Skip to main content

Full text of "Philosophiæ naturalis principia mathematica"

See other formats 


UNlVKhoiTY 
OF 

AsgiONOJvnruBRAH 


b  \ 


I 


u. 


S7R 


u. 


S7R 


y^ 


NEWTONI     PRINCIPIA. 


1U 


PHILOSOPHI^  NATURALIS 

PRINCIPIA 

MATHEMATICA. 

AUCTORE 

ISAACO    NEWTONO,    Eq.   Aurato. 

PERPETUIS  COMMENTARIIS  ILLUSTRATA, 

COMMUNI  STUDIO 

PP.  TUOMJE  LE  SEUR  ET  FRANCISCI  JACQUIER 

EX  GALLICANA  MINIMORUM  FAMILIA, 
MATHESEOS  PROFESSORUM. 


EDITIO    NOVA, 

SUMMA     CURA     RF.CKNSITA. 


VOLUMEN   QUARTUM. 


m~'^ 


GLASGUJE: 

EX  PKELO  ACADEMICO, 
TYPIS  ANDREJ5  ET  JOANNIS  M.  DUNCAN. 
VENEUNT   APUD    LACKINGTON   &   SOC,   R.  PRIESTLEY,  G.  .&  W.  B.   WHITTAKER, 
J.    CUTHEL,    G.    COWIE    &    SOC,    J.    COLLINGW  OOD,    TREUTTEL    &    WUinZ.  ET 
TKEUTTEL,   JUN.  &   RICHTER,  LONDINI  ;    NECNON  PARISIIS,   ET  ARGENTOKATl 
APUD  TREUTTEL  &  WURTZ. 


1822. 


^rnoNOMfUBMn 


\ 


m^ 


¥ 


QA603 

A3 

4M80NOMY 


PHILOSOPHI^   NATURALIS 

PRINCIPIA 
M  A  T  H  E  M  A  T  I  €  A ; 

AUCTORF. 

ISAACO  NEWTONO,  Eq.  Auh. 


VOLUMINIS   TERTII  CONTINUATIO, 


COMPLECTENS 


LUNM  theoriam  newtonianam. 


R^sC^^V^^-O/B  r- 


INTRODUCTIO 


AD 


LUN-^  THEORIAM  NEWTONIANAM. 


'V«KVWW«.« 


1  RiA  sunt  in  Lunae  Theoria  spectanda,  in  quibus  versatur  omnis  quaestio 
astronomica  quae  de  ipsa  institui  potest ;  primum,  ejus  motus  quatenus  e 
Terra  observatur ;  secundo,  figura  lunaris  orbitae  a  circulo  plus  minusve 
recedens  et  apsidum  ejus  positio ;  ac  tertio,  ejus  orbitas  ad  eclipticam  iu- 
clinatio. 

Si  extra  Solis  actionem  Luna  motus  suos  ageret,  Luna  ellipsim  quam- 
libet  circa  Terram  describere  posset  in  plano  quovis,  et  ea  ellipsis  perpetuo 
eadem  maneret  constantemque  angulum  cum  ecliptica  efficeret ;  itaque  tota 
theoria  Lunae  circa  haec  versaretur  elementa,  primo,  ut  ex  tempore  quod 
Luna  consumeret  ut  a  quadam  stella  discedens  ad  eamdem  rediret,  obtine- 
atur  duratio  ejus  mensis  periodici  siderei  sicque  motus  ejus  medius  deter- 
minetur,  unde  facile  obtinebitur  via  quam  Luna  dato  tempore  per  euni 
motum  medium  emetiri  potest,  ita  ut,  data  epocha,  hoc  est,  dato  loco  coeli 
in  quo  Luna  aliquando  observata  fuisset,  inde  quem  in  locum  migrart> 
debuisset,  dato  tempore,  per  medii  motus  calculum  inveniri  posset. 

Postea ;  locus  apogaei  Lunas,  quod  in  ccelis  eidem  puncto  semper  re- 
sponderet,  foret  requirendus,  tum  excentricitas  ejus  orbitae,  sic  enim  figura 
ellipseos  quam  Luna  describit  obtineretur,  et  quia,  citra  Soiis  actionem, 
Luna  moveretur  secundum  legem  Keplerianam,  hoc  est,  ita  ut  tempora 
quibus  durantibus  Luna  moveretur,  iion  quidem  sint  proportionaUa  angulis 
e  Terra  spectatis,  sed  areis  descriptis,  hinc  fiet  ut  differentia  loci  Lunae 
per  motum  medium  computati  ab  ejus  loco  vero,  obtineatur  ex  orbitae 
lunaris  figura  per  methodos  notas,  quae  differentia  dicitur  aequatio  Lunae 
soluta,  hoc  est,  aequatio  a  Sole  non  pendens,  et  inteUigetur  quibus  in  locis 
illa  aequatio  sit  adhibenda  ex  situ  cognito  apogaii  Lunae,  pendet  enim 
omnino  ea  differentia  ex  situ  Lunae  in  orbe  suo  respectu  apogjjei  sui. 

fTertio.      Quaerendum    foret    observationibus,    quibus    in   locis    Luna 
A  2 


iv  INTRODUCTIO 

eclipticam  secet,  cui  nempe  cceli  loco  respondeant  ejus  nodi,  qui  in  liac 
hypothesi  fixi  forent,  et  quonam  angulo  orbita  Lunae  foret  inclinata  ad 
eclipticam,  unde  quoniam  ea  inclinatio  constans  esset,  distantia  Lunae  a 
plano  eclipticae  per  perpendiculum  mensurala,  foret  semper  proportionata 
distantiae  perpendiculari  Lunae  a  linea  nodorum,  itaque  ex  cognito  loco 
Lunae  et  nodorum  cognosci  poterit  quonam  sub  angulo  Luna  ab  ecliptica 
distare  videatur  ex  ipsa  Terra ;  et  ad  quodnam  punctum  echpticae  referri 
debeat. 

Si  itaque  Luna3  motus  citra  actionem  Solis  considerentur,  tabul^  astro- 
nomicae  lunares  haec  continere  debebunt. 

Primo.  Epocham  loci  Lunae  dato  aUquo  tempore ;  tum  observationem 
loci  apogaei  quod  fixum  maneret,  et  observationem  loci  nodorum  pariter 
fixorum. 

Postea  continere  debebunt  tabulam  motus  medii,  tum  tabulam  aequa- 
tionis  Lunae  secundum  ejus  distantiam  mediam  ab  apogaeo ;  tabulam 
latitudinis  Lunae  secundum  variam  distantiam  Lunae  a  nodo  et  denique 
tabulam  reductionis  Lunae  ad  ecHpticam,  secundum  eam  distantiam  Lunae 
a  nodo. 

Possunt  his  addi,  tabula  distantiarum  Lunae  a  Terra  secundum  ejus 
distantiam  ab  ejus  apogaeo,  tabula  diametrorum  ejus  apparentium  secun- 
diim  eamdem  distantiam  ab  apogaeo,  et  denique  tabula  parallaxeos  qua 
deprimitur  Luna  respectu  spectatoris  in  superficie  Telluris  collocati,  prout 
■diversa  est  ejus  a  Terra  distantia,  et  prout  akitudo  supra  horizontem  est 
diversa. 

Talis  foret  tota  de  Luna  theoria,  citra  Solis  actionem ;  sed  jam  a  longo 
tempore  intellexerunt  astronomi,  lunares  motus  a  Lunae  situ  respectu 
SoUs  plurimum  turbari,  unde  varias  correctiones,  sive  asquationes  variis 
titulis  concinnare  sunt  conati. 

Quam  luculenter  ex  gravitatis  theoria,  haec  non  modo  expHcentur,  sed 
etiam  accurato  calculo  determinentur,  demonstrare  aggressus  est  Newtonus, 
et  eas  omnes  aequationes  quae  ex  Sole  pendent,  calcuHs  ex  theoria  sua 
deductis  ita  fcHciter  statuit  ut  motus  Lunae  ejusve  aequationes  ex  calculo 
repertae  in  minuto  secundo  aut  prope  cum  iis  quae  ab  accuratioribus  obser- 
vationibus  determinari  potuerunt,  consentiant,  quod  autoritatem  integram 
iUi  theoriae  conciHat.  CalcuH  autem  iUi,  nec  faciles  sunt,  nec  compendiosi, 
nec  semper  commode  ad  syntheticam  formam  reducendi;  quos  Newtonus 
hac  ultima  ratione  lectori  suo  sistere  potuit,  eos  enucleate  tradit,  caeteros 
omittit,  et  quod  ex  iis  obtinetur  strictim  in  SchoHo  indicat,  et  primo  quales 
sint  iHae  aequationes  juxta  astronomorum  observationes  dicit,  et  quibusnam 


AD  LUNiE  THEORIAM  NEWTONIANAM.  v 

Jegibus  secundum  ipsos  observatores  sint  adstrictae,  mox  tradit  quales 
aequationes  ex  suis  calculis  emergant  et  quaenam  sint  earum  leges. 

Ipsum  tam  observationibus  ante  ipsum  institutis,  quam  observationibus 
Flamstedianis  usum  esse  constat,  imo  et  ipsum  exinde  tabuias  lunares 
sibi  construxisse  liquet,  ex  quibus  multa  profert  quarum  pleraque  in  Ru- 
dolphinis,  aut  in  Ludoviceis  tabulis  facile  non  comperiuntur,  sed  quse 
maxime  consentiunt  cum  novis  ill.  Casslni  tabulis,  ita  ut  quo  perfectius 
coeli  motus  dignoscunt  astronomi,  eo  propius  ad  Newtonianas  theorias 
accedere  deprehendantur, 

Ut  itaque  Solis  actionis  in  Lunam  et  ejus  orbitam  habeatur  ratio; 
primum  fiat  abstractio  excentricitatis  orbitae  tam  Telluris  quam  Lunae, 
deprehenditur  quod  ex  Solis  actione  mensis  periodicus  Lunae  longior 
evadat  et  ejus  orbita  ex  circulari  in  eUipsim  mutetur,  cujus  axes  per  Prop. 
XXVIII.  sunt  determinati. 

Secundo,  tam  ex  ea  figura  quam  orbita  Lunae  uiduit,  quam  ex  accelera- 
tione  Lunae  per  eam  partem  actionis  Solis  quae  secundum  tangentem 
orbitae  lunaris  dirigitur,  nascitur  variatio  quam  Tycho  primus  observavit, 
et  maximam  in  octantibus  40^'.  statuit,  illam  ilL  Cassinus  facit  33\  40^'. 
in  Elementis  Astronomias,  eam  vero  ipse  Newtonus  in  hypothesi  orbitas 
Telluris  et  Lunae  esse  circulares  35^  10'^  calculavit  Prop.  XXIX. 

Tertio,  ex  ea  SoUs  actione  nascitur  motus  apoga^i  lunaris  in  consequen- 
tia,  cujus  motus  fundamentum  indicat  Newtonus  Prop.  XLV.  Lib.  I. 

Quarto,  inde  deducitur  motus  medius  nodorum  Prop.  XXXII.  obser- 
vationibus  proxime  congruus ;  quinto  denique,  inclinationis  orbitae  lunaris 
mutatio  explicatur  Prop.  XXXIV.  et  XXXV. 

Nunc  vero  adjungatur  consideratio  excentricitatis  orbitae  Telluris,  ea 
fit  ut  actio  Solis  major  sit  cum  Terra  est  in  periheUo  suo  quto  in  apheho ; 
inde  orientur  correctiones  variae  his  omnibus  Lunse  erroribus  adjungendae ; 
primum  cum  mensis  periodicus  Lunae  per  actionem  SoHs  longior  evadat, 
et  motus  ejus  medius  augeatur,  id  incrementum  quando  Terra  est  in 
periheUo  majus  est  quam  cum  est  in  apheho,  hinc  ea  tardatio  inaequahter 
in  motum  Lunae  distrjbuta,  efficit  ut  hoc  iiomine  locus  ejus  per  medium 
motum  inventus  ab  ejus  vero  loco  dissentiat,  hinc  itaque  notis  nostris  ad 
initium  SchoUi  ad  calcem  Prop.  XXXV.  adjecti,  quod  ad  totam  Lunae 
theoriam  pertinet,  incrementum  medium  motus  medii  ex  actione  SoHs 
ortum  assignamus,  tum  postea  aperimus  rationem  qua  obtineri  potest 
aequatio  ceu  correctio  motus  medii  adhibenda  propter  inaequalem  Terrae 
a  Sole  distantiam,  quae  quidem  aequatio  continetur  in  ea  quam  ill.  Cassi- 
nus,  titulo  Primce  jEqiiationis  Solaris,  tradit. 

A  3 


vi  INTRODUCTIO  AD  LUN^  THEORIAM,  &c. 

Eadem  ratione,  variationes  motus  apogaei  et  motus  nodorum  ex  situ 
diverso  Terrae  ad  aphelium  aut  perihelium  suum  ex  utriusque  motu  medio 
dato  in  secundo  paragrapho  derivare  docetur. 

His  ex  excentricitate  orbitae  Telluris  deductis  adjungatur  consideratio 
excentricitatis  orbitae  lunaris,  aut  ejus  incnnationis  ad  eclipticam:  inde 
novae  irregularitates  prioribus  adnascuntur. 

Primo,  mensis  periodicus  paulo  major  fit  cum  linea  apsidum  per  Solem 
transit  quam  cum  ipsi  est  perpendicularis,  hinc  correctio  nova  aequationi 
motus  medii,  quse  in  primo  Schohi  paragrapho  exponitur,  est  facienda, 
hanc  novam  ^quationem  ill.  Cassinus  exhibet  in  tabella  cujus  titulus  est 
Sccunda  JEquatio  Solaris  et  tertio  paragrapho  SchoUi  traditur. 

Itidem  si  hnea  nodorum  per  Solem  transeat,  paulo  major  erit  Sohs  actio, 
et  correctio  nova  exmde  nascetur  eidem  motui  medio,  hanc  quarto  para- 
grapho  SchoUi  indicat  Newtonus. 

Praeterea  excentricitas  ipsa  orbitffi  lunaris  ex  diverso  situ  apogaei 
respectu  Sohs  mutatur,  nunc  major  nunc  minor  evadit,  idque  etiam  inae- 
quaUter  pro  distantia  Telluris  a  Sole. 

Rursus  ipse  motus  apogaei  prout  apogaeum  diversimode  situm  est  re- 
spectu  SoHs  mutatur,  hinc  aequatio  apogaei  nascitur  eaque  duplex,  prima 
supponendo  Telluris  a  Sole  distantiam  constantem,  altera  vero  pendet  ex 
mutatione  distationae  Telluris  a  Sole. 

Hinc  tandem  cum  orbitae  lunaris  forma,  excentricitas  et  apogaei  positio 
mutetur,  omnino  mutantur  correctiones  illae  quae  deducebantur  ex  Lunae 
excentricitate  mediocri,  quae  aequationem  solutam  constituebant ;  ultimo 
autem  SchoUi  paragrapho  Newtonus  docet  qua  ratione  novae  iUae  correc- 
tiones  sint  instituendae :  omnia  vero  in  hoc  SchoUo  sine  demonstratione 
tradit,  nec  indicato  suorum  calculorum  artificio,  ideoque  nostri  putavimus 
officii,  eam  indagare  viam  cui  Newtonus  in  iis  reperiendis  insistere  debuit, 
labore  quidem  non  parvo,  successu  quaUcumque,  utinam  lectoribus  non 


PHILOSOPHI^  NATURALIS 


PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


LIBRI  TERTII  CONTINUATIO. 


PROPOSITIO  XXV.     PROBLEMA  VI. 

Invenire  vij-es  Solis  ad  pefiurbandos  motus  Imucs. 


Designet  S  Solem,  T  Terram,  P  Lunam,  C  A  D  B  orbem  Lunae. 
In  S  P  capiatur  S  K  aequalis  S  T ;  sitque  S  L  ad  S  K  in  duplicata  ra- 
tione  S  K  ad  S  P,  et  ipsi  P  T 
agatur  parallela  L  M ;  et  si  gra-  /E 

vitas  acceleratrix  Terrse  in  So- 
lem  exponatur  per  distantiam 
S  T  vel  S  K,  erit  S  L  gravitas 
acceleratrix  Lunae  in  Solem. 
Ea  componitur  ex  partibus  S  M, 

L  M,  quarum  L  M  et  ipsius  S  M  pars  T  M  perturbat  motum  Luna?,  ut 
in  Libri  Primi  Prop.  LXVI.  et  ejus  Corollariis  expositum  est.   (^)    Qua- 


2M 


(^)  *  Qudtenus  Terra  et  Luna  circa  commune 
gravitalis  centrum  revolvuntur,  perturbabitur 
etiam  motus  Terrce  circa  cen- 
trum  illud  a  viribus  consimili- 
bus;  designet  ut  prius  S  Solem, 
sed  sit  T  centrurn  commune 
gravitatis  Terrae  et  Lunae;  sit 
itaque  p  Luna  et  t  Terra  cir- 
cum  commune  gravitatis  cen- 
trum  revolventes,  ita  ut  distan- 
tia  p  t  sit  jequalis  P  T,  ductis- 
que  S  p.  S  t,  sumptisque  in  eis 
lineis  productis  si  opus  sit  S  k, 
S  K  «qualibus  S  T,  secatisque 
S  1  et  S  X  ita  ut  sint  ad  S  T 
in  duplicata  ratione  S  T  ad  S  p 
et  ad  S  t,  actisque  1  ra,  x  ^ 
parallelis  ad  p  t,  si  exponat  S  T  vim  accelera- 
tricem  centri  communis  gravitatis  T  in  Solem, 


exponent  S  1  et  S  X  vires  accelerantes  Lunam 
et  Terram  in  Solem,  et  perturbabuntur  utriusque 


M 


motus  respectu  centri  communis  gravitatis  per 
vires  1  m  et  X  ^,  T  m  et  T  ^ ;  quee  vires  con- 


PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst, 


tenus  Terra  et  Luna  circum  commune  gravitatis  centrum  revolvuntur, 

perturbabitur  etiam  motus  Terrae  circa  centrum  illud  a  viribus  consimili- 

bus ;  sed  summas  tam  virium  quam  motuum  referre  licet  ad  Lunam,  et 

summas  virium  per  lineas  ipsis  analogas  T  M  et  M  L  designare.    (^)  Vis 

M  L  in  mediocri  sua  quantitate  est  ad  vim  centripetam,  qua  Luna  in  orbe 

suo  circa  Terram  quiescentem 

ad  distantiam  P  T  revolvi  pos- 

set,  in  duplicata  ratione  tempo- 

rum  periodicorum  Lunae  circa 

Terram  et  Terrae  circa  Solem 

(per  Corol.  17.  Prop.  LXVI. 

Lib.  I.)  hoc  est,  in  duplicata 

ratione  dierum  27.  hor.  7.  min.  43.  ad  dies  365.  hor.  6.  min.  9.  id  est,  ut 

1000  ad  178725,   seu   1  ad  178|§.     Invenimus  autem  in  propositione 

quarta  quod,  si  Terra  et  Luna  circa  commune  gravitatis  centrum  revol- 


15 


JMC 


similes  sunt  viribus  L  M  et  T  M  quibus  Lunam 
Solam  perturbari  dictum  fuit  in  suppositione 
Terram  esse  immotam ;  nam  ob  maxiraam  dis- 
tantiam  puncti  S,  lineae  P  L,  p  1,  T  M,  t  X  pro 
parallelis  sunt  habendae,  ideoque  figurae  T  P  L  M, 
Tplm,  TtX|t4  pro  parallelogrammis  sunt  ha« 
bendae,  quae  angulum  tequalem  in  T  habent, 
praeterea  latera  P  T,   T  M ;  p  T,  T  m ;  T  t, 


M 


T  /tt,  eamdem  habent  inter  se  rationem ;  demon- 
stratur  enim  in  nota  500.  Lib.  I.  (quae  ad  majo- 
rem  facilitatem  repetitur  in  nota  (")  subsequente) 
csce  P  T  ad  T  M,  p  T  ad  T  m,  T  t  ad  T  /*  ut 
radius  ad  triplum  cosinus  anguli  A  T  P  qui 
cosinus  cum  idem  sit  in  tribus  hisce  casibus, 
latera  parallelogrammorum  circa  sBqualem  angu- 
lum  posita  erunt  proportionalia,  ea  vero.  latera 
designant  tam  vires  quibus  Luna  circa  Terram 
immotam  revolvendo  perturbatur,  quam  eas  qui- 
bus  perturbarentur  Luna  et  Terra  circa  centrum 
commune  revolvendo,  lUaB  Vires  ergo  sunt  con- 
timiles. 

