quae non sunt in 
recta linea, idem est ac circa datum triangulum circulum 
drcumscribere; illud autem "tribus datis rectis lineis", quae 
non poarallelae sunt (sed tres in unum concurrunt), idem est 
atque in datum triangulum circulum inscribere; ac praeterea 
hoc "*si duae parallelae sunt et una cum his concurrit" tam- 
quam pars subdivisionis secundi problematis in his omnium 
primum ponitur. Deinceps in primo libro sex problemata 
(scilicet casus III, IV, V, VI, VIII, IX superioris tabulae) se- 
quuntur ; restant autem duo; nam et hoc "duabus datis 
rectis et circulo" (vide supra casum VII) et illud "tribus 
daüs circulis" (vide supra X) tantum in secundo libro trac- 
lata" sunt, quia plures. sunt et circulorum et rectarum inter 

Sé positiones eaeque pluribus determinationibus indigent. 

His tactionibus similia sunt. permulta problemata ab edi- 
toribus omissa, quae equidem in introductione duorum quos 
dixi librorum superaddidi; ^Aaec enim :nsfitutio et facilis in- 
telleetu erat et aptius in reliquam disciplinam introducebat 
e&detnque omne tactionum genus plane absolvebat. 


——— ll 


Rursus 


lioni addiderit. 40, ὁμογενὴς ABS, corr. Ha 91. ὑπὸ Hu pro ἀπὸ 

?1. 22. xal προσανεδωκαν τισι πρότερον Α, καὶ προσανέδωκαν τισι 
πρότερόν τε 85, προσανέδωχαν δέ τινες προτέρῳ Ha, καὶ προσαγέδω- 
*" ἄν τις τῷ προτέρῳ Friedleinius Literavisches Centralblatt 1811 


9.714, corr. Hu. 23. τε om. Ha. μᾶλλον ἂν ἦν Friedleinius I. c. 
ἐντελές τε Ha 





LIBER VII. 649 


omnia una propositione comprehendamus, cuius hypothesis 
magis quam superioris contracta est, sed superaddita condicio 
ad constructionem hoc modo!j: "punctis, rectis lineis, cir- 
culis quibuscunque binis datis circulum magnitudine datum 
ducere, qui per datum punctum vel data puncta (siquidem 
puncta data sint) transeat ac singulas datas lineas contingat". 
Kec igitur propositio problemata numero sex continet; nam 
ex tribus quibusdam diversis δυάδες sive paria inordinata 
«liversa fiunt numero sex, siquidem, aut duobus datis punc- 
&is aut duabus datis rectis aut. duobus datis circulis aut. da- 
Zis puncto et recta aut puncto et circulo aut recta et circulo, 
cireulum magnitudine datum ducere oportet, sicut dictum 
esl. Haec autem οὐ resolvenda sunt et componenda et de- 
terminanda (sive faciendae sunt analyses, syntheses, determi- 
7:aliones) in singulis quibusque casibus. 

Primus tactionum liber problemata septem, alter quat- 
tuor habet. 

Lemmata insunt in duobus libris XXl, theoremata LX. 


PORISMATUM LIBRI TRES?). 


Post tactiones tribus libris porismata Euclidis continen- 
 Ut-, collectio artis studiique plenissima ad solvenda difficiliora 
P'€»K3lemata, quorum porismatum ea est natura, ut eorum 
SeXw exa infinita sint multitudine. [Nihil iis quae ab Euclide 


4) Conf. W. Berkhan, das Problem des Pappus von den Berührungen, 
Ho aa ς 41857; C. Hellwig, das Problem des Apollonius, Halae 1856. 


2) Praeter auctores, qui in praefatione nostrae editionis vol. I ci- 
(Uk — sunt (Breton: p. xv sq., Chasles: p. xvii, Simson: p. xx, Vincent: 
P C-wi, de Euclidis porismatis egerunt Aug. Richter, Porismen nach 
Sia. son bearbeitet, Elbing 4837; Ch. Housel, les porismes d'Euclide in 
Joe2— 3,5] de mathématiques pures et appliquées par J. Liouville, deuxiéme 
ree. tome I, a. 4856 p. 193—209; M. Cantor, über die Porismen des 
Inc gia und deren Divinatoren, in Schlómilch, Zeitschr. für Mathematik 
wd Physik, 4857.p. 47 sqq., el 1864, .Literaturzeitung, p. 8 sqq.; 
Th. Leidenfrost, die Porismen des Euklid, Programm der Realschule zu 
€é&*nar, 4868; Fr. Buchbinder, Euclids Porismen und Data, Programm 
Kgl. Landesschule Pforta, 1866. 
appus II. 49 





LIBER VII. 651 


primo scripta sunt addiderunt, nisi quod ante nostram aeta- 
tem maihemalici quidam inepti ad pauca illius problemata 
alias suas quasi secundarias descriptiones!) adiunxerunt, cum 
unumquodque problema definitum numerum demonstrationum 
habeat, ut ostendimus, Euclides autem ubique unam eamque 
evidentissimam posuerit. "Verum haec subtilem et naturá- 
lem doctrinam eamque necessariam et generaliorem et iis qui 
Singula perspicere et suppeditare possunt?) admodum iucun- 
dam habent.] Omnia autem horum genera speciem neque 
theorematum neque problematum, sed eam quae medium in- 
ter haee locum obtineat, repraesentant [ut propositiones eorum 
vel theoremata vel problemata perhiberi possint], quamobtem 
etiam factum est, ut plurimi geometrae ea inter theoremata 
referenda esse existiment, alii inter problemata, cum wírique 
ad formam tantum propositionis respiciant. Sed inier haec 
tria quid intersit, melius cognovisse veteres apparet e defi- 
nitionibus. Etenim theorema esse dixerunt id quod ad 
demonstrationem ipsius propositi protenditur, problema 
autem id quod ad constructionem ipsius propositi con- 
sütuitur, denique porisma id quod ad investigationem 
ipsius propositi adhibetur?). [Haec porismatis definitio a re- 
centioribus immutata est, qui, cum omnia suppeditare non 
possent), his elementis utentes tantum "esse id quod quae- 
ritur" demonstrarunt5), minime autem idem investigaverunt; 
sed eos errare et ipsa definitio et omnis mathematica. disci- 


4) Vincent. p. 33: "quelques doubles rédactions", et conf. eundem p. 34. 


«. 9) Chasles p. 45: "à ceux qui savent voir et trouver", Vincent p. 23: 
ἃ ceur qui savent voir et déduire des conséquences". 


— 8) Chasles l. c.: "le porisme est une proposition οὐ l'on demande de 
'O*te-er ce qui est proposé , Vincent l. c.: "le porisme est une chose pro- 
PDos*e£e en oue du parti ἃ tirer de ce qui est proposé". 


4) Vincent ]. c.: "ne pouvant pas tout pénétrer (pour aller au delà)". 


5) Vincent p. 82: "8 ἔστι τὸ ζητούμενον me paratt étre une for- 
"we lerminale et conclusive de ia solution des problémes, analogue à 
πες» ἔδει ποιῆσαι, de méme que ὅπερ ἔδει δεῖξαι est la. formule con - 
duséve des theorémes. Ainsi les géométres qui manquaient de sagacité, 
ürré€és à la conclusion 0 ἔστι τὸ ζητούμενον, s'arrétaient là sans cher- 
Ce- plus loin; mais les habiles, τοῦτο πορέζοντες, examinaient s'il n'y 
9'G3£ pas quelque chose à remarquer et à déduire". 


12* 


652 TIAHHOY XYNATOTHX Z. 


τῶν διδασκομένων. ἔργαψαν δὲ ἀπὸ συμβεβηκότος οὕτως" 
πόρισμά ἐστιν τὸ λεῖπον ὑτιοϑέσει τοπικοῦ ϑεωρήματος. 
τούτου δὲ τοῦ γένους τῶν πορισμάτων εἶδός ἐστιν οἱ τό-- 
ποι, χαὶ πλεονάζουσιν ἐν τῷ ἀναλυομένῳ " κεχωρισμένον 
δὲ τῶν πορισμάτων ἤϑροιοται καὶ ἐπιγράφεται καὶ πιαρα-- 5 
δίδοται διὰ τὸ πολύχυτον εἶναι μᾶλλον τῶν ἄλλων εἰδῶν. 
τῶν γοῦν τόπων ἐστὶν ἃ μὲν ἐπιπέδων, ἃ δὲ στερεῶν, & 
1508 γραμμιχῶν, καὶ ἔτι τῶν πρὸς μεσότητας. συμβέβηκε. 
δὲ καὶ τοῦτο τοῖς πορίσμασιν, τὰς προτάσεις ἔχειν dpa 
τετμημένας διὰ τὴν σχολιότητα τιολλῶν συνήϑως συνυτία-- 1" 
χουομένων, ὥστε πολλοὺς τῶν γεωμετρῶν ἐπὶ μὲν μέρους 
ἐχδέχεσϑαι, τὰ δὲ ἀναγχαιότερα ἀγνοεῖν τῶν σημαινομέ-- 
γων. ἱπεριλαβεῖν δὲ πολλὰ μιᾷ προτάσει ἥκιστα δυνατὸν, 
ἐν τούτοις, διὰ τὸ xai αὐτὸν Εὐκλείδην οὐ τιολλὰ ἐξ ἑκά-- 
στου εἴδους τεϑεικέναι" ἀλλὰ δείγματος ἕνεκα ix τῆς mo— 3 
λυπληϑείας ἔνια ὀλίγα πρὸς ἀρχὴν (δεδομένον) τοῦ πρώτου" 
βιβλίου τέϑεικεν ὁμοειδῆ, πιάντ᾽ ἐκείνου τοῦ δαψιλεστέρου; 
10 εἴδους τῶν τόπων, ὡς ( τὸ τιλῆϑος.) διὸ xal περιλαβεῖνσ 
ταύτας μιᾷ προτάσει ἐνδεχόμενον εὑρόντες οὕτως ἐγράψα--- 
μεν" ἐὰν ὑπτίου ἢ παρυτιτίου τρία τὰ ini μιᾶς σημεῖα [ἢ ' 
παραλλήλου ἕτερα τὰ δύο] δεδομένα ἢ, τὰ δὲ λοιτεὰ mà» 


A. κεχωρισμένων Ha (αἱ κεχωρισμένον intellegitur zü εἶδος 7. Zar 
δίκα ἃ μὲν ABS, δέκα del. Ha — 8. ἔτι B* Ha, ἐπὶ ΑΒ. 40. διὰ riv 
immo εἴς riwe Hu 44. μὲν add. Hu 42. ἐχδέχεσθαι Ha pro fx— 
δέχεται ἀναγχαιότατα exspeclatur; at conf, infra cap. 37 med. 

43. ἡδίστα A(BS), corr. Sca et Ha (codicum scripturam luetur Vincen— 
lius p. 20) — 45. δείγματα Ge ἐκ add. Hu πολυπληϑέας (sine 
ace.) A, corr. ΒΒ. 46. ἔνεα Breton p. 389, ἐν ἣν A(BS), £v ἢ E. Litlré-- 
apud Brelonum p. 244 — "ὀλίγα προσαρχεῖν δεδομένα coni. Vincent 
p.30 post δεδομένον lacuna in A, δεδομένων Ge, del. Hu. — 47. πάντ᾽ 
Hu, πᾶν AB Ha, παρ᾽ S Breton p. 212 49. ἐν ante μιᾷ add, Ha. 
20. σημεῖα pro σημεῖον Ha — 94. ad παραλλήλου item atque antea ad. 
ὑπείου οἱ πιαρυπτίου cogitatione adde σχήματος ; verum quia haec om- 
nis hypothesis ἢ παραλλήλου ἕτερα τὰ δύο aliena est a generali pro- 
positionis sensu, hic quoque interpolatoris manus deprehenditur (cele- 
rum conf, adnot. ad Laina] ἑτέρᾳ Ha, qui transposilis verbis tolum 
locum sic dedit: ἐὰν ὁπτίου jj παρυπτίου ἣ παραλλήλου ἑτέρᾳ vole τὰ 


LIBER VII. 653 


plina evincit!). Qui accidens quiddam spectantes definie- 
runt: "porisma est id quod deficiente hypothesi differt a 
theoremate locali" 3. Huius porismatum generis species quae- 
dam sunt loci geometric, qui abunde occurrunt in loco qui 
ἀναλυόμενος vocatur. Sed hoc argumentum, quia diffusius 
est ceteris generibus, separatim a porismatis collectum est et 
Proprio titulo traditur. ^ Locorum igitur alii sunt plani, alii 
solidi, alii lineares; alii denique ad medias proportiones spec- 
tont.] Verum hoc etiam in porismatis contingit, ut proposi- 
lines in compendium contractas habeant, cum propter con- 
tortiorem formam multa tacite supplenda omitti soleant; unde 
multi geometrae ex parte tantum ea percipiunt, praecepta 
autem maxime necessaria ignorant. [Minime in his portisma- 
s fieri potest, ut plura una propositione contineantur, siqui- 
dem ipse etiam Euclides non multa e singulis generibus po- 
Suit; sed exempli gratia e tanto numero pauca quaedam ea- 
que» inter se cognata initio primi libri posuit, quae omnia ex 
illc»  uberiore locorum genere repetita decem sunt numero]. 
Qurocirea nos, cum haec una propositione comprehendi posse 
C £rmoverimus, sic scripsimus?): "si in systemate quattuor 
ré€c tarum, quarum binae se secant, tria puncta in una recta 
[ve duo, si duae parallelae sint] data sint, reliqua autem 


4) Vincent. p. 28: "convaincus par la définition (précitée) et par 
(δ  €yai est enseigné . Aliter Chasles, cuius interpretationem ad Graeca 
P. € 50, 24 adscripsimus. 


3) Chasles p. 46: "ce qui constitue le porisme est ce qui manque à 
l'hap3oothése d'un. théoréme local (en d'autres termes, le porisme est infé- 
riew€3", par l'hypothése, au théoréme local; c'est à dire que quand quelques 
Ῥαφ ξδος d'une proposition locale n'ont pas dans l'énoncé la détermination 
(4$ — Jeur est propre, celte proposition cesse d'étre regardée comme un théo- 
"xa οἱ devient un porisme". Latius de difficillima hac quaestione agit 
Vira «xentius p. 383—234. 


3) Conf. Vincent p. 24. 36—38. 





ἐπὲ quc σημεῖα δεδομένα ἢ (at conf. superiorem adnot.) δύο add. 
Pw auctore Simsono p. 348 


654 ΠΆΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ἑνὸς ἅπτηται ϑέσει δεδομένης εὐθείας, καὶ τοῦϑ᾽ ἅψετατ. 
ϑέσει δεδομένης εὐθείας. τοῦτ᾽ ἐπὶ τεσσάρων μὲν εὐθειῶν 
εἴρηται μόνων, ὧν οὐ τιλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐτοῦ ση-- 
μείου εἰσίν, ἀγνοεῖται δὲ ἐπὶ παντὸς τοῦ προτεινομένουπ. 
πλήϑους ἀληϑὲς ὑπάρχον οὕτως λεγόμενον - ἐὰν ὁποσαιοῦνσ ὃ 
εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, μὴ πλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐ-- 
τοῦ σημείου, πάντα δὲ ἐπὶ μιᾶς αὐτῶν δεδομένα ἢ, waE- 
τῶν ἐπὶ ἑτέρας ἕκαστον ἅτιτηται ϑέσει δεδομένης εὐθείας, 
ἢ καϑολικώτερον olrug: ἐὰν ὁποσαιοῦν εὐθεῖαι τέμνωσιν» 
ἀλλήλας, μὴ πλείονες ἢ δύο διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου, πάντα M 
δὲ τὰ ἐπὶ μιᾶς αὐτῶν σημεῖα δεδομένα ἢ, τῶν δὲ λοιπῶν 
τὸ πλῆϑος ἐχόντων τρίγωνον ἀριϑμὸν ἡ πλευρὰ τούτου 
ἕχαστον ἔχῃ σημεῖον ἁτιτόμενον εὐϑείας ϑέσει δεδομένης, 
τῶν τριῶν μὴ πρὸς γωνίαις ὑπαρχόντων τριγώνου χωρίου, — 
ἕκαστον λοιπὸν σημεῖον ἅϊψιεται ϑέσει δεδομένης εὐϑείας. 1 

11 τὸν δὲ στοιχειωτὴν οὐκ εἰχὸς ἀγνοῆσαι τοῦτο, τὴν δ᾽ ἀρχὴν 
μόνην τάξαι" καὶ ἐπὶ πάντων δὲ τῶν πορισμάτων φαίνετακ:, 
ἀρχὰς καὶ σπέρματα μόνα [πληϑῶν πολλῶν καὶ μεγάλων 
καταβεβλημένος, ὧν τὰ γένη οὐ χατὰ τὰς τῶν ὑποϑέσεωνν 
διαφορὰς διαστέλλειν δεῖ, ἀλλὰ κατὰ τὰς τῶν συμβεβηχότ- ' 
τῶν xci ζητουμένων. [αἱ μὲν ὑποϑέσεις ἅπασαι διεαφέρου-το 
σιν ἀλληλῶν εἰδικώταται οὖσαι, τῶν δὲ συμβαινόντων xo£- 
ζητουμένων ἕχαστον' ἕν καὶ τὸ αὐτὸ ὃν πολλαῖς ὑποϑέσεσσι, 
διαφόροις συμβέβηκε διαιρεῖσϑαι.] 

18 ποιητέον οὖν ἐν μὲν τῷ τιρώτῳ βιβλίῳ ταῦτα τὰ γένη 
τῶν ἐν ταῖς προτάσεσι ζητουμένων [ἐν ἀρχῇ μὲν τοῦ ζ΄ duà— 
γραμμα τοῦτο]" 

9. rovr' ἔστιν A(BS), corr. Ha 8. μόνον Breton p. 912 — 5. oras 
ASBSS — 44. σημεῖα BS, σημείων A 42. τὸ πλῆϑος abundare videlug— 
[conf.ad vs. 13) 48. ἔχῃ Hu ρτὸ ἔχει͵ 44. ὧν τριῶν μὴ πρὸς γωνίαι 
ὑπάρχον ABS, corr, Hu — 48. πληϑῶν πολλῶν καὶ μεγάλων interpola— 
lori tribuit Hu. (pro πιληϑῶν sanum erat εἰδῶν vel γενῶν — 49, xara 
βεβλημένας ABS, καταβεβληκέναι Ha, corr. Hu ὧν τὰ γένη Hu, ων τ΄ 
ivo A[BS), ὧν ἕκαστον Ha — 34. διαφεροῦσιν A, διιφοροῦσιν BS, Cort. 
Ha 88. ἕχαστον ἕν B* Ha, ἐχάστην ἐν A(S) 34. διαιρεῖσϑαι Hu, 
τῶι ταῦτα γενη A(BS), om. Ha, qui sic verlit: mullis diversisque Aypo- 
ihesibus contingit; uc conferantur Simson p. 349 el Chasles p. 15΄ 
36. 27. ἐν ἀρχῇ -- τοῦτο interpolatori tribuit Hw, ἐν ἀρχῇ μὲν τούτου" 


LIBER VII. 655 


praeter unum síngulas rectas positione datas tangant!), etiam 
hoc wnum rectam positione datam tanget". Hoc de quattuor 
Wntum rectis dictum est, quarum non amplius binae per 
Wem punctum transeunt; ignorant autem plerique idem quo- 
Vis reclarum numero proposito verum esse, si sic enuntietur : 
"si quetcunque rectae inter se secent, non plures quam bi- 
Dàe per idem punctum, omnia autem in una harum reclarum 
puncia data sint et eorum quae in alia recta sunt unum quod- 
que rectam positione datam tangat", vel generalius sic: "si 
quotcunque rectae inter se secent, non plures quam binae 
per idem punctum, omniaque in unà harum recíarum puncta 
data sint, reliqua autem numerum triangularem?) efficiant, 
cuius latus quot puncta habet, tot puncta singulas rectas po- 
Sitione datas tangant, modo ne terna ad angulos spatii trian- 
&uli sint (i. e. dummodo terna in recta linea sint) , quodque 
reliquum punctum tanget rectam positione datam".  Scrip- 
vVorem autem elementorum ea non ignoravisse, sed initia tan- 
Wm posuisse veri simile est, qui quidem omnino in poris- 
matum docírina principia modo et semina [multarum magna- 
Tum»«que rerum] iecisse videtur; genera autem eorum non 
Secuamdum hypothesium, sed accidentium et quaesitorum dif- 
ferexatias distinguenda sunt.  [Hypotheses quidem omnes, 
quik»pe quae specialissimae sint, differunt inter sese; quid- 
qui«À autem accidens ac quaesitum est, quamvis unum idem- 
que* sii, in multas hypotheses diversas distingui solet ὃ) .] 
In primo igitur libro haec genera eorum quae in propo- 
sii mibus quaeruntur statuenda sunt [initio septimae sectionis 
hoc  diagramma est]: 


4) Schema ὕπτιον et παρύπτιον quid sit, et quale schema παράλ- 
ios interpolator significaverit, explicat Simsonus de porismatibus p. 848 
(vide nostrae edit. indicem). Idem Graeca τὰ δὲ λοιπὰ ἅπτηται ϑέσει 
9o ξεένης sic interpretatur: "unum tangat unam, aliud tangat aliam 
'éctam positione datam, et sic deinceps". | 

. ) De numeris triangularibus latius disserit Nicomachus introduct.. 
arith m. II, 8.- . 
3) Conf. Vincent p. 38 sq. 
------- 
scil, 


Bret τοῦ βιβλίου) ζήτει τὸ διάγραμμα coni. Vincent p. 39 (et conf. 
o 


n p. 287 sq.) 26. τὸ (' cod. Paris. 2368, τὸ E£8douov SV 


656 IIAIIIIOY ZYNAT'OGTHZ Z. 


ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων πρὸς ϑέσει dedoué— 
vpv εὐθεῖαι κλασϑῶσιν, ἀποτέμνῃ δὲ μία ἀτιὸ ϑέσει deóo — 
μένης εὐθείας πρὸς τῷ ἐπ᾽ αὐτῆς δεδομένῳ σημείῳ, ἀπο «---- 
τεμεῖ xai ἡ ἑτέρα ἀπὸ ἑτέρας λόγον ἔχουσαν δοϑέντα" 

ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς" 

ὅτι τόδε τὸ σημεῖον ἅπτεται ϑέσει δεδομένης εὐϑείας - 

ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς τήνδε δοϑείς" 

ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς ἀποτομήν᾽ 

ὅτι ἥδε ϑέσει δεδομένη ἐστίν" 


ó 


ὅτι ἥδε ἐπὶ δοϑὲν vevew: 10 


ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος" 

ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε κατηγμένην" 

ὅτι λόγος τοῦδε τοῦ χωρίου πρὸς τὸ ὑπὸ δοϑείσης 
καὶ τῆσδε᾽ 

ὅτι τοῦδε τοῦ χωρίου ὃ μέν τι δοϑέν ἐστιν, ὃ δὲ λό--- 
γον ἔχει πρὸς ἀποτομήν" 

ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετά τινος χωρίου δοϑέν-- 
vog ἐστίν, ἐκεῖνο δὲ λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν᾽ 

ὅτι [δε] μεϑ᾽ ἧς πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοϑέντα σ 
λόγον ἔχει πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος" 

ὅτι τὸ ὑπὸ δοθέντος καὶ τῆσδε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπῷ᾽ 
δοθέντος καὶ τὴς ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος" 


2. εὐθεῖαι Hu pro εὐθεῖαν ἀποτεμνὴ δὲ uí«v A(BS), corr. Hcz 
auctore Co 3. δεδομένων σημείων A(B), corr. S ἡ, ἔχουσαν B* 
Ha, ἔχουσα AS 44. ὅτι λόγος τῆς δὲ προς τινα ἀπὸ rovds ὡς do— 
ϑέντος repetunt A (B, nisi quod hic τοῦ dz ὡς, S), del. V ἕως Ha prc» 
ὡς 42. χατηγμένης ABS, corr. Ha 45. 0 μέν — 0 dà V, 6 μὲν — 
ὅδε S, ὁ μέν — ὁ dà AB — 145. 46. λόγον ἔχει πρὸς τὸ ὑπὸ ἀποτομῆς 
χαὶ δοϑείσης voluisse videtur Chasles (vide adnot. 8 ad Latina) 49. 70e 
(ante μεϑ᾽ ἧς) del. Hu 20. ἕως Ha pro ὡς 21. ὑπὸ τοῦ δοϑέν--- 
voc Ha post x«l τῆσδε repetunt xel τὸ vzodo9érrog x«l r5odem 
A(BS), del. Co 21. 99. ὑποδοϑέντι A(BS), corr. Ha 929. τῆ; 
add. Ha 


15 


“20 


LIBER VII. 657 


I. Si a duobus punctis datis rectae ducantur et rectam 
possitione datam secent, una autem a recta positione data 
in«Jde a puncto dato segmentum abscindat, etiam altera ab al- 
Los-Zn segmentum, quod datam proportionem habeat, abscindet. 

Tum in iis quae sequuntur: 

II. Hoc punctum tangere rectam positione datam. 

11. Proportionem huius rectae ad hanc datam esse. 

IV. Proportionem huius rectae ad segmentum datam esse!). 

V. Hanc rectam positione datam esse. 

VI. Hanc rectam ad datum punctum vergere?). 

VII. Proportionem huius rectae ad segmentum, quod ab 
ho«* puncto ad alterum datum pertinet, datam esse. 

VIII. Proportionem huius rectae ad alteram, quae ab hoc 
P'72.cio ducta est, datam esse. 

IX. Proportionem huius rectanguli ad rectangulum, quod 
eX. «lata recia et hac construitur, datam esse. 

X. Huius rectanguli partem quandam (ipsam quoque rec- 
tG2eyulam) datam esse, alteram partem ad segmentum pro- 
Por'tionem datam habere 3). 

XI. Hoc rectangulum vel hoc cum quodam spatio dato 
Go tvm esse, illud autem proportionem daíam habere ad seg- 
mentum 4). 

XII. Hanc recíam, quae coniuncta cum altera ad ean- 
denm, alteram habet proportionem datam, etiam ad quandam 
P"C€ctem, quae ab hoc puncto ad datum punctum pertinet , ba-. 

€re proportionem da/am?). 


4) Conf. Vincent p. 40. 
9) ''Que telle droite passe par un point donné" Vincent p. 26, Cbasles 


P- 48. Conf. etiam Chasles p. 444, Simson. p. 418 sqq. 
la 8) Vix recte Ha et Simsonus vertunt: "Quod huius rectanguli unum 
tus datum est, alterum vero rationem habet ad rectam abscissam "., 


TObabilius Bretonus p 217: "que tel rectangle équivaut à un rectangle 
Ostant, plus un autre rectangle qui varie proportionnellement à une cer- 
d *7te abscisse', et Vincentius p. 26: "que tel espace est (décomposable en 
dao parties dont) l'une est. donnée οἱ dont l'autre est. (à la premiere, 

?^s wn rapport d'apotome". | Rursus aliter Chasles p. 19: "que tel rec- 
e équivaut à un reclangle donné plus ile rectangle formé sur telle 
Césse οἱ sur une droite donnée". 


viz &) Obscura haec atque, ut plerisque interpretibus videtur, mutilata. 
!incentius p. 26 locum sic convertit: "que tel espace pris seul ow avec 

et Ceriain espace (est décomposable en deux parties dont l'une est donnée 

tes G Ont) l'autre est (à un espace donné) dans un rapport d'apotome". Ce- 
Tum conf. mox genus XVI. 


... $9) Sic verba difficillima interpretanda esse duxi, cum vulgo haec 
VPOtius Graeca conversa reperiantur: ὅτε συναμφότερος ἥδε καὶ ἡ πρὸς 


c 


tay 
ae 4,9! 


658 HAtllloY SYNATQP HX Z. 


ὅτι λόγος τῆσδε xai τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε fuc; 
δοϑέντος" 


ὅτι ἣδε ἀποτέμνει ἀπὸ ϑέσει δεδομένων δοϑὲν περει--- 
ἐχούσας. 


) ^ — 
19 Ev δὲ τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ ὑποϑέσεις μὲν ἕτεραι, v3» 
A M - ^v 
δὲ ζητουμένων và μὲν πλείονα τὰ αὐτὰ τοῖς iv τῷ πρώε eo 
βιβλίῳ, περισσὰ δὲ ταῦτα᾽ 


ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετὰ δοϑέντος λόγον ἔχεε 
πρὸς ἀποτομήν" 


e , - € 4 Dd M 3 ’ 
τι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς ἀποτομήν" t 


ὅτε λόγος τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρων τῶνδε xai συναμ- 
φοτέρων τῶνδε πρὸς ἀποτομήν 


et A € M - M , — , N - 
ὅτι τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ συναμφοτέρου T5006 τε καὶ TG 
M «“ UU J » , ' 0€ 8 - M 
πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοϑέντα καὶ τὸ ὑπὸ τῆσδε xut 
^w , 3 - 
τῆς πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοϑέντα λόγον ἔχει τερὸς àno— 
τομήν" 


ὅτι λόγος συναμφοτέρου πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως 00— 
ϑέντος᾽ 


0t, δοϑὲν τὸ ὑπὸ τῶνδε. 


20 Ἐν δὲ τῷ τρίτῳ βιβλίῳ oi μὲν πλείονες ὑποϑέσειεξ ? 
2 € J ,? ) J / ED M / * ! - 
ἐπὶ ἡμικυχλίων εἰσίν, 0ÀLyaL δὲ ἔπε κύκλου xai τμημάτων 

^w ly ^ » 
τῶν δὲ ζητουμένων τὰ μὲν πολλὰ παραπλησίως τοῖς 8— 
σροσϑεν, περισσὰ δὲ ταῦτα᾽ 


- 


4. ἕως Ha pro ὡς 8. 7j τόδε μετὰ δοϑέντος Hu pro sro (con € - 
proximam adnot.) 9. post ἀποτομήν add. μετὰ δοθέντος Lye» 
ἔχει πρὸς ἀποτομήν A? in marg. BS, quae recepit Ha addito ἢ sn te 
μετὰ 40. ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε B5 Ha, ὅτι λόγον cet. AS 
441. συναμφοτέρου τῶνδε xoi συναμφοτέρων ABS?, συναμφοτέρου τῶν d 
καὶ συναμφοτέρου ΒΊΝ Ha, corr. Hu 41. ὅτι λόγος Bs Ha, Φτί 
λόγου AS συναμφοτέρου τῆσδε voluit Ha "utriusque simul sumplae 
interpretans ἀπὸ add. Ha 18. ἀποτομήν add. Hu 


LIBER VII. 659 


XIII. Triangulum, cuius vertex est datum punctum οἱ 
basis haec recta, aequale esse triangulo, cuius vertex datum 
punctum et basis est abscissa inde ab hoc puncto ad datum 
punctum ). 

XIV. Proportionem summae huius rectae et huius ad por- 
lionem quandam, quae ab hoc puncto ad datum punctum 
pertinet, datam esse. 

XV. Hanc recíam a duabus recíis positione datis seg- 
menta abscindere, quae latera dati rectanguli sini?). 

In secundo libro aliae quidem sunt hypotheses ; quaesita 
autem pleraque eadem atque in primo libro. Accedunt ta- 
men haec: 

XVI. Hoc rectangulum vel hoc cum aitero dato ad seg- 
mentum proportionem daíam habere. 

XVII. Rectanguli, cuius latera sunt haec recía et haec, 
proportionem ad segmentum daíam esse. 

XVIII. Rectanguli, cuius alterum latus est summa ha- 
rum rectarum, alterum summa harum, proportionem ad seg- 
mentum daíam esse. 

XIX. Rectangulum, cuius alterum latus haec recta est, 
alterum summa huius et alterius ad quam haec proportionem 
datam habet, coniunctum cum eo rectangulo, cuius latera 
Sunt haec recta et altera ad quam haec proportionem datam 
habet, proportionem datam habere ad segmentum. 

XX. Summae horum duorum rectangulorum?) ad seg- 
mentum quoddam, quod ab hoc puncto ad datum punctum 
Pertinet, proportionem datam esse. 

XXI. Bectangulum, cuius latera hae recíae sunt, datum esse. 

In tertio libro plurimae hypotheses de semicirculis sunt, 
Paucae tantum de circulis et segmentis. lterum quaesita plu- 
"ima similia sunt prioribus; accedunt tamen haec: 


Ἦν ἥδε cet.; nam sic Ha: "Quod recta una cum alia, ad quam est in 
Falione data" cet., ac similiter reliqui, velut Vincent l. c.: "que telle 
TOite plus une autre droite avec laquelle telle autre droite est dans un 
"Gpport donné, est elle méme dans un certain rapport avec un certain 
Jégment compris entre tel point et un. point donné". 


4) Sic secundum Bretonum, Vincentium, Chaslesium; Halleius inter- 
Pretando pro δοϑέντος bis intellexit δοϑείσης. 
4) Conf. Simson. p. 434 sq., Chasles p. 174 sq. 
8) Halleium summam duarum rectarum statuisse ad Graeca ad- 
Volatum est, qua ab opinione non discesserunt Simsonus p. 354 et 
IhCenlius p. 37; ad συναμφοτέρου tacite τοῦδε τοῦ χωρέου suppleve- 
Unt itaque rectangulorum summam intellexerunt Breton p. 247 et 
Chasles p. 20. 


6600 ΠΑΠΙΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ Z. 


e ᾽ c» € Noc ΄- A A] € 4 ev 
ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶνδε" 
ce , -— 9 s - * ) ^ « 
0tL λόγος τοῦ G0 τῆσδε ττροὸς ἀποτομὴν " 


ὅτι τὸ ὑπὸ τῶνδε τῷ ὑπὸ δοϑείσης καὶ τῆς ἀττὸ τοῦ € 
ξἕως do9évvog: 


ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσδε τῷ ὑπὸ δοϑείσης καὶ ἀπολαμβαν»-- 5 
’ € hl , c , 
μένης vxo καϑέτου ἕως δοϑέντος᾽ 


ὅτι συναμφότερος ἥδε καὶ πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δο- 
ϑέντα λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν " 


- c 
ὅτι ἔστιν τι δοϑὲν σημεῖον ἀφ᾽ οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεν χε 
3 νΝ ὃ ὃ l| j ^ là , . 10 
ἐπὶ τούσδε δοϑὲν περιέξουσι τῷ εἴδει τρίγωνον 


-- [4 
ὅτι ἔστιν τι δοϑὲν σημεῖον ἀφ᾽ οὗ αἱ ἐπιζευγνύμεν ext 
ἐπὲ τόνδε ἴσας ἀπολαμβάνουσι περιφερείας " 
» 
ὅτι ἢδε ἤτοι ἐν παραϑέσει ἐστὶν ἢ μετά τινος e9Oec exc 
ἐγτὶ δοϑὲν νευούσης δοϑεῖσαν περιέχει γωνίαν. 


2 ^ , 
Ἔχει δὲ τὰ τρία βιβλία τῶν πορισμάτων λήμματα 427. 5 
αὐτὰ δὲ ϑεωρημάτων ἐστὶν ροα΄. 
Τόπων ἐπιπέδων δύο. 


21 Ἰῶν τόπων χαϑόλου οἱ μέν εἰσιν ἐφεκτιχοί, ὡς wc «xt 
) - . ' 
ἀπολλώνιος πρὸ τῶν ἰδίων στοιχείων λέγει σημείου ue Ἐν 


2. ὅτι λόγον τοῦ ἀπὸ τῆσδε ABS, corr. Ha ᾿πρόστο «7TOTOLF γ7» 
A(BS), corr. Ha 3. τῆς add. Ha 5. ὑπὸ δοϑείσης Hu pro i» 79 
δοϑέντος ex Halleii ac reliquorum interpretum sententia 7. pe«s* 


συναμφότερος add. ἥδε Hw (ac similiter vertit Ha); longe aliter Bw € “ 
tonus aliique, quorum interpretationi haec Graeca respondent: or: *€ 
ὑπὸ συναμφοτέρων τῶνδε xol τῆς πρὸς ἣν ἥδε cet. (conf. adnot. 2 ad 
Latina) 40. ἐπὶ τούσδε Hu ex Simsoni p. 455 ratione, ἐπὶ ro (si 2€ 
acc.) A(BS), ἐπὶ τόδε Ha, ἐπὶ τόνδε Simson. l. c. 44. ὅτι ἐστ A7 
δοϑὲν A, ὅτι ἐστὶ δοϑὲν BS, τι add. Ha 44. ἐπὶ τόδε ABS “332 7 
corr. Hu ex ratione Simsoni p. 463 43. 5de ἤτοι ἐν Ha, ηδεντ «7 
AB, ἡδ᾽ iv τῇ SV Paris. 2368 ἐστὶν Hu pro ἔσται 14. τὸ an f£ 
do9iv add. Ha 48. ὡς Hu, κκοὺς A, οὖς BS vulgo 49. δίων 7. 
om. Ha 





LIBER VII. 661 


XXII. Rectanguli, quod est sub his rectis, ad rectan- 
gulum, quod est sub his, proportionem datam esse. 


XXIII. Quadrati, quod ab hac recía est, proportionem 
al segmentum daíam esse. 


XXIV. Rectangulum, quod est sub his rectis, aequale 
esse rectangulo, cuius latera sunt data recta et abscissa ab 
hoc puncto ad datum punctum. 


XXV. Quadratum, quod ab hac recta est, aequale esse 


rectangulo, cuius latera sunt data recta!) et abscissa a ca- 
theto ad datum punctum. 


XXVI. Summam huius rectae et alterius, ad quam haec. 


proportionem datam habet?), ad segmentum proportionem da- 
lam habere. 


XXVII. Esse aliquod datum punctum, a quo ductae ad 
hos circulos?) rectae datum specie triangulum continebunt. 

XXVIII. Esse aliquod datum punctum, a quo ductae ad 
hunc circulum?) rectae aequales arcus abscindunt. 

XXIX. Hanc rectam aut parallelam esse aut cum recta qua- 
dam, quae ad datum punctum vergit, datum angulum continere?). 


Tres porismatum libri habent lemmata XXXVIII; theo- 
remata in iis insunt -CLXXI. 


LOCORUM PLANORUM LIBRI DUO. 


Loci in universum partim ἐφεχτικοί sive fimi, ut iam 
Apollonius in exordio suorum elementorum puncti locum punc- 


. . 4) Rectangulum eiusque alterum latus datam rectam, i. e. τῷ 
ὑπὸ δοϑεέσης, omnes secundum Halleium interpretes intellexerunt. Quod 
codex habet τῷ ὑπὸ δοθέντος, id significaret: aequale esse triangulo, 
Cuius vertex: datum punctum et basis est abscissa a catheto cet. 

2) Sic ex mea coniectura interpretatus sum, eademque Halleii fuit 
Sententia, qui sic dedit: "Quod rectae .... una cum illa ad quam. 
atam habet rationem, simul sumptae "  cet., quod genus non idem est 
80 Supra XII, etiamsi secundum vulgarem interpretationem illud acci- 
Piamus. Contra Breton p. 248, Vincent p. 27, Chasles p. 21 liberius 
tractata codicis scriptura (vide. adnot. ad Graeca) rectangulum intule- 
TUnt ; nam Chasles (ac similiter ante hunc Breton et Vincent) sic con- 
vertit : "Que le rectangle qui a pour cotés la somme de deux droites et 
"V6 droite en rapport donné avec telle autre droite" cet. 

3) Sic ex ratione Simsoni p. 455 Sqq. ; contra Halleius “δὰ puncta 
quaevis"; τάδε igitur intellexit, quamvis τόδε in Graeco contextu scri- 
beret, Vincent p. 37. 44 sq. (quem sequitur Chasles) sic interpretatur: 
ἢ existe un point donné tel que les droites menées de ce point à deux 
Points donnés comprennent un. angle donné d'espéce". 

4) Vide Simsonum p. 463 sqq.; contra Vincent Pp. 27: "qwil existe 
V^ point donné tel que les droites menées de ce point à deux points donnés 
ilerceptent des arcs égaux". 

δ) Conf. Simsonum p. 474 sqq., Vincent p. 42. 


662 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


τόπον σημεῖον, γραμμῆς δὲ τύπον γραμμήν, ἐπιφανείας δὲ 
ἐπιφάνειαν, στερεοῦ δὲ στερεόν, οἱ δὲ διεξοδικοί, ὡς ση- 
μείου μὲν γραμμήν, γραμμῆς δ᾽ ἐπιφάνειαν, ἐπιφανείας δὲ 
στερεόν, οἱ δὲ ἀναστροφικοί, ὡς σημείου μὲν ἐπεεφάνειαν, 
22 γραμμῆς δὲ στερεόν. [τῶν δὲ ἐν τῷ ἀναλυομένῳ οἱ ubi 
τῶν ϑέσει δεδομένων ἐφεχτικοί δἰσιν, οἱ δὲ ἐπίπεδοι λε- 
γόμενοι καὶ οἱ στερεοί. γραμμικοὶ διεξοδικοί εἶσιν σῃ- 
μείων, οἱ δὲ πρὸς ἐπιφανείαις ἀναστροφικοὶ μέν εἶσιν 0t- 
μείων, διεξοδικοὶ δὲ γραμμῶν οἱ μέντοι γραμμικοὶ ἀπὸ 
τῶν πρὸς ἐπιφανείαις δείκνυνται. λέγονται δὲ ἐπέσεδοι μὸν] 
τόποι οὗτοί τε περὶ ὧν ἐπάγομεν καὶ καϑόλου ὅσοι εἰσὶν 
εὐθεῖαί τε καὶ γραμμαὲ ἢ κύχλοι" στερεοὶ δὲ ὅσοι εἰσὶν 
χώνων τομαὶ παραβολαὶ ἢ ἐλλείψεις Ὦ ὑπερβολαί" γραμ- 
μικοὶ δὲ τόποι λέγονται ὅσοι γραμμαί εἰσιν οὔτε εὐϑεῖαι 
οὔτε κύκλοι οὔτε τινὲς τῶν εἰρημένων κωνικῶν τομῶν. 0o 
δὲ ὑπὸ Ἐρατοσϑένους ἐπιγραφέντες τόποι πρὸς μεσύτητας 
ἐκ τῶν προειρημένων εἰσὲν τῷ γένει, ἀπὸ δὲ τῆς ἰδιότητος 
τῶν ὑποϑέσεων x ἐχείνοις.Ἶ 
23 Oi μὲν οὖν ἀρχαῖοι εἰς τὴν τῶν ἐπιπέδων [τοὐτω»] τό-- 
πων τάξιν ἀποβλέποντες ἐστοιχείωσαν᾽ ἧς ἀμελήσαντες o 
μετ᾽ αὐτοὺς προσέϑηκαν ἑτέρους, ὡς οὐκ ἀπείρων τὸ πλῇ-- 
Jog ὄντων, sí ϑέλοι "us προσγράφειν τὰ τῆς τάξεως buf — 
vno ἐχόμενα. ϑήσω οὖν và μὲν προσκείμενα ὕστερα, r«x 
δ᾽ éx τῆς τάξεως πρότερα, μιᾷ περιλαβὼν προτάσει ταῦτ 7 
ἐὰν δύο εὐθεῖαι ἀχϑῶσιν ἤτοι ἀπὸ ἑνὸς δεδομὲνο 4: 
σημείου ἢ ἀπὸ δύο, καὶ ἤτοι ἐπ᾽ εὐθείας ἢ παριᾷ.-- 
ληλοι ἢ δεδομένην περιέχουσαι γωνίαν, καὶ ἤτοι λ.) 3 


4. γραμμήν Ha pro γραμμὴ ἃ. ἐπιφάνειαν idem pro ἐπεφάνενε 
8. δ᾽ add. Hu 5. τῶν δὲ — 48. ἐχεένοις interpolatori tribuit hé 
6. τῶι ϑέσει AS, τῶ ϑέσει B, corr. Ha oí dà διεξοδικχοὶ οἱ inírz £7 
Jo: cet. voluisse videtur interpolator 71. στερεοὺ καὶ γραμμικχοὶ HG 
8. ἐπιφανείας BS valgo 9. 40. ἀπὸ τῶν om. V 40, ἐπιφάνεα «(Ὁ 
Ha 43. καὶ ante χαϑόλου et 49. τε καὶ orn. Ha — 4&. ὅσαι B! FG 
15. τινὲς Hu pro τες 48. lacunam ante ἐχεένοις statuit Ha, latine 
vertit "diversa sunt ab illis", unde ἀνόμοιοι ἐχεένοις coni. Hu — 19. εἰς 
τὴν add. Hu τούτων τόπων ABS, τόπων τούτων Ha, τούτω» * 





LIBER VII. 663 


Ww x3, linese locum lineam, superficiei superficiem, solidi soli- 
dum xm esse dicit, partim διεξοδικοί sive progredientes, ut puncti 
l«-ua1m lineam, lineae superficiem, superficiei solidum idem 
ap»goellat, partim denique ἀνασεροφεκοί sive circumvertentes, 
ui jpeuneti superficiem, lineae autem solidum. [Eorum qui inh 
am za lytica demonstratione inveniuntur alii sunt fixi in rectis posi- 
πιο datis, alii ii qui plani et solidi vocantur. Lineares sunt 
prozredientes ex punctis; ii autem, qui ad superficies spec- 
lu22£, circumvertentes sunt ex signís vel progredientes ex li- 
neàss. Lineares tamen ex iis qui ad superficies spectant de- 
mo mitrantur. Plani autem loci et ii appellantur, de quibus 
ag& rxiu$, et omnino quotcunque sunt rectae et lineae vel cir- 
culi; solidi autem, quotcunque sunt conorum sectiones, pa- 
r*»olae vel ellipses vel hyperbolse.  Lineares denique loci 
epippellantur, quoteunque lineae neque rectae sunt neque cir- 
cares neque eonicae quas modo diximus sectiones. Loci 
vero, quos Eratosthenes "ad medietates" inscripsit, genere 
quidem referendi sunt ad superiores, sed propter peculiarem 
hypothesium naturam illis sunt dissimiles.) 

Veteres quidem locorum planorum ordinem in conficien- 
dis elementis respexerunt. Quo neglecto posteriores alios ἰο-- 
CS addiderunt, quasi non infiniti numero essent, si quis om- 
"i, quae ex ordine illo pendent conscribere vellet. Iam vero 
*à quae adiecta sunt ponam posteriora, reliqua ex ordine 
Priora, eaque hac una propositione comprehendam : 

I. Si duae rectae ducantur vel ab uno dato puncto vel 
8 duobus eaeque vel unam rectam efficiant vel parallelae 
Sint!) vel datum angulum contineant, ac vel datam inter se 


4) Brevius Bretonus p. 299: "dans la méme direction", scilicet ab 
Uno puncto ἐπ᾽ εὐθείας, a duobus παράλληλοι. 


—À——M — 


dittographia ortum esse existimat Hu — 49. τὰ Hu pro οὐ 23. προ- 
Χεέμενα ABS Ha, ea quae adiecta sunt Simsonus p. xv, corr. Ge 


34. δ᾽ ix τῆς ASV, δὲ ἐκ τῆς B, δὲ τῆς Πα 35. ἀχϑῶσιν om. Ha 
31. yovíat AB, corr. S 


664 ΠΑΙΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΙΏΓΗΣ Z. 


ἔχουσαι πρὸς ἀλλήλας ἢ χωρίον περιέχουσαι δεδομένον, 
ἅπτηται δὲ τὸ τῆς μιᾶς τέρας ἐπιπέδου τόπου ϑέσει 
δεδομένου, ἅψεται καὶ τὸ τῆς ἑτέρας πέρας ἐττιπέδου τύ- 
που ϑέσει δεδομένου ὁτὲ μὲν τοῦ ὁμογενοῦς, ὁτὲ δὲ τοῦ 
ἑτέρου, καὶ ὁτὲ μὲν ὁμοίως κειμένου πρὸς τὴν εὐϑεῖαν, 
ὁτὲ δὲ ἐναντίως. ταῦτα δὲ γίνεται παρὰ τὰς διαφορὰς 
τῶν ὑποχειμένων. 
24 Τὰ δὲ προσκείμενα ἐν ἀρχῇ μὲν ὑπὸ Χαρμάνδρου γ 

συμφωνεῖ ταῦτα᾽ 

ἐὰν εὐθείας τῷ μεγέϑει δεδομένης τὸ ἕν πέρας ἢ δε- 
δομένον, τὸ ἕτερον ἅψεται ϑέσει δεδομένης περιφερείας 
κοίλης" 

ἐὰν απὸ δύο δεδομένων σημείων κλασϑῶσιν εὐϑεῖαι 
δεδομένην περιέχουσαι γωνίαν, τὸ κοινὸν αὐτῶν σημεῖον 
ἅψεται ϑέσει δεδομένης περιφερείας κοίλης " 

ἐὰν τριγώνου χωρίου μεγέϑει δεδομένου ἡ βάσις ϑέσει 
xci μεγέϑει δεδομένη ἢ, T) κορυφὴ αὐτοῦ ἅψεται ϑέσε!ι 
δεδομένης εὐϑείας᾽ 

25 ἕτερα δὲ τοιαῦτα" 

ἐὰν εὐθείας τῷ μεγέϑει δεδομένης καὶ παρά τινα ϑέ-ἢ 
σει δεδομένην εὐθεῖαν ἠγμένης τὸ ἕν “τέρας ἅτιτηται ϑέσει 
δεδομένης εὐθείας, ἅψεται καὶ τὸ ἕτερον εὐθείας ϑέσει 
δεδομένης" 

ἐὰν ἀπό τινος σημείου ἐπὶ ϑέσει δεδομένας δύο &- 
ϑείας παραλλήλους ἢ συμπιπιτούσας καταχϑῶσιν ἐν dedo- 9 
μέναις γωνίαις τοι λόγον ἔχουσαι πρὸς ἀλλήλας δεδομέ- 
vov ἢ ὧν ἡἣ μία ut9? ἧς πρὸς ἣν ἡ ἑτέρα λόγον ἐχεῖ δο- 
ϑέντα δεδομένη ἐστίν, ἅψεται τὸ σημεῖον ϑέσει δεδομένης 
εὐϑείας" 


LE 


8. uiv om. Ha 9. συμφρονεῖ S ταῦτα] fortasse ταύτῃ 
44. γωνίαι et σημείων AB, corr. S 42. ϑέσει om. Ha 25. posl 
καταχϑῶσιν add. ἤτοι ἐπ᾿ εὐθείας ἢ Hu auclore Simsono (vide L9 
tina) 35. 26. δεδομένη γωνιὰ (sine acc.) A, δεδομένη γωνίᾳ P5, 
corr. Ha 26. ἔχουσιν A, Éyovat BS, corr. Ha 


26 


666 HAIIIIOY ZYNATOTH2 Z. 


3 , -ἷ —- M 
zai ἐὰν ὦσιν ὁποσαιοῦν εὐϑεῖαι ϑέσει δεδομέναι, xoi 


in' αὐτὰς ἀπό τινος σημείου καταχϑῶσιν εὐϑεῖαι ἐν δε- 
, 3 4 δ c M J M , 

δομέναις γωνίαις, ῇ δὲ τὸ ὑπὸ δοϑείσης καὶ κατηγμένης 

. ^" M / ^v M 

μετὰ vob ὑπὸ δοϑείσης καὶ ἑτέρας χατηγμένης ἴσον τῷ ὑπὸ 


δοϑείσης καὶ ἄλλης κατηγμένης καὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως, ἡ 


τὸ σημεῖον ἅψεται ϑέσει δεδοιιένης εὐϑείας" 
ἐὰν ἀπό τινος σημείου ἐπὶ ϑέσει δεδομένας παραλλή- 
nw 3 - ’ὔ , » J 
λους καταχϑῶσιν εὐϑεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις ἤτοι ἀπο- 
τέμνουσαι πρὸς τοῖς ἐπ᾽ αὐτῶν δοϑεῖσι σημείοις εὐϑείας 


2 


λόγον ἐχούσας ἢ χωρίον περιέχουσαι δεδομένον ἢ ὥστε sa Yi 


,) 23 )»), “« ^ , , » 3^ Y € M 
ἐπ᾿ αὑτῶν τῶν χατηγμένων δεδομένα εἰδὴ ἢ τὴν ὑπεροχὴν 

- 239. » D Ύ ’ , ^ - e 
τῶν εἰδῶν ἰσὴν εἶναι δεδομένῳ χωρίῳ, τὸ σημεῖον ἅψεται 
ϑέσει δεδομένης εὐϑείας. 


Τὸ δὲ δεύτερον βιβλίον περιέχει τάδε" 


ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων εὐϑεῖαι κλασϑῶσιν, ὃ 


xai ἡ τὰ ἀπ᾿ αὐτῶν δοϑέντι χωρίῳ διαφέροντα, τὸ ση- 
μεῖον ἅψεται ϑέσει δεδομένης εὐϑείας " 

ἐὰν δὲ ὦσιν ἐν λόγῳ δοϑέντι, ἤτοι εὐϑείας ἢ nu^ 
φερείας" 

ἐὰν j ϑέσει δεδομένη εὐθεῖα καὶ ἐπ᾽ αὐτῆς δοϑὲν o 
μεῖον xai ἀπὸ τούτου διαχϑεῖσά τις πεπερασμένη, ἀπὸ δὲ 
τοῦ πέρατος ἀχϑῇ πρὸς ὀρϑὰς ἐπὶ τὴν ϑέσει δεδομένην» 
καὶ ἢ τὸ ἀπὸ τῆς διαχϑείσης ἴσον τῷ ὑπὸ δοϑείσης χα 
ἧς ἀπολαμβάνει ἤτοι πρὸς τῷ δοϑέντι σημείῳ ἢ πρὸς 


» 


ἑτέρῳ δοϑέντι σημείῳ ἐπὶ τῆς ϑέσει δεδομένης, τὸ πέρας ? 


τῆσδε ἅψεται ϑέσει δεδομένης περιφερδίας " 


5. ἄλλης] ἑτέρας Ha 8. ἤτοι, quod in ABS vs. 40 ante 1oyo 3; 
legitur, huc transposuit Simsonus p. ΧΙ 9. σημείοις Ha pro 0917 
μεέων 40. post ἐχούσας add. δοϑέντα Ha ἢ χωρέον — 12. 97 
o(g uncis seclusit Ha περιέχουσαι Simsonus pro περιεχούσας 
44. ἐπ᾿ Ho pro ἀπ᾽ 49. ἴσην Ha pro ἔσον 33. πρὸς ὀρϑὰς H9 
pro xeà ϑέσει Ha pro ϑέσιν δεδομένην add. Ha —— 94. ἥτοι Ha, 
ἡ καὶ ABS Paris. 2368, ἢ V 25. post σημείῳ repetunt ἡ 7100; ἐπέ 
ocu δοϑέντι A(BS), del. Ha 25. 96. τὸ πέρας — δεδομένης om. A, 
in marg. add. 43.895) 26. τῆσδε] τῆς διαχγϑείσης Hu 


LIBER VII. | 667 


VII. Si quotcunque rectae positione datae sint ad easque 
à quodam puncto ducantur rectae in datis angulis, sitque 
summa duorum rectangulorum, quorum alterum datà rectá et 
ἱμὰς ducià, alterum datà et alterà ductà continetur, aequalis 
rectangulo, quod datà et alià 'tertià) ductà continetur, et sic 
I^ ceteris: punctum tanget rectam positione datam. 

VIII. Si a quodam puncto ad parallelas positione datas 
ducantur rectae in datis angulis eaeque vel ad puncta in ipsis 
data abscindant rectas datam proportionem habentes vel spa- 
lun rectangulum!) datum comprehendant vel eiusmodi sint, 
αἱ summa vel differentia figurarum datarum, quae super ipsas 
ductas constructae sunt, aequalis sit spatio dato: punctum 
lan get rectam positione datam 2,. 

Secundo libro haec cóntinentur : 

I. Si a duobus punctis datis rectae inflectantur et qua- 
drata, quae ab his fiunt, dato spatio differant, puuctum con- 
Cursus harum reciarum tanget rectam positione datam 8). 

11. Si vero hae rectae sint in proportione data, punctum 
Concursus tanget vel rectam vel circuli. cireumferentiam posi- 
one datam?). 

III. Si recta positione data et in ea punctum datum sit, 
unde ducta sit quaedam recía terminata, ab huius autem ter- 
mino ducatur perpendicularis ad rectam positione datam, et 
Sit quadratum, quod a primo ductà fit, aequale rectangulo, 
quod datà rectá et abscissà vel inter perpendicularem et da- 
tum punctum vel inter eandem et aliud datum punctum in 
Fécta positione data continetur: terminus illius primo ductae 
tanget circuli circeumferentiam positione datam. 

. . 4) Greecum χωρίον omnino spatium vel ebene Figur interpretantur 
Simsonus p. xvi (Ca p. 28) et Gerhardtus p. 25; sed ipsum rectan- 
em spatium intellegunt Simsonus p. 98 (Ca p. 182) et Bretonus 


2) Totam propositionem distinguit et illustrat Simsonus p. 93—415 
(Ca. p. 175—807); neque omittenda est Bretoni p. 304 adnotatio. 


8) Vide Simsonum p. 448 sq. (Ca p. 209 sq.) et Bretonum p. 304. 
4) V. Simson. p. 420—434 (Ca p. 344—923), Breton l. c., Chasles 
P. 269—272, 
' 5) V. Simson. p. 423—134 (Ca p. 223—233). 


668 . . JIANIIOY ZYNATOTHZ Z. 


ἐὰν ἀπὸ δύο δοϑέντων σημείων εὐϑεῖαι κλασϑῶσιν, »c xd 
3 N 3 M ^ - -- 3 4 m € " 0 7 - J* ? 
ἢ τὸ ἀπὸ τῆς μιᾶς τοῦ ἀπὸ τῆς ἑτέρας δοϑέντι μεῖζον ἢ £v 
λόγῳ, τὸ σημεῖον ἅψεται ϑέσει δεδομένης περιφερείας" 
?* 3 € - ’ L Av 3 — 
ἔαν ἄπο ὁσωνοῦν δεδομένων σημείων χλασϑῶσιν ct9e£ext 
πρὸς &vi σημείῳ, καὶ ἢ τὰ ἀπὸ πασῶν εἴδη ἴσα δοϑέντε ὃ 
χωρίῳ, τὸ σημεῖον ἅψεται ϑέσει δεδομένης περιφερείας - 
** 3 b] , 2; ’ ^" » - 
ἐὰν ἁπὸ δὺο δοθέντων σημείων κλασϑῶσιν εὐϑεῖαε, 
2 M] Α P r] A ’ ) « 2 - 3 
ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου παρὰ ϑέσει ἀχϑεῖσα εὐϑεῖα ἀπολαμε-- 
βάνῃ ἀπὸ ϑέσει δεδομένης εὐθείας πρὸς δοϑέντι σημεέῳ., 
y ^ ^ 
καὶ ἢ τὰ ἀπὸ τῶν xexAacuévov εἴδη ἴσα τῷ ὑπὸ δοϑείσης 10 
καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης, τὸ πρὸς τῇ κλάσει σημεῖον ἅψε-- 
ται ϑέσει δεδομένης περιφερείας" 
- 3 * 
ἐὰν ἐν κύχλῳ ϑέσει δεδομένῳ δοϑέν τι σημεῖον ἢ xe 
2 ) T 3 fw 3 - & » 9  "- e 
δι αὑτοῦ ἀχϑῇ τις εὐϑεῖα καὶ ἐπ᾿ αὑτῆς ληφϑῇ τι ση- 
- “-᾽ , ^v 
μεῖον ἐκτός, καὶ ἢ τὸ ἀπὸ τῆς ἄχρι τοῦ δοϑέντος évrOG 
σημείου ἴσον τῷ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τῆς ἐχτὸς ἀπολαμβανο-- 
J » , 3^ - ἢ * S 0€ S - , * , 
μένης ἤτοι μόνον ἢ τοῦτό τε καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἐντὸς ÓvO 
"m 2 
τμημάτων, τὸ ἐχτὸς σημεῖον ἅψεται ϑέσει δεδομένης &€- 
ϑείας" ^ 
xai ἐὰν τοῦτο μὲν τὸ σημεῖον ἅπτηται ϑέσει Ocdoge &-? 
νης εὐθείας, ὁ δὲ κύκλος μὴ ὑπόκειται, τὰ ἐφ᾽ ἑκάτε € 
- - d 
τοῦ δεδομένου σημεῖα ἅψεται ϑέσει δεδομένης zrep.geoe £€X$ 
- 32 - 
τῆς αὐτῆς. 


P, 


3. δοϑέντι Ha pro Jo9iv μείζων ἦε ἐν A(B), corr. S 5. Ze 
Ha pro ἴσον 8. παρὰ τὴν ϑέσει ἀχϑεῖσα "ducatur recta positione €E€* 
tae. normalis" Ha, qui pro normalis voluit parallela (sic recte Simso 1» U$ 
p. xvii) ἀπολαμβάνῃ Hu pro ἀπολαμβανομένη 10. ἴσα Ha. p**? 
ἴσον 41. σημείωι A(B), corr. S 13. ἐντὸς χύχλου ϑέσει δε € 
μένου Ha δοϑέντε AS et, ut videtur, B, distinxit Ha - «» 
μείωι ἦι A(BS), corr. prima manus in S 16. ὑπὸ Ha pro ἀπ — 
17. 48. ἥτοι — τμημάτων] horum verborum cum iustus locus s 
vs. 46 post σημείου, non abest interpolationis suspicio 47. ἤτοι rr 
ἡ τῶι A(BS), ἢ τὸ Simsonus p. xii μόνωι ἢ τούτωι τε Xal: s en 
A(BS), corr. Simsonus p. xiu οἱ 4194 sq. 20. xa) ἐὰν — 48. 5.5" 
αὐτῆς fortasse ab interpolatore addita sunt 20. τὸ om. H«F 

91. ὑπόχειται)] conf. supra p. 514, 6 cum adnot. ἐφ᾽ ἑχατέρᾳ H€F 

39. σημεῖα Ha pro σημείου Ι 


LIBER VII. 669 


IV. Si 8 duobus datis punctis rectae inflectantur sitque 
qua dratum, quod ab una fit, comparatum cum quadrato, quod 
ab altera fit, dato spatio maius quam in proportione: punc- 
turxa concursus harum rectarum tanget circuli cireumferentiam 
positione datam !). 


V. Si ἃ quotcunque datis punctis inflectantur rectae ad 
unvam punctum sintque species (i. e. figurae specie datae, 
quzae ab omnibus describuntur, aequales dato spatio: punc- 
ταν tanget circuli cireumferentiam positione datam?). 


VI. Si a duobus datis punctis inflectantur rectae, ἃ puncto 
autem concursus recta ducatur parallela rectae positione datae, 
ecquie ab alia recta positione data auferat segmentum. cuius 
ülfe- terminus datum punctum est, sitque summa figurarum 
specie datarum, quae ab inflexis fiunt, aequalis rectangulo, 
quod datà et abscissà continetur: punctum concursus rectarum 


^ 
1 


inflexerum tanget circuli circumferentiam positione datam?;. 


VII. Si intra circulum positione datum punctum aliquod 
datum sit et per id ducatur recta quaedam in eaque suma- 
tür punctum aliquod extra circulum, ac sit quadratum, quod 
eX recta ab hoc puncto ad punctum intra datum pertinente 

t; aequale rectangulo, quod totà hac rectá et parte extra 
C'rculum abscissà continetur, vel solum (scil. quadratum) vel 
Summa ipsius et rectanguli, quod segmentis duobus interioribus 
COntinetur: externum punctum tanget rectam positione datam^*, . 


. VIII. Si hoc punctum tangat rectam positione datam, 
Circulus autem non suppositus sit, puncta ad utramque par- 
tem a dato puncto tangent eandem circuli circeumferentiam po- 
S!tiohe datam). 


4) V. Simson. p. 136—144 (Ca p. 236—243, et Breton. p. 302. 
Graeca verba μεῖζον ἢ iv λόγῳ, nota ex Euclidis datis, Bretonus apte 
!C interpretatur: "le premier quarré doit étre plus grand d'un espace 
Onné que le quarré qui est au second quarré dans la raison donnée". 
Conf, praef. vol. I p. xxiv. 
. 3) V. Simson. p. 159—477 (Ca p. 263—987). 
3) V. Simson. p. 483—493 (Ca p. 310—321). Bretonus p. 302 lo- 
Cum difficillimum sic interpretatur: "Le lieu du point tel, que la somme 
$ aeires des polygones respectivement semblables à deux polygones donnés, 
COnsruis sur les droites menées de ce point à deux points fixes, soit égale 
OW rectangle construit. sur. une droite donnée et sur la distance du pied 
la perpendiculaire abaissée du méme point sur une droite fixe à un point 
donné sur cette droite, est une circonférence de cercle donnée de position". 


4j V. Simson. p. 494—204 (Ca p. 822—331), Breton. p. 302. 


δ) Liberius haec tractat Simsonus p. 204 sqq. (Ca p. 334 sqq.). Etiam 
Wetoni p. 809 sq. interpretatio difficultatem horum verborum declarat. 


670 ΠΆΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ 2. 


ἔχει δὲ τὰ τόπων ἐπιπέδων δύο βιβλία ϑεωρήι 
nto. διαγράμματα ομζ΄, λήμματα δὲ v. 


Νεύσεων δύο. 


27 Νεύειν λέγεται γραμμὴ ἐπὶ σημδῖον, ἐὰν émexfo 
H b 3 ) —* , ) A & 2 ? 
μένη ἐπ᾽ αὐτὸ παραγίνηται. [καϑόλου δὲ τὸ αὐτό à 
γ.» M 3 ͵ bd Li Ἅ ἢ ’ 
ἐὰν τε ἐπὶ δοϑὲν νεύειν σημεῖον λέγηται, ἐάν τέ ἐστ 
ἐπ᾽ αὐτῆς δοϑέν, ἐάν τὸ διὰ δοϑέντος ἐστὲν σημείου. 
γραψαν δὲ ταῦτα νεύσεις. ἀπὸ ἑνὸς τῶν εἰρημένων. 
βλήματος δὲ ὄντος καϑολικοῦ τούτου 
δύο δοϑεισῶν γραμμῶν ϑέσει, ϑεῖναι μεταξὺ τὸ 
) - e . 
εὐϑεῖαν τῷ μεγέϑει δεδομένην νεύουσαν ἐπὶ δοϑὲν onu 
J). ^ Y. »" / , * € j 
S, 8nb ταύτης τῶν ἐπὶ μέρους διάφορα τὰ ὑποχειὶ 
δ 3 3 , A , A 
ἐχόντων ἃ μὲν [ἢν] ἐπίπεδα, ἃ δὲ στερεά, ἃ δὲ γραμι 
τῶν ἐπιπέδων ἀποχληρώσαντες τὰ πρὸς πολλὰ χρησ 
vega ἔδειξαν τὰ προβλήματα ταῦτα" 
ϑέσει δεδομένων ἡμιχυχλίου τε καὶ εὐϑείας πρὸς 
M c , 32^ / c ἢ γ } 2 /, » ἢ 
Jeg τῇ βάσει, ἢ Óvo ἡμιχκυχλίων ἔπ εὔϑείας ἐχόντων 
βάσεις, ϑεῖναι δοϑεῖσαν τῷ μεγέϑει εὐϑεῖαν μεταξὺ 
δύο γραμμῶν, νδύουσαν ἐπὲ γωνίαν ἡμικυκλίου" 
καὶ ῥόμβου δοϑέντος καὶ ἐπεχβεβλημένης μιᾶς n 
ρᾶς, ἁρμόσαι ὑπὸ τὴν ἐχτὸς γωνίαν δεδομένην τῷ με) 
εὐϑεῖαν νείουσαν ἐπὶ τὴν ἀντιχρὺς γωνίαν" 
καὶ ϑέσει δοϑέντος κύκλου, ἐναρμόσαι εὐϑεῖαν Lk 
je, δεδομένην νεύουσαν ἐπὶ δοϑέν. 
, Ἁ Ml ων ; , 7 A 
28 τοίτων δὲ ἐν μὲν τῷ τιρώτῳ τεύχει δέδεικται τὸ 
τοῦ ἑνὸς ἡμιχυχλίου καὶ εὐϑείας, ἔχον πτώσεις Ó , κα 
ἐπὶ τοῦ κύκλου ἔχον τιτώσεις δύο, xoi τὸ ἐπὶ τοῦ δόι 
πτώσεις ἔχον β', ἐν δὲ τῷ δευτέρῳ τεύχει τὸ ἐπὶ τῶν 


Ὁ 


4. γραμμὴν S Ge. ἐπεχβαλλομενὴκ A 9. παραγένηται B 
παραγένεται AS 5. χαϑόλου — 8. εἰρημένων interpolatori tribuit 
7. σημεῖον ABS, corr. V 12. ἐπὶ rovrov coni. Horsley 1 
del. Hu 14. τῶν δ᾽ ἐπιπέδων ἤα χρησιμωτέραν ABV, cor 
cunda manus in Paris. 2368 (393) 1ὅ. ἔδειξαν τὰ Hu, ἔδειξαντε A, EO 
τε BS, ἔδειξαν Ha 20. ἐπεμβλημένης AB, ἐπεμβεβλημένης S, corr. 
μόνης ante μιᾶς add. Ha 25. τεύχει) βιβλίῳ B pr. m. 2t 


LIBER VII. 671 


Libri duo locorum planorum continent theoremata sive 
diagrammata CXXXXVII, lemmata VIII. 


INCLINATIONUM LIBRI DUO. 


Inclinare sive vergere dicitur linea ad punctum, si pro- 
ducta ad id perveniat. [Omnino idem est, sive ad datum 
punctum /inea inclinare dicitur, sive in ea punctum quoddam 
datum est, sive per datum punctum transit; verum has pro- 
mescue inclinationes ab uno eorum quae dicta sunt appella- 
verunt] lam cum'problema generale hoc esset: 

l. duabus lineis positione datis, inter eas ponere rectam 
magnitudine datam, quae ad datum punctum inclinet, 

cumque illa quae in ea recía parücularia sunt diversas 
hypotheses haberent partim planas, partim solidas, partim 
eliara lineares, e planis elegerunt ea quae ad multas res utilia 
essemrit, haecque problemata demonstraverunt. | 

“1. Si semicirculus et recta ad basim perpendicularis, vel 
duo ssemicirculi in eadem recta bases habentes dati sint, po- 
lére rectam magnitudine datam inter illas duas lineas, quae 
3d ξὰ wigulum semicirculi inclinet. 

“4111. Rhombo dato unoque latere producto, sub externo 
δια E rectam magnitudine datam inserere, quae ad angulum 
OPpO»ssitum inclinet ἢ). | 

-4V. Circulo positione dato, inserere rectam magnitudine 
data ww quae ad datum punctum inclinet. 

«)uorum problematum distributio haec est: in primo libro 
Pro» R ema de uno semicirculo et recta, quod quattuor?) casus 
habes α,, tum de circulo, quod duo casus habet, denique de 
Thoma 00, quod duo casus habet, demonstrata sunt; in se- 


^"^ ) "Sed et problema de recta, magnitudine data, angulo interiori 
PÉf «positam angulum subiicienda, ab Apollonio resolutum esse ex 
PAP» . — Jib. 7 prop. 78 liquido constet". Horsley praef. p. 9. 
9) Quinque casus demonstrat Horsley p. 3—5, quare in Graecis 
πότ πε jegendum esse censet. 
-.- Óà € 
θείας Ha pro ev3eiey 4 A, τέσσαρας BS, πέντε coni. Horsley 
33. "r&y add. Ha 


672 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ἡμικυκλίων, τῆς ὑποϑέσεως πτώσεις ἐχούσης ι΄" ἐν δὲ so ^ — 
ταις ὑποδιαιρέσεις πλείονες διοριστικαὶ ἕνδεκα τοῦ δεδομα«εξ — 
γου μεγέϑους τῆς εὐθείας. 

29 [Τὰ μὲν οὖν ἐν τῷ ἀναλυομένῳ. τόπῳ ἐπίπεδα ταῦπε- 7 
ἔστιν ἃ xai πρότερα δείκνυται, χωρὶς τῶν Ἐρατοσϑένον «zc 
μεσοτήτων" ὕστατα γὰρ ἐκεῖνα. τοῖς δὲ ἐπιπέδοις ἐφεξ em 
τὴν τῶν στερεῶν ἡ τάξις ἀπαιτεῖ ϑεωρίαν' στερεὰ δὲ xoe—— 
λοῦσι προβλήματα οὐχ ὅσα ἐν στερδοῖς σχήμασι προτείνεας----- 
ται, ἀλλ᾽ ὅσα διὰ τῶν ἐπιπέδων μὴ δυνάμενα δειχϑῆνοε «ε-- 
διὰ τῶν τριῶν κωνιχῶν γραμμῶν δείχνυται, ὥστε ἀναγκαῖο:»“- 10 
πρότερον πτερὶ τούτων γράφειν. ἦν μὲν οὖν ἀναδεδομέν ex 
κωνικῶν στοιχείων πρότερον ΤἸρισταίου τοῦ πρεσβυτέρων 
&' τεύχη, ὡς ἂν ἤδη δυνατοῖς οὖσι τοῖς ταῦτα παραλαμε---- 
βάνουσιν ἐπιτομώτερον γεγραμμένα. 

Ἔχει δὲ τὰ τῶν νεύσεων βιβλία δύο ϑεωρύήματα ud a i 
ἤτοι διαγράμματα ρκε΄, λήμματα δὲ λη΄. 


͵ Κωνικῶν 5. , — 


30 Τὰ E)vxAeidov βιβλία Ó' κωνικῶν ΑἈιἰπολλώνεος dàvoe —— 
πληρώσας xoci προσϑεὶς ἕτερα Ó' παρέδωκεν vy xwvixuP a 
, , - J e J 4 , ^ ^w 3 
τεύχη. “ρισταῖος δέ, ὃς γέγραφε τὰ μέχρι τοῦ νῦν ἀνα —— 
διδόμενα στερεῶν τόπων τεύχη ε΄ συνεχῆ τοῖς κωνιχοῖς; — 
ἐκάλει [καὶ οἱ πρὸ Γ΄ πολλωνίου) τῶν τρεῶν κωνικῶν γραμ —— 
μῶν τὴν μὲν ὀξυγωνίου, τὴν δὲ ὀρϑογωνίου, τὴν δὲ ἀμβλυ —— 
’ ' ' , n » » € 7 - - F 
γωνίου χώνου τομήν. ἐπεὶ δ᾽ ἐν ἑξκάστῳ τῶν τριῶν τού —— 
των χώνων διαφόρως τεμνομένων αἱ y' γίνονται γραμμαξ -- 
διαπορήσας, ὡς φαίνεται, Απολλωνιος τί δήποτε ἀποκλὴη -- 


20 


4. Τὰ uiv — 44. γεγραμμένα interpolatori tribuit Hu 4. en( τ 
πεδα Ha pro ἐπιπέδωωΘΌὨ τοῦτ᾽ Ha ὅ. δείκνυνται ΗΞα 6. ὕστερ 79 
S 7. re£tg (sine acc.) A, corr. BS 441. ἀναδεδομένα Hu pro à&sa——— 


διδομένων 413. ὡς ἄν τοῖς ἤδη δυνατοῖς οὖσι ταῦτα παραλαμβάνει. - 
Ha, ὡς ἄν ἤδη ϑυνατοῖς οὖσι τὰ τοιαῦτα παραλαμβάνειν ε΄ 45. duc 
βιβλία Hu μὲν om. Ha 48. ἀναπλώσας AB, corr. Paris. 23685» 
SV 20. ἀρισταιας (sine acc.) A, corr. S γέγραφε Hu, γράφεν' 


ABS, ἔγραψε Ge τὰ Ha, χαὶ BS, om. A 99. x«l of πρὸ ᾿Α41πολ--- 
λωνέου del. Η 24. ἐπειδὴ iy Ha. 25. χώνων idem pro xovixov 


LIBER VII. 673 


cumdo libro problema de duobus semicirculis, cuius hypo- 
thesis decem casus!) habet; suntque in his complures sub- 
divisionegs determinativae propter datam rectae magnitudinem. 

[Haec igitur plana in loco de resolutione reperiuntur, 
quae etiam priora demonstrata sunt praeter Eratosthenis me- 
dietates, quae ultimum locum obtinent. Sed post plana de- 
inceps solidorum contemplationem ordo requirit. lam solida 
problemata non tam ea vocantur, quae in solidis figuris pro- 
Ponuntur, sed quae, cum per plana demonstrari non possint, 
per tres conicas lineas demonstrantur, quapropter de his prius 
Scribere necesse est. c conicorum elementorum prius Ari- 
Staei maioris quinque libri editi erant, in eorum usum qui 
eiusmodi problemata iam percipere valerent, compendiosius 
eom scripti. ] 

Duo inclinationum libri thbeoremata sive diagrammata 
CX XV, lemmata XXXVIII habent. 


CONICORUM LIBRI OCTO. . 


Euclidis quattuor conicorum libros Apollonius ita com- 
Plevi, ut quattuor aliis additis omnino octo conicorum volu- 
Thing studiosis mathematicorum traderet. Ante hunc Aristaeus, 
di solidorum locorum volumina quinque, adhuc usque pro- 
Stantia, tamquam supplementum conicoruim doctrinae scripsit, 
[Perinde atque ii qui ante Apollonium fuerant] trium coni- 
Carum linearum primam coni acutanguli, secundam rectanguli, 
tertiam obtusanguli sectionem appellaverat. Sed quoniam in 
quo vis horum conorum genere, prout secantur, tres illae lineae 
€Xistunt, Apollonium haesitavisse apparet, qua tandem distinc- 


4) "Semicirculorum nempe status quintuplex : circulis contingentibus 
intus, contingentibus extrinsecus, nullibi occurrentibus altero incluso, 
Ywullibi occurrentibus incluso neutro, secantibus, In statu autem uno- 
quoque gemina erit semicirculorum positio: ad partes baseos aut eas- 

Qemn aut contrarias. En tibi decem, ni fallor, hypotheseos casus, quos 
Pappus innuit". Horsley praef. p. 3. 
* * yoauuor À 26. ἀποχληρώσαντες diserte enotatum est ex A, 
ἀποπεληρώσαντες BSV Paris. 2368, ἀποχληρώσαντο Ha 


674 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


" € *7 * 2 - — (X A γ J 2 ’ , 
ρώσαντες οἱ πρὸ αὐτοῦ ἣν μὲν ἐκάλουν ὀξυγωνέου xen 
τομὴν δυναμένην χαὶ ὀρϑογωνίου καὶ ἀμβλυγωνίου δἶνι 
. $2 , ki , 2 , . 2 
ἣν δὲ ὀρϑογωνίου εἶναι δυναμένην ὀξυγωνίου ve καὶ auf 

, ( 3 2 [ J 3 3 J 
yovtov, ἣν δὲ ἀμβλυγωνίου δυναμένην εἶναι ὀξυγωνίου 
x«i ὀρϑογωνίου, μεταϑεὶς τὰ ὀνόματα καλεῖ τὴν μὲν oi 

! , 24 M . 2 , 
γωνίου καλουμένην ἔλλειψιν, τὴν δὲ ὀρϑογωνίου παραᾷ 
λήν, τὴν δὲ ἀμβλυγωνίου ὑπερβολήν, ἑκάστην ἀπό τι: 
ἰδίου συμβεβηκότος. ᾿ χωρίον γάρ τι παρά τινα γραμμ 
παραβαλλόμενον ἐν μὲν τῇ ὀξυγωνίου κώνου τομῇ ἐλλεῖσι 
γίνεται τετραγώνῳ, ἐν δὲ τῇ ἀμβλυγωνίου ὑπερβάλλον vete, 

, , 1 "- 2 , » , - 2.9 € 
γώνῳ, ἔν δὲ τῇ ὀρϑογωνίου ovre ἐλλεῖπον ovO ὑπερβε 

31 λον. [τοῦτο δ᾽ ἔπαϑεν μὴ προσεννοήσας ὅτι κατά τ. 
ἰδίαν πτῶσιν τοῦ τέμνοντος ἐπιτιέδου τὸν κῶνον (xai γ΄ 
γῶντος τρεῖς γραμμὰς) ἐν ἑχάστῳ τῶν κώνων ἄλλη καὶ ἃ 2 
τῶν γραμμῶν γίνεται, ἣν ὠνόμασεν ἀπὸ τῆς ἰδιότητος 3 

, ΣΝ M N , , , 2 “ J 
κώνου. δὰν γὰρ τὸ véuvov ἐπίπεδον ἀχϑῇ παράλληλον a 
τοῦ χώνου πλευρᾷ, γίνεται μία μόνη τῶν τρεῶν γραμμ « 
2)" ς 3 Li « 2 . 92 - ?, [4 - 
ἀεὶ ἡ αὐτή, ἣν ὠνόμασεν ὃ Αρισταῖος ἐκείνου τοῦ τα 
ϑέντος κώνου τομήν.] 

T N ^ 

32 Ὁ δ᾽ οὖν “!'πολλώνιος oia περιέχει và br αὐτοῦ ye 
φέντα κωνικῶν η΄ βιβλία λέγει κεφαλαιώδη ϑεὶς προδή2 
σιν ἐν τῷ προοιμίῳ τοῦ πρώτου ταύτην" “᾿ περιέχει δὲ τὸ 4 
πρῶτον τὰς γενέσεις τῶν τριῶν τομῶν καὶ τῶν ἀντικειμέξ 
καὶ τὰ ἐν αὐταῖς ἀρχικὰ συμπτώματα ἐπὲὶ πλεῖον xal xo 
λου μᾶλλον ἐξητασμένα παρὰ τὰ ὑπὸ τῶν ἄλλων γεγρε 
μένα. τὸ δὲ δεύτερον τὰ περὶ τὰς διαμέτρους καὶ v 
ἄξονας τῶν τομῶν [καὶ τῶν ἀντιχειμένων] συμβαίνοντα : 


4. εἶναι δυναμένην B ὀξυγωνιοντε À, corr. BS 7. ἀπό 
δ᾽ ἀπό A, δὲ ἀπὸ B5 Ha, γ᾽ ἀπό Hu. 10. ἐν δὲ τῇ ἀμβλ. — τετ΄ 
γώνῳ om. B! Ha 42. τοῦτο δ᾽ ἔπαϑεν (scil. ὁ ᾿“ρισταῖοςὶ — 19. 


μὴν interpolatori tribuit Hu 18. δεπαϑὲν A, distinxerunt et acc. ce 
BS προσνοήσας ABS, προνοήσας Ha, corr. Hu 48. ἰδίαν Hu 
μίαν 48. 44. verba xal γεννῶντος τρεῖς γραμμὰς alter interpola 
interpolato iam loco inseruisse videtur | A4. ἄλλην xol ἄλλην A 
corr. Ha 45. ὠνόμασεν Hu pro ὠνόμασαν I7. μια uovg (S 
acc.) A, corr. BS 48. ἐκεῖνος Ha 20. Ὁ γοῦν Hu 32. ms 


LIBER VII. 675 


lione usi priores mathematici aliam acutanguli coni sectionem 
voCa vissent, quae et rectanguli et obtusanguli esse posset, 
aliam rectanguli, quae et acutanguli et obtusanguli posset esse, 
aliam denique obtusanguli, quae posset esse et acutanguli et 
rectanguli. Quapropter mutatis nominibus eam sectionem quae . 
acutanguli dicebatur, ellipsim, quaeque rectanguli, parabolam, 
denique quae ebtusanguli, hyperbolam, singulas a peculiari 
quodam accidente nuncupavit. Etenim rectangulum ad rec- 
tar quandam applicatum in sectione acutanguli coni deficit 
(ἐλ. λείζεβδι) quadrato, in sectione obtusanguli excedit ($zreg- 
βοάλλει) quadrato, denique in sectione rectanguli coni appli- 
cttwm (πταραβαλλόμενον) neque deficit neque excedit!). [Sed 
hoc accidit Aristaeo, quoniam non animadvertit per peculia- 
rem quendam casum planitiei conum secantis?) in quovis cono 
singulas lineas existere, quas e proprietate coni appellavit. 
Nam si planities secans uni coni lateri parallela ducitur, una 
tantum illarum trium linearum semperque eadem existit, quam 
Aristaeus illius secti coni sectionem appellavit] 

lam vero Apollonius, quae octo conicorum libris ab ipso 
conscriptis contineantur, dicit in exordio primi libri hanc prae- 
viam explicationem summatim proponens: "Continet primus 
liber: generationes trium coni sectlionum et earum quae oppo- 
Sitae dicuntur, tum principalia illarum accidentia, uberius et 
Iàgis in universum quam ab aliis, qui de eo argumento 
Sripserunt, elaborata. Secundus liber complectitur ea quae 
8d diametros et axes sectionum [et oppositarum] pertinent, 


1) Vide Apollonii conic. 4 prop. 14—13, et conf. H. Balsam, des 
APollomius sieben Bücher über Kegelschnitte, Berolini 4864, p. 48—33; 
*rm. Hankel, Geschichte der Mathematik, p. 98 sq. 450. 


» 2) Sequuntur in codice verba καὶ γεννῶντος τρεῖς γραμμάς "et tres 
"leas efücientis", de quibus v. adnot. ad Graeca. 


—M 


ἕχεε δὲ τὸ cet.] vide Apollonium ab Halleio editum p. 8 ἅ38. τῶν 

UP πο χε μένων Ha ex Apollonio pro τὰς ἀντικειμένας 24. xci ex Apol- 

Dnio agg, Ha 25. ἐξειργασμένα Apollonius 37. x«l τῶν ἀντικει- 
"€» non leguntur apud Apoll. 


676 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHX Z. 


τὰς ἀσυμπτώτους, χαὶ ἄλλα γενιχὴν χαὶ ἀναγκαίαν yotef aee 
παρεχύμενα πρὸς τοὺς διορισμούς" τίνας δὲ διαμέτρετν εις 
ἢ τίνας ἄξονας χαλῶ εἰδήσεις ἐχ τούτου τοῦ βιβλίου. -αὐὴ 
δὲ τρίτον πολλὰ wei παντοῖα χρήσιμα [τὰ] πρός τε w— «εἰς 
συνθέσεις τῶν στερεῶν τόπων xai τοὺς διορισμούς, ὧν -αεὰν 
πλείονα χαὶ καλὰ καὶ ξένα κατανοήσαντες εὕρομεν μὴ gum Y- 
τιϑέμενον ὑπὸ Εὐχλείδου τὸν ἐπὶ τρεῖς καὶ δ' ypoupam «ἂς 
τόπον, ἀλλὰ μόριόν τι αὐτοῦ χαὶ τοῦτο οὐχ εὐτυχῶ" «ἡ 
γὰρ δυνατὸν ἄνευ τῶν προειρημένων τελειωϑῆναι τὴν aam - 
ϑεσιν. τὸ δὲ Ó', ποσαχῶς αἱ τῶν κώνων τομαὶ dA eC 
τε xol τῇ τοῦ κύχλου περιφερείᾳ συμπίπτουσιν, κὶ 5 
περισσοῦ, ὧν οὐδέτερον ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμιῶν γέγρατετ' «9n. 
χώνου τομὴ κύχλου περιφερείᾳ [κατὰ πόσα σημεῖα σὲ πα 
βάλλει) καὶ ἀντιχείμεναι ἀντιχειμέναις κατὰ πόσα - 
συμβάλλουσιν. τὰ δὲ λοιπὰ δ' περιουσιαστικώτερα - aem id 
γὰρ τὸ μὲν περὶ ἐλαχίστων wei μεγίστων ἐπὶ πλεῖον, ταῦ 
δὲ περὶ ἴσων χαὶ ὁμοίων τομῶν, τὸ δὲ διοριστικῶν SE-e—m- 
ρημάτων, τὸ δὲ χωνιχῶν πιροβλημάτων διωρισμένων". " 
33 ἀπολλώνιος μὲν ταῦτα. ὃν δέ φησιν ἐν τῷ τρίτῳ πε ““΄- 
zov ἐπὶ γ' καὶ δ' γραμμὰς μὴ τετελειῶσϑαι ὑπὸ Εὐχὶ uem o 
δου, οὐδ᾽ ἂν αὐτὸς ἠδυνήϑη οὐδ᾽ ἄλλος οὐδεὶς [ἀλλ᾽ “ΕΞ EM 
μιχρόν τι προσϑεῖναι τοῖς ὑπὸ Εὐχλείδου γραφεῖσιν) C - -- 
γε μόνων τῶν προδεδειγμένων ἤδη κωνικῶν ἄχρι τῶν mm 
Εὐκλείδην, ὡς καὶ αὐτὸς μαρτυρεῖ λέγων ἀδύνατον Lose 
34 τελειωϑῆναι χωρὶς ὧν αὐτὸς προγράφειν ἠναγχάσϑη. [ὃ (o 
Εὐκλείδης ἀποδεχόμενος τὸν Ἰρισεταῖον ἄξιον ὄντα ἐφ᾽ —— 
ἤδη παραδεδώχει κωνιχοῖς, χαὶ μὴ φϑάσας ἢ μὴ ϑελήστ- πὸ 
ἐπιχαταβάλλεσϑαι τούτων τὴν αὐτὴν τιραγματείαν, ἐπι | 





4. ἀλλας" iiir A[RS), ex Apoll.corr. Ha — 4. πολλὰ καὶ ape 
doge ϑεωρήματα χρήσιμα πρός τε cet. Apoll τὰ expunetum in. 
del. Hu 5. 6. ὧν τὰ πλεῖστει xGl& καὶ ξένα, ἃ καὶ χατι 
συνείδομεν Apoll. 6. χαὶ ante χαλὰ cum Apollonio om. V Haee | 
8. τῇ τὸ τυχὸν Apoll. — 9. τῶν προσευρημένων ἡμῖν Apoll. “5: 
Büllowm Apoll. ἄλλα ante ἐκ περισσοῦ ex Apoll.add. ἥὰ 43: ἨΈ 
AB; Gor. S 43/44, κώνον τομὴ ἢ εὔκλον Spe folie ERR | 


κείμεναι cel, Apoll. — 43. περιφέρεια (sine aec. A, corr. BS 


LIBER VII. 077 


ena doctrinam de rectis asymptotis aliaque quae ei generalem 
et necessarium usum ad determinationes praebent: quos au- 
tenu appellem diametros et quos axes, ex hoc libro cognosces. 
Tenmiüus liber multa et varia theoremata. continet. utilia δὰ so- 
liclorum locorum compositiones et determinationes, quorum 
Cum plurima et egregia et insolita esse cognovissemus, ab 
ΕΞ τὰ clide locum 'ad tres et quattuor lineas non compositum esse 
ir wrenimus, nisi quod particulam quandam, ac ne hanc qui- 
de 1 feliciter, aitigit. Neque enim fieri poterat, ut sine iis 
qaae diximus (heorematis compositio absolveretur. Quartus 
li K» er demonsirat, quot modis conorum sectiones et inter sese 
€t circuli cireumferentiae occurrant, atque insuper, quorum 
Ὠ ἘΞ αλίγυιη a superioribus explicatum est, in quot punctis coni 
Se»«stio circuli circumferentiae et oppositae sectiones oppositis 
Oc«-urrant. Reliqui autem quattuor libri ad abundantiorem , 
Scaentiam pertinent. Etenim quintus de minimis et maximis 
ul»erius agit, sextus de aequalibus similibusque con? sectioni- 
bus, septimus de theorematis, quae determinandi vim habent, 
Octavus de conicis problematis determinativis" . 

Baec igitur Apollonius. Sed quod in tertio libro locum 
ad tres et quattuor lineas ab Euclide confectum esse negat, 
neque ipse neque alius quisquam per ea tantum conica (heo- 
rerhnoia, quae usque ad Euclidis aetatem demonstrata erant, 
twm locum solvere potuisset, ut ipse testatur negans sine iis, 
quae ipse antea demonstrare coactus fuerit, i//la absolvi posse. 
[Euclides cum probaret Áristaeum iam propter ea quae edi- 
derat conica auctoritatem quandam assecutum, neque aut illum 
Praevenire aut eiusdem disciplinae fundamenta statim post 


7* ὅσα σημεῖα συμβάλλει del. Hu 15. πέρι ove αστιχώτερα A(B), corr. 

: 46. μεγίστων τῶν ABS, τῶν del. Ha 17. τομῶν χώνου" τὸ δὲ 
Khi διοριστικῶὼν Apoll. — 48. προβλημάτων χωνιχῶν Apoll. 20. r&- 
ξεωϑῆναι Ηα 21. οὔτ᾽ ἂν — οὔτ᾽ Ha 21. 32. ἀλλ᾽ οὐδὲ — γρα- 
aon del. Hu : 95. ὁ δὲ Εὐκλείδης — p. 678, 45. τοιοῦτος ἐστιν 
'Oliastae cuidam historiae quidem veterum mathematicorum non im- 
Per ito, sed qui dicendi genere languido et inconcinno usus sil, tribuit 
Je; 26. apio tén ABS, corr. Ha. 27. παραδέδωχε B* Ha, παρεδε- 

| δέει Ge 88. τούτῳ Hu 


678 | IIAIIIIOY XYNATOTHE Z. 


χέστατος ὧν καὶ πρὸς ἅπαντας εὐμενὴς τοὺς καὶ κατὰ rw. «»- 
σὸν συναύξειν δυναμένους τὰ μαϑήματα, ὡς δεῖ, καὶ Le 2r2- 
δαμῶς προσχρουσειχὸς ὑπάρχων, καὶ ἀχριβὴς μὲν οὐκ GAL «αε- 
ζονικὸς δὲ χαϑάπερ οὗτος, ὅσον δυνατὸν ἦν δεῖξαι aw «i 
τόπου διὰ τῶν ἐκείνου κωνιχῶν ἔγραψεν, οὐκ εἰπὼν vé M. «x 
ἔχειν τὸ δειχνύμενον' τότε γὰρ ἣν ἀναγκαῖον ἐξελέγχε:“. », 
νῦν δ᾽ οὐδαμῶς, ἐπείτοι καὶ αὐτὸς ἐν τοῖς χωνικοῖς dt e i; 
ϑῦ τὰ πλεῖστα καταλιπὼν οὐκ εὐθύνεται. προσϑεῖναι δὲ ae 4 
τόπῳ τὰ λειπόμενα δεδύνηται προφαντασιωϑεὶς τοῖς ὃ σ΄ πὸ 
Εὐκλείδου γεγραμμένοις ἤδη περὶ τοῦ τόπου καὶ συσχο A. «χ-" 
σας τοῖς ὑπὸ Εὐχλείδου μαϑηταῖς ἐν λεξανδρείᾳ πλεῖστα: «o 
χρόνον, ὅϑεν ἔσχε καὶ τὴν τοιαύτην ἕξιν οὐκ ἀμαϑῆ. ob «x 
δὲ ὃ ἐπὶ y xai Ó' γραμμὰς vómog, ἐφ᾽ ᾧ μέγα qoe» mt 
προσϑεὶς χάριν ὀφείλειν εἰδέναι τῷ πρώτῳ γράψαντι, e «2» t- 
36 οὔτός ἐστιν) ἐὰν ydo, ϑέσει δεδομένων τριῶν εὖϑεε «x v, 15 
ἀπό τινος [τοῦ αὐτοῦ] σημείου καταχϑῶσιν ἐπὶ τὰς το e 5 
&v δεδομέναις γωνίαις εὐϑεῖαι, καὶ λόγος n 7] δοϑεὶς τοῦ $5 “πὺ 
δύο κατηγμένων περιεχομένου ὀρϑογωνίου πρὸς τὸ ἀπὸ “ 96 
λοιπῆς τετράγωνον, τὸ σημεῖον ἅψεται ϑέσει δεδομέ €? 
στερεοῦ τόπου, τουτέστιν μιᾶς τῶν τριῶν κωνικῶν yoccalt^ 7 
μῶν. καὶ ἐὰν ἐπὶ Ó εὐθείας ϑέσει δεδομένας καταχϑῶὥ “7 1» 
εὐϑεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις, καὶ λόγος ἢ δοϑεὶς τοῦ ὥ “5 πὸ 
δύο κατηγμένων πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν λοιπῶν δύο κατηγμέν «ν᾿ » 
ὁμοίως τὸ “σημεῖον ἅψεται ϑέσει δεδομένης κώνου τομ 927 $- 
31 [ἐὰν μὲν γὰρ ἐπὶ δύο μόνας, ἐπίπεδος ὃ τόπος δέδεικταε a£- ') 
ἐὰν δὲ ἐπὶ πλείονας τεσσάρων, ἅψεται τὸ σημεῖον τότ 4» 
οὐχέτι γνωρίμων, ἀλλὰ γραμμῶν μόνον λεγομένων [ποκαΆ»» ““΄ 
πῶν δὲ ἢ τινα ἐχουσῶν ἴδια οὐκέτι], ὧν μίαν οὐδέ v “--- Ὁ 


25 


7. ἐπέτοι A, corr. BS 40. συσχολάσας Hu pro 0x0 À«0 cut -- 
44. ὑπ᾽ Εὐχλείδῃ Hu 42. τοιαύτην Hu pro τοσαύτην οὐχ . 
2495 A(BS), εἰκαιοπαϑὴ Hu Fleckeiseni annal. 4873 p. 224, corr. Fr& lI 
leinius Literarisches Centralblatt 4874 p. 712 44. ὀφείλειν em 
ὀφείλων 46. τοῦ αὐτοῦ del. Hu 49. ἅψεται Ha pro ἅπτεται 
29. λόγοις A; Sed v erasum est 94. ἅπτεσϑαι ABS, ἅπτεται V, m 
Ha 25. ἐὰν uiv γὰρ — δέδειχται οἱ 27. 28. ποδαπῶν — pu. i 
interpolatori tribuit Hw 97. 98. ποδαπῶιν δὲ ἡ r(va ἐχουσῶν 17 “““Π 





LIBER VII. 679 


illum iacere vellet, quippe qui modestissimus esset et benignus 
988 omnes qui vel mediocriter mathematicam disciplinam pro- 
ml0Vere possent, ut necesse est, ac neutiquam importunus, 
Sed accuratus quidem, nec tamen gloriosus sicut ille, quan- 
ium de eo quem diximus loco per illius . conica demonstrari 
JOterat, conscripsit ita ut demonstrationem nondum ad finem 
"erqductam esse concederet. Nam sic eum reprehendi ne- 
eSse fuisset, nunc vero minime, siquidem ipse quoque Apol- 
2245, quod in conicis plurima imperfecta reliquit, non in- 
ASatur. Attamen Apollonius huic loco ea quae desiderabantur 
Jtuit adiungere, cum et antea ad eas res animo concipiendas 
Sà&ructus esset iis libris, quos iam dé eodem loco Euclides 
'A*àpserat, et Euclidis discipulorum consuetudine diutissime 
lexandriae uteretur, unde etiam animi habitum illum non 
«Aocilem habuit. Sed hic ad tres et quattuor lineas locus, 
ü€ magnopere gloriatur simul addens ei qui primus con- 
"IApserit gratiam habendam esse, sic se habet.] Si enim, 
ibus rectis positione datis, a quodam puncto ad has tres 
! «atis angulis rectae ducantur, et proportio rectanguli sub 
uzabus ductis contenti ad quadratum ex reliqua deta sit, 
üamctum continget locum solidum positione datum, id est 
Dam e tribus lineis conicis. Et si ad quattuor rectas posi- 
OX2e datas rectae ducantur in datis angulis, et proportio rec- 
maeuli sub duabus ductis contenti ad rectangulum sub dua- 
us reliquis ductis contentum data sit, similiter punctum 
»X»tinget coni sectionem positione datam. (Nam si ad duas 
Watum recías positione datas vectae ducantur in datis angulis, 
3wum locum esse demonstratum est supra cap. 25, VI.) Sin 
ΞΙῸ ad plures quam quattuor recías positione datas rectae 
4contur in datis angulis, punctum continget locos, qui eul- 
22-4 ralione iam cognosci non possunt, sed lineae tantum 





&rgini olim interpolator adscripsisse, ovxér. autem casu ex priore οὐ- 
"ra repetitum esse videtur 28. οὐδέ τινα Hu pro οὐδὲ τὴν πρώτην 
ἘΣ (scilicet τὴν πρώτην corruptum est ex τὴν «, quod pro τενα libra- 
"S aliquis legit) 


080 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΙΓΏΓῊΣ Z. 


συμφανεστάτην εἶναι δοκοῦσαν συντεϑείκασιν ἀναδειξαντιεες 
38 χρησίμην οὖσαν. αἱ δὲ προτάσεις αὐτῶν εἶσιν" ἐὰν ἅτε «ἦ 
τινος σημείου ἐπὶ ϑέσει δεδομένας εὐϑείας πέντε xave€x— 
χϑῶσιν εὐϑεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις, καὶ λόγος ἢ δεδα»-- 
μένος τοῦ ὑπὸ τριῶν κατηγμένων περιδχομένου στερξς» ὃ 
παραλληλεπιπέδου ὀρϑογωνίου πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν λοιτεοξὸν 
δύο κατηγμένων χαὶ δοϑείσης τινὸς περιεχόμενον παρα A- 
ληλεπίσεεδον ὀρϑογώνιον, ἅψεται τὸ σημεῖον ϑέσει 0s «»- 
μένης γραμμῆς. ἐάν τε ἐπὶ ς΄, καὶ λόγος 7? δοϑεὶς τοῦ 
ὑπὸ τῶν τριῶν περιεχομένου προειρημένου στερεοῦ προς! 
τὸ ὑτιὸ τῶν λοιπῶν τριῶν, πάλιν τὸ σημεῖον ἅψεται ϑές & 
δεδομένης. ἐὰν δὲ ἐπὶ πλείονας τῶν ς΄, οὐκέτι μὲν ἔχου « 
λέγειν, ἐὰν λόγος ἡ δοθεὶς τοῦ ὑτιτὸ τῶν Ó περιεχομέν «οὐ 
τινὸς πρὸς τὸ ὑτιὸ τῶν λοιπῶν, ἐπεὶ οὐκ ἔστι τε τιεριεχξ. €- 
39 μενον ὑττὸ πλειόνων ἢ τριῶν διαστάσεων. συγκεχωρήκοε δι" 
δὲ ξαυτοῖς οἱ βραχὺ πρὸ ἡμῶν ἑρμηνεύειν τὰ τοιαῦτα, μιν δὲ 
ἕν “μηδαμῶς διάληπτον σημαίνοντες, τὸ ὑπὸ τῶνδε. m 8a 
ἐχόμενον λέγοντες ἐτιὶ τὸ ἀπὸ τῆσδε τετράγωνον ἢ ἐπὲ τὸ 
ὑπὸ τῶνδε. παρῆν δὲ διὰ τῶν συνημμένων λόγων ταῦ πὰ 
xai λέγειν καὶ δεικνύναι καϑόλου καὶ ἐπὶ τῶν προειρᾷα 5- Ὁ 
40 νων πιροτάσεων καὶ ἐπὶ τούτων τὸν τρόπον τοῦτον. Ze 
ἀπό τινος σημείου ἐπὲ ϑέσει δεδομένας εὐϑείας καταχϑ «ὦ- 
σιν εὐϑεῖαι ἐν δεδομέναις γωνίαις, καὶ δεδομένος ἢ λόγ'΄“: 
ὁ συνημμένος ἐξ οὗ ἔχει μία κατηγμένη πρὸς μέαν γε 4i 
ἑτέρα πρὸς ἑτέραν, καὶ ἄλλη πρὸς ἄλλην, χαὶ ἢ λοεσπὴϊ 
πρὸς δοϑεῖσαν, ἐὰν ὦσιν ζ΄, ἐὰν δὲ η΄, καὶ ἡ λοιπὴ "e 
λοιπήν, τὸ σημεῖον ἅψεται ϑέσει δεδομένης γραμμῆς »ε ei 
ὁμοίως ὅσαι ἂν ὦσιν περισσαὶ ἢ ἄρτιαι τὸ πλῆϑος. τρις 
των, ὡς ἔφην, ἑπομένων τῷ ἐπὶ τέσσαρας τόπῳ οὐδὲ 
11 συντεϑείχασιν ὥστε τὴν γραμμὴν εἰδέναι. [ταῦϑ᾽ οἱ β4.ἐ" 


9. ἐὰν δὲ Paris. 3868 SV 10. προειηρημένου Hu pro x«l dort nh 
νου 18. ἐὰν add. Hw, 416. δ᾽ ἐν ἑαυτοῖς Hu 47. et 49. £77 
τῶν Ó' Πα 2. εὐθείας om. Ha 48. post xai repetunt δεδομέθ —- 
γωνέαις καὶ AB ὁ ante λύγος add. Bs Ha $24. μια χατηγμένηϑ' » 
corr. BS post uí«v add. χατηγμένην Ha 35. αἴτιαι A, ΠΑ" 
Paris. 28368 SV (&rio: Ha et ex silentio BJ 80. τεϑείχασιν A, sedi -—. 


per vs. οὖν add. pr. m., unde οὖν τεϑεέκασιν BS, corr. Hu. τοῦϑ' 


LIBER VII. 681 


vocamtur [quales vero. sint quasque proprietates habeant, non 
item liquet]. Quarum unam quandam, quae nequaquam inter 
maxime conspicuas esse videtur, composuerunt (sive synthetice 
Cn.slituerunt) eiusque utilitatem demonstraverunt. His autem 
prOpositionibus ea quae diximus constant: Si a quodam puncto 
4d rectas quinque positione datas ducantur rectae in datis 
angulis, sitque data proportio parallelepipedi solidi rectanguli 
$s1b» tibus ductis contenti ad parallelepipedum rectangulum 
Sab» duabus reliquis οὐ datà quadam contentum, punctum 
coritinget lineam positione datam. Εἰ si ad sex rectas du- 
(γα ἐπ, sitque data proportio solidi quod diximus sub tribus 
Ccomatenti ad id quod reliquis tribus continetur, iterum punc- 
umm continget lineam positione datam. Sin vero ad plures 
quam sex ducantur, non amplius dicere licet "si proportio 
data sit solidi cuiusdam sub quattuor rectis contenti ad id 
quod sub reliquis tribus continetur", quoniam nihil est quod 
sub pluribus quam tribus dimensionibus contineatur. Verum 
ü qui paulo ante nos fuerunt sibi ipsi concesserunt, ut eius- 
D1Odi res interpretarentur neque tamen quidquam perspicue 
Proferrent, cum rectangulum sub his rectis contentum cum 
quadrato ab hac vel cum rectangulo sub his contento multi- 
Plicarent. At vero per compositas proportiones haec et enun- 
liare et generaliter demonstrare licebat non solum in supe- 
rioribus propositionibus, sed etiam in his de quibus nunc 
agimus hunc in modum: Si a quodam puncto ad rectas po- 
Sitione datas ducantur reciae in datis angulis, ac data sit pro- 
Portio composita ex ea, quam una ducta habet ad unam, ea- 
que, quam altera ad alteram, tum ea, quae alia ad aliam, 
denique ea, quam reliqua ad datam, si sint septem, sin vero 
9cto, reliqua ad reliquam: punctum continget lineam positione 
datam, Àc perinde quotcunque vel pares numero vel im- 
Pares rectae ducentur. Etsi haec, ut dixi, locum ad quat- 
Uuor recfas sequuntur, nihil admodum ita composuerunt (sive 
$3ynthetice demonstrarunt), ut illa linea cognosci posset. [Haec 
(invitis ABsj- ταῦϑ᾽ oí — p. 682, 90. στοιχείων interpolatori tribuit 


**; exciderunt autem eodem loco pauciora plurave genuina Pappi verba 
Pappus 1I. 44 


682 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Z. 


πόντες ἥκιστα ἐπαίρονται, καϑάπερ οἱ πάλαι καὶ τῶν 
χρείττονα γραψάντων ἕκαστοι" ἐγὼ δὲ καὶ πρὸς ἀρχαῖς 
τῶν μαϑημάτων καὶ τῆς ὑπὸ φύσεως προκειμένης ζητὴ 
των ὕλης κινουμένους ὁρῶν ἅπαντας, αἰδούμενος ἐγὼ 
δείξας γε πολλῷ κρείσσονα καὶ πολλὴν προφέρόμενα ὦ 
λειαν... ἵνα δὲ μὴ κεναῖς χερσὶ τοῦτο φϑεγξάμενος ' 

42 χωρισϑῶ τοῦ λόγου, ταῦτα δώσω τοῖς ἀναγνοῦσιν᾽ ὁ 
τῶν τελείων ἀμφοιστικῶν λόγος συνῆπται ἔκ τε τῶν ug 
σμάτων καὶ τῶν ἐπὶ τοὺς ἄξονας ὁμοίως κατηγμένων 
ϑειῶν ἀπὸ τῶν ἐν αὐτοῖς κεντροβαρικῶν σημείων, ὁ 
τῶν ἀτελῶν ἔκ τε τῶν ἀμφοισμάτων καὶ τῶν περιφερεε 
ὅσας ἐποίησεν τὰ ἐν τούτοις κεντροβαρικὰ σημεῖα, ὁ 
τούτων τῶν περιφερειῶν λόγος συνῆπται δῆλον ὡς ἔκ τὲ 
κατηγμένων καὶ ὧν περιέχουσιν αἱ τούτων ἄχραι, εἰ 
εἶεν πρὸς τοῖς ἄξοσιν ἀμφοιστικῶν, γωνιῶν. περιἔέχε 
δὲ αὗται ai προτάσεις, σχεδὸν οὖσαι μία, πλεῖστα 
καὶ παντοῖα ϑεωρήματα γραμμῶν ve καὶ ἐπιφανδιῶν 
στερεῶν, πάνϑ᾽ ἅμα καὶ μιᾷ δείξει καὶ τὰ μήπω δε 
μένα καὶ τὰ ἤδη ὡς καὶ τὰ ἐν τῷ δωδεκάτῳ τῶνδε 
στοιχείων. 

Ἔχει δὲ «à yy βιβλία τῶν ΄πολλωνίου κωνικῶν à 
ρήματα ἤτοι διαγράμματα υπζ', λήμματα δὲ [ἤτοι Aog: 
ψόμενά ἐστιν εἰς αὐτὰ] ο΄. 

* x ͵ * 


4. ἥκιστα πειρῶνται Hu 9. ἔχαστον AS, ἔχαστα B, ἕχαστος 


corr. Hu ἔτει Hu pro ἐπὶ 8. xal τῆς — ζητημάτων om. A 
marg. add. A(BS) 5. πολλῷ Ha pro πολλῶν 7. ἀναγινώσκε 
Graecus scriptor voluisse videtur, ἀγνοοῦσιν edidit Ha 8. ἀμ 
(sine acc.) στέχων A(BS), corr. Ha 49. ὅσας Ha pro oca ἐν 
Toig Ha 43. τῶν om. Ha λόγος συνῆπται add. Hu /— εἰς τε 
A(BS), corr. Ha 45. 46. περιέχουσαι δὲ ravtz A(BS), corr. j 
48. μὴ προδεδειγμένα Ha 49. ἤδη ὡς Ha, ηδεως Α (ἡδέως B 


δεκάτῳ V τῶνδε BS, των δὲ A, del. Ha 21. » Ha, € 4, z 
BS ἀπολλωνέωι À, corr. BS 32. 23. ἤτοι λαμβ. — αὐτὰ ii 
polatori tribuit Hu (propter similitudinem eorum quae p. 670, 2 et 67: 
Pappus ipse scripsit, cuius a dicendi genere alienum est etiam εἰς « 
pro ἐν αὐτοῖς : nam agitur de lemmatis, quae insunt in libris, non : 
ad libros adsumpta sunt) 


LIBER VII. 683 


Qui perspiciunt minime ad eiusmodi conatum inducuntur, per- 

ihde ac veteres et quicunque praeterea emendatius scripse- 

runt. Sed equidem cum fere cunctos in ipsis initiis et re- 

rum mathematicarum et quaestionum physicarum!) versari vi- 
derem, cumque eius rei me puderet et ipse demonstravissem 
multo meliora quaeque magnam utilitatem  afferrent . 
Sed ne inanibus quasi manibus hoc protulerim, antequam ab 
hac disputatione discedo, haec offero legentibus: Figurae per- 
fecta rotatione genitae proportionem habent compositam et ex 
rotantibus et ex rectis similiter ad axes ductis a gravitatis 
centris quae in rotantibus sunt. Figurae imperfecta rofatione 
genttae proportionem habent compositam ev ex rotantibus et ex 
arcubus quos centra in his gravitatis descripserunt. Sed ho- 
rum arcuum proportionem apparet compositam esse et ex ductis 
ad acces et ex angulis quos harum extremitates continent, si 
ad axes figurarum rotatione genitarum sint?). Verum hae 
PrOpositiones, quae paene ad unam redigi possunt, mirum 
quanta quamque varia theoremata et linearum et superficie- 
rum et solidorum continent ita, ut una eademque demonstra- 
lone probentur omnia et quae nondum et quae iam demon- 
Sl'ata sunt, velut ea quae in duodecimo libro horum elemen- 
lorum reperiuntur.] 

. Libri octo Apollonii conicorum continent theoremata sive 
. dia &rammata CGCCCLXXXVII; lemmata LXX. 


* * 
* 


1) Proprie: materiae quaestionum a natura propositae. 


2) Locum vergentis iam Graecitatis aetate conscriptum eaque de 
Us. impeditissimum sic interpretatur Halleius: "Figurae perfecto gyro 
S6 Eh ἃ [46 rationem habent compositam ex ratione gyrantium et ex illà 
"tarum similiter ad axes ductarum ab ipsarum gyrantium gravitatis 
ἔθ χὰ tris Ratio vero incompleto gyro genitarum fit ex ratione gyrantium 
9' mrcuum quos descripsere earundem centra gravitatis. Manifestum 
?!tem est horum arcuum rationem componi ex ratione ductarum ad 
3E es et ox illa angulorum quos continent ductarum extremitates, si ad 
Aeg genitarum aestimantur". Quae praeterea recentiores mathematici 
"^ eo genere invenerint, v. apud Baltzer, Elemente der Mathematik M 


Ῥ- 265 edit. IV. - 
AA * 


684 — ΠΑΠΠΟΥ ZTNATOTHX Z. 


. 43 α΄. Τὴν δοϑεῖσαν εὐϑεῖαν sig τὸν δοϑέντα λόγον τεμεῖ am. 
Ἔστω ἡἣ μὲν δοϑεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, ὃ δὲ δοϑεὶς Aer — 
γος ὃ Γ πρὸς 4, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν τὴν 44 εἰς v v 
τῆς D πρὸς τὴν 4 λόγον. ἔλλινα πρὸς τὴν .4B εὐϑεῖαε---ν 
ἐν γωνίᾳ τυχούσῃ εὐϑεῖαν τὴν 4, καὶ τῇ μὲν Dl tom 
ἀφεῖλον τὴν .4Z, τῇ δὲ 4 τὴν ZH, καὶ ἐπιζεύξας τὴ Ξ ail 
ταύτῃ παράλληλον ἤγαγον τὴν ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς T 
4409 πρὸς OB, οὕτως ἡ J4Z πρὸς ZH, ἴση δέ ἐστιν ἢ tum — —B 
AZ τῇ D, ἡ δὲ ZH τῇ 4, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 440 πρὸς ΟΞ. «4 
οὕτως ἢ Γ πρὸς τὴν 4" διήρηται ἄρα κατὰ τὸ O σημεῖ «Ὁ» 
ὅπερ: “- 

44 β΄. Τριῶν δοϑεισῶν εὐθειῶν τῶν .4B ΒΓ 4, cb εξ 
ὡς τὴν .4B πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἄλλην τινὰ πρὸς τὴν ——4. 

Πάλιν ἔκλινά τινα εὐθεῖαν τὴν DE ἐν τυχούσῃ γων «52 «, 
χαὶ τῇ 4 ἴσην ἀπεϑέμην τὴν ΓΖ. ἐπέζευξα τὴν ΒΖ »-- αἱ 
ταύτῃ παράλληλον ἤγαγον τὴν ΗΑ. γίνεται οὖν πάιν «εἰς 
? .4Β πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ HZ πρὸς τὴν ΓΖ, vovréos “ἘΞ τιν 
πρὸς τὴν 4" εὕρηται ἄρα ἡ ZH. 

Ὁμοίως κἂν ἡ τρίτη δοϑῇ, τὴν τετάρτην εὑρήσομεν — 

40 Y. Ἐχέτω τὸ 418 πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα λόγον ὕχαεσ Ἐθ1 
τὸ 4Ε πρὸς τὸ EZ: ὅτι καὶ κατὰ σύνθεσιν“ τὸ 4D rre “" 
τὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ 42 πρὸς τὸ ΖΕ. 

Πετιοιήσϑω γὰρ ὡς τὸ .4B πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως ga. Ao 
τι τὸ H πρὸς τὸ EZ: xoi τὸ H ἄρα πρὸς τὸ EZ uci» ?"*, 
λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΔῈ πρὸς τὸ EZ: μεῖζόν ἄρα doviv ^79? 
H τοῦ AE. κείσϑω αὐτῷ ἴσον τὸ ΘΕ. ἐπεὶ οὖν do ^4? 
«eg τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ OE πρὸς τὸ EM 


4. α' add. ΒΒ 3. ὁ T] OT' A (sed O m. sec. in rasura), ó e 79 
D Ha 4. εχλεινα (sine spir. et acc.) A, corr. BS 5. ac AES V* 
«x Paris. 2368 S, Ἢ Ha ἴση A, corr. ΒΒ 492. B A! in ma X É: 
(BS) 44. exAeww« (sine Spir. et^acc.) A, ἔχλινα BS ΓΕ Hu, 
AS, yo B, FH Ha 15. 16. xol ταύτῃ Ha, ἡ xat αὐτὴι (sine spir. et | 
acc.) A, 7 xol αὐτῇ S, καὶ αὐτῇ B 46. τὴν ΔΗ͂ Ha 41. πρρφ- 
τὴν ΓΒ ABS, corr. Ha 80. γ' add. BsV, β' add. 8 τὸ AB) sc 4 
μέγεϑος, et similiter posthac; conf. p. 688, 40 22. πρὸς τὸ ZI ““δ’ 
corr. BS 27. «0 ante EZ add. S 


/ 


LIBER VII. PROPOS. 4. 2. 3. 685 


.EMMATA IN LIBROS DE SECTIONE PROPORTIONIS ET SPATII. 


y I. Datam. rectam in datam propor- Prop. 
j " tionem secare. ! 
————áÀà4 Sit data recta oj, et data propor- 
a tio y : δ, et necesse sit rectam af se- 


care in proportionem y : d. Ad rec- 
tam «8 sub quovis angulo inclino rec- 
tam αξ et rectae y aequalem aufero a£, 
rectaeque à aequalem ζη, et, iunctà βη, 
é 7 huic parallelam duco 539. Quoniam est 
a9 : 98 — αζ: ζη, et αζ — y, et ζη — ὃ, 
est igitur «9: 95 — y:0. Ergo recta 
β af in datam proportionem in puncto 9 
divisa est, q. e. d. 


ll. Tribus datis rectis of gy ὃ, Prop. 
- 2. invenire aliam quandam, quae ad ὃ 
eandem proportionem atque a9 : βγ 
habeat. 


Rursus rectam quandam ye sub 
quovis angulo inclino et rectae ὃ ae- 
qualem facio γζ. Iungo βζξ eique pa- 
ralllam duco oy. Rursus igitur est 
αβ.: βγ — ηξ.: ἵγ — 95:0; itaque in- 
venta est 5m ad ὃ in eadem proportione 
atque ap : fy. 

" Similiter etiam, si tertia data sit, 
quartam inveniemus. 


HI. Sit og : By ?» δὲ: &b; dico etiam componendo esse Prop. 
yB bL: ζε. | 
£ y Fiat enim ut αβ ad fy, ita 
aliud quiddam, scilicet ἡ, ad εἶ; 
ergo est 9 : εξ» δὲ: εζ; itaque 
(elem. ὃ, 10) ἡ » δε. Ponatur 
9e — η. Quoniam «e: βγ — 


9 3 ξ 
7 
--------.------ --ἰ 


686 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHS Z. 


συνθέντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ BI, οὕτως τὸ Z— «e 
πρὸς τὸ ΖΕ. τὸ δὲ ΘΖ πρὸς τὸ ΖΕ μείζονα λόγον Cummme— 9. 
ἤπερ τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ΖΕ καὶ τὸ “4Γ ἄρα πρὸς τὸ ΓΒ uem—- 
ζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ 4Z πρὸς τὸ ΖΕ. 

46 à. Πάλιν δὴ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα Àój———»o5 
ἐχέτω ἤπερ τὸ 4E πρὸς «0 EZ: ὅτι καὶ τὸ 4 πρὸς τὺ 
ΓΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ AZ πρὸς τὸ EZ. 

᾿ Πάλιν γὰρ ἐπεὶ τὸ 41 πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα Àóy ——^ 
ἔχει ἥπερ τὸ 4Ε πρὸς τὸ ΕΖ, ἐὰν ποιῶ ὡς τὸ 48 7; mm 
τὸ ΒΓ, οὕτως ἄλλο τι πρὸς τὸ EZ, ἔσται ἔλασσον Ξ 0010 
4Ε. ἔστω τὸ EO γίνεται ἄρα καὶ ὡς τὸ ΑΙ πρὸς τὸ 
ΓΒ, οὕτως τὸ ΘΖ τιρὸς τὸ ΖΕ. τὸ δὲ ΘΖ πρὸς τὸ ΞΞΞΞΕ 
ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ 4Ζ πρὸς τὸ ΖΕ: τὸ ΑΓ i «Ὁ 
zgóg τὸ ΓΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ 10 4Z πρὸς vó ZZ ——EF 

47 ε΄. Ἐχέτω δὴ sow τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μείζονα “--Ξ- (." 
yov ἥπερ τὸ 4 πρὸς τὸ EZ: ὅτι καὶ ἐναλλὰξ τὸ 4B scaczamm06 
τὸ 4E μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΖ. 

Πεποιήσϑω γὰρ ὡς τὸ .4B πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως üs&— ^ 
τι πρὸς τὸ EZ: φανερὸν δὴ ὅτι μεῖζον ἔσται τοῦ 9 .- 
ἔστω τὸ HE: ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ 48 πρὸς τὸ E- “ΑΑΡΊ Ὁ 
οὕτως τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΖ. ἀλλὰ τὸ" ΑΒ πρὸς τὸ ——E 
μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ EH, ᾿τουτέσ -am——" 
ἥπερ τὸ ΒΓ πρὸς EZ: xai τὸ 4,18 ἄρα πρὸς τὸ 4E jc am" 
ζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΕΖ. ! 

Τὰ δ᾽ αὐτά, χἂν ἐλάσσονα λύγον ἔχῃ, ὅτι καὶ yo ec 5 
ἔσται yàg xai ὡς τὸ 4B πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως ἄλλο τι zac mmmos 
v0 EZ: ὅτι ἔλασσον τοῦ 4Ε. τὰ λοιτιὰ τὰ αὐτά. 

48 c. Τὸ AT πρὸς τὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ 
AZ πρὸς τὸ ΖΕ: ὕτι ἀναστρέψαντι τὸ ΓΑ͂ πρὸς τὸ AP 
ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΑ πρὸς τὸ AE. 

. Πεποιήσϑω γὰρ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως 


τὸ 


e 
hl 
το 


1. 9, συνϑέντι — πρὸς τὸ ΖΕ (ante τὸ δὲ om. Ha 2.3. μείξ: - - 

» 7x ' 5x " , - " ace 

— mnto 10 0C πρὸς ro Ce add. BS 5. À add. BS 15. E A! in m » 

(BS) 20. πρὸς to HE Ha, ilem vs. 22 25. ἔχει Α, sed ἔχηι c — δὴ 
pr. man. 41. ὅτι πρὸς ἐλάσσονα τοῦ 4E ABS, corr. Co (φανερὸν 


LIBER VII. PROPOS. 4. 5. 6. 687 


Je: &t, componendo igitur est ey : yf 2 906: 6e. Sed est 
96 δὲ quia 9e 7» δὲ); itaque (elem. 5,8) 96: te » at : ζε: 
ergo etiam oy : γβ» ÓL : ζε. 
IV. Sit contra og : βγ « δὲ : e5; dico item componendo Prop. 
esse €: yB « 0L : Le. 
Rursus enim, quoniam af : βγ 
c P4 )7)ἷ « δὲ: εἶ, si faciam, ut af ad fy, 
ita aliud quiddam ad «e$, hoc erit 
mmn" minus quam Oe"). Sit e9'; ergo est 
eliam ay : γβ — 30: ζε. Sed est 
: Ge « Ob: Le; ergo ay : yf « OC : Ge. 
. W. Sit rursus af : By Ὁ δὲ: εζ; dico etiam vicissim Prop. 
eSSe eg: δὲ» βγ εἶ. 
Fiat enim, ut a : 


JC By, ita aliud quiddam 
— ᾧ ς ad eb; apparet igitur id 


2 d £ έ maius esse quam δὲ 
Em (supra propos. 3). Sit 
76; ergo vicissim est 
αβ o: Ὧξ τ βγ: εζ. Sed est (elem. 5, 8) ub Lem ef 76, id 
eo By : €; ergo etiam af : δὲ.» fly : 
Item, si of : fy « δε: et, dico λάσιον esse af): δὲ 
S Gy :st*""). Erit enim, ut of : fy, ita aliud quiddam ad 
ἐξ. «ἀρραγοὶ id minus esse quam de. Reliqua similiter ac 
3up2-c 
WI. Sit «7 : yf - 0L : 06; dico convertendo esse γα : Prop. 
αβ -- CÓ : δε. | e 
Fiat enim, ut ay : yB, ita δξ ad aliud quiddam; erit 


*) Hoc similiter atque in tertia propositione demonstrari voluit 
S""iptor. Idem valet de similibus locis qui in proximis lemmatis se- 
(unte, 

*'*) Conf. supra III propos. 3. 


— 


MÀ 


ὅτι ἔλασσον τοῦ 4E coni. Ge; sed φανερὸν δὴ compendio dictionis 
9Wnisit scriptor) 28. c' add. BS 39. ἀναστρέψαντι τὸ EA A, 
COrr. RS 


688 IIAIIIIOY ZYNATOTHZ Z. 


4Z πρὸς ἄλλο τι" ἔσται δὴ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΖΕ. Lc» 0 
πρὸς τὸ ZH: ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΓΑ͂ zgóg π-πὸ 
4B, οὕτως τὸ Z4 πρὸς τὸ ΖΗ. τὸ δὲ ZZ πρὸς τὸ ——9 H 
ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ Z4 πρὸς τὸ 4E: καὶ τὸ 8 Δ 
ἄρα πρὸς τὸ ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ΖΔ πρὸς τὸ A» X5 
Ὁμοίως δὴ καὶ τὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒ ἐλάσσονα λό »-“ 0» 
ἐχέτω ἤπερ τὸ 4Ζ πρὸς τὸ ΖΕ: ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ 2. A4 
πρὸς τὸ .4B μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ 42 πρὸς τὸ «ΡΥ E. 
ἔσται γὰρ ὡς τὸ 4 πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ 4Ζ rm emm 
μεῖζόν τι μέγεϑος τοῦ ΖΕ. καὶ τὰ λοιπὰ φανερα. " 
49 C. Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ 44Β πρὸς τὸ BI μείζονα «ΕΞ ὁ- 
γον ἤπερ τὸ 4E πρὸς τὸ EZ: ὅτι ἀνάπαλιν τὸ ΓΒ memi 
τὸ B.4 ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΖ. 
Πεποιήσϑω γὰρ ὡς τὸ .1Β πρὸς τὸ ΒΓ, οὕτως τὸ 2——4E 
πρός τι" ἔσται δὴ πρὸς ἔλασσον τοῦ ΕΖ. ἔστω πρὸς τὸ 15 
| EH: ἀνάπαλιν ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΓΒ πρὸς τὸ Bof, οἵπε «mmm; 
τὸ HE πρὸς τὸ Ed. τὸ δὲ HE πρὸς τὸ ΕΖ4 ἐλάσσ“» 5324 
λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ xal τὸ ΓΒ ἄρα rc g—9* 
τὸ ΒΑ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ EA. 
Ὁμοίως δὴ κἂν τὸ .4B πρὸς τὸ ΒΓ ἐλάσσονα λό», “ 9"? 
ἔχῃ ἥπερ τὸ 4E πρὸς τὸ ΕΖ, ἀνάπαλιν τὸ ΓΒ πρὲ 0 
B.4 μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ Ed. &oam— (ἱ 
γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΒ, οὕτως τὸ 4E πρὸς μεῖζόν Ti 
τοῦ EZ: và δὲ λοιπὰ φανερά. 
Καὶ φανερὸν ἐχ τούτων ὅτι, ἐὰν τὸ (18 πρὸς τὸ 44:53 
μείζονα λόγον ἔχῃ ἢπερ τὸ 4E πρὸς τὸ EZ, καὶ τὸ 
πρὸς τὸ ΕΔ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ΓΒ πρὸς τὸ Bo—4. 
ἐὰν δὲ τὸ 41 πρὸς τὸ ΒΓ éÀáocova λόγον ἔχῃ ἤπερ 
AE πρὸς τὸ ΕΖ, καὶ τὸ ΖΕ πρὸς τὸ ΕΔ ἐλάσσονα λό 
ἔχει ἤπερ τὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΒΑ͂. . 
50 n. Ἐχέτω τὸ AB πρὸς τὸ 4E μείζονα λόγον ἤπερ 
ΒΓ πρὸς τὸ EZ: ὅτι xoi τὸ 48 πρὸς τὸ AE μείζονα 
γον ἔχει ἤτπτερ τὸ ΑΓ πρὸς τὸ AZ. 
Πεποιήσϑω γὰρ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ AE, οὕτως 


T25 





— 


4. 5. xai vo ΓΑ͂ ἄρα -- πρὸς τὸ 4E add. Sca (item Co, nisi quae 


LIBER VII. PROPOS. 7. 8. 689 


igitur ad minus quam Le. Sit ad C5; convertendo igitur est 
γα: αβ — ζδ : δη. Sed est 
ῷ Á y CO : δὴ «; CO : δὲ; ergo etiam 

j ; : γα : eB « L0: δὲ. | 
| ———— ——3À Similiter etiam sit «y : 
yB « ὃξ : 0e; ergo conver- 
lendo est γα: ef 7» L0 : δὲ. Erit enim, ut cy : yfl, ita 0C ad 
maiorem quandam magnitudinem quam Ce. Ac reliqua mani- 

festa sunt. | 


WII. Rursus sit of? : By *» δε: c£; dico e contrario esse Prop. 
7B : a « te : eó. 
Fiat enim, ut αβ : (Jy, Ma 


24 " . . . . . . 
. P / óc ad aliquid; erit igitur ad 
d ἃ ? É minus quam εζ. Sit ad ey; e 


MP πε contrario igitur est y: ge — 
pe : &0. Sed est we: &Ó «. 
ζε : eg ; ergo etiam yf : Ba « Ce : εὃ. 
Similiter etiam, 5] sit ag : fy « δὲ: eC, e contrario est 
γβ |: βὰα»ζε: εὃ. Erit enim, ut af : By, ita δὲ ad meius 
aliquig quam eb; reliqua autem manifesta sunt. 


Atque hoc etiam ex his apparet, si sit e : y »» δὲ: e, 
9SSe etiam Le : εὖ» yf : Ba; sin vero sit ag : By « ὃς: &, 
9SSe etiam Le : εὃ « γβ : fa. 

VIII. Sit ag : 0e *» By : eC; dico esse etiam af : δὲ »» Prop. 
ΑΘ gy : de -ε eC, id est ay : óL. ᾿ 

Fiat enim, ut a : δε, ita f» ad aliquid; erit igitur ad 
M 


αΣ rà ΑΓ ἄρα) 7. ἄρα add. Ha 441. ζ΄ add. BS 43. πρὸς Ed 
» τὸ add. S 45. ἔστω Hu pro ὥστε (ὡς coni. Co) 47. HE (post 


es 


"UT c rj) Ha pro EH πρὸς τὸ εὖ ἐλάσσονα S Ha, τὸ om. AB 
n; 19. xal τὸ ΓΒ ἄρα — πρὸς τὸ E4 add. Co Sca 20. πρὸς τὸ 
7^ aad. Co Sca 42. πρὸς τὸ cd S, τὸ om. AB 28. οὕτως) 


ibo (sine spir. et acc.) A, οὕτω BS 25. àx τούτου Ha 26. ἔχει 
^ Corr. ΒΒ .84. «y add. BS 


690 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHZ Ζ, 


BI πρός τε" ἔσται δὴ πρὸς ἔλασσον τοῦ EZ. ἔστω πᾳ» m 
τὸ HE: καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΓ πρὸς ὅλην τὴν 4H, ὡς ἡ ^m p 
πρὸς τὴν 4E: ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ΔΉ μείζονα λόγον Eze 
ἤπερ πρὸς τὴν 4Ζ᾽ καὶ ἡ .4B ἄρα πρὸς τὴν 4E μείζω γα 
λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν 4Z. 

Καὶ φανερὸν ὅτι ὅλη ἡ ΑΓ πρὸς ὅλην τὴν 4Z ἐλ ξξξξξο- 
cova λόγον ἔχει ἤπερ τὸ .4B πρὸς τὸ 4Έ. 

Κἂν ἐλάσσων τοῦ μέρους, μείζων δλης. 

51 0. Ἐχέτω δὴ πάλιν ὅλῃ ἢ .4T πρὸς ὕλην τὴν ———Z 
μείζονα λόγον ἥπερ ἡ .4B πρὸς τὴν ΔΈ: ὅτι καὶ Aog. ——dnmi 
7? ΒΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ———T 
πρὸς τὴν 4Z. 

Πεποιήσθϑω γὰρ ὡς 5 AT πρὸς τὴν AZ, οὕτως ἡ ———-—B 
σρὸς τὴν ZH: καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς λοιπὴν τὴν ξΞαααΖ 
ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν 4Z. ἡ δὲ ΒΓ πρὸς τὴν ἘΠ--ι2 κα 
μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΖΗ καὶ $ ΒΓ ἄρα zem ὃς 
τὴν ΕΖ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ 7) Α͂Γ πρὸς τὴν AZ. 

᾿δὰν δὲ ὅλη πρὸς τὴν ὅλην ἐλάσσονα, ἡ λοιπὴ ἐλάσσω »-“α. 

52 v. Ἔστω μεῖζον μὲν τὸ 48 τοῦ I, ἴσον δὲ τὲ 4 -πεῷ 
E: ὅτι τὸ 4B πρὸς τὸ D μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ τῷόἮ 4 
πρὸς τὸ E. 

Κείσϑω γὰρ τῷ Γ ἴσον τὸ ΒΖ’ ἔστιν ἄρα ὡς τὸ B7 
πρὸς τὸ D, οὕτως τὸ 4 πρὸς τὸ E. ἀλλὰ τὸ 48 τ΄ «-ὺς 
τὸ D' μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΒΖ πρὸς τὸ Γ' xai τὸ. “-554} 


ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ 4“ πρὸς τὼ E.5 
4. post πρὸς ὅλην τὴν ΔΗ add. ἐστὴν ASBS ἀφ. ἤπερ πρὸς τὴν 
11 ABS, corr. Sca (idem voluit Co) xci ἡ « AB ἄρα A, sed «c de- 
letum: 8. ἐλάσσων τοῦ μέρους, μείζων ὅλης Co, ἐλασσον τὸ μια -“0: 
μεῖζον ὅλης A(BS), ἐλάσσονκ τὰ μέρη, μεέζονα ὅλαι, h. e. ἐὰν δύω» e 


ϑειῶν τὰ μέρη πρὸς ἄλληλα ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ ἥπερ τῶν αὐτῶ 2.- "t 


ἕτερα μέρη, ὅλαι αἱ εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας μείζονα λόγον ἕξουσιν -— o πε 
τὰ προειρημένα μέρη, Hu (conf. etiam cap. 54 extr.) 9. 9' add. | sd 
43. Πεποιήσϑω — τὴν 4Z add. Co, ἔστω et cetera perinde add. $e 
45. 46. EZ μείζονα — πρὸς τὴν (ante ZH) add. Co Sca 18. 9" 
ποὺς τὴν ὅλην ἐλάσσων ABS, ὅλης πρὸς τὴν ὅλην ἐλάσσων Co, ce 
Hu ἡ λοιπὴ ἐλάσσονα Hu, ἡ λοιπὴ μείζων A(BS;, ἡ λοιπὴ ἐλάσ e" 
(debuit τῆς λοιπῆς ἐλάσσων) Co 49. εἰ add. BS 


LIBER VII. PROPOS. 9. 40. : 691 


minuzs quam eC. Sit ad sp; ergo etiam est tota ad totam !) 

| Αγ : δὴ — af : δε. Sed cst 

& 6 /4 oy:0n » ay: OC; ergo etiam 
ag : 0s 7» ay : OL. 

ὃ 5.2 ὁ Et apparet esse totam ad 

totam ay : ὃζ « af : δε. 

ἘΠῚ si partium duarum rectarum. proportio minor sit quam 

alitrcvrum' partium, maior erit "proportio totarum rectarum 

quam illarum priorum partium (vel: si sit ag : δὲ « fly : e, 
erit αβ - By : δὲ - eC, id est ay : δὲ o» a : 0s). 


IX. Rursus sint rectae «y ὃζ earumque partes af de, Prop. 
el sit ay : 0b 2» a9 : δε; dico subtrahendo esse fy: eb 
ay : à. 
Fiat enim, ut «o7 ad 


2 2 Ob, ita αβ ad δη; ergo 
ANNA eliam subtrahendo fy : ηζ 


J 2 ὁ ξ — αγ: ὃζ. Sed est βγ: 
᾿ εξ 9 By : ηζ; ergo etiam 


fy : εξ » ay : OL. 