Sed  summas  lam  vinum  quam  tnotuum  referre 


licet  ad  Lunam.  Quippe  in  observationibus 
motus  Lunas  respectu  Terrae,  quasi  haec  immota 
esset,  consideratur,  tunc  autem  summae  virium 
acceleratricum,  ex  quibus  velocitates  respectivae 
nascuntur,  ipsi  tribui  debent,  et  summas  virium 
per  lineas  T  M  et  M  L  ipsis  nnalogas  designare. 
Vires  enim  acceleratrices  p  T  ct  T  t  simul  junctae 
aequales  sunt  soli  vi  P  T  et  similem  effectum 
edunt,  admovent  utique  corpora 
p  et  t,  secundum  directionem 
p  T  t,  si  ergo  vis  acceleratrix 
P  T  summae  utriusque  aequalis 
admoveat  corpus  P  versus  im- 
motum  T,  plane  idem  erit  ef- 
fectus  ex  corpore  t  vel  T  spec- 
tatus :  vires  M  T,  T  /t*  divel- 
lunt  corpora  a  se  mutuo  secun- 
diim  directionem  S  T,  idem 
vero  pra?stat  vis  T  M  quae 
summae  ambarum  est  aequalis, 
nam  est  p  T  :  T  t  :  :  m  T  : 
T  ^  :  :  ergo  p  T  :  p  T  -f  T  t 
::mT:mT-|-T^et  alter, 
nando  p  T  :  m  T  :  :  (P  T  :  M  T)  :  :  p  T  -}- 
T  t  :  m  T  -f' T  ^.  Sed  est  p  T  +  T  t  = 
P  T  ergo  etiam  m  T  +  T  ^  =  M  T. 

(^)  *  Vis  M  L  in  mediocri  sud  quantitate,  &c. 
Ob  magnarn  Solis  distantiam  figura  P  T  M  L 
est  parallelogrammum  ideoque  M  L  est  proxime 
aequalis  hneae  P  T,  ergo  vis  M  L  erit  ad  vim 
qua  Sol  agit  in  punctum  T,  ut  P  T  ad  S  K  sive 
S  T,  sed  vires  centrales  qualescumque  sunt  inter 
se  directe  ut  radii  circulorum  qui  per  eas  descri- 
buntur  et  inverse  ut  quadrata  temporum  periodi- 
corum,  ergo  ea  vis  qua  Sol  agit  in  punctum  T, 
est  ad  vim  qua  Luna  in  orbe  suo  retinetur  (posito 
illam  revolvi  circa  Terram  quiescenteni)  ut  S  T 


LiBER  TertiusO     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  3 

vantur,  earum  distantia  mediocris  ab  invicem  erit  60^  semidiametro- 
rum  mediocrium  Terrae  quamproxime.  (^)  Et  vis  qua  Luna  in  orbem 
circa  Terram  quiescentem,  ad  distantiam  P  T  semidiametrorum  terres- 
triura  60,  revolvi  posset,  est  ad  vim,  qua  eodem  tempore  ad  distantiam 
semidiametrorum  60  revolvi  posset,  ut  60j  ad  60 ;  (*;  et  liaec  vis  ad  vim 
gravitatis  apud  nos  ut  1  ad  60  X  60  quamproxime.  Ideoque  vis  mediocris 
M  L  est  ad  vim  gravitatis  in  superficie  Terrae,  ut  1  X  60i  ad  60  X  60 
X  60  X  178f§,  seu  1  ad  638092,6.  Inde  vero  et  ex  proportione  linea- 
rum  T  M,  M  L,  (")  datur  etiam  vis  T  M :  et  has  sunt  vires  solis  quibus 
LunoB  motus  perturbantur.     Q.  e.  i. 


ad  P  T  directe,  et  ut  quadratum  temporis  perio- 
dici  Lunai  circa  Terram  ad  quadratum  temporis 
periodici  Terrae  circa  Solera ;  ergo  compositis  ra- 
tionibus,  vis  M  L  est  ad  vim  qua  Luna  in  orbe  suo 
retinetur,  ut  quadratum  temporis  periodici  Lunae 
ad  quadratum  temporis  periodici  Terrae  circa 
Solem,  hoc  est  in  duplicata  ratione  dierum  27, 
hor.  7,  43'  ad  365  dies,  6  hor,  9'  quae  est  duratio 
anni  siderei. 

(')  *  Et  vis  qud  Luna  ad  dislantiam  60\ 
semid.  7'evolvi  posset,  est  ad  vim  gud  ad  distantiam 
60  semid.  revolvi  posset  eodern  tempore,  ut  60§  ad 
60.  Vires  enim  centrales  sunt  ut  distantiae  di- 
recte  et  tempora  periodica  inverse  (Cor.  2.  Prop. 
IV.  Lib.  I.).  Cum  ergo  hic  tempora  periodica 
aequalia  ponantur,  vires  centrales  sunt  ut  distan- 
tiae.  Newtonus  autem  loco  distantife  60\  semid. 
Terrae  quae  revera  intercedit  inter  Terram  et 
Lunam,  assumit  distantiam  60  semid.  tantum, 
quia  in  praecedente  ratiocinio  vim  qua  Luna  in 
Orbe  suo  retinetur,  aestimaverat  quasi  Terra  im- 
mota  esset,  et  Luna  ad  distantiam  60^  semid.  a 
Terra  tempore  27.  dier.  7  hor.  43.  min.  circa 
Terram  revolveretur ;  verum  ciim  Terra  revera 
circa  centrum  gravitatis  commune  Lunae  et  Ter- 
rse  revolvatur,  ea  vis  qua  Luna  ad  distantiam  60^ 
semid.  tempore  illo  revolvi  apparet,  minor  est  ea 
qua  ad  eamdem  difitantiam  eodemque  tempore 
circa  Terram  immotam  revolveretur,  et  est  aequa- 
lis  illi  qua,  eodem  quidem  tempore  periodico, 
sed  ad  distantiam  60  semid.  circa  Terram  immo- 
tam  revolveretur,  ut  constat  ex  Prop.  LX.  Lib. 
I.  Ea  enim  propositione  statuitur  quod  si  duo 
corpora  revolvantur  circa  centrum  commune  gra- 
vitatis,  axis  ellipseos  quam  unum  circa  alterum 
liidtum  d^ribit,  est  ad  axem  ellipseos  quam 


circa  illud  quiescens  eodem  tempore  periodico  et 
eadem  vi  describere  posset,  ut  summa  corporum 
amborum  ad  primam  duarum  medieproportio- 
nalium  inter  hanc  summam  et  corpus  alterum  ; 
quare  cum  Telluris  corpus  sit  ad  corpus  Lunae 
ut  42  ad  J,  et  prima  duarum  medieproportiona- 
lium  inter  43  et  42  sit  42 j  sitque  43  ad  42 j 
ut  60^  ad  60  proxime,  vis  qua  Luna  in  orbe  suo 
retinetur,  ea  est  qua  ad  distantiam  60  semid. 
Terrae  eodem  ipso  tempore  periodico,  quod  ob- 
servatur  circa  Terram  immotam,  revolvi  posset. 

(*)  *  Et  hcec  vis,  &c.  Per  hujusce  Libri 
Prop.  IV. 

(")  *  Datur  etiam  vis  T  M.  Ob  parallelas 
P  T,  L  M  et  ingentem  puncti  S  distantiam, 
P  L  et  T  M  sunt  parallela?,  et  figura  P  T  L  M 
est  parallelogrammum,  ideoque  T  M  sumitur  ut 
proxime  aequalis  P  L ;  est  autem  P  L  triplum 
cosinus  anguli  A  T  P  existente  T  P  sive  L  M 
radio :  nam  quia  S  K  est  aequalis  S  T,  si  centro 
S  radio  S  T  describatur  arcus  T  K,  erunt  S  T 
et  S  K  in  eum  arcum  perpendiculares,  sed  is 
arcus  proxime  coincidit  cum  recta  T  C  perpen- 
diculari  lineae  S  T  in  T  (ob  distantiam  centri  S) 
ergo  punctum  K  in  ea  recla  T  C  occurret  et 
S  K  sive  P  K  illi  rectae  T  C  erit  perpendicula- 
ris,  ideoque  P  K  erit  cosinus  anguli  A  T  P ; 
sed,  per  constructionem,  est  S  P  ^  ad  S  K  *  — 
S  P»  (sive  quia  SK=SP-|-PK)ad2SP 
XPK+PK^utSK  (sive  S  P  +  S  K) 
ad  S  L  —  S  K  (sive  K  L)  ideoque  est  K  L  = 
PK  2    .    p  K  3 


2  PK  + 


S  P 


"f"        p— >   s^^  omittendi 


S  P 


sunt  ultimi  termini  propter  ingentem  divisorem 
S  P,  ergo  est  K  L  =  2  P  K,  et  P  K  -f  K  L 
sive  P  L  =  3  P  K.     Q.  e.  d. 


4  PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst, 

PROPOSITIO  XXVI.     PROBLEMA  VIL 

Invenire  incrementum  horarium  arece  quam  Luna,  radio  ad  Terram  ducto, 
in  orhe  circula^^i  describit. 

Diximus  aream,  quam  Luna  radio  ad  Terram  ducto  describit,  esse 
tempori  proportionalem,  nisi  quatenus  motus  lunaris  ab  actione  Solis 
turbatur.  Inaequalitatem  momenti,  vel  incrementi  horarii  hic  investigan- 
dam  proponimus.  Ut  computatio  facilior  reddatur,  fingamus  orbem  Lunae 
circularem  esse,  et  inaequalitates  omnes  negligamus,  ea  sola  excepta,  de 
qua  hic  agitur.    Ob  ingentem  vero  Solis  distantiam,  ponamus  etiam  lineas 

5  P,  S  T  sibi  invicem  parallelas 
esse.  (^)  Hoc  pacto  vis  L  M  re- 
ducetur  semper  ad  mediocrem  su- 
am  quantitatem  T  P,  ut  et  vis  T  M 
ad  mediocrem  suam  quantitatem 
3  P  K.  Hae  vires  (per  legum  Co- 
rol.  2.)  componunt  vim  T  L;  et 
haec  vis,  si  in  radium  T  P  demit- 
tatur  perpendiculum  L  E,  resolvi- 
tur  in  vires  T  E,  E  L,  quarum 
T  E,   agendo   semper   secundum 

radium  T  P,  nec  accelerat  nec  retardat  descriptionem  areae  T  P  C  radio 
illo  T  P  factam ;  et  E  L  agendo  secundum  perpendiculum,  accelerat  vel 
retardat  ipsam,  quantum  accelerat  vel  retardat  Lunam.  Acceleratio  iila 
Lunae,  in  transitu  ipsius  a  quadratura  C  ad  conjunctionem  A,  singulis 
temporis  momentis  facta,  est  (^)  ut  ipsa  vis  accelerans  E  L,  (^)  hoc  est,  ut 
3PK  X  TK 


M 


TP 


Exponatur  tempus  per  motum  medium  lunarem,  vel 


(^)  (quod  eodem  fere  recidit)  per  angulum  C  T  P,  vel  etiam  per  arcum 
C  P.     Ad  C  T  erigatur  normalis  C  G  ipsi  C  T  aequalis.    Et  diviso  arcu 


(*)  *  Uqc  pacto.     Vide  notam  (")  praeceden- 
tem. 

(^)  *  Ut  ipsa  vis  accelerans  (13.  Lib.  I.). 
3 F  ^X  T  K 


(sed  per  notam  ")  est  P  L  =  5  P  K  ergo  est 

„_         5PKX  TK 
EL=  ^ . 

110.  (^)  *  (luod  eodem  fere  recidit.  lu  hy- 
potliesi  orbem  lunarem  esse  circularem,  angulus 
C  T  P  vel  arcus  C  P  forent  proportionales  tem- 
pori,  semota  consideratione  perturbationis  motus 


(*■)  *  Hoc  est  ut ^r— Nam  trian- 

guJa  P  T  K,  P  L  E  sunt  simiUa  propter  angu-     Lun»  ex  Solis  actione  productae ;  hac  rero  per- 
lum  communem  in  P  et  angulos  rectos  K  et  E,     turbatio  respectu  ipsius  motus  Lunse  est  exigua, 

P  L  X  T  K      itaque  anguli  C  T  P  vel  arcus  C  P  tempori  fere 
proportionales  censeri  possunt. 


ergocstTP:TK.:  PL:  E  L  =     ^^ 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  h 

quadrantali  A  C  in  particulas  innumeras  aequales  P  p,  &c.  per  quas  aequa- 
les  totidem  particulae  temporis  exponi  possint,  ductaque  p  k  perpendiculari 
ad  C  T,  jungatur  T  G  ipsis  K  P,  k  p  productis  occurrens  in  F  et  f;  et 
erit  F  K  sequalis  T  K,  et  (^)  K  k  erit  ad  P  K  ut  P  p  ad  T  p,  {')  hoc  est 
in  data  ratione,  {^)  ideoque  F  K  X  K  k  seu  area  F  K  k  f,  erit  ut 
3  P  K  X  T  K^  -^  gg^^  ut  E  L ;  et  composite,  area  tota  G  C  K  F  ut  sum- 

ma  omnium  virium  E  L  tempore  toto  C  P  impressarum  in  Lunam, 
(^)  atque  ideo  etiam  ut  velocitas  hac  summa  genita,  id  est,  ut  acceleratio 
descriptionis  areae  C  T  P,  seu  incrementum  momenti.  (*)  Vis  qua  Luna 
circa  Terram  quiescentem  ad  distantiam  T  P,  tempore  suo  periodico 


(^)  ♦  JTk  erit  ad  P  K  ut  Pp  ad  Tp  sive 
T  P  ;  ex  notissima  circuli  proprietate  fluit  haec 
proportio,  nam  si  ex  puncto  p  ducatur  lineola 
p  q  perpendicularjs  ad  P  K,  ea  erit  parallela  et 
eequalis  linese  K  k,  formabiturque  triangulum 
fluxionale  P  p  q  simile  triangulo  P  K  T,  nam 
cum  anguli  p  P  K  et  K  P  T  rectum  simul  effi- 
ciant,  et  pariter  angidi  K  P  T  et  P  T  K,  aqua- 
les  sunt  anguli  p  P  K  et  P  T  K,  unde  est  p  q 
sive  K  k  ad  P  K  ut  P  p  ad  T  P. 

C^)  *  Hoc  est  in  datd  ratione.  Ratio  enim 
P  p  ad  T  p  est  data,  quia  singulae  partes  P  p 
sumuntur  aequalcs,  sunt  itaque  singulas  in  eadem 
ratione  ad  radium  T  P. 

(«^)  *  Ideoque  F  KX^k  seu  area  F  Kkfut 


5P  K  X   T  K 


TP 


;  ciam  ratio  K  k  ad  P  K  sit  data, 


data  etiam  erit  ratio  K  k  ad  3  P  K,  et  haec  ratio 
manebit  etiamnum  data  si  consequens  3  P  K  per 
quantitatem  constantem  T  P  dividatur;  erit  ergo 

3  P  K 

data  ratio  K  k  ad  -  ,  denique  non  mutabi- 

tur  haic  ratio  si  ambo  termini  per  quantitates 
aequales  F  K  et  T  K  multiplicentur,  ergo  ratio 

Kk  X  F  K  (seuare^  F  K  k  f)  ad^^^^^^^ 

est  etiam  data,  hoc  est,  est  area   F  K  k  f  ut 
5  P  K  X  T  K 
TP 

(*)  *  Alque  ideb  eliam  ut  velocitas  (13.  Lib.  I. ). 

(^)  *  Vis  qud  Luna  circa  Terra?n  ad  distan- 
tiam  T  P  tempore  suo  periodico  C  A  D  B  revolvi 
posset,  ejficeret  ut  corpus  libere  cadendo  lempore 
C  T  describeret  longitudinem  \  C  T,  &c.  Si 
corpus  gyretur  in  circulo  per  vini  ad  ejus  centrum 
tendentem,  primum  uniformiter  girabitur;  tum, 
quadratum  arciis  quovis  tempore  descripti  erit 
asquale  circuli  diamctro  ducto  in  altitudinem 
quam  corpus  hbere  cadendo  tempore  eodem  per- 
curreret  si  imiformiter  acceleraretur  per  vim 
centripetam  qua  circulus  describitur. 

Nam  si  sumatur  arcus  quam  minimus,  altitudo 
qua2  per  vira  centralem  libcre  percurreretur  dum 


ille  arcus  quamminimus  describeretur,  foret  ejus 
arciis  minimi  sinus  versus;  sed  ex  natura  circuH, 
factum  diametri  ducti  in  sinum  versum  arcus, 
est  aequale  quadrato  chordae  illius  arcus,  sive 
quadrato  arcus  ipsius  si  adeo  sit  exiguus  ut  pro 
sua  chorda  sumi  possit. 

Spatia  vero  libere  cadendo  per  vim  uniformi- 
ter  accelerantem  descripta,  sunt  ut  quadrata 
temporum,  arcus  vero  interea  percursi  sunt  ut 
tempora,  quia  corpus  xmiformi  celeritate  giratur, 
ergo  spatium  minimum  per  vim  centripetam  li- 
bere  descriptum  est  ad  ab*ud  quodvis  spatium 
per  eamdem  vim  centrifugani  libere  descriptum 
(ideoque  etiam  facta  horum  spatiorum  per  dia- 
metrum  circuli)  sunt  ut  quadrata  arcuum  corres- 
pondentibus  temporibus  descriptorum  :  sed  prius 
factum  est  acquale  quadrato  arcus  corresponden- 
tis,  ergo  et  alterum  factum  erit  aequale  quadrato 
arcus  correspondentis,  hoc  est  ahitudo  quascum- 
que  cadendo  hbere  descripta  in  diametrum  ducta 
efficit  factum  a?quale  quadrato  arciis  eodem  tem- 
pore  revolvendo  uniformiter  percursi. 

Quod  cum  ita  sit,  cadat  hbere  corpus  per 
^  C  T,  h.  e.  per  radii  semissem,  ducaturque  hsec 
longitudo  per  diametrum  seu  2  C  T  factum 
C  T  ^  sive  quadratum  ipsius  radii  aequale  erit 
quadrato  arcijs  eodem  tempore  descripti,  erit 
ergo  is  arcus  aequahs  radio  C  T,  sed  velocitas 
acquisita  hbere  cadendo  per  radii  semissem  \CT 
tahs  est  ut  corpus  movendo  uniformiter  ea  cele- 
ritate  acquisita  duplum  ejus  altitudinis  radium, 
nempe  integrum  C  T  eodem  tcmpore  describere 
possct,  quae  est  ipsa  longitudo  arcus  quam  corpus 
uniformiter  revolvens  descripsisset  eodem  tem- 
pore ;  ergo  velocitas  acquisita  lapsu  per  :|  C  T 
ea  est  qua  corpus  in  orbe  suo  revolvitur. 

Ea  denique  longitudo  ^  C  T  percurretu'" 
tempore  quod  crit  ad  totum  tempus  periodicum 
ut  C  T  ad  circumferentiam  C  A  D  B,  nam 
tempora  sunt  ut  arcus  uniformiter  descripti ;  sed 
tempus,  quo  corpus  per  ^  C  T  labitur,  est  £equale 
tempori  quo  arcus  aequalis  C  T  percurritur,  ergo 
est  illud  tempus  ad  totum  tempus  periodicuni  ut 
C  T  ad  totam  periphcriam  C  A  D  B. 


6  PHILOSOPHI^  NATURALIS     [De  Mlnd.  Syst. 

C  A  D  B  dierum  27.  hor.  7.  min.  43.  revolvi  posset,  efficeret  ut  corpus, 

tempore  C  T  cadendo,  describeret  longitudinem  i  C  T,  et  velocitatem 

simul  acquirerel  aequalem  velocita- 

ti,  qua  Luna  in  orbe  suo  movetur. 

Patet  hoc  per  Corol.  9.  Prop.  IV. 

Lib.  I.     Cum  autem  perpendicu- 

lum  K  d  in  T  P  demissum  (^)  sit 

ipsius  E  L  pars  tertia,  et  (^)  ipsius 

T  P  seu  M  L  in  octantibus  pars  di- 

midia,  vis  E  L  in  octantibus,  (^)  ubi 

maxima  est,  superabit   vim   M  L 

(^)  in  ratione  3  ad  2,  ideoque  erit  ^ 

ad  vim  illam,  qua  Luna  tempore 

suo  periodico  circa  Terram  quiescentem  revolvi  posset,  (^)  ut  100  ad  f  X 

17872^  seu  11915,  et  tempore  CT  velocitatem  generare  deberet  ("^)  quae 

esset  pars  yy§Tj  velocitatis  lunaris,  tempore  autem  C  P  A  velocitatem 

majorem  generaret  in  ratione  C  A  ad  C  T  seu  T  P.     Exponatur  vis 

maxima  E  L  in  octantibus  per  aream  F  K  X  K  k  rectangulo  (")  i  T  P 


M 


(^)  *  JCd  sit  ipsius  E  L  pars  tertia.  Ob  tri- 
angula  similia  P  L  E,  P  K  d  est  E  L  ad  K  d 
ut  P  L  ad  P  K,  (sed  per  notam  ")  est  P  K  ter- 
tia  pars  lineae  P  L,  est  itaque  pariter  K  d  tertia 
pars  lineae  E  L. 

(^)  *  K  d  ipsius  T  P  seu  M  L  in  octanfibus 
pars  dimidia ;  nam  in  octantibus  anguii  K  T  d, 
P  K  d,  K  P  d  sunt  omnes  45  grad.  est  itaque 
Td=:Kd  =  dP;est  ergo  T  d  sive  K  d 
ipsius  T  P  pars  dimidia  in  octantibus. 

111.  (>)   *  Ubi  maiima  est.     Ut  inveniatur 

^.„_     .      3PKXTK 
punctum  m  quod  vis  E  L  sive  i=^-  p 

est  maxima,  sit  T  P  =  r,   T  K  =  x,   P  K 

3  V  X 
=   y   erit   E    L   =   — - —    cujus    fluxio    est 

Sydx4-3xdy         .         ^         ^^^     ii 

— i i "^ ,  maxmia  est  ergo  E  L  ubi  hjcc 

r 
fluxio  cequatur  nihilo,  ideoque  ubi  y  d  x  =  — 


^y/  r  r  —  XX, 


X  d  y,  sed  cunri  in  circulo  sit  y 

et  d  y  =  — ——._-   unde  substitutis  valori- 

\/  r  r  — XX 
bus  aequatio  ydx  =  —  xdy  in  hanc  mutalur 

X  X  d  X 

dxA/rr  —  xx=  "~ —         — •"   et  reductis 
^  <y/  r  r  —  XX 

terminis  fit  r  r  =  2  x  x,  unde  est  x  =  —7-^ 

et  d  y  =  —  d  X,  et  y  =  x ;  ideoque  in  trian- 
gulo  P  T  K  angulus  T  debet  esse  45  grad.  et 
P  debet  esse  in  octante  circuh'. 


(^)  *  In  raiione  3  ad  2.  Est  E  L  ad  K  d  ut 
3  ad  1  (not.  ^)  est  K  d  ad  T  p  sive  M  L  ut  1 
ad  2  (not.  ^)  ergo  E  L  ad  M  L  ut  3  ad  2,  ex 
aequo. 

(1)  *  Ut  100  ad  I  17872i  Vis  E  L  est  ad 
vim  M  L  ut  3  ad  2 ;  vis  M  L  est  ad  vim  qua 
Luna  in  orbe  suo  circa  Terram  quiescentem  re- 
volvi  posset  tempore  suo  periodico  ut  1000  ad 
178725  (Prop.  XXV.  hujusce)  sive  ut  100  ad 
17872i  ;  ergo  compositis  rationibus  vis  E  L  est 
ad  eam  vim  qua  Luna  revolvitur  ut  100  X  3  ad 
2  X  17872i  siveutlOOad|x  17872^  boc-  est 
ad  1 1 915,  ideoque  vis  E  L  est  _J.fi 0_  vis  Lunae. 

(")  Qita:  esset  pars  y^g^  ]  j  velocitatis  lunaris. 
Patet  ex  nota  (^)  vim.  qua  Luna  revolvitur  effi- 
cere  ut  corpus  ab  ea  vi  uniformiter  acceleratum 
cadendo  tempore  C  T  eam  ipsam  acquireret 
velocitatem  qua  Luna  revolvitur,  vis  ergo  quae 

vis  lunaris  est  pars L00_  eodem  tcmpore  ge- 

neraret  velocitatem  quse  velocitatis  lunaris  foret 

(")  *  Eijmnatur  vis  maxima  E  L  in  octantihus 
per  aream  F  K  y,  K  k  rectanguh  \  T  P  y,  P  p 
eequalem,  vis  E  L  semper  est  proportionalis  area; 
F  K  X  K  k  ex  demonstratis,  sed  in  octantibus 
ubi  ea  vis  est  maxima  est  F  K  sive  T  K  = 
T  P       ,.  ,  P  p 


.  «  et  K  k 
V  2 
TPX  Pp 


V  2 


ergo  F  K   X  K  k  = 


LiBER  Tertius,]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  7 

X  P  p  aequalem.  {°)  Et  velocitas,  quam  vis  maxima  tempore  quovis  C  P 
generare  posset,  erit  ad  velpcitatem  quam  vis  omnis  minor  E  L  eodem 
tempore  generat,  ut  rectangulum  i  T  P  X  C  P  ad  aream  K  C  G  F: 
tempore  autem  toto  C  P  A,  velocitates  genitas  erunt  ad  invicem  ut  rec- 
tangulum  ^  T  P  X  C  A  et  triangulum  T  C  G,  sive  ut  arcus  quadrantalis 
C  A  et  radius  T  P.  Ideoque  (per  Prop.  IX.  Lib.  V.  Elem.)  velocitas 
posterior,  toto  tempore  genita,  erit  pars  yiiJTJ  velocitatis  Lunae.  (p)  Huic 
Lunoe  velocitati,  quae  areoe  momento  mediocri  analoga  est,  (^)  addatur  et 
auferatur  dimidium  velocitatis  alterius ;  et  si  momentum  mediocre  expo- 
natur  per  numerum  11915,  summa  11915  +  50  seu  11965  exhibebit 
momentum  maximum  areae  in  syzygia  A,  ac  differentia  11915  —  50  seu 
11865  ejusdem  momentum  minimum  in  quadraturis.  Igitur  areae  tempo- 
ribus  aequalibus  in  syzygiis  et  quadraturis  descriptae,  sunt  ad  invicem  ut 
11965  ad  11865.  Ad  momentum  minimum  11865  addatur  momentum, 
quod  sit  ad  momentorum  difFerentiam  100  ut  trapezium  F  K  C  G  ad 
triangulum  T  C  G  C)  vel  quod  perinde  est,  ut  quadratum  sinus  P  K  ad 
quadratum  radii  T  P,  (*)  (id  est,  ut  P  d  ad  T  P)  et  summa  exhibebit 
momentum  areae,  ubi  Luna  est  in  loco  quovis  intermedio  P. 


(°)   *  Et  velocitas  quam  vis  maxima  tempore 

quovis  C  P  generat  ad  velocitatem  quam  gcnerant 

vires  vcrae  E  L  eodem  tempore  agentes  ut  ^  T  P 

X  C  P  ad  aream  K  C  G  F,  velocitates  genit^ 

sunt  ut  vires  quibus  generantur,  ductae  in  tem- 

pus  pcr  quod  generantur,  ciim  itaque  supponatur 

omnes  arcus  Pp  temporibusquamproxime  eequa- 

libus  describi,  si  ii  arcus  P  p  aequales  inter  se 

sumantur  (vid.  not.  ^  praeced.)  velocitates  geni- 

tae,  dum  arcus  P  p  percurruntur,  sunt  ut  ipsae 

vires  sive  ut  areae    F  K  k  f,   ideoque  sum.ma 

velocitatum  genitarum  tempore  C  P,  sive  dum 

arcus  C  P  describitur,  est  ut  tota  area  K  C  G  F, 

sed  vis  in  octantibus  sive  velocitas  qua?  in  octante 

TPXPp 
generatur  durante  tempore  P  p,  est , 

quia  eo  in  loco  is  est  valor  areae  F  K  k  f,  qui 
valor  est  ipse  valor  areae  P  T  p,  ergo  si  singulis 
momentis  P  p  similis  velocitas  generaretur,  suni- 
ma  velocitatem  genitarum  teuipore  C  P  foret 
area  C  T  P  sive  ^  T  P  X  C  P,  ergo  velocitas 
quam  vis  maxima  generat,est  ad  eam  quam  vires 
verae  generant,  tempore  utrinque  eodem  C  P,  ut 
i  T  P  X  C  P  ad  K  C  G  F. 

C)  Huic  Lunee  velocitati  quts  arecc  momcnto 
mediocri  est  analoga,  Area;  momentum  medio- 
cre  iilud  est  quod  Luna  dato  exiguo  tcmpore 
verreret  si  uniformi  velocita'e  toto  suo  tempore 
feiTetur,  cumque  Luna  per  vim  E  L  certis  in 
locis  plus  minusve  acceleretur,  area-  momentum, 
seu  ea  areae  particula  quae  dato  exiguo  tempore 
de.scribitur,  uunc  niajor  nuncminor  estj  sedcum 


orbis  lunaris  circularis  censcatur,  areae  momenta 
sunt  ut  arcus  qui  sunt  eorum  bases,  cumque  iis- 
dem  temporibus  illa  momenta  illique  arcus  de- 
scribantur,  sunt  ut  velocitates  quibus  describun- 
tur.  Hinc  pro  arearum  momentis  ipsae  veloci- 
tatum  rationes  assumuntur. 

C^)  *  Addatur  et  auferatur  dimidium  velocitatis 
altirius.  Hic  assumit  Newtonus  velocitatem 
mediocrem,  eam  nempe  qua  orbita  lunaris  tem- 
pore  suo  periodico  uniformiter  describeretur  esse 
mediam  proportionalem  arithmetice  inter  veloci- 
tatem  minimam  et  maximam.  Hanc  tamen 
propositionem  quasi  evidentem  assumere  non 
licuit,  si  enim  v.  gr.  diutius  durarent  parvae 
velocitates  quam  magnac,  velocitas  mediocris 
propior  foret  parvis  velocitatibus  quam  magnis; 
hinc  exponenda  est  prius  ratio  qua  crescunt  ilije 
velocitates,  ut  possimus  asserere  mediocrem  vclo- 
citatem  Lunae  esse  mediam  arithmetice  inter 
extremas.  Q,uod  quidem  efficere  conabimur 
problemate  huic  propositioni  mox  subjungendo. 

(■")  *  Vel  quod  perinde  est  ut  quadratHm  ii/nls 
P  K  nd  quadratum  radii  T  P  area  T  C  G  est 
ad  aream  T  K  F  ut  quad.  T  C  ad  quad.  T  K 
et  dividendo  T  C  G  —  T  K  F  (sive  F  K  C  G) 
ad  1"  C  G  ut  T  C  ^  —  T  K  ^  (slve  P  K  ^)  ad 
T  C  \ 

O  *  Id  est  nt  P  d  ad  T  P  est  P  d  ad  P  K 
ut  P  K  ad  T  P  propter  simiUtudinem  triangu- 
lorum  P  K  d,  P  T  K,  ergo  per  compositionera 
rationum  est  P  d  ad  T  P  ut  P  K  »  ad  T  P  \ 


8  PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 

Haec  omnia  ita  se  habent,  ex  hypothesi  quod  Sol  et  Terra  quiescunt, 
et  Luna  tempore  synodico  dierum  27.  hor.  7.  min.  43.  revolvitur.  Cum 
autem  periodus  synodica  lunaris  vere  sit  dierum  29.  hor.  1 2.  et  min.  44. 
augeri  debent  momentorum  incrementa  in  ratione  temporis,  id  est,  in  ra- 
tione  1080853  ad  1000000.  Hoc  pacto  incrementum  totum,  quod  erat 
pars  i}§^j  momenti mediocris,  jam 
fiet  ejusdem  pars  rrSfs.  Ideoque 
momentum  are«  in  quadratura  Lu- 
nae  erit  ad  ejus  momentum  in  syzy- 
giautll023  — 50adll023  4"  50, 
seu  10973  ad  11073,  et  ad  ejus 
momentum,  ubi  Luna  in  alio  quo- 
vis  loco  intermedio  P  versatur,  ut 
10973  ad  10973  +  P  d,  (*)  exis- 
tente  videlicet  T  P  aequali  100. 

Area  igitur,  quam  Luna  radio  ad 
Terram  ducto  singulis  temporis  particulis  aequalibus  describit,  est  quam 
proxime  {")  ut  summa  numeri  219,46  et  sinus  versi  duplicatae  distantiae 
Lunae  a  quadratura  proxima,  in  circulo  cujus  radius  est  unitas.     Haec  ita 
se  habent  ubi  variatio  in  octantibus  est  magnitudinis  mediocris.     (^)  Sin 


(*)  *  Existente  videlicet  T  P  cequali  100 : 
sequitur  ex  praecedentibus  quod  illud  quod  debet 
addi  ad  momentum  minimum  10973  est  ad  100 
ut  est  P  d  ad  P  T,  si  ergo  P  T  sit  aequalis  nu- 
mero  100  erit  P  d  aBqualis  illi  numero  qui  debet 
addi  ad  momenti  minimi  valorem. 

(")  *  Ut  summa  numeri  219,46  et  sinus  versi 
duplicatcB  distanticB  Lunee  a  quadraturd 
proximd  in  circido  cujus  radius  est  uni- 
tas ;  areae  momentum  in  puncto  P  est 
ut  10973  +  P  d,  est  autem  P  d  dimi-  - 
dium  sinus  versus  duplicatae  distantise 
Lunae  a  quadratura  proxima,  nam  dica- 
tur  N  punctum  in  quo  linea  P  K  L 
secat  circulum,  erit  arcus  P  C  N  duplus 
distantiae  P  C  a  quadratura  proxima, 
ductaque  N  n  perpendiculari  in  radium 
P  T  erit  P  n  sinus  versus  duplicatae 
illius  distantiae,  sed  cum  N  n  et  K  d 
sint  perpendiculares  in  eamdem  lineam 
ideoque  parallelas,  et  sit  punctum  K 
medium  lineae  P  N,  erit  etiam  d  medi- 
um  lineae  P  n,  eritque  P  d  =  ^  P  n, 
sive  erit  P  d  dimidium  sinus  versi  du- 
plicatae  distantiae  Lunae  a  quadratura 
proxima,  est  ergo  momentum  areae  ut  summa 
numeri  10973  +  ^  P  n  existente  radio  100, 
seu  ut  hujus  quantitatis  duplum  21946  +  P  n 
ideoque  si  radius  sit  i  ut  219,46  +  P  n. 


(^)  *  112.  Sin  variatio  ibi  major  sit,  &c. 
Manente  eadem  hypothesi,  Lunae  orbem  esse 
circularem  et  Lunam  aliam  non  pati  irregulari- 
tatem  praeter  eam  quae  ab  ea  parte  actionis  Solis 
nascitur  quae  per  lineam  E  L  designatur,  varia- 
tio  Lunae  erit  arcus  interceptus  inter  locum  in 
quo  Luna  esse  deberet  si  velocitate  sua  mediocri 


moveretur  tempore  dato  C  P,  et  locum  in  quo 
revera  est  tunc  temporis,  cujus  quidem  varia- 
tionis  conditiones  ex  problemate  sequenti  expo- 
nere  facile  erit. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  9 

variatio  ibi  major  sit  vel  minor,  augeri  debet  vel  minui  sinus  ille  versus  in 
eadem  ratione. 


PROBLEMA. 

Ex  hypothesibus  et  demonstratis  in  Proposi- 
tione  hac  XXVI.  exponere  rationem  secundvim 
quam  describuntur  area;  C  T  P  A  momenta. 

Designet  recta  C  A  (in  2<la-  figura)  tempus 
quo  arcus  C  A  describitur,  erigantur  per  singula 
puncta  P  recta)  P  M  perpendiculares  in  C  A  et 
pioportionales  velocitati  tempore  C  P  per  vim 
E  L  genitte ;  per  ea  qua;  in  hac  Propositione 
.demonstrantur  independenter  ab  his,  illa;  veloci- 
tates  in  punctis  P  arciis  C  P  sunt  ut  trapezia 
F  K  C  G  correspondentia,  illa  vero  trapezia  sunt 
ut  sinus  versi  duplicataj  distantias  Lunae  a  quad- 
ratura  proxima,  sive  ut  sinus  versus  arcus  dupli 
C  P,  (ut  mox  in  notis  explicabitur)  fiant  ergo 
illae  perpendiculares  P  M  ajquales  sinui  verso 
arcus  2  C  P,  ultima  perpendicularis  A  H  erit 
^qualis  ipsi  diametro  A  B,  quia  est  sinus  versus 
dupli  quadrantis ;  ducatur  curva  C  M  H  per 
omnium  perpendicularium  vertices  transiens,  du- 
catur  etiam  A  R  perpendicularis  ad  C  A,  sitque 
A  H  ad  A  R  ut  velocitas  ultimo  acquisita  in  A 
ad  velocitatem  uniformem  qua  Luiia  ferretur  si 


IC  TZ 

J 

X 

c 

M 

l 

IL 

1? 

P 

a 

J^ 

1 

C  1 

j. 

1 

t 

vis  E  L  omnino  non  ageret,  absolvaturque  par- 
allelogrammum  A  R  E  C,  productaque  linea 
M  P  usque  ad  lineam  R  E  tota  linea  I  M  erit 
ut  velocitas  Luna;  tempore  ^  P,  et  ducta  linea 
quamproxima  m  p  i  erit  area  M  P  I  m  p  i  ut  area 
descripta  tempore  P  p,  et  tota  area  R  E  C  M  H 
repraesentabit  totam  aream  tempore  C  A  descrip- 
tam;  denique  secetur  A  H  in  X  et  ducatur  X  Y 
parallela  C  A  qua;  secet  curvam  C  M  H  in  Z 
et  ex  puncto  Z  ducatur  ordinata  Z  Q.  Liquet 
quod  si  punctum  X  ita  sit  assumptum  ut  paral- 
lelogiammum  X  R  E  Y  sit  ajquale  mixtilineo 
H  A  R  E  C  M  H,  erit  X  R  velocitas  Lunse 
mediocris,  et  C  Q,  tempus  quo  Luna  a  quadra- 
tura  profecta  ad  eam  velocitatem  mediocrem 
pervcniet,   quod  quidem  ex  ipsa  constructione 


liquet.  Jam  autem  dico  quod  illud  punctum  X 
incidet  in  medio  lineae  A  H,  ita  ut  iioec  velocitas 
mediocris  X  R  sit  media  proportionalis  arithme- 
tica  inter  R  A  et  R  H  et  praeterea  quod  punc- 
tum  Q  cadet  in  medio  inter  A  et  C,  ita  ut  ea 
celeritas  mediocris  in  octante  obtineatur,  (saltem 
si  medium  arcus  medio  temporis  rcspondeat, 
quod  proxime  verum  est  juxta  notam  110  prae- 
cedentem). 

Ut  obtineatur  itaque  area  H  A  P  C  M  H, 
dicatur  v  arcus  C  P  et  dicatur  m  v  recta  C  P 
quae  arcui  C  P  est  proportionalis  (saltem  quam 
proxime  per  not.  110.)  et  P  p  sit  m  d  v,  sinus 
rectus  P  K  arcus  C  P  dicatur  y,  sinus  vero 
totahs  sit  r.     Ex  notis  trigonometrife  principiis 

sinus  versus  dupli  arcus  C  P  est  — ^,   ergo 

2  V  V 
ordinata  P  M  ei  asqualis  est  — ^,  et  elementum 

2  y  V 
areae  sive  M  P  p  m  est  — ^  m  d  v,  sed  ex  nota 


proprietate  circuli  est  y  r  r  —  y  y  ad  r  ut  d  y 


ad  d  v,  est  ergo  d  v 


r  d  y 


V  rr  — y  y 


itaque  areae 


elementum  evadit ^     ^  conferatur  illud 

y^rr  — yy 
elementura   cum   elemento  areae  circuli,    radio 
T  C  descripti,  dicatur  C  K,  z,  K  k,  d  z,  ele- 
mentum    P  p  k  K  est  y  d  z,  sed  est  T  K 
(y^  r  r  —  y  y)  ad  P  K  (y)  ut  P  q  (d  y)  ad  q  p 


(d  z)  hinc  d  z  = 


y  dy 


et  elementum  a- 


reae  circuli  fit 


V  rr— yy 
y  y  d  y 


quod  elementum  est 


V  T— yy 
ad  elementum  correspondens  areae  H  A  P  C  M  H 
ut  1  ad  2  m,  hinc  tota  ha>c  area  est  ad  aream 
quadrantis  T  C  P  A  ut  2  m  ad  1 ,  sive  si  totus 
arcus  C  P  A  dicatur  c  et  recta  C  P  A  dicatur 
in  c,  area  H  A  P  C  M  H  erit  m  r  c.  Ergo  si 
linea  A  R  quae  designat  velocitatem  uniformem 
Lunae,  ciim  nulla  foret  vis  E  L,  dicatur  I,  area 
A  R  E  C  erit  m  1  c  et  tota  area  H  A  R  E  C  H 
erit  m  1  c  -j-  m  r  c,  sive  aequalis  parallelogram- 
mo  cujus  unum  latus  foret  m  c,  alten.m  1  -f-  r, 
sed  R  E  ex  constructione  est  aequalis  m  c,  ergo 
si  sumatur  R  X  =  1  -f-  r  parallelogrammum 
XREZ  erit  aequale  mixtilineo  H  A  R  E  C  M  H, 
ideoque  erit  R  X  sive  1  -[-  r  velocitas  Lunae 
mediocris,  sed  erat  A  H  =  2  r,  ideoque  R  H 
=  1  -f-  2  r  est  ergo  R  X  (I  -f-  r)  media  pro- 
portionalis  arithmetice  ihter  R  A  (I)  et  R  H 
(1  -f-  2  r),  ergo  velocitas  mediocris  Lunae  est 
media  proportionalis  arithmetice  inter  minimam 
velocitatem  Lunae  (1)  et  maximam  (l  -|-  2  r). 