Sin vero tota ad totam minorem proportionem habeat quam 
pars ad partem, etiam reliqua ad reliquam minorem propor- 
lionem, habebit quam tota ad totam (vel: si sit ay : 05 « of : 
δε, erit etiam fy : εζ « ay : δῶ. 


X. Sit ag *» y, et Prop. 


᾿ ; 2 — δ; dico esse ag : γ» 
CEN NNNM. ὃ : €. 

NEED Ponatur enim βζ — y; 

J , est igitur βζ : y — à: 8. 


Sed est af : y » B6: y; 
ergo etiam ag : y *» δ: :. 


4) Sic ad Graeci sermonis similitudinem brevitatis causa scripsimus 
et hoc loco et paucis aliis qui sequuntur, ubi Pappus elementorum 
quinti propositionem 12 adhibuit, ex dua in proportionibus, ut unum 
aDlecedentium ad unum sequentium, ita est summa antecedentium ad 
summam consequentium, 


99 


94 


692 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ Z. 


Kai φανερὸν ὅτι, ἂν ἔλασσον τὸ 4B τοῦ D, τὸ .4B 
πρὸς τὸ Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ 4l πρὸς τὸ E, διὰ 
τὸ ἀνάπαλιν. 

ια΄. “1λλὰ ἔστω μεῖζον μὲν τὸ 4B τοῦ Γ, ἔλασσον δὲ 


τὸ 4E τοῦ Z: ὅτι τὸ .4B πρὸς τὸ Γ᾽ μείζονα λόγον ἔχει ῦ 


ἤπερ τὸ 4E πρὸς τὸ Ζ. 
^ i] 3 NN 3 , * N » 
Φανερὸν μὲν ovv καὶ ἄνευ ἀποδείξεως" εἰ γὰρ ὄντος 
ἴσου τοῦ 4Ε τῷ Z τὸ .48 πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει 
ἤπερ τὸ 4Ε πρὸς τὸ Ζ, ἐλάσσονος ὄντος πολλῷ μείζονα 
λόγον ἕξει. διὰ ἀποδείξεως δὲ οὕτως" ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν 
ἔστιν τὸ 48 τοῦ D, ἐὰν ποιῶ ὡς τὸ 48 πρὸς τὸ T, ob- 
34 i] No. » - e" v et M " 
τως ἄλλο τι πρὸς τὸ Z, ἔσται μεῖζον τοῦ Z, wore καὶ vob 
y - b 
JE. ἔστω οὖν [αὐτῷ ἴσον] τὸ HE: τὸ HE ἄρα πρὸς τὸ 
Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ 4Ε πρὸς τὸ Ζ. ἀλλ᾽ ὡς 
τὸ HE πρὸς τὸ Z, οὕτως τὸ 48 πρὸς τὸ Γ᾽ καὶ τὸ 4B 
9, M A , , 2) 2! M * M 
ἄρα πρὸς τὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ 4E πρὸς τὸ Z. 
Καὶ φανερὸν ὅτι, ὅπου τὸ ἔλασσον, ἀεὶ ἐλάσσονα... 
Καὶ ὅτι μεῖζον γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ Z τοῦ ὑπὸ 
τῶν D AE: ἴσον γὰρ αὐτῷ ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν I EH, 0 ἐστιν 
μεῖζον τοῦ ὑπὸ τῶν Γ 4Έ. 
ιβ. Εὐθεῖα ἡ .4B καὶ τετμήσϑω κατὰ τὸ Γ΄ ὅτι 
, A MJ ^ ΄“«- ’ * * , , 
πάντα μὲν τὰ μεταξὺ τῶν ΑΔ D σημείων eig ἐλάσσονας Ào- 
γους διαιρεῖ τὴν .4B τοῦ τῆς «ΑΓ πρὸς τὴν UB, πάντα 
δὲ τὰ μεταξὺ τῶν Γ B εἰς μείζονας. 


1 


€ 
4 


Εἰλήφϑω γὰρ σημεῖα ἐφ᾽ ἕχάτερα τοῦ Γ τὰ [4 E. 


ἐπεὶ οὖν ἐλάσσων μὲν ἡ 4.4 τῆς 4T, μείζων δὲ ἡ AB 
τῆς ΒΓ, $ 4.4 πρὸς τὴν 4T ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἢ 
4B πρὸς τὴν ΒΓ ἐναλλὰξ ἄρα ἡ 444 πρὸς τὴν 4B ἐλαάσ- 


4. ια΄ Bs, idem paulo supra ante Καὶ φανερὸν add. SV 5. τὸ 
4E τοῦ Z Co, τὸ 4 τοῦ E ABV, τὸ ὃ τοῦυϑ 6. ἤπερ τὸ 1E πρὸς 
τὸ Z Co pro ἤπερ τὸ 4 πρὸς τὸ E 7. ἄνευ Co pro διὰ 42. πρὸς 
τὸ Z Ha auclore Co pro πρὸς τὸ ΖΕ 43. αὐτῷ ἴσον del. Hu 


47. ἀεὶ εἐλαττονα A(BS), χαὶ ἐλάσσονα Hu 48. 19. τῶν 4,82 τοῦ 


ὑπὸ τῶν TAE -- τὸ ὑπὸ τῶν ΓΈΗ A, distinx. V (Bs, τῶν « f ( ac 
reliqua similiter Sj 20. μεῖζον τοῦ ὑπὸ Bs Sca (idem voluit Co), 


μεῖζον τὸ ὑπὸ ASV τῶν ΓΔΕ A, distinx. V (Bs, τῶν y ὁ ε S) 


LIBER VII. PROPOS. 44. 42. 693 


K*t manifestum est, si sit of «; y, esse ag : y « δ: e, 
propt«er inversam rationem. 
9I. Sed sit af 7 y, et δὲ « C; dico esse ag : y »» δὲ: C. ProP- 
Manifestum est vel sine 46- ' 


c // monstratione; nam si (propter 
E — — - ' superius lemma) aequaliter posi- 
"A Z ! ds δὲ οἱ C, est af : y 9 δὲ : C, 

7 δ p erit facto δὲ minore quam 6, 
a -— —— multo ag : y *» δὲ : C. Demon- 
-. 6. " stratio autem sic se habet: quo- 


niam est ag *» y, si fecerim, ut 
of ad »y, ita aliud quiddam ad ζ, hoc erit maius quam ζ; 
ergo etiam maius quam δὲ. Sit igitur pe; ergo 96: C » 
δὲ: [. Sed erat ge: ζ — af : y; ergo etiam af : y »» δε: C. 
Et apparet, ubi est primum minus quam secundum, et 
lertium maius quam quartum, proportionem semper minorem 
eSSe (vel: si sit of « y, et 0e 0» C, esse ag: y « δὲ : C). 
Apparet etiam, suppositis disdem atque initio huius propo- 
Siíoni, esse αβ΄ ζ » y.Óe; est enim αβ-ζ — y-&y, e 
/- €p  y-Óe (infra propos. 16). 


XII. Sit recta αβ, eaque secetur in y; dico omnia inter Prop. 
€ et y puncta rectam «f in minores proportiones dirimere 
quam ay : yf, omnia autem inter γ et β in maiores. 

Sumantur enim 

« δ γ € f ad utramque puncti 
0 t — y partem puncta ὃ 
| et v. Quoniam est 

δὰ «X ay, et 0B 7» fiy, erit (propter superius lemma) δα : ay 
«08: y.  Vicissim igitur (propter huius libri propos. 5) 





3. 48 add. BS ἔστω ante ἡ .4B add. Ha καὶ δέχα τετμήσϑω 
ΟΥ̓ 42. τῶν 27 σημείων A, corr. ΒΒ 24. τῶν ΓΒ A, distinx. 
BS εἷς μείζονας ΒΒ Sca (idem voluit Co), εἰς μείζονα ASV 25. àq' 
ἑκατέρᾳ Ha τὰ ZE A, distinx. ΒΒ 27. δὲ ante 4.4 πρὸς τὴν AT 
dd. ASV, del. Sca (om. B9), ἡ 4.4 ἄρα πρὸς τὴν AT coni. Co 


3. καὶ ante ἐναλλὰξ add. Ha, ἄρα post idem add. Co 


694 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ Z. 


σονα λόγον ἔχει ἤπερ v ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. ὁμοίως δὴ 
δείξομεν ὅτι καὶ ἐπὶ πάντων τῶν μεταξὺ τῶν 41 D ση- 
μείων. 

Πάλιν ἐπεὶ μείζων μέν ἐστιν ἡ ΕΑ͂ τῆς ΑΓ, ἐλάσσων 
- »- 
δὲ ἡ EB τῆς ΒΓ, ἡ ΕΑ ἀρα πρὸς τὴν AT μείζονα λόγον. 
» N MI M / € M 
ἔχεε ἥπερ ἢ EB πρὸς τὴν BI" ἐναλλὰξ Gaga ἡ 4E πρὸς 
τὴν EB μιείζονα λόγον ἔχει ἥπερ 7» ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. 
€ ? M , hl - ^ M] ^v T , 
ὑμοίως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν μεταξὺ τῶν I B λαμβανομέ- 
γων σημείων. | 

- , - * 

55 wq. Ἐὰν εὐθεῖα ἢ 4B xai τμηϑῇ δίχα κατὰ τὸ T, 
πάντων τῶν λαμβανομένων σημείων μέγιστον ἀποτέμνει τὸ 
ς M -“ο ᾿ M - 
ὑπὸ τῶν 48 τὸ Γ᾽ σημεῖον. 

Ἐὰν M λ 9n - Ἁ Ζ , ^ ς M — 
γὰρ ληφϑῇ σημεῖον τὸ 4, γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν 
^ - 3 A , ^ E" 
AB μετὰ τοῦ ἀπὸ L4 ἴσην τῷ ἀπὸ 4D, τουτέστιν τῷ 
ὑπὸ τῶν ΑΓΒ' dove μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ τοὺ 
[4 N - M 4 3 UJ M] ? N M et 
ὑπὸ τῶν ΑΔΏ. τὰ δὲ avra καὶ ἐπὶ τὰ ἕτερα. 

56 -déyom δ᾽ ὅτι xai αἰεὶ τὸ ἔγγιον τοῦ Γ' τοῦ ἀπώτερον 

μεῖζον χωρίον ποιεῖ. | 

Εἰλήφϑω γὰρ xai ἕτερον σημεῖον τὸ E μεταξὺ τῶν .4 
4d: δεικτέον ὅτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν 4148 τοῦ ὑπὸ 
τῶν ΑΕΒ. ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Α48 μετὰ τοῦ ἀπὸ AT 
ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς 4T, ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν 4Ε8Β 

M - 3 A bz 2 “- ) M m , 
μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ ioov τῷ ἀπὸ τῆς 4D τετραγωνῳ, 
καὶ τὸ ὑπὸ τῶν 44} ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ 4T ἴσον ἐστὶν 
τῷ ὑπὸ τῶν ,44Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ. ὧν τὸ ἀπὸ AT 
ἔλασσόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ DLE: λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν 4248 
μεῖζόν ἔστιν τοῦ ὑπὸ τῶν AED. 

97 ιδ΄. Ei γὰρ εἴη τὸ .4 μετὰ τοῦ B ἴσον τῷ Γ μετὰ 

^ L ^ - »* 
τοῦ 4E, καὶ ἔλασσον τὸ B τοῦ 4E, μεῖζον ἂν γένοιτο τὸ 
-4 τοῦ I. 


9. τῶν ΑΓ À, distinx. BS 7. ἔχειν Α, corr. ΒΒ . 8. μεταξὺ 
x«l τῶν ABS, καὶ del. Hu τῶν ΓΒ A, distinx. BS 40. «y' add. 
BS 45. 16, τοῦ ὑπὸ τῶν 428 add. Hu 47. ἀπωτέρου Ha 
48. μείζονα AD, corr. S 19. 20. τῶν 44 A, distinx. BS, τῶν a y' 
sit autem τὸ δ᾽ propius τῷ y quam τὸ ε V? 20. ὑπὸ τῶν .44B τοῦ 


LIBER VII. PROPOS. 48. 44. 1ὅ. 695 


est €xà : ὃβ «; oy : yB. Similiter demonstrabimus idem de 
omraà bus inter α et y punctis. 

Rursus quoniam, est ex Ὁ ay, et eg « fy, erit sa : a7 
(3: y; vicissim igitur est ae : eg *»» ay : yB. Similiter 
iderxa de omnibus punclüs demonstratur, quae inter » et 8 
sum wantur. 

XIII. Si sit recta af, eaque bifariam secetur in y, omnium PrOP- 
pum «*torum quae ?» eadem recta praeterea sumuntur punctum 


y e£ £icit maximum oy - yf. | 
Si enim sumatur 


[—— — 4 /4 punctum ὃ, fit (prop- 
ter elem. 2, 5) 
aó- 08 4- 0 — ay? 

. ΞΞ cy: γβ; 

ergO est ey- yB *» aó.-À08. Eadem etiam de omnibus aliis 
punctis demonstrantur. 

Sed dico etiam, quodcunque punctum propius est y, id Prop. 
semper maius rectangulum efficere quam remotius punctum. 
Sumatur enim et- 


r6 dd » ^ — ^£ iam aliud punctum & 
| inter α et d. Demon- 
Sirandum est esse ad. 0f * αδ' ef. Quoniam est, ut supra, 
αὃ. ὃβ -4- 07? — ay?, ntque etiam 
«8 - εβ -- ey? — ay?, est igitur 
c0 - 0f -- 07? — αε' efl 2- ey?. 
ἴῃ quibus est 07? « £5; restat igitur αὃ.- 0g 7» ae- ef. 
XIV. Si enim sit α 4- B — y 4- δε, et B. « δε, erit & 7» y. Prop. 
45 


bis Seripta sunt in A 39. 93. ἔστιν δὲ καὶ --- τῶι ἀπὸ τῆς 4Γ om. 


᾿ add. A? in marg. (BS) 22. ro add. V? $5. post ὧν τὸ ἀπὸ - 
. Fepetunt ἔσον ἐστὶ τῷ — ὧν τὸ ἀπὸ et tum pro ZI' ponunt δὲ 
SV. item ὧν. τὸ ἀπὸ dj e suo codice affert Co 27. ἐστι ABS 
18 — p. 696, 4. haec propositio a scholiasta quodam non νυν prima 
Datheraticorum elementa progresso adiecta esse videtur . “δ΄ add. 
39. 30. μεῖζον ἂν γένοιτο τὸ 4Ε τοῦ Β᾽ ὅτι μεῖζον τὸ 4 τοῦ D 
- Co 


696 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ Z. 


Κείσϑω γὰρ τῷ B ἴσον τὸ 4Z- τὸ .4 ἄρα μετὰ τοῦ 
42 ἴσον ἐστὶν τῷ 4E μετὰ τοῦ Γ. κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ 
4Z: λοιπὸν ἄρα τὸ ΑἹ ἴσον ἐστὶν τοῖς Γ ΖΕ, ὥστε μεῖ- 
ζόν ἐστιν τὸ 44 τοῦ I. 

58 ι(. Ἢ 41 πρὸς τὴν B μείζονα λόγον ἐχέτω ἥπερ ἡ T5 
πρὸς τὴν 4 ὅτι μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν .4 24 τοῦ ὑπὸ | 
τῶν B I. 

Πεποιήσϑω γὰρ ὡς ἢ 4 πρὸς τὴν B, οὕτως ἡ Γ πρὸς 
τὴν E: καὶ ἡ D ἄρα πρὸς τὴν E μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ 
πρὸς τὴν 44, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἣ E τῆς 4. καὶ κοινὸν 10 
ὕψος ἣ «Α΄ ἔλασσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν E 44 τοῦ ὑπὸ 
τῶν 4 Δ΄. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν Α E ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν 
B FE. ἔλασσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν B Γ τοῦ ὑπὸ τῶν 4 
4, ὥστε μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῶν Α 4 τοῦ ὑπὸ τῶν Β Γ. 

Ὁμιοίως καὶ ἐὰν ἐλάσσων γίνηται, ἔλασσον καὶ τὸ χω- 5 
oíov τοῦ χωρίου. 

59 “ἀλλὰ δὴ ἔστω πάλιν μεῖζον τὸ ὑπὸ τῶν 44 27 τοῦ ὑπὸ 
τῶν ΒΓ. ὕτι ἡ .4 πρὸς τὴν B μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ 
ἢ Γ πρὸς τὴν 4. ᾿ 

Κείσϑω γὰρ τῷ ὑπὸ τῶν .4 4 ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Bh 
E: γίνεται ἄρα μεῖζον μὲν τὸ ὑπὸ τῶν B E τοῦ ὑπὸ τῶν 
B ID, ὥστε καὶ ἡ E τῆς D μείζων. ὡς δὲ ἢ 24 πρὸς τὴν 
B, οὕτως ἡ E πρὸς τὴν 4. ἡ δὲ E πρὸς τὴν Zl μείζονα }ύ- 
γον ἔχει ἤπερ ἢ l πρὸς τὴν 4: καὶ 5.4 ἄρα πρὸς τὴν D. 

Ὁμοίως καὶ ἀναστρέψαντι. 25 

60 wu. Δύο εὐθεῖαι al 4B BI, xoi τῶν 48 ΒΓ μέση) 
ἀνάλογον ἔστω ἣ B4, καὶ τῇ .44 ἴση κείσϑω ἡ 4E: ὅτι 
ἡ LE ὑπεροχή ἔστιν ἢ ὑπερέχει συναμφότερος ἢ ΑΒΓ τῆς 
δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. 


—À 

3. τοῖς ΓΖΕ A, distinx, BV (roig y & £S) 5. w' add. ΒΒ. 6. 7. "2 

. — ΒΓ, et similiter toto hoc et proximo capite ΕΑ — 44 cet. A» 
distinx. BS 15. ἐλάσσων] ἔλασσον ABS, ἐλάσσων ὃ λόγος Ha y*- 
νῆται Ha 32. ὥστε xol ἡ B ABS, corr. Co Sca 929—394. ὡς δὲ 7 
A πρὸς τὴν 4 οὕτως ἡ B B πρὸς τὴν 1 E. ἠδὲ B πρὸς τὴν Ε μείζονα 16- 
γον ἔχει ἢπερ πρὸς τὴν D. καὶ ἡ Α ἄρα (ἡ δ᾽ ἄρα B, καὶ ἡ à ἄρα SV) 





LIBER VII. PROPOS. 418. 47. — 097 


Ponatur enim OP e 8; ergo a - ὃζ x δὲ -- y. Sub- 
trahatur commune 





I8 4 4 , 0b; restat igitur 
c 7 Ó B ó c, a8 Ξ y -ὁ be, ita 
ut 51 a 0 y. 
XV. Sit a : 8 7» y :0; dico esse α΄ ὃ.» β.γ. l'rop. 


16 
Fiat enim y: £- a:f; ergo 


I —— CC —————à4 eliam y: 8 *» y : δ, itaque (elem. 
P 3,10) € «; δι Et communis sit 
a -— altitudo α (sive: multiplicetur et € 
SENE SEND et ὃ cum a) ; erit igitur a. e «C α- ὃ. 
P) Sed est a. ὃ — B. y; ergo β.γ « 
MÀ «4.0, itaque α- ὃ» β.γ. 
E —— ' Similiter etiam, si minor pro- 
portio fiat, minus erit spatium 
SPHÜOP — (ve], si sit a: B « y : ὃ, erit α- ὁ « B - y). 
Sed rursus sit α. ὃ.» B. y; 
dico esse a: 8 09 y : δ. 
--- LL Ponatur enim f.&e-— a.ó; 
Jj ergo fit 9. c *» 8. y, itaque etiam 
— € 5 y. Sed esta: — ε: ὃ, 
4 4 Ly atque £: ὃ» y: δ᾽ ergo etiam 
δ α:β»γ.: δ. 
, Similiter etiam vice versa, 
E — — — —3À . si minus. sit spatium spatio, pro- 
portio minor erit. 


XVI. Sint duae rectae αβ By, earumque media proportio- Prop. 
"alis sit $0, et ponatur de — a; dico ye differentiam esse, 
dà summa rectarum «f 4- βγ eam rectam superat, cuius 
quadratum aequale .est quattuor rectangulis af. B7 (vel bre- 
US: dico esse γε z- af 4- [jy — 9 Vaf By). 


-- 





τὸ ij» T A(BS, eorr. Co 986. ες add. BS εὐϑεῖαι ἔστωσαν 
κι Heg 


Pam Dus II. : 45 


698 ΠΑΠΠΟΥ XSYNATQTH2 Z. 


Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ ΑΒΓ συναμφοτέρου τῆς 
ABE ὑπερέχει τῇ ΓΕ, ἡ ΓΕ ἄρα, ἐστὲν ἣ ὑπεροχὴ E ὕπερ- 
ἔχει συναμφότερος 1 
ABT συναμφοτέρου 
τῆς 4BE: συναμφό- 
τεροὸς δὲ ἡ J4BE δύο 
εἰσὶν αἱ B4, δύο δὲ αἱ B4 δύνανται τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν 
ΑΒΓ΄ $j ΓΕ ἄρα ἐστὶν ἣ ὑπεροχὴ ἡ ὑπερέχει συναμφότερος 
T ΑΒΓ τῆς δυναμένης τὸ vevodxig ὑπὸ τῶν ABI. 

61 ιζ. Ἔστω δὴ πάλιν ἡ τῶν Α͂Β ΒΓ μέση ἡ BA, καὶ 
χείσϑω τῇ «44 ἴση ἡ 4E: ὅτι 1) ΓΕ σύγκειται & τε συν- 
αμφοτέρου τῆς 4B ΒΓ xai τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ 
τῶν 4B ΒΓ. 

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΓΕ ἐστὲν ἢ συγκειμένη ἐκ τῶν ΓΖ AE, 
ἴση δέ ἐστιν ἡ 44 τῇ AE, ἡ ΓΕ ἄρα ἐστὶν ἡ συγκειμένη: 
ἐχ τῶν 244 AT, τουτέστιν ἐκ συναμφοτέρου τῆς 4B ΒΓ 
xai δύο τῶν B4. δύο δὲ αἱ Β4 δύνανται τὸ τετράκις ὑπὸ 
τῶν ΑΒΓ. ἡ ΓΕ aga ἐστὲν ἡ συγχειμένη ἔκ τε συναμφο- 
τέρου τῆς .4B ΒΓ καὶ τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ 
τῶν “438Γ-. : 

62 ι΄. Πάλιν τῶν .4B ΒΓ μέση ἀνάλογον i, ΒΖ, καὶ τῇ 
ΓΖ ἴση κείσϑω ἡ 4E: ὅτι ἡ .4E ὑπεροχή ἐστιν ἢ ὑπερ- 
ἔχει συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς. δυναμένης τὸ τετράκις 
ὑπὸ “418Γ-. 

Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ Α͂ΒΓ συναμφοτέρου Tijg: 
ΕΒΓ ὑπερέχει τῇ 44, συναμφότερος δὲ ἢ ΕΒΓ δύο εἰσὲν 
αἱ Β4,, τουτέστιν 1) δυναμένη τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, 
ἢ 4E ἄρα ἐστὲν ἡ ὑπεροχὴ ἢ ὑπερέχει συναμφότερος ἡ 
ABT τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ABI. 

63 ιϑ. Πάλιν τῶν 41 ΒΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ B4, 
καὶ τῇ D4 iom κείσϑω ἡ AE: ὅτι ἡ .4E ἐστὶν ἡ συγκει- 


a d / € 4 


—, € — 


40. i£" add. BS καὶ B* Ha, om. ASV 46. τῆς Hu pro τῶν 
94. iq. et 30. 1:9" add. BS 


LIBER Vll. PROPOS. 18. 49. 90. 699 


Quoniam summa rectarum of -- βῪ superat summam 
af -i- βὲ rectà ye, est igitur ye — αβ -- By — (af -- B5)". 
Sed est of -- fe — αὃ -- ὁβ 4- Be, sive (quoniam est δὲ — 
αὐ) — βὸ -- fe -- εὃ — 900. Sed quia ex hypothesi est 
eB: βὸ — Bà : By, sive oB- By — 80?, fit igitur!) (280)? — 
&oB - By; ergo ye — αβ -- By — 2 γαβ.βγ. 
XVII. Iam rursus sit βδ media proportionalis rectarum Prop. 
αβ (3, et ponatur δὲ — αὃ- dico y€ compositam esse ex αβ 's 
τ (25^ et ea recta, cuius quadratum aequale est quattuor rec- 
tangulis egy (vel: esse ye — αβ -- By -- 2 Vaf .y). 
| Quoniam est ye 
— γ - δε, et δὲ — 


(4 γ P P] 2 
cO, est igitur y& — 


αὃ 4- à», id est — αβ 
c Hy 4- 980. Sed est, ut in superiore lemmate, (280)? — 
bof. gy; ergo γε — of - fy a- 8 Veg By. 
XVIII. Rursus sil βὸ media proportionalis rectarum «af Prop. 
By, et ponatur de — y; dico «e differentiam esse, qua summa 
rectarum αβ -- fy eam rectam superat, cuius quadratum ae- 
quale est quattuor rectangulis a8 gy (vel: dico esse ae — ag 


Ἔ Δ — 4 γαβ. 8y). 








| Quoniam est of 

e δ᾽ » 3 -βγ-- B βὴ 

| — a£, et εβ- By 

— £&Ó 4 0, -- 2»8 

— 9 dy 4- 258**) — 208, id est (propos. 17) — 2Vof- fy, 
est igitur ae — αβ -- dy — 9 Yo - By. 

XIX. Rursus sit 80 media proportionalis rectarum αβ 8», Prop. 
. . 20 
οἵ ponatur δὲ — yÓ; dico ae compositam esse ex summa af 4- 





*) Brevius nostrae aetatis mathematici dixerint: quoniam est ys τῷ 
78 — eB, communi addità rectáà «8 fit y& 2 «B -- yB — (eB 4- εβ). 


4) ' Quia gà est media proportionalis τῶν «B By, τὸ ἀπὸ τῆς BÓ est 
?equale τῶ ὑπὸ τῶν αβγ. ergo τὸ ἀπὸ τῆς διπλασίας βὺ est aequale 
*i quoq fit qualer ex «fy " V?, et similiter Co. 


**) Addita sunt media secundum Co. 
45 * 


700 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQTHE Z. 


μένη ἔχ τε συναμφοτέρου τῆς “481 xoi τῆς δυναμένης 
τετράκις ὑτιὺ τῶν ΑΒΓ. 

Ἐπεὶ γὰρ ἡ .4(1 σύγχειται ix τῶν d AE, ἴση 
ἐστιν ἣ AE τῇ ΖΓ, ἢ .41Ε ἄρα σύγκειται ἐκ τῶν AL 
τουτέστιν συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ xoi δύυ τῶν B. 
δὲ αἱ B4 δύνανται τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν .ABU* ἡ 4E 
ἐστὶν ἡ συγκειμένη ἔχ τὲ συναμφοτέρου τῆς 48 καὶ 
δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ABI. 

[Ταῦτα λαμβάνεται εἰς τὴν τοῦ λύγου ἀποτομήν᾽ το 
xai εἰς τὴν τοῦ χωρίου ἀποτομὴν λαμβάνεται, διαφει 
τως μόνον. 


Πρόβλημα εἰς τὸ δεύτερον λόγου ἀποτομῆς, χρήσιμον 
τὴν τοῦ iy τόπου ἀναχεφαλαίωσιν. 


64 Δύο δοϑεισῶν εὐθειῶν τῶν 4B BI, λαβεῖν rex 
λόντα τὴν A44 δοϑὲν τὸ 4 ποιοῦν τὸν τῆς BA πρὸς. 
λόγον τὸν αὐτὸν τῷ τῆς DA πρὸς τὴν. ὑπεροχὴν ἢ 7 ὕστερ 
συναμφότερος ἡ ΑΒΓ τῆς δυναμένης τὸ τετράχις ὑπὸ 
ΑΒΓ. [ἄλλως οὐχ οἷόν τε συστῆναι, εἰ μὴ συναμφότι 
μὲν ἡ 4B ΑΓ ἴση ἢ τῇ E-4 ὑπεροχῇ, ὕλη δὲ $ 4.4 
τῇ 4B, καὶ ἔτι τὰς E.4 ΑΓ ΓΒ πρὸς ἄλληλα λόγον & 
ὃν τετράγωνος ἀριϑμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριϑμόν, καὶ 
ΓΒ τῆς 4Ὲ διπλασίαν εἶναι. 

Ἔστω γεγονός, xai 7) ὑπεροχὴ ἔστω ἡ ΑΕ (ἐν ya « 
ἐπάνω εὕρομεν αὐτήν) - ἔστιν οὖν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν 2 
οὕτως ἡ l' πρὸς τὴν 4 Ε' καὶ ἐναλλὰξ xai διελόντι 
χωρίον χωρίῳ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓ EA ἴσον τῷ ὑπὸ. 
LAE. δοϑὲν δὲ τὸ ὑττὸ τῶν ΒΓ Ε“- δοϑὲν ἄρα xoi 
ὑπὸ τῶν LAE. καὶ παρὰ δοϑεῖσαν τὴν ΓῈ παρᾶάχει 
ὑπερβάλλον τετραγώνῳ" δοϑὲν ἄρα ἐστὶν τὸ .1. 


7. τῆς ΑΒΓ Hu. pro τῶν ABT 9. T«Ut« — 11. μόνον in 
polatori tribuit. Hu 14 — p. 704, 6] haec a posteriore scriptore 
dita esse suspicatur Ge 44, ἐπεκβαλοντα (sine acc.) A(B), 2zrex, 
λοντα S 48. ἄλλως — 92. εἶναι del. Ha 48. οὐχοιονται À 
corr. S φῦ. xci (ante γωρέον) add. Ha 39. τετράγωνον» ABS, c 
Ha ἐστὶ xal τὸ 4 Ha 


LIBER VII. PROPOS. 24. 701 


fy «οἱ ea recta, cuius quadratum aequale est quattuor rectan- 
guliss αβ΄ βγ (vel: esse αε — of -- By -- 2Vof By). 


€ y — 4 4 | f 


Quoniam est ae — αὖ -- δὲ, et δὲ — Óy, est igitur oe 
— «3€ 4 -ἰ ὃγ — of -- fy 4- 280. Sed est, ut supra lemm. 
XVF . (280)? τε kag.8y; ergo ae — af 4- By 4- 2Vaf-By. 
[Haec J/emmata ad sectionem proportionis sumuntur ; 


prae» & erea ad sectionem spatii, 'diversum tamen in modum, 
sum» wantur haece.| ' 
4 


Prob» E «sma ad secundum librum de sectione proportionis, utile ad sum- 
mariam repetitionem loci decimi tertii. 


Duabus datis rectis a8 βγ et producta ga ad δι, sumere Prop. 
datUa 1m punctum ó faciens proportibnem gd : δὰ eandem quam 
/Ó X»abet ad differentiam, qua summa rectarum of 4- By su- 
pere» &. eam rectam, cuius quadratum aequale est quattuor rec- 
tang w1lis ag - y (vel: faciens proportionem Bà : δα — yó : αβ 4- 
$y —— Φγαβ. β)}. — | | 
Factum iam sit, ac differen- 
M4 pL ! ! lia sit e& (quam supra lemm. 
€ zc / f  XVHI invenimus); est igitur 
BÓ : δα — γδ: ae, ek vicissim 
BÓ: 3 — δα: αε, et dirimendo fy : yÓ — δὲ: ca, itaque ae- 
qUL£e rectangulum rectangulo βγ. ξὰ — yÓ- δὲ. Datum autem 
eU (y. co; ergo etiam γδ' δὲ datum, quod ad datam ye ap- 
Plicztur excedens quadrato?); datum igitur est punctum ὃ. 
4) Sequuntur in codice haec aliena a proposito: "Aliter constitui 
n0»  3Dotest, nisi si sit summa δβ - «y aequalis differentiae c«, et tota 
δα t«ti eB, praeterea oportet rectes &« «y γβ inter se proportionem ha- 


eT& eandem quam quadretus numerus ad quadratum numerum habet, 
€ (& esso duplam de". 


€) Scilicet, quia est yd — γε - tU, rectangulum yd. δὲ superat 
angulum γε. δὲ quadrato ex δὲ; data igitur est recta δὲ datumque 
PUDnCtum dj propter Euclidis dat. propos. 59. 27. Excedens, quod dici- 
7', quadratum -significat formulam quadratae aequationis. Quoniam 
*üir punctum d ila inveniatur necesse est, ut sit By &« 2 yd δὲ τε 
γε ας, εδ). δὲ, si pro δὲ notam z ponemus, erit x? γε: ὦ — fy. α. 
. Vf. Herm. Hankel, Geschichte der Mathematik p. 98 sq. 


702 ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTHZ Z. 


Συντεϑήσεται δὲ οὕτως" ἔστω ἡ ὑπεροχὴ ἡ EJ, καὶ 
τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ E.4 ἴσον πάλιν τῇ ΓΕ παραβεβλήσϑω ὑπερ- 
βάλλον τετραγώνῳ τὸ ὑπὸ DAE: λέγω ὅτι τὸ ζητούμενον 
σημεῖόν ἔστιν τὸ 4. ἐπεὶ γὰρ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ E.4 
τῷ ὑπὸ τῶν ΓΩ͂Ε, ἀνάλογον καὶ συνϑέντι xoi ἐναλλάξ 5 
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν 4.4, οὕτως 7) ΓΩ πρὸς EA, 
ἥτις ἐστὲν ἡ ὑπεροχή. τὰ δ᾽ αὐτά, χἂν ζητῶμεν λαβεῖν 
σημεῖον. ποιοῦν ὡς τὴν B4 πρὸς τὴν 4.4, οὕτως τὴν ΓΖά 
πρὸς τὴν συγχειμένην ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς “ΒΓ καὶ 
τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ABT, ὅπερ: “- 10 

65 [Τὸ πρῶτον λόγου ἀποτομῆς ἔχει τόπους ζ’, πτώσεις 
κδ΄, διορισμοὺὶς δὲ ε΄, ὧν τρεῖς μὲν μέγιστοι, δύο. δὲ ἐλά- 
χιστοι" καὶ ἔστιν μέγιστος μὲν κατὰ τὴν τρίτην πτῶσιν 
τοῦ ε΄ τόπου, ἐλάχιστος δὲ κατὰ τὴν β' τοῦ ἕκτου τόπου 
xai κατὰ τὴν αὐτὴν τοῦ ζ΄, μέγιστοι δὲ οἱ κατὰ τὰς τεταρ- 15 
τας τοῦ ἕχτου xai τοῦ ἑβδόμου. τὸ δεύτερον λόγου ἀπο- 
τομῆς ἔχει τόπους ιδ΄, πτώσεις δὲ Ey, διορισμοὺς δὲ τοὺς ἐχ 

66 τοῦ πρώτου᾽ ἀπάγεται γὰρ ὅλον εἰς τὸ πρῶτον. τὸ πρῶτον 
χωρίου ἀποτομῆς ἔχει τόπους ζ΄, πτώσεις κδ΄, διορισμοὺς 
ζ΄, ὧν δ' μὲν μέγιστοι, τρεῖς δὲ ἐλάχιστοι" καὶ ἔστιν μέ- α 
γιστος μὲν Ó κατὰ τὴν δευτέραν τοῦ πρώτου τόπου καὶ ὁ 
χατὰ τὴν πρώτην τοῦ β΄ τόπου xal ὃ χατὰ τὴν β΄ τοῦ Ó' τό- 
που καὶ Ó xara τὴν τρίτην τοῦ ἕχτου, ἐλάχιστοι δὲ ὃ κατὰ 
τὴν τρίτην τοῦ τρίτου τόπου καὶ ὃ κατὰ τὴν Ó τοῦ δ΄ καὶ 
6 χατὰ τὴν πρώτην τοῦ ς΄. τὸ δεύτερον χωρίου ἀποτομῆς 25 
ἔχει τόπους ιγ΄, πτώσεις ξ΄, διορισμοὺς δὲ τοὺς ἐκ τοῦ 
πρώτου" ἀπάγεται γὰρ εἰς αὐτό.] 

67 [Ἐπιστήσειεν ἂν τις διὰ τί ποτε μὲν τὸ λόγου ἀποτο- 
μῆς δεύτερον ἔχει τόπους ιδ΄, τὸ δὲ τοῦ χωρίου ιγ΄. ἔχει 
δὲ διὰ τόδε, ὕτι ὃ L' ἐν τῷ τοῦ χωρίου ἀποτομῆς τόπος 30 
παραλείπεται ὡς φανερός" ἐὰν γὰρ αἷ παράλληλοι ἀμφό- 


4. πάλιν τῇ DE B* Ha, πάλιν τὴν DE AS, παρὰ τὴν ye V 
10. ὅπερ BS, 0A 411. cap. 65 sq. repetita sunt e cap. 6 et 8 45. τὴν 
αὐτὴν Ha pro τῆς αὐτῆς 11. ἔχει τόπους — 19. ἀποτομῆς ex cap. 6 
et 8 add. Ha 423. τοῦ δευτέρου τόπου xal ὁ κατὰ τὴν δευτέραν add. 
Ha 493. 23. post τοῦ δ΄ τόπου repetunt καὶ ὁ χατὰ τὴν πρώτην τοῦ 


LIBER VII. PROPOS. 44. 1203 


Componetur autem hoc modo: Sit differentia za. et rursu: 
redangulo 8y-&ec« aequale rectangulum »ὃ- δε applicetur ai 
retam γε excedens quadrato; dico punctum quod quaeritur 
ese δ, Quoniam est By - ca — γὅ- δε, per proportionem igitu- 
est By : γὃ — δὲ : ea, et componendo 53d : à; — óc : σε. εἰ 
vicissim 80 : δὰ — γ : cea, quae quidem seal. se est dif-- 
renia. Idem etiam contingit. si punctum sumere velimus. 
quod faciat, ut 88 : δα, ita yd ad eam rectats, quae ex summa 
09 - Üy eaque recta componitur, cuius quadratum aequoab 
sit quattuor rectangulis ag-8y vel: quod facmt 3d δε — 
9): of -- By -- 2VaB - By), q. e. d. 

[Primus liber de proportionis sectione locos bale «ep- 
lem, casus viginti quattuor, determinationes quinque. 4ua- 
rum tres sunt maximae, duae minimae. Estque maxngs ad 
wrüum casum quinti loci, minima ad secundum s^1ti «4 a6 
secundum septimi; tum maximae ad quartos cxsus sexti e; 
spümi loci. Secundus liber de proportionis sectione ho»: 
los quattuordecim, casus sexaginia tres. determmoationz ena- 
dem ac primus liber; nam ad humc totus refertur. — Prumui 
ler de spatii sectione habet locos septem, casus viginti quat- 
tr, determinationes septem, quarum quattuor maximo. 
lUtés minimae sunt. Maximae sunt ad secundum casum, prim 
le, ad primum secundi loci, ad secumdum quarti ki. 2 
lrlium sexti; minimae ad terüum caswm terui loci. 2d qusr- 
lum quarti, ad primum sexti. Secundus liber de spatai s- 
lone habet locos tredecim, casus sexaginta, determirationes 
edem ac primus liber, ad quem refertur. 

[Sed quaerat quispiam, qua tandem de causa unda: 
de proportionis sectione liber locos quattuordecim.  17»2«: 
$em de spetii sectione tredecim (tantum babeat. "Veruso 5» 
ide evenit, quod in secundo libro de spatii secte sept 
mus locus tamquam manifestus omittitur- nam si du»e pora;- 





4 τόπου AB 46. ξ' Ha, ΖΑΒ, £xse B δὲ Be pr» 4 $20 τε 
λόγου Ha pro τοῦ λόγου 4Φ δεύτεφον Β' Ha. δειτίων». A* 79e 
0m. Ha 80. τοῦ del. Hu — 34. xegasfiítexsas SV 


702 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHX Z. 


Συντεϑήσεται δὲ οὕτως" ἔστω ἡ ὑπεροχὴ ἣ EA, καὶ 
τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΑ ἴσον πάλιν τῇ FE παραβεβλήσϑω ὑπερ- 
βάλλον τετραγάνῳ τὸ ὑπὸ DAE: λέγω ὅτι τὸ ζητούμενον 
σημεῖόν ἔστιν τὸ 4. ἐπεὶ γὰρ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ EA 
τῷ ὑπὸ τῶν DAE, ἀνάλογον χαὶ συνϑέντι χαὶ ἐναλλάξο 
ἐστιν ἄρα ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν “1.4, οὕτως ἡ L4 πρὸς EA, 
ἥτις ἐστὶν ἡ ὑπεροχή. τὰ δ᾽ αὐτά, wüv ζητῶμεν λαβεῖν 
σημεῖον ποιοῦν ὡς τὴν B4 πρὸς τὴν 414, οὕτως τὴν F4 
πρὸς τὴν συγκειμένην ἔκ τε συναμφοτέρου τῆς ABT xai 
τῆς δυναμένης τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ABD, ὅπερ: — " 

65 [Τὸ πρῶτον λόγου ἀποτομῆς ἔχει τόπους ζ΄, πτώσεις 
κδ΄, διορισμοὶς δὲ ε΄, ὧν τρεῖς μὲν μέγιστοι, δύο δὲ ἐλά- 
χιστοι" χαὶ ἔστιν μέγιστος μὲν κατὰ τὴν τρίτην πτῶσιν 
τοῦ & τόπου, ἐλάχιστος δὲ κατὰ τὴν β' τοῦ ἕχτου τόπου 
καὶ κατὰ τὴν αὐτὴν τοῦ ζ΄, μέγιστοι δὲ οἱ κατὰ τὰς τετάρ- 1: 
τὰς τοῦ ἕχτου καὶ τοῦ ἑβδόμου. τὸ δεύτερον λόγου ἀπο- 
τομῆς ἔχει τόπους ιδ΄, πτώσεις δὲ Ey, διορισμοὺς δὲ τοὺς ἐχ 

66 τοῦ πρώτου: ἀπάγεται γὰρ ὅλον εἰς τὸ πρῶτον. τὸ πρῶτον 
χωρίου ἀποτομῆς ἔχει τόπους L', πτώσεις xÓ', διορισμοὺς 
ζ΄, ὧν δ' μὲν μέγιστοι, τρεῖς δὲ ἐλάχιστοι" xol ἔστιν μέ- xt 
γιστος μὲν Ó χατὰ τὴν δευτέραν τοῦ πρώτου τόπου καὶ ὃ 
χατὰ τὴν πρώτην τοῦ β΄ τόπου xul ὃ χατὰ τὴν B' τοῦ Ó' τὸ- 
που καὶ ὁ κατὰ τὴν τρίτην τοῦ ἕχτου, ἐλάχιστοι δὲ ὃ κατὰ 
τὴν τρίτην τοῦ τρίτου τόπου καὶ ὃ χατὰ τὴν δ' τοῦ Ó' καὶ 
ὁ χατὰ τὴν πρώτην τοῦ ς΄. τὸ δεύτερον χωρίου ἀποτομῆς 3] 
ἔχει τόπους ιγ΄, πτώσεις ξ΄, διορισμοὺς δὲ τοὺς ἐκ τοῦ 
πρώτου" ἀπάγεται γὰρ εἰς αὐτό.) 

67 [Ἐπιστήσειεν ἄν τις διὰ τί ποτε μὲν τὸ λόγου ἀποτο- 
μῆς δεύτερον ἔχει τόπους ιδ΄, τὸ δὲ τοῦ χωρίου ιγ΄. ἔχει 
δὲ διὰ τόδε, ὕτι ὁ C' ἐν τῷ τοῦ χωρίου ἀποτομῆς τόπος ϊ 
παραλείπεται ὡς φανερός" ἐὰν γὰρ oi παράλληλοι ἀμφό- 


4. πάλιν τῇ ΓΕ B* Ha, πάλιν τὴν TE AS, παρὰ τὴν γε V 
10. ὅπερ BS, ὅ A 44. cap. 65 sq. repetita sunt e eap. Get 8 45. τὴν 
αὐτὴν Ha pro τῆς αὐτῆξ 17. ἔχει τόπους — 19. ἀποτομῆς eX cap. δ 
elSadd, Ha 89. τοῦ δευτέρου τόποι καὶ ὁ κατὰ τὴν δευτέραν add, 
Ha 49. 88. post τοῦ δ' τόπου repetunt καὶ ὁ χατὰ τὴν πρώτην τοῦ 


LIBER ΥἹΙ. PROPOS. 91. 703 


" ££omponetur autem hoc modo: Sit differentia &c, et rursus 
recta mgulo βγ. εὰ aequale rectangulum γὸ- δὲ applicetur ad 
Tecea xn ye excedens quadrato; dico punctum quod quaeritur 
esse «J. Quoniam est By -ex — yó- δε, per proportionem igitur 
est. C9 y : γὸ τῷ δὲ : εα, et componendo 86 : ὃγ — δα : oe, et 
vicisssim βὅ : δα — yó : cv, quae quidem (scil. eo) est diffe- 
rentLàz3. Idem etiam contingit, si punctum sumere velimus, 
quo«X (faciat, ut βὸ : δα, ita yÓ ad eam rectam, quae ex summa 
αβ —R— 6» eaque recta componitur, cuius quadratum aequale 
Sit « uattuor rectangulis ag -y (vel: quod faciat BÓ : δα — 
30: «β-- By -- 2Vof - By), q. e. d. 

[Primus liber de proportionis sectione locos habet sep- 
tem , casus viginti quattuor, determinationes quinque, qua- 
ΠΡ tres sunt maximae, duae minimae. Estque maxima ad 
rim warm casum quinti loci, minima ad secundum sexti et ad 
secUg idum septimi; tum maximae ad quartos casus sexii et 
Sep*-1 mi /oci. Secundus liber de proportionis sectione habet 
ἰού ας quattuordecim, casus sexaginta tres, delermrnationes eas- 
dér& ac primus liber; nam ad hunc totus refertur. — Primus 
lbe- de spatii sectione habet locos septem, casus viginti quat- 
Wow- . determinationes septem, quarum quattuor maximae, 
ÜéS minimae supt.. Maximae sunt ad secundum casum primi 
ἰοῦ. ad primum secundi loci, ad secundum quarti loci, ad 
t'Liwim sexti; minimae ad tertium casum tertii loci, ad quar- 
Ux quarti, ad primum sexti. Secundus liber de spatii sec- 
liora» habet locos tredecim, casus sexaginta, determinationes 
€ SS«lem ac primus liber, ad quem refertur.] 

[Sed quaerat quispiam, qua tandem de causa secundus 
de proportionis sectione liber locos quattuordecim, secundus 
$Ute m de spatii sectione tredecim tantum habeat. Verum id 
inde, evenit, quod in secundo libro de spatii sectione septi- 
"Us locus tamquam manifestus omittitur; nam si duae paral- 
--- 

4 * exnov AB 36. ξ΄ Ha, Z AS, ἕπτα B dà Ha pro Δ 98. τὸ 


7^O y Ha pro τοῦ λόγου 29. δεύτερον ΒΒ Ha, δευτέρου AS τοῦ 
93. Ha 80. τοῦ del. Hu 814. παραλέλειπται SV 


704 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHX Z. 


τεραι ἐπὶ τὰ négora τιίπτωσιν, οἵα ἂν διαχϑῇ, δοϑὲν 
ἀποτέμνει χωρίον" ἴσον γὰρ γίνεται τῷ ὑπὸ τῶν μεταξὺ 
τῶν περάτων χαὶ τῆς ἀμφοτέρων τῶν ἐξ ἀρχῆς τῇ ϑέσει 
δοϑεισῶν εὐθειῶν συμβολῆς. ἐν δὲ τῷ λόγου ἀποτομῆς 
οὐχέτι ὁμοίως" διὰ τοῦτο οὖν προέχει τόπον ἕνα εἰς τὸϊ 
ἕβδομον τοῦ δευτέρου, καὶ τὰ λοιπὰ ὄντα τὰ ὄντα.) 


ΑἹιωρισμένης τομῆς πρῶτον. 
"jue χρήσιμον εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ πέμπτου 
προβλήματος. 

68 α΄. Ἔστω εὐθεῖα ἡ 4B wai im? αὐτῆς τρία σημεῖα τ 
τὰ D 4 E, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν AAT ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν 
Β4ΈῈ- ὕτι γίνεται ὡς ἡ Β4 πρὸς AE, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν 
ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν AET. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν AAT ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ BAE, 
ἀνάλογον ἄρα ὡς $ 44 πρὸς τὴν 48, οὕτως ἡ Ed πρὸς! 
τὴν 41 xai ὅλη ἄρα ἡ AE πρὸς ὕλην τὴν BI ἐστὶν ὡς 
ἡ ἘΔ πρὸς 4T: καὶ ἀνάπαλιν. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν 
AAT. ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Β4Ὲ, ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν 
ὡς ἡ 414] πρὸς τὴν AE, οὕτως ἣ Β4 πρὸς 4T, καὶ ὅλη 
ἄρα 7 418 πρὸς ὅλην τὴν ΓῈ ἐστὶν ὡς ἡ B4 πρὸς AT.i 
ἦν δὲ xai ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ἘΑ͂, οὕτως ἣ DA πρὸς τὴν 
AE, ὥστε καὶ ὃ συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ 4B 
πρὸς FE xal ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΒΓ πρὸς “ΤῈ ὃ αὐτός ἔστιν 
τῷ ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει Bil πρὸς AT wol ἡ DA πρὸς τὴν 
Ἐ4. ἀλλ᾽ ὃ μὲν συνημμένος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ .1 πρὸς! 
LE καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΒΓ πρὸς ΑῈ ὃ τοῦ ὑπὸ τῶν 
-ABI πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν AET ἐστίν, ὃ δὲ συνημμένος ἔκ 
ve τοῦ ὃν ἔχει ἡ B4 πρὸς 4T καὶ ἐξ οὗ ἡ DA πρὸς 4E 
ὃ τῆς Β4 πρὸς 4Ὲ ἐσείν' xai ὡς ἄρα ἡ B4 πρὸς AB, 
οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν .4BI' πρὴὺς τὸ ὑπὸ τῶν MET, ὕπερ: “οἰ 

ἄλλως τὸ αὐτό. 

69 β΄. Ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν BAE, 
ἀνάλογον καὶ ὅλη πρὸς ὕλην ἐστὶν ἄρα ὡς 1) AE πρὸς ΒΓ, 
οὕτως ἣ 44 πρὸς 4B. συνϑέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος 


LIBER VII. PROPOS. 99. | 105 


lelae in terminos datos cadant, quaecunque recta ducía fue- 
ri, abscindet datum rectangulum; id enim aequale est illi 
retangulo, quod conlinetur rectis quae sunt inter terminos 
el concursum duarum rectarum ab initio positione datarum. 
Sed in secundo libro de proportionis sectione aliter res se 
habet, eaque de causa hic liber uno loco, scilicet septimo, 
abumadat; reliquà autem conveniunt.] 


LEMMATA IN SECTIONIS DETERMINATAE LIBRUM PRIMUM. 
Lemma utile ad primum epitagma quinti problerfatis. 
Il. Sit recta off in eaque tria puncta y ὃ e, et sit 'aó - δγ Prop 
— δ΄ δε; dico esse Bà : δὲ. — αβ. By : a6 - ey. | 
Quoniam enim est αδ' δγ 
€ ——. 4 t — βδ- δὲ, per proportionem est 
αὃ : ὃβ — εὃ : Óy, et tota ad 
Wiarn ac : fy — εὃ : Óy, et e contrario fiy : a& — Óy : εὖ. 
Rursus quoniam est ad. 0; — βδ' δὲ, per proportionem igi- 9 
(ur est ad : δὲ — (90 : Óy, et tota ad totam af: ye — βὸ : óy. 
Sed erat fy : a& — Óy : εὖ, ita ut sit per lormulam compositae 


ro eB By . 89 9y 
proportionis yt at 7 dy ji eive 


eB. By : ae. &y τε 80: de, q. e. d. 
Similiter demonstratur esse aà : ὃγ — Ba. ot : fly- ye. 
' Aliter idem. 
IL. Quoniam est ad - y — 80 - δε, per proportionem igitur 


p—————9—F ων est εὖ: ὃγ — a0 : Ofl, et tota 
“. y .* β ad totam αε: fy — aó : δβ. 


——— LLL 

1. οἵα ἄν Hu auctore Co pro οἷα ἐὰν 8. x«i om. Ge  ὅ. οὐχ- 
ἔτι) non adhuc — contingit Co, ovx ἔστι coni. Ge 5. 6. voluisse 
Videtur scriptor τὸπφ éví, τουτέστιν ἑβδόμῳ ... τὰ λοιπά ἔστι τὰ 
αὐτά 


5. elg τὸν Ge 6. ἕβδομον Ha pro δεύτερον 10. α At in 
marg. (S), om. Bs 44. τὰ DAE A, distinx. BS 49. 20. xal | 0n — 
πρὸς . 11 om. Paris. 2368 SV cod. Co, καὶ ὅλη ἄρα ὁ ἐστὶν ὡς ἡ αὖ πρὸς 
τὴν δὲ οὕτως ἡ β πρὸς dy B, xel ἡ αβ πρὸς yt M 20. ἄρα ἡ 
48 A, corr. Co ἔστιν ὡς ἡ BA A, corr. Co . καὶ ὡς ἡ ΒΓ 
ABV2 Co, καὶ o ὡς ἡ 8ó S 94. Ex rc Bc, ἐκ AD!S s. “πρὸς AT. καὶ 
ἌΝ » πρὸς AET' καὶ A3BS 30. πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν .44T' AS, corr. BV? 
9. B Αἱ in marg. (BS) 


706 ! ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHZ Z. 


ἡ 4E ΓΒ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ 4B πρὸς B4: τὸ ἄρα ii 
συναμφοτέρου τῆς 4 ΓΒ καὶ τῆς Bá ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ 
τῶν ΑΒΓ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ 444 πρὸς τὴν AB, οὖ- 
τως ἡ Ed πρὸς τὴν JT, καὶ ὅλη ἄρα ἡ 4E πρὸς ὅλην 
τὴν ΓΒ ἐστὶν ὡς ἡ E4 πρὸς ATL: ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι" 
τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς JE ΓΒ καὶ τῆς ΕΔ in 
ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. ἐδείχϑη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ συναμ- 
φοτέρου τῆς 4 ΓΒ καὶ τῆς B4 ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ABI 
ἐναλλὰξ ἄρα γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῇς AEIB | 
καὶ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 4E ΓΒ xil 
τῆς 4E, τουτέστιν ὡς ἣ B4 πρὸς τὴν AE, οὕτως τὸ vni 
τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν AMET. 


Ἄλλως εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ πέμπτου προβλήματος, 
πρότερον προϑεωρηϑέντων τῶν ἑξῆς δύο. 
70 Y. Ἔστω ἴση 5? .418 τῇ LA, καὶ ἐπὶ τῆς ΓΕ τυχὸν τὸ β 
* E- ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν 4ΓΖ4 ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν 414 
καὶ τῷ ὑπὸ τῶν BET. 

Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον" τὸ ἐμ 
ὑπὸ τῶν “4Γ4 μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 
τῆς Z4. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν EA μετὰ τοῦ! 
ἀπὸ τῆς ΖΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Z4: wi 
τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον b 
τῷ ὑπὸ τῶν 444 καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ, ww 
ἔστιν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΒΕΓ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετραγίν. 
καὶ χοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ τετράγωνον᾽ λοιπὸν 
ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν 4“Γ4 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν AE4 πὶ 
τῷ ὑπὸ τῶν BET. 


71 δ΄. Τῶν αὐτῶν ὑποχειμένων ἔστω τὸ Ε σημεῖον in 
τῆς 444: ὅτι παλιν τὸ ὑπὸ τῶν BEI. ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν. 
AEA καὶ τῷ ὑπὸ τῶν BAT. 3 


Τετμήσϑω πάλιν » ΒΓ δίχα χατὰ τὸ Z' τὸ μὲν apt 
ὑπὸ τῶν BEI μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 2}, 
ὥστε τὸ ὑπὸ BEI μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὺ 
AEA μετὰ τοῦ ἀπὸ AZ, τουτέστιν τοῦ ὑπτὸ BAT καὶ τοῦ 


5. τὴν DD] τὴν βγ S, τὴν om, AB 10, καὶ τῆς B4 πρὸς το 


LIBER VII. PROPOS. 48. 34. 707 
Cora qoonendo est «e -- yf : γβ — af: 80; ergo (ae -- γβ) - 80 
— Oe. fy. Rursus quoniam est aó : óg — «à : Óy, est igitur 
tia ad totam a6: yf — εὃ: ὃγ. Ergo e contrario yf : ae — 
ὃγ: €O, et componendo ae -- γβ: ae — εγ: &0; itaque (ae 4- yB)- 
εὖ — ae. ey. Demonstravimus autem (ee 4- yf) - BÓ — af By; 
ergo vicissim facta proportione (a5 -4- y8) - 80 : (ας -- y8) - δὲ — 
af. By : ae- &y, id est βὸ : δὲ e of By : ac-ey. 


Aller in primum epitagma quibti problematis, duobus lemmatis demon- 
' Strandi causa praemissis. 


III. Sit recta αβ — γδ, et in yÓ quodvis punctum &; dico Prop. 
esse oy. yà — αδ' εὃ -- βε. ey. 


Secetur recta 8» bifariam in puncto 5; ergo est (propter 

| elem. 2, 5) ey - yà -- 

(0 4 — Lb —» 4 4 . yj Ξξ ζδ2.. Eadem 

^ y ratione est etiam 
αξ. 60 -- ζε2 — ζδ2: ergo 
Gy. yÓ -- γζξ — αε. 60 - ζεῖ, id est 
ΞΞ ac. &0 - Be. ey -- y"). 

Subtrahatur commune 702; restat igitur oy. yÓ - a6. εὃ -- 

Be. ey. 

IV. lisdem suppositis sit punctum & extra αὖ; dico rur- ror. 
SUS esse ge. &y — αε εὖ -- BÓ - Oy. 


Rursus f$» bifariam 
$ I— y j z secetur in 0; ergo est 


(propter elem. 2, 6) 
ge- - -- y? — Ce itaqua (quia eliam at — γδὶ 
βε. ey -- γζξ — αε. εὃ - 0L?, id est 
— a£: εὃ - 90 -0y -- yC. 


*) Elem. 2, 6 citat Co; "quia quadratum : ἀπὸ τῆς εξ est aequale 


"i quo fit ex βὲγ et quadrato τῆς γξ᾽ adnotat V2. 
ς---ἬἬ-ἬἩ 





w C tyauqorégov tjc 4E ΓΒ AB, om. Paris. 2368 SV cod. Co, corr. ] 
Co 


45. γ᾽ add. BS 20. διὰ ταῦτα AB, διὰ τὰ αὐτὰ 8 

M. 720 τῆς Z ABS, corr. V- τετραγωνον A(B), corr. S 26. 27. χαὶ 

τὸ T0 Ur ἃ À, corr. BS 38. ὁ At in marg. (BS) 29. 80, l'O0y. τῶι ὑπὸ τῶν 

42Ὲ A(BS), corr. V? Co 88. 34. τῶι ὑπὸ 448 A(BS), corr. V2 Co 
-Τουτἔστιν τῶι ὑπὸ ΒΓΔ A(BS), corr. V? Co 





708 ΠΑΠΠΟΥ YNATOTHX Z. 


3 A 


ἀπὸ ΓΖ. κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ ἀπὸ LZ: λοιπὸν ἄρα τὴ 
ὑπὸ BEF ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν 44 Ε4 xai τῷ ὑπὸ 841. 
72 ε΄. Τούτων προτεϑεωρημένων δεῖξαι ὅτε, ἐὰν τὸ ὑπὴ - 
ΑΒΓ ἴσον τῷ ὑπὸ ABE, γίνεται ὡς ἡ 4B πρὸς ΒΕ, οὖ- 
τως τὸ ὑπὸ AT πρὸς τὸ ὑπὸ “ΕΓ. j 

Κείσϑω γὰρ τῇ ΓΕ ἴση ἡ ΖΑ͂. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὺ 
ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ABE, κοινὸν προσκείσϑω τὸ ὑπὸ 
ZBE: ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ 42 ΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν 
ZBE καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. ἀλλὰ ταῦτα διὰ τὸ nQoj- 
γραμμένον ἴσα ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΖΓΕ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ! 
τῶν ,4EU: καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Z4 ΒΕ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ 
ὑπὸ τῶν ΑΕΓ. ἔξωϑεν τὸ ὑπὸ τῶν Z.[E- ὡς ἄρα τὸ im 
τῶν ZA4E πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Z4 ΒΕ, τουτέστιν ὡς ἡ Ed 
πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ZAE πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ALI. 
συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ 4B πρὸς ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν LAE! 
μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν AED πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν «ΕΓ. ἀλλὰ τὸ 
ὑπὸ τῶν ΖΖΩῈ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ διὰ τὸ προγεγρα- 
μένον ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Α4Γ᾽ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ 48 
πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν dA πρὸς τὸ ὑπὸ ALI. 

73 c. Ἐὰν ἢ τρίγωνον τὸ 48Γ xai δύο διαχϑῶσιν w 
A4 AE, ὥστε τὰς ὑπὸ BAAU 4.4Ὲ γωνίας δυσὶν ὀρϑαὶς 
ἴσας εἶναι, γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ wi 
BEA, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ 4Ε. 

Ἐὰν γὰρ περιγράψωμεν κύκλον τῷ 4 Bl τριγώνῳ, αἱ 
ἐχβληϑῶσιν oi ΕΑ ΓΑ͂ ἐπὶ τὰ Z H, μεταβαίνει τὸ μὲ ὃ 
ὑπὸ τῶν BIA εἰς τὸ ὑπὸ τῶν HIA, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν BEA 
εἰς τὸ ὑπὸ τῶν ZEA, καὶ δεήσει ἐναλλὰξ ζητῆσαι, εἰ ὡς 
τὸ ὑπὸ τῶν ΗΓΑ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ͂, οὕτως τὸ ὑπὸ 
ΖΕΑ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ͂. τοῦτο δὲ ταὐτόν ἐστιν τῷ 


4. τῶι ὑπὸ τῶν A44E A(BS), corr. V Co 8. € A! in marg. (B9) 
4. post ἔσον add. 7 V? ἡ 4B πρὸς BI ABS, corr. Co 8. dge* ' 
ὑπὸ 4ZB ABS, corr. V? Co 42. ἔξωϑεν τὸ ὑπὸ τῶν 4 ZÁE 5, se 
prius Z/ delevit prima m. 14. ΜΕΓῚ “ΕΓ ABS, corr. V? C? 
45. ἐστὶν] ἄρα coni. Co ὡς ἡ AB AS, corr. BV? Co οὕτω ABS 
45. 46. ZA4E — ὑπὸ τῶν add. V? (Ὁ 18. ἴσον ἐστιν τῶν A, corr. B9 
19. ὑπὸ (ante 4ET) add. Hu — 20. g'add. BS ὡς] «t B. 35. ὅ 





LIBER Vil. PROPOS. 45. 26. 709 


SubLw-ahatur commune j£; restat igilur g&.6y Ξξξι a6. εὃ -- 
go. ὅ 7. 
᾿ Ὕ. His praemissis demonstrandum est, si sit o By — pri 
0f: Ξε, esse ad- Uy : a&.ey O0 : βε. 
.Ponatur enim Ca 
U a » BÀ t$ 4 — ys. Quoniam igi- 


tur est ag. gy — 
0d.8e, addatur commune ζβ. 8e; ergo summa rectangulorum 


ἴβιβε -- 0B. Be, id est CO. Be — CB- 8e -- aB- By. Sed es. 
proper superius lemma III (propos. 23) 

LO - Be -- ag By — Cy-ye, id est — ae&-ey; ergo 

LO - fe — a£. ἐγ. 
lam extrinsecus adsumpto rectangulo Có. δὲ fiat proportio ad 
urumque; est igitur 

LO - δὲ : a&- ey — LO - δὲ : CÓ - fie 

πὸ δὲ : je.  Componendo est 
LO - δὲ -- a6- &y : ἀξ. &y — ὃβ : fie. Sed est propter su- 
perius /emma IV ( propos. 24) 

CÓ. δὲ -- a£: &y — αδ' ὃγ; ergo 

αὖ. dy : a6 εγ — Off : fie. 

VI. Si sit triangulum egy, duaeque αὖ oe ita ducantur, Prop. 
ul anguli Bey -i- δαε duobus rectis aequales sint, fit gy. yd : ἦν 
βε-ε — ya? : αε3. 

Si enim circa 
triangulum of cir- 
culum describamus, 
rectaeque εὰ yo ad 
circumferentiae punc- 
ta ζ ἡ producantur, 
pro βγ. γδ substitui- 
tur 7y- ya, pro fe - eó 
aulem Le. eo, et vi- 
Cissinra  gunerendum erit, sitne zy - 7a : ya? — Le. ea : eo?, idque 


--- 
---- 





— — 


T 32 8 
à Zr À, distinx. BS 97. εἶ om. S, ei ἔστιν: coni. Co 29. «710 
τῆς O94, A4 AB, corr. S τὸ αὐτόν A, τὸ «vro BS, corr. Hu 


710 ΠΑΠΠΟΥ͂ XZYNATQTHZ Z. 


ζητεῖν, ei ἔστιν ὡς ἡ ΗΓ πρὸς τὴν F4, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς 
τὴν ΕΑ͂. εἰ ἄρα ἔστιν, ἡ ΗΖ παράλληλός ἐστιν τῇ BI. 
ἔστιν δέ" ἐπεὶ γὰρ αἱ ὑπὸ Β4Γ 24,..1Ὲ γωνίαι δυσὶν ὑρ- 
ϑαῖς ἴσαι εἰσίν, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4.4E γωνία τῇ ὑπὸ BAH 
γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ 4.41 ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ZB4 h-5 
τὸς τετραπλεύρου, ἡ δὲ ὑπὸ B.4H γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ 
BZH: καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒ4 ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ BZH 
γωνίᾳ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ' παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΖ ἢ 
BI. τοῦτο δὲ ἐζητοῦμεν. εἰ ἄρα: -- 







“Ἄλλως τὸ αὐτό. ϑ 


74 C. Ἔστωσαν ἐν τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ αἱ ὑπὸ BAT 44Ὲ 
γωνίαι δυσὶν. ὀρθαῖς iGat* ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ BI4 
πρὸς τὸ ὑπὸ BEA, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ἀπὸ AE. 

Ἤχϑω διὰ τοῦ E τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΖ᾽ ἴση ἄρα 
ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4141 γωνία τῇ ὑπὸ .4ZE γωνίᾳ" ἴσον ag. 
ἐστὲν τὸ ὑπὸ τῶν ZEH τῷ ἀπὸ .4Ἑ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς 
μὲν ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς BE, ὡς 01 
ΓΑ͂ πρὸς HE, οὕτως 7) ΓΖά πρὸς AE, ὃ ἄρα συνημμένος . 
ἔχ τε τοῦ τῆς ΓΑ͂ πρὸς ΖΕ xai ἐκ τοῦ τῆς ΓΑ πρὸς HE 
ó αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ ve τοῦ τῆς ΓΒ ngog 8120 
χαὶ τοῦ τῆς D4 πρὸς 4E. αλλ᾽ ὃ μὲν συνημμένος ἐκ τὲ 
τοῦ τῆς D.4 πρὸς ΖΕ καὶ τοῦ τῆς ΓΑ͂ τιρὸς HE ὃ τοῦ 
ἀπὸ ΓΑ͂ ἐστὶν πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΕ ΗΕ, τουτέστιν πρὸς τὸ 
ἀπὸ ΑΕ, ὁ δὲ συνημμένος ἔχ τε τοῦ τῆς ΓΒ πρὸς DE 
xai τοῦ τῆς 14 πρὸς. 4 ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ὑπὸ DU S 


3. εἰ ἄρα ἐστὶν ἡ HZ cet. ABS, accentum et interpunctionem corr. 
Hu (longe aliler Co: εἰ ἄρα ἐστὶν ἡ HZ παράλληλος τῇ BT, γίνετ κε 
ὡς ἡ IIl πρὸς τὴν DA οὕτως ἡ ZE πρὸς τὴν EA. ἔστι δὲ cel] 
5. 6. ἐκτὸς τετραπλεύρου ABS, ἐντὸς τοῦ ἐν τῶ χύχλω τετραπλεύρου 
βζαδ V? 8. παράλληλος om. AB cod. Co, add. Paris. 4868 SV 
9. ἐζητοῦμεν S, ἐζητεῖτο μὲν A(B) 44. ζ΄ add. ΒΞ "Boro ABS, 
corr. Paris. 2368? V? 49. 18. γένεται ὡς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ πρὸς τὸ ὑπο 
ΓΖΕ coni. Co, itemque cum codice sub finem demonstrationis, quae 
falsa esse apparet 13. οὕτω add. Ge 48. συνημμένης À, (ΟΥ̓́Τ. 
BS 49. χαὶ ἐκ τοῦ τῆς ΓΑ͂ A*S, καὶ ix τοῦ τῆς yO B cod. (Ὁ 


LIBER VII. PROPOS. 47. 711 


idem. — est ac si quaeras, sitne py : ye — (e: δα. Si igitur 
iia €» ssse statuitur, dirimendo fil na : ay — La : ae; ergo (rian- 
gul*z72 ηαξ simile triangulo yag, et vj parallela rectae &y, id 
est w-«»ctae gy. Sic est autem. Quoniam enim anguli Bey -4- 
óae — «luobus rectis aequales sunt, est [ δαὲ — [ βαη. Sed 
est £.. doe — { C80, quia ipse dae est exira quadrilaterum βζαδ 
circ&e£o inscriptumn!), et [, βαὴ — L βζὴη, quia sunt in eodem 
segireento?); ergo etiam [ C80 — [ βζη. Et sunt hí anguli 
aWer mri; ergo est ηζ || Py. Hoc autem quaerebatur. Si igi- 
wr Cet. 


Aliter idem. 


VII. Sint i& triangulo oy anguli Bay -- óae duobus 
retis aequales; dico esse fy. 7Ó : Be- εὃ — ya! : ae?. 

Ducatur per e & || ey; 

ergo ἐ δαε — [ ace*) ; ita- 

$ que lriangulum aye simile 

triangulo Cae, et ae : &n — 

Le : ae**) ; ergo Le. ep — 

Á d $ y a&?, Quoniam igitur prop- 

ter parallelas ay ζε est 

C): Ce — y : Be, et ya : ye — yà : δε, per formulam igitur 


e 


Cipositae ionis est 9. 7€ 78.29 g 
positae proportionis est δε ἢ πε δε δὲ Sed est 
y« ny — . . EN . 
E ar ya? : Ge: &p, id est — yo? : a&), et 


1) Nimirum angulus £«dJ et cum angulo «e (propter rectam £e) et 
Clm ^C4j (propter elem. 3, 22) duos recios efficit (Co). Similiter V?, 
1! tamen in demonstrando miris ambagibus utilur, quas hic repetere 
"0 attinet, 

2) Haec addit V?; elem. 8, 94 citat Co. 

*) Quoniam angulus βαγ et cum angulo d«e (ex hypothesi) et cum 
(propter parallelas «y £e) duos rectos efficit (Co). 

* Addita haec secundum Co; similitudinem triangulorum demon- 


bj : . . . 
δ} etiam V?: "quia angulus Zé« est communis duorum triangulorum 
9€ 23 « ol anguli z«& «£z aequales, triangula sunt similia ". 


(c(t 





| 


25 [— 148, 8. τοῦ ὑπὸ BF BE πρὸς τὸ ὑπὸ T4 4E ἔστιν ὥρα ὡς TO 
UI  c«j, ΓΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ (τῶν add. B) ΓΕ ABS, corr. Sca. V? 


(nisi exuog V? in priore parte brevius: τοῦ ὑπὸ 8y0 πρὸς τὸ ὑπὸ BeJ) 





Prop. 
41 


712 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQTHZ Ζ. 


ΓΖΔ πρὸς τὸ ὑπὸ BE 4E: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν 
ΒΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΩ͂, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ͂ πρὸς τὸ 
ἀπὸ AE. 

v. Ἔστω πάλιν ἱκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΒΕ L4: 
γωνία ὀρϑή: ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ πρὸς x ἃ 
ὑπὸ τῶν BAE, οὕτως τὸ ἀπὸ I4 πρὸς τὸ ἀπὸ AA. 

Ἤχϑω διὰ κε» ἃ 
4 τῇ .AT παροξΆ.- 
ληλος ἡ ΖΗ, 2««x. 
xa9' ὃ ovunézar- 
τει τῇ . AE, ἔσε εἰ 
τὸ Η σημεῖο». 
ὀρϑὴ ἄρα ἐσε ὃν 
ἡ ὑπὸ 442Ζ. ὄρ. 
ϑὴ δὲ καὶ ἡ ὑσαὺϊ 
Ζ4Η: τὸ Ge» 
ὑπὸ ΖΔΩΉ ime» 
ἐστὶν τῷ ἀπὸ f A 
τετραγώνῳ ἐσπ- 4 
ἄρα ὡς τὸ dari? 
ΓΑ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ 444, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ͂ πρὸς τὸ ὑ αὐ 
ZAH. ἀλλὰ ἡ τοῦ ἀπὸ AT πρὸς τὸ ὑπὸ ZA4H συνῆπτε an 
λόγος. ἔχ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΑ͂ πρὸς ΔΉ, τουτέόστιν ἢ Κὶ t 
γρὸς Ez, καὶ vob ὃν ἔχει ἡ 1.41 πρὸς Z4, τουτέστιν | 
ΓΒ πρὸς B4, ὁ δὲ συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν tt 
ἢ ΓΕ πρὸς Ε4 χαὶ ἐχ τοῦ ὃν ἔχει. j ΓΒ πρὸς ΒΖ ὃ u- 4- 
τός ἐστιν τῷ τοῦ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ BAE: ἔστιν üt 
ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ B.E, οὕτως τὸ ἀπὸ] " 4 
τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ Jd τετράγωνον. ' 

9. Τούτου ὄντος ἄλλως τὸ προγεγραμμένον λῆμμα «3 
ὅτι γίνεται ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν 4E, οὕτως τὲ ὑπὺ τ €" 
BU πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓ. 

“Ἰνήχϑω ἀπὸ τοῦ 4 τυχοῦσά τις εὐϑεῖα ἡ AZ, γκαὶ 
τῷ ὑπὸ τῶν AAT ἴσον ὑποχείσθω τὸ ἀπὸ τῆς AZ, καὶ 
ἐπεζεύχϑωσαν αἱ AZ ΓΖ ΕΖ ΒΖ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν 
AAT. ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς 4Z, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν 








LIBER VII. PROPOS. 28. 29. 713 


ΟἿΣ — fy. yà : 86-60; ergo 
By - yà : βε' εὃ — yo? : ae?. 
VIII. Sint rursus anguli fee et γαδ recti; dico esse Prop. 
By- 2^5 : Bó- δὲ — ya? : αδ3. 28 
Ducatur per à Cy||ay. sitque η punctum concursus cum 
proeZeicta a£; ergo rectus est angulus αὖζ. Sed etiam angulus 
Ge» — (id est Bae) rectus est; ergo ζδ. δὴ — αὖλ ἢ ; est igitur 
per — geroportionem ya? : ζδ' δὴ — ya? : αὖϑ, Sed est 


δ: ζδ' δὴ τε ἐν. 


uy 
εὖ gà 
z βγ.γε: 80-06; ergo est 
By - y& : βδ' δὲ — ya? : αδ3. 
IX. Hoc cum ita sit, primum lemma, quod supra scrip- Prop. 
WW» — est, esse βδ: δὲ — afl. By : ἀξ’ ἐγ, aliter demonstrari 
pole ss t. 

Ducatur a punc- 
to ζ quaevis recta 
CÓ, sitque a - ày 
— óL?, alque, ut 
in primo lemmate, 
βδ. δὲ — αδ' δγ, 
« 7 d , f δ iungantur at γξ 

εξ BC. Quoniam 
igitur est αὖ. dy — óL?, per proportionem est αὃ : δὲ Ξε OL : óy; 


*) Quia perpendicularis est «d in triangulo orthogonio ζαη. (Elem. 
^ 8 et 147 citat Co.) 
*"" Est enim γα : δὴ - γε: εὖ propter similitudinem triangulorum 
“7ὲ et óg«; tum γώ : δ — yB: B9, quia "propter parallelas có «y tri- 
^ O&guls «3 C8ó sunt similia", ut adnotat V2. 


6 


——— 
9. οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΔ A, corr. BS 4. 3 add. V ὑπὸ τῶν 
By AB, corr. S δ. 6. πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ABE 898, corr. Sca V? 
9 44. οὕτω add. Ge 33. ἀλλὰ ὁ — ὑπὸ ZAH bis scripta sunt 


in A, sed altera expuncía 30. 9 add. V 35. αἱ «c V? pro αἱ 4Z 
"Corr. etiam (o in Lat. vers.) 
Pappus II. 46 


114 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATQTHZ Z. 


ΓΖ. ἴση ἐστὶν vij 44d γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν BAE 
» * Ly m ) Ly ^ ΄ Π) » € € 4 ^ 
LU0» ἐστὶν τῷ απὸ τῆς ZZ, γωνία ago ἢ ὑπὸ τῶν AZE 
γωνίᾳ τῇ B ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ [Ζ4 γωνία ἴση 
ἐστὶν τῇ 4: ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖΕ ἴση ἐσεὶν. ταῖς 4 
B γωνίαις. ἀλλὰ αἱ .4 B μετὰ τῆς ὑτιὸ .,.Ζ8 γωνίας" 
A - *», 9 
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν" καὶ αἱ ὑπὸ 428 [ΖΕ ἄρα yo- 
, 1] 2 - » * , / LI L1] b! 
γίαι Óvoiv ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν. γίνεται δὴ διὰ τὸ προγε- 
γραμμένον λῆμμα ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως 
τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ EI. ἀλλ᾽ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ 
πρὸς τὸ ἀπὸ ZE, οὕτως ἐστὶν ἡ B4 τιρὸς AE (ἴσον γάρ!" 
ἐστιν τὸ ὑπὸ Β4Ε τῷ ἀπὸ 41Ζ)" καὶ ὡς ἄρα ἡ B4 πρὸς 
41Ε, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑτιὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν AET. 


“Τἥμμα χρήσιμον εἰς τὸ β' ἐπίταγμα τοῦ αὐτοῦ προβλήματος. 
71 v. Πάλιν ὄντος ἴσου τοῦ ὑτιὸ τῶν 44 τῷ ὑπὸ BAT, 
δεῖξαε ὅτι γίνεται ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν AT, οὕτως τὸ vro 
τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ͂. | 
Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν AE, οὕτως ἡ 4 
πρὸς 4Γ, καὶ ὅλη ἄρα ἡ B.4 πρὸς ὅλην τὴν DE ἐστὶν ὡς 
ἡ B4 πρὸς τὴν AE. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ BA πρὸς τὴν 
44, οὕτως ἡ E4 πρὸς τὴν 4D, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς" 
λοιπὴν τὴν 4D ἐστὶν ὡς ἡ ΕΑ“ πρὸς τὴν 41. ἣν δὲ xai 
ὡς ἡ ΒΩ πρὸς τὴν 4Ε, οὕτως ἡ 48 πρὸς τὴν ΓΕ" καὶ ὑ 
συγχείμενος ἄρα λόγος &x τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ B πρὸς τὴν 
AE xai ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΕΔ πρὸς τὴν .1Γ, ὃς ἐστιν 6 τῖς 
B4 πρὸς τὴν ΔΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ σὐνημμένῳ ἔκ τὲ τοῦ 3 
τῆς AB πρὸς τὴν DE καὶ τοῦ τῆς EB πρὸς τὴν ΑΓ, ἧς 
ἐστιν ὃ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ τῶν -ABE πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 
ELA: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν AT, οὕτως τὸ ὑπὸ 
τῶν 41ΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ELA, ὕπερ: — 


&. 5. ταῖς 48 — αἱ 4B A, distinx. ΒΒ 7. εἰσί AsBS.— 8. οὕ- 
τως (οὕτω BS) τὸ ὑπὸ ΑΒΓ --- 40. πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ bis scripta in ABS, 
corr. V? Co i0. γάρ V? et Simsonus p. 9 pro ἄρα (cuius emenda- 
tionis ignarus Co verba ἔσον — ἀπὸ 4Z delevit) 44. εἰ add. V 
38. ἄρα add. Co πρὸς τὴν ΔῈ AB, corr. SCo 249. ELA, ὅπερ: 7] 


ELAO ; 7 BÀ, &ya. ὅπερ ἔδει: ^ BS 








LIBER VII. PROPOS. 30. | 715 


6790 c«» mmuni angulo αὃξ triangula αδξ et Cày sunt similia), 
est igi ἃ ur { γζὸ — [ ζαδ, Rursus quoniam est fó. δὲ — 02, 
daque — 4ariangula βὸζ et ζδὲ similia sunt, est igitur 4 εζὸ — 

4 £89- Sed demonstravimus etiam ὁ γζδ — L ζαδ' ergo 
sunt 4" γζὸ -- eCO, id est (.γζε — L ζαὃ -- C80. Sed an- 
guli ξ «ceo -4- ζβὸ 4- αξβ duobus rectis aequales sunt; ergo 
irem ὃ wrguli αζβ -4- γζε duobus rectis aequales. lam propter 
superi "m s lemma sextum fit 8D? : Ce? — αβ. By : oe. ey. | Sed 
quonim wn ex hypothesi est βδ. δὲ — OL? et proportione facta 
8ó : óc -- δὲ: δε, fit igitur (propter elem. 6, 20 coroll. 2) 
βδ - δα -- 802: 00D? Sed quoniam propter similitudinem tri- 
angulo 2 -um βὸζ et ζδε est 80 : 0G — BL: Ce itemque quadrata 
βὸΣ: «92? — Br? : ζεῖ, est igitur?) BC* : ζεῖ — 80 : δε. Sed 
eral €&£2am QD? : be? — ag. By : a&-ey; ergo est 
Bà : δὲ — af. y : ae. sy. 


Lemma utile ad secundum epitagma eiusdem problematis. 


X. Rursus, si sit αδ. δὲ — fó-Óy, demonstretur fieri 
Bà : dy — of. ge : ey. yo. 

Quoniam enim est 
& y ó ? ex hypothesi 80 : δὲ — 
aO : Óy, ergo etiam tola 
ad tolam oap : γε — Bà : δε. Rursus quoniam vicissim est 
BÓ : ag — δε: Óy, subtrahendo igitur est fe : ay — &Ó : Óy. 
Sed era| 80 : δὲ — of : γε; ergo per formulam compositae 

P'onertionis est 4 


βὸ : ày Ξε eg. ge: ey- ya, 4. e. d. 
1) Similiter demonstrationem complet Co; elem. sexti propos. 16 
** 6 (citat Simsonus p. 8; brevius eadem significat V2. 





9) Addita est huius demonstrationis prior pars secundum V? icum 
consentit Simsonus p. 8), altera secundum Co.  Adnolat omnino 
— haec: "quia ex hypothesi id quod fit ex βδε est aequale rà ἀπὸ 
Soest ul pó ad δὲ, ita quadratum τῆς βὺ ad quadratum τῆς df. sed 
2 € γιὸ gj ad quadratum τῆς δξ est sicul τὸ ἀπὸ 80 ad τὸ ἀπὸ ζε, 
Sia, ut δβ ad 8j, ita δὲ ad Ze, καὶ ἐναλλάξ, ergo cet." 

46 * 


Prop. 
30 


716 IIAIITIOY ZYNATOTBSZ Z. 


ἄλλως τὸ αὐτό. 

78 ια΄. Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ 2d πρὸς τὴν AB, οὕτως ἡ Γ΄ 
πρὸς τὴν. ΔΕ, λοιττὴ ἄρα ἡ 4D πρὸς λοιπὴν τὴν ΕΒ ἐστ. 
ὡς ἡ 44 πρὸς τὴν AB. καὶ συνϑέντι ἐστὲν ὡς ovvat 
φύιερος ἡ ΑἹ ΕΒ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἢ 4B πρὸς t1 
B4: τὸ ἀρὰ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ. ΕΒ καὶ τῆς B. 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ. τιάλιν ἐπεί ἔστιν ὡς ἡ B. 
πρὸς τὴν Z4, οὕτως ἡ Ed πρὸς τὴν 4I, λοιπὴ ἄρα 
ΒΕ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΑ ἐστὶν [ὡς εἷς τῶν λόγων) ὡς 
E4 τιρὸς τὴν AT. καὶ συνϑέντι ἐστὶν ὡς συναμφότερος 
EB ATI πρὸς τὴν 47ΤΓΓ, οὕτως ἡ EU πρὸς τὴν ΓάΑ͂ - τὸ ἄρ 
ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς EB AT καὶ τῆς ΓΖΩ ἴσον ἐσεὶν τι 
ὑπὸ τῶν ΕΓΑ͂. ἐδείχϑη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῇ 
AT' EB καὶ τῆς B4 ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ABE: xal ὡς ἄρα 1 
ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΙ EB καὶ τῆς ΒΔ τιρὸς τὸ ὑπὸ ov 
αμφοτέρου τῆς ΑΓ EB καὶ τῆς ΓΖΩ͂, τουτέστιν ὡς ἡ B. 
γερὸς τὴν 4D, οὕτως và ὑτιὸ τῶν .4Ε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶ 
ELA, ὅπερ: — | 


. ἄλλως τὸ αὐτὸ προϑεωρηϑέντος τοῦδε. 

79 ιβ΄. Οὔσης ἴσης τῆς 4B τῇ ΓΖ, ἐὰν ληφϑῇ τι σημεῖο 
τὸ E, δεῖξαι ὅτι ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν .4EAM τῷ ὑπὸ τῶ 
ATA καὶ τῷ ὑπὸ ΒΕΓ. 

Τετμήσθω ἡ BU δίχα κατὰ τὸ Ζ σημεῖον" τὸ μὲν ἄρ. 
ὑπὸ 4Ε4 μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ AZ, τ 
δ᾽ ὑπὸ 4Γ4 μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 42Ζ 
ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ..1 ΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ τετραγώνου ἴσο 
ἐστὲν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ, μετὰ τοῦ απὸ [Ζ, τουτέστιν τὸ 
ὑπὸ ΒΕΙΓ μετὰ τοῦ απὸ ΕΖ.. κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ ἀπ 
ΕΖ τετράγωνον: λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΕ4 ἴσον ἐστὲν τι 
τε ὑπὸ 4Γ4 καὶ τῷ ὑπὸ BET. 


80 ιγ΄. Τούτου προτεϑεωρημένου ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν 48] 
ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν Z4BE: ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν BE 
οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν AAT πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν “ΈΓ. 

Κείσϑω τῇ ΓΔ ἴση ἡ J4Z: διὰ δὴ τὸ προγεγραμμέ 


LIBER VII. PROPOS. 84. 84. 717 


Aliter idem., 
Quoniam est αὃ : ὁβ — yó : δε, subtrahendo igitur 
es «xy : £f — ad : 0B. Et componendo est oy -- ef? : efi 
-— αβ: β; ergo - 


- y ὃ $à& 9 ἰ(αγτεῖὶ .βὃ-εαβ.βε. 


| Rursus quoniam tmversa 
rai£«»zw est βὸ : δα — εὃ : Óy, subtrahendo igitur est Be : yo — 
&Ü : ey. Et componendo est βὲ -- ya : ya — ἐγ: γδ; ergo 

(856 --- ya) - yÓ τῷ εγ. γα. Sed demonstratum est etiam 

(ay -- &8)- 90 τῷ αβ. βε; ergo proportione facta 

(ay 4- &8)- 80 : (ay -Ε εβ) - yÓ — af - Be : ey yo, id est 

fà : ὃγ — affe : &y: ya, 4. e. d. 

Aliter idem, bis demonstrandi causa praemissis. 
XII. Si sit αβ — γδ, et sumatur punctum aliquod e, de- Prop. 


mOL3 sstretur esse «€. εὃ τε αγ'γὸ -- βε. ἐγ. 
Bifariam sece- 


20 R8 t6. y» δ tur £y in puncto C; 
ergo est (elem. 2, 5) 
aE- 60 4- εζ2 — at, el ay - y 4- γζξ — OC, ita ut sit etiam 
αξ. εὃ - E? — ay-yÓ - yC?, id est (quoniam βὲ — Cy) 
z- Gy: yÓ -- Be-ey -- eL2.— Subtrahatur 
commune £P?; restat igitur 
G6. 60 — ay-yÓ -- fie ey. 
ΧΙ]. Hoc demonstrato sit «8.8, — O8-06; dico esse Prop. 
09: Be — αὖ. ὃγ : ἀξ" cy. 83 


Ponatur $e — 
E MM HB 3H — —31—9— — —34, $Ó; per superius 
ὁ « e É / j igitur lemma fit 


9$. .«' add. BS 8. πρὸς λοιπὴν τῆς À, corr. BS 5. ἡ ATEB 
966. τῆς 4TEB A, distinx. ΒΒ 9. ὡς εἰς τῶν λόγων A, ὡς εἷς t. À. 
88, del, Co 44. 45. ἴσον τῷ — x«l τῆς B4 add. Co (eadem add. 
Y, Disi quod χαὶ ante ὡς ἄρα omittit) 419. ιβ΄ ante προϑεωρηϑέντος 
Md. BS  — τοῦδε BS, τοῦ 4E A 80. ἐὰν ABS, ἐν A! 44. ἐστὶ 
MBS τὸ (post ἐστὶν) BS, τῶ À 36. EZ TE τραγώνου À, corr. 

. γ΄ add. BS 39. ἴσον τῶν ὑπὸ τῶ 4B AB, corr, S 

δὲ, γῶν yy πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν add, V? Co 


118 lAHTIOY XYNATOTHX Z. 


vov γίνεται τὸ ὑπὸ τῶν ZB4 ἴσον τῷ τε ὑπὸ ZI xai 
τῷ ὑπὸ ΑΒΓ. ἐπεὶ δὲ τὸ ὑπὸ τῶν 4ΒΓ᾽ ἴσον ἐστὶν τῷ 
ὑπὸ τῶν BE, ὁπότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ὑπὸ τῶν ZB4: 
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΖΓΩ͂, ὃ ἐστιν τὸ ὑπὸ EA, ἴσον 
ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν 4B ΖΕ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ABI 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ABE, ἀνάλογον καὶ διελόντι ὡς ἦ 
AE πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς ΓΒ ἐστίν, τουτέστιν 
n ΖΑ͂ πρὸς τὴν Bl: καὶ ὅλη ἄρα 9. ZE πρὸς ὅλην τὴν 
ΕΓ ἐστὶν ὡς ἡ AE πρὸς τὴν EB: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ZEB 
ἴσον ἐστὲν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕΑ͂. ἐδείχϑη δὲ xai τὸ ὑπὸ τῶν! 
ΖΕ B4 ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν Α24Γ- ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς 
τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕ B4 πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ZEB, τουτέστιν ὡς 
5n 4B πρὸς ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ vOv AAT πρὸς τὸ ὑπὸ 
τῶν ΔΕΙ͂. 

81 ιδ, Προϑεωρηϑέντος καὶ τοῦδε ἄλλως τὸ αὐτὸ δειχϑή- 1 
σεται. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ διήχϑωσαν ἐντὸς αἱ 
4 AE ποιοῦσαι ἑκατέραν τῶν ὑπὸ BAE Γ΄.4 γωνίαν 
ὀρϑήν" ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 
BAE, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ͂ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ 44 


τετράγωνον. à 





Περιγεγράφϑω περὶ τὸ 4 BE τρίγωνον χύκλος ὃ ABZ 4 
καὶ ἐπεζεύχϑω y ZH. ἐπεὶ οὖν ὀρϑή ἐστιν ἑκατέρα vo 
ὑπὸ ΒΑΕ I.44 γωνία, διάμετρός ἔστιν ἑκατέρα τῶν 
ΖΗ τοῦ γύχλου, ὥστε κέντρον ἐστὶν τὸ Θ. ἐπεὶ οὖν ze 


LIBER VII. PROPOS. 33. 119 


t8. βὲ — Cy. yÓ -- of - By. Sed quoniam est ag - By — f - fie, 
uruimque subtrahatur ex L8. 680 (id est aequatio e8- 80 — 
aB- Gy ex altera CB -80 — ζγ.γὸ -- aB- By) ; restat igitur 
ζε-. βὸ — ζγ.γδ, id est 
Rursus quoniam est og. (gy Ξε ὃβ' βε, per proportionem est 
ap : εβ — ὃβ : By, et dirimendo 
αξ: εβ — Oy : yf, id est 
ζα : By; ergo etiam tota ad to- 
tam (elem. à, 42) 
be : ey 2 a€ : ef; ilaque 
beef — ye:ca. Sed demonstratum est 
Le- f τι αὖ. ὃγ; ergo proportione facta 
vicissim est - 
De - 80 : Ce- ef τε αὖ. ὃγ : ae. cy, id est 
0f : Be — αδ.ὃγ : ae- cy. 


XIV. Hoc quoque perspecto superius lemma octavum ali- Prop. 


te demonstwabitur. Sit triangulum αβγ, et intra ducantur 
Tétae αὖ ce, quae singulos angulos fee γαδ rectos efficiant; 
dicO fieri By. ye : βδ. δὲ — yo? : a*. 

Describatur circa afe triangulum circulus a£» et iun- 
&'ur D». Quoniam igitur singuli anguli Bee yaó recti. sunt, 
diametri circuli sunt Bs Cr, ita ut centrum sit 2. Iam quia 
e. C9. — ϑη, fit igitur, ductà yx|| aC, L δζϑ' — L x9, ideo- 
que ὃξ — xn, ac porro ay : yn — αὃ : 1x, et, quoniam 9x — 
0L*). est igitur 


*) Latius haec, quae omisit Graecus scriptor, demonstrat Co. 


π--.-.-.-. 
2. 8. ἔστιν τῶι τὸ ὑπὸ À, ro del. BS 8. ὁπότερα B, ὁποτέρα 
ὍΣΣ ἑχάτερον Hu τοῦ ὑπὸ τῶν ΖΒ4) intellexit scriptor et ipsum 


éCtangulum ZB4 et huic aequalem summam creclangulorum ZI et 
Bp — jg. 44. τὸ ὑπὸ τῶν ZEBA A, corr. ΒΒ 49. ZEBA πρὸς 
A, distiox. BS 43. οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν AAT. À, corr. BS 45. (À* 
add. ps ]Προϑεωρηϑέιτος A? ex IIgog9towx9£rrog αὐτὸ] προγε- 
γρθαρμεμένον coni. Hv 46. Ἔστω) ἔσται ἔστω A, corr. BS 21. Περ- 
YtyO«q$c A, corr. ΒΒ 33. exereoe A? in rasura | 








720 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHZ Ζ. 


ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ OH, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ «ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ, 
οὕτως ἡ Α4 πρὸς τὴν 4Z, καὶ ἀνάπαλιν. ἀλλ᾽ ὡς μὲν 
ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΓΑ͂, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν 4 ΤῊ πρὸς 
τὸ ἀπὸ τῆς ΓΑ͂, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ͂. 
ὡς δὲ ἡ Z4 πρὸς τὴν 4.44, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν Z4.4 " 
πρὸς τὸ ἀπὸ Z4, τουτέστιν τὸ ὑπὸ BAE πρὸς τὸ ἀπῶ 
4.4. ἐναλλὰξ ἄρα γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΕ τιρὸς τὸ one» 
BAE, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΑ͂ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ 42 
τετράγωνον, ὅπερ: “- 

82 ιε΄. Τούτου ὄντος ἄλλως τὸ προγεγραμμένον" ὅτι γί-----ϑ 
νεται ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν AT, οὕτως τὸ ὑπὸ 448Ε πρὸ«-Ξ 
τὸ ὑπὸ ATE. 

Ἄνήχϑω ἀπὸ τοῦ 4 τῇ 448 ὀρϑὴ ἡ 4Z, καὶ ὁποτέρᾳ 2 
τῶν ὑπὸ 44 BAT ἴσον χείσϑω τὸ ἀπὸ 42 τετράγωνον" 5 
xci ἐπεζεύχϑωσαν αἱ .4Z ZI ΖΕ ZB: ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶ ιν Ιὐ 
ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν 4ΖΕ ΓΖΒ γωνία: διὰ δὴ τὸ προ ---- 
γεγραμμένον γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ πρὸς τὸ )n«— 
τῶν ΑΓΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ. ὡς δὲ 1«2 
ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ZI, οὕτως ἐστὶν ἡ B4 πρὸς τὴ 2’ 
AT: καὶ ὡς ἄρα ἡ B4 πρὸς τὴν 4D, οὕτως ἐστὶν τὸ ὕπ᾽» 
τῶν JABE πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓΕ. 





Εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ cg προβλήματος. 


83 wv. Εὐθεῖα ἡ AB, καὶ àv αὐτῆς τρία σημεῖα τὰ I 
4 E, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒΖ - 
ὅτι γίνεται ὡς 1) .4B πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΑΙ Ἅ5 
M Ἁ c M “ 
πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν LDEAd. — 
Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶ» " 
, ) 
ΓΒΔ, ἀνάλογον καὶ λοιπὸν πρὸς λοιπὸν καὶ ἀναστρέψαντσς- 


4. ὑπὸ τῆς Bye BS 5. 6. τὸ ὑπὸ τῶν Z4.4 πρὸς τὸ ἀπὸ 45 


tovt ἔστιν bis scripta sunt in Α(Β) 7. τὸ ὑπὸ ΒΓΕ πρὸς bis scripta 
sunt in À 9. ὅπερ] o A, om. BS 40. «&' add. BS 44. ABE 
Co pro 4BTD 43. xol ἑκατέρῳ Hu 15. ad ΖΓ inter lineas add. 


Z4 M, quod recepit B 48. post .4L'E add. τουτέστιν πρὸς τὸ Vno— 
τῶν EI A(B) 28. /g add, BS — 33.94. τὰ 79 A, distinx, BS 


LIBER VII. PROPOS. 34. 85. 721 


αγ: yt — αδ: OG et, e contrario 
yr : ya — L0 : δα, itaque 
Gy. yn : yo? 2 LÀ. 0a : δα", id est (elem. 5, 36 et 55) 
By - ye : ya? τε βδ. δὲ : δαξ, et vicissim 
By* ye : BÓ - δὲ — ya? : aÓ?, q. e. d. | 
XV. Hoc cum ita sit, aliter superius lemma decimum, Prop. 
esse β: ὃγ — of Be: ay- ye, demonstrabitur. d 
Erigatur in puncto ὃ rectae a perpendicularis δζ, sit- 
que δζΖ — aó.óe- 
d Ξ- 85. Óy, et du- 
X canturac £y Ce CB. 
Ergo ex hypothesi 
(propter elem. 10, 
38 lemma) singuli 
a y δ é β anguli αζε γζβ 
recti sunt. Iam 
propter superius lemma fit af - 8&6: ay ye — 802: Cy?. Sed est 
(propter elem. l. c.) 8t? — βγ. 89, et ty? τε By-yà"*); ergo 
BO : C? — B0 : Oy, itaque etiam 80 : ὃγ — a.c : ay. ye 


In primum epitagma sexti problematis. 
XVI. Sit recta af, inque ea tria puncta y ὃ δ, et sit Prop. 
ee — yg - B9; dico fieri ag : Be — Óa- ay : γε" ed. δ 
Quoniam enim est αβ. βὲε 
à; y δε B8 7B ff pr proportionem igi- 
tur est 
af : βὸ τῷ vB : Be, et subtrahendo 
Αγ: δὲ — afl : Ó, tum convertendo 
ay : «y — δὲ — afi : ad, denique e contrario !) 


*) Elementorum lemma, quod bis citavimus supra, cum fugeret inter- 
Pretem Vossianum , Commandinum, Simsonum p. 43 sq., hi ex simili- 
tudine wiangulorum variis rationibus partimque per ambages eadem, 
Quae brevius supra scripta sunt, demonstraverunt. 


: 4) Sic contractam Pappi demonstrationem explet V? multo aptius 
TUamn, (o, qui in ambeges illabitur. 


84 


85 


122 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTH2 Z. 


ics» ἄρα ὡς ἡ τῶν ΑΓ EA ὑπεροχὴ ztoóg τὴν 4T, οὗ- 
τως ἡ 4.4 πρὸς τὴν .4B: τὸ ἄρα ὑπὸ τὴς τῶν 4D ΕΖΔ 
ὑπεροχῆς καὶ τῆς 48 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν 4.4,1Γ. πά- 
λιν ἐπεί ἐστιν ὡς 19; .4B πρὸς τὴν ΒΩ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς 
τὴν BE, λοιτιὴ ἄρα ἡ «ΑΓ πρὸς λοιπὴν τὴν AE ἐστὶν ὡς ὃ 
ἢ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ τῶν ΑΙ ΕΖΔ 
ὑπεροχὴ πρὸς τὴν 4E, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν EB: τὸ ἄρα 
ὑπὸ τῆς τῶν ΑΓ AE ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΕΒ ἴσον ἐστὶν τῷ 
ὑπὸ τῶν DEA. ἐδείχϑη δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῆς τῶν 41Γ ΕΖ 
ὑπεροχῆς καὶ τῆς 4 ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν 44D: ἐναλλὰξ τὺ 
ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τῶν AT 4E ὑπεροχῆς καὶ τῆς 
AB πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς τῶν AT AE ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΕ, 
τουτέστιν ὡς ἢ Α͂Β πρὸς τὴν BE, ovrog τὸ ὑπὸ 4ΔΑ͂Γ 
πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΖ. 
ἄλλως τὸ αὐτὸ διὰ τοῦ συνημμένου. 15 
ιζ΄. Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν BI, οὕτως 7 4B 
πρὸς τὴν BE, λοιπὴ ἄρα ἡ 444 πρὸς λοιπὴν τὴν ΓῈ ἐστὶν 
ὡς ἡ 448 πρὸς τὴν ΒΓ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ 4B πρὸς 
τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν BE, λοιπὴ ἄρα ἡ Α͂Γ πρὸς 
λοιπὴν τὴν 4Ε ἐστὲν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν BE: ὥστε 0ó?»0 
συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς .4B πρὸς ΒΓ xai τοῦ τῆς ΓΒ 
πρὸς BE, ὃς ἐστιν ὁ τῆς 4B πρὸς ΒΕ, ὃ αὐτός ἐστιν τῷ 
συνημμένῳ ἕκ τε τοῦ τῆς «44 πρὸς ΓΕ καὶ τοῦ τῆς AT 
πρὸς 4Ε, Og ἐστιν ὃ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ 4 πρὸς τὸ 
ὑπὸ LEA. M 25 
Aug. 
wj. Γεγράφϑω ἐπὶ τῆς 4E ἡμικύκλιον τὸ .4ZE, xoi 
ἤχϑω ἐφαπτομένη ἡ ΒΖ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ MZ ΓΖ 4Ζ 


P 3 , 
ΕΖ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΖ, τέμνει δὲ ἡ BA, τὰ» 
^ - 2 , 
ὑπὸ τῶν ABE ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΖ. ἀλλὰ τὸ ὑττὸ ABER 


4. 9. ἡ τῶν AT ΕΒ ὑπεροχὴ — ἡ BA πρὸς τὴν 412 ABS, οογσσ--- 
v? (o 2. τῆς add. Hu (idem ante ὑπὸ Ge) τῶν ΑΓΕ A(BS 7» 
corr. V2 Co 4. ἡ .AB πρὸς τὴν B4| ἡ AE πρὸς τὴν Ed ABS, - 
AE πρὸς τὴν Ed Co, corr, V? 9. τὸ ὑπὸ add. V? τῶν ATE --- 





LIBER VII. PROPOS. 35. 729 


«y — 0£: ay — αὃ: αβ. Ergo est 

(αγ — às). af — δα -αγ. Rursus quoniam est 

af : βὸ — yg : Be, subtrahendo igitur est 

ay : δὲ — yg : βε. Dirimendo est ay — δὲ : δὲ — 
γε: eB; ergo 

(ay — δε) - eB — γε. εδ. Sed demonstratum est 

(ay — δε) -αβ τε δα -αγ; vicissim igitur est 

(cy — δε) - ag : (ay — δὲ). Be τ, 0a. ay : γε. eU, id est. 

af : Be — δα -αγ: ye - εὖ. 


Aliter idem per formulam compositae proportionis. 


XVII. Quoniam est ag : gy — O8 : 8e, subtrahendo igi- 


| tur est αὃ: ye — af : By. Rur- 
« — y di . 4 sus quoniam est «8:80 — γβ:βς, 


subtrahendo igitur est ay : δὲ — 
yB : B6; ita ut sit per formulam compositae proportionis 


of : B6 — δα -αγ: ye- εδ. 


Aliter. 
XVIII. Describatur in «e semicireulus a&e, et ducatur 






| 
| 
LERRA 

c / d € Á 


?Dgens 9r, et iungantur at yC δὲ eC. Quoniam igitur cir- 
Cuburp, tangit 85, secat autem βα, est ag - Be — L7. Sed 
 ----. 


A, distini, BS 40. ὑπεροχῆς add. Ge 45. ro «vrov συνημμένου 

. Q7 € 9 αὐτὸ συνημμένον B, corr. V? Co 46. ιζ΄ add. ΒΒ 22. oc] 

E 9 B, corr. S 24. og] ὁ Αἴ, ad quod ς add. A! 27. τη΄ add. 

ABS 28. PZ add. V? Co 29. ἐφάπτηται À, corr. BS δὲ ἡ BA. 
^ 94 ἡ βδα V?, corr. Co 


——— —— 


724 TIAHTIOY XYNATOTHX Z. 


τῷ ὑπὸ ΓΒΩῖ ἴσον ὑπόκειται" καὶ τὸ ὑπὸ DB ἄρα ioc 
ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΖ τετραγώνῳ ὥστε ἴση ἐσεὶν 1) ὑπὸ sér3 
BZ4 γωνία τῇ ὑπὸ BIZ γωνίᾳ. ὧν ἣ ὑπὸ BZE γωνία 
ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ Ζ.1Γ' γωνίᾳ" λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ 4ZE γω- 
vla λοιπῇ τῇ ὑπὸ AZT γωνίᾳ ἴση ἐστίν" ὡς ἄρα τὸ ὑπὲ 
τῶν 4141 πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν DEA, οὕτως ἐσεὶν τὸ ἀπὸ 427 
agio τὸ ἀπὸ ZH. dg. δὲ «D ἀπὸν ΑΖ ϑεδδδν ὁ ἢ 
οὕτως ἐστὶν ἡ AB πρὸς τὴν BE: ὡς ἄρα ἡ .18 πρὸς τὴν 
ΒΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ 4.4Γ ngóg τὸ ὑπὸ ΓΕΩ͂. 


«Ἱῆμμα εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ ἕχτου προβλήματος. 

86 ιϑ΄. Ὄντος τιάλιν ἴσου τοῦ ὑπὸ τῶν ABE τῷ ὑπὸ τῶν 
ΓΒΩ͂ δεῖξαι ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΓΒ πρὸς B4, οὕτως τὸ ὑπὸ 
τῶν ATE πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν AAE. 

Ἐπεὶ γάρ ἔστιν ὡς ἡ 4B τιρὸς τὴν B4, οὕτως ἡ ΓΒ 
πρὸς τὴν BE, λοιπὴ ἄρα ἣ .1Γ πρὸς λοιπὴν τὴν 4E ἐστὶν 
ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ λοιπὴ ἣ 4 
πρὸς λοιπὴν τὴν DE ἐστὶν ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν ΒΕ, κχαὲ 
ἀνάπαλιν" ὥστε ὁ συνημμένος λόγος ἔχ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΒ 
πρὸς τὴν BE καὶ ἐξ ob ὃν ἔχει ἣ EB πρὸς τὴν Bd, ὅς 
ἐστιν ὃ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν B4, ὃ αὐτός ἐστιν τῷ 
συνημμένῳ ἔκ v6 τοῦ ὃν ἔχει ἡ AT. πρὸς τὴν AE καὶ ἡ FE 
πρὸς τὴν 4.1, Üg ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῶν ATE πρὸς τὸ ὑπὸ 
-AAE- ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν B4, οὕτως τὸ ὑπᾶ 
τῶν, ATE πρὸς τὸ; ὑπὸ τῶν. Af Es 

ἄλλως τὸ αὐτό. 

37 x. Ἐπεί ἐστιν ὡς 5 AB noc τὴν B4, οὕτως ἡ ΓΒ 
πρὸς τὴν BE, λοιπὴ ἡ AT πρὸς λοιπὴν τὴν 41Ε ἐσεὶν ὡς 
ἡ ΓΒ πρὸς τὴν BE. ἀναστρέψαντέ ἐστιν ὡς ἡ 4T mpg 
τὴν τῶν «ΑΓ AE ὑπεροχήν, οὕτως [ἐστὶν] ἡ ΓΒ πρὸς τὴν" 


4. Τ4 ἄρα A! εχ ΓΒΑ ἄρα ὅ. τῆι ὑπὸ 41ΖΓ A!BS, corr, ve 
lusta m, in A (V? Sca) 40, τρέτον οἱ Éxrov Hu auclore Simsono p. tw 
pro πρῶτον et πρώτου 44. «0 add. ΒΒ !5. post ἐστὴν add. watie 
τῶν λοιπεῦν A, ὡς εἴς T. À. BS. 48. 19. ἡ ΓΒ πρὸς τὴν BE x«i ἐξ 


LIBER VII. PROPOS. 36. 125 


suppositum est ag - Be — yf - 80; itaque est yf - BÓ — βζ2, ac 
per proportionem yB : 85 — 85: 80"); ergo propter similitu- 
dinem triangulorum (elem. 6, 6) L βζδ — L βγζ. Et quoniam 
est af - 8e — f L?, rursus propter similitudinem triangulorum est 
L βζε — L ζαγ; subtrahendo igitur 
L βζὸ — βζε — L βγξ (sive Cay e αζγ) — Cay, id est 
L ὃζε — L αἵγ. 
Ergo propter libri VI propos. 12 cst δα. ay : ye- εὃ — at? : Ge?. 
Sed propler similitudinem triangulorum αζβ et ζεβ est aB: βὲ 
— aL: Le, sive aff? .. L2 — αἴ: Ge?, ac rursus propler ean- 
dem similitudinem of : βζ — BC : Be, ideoque ag? : 8C? 2 af : ge, 
ergo!) est aD? : Ce? Ξε afl : ge, itaque afl: βὲ — Oa. ay : ye - εδ. 


Lemma in tertium epitagma sexti problematis. 
XIX. Si rursus sit αβ’βε — γβ.βδ, demonstretur fieri Prop. 
36 
yB : Bà — ay- ye : ad - δε. 
Quoniam enim est af : β 


4 38 ; 54 - yB:fe, subwahendo igitur 
est ay: δὲ — yf: fie. Eadem 
ralione, quoniam est ag : By — Bà : e, subtrahendo est αὖ: γε. 
— βὃ: βε, et e contrario ye: α — ef : BÓ, ita ut sit per 
formulam compositae proportionis 
yB tB — «y γε 
e 


yg : Bà — ay. ye : αδ. δε. 


Aliter idein. 


XX. Quoniam est a8 : βὃ τῷ yf : 8e, subtahendo igitur 
est ey :δὲ — γβ: βε. Convertendo est ay: ay — δὲ -- yg : ye; 


*) Haec praeter Co explicat etiam V?, 
1) Addita haec secundum Co; brevius eadem v? et Simsonus p. 16. 
—— . 
οὗ ὃ», ἔχεε bis scripla sunt in ABS, corr. V? Co 20. 0. πρὸς τὴν ΒΕ 
MULT ὅς ABS, corr. V? Co: 24. 92. xai ἡ Br πρὸς τὴ τὴν ΒΖ ὅς ABS, corr. 


A Co 26. x add. BS 28. 29. πρὸς τὴν AATFE ABS, τῶν add. v2, 
f E corr. V? Co 89. ἐστὶν del. Hu 


126 ΠΑΠΠΟΥ YNATOTHS Z. 


DE: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν “ΤῈ ἴσον ἐστὲν τῷ ὑπὸ τῆς τῶν 
AU AE ὑπεροχῆς xai τῆς BI. πάλιν ἐπεὶ λοιπὴ ἡ ΑΓ 
πρὸς λοιπὴν τὴν .1Ε γίνεται ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν B4, διε- 
λόντε ὡς ἡ τῶν ΑΓ AE ὑπεροχὴ πρὸς τὴν AE, οὕτως ἢ 
4.4 πρὸς τὴν 4B: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν MAE ἴσον ἐστὶν τῷ 
ὑπὸ τῆς τῶν 4411 4E ὑτιεροχῆς xoi τῆς 4B- ὡς ἄρα τὸ 
ὑπὸ τῆς τῶν JU AE ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ 
τῆς τῶν Al AE ὑπεροχὴς xal τῆς 48, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΒ 
γρὸς τὴν B4, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ AAE, 
0T EQ: c ι 


ἄλλως τὸ αὐτό. 


δ8 κα΄. Γεγράφϑω ἐπὶ τῆς UA ἡμιχύχλιον τὸ ΓΖΔ, ἐφα- 
πτομένη ἤχϑω ἡ ΒΖ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ AZ VZ AZ EZ. 
ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ .4BE ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ LB, ἀλλὰ τὸ 
ὑπὸ [ἘΒ4 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τῆς BZ,U 
zai τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ ἄρα ἴσυν ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ' 
γωνία 'ἄρα ἡ ὑπὸ BZE γωνίᾳ τῇ 44 ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ 
ὕλη ἡ ὑπὸ BZA τῇ ὑπὸ ΖΓΒ ἴση ἐσείν- λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ 

. EZ γωνία λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν-..42Ζ1᾽ ἴση ἐστίν: ὡς ἄρα 
τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ Z4, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ATE 
πρὸς τὸ ὑπὸ AE. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ZA, 
οὕτως ἐστὶν 1) ΓΒ πρὸς τὴν Bd ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν 
ΒΖ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ Α͂ΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ .44Ε. 

89 xD. Εὐθεῖα ἡ .4B, καὶ ἐπ᾽ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ 
4d, ἔστω δὲ ὡς ἡ .4B τιρὸς τὴν BD, οὕτως τὸ ἀπὸ 414} 
πρὸς τὸ ἀτιὸ 411" ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν BI ἴσον ἐστὶν τῷ 
ἀπὸ τῆς B4. 

Κείσθω τῇ DA ἴση ἡ AE: διελόντι ἄρα γίνεται ὡς 


2. 4ΓΖΕ Δ, distinx. BS, item vs. 6 | T. 8. τῆς τῶν ABI AE ὑπερ- 





οχῆς xal τῆς 4B τουτέστιν ABS, corr. V? Co 9. οὕτω ASBS 
40. ὅπερ V, o A, ὅπερ ἔδει Paris. 2368 S, om. B 19. x«' add. BS 
43. ἡ ΒΖ V? Co pro ἡ IZ x«i inter lineas add. A! IZ et EZ 


add. Co 15. ἐστὶ ABS, ilem vs. 20. 44. xf'add. ΒΒ 324. 5. τὰ 
F4 A, distinx. BS 35. ἡ 4B πρὸς τὴν B4 ABS, ἡ ay πρὸς τὴν By 
V?, corr. Co 


LIBER VII. PROPOS. 37. 1231 


ergo est ay-y& — (ay — δε) - yd. Rursus quoniam subtra- 
hendo fit ay : δὲ — αβ : 80, dirimendo est 
psa upuoosoo Oy — δε: 06 — ad : 0f; itaque 
«€ y δε . f. καδ.δὲ — (ay — δε). δβ. Ergo 
(ay — δὲ) - yB : (ay — δε). 0B — ay. 76: αὃ' δὲ, id est 
JB : Bà — ay- ye : αὃ. δε, q. e. d. 


Aliter idem. 

XXI. Describatur in recta yÓ semicirculus γζδ; ducatur 

tangens BC, iunganturque al yb OC eC. lam quia ei hypo- 

thesi est ap - Be — γβ' BÓ, atque etiam (secat enim fy et tan- 

git GC) γθ' Bà — BL, ergo αβ' Be — βζ2, et per proportionem . 
a : βὲ -— ὲᾷᾳ : βε. Ergo propter similitudinem triangulorum 


— - A2 

ΚΗ 2 RO 
PLI NNNM 
f NN 
—L  €YND 
- : ἊΝ τττ 


& 7 é 7 


αβὲ LBe es L BCe — L BaC. Sed quoniam etiam est v8 - gà 
— BU, eadem ratione propter similitudinem triangulorum. ζβὸ 
γβζ est L BLÓ — L LyB, sive L. βζε -ε εζὸδ — L Bat - ocy; 
subtrahendo igitur est 4 εζὸ — ( aCy. Ergo propter libri VI 
propos. 12 extr.!) est yC? : C0? — ay. ye : αὃ. δὲ. Sed prop- 
ter similitudinem iriangulorum γβξ et CBÓ est 

γζ : ζὃ — yB: BL — BU: B0, itaque 

γζξ : C0? — y? : BC, sive, quia yB BC BÓ proportionales 


sunt, 
- yp: 0. 
Ergo est yB : βὸ — ay-ye : αὃ. δε. — 
XXII. Sit recta a9, inque ea duo puncta γ δ; sit autem Prop. 
af: By — «0? : 0y?; dico esse ag. fy — 80?. 37 
Ponatur εδ — à»; dirimendo igitur est 





4) Hunc alterum propositionis supra citatae casum indicavit Sim- 
sonus p. 20 coll. p. 16; reliquorum quae in hoc lemmate demonstrando 
addidimus auctor est Co 


728 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


? 4T πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ 
L4, τουτέστιν τιρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ4Γ. ὡς δὲ ἡ 4T πρὸς τὴν 
ΓΒ, οὕτως ἐστὶν κοινοῦ ὕψους παραληφϑείσης τῆς 4 τὸ 
ὑπὸ τῶν DAE πρὸς τὸ ὑτιὸ τῶν ΑΕ ΓΒ’ ἔστιν ἄρα ὡς 
τὸ ὑτιὸ τῶν ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν AE ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ 
τῶν ΓΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν EAT: ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ 
τῶν 4E ΓΒ τῷ $no τῶν EAT. ἀνάλογον καὶ συνϑέντι 
ἐστὶν ὡς ἡ 414 πρὸς τὴν ,1Ε, τουτέστιν πρὸς τὴν 47, 
οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν Bl καὶ ὅλη ἄρα ἡ 4B πρὸς ὕλην τὴν 
B4 ἐστὶν ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν ΒΓ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ABIW 
ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς B4, ὅπερ: — 

90 xj. Ἔστω δὴ πάλιν ὡς 5 AB πρὸς τὴν BI, οὗτως 
τὸ ἀπὸ .4d4 τιρὸς τὸ ἀπὸ 411. ὅτι γίνεται ἴσον τὸ ὑπὸ 
ΑΒΓ τῷ ἀπὸ B4 τετραγώνῳ. 

Κείσϑω τῇ L4 ἴση ἡ 4E: κατὰ διαίρεσιν ἄρα ylve-15 
ται ὡς 7) 4T πιρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑτιὸ τῶν EAT 
πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΑ ΒΙ᾽, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΠ) πρὸς 
τὸ ὑπὸ τῶν DAE: ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν 4E ΒΓ τῷ 
ὑπὸ τῶν DAE. ἀνάλογον xoi διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ 44 
πρὸς τὴν .1Ε, τοιτέστιν τιρὸς τὴν 4l, οὕτως ἡ 4B πρὸς Ὁ 
τὴν DB: xai Aou ἄρα 1, ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν AB ἐστὶν 
ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν LB: τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ 
ἀπὸ B4 τετραγώνῳ. 

91 xü. Εὐϑεῖα ἡ ΑΒ, καὶ in! αὐτῆς τρία σημεῖα và T 
4 E, ἔστω δὲ ὡς τὸ ὑπὸ B.AE πρὸς τὸ ὑπὸ BAE, οὕτως} 
τὸ ἀπὸ ΑΙ πρὸς τὸ ἀπὸ Df: ὕτι γίνεται καὶ ὡς τὸ n0 
Α18Β4 πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΖ4, οἵτως τὸ ἀπὸ BI πρὸς τὺ 
ἀπὸ ΓΕ. | 

Εἰλήφϑω γὰρ ἰσότητος σημεῖον τὸ Z, ὥστε ἴσον εἶναι 
τὸ ὑπὸ τῶν 4Ζ4 τῷ ὑπὸ BZE: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ AZW 


4. οὕτω Α'ἢ89 ὑπὸ DAE V? Co pro ὑπὸ P4, 8. ἐστὶ AsBS 
χοινὸν ὕψος ABS, corr. V2 Co &. τῶν .AEDB ^, distinx. BS 
5. 6. AE ΓΒ — τῶν (ante ΕΖ ΓῚ add. V? (minus recte post ΕΓ add. Co: 
οὕτω τὸ ὑπὸ τῶν IAE πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς AELB, 9. ἄρα add. Hu 
44. ἀπὸ add. V? Co, τῆς add. 2 14. xy/add. BS. 47. τῶν ΕΑΒΓ 
ABS, distinx. Co 30.7 4B V? Copro ἡ ΑΓ 99.24. πρὸς τὴν BF Co 





LIBER VII. PROPOS. 38. 39. 729 


ay : γβ — a0? — δγ3 : 0y?, sive propter elem. 2, 6 
— y«- «e : Óy?, id est (quía δγ — εδ) 
Ξε γα α : εδ' Uy. 
| Sed adsumpta com- 

- €x M 4$ » 4 muni altitudine «e 
toos (sive multiplicata 
proportione cum as) est ay : yf τῷ γα αε: ae- yf, itaque 
γα - αε : &&- yf τῷ ya-a& : eà-Óy; ergo ae- yg — εδ' Oy. Per 
proporüonem est «&: δ — dy : yfB , et componendo αὃ : δὲ 
— Oj:fy, itaque (quia δὲ — Óy) tota αὃ -- δβ ad totam 
ὃγ - yf, id est aB : βὸ — Of : By; ergo est af - By τε (02, 

q. e, d. 
XXIII. Iam sit rursus of: βγ — «0?: 0y?; sed sit αβ «; αὃ; Prop. 
dico esse ag. gy — 80?. 
a — πΤ7 , | 71 Ponatur δὲ — γδ; di- 
rimendo igitur fit 
cy : γβ Ξε a0? — ày? : 0y?, id est, ut supra demonstra- 
vimus, 
&Q - ay : ξα΄ By — ca ay : yÓ- δε; ergo 
ἑα. y — γδ. δε. 
Per proportionem est ae : εὖ — ὃγ : yfl, et dirimendo αὃ : δὲ 
— O9 :,8, itaque (quia δὲ 2 δ)) subtrahendo af: 80 — 
ὁβ : 78; ergo est ag - 8» —— βὸ, 
XXIV. Sit recta af, inque ea tria puncta y ὃ &; sit Prop. 
?^ulém βα.αδ: 80-06 — ay? : yÓ?; dico fieri a8 - βὸ : ac. εὃ 3? 
— (852 : ye, | 








.  Sumatur enim 
c y j F ; ) | aequalitatis punc- 
tum £C ita, ut sit 
αξ- ξὸ — βζ. ζε ἢ). Ergo propter superius lemma 71 extr. in 
SCC os em determinatam est aC : CÓ — fla. ae: βδ. δε. Sed ex 


*») Secetur «e in puncto £ ita, ut sit «8: δὲ — ac: 6e; ergo sub- 
Ihengo est gr: CU — ec: Ce, itaque αζ- ζὸ τε βζ- Ce (Co). 
TÉLÉ 
M. ἄρα ἡ AB V? Co pro ἄρα ἡ ΓΒ 99. ὡς ἡ 4B Co, ὡς ἡ B4 V? 
PO ὡς $ 4D — 394.x0 add. BS 94. 25. τὰ PA4E A, distinx. BS 

Pappus Ir. 41 


790 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHS Z. 


πρὸς τὴν 4Z, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΑ͂Ε πρὸς τὸ ὑπὸ BA 
(λῆμμα γὰρ ἐν δωρισμένῃ). ὡς δὲ τὸ ὑπὸ B.AE πρὸς : 
ὑπὸ ΒΖΈ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ AT πρὸς τὸ ἀπὸ DA: κι 
ὡς ἄρα ἡ “412 πρὸς τὴν Z4, οὕτως τὸ ἀπὸ .4T πρὸς : 
ἀπὸ DA: τὸ ἄρα ὑπὸ 4474, τουτέστιν τὸ ὑπὸ BZE, io 
ἐστὲν τῷ ἀπὸ ΖΓ' ἐστίν ἄρα ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ, o 
τως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. ὡς δέ ἐστιν ἡ ΒΖ πρ 
τὴν ΖΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΒΔ πρὸς τὸ ὑπὸ 414 
wai ἐς ἄρα τὸ ὑπὸ 4184 πρὸς τὸ ὑπὸ .4EA, οὕτως ἔστε 
τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. | 


ἄλλως τὸ αὐτό. . 


92 χε, Γεγράφϑω ἐπὶ τῶν 4Ε 4B εὐϑειῶν ἡμικύκλ, 
τὰ AZE AZB, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ 42 ΖΓ ZA ΖΕ Zi 
ἐπεὶ οὖν αἱ ὑπὸ 4Ζ8Β AZE γωνίαι δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι ε 
σίν, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑ͂Ε τιρὸς τὸ ὑπὸ BAE, οὕτι 
τὸ ἀπὸ “42 πρὸς τὸ ἀπὸ Z4. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ B.4E πρι 
τὸ ὑπὸ ΒΕ, οὕτως ἦν τὸ ἀπὸ AT πρὸς τὸ ἀπὸ MT « 
ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ D, οὕτως τὸ ἀπὸ 4 
πρὸς τὸ ἀπὸ Z4, dore καὶ ὡς ἡ Α͂Γ πρὸς τὴν ΓΩ͂, οἱ 
τως ἡ .42 πρὸς τὴν Z4: δίχα ἄρα τέτμηται ἡ ὑπὸ “4Ζ 
γωνία τῇ ZI εὐϑείᾳ: ἀλλὰ καὶ ἐχβληϑείσης τῆς ΒΖ & 
τὸ H, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ 42ΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΖ. γωνίς 
ὅλη ἄρα 7) ὑπὸ τῶν EZT ὅλῃ τῇ ὑπὸ τῶν ΓΖΗ γωνίᾳ ic 
ἐστίν ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΒΖ πρι 
τὴν ΖΕ, καὶ ὡς τὸ ἀπὸ πρὸς τὸ ἀπό. ἀλλ᾽ ὡς τὸ ἀπ 


4. ὑπὸ BAE A5, ὑπὸ τῶν Bee B. — 92. 3. πρὸς τὸ ὑπὸ Bde V CC. 
πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑΕ ABS, om. Paris. 2368 8. ἐστὶ ASBS 44. ha 
demonstratio ab alio scriptore addita esse videtur 44. xe' add. V 
43. τὰ AZ Ε4 ZB AB, corr. S 21. 92. ἐπὶ τὸ N AB, corr. S 
34. ἔσειν ἄρα add. BS (conf. p. 708, 48. 742, 4. 27. 744, 29. 734, 2 
730, 6. 732, 47) 95. x«l ὡς τὸ ἀπὸ πρὸς τὸ ἀπό scriptor huius le 
brevius posuit pro xai ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, οὕτως τὸ ἀ. 
ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, ut recte adnotant V? οἱ Co; neque tamen, 
quod Co vult, scriptura codicis pro corrupta habenda est 





LIBER VII. PROPOS, 89. 191 


hypothesi est 8a a6 : βδ. δὲ — ay? : yO?; ergo etiam o£ : Có 

.7 02: y0?, itaque propter lemma XXII est αἷζ΄ CÓ, id est 
Bb. Ds — Cy?. Ergo propter lemma XXIII conversum!) est 
Bb: Ge τὸ. y?: ys? Sed propter lemma 1 esi BL: ζε τ 

UB. GÀ : as. cÓ; ergo etiam af. 80 : αε. εὃ — By? : ye*. 


Aliter idem. 


"XXV. Describantur in rectis a& 0f semicirculi αζε δὲβῥ, 
7 iunganturque ac 
ty ζὸ ζε ζβ. Quo- 
niam igitur anguli 
aLB - δῖε (id 
est ate -- OL) 
duobus rectis ae- 
quales sunt, prop- 
— 75 ter lemma VI est 


ac δ 
7 li fa ae : 80 δὲ 





- aD :L0?, sive ex hypothesi 

-— «y?: yà?, 
Er£zo ay: y0? — αζϑ : LÓ?, itaque etiam ay : yd — αζ : LO. 
Er£xo propter elem. 6, 5 angulus αζὸ rectà Cy bifariam sec- 
πὸ est. Sed productà βζ ad * etiam anguli δζε et ηζα, quia 
CO2e mune complementum αζὸ habent, inter se aequales sunt ; 
ila «ue etiam angulorum summae aequales, id est eCy — γζη. 
Est igitur fy : ye — βζ : Ce"), itemque quadrata. 864 prop- 


4) Hoc lemma citat Co; ipsam demonstrationem addit Simsonus 
P € 6sq. /ac similiter V2) sic fere: quoniam est βζ' £e — 0y?, per pro- 
PoW'tionem est B6: Cy — Cy : Ce, sive tola ad totam fy : ye — Bb: Cy. 
Est antem (elem. 6, 20 coroll. 2) 86: £e — BO : C92, et, quia 802 : 6? 
7 £M :»ydÓ, est igitur 87: £e — 87? : γε, 

*) Quia trianguli βζε angulus exterior «£y rectá ?£ bifariam divisus 
est. Theorema constituit et demonstrat Simsonus, the elements of Euclid 
lib. 6 prop. A (p. 486 edit. 24, Londini 4884): /f the outward angle of a 
triez sa jl made by producing one of its sides, be divided into two equal 
Qngle: ὃν a straight line which also cuts the base produced, the segments 
bete» eon the dividing line and the extremities of the base, have the same 
Tat$o which the other sides of the triangle have to another cet. 

. 41 * 


732 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Ζ. 


ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ 41Β4 πρὸς 1C— 
ὑπὸ ΑΕ4 καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ B4 πρὸς τὸ ὑπὸ Α4ΕΖ΄ X 
οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, ὅττερ: — 

93 xc. Ἔστω πάλιν ὡς τὸ ὑπὸ AT B πρὸς τὸ ὑπὸ AEB , 
οὕτως τὸ ἀπὸ L4 πρὸς τὸ ἀπὸ AE: ὅτι γίνεται ὡς τῷ 
ὑπὸ EAT πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ “44 πρὸς τὸ 
ἀπὸ 4B. - 

Εἰλήφϑω πάλιν ἰσότητος σημεῖον τὸ Ζ, ὥστε ἴσον 
εἶναι τὸ ὑπὸ τῶν 4Ζ8Β τῷ ὑπὸ τῶν ΓΖΕ. ἔστιν ἄρα ὡς 
ἡ ΓΖ πρὺς τὴν ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν «Ζ:ΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ!) 
τῶν .4EB. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 
ΔΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ Γά πρὸς τὸ ἀπὸ AE* καὶ ὡς ἄρα ἢ 
ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ Γ4 πρὸς τὸ ἀπὸ 
4E* ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΖΕ, τουτέστιν τὸ ὑττὸ AZB, 
τῷ ἀπὸ Z4: ἔστιν ἄρα. ὡς ἡ 472 πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως 105 
ἀπὸ 4.4 πρὸς τὸ ἀπὸ 4B. ὡς δὲ ἡ AZ πρὸς τὴν ΖΒ, 
οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν EAT πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ ἔστιν 
ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑ͂Γ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ 
A44 πρὸς τὸ ἀπὸ 418, ὅπερ: — | 


ἄλλως τὸ αὐτό. 2 


94 χζ΄. Γεγράφϑω περὶ τὰς ΑΕ ΓΒ ἡμικύκλια τὰ 42Ε 
ΓΖΒ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν ai 4Z ΓΖ 4Z ΕΖ ΒΖ. ἴση aga 
ἐστὶν ἣ ὑπὸ ΑΖΓ γωνία τῇ ὑπὸ EZB γωνίᾳ: ἔστιν ἄρα 
ὡς τὸ ὑπὸ “ΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ 4ΕΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ 1Ζ 
πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΑΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ .4ΕΒ,} 
οὕτως ἦν τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ 4E: καὶ ὥς ἄρα τὸ 
ἀπὸ L4 πρὸς τὸ ἀπὸ JE, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ 
ΖΕ, ὥστε καὶ ὡς ἡ L4 πρὸς τὴν 4E, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς 
τὴν ZE: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ DlZA4 γωνία: τῇ ὑπὸ AZE 


8. ὅπερ BS, 9 A 4. χς΄ add. ΒΒ 8. 9. ἔσον εἶναι add. Hu 
14. χαὶ ὡς ἄρα --- 18. 4Ε om. S Co 47. ὑπὸ ΓΒΕ Co pro ὑπὸ 
ΤΕ 49. ὅπερ BS, 0 A 20. hoc lemma idem scriptor, qui XXV, 
addidisse videtur — 21. χζ' add. BS 4ΖΕ corr. A! ex A4EZ (tamen 
«ct migravit in B) 35. ὑπὸ .4EB Hu auctore Co pro ὑπὸ 4EB 
28. 29. ὥστε καὶ — τὴν ΖΕ om. S Co 





* 


LIBER VII. PROPOS. 40. . 133 


ler lemma VI est B0? : Ce? τὸ of. 80 : ae- c0; ergo etiam 
ap - 8Ó : αε. εὃ — By? : ye?, 4. e. d. 

XXVI. Sit rursus ey yf : ae- eg. — y0? : δεξ; dico fieri Prop. 
ea - ary : yf fe m adt: ff. 


----.-ὄ ———————— —— -—— p ————————-4 


« y d € £f ó 


Sumatur rursus aequalitatis punctum £Z ita, ut sit aC C8 
Ξε γζ. ζε ἢ). Ergo propter lemma XIX est γζ : te — ay- yf : 
a€ - &9. Sed. ex hypolhesi est ay «yf : ae eff — y? : δεῖ, 
itaque γζ : Le 2 yó?: 0c?. Ergo propter lemma XXII est 
yL- C6 τ LÓ?, sive ex constructione aC - ζβ — L0? ; itaque prop- 
ler idem lemma conversum!) est a£ : C8 — o0? : 0f. Sed 
quia in recta a6 tria sunt puncta estque at ζβ τ yC- Ce, 
propter lemma XVI est a5 : CB — ea: ay : yB-Be; est igitur 
€6 - &y : yB - Be τῷ a0? : Óf?, q. e. d. 


Aliter idem. 


XXVII. Describantur in rectis && γβ semicirculi αζε yLB, 
Junganturque αζ γζ ot et BC. Est igitur, quia {. γζε commune com- 
plementum est, L aCy 
— [ eL. Ergo propter 
libri VI propos.12 extr. 
est ay. yf : ae- εβ — 
yb? : ζεῖ, Sed ex hy- 

potest erat «y - yp: 

: .εβ  yO? : Óe?; 
est igitur 70? : de? — 
7$ ς Ce?, itaque etiam γὸ : δὲ Ξε γζ: Ce. Ergo propter elem. 6, 
€st / γζδ — L Ote. Sed, ut supra demonstravimus , est 





M Aequalitatis punctum Z in productá e8 ita sumitur, ut sit γξ: ζβ 
" : εβ; erit igitur tota ad totam αζ: ζὲ — yt: ζβ, ideoque a£- £8 — 
p» à Conf. Simson. p. 29 sq. 178 sq. 


4) Vide append. 


95 


96 


134 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHEX Z. 


γωνίᾳ. ἔστιν δὲ xai ἡ ὑπὸ ΑΖΓ γωνία τῇ ὑπὸ BZE yo- 
viq* ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ Z4 γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ BZA γωνίᾳ 
ἴση ἐστίν. ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΒ, οὕτως 
τὸ ἀπὸ 14 πρὸς τὸ ἀπὸ 4B. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ .42 npüg 
τὸ ἀπὸ ΖΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ET. πρὸς τὸ ὑτιὸ ΓΒΕ 5 
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ 
444 πρὸς τὸ ἀπὸ AB, ὅπερ: — 


"iupra χρήσιμα εἰς τὸ δεύτερον διωρισμένης τομῆς. 


α΄. Ἔστω εὐθεῖα ἡ 4B, καὶ τρία σημεῖα τὰ Γ 4 E, 
ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν AAT ἴσον εἶναι τῷ ὑπὸ τῶν Β4Ὲ, καὶ 
συναμφοτέρῳ τῇ .4 ΓΒ ἴση κείσϑω ἡ Z^: ὅτι γίνεται τὸ 
μὲν ὑπὸ τῶν Z 414 ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν BAE, τὸ δὲ ono 
τῶν Ζ I4 ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Z B4 
ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Z AE τῷ ὑπὸ 
τῶν ΑΕΓ. l5 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Α24Γ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν BAE, 
ἀνάλογον [καὶ ἀνάπαλιν] καὶ ὅλῃ ττρὸς ὅλην xai συνϑέντι 
ὡς συναμφότερος ἡ ΒΓ ΑΕ, τουτέστιν ἡ Z, πρὸς vr» AE, 
οὕτως ἡ B.4 πρὸς τὴν 244: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Z 244 ἴσον 
ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ. πάλιν ἐπεὶ ὅλη ἡ 4E πρὸς ὅληνὴ 
τὴν ΓΒ ἐστὶν ὡς ἡ E4 πρὸς τὴν AT, συνϑέντε ἐστὶν ὡς 
συναμφότερος ἡ ΑΕ ΓΒ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς ἡ Ζ 
πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν D 4: τὸ ἄρα ὑπὸ 
τῶν Z L4 ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ. τὰ αἰτὰ καὶ ini τῶν 
λοιπῶν" γίνεται ἄρα τέσσαρα. 3) 

B'. Ἔστω νῦν πάλιν τὸ ὑπὸ τῶν .44T ἴσον τῷ ὑπὸ 
τῶν BAE, καὶ συναμφοτέρῳ τῇ 4E ΓΒ ἴση κείσϑω ἣ Zc 
ὅτε πάλιν γίνεται τέσσαρα, τὸ μὲν ὑπὸ τῶν Z Α4 ἴσον 
τῷ ὑπὸ τῶν BAE, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Z ΓΔ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν 

2. ὑπὸ AZ4 V? pro ὑπὸ TZ4 (idem in Latina versione significavit 
Co ἃ. ἀπὸ .4Z V? pro ἀπὸ ZZ (idem in Lat. vers. Co) ^ 5. ὑπὸ 
EAT Ge auctore Co pro ὑπὸ AET 6. ἔστιν ἄρα — ἱπὸ ΓΒΕ 544. 
Ge auclore Co (de formula ἔστιν ἄρα ὡς couf. adnot, ad p. 730, 84) 


9. «' add. BS τὰ ΓΖΕ ABS, distinx. V 44. τῶν Z44 ABV?2, τῶν 
(«9 S, distinx. Hu- 18. τῶν ZI'4 ADS τῶν ΒΓΕ V? Co pro τῶν 











LIBER VII. PROPOS. 41. 423. 135 


LexCy -— Leg, itaque etiam angulorum summae aequales 
sumt, id est αζὸ — 900. Ergo propter elem. l. c. est αἷ: CB 
-— «Ó : Of, sive aL? : L8? — a0? : 082. Sed propter libri VI 
propos. 12 esV al? : B? τῷ ea. ay : yB- Be; ergo δα ay : yB - Be 
z- «ó2:085q.e.d. . 