Quoniam  vero  ordinata  Z  Q  =  A  X  =  r  est 
sinus  versus  arcus  dupli  C  P,  et  est  r  sinus  versus 
arciis  quadrantalis,  ergo  in  hoc  casu  C  P  ejus 


10 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS     [J3e  Mund.  Syst. 


dlmidius  est  octans  clrculi,  in  octante  itaque 
obtinetur  velocitas  quae  est  sequalis  velocitati 
mediocri  Luna;.  Quae  quidem  in  nota  superi- 
ore  q  demonstranda  esse  dixeraraus, 

Ex  hujus  autem  problematis  constructione 
liquet  aream  per  velocitatem  mediocrem  Lunae 
descriptam  tempore  C  P,  exprimi  per  aream 
Y  E  I  V,  et  ejus  valorem  esse  m  1  v  -|-  m  r  v, 
dum  area  vere  per  Lunam  descripta  exprimetur 
per  spatium  mixtilineum  C  E  I  M;  spatium 


3°.  Quoniam  quantitates  1  c  +  r  c,  et  arcus 
quadrantalis  C  P  A  sunt  quantitates  constantes, 
manifestum  est  quod  variationes  in  omnibas 
ptinctis  P,  sunt  ut  P  K  X  T  K,  sive  ut  factum 
sinus  arcus  C  P  in  ejus  cosinum. 

4°.  Rectangulum  T  K  X  P  K  est  maximum 
ubi  punctum  P  est  in  octante,  quod  demonstratur 
eo  modo  quem  in  nota  111.  praecedente  videre 
licet,   hinc  variatio  maxima  est  in   octantihus, 


IM. 


IT  VZ 

/ 

h 

/ 

X- 

3? 

P 

GL 

A 

1E   Ix 


SX 


C  E  I  P  est  m  1  V,  spatium  vero  C  P  M,  est  ad 
aream  C  P  K  ut  2  m  ad  1 ;  tota  area  C  T  P  est 
rv  .        ^„_.yXKT 


ergo  area 


C  P  K  est 


rv  — y  X  KT 


est  itaque  spatium 

CPM  =  mrv  —  my  X  KTet  tota  area 
C  E  I  M  est  m  1  V  +  m  r  V  —  m  y  X  K  T ; 
unde  liquet  difFerentiam  inter  aream  per  veloci- 
tatem  mediocrem  descriptam  et  aream  revcra 
descriptam  esse  m  y  X  K  T,  qua  deficit  area 
revera  descripta,  ab  ea  qu£e  per  mediocrem  mo- 
tum  percursa  censetur. 

Hinc  1°.  liquet  variationem  debere  subtrahi 
ex  motu  medio  a  quadratura  ad  syzygiam,  illam 
evanescere  in  syzygia  A,  quia  illic  m  y  X  K  T 
=  o,  a  syzygia  variationem  addi  debere  motui 
medio,  ut  patet  ex  figurae  c<xistructionc. 

2°.  Ut  quantitas  m  1  c  +  m  r  c  est  ad  rec- 
tangulum  y  K  X  T  K,  ita  est  quadrans  circuli 
C  P  A  T  ad  aream  quoe  (propter  variationem) 
detrahenda  est  ex  area  C  T  P  motu  mcdiocri 
descripta,  sive,  quoniam  C  P  A  T  est  dimidium 
fVicti  radii  in  arcum  C  P  A,  et  ea  area  detra- 
henda  est  etiam  dimidium  facti  radii  in  arcum 
variatioiiis,  erit  eliam  ut  m  1  c  +  "^  ^  *^  ^^ 
m  y  X  T  K  ita  arcus  quadrantalis  C  P  A 
sive  c  ad  arcum  variationis  qui  itaque  erit 
yXTK.       PKXTK 

i-P- SlVe   r-j . 

l  +  r  i-fr 


unde  fluit  hoc  paradoxum,  ubi  vis  E  L  niaxima 
est,  illic  inaxime  retardatur  Luna  respectu  motus 
sui  medii. 

5°'  Si  varintio  maxi^na  miitetur,  avgeri  debet 
vel  minui  sinus  ille  versus,  qiii  velocitatem  geni- 
tam  in  singulis  punctis  exprimit  in  eddem  ra- 
tione ;  nam  velocitas  quae  generatur,  exprimitur 
per  aream  C  K  F  G  (vide  figuram  textus)  in 
octantibus  autem  punctum  F  coincidit  cum 
puncto  P,  et  area  C  K  F  G  illic  evadit  aequalis 
areas  P  K  T,  ergo  vclocitas  in  octantibus  genita 
est  ut  T  K  per  P  K,  sed  area  quae  variationem 
illic  exprimit  est  etiam  ut  T  K  per  P  K,  (per 
hujusce  notae  Corol.  3.)  ergo  velocitas  in  octan- 
tibus  est  ut  ipsa  variatio  in  octantibus,  sed  velo- 
citas  in  octantibus  est  ad  velocitatem  in  quovis 
ah"o  puncto  in  ratione  data  radii  ad  sinum  vcrsum 
duplicataj  distantiae  ejus  dati  puncti  a  quadratura 
proxima,  ergo  lia;c  velocitas  crescit  ut  velocitas 
in  octantibus,  ideoque  etiam  ut  variatio  maxima, 
ergo  sinus  ille  versus  illi  velocitati  proportionalis 
debet  augeri  vel  minui  in  eadem  ratione. 

Verum  ex  actione  T  M  ah'am  variaticnis  por- 
tionem  oriri  ostenditur  Prop.  XXIX.,  illam 
autem  portionem  etiam  futuram  ut  T  K  X  1*  K 
per  not.  114.  mox  adjiciendam  constabit,  ergo 
tota  variatio  erit  ut  T  K  X  P  K,  sive,  in  octan- 
tibus,  ut  velocitas,  quare  manet  hujus  CoroUarii 
veritas  si  agatur  de  tota  variatione. 


LiBER  Tertius.]     PRINCiriA  MATHEMATICA. 


11 


PROPOSITIO  XXVII.     PROBLEMA  VIIL 

Ex  motu  horario  Lunee  invenire  ipsius  distantiam  a  Terrd. 

(J)  Area,  quam  Luna  radio  ad  Terram  ducto  singulls  temporis  momen- 
tis  describit,  est  ut  motus  horarius  Lunae  et  quadratum  distantiae  Lunae  a 
Terra  conjunctim ;  et  propterea  distantia  Lunae  a  Terra  est  in  ratione 
composita  ex  subduplicata  ratione  areae  directe  et  subduplicata  ratione 
motus  horarii  inverse.     Q.  e.  i. 

CoroL  l.  Hinc  datur  Lunae  diameter  apparens :  quippe  quae  sit  reci- 
proce  ut  ipsius  distantia  a  Terra.  {^')  Tentent  astronomi  quam  probe 
haec  Regula  cum  phaenomenis  congruat. 

Corol.  2.  (*)  Hinc  etiam  orbis  lunaris  accuratius  ex  phaenomenis  quam 
antehac  definiri  potest. 

PROPOSITIO  XXVIIL     PROBLEMA  IX. 


Invenire  diametros  orbis  in  quo  Luna^  sine  excentricitate,  moveri  deberet. 

Curvatura  trajectoriae,  quam  mobile,  si  secundum  trajectoriae  illius 
perpendiculum  trahatur,  describit,  est  ut  attractio  directe  et  quadratum 
velocitatis  inverse.     (^)  Curvaturas  Jinearum  pono  esse  inter  se  in  ultima 


(^)  115.  Area  quam  Luna  singulis  momentis 
describit  est  ut  motus  horarius  Lunce  et  quadratum 
distantiee  Lunce  a  Terra.    Designet  T  P  p  aream 


descriptatn  a  Luna  quovis  tempusculo,  sitque 
P  p  arcus  curvae  cujuslibet ;  centro  T  radio  T  p 
describatur  arcus  circularis  P  q  qui  pro  recta 
perpenciiculari  in  lineam  T  p  assumi  potest,  ideo- 
que  area  a  Luna  descripta  erit  ut  T  P  X  P  q. 
gradus  autem,  aut  minuta  in  arcu  p  q  contenta 
mensurabunt  motum  anguljirem  Lunae  dato 
iempore,  qui  jpqualis  est  motui  horario  L.unae, 
ideoque  longitudo  absoluta  ejus  arcus  p  q  erit  ut 
ejus  radius  T  P  et  motus  horarius  Lunae  con- 
junctim,  hinc  area  T  P  X  P  <]  erit  ut  T  P  ^  et 
motus  horarius  Lunae  conjunctim. 

(^)  *  Tentent  astronomi.  Observando  ncmpe 
motum  horarium  Lunae  in  variis  temporibus  ejus 
periodi  et  simul  angulum  inter  Solem  et  Lunam 
interceptum  ut  inde  habeatur  ejus  distantia  PTC 
a  quadratura  proxima  C,  inde  enim  poterunt 
colligi  numeri  proportionales  distantiis  P T  Lunae 

VoL.  IIL  Part  IL  ] 


aTerra:  nam,  pcr  praeced.  Prop.  area  a  Luna 
descripta,  est  ut  summa  numeri  219.46  et  sinus 
versi  dupli  anguli  P  T  C  qua;  si  dividatur  per 
motum  horarium  qui  observatione  obtinetur,  ra- 
dix  quadrata  ejus  quotientis  erit  ut  distantia; 
P  Xj  ^^  inverse  ut  Luua;  diametri  apparcntc:. 
Quare  si  hi  etiam  observati  fuerint,  collatio 
observationum  cum  numeris  sic  inventis  Regulam 
Newtoniauam  illustrabit. 

C)  *  Ilinc  etiam  orbis  lunaris  accuratius 
qudm  antehac  definiri  potest.  Orbis  lunaris 
iigura  definiri  potcst  per  observaliones  diametro- 
rum  app.arentium  Lvmae  in  datis  angulis  a  puncto 
quodam  fixo ;  sicque  cum  dibtantiae  Lunae  sint 
his  diametris  apparentibus  reciprocae,  longitudi- 
nes  distantiis  Lunje  proportionales  in  lateribus 
eorum  angulorum  secari  possunt  et  per  eas  ex- 
tremitates  duci  potest  curva  orbi  lunari  similis : 
sed  observatio  diametri  cujuslibet  corporis  mcidi 
est  nimis  lubrica  ut  satis  tuta  esse  possit  haec 
methodus  ;  facilius  tutiusque  observabuntur  mo- 
tus  horarius  Lunae  ejusque  distantia  a  quadratura 
proxima,  hinc  itaque  accuratius  cognita  ratione 
distantiarum  Lunae  a  Terra  in  datis  angulis, 
accuratius  definietur  quam  anteliac  orbis  lunaris. 

(^)  Curvaturas  linearvm,  &c.  Curvatura 
lineae  est  ejus  deflexio  a  tangente,  et  cestimari 


12 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS     [De  Mund.  Syst. 


proportione  sinuum  vel  tangentium  angulorum  contactuum  ad  radios 
aequales  pertinentium,  ubi  radii  illi  in  infinitum  diminuuntur.  C^)  Attrac- 
tio  autem  Lunae  in  Terram  in  syzygiis  est  excessus  gravitatis  ipsius  in 
Terram  supra  vim  solarem  2  P  K  qua  gravitas  acceleratrix  Lunae  in 
Soiem  superat  gravitatem  acceleratricem  Terrae  in  Solem  vel  ab  ea  supe- 
ratur.  (^)  In  quadraturis  autem  attractio  illa  est  summa  gravitatis  Lunae 
in  Terram  et  vis  solaris  K  T,  qua  Luna  in  Terram  trahitur.     (^)   Et  hae 

2000 


attractiones,  si  -^  T  +  C  T  ji^atur  N,  sunt  ut  12?2^  —  _ 

2  ATqCTxN 

1000 


et 


178725 


+ 


quam  proxime ;  seu  ut  1 78725  N  X  C  T  q — 2000  X 


C  T  q     ■    A  T  X  N 
A  T  q  X  C  T  et  1 78725  N  X  A  T  q  +  1000  C  T  q  X  A  T.     Nam  si 


debet  per  angulum  inter  tangentern  curvae  et 
curvam  nascentem  interceptum ;  illi  anguli  sunt 
f^mper  quaniminimi,  ideoque,  juxta  principia 
trigonometrica,  suis  sinubus,  suisve  tangentibus 
sunt  proportionales :  hinc  Newtonus  ponit  cur- 
vaturas  linearum  esse  in  ultima  proportione 
tangentium  angulorum  contactus,  si  tangentes 
illse  ad  a^quales  radios  referantur. 

Radii  illi  asquales  ad  quos  referuntur  tangentes 
illae,  describerentur  per  continuationem  velocita- 
tis  corporis  uniformis  sccundum  tangentem  cur- 
\x,  ideoque  quantulicumque  sumantur,  tcmpora 
quibus  describentur  crunt  inverse  ut  illffi  veloci- 
idtes,  tangentes  vero  anguli  contaotus  qua;  ad 
illos  radios  aiquales  referuntur,  sunt  attractionis 
cffcctus,  siquidem  supponitur  illam  attractionem 
agere  secundiim  perpendiculum  ad  curvam,  is 
vero  atlractionis  effectus  est  semper  ut  ipsa  vis 
et  quadratum  temporis  per  quod  agere  concipi- 
tur,  saltem  si  tempus  exiguum  intelligatur  in 
quo  attractio  uniformiter  ad  modum  gravitatis 
agere  censenda  sit ;  ergo  illos  tangentes  sunt  ut 
attractio  directe  ct  quadratum  velocitatis  inverse, 
et  in  eadem  ratione  sunt  anguli  contactixs  sive 
curvatura;  linearum. 

C^)  ALtractio  Lunce  in  Terram  in  syzi/giis  est 
excessus  g7'avitatis  supra  vim  solarem  2  P  JC. 
Ex  iis  qua3  in  Propositione  XXV.  demon. 
strata  sunt,  liquet  per  actionem  Soiis, 
Lunam  a  Terra  distrahi  ubicumque  sita 
slt  per  vim  T  M,  ad  illam  vero  attrahi  per 
vim  L  M,  vis  T  M  sive  P  L  est  semper 
acqualis  3  P  K  (vid.  not.  (")  ad  Prop. 
XXV.)  et  est  P  L  cosinus  anguli  A  T  P 
qui  cosinus  in  syzygiis  est  aequalis  radio, 
ita  ut  P  T  sive  L  M  eo  in  casu  sit  aequaUs 
P  K,  ergo  Luna  attrahitur  ad  Terram  in 
syzygiis  per  vim  gravitatis  et  per  vim  L  M 
sive  P  K,  et  distrahitur  ab  ea  per  vim  2  P  K, 
superest  itaque  attractioni  Lunae  in  Terram  in 
syzygiis  exccssus  gravitatis  supra  vim  solarcm 
2  P  K. 

C)   In  quadraturis  autem  evanescit  vi:;  T  M, 


attractio  ergo  Lunae  in  Terram  est  summa  ejus 
gravitatis  et  vis  L  M  sive  C  T  sive  K  T  quia  in 
quadraturis  puncta'K  et  C  coincidunt. 


.  A  T-\-CT 


dica- 


(*)  *  Et  hcB  atlractiones  si  ^ 

tur  N,  &c.  Ex  Propositione  XXV.  constat  vim 
gravitatis  qua  Luna  retinetur  in  orbe  suo  in 
mediocri  sua  distantia  N  esse  ad  vim  solarem 
mediocrem  T  M  ut  178725  ad  1000,  ideoque 
ad  vim  2  P  K  in  syzygiis  aequalem  2  T  M  ut 
178725  ad  2000,  sed  distantiis  A  T,  C  T  inae- 
qualibus  evadentibus  variant  istae  vires,  est  enim 
vis  gravitatis  in  distantia  N  ad  vim  gravitatis  in 

distantia  A  T  ut  :rr:r  ad   .    ^  -  ideoque  si  prior 

178725  N' 


N^        A  T 
exprimatur  per  178725,  erit  posterior 


A  T 


et  simili  ratiocinio  vis  gravitatis  in  distantia  C  T 

.     178725  N^      .  .      ,  or.Tr    TTT 

erit  =;-;fr5 — >  vires  vero  solares  2  P  K,  K  1, 

crescunt  ut  ips.-e  distantiaj ;  quare  si  vis  2  P  K 

in  distantia  N  sit  2000,  in  distantia  A  T  erit 

2000  A  T 

,  et  si  vis  T  M  in  quadraturis  sit  1000 

in  ea  distantia  N,  erit  ea  vis  in  distantia  C  T, 


S  »)•'-: 


K 


JVI 


1000  C  T         ,  .  .        .  '■        r 

—  ;     hmc     attractio     m     syzygns     lit 


N 

178725  N  ' 
A  T  ^ 


2000  A  T 

N       ' 


et    in  quadraturis 


LiBER  Tertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


13 


gravitas  acceleratrix  Lunse  in  Terram  exponatur  per  numerum  178725, 
vis  mediocris  M  L,  qua3  in  quadraturis  est  P  T  vel  T  K  et  Lunam  trahit 
in  Terram,  erit  1000,  et  vis  mediocris  T  M  in  syzygiis  erit  3000;  de  qua, 
si  vis  mediocris  M  L  subducatur,  manebit  vis  2000  qua  Luna  in  syzygiis 
distrahitur  a  Terra,  quamque  jam  ante  nominavi  2  P  K.  (0  Velocitas 
autem  Lunag  in  syzygiis  A  et  B  est  ad  ipsius  velocitatem  in  quadraturis 
C  et  D,  ut  C  T  ad  A  T  et  momentum  areae  quam  Luna  radio  ad  Terram 
ducto  describit  in  syzygiis  ad  momentum  ejusdem  areae  in  quadraturis 
conjunctim,  i.  e.  ut  11073  C  T  ad  10973  A  T.  (^)  Sumatur  haec  ratio 
bis  inverse  et  ratio  prior  semel  directe,  et  fiet  curvatura  orbis  lunaris  in 
syzygiis  ad  ejusdem  curvaturam  in  quadraturis  ut  120406729  X  178725  X 
ATq  X  CTq  X  N  — 120406729  X  2000  ATqq  X  C  T  ad  122611329 
X  178725  ATqXCTqXN+  122611329 
X  1000   C  T  q  q  X  A  T,   (^)  i.  e.   ut  2151969  X  s--^ 

AT  X  CT  X  N  — 24081  ATcub.  ad  2191371X  l 

ATxCTxN+  12261  C  T  cub.  5 

Quoniam  figura  orbis  lunaris  ignoratur,  hujus 
vice  assumamus  ellipsin  D  B  C  A,  in  cujus  centro 
T  Terra  collocetur,  et  eujus  axis  major  D  C 
quadraturis,  minor  A  B  syzygiis  interjaceat. 
(')  Cum  autem  planum  elHpseos  hujus  motu  an- 
guiari  circa  Terram  revolvatur,  et  trajectoria,  cu- 
jus  curvaturam  consideramus,  describi  debet  in 
plano  quod  omni  motu  angulari  omnino  destitui- 

tur:    consideranda   erit   figura,    quam    Luna   in    ellipsi  illa  revolvendo 
describit  in  hoc  plano,   hoc  est  figura  C  p  a,   cujus  puncta  singula  p 


P 

/'-y* 

|A:^ 

/ 

,.    a    . 

/y''^^\ 

u-f 

■\ 

-'■•■''           \ 

.^ 

VV^ 

T             j 

ll^L^V  !^22^,,ivoomn,adivide„ao  J''  '  ''''f  ^  ^"""' ^"^    Quonian,  i„  sy.y. 

*-  I^                         N  g"s  et  quadratuns  arcus  quos  Luna  describit 

r,nv    xr  2       ♦     **-    .-      '               -     178725  sunt  perpendiculares  radiis   A    T,    C   T,  areje 

per    N       est   attract.o   m   syzygns  -^^  -«  momenta  dato  tempore  iUic  descripta  sunt  ut  illi 

2000  AT      .                     .    178725       lOOOCT  ^^^^^  ^^  '■^^''  A  T,  C  T  conjufictim,  ii  arcus, 

N^  X  N  ^* '"  quadraturis  ^  ,^,  ^  +  ^^       ^;  dato  tempore  descripti,  sunt  ut  velocitates,  ergo 

quoniam  vero  N  est  medium  arithmeticum  inter  '^'^"^'*f  ^«  !"  ^^''^yg"^  et  quadraturis  sunt  uf  are- 

A  T  et  C  T  quorum  difFerentia  est  exigua,  pro  ^"J!  descnptarum  momenta  et  radii  inve.se. 

medio  geometrico  intcr  eas  quantitates  proxime  .    ^  K      '^""'"'"^   ^at'o   duplicata   velocitatura 

sumi  potest,  ita  ut  fit  N  ^  =  A  T  X  C  T  quo  '"^^^*^  ^'  ,^"^^"  simplex  attractione  directe,  facta- 

valore  substituto  loco  N  ^  fit  attractio  in  syzy-  ^^^  multiplicatione  ut  fractiones  deleantur  fiet 

..      178725              2000  curvatura   orbis   lunaris  in  si/zj/giis  ad  ejusdcm 

g"=*    ~T~^<Y —  c  T  \^   \r    ®'    '"    quadraturis  cunatiiram  in  qvadraturis,  8iC. 

178725              1000  ('')  *  ^: ''  "^-      l>i^'dendo  per  A  T  X  C  T, 

T'~TY  4-    A   rp  ^  T^   et  reductione   facta   ad  ""'"eros  signo  X  conjunctos  in  se  invicem  mul- 

1        .     -A  A  X  JN  tiphcaiido  neglectisque  quatuor  ultimis  produc- 

eosdem  denominatores  fiunt  istae  quantitates  ut  torum  cifris. 

17»72^  JNXAl^+lOOOC   r^xA  r.  anguian  arca  Terram  revclvatur.     Axis  enim 

B2 


14 


PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 


inveniuntur  capiendo  punctum  quodvis  P  in  ellipsi,  quod  locum  Lunae 

repraesentet,  et  ducendo  T  p  aequalem  T  P,  ea  lege  ut  angulus  P  T  p 

aequalis  sit  motui  apparenti  Solis  a  tempore  quad- 

raturae  C  confecto;  vel  (quod  (^)  eodem  fere  recidit) 

ut  angulus  C  T  p  sit  ad  angulum  C  T  P  ut  tempus 

revolutionis  synodicae  lunaris  ad  tempus  revolu- 

tionis  periodicae  seu  29^  12\  W,  ad  27*^.  1\  43'. 

Capiatur  igitur  angulus  C  T  a  in  eadem  ratione 

ad  angulum  rectum  C  T  A ;  et  sit  longitudo  T  a 

sequalis  iongitudini  T  A ;  et  erit  a  apsis  ima  et  C 

apsis  summa  orbis  hujus  C  p  a.     Rationes  autem 

ineundo  invenio  quod  difFerentia  inter  curvaturam 

orbis  C  p  a  in  vertice  a,  et  curvaturam  circuli 

oentro  T  intervallo  T  A  descripti,  sit  ad  differ- 

entiam  inter  curvaturam  ellipseos  in  vertice  A  et  curvaturam  ejusdem 

circuli,   (*")   in  duplicata  ratione  anguli  C  T  P  ad  angulum   C  T  p; 


minor  hujus  ellipseos  ad  Solem  perpetuo  dirigi-  angulum    C  T  p,  ducantur  radii  T  R,  T  r  et 

tur,  ideoque  eodem  motu  quo  Sol  circa  Terram  producantur  ita  ut  tangentibus  in  A  et  a  ductis 

revolvitur,  axis  iste  sive  planum  ellipseos  circa  occurrant  in  M  et  m,  occurrant  vero  ellipsi  in 

Terram  fertur.  N,  et  curvae  C  p  a  in  n  ;  erit  N  R  =  n  r,  quia 

(})   *    Quod  eodem  Jere  recidit :  quia  Lunae  ex  constructione  T  n  sumitur  aequalis  T  N,   et 


motus  medius  ab  ipsius  motu  vero  non  multiim 
discrepat. 

C")  *  In  duplicata  ratione  anguli  C  T  P  ad 
angulum  C  T p.  Centro  T  intervallo  T  A  de- 
scribatur  circuii  arcus   A  R  a  r,   sit  arcus  A  R 


radii  T  R,  T  r  sunt  aequales;  evanescentibus 
autem  arcubus  r  a  et  R  A  curvatura  orbis  C  p  a 
in  a  erit  ad  curvaturam  circuli  radio  T  A  de- 
scripti,  ut  m  n  ad  m  r,  et  ideo  differentia  inter 
curvaturam  orbis  C  p  a  in  a  et  curvaturam  circuli 


ad  arcura  a  r  in  ratione  data  anguli  C  T  P  ad     radio  T  A  descripti  est  ad  curvaturam  ejusdera 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


15 


(°)  et  quod  curvatura  ellipseos  in  A  sit  ad  curvaturam  circuli  illius,  in 
duplicata  ratione  T  A  ad  T  C ;  et  (•*)  curvatura  circuli  illius  ad  curvatu- 
rara  circuli  centro  T  intervallo  T  C  descripti,  ut  T  C  ad  T  A ;  (p)  hujus 
autem  curvatura  ad  curvaturam  ellipseos  in  C,  in  duplicata  ratione  T  A 
ad  T  C ;  C^)  et  differentia  inter  curvaturam  ellipseos  in  vertice  C  et  cur- 
vaturam  circuli  novissimi,  ad  differentiam  inter  curvaturam  figurae  C  p  a 
in  vertice  C  et  curvaturam  ejusdem  circuli,  in  duplicata  ratione  anguli 
C  T  p  ad  angulum  C  T  P.  Quae  quidem  rationes  ex  sinubus  angulorum 
contactus  ac  differentiarum  angulorum  facile  coUiguntur.     ^)  His  autem 


circuli  ut  n>  r  —  m  n  sive  n  r  aut  R  N  ad  m  r, 
simili  modo  patet  quod  curvatura  circuli  radio 
T  A  descripti  est  ad  differentiam  inter  curvatu- 
ram  eliipseos  in  vertice  A  et  curvaturam  ejusdem 
circuli  ut  M  R,  ad  N  R.  Ideoque  compositis 
rationibus  differentia  inter  ciirvaturam  orbis 
C  p  a  in  a  et  curvaturam  circuli  radio  T  A 
descripti,  est  ad  differentiam  inter  curvaturam 
ellipseos  in  A  et  curvaturam  ejusdem  circuli  ut 
M  R,  adm  r,  hoc  est,  (Cor.  1.  Lem.  XI.  Lib.  I.) 
in  ratione  duplicata  arciis  R  A  ad  arcum  r  a, 
sive  (per  const.)  in  ratione  duplicata  anguli 
C  T  P  ad  angulum  C  T  p, 

(")  *  Et  quod  curvatura  ellipseos  iii  A,  &c. 
Curvatura  ellipseos  in  A  est  ad  curvaturam  cir- 
culi  radio  T  A  descripti  in  ratione  M  N  ad 
M  R ;  ducatur  vero  N  X  tangenti  parallela,  et 
axi  occurrens  in  X,  et  pariter  R  Z,  erit  per  pro- 
prietatem  ellipseos  AXxXBadNX^ut 
T  A  2  ad  T  C,^et  per  proprietatem  circuli  erit 
AZXZB=RZ2,  sed  quia  sumuntur  quan- 
tilates  nascentes  est  A  X  =  M  N,  A  Z  =  M  R, 
XB=AB=ZBetNX=RZ,  quibus 
valoribus  suo  loco  substitutis  prima  proportio 
evadit  MNX  AB:MRXAB::TA2: 
T  C  2  ideoque  est  M  N  ad  M  R,  sive  curvatura 
ellipseos  ad  curvaturam  circuli  in  duplicata  ra- 
tione  T  A  ad  T  C. 

(°)  *  Curvalura  circxdi,  &c.  Nam  circulorum 
curvaturae  sunt  inverse  ut  eorumradii  (not.  121. 
Lib.  I.) 

C)  *  Hujus  autem  curvatura  potcst  demon- 
strari  eo  ipso  modo  quo  demonstravimus  rationem 
curvatura;  ellipc;t.3s  in  A  ad  curvaturam  circuli 
radio  T  A  descripti  (not.  °). 

C)  *  Et  differentiam  inter  curvaturam  ellip- 
seos  in  vertice  C,  &c.  Demonstratio  fere  eadem 
est  ac  in  nota  ("^) :  centro  C  intervallo  T  C 
describatur  circuli  arcus  C  R  r,  sit  arcus  C  R  ad 
arcum  C  r,  in  ratione  anguli  C  T  P  ad  angulum 
C  T  p  ducatur  tangens  C  M  m,  et  radii  T  R  M, 
T  r  m  quorum  prior  occurrat  ellipsi  in  N,  pos- 
terior  curvae  C  p  a  in  n,  erit  N  R  =  n  r  propter 
aequales  1'  N,  T  n  per  curvas  const.  et  radios 
aequales  T  R,  T  r;  evanescentibus arcubus  C  N, 
C  n,  curvatura  ellipseos  in  C  est  ad  curvaturam 
circuli  radio  T  C  descripti  ut  M  N  ad  M  R, 
ideoque  curvaturarum  ellipseos  et  circuli  diffe- 
rentia  est  ad  curvaturara  circuli  ut  R  N  ad  M  R, 


simili  modo  curvatura  circuli  est  ad  curvaturam 
orbis  C  p  a  ut  m  r  ad  m  n,  ideoque  curvatura 
circuli  ad  differentiam  curvaturarum  orbis  C  p  a 
et  circuli  ut  m  r  ad  r  n :  itaque  compositis  ratio- 
nibus  erit  curvalurarum  ellipseos  et  circuli  diffe- 
rentia  ad  curvaturarum  orbis  C  p  a  et  circuli 
differentiam  ut  m  r  ad  M  R  hoc  est  in  ratione 
duplicata  arcus  r  C  ad  arcum  R  C,  sive  in  ra- 
tione  duplicata  anguli  C  T  p  ad  angulum  C  T  P. 
C^)  His  aulem  inter  se  collalis,  &c.  Ut  pateat 
ordo  quo  istse  rationes  componuntur,  dicatur  s 
tempus  revolutionis  synodicae,  et  t  tempus  revo- 
hitionis  periodicae,  eritque  angulus  C  T  P  ad 
angulum  C  T  p  ut  t  ad  s. 

(1)  Differentia  curvaturarum  orbis  C  p  a  in 
a  et  circuli  radio  T  A  descripti,  est  ad  differen- 
tiam  curvaturarum  ellipseos  in  A  et  ejusdem 
circuli  ut  t  t  ad  s  s  (not.  ""). 

(2)  Curvatura  ellipseos  in  A  ad  curvaturam 
circuli  radio  T  A  descripti  ut  T  A  2  ad  T  C  2 
(not.  "). 

(3)  Hinc  dividendo,  differentia  curvaturarum 
ellipseos    in    A    et   circuli  est   ad    curvaturam 
ejusdem  circuli  ut  T  C  ^  _  T  A  2  ad  T  C  ^ :  et " 
per  compositionem  1"^-  et  S^-  proportionis. 

(4)  Est  differentia  curvaturarum  orbis  C  p  a 
in  a  et  circuli  radio  T  A  descripti  ad  curvaturam 
ejusdem  circuli  ut  s  t  X  T  A  ^  —  T  C  ^  ad  s  s 
X  T  C2. 

(5)  Hinc,  convertendo  curvatura  orbis  C  p  a 
in  a  ad  curvaturam  circuli  radio  T  A  descripti 
ut  s  s  T  C  2  _  1 1  X  T  C  2  —  T  A  2  ad  s  s  X 
T  C\ 

(6)  Curvatura  circuli  radio  T  A  descripti, 
ad  curvaturam  circuli  radio  T  C  descripti  ut 
T  C  ad  T  A. 

(7)  Curvatura  circuli  radio  T  C  descripti 
ad  curvaturam  ellipseos  in  C  ut  T  A  2  ad  T  C  2. 

(8)  Hinc,  convertendo  curvatura  circuli  radio 
T  C  descripti  ad  differentiam  curvaturarum  ejus 
circuli  et  ellioseos  in  C  ut  T  A  2  ad  T  C  2  _- 
T  A2. 

(9)  Differentia  curvaturarum  ellipseos  in  C 
et  cjus  circuli  radio  T  C  descripti  ad  differentiam 
curvaturarum  figuraj  C  p  a  in  C  et  ejusdem  cir- 
culi  ut  s  s  ad  1 1 ;  et  per  compositionem  8*  et  9"=- 
proportionis  est. 

(10)  Curvatiura  circuli  radio  T  C  descripti  ad 
differentiam  curvaturarum  figurae  C  p  a  in  C  et 


16 


PHILOSOPHI^  NATURALIS     [De  Mund.  Syst. 


inter  se  collatis,  prodit  curvatura  figurae  C  p  a  in  a  ad  ipsius  curvaturam 
inC,utATcub. +  yL6fo%%CTq  X  A  T  ad  C  T  cub.  +  tL6jl2_4_  ^  T  q  X 
C  T.  UbiTiumerus  TUfPolHJ  designat  differentiam  quadratorum  angulorum 
C  T  P  et  C  T  p  applicatam  ad  quadratum  anguli  minoris  C  T  P,  seu 
(quod  perinde  est)  differentiam  quadratorum  tem- 
porum  27'*.  7^.  43',  et  29^.  12^.  44-',  applicatam  ad  s^> 

quadratum  temporis  27^*.  7^  43'.  j 

Igitur  cum  a  designet  syzygiam  Lunae,   et  C  j 

ipsius  quadraturam,  proportio  jam  inventa  eadem  j 

esse  debet  cum  proportione  curvaturae  orbis  Lunae 
in  syzygiis  ad  ejusdem  curvaturam  in  quadraturis, 
quam  supra  invenimus./  Proinde  ut  inveniatur 
proportio  C  T  ad  A  T,  duco  extrema  et  media  in 
se  invicem.  Et  termini  prodeuntes  ad  A  T  X  C  T 
applicati,  fiunt  2062.79  C  Tqq  —  2151969  N 
X  C  T  cub.   +   368676  NxATxCTq  + 

36342  ATqX  CTq  —  362047  NxATqXCT  +  2191371  N 
X  A  T  cub.  +  4051.4  A  T  q  q  =  0.  Hic  pro  terminorum  A  T  et  C  T 
semisumma  N  scribo  1,  et  pro  eorundem  semi-differentia  ponendo  x,  fit 
C  T  =  1  +  X,  et  A  T  =  1  —  X :  (^)  quibus  in  aequatione  scriptis,  et 
aequatione  prodeunte  resoluta,  obtinetur  x  aequalis  0.00719,  et  inde  semi- 
diameter  C  T  fit  1.00719,  et  semi-diameter  A  T  0.99281,  qui  numeri  sunt 
ut  70-2 V  ^t  692^^  quam  proxime.  (*)  Est  igitur  distantia  Lunae  a  Terra  in 
syzygiis  ad  ipsius  distantiam  in  quadraturis  (seposita  scilicet  excentricita- 
tis  consideratione)  ut  690^  ^d  7O2V5  vel  numeris  rotundis  ut  69  ad  70. 


ejusdem  circuli  utTA^  ^  s^adttX 
T  c  2  _  r  A  2. 

(II)  Et  convertendo  curvatura  circuli  radio 
T  C  descripti  ad  curvaturam  figura3  C  p  a  in  C 
ut  T  A^X  s  ^  ad  T  A  2  X  s  -  +  t  t  X 
T  i.  2  _  T  A  2. 

Hinc  tandem  ex  asquo  et  per  compositionem 
5«.  5ae.  gt  hujus  II'*-  proportionis,  est  curvatura 
orbis   C  p  a  in  a,   ad  ejiis  curvaturam  in   C  ut 

s2  X  T  C  2_  1 1  X  T  C  -  —  T  A  ^  X  T  C^ 
X  T  A  2  X  s  2ad  s  2  X  T  C  2  X  T  A  X  (T  A  2 
Xs24.ttX(TC2_TA2)  )  quae  divisa 
pers^XTC  X  TA  fiunt  ut  s^  — t  t  X 
TC^XTA  +  t^XTA^ads^  —  ttX 
TA^XTC+<^tXTC3,  omnibusque  di- 
visis  per  t  t  et  inverso  terminorum  ordine  fiunt 

ut  T  A  3  +  tlZT-l}  X 


TC34. 


1 1 
1 1 


T  C  ^  X  T  A  ad 
X  T  A  2  X  T  C.    Q.  e.  i. 


(*)   Quibus  in  eequatione  scriptis.    Hxc  aequa- 

tio  fit    42456.19  x    4  __  5082017.44  x  3   + 

148262.14  X  2  _  12307251.44  x  -[-  88487.19 

z=  0,  sed  cum  x  debeat  essei  quantitas  exigUa, 

omnes  terminos  praeter  duos  ultimos  negligit,  et 

ex  aequatione  12307251.44  x  =  88487.19  valo- 

,    .  88487.19 

rem  obtmet  x  =  ^,^^,,^^,,-  =  0.00719. 

(^)  *  JEst  igitur  di&tantia  Lunee  a  Terrd,  &c. 
Astronomis  est  cognitum,  quod  si  distantia  me- 
diocris  Luna3  a  Terra  incidat  in  tempus  syzygi- 
arum,  ea  distantia  mediocris  minor  erit  quam  si 
incidat  in  tempus  quadraturarum ;  clar.  Halleius 
ex  observationibus  astronomicis  deduxit,  distan- 
tiam  mediocrem  Lunae  a  Tcrra  in  syzygiis  esse 
ad  ipsius  distantiam  mediocrem  in  quadraturis  ut 
44:|  ad  45^;  quod  si  vel  tantilliim  propter  obser. 
vationum  lubricitatem  de  hoc  ultimo  numero 
detrahatur,  facile  accedit  haec  ratio  ad  eam  quam 
Newtonus  deprehendit  suo  calculo. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


17 


PROPOSITIO  XXIX.     PROBLEMA  X. 

'  Invenire  mriationem  Lunce, 

(")  Oritur  haec  inaequalitas  partim  ex  forma  elliptica  orbis  junaris, 
partim  ex  inaequalitate  momentorum  areoe,  quam  Luna  radio  ad  Terram 
ducto  describit.  Si  Luna  P  in  ellipsi  D  B  C  A  circa  Terram  in  centro 
ellipseos  quiescentem  moveretur,  et  radio  T  P  ad  Terram  ducto  descri- 
beret  aream  C  T  P  tempori  proportionalem  :  esset  autem  ellipseos  semi- 
diameter  niaxima  C  T  ad  semi-diametrum  minimam  T  A  ut  70  ad  69  : 
i^)  forot  tangens  anguli  C  T  P  ad  tangentem  anguli  motAs  medii  a  quad- 


(")    *    Oritur  hcec  intxqualitas,   &c.       Pergit 
Newtonus  in  hypothesi  quod  semota  Soh*s  actione 
orbis  Lunge  circularis  foret ;  in  praecedenti  vero 
Propositione,  deterniinavit  quamnam  mutationem 
induceret  illi  circiilo  vis  Solis,  quatenus  ea  ejus 
portio  assumitur  quee  ad  centmm  Terra  spectat 
et  cum  gravitate  Luna»  versus  Terram  sociatur ; 
itaque,  sumpto  novam  figuram  orbis  lunaris  ad 
eUipsim   posse    revocari,    demonstrat   in    Prop. 
praecedente  eam  ellipsim  talem  esse  ut  axis  raajor 
sit  ad  minorem  ut  70  ad  69;  motus  autem  Lunas 
in   tali  eUipsi  debet  fieri  ita  ut  areae  descriptas 
circa  centrum  Terrae  sint  temporibus  proportio- 
nales,  quia  vires  quae  assumuntur,  ad  id  centrum 
dirig|intur ;   cumque  areae  iU«  eUipticae,  angu- 
lis  in  centro  factis  proportionales  non  sint, 
sequitur  iUos  angulos  in  centro  facto  tempo- 
ribusproportionalesnon  esse,  ideoque  ah'quid 
corrigendum  esse  motui  medio  Lunae,  in  quo 
anguli  in  centro  Terrae  facti  proportionales 
temporibus  assumuntur,  ut  habeatur  Lunae 
motus  verus ;    et  haec  correctio   constituet 
partem  variationis,  quae  est,  in  hac  hypothesi, 
arcus  interceptus  inter  locum  medium  Lu- 
nae  et  locum  ejus  verum,  et  htec  pars  varia- 
tionis  exforma  eUipiicd,  quam  assumit  orbis 
lunaris  per  Solis  actionem,  ontur. 