LEMMATA UTILIA AD SECUNDUM LIBRUM DETERMINATAE SECTIONIS. 


l. Sit recta «fl, et in ea tria puncta y ὃ & tta, suman- Prop. 
lur, ut sit ad - ὃγ Ξε 80-Óc, ac ponatur recla b — ae 4- γβ; à 
dico fieri C. ad — fa-ae, et ζ' γὸ — fy: ye, et C. B0 τῷ 


ag - GG», et ζ. δὲ τε ae-ey. 
Quoniam enim est 


ΡΠ πο αὃ. y — βδ. δε, per 
" 7 € f£ proportionem est 
--ι-""“ὁὁἢο.ὔὄἥ δὁο’Ὃ)Ἅ φὁε0)],ανα«ὋὁοὁὃὸἈ. . ] 
£ y : δὃ — ὃβ : ad"), 
et tota ad totam 


Jf : e& — ὃβ : αὖ, et componendo yf 4- αε : αε — afl : a, 
id esi ζ: ae — af : αὃ; ergo est C. αὃ — βα- ae. Rursus 
qUia per proportionem est αὃ : δὃβ — εὃ : Óy, el tota ad totam 
€8 : yg z £0 : Óy, componendo est ac 4- yf : γβ — ye : y, 
id esq rp: yg — ye: yÓó; ergo C- γδ — fly. ye. Eadem etiam in 
reliquis demonstrantur; fiunt igitur quattuor quae dicta sunt. 

ll. Sit nunc rursus αδ' δγ — βδ. δε, et ponatur recta l'rop. 
ξ m qs yB; dico rursus fieri quattuor, scilicet ζ΄. αὖ — 3 


*) Sic secundum Simsonum p. 33; contra interpolator qui xa? ἀνά- 
7" ** 4e» addidit, per ambages voluit "per proportionem «d : dy — «8 : df, 
*t e contrario δγ : εδ — 0f : ad". 


3g) — ap Qo δὲ ὑπὸ τῶν Z B4 — τῶν ΑΒΓ om. B!S cod. Co 
;3- "rei ZB4 A 144. τῶν Z4E ABS — 46. τὸ ὑπὸ τῶν ady B, τῶι 
κῳ Ὁ χῶν 47ΓΑ, τῷ ὑπὸ τῶν «yd S cod. Co τῷ ὑπὸ τῶν óc BS, 
8 etc. AV 41.. xe ἀνάπαλιν del. Simsonus p. 33, ἄρα coni. Hu 

B ". *? BI'AE 5, distinx. BS 49. τῶν Ζ44 ABS, distinx. Hu. 20. τῶν 
OCE V? Co pro τῶν ΒΕ 31. τὴν 4D V? Co pro τὴν ΑΓ 32. πρὸς 
rar. "Oan. ΑἹ, add. in marg. A? — 34. τῶν ZI ABS 86. f' add. BS 

—— --44Γ Co pro τῶν AT 41. συναμφότερα A, corr. ΒΒ 28. τῶν 
età “Ξ7 οἱ similiter posthac usque ad cap. 110 ABS, distinx. Hu (partim 

Am, y vel V2); 39. 848 — ὑπὸ τῶν add. Co 


736 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ΒΓΕ, τὸ δὲ ὑτιὸ τῶν Z B4 ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τ 
δὲ ὑπὸ τῶν Ζ 4E τῷ ὑπὸ τῶν 4ΕΓ. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶ 
BAE, ἀνάλογον καὶ ἀνάπαλιν καὶ λοιπὴ πρὸς λοιπὴν κα 
συνθέντι ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότρρος ἡ 4E ΓΒ πρὸς τὴ 
AE, οὕτως ἡ B. πρὸς τὴν 414. συναμιφότερος δὲ ἡ 4i 
ΓΒ ἴση ἐστὶν τῇ Z: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Z πρὸς τὴν 4E, οὕ 
τως ἡ ΒΑ͂ πρὸς τὴν Α4 τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Z .44 ἴσο 
τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ. sw ἐπτεί ἐστιν ὡς ἡ 44 πρὸς τὴ 
4B, οὕτως $ E4 πρὸς τὴν AT, λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΕ πρὸ 
λοιττὴν τὴν ΓΒ ἐστὶν ὡς ἡ ΕΔ πρὸς τὴν 4Γ. σινϑέντι ὦ 
συναμφότερος ἡ .4E ΓΒ, τουτέστιν ὡς ἡ Ζ, πρὸς τὴν ΓΒ 
οὕτως ἡ EU πρὸς τὴν D4: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Z ΓΖ4 ἴσο 
τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓΕ. τὰ δ᾽ αὐτὰ καὶ ài τῶν λοιπῶν δύ 
δείξομεν" γίνεται ἄρα τέσσαρα. 

97 Y. Ἔστω δὲ ἐκτὸς τῆς ὅλης τὸ σημεῖον, καὶ ἔστω τ 
ὑπὸ τῶν Α4Γ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν BAE: ὅτι πάλιν, ἐὰν τ 
τῶν 4Ε ΓΒ ὑπεροχῇ ἴση τεϑῇ ἡ Ζ, γίνεται τέσσαρα, τ 
μὲν ὑπὸ τῶν Z 44 ἴσον τῶ ὑπὸ τῶν ΒΑ͂Ε, τὸ δὲ ὑπ 
Z ΓΔ τῷ ὑπὸ ΒΓΕ, τὸ δὲ ὑπὸ Z B4 τῷ ὑπὸ ΑΒΓ, τ 
δὲ ὑπὸ Z 4Ε τῷ ὑπὸ AET. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν AAT ΄ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν BAE 
ἀνάλογον καὶ λοιπὴ τιρὸς λοιπὴν xai ἀναστρέψαντι ἔστι 
ἄρα ὡς 7 .4E πρὸς τὴν τῶν 4E ΓΒ ὑπεροχήν, οὕτως 
4.41 πρὸς τὴν .4B. ἡ δὲ τῶν ΑΕ ΓΒ ὑπεροχὴ ἔστιν 
Ζ' τὸ ἄρα ὑπὸ Ζ 444 ἴσον τῷ ὑπὸ B.AE. παλιν ἐπὶ 
λοιπὴ ἡ .4Ε πρὸς λοιπὴν τὴν ΒΓ ἐστὶν ὡς ἡ Ed πρὸς τὴ 
AT, διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ τῶν .4E BI ὑπεροχὴ πρὸς τὺ 
BI, οὕτως ἡ EU πρὸς τὴν F4: τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν 4 
BI ὑπεροχῆς, τουτέστιν τῆς Z xoi τῆς ΓΖ, ἴσον τῷ ὑπ 


4. τῶν ZBA Αἱ ex τῶν κκ 2 4. x«l ἀνάπαλιν hoc loco mini 
abundat quam p. 734, 17; tamen del Simsonus p. 35 4. 5. λοιπὰ zi (i 
λοιπὰ καὶ συνϑέσεις ABS, corr. Huauctore Co — 128.7 «E £y, τουτέστιν S 
44. τῶν ΒΓΕ Co pro τῶν BED 416. y add. BS τὸ σημεῖον, sci 
4 (vide Latina), τὰ σημεῖα, scil. E Γ' 4 extra totam (Ὁ) 4B, coni. C 
τὰ σημεῖα, scil. Γ 4 extra tolam 4E -- EB, coni. Ge 47. τῶν AAT 





LIBER VII. PROPOS. 43. 137 


Be - es, et ζ- γὃ — By ye, e ζ΄. βὸ τε af By, e ξ΄ δὲ τε 
C6 - &€y. 

Quoniam enim est a - à 
— βδ. δὲ, per proportionem" 


e " δ y 5395 estaó:fà —óe:Óy, ete con- 
I —————— ————4 trario βὸ : αὖ — ὃγ: δε, οἱ 
ó . . subtrahendo yf : ae Ξε βδ: ad, 


et componendo ae -- yp : oe 
Ξε ὅγε: a0. Sed est ac 4- γβ τε C; ergo C: ae — fla : ad; 
taque ζι αὃ — fa.occ. Rursus quia per proportionem est 
αὖ : δ — εδ: y, subtrahendo igitur est ae : γβ — εὖ : ὃγ. 
Con ponendo est a& -- yB : y — ey : yó, id cst C: yf — εγ:γὸ; 
er&o ζ.γδ — fy-ys. Eadem etiam in reliquis duobus de- 
monstrabimus; fiunt igitur quattuor quae dicta sunt. 


MI. Sed sint puncta & B inter a y, et extra totam ας 4- POP. 
e —&— fy sit punctum δ, ac rursus sit αὃ. ὃγ — βδ. δε; dico. ' 
rursus, si ponatur recta ζ — «e — fy, fieri quattuor, scilicet 
C- αὖ — fa.ae, et C: yó — fly. ye, et C- 80 — af. fiy, et 
ξ- δὲ — ac.ey. 
Quoniam enim o. y Bà - 9e, per proportionem igitur est 
«à : 0f — £0 : Oy, et 
subtrahendo «e : fy 


e € f£ » d Ξε a0: ὃβ, et con- 
1 4 verlendo ae : ae — 
ξ βγ -Ξ- αὖ: αβ. Sed 


differentia «e — fy 
est 2; ergo C. αὃ — pa-oes. Rursus quia propter superiora 
"St &ubtrahendo ae : fy — εὖ : Óy, dirimendo est ae — fy : 
By -- &y : yÓ; ergo (ae — By): yÓ Ξε fy-ye, id est C-yà τε 
o 


C - ----- ---- "D 
Pi: τῶν 44r ἔσον add. idem B4E A! ex Bxx« 48. τῶν 
^ ZB AB, corr. S 20. Z P4 τῷ ὑπὸ add. Co (idem praeterea 


TO), 1 ' * 

25 " Ante Ζ 724) 48. λοιπὰ πρὸς λοιπὰ ABS, corr. Hu auctore Co 
S " "t σὺν AET B B, distinx. BS 26. 27. πάλιν ἐπι λοιπὴν A(B), corr. 
ALAS τῶν J4EZAT' A(BS), corr. in Lat. versione Co 29. 30. τῶν 


Ezra distinx, BS 80. τουτέστι ASBS 





, 138 ΠΑΠΠΟΥ XZYNATOTHZ Z. 


τῶν ΒΓΕ. τὰ δὲ αὐτὰ xai ἐπὶ τῶν λοιπῶν δύο δείξομεν - 
γίνεται ἄρα τέσσαρα. 
98 ὃ. 


Τούτου δ᾽ ἂν δειχϑέντος ῥᾳδίως εὑρεϑείη τὰ εἰς 
τὸ πρῶτον διωρισμένης" τῶν αὐτῶν ὑποχειμένων ὅτι γίνε-- 
ται ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν AE, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ πρὸς ὅ 
τὸ ὑπὸ τῶν “ΕΓ. 

Ἐπεὶ γὰρ δέδειχται τὸ μὲν ὑπὸ τῶν Ζ B4 ἴσον τῷ 
ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν Ζ AE τῷ ὑπὸ «ΑΕΓ, ἔστιν 
ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ Ζ 48 πρὸς τὸ ὑπὸ Z 4E, τουτέστιν ὡς 


ἡ B. πρὸς τὴν 4E, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ 10 
τῶν A ET. 


Eig τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ πρώτου προβλήματος. 

. Ἔστω πάλιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν AAT τῷ ὑπὸ τῶν 
BAE, xai τυχὸν σημεῖον ἔστω τὸ Z- ὅτι, ἐὰν συναμφο- 
τέρῳ τῇ 4E ΓΒ ἴση τεϑῇ ἣ Η, τὸ ὑπὸ τῶν ZI τοῦ "9 
ὑπὸ τῶν BZE ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν H AZ. 

Ἐπεὶ γὰρ προδέδειχται τὸ ὑπὸ τῶν H AE ἴσον τῷ ὑπὸ 
τῶν «ΧΕΓ, χοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ ὑπὸ τῶν Η ΖΕ: λοιπεὸν 
ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν H .,2 καὶ ὑπεροχή ἐσειν 7 ὑπερέχει τὸ ὑπεὸ 
tr ΖΕΓ τοῦ ὑπὸ τῶν H EZ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ve? - ? 
.$EU τοῦ ὑπὸ τῶν H EZ, χοινοῦ ἀφαιρεϑέντος τοῦ ὑσεῦ 
ter .4EZ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν JE ΓΖ τοῦ ὑσεῶ 
τῶν ΒΓ ΖΕ" ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν AE ΓΖ τοῦ $71 
τῶν ΓΒ ZB, κοινοῖ ἀφαιρεϑέντος τοῦ ὑπὸ τῶν Γ΄ ΖΕ: 
τοῦς e ὑπερέχει τὸ ὑπὸ τῶν “ΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν BZE: *9 


-- 


ἄρα ὑπὸ τῶν Μ{ΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΖΕ ὑπερέχει τῷ ὑ7ε 49) 
εὧν HZ, ὅπερ: — 


- --- 


99 


ἃ. d'add, BS. 4, δεὶ Coro οὕτως 13. hoc et quae sequum € €9' 
lemmata alie ordine ab ipso olim Pappo disposita esse videntur εἴ .«8«Β 
ἈΝ Δι τῷ ὑπὸ τῶν add. Co 44. ἔστω om. S evrauqórc 4» “ἢ 
AR, corr ἃ ι5. τῶ .4EPLB A, disliax, ΒΞ 39. ᾧ Ge auctore 


poe ὡς δὲ τοῦ ἐπὸ τῶν £ETZ A BS, corr. Co τοῦ) τὸ “Ξ» 


34, τῶν FZRK Co wo τῶν BZE — 36. τῶν “ΖΓ Co pro τῶν “ΖΕΞ 
τῷ δὰ. S 





LIBER Vil. PROPOS. 44. 45. ᾿ 739 


y - γε. Eadem etiam in reliquis duobus demonstrabimus; 
Sunt igitur quattuor quae dicía sunt. 

1IV. Hoc autem demonstrato facile inveniantur lemmata Prop. 
I X XIX (propos. 22. 30. 56) ad primum librum sectionis 


determinatae: "iisdem suppositis dico fieri β : δὲ — afl - By : 
Qt . ey". 
Quoniam enim í(ri- 
τς bus quae antecedunt 
I — —— — ——M———À ———-4-——4 ᾿ 
α y δ e f lemmatis demonstra- 


tum est ζ. βὸ — of 
a € jJ y fg By, e ζ. δὲ — ae-&y, 
.. estigitur ζ΄ 80 : 5-06, 
" e β y ὃ id est βὸ : δὲ 

Ξε αβ.βγ: αδ' ἐγ ἢ. 


In primum epitagma primi problematis. 


ες V. Sit rursus αδ' ὃγ — (jà-Ós, et quodvis punctum £L Prop. 
"ter ὃ et e€**); dico, si ponatur ἢ — ae -- γβ, esse at - Cy 





—————d9————————À——— 
" y ὃ αὶ ε 
ι----...-οςς ο ο------------. --.--ἕ-ς---------- 


γ 


Quoniam enim supra (propos. 41) demonstratum cst 
59-056 — a&-€y, subtrahatur commune ἡ e; restat igitur 
η δὲ — ae: ey — η- be. Sed, communi subtracto ac - εζ 

ex differentia ἀξ" ey — ἡ. Ge, est 
GE: Ey — n: 06 — a&- yG — yf Ce, et, communi sub- 
wacto yL- ζε ex diff. ae- yC — yg - Ce, 
ae- yC — yf Ue τε ot-Cy — βζ.ζε; ergo est 
at.ty — Bt- Ce — n 0C, q. e. d. 


*) In comparandis propositionibus 30 et 36 (quas citat Simsonus 
: 38) notae figurarum ex ordine mutandae sunt. 
***) Addit Simsonus p. 39. 


100 


101 


740 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


Ἄλλο εἰς τὸ τρίτον τοῦ δευτέρου. 


c. Ἔστω τὸ σημεῖον μεταξὺ τῶν E B τὸ Z- Ova 
ὑπὸ τῶν 42Γ μετὰ τοῦ ὑπὸ EZB ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν H 42 

Ἐπεὶ γὰρ προαποδέδεικται τὸ ὑπὸ τῶν H AE ioc 
τῷ ὑπὸ τῶν AED, κοινὸν προσκείσϑω τὸ ὑπὸ H EZ: ὅλε 
ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν H 42 ἴσον τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΕΓ καὶ τ 
ὑπὸ τῶν MEZ, xoi τῷ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΕΖ. ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπ 
AET' μετὰ τοῦ ὑπὸ AEZ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ AE TZ: y. 
γονεν οὖν τὸ ὑπὸ H 4Z ἴσον τῷ τε ὑπὸ 4E ΓΖ καὶ τ 
ὑτιὸ ΓΒ ΕΖ. ἀλλὰ πάλιν τὸ ὑπὸ ΓΒ EZ ἴσον τῷ v6 V7. 
ΓΖΕ xoi τῷ ὑπὸ EZB, τὸ δὲ ὑπὸ .4E ΓΖ uera τοῦ or 
ΓΖΕ ὅλον [ἄρα] ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΖΙ, εἴχομεν δὲ καὶ τὸ or 
EZB: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν H AZ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΑΖΓ΄ x- 
τῷ ὑπὸ EZB. 


* M e ? , ev ἢ , 
Εἰς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα vob τρίτου προβληματος. 


ζ΄. Ἔστω πάλιν τὸ σημεῖον ἐχτὸς τῆς “418 τὸ Ζ᾽ δε: 
ξαι ὅτε τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ EZB ὑπερέχει τῷ ὑτ 
Η 4Z. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν H AB ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΒΓ, xo 
νὸν προσχείσϑω τὸ ὑπὸ τῶν H BZ-: ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τι 
H AZ ἴσον τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ H Β2 
τουτέστιν τῇ vt ὑπὸ 4Ε ΒΖ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΒΖ. à 
δὲ ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ὅλον [ἄρα] ἐστὲν τὸ ὑπ 
AZ FB: τὸ ἄρα ὑπὸ H AZ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ .4 
ΓΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ ΒΖ. τὸ δὲ ὑπὸ A4Z ΓΒ μετὰ τι 

4. δευτέρου Hu auctore Simsono p. 40 pro τρέτου 3. c' ad 
Bs Ἔστω μετὰ τὸ σημεῖον ABS, corr. Ge auctore Co τὸ Ζ ἀι 
Hu 8. τῶν ΑΖΓ Co pro τῶν AZ.1 6. H 4Z Co pro HIBZ 
9. τὸ ὑπὸ HAZ AB Co, τὸ ὑπὸ ηζ S cod. Co 441. post μετὰ τ 
repetunt ὑπὸ 41 ΓΖ μετὰ τοῦ ABV, ἀπὸ «€ yC μετὰ vo0 S. 43. ἃ 
del. Hu 43. ἴσον om. Ge ὑπὸ ΑΖΓ Co in Lat. versione pro v 
«2 46. ζ΄ add. ΒΒ ἐχτὸς Co pro ἐπὶ (conf. cap. 104) τὸ 
del. Hu 49. τῷ ὑπὸ τῶν «fy B! (τῷ re et cetera perinde S) 
21. H (ante ΒΖ τουτέστιν) inter lin. add. A! 22. ὑπὸ ΓΒΖ Co[ 
ὑπὸ ΒΖ 48. ἄρα del. Hu 





LIBER VII. PROPOS. 46. 47. 141 


Aliud in tertium epitagma secundi problematis. 


"Wl. Sit punctum C inter & οἱ 8; dico esse a5. Cy - eG CB Prop. 


- δ, 


ΦγΨ δ 6 6 9.) 
 —————————————————————————À 
7 


Quoniam enim supra (lemm. I) demonstratum est ἢ δὲ 
€x4& - εγ, commune addatur 5-e6; ergo 
η- δὲ — a6-6Ey - ἡ" el, sive, quia ex hypothesi (lemm. V) 
est ἢ ΞξΞῷ a& - yp, 
Ξε Q6. 8y -F a6. eb -- γβ' εξ, sive compositis ἀξ &y 


4- ae. e, 
— as. y5 4- yB - eC, sive, quia est yf - eG — γζ. Ge 
Ἔ eb 0, 
— ae: yb - yb: Ce 4- ^ LB, sive compositis e - γζ 
4 yb: be, 


ab. Cy -- eb C8. 


In primum epitegma tertii problematis. 


VII. Sit rursus extra af punctum Z7 demonstretur esse Prop. 


«b. Cy — εξ: ξβ — ve óL. 


ς | Quoniam enim 
Eo propter lemma I est 
7 PP 09/0 η.ὃδβ-ι a By 
7 commune addatur 

ἡ βξ, ergo 


η ὃξ τε of.By  ηβζ, id est, quia em hypothesi - 
(lemm. V) est ἢ 2 ac -r y, 
- af-8y -- ae: BC -- yB - BC, sive compositis a8. 8» 
-& oL. yf -- ae: βζ. Sed quoniam est 
ab.Cy — ab. yB -- ab. 08 
— ab. yf 4- a&- QC -- eC- CO"), est igitur 
ἢ Addita haec secundum Co. 


140 | ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


AÀÀo εἰς τὸ τρίτον τοῦ δευτέρου. 


100 c. Ἔστω τὸ σημεῖον μεταξὺ τῶν E B τὸ Ζ᾽ ὅτι τὸ 
᾿ ὑπὸ τῶν ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ EZB ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν H AZ. 
Ἐπεὶ γὰρ προαποδέδεικται τὸ ὑπὸ τῶν H AE ἴσον 
τῷ ὑπὸ τῶν AED, κοινὸν προσκείσϑω τὸ ὑπὸ H EZ: 0Aov5 
ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Η 42 ἴσον τῷ τε ὑπὸ τῶν ΕΓ καὶ τῷ 
ὑπὸ τῶν MEZ xoi τῷ ὑπὸ τῶν BI ΕΖ. ἀλλὰ xai τὸ ὑπὸ 
ΑΕΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ AEZ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ AE IZ: γέ- 
γονεν οὖν τὸ ὑπὸ H 4Z ἴσον τῷ τε ὑπὸ .4E ΓΖ καὶ τῷ 
ὑτιὸ ΓΒ ΕΖ. ἀλλὰ πάλιν τὸ ὑπὸ ΓΒ ΕΖ ἴσον τῷ τε ὑπὸιυ 
ΓΖΕ καὶ τῷ ὑπὸ EZB, τὸ δὲ ὑπὸ 4 ΓΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ 
ΓΖΕ ὅλον [ἄρα] ἐστὲν τὸ ὑπὸ ΑΖΙ;, εἴχομεν δὲ xai τὸ ὑπὸ 
EZB: τὸ ἄρα ὑττὸ τῶν H AZ ἴσον τῷ τε ὑπὸ .42Γ΄ καὶ 
τῷ ὑπὸ ΕΖΒ. 


, M ^ ? [] c , 7, - 
Εἰς τὸ πρῶτον énivayua vob τρίτου προβληματος. 15 


101 ζ΄. Ἔστω πάλιν τὸ σημεῖον ἐκτὸς τῆς 4B τὸ Z- δεῖ- 
ξαι ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ EZB ὑπερέχει τῷ ὑπὸ 
Η 4Z. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν H 4B ἴσον τῷ ὑπὸ ABI, κοι- 
νὸν προσχείσϑω τὸ ὑπὸ τῶν H BZ-: ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν 3υ 
H AZ ἴσον τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ H ΒΖ, 
τουτέστιν τῇ τὸ ὑπὸ 4Ε ΒΖ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΒΖ. τὸ 
δὲ ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ὅλον [ἄρα] ἐστὲν τὸ ὑπὸ 
ΑΖ ΓΒ’ τὸ ἄρα ὑπὸ H AZ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ AZ 
ΓΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ ΒΖ. τὸ δὲ $óu0 412 ΓΒ μετὰ τοῦ 25 

4. δευτέρου Hu auctore Simsono p. 40 pro τρέξου 2. c' add. 
Bs Ἔστω μετὰ τὸ σημεῖον ABS, corr. Ge auctore Co τὸ Z del. 
Hu 8. τῶν 4ΖΓ Co pro τῶν AZ. 6. H 42 Co pro IIBZ 
9. τὸ ὑπὸ HAZ AB Co, τὸ ὑπὸ qid S cod. Co 441. post μετὰ τοῦ 
repetunt ὑπὸ AE ΓΖ μετὰ τοῦ ABV, ἀπὸ «e γζξ μετὰ τοῦ S 42. ἄρα 
del. Hu 418. ἴσον om. Ge ὑπὸ ΑΖΓ Co in Lat. versione pro ὑπὸ 
Α2 16. &' add. BS ἐχτὸς Co pro ἐπὲὶ (conf. cap. 104) τὸ Z 
del. Hw 49. τῷ ὑπὸ τῶν «fy B! (τῷ re et cetera perinde S) 


31. H (ante BZ τουτέστιν) inter lin. add. A! 42. ὑπὸ ΓΒΖ Co pro 
vno BZ 33. ἄρα del. Hu 





LIBER VII. PROPOS. 46. 47. 141 


Aliud in tertium epitagma secundi problematis. 
Vl. Sit punctum C inter 8 et 8; dico esse αζ- Cy 4- δζ. CO Frop. 
ΞΞ 1): 6L. | 


p 9 ὃ é ó L4 
I —————————————————————————————————4À. 
7 


Quoniam enim supra (/emm. I) demonstratum est ἢ." δὲ 
zz «6&-6y, commune addatur ἢ - δζ; ergo 
y: 0L — ἀξ’ &y - ἡ: e, sive, quia ex hypothesi (lemm. V) 
est ἢ — ae 4- y, 
— Q€-&y -i- 0€: εζ - yB - eb, sive compositis ae. 87 


4- αδ' e, 
-— «6-yb -Ἦ yf - eb, sive, quia est yf - eG — γζ. Ge 
c εξ. ξβ, 
ΞΞ «E: yb -Ἐ γζ. Ce - eG CB, sive compositis ae - γζ 
* yc: be, 


ab: Dy Ἔ eb 08. 
In primum epitagma tertii problematis. 


VII. Sit rursus extra a punctum $7 demonstretur esse Prop. 


ab.Dy — εξ: 08 — 9. OL. 








" Quoniam enim 
"opter lemma I est 
----ρσο πε το --- τὶ prop 
T » MEA s 5:08 — αβ. By, 
, ] 3 commune addatur 
0:Bb; ergo 


p-Ób - of.Üüy -- ο η BC, id est, quia ex hypothesi - 
| (lemm. V) est ἢ 2 ae 4- yf, 
— af fy -- ae BC -- yB - BC, sive compositis αβ- By 
᾿ς gL. yB 4- a6: βζ. Sed quoniam est 
ab. y — ab. yg -- ab. o8 
— ab. yf 4- ae - BC -- eG: CB"), est igitur 
*) Addita haec secundum Co. 


LIBER VII. PROPOS. 48. 49. 743 


ab. yg -- ae. βξ — ab. Dy — εξ. C8; ergo 
7:05 — ab. Ly — εξ. ξβ. 


In secundum epitagma primi problematis. 
VIII. Sit αδ. δγ — εδ. ὅβ, punctum C inter ὃ et y, ac Prop. 


ponatur ἢ — ae 4- yf; dico esse εζ. ζβ — αζ' ζγ — 9. OL. "δ 


Quoniam enim prop- 
& é 3 —d)—1—3À 


€ δ 6 y ) ter lemma II est ἡ " ày — 
E————————À By:ys, commune sub- 
7 wahatur η - ἔγ; restat 

igitur 


?-óó5- &y:yB — 9-Cy. Sed ex hac differentia commune 
Subtrahatur fy. y; est igitur 
ey. yg — ἡ: Cy — ey. yB — By: yb — (o: Cy — By-yC)., 
 z- 6&5. yp — ἀξ. Ly. 
Sed ad differentiam e£. yf — as. γζ commune addatur e£ Cy; 
eSt. igitur 
eG yg — αδ.ζγ — εζ.γβ -- ec Gy — (ae Cy -Ἐ εἶ. Cy) 
Ξε 0 — ab. Ly. 
Ergo etiam est εζ. ζβ — αζ' Cy — η. δζ. 


In secundum epitagma secundi problematis. 
IX. Sed sit punctum £L inter » et 8; dico fieri αζ Cy Prop. 
ἝΞ (ROC: τὸ ἡ. δζ. 


. Quoniam enim est, 
— M n — μ--ἡ 





e δ Y ut supra, ἡ. δγ — fy: 
^ 5. κΚΓὶ γε, commune addatur 
7] p:yL; est igitur 


η ὃξζ τ fy. ye -- 9 yC, sive, quia ex hypothesi (lemm. 
VIII) est ἡ — ae -r yf, 
— βγ.γε -- ae y6 -2- yf : yC, sive compositis 87 - ye 
-. -. 4- γβ.γξ, 


τὸ ὦ, γχὸ γυὸ EZ4 47. ἄρα τὸ ὑπὸ ABS, corr. V 20. 9' add. BS 
ror 2 ΖῈ A, distinx. BS τὸ Z del. Hu 921. τοῦ ὑπὸ BZE Co pro 
95 da, 4ZE 36. AETZ A, distinx. BS, item p. 744, ὁ 





744 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQTHZ Z. 


γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ EZ ΓΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ 4E ΓΖ ἴσον 
τῷ ὑπὸ Η 4Ζ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΕΖ ΓΒ ἴσον τῷ τε ὑπὸ 
ΕΖΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΒΖΕ, τὸ δὲ ὑπὸ ΕΓΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ 
AE ΓΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ZI: τὸ ἄρα ὑπὸ A4ZT μετὰ 
τοῦ ὑπὸ BZE ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ H AZ. ὃ 


Εἰς τὸ δεύτερον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. 


104 v. Ἔστω δὴ τὸ σημεῖον ἐχτὸς τῆς 4 τὸ 2: ὅτι τὸ 
ὑπὸ τῶν ,4,2ΖΓ τοῦ ὑπὸ τῶν EZB ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν 
Η 42. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν H 48 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν 10 
«ΒΓ, κοινὸν προσχείσϑω τὸ ὑπὸ τῶν Ἡ ΒΖ ὅλον ἄρα τὸ 
ὑπὸ τῶν HAZ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒΓ καὶ τῷ ὑπὸ 
Η ΒΖ, ὅ ἐστιν τῷ τε ὑπὸ .4E ZB καὶ τῷ ὑπὸ ΓΒΖ. τὸ 
δὲ ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑτιὸ AZ 
IB: τὸ ἄρα ὑπὸ MZ ΓΒ μετὰ τοῦ ὑπὸ 4,1 ZB ἴσον ἐστὶν ιὸ 
τῷ ὑπὸ HAZ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ 42 BI μετὰ τοῦ ὑπὸ AE 
ΖΒ ὑπεροχή ἐστιν, ἧ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΖΓ τοῦ ὑπὸ EZB: 
καὶ τὸ ὑπὸ ΑΖΙΓ ἄρα τοῦ ὑπὸ EZB ὑπερέχει τῷ ὑπὸ H 
AZ, ὅπερ: — 


Eig τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ πρώτου προβλήματος.  » 
105 ια΄. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν 24.1 AT ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν B4 
JE, xai τῇ τῶν 4Ε ΒΓ ὑπεροχῇ ἴση κείσϑω ἣ H, χαὶ 
εἰλήφϑω τι σημεῖον τὸ Z μεταξὺ τῶν E B- Gr: τὸ ὑπὸ 
Ἵ2Γ τοῦ ὑπὸ EZB ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῆς H καὶ τῆς Z4. 
Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν H B4 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ABD, 5 
κοινὸν προσχείσϑω τὸ ὑπὸ H BZ: ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ H 
£.1 icov ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ABE καὶ τῷ ὑπὸ H ΒΖ, ὅ 





|. τοῦ ὑπὸ 1{Ὲ ΓΖ Co pro τοῦ ὑπὸ AB ΓΖ 7. ε΄ add. BS 
TÓ Z del. Hu 3. H .1Z Co in Lal. versione pro HZ^f 11.12. H 
BZ: ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν add. Co 43. ἐστιν τό τε A, corr. Β8 καὶ 
τὸ ΑΒ, corr. ὃ 44. ἐστὶ ASBS 14. 45. ὑπὸ AZ TB Co pro ὑπὸ AH 
FB 46. ὑπὸ H JZ Co proónó HAZ τὸ ὑπὸ AZ BT Ge auci 
Co pro τὸ ὑπὸ 4Z 4l — (1.5 add. ΒΞ 48. ὥρα add. Hu — (9. ὅπε 
0 À, O7ttQ ἔδει BS 24. ««' add. BS 22. xa τὴν — ὑπεροχὴ ^ 


LIBER VII. PROPOS. 50. 51. 745 


72: δὲ — εζ' y8 4- «&- yC, sive, quia esl eC- γβ — εζ' Cy 
Ἔ Bb. Le, 
eC - Cy - βζ. Ce -- ae - γζ, sive compositis eG. Cy 
4- ae- yL, 


ΞΞ ab.bDy -- b. Ge. 


In secundum epitagma tertii problematis. 


X. lam sit punctum ζ extra af; dico esse αζ' Cy — Prop. 


| εξ 08 — η. ὁζ. T 
MM ER —————————————À Quoniam enim prop- 
Ζ d δ γ f£ $ ter lemma II cst n - 0p 
| 7 ΕΝ — a. 9y, commune ad- 


datur 5-0; est igitur 
5-ÓL — αβ. y - ἡ. BC, sive, quia ea hypothesi (lemm. 
VIII) est ἢ — ae 4- γβ, et 
compositis a8 - y -- y8 - BC, 
— aL-Ó8y -- ae-fC. Sed, ut supra (lemmm. VII) 
demonstravimus, est 
αἴ. βγ- ae- BE — αζ. Cy — eC- CO; ergo etiam 
η-ὃζ — oj. ty — et B8, q. e. d. 


In tertium epitagma primi problematis. ^ 


XI. Sit αδ΄ dy — 80. δὲ, et recta ἢ — αδ — fly, ac su- Prop. - 


Tàtur punctum aliquod 5 inter & et 8; dico esse αζ' Y -- Ὁ 
e. ζβ — η- ζὸ. 
p ————— ——————MÀ——————————F————À4 
& ᾿ e 6 B y δ 
τς | 


Quoniam enim propter lemma III est ἡ. 80 — «f. y, 
Oo nmune addatur 7-7; est igitur 

5:00 — αβ.βγ Ἔ ἡ BL, id est 
σ---ὀ 
^r. Bs 93. τῶν EB A, dislinx. BS 24. ὑπὸ ante EZB add. Ge 


25. "TQ ὑπὸ ABT Co pro τῶι ὑπὸ B ATB 
Appus II. 4S 


740 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ἐστιν τῷ ὑπὸ τῆς τῶν 4,1“ BI ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΖ. ἀλλὰ τὸ 
ὑπὸ 41Γ τὸ $u0 12 ΒΓ ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ ΖΒ ΒΙ]" γέγονεν 
οὖν τὸ ὑπὸ H Z4 ἴσον τῷ τε ὑπὸ τῶν AZ ΒΓ xai τῷ ὑπὸ 
ΓΒ ΒΖ καὶ τῷ ὑπὸ τῆς τῶν AE ΓΒ ὑπεροχῆς xai τῆς ΒΖ. 
τὸ δὲ ὑπὸ ΓΒ ΒΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῆς τῶν .41Ὲ ΓΒ ὑττεροχῆς" 
xci τῆς ΒΖ ὕλον ἐστὶν τὸ ὑτιὸ 4E ZB: τὸ οὖν ὑπὸ H Z4 
ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑτιὸ τῶν “2 ΓΒ καὶ τῷ ὑπὸ AE ΖΒ. 
ἀλλὰ τὸ ὑπὸ 4Z ΒΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ .4E ΖΒ ὑπεροχή ἔστιν 
7 ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ EZB: τὸ ἄρα ὑπὸ AZT 
τοῦ ὑπὸ EZB ὑπερέχει τῷ ὑπὸ H ZA, 0uep: — ι 


Ei M d , 4 - ὃ , À 4 . 
ς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ δευτέρου προβληματος. 


106 ιβ. Τῶν αὐτῶν ὑποχειμένων ἔστω τὸ Ζ σημεῖον jt 
ταξὺ τῶν B P: ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ EZB ioo 
ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῆς H καὶ τῆς Z4. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ Η Γ4 ἴσον ἐστὲν τῷ $z0 ΕΓΒ, κοι- 
νὸν τιροσχείσϑω τὸ ὑπὸ H ZI: ὅλον ἄρα τὸ ):0 H Z4 
τῷ ὑτιὸ ΕΓΒ καὶ τῷ ὑπὸ H ΖΓ ἐστὶν ἴσον. ἀλλὰ τὸ μὲν 
ὑτιὸ H ΖΓ τὸ ὑπὸ τῆς τῶν AE ΒΓ ἐστὶν ὑπεροχῆς καὶ 
τῆς ΖΓ, τὸ δὲ ὑπὸ ΕΓΒ τὸ ὑτιὸ ΒΓΖ ἐστὶν xai τὸ ὑπὸ 
EZ ΒΓ. γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ Η Z4 ἴσον τῷ ὑπὸ EZ ΒΓ" 
zai τῷ ὑπὸ ΒΓΖ καὶ τῷ ὑ:τὸ τῆς τῶν AE ΒΓ ὑτεροχῇθ 
καὶ τῆς ΓΖ. τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν AE ΒΓ ὑπεροχὴς χαὶ τῆς 
rZ μετὰ τοῦ ὑπὸ BIZ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ AE LZ: τὸ 
ἄρα ὑπὸ H Z4 ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ 4 ΓΖ καὶ τῷ ὑχεὸ 
ΕΖ ΓΒ. ἀλλὰ τὸ uév 0x0 EZ ΒΓ τό τε ὑπὸ EZ Zl 2) 
ἐστὶν xai τὸ ὑπὸ EZ ZB, τὸ δὲ ὑπὸ ἘΖΓ μετὰ τοῦ ὑτεὸ 
AE ΖΓ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ AZI. εἴχομεν δὲ καὶ τὸ. ὑσεὸ 
EZB: τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑττὸ EZB ἴσον dort" 
τῷ ὑπὸ H Z4, ὅπερ: — 

. 


3. οὖν τὸ ὑπὸ HZ Z4 ABS, corr. Hu auctore Co 5, ποῦν 
AE ΓΒ Co pro τῶν ΑΓ ΓΒ 6. ὑπὸ AE ZB Co pro ὑπὸ AEZ 
οὖν om. S cod. Co, unde ἄρα post H Z4 add. Co 7. AEZB ^ 





distinx. BS — 8. τὸ ὑπὸ A4ZB Αἴ, ad quae nescio quae manus poste? 


LIBER VII. PROPOS. 59. 747 


1:00 — αβ.βγ 4- (ae — By)- BC, sive, quia est af - By 
ΞΞ ab. By 4- L8 - By, 
— ab- By -- By- BL -Ἐ (ae — By) - BC, id est 
— ab: fy -- ae- BL. 
Sed, ut supra (sub finem lemmatis VII) demonstravimus, est 
ab. By - as- BG — at. Cy — εἴ. CB; ergo etiam 
»- ζὸ lI αζ. Oy — eb - C0, q. e. d. 


In primum epitagma secundi problematis. 


XII. lisdem suppositis sit punctum P inter 8 et y; dico Prop. 
esse αζ. Cy -Ἑ eC: ζβ — m. C0. 
Quoniam enim 
MM —3À propier lemma lll . 
" e Py δ᾽ est qp. yà — ἐγ.γβ, 
. commune addatur 
n-Cy; est igitur 
η -ζὸ — sy- yf - η- Dy, s sive, quia ez hypothesi est 
ἢ" ty — (as — By) ey, et 
ey γβ — εξ. By - Cy: By, 
ἐξ -βγ -- Dy: By -Ἑ (ee — By)- Cy 
— seb. By - ae Cy 
εζ' Cy -- eC - CB. - ἀξ. Cy, sive compositis e - Cy 
4- a6: ζγ, 
— GL. Cy 4- ED: LO, q. e. d. 


--- 


Γ addidit, distinx. BS || μετὰ τοῦ .A4EZ ABS, corr. Hu auctore Co 
10. ὅπερ BS, oA. 49. IB Αἱ ἴῃ marg. (BS) — 13. τῶν BT A, distinx. 
δ 44. ἐστὶ ASBS τῆς H Hu pro τῶν H 46. τὸ ὑπὸ HZ 
ἰόγον ἃ ἄρα ΑΒ, τὸ ὑπὸ nt. «ἀνάλογον ἄρα S, corr. Co 18. τῶν ΕΒΓ 
^. distinx, BS 20. ἴσον τῶι ὑπὸ EZB A(BS), corr. Co 91. τῶν 
4EBr A, distinx. BS φᾷ 93. τὸ δὲ ὑπὸ — τῆς ΓΖ add. Co 

᾿ n. ὑπὸ ΕΓΖ A, distinx. BS, item vs. 24 - 26. ἐστιν xol τὸ ὑπὸ 
BD Tz IZ A(BS), ἔστι xai τὸ ὑπὸ By γβ e suo codice affer! Co, ἐστὶ χαὶ 
τὸ ὑπὸ ΒΓ ΒΖ ΒΖ Ge, corr. Co ὑπὸ ΕΖΙ Co pro ὑπὸ ΒΖΓ 
16 37. ὑπὸ ΔΕΖΙ A, distinx. BS 397. τὸ ὑπὸ AZI ASS Co, τὸ 
ὑπὸ eyt B cod. Co 





48" 


748 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Ζ. 


Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. 


107 ιγ΄. Ἔστω πάλιν τὸ σημεῖον μεταξὺ τῶν D 4: ὅτι τὺ 
0x0 ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ EZB ἐλλείπει τῷ ὑπὸ Η Z4. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ H ΓΩ͂ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΓΒ, κοι- 
vóv ἀφῃρήσϑω τὸ ὑπὸ H ΓΖ' λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ H Z45 
ὑπεροχή ἐστιν, ἢ ὑτιερέχει τὸ ὑπὸ ΕΓΒ τοῦ ὑπὸ Η ΓΖ, 
τουτέστιν τοῦ ὑπὸ τῆς τῶν 41 ΓΒ ὑπεροχῆς xai τῆς ΓΖ. 
ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΕΓΒ τοῦ ὑπὸ τῆς τῶν AE ΓΒ ὑπερ- 
οχῆς καὶ τῆς ΓΖ, κοινοῦ προστεϑέντος τοῦ ὑπὸ ZIB, 
τούτῳ ὑτιερέχεε τὸ ὑτιὸ EZ ΒΓ τοῦ ὑπὸ AE ΓΖ. ᾧ δὲ: 
ὑπερέχει τὸ ὑπὸ EZ ΒΓ τοῦ ὑπὸ AE ΓΖ, κοινοῦ προστεϑέν- 
vog τοῦ ὑπὸ EZI, τούτῳ. ὑτιερέχει τὸ ὑτιὸ EZB τοῦ ὑπὸ 
AZI': wore τὸ ὑπὸ ZU τοῦ ὑπὸ EZB ἐλλείπει τῷ ὑπὸ 
τῆς Η καὶ τῆς ΖΖ. 


Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. — 
108 d. Α1λλὰ ἔστω ἐχτὸς τὸ Ζ σημεῖον" ὅτι πάλιν τὸ ὑπὸ 


ZI τοῦ ὑπὸ EZB ὑπερέχει τῷ ὑπὸ H AZ. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ HIA ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΓΒ, ἀμ- 
φότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ὑπὸ H LZ: λοιπὸν ἄρα τὸ 
ὑπὸ HAZ $ ὑπεροχή ἐστιν ἡ ὑτιερέχει τὸ ὑπὸ Η ΓΖ τοῦν 
ὑπὸ ΕΓΒ. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ Η ΓΖ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ, χοι- 
γοῦ προστεϑέντος τοῦ ὑπὸ ΒΓΖ, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ὑπὺ 
AE ΓΖ τοῦ ὑπὸ ΕΖ BU: ἢ γὰρ τῶν .4E ΒΓ ὑπεροχὴ μετὰ 
τῆς ΒΓ ἡ AE ἐστίν. ᾧ δὲ πάλιν ὑπερέχει τὸ ὑπὸ AETZ 


3. ιγ΄ add. ΒΒ τῶν ΓΖΩ͂ ^, distinx. BS 7. ὑπὸ τῆς Co pro 
ὑπὸ xcl τῶν ΑΕΓ ^, distinx. BS 8. ὡς δὲ A, corr. DS 
post ὑπερέχει rasura duarum fere litterarum in A τὸ ὑπὸ ΕΓΒ Oo 








pro τὸ ὑπὸ 418 10. τὸ ὑπὸ ΑΕΓΖ A, τὸ ὑπὸ σε γξ BS, roi pro 
τὸ corr. V 410. 44. ᾧ δὲ — AE ΓΖ add. Hu. 46. εδ' add. BS 


47. τῶι ὑπὸ HAZ A3 ex τῶι ὑπὸ Hx 49. λοιπὸν Co pro olor 
91. ᾧ δὲ — ΕΓΒ add. Hu 22. 93. ὑπὸ 4ΕΓΖ τοῦ ὑπὸ EZBF Ἀ 
distinx. BS 48. γὰρ Co pro ἄρα τῶν ΕΒΓ A, distinx. B, 


τῶν «t yB S Ge — 954. τὸ ὑπὸ AETZ A, distinx. BS 


LIBER VII. PROPOS. 53. 54. 749 


In tertium epilagma tertii problematis. 
XIII. Sit rursus punctum ζ inter y et δ: dico esse &e5- C8 Drop. 
— «GC .ἴγ ΞξΞ η. ζὸ. 
| Quoniam propler 
&—————————————4—————,——4, lemma III est ἡ. yó 
e ε β y 6 7 - &y- yf, commune 
5 | subtrahatur ἡ -γζ; 
7 τς 
restat igitur 
0:LÓ τ εγ.γβ — η.γζ, id est (ex hypoth. lemm. XI) 
— ey: yf — (ae — By) - yc. 
Sed zad hanc differentiam commune addatur Cy. yf; est igitur 
εγ.γβ — (ae — By) y5 — ey: y8 - Cy-y8 — 
[(ae — βγὴ -γξ 4- By: y) 
— eb. fy — ae. yc. 
Sed ag differentiam e£. βγ — «e. γξ commune addatur eC: Cy; 
ἐδὺ Agitur 


e, .βγ — αε' yb 


In tertium epitagma tertii problematis. 


XIV. Sed sit extra αὖ punctum 2; dico vice versa esse Prop. 


αξ ty — εξ -ζβ — η. δζ. 


& ὃ, & / y à $6 


Quoniam enim propter lemma III est m. yÓ — ey- yf, 

Utrumque subtrahatur ab η- γζ; restat igitur 

1:05 — 9. yb — ey - yg. 

Sed ad hanc differentiam commune addatur By-yC; est igitur 
οηὐγξ — ey: yg — 9: yb oc By: y6 — (ey y8 -Ὲ By: y), 
sive, quia ex hypothesi (lemm. XI) 

est ἢ — ae — fy, 

-— ae. yb — eb By. 


7900 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Z. 


τοῦ ὑπὸ EZ BF, κοινοῦ προστεϑέντος τοῦ ὑπὸ ΕΖΓ,, τούτῳ 
ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΖΓ τοῦ ὑπὸ EZB: τὸ ἄρα ὑπὸ AZT 
τοῦ ὑπὸ EZB ὑπερέχει τῷ ὑπὸ H AZ. 


Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. 


109 ιε΄. Πάλιν ἔστω τὸ. Ζ σημεῖον μεταξὺ τῶν 24 E: 0ui 
τὸ ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ EZB ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ H Z4. 
Ἐπεὶ τὸ ὑπὸ H B4 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑττὸ ΑΒΓ, κοινὴν 
προσκείσϑω τὸ ὑπὸ H BZ: ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ H ZA ἴσον 
ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΒΓ xai τῷ ὑπὸ Η ZB. ἀλλὰ τὸ μὲν 
ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τὸ ὑπὸ .4Z ΒΓ xai τῷ ὑπὸ ΖΒΓ," 
τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν AE ΒΓ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ZB μετὰ 
τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ἴσον ἐστὲν τῷ ὑπὸ 4 BZ: τὸ ὑπὸ AE ΒΖ 
ἄρα ἐστὶν τό τε ὑπὸ ΒΖΕ καὶ τὸ ὑπὸ AZB, ὃ μετὰ τοῦ 
ὑπὸ “42 ΒΓ ἐστὶν τὸ ὑπὸ AZI-: τὸ οὖν ὑπὸ AZT μετὰ 
τοῦ ὑπὸ BZE ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ H ZA, ὅπερ: — b 


) M H 3 ) ^ , μ - 
Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. 


. € 
110 ις. Ἔστω δὴ πάλιν ἐκτὸς τὸ Ζ σημεῖον" ὅτι τὸ vno 
.1ΖΓ τοῦ ὑπὸ EZB ἐλλείτιει τῷ ὑπὸ H ZA. 


ó & € £8 y Ü 
E-———— 
7] 


Ἐπεὶ yàg τὸ ὑπὸ τῶν H 444 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΑΕ, 
Li 
χοινὸν προσκείσϑω τὸ ὑπὸ H AZ: ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ H 429 
ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ BA4E καὶ τῷ ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΓΒ 


4. τὸ ὑπὸ EZ — ΒΓ ABS, τοῦ corr. Ge 3. τὸ ὑπὸ AZ ΖΓ τοῦ 
ὑπὸ EZ ABS, corr. Hu auctore Co &. Εἷς τὸ πρῶτον ἐπίταγμα τοῦ 
δευτέρου προβλ. coni. Simsonus p. 49. 168 ἐπίταγμα A* ex ἐπὶ 
5. «€ add. BS Πάλιν om. S τῶν 4E ^, distinx. BS 10. ὑπὸ 
AZBT A, distinx. ΒΒ 11. τῶν ΔΈΒΓ A, distinx, ΒΒ 12. τῶι Um 
AEBZ A, distinx. BS τὸ ὑπὸ ΔΕ ΒΖ add. Co 18: ὑπὸ BZE ? 
pro ὑπὸ ΒΖΓ 48. 44. μετὰ τοῦ ὑπὸ 4ΖΒ A!B, μετὰ τοῦ ὑπὸ 4.18 





LIBER VII. PROPOS. 55. 56. 751 


Sed rursus ad differentiam ae. γζ — &5- y commune adda- 
tur e$- Cy; est igitur 
a£. yb — εξ. By — ae y op eb y — (εξ. By -Ε eb Cy) 
— ab. ζγ — eL t6. Ergo etiam 
η τὃξ — ab: ty — εζ. CB. 


In 'erlium epitagma tertii problematis, vel polius, ut videtur, 
in primum secundi. 


XV. Sit rursus punctum £ inter α et e; dico esse αζ- Uy Prop. 


Ἔ 6.08 τῷ. 5. 


Quoniam propter 


0 RB oy lemma III est »- 80 
—  αβ΄' βγ, commune 
7) addatur 5-0; est 


igitur 
n: CÓ — of By -- ἡ BC, sive, quia est afl - By — at. By 

4- ζβ. By, el ex hypothesi 
(lemm. XI) ἢ 2 ae — fy, 

ab. y -- L8 By τὰ (ae — By) B5 

aL.By -- ae- GC, sive, quia est ae C — αζ- CB 
4- eL - CB, et compositis aC - By 
T ac. CB, 

— aLb-Ly - εἷζ. CÓ, q. e. d. 


In tertium epitagma tertii problematis. 


XVI. lam sit rursus punctum ζ extra ad; dico esse rop. 
εξ. C8 — ab. Cy 2 n. 0. 
Quoniam enim propter lemma III est η- αὃ — fla* s, 
commune addatur η. αζ; est igitur 
7-050 — fla. αε - ἡ oC, sive, quia ex hypothesi 'lemm. XI) 
est ἢ zx a& — fly, 
— (fa.ae 4- (ae — By): aC, id est 


mutavit vetusta m. in A (et sic S), corr. Co 45. ὅπερ BS, o0 Α 
- 47. ς΄ add. BS 20. ὑπὸ H AZ (ante ὅλον) Co pro ὑπὸ HA.t 
34. τῶν .4EIB A, distinx. ΒΒ. 








159 ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTHX Z. 


ὑπεροχῆς καὶ τῆς 24Z. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ DAE μετὰ τοὺ ὑπὸ τ 
τῶν AE ΓΒ ὑπεροχῆς xai τῆς ΑΖ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ZB 4 
λεῖπον τῷ ὑπὸ ΖΑ͂ ΒΓ, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ H Z4 ἡ ὑπε 
οχή ἔστιν, ἢ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΒΖ 4E τοῦ ὑπὸ ΖΑ͂ B. 
ἀλλὰ d τὸ ὑπὸ ZB .4E τοῦ ὑπὸ ΖΑ͂ ΒΓ ὑπερέχει, xc 
γοῦ τιροστεϑέντος τοῦ ὑπὸ ΒΖΑ͂, τούτῳ ὑπερέχει καὶ 
ὑπὸ BZE τοῦ ὑπὸ ΓΖΑ͂' τὸ οὖν ὑπὸ BZE τοῦ ὑπὸ ΓΖ 
ὑπερέχει τῷ ὑπὸ Η ΖΩ͂, ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΖΑ͂ τοῦ ὑπὸ ΒΖ 
ἐλλείπει τῷ ὑπὸ H Z4, ὅπερ: — 


Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τὸῦ πρώτου προβλήματος. 


111 ιζ΄. Ἔστω ἡ ΑΒ ἴση τῇ L4, καὶ τυχὸν σημεῖον τὸ 
μεταξὺ τῶν ΒΓ σημείων" ὅτι τὸ ὑπὸ .4E E4 τοῦ vs 
BE ΕΓ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ATA. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ 4E E ἴσον ἐστὶν τῷ v& ὑπὸ 4 
ΕΓ, τουτέστιν τῷ τε ὑπὸ BE ΕΓ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΒ E. 
xci ἔτι τῷ ὑπὸ 44 Dd, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕ E4 τοῦ v: 
BE ΕΓ ὑπερέχει τῷ τε ὑπὸ ED 4B, τουτέστιν τῷ v: 
ΕΓ L4 (ἴσαι γάρ εἰσιν ot 4Β L4), καὶ τῷ ὑπὸ 4E Γ΄ 
ἀλλὰ τό τε ὑπὸ EL ΓΔ xal τὸ ὑπὸ AE ΓΔ γίνεται ὅλον’ 
ὑπὸ 4I L4: τὸ ἄρα ὑτιὸ ΑΕ ΕΖ4 τοῦ ὑπὸ BE ET vne 
ἔχει τῷ ὑπὸ AT DÀ. 


γ M ^ 3 [4 : e J , 
Εἰς τὸ πρῶτον ἐγιίταγμα τοῦ δευτέρου προβλήματος. 


112 ιη. Ἔστω ἡ .4B ἴση τῇ L4, καὶ εἰλήφϑω τι σημεῖ 
μεταξὺ τῶν D 4 τὸ E: ὅτι τὸ ὑπὸ AE ΕΔ4 μετὰ τοῦ v: 
ΒΕ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΔ. 

4. 9. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ — ὅλον ἐστὶν add. Hu (pro his τουτέστιν vo 
erat Simsonus p. 50; longe aliter, at vix rectius, Co: zt«Atv χοινὸν πρι 
χείσϑω τὸ ὑπὸ ΖΑ͂ BI. ἀλλὰ τὸ uiv ὑπὸ τῆς τῶν ΑΕ ΒΓ vntgo; 
καὶ τῆς .4Z μετὰ τοῦ ὑπὸ ZA ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ZAE, τὸ δὲ ὑ 
BAE μετὰ τοῦ ὑπὸ ZAE ὅλον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΖΒ ΑΕ᾽ τὸ ἄρα ὑπὸ 1 
AE ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ H .1Z xai τῷ ὑπὸ ΖΑ BI, ὥστε xci ce 
conf. adnot. ad Latina): — 83. λεῖπον τῷ Hu pro λοιπὸν τὸ 3. 4. ὡς 
καὶ — τοῦ ὑπὸ ΖΑ͂ BF'bis scripta sunt in ABS, corr. V 3. xal 
A! ex xal τὰ 4. BZAE τοῦ ὑπὸ ΖΑΒΓ A, distinx. BS 5. 








LIBER VII. PROPOS. 57. 58. 753 


2): LÓ — βα. as 4- a6: at — fy - aC, sive compositis Ba - αξ 
Toce: ab"), 
— ζβ.αε — La fy. | 
Sed ad hanc differentiam addatur commune 8L - Co; est igitur 
&f ac — ba fy Ξε ξβ- ae - Bo. La — (ζα - ῥγ -Ὁ BE Do). 
-— βζ. Le— γζ. ζα; ergo eliam 
2]: 50 — βζ. be — yb. La, q. e. d. 


In tertium epitagma primi problematis. 


XVII. Sit of — yó, et quodvis punctum e inter β et y; Prop. 
dico esse a£: εὃ — fe. ey 
EM — τοι, -- ay. yó. 
P e» d Quoniam enim est 
€6- εὃ — ἀξ. ἐγ 4- a£: yO, id est 
Ξε af-.&y - Be-&y -ὁ a6- yÓ, est igitur 
c6. εὃ — βε. ey — afl - &y 4- a&- yÓ, id est, quia αβ Ξε γδ, 
— ey. γὸ - a6: yÓ, sive 
ey - yà. 


In primum epitagma secundi problematis. 


XVIII. Sit ag — yó et sumatur punctum aliquod δ in- Prop. 
lér γ et à; dico esse αδ' δὸ -- Be- ey — ay. yó. 38 


* Haec ego addidi vestigiis antiquae scripturae accurate insistens ; 
aliter (Ὁ aq aequationem ἡ. ζ — f«-«s -- («e — By): «i£ addit com- 
Tune ζα .βγ, ita ut sit 
1:00 - Ἣ ζα By — fa- «6 4- Ca o6 
- i.e; ergo 
1:00 — iB: oc — ζα- py. 
add, (o 


ZBAE τοῦ ὑπὸ ΖΑΒΓ Δ, distinx. BS 
Ot χαὶ 


8. τὸ ὑπὸ ΓΖΑ͂ Co pro τὸ ὑπὸ ΓΖ ἀπὸ 9. ὅπερ BS, oA 
νζ΄ 844. ΒΒ ἴση add. Co 418. ὑπὸ 4Ε E4 Co pro ὑπὸ ATA 
!8. 49. ὑπὸ ΑῈ I4. ἀλλὰ Co pro ὑπὸ ΑΓ L414A 
WE I4 add. Co 
Tov 


6. x«l Co pro 


49, ro τε — 
22. δευτέρου Hu auctore Simsono p. 53 pro πρώ- 


33. τη add. ΒΒ ἴση add. Co — 24. τῶν Tf A, distinx. BS 


35, ἐστὶ τῷ BS, ἔσειν τῶν À ὑπὸ 4Γ4 — p. 75^, 1. ἴσον ἐστὶ τῷ 
dd. (Ὁ 


794 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTH2 Z. 


Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν AE EA ἴσον ἐστὶν τῷ τε $20 τῶν 
AT ΕΔ καὶ τῷ ὑτιὸ ΓΕ ΕΔ, κοινὸν προσχείσϑω τὸ ὑπὸ 
BE El: τὸ ἄρα ὑπὸ Ed μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον ἐστὶν 
τῷ τὲ ὑπὸ 4Γ Ed καὶ τῷ ὑπὸ ΓΕ EA καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ 
ΒΕ ΕΓ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΓΕ E4 μετὰ τοῦ ὑπὸ BE ED? 
ὥλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ B4 ΓΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ (ἴσαι 
γάρ εἰσιν καὶ ὅλαι αἱ ΔΓ Β4), τὸ δὲ ὑπὸ τῶν 4Γ E4 
μετὰ τοῦ ὑπὸ ΑΓΕ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ 4Γ DA: τὸ 090 
ὑπὸ 4E EA μετὰ τοῦ ὑπὸ ΒΕ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ATA. 


“ῆμμα χρήσιμον εἰς τοὺς μοναχοὺς τοῦ τὸ πρώτου καὶ | 
δευτέρου xoi τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος. 


118 ιϑ'. ἩΗμικυκλίου ὄντος τοῦ (ΕΒ ἐπὶ διαμέτρου τῆς BA, 
xai ὀρθῶν τῶν DE 42, καὶ ἀχϑείσης εὐθείας τῆς EZH, 
xai ἐπ᾽ αὐτῆς καϑέτου τῆς BH, γίνεται τρία" τὸ μὲν ὑπὸ 
ΓΒ B4 ἴσον τῷ ἀπὸ BH, τὸ δὲ ὑπὸ AT AB τῷ ἀπὸ ΖΗ, 15 
τὸ δὲ ὑπὸ dA ΓΒ τῷ ἀπὸ EH. 

| . Ἐπεζεύχϑωσαν yàg αἱ 

HI H4 AZ ZB. ἐπεὶ 

οὖν 0997) ἡ πρὸς τῷ Ζ, καὶ 

χάϑετος 1?) Z4, ἴση ἐστὶν 190 

ὑπὸ A4ZB γωνία τῇ ὑπὸ 

B.AZ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ μὲν 

ὑπὸ A4ZB ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ 

ΖΗΒ, ἣ δὲ ὑπὸ B.AZ, ἐὰν 

ἐπιζευχϑῇ ἡ EB, τῇ ὑπὸ ΒΕΖ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΒΓΗ͂ - χαὶ ἢ 

$ ὑπὸ 4HB ἄρα ἴση τῇ ΒΓΗ͂ dore τὸ ὑπὸ ΓΒΔ ioo 

ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλον τὸ ὑπὸ 4.184 ἴσον 
τῷ ἀπὸ BZ: λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ 4Γ 4B ἴσον ἐστὶν τῷ 





9. χοινὸν Co pro x«i xowóv ὅ. μὲν ὑπὸ ΓΕ Ez Co pro μὲν ὑπὺ 
ΤῈ ΕΒ 40. 44. vide adnot. 9 ad Latina 49. 19 add. BS 
ὄντος τοῦ τρίτου ἔπικκκ τῆς B4 A(B), corr. S 48. ὀρϑῶν) αὐτῇ 


πρὸς ὀρϑὰς coni. Hu; at conf. infra p. 758, ὁ. τῶν ΓΕΖΖ A, distinx. 
BS 15. ἔσο; ἀἀ4. Hu ὑπὸ ATAB A, distinx. ΒΒ 46, ὑπὸ 4.1} 
A, distinx. ΒΒ 18. ΗΓ H4 AZ E4 ΔῊ AH ZB ABS, corr. Hu 





LIBER Vil. PROPOS. 59. 799 


Quoniam enim est a - &ó 
IE M ——— -———4—4 
c Á y € δ z aye - γε" εδ, commune 
) addatur Óe-ey; est igitur 
αξ' δ -- fle. &y — ay: &Ó -- ye- εὃ -- Be: ey, sive com- 
positis y&: δ 4- βὲ. ἐγ, 
Ξε Gy - EO --- BÓ - ye, id est, quia βὸ — ay, 
αγ' εὃ 4- oy -y&, sive 
ay - y. 


In tertium epitagma tertii problematis). 
(Vide infra propos. 63.) 


Leroma utile ad rationem singularem tertii epitagmalis primi problematis?). 


XIX. Si sit semicirculus aeg in diametro af, in eaque Prop 
perpendiculares rectae γε ὃζ, et ducatur recta δζη, in eaque 
perpendicularis 8m, iria fiunt: est enim y8-8ó0 — βη2, et 
αγ. 0g — ζη2, et a0 - yB — δη3. 

'  lungantur enim y zó at LB. . Quoniam igitur rectus 
8st [ αζβ, et in αβ perpendicularis 0C, propter elem. 6, 8 est 
ἰ δὲβ — L fat. Sed primum, quoniam recti sunt anguli βὸζ 
€ ζηβ, ideoque in circulo sunt puncta à ζ ἡ B (elem. 5, 23), 

i^ segmento igitur OB") est [ δὲβ — L δηβ (elem. 5, 21); 
lum iunctà ef? in segmento C8 **) est ὁ βαζ Ξε L βεζ, et in seg- 
mento 8n L βεζ τῷ L βγη; ergo etam est [ Ónf.— L βγη. 
Ergo, communi angulo yB triangula yf et "BÓ sunl similia?), 
Hdeogu£ yf : 8m — vB : BÓ, sive yf - BÓ — βηΣ. Sed est etiam 
eB .βὸ τε BL?, unde si subtrahatur γβ' 80 — βη2, restat - 


1) Hanc propositionem hic interserit Simsonus p. 58 sq. 

8) Sic dedi secundum Simsonum p. 54; Graeca perturbata sunt ac 
fortasse hunc in modum restituenda: «üuuera χρήσιμα elg τοὺς uo- 
"You τῶν τρέτων ἐπιταγμάτων τοῦ τε πρώτου καὶ δευτέρου καὶ roí- 
ἴου προβλήματος, ita ut hic titulus spectet ad propos. 5ὅ9---68 et 64. 

UO concesso, ne quid desit, etiam proprium huius lemmatis titulum 
addere licet: Εἷς τὸν μοναχὸν τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος τοῦ πρώτου 
προβλήματος. 

Ἦ Addita haec secundum Co. 

**| "Quia sunt in eodem segmento circuli Z2" V2, 

3) Idem significat V2. 


114 


796 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHX Z. 


ἀπὸ ZH. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ BE 
τετραγώνῳ, ὧν τὸ ὑπὸ ΓΒΔ,ῖ ἴσον doviv τῷ ἀπὸ BH, λοι- 
πὸν ἄρα τὸ ὑπὸ Α4 ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EH τετρα- 
γώνῳ γίνεται ἄρα τρία. | 


Eig τὸν μοναχὸν τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος τοὺ δευτέρου 5 
προβλήματος. 

x. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ διήχϑωσαν αἱ 244 ΒΖ ΓΕ, 
ἔστω δὲ ἡ μὲν 44 ἐπὶ τῆς ΒΓ κάϑετος, ἐν κύχλῳ δὲ τὰ 
-4 Z E σημεῖα ὅτι 0g9at εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Z E γωνίαι. 

Ἐκχβεβλήσϑω ἡ 244, καὶ 
τῇ HA ἴση κείσϑω ἡ 40, καὶ 
ἐγιεζεύχϑωσαν αἱ BO OT ἴση 
ἄρα ἐστὶν ἡ Θ γωνία τῇ ὑπὸ 
ΒΗΓ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ZHE. 
ἀλλ᾽ ἦν ἡ ὑπὸ ZHE μετὰ τῆς 1 
44 δυσὶν ὀρϑαὶῖς ἴση" καὶ ἡ ὑπὸ 
ΒΘΓ ἄρα μετὰ τῆς 4 δυσὶν 

᾿ὀρϑαῖς ἴση ἐστίν: ἐν κύχλῳ 
ἄρα ἔστιν τὰ 4 B Θ Γ᾽ ση- 
ueia: Toy ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ 
BAH γωνίᾳ τῇ ὑπὸ BIO, 
τουτέστιν τῇ ὑπὸ HI. εἰσὶν δὲ καὶ αἱ πρὸς τῷ H κατὰ 
κορυφὴν ἴσαι ἀλλήλαις" λοιπτὴ ἄρα 7) Zl ἴση τῇ πρὸς τῷ E. 
ὀρϑὴ δέ ἐστιν ἡ 4 ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν καὶ 7) πρὸς τῷ E ση- 
μείῳ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ 7) πρὸς τῷ Ζ γωνία ὀρϑή ἐστιν" 2 
ὀρϑαὶ ἄρα εἰσὶν ai πρὸς τοῖς Z E σημείοις, ὅπερ: “- 





'O μοναχὸς πρώτου προβλήματος τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος. 


115 xa. Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν .4B ΒΓ ΓΩ͂, ἐὰν 


à 
γένηται ὡς τὸ ὑπὸ .4B4 πρὸς τὸ ὑπὸ L4, οὕτως τὸ 


5. ἐπιτάγματος τοῦ δευτέρου add. Hu auctore Simsono p. 55 
add. BS — «£44 BE ΓΖ A, corr. V? — 8.9. τὰ 4Z EH A, τὰ ξ ε8 
corr. BV? (nisi quod V? τὰ Ce ε ἢ) 9. σημεῖον A, corr. ΒΒ τοῖς ΖΕ 
A, distinx. BS 12. ἐπεζεύχϑωσαν αἱ Hu pro ἐπεζεύχϑω ἡ 
48. 44. τῆι ὑπὸ BH ΗΓ AB, corr. 85 45. ἀλλ᾽ ἣν ἡ Hu pro ἀλλὰ μὴ 
149. τὰ 48 ΒΓ σημεῖα AB, τὰ e B y σημεῖα S, corr. Co 48. λοιπὴ 





7. γ( 
€ S, 


LIBER VII. PROPOS. 60. 64. 751 


αγ.- βὸ — Ly. Rursus quoniam est eg.gy — 952***), si 
hinc subtrahatur 78.80 Ξε βη2, restat α΄. yB — ey?. Fiunt 
igitur tria quae diximus. — 


In rationem singularem tertii epitagmatis secundi problematis. 

XX. Sit triangulum of», et ducantur aó βζ ye, sit au- 
tem αὖ perpendicularis in fy, et in circulo sint puncta a C 
ῃ £; dico angulos ad puncta, & et ζ rectos csse. 

Producatur αὖ, et ponatur 09 — ηδ, iunganturque 89 
Jy; ergo aequalia ac similia sunt triangula 90» et này, item- 
que ϑὸβ et 40g, ideoque L 829y — L βὴγ — { ζηεΣ. Sed an- 
guli ζηε -- eat exc hypothesi duobus rectis aequales sunt; 
ergo etiam anguli 839» -i- aC duobus rectis aequales, itaque 
puncta a 8 9 y in circulo sunt. Ergo :?n segmento 839 est 
L 8o — L8y9, et, propter similitudinem triangulorum 3967 
οἱ ηὃγ, L By9 — L «yd. Sed etiam ad verticem ἢ anguli eya 
et δηγ aequales sunt; ergo ín íriangulis aem et yÓ est etiam 
L «&5j-— L γδη. Reclus autem est { γδη; rectus igitur etiam 
L «eg. Eadem ratione etiam "angulum a£ rectum esse de- 
monstratur; recti igitur sunt anguli ad puncta e et C, q. e. d. 


Ratio singularis tertii epitagmatis primi problematis 1). 


Prop. 


XXI. Tribus datis rectis af By γδ, si fiat ag - 8Ó : ay. yà Prop. 
| δ 


***) "Quia ducta recta «e angulus «ef est rectus, cum sit in semi- 
circulo" V?; eadem manus pallidiore atramento aliam demonstrationem 
addit, quae ad alterum lemmatis casum, si sit ye — δξ, pertinet. 


4) V. Simsonum p. $6. 157 sq., qui propositionem sic constituit: 
"Ratio autem minima determinatur ita. Ostensum (αἰ... datis in 
recta linea quatuor punctis A B C D, si fiat ut rectangulum ABD ad 
ipsum ACD, ita quadratum ex BE ad quadratum ex EC, fore E punc- 
tum quod facit rationem rectanguli AED ad rectangulum BEC singula- 
rem et minimam. Nunc vero ostendendum est rationem hanc eandem 


esse ei quam habet quadratum ex AD ad quadratum excessus quo recta 


linea quae potest rectangulum AC BD excedit eam quae potest rec- 
tangulum AB CD". 


V? Co pro λοιπὸν πρὸς τῷ ε V? pro πρὸς τῶι Ζ, item vs. 24 
21. σημεῖον À, corr. BS 25. ταῦτα δὴ AB, τὰ αὐτὰ, omisso δὴ, S 
χαὶ 5j BS, xol u A πρὸς τῷ C V2 pro πρὸς τῶι E 27. τοῦ ante 
πρώτου add. Ge, τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος τοῦ πρώτου προβλήματος coni. 
Hu πρωτον (sine acc.) A(V), corr. BS. — 28. xo' add. BS 


708 IIAIIIOY ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ἀπὸ BE πρὸς τὸ ἀπὸ EI, [ὃ] μοναχὸς λόγος καὶ ἐλάχιστύς 
ἐστιν ὃ τοῦ ὑπὸ 4E πρὸς τὸ (i0 BEDL' λέγω δὴ ὅτι ὑ 
αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀτιὸ τῆς ΑΔ πρὸς τὸ ἀττὸ τῆς ὑπερ- 
οχῆς ἡ ὑπερέχει ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ 4I ΒΖ τῆς δυναμένης 
τὸ ὑπὸ 4B LA. ὃ 
Γεγράφϑω περὶ τὴν 444 κύχλος,. καὶ ἤχϑωσαν ὀρϑαὶ 
αἱ ΒΖ ΓΗ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ 41Β4 πρὸς 10 
ὑπὸ 41Γ4, τουτέστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ͂, 
οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ED, καὶ μήκει ἄρα ἐστὶν 
ὡς ἢ ΒΖ πρὸς τὴν ΓΗ͂, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν EI: εὐϑεῖαι 
ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Z E H. ἔστω ἡ ZEH, καὶ ἐκβεβλή- 
σϑω ἡ μὲν ΗΓ ἐπὶ τὸ O, ἐπιζευχϑεῖσα δὲ ἡ ΖΘ ἐκβεβλή- 
σθω ἐπὶ τὸ K, καὶ ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετος ἤχϑω 7) 4Κ. καὶ 
διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα γίνεται τὸ μὲν ὑπὸ AT 
B4 ἴσον τῷ ἀπὸ ΖΚ, τὸ δὲ ὑπὸ AB IA τῷ ἀπὸ ΘΚ' 
λοιπὴ ἄρα $ ZO ἐστὶν ἡ ὑπεροχὴ ἢ ὑπερέχει 7) δυναμένη 
τὸ ὑπὸ ΑΓ B4 τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΒ Γ4. ἤχϑω 
οὖν διὰ τοῦ κέντρου ἣ ΖΙί, xoi ἐπεζεύχϑω y O4. ἐπεὶ 
οὖν ὀρϑὴ ἣ ὑπὸ ZO ὀρϑῇ τῇ ὑπὸ ELH ἐστὶν ἴση, ἔστιν. 
δὲ xai ἡ πρὸς τῷ .1 τῇ πρὸς τῷ H γωνίᾳ ἴση, ἰσογωνια3) 
ἄρα τὰ τρίγωνα: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ .12 πρὸς τὴν ΘΖ, τουτ- 
ἔστιν ὡς ἡ “4 πρὸς τὴν ΖΘ, οὕτως ἢ EH πρὸς τὴν ΕΓ' 
χαὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ἀττὸ ZO, οὕτως τὸ ἀπὸ 
EH πρὸς τὸ ἀπὸ EL, καὶ τὸ ὑπὸ HE ΕΖ, τουτέστιν τὸ 
ὑπὸ 4E E4, πρὸς τὸ ὑπὸ BE ΕΓ. καὶ ἔστιν ὃ μὲν τοῦ 
ὑπὸ .4E E4 πρὸς τὸ ὑπὸ BE EFI μοναχὸς xol ἐλάσσων 
[Ὁ] λόγος, ἡ δὲ ZO ἣ ὑπεροχὴ ἡ ὑπερέχει 7) δυναμένη τὸ 
ὑπὸ τῶν ATL B4 τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ 4B ELA [τουτέστιν 


^ 


4. post BE πρὸς repetit τὸ BE ztgóg A. ὃ del. Hu. 44. τῶν ZEH 
A, distiux. BS 413. post ἡ ZG add. interpunctum X ABS 44. τὸ 
(ante μὲν) add. V? — 44. 45. ὑπὸ AT'Bzf A, distinx. BS, item vs. 17 
45. ὑπὸ ABI A, distinx. BS, item vs. 47 49. ΖΘ. 0987 τῆι ^ 
corr. ΒΒ 24. ἡ .4Z V2 Co pro ἡ MZ 49. πρὸς τὴν 9C οὕτως 8 
33. ZO add. Hu, ΘΖ Co, τῆς 9C V? οὕτω τὸ ἀπὸ add. V? Co 
25. 96. τοῦ ὑπὸ 4E EZ ^, corr. BS 26. x« add. Ge auctore (Ὁ 
27. ὁ del. Hu 928. ὑπὸ -ABI 4 A, distinx. BS τουτέστιν — p. 160,! 
τῆς OK del. Hu auctore Ge 














LIBER VII. PROPOS. 61. 799 


Ξε fe? : ey), ratio singularis ac minima est ae-«Ó : fe. ey; 
iam dico in eadem proportione esse «à? : (Vay- 80 — Vaf. yà)?. 
Describatur circa dia- 
metrum αὖ cireulus, et du- 
cantur e diameiro perpen- 
diculares 85 yn ad circum- 
ferentiam. Quoniam igitur 
exc hypothesi est αβ. Bà :. 
«y yÓ — e? : ey?, et prop- 
ler elem. 10, 55 lemm. 
αβ. βὸ — BD, et aj. yà — 
y9?, est igitur 922: yp? — 
pe? : ey?, itemque ipsae 
rectae 9C : yn 2 fie : ey. 
Ergo triangula ζβε et ἡγε sunt similia, et L. ζεβ — L wey, 
ideoque linea quae per ζ 8 ἢ transit. recta est. Sit Lem, 
€t producatur ηγ7γ ad punctum 39 ὧν circuli circumferentia, 
€t iuncta L9: producatur ad x, unde perpendicularis ad ἔχ 
ducatur xó. Itaque propter superius lemma XIX fit αγ. fó 
— DO, et afg.yÓ —.9z2; ergo L9 (id est Ux — 9x) 
— Yay. 8ó — γαβ.γδ. lam ducatur diametrus ZÀ, et iun- 
Satur 94. Quoniam igitur, u£ in semicirculo, rectus est an- 
SUlus 534 et aequalis recto &yp, ac praelerea in segmento L9. 
anguli 7439. et ζηϑ' inter se aequales sunt, similia igitur sunt 
triangula 594 et eyy; ergo est 
Ab : 59 — me : ey, id est, quia AC et αὃ diametri sunt, 
αὃ : C9 — ne: &y; itaque etiam 
«0? : 83 — ve? : ey?, id est, quia propter similitudinem 
| triangulorum ἡγε et ζβε est me : &y 








z— ζε : ep, 
zz ηε δ : Ey: e, sive propter elem. 5, 55, 
- Q8-6Ó : fe ἐγ. 


Et est ratio αδ' δὃ: fe-ey singularis ac minima; praeterea 
autem, uf supra demonstravimus, est 

L9 — 7αγ. βὸ — γαβ.γδ, id est 

C9? — - (Vay -βὸ βὸ — γαβ.γὸ -y0)?; ergo, sí hanc differen- 





764 IIAIHIOY ZYNATOTHS Z. 


ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ BAN: τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΒΓ ἴσον ἐσεὶν 
τῷ ἀπὸ ΒΝ τετραγώνῳ. ἐπεὶ δὲ ἐν τριγώνῳ τῷ ΒΖΖ xa- 
Serog ἧχται ἡ Ο ΝΞ, καὶ κεκλασμέναι πρὸς αὐτῇ εἰσιν αἱ 
ΖΝ NB, 5$ ἄρα τῶν ἀπὸ Z4 4B ὑπιεροχὴ ἴση τῇ τῶν 
ἀπὸ ΖΝ ΝΒ ὑπεροχῇ. ἀλλὰ ἡ τῶν ἀπὸ Z4 4B ὑπεροχή. 
ἐστιν τὸ ὑπὸ 484’ 
xai ἡ τῶν du τῶν 
ΖΝ ΝΒ ἄρα ὑπερ- 
οχή ἔστιν τὸ ὑπὸ 
-A4BA.. ἔστιν δὲ καὶ 
τὸ ὑπὸ ΖΒΓ ἴσον 
τῷ ἀπὸ ΒΝ: ἡ ΝΖ 
ἄρα ἐστὶν ἡ δυνα- 
μένη τὸ ὑπὸ τῶν 
-AT ΒΖ. πάλιν 
én el ἣ τῶν ἀπὸ τῶν 
HN NB ὑπεροχὴ 
ἴση ἐστὶν τῇ τῶν 
ἀπὸ τῶν ΗΓ 18 
ὑπεροχῇ, ἀλλὰ ἡ 
τῶν ἀπὸ τῶν ΗΓ 
ΓΒ ὑπεροχή ἐστιν 
? τὸ ὑπὸ 4B BT, 
καὶ ἡ τῶν ἀπὸ τῶν HN NB ἄρα ὑπεροχή ἐστιν τὸ ὑπὸ 
τῶν 4 ΒΓ. ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ABI ἴσον τῷ ἀπὸ BN: 
? NH ἄρα ἐστὶν L δυναμένη ὅλον τὸ ὑπὸ Α4 ΒΓ. ἀλλὰ 
καὶ ἡ ΖΝ ἐστὶν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ τῶν 4Γ Β.4 ὅλη ἄρα 
ἢ ZH ἴση ἐστὶν τῇ τε δυναμένῃ τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ καὶ τῇ δυνα- 


ó 





4. ἄρα ὑπὸ 4181 Co pro ἄρα ὑπὸ BAT Q9. ἐπεὶ BS, ἐπι (sine 
8cc.) Α 5. ἀπὸ ΖΝ NB Co in Lat. versione pro ἀπὸ ZM NB 
7. xal ἡ τῶν ἀπὸ — 40. 48 in marg. add. A? 7. 8. ἀπὸ τῶν ἣν vf B, 
ἀπὸ τῶν ZH HB AS 9. ἐστι A*DS 13. 44. δυναμένη τοῦ ὑπὸ AB, 
corr. S 16. 47. ἀπὸ τῶν HN NB Hv auctore Simsono p. 474 1 sq., 
ἀπὸ τῶν HH HB A, ἀπὸ τῶν νὴ ηβ BS 49. ἀπὸ τῶν my γβ 
S, ἐπὸ τῶν NT ΓΒ AB). 31. 22. ἀπὸ τῶν ΗΓ ΓΒ Hw auctore 


Sitsono P- 172, ἀπὸ τῶν ΗΓ ἡ A, ἀπὸ τῶν vy BS, ἀπὸ τῶν T Paris. 


LIBER VII. PROPOS. 63. 765 
Ergo triangula vy et dv, communi anquio ν δ, sunl. similia. 
ideoque 0f : βν — βν : By, sive δβ- y — fv!. Sed quoniam 
in triangulo 807 perpendicularis ducta est ὄνξ, et ad hanc in- 
llexae sunt rectae ἕν ν»β, est igitur 20? — dj? — Lx — »**). 

Sed quia ex constructione est 

«à - 08 — LO?, et propter elem. 3. 3 idem aà ὃ! 
. zz αβ -βὸ - 0j?, est igitur 
CO? — 0g? — αβ΄. βδ; ergo etiam 
C»? — vj? — αβ. βδ. Sed demonstravimus esse »3? Ξε 
δ, - 071 ergo 
ἔν" τε αβ-βὸ - δβ. By 
-- αγ. βδ, sive 
C» -- Yay βὸ. 
Rursus eadem, qua supra. ratione est rv? — νβ3 τὰ 
7j? — f^. Sed quia, ut supra demonstravimus, est 
ay yB z 9y?, et propter elem. 2, 5 idem. ay - yd 
zz αβ. βγ -ε By*, est igitur 
ny? — By? τ αβ΄. βγ, ergo etiam 
7»? — v? - aB-By. Sed demonstravimus esse v3? — 
d-By; ergo 
y? τ αβ. βγ 4- 08. gy 
— αὖ. βγ, sive 
qv — γαδ.βγ. Sed est, ut modo demonstravimus, Cv τα 
Vay-fó; ergo C» - νη, id est 
——— ζῃ 2 Voy. BÓ - Voó- fy. 


**| Rursus lemma aliquod breviter significat Apollonius, quod sic 
fere restituit Co: Est (0? τὸ LE? «. ξδ2, et d? — 8E? -- E0?; ergo (20? — 

- ἐξ3 -- BE. Item demonstratur esse (»* — »5? — LE? — BE?. Ergo 
δὲ 6) -- ζνῆ -- νβ. 


— — À 


33968 35. τὸ ὑπὸ 48 ΒΓῚ τὸ ὑπὸ ΕΓΒ Ge auctore Co, quamquam 
Verum iam dudum Simsonus demonstraverat 24. ἀπὸ τῶν HN NB 
Hu auctore Simsono pro ἀπὸ τῶν NH HB 45. τὸ ὑπὸ “ΒΓ ἴσον 
τῷ ἀπὸ BN Hu auctore Simsono pro τὸ ὑπὸ 487 ἴσον τῶι ἀπὸ BH 
80, τὸ ὑπὸ 44 ΒΓ Co in Lat. versione pro τὸ ὑπὸ 4zí 4Γ 
$37. 38. ὅλη ἄρα --- τὸ ὑπὸ 4.1 ΒΓ add. Hu. 28— p. 166, *. χαὶ τῇ 
— AT' Β4 om. Co et post hunc reliqui 


762 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ὑπὸ BOH: αἱ ἄρα ὑπὸ BOH BHO γωνίαι, τουτέστιν 
(ἐὰν ἐκβληϑῇ ἡ BK) ἡ ὑπὸ ΚΒΖ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ 
"L4 K γωνίᾳ" ὥστε ἐν κύχλῳ ἐστὶν τὰ Δ 44 B Καὶ σημεῖα" 
διὰ ἄρα τὸ προ- 
γεγραμμένον γίνον- 2 
ται ὀρϑαὶ αἱ πρὸς 
τοῖς K “1 σημείοις 
γωνίαι. ἤχϑω δὴ 
κάϑετος ἐπὶ τὴν 
ΖΖ ἡ ΒΙΗ, καὶ ἐπε- 
ζεύχϑω ἡ AN καὶ 
ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ 
A: κάϑετος ἄρα 
ἐστὶν ἐπὶ τῆς ΖΑ͂ 
καὶ παράλληλος τῇ 
H.A. πάλιν δὲ ἐπι- 
ζευχϑεῖσα ἡ ΗΓ 
ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ 
O: κάϑετος ἄρα 
7 ἐστὶν ἐπὶ τῆς BN— 
(xci γὰρ ἡ Z4 ἐπὶ 
τῆς MB). ἐπεὶ οὖν τὸ ὑτιὸ AAT B ἴσον ἐστὶν τῷ ἀτιὸ τῆς TH, 
γωνία ἄρα 1) ὑπὸ ΒΗΓ γωνίᾳ τῇ HLAT ἴση ἐστίν. ἀλλὰ rj μὲν 
ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΝΒ ἐν κύχλῳ, ἡ δὲ ὑπὸ H.AB 
ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ BAN ἐν παραλλήλῳ καὶ :» ὑπὸ ΒΝΓ - 


ó 





9. ἐστὶ ASBS 3. τὰ d. 4 BK οἱ 7. τοῖς ΚΑΊ Α,, distinx. BS 


43. χάϑετος ἄρα — 48. 49. ἐπὶ τὸ O om. Αἴ, in marg. add. A? 44. ἐπὶ 
τὴν ζλ S 416—419. ἐπιζευχϑεῖσα ἡ ΗΓ ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ ΟἹ hoc 


loco Pappus vel quisquis ex Apollonio haec excerpsit (neque vero 8" 
bitror Apollonium ipsum) oblitus est iam in superiori demonstratione 
rectam HT' productam esse ad 6; conf. Latina 419. 20. χάϑετος ἄρα 
ἐστὶν ἐπὶ τῆς BH AB, corr. 85 24. καὶ γὰρ ἡ Zzf Co pro χαὶ yàg 
ἨΘ 71.22. ini τῆς MB Hu auctore Co pro ἐπὶ τῆς ΝΒ 44. τῇ 
ὑπὸ l'NB Co in Lat. versione pro rj: ὑπὸ ΓΗ ἡ δὲ ὑπὸ HÁT 
ABS, corr. V 


LIBER ΥἹΙ. PROPOS. 62. 765 


Ergo triangula Bvy et βδν, communi angulo νβδι sunt. similia, 
ideoque 0f : βν τε v : By, sive ὃβ.βγ τε fv?*. Sed quoniam 
in triangulo βὸζ perpendicularis ducta est δνξ, et ad hanc in- 
llexae sunt rectae C» vf, est igitur £02 — δ} τὸ D? — »g1**. 
Sed quia ea consiructione est 
αὃ. 08 τῷ LO?, et propler elem. 2, ὅ idem aà ὃδβ 
— αβ -.680 -- 0g?^, est igitur 
L0? — à? τῷ af βδ; ergo etiam 
C»? — vj? 2 af) - à. Sed demonstravimus. esse »9? τα 
0g. By; ergo 
5»? — αβ΄ β -Ε 0g. By 
— αγ'βδ, sive 
y — Voy à. 
Rursus eadem, qua supra, ralione est p»? — v»? τα 
— yf?. Sed quia, ut supra demonstravimus, est 
«y : yg 25 »y?, el propter elem. 2, 5 tdem. ay - yg 
- αβ΄ βγ -ε By est igitur 
gy! — By! - af -.Qy; ergo etiam 
75»? — vj? τι αβ. βγ. Sed demonstravimus esse v9? — 
0g. y; ergo 
y? τ ag.8y 4- 08. By 
— αὖ. γ, sive 
ἣν Ξε Vaó-y. Sed est, ut modo demonstravimus, Cy τῷ 
Vaoy-(ó; ergo ἕν - vn, id est 
: -— Voy. βὸ 4- γαδ. fy. 


** Rursus lemma aliquod breviter significat Apollonius, quod sic 
fere restituit Co: Est Q0? — LE? -- £0?, et 08? τ BE? -- E0?;, ergo i0? — 
(a2 . - [P -— BP. Wem demonstratur esse 5? — »8? — (t£? — gE?. Ergo 
ἰδὲ. gn -- ξνδ -- νβ, 





380. 48, τὸ ὑπὸ 418 ΒΓῚ τὸ ὑπὸ ΕΓΒ Ge auctore Co, quamquam 
verum iam dudum Simsonus demonstraverat 24. ἀπὸ τῶν HN NB 
Hy auctore Simsono pro ἀπὸ τῶν NH HB 45. τὸ ὑπὸ ZfBI' ἴσον 
τῷ ἀπὸ BN Hu auctore Simsono pro τὸ ὑπὸ ABI ἴσον τῶι ἀπὸ BH 
406. τὸ ὑπὸ 44 ΒΓ Co in Lat. versione pro τὸ ὑπὸ “(4 4D 
$7. 48. ὅλη ἄρα — τὸ ὑπὸ 4.1 ΒΓ add. Hu 28— p. 766, *. xal τῇ 


— AI' 84 om. Co et post hunc reliqui 


766 ες ΠΑΠΙΙΟΥ͂ ZYNATOTHZ Z. 


μένῃ τὸ ὑπὸ τῶν DU Β.]. ἐπειδὴ ὀρϑή ἔστιν ἡ ὑπὸ ZKH 
γωνία, καὶ χάϑετος ἡ 4E, τὸ ἄρα ὑπὸ .1ῈΕ8Β ἴσον ἐστὶν τῷ 
ὑπὸ ZEH: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΑῈΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ, 
οὕτως τὸ ὑπὸ ZEH πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΖ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ 
ZEH πρὸς τὸ ὑπὸ DEA, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς LH πρὸς w 
ἀπὸ τῆς ΓΑ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ .41Ε8Β πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΔ, 
οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ZH πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς D. καὶ ἔστιν 
ὁ μὲν τοῦ ὑπὸ ΔΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΖ λόγος [Ὁ] μοναχὺς 
M , L4 € A] € / 2 ^w / 
xai ἐλάσσων, ἢ δὲ ZH ἡ συγκειμένη ἔχ ve τῆς δυναμένης 
τὸ ὑπὸ ΑΓ ΒΖ xal τὴς δυναμένης τὸ ὑπὸ ΑΔ ΒΓ ὃ aal) 
μοναχὸς καὶ ἐλάσσων λόγος ὃ αὐτός ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς συ)- 
/ » od / 3 € A ^c M d 

κειμένης ἔκ vt τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ 4 B4 xai τῆς v- 
γαμένης τὸ ὑπὸ 44 ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ. 


Εἰς τὸ τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. 

117 xy. Ἔστω ἴση ἡ μὲν 41Β τῇ L4, μεῖζον δὲ ὑπὸ ΒΕΓ 
τοῦ ὑπὸ ΑΒΖ" ὅτι τὸ ὑπὸ ΒΕΓ τοῦ ὑπὸ .44Ε4 ὑπερέχει 
τῷ ὑπὸ BAT. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΒΕΙ͂ ἴσον τῷ τε ὑπὸ ΒΓΕ καὶ τῷ 
ἀπὸ ED, τουτέστιν καὶ τῷ ὑπὸ ΓΕΩ͂ μετὰ τοῦ ὑπὸ Ε[ 4, 
ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΒΓΕ μετὰ τοῦ ὑττὸ ΕΓΔ ὅλον ἐστὶν τὸ ὑπὸ 
B4 ILE, τουτέστιν τὸ ὑπὸ 4Γ ΓΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕΓ ἴσον 
ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ DEA. ἀλλὰ τὸ μὲ 
ὑπὸ ΑΓῈ ἴσον ἐστὶν τῷ ve ὑπὸ ΑΓ EA xai τῷ ὑπὸ 41 
124, τὸ δὲ óxó ΑΓ Ed μετὰ τοῦ ὑπὸ DEA ὅλον ἐσεὶν v0 
ὑπὸ A EA γέγονεν οὖν τὸ ὑπὸ BEI ἴσον τῷ τε ὑπὸ 4145 
xai τῷ ὑπὸ L4, 6 ἐστιν τὸ ὑπὸ B4 AT, ὥστε τὸ ὑπὸ 
ΒΕΓ τοῦ ὑπὸ AEA ὑπερέχει τῷ ὑπὸ BAT, ὅπερ: " 


4. ὑπὸ τῶν AT BA Hu pro ὑπὸ τῶν 48Γ4 2. ἄρα ὑπὸ ALB 


Co in Lat. versione pro ἄρα ὑπὸ KEB 5.6. ZH πρὸς τὸ ἀπὸὺ τῆς 
add. Co 8. ὁ μὲν ὑπὸ Al, τοῦ ante ὑπὸ add. A? ὁ del. Hu 


9. ἡ δὲ ZH Hu pro ἡ δὲ EZH (ἡ δὲ ZEH coni. Co: immo debebat ἢ 
dà ZNH) 410. τὸ ὑπὸ 4I Β΄] Co pro τὸ ὑπὸ 4ΒΓΔ4  ἈΖτ[κκαὶ τῆς τ΄ 
4.1 ΒΓ add. Co ἄρα Hu, ἄρα ἐστιν A(BS) 412. τὸ ὑπὸ 4Γ BÀ 


AB Co, τὸ ὑπὸ αγ εὖ 8 48, τὸ ὑπὸ 4471 ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς r4 


Co pro τὸ ὑπὸ 48 ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΖ 45. xy' add. BS 


LIBER VII. PROPOS. 63. 761 


Porro, quoniam rectus est angulus ζκῃ, et eae perpendicularis 
ad L5, propter similitudinem triangulorum ale et yfe (utrum- 
que enim simile triangulo agx) est a&: eb τὸ me : ef), sive 
αξ. e) — Le. 69g; ergo (facta proportione ad y&- &Ó) est 
c&.6() : γε’ εὃ — Lee : γε. εὃ. Sed, quia parallelae sunt 
LÓ qy, est G6: εὖ — ne: &y, et lota ad totam (y : γδ — Ls : δ: 
lum, quia rectangula Le. ξη et δὲ. ey latera habent proportio- 
nalia, est (propter elem. 6, 20 coroll. 1) be. ey: δὲ - ey — 
(e? : εὖ2 τῷὸῥ [5?: yÓ?. | Ergo est etiam αε. εβ : γε." εδ΄ — 
Cp? : yO?, et est ratio ae-&f? : γε. δ singularis ac minima. 
Est autem, ut supra demonstravimus, | 

ζη — Yay: βὸ -- Voó- fy; 
ergo singularis ac minima ratio eadem est ac 


(Vay-8à 4- Vaó- gy)? 








In tertium epitagma tertii problematis 1). 


XXIII Sit ag Ξε γδ, et Be-ey *» ap- 80, hoc est, sit Prop. 

punctum & in αὖ producta?); dico esse βὲ. 87 — a6. δε — 
βδ. ày. 

Quoniam (propter 
ς ἢ y j^ x elem. 2,3) est βὲ - ἐγ 
| — fy. ys c ey! — βγ' 
y& -- y6- £0 -- &y.yÓ, estque fy-ye -- ey. yÓ — βδ'γε τῷ 
α7.γ8, ergo (je-&y — ay-ye - ye-e0. Sed est ay. ye — 
αγ' δὲ - ay-yÓ, et ay- εὃ - γε. 60 — αε' εὃ. Factum igi- 
tur est βὲ.- ey τι αε- 8 - ay. yÓ τε ae- δὃ -- B0-Óy; itaque - 
esl Be- ey — α΄ εὖ — βδ. ὃγ, q. e. d. 


41) Hanc propositionem inter lemma XVIII et XIX collocat Simsonus 
p.58sq.; idem hanc aliam esse demonstrationem superioris propos. 24 
adnotat. 

3) Addit Simsonus p. 58. 


16; τοῦ ὑπὸ «80 S, τοῦ ὑπὸ ΑΕΔ AB 11. τῷ ὑπὸ βγ 5 18. γὰρ 
τὸ BS, γὰρ τοῦ Α 31. ΒΩΓΕ A, dislinx. BS 292. re ὑπὸ ATE 
Co pro τε ὑπὸ LAE 39. 93. μὲν ὑπὸ ATE Co pro uiv ὑπὸ ΒΓΕ 

38. 24. xal τῷ ὑπὸ AT ΓΖ Co pro καὶ τῶι ὑπὸ ΑΓ TE ^ — 26.27. τὸ 
ὑπὸ B4 AT, ὥστε τὸ ὑπὸ BET Co pro τὸ ὑπὸ BA 47' ὥστε τὸ ὑπὸ BE 


708 ΠΆΠΠΟΥ XYNATQTHZ Δ. 


.Morayóg τοῦ τρίτου ἐπιτάγματος τοῦ τρίτου προβλήματος. 


118 x0. Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ BU LA, καὶ 
προστιϑεμένης τινὸς AE, ἐὰν γένηται ὡς τὸ ὑπὸ 4 BA πρὸς 
τὸ ὑπὸ I4, οὕτως τὸ ἀπὸ BE πρὸς τὸ αττὸ EL, μονα- 
χὺς καὶ μέγιστος λόγος ἐστὶν ὁ τοῦ ὑπὸ EZ πρὸς ww 
ὑπὸ BEI" λέγω δὴ ὅτι ὃ αὐτός ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς 2d noo 
τὸ ἀπὸ τῆς συγκειμένης ἔκ ve τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ τῶν 
AT B4 καὶ τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ ,18 L4. 


& 





Γεγράφϑω ἐπὶ τῆς 44 ἡμικύκλιον τὸ AZHA, xai τῇ 
A4 ὀρϑαὶ ἤχϑωσαν αἱ ΒΖ ΓΗ. ἐπεὶ οὖν γεγένηται ὡς 10 
τὸ ὑπὸ ABA πρὸς τὸ ὑπὸ ALIA, οὕτως τὸ ἀπὸ BE noc 
τὸ ἀπὸ ΕΓ, ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ 418Β4 ἴσον ἐστὶν ἐν ἦμι- 
χυχλίῳ τῷ ἀπὸ ΒΖ, τῷ δὲ ὑπὸ ΑΓ4 ἴσον τὸ ἀπὸ lH, 
ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ 
ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. καὶ μήκει" καὶ εἰσὶν παράλληλοι αἱ 1 
ΒΖ FH: εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Z H E. ἔστω ἡ 
ZHE xai ἐχβεβλήσϑω, καὶ ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετοι ἤχϑωσαν 
αἱ 40 4K. ἐπεὶ οὖν μοναχὸς καὶ μέγιστος λόγος ἐστὶν 
ὁ τοῦ ὑπὸ ΑΕ4 πρὸς τὸ ὑπὸ BEL, ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ZEH 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΕΔ, ὅ ἄρα μοναχὸς καὶ μέγιστος λόγος 20 
ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἱπὸ ZEH πρὸς τὸ ἱπὸ ΒΕΓ. ὡς 
δὲ τὸ ὑπὸ ZEH πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΓ, οὕτως ἐστὲν ἐν παραϊ- 
λήλῳ τὸ ἀπὸ HE πρὸς τὸ ἀπὸ ἘΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ AE 


4. ἐπιτάγματος τοῦ τρέτου add. Hu auctore Simsono p. 5] 4. χϑ' 
add. BS AB ΒΓ ΓΖ x«i Hu auctore Simsono pro 48 ΓΖΔ EZ 
8. ΖΕ add. Hu auctore eodem 4. τὸ ἀπὸ ΕΓ Co pro τὸ ἀπὸ E44 
7. 8. ὑπὸ τῶν 4Γ B4 Co pro ὑπὸ τῶν AE Β4 8. ὑπὸ 48[4 


LIBER Vil. PROPOS. 64. 169 


Singularis ratio tertii epitagmatis tertii problematis V. 


XXIV. Tribus datis rectis a 3y yÓ, et addità quadam 
δε, si fia ag - 0 : ay- yÓ τεῷ ge? : ey, singularis ac maxima 
ralio est a&- εὃ : (je- ey; iam dico in eadem proportione csse 
a0? : (Vay - βὸ 4- γαβ.γδ)". 

Describatur in «ó semicirculus αζηδ, ct ad αὃ perpen- 
diculares ducantur 9C yy. Quoniam igitur ex Aypothesi fac- 
lum est ag. β : ey-yà — (6? : &y?, atque est, ut in semi- 
circulo, ag -9ó τε BU, et ay: yó τῷ γηξ, est igitur 30? : yg? 
Ξ j&?:5sy? itemque ipsae rectae j£: yy — fe: ey. Suut- 
416 parallelae 8C yy; ergo recta est | nea quae per ζ ἡ ὃ 
"ansit*). Sit ζηε eaque producatur, et ad eam perpendicula- 
δ ducantur αϑ óx. lam quia singularis ac maxima ratio 
6L ἀξ -εὖ : Be-ey, estque ex constructione?) ae εὃ Le er, 
Singularis igitur ac maxima ralio est ζε. δῇ : ge- ey. 866 
Qc, winter parallelas βζ et ym, haec rectangula. habent. la- 
le"& proportionalia, est igitur (elem. 6, 20 coroll. 1) 

ζε em : [Je - &y — ne? : ey?, id est, quia anguli 29 y reci, 

itaque in circulo sunt puneta 9 a y ἢ, 
estque J€-&r τῷ a6: &y, sive m6 : εγ — 

a6 : ε9, | 
vin o, Simsonus p. 188 propositionem sic constituit : " Ratio autem ma- 
eterminatur ita. Ostensum fuit, Datis in recta linea quatuor 
PD cis A B C D, si fiat, additá quadam DE, ut rectangulum ABD ai 
Ctangulum ACD, ita quadratum ex BE ad quadratum ex CE, fore E 
Pr ctum quod facit maximam rationem rectanguli AED ad rectangulum 
C. Ostendendum nunc est rationem hanc eandem esse ei quam ha- 


het quadratum ex AD ad quadratum rectae lineae quae componitur ex 


AR quae potest rectangulum AC BD et ex ea quae potest contentum 
CD". 


*) Vide supra IV propos. 43 p. 2414. 243. 


3) Scilicet puncte « £ 9 δ᾽ sunt in circuli circumferentia et pro- 
ductae αὖ (y concurrunt in « extra circulum. 


———— 
À, distinx. BS 9. 40, ἡμιχύκλια τὸ 42 1{4 καὶ τῆς 44 ὀρϑῆς ΔΒ, 
corr. S 41. BE odd. Co, lacuna trium fere litterarum in A(BS) 


46. διὰ τῶν ZH. A(D), διὰ τῶν ἡ C S, corr. Co in Lat. versione 

ἰδ. post λόγος add. ὁ αὐτὸς A!BS, del. ΑΣ 19. τὸ ὑπὸ ZEH A?3, τὸ 
ὑπὸ ZEN A!B 20. ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ .4E4 add. Co 94. 23. ὡς 
δὲ — ὑπὸ BET add. Co 33. πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ Co pro πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ 





l10p. 
64 


770 ΠΑΠΠΟῸΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ 2. 


πρὸς τὸ ἀπὸ EO (ἐν χύχλῳ γὰρ và Θ .4 Dl H σημεῖα, 
ἐπειδήπερ ὀρϑαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς O l' σημείοις γωνίαι,. 
ὡς δὲ τὸ ἀπὸ E.d πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ 
“4 πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΚ ἐν παραλλήλῳ. ὁ ἄρα μοναχὸς καὶ 
μέγιστος λόγος ἐστὶν 0 τοῦ ἀπὸ 4.4 πρὸς τὸ ἀπὸ OK. ἡ 
δὲ ΘΚ ἐστὶν ἡ δυναμένη τε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ B4 καὶ ἡ 
τὸ ὑπὸ ΑΒ Γ4, ὥστε ὃ μοναχὸς καὶ μέγιστος λόγος ὃ 
αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ 4144 τιρὸς τὸ ἀπὸ τῆς συγκειμένης 
ἔχ τε τῆς δυναμένης τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ B4 xai τῆς δυναμέ- 
νης τὸ ὑπὸ τῶν 48 L4. 

119 Τὸ πρῶτον διωρισμένης τομῆς ἔχει προβλήματα c, 
ἐπιτάγματα ις΄, διορισμοὺς δὲ ε΄, ὧν μέγιστοι μὲν δ΄, ἐλά- 
χιστος δὲ α΄. καὶ εἰσὶν μέγιστοι μὲν Ó τε κατὰ τὸ β' ἐπί- 
ταγμα τοῦ [| προβλήματος καὶ ὃ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ τε- 
τάρτου προβλήματος καὶ ὁ κατὰ τὸ τρίτον τοῦ πέμπτου 
xai Ó κατὰ τὸ τρίτον τοῦ ἕχτου, ἐλάχιστος δὲ ὃ κατὰ τὸ 
τρίτον ἐπίταγμα τοῦ τρίτου προβλήματος. τὸ δὲ δεύτερον 
διωρισμένης ἔχει προβλήματα τρία, ἐπιτάγματα 9', διο- 
ρισμοὺς y, ὧν ἐλάχιστοι μὲν δύο, μέγιστος δὲ α΄. καὶ 
εἰσὶν ἐλάχιστοι μὲν ὃ τε κατὰ τὸ τρίτον τοῦ πρώτου xai 
Ó κατὰ τὸ τρίτον τοῦ δευτέρου, μέγιστος δὲ ὃ κατὰ τὸ y 
τοῦ y προβλήματος. 


Νεύσεων πρῶτον. 
“ῆμμα χρήσιμον εἰς τὸ τιρῶτον πρόβλημα. 


120 α΄. Ἔστω μείζων ἡ 4B τῆς P4, καὶ ἴσον τὸ ὑπὴ 
AEB τῷ ὑπὸ UZA: ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ 4E τῆς ΓΖ. 

Καὶ τετμήσϑω ἕκατέρα τῶν 4B Γ4 δίχα καϑ᾽ ἕχά- 

vega. τῶν H O σημείων: φανερὸν δὴ ὅτι μείζων ἐστὶν ἣ 

ΗΒ τῆς O4. ἐπεὶ οὖν ἴσον μέν ἐστιν τὸ ὑπὸ 4ΕΒ τῷ 

ὑπὸ ΓΖΖΩ͂, μεῖζον δὲ τὸ ἀπὸ ΗΒ τοῦ ἀπὸ O4, μεῖζον 


4. πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΘ Co pro πρὸς τὸ ἀπὸ ἘΔ τὰ O4 TH 5, 
distinx. BS — 9. roig OT' A, distinx. BS 8. ἀπὸ add. Hu 6. tt 
τὸ Hu pro ro τὲέῪ xei ἢ Hu pro χαὶ ' 7. τὸ ὑπὸ .4B ΓΖ Co pro 
τὸ ὑπὸ “ΒΓ 9. ὑπὸ τῶν 4Γ B.f Co in Lat. versione, ὑπὸ τῶν 


LIBER ΥἹΙ. PROPOS. 65. i11 


— G€? : &9?, sive, quia inter parallelas αϑ 
Óx esl a6 : EO. zx αὖ: x9, 
Ξ- αὖ : ϑχ3, 
Ergo singularis ac minima ratio est αὖ; 9x?. Sed est 
Ja - ϑὴ - 9x, sive, quia propler superius lemma X1X 
est 91? — αγ- βδ atque yx? — a[)-ó, 
— γαγ- βὸ 4- γαβ.γδ; 
taque singularis ac maxima ratio est 
a? : (Vay-ó -- Vag-yój?. 

Primus liber sectionis determinatae habet problemata sex, 
epitagmata sedecim, determinationes quinque, quarum ma- 
ximae sunt quattuor, minima una. Suntque maximae ad 
secundum epitagma secundi problematis, ad tertium quarti 
problematis, ad terium quinti, ad tertium sexti; minima 
autem ad tertium epitagma tertii problematis. Secundus li- 
ber sectionis determinatae habet problemata tria, epilagmata 
novem, delerminationes tres, quarum minimae sunt duae, 
maxima una. Suntque minimae ad tertium epitagma primi 
problematis οὐ ad tertium secundi, maxima autem ad lertium 
lertii problematis. 


LEMMATA IN INCLINATIONUM LIBRUM PRIMUM. 


Lemma utile ad primum problema. 


Sit ef *» yÓ, οἱ ae e — γξ- CÓ; dico esse ae Ὁ γξ. Prop. 
Bifariam secelur αβ in 
pum osque s. ae soa puneto ἢ, eb γδ in 9; ap- 
ue 7 f ^ paret igitur esse nf *» 99. 
0» "^ ^t lam quia ex hypolhesi est 
ἀε- εβ — γξ' ξδ, εἰ 18 
ϑδ, est igitur 





ABI A A, ὑπὸ τῶν of yÀ BS 40. τῶν .4BI4 A, distinx. BS 
|4—83. conf. supra cap. 40 4149. 43. ἐλάχιστοι δὲ & A, ἐλάχιστος δὲ 
4g BS 46. ἐλάχιστοι δὲ οἵ ABS, corr. Ge auctore Co 18. refe A? 
)X 1ρι» 91. τὸ y' Hu 4 pro τὸν 25. « ΑἹ in marg. (BS) ἡ «f 
 $? APT AB — 38. τῶν Θ σημείων AB (in A : super σ᾽ additum vide- 
ur), τῶν 9 σημείων S, corr. Hu δὴ óx^Ti ἃ 


121 


112 ΠΛΠΠΟΥ ZYNATOTH2 Z. 


ἄρα xal τὸ ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀτιὸ HB, τοῦ ὑπὸ lZA 

ξτὰ τοῦ ἀπὸ Of. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ EB μετὰ τοῦ ἀπὸ 

ΗΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ HE, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΖΖἍ μετὰ τοῦ 

&z6 O4 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ZO- μεῖζον ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ 

ἀπὸ HE τοῦ ἀπὸ OZ, ὥστε uel ων ἐστὶν ἡ HE τῆς ΘΖ. 
ἔστιν δὲ καὶ ἡ 4H τῆς ΓΘ μείξων " ὕλη ἄρα 7 4E ὕλης 

τῆς ΓΖ ἐστὶν μείων. 

Ὁμοίως δὲ καί, ἐὰν ἐλάσσων ἢ ἡ -4B τῆς ΓΖ, καὶ toov 
τὸ ὑπὸ ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΖΑ, ἐλάσσων ἔσται ὅλη ἡ .41 ὅλης 
τῆς ΓΖ. 10« 

Ἔστω μείζων ἡ .4B τῆς L4, καὶ τετμήσϑω δίχα 
ἡ L4 κατὰ τὸ Ε' φανερὸν μὲν οὖν ὅτι δυνατόν ἐστιν τῷ 
ὑπὸ τῶν DE E4 ἴσον παρὰ τὴν .4B παραβαλεῖν. τὸ μὲν 
γὰρ ὑπὸ ΓΕΖ ἴσον τῷ ἀπὸ DE, τὸ δὲ ἀπὸ ΤῈ ἔλασσόν 
ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς 4B. παραβεβλήσϑω, καὶ 5 
ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν .4ZB, καὶ ἔστω μείζων ἡ .4Z τῆς ZB: 
πάλιν δὴ φανερὸν ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ .4Z τῆς ΤῈ, ἐλάσ- 
σων δὲ ἡ ΒΖ τῆς EA. 

Ἢ μὲν γὰρ .412 τῆς μείζονος μείζων ἐστὶν ἢ ἡμίσεια, 
ἡ δὲ ΓΕ τῆς ἐλάσσονός ἐστιν ἡμίσεια [ὡς δὲ ἡ .,42 πρὸς 0 
τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΖΒ]: μείζων ἄρα ἐστὶν ἢ 
AZ τῆς ΓΕ, ὅπερ: — 


Y. Ἔστω δὴ πάλιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΖΒ τῷ ὑπὸ lEA, 
καὶ ἐλάσσων ᾿ἡ .48Β τῆς L4, xoi ἔτι ἐλάσσων μὲν ἡ AE 
τῆς ΕΓ, ἡ δὲ ΒΖ τῆς Z4: ὅτι καὶ ἡ 4Z τῆς ΓΕ ἐλάσ- 25 
σων ἐστίν. 

Τετμήσϑωσαν δὲ δίχα αἱ L4 AB χατὰ τὰ H O ση- 
pela: ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν καὶ 7, .,1 τῆς ΓΗ͂, ὥστε καὶ τὸ 
ἀπὸ .4 τοῦ ἀπὸ ΓΗ͂ ἐστὶν ἔλασσον. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ 40 





4. 9. HB, τοῦ ὑπὸ ΓΖΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ add. Co 8. τὸ δὲ ὑπὸ 
Z4 μετὰ ABS, corr. Co in Lat. versione 4. ἐστὶ (ante τῷ ἀπὸ) 
ABS ὅ. dore μεῖζον Α, corr. ΒΒ 9.10. τῆς ὅλης A, transpos. BS 

. β΄ add. BS 47. 48. ἔλασσον δὲ A, corr. BS 49. τῆς μεέζονός 
ἐστιν ἡμισεῖα A(BS), corr. Co 20. ἐστιν ἡμισείας À cod. Co, corr. 
BS Co 480. 34. óc δὲ — τὴν ZB ut aliena a simplicitate manifestae 


LIBER Vil. PROPOS. 66. 67. 718 


αξ. &() -- n? v» yC- CÓ - 90?. Sed est propter elem. 2, 6 
c6 - 6&9 -- n9? — ve?, el 
γζ. ζὃ -- 90? τ 90?; ergo etiam 
76? 5 90, 
ita ut sit ye ?» ϑζ. Sed est etiam o5 » γ9: ergo eliam 
tota ee maior est totà JC. 

Similiter etiam, si sit ap « γὸδ, et a&- e) — yC- CÓ, tola 
«& minor erit totà jc. 

Il. Sit op *» y, et bifariam secetur yÓ in e; apparet Prop. 
igitur fieri posse, ut rectangulo 7e-&Ó aequale rectangulum 
ad rectam af applicetur!). Est enim γε. δὃ - ye?, et ye? 
» (T Ἰ. Applicatum sit rectangulum aZ - C9, sitque αζ » Cg. 

Rursus igitur apparet esse 


, ab ye ei CB « εὐ. 

« é p Est enim αζ maior di- 
E ———————Ó——. 4 midià parte maioris, et γε 
» ; " Ρ 7 


est dimidia pars minoris ; 
ergo ab » γε, 4. e. d. 
Ml. Sit rursus aZ- C9 — γε: εὖ, et ag) « yó, nc prae- Prop. 
terea. δὲ « ἐγ, et Jb « Ca; dico esse etiam αζ « γε. 87 
Bifariam secetur yó in 
οι uncto ἡ, et «9 in puncto 
« $ 4 n Une Pin pun 
9; ergo est a9 « yr, ita- 
y 7 € Jj  queetiam a3? « »5?. Sed 
propler elem. 2, est a3? 


1) Id est, rectangulum construatur, cuius laterum uni angulo ad- 
iacentium summa sit — «8. Conf. etiam p. 775 adnot. 4. 


argumentalionis del. Hu 21. 29. μείζων — τῆς ΓΕ auctore Co add. 
Hu 423. 0nt0] ὁ A, ὅπερ ἔδει BS 23. y' add. BS 24. ἢ ante 
7 4B sdditum in AB del. S ἔτι Co pro ὅτε 485. ἡ δὲ ΒΖ Co pro 
ἐσειν δὲ ἡ ΒΖ ἑλασσον (sine spir. et acc.) A, corr. BS $6. post 
ἐστὶν add. ἡ δὲ ZB τῆς E4 μεέζων Co 47, τὰ HO A, distinx. BS 
28. ἔλασσον ἄρα A, corr. BS ὥστε Hu pro ἔστω 29. «nó 469 
Co pro ἀπὸ AZ ἄρα | 


714 ΠΑΠΠΟῸΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ἴσον ἐστὶν τῷ τὸ ὑπὸ τῶν AZB xai τῷ ἀπὸ ΖΘ, τὸ δὲ 
ἀπὸ l'H ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΓΕΖ καὶ τῷ ἀπὸ HE: xoi co 
ὑπὸ .4ZB ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ ZO ἐλασσόν ἐστιν τοῦ ὑτεὺ 
LEA μετὰ τοῦ ἀπὸ Η͂Ε. ὧν τὸ ὑπὸ .3.ΖΒ ἴσον ὑπόχειται 
τῷ ὑπὸ DE4d: λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΖ ἔλασσόν ἐστιν roi; 
ἀπὸ HE: ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΖ τῆς HE. ἣν δὲ xoi 

ἡ .1Θ τῆς ΓῊ ἐλάσσων: ὅλη ἄρα ἡ .4Z ὅλης τῆς ΓΕ 

ἐστὶν ἐλάσσων. ἢ δὲ λοιπὴ τῆς λοιπῆς μείζων, 


123 ὃ. Ἔστω δὴ πάλιν μείζων ἡ 4B τῆς DA, καὶ τετμή- 
σϑθω ἡ ΓΖά κατὰ τὸ E, ὥστε τὴν 4E τῆς ED μὴ εἶναι 1 
ἐλάσσονα" φανερὸν μὲν οὖν ὅτι δυνατόν ἐστιν τῷ ὑπὸ τῶν 
ΓΕΖ, ἴσον παρὰ τὴν .4B παραβαλεῖν ἐλλεῖττον τετραγώγψ. 

Ἐπεὶ γὰρ μὴ ἔστιν ἐλάσσων ἡ 4E τῆς EL, ἤτοι ἴση 
ἐστὶν αὐτῇ ἢ μείζων. καὶ εἰ μὲν ἴση, ἴσον τὸ ὑπὸ ΓΕΔ 
τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς D, ὥστε ἔλασσον τοῦ ἀπὸ τῆς 1" 
ἡμισείας τῆς 4,, εἰ δὲ μείζων, πολλῷ ἔλασσόν ἐστιν v0: 
ὑπὸ ΓΕΖ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς 4B (καὶ γὰρ τοῦ ἀπὺ 
τῆς ἡμισείας τῆς Df ἐστὶν ἔλασσον). δυνατὸν ἄρα ἐστὶν 
τῷ ὑπὸ τῶν DEA ἴσον παρὰ τὴν 41Β παραβαλεῖν ἐλλεῖ- 
πον τετραγώνῳ. jT 

Παραβεβλήσϑω, καὶ ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν AZB, καὶ v 
μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ .42Ζ: ὅτι δὴ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΒ 
τῆς ΓΕ. - 

Ἐπεὶ yàg ἡ 4E τῆς ED οὐκ ἔστιν ἐλάσσων, ἤτοι ἄρα 
ἴση ἐστὶν ἢ μείζων. ἔστω πρότερον i05 ἡ 4E τῇ EL.5 

4. 9. τῶν «(B xe) τῷ ἀπὸ (9. τὸ δὲ ἀπὸ yy ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ 
add. B, 4ZB καὶ τῷ ἀπὸ ΘΖ et reliqua perinde add. Co 4. uera 
τοῦ ἀπὸ HG ABS, corr. Co in Lat. versione ἴσον add. Hu auctore 
Co 8. ἐλάσσονος ἄρα AB, corr. S 9. δ΄ add. ΒΒ 40. 141. εἶναι 
ἔλασσον À, corr. BS — 44. δυνατὸν add. Co 448. τετραγώνῳ (Ὁ pro 
τετρώγωνον 48. μὴ) οὐχ Ge ἑλασσον (sine spir. et acc.) A(B). 
corr. S 44. ἴση add. Co ἴσον τοῦ ἃ, corr. BS, ἴσον ἐστὶ 10 Get 
45. 16. τῆς ΓΖ --- ἡμισείας om. S cod. Co 45. ἔλασσον] ἐλάσσονος 
ΑΒ, ἔλασσόν ἐσει Co 46. εἰ δὲ Co pro ἡ δὲ ἔλασσόν Co pro 
ἐλάσσονιός — 47. xci γὰρ B correctus, x«i P AB!S 48. δυνατὸν Co 
pro δὲ 419. ὑπὸ τῶι ΓΕΖ Δ, corr. BS. ἔσον Co pro ἴσθρ παρὰ 





LIBER VII. PROPOS. 68. 715 


— GC. LU -- C9?, et yp? — γε. εὃ -- ηε2; ergo etiam αζ' C8 
* £9? « γε. εδ - n&?. In quibus secundum hypothesin est 
αὗ. Cd τῷ γεν εὖ; ergo reliquum L9? minus est reliquo re?, 
itemegue C9 « ge. Sed erat etiam a9 « yp; ergo tota ot 
minO£ est totà γε. Item reliqua C9 maior reliquà e. 


AV. lam sit rursus a »» yÓ, ac γδ in punclo e ita se- Prop. 


Ceu πος, ut δὲ non minor sit quam ey; apparet igitur fieri posse, 
Ὁ! m-extangulo γὲ- εὖ aequale aliquod rectangulum deficiens 
quacli wato ad rectam of applicetur. 


Quoniam enim δὲ non 


E —— ——————————— le ——pL—-——. 


& t p minor est quam £y, aut ae- 
— qualis est ?psi &y aut eá- 
/ € Ü dem maior. AÀc primum, 


| si aequalis est, rectangu- 
ro —1 —-—— jum ye. εὃ aequale est qua- 
drato a dimidia yÓ, ideo- 
y tq δ que minus quam quadra- 
tum a dimidia af ; sin vero 
de ταν οἷον est quam £y, multo minus est rectangulum ye. &ó 
qua& 331 quadratum a dimidia a8 (quippe etiam propter elem. 6, 27 
mins est quam quadratum a dimidia yÓ). Potest igitur rec- 
tange walo γε - εὖ aequale rectangulum deficiens quadrato ad rec- 
tam — «x9 applicari 1). 

-Applicatum sit rectangulum oC. C9, sitque aC maius seg- 

men tum; dico esse LB « γε. 
. Quoniam enim δὲ non minor est quam ey, aut aequalis 
igi am est ipsi ey aut eádem maior. Sit primum δὲ — ey. 
^) Hoc sequitur ex elem. 6, 28; quamquam, si omnia explanare 
vellem, longa disputatione opus esset. Ne multa, dato rectangulo γε" ἐδ 
eequale construendum est eiusmodi, ut summa laterum uni angulo ad- 
iecentium aequalis sit datae rectae «f. Si igitur minus latus c appel- 


lmus, est γε. ε — eg-x — a?. Hinc rationem geometricam, quam 
Graecorum disciplina requirit, non difficile est constituere. 


-— 
- -— 
— —— 


τῆς 4B ABS, mendum nolavit V2, corr. Co 20. τετραγώνῳ Co pro 
τετραγωνον᾽ 44. δὴ Co pro δὲ . 23. τῆς ΓῈ bis scripla in A 
34. ἔλασσον (sine acc.) A, corr. BS 





» 


7710 ΠΛΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


€ 


ire οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς LA, xai ἔσει τῆς μὲν 
AB μείζων ἢ ἡμίσεια ἣ IZ, τῆς δὲ Ll ἡμίσεια ἡ AE, 
μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ .4Z τῆς AE. καὶ ἔστιν ὡς ἡ 4Z 
γερὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ AE πρὸς τὴν ZB: μείζων ἄρα xai 
ἡ ΓῈ τῆς ZB, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΒ τῆς ΓΕ. 

124 Ἔσιω δὲ μείζων $ JE τὴς EI, καὶ τετμήσϑω δίχα 
7? L4 xaxa τὸ Η σημεῖον, ἡ δὲ 4B δίχα κατὰ τὸ O ση- 
μεῖον. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ 4B τῆς ΓΖΩ͂, καὶ ἔστι τῆς 
μὲν .AB ἡμίσεια 7) OB, τῆς δὲ LA ἡμίσεια ἡ DH, μείζων 
ἄνα ἡ ΘΒ τῆς ΓΗ͂, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΘΒ τοῦ ἀπὸ ΓΗ͂Ν 
μεῖζόν ἐστιν. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀνιὸ OB ἴσον ἐστὶν τῷ τε ino 
ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΘ, τὸ δὲ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ τε 
ὑπὸ τῶν DEZ καὶ τῷ duo τῆς EH: μεῖζον ἄρα ἐστὶν τὸ 
ὑπὸ ZB. μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΘ τοῦ vxo ΓΕΖ μετὰ τοῦ àni 
EH. ὧν τὸ ὑπὸ ZB ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΓΕ. λοι- " 
ztóv ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΖ μεῖζόκ ἐστιν τοῦ à: EH, ὥστε μεί- 
su» ἐστὶν ἢ ΘΖ τῆς EH. ἔστιν δὲ χαὶ ἡ ΑΘ «4c 4H 
μείζων: ὅλη ἄρα ἡ 412 ὕλης τὴς AE μείζων ἐσείν. καὶ 
ἔστιν ὡς ἡ .4Z πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ AE πρὸς τὴν ZB: 
μείζων ἄρα xai ἡἣ ΓΕ τῆς ΖΒ, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΖΒ} 
τῆς ΓΕ, ὕπερ: “- : 


Eig τὸ ς΄ πρόβλημα. 
125 ε΄. Ἔστω ἐλάσσων μὲν ἡ .4B τῆς L4, toov δὲ τὸ in 
τῶν ΑΕΒ τῷ ὑπὸ ΓΖΙ͂ ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ AE τῆς ΓΖ. 
Τετμήσθϑωσαν δίχα αἱ 41Β L4 κατὰ τὰ Θ Η σημεῖα ὃ 
ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΒ τῆς HA. imei οὖν τὸ μὲν ὑπὸ 
DIZ4 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΕΒ, τὸ δὲ ἀπὸ OB ἔλασσυν 
ἐστιν τοῦ ἀπὸ H4, τὸ ἄρα ὑπὸ .4EB μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΒ, 


2. ἢ (anle 1:0.) S, om. AB 4. πρὸς τὴν 4E οὕτως ἡ FE ABS, 
corr. Hu x«i om. BS δ. ἐστὶν ἡ ZO ABS, corr. Co in Lat. ver- 
sione 9. ἡμίσεια — ἡμίσει Co pro ἄρα — ἄρα 43. ΖΘ τὸ δὲ 
ἀπὸ bis scripta in ABS, mendum notavit V2, corr. Co 48. ὑπὸ add. 
Ge ἄρα À ex ὅρα 44. τοῦ ὑπὸ ΓΕΖ Co, τὸ ὑπὸ AEA AB, τῷ 
ὑπὸ αεὸ 8 49. τὴν 4E οὕτως ἡ 4B ABS, τὴν 4E οὕτως ἡ ΓΕ CO 


LIBER ViI[. PROPOS. 69. 711 


Quom» iam igilur est a 7» yÓ, et aC » 4 αβ, ergo est at » δε, 
et, quia factum est αζ' CB 


μ--- ——— — —————— — ———4 -—-.-4 ΞΞ ye: &Ó, est αἵ : γ8 ΞΞ 
« Á 05:00; ergo propter elem. 
y —d —3 5, 14 est etiam γε.» L8, 


itaque C9 « γε. 
ZSit autem δὲ *» ey, et bifariam secetur yÓ in puncto ἢ, 
el ag in puncto ϑ. Quo- 
niam igitur est a *» y, 


MM -—————À 
r (9 6C δ΄ e 985 —$op, et yp —. 
MM pL à 1yÓ, ergo est. 98 Ὁ yn, 
y £g. d itaque eliam 349? * y»: 


Sed est propter elem. 2, ὃ 
8? — at-.0C8 -, 9069, e - - 
yp? τῷ. γε. εὃ -- &€5?; ergo 
αζξ. CB -- 90? 0 γε. εὃ -- δὴ} in quibus secundum con- 
structionem est αἴ. CB. — γε. &ó, 
quibus subtractis restat 
90? 9 ey?; ergo ϑζ » en. 
Vera wn est etiam o9 p 0n; ergo a9 4- 95 9 Ón 4- 5e, id est 
α πες δὲ. Sed est secundum constructionem aU : ye — δε: Cg; 
C80 — propter elem. ὃ, 14 est γε *» cg, itaque Cg « γε, 
q. e. d. 


In sextum problema. 


Ἢ, Sit ag « yÓ, et ac eg — γξ. CÓ; dico esse ae « yC. Prop. 
69 
Bifariam secetur a6 


! in puncto 9, et yó in 





IE -—— ——L— ———3—— 
ea [A LÀ E puncto ἢ; ergo est 96 
MÀ pL —À4 δ. Quoniam ieitur 
j *o « 909. ὃ 
y 7 ^? est αε' εβ — yb. L0, et 
958? «; nÓ?, ergo est 


CUT. FH, — 30.94. xci ἡ ΓΕ 
23. €^ add. ΒΞ 94. ὑπὸ ΓΖ or: AB, corr. S φῦ. αἱ 4ΒΓΖ xat 
τὰ ΘΗ A, distinx. BS — 26. ἔλασσον A, corr. BS 

Pappus II. 20 











LIBER VII. PROPOS. 70. 719 


a£: E -ἰ 982 « y6- CÓ -- ἠδ, id est propter elem. 2, 6 
| 26€? « ηζ3, itaque 9e « ηζ. 
Ve aum est etiam αϑ' « yn; ergo a9 - 9e « yn -- yt, id est 
ce -—Xy 
Similiter etiam, si sit ag *» yÓ, demonstrabitur esse to- 
lar» ae maiorem totà γζ. 


Theorema suppletum in octavo problemate. 


VI. Si sit rhombus αδ, eiusque diametrus ultra angulum Prop. 
/ g»roducta βγε 1), et si rectarum (je ey media proportionalis n 
su natur eb, et centro & radioque εζ circulus describatur C9, 

e! producatur ày5, recta linea erit quae per puncta ἡ x 8 
wan sibit. 

Iungantur enim Àe &x fx xy ye. Quoniam igitur, ut in 
rhoznbo, anguli λγζ Cyx aequales iidemque ad utramque partem 
circuli diametri sunt, rectae Ày yx, utpote iuxta hos aequales 
angulos ad circumferentiam. circuli ductae, inter se aequales 
sunt2). Sed est etiam 4e — ex; ergo est [ γλε — L yxe. 
Sed est etiam / yÀe — L yye; ergo etiam [ ype — L γκε. 
Sed, quia ex hypothesi est eg : εζ — εζ : &y, οἱ ex — εζ, im 
similibus. igitur triangulis ex οἱ xey?) est etiam [ xe (sive 
79x) — [ yxe; ergo etiam [ yx — L yge. Sed est etiam 


. 4) Scriptura codicis ov διώμετρος ἡ ΒΓΕ rhombum quendam «7 
designare videtur. At vero ex demonstratione, quae sequitur, sponte 
apparet rhombi angulum esse y, non e; ideoque ipsam rhombi diame- 
ürum significari By, in eaque producla esse punctum e. lam prior ista 
9Pil!O , quam falsam esse dixi, etiam per figuram in codicibus tradita 
e$, «quae rhombum «t0B et ipsum ε circuli centrum exhibet. Contra 

orsleius p. 49 veram ralionem invenit, quae quidem ex ipsis etiam 
Graecis verbis, modo brevitatis interdum sane obscurae veterum ma- 
'hematicorum recordemur, eo quo supra posui modo elici potest. 


. 2) Verbis in codice addilis λῆμμα γάρ libentius caremus. Nam 
elsi tale quoddam lemma olim exstitisse minime negaverim, tamen 
SCPtor previtatis studiosus id perinde, ac plurima alia silentio omi- 
S8 videtur. Demonstrationem autem lemmatis supra significavi, quam 
QU? Tatione veteres peregerint, ambiguum est. Nostrotes quidem per 
queftum congruentiae theorema triangula λὲγ et xey aequalia ac similia 
€586 Statim intellegunt; at in Graecis initium theorematis factum esse 
QU6 8 ducla Aux, unde, adhibita elem. 3 propositione 3, apagogica ra- 
tone comprobatum-esse censeam triangula ÁAuy xuy orthogonia esse etc. 


93) Addita haec secundum V?; similiter llorsley p. 20. 
90* 


| 
Ε΄ 


780 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQTHZ Z. 


ἀλλὰ xai ἡ ὑπὸ ΗΙῈ τῇ ὑπὸ BI K ἴση ἐστίν λοιπὴ ἄρα 
ἡ ὑπὸ ΓΕΗ͂ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΓΚΒ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ ἢ vno 
ΓΈΗ μετὰ τῆς ὑπὸ ΚΗ δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν" χαὶ 
ἡ ὑπὸ ΓΚΒ ἄρα μετὰ τῆς ὑπὸ ΓΚΗ͂ γωνίας δυσὶν ὑρ- 
ϑαῖς ἴσαι εἰσίν". ὥστε εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν B KH» 
σημείων. 


[ήμμα χρήσιμον εἰς τὸ ἐπὶ τετραγώνων πεοιούντων τὰ 
αὐτὰ τῷ Oulu.) 

127 C. Ἔστω τετράγωνον τὸ 244, καὶ ἤχϑω ἡ BHE, xui 
αὐτῇ ὀρϑὴ ἤχϑω ἡ EZ: ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν I4 HE τετρά- 
γωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ZZ τετραγώνῳ. el 

Ἤχϑω διὰ τοῦ E τῇ T4 

v γ᾽ € παράλληλος ἡ ΕΘ' ὀρϑὴ 

| ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΘ γω- 
vía. ἔστιν δὲ xai ἡ ὑπὸ ΖΕΗ S 

γωνία ὀρϑή" ἴση ἄρα ἐστὶν 

ΝΟ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΗ͂ γωνία, τουτ- 

d γ᾽ ξ ἐστιν ἡ ὑπὸ 4 ΒΗ γωνία, τῇ 

ὑπὸ ΖΕΘ γωνίᾳ. ἔστιν δὲ 
zai ἡ ὑπὸ ZOE γωνία ὀρϑῇ τῇ ὑπὸ BAH ton, καὶ £o? 
ἴση ἣ EO τῇ Β4 ἴση ἄρα ἐστὶν xai ἡ EZ τῇ ΗΒ. ἐπεὶ 
δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν BE EZ τετραγώ- 
γοις, ὧν τὸ ὑπὸ ZB4 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ EBH (ἐν κύχλῳ 
γάρ ἐστιν τὰ 4 Z E H σημεῖα), λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ BZ4 
ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ BEH καὶ τῷ ἀπὸ ΕΖ τετραγώνῳ," 
τουτέστιν καὶ τῷ ἀπὸ BH τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ BEH 
μετὰ τοῦ ἀπὸ BH τετραγώνου τὸ ὑπὸ EBH ἐστὶν μετὰ 
τοῦ ἀπὸ EH: τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΖΖΩ͂ ἴσον ἐστὶν τῷ τε vno 






Ὃς 





&, γωνίας Ge pro γωνέα 5. τῶν BKH A, distinx. BS 1. 8. ἐπι 
τετράγωνον (super vs. πρόβλημα add. man. rec.) ποιοῦν τὰ | αὐτὸ 
τῶι ῥόμβωι A(B), δ΄ πρόβλημα ποιοῦν τὰ αὑτὰ τῷ ῥόμβῳ S, corr. Hu. 
9. &' add. BS 40. ὀρϑὴε (sine acc.) A, corr. BS 29V. τὰ 4Z8H 
A cod. Co, distinx. B, corr. S Co 26—38. ἀλλὰ τῷ — τετραγώνοι 
ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ EBH μετὰ τοῦ cel. Ge non perspecta Graecorum 
verborum structura 97. ἔστιν ὥρα μετὰ À, sed ἄρα expunctum 


LIBER ΥἹΙ. PROPOS. 71. 181 


2 ye — L Byx (uterque enim angulo ÀyB aequalis est) * ; ergo 
£n triangulis x8y et &py est ctiam [, yxp 2 L yey. | Sed, quia 
erat [, γηξ — L yxe, propter elem. 5, 24 igitur in. circulo. sunt 
puncta x y & ἡ, itaque*) anguli 7&5 -ἔ- yxy duobus vectis ae- 
quales sunt. Sed erat L yen — [ 7x9; ergo etiam anguli yx 
Ἔ yx5 duobus rectis aequales sunt, itaque recta est linea 
quae per puncta / x ἡ transit. 


(Lemma utile ad problema de quadratis quorum summa rhombo 
aequalis est !).] 


VII. Sit quadratum αὖ, et ducatur ne, eique | perpendi- "rop. 
cularis e£; dico esse γὸξ 4- ηε2 — δ, 

Ducatur per 8 rectae và parallela £9; rectus igitur est 
angulus γεϑ. Sed est etiam angulus Ce rectus; ergo angu- 
lus yen, id est angulus δβη, angulo ζ69 aequalis est. Sed 
est etiam ζϑε recto βδη aequalis, estque εϑ' rectae βδ aequa- 
lis; ergo in iriangulis ζ69 ηβδ etiam rectae εζ fm aequales 
sunt. Sed quoniam est 

pb? τῷ fe? -- &C?, sive 

BL- Bà - BC CÓ τε Be. βὴ -- Been - et, 
et quia, rectis angulis: neC et ηδξ, in circulo sunt puncta à 
ἕδη, itaque?) 85. 90 — fe- n; his igitur subtractis restat 

βζξ- ξδ τ, Be.en -- eL? 

ΞΞ fe.en 4 np. 
Sed est propler elem. 2, 3 βε' ey 2 n. me -- ηε2, ideoque 


4) "Quia anguli ηγε Ay sunt χατὰ χορυφὴν et anguli AyC Cyx ae- 
quales" V? ac similiter Co et Horsley. 

5) Sic demonstratio quam brevissime suppleta est. Multo prolixius 
Horsley p. 20 sq.: "Producta enim xy circulo iterum in » occurrat, et 
iungatur ev. Propter angulos vy3 5y9 aequales, aequales erunt y» γῆ. 
Sed ἐν — tg, et ey iriangulis utrisque sy» ἐγὴ letus commune. An- 
gulus igitur »ey — «ey, ac proinde ϑὲν ΞῷἉῥ ϑεη, et arcus v3 arcui $9 
aequalis. Angulus igitur yx: seu vxy angulo ϑέη aequalis. Duo igitur 
yen yx» duobus ye 5&9 ac proinde duobus rectis aequales sunt". 

4) Vide append. 
4) Quomodo hoc ex elem. 3, 36 veteres derivaverint, breviter 
significavimus supra p. 494 adnot. **, 


782 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTH? Z. 

EBH, τουτέστιν ὑπὸ ZB, καὶ τῷ ἀπὸ HE. κοινὸν agg- 
ρήσϑω τὸ ὑπὸ Β42Ζ: λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ Z4 ἴσον ἐστὶν 
τοῖς ἀπὸ τῶν B.4 HE, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ τῶν L4 HE 


τετραγώνοις. 
Πρόβλημα ὡς Ἡράκλειτος. ὃ 
128 η΄. Τετραγώνου ὄντος ϑέσει τοῦ 414 ποιεῖν δοϑεῖσαν 


τὴν ΕΖ νεύουσαν ἐπὶ τὸ B. 





I: ἐγονέτω,. καὶ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου τῇ ΒΕ ὀρϑογώνιος 
ἤχϑω j EH. ἐπεὶ οὖν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΩ ΖΕ τετράγωνα ἴσα 
ἐστὶν τῷ ἀπὸ AH τετραγώνῳ, δοϑέντα δὲ τὰ ἀπὸ wr" 
I4 ΖΕ (δοϑέντα γὰρ ἑκάτερα τῷ μεγέϑει), δοϑὲν ἄρα xai 
τὸ ἀπὸ ΔΉ" δοϑεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΉ τῷ μεγέϑει" χαὶ 
ὕλη ἄρα ἡ ΒΗ δέδοται τῷ μεγέϑει. ἀλλὰ καὶ τῇ ἔσει" 
δέδοται ἄρα τῇ ϑέσει τὸ ἐπὶ τῆς BH ἡμικύκλιον. καὶ ἔρ- 
χεται διὰ τοῦ E: τὸ E ἄρα ϑέσει περιφερείας ἅπτεται. 1 
ἀλλὰ καὶ ϑέσει εὐθείας τῆς 4E: δοϑὲν ἄρα ἐστίν. ἀλλὰ 
καὶ τὸ B ἐστὶν δοϑέν ϑέσει ἄρα ἐστὶν ἢ BE. 

129 Συντεθϑήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως: ἔστω τὸ μὲν 
τετράγωνον τὸ Α4, ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ O, καὶ τοῖς 
ἀπὸ τῶν D 4 O ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ τῆς 4H τετράγωνον" Y 
μείζων ἄρα ἐστὶν ἢ ΗΖΔ τῆς 4I, ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ H4 
AB μεῖζόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ 4Γ τὸ ἄρα imi τῆς BH $u- 
χύχλιον γραφόμενον ὑπερπεσεῖται vo Γ σημεῖον. γεγράφϑω, 


LIBER VII. PROPOS. 72. 783 


pe: δὴ 4- fu? z βη ne -t- Jy? -t- Ξε, sive (elem. l. c.) 
— e. βὴ -- 82, ergo est 
&Q - B -t- n&?, id est, ut supra demonstravimus, 
CB. βὸ -- yc?. Commune subtrahatur 90 - 0C; 
restat igitur 


ξζ΄ Cà 


OL? — 0? -- vys?, id est 
— y? 4- ne?. 


Problema, ut Heraclitus. 


VI. Si sit quadratum αὖ, efficere, ut data εζ, cuius Prop. 
lerP't&nus & sit in productá ay, alter autem terminus in recta 
/Ó; inclinet ad punctum f. 

Factum iam sit, et a puncto & rectae e perpendicularis 

dUCatur ep, Quoniam igitur propter superius lemma. est yà?- 
^ Ce -- wh et data sunt γὸΣ Ce? (utraque enim rectarum 
γὸ Cs magnitudine data est), datum est igitur etiam δη2. 
Uta est igitur Óz magnitudine; ergo etiam tota 9n magnitu- 
diQe data est. Sed eadem etiam positione; ergo semicircu- 
Ws super 97 positione datus est, qui, quoniam angulus per, 
Téctus est, per punctum 8 transit. Ergo punctum € positione 
Cireumferentiam tangit. Sed etiam rectam ee positione (an- 
9i; ergo datum est (dat. 25). Sed etiam 9 datum est; po- 
Sitione igitur data est pe. 

Componetur autem problema hoc modo. Sit quadratum a8, 
et data recta 9, et yà? -- 92 2» δη3. Est igitur ηὃ » Óy, itaque 
etiam ηδ. 0g * óy*. Ergo semicirculus super 87 descriptus 
punctum y superabit. Describatur, sitque xen, et produca- 





3. τὸ ὑπὸ BZd ABS, τὸ ὑπὸ (Of V?, corr. Co 8. τῶν BA4HE 
- γῶν ΓΖΔΉΕ A, distinx. BS 6. η΄ add. BS ϑέσει om. Co 
oU 44 ποιεῖν] toU 446 εἶναι ABS, τοῦ 44 ἐχβάλλειν ΑΓ ἐπὶ τὸ E 
3eal ποιεῖν Co 8. ὀρϑογώνιος) ὀρϑογώνιον εὐθεῖα γὰρ ABS, ὀρϑο- 
2 ώνιος εὐθεῖα, omisso γὰρ, Ge, ὀρϑὴ, omissis εὐθεῖα γὰρ, Co 5. ἴσα 
add. Co - 41. δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα τῶν ΓΖά ΖΕ τῷ μεγέϑει Hu, nisi 
forte haec parenthesis delenda est 43. περιφέρεια À cod. Co, corr. 
BS Co 46. 17. εὐθεῖα τῆς 4E δοθεῖσα ἄρα — δοϑεῖσα ϑέσει ABS, 
Corr. Co 20. τῶν ΓΖΘ ABS et sic posthac, distinx. Co 


784 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ Z. 


καὶ ἔστω τὸ BKEH, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ E, xoi 
ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΒΕ ΕΗ τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓάΑ͂ ΕΖ τε- 
, 2 AE M03 8 ' - 2 8v 

τράγωνα ioa ἐστὶν τῷ ἀπὸ H4 τετραγωνῳ. τῷ δὲ ἀπὸ 
4H ἴσα ἐτέϑη τὰ ἀπὸ τῶν L4 Θ τετράγωνα" ἴσα ἄρα 
ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν DL 4 Θ τετράγωνα τοῖς ἀπὸ τῶν [14 EZ,» 
e » , A M 2 bl ΄- Pj bl , » 
στε ἰσὸν ἔστίν τὸ G0 O τῷ ἀπὸ EZ τετραγωνῳ " 0g 
ἄρα ἐστὶν ἡ O τῇ ΕΖ. καὶ ἐστιν δοϑεῖσα ἡ EZ: ἡ EZ ἄρα 
ποιεῖ τὸ πρόβλημα. ΕΣ 

“έγω δὴ ὅτι καὶ μόνη. διήχϑω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ 
B4. εἰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ͂ ποιεῖ τὸ πρόβλημα, ἔσται ἴση 510 
ΝΑ͂ τῇ ΕΖ. μείζων δὲ ἡ ZB τῆς NB: ὕλη ἄρα ἡ B.4 
γη 7 » - e » » Ἢ ".«. 
ἐλάσσων ἔσται τῆς ΒΕ, ὅπερ ἄτοπον" ἔστιν γὰρ μείζων" 
οὐκ ἄρα ἡ ΒΑ ποιεῖ τὸ πρόβλημα" ἣ BE ἄρα μόνῃ. 

c M E -" H 3 ^- / ? 

Iva δὲ xoi ἐπιγνῶμεν, ποτέρα αὐτῶν μείζων, δείξο- 
μεν οὕτως ἐπεὶ μείζων ἐστὶν 17) μὲν 4B τῆς ΒΕ, ἡ δὲ ΒΖ 19 
τῆς BN, λοιπὴ ἄρα ἡ ΝΑ͂ τῆς ΖΕ μείζων ἐστίν. καὶ φα- 
νερὸν ὅτι αἰεὶ ἡ ἔγγιστα τοῦ Γ σημείου τῆς ἀπώτερον 
ἐλάσσων. 


"uuo χρήσιμον εἰς τὸν τοῦ 9' προβλήματος διορισμόν, 
ὡς ἐν τοῖς ἀρχαίοις. 

180 ϑ΄. Ἔστω ἴση ἡ ΒΑ͂ τῇ 41, καὶ τετμήσϑω ἢ ΒΓ δίχα 
χατὰ τὸ ,1 σημεῖον" ὅτι ἐλαχίστη ἐστὶν 7 ΒΓ πασῶν τῶν 
διὰ τοῦ 4 σημείου διαγομένων εὐϑειῶν. | 

Διήχϑω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἡ EZ, καὶ ἐχβεβλήσϑω ἡ 
AB ἐπὶ τὸ Z* ὅτι μείζων ἐστὲν ἢ ΕΖ τῆς ΓΒ. ἐπεὶ μεί- 3: 
ζων ἐστὶν 5» ὑπὸ .4BI γωνία, τουτέστιν v I, τῆς ὑπὸ 
BZE, δυνατόν ἐστιν τῇ ὑπὸ BZE ἴσην ἀπὸ τῆς Γ ἀφελεῖν. 


20 


----ς 


2. ἐπεζεύχϑω A, Corr. BS 2. 8. τετράγωνον ἴσον ἄρα ἔστιν À 
(B cod. Co), corr. S Co 3. post. HZ τετραγώνῳ add. διὰ τὸ ζ΄ cod. 
Paris. 2368 m. rec. S 7. ἡ EZB ἄρα A, corr. BS 40. 41. ἡ 
H4 AB cod. Co, corr. S Co 42. ἔσται τῆς Hu. pro ἐστὶν τῆς. 
44. post αὐτῶν add. τῶν νὰ (e cod. Paris. 2368 m. rec. S 16. τῆς 
ΖΗ μείζων AB, τῆς ὧν ᾿μείζων in suo codice legit Co, corr. S Co 
ἐστί ASBS 49. προβλήματος Hu auctore Horsleio p. 7 pro ϑεωρή- 
ματος 21. 9' add. ΒΒ | 28. διαγομένων S, αιἰαγομένων A(B) 
25. 96. τῆς ὑπὸ BEZE A, τῆς Bie, omisso ὑπὸ, BsS 





LIBER VII. PROPOS. 73. 185 


tur «y ad s, et iungantur fe em. Est igitur propter supe- 
rius lemma yÓ? -4- Ce? z- δη2. At suppositum est 07? — 0? 
4- J?; ergo est 9? — Le?, itaque 9 z Le. Estque data 9 ; 
itaque data etiam Le; ergo Ce problema efficit. 

Iam dico solam às problema efficere. Ducatur enim alia 
quaedam À infra punctum &. Si igitur etiam JÀ problema 
efficit, erit νὰ — Ce. Sed est ὃν « βζ ἢ; ergo tota À mi- 
nor erit quam je, quod absurdum est; est enim maior !). 
Ergo 94 non efficit problema; itaque sola βὲε. 

Verum ut eliam cognoscamus, utra harum rectarum ma- 
lor sit, sic demonstrabimus. Quoniam maior est Ag quam 
f€, ei ft quam fi», reliqua igitur »À maior est quam Ce**). 
EL apparet, quo quaeque recta propius accedit punctum γ, 
9O hanc ipsam minorem esse quam remotiorem?). 


Lenima utile δὰ noni problematis determinationem, ut apud veteres 
reperitur. 

IX. Sit fo — ay, et fy bifariam secetur in puncto ὃ; Prop. 
dico py minimam esse omnium rectarum quae per punctum 
ó ducuntur). — | 

Ducatur enim etiam alia quaedam e£, et producatur αὐ 
ad punctum £; dico esse eG *» yp. . Quoniam angulus ay, 
id es, «yg, maior est quam angulus βζδ, ab angulo αγβ po- 
VéSt angulus aequalis angulo βζε auferri. Sit ὁ àym — ( fite; 


**) "Quia angulus g»z est obtusus eo quod angulus d est rectus" V2; 
"'*SDicit igitur triangulum 8»£ et Eucl. elem. 4, 49. 
..1J "Quia angulus « est rectus, angulus βελ est obtusus. ergo f 
'Dàior. quam ge" V2. Ad incredibiles ambages aberrat Co. 


n "**) Scilicet si esset AB — fe, foret vÀ  ζε; ergo, quoniam est 
8 Be, multo est νὰ Ὁ Ge. 
*) Ex hac determinatione derivatur etiam is casus, quem scriptor 
*UPra omisit, scilicet si in eádem figurá recta 84 ducatur intra puncta 
y et €. ' . 
3) "In omni triangulo isoscele rectarum omnium, quae per punc- 
"Um  daseos medium ductae lateribus intercipiuntur, basis minima est" 
Hors ley p. 42. 


- 


786 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ Z. 


ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ A4LH γωνία: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Z. 
πρὸς τὴν 4B, οὕτως ἡ L4 πρὸς τὴν 4“}2|. μείζων δὲ 
Z4 τῆς. 4B* μείζων ἄρα κα 
a ἡ L4 τῆς ΖΗ. ἐπεὶ οὖν uet 
ζων ἐστὲν ἡ Z4 τῆς 48, τουτ 
ἔστιν τῆς 4T, ἀλλὰ ἡ AT τῇ 
ΔΉ μείζων ἐστίν, μεγίστη ἄρ 
ἐστὶν ἡ ZA, ἐλαχίστη δὲ 7, ΔΗ 
ἐπεὶ οὖν τέσσαρες εὐϑεῖα 
ἀνάλογόν εἰσιν αἴ Z4 4i 
AT AH, καὶ ἔστιν μεγίστ 
μὲν ἡ Z4, ἐλαχίστη δὲ ἡ 4H 
μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ZH τῇ 
ΒΓ, ὥστε 1) ΒΓ, ἐλάσσων ov 
σα τῆς ΖΗ, πολλῷ ἐλάσσω 
ἐστὶν τῆς ΕΖ. ὁμοίως δείξο 
μὲν ὅτι καὶ πασῶν τῶν δι: 
τοῦ 44 διαγομένων εὐϑειῶ 
ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΒΓ. 

Ἢ ΒΓ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν πασῶν τῶν διὰ τοῦ 4 δια 
γομένων εὐθειῶν" λέγω δὴ ὕτι καὶ T) ἔγγιστα αὐτῆς τῇ 
ἀπώτερον ἐλάσσων ἐστίν. διήχϑω γάρ τις καὶ ἑτέρα ἣ OK 
καὶ τῇ K γωνίᾳ ἴση συνεστάτω 7 ὑπὸ 4.4 (δυνατὸν ydg) 
πάλιν δὴ μείζων ἡ μὲν ΚΑ τῆς Z4, ἡ δὲ EA τῆς 44 
ὥστε ὅλη ἡ ΚΑ μείζων ἐστὶν τῆς EZ: πολλῷ ἄρα μείζω 
ἡ ΘΚ τῆς EZ, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ΕΖ τῆς OK.  àÀac 
σων μὲν ἄρα ἐστὶν ἣ BI' πασῶν τῶν διὰ τοῦ 4 διαγομέ 
νων εὐθειῶν, ἡ δὲ ἔγγιστα αὐτῆς τῆς ἀττώτερον ἐλάσσων. 

131 v. Τούτου ὄντος, φανερὸς ὃ διορισμός. ἐὰν yàg ἐκ 
ϑώμεθϑα τὸν ῥόμβον τὸν M BIA, καὶ ἐπιζεύξας τὴν dz 
ἀγάγω αὐτῇ ὀρϑὴν τὴν ΕΖ συμπίπτουσαν ταῖς ΑΓ 4 
χατὰ τὰ E Ζ, δεῖ ue διορίζεαϑαι πότερον μεγίστη ἐστὶ 

ἢ ἐλάσσων πασῶν τῶν διὰ vob 4' διαγομένων εὐϑειῶν 

 xaL ἐπεὶ διαγώνιός ἐστιν ἡ dd, καὶ τῇ 414 ὀρϑὴ ἡ EZ 








4. αὐτῇ BS, αὐτὴ Α, αὐτὴ Ge 7. 8. μεγίστη --- ἡ 4H edd. C 
μεγίστη μὲν ac cetera perinde add. Hu 59, 10. εὐθεῖαε e ἀναλογο 


LIBER VII. PROPOS. 74. 181 


est igitur CÓ : ὃβ — yà : Óy. Est autem ζὸ 5 Of); ergo γὸ 
7^ Ónm. Quoniam igitur est CÓ  δβ, id est » Óy, et óy 
^ δὴ, maxima igitur est CÓ, et minima δη. Quoniam igitur 
quattuor rectae in proportione sunt ifa, ul sit CÓ : 0f) — Óy : Ov, 
(slque maxima CÓ et minima δὴ, propter elem. ὃ, 25 est 
ἰδ -«- δὴ» βὸ -- Oy, sive Un 7» βγ; itaque fy, quippe quae 
minor sit quam £y, multo minor erit quam £e. Similiter 
demionstrabimus omnium rectarum, quaecunque per punctum 
ὃ d'ucuntur, minimam esse y. 

Minima igitur gy» est omnium rectarum, quaecunque per 
Puactum δ᾽ ducuntur. lam dico etiam propiorem quamque 
mit€»rem esse remotiore. Ducatur enim etiam alia quaedam 
X9), et construatur { δελ — [ ὄχζ (quod fieri potest). lam 
'UFS$ws ést xÓ 7» CÓ, et εὖ 5 δλΆ, et sunt in proportione κὃ : ζὃ 
— εό: δ; ilaque, ut supra, κὸ -- δὰ Ὁ LÓ - δε, sive xA 
Le. Multo igitur maior est x9 quam Ce, itaque Ze minor 
qua &m x3. Ergo Jy minima est omnium rectarum, quaecunque 
Pé* punctum ὃ ducuntur, et propior quaeque minor remotiore. 

X. Quod cum ita sit, manifesta est determinatio. 

a Si enim ponam rhombum 
αβὸγ, et iungam a6, eique per- 
pendicularem ducam &&, quac 
productas ay ap) in punctis e C 
secet, determinandum mihi est, 
sitne εζ maxima an minima 
omnium rectarum, quae per 
punctum ὃ ducuntur. Et quo- 
niam diagonalis est «à, eique 

ε perpendicularis εζ, factum mihi 





P 

2 

-᾽. 

ME) , corr. S 44. ἔστι ASBS 48. μείζον À, corr. BS 44. οὖσα Co, 

ἐστ €, α (ἐστὶ BS) 44. 45. ἐλάσσων ἐστὶ τῆς (y πολλῷ ἄρα ἐλάσσων 
S 41. διὰ Ge auctore Co pro ἀπὸ 20. 21. 'H BT' — εὐθειῶν om. 
(0 — 24.925. τῆς 4.1 στε AB, corr. S 28. ἡ δὲ S, αἱ δὲ AB, aie δ᾽ 
ἢ Coni, Hu 99. ε΄ add. ΒΒ ἐχϑῶμαι θ΄. 30. τὸν 4185Γ Hu 
88. χατὰ τὰ EZ AV, κατὰ τὸ εξ B, distinx. Paris. 2368 S μεγίστης 


d 


Prop. 
74 


132 


788 ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTHZ Z. 


γέγονέ μοι ἰσοσκελὲς τρίγωνον τὸ E-4Z ἴσην ἔχον τὴν a 


τῇ 4Z. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα γίνεται ἡ FE. 
ἐλάσσων ττασῶν τῶν διὰ τοῦ .7 διαγομένων εὐθειῶν, χε «ἡ 


? e ) 5).»ὃϑ -» - , 
αἰεὶ v, ἔγγιον αὐτῆς τῆς ἀπώτερον ἐλάσσων. 


Νεύσεων δεύτερον. 
Ἡμικχκύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς 4B, διήχϑω τυχοῦσα 


7 
3 
4E, καὶ ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετοι αἱ 444 BE: ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ 


- AZ τῇ HE. 


133 


134 


» ^ . Li « 
Εἰλήφϑω τὸ τοῦ ἡμικυχλίου κέντρον τὸ Θ, xol ἐπὶ τῇ» 


4E κάϑετος ἤχϑω ἣ OK-* παράλληλος ἄρα ἐστὶν ταῖς 4.7!) 


ΒΕ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ. ἐπεὶ δὲ τρεῖς εἰσιν 
παράλληλοι αἵ 4444 ΘΚ ΒΕ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ 410 τῇ OB, 
ἴση ἄρα καὶ ἡ 4K τῇ KE. ὧν ἡ ΖΚ τῇ KH ἐστὶν ἴση 
λοιπὴ ἄρα ἡ ZZ λοιπῇ τῇ HE ἐστὶν ἴση. 

Καὶ φανερὸν ὅτι καὶ ἡ 4H τῇ EZ ἴση ἐστίν. L 

β΄. Ἔστω παλιν ἡμικύχλιον τὸ ἐπὶ τῆς 4B, καὶ ἐφα- 
πτομένη ἤχϑω ἡ L4 καὶ ἐκβεβλήσϑω, καὶ κάϑετοι ἐπ᾽ a 
τὴν αἱ 4Ε ΒΖ'᾽ ὅτι πάλιν. ἴση ἡ ΕΖ τῇ AZ. 

Ἔστω τὸ κέντρον τὸ H, xai ἐπεζεύχϑω ἡ AH* nat 
ἄλληλος ἄρα ἐστὶν ταῖς 4E ΒΖ (γίνονται γὰρ ὀρϑαὶ αἱἢ 
πρὸς τῷ 4 γωνίαι). ἐπεὶ οὖν τρεῖς παράλληλοι αἱ AE 


H4 ΒΖ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΗ τῇ HB, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ 


ἡ E4 τῇ 42, ὅπερ: — 


Εἰς τὸ & πρόβλημα. 
. Ἔστω δύο ἡμικύχλια ἐπὶ τῆς ΑΓ τὰ ABE. AEZ,S 
καὶ d ἔστω ἴση ἢ 44 τῇ ΓΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ διήχϑω n Bl 
ὅτε ἴση ἐστὲν καὶ ἡ BE τῇ ΗΓ. 


2. προσγεγραμμένον À,: corr. BS 4. αἰεὶ ἐγγέιον À, corr. BS 
αὐτῆς om. Paris. 2368 5. δεύτερον AB, πρῶτον S cod. Co — 6.6 
A! in marg. (B S) 6. 7. ad τυχοῦσα add. ἐφαπτομένη Md ac tum pos! 
εἴ 44 BE "sintque £ ἡ aequaliter distantia a contactu x", quae aliena 
sunt a proposito 7. post .44 BE add. 25 B, 3x cod. Co ὅτι 
add. Ge 9. τὸ τοῦ O ABS, τὸ xévrQov τὸ Θ Co, τὸ τοῦ xvuxAov xiv- 
τρον τὸ 9 V2, corr. Hu xci add. Ge auctore Co ^ 49. αἱ 448 
KBE A, distinx. BS 14. Aout τῆι ΗΘ A(B), corr. S — 46. β΄ add. BS 





ὄ 


LIBER VII. PROPOS. 75. 76. 77. 789 


: es&& — üsosceles triangulum «oZ aequalibus lateribus ee aoc. 
Prop»ter superius igitur lemma est ez minima omnium recta- 
rum» , quae per punctum ὃ ducuntur, et semper propior est 
mino Ε' remotiore. ' 


LEMMATA IN INCLINATIONUM LIBRUM SECUNDUM. 


X. Sit semicirculus super eg, et ducatur quaelibet recta 
δὲ 2 £e, ut. semicirculum secel in punctis 5 et ἡ, in eaque per- 
pencliculares δὰ εβ; dico esse ὃζ — me. 

Sumatur semicirculi 
centrum 9, et rectae δὲ 
perpendicularis | ducatur 
x9; haec igitur parallela 
est rectis αὖ θὲ, et est 
propter elem. 5, 5 ix — 





(ξ D f κη. Sed quia tres paral-. 


lelae sunt aó 9x ge, est 
igilur. o9 : 98 τὸ Óx : xe, et quoniam est a9 — 340, est igi- 
ür Óx — xe. Et erat Cx — xn; restat igitur Ó5 — ve. 
Et apparet esse etiam δὴ — Ce. 
WM. Sit rursus semicirculus super o9, et tangens duca- 
wur 7à producaturque ad punctum e, sintque huic rectae per- 
pendiculares £* C9; dico rursus esse εὖ — Ó;. 


Prop. 
13 


Prop. 
16 


Sit semicirculi cen- 


trum ἢ, et iungatur à, 
quae, quoniam anguli 
ad δ recti sunt, paral- 
lela est rectis εὰ C. 
lam quia tres sunt pa- 
rallelae ae ró £z, est- 
Qué c7 — ηβ, est igitur eliam εὖ — OC, 4. e. d. 





In quintum problema. 


Ill. Sint super ey duo semicirculi «7 δεῖ, sitque αὃ — Prop. 


D eta puncto y ducatur recta 79e; dico esse ge - wy. 


--.- 


30. ταῖς 4E EZ ABS, corr. V? (item Co in Lat. versione) 25. y' add. BS 


117 


N 


790 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΙῊΣ Z. 


3 “ 
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν Ü 4 4 τῇ ΓΖ, περὶ τὸ αὐτὸ xévzgoo 
M M € , 4 A e 
ἐστὶν τὰ ἡμικύχλια. εἰληήφϑω γὰρ τὸ κέντρον τῶν ἡμε»τΖ’- 
κλίων τὸ O, xai αὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν EH κάϑετος ἤχϑω ἡ OK: 
ἰσὴ ἄρα ἐστὶν ἡ EK τῇ ΚΗ. ἐπεζεύχϑω οὖν ἡ 418. καὶ 
ἐπεὶ παράλληλοΐ εἰσιν αἱ 4B ΘΚ, καὶ ἔσειν ἴσῃ ἡ A0 τῇ 
ν M LJ γον € F ^ 
OT, ἴσῃ ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ BK τῇ Kl. ὧν ἡ EK τῇ KH ioi 
ἐστίν" λοιὴ ἄρα ἡ BE λοιττῇ vij ΗΓ ἐστὶν ἴση, ὅπερ: .- 
Φανερὸν δὴ ὕτι καὶ ἣ BH τῇ ΕΙ᾽ ἐστὶν ἴση. 

135 ὃ. Ἔστω δὴ πάλιν τὰ ΑΒΓ AEZ ἡμικύκλια, xai an 
τοῦ Γ ἤχϑω ἐφαπτομένη τυῦ A4EZ ἡ FE καὶ ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ" 
τὸ B- ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ BE τῇ ET, ἴσης οὔσης τῆς 422 τῇ ZT. 

Φανερὸν ὅτι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον εἰσὶν τὰ ἡμιχύχλια. 
? , , 4 [d Ld € , i M) 
εἰλήφϑω πάλιν τὸ κέντρον τῶν ἡμιχυχλίων τὸ H, xai ἐπε- 
ζεύχϑωσαν αἱ ΗΕ 418’ ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ E γω- 
vía. ἀλλὰ xai ἡ ττρὸς τῷ Β' παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ 418} 
τῇ EH. καὶ toy ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΓΗ ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ 
n BE τῇ ET, ὕπερ: — 
Eig τὸ ἕβδομον. 
136 ε΄. Ἔστω "τάλιν τὰ ΑΒΓ AEZ ἡμικύκλια, καὶ ἔστω 
-- ἴση ἢ 44 τῇ ZI, xai 
προσαναγεγράφϑω ὁ 
J ; * M 
μείζων κύκλος, καὶ διά 
τοῦ Z: ἤχϑω τις ἡ ΒΗ’ 

et » *? LY € , 

0tL (05 é&oviv » BL 

τῇ ZH. 2 





à u , Ἔστω τὸ χέντρον 
" τὸ Θ, xai ἀπὸ τοῦ O 
" / &ni τὴν ΒΗ xi eros. 
» ἤχϑὼω ἢ OK: τσὴ ac 
E 2 ἐστὶν ἡ BK τῇ KH." 
-. ὦ 


ἐπεζεύχϑω δὴ ἢ E4. 





3. τὴν EH] τῶν ΕΠ Α, τῶν ev B, τῆς qe S, τὴν qe Ge 8. Φα- 
νερὸν — ἴση in ABS ante ὅπερ inserla transposuit Hu 9. δ΄ et 19. &' add. 
DS 31. προσαναγεγράφϑω Hu, προσαναγεγριμι μένος ABS, z0oGcra- 
γεγραμμένος ᾿ἔστω Friedlein  Literarisches Centralblalt a. 4874 p. 7M. 
προσαναπεπληρώσϑω Ge. — 23. ToU Z4 AB, τοῦ δὲ S cod, Co, corr. V? Cu 


LIBER Vii. PROPOS. 78. 79. 191 


Quoniam enim est αὖ — γζ, semicirculi circa idem cen- 
wum sunt. lam su-. 
BN matur centrum 39, et 
^ a puncto J rectae £n 
perpendicularis duca- 


EM tur x9; est igilur prop- 
/ E A ter elem. 5, 5 &x zx. 

Iungatur ag. Iam quia 
| parallelae sunt ag 3x, 
eSiqUa e αϑ — 3», est igilur gx — xy"). Et erat ex — κῃ; 
restzw t, ipitur ge — my, 4. e. d. 

Et apparet esse etiam βὴ — ey. 

dV. Sint rursus semicirculi o7 δεῖ, ela puncto 7 du- Prop. 
cal a- γε tangens semicirculum óez producaturque ad 9 punc- 1 
Ih — sectionis cum altero semicirculo; dico esse βὲ — &y, ma- 
Res superiore hypothesi, qua statuimus esse αὖ — Cy. 

Apparet semicir- 
culos circa idem cen- 
trum esse. Rursus su- 
matur semicirculorum 
centrum 7, et iungan- 
tur ye ap.  Recti igi- 
tur sunt anguli ad Ἢ 
et 9, itaque parallelae 
sunt ag ne. Et est 
αἢ —— my; ergo est eliam je — &y, 4. e. d. 


—m— m U——M———— 








In septimum problerma. 


V. Sint rursus semicirculi ay δεζ, sitque αὖ — Cy, οἱ Prop. 
c pleatur maior circulus, et ?n eo circulo per & ducatur 
feta quaedam fp secans semicirculum. δὲς in puncto €; dico 
esse θὲ — Cy. 

Sit centrum 9, et a puncto 9. rectae 95. perpendicularis 
"ducatur Ox; est igitur propler elem. 5, 5 Bx - xn. ]lun- 

*) Hic ad ambages aberravit scriptor; est enim in ipso semicirculo 


"By, parallelis non adhibitis, 8x — xy. Quam demonstrandi rationem 
recte sequitür Horsley p. 27. 


792 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ἐπεὶ οὖν “παράλληλοί εἰσιν αἱ AE ΘΚ, καὶ ἔστιν ἴση ἧ EL 
τῇ ΘΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν xai ἡ EK τῇ ΚΖ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλ. 
! BK ὅλῃ τῇ KH ἴση" domi ἄρα ἡ BE λοιπῇ τῇ ZH ἴα 
ἐστίν, ὕπερ: “- 

Φανερὸν ὅτι καὶ ἡ ΒΖ τῇ EH ἴση ἐστίν. 


Εἰς τὸ 9΄. 
137 ς΄. Ἔστω δίο ἡμιχύκλια τὰ 4181 4ΕΖ, καὶ τῇ 4: 
ἴσῃ κείσϑω ἡ ZH, καὶ διαχϑείσης τῆς ΒΓ ἀπὸ τοῦ Η ἐπ 
αὐτὴν χάϑετος ἤχϑω 7 HO- ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ BE τῇ KO. 
Εἰλήφϑω τὸ κέν» 
τρον τοῦ 4Ε2Ζ wue 
χυχλίου τὸ .1, κα 
ἀπὸ τοῦ .1 ἐπὶ τῇ 
ΚΕ κάϑετος ἤχϑω 
"4M ἴση ἄρα ἐστά 
ἡ EM τῇ MK. ἐπα 
δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲ 
“442 τῇ ΖΗ, ἡ δὲ 4- 
τῇ AZ, ὕλη ἄρα ἡ Α, 41 ὕλῃ τῇ «ΔΗ ἴση ἐστίν. καὶ εἰσά 
τρεὶς παράλληλοι αἱ 4B MA ΘΗ. ἴση ἄρα καὶ ἡ BM τ 
MO. ov ἡ EM τὴ MK ἴση ἐστίν" λοιπὴ ἄρα ἢ BE Aour 
τῇ ΚΘ ἴση ἐστίν. 
Φανερὸν δὴ ὅτι καὶ ἣ ΒΚ τῇ ΕΘ ἴση ἐστίν. 
138 ζ΄. TOv αὐτῷν ὑποχειμένων ἐφαπτέσϑω ἡ Bl τὸ 
4ΕΖ ἡμικυκλίου" ὅτι πάλιν ἡ BE τῇ EO ἴση ἐστίν. 

Πάλιν εἰλήφϑω τὸ κέντρον τοῦ .1EZ ἡμιχυχλίου T 
«1, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΧΕ’ κάϑετος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν BI. 
χαὶ γεγόνασιν τρεῖς παράλληλοι αἱ 4 Ε. HO, καὶ ἔστι 
ἴση ἡ 4111 τῇ AH: ἴση ἄρα xoi ἡ ΒΕ τῇ ΕΘ, ὅπερ: “- 





Εἰς τὸ γ΄. 
189 v. Ἔστω δύο ἡμικύχλια τὰ ΑΒΓ AEZ, καὶ ἔστι 








. ἴση ὥρα Co pro ὅλη γάρ (ἴση p ὅλη corr. etiam V2) 5. por 
? nz add. τὴι EZ ἐστιν A(B), del. post ἴση ἐστίν repetunt ὅπε 
ABS 7. € A! in marg. (BS) 8. χείσϑω ἡ ΖΕ AB, corr. S 





LIBER VII. PROPOS. 80. 84. 82. 793 


βείπα r εὃ. - Quoniam igitur δὲ 9χ parallelae sunt, οἱ δϑ — 


ϑζ. est igitur etiam ex — κζ ἢ. Sed erat etiam fx — x; 
res€zet igitur βὲ — Cv, 4. e. d. 


Apparet esse etiam Q0 — em. 


In nonum problema. 


VI. Sint duo semicirculi egy δεξζ, et ponatur ζη — a6; TP. 

ducza tur fJ» secans semicirculum δὲξ in punctis & et x, et ipsi 
By X»erpendicularis ducatur 95; dico esse βὲ — x93. 

Sumatur semicirculi óeC centrum 4, et a puncto ἃ rec- 
€x perpendicularis ducatur Au; est igitur, wt supra, &u 
— &£€x. Sed quoniam est αὃ — L9, et 0A — AZ, tota igitur 
αλ toti Àn aequalis est. Suntque tres parallelae ag Au 73; 
e?O etiam ju —  μϑ. Et erat eg — qx; restat igitur ge 
— c3. . 

Apparet esse etiam («x — ε9. 


VII. lisdem suppositis tangat 7; semicirculum δὲζ in Prop. 
p-c4o £; dico rursus esse je — ε9. M 


tae 


Rursus sumatur se- 
micirculi dez centrum 
À, et iungatur 22; haec 
igitur perpendicularis 
est reclae (y. Et fac- 
tae sunt tres paralle- 
lae a8 Àe 29, estque 
/ αλ τῷ λη; ergo etiam 

Be 2 εϑ, q. e. d. 


In octavum (vel fortasse decimum) problema. 


WII. Sint duo semicirculi egy δεζ, sitque αὃ « γζ, et Prop. 


**) Eadem ratione ac supra propos. 77 ad ambages descendit scrip- 
ἰοῦ, quod ad h. 1]. recte notat Co. 








1.45. ἡ ΧΗ AB, corr. S 49. τῇ 4H Co pro τῆι .4H — 94. τῆι ΜΑ͂ 
ἴση A(B), corr. S 24. &' add. BS ἐφάπτεται ABS, corr. V? Co 


35, αἱ 4B EK HO AB, corr. S 49. καὶ ἡ ZE AB, corr. 8 ὅπερ BS, 
0À 80. Εἰς τὸ Η A, εἰς τὸ ὄγδοον BS, εἰς τὸ ε΄ coni. Hu 31. 3 add. V 


Pappus II. 91 


794 ᾿ς ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ Z. 


ἐλάσσων ἡ 444 τῆς ΓΖ, καὶ τῇ d. ἴση κείσϑω ἡ ΓῚ 
xai προσαναπεπληρώσϑω ὃ ΒΑ͂ΚΓ κύχλος, καὶ διήχέ 
τυχοῦσα ἡ ΒΚ, καὶ à; τοῦ H ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετος ἡ Hi 
ὅτι ἴση ἐστὶν 7 BE τῇ OK. 

Εἰλήφϑω ᾿ τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου τὸ 44, xai d: 
rot 44 ἐπὶ τὴν EZ κάϑετος ἤχϑω J A4M - ἴση ἄρα ἐσι 
ἡ BM τῇ MK. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐσεὲν ἡ μὲν 4 τῇ AT, 
δὲ A44 τῇ ΗΓ, λοιπὴ ἄρα ἡ 44 λοιπῇ τῇ “ΠΗ ἐστὶν to 
xci εἰσὶ τρεῖς παράλληλοι αἱ 4 .1ΜΜΗΘ΄' ἴση ἄρα σι 
xai ἡ EM τῇ 3θ' ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ BM ὅλῃ τῇ Ἡ 
ἴση" λοιπὴ ἄρα ἡ BE λοιπῇ τῇ OK ἐστὶν ἴση. 

Φανερὺν δὲ ὅτι xai ἡ ΘΒ τῇ EK ἴση ἐστίν. 

Εἰς τὸ ιζ΄. 
140 ϑϑ΄. Τῶν αὐτῶν ὑποχειμένων ἔστω μείζων ἡ 4.1 τ 
ZI, xai αὐτῇ ἴση κείσϑω ἡ ZH, καὶ διαχϑείσης τῆς ΒΙ 
ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετος ἤχϑω ἡ ΗΘ: ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ BE τῇ Κι 





« 4 i τ γον 
)»? 


Εἰλήφϑω τὸ κέντρον τοῦ 4EZ ἡμικυκλίου τὸ 4, » 
ἀπ᾿ αὐτοῦ ἐπὶ τὴν EK κάϑετος ἡ ΑἹΙἹΠ᾿ ἴση ἄρα ἐστὶν 
EM τῇ MK. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν 4124 τῇ ΖΗ, ἢ 
44 τῇ AZ, ὕλη ἄρα ἡ IL ὅλῃ τῇ 4H ἐστὶν ἰση. x 
εἰσὶν πάλιν τρεῖς παράλληλοι αἱ B.4 Mf. ΗΘ' ἴση ἃ 
ἐστὶν καὶ 7 BM τῇ MO. ὧν v» EM τῇ MK ἐστὶν to 
λοιπὴ ἄρα ἡ BE “λοιπὴ τῇ ΚΘ ἐστὶν ἴση, ὅπερ: - 

Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ ἡ BK τῇ EO ἐστὶν ἴση. 


— —— ...-.....- 


3. ὁ ΒΑ KT A,coniunx. ΒΒ 3. ἡ ante τυχοῦσα additum in ABSc 


V 


LIBER VII. PROPOS. 883. . ᾿ 195 


ponatur yy — o, et compleatur circulus βαχγ, ducaturque 
quaelibet 8x per punctum C, eique perpendicularis a puncto 
ἢ recta 79; dico esse βὲ — 3x. 

| Sumatur circuli 
«ay centrum à, ah 
eoque rectae e per- 
pendicularis ducatur 
Àu; est igitur, ut su- 
pra, Qu τῷ μκ. Sed 
quoniam esl αλ — λγ, 
el αὃ — ηγ, restat 
igitur 9424. Sunt- 
que tres parallelae 
δὲ ἀμ 39; ergo est 
eliam ἐμ — μϑ ἢ. 
Sed erat etiam βμὶ 
— qx; restat igitur 
pe — 3x. 





Apparet esse etiam 939 ξξ ex. 


In decimum septimum problema. 

IX. lisdem suppositis sit αὖ.» Cy, ponaturque ζῃ — αὃ, Prop. 

Clucatur recta 979, semicirculum δεζ secans in punclis & 
el 2t, eique perpendicularis 29; dico esse βὲ — x39. 

Sumatur semicirculi δὲζ centrum ἃ, ab eoque rectae &z 

Pe nxendicularis ducatur A4; est igitur, wt supra, ἐμ — ux. 

4“ quoniam est αὃ — ζη, et δὰ — AZ, est etiam αλ — Ay. 

δὰ πὰ tque tres parallelae βὰ μλ n9; est igitur etiam gu — μϑ ἢ). 
Sel erat ἐμ — ux; restat igitur βὲ — xà, q. e. d. 

Apparet esse etiam jx — 629. 
Ἢ Est enim 94: eg — AC: μὲ, et λζι μὲ m ζη: 09 τε AC τ Cq i C 4- CO ; 
ὁδὶ igilur JÀ: ἐμ — 4n: u2, et quoniam est δὰ — λη, est etiam ἐμ — μϑ. 


**) Demonsiratio eadem est atque in superiore adnotatione. 
LLL 


Hu 4. xaà ante ἡ BE additum in AB del. S 8. ἄρα ἡ 4.4 AB, 

Corr. S 9. εἰσὶ ABS, εἰσὶν Hu. 492. καὶ ἡ EB AB, corr. 85 44. 4' 

add. Bs 46. ὅτι ASS, ἐπεὶ B cod. Co 47. τοῦ AEZLH Αἱ, corr. 

A? 8ς, φανερὸν — ἴση in ABS ante ὅπερ iuserta transposuit Hu 
91* 


el 


"LIBER VII. PROPOS. 84. 85. 791 


X. lisdem suppositis recta gy semicirculum de£ tangat Prop. 
in jQumncto €; dico esse βὲ — ε9. 

Sumatur rursus semicirculi δὲζ centrum 4, et iungatur, 
Àe; ergo haec perpendicularis est rectae 93. taque sunt 
ves parallelae af Ae 97, estque αλ — 4n; ergo etiam βὲ — εϑ. 


Problema utile ad synthesin decimi septimi problematis. 


XI. Positione dato semicirculo αϑγ, et ín diametro «y Prop. 
dato puncto ὃ, per punctum ὃ describatur semicirculus δὲζ 55 
ia, wt, si tangens Bey ducatur, recta βὲ ipsi «ó aequalis fiat. 





2 | & 7) 7 x 6 y 


Factum iam sit; est igitur αὖ : ey — fe: ey; ergo etiam 
P5? : εγὰ -- aói: ey Sed, si semicirculi δὲζ centrum ῃ su- 
matur, iungaturque ne, est!) e? : ey? — am? : yy?. Sed est 
ey! — ηγ3 — weh id est. — 72 — δη3; 
CSU agitur (si pro pe? reposueris a0?) a0? : py? — δη2 τῷ 
c7»? : py. Ponatur 2e — αὖ, et bifariam secetur ὅγ in 
PUncto x, lam quia a5? : yy? — a0? : yy? — δη2, per sub- 
(Tà^tà onem igitur est 
ejt iqyb- en — αδϑ : yy! — (ny? — 0r?) 
- a5? — αὖ : à», sive, quia propter elem. 2, 6 
est. o? — a? -- ϑη. δη, 
τὸ 395.0» : δη, id est 
z 975: δη; ergo est 
^ j Scilicet in similibus triangulis «gy et gey est Be : ey zs am : vy. 
--.- 
155. 4 €. τὸ ἀπὸ ZH πρὸς AB cod. Co, corr. S Co 46. ἡ τῶν ἀπὸ 


4H Ei, 48. οὕτω add. Ge 83. λοιπὴ πρὸς ante λοιπὸν ἄρα add. 
NBS. del. Co 


798 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


τὸ ἀπὸ HA, τουτέστιν ἡ OH πρὸς HA, ἐστὶν [ὡς εἷς τῶν“ 
λόγων] ὡς τὸ ἀπὸ 44 πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ ΔΉ ΗΓ ὑπερ--- 
οχήν, τουτέστιν πρὴς τὸ δὶς ὑπὸ 4Γ HK. κείσϑω otv 
τῷ ἀπὸ 4144 τετραγώνῳ ἴσον τὸ δὶς ὑπὸ 4Γ 4, δοϑὲνπ 
δὲ τὸ ἀπὸ 44 δοϑὲν ἄρα καὶ τὸ δὶς ὑτιὸ ΖΓ L4, ὥστε: 
καὶ τὸ ἅπαξ. xai ἔστιν δοϑεῖσα ἡ l4: δοϑεῖσα ἄρα ἐστὶν- 
χαὶ ἡ Δ. ἐπεὶ δέ ἔστιν ὡς ἡ HO πρὸς τὴν H4, οὕτως" 
τὸ ἀπὸ 414, τουτέστιν τὸ δὶς ὑπὸ ΑἹ AT, πρὸς τὸ ὃδὶς 
ὑπὸ 4“Γ ΗΚ, τουτέστιν 7) 4 πρὸς ΗΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ OHK- 
(gov τῷ ὑπὸ ΑΛ H4. καὶ εἰσὶν αἵ τρεῖς at Θά AK 41, 
δοϑεῖσαι" ἀπῆχκται ἄρα εἰς διωρισμένης o/* δεδομένων τριῶν" 
εὐθειῶν τῶν ΘΖ 4K 1 τεμεῖν τὴν ZA4K κατὰ τὸ H, καὶ — 
ποιεῖν λόγον τοῦ ὑπὸ OHK πρὸς τὸ ὑπὸ 4 H4 ἴσου πρὸς: 
ἴσον. τοῦτο δὲ φανερόν, καὶ ἔστιν ἀδιόριστον. δοϑὲν ἄρας 
τὸ H, καὶ κέντρον τοῦ AEZ ἡμιχυχλίου" ϑέσει ἄρα τὸ ἣμι---- 
χύχλιον. καὶ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Γ' ἧκται: ἐφαπτομένη n» 
BI: ϑέσει ἄρα 5$ ΒΓ [τὸ δ᾽ αὐτὸ ἁρμόσει τοῦ σημείοι-» 
χάτω], ὅπὲρ: “- 


143 ιβ΄. Συντεϑήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως : ἔστω τῶ» 
i 
9 ᾿ς d 7 Xx 6 y 


P * j 
μὲν ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοϑὲν τὸ Δ' xal δέον ἔστω “' 
χκιοιεῖν τὸ πρόβλημα. κείσϑω τῷ ἀπὸ dl τετραγώνῳ ἴσο» " 


4. ἡ ΘΝ πρὸς AB, corr. S 4. 9. ὡς εἷς τῶν λόγων del. Hu 
3. post τουτέστιν add. ro δὶς ὑπὸ 4Γ 4 Co ὑπὸ 4Γ HK Co, ὑπὸ 
ATH AB, ὑπὸ δγλ S 8. 4. χεέσϑω — ὑπὸ 4T 44 om. S cod. Co 
4; ὑπὸ AdI-4 A (ὑπὸ dya B), distinx. Ge — 5. ὑπὸ AI.4 ABS, distinx. 
Co 6. ἄρα ἐστὶ A*BS 8. ὑπὸ ΑΔΓ, distinx. BS 9. τουτέστιν 








LIBER VII. PROPOS. 85. 199 


2n: ηὃ τῷ a0? : gy? — àr?, id est 
| — a? : 20y- nx"). 
lam ponatur 2óy-À — a0?, datum autem est aó?; ergo etiam 
?0y.À datum, ideoque etiam óy.A. Et est data Óy; ergo 
eliam recta À data est. Sed quoniam est 
9n : ηὃ — a0? : 20y- yx, id est 
—21.ó0y :20y- yx, id est 
τὸ ἃ : ἢκ, ergo est 
9n- 9x τὸ λ. ηδ. 
Suntque tres rectae ϑὸ ὃχ À datae; reductum igitur est pro- 
blema, ad determinatae sectionis libri primi probl. III epi- 
l'agma, 111): * Datis tribus rectis ϑὺ dx À secetur ὃχ in puncto 
/ lta, ut fiat 9n. 7x : À- ηδ in proportione aequalis ad aequale 
(d ^ es, ϑη ηκ — λ' ηδ). Hoc autem manifestum; οἱ est 
P'O6lena indeterminatum. Datum igitur est punctum x, id- 
que centrum est semicirculi de^; ergo etiam semicirculus po- 
SLicyne datus est, Et a dato puncto y tangens gy ducta esl; 
PoSssáüüone igitur By data est?), q. e. d. 
XII. Componetur autem problema sic. Sit semicirculus 
Mz 3^, et in diametro ay datum punctum ὃ, et oporteat efficere 
Problema. Ponatur 9 ὃγ -λ — αὖ, et a9: — αὃ, et ὃγ bifa- 
*) Etenim quia δὲ bifariam secatur in puncto ἡ, et £y additur in 
talem reclá, propter elem. 2, 6 est yy? — d»? τ dy.yi. Sed est 
$T dy — dj, οἱ ηκ τὸ ὁ y — 4 0C, ilaque ἔγ — δΔηκ; ergo δγ.γξ — 
y:"x (Co). 
4) Restituit hoc Apollonii problema Simsonus, opera quaedam reli- 
Qua, p. 73—75: "Datis in recta linea tribus punctis B A C invenire 
Quartum D inter puncta B A, quod faciet rectangulum a segmento DA 
€t datá rectá E ad rectangulum BDC in ratione data". 
$3) Verba dubia τὸ δ᾽ αὐτὸ cel., quae in Graeco codice addita sunt, 
Co vertit: "Idem aulem congruet, si punctum infra sumatur". At punc- 
tum d infra rectam «y locum non habere facile apparet. Restat igitur 


ut interpolator semicirculum d:£ infra esse significaverit. At ne hoc 
quidem stetui posse docet Horsley p. 73. ᾿ 


Hd AB, corr. S 40. ὑπὸ 4H 4 ABS, distinx. Co, item vs. 43 ΘΖ 
4 K.4 Δ, distinx. BS, item vs. 49 44. ἄρα add. Ge διωρισμένης α΄ 
Hu, διωρισμένης ABS, διωρισμένην Co 44. ἀδιόριστον Hu auctore. Co 
pro ἀδιόριστος 46. ἐφάπτεται AB, corr. S 48. χάτω S, κατα 
(sine acc.) AB, χάτω ληφϑένεος coni. Hu auctore Co; sed tota paren- 
thesis delenda esse videtur: vide adnot. 2 ad Latina 19. ιβ΄ add. BS 
40. τὸ 4 xal δέον add. BS 


800 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTRZ Ζ. 


τὸ δὶς ὑπὸ 41 .1, καὶ τῇ μὲν 4.41 ἴση κείσϑω 1) 40, ἢ 
δὲ AT δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Κὶ σημεῖον, καὶ τριῶν ὃδο- 
ϑεισῶν εὐθειῶν τῶν O4 AK A, τετμήσϑω 7 AK κατὰ 
τὸ Η xai ποιείτω λόγον τοῦ ὑπὸ Δ ΗΔ πρὸς τὸ vni 
OHK ἴσου πρὸς ἴσον, καὶ περὶ κέντρον τὸ H ἡμικύλλιον" 
γεγράφϑω τὸ A4EZ: λέγω ὅτι τὸ 4ΕΖ ποιεῖ τὸ πρό- 
βλημα. 

Ἤχϑω γὰρ ἐφαπτομένη τοῦ ἡμικυκλίου ἡ BI: ὅτι ἴση 
ἐστὶν ἡ Α4 τῇ ΒΕ. ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν 
τῷ ὑπὸ 41 H4, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἢ OH πρός τὴν ΗΖ, 
οὕτως 1?) 41 πρὸς τὴν ΗΚ. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ OH πρὸς τὴν 
H4 , οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ OHA πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΖ, τουτ-- 
ἔστιν ἡ τῶν ἀπὸ H4 dd ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἀπὸ H4, ὡς 
δὲ ἡ 4 πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν. τὸ δὶς ὑπὸ 14 41^ 
πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ 4I ΗΚ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ 444 πρὸς τὴ 15 
τῶν ἀπὸ ZH ΗΓ ὑπεροχήν: καὶ ὡς ἄρα ἡ τῶν ἀπὸ H4 
AA ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἀπὸ HL, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ 4-T 
πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ 4H ΗΓ ὑπεροχήν᾽ ἔστιν ἄρα ὡς τῷ 
ἀπὸ 44H πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ 414 πρὸς τῇ Ὁ» 
τῶν ἀπὸ 4H ΗΓ ὑπεροχήν, τουτέστιν πρὸς τὴν τῶν ἀπ €»?! 
ΓΗ HE ὑπεροχήν, τουτέστιν πρὸς τὸ ἀπὸ EU: καὶ ic 
ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΗ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ HI, οὕτως re 
ἀπὸ 44 τιρὸς τὸ ἀπὸ DE. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ 4} πρὸς ce 
ἀπὸ HI, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ BE πρὸς τὸ ἀπὸ EI: «€ 
ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ 44 πρὸ €? 
τὸ ἀπὸ EI'" ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ 44 τῷ ἀπὸ BE» 
dre ἴση ἐστὶν ἡ d τῇ ΒΕ. καὶ φανερὸν ὅτι μείζων * 
ἐστὲν j BE τῆς ΕΓ. ἔχομεν γὰρ ὡς τὴν OH πρὸς τῇ 5" 
HA, οὕτως τὸ ἀπὸ 44 πρὸς τὸ ἀπὸ EI* μείζων δὲ 77 
ΘΗ τῆς HA: μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ Α4 τοῦ ἀπὸ ET, de “ 


. ὑπὸ 4“Γ( et similiter posthac ABS, distinx. Co 3. — 
ἡ an AB, corr. S 4. 5. πρὸς toU ΘΗΚ ΑΒ, corr. S 9. 1 4. 7* 


A? ex n AAT 44. ἡ 4 πρὸς] ἐστὶν AB, ἐστὶν ἢ λ πρὸ 5... 
4, δὲ ἡ ΠΑ ΑΒ cod. Co, corr. S Co δὶς ὑπὸ (14Γ AB, di; ὑπ € 
λὺγ Paris. 2368 S, distinx. V 45. ὑπὸ ΙΔΓΗΚ ^A, distinx. BS 


18. τῶν ἀπὸ FHA ABS, corr. Co in Lat. versione — 929. post ἀπὸ EZ. 


L4 


- LIBER VII. PROPOS. 85. . 801 


secetur in puncto x, et datis tribus rectis. ϑὺ àx 4, 
ir Óx in puncto ἡ ita, ut fiat À- ηὃ — ϑη x, et circa 
um 7 semicirculus describatur δεζ; dico semicirculum 
'fficere problema. 


Ducatur enim y tangens semicirculum in puncto e; dico 
Be — aó. Quoniam enim est 9p. ηκ — Δ. ηδ, per pro- 
jnem est | 
39 : ηὃ — Δ : ηκ. 
est, multiplicando 
Jn: ηὃ — 2375-90 : qà?, id est propter elem. 2, 6 
— av? — a0? : ηδϑ. 

est multiplicando 
À : qx — 20y-À : 20y- mx, id est 

— a0? : ὃγ- γζ ἢ, sive propter elem. 2, 6 

— «0? : yy? — Ó5?; ergo etiam 
a7? — a0? : ηδὲ — a0? : ny? — δη; est igitur propter 

| elem. 5, 12 

«a0? : yy? — δὴ} — ay? : ny?. Sed est 

gy? — δη" — yy? — ve?, id est 

Ξε &y?; ergo etiam 

ay? : py? — a0? : ey?. Sed est 
am :)y?- fe : εγ2 ἢ; ergo 
pe? : £y? — a0? : ey?; itaque 
βε2 — a0?, et βὲ — αὃ. 
3paret esse βὲ ? ey. Habemus enim ϑη : ηὃὗ — aàó?: 
*) ; sed est 9 ?» à ; ergo etiam a0? *» ey?, itaque αὃ sive 


Vide supra p. 799 extr., et ibidem adnot. *. 
*) Vide supra adnot. 4 ad p. 797. 
**) Est enim, ut ex superioribus apparet, 
93 : qd. — ax? — a0? : 20? 
Ξε «d? : gy? — δηξ 
τε «d?: ey?. 





ἵναβαένει δὲ ἐπι ἐπισχεπτομένων A, eadem sine ἐπι BS, del. Co 
;« add. Co 


800 | ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Z. 


τὸ δὶς ὑπὸ AT .1, καὶ τῇ μὲν 4.41 ἴση κείσϑω 1) 46, 1 
δὲ 4T δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ K σημεῖον, καὶ τριῶν 00- 
ϑεισῶν εὐθειῶν τῶν O4 AK 2I, τετμήσϑω 7 41Κ κατὰ 
τὸ Η xai ποιείτω λόγον τοῦ ὑπὸ 1 H4 πρὸς τὸ ὑπὸ 
OHK ἴσου πρὸς ἴσον, καὶ περὶ κέντρον τὸ H ἡμικχύχλιονῦ 
γεγράφϑω τὸ A4EZ: λέγω ὅτι τὸ 4Ε2Ζ ποιεῖ τὸ np- 
oua. 

Ἤχϑω γὰρ ἐφαπτομένη τοῦ ἡμικυκλίου ἡ BI: ὅτι ἴση 
ἐστὶν ἡ Α4΄ τῇ BE. ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΘΗΚ ἴσον ἐστὶν 
τῷ ὑπὸ 1 H4, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς ἡ OH πρός τὴν HÁ , 
οὕτως ἡ 41 πρὸς τὴν ΗΚ. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ OH πρὸς τὴν 
H4 , οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗΖΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ HA, τουτ-- 
ἔστιν ἡ τῶν ἀπὸ Hd 4 ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἀπὸ H4, oc 
δὲ 7 .4 πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν. τὸ δὶς ὑπὸ A4 41 
πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ 4Γ ΗΚ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ 44 πρὸς τὴ» 15 
τῶν ἀπὸ 4H ΗΓ ὑπεροχήν’ καὶ ὡς ἄρα 7 τῶν ἀπὸ H.E 
A4 ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΖ4, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ 4-4 
πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ 4Η ΗΓ ὑπεροχήν᾽ ἔστιν ἄρα ὡς τῷ 
ἀπὸ ΛΗ πρὸς τὸ ἀπὸ HT, οὕτως τὸ ἀπὸ Jd πρὸς "2 
τῶν ἀπὸ 4H ΗΓ ὑπεροχήν, τουτέστιν πρὸς τὴν τῶν ἀπ e? 
ΓῊ HE ὑπεροχήν, τουτέστιν πρὸς τὸ ἀπὸ ED: καὶ s 
ἄρα τὸ ἀπὸ 4H τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ HI, οὕτως zó 
ἀπὸ 44 ngóg τὸ ἀπὸ DE. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ .4H πρὸς veo 
ἀπὸ ΗΓ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ BE πρὸς τὸ ἀπὸ ET: ὧς 
ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ 44 πρῶ €? 
τὸ ἀπὸ EI' ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ 414 τῷ ἀπὸ BEZ, 
dove ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΒΕ. καὶ φανερὸν ὅτι uite, ? 
ἐστὶν j BE τῆς ΕΓ. ἔχομεν γὰρ ὡς τὴν OH πρὸς 7? 
H4, οὕτως τὸ ἀπὸ 44 πρὸς τὸ ἀπὸ EI' μείζων δὲ 2] 
OH τῆς H4: μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ 444 τοῦ ἀπὸ EI, do 3 


1. ὑπὸ 4L.A et similiter posthac ABS, distinx. Co ὃ. τετμήσϑ €? 
ἡ 4H AB, corr. S 4. 5. πρὸς τοῦ ΘΗΚ AB, corr. 8 9. ἡ 4.73: 





A? ex ἡ AAT 44. ἡ 4 πρὸς] ἐστὶν AB, ἐστὶν 7 À πρὸς 5 ᾿ 
14. δὲ ἡ ΠΑ AD cod. Co, corr. S Co δὶς ὑπὸ .14Γ AB, δὶς 0729 
λὺγ Paris. 2368 S, distinx. V 45. ὑπὸ ΔΓΗΚ A, distinx. BS 


48. τῶν ἀπὸ FH4 ABS, corr. Co in Lat. versione 29. posl ἀπὸ EDT 


* 


- LIBER VII. PROPOS. 85. 801 


riam» secetur in puncto x, et datis tribus rectis. ϑὺ Óx À, 
secetur Óx in puncto ἡ ita, ut fiat À- 9ó — 909. 9x, et circa 
centrum 7 semicirculus describatur δεζ; dico semicirculum 
(e; efficere problema. 


Ducatur enim y tangens semicirculum in puncto &; dico 
esse e — αὖ. Quoniam enim est 95. 7x — Δ: 70, per pro- 
portionem est | 

99 : ηὃ 2 Δ : 9x. 
Sed est multiplicando 
39 : ηὃ — 99-90 : q0?, id est propter elem. 2, 6 
ΞΞΞ a? — a? : 10?. 
Sed est multiplicando 
À : qx τὸ 20y-À : 20y- wx, id est 
— a0? : 0y - C"), sive propter elem. 2, 6 
— a0? : yy? — àx?; ergo etiam 
«5? — a0? : 90? — a0? : yy? — Óv?; est igitur propter 
| elem. ὃ, 12 
«02: yy? — δη2 — oy?: ny?. Sed est 
| jy? — óy? — yy? — ve), id est 
— £&y?; ergo etiam 
o7? : py? — a0? : ey?. Sed est 
on? : ny? z e? : ey?**); ergo 
pe? : ey? 2 a0? : ey?; itaque 
pe? — αὖ, et βὲ — aà. 
Bt "apparet esse fje ^» ey. Habemus enim ϑη : ηὃ — aà?: 
€)? **) : sed est ϑὴ» 70 ; ergo etiam «0? » εγ2, itaque αὃ sive 


*) Vide supra p. 799 extr., et ibidem adnot. *. 
*'*) Vide supra adnot. 4 ad p. 797. 
*3") Est enim, ut ex superioribus apparet, 
9393 : ηδ — a5? — «0? : 20? 
-- αὐ: y? — δηξ 
Ξε ad? : ey?, 
|0———————— 
add, αἰναβαίνει δὲ ἐπι ἐπισχεπτομένων A, eadem sine ἐπι BS, del. Co 
. 90. «ρα add. Co 


802 . ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHI Z. 


μείζων doziv ἡ 444 τῆς EL: πολλῷ ἄρα τῆς ΖΓ μείζων 
ἐστίν. τὸ 4EZ ἄρα ἡμικύκλιον ποιεῖ τὸ zQóflAquo. 

| Μέγω δὲ ὅτι καὶ μόνον. γεγράφϑω γάρ τι καὶ ἕτερν | 
ΖΝ, καὶ ἤχϑω ἐφαπτομένη ἡ MAE. εἰ δὴ καὶ τὸ ΔῊΝ 





ι-- 
ὟΣ & 


ποιεῖ τὸ πρόβλημα, ἔσται ἴση ἡ 414 τῇ ME. καὶ εἰλήφϑω" 
τὸ κέντρον τοῦ ΔΗ͂Ν ἡμικυκλίου τὸ O, καὶ ἐπεζείχϑω "i 
OM. ἔσται ἀχολούϑως τῇ ἀναλύσει τὸ ὑπὸ τῶν ΘΟ Κὶ 
ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν 1 40, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον (ἐν γὰρ πῇ 
διωρισμένῃ δέδεικται μεῖζον) " οὐκ ἄρα τὸ ΔΝ ἡμικύκλα 4)}) 
ποιεῖ τὸ πρόβλημα. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἄλλο τι 
πλὴν τοῦ 4EZ-: τὸ 4ΕΖ ἄρα μόνον ποιεῖ τὸ πρόβλημα - 
14 Ἵνα δὲ καὶ ἐπιγνῶμεν πότερον αὐτῶν μεῖζον ἀποτέᾳ 4“ 
γει, δείξομεν οὕτως. ἐπεὶ &v τῇ διωρισμένῃ δέδεικτ €' 
ἔλασσον τὸ ὑπὸ τῶν 1 40 τοῦ ὑπὸ τῶν OOK, davaloy€O" 
ἣ 44 πρὸς OK ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἣ ΘΟ πρὸς Ο.7: " 
ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ 44 πρὸς ΚΟ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ dA noo 
τὴν τῶν ἀπὸ 40 OD ὑπεροχήν (δέδεικται γάρ), ὡς δὲ 7) 
ΘΟ πρὸς O4, οὕτως ἐστὶν ἡ τῶν ἀπὸ O.4 44d πρὸς τὸ 
ἀπὸ O4: καὶ τὸ ἀπὸ 414] ἄρα πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ 40 ΟΥ̓́ 
ὑπεροχὴν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ τῶν ἀπὸ O.4 4233 





4. ἐφαπτομένη ΠΓΜΞ A, corr. BS 8. τῶι ὑπὸ τῶν 440 ABS; 
corr. Co 9. μεέζων AB, corr. 8 ἄρα τὸ 4MH ABS, corr. V 
44. τὸ 4ΕΖ (ante ἄρα) Hu pro τὸ Z4ZE ἄρα Co, ἐστιν A, ἐστὶ BS 
ποιεῖ AB, ποιῦνϑδ 14. τῶν 140 ABS, distinx, Ge &valoyo$ 





LIBER VII. PROPOS. 85. 809 


fe ἘΞ ey. Multo igitur maior est αὃ quam Cy*), itaque se- 
micirculus δὲζ problema efficit. | 

Dico etiam semicirculum δεζ solum efficere problema. 
Describatur enim alius semicirculus Óuv. Si igitur etiam se- 
miczaz-culus ὃμν problema efficit, erit «à — μξ. Εἰ sumatur 
semriicirculi Ou» centrum o, et iungatur og. — Erit secundum 
anal ysin 90. 0x — ἃ. o, id quod absurdum est (nam in de- 
terminata sectione est demonstratum Jo. ox Ὁ À-00*") ; ergo 
semicireulus Óp» non efficit problema. — Similiter demonstra- 
bimus neque alium ullum semicirculum praeter 'Óst id effi- 
cre; ergo semicirculus δὲζ solus problema efficit. 

Sed ut etiam cognoscamus, uter semicirculus maius fan- 
gentis segmentum abscindat, sic demonstrabimus. Quoniam 
in. determinata sectione est demonstratum esse 4: 0o « 9o- ox, 
per proportionem propter huius libri propos. XVI est 

À : 0x « 9o : οὗ. 
Sed, ut supra (p. 799 ín rectis ϑὴ δὴ yx) demonstratum est, 
fit multiplicando 

À : 0x 2 20y-À : 20y. ox 
— αὖ : Óy- yv, sive propter elem. 2, 6 
a0? : oy? — δοξ, et rursus multiplicando 
So : οὗ — 9o-00 : o0?, sive propter elem. 2, 6 

Ξε a0? — 0? : 00?; ergo est 


*) Demonstrat hoc Co ductá 8 dy perpendiculari ad «. 


**) Hic Pappum idem Apollonii problema, quod supra p. 799, adn. 4 
dlavimus, respexisse oportet. Iam vero, etsi in demonstratione a Sim- 
$0nO restituta id ipsum quod Pappus significat non comparet, tamen 
ilem recta ratione addi posse facile intellegitur. Sed ut iis Graecis 
reliquiis, quae nunc exstant, innitamur, auctore Commandino breviter 
Tem sic demonstremus: Est secundum Papp. VII propos. !4 3Jo.ox Ὁ 
9n-»x, tum. ex hypothesi 25-5x — 1' δη, denique 4: δὴ» 4-do (quia 
δὴ» do); ergo 9o-ox Ὁ 4- do. 


—HÁ M . 


ABS, corr. Hu 16. ἡ .4 zoog- KO Co pro ἧ KO ) πρὸς 4 141. ἀπὸ 
40 Or Co pro ἀπὸ 46 Or 48. 19. ἀπὸ Odd πρὸς τὸ ἀπὸ OA 
ABS corr. Co — 149. τὴν τῶν ἀπὸ OA AT Α, τὴν τῶν ἀπὸ οὗ ὃγ | 
Paris, 2968 V, τὸ τῶν ἀπὸ αὖ dy S | 





4 


804 τ ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Z. 


ς Α N 4 2 4 A 4 bi [4 
ὑπεροχὴ πρὸς τὸ ἀπὸ O.f. καὶ πάντα πρὸς πάντα, , vow- 
, IEEE à. 052 8 , , » » " 
ἐστιν τὸ ἀπὸ ÁO πρὸς τὸ ἀπὸ OD, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ 
ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὴν τῶν ἀπὸ D'O O4 ὑπεροχήν, τουτέστιν 
πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΙ. τὸ ἄρα ἀπὸ 44 πρὸς τὸ ἀπὸ [IM 
ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ἀπὸ 10 πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΓἁ ὅ 
τουτέστιν τὸ ἀπὸ ἘΠ πρὸς τὸ ἀπὸ MI' μείζων ἄρα ἐστὶν 
ἡ ἘΠῚ τῆς 44. | 

Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ μεταξὺ τῶν 4 

[4 , 2 ^ ) / 3 - c 

B σημείων γινόμεναι εὐϑεῖαι μειζονὲές εἰσιν τῆς 444, ot 
δὲ μεταξὺ τῶν Β Γ ἐλάσσονες. ἐὰν γὰρ πάλιν γράψωμεν 10 
ἡμικύκλιον τὸ 4ΠΡ, καὶ ἐφαπτομένη ἀχϑῇ ἡ ΣΠΓ, xoi 





D. & δ o9Tx v LU) 


τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον. κατασχευασϑῇ, τὸ μὲν κέντρον ἔσται 
τοῦ 4ΠΡ ἡμικυκλίου τὸ T ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ Η' & 
δὲ τῇ διωρισμένῃ μεῖζον ἔσται τὸ ὑπὸ ΘΗΚ τοῦ ὑπὸ 
ΘΥΚ, καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ μείζων ἔσται πάλιν ἡ 44 τῆς " 
ΣΠ, ὥστε τὰ μιὲν ἔγγιστα τοῦ Α΄ τὰς ἐφαπτομένας ἔχοντα 
μείζω ποιεῖ τῆς 44, τὰ δὲ ἀπώτερον ἐλάσσω. 

Δυνατὸν ἄρα ἐστὶν γράψαι διὰ τοῦ 4 ἡμικύκλια, ἵνα 
ἡ ἐφαπτομένη ἑκάστου αὐτῶν προσεκβαλλομένη ἐπὶ τὴν τοῦ 
μείζονος ἡμικυκλίου περιφέρειαν τὴν μεταξὺ τῆς ἁφῆς xci ? 
τῆς τοῦ μείζονος ἡμικυκλίου περιφερείας ἔσην ποιῇ τῇ 4d; 
καὶ πάλιν μείζω καὶ ἐλάσσω. 


4. 9. τουτέστιν τὸ ἀπὸ 4 πρὸς τὸ ἀπὸ OT add. Hu 3. μείς 
ζονα λόγον ἔχει add. οἱ ἤπερ pro ὡς corr. Co 4. τὸ ἄρα — ἀπὸ ΓΜ 
om. Ge (quae coniectura ut, aliqua ratione probaretur, supra πάντα 


805 
a0? : oy? — do? «, ao? — aÓ? : o0?, et summá factàá!)- 
«; a0? : 0y?; 
erzo , quia est 07? — do? — oy? — ou? — uy?, οἱ (propter 
sima 2 diludinem  triangulorum  a&y ouy) «o? : oy? τε &u? : uy?, 
his agitur substitutis est 
aÓ? : uy? « £u? : uy?; ergo 
αὃ « £u, sive £u *» αδ. 
Similiter demonstrabimus omnia tangentium segmenta, 
qua»e circumferentiae ay inter a β'ὶ occurrunt, maiora esse 
qua» vn αὖ, omnia autem, quae inter Ó », minora. 


LIBER VIIJ. PROPOS. 85. ΄ 


Etenim si 
rua*ssus describamus semicirculum óz maiorem quam δεῖ, οἱ 


lat3 £zentem 07:7; ducamus, eademque quae supra construamus, 
cei1 trum z semicirculi ózg erit, ultra ἢ centrum semicirculi óec. 
Se«1 , wi in determinata sectione est demonstratum?) , erit 
Jr -nx 9 Sv. Tx, et eadem ratione rursus erit od 7» σπ; 
ila €que omnino semicirculi, qui tangentes propiores ad punc- 


luax1 c habent, segmenta maiora quam αὖ faciunt, qui autem 
l'&Xxo0liores, minora. 


Possunt igitur per óÓ semicirculi ita describi, ut recta, 
6 δὰ 6 quemque eorum tangit, producta ad maioris semicirculi 
d&«*umferentiam νοὶ segmentum inter contaclum et maiorem 


sewnicirculum aequale faciat rectae αὖ, vel rursus segmenta 
maxiora, vel minora. 


4) Graeca πάντα πρὸς πάντα secundum Euclid. elem. 5, 42 signi- 
ficant summam τῶν ἡγουμένων, id est «J? -- «o? — «ó? — «o?, ad 
su nnmam τῶν ἑπομένων, id est oy? — do? -- o0? — oy?. Facile autem 
eX Euclidis propositione, quam modo citavimus, effici potuit, si sit 
6 : b2-c:d, esse a: bZz a 4c c: b -- d, quod in rectis quidem lineis 
$0 pra demonstravit Pappus libri VII propos. 8. 
2) Vide adnot. ** ad p. 803. 

———— -ο 

πρὸς πάντα ὥστε cet. scripla esse oportuit) 5. τὸ ἀπὸ 40 πρὸς 
, ΤῸ ἀπὸ ΘΓ ΑἸΒ, τὸ ἀπὸ 46 πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΓ A per rasuram S 
— 8. μεῖζον A, corr. ΒΒ 8. 9. τῶν 4B A, distinx. BS 
ἐλάσσονες A(BS), corr. Co 43. τὸ ὑπὸ ΖΠΡ ἡμικύχλιον ABS, corr. 
Co ἴῃ Lat, versione 44. 45. τὸ ὑπὸ AAT τοῦ ὑπὸ OTK ABS, corr. 
Co 45. x«l add. Hu. 47. μεῖζον À, utítora BS, corr. Hu τὴς 
44 (o pro τὴν 44 20. περιφέρεικν οἱ 41. περιφερεέας add. Hu 
3UCtore Co 20. 21. τὴν μεταξὺ — ἡμικυκλίου S, om. A!, τῆς ue- 
Tebb — ἡμιχυχλίου A? in marg. Β 922. ἐλάσσων AB, corr. 8 


40. τῶν BE 








806 IIATITIOY ZYNATOTBDSZ Z. 
Eig τὸ ι΄. 

145 ιζ΄. Ἔστω πάλιν τὰ ἡμιχύχλια, μείζων δ᾽ ἡ 4 
ΓΖ, xai τῇ 44.4 ἴση κείσϑω ἡ ΓΗ͂, καὶ διαχϑείσι 
ΒΕΖ ἀπὸ xot Η ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετος ἤχϑω ἡ H€ 
προσαναπεπληρώσϑω ὃ ABI κύκλος, καὶ ἐχβεβλήσϑω 
ἐπὶ τὸ Κ΄ ὅτι ἴση ἐστὶν 1) ΒΘ τῇ EK. 

Εἰλήφϑω 1 
τρον τοῦ ABT : 
τὸ 41, καὶ ἀπὸ 
ἐπὶ τὴν BK x 
ἤχϑω ἡ 4M * tc 
ἐστὶν ἡ MB «i 
ἐπεὶ οὖν ἴση à 
μὲν dA τῇ AT 

| AA τῇ ΗΓ; λοι 

d 44 λοιπῇ τὶ 

deriv ἴση. καὶ 
τρεῖς παράλλη! 
AE AM ΗΘ. ἴϊ 

καὶ ἡ EM τῇ MO. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ BM ὅλῃ τ 

ἴση" λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ λοιπῇ τῇ ΘΚ ἐστὶν ἴση. «ρανερ 

ὅτι xai ἡ ΒΘ τῇ EK, ὕπερ: — 





Πρόβλημα εἰς τὸ αὐτό. 

140 ιδ΄, Ἡμικυκλίου ὄντος τοῦ ΖΒΓ, καὶ σημείου 1 
γράψαι ἐπὶ τῆς ΑΤ᾽ διὰ τοῦ Δ΄ ἡμικύχλιον, ἵνα, & 
απτομένη ἀχϑῇ ἡ ΖΒ, ἴση ἢ ἢ 44 τῇ ZB. 

Γεγονέτω. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὲν ἡ 4.1 τῇ ΖΒ, ἴσ 
τὸ ἀπὸ 44 τῷ ἀπὸ ZB, τουτέστι τῷ ὑπὸ ZU 
ἄρα τῷ ἀπὸ 444 ἴσον παρὰ τὴν ΑΓ παραβάλωμεν 
70v τετραγώνῳ, ὡς τὸ ὑπὸ ZI, καὶ ἀγάγω ὁρϑ 


2. ιγ' add. V — μείζων δὲ ἡ S, μείζονα ἡ AB 3. 4. τὶ 
Co, τῆς BHK ABS, τῆς Bex V cod. Co 5. τὰ ΒΓ ἡμικύχλ, 
. corr. Co 8. τοῦ 4 BI A? in rasura 9. 40. τὸ 4 καὶ ἀπὲ 
ἐπὶ τῶν BK AB, corr. S 44. ἤχϑω ἡ AM ^, corr. BS 15. 


LIRER VH. PROPOS. 86. 87. 807 


In problema undevicesimum. 


XIII. Sint rursus semicirculi agy δεζ, et αὖ» γζ, et rop. 
ponatur yy — αὖ, et ductà fe huic perpendicularis a puncto "6 
ἢ «Aucatur 59, et compleatur circulus «y, producaturque f 
ad punctum x $n circumferentia circuli; dico esse 89 — εκ. 

Sumatur circuli ey centrum 4, ab eoque rectae fx per- 
pemvdicularis ducatur Ap; est igitur. propter. elem. 5, 3 Bu — 
Hx. lam quia est αλ — Ay, et αὖ — ry, reliqua igitur δλ 
reliquae λη aequalis est. Suntque tres parallelae δὲ Ag 2; 
est igilur ἐμ τα μϑ. Sed erat Qu — px; ergo etiam reliqua 
Bc reliquae Sx aequalis est. — Apparet igitur esse 9 — ex, 

q. e. d. 


Problema in idem. 


XIV. Si sit semicirculus agy, et punctum δ, describatur Prop. 
in diametro ey per punetum ó semicirculus ita, ut, si tan- ὦ 
8ens ζβ ducatur, sit ad — CB"). 
Factum sit. Iam 
quia est aó — C, 
est etiam 





tam ay quadrato 
ab αὖ aequale 
rectangulum defi- 
€iens quadrato, 
velut αζ' Cy, applicaverimus !), et perpendicularem £f duxeri- 
?*) Secundum llorsleium p. 84 problema sic accuratius constituen- 
dun. est: Semicirculo «Sy el basi «y positione datis, datoque puncto J 
her. c et dati semicirculi centrum o, semicirculus δὲζ ila describatur, 
ἊΣ ducta tangente 78 aequales sint (β αὖ. Et conf. adnot. ad p. 198, 40. 
ld est, posit ἐγ τε c, si fecerimus («y — a) ὦ τε «02. 


————— 
—— 


1.2124 AB cod. Co, corr. S Co — 32. post τῇ EK add. ἴση ἐστίν Ge 
ἣν ed'add. V 45. 96. ἴση ἦι ἡ ΑΖ ante ἐὰν --- ἡ ZB scripla sunt 
! AIBS, transposuit Hu — 28. τουτέστι ABS, τουτέστιν Hu — 29. παρα- 
βλλωμεν S, παραβάλω Hu 




















ὕπερ ἄτοπον (ἔστιν γὰρ xai 
ὑπόκειται προβλήματι) - & 
μεῖζον δὲ τὸ ὑπὸ 4) 
ΖΓ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ 
44, ὥστε μείζων ἡ OM. ΄. 
T' Ζ. ἐπειδὴ ἔλασσόν ἐστιν τὸ ὑπὸ 
(ἐπεὶ καὶ τὸ ὑπὸ AZT), ἔλασσον 6 
τοῦ ἀπὸ 44, ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ἧ , 
καὶ πᾶσαι αἱ ἐπὶ ταύτῃ ὡς πρὸς 
καὶ καϑόλου προσιόντων μὲν τῶν 
ἡ ἐφαπτομένη ἐλάσσων ἐστὶν. 
ἀεὶ μείζων: δυνατὸν ἄρα ἐσεὶν ἐπὶ 
4, ἡμικύχλια γράψαι, ἵνα ὁτὲ μὲν a 
ἔσαι ὦσιν τῇ 44, δτὲ δὲ μείζονες, 





















4. ἐφάψεται Hui 3. ἢ ἢ 8, ἡ 
7. ἐπεὶ γὰρ — 30. εὐθεῖαι] haec 








emendationes Taiuk 
τῶν ZT M, distinx. BS 
A(B), corr. 8 


LIBER VII. PROPOS. 87. 809 


mus, et super d semicirculum δὲζ descripserimus, recta Lf 
et hunc semicirculum tanget et rectae αὖ aequalis erit. Hoc 
autem fit, si αὖ minor sit quam dimidia ay. 

Hoc igitur invento, si per à alios semicirculos, velut δηϑ' 





minore quam ὃς diametro, et óxÀ maiore quam δζ diametro, 
describamus, et tangentes ϑμ ἂν ducantur, erit 9 *» αὖ» À». 
09 « ὃγ, recta 9u . 
igitur inter puncta 
s det; sic enim 
/ 7 N e 
Í δὰ Y Ὶ esset ϑὸ dL, 
Ld δ tÀ Y est. Atinterpunc- 
ta ζ et y multo 
duna es, (est enim δξ »» 93, ut initio suppositum est). Erit 
igitur punctum 9. inter ὃ et ζ. Est autem propler huius 
L8* .2 Q4? ergo etiam 9j 7» a. Sed recta À» est inter 
Puncta [et y. Quoniam igitur est aÀ-Ay « αζ- ζγ, estque 
iaqmue 4» « αὖ. Similiter etiam omnes tangentes, quae 
Praeterea versus punctum γ ducuntur, minores sunt quam 
Gn gens minor fit quam αὖ, et prout recedunt, semper ma- 
Jor. Possunt igitur in diametro a7, manente puncto d, se- 


[Quoniam enim est. 
SA 

x ^ Y ὃ εἰ y cadet. lam 
P q Ν in punctum ζ non 

quod absurdum 
Thinwas cadere potest, sic enim esset ὃζ «; ὅϑ, quod absur- 
librZ mma XIV a9-9y 7» az-Ly, id est 9u? 5» (H^. Et est 
αλ- Ay — λνῖ, et at- Ly — Lf? — ad?, ergo est à»? « ad, 
αὖ. Et omnino, prout semicireuli puncto ; appropinquant, 
Tücireuli ita describi, ut modo tangentes aequales sint rectae 


99, modo eàdem maiores, modo minores. 
BEEN 
x Tiudore Co — 16. ΑΝ add. Co —— 18. ἐλάσσων A, corr. BS 


". VAN Copro jj 4N — 26. ἐπὶ ταύτῃ vel ἔπειτα Hu pro ἐπὶ τὰ 
τὸς τῷ y BS ἠγμέναι Hu pro μέη 82, ἡ Ἀραπτομένη Hu pro 
U ἃ ςάπτεται 33. 24. ἐπὶ μὲν τῆς AT διὰ τοῦ 4 ABS, corr. Hu 
SA. μιχύχλιον ΑΒ, ἡμικυχλίου B, corr. Ge αἱ A ex εἴ 

FPupus IL. 52 


810 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Ζ. 
o Eig τὸ κα΄. . 
147 ιε΄. Ἔστω ἡμικύκλια và ΑΒΓ AEZ, τῇ L4 ἴση xeio9 


καὶ διαχϑείσης τῆς ΖΒ ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετος ἤχϑ 
' ὅτε ἴση doviv ἢ OB τῇ ΚΕ. 


τς ας δ 
i 


s 





Εἰλίύφϑω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου τὸ 41, κι 
ἀπὸ τοῦ .Ἵ1 ἐπὶ τὴν ΒΖ κάϑετος ἤχϑω ἡ ΑΜ’ ἴση ἂς 
ἐστὶν ἡ ΒΙΜ τῇ MK. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΗΑ ι 

ἡ δὲ 4.4 τῇ ΑΓ, ὅλη ἄρα ἡ ΗΛ ὅλῃ τῇ dA ἴ 
ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ HO 4M AE- ἴς 
ἄρα ἐστὶν καὶ ἣ OM τῇ ME. ὧν ἡ BM τῇ MK ἐστε 
ἔση" λοιπὴ ἄρα ἣ ΘΒ τῇ KE ἴση ἐστίν, ὅπερ: — 

Φανερὸν δὲ ὅτι καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΒΕ ἴση ἐστίν. 

148 ις. Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐφαπτέσϑω ῇ ΒΖ κατὰ τὸ ἢ 
ὅτι πτάλιν ἴση ἐατὶν ἣ OB τῇ ΒΕ. 

Εἰλήφϑω γὰρ πάλιν τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίς 
τὸ K, καὶ ἀπὸ τοῦ K ἐπὶ τὸ B ἐπεζεύχϑω ἢ KB- χάϑι 
τος ἄρα ἐστὶν ἐπὶ τὴν ΒΖ. ἐπεὶ οὖν ἐν τρισὶν παραλλὶ 
λοις ταῖς HO BK AE ἴση ἐστὶν ἡ HK τῇ KA, ἴση ἂρ 
ἐστὶν καὶ ἣ ΘΒ τῇ ΒΕ, ὅπερ: .- 

Εἰς τὸ κγ΄. 
149 ιζ΄. Ἔστω τὰ ἡμικύχλια τὰ ΑΒΓ 4ΕΖ, καὶ τῇ Γ 
ἴση κείσϑω ἡ ΑΗ, καὶ διαχϑείσης τῆς ΕΘ E^ αὐτὴν xo 
ϑεέτος ἔχϑω ἡ HO- ὅτι ἴση ἐστὶν 1?) OB τῇ KA. 


— 





2. i& add. V. τὰ 4814 EZ A, distinx. BS 6. ἐπὶ τὴν B 
A* Co, ἐπὶ τῶν βὲ BS 41. λοιπὴ Ge auctore Co pro λοιπὸν 
49. Φανερὸν — ?orív in ABS ante ὅπερ inserla transposuit Hu 


LIBER VII. PROPOS. 88. 89. 90. 811 


In problema vicesimum primum. 


XV. Sint semicirculi ag» óeb; ponatur αἡ — yÓ, et, Prop. 
du«-tà rectà ζεκβϑ, huic perpendicularis ducatur 73; dico i 
esse 98β - xe. 

Sumatur semicirculi a8y centrum ὁ, ab eoque rectae βζ 
perpendicularis ducatur ἀμ; est igitur propter elem. ὅ., 3 
Bi — ux. Sed quoniam est na — yÓ, et αλ — λγ, etiam tota 
ἡ, toti AÓ aequalis est.  Suntque tres parallelae 29 Au δε; 
est igitur J9& -— use. Hinc subtrahantur aequales gu ux; 
restat igitur 98 — xe, q. e. d. 

Apparet esse etiam Jx — fe. 

XVI. lisdem suppositis recta ζεβϑ tangat semicirculum Prop. 

αβγ in puncto 9; dico rursus esse 38 — (je. 89 


DA 





| NE 
——* Wc 


Sumatur enim rursus semicirculi ef» centrum x, ab eo- 
que ad 9 iungatur x9; haec igitur perpendicularis est rectae 
BC. lam quia in tribus parallelis 59 x9 δὲ est yx — x, est 
igitur etiam 98 — fe, q. e. d. 


» ὦ 


In problema vicesimum tertium. 


XVII. Sint semicirculi ag» δεζ, et ponatur a — γδ, Prop. 
δι, ductà rectà 20x82, huic perpendicularis ducatur 79; dico 90 
856 98 — xà. 


—M— 


18. eg add. ΒΞ 14. ἡ EB τῆι BE A, ἡ eB τῇ &9 BS, ἡ e τῇ 89. V2, 
Corr. Οὐ 47. ἄρα add. Hu auctore Co 48. ταῖς HOBKAE 5, 
distin, ps — 34. 4 add. V τὰ ΑΒΓΔ EZ A, distinx. ΒΞ καὶ 
Tht ZZ AB, corr. 8 23. ἐπ᾿ αὐτῆς ABS, corr. Ge 948. ἡ OK τῆι 
ΚΕ ABS, corr. Co 

52* 


812 . ΠΑΙΙΠΟΥ͂ ZYNATOTHS Z. 


Εἰλήφϑω τὸ τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου κέντρον τὸ 1, καὶ 
χάϑετος ἡ ΑΙ! ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΙΜ τῇ MK. ἐπεὶ tan 





ἐστὶν ἡ μὲν ΗΑ τῇ DA, ἡ δὲ 4.4 τῇ AT, ὅλη ἄρα 1 
H.4 ὅλῃ vij .44 ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι 
αἱ ΗΘ .4M EZ: ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ OM τῇ M4: o»? 
ἡ BM τῇ MK ἴση" λοιπὴ ἄρα 7) ΘΒ λοιπῇ τῇ ΚΖ ἐστὲν 
ἴση [κἂν ἐφάπτηται, φανερόν. ἢ γὰρ ἀπὸ τοῦ κέντρου 
ἐπιζευχϑεῖσα ἐπὶ τὴν ἁφήν], ὅπερ: — 

Εἰς τὸ xó. 

150 ". Ἔστω δίο ἡμικύκλια ὡς τὰ ΑΒΓ AEZ, καὶ ἔστω » 
ἴση ἡ 44 τῇ AT, καὶ διήχϑω ἡ ZB: δέει γίνεται ἴση καὶ 
ἡ ΒΕ τῇ EH. 

Ἔστιν δὲ φανερόν" ἐὰν γὰρ ἐπιζευχϑῇ ἡ 4E, ytver αἱ 
0991) ἡ ὑπὸ 4ΕΖ γωνία διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ εἶναι. καὶ 


ἔστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΑΒΓ ἡ AE: ἴση P 
ἄρα doriv ἡ BE τῇ EH, ὅπερ: — 
Eig τὸ κε΄. 
151 ('. Tov αὐτῶν ὕντων ἔστω μείζων ἡ 44 τῆς 4T, , 
xai τῇ AT. d ἴση κείσϑω 7) ΑΗ, καὶ κάϑετος ἐπὶ τὴν ΒΖ 2 


ΗΘ: ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ BO τῇ EK. 
Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ 44 τῆς 4T, τὸ ἄρα κέντρον τοῦ 





8. τῆι ΓΖΗ͂ ἡ δὲ AB, τῇ γξ ἡ δὲ cod. Co, corr. ,9 Co ι, πῇ! 
AZ ἐστὶν AB cod. Co, corr. S Co 5. τῆι ME ὧν ABS, corr. co 


LIBER VII. PROPOS. 91. 92. 813 


Sumatur semicirculi a9» centrum ἃ, et ducatur Ap per- 
licularis rectae 9x; est igitur propler elem. 3, 9 Bu τῷ 
Quoniam est ya — γδ, et αλ — Ay, tota igitur zÀ toti 
vequalis est. Suntque tres parallelae 79 Au εζ; est igi- 
Ju — μὸ ἢ. Hinc subtrahantur aequales ju ux; restat 
ir 99 — xÓ, q. e. d. 


[Apparet, si recta £089: semicirculum af tangat, simi- 
atque in lemm. XVI esse 99 — $0.] 


In problema vicesimum quartum. 


XVIII. Sint duo semicirculi ag» δεῖ, sitque αὃ — y, 
lucatur recta Poe; dico esse βὲ — er. ' 

At vero manifestum 
est; etenim si iungatur δε, 
angulus δεζ, ut in semi- 
circulo, rectus est. Et a 
centro semicirculi ay duc- 

ξ ta est δὲ perpendicularis 
recíae 9» (elem. 3, 3) ; ergo 
est βὲ x δη, 4. e. d. 





" In problema vicesimum quintum. 


XIX. lisdem suppositis sit αὖ» Óy, et ponatur am — óy, 
turque. recía Cxefl, et ei perpendicularis $9; dico esse 
- £X. | | 
Quoniam est αὖ » Óy, centrum igitur semicirculi a» 


ἢ Supervacanea demonstratione hic utitur scriptor; nam acquie- 
debebat in duabus parallelis ηϑ Au. 





it. versione 6. λοιπὸν ἄρα ἡ ΘΒ λοιπὸν AB, corr. V cod. Co 
ἢ ἄρα ἡ 89. λοιπῇ S) τῆι Καὶ ἐστὶν A5, τῆι ΚΕ ἐστὶν A?BS, 
Co 7.8. x&v — ἁφήν del. Co 4110. ιη΄ add. V τὰ 48Γ4 
9 distinx, BS (sed B pro τὰ habet ro) 44. ἡ ὑπὸ 4ETD' ABV, 
dy Paris. 2368 S, corr. Co — 45. ἡ HAE AB, corr. 85 48. «9' 





[ d 


« "΄ 


Prop. 
94 


Prop. 
992 


814. ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ΑΒΓ ἡμικυκλίου ἐστὶ μεταξὺ τῶν 24 4. ἔστω τὸ A, xoi 
πάλιν κάϑετος ἡ ΑΜ’ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ BM τῇ MK. ἐπεὶ 





δὲ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν .4H τῇ AT, ἡ δὲ 4.4 τῇ AAT, λοιπὴ 
ἄρα ἣ H4 λοιπῇ τῇ .44Δ4 ἴση ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παρ- 
ἄλληλοι αἱ ΗΘ 4M Ζ4Έ: ἴση ἄρα καὶ ἡ on τῇ ME. ij 
δὲ xai δλη ἡ BM ὅλῃ τῇ ΗΚ ἴση" λοιπὴ ἄρα᾽ ἡ BO λοιπῇ 
τῇ ΕΚ ἐστὶν ἴση, ὅπερ: — 

Εἰς τὸ xg. 

152 x. Ἔστω ἡ 4144 ἐλάσσων τῆς ATL, καὶ τῇ 44 i 
κείσϑω ἡ ΓΗ͂, καὶ κάϑετος ἡ HO- ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ 
τῇ ΚΘ. 

Ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ AA τῆς AT, τοῦ ABT 
ἡμικυκλίου τὸ κέντρον ἐστὶ μεταξὺ τῶν 4 H. ἔστω τὺ 
44, καὶ ἀπὸ τοῦ .4 ἐπὶ τὴν ΖΒ κάϑετος ἤχϑω ἡ ἡ Μ᾿ 
ἴση ἄρα ἐστὶν ἣ ΒΜ τῇ ΜΚ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἡ 445 
τῇ DH, ἡ δὲ ΑΛ τῇ AT, λοιπὴ ἄρα Jj AA λοιπῇ τῇ AH toà 
ἐστίν. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἵ 4E 4M HO- ἔστ, 
ἄρα ἐστὶν xoi ἡ EM τῇ MO. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ Β 
ὅλῃ τῇ MK lon: λοιπὴ ἄρα 7) BE λοιπῇ τῇ ΚΘ ἐστὶν i72. ᾿ 
ὅπερ: “- 





Εἰς τὸ x9'. 
153 xa. Ὄντων δύο ἡμικυχλίων τῶν ΑΒΓ AEZ, καὶ ,e€ £- 
Lovog οὔσης τῆς 444 τῆς 4L, ἐὰν τῇ 4T ἴση τεϑῇ ἡ “ΧΩ, 


- 


4. ἐστὶ A*BS τῶν 44 c τὸ 4 Α, τῶν αὖ ἐν τὸ À B, τῶν ex ὁ 
ὡς τὸ ἃ S, corr. Hu 4. λοιπῇ add. Υ τῆι 44 ἴση AB, corr. $$ 
5. αἱ HO.1M ΖΕ A, ἀἰϊδίϊηχ. ΒΒ 9. x' add. ΒΞ Ἑ 43. τῆς ΓΖ AE 


LIBER VII. PROPOS. 93. 815 


es inter a et ὃ. Sit λ, rursusque rectae βζ perpendicularis 
duatur Àu; est igitur, ut supra, Bp — ux. Sed quoniam 
esl az) — dy, et αλ — Ày, per subtractionem igitur restat 74 
Ξ λδ. Suntque tres parallele 29 Aj de; est igitur etiam 
Su — με. Sed erat βμ — ux; ergo per subtractionem restat 
β9 — ex, q. e. d. 


In problema vicesimum sextum, 


XX. Sit αὖ « Óy, et yy — αὖ, et 19 perpendicularis Pop. 
"(clue BL; dico esse ge — Ox. 








« j λὴη y 


Quoniam enim est αὖ «; dy, centrum semicirculi agy 
est inter Ó et y. Sit ἃ, ab eoque rectae (JC perpendicularis 
ducatur ἀμ; est igitur, ut supra, βμ τ ux. Sed quoniam 
est ad — my, et αλ τα Ay, per subtractionem igitur restat dà 
Ξε hy. Suntque tres parallelae de Au 79; est igitur ep — 
H9. Sed erat βμ — jx; ergo per subtractionem restat fe 


Ξε ϑχ, q. e. d. 
In problema undetricesimum (vide propos. 92). 


XXI. Si sint duo semicirculi agy δεζ, et αὃ » y, ac 
————— 
Corr.S 48, ἐστὶ (sic) ABS — τῶν ZH A, distinx. ΒΒ 16. τῆι 24H. 
AB cod. Co, corr. S Co 486. 47. ἡ δὲ — ἴση ἐστίν add. Co (1. εἰ- 
σὴν add. Hu — 48. ὅλη ἡ EM AB cod. Co, corr. SCo — 8 
"in. Graecis codicibus sequuntur duo lemmata, quae cum nihi 
lineant, nisi quod in duobus praecedentibus demonstratur, supervacanea 
Yi&a sunt, quare nos ea consulto omisimus" 0 489. xo' add. BS 
33. τῆς 72 τῆι AT ABS Ge, corr. Υ ἐὰν τῇ dy BS, om. At, tov τὴ 


4 TP super versum add. A 






816 ΠΑΗΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Ζ. 


χαὶ διαχϑείσης τῆς ZB ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετος ἀχϑῇ ἡ HO, 
ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΘΒ τῇ ΚΕ. 





Εἰλήφϑω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ ἡμικυκλίου τὸ 4, χαὶ 
ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὴν ΒΖ κάϑετος ἤχϑω $ ΑΜ᾿ ἴση ἄρα 
ἐστὶν ἡ BM τῇ MK. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν ἣ μὲν 4.4 vi? 
AT, ἣ δὲ AH τῇ AT, λοιπὴ ἄρα ἡ Η.1 λοιπῇ τῇ 44 
ἐστὶν ἴση. καὶ εἰσὶν τρεῖς παράλληλοι αἱ ΗΘ 4M AE: 
ἴση ἄρα ἐστὶν ἣ OM τῇ ME. ὧν ἡ BM τῇ MK ἐστὶν 
ἴση" λοιπὴ ἄρα ἣ ΘΒ λοιπῇ τῇ KE ἐστὶν ἴση, ὅπερ: — 

Φανερὸν ὡς καὶ ἣ OK τῇ ΒΕ ἐστὶν ἴση. i 

Eig τὸ λα΄. 

154 ^ xf. Ἔστω τὰ ΑΒΓ AEZ ἡμικύκλια, καὶ πάλιν ἔστω 
ἐλάσσων ἡ 44 τῆς 4T, καὶ διήχϑω ἡ ZEB, καὶ τῇ 44 
ἴση κείσϑω ἡ ΓΗ͂, καὶ ἐπὶ τὴν ΖΒ κάϑετος ἤχϑω ἡ HO * 
ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΚΘ. Y 

Φανερὸν yàg ὅτι $ HO οὔτε ἐπὶ τὸ Καὶ πίπτει ovv € 
μεταξὺ τῶν Z K. ἐὰν τὸ κέντρον ληφϑῇ τὸ 41, καὶ ἀπῶ 
τοῦ .1 ἐπὶ τὴν ΒΖ κάϑετος ἀχϑῇ ἡ 4M, ἔσται ἴση ἡ BF 
τῇ MK. ἀλλὰ καὶ διὰ τὸ τρεῖς εἶναι παραλλήλους τὰς 4X2 
ΑΜ ΗΘ ἴση γίνεται ἣ EM τῇ MK (ἴση γὰρ ἡ 444 v22 

“ΗΠ. εἴη ἂν καὶ ἡ BM τῇ ME ἴση, ἡ μείζων τῇ ἐλάσ- 
σονι, ὅπερ ἀδύνατον: οὐκ ἄρα ἐπὶ τὸ K πίπτει. πολλᾳξ 


4. χαὶ ante ἐπ᾽ αὐτὴν add. ABS, del. Ge 
corr. idem 6. ἡ δὲ ΑΝ AB, corr. S 6. 7. τῆι 4d ἐστὶν ABES » 
corr. Ge 40. Φανερὸν — ἴση in ABS ante ὅπερ inserta transposu 88 4 
Hu, item p. 848, 7. 93 41. τὸ add. BS 42. xB' add. BS 
43. ἡ AA τῆι AT À, corr. BS 44. ἐπὶ τῆς ZB ABS, corr. Ge 


4. ἐπὶ τὴν EZ ABER 5 


LIBER VII. 817 
ponatur αἡ — óy, et, ductà rectà ζχεβ, huic perpendicularis 
ducatur 72, dico esse 3 — ex. 

Sumatur semicirculi ay centrum 4, ab eoque rectae 97 
perpendicularis ducatur A; est igitur, ut supra, fu — μκ. 
Sed quoniam est αλ — Ay, et ar — y, per subtractionem 
igitur restat ηλ — Aó. Suntque tres parallelae 79 'μ δε; 
est igitur 9i — ue. Sed erat, BH — ux; ergo per subtrac- 
lionem restat β9 — ex, 4. e. d. 

Apparet esse etiam βὲ — 9x. 


In problema tricesimum primum (vide propos. 93). 
XXII. Sint semicirculi a7 δὲζ, ct sit rursus αὖ « óy, 
ducaturque recta Cxef, et ponatur zy Ξε αὖ, rectaeque fb 
perpendicularis ducatur 73; dico esse βὲ — 3x. 








Apparet enim rectam 7$ neque in punctum x neque 
inter x et L cadere. lam supponamus rectam 79 cadere in 
Punctum x. Si semicirculi ay centrum À sumatur, ah eoque 
Tectae βζ perpendicularis ducatur Ap, erit, ui supra, Bu — 
Hx. Sed quia tres sunt parallelae δὲ Ag 29, et δλ — Az, 
9sset etiam (quia 79 in x cadere supposuimus) ἐμ — ux; 
fT&o etiam esset fj. aequalis rectae ep, scilicet. maior minori, 
Quod fieri non potest. Ergo recta 59 non cadit in punctum 
*. Multo autem magis manifesium est rectam 9 non inter 
———— 

135. ὅτι ἡ EB τῇ ΚΘ ἴση ἐστίν add. Ge, corr. Hu.— 16. ἡ HG add. 


Horsey 41. τῶν ΖΚ A, distinx. ΒΒ 30. γὰρ ἡ 44 AB, corr. S 
31. ἄρα 8, ἐστιν AB 


- σἔων τξῷ πᾶς “απο Cue 2 8 τεῖνσ GEM CWC. 
— m -φ-φ —. CE »Γ - m £f ἢ HI. 
&.—— me — . .arm x £f sw rk ει. un» pi 


-m-oiu. 1 05 7B 78. o ar mm ὅσα - 9 xg B6. 
" -5* x BA m GB Δα Gm - Ld εὐετῖ oW 
CU »-ὸ iP o E -- 
Eíre—me Eo αν wo ——u x P9 σεν am. 
Lmvoamr 


- Emm au — FII  uarrqzxiA. μεῖζον ἔστω 
-- -. TL wr r — ὦν uas» 2723 καὶ τρια 
OcRIclcgeme m Ὁ xxzíC. rr c 1. 9. cma ἀτὸ 


7 f -- rr S roc νϑῃρ, ταστανν CES caes Rute 


Tr ταῦτ — CCBECLLAGCO CE»  cITEERSE| Wl 21 1 d€ 0 
ClTLITn. £o P) s.m ττύισιστεε. ὕει 1 He on 
ΣΤ GET IE — ὡξδε h 

ZÉono ailer a-ur {4 cV 7I. - omm (EZ τιι- 


sy τι .[. τοι 
- - - € 
UOI. . σεξ στ ΟΡ SEIP  ΔΡ 4" ΤΊ ZH. : 


to. 07 24 ww mee ε΄ wq τὸ .£H snas ior. 

DIO IekL Ita 44 tt rJ OM πο. Am Bge ἐστὶν Ἀ 
εν D4 στ od'* a6 Ξῆ πὰ τ ἔπ Lr it 

Lx TDI ot€7 τ απ Gmr wr. LUAM - 


Secreto n. om 14 καὶ Z9 mI «m. 
n Ξ,τι;» Cunmar π cuamcAXAGE τὸ 38 — EZ. xn 


alil gl T- 4. x 2f Am sure ἡ ZH. ται 33 
UyetcumiL OPDLlLoa-— . 2 LCEPOS £cAGOW. ara Jergje , EBB. 


us IX o£ csnr Pe — D OX nro Tc cun He 8. ἐπεὶ 
IL T- "o Ua* AD OR. v9". 1} ἃ a—— νὧδὲΥέή BS "t 
OUO CIT o. xm € .OSOID€E mu. —77 (3. ἐπὶ τῇν BO 
$5. τς T x if “ἃ 4c -- ὦ τσ Bu Je ᾷᾳ. v301í11t! , 
utt. tuto. gHT-PHC a9 cam. C35 uFruw 3 X99 ἴοι. 0) t5. ns. pt 
PHI SO aH «τον AW DAL C) 94. BS τῶν I7 

- dau. Y. τίν τ 6 S πρὶ ὁ i* ws A cer. BS 33. ét? 
$39 ra £i cue mE ). ᾧ o3. |] i. ay RED ES τὰ J4BIE.Z 


LIBER VII. PROPOS. 94. 93. 819 


neta x et ζ cadere; ergo extra rectam κζ cadit. Sed quo- 
1m est aÀ —— Ay, et αὃ — vy, per subtractionem igitur re- 
it δὰ τῷ Ày. Suntque tres parallelae δὲ Àp 79; est igi- 
"δὲ zz μϑ. Sed erat Bu — ux; ergo per subtractionem 
αἱ βεὲ — Jx, q. e. d. 

Apparet esse etiam 9 - ex. 


In problema tricesimum quartum. 


XXIII. Sint semicirculi egy δεζ; sit 0y *» γζ, et pro- POP. 
catur «5, ac ponatur ζῃ — αὖ, et compleatur circülus 
5x; ducatur recta g&yx9, eique perpendicularis ab η du- 
ur 99 [quam exira circulum cadere apparet; nam paral- 
a est rectae «9, quae quidem extra cadit ergo etiam 79 
wra cadit]; dico esse fe — x39. 


Quoniam est 

0y » γζ, semicir- 
culi óe& centrum, 
est inter puncta ὃ 
eti y. Sit À, οἱ 
recíae B9: perpen- 
dicularis ÀAu. lam 
quia est aó — Cr, 
el 0À — AL, tota 
igilur αλ toti 4n 
aequalis est. Sunt- 
» tres parallelae «9 Au 975; est igitur (y τῷ μϑ ἢ. Sed 
propter elem. 3, 5 ἐμ — ux; ergo per subtractionem' re- 
L Be — x29, q. e. d. 

Apparet esse etiam fx — ε9. | 

XXIV. Sint.rursus semicirculi «y δεζ, sitque ὃγ - yt, Prop. 
ponatur 5*5 — αὖ, et compleatur circulus δεζκ, et ducatur 33 
La &yx*") et huic perpendicularis a puncto ἡ ducatur 53 





Ὁ Conf. supra p. 795 adnot. *. 

**) Apparet ipsa notarum collocatione significari proprium huius 
3lematis casum. Punctum enim f, quod est in semicirculi egy cir- 
Merentia, inter € et y esse oportet. 


820 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


καὶ ἀπὸ τοῦ Η ἐπ᾽ αὐτὴν κάϑετος ἤχϑω ἡ HO [φανερὸν 

δὲ ὅτι ἐντὸς πίπτει τοῦ κύχλου, ἐπεὶ καὶ ἡ παράλληλος 

αὐτῇ ? .18Β ἐντός)" δεῖξαι ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ EB τῇ OK. 
Ἔστω τὸ κέν- 
τρον τὸ .1, xci) 

πάλιν χάϑετος 1, 

ΑἹ ἴση ἄρα 

ἐστὶν ἡ EM τῇ 

MK. ἐπεὶ δὲ ἐν 

τρισὶ παραλλή-" 

λοις ταῖς AB 

ΗΘ ἴση ἐ- 

στὶν ἡ 4 τῇ 

ΜΗ, ἴση ἄρα ἐ- 

σεὶν xoi ἡ ΒΙ1 
τῇ ΜΘ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ EM ὅλῃ τῇ IMK ἴση" λοιτεὴ 
ἄρα ἡ EB λοιπῇ τῇ KO ἐστὶν ἴση, ὕπερ: — 

157 Τὸ πρῶτον τῶν νεύσεων ἔχει προβλήματα ϑ', διορεσ- 
μοὺς τρεῖς" καὶ εἰσὶν οἱ τρεῖς ἐλάσσονες Ó τε κατὰ τὸ 
πέμπτον καὶ ὃ κατὰ τὸ L' πρόβλημα καὶ ὃ κατὰ τὸ 37.9 
τὸ δεύτερον νεύσξων ἔχει προβλήματα με΄, διορισμοὺς τρεῖς, 
τὸν τὲ κατὰ τὸ ιζ΄ πρόβλημα καὶ τὸν xarà τὸ LÓ' καὶ τὸν 
κατὰ τὸ xy'' καὶ εἰσὶν οἱ τρεῖς ἐλάσσονες. 





᾿Επαφῶν πρῶτον. 
Εἰς τὸ ε΄ πρόβλημα. 5 
158 α΄. 4ύο παράλληλοι αἱ 4B. LA, καὶ κύκλος àgamé— 
σϑω 0 ΕΖ κατὰ và E Ζ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ EZ 7 
ὅτι διάμετρός ἐστιν τοῦ ΕΖ κύκλου. 

Εἰλήφϑω σημεῖα ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου. περιφερείας ex 

H 8, xoi ἐπεξεύχϑωσαν αἱ ΕΗ ΗΖ ΕΘ ΘΖ. ἐπεὶ οὗ 4»; 
ἐφάπτεται μὲν ἡ “ἸΕ τέμνει δὲ ἡ ΕΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν 77 
ὑπὸ .4EZ γωνία τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπ “2 
ΕΘΖ. διὰ ταὐτὰ καὶ ἡ ὑπὸ 4ΖΕ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ EH 


4. φαγερὸν — 8. ἐντός, etsi rectius scripta sunt quam similia ila 





LIBER VIT. PROPOS. 96. 821 


(quam intra circulum cadere apparet, quia etiam af, quae rec- 
ae 74 parallela est, intra cadit]; ,demonstretur esse eg — 3x. 
Esto circuli δὲζκ centrum ἃ, et rursus rectae &x perpen- 
dicularis ἀμ; est igitur,; ut supra, ὃμ τῷ ux. Sed quoniam 
inter tres porallelas ag ἀμ 95 est aÀ — λῃ, est igitur Bu 
— L3. Sed erat etiam &u — px; ergo per subtractionem 
restat e9 — ϑχ, 4. e. d. | 
Primus inclinationum liber habet problemata novem !), 
delerminationes tres; suntque hae omnes minimae, ad quin- 
tum problema, ad septimum, ad nonum. Secundus inclina- 
linum liber habet problemata quadraginta quinque, deter- 
minationes tres, easque ad problema XVII, ad XIX, ad XXIII; 
Suntque hae tres minimae. 
 LEMMATA IN TACTIONUM LIBRUM PRIMUM. 


In problema quintum. 


I. Sint duae parallelae ag γδ, quas circulus εζ tangat Prop. 
in punctis. € et C, et iungatur &; dico recíam && circuli εζ 
diametrum esse. 

& d p Sumantur in circuli cireum- 
ferentia puncta ἡ 29, et iungan- 
tur δη ηζ e9 9C. lam quia cir- 
Culum tangit αἬε et secat δζ, 
propter elem. 3, 32 angulus eec 

. aequalis est angulo ε9ζ qui est 

g iu alterno segmento. Eadem de 
causa est etiam angulus ÓLe ae- 

qualis alterno £C. — Est autem inter parallelas ag et yÓ L act 


4) Conf, supra p. 674 cum adnot. 2 
---- 





QUae cap. 455 reperiuntur, tamen aliena esse ab hoc loco censet Hu 
34. 49. ταῖς 4B.4M HO A, distinx. BS . 48. διωρισμένους A, corr. 
49. ὅ τε Hu pro ὄντες ὃ ^ 25. titulum Εἰς τὸ ε΄ πρόβλημα in 
Süspicionem vocat Haumannus p. 63 sq. 26. «' add. BS αἱ ΑΒΓΗ 
» distinx. ΒΒ 91. χατὰ τὰ ΕΖ οἱ 99. 80. τὰ HO A, distinx. BS 
32. πῶι E ἐναλλὰξ ABS, corr. V Co 88. ταὐτὰ Hu pro ταῦτα τῆι 
U7tó- ΔΖΕ AB cod. Co, corr. S Co 











LIBER VII. PROPOS. 97. 98. 823 


L εζδ; ergo est etiam ὁ £95 — ὁ εηζ.- Et horum angu- 
üm summa duos rectos efficit (elem. 5, 22); ergo uterque 
tus est; ilaque utrumque segmentorum εϑζ ct ξηζ semicir- 
us est. Ergo εἶ diametrus est circuli eC, 4. e. d. 

II. Sit circulus a6, et tangant eum fjy ay, et angulus y rec- 
'& bifariam secetur ; dico in recta yó esse centrum circuli af. 

lungantur da as ὃβ fe. lam quia circulum tangit ay 
secat yÓ, est ay? — Oy. ye (elem. 5, 56); per proportio- 
^ igitur est Óy : ay — ay : ye, et communi angulo αγὸ si- 
ἴα suni iriangula ayÓ s&ya; ergo est [, δαγ — L aey. 
lem de causa est ( Ógy — L βεγ. Sed quia tangentes yo 
aequales sunt), et. ex: hypothesi est [, αγὸ — [ βγδ, com- 
ni igilur. latere γε in triangulis aey et Bey est eliam L a&y 
est óay)'— L Bey (id est δβγ), et L eay — L sBy; itaque 
trahendo est etiam [, δαὲ — ( ὅθε; ergo, quia quadrila- 
4m δαεββὶ circulo est inscriplum, uterque horum angulorum 
tus est; est igitur δὲ diametrus circuli «80; itaque in recta 
centrum est circuli o0. 


In problema duodecimum. 


Prop. 
97 ἢ 


III. Sint duo circuli «8 8» se tangentes extra?) in Prop. 


1cto 9, et ducatur recta αϑγ, sitque in ea circuli «9 cen- 
m; dico etiam circuli gy centrum esse in recta ay. 
Ducatur enim recta δβε 
utrumque circulum tan- 
gens. Rectus igitur est an- 
y gulus αβὸ (elem. 5, 18) ; 
ergo etiam eius supplemen- 
tum angulus Ófjy rectus 
est. Et tangit δὲ circulum 


é 





d 


*) Quae huic propositioni respondet conversa, eam a scriptore pro- 

tionis 454 adhibitam. esse demonstravimus in append. ad VI propos. 

ub finem. 

4) Nimirum propter elem. 8, 36 est et ya? οἱ y8? — δγ. γε. Conf. 

Ὃ p. 494 adnot. **, 

4) Addidit Ca p. 36; idem "intra" in propos. 100. 

ὑπὸ AIB), corr. S καὶ ἡ ὑπὸ 44D ABS, corr. Co 38. y' add. 
28. ἡ ὑπὸ ABD γωνία AB, corr. S 





894 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Ζ. 


χλου" τὸ ἄρα χένερον τοῦ ΒΓ κύκλου ἐστὶν ἐπὶ τῆς ABT 
ὁμοίως ὡς καὶ τοῦ 418. 


ἄλλως. 


161 ὃ. Ἔστωσαν πάλιν αἱ 4B BT κύκλων διάμετροι ὅτι 
οἱ ΑΒ ΒΓ κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων. 
Ἤχϑω πάλιν ἐφυ- 

t πτομένη [ἡ] τοῦ 448 w- 


ὯΝ xÀov ἡ ZE* ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν 
a ἡ ὑπὸ ABA γωνία, xoi 
7 ἐφεξῆς 7) ὑπὸ ΖΒΓ γωνία! 

V ὀρϑή ἐστιν. καὶ ἔστιν τοῦ 


j BI κύκλου κέντρον ἐπὶ 
τῆς ΒΓ’ ἡ 4E ἄρα ἐφά- 
πτεται τοῦ BI κύκλου" ἀλλὰ καὶ τοῦ 4B κατ᾽ αὐτὸ τὸ B: 
καὶ ó 4B ἄρα τοῦ ΒΓ κύκλου ἐφάπτεται κατὰ τὸ B σημεῖον 15 
[ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆςϊ. 

162 ε΄. 4ύο κύκλοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων οἱ 418 ΒΓ κατὰ vo 
B σημεῖον, καὶ διήχϑω ἡ ΑΓΒ, ἔστω δὲ ἐτε᾽ αὐτῆς τὸ κέντρον 
τοῦ A4 B κύχλου" ὅτι καὶ τοῦ ΒΓ τὸ κέντρον ἐστὲν ἐπὶ τῆς ΒΓ. 

Ἤχϑω ἐφαπτομένη τῶν κύχλων ἡ AE. ἐπεὶ οὖν ἐφα- 30 
πτομένη ἡ 4E τοῦ ΑΒ κύκλου, xai διὰ τοῦ κέντρου ἡ AB, 
ὀρϑή ἐστιν ἡ ὑπὸ 4B.4 γωνία. καὶ ἧκται ἀπὸ τῆς ἁφῆς 
ἡ BI: ἐπὶ τῆς ΒΓ ἄρα τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ ΒΓ κύχλου. 

Φανερὸν δὲ καὶ οὕτως" εἰ γὰρ διαχϑείη ἡ BZH, xoi 
ἐπιζευχϑείησαν αἱ ΓΖ ΑΗ, γένοιτο ἂν ἴση ἡ ὑπὸ EBE 5 
γωνία ἕκατέρᾳ τῶν ὑπὸ τῶν ΒΖΙ “ΗΒ γωνίᾳ. καὶ ἔστιν 


4. ἐπὶ τῆς ΒΓ ABS, corr. Hu 2. ὡς add. Hu &. δ΄ add. BS 
διάμετροι om. B cod. Co 71. ἡ del. Hu 8. ἄρα add. Hu. — 44—43. xexi 
ἔστιν ἐν ἑκατέρα χέντρον η ΒΓ A(B), καὶ ἔστιν ἐν ἑχατέρᾳ κέντρον τῶδν 
«B8 γ8, καὶ ἐστὶν ἑκάτερον κέντρον τῶν 4B ΒΓ κύκλων ἐπὶ τῆς ABD ca 
xal ἐστὶν ἐν ἑχατέρᾳ κέντρον τῶν ΑΒ ΒΓ Haumannus, corr. Hu 41- ε 
add. BS 91. xal add. S 94. 4284 γωνία Hu pro ABT γωνέφε —. 
383. ἡ ΒΓ Co, τῆς BE AB, τῆς β S, τῆς B ἡ ΒΓ Ca ἐπὶ τὴν 5r τ΄ 
κέντρον ἄρα ABS, corr. Co 24. 25. διαχϑῆ -- ἐπεζεύχϑωσαν (ERES) 
corr. Hu 35. ἡ ὑπὸ ΕΒΓ Ca pro ἡ ὑπὸ 4BZ 48, ὑπὸτῶν EZE T ^ 7: 
HB γωνίαι αὶ (B cod. Co), corr. S 


LIBER VII. PROPOS. 99. 400. 8925 


By: ergo circuli ΘΚ centrum est in recta af» perinde ac 
circuli ag. ) 


Ν Aliter. 


IV. Sint rursus circulorum αβ 9» diametri ag By in eá- eran. 
dem rectá, sitque punctum p. inter α et y; dico circulos ag 
By se tangere in puncto p"). 

Ducatur rursus δὲ tangens circulum αβ in puncto p; 
rectus igitur est angulus αβδ, itemque eius supplementum 
angulus Ógy rectus est. Et est circuli gy centrum in recta 
Py; ergo δὲ circulum f» tangit in puncto g; sed etiam cir- 
culum cB in eodem puncto fg; ergo etiam circulus og cir- 
culum f» tangit in puncto f. 

V. Sint duo circuli ag 8» in puncto 8 se tangentes ?n- FroP- 
tra, et ducatur recta αγβ, sitque in 
ea circuli «8 centrum; dico etiam 
circuli Jy centrum esse in recta ayp. 

Ducatur δὲ utrumque circulum 
tangens. lam quia δὲ circulum af 
tangit, et αβ per centrum transiL, 
rectus es& angulus à. Et ducta 
d e est a puncto taclionis recta B, rec- 
tusque est angulus Ófy ; ergo in recta 
py est centrum circuli gy. 

Manifestum est eliam sic. Si 
ducatur recta 955, iunganturque γᾷ 
αη, fiet propter elem. ὅ, 52 L egy — 
L γῖβ — L αηβ. Et, quia ex hypo- 
thesi circuli ag centrum est in recta 
e, recius est angulus aem; ergo 
etiam γζβ rectus est; itaque in recta 
.e βγ est centrum circuli gy. Εἰ si- 

militer, si centrum circuli gy in recta 


& 





» 


*) "Sint «8 By circulorum diametri in eadem recta e diversis par- 
übu; puncti 8, quod commune habent, sitae: ostendendum est circulos 
"B δ in puncto A extra se contingere" Ca p. 37. 

Pappus II. - 53 


826 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Ζ. 


ὀρϑὴ ἡ ὑπὸ .4HB γωνία" ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν xoi ἡ ὑπὸ ΒΖΓ 
γωνία, ὦστε &i τῆς ΒΓ τὸ κέντρον ἐστὶν τοῦ ΒΓ. καὶ ὁμοίως, 
χἂν τοῦ BI δοϑῇ ἐπὶ τῆς 41Β, δείξομεν ὅτι xoi τοῦ AB. 
163 c. Αλλὰ δὴ πάλιν ἔστωσαν διάμετροι αἱ 4B BI: 


ὅτι οἱ κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων. 
Ἤχϑω τοῦ 418 κύκλου ἐφα- 
ζ πεομένη ev9eia ἡ 48Ε ὀρϑὴ ἄρα 


ἐστὶν ἡ ὑπὸ 418Ε γωνία. καὶ ἔστιν 
διάμετρος ἡ ΒΓ ἡ 4E ἄρα ἐφα- 
πτομένη τοῦ ΒΓ κύχλου χατὰ τὸ BW 
σημεῖον. [εἰ γὰρ ἐκβληϑείη ἡ ΓΖ 
ἐπὶ τὸ 4,, γένοιτο ἂν τὸ ὑπὸ ΓΖΖ 
ἴσον τῷ ἀπὸ 4B, διὰ τὸ ὀρϑὴν 
δ γ, & γίνεσϑαι τὴν πρὸς τῷ Z γωνΐαν, 
οὔσης τῆς πρὸς τῷ B ὀρϑῆς. ἀλλὰ τ 
γὰρ καὶ τοῦ 418Β κύχλου ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β' καὶ ὁ 48 
ἄρα κύκλος τοῦ ΒΓ κύχλου ἐφάπτεται κατὰ τὸ B [imi τῆς 
αὐτῆς καταγραφῆς]. 
Εἰς τὸ ις΄. 

164 ζ΄. Ἔστωσαν δύο κύκλοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων οἱ ABD 
ZEB κατὰ τὸ B σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ B διήχϑωσαν αἱ 
DIB4 ABE, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ 4Γ AE: ὅτι τιαράλληλοι 
ci ΑΓ AE. | 

Ἤχϑω γὰρ τῶν κύκλων ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἡ ZH κατὰ 
τὸ B σημεῖον. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἣ ΒΖ τέμνει δὲν 
ἡ ΒΑ͂, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ .418ΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΒ. διὰ 
ταὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ HBE γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ BÁAE 
γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ 41ΒΖ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ EBH 
γωνίᾳ " καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ EAD 
γωνίᾳ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ' παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ 41 
τῇ AE, ὕπερ: — 


4. ς΄ add. ΒΒ 44. εἶ γὰρ — 45. ὀρϑῆς del. Co (conf. etiam δάποί, "mmm 
ad Latina) 48. τῶι ἀπὸ ΑΒ ABS, corr. Ca 40. ζ΄ add. BS 


90. 24. οἱ 4B T4 EB À, corr. BS 24. εὐθεῖα ἡ ZBH, omissis xci q 
τὸ B σημεῖον, Hu 27. ταὐτὰ Hu pro ταῦτα τὴ vno εὖβ S Co 


LIBER VII. PRÓPÓS. 404. 402. 827 


c9 datum sit, in eadem recta circuli a centrum esse de- 
monstrabimus. 

VI. Sed rursus. sint. diametri ag gy; dico circulos se Prop. 
tangere !). 
. . Ducatur recta Óge circulum af tangens; rectus, igitur 
est angulus offe. Et est gy diametrus circuli By; ergo δὲ 
hunc circulum tangit in puncto 8. Sed eadem circulum of 
in puncto 8 tangit; ergo etiam circulus af? circulum fly tan- 
git in puncto β ἢ. 


In problema decimum sextum. 
VII. Sint duo circuli egy ὅβε se tangentes exíra in puncto Prop. 
p, et per 8 ducantur rectae γβδ ae, "3 
/ iunganturque «y δε; dico rectas «y 
δὲ parallelas esse?). 
Ducatur enim recta £9 utrum- 
que circulum in puncto f tangens. 
t lam quia tangit 95 secatque fa, 
7 propter elem. 5, 32 est L apt — 
L «yg. Eadem de causa est etiam 
L ηβὲ τε L Bs. Sed ad verticem B 
est [, αβὲ τῷ, L en; ergo est etiam 
L «yB — L góe; suntque Ài anguli 
alterni; ergo recta «y parallela est 
ipsi de, q. e. d. 


1) Hoc loco scriptor non solum eas, quas solet, hypotheseos par- 
leS, sed etiam alias omisit, quae ex propos. 100 efficiuntur: rectae a8 
pe rtem esse γβ, et circulos in puncto 8 se tangere intra. Conf. Ca 

* S8. 
. ἢ Ex verbis εἰ γὰρ ἐχβληϑείη cet., quae ἃ Graeco contextu seclu- 
Sim us, hanc demonsirationem concinnavit Ca p. 38: , Patek, vero etiam 
!la : Si producatur recta aliqua v6, donec rectae Jg, quae clrculum eg 
!'n 6 contingit, in δ᾽ occurrat, fiet, quia angulus Z rectus est aeque ac 
9n£ulus 4, rectangulum yd-óZ aequale quadrato ex Jf. Recía igitur 
* contingit cireulum gy; eadem autem in eodem puncto f contingit 
9uam circulum «ef. Circulus eg igitur circulum gy in puncto f intra 
Contingit". 
2) Conf. supra IV propos. 8 adnot. 2. 
————— — —— 


*8. 29. ἀλλὰ — EBH ywví(q om. S cod. Co . 29. xoi ἡ ὑπὸ ΑΒΓ AB 
Cd. Co, corr. S Co 
| 53* 


c 


828 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ Z 


165 n. Κύχλος ὃ ABT, xai ἐπεζεύχϑωσαν at 4B ΒΓ ΓᾺ 
χαὶ διὰ τοῦ 44 διήχϑω Tig εὐθεῖα ἡ 4E, ὥστε ἴσην εἶνα 
τὴν B γωνίαν τῇ ὑπὸ EAT γωνίᾳ: ὕτι ἐφάπεεται ἡ 4l 
τοῦ ΑΒΓ κύχλου κατὰ τὸ Α σημεῖον. 

Εἰ μὲν οὖν ἡ ΑΓ διὰ τοῦ κέντρου ἐστίν, φανερὸν ἔσται 
γίνεται γὰρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ γωνία διὰ τὸ καὶ τὴν } 
γωνίαν εἶναι ὀρϑήν" τοῦτο δὲ προδέδεικται. εἰ δὲ μή 

᾿ς ἔστω τὸ χέντρον τὸ Ζ, xai ἐπεζεύχϑω ἡ 412 καὶ ἐχβε 
βλήσϑω ini τὸ H, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΒΗ͂. ὀῤθὴ ἄρα ἐστὶ 

ἡ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑτιὸ ἘΑ͂Ι! 

γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ ὑπὸ HAT. γωνία ἐν τῷ avt 

τμήματι τῇ ὑπὸ HBI, ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ EAH γωνία τὶ 

ὑπὸ 41 ΒΗ γωνίᾳ ἴση ἐστίν. ὀρϑὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΗ 099: 

ἄρα xci ἡ ὑπὸ EAH. καὶ ἔστιν ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΖΑ͂ 

ἐφαπτομένη ἄρα ἡ 4Ε vob ABI κύχλου" τοῦτο γὰρ προ: 
γέγραπται. 

166 ϑ΄. Τούτου ὄντος ἀνάσεροφον τοῦ πρὸ αὐτοῦ. πιαραλ 

| λήλου οὔσης AT τῇ 4E, δεῖξαι ὅτ 

ἐφατιτόμενοι οἱ ABI AEB ἀλλη: 
λων κατὰ τὸ B σημεῖον. 

"Hy9. τιάλιν τοῦ ΑΒΓ xv 
xÀov ἐφαπτομένη εὐϑεῖα ἡ ZH: 
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑτιὸ .4BZ γωνία 
τῇ Γ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ 418Ζ γωνία 
ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΕΒΗ͂, ἡ δὲ Γ 
τῇ 4 ἐναλλὰξ ἴση ἐστίν, ὥστε xi 
ἡ ὑπὸ HBE γωνία τῇ 4. διὰ δ' 
τὸ προγεγραμμένον ἐφάπτεται 
ZH τοῦ ABE κύχλου. ἀλλὰ »« 
τοῦ ΑΒΓ «ova τὸ B: xai ὁ ΔῈ 








4. η add. Β8 ἐπεζεύχϑωσαν αἱ Ca pro ἐπεζεύχϑω ἡ ΓΑ͂σ 
AB cod. Co, add. S (.. add. Co) 29. διὰ Hu pro ἀπὸ διήχϑη 
corr. BS ἡ 4E Hu pro ἡ AE 3. τὴν B AB Co, τὴν y cod. di 
τὴν eBy S — 4. τοῦ AB κύκλου ADS, corr. Co 44. ἡ ΖΑ͂ Hu prc— 
AZ — A45. ἐφάπτεται coni. Co (at conf. statim vs. 49) — 47. 9' ac— 
DS ἀναστρόφον B, ἀναστρόφιον À, ἀντέστροφον8ϑ 24. ἡ ὑπὸ ΕΞ 


. | LIBER VII. PROPOS. 4103. 104. 820 


VIII. Sit cireulus «gy, et iungantur ef fy γα, et per Prop. 
punctum α ducatur recta δὲ ita, ut angulus ec«y angulo ay 103 
aequalis sit; dico rectam δὲ tangere circulum af)» in puncto a. 

Primum, si recta «y per cen- 
Jj & ε wum transit, manifestum est; fit 
enim angulus &«y rectus, quia 
; etiam angulus αβγ rectus est; id 
autem iam in elementis (5, 16 
& coroll.) demonstratum est. Sin 
vero recía ay non (ransit per cen- 
? irum, sit centirum C, et iungatur 
αζ producaturque ad ἡ, et iun- 
gatur fy. Rectus igitur est angu- 
7 lus eg. Iam quia ex hypothesi est 
L εαγ — L αβγ, et in.eodem segmento ry 
L ηαγ — L ηβγ, summà igitur factà est 
L εαγ -r ἢαγ Ξε L agy - ηβγ, id est 
L eam -— L afin. | 
Rectus autem est angulus affp; ergo eliam angulus ear rec- 
tus est. Et per centrum 0L ducta est oam; ergo: δὲ tangit. ' 
cireulum «fy in puncto &; hoc enim iam n elementis (5, 
16 coroll.) demonstratum est. 

IX. Quod cum ita sit, conversum superius lemma sep- Prop. 
Umwm sic se habet. Si sit «y parallela rectae de, demon- δὰ 
Siretur circulos a»; δβε se tangere in puncto β ἢ. 

Ducatür rursus recta $7 circulum ay tangens ἴῃ puncto 
P; est igitur ὁ apt — L ayp (elem. 3, 32). Sed est ad ver- 
licegp, B ί. αβὲ τῷ Le, et, quia alterni sunt, 4 αγβ — L às; 
eTBO est etiam [ ef? — [ fóe. lam propter superius lemma 
recta |» circulum δβὲε tangit in puncto 8; sed eadem L7» ex 


.  *) Rursus, ut supra propos. 401, quam brevissime Pappus hypothesin 
S!«Büificavit; supplevit reliqua Ca p. 48: "Si rectae «y δὲ sint parallelae 

Uctis scilicet per punctum B, duobus circulis «gy def commune, rectis 
quibuscunque yB89 «8e, quae ex una parte puncti 8 uni circulorum in 
punctis α y, ex altera vero alteri in punctis d «& occurrant, iunctisque 
l'éctis c, δε), dico circulos ey Je in puncto f (extra) se contingere". 
——— ——— 


" 7tÓ Αἱ, ὑπὸ (deleto j) A? 46. ὥστε add. Hu 37. ἡ ὑπὸ ABE 
AB, Corr. S 29. τοῦ 488 xvuxàou AB, corr. S 


δ90 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Z. . 


ἄρα xvxÀog τοῦ Β4Ὲ κύχλου ἐφάπτεται χατὰ τὸ B oy 

μεῖον. 

Πρόβλημα εἰς τὸ αὐτό. 

167 v. Θέσει δοθέντος xvxAov τοῦ ΑΒΓΓ, «ai δύο δοϑέν- 
των τῶν 4 E, ἀπὸ τῶν 4 E ἂν κλασϑῇ ἡ ABE καὶ à- 
βληϑῇ, ποιεῖν παράλληλον τὴν AT τῇ 4Έ. 

Γεγονέτω᾽ καὶ ἤχ- 
3w ἐφαπτομένη ἢ ΖΑ͂. 
ἐπεὶ οὖν παράλληλος 1 
ΑΓ τῇ AE, ἴση ἐστὶν 
7) Γ γωνία τῇ ὑπὸ LAE 
γωνίᾳ. ἀλλὸ ἡ Fl to 
ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΑ͂Ι 
(ἐφάπτεται γὰρ και 
6 τέμνει)" καὶ ἡ ὑπὸ Z AE 

ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν vj 
ὑπὸ ΓΔΕ" ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Α' B 4 Z σημεῖα" ἴσοι 

ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ EB τῷ ὑπὸ ZE4. δοϑὲν δὲ τὸ im 

ΔΕΒ (ἴσον γάρ ἐστιν τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης) ' δοϑὲϊ 

ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΕΖ. καὶ δοθεῖσα ἡ 4 δοϑεῖσο 

ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. ἀλλὰ καὶ τῇ ϑέσει. καὶ ἔστιν δοϑὲν τὸ E. 

δοϑὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ. ἀπὸ δὴ δεδομένου σημείου τοῦ 2 

ϑέσει δεδομένου κύχλου τοῦ ΔΒΓ ἐφαπτομένη εὐθεῖα qx- 

ται ἡ Z.d: δέδοται ἄρα xal ἡ ΖΑ͂ τῇ ϑέσει καὶ τῷ με- 
γέϑει. καὶ ἔστιν δοϑὲν τὸ Z* δοϑὲν ἄρα καὶ τὸ «Α΄. ἀλλὰ 

καὶ τὸ E δοϑέν: ϑέσει ἄρα ἐστὶν ἣ ΑΕ. ϑέσει δὲ καὶ ὁ 

xvxAog: δοθὲν ἄρα τὸ B σημεῖον. ἔστιν δὲ καὶ ξκάτερο» 

τῶν 4 E δοϑέν: δοθεῖσα ἄρα ἐστὲν ἑκατέρα τῶν 48 BE 
τῇ ϑέσει. 

168 Συντεϑήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὁ μὲν 


χύχλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοϑέντα δύο σημεῖα τὰ 4f E. xt 





4. εἰ add. BS dvo ABV cod. Co, om. Paris. 2368 S 5. τῶ 
4E utroque loco A, distinx. BS — χλασϑῇ Co pro δοϑῆι 8. ἡ Ζ 
Co, ZH (omisso 7) ἃ, ἡ à BS 47. τὰ 4822 Α, distinx. BS 
34. ἄρα xol ἡ ΒΖ ABS, corr. Co 32. δὴ add. Co 33. 94. 





LIBER VII. PROPOS. 408. 831 


coms £zuctione cireulum egy tangit in puncto f; ergo etiam 
drcualus ay circulum ófe in puncto /? tangit. 


Problema in idem (Apollonii probl. XVI). 


X. Circulo afy positione dato, datisque duobus punctis P 
ὃ &, ex his rectae ff ef ita inflectantur, ut eaedem produc- ' 23 
iae efficiant rectam «y parallelam ipsi δὲ ἢ). 

Factum iam sit, et ducatur Ga tangens circulum in puncto 
€. lam quia parallelae sunt ey δὲ, est [, αγδ — ὁ yóe. Sed, 
quia circulum tangit Go secatque eg, propter elem. 5, 32 est 
L αγὸ τε Las; ergo est etiam [ Cae — [ γδε, sive L Cof — 
L Bói. Sed anguli βδὲ 4- βὅζ, id est ζαβ -- βὸζ duobus rectis 
CQéquales sunt; itaque puncta « β ὃ ζ sunt in circuli circeum- 
ferentia; est igitur a&- εβ — ζε. εὃδ. Sed datum est ae. eg (hoc 
enim propter elem. 5, 56 est aequale quadrato ab ea recta, quae 
"oc & ducta circulum afy tangit) !); ergo etiam ζε. εὃ datum 
est. Et data est je; data igitur etiam eC (dat. 57). Sed 
etiam positione. Et est datum δ; ergo etiam ζ datum est 
(dat. 27). Iam a dato puncto ζ ducta est recta Ca circulum 
«6^, positione datum tangens in puncto a; ergo 6a positione 
data est ac magnitudine (dat. 94). Εἰ est datum D; ergo 
eliam α datum est. Sed etiam 8 datum est; ergo recta oe 
positione data est (dat. 26). Sed etiam circulus egy posi- 
tione datus esí; ergo etiam punctum 6 datum (dat. 25). Sed 
eliam puncta ὃ & data sunt; ergo etiam rectae Óf Be posi- 
lone datae sunt. 

Componetur problema sic. Sit circulus ay, et sint data 
puncta ὃ &. Ponatur quadrato ab ea recta, quae ex & ducta 


*) Id est: punctum f in circuli circumferentia ita sumatur, ut, si 
rectae 0g εβ ad y et «, altera puncta sectionis circumferentiae, pro- 
ducantur, recta «y sit parallela datae de. 


4) Conf. infra adnotat. ** ad propos. 107. 


ABr ἐφάπτεται : πρὸς εὐθεῖαν ἧκται 5 ZAN ABS, corr. Co 28. τῶν 
ΖΕ et 34. τὰ ΖΕ Α, distinx. BS 31. x«à ante χεέσϑω add. Ge (at 
conf. supra p. 798. 24) 


532 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHZ Z. 


σθω τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἴσον τὸ ὑπὸ τῆς AE xoi 
ἄλλης τινὴὺς τῆς EZ, xai duo τοῦ Ζ τοῦ ABI κύκλου 
ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἤχϑω 7 ΖΑ͂, καὶ ἐπεζεύχϑω 
n «1Ὲ, καὶ ἐπιζευχϑεῖσα ἡ 4B. ἐκβεβλήσθω ni τὸ T, καὶ 


, te 


&necevyJu ἡ ΑΓ λέγω ὅτι τταράλληλός ἐστιν ἡ 441 τῇ 48." 


Ἐπεὶ γὰρ τὸ im 
ΖΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ 
ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης, 
ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ AED 
ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς! 
᾿ἐφαπτομένης, ἴσον ἄρα 
ἐστὶν τὸ ὑπὸ AEB τῷ 
ὑπὸ ZEZ4: ἐν χύχλῳ 
ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΒΔ, 
σημεῖα iom ἄρα ἐστὶν ἡ " 
ὑτιὸ ΖΑ͂Ε γωνία τῇ ὑπὸ BAE γωνίᾳ. ἀλλὰ xoi ἡ ὑπὸ 
ZAE γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι τῇ ὑπὸ 
AT B: καὶ ἡ ὑπὸ A£TB ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ B4E 
γωνίᾳ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ- παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ 
τῇ 4E. | " 





Εἰς τὸ ιζ΄. 

169 ια΄. Ἔστωσαν δύο χύχλοι οἱ ΑΒΓ A44E ἐφατιτύμενοι 
ἀλλήλων κατὰ τὸ .4 σημεῖον, καὶ διήχϑωσαν ἀττὸ τοῦ 
εὐϑεῖαι αἱ 45,88 ΑΕΓ, xai ἐπεζεύχϑωσαν αἱ AE BI: ovt 
γκιαράλληλοί εἰσιν αἱ .1Ε ΒΓ. 5 

Ἤχϑω ἀπὸ τοῦ 44 ἐφαπτομένη εὐϑεῖα ἡ ΖΗ ἴση ἄρα 
ἐστὶν ἡ ἀπὸ ΖΑΒ γωνία ἑἕξκατέρᾳ τῶν ὑτιὸ 4ΓΒ 4Ε4: 
ὥστε καὶ T ὑπὸ ΑΓΒ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ EA: 
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἣ AE τῇ ΒΓ. | 

Ἀλλὰ παράλληλος ἔστω ἡ AE τῇ ΒΓ ὅτι ἐφάτιτονται ? 
οἱ ΑΒΓ 41.1Ε κύχλοι ἀλλήλων. 


4. δὰ ἐφαπτομένης super vs. add. ἀπὸ τοῦ € Paris. 2368 rec. Π|8 8} - 
et S τὸ ὑπὸ B Paris. 2368 V, τοῦ ὑπὸ Α, τὸ ἀπὸ S 9, ἀλλὰ χεεὲ 
— A44. ἐφαπτομένης bis scripta in A 43. ἐν χύχλωι AB cod. Co, lO 7] 
S — A44. 45. τὰ — ἄρα ἐστὶν add. Co 480. τῆι .1Z ABS, corr. Co à 


LIBER VII. PROPOS. 106. 833 


circu Zwm afly tangit, aequale rectangulum, quod rectà δὲ et 
alà quadam εζ continetur, et a C ducatur recta Co. circulum 
αβγ tangens in puncto a, et iungatur recta afe, itemque 
iuncta df producatur ad y, et iungatur «y; dico hanc pa- 
rallelam esse rectae ὅδ. 

Quoniam enim ex hypothesi rectangulum ζε- εὖ aequale 
eS& quadrato ab ea recta, quae ex 8 ducía circulum αβγ tan- 
git, at vero etiam rectangulum ἀξ. 6β aequale est quadrato 
8b eadem tangente (elem. 3, 56), est igitur ae- εβ — ζε. 60; 
ergo in circuli cireumferentia sunt puncta « p ὃ ζ, itaque 
L Cae — L[ βδὲ (quia hi anguli commune supplementum βὃζ 
habent). Sed etiam angulus Coe sive Caf! aequalis est an- 
£ulo αγβ in alterno segmento (elem. 3, 32); ergo est etiam 
L «yg — L gós. Suntque hi anguli alterni; ergo recta a 
ipsi δὲ parallela est. ! 


In problema decimum septimum. 


XI. Sint duo circuli ay αδὲ in puncto « se tangentes PrOP- 
iI^tra,.et ducantur ex α rectàe αὃβ «ey, et iungantur δὲ (jy; 
t 4 “ἢ dico parallelas esse δὲ βγ. 

Ducatur a puncto α recta 
bp utrumque circulum tangens; 
ergo propler elem. 3, 52 est 
L ζαβ — L αγβ —  αεδ'; est 
igitur δὲ parallela rectae fy. 

Sed sit δὲ parallela rectae 
By *); dico circulos ay «s in 
SR puncto « se tangere intra. 


Ὥς 





*) Propositionem complet Ca p. 78: "ductis nempe per punctum a, 
duobus circulis «gy «adc commune, rectis quibuscunque «df «ey, quae 
*X eadem puncti « parte uni circulorum in punctis & y, alteri vero in 
Punctis δ᾽ € occurrant, iunctisque rectis &y e". 

;, /r 
Lat. versione 24. IZ A? (Ca), I4 A!(BS) 22. ««' add. BS 
A-TE (o pro 4E4 35. αἱ ΔΈΒΓ A, distinx. BS 30. ᾿4λλὰ — 
τῇ ΒΓ add. Co 





894 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


Ἤχϑω γὰρ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη ἡ ZH: lio -- 
ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ Z.44 γωνία vij D γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ Γ γων -- 
vía ἴση ἐστὶν τῇ Ε΄ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΑ4 ἄρα γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ME 
γωνίᾳ, ὥστε ἐφαπτομένη ἡ ΖΗ τοῦ AE κύκλου (τοῦτ «2 
γὰρ προδέδεικται) : οἱ ABT ΑΔΕ ἃ ἄρα χύχλοι ἐφάπτονται ἀλ---- ὃ 


λήλων χατὰ τὸ Α σημεῖον. 


Πρόβλημα εἰς τὸ αὐτό. 
170 ιβ΄. Θέσει ὄντος κύχλου τοῦ ΑΒΓΓ, καὶ δύο δοϑέντω» 
τῶν 4 E, χλᾶν τὴν 4.4 καὶ ποιεῖν παράλληλον τὴν BEC 


τῇ 4E. 





1( 
Γεγονέτω" καὶ ἀπῷ 
τοῦ B ἐφαπτομένη ἤχϑων 
ἡ ΒΖ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτε--- 
ται μὲν ἢ ΒΖ τέμνει δαὶ 
ἢ ΒΓ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ 1 
ΖΒΓ γωνία, τουτέστιν 7 
ὑπὸ AZB, τῇ d: ἐν κὐ-- 
κλῳ ἄρα ἐστὶ τὰ 4 BZE 
σημεῖα" ἴσον ἄρα ἐστὶν 
τὸ ὑπὸ 1248 τῷ ὑπὸ 20 
EAZ. δοϑὲν δὲ τὸ ὑπὸ 
“428 ἴσον γὰρ τῷ ἀπὸ 


τῆς ἐφαπτομένης)" δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ EAZ: καὶ 


ἔστιν δοϑεῖσα 7 AE: 


δοϑεῖσα ἄρα καὶ ] 4Z. ἀλλὰ 


καὶ τῇ ϑέσει. xoi ἔστιν δοϑὲν τὸ 4^ δοϑὲν ἄρα xai τὸ Z. 5 


ἀπὸ δὴ δοθέντος σημείου τοῦ Z [τῇ] ϑέσει [δὲ] δοϑέντος 
χύχλου ἐφαπτομένη ἦχται ἡ ZB: δέδοται ἄρα ἡ ΖΒ τῇ 
ϑέσει. ἀλλὰ καὶ ὃ ΑΒΓ κύκλος ϑέσει' δοϑὲν ἄρα ἐστὲ 
τὸ Β σημεῖον. ἔστιν δὲ καὶ τὸ 4 δοϑέν: ϑέσει ἄρα ἐστὶν 


3. ἐστὶ ASBS ὅ. 8. οὗ — σημεῖον add. Hu auctore Co 8. "β΄ 
add. BS Θέσει δοϑέντος Ca auctore Co (at conf. cap. 474. 182, 
Haumann. p. 52) 9. τῶν AE ABS, distinx. Ca xA&v Ca (χλάσαε 
Co), ΚΑ ἀν A(BS) δοϑεῖσαν ante τὴν 4.4E additum in ABS del. Co 
15. ἡ (ante ὑπὸ ZBI') Ca pro τῆι 48. ἐστὶ ASBS τὰ AB EZ A, 
distinx. BS, corr. Hu — 924. 233. dà τὸ ὑπὸ .4£4M B A(BS), corr. Co 
44. γὰρ τὸ AB, corr. S 38. ἐφαπτομένης Co pro ΒΖ do9érri (Ae 


LIBER VII. PROPOS. 107. 835. 


Ducatur enim 5*9 cireulum «gy tangens in puncto e; ergo 
st /| Lag sive ζαὃ τῷ [ ayB. Sed ex hypothesi est [ αγβ — 
, €xtÓ ; ergo etiam /[. ζαὸ — [ aeÓ, itaque recta ζῃ circulum ade 
Ἀπ, δῦ in puncto α (id enim supra lemm. VIII demonstratum 
St); ergo circuli afjy aóe in puncto « se tangunt inira. 


Problema in idem. 


XII. Positione dato circulo αβγ.. datisque duobus punctis Prop. 
δ &, inflectantur ex his punctis rectae ὅβα &ya ita, ut fiat 
recta (y parallela ipsi δὲ ἢ. 
Factum iam sit, et a puncto β' ducatur tangens 6G. lam 
quia tangit βζ secatque 6», propler elem. 3, 52 est 
L ζθγ — L βαγ, id est propter parallelas By δὲ 
L δὲβ — L βαγ sive flos. | 
Ergo anguli βαε -- βζε duobus rectis aequales sunt, itaque 
puneta α B ζ &e sunt in circuli circumferentia; est igitur 
u0.0f — εδ. δζ. Sed datum est αδ' 08 (hoc enim propter 
elem. 5, 56 est aequale quadrato a tangente δη) ἢ); ergo etiam. 
£0.05 datum est. Et est data δὲ; data igitur etiam ὁζ 
(dat. 57). Sed etiam positione. Et est Jlatum à; ergo etiam 
C datum est (dat. 27). lam a dato puncto ζ ducta est ζβ 
creulum positione datum tangens in puncto B; ergo ζβ po- 
sitione data est (dat. 914). Sed etiam circulus of» positione 
*) [d est: punctum « in circuli circumferentia ita sumatur, ut 
lectae de &«, quae, antequam in « concurrant, circumferentiam in 


punctis β et y secuerint, efficiant rectam gy parallelam datae δὲ. Conf. 
adnot. 4 ad p. 881. 


ἘΠ Perspicuitatis causa rectam δὴ, quae e puncto d ducta circulum 
"fy tangit, et in figura addidi et in Latina versione suis notis appellavi, 
cum Graeco scriptori, qui Apollonii libros manibus teneret, huius pro- 
blemate XVII innitenti breviter τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπιτομένης Scribere li- 
ceret. Ac profecto idem nobis beneficium contingit Apollonii de tactio- 
fibus libros ab Haumanno restitutos p. 93 sq. comparantibus (nisi forte 
Sunt qui spreta insigni auctoritate suae socordiae indulgere malint). 
atum est autem quadratum a δὴ propter dat. 94; atque ex synthesi, 
Quae statim sequitur, apparet, cur Graecus scriptor ad hanc datorum 
Propositionem, non ad 92, provocaverit. 





"TTOuÉync, τουτέστιν δοϑέντι coni. Hu, ἐφαπτομένης ἀπὸ τοῦ 4 Ca, 
ΒΖ δοϑείσης Ge); conf. p. 836, 5. 6. 26. τῇ et δὲ del. Hu. 28. ἄρα 
ἐστὶ AsBS 


ε 


836 ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTHZ Z. 


ἡ B4. ϑέσει δὲ καὶ ὁ xvxAog: δοθὲν ἄρα ἐστὲ τὸ 4. 
ἔστιν δὲ καὶ τὸ E δοϑέν: δοθεῖσα ἄρα ἐστὲν ἑκατέρα τῶν 
4.42. AE τῇ ϑέσει. 

Συντεϑήσεται δὲ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὁ μὲν 
χύχλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοθέντα σημεῖα τὰ 4 E, καὶ τῷ 
d;rÓ τῆς ἐφαπτομένης ἴσον κείσϑω τὸ ὑπὸ Ε4Ζ, καὶ arro 
τοῦ Ζ τοῦ .4BI κύχλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἤχϑεν 
ἡ ΖΒ, καὶ ἐπεξεύχϑω ἢ 48 καὶ ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ JW, 
xai ἐπεζεύχϑωσαν αἱ 4 BI: λέγω ὅτι παράλληλός ἐστεν 
ἡ ΒΓ τῇ AE. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ Ε4ΖΖ 
ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῇῷς 
ἐφαπιτομένης, τουτέστιν τῷ 
ὑπὸ ΑΔΒ, ἐν χύχλῳ ἄρα 
ἐστὶν τὰ Α B Z E σημεῖα * 
ἴση ἄρα ἐστὶν 7) 4 γωνία, 
τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΓΒΖ (ἐφ-- 

ὲ ἀἄπτεται γὰρ ἡ ΒΖ τέμνεε 
δὲ ἡ BI), τῇ ὑπὸ ΒΖΖ'.- 

καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ, παραλ-- 2 

ληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ 

τῇ 4E. 





Πρόβλημα εἰς τὸ ιη΄. 

172 t. Θέσει δοθέντος κύκλου τοῦ ΑΒΓ᾽, καὶ δύο δο- 
ϑέντων σημείωκ τῶν 4 E, ἀπὸ τῶν 4 E κλᾶν τὴν 44Ὲ}5 
καὶ ποιεῖν τῇ 4Ε παράλληλον τὴν ΒΓ. 


1. ἡ B4 Copro ἡ 44 — icri ΑΒΘ τὸ 4 Co, τὸ .4 AB, τὸ ὁ 8 

3. δοϑεῖσα Co pro δοϑὲν ὅ. τὰ 4E A, distinx. ΒΒ 171. ἐφαπτομένη! - 
Ca auctore Co 8. ἡ 4B καὶ Co, ἡ 4BK AB, ἡ dy cod. Co, 1 O & 
S 48. 14. τουτέστιν τῷ ὑπὸ A44 B add. Hu (latius secundum propo 55: 
405 Co: ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ 4128 ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομέ;ν»2 € 
ἴσο» ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ 448 τῷ ὑπὸ EAZ) 44. 45. ἐν χύχλῳ — σ᾽ 57 
μεῖα add. Co 49. τῇ Ca auctore Co pro τὴν 20. παράλληλος jd e. 
V Co 24. wy' add. BS 85. τῶν ΔῈ utroque loco A, distinx. B9 
xÀ&v τὴν Ca. (κλάσαι τὴν Co), KA av do? τὴν À, xÀ ἂν δοθῇ τὴν ps5 


LIBER VII. PROPOS. 408. 897 


da£us!); ergo etiam 8 datum est. Sed etiam ὃ datum est; 
ergo recta βὸδ positione data est (dat. 26). Sed etiam cir- 
calus αβγ positione datus est; ergo etiam punctum « datum 
(da4. 25). Sed etiam punctum e datum est; ergo rectae da 
ἀξ positione datae sunt. 
 Componetur problema sic. Sit circulus αβγ, et sint data 
puncta ὃ δ, οἱ quadrato a tangente óc aequale ponatur 
rectangulum δ. OL, et a ζ ducatur recta L8 circulum ay 
tangens in puncto B, et iungatur Óf producaturque ad a, iun- 
gaenturque ee (circumferentiam secans in y) et By; dico rec- 
tàm f» parallelam esse ipsi δὲ. | 
Quoniam enim rectangulum εὖ. OL aequale est quadrato 
ἃ tangente à (ex hypothesi), id est rectangulo ad- Og (elem. 
ὅ, 86), in circuli igitur cireumferentia sunt puncta « β ζ e. . 
Est igitur 4 dae — [ βζδ (quia hi anguli commune supple- 
mentum βζε habent). Sed quia circulum αβγ tangit ζβ secat- 
que gy, propter elem. 3, 32 est L ζβγ — L Bay sive δαε; 
ergo etiam. { CB8y — ( βζδ. Suntque hi anguli alterni; ergo 
recta 87 ipsi δὲ parallela est. 


— — — 


Problema in Apollonii problema duodevicesimum. 


XIII. Circulo ay positione dato, datisque inira hunc Prop. 
* duobus punctis ὃ e, ab his rectae δὰ sa ita inflectantur, ut 108 
«dem in alteram partem productae efficiant rectam fy pa- 
rallelam ipsi δὲ ἢ). 


4) Pro Graecis ἀλλὰ καὶ ὁ ΑΙ χύχλος 9406, perinde ac supra in 
Propos. 4105 et iufra 409 exspectamus xei ἔστιν δοϑὲν τὸ Z. Sed ea- 
*m ratione scriptor in proximo problemate (propos. 108) ad circulum 

αβγ recurrit; respicit igitur demonstrationem, quae in datorum propo- 
Sllione 94 exstat (p. 470, 4 ed. Peyrard.). Quamquam. non dubium est, 
Tuin rectius secundum dat. 91. 27, positione et magnitudine datá rectá 

datoque puncto £, datum esse punctum β conclusurus fuerit. Ca- 

Iérerus et hic et passim alibi nescio quas discrepantias in datis ci- 

ndis admisit. 

n *) Id est: punctum « in circuli circumferentia ita sumatur, ut, si 
9Ctae αὖ «s ad B et y, altera puncta seclionis circumferentiae, pro- 
A canLur, recta 8» pacallela sit datae Je. Praelerea conf. Hauinaun. 

4 sq. 


7.4 E Co pro 4.4E 36. τὴν 4E παράλληλον τῆι ΒΓ ABS, τὴν ΒΓ 
? «ερρείλληλον τῇ 4E Co, corr. Hu 


838 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


Γεγονέτω- καὶ ἤχϑω ἀπὸ τοῦ B τοῦ ΑΒΓ κύκλου 
ἐφανιτομένη εὐθεῖα γραμμὴ ἡ BZ: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ 
ΖΒΑ͂ γωνία τῇ DI, τουτέστιν τῇ E: ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶν 
τὰ B Z .4 E σημεῖα: τὸ ἄρα ὑπὸ B4 ἴσον ἐστὶν τῷ 
ὑπὸ Ζ4Ε. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ B4 (ἀπὸ γὰρ δοϑέντος ὅ 
τοῦ 4 sig ϑέσει δεδομένον κύκλον διῆκται ἡ 4428)" do- 
ϑὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ZAE. καὶ ἔστι δοϑεῖσα ἡ AE: ὃδο- 
ϑεῖσα ἄρα καὶ ἡ Z4. καὶ ἔστιν δοϑὲν τὸ 4" δοϑὲν ἄρα 
xat τὸ Z. ἀπὸ δὴ δεδομένου σημείου τοῦ Z ϑέσει δεδομένου 
κύκλου ἐφαπτομένη ἧχται ἣ ΖΒ" ϑέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ZB. 
ϑέσει δὲ καὶ ὁ κύκλος: δοϑὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ B σημεῖον. 
ἀλλὰ καὶ τὸ 4 δοϑέν' ϑέσει ἄρα ἐστὶν ἡ B4. ϑέσει δὲ 
καὶ ὁ κύκλος." δοϑὲν ἄρα ἐστὶν τὸ ΑἹ σημεῖον. ἔστιν δὲ 
xai ἑχάτερον τῶν Δ' E Óo3év: δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα 
τῶν d AE τῇ ϑέσει. 15 

173 Συντεϑήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὃ μὲν τῇ 
ϑέσει δεδομένος κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοθέντα δύο σημεῖα 
τὰ 4 E, καὶ διήχϑω τυχοῦσα ἡ 444B, xai τῷ ὑπὸ 44} 
ἴσον κείσϑω τὸ ὑπὸ EAZ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τοῦ ΑΒΓ w- 
χλου ἐφαπτομένη ἤχϑω ἡ ΒΖ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΓΕΑ͂. ἐπεὶ 2, 
οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΒ. γωνία τῇ πρὸς τῷ E (ἐν κύκλῳ 
γάρ ἐστιν τὰ .4 Z B E σημεῖα), ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΑ͂ 
ton ἐστὶν τῇ Γ᾽ (ἐφάπτεται γὰρ καὶ τέμνει), καὶ ἡ D ἄρα 
γωνία ἴση ἐστὶν τῇ Ε' παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ AE, 


ct 
07Ut6Q : ^ 

2. 8. ἡ ὑπὸ ZBA Hu pro ἡ ὑπὸ ZB 4. τὰ ΒΖ AE A, di— 
stinx. BS 6. τοῦ 4 eig; ϑέσει δεδομένην γωνίαν διῆχται ABS, corr - 
Ca 7. ἔστι ASBS 8. 9. δοϑὲν ἄρα --- δεδομένου add. ὦ 


40. post χύχλου add. ἄρα S cod. (0 12. ἐστὶν ἡ ΒΑ͂ ABS, corr. ὦ à 
Lat. versione 44. éxaréga τῶν 1E δοϑέντων do9iv ἄρα A(BS), corr- 
Co 48. τὰ AE A, distinx. BS 49. καὶ ἀπὸ τοῦ Z Hu pro τοντ - 
ἐστιν (nonnulla deesse suspicabatur Co) 21. ἡ ὑπὸ ZB4 Hu pro 5j 
ὑπὸ ZB; item vs. 92 πρὸς τῶι E AB cod. Co, ὑπὸ δεα S 


93. τὰ 48 EZ A, disnx. BS, corr. Hu — 24. post ἄρα add. ἴση 
35. ὅπερ V, o A, ὅπερ ἔδει BsS 


LIBER Vii. PROPÓS. 408. 839 


Factum iam sit, et a puncto 8 ad productam εὃ ducatur 
βξξ circulum αβγ tangens; est igitur propter elem. 5, 52 
L 58e — L βγα, id est (prop- 
ter parallelas Ge By) — L ζεα. 
Sed anguli ζβα Dea sunt in 
eodem segmento Ga ; ergo prop- 
ler elem. 3, 24 puncta ζ 6 
& α sunt in circuli circeum- 
ferentia; est igitur 80 - δὰ — 
GO δὲ (elem. 3, ὅδ). Sed 
datum est 8ó.0« (nam a 
dato puncto δ᾽ utroque versus 
ad circuli positione dati cireumferentiam ducta est recta adf 
propter dat. 93); ergo etiam L0. δὲ datum est. Εἰ data est 
δὲ; ergo etiam CÓ data (dat. 57). Et est datum ὃ; ergo. 
eiam P datum (dat. 27). lam a dato puncto ζ ducta est C8 
üreulum positione datum tangens; ergo CP positione ἀαία est 
(lot. 94). Sed etiam circulus .positione datus est; ergo etiam 
punctum 8 datum (2bid.). Sed etiam ὃ datum; ergo etiam 
βὸ positione data est (dat. 26). Sed etiam circulus positione 
datus est; ergo punctum a datum (dat. 35). Verum etiam 
Puneta à & data sunt; ergo rectae δὰ «e positione datae sunt. 
Componetur problema sic. Sit circulus positione datus 
αβγ, et sint duo puncta à e intra circulum data, et ducatur 
quaelibet recta «0f circumferentiam secans in punctis a^ 
€ 8, et rectangulo «0. Óg ponatur aequale rectangulum 
6.0], et a ζ ducatur recta ζβ circulum egy tangens in 
puncio 8, et iungatur recta yea circumferentiam secans in y 
€ c. lam quia propler elem. 5, 24 est [ ζβα — L ζεα 
(nam propter elem. 3, ὅδ puncta a D B & sunt in circuli 
üreumferentia), ac propter elem. 3, 32 etiam angulo βγα 
angulus ἔβα aequalis est (tangit enim ζβ secatque ga ctrcu- 
lum) , est igitur etiam 4 βγα Ξε (. Lea; ergo recta y paral- 
la est ipsi de, 4. e. d. 





840 . ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHSE Z. 


Πρόβλημα εἰς τὸ ιϑ'. 

174 (0. Θέσει ὄντος τοῦ ΑΒΓ xvxÀov, xai δύο δοϑέντων 
τῶν 4 E, κλᾶν ἀπ᾽ αὐτῶν τὴν 4 4E, ὥστε σαράλληλον 
εἶναι τὴν ΒΓ τῇ AE. 

D ἐγονέτω * xai ἤχϑω áp 
πτομένη ἡ ΒΖ. γίνεται οὖν 
πάλιν ἐν χύχλῳ τὰ 4 Z BE 
σημεῖα, καὶ ἴσον τὸ ὑτιὸ 448 
τῷ ὑπὸ Ε42Ζ. δοϑὲν δὲ τὸ 
5x0 444B: δοθὲν ἄρα xoi τὸν 
ὑτεὺ Ε42Ζ. καὶ ἔστιν δοϑεῖσα 
ἡ 4E: δοϑεῖσα apa καὶ ἡ 42. 
γ ἀλλὰ καὶ τῇ ϑέσει. καὶ ἔστιν 

δοθὲν τὸ 4: δοϑὲν ἄρα καὶ 
τὸ Z, ὥστε ϑέσει ἡ ΒΖ. ἀλλὰ καὶ ὁ κύκλος: δοϑὲν aga 
ἐστὶ τὸ B. ἀλλὰ καὶ τὰ 41 Ε' δοϑεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέραι 
τῶν Z.4 ΑΕ. ὅμοίως γὰρ τοῖς πρότερον δείξομεν, χαεὲ 
ὁμοίως 1) σύνϑεσις τῷ πρὸ αὐτοῦ. 


σή 





Εἰς τὸ κδ΄. 

175 ιΞ΄.. ““πτέσϑθωσαν δύο κύκλοι ἀλλήλων οἱ 4B ΒΓ xav «€ 
τὸ B σημεῖον, xoi εἰλήφϑω và χέντρα αὐτῶν và zl E, xcwt 
ἐπεζεύχϑωσαν αἱ «44 4B ΓΕ EB, ἔστω δὲ παράλληλος 
414 τῇ DE: ὅτι εὐθεῖαί εἰσιν αἱ διὰ τῶν 4 ΒΕ, ΑΒΓ 

Ἤχϑω γὰρ τῶν 41Β ΒΓ κύκλων ἐφαπτομένη εὐϑεῖ — 
ἡ ΖΗ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται μὲν ἡ ΖΗ, ἐκ δὲ τοῦ κέντρον 
ἐστὶν ἡ 418, ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ónoó τῶν A4BZ γωνία. δι — - 
ταὐτὰ xai ἡ ὑπὸ ZDBE γωνία ἐστὶν ὀρϑή" εὐϑεῖα ἄρα ἐστῖξξξ 





2. 19. add. BS Θέσει δοϑέντος Ca auctore Co x«i add. Ca 


3. τῶν 4E ABS, distinx. Ca κλῶν Ca, Και «v A(BS) ἀπ᾽ αὐτώπει- 
vel ἀπὸ τῶν 4 E Hu, δοϑέντων A(BS), ἀπὸ τῶν δοϑέντων Ca — 7.1 — 
AZBE ^, distinx. BS 46. ἐστὶ AsBS τὰ 4E A, distinx. BS 


20. ἐε΄ add. ΒΒ 24. τὰ ΖΕ A, distinx. ΒΒ 22. ef (anle ἔστω) —— 
EBA AB ' 28. τῶν “8 EA BI. AB, τῶν fe egy S, distinx. Hu 
24. ἤχϑωσαν AB, corr. S 24. 25. εὐϑθϑεῖα — μὲν om. S cod. Co 
i εὐθεῖαι ἡ ZEHN AB, corr. Ca (nisi quod omisit εὐθεῖα) 96, ig: NE 


ἡ AH AB, corr. S 47, ταὐτὰ Hu pro ταῦτα 





LIBER VII. PROPOS. 409. 110. 841 


Problema in Apollonii problema undevicesimum. 


V. Circulo of positione dato, datisque ?ntra hunc Prop. 


punctis ὃ e, ab his rectae δὰ ea ita inflectantur, ut 
in alleram partem productae cfficiant rectam 6» pa- 
| ipsi e"). | 
cium iam sit, et ducatur (μέ supra) tangens 8C. Rur- 
ur puncta α C B & in circuli cireumferentia sunt, est- 
|.0f — εὃ. δζ. Sed datum est aÓ-.0f; ergo .etiam 
datum. Et est data δὲ; ergo etiam δζ data est magni- 
Sed eadem etiam positione daía est. Εἰ est datum 
n 0; ergo etiam C datum est; itaque recta βζ posi- 
aia est. Sed etiam circulus; ergo etiam punctum 6 
est. Sed etiam puncta ὃ e; ergo rectae δὰ ae posi- 
atae sunt. Haec enim similiter ac superiora (propos. 
emonstrabimus, itemque compositio similis est priori!). 


In problema vicesimum quartum. 


V. Duo circuli a8 fy in puncto B se tangant extra, 
| et sumantur eorum centra ὁ & 
- iunganturque αὖ Of e &y, sint 
autem parallelae αὖ e&y; dico 
rectas lineas esse et eam quae 
per ὃ 8 & et quae per a B y 
transit. 

Ducatur enim recta £7 cir- 
culos «f βγ tangens in puncto 
B. lam quia tangit iy, et e 
centro est Óf, angulus igitur 
Of rectus est. Eadem de causa 
eliam angulus ζβε rectus est; 
recta igitur est linea quae per 
puncta ὃ β & transit. Sed quo- 





"alf. supra propos. 108 et Haumann. p. 95 sq. 

πῶ hoc lemma XIV Haumannus p. 68 inserendum esse putat 
Ἂς} cum titulo εἰς τὸ x' πρόβλημα, tum lemma XXIII cum ti- 
“ὦ αὐτό. | 

* II. ᾿ 54 


Prop. 
410 


842 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Z. 


ἡ διὰ τῶν 4 B E. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὲν ἢ μὲν 44 τῇ 48, 
ἡ δὲ ΕΓ τῇ EB, ἔστιν ὡς ἡ 44 πρὸς τὴν 48, οὗτως ἢ 
ET πρὸς τὴν ΕΒ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς Zl E αἱ πλευ- 
.gai ἀνάλογόν εἰσιν: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν 4BA γωνία 
τῇ ὑπὸ ΓΒΕ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ 43ΒΕ᾽ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ 
xai ἡ διὰ τῶν Α B Γ, ὅπερ: — 

Εἰς τὸ κε΄. 

176 ις΄. Ἴσης οὔσης τῆς μὲν .4B τῇ ΒΓ, τῆς δὲ 44 ri) 
AE, καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς 4E τῇ ΒΓ, δεῖξαι ὅτι &— 
ϑεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν 4 E TD σημείων. 

ς΄ Ἐπεζεύχϑωσαν αἱ AF 

ΕΓ, καὶ τῇ 4E παραάλληλο € 

ἤχϑω ἡ ΒΖ, καὶ ἐκβεβλήσϑεια 

ξ δ ὃ j Ed ἐπὶ τὸ Z: ἴση ex 

ἐστὶν ἡ 4Z τῇ AB. ἔστε »} 


δὲ xoi 7 44 τῇ AE op 7 
M ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ ὅλῃ τῇ ΖΕ 
r y ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ ἡ 48 37 
ΒΓ ἴση ἐστίν: καὶ ἡ Β΄ 
ἄρα τῇ ΖΕ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ παράλληλος: καὶ ἡ LE? 
ἄρα τῇ ΒΖ. ἀλλὰ «oi ἡ 4 τῇ ΒΖ παράλληλος ἔστιν 7 
εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἢ ΑΕΓ τοῦτο γὰρ φανερόν. 





iL 


& 


'Enaqov δεύτερον. 
Eig τὸ λα΄. | 
177 ιζ΄. Ἐὰν ἡ κύχλος ὃ 48Γ, καὶ δύο προβληϑῶσιν c£ ?? 
BA AT ἴσαι οὖσαι, ἡ δὲ B4 ἐφάπτηται, ὅτι καὶ ἡ 4 
ἐφάπτεται. | 
|... Τοῦτο δὲ φανερόν" ἂν γὰρ διαχϑῇ ἡ 4.4, τὸ ὑπὸ A4 FE 
ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 4B. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ 4B τῷ ἀπὸ 4 Α΄ 





4, ἡ διὰ --- ἴση ἐστὶν bis scripta in S (cum quo consentit A) 
τῶν 4BE ABS, distinx. Hu 3. γωνέας bis scriplum in A — r«X* 
AE A, distinx. BS 6. τῶν ΒΓ ^, distinx. BS 8. ἐς΄ add. V 
9. τῆς ΖΕ τῆι ΒΓ AB, corr. S 40. τῶν .4EFT. A, distinx. BS 
41. ὅλη om. AB, add. S 40. 24. χαὶ παράλληλος — ἡ AE τῇ £9? 
om. S, unde magis etiam hunc locum inconcinnis coniecturis perles K^ 


LIBER VII. PROPOS. 444. 449. 843 


αὃ — Óf, et ye — εβ, est igitur αὃ : ὃβ e γε: ef. 
Jer parallelas:&ó &y aequales sunt anguli adf 6ey, 
um proportionales rectae adiaceant, in similibus trian- 
) yBe anguli ὅβα egy aequales sunt. Et est recta 
Ὁ etiam recta est quae per « f y transit!), q. e. d. 


In problema vicesimum quintum. 

Si sit af — fy, et α — δε, et δὲ || By, demon- Prop. 
ectam esse quae per puncta « & y transit. "n 
lantur «& &y, et rectae «e parallela ducatur CB, et . 
ur εὖ ad C; est igitur OL — Of (quia δα : δὲ — 
etl δα — δε). Sed ex hypothesi est ad — δε; ergo 
oti Ce aequalis est. Sed ex hypothesi est αβ τῷ fy; 

"m βγ — Ce. Verum ea constructione est fy || Ce; 
im γε [| 8C (elem. 4, 55). Sed est etiam «e| 8C; 
am esse cey apparet?). 


LEMMATA IN TACTIONUM LIBRUM SECUNDUM. 
In problema tricesimum primum. | 
I. Si sit circulus eg», et e puncto ὃ ducantur duae Prop. 
3 ὃγ inter se aequales, et Of circulum tangat, dico "n 
p, eliam ày circulum tangere. 
Hoc vero perspicuum 
est; etenim si recta óeo, 
circumferentiam in & et a 
secans, ducatur, est aà - δὲ 
Ξ-- Óff? (elem. 5, 36). Sed, 
y quia eo: hypothesi est ὃβ — 


R&a 





€ loco scriptor aut elem. libri I propositionem 15 conversam 
ificavit, aut sic argumentatus est: est { 0g« -— [ «fy, ideo- 
i γβξ -- Óf« uni recto, sive 7/89. -- dfe duobus rectis aequa- 
ergo propter elem. 4, 14 recta est γβα. 

xm. 4, 29 et 14. citat Ca p. 97; complet demonstrationem Co 
inguli βγεὲ - δὲν duos rectos efficiunt, estque /. 8ys — { Bee; 
jangulorum similitudinem etiam { βζὲ — [, «c0; ergo anguli 
' duos fectos efficiunt etc. 


22. ἡ add. BS 33. Ἐπαφῶν δεύτερον add. Hu (conf. 
p. 407. 443. 147 sq.) 35. ιζ΄ add. BS 36. ἡ δὲ B4 
| ABS, corr. Hu ' ] 
54* 


844 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Ζ. 


ἴσον ἐστίν: καὶ τὸ ὑπὸ τῶν 44 ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ dm 
AT: ἐφάπτεται ἄρα ἡ 4Γ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. 

178 wj. Δύο κύκλοι ot 418 BI, xoi διὰ vo? B διήχϑ' 
τις ἢ ΑΒΓ, καὶ δύο παράλληλοι αἱ 44 ET νεύουσαι dr. 
τὰ κέντρα τῶν κύχλων" ὅτι οἱ .4B BI χύχλοι ἐφάπεοντε 
ἀλλήλων κατὰ τὸ DB σημεῖον. 

Εἰλήφϑω τὰ κέντρα τῶν χύχλω 

τὰ 4 E, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν al 4. 

BE: εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶ 

4 B E: παράλληλος γάρ ἐστιν 1) 412 

τῇ ΓΕ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ 4 πρὸ 

ZB, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς EB, xoi yi 

γεται δύο τρίγωνα μίαν γωνίαν με 

γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα τὴν 44 τῇ T, net 
δὲ ἄλλας γωνίας τὰς 4 E τὰς πλεε 
ρὰς ἀνάλογον" ἰσογώνια ἄρα ἐστὰ 
τὰ τρίγωνα" ἴσῃ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπ’ 

ABA γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒΕ. καὶ &ota 

εὐθεῖα ἣ ΑΒΓ. εὐϑεῖα ἄρα .ἐστά 

xai ἡ 48Ε. ἐπεὶ δὲ εὐϑεῖά cosa 

ἡ διὰ τῶν χέντρων xoi τῆς ἁφῆς 

ἐφάτιτονται ἄρα οἱ 4B BU κχύχλοι ἀλλήλων χατὰ τὸ . 

σημεῖον. 





Εἰς τὸ νβ΄. | 
179 0. Ἔστω ἡ μὲν ΑΒ τῇ D4 παράλληλος, ἴση δὲ 
AT τῇ B4, οὔσης ἀμβλείας μὲν τῆς ὑτιὸ τῶν Α4, ὀξεία 
δὲ τῆς ὑπὸ BAT: ὕτι παραλληλόγραμμόν ἐστιν τὸ 44. 
Ἐπεὶ γὰρ ἀμβλεῖα μέν ἐστιν ἡ ὑτεὸ “114,, ὀξεῖα δὲ ἡ ὑπε 
BAT, αἵ ἀπὸ τῶν 4] B ἐπὶ τὴν L'A κάϑετοι ἀγόμεναι 7) μὲν ara 
τοῦ ΑΓ ἐχτὸς τοῦ Γ, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ B ἐντὸς τοῦ Zl τἱπτουσιῖ 
3. uj add. BS — 8. τὰ ΖῈ A, dislinx. ΒΞ 9. 10. τῶν ΖΕ 
ADS, distinx. Ca p. 98 40, γάρ Co pro ἄρα 14. 42. ἡ 424 πε 
AB ADS, corr. Co 4ὅ. τὰς 4E A, distinx. ΒΒ 45. ι9΄ add. ΒΘ 
ἡ anle “Γ oin. AB, add. S 29. τῶν 4B 5, distinx, BS 30. 7? 
πτουσιν Hu auctore Co pro πιπτέτωσαν 


LIBER VII. PROPOS. 413. 1414. 845 


y, est igitur 0j? — om - — αὖ. δε. Ergo Óy circulum αβγ 
wngit (elem. 5, 57). 
XVIII. Sint duo circuli oj By, et per punctum f? quae- Prop. 
libet recta offy a. circumferentia, circuli αβ ad circumferentiam "s 
allerius ducatur, et ducantur parallelae αὖ ey ad centra cir- 
 Culorum vergentes!); dico circulos αβ f in puncto β se 
langere. . | | 
Sumantur circulorum centra ὃ e, et iungantur Of pe; 
recta igitur est quae per ὃ f e transit. Etenim ex hypothesi 

. &d ey parallelae sunt, estque αὃ : Of) — γε: efl, ct fiunt duo 
triangula angulos δαβ et £y) aequales habentia, quorum circa 
alleros angulos «0f et γεβ latera proportionalia sunt; aequi- 

. angula igitur sunt triangula; ergo angulus efó angulo γβὲ 
aequalis est. Εἰ est recta oy; crgo. etiam ὃβε recta est?). 
Sed quoniam recta est quae per centra et punctum concursüs 
transit, circuli igitur ag By; in puncto β se tangunt. 


In problema quinquagesimum secundum. 


XIX?). Sint parallelae «9 yÓ, et aequales «y βδ, sitque Prop. 
angulus αγδ΄ obtusus et βὸγ acutus; dico parallelogrammum ἢ 


sse αβὸγ. 
νι ; Quoniam enim angu- 
| ^ lus «yó obtusus et βὸγ 
acutus est, perpendicularis 
N ab « ad yó ducla extra 
: | N “4 punctum y, ileinque per- 
/ 6 pendicularis ex f intra 


!) Bpsa hypothesis, nec minus quae sequitur demonstratio nonnulla 
habet, quibus iure offendas. Nam unum puuclum f utrique circulo 
Dt aac esse Lacite supponilur, quod nisi esset, aut non-parallelae 
6n «πᾷ ἐγ, aut alterutrum punctorum d & non esset centrum; at si 
dnum X»unctum f circulis commune esse sumitur, eosdem se langere 
demon ss & ratur. i in elem. 3, 43. Ergo hoc lemma integrum servatum esse 

I gave ar- ἃ m. | 
3) 


ὃ  NLemmeta XIX XX XXII ab interpolatore addita esse suspicatur 
ἤδυπιδι τῷ nus p. 69. 


«Conf. supra p. 843 adnot. 1 


846 ΠΑΠΠΟΥ XYNATOQOTHSZ Z. 


καὶ ἔστωσαν αἵ 4 BZ: τιαράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AE τῇ 
ΒΖ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ .4B τῇ ΓΖά παράλληλος, καὶ εἰσὶν 
ὀρϑαὶ αἱ πρὸς τοῖς ΕΖ σημείοις γωνίαι" ἴση ἄρα ἐστὲν 
καὶ ἧ Z4 τῇ ΕΓ, ὥστε καὶ ὕλη ἡ EZ vij L4 ἐστὶν wn: 
xai ἡ 4B ἄρα τῇ ΓΖ ἐστὶν ἴση. 

180 x. Δύο ἴσοι κύκλοι οἱ .4B ΓΖΩ͂, καὶ διὰ τῶν κέντρων» 
ἡ 424, καὶ τῇ I4 παραλληλος ἣ EZ: λέγω ὅτι ἐχβληϑεῖσ €x 
τέμνει καὶ τὸν 4B κύκλον. 


5 


Εἰλήφϑω τὰ xé27— 
τρα τῶν κύκλων τ «Σ 
H O, καὶ ἀπὸ ve»? 
ΗΘ σημείων τῇ j 42-4 
ὀρϑαὶ ἤχϑωσαν ext 
HK ΘΛ, καὶ izz—— 
ζεύχϑω ἢ KA: i7; 
ἄρα ἐστὶν $ HK €27 
O04. ἀλλὰ xai παρ-- 

ἄλληλος" xoi ἢ Kt ἄρα τῇ ΗΘ ἴση ἐστὶν xai παράΆ.- 

ληλος, ὥστε ὀρϑαί εἰσιν ci τιρὸς τοῖς Κ 4 γωνίαι. xe 

εἰσὶν ἐκ τῶν κέντρων αἱ ΗΚ ΘΑ͂: ἡ ΚΑ ἄρα ἐφάπτεται 20 

τῶν κύχλων. φανερὸν οὖν ὅτι 7 τοῦ ΓΖ ἐφαπτομένη καὶ 

τοῦ 418 ἐφάπτεται" ἣ ἄρα τὸν ΓΑ, τέμνουσα ἡ EZ xoi 
τὸν 41Β τέμνει ἐχβληϑεῖσα (ἐπεὶ καὶ μεταξὺ τῶν B 4 ἔσται, 
ὡς ἡ EZ τῶν Γ K ἐστὶν μεταξύ). 

181 xa. Ἔστω ἴση ἡ μὲν 4.44 τῇ 44, μείζων δὲ ἡ 845 
τῆς DE, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ 4E* ὅτι ἐκβληϑεῖσα ἡ AE συμ- 
πίπτει τῇ ΒΓ. 

Κείσϑω τῇ LE ἴση ἡ 4Z, καὶ ἐπεζεύχϑω ἢ LZ παράϊ- 





3. ef om. AB, add. 8 τοῖς ΕΖΑ, distinx. ΒΒ 4. καὶ ἡ Ζ4 
AsS Co, xai ἡ BÓ B cod. Co τῆι ΑΓ ὥστε AB cod. Co, corr. S Co 
ὅλῃ ante τῇ P4 ἐστὶν add. V 6. x' add. BS of AB ΒΓ AB, οἱ 
eB Oy S, corr. Hu 410—192. τὰ ΗΘ — τῶν IIG A, distinx. BS 
44. HK ΘΑ͂ add. Co 44. 45. xal ἐπεζεύχϑω ἡ K.4 add. Ca. 
45. 16. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ add. Co 48. ἄρα add. Co 49. τοῖς Κι 
A, distinx. ΒΒ — 924. ἡ τοῦ 4E AB cod. Co, ἡ τοῦ δγ S, corr. (Ὁ 
ἐφαπτομένη Β58, ἐφάπτεται A cod. Co 91. 92. καὶ τοῦ AB qamnté- 
ται bis scripta sunt in A, unde ἐφάπτεται xol τοῦ af ἐφάπτεται B, 





LIBER Vil. PROPOS. 345. 446. 847 


punetum ó cadit; siutque eae perpendiculares ae (jb. Est 
Bitur ae || BC; sed ex hypothesi etiam wf || yó; ergo paral- 
lelogrammum est αβζε, ideoque αε — βζ; sed ea: hypothesi etiam 
€) -- βδ, et anguli & 5 recti sunt; ergo est &y — ζδ ἢ, ita- 
qué etiam £y - γζ — γζξ -i- CÓ, id est εζ — yà. Ergo etiam 
€(3, quae in parallelogrammo aite rectae εζ aequalis est, rectae 
/À est aequalis, itaque parallelogramimum est [oy (elem. 1, 53). 

XX. Sini duo aequales circuli af γδ, et per centra du- Prop. 
catur recta αὖ circumferentiam secans in punctis a B y ὃ, οἱ 
d'ezcatur in circulo yó parádllela diametro yÓ recta δζ; dico 
hàmc productam circulum of) secare. 

Suniantur circulorum) centra ἢ 9, et ab his ducantur yx 
91. perpendiculares rectae αδ, et iungatur xA. Sunt igitur 
aequales 7x 94; sed eaedem etiam parallelae; itaque anguli 
X 4 recti sunt. Et ex centris ductae sunt yx 24; ergo x4 
utrumque circulum tangit. Iam apparet rectam hac ratione duc- 
lan, si circulum γδ tangit, eandem etiam circulum af tangere; 
er&o recta e£ cireulurh yÓ secans, si producatur, etiam cir- 
culum af) secat (etenim inter 
puncta 9 À perinde erit atque 
εξ inter puncta y x est). 

XXI. Sit δὰ Ξε «ce, et Prop. 
βὸ * ye, et iungatur δε; ^46 
dico rectam δὲ productam oc- 
currere rectae (y productae. 

Ponatur δζ — cy, et iun- 
gatur yC; baec igitur rectae 
δὲ parallela est, eademque 





**| Non quartum, quod nunc dicunt, congruenliaec theorema, sed 
ε 2t. 4 propos. 47 scriptor adhibuisse videlur, ex quo efficitur esse 
X7 m (0? etc. 


ele 


ἔεσι ες - — ᾿ς 
τε σα riri καὶ toU af S 23. 94. ἐπεὶ xal — ἐστὲν μεταξὺ inter- 
Polatj esse videntur (delentur ab Haumanno p. 53) 48. ἐπεὶ Hu pro 


δ —- L— 
δ 48. 24. τῶν B.4 — τῶν ΓΚ A, distinx. BS 25. post μεταξὺ 
ι PL ἡ EZ μείζων ABS, del. Co 48. lemma x« post superius lemma 


K-eponendum esse putat Hdumann. p.68 κα' add. BS 


818 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATQUHZ Ζ. 


ληλος ἄρα ἐστὶν τῇ JE, καὶ συμπίπτει τῇ ΒΓ καὶ ἡ “Ὲ 
ἄρα συμυιέπτει τῇ ΒΓ. 






Πρόβλημα εἰς τὸ αὐτό. 

182 xf. Θέσει ὄντος χύχλου τοῦ ΑΒΓ, xol τριῶν δυϑεξ um 
vov σημείων τῶν Zl E Ζ ἐπ᾽ εὐθείας, κλᾶν τὴν 4AE c «* ᾿ 
ποιεῖν ἐπ᾽ εὐθείας τὴν ΒΓ τῇ ΓΖ. 


Γεγονέτω" καὶ διὰ τοῦ T 
τῇ 4Z παράλληλος ἤχϑω 1 


BH, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ᾿ 
xal ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ 0: ἸσΞΞ Ἶ 
ἄρα ἐστὶν ἣ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία; 
τουτέστιν ἡ 44, τῇ ὑπὸ ΓΘ 
γωνίᾳ" τὸ ἄρα ὑπὸ ΑῈΓ loc— 
ἐστὶν τῷ ὑπὸ A4EO. dogem——7" 
δὲ τὸ ὑπὸ ΑΕΓ (ἴσον γὰρ rame — 
ἀπὸ τῆς ἀπὸ τοῦ E ἐφαπτ 
μένης) - δοϑὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπε--Ξ “ 
τῶν 4ΕΘ. καὶ ἔστιν δοϑεῖσ “““ 
ἡ 4E: δοθεῖσα ἄρα καὶ 1? ΕΘ. ἀλλὰ καὶ τῇ ϑέσει" xc! 
ἔστιν δοϑὲν τὸ Ε΄ δοϑὲν ἄρα xoi τὸ Θ. ἔστιν δὲ wm ^4 
τὸ Ζ δοϑέν: γέγονεν δή μοι ἀπὸ δύο δοϑέντων τῶν Θ 
χλᾶν τὴν ΘΓΖ xai ποιεῖν παράλληλον τὴν ΒΗ τῇ ΘΕΖΣ ^ 
τοῦτο δὲ προγέγραπται. δοϑὲν ἄρα τὸ D. ἀλλὰ καὶ τὸ 
δοϑέν: ϑέσει ἄρα ἡ ΓΕ. ἀλλὰ καὶ ὃ κύκλος δοϑείς" dc — 
ϑὲν ἄρα τὸ .4. ἔστιν δὲ καὶ τὸ 4 δοϑέν ϑέσει ἄρα κεξε 4 5 
ἡ 4A, 0neg: — 
183 Συντεϑήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω ὁ μεν 
κύκλος ὁ ΑΒΓ, τὰ δὲ δοθέντα ἐπ᾽ εὐθείας τρία σημεξ € 





4. χβ' add. ΒΒ δοθέντος Ca (at conf. supra p. 834, 8. 840,2) 
καὶ add. Co 5. τῶν 4 EZ Δ, distinx, BS xÀáv Ca (κλάσαι CO) 
pro x«v δοϑεῖσαν 9. 10. ἐπιζευχϑεῖσα 7 HI ἐχβεβλήσϑω Hw 
40. xeladd. Ge — 18. 43. post P'OZ γωνίᾳ add. Co ἐν κύχλῳ ἄρα ἐστὶ 
τὰ AT'B4 (sic) σημεῖα 49. ἄρα καὶ ἡ ΖΘ ABS, corr. Co in Lat. 
versione 39. χλὰν Ca (κλάσαι Co) pro K.4 ἂν τὴν GIZ add. 
Co τῆι ΘΚΖ ABS, τῇ ΘΖ Ca, corr. Co — 28. ó ABI A AB, corr. 8 





LIBER VII. PROPOS. 1147. 849 


curxa recta (jy concurrit; ergo etiam δὲ producta rectae B» 
pro-celuctae occurrit 1). | 


Problema in idem Apollonii problema?). 


XXII. Circulo o», positione dato, tribusque in eadem Prop. 
recta datis punctis ὃ e C, a punctis ὃ & rectae δα ea, circum- ! 
ferentiam in punctis B « y secantes, ita inflectantur, ut recta 
sit quae per 8 y ζ transit. 

.. Factum iam sit, et per 9 rectae δζ parallela ducatur gy, 
et iuncta yy producatur ad 3 punctum sectionis rectae δὲ: 
angulus igitur 85y, sive (quia in eodem segmento est) Bay, 
aequalis est angulo γϑζ. Sed anguli γϑζ -- y90 duobus rectis 
aequales sunt; ergo item anguli Bay (sive δαγ) -- y9à; in cir- 
Cult igitur circumferentia, sunt puncta a y 9 ὃ, itaque est ἀξ: ey 
— δε. ε9. Datum autem est. ἀξ: ey (aequale enim est quadrato 
àb ea recta, quae ex e ducía circulum afly tangit) 3); ergo 
eliam δὲ. 79 datum est. ΕἸ est data δὲ; ergo etiam &e9: magni- 
tudine data (dat. 57). Sed eadem etiam positione; et est da- 
tum 2; ergo etiam 9 datum (dat. 27). Sed etiam C datum 
est; problema igitur eo reductum est, ut a duobus datis punc- 
ls 9. ζ inflectantur rectae 9γ Ly, fiatque βὴ parallela rectae 
Ser; boc autem supra (lemm. X) demonstratum est. Datum 
Bitur est y. Sed etiam & datum; ergo etiam ye positione 

dato, est (dat. 26). Sed etiam circulus positione datus; ergo 
ΘΕ τὰ o datum (dat. 25). Sed etiam à datum, ergo etiam 
9e ppositione da(a est, 4. e. d. 

Componetur problema sic. Sit circulus αβγ, et data in 

eáde m rectà tria puncta ὃ &€ C, et quadrato ab ea recta, quae 





^) Procli commentarium in elem. 4, 29 (p. 372 ed. Friedlein.) citat 
»  Nigpsorum elementorum libri 1 propos. 17 et 29 et axioma 11 Ca. 
nus ΞΕ) Hoc lemma ab interpolatore additum esse suspicatur Hauman- 
Y. 69. 
Eu 3x) Quadratum ab ea quae supra dicitur tangente datum est propter 
dr S iq, dat. 94; ceterum quae causa sit, cur scriptor illius potius qua- 
9t mentione omissa non ad dat. 92 provocaverit, significavimus p. 835 
?dno ας s extr. 


Co 


850 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Z. 


τὰ 4 E Z, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης ἴσὸν κείσϑω τὸ «—À. 
ὑπὸ 4ΕΘ, καὶ δύο δοϑέντων σημείων τῶν Θ Z, εἰς τν ««- 
κύκλον ἀπὸ τῶν O Z κεχλάσϑω ἡ ΘΓΖ, ὥστε παράλληλον «ἐεα “«- 
εἶναι τὴν ΒΗ τῇ OZ, xai ἐπεζ ζεύχϑω ἢ ED xai ἐχβεβλήσθω ««- -αῖ 
ἐπὶ τὸ À* λέγω ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α B A. 

' Ἐπεὶ γὰρ ἑκάτερον τῶν ὑπὸ 4^» —— 
ΑΕΓ AEO ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 4^9 —— 
τῆς ἀπὸ τοῦ E ἐφαπτομένης, κα Ὥς 
ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ τῷ ὑπὸ «5. —— 
ΔΈΘ': ἐν κύχλῳ ἄρα ἐστὶν τὰ Sx ——: 
4 ΘΓ .4 «σημεῖα. καὶ ἐπεὶ 3, Ξι... ὃ 
ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ BHI' γωνίατια- —- 
τῇ ὑπὸ ΓΘΖ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ C&- — | 
ἴση &oviv τῇ ὑπὸ Β4Γ ἐν κύ------ ἘΞ τω 
χλῳ, ἡ ὑπὸ ΒΑ͂Γ ἄρα γωνία ze Ξε 
ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΓΘΖ γωνίᾳ. — um 
xai ἔστιν ἐν κύχλῳ τὰ Α ΓΓ ῈᾺ. d 
O 4 σημεῖα" ἐπ᾽ εὐϑείας ἄρα ἐστὶν $ 4418 τῇ BA, ὕπερ: ————— 

Μένει δ᾽ αὐτοῦ καὶ τὰ πτωτικά" ἀπάγεται γὰρ εἰςπαν Sme- ἰς 
τὰ πτωτικὰ τοῦ ἑπταχαιδεχάτου. 


184 xi. Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ 418 ΓΖ, καὶ ἐκβεβλήσϑωκ m-mm- -ῷὦ 
? 444, καὶ πεποιήσϑω ὡς 7 EH πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως Pw ἡ 
ἐκ τοῦ xévrgov τοῦ ΑΒ κύκλου πρὸς τὴν ἐκ κέντρου τοῦ. «ἀἀαπςοῦ 


DA κύκλου" ὅτι 7) ἀπὸ τοῦ H διαγομένη τέμνουσα τὸν '——— ὀ ὠ 4 





χύχλον ἐχβληϑεῖσα καὶ τὸν 418 τέμνει. " 
4. τὰ 4EZ ^, distinx. BS ἀπὸ τῆς ἀπὸ τοῦ E ἐφαπτομένε--- -- πως 
coni. Co 2. τῶν OZ A, distinx. DS, item vs. 3 3. ἡ erz Cop aro 


εὐθεῖα — 5. 5. xal ἐπεζεύχϑω — τὸ .4 add. Co 5. τῶν 484 .-.“, 
distinx. BS 9. τὸ (ante ὑπὸ 4ET) AL ex re 40. 44. τὰ 4G T4 - “4, 
distinx. BS 44. ἐν κύχλῳ Ca, ἐν χύχλωι &À Α, ἐν χύκλῳ ἀλλ᾽ WE :- | 
ἐν xÜxlov τμήματι Hu. 46. ὑπὸ ΓΘΖ Hu pro ὑπὸ GE — 47. 48. am i 
AT 490 ^, distinx. BS, corr. Hu 49. μένει δαυτου (sine acc.) 4e. 

20. τοῦ ἑπταχαιδεχάτου Hu (conf. supra lemma XII), rov εἰς TO* "t»30 
ἀπάγεται A(B), τοῦ εἰκοστοῦ τὸ ἀπάγεται S, τοῦ εἰς τὸ «ς΄ Ca (r€& 2stat 

ut quaeratur, quinam praeterea problematis Apolloniahi numerus ΞΡ TO- 
babiliter huc referri possit; neque hoc omittam, in az«yerat, «x “οὐ 
extremum codex habet, fortasse latere ᾿4“πολλωνέου) 41. lemn£e — 7 








LIBER VII. PROPOS. 148. 851 


ex δ ducta circulum αβγ tangit, aequale ponatur rectàángulum 
δὲ. &29, et datis duobus punctis 9 C, ab his ad circuli cir- 
cumferentiam rectae Jy Cy ita inflectantur, ut 8» parallela 
Sit rectae 9C (lemm. X), et iungatur ey producaturque ad a 
Géter-win punctum. sectionis circumferentiae; dico rectam esse 
qae per puncta a β Ó transit. 

Quoniam enim et rectangulum ae- 8γ et (ea constructione) 
Fectangulum δὲ. 59. aequale est quadrato ab ea recta, quae 
eX & ducta circulum affy tangit, est igitur ἀξ. ey — δε. ε9; 
*"f& o in circuli cireumferentia sunt puncta ὃ 9 y α. Et quia 
P?'O7)»ter parallelas (y 95 angulus βὴγ angulo γϑζ, atque, ut 
!T «»odem circuli segmento, angulus f7y angulo Bay aequalis 

*St , angulus igitur βαγ est aequalis angulo γϑζ; taque an- 
g*€£z Bay -- 90 duos rectos efficiunt. (quoniam propler rectam 
99 e- item anguli γϑὲ -- y90). Et, quia puncta a y 9 ὃ in 
C1 Y-«-wili circumferentia sunt, item anguli day 4- γϑὸ duos rec- 
lO s efficiunt; ergo angulus Bey angulo day aequalis est, ita- 
τὰς: qf in eadem rocta est ac 0"), 4. e. d. 
- Casus problematis non mutantur; etenim ad casus sep- 
US Yan aelecimi reducuntur. | 

XXIII. Sint duo circuli a9 γδ, ct producatur aó, fiat- Prop. 
τὰς ute ad ηζ, ita radius circuli αβ ad radium circuli γὸ ; 118 
dico, si recta quaelibet ab ἢ ducta circulum yó secet, ean- 
den, productam circulum af) secare !). | 


A *) Rectius, puto, scriptor «9 et «d in eadem recía esse dixisset. 
e Pg»aret autem demonstrationem apagogicam cogitatione supplendam 
5€». Nam si af non congrueret cum «d, angulus g«y aut maior aut 
34 «yr esset quam δα} etc. 
sti 1) Multa in hoc lemmate viliosa esse eiusque propositionem sic re- 
eco U endam esse censet Ca p. 140: Dati sint duo circuli « γδ᾽ non ex 
di « €» m centro descripti, sintque ccutra eorum e ᾧ iungaturque recta εξ: 
ne, sumi posse in ipsa recla eC, ct, si circuli sint inaequales, maior 
re X32 ipe circulus eg, minor vero circulus yd, sumi posse praeterea in 
tia Len ἐξ ultra Z producta punctum ἡ tale, ut sit «y ad z£ in eadem ra- 
Κὰ €» ac radius circuli α΄ ad radium circuli yd, ducláque ex puncto ἡ 


r 
dis ἢ “ἢ quacunque, quae secet alterutrum circulorum, v. g. circulum 79, 
εν eandem productam secare etiam alterum circulum «g". 


— 


cum x«' post superius lemma ε΄ reponendum esse putat Haumann. 


P- δὲ: xy add. BS ἔστω A, corr. BS 39. πρὸς τὴν H4 ABS, 
Sorr. ὦ 


892 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATQTH? Z. 


᾿Εἰλήφϑω γὰρ τὰ κέντρα τῶν κύκλων τὰ E Z σημεῖα ^ 
xci ἀπὸ τοῦ H τοῦ ΓΔ, κύκλου ἐφαπτομένη ἤχϑω ἡ HO, 
xai ἐπεζεύχϑω ἡ ZO, xal τῇ ZO παράλληλος ἤχϑω ἡ EK. 
ἐπεὶ οὖν ἐστὶν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς 
τὴν ΖΘ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν 7 διὰ τῶν H O Κ. καὶ ἔστιν 
ὀρϑὴ ἡ Θ γωνία: ὀρϑὴ ἄρα καὶ ἡ Κὶ γωνία, ὥστε, εἰ τοῦ 
I4 ἐφάπτεται ἡ ἀπὸ τοῦ H, ἐχβληϑεῖσα καὶ τοῦ 48 
ἐφάψεται. ἀλλὰ αἱ τέμνουσαι τὸν L4 μεταξὺ τῶν 4 Θ 
εἰσίν: ἐχβαλλόμεναι ἄρα μεταξὺ τῶν K B ἔσονται. xoi 
ἔστιν ἐραπτομένῃη ἡ ΗΚ᾿᾽ τέμνει ἄρα ἡ μεταξὺ τῶν Β K,10 
4 Θ. ἀλλὰ ἡ αὐτὴ καὶ τὸν ΓΔ τέμνει" ἡ ἄρα τὸν ΓΖ 
τέμνουσα καὶ τὸν .4B τέμγει ἀγομένη ἀπὸ τοῦ Η σημείου. 

Τὸ πρῶτον τῶν ἐπαφῶν ἔχει προβλήματα ἑπτά, τὸ 
δεύτερον προβλήματα δ΄. 


ἘἘπιπέδων τόπων a' β΄. 15 


Eig τὸν τοῦ δευτέρου πρῶτον τόπον. 


185 α΄. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, xai διήχϑω [τυχοῦσα] ἡ 4.1, 
καὶ ἔστω ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν 4D οὕτως τὸ ἀπὸ B.4 πρὸς 
τὸ ἀπὸ ΑΓ ὅτι γίνεται ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν BAD τῷ 
ἀπὸ 44. 20 

Ἤχϑω διὰ τοῦ D τῇ ..18Β παράλληλος ἡ ΓΕ ἔστιν 
ἄρα ὡς ἡ B4 πιρὸς τὴν 4Γ, οὕτως ἡ 1Β πρὸς τὴν ΓΕ, 
καὶ τὸ ἀπὸ “18 πρὸς τὸ ὑπὸ .4B ΓΕ. ὡς δὲ ἡ BA πρὸς 
τὴν AT, οὕτως ἦν τὸ ἀπὸ ΒΑ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ’ ἴσον 
ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ B.4 ΓΕ τῷ ἀπὸ ΓΑ͂᾽ ἀνάλογον ἄρα αἵ 25 


4. τὰ ΕΖ Δ, distinx. BS 4 ἤχϑω ἡ ΗΖ A!, Θ super Z corr. 
A? 3. xoi τῇ ZO add. Hu 5. 6. τῶν HOK καὶ ἔστιν ὀρδὴ ΗΘ 
A, distinx. BS 8. ἀλλὰ αἱ Hu pro ἀλλὰ xci 8. 9. τῶν 46 — 
τῶν KB A, distinx. BS 40. 44. τῶν BK Z9 A, distinx. BS, corr. 
Co 4M. χαὶ τὸν ΓΖΔ Hu pro xai τὸν AB 43. 14. conf. supra 
p. 648; 44. 45. ἔχει add. Hu. 45. &zzteó. rof « B À, α' om. BS 
47. «' add. BS τυχοῦσα auctore Simsono (Apollon. loc. plan. p. 440) 
del. Hu 25. ἄρα αἱ Hu pro ἄρα καὶ 


LIBER VII. PROPOS. 449. 853 


Sumantur enim circulorum centra & ζ, et ab * ducatur 
79 circulum yà tangens in puncto 9, et iungatur CJ, eique 
parallela ducatur &x. am quia est &5y : ηζ — εκ : 59, recta 
igilur est quae per y 2 x transit2). Et est rectus angulus ζϑη; 





ergo etiam £x» reclus est; itaque, si recta ab ἡ ducta cir- 
culum 7óà tangit, eadem producta etiam circulum ef tanget. 
Sed rectae circulum yÀ secantes sunt inter puncta ὃ et 9: 
productae igitur inter 8 et x erunt. Et tangit circulum af 
recta yx; secat igitur eundem recta quae est inter puncta ὃ 9, 
P *. Sed eadem etiam circulum »ó secat; ergo recta a puncto 
ῃ ducta, circulum yó secans, producta etiam circulum af secat. 

Primus tactionum liber problemata septem, secundus pro- 
blemata quattuor habet. 


LEMMATA ΙΝ LOCORUM PLANORUM LIBROS I ET II. 
In primum secundi libri locum. 

l. Sit v αβγ, et ducatur recta. αὖ ita, ut sit Prop. 
θδὃ : ày — po? : ; dico esse βό: 0» — aà?. 

Ducatur per » recta ye pa- 
rallela ipsi «8; ergo est Bà : ὃγ 
zz αβ : γε — a? : αβ΄. ye. 
Sed ex hypothesi erat βὸ ; ὃγ 
— a?: «y?; est igitur a - γε 
Á y d  - ay? Ergo in proportione 

sunt βα : αγ — ay : ye; et sunt 
eaedem circa aequales angulos alternos; similia igitur sunt 


e 


' 92) Hoc Pappus demonstrat IV propos. 43. Conf. infra p. 8714 adnot. *. 


854 IIAHIIOY ZYNATOTHZ Z. 


περὲ ἴσας γωνίας τὰς ἐναλλάξ’ ἴσῃ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΔ 
vj B, dore ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ BAT τῷ ἀπὸ 44A. 
Τὸ δὲ ἀναστρεφύμενον φανερόν. 


Εἰς τὸν δεύτερον τόπον. 


186 β΄. Τρίγωνον τὸ .4BIl', καὶ κάϑετος ἡ ΔΑ͂ ὅτι μὲν 
ἢ τῶν ἀπὸ B4 ΑΓ ὑπεροχὴ ἴση ἐστὲ τῇ τῶν ἀπὸ BA 4Γ 
ὑπεροχῇ ἐὰν δὲ 5 ΒΓ δίχα τμηϑῇ xarà τὸ E, ἡ τῶν ἀπὸ 
B4 AV ὑπεροχή ἐστιν τὸ δὶς ὑπὸ ΒΓ EA. 

Ὅτι μὲν οὖν ἡ τῶν ἀπὸ ΒΑ͂ AT ὑπεροχὴ ἴση ἐστ ἢ» 
τῇ τῶν ἀπὸ 4B AT ὑπεροχῇ, φανερόν: ἔστιν γὰρ v0 y £ ^ 
ἀπὸ “8 ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν B4 ΑΔ, τὸ δὲ ἀπὸ AT τῷ 46 
ἀπὸ τῶν 44 AL: ᾧ ἄρα ὑπερέχει τὸ ἀπὸ 418 τοῦ üra? 
AT, τούτῳ ὑπερέχει τὰ ἀπὸ Α4 AB τῶν ἀπὸ dA AK - 
κἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ 444, λοιπὸν ἄρα ᾧ ὑπερέχει τὸ aram? — 
ΒΖ τοῦ ἀπὸ AT, τούτῳ ὑπερέχει τὸ ἀπὸ .48 τοῦ ἀπὸ ΑΑ͂Ρ ^ 
ὅτι καὶ ἡ τῶν ἀπὸ B4 ΖΓ ὑπεροχή ἐστιν τὸ δὶς ὑπὸ τῶξ ἢ 
BI AE, οὕτως" ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ BE τῇ ΕΓ, ἡ B 
ἄρα ἴση ἐστὶν συναμφοτέρῳ τῇ DEZ: καὶ τὸ ἀπὸ Β4 ἂρ» ὦ 
ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς DEA. ἀλλὰ τὸ awe ? 
συναμφοτέρου τῆς ΓΕΔ τοῦ ἀπὸ D4 ὑπερέχει τῷ τετράκ a € ἢ 
ὑπὸ ΓΕΩ͂, τουτέστιν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΓ AE: ἡ ἄρα v9 
ἀπὸ B4 AT ὑπεροχή ἐστιν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΓ AE. 





4. ἔσην γωνέαν» AB, corr. S 4 ὑπὸ BAT ABS, corr. V? Co 
3. ἀναστρεφόμενον Bi, ἀναγραφόμενον ABeS 5. 8' add. ΒΞ 6. 522 
add. BS — fe «y Bc Co, B4 AT AB!IS ἐστὶ AsBS 71. ὑπεροχῇ 555’ 
ὑπεροχὴς (sine acc.) A(B) κατὰ add. Ge 8. 4Γ ὑπεροχή add. C^? * 
qui praeterea coni. ἡ τῶν ἀπὸ ΒΑ AT' ὑπεροχή, idque comprobat 5..." 
sonus p. 14417 (Ca p. 208) ἔσται τὸ dic Hu. 9. BAAF A, disti 7 - 
BS 44. ἀπὸ τῶν .4B ABS, ἀπὸ τοῦ 4B minus recte coni. Co idq «€ 





recepit Ca, τῶν altera coniectura del. Co ἀπὸ τῶν Bá τὸ AB, «e * 
add. SV (et Paris. 2368 correctus ex ay) 49. ᾧ S, ὡς AB TP «ἢ 
ἀφῃρήσϑω͵ S 45. τοῦ ἀπὸ 4B ABS, sed in V 9f punctis notatum Y?» 


Z4T' corr. Ca auctore Co post τοῦ ἀπὸ AT' add. ABS τῶν δὲ ἀπὸ ΚΞΞΕ - 
AT τὸ δὶς ὑπὸ ΒΓ Ed. ὥστε xol τῶν ἀπὸ AB ATL, del Hu 

46. ὅτι δὲ x«à Hu (conf. vs. 9) 48. συναμφοτέρῳ S, Gvveu (orta o $ 
AB τὸ ἀπὸ B4 recle AB, τὸ ἀπὸ εὃ S 31. τῷ δὶς BS, τὸ Jie 


LIBER VII. PROPOS. 4380. 8955 


triangula Bay aye, et angulus y«e sive yaÀ angulo afy ae- 
Qualis est; itaque, communi anqulo ὃ, etiam triangula αβὸ 
guó similia sunt, ita ut sit βὺ : δὰ τε αδ: y, ideoque 
βὲ. ὃγ τε, a?*). | . 


Inversio autem manifesta est. 


In secundum locum. 

Il. Sit triangulum αβγ, et perpendicularis ad basim du- Prop. 
calur αὖ; dico esse Ba? — ay? — 80? — 0y?**), et, si By 120 
bifariam secetur in e, 80? — ày? — 2βγ. εδ. 

Primum apparet esse go? 
— ay? — (jà? — ày?. Est enim 
«p? — gó?-r «0?, et ay? 
a0? 4- óy?; ergo est aff? — ay? 
— a0? 4- δ, — (a0? 4- ὁγῆ). 

fg i j Et subtrahatur aó?; restat igi- 
Í tur 80? — y? — af? — αγϑ. 
Tum gi; By bifariam secetur in &, esse βὸ — ày? — 2 gy. δὲ 
SiC demonstratur. Quoniam est Be — &y, est igitur 
᾿βὸ — γε 4- 6&0, itaque 
Bó? — (ys -- &0)?, id est 
— y&? -- &0? - 9y8- εδ) sive, quia est ye Ξε γὸ -- δε, 
Ξε γὸξ -- 906? - 9 .γδ' δὲ -- 2 ye εὖ. 
Sed propter elem. 2, ὅ est 0e? 4- yà- δὲ — γε" εὃ; est igitur 
(γε -- £0)? — γὅξ - & ye 60, sive 
(γε 4- εδὴ2 — γδξ τε &ye- εὖ. 
Sed erat (γε -- c0)? — βδ3, et ye — ἀβγ; est igitur 
pó? — yà? — 4. βγ. εδ "ἢ. 


[4 


*) Quae Graecus scriptor omisit, ea secundum Simsonum p. 190 
(Ca Pp. 214) supra suppleta sunt. Similiter V2 ad Graeca e£ περὶ ἴσας 
Y€»£cc τὰς ἐναλλάξ adnotat: "af ef «y γε. quia angulus ad d est com- 
munis triangulorum £«d yao et angulus yad aequalis angulo β. ergo 
l'eliquus 2« aequalis reliquo yd est ergo sicut βὺ ad δα sic δὰ ad dy. 
*TEO τὸ ὑπὸ Jy sequale τῷ ἀπὸ Ja". 

**) Hinc facile efficitur illud lemma, quod supra p. 765 adnot. ** 
(ubi haec ipsa Pappi propositio citanda erat) auctore Commandino sup- 
Plevimus, 


ἘΚ Quae in Graeco contextu desunt addita secundum Co. 


856 IIAHIIOY XYNATQTH? Z. 






Εἰς τὸν αὐτόν, ἐὰν μὴ ὃ λόγος ἴσου πρὸς ἴσον. 
187 τ΄. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τὸ ἀπὸ ΒΑ͂ τοῦ dn) £1 
δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ, δοϑέντι μὲν τῷ E, ἐν yr? 
δὲ τῷ τῆς B4 πρὸς τὴν AT ὅτε μεῖζόν ἐστιν τὸ ὑπὸ ABE 1 
τοῦ Ε χωρίου. : 
ἀἰφῃρήσϑω γὰρ a7 ᾿ 
δοϑὲν χωρίον τὸ vra à 
“ΒΗ λοιποῦ doa ve 
ὑπὸ B.4H πρὸς τὸ àr *- ὺ 
AT λόγος ἐστὶν δοϑὲ 455 

ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ἘΞ 
δ 9 πρὸς τὴν 4Γ. xeig Ὁ 
τῷ ὑπὸ B.4H ἴσον 5" 
ὑπὸ ΖΑΓ' λοιποῦ €? 
ἕξ τοῦ ὑπὸ Z AT πρὸς gei 
ἀπὸ 4T, τουτέστιν Ἐ΄ 22: 
é Z4 πρὸς τὴν AT, ) 
αὐτὸς τῷ τῆς B4 ne «» 
τὴν AT: παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἣ “42. τῇ ZB: ἴση xe 
ἐστὲν 1 Ζ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΑ͂Ζ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ Ζ ἴση ἐσ £" 
τῇ ὑπὸ ΗΓ γωνίᾳ xai ἡ ὑπὸ .4HT ἄρα γωνία ἴση io 4: 
τῇ ὑπὸ ΓΑ͂Δ γωνίᾳ. μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ 440 τῆς 97. 4 
I44: xoi τῆς ὑπὸ ΓΗΑ͂ ἄρα μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4247 € 
γωνία: ὥστε μεῖζόν ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΔΒΓ vob ὑπὸ AB ᾿ 

τουτέστιν τοῦ E [τοῦ δοϑέντος] χωρίου. 





» 


Eig τὸν τρίτον τόπον. 


188 ὃ. Ἐὰν ἢ τρίγωνον. τὸ ΑΒΓ, καὶ διαχϑῇ τις ἡ «1. —A 
δίχα τέμνουσα τὴν ΒΓ Y ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν B.4 AT τετράγω--““ € 
διπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ΑΔ AT τετραγώνων. 

Ἤχϑω χάϑετος ἡ 4Ε. τὰ δὲ ἀπὸ τῶν BE ΕΓ di 


2. y' add. BS 3. δοϑέντι Ge auctore Co pro δοϑέντος jou Ὁ 
ϑέντι idem pro δοϑὲν ἐν add. Hu . 4. ABT' Co pro ΒΖΓ 
6. 7. γὰρ τῷ δοθέντι γωρέῳ ἴσον τὸ ὑπὸ cet. Hu 8. λοιποῦ Co p 7 9 
λοιπὸν 12. πρὸς τὴν 4D Co pro πρὸς τὴν 4T 44. λοιποῦ c 


LIBER VII. PROPOS. 424. 144. 857 


dem locum, si non sit proportio aequalis magnitudinis ad aequalem. 


I|. Sit triangulum «f», et sit quadratum ex βα com- FTOP- 
um cum quadrato ex oy dato spatio maius quam in pro- 
ne, nempe dato spalio e, in proportione autem rectae 
| óy; dico rectangulum ὅβ' βν maius esse quam spa- 
€ (vel brevius sic: sit triangulum afly, datum spatium 
xa proportio gó : oy, sitque Ba? — & : ay? — βὸ : óy; 
IB: By ? e). 

Subtrahatur enim dato spatio e aequale rectangulum 
5; est igitur 

Ba (Ba — B1) : ay? — BO : Oy, sive 

Ba- an : ay? τε βδ : Óy, quae est data proportio. 

ur ζα αγ — βα- αη; est igitur Ga-ay : «y?, id est 
ry -— [ó : Óy. Ergo parallelae sunt có fL"), itaque 
— [ γαδ. Sed quia ex constructione est. Ca. ay — 
ἢ. 1d est ζα : ag — va : αγ, propter elem. 6, 6 est 
(Ξῷ ( αἢγ; ergo [ ayy — 4 yad. Estque [ a09 
^ ergo etiam [ a09 » [ amy, ita ut sit 0g. By 
ἢ Ἐἢ, hoc est maius daío spatio e. 


In tertium locum. 


V. Si sit triangulum ay, et αὖ ducatur basim B» bifa- Prop. 
secans, dico esse fo? 4- «y? e 9 (a0? -- δ γῆ). 
Jucatur ad basim perpendicularis «e. Sunt autem prop- 


Quia est ie — «y : ey — BÀ — ày : Uy, id est (y : ay — By : dy, 
y: yB τε ay: yd, unde secundum elem. 6, 6 et 4, 27 efficitur 
BP «Ó parallelas esse (Co). 


ἢ Facto angulo «zx aequali angulo «939. Commandinus demonstrat, 
nguli «zx -- «óx aequales duobus rectis sint, puncta α ἡ x δ᾽ esse 
uli circumferentia, itaque (id quod sequitur ex elem. 3, 36) esse 
τὸ ὄβιβχ, tum, quia sit &y » Bx, esse δβ. βγ  δβιβχ, evgo 
δβ.βγ 5» of - Br. 


, 





- 


ἐπὸν 90. ἡ ΗΖ γωνία AB, corr. S 958. δ᾽ ἐστὶν Hu 
e ὑπὸ ΓΗ. AB, corr. S 24. τοῦ ὑπὸ 48 H A, coniunx. BS 
ὃ do9évroc interpretamentum esse videtur 37. δ' add. BS 


om. S 30. BE ΕΓ Co pro AE ET 
pus II. 55 


858 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


γωνα διπλασιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν B4 EA τετραγώνων" 
z ἔσέιν δὲ xai τὸ δὶς ἀπὸ 4E 
N μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ AE διπλά- 
σιον τοῦ ἀπὸ 4/1, τὰ δὲ ἀπὸ 
τῶν ΒΕ ΕΓ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸδ 
AE ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν 
, ; T ———S y B4 AT: «à ἄρα ἀπὸ BA 
AT διπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ 
ΒΖ 4.4 τετραγώνων, τουτέστιν τῶν ἀπὸ L'A 44 τετραγώνων. 
189 ε΄. “1όγου ὄντος τοῦ τῆς 4B πρὸς τὴν ΒΓ, καὶ χω- 1 
olov τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΑ͂ 44, ἐὰν τῶν 4Β ΒΓ μέση ἀνά- 
λογον ληφϑῇ ἡ ΒΕ, δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ 4341 τοῦ ἀπὸ ET 
μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΓΑ͂ 414 ἢ ἐν λόγῳ τῷ τῆς 4B πρὸς 
τὴν ΒΓ. 
Β6000ᾳ0Ν uu Πεποιήσϑω yàg ὡς 15 
α διε y ἐ β ἡ AB πρὸς τὴν ΒΓ, 
οὕτως ἄλλη τις ἣ ΖΕ πρὸς τὴν ΕΓ" διελόντι ἄρα ἐστὲν καὶ 
ὡς ἡ AT “πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς τὴν DE: καὶ 
ὅλη ἄρα ἡ AZ πρὸς ὅλην τὴν ΒΕ ἐστὶν ὡς 3 T^ πρὸς 
τὴν BI* ἐναλλὰξ ὁ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΖΑ͂ πρὸς τὴν AAT, oi-9 
τως 7) EB πρὸς τὴν BI. ὡς δὲ ? EB πρὸς τὴν BI, ob- 
τως ἐστὶν ἡ 4E πρὸς τὴν ΕΓ ἐκ τοῦ εἶναι μέσην ἀνάλογον'᾽ 
xai ὡς ἄρα ἡ ΖΑ͂ πρὸς τὴν LAT, οὕτως ἣ ΕΔ πρὸς τὴν 
ΓΕ. χωρίον χωρίῳ' τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν 42 EFL ἴσον ori, 
τῷ ὑπὸ 4D AE. τὸ δὲ ὑπὸ “42 ΓΕ τοῦ ὑπὸ AED ὑπερ- ἢ 
ἔχει τῷ ὑπὸ ΖΕΙ͂. ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ ΑΖ ET τοῦ ὑπὸ 
AETL, τούτῳ ὑπερέχει “καὶ τὸ ὑπὸ ΑΓ AE τοῦ ὑπὸ AED" τ 
ἄρα ὑπὸ 4“ 4E τοῦ ὑπὸ 4ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ZET. 





2. δὶς ὑπὸ ΑΕ ABS, corr. Ge auctore Co 9. B4 44) 44 44 
ABS, 44 218 Co, B4 444 Ca Γά 44 Co, 'AEA A(BS), T4 44 
Ca 10. ε' add. ΒΒ 10. 44. χωρίου τὸ A, corr. ΒΒ 147. διελόντι 
ἄρα ἐστὶν χαὶ Hu, ἀνάλογον ἄρα ἐστιν xc. διαέρεσιν A(BS); conf. 
p. 860, 42 (scilicet, postquam διελόντι in ἀνάλογον corruptum est, scho- 
liasta quidam additis verbis χατὰ διαίρεσιν veram sententiam conalus 
est restituere) 24. χωρέῳ ἄρα τὸ coni. Hw 25. post ro δὲ add. 
τετράχις ABS, del. Co 46. ὑπὸ .4Z ET — 48. ἄρα add. Co; contr? 





LIBER VII. PROPOS. 123. . 859 


£e»- elem. 2, 9 8e? -- ey? τὸ 980? - 3 εδ2; atque in (riangulo 
02-£hogonio aed sunt | | 
| 9 ac? -- 260? — 2a0?, et in triangulo orthogonio Bea 
ps? -- ac? τῷ fo?, itemque in triangulo aey 
«6? - &y? — ay?, itaque summá factá 
Be? «τ &y? -- 9 ac? — flo? -- ay?; ergo, si pro 8e? -- ey? 
id quod supra positum 
| est substituimus, 
Ba? -- ay? — 9980? -- 250? - 2a&?, sive rursus ex 
| superioribus 
— 9090? - 92a0?, sive, quia est à — y, 
— 3 (αὖ -- 07?). 


V. Si sit data proportio a : βγ, et rectangulum ya -aó, 
€t  szcectarum Of) fy media próportionalis sumatur e, demon- 
Stresjtur quadratum ex «e, comparatum cum quadrato ex ey, 
Tec tangulo γα. αὖ maius esse quam in proportione cf : 6» 
(eZ brevius sic: esse a? — ya - aà : &y? — af : fy). 

Fiat enim 

De: &y z af : gy; dirimendo igitur est 

ey : yB τῷ Ly : ye; suntque totae (elem. 5, 42) 

aL : fs — ay : γβ; vicissim igitur 

Ca : ay z ep : fy. 


Prop. 
448 *) 


Sed quia ex hypothesi est Óg : Be — (de : βγ, id est dirimendo 


€ : ef) — ey : yf, el vicissim δὲ: &y — εβ : fly, est igitur 
ζα : ay — δὲ: ey; itaque per multiplicationem 
αἴ. ὃγ — ay-0c. Sed, quia at 2 a& -- εζ, ideoque 
Gb-.&y — αξ' &y — ζε. ἐγ, item est 
αγ' δὲ — a&-&y — ζε. εγ. Sed est!) 
Sin, *) Propositiones 123 et 124 duo casus eius propositionis sunt quam 
Sionus p. 486—146 (Ca p. 236—948) pertractat. 


e 4) Explicanda haec auctore Simsono p. 145 (Ca p. 245) sic fere: 

elt «6 xs αὖ - de; ergo ay.ae — ay. α -- ey-de; sed est propter 

a; GERA. 3, 8 ay. a6 — a£? H- ἀξ" ey; ergo ast --- ac ey — ay ad “- ay-dt, 
ἄνες  qy.de — ut &y τε a£ — ya-ad. 

——— τ. 


Ca Kxeque haec recepit et postea vs. 28. μεῖζόν ἔστιν — p. 860, 4. τοῦ 
57té» AE delevit 48. 4“ΓΖῈΕ A, distinx. BS; item p. 860, 4 


95 * 





860 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Ζ. 


ᾧ δὲ ὑπερέχει τὸ ὑπὸ MI AE τοῦ ὑπὸ AET, τούτῳ (re ερ- 
ἔχει xai τὸ ἀπὸ 4E τοῦ ὑπὸ ΓΑ͂Δ τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΕ τε- 
τράγωνον τοῦ ὑπὸ ΓΑΖ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΖΕΓ. τὸ δὲ 
ὑπὸ ZEI' λόγον ἔχει πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς.“78 
πρὸς τὴν BI, ὥστε τὸ ἀπὸ .4E τοῦ ἀπὸ ΕΓ μεῖζόν ἐστεν ὃ 
τῷ ὑπὸ ΓΑ͂Ζ ἢ ἐν λόγῳ τῷ τῆς AB πρὸς τὴν ΒΓ. 

190 c. “γος τῆς 4B πρὸς τὴν BI, χωρίον τὸ ὑπὸ I4 4. 
ἐὰν τῶν 48 ΒΓ μέση ἀνάλογον ληφϑῆ ἡ ΒΕ, ὅτι τὸ ἀπτεὸ 
τῆς 4 τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τῷ ὑπὸ ΓΑΔ ἢ ἐν 


λόγῳ τῷ τῆς .4B πρὸς τὴν ΒΓ. n 





-“Πεποιήσϑω γὰρ ὡς ἡ AB πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἄλλη 
τις 1 EZ πρὸς τὴν ΓΕ. διελόντι ἄρα καὶ λοιπὴ πρὸς Aot 
πήν ἐστιν cg ἡ Z4 πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ AT πρὸς x72 
BI. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ΖΑ͂ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως 7 1 
πρὸς τὴν ΒΓ. ὡς δὲ U EB πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἢ zv Js 
πρὸς τὴν EI: xai ὡς ἄρα ἡ Z4 πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἢ 
AE πρὸς τὴν ΓΕ. χωρίον χωρίῳ" τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΖΩ͂ 1. 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΕΖ4 3. κοινὸν προσκείσϑω τὸ δσαε 
ΑΕΓ μετὰ τοῦ ὑπὸ L44: ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ «4 ἴσον ἐστ: 4! 
ὅλῳ τῷ τε ὑπὸ ΖΕΓ καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ Γ 4A: ὥστε τὸ iz 
AE τοῦ ἀπὸ ΕΓ μεῖζον τῷ ὑπὸ ΓΑ͂Δ ἢ ἐν λόγῳ τῷ a 
AB πρὸς τὴν BI: τὸ yàg ὑπὸ ΖΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ 
τοῦτον ἔχει τὸν λόγον. 


3. τοῦ ὑπὸ ΓΑΖ Co pro τοῦ ὑπὸ ΖΕΙ͂ 8. τῷ ὑπὸ ZET Co gae. T 
τῶι ὑπὸ ΖΕ 3. 4. τὸ δὲ ὑπὸ ΖΕΓ add. Co 4. ἔχον Sn 
add. Co Ἵ. ς΄ add. BS — 8. τῶν 4B ΒΓ Co, τῶν 444B A(BSz- 
9. τῷ ὑπὸ ΓΑΔ Co pro rà. ὑπὸ Β.44 42. ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΕ 
EP πρὸς τὴν ΓΒ ABS, 5, ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ET' Co 48. ὡς ἡ ZA m 
τὴν BE Co pro ὡς ἡ ΖΓ πρὸς τὴν TE 15. οὕτως. ἡ δὲ Bi, οὕτω 
E4A4E A, οὕτως ἡ εὖ BcS 40. 17. οὕτως ἡ 4E Co, οὕτως ἡ 4T ABER 
οὕτως ἡ Ed Ca 11. χωρίῳ ἄρα τὸ coni. Hu 18. τῷ ὑπὸ ΕΖ “2 - 


Co, τῶι ὑπὸ EAT ABS, τῷ ὑπὸ ΑΓ AE Ca 48. 49. τὸ ὑπὸ A4 











LIBER Vil. PROPOS. 144. 861 


qy.&Ü — ae. &y — ae? — yo a0; ergo 
a6? — γα. αὃ — ζε-εγ. Sed ea constructione: erat 
be : &y — ap : gy, id est 
Dear ἐγλ — af : By, itaque 
— ya-aà : ey? τε af : fy. 
vi. Sit data proportio ag : By, et rectangulum γα: αὖ. Si PROP 
rum Óf fy media proportionalis sumatur fe, dico qua- 
um ex ae, comparatum cum quadrato ex &y, rectangulo . 
xÓ maius esse quam in proportione a : By (vel brevius 
esse αεἷ — ya. αὃ : &y? z ap : By). 
Fiat enim 
be: ey — ap : gy; dirimendo igitur est 
by : ye — ay : By, et subtrahendo £y — ay : ye — fy, 
id. est | 
ζα : fe — ay: fy. Vicissim est 
La : ay — βε : fy. Sed est ex hypothesi 
Be : By — Of : Be, ideoque 
z fe -- 0B: By -ἰ Be, id est 
— δὲ: ey; itaque 
Do : ay — δὲ: &y; ergo per multiplicationem 
La. ye — &eÓ- ay. Communia addantur ae. ἐγ -- γα. αὖ, 
el pro &Ó-ay substituatur summa 
Óy - oy 4- ye: ay; ergo sunt | 
ζα. γε -- a£: ἐγ - γα' a0 — ὃγ' ay -- Ἣ γε: Gy -Ἐ ἀξ’ ἐγ 
Ἔ γα: αὖ. 
! est Ca - ye -- a&- &y — ζε.8δγ,) el in altero. parte ày- ay 
ya αὃ — ay?, et hoc ay? 4- γε. ay Ξε ay- a6, et hoc ay-ae 
«e. £y — αεἢ. Ergo 
L6. 6y - γα. αὃ z ae), sive 
a6? — γα: αὃ Ξε Le-&y, ita ut sit in proportione 
€? — γα. αὃ : &y? Ξε Ce-ey : ey? 
Ξε ἕξ : δ} 


— ap : py. 





pro τὸ ὑπὸ ΖῈΓ 49. τὸ ἀπὸ 4E Co pro τὸ ἀπὸ AE, item vs, 
94 — 924. τοῦτου ἀπὸ ET' μείζων A, corr, BS 


862 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


191 - ζ΄. Εὐϑεῖα ἡ AB, καὶ δύο σημεῖα τὰ D d: ὅτι, ἐ ππεξαεν 
τὸ ἀπὸ 444 καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ vB τὸν αὖτ —— Y 
τῷ τῆς AT πρὸς τὴν ΓΒ συντεϑῇ, γίνεται τό τε ἀπὸ ΑΑ͂““ 17 

xai τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς Α, 1 
πρὸς τὴν ΓΒ καὶ ἔτι τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ D v-—-—" 
αὐτὸν τῷ τῆς 41 πρὸς τὴν ΒΓ. 

Τῷ γὰρ τῆς ΑΑ͂Ρ - 
a t y $8 à πρὸς τὴν ΓΒ λόγῳ E 
αὐτὸς γεγονέτω ὃ τ΄ 259 
Z4 πρὸς τὴν 4B: καὶ συνϑέντι ἄρα καὶ τὰ λοιπὰ ἡ ΑΥ͂Ρ, --Ἴι! 
πρὸς λοιστὴν τὴν ΓΖ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ 42 L4 "(Qr «333: 
τὸ ἀπὸ I4, ἐστὶν ὡς ἢ ΑΒ πρὸς τὴν BI: ὥστε -αξξϑὺ 
μὲν λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ 4B τὸν αὐτὸν ud τῆς Α΄ -- 2H 
πρὸς τὴν ΓΒ ἐστὶν τὸ ὑπὸ ZA4B, τὸ δὲ λόγον ἔχον TQ —À5 
τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς AT πρὸς τὴν ΓΒ ἐστὶν τὸ óram— 55 
-ATB, τὸ δὲ λόγον. ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΖ τὸν αὐτὸν T ««“ἡ 
τῆς [αὐτῆς] 418 πρὸς τὴν ΒΓ ἐστὶν τὸ ὑπὸ 42 4Γ. ὃ --m-— 
οὖν τὸ ἀπὸ Α4 μετὰ τοῦ ὑπὸ Β4Ζ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ora 9 
ΒΑΓ καὶ τῷ ὑπὸ 42 ΓΖ. καὶ κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ora 9 
AAT: ὅτι λοιπὸν τὸ ὑπὸ AAT. μετὰ τοῦ ὑπὸ ZAB io e? 
ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΓ AB καὶ τῷ ὑπὸ AZ PLA. xowem 
ἀφῃρήσϑω τὸ ὑπὸ AZ Γ4 ὅτι ἄρα τὸ ὑπὸ ZAT neam “ “ 
τοῦ ὑπὸ ΖΩΒ, τουτέστιν ὅλον τὸ ὑπὸ Z4 ΓΒ, ἴσον jov “5 2 


— 


4. ξ΄ add. ΒΒ τὰ TZ A, distinx. ΒΒ ἐὰν add. Co 8. nop «4» 
τὴν DB Co, πρὸς τὴν D4 ABS, πρὸς τὴν ΒΓ Ca συντεϑῇ Hu pz 
συντεϑήσεται 5. τὸν λόγον A, corr. BS 7. 8. Τῷ yàp — λόγ 4x 
Ca, τῶι γὰρ — λόγον ἔχον A, τὸ γὰρ — λόγαν ἔχον BS, τῷ γὰρ Aóyc 9^ 
ἔχοντι Co 10. συνθέντι Co pro συντεϑήσεται καὶ τὰ λοιπὰ) xex* 
λοιπὴ Hu 45. τὸν αὐτὸν τῷ τῆς 41Γ πρὸς τὴν ΓΒ add. Co 
47. αὐτῆς del. Hu auctore Co τὸ ὑπὸ ΑΖΖΩΓ A, distinx. BS 
48. τοῦ ὑπὸ Β4Ζ] τοῦ ὑπὸ ATZ ABS, τοῦ ὑπὸ Z4AB Co 49. χα 
(ante κοινὸν) om. S 49. 20. τὸ ὑπὸ ὕπο 44AT] τοῦ ὑπὸ ΔΑ͂Γ A, τοῦ ὑπὸ 
γα B, τὸ ὑπὸ γα S 5 941. ὑπὸ ΑΓΩ͂Β et 42. ὑπὸ AZT4 ^, distinx. 

BS (at vs. 94 ὑπὸ AZ l4 ex silentio quidem A) 22. 93. ὅτι ἄρα 
τὸ ὑπὸ ΖΑ͂Γ μετὰ τοῦ ὑπὸ Z4 BA ABS, corr. Co 88. τουτέστιν He 
pro γίνεται 








. LIBER-VH. PROPOS. 125. | 863 


WIL Sit recta «f, inque ea duo puncta y 9; dico, si (asi; 
'Xliratum ex aó et id spatium, quod ad quadratum ex ag "ἢ 
portüonem ay : yf habet, componantur, effici quadratum 
€xjy et spatium, quod ad quadratum ex γβ proportionem 
: 23 habeat, atque insuper spatium, quod ad quadratum 
2/9 proportionem ef : βγ habeat (vel brevius sic : dico esse 
HM z αγξ -᾿ αγ.γβ oM S, vel, si ζὸ : 08 — 
: yf ponalur, esse ad? -&- BÓ - 0b τε ay? -- ay - yf -- αζ. yà 
Q 6 - ay 4- αζ. yà). 

Fiat enim 

ζὸ : δβ — ay : y; ergo componendo est 
LB : 80 — af : fly, et subwahendo a8 — 28 : 8y — 86, 
id est 
alb: yÓ — op : By, id est 
ab: yÓ : γδ — af : By, 
ut rectangulum Có. 08 ad quadratum ex δβ, itemque rec- 
1igulum ey-yf ad quadratum ex yf habeant proportionem 
' : yf, et rectangulum αζ- γὺ ad quadratum ex yó propor- 
'mem ef : By. lam dico esse 
«0? - 80 - δ — ay? -- ay- yf -- αζ.γδ, sive, quia 
propter elem. 2, 3 est 
ay? -- ay yf — βα. oy, 
— βα- αγ 4- a5-yÓ. | Subtrahetur com- 
mune δα. oy, scilicet 
«0? — δα oy — αδ' ὃγ 
(elem. 2, 2), et Ba- ay 
,— δὰ - ay — αγ' δβ: 
apparet restare 
αὃ. ὃγ 4- ζὃ. 0B. — ay- 0 -- a5. yÓ. Sed subtrahatur 
commune ai-yÓ; ap- 
paret igitur esse 


ζὃ. ὃγ -- C0. 08 — αγ' Op, id est compositis ὃγ - à8 


, 


*) V. Simson. p. 153 sq. (Ca p. 255—257), qui ceteros quoque eius- 
m propositionis casus demonstrat. 


864 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Ζ. 


τῷ ὑπὸ “4 48. ἔστιν δέ" ἀνάλογον γὰρ αἱ ΑΓ TB, 24 
48 εἰσὶν εὐϑεῖαι. 


192 η΄. Θέσει xal μεγέϑει εὐθεῖα 7) ΑΒ, καὶ τυχὸν τὸ Γ' 
ὅτι ἐστὶν δοϑὲν ἐπὶ τῆς 418, ὥστε τὸ ἀπὸ AT καὶ τὸ 
λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ δοϑέντα ἴσον ἐστὶν δο-" 
ϑέντι καὶ τῷ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τοῦ τὲ 
δοθέντος καὶ τοῦ I δοϑέντα. 





Πεποιήσϑω γὰρ ὡς ὁ δοϑεὶς λόγος, οὕτως ἡ 424 πρὸς 
τὴν AB: λόγος ἄρα καὶ τῆς 44 πρὸς τὴν 48 óo9tez' 
ὥστε δοϑέν ἔστιν τὸ 4 σημεῖον. ἐπεὶ δὲ εὐϑεῖα ἐστιν 1" 
4B, καὶ δύο σημεῖα τὰ 4 D, τὸ ἄρα ἀπὸ AT καὶ w-) 
λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς 44 moe 
τὴν 4B ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ Jd καὶ τῷ λόγον ἔχονται 
πρὸς τὸ ἀπὸ “18 τὸν αὐτὸν τῷ τῆς “24 πρὸς τὴν AB xe 
t TQ λόγον ἔχοντι πρὸς τὸ ἀπὸ 4Γ τὸν αὐτὸν τῷ TES 
AB πρὸς τὴν ΒΖ. καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ 4 4 
τὸν αὐτὸν τῷ τῆς “2 πρὸς τὴν B4 τὸ ὑπὸ 428: το ὃ 
ἄρα ἀπὸ “1 καὶ τὸ λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ τὸν avs? 
τῷ τῆς 444 πρὸς τὴν 48, τουτέστιν δοϑέντα, ἴσον ἐστὶν verae 
τε ὑπὸ B.4 4, τουτέστιν δοϑέντι, καὶ τῷ λόγον ἔχοντι πρῶ €? 
τὸ ἀπὸ 4Γ τὸν αὐτὸν τῷ τῆς 4B πρὸς τὴν B4, voviéowe-? 
δοϑέντα. 


Ὁμοίως καί, ἐὰν [τὸ δοϑὲν] τὸ Γ ἐκτὸς ἡ τῆς ΑΒ εὖ — 
ϑείας, τῇ αὐτῇ ἀκολουϑίᾳ δείξομεν. 


4. 2. ai ve 4Γ ΓΒ καὶ Z4 4B coni. Hu 2. 4B Co pro .4B 

8. *y add. BS xal μεγέϑει add. Ca auctore Simsono p. 155 

3. 4. xai τυχὸν τὸ Γ δοϑὲν ἐπὶ τῆς 4B. ὅτι τὸ ἀπὸ AT cet. coni. Co 
ὅ. δοϑέντα --- δοϑέντι Co pro δοϑὲν ---δοϑὲν 6. τῶι λόγωι A(B), cor^ : 
5 τοῦ τε Hu, τοῦτο ἃ, τοῦ BS 7. καὶ τοῦ ὑπὸ ΓΔ δοθέντος ABE, 
χαὶ τοῦ ἀπὸ γδ do9évrog Paris. 2368, χαὶ τοῦ Γ δοϑέντος Ca, δοθέντ «αὧὧἱ 
. corr, Hu 44. τὰ AT A, distinx. BS 44. πρὸς τὸ ἀπὸ 4B Co pr— “Φ 

πρὸς τὸ ἀπὸ AB 45. ἔτι Co pro ἐν τῶι λόγων À, corr. BS 

πρὸς τὸ ἀπὸ 4Γ Co, πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ ABS, πρὸς τὸ ἀπὸ I4 Cp 
46. 47. xai τὸ λόγον — τὸ ὑπὸ 4248 del. Co 4186. xol τὸ λόγον pem? 
Ge, xal τῶι λόγον ἔχοντι ABS, τὸ δὲ λόγον ἔχον Ca πρὸς τὸ ara ó 


- 


LIBER VII. PROPOS. 126. 865 


.γβἘ τ ay. Og. Est vero sic, quoniam ex construc- 
tione sunt 

: yB — ζὸ : 0g. 

Sit recta of positione et magnitudine data in ea- pu 
etum quodvis y; dico in ef punctum datum esse ita, 
ia quadrati ex αγ et spatii, quod ad quadratum ex 
n proportionem habet, aequalis sit summae dati spa- 
15 spatii, quod ad quadratum ex segmento inter da- 
(ctum et γ᾽ aliam datam proportionem habet (vel sic: 
proportioni aequalis fiat od : Ó8, ideoque datum sit et 
ὃ οἱ rectangulum 8o-aÀ, denique si fiat spalium 
- αὖ: Of, et spalium ζ : ày? —— af : BÓ, esse ay? -- 
có 4- L). 


Fiat enim datae propor- 
74 ,  g Veni aequalis aó : 0f; ita- 
que etiam proportio aó : ὁβ 
, datumque e£ punctum Ó et rectangulum fa. αὃ 
Porro secundum superius lemma fiat. rectangulum 
z αὃ: OB, el rectangulum ζ : ày? — of : 80, et rec- 
| 2: 0f? — αὃ: 0g. Sed quoniam recta est αβ, in 
10 puncta Ó γ, erit propter superius lemma 
) 46 — 00? 4- η-ξ. | 
| z- αὖ. 00, itaque, ul in superiore lemmate, «à? 4- 2 
δ; ergo «y? -- e — βα-αὸ -- ζ. 


liter etiam, si punctum y sit extra rectam αβ (nempe 
οἷα eB ultra 8), eodem tenore (heorema demonstra- 


0 πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ 47. τῷ τῆς 44 Ca, τῶν τῆς 4B À, 
BS 19. δοϑέντα add. Ca auctore Simsono p. 155 (δοθέντι 
ἐστὶ add. Co 20. τῶι λόγωι À, corr. BS 21. τὸ ἀπὸ 
| ἀπὸ ΑΓ ABS, τὸ ἀπὸ I4 Ca 22. δοϑέντα Ca auclore 
. 455, δοϑέν ABS, δοθέντι Co 48. aut τὸ δοϑὲν delendum 
legendum esse videtur 


866  pAnmOY ZYNATOTHZ Z. 


Πορισμάτων a' B' γ΄. 
Toi πρώτου εἰς τὸ πρῶτον πόρισμα. 


198 Ἔστω καταγραφὴ Jj -ABUAEZH, καὶ ἔστω ὧς 
AZ πρὸς τὴν ΖΗ͂, οὕτως ἡ 44 πρὸς τὴν 4T, καὶ &zt« 
ζεύχϑω ἡ ΘΚ. ὅτι παράλληλός ἐστιν 7) OK τῇ ΑΓ. 


Ἤχϑω διὰ τοῦ Z τῇ j B4 
παράλληλος ἡ ΖΑ͂. ἐπεὶ οὖν 
ἐστιν ὡς ἡ 42 πρὸς τὴν ΖΗ, 
οὕτως ἡ 444 πρὸς τὴν AT, ἀνά: 
παλὲν καὶ συνϑέντι xai ix 
λάξ ἐστιν ὡς ἡ 4.4 πρὸς Τὴν 
-4Z, τουτέστιν ἐν παραλλήϊῳ 
ὡς 3] B.A πρὸς τὴν 44A , οἵ- 
τως 7) ΓΑ͂ πρὸς τὴν 4H: παρ’ 
ἄλληλος ἄρα ἐστὶν 1 AH qj 
BI: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ EB ni 
τὴν B4, οὕτως ἐν παραλλήϊψ 

ἡ ΕΚ πρὸς τὴν KZ, καὶ ἣ E8 πρὸς τὴν ΘΗ’ καὶ ὡς ἄρα ἢ 

ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ τρὸς τὴν OH: T a 

ἄλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ OK τῇ AT. 

194 Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως. ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ " 





᾿ 
| 








4. A4 B'T' AB, τρία 5 8. α in A vs. 9 ante Τοῦ πρώτου 50" 
valum est, «' ante Ἔστω in BS ἡ (post ὡς) add. BS 45. ἄρα 
igriv ἡ ΔΗ AB, corr. ΑἹ super vs. 5 48. χαὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν gn 
add. Co 


LIBRA VII. PROPOS. 447. 867 


LEMMATA IN PORISMATUM LIBROS I II III. 
In libri primi primum porisma. | 
. Sit figura αβγδεζη, sitque ab: ζη — αὃ : Óy, et du- Prop 
9x; dico parallelas esse rectas ay 3x. 





B ὃ 7 7 


Ducatur per ζ rectae βὃ parallela ZA. Quoniam igitur 
ιξ : Cp — a0 : Oy, e contrario est C : αζ — Óy : ad, et 
onendo a5: ab — ay : ad, et vicissim a7 : αγ — αζ: aó, 
ue e contrarto ' 
cy : αἢ — αδ: ot, id est propter parallelas βὸ AC 

— af : αλ. 
parallelae sunt By 4n; est igitur propter parallelas 9x AZ 
eB : βλ z εκ : xD, et propter parallelas 839. Ày 

— 69:235; | 
quia εκ : xL — &9 : 9v, parallelae sunt x9 ay. 
Per formulam compositae proportionis sic. Quoniam est 


ROPOS. 127: Simson p. 398 sq., Breton p. 219 sq., Chasles p. 74. 
)8 sqqd., Vincent p. 33 sqq. Propositionem et hanc et proximas 
Mius enuntiat Simsonus; quas cum omnes repetere alienum sit 
c editione, exempli gratia hanc unam afferamus: "Si in recta linea 
t puncta « ᾧ ὃ ἡ y, ita ut αζ sit ad £x, ut «d ad d», et ad rec- 
ineam ef inflectantur £e ye, et ad eandem inflectantur δβ γβ, et 
i6 ἃ punctis ᾧ δ᾽ sibi mutuo occurrant in x, inflexae vero a punc- 
y occurrant in 9, et 9x iungatur, erit x9 parallela ipsi ey". Fi- 
quinque, ut hic descriptae sunt, exstant in codicibus. . 





868 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ 244 πρὸς τὴν 4T, ἀνάπαλίν ἐστιν 
ὡς ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ͂, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν 4.4. συν- 
ϑέντι καὶ ἐναλλὰξ καὶ ἀναστρέψαντί ἐστιν ὡς ἢ 244 πρὸς 
τὴν 4Z, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν 
ΓΗ. ἀλλ᾽ ὁ μὲν τῆς 244 πρὸς δ 
τὴν 42 συνῆπται ἔχ τε τοῦ τῆς 
AB πρὸς τὴν BE καὶ τοῦ τῆς ΕΘ 
πρὸς τὴν ΘΗ" ὃ ἄρα συνημμένος 
λόγος ἔκ v& τοῦ ὃν ἔχει 7) 4B πρὸς 
τὴν ΒΕ καὶ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ δι 
αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε 
τοῦ ὃν ἔχει. ἣ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ 
καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν OH. καὶ χοι- 
γὸς ἐχκεχρούσϑω ὃ τῆς 418 πρὸς τὴν ΒΕ λόγος" λοιπὸν ἄρα 
ó τῆς EK πρὸς τὴν ΚΖ λόγος o αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΘ Ὁ 
πρὸς τὴν OH: παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἣ OK τῇ 1. 





Εἰς τὸ δεύτερον πόρισμα. 


195 B. Καταγραφὴ ἡ -4BLAEZHO, ἔστω δὲ παράλληλος 
p AZ τῇ 4B, ὡς δὲ ἡ 4Ε πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ 
πρὸς τὴν HZ: ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ Καὶ Ζ. 3 

Ἤχϑω διὰ vob Η παρὰ τὴν 4E ἡ H.4, καὶ ἐπιζευ- 
χϑεῖσα ἡ ΘΚ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ ,1. nsi οὖν ἐστιν ὡς 1, 
AE πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ DH πρὸς τὴν HZ, ἐναλλάξ 
ἐστιν ὡς ἣ .4E πρὸς τὴν ΓΗ͂, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ZH. 
ὡς δὲ ἡ 4Ε πρὸς τὴν ΓΗ͂, οὕτως ἣ EO πρὸς τὴν H5 
(διὰ τὸ εἶναι δύο παρὰ δύο, καὶ ἐναλλάξ) " καὶ ὡς ἄρα ἡ 
ΕΖ πρὸς τὴν ZH, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΖ. καὶ ἔστι 


39. ὡς ἡ ΝΖ AB, corr. S 8. ἡ edd. BS 3. 4. πρὸς 
τὴν 4Ζ ABS, corr. Co 48. χοινὸς S super vs., x? AB, 7 S cod. 
Co 44. πρὸς add. S λοιπὸς Co 45. ὃ αὐτός add. Co 
46. παράλληλος Co pro λόγος 48. 8' add. BS ἡ AB T4 EZHO 
A, coniunx. BS 20. τῶν OKZ A, distinx. BS 21. ἐπιζευχϑεῖσα 
Hu auctore Co pro ἐπεζεύχϑω 22. post ἐπὶ τὸ .4 in A resura est 


LIBER VII. PROPOS. 488. 869 


et : ζὴ τ ad : y, e contrario est Cy : αἷζ Ξε Óy : ad, et com- 
ponendo ay: αἷ — oy : ad, et vicissim ax : &y — ob: αὖ, 
et e conírario «y : αἡ — a0 : ab, et convertendo ay : yn — 
«Ó : OL. Sed est!) : 

ad P ap βὲ eB 6» αβ εκ. 

δὲ 8À B8: Bl Be 9m Bs xi" 
et dividendo tollatur communis proportio ef : 8e; relinquitur 
igitur ex: xb — &9 : 9»; sunt igitur parallelae x9 ay. 


In secundum porisma. 


| Il. Figura αβγδεζηϑ', sintque parallelae a5 Óg, ac sit Prop. 
on ., 128 
«& : εἴ — yn : 75; dico rectam esse quae per 2 x ζ transit. 
ὃ Ducatur per ἢ rec- 
n0 fé tae δὲ parallela ηλ, et 
iuncta 9x producatur ad 
À. Quoniam igitur est 
αε: & τ yp: vb, vi- 





cissim est 
αξ : yn — tb : ηζ. 
« ; 7-5 Sed propter parallelas 
/ 7 
90 vÀ est 


nÀ : 09 — ηκ : xó, et propter parallelas Ó y» 
yx : κὃ — yy : 80; ergo etiam 
7À : 039. — yy : B0, et vicissim 
ηλ : yy — 039 : fà, sive propter parallelas Og ae 
- Je: ae. Ergo e contrario est 
&6 : £9 — yn : yÀ, οἱ vicissim 
ἀξ: γὴ m εϑ.: ηλ. 
Ergo etiam (quia erat o& : yy — εζ : v) est 
eb : ηζ — 69 : ηλ. 


4) Media argumentationis membra hoc loco omissa facile supplen- 
tur ex priore demonstratione (p. 867). 


PROPOS. 128: vide append. 


sex octove litterarum 26. καὶ ἐναλλὰξ διὰ τὸ εἶναι δύο παρὰ dVo 
A! in rasura BS, transposuit Hu — 27. ἐστὶ Α5Β8 | 


870 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ Η.1' εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν 
O ..1 Z, τουτέστιν ἢ διὰ τῶν Θ Καὶ Ζ, ὅπερ: — 

196 Y. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς 418 Fd 4.4 διήχϑωσαν 06 
εὐϑεῖαι αἱ OE O4: ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ OE ΗΖ nj 
τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ OB AT πρὸς τὸ ὑπὺϊ 
ΘΖ BT. | 








X Ἤχθω διὰ μὲν τοῦ 9 
τῇ ΖΓΑ͂ παράλληλος ἢ 
ΚΑ, καὶ αἱ 4Α͂ 4B συμ- 
πιπτέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰν 
Κὶ . σημεῖα, διὰ δὲ τοῦ 
4 τῇ 4.4 παράλληλος ἡ 
-4M καὶ συμπιπτέτω τῇ 
EO ἐπὶ. τὸ M. ἐπεὶ οὖν 
ἐστιν ὡς μὲν ἡ EZ πρὸς" 
τὴν ΖΑ͂, οὕτως 7, ΕΘ πρὸς 
τὴν ΘΩ͂, ὡς δὲ ἡ 42 
πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ O. πρὸς τὴν OM (καὶ γὰρ ἡ ΘΚ 
πρὸς τὴν OH ἐν παραλλήλῳ), δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ EZ 
πρὸς τὴν ZH, οὕτως 5 ΕΘ πρὸς τὴν OM: τὸ ἄρα ὑπὸὴϑ 
τῶν ΘΕ HZ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν EZ OM. ἄλλο δέ 
τι τυχὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ OH: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν 
EO HZ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν EZ HO, οὕτως τὸ ὑπὸ EZ OM 
πρὸς τὸ ὑπὸ EZ HO, τουτέστιν ἡ OM πρὸς OH, τουτ 
ἐστιν ἧ .1Θ πρὸς τὴν ΘΚ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡς ἡ K05 
πρὸς τὴν ΘΙ, οὕτως τὸ ὑπὸ O4 ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ T4: 
ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται ὡς $ 4O πρὸς τὴν OK, οὕτως τὸ 





----.εἩ 


3. O .4 Z, τουτέστιν ἡ διὰ τῶν Θ Καὶ Z Hu, 64Z A(B), 9 x A. i 
S (conf. etiam cap. 198 extr.) ὅπερ BS, 0 A 8. y' add. E959 
40. 44. τὰ ΚΑ A, distinx, BS 423. τῆι 44 A? ex τῆι Α4“ 
49. 13. ἡ .4M xol] fortasse διαχϑεῖσα ἡ £M 48. 19. xa) yc ΖΞ 
ἐν παραλλήλῳ corrupta putant Co et Ge, at vide Simson. p. 389 s 
23. τυχὸν] forsitan legendum sit ἔχομεν; at eadem ratione redit ram 
infra cap. 204. 205 46. ὑπὸ GAZ BF A, distinx.. BS, 27. ἀνάπ 
Co pro ἀνάλογον 





τ ψς 


LIBER Vli. PROPOS. 129. 871 


Et sunt parallelae ε ηλ; recta igitur est quae per puncta 
9 À £L"), id est 9 x C transit, q. e. d. 


IH. In tres rectas lineas ag γὰ δα ducantur duae rec- Prop. 


tae Je 290; dieo esse 9e- ηζ : 9n. Ce — 938. 0y : ὃ. fiy. 
Ducatur!) per 2 rectae ζἔγα parallela xA, et huic recta 
δα producia occurrat in x, itemque recta e in À, et per ἃ 
rectae δὰ parallela ducatur Àu, cui εϑ' producta occurrat in 
H- Quoniam igitur propter parallelas et 49. est 
&b : ζα — 629 : 94, et propter parallelas αζ x9. et xy μλ 
est ab : ζὴ τε x9 : 99 -- A9 : ϑμ, 
itaque 
ab: Dy — 94: 9p, ex aequali igitur est 
εζ : ζὴ m c9 : ϑμ; 
ergo 55.69 — eL. Ju. Sed fiat proportio ad aWud rectangu- 
lum st. 327; est igitur | | 
Cn: e€9 : εζ. 9 — εζ 9, : εζ. 9», id est" 
| — Ju: 37, id est 
z λϑ.: 3x. 
Eadem ratione?) fif etiam x9 : 94 — δ. y: 99. yd; e con- 
trario igitur fit. 


*) Vide supra IV cap. 314. Etenim, ut omittamus illum trium cir- 
culorum contactum, de quo est libri IV 


e » «& propositio 13, in eadem propositione con- 
versa, id est cap. 214, demonstratio deduci- 
tur ad huiusmodi lemma: Si duae paralle- 

7 lae, velut «x y, rectam «e in punctis « y 


secent, sitque ex : yd — «£: &y, dico puncta 
κὅε in eádem rectá esse. Quod illic primum ratione apagogica, tum 
(p. 442. 243) auxilio parallelogrammi ostenditur. Idem lemma adhibitum 
esse in VII libri propos. 64 et 448 supra p. 769 adnot. * et 858 adnot. 2 
commemoravimus; praeterea conf. infra propos. 130 sq. 

PROPOS. 129: Simson p. 380sqq., Breton p. 324 sq., Chasles p. 7ὅ 854. 
82. 87 sq. 404 sq. cet., idem Apercu historique p. 33 sqq. edit. Paris. 
secundae (p. 34 sqq. versionis German.), Baltzer Elemente lI p. 365 sqq. 
edit. IV. 

4) Rursus, ut supra ad propos. 127, plures figuras exhibent codices, 
e quibus una tantummodo (scilicet secunda in cod. et apud Comman- 
dinum, quinta apud Gerhardtum) litterarum ordinem ζγα in contextu 
traditum servat. Hanc igitur descripsimus; reliquarum quinque spe- 
ciem satis accuratam praebet Commandinus. Sunt hi diversi eiusdem 
propositionis casus, at neutiquam omnes qui fingi possunt; velut sep- 
ümam figuram a nobis addi necesse fuit in append. ad propos. 139, 
octavam in append. ad propos. 143. 

2) Demonstrat haec singillatim Simsonus p. 384 productá 89 ad v» 
punctum concursus cum ἄμε. 


872 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQTHZ Z. 


ὑπὸ OB L4 πρὸς τὸ ὑπὸ O4 ΒΓ. ὡς δὲ ἡ 440 πρὸς 
τὴν ΘΚ, οὕτως ἐδείχϑη τὸ ὑπὸ ΕΘ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ 
HO: καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ HZ πρὸς τὸ ὑπὲ EZ HO, 
οὕτως τὸ ὑπὸ OB I4 πρὸς τὸ ὑπὸ O4 ΒΓ. 

197 Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως. ἐπεὶ τοῦ ὑπὸ OE HZ 
πρὸς τὸ ὑπὸ OH ΖΕ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ 
ΘΕ πρὸς τὴν EZ καὶ τοῦ ὃν ἔχει 7) ZH πρὸς τὴν HO, καὶ 
ἔστιν ὡς μὲν 1 OE πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ? ΘΙ. πρὸς τὴν 
ΖΑ͂, ὡς δὲ ἣ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ Z4 πρὸς τὴν 
ΘΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΕΖ συνῆπται " 
ἔκ v& τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΙ πρὸς τὴν ΖΑ͂ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ 
Z4 πρὸς τὴν OK. ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τὸ τοῦ τῆς ΘΑ͂ 
πρὸς τὴν ΖΑ͂ χαὶ τοῦ τῆς ΖΑ͂ πρὸς τὴν ΘΚ ὃ αὐτός ἔστιν 
τῷ τῆς 0.4 πρὸς τὴν OK- ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ OE ΗΖ. 
πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ, οὕτως ἡ O4 πρὸς τὴν ΘΚ. διὰ 
ταὐτὰ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΘΔ, BI πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ ΓΩ͂, 
voc ἐστὶν 7 OK πρὸς τὴν ΘΙ. καὶ ἀνάπαλίν ἐστιν s 
τὸ ὑπὸ OB L4 πρὸς τὸ ὑπὸ O4 ΒΓ, οὕτως ἡ Θ΄. πρὸς 
τὴν ΘΚ. ἦν δὲ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ 
ΘΗ ΖΕ, οὕτως ἣ ΘΛ πρὸς τὴν OK* καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ἢ 
GE ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ OB ΓΩ͂ πρὸς 
τὸ ὑπὸ O4 ΒΓ. 

198 ὃ΄. Καταγραφὴ ἣ ABUAEZHOK A4, ἔστω δὲ ὡς τὸ 
ὑπὸ 42 ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ 4B ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ 42 4 
πρὸς τὸ ὑπὸ Α4 EZ: ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν O H Z5 
σημείων. 

Ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ “442 ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ 448 ΓΖ, 
οὕτως τὸ ὑπὸ .42 AE πρὸς τὸ ὑπὸ .44 ΕΖ, ἐναλλάξ ἐστιν 


9. 8. πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΗ͂ΘΑ, distinx. BS, item posthac in eodem 
lemmate quaternas litteras coniunctas habet À 3. ὑπὸ ante EZ H6 
add. S 7. πρὸς τὴν EZ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ZH bis scripta in ABS, 
corr. Co 46. ταὐτὰ Hu pro ταῦτα 48. 19. οὕτως 5 446 πρὸς τὴν 
ΘΚ την δὲ καὶ A(B), corr. S 40. οὕτως ἡ O.1 πρὸς τὴν OK add. 
Ge 20. 44. χαὶ ὡς — ὑπὸ τῶν OH ΖΕ add. Co (in quibus τῶν 
ante ΘΗ ΖΕ del. Ge) 33. δ' add. ΒΒ  ABL'AEZ 6HIKA A(BS), 
corr. Co 24. ὑπὸ ΑΖΒΓ À, distinx. BS ὑπὸ ABI A, dislinx. 








LIBER VII. PROPOS. 430... — 873 


9β.γδ: 9à- By — 49: 9x; ergo secundum ea quae 
| modo demonstrata sunt 
ζη e9 : εζ. 9n — 938-yó : ϑδ. By. 


X Per formulam compositae 
proportionis sic. Quoniam 
est — 


$e-m$ ϑὲ m6 

9: - CE ζεὲ 29? 
estque (propler parallelas 
9À αὖ 96: te τε 9À : Ca, 
et (propter parallelas a6 
x9) n5: 99 — Ca: 9x, est 
igitur 

9e- né 94 ζα 9À 


— M —— 0. ——— πὸ... 











Eadem ratione est etiam 
93 -By 9x 98.y0 — 94. 
98.y9 — 9À 8.By ϑκ' 
ergo secundum ea quae modo demonstrata sunt 
ϑειηξ 98.y0 
9m - CE — 90.By 


, et e contrario 











IV. Figura ofydetn9xA*), sit autem αζ' By : ag. γζ — Prop. 
. αζ δὲ : a0 eC; dico rectam esse quae per 9 ἡ ζ transit. 130 


Quoniam est ab. y : αβ.γζ - aL. δὲ: aÓ- eC, vicissim 
igitur est 


PROPOS. 130: Simson p. 38? sq., Breton p. 222 sq., Chasles p. 74 sq. 
88. 102. 108 sqq., idem Apercu historique p. 36. 376 sqq. (p. 33. 325 sqq. 
versionis German.). 


*) Quattuor punctorum dispositiones, scilicet «edy86, αβγδεζ, «εγδβξ, 
αβόγεζ, et octo figuras exhibeat codices, quas vide apud Commandinum ; 
quintam dispositionem αεβζγδ addit Chasles; nos cum Bretono repeti- 
vimus eam tantum figuram, quae secunda est in codicibus; quae quidem 
una praeter punciorum seriem αβγδεζ etiam in altera recta ordinem 
956 exhibet. 


B, ὑπὸ aB ty 8 οὕτω A*BS 25. ὑπὸ .44EZ A, distinx. BS, item 
vs. 48 τῶν O HZ 5^, distinx. BS 
Pappus II. 56 





874. ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Z. 


ὡς τὸ ὑπὸ 42 ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ MZ 4E, τουτέσειν ὡς 

ἡ ΒΓ πρὸς τὴν 4E, οὕτως τὸ ὑπὸ 4,8 ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ 
444 ΕΖ. ἀλλ᾽ ὁ μὲν τῆς ΒΓ 
πρὸς 'τὴν 4E συνῆπται Àó- 
γος, ἐὰν διὰ τοῦ K τῇ .4Ζ5 
παράλληλος ἀχϑῇ ἡ ΚΙΗ, ἔκ 
τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΚΝ xai 
τῆς ΚΝ πρὸς KM xoi ἔτι 
τοῦ τῆς ΚΗ͂ πρὸς A4E,0 
δὲ τοῦ ὑπὸ 48 ΓΖ πρὸς τὸ l^ 

ξ ὑπὸ 414 EZ συνῆπται ἔκ ve 

τοῦ τῆς B4 πρὸς 424 καὶ 
τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ. κοινὸς ἐχκεκρούσϑω ὃ τῆς ΒΑ͂ 
πρὸς 444 ὃ αὐτὸς ὧν τῷ τῆς NK πρὸς KM: λοιπὸν ἄρα ' 
ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ συνῆπται ἔχ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς 15] 
τὴν ΚΝ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΘΓ πρὸς τὴν ΚΘ, καὶ τοῦ τῆς 
KM πρὸς τὴν AE, τουτέστιν τοὺ τῆς KH πρὸς τὴν HE: 
εὐϑεῖα ἄρα ἡ διὰ τῶν O H Z. 

Ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ ΘΓ παράλληλον ἀγάγω τὴν ΕΞ, 
καὶ ἐπιζευχϑεῖσα ἡ OH ἐχβληϑῇ ἐπὶ τὸ E, ὃ μὲν τῆς KH* 
πρὸς τὴν ΗΕ λόγος ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν 
ΕΞ, ὃ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν OK xai 
τοῦ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΕΞ. μεταβάλλεται. εἰς τὸν τῆς Or . 
πρὸς EA λόγον, xai ὃ τῆς ΓΖ πρὸς ΖΕ λόγος ὃ αὐτὸς τῷ | 
τῆς ΓΘ τιρὸς τὴν ΕΞ παραλλήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ ER 
εὐθεῖα ἂρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ E Ζ (τοῦτο γὰρ φανερόν), 
ὥστε καὶ ἡ διὰ τῶν O H Z εὐϑεῖά ἐστιν. 

199 ε΄. Ἐὰν ἢ καταγραφὴ ἣ ΑΒΓΖΈΖΗΘ, γίνεται ὡς ἡ 
“41 πρὸς τὴν AT, οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν ΒΓ. ἔστω οὖν 
ὡς 7) 444 πρὸς τὴν 4Γ, οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν ΒΓ ὅτι 30 
εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν 4 H Θ. 

Ἤχϑω διὰ τοῦ Η τῇ 44 παράλληλος ? Κι. ἐπεὶ 





Py € 


—— 





9. 3. ὑπὸ ΑΒΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ A44EZ A, distinx. BS, item vs. 410. 
1 5. τοῦ add. BS 7. 8. πρὸς KH καὶ τῆς ΚΝ A, πρὸς xy καὶ 
τῆς κη S, corr. B 9. τοῦ τῆς Co pro τὸ τῆς 48. πρὸς τὴν 4E 


LIBER VII. PROPOS. 481. 875 


eij:8y . By αβιγξ «B yi 


αζι δὲ δε 77 τ. “ἐξ “ΠΝ "Tun ' 
Sed si per x rectae αζ parallela ducatur xu, quae rectam 84 
secet tn », est | 


u Tu" 
de x5 χα gro 65, otur 


eB γέ Ay xv. τς Dividendo tollatur ab altera parte 
proportio «8 : αὖ, ab altera quae 

. huic aequalis est xv : Χμ; relin- 
quitur igitur 


e xv às ϑκ ge ? 
recta igilur est quae per 2 ἡ D transit. 


Etenim si per & rectae 97 parallelam ducam εξ, et iuncta 


9:3; producatur ad 3, est 
 - a ὅδε -5, itaque γι -- A: 
Et quia γϑ εξ parallelae sunt, recta igitur est quae per 25 6 
transit (hoc enim manifestum est!); itaque etiam quae per 
9: » ζ transit recta est. — 
" . VW. Si sit figura αβγδεζηϑ', et reliqua similiter ac supra Prop. 
. — (propos. 127) supponantur, fit «à : dy — a8 : By. lam vero | 
L. supponalur esse aó : dy — af : By; dico rectam esse quae 
per o ἡ 2 transit. | 
Dueatur per y rectae αὖ parallela xA, quae recíam &y 


4) Conf. supra p. 8714 adnot. *. 

PROPOS. 131: Brelon p. 223 sq., Chasles p. 74 sq. 88. 103. 108 sqq., 
idem Apercu historique p. 86 edit. Parisinae secundae (p. 83 versionis 
German.), Baltzer Elemente 11 p. 370. 


ABS, eorr. Co σοινὸς V el super vs. S, x^ ABS 44. τῷ τῆς *X 
S cod. Co (recte NK AB), item vs. 46. τὴν χη S λοιπὸς Ge 47. τοῦ 
add. Hu 18. διὰ τῶν €HK A(BS), corr. Co 119. τῆι ΒΓ παράλλη- 
λον ABS, corr. Co in Lat. versione τὴν ΕΞ Co pro τὴν EZ 
40. ἐπιζευχϑεῖσα ἡ Hu auctore Co pro ἐπιζευχϑείσης τῆς 43. uera- 
βάλλεται Hu auctore Co pro μεταβαλλόμενος εἷς τὸ τῆς AB, corr. S 
$5. πρὰς τὴν EA Co pro πρὸς τὴν ez 26. τῶν OXZ MÀ, distinx. 
BS $7. τῶν OHZ ^, distinx. BS 28. ε΄ add. BS 81. τῶν 
44H Δ, dislinx. BS 








96 * 


876 - ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Z. 