Altera  pars  variationis  oritur  ex  ea  actio- 
nis  Sohs  parte  quam  consideravit  Newtonus 
Prop.  XXVL   et  qua  fit  ut  ipsae  areae  a 
Luna  descriptfB  temporibus  non  sint  pro- 
portionales  ;  area  itaque  tempori  proportio- 
nalis   corrigenda  est,    idque   detrahendum 
vel  addendum  quod  debetur  iUi  actioni,  quod- 
que  per  constructionem   Probl.   nostri   n.   112. 
determinare    faciUimum    erit  ;    quam    qu;<Jem 
constructionem  non  dedit  Newtonus,  quasi  me- 
diocribus   uteretur   qunntitatibus   ex    sequo,    ut 
aiunt,  et  bono  assumptis,  verum  vix  dubitandum 
quin  ad  hanc  vel  similem  constructionem,  re- 
spexerit,   ii  enim   non  erant  casus  quibus  h£BC 
media  sine  demonstratione  assumi  possent  a  viro 
summe  accurato  et  per&picace. 

(*)    ♦    Foret  anguli  tangens.      Sit  C  A  D  B 
eUipsis  quam  Luna  describit,   ita  ut  areae  circa 


centrura  T  sint  teraporibus  proportionales,  de- 
Ecribatur  circulus  eodem  centro,  radio  T  C,  in 
ejus  circuli  circumferentia  moveatur  Luna  motu 
medio,  sumaturque  in  eo  circulo  arcus  C  n 
tempori  cuivis  dato  proportionaUs,  ducta  ordinata 
n  P  K,  dico  quod  area  eUiptica  T  C  P  erit 
tempori  proportionaUs,  hoc  est  quod  tota  arca 
eUiptica  erit  ad  eumsectorem  T  C  P  ut  est  tem- 
pus  periodicum  Lunje  ad  tempus  datum. 

£st  enim  tota  circuH  circumferentia  ad  arcuru 
C  n,  sive  totus  circulus  ad  aream  C  T  n,  ut 
tempus  periodicum  totum  ad  tempus  datum  ex 
con&tructione,  sed  ex  nofa  circuli  et  eUipseos 
propriefcite,  est  totaarea  eUiptica  ad  totam  aream 
circuli  ut   T  A   ad   C   T,  et  pariter  est  sector 


C  T  P  ad  C  T  n  ut  T  A  ad  C  T  (nam  trian- 
gula  rectiiinea  T  P  K,  T  n  K  sunt  ut  bases 
P  K,  n  K  ;  arejE  curvilinejB  C  P  K,  C  n  K 
suntetiam,  ex  nota.  eUipseos  et  circuU  proprictate 
ut  P  K  ad  n  K,  ergo  toti  sectores  C  T  P, 
C  T  n  s\i«t  ut  P  K  ad  n  K,  qua»  sunt  ut  T  A 
ad  C  T.)  ergo  tota  area  eUiptica  est  ad  aream 
circuU  ut  sector  C  T  P  ad  C  T  n,  et  alternando, 
tota  area  eUiptica  ad  sectorcm  C  T  P,  ut  est 
circuU  area  ad  C  T  n,  seu  ut  est  tempus  perio- 
dicum,  ad  tempus  datum. 

Si  ergo  area  C  T  P  sit  tempori  proportionah's, 


18 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


ratura  C  computati,  ut  ellipseos  semi-diameter  T  A  ad  ejusdem  semi-diame- 

trum  T  C  seu  69  ad  70.     (^)  Bebet  autem  descriptio  areae  C  T  P,  in  pro- 

gressu  Lunae  a  quadratura  ad  syzygiam,  ea  ratione 

accelerari,  ut  ejus  momentum  in  syzygia  Lunse  sit  s';> 

ad   ejus  momentum  in  quadratura  ut  11073  ad  j 

10973,   utque  excessus  momenti  in  loco  quovis  I 

intermedio  P  supra  momentum  in  quadratura  sit  j 

ut  quadratum  sinus  anguli  C  T  P.     Id  quod  satis 

accurate  fiet,  si  tangens  anguli  diminuatur  in  sub- 

duplicata    ratione    numeri    10973    ad    numerum 

11073,    id   est,    in    ratione    numeri    68,6877   ad 

numerum  69.     Quo  pacto  tangens  anguli  C  T  P 

jam  erit  ad  tangentem  motus  medii  ut  68,6877 

ad  70,   et  angulus  C  T  P  in  octantibus,  ubi  mo- 

tus  medius  est  4^5^.  invenietur  44?^'".  27^  28'^  qui  subductus  de  angulo 

motus  medii  ^S^'".  (^)    relinquit  variationem  maximam   32^  32'^     Haec 


p 

/  /.v. 

/y-^<.. 

1    ■' 

v^»>^ 

17              1 

motus  Lunae  qui  a  Terra  videri  debuisset  sub  w  T  quae  secet  lineam  n  K   in   <p  triangulum 

angulo  C  T  n  si  Luna  motu  medio  fuisset  lata,  n  ct"  ^  simile  erit  tviangulo  T  K  <p,  sive  propter 

videbitur  sub  angulo    C  T  P,   et  si  linea   T  K  exiguitatem  anguli  n  T  w  triangulum   U  zsr  (p 

pro  radio  assumatur,   erit  K  P  tangens  anguli  simile  erit  triangulo  T  K  n,   hinc  erit  T  K  ad 

C  T  P,  et  K  n  tangens  anguli  C  T  n,  sed  est  ^       ,  ,    .  /K  n  X  T  K  \       ,    „ 

P  K  ad  n  K  ut  T  A  ad  C  T,  ergo  tangens  an-  ^  ^  C"")  ^'^"'  ^  ^  ( r+T—  j    ^d    n    ^ 

r  X  n  K  ^ 


quod  erit  itaque 


(=nK— n^)  = 


i4-rXnK 


ideoque  erit  K  f 
rXnK 


=  .2S— ,  unde  Iiabetur  hsec  proportio 

^  +  *■ 
r  :  1  :  :  n  K  :  ^  K ;  si  vero  sumatur 


1  +  ' 

T  K  pro  radio,  erit  n  K  tangens  motus 
medii  et  (p  K  tangens  motus  medii  immi- 
nuti  hac  variationis  portione ;  debet  minui 
in  eadem  ratione  qu;im  proxime  tangens 
P  K  motus  Lunse  in  ellipsi  spectatae  aut 
saltem  in  ratione  paulo  minore;  cum  ita- 
que  1  4"  r,  sit  medium  aritbmeticum  inter 
1  -j-  2  r  sive  1 1075  et  1  sive  10973,  et  ratio 
medii  arithmetici  ad  minimum  extremorum 
sit  paulo  major  quam  medii  geometrici  ad 

guli  C  T  Pest  ad  tangenicm  anguli  molus  medii     eum  extremum,  satis  accurate  fieri  dicit  si  su. 

ut  T  Aad  T  C  seu  69  ad  70.  matur  tangens  P  K  ad  tangentem  anguli  motus 

(y)   *  Debel  autem.  descriplio  arecp,  &c.     Ma-     veri  Lunoe  ut  medium  geometricum  inter  11073 

nentibus  iis  omnibus  quse  in  notis  112.  et  113.,     et  10973  ad  10973,  sive  in  subduplicata  ratione 

PK  X  TK     11073  ad  10973;  quae  est  aequalis  rationi  69  ad 

exposita  fuerunt,  arcus  variationis  erit — j-  ,    ^         68,6877  ;  cum  ergo  sit  n  K  ad  P  K  ut  70  ad 

(per  Cor.  2.   not.  113.^   sumatur  ergo  in  arcu     69,  et  cim  sit  P  K  ad  tangentem  ^notus  Lun^ 


C  n  versus  C  arcus  li  zr  z=z 


PK  X  T  K 


(quia  in  hac  figura   n  respondet  litteraj   P  in 
not. 


ultimo  correcti  ut  69  ad  68,6877,  erit  ex  aequo 
sive     tangens  motus  medii  ad  tangentem  motiis  veri  ut 
70  ad  68,6877.     Q.  e.  d. 


-         n  K  X  T  K     ,       ^  r*')    114.     Relinnuit   variationem   maximam. 

2.  assumpt«)  = [+7—'  ^"catur     ^^  ^^^^    ^^   ^^^^    ^^^^  ^^^^  variaUonis  qu* 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


la 


ila  se  haberent  si  Luna,  pergendo  a  quadratura  ad  syzygiam,  descri- 
beret  angulum  C  T  A  graduum  tantum  nonaginta.  Veriim  ob  motum 
Terrae,  quo  Sol  in  consequentia  motu  apparente  transfertur,  Luna,  prius 
quam  Solem  assequitur,  describit  angulum  C  T  a  angulo  recto  majorem 
in  ratione  temporis  revolutionis  lunaris  synodicae  ad  tempus  revolutionis 
periodicae,  id  est,  in  ratione  29^^.  12^.  44'.  ad  27^  7^.  43'.  Et  hoc  pacto 
anguli  omnes  circa  centrum  T  dilatantur  in  eadem  ratione,  et  variatio 
maxima  quas  secus  esset  32'.  32",  jam  aucta  in  eadem  ratione  fit  35'.  10". 
Haec  est  ejus  magnitudo  in  mediocri  distantia  Sohs  a  Terra,  (^)  neglectis 
differentiis  quae  a  curvatura  orbis  magnimajorique  SoHs  actione  in  Lunam 
falcatam  et  novam  quam  in  gibbosam  et  plenam,  oriri  possint.    (^)  In  ahis 


pendet  ex  inaequalitate  momentorum  areae,  max- 
iiuum  esse  in  octantibus  conslat;  eam  autera 
variationis  portionem  quae  pendet  ex  forma  el- 
liptica  orbis  lunaris,  etiam  maximam  esse  in 
octantibus  hoc  modo  patet,  producatur  T  P  in 
■^  et  cum  arcus  n  H'  vix  excedat  semi-gradum 
ubi  maximus  est  pro  recta  sumatur,  erit  triangu- 
lus  n  Nf  P  similis  triangulo  T  K  P,  sive  T  K  n, 
ideoque  est  T  n   ad   T  K  ut  n  P  ad  n  -r  qui 

n  P  y  T  K 
erit  ergo  ubivis  aequalis  -; ,  sed  quo- 

niam  est  ubivis  70  ad  69  ut  n  K  ad  P  K,  erit 
dividendo  70  ad  1  ut  n  K  ad  n  P,  ideoque  est 
n  K  X  T  K 


n  K 

n  P  = ct  arcus  n  "^  erit  — „ 

70  70 


Tn 


jam  autem  demonstratum  est  not4  111.  quod 
maximum  hujus  quantitatis  n  K  X  T  K  est  in 
octantibus,  ergo  arcus  n  V  sive  ea  variationis 
portio  quae  pendet  ex  forma  elliptica  orbis  luna- 
ris,  est  maxima  in  octantibus  sicut  et  altera  por- 
tio,  ergo  variatio  tota  est  maxima  in  octantibus. 

O  *  Neglectis  differentiis  qu<B  d  curvaturd 
orbis  magni  oriri  possint.  Hactenus  suppositum 
est,  lineam  D  T  C  reprajsentare  orbis  magni 
portionem,  et  fieri  quadraturas  in  punctis  D  et 
C;  quod  quidem  absolute  verum  uon  est,  quippe 
semi-diameter  orbis  lunaris  sub  angulo  10  circiter 
minutorum  a  Sole  videtur,  unde  arcus  D  C  est 
20'  circiter  et  aliquam  habet  curvaturam,  hinc 
revera  utraque  quadratura  est  circiter  20'  propior 
conjunctioni  quann  oppositioni,  quae  consideratio 
hic  neglecta  est. 

Majorique  Solis  actione  in  Lunam  falcatam  et 
novam  qudm  in  gibbosam  et  plenam,  si  vis  Solis 

in  punctum  T  exprimatur  per  ^  erit  vis  in 

Lunam  novam  et  faicatam  ut  T^-ff, f* 

(b  1 

vis  in  Lunam  plenam  et  gibbosam  ut 


TA)2 

1 


(Sl-f-TA)- 
revocentur  omnia  ad  communem  denominatio- 
nem,  erit  vis  in  punctum  T  ut  S  T —  T  Al  *  X 
S  T  -f  1  A|  »  sive  ST4  —  2SX»XTA* 


-4-  T  A  +,  vis  in  Lunam  novam  S  T  *  4- 
2  S  T  3  X  T  A  -I-  T  A  2  X  S  T  2,  vis  in  Lu- 
nam  plenam  ST-^  —  ^ST^x  TA-f-ST^ 
X  T  A  2 ;  hinc  excessus  vis  in  Lunam  novam 
supra  vim  mediocrem  est  ^ST-^xTA  -f 
5  S  T  2  X  T  A  2  —  T  A  4 ;  et  excessus  vis 
mediocris  supra  vim  in  Lunam  plenam  est 
2ST^X  TA  —  3ST^XTA^-fTA*, 
qui  quidem  excessus  differunt,  et  prior  posterio- 
rem  superat  quantitate  G  ST^  X  TA^  — 
2  T  A  'J  ;  veruin  propter  magnitudinem  lineae 
S  T  prae  linea  T  A,  evanescit  fere  haec  excessuum 
differentia  respectu  quantitatis  communis  2  S  T  ^ 
X  T  A,  ideo  pro  asquahbus  fuerunt  habiti. 

(^)  In  aliis  distantiis  Solis  a  Terrd.  Duplex 
est  causa  qua^  errores  ab  actione  Solis  pendentes 
mutet,  primum  vis  Solis  mediocris  mutatur  in- 
verse  ut  quadrata  distantiarum,  et  praeterea  cum 
Sol  celerior  vel  tardior  fiat  prout  propior  est  vel 
remotior  a  Terra,  Lima  e  converso  ipsum  tardius 
vel  celerius  attingit,  unde  mensis  synodicus  in 
perigaeo  Sohs  fit  longior  quam  idem  mensis  sy. 
nodicus  in  apogaeo;  ex  hac  ultima  causa,  si  sola 
consideretur,  fiet  ut  variatio  maxima  in  ratione 
duplicata  temporis  revolutionis  synodicae  crescat, 
quod  quidem  separatim  demonstrandum  de  utra- 
que  variationis  portione  n  H'  et  V  «;  et  quidem 
in  octantibus  ciim  triangulum  n  P  ^  sit  rectan- 
n  P  .       „ 

gulum  isosceles,  est  n  "^  =  —7-75  est  vero  n  P 

=  — — ,  nam  ex  natura  circuli  et  eUipseos  est 
a  T  ad  A  T  ut  n  K  ad  P  K  et  dividendo  «  T 
ad«AutnKadnP  = ^ sed  m 


._\  X«T 

«  T  V  2 


octante  est  n  K  =  -— -  ergo  n  P : 
V  2 

=  hinc  n  H'  = ,  est  autem  a  A  effec- 

y'  2  2 

tus  virium  Solis  Lunam  retrahentium  a  suo 
circulo,  durante  quarta  parte  temporis  revolutio- 
ni-  synodicae  Lunae,  ergo  si  id  tempus  crescat 
manentibus  iisdem  viribus  similiter  agentibus, 


20 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


distantiis  Solis  a  Terra,  variatio  maxima  est  in  ratione  quae  componitur 
ex  duplicata  ratione  temporis  revolutionis  synodicas  lunaris  (dato  anni 
tempore)  directe,  et  triplicata  ratione  distantiae  Solis  a  Terra  inverse. 
(^)  Ideoque  in  apogaeo  Solis  variatio  maxima  est  3S\  14'^,  et  in  ejus  peri- 


efFectus  totus  a  A  erit  ut  quadratum  temporis 
per  quod  illas  vires  egerunt  per  Cor.  1.  Lem.  X. 
Lib.  I.  ideoque  n  H'  crescit  secundum  quadrata 
temporum. 

Idem  demonstrabitur  de  portione  variationis 
■*■  eo  quae  pendet  ex  acceleratione  descriptionis 
areae ;  quippe  manentibus  omnibus  ut  in  not. 
112.  et  fig.  3^  recta  C  A  majus  tempus  desig- 
nare  censeatur,  et  partes  P  p  tempuscula  in  eadem 
ratione  longiora,  lineae  P  M  designant  velocitates 
genitas  durante  momento  P  p,  si  ergo  id  mo- 
mentum  crescat  viribus  generatricibus  iisdem 
raanentibus,  velocitates  genit^e  P  M  crescent  in 
proportione  temporis,  et  quia  P  p  M  m  designat 
spatiolum  illa  velocitate  percursum,  crescuntque 
et  P  M  et  P  p  in  ratione  temporum,  crescet 
P  M  m  p  in  ratione  duplicata  teniporum,  cum- 
que  singula  elementa  curvae  in  ea  proportione 
crescant,  et  tota  ar^a  C  A  H,  et  ei  asqualis 
C  A  X  Y,  ejusque  dimidia  C  Q,  Z  Y  in  eadem 
proportione  crescent;  ex  qua  si  detrahatur  C  Q,  Z 
quod  in  eadem  proportione  crevit,  reliquum 
C  Z  Y  quod  areae  variationi  maxiraae  "^F  T  «  est 
proportionale,  crescet  etiam  in  eadem  duplicata 
ratione  temporum,  manente  itaque  radio  T  a>, 
ipse  arcus  "^  u  crescet  in  duplicata  ratione  tem- 
porum. 

Hinc  ciim  n  H'  crescat  in  duplicata  ratione 
temporum,  tum  etiam  H'  &>,  summa  itaque  n  eo 
sive  tota  variatio  crescet  in  eadem  duplicata  tem- 
porum  ratione. 

Dico  prseterea  quod  si  spectetur  imminutio 
actionis  Solis  propter  auctam  distantiam,  variatio 
maxima  decrescet  in  ratione  triplicata  distantia- 
rum,    nam  designetur  vis  mediocris  Solis  per 

est  ex  constructione  S  K  ad  T  M  ut  vis 


ad  vim  T  M,   ergo  ea  vis 


„   ^^  ,  manente  ergo  T  M  quae  est 
S   K  3 

aequalis  P  T ;  vis  T  M  ex  actione  Solis  pendens 

decrescit  ut  distantiarum  cubus  augetur ;  ma- 

nente  ergo  tempore,  sed  vi  mutatii  secundiam 

rationem  triplicatam,  eadem  fere  ratione  ac  prius 

ostendetur  utramque  variationis  maximae  partem 

U  ■<¥  a  et  V  «  fore  inverse  in  ratione  triplicata 

distantiarum    Solis ;    fmicfjue  in   variis   Solis   a 

Terrd  distantiis  quce  in  datis  anni   temporibus 

recurrunt,  varialiones  maxiincB  erunt  inter  se  in  ra- 

iione  duplicatd  durationis  mensis  sijnodici  eo  tem- 

jwre,  ei  triplicald  inverse  distantice  Solis  a  Terrd. 

(")  *  Ideoque,  Scc.  Ex  his  et  praecedentibus 
facile  intelligitur  Newtoni  calculus,  si  prius  hsec 
Principia  revocentur. 

1°.     Si  dicatur  m  distantia  mediocris  Solis, 


T  M  est  ut 


sit  +  e  excessus  vel  defectus  ejus  distantiae  a 
mediocri  distantia  in  loco  quovis  dato;  denique 
dicatur  s  Solis  motus  horarius  mediociis,  dico 
quod   Solis  motus  horarius  in  loco  quovis  suae 

m  *  s 
orbitae  expnmetur  per  quantitatem  ..j  • 

m  +  ep 
Sit  enim  T  Terra  ;   P  Sol ;  T  P  p  area  horae 
tempore  descripta,   ejus  areae  valor  ubivis  erit 
semper  idem,  sit  p  q  arcus  radio  T  p  dcscriptus, 


qui  ob  exiguitatem  sumi  potest  ut  ipsum  per- 
pendiculum  in  basim  P  T  demissum,  ideoque 
ob  areas  ubivis  aequales  is  arcus  erit  ubivis  inverse 
ut  basis  T  P,  sed  numerus  graduum  ejus  arcus 
p  q  est  directe  ut  is  ipse  arcus  et  inverse  ut  ejus 
radius  T  p  sive  T  P,  ergo  numerus  graduum 
ejus  arciis  p  q  est  in  ratione  duplicata  inversa 
radii  T  P,  is  vero  numerus  exprimit  motuni 
Sohs  horarium,  ergo  Solis  motus  horarius,  est 
inverse  ut  quadratum  radii  T  P ;  ciim  ergo  in 
distanti^  mediocri  est  T  P  =  m,  in  quavis  aha 

distantia  est  T  P  =  m  +  e,  ergo  est    —    ad 


ut  s  ad  : — -  quod  expnmit  mo- 

(m+e)^  (m+e)^^ 

tum  horarium  Solis  in  quavis  distantia  T  P. 
In  distantia  mediocri  evanescit  quantitas  +^  e 

.      .„.  ,.   m2s 

ideoque  motus  horanus  ilhc  evadit  — —  =  s  se- 

cundum  hypothesim. 

2°.  Posito  Lunam  semper  moveri  motu  suo 
horario  mediocri,  qui  dicatur  1,  sitque  p  ejus 
tempus  periodicum  inter  fixas,  duratio  mensis  sy- 
nodiciquovis  in  loco  orbitae  Telluris  circa  Solem, 

m  +  ej^Xlp 
expnmetur  per  quantitatem .— _^  ^l  M  —  m  ^  s 

sive  divisd  hac  quantitate  per  constantem  — 7^  fiet 


mensis  synodicus  ut 


m  +  ei" 


2  1  e        e  M 
1  —  s  + \-    — 

m      '     m  ^ 

Nam  dicatur  x  numerus  graduum  quem  Sol 
emetitur  durante  quovis  mense  synodico,  nume- 
rus  graduum  quem  Luna  eodem  tempore  eme- 
tietur,   erit  360  -1-  x,   erit  ergo  motus  horarius 

o  1-       m  ^  s 
Luuae  1  ad  motum  horarmm  Sobs  —---,.,  -  ut 

m  +  ep 
3G0  -|-  X  ad  X,  et  dividendo  m  2  1  +^  2  m  e  1  -f- 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  21 

gaeo  37^  11^'?  si  modo  excentricitas  Solis  sit  ad  orbis  magni  semi-diame- 
trum  transversam  ut  16|-|  ad  1000. 

Hactenus  variationem  investigavimus  in  orbe  non  eccentrico,  in  quo 
utique  Uuna  in  octantibus  suis  semper  est  in  mediocri  sua  distantia  a 
Terra.  Si  Luna  propter  eccentricitatem  suam,  magis  vel  minus  distat  a 
Terra  quam  si  locaretur  in  hoc  orbe,  variatio  paulo  major  esse  potest  vel 
paulo  minor  quam  pro  Regula  hic  allata  :  sed  excessum  vel  defectum  ab 
astronomis  per  phaenomena  determinandum  relinquo. 

e  ^  1  —  m  *  s  ad  m  ^  s  ut  360  ad  7,  itaque  erit  xz=     perius  determinavit  Nevrtonus  fere  35".  10'".  sive 

360  m  ^  s  T^.         ^         2110'":  hinc  itaque  ut  habeatur  variatio  maxima 

Hmc  cum  ^  _. 


m^l  +  ^niel-j-e^l  —  m^s 


in  quovis  orbita;  solaris  puncto  fiat  ut 


Luna   percurrat   560   gr.   tempore  p,    absolvet  1  sj 


560  m  *  s  XXI 


''5S0  gr.   +  ^^  i+2m  e  1  +  eM  — m^s     ^^  2  eT^^^lW^  '^  ^^  ^^"''  ""^  ^''''''' 


+                         m^sp  1— s+ j- 

— .  ,    ,    ^ j— i rn r—  —     in  la 

,      .        ^       ix.^ici-T-e  tionem    maxjmam   qusesitam,    quse   itaque   erit 

reductione  lacta,  tempore  , ^  _i_ 


sive 


m^lp  +  2melp  +  e^lp  —  m^sp  +  m^sp  ^'                    ^  m -r  e  ^   ^IIO" 

JiT^  1  +2mel  +  e^l— m^s  1  —  s  +  I^JjTIIJl  ^           ™ 

.      m+"eT*                                Ip                     .  -     m     ■'"m='| 

sive  — — j ^  X  — 2  quae  quanutas  (sive  accuratius  X  2109.8'".). 

1  —  s  + 1 

"^          *"  Ratio  autem  motus  horavii  Lunae  1  &d  motum 

divisa  pcr  constantem  %  relinquit  quantitatem  l'o^?"um  Solis  s  obtinetur  ex  tempore  periodico 

m  ^            ^       ^  utrmsque  mter  stellas  fixas,  itaque  cum  tem.pus 

jn  +  et  ^                          .                  .  periodicum  Lunse  sit  ^?"*.  7^  43'.  et  annus  side- 

^^^^-| — ^  qua;  erit  ut  duratio  men-  reus  Kolis  565"*.  6\  9'.   ct  velocitates  mediocres 

1  —  s  + \ sive  motus  borarii  mediocres  sint  inverse  ut  ista 

,.  ."?     ,.     ".^           .          ,  tempora  periodica,  erit  1  ad  s  ut  1.081   ad  .081 

sis  sytiod.ci  m  distatUia  quavis  m  +  e.     Q.  e.  d.  ideoque  erit  1  —  s  =  1,  et  variationis  maxims 

In  distantia  mediocri,  evanescente  quanlitate  2 

m  2 1  p               1  p  expressio  fiet              -^^           _=—-   X 

+  e  mensis  synodicus  ent — — -: T"  =  i — ~  1  +  2. 162  e          1.081    e  ^|  * 

III       X  — ■  iii       s  ^  ■   ■-  S  *■■  —  — — -     .  1 1,     ■  - -'  ■  ■  ■    ■  — 

et  erit  ad  menses  synodicos  in  aliis  quibusve  dis-  ™                     "^  * 

^      ..         m  ^                      m  +  ep  m  _  e       ,2109.8".      Cumque  m  sit  1000  et  in 

tantnsutj— ^ad- ,^1    ,    e  M"  ^      ^ 

1  ^^^  g  -L. I    , xx\  -4—  e                  <  1 

~    m            m  ^  apogaso  — — —  sit  1.0l6^-^  in  periga?o  vero  sit 

5.       Variatio      maxima     erit      ubivis     ut         ™ 

m  +  e — ^=.983Yf  hoec  ductain  2109.8'".  eflSci- 


j s  _}.  ^^  ^    I    t -  unt  in  apoga:o  2145.5'".  et  in  perigaio  2074'",  sed 

—     m    ~  m^  I  ^          .                     15              .        2.162  e          ,. 

positione  variatio  maxima  est  directe  ut  quadra-  <^""™   ^'^  ^  =   I6T(T  quantitas    — — —    evadit 

tum  temporis  synodici  ct  inverse  ut  cubus  dis-  1.081  e^ 

tantiae  sive   in    ratione   coniposita   quantitatum  .036618875  et    '   '    - — est  .00031027.     Unde 

m  +  el  4                            1         .,   .  ^^ 

~                        «f                 ideoque  ut  .                 2.162e^        l.OSle* 


,    2  e  l    .    e  ^  11  ^      m  +  el  3  quantitas  1  4 1-  — —  fit  1.03665 

1  _  s  + —    '  '  m         '        m  2 

"?  "»    •  .        2.162  e    ,    l.OSle^  ^ 

m  +  e  et  1  — -—  fit  .9637. 

__._  — .-  —  ■  .  ..       — .  m         '        m  ^ 

-'    "      ,   2  e  l    ,    e»ll  » 

1  —  s  + 1 -\  Dividatur  ergo  bis  2 145'. 5'".  per  1.057  quo- 

_      ,     T      T  .     .-■»        j-      •       •  .•  -  tiens   dabit   variationem    maximam    in   aposaeo 

Corol.    In  d.stant.H  med.ocn  j^ariat:o  max.ma  j  g^^.,^  ^-^^  -..^  ,  ^»,^  ^,  ^.^-^^^^^  ^^-^  2074^".  per 

exprimitur  per  quantitatem.        "^        et  eam  su-  -9^4  quotiens  dabit   variatione.n    maximam  in 

1  —  s|  *  perigaeo  quam  proxime  2231"'.  sive  37".  11'". 


22 


PHlLOSOPHIiE  NATURALIS     [De  Mund.  Syst, 


PROPOSITIO  XXX.     PROBLEMA  XL 

Invenire  motum  horarium  nodorum  Lunce  in  07'be  circulari. 

Designet  S  Solem,  T  Terram,  P  Lunam,  N  P  n  orbem  Lunae,  N  p  n 
(•*)  vestigium  orbis  in  plano  eclipticae ;  N,  n  nodos,  n  T  N  m  lineam 
nodorum  infinite  productam ;  P  I,  P  K  pcrpendicula  demissa  in  lineas 
S  T,  Q  q ;  P  p  perpendiculum  demissum  in  planum  eclipticae ;  A,  B 
syzygias  Lunae  in  plano  eclipticae ; 
A  Z  perpendiculum  in  lineam  no- 
dorurn  N  n;  Q,  q  quadraturas 
Lunas  in  plano  eclipticae,  et  p  K 
perpendiculum  in  lineam  Q  q 
quadraturis  interjacentem.  Vis 
Solis  ad  perturbandum  motum 
(per  Prop.  XXV.)  duplex  est, 
altera  lineae  L  M  in  schemate 
Propositionis  illius,  altera  lineas 
M  T  proportionalis.  Et  Luna  vi 
priore  in  Terram,  posteriore  in 
Solem    secundum    lineam    rectee 

S  T  a  Terra  ad  Solem  ductae  parallelam  trahitur.  Vis  prior  L  M  agit 
secundiim  planum  orbis  lunaris,  et  propterea  situm  plani  nil  mutat.  Haec 
igitur  negligenda  est.  Vis  posterior  M  T  qua  planum  orbis  lunaris  per- 
turbatur,  (^)  eadem  est  cum  vi  3  P  K  vel  3  I  T.  (^)  Et  haec  vis  (per 
Prop.  XXV.)  est  ad  vim  qua  Luna  in  circulo  circa  Terram  quiescentem 
tempore  suo  periodico  uniformiter  revolvi  posset,  ut  3  I  T  ad  radium 
circuli  multipUcatum  per  numerum  1 78.725,  sive  ut  I  T  ad  radium  mul- 
tipHcatum  per  59.575.  Caeterum  in  hoc  calculo,  et  eo  omni  qui  sequitur, 
considero  hneas  omnes  a  Luna  ad  Solem  ductas  tanquam  parallelas  Hneae 
quae  a  Terra  ad  Solem  ducitur,  (^)  propterea  quod  inclinatio  tantum  fere 


(*•)  *  Vestigium  orbis  in  plano  ediptica:.  Hoc 
est  orbis  genitus  demittendo  ex  singulis  punctis 
orbitae  lunaris  perpendicula  ad  planum  eclipticfie. 

(*)  *  Eadem  est  cum  vi  5  P  K  (Prop.  XXV. 
not.  "). 

(f)  *  Et  htec  vis  est  ad  vim  qud  Luna  in  cir- 
culo  circa  Terram  quiescentem  tempore  suo 
periodico  uniformiter  revolvi  posset.  Vis  T  M 
est  ad  vim  M  L  ut  est  3  P  K  sive  3  I  T  ad 
radium  (Prop.  XXVI.  not.  1.);  vis  M  L  est 
ad  vim  qua  Luna  circa  Terram  tempore  suo 


periodico  revolvi  posset,  ut  1  ad  178.725  (Prop. 
XXV.  iiot.  ■").  Ergo,  ex  aequo,  et  conjunciis 
rationibus,  est  vis  M  T  ad  vim  qua  Luna  circa 
Terram  tempore  suo  periodico  revolvi  posset  ut 
est  3  I  T  ad  radium  circuli  multiplicatum  per 
17-8.725. 

(^)  *  Propterea  quod  inclinatio  tantiim  Jere 
minuit  ejfcctus  omnes  in  aliquibus  casibus  quan- 
tum  auget  in  aliis.  Exempli  gratia,  sint  nodi  in 
quadraturis,  specteturque  Luna  in  punctis  P  et 
R  aequaliter  a  quadraturis  N  et  n  distantibus  et 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


23 


minuit  effectus  omnes  in  aliquibus  casibus,  quantum  auget  in  aliis ;  et 
nodorum  motus  mediocres  quaerimus,  neglectis  istiusmodi  minutiis,  quse 
calculum  nimis  impeditum  redderent. 

Designet  jam  P  M  arcum,  quem  Luna  dato  tempore  quam  minimo 
describit,  et  M  L  lineolam  cujus  dimidium  Luna,  impellente  vi  praefata 
3  I  T,  eodem  tempore  describere  posset.  (**)  Jungantur  P  L,  M  P,  et 
producantur  eae  ad  m  et  1,  ubi  secent  planum  eclipticae ;  inque  T  m  de- 
mittatur  perpendiculum  P  H.  Et  quoniam  recta  M  L  parallela  est  plano 
eclipticae ;  ideoque  cum  recta  m  1  quae  in  plano  illo  jacet  concurrere  non 
potest,  et  tamen  jacent  hae  rectae  in  plano  communi  L  M  P  m  1 ;  parallelae 
erunt  hae  rectae,  et  propterea  similia  erunt  triangula  L  M  P,  1  m  P.  Jam 
cum  M  P  m  sit  in  plano  orbis,  in  quo  Luna  in  loco  P  movebatur,  incidet 
punctum  m  in  lineam  N  n  per  orbis  illius  nodos  N,  n  ductam.     Et  quo- 


vis  obliqua  Solis  S  P,  S  R  in  ipsam  agere  coiici- 
piatur,  quje  in  duas  dividatur,  unam  parallelam 
Hneas   S  T,   secundum  directiones  P  Y,    11  X 
agentem,   alteram  huic  perpendicularem  secun- 
dum  directiones  P  I,  R  I ;  de  effectu  vis  secun- 
dura   directiones    P   Y,    R   X    agentis  in  hoc 
problemate  actum  est ;    directiones  vero   P  I, 
R  1   sese  mutuo  compensant ;  dividatur  enim 
rursus  vis  P  I,  R  I  in  duas  vires,  unam  P  i, 
R  i  secundiim  planum  orbitas  lunaris  agentem 
ideoque  nodorum  positionem  noii  turbantem, 
alteram  P  p,  R  r  ipsi  perpendicularem ;  haec 
nodorum  positionem,  planique  inclinationem 
afficiet ;  sed  ciim  de  plani  inclinatione  hinc 
non  agatur,   manere  plani  inchnationem  fin- 
gatur,  itaque  vis   P  p,    R  i  dum  admovet 
puncta  P  et  R  ad  eclipticam,  efficit  ut  nodis 
yiciniores  videantur  seu  ut  nodi  versus  puncta 
illa  moveri  ceuseantur,  ideoque  actio  in  punc- 
tum  P  efficit  ut  nodus  N  in  consequentia 
feratur,   et  actio  in  punctum  R  efficit  ut  nodus 
n  in  antecedentia  fertur,   ideoque,    Solh  actio 
obliqua  in   punctum    P  motum  retrogressivum 
nodi  natum  ex  vi  P  Y  parallela  hnea;  S  T  tan- 
tiim  minuit   quantum  eadem  actio  obliqua  in 
punctum    R  auget  eum  motum  retrogressivum 
natum  ex  vi  R  X. 

C*)  *  Et  M  L  lineolam  cujus  dimidium  Lunn, 
vnpellente  vi  3  /  2'  describerct  tempore  quo 
Luna  arcum  P  M  percurreret ;  assumit  utique 
Newtonus,  ut  rei  conceptus  faciUor  fiat,  actiones 
omnes  vis  3  I  T  quaj  exercita;  fuerunt  dum 
arcus  P  M  percurritur  simul  et  scmel  in  loco  P 
impressas  esse,  sicque  motum  Lunae  ex  P  motae, 
esse  composilum  ex  velocitate  acquisita  secun- 
dum  tangentem,  et  ex  velociute  ultimo  genita 
per  actionem  vis  3  I  T  agentem  temiwre 
aequali  ilU  quo  describitur  arcus  P  M,  ita  ut 
Luna  sequatur  diagonalem  parailelogramrai  tu- 
jus  unuralatus  sit  P  M,  alterum  verdparallelura 
et  aequaie  Uneae  L  M  ;  cum  autem   vis  3  I  T 


exiguo  tempori^  intervallo  sensibiUter  non  mute- 
tur,  toto  tempore  quo  describeretur  lineola  P  M, 
ea  vis  pro  uniforrai  adsumi  potest,  hinc  via  quae 
describitur  per  velocitatem  uniformiter  crescen- 
tem  ab  ea  vi  3  I  T  genitam  est  dimidia  ejus  viae 
quae  describeretur  per  ultimam  velocitatem  in 
fine  temporis  P  M  genitam,  et  uniformera  ma- 
nentem  toto  tempore  P  M,  quod  eadem  rationc 


probari  potest  ac  probatum  fuit   de   gravitatis 
actione  n.  50.  Lib.  1. 

Quod  si  quis  objiciat  hinc  fieri  ut  punctum  L 
raale  reprc-esentet  iocum  Luna^,  et  locum  ejus 
veriorem  fore  in  medio  inter  M  et  L,  rcsponde- 
rous  solutionem  hujus  problematis  ex  ea  posi- 
tione  Lunae  neutiquam  pendere,  hacc  enim  solu- 
tio  duabus  constat  partibus,  priori  statuitur  ratio 
motus  nodorum  in  quibusvis  punctis  P  orbitae 
lunaris,  et  haic  ratio  eadem  est  sive  ubique 
sumatur  tota  M  L  aut  ubique  ejus  dimidium, 
dimidia  enim  sunt  totis  proportionalia ;  in  se- 
cundu  solutionis  parte  determinatur  quantitas 
motus  nodorum  in  syzygiis  ipsis,  respectu  motus 
Luna;  in  sua  orbita,  et  in  hdc  determinatione 
nihil  deducitur  ex  magnitudine  linca;  L  M,  sed 
tota  htec  solutionis  pars  pendet  ex  proportione 
ipsius  vis  3  I  T  ad  vim  centripetara  Lunae,  unde 
nuUus  error  metuendus  est  in  hoccalcuio  ex  liac 
falsa  suppositione  Lunam  in  puncto  L  versari, 
cum  in  medio  inter  L  et  M  collocanda  fuisset. 


24 


PHILOSOPHIi^  NATURALIS     [De  Mund.  Syst 


niam  vis  qiia  dimidium  lineolae  L  M  generatur,  si  tota  simul  et  semel  in 

loco  P  impressa  esset,  generaret  lineam  illam  totam ;   et  efficeret  ut  Luna 

moveretur  in  arcu,   cujus  chorda 

esset  L  P,  atque  ideo  transferret 

Lunam   de   plano  M  P  m  T  in 

planum  L  P  1  T ;  m.otus  angularis 

nodorum  a  vi  illa  genitus,  aequalis 

erit  angulo  m  T  l.     Est  autem  m  I 

ad  m  P  ut  M  L  ad  M  P,  ideoque 

cum  M  P  ob  datum  tempus  data 

sit,  est  m  1  ut  rectangulum  M  L 

X  m  P,  id  est,  (')  ut  rectangulum 

I  T  X  m  P.     Et  angulus  m  T  1, 

C^)  si  modo  angulus  T  m  1  rectus 

1 

sit,    est  ut  — — ,  et  propterea  ut 
T  m 

I  T  X  P  m    j^i  gg^  ^^^  proportionales  T  m  et  m  P,   T  P  et  P  H)  ut 
T  m 


ITxPH 


,  ideoque  ob  datam  T  P,  ut  I  T  X  P  H.     Quod  si  angukis 


T  m  1,  seu  S  T  N  obliquus  sit,  (^)  erit  angulus  m  T  1  adhuc  minor,  in 
ratione  sinus  anguli  S  T  N  ad  radium,  seu  A  Z  ad  A  T.  Est  igitur 
velocitas  nodorum  utlTxPHxAZ,  sive  ut  contentum  sub  sinubus 
trium  angulorum  T  P  I,  P  T  N  et  S  T  N. 

Si  anguli  illi,  nodis  in  quadraturis   et  Luna  in  syzygia  existentibus, 
recti  sint,  lineola  m  1  abibit  in  infinitum,  et  angulus  m  T  I  evadet  angiilo 


(i)  *  Ut  recta7igulum  I  T  Y,  m  F.  Linea 
M  L  est  duplum  viae  quae  dato  tempore  per 
actionem  3  1  T  percurritur,  vis  ilia  3  I  T  dato 
illo  tempore  uniformis  manere  censetur,  itaque 
in  diversis  punctis  P,  vias  eodem  dato  tempore 
per  acliones  8  I  T  percursa*  sunt  ut  \\\s&  vires 
3  I  T,  sive  ut  I  T,  ergo  M  L  ejus  viae  duplum 
est  etiara  ut  1  T,  et  M L  X  m  P  est  ut  IT  X  mP. 

(^)  *  Si  modo  angulus  T  m  l  sit  rectus,  cum 
angulus  m  T  1  sit  admodum  exiguus,  si  angulus 
T  m  1  sit  rectus,  usurpari  poterit  recta  m  1  pro 
arcu  circuli  cujus  radius  est  T  m  ideoque  (154. 