οὖν ἐστιν ὡς ») 44 πρὸς τὴν AT, οὕτως ἡ .4B πρὸς τὴν 
ΒΓ, ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ 444 πρὸς τὴν AT, οὕτως J ΚΑ πρὸς 
τὴν AH, ὡς δὲ 7 AB πρὸς 
τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΚΗ͂ πρὸς 
τὴν HM, καὶ ὡς ἄρα ἡ KA5 
πρὸς τὴν ΜΗ, οὕτως ἡ KH 
πρὸς τὴν HM, καὶ λοιπὴ ἡ 
Η. πρὸς λοιπὴν τὴν 47} 
ἐστὲν ὡς 7? ΚΑ πρὸς τὴν 
AH, τουτέστιν ὡς ἡ «44 10 
πρὸς τὴν 4T. ἐναλλάξ ἐστιν 
ὡς ἡ 414 πρὸς τὴν H4, οὕ- 
τως ἡ ΓΖΩ͂ πρὸς τὴν 4M, τουτέστιν ἣ 410 πρὸς ΘΑ͂. καὶ 
ἔστε παράλληλος ἡ Η.1 τῇ .44: εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ 
τῶν ΦῊ O σημείων᾽ τοῦτο γὰρ φανερόν. 15 
200 c. Πάλιν ἐὰν ἡ κατα) θαφή; καὶ παράλληλος ἡ 4Z 
τῇ ΒΓ, γίνεται ἴση ἣ 418 τῇ ΒΓ. ἔστω. οὖν ἴση" Ot 
παράλληλος. 
Ἔστιν óé: ἐὰν γὰρ ἐπὶ τῆς EB ϑῶ τῇ HB ἴσην τὴν͵ 
BO, καὶ ἐπιζεύξω τὰς 440 ΘΓ, γίνεται παραλληλόγραμμον 20 
τὸ ΑΘΓΗ͂, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν ὡς ἡ 444 πρὸς τὴν AE, 
οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ (ξκατέρων γὰρ τῶν εἰρημένων ὁ 
αὐτός ἔστιν τῷ τῆς OH πρὸς τὴν ΗΕ λόγος), ὥστε πσταρ- 
ἀλληλός ἐστιν ἡ 4Z τῇ ΑΓ. 
201 C. Ἔστω καταγραφή, καὶ τῶν 4B ΒΓ μέση ἀνάλογον 35 
| ἔστω ἡ Bd: ὅτι παραλληλός 
ἐστιν ἡ ZH τῇ «4Γ. 
Ἐχβεβλήσϑω ἡ EB, xoi 
διὰ τοῦ .4 τῇ 42 εὐϑείᾳ 
παράλληλος ἤχϑω 7) 44K, καὶ 30 
ἐπεζεύχϑω ἡ ΓΚ. ἐπεὶ οὖν 
ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν B.A, 
οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν B4, 
ὡς δὲ ἡ .4B πρὸς τὴν B4, 
οὕτως 7, ΚΒ πρὸς τὴν BO, καὶ 35 
ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν BA, 








LIBER VII. PROPOS. 132. 133. 877 


secet in u. Quoniam igitur est αὃ: ὃγ — af : By, et αὃ : ὃγ 
— κλ: λη, et ag: By — κη: ηΐμ, est igitur χὰ : An — xq: nu, 
et per subtractionem proportionis 74 : 'μ τῷ x4: 4g; id est 
αὃ : ὃγ — ηλ: λμ. Vicissim est a0 : ηλ — 0y : λμ — 03: 94. 
Et sunt parallelae »À αὖ; recta igitur est quae per puncta 
α ἢ J transit; hoc enim manifestum est). 
VI. Rursus si sit figura αβγδεζη, Prop. 

et parallelae 05 By, fit a8 Ξε y. lam 132 
supponatur esse af — fy; dico paral- 
lelas esse OC fiy. | 

Sunt vero; nam si in producta 
ef faciam 89 — ηβ, et iungam o9 
Jy, fit parallelogrammum copa"). Et 
propterea est αὖ: δὲ — γζ : Ce (quo- 
niam utraque, proportio est — 32: n&), 
itaque parallelae sunt δζ ay. 

VII. Sit figura αβγδεζηϑ'ι, et rectarum fy 80 media pro- Prop. 
portionalis «8; dico parallelas esse ζῃ ay. 

Producatur eg, et per.c« rectae CO parallela ducatur «x, 
iungaturque yx. lam quia est Gy: og — a: 80, et o8 : 8à 
— xB:89 (in similibus triangulis ex 083), est igitur gy : af 





4) Conf. supra p. 874, adnot. *., 

PROPOS. 132: Simson p. 359, Breton p. 224, Chasles p. 74 sq. 89. 
103 sqq., idem Apercu historique 1l. c. 

*) Nimirum quia diametri «y ϑὴ sese dimidias secant. Si ad Eu- 
clidem refugimus, demonstrandum est esse triangulum «f —- γβϑ, et 
triangulum γβη —- «83? (elem. 4, 4), quo facto reliqua sequuntur ex 4, 27. 

PROPOS. 133: Breton p. 394, Chasles p. 74 sq. 89. 104 sqq. 


|, 8. 8. οὕτως ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΜ ABS, corr. Co 8. ὡς δὲ ἢ 
-4 E ABS, corr. Ge 5. 6. ἡ H.4 πρὸς tv .4M . ABS, corr. Ge 
7——19. x«i λοιπὴ — πρὸς τὴν ΔΗ͂ del. Co 9. 40, ἐστὲν ὡς ἡ KM 
σερὸς τὴν Μ ABS, corr. Ge 44. 42. πρὸς τὴν 4Γ ἀνάλογον ἔστιν 
π᾿ πρὸς τὴν H4 ABS, corr. Co 44. ἔστι ASBS τῇ 41 Co pro 
τῆε 46 45. τῶν .4HO Α, distinx, BS 416. ς΄ add. BS 19. ἐπὶ 
τῆς EB Hu pro τὴν EB, del. Co 49, ἑκατέρα AB, ἑχατέρᾳ S, corr. 
Hu . 23. λόγος BS, λόγον ἃ 25. ξ΄ add. BS x«l Co pro χατὰ 

Mil HB ΒΓ μέση ADS, τῶν 4B ΒΓ τρίτη Co (rectius τῶν ΓΒ 4B τρέτη 

EB etonugs, corr. Hu 26. ἡ BA Hu pro ἡ ΒΖ 28. ἐκβεβλήσϑω T 

5 Co pro ἐχβληϑεῖσα ἡ 48 36. τὴν B.4 Co pro τὴν B.4 


202 


878 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Z. 


οὕτως ἣ ΚΒ πρὸς τὴν BO: παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ 46 
τῇ ΚΓ. ἔστιν οὖν τιάλιν ὡς ἡ .42 πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως 
ἡ ΓΗ πρὸς τὴν HE (ξκατέρων γὰρ τῶν εἰρημένων λόγος 
ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν OE), ὥστε παράλληλός 
ἐστιν ἡ ZH τῇ AT. ὅ 
η΄. Ἔστω βωμίσκος ὁ ΑΒΓΖΈΖΗ, καὶ ἔστω παράλ- 
ληλος ἡ μὲν 4E τῇ ΒΓ, ἣ δὲ EH τῇ BZ: ὅτι καὶ ἡ 4Ζ 
τῇ ΓΗ͂ παράλληλός ἐστιν. 
ἸἘπεζεύχϑωσαν αἱ BE 
& ᾿ AT ΖΗ: ἴσον ἄρα ἐστὶν 10 
τὸ ABE τρίγωνον τῷ ATE 
τριγώνῳ. κοινὸν τεροσ- 
χείσϑω τὸ 4.4 τρίγωνον’ 
ὅλον ἄρα τὸ 48Ε τρίγω- 
vov ὅλῳ τῷ L4 « τριγώνῳ 15 
ἴσον ἐστίν. τεάλιν ἐπεὶ 
παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ 
ΕΗ, ἴσον ἐστὲν τὸ ΒΖΕ 
τρίγωνον τῷ ΒΖΗ͂ τρι- 
γώνῳ. κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ .4΄1ΒΖ τρίγωνον" λοιπὸν ἄρα 1020 
A BE τρίγωνον λοιπῷ τῷ A4HZ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ 
ABE τρίγωνον τῷ .4“Γ4 τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον" καὶ τὸ MIA ᾿ 
ἄρα τρίγωνον τῷ .4ZH τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. κοινὸν σπιροσ- | 
κείσϑω τὸ LH τρίγωνον: ὅλον ἄρα τὸ ΓΔΉ τρίγωνον 
ὅλῳ τῷ ΓΖΗ͂ τριγώνῳ toov ἐστίν. καὶ ἔστιν ἐπὶ τῆς αὐ-" 





᾿ τῆς βάσεως τῆς ΓΗ͂' παράλληλος ἄρα ἐστὶν 7) ΓΗ τῇ 42. 


203 


9'. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, xai ἐν αὐτῷ διήχϑωσαν 
αἵ 44 AE, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχϑω ἡ ZH, καὶ χε-- 
κλάσϑω ἡ ΖΘΗ͂, ἔστω δὲ ὡς ἡ BO πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως 
ἡ 4Θ πρὸς τὴν OE: ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΑ τῇ BX^ s 
“Ἐπιεὶ γάρ ἐστιν ὡς $ ΒΘ πρὸς τὴν OT, οὕτως ἡ 4€) 
πρὸς τὴν OE, λοιπὴ ἄρα ἡ B4 πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐσππε ὲν 
ὡς ἡ 4Θ πρὸς τὴν ΘΕ. ὡς δὲ ἡ B4 πρὸς τὴν ΕΓ, ove «xxt 


4. ἡ 49 Co pro ἡ 48 2. πρὸς τὴν ΖΕ Co pro πρὸς τὴν Ζ «ν΄ ' 
8. ἑχατέρων Hu, ἑκατέρᾳ A*SBS 4. πρὸς τὴν ΘΕ Co pro πρὸς 557» 


T 





LIBER VII. PROPOS. 134. 135. 879 


— χβ: β9; ergo parallelae sunt «9 xy (propter similitudinem 
triangulorum a3 yfx).. lam rursus est αζ : Ge — yy : 9e 
(utraque enim proportio est — x9 : 9e), itaque parallelae sunt 
C9 ay. ͵ 

VIII. Sit figura arae inaequalibus lateribus exstructae Prop. 
similis, quae βωμίσκος vocatur!), in eaque δὲ parallela rectae μὰ 
By, οἱ 55 rectae BC; dico etiam δὲ rectae yn parallelam esse. 

Iungantur fe óy 55; ergo triangulum Oe aequale est 
triangulo óey. Commune addatur óeo triangulum; totum igi- 
tur efe tiangulum toti «70 triangulo aequale est. Rursus 
quia BL e» parallelae sunt, aequalia sunt triangula 86e βζη. 
-Commune subtrahatur βζαὰ triangulum; reliquum igitur oe 
triangulum reliquo αηζ aequale est. Sed erat triangulum affe 
aequale triangulo eyó; ergo etiam triangulum «yó trian- 
gulo αηζ aequale est. Commune addatur «yy triangulum; 
ergo totum γδῃ toti γζη aequale est. Et sunt haec triangula 
in eadem basi yp; ergo OC rectae y» parallela est. 

IX. Sit triangulum αβγ, in eoque ducantur rectae αὖ «e, Prop. 
et rectae f parallela ducatur Cy, οἱ α rectae δὲ puncto 9 !38 
ducantur 95 ϑη, sitque 89 : 9y — 09 : 9e; dico parallelam 
esse xÀ rectae (jy. | 

Quoniam est 89 : 9y — 03 : 9e, per subtractionem pro- 
porüonis igitur est BÓ : ey — ὅϑ: 9e. Sed propter paralle- 


PROPOS. 134: Breton p. 224 sq., Chasles p. 78. 89. 419 84., idem 
Apergu historique p.36 (p. 84. versionis German.). 

4) Distinctius, ut videtur, scriptor dicere potuit "sint duo triangula, 
inaequali altitudine, βὲγ βηγ, sitque «|| zB, et ed | γβ᾽ etc.; sed bre- 
vitatis causa, figuram plene constructam intuens, βωμέσκος (vid. ind.) 
praetulit, Propria quae sit lemmatis ratio, docet Chasles ad porisma 
xvin. 


PROPOS. 135: Breten p. 225, Chasles p. 78. 89 sq. 108 sqq. 120 sq. 





Be 5. τῇ ΑΓ Bretonus pro τῆι AA 6. y add. BS ὃ ABS, ἡ 
Ge — 47.18. τῇ ΒΖ ἡ EH coni. Hu 20. ἀφαιρήσϑω A, corr. BS 

32. 23. ἐστὶν ἴσον — τῶι ΑΖΗ τριγώνωι om. Ai, add. A? in marg. 
(BS) 46. ἐστὶν rj ΓΗ ἡ 42 coni. Hu 91. 9' add. ΒΒ 29. ἡ 
ΖΘΗ (ὁ pro ἡ ZH 32. λοιπὸν ἄρα A, corr. BS 








880 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


M-z900g NH: καὶ ὡς ἄρα ἣ ΖΜ πρὸς ΝΗ, οὕτω" 
Θ πρὸς τὴν ΘΕ. ἐναλλάξ ἐστιν ὡς ἡ ZIM πρὸς “ 
τὴν 40, οὕτως 7, NH πρὸς τὴν 
ΘΕ. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΖΙΜ πρὸς 
τὴν 410, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλ- 5 
λήλῳ ἡ ΖΚ πρὸς τὴν KO, ὡς 
δὲ ἢ HN πρὸς τὴν OE, οὕτως 
ἐστὶν ἡ H4 πρὸς τὴν 440, καὶ 
ὡς ἄρα f; ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, o$- 
τως ἐστὶν ἡ H4 πρὸς τὴν 426 : 10 
παράλληλος ἄρα ἐστὲν ἡ ΚΑ 

. τῇ HZ, dore καὶ τῇ ΓΒ. 

v. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΑ͂Ε Ζ“41Η ἀπὸ τοῦ O ση- 
μείου δύο διήχϑωσαν εὐϑεῖαι αἱ 40 ΘΕ, ἔστω δὲ ὡς τὸ 
ὑπὸ τῶν 2Θ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ AT ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΗ 15 
ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ OE ZH: ὅτι εὐθεῖα ἐστιν $ διὰ τῶν 
DI 4 Z. 

Ἤχϑω διὰ τοῦ O τῇ ΓΑ͂ παράλληλος ἡ ΚΑ xoi συμ- 
γτιπτέτω ταῖς 4 [44 κατὰ τὰ Καὶ Α' σημεῖα, xai διὰ τοῦ 
4A τῇ 44 παράλληλος ἤχϑω ἡ -4M, καὶ ἐκβεβλήσϑω 1320 
ΕΘ ἐπὶ τὸ M, διὰ δὲ τοῦ K τῇ .4B παράλληλος ἤχϑω ἡ 
ΚΝ, καὶ ἐχβεβλήσϑω ἡ 40 ini τὸ N. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς 
παραλλήλους γίνεται ὡς 7) 40 πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ AT 
πρὸς τὴν ΓΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν 40 ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ 
τῶν ΩΓ ON. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ 4“Γ BO- ἔστιν 35 
ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ 4Θ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΓ ΒΘ, οὕτως τὸ 
ὑπὸ I4 ΘΝ πρὸς τὸ ὑπὸ 4Γ ΒΘ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς 


ἐστὶν 
? M 
ἐστὶν 


ἡ Ζ 
ἡ 4 


1. x«l ὡς — πρὸς NH add. Co 8—10. xol ὡς ἄρα — πρὸς ^ 

τὴν .1Θ quater scripta sunt in A, bis in S, semel in V (item Bs) 

43. εἰ add. BS 44. διήχϑω À, corr. BS 46. 17. τὸ ὑπὸ GOEZH 
— τῶν ΓΑΖ A, distinx. ΒΒ 49. τὰ K.4 A, distinx. ΒΒ 22. ἔχβε- 
βλήσϑω Hu pro ἐχβληϑῆι 32. 23. τὰς παραλληλα (sine acc.) A, τὰ 
παράλληλα B, corr. S 24. 25. τῶι ὑπὸ τῶν :1T'OH A(BS), corr. Co 
in Lat. versione 25. τυχὸν] conf. supra ad p. 870, 99 27. ὑπὸ 
ΓΩ͂ΘΝ A, distinx. BS; item posthac in eodem lemmate ac perinde in 











LIBER VII. PROPOS. 486. 881 


lS — ξζη fy est B0 : ey — Cu : νη; ergo etiam Cu : νη — 09 : 3e. 
WV eissim est Lu : 09 τῷ vg: 9e. Sed propter parallelas 2 δὲ 
est, Cu: 09 — Dx : x9, itemque »p: 9e — ηλ : A9; ergo 
| eam [y : χϑ τὸ ηλ : À9; ergo recta xÀ parallela est rectae 

CQ, itaque etiam rectae fjy. 

X. In duas rectas Boe δαῃ a puncto 9 ducantur duae Prop. 

Fec(ae ὃ Je, et in his puncta y DL ia sumantur, ut sit 
03.8 : Óy- βϑ τῷ 39v. 066: 9e- Cn; dico rectam esse quae per 

7 e & transit. ον 
Ducatur per 2 rec- 
tae γα parallela xà, 
quae cum rectis δὰ of 
productis concurrat in 
punctis x À, et per ἃ 
rectae δὰ parallela du- 
catur ἀμ, ei produca- 
tur e9 ad u, per x 
autem rectae af) pa- 
rallela ducatur xv, et 
producatur à3 ad ». 





€ 


Iam quia propter parallelas 9x yo est 

09 : 9x — Oy : ya, itemque propter binas parallelas ya 

᾿ 3x et fa vx 

9x : ὃν — γα: yf, ex aequali igitur. est!) 

09 : 9v 2 0y : yf; 
ergo 09- yg — ày- 39v. Sed fiat proportio ad aliud rectangu- 
lum óy- 893; est igitur 

09 By : 0y- 89 — ὃγ 9v : 0y. 832, id est 

ΞΞ ϑν: βό. 


PROPOS. 136 (id est reciproca ad propos. 4129): Simson p. 408—414, 
Breton p. 218 adn. 226 sq., Chasles p. 75 sq. 90. 108 sqq. 122 sq. 124 sq., 
Baltzer Elemente 11 p. 373. 


4) Addita haec secundum Simsonum p. 409. 


proximis duobus quaternae litterae pierumque coniunctae comparent 
in A 


882 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΗΣ Z. 


OB. ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ O4 BI πρὸς τὸ ὑπὸ 4Γ BO, 
ὑπόχειται τὸ ὑπὸ OH ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ OE ZH, ὡς δὲ ἡ 
ON πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ͂, τουτέστιν à» παρ- 
αλλήλῳ 9?) ΗΘ πρὸς τὴν OM, τουτέστιν τὸ ὑπὸ OH ΖΕ 

^ πρὸς τὸ ὑπὸ OM ΖΕ: xoi ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ OH ΖΕ πρὸς δ 
τὸ ὑπὸ OE ZH, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗ ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ 
OM ΖΕ: ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ 0E ΖΗ τῷ ὑπὸ ΘΜ ZE: 
xai ὡς ἄρα 7) OM πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως 7; ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ. 
συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἔστιν ὡς ἡ ME πρὸς τὴν EH, οὕτως 
ἡ OE τιρὸς τὴν EZ. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ME πρὸς τὴν EH, οὕτως 10 
ἐστὶν 1) ΔῈ πρὸς τὴν E.4: καὶ ὡς ἄρα ἡ .1Ε πρὸς τὴν EA, 
οὕτως ἣ ΘΕ πρὸς τὴν EZ: παράλληλος ἄρα ἐστὶν $ 4Z — 
τῇ ΚΑ. ἀλλὰ καὶ ἡ I4: εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ͂Ζ, | 
ὅπερ: “- . 

Τὰ δὲ πτωπικὰ αὐτοῦ ὁμοίως τοῖς προγεγραμμένοις, 15 

. ὧν ἐστιν ἀναστρόφιον. 


205 ια΄. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, xai τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ 244A, 
καὶ διαχϑεῖσα ἡ 4E τῇ ΒΓ συμπιπτέτω κατὰ τὸ E oy- 
μεῖον" ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ AE ZH τιρὸς τὸ ὑπὸ EZ HA, 
οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ. 20 

| Ἤχϑω διὰ τοῦ Γ τῇ AÁE 

παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ ἐκβε- 

βλήσϑω ἢ 4B ἐπὶ τὸ Θ. ἐπεὶ 
οὖν ἐστιν ὡς ἧ ΓΑ͂ πρὸς τὴν 

AH, οὕτως / ΓΘ πρὸς τὴν. 

ZH, ὡς δὲ ἢ F4 πρὸς τὴν 

ΑΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ E4 πρὸς 

τὴν 4H, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΖΔ 

πρὸς τὴν 4H, οὕτως ἐστὶν ἡ 

ΘΓ πρὸς τὴν ZH: τὸ ἄρα ὑπὴ 0 

τῶν ΓΘ 4H ἴσον ἐστὲν τῷ ὑπὸ 

τῶν Ed ΖΗ. ἄλλο δέ τι τυ- 
χὸν τὸ ὑπὸ EZ H4: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ 4E ZH πρὸς 





4. ἡ ΗΘ Co pro ἡ ΝΘ 7. 8. τὸ ὑπὸ — καὶ et 8. ἄρα add. Co 


LIBER VII. PROPOS. 431. - 883 


Sed ex hypothesi est 09 - By : δγ. 89. — 99. Ce : 9e. Cm, est- 
que propter parallelas vx A8 
9v : βϑ x9 : 94, id est. propter parallelas yx Au 
zz n9 : Ju, id est | 
— ϑη L5: J9u-06; ergo etiam. 
9n. be : 96.Cy — 99.06 : 9u- Ce; itaque 
9e:0» τὸ Ju-Le; ergo eliam 
.9u : 96 τὸ ηζ : Ce. Componendo est 
με: 3e z δῃ : eL, et vicissim — 
R8 : 6n 2e 98: εζ. Sed propter parallelas Àu 
a» est 
H6 ; δὴ τῷ λὲ : €a ; ergo etiam 
λὲ: ea — 9e : e; | 
ergo parallelae sunt at et A9. sive Àx. Sed ex constructione 
etiam ya Àx parallelae sunt; ergo recta est quae per y « C 
transit, q. e. d. 


Casus huius lemmatis, quod est reciprocum ad lemma ΠῚ, 
similiter se habent ac supra (propos. 129 adnot. 1). 


XI. Sit triangulum offy, et rectae y parellela ad, et Prop. 


ducatur de, quae recías ay af! secet in 7? b ac cum fiy pro- 
ductá concurrat in puncto δ; dico esse eÓ.D» : eb. ηὃ — 
yB : gs- 

Ducatur per y rectae Óe parallela »9, et αβ producatur 
ad 9. lam quia propter pavrallelas y9: «6G est ya : am zz 
y9 : 5n, et propter. parallelas ἐγ ad est ya : αἡ — εὃ : δὴ, 
est igitur etiam εὃ : δὴ — y9:: Cy, itaque γϑ'. δὴ Ξε δὃ. Cy. 
Sed fiai proportio ad aliud rectangulum e&C- 50; est igitur 


PROPOS. 137: Simson p. 411 54., Breton p. 227, Chasles p. 75 Sq. 
89. 90. 114 sq. cet., idem Apercu historique p. 3& (p. 34 sq. versionis 
German.). 


48. ἀλλὰ χαὶ ἡ ΓΑ ABS, corr. Co in Lat. versione 413. 14. ἡ T AZO 
O A, corr: V (ἡ yot. ὅπερ ἔδεε B5S) 47. ια΄, sed id ante Ta δὲ 
σεκωτικὰ, add. BS 49. πρὸς τὸ ὑπὸ εἶ ηλ S cod. Co (recte EZ ΗΖ 
AB), item p. 884, ὃ 


581 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ 2. 


j 4 τὸ ὑπὸ 4H EZ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΘ 
ΔΉ πρὸς τὸ ὑπὸ 4H EZ, τουτέστιν 
ἡ ΓΘ πρὸς ΕΖ, τουτέστιν«ἡ ΓΒ 
πρὸς ΒΕ. ἔστιν οὖν ὡς τὸ ὑπὸ AE 
ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ EZ H4, οὕτως ἢ ὃ 
ΓΒ τιρὸς ΒΕ. τὰ δ᾽ αὐτὰ κἂν ἐπὶ 
τὰ ἕτερα μέρη ἀχϑῇ ἡ 444. παράλ- 
ληλος, καὶ ἀπὸ τοῦ 4] ἐκτὸς τοῦ Γ 
ἀχϑῇ ἡ 4E. | 
206 ιβ΄. ἀποδεδειγμένων νῦν τούτων ἔσται δεῖξαι ὅτε, ἐὰν 10 
παράλληλοι ὦσιν αἱ ΑΒ L4, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπίπτωσιν 
εὐϑεῖϊαί τινες at 44 42 ΒΓ ΒΖ, καὶ ἐπιζευχϑῶσιν αἱ ΕΖΔ 
ET, [δει] γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν H M K. 

Ἐπεὶ γὰρ τρίγωνον τὸ 4.412, καὶ τῇ AZ πταράλληλος 
ἡ AE, καὶ διῆχται ἣ ED συμπίπτουσα τῇ 4Z κατὰ τὸ D, 
διὰ τὸ προγεγραμμένον γίνεται ὡς ἡ 4Z πρὸς τὴν ΖΓ, 
οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂ ΘΕ. πάλιν ἐπεὶ 
τρίγωνόν ἐστιν τὸ ΓΒΖ, καὶ vij 4 παράλληλος ἧκται ἡ ΒΕ, 
καὶ διῆκτανι ἡ 4E συμπίπτουσα τῇ l'Z4 κατὰ τὸ 4, γί- 
νεται ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν Z4, οὕτως τὸ ὑπὸ 4E ΑΚ πρὸς 
τὸ ὑπὸ 4K 4E: ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται ὡς ἡ 4Z πρὸς τὴν 
ZT, οὕτως τὸ ὑπὸ 1Κ AE πρὸς τὸ ὑπὸ 4Ε ΑΚ. ἦν δὲ 
καὶ ὡς ἡ 42 πρὸς τὴν ZI, οὕτως τὸ ὑπὸ L'E ΗΘ πρὸς 
τὸ ὑπὸ ΓΗ OE- καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ HO πρὸς τὸ ὑπὸ 
ΓΗ OE, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ 4Κ AE πρὸς τὸ ὑπὸ AE ΚΑ 
[ἀνῆχται εἰς τὸ πρὸ ἑνός]. ἐπεὶ οὖν εἰς δύο εὐθείας τὰς ^ : 
ΓΙ, 4MO δύο εὐϑεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ET Ed , καὶ 
ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ LE HO πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂ ΘΕ, οὕτως τὸ 
ὑττὸ 4K ΕΑ πρὸς τὸ ὑπὸ 4E AK, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν i 
ϑιὰ τῶν H M Κ' τοῦτο γὰρ προδέδεικται. 3 





8. 9. àxróg ὡς ἐπὶ τὸ Γ διὰ τὴν εὐθεῖαν ABS, ἐχτὸς τοῦ Γ ὡς 27v 
τὸ E ἀχϑὴ ἡ 4E Co, in quibus ὡς ἐπὶ τὸ E del. Hu 40. ιβ ad à. 


Bs νῦν del. Bi, οὖν coni. Hu 43. ὅτι del. Hu (superius Ὅτε 
ante ἐὰν del. Ge) τῶν HMK A, distinx, BS 48. τῇ IZ xr eco- 
ἄλληλος coni. Hu 26. ἀνῆχται elg τὸ πρὸ ἑνός del. Hu (lemma. «le- 





cimum significavit interpolator) 26. 27. τὰς DM ABS, corr. Cc». ὧι 


LIBER VII. PROPOS. 138. 885 


δ. δὴ: ἐζτηδ ΞΕ θ᾽ δη : εζ. 90, id est 
: εἶ, id est propter parallelas y9 ζε 
- Be. 

Eadem ratione, si ad contrariam partem ducatur αὃ pa- 
rallela rectae 8y, et a ὃ extra y ducatur δὲ, eique parallela 
β9., demonstratur esse εδ' Dr : eb. mà — fy : ye. 

XII. Iam his demonstratis ostendendum erit, si parallelae FFOP- 
sint af yÓ, et in eas incidant quaedam rectae α at By BC, 
quarum αὃ By concurrant in u"), et a quovis rectae ef puncto 
inter α et B sumpto ducantur £y eÓ, quarum &y cum at con- 
currat in ἡ. el eÓ cum βζ in x, rectam esse quae per 9 αὶ x 


transit. 
Quoniam enim triangulum 


est δαζ, et rectae δζ parallela 
«e, et ducta est ey: cum OC pro- 
duciá concurrens in y, propter 
superius lemma XI fit ὁξζ : (y —- 
y£: n9 : yg: Je. Rursus quia est 
wiangulum γβξ, et rectae γᾷξ 
parallela eg, et ducta est εὖ 
cum recta γζδ concurrens in ὃ, 
fit yC : CÓ — δε. κα : Óx- Ae. E 
contrario igitur est 

dC : Cy — Óx-Àe : δε: xA. Sed erat etiam 

0b : ἔγ — γε ηϑ: yp: 986; ergo eliam 

ye: n9 : yy: d& τῷ Óx-Àe : 
Iam quia in duas rectas yuÀ juo duse rectae &y eÓ ductae 
suni, estque ye. m9 : yg- 9e — 0x. Àe : δὲ. xÀ, recta igitur 
est quae per ἢ & x iransit; hoc enim supra lemmate X de- 
monstratum est. — — | 


PROPOS. 438: Simson p. 443sq., Breton p. 228, Chasles p. 77. 90. 
4294 sq. 130, idem Apergeu historique p. 36 (p. 34 versionis German.), 
Baltzer Elemente 11 p. 380. 

*) Haec addita secundum Simsonum, reliqua a nobis; praeterea to- 
tam propositionem alia eaque explicatiore ratione enuntiat Simsonus. 








Lat. versione 28. πρὸς τὸ ὑπὸ ὁ ΤῈ OE ABS, corr. Co in Lat. ver- 
sione 98. 99. οὕτως τὸ ὑπὸ 4K 4.1 A, sed corr. pr. manus 
30. τῶν HMK A, distinx. BS 


207 


208 


886 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ Z. 


wq. AAÀà δὴ μὴ ἔστωσαν ci 4B Γ4 παράλληλοι, 
ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ν' ὅτι πάλιν εὐθεῖά ἐστιν 
ἡ διὰ τῶν H M K. 

Ἐπεὶ εἰς τρεῖς &- 
ϑείας τὰς MN AZ d 
ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου 
τοῦ I' δύο διηγμέναι 
εἰσὶν αἱ UE EA, γίνε- 
ται ὡς τὸ ὑπὸ IE ΗΘ 
πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂ OE,10 
οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΝ 
Z4 πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 
N4 ΓΖ. παλιν ἐπεὶ 
ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ 4 εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς BN 
BI' ΒΖ δύο εἰσὶν διηγμέναι αἵ AE AN, ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ 18 
NT Z4 πρὸς τὸ ὑπὸ NA ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ 4K Ε.1 πρὸς 
τὸ ὑπὸ 4E ΚΑΊ. ἀλλ᾽ ὡς τὸ ὑπὸ ND Z4 πρὸς τὸ ὑπὸ 
NA ΓΖ, οὕτως ἐδείχϑη τὸ ὑπὸ ΓΕ HO πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ 
OE: καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓῈ OH πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂ OE, 
οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΚ ΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ AE Καὶ [ἀπῆκ- 0 
ται εἰς ὃ καὶ ἐπὶ τῶν παραλλήλων]. διὰ δὴ τὸ προγε- 
γραμμένον εὐθεῖα ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η M K. 





ιδ΄, Ἔστω παράλληλος ἡ .4B τῇ UA, καὶ διήχϑωσαν 
ai .4E ΓΒ, καὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς BH τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς 
τὴν 4E πρὸς τὴν EL, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ 
ZB IH: ὅτι εὐθεῖα ἐστιν ἡ διὰ τῶν 4 Ζ A. 

Ἤχϑω διὰ μὲν τοῦ 4 τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ 470, xoi 
ἐχβεβλήσϑω ἡ 4 ini τὸ O, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ L4 παράλ- 
ληλος ἣ ΘΚ, καὶ ἐχβεβλήσϑω ἡ BI ἐπὶ τὸ Κα. ἐπεὶ οὖν 
ἐστιν ὡς ἡ 4Ε πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ ZH πρὸς 30 
τὸ ὑπὸ ΖΒ ΓΗ͂, ὡς δὲ ἡ 4E πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν 


«e 


1j ve ΖΘ πρὸς τὴν ΓΗ͂ xai τὸ ὑπὸ 40 ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ 


4. ιγ΄ add. ΒΒ 2. xarà τὸ H ABS, corr. Co 8. τῶν HMK 
A, distinx. BS, item vs. 22 7. 8. τοῦ K — «i FE NA ABS, corr. 
Co 9. 10. ὑπὸ ΓΕΗΘ πρὺς τὸ ὑπὸ ΓΗΘΕ A, distinx. BS, item vs. 





, 


' LIBER Vil. PROPOS. 439. 440. 887 


XII. At ne sint parallelae a8 γδ, sed convergant in Prop. 
puncto »; dico rursus rectam esse quae per ἢ μὲ x transit. 

Quoniam in tres rectas αν αζ αὖ ab eodem puncto y 
duae rectae ye yÓ ductae sunt, propter superius lemma III1) 
fit γε. 29 : yn. 9e τε yv. CÓ : vó- yC. Rursus quia ab eodem 
puncto ὃ in tres rectas βν y BL duae ductae sunt δὲ ὃν, 
propter idem lemma est 

yy - CÓ : v0. Cy τε Óx-&À : δε. κλ. Sed demonstratum est 
vy-LO : νδ΄. Cy — ye- 99 : yg: 96; ergo etiam. 
γε. 9. : yn: 9e τε Óx- ελ : δὲ. xÀ. 

Igitur propter superius lemma X?) recla est quae per y & x 

transit. 

XIV. Sint parallelae af γδ, et ducantur «e : yf, et punc- Prop 
tum ζ in £5 ita sumatur, ut sit de : ey — yfB- v6 : C8 - yn; 
ico rectam esse quae per « 6 ὃ transit. 

, Ducatur per δ rectae 9» parallela 
09, et producatur ae ad 2, et per 9 
rectae Óy parallela ducatur 9x, pro- 
ducaturque fy ad x. lam quia ex hy- 
pothesi es 

ὃ δὲ : ey — yB- m6 : ζβ. yn, et propter 

| parallelas δϑ' my est 

* δ' δὲ: ey — 09 : yr κε 09 BC: γη fL, 


PROPOS. 139: Simson p. 414 54ᾳ., Breton p. 228 sq., Chasles p. 77. 
94 cet. (ut ad propos. 138). 

4) Vide sppend. 

2) Litterae geometricae sic inter se respondent: 


lemm. X: Oo B AAHZE 
XII: € 9$ » y u À x d. 


PROPOS. 140, sive conversa 137: Simson p. 445sq., Breton p. 229 sq., 
Cbasles p. 77. 91. 149 sq. 











48. 19 42. 43. τῶν NAI'Z À, distinx. BS 20. 24. ἀπῆχται — 
παραλλήλων del. Hu 20. ἀνῆχται Ge 21. εἶσο xal ABS, forsitan 
εἷς τὸ δέκατον voluerit interpolator 23. ιδ΄ add. BS 294, ἐπὶ BS, 
ἔπε: A τῆς ZH AS cod. Co, τῆς nc B, corr. Co 26. τῶν AZ. 
A, distinx. BS 48. ἐχβληϑὴ A(B), ἐχβληϑήτω SV, corr. Ge 31. τὸ 
ὑπὸ ΒΓ ZH ABS, corr. Co 31. ἐστὶν del. Hu i 


888 ITAIIIIOY ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Z. 


τῶν ΓΗ ΒΖ, ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν BI ZH τῷ ὑπὸ 

40 BZ: ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς 7 ΓΒ πρὸς τὴν ΒΖ, ob- 

τως 7) 4 πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν Gc ἡ ΓΚ πρὸς τὴν HZ: 

καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΗ ἐστὶν ὡς $ ΚΓ 

πρὸς ZH, τουτέστιν ὡς 7 4Θ πρὸς ZH. ἀλλ᾽ ὡς ἡ KB5 
πρὸς BH ἐν παραλλήλῳ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΑ͂ πρὸς 4H καὶ 

ἡ 40 πρὸς ΖΗ. καὶ εἰσὶν παράλληλοι αἱ 40 ΖΗ: εὐ- 
ϑεῖα ἄρα ἐστὶν 7) διὰ τῶν Α' Z 4 σημείων. 

209 ιε΄, Τούτου προτεϑεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ .48 
τῇ L4, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐϑεῖαι αἵ 42 ZB10 
ΓῈ EA, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΒΓ HK: ὅτι εὐθεῖα ἐστιν 
ἡ διὰ τῶν 4 M A. 

Ἐπεζεύχϑω ἡ 4M καὶ ἐκβεβλήσϑω ini τὸ O. ἐπεὶ 
οὖν τριγώνου τοῦ ΒΓΖ [ἐχτὸς] ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ Β 
σημείου τῇ Γά παράλληλος ἧκται ἡ BE, καὶ διῆκται ἡ AE, 5 
γίνεται ὡς ἡ ΓΖ πρὸς Z4, οὕτως τὸ ὑπὸ 4Ε Καὶ πρὸς 
τὸ ὑπὸ ΕΑ KA. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ 4Ε ΚΙὝ πρὸς τὸ ὑπὸ AK 
ΔῈ, οὕτως ἐστὲν τὸ ὑπὸ DH ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓῈ HO 
(εἰς τρεῖς γὰρ εὐϑείας τὰς I4 4Θ ΗΚ δύο εἰσὶν διεηγ- 
μέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ E αἱ ΕΓ EZ): καὶ ὡς 
ἄρα ἡ 4Z πρὸς ΖΓ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓῈ HO πιρὸς τὸ 
ὑπὸ ΓΗ͂ ΘΕ. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν O M Ζ- διὰ 


8. πρὸς τὴν HZ add. Hu coll. vs. 5 (brevius scribi poterat οὕσως 
ἢ 410, τουτέστιν ἡ ΓΚ, πρὸς τὴν HZ) 4. xal ὅληι Α, corr. BS 
7. εὐϑειαι (sine acc.) A(B), corr. S 8. τῶν .AZ4l A3 ex τῶν AZ», 
distinx. BS — 9. :&' add. BS 44. ἐπεζεύχϑω Α, corr. BS 42. διὰ 
τῶν HMK A(BS), corr. Co 48. ἡ λμ S cod. Co (recte ἡ 21M ΑΒ) 
x«i add. Co ἐπὶ τὸ K ABS, corr. Co 44. ἐχτὸς del. Hu auctore 
Simsono 45. διῆκται ἡ 4B AB, διῆκται ἡ B9 S, ducitur ED Co, corr. 
Hu 46. πρὸς ΖΩ͂ Co (in Lat. versione) pro πρὸς Zr 47. 48. πρὸς 
τὸ ὑπὸ ε1Κ.18 A(BS), πρὸς τὸ ὑπὸ E.4 Καὶ, Co, corr. Hu 49. γὰρ 
add. Hu auctore Co τὰς I4440HK A, distinx. BS 99. x«i 
ἔστιν cel.] immo εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν 4 O 4 διὰ τὸ προγε- 
γραμμένον. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν O M 211 εὐθεῖα ἄρα x«l ἡ διὰ 
τῶν 4 M 24 (vel ὥσιε καὶ ἡ διὰ --- ἐστὶ» εὐϑεῖα) ϑιὰ τῶν HMK 
A(BS), corr. Hu (διὰ τῶν 4 M Θ Co) 





LIBER VII. PROPOS. 4414. 889 


€3V ipitur γβιηΐξ τ 09.80; itaque per proportionem est - 
yB : BC — 99 : xL, id est 
— yx: nb; ergo etiam tota ad totam 
xB : βὴ — yx : nb Ξε 09 : qt. 
inter parallelas. ag κϑ est xn: n8 — ϑὴ : a, ideoque 
Componendo 
κβ. βὴ τε ϑα: αη. Sed erat x8 : 8y 2 09:05; ergo 
3a : an — 03 : Dy. 
Et sunt parallelae 039 05; recta igitur est quae per a ζ ὃ 
transit 1). : 
᾿ XV. Hoc demonstrato sint parallelae ag 7d, inque eas Prop. 
incidant rectae αζ L8 ye εὖ, et iungantur fly vx; dico rec- ἢ 
tam esse ? quae per « μ ὃ transit?). 

Iungatur óp producaturque 
ad 9: punctum concursüs cum ye. 
lam quia a vertice B trianguli 
βγζ rectae γδ parallela ducta est 
Be, et inter parallelas ducta óe, 
propter lemma XI fit 

yb : CO — δε. xà : ελ. xà. 

Sed, quia in tres rectas yÀ δϑ 
93x (id est uy uy u3) ab eodem 
puncto e ductae sunt ey δὅ, 
propter lemma, III est 

| Qe κα : &À χῦ — yp. 36 : ye: n9.) ; 
ergo etiam 

db : Dy — γε n9 : yn 9e; | 
ergo propter superius lemma recia est quae per α 9 ὃ transit. 





4) Conf. supra p. 874 adnot. *. 

PROPOS. 4441: Simson p. 416 sq., Breton p. 230, Chasles p. 77. 
94 sq. 144, idem Apergu historique p. 36 (p. 34 versionis German.). 

2) Explicatius Simson p. 416: "sit «8 parallela rectae yó, et a 
punctis «  inflectantur ad yd rectae αζ 80; a punctis vero y δ᾽ ad 
eg inflectantur ye δὲ, sitque ἡ intersectio ipsarum «a£ ye, et x inter- 
sectio reliquarum 82 δὲ, et ducatur gy, quae occurrat iunctae yx inu; 
erunt « gu δ puncta in recta linea". 

, *) Vide append. 
Pappus Il. 91 


LIBER VII. PROPOS. 4142. 891 


Et ex consiructione recta est quae per  μ ὃ transit; ergo 
etiam recta est quae per o μ Ó transit. 


XVI. In duas rectas of «y ab eodem puncto ὃ ducan- 
tur duae rectae δβ δὲ, et in his sumantur duo puncta 9 v, 
sit autem δη. CO : δὲ. ηζ — βϑ.γδ: 88. y9; dico rectam esse 
quae per o ἢ 3 transit. 

« Ducatur !) per η rectae βὸ pa- 
rallela x4. lam quia est en- CÓ : 
δὲ. ηζ — βϑ.γδ: 80. y9, ac per 
for mulam compositae proportionis 

ep: δ me δῪ)} — χη yd 


— — € —  — .- 9 ὠ"- 











itemque 
eris — E 2A ergo etiam.est 
Sed est 
xp o0 695. rao xp go ,γδ β8 ὃγ 
βδ 7 Bs ga? 89 88 -À B yw 


Dividendo tollatur communis proportio 89 : 8à; relinquitur 
igitur | 


Et rursus tollatur communis proportio ὃγ : ηλ; relinquitur 
igitur xn : 89 — nA: y9. Et vicissim est xp : ηλ — B9 : 9y, 


PROPOS. 442 (id est propos. 186 aliter demonstrata) : Simson p. 409 
—441, Breton p. 230 sq., Chasles p. 76. 92. 442 sq. 150 cet., Baltzer 
Elemente 11 p. 378. 


4) Rursus ex plurimis, quae fingi possunt figuris, unam tantum 
adscripsimus; duas exhibet codex, scilice, hanc ipsam et alteram cum 
punctorum in basi dispositione 8 d y 9, quae cum ad lemma XVII 
valeat, repetita est a nobis in appendice ad propos. 143; tertiam addit 
Commandinus cum dispositione 8 9 d y; quarta supra est in lemm. X, 
quod litteris convenienter mutatis dat seriem 3 8 y δ. Conf. etiam 
infra propos. 144 cum append. 


KH πρὸς B4 cet. scripseris) 48. πρὸς ΘΖ καὶ τοῦ τῆς AT. ABS, 
corr. Co 33. χοινὸς BS super vs., x^ ABS, item vs. 28 24. ὁ τῆς 
GB AB, corr. S 

91* 


Prop. 
149 


892 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ Z. 


ΘΓ, καὶ εἰσὶν αἱ Κα ΒΓ παράλληλοι" εὐθεῖα ἄρα ἐστ €" 
ἡ διὰ τῶ .4 H O σημείων. ' 
211 ij. AMa δὴ μὴ ἔστω παράλληλος ἡ ἡ 4 τῇ LA, de? 


συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν. 


Ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ 

. αὐτοῦ σημείου τοῦ f 

δἰς τρεῖς εὐϑείας τὰς 

BN BI ΒΖ δύο &- 

ϑεῖαι διηγμέναι εἰσὶν 

αἱ 4E AN, ἔστιν og 

τὸ ὑπὸ N4 ΓΖ πρὸς 

τὸ ὑπὸ NI^ AZ, ob- 

τως τὸ ὑπὸ ZE Κα 

πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ KA. 

ὡς δὲ τὸ ὑπὸ E4di5! 
ΚΑ πρὸς τὸ ὑπὸ EA K., οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ EO 
ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ OH (πάλιν γὰρ εἰς τρεῖς τὰς ΓΑ 
40 ΗΚ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε. δύο ἠγμέναε sioiv 
αἱ ET ἘΔ) ' καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ EO ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ 
ΘΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ NA ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ NI Z4- διὰ jn 
τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖα ἐστιν ἡ διὰ τῶν 44 4: καὶ ἡ 
διὰ τῶν Α M 4 ἄρα εὐθεῖα ἐστιν. 

212 wj. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχϑω 
ἡ .44, καὶ διήχϑωσαν ot 4E ΖΗ, ἔστω δὲ ὡς τὸ ἀπὸ EB 
πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ BH πρὸς τὴν ΗΓ ὅτι, ἐὰν ἢ 
ἐπιζευχϑῇῆ ἡ B4, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Θ Καὶ Γ. 

Ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οἵὕ- 
τως ἡ BH πρὸς ΗΓ, κοινὸς [ἄρα] προσκείσϑω ὃ τῆς LE 
πρὸς EB λόγος ὃ αὐτὸς ὧν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ 





3. τῶν 4Η6Θ A, distinx. BS 3. ιζ΄ BS, IH A! in marg. - 
7. 8. τὰς βη B*S cod. Co ) recte τὰς BN A) 46. 47. τὸ ὑπὸ 59 yy 
S cod..Co (recte τὸ ὑπὸ ΕΘ TH AB) 47. πρὸς τὸ ὑπὸ EP ΟΝ ABS, 
corr. Co, item vs. 49. 20 49. ἄρα τὸ ὑπὸ &9 yv S cod. Co (recte AB, 
ut supra) 20. τὸ ὑπὸ Nzf ΓΖ πρὸς bis scripta in A 4Z (ante dia) 
Co δὴ add. Ge 21. 94. τῶν 40.1 — τῶν 4M ^, distinx. BS 
48. η΄ add. BS — 24. ὡς τὰ ἀπὸ AB, corr. S — 26; τῶν OKT A, distinx. 
BS, item p. 894, 13 28. xowóv AB!, corr. Β5 ἄρα del. Hu 














LIBER VII. PROPOS. 448. 444. 893 


suntque parallelae x4 fy; recta igitur est quae per puncta 
« ἢ 9 transit !). : 
| XVH. At ne sint parallelae af! »Ó, sed convergant in Prop. 
puncto » (ceteris ut in lemmate XV manentibus). | "3 
. Jam quia ab eodem puncto δ᾽ in tres rectas B» βγ βζ 
duae rectae δὲ. ὃν ductae sunt, propter lemma Ill est 
y0- yb : vy- 0b — δὲ. κ : ελΔ.. χῦ ἢ. Sed rursus, quia 
in tres rectas yÀ 039 nx (id est nÀ uà 
ux) ab eodem puncto 8 duae ey εὖ 
ductae sunt, est ' 
€ - xÀ : &À-xÓ 2 6D yp : ey. 95") ; ergo etiam - 
&€9 - yn : ey. Oy — và - yb : vy- OC. 
lam propter superius lemma recta est quae per a 2 ὃ transit *") ; 
ergo eliam recta est quae per o μ ὃ transit. 
XVIII. Sit wiangulum αβγ, et rectae y parallela duca- Prop. 
tur «à, et ducatur utcunque δὲ, quae rectis af ay occurrat b 
in. 9 6; sit autem in By punctum ἢ, quod faciat 28? : ey - yg 


oa fm : γ, et iungatur Cn, cui occurrat iuncta β in x***); 


dico rectam esse quae per 2 x » transit. 
Quoniam est e8? : 


ey: yB — βη : vy, utra- 
que proportio multipli- 


cetur per vel po- 


yt 
eg? 
. tius, quod ad idem re- 


; y : Y8 , 
dit, per P NE est 








7 igitur 


1) Demonstrationem sic fere explet Simson p. 414: Quoniam est 
t1): λ τὸ B9 : 9y, componendo erit χὰ : λὴ — By: y8. Sed est αλ: Àx 
3 αν: yf; igitur ex aequali «4 : 4r - «y : y9. Et parallelae sunt λη y3; 
ergo (propter lemma p. 871 adnot. *) in recta linea sunt « ἡ 9 puncta. 

PROPOS. 443: Simson p. 417 sq., Breton p. 234 sq., Chasles p. 77. 
92. 144, idem Apercu historique p. 36 (p. 34 versionis German.). 

*) Vide casum secundum in append. ad propos. 139. 

** Vide append. | 

PROPOS. 144: Simson p. 426 sq., Breton p. 232 sq., Chasles p. 79. 

93 Sq. 448 sq. 


***) Sic auctore Simsono enuntiationem distinctiorem reddidimus. 





LIBER VII. PROPOS. 445. 146. 895 





2 (m εγεγβ. é y t jt 
3. Ἐν Cay qpgys 4 089 7 —m d Tab 
Sed propter superius lemma X7 est 
β  δξ'ϑὲ Bu:ty δζξ.ϑε 
By δε.ζϑ᾽ -y:tB δε. ζ9᾽ 
Sed in duas reclas x xL ab eodem puncto & ductae sunt effm 
εζδ, οἱ in his sumpta puncta y 3, quae faciant (ut modo de- 
monsiratum est) &y- Bn : e8 - my — e9- CO : εὃ. C9 ; ergo prop- 
ter ea quae inter casus reciprocorum demonstrata sunt recta 
est quae per 2 x γ trausit!). 
XIX. In tres rectas af oy αὃ a quodam puncto & duae Prop. 
ducantur εζ sg, sitque εζ : Dy — 3e: 99; dico esse etiam 


eB : By — εὃ : óy. 








ergo etiam 


Ducatur per y rectae ge pa- 
rallela x4. lam quia est 
e : ζη τε 69 : 99, et prop- 
ter parallelas g& xr 
εξ : Dp — εβ : κη, et propter 
parallelas ηλ δὲ 
€9 : ϑὴ — £Ó : ηλ, est etiam 
ef) : xn — εὃ : ηλ, et vicissim 
ef : εὃ — xn : ηλ. 
Sed propter parallelas xÀ 80 est xn : ηλ 2 fly : y; ergo 
— €] : εὃ — fy : yà, el vicissim 
eB : By — εὃ: óy. 
Aldi autem casus similiter demonstrantur. 
XX. Sint duo triangula oj» Qe aequalibus angulis « ὃ; PPP: 
dico esse fa.ay : δ. 0b — Δ ofly : A δεξ. 


& 





4) Vide append. 
. PROPOS. 145: Simson p. 513 sq., Breton p. 233, Chasles p. 77. 93. 
240 sq. 277. 820. 
PROPOS. 446: Simson p. 515 sq., Breton p. 288 sq., Chasles p. 77. 
93. 247. 295. 307. 


add. BS 418. 791 AB, corr. S 214. ἐστὶν del. Hu. 29. x' add. 
BS .4EZ] E puncto notatum in A 29. 30. τὰς 471 À, distinx. 
BS 81. πρὸς τὸ ΕΖ4Ζ ABS, corr. V 


896 . ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHZ Z. 


"Hy9woav χάϑετοι o BH. EO. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν 257 
μὲν (4 γωνία τῇ 4, $ δὲ H τῇ Θ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ AP? 





πρὸς τὴν BH, οὕτως ἡ 4E πρὸς τὴν EO. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ 
.48Β πρὸς τὴν BH, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑ͂Γ' πρὸς τὸ ὑπὸ 
BH AT, ὡς δὲ ἡ AE πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ δ 
EA4Z πρὸς τὸ ὑπὸ EO 4Ζ: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ BAT 
πρὸς τὸ ὑπὸ BH AT, οὕτως τὸ ὑπὸ Ε4Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ 
EO AZ. καὶ ἐναλλάξ. ἀλλ᾽ ὡς τὸ ὑπὸ BH ΑΓ πρὸς τὸ 
ὑπὸ EO AZ, οὗτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ 48ΕΖ 
τρίγωνον (ἑκατέρα γὰρ τῶν BH ΕΘ κἀϑετός ἐστιν ἑκατέρου 10 
τῶν εἰρημένων τριγώνων)" καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΑ͂Γ' πρὸς 
τὸ ὑπὸ Ε42, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ 48Ζ 
"εἴγωνον. 

215 α΄. Ἔστωσαν δὴ αἱ A 4 δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι" ὅτι πά- 
λιν γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑ͂Γ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε4Ζ, οὕτως τὸ 1Ὁ 
ABT τρίγωνον πρὸς τὸ 4ΕΖ τρίγωνον. 

Ἐχβεβλήσϑω ἡ ΒΑ, xoi χείσϑω τῇ ΒΑ͂ ἴση ἡ 4Η, 
καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΓΗ͂. ἐπεὶ οὖν αἵ 4 A γωνίαι δυσὲν ὁρ- 
ϑαῖς ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἵ ὑπὸ ΒΑΓ ΓΑ γωνίαι δυ- 
civ ὀρϑαῖς, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑ͂Η γωνία τῇ 4. ἔστιν 20 
οὖν ὡς τὸ ὑπὸ Η“Γ πρὸς τὸ ὑπὸ E4dZ, οὕτως τὸ ΑῊΓ 
τρίγωνον πρὸς τὸ 4Ε2Ζ τρίγωνον. ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν H.4 
τῇ 48, τὸ δὲ ΗΑ͂Γ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ" ἔστιν 
ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ BAT πρὸς τὸ ὑπὸ EA4Z, οὕτως τὸ. ΒΓ 
τρίγωνον πρὸς τὸ 4ΕΖ τρίγωνον. 25 

216 p. Εὐθεῖα ἡ 4B, xoi ἐπ᾽ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ 
4, ἔστω δὲ τὸ δὶς ὑπὸ 48 L'A ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΒ" ὅτι καὶ 
τὸ ἀπὸ 414 ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν .4Γ 48 τετραγώνοις. 


LIBER VII. PROPOS. 147. 148. 897 


Ducantur perpendiculares 8» εϑ. lam quia est /, α — 
L 9, et 4 η — L 9, est igitur o : βη — δὲ: c9. Sed est 

ef ς σβ᾽ 7 ὦ δες δε: δὲ. δὶ igitur 

βη Puy 2 εϑ. i9. 0D" 5 , 

αβιαγ —. £00 ies, UPC 9Y (.βὴη" ey 

βηταγ 7 i9. et vicissim 5 7. — gp 
Sed quia in triangulis αβγ δὲζ perpendiculares sunt βη &9, 
el bases αγ Ob, est 

8"n:ey Δαβγ͵ 8«:ey Δαβγ 

εθ. δὲ As! εὖ. δὲ Δ Oe 

ΧΧΙ. lam sint anguli α -- ὃ duobus rectis nequales; Prop. 


dico rursus esse fa. ay : εδ' 05 — A affy : A δεζ. 


A^ 


/ ye S 














ergo etiam 


Producatur ge, fiatque αἡ — fo, et iungatur yy. lam 
quia anguli α 4- ὃ duobus rectis aequales sunt, itemque an- 
guli βαγ 4- yan, est igitur 4 yay — ( δ. Ergo propter su- 
perius lemma est ga. ay : εὃ. ὃζ — A any : A Oct. Sed est 
y« — af, et A yay — Aafy (elem. 6, 1); ergo est fa ay : 

£0 - 0b z ἃ αβγ : Δ δεζ. 

XXII. δὲ recta af, in eaque duo puncta y δ, sitque Prop. 

9 αβ΄. γδ — yf^; dico esse etiam αδΖ — ay? 4- δβ2. "8 
" PROPOS. 441: Simson p. 516 84., Breton p. 234 sq., Chasles p. 77. 


98 sq. 295. 
PROPOS. 148: Simson p. 432 sq., Breton p. 235, Chasles p. 79. 94. 328. 


4. αἱ ΒΗ ΗΘ ABS, corr. V 3. τὴν BE οὕτως ABS, corr. Co 

7. 8. ὑπὸ EGOAZ καὶ À, distinx. BS 40. ἑκαστέρα A, corr. BS 
44. x«' add. BS αἱ /47í A, distinx. BS, item vs. 38 47. ἐχβεβλή- 
q9« Hw pro ἐκβληϑῆ ἴση ἡ 48 AB, corr. S 49. αἱ ὑπὰ ΒΑΓ 

ΤΆΗ γωνία Α, 1 --- γωνία B, corr.S 80. post ὀρϑαῖς add. ἔσαε Hu 

γωνίαι τῆι 4 Α, corr. BS 48. τῶι 4ΘΓ τριγώνων ABS, corr. Co 

46. χβ' add. BS 46. 37. τὰ L4 οἱ 48. τῶν 4Γ4Ω8ΒΑ, distinx. BS —. 











LIBER VII. PROPOS. 449. 899 
« ὃ 8 Quoniam enim est 


208.0 — yff?, commune subtrahatur 280-dy; restat 
igitur | 
4 αὃ. ὃγ Ξε yO? -- 280. 0y -- 0p? — 280. 0y 
- yÓ? 4- 0^. Commune subtrahatur yó?; re- 
stat igitur, quia est 
ᾷαδ. ὃγ — (ay 4- yà) ὃγ 
Ξ- 9αγ:γὸ -4- 2502, 
Qay-yÓ 4- yó? — à0f?. Commune addatur ay?; est 
igitur | 
ay? 4- 2ay- yÓ -- yO? ay? 4- 9f, id. est 
a0? — ay? - 0f. | 
XXIII. Sit a8. 8y — 8à?; dico haec Vria fieri, primum Prop. 
(αὃ -- δὴ) 8d — αὃ. ὃγ, tum (ad -- ày) By — 0y?, denique Νὰ 
(αὃ -- 0y) Ba — αὃ3. | 
Quoniam enim est 
a —* B 4$ αβ.βγ — βδ5, per propor- 
tionem fit 
ag : βὸ — βὸ : By, et tota ad totam: (elem. 5, 12) 
«Ó : Óy — βὸ : fy, et e contrario 
yÓ : δα — yf : BÓ, et componendo 
αὃ 4- Óy : δα Ξε γ : Off, itaque (αὃ -- y) BÓ — αδ. ὃγ. 
Rursus, quia, μὲ statim demonstravimus, est 
αὃ : ὃγ — Off : By, componendo fit 
αὃ 4- ὃγ : ὃγ — Óy : yf, itaque (ad 4- δγ) By — óy?.- 
Rursus, quia ex hypothesi est 
of : 80 — 80 : By, el tota ad totam 
αὃ : ὃγ — αβ : BÓ, e contrário fit 
JO : da τε Óf : βα, et componendo 
γὸ - δα : δὰ — δα : af, itaque (αὃ -- óy) Ba τεῷ od, 


PROPOS. 149: Simson p. 483 sq., Breton p. 235 sq., Chasles p. 79 sq. 
94, 240. 245. 289. 


A44 4Γ et 22. 33. τῆς 44 4D Co. 985. ἡ 44A Hu, ἡ. T4 44A A(B), 
ἡ yd δα S Co $6. ἄρα ὑπὸ Ge auctore Co pro ἄρα ἀπὸ 37. τῆς 
44 47 Co 


218 


219 


900 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ Z. 


x9. Εὐθεῖα ἡ 4B, xai δύο σημεῖα và Γ 4, xai ἔστω 
τὸ ἀπὸ L4 τετράγωνον ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ 4T 438 ὅτι xoi 
τὸ ἀπὸ 4418 τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν 44 ΓΒ 
τετραγώνοις. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐσεὶν τῷ δὶς ὑπὸ AT 48," 
τὸ dpa δὶς ὑπὸ ΑΓΒ toov ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς D4 καὶ τῷ 
δὶς ὑπὸ τῶν 4“3Γ4. κοινὸν προσχείσϑω τὸ ἀπὸ ΑΓ΄ τὸ 
ἄρα δὶς ὑπὸ 4ΤΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 
«44. κοινὸν προσκείσϑω τὸ ἀπὸ ΒΓ' ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ 
4B τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν 44 ΓῈ τετρα- 10 
γώνοις. 

χε. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς B4: 
ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ τῆς τῶν 424 4Γ ὑπεροχῆς 
καὶ τῆς B4 ἴσον τῷ ὑπὸ MAL, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν 44 
AT. ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς 4T τετραγώνῳ, 15 
τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν 44 4Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς B.4 ἴσον 
τῷ ἀπὸ τῆς 44 τετραγώνῳ. 

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ AB πρὸς τὴν BA, οὕτως ἡ B4 
πρὸς τὴν ΒΓ, λοιττὴ πρὸς λοιπτὴν καὶ διελόντι ἐστὶν ἄρα 
ὡς ἡ τῶν 444 4Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν 4Γ, οὕτως ἡ 24420 
πρὸς τὴν 4B: τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν 444 AD ὑπεροχῆς καὶ 
τῆς 4B ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν 44 AT. πάλιν ἐπεὶ λοιπὴ 
ἢ 444 πρὸς λοιπὴν τὴν AT. ἐστὶν ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν ΒΓ, 
διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ τῶν 44 AD ὑπεροχὴ πρὸς τὴν AT, 
οὕτως ἡ 4Γ πρὸς τὴν DB: τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν 44d 4Γ5 
ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς 4T τετρα- 
γώνῳ. πάλιν ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ .44 πρὸς τὴν 4I, οὕτως 


4. χδ' add. BS τὰ ΓΖ A, distinx. ΒΒ 484. dic ὑπὸ “ΓΒ διότι 
ABS, corr. Co — 8. ἀπὸ τῶν 424ΓΒ Δ, distinx. ΒΞ 5. τῶε δὲς ὑπὸ 
ALAB A(BS), corr. Co 6. τὸ ἄρα dic ὑπὸ .4IB add. Co 10. ἐστὶ 
ASBS 42. χε’ add. BS 48. roía BS, TA 44—16. τὸ δὲ ὑπὸ 
τῆς τῶν 44Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς B4 ἴσον τῶι ἀπὸ τῆς AT " τετραγώνωι 





τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν 4.24 ΑΓ ABS, corr. Co 18. 49. ἡ ΒΖ πρὸς τὴν 
ΔΓ ABS, corr. Co 4149. λοιπηι πρὸς A, corr. ΒΒ ἄρα Hu pro οὖν 
22. τῷ) τῶν Α, corr. BS. ἐπεὶ λοιπηι (sine acc.) A, corr. BS 


38, τὴν (ante 4T) add. ΒΞ 324. ἡ τῶν ΑΔΓ ABS, corr. Co 


LIBER VII. PROPOS. 450. 451. 901 


' XXIV. Sit recta og et in ea duo puncta y ὃ, sitque Prop. 
79? — 9ay.0f; dico esse off?.— a0? -- yff?. , uU 

Quoniam enim est 
γὸ τὸ. ἃ αγ' ὅβ, fit igitur 


7. ^ 44 B (communi addito 
| 2 ay γὸὶ) 

2 ay-yÀ -- γὰ — 9ay-yf. Commune addatur ay?; est 
igitur | 


cy? 4- 9αγ.γὸ - y9? 2 9ay-yB - ay τὰ est 
c0? — 2ay-yB -- ay?. Commune addatur 78?; est igitur 
a0? 4- yf? — ay? 4- 2ay. Lis EE 
-- aff. 
XXV. Sit ag. βγΚ — 80?; dico haec tria fieri, primum ProP- 
(ad — δγ) 80 — a. ὃγ, tum (αὃ — δγ) βγ — ày!, denique ' 
(ἀὃ — Oy) Ba 2 αὖ, vel, si sit αὖ « ὃγ, primum fieri 
(δγ — aà) 80 — ad. dy cet. 1). | 
: Quoniam enim propor- 
- $84  ,» 8 Hoe fadaes . — . | 
E af : Bà τε fà: βγ, per 
y — ὃ - B subtractionem 
| proportionis fit 
ad : ὃγ — af : βὸ, et dirimendo 
{πὸ a iiy m ad: βὸ; ergo {56 — τὴν 89 τα αδ. ὃγ. 
Rursus quia M subtractionem proportionis (vide supra; est 
aO : ὃγ — βδ : fy, dirimendo fit 


ὃ — ὃ 
ἫΝ — MAE ὃγ - ὃγ : gy; ergo m o MA By — óy?. 


.Rursus quia, ut supra demonstravimus, est 
αὃ : ὃγ — af : (i0, fit e conwario 


PROPOS. 150: Simson p. 434, Breton p. 236, Chasles p. 79. 94. 323 sq. 
^. PROPOS. 151: Simson p. 435 sq., Breton p. 236 sq., Chasles p. 79 sq. 
94. 240 sq. 289. ' 
1) Hunc casum eique convenientem figuram recte addidit Simsonus; 


nam Graeca ἡ τῶν αὖ óy ὑπεροχή utrumque et «d — δγ et dy — αὖ 
significant. 


220 


221. 


902 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ἡ 4B πρὸς τὴν B4, ἀνάπαλιν καὶ διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ 
τῶν Α44 4Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν 4Α͂, οὕτως ἡ 4.44 πρὸς 
τὴν 4’ τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν 244 AT ὑπεροχῆς καὶ τῆς 
AB ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς .44' τετραγώνῳ. 

xc. Ἔστω ὡς 7) 4B πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ 4145 
πρὸς τὸ ἀπὸ 4Γ" ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐσεὶν τῷ 
ἀπὸ τῆς Bá τετραγώνῳ. a 

Κείσϑω τῇ D. ἴση ἡ AE: τὸ ἄρα ὑπὸ EAT μετὰ 
τοῦ ἀπὸ 114, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΓΖῈΕ, ἴσον τῷ ἀπτὸ 444. 
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ 4414 10 
πρὸς τὸ ἀπὸ ZI, διελόντι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, 
τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ EAT πρὸς τὸ ὑπὸ E.4 ΒΓ, οὕτως 
τὸ ὑπὸ E.4TI πρὸς τὸ ὑπὸ DAE: ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ 
AE ΒΓ τῷ ὑπὸ LAE. ἀνάλογον καὶ διελόντι ἐστὲν ὡς ἡ 
444 ngóg τὴν 4E, τουτέστιν πρὸς τὴν AT, οὕτως ἡ 48 15 
πρὸς τὴν BI' καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ .41 πρὸς λοιπὴν τὴν Β΄ 
ἐστὶν ὡς ἡ B4 πρὸς τὴν ΒΓ τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν 
τῷ ἀπὸ τῆς B4 τετραγώνῳ. 
xt. Ἔστω δὲ πάλιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως 
τὸ ἀπὸ «44 τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ AT τετράγωνον " ὅτι 30 
τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς B4 τετραγώνῳ. 

Κείσϑω γὰρ ὁμοίως τῇ Γά ἴση ἡ 4E: τὸ ἄρα ὑπὸ 
IAE μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖΩ͂, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ EAT, ἴσον τῷ 
ἀπὸ .44΄. καὶ γίνεται κατὰ διαίρεσιν ὡς ἡ 4T πρὸς τὴν ΓΒ, 
τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ EAT πρὸς τὸ ὑπὸ EA ΓΒ, οὕτως τὸ ὑστὸ 25 
DI.AE πρὸς τὸ ὑπὸ EAT ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ 4Ε ΓΒ 
τῷ ὑπὸ ΕΖΙΓ. ἀνάλογον καὶ συνθέντι ἐστὶν ὡς ἡ 444 πρὸς 
τὴν AE, τουτέστιν πρὸς τὴν 4Γ, οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν 
ΒΓ" καὶ ὅλη ἄρα ἡ 4B πρὸς ὅλην τὴν BA ἐστὶν ὡς ἡ BA 
πρὸς τὴν ΒΓ’ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 30 
τῆς B4 τετραγώνῳ. 


9. τῶν ΑΔΓ A, distinx, BS 5. xg add. BS 9. τοῦ ὑπὸ 
ΓΖΑῈ Co pro τὸ ὑπὸ AE 44. ὑπὸ EA ΒΓῚ ὑπὸ EA 8E A, ὑπὸ 
&« 9y B, corr. S 148. 44. ὑπὸ AEBT A, distinx. ΒΒ 14. ἀνάλογον 
Co pro ἀναπάλιν, item vs. 27 41. πρὸς τὴν ΒΓ Co pro πρὸς τὴν 
AT 48. ἀπὸ τῆς ΒΑ AB, corr. 8 49. χζ' add. BS 31. log 








΄.- 


LIBER VII. PROPOS. 4589. 453. 903 


ὃγ : αὃ -- BÀ : ap, et dirimendo 
| δ᾽ τῶν. αὃ — aó : af; ergo 5 - ΚΣ -- αδ, 


"XXVI. Sit afl : By — a0? : 0y?; dico esse αὐ. By — gaz. Prop. 
Ponatur δὲ — yó; 
a ——» B ὃ ——1 est igitur propter elem. 
2, 6 
ἀξ. αγ -- yÓ? τὸ αὖ. Quoniam igitur est of : fy — 
«à? : ὅγ2, dirimendo fit 
αβ — gy : By — aà? — ày? : 0y?, sive 
Αγ: By — ae-ay : 0y?, id est | 
ἀξ. Gy : Q8: y — a&-ay : 0y?; est igitur - 
αε.βγ Ξε 0y?, id est — yà- de. Per proportionem est 
Q8 : δ — yÓ : fy, et dirimendo 
a0 : δὲ — βὸ : By, id est 
αὃ : ὃγ — βὃ : By; ergo per subtractionem proportionis 
aj: βὸ τε B0 : By, itaque ag βγ — 807. 
XXVII. Sit rursus af : βγ Ξε o? : 0y?; dico esse aff. By Prop. 
— goa. 153 
Similiter enim ponatur 
A ὁ y g δὲ τε γδ; est igitur propter 
elem. 2, 6 
αγ. αε 4- 0? — αὖξ, Et, quia est ag : By τε a3? : óy?, 
| dirimendo fit 
cy : By — oy. ae : 0y?, id est 
cy - G6 : a6 By — ay-a& : Óy?; est igitur 
a£:fy — ὃγ3, id est — γδ- 0e. Per proportionem est 
αξ : δὸ — γδ.: By, et componendo 
αὃ : εὃ — βὸ : By, id est 
αὃ : ὃγ — βὸὃ : By; ergo tota ad totam (elem. 5, 42) 
ag : βὸ — BÓ : By, itaque ag. fy — βὸ3. 
PROPOS. 452: Simson p. 517 54., Breton p. 237 sq., Chasles p. 79 sq. 
94. 305. 
PROPOS. 153: Simson p. 518, Breton p. 238, Chasles p. 79 sq. 95. 
468. 305. 








A, corr. BS 22. της rA lon AB!, corr. ΒΘ , 23. τοῦ (ante ὑπὸ EzfI) 
Hw pro τὸ ὑπὸ EAT] litteras 4T in rasura exhibet A post ἴσον 
add. ἐστὶ S — 325. τὸ ὑπὸ ΕΑΓ — οὕτως add. Co 


904 : ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ Ζ. 


222 χη. Κύκλου τοῦ 48Γ ἐφαπτέσϑωσαν et 44 IT, καὶ 
ἐπεζεύχϑω ἡ ΑΓ, καὶ διήχϑω τυχοῦσα ἡ 4B: ὅτε γίνεται 
ὡς ἡ ΒΖ πρὸς τὴν AE, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ. 

Ἐπεὶ γὰρ io» 
ἐστὶν ἢ “44 τῇ 
AT, τὸ ἄρα ὑπὸ 
“ΖΓ μετὰ τοῦ 
ἀπὸ Z4 ico» ἐ- 
01i» τῷ ἀστὸ 4.1. 
ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ϊ0 
AZT ἴσον ἐστὶν ͵ 

γ | εῷ ὑπὸ BZE, τὸ 
20 δὲ ἀπὸ 4.4 ἴσον 
τῷ ὑπὸ BAE: τὸ ἄρα ὑπὸ BZE μετὰ τοῦ ἀπὸ AZ ἴσον 

ἐστὶν τῷ ὑπὸ BAE. ἐὰν δὲ ἢ τοῦτο, γίνεται ὡς ἢ ΒΖ 15 

πρὸς τὴν 4E, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ. 

223 x0. Ὑμήματος δοϑέντος τοῦ imi τῆς 4B, κλάσαι εὐ- 
ϑεῖαν τὴν ΑΓΒ ἐν λόγῳ τῷ δοϑέντι. 


UA 





E- L4 
J € 
- I———— g— ——— 
ῷ 
«,- ---- P —— d 


Γεγονέτω, xai διήχϑω ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτομένη ἡ F4: 
ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ J4I πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως ἡ 244 πρὸς 39 
4B. λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ DB δοϑείς, ὥστε 
xal ὁ τῆς ΑΔ πρὸς τὴν B4f δοϑείς. καὶ ἔστιν δοϑέντα τὰ 
44 B: δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ 4, ὥστε καὶ τὸ Γ δοϑέν. 


4. xq add. BS ἐφάπτεται A, ἐφάπτονται BS, corr. Co $9. rv- 
χοῦσα ἡ 4B ABS, corr. Simson p. 548 48. 14. ἦσον τῷ] ἐστὶν ro A, 
ἐστὶ τὸ BS, ἐστὶ τῷ V, ἴσον ἐστὶ τῷ Sca 44. post τὸ ἄρα repetunt 
τὸ AB, del. S 47. x9' add. BS 49. ἐφαπτομένηι Δ, corr. BS 
31. 49. τὸ ἀπὸ ΓΒ — 471 ngócadd. Co 49. δοϑείς Sca pro δοϑέν 
39. 298. δοϑέντα τὰ .4 B Hu auctore Simsono p. 458 pro dvo $3. τὸ 
I'do9év Hu auctore Simsono pro τὸ B4 ὅϑεν 


^" 


LIBER VH. PROPOS. 154. 455. 905 


XXVIII. Circulum ey iangant αὃ dy, et iungatur oy, Prop. 
ducaturque quaelibet d, quae circumferentiam i. & οἱ B, "n 
rectam ay in C secet; dico fieri gà : δὲ — βζ : Ge. 

Quoniam enim est αὖ z» ὃγ, ductá perpendiculari δὴ ad 
ay, est eliam a z 7, ttaque propter elem. 2, ὃ 

G2. Ly -4- Cy? 2 αη3, οἱ communi addito 50? 

«c. Ly A- Dy? 4-50? — og? τιΞ 20?, id est?) 

oL: Cy -- L0? — αδ3, | 
Sed est αζ' Cy — βζ' ζε (elem. 5, 55), et αδ τε βδ' δὲ (ibid. 
356); ergo. | 
| BL. Le 4- L0? — βδ. δε. 
Verum si hoc sit, fit etiam βὸ : δὲ zx BL: Ce; subtrahantur 
enim aequalia βζ. ζε -- L0? — 80- δὲ ex à- OL, id est ex 

BL. Ce -- BC. de 4- L0? τὸ βδ.ζε - gà - 06"); restat 

βζ. δὲ — βδ' Ce, id est 80 : δὲ — βζ : Ce. 

XXIX. Circuli segmento dato in recta ag, inflectantur Prop. 
rectae «y yf in data proportione. 

Factum iam sit, et ducatur à y tangens yà; est igitur 
αὃ. ὃβ zs ày? (elem. 5, 356), sive per proportionem 

αὃ : ὃγ — ὃγ : 0B, itaque propter elem. 6, 20 coroll. 2 
«0? : 07? — αὖ : 0fl. Sed quia propter aequales angu- 
los δαγ à7B (elem. 5, 53) simi- 
lia. sunt. triangula ay y98, est 
igitur ad : óy — ay : γβ, item- 
que quadrata 
«0? : 0y? — ay?: y8?;: ergd est — — 
oy? : yfif? 2 aó : óp. 
Sed est data proportio oy: yf, itemque ay? : y?; data igitur 
etiam proportio «à : 0f. Et data sunt puncta a f; ergo etiam 
ὃ datum, itemque tangens ὃγ (dat. 91) ; itaque etiam punctum y. 


PROPOS. 454: Simson p. 548 sq., Breton p. 338 Sq., Chasles p. 80. 
95. 263. 378. 278. 317. Et conf. append. ad libri VI propos. 53. 
1) Addita haec et proxima secundum Simsonum p. 519. 
ἢ) Scilicet, quia 8d — βὲ 4- (9, et (9 — ἐξ t εδ, fit 80 δ — Bc- {δ 
4- (0? - Bi. ζε τ BC. δὲ -- C0? τε BÀ Ce « 80.0 
PROPOS. 155: Simson p. 453 sqq., Breton ἢ p. 239 sq., Chasles p. 84. 
95. 2541. 294. Nonnulla in hoc problemate partim Commandino, par- 
tim Simsono auctoribus addita sunt. 
Pappus Il. , o8 


906 — — ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ Z. 


Συντεϑήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔσεω τὸ μὲν 
τμῆμα τὸ ΑΒΓ, ὁ δὲ λόγος ὁ τῆς E πρὸς τὴν Ζ, καὶ 
πεποιήσθω ὡς τὸ ἀπὸ E πρὰρ τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ 44 
πρὸς τὴν 4B, καὶ ἤχϑω ἐφαπεομένη ἡ AT, καὶ. ἐπεζεύ- 
χϑωσαν at ΑΓ TB: λέγω ὅτι αἱ 4T ΓΒ ποιοῦσε τὸ 7060-5 
βλημα. | 

Ἐπεὶ γάρ ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως 
1 AA πρὸς τὴν 4B, ὡς δὲ ἡ 444 πρὸς τὴν 4B, οὕτως 
τὸ ἀπὸ “Γ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ (διὰ τὸ ἐφάπτεσϑαι τὴν UA, 
χαὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ E πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως τὸ ἀπτὸ 4Γ 0 
πρὸς τὸ ἀπὸ DB: ὥστε καὶ ὡς ἡ E πρὸς τὴν Z, οὕτως ἡ 
ΑΓ ngüg τὴν ΓΒ' ἢ ΑΓΒ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. 

224 X. Κύκλας οὗ διάμετρος 7) 4B, καὶ ἀπὸ τυχόντος ἐπ᾽ 
αὐτὴν κάϑετορ ἡ 4E, διήχϑω ἡ 42, ἐπεζεύχϑω 1) EZ καὶ 
ἐχβεβλήσϑω, καὶ xa9' ὃ συμπίπτει τῇ διαμέερῳ ἔστω 15 

τὸ H: ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ. «ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ .4O 
πρὸς τὴν ΘΒ. 

Ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΖΑ͂ AE AZ. ἐπεὶ οὖν ἐπεὶ. δια- 
μέτρου χάϑετος ἡ 4E, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4.4B τῇ ὑπὸ BAE. 
ἀλλ᾽ ἢ ὑπὸ ΔΑΒ τῇ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ 
ΘΖΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ἐκτὸς τετραπλεύρου τῇ 
ὑπὸ BZH: καὶ τῇ ὑπὸ ΘΖΒ ἄρα γωνίᾳ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ 
BZH: καὶ ἔστιν ὀρϑὴ ἡ ὑπὸ ZB γωνία" διὰ δὴ τὸ 
λῆμμα γίνεται ὡς ἡ AH πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ 4O πρὸς 
τὴν ΘΒ. 25 

220 λα΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς Α͂Β, καὶ ἀπὸ τῶν 4 B 


9. ὃ (post λόγος) om. A!, add. A?BS τῆς E πρὸς AB Co Sca, 
τῆς. 9 πρὸς S cod. Co 4. -ἐπεζεύχϑων Αἱ, corr. man. secunda vel 
alia recentior 40. οὕτως τὸ A? (οὕτω τὸ BS), οὕτωσε A! ante rasu- 
ram, ut videtur, οὕτως ἐστὶν τὸ coni. Hu ἀπὸ (ante $77) om. A!B, 
add. A? super vs.. S 48 sqq. hinc usque ad cap. 232 aut omnia aut 
pleraque leinmata ab aliis mathemgaticis Pappi collectioni addita esse 
videntur (conf. adnot. ad propos. 162) 43. λ΄ add. BS 44. xal 
ante διήχϑω et ante ἐπεζεύχϑω add. Ge 419. 20. ὑπὸ B.4E — 448 
τῇ add. Co 20. ἴση! À, corr. BS 44. 38. ἡ ὑπὸ BZH Sca, τῶι 
ὑπὸ BZH AB, τῇ ὑπὸ Bin S 23. 94. δή τι λῆμμα coni. Hw 
35. GB Hu pro BO 36. λα΄ add. BS τῶν .4B A, distinx. BS 


LIBER Vil. PROPOS. 458. 4071. 907 


Componetur. problema sic. $Sit circuli segmentum af, 
et daía proportio & : C, .fiatque ad : ὁβ xe? : (7, et ducatur 
tangens ὃν, iunganturque ay 99s dico rectas «y y :problema 
efficere. 

Quoniam enim est e?: 5? 2«0.: 0B, et αὃ: à. m 
&y? :.y8? (tangit enim γδ; ac vide Singula supra) ; ' ergo etiam 
est £2: 5? 2 ay? ;: yf?, itaàque e: 5 2 ay : yB; ergo rectae 

ey yp problema efficiunt. 

XXX. Sit circulus eiusque diametrus af, et ad eam a Pus 
quovis circumferentiae puncto ducatur perpendicularis chorda. ' 
δε; ducatur alia chorda δὲ diametrum secans in 9, et iun- 
gatur ες producaturque ad y punctum concursüs cum dia- 
metro; dico esse.ar : 
ng τῷ a9 : 98. 

lungantur δὰ a6 
cc. lam quia in dia- 
metro perpendicula- 
ris est Óe, propter 
.elem. 3, 5. 4, 4 an- 
guli δαβ fas aequa- 

Zn les sunt. Sed est 
L δὲβ (sive 928). in eodem segmento, et 





L δαβ zz 
L pee — L βζη exteriori quadrilateri circulo. ?nscripti 
βζεα; ergo etiam 
L 908 — L βζη. 
Et est rectus angulus αζβ; itaque propter lemma!) fit av : ηβ 
z «39 : 98. | 
XXXI. Sit semicirculus in recta ag, et a punctis a 8 Prop. 


PROPOS. 156: Simson p. 464 sq., Breton p. 340, Chasles p. 84. 
95 sq. 256. 266 sqq. 278. 


4) Lemma hoc, quod scriptor significat, cum inter Pappi reliquias 
non exstet, restitutum est a Commandino et Simsono: vide append. 


PROPOS. 4157: Simson p. 519 sqq., Breton p. 240 sq., Chasles p. 84. 
96, 279. 295. Littera y et in figura omissa et in propositione super- 
vacanea (vide adnot. ad p. 908, 1) indicat hanc demonstrationem par- 


tem fuisse alius latioris. 
58 * 


908 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ Z. 


σημείων τῇ 4B πρὸς ὀρϑὰς γωνίας εὐϑεῖαι γραμμαὶ 1- 
χϑωσαν αἱ ΒΔ AE, καὶ ἤχϑω τυχοῦσα ἡ 4E, καὶ ἀπὸ τοῦ 
Z τῇ 4E πρὸς ὀρϑὰς γωνίας εὐϑεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ συμ- 
σπεπτέτω τῇ AB κατὰ τὸ Η' ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν 4 Β4 ἴσον 
ἐσεὶν τῷ ὑπὸ τῶν .4HB. ὅ 
"Ost. ἄρα ἐστὶν 
ὡς ἣ ΕΑ͂ πρὸ τὴν 
AH, οὕτως ἡ HB 
πρὸς τὴν BAf. περὶ 
ἴσας γωνίας ἀνάλο- τὺ 
γόν εἰσιν αἱ πλευ- 
qat. ὅτε ἄρα ἴση 
ἐστὶν ἢ ὑπὸ τῶν 
AHE γωνία τῇ ὑπὸ 
τῶν BAH γωνάέάᾳ. ιὉ 
ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ 
AHE ἴση ἐστὲν ἐν 
τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ AZE, ) δὲ ὑ ὑπὸ ΒΔΉ πάλιν ἐν τῷ 
αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπτὸ 4ΖΕ 
γωνία τῇ ὑπὸ BZH γωνίᾳ. ἔατιν δέ" ὀρϑὴ γάρ ἔστιν &xa- 9 
τέρα τῶν ὑπὸ 4ΖΒ ΕΖΗ γωνιῶν. | 
226 AB. Τρίγωνον τὸ «ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν 4 τῇ .“21Γ, καὶ 
ἐχβεβλήσθω ἡ 4B ἐπὶ τὸ 4, καὶ &nà τοῦ 4] διήχϑω ἡ AE. , 
ποιοῦσα ἴσον τὸ BAE τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ * ὅτι, ἐὰν 
δίχα τμηϑῇ uia τῶν ἴσων πλευρῶν ἣ πρὸς τῷ ἴσῳ τρι-Ῥ 
γώνῳ τῇ ΒΖ, γίνεται ὡς συναμφότερος ἡ ΖΒ ΒΗ πρὸς 
τὴν ΖΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ἽΖ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ 
τετράγωνον. 
Ἤχϑω διὰ τοῦ B τῇ AE παράλληλος ἡ ΒΚ, καὶ &c—— 
βεβλήσϑω ἢ 44D ἐπὶ τὸ Κ-. ὅτι ἄρα ἐστὶν ὡς συναμφῶ. -. 





.-..-.-....-.ὄ-.ὄ.-. —— ——— -.. 


4. τῇ 4B. Hu pro τῆι ἌΓΕ (littera P recte inferri non potuit n. —s 
vs, 9. τυχοῦσα ἡ -fT E, ubi tamen aptius fuerit ἡ 4“ΖΕ) 8. OU — pem 
πιπτέτω Hu pro συμπίπτει 22. ed add. BS τῇ 43Γ Co pro- c-—— 
Br 35. μιᾷ — ἢ πρὸς B 26. ἡ ZB BH Ge auctore Co, ἢ B 
Αἱ, litterarum seriem corr. A? positis notis " super B, ' super Z.  —— 


LIBER VII. PROPOS. 158. 909 


Εν 3m αβ perpendiculares ducantur rectae 90 me; et ducatur 
cp ux-welibet de, et a puncto £ ipsi de perpendicularis recta Cn 
c« wm currat cum ef) in ἡ; dico esse ae. gà. — am. »p. 
Sit ita; ergo per proportionem est oe : an — vp : 0. 
Fzt «irca aequales angulos latera sunt proportionalia ;: ergo est, 
Ceec elis ἠε 70, ἰ age τὸ L βδη. Sed propter rectos angulos 
&«€e 275 'etn. puncta & a C ἡ sunt in circulo (elem. 5, 31), ideo- 
qrezcez , ul in. eodem segmento, est [, aye — { ate; et rursus 
preea.cia ὃ C B 9» sunt in circulo, ideoque, ul in eodem seg- 
Ur» €» mto, { βδηὴ — [ βζη. Est igitur [, αζε Ξε ( βζη. Est vero; 
r*z ama uterque angulus eum angulo εζϑ rectum efficit!;. 
XXXII. Sit triangulum ay latera ag «y aequalia ha- ΟΡ. 
De τὰ 51), et producatur fa ad δ, et ἃ ὃ ducatur δὲ triangulum ἢ 
Gc e iiangulo afy aequale faciens; dico, si unum 'ex aequa- 
(i E» πὰς lateribus, quod est ad triangulum aequale, bifariam 
' secetur a recta JL, fieri 
eB m βη: ζὴ — a2 : 092. 
Su ila, et ducatur per β 
rectae ὧδε parallela 8*, et pro- 
ducatur γα ad x; ergo prop- 
ter parallelas 8x v9 est 
xL: ζ9 — DL : Cy, itemque 
9x5: 09 — 2005: 09, et 


dirimendo 


p 





J) Compositionem a Graeco scriptore omissam addunt Comman- 
dim πὰς et Simsonus, sic incipientem: "Quoniam uterque angulorum «£g 
εν zectus est, demplo é6ommuni angulo εἰβ erit angulus «de aequalis 


^X £X wmlo 4/5" cet. Praeterea alteram figuram cum punctorum serie « ἢ d 
9d cR à: Simsonus. 


PROPOS. 158: Simson p. 528 sq., Breton | p. 244 sq., Chasles p. 79. 


96. ay. 

c 3) "Nihil est in .demonstratione quod pendet ex aequalitate laterum 

ne «y; tenet enim in quocunque triangulo. Propositio igitur sine du- 
δ.» est corrupta" Simson, cui adstipulatur Chasles p. 96. 807. 

pes a- 


I» H, ἡ ζβη BS 80. συναμφοτέρα B, item A, nisi quod de accentu 
Ox» constat, corr. S 


910 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΒ, 2. 


τορος. ἡ ZK KO πρὸς τὴν Z0, τουτόθειν τὸ ὑπὸ συναμ- -- 
φυτέρου τῆς ΖΚ ΚΘ καὶ τῆς ΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ, οὕτως Ξον τὰῷ 
τὸ ἀπὸ AZ, τοτράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΘ τετράγωνον * τὸ 000 Hm . 
et. 3 ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΚ» — 
o c » KO καὶ τῆς ΖΘ, τουτέστινας. ας 
ἡ τῶν ἀπὸ ΖΚ ΚΘ ὑπεροχή. τα... 
ἔση ἐστὶν τῷ ἀπὸ.4Ζ᾽ ἣ ἄρα» «---- 
τῶν ἀπὸ ΚΖ ΖΑ͂ ὑπεροχο ταῳςς-. 
ἐστιν τὸ ἀπὸ. ΚΘ. ἀλλὰ - 
τῶν ἀπὸ ΚΖ ΖΑ͂ e e. 
ἐστιν τὸ ὑπὸ ΓΚΑ͂ ' ὅτι ἃ 
c p τὸ ὑπὸ ΓΚΑ͂ 1 ἴσον ἐστὲν τ n 
| | ἀπὸ OK: ὅτι ἄρα ἐστὶν ὅπ. - ὁ 
ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΚΘ, τουτέσειν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, OU tme; 
ἡ ΚΘΙ πρὸς τὴν ΚΑ, vovséosw ἡ 4B πρὸς vr» ΒΑ. ἔσε-- » 
dé: παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ AE τῇ 4Γ, ἐπειδὴ τὸ 4BEEEEE 
τρίγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, κοινοῦ δ᾽ ἀφαιρο-τααα.»υ- 
μένου 300 ΑΒΕ λοιπὸν τὸ 4 4E λοιπῷ τῷ ΑΤᾺῈ ἐστ----ὀ «ν 
ἴσον, xai ἔστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς. βάσεως. 
Ay. Κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσξαιι»- «o 90 
ἡ AB, καὶ ἔστω ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν 4E κάϑετος, καὶ πασ-- «ἢ 
ὑπὸ -4ZB ἴσον κείσϑω τὸ ἀπὸ ΖΗ τετράγωνον" ὅτι, οἿΞ. e» 
ἐὰν ληφϑῇ σημεῖον ὡς τὸ E, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ ἐπὲ τὸ Η érame “- 
ζευχϑεῖσα ἐκβληϑῇ 8 ἐπὶ τὸ Θ, 2 
νεται xai τὸ ὑπὸ OEK ἴσον —o5 
ἀπὸ EH τετραγώνῳ. 
Ἐπεξεύχϑωσαν αἱ AE Β.-1: 
ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἡ 4 γωνία. ἔσπαειν 
δὲ xai $ Ζ ὀρϑή" τὸ ἄρα ó στὸ 
AE. 4d ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ AZ Do 
καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ τετραγώνῳ. ἀλ.4ἃ 











—— ——— —— ..-.-.---.. 


3. MZ τετρ. πρὸς τὸ ἀπὸ add. Co^ τὸ ἄρα] τὸ AE A, τὸ δὲ 
BS, corr. Co — 4. ὅ. συναμφοτέρου τῆς ΖΚΘ ABS, corr. Co 6. ἢ 
τοῦ ἀπὸ ΖΚΑΚΘ Α, distinx. BS 7. 8. ἡ ἄρα τῶν ἀπὸ KZZA À, 


dislins. BS 4147. δ᾽ add. Hu 40. λγ΄ add. BS- 


LIBER. VII. PROPOS. 4159. 911 


xL -- x9 : 59 τὸ βζ -- βη.: Cr. | Sed ea hypothesi. est 

fb - βη : ζη — ol? : C9; ergo ! s 

xb 4-49: 09 — aD : ζ93, id es. — 

(xC -- x9) ζϑ : 59? — a2 : C97?; ergo est 

(«5 2- x9) C9. — at?. Sed fingatur recta dupla ipsius 
| | x9; est igitur propler elem. 2, 6 

(2x9 - 90) 95 -- x9? — Cx?, id est 

(x5 4- x9) 95 — ζκξ — x3; est igitur - 

Dx? — x9? — αζ2, itaque 

Dx? — al? τ x9?. Sed, quia ex constructione est a5 —— 

| Lf», propler elem. 2, 6 est 

Dx? — af? τὸ yx-xa; ergo ——— 

γκ xa — x23?; est igitur 

yx : κϑ — x9 : xa, id est, quia propter 8x &39 paral- 

| lelas yx : χϑ — yf : Be, et propter. — 

Bx 9 parallelas x9 : xa Ξε àf : go, 


LI 


yB : Be — Of : Ba. EE 
Sic — autem haec proportio (quam effecimus ratione, analytica 
Sla£eientes esse LB -- Bn : ζη — a? : C9?) re vera se habet; 
DàEw» porro hinc sequitur parallelas esse ae dy; sunt vero 
pam-zallelae, quia ea: constructione triangulum ὅβε triangulo ay 
3eCg wiale est, et communi dempto triangulo affe reliquum αεὖ 
rel à«quo ocy aequale est; suntque in eadem basi, ef cet. 1). 


XXXIII. Sit circulus circa diametrum afl, et producatur Prop- 


OP — ad punctum ζ, rectaeque at perpendicularis sit δε, sitque 


, el - ζβ τὶ ζη32; dico, utcumque sumatur punctum δ, si recta 


πὰ Ὁ ad ἡ iuncta eademque producta circuli circumferentiam 
I — gunctis x οἱ 9. secet, fieri 95. ex — ent. 

lungantur «s Àf; rectus igitur est angulus Δ. Sed etiam 
aA £3ulus C rectus est; ergo propter similitudinem triangulorum 
cA. αζε est — | 

αλ : aL — αβ!: ee, sive 

«À-.a€ — af. ab. Sed quia est ae? 2 ab? -- Ce, fit etiam 


4) Et analysim brevius adumbravit scriptor (conf. infra adnot. ad 
Propos. 462) et omisit, ut in superiore lemmate, compositionem, quam 
Postea addiderunt iidem qui supra citati sunt. 

PROPOS. 159: Breton p. 242 sq., Chasles p. 81!. 97. 263. 


912 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTH2 Z. 


τὸ μὲν ὑπὸ 4E.4 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ OEK, τὸ δὲ ὑπὸ 428 
ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ZH τετραγώνῳ τὸ ἄρα ὑπὸ OEK lov 
ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν EZ ZH τετραγώνοις, τουτέστιν τῷ ἀπὺ 
ΕΗ τετραγώνῳ. 


228 λδ΄. Ἔστω ὡς ἡ .4B πρὸς τὴν BI, οὕτως 7) 444 np 
τὴν ΑΓ, καὶ τετμήσϑω ἡ AT δίχα κατὰ τὸ E σημεῖον' 
ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ BEA ἴσον τῷ ἀπὸ EFL  τεῖρα- 
γώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ BAE τῷ ὑπὸ AAT, τὸ δὲ ὑπὸ ABT τῷ : 

ὑπὸ. ΕΒΖ. | 

| Ἐπεὶ γὰρ ὡς ἡ ΑΒ ng 
τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ M44 πρὸς 
τὴν. AT, συνϑέντι καὶ τὰ 
ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ 
ἀναστρέψαντι ἄρα. ἐστὶν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως 1 ET 
πρὸς τὴν Ed: τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EF. 
χοινὸν ἀφηρήσϑω τὸ ἀπὸ AE τετράγωνον" λοιπὸν ἄρα τὸ 
ὑπὸ Β4Ὲ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ AAT. παλιν τὸ ὑπὸ BEA 
ἶσον ἐστὶν τῷ. ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ. ἀμφότερα ἀφῃρήσϑω 
ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ τετραγώνου" λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν 
ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν EBA. ᾿ 


ἀλλὰ ἔστω νῦν τὸ ὑπὸ τῶν BAE ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν 
AAT, καὶ τετμήσϑω δίχα ἢ ΓΑ͂ κατὰ τὸ E: ὅτι ἐστὶν ὡς 
ἡ 41Β πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ 444 πρὸς τὴν AT. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν BAE ἴσον ἐστὲὴν τῷ ὑπὸ τῶν 
AAT, κοινὸν προσχείσϑω τὸ ἀπὸ 4E τετράγωνον᾽ ὅλον" 
ἄρα τὸ ὑπὸ BE4 ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ. ἀνάλογν 
xad ἀναστρέψαντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα xai διελόντι ἄρα OV 
ὡς ἣ 4B πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ 244 πρὸς τὴν AT. 


[] 

» 
co 
bo - 
τοί 


4. τὸ μὲν À rec. ex τὸ uk» 8. ἀπὸ τῶν EZH ABS, corr. (0 
5. λδ΄ add. BS 14. ὡς ἡ 4E ABS, corr. Co οὕτως add. — 
15. τὸ ἄρα ὑπὸ E41 ABS, corr. Co 46. τὸ ἀπὸ AE Co pese? 
᾿ ἀπὸ FE ^ ΑἿἽ, 48. πάλιν τὸ ἀπὸ 44 --- τῶι ἀπὸ AT. ABS, 4x 
Co 20. ὑπὸ τῶν EB4f Co pro ὑπὸ τῶν ΕΒΓ 22. ὡς om—— 
add. S 47. χαὶ ἀναστρέψαντι add. Co 


LIBER VII. PROPOS. 460. 913 


«6€? — αλ᾿ αε — at? — αβ. aC - ζεῖ, id est 
αε. δὴ — ab UB γε ζεῖ, 
Sed est αδ' δὰ — ϑει εκ, οἱ ex construct αζ' d — t 
est igitur - 
' dese m C9 -- Lei, id est 
zen. 
XXXIV. Sit ag : By — a0 : Oy, et bifariam - secetur ay Prep. 
in puncto δ; dico tria fieri, primum fe. εδ — ey?, tum 80 - δε. L 
— «có. denique af .By — εβ. 80. 
Quoniam enim est of : 8» — αὃ : Óy, componendo est 
ey 4- 28» : By — ay : ὃγ, et dimidiando antecedentes 
magnitudines 
€y - By : By — ey : Óy, et convertendo 
βε : &y — εγ : &Ó; ergo est Be. εὃ — εγ3. 
"Tum ex hac aequatione commune subtrahatur δὲ; est igitur 
βε. εὃ — óc? τ βδ' δὲ, et propter elem. 2, 5 ey? — δεῖ — 
α - óy; ergo | | 
Bà - δὲ — ad. y. | 
Rursus, quia est fe. εὃ — &y?, utrümque subtrahatur ex fie?; 
est igilur 9e? — Be. εὃ — eft - 80, et propter elem. 2,6 βε" — ey! 
— ef - By; ergo 
of By — εβ. B0. | 
Sed sit nunc 0. δὲ — αὖ. ὃγ, et ay in & bifariam se- 
| "cetur; dico esse af : By — aàó : ὃγ. | 
Quoniam enim est 8d. δὲ — αὖ. y, commune addatur 
δεῖ; est igitur β. δὲ -- 0e? — βε. εὖ, et propter elem. 2, 5 
αδ. ὃγ - δεῖ — γε2; ergo 
βε- ε —'yc?. Per proportionem igitur est 
B6: &y — γε: €Ó, οὐ convertendo duplicandoque ante- 
| cedentes 
2986: 8y — ay : Óy, et dirimendo (est. scilicet 286 τῷ 
ey τ 2fy) 
(ay -- 28y — By) : By — ay — y : y, id est 
ag : By Ξε a : óy. 


PROPOS. 160: Simson p. 506 sq., Breton p. 243 sq., Chasles p. 79 sq. 
97. 962. 267. 274. 307 sq. 317. 


229. 


230 


914 IIAUHOY ZYNATOTH Z. 


᾽ 


λε΄. Τούτων ὄντων ἔστω κύκλος ὁ περὲ διάμετρον τὴν 
AB, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ 7 «4, ἔστω δὲ ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν AE 
κάϑετος, καὶ πεποιήσθω ὡς ἢ .4΄2 πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἢ 
ΑΗ πρὸς τὴν HB: ὕτι πάλιν, οἷον ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΖ ση- 
μεῖον ληφϑῇ ὡς τὸ E, καὶ ἐπιζευχϑεῖσα ἡ EH enis 
ἐπὶ τὸ O, γίνεται ὡς ἡ OE πρὸς τὴν EK, οὕτως ἡ 0H 
ngóg τὴν HK. 

| Εἰλήφϑω. τὸ κένερο τοῦ 
χύχλου τὸ .4, xai ἀπὸ τοῦ 
44 ἐπὶ τὴν EO κάϑετορ ἤχϑο!! 
ἢ «114: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ KM 
τῇ MO. ἐπεὶ δὲ ὀρϑή ἐστιν 
ἑκατέρα τῶν M Z γωνιῶν, 
ἐν κύχλῳ ἐσεὶντὰ EZ AM 
σημεῖα" τὰ ἄρα ὑπὸ ZHAS 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν | EHM. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ và» ZHA . 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν .4HB (διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν AZ 
πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως τὴν 4Η πρὸς τὴν ΗΒ, καὶ τέτμηται 
ἡ AB δίχα χατὰ τὸ .1)' καὶ τὸ ὑπὸ τῶν EHIM ἄρα ἴσον 
ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν 4ΗΒ, τουτέστιν (ἐν κύχλῳ γάρ) τῷ ὑπὸ 
τῶν ΘΗΚ. καὶ τέτμηται δίχα L OK κατὰ τὸ M: διὰ δὴ ᾿ 
τὸ προγεγραμμένον γίνεται ὡς ἢ ΘΕ πρὸς τὴν EK, οὗτως 
ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ. .] 

Àc Ἡμικύχλιον τὸ ἐπὶ τῆς .4B, καὶ παράλληλος τῇ 
ΑΒ ὴ ΓΑ 4, καὶ κάϑετοι ἤχϑωσαν αἱ ΓΕ AH* ὅτι ἔσῃ ἐστὶν 
ἡ ΑΕ τῇ ΗΒ.. 





| 
| 
| 
1 
i 


Εἰλήφϑω τὸ κέντρον τοῦ 
χύχλου τὸ Z, καὶ ἐπεζεύ- 
χϑωσαν αἱ ΓΖ Z4: ἴση ἄρα 

| ἐστὶν ? ΓΖ τῇ Z4, ὥστε καὶ: 
, τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον τῷ ἀπὺ 
d τῆς Z4 τετραγώνῳ. ἀλλὰ «ἡ 








. λε᾽ add. BS 4. ἐπὶ τῆς EA Hu auctore Co pro ἐπὶ τῆς r* 
5. bros ἡ EH ἐκβεβλήσϑω ABS, corr. Hu auctore Co (eitvzz 
5» EH xe ἐχβληϑῇ Ge) 43. 44, τῶν MZ — τὰ EZ 4M 5, distis— 
BS 15. 46. τὸ ἄρα ὑπὸ ZH.4 ἴση À, corr. BS 48. 49. x«i) 29 


LIBER VH. PROPOS. 161. 162. 915 


XXXV. His ita se habentibus sit circulus circa diame- ΕΟ. 

m e, et producatur αβ ad C£, sitque ac perpendicularis ' 
quamlihet rectam Óe, et fiat αῃ : ηβ z» αἵ : CB; dico, ut- 
»que in recta δὲ punctum & sumatur, si iuncla ey circum- 
"itam. secel in x eademque producatur ad 9. alterum punc- 
; sectionis circumferentiae, rursus !) fieri 96 : ἐκ ex Jm : yx. 
Sumatur circuli centrum ἃ, ab eoque ad s9' perpendi- 
wis ducatur ἀμ; est igitur x4 — 3 (elem. 5, ὅ).. Sed 
niam uterque angulorum μὲ & rectus est, in circulo sunt 
ia &€ C μὶ À*); est igitur Cp ηλ z er. gu... Sed quia ex 
olhesi est a5 : C8 am : 98, et recta aff in puncto ἃ. bi- 
am seota est, propter superius lemma est Cn - ηλ — an. 28; 
) eliam | | 

€n: 7h - a5: 7f, id est, quia in circulo rectae ag 3x 

. inler se secant, 
— 9n: rx. 

secta est Jx bifariam in puncto μι; ergo propter id quod 
ra (lemm. XXXIV extr.) demonstratum est fit 9e : ex — 
: qx. | 
XXXVI. si semicirculus in recta of, et ipsi af! paral- Prop. 
y0, et perpendiculares ducantur ye à; dico esse «e — nf. '5 
Sumatur circuli centrum 7, et iungantur 7€ 40; est igi- 
γζ — ζδ, itaque γζξ — L0?. Sed est jL? — 7e? -- eL, 
PROPOS. 161: Simson p. 507 sq., Breton p. 244 sq., Chasles p. 80. 
262. 273. 278. mE 

4) Haec vox vix ad lemma XXXIII aut XXX referri posse, sed 
m quandam propositionem nunc perditam spectare videtur. 

*) "Nam, si iunctá eÀ circa ipsam circulus describatur, per u ἢ 
€ta transibit" Co. | 
PROPOS. 462: Simson p. 5355q. (qui haec addit "observare licet in- 
iem differentiam inter demonstrationem huius et praecedentis pro- 
iionis 458; praecedens enim nimis videtur esse brevis, et quaedam 
'a supplenda sunt, haec autem instar elementorum admodum est ex- 


là; idem aulem in multis aliis Pappi [conf. supra p. 323 adnot. ἢ] 
''Vandum est"), Breton p. 245, Chasles p. 84. 98. 279. 296. 





'ϑαι τὴν 4B Hu. 20. 21. τουτέστι τῷ ὑπὸ τῶν OHK: ἐν χύχλῳ 
Coni. Ge auctore (Ὁ 81!, δὴ add. Ge . 84. λε΄ add. BS 


916 ' ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNAT OTT Z. 


μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν TE ΕΖ 
Uu ^ 2. 8 " » , 1 & 0) 
τετράγωνα, τῷ δὲ imo 4Z τετραγώνῳ Loa ἐσεὶν τὰ ano 
τῶν 4H HZ τετρἄγωνα- καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓῈ EZ ἄρα 
, » ». - AE - . ' 
τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ZH ΗΖ τετραγώνοις. 
e. 4 2 M / » ? M ^ ) δ Ld 
w? τὸ ἀπὸ ΓΕ τειράγωνον i00v ἔστιν τῷ ἄπο τῆς 4H5 
τετραγώνῳ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον λοιπῇ 
^ 3 ' r£ ,. , M » » » 3 M c 
τῷ -ἀπὸ ZH τετραγώνῳ ἐστὶν toov: ton ago ἐστὲν ἡ EZ 
τῇ ΖΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ 4Z ὅλῃ τῇ ΖΒ ion: λοιπῇ 
ἄρα ἡ 4E λοιπῇ τῇ ΗΒ ἐστὶν Vo, ὅπερ: “- 

291 λζ΄. Ἡμιχύχλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος! 
τοῦ D διήχϑω ἡ ΓΖ, καὶ κάϑετος ἤχϑω ἡ AE: ὅτι τὸ ἀπὸ 
AT τοῦ ἀπὸ D4 ὑπερέχει τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς AT 
ΓΒ καὶ τῆς .4E. E 

Ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ AT 
» ? 1 ^ ) * 
ἰσον ἔστιν τῷ vc ἀπὸ 
AT, τουτέστιν τοῖς 
ἀπὸ 4E EL, καὶ τῷ 
ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 

7 4T ΓΒ καὶ τῆς AE: 

Ort ἄρα κοινοῦ ἀφαιρε" 
ϑέντος τοῦ ὑπὸ Γ "AE λοιπὸν τὸ ὑπὸ 4UE ἴσον ἐστὶν τῷ 
τε ἀπὸ AE, τουτέστιν τῷ ὑπὸ .AEB, καὶ τῷ ἀπὸ FE wi 
τῷ ὑπὸ .4E ΓΒ. κοινοῦ ἀφαιρεϑέντος τοῦ ἀπὸ FE ὅτι 
λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΕΒ καὶ τῷ | 

ὑπὸ ΑΕ BI. ἔστιν δέ. Ἃ 





Εἰς τὸ πόρισμα τοῦ α΄ βιβλίου. 


232 Àm. Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ 44, ἀπὸ 
δοϑέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ καὶ ποιεῖν ἴσον τὸ ΖΙΗ͂ 
τρίγωνον τῷ 244 παραλληλογράμμῳ. 

Γεγονέτω. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὲν τὸ ΖΓΗ͂ τρίγωνον τῷ" 


.4. ἀπὸ τῶν ZHH. A, distinx. ΒΒ 9. ὅπερ B3, o Δ΄ 4. ἀξ 
add. BS ἐπὶ τῆς ΒΓ ΑΒ, ἐπὶ τῆς «ὖβ S, corr. Co 4. ἤχϑω 7 
[19 AB, corr. S 498. τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου et 44. ἄρα τὸ ὑπὸ -f 
retinuit Ge ex S (recle, ut supra edilum, AB) 48. 49. συναμφοτέρου 





LIBER ΜΠ. PROPOS. 456. 457. .907 


Componetur. problema sic. $Sit circuli segmentum af, 
et daía proportio & : ζ, fiatque ad : 0g zx.&? : C?, οἱ ducatur 
tangens ὃ, iunganturque αγ ys dico rectas ay i «problema 
efficere. . 

Quoniam 'enim est &?: p -:«0.: 0f, et à : à. -— 
ay? :.γβ2 (tangit enim yà; ac vide $ingula supra) ;'ergo etiam 
est £2: 5? τῷ ay? : yfi?, itaque ε : C — ay : yf ; ergo rectae 

ey yB problema. efficiunt. 

XXX. Sif circulus eiusque diametrus af, et ad eam a Prop. 
quovis circumferentiae puncto ducatur perpendicularis chorda, 156 
δε; ducatur alia chorda ὃδξ diametrum secans in 9, et iun- 
gatur e& producaturque ad ἡ punctum concursüs cum dia- 
metro; dico esse.am : 
ng 2 αϑ: 99. 

Iungantur δὰ ec 
ac. lam quia in dia- 
metro perpendicula- 
ris est δὲ, propter 
.elem. 3, 5. 4, 4 an- 

guli δαβ fas aequa- 
les sunt. Sed est 
L δαβ τε L δῖβ (sive 918). in eodem segmento, et 
Ξε [ βζη exteriori quadrileteri circulo inscripti 
βζεα; ergo etiam 





L 968 — L βζη. 
Et est rectus angulus αζβ; itaque propter lemma 1) fit o : ηβ 
* «3 : 98. | ! ! ! 

XXXI. Sit semicirculus in recta ag, et a punctis α 6 Prop. 


IPPROPOS. 156: Simson p. 461 sq. , Breton p. 240, Chasles p. 84. 
95 sey. 956. 266 sqq. 278. | 


4) Lemma hoc, quod scriptor significat, cum inter Pappi reliquias 
"OU exstet, restitutum est a Commandino et Simsono: vide append. 


JPROPOS. 457: Simson p. 549 sqq., Breton p. 240 sq., Chasles p. 84. 
96. $79. 395. Littera y et in figura omissa et in propositione super- 
V& ca nes (vide adnot. ad p. 908, 4) indicat hanc demonstrationem par- 
len fuisse alius latioris. 
oS * 


910 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΗΣ Ζ. 


μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ ΕΖ 
τειράγωνα, τῷ δὲ ἀπὸ 4Z τετραγώνῳ ἴσα dati» τὰ ἀπὴ 
τῶν 4H ΗΖ τετράγωνα" καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ EZ ὕμ 
, » ? M - 3 A ^ - , 
τετράγωνα σα ἔστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ZH H^ vesoayumis. 
Σ 1 P EL , » * * ^ 3). Ν L7 
ὧν τὸ ἀπὸ DE τετράγωνον toov. ἔστὶν τῷ ἀπὸ τῆς 4H 
τετραγώνῳ" λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον λοιπῷ 
^ 3 EJ , , M » » » * M c 
τῷ «ἀπὸ ZH τετραγώνῳ ἐστὶν σον" Lon ἄρα ἐστὶν ἡ EZ 
τῇ ΖΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ “2 ὅλῃ τῇ ΖΒ ion: om 
» 
ἄρα ἡ 4E λοιπῇ τῇ HB ἐστὶν ἴση, ὅπερ: — 

231 λζ΄. Ἡμιχύχλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος 
τοῦ Γ διήχϑω ἡ L4, καὶ κάϑετος ἤχϑω ἡ AE: ὅτι τὸ ἀπὸ 
..1Γ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 4l 
ΓΒ xoi τῆς 4E. 














Ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ AT 

ἴσον ἐστὲν τῷ τε ἀπὸ! 

AT, τουτέστιν τοῖς 

ἀπὸ 4Ε EFL, xoi τῷ 

- ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 
— ? AT ΓΒ καὶ τῆς , AE: 

ὅτι ἄρα κοινοῦ ἀφαιρέ: 

ϑέντος τοῦ ὑπὸ L.4E λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΤΓῈ ἴσον ἐστὶν τῷ 
τε ἀπὸ 4E, τουτέστιν τῷ ὑπὸ 4ΕΒ, xoi τῷ ἀπὸ ΓΕ xi 
τῷ ὑπὸ 4 ΓΒ. κοινοῦ ἀφαιρεϑέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ on. 
λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐσεὶν τῷ τε ὑπὸ ,1ῈΒ καὶ τῷ 
ὑπὸ ΑΕ ΒΓ. ἔστιν δέ. 





Εἰς τὸ πόρισμα τοὺ α΄ βιβλίου. 


232 λη. Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ 44, ἀκὶ 
δοϑέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ καὶ ποιεῖν ἴσον τὸ ) ΖΓΗ. 
τρίγωνον τῷ 424 παραλληλογράμμῳ. 

Γεγονέτω. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶν τὸ ΖΓΗ τρίγωνον 5)? 


A. ἀπὸ τῶν ZIIILA À, distinx. ΒΒ 9. ὅπερ B3, ο΄ 1 
add. BS ἐπὶ τῆς ΒΓ AB, ἐπὶ τῆς «df S, corr. Co 44. ἴχϑω ἢ 
.19 AB, corr. S 412. τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου el 14. ἄρα τὸ ὑπὸ AT 
retinuit Ge ex S irecte, ut supra editum, AB) 48. 49. συναμφοτέρου 





234 


2335 


920 I ATI IOY ZYNATQTHZ Z. 


"Hy9« γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ᾽ σημείου 
ἐπὶ τὸ τοῦ 4B κύκλου ἐπίπεδον 
χάϑετος, xai πιπτέτω πρότερον 
ἐντὸς τοῦ 4B κύχλου, καὶ ἔστω 
ἡ L4, καὶ εἰλήφϑω τὸ κέντρον" 
τοῦ κύκλου τὸ E, καὶ ἐπιζευχϑεῖσα ᾿ 
ἢ 4E ἐκβεβλήσθω ἐφ᾽ ἕκάτερα τὰ 
μέρη ἐπὶ τὰ .4 B σημεῖα, καὶ ἐπε: 
ζεύχϑωσαν αἱ ΑΓ ΓΒ λέγω ὅτι 
μεγίστη μέν ἐστιν ἡ BD, ἐλαχίστη 
δὲ $ ΑΤ᾽ πασῶν τῶν απὸ τοῦ D πρὸς τὸν 4B προσπι- 
πεουσῶν. 

Προσβεβλήσϑω ap τις καὶ ἑτέρα ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχϑω 
ἡ 4dZ: μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ B4 τῆς 4Z. κοινὴ δὲ ἡ lA, 
xai εἰσὶν ai πρὸς τῷ 4 γωνίαι ὀρϑαΐ" μείζων ὥρα dosivis 
ἡ ΒΓ τῆς ΓΖ. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΓΖ τῆς ΓΑ͂ μείζων | 
ἐστίν" ὥστε μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΓΒ, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΓΑ͂. 

β΄. Aa δὴ τιάλιν ἣ ἀπὸ τοῦ DI γάϑετος ἀγομένη 
πιπτέτω ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ 418 κύκλου, xoi ἔστω ἢ 
ΓΑ͂, καὶ πάλιν ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ χύχλου τὸ 4 ἐπεζεύχϑω Ἡ 
ἡ 444 καὶ ἐχβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ B, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΒΓ' 
λέγω ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ BT, ἐλαχίστη δὲ ἡ 1Γ. 

Ὅτι μὲν οὖν μείζων ἡ ΓΒ τῆς ΓΑ͂ φανερόν, διήχϑω 
δέ τις καὶ ἑτέρα ἡ ΤῈ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ 4E. ἐπεὶ διά- ᾿ 
μετρός ἐστιν ἣ 43,8, μείζων ἐστὶν τῆς ΑΕ. καὶ αὐταῖς β 
πρὸς ὀρϑὰς ἡ ΑΓ' μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῆς ΓΕ. ὁμοίως 
καὶ πασῶν. καὶ χατὰ τὰ αὐτὰ μείζων δειχϑήσεται ἡ ET 
τῆς ΓΑἅΑ͂- ὥστε μεγίστη μὲν ἡ Bl, ἐλαχίστη δὲ ἢ LA τῶν 
ἀπὸ τὸῦ D σημείου πρὸς τὸν ΑΒ κύκλον προσπιτττουσῶν 
εὐϑειῶν. 30 

1. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων πιπτέτω ἡ χάϑετος ἐχτὺς 
τοῦ κύκλου, καὶ ἔστω ἡ ΓΖ, καὶ ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύχλου 
τὸ E ἐκιζευχϑεῖσα ἡ 4Ε ἐκβεβλήσϑω, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν 





2. χύχλου ἐπίπεδον --- 4. τοῦ 4B add. A?BS 8. τὰ AB σημεῖα 
A, distinx. BS 40. ἐστιν» ἡ PH. Ha 44. ἡ B.l rj AZ ABS, corr. 


LIBER VII. PROPOS. 168. 467. 921 


Ducatur enim a puncto γ ad circuli «8 planum perpen- 
dicularis yó, quae primum intra of circulum cadat, et su- 
matur circuli centrum 8, et iuncta de producatur in utram- 
que partem secetque circumferentiam in punctis α β, et iun- 
gahtur αγ yf; dico rectam fjy maximam, «y minimam esse 
omnium quae a puncto γ ad circuli ag circumferentiam du- 
cuntur. 


Ducatur enim alia quaevis 7L, iungaturque ὃζ; est igi- 
tur βὸ » OL (elem. 3, 7). Et communis est γδ, angulique 
ad ὃ recti; ergo est gy * γζ. Eadem ratione est etiam 
G6 ya; itaque maxima omnium est By, minima ay. 


Sed rursus perpendicularis a puncto y ducta in ipsam Prop. 


&f circuli cireumferentiam cadat, sitque yo, et rursus ad cir- 
culi centrum ὃ ducatur αὖ, quae producta circumferentiam 
secet in β, et. iungatur y; dico maximam esse By, mini- 
mam ay. | 
lam primum apparet esse y 
y " γα; ducatur autem ad circumferen- 
liam alia quaevis ye, et iungatur ae. 
Quia «8 diametrus est, maior est 
quam eoe (elem. 3, 45). Et ipsis 
of αε perpendicularis est «y;. ergo 
yB * ys. lem yf maior est ceteris 
omnibus. Et eadem ratione demon- 


A f stabitur esse ey ?» ya; ergo fy 
| maxima, Αγ minima est omnium 
£ rectarum quae a puncto y ad cir- 

culi αβ cireumferentiam ducuntur. 


«(Δ 


lisdem suppositis perpendicularis extra circulum cadat, 
sitque yÓ, et ad circuli centrum & ducta de producatur secet- 
que circumferenliam in punctis a βι οὐ iungantur ay By; iam 


Ha 48. 8'] y' BS, om. A 49. τοῦ χύχλου 4B Ha ἡ (ante I-A) 
om. B Ha 486. ἄρα add. Ha 38. μεγίστης ABS, corr. Ha auctore 
Co 34. γΊ δ΄ BS, om. A 

Pappus 11. 59 


466 


Prop. 
46' 


296 


922 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


αἱ ΑΓ ΒΓ: λέγω δὴ ὅτι μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ΒΓ, ἐλαχίσ'α: 
δὲ ἡ ΑΓ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ D πρὸς τὸν 4B κύχλ.«. 
προσπιπεουσῶν εὐϑειῶν. 


Ὅτι μὲν οὖν μείζων ἐστὶν 7; ΒΓ τῆς ΓΑ͂ φανερόν, 42^ 
δὲ ὅτι καὶ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ D πρὸς τὴν τοῦ 4B κὐχΆ.«ε 
περιφέρδιαν προσπιπτουσῶν. προσπιπεέτω γάρ τις 2€« 
ἑτέρα ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ 4Ζ. ἐπεὶ οὖν διὰ τοῦ x s 
τρου ἐστὶν ἡ B4, μείζων ἐστὶν ἡ 4B τῆς 4Z. καὶ ἔστε 
αὐταῖς ὀρϑὴ ἡ AT, ἐπεὶ καὶ τῷ ἐπιπέδῳ - μείζων ἄρα ἐστὲ 
ἡ ΒΓ τῆς ΓΖ. ὁμοίως καὶ πασῶν. μεγίστη μὲν ἄρα ἐστὲ: 
ἡ ΓΒ, ὅτι δὲ καὶ ἡ «ΑΓ ἐλαχίστη. ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἐστὲν 
ἡ 44 τῆς 4Z, καὶ ἔστιν αὐταῖς ὀρθὴ ἡ AT, ἐλάσσων ἄρα 
ἐστὶν ἡ .4T τῆς ΓΖ. ὁμοίως καὶ πασῶν. ἐλαχίστη ἄρα 
ἐστὶν ἡ .4U, μεγίστη δὲ ἡ ΒΓ πασῶν τῶν ἀπὸ τοῦ Γ 
πρὸς τὴν τοῦ ΑΒ κύχλου περιφέρειαν προσπιπτουσῶν 1; 
εὐϑειῶν. 


Εἰς τοὺς κωνικοὺς ὅρους. 


"'Eày ἀπό τινος σημείου πρὸς κύκλου περιφέρειαν" 
εἰκότως ὁ πολλώνιος προστίϑησιν “ἐφ᾽ ξκάτερα προῦ- 
ἐχβληϑῇ", ἐπειδήπερ τοῦ τυχόντος κώνου γένεσιν δηλοῖ. ? 
εἰ μὲν γὰρ ἰσοσκελὴς ὃ κῶνος, περισσὸν ἣν προσεκβάλιειν 
διὰ τὸ τὴν φερομένην εὐϑεῖαν αἰεί ποτε ψαύε ιν τῆς Ὁ τοῦ 
κύχλου περιφερείας, ἐπειδήπερ πάντοτε τὸ σημεῖον ἴσον 
ἀφέξειν ἔμελλεν τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας. ἐπεὶ δὲ δύτ- 
ναται καὶ σκαληνὸς εἶναι ὁ χῶνος, ἔστιν δέ, ὡς pj — 
γραπται, ἐν κώνῳ σκαληνῷ μεγίστη τις καὶ ἐλαχίστη πλευρά ΄ 
ἀναγκαίως προστίϑησιν τὸ “᾿προσεχβληϑῇ᾽, ἵνα αἰεὶ ng00— 


4. δὴ ὅτι AS, ὅτι ΒΒΕΥ, ὅτι δὴ Ha $9. τὸν ΑΒΓ χύχλον ABS, 
corr. Ha auctore Co δὅ. δὲ Hu ργο δὴ 411. ἐλάσσων Ha pro ἐλαχίστη, 
item vs. 42 44. ἔστι xoà αὐταῖς Ha 41 — p. 924, 3. hoc scholion 


non ab ipso Pappo scriptum esse videtur 48. numerum εἰ praefigun/ 
BS 49. ἐφ᾽ ἑχάτερακ προσεχβληϑὴ Apollon. conic, 4 defin. 4, χαὶ ἐφ᾽ 
ἑχάτερα ἐχβληϑὴι ABS 39. τὸ add. Hu ett (sine spir. et acc.) À 


LIBER VII. PROPOS. 467. 923 


iam esse jy, minimam ay omnium rectarum quae 
ad circuli «8 circumferentiam ducuntur. 

lam primum apparet esse 

By » ya; sed dice eandem 

By maiorem esse omnibus 

quae a puncto y ad circuli. 

ap cireumferentiam dueuntur. 

x Ducatur enim alia quaevis γζ, 


et iungatur Oz. lam quia βὸ 


N 
per centrum transit (elem. 5, 

| EN δὴ, est 80 » Ot. Et his ipsis 

€ L perpendicularis est ὃγ, quo- 


niam etiam plano circuli per- 

pendicularis est; ergo fy 
yb. ltem Ó» maior est ceteris 
Maxima igitur est Gy; sed demonstretur etiam mi- 
«y. Quia enim aó minor est quam Ó£ (elem. 5, 8), 
perpendicularis óy, minor igitur est cy quam γξ. 
celeris omnibus. Ergo ey minima, y maxima est 
'tarum quae a puncto y ad circuli ag cireumferen- 
tur. 


Ν, 


In conicas definitiones. 


corum I libri defin. I ad verba "si ab aliquo puncto 
ircumferentiam" iure Apollonius addit "in utram- 
producatur", quoniam cuiuslibet coni originem 
(am si isosceles conus esset, supervacaneum esset 
ucere, quia haec ipsa, cum convertitur, circuli cir- 
m perpetuo tangeret, quippe cum punctum manens 
1ali intervallo a circuli cireumferentia distaret. Sed 
obliquus conus esse potest, in quo, ul supra de- 
est, et maximum aliquod et minimum latus ex- 
sario illud "producatur" adiicit, ut quae minima 


24. δὲ A? ex à» 27. προσεχβληϑὴ Ha pro προσ- 
αιξι (sine spir. et acc.) A (Ha BS) 
99 * 


9324 HI AIHIOY EZYNATOTHSZ Z. 


εχβληϑεῖσα ἡ ἐλαχίστη [ἀεὶ τῆς “μεγίστης] αὔξηται [no ezmm —- 
ἐχβαλλομένης), ἕως ἴση γένηται τῇ μεγίστῃ καὶ ψαύσῃ v «xc am 
ἐχεῖνο τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας. 

237 ὃ. Ἔστω γραμμὴ ἡ «ΑΒΓ, καὶ ϑέσει ἡ ΑΓ, πᾶσαι «ε' 
αἱ ἀπὸ τῆς γραμμῆς ἐπὶ τὴν 41 κάϑετοι [ἀγόμεναι) οὕπεεςς ὁ 
ἀγέσϑθωσαν, ὥστε τὸ ἀπὸ ἑκάστης αὐτῶν τετράγωνον ἔσ“»» 
εἶναι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν τῆς βάσεως τμημάτων ceo 
ἑχάστης αὐτῶν τμηϑέντων᾽ λέγω ὅτι κύχλου περιφέρε « ἐἴ 
ἐστιν ἢ ΑΒΓ, διάμετρος δὲ αὐτῆς ἐστιν ἡ AT. 

Ἤχϑωσαν γὰρ ἀπὸ σημείων τῶν 4 B E κάϑετοε «αἱ! 
22 BH EO: τὸ μὲν ἄρα ἀπὸ 41 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΖΙ͂, 
τὸ δὲ ἀπὸ BH τῷ ὑπὸ AHLT, τὸ δὲ ἀπὸ ΕΘ τῷ ὑπὸ AOI. 
τετμήσϑω δὴ δίχα ἡ AT κατὰ τὸ K, καὶ ἐπεξζεύχϑωσαν 
αἷ 4K KB ΚΕ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΖΙ μετὰ τοῦ ἀτεὸ 
ΖΚ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΚ, ἀλλὰ τῷ ὑπὸ AZT ἴσον ἐστὲν "5 
τὸ ἀπὸ 4Z, τὸ ἄρα ἀπὸ 4Z μετὰ τοῦ ἀπὸ ZK, τουτέστεν 
τὸ ἀπὸ 4K, ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΑΚ’ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ 4.K 
τῇ ΚΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὕτι καὶ ἑκατέρα τῶν BK EK 
ἴση ἐστὶν τῇ AK ἢ τῇ ΚΓ. κύκλου ἄρα περιφέρειά dore" —— 
ἡ .4BI' τοῦ περὶ χέντρον τὸ Κὶ, τουτέστιν τοῦ περὶ διά- ?! 
uevoov τὴν ΑΓ. 

298 ε΄. Τρεῖς παράλληλοι αἱ 4 I4 EZ, καὶ διήχϑωσα 
εἰς αὐτὰς δύο εὐϑεῖαι αἱ .4HZI ΒΗΕΩ͂' ὕτι γίνεται εὡς 
τὸ ὑπὸ 43,8 ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΖΩ͂, οὕτως τὸ ὑπὸ AHZ 
πρὸς τὸ ἀπὸ HT τετράγωνον. 

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς j AB πρὸς €7]" 

ΖΕ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ 4B ΖΕ ro 05 

τὸ ἀπὸ ΖΕ, οὕτως ἡ .4H πρὸς τὴν np 

τουτέστιν τὸ ὑπὸ 4ΗΖ πρὸς τὸ c7* à 

HZ, ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ 4B ΖΕ πρὸς ai 


Α 


* [o ΄, 0 
ἀπὸ ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ 422 πιρὸς 4 


*" 


ἀπὸ HZ. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΖΕ π *? 





Ἢ 





4. ἀεὶ τῆς μεγίστης et προσεχβαλλομένης del. i ^. à] $ x5 
om. À 5. ἀγόμενειιι BS, ἀγόμενοι A, del. Hu . «q^ Ha, ὑφ ΄ 
ἐφ᾽ BsS 8. αὐτῶν τμηϑέντων Ha, ἀπὸ τῶν rimo ABV, «* 


LIBER VII. PROPOS. 468. 169. 925 


est usque eo producta augeatur, quoad maximae aequalis fiat 
eL propterea circuli cireumferentiam semper contingat. 


II. Sit linea ey, et positione data «y, et omnes a linea 
egy ad rectam ey perpendiculares ita ducantur, ut unius- 
cuiusque quadratum aequale sit rectangulo baseos segmentis, 


'quae a singulis perpendicularibus efficiuntur, contento; dico 


lineam ay dimidiam circuli cireumferentiam, eiusque dia- 
metrum ay esse. 

Ducantur enim a punc- 

ó / tis ὃ B & perpendiculares 

OG βὴ s9; est igitur ex 

ὲ — hypothesi δζ — αζ- Cy, et 

gy? aep. wy, οἱ ε3 — 

αϑ.9γ. lam «y bifariam 

secetur in punoto x, et 

« ξ X 7 /  iungantur x8 xf xs. lam 

quia propler elem. 2, 5 est 


/^— aL-Ly M- Cx? — ox?, et ex hypothesi αζ' Cy 2 O02, est igitur 


OL? -- DO — ox), id est Ox? — ax?; itaque xÓ — «x. Si- 
militer demonstrabimus et fx et ἐκ aequalem esse rectae ox 
vel xy; ergo linea ay est dimidia circumferentia circuli, 
cuius centrum x, id est circuli circa diametrum αγ descripti. 


IIl. Tres parallelae ef 7à Le, in easque ducantur duae 
rectae αηζγ βηεδ᾽) ; dico esse af. Ce : y0? — an- vt : ηγϑ. 

Quoniam enim est a) : Le — am: nb, per multiplicationem 
est igitur 


*) Praeter illam quae p. 924 descripta est 


7 
IN 
γ, Nd in codice exstat haec altera, quam si sequimur 
& f 


τῶν τμημάτων S 40. τῶν 418 A, distinx. BS 43. δὴ] δὲ Ha 
44. ef ΚΖΩ Ha 48. δὴ) δὲ Hu 20. τοῦ (ante περὶ χέντρον el 
ante περὶ διάμετρον) Ha pro τῆς 32. εἼ ζ΄ BS, om. AV 23. αἱ 


— -.-.---..... —— 


ΔῊ ΖΓ BH EÉ4 A, Corr. BS 


supra reponendum est "reciae αγζη βδεηΐ. 


Prop. 
168 


Prop 
169 


299 


240 


926 ΠΑΠΠΟῸΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


τὸ ἀπὸ ΓΩ͂, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ZH πρὸς τὸ ἀπὸ HI 
δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὲν ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ 
τετράγωνον, οὕτως τὸ ὑπὸ HZ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ τετρά- 
γωνον. 

π΄. Ἔστω ὡς ἡ “418 πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ 244 noo? 
τὴν AT, καὶ τετμήσϑω ἡ .41Γ δίχα κατὰ 10 E σημεῖον ὅτι 
γίνεται τὸ μὲν ὑπὸ BEA ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΓ, τὸ δὲ ὑπὸ AAT 
τῷ ὑπὸ BAE, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ὑπὸ EBA. 

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν 
-, E —E-—————4À 


e H d o» δ ὡς ἢ .4B πρὸς τὴν" 


ΒΓ, οὕτως ἡ .44 
πρὸς τὴν 4I, συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ 
ἀναστρέψαντί ἐστιν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΓΕ 
πρὸς τὴν ΕΔ τὸ ἄρα ὑπὸ BE4 ἴσον ἐστὲν τῷ ἀπὸ ΓΕ 


, M 3 / * 3 δὴ , 
τετραγώνῳ. κοινὸν ἀφῃρηήσϑω τὸ ἀπὸ Ez τετραγωνον᾽ 15 


λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ .4AT ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ BAE. ἐπεὶ 
e 
δὲ τὸ ὑπὸ BE4 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ED, ἑχάτερον ἀφῃρή- 
2 * —- 2) M -ὠ ’ δὴ » € 
σθω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς BE τετραγώνου" λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ 
^ 3» 
ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ EBA. γίνεται ἄρα τὰ vota. 
x 
^ € ν᾿ 
v& τοῦ ὃν ἔχει τὸ Γ πρὸς τὸ Z4 καὶ ἐξ οὐ ὃν ἔχει τὸ E 
A i x e M] M bi hl b] , , 
πρὸς τὸ Z: ὅτι καὶ τὸ Γ πρὸς τὸ Z1 τὸν συνημμένον λόγον 
» » - (G » * s * * M M M 
ἔχει ἔχ τε τοῦ ὃν ἔχει τὸ “4 πρὸς τὸ B xai τὸ Ζ πρὸς τὸ E. 
d ^ — 3 
Τῷ γὰρ τοῦ E πρὸς τὸ Z λόγῳ ὃ αὐτὸς πεττοιήσϑω 
€ 
ἧπται ἔκ τε τοῦ τοῦ Γ πρὸς τὸ 4 καὶ τοῦ τοῦ E πρὸς τὸ Z, 
, — M A 3 Ἁ € , M “« 
τουτέστιν τοῦ 4| πρὸς τὸ H, ἀλλὰ ὃ συνημμένος &x τε τοῦ 
, e , M 
ὃν ἔχει τὸ D πρὸς τὸ 4 καὶ ἐξ ov Ov ἔχει τὸ Δ΄ πρὸς τὸ 
M - » 
Η ἐστὶν o tob Γ πρὸς τὸ H, ὡς ἄρα τὸ 24 πρὸς τὸ B, οὕτως 


τὸ Γ πρὸς τὸ H. ἐπεὶ δὲ τὸ Γ πρὸς τὸ 4 τὸν συνημμένον Ὁ 


5. ς΄] 5 8S, om. A 7. γένεται Bl, γένονται AB?S Ha 42. πρὸὺς 


τὴν yd SV 45. ἀφαιρεέσϑω AS, corr. B V m. rec., item vs. 17 

17. dà τὸ ὑπὸ BA: ABS, corr. Ha auctore Co ἑκάτερον Hu pro 
ἀμφότερα 20. 7] 9' BS, om. A 21. ἐξ οὗ Ov APBS, ἐξουσιον 
(sine acc.) A1 25. ὁ τοῦ Ha'pro τὸ λόγος ante συνῆπται add. 


Ha 26. τοῦ toU Ha pro τοῦ τῆς τὸ (anle 7f) add. Hu τοῦ E 


2. Τὸ .4 πρὸς τὸ B τὸν συνημμένον λόγον ἐχέτω ἔκ" 


- ki - ; 
ὁ τοῦ 4 πρὸς τὸ H. ἐπεὶ ovv o τοῦ 4 πρὸς τὸ B ov»-5 


| 


| 


LIBER VII. PROPOS. 470. 174. 927 


af-.Le: bs? τ an: ηζ: «Q2. Sed est etiam 
Le? : γὸξ τὸ ηζξ : »y?; ex aequali igitur 
af Le: yÓ? — an. qb : ηγ3. 

IV. Sit ag : By — αὃ : Óy, et ay bifariam secetur in Prop. 
puncto e; dico esse fje.50 — ey?, et αδ. ὃγ — βδ. δὲ, et "m 
of - By — εβ. à. 

Quoniam enim est 

af : By — αὃ : Óy, componendo fit 
αβ -- By : y — ay : yÓó, et, quoniam est afl 4- By 
— αγ -- 9 y, et ez hypothesi 
&y — lay, sumptis antece- 
dentium dimidiis 
£y - yB : By — 8γ: yÓ, et convertendo 
εβ: &y — ἐγ : &Ó; ergo est 
βε- εὖ — ey?. Est autem βε. e — βὸ. δὲ 4- &Ó? (elem. 
2, 5), et ey? — aó - Óy 4- &O? (elem. 2, 5); 
hinc igitur communi subtracto £0? restat 
βδ. δὲ — αὃδ. ὃγ. 
Sed quia est βε. εὃ — εγῶ, uwumque subtrahatur ex 6e?; est 
autem fe? — βε. εὃ -- e8- βὸ (elem. 2, 2) τῷ af. gy - ye? 
(elem. 2, 6); restat igitur 
sf - BO τε af fry. 


Fiunt igitur tria quae supra proposita, sunt. 











it 5 —7.*. gi iam 7 -- “.ὃ 

V. Sit $7$9pD dico esse etiam "Rr M ProP- 

E ——— ————————4 κε ——————4 c ———À4 ν- -- 
. y € 
8 μ ———4À 1 " 

Fiat enim d -— T lam quia (ex hypothesi) est 

«€ — »y € γ δὲ y ες « γ . 

mL t... -—t—-.-z-t-, οδ ἰσϊίαν - τε ^. Sed quia est 

8 L1.) ET RT 1 


χερὸς τὸ Z Ha pro τῆς E πρὸς Z 39. ὁ τοῦ Γ πρὸς ro H add. Ha ᾿ 
ὡς ἄρα Ha, ἄρα ΑΒ, ἄρα ὡς 8 





930 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓῊΣ Z. 


ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ABD γωνίαν τῇ ὑπὸ 4ΕΖ yov 
ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρα""Ὁ 
τῆς 4H EZ καὶ τῆς AE, οὕτως τὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΖΈΖΕΞΞΙ. 
Ἤχϑωσαν κάϑετοι αἱ 46 4Κ. ἐπεὶ δὲ ἴση ἐστὶν 1 
μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ AEZ γωνίᾳ, ἡ δὲ 8 09991) 
τῇ K ὀρϑῇ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ͂ πρὸς «4Θ, οὕτως -ἢ 
ΕΖΔ πρὸς 4K. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΒΑ͂ πρὸς .40, οὕτως ἐστέ 2 
τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ .41 ΒΓ, ὡς δὲ ἡ Ed πρὸς vp 2 
AK, οὕτως ἐστὲν τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 4H EZ xo 4 
τῆς 4Ε πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 4H ΕΖ καὶ vip «510 
4Κ. καὶ ἔστιν τοῦ μὲν ὑπὸ 43, ΒΓ ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρ -- 
γωνον, τοῦ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 4H ΕΖ καὶ τῆς 48 4 
ἥμισυ τὸ ΔΈΖΗ τραπέζιον: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ADAE 
πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 4H ΕΖ καὶ τῆς 4E, οὕτω « 
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ 4 ΕΖΗ τραπέξιον. 15 
244 Koi ἐὰν ἢ [δὲ] τρίγωνον τὸ ABI καὶ παραλληϊῶ -- 
γραμμον τὸ 4Ζ, γίνεται ὡς 10 ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς κ ὦ 
AEZH παραλληλόγραμμον, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς πὸ 
δὶς ὑπὸ 4ΕΖ, κατὰ τὰ αὐτά. καὶ φανερὸν ἐκ τούτων ὅπ 
τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ, ἐὰν ἢ παραλληλόγραμμον τὸ 4Z καὶ ἴσον 20 
τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, ἔσον γένεται τῷ δὶς ὑπὸ 4ΕΖ, ἐπὶ δὲ 
τοῦ τραπεζίου ἴσον γίνεται τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 4H 
ΕΖ καὶ τῆς AE, ὅπερ: — 


245 ια΄. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, xoi ἐκβληϑείσης τῆς Y 
διήχϑω τις τυχοῦσα ἡ 4E, καὶ αὐτῇ μὲν παράλληλος 1x9 e* 

ἡ AH, vij δὲ ΒΓ ἡ .4Z- ὅτι γίνεται ὡς τὸ ἀπὸ .4H **- 
τράγωνον πρὸς τὸ ὑπὸ BHI, οὕτως τὸ ὑπὸ 4ZO πρὸς * 
ἀπὸ ΖΑ͂ τετράγωνον. . 
Κείσϑω τῷ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ ἴσον τὸ ὑπὸ AHK, τῷ 9* 
ὑπὸ ΔΖΘ ἴσον τὸ ὑπὸ 4.2, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΒΚ 9: 


* 
0 


| | £ 
A. post γωνέᾳ add. Ha ἡ δὲ 4H τῇ EZ παράλληλος » ρος 
AGAK A, distinx. ΒΒ ἐπεὶ οὖν ἴση coni. Hu ὅ. Θ ὀρϑὴ) ὁ 7 
ABS, ὀρϑὴ Θ Ha 8. ὡς δὲ ἡ 44 ABS, corr. Ha auctore CO “- 


40. τῆς 4HEZ A, distinx. BS 49. τὸ δὲ ὑπὸ Ha καὶ τῆς € 
ABS, corr. Ha auctore Co 44. xol ante τῆς 44H EZ add. A 


LIBER VII. PROPOS. 175. 931 


gulus ey aequalis sit angulo δεζ, et parallelae sint δὴ εζ; 
dico ut rectangulum «f .6y ad rectangulum (δὴ 4- eL) δὲ, 
ita esse triangulum oy ad trapezium δεζη. 

Ducantur perpendi- 
culares «9: óx. Quo- 
niam ex hypothesi est 
L «fy — LósC, et ex 
constructione 4. 9 — [ x, 
est igitur fa : «9 -Ξ 
€0 : ὄχ. Sed est fa : a8 

— βα-βγ: o9. fy, οἱ 
δὃ : ὄχ — (0n 4- eC) εὃ : (δὴ -- eC) Óx ; ideoque vicissim af - By : 
(δὴ) 4- &C) εὃ — a9 By : (Ón- et) δκ. Et est rectanguli «9 - y 
dinnidium triangulum αβγ, et rectanguli (δὴ 4- εἴ) óx dimidium 
lrapezium δεζη; est igitur ut rectangulum af). βγ ad rectan- 
gulum (δη -ἐ- e£) ἐδ, ita triangulum αβγ ad trapezium δεζη. 

Quodsi sit triangulum αβγ et parallelogrammum ὅδδζη, 
Üt wt oy triangílum ad δεζη parallelogrammum, ita rectan- 
8alum ag.8y ad duplum rectangulum δὲ. εζ, eadem ratione. 
Et hinc apparet, si parallelogrammum sit debn idque trian- 
8ulo o8, aequale, esse af. βγ — 3 δε- εζ; si vero trapezium, 
556 αβ-.βγ 2 (δὴ - εἴ) δε. 


IX. Sit triangulum ay, et productà γα ad ὃ ducatur Prop. 
quaelibet recta 99e, eique parallela ay, et rectae 8y parallela " 
05 5 dico esse a7? : 8n. »y — ὃζ. C9 : Co?. 

Ponatur «5. $5x — βη ηγ,) et αζ' ζλ — δξ - C9, et iun- 


- Ὁ ὁ 


e 





16— 23. baec ab interpolatore addita esse videntur 46. numerum 
y Praefigunt BS δὲ del. Hu 48. τὸ ὑπὸ ΑΒΓ Hu auctore Co, 
τὸ σε ὁ 48BrT A(BS), τὸ ὑπὸ .4B ΒΓ Ha, item vs. 20 49. àx τούτῳ 
'YPOth etae errorem apud Ha repelivit Ge 20. 21. xal ἴσον τῷ 4ΒΓ 
T0*2/€$39 add. Ha 32. τῷ ὑπὸ Ha auctore Co, τὸ δὶς ὑπὸ AS, τῷ 
δὶς ὦ γχὺ B 44. 23. τῆς ZH EZ ^, distinx. BS 33. ὅπερ BS, o0 À 
τ ἐςεΊ ιδ΄ BS, om. A 25. τυχοῦσα ? 4Ε Ha auctore Co 26. δὲ 
8y Bs, AEBI A 27. τὸ ὑπὸ 41ZO Ha auctore Co pro τὸ ὑπὸ ZO 
ἅν. &o. “ΗΚ, τῷ di — ἴσον τὸ ὑπὸ add. Co 80. AZ4 ABe, ei) 
B'S «od. Co 








246 


247 


932 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Ζ. 


ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ Γ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΚΗ͂, ἡ δὲ ὑπὸ 
444 ἐν κύχλῳ t ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΖΘΑ͂, καὶ ἧ ὑπὸ ΗΚΒ 
ἄρα ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ZO4 γωνίᾳ. ἀλλὰ καὶ 7 πρὸς τῷ 
Η γωνία ἴση ἐστὶν τῇ πρὸς τῷ Z- ἔστιν ἄρα ὡς 7 BH 
πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ AZ πρὸς τὴν ΖΘ. ἐπεὶ δέ ἐστιν 
ὡς ἡ .4H πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΒ, ὡς 
δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ 0 ΖΘ πρὸς 
ΖΑ͂, ἔστιν ἄρα ὡς 7) 4H πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς 
ΖΑ͂. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ AH πρὸς HB, οὕτως 7, ΘΖ 
πρὸς ΖΑ͂, ὡς δὲ ἣ ΒΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἄλλη τις ἡ .4Z Ww 
πρὸς τὴν ἡγουμένην τὴν ZO, δι᾽ ἴσου ἄρα ἐν τεταραγμένῃ 
ἀναλογίᾳ ὡς ἡ «ΑΗ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ AZ πρὸς τὴν 
ΖΑ͂. ἀλλ᾽ ὡς μὲν $ ΑΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ 
4H πρὸς τὸ ὑπὸ J4HK, τουτέστιν πρὸς τὸ ὑπὸ BHTI, ὡς 
δὲ ἡ 4,12 πρὸς ΖΑ͂, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ AZ, τουτέστιν 15 
τὸ ὑπὸ 4ZO, πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ͂: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ .4H 
πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ 4ZO πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ͂. 

Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου. ἐπεὶ 0 μὲν τῆς «ΠΗ πρὸς HB 
λόγος ἐστὶν ὃ τῆς ΘΕ πρὸς ΕΒ, τουτέστιν ὁ τῆς ΘΖ πρὸς 
ΖΑ͂, 0 δὲ τῆς ΑΗ πρὸς τὴν ΗΓ λόγος ὃ αὐτός ἐστιν τῷ 2 
τῆς 4E πρὸς ED, τουτέστιν τῷ τῆς 452 πρὸς Z4, ὃ ἄρα 
συνημμένος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἣ J4H. πρὸς HB καὶ τοῦ ὃν 
ἔχει ἡ ΑἩ πρὸς HI', ὃς ἐστιν ὃ τοῦ ἀπὸ 4H πρὸς τὸ 
ὑπὸ ΒΗΓ, ὃ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΖ 
πρὸς ΖΑ͂ xoi τοῦ τῆς 4Z πρὸς ΖΑ͂, ὅς ἐστιν Ó τοῦ ὑπὸ 2» 
4Z0 πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ͂ τετράγωνον. 


Τοῦ β΄. 
α΄. Δύο δοθεισῶν τῶν “418 ΒΓ, καὶ εὐθείας τῆς AE, 


εἰς τὰς 41Β ΒΓ ἐναρμόσαι εὐϑεῖαν ἴσην τῇ 4E καὶ παρ- 
ἄάλληλον αὐτῇ. 30 


8. ὁ, πρὸς τῶι T γωνέα ἴση ἔστιν τῆι πρὸς τῶι Καὶ A(BS), corr. Ha 
6. ὡς ἡ ΔΗ A, corr. ΒΒ πρὸς τὴν βη οὕτως 8 7. ἐν παραλλήλῳ 
ἡ ΘΖ Hu 419. ὁ τῆς ζϑ S 39. 293. ἡ .$H πρὸς HB καὶ τοῦ ὃν 
ἔχει om. Al, add. A?BS 37. τοῦ B add. in A manus rec. , TOU δευτέ- 
gov τῶν xovixQv S, om. Α'Β — 28. «' add. BS 





LIBER VII. PROPOS. 176. 933 


gantur 9x ϑλ. lam quia ex constructione puncta a y x B 
2n circuli circumferentia sunt, in eodem segmento aügulus αγβ 
angulo ax6' aequalis est, itemque in 
eodem circuli δαϑλ segmento angu- 
lus δαλ angulo à34 aequalis. Εἰ 
propter parallelas 8y λα est L αγβ — 
L δαλ; ergo etiam [, «xg — [ 034. 
Sed propter parallelogrammum onec 
etiam est ἐ βηκ — L ÀAC9; ergo im 
similibus triangulis Bx AL9 est 
Bu : ηκ — λξ : 059. Sed quia prop- 
ter porallelos αἡ 9& est am : ηβ — 
9€ : εβ, et propter parallelas 8e Cc 
est 9e: ef τ 9C: Ca, est igitur 
o5 : "B — 36: ζα. Tam quia est 


: β — 3C : Ca, et 
nB : ηκ τε AL: 9C, ex aequali igitur in. perturbata pro- 
portione (elem. 3, 25) est 





am: "x — ἀξ : 0a. Sed est 

om: 7x Ξξ en : en. μὴ id est ex constructione 
— oam: βη "ηγ, et 

AL : ta — AL to : Lad, id est ea constructione 


— Ot. E9 : Co?; est igitur 
: βη qy — OC C9 : Coa. 
Per tor alam compositae proportionis s?c. Quia est 
on: ἢβ τ  ϑε: εβ — ϑζ: ζα, οἱ 
on : "y — δὲ : ey — OL : ζα, est igitur 


9 
an cn -- ἐς id est 


om? : βη: jy — ὃζ. C9 : ξαϑ. 


LEMMATA IN CONICORUM LIBRUM II. 


I. Dato angulo αβγ, et rectà δὲ (cuius terminus ὃ sit. in Prop. 
recta af) positione et magnitudine datá , construatur trianguli 
ey latus «y aequale et parallelum rectae δὲ ἢ). 


*) Figura in codicibus tradita demonstrat omissam esse banc propo- 
sitionis partem "et pertineat δὲ ultra &y". Reliquos, qui statui possunt, 
casus non curavit huius lemmatis scriptor. Ceterum conf. adnot. ad 
VII propos. 162. 


934 . ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ Z. 


Τοῦτο δὲ φανερόν. ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ E τῇ 4B noc e» 
ἄλληλον ἀγάγωμεν τὴν ΕΓ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ 4E παράλ 27- 
λος ἀχϑῇ ἡ ΓΑ͂, ἔσται, διὰ τὸ παραλληλόγραμμον εἶ.» εχ 
τὸ AT EA, ἡ AT ἴση τῇ 4E καὶ παράλληλος, καὶ ivxjg- 
μοσται εἰς τὰς δοϑείσας εὐθείας τὰς 48 ΒΓ. d 


.248 B'. Ἔστω δύο τρίγωνα và ΑΒΓ .1ΕΖ, xoi ἔστω ὡς 7 

4B πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ 4E πρὸς ΕΖ, καὶ παράλληλος 
ἡ μὲν 48 vij AE, ἡ δὲ ΒΓ τῇ EZ: ὅτι καὶ ἡ AT τῇ 4Z 
ἐστὶν παράλληλος. 

Ἐχβεβλήσϑω ἡ ΒΓ καὶ συμπιπτέτω ταῖς 4E 42 κατὰ 
τὰ H O. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως 
ἡ 4E τιρὸς EZ, καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ B E γωνίαι, διὰ τὸ εἶναι 
δύο παρὰ δύο, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ Γ τῇ Z, τουτέστιν τῇ 
Θ, διὰ τὸ παραλλήλους εἶναι τὰς ΕΖ ΗΘ’ παράλληλος 
ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ 40. 15 

249 Y. Εὐϑεῖα ἡ .4B, xoi ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΓ 48, καὶ 

μεταξὺ τῶν D 4d εἰλήφϑω τυχὸν σημεῖον τὸ Ε΄ ὅτι τὸ ὑπὸ 
.44248 μετὰ τοῦ ὑπὸ UCEA ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ AEB. 

Τετμήσθω ἢ Γά δίχα [ὕὅτιως ἂν ἔχῃ ὡς πρὸς τὸ E 
σημεῖον] κατὰ τὸ Ζ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ J44B μετὰ τοῦ ἀπὸ 
Z4 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΖΒ, ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ Z4 ἴσον 
ἐστὲν τὸ ὑπὸ DEA μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΕ, τῷ δὲ ἀπὸ ZB ἴσον 
ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΕ, τὸ ἄρα ὑπὸ 4248 
μετὰ τοῦ ὑπὸ DEA καὶ τοῦ ἀπὸ ΖΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ 
AEB xai τῷ ἀπὸ ΖΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΖΕ" 3 
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ Α4}8 μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΕΔ ἴσον ἐστὶν 
τῷ ὑπὸ 4ΕΒ. 


. διὰ τοῦ E Ha auctore Co pro διὰ τοῦ Γ 4. τὸ AT AE A, 
τὸ à 5d BS, corr. Ha auctore Co 6. 8' add. ΒΒ 10. 1]. κατὰ τὰ 
ΗΘ A, distinx. S, χατὰ τὰ o9 B 419. αἱ BE ABS, distinx. Ha 


13. x«l om. Β5 14, post EZ HO add. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ γωνέα τῆι 
H ἐπεὶ καὶ τῆι B ABS, om. Co — 15. τῇ 4Z Ge 18. y' add. ΒΒ 
Ἔστω εὐϑεῖα Ha 47. τῶν ΓΩ͂ ^, distinx. BS 19. 90. ὅπως — 


LIBER VII. PROPOS. 177. 178. 935 


Hoc vero manifestum est. Nam 
si per δ rectae a parallelam duca- 
mus &y, et per y rectae δὲ paralle- 
lam γα, facto parallelogrammo αγεδ 
erit αγ datae rectae δὲ aequalis et pa- 
rallela eademque trianguli «8» latus. 





II. Sint duo tr iangula afy δεζ,͵ sitque «fg : βγ — δὲ : eC, Prop. 
el o5 parallela rectae de, et By rectae eC; dico etiam rectam "n 
ey rectae OL parallelam esse. 


, Producatur fy  secetque 

Ó rectas δὲ ὃζ in punctis ἡ 9. 

lam quia ex hypothesi est 

oa: y — δὲ: εζ, et propter 

binas parallelas anguli 8 & ae- 

/ : quales sunt, etiam angulus y 

Li 77 , aequalis est angulo 5, id est 

| angulo 2 (quia parallelae sunt 
εζ 79); ergo ay rectae 09 sive OL parallela est. 


III. Sit recta af, et ay — Óg, et inter » à sumatur FFOP- 
quodvis punctum £; dico esse a0. 0f -- γε. cO — αε- ep. 118 











| EL—— —L- —M—— ———————-— 4 


c y ζ ε ὃ β 


Secetur 7À bifariam in puncto C. Et quoniam propter 
elem. 2, 5 est 
αὃ. 08 -- CÓ? — C8?, itemque 
L0? τὸ γε. &Ó -- Ce?, et 
L8? — ἀξ. εβ - ζεῖ, est igitur 
αὃ. Og - γε. εδ - Ce? — ae- ef -- Ce?.. Commune au- 
feratur ζε2; restat igitur 


αὃ. 0f - γε. εὃ — oc- ef. 


σημεῖον del. Hu 49. ὡς πρὸς τὸ] τὸ πρὸς 1o Ha, item p. 936, 4 
95. ἀφαιρείσϑω AS, ἀφαιρήσϑω B, corr. Ha 


200 


251 


252 


936 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ Z. 


ὃ. Εὐθεῖα ἡ 4B, xoi ἔστωσαν ἴσαι αἱ ΑΓ 48, καὶ 
μεταξὺ τῶν Γ 4 εἰλήφϑω τυχὸν σημεῖον τὸ E* ὕτι τὸ ὑπὸ 
τῶν 48 ἴσον ἐστὲν τῷ τε ὑπὸ τῶν LEA καὶ τῷ ὑπὸ 4.1. 

Τετμήσθω γὰρ ἡ ΓΖά, δίχα [ὅπως ἂν ἔχῃ ὡς πρὸς τὸ 
E σημεῖον] κατὰ τὸ Ζ' καὶ ὅλη ἄρα ἡ AZ τῇ ZB lon? 
ἐστίν" τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ .4EB μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶν 
τῷ ἀπὸ AZ, τὸ δὲ ὑπὸ 4. 4T μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν 
τῷ ἀπὸ “42, ὥστε τὸ ὑπὸ 4ΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ EZ ἴσον 
ἐστὶν τῷ ὑπὸ 4 ΑΓ xoi τῷ ἀπὸ ΓΖ. ἀλλὰ τὸ ἀπὸ ΓΖ 
ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ DEA xoi τῷ ἀπὸ EZ, καὶ κοινὸν τ 
ἀφῃρήσϑω τὸ ἀπὸ EZ τετράγωνον: λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ 
AEB ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ DEA καὶ τῷ ὑπὸ AAT. 

ε΄. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ AEZ, καὶ ἔστω ἴση 
ἡ μὲν Γ τῇ Z, μείζων δὲ ἡ B τῆς E: ὅτι ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ͂ 
ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς Z4. 1ὃ 

Συνεστάτω τῇ E γωνίᾳ ἴση 7, ὑπὸ ΓΒΗ͂, ἔστιν δὲ καὶ 
ἡ Dl τῇ Z ἴση" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΗ͂, οὕτως ἡ EZ 
πρὸς Z4. ἀλλὰ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ͂ ἐλάσσονα λόγον ἔχει 
ἥπερ ἡ ΒΓ πρὸς DH: καὶ ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς ΓΑ͂ ἐλάσσονα 


λόγον ἔχει ἤπερ ἢ ΕΖ πρὸς Z4. 20 
c. Ἐχέτω δὴ πάλιν ἡ BI πρὸς ΓΑ͂ μείζονα λόγον 


ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς Z4, ἴση δὲ ἔστω ἡ Τ᾽ γωνία τῇ Z: ὅτι 
πάλιν γίνεται ἐλάσσων ἡ Β γωνία τῆς Ε γωνίας. 

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ͂ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ 
ΕΖ πρὸς Z4, ἐὰν ἄρα ποιῶ ὡς τὴν ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ͂,Ἐ 
οὕτως τὴν ΕΖ πρός τινα, ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῆς Z4. 
ἔστω πρὸς τὴν ZH, καὶ ἐπεζεύχϑω ἡ ΕΗ, καὶ περὲ ἴσας 


4. δ' add. ΒΒ Ἔστω εὐθεῖα Ha 48. τῶν P4 A, distinx. BS 
3. τῶν ante J4EB et ante ΓΕΖ om. Ha 4. δ. ὅπως — σημεῖον 
del. Hu 5. ἔση S, ἴσον AB 7.8. τὸ δὲ ὑπὸ 44Γ — τῷ ἀπὸ 4Z 
om. Co Ha 8. μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΖ AB, corr. S 40. x«l (ante xoi- 
vov) om. Ha 429. τῷ τε ὑπὸ ΕΓ Ha 13. &' add. Ha τὰ 48 
T4 EZ à, corr. BS 44. πρὸς ΓΑ͂ Ha auctore Co pro πρὸς Ff 
941. ς΄ add. BS 94. μείζονα Ha pro ἐλάσσονα 25. ὡς ἡ ΒΓ Ha 
πρὸς τὴν ΓΑ͂ Ha auctore Co pro πρὸς τὴν ΓΖ 46. οὕτως ἡ EZ πρός 
τινα ἄλλην Ha 27. ἐπιζευχϑῆι ABS, corr. Ha περὶ) πρὸς Ha 


LIBER VII. PROPOS. 479. 480. 484. - 937 


IV. Sit recta af, et «y — Of, et inter y à sumatur Prop. 
quodvis punctum ε: dico esse c&- εβ zz γε-εὃ -- δα. ay*). 





- —— ———— —— d———————— ——— 


e y ὃ ε ὅ 





- 


Secetur enim γ᾽ bifariam in puncto C; ergo est etiam 
αἷ — LB, itaque propter elem. 2, 5 est - 
'a&- fl -- εἴ — at, itemque propter elem. 2, 6 . 
0o αγ 4- yC? — oL?, ita ut sit 
c6 - £9 -- eC? — δα - ay -- yC.. Sed quia est y(2 — 
γε. εὃ 4- &L2, commune au- 
feratur &eC?; restat igitur 
at. Ef) — γε. εὃ -t- δα.- ay. | 
V. Sint duo triangula ofly δεζ, sitque [y — [ C, et Prop. 
L B .L €; dico esse By : ya « & : C0. 180 
« Construatur [ γβὴ 
— Le, οἱ estt ὁ y — 
Lt; itaque By : yu — 
εζ : C0. Sed, quia est 
ya 2 yy, est By: yo 
« By: yg; ergo etiam 
By : ya « s : CO. 
' VI. lam rursus sit By : ya » εἴ : ζδ, et [y — LC; Prop. 
dico angulum 6 minorem.esse quam e. 181 





9, "2 


d | Quoniam enim est 
By : ya »Ὲ eC : CO, si fa- 
ciam εζ : ἃ — fy : ya, 

ert cz « L0. Sit C», 
et iungatur &y; et ae- 

Á y £6 5 quales sunt anguli quos 


G 


*) Hoc lemma idem est ac superius tertium, paulo aliter enuntia- 
tum. Quapropter eandem figuram repetivimus omissa codicum auctori- 
tate, qui ad hoc IV lemma punctum «: inter γ et ᾧ situm exhibent. Si- 


wjillimam demonstrationem habet Eultocius ad Apollonii conic. p. 494 Ha. 
Pappus II. ] 60 


938 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Z. . 


γωνίας ἀνάλογόν εἰσιν ei πλευραί" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ B yeme- 
νία τῇ ὑπὸ ΖΕΗ͂, ἐλάσσονι οὔσῃ τῆς Ε. 2 

253 C. Ἔστω ὅμσια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ AEZ, xoi διήχϑε.»-- 
σαν αἱ ΑΗ 460 οὕτως, ὥστε εἶναι ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ͂ πρός 
τὸ ἀπὸ ΓΑ͂, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ Z4- ὅτι 2 
γίνεται ὅμοιον xoi τὸ A4 HE τρίγωνον τῷ 402 τριγώνῳ. 

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, 
οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΩ͂, ἀλλ᾽ ὃ μὲν τοῦ ὑπὺ 
ΒΓΗ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει 
ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ͂ καὶ τοῦ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΑ͂, ó δὲ τοῦ ὑπὸ 
EZO πρὸς τὸ ἀπὸ Z4 συνῆπται ἔκ ve τοῦ τῆς ΕΖ πρὸς | 
Z4 xai τοῦ τῆς ΘΖ πρὸς Z4, ὧν ὃ τῆς ΒΓ πρὸς ΓΑ 
λόγος ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΖΩ, διὰ τὴν ὁμοιό- 
τητα τῶν τριγώνων λοιπὸς ἄρα ὃ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΑ͂ λύγος 
Ó αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΖ πρὸς Z4. καὶ περὶ ἴσας γωνίας: 15 
ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ATH τρίγωνον τῷ 4Z0O τριγώνῳ. 

254 UE Διὰ μὲν οὖν τοῦ συνημμένου λόγου, ὡς 7σερογέ- 
γραπται, ἔστω δὲ νῦν ἀποδεῖξαι μὴ προσχρησάμενον τῷ 
συνημμένῳ λόγῳ. 

Κείσϑω τῷ μὲν ὑπὸ ΒΓΗ͂ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΓΚ' ἔστιν 
ἄρα ὡς 7 ΒΓ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ .«Γ πρὸς τὴν ΓΗ. 
τῷ δὲ ὑπὸ EZO ἴσον κείσϑω τὸ ὑπὸ 42Ζ.1: ἔστιν ἄρα ὡς 
ἡ ΕΖ πρὸς Z4, οὕτως ἡ 42 πρὸς ΖΘ. ὑπόκειται δὲ ὡς 
τὸ ὑπὸ ΒΓΗ͂, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΑΓΚ, πρὸς τὸ ἀπὸ T, 
τουτέστιν ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΓΑ͂, οὕτως τὸ ὑπὸ EZO, τουτ-Ὁ 
ἔστιν τὸ ὑπὸ 4Ζ.,, πρὸς τὸ ἀπὸ 4Z, τουτέστιν ἢ AZ 
πρὸς Z4. ἀλλὰ xoi ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ͂, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς 
ZA διὰ τὴν ὁμοιότητα * καὶ ὡς ἄρα 7) ΒΓ πρὸς ΓΚ, οἵτως 
ἡ ΕΖ πρὸς Z.4. ἀλλ᾽ ὡς μὲν $ BI πρὸς ΓΚ, οὕτως 
ἐδείχϑη 9 41 πρὸς ΓΗ͂, ὡς δὲ ἡ ΕΖ πρὸς ΖΑ͂, οὕτως ἡ Ὁ 


4. citatur elem. 6 propositio 4; sed significatur eadem conversa 
$. ἐλάσσονι οὔσῃ τῆς ΖΕΔ Ha, ἐλάσσονος οὔσης τῆς E ABS 8. ζ΄ 
add. BS 9. ἀπὸ add. Ha auélore Co 40. πρὸς ΓΑ A ex πρὸς 
Τὰ 44, τοῦ τῆς ZO Ha 44. λοιπὸς Ha pro λοιπὸν 46. τὸ AHT 
τρέγωνον τῷ 4902Ζ τριγώνῳ Ha 47. η΄ add. BS 48. χείσϑω τῶι 
ὑπὸ AB, corr. S 845. ὡς ἡ 4T πρὸς FK ARS, corr. πὰ 46. 97. ἡ 


LIBER Vii. PROPOS. 482. 4188. 939 


*Xe»wa proportionalia complectuntur; ergo est £L f τ L Cer, 
Vaque « ὦ Le. 
VII. Sint similia triangula αβγ δεῖ, in quibus rectae a Prop. 
33 ita ducantur, ut sit βγ.γη : ya? — εζ. C9 : CÓO?; dico ih 
9üam triangula «zy δϑξ similia esse. | 
| Quoniam enim 
est gy y : ya? — 
εἴ. L9 : ζὸ3, et per 
formulam composi- 
tae proportionis 
£ 9 y e£ $6 ΕΣ. wc 
in quibus propter triangulorum similitudinem est 8y : γα — 
εζ : CÓ, hac igitur proportione subtracta restat ny : ya 2 90: Có. 
Et sunt haec latera proportionalia circa aequales angulos: ergo 
triangula «yy óL2 similia sunt. 

VIII. Per formulam igitur compositae proportionis sic, ut Prop. 
modo scriptum est: iam vero idem, non adhibita ea formula, di 
| demonstretur. | 
.. Ponatur ay - yx 
-— fly yn, et 05 - ζλ 
— £&L-: 63; est igi- 
tur Jy : yx 2 ay : 
yp, Θ᾽ e: ζλ τε 
ὁζξ : ζϑ. Sed ex hy- 
pothesi est 


& 





By 70 : 
Qy yx : 0; 
xy: γα — λζ : C0. Sed propter similitudinem triangu- 
| . lorum est etiam | 
By : ya — εζ : CÓ; itaque est 
By.: yx ᾿ζλ. Sed demonstravimus ' esse fy : yx 
— αγ: γῆ, e e£: ζλ — 00: 09; 
. ergo etiam | 


I 
e5 
Γι 
U^! 


ZZ πρὸς ΖΑ ABS, corr. Ha 48. post ὁμοιότητα add. τῶν τριγώνων 
Ha auctore Co : 49. πρὸς Z.4 Ha auctore Co pro πρὺς Z4 
60 * 


940 . | ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ Z. 


242 πρὸς ZO: vai óc ἄρα ἢ 4I πρὸς ΓΗ͂, οὕτως ἡ 42— 
πρὸς ΖΘ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας" ὅμοιον ἄρα ἐστὲν τὸ 4TT— 
τρίγωνον τῷ 42Z0 τριγώνῳ. 

Ὁμοίως καὶ τὸ J4HB τῷ 4OE, ὅτι καὶ τὸ ABI τῷ 
AZ EZ. 5 

255 9'. Ἔστω ὕμοιον τὸ μὲν ΑΒΓ τρίγωνον τῷ  AEZ .τρι- 
γώνῳ, τὸ δὲ 4ΗΒ τῷ A4EO- ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ 
πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ͂, οὕτως τὸ ὑπὸ EZO πρὸς τὸ ἀπὸ ZA. 

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ὁμοιότητα ἴση ἐστὶν ὅλη μὲν ἡ Α 
ὅλῃ τῇ 4, ἡ δὲ ὑπὸ B.AH τῇ ὑπὸ E40, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸὺν 
HAT λοιπῇ τῇ ὑπὸ O4Z ἐστὶν ἴσῃ. ἀλλὰ καὶ ἣ P τῇ A 
ἔστιν ἄρα ὡς 1 ΗΓ πρὸς τὴν IA, οὕτως Ji ΘΖ πρὸς ΖΖ. 
ἀλλὰ xai ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ͂, οὕτως ἦν ἡ ΕΖ πρὸς Z4: 
καὶ ὁ συνημμένος ἄρα τῷ συνημμένῳ ἐστὶν ὃ avróg ἔστιν 
ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΒΙῊ πρὸς τὸ ἀπὸ r 4, οὕτως τὸ ὑπὸ ἘΖΘ 15 
πρὸς τὸ ἀπὸ Z4. 

256 (. ἄλλως μὴ διὰ τοῦ συνημμένου. κείσϑω τῷ μὲν ὑπὸ 
ΒΓῊ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΓΚ, τῷ δὲ ὑπὸ ΕΖΘ ἴσον τὸ ὑπὸ AZ A. 
ἔσται πάλιν ὡς μὲν 7) ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ 4T πρὸς ΓΗ, 
ὡς δὲ ἣ EZ πρὸς Z.4, οὕτως ἡ 4Z πρὸς ZO. καὶ κατὰ 0 
τὰ αὐτὰ τῷ ἐπάνω δείξομεν ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ “41 πρὸς TH, 
οὕτως ἡ 4Z πρὸς ΖΘ' καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, οὕτως 
ἡ ΕΖ πρὸς Z4. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ͂, οὕτως ἡ 
ΕΖ πρὸς Z4 διὰ τὴν ὁμοιότητα" δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς 
ἢ ΚΓ πρὸς ΓΑ͂, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ KI, ὃ᾽ ἐστιν τὸ ὃ 

ὑπὸ ΒΓΗ͂, πρὸς τὸ ἀπὸ AT, οὕτως ἡ AZ πρὸς ZA, τουτ- 

ἐστιν τὸ ὑπὸ “Ζ4, 0 ἐστιν τὸ ὑπὸ ΕΖΘ, πρὸς τὸ ἀπὸ 

ΖΩ͂, ὕπερ: — | 





4. 5. ὁμοίως — Ζ2ΕΖ interpolatori tribuit Hu. 4. ori] ὥστε Ha 


6. 9' add. BS 8. τὸ ἀπὸ 4Z ABS, corr. Ha auctore Co (vide 
vs. 46) 19. τὴν ante Z4 add. Ha 48. ἦν ἡ AS, xai B, 7v om. 
Co Ha πρὸς Z4 Ha auctore Co pro πρὸς ΖΑ͂ 45. τὸ ὑπὸ 


ἘΘΖ ABS, corr. Ha auctore Co 47. ει add. BS 94. roig ἐπάνω 
coni. Hu (conf. p. 942, 8) 23. οὕτως ἡ EZ ABS, corr. Ha auctore 
Co 23. 94. οὕτως ἡ oz ABS, corr. Ha auctore Co 25. πρὸς ΓΗ͂ 
Ha auctore Co pro πρὸς ΓΑ τὸ (post ὅ ἐστιν) Ha pro τοῦ 96. οὕτως 
7 AZ ABS, corr. Ha auctore Co 28. ὅπερ ἔδει δεῖξαι S 


LIBER VII. PROPOS. 484. 485. | 941 


ay : yn - δξ: t5. 
WA sunt haec latera proportionalia circa aequales angulos; 
*tgo triangula «yr 059 similia sunt. 
ltem triangula eng ὅϑε similia sunt, quia etiam trian- 
&ula «gy δὲξ similia sunt elc. 


IX. Sit A offy — A Occ, ct A αβὴ — A δεϑ; dico esse Prop. 
By yn : yo — seb. C9 : L0*. 
: Quoniam enim 


propter similitudi- 


| nem (íriangulorum 
΄ | est [ jay — LeOt,- 
et [ βαη — L εὖϑ, 
Á | P y ες $ £ per subtractionem 
igitur est /. yay — 
L 90L. Sed est etiam [ γ — L 6; ergo 
7»y : ya — ϑξ : CÓ. Sed erat etiam 
By : ya — εζ : CÓ; ergo per formulam compositae pro- 


portionis est 
By-yp τ yo? — et C9 : C. 
X. Aliter sine formula compositae proportionis. Ponatur Prop. 
| ey: yx Ξε By-yn 
d et 05 - CÀ — εζ. C9. 
Rursus erit f» : yx 
- Oy: yg, et eC: CÀ 





ὃ t — ὁξ : ξ9. Etea- 
ϑ' dem ratione ac su- 
pra  demonstrabi- 
À mus 6586 «y : γῆ — 
δὲ : £9; ergo etiam jy : yx — OL : C9, id est 


py : yx — εξ: CÀ. "ded propter similitudinem triangu- 
lorum est etiam 

By: ya — εξ : CÓ; ex aequali igitur est 

xy : ya — AL : CÓ, id est 

xy-ya : ay? — λζ. Có : CÓ?, id est (eo: constructione) 

y: yn : ay? — εξ. 69 : C0?, q. e. d. 


942 | ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTHX Z. - 


Ὁμοίως δὴ δείξομεν, καὶ ἐὰν ἢ ὡς τὸ 0x0 ΒΓῊΗ πιρὸς 
τὸ ἀπὸ .4D, οὕτως τὸ ὑττὸ EZO πρὸς τὸ ἀπὸ Z4, καὶ 
ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ 4Ε2Ζ τριγώνῳ, ὅτι καὶ τὸ 
ABH τρίγωνον τῷ 4ΕΘ τριγώνῳ ὕμοιον. 


257 ια΄. Ἔστω δύο ὅμοια τρίγωνα τὰ ΑΒΓ ΖΕΖ, καὶ xd-5 
ϑετοι ἤχϑωσαν αἵ 4H. 40^ ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ὑτεὸ BHE 
πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀττὸ OZ. 

Τοῦτο δὲ φανερόν, Ovi ὅμοιον γίνεται τοῖς πρὸ αὐτοῦ. 


258 ιβ΄. Ἔστω ἴση ? μὲν B γωνία τῇ E, ἐλάσσων δὲ ἡ 4 
τῆς 4: ὅτι ἡ ΓΒ πρὸς B.4 ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ 
ΖΕ πρὸς E4. 

. Ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἣ .4 γωνία τῆς 4, συνεστάτω αὐτῇ 
ἴση ἡ ὑπὸ ΕΔΉ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς B.4, οὕτως ἡ 
ΕΗ πρὸς EA. ἀλλὰ καὶ ἡ EH πρὸς E4 ἐλάσσονα λόγον 
ἔχει ἤπερ ἡ ΖΕ πρὸς Ed: καὶ ἡ ΓΒ ἄρα πρὸς τὴν BA i5 
ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἣ ΖΕ πρὸς τὴν Ε4. καὶ πάντα 
δὲ τὰ τοιαῦτα τῇ αὐτῇ ἀγωγῇ δείξομεν. 


259 ιγ΄. Ἔστω ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ, οὕτως 
τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ 40, καὶ ἡ μὲν BH τῇ ΗΓ ἔστω 
ἴση, ἡ δὲ ΓΗ πρὸς H.4 ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ZO? 
πρὸς O4: ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ZO τῆς OE. 

Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ ΓΗ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ H.4 ἐλάσσονα λό- 

» » 5$ 02 8 ςῃ * S ND ) 4 $05 8 
γον ἔχει περ τὸ ἀπὸ ΖΘ τιρὸς vo ἀπὸ ΘΩ͂, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ 
ΓΗ ἴσον ἐσεὶν τῷ ὑπὸ ΒΗΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ 
ἀπὸ ΑΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ ἀπὸ ZO πρὸς τὸ "5 
ἀπὸ O4. ἀλλ᾽ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ 4Η,, οὕτως 
ὑπόκειται τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΩ͂, καὶ τὸ ὑπτὸ ΕΘΖ 
»- ἢ $03 8 »4 ! , » » $03 8 
ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ Of ἐλασσονα Àoyo» ἔχει περ τὸ ἀπὸ 


7 44, χαὶ om. Ha 5. ια΄ et 9. ιβ΄ add. BS 43. 144. οὕτως ἡ HE 
et ἀλλὰ xoi ἡ HE Ha 414. ἀλλ᾽ ἐπεὶ ἡ EH coni. Hu 46. nno 
ΖΕ Ha auctore Co, ἤπερ ἡ ΖΘ ABS 47. τὰ bis scriplum in AÀ 
18. «y' add. BS 23. ἀπὸ (post ἀλλὰ τὸ) add. Ha auctore Co 41. ὑπε- 
xtiro (sine acc.) A(BS), corr. Ha τὸ ὑπὸ EZO ABS, corr. Ha auc- 
tore Co 37. 88. τὸ ὑπὸ ΕΖΘ ἄρα AB, ὡς τὸ ὑπὸ εἶθ ἄρα S, corr. 
Ha auctore Co 


LIBER VH. PROPOS. 186. 487. 488. 943 


Similiter demopsirabimus, si sit y- yr: ay? τὸ ecC-C9 : CÓ2, 
eU A afly — A δεζ, esse eliam Δ ay — Δ àc9. - 
XL Sint duo similia triangula «y δεζ, οἱ ducantur per- Prop. 
pendiculares e; 03; dico esse n. yy : ga? — e9. 9t : 90*. 
Hanc vero demon- 
strationem apparet simi- 


8 . 
/ λ lem esse superiori quae 
| est in. lemmale IX. — Et- 
A enim est y : ma Ξε &9': 99, 


PO $ £e ya — t9 : 90, ideo- 
que per formulam compo- 
sitae proportionis βη 1 : qa? 2 69. 9C : 90*. | 
XM. Sit L8 — Ls, eL Loa « LO; dico esse yp : ja Prop. 
-« ζε: εὖ. "1 
Quoniam enim est 
ἰαὰ «ἰ ὃ, construatur 


ἰ εδὴ — Lo; est igitur 
yp : Ba τε 46: €0. Sed 
quia propter elem. 5, 8 
est pe : εὃ « Ce : εδ, est 





P etiam yp : pe « 
Le : εὃ. Et omnia quae 
sunt eius generis eadem ralione demonstrabimus. 

XIII. Sit βη qy : am? m 629-90: 09?, ct βὴ — yy, et Prop. 
yn : «a0 « L9 : 90; dico esse £9 » J9«. 188 


ζ 
AN 
E 27 y 
, Quoniam enim ex hypothesi sequilur esse yy? : ya? « 
C9? : 90?, estque yy? — βὴ -ἡγ, est igitur 


By ηγ : ex? « L9? : 902. Sed ex hypothesi est 8r - y 
αη τι 69-230: 03?; etgo - 


€ 


C 


486 


944 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ZO πρὸς τὸ ἀπὸ O4: μεῖζον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ ZO τοῦ 
ὑπὸ EOZ: ὥστε μείζων ἐσεὶν ἣ ΖΘ τῆς OE. 


Τοῦ y. | 
260 α΄. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓΖΈΖΗ, ἔστω δὲ ἴση ἡ BH τῇ. 
ΗΓ΄ ὅτι παράλληλός ἐστιν ἣ EZ τῇ BI. δ 


Ἤχϑω διὰ τοῦ 44 τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ OK, καὶ à- 
βεβλήσϑωσαν αἱ ΒΖ LE ἐπὶ τὰ Καὶ Θ σημεῖα. ἐπεὶ οὖν 
ἴση ἐστὶν ἢ BH τῇ Hr, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἢ ΘΑ͂ τῇ .4Κ' 
ἔστιν ἄρα ὡς ἢ BI: πρὸς τὴν ΘΑ͂, τουτέστιν dig 3 BE πρὸς 
τὴν E.4, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΚΑ͂, τουτέστιν ἡ ΓΖ πρὸς! 
Z44: παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ EZ τῇ BT. 


961 ὀβ΄, Ἔστω ἃύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ AEZ, ἴσας ἔχοντα τὰς 
. 4d 4 γωνίας, ἴσον δὲ ἔστω τὸ ὑπὸ BAT τῷ ὑπὸ EA4Z: 
ὅτι καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον. 

Ἤχϑωσαν κάϑετοι αἱ BH EGO: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΗΒ 15 
πρὸς τὴν B.4, οὕτως $ EO πρὸς τὴν EA: καὶ ὡς ἄρα τὸ 
ὑπὸ BH AT πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑ͂ AT, οὕτως τὸ ὑπὸ EO 4Z 
πρὸς τὸ ὑπὸ E4Z. ἴσον δέ ἐστιν τὸ ὑπὸ BAD τῷ ὑπὸ 
Ε42Ζ: ἴσον ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ὑπὸ BH AT τῷ ὑπὸ EO AZ. 
ἀλλὰ τοῦ μὲν ὑπὸ BH AT ἥμισύ ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, Ὁ 
τοῦ δὲ ὑπὸ ΕΘ. 42 ἣμισύ ἐστιν τὸ MEZ, τρίγωνον - καὶ τὸ 
ΑΒΓ ἄρα τρίγωνον τῷ 4Ε2Ζ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. 

Φανερὸν δὴ ὅτι καὶ τὰ διπλᾶ αὐτῶν παραλληλόγραμμα 
ἴσα ἐστίν. 


4 


4. μείζων ἄρα A, corr. ΒΞ 4.9. τοῦ ἀπὸ ΘῊ AS, τοῦ ἀπὸ 9v B, 
corr. Ha auctore Co 3. Τοῦ τρίτου τῶν xwvixov ΒΒ 4. «' add. 
BS ἡ AB T4 EZH ^, coniunx. BS ἔστω δὲ ἴση ἡ BH bis 
scripla in A 7. ἐπεὶ τὰ ΚΘ σημεῖα A, corr. ΒΒ 9. 40. πρὸς τὴν ΕΑ 
Ha auctore Co pro πρὸς τὴν I4 13. B'add. BS — 49. 18. τὰ ABTA EZ 
et τὰς 44 A, distinx. BS 11. BH AT πρὸς τὸ ὑπὸ B.4 AT' οὕτως 
τὸ ὑπὸ bis scripta in A (similiter S et, ut videtur, B) τὸ ὑπὸ BAT 
Ha 48. ΕΖ4Ζ. ἴσον 9€ HAZ (edt B BS) ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ BH AT 


πρὸς τὸ ὑπὸ EG 4Z οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ EAZ ἴσον di 





LIBER VII. PROPOS. 489. 190 945 


e9. 90: 90? « C92 : 90?; itaque propter elem. 5, 8 est 
L9? » 69. 90, itaque 09 » 3e. 


LEMMATA IN CONICORUM LIBRUM III. 


l. Sit figura αβγδεζη, id est trianguli «fly basis gy bi- pid 
fariam secetur in ἢ, et iungatur qa, cuius per quodvis punc- 
tum ὃ ducantur BC ye, et iungatur 
sb; dico esse et ἢ By. 

Ducatur per e rectae gy pa- 
rallela 9x, et producantur βζ γε 
ad puncta x 3. lam quia est βὴ 
— ny, propter. similitudinem trian- 
gulorum est etiam Ja — ax; est 
igitur 

By : 9a — By : xa, id est 
Be : ea — yC : ζα; ergo est & || By. 

IL. Sint duo triangula efy δεζ, angulos a d aequales Prop. 
habentia, sitque βα- αγ — &Ó- 0C; dico triangulum triangulo 
aequale esse. 





Ducantur perpendi- 
culares gr e$; est igi- 
tur Δ na — Δ 360, 
2 — ideoque yf : Ba — 9s: 
ἐδ; ergo etiam βη αγ: 
ξ βα αγτεϑε. ὃζ: δ. 0L. 
4 id Sed ex hypothesi est 
Ba. ay — εὃ. δῆ; ergo etiam fm. αγ τε ϑε. ὃζ. Sed est 
4βη:αγ — Δ oy, et 4$9e- 0t — A δεξ; ergo etiam A αβγ 
Ξε Δ δεζ. 
Apparet etiam parallelogramma, utpote horum triangulo- 
rum dupla, aequalia esse. 


« 2 





A(BS) corr. Ha 33. ἐστὶν ἴσον S 98. φανερὸν dà Ha παραῖ- 
-Apleygaupuoss A 


262 


963 


946 IIAHIIOY ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


Y. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, xai παράλληλος ἡ 4E τῇ BU: 
ὃτι ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ Β. πρὸς τὸ ἀπὸ .44,, οὕτως τὸ “ΒΓ 
τρίγωνον πρὸς τὸ A44 E τρίγωνον. 

|. Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΙ τρίγωνον τῷ .448 
τριγώνῳ, τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ngog τὸ. «44 τρίγωνον δ 
διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ ΒΑ͂ πρὸς 444. ἀλλὰ καὶ 
τὸ ἀπὸ B.4 πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ 
ἡ B.4 πρὸς τὴν 414" ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ B4 πρὸς τὸ 
ἀπὸ 44, οὕτως τὸ ABI τρίγωνον πρὸς τὸ 4448 τρίγωνον. 

δ΄. Ἴσαι αἷ .4B ΓΩ͂, καὶ τυχὸν σημεῖον τὸ Ε΄ ὅτι τὸ 10 
ὑπὸ ΓΕΒ τοῦ ὑπὸ 14,.8Β ὑπερέχει τῷ ὑπὸ ΖΈΑΙ. 

Τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα τῷ Ζ᾽ τὸ Z ἄρα διχοτομέα ἐστὶν 
xai τῆς 444. xoi ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΓΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΒΖ 
ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΖ, ἀλλὰ καὶ τὸ ὑπὸ 4E.4 μετὰ τοῦ 
ἀπὸ 412 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EZ, καὶ ἔστιν τὸ ἀπὸ AZ 
ἴσον τῷ ὑπὸ ΓΑΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΒΖ, κοινὸν ἐκκεκρούσθϑω 
τὸ ἀπὸ BZ: λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕΒ ἴσον ἐστὲν τῷ τε 


ὑπὸ LAB καὶ τῷ ὑπὸ 4Ε., dove τὸ ὑπὸ ΓΕΒ τοῦ ὑπὸ 


264 


2θὅ 


ΓΑ͂Β ὑπερέχει τῷ ὑπὸ AE M, ὅπερ: — 


, 


ε. Ἐὰν δὲ τὸ σημεῖον ἡ μεταξὺ τῶν .4 B σημείων, 20 
τὸ ὑπὸ ΓΕΒ τοῦ ὑπὸ ΓΑ͂Β ἔλασσον ἔσται τῷ αὐτῷ χωρίῳ, 
οὗπέρ ἔστιν κατὰ τὰ αὐτὰ ἡ ἀπύδειξις. 

Ἐὰν δὲ τὸ σημεῖον ἢ μεταξὺ τῶν B ΙΓ, τὸ ὑπὸ ΓΕΒ 
τοῦ ὑπὸ AE4 ἔλασσον ἔσται τῷ ὑπὸ 184, τῇ αὐτῇ ἀγωγῇ. 

c. Ἴση ἢ .4 τῇ ΒΓ, καὶ δύο σημεῖα τὰ 41 Ε΄ ᾿ ὅτι "5 
τὸ τετράκις ἀπὸ τῆς 4B τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ 
ΖΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΑΕΓ καὶ δὶς τῶν ἀπὸ Β4 BE 
τετραγώνων. 


4. y' add. BS τῆς BI AB, corr. S 2. τὸ ἀπὸ «BA πρὸς τὸ 
ἀπὸ AB À, τὸ ἀπὸ Ba πρὸς τὸ ἀπὸ αὖ B, τὸ ἀπὸ ef πρὸς τὸ ἀπὸ α 
S ὅ. τρίγωνον (ante διπλ.) om. α 6. διπλάσιον B, item vs. 7 
9. τὸ .4BT' τρίγωνον Ha auctore Co pro τὸ ἀπὸ ABD 40. δ΄ add. 
BS 45. χαὶ ἔστιν] ἔστιν ἄρα xài coni. Hu 46. ἴσον τῶι ὑπὸ ATB 
ABS, corr. Ha auctore Co 41. 48. τὸ ὑπὸ ΓΕΒ — ὥστε bis scripta 
in ABS — 48, ὥστε καὶ τὸ Ha. 18. 19. τοῦ ὑπὸ BAT ABS, corr. Ha 





LIBER VII. PROPOS. 491. 192. 198. 194. 195. 947 


Ill. Sit triangulum efl», et 0e || 7; Pron- 
dico esse a? : a0? — Δ αῤγ: A aóe. b 


Quoniam enim similia sunt triangula, 
est igitur propter elem. 6, 19 A ofly , 
z βαΣ: aó? 
£ y A ade - fla? : aà?. 
IV. Sit recta αδ, et αβ — γδ, οὐ in δα productá quod- Prop. 
vis punctum e; dico esse ye- ef — γα a) — Oe. ea. 





p ————— AM pee RÀ Bifariam secetur f» 
t" m β : 7 in puncto ζ; in eodem 
igitur puncto etiam αὖ bifariam secatur. Et quia propter elem. 
2, 6 est 
γε. 8} -- BL? — &L?, itemque 
δε. ca -- at? — 622, et at? — γα. ap - βΧ2, itaque 
ye: ef 4- BL? — 06. ea 4- ya- ap 4- BL, commune: au- 
| feratur 90?; restat igitur 
j£: εβὶ — δε 6a --- ya- ag, itaque. 
ye-&f| — ya. ap) — δε. εα, 4. e. d. 
I e — A RÀ ——À-——À Sin vero punctum & sit Prop. 
e t B, $ 7 inter α B, erit γα: ag — 
γε- εἰ τε δε-εα, quod eadem ratione. demonstratur. 
E —À—— -—————a4 Αὐ si punctum « inter FIOP- 
" 8 ες 7 P y sit, erit a&- εδ. — γε. T 
— afl. βδ, eadem ratione (conf. supra propos. 178). 





V. Sit recta ay, el ag — fy, duoque ἐπ recta ey puncta Prop. 
ὃ £; dico esse & ef? — 2 (aó. óy Ἢ a&- £y 4- [10 - ge). 195 


auctore Co 20. ε΄ add. BS τὸ E σημεῖον Ha auclore Co, item 
v8. ὃ τῶν AB A, distinx. BS. 21. τοῦ ὑπὸ ΓΑ͂Β S* Ha, τὸ ὑπὸ 
L4 B AB, πρὸς τὸ ὑπὸ yof Paris. 2368 ἐλάσσων À, corr. BS post 
χωρίῳ add. τῷ vno 4E.4 Ha auctore Co 32. οὗπερ Ha pro ὅπερ 

48. τῶν 5r Α, distinx. BS τὸ ὑπὸ ΓΕΒ Ha auctore Co pro τὸ ὑπὸ 


ΓΕσ 5. ς΄ add. BS τὰ 4E 5, distinx. BS 26. τετράχις Ha 
auctore c, pro δεχάχις 241. τοῦ δὶς ὑπὸ acy BS, in A pro oblitterato 


AET' manus rec. scr. KAT dic τῶν ἀπὸ Hu, δὶς ἀπὸ τῶν ABS, 
τοῦ δὶς ἀπὸ τῶν Ha ᾿ 


Φ 


948 X ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHZ Z. 


Τοῦτο δὲ qavegóv: τὸ μὲν γὰρ δὶς ἀπὸ 4B, διὰ τῶν 
διχοτομιῶν, ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ MAT καὶ τῷ δὶς 
ἀπὸ 4B, τὸ δὲ δὶς ἀπὸ .18Β ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὲς ὑπὸ .4ET 
xai τῷ δὶς ἀπὸ EB τετραγώνῳ. 

266 C. Ἴση ἡ .4B τῇ F4, καὶ σημεῖον τὸ Ε' ὅτι τὰ àn05 
τῶν ΑΕ ΕΔ τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΕ EI' τετρα- 
γώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν 41 ΓΖ. 

Τειμήσϑω δίχα ἡ ΒΓ κατὰ τὸ Z. ἐπεὶ οὖν τὸ δὶς 
ἀπὸ τῆς AL ἴσον ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ 4“Γ4 καὶ δὲς ἀπὸ 
ΓΖ, κοινοῦ προστεϑέντος τοῦ δὶς ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶν v010 - 
τε δὶς ὑπὸ AI xai τὰ δὶς ἀπὸ τῶν ΓΖ ΖΕ τοῖς δὶς ἀπὸ 
τῶν 4Z ΖΕ τετραγώνοις. ἀλλὰ τοῖς μὲν δὶς ἀπτὸ τῶν AZ . 
ΖΕ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν 4Ε EA τετράγωνα, τοῖς δὲ δὶς 
ἀπὸ τῶν ΓΖ ΖΕ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν BE ET τετράγωνα᾽ 
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν [4E ΕΖ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς τε ἀπὸ 15 
τῶν BE EF τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓΖΩ͂. 

267 η. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΒΑ͂Γ μετὰ τοῦ ἀπὸ L4 ἴσον τῷ 
ἀπὸ 4.41: ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ L'A τῇ. AB. 

Κοινὸν γὰρ ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΑ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ 
BAT ἴσον ἐστὶν τῇ τῶν ἀπὸ ΑΔ AT ὑπεροχῇ, τουτέστιν τοῖς ὑπὸ 2) 
τῶν ΔΑΓ ΑΓΔ. ἐπεὶ δὲ τὸ ὑπὸ ΒΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΔΑΓ xoi 
τῷ ὑπὸ ΒΔ AT', κοινὸν ἀφῃρήσϑῳ τὸ ὑπὸ ΔΑΓ: Aouzróv ἄρα τὸ 
ὑπὸ 4Γ 4B ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Ζ4“ΓΑ͂ ἴση ἄρα ἐστὲν ἡ AT 
τῇ 4B, ὅπερ: — 

268 9. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ L4 ἴσον τῷ 5 
ἀπὸ 4B τετραγώνῳ" ὅτι ἴση ἐστὶν 7) 4 τῇ AB. 


4. αβ διὰ τῶν BS, 43,18 δις ἀπὸ Α m. rec. super vetustiorem scrip- 


turam deletam 3. 0B τὸ δὲ B, 4 τῶι (sine δὲ A, αβ τὸ δὲ S 

4. τετραγώνῳ erasum in A 5. ζ' add. BS 8. δέχα ἡ ΒΓ Ha 
auctore Co, ἡ B/ A, ἡ BE S 9. 4Z add. Ha auctore Co τῷ 
ante δὲς ἀπὸ ΓΖ add. Ha 10. χοινοῦ Ha, ἀλλὰ χοινοῦ ABS, χοιενοῦ 
ἄρα coni. Hu εξ BS, ΠΑ 44, r& δὶς ἀπὸ τῶν ΕΖΓ' ΑΒ, τὸ δὲς 
ὑπὸ τῶν εἶν S, corr. Ha 44. τῶν δὲ ce BS, //] //]] & δὲς add. 
Ha auctore Co, item vs. 48 48. δὲ BS, 4E A  .A4. τῶν Be ἐγ τε- 
τράγωνα BS, //| // [| veroe/[]| A 15. 16. ἀπὸ τῶν BS, J// [|J À 


47. η΄ add. BS 49. ἀφαιρείσϑω ABS, corr. Ha τὸ ἀπὸ S, τοῦ 


LIBER VII. PROPOS. 196. 197. 198. 949 





«e ὃ εβ y Hoc vero manifestum 

| est; nam propter bifa- 

α ^4 153 & ^, vias sectiones (elem. 2, 
δὴ est. 


2 of? — 9aó. ὃν 4 4- 9 0f?, itemque 

9 a0? — 9at-6y -- 9ep?. 

VI. Sit recta aó, et ag — γδ, et in vectá αὃ ipsá vel Prop. 
in  eüdem productá quodvis punctum ε; dico esse ae? -- 56 


------ἃ“------- Ὁ ------- Ὃ eó?- -— (fe? τ ey? -Ἐ 
ὃ 











e « β ς᾽ 7  αγ. γὸ.. 
«εὐ €t p V ^  Bifariam secetur y 
I ——————43—34—— in puncto C. Quoniam 
“ Bot ? 7 propter elem. 3, 5 est 


ῷ δὲ3 — Φαγ.γδ - 2y0?, cemmuni addito 2&2? est . 

9 (07? 4- Ce?) — 2ay-yÓ - 2(yC? 4- Ce?)). Sed propter 
elem. 2, 40 vel 2, 9 es 9 (0C? -- Ce?) 
— «6? - e0?, et 9 (γζ 4- Ce?) τῷ 
Be? 4- &ey?; ergo 

a£? 4-0? — e? -- ey? -- 9 ay yó. 

VII. Sit Be- cy 4- yÓ? — αδὲ; dico esse γὸ — Of. Prop. 
ε----Ο͵ἼῸὁ-------ο----- Commune enim auferatur 197 
T 7 β y0?; restat igitur 

p«- αγ Ξε a0? — ày?, id est (elem. 2, 2) 
Óc ay 4- a0 - y — Óy?, sive, quia est aà - ày 
(00 — 9j — αγ.γδ, 


-— δα. cy 4 oy. yó. 
Sed quia est fa - αγ — δα. ey c B9 - oy, commune auferatur 
δα. cy; restat igitur 
fó:cy — ay. yà; ergo est yó — àg, q. e. d. 
VHI. Sit ay. yg 4- y0? — Lidl dico esse «à — 48. Prop. 


498 
ἀπὸ ΑΒ λοιπὸν ἄρα TO add. Hu, τὸ ἄρα PI Ha 49. ὑπὸ BAT 
— 92. τὸ ὑπὸ 44Γ add. Ha auctore Co . ἐπεὶ δὲ τὸ Hu, τὸ δὲ 
Ha 23. ὑπὸ AT'4B Δ, distinx. BS ^" ὅπερ] o o À, om. BS 


$5. 9' add. BS ὑπὸ ΑΓΒ Ha auctore Co pro. ὑπὸ ABI . 36. τῇ 
4B idem pro τῆι 728} 


260 


210 


211 


950 . ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHZ Z. 


Κείσϑω τῇ UA ἴση ἡ 4E: τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΒΕ μετὰ vob 
ἀπὸ 4E, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ L4, ἴσον τῷ ἀπὸ 418, τουτ- 
ἔστιν τῷ ὑπὸ Α͂ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ὥστε τὸ ὑπὸ ΓΒΕ 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΕΒ. ἀλλὰ 
καὶ ἡ L4 τῇ AE: ὅλη ἄρα ἡ 44 ὅλῃ τῇ 48 ἴση ἐστίν. 5 

v. Ἔστω πάλιν τὸ ὑπὸ Β4Γ μετὰ τοῦ ἀπὸ 4B ἴσον 
τῷ ἀπὸ zd ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ L4 τῇ AB. 

Κείσϑω τῇ 4B ἴση ἡ ΑΕ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ BAT 
μετὰ τοῦ ἀπὸ 4B, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΕΑ͂, ἴσον ἐστὲν τῷ 
ἀπὸ 414 τετραγώνῳ, κοινὸν ἀφηρήσθω τὸ ὑπὸ 4.4T- λοι- τυ 
πὸν ἄρα τὸ ὑπὸ B4 T, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΕΑ͂Γ, μετὰ 
τοῦ ἀπὸ E.4, 0 ἐστιν τὸ ὑπὸ ΓΕΑ͂, ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ 
AAT ἴση ἄρα ἐστὲν ἡ E.4, τουτέστιν ἡ BA, τῇ AT. 

ια΄. Εὐϑεῖα 1$ 38, ἐφ᾽ ἧς γ' σημεῖα τὰ Γ 4 E οὕτως, 
ὥστε ἴσην μὲν εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ET, τὸ δὲ ὑπὸ AEA vg 
ἀπὸ EI: ὅτι γίνεται ὡς ἣ ΒΑ͂ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ B4 
πρὸς 4I. | 








2 b] x * € Ml 

ἔπει yoQ τὸ ὑπὸ 

μ---- - ——L—————— —————————-4 » » * “ 
- " j " g A EA toov &ovtv τῷ 


ἀπὸ ΕΓ, ἀνάλογον, 


xai ἀναστρέψαντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἐστὶν 
ἄρα ὡς ἡ ΒΑ͂ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ B4 πρὸς 4I. 
(9. Ἔστω πάλιν τὸ ὑπὸ BI4 ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ, ἴση 
δὲ ἡ AT' τῇ ΓΕ’ ὅτι τὸ ὑπὸ ABE ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΒΖ. 
Ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΒΓΑ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΓΕ, ἀνά- "5 
λογόν ἐστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΕ, τουτέστιν πρὸς τὴν Γ΄ 4, 
οὕτως ἡ ΓΕ, τουτέστιν ἡ 4I, πρὸς τὴν ΓΖ καὶ ὅλη πρὸς 


9. τοῦ Ha auctore Co pro τὸ 8. ὑπὸ A4I'B idem pro ὑπὸ EAT 
el vs. 4 pro ὑπὸ BIA 5. τῇ 4E idem pro τῆι TE 6. ε΄ add. 
BS 9. post τοῦ ἀπὸ 4B add. ἴσον ἐστιν A(BS), del. Co TOU 
(ante ἀπὸ E.4) Ha auctore Co pro τὸ 40. ἀφαιρείσϑω ABS, corr. 
Ha 48. ια' add. BS ΤΑ, τρία ΒΒ τὰ TAE A, distinx. BS 
45. ὑπὸ 44 Ha auctore Co pro ἀπὸ ΖΕ 33. ιβ΄ add. BS 
24. ABE ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ add. Ha auctore Co ΓΒΔ ΑΒ, ΓΒΑ 
ΑἹ, εβδ S | . 





LIBER VIT. PROPOS. 4199. 400. 304. | 951 





I — ——————r ———À Ponatur δὲ 2 yÓ; ergo 
« y δ € 8 
| propter elem. 2, 6 esi 
y - Be 4- 0c? — Of?, id est ex constructione et hypothesi 


yB - Bs --Ἦ yO? — oy. yp 4- yO?, ita ut sit 
γβ..βὲ — ay-yB, itaque oy — ep. 
Sed etiam γὸ — δὲ; ergo tola ad toti δβ aequalis est. 
IX. Sit rursus ga. cy τ 0g? — αὖΖ; dico esse yó — δβ. Prop. 
Ponatur εὰ — δϑ. 199 
8 a /— — 2y —$——1 8 Quoniam ex hypothesi 
et constructione est 
βα.αγ 4- eo? — aÓ?, commune auferatur óa-ay; re 
stat. igitur 
BÓ - oy --Ξὀ £a? — αδ' Óy, id est | 
£0. Oy 4- ea? — αὖ. Uy, sive, quia &a- cy -- eo? τῷ 
ΕΝ γε. ξα, 
y& ξα τῷ αδ. Oy, id est per proportionem 1) 
£y : ὃγ — δα : ea, et componendo 
εὃ: ὃγ — £0 : δα; ergo est yÓ — co, id est — δβ. 
X. Sit recta af, in qua tria puncta 7 ὃ 8, ita ut sit Prop. . 
Be — £y, et αε-εὃ — &y?, dico esse fa : ay — Bà : ày. 200 
Quoniam enim est 
αε. ξὃ — &y?, per proportionem est 
ἀξ : &y τὸ ἐγ: εὃ, et convertendo 
€6€ : Αγ ΞΞ €y : γδ, et antecedentibus bis sumptis (scili- 
cet da Ξε ae ay ye τε af - αγ) 
af -- «y : ay — yf : yó, et dirimendo 
Be : ay τ: Bà : dy. 
XI]. Sit rursus βγ). γδ — ys?, et o; — ys; dico esse Prop. 
of - Be — yg - fà. M 
Quoniam enim est 


807 — $t Bray ges per pro- 
portionem est 





By : γε — γε: yó, id est 
py : ya — ay : yÓ, et, propter elem. 2, 19 "si sit tota 
ad totam" cet., componendo 


4) Haec et proxima addita sunt secundum Co. 


952 ΠΑΠΠΟΥ͂ XYNATOTHZ Z. 


ὅλην καὶ ἀναστρέψαντι καὶ χωρίον χωρίῳ τὸ ἄρα ὑπὸ 4188 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΓΒΩ͂. 

Φανερὸν δὲ ὅτι xai τὸ ὑπὸ AE ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ 
BAT: ἐὰν γὰρ ἀφαιρεϑῇ τὸ ἀπὸ I4 κοινὸν ἀπὸ τῆς τοῦ 
. ἀπὸ ΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΑ ἰσότητος, γένεται: “- ὃ 

272 ιγ΄. Εἰς δύο παραλλήλους τὰς 448 L4 oid τε τοῦ αὐ- 

. τοῦ σημείου τοῦ E τρεῖς διήχϑωσαν αἱ 4Ε4 BED ΖΕΗ: 
ὅτι ἐστὲν ὡς τὸ ὑπὸ 4ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ 4128, οὕτως τὸ 
ὑπὸ ΓΕΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗΖ. 

Διὰ τοῦ συνημμένου φανερόν. ὡς μὲν γὰρ ἡ ΑΕ πρὸς τι 
τὴν Ed, οὕτως ἢ 4Z πρὸς τὴν H4, ὡς δὲ ἡ BE πρὸς τὴν 
ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν HDI , χαὲ σύγκειται ἐκ τούτων 
τὰ χωρία. γίνεται ἄρα: — 

Ἔστιν δὲ καὶ οὕτως μὴ προσχρησάμενον τῷ συνημμένῳ. 
ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΒ, οὕτως ἡ EZ πρὸς 15 
τὴν ΕΓ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ AEB πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ, οὕτως 
τὸ ὑπὸ Z ED πρὸς τὸ àmó EI. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ BE 
πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ED πρὸς τὸ ἀπὸ LH: 
δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΜῈΒ πρὺς τὸ ἀπὸ ΖΒ, 
οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕΔ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ͂. ἀλλὰ xai ὡς τὸ 30 
ἀπὸ ΖΒ πρὸς τὸ ὑπὸ BZ4, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸὺς τὸ 
ὑπὸ ΓΗΔ" δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ .4EB πρὸς τὸ 
vz0 4128, οὕτως τὸ ὑπὸ LEA πρὸς τὸ ὑπὸ HA. 

Τοῦ ε΄. 

273 α΄. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ κάϑετος ἤχϑω ἡ 4444: λέγω 25 
ὅτι, εἰ μὲν ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ BAT τῷ ἀπὸ 444 τετραγώνῳ, 
γίνεται ὀρϑὴ ἢ 2d γωνία, εἰ δὲ μεῖζον, ἀμβλεῖα, εἰ δὲ 
ἔλασσον, ὀξεῖα. 

Ἔστω πρότερον toov: ἀνάλογον ἄρα xai περὲ ἴσας γω- 


4. ὑπὸ 4BE Ha auctore Co pro ὑπὸ 488 3. ἔστε extremo 
versu A(BS) 4. ἀπὸ I4 Ha auctore Co pro ἀπὸ 44 3. πρὸς 
τὸ ὑπὸ γβὸ S γίνεται τὰ λοιπὰ ἴσα Ha auctore Co 6. εγ΄ add. 


BS 7. αἱ BS, ἡ À 43. γένεται ἄρα Hu, μὲν t ἄρα ABS, constat 
igitur propositum Co, ἀνάλογον ἄρα ἐστέ Ha 44. post οὕτως add. 


LIBER VII. PROPOS. 202. 203. 953 


βα: ay — αὃ : ὃγ, et per subtractionem proportionis 

p : δὲ — ja : ay, et convertendo 

BO: sg — βα : By, itaque rectangulum rectangulo ae- 

| quale, scilicet 
ap. Bs — yB - 80. 

Apparet etiam esse αὃ' δὲ — βδ' ὃγ; nam si ab aequa- 
tione ye? — βγ- δ commune γὸξ auferatur, restat propter 
elem. 2, ὃ οἱ 2, 5 ad. 0e — [à - Óy. 

XII. In duas parallelas «f yó per idem punctum e tres Prop. 
ducantur rectae αεὸ βὲγ Den; dico esse ae-e6g : ab. 0B — n 
γε - εὃ : yn- 90. 

| Per formulam compositae propor- 
& ξ f ionis manifestum est. . Est enim 
- Ξε πο οἱ - - unde compo- 
nuntur rectangulorum proportiones 
αξβ γε-εδ, 
, B0 mm? 
J " Potest autem sic eliam demon- 
strari, non adhibita formula composi- 
tae proportionis. Quoniam enim «e : ef — δὲ : ey, est igitur 
αε.εβ: ej? — δε. εγ : ey?. Sed est etiam 
ep? : 9D? — ey? : yg?; ex aequali igitur est 
«&- e : 9L? — δε. εγ — yy?. Sed est etiam 
βζ2 : gb-Coa — yy? : yg- 0; ex aequali igitur est 
a&- 6E] : αζ CB — γε-εδ: yn- à. 


fit igitur propositum. 





LEMMATA IN CONICORUM LIBRUM V. 


I. Sit triangulum αβγ, et ducatur perpendicularis «à; Prop. 
dico, si sit gà - y — αδ2, angulum « rectum esse, si autem 
sit βδ' Óy »» a0?, obtusum, denique si β- ὃγ « αδΞ, acutum. 

Sit primum 80-óy — a0?; ergo est 8à : δα — αὃ : óy, 


* 


ἀποδεῖξαι Ha auctore Co 45. οὕτως ἡ ZE et 47. ὡς τὸ ἀπὸ EB Ha 
auctore Co — 23. ὑπὸ ΓΗΔ idem proózó PHA 44. Τοῦ πέμπτου 
τῶν xovixov BS 25. «' add. BS 97. εἰ dà (post ἀμβλεῖα) BS, 
70s À 49, ἴσον Ha auctore Co pro ἔσῃ 

Pappus II. 61 


054 ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATQOTHZ Z. 


víiag: ἴσῃ ἄρα ἐστὶν 1j ΑἹ γωνία τῇ πρὸς τῷ 4f, ὥστε 0091 
ἐστιν ἣ πρὸς τῷ ΑἹ γωνία. ἀλλὰ ἔστω μεῖζον, xai αὐτῷ 
ἴσον χείσϑω τὸ ἀπὸ 4Ε, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ BE E 
ἔσται ἄρα ὀρϑὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΓ γωνία. καὶ αὐτῆς μείζων | 
44 γωνία: ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὲν ἣ 44 γωνία. ἀλλὰ ἔστω πά-" 
λιν ἔλασσον, καὶ αὐτῷ ἴσον κείσϑω τὸ ἀπὸ 42, καὶ ἐπε- 
ξεύχϑωσαν αἱ ΒΖ ZI: ἔσται δὴ ὀρϑὴ ἣ ὑπὸ ΒΖΓ γωνία. 
xai αὐτῆς ἐλάσσων ἡ πρὸς τῷ 24 γωνία" ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν 
ἣ 4 γωνία. | 

274 β΄. Θέσει οὐσῶν δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒ BI, καὶ ση-" 
μείου δοϑέντος τοῦ 4, γράψαι διὰ τοῦ 41 ὑπερβολὴν περὶ 
ἀσυμπτώτους τὰς 48 BT. 








Γεγονέτω" κέντρον ἄρα αὐτῆς ἐστιν τὸ B. ἐπεζεύχϑω 
οὖν ἡ 4B καὶ ἐχβεβλήσϑω, διάμετρος ἄρα ἐστίν. κείσϑω 
τῇ 4B ἴση ἡ BE: δοϑεῖσα ἄρα ἐστίν, ὥστε δοϑέν ἐστιν 

N M , [od , » 3 A) — 2 N A 
τὸ E xoi πέρας τῆς διαμέτρου. ἤχϑω ἀπὸ vo) f ἐπὲ τὴν 


2. μείζων AB, corr. S 3. ἔση A, corr. BS αἱ Bc ἐγ BS, «i 


BE [| A 6. ἐλάσσων AB, ἐλάσσον S, corr. in Paris. 2368 secunda 
manus 8. ἐλάσσον A, corr. BS πρὸς ro 4 AB, corr. S 40. β΄ 
add. BS post οὐσῶν add. πρὸς óg9«c Ha (rectius forsitan post 4B 


ΒΓ addantur πρὸς ὀρϑὰς ἀλλήλαις; et conf. adnot. ad Latina) 45. do- 
ϑεν (ante ἄρα) A(BS), corr. Ha (δοϑὲν ἄρα ἐστὶ τὸ B Co) 


LIBER VII. PROPOS. 2304. 955 


3untque haec latera. proportionalia circa aequales angulos, :deo- 
Que similia sunt triangula 8óa ay; ergo etiam triangula αβδ᾽ 


& 


a é ^ 


., ó y^ à rt δ΄ 1 


γβα similia, et angulo βδα aequalis angulus fley, itaque 
rectus est. 

Sed sit 80 - Oy *» αδ, et ponatur dc? — 680. δγ, iungan- 
turque βὲ &y; erit igitur propter praecedens angulus gey rec- 
tus. Estque angulo ey maior angulus ey, itaque obtusus. 

Sed rursus sit 90. ὃγ « αδῶ, et ponatur OL? — βὸ. ὃγ, 
iunganturque βζ Ll»; erit igitur angulus 8C»; rectus. Estque 
angulo βζγ minor angulus Bey, itaque acutus. 





II. Duabus rectis a9 By invicem. perpendicularibus!) po- Prop. 
sitione datis, datoque puncto ὃ, describatur per à hyperbola A 
circa ?) asymptotos αβ By. 

-.. .  Faetum iam sit: centrum igitur hyperholae erit B. lam 
, iungatur df producaturque; haec igitur diametrus est. Pona- 
tur βὲ — Óf; ergo data est 6s, itaque datum punctum e, id 
est diametri terminus. Ducatur a ὃ rectae fy perpendicula- 


4) Verba ínvicem perpendicularibus Halleio auctore addita sunt, quo- 
niam ea quae sequitur problematis resolutio hunc unum casum respi- 
cit. Sed tamen Apollonius conic. 4 propos. 53, postquam eundem ca- 
sum demonstravit, alterum: μὴ ἔστω δὲ ἡ δεδομένη γωνέα ὀρϑή cet. 
statim subiungit, atque idem libro 2 propos. 4, neque aliter scriptor 
problematis quod supra IV propos. 33 legitur, generaliter duas rectas 
quemvis angulum continentibus datas esse supponunt. Ergo vix statui 
posse videtur integrum problemetis contextum in hac Pappi collectione 
exstare, sed periisse alteram demonstrationis partem, quae de angulo 
non recto egerit, veri est simillimum. 


2) Conf. supra IV propos. 31 adnot. 2. 
61* 


956 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ Z. 


BI χάϑετος ἡ 4Z: δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Ζ. καὶ κείσϑω 
τῇ ΒΖ ἴση ἡ ZI": δοϑὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ TI. καὶ ἐπι- 
ζευχϑεῖσα ἡ L4 ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ Α΄: ϑέσει ἄρα ἐστίν. , 
ϑέσει δὲ καὶ ἡ 4B: δοϑὲν ἄρα ἐστὶν τὸ 74. ἔστιν δὲ καὶ 
τὸ Τ᾿ δυϑέν: δέδοται ἄρα ἡ ΑΓ τῷ μεγέϑει. καὶ ἔσται" 
ἴση ἡ 4.1 τῇ 4I, διὰ τὸ καὶ τὴν ΒΖ τῇ ZU ἴσην εἶναι. 





ἔστω δὴ ὀρϑία τοῦ πρὸς τῇ ἘΔ εἴδους ἡ 4H: ἑκατέρα 
ἄρα τῶν 424 4Γ δυνάμει ἐστὶν 0 τοῦ ὑπὸ ΕΖ4“Η. ἀλλὰ. 
χαὶ τοῦ ἀπὸ 4Γ- ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ EAH τῷ ἀπὸ 
AT τετραγώνῳ. δοϑὲν δὲ τὸ ἀπὸ .4Γ τετράγωνον. δοϑὺ 
ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ Ε4Η. καὶ ἔστι δοϑεῖσα ἡ Ez: δοϑεῖδε 
ἄρα xci ἡ H4, ὥστε δοϑὲν τὸ Η. ἐπεὶ οὖν ϑέσει δεδο- 
μένων δύο εὐθειῶν ἐν ἐπιπέδῳ τῶν E4 AH ὀρϑῶν ἀλλή- 
λαις κειμένων, καὶ ἀπὸ δοϑέντος τοὺ Δ ὑπὸ τῆς 4148 γω- 
νίας γίνεται ὑπερβολή, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ἘΔ κορυφὴ 065 
τὸ 4, αἱ δὲ καταγόμεναι κατάγονται ἐν τῇ δοϑείσῃ γωνίᾳ 
τῇ ὑπὸ 4148, δυνάμεναι τὰ παρὰ τὴν 4H παρακείμενα, 
γλάτη ἔχοντα ἃ αὐταὶ ἀφαιροῦσιν ἀπὸ τῆς ἐπ᾽ εὐϑείας τῇ 
διαμέτρῳ πρὸς τῷ 4, ὑπερβάλλοντα εἴδει ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ : 
EAH, ϑέσει ἄρα ἐστὶν ἡ τομή. Ἃ 


2. ἐπιζευχϑεῖσα Ha auctore Co pro ἐπεζεύχϑω 8. τέταρτον sive 


LIBER VII. PROPOS. 404. 957 


ris 0c; datum igitur est punctum C"). Et ponatur Cy — βζ; 
ergo etiam y datum est. Et iuncta γὺ producatur ad o; po- 
sitione igitur daía est ey. Sed etiam afi positione data; da- 
tum igitur est a (dat. 25). Sed etiam » datum. est; ergo 
: etiam magnitudine recta ay data est, Εἰ quia est 8C — Cy 
(et parallelae «8 δ), erit etiam αὖ — ὃγ. am sit à» rec- 
tum /atus (sive parametrus) figurae quae est ad diametrum 
δε *"*) : est igitur . 
«0? — ày? — 1 εὃ. δὴ (conic. 2, 5j; sed etiam 
| zioey?: est igitur 
ἊΝ εὃ. δὴ — ay. 
Et datum est a7?; ergo etiam εὖ: δὴ datum. Εἰ data est 
εὖ: ergo eliam 70 data, itaque etjam punctum y. am quia 
(tt est in conic. I propos. 53) duae rectae εὖ δὴ in eodem 
plano ad rectos invicem angulos constructae positione datae 
. sunt, et per datum punctum ὃ sub angulo αὖθ fit hyperbola, 
cuius diametrus est εὖ οἱ vertex ὃ, rectarum autem sub 
dato angulo αὖβ ordinatim applicatarum quadrata aequalia 
sunt spatiis rectae δὴ adiacentibus, quae quidem spatia la- 
ttudines habent eas quas ipsae abscindunt in producta dia- 
; metro ad punctum ὃ, excedunt vero figuris similibus figurae 
εδη, positione igitur data est sectio conica. 


L. 








*) Nam propter Euclidis datorum propos. 98 positione data est 87, 
* et propter propos. 32 magnitudine data est 86, ideoque punctum £4. 


Fors 


**) Et haec verba et ea quae paulo post leguntur illustrantur Apol- 
lonii conicorum theorematis. Conf. p. 281 adnot. * ad IV propos. 33. 





. d' add. Co, τὸ τέταρτον Ha 8. 9. ἀλλὰ xal — ὑπὸ E4H om. A!, 
add. A?(BS) 44. ἔστι ASBS.— 42. ὥστε Ha, xci ἔστι Co pro ἔστω 
^ 48. εὐθεῖκι ἐπιπέδων ABS, corr, Co 44. τοῦ 4 add. Co ὑπὸ τῆς 





AAB γωνίας Ha pro τῆς ὑπὸ 448 ΓΕ 16. κατάγονται. delet. οἱ 
"vs, 41. δύνανται. coni, Hu. 11. τὴν 4H. Ha auctore Co pro τὴν ΖΑ͂ 
48. & add. Ha auctore Co αὐται (sine spir. et acc.) A, αὗται BS, 


καυταὶ Ha, corr. Co 48. 49. τῇ διαμέτρῳ Hu pro τῆς διαμέτρου 
δ 49, ὑπὸ À* Co, ἀπὸ BS cod. Co 


^ 


275 


276 


958 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


Συντεϑήσεται δὲ τὸ πρόβλημα οὕτως" ἔστωσαν αἱ “Ἐξ 
ϑέσει δύο εὐϑεῖαι αἱ 4B BI', τὸ δὲ δοϑὲν τὸ A, καὶ &rar «“ 
ζευχϑεῖσα ἣ 4B ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ E, καὶ αὐτῇ ἴση xe - 
σϑω 1) BE, καὶ ἤχϑω κάϑέετος ἡ 4Z, καὶ τῇ ΒΖ ἴση xed— 
σϑω ἡ ZI', καὶ ἐπιζευχϑεῖσα ἡ L4 ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ 10 217 
xai τῇ 4E προσανήχϑω ἡ 4H, καὶ τῷ ἀπὸ AT ἴσον κεί- 
σϑω τὸ ὑπὸ EAH, καὶ γεγράφϑω, ὡς ἐν τῇ ἀναλύσει D 
γομεν, περὶ διάμετρον 4E ὑπερβολή" λέγω ὅτι ποιεῖ t0 
πρόβλημα. 

᾿Επεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ 
7 44 τῇ AT: ἕκχάτερον ἄρα τῶν ἀπὸ 44 4Γ δ΄ ἔστιν 
τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ EAH, f 
τουτέστιν τοῦ πρὸς τῇ E4 διαμέτρῳ εἴδους. ἐὰν δὲ ἢ 
τοῦτο, δέδεικται ἐν. τῷ δευτέρῳ, ὅτι ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ 
AB ΒΓ τῆς ὑπερβολῆς. E 


α΄. Θέσει εὐθεῖα ἡ 4B, xai δοϑὲν τὸ T. διήχϑω 1j 
BI, κείσϑω δοθεῖσα ἡ B4, ὀρϑὴ ἀνήχϑω ἡ ΖΕ. ὅτι 
τὸ E ἅπτεται [ϑέσει κώνου τομῆς] ὑπερβολῆς ἐοχομένης 
διὰ τοῦ I. 

Ἤχϑω κάϑετος ἡ ΓΖ, xai τῇ ΒΔ ἴση χείσϑω ἢ ΖΑ Ὁ 
δοϑὲν ἄρα ἐστὶν τὸ Α΄. ἀνήχϑω ὀρϑὴ ἡ .4H: ϑέσει ἄρα 
ἐστὶν ἢ 4H. [ovuzizvovoa τῇ ΒΓ ἐκβληϑείσῃ κατὰ τὸ H] 
χαὶ ϑέσει δοϑεισῶν τῶν ΒΑ ΑΗ xai σημείου δοϑέντος 
τοῦ l' ὑπερβολὴ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς H.4 418 ἐλεύσε- 
ται ἄρα καὶ διὰ τοῦ E, διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΓ τῇ EH 





2. αἱ om. A, add. BS ᾿ἐπιζευχϑεῖσα Hu auctore Co et collato 
Apollonio con. 2, 4 pro ἐπεζεύχϑω, item vs. ὅ 8. ἡ B4 καὶ ἔχβε- 
βλήσϑω Ha 7. καὶ post γεγράφϑω repetunt ABS, del. Ha ἐλέ- 
γομεν Hu pro λέγομεν 44. éxetepov Hu pro ἑκατέρα δ΄ Hu, óv- 
νάμει 4 A(BS), δυνάμει τὸ τέταρτόν Ha 14. τουτέστιν] χαὶ ἔστι Ha 
τοῦ (ante ὑπὸ EZH) Hu pro τῶν 483. διαμέτρου εἴδει ABS, corr. 
Co ἐὰν δὲ ἢ] ἢ ὡς durdue. 8 46. y' add. ΒΒ καὶ do9iv τὸ Γ 
Ha pro δοθεῖσα τὸ Γ' 47. καὶ ante χεέσϑω ct dà ante ἀνήχϑω add. 
Ha 118. ϑέσει χώνου τομῆς om. in Latina versione Ha 20. xai — 
5» ZA add. Co 31. τὸ 4 Co pro τὸ 4 22. verba συμπέπτουσα 
— χατὰ τὸ H suo loco posita fuerint post 0097 ἡ 44H; sed ab ipso 


LIBER VII. PROPOS. 295. | 959 


Componetur problema, sémiliter atque in conic. II propos. 
4 demonstratur, hoc modo. Sint duae rectae positione datae 
«3 G», datumque punctum ὃ, et iuncta δβ producatur ad e, 
.Wa ut sit βὲ — δβ, ct ducatur perpendicularis δζ, ac rectae 
PC aequalis ponatur Ly, et iuncta γὸ producatur ad e, et 
Tectae de aptetur Óm ita, ut sit &0- 0n — αγῶ, et diametro 
Oe hyperbola, sicut in analysi diximus, describatur; dico 
hanc lineam problema efficere. 

Quoniam est 9L — Ly, est etiam αὖ — ày; ergo et αδϑ 
el àj? aequale est quartae parti quadrati ex ay, id est rec- 
tanguli sub εὖ à», id est ipsius figurae ad diametrum £0. 
Hoc autem si ita sit, demonstratum est in conicorum libri II 
propos. 4 et 2 rectas «f fy asymptotos hyperbolae esse. 


Ill. δὲ recta op positione daía, et datum punctum γ. Prop. 
Ducatur ad quodvis rectae aff punctum f recta yf, et fiat βὸ 208 
aequalis cuidam recíae magnitudine datae, et rectae βὸ per- 
pendicularis ducatur de, quae productam fy secet in &; dico 
punctum. & tangere hyperbolam per punctum » transeuntem. 

Ducatur perpendicularis 

77 e yt, rectaeque 8Ó aequalis 
ponatur £o; datum igitur 
est punctum «*). Erigatur 
perpendicülaris 5,  quaé 
productam & secet in m; 
eG jg é £g ergo positione data est ar 
(dat. 29); itaque datis posi- 

tione rectis 9e a7 datoque puncto y hyperbola per y circa 
asymptotos 7« a descripta transibit etiam per punctum e, quia 
est fy — e» (est enim βὸ — Ca, ideoque Be — yy, unde communis 


*) Nam propter Euclid. dat. 30 positione data est γζ, et propter 
95 datum punctum £, ideoque propter 27 datum est c. 


scriptore perinde omissa esse videntur quam illa, quae ad vs. 17 in 
Lat. versione addidimus ἐχβεβλήσϑω ABS, ἥτις ἐχβεβλήσϑω Ha, corr. 
Hu 25. τὰς Hu pro ἡ, om. Ha | 


960 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Z. 


(ἐπεὶ χαὶ ὅλη v BE τῇ HI). xoi ἔσται διὰ τὸ προγεγραμ- 
μένον. | 
᾿Συντεϑήσεται δὲ οὕτως: ἔστω ἡ μὲν τῇ ϑέσδε δεδο- 
μένη εὐθεῖα ἡ 418, τὸ δὲ δοϑὲν τὸ Γ ἡ δὲ διηγμένη ἡ 
ΒΓ, ἡ δὲ δοϑεῖσα 7 Θ, καὶ αὐτῇ ἴση ἔστω, καϑέτου ἀχ-ῦ 
ϑείσης τῆς ΓΖ, ἡ ZA, καὶ ὀρϑὴ avid. ἡ 4H xai συμ- 
πιπτέτω τῇ BI χατὰ τὸ H, καὶ περὶ ἀσυμπτώτους τὰς 
ΗΜ AB διὰ δοθέντος τοῦ Γ᾽ γεγράφϑω ὑπερβολή" λέγω 
ὅτε ποιεῖ τὸ πρόβλημα, τουτέστιν ὅτι, ἂν χάϑετος ἀχϑῇ 
ἡ EA, ἴση γίνεται ἡ B4 τῇ Θ. τοῦτο δὲ φανερὸν διὰ τὰς 10 
ἀσυμπτώτους" ἴση γὰρ ἡ EH τῇ ΓΒ, ὥστε καὶ ἡ .42 τῇ 
ZB: καὶ ὅλη ἄρα ἡ 44Ζ, τουτέστιν 7) O, ἴση ἐστὶν τῇ B4. 
277 ὃ. Ἔστω ὡς ἡ ΒΑ͂ πρὸς τὴν 41, οὕτως τὸ ἀπὸ B4 
πρὸς τὸ ἀπὸ ZI: ὅτι τῶν B.4 41 μέσῃ ἀνάλογόν ἐστιν 
ἡ A4. | l5 
Κείσϑω vij L4 ἴση 3) 4E: κατὰ διαίρεσιν ἄρα γίνε- 
ται ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΑ͂, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΓΒΕ 
πρὸς τὸ ὑπὸ 4L EB, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒΕ πρὸς τὸ Gn 
E4: ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΓ ΕΒ τῷ ἀπὸ AE, τουτ- 
ἔστιν τῷ ὑπὸ LAE. ἀνάλογον καὶ συνθέντι éoviv ὡς ἡ B49 
πρὸς τὴν 4E, τουτέστιν πρὸς τὴν “71, οὕτως 7) 4.4 πρὸς 
AT: ὅλη ἄρα πρὸς ὕλην ἐστὶν ὡς ἡ B.4 πρὸς τὴν 414, 
ὀὕτως ἡ 444 πρὸς τὴν ΑΓ, wove τῶν B.4 41 μέση ἀνά- 
λογόν ἔστιν ἡ 44. 
278 s. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΒΓ toov τῷ δὶς ἀπὸ ΑΓ δτι ion 
ἐστὶν ἡ AT τῇ ΓΒ. 
Κείσϑω τῇ ΑΓ ἴση 7) 44: ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ LA44 
ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΒΓ. καὶ παρὰ τὴν αὐτήν- ἴση ἄρα ἐστὶν 
ἡ 4.4, τουτέστιν 7) AT, τῇ ΓΒ. 


1. ἡ add. Hu. BE τῇ ΗΓ add. Ha auctore Co 8. δὲ S, d A(B) 
4. ἡ δὲ διηγμένη Ha, ἡ δὲ διάμετρος ABS, xal διήχϑω Co 6. χαὶ 
(post .4H) edd. Hu 71. τὴ ΒΓῚ τῆι BH ABS, rj BI ixfin39e(ag Ha 
8. post δοθέντος repetit ἐντὸς ABS 9. οἷα (voluit οἵα) ante ὧν add. 
Ha 411. γὰρ add. Ha 18. δ΄ add. Ha 47. τὴν ΓΑ͂ Ha auctore 


Co pro τὴν ΓΖ 48. ὑπὸ AT EB Ha auctore Co pro ὑπὸ ATE 





LIBER VII. PROPOS. 206. 207. 961 


&€y subtrahenda est). Et fiet demonstratio secundum superius - 
lemma. - | | 
Componetur sic. Sit recta positione data «9, et datum 
punctum y, et recta a puncto y ad quodvis rectae ef? punc- 
tum ducta 7B, et data alia sit 9, eique aequalis, ductà 77 
perpendiculari, sif Ca, et perpendicularis ducatur «7 secetque 
produciam y in ἢ, et circa asymptotos ηὰ «9 per punctum 
" datum γ describatur hyperbola; dico hanc efficere problema, 
id est, si ab altero sectionis puncto & perpendicularis «à du- 
catur, aequalem fieri rectam 0 dalae 9. Hoc vero mani- 
festum est propter asymptotos; est enim δῇ — γβ, itaque 
αὃ — LB; ergo etiam tota aC — βδ, id est 9 — 0. 
IV. Sit ga : ay Ξε 0? : 0y?; dico rectarum ja «y me- Prop. 
diam proportionalem esse αὐ. 206 
| Ponatur δὲ — γὸ; 
τον . 8 s B ergo est per diremp- 
tionem - 
fe — «y : oy Ξε 80? — ὃγξ : eO?, id est (elem 2, 6) 
By : «y Ξε yB- e : εδ,, id est 
vB Be : αγ' Be — vB - Be : &0?; est igitur 
αγ.βὲ — εδ3, id est 
— εὖ. ὅγ. Per proportionem est 
fe : εὃ — ὃγ : ay, et componendo 
BÓ : εὃ — αὃ : ay, id est 
Bà :ày τε αὃ : αγ; ergo βὸ -- αδ.: ὃγ 4- ay, 
id est 
B« : αὃ — a : «y; ergo rectarum ffe ay media 
| proportionalis est a. 








V. Sit afl. fy — 2ay?; dico esse ay — γβ. Prop. 
Ponatur δα — ay; erit igitur γὸ - δὰ 207 
δ ΜΝ γ β - αβ΄βγ, et, communi addito àa . By, 


fiet. (yÓ -ε By) δα — (αβ -ε δαὴ By; id 
est 0l - δὰ — 0g. f»; ergo δὰ — fy, id est ey — yf. 


40. ἄρα ante ?oriv add. Ha 24. πρὸς τὴν 4E, τουτέστιν om. Ha 
23. ἀνάλογος ABS, corr. Ha 45. ε΄ add. BS 


962 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


279 c. Περὶ τὰς αὐτὰς ἀσυμπτώτους τὰς AB BI ὑπερ- 
βολαὶ γεγράφϑωσαν α αἱ 4Z HE: λέγω ὅτι o) συμβάλλουσιν 
ἀλλήλαις. 

Εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιιπιτέτωσαν κατὰ τὸ 4, καὶ ἀπὸ 
τοῦ 4 διήχϑω εἰς τομὰς εὐθεῖα ἡ 44ἘΕΖΓ- ἔσται δὴ διὰ δ 
μὲν τῆς 52 τομῆς ἴση ἢ 44 τῇ ZI, διὰ δὲ τῆς AE το- 
μῆς ἴση ἡ .44 τῇ ET, ὥστε ἡ ΓΖ τῇ LE ἴση ἐστίν, ὅπερ 
ἀδύνατον" οὐκ ἄρα συμβάλλουσιν αἱ τομαὶ ἀλλήλαις. 
“Ἵέγω δὴ ὅτι καὶ εἰς ἄπειρον αὐξόμεναι ἔγγιον σεροσ- 
ἄγουσιν ἑαυταῖς καὶ αἰεὶ εἰς ἔλαττον ἀφικνοῦνται διάστημα. 10 
Ἤχϑω γάρ τις καὶ 


7 ἑτέρα 7) ΘΚ, καὶ ἔστω ἡ 
διάμετρος... ἧς πέρας 
μ ἔστω τὸ Ι..... ἔσται 


ἄρα ὡς μὲν τὸ ὑπὸ IMAAN 15 
1 A 3 4 - e 
προς τὸ ἀπὸ “4.5, οὕτως 
ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὁρ- 
ϑίαν, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ HOII 
4 3 3 Ml e 
πρὸς τὸ &z0 OP, οὕτως 
€ J 4 A 3 
ἢ πλαγία πρὸς τὴν 09-20 
Síav: ὥστε ἐστὲν ὡς τὸ 
ὑπὸ MAN πρὸς τὸ ἀπὸ 
^45, οὕτως τὸ ὑπὸ HOII 
πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΡ, καὶ 
ἐναλλάξ. μεῖζον δέ ἐστιν S 
τὸ ὑπὸ MAN τοῦ ὑπὸ 
HOII: μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ EZ τῆς ΘΣ. καὶ ἔστιν διὰ τὰς 
“ τομὰς ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΞΕ4 τῷ ὑπὸ SOP- ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν 
ἡ H4 τῆς OP, ὥστε αἰεὶ εἰς ἔλαττον ἀφιχγοῦνται διάστημα. 





— 


|. ς΄ add. BS 9. αἱ 4E 4Z ABS, corr. Hu 4. post συμ- 
πιπτέτωσαν add. ἀλλήλαις Ha 5. διήχϑωσαν εἷς τομὰς εὐθεῖαι al... 
HA 4Z ET. ABS, corr. Co 40. acce) add. Hu εἷς add. Ha auctore 
Co 44. ἑτέρα ἡ ΘΝΚ Ha 13. hinc incipit demonstrationis cor- 
ruptela, quae usque ad finem pertinet 43. 44. διάμετρος MN, ἧς 
πέρας τὸ M. ἔστω xol τῆς 5Π2 διάμετρος ἡ IIH* ἔσται cet. Ha 
48, ὑπὸ HOII Ha pro ὑπὸ MOIT, item vs. 23 οἱ 26. 9] 30. τὴν ὁρ- 


LIBER VII. PROPOS. 208. 963 


f 


VI. Circa casdem asymptotos αβ 8y hyperbolae ὃζ me*) Prop. 
- 208 


describantur; nego has 
concurrere. 

Si enim fieri possit, 
concurrant in puncto ὁ, 
et a à ducatur sectionis 
causà recta αδεζγ. Ergo 
propter sectionem óZ erit 
αὃ — Ly, et propter δὲ 
sectionem αὖ — ey, ita ut 
sit γζ — γε, quod esse non 
potest; ergo sectiones non 
concurrent. 

Jam dico easdem in infinitum productas magis inter se 
appropinquare et ad minus intervallum procedere. 

Ducatur enim alia quoque Ayperbolarum sectio ϑροῦκ, 
sitque Ayperbolae $& diametrus νμ **) terminusque με, et hy- : 
perbolae δ diametrus στη; erit igitur ut uA - }ν ad A?, ita dia- 
meirus transversa ad latus rectum (sive parametrum) , item- 
que ut 70-07: ad og?, ita diametrus transversa ad latus 
rectum, ita ut sit. uÀ- Av : A5? ze Q0. 07: : 090?, € vicissim 
p - À» : $0: 0z: 2 A5? : og?. Sed est uÀ - À» 5» q0- 07r; ergo 
etiam ἀξ oo ideoque. 5G * 9o. Et propter sectiones est 
LE. 50 Ξε 09.230 (utrumque enim quadrato ex nv aequale); 
ergo est ξδ « 3o; itaque sectiones hyperbolarum semper ad 
minora intervalla procedunt. [Sed etiam ad extremum ad- 





*) Hic et errorem sive scriptoris sive librariorum correximus et in 
figura veram hyperbolam se, quae a codicibus abest, addidimus. 


ἘᾺ) Hinc usque corruptam et mancam scripturam, quantum fieri 
potuit, emendavit Ha; praeterea idem suo ingenio duas alias demon- 
strationes addidit. 


93v AB, corr. S 21. ὡς om. AB, add. S 294. 95. xol ἐναλλάξ Ha 
pro ἐναλλάξ ἐστιν 25. μείζων AB, corr. S 26. ὑπὸ IM.AN Ha 
auctore Co pro ὑπὸ .4MN $7. τῆς 6.2 Ha pro τῆς ΡΣ 98. τὸ 
ὑπὸ ΖΖΞ τῶι ὑπὸ ZPO ABS, corr. Ha, qui praeterea addit ἕχαστον 
γὰρ τῷ ἀπὸ IIT ἴσον 


280 


964 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. ; 


3 M ^ , * M c , 3 - - 3 
[ἀλλὰ καὶ παράκεινται" εἰ γὰρ ἑκατέρα αὐτῶν ταῖς ἀσυμ- 
πτώτοις ἔγγιον προσάγδι, δηλονότι καὶ ξαυταῖς.] 

9 
C. Ἔστω ὡς μὲν ἡ 4B πρὸς τὴν BI, οὕτως ἡ ΖΈ 
πρὸς τὴν ΕΖ, ὡς δὲ ἡ B.4 πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΕΖ ngog 

1 e , € 4 C8 1 , 1 P , 
τὴν 4O: ὅτι γίνεται ὡς τὸ στερεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον 105 
ἀπὸ 41 Γ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν 418, πρὸς τὸ στερεὺν 
τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ AZ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν AE, 

e c 3 ll ^ , A ^w ὔ » A 
οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς .4H κύβος μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς 
τὸν ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ 

4 * 3 A ew , M ev ’ » ^ 
πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς 4 xvflov μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς} 
τὸν ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ AZ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΕ. 

"Enti γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ͂ πρὸς τὴν 48, οὕτως ἡ Z4 
πρὸς τὴν 4Ε, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΑ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ 48, 
οὕτως τὸ ἀπὸ Z4 πρὸς τὸ ἀπὸ 4E. ἀλλ᾽ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ 
ΓΑ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ 4B (κοινὸν ὕψος ἡ 4418), οὕτως τὸ στε- Ὁ 

V E , 0» $02 s * , e ἢ 
ρεὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ ΑΓ' τετράγωνον, ὕψος δὲ 
τὴν JB, πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς 418 γχύβον, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ Z4 
πρὸς τὸ ἀπὸ AE (χοινὸν ὕψος 7, 4E), οὕτως τὸ στερεὸν 
τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ AZ τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν AE, 

hl M 3 A -“ ’ A - » 3 J A 
πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς 4E xvfov: καὶ ταῦτα ἄρα ἀνάλογον καὶ 
* , * P4 M M € € 3 Ml [od . , * 
ἑναλλαξ ἔστιν. ἔστιν δὲ καὶ ὡς ὃ ἀπὸ τῆς 4B κύβος πρὸς 
τὸν ἀπὸ τῆς JE κύβον, οὕτως 0 τε ἀπὸ τῆς ΑΗ “κύβος 
πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς 4O κύβον, xai ὃ ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβος 
πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς OE χύβον. ἀλλ᾽ ὡς o ἀπὸ τῆς HB χύ- 

N hl 5 A — I4 e M [4 » M 
Boc πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς OE xoflov, οὕτως τὸ λόγον ἔχον πρὸς Ὁ 
τὸν ἀπὸ τῆς ΗΒ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ 

* 4 , 2 4 1 ) M - , [4] 4 
πρὸς τὸ λόγον ἔχον πρὺς vOv. ἀπὸ τῆς OE χυβον ὃν τὸ 
» M A 5 8 i € » ΠῚ » € , 
ἀπὸ 42 πρὸς τὸ ἀπὸ ZE: xoi ὡς ἄρα ἕν τῶν ἡγουμένων 
πρὸς ἕν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα ἔστιν 


4. 4. ἀλλὰ --- ἑαυταῖς interpolatori tribuit Hu 4. παράχειται 
ABS, eorr. Ha ἃ. ζ΄ add. BS 8. post ὁ add. τε ABS, del. Ha 
9. ὃν Ha auctore Co pro ὅι!ὀ 13. ἀπὸ 48 Co, ἀπὸ ΓΕ A, ἀπὸ yf 
BS cod. Co 44. τὸ ἀπὸ ΖΖ40 πρὸς τὸ ἀπὸ 40 ABS, corr. Co 
45. χοινὸν Ha pro χύβου 49. ἀπὸ 42Ζ] ἀπὸ AZ ABS, ἀπὸ Z4 Ha 
auctore Co 241. ὁ ἀπὸ τῆς 418 κύβος Ha, ὁ ἀπὸ τῆς 4B xai ΑΒ. 





LIBER VII. PROPOS. 909. 965 


iacebunt; nam, si utraque magis appropinquabit asymptotis, 
manifesto etiam inter se appropinquabunt.] 


VII. Sit ag : fy -- δὲ: e£, et Ba : αἡ τε εὸ : 09; dico, Prop. 
. . - "a 209 
ut solidum basim habens quadratum ex ay altitudinemque 
αβ ad solidum basim habens quadratum ex OZ altitudinem- 
que 0e, ita esse cubum ex «7 una cum eo quod est ad cubum 
ex ηβ in proportione quadrali ex ay ad quadratum ex yg 
ad cubum ex δϑ una cum eo quod est ad cubum ex Je in 
proportione quadrati ex 05 ad quadratum ex Ce; vel brevius 
sic: dico esse 
«yj.ag — cx τ nf. ey? : yf? 
δῷ). δὲ" 093 4- ϑεδ.δζῆ: (^ 





| Quoniam enim e con- 
s 73»  & , trario et componendo est 
γα : αβ — ζὃ: δε; ergo 
ó — — 3 :— 1 etiam ya?:a2 — L0?:óe?. 
Multiplicetur prior pro- 
portio per eg, altera: per δὲ: est igitur 
ay? - ap : αβϑ — 002-06 : 0€), et vicissim 
αγ2.αβ : δζΞ. δὲ — of : 0&9. Sed est ex hypothesi et 
| vicissim 
ap? : 0c? — a5? : 093, itemque, quia ex pro- 
portione afl : δὲ 2» am: 
09. subtrahendo fit a : 
δὲ — ηβ : 3€, 
Ξε vf: 963, vel, quia ex hypothesi et 
componendo est «y : yf 


— ὁξ : Le, 


8. «y? 
Ξ-Ξ- ΓΝ us Ergo, comprehensis su- 








93. 02 : : ἕξ 
|. perioribus  aequationi- 
bus est 
τὸ ἀπὸ τῆς αβ καὶ S 24. 95. ἀλλ᾽ ὡς — xvfov add. Co 25. τὸν 


λόγον A, corr. BS 26. ὃν add. Ha auctore Co 27. ὃν τὸ BS, ὃν 
τα À 29. οὕτως add. Ha 


281 


282 


966 . ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHS Z. v 


» 4 LZ 
ἄρα ὡς τὸ στερδὸν τὸ βάσιν μὲν ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς 4Γ ce- 
, et 4 A 4 A ^ M , 8 
τράγωνον, ὕψος δὲ την ΑΒ, πρὸς τὸ στερεῶν τὸ βασιν μὲν 
ἔχον τὸ ἀπὸ τῆς 42 τετράγωνον, ὕψος δὲ τὴν AE, οὕτως 
ς 3. 8 “ , M - , » UON 1 
ὁ ἀπὸ τῆς JH κύβος μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸν 
ἀπὸ τῆς HB κύβον ὃν τὸ ἀπὸ 4I πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς δ 
M 2 8 V J M - [d » 4 4 
τὸν ἀπὸ τῆς 40 κύβον μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸν 
ἀπὸ τῆς ΘΕ κύβον ὃν τὸ ἀπὸ τῆς 42 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΕ. 
n. Ἔστω τὸ Α' μετὰ τοῦ B ἴσον τῷ Γ μετὰ τοῦ 4: 
[4 [ως ΄« 
ὅτι ᾧ ὑπερέχει τὸ Α΄ τοῦ Γ, τούτῳ ὑπερέχει καὶ τὸ 4 vob B. 
3 * LT 
Ἔστω yàp ᾧ ὑπερέχει τὸ 4 τοῦ Γ τὸ E: τὸ ΑἹ ἄραιυ 
ἴσον ἐστὶν τοῖς I' E. κοινὸν προσχείσϑω τὸ B: τὰ Α͂ B 


“ἄρα ἴσα ἐστὶν τοῖς I E B. ἀλλὰ τὰ Α B τοῖς Γ 4 ἴσα 


ὑπόκειται " καὶ τὰ Γ 4 ἄρα τοῖς Ll E B ἴσα. κοινὸν ἀφη- 
ρήσϑω τὸ D: λοιπὸν ἄρα τὸ 4 ἴσον. τοῖς B E, ὥστε τὸ 4 
- € , ^ v o » c , M ^ , 

τοῦ B ὑπερέχει τῷ E* ᾧ ἄρα ὑπερέχει τὸ 24 τοὺ D, τούτῳ 15 
ὑπερέχει καὶ τὸ 7f τοῦ B. 

Ὁμιοοίως δὴ δείξομεν [ὅτι], ἐάν, ᾧ ὑπερέχει τὸ 24 τοῦ 
D, τούτῳ ὑπερέχῃ καὶ τὸ Zl τοῦ B, ὅτι τὰ 4 B ἴσα ἐστὶν 
τοῖς Γ 4. ᾿ 

4 * € 

V. Ἔστω δύο μεγέϑη và AB BI: ὅτι [ᾧ ὑπερέχει 3υ 
τὸ ΒΑ͂ τοῦ 441Γ τοὐτῳ] ὑπερέχει [xoi] τὸ λόγον ἔχον πρὸς 
4 ev ὔ » A A! N 3 A ΄-- , 
τὸ 4B τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ ΑΓ τὸν αὑτὸν τῷ λόγον 
ἔχοντε πρὸς τὸ ΓΒ τὸν αὐτόν. 

Ἔστω γὰρ τὸ μὲν πρὸς τὸ .4B λόγον τινὰ ἔχον τὸ AE, 
τὸ δὲ τιρὸς τὸ .4I τὸν αὐτὸν λόγον ἔχον τὸ 472 λοιττὸν 35 
b) 
ἄρα τὸ EZ πρὸς τὸ BI λόγον ἔχει τὸν αὐτόν. καὶ ἔστιν 

F, [4 “- 
τὸ ΕΖ ὑπεροχὴ ἢ ὑπερέχει τὸ 4E τοῦ 42, τουτέστεν τὸ 
λόγον ἔχον πρὸς τὸ .4B τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ ΑΓ 
τὸν αὐτόν. 


4. τὸ βάσιν BSS, τὸ om. A Ha 5. ov add. Ha auctore Co 
6. μετὰ τοῦ λόγον ἔχοντος Ha auctore Co pro xeà τὸ λόγον ἔχον 
8. η΄ add. BS 40. post τὸ E add. τοῦ 4 AB, del. S 44. τοῖς 
FE A, distinx. BS 42. roi; ΓΕΒ A, distinx. BS, item vs. 43 
τοῖς Γ΄ À, distinx. BS 43. ἀφαιρείσϑω ABS, corr. Ha 44. τοῖς 
BF Αἴ, ut videlur, τοῖς BE A2, distinx. BS 15. ὡς ἄρα AB, corr. 


. 8 τοῦ Γ add. Ha auctore Co 47. ὅτι del. Hu 48. ὑπερέχη Hu 


LIBER VII. PROPOS. 440. 444. | 967 


did — Ea -— PAUSE, ideoque factà summá dua- 
rum posteriorem propor- 
tionum 

«ηϑ e nfi ay? : yf? 
093 4- 963. 902 : Qe?" 
VIII. Sit & -- f 2 y -- δ᾽ dico esse « — y — ὃ — f. Prop. 
Sit enim & 2 ἃ — y; ergo 210 
a Cg ἀξ γ - δ. Commune adda- 
tur 8; ergo α -ἐ- B — y 4- €-F- D. 
t ., .» F^77$8 . . Sed ex hypothesi est α -- 8 
| — y 4- 0; ergo etiam y - ὃ 
B —y-4-£&--g. Commune au- 
feratur y; ergo ὃ — e -- f, 
itaque e — ὃ — B ergo α — y Ξε ὃ — f. 
Similiter demonstrabimus, si sit α — y — ὃ — f, esse 
α 4 p —»y T ὃ. 





μ----.-.-- 





IX. Sint duae magnitudines «y yf, earumque summa Prop. 
«*); dico id quod ad a8 proportionem aliquam habet maius 2^ 
esse quam illud quod ad ay eandem proportionem habet eo 
quod ad yg eandem proportionem habet (vel brevius.sic: dico, 
si ponantur ὦ : αβ 22 y: ay 2 5: yp, esse cc — y — 2). 

Sit enim δὲ id quod ad af pro- 





E. — ———— ————————— 
« y 8 portionem aliquam habet, et illud 
6——— —1—34 quod ad «y eandem proportionem 
AN habet sit óc; est igitur 
de δὲ δὲ -- δὲ ζε 
eg «y af — ay! id est y 


*) Graeca μεγέϑη τὰ «B By id ipsum quod supra posuimus signi- 
ficant; sana igitur est scriptura quae in codicibus exstat. 


pro ὑπερέχει 48. 49. τὰ .4B — τοῖς ΓΖ A, distinx. ΒΒ 48. ἴσα 
S, ἴσον ΔΒἘ 20. 9' add. BS 30. 21. ᾧ — τούτῳ et καὶ del. Hu, 
ἐὰν ὑπερέχει (sic) τὸ 4,8. τοῦ 4T, ὑπερέχει καὶ cet. Ha 44. 28. τὸ 
ἀπὸ AB et τὸ ἀπὸ ΓΒ ABS, corr. Co 22. πρὸς τὸ τὸν AT' À, corr. 
BS 35. ἔχον τῶι 42 ABS, corr. Co 37. τὸ ΕΖΗ ὑπεροχὴ ABS, 
H del. Co (nisi forte articulum ἡ voluit scriptor) 


289 


284 


908 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


’ 


v. Tó .4 τοῦ Γ ἐλάσσονι ὑπερεχέτω ἤπερ τὸ Zl τοῦ B: 
ὕτε τὰ ΔΑ B ἐλασσονά ἐστιν τῶν Γ 4. 


Ἔστω γὰρ ᾧ ὑπερέχει τὸ .4 τοῦ Γ᾽ τὸ E, τὰ 41 B ἄρα 
ἴσα ἐστὶν τοῖς ΓῈ Β. ἐπεὶ δὲ τὸ Αἱ τοῦ Γ ἐλάσσονι ὑπερ- 
ἔχει ἥπερ τὸ 4] τοῦ B, τὸ δὲ .4d τοῦ D ὑπερέχει τῷ E 
τὸ E ἄρα ἔλασσόν ἐστιν τῆς τῶν 4 B ὑπεροχῆς, ὥστε τὰ 
E B ἐλάσσονά ἐστιν τοῦ 4. κοινὸν προσχείσϑω τὸ Γ΄ 
và l' E B ἄρα ἐλάσσονά ἐστιν τῶν Γ 4. ἀλλὰ τὰ ΓΕΒ 
ἴσα ἐδείχϑη τοῖς .4 B: τὰ .4 B ἄρα ἐλάσσονα ἐστιν τῶν 
D 4. lu 

Ὁμοίως καὶ τὸ ἀναστρόφιον. καὶ τὰ ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως 
ὁμοίως. 
| 

Τοῦ ς΄. 

α΄. Ἔστω δύο τρίγωνα ἀμβλυγώνια τὰ ΑΒΓ AEZ, 
ἀμβλείας ἔχοντα τὰς Γ Z γωνίας, καὶ ἴσας τὰς 24 4 ὀξείας, 15 
ὀρϑαὶ ταῖς ΒΓ EZ ἤχϑωσαν αἵ ΓῊ ΖΘ, ἔστω δὲ ὡς τὸ 
ὑπὸ τῶν BAH πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4Γ τετράγωνον, οὕτως 


“τὸ ὑπὸ τῶν Ε46Θ τιρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4Z-: ὅτι ὅμοιόν ἐστιν 


τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ 4ΕΖ2Ζ τριγώνῳ. 


l'eyoaq9w γὰρ ἐπὶ τῶν HB EO ἡμικύκλεα - ἐλεύσεται") 
δὴ καὶ διὰ τῶν I' Z [ἐρχέσϑω, καὶ ἔστω τὰ ΗΓΒ EZO| 
ἤτοι δὴ ἐφάτιτονται αἱ 4 42 τῶν ἡμικυχλίων ἢ οὔ. εἰ 
μὲν οὖν ἐφάπτονται, φανερὸν ὅτι γίνεται ὅμοια τὰ ABI 
AEZ τρίγωνα. ἐὰν γὰρ λάβω τὰ κέντρα τὰ IM Ν, καὶ ἐπι- 
ζεύξω τὰς ΜΙ ΝΖ, ἔσονται ὀρϑαὶ αἱ ὑπὸ ΜΙ͂ΓΑ ΝΖ48 
γωνίαι" καὶ εἰσὶν αἵ 4d 4 γωνίαι ἴσαι: καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓ 


Α € 


ἄρα τῇ ὑπὸ ANZ γωνίᾳ. xai rà ἡμίση" xai 5 B ἄρα 


4. εἴ add. BS 24. τὰ 48 — τῶν ΓΖ et similiter posthac À, 
distinx. BS 4. ἐπεὶ δὲ τὸ .4 Ha auctore Co pro ἐσεὶ dà τὸ ἀπὸ 
8 et 9. τῶν Hu auctore Co pro τοῖς 11. ἐπὶ om. Ha 43. Τοῦ 
ἔχτου τῶν χωνιχῶν BS 44. «' add. BS 45. τὰς ΓΖ — τὰς 41 
A, distinx. ΒΒ 16. ταῖς γβ εξ S Ha 80. τῶν HBEG et 21. τῶν 
LZ ^, distinx. BS 21. ἐρχέσϑω — EZO del. Hu τὰ ΗΓΒ BEZ 


LIBER VII. PROPOS. 342. 913. 069 


X. Sito --  « ὃ — B; dico esse a -  «; y -- δ. Prop. 
Sii enim 8 ξξ α -- y; d 








p —M——————————— ——4 
« ergo est 
uH - 4 € 4- ( 2y-r6-r. Sed 
y € quia est 
E 4 α -- γ « ὁ — p, et 
P α — y — €, est igitur 
"ττ----θοὡὈ------- &€ « ὃ — p, itaque 


€ 4- B. « ὁ. 
Commune addatur y; est igilur y -- & 4- 8 «; y -- δ. Sed 
demonstrata sunt 7 4- € -- 9 — a -- fj; ergo a - ἢ « y - ὁ. 
Similiter etiam conversum demonstrabimus : si sc o -- 8 
« γ- δ, ese a —y « ὃ — p. Et similis demonstratio 
erit, si sit a « y. 
- LEMMATA IN CONICORUM LIBRUM VI. 


I. Sint duo triangula amblygonia ay δεζ, angulos ad Prop. 
y C obtusos habentia et acutos ad α ὃ inter se aequales, et ἢ ἢ 
rectis βγ εξ perpendiculares ducantur yy £23, sitque a.a : 
«y? — 0-039 : δῆ, dico esse Δ afy — Δ δεζ. 


f. ^ τ 
ζῶ δὰ 
& 77 t pf ὁ ? v é 


Describantur enim semicirculi in rectis 99 6&9; hi igitur 
per 7 ζ transibunt; ergo rectae ay ὃζ aut semicirculos tan- 
gunt aut non. Primum si tangunt, apparet triangula a8» δεξ 
similia esse. Nam si centra μ᾽ » sumpsero, et iunxero uy »C, 
recüi erunt anguli uya vCÓ. Et ex hypothesi aequales sunt — ' 
anguli α Ó; ergo eliam anguli auy ó»L aequales. Atque 
. etiam horum dimidiae partes, id est.anguli e» δεζ aequales 








ABS, corr. Ha auctore Co 49. ἢ οὔ A?BS, wyov (sine spir. et acc.) 
ΑἹ, ἢ γ᾽ οὔ Ha 26. αἱ 424, distinx. BS 
Pappus II. 02 


970 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ Ζ. 


-«- . ^ » 
γωνία τῇ E ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ .4 vij 4: ὅμοια ἄρα 
ἐστὶν τὰ τρίγωνα. 





χί. 
Pd 
e 7 
" 
& ἢ Α p ὁ ϑ' y 


Αλλὰ δὴ μὴ ἐφαπτέσϑωσαν, ἀλλὰ τεμνέτωσαν τὰ ἣμι- 
xoxo κατά τινα σημεῖα τὰ K Α, καὶ ἤχϑωσαν. κάϑετοι 
αἱ ΜΞ NO- ἴση ἄρα ἐστὶν ἣ μὲν KE τῇ ET, ἡ δὲ .105 
τῇ ΟΖ. ὅμοιον δὲ τὸ ΑΜΞ τῷ ANO τριγώνῳ - ἔσειν ἄρα 
ὡς 7) ΞΑ͂ πρὸς ΑΜ, οὕτως ἡ ΟΖ πρὸς 4“΄,Ν. ἐπεὶ δέ ἐστιν 
ὡς τὸ ὑπὸ B.4H πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΤ'|, οὕτως τὸ ὑπὸ ἘΖ4ΖΘ 
πρὸς τὸ ἀπὸ 42, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ Κι πρὸς τὸ ἀπὸ 
AT, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΑ, πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ “1242 10 
πρὸς τὸ ἀπὸ 4Z, τουτέστιν ἡ “44 πρὸς 4Ζ: ὥστε καὶ 
ὡς ἡ ΞΑ͂ πρὸς AAT, οὕτως ἡ O4 πρὸς 4Ζ. ἀλλὰ καὶ ὡς 
ἡ ΞΑ͂ πρὸς ΑἸ, οὕτως ἐστὶν ἡ O4 πρὸς 4N [διὰ τὴν 
ὁμοιότητα τῶν τριγώνων] - δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς 7 L4 
πρὸς ΑΜ, οὕτως ἡ Z4 πρὸς 4ἽΝ. καὶ παρὰ ἴσας γωνίας 15 
τὰς 4 4 ἀνάλογόν εἰσιν" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν .4MT 
τῇ ὑπὸ τῶν ANZ γωνίᾳ. καὶ τὰ ἡμίση καὶ ἡ B ἄρα γωνία 
ἴση ἐστὶν τῇ E. ἀλλὰ xai ἢ Α' τῇ 4 xa9' ὑπόϑεσιν" 
ὅμοιον ἄρα ἐστὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ 48ΕΖ τριγώνῳ. 

285 Συμφανὲς δὲ τὸ ἀντίστροφον αὐτῷ ᾿ ὄντος ὁμοίου τοῦ 20 
ABIT τῷ AEZ, καὶ ὀρϑῶν τῶν ὑπὸ ΒΓΗ͂ EZO, δεῖξαι 
ὃτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΗ͂ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ 
ὑπὸ Ε4Θ πρὸς τὸ ἀπὸ 4. ἔστεν γὰρ διὰ τὴν ὁμοιότητα 
τῶν τριγώνων ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ EZ πρὸς 


LIBER VII. PROPOS. 2948. | 971 


sunt. Atque erant etiam anguli e ὃ aequales; ergo triangula 
«gy δεῖ similia sunt. 

Sed iam rectae «y ὃζ non lLangant semicirculos, sed eos 
secent in punctis x ὁ, et ducantur perpendiculares μὲ »o; 
est igitur x$ — £y, et λὸ — ot. Sunt autem ec hypothesi 
et constructione triangula αμξ óvo similia; est igitur — 

$a : au: — οὗ: ὃν. Sed quia ex hypothesi est 
Ba on : ay? — &0-09 : δῶ, est etiam (elem. 5, 56) 
ya - ax : ay? - ζδ. 04 : OL?, id est 
κα: «y — λὸδ.: OL, sive componendo 
κα - Gy : αγ — λὃ - OL : OL, id d οἱ δ ἴακ Ὁ κε] 
2 (δὰ - o) : ed 
| ita ut sit 
ξα : αγ — οὗ: Ob. Sed est etiam, ut modo de- 
monstravimus, 
ξα : au — οὗ : ὃν; ex aequali igitur est 
γα : ἂμ — LÓ : ὃν. Et sunt haec latera propor- 
tionalia circa aequales angu- 
| los α à; est igitur 
L ἀμγ τ [L ÓXC. Atque etiam dimidiae partes, . 
| | id est | 
L «gy — L δεζ. Sed est etiam [. α — [ ὃ ex 
hypothesi; ergo est 


A ay — Δ δεζ. 

Manifestum autem est lemma conversum: si sint trian- 
gula «gy δεῖζ similia, rectique anguli βγη εζϑ', demonstre- 
tur esse βα -an : ay? — &0- 029 : OC. Nam propter similitu- 
dinem triangulorum est fa: «y — εὃ : 0C, et ya: ay — 

*) Haec quae addidimus spectant ad priores figuras, in quibus puncta 


x ἃ sunt inter « y et à £. In alteris figuris dicendum est: "id est 
2 (ey 4- y£) : αγ τῷ 2 (δὲ - 0o) : 0C. 


3. τεμνέτω ABS, corr. Ha auctore Co — 5. τὰ K.4 A, dislinx. BS 





48. 44. διὰ — τριγώνων del. Hu 46. τὰς 44 A, distinx. BS 
47. 4NZ γωνιῶν AB, corr. S 90. ὄντος Hu pro τοῦ ὄντος (τοῦ ABT 
ὄντος ὁμοίου τῷ 4EZ Ha) 33. ὑπὸ E46 Ha auctore Co pro ὑπὸ 
4.19. 


62* 


972 IIATITIOY ΣΥΝΑΓΩΓῊΗΣ Z. 


4Z, ὡς δὲ ἡ H.4 πρὸς ΑΓ, obvog ἡ Od πρὸς 42 xai 
ὁ συνημμένος. 

286 β. Ἔστω δύο ὅμοια τμήματα μείζονα ἡμικυκλίου τὰ 
ἐπὶ τῶν AB DA, καὶ ἤχϑωσαν κάϑετοι αἱ EZH OK A, 
ἔστω δὲ ὡς ἡ EH πρὸς ΗΖ, οὕτως ἡ O4 πρὸς “Κ'ὺ 
δειχτέον ὅτι ὁμοία ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῇ 4 K. περι- 
φερείᾳ. 





7 9 Á γη » 4 4^4 


Εἰλήφϑω τὰ χέντρα τὰ MM N, καὶ κάϑετοι ἤχϑωσαν 
αἱ ΜΞ MO ΝΠ NP, xai ἐπεζεύχϑωσαν αἱ MB N24 ἴση 
ἄρα ἐστὶν vy ómó OMB γωνία τῇ ὑπὸ PN4 γωνίᾳ (ἴσαι! 
γάρ εἰσιν αἱ ἐν τοῖς τμήμασιν, ὥστε καὶ ἡμίσεεαι). καί 
εἰσιν ὀρθαὶ αἵ O P: ἴση ἄρα ἐστὶν xai ἡ ὑπὸ MBO γωνία 
τῇ ὑπὸ NAP γωνίᾳ. ἤχϑωσαν ταῖς 418 I4 παράλληλοι 
αἱ ΖΣ ΚΥ, xai ἐπεξεύχϑωσαν αἱ MZ NK-: ἴση ἄρα ἐστὶν 
καὶ 3 ὑπὸ MZZ γωνία τῇ ὑπὸ NTK γωνίᾳ. ἐπεὶ δὲ ἐστιν Ὁ 
ὡς ἡ EH πρὸς ΗΖ, οὕτως ἡ ΘΑ͂ πρὸς ΖΚ, καὶ ὡς ἄρα 

ἡ EH πρὸς HZ, οὕτως ἐστὶν 7) Π. πρὸς 41Κ, ὥστε xoi 

ὡς ἡ HE πρὸς ΞΖ, τουτέστιν ἡ MB πρὸς IMS, τουτέστιν 
[ὡς] ἡ ΖΙΗ͂ πρὸς MZ, οὕτως ἡ -4II πρὸς KII, τουτέστιν 
ἡ 4N πρὸς NT, τουτέστιν * ΚΝ πρὸς NT. xai εἰσὶν αἱ 
μὲν ὑπὸ ΠΙ͂ΣΖ NTK ἴσαι, αἱ δὲ ὑπὸ MZZ NKT ὀξεῖαι" 
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΣΙΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΤΝΚ' ὁμοία 
ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ περιφέρεια τῇ 4Κὶ περιφερείᾳ. 

287 X. Ἔστω δύο τρίγωνα và ΑΒΙ 4EZ, ὀρϑὰς ἔχοντα 
τὰς Γ Ζ γωνίας, καὶ διήχϑωσαν αἱ ΔΗ͂ 46 ἐν ἴσαις ya-2 
γίαις ταῖς ὑπὸ B.4H EAO, ἔστω τε ὡς τὸ ὑπὸ τῶν BIH 


LIBER VII. PROPOS. 914. 245. 973 


29:0 : 0C, unde fit formula compositae proportionis Bo. «7 : a? 
— εὖ. 09 : 0L. | 
Il. Sint duo similia circulorum segmenta maiora semi- Prop. 
circulo in rectis a8 γδ, et ducantur perpendiculares δζὴ 3x4 Ms 
ita, ut sit ep : ηζ — ϑλ: Àx; demonstretur circumferentiam 8t 
circumferentiae Óx similem esse!). 
Sumantur centra 4 », et ducantur perpendiculares μὲ 
40 νπὶ »g, iunganturque 4 »Ó; est igitur [, ομβ — L ovà 
(nam aequales sunt centri anguli in segmentis af γὺ, ita- 
que etiam dimidii). Et sunt recti anguli o o; ergo etiam 
ὁ ufo τ L vóg. Ducantur rectis «f yó parallelae ZG xr, et 
iungantur uZ vx; ergo etiam est [ μσζ — [ vrx. Sed quia 
eac hypothesi est | 
en : b — 94 : ἀκ, est igitur (ut in superiore lemmate) 
ξῃ : ηζ τῷ, n4 : Àx, itaque convertendo 
9$ : 5G 2 ἀπ : zx, id est propter parallelas 
B : μα — ὃν : vr, id est (quia Cu — fu, et xv z δ᾽) 
CM : μα τ xv : vr. Estque, ut modo demonstravimus, 
L μσζ — L vrx, et minores recto sunt anguli μζσ vxz ; 
ergo propler elem. 6, 7 similia sunl 
(riangula, ideoque 
L σμἕ — [ vvx; ergo circumferentia 8 circumferentiae 
Óx similis est. 
Ill. Sint duo triangula «gy δεῖ, rectos angulos y 5 ha- Prop. 
bentia, et ducantur o7 δϑ' sub aequalibus angulis βαη εὖϑ, 
4) Figuras tales exhibemus, quales emendavit Halleius; in codicibus 


quattuor corrupiae inveniuntur figurae, quarum speciem vide sis apud 
Commandinum. 


4. ὡς δὲ ἡ KA et οὕτως ἡ 244 ABS, corr. Ha auctore (Ὁ 8. 8' 
add. BS 40. MONII 5, distinx. BS 44. ταῖς ἐν τοῖς τμήμασιν 
κατὰ μέαν xci A(BS), corr. Hu 46. 3 9.4 Ha auctore Co pro ἡ EA 
47—20. ὥστε xol ἡ HE πρὸς SZ, τουτέστι ἡ MB ἤτοι ZM πρὸς ΠΗ͂Σ, 
οὕτως 7 (ΤΠ πρὸς ΠΑ, τουτέστι ἡ 4N ἤτοι NK πρὸς NT Ha 
49. ὡς del. Hu — 20. τουτέστιν ἡ ΚΝ πρὸς NT add. Co — 21. ΜΣΖ 
NT xal ἴσαι A!, corr. A?S (uoi vr ἔσαι B) 24. y' add. BS τρί- 


γωνα S, ὀρϑογώνια ΑΒ Ha τὰ 48 Γ4 EZ A, corr. BS 25. τὰς 
IZ A, distinx. BS 





974 ΠΛΑΠΙΠΘΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 

πρὸς τὸ d;tÓ τῆς 11, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν EZO πρὸς τὸ 
ἀτιὸ Z.f: ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΙΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τρι- 
γώνῳ. 





Γεγράφϑω γὰρ περὶ τὰ (ΒΗ AEO τρίγωνα τμήματα 
κύχλων τὰ ΒΗΛ EOA4 [ὅμοια ἄρα ἐστίν]: ἤτοι δὴ ἐφά-" 
πτονται αἵ AAT 42 τῶν τμημάτων ἢ οὔ. ἐφαπεέσθϑωσαν 
πρότερον" ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ μὲν ὑπὸ ΒΓΗ͂ τῷ ἀπὸ AT, 
τουτέστιν, ἐὰν τιρὸς ὀρϑὰς ἀγάγω τῇ “Η τὴν AK, τῷ 
ὑπὸ τῶν ΗΓΚ, τὸ δὲ ὑττὸ τῶν EZO τῷ ἀπὸ AZ, τουτ-’ 
ἐστιν, ἐὰν ὀρϑὴν ἀγάγω τὴν 4.4 τῇ 40, τῷ ὑπὸ OZA:V 
ὥστε ἴση ἐστὶν ἣ μὲν ΒΓ τῇ ΓΚ, ἡ δὲ EZ τῇ ZA. καὶ 
ὀρϑαὶ αἱ 41Γ AZ: διτελῇ ἄρα ἐστὶν 7) μὲν ὑπὸ B.AK γω- 
νία τῆς ὑπὸ Β4Γ γωνίας, ἡ δὲ ὑπὸ Ed. γωνέα τῆς ὑπὸ 
Ε4“2Ζ. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ὑπὸ B.4K Ε4..1 (ἴση γάρ ἐστιν 
ἡ μὲν ὑπὸ ΒΑΗ͂ τῇ ὑπὸ E40, ὀρϑὴ δὲ ἡ ὑπὸ H.AK ὀρϑῇ 15 
τῇ ὑπὸ O4: καὶ ai ὑπὸ ΒΑΓ Ε42Ζ ἄρα toot εἰσίν. 
ἀλλὰ καὶ ὀρϑαὶ αἱ D Ζ' ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓ τρί- 
γωνον τῷ 4EZ τριγώνῳ, ὅπερ: — 

ἀλλὰ δὴ μὴ ἐφαπτέσθωσαν αἱ ΑΓ 42, ἀλλὰ τεμνέ- 
τωσαν κατὰ τὰ IM N σημεῖα. ἔστιν οὖν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ADM? 
πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστιν ὡς ἡ ΜΙ͂Γ πρὸς ΓΑ͂, οὕτως v0 
ὑπὸ τῶν 4“2ΖΝ πρὸς τὸ ἀττὸ 42, τουτέστιν ἡ ΝΖ πρὸς Z4. 


----.-.. — ——— — 


9. τῶι ΑΒΓ τρίγωνον Al, τῶι ΑΒΓ τριγώνωι A?BS, corr. et τῷ 
AEZ τριγώνῳ add. Co 4. 5. ΕΖΘ rotymovov τμήματα κύχλων τὰ 
BAH Β24Θ A, in his τρέγωνα corr. BS, B46 om. S cod. Co, initio 
ΖΕΘ et deinceps τὰ B.H.A corr. Ha, exremum E04 corr. Hu (E49 Co, 
46E Ha) 5. ὅμοια ἄρα ἐστίν del. Hu.— δὴ add. Co — 6. ἐφαπτέσϑω 
ABS, corr. Ha auctore Co 8. 9. 4K τὸ ὑπὸ ABS, τῷ corr. Co 
40. τὴν 44 τῆι 4G τῶι ὑπὸ Z.4 ABS, corr. Co 44. ἡ δὲ EZ ὦ 





. LIBER VII. PROPOS. 215. 975 


sitque Jy - yy : ay? — εξ. C9. : 0C; dico esse Δ afly — 
A δεζ. 

Describantur enim circa triangula αϑη óe9 circulorum 
segmenla βηα £90; iam rectae ay ὃζ aut segmenta tangunt 
aut non^ Primum quidem tangant; est igitur propter elem. 
5, 96 βγ.γη — ay? et eC. C9. — 0D, id est, si rectae ay 
perpendicularem ducam ox rectaeque 039 perpendicularem δᾶ, 
By- yn — qy-yx, et εξ 09 — 9C. LÀ, ita ut sit y z yx, οἱ 
εἴ — LÀ. Et sunt perpendiculares ey O7; ergo est [ fax — 
2[ Bay, οὐ L εδλ τε 2L εὖζ. Et est 4 Bax Ξε [ &0À (nam 
ea; hypothesi est ( Bax — L &09, et exc consiructione recti sunt 
anguli yox 904); ergo est etiam 4. gay — [ δὃζ. Sed etiam 
recti anguli y 5 aequales sunt; est igitur Δ af» — A δεζ, 
q. e. d. 





At rectae ay ÓC non tangant circulorum segmenta, sed 
secent in punctis & ν. Est igitur (quia ex hypothesi By - yn : 
m E09 00D, eb By. yn — uy. ya, el et. 59 — vb. L0) 
μγ7,..γα : yo? — νξ. CO : CO?, id est uy : ya — νὲ : ζδ. Εἰ 





pro ἡ dà HZ 19. ὀρϑαὶ S, ὀρϑὴ AB, πρὸς ὀρϑὰς coni. Hu αδ 
-4I 4Z] «l ΓΖ Ha 43. γωνία τῆς ὑπὸ (scilicet at ante £4Z) A? 
in rasura 44. ἴσαι αἱ ὑπὸ ABK. AB, ἴσαι αἱ ὑπὸ αβγ S, corr. Ha 
auctore Co 46. χαὶ ef] αἱ ἄρα Ha ἄρα hoc loco add. Hu 
20. τὰ M N Ha pro τὰ Καὶ 20. 21. οὖν — τουτέστιν add. Ha 
auctore Co Inisi isi quod ὑπὸ τῶν MI scripsit Ha, quod corr. Hu) 
24. 22. ὡς ἡ KI' — τῶν 4ZA4 — τουτέστιν 7 AZ ABS, corr. Ha 





976 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΗΣ Ζ. 


xai ἔστιν ὅμοια μείζονα τμήματα τὰ BAAH. ΕΖΩΘ- ὁμοία 
ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ͂ περιφέρεια τῇ “3 περιφερείᾳ ὥστε ἴση 
ἐστὶν ἡ B γωνία τῇ E: ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρί- 
γωνον τῷ A4EZ τριγώνῳ. 


ἄλλως τὸ αὐτό. 5 

288 δ΄. Ἔστω δύο τρίγωνα ὀρϑὰς ἔχοντα τὰς I Ζ γωνίας, 
καὶ διήχϑωσαν αἱ “Η 40 ἐν ἴσαις γωνίαις ταῖς ὑπὸ BAH 
Ε49Θ,, ἔστω τε ὡς τὸ ὑπὸ ΒΙῊ πρὸς τὸ ἀπὸ AT , οὕτως 

τὸ ὑπὸ ΕΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ 42: ὅτι ὅμοιον τὸ 48 τρί- 
γωνον τῷ 4ΕΖ τριγώνῳ. 10 


ἊΝ δ 
y xe v ó À 
Ἤχϑωσαν ταῖς 4H 40 ὀρϑαὶ αἵ A4K 5.11: ἴσον ἄρα 
τὸ μὲν ἀπὸ T τῷ ὑπὸ ΗΓΚ, τὸ δὲ ἀπὸ 4Z τῷ im 
OZ: ἔστιν οὖν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ͂ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΓΚ, 
τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ EZO np 
τὸ ὑπὸ ΘΖΑ͂, τουτέστιν ἡ EZ πρὸς Ζ.1. ἤχϑωσαν ταῖς "Ὁ 
AK 4.1 παράλληλοι αἱ ΓΙΗ ΖΝ. καὶ ὡς ἄρα ἡ BIM πρὸὺς 
M.A, οὕτως ἡ ΕΝ πρὸς NA. καὶ εἰσὶν ὀρϑαὲ μὲν αἱ πρὸὺς 
τοῖς ΓΖ σημείοις, ἴσαι δὲ αἱ πρὸς τοῖς M N γωνίαι ταῖς 
ὑπὸ ΒΑΚ E44: διὰ δὴ τὸ Ππρογεγραμμένον δμοιόν ἔστι 
τὸ 4 ΒΤ τρίγωνον τῷ 4ΕΖ τριγώνῳ. A 
289 . Ἔστω δύο τρίγωνα ὀρϑὰς ἔχοντα τὰς πρὸς τοῖς 
BE δημείοις γωνίας, καὶ διήχϑωσαν at BH ΕΘ ἐν ἴσαις 
γωνίαις ταῖς ὑπὸ .4HB ZAZOE, ἔστω ve ὡς τὸ ὑπὸ τῶν 
ΑῊΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν 40Z πρὸς τὸ 
ἀπὸ OE: δεικτέον ὅτι ὅμοιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ Ὁ 
AEZ τριγώνῳ. Ι 





4. ὅμοιον ABS, corr. Co τὰ add. Ha 3. τῇ E Ha pro τῆι e 
6. δ΄ add, ΒΒ τὰς ΓΖ A, distinx. BS 43. ὡς τὸ ὑπὸ BH A* Co, 


LIBER VII. PROPOS. 316. 971 


sunt ex constructione segmenta circulorum flyau εϑὸν similia 
eaque maiora semicirculo; ergo propler superius lemma cir- 
cumferentia o: similis est cireumferentiae 03, itaque an- 
gulus αβγ angulo δεζ aequalis, quapropter Δ ay — Δ δεξζ. 


Aliter idem. 


Sint duo triangula egy δεζ, rectos angulos γ ζ habentia, 
et ducantur «7 δϑ sub aequalibus angulis βαη &Ó9, sitque 
By yn : ey? — εξ £9 : 05?; dico esse Δ ay — A det. 

Ducantur rectis o7 09 perpendiculares ax 0À; est igitur 
αγ2 τῷ ηγ.γκ, eV OC — ϑζ.- ζλ; ergo est secundum hypothesim 
By yn : yy: yx — εξ. C9 : 9Σ.ζλ, id est By : yx τῷ eL : ζλ. 
Ducantur rectis ax àÀ parallelae yp Cv; ergo est etiam fp : μὰ 
— ἐν : yÓ. Εἰ sunt recti anguli Byo εζδ, et anguli Buy evc 
aequales angulis Box &ÓÀ (qui quidem inter se aequales sunt, 
quia ex hypothesi L Bay — L £09, et recti anguli qax. 904); 
ergo propter id quod demonstravimus est ἃ egy — Δ δὲξ *. 

IV. Sint duo triangula «jy δεζ, angulos β & rectos ha- Prop. 
bentia, et ducantur 95 &e39 sub aequalibus angulis ong 09€, M6 
sitque «n- zy : uf? τε 09-92: 9e?; demonstretur esse Δ af 
“ ἃ «. ) 


*) Haec extrema demonstrationis pars neque integra a librariis tra- 
dita esse videtur neque satis certam explicationem habet. Nam ver- 
bis διὰ τὸ προγεγραμμένον superius lemma 1I scriptor significare vi- 
detur; at vero illius alia est ratio. Brevem et simplicem demonstra- 
. tionem in promptu est suggerere. Est enim ; 

By : yx τ εξ: ζλ τε εν 1 vÀ — Bu : ua, id est vicissim 

By : Bu τὸ yx : um τὸ εξ: εν τε CÀ : vó, id est 

By : Bu - εξ: εν. 
Suntque anguli guy cvi aequales (quoniam anguli g«x £94 aequales) ; 
ergo propter elem. 6, 7 anguli «gy δὲεξ aequales sunt. Et recti sunt 
anguli &y« 500; ergo similia triangula «gy δεῖ. . 


ὡς τὸ ὑπὸ Byx B*S cod. Co — 45. ἡ EZ Co pro ἡ ΘΖ 148. 46. ταῖς 
4K4.4 ^, distinx, BS 48. post ἔσαι δὲ add. χαὶ 8 γωνέαε ταῖς 
* Ha, καὶ τῶν αὐ ABS, χαὶ γὰρ af vel ἐπεὶ xol αἱ Co 49. ἐστι ex- 
tremo versu α 24. ε΄ add. BS 341. 22, τοῖς BE A, distinx. BS 
23. ὑπὸ 4H B4 ΘΕ AB, corr. S 


978 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


“Περιγεγράφϑωσαν κύκλοι, καὶ εἰλήφϑω αὐτῶν τὰ κέν- 
1Qa τὰ K 1' φανερὸν δὴ ὅτι ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶν H O ση- 
μείων εἰσίν. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τὸ μὲν K μεταξὺ τῶν 
ΓῊ σημείων, τὸ δὲ .4 μεταξὺ τῶν 4 Θ, καὶ ἐκβεβλήσϑω- 
σαν αἱ BH EO ἐπὶ τὰ M Ν σημεῖα, καὶ ἀπὸ τοῦ K nis 





τὴν MB κάϑετος ἤχϑω ἣ ΚΕ πεσεῖται ἄρα μεταξὺ τῶν 
H B, ἀμβλεῖά τε γίνεται ἣ ὑπὸ .4HB γωνία καὶ ἔστεν ἴση 
τῇ ὑπὸ 4OE: ἀμβλεῖα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ A4OE γωνία" 
ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν 1j ὑπὸ 4ON, ὥστε ἡ ἀπὸ τοῦ 14 ἐπὶ τὴν 
EN κχάϑετος ἀγομένη πίπτει μεταξὺ τῶν O N. πιπτέτω 10 
xai ἔστω ἣ 40* ἔση ἄρα ἐστὶν $ NO τῇ OE, ὥστε μεί- 
Lo» ἐστὶν ἣ NO τῆς ΘΕ’ πολλῷ ἄρα ἣ ΝΘ τῆς OE ἐστὶν 
μείζων, καὶ τὸ ὑπὸ NOE, τουτέστιν τὸ ὑπὸ 40Z, μεῖζόν ἐστιν 
τοῦ ἀπὸ ΕΘ τετραγώνου. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ 4OZ πρὸς 
τὸ ἀπὸ ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑῊΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, ὅπερ !1Ὅ 
ἐστὶν ἄτοπον" ἔστιν γὰρ καὶ ἔλασσον, ἐπειδήπερ ἐλάσσων 
ἐστὶν ἡ MH τῆς ΗΒ καὶ τὸ ὑπὸ MHB τοῦ ἀπὸ ΗΒ " οὐκ 
ἄρα τοῦ K κέντρου ὄντος μεταξὺ τῶν H D, τὸ «1 ἔσται 
290 μεταξὺ τῶν 4 Θ. ἔστω οὖν μεταξὺ τῶν Θ Ζ, καὶ κατὰ 
τὰ αὐτὰ ἤχϑω ἡ .10 κάϑετος. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ 0 


4. περιγεγράφϑω κύκλος ABS, corr. Ha auctore Co 3. rà Κα 
et similiter posthac τῶν ΗΘ, τῶν ΓΗ͂ cet. A, distinx. BS 8. εἰσὶν 
Ha pro εἶναι 8. πιπτέτω Ha (conf. Lalino) 6. 7. μεταξὺ τὴν 
HB A(B), corr. S 44. ἡ 46. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΘ AB, ἡ 91 et cet. 
perinde S cod. Co, corr. Co τῆι OE ὥστε ABS) ex τῆι «E « ware 


LIBER VII. PROPOS. 216. 979 


Circumscribantur circuli, et sumantur eorum centra x à, 
quae apparet ad easdem partes punctorum ἢ 9 esse. Nam si 
fieri possit, sit x quidem inter puncta y ἡ, À autem inter ὃ 3, 
et producantur gr εϑ' ad puncta circumferentiae gu v, et a x 
rectae uj) perpendicularis ducatur x. Haec igitur inter ἡ g 
cadat, unde fit obtusus angulus az *), idemque ez: hypothesi 
aequalis angulo ὅϑε; ergo hic quoque obtusus est. Acutus 
igitur est angulus d», ita ut recta ex ἃ ad c» perpendicu- 
laris ducta inter puncta 9 » cadat. Fiat ita, sitque 4o; est 
igitur »o — oe, ideoque vo ? Se, eoque magis »9 ? 93e, 
itemque »9- Je, id est (elem. ὅ, 35) d9 9C » 96. Et ex 
hypothesi esv 09 90: 96? — am- vy : ff^; ergo absurdum est 
esse 09-90 maius quam 9&?, quippe cum minus sit. Nam- 
que est μη « 9f, itaque um: 7f, id est an vB « vf*; ergo 
eliam 09. 90 « 3e?. Si igitur centrum x inter puncta ἢ y 
sit, non inter puncta ὃ 9 erit centrum ἃ. 


D 





lam sit inter puncta 9 ζ, et eadem ratione ducatur 4o 
perpendicularis. Quoniam ez hypothesi est 


ἢ Graecum πεσεῖται ἄρα "cadet igitur" vitiosum esse apparel; 
nam fieri etiam potest, ut punctum £ in ipsum y, aut inter ἢ μ cadat. 
Recte igitur Halleius πιπτέτω scripsisse, itaque Graeco scriptori unius 
lantum casus demonstrationem ex pluribus qui fingi possunt {τὶ 
videtur. 





42. ἡ NO Co pro ἡ ΝΘ πολλῶι — τῆς GE bis scripta sunt in A 
43. τὸ ὑπὸ (ante 4f8Z) Hu pro τοῦ 46Z Co pro ZEZ 46. xal 
om. Ha 49. μεταξὺ τῶν 4E A(BS), corr. Co 


980 ΠΑΠΙΙΟΥ ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ Ζ. 


-4HF', τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΜΗΒ, πρὸς τὸ ἀπὸ HB, τουτ- 
ἐστιν ὡς ἣ MH πρὸς ΗΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ 4ΘΖ, τουτέστιν 
τὸ ὑπὸ NOE πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ, τουτέστιν ἣ NO πρὸς OE, - 
xai τέτμηνται αἱ BM. NE. δίχα τοῖς X Ο, ἔστιν ἄρα ὡς 
ἡ ΒΞ πρὸς EH, οὕτως ἣ ΕΟ πρὸς OO. ἀλλὰ καὶ ὡς 15 
HEX πρὸς EK, οὕτως jj ΘΟ πρὸς τὴν O.4 (ὀρϑαὶ μὲν γὰρ 
αἱ A O, ἴσαι δὲ αἱ τιρὸς τοῖς Η O σημείοις γωνίαι)" δι᾿ 
ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΞ πρὸς EK, οὕτως ἡ ΕΟ πρὸς OA. 








καὶ περὶ ἔσας γωνίας - ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΞ γω- 
νία τῇ ὑπὸ τῶν EAO γωνίᾳ, ἔστιν δὲ καὶ ἣ ὑπὸ EKHW 
γωνία τῇ ὑπὸ Ο.10 ἴση. ὅλη ἄρα ἣ ὑπὸ BKH δλῃ τῇ 
ὑπὸ Ε.1Θ ἐστὶν ἴση. καὶ τὰ ἡμίση" καὶ ἣ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ 
ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῶν 4ΖΕ. καὶ εἰσὶν ὀρϑαὶ 
αἱ B E γωνίαι. ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ 
AEZ τριγώνῳ. 15 

291 Φανερὸν δὲ καὶ τὸ τούτῳ ἀναστρόφιον, ἐὰν ἢ ὅμοιον τὸ 
μὲν ΑΒΓ τρίγωνον τῷ “ἘΖ τριγώνῳ, τὸ δὲ HBT τῷ ΘΕΖ, 
ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ AHT πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ 
ΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ [διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων. 

292 c. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ AEZ, ἴσας ἔχοντα 
τὰς 4 4 γωνίας μὴ ὀρϑὰς δέ, καὶ κάϑετοι ἤχϑωσαν αἱ 
-4H 40, ἔστω τε τὸ ὑπὸ τῶν ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς AH, 
οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς 4O, καὶ ἔστω 
τῶν ΒΓ EZ εὐθειῶν μείζονα τμήματα τὴ BH ΕΘ’ λέγω 
ὅτε ὅμοιόν ἐστιν τὸ μὲν ΑΒΗ τρίγωνον τῷ 4EO, τὸ 05 
λοιπὸν τῷ λοιπῷ. 


LIBER VII. PROPOS. 217. 981 


on: 7y : yf? — 09.95: 96, id est 
μη vB : 98? 2 v9.96: 9&, id est 
μη : yg τε νϑ: ϑὲε, 
et rectae f v& bifariam secantur in punctis ξ o, est igitur 
85 : £n e £0 : 09"). Sed propler similitudinem trian- 
gulorum n&x 304. (recti enim sunt 
- anguli ξ o et secundum hypothe- 
sim aequales anguli ἡ 9) est etiam 
pb : Ex τε 90 : oÀ; ex aequali igitur est 
g5: £x — &o : oÀ. Suntque haec latera proportionalia 
cirea aequales angulos; ergo 
- L βχὲ — — ὁ ελο. Sed est etiam, ut modo demonstravimus 
L 5xy τὸ L 049; ergo etiam summae, id est 
L βχη — L ελϑ. ltemque dimidii anguli aequales sunt ; 
ergo (elem. 5, 20) 
L αγβ τε L δζε. Et sunt recti anguli β e; ergo 
A αβγ — 4 δεζ. | 

Manifesta est etiam conversa propositio: si sit triangulum 
«fy simile triangulo dec, et triangulum vy simile triangulo 
JeL, fieri ap. ny : n8? 2 023.90 : 9e. 

V. Sint duo triangula ay; δεζ, angulos « δ᾽ aequales Prop. 
neque tamen rectos habentia, et ducantur perpendiculares «7 MT 
ó29, sitque fp. ny : ay? τῷ 9-90 : 03?, et sint rectarum fy 

δζ᾽ maiora segmenta 85 &9; dico et triangulum a» triangulo 
0629, et reliquum reliquo simile esse. 


*) Est enim componendo, tum sumptis antecedentium dimidiis, e 
contrario, dirimendo, denique rursus e contrario 


MB : 9B 2 ve: 9e £g : BE τῷ o9 : &o 
BS : yB τ £o: 9€ BS : ξὴ — £o: o9. 
1B : BE — ϑε: &o 


4. τέμνονται Ha. 12. ὑπὸ E.40 Ha auctore Co pro ὑπὸ E.40 
ἡμίσεια AB. Ha, corr. 8 46. τὸ τούτῳ ἀναστρόφιον)] τούτωι ἀνα-- 
στρέψον τὸ ABS, τούτῳ ἀντίσεροφον τὸ Ha, corr. Hu 49. διὰ --- 

“τριγώνων interpolatori tribuit Hu 20. ς΄, sed id paulo supra ante 
«Ῥανερὸν, add. BS 34. τὰς 44.1 A, distinx. BS ὀρϑὰς δέ Co, ορϑη 
τε A(BS) 42. ἔστω τε idem pro ὥστε . 


- 


082 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ Z. 


Περιγεγράφϑωσαν κύκλοι, xai ἐχβεβλήσϑωσαν αἱ AH 
40 éni τὰ K 24 σημεῖα, καὶ εἰλήφϑω τὰ κέντρα τῶν xi- 
χλων và ΙΗ͂ , καὶ ἀπὸ αὐτῶν ἐπὶ τὰς ΑΚ ΒΓ 44 EZ 
χάϑετοι αἱ ΜΞ IMO NII ΝΡ. ἔστιν δὴ κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς 
προγεγραμμένοις ὡς ἢ KH πρὸς ΗΑ, οὕτως 7 .1Θ ngog) 
GA, ὥστε καὶ ὡς ἡ 45 πρὸς XH, οὕτως ἡ 4Π πρὸς IIO. 
ἐπεζεύχϑωσαν αἱ .40M “Ν. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ A4 πρὸς ΞΗ, 
οὕτως ἡ ΑἸ πρὸς MZ, ὡς δὲ ἡ ZII πρὸς IIO, οὕτως ἢ 
ΩΝ πρὸς NT: καὶ ὡς ἄρα ἡ 4M πρὸς MZ, οὕτως ἡ ΖΝ 
πρὸς NT. ἐπεζεύχϑωσαν δὴ αἱ ΒΜ EN. ἐπεὶ οὖν Opovvti 
ἐστι τὸ ΒΑ͂Γ τμῆμα τῷ E4Z τμήματι, καὶ λοιτιὸν ἄρα 
τὸ ΒΚΙΓΓ τμῆμα λοιτιῷ τῷ EAZ τμήματι ὕμοιόν ow: αἱ 
ἄρα ἐν αὐτοῖς γωνίαι ἔσαι εἰσίν, καὶ εἰσὶν αὐτῶν καὶ ἡμίσειαι 
ἴσαι- αἱ ὑπὸ τῶν BMO ENP ἄρα γωνίαι ἴσαι εἰσίν [ἐπὶ 
τῆς πρώτης δυάδος τῶν πτώσεων, Émi δὲ τῆς δευτέρας &l 
παραχειμένου δηλονότι ἐστὲν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν BMO γωνία 
τῇ ὑπὸ ENP: καὶ γὰρ αἱ ἐν τοῖς ΒΑΓ Ε42Ζ᾽ τμήμασιν 
γωνίαι]. γίνεται οὖν ὡς ἡ BM πρὸς MO, τουτέστιν ὡς 
? ΑΜ πρὸς MO, οὕτως ἣ ΕΝ πρὸς ΝΡ, τουτέστιν ἡ 4N 
τιρὺς ΝΡ. ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ .4M πρὸς MX, οὕτως ἢ 4NV 
πρὸς ΝΊΓ' δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὲν ὡς ἡ MO πρὸς MZ, οὕτως 
ἦ ΡΝ ngóc NT. καὶ εἰσὶν ὀρϑαὶ μὲν at O P γωνίαι, ὀξεῖα 
δὲ ἑκατέρα τῶν Σ T: ἴση ἄρα ἐστὶν ἢ ὑπὸ τῶν OMS γω- 
vía τῇ ὑπὸ τῶν PNT γωνίᾳ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΜῸ 
τῇ $z0 ENP ἐστὶν ἴση: καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΊΗΣ ἄρα τῇ ὑπὸ 
τῶν ENT ἐστὶν ἴση, ὥστε xai ἡ I γωνία τῇ Z ἐστὶν toy: 
ὅμοια ἄρα ἐστὲν πάντα τιᾶσιν. 


3. τὰ K.4 et 3. τὰ ΜΝ Α, distinx. BS 3. ἀπ᾿ αὐτῶν BS 

4. ἤχϑωσαν ante χάϑετοι add. Ha εἰσὶν δὴ A(S), εἰσὶ δὲ B, ἔστι δὲ 
. Ha 44. ἐστι ASBS. 48. xal ἡμίσειαι Hu. pro χατὰ μίαν 14. ἐπὶ 
τῆς πρώτης — 48. γωνίαι interpolatori tribuit Hu 16. ἐστὶν ἴση Hu, 
ἐστὶν ὡς ἴση ABS, ἴση ἐστὶν Πα τῶν BMO Ha auctore Co pro τῶν 
BM6 47. ἐν τοῖς] ἐν ἴσοις Ha 48. πρὸς MO Ha auctore Co pro 
πρὸς MO, item vs. 49 et 41 39. 93. «f OP — τῶν XT A, distinx. 
BS 34. τῶν BMO Co, τῶν BOM AB, τῶν ρομ S cod. (0 25. ὑπὸ 
ENP Co pro ὑπὸ EPN 27. παντάπασιν. AB, distinx. S 


LIBER VII. PROPOS. 217. . 983 


Cireumscribantur circuli, et producantur rectae an à3 ad 
circumferentiarum puncta x ἃ, ei sumantur circulorum centra , 
po», a quibus ad rectas ax y δὰ eC ducantur perpendicu- 
lares μὲ. uo vr vo. Est igitur eadem ratione ac supra 





(pag. 981 init.) demonstratum est xz : ya — 49 : 90, itaque 
etiam a& : £y — ὅπ : x3. lungantur ep ὃν, quae secent rec- 
Las (jy εξ in punctis a τ. Sed propter parallelas est αξ : £y 
— GL: uo, οἱ Óm :z9 — ὃν : vv; ergo etiam oap : (t0 — 
ὃν : vr. lungantur gu εν. Quoniam (propler aequales an- 
gulos Bay &ÓC) segmentum fjey segmento δὸζ simile est, re- 
liquum igitur segmentum fy simile est reliquo δλζ; ergo 
in his centri anguli Guy ενζ aequales sunt, itemque dimidii. 
guo εν aequales, Εἴ sunt recti anguli 0 o, ideoque similia 
triangula Buo &vo; fit igitur 

Bu : po τῷ εν : vo, id est (quia αμ — βμ, el ὃν — εν) 

αμ : μὸ — ὃν : »p. Sed est, ut supra demonstravimus, 

CL: μα — ὃν : »v; ex aequali igitur est 

μο: Hu Ξε vg : vc. 
Et sunt recti anguli o go, et acuti anguli 00 vro; ergo prop- 
ter elem. 6, 7 similia sunt. triangula, ideoque est 

L ομσ — L ovv. Sed est etiam, μὲ demonstravimus 

L PBuo — L sve; ergo etiam summae, id est 

L βμσ τὸ L evr. Sunlque hi centri anguli; ergo etiam, 

qui sunl in iisdem segmenlis, circum- 
[erentiae anguli aequales sunt, id. est 


084 — ΠΑΠΠΟΥ YYNATOTHE Z. 


293 ζ΄. Δυνατὸν δὲ καί, τῆς μιᾶς πτώσεως [ἢ τῶν ἀμ- 
βλειῶν ἢ ὀξειῶν] προγεγραμμένης τῆς δείξεως, τὸ λοιπὸν 
ἀποδοῦναι οὕτως. ὑποκείσϑω γὰρ ἀποδεδεῖχϑαι οὐσῶν 
ἴσων ἀμβλειῶν τῶν γωνιῶν τὸ πρότερον κατὰ τὸν προγε- 
γραμμένον τρόπον, καὶ ἔστω, δυεῖν ὀξειῶν οὐσῶν ἴσων τῶν ὃ 
ὑπὸ ΒΓ E4Z, δεῖξαι ὅτι ὅμοια τὰ τρίγωνα. καὶ zat 
περιγεγράφϑωσαν οἱ κύχλοι καὶ ἐχβεβλημένων τῶν 44H 40 
ἐπὶ τὰ Καὶ .4 ἐπεζεύχϑωσαν αἱ BK ΚΓΕ.“ “2: ἔσαι ἄρα 
εἰσὶν καὶ αἱ ὑπὸ BKI' EAZ γωνίαι ἀμβλεῖαι. xoi ἐπεί 
ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ, τουτέστι τὸ ὑπὸ “ΗΚ, πρὸς τὸ κυ 
ἀπὸ 4H, τουτέστιν ἣ KH πρὸς HA, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ, 





τουτέστιν τὸ ὑπὸ 46 4,, πρὸς τὸ ἀπὸ 40, τουτέστιν ἣ 440 
πρὸς O4, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ, ob- 
τως τὸ ἀπὸ ZO πρὸς τὸ ἀπὸ O.4. ἔστιν δὲ καὶ ὡς τὸ 
ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ͂,. οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ 15 
ἀπὸ 4Θ- δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗΓ πρὸς τὸ 
ἀπὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ O4. xai εἰσὶν 


4. (add. S. συνατὸν οἱ πτώσεως Hu pro Ζύναται et γωνέας 


ἡ, 9. ἢ τῶν — ὀξειῶν del. Hu 2. ὀξειῶν) ofc A(BS), τῶν ὀξειῶν 
Co 3. ἀποδεδειχέναι ABS, corr. Hu, ἀποδεδειχϑέναι typothetae er- 
rorem apud Ha repetivit Ge, item ἐχβεβλημμένων vs. "7 5. δυεῖν 


A?BS, δυιν A!, δεῖν Ha, δυοῖν Ge ἴσων οὐσῶν S 6. ὑπὸ ΒΑ͂Γ Co 
pro ὑπὸ ΑΒΓ (ὑπὸ om. Ha) 8. τὰ K.4 A, distinx. BS 9. EAZ 
Ha auctore Co pro EZZ 10. τουτέστι ASBS 44. πρὸς HA Ha 
pro πρὸς ΚΑ 44, ἀπὸ Θ.1 Ha auctore Co pro ἀπὸ 644 ^ 


΄ 


hl 


LIBER VII. PROPOS. 9171., 985 


Leyg — LóZze. Et ex hypothesi est 
L βαγ — L εξ; ergo est 
- À ay — ἃ δεζ, et Δ αβὴ — ἃ 069, eL A ary - Δ ὅϑξ. 

Talis igitur est. demonstratio, obtusis suppositis. angulis 
Bay eÓC; quodsi hi anguli acuti sint, simili ratione primum 
demonsiratur esse ap : μα τῷ ὃν : vr. Et quia aequales sunt 
anguli Bay εδζ, etiam anguli Buo evo, id est dimidii centro- 
rum anguli, aequales sunt. Tunc rursus eadem ratione ac 
supra demonstratur angulos ομσ ρντ aequales esse. Qui sub- 
trahantur ab aequalibus Buo £vo; restant igttur aequales guo 
&yt. Ergo etiam anguli fua evó aequales. | Suntique hi cen- 
tri anguli, et cetera perinde ac supra). 

Verum etiam, unius casus demonstratione absoluta, alter 
casus sic potest expediri. Supponatur enim δὰ quae supra 
scripta est ratione, si primum obtusi sint anguli, propositio- 
nem demonstratam esse, et propositum sit, si acuti sint an- 
guli aequales ge; εὖζ, demonstrare triangulorum similitu- 
dinem. | 

Rursus circumscribantur circuli, et rectis oz δϑ ad x À 
productis tungantur jx xy eÀ AC; ergo, quia secundum hy- 
pothesim segmenta Bay εὖξ similia sunt, etiam reliqua seg- 
menta βχγ ελζ similia, ideoque anguli obtusi Bxy ελζ .aequa- 
les sunt. Εἰ quia ex hypothesi est 

᾿ βη ηγ: og? m 69.90: 092, id est 

an" : ay? — 09-94 : 039?, id est 
nx : arn - ϑλ: 09, est igitur etiam 
o5? : wx? 2 09?: 9342. Sed est ex hypothesi 
Bn:ny: ax? Ξε 6e9- 90: 03?; ergo ex aequali est 
Bu: qy : qu? 2 69.90 : 94*. 


4) Hunc propositionis casum utique necessarium addidimus, qui 
librariorum culpa, non ipsius Graeci scriptoris neglegentia a codice ab- 
esse videretur. Et simile quid voluit scholiasta ille qui pag. 982, 14. sqq., 
loco sane alieno quaedam intexuit. Cuius verba éx παραχειμένου hanc 
vim habere videntur: ex hypothesi est [, Bay — [ «02; estque [. Bay 
—iLuy,et[ cot τῷ ὁ [ evi; sed est etiam [, guo τῷ d ξβμγ,. οἱ 


L evo — ὁ { ενζὶ evgo [, βμὸ — [ evo. 
Pappus 11. 63 


294 


986 ΠΑΠΠΟΥ ZYNATOTHZ Z. 


ἴσαι ἀμβλεῖαι αἱ ὑπὸ τῶν ΒΚΙΓ EAZ γωνίαι, xai κάϑετοι 
αἱ KH .1Θ' διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον, δμοιόν ἔστι τὸ μὲν 
BKH τρίγωνον τῷ Ε“1Θ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΓΚΗ τῷ Z.40, 
ὥστε χαὶ τὸ μὲν J4BH. τρίγωνον τῷ 4EO τριγώνῳ ἐστὶν 
ὅμοιον, τὸ δὲ ΜῊἪΓ τῷ 4OZ, wore καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓῦ 
ὅλῳ τῷ 4ΕΖ ἐστὶν ὑμοιον. 

v. Θέσει δεδομένων τῶν 4B AT, ἀγαγεῖν παρὰ ϑέσει 
τὴν ZE καὶ ποιεῖν δοϑεῖσαν τὴν AE. 

Γεγονέτω, καὶ διὰ τοῦ 4 τῇ 4E παράλληλος ἤχϑω 
ἢ 472: παρὰ ϑέσει ἄρα ἐστίν. xoi ἔστιν δοϑὲν τὸ 4110 
ϑέσει ἄρα ἐστίν ἡ ΑΖ. διὰ δὲ τοῦ E τῇ 4B παράλληλος 
ἤχϑω ἡ EZ: ἴσῃ ἄρα ἐστὶν ἡ MZ τῇ 4Ε. καὶ δοϑεῖσά 
ἐστιν ἡ 4E: δοϑεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ -4Z.. ἀλλὰ καὶ ϑέσει᾽ 
χαὶ δοδέν ἐστιν. τὸ Α΄" δοϑὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ Ζ. διὰ δὴ 
δεδομένου τοῦ Z παρὰ ϑέσει τῇ JB ἧχται ἡ ΖΕ" ϑέσει 15 
ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ. ϑέσει δὲ xai ἡ ΑΓ' δοϑὲν ἄρα ἐστὶν 
τὸ E. καὶ διὰ αὐτοῦ παρὰ ϑέσει ἧχται ἡ 4E: ϑέσει ἄρα 
ἐστὶν ἡ 4Ε. 

Συντεϑήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστωσαν αἱ μὲν 
τῇ ϑέσει δεδομέναι δίο εὐθεῖαι αἱ 418 411, v; δὲ δοϑεῖσα 0 
τῷ μεγέϑει ἔστω 7 H, zog! ἣν δὲ ἄγεται ἔστω ἡ AZ, xoi 
τῇ H ἴση κείσϑω ἡ “12, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ζ τῇ 4B παρ- 
ἄλληλος ἤχϑω ἡ ΖΕ, διὰ δὲ τοῦ E τῇ .4Z παράλληλος 
ἤχϑω 7 Ed: λέγω ὅτι ἡ 4E ποιεῖ τὸ πρόβλημα. 

᾿Επεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ 4E τῇ 4Z, ἀλλὰ ἡ .4Z τῇ Hi 
ἐστὶν ἴση, τουτέστιν τῇ δοϑείση, καὶ ἢ 4E ἄρα ἴση ἐστὶν 
τῇ H τῇ δοθείσῃ" $ 4E ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. καὶ 
φανερὸν ὅτι μόνη aie γὰρ ἡ ἔγγιον τοῦ 24 τῆς ἀπώτερόν 
ἐστιν ἐλάσσων. | 

4. χάϑετος Δ, corr. BS. Φ. ἐστι ASBS. μὲν add. Hu. 5. ὅμοιον 
AB Co, ἴσον S cod. Co τῷ 402 Ha pro τῶι 4Z0 7. η΄ add. BS 
42. ἐστὶν ἡ A4II. AB, corr. S xci δοϑεῖσά Ha, δοϑεῖσα ἄρα ABS, do- 
ϑεῖσα δέ Co 418. ἡ AZ A? ex ἡ «(κ 46. χαὶ ἡ «ΑΓ Ha auctore Co 


pro xei ἡ JL4Tr 41. δι᾿ αὐτοῦ S 21. δὲ ἄγεται Hu, δὲ ἄγονται 
ABS, δὲ ἄγεσϑαι δεῖ Ha 39. 48. παράλληλος (ante ἤχϑω ἡ ΖΕ) 


add. S 34. ὅτι ἡ 4E ABS, corr. Co 28. ἀεὶ Ha Éyyttov A, 
corr. ΒΒ rà .4 Ha 





LIBER VII. PROPOS. 218. 987 


Et sunt aequales anguli obtusi xy eAC, ac perpendiculares 
xn A9; ergo propter id quod supra (p. 985. 985) demonstra- 
vimus est Δ βχη — Δ ελϑ, et Δ γκῃ — A CAO, ita ut sit etiam 
A ay — Δ δεϑ, οὐ Aagy — A 09Z"), itaque his composi- 
üs Δ ay — Δ óc. 
VI. Positione datis rectis a9 ay angulum pay efficienti- COP. 

óus ducatur inter anguli crura recta δὲ parallela rectae cui- 
dam positione datae eademque aequalis alii rectae magnitu- 


dine datae. | 
Factum iam sit, 


et per ἃ rectae δὲ pa- 
ralla ducatur a£; 
haec igitur rectae po- 
sitione datae paral- 
lela est. Et est da- 
tum punctum o; po- 
sitione igitur dafa est 
oL. Et per e rectae af? parallela ducatur εζ; est igitur oZ 
— δε. Et est δὲ magnitudine data; ergo etiam al-magnitudine 
data. Sed eadem etiam positione; et datum est punctum a; 
ergo etiam & datum (dat. 27). lam per datum punctum Z 
rectae positione datae a parallela ducta est Ce; positione igi- 
tur data est Ce... Sed etiam «y positione data; datum igitur 
est punctum & (dat. 25). Et per hoc ducta est δὲ parallela 
recíae positione datae; positione igitur daía est Oe. 

Componetur problema sic. Sint rectae duae positione 
datae oJ ay, ei recta magnitudine data sit 2, et illa, cui 
parallela ducenda est, sit αζ, et rectae 7 aequalis ponatur ot, 
et per ζ rectae of) parallela ducatur $e, et per e rectae od 
parallela ducatur £0; dico rectam ὃς problema efficere. 

Quoniam enim est δὲ — oC, et αζ — ἡ, id est datae, 
etiam δὲ datae ἢ aequalis est; ergo δὲ problema efficit, eaque, 
ut manifestum est, sola; nam semper recta puncto « propior 
minor est remotiore. | 





*) Etenim propter angulorum in segmentis αβ δὲ aequalitatem est 
A Bxn ^ ἃ «yn, et ἃ ελ 7 009 ; ergo etiam ἃ αγη ^ A δζϑ, etc. 
03* 


295 . 


988 .. ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Z. 


0. Ἔστω δύο ἐπίπεδα τὰ ΒΓ EBZ ἐπὶ τῆς αὐτῆς 
εὐθείας τῆς ΒΓ ἐφεστῶτα, τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ ὕτιοχει- 
ας jS φ υ 2 ῳ ῳ : 9 q 
. , ’ e , M] 4 , M 
μένῳ 0g94* λέγω ovt ἕν &vi ὀπιπέδῳ etgiv αὐ 48 BE ΒΓ 


. εὐϑεῖαι. 


296 


Ἤχϑω γὰρ ἀπὸ τοῦ B τῇ ΒΓ ἐν τῷ ὑποχειμένῳ iÓm-5 
πέδῳ ὀρϑὴ ἡ HB: καὶ τῷ EBZ ἄρα ἐπιπέδῳ ἔσται ὀρϑὴ 
ἡ ΗΒ, ὥστε καὶ τῇ ΒΕ ἐστὶν ὀρϑή. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ 
τῇ 4B. ἔστι δὲ καὶ τῇ ΒΓ εὐθείᾳ ἡ BH ὀρδή᾽ ἢ ΒΗ 
ἄρα τρισὶν εὐθείαις ταῖς ΑΒ ΒΕ ΒΓ ὀρϑὴ ἐπὶ τῆς ἁφῆς 
τῆς B ἐφέστηκεν: διὰ ἄρα τὸ ια΄ στοιχείων ἐν ἑνί εἰσιν 10 
ἐπιπέδῳ αἱ 418 ΒΕ ΒΓ εὐϑεῖαι. 

v. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ 4ΕΖ, ὀρϑὰς ἔχοντα 
τὰς “1 .] γωνίας, καὶ διήχϑωσαν αἱ 4Η 46 ἐν ἴσαις γω- 
γίαις ταῖς ὑπὸ -4HB OE, ἔστω δὲ ὡς ἡ ΒΗ πρὸς τὴν 
ΗΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν OZ: ὅτι ὕμοιόν ἐστιν τὸ μὲν 1 
ALBH τρίγωνον τῷ AEO τριγώνῳ, τὸ δὲ ΗΓ τῷ 4OZ. 

᾿Εχβεβλήσϑω ἡ 4H, xoi πεποιήσϑω ὡς ἡ 40 πρὸς 
OE, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς HK, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ BK ΚΓ' 
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ 4EO γωνία τῇ ὑπὸ ΓΚΗ͂ γωνίᾳ. ἐπεὶ 
δέ ἐστιν ὡς μὲν ἣ ΒΗ πρὸς ΗΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς OZ,» 
ὡς δὲ ἡ ΓΗ͂ πρὸς HK, οἵτως ἡ 4Θ πρὸς ΘΕ, δι᾽ ἴσου 
ἄρα ἐστὶν ἐν τεταραγμένῃ ἀναλογίᾳ ὡς ἡ BH πρὸς HK, 
οὕτως 7) 40 πρὸς OZ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας" ἴση ἄρα 
ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν BKH γωνία τῇ Ζ γωνίᾳ. ἐδείχϑη δὲ 

Ü 


καὶ ἡ ὑπὸ ΓΚΗ͂ γωνία ἴση τῇ E, καὶ εἰσὶν αἱ E Z ὀρϑῇ 5 


4. 9' add. BS τὰ ABI EBZ Ha, «à Β4 ΒΖ AS, τὰ By Bi B, 
τὰ 4ΒΓ ΒΖ coni. Hu. 2. ἐφεστῶτα τῷ Ha pro ἐφεστάτμω 3. ὀρϑά 
ΑΒ Ha, ὀρϑῷ BS 5. ἐν A5 Ha, χαὶ BS 6. ro EBZ Ha, τῶι ET 


ABS, τῷ BZ coni. Hu 8. ἔστι δὲ AsS (ἐστὶ δὲ B) post εὐϑείᾳ 
add. “Η AS, ἡ δὴ B 8. 9. ὀρθή" ἡ BH ἄρα add. Ha 40. τὸ 


στοιχεῖον ABS, τὸ δέκατον πρῶτον στοιχεῖον Ha, τὰ στοιχεῖα Ge, corr. 
Hv 12. ι΄ add, BS 48. rag 424 A, distinx. S, τὰς « C£ B 45. ὅτε 
BS, λέγω ὅτι A* Ha. 16. 48Η τρίγωνον — τῷ 40Z]| 48Γ τρίγω- 





vov τῶι 4EZ τριγώνωι τὸ δὲ AHP τῶι 40Z καὶ ἔτι τὸ ABH τρίγω- 


vov τῶι 4EO τριγώνων ABS, corr. Ha, qui praeterea addit xe ὅλον 
ὅλῳ 22. τῇ ante τεταραγμένη add. Ha. 25. αἱ ΕΖ AB, distinx. S 
ὀρϑῆ Co pro ὀρϑαὶ 


LIBER VII. PROPOS. 219. 990. 989 


VII. Sint duo plana oy &f/7 eandem basim fy haben- p 
tia, super idem planum subiectum normaliter erecta; dico 
rectas ap Be βκὺ in eodem plano esse. 

Ducatur enim a puncto 
B in subiecto plano rectae fy 
perpendicularis 85; haec igi- 
tur plano eg perpendicularis 
erit; itaque etiam rectae f 
perpendicularis est. Eadem 
| ratione demonstratur rectam 

7 βη rectae aj3 perpendicularem 
esse. Sed etiam rectae 7 perpendicularis est 95; ergo tribus 
rectis αβ Be gy perpendicularis in sectionis puncto f insistit 
recta Jm; itaque propter elementorum librum XI (propos. 5) 
in uno plano sunt rectae ag βὲ py. 

VIII. Sint duo triangula ef» δεζ, angulos « ὃ rectos Prop. 
habentia, et ducantur az δϑ' sub aequalibus angulis αηβ 03e, 220 
sitque 7» : yy — εϑ: 95; dico esse Δ og — A δεϑ, e 
A iy — ἃ à9C. 








Producatur aw, fiatque yn : jx — 09 : 3e, et iungantur 
B* xy; est igitur ea hypothesi et constructione Δ 09e — Δ γηκ, 
ideoque [, 089. — L yxy. Sed quia ex hypothesi est βὴ : vy 
— &9 : 97, et ex constructione yn : yx — 093 : 96, ex aequali 
igitar in perturbata proportione (elem. 5, 258, est Bn : yx — 
09 : 9c. Suntque haec latera proportionalia circa aequales 
angulos; ergo similia sunt triangula fx ὅϑξ, ideoque L Bx 
— [ 0L9. Sed demonstravimus etiam esse [, yx — L Óc9 ; 
estque angulorum 0229 δεϑ' summa aequalis recto; ergo etiam 


990 ΠΛΠΠΟΥ͂ ZYNATOTBZ Z. 


ἴσαι" ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ γωνία ἐστὶν ὀρϑή. ἀλλὰ καϑ᾽ ὑπό- 
ϑεσιν χαὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία óg9r- ἐν χύκλῳ ἄρα ἐστὶν 
rà Δ ΒΓ K orueia: ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ AKT, τουτ- 
ἐστιν ἡ ὑπὸ 4EO, τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. ἀλλὰ xai ἢ ὑπὸ .4HB 
γωνίᾳ χαϑ᾽ ὑπόϑεσιν ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ 46Ε γωνίᾳ" ὅμοιον 5 
ἄρα ἐστὶν τὸ .4BH τρίγωνον τῷ 4EO τριγώνῳ. χατὰ τὰ 


αὐτὰ καὶ τὸ ΜΗΓ τρίγωνον τῷ 4OZ ἐστὶν ὅμοιον. 


“ἄλλως ἄμεινον. 


297 ια΄. Τετμήσϑωσαν δίχα τοῖς K 44 σγμείοις αἱ ΒΓ EZ, 
καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΑΚ 4.1. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ BH 
πρὸς ΗΓΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς OZ, συνϑέντι xai τὰ ἡμίση 
τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντι γίνεται ὡς ἡ ΓΚ, τουτ- 
ἔστιν ἡ ΑΚ, πρὸς KH, οὕτως ἡ .1Ζ, τουτέστιν ἡ 44, 
πρὸς .1Θ. καὶ εἰσὶν ἴσαι μὲν αἱ πρὸς τοῖς H Θ σημείοις 
γωνίαι, αἱ δὲ ὑπὸ KA4H 2440 ἑκατέρα ἅμα ὀξεῖα - lonis 
ἄρα ἐστὶν xai ἣ ὑπὸ .4KH γωνία τῇ ὑπὸ 4.40 γωνίᾳ. 
xci τὰ ἡμίση" χαὶ ἡ B ἄρα γωνία ἴση. ἐστὶν τῇ E. ἀλλὰ 
xai ἡ H γωνία τῇ Θ ἴσῃ ἐστίν" ὅμοιον ἄρα ἐστὶν τὸ A4BH 
τρίγωνον τῷ .4EO τριγώνῳ. xarà τὰ αὐτὰ xai τὸ .4HT 
τρίγωνον τῷ 402 τριγώνῳ ἐστὶν δμοιον. 20 

Τοῦ C w. 

298 α΄. Παραλληλόγραμμον ὀρϑογώνιον τὸ ΑΓ, xai διήχϑω 
ἡ ΕΖΑ͂ ὅτι τὸ ὑπὸ Ε.2 ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΖΒΓ xoi 
τῷ ὑττὸ Ε.57Γ-. 


3. τὰ 18 TK A, distinx. BS 4. ὑπὸ “ΕΘ Co pro ὑπὸ .7ΖΘ (ὑπὸ 
AJ EZ Hoa 5. ὑπὸ ./OE Ha auctore Co Pro ὑπὸ ΕΘ 7. post 
ὅμοιον add. x«i ὅλον δλῳ Ha, item vs. 20 9. :«' add. BS Toi; 
A.1 A, distinx. ΒΒ 14. συνϑέντι Ha. auctore Co pro συντεϑήσεται 
13. 18. ἡ HITK. τουτἔστιν ὡς ἡ 4K A,BS', corr. Ha partim auctore Co 





15. .1./0 Ha auctore Co pro ./.10 19. 20. τὸ 4K τρέγωνον τῶι 
-.1Z ABS, corr. Ha auctore (Ὁ 31. τοῦ Z H 4, τοῦ é8dóuov καὶ 
τοῦ 0yJoov BS, ad quae τῶ» xorixàr λήμματα add. S 22. «' add. 
Bs i3. ἡ EZ.4 Co pro ἡ EZ 33. 34. ὑπὸ ΖΓΒ x«i τῶι ὑπὸ 


ΕΓΩ ABS, corr. Co 


LIBER VII. PROPOS. 211. 991 


angulorum gx y«n summa, id est angulus fxy rectus cst. 
Sed ex hypothesi etiam angulus ey rectus est; in circuli 
igitur circumferentia sunt puncta ἃ 9 x 7; ergo est in seg- 
mento a7 

L ΑᾺΥ Ξε [ αβγ, id est, quia demonstravimus esse L γχὴ 

sive αχγ — [. 0&9, 

L δεϑ — — [ af». Sed ex hypothesi est etiam 

L ang - — [ 09€; ergo est 

A agn — Δ δεϑ. Et eadem ratione demonstratur esse 

A any — ἃ ὅϑζ. 


Aliter melius. 
Bifariam secentur gy εζ in punctis x A4, et iungantur ax 
ὅλ. lam quia ex hypothesi est gn : yy — &9 : 9C, compo- 
nendo fit 





« y 
Pu ) Y p ΄ N 
Pd , / ] N d E ; N 
γ X γε à 208 ς 


By : ἢγ — εζ : 9C, ev sumptis antecedentium dimidiis 

yx : ἢγ — LÀ : 96, et convertendo 

γκ Xn τε LÀ: λό, id est, quia semicirculorum radii 

sunt yx ax et LÀ δλ, 

αχ : Xi) — ÓÀ : 49. 
Et ex hypothesi aequales sunt anguli αηκ δϑλ, et acuti an- 
guli xar A029; ergo propter elem. 6, 7 similia sunt trian- 
gula, ideoque anguli «xr óA9 aequales. Item dimidii, id est 
L agr — ἰ δελ. Sed ex hypothesi etiam L arf Ξε L ὅϑε; 
ergo Δ an — A δεϑ. Eadem ratione demonstratur etiam 
esse Δ ar — Δ ὅϑξ. 


LEMMATA IN CONICORUM LIBROS VII ET VIII. 


|. Sit parallelogrammum orthogonium αβγδ, et a pvo- Prop. 
21 


ducta Óy ducatur quaevis recta εζα; dico esse ea. αζ — 


JB - BL -- εδ' y. 


992 ΠΑΠΠΟΥ͂ XZYNATOTH2 Z. 


Ἐπεὶ yàg τὸ ἀπὸ τῆς EZ ἴσον ἐστὲν τοῖς ἀπὸ τῶν 
ΕΓ ΓΖ, ὧν τὰ ἀπὸ τῶν ΕΑ AZ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν 
τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖΔ 4Α͂,, τουτέστιν 
τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖ ΓΒ, καὶ τοῖς 
ἀπὸ τῶν .48Β ΒΖ, τουτέστιν τοῖς 
ἀπὸ τῶν I4 ΒΖ τετραγώνοις, λοι- 
πὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν Ε.Ζ ἴσον 
ἐστὶν τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν E4 4T 
καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΖΒ ΒΓ voi 
τὸ ἅπαξ ἄρα ὑπὸ τῶν Ε.4Ζ ἴσον 10 

ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ EAT. καὶ τῷ ὑπὸ ΖΒΓ, ὅπερ: — 

299 β΄. Παραλληλόγραμμον ὀρϑογώνιον τὸ 4T, καὶ διήχϑω 

ἡ Ε42Ζ: ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ AT. μετὰ τοῦ ὑπὸ ΓΒΖ ἴσον 

ἐστὶν τῷ ὑπὸ EAZ. 





Ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ 10 
ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀτὸ τῶν ΕΓ ΓΖ, 
ἔστιν δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΕΑ AZ 

- τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν E4 
AT ΓΒ ΒΖ, καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν 
Ε.2 ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ 
τῶν EAT μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν 
ΓΒΖ, «ore xai τὸ ἅπαξ τῷ ἅπαξ. 

300 Y. Ἔστω μείζων 1 ἡ 4B τῆς L4, καὶ ἴσον τὸ ὑπὸ 4ΕΒ 

τῷ ὑπὸ ΓΖΩ͂, καὶ ἔστω μείζω τμήματα τὰ ΑΕ Z^ ὅτι 

μείζων ἐστὶν ἡ AE τῆς ΓΖ. 25 

Τετμήσϑωσαν ὅλαι αἱ 4B 4 δίχα τοῖς ΗΘ ση- 
μείοις: μείζων ἄρα ἐστὶν ἢ HB τῆς 40, ὥστε καὶ τὸ 





9. ὧν BS, wv A, x«i Co 4. τῶν EA Γ AB, τῶν tdy S, corr. Co 
6. post τετραγώνοις auctore Co add. Ha: ἀλλὰ τὸ uir ἀπὸ EZ μετὰ 
τοῦ δὶς ὑπὸ EAZ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ EA AZ, τὰ δ᾽ ἀπὸ ΓΕ ΓΖ μετὰ 
τοῦ δὶς ὑπὸ EAT xoà τοῦ δὶς ὑπὸ ΖΒΓ ἴσα ἐσεὶ τοῖς τε ἀπὸ ἘΔ ΒΓ 
καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΖΔ ΒΖ τετραγώνοις 9. ante ΖΒ ΒΓ in A addi- 
tum 2, sed id del. prima m. — 414. ὅπερ BS, 6 A 43. β΄ add. BS 
44. ὑπὸ EAZ A* Co, ὑπὸ εδξ BS cod. Co 4148. τετραγώνων AB, corr. 
S 419. ΖΊΓ (post τῶν E4) Co pro AZ 341. 22. τῶν ΓΒΖ Hu (τῶν 
ΖΒΓ Ha) auctore Co pro τῶν ΖΓ 92. x«i τὸ ἅπαξ) χαὶ τὸ ἀπο- 
απαξ A(BS), corr. Ha τῷ τοῖς coni. Hu 23. y' add. BS 


LIBER VII. PROPOs. 222. 228. . 993 


Quoniam enim est εζ e ey? 4- 722, οἱ 
£0? -4- αζ — εὖ -- δα"- af? -- BO, id est 
ez εὖ “ y? -- yÓ? -- 972, et propter elem. 
. 2, 4 est eot ce eS? τ at? "E 3 ἐξ. ac. 
ideoque 
εαϑ - aL? τὸ εἴ2 -- 9 a0? τ 9 67 - oC, id est 
— £L? 4- 9 ea. aC, est igitur 
26a. αζ τε £O? -- yÓ? -- Oy? « BL? — s&7?. Sed est 
(propter elem. l. c. et communt ad- 
dito yà?) 

εὖ -R- yÓ? zz &y? - 9 εδ. Oy, itemque (com- 
muni addito 927; 

Dy? -4- BL? τὸ yt? τ 9y8-. BC, et primo de- 
monsiratum est εἶἴ3 τὸ &y? 4- yt3; 
ergo. subtractione facta restat 

956a. αζ — 9εδ' ὃγ -- 8γβ' BC, itaque 
ea - αἵ τε εὖ. 0y - yf - BC, q. e. d. 
]L. Sit parallelogrammum αβγδ, et ?nter productas yf? yó Prop. 
ducatur quaevis recta ζαξε; dico esse (perinde ac supra) n 
εὖ. ὃγ -- yl - [C τὸ &a- at. 
Quoniam enim est &2? z- ey? -- y£?, et 
ea? -- aL? τ &Ó? -4- 0y? -- y8? -- BC? ; ergo similiter ac 
supra demonstratur esse 
. ea - αἵ z 260. 0y 4- 27 - BC, itaque 
ex - ab 2 εδ' 0y “- yp - Bc. 
Ill. Sit ag *» yó, et αξδ'εβ} z y5- CÓ, sintque maiora Prop. 
segmenta ec γζ; dico esse ac * yL. 223 








᾿ ! Bifariam secentur to- 

« " ες β tae aff yd in punctis η 9; 

E——— $ 1 ὁ est igitur vB » 90, ita- 
que etiam 


33. 94, ἴσονη τῇ ὑπὸ AEB γωνία τῆι ὑπὸ ZA A(B), ἔσον ἡ ὑπὸ cet. 
cod. Co, ἴση ἡ ὑπὸ cet. Paris. 3868, ἴση ἢ ἡ ὑπὸ cet. S, corr. Co 
$4. μείζω B*S, μεέζων Α, μεέζονα Ha τμήματα τὰ BS, τμήματα cl 
As Ha 46. αἱ ὅλαι αἱ ABS, corr. Ha τοῖς HO A, distinx. BS 
97. τῆς 4E ὥστε χαὶ τὰ ABS, corr. Co 


994 | ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΏΓΗΣ Z. 


ἀπὸ ΗΒ μεῖζον τοῦ ἀπὸ 40 τετραγώνου. ἔστιν δὲ καὶ τὸ 
ὑπὸ ΕΒ ἴσον τῷ ὑπὸ LZ: καὶ τὸ ἀπὸ HE ἄρα μεῖζόν 
ἐστιν τοῦ ἀπὸ OZ: μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ HE τῆς ΘΖ. ἔστι 
δὲ καὶ ἡ AH μιείζων τῆς ΓΘ: 0Àp ἄρα ἡ .4E ὕλης τῆς ΓΖ 
μείζων ἐστίν. 5 
301 ó. Ἴσον τὸ ὑπὸ .AEB τῷ ὑπὸ UZA, ἴσων οὐσῶν τῶν 
AB T4: ὅτι τὰ μείζονα τμήματα τὰ 4 ΓΖ isa ἐστίν. (τὸ 
δ᾽ ἐφεξῆς “ τετμήσϑωσαν γὰρ αἱ 4B ΓΖΩ͂ δίχα τοῖς H O: —) 
902 &. Ἔστω μὲν μείζων ἡ ΑΒ τῆς L4, ἐλάσσων δὲ ἡ 
ΒΕ τῆς 42, οὔσης μείζονος τῆς μὲν ,41Β τῆς ΒΕ, τῆς δὲι 
I4 τῆς AZ: ὅτι ἡ τῶν 418 ΒΕ ὑπεροχὴ μείζων ἐστὶν τῆς 
τῶν I4 4Z ὑπεροχῆς. 
᾿Επεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἢ ΑΒ τῆς ΓΔ, xal ἡ τῶν AB 
ΒΕ ὑπεροχὴ ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς τῶν Γά,[ EB ὑπεροχῆς. 
ἀλλὰ 7) τῶν I'4 ΕΒ μείζων. ἐστὶν τῆς τῶν Γά 4 ὑπερ- 1 
οχῆς (ἐλάσσων γάρ ἐστιν f) EB τῆς 4Z), ὥστε ἡ τῶν 4B BE 
ὑπεροχὴ πολλῷ μείζων ἐστὶν τῆς τῶν I1 42 ὑπεροχῆς. 
303 c. Ἔστω ἴση ἡ μὲν 4B τῇ ΒΓ, ἡ δὲ JE τῇ EZ: ὅτι 
τὸ ὑπὸ AI 4Z τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ 4B AE. 
᾿Επεὶ γὰρ διπλῇ ἐστιν ἡ ΓΑ͂ τῆς ΑΒ, κοινὸν ὕψος 520 
ΔῈ τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΑ͂ AE διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ 4B AE. 
πάλιν ἐπεὶ διπλῇ ἐστιν ἡ 42Ζ τῆς LE, κοινὸν ὕψος ἡ 41 
τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΓ 4Z OurAdoiÓv ἐστιν τοῦ ὑπὸ ΑΓ AE. 
ἀλλὰ τὸ ὑπὸ AT AE τοῦ ὑπὸ 4B AE διπλάσιόν ἐστιν τὸ 
ἄρα ὑπὸ ΑΓ ΔΖ τετραπλάσιόν ἐστιν’ τοῦ ὑπὸ ΑΒ AE. 25 
304 L. Ἔστω ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ 4E 
πρὸς τὴν EZ, ὡς δὲ ἣ 4B πρὸς τὴν BH, οὕτως ἡ 4E 
πρὸς τὴν EO. ὅτι γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΗ «πρὸς τὸ 
ὑπὸ τῶν ΑῊΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν 4ΕΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 


40Z. 30 

4. ἀπὸ ΗΒ AB, ἀπὸ ηε S cod. Co μείζων A, μεέξζξω BS, corr. 
Co δὲ x«l] δὲ x«9' υπόϑεσιν coni. Hu — ὃ. μεῖζον ἄρα A, corr. 
BS τῆς OZ Ha auctore Co pro τῆς 64 ἔστι ASS (ἐστὶ B5j 


6. δ΄ add. BS 7. ἴσα add. Co 7. 8. τὸ dq ns τμήματα γὰρ τῶι 
AB ΓΖ διχὰ τοῖς ἫἨΘ: ““ A, τὸ δ᾽ ἐφ᾽ ἧς τμήματα γὰρ τὰ «B yÓ 
δίχα roig ἢ $9 B et similiter S, τετμήσθωσαν corr. Co, τὸ δ᾽ ἐφεξῆς 





LIBER VII. PROPOS. 494. 225, 226. 227. ὃδ᾽ .995 


r9? * 30?, id est propter elem. 2, ὃ 
αε. εβ 4 γε » γζιζὸδ-- 902. Et ex hypothesi est 
«&- εβ — yL-L0; ergo est 
56? *» 9C, itaque ye » 9C. Sed est etiam ar » y3; 
ergo 
€» τ 56 5 y9: - 9C, id est PR 
IV. Sit αε- ef — γζ- CO, et aequales αβ yÓ; dico maiora FroP- 
segmenta «e yL aequalia esse. 


T —— ER—————————ÀÓ — E-— ——4- - 


« 7 € g y ϑ ζ δ. 











Nam bifariam secentur ἂρ γὺ in punctis ἡ 9 et cet. 
V. Sit ag 7 y, et Be «; OC, atque ag *» Be, et 7/ó 5 OL; Prop. 
dico esse ag — ge *» yà — ὃ. 


* 
- — MM. IR € — —— €— € —. — €—« 








8 . € y δ r 
Quoniam enim est a *» yÓ, est etiam aj — ge »» γὸ — fe. 
Sed est γ — 8e *» yÓ — OC (est enim ge « 02); ergo multo 
maior est differentia ag — Be quam 7à — 07. 
VI. Sit af 2 fy, οἱ δὲ — εζ; dico esse αγ' ὁξ — & ap. δε. Prop. 











- | Quoniam enim est «y — 2 af, facta 226 
« β 7 multiplicatione per δὲ est αγ- δὲ — 
g6——— i ϑαβ. δε. Rursus quia ὃζ — ῶ δε, facta 


multiplicatione per ay est αγ. ὃζξ — 

9αγ᾽ δε. Sed est ay. δὲ — 2a. 06; ergo ay- OC τε ἀ ag - δε. 
| VII. Sit «ag : By 2 δὲ: eC, et ag : By — δὲ: 69; dico Prop. 
fieri ag. gr : ap. yy 2 δὲ. ε8 : 09. - 9C. 2: 


Hu, pro quibus x«i τὰ ἐφεξῆς in fine add. Ha 9. &' add. BS 
43. 14. ἡ AB — μείζων ἐστὶν add. Hu auctore Co, qui sic dedit: ἡ 
AB τῆς P4, μείζων ἄρα (ἔσται add. Ha) ἡ τῶν AB ΒΕ ὑπεροχὴ cet. 
15. τῶν ΓΖΩῈΒ A, distinx. BS 16. γάρ ASS, ἄξα Β 18. ς΄ add. 
BS ηδὲ δὲ τῇ ὃξ S, ἡ δὲ AK τῇ KZ Ha et sic idem toto hoc lemmate 
K ponit pro E δὲ om. A, add. BS 19. ὑπὸ ATAZ Α, distinx. BS 
22. τῆς .ÍE Ge auctore Co pro τῆς ΖΕ 34. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ AT 4Z 
τοῦ ὑπὸ AT 4E ABS, corr. Co 24. 25. διπλάσιόν ἔστιν add. Hu auc- 
tore Co, reliqua ipse Co 26. ζ΄ add. BS UI 4E| ἢ 4K Ha et sic 
toto hoc lemmate K pro E 38. 99. τῶν 4HB B πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ABD 
ABS, corr. Co 29. 80. τῶν 4OZ Co, τῶν A4EZ ABS, τῶν ΖΘΖ Ha 





996 | ΠΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTH2 Z. 


Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ .4B πρὸς τὴν BH, οὕτως ἡ 4E 
σρὸς τὴν ΕΘ, ἀνασερέψαντί ἔστιν ὡς J B.4 πρὸς τὴν ΔΗ, 
οὕτως ἡ E4 πρὸς τὴν 4O- ὥστε xoi ὡς τὸ ἀπὸ B4 πρὸς 
τὸ ἀπὸ MH, οὕτως τὸ ἀπὸ AE πρὸς τὸ ἀπὸ 40. ἀλλὰ 
xci ὡς τὸ ἀπὸ 18 πρὸς τὸ ὑπὸ 48ΒΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ 4E? 
πρὸς τὸ ὑπὸ 4EO-:' καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ 
«ΑΒΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ 4O πρὸς τὸ ὑπὸ 4ΕΘ. ἐπεὶ δὲ 
ὑπόκειται ὡς 9 AB πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ 4E πρὸς τὴν 
ΕΖ, ἀνάπαλιν xal συνθέντι ὡς ἄρα ἡ ΓΑ͂ πρὸς 48, οἵὕ- 
τως ἡ Z4 πρὸς 4Ε. ἔστιν δὲ καὶ ὡς ἡ B.4 πρὸς .4H, 0 
οἴτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ: δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ͂ 
πρὸς ΑΗ, οὗτως ἡ ZZ πρὸς 40: καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΗ͂ πρὸς 
HA, οὕτως ἡ ZO πρὸς 46, καὶ ὡς τὸ ὑπὸ πρὸς τὸ ἀπό, 
οὕτως τὸ ὑπὸ πρὸς τὸ ἀπό. ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ AH 
πρὸς τὸ ὑπὸ 48ΒΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ 40 πρὸς τὸ ὑπὸ A4EO-:15 
xai ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΉΓ, οὕτως τὸ 
ὑπὸ 4EO πρὸς τὸ ὑπὸ 4OZ. 

Ἔστω δοϑέντα συναμφότερα, τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ BT, 
καὶ δοϑεῖσα ἡ τῶν ἀπὸ .4B ΒΓ ὑπεροχή" ὅτι δοϑεῖσά 
ἐστιν ἑκατέρα τῶν .48 ΒΓ. 20 

Κείσϑω yàg τῇ ΓΒ ἴση ἡ B4: δοθὲν ἄρα ἐστὶν xoi 
τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑ͂ΖΔ (ὑπεροχὴ γάρ ἐστιν τῶν ἀπὸ ΑΒ ΒΓ 
τετραγιύνων). ἀλλὰ καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν I 44 δοϑέν ἐστιν 
(ἐπεὶ xai τὸ ὑπὸ ΓΑ͂4 δοϑέν ἐστιν)" δοϑὲν ἄρα ἐστὶν xai 
τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΑ͂ 44, ὥστε δοϑεῖσά ἐστι 


4. ἀπὸ EO (ante ἀλλὰ) ABS, corr. Ha auctore Co 5. ὑπὸ B, 
ἀπὸ Α58 6. ὑπὸ (ante 4289) A, ἀπὸ BsS cod. Co 7. πρὸς TO ὑπὸ 
4 EZ ABS, corr. Co, 9. καὶ συνθέντι Ha pro συνϑέντι χαὶ πρὸς 
AB A5S, πρὸς τὴν «B B 11. οὕτως ἡ ΕΖ Ge auctore Co pro οὕτως 
ἡ EA 42. πρὸς -4AH Ha auctore Co pro πρὸς ΔΗ͂ 48. 44. xol 
ὡς τὸ ὑπὸ πρὸς TO ἀπὸ τοῦ πρὸς TO ἀπὸ ABS, corr. Co, idem formu- 
lam a scriptore breviter adumbratam sic explevit: xal ὡς τὸ ὑπὸ THA 
“πρὸς τὸ ἀπὸ 4H, οὕτω τὸ ὑπὸ ZOA πρὸς τὸ ἀπὸ 64 45. ἀπὸ 40 
Ha auctore Co pro ἀπὸ ΖῈ 47. πρὸς τὸ ἀπὸ 4EZ AB, ὑπὸ corr. 
S, 40Z Co 48. η add. BS συναμφότερα add. Ha auctore Co 
49. χαὶ δοϑέντα ἡ AB, corr. S 44, ἄρα Co pro ὅτι ἄρα 94. 93. xci 


- 


LIBER VII. PROPOS. 338. 997 


Quoniam enim est 








᾿ς μ g γ΄ αβ:βη τε δε: εϑ, con- 

vertendo est a8 :« 

ἢ δ. s 1 -- de : δϑ, itaque 
etiam 


ag? : ar? z δεῖ : 032. Sed est etiam 
à αβ'βη — 0c? : δε. c9; ergo etiam 
: ag Br τὸ 092 : 06.69. Sed quia ex hypothesi est 
ag : By — δε: εζ, e con- 
trario ei componendo est 
. αγ:αβΞε δξ: δε. Sedest 
eliam ag: am — εδ: 03; 
ex aequali igitur est «y: am 
— 05: 09; itaque diri- 
mendo ἢγ: αῃ — 90:02; 
ergo etiam multiplicando 
αη"ηγ.: ar? z5 03-90: 895; ergo eliam 
ag n: αἡ oy Ξε 06-69 : 09 9C. | 
VIII. Sit data et summa et differentia quadratorum ex Prop. 
αβ By; dico ipsas αβ By datas esse. 238 
Puta iam inven- 
a 8d 34 -. tas esse ap fy, ac 


ponatur β — fy; 
ergo datum est ay- αὖ (est enim propter elem. 2, 6 aequale 


datae differentiae ag? — 877). Sed datum est etiam duplum, 
scilicet 3 αγ- αὖ, cui addatur data summa af? -- 8y? dupli- 
cala, id est ay? 4- a0?*). Sed propter elem. 2, 4 est ay? 4- 
«0? - 2ay-aÓ0 — (ay - a0)?; ergo datum est (ay -- a0)?, 

*) Sic demonstrationem a Graeco scriptore brevissime contractam 
et ne ab Halleio quidem, ut videtur, satis illustratam explevimus. Ni- 


mirum est data summa «ef? 4- 85?; ergo etiam dupla; et propter elem. 
2, 10 est 2,(«8? 4- 8?) — ay? 4- a0?. 








τὰ ἀπὸ τῶν ΓΑ. ABS, corr. Co 49, 38. verba ὑπεροχὴ --- τετρα- 
γώνων, quae in ABS post δοϑέν ἐστεν (vs. 24) leguntur, huc transposuit 
Ha 25. ἀπὸ add. Ha συναμφότερον ABS, συναμφοτέρας Ha, 
corr. Hu ϑοϑέν ἐστι ABS, corr. Ha 


998 d. ΠΛΑΠΠΟΥ͂ ZYNATOTHSZ Z. 


συναμφότερος ἡ ΓΑ͂ 244. . καὶ ἔστιν αὐτῆς ἡμίσεια ἡ Bal: 
δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἢ B.4, ὥστε καὶ ἡ ΒΓ δοϑεῖσα ἐστιν. 
306 0. Ἔστω ἴση ἡ μὲν .4B τῇ ΒΓ, ἡ δὲ AE τῇ EZ, ἔτι 
δὲ ἔστω ὡς ἡ ΓΒ πρὸς BH, οὕτως ἢ ΖΕ πρὸς EO: ὅτι 
γίνεται ὡς τὸ ὑπὸ ΑΉῊΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ͂, οὕτως w 
ὑπὸ 4 OE πρὸς τὸ ὑπὸ EZO. 
| Ἐπεὶ γάρ ἐστιν 



































« m B8 7» 4 ὡς ἥ ΓΒ πρὸς ΒΑ, 
οὕτως ἡ ZE soo; 
--.ὄ.. - ----.-..-.- ---...Η-:Η m 2 4 ν € "C 
ὃ ε t 3 EA, ἀλλὰ καὶ ὡς η 
ΓΒ πρὸς BH, οὕτως 
- —— - ——————4 n Z ὴς EO, & 
& β 7] y " E πρὸς Α c δ 
σται ἄρα καὶ ὡς τὸ 
Η- ----.....-... —— ——— ——-4 


: 4 t ἀπὸ ΑΗ πρὸς τὸ 
ὑπὸ HB, οὕτως 1Ὁ 

τὸ ἀπὸ 4O πρὸς τὸ ὑπὸ A4OE. ἀλλὰ καὶ ὡς μὲν τὸ ἀπὸὴ 

ΔΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ 4O πρὸς τὸ ἀπὸ EZ, 

ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ͂, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΖ 

πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ' ἔσται ἄρα δι᾽ ἴσου ὡς τὸ ὑπὸ “ΗΒ 
πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΙῊ, οὕτως τὸ ὑπὸ 4ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ EZO.9 

907 c. Ἔστω ἴση ἡ μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἐλάσσων δὲ ἡ B4 

τῆς BE: ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν BI'4 ἐλάσ- 

cova λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν 

BAAE. | 

Ἐπεὶ yàg ἴση μέν ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ BF, ἐλάσσων δὲ 525 

B4 τῇ ΒΕ, ἡ Γ4 ἄρα μείζων ἐστὶν τῆς ΑΕ, ὥστε καὶ ἡ 

IE μείζων ἐστὶν τῆς “14. ἔλασσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ 4248 

τοῦ ὑπὸ ΓΕΒ, μεῖζον δὲ τὸ ὑπὸ τῶν B4 τοῦ ὑπὸ BAE: 

τὸ ἄρα ὑπὸ 428 πρὸς τὸ ὑπὸ BI'4 ἐλάσσονα λόγον ἔχει 
ἥπερ τὸ ὑπὸ ΓΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ B.E. 30 


4. συναμφοτέρου ABS, συναμφοτέρα Ha, corr. Hu ἡμίσεια dvo 
αἱ ΒΑ͂ ABS, corr. (0 8. ΘΑ rec. in marg. (BS), eadem manus re- 
centior proximos numeros initiis lemmatum in A addidit ἴση add. 
S τῇ BI A rec. in marg. (B), τῇ ΓΖ A! (S cod. Co) ἡ δὲ 4K 
τῇ KZ eV sic ubique 7 K pro E Ha in hoc et proximo lemmate 
4. οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς EZ ABS, corr. Co 46. ὑπὸ (ante OE, BsS, 


LIBER ΥἹΙ. PROPOS.. 239. 230. 999 


itaque etiam recta oy 4- αὖ data est. Et est αβ — 4 (ay 4- à); 
ergo data est eg, itaque etiam y data est (nam datà af 
datum etiam af?;: et est data summa af? -- 8y?; itaque etiam 
By? datum, et data ipsa fy). 


IX. Sit af — βγ, et δὲ — εἴ, atque yf : βὴ 2 Le: eO ; Prop 
dico esse «n. vf : By - yn — 03.9e: eC C9. ! idi 
Quoniam enim ea hypothesi est et 
yB : B τ be: ε9, et 
yB : Ba τῷ De: &eÓ, ex aequali igitur est 
Bo : Bx — εὃ : &9, et componendo 
«n: ηβ 2 02 : 9e; ergo etiam 
on? : am: rf — 03? : 09. 9e. Sed quia (ut modo demon- 
stravimus) est an : yg — 09 : 9€, 
et (ex hypothesi) v8 : By — 
δ: et, ex aequali igitur est 
αἢ : [y — 09 : εξ; ergo etiam 
ar?:(0y?- 09?:«?. Sed quia ex hypothesi est By : B 
| - εζ : ε9, est igitur (in priore 
casu e contrario el dirimendo et 
rursus e contrario, tn altero casu 
convertendo: By : yy z e: ζϑ; 
ergo etiam 
By? : By- yy — e? : εζ CO ; ergo ex aequali erit 
on) : By-yr — ὅϑ'.ϑε : eC. C9. 


X. Sit of Ξε fy, et Bà «x; Be; dico esse eo: » « is P 

















8»: βα. «εἰ 
.- ----.- 4 MA οὐρα enim est 
a f β " of — fy, ev βὸ « fe, 


est igilur yÓ » oe, itaque etiam ys *» αὃ; ergo est 
αὃ. ὃδβ « ye-ef, el 
By-yó » fa-ae; ergo est (elem. 5, δ) 
«J.d8 . 72:15. 
By:yÀ δ᾽ βα. κε΄ 


ἀπὸ ἃ 39. ΒΕ — πρὸς τὸ ὑπὸ add. Co 27. ἐλάσσων A, corr. 
BS ἐστὶ ASBS 39. ὑπὸ 428 Co pro ὑπὸ 44B 


1000 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z.- 


80Ξ3  .w. Ἔστω δὲ νῦν τὸ τοῖς προηγουμένοις ἀνασερύφιον 
δεῖξαι. οὔσης ἴσης τῆς μὲν ΑΒ τῇ BI', τῆς δὲ AE τῇ EZ, 
ἔστω ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ͂, οὕτως τὸ ὑπὸ 
298Ε πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ' δεῖξαι ὅτι γίνεται ὡς ἡ ΓΒ πρὸς 
ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ. 5 
Κείσϑω τῷ μὲν ὑπὸ ΑΗΒ ἴσον τὸ ὑπὸ DH AK, τῷ 
δὲ ὑπὸ 4OE ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΘ 4.1: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ 
-4K ΓΗ͂ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΓΗ͂, τουτέστιν ἡ ΑΚ πρὸς ΒΓ, 
οὕτως τὸ ὑπὸ 4.4 ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΘ, τουτέστιν ἡ 
4.1 πρὸς ΕΖ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς B.4, οὕτως éovivi0 . 
ἡ ΖΕ πρὸς E4: αἱ ΑΚ ΒΓ BK ἄρα ταῖς 4.4 ΕΖ ΕΑ 
ὁμοταγεῖς εἰσιν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ [τουτέστιν ὡς ἡ ΚΓ πρὸς 
ΓΒ, οὕτως ἡ .«1Ζ πρὸς ΖΕῚ. ἐπεὶ δὲ τὸ ὑπὸ τῶν .4HB 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΓΗ͂, ἀμφότερον ἀφῃρήσθω 
ἀπὸ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΚ ΗΒ᾽ λοιπὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν BHK5 
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ. τῶν ΑΚ ΒΓ ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ 
τῶν ΑΚ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῇς ΒΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν BHK 
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΚ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ τῶν 
4.4 ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς E.4, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν 
EO.4 πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΑ. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ὑπὸ τῶν 
ΑΚ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς BK, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν 41 EZ 
πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς E.4 διὰ τὴν ἀναλογίαν τῶν ὅμοταγῶν 
τιημάτων: xai ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ BHK πρὸς τὸ ἀπὸ BK, 
οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΘ. πρὸς τὸ ἀπὸ E.4. καὶ ἔστιν τὰ αὐτὰ 


ἡ. ἀναστρέφειν A(BS), ἀντέστροφον Ha, corr. Hu 3. ἔστω Hu. 
pro xel ἔτι τὸ ὑπὸ A4HB πρὸς bis scripta in A 6. τῶε μὲν — 
τὸ ὑπὸ AB, τὸ uiv — τῷ ὑπὸ S cod. Co ᾿ 7. post 4OE ἴσον add. 
ἐστὶν A(BS), ἔστω Ha, del. Hu ὑπὸ ZO 4.1 Ha auctore Co, ὑπὸ 
ΖΘ. AB, ὑπὸ (09 8 7. 8. ὑπὸ .4K ΤΗ Ha auctore Co pro ὑπὸ 
AK TZ 9. 10. ὑπὸ 4.4 ΖΘ et ἡ 4.1 Ha auctore Co pro ὑπὸ 
4A ZO et ἡ .14 . αἱ 48 Br TK 4 ἄρα ταῖς Δ1Ε EZ ΖΑ͂ ABS, 
corr. Hu 49. 43. τουτέστιν — πρὸς ΖΕ ABS, del. Hu, τουτέστιν 
ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ οὕτως n EZ πρὸς ZA χαὶ ὡς ἄρα ἥ ΒΓ πρὸς τὴν 
BK οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν Ε.1 Ha 44. τῶν ΑΚΓΗ A, distinx. BS 
44. 15. ἀμφοτέρων ἀφηιρήσϑω ἀπὸ τοῦ ὑπὸ τῶν AKB ABS, corr. Co 
45. 46. τῶν BAHK ἴσον A(BS), τῶν BH KK ἴσον Co, τῶν HK HB 
ἴσον Ha, corr. Hu 46. 47. ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΚΒΓ A, distiax, BS 








^ 








LIBER VII. PROPOS. 234. 1001 


XI. Iam vero propositum sit conversionem lemmatis su- Prop. 
perioris (non;) demonstrare. Sit ag — gy, et δὲ — εζ, at- 45: 
que αη ηβ: By- yn — ὅϑ.ε: εζ. 59; demonstretur fieri 








LL ᾿ E yB : B — 66:69. 
e« B y ? * Ponatur!) γῆ ax 
$—1—1 ——4.———À4 — αη"ηβ, et ζϑ. 0À 


— 09.36; est igitur 
yn: ox : By- yn Ξε ζϑ.δλ : eC. C9, id est 
«x : βγ τῷ δὰ: εζ. Sed ea hypothesi esty etiam fy : ag 


Ξε εζ : δε; ergo ex aequali ax : af) 
— δὰ: ds, id est converiendo 


ax ; βχ — δλ : eh; ergo, quoniam ex aequali est By : βκ 
— eb : &À, ὁμοταγεῖς in eadem pro- 
portione sunt 


ox : By : fx τῷὸ δλ : eb : e. 
Sed quoniam exc constructione est 
αῃ -ηβ — ax.ygy, utrumque auferatur ab ax. of; or e- 





stat igitur 
x:By — Bm: nx 
nk: 7B τε ax-B8y; ergo est * D p" Eadem ra- 
ὅλ. εξ εϑ.8}λ 
lione est "τς — τ - Et est prop- 


ter proportionem τῶν ὁμοταγῶν τμη- 
μάτων, quam modo demonstravimus 2, 








ex-gy δλιεῖ, 
x εϑ.λ ga 7 Qus 5 CTEo euam 
s - CE SOR sunt eadem segmenta?) f» 689; est 
igitur 


4) Vide append. 
2) Quoniam enim est «x : 8x — dà : ελ, et fy : Bx — εξ: &À , mul- 
ax:.fy δλ.εξ 
Bx x2 — dC E 

3) "Eadem segmenta" dicuntur fy «9, quia est Buy — Bx — qx, et 
€9. τ ελ — 94, id est ηκ — gx — βη, et 94 τῷ tà — c9; ergo scriptor 
Bn (gx — Bu) . :9 (tà — ε8) 8x ε 

x? u 


tiplicando fit — 





efficilL esse — 2 — 


ex 8equalione SU βη d 


48. διὰ ταῦτα ABS, corr. Hu. 18. 49. τῶν 4.4 EZ ABS, corr. Co 
99. τῶν ὁμοιοτάτων ABS, similium Co, τῶν ὁμοιοταγῶν Ha, corr. Hu 
34. τὸ ἀπὸ EGA πρὸς τὸ ἀπὸ. ΑΕ ABS, corr. Co 

Pappus 1I. 64 


1002 | ΠΑΠΠΟΥ XYNATOTHX Z. 


τμήματα τὰ BH ΕΘ' ἔστιν ἄρα ὡς ἡ KB πρὸς ΒΗ, οὕτως 
/ E πρὸς ΕΘ' καὶ ὡς ἄρα ἡ Γ B πρὸς BH, οὕτως ἐστὶν 
ἡ ΖΕ πρὸς ΕΘ. 
309 (΄. Ἔστω ἴση ἡ μὲν AB τῇ ΒΓ, ἡ δὲ AE τῇ EZ, ἔτι 
᾿ δὲ $ ΒΓ πρὸς ΓΗ μείζονα λόγον ἐχέτω ἥπερ ἣ ΕΖ πρὸς 
τὴν ZO: ὅτι ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως καὶ ἡ 44H πρὸς 
τὴν ΒΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤττερ ἡ 4 πρὸς τὴν ΕΖ, ἐπὶ 
δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσω. 
Ἐπεὶ γὰρ 5$ ΒΓ πρὸς ΓΗ͂ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ 
ἢ EZ πρὸς ΖΘ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΗ 10 
ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ 7) ΖΕ πρὸς EO, imi δὲ τῆς δευ- 
τέρας μείζω: ὥστε καὶ ἡ B πρὸς τὴν BH ἐπὶ μὲν τῆς 
πρώτης πτώσεως ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ 4E πρὸς EO, 
ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζω: καὶ ἡ ΗΑ͂ ἄρα πρὸς τὴν .4B 
ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἢ 15 
O4 πρὸς 4E, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσω. καὶ ἔστιν ὡς 
ἡ 418 πρὸς BI, οὕτως ἡ 4E πρὸς EZ: δι᾽ ἴσου ἄρα ἐπὶ 
μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἡ ΜΗ πρὸς τὴν ΒΓ μείζονα Àó- 
γον ἔχει ἥπερ ἡ 460 τιρὸς τὴν ΕΖ, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας 
ἐλάσσω. 20 
310 w. Ἔστω πάλιν ion 5? μὲν ΑΒ τῇ ΒΓ, ἣ δὲ AE τῇ 
EZ, ἔτι δὲ ἡ ΑἩ πρὸς τὴν ΗΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἥπερ 
ἢ 40 πρὸς. τὴν OE* ὅτι xai ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ͂ μείζονα 
λόγον ἔχει ἥπερ ἢ EZ πρὸς τὴν ΖΘ. 
Ἐπεὶ γὰρ κατὰ ἀναστροφὴν καὶ διαίρεσιν ἡ HB ngog?» 


^. τὰ BHEO A, dislinx. BS 4. 9. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ KB πρὸς 
BA οὕτως ἡ JE πρὸς EO ABS, ἔστιν ἄρα ὡς ἧ HB πρὸς B BK, οὕτως 
ἡ ΘΕ πρὸς E.4 Co, corr. Ha 3. 3. x«l ὡς ἄρα 7, HB πρὸς Br 





οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΕ πρὸς EZ ABS, corr. Hu, ἀλλ᾽ ἐδείχϑη ὡς 5j ΒΓ πρὸς 
τὴν ΒΚ οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν E.4: δι᾽ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς BH 
οὕτως ἐστὶν ἣ ΖΕ πρὸς ΕΘ Ha ᾷ. cap. 309—814 edidit M. Meibo- 
mius, dialogi de proportionibus pag.. 454—156 (Hafniae 4655) ἴση 
add. Co ἡ δὲ Z/K τῇ KZ Ha et sie ubique K pro E in hoc et pro- 
ximo lemmate 5. πρὸς ΓΗῚ πρὸς τὴν ΓΗ Meibomius suo ingenio, 
 mnullius codicis auctoritate; et sic etiam posthac articulos addidit 
6. τῆς πρώτης BS, τῆς ΕΑ A 6. 7. πρὸς τὴν ΒΓ ὍἋο pro πρὸς τὴν 
HI 8. ἐλάσσων AB, corr. S, item vs. 16 et 20 40. 4. ἡ EZ — 


LIBER VII. PROPOS. 232. 933. 1003 


Bx : βὴ τῷ ελ : e9. ΕἸ demonstravimus esse 

Bx : By — δλ : eC; ergo ex aequali est 

yB : Bu z ζε : ε9. 
XII. Sit af — fy, et δὲ — eC, atque By: yg » Έεζ: ζϑ; Ἂν 


dico 6586. in priore casu «m : fy *» 09 : εζ, in altero a7 : 8y * 
«; 09 : &. 

















E—LT——————————————————4 rx ---- LÁ ————M——4 
« β y py « β y m 
E—— —— — d E-——————34 ELT ————--——4——r ——————— 
ὃ. δ ϑ ζ € 9 


Quoniam enim est By : yy *» eC: C9, in priore casu est 
By : B8 « εζ: 529, itaque etiam af : βὴ « δὲ: 69; ergo est!) 
«f : ag -- Bu « δὲ: 0s -r- c9, id est | 
om: af *» 039 : δὲ. Et eo hypothesi est 
ag : gy — δε: c; ex aequali igitur 
an : fy » 09 : e. 
In altero casu, quia est fy : yn » &L : C9, est etiam 
By : By -- yu cC : et -- C9, id est 
By : 8 *» € : ε9, itaque etiam 
og : Bu * δὲ: 59; ergo est similiter ac supra 
«n: af « 09 : δε, itaque perinde ac supra 
a : fy « 09 : c. 
XIII. Sit rursus ag — βγ, et δὲ — cL, atque am : ηβ.» Prop. 
09 : 95; dico esseetiam "*? 
— ———34—— ——4 Bim» &:t9*). 
Quoniam enim est 
) —-: i1 0$ αῃ:ηβ»ΒΈ δϑ:ϑε, οἱ 
convertendo(VII prop.6) 








4) Conf. libri VII propos. 3. 
*) Vide append. 


ἔχει ἥπερ add. Co 44. τῆς δευτέρας BS, τῆς ΒΑ 42. μείζων AB, 
corr. S, item vs. 44 44. καὶ ἡ ΗΑ Ha &uctore Co pro x«à ἡ H.4 
47. post ἄρα add. ἐστὶν ABS, del. Ha auctore Co 23. μείζονα Hu 
pro ἐλάσσονα (conf. append.) 39. 48. ἤπερ ἡ 40 Ha auctore Co 
pro ἤπερ ἡ 4E 25. χατ᾽ ἀνασεροφὴν Meibom. 

64 * 


1004 IIAIIIIOY ΣΥΝΑΓΩΙῊΣ 2. 


τὴν ΒΑ͂, τουτέστιν τὴν BD, ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἢ 
OE πρὸς τὴν ΕΔ, τουτέστιν πρὸς τὴν ΕΖ, ἀναστρέψαντι 
καὶ διελόντι 7) ΒΓ πρὸς τὴν ΓΗ͂ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ 
ἡ EZ πρὸς τὴν ΖΘ. 

811 ιδ΄. "Ion ἡ μὲν 41Β τῇ ΒΓ, ἡ δὲ AE τῇ ΕΖ, καὶ ἔτιῦ 
ἢ 4H πρὸς τὴν ΗΒ μείζονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἣ 40 πρὺς 
τὴν OE: ὅτι ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ 
? EO πρὸς τὴν OZ. 

- Ἐπεὶ γὰρ κατὰ διαί- 
« 8 η y ρεσιν ἡ “18, τουτέστιν ἢ 10 
- ρ΄ ΒΓ, πρὸς τὴν BH μείζονα 
€ 3 ζ λό » ἡ s 4E. τουτ- 
óyov ἔχει ἥπερ 7) 4E, v 
ἔστιν ἡ EZ, πρὸς τὴν EO, ἀναστρέψαντι xol κατὰ διαίρε- 
σιν ἣ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ ἢ EO 
πρὸς τὴν ΘΖ. ἢ 15 














Ε- 
δ 


Εἰς τοὺς πρὸς ἐπιφανείᾳ. 

312 α΄. Ἐὰν ἡ εὐθεῖα 1) 4B, xoi παρὰ ϑέσει ἡ FA, xai ἢ 
λόγος τοῦ ὑπὸ Α48 πρὸς τὸ ἀπὸ AT, τὸ D ἅπτεται xo- 
νικῆς γραμμῆς. ἐὰν οὖν ἡ μὲν 41Β στερηϑῇ τῆς ϑέσεως, 
καὶ τὰ 44 B στερηϑῇ τοῦ δοϑέντος εἶναι, γένηται δὲ πρὸς Ὁ 
ϑέσει εὐθεῖα ταῖς 4E EB, τὸ Γ μετεωρισϑὲν γίνεται soc 
ϑέσει ἐπιφανείας. τοῦτο δὲ ἐδείχϑη. 

β΄. Ἐὰν ἡ ϑέσει εὐθεῖα 7) 418, καὶ δοϑὲν τὸ I' ἐν τῷ 
αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διαχϑῇ ἡ AT, καὶ πρὸς ὀρϑὰς ἀχϑῇ 


4. τουτέστι πρὸς τὴν ΕΓ Meibom. ἐλάσσονα Hu pro μεέζονα 
5. "Ion BS, Ἔστω ἴση Α5 Meibom. Ha — 7j μὲν AB, uiv ἡ S Meibom. 
ét, non satis expressum est in A ac simile formae ἔστεν 7. ἐλασ- 
σονα Co Ha, μείζονα ABS Meibom. 7. 8. ἥπερ ἡ EO Ha pro 1/150 
ἡ EB 13. x«i add. Ha auctore Co 44. ἐλάσσονα) μεέζονα Meibom. 
suo ingenio 16. quae hinc usque ad exitum libri VII sequuntur 
aliena sunt a consilio eius scriptoris qui praefationem huius libri com- 
posuit: vide supra cap. 3 τοὺς (scil. τόπους) Ge pro τὰς ἐπι- 
φάνειαν ABS, corr. Hu. 47. α' add. ΒΒ ἢ ante εὐθεῖα add. Hu 
παραϑέσει ABS, distinx. Hu 30. τὰ .4B A, distinx. BS, ἑκάτερον τῶν 
A4 B Hw 20. 21. προσϑέσει ABS, distinx. Hu, item vs. 41. 22 
48. 8' add. BS 94. πρὸς ὀρϑὰς Hu coll. p. 1042, 26 pro παραϑέσει 


LIBER VII. PROPOS. 284. 235. 4388. 1005 


o7 : af « 09 : δε, et dirimendo ἢ 

βη : αβ « 6&9 : δε, id est 

Br : By « 6&9 : εξ, est igitur convertendo (VII propos. 6) 
B : yy » s9: : £9, et dirimendo 

By : yn » εξ: £9. 
XIV. Sit «) — fy, et δὲ — εζ, atque am : ηβ» 09 : 9e; Prop: 

dico esse fn : yy « &9 : 30. 

Quoniam enim est 

an : f ?» 09 : c9, et dirimendo 

ap : 9n *» δὲ: c9, id est 

By : B *» &b : &€9, est igitur convertendo 

By : ἢγ « «C : 9C, et dirimendo 

B : yy « e9 : 9C. 


IN LOCOS AD SUPERFICIEM. 


Il. Si sit recta ag, et yÓ parallela rectae positione datae, Prop. 
sitque data proportio ad - 0f : ày?, punctum y tangit conicam 2355 
lineam. lam si recta of 
17} | positione privetur, et punc- 
| ta « B desinant data esse, 
. fiat autem recta quaedam 
ζ vU - f πρὸς ϑέσει ad ae ef, punc- 
d tum y sublime elevatum fit 
&— β΄ πρὸς ϑέσει superficiei. Hoc 
autem demonstratum 6502). 


II. Si sit recta «9 positione data, et in eodem plano Prop. 
. . * 
datum punctum y, et ducatur Óy, ac datae eg perpendicu- 239 "I 


4) Vide append. ad VII propos. 4. 

2) Quoniam Euclidis πρὸς ἐπιφανείᾳ τόπων libri, ad quos scriptor 
provocat, non exstant, Graeca verba sunt obscuriora neque figurae in 
codicibus traditae ratio satis perspicua. Longiorem demonstrationem 
supplevit Co. 

*) Non hanc ipsam propositionem, sed eandem repetitam, quae 
jafra p. 410412 sqq. sequitur, numerat Commandinus. Laudat huius theo- 
rematis elegantiam Chasles Apergu historique p. 44. edit. II Paris. (p. 44 
versionis German.). 


314 


315 


1006 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Z. 


ἡ 4E, λόγος δὲ ἢ τῆς Γά πρὸς 4E, τὸ 4 ἅπτεται ϑέσει 
χωνιχῆς τομῆς. δείκνυται δὲ ὅτι γραμμῆς μέρος ποιεῖ τὸν 
τόπον. δειχϑήσεται δὲ οὕτως, προγραφέντος τόπου τοῦδε. 
Y. 4vo δοϑέντων τῶν ΑἹ B, xai ὀρϑῆς τῆς F4, λό- 
γος ἔστω τοῦ ἀπὸ 444 πρὸς τὰ ἀπὸ D4 4B: λέγω ὅτι 105 
D ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐάν ve ἢ ὃ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον 
ἢ μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείζονα. 
Ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λό- 
γος ἴσας πρὸς ἴσον xai ἐπεὶ 
γ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ .d4 τοῖς 1 
ἀπὸ L4 48, κείσϑω τῇ Β4 
ἴση ἡ 4Ε: ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ 
ὑπὸ B.AAE τῷ ἀπὸ AI. τε- 
τμήσϑω δίχα ἡ 48 τῷ Ζ' 
δοϑὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ ἔστιν 1ῦ 
ζ δ ξ 29 β διπλῇ ἡ 4E τῆς Z4, do 
τὸ ὑπὸ B.4E τὸ δίς ἐστιν 
ὑπὸ τῶν .4B Ζ4. καὶ ἔστιν ἡ διπλῆ τῆς .4B δοϑεῖσα᾽ 
τὸ ἄρα ὑπὸ δοϑείσης καὶ τῆς Z.44 ἴσον ἐστὲν τῷ ἀπὸ τῆς 
AT: τὸ Γ ἄρα ἅπτεται ϑέσει παραβολῆς ἐρχομένης διὰ 
τοῦ Ζ. 
ὃ΄. Συντεϑήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως. ἔστω τὰ δοϑέντα 
44 B, ὃ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς ἴσον, καὶ τετμήσϑω ἢ 
AB δίχα τῷ Ζ, τῆς δὲ 4B διτιλῆ ἔστω *?; P, καὶ ϑέσει 
οὔσης εὐϑείας τῆς ΖΒ πεπερασμένης κατὰ τὸ Ζ, τῆς δὲ P235 
δεδομένης τῷ μεγέϑει, γεγράφϑω περὲ ἄξονα τὸν ΖΒ παρα- 
βολὴ ἣ ΗΖ, ὥστε, οἷον ἐὰν im? αὐτῆς σημεῖον ληφϑῇ ὡς 
τὸ Γ, χάϑετος δὲ ἀχϑῇ ἡ L4, ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ P Z4 


4. ἢ Ge auctore Co pro ἦν τὸ E ἅπτεται ABS, corr. Co 
3. δεικτέον δὲ Hu. 3. 3. μέρος ποιεῖ τὸν τόπον add. 66 8. τόποιὶ 
immo τοῦ λήμματος 4. y' add. BS τῶν .4B Δ, distinx. BS 


5. ΓΔ 4B Co pro ZB, item vs. 44 (at distincte B4 4“Γ᾿ ABS p. 1008, 
12) 40. ἀπὸ 44 τοῖς bis scripta in A 42. ἐστὶ ASsBS 45. ἔστιν 
Hu auctore Co pro ἔσται — 19. ὑπὸ do? xal τῆς ΒΓ ἴσον A, ὑπὸ do- 
9iy xol τῆς By BS, corr. Co 20. παραβολὴ ἐρχομένη AS,* παραβολῇ 


LIBER VII. PROPOS. 236. 1007 


& laris ducatur de, sitque data proportio 
| yÓ : δὲ, punctum Ó positione tangit 
£ δ conicam sectionem. 864 demonstran- 


dum est partem lineae locum efficere, 
quod quidem efficietur hoc praemisso 


"E y lemmate. 


III. Positione datis duobus punctis « 9, et perpendiculari F roP- 
«ó? 
y0, sit dala proportio yj ae yi 4 dpi dico punctum » tangere coni 


sectionem, sive proportio sit magnitudinis aequalis ad aequa- 
lem, sive maioris ad minorem, sive minoris ad maiorem (i. e. 
sive sit proporlio — 1 sve — 1). 

Sit enim primum proportio aequalis ad aequale ; et quia 
est a0? — yÓ? 4- Óff?, ponatur δὲ — βδὃ; est igitur propter 
elem. 2, 6 | 

βα-αε -- &0? — a«0?, id est ex hypothesi 

| Ξε yÓ? 4- Of? , ideoque 
βα-αε — yó?. Bifariam secetur of puncto C; datum 
igitur est ζ. Estque ae — 900 (quoniam 
δ — af — eB, id est 206 — 2pà), 
itaque 

βα-αε τε 92a. CÓ; ergo est 

ῷ θα. ζὸ — yà?. 
Et est data oj; ergo etiam dupla a; ergo rectangulum, quod 
datà et Có continetur, aequale est quadrato ex yÓ; itaque 
propter Apollonii conic. 1, 14 punctum y, positione tangit pa- 
rabolam per ζ transeuntem. - | 

Componetur locus sic. Sint data puncta « β, et data 
proportio sit aequalis ad aequale, et recta αβ bifariam sece- 
tur puncto C, et dupla of sit recta o, et cum recta L6, 
quae terminatur in puncto ζ, positione ἀαία sit, et recta o 
data magnitudine, secundum conic. 1, 52 circa axem Lf con- 
struatur parabola cC, ita ut, si in ea quodvis punctum y su- 


ἐρχομένη B, corr. Co 48. d'add. BS 48. 23. δοϑέντα 4B, distinx;: 
BS . 37. ἐπ᾽ αὐτῆς AB Co, ἀπ᾽ αὐτῆς S cod. Co  . 88. PZ4 . 
e c£ 4 BS ! 


1008 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Ζ. 


τῷ ἀπὸ 4L, καὶ ἤχϑω ὀρϑὴ ἡ BH: λέγω ὅτι τὸ ΓΗ 
μέρος τῆς παραβολῆς ἐστιν. 

Ἤχϑω γὰρ χάϑετος 5 ΓΖΩ͂, καὶ τῇ B4 ἴση κείσϑω ἡ 
4E. ἐπεὶ οὖν διπλῇ ἐστιν $ μὲν ΑΒ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ EB 
τῆς B4, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ 44 τῆς Ζ4 τὸ ἄρα ὑπὸ B.AES 
ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν 48 Z4, τουτέστιν τῷ ἀπὸ AT. 
κοινὸν προσκείσϑω τὸ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ὃν τῷ ἀπὸ 4B: ὅλον 
ἄρα τὸ ἀπὸ 244 ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν L'A AB: ἡ ΖΓΗ 
ἄρα γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον. 

816 c. Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοϑέντα σημεῖα τὰ Α' B,10 
xai κατήχϑω ὀρϑὴ ἡ 4Γ,, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ 444 πρὸς 
τὰ ἀπὸ ΒΖ AT éni μὲν τῆς πρώτης πτώσεως μείζων πρὸς 
ἐλάσσονα, émi δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσων πρὸς μείζονα " λέγω 
ὅτι τὸ D' ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώ- 
σεως ἐλλείψεως, ini δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς. 15 

Ἐπεὶ γὰρ Àó- 
γος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ 


y A44 πρὸς τὰ ἀπὸ 
B4 AT, ὃ αὐτὸς 
αὐτῷ γεγονέτω 020 
.- 6e d f ς ?] τοῦ ἀπὸ EA πρὸς 


τὸ ἀπὸ 4B: ἐπὶ 
μὲν οὖν τῆς πρώ- 
γ της πτώσεως ἐ- 
λάσσων ἐστὲν T7235 
ΒΖ τῆς AE, ἐπὶ 
δὲ τῆς δευτέρας 
μείζων ἐστὶν ἡ 
B4 τῆς 4Έ. κεί- 
σϑω τῇ EZ ἴση ἡ 30 


Ζ. E7E M , 
yg « ϑε δὲ f 4Z. ἔπει λόγος 
ἐστὶν τοῦ ἀπὸ “424 
3. x«i τῆι Bd AB Co, καὶ τῇ yó S cod. Co 6. ἀπὸ add. Ge 


auctore Co 4140. & add. ΒΒ τὰ AB A, distinx. ΒΒ 14. κατήχϑω 
0097 ἡ 4T Co pro ἐφάπτεται ἡ AT καὶ 0991 42. 13. ἐλάσσω: πρὸς 
μείζονα — μείζων πρὸς ἐλάσσονα ABS (ilem infra p. 4040, 48. 49), 


LIBER VII. PROPOS. 237. 1009 


matur et perpendicularis yÓ ducatur, sit ρ. ζὃ — δγ2, et du- 
catur perpendicularis 87 ; dico lineam yy partem parabolae esse. 





Ducatur enim perpendicularis 4d, et ponatur δὲ — βὅ. 
lam quia est a9 — 200, et εβ — 200, est etiam αβ — ef, 
id est a& — 200; ergo est 

βα.-αε τῷ ῶβα. ζδ, id est ex constructione 

Ξε 0y?. Commune addatur εδ2 — 0f; est igitur 
βα-αε 4- &0? — và? -- Of, id est propter elem. 2, 6 
«à? — yó? -- óf?; ergo linea ζγῃ locum efficit. 


IV. Iam sint rursus data duo puncta α p, et à dato puncto 3375) 
«& 
gd? 4. dy? 
in priore casu maioris ad minus, in altero minoris ad maius; 
dico punctum » tangere coni sectionem, in priore casu ellipsim, 


in altero hyperbolam. 


γ ducatur perpendicularis δγ, sit autem proportio 


Quoniam enim daía proportio est huic. aequa- 


. 90 — 
8o? 05 


lis fiat proportio s lam in priore casu est εὃ » Op, in 


gu 
*) Conf. supra IV propos. 34 p. 285. 


corr. Co (eadem emendavit ille qui extremae demonstrationi scholion, 
quod in adnotatione ad p. 1040, 45 legitur, adscripsit) 19. 84 4r 
Ge pro BAT 34. 92. ἀπὸ B4 πρὸς τὸ ἀπὸ 4E ABS; corr. Co 
292—939. ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως μείζων ἐστὶν ἡ ΕΖ τῆς 48, 
ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσων ἐστὶν ἡ E.4 τῆς 4B Co 25. 96. ἡ ΒΖ 
Co pro ἡ B.$ 49. post κεέσϑω add. ὅτε ABS, del. Co 


1010 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


πρὸς τὰ ἀπὸ D4 4B, καὶ ἔστιν αὐτῷ ὃ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ 
ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ 48, καὶ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ Z.AE πρὸς 
τὸ ἀπὸ ΖΓ λόγος ἐστὶν δοϑείς. ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὲν τῆς 
ΕΖ πρὸς 48 καὶ τῆς ΖΒ πρὸς B4, ὃ αὐτὸς αὐτῷ yeyo- 
γέτω ὃ τῆς 418 πρὸς BH: καὶ ὅλης ἄρα τῆς .4Z πρὸς 4H» 
λόγος ἐστὶν δοϑείς. πάλιν ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς ΕΖΔ πρὸς 
48Β δοϑείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὃ τῆς 440 πρὸς BO: 
λόγος. ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ ἐστὶν δοϑείς [δοϑὲν ἄρα 
τὸ O]: xai λοιπὸς ἄρα τῆς ΑΕ πρὸς O4 λόγος ἐστὲν δο- 
ϑείς" xai τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ OAH λόγος τ 
ἐστὶ δοϑείς. τοῦ δὲ ὑπὸ ΖΑ͂Ε πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, λόγος 
ἐστὶν δοϑείς - καὶ τοῦ ὑπὸ H4fO ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ λόγος 
ἐστὲν δοϑείς. καὶ ἔστιν δύο δοϑέντα τὰ O H- ἐπὶ μὲν 
ἄρα τῆς πρώτης πτώσεως τὸ Γ΄ ἅπτεται ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ 
τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς. 15 
317 c. Συντεϑήσεται δὲ ὃ τόπος οὕτως. ἔστω và μὲν δύο 
δοϑέντα σημεῖα τὰ 44 B, ὃ δὲ δοϑεὶς λόγος ὃ τοῦ ἀπὸ PT 
πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, imi μὲν τῆς πρώτης πτώσεως μείζων 
πρὸς ἐλάσσονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ἐλάσσων πρὸς μείζονα, 
χαὶ τῇ PT ἴση χκείσϑω ἡ TY, καὶ πεποιήσϑω ὡς » YZ2 
πρὸς τὴν ΣΤ, οὕτως ἡ 4“ πρὸς. τὴν BH, πεποιήσϑω δὲ 
χαὶ ὡς ἡ PT πρὸς τὴν ΤΣ, οὕτως ἡ .“4“ πρὸς τὴν OB, 
καὶ γεγράφϑω περὶ ἄξονα τὸν OH ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης 
πτώσεως ἔλλειψις, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολή, ὥστε, 
οἷον ἐὰν ém^ αὐτῆς ληφϑῇ σημεῖον ὡς τὸ D, καὶ κάϑετος "Ὁ 
ἀχϑῇ ἡ D4, λόγον εἶναι τοῦ ὑπὸ τῶν OAH πρὸς τὸ ἀπὸ 
AT τὸν συνημμένον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει v»). TX πρὸς ΣῪ καὶ 
ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ TZ πρὸς ΣΡ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὃ δοϑεὶς 
λόγος ὅς ἐστιν ὃ τοῦ ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ TZ, κατήχϑω 
ὀρϑὴ ἡ ΒΙΚ' λέγω ὅτι ἣ ΘΚ ποιεῖ τὸ ἐπίταγμα. 80 


4. P4. AB Co pro ΓΖΒ 3. λοιπὸς ἄρα τοῦ Co pro λοιπὸν. ἄρα 
τὸ 3. δοϑείς S cod. Co, δοϑέντα AB 4. xal τῆς (B πρὸς β B 
Co, καὶ τῆς Z4 πρὸς 4B καὶ τῆς ΖΒ πρὸς ΒΖ A, καὶ τῆς ζ πρὸς δβ 
S cod. Co 5. καὶ τῆς .4Z ἄρα, deleto ὅλης, coni. Hu 6. 7. τῆς 
Ε. πρὸς 4B δοϑείς Co, τῆς ΕΖΩ πρὸς 49 δοϑέντα xal τῆς EB ἄρα 
πρὸς B4l λόγος ἐστιν δοϑέντα AB, δοϑεὶς (nihil praeterea) S cod. Co 





LIBER VII. PROPOS. 937. 1011 


altero δὸ «; 0f.  Ponatur ὁξ — εὃ. Quoniam. data est pro- 


portio ;; eique aequalis est ergo etiam quae sub- 


«à: 
89? -- dy " 
wahendo fit proportio iim: 


jn 
A o id est propter. elem. 2, 6 
EE data est. Sed!) quia data est proportio ji 
ἐβ : : eB. . .. ας 

—.; huic aequalis ponatur E ergo eliàm proportio δη data 


82" 


itemque 


est. Rursus quia data esSt proportio δ huic aequalis fiat 
ἊΣ ergo eliam proportio 35 data est; itaque etiam sub- 


tractione factà proportio 5j data est; ergo eliam proportio 


5*''* data est. Sed est data proportio T ergo etiam 








99-0 


proportio € το data est. Εἰ sunt duo data puncta ϑ' 7; in 
priore igitur casu punctum y tangit ellipsim, in altero hyper- 
bolam. . 


Componetur locus sic. Sint duo data puncta α f, et 
data proportio oz? : v0?, in priore casu maioris ad minus, in 
altlero minoris ad maius, et ponatur zv — oz, fiatque «o : 9» 
— v0:07, atque eliam «9 : 9 Ξε Qv : v0, ei circa axem 
ϑη describatur in priore casu ellipsis, in secundo hyperbola, 
ita ut, si in utraque sumatur quodvis punctum y, et perpen- 
dicularis y ducatur, sit 


δ. δ ττ΄ 10 pr? or? . 
jy C svsp τοῦ (est aulem -— data proportio), 
et ducatur perpendicularis 9x; dico lineam χ᾽ efficere id 


quod praecipitur. 





4) Quae hinc usque sequuntur in brevius a scriptore Graeco con- 
tracía, ea in appendice partim secundum Commandinum, partim nostra 
coniectura explicavimus. 


7. τῆς 40 Co pro τῆς AB 8. ἐστιν A(B), om. 8 dJoóe(c S, do- 
ϑεν A(B) 8. 9. δοϑὲν ἄρα τὸ O del. Hu. 9. λοιπὴ A(B), corr. S 
ἄρα add. Hu πρὸς ΘΖ Co pro πρὸς ΕΖ 44. ἐστὲ ASBS τοῦ 
δὲ BS, τὸ δὲ A 49, ἄρα add. Hu auctore Co 43. τὰ ΘΗ A, 
distinx. BS 45. post ὑπερβολῆς add. μεέζων πρὸς ἐλάσσονα ἐλάσσων 
πρὸς μείζονα ABS 416. ς΄ add. DS 47. τὰ AB 5, distinx. BS 
47. 48. ὁ τοῦ ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ TZ Co pro ὁ τῆς PT πρὸς ΤΣ 
48. 19. ἐλάσσων πρὸς μείζονα — μείζων πρὸς ἐλάσσονα ABS, corr. Co 
39. τοῦ ἀπὸ PT Co pro τοῦ ἀπὸ PX 30. ὅτι ἡ ΘΚ idem pro ὅτε ἡ BK 


1012 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


Ἤχϑω γὰρ κάϑετος ἡ D4, καὶ πεποιήσϑω ὡς μὲν ἡ 
AB τιρὸς τὴν BH, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν B4, ὡς δὲ ἡ 
440 πρὸς τὴν ΘΒ, οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν 4B, ὥστε ἔσται 
ἡ μὲν τῆς 4H πρὸς τὴν .4Z λόγος ὃ αὐτὸς τῷ τῆς HB 
πρὸς τὴν ΒΑ͂, τουτέστιν τῷ τῆς TZ πρὸς ΣΥ͂, ὃ δὲ τῆς ὅ 
ΘΖ πρὸς .4E λόγος ὃ αὐτὸς [ἐστὶν] τῷ τῆς TX πρὸς ΣΡ 
(τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχϑη), ὥστε τοῦ ὑπὸ 
ΘΖΉ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑ͂Ε λόγος συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ 
TZ πρὸς ΣῪ καὶ 5 TX πρὸς SP: ἀλλ᾽ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ OA4H 
πρὸς τὸ ἀπὸ 4l τὸν συνημμένον ἔχει λόγον ἐξ οὗ ὃν ἔχει 10 
? T£ πρὸς XY καὶ ἡ TZ πρὸς ΣΡ xal ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὃ δο- 
ϑεὶς λόγος, καὶ ἔστιν ὁ δοθεὶς λόγος ὃ τοῦ ἀπὸ PT πρὸς 
τὸ ἀπὸ T2, xal τὸ ὑπὸ O.4H πρὸς τὸ ἀπὸ AT' συνῆπται 
ἐξ οὐ ὃν ἔχει τὸ ὑτιὸ ΘΩΔΉ πρὸς τὸ ὑπὸ Z.4E καὶ τὸ ὑπὸ 
ZAE πρὸς τὸ ἀπὸ 4D, xoi ἔστιν ὃ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΟΉ 15 
πρὸς τὸ ὑπὸ Ζ.4Ε λόγος ὃ αὐτὸς τῷ συνημμένῳ ἐξ οὗ ὃν 
ἔχει ἡ ΤΊΣ πρὸς ΣῪ xoi ἡ TX πρὸς ΣΡ, λοιπὸς ἄρα τοῦ 
ὑπὸ ZA4E πρὸς τὸ ἀπὸ 4T λόγος ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ 
ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ ΥΣ, τουτέστε τῷ τοῦ ἀπὸ E4 πρὸς 
τὸ ἀπὸ 4B. καὶ πάντα πρὸς πάντα" ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ d 20 
πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΖά 4B, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ PT πρὸς τὸ 
ἀπὸ ὙΣ, τουτέστιν ὃ δοϑεὶς λόγος, ὥστε τὸ ΘΚ μέρος τῆς 
τομῆς πιοιδὶ τὸν τόπον. 


318 ζ΄. Τούτων oUrog ἐχόντων ἐλευσόμεϑα ni τὸ ἐξ ἀρχῆς. 
ἔστω ϑέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, xai δοϑὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ 25 
ἐπιπέδῳ, καὶ διήχϑω ἡ 4T, κάϑετος ἡ 4E, λόγος δὲ ἔστω 
τῆς D πρὸς 4Ε: λέγω ὅτι τὸ 4 ἅπτεται κώνου τομῆς, 

A M € , 3 M 3 [od A M 
xai ἐὰν μὲν ὁ λόγος y ἴσος τιρὸς ἴσον, παραβολῆς, ἐὰν δὲ 

6. ἐστὶν del. Hu. 7. τοῦτο γὰρ coni. Hu. 9. ἐπεὶ BS, ἐπὶ α 
40. τὸ ἀπὸ .4I Co pro τὸ ano ΑΓ 44. 42. χαὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ 
δοϑεὶς λόγος add. Co 18. post ἀπὸ T2 add. ἐλάσσων πρὸς μείζονα 
ABS καὶ add. Hu 47. 48. λοιπὸν ἄρα τοῦ ὑπὸ ΘΖΔΉ ABS, corr. 
Co 19. τουτέστι ΑΒΘ 20. ἀπὸ 48 Co pro ἀπὸ ΑΒ 94. πρὸς 
τὰ ἀπὸ F4 4B Co, πρὸς τωι ἀπὸ BH Αἱ, πρὸς τὸ ἀπὸ BH .A?BS (sed 
in B τὰ ex ro correctum esse videtur) 24. ζ' add. BS 28. παρα- 
βολή ABS, corr. Hu 





LIBER VII. PROPOS. .938. 1013 


Ducatur enim per- 
pendicularis yó, et 


«t 
in analysi demonstra- 
tum est), ita ut per 
formulam compositae 
proportionis sit 
90.05 — TG 76 
(e.a — Gu Op 
Sed quia ex construc- 
lione 9à- δὴ ad ày? 
proportionem habet 
compositam e propor- 
lione τσ : συ et τσ: 0Q 
et illà quae data est, 


id est ov? : vo?, et 


zz — (hoe enim 
oe 











quia est 
e - τσ τὸ 
0j? Ξε Ru «€ 3yi ? ζα.αε σὺυ 0p? 
divisione igitur facta restat 
ta-«£€ — or? —— «0? (a-«&€ 4. cà? or? . 
óy? ^ vo? X ógrm et y 4 BR τοῦ" ergo est 


«à? a. 07. 
yO? -4- 082 τοῦ" 
itaque linea Jx, quae est pars conicae sectionis, locum 
efficit. 

V. Haec cum ita se habeant, transibimus ad id quod ab ΕΟ. 
initio propositum erat. Sit recta αβ positione daía, et in eo- 
dem plano datum punctum y, et ducatur Óy, ac datae rectae 
«B perpendicularis recta δὲ, sitque data proportio γὸ : δε; 
dico punctum ó coni sectionem tangere, et quidem, si pro- 
portio sit magnitudinis aequalis ad aequalem, parabolam, sin 


et est e ; data proportio, 


2) Hinc rursus conf. append. 


1014 ΠΑΠΠΟΥ ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐλλείψεως, ἐὰν δὲ μείζων πρὸς 
ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς. 

Ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον, τουτέστιν 
ἔστω πρότερον ἴση ἡ l4 τῇ 4Ε δεῖξαι ὅτι τὸ 4 ἅπτεται 
παραβολῆς. 5 

"Hy9w κάϑετος ἡ ΓΖ (ϑέσει ἄρα dor), τῇ δὲ 48 
παράλληλος ἡ 4H. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΕΖ ἴσον τῷ ἀπὸ AT, 
ἴση δὲ $ μὲν ΕΔ τῇ ZH, τὸ δὲ ἀπὸ AT ἴσον τοῖς ἀπὸ 
4H HV, τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ 4H ΗΓ. 
χαὶ ἔστιν ϑέσει 7 ZI, καὶ δύο δοϑέντα và Z Γ' τὸ 4i 
ἄρα ἅπτεται ταραβολῆς " τοῦτο γὰρ προδέδεικταε. 

ἡ. Συντεϑήσεται δὴ οὕτως. ἔστω ἡ τῇ ϑέσει ἡ 48, 
τὸ δὲ δοϑὲν τὸ D, xoi ἤχϑω χκάϑετος ἡ ΓΖ, καὶ ϑέσει 
οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοϑέντων τῶν Ζ TI, εὑρήσϑω παρα- 
βολὴ ἡ 479, ὥστε, οἷον ἐὰν ληφϑῇ σημεῖον ὡς τὸ 4, ἀχϑῇ 15 
δὲ χάϑετος ἡ 4H, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ZH τοῖς ἀπὸ ΔΉ 
HI: λέγω ὅτι ἣ 4O γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον, τουτέστιν, 
οἵα τις ἂν διαχϑῇ ὡς ἡ DA καὶ κάϑετος 7) 4E, ἴση ἐστὶν 
ἡ ΓΖά τῇ 4E. 

Ἤχϑω χάϑετος ? 4H: διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον 30 
ἐστὲν τὸ ἀπὸ ZH τοῖς ἀπὸ 4H ΗΓ. καὶ ἔστιν τῇ μὲν ZH 
ἴση ἡ E4, τοῖς δὲ ἀπὸ 4H HF ἴσον τὸ ἀπὸ 4Γ τὸ ἄρα 
ἀπὸ AT ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 4E: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ L'A τῇ 
AE: ἡ ἄρα 49 γραμμὴ πιοιδῖ τὸν τόπον. ᾿ 

* * 


4. ἐλάσσων BS, ἑλασσον (sine spir. et acc.) À ἐλλεέπει A(B), ἔλλει- 
vic S, corr. Hu. 2. ὑπερβολή ABS, corr. Hu. 8. γὰρ Hu, τῶν AB, 
om. S 6. ἐστὶ A*BS, item vs. 9 9. ἀπὸ 4HT (anle καὶ) ABS, corr. 
Co (conf. initium vs. 9) 42. η΄ add. BS 44. τῶν ΖΓ À, distinx. 
. BS 46. 47. ἀπὸ ΔΉΓ ADS, corr. Co, item vs. 94. 23 47. ποιεὶ 
add. Ge auctore Co 48. ofa τις ἄν] οἷά τις ἐὰν ASBS, corr. Hu (nisi 
forte οἷον ἄν τις restituendum) ὡς ἡ ΓΔ, AB, óc ἡ γ 5 20. διὰ 
A rec. ex δὰὰὶ 20. 24. ἔσον ἐστὶν τὸ Hu pro ἴση ἐστὶν παράλληλος 
24. post γραμμὴ add. τομὴν ABS, quae est pars sectionis Co (hic igitur 
voluit τουτέστιν μέρος τῆς touc) post τόπον ultimam demonstra- 
tionis partem desiderari non fugit Commandinum; finem libri significat 
A3 hunc in modum: παπῆ GAe£a? συναγωΐ Z ὃ ἡ ἔχει ἃ τάξ xf περι 


LIBER VII. PROPOS. 288. | 1015 


minoris ad maiorem, ellipsim, sin maioris ad minorem, hy- 
perbolam. 

Sit enim primum proportio aeqüalis ad. aequale, id est, 
sit primum γ — δε; demonstretur punctum Ó tangere pa- 
rabolam. 

Ducatur rectae ag per- 
' pendicularis 75 (haec igi- 

tur propter dat. 30 posi- 
tione data est), et rectae 
af parallela δη. Et quia ex 
hypothesi est £0? — 0y?, et 
ex constructione εὃ — 0m, 
atque y? — à7? -- 2y?, est 
igitur 59? — à? - ἡγῇ. Fl 
L est positione data Cy, et 
data duo puncta C y; ergo 
punctum à parabolam tangit; id enim supra (lemm. III) de- 
monstratum est. 

Componetur sic. Sit recta positione data ef, et datum 
punctum y, et.ducatur rectae «p perpendicularis γζ, et cum 
γζ positione ac duo puncta & y data sint, inveniatur parabola 
09, ita ut, si in ea quodvis punctum à sumatur, ac perpen- 
dicularis δὴ ducatur, sit Lp? — óz? -- $y?; dico lineam 09 . 
locum efficere, id est, si quaevis yÓ et perpendicularis δὲ 
ducatur, esse yÓ — δὲ. 

Ducatur perpendicularis δὴ; ergo propter parabolae con- 
structionem est, Cy? — δη2 -- «y*. Et ex constructione est 
ζη — εὃ, ei Oy? -- py? Ξε Óy!; ergo est εὃ — Óy?, itaque 
γὸ — δὲ; ergo linea 09 locum efficit). 

᾿ * * 


r4 





* 


4) Extremam demonstrationis partem in codice deperditam supple- 
vit Commandinus: vide append. 


x τα λημμᾶ Ὁ arcAvouév ro, id est, ut in S legitur: πάππου ἀλεξαν- 
δρέως συναγωγῆς C ὃ περιέχει τὴν τάξιν xol τὴν περιοχὴν καὶ τὰ λήμ- 
ματα τοῦ ἀναλυομένου τόπου, haec omnia om. A!B 


1016 IIAHIIOY ΣΥΝΑΓΩΓῊΣ Z. 


“Τ“ἤμμα vo? ἀναλυομένου. 


319 Ἔστω τρίγωνον ὀρϑογώνιον τὸ .4BI', ὀρϑὴν ἔχον τὴν 
ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν, καὶ ἔστω ὡς 1) 4B πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ 
AZ πρὸς τὴν ZB καὶ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, καὶ ἐπεζεύχϑωσαν 
αἱ .4EH ΓΕΖ BEA: ὅτι ἡ B4 κάϑετός ἐστιν ἐπὶ τὴν AT. 5 

Ἐπεὶ ὡς ἣ 4B πρὸς ΒΓ, ἣ .432 πρὸς ZB, καὶ ἡ BH 
πρὸς ΗΓ, ὡς ἄρα ἡ ΑΖ πρὸς ΒΖ, ? ΒΗ πρὸς HI. συν- 
ϑέντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ 48 πρὸς ΒΓ, ἡ ΖΒ πρὸς HT. 
ἀλλ᾽ ὡς ἡ .4B πρὸς ΒΓ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ’ ὡς ἄρα ἡ ZB 
πρὸς ΗΓ, ἡ BH πρὸς ΗΓ ἴση ἄρα ἡ ZB τῇ ΒΗ. [(ὥστειο 
ἐπιζευχϑείσης τῆς ΖΗ καὶ γωνία 7 ὑπὸ BZO τῇ ὑπτὸ BHO 
ἐστὶν ἴση. καὶ μείζων ἡ ZO εὐϑεῖα τῆς OH: ἐὰν γὰρ διὰ 
τοῦ H τῇ 4D παράλληλον ἀγάγωμεν τὴν HIK, ἡ ὑπὸ BOH 
γωνία ταῖς ἀπεναντίον ὑπὸ ΘΗ͂Ι ΘΙΗ ἴση οὖσα μείζων 
ἐστὶν τῆς ὑπὸ HOI, τουτέστι τῆς ὑπὸ ZBO ὀξείας, ὥστε καὶ 15 
λοιπὴν τὴν ὑπὸ HBO ἐλάσσονα γίνεσϑαι τῆς ὑπὸ ΖΒΘ. 
δίχα ἣ ΖΗ τῷ .1' ὃ ἄρα κέντρῳ τῷ 21 διαστήματι δὲ ἑνὶ 
τῶν 44Z .1Β ΜΗ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τοῦ 4, 
καὶ ἔσται ἐν κύχλῳ τὸ 4ΖΒΗ τετράπλευρον (τοῦτο γὰρ 
ἑξῆς). tom ἐστὶν ἣ ὑπὸ Β42Ζ γωνία τῇ ὑπὸ BAH, xai? 
ἔστιν ἑκατέρα ἡμίσεια ὀρϑῆς (καὶ γὰρ ἑχατέρα τῶν ὑπὸ 





4. cap. 819—324 om. Co, quae quidem omnia misere turbata esse 
apparet; nam postquam capitis 349 propositio ab inepto quodam scrip- 
tore falso demonstrari coepta est, genuina et recta demonstratio paene 
tota periit, quam alius quidem scriptor isque bene eruditus cap. 324 
breviter adumbravit analytica ratione; praemisit autem lemma quoddam 
(cap. 320), quod iam initio primae demonstrationis (vs. 6—410) exstat 
6. 7. ἡ .AB πρὸς BP — ὡς ἄρα omisimus in versione Latina, eadem- 
que malimus abesse a Graeco contextu 6. οὕτως ante ἡ AZ, idem- 
que posthac ante ἡ BH etc. add. Ge 40. ὥστε ἐπιζευχϑείσης ---- 12. 
ἐστὶν ἴση nullam per se suspicionem movent; al tamen ab his ipsis 
incipit demonstratio manifesto corrupta; nam rectam 49 maiorem esse 
quam $2: neque ea quam legimus ratione demonstrari potest neque tres 
illos qui statui possunt casus perspexit scriptor, scilicet aut esse e »» By 
(unde sequitur $9 ^ 395) aut — gy aut « By; denique « nota geome- 
trica aliena est ab antiquis Graecis scriptoribus 48. τῶν (ante .4Z) 
B, om. AsS 49. ἐν om. AB, add. S 20. τῆι ὑπὸ ΖΩΉ καὶ AS, 
corr. B 





LIBER VII. 1017 


LEMMA LOCI ANALYTICI. - 


l. Sit triangulum orthogonium αβγ, rectum angulum αβγ 


habens, sitque eg : gy — αζ : LB — βὴ : yy, iunganturque 
rectae αδη yel, 860; dico BÓ perpendicularem esse rectae ay. 





Quoniam est 
aL : LB - f: yy, componendo est 
' ep : ζβ — By : yy, et vicissim 
a: By e LB : yy. Sed erat ag : 8y Ξε 8n: jy; ergo 
CB : my ΞΞ βὴ : ηγ; taque | 
LB — βη. 
[Ergo iunctà rectà ζϑη est etiam [ 909 — ὁ βηϑ. Estque 
recta 59 9» 979; nam si per ἢ rectae «y parallelam ducamus 
rectam 7x, angulus βϑη, quippe qui aequalis sit summae 
óoppositorum angulorum 37. -- Juy, maior(?) est quam 73x, 
id est quam angulus £9'acutus (an forte L98?), ita ut 
etiam reliquus angulus 592 minor sit quam ζβϑ.  Bifariam 
secetur recta Cp puncto À; ergo est BÀ — LÀ — vÀ, et circu- 
lus, cuius centrum est À radiusque A6, transibit etiam per 
punctum ὃ, et quadrilaterum δζβη circulo inscriptum erit 
(id enim deinceps demonstrabitur). Aequales inter se sunt 
anguli βὸξ βδὴ (est enim L βὸξ τα L βηξ, et L βδὴ τε L Bos); 
et est uterque dimidius rectus (nam etiam singuli βηζ 0m 
Pappus II. 65 


1018 IIAIIIIOY ZYNATOTHZ Z. 


BHZ BZH ἡμίσειά ἐστιν ὀρϑῆς). καὶ 0997) ἡ ὑπὸ ZAH- 
λέγω οὖν ὅτι ἡ ὑπὸ 448 ὀρϑή ἐστιν. εἰ γὰρ μή, ἤτοι 
μείζων ἐστὲν ἢ ἐλάσσων ὀρϑῆς. ἔστω πρότερον μείζων ὁρ- 
ϑῆς, καὶ ἔστω ὀρϑὴ ἡ ὑπὸ BAM, τῶν ΗΓ MA ὄΦὄὅὄἷεκβληϑει- 
σῶν καὶ συμπιπτουσῶν κατὰ τὸ N. ἐπεὶ οὖν τὸ MBA 
τρίγωνον ὀρϑογώνιον ὅμοιόν ἐστιν τῷ ΗΒΝ τριγώνῳ ὀρϑο- 
γωνίῳ, καὶ ἔστιν ἡμίσεια ὀρϑῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ B4Z 
ZAM , ὡς ἄρα ἣ MZ πρὸς ZB, ἡ MA πρὸς 48: ἀλλ᾽ 
ὡς ἡ M4 πρὸς 48, ἡ B4 πρὸς 4Ν, τουτέστιν ἡ BH. πρὸς 
HN (δίχα γὰρ τέτμηται xai ἡ ὑπὸ BAN γωνία τῇ 4H):10 

. ὡς ἄρα ἡ MZ πρὸς ΖΒ, ἡ BH πρὸς ΗΝ. τιάλεν ἐπεί, ὡς 
ἡ “42 πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ ὑπόκειται, ? MZ ἄρα 
πρὸς ΖΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΝ, ὕπερ 
ἀδύνατον: ἐδείχϑη γὰρ ὡς ἡ ΜΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς 
HN: οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὀρϑῆς 7 ὑπὸ B4 γωνία. 1Ὁ 
ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων ἐστὶν ὀρϑῆς ἡ ὑπὸ 
.4248, διὰ τοῦ 4 τῇ 4B πρὸς ὀρϑὰς ἀγαγόντες τὴν EAO* 
ἔσται γὰρ πάλιν ὡς ἡ ἘΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΟ, καὶ 
δειχϑήσεται ἡ “2 πρὸς ΖΒ πολλῷ ἐλάσσονα λόγον ἔχουσα 
ἥπερ ἡ BH πρὸς HI, ὅπερ ἀδύνατον: ὑπτόχειται γὰρ ὡς 0 
ἡ .4Z πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ. 

320 Ἔστω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς BI, ἡ 42 πρὸς ZB xoi ἡ BH 
πρὸς HI: ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΖΒ τῇ ΒΗ. 

Ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ 42 πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, συν- 
ϑέντι καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ «41 πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ὡς ἡ BH?» 
πρὸς ΗΓ, ἡ ΖΒ πρὸς HI" ἴση ἄρα ἡ ΖΒ τῇ BH. 

921 Τρίγωνον ὀρϑογώνιον τὸ ΑΒΓ, ὀρϑὴ ἡ Β, καὶ ἔστω 
ὡς ἡ .8 πρὸς ΒΓ, ἡ 4Z πρὸς ΖΒ καὶ ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ, 
καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ ΓΕΖ J4EH BEA: ὅτι ἡ B4 xd9ez0g 
ἐστιν ἐπὶ τὴν ΑΓ. 30 

Γεγονέτω" ὅμοια ἄρα và ΑΒ4 BAT. τρίγωνα τῷ ὅλῳ 
ΑΒΓ καὶ ἀλλήλοις" ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, τουτέστιν ἡ 





4, ἡμήεστιν A, , corr. BS 6. MBN τριγώνων A, corr. BS 
9. ἡ M4 πρὸς 4B (post ἀλλ᾽ ὡς) bis scripta in A ἡ Bd Hu pro ἢ 
M4 40. γωνέα τῆι BH AB, corr. S 41. τὴν 540] τῶν 450 


AB, τὴν corr. S, alterum Hu 48. πρὸς ZB Hu pro πρὸς ΖΘ 


LIBER VII. 1019 


dimidii recti sunt. Et rectus est (ut in semicirculo) angulus 
ζδη; iam dico angulum adf rectum esse. Nam si non rec- 
tus sit, aut maior aut minor est recto. Sit prius maior recto; 
et sit rectus 9Àp, productis rectis »y μὸ et concurrentibus 
in puncto ». Iam quia triangulum orthogonium uóf trian- 
gulo orthogonio uf» simile est, et singuli 905 COp dimidii 
recti sunt (nam demonstravimus angulum βδζ dimidium vec- 
tum esse; ergo exo hypothesi alter dimidius est ζδμ), est igitur 
(propter elem. 6, 5) uC : CB τε μὸ : 0g. 864 est uó : 0g z 
0B: ὃν, id est — βὴ : ἣν (nam etiam angulus βὸν rectà δὴ 
bifariam sectus est); ergo ub: ζβ — 9»: yv. Rursus quia 
ex hypothesi est aC: ζβ 2 0m: yy, est igitur uL: CB « Bm : ην, 
" quod quidem fieri non potest; nam demonstravimus esse 
LL: L8 τ 8": ἣν; ergo angulus βδαὰ non maior est recto. 
Similiter demonstrabimus eundem non minorem recto esse, 
postquam per à rectae δβ' perpendicularem ξδο duxerimus; 
nam rursus erit 55: ζβ — βὴ : yo, unde efficietur esse 
αξ : 58 « βη : yo, multoque αζ : C8 « 89: yy, quod qui- 
dem fieri non potest; nam ex hypothesi est αζ : ζβ ξξ 8 : ἡγ.] 

II. Sit a8: gy — αζ: ζβ — 89: ηγ; dico esse CB — y. 

Quoniam est 

eL : ζβ τ fn: yy, componendo est 

αβ : ξβ -— By : yy, et vicissim 

ag : dy — LB : ἦγ, id est 

Br : «yy -— LB : vy; ergo LB — βη.͵ 

III. Sit triangulum orthogonium ef», cuius rectus an- 
gulus 8, et sit ap : By — ab: LU z βη : yy, "et iungantur 
yeG «em ge; dico 8ó 
rectae ay perpendicula- 
rem esse. 

Factum iam sit; ergo 
triangula αὖβ 86» et toti 
«By et sibi invicem si- 
milia sunt; ergo a6 : 8», 





419. δειχϑήσεται add. Hu.— ἡ MZ πρὸς ZB A rec. ex ἡ “κ πρὸς κῃ 
81. τῷ 0Àq] ὅλῳ τε τῷ coni. Hu 
65* 


1020 ΠΑΠΠΟΥ͂ ΣΥΝΑΓΩΓΗ͂Σ Ζ. 


AZ πρὸς ΖΒ, οὕτως ἡ .424 πρὸς 4B: ἡ ἄρα ὑπὸ 4.58 
γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς Z4, ἡμίσεια ἄρα ὀρϑῆς ἐστιν 
$» ὑπὸ ZA4B. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ $ ὑπὸ ΒΖΓ δίχα τέτμη- 
ται ὑπὸ τῆς 4H: ἡμίσεια ἄρα ὀρϑῆς ἡ ὑπὸ BAH-: ὀρϑὴ 
ἄρα ἡ ὑπὸ Z4H. ὀρϑὴ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ZBH: ἐν κύκλῳ ὃ 
ἄρα τὸ ΒΖΖΩΉ τετράπλευρον. καὶ ἔστιν ἡ ὑπὸ ZAB τῇ 
ὑπὸ BAH ἴση" ἴση ἄρα καὶ ἡ ZB τῇ ΒΗ. [ἔστιν δὲ διὰ 
τὸ προδειχϑέν.] 
* * * 

id est aC : ζβ — a0 : 0g; ergo angulus aóf rectà ζὸ bifa- 
riam sectus est (elem. 6, 3), itaque angulus ζὸβ dimidius rec- 
tus est. Eadem ratione etiam angulus βὸγ rectà δη bifariam 
sectus est; ergo angulus βδη dimidius rectus, itaque totus an- 
gulus ζδη rectus est. Sed etiam angulus Cf rectus; ergo cir- 
culo inscriptum est quadrilaterum βζδη. Et est angulus (of 
angulo βδη aequalis; ergo etiam propter elem. 5, 26. 29) 
est ζβ — (97. [Est vero propter id quod supra demonstra- 


vimus.] 


* * 
* 


3. ἢ (ante ὑπὸ ZAB) add. BS διὰ ταῦτα ASBS, corr. Hu 
6. τὸ BA4ZH ABS, corr. Hu 7. sub finem periit synthesis proble- 
matis 8. post προδειχϑέν add. B: Τέλος τοῦ ἑβδόμου τῆς πάππου 
τοῦ ἀλεξ συναγωγῆς ὃ περιέχει τὴν τάξιν χαὶ τὴν περιοχὴν καὶ τὰ 
λήμματα τοῦ ἀναλυομένου τόπου, S: Ἑβδόμου βιβλέου τέλος 


——————M— ÁÉÁ € ÀÀ——— c 
Typis expresserunt Breitkopf et Hártel Lipsienses.
Internet Archive Audio

Featured

Top

Images

Featured

Top

Software

Featured

Top

Books

Featured

Top

Video

Featured

Top

Mobile Apps

Browser Extensions

Archive-It Subscription

Save Page Now

Full text of "Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt"

See other formats