Lib.  I.)  angulus  m  T  1,  est  ut  — — . 
'      ®  1  m 

(1)  *  Erit  angulus  m  T  l,  in  ratione  sinus 
cnguli  S  T  j^  ad  radium:\n  triangulo  T  m  1, 
est  sinus  anguli  m  T.  1  ad  sinum  anguli  T  m  1 
ut  latus  m  l  ad  ktus  T  1 ;  sed  propter  exiguita- 
tetn  lateris  m  1  respectu  lateris  T  1,  ratio  m  1  ad 


T  1  eadem  semper  manere  censetur  qualiscumque 
sit  angulus  T  m  1,  manentibus  lineis  m  1  et  Tm; 
in  angulo  enim  maximolinea  T  1  evadit  Tm  -{- 
m  1,  in  minimo  T  m  —  m  1,  est  vero  m  1  quan- 
titas  evanescens  respectu  T  m,  hinc  illius  incre- 
menti  aut  decrementi  m  1  ratio  nulla  est  habenda. 
Itaque  manente  quantitate  m  1  qualiscumque  sit 
angulus  T  m  1,  ratio  m  1  ad  T  1  eadem  est,  ita- 
que  etiam  manet  ratio  sinus  anguli  m  T  1  ad 
sinum  anguli  T  m  1,  sive  etiam,  cum  anguh 
minimi  sint  ut  eorum  sinus,  anguli  m  T  1  in 
varia  inclinatione  Hnece  dat£e  m  1  ad  Hneam  da- 
tam  T  m  sunt  inter  se  ut  sinus  angulorum  T  m  1, 
est  ergo  angulus  m  T  1,  in  quavis  magnitudine 
anguli  T  m  1  ad  eum  angulum  m  T  1  quando 
angulus  T  m  1  est  rectus  ut  sinus  anguli  T  m 
(vel,  ut  sinus  anguli  I  T  n  ipsi  aequalis  ob  pa- 
railelas  S  T,  rn  1)  ad  sinum  anguli  recti,  hoc  est 
ut  sinus  anguli  S  T  N  qui  idem  est  cum  sinu 
anguli  S  T  n  ad  radium.     Q.  e.  o. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


t5 


m  P  1  aequalis.  Hoc  aiitem  in  casu,  angulus  m  P  1  est  ad  angulum 
P  T  M,  quem  Luna  eodem  tempore  motu  suo  apparente  circa  Terram 
describit,  ut  1  ad  59,  575.  Nam  angulus  m  P  1  aequalis  est  angulo 
L  P  M,  id  est,  angulo  deflexionis  Lunae  a  recto  tramite,  quem  sola  vis 
praefata  solaris  3  I  T,  si  tum  cessaret  Lunae  gravitas,  dato  illo  tempore 
generare  posset;  (^)  et  angulus  PTM  aequalis  .est  angulo  deflexionis 
Lunae  a  recto  tramite,  quem  vis  illa,  qua  Luna  in  orbe  suo  retinetur,  si 
tum  cessaret  vis  solaris  3  I  T,  eodem  tempore  generaret.  Et  hae  vires, 
ut  supra  diximus,  sunt  ad  invicem  ut  1  ad  59,  575.  (")  Ergo  cum  motus 
medius  horarius  Lunae  respectu  fixarum  sit  32'.  56'\  ^l'" ,  12|^%  motus 
horarius  nodi  in  hoc  casu  erit  33''.  10"'.  33'''.  \T,  Ahis  autem  in  casibus 
motus  iste  horarius  erit  ad  33".  10'".  33^\  12\  ut  contentum  sub  sinubus 
angulorum  trium  T  P  I,  P  T  N,  et  S  T  N  (seu  distantiarum  Lunae  a 
quadratura,  Lunae  a  nodo,  et  nodi  a  Sole)  ad  cubum  radii.     ^)  Et  quo- 


C")  *  Et  angulus  P  T  M  cequalis  est  angulo 
deflexionis.  Angulus  M  P  p  est  angulus  de- 
flexionis  de   quo   nunc  agitur,    triangula  vero 


M  P  p,  M  P  T  sunt  similia  ob  angulum  com- 
munem  P  M  T,  et  angulos  rectos  T  P  M  et 
P  p  M,  hinc  anguli  residiii  P  T  M,  M  P  p  sunt 
aequales. 

(")  *  Hrgo,  &c.  Isti  anguii  deflexionis  de- 
bent  esse  ut  vires  illas  deflexiones  producentes, 
in  hoc  enini  casu,  utraque  vis  agit  perpendicula- 
riter  ad  tangentem  P  M,  hinc  lineolae  M  p, 
M  L  per  eas  vires  genitae  tempore  eodem,  eo 
nempe  quo  percurretur  tangentis  portio  P  M, 
debent  esse  ut  ipsie  illae  vires ;  eae  vero  lineolse 
sumpto  P  M  pro  radio  suut  tangentes  angulorum 
deflexionis  p  P  M,  M  P  L,  et  anguli  quam  mi- 
nimi  sunt  ut  ipsorum  tangentes,  ergo  anguli  illi 
deflexionis  sunt  ut  vires  iiias  producentes,  niolus 
autem  horarii  hunss  et  nodorum  sunt  ipsi  anguli 
P  T  M  et  m  T 1,  qui  sunt  ex  demonstratis  a?qua- 
les  angulis  deflexionum  M  P  p,  M  P  L,  ergo 
motus  horurii  sunt  ut  vires  illas  deflexiones  pro- 
ducentes.     Q.  e.  o. 


(°)  *  Et  quoties  signum  alicujus  anguli  dc 
affirmativo,  &c.  Angulos  Q  T  P  et  N  T  P, 
positivos  vocat  Newtonus,  quando  punctum  P 
est  in  consequentia  respectu  punctorum  Q,  vel 
N  ad  quae  referuntur,  hoc  est  angulus  Q  T  P 
est  positivus  quoties  arcus  Q  P,  ab  ultima  qua- 
dratura  Q  numeratus  in  consequentia  non  exce- 
dit  180  gr.  negativus  vero  ciim  arcus  Q  P 
excedit  180  gr.  ;  angulus  N  T  P  pariter  est 
positivus  cum  arcus  N  P  a  nodo  ascendente  in 
consequentia  numeratus  non  excedit  180  gr. 
negativus  vero  est  ciim  is  arcus  N  P  excedit 
180  gr.  Quando  enim  arcus  Q  P,  N  P  exce- 
dunt  180  gr.  tunc  anguli  Q  T  P,  N  T  P  non 
amplius  numerantur  secundijm  Lunae  directio- 
nem,  seu  secunduni  viam  quam  Luna  est  emensa, 
sed  secundiim  viam  quae  ipsi  deacribenda  super- 
est  ut  ad  pxmcta  Q  et  N  redeat,  liinc  illi  anguK 
negativi  dicuntur,  eorum  respectu  qui  secundiiin 
viam  a  Luna  descriptam  mensurantur. 

Angulus  vero  S  T  N  positivus  dicitur  quando 
arcus  A  N  a  loco  conjunctionis  Lunae  cum  Sole 
usque  ad  nodum  contra  ordinem  signorum  nu- 
meratus,  est  minor  180  gr.,  negativus  vero  dici- 
tur  cum  excedit  180  gr.,  quia,  ciim  nodi  move- 
antur  contra  ordinem  signorum  sive  in  antece- 
dentia,  angulus  S  T  N  primo  casu  exprimit 
viam  nodi  a  syzygia,  secundo  casu  viam  quam 
emetiri  debet  ut  ad  syzygiam  redeat. 

Probandum  autem  1°.  quod  si  tres  illi  anguU 
Q  T  P,  N  T  P,  S  T  N,  sint  positivi  motus  no- 
dorum  est  regressivus :  2°.  quod  si  unus  eorum 
sit  negativus,  reiiqui  positivi,  motus  nodorum  est 
progressivus.  3°.  Quod  si  unus  eorum  sit  posi- 
tivus,  duo  negativi,  motus  nodorum  est  regiessi- 
vus.  4".  Denique  quod  si  omnes  sint  negativi, 
raotus  nodorum  iterum  sit  progressivus,  sic  enim 
quolus  signum  alicujus  anguU  dd  rffirmativo  in 
ncp,ativuTii,  detjue  affirmativo  in  ne^utivum  ww- 


^ 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS     [De  Mund.  Syst. 


ties  signum  anguli  alicujus  de  affirmativo  in  negativum,  deque  negativo 
in  affirmativum  mutatur,  debebit  motus  regressivus  in  progressivum  et 
progressivus  In  regressivum  mutari.  Unde  fit  ut  nodi  progrediantur 
quoties  Luna  inter  quadraturam  alterutram  et  nodum  quadraturae  proxi- 
mum  versatur.  Aliis  in  casibus  regrediuntur,  et  per  excessum  regressus 
supra  progressum  singulis  mensibus  feruntur  in  antecedentia. 


tatur,  debebit  motus  regressims  in  progressivum 
et  progressivus  in  regressivum  viutari. 

Art.  1.     Si  tres  anguli  sint  positivi,  nodorum 
motus  erit  regressivus. 

In  hoc  casu,  arcus  A  N  contra  ordinein  sig- 
norum  sumptus  non  excedit  semi-circulum,  ideo- 
que  punctum  N  erit  in  semi-circulo  A  Q,  B  ; 
praeterea  arcus  Q,  P  secundum  ordinem  signorum 
sumptus,  180  gr.  non  excedit,  erit  itaque  punc- 
tum  P  in  semi-circulo  Q,  A  q ;  denique  arcus 
N  P  semi-circulo  major  esse  non  debet,  sed  po- 
test  vel  quadrante  minor  vel  quadrante  major, 
sit  N  P  quadrante  minor  ut  in  figura  textus,  in 
qua  reliquae  hujus  casus  conditiones  occurrunt, 
ex  ipsa  hujusce  proportionis  constructione 
liquet  quod  ducta  M  L  quae  exprimit 
actionem  Solis,  producta  M  P  quae  lineae 
nodorum  occurrit  in  m,  producta  L  P 
quae  occurrit  plano  eclipticas  in  1,  ita  ut 
m  1  sit  parallela  lineae  M  L,  cum  L  sit 
versus  Solem  respectu  puncti  M  et  h'neaB 
M  P  m,  L  P  1  sese  decussent,  punctum 
1  erit  remotius  a  Sole  quam  punctum  m, 
ideoque  angulu':  A  T  1  major  erit  quam 
angulus  A  T  m,  ergo  nodus  promotus 
est  contra  ordinem  signorurn,  hoc  est, 
ejus  motus  est  regressivus. 

Sit  N  P  quadrante  major,  tum  h'neae 
P  M,  P  L  non  amplius  erunt  retropro- 
ducendae  ut  cum  linea  T  N  concurrant, 
sed  antrorsum  productae  concurrent  cum 


gulo  A  T  m,  ideoque  producta  linea  1  T  in  V, 
angulus  A  T  V  complementum  ad  duos  rectos 
anguli  A  T  1,  major  erit  angulo  A  T  N  com- 
plemento  ad  duos  rectos  anguli  A  T  m,  ergo 
nodus  N  promotus  est  contra  ordinem  signorum 
ut  prius ;  ergo  ubicumque  sit  punctum  P  si  tres 
anguli  Q  T  P,  N  T  P,  S  T  N  sint  positivi,  mo- 
tus  nodi  est  regressivus. 

Art.  2.  Mutetur  horum  angulorum  quivis 
ex  positivo  in  negativum  manentibus  positivis 
angulis  duobus  reliquis,  motus  nodorum  ex  re- 
gressivo  progressivus  fiet. 

Cas.  2.  Fiat  angulus  Q  T  P  negativus,  hoc 
est,  punctum  P  sit  in  semi-circulo  Q  B  q,  ma- 


ejus  productione  T  n,  et  quoniam  sese  non  de- 
cussant,  manebit  punctum  1  propius  Soli  quam 
puactum  m  ;  et  angulus  A  T  1  minor  erit  an- 


nente  positlvo  angulo  S  T  N  ita  ut 
N  sit  in  semi-circulo  A  Q  B,  et  pari. 
ter  maneute  positivo  angulo  N  T  P  ; 
observandum  quod  lineola  M  L  in 
semi-circulo  Q  B  q  positionem  habet 
oppositam  illi  quam  habebat  in  semi- 
circulo  Q  A  q  ut  constat  ex  Prop. 
LXVI.  Lib.  I.  ita  ut  punctum  L 
sit  a  Sole  remotius  quam  punctum 
M  ;  itaque  si  P  N  sit  minor  quadran- 
te,  hnea;  L  P  retroproducenda;  erunt, 
et  punctum  1  erit  propius  Soli  quam 
punctum  m ;  ideoque  angulus  A  T  1 
minor  erit  angulo  A  Tm,  ergo  (cum 
diminuatur  angulus  A  T  N  qui  su- 
mitur  contra  ordinem  signorum)  no- 
dus  secundum  ordinem  signorum  est 
promotus,  ejusque  motus  progressivus 
est 

Si  vero  N  P  sit  major  quadrante  antrorsum 
productis  lineis  P  M,  P  L  punctum  1  manebit 
remotius  a  Sole  quam  punctum  m,   ideoque 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 

ou 

r 


27 


angulus  A  T  1  major  erit  angulo  A  T  m,  pro- 
ouota  itaque  1  T  in  V,  angulus  1  T  V  anguli 
A  T  1  complementum  minor  erit  angulo  A  T  N, 

Cas.  2.  Sit  angulus  N  T  P  negativus ;  hoc 
est  sit  punctum  N  in  consequentia  resptctu 
puncti  P,  sit  vero  Q,  T  P  positivus,  hoc  est  sit 
punctum  P  in  semi-circulo  Q  A  q  et  pariter  sit 


nodus  orgo  ab  N  versus  A  in  consequentia  pro- 
cesserit,  itaque  motus  nodi  est  ut  prius  progres- 
sivus. 

gulus  A  T  1  minor  erit  angulo  A  T  N,  nodus 
ergo  ab  N  versus  A  processit,  et  motus  nodi  est 
progressivus. 

Cas.  3.  Sit  angulus  S  T  N  negativus  positivo 
existentibus  angulis  Q  T  P,  N  T  P.  Sit 
N  P  minor  quadrante,  retroproducendaj 
sunt  lineae  P  M,  P  L  ideoque  i  erlt  re- 
motior  a  Sole  quam  m,  et  angulus  A  Tl 
major  erit  quam  A  Tm,  vel  A  T  N,  cum 
ergo  N  sit  in  consequentia  respectu  pinicti 
A,  quia  angulus  S  T  N  est  negativus, 
punctura  1  magis  adhuc  in  consequentia 
processerit,  motus  ergo  nodi  erit  progres- 
sivus.  Sit  N  P  major  quadrante,  antror- 
sum  producendc-e  erunt  lineEe  P  M,  P  L 
ut  cum  echptica  concurrant,  a  parte  nodi 
n,  ideoque  L  erit  propius  Soli  quam  m, 
et  angulus  A  T  1  minor  erlt  angulo 
A  T  n ;  ideoque  angulus  A  T  V  major 


S  T  N  positivus,  ita  ut  N  sit  in  semi- 
circulo  A  Q  B,  si  N  P  (secundum 
consequentia)  sit  minor  tribus  quadranti- 
bus,  P  distabit  3  puncto  n  minus  quad- 
rante,  ideoque  retroproductis  lineis  M  P, 
L  P  in  m  et  1,  ciim  L  sit  Soli  propius 
quam  M,  erit  l  a  Sole  remotius  quam  m, 
ideoque  angulus  A  T  1  major  erit  angulo 
A  T  n,  et  angulus  A  T  V  prioris  com- 
plementum  minor  erit  angulo  A  T  N 
qui  est  anguli  A  T  m  complementum ; 
processit  ergo  nodus  ab  N  versus  A, 
motus  ergo  nodi  est  progressivus. 

Si  N  P  sit  major  tribus  quadrantibus, 
P  minus  quadrante  a  puncto  N  dista!)it, 
cumque  N  sit  in  consequentia  respectu  puncti 
P  ut  et  puncta  M  et  L  antrorsum  producendae" 
sunt  lineaj  P  M,  P  L  ut  plano  eclipticjr  occur- 
rant  in  m  et  1,  et  cum  L  sit  Soli  vicinius  quam 
M,  pariter  1  erit  Soli  vicinius  quam  m,   hinc  an- 

VoL.  IIL  PartH.  C 


erlt  quam  A  T  N,  ergo  processit  nodus  ex  N  in 
V,  sccundum  consequentia. 

Art.  3.  Sint  duo  ex  tribus  angulis  Q  T  P, 
N  T  P,  S  T  N  negativi,  tertius  positivus,  motus 
nodorura  ex  progressivo  regressivus  fiet. 


'2S 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst> 


Casns  1.  Slnt  Q  T  P  et  N  T  P  negativi, 
solus  S  T  N  sit  positivup,  distet  P  a  nodo  N 
minus  tribus  quadrantibus,  sive  minus  quadrante 
a  puncto  n,  idque  in  consequentia,  retroprodu- 
ccndas  erunt  lineoe  P  M,  P  L,  ut  P  M  lineaj 
nodorum  occurrat  in  m,  et  L  P  in  1  vicinius 
Soli,  Iiinc  A  T  1  minor  erit  A  T  m  et  ideo  A  T  V 
major  quam  A  T  N,  sed  punctum  N  est  in  an- 
tecedentia  respectu  puncti  A,  ero-o  V  est  in  an- 
tecedentia  rcspectu  puncti  N,  ergo  nodus  regre- 


ditur ;  distet  P  ab  N  plus  tribus  quadrantibus, 
antrorsum  producendcC  sunt  lineae  P  M,  P  L  ut 
occurrant  Ymese  nodorum  et  1  manebit  a  Sole 
remotius  quam  m,  et  angulus  A  T  1  major  erit 
angulo  A  T  N,  regreditur  ergo  nodus. 

Cas.  2.  Sint  Q  T  P  et  S  T  N 
negativi,  solus  vero  N  T  P  positivus, 
sit  N  P  minor  quadrante,retroproduc- 
tis  lineis,  cum  L  sit  remotius  a  Sole 
quam  M,  erit  1  ob  decussationem  li- 
nearum  propius  Soli  et  angulus  A  T  1 
sive  A  T  V  minor  angulo  A  T  N, 
sed  quia  hic  angulus  est  negativus, 
complementa  ad  quatuor  rectos  erunt 
sumenda,  et  arcus  A  Q,  P  V  major  erit 
arcu  A  Q,  P  N,  ergo  nodus  regreditur. 

Sit   N  P  major  quadrante,   lineis 
P  M,  P  L  productis  occurrent  eclip- 
tica)  a  parte  puncti  n,   et  propter  an- 
gulum   Q  T  P  negativum  cum  P  sit 
in  scmi-circulo  q  B  Q  erit  1  ut  et  L 
remotiuii  a  Sole  quam  m  ct  M,  ideo 
angulus  A   T   n   minor    est   angulo 
A  T  l  et  complementum  prioris  an- 
guli  A  T  N  major  est  angulo  A  T  V,  sed  A  est 
in  antecedentia  respectu  puncti  N,  ergo  etiam  V 
est  in  antecedentia  respectu  puncti  N,  regreditur 
ergo  nodus. 

Cas.  3.  Sint  S  T  N  et  N  T  P  negativi,  QT  P 
vero  positivus,  punctum  L  est  ubivis  propjus 
Soli  quam  M,  si  P  minus  tribus  quadrantibus 
distet  ab  N,  retroproducendae  sunt  linca;  P  M, 
P  L,  a  parte  puncti  n  et  erit  A  T  1  majus  quam 
A  T  n,  sed  quia  S  T  N  est  negativus,  n  est  in 


semi-circulo  superiori  A  Q  B,  et  n  est  in  ante- 
cedentia  respectu  A,  ideoque  1  est  in  anteceden- 
tia  respectu  n,  ut  etiam  V  respectu  N,  regreditur 
ergo  nodus,  sit  N  P  tribus  quadrantibus  major, 
j^ineae  P  M,  P  L  antrorsum  sunt  producenda»,  1 
erit  propius  Soli  quam  m,  et  A  T  1  sive  A  T  V 
minor  quam  A  T  N,  sod  quia  A  T  N  est  nega- 
tivus,  ideoque  A  est  in  antecedentia  respectu 
puncti  N,  erit  etiam  V  in  antecedentia  respectu 
puncti  N,  regreditur  ergo  nodus. 

Jrt.  4.  Si  tres  anguli  Q  T  P, 
N  T  P,  S  T  N  sint  negativi,  motus 
ex  regressivo  progressivus  fiet;  ut 
hypothesis  hujus  articuli  obtineat, 
oportet  ut  nodus  N  et  Luna  P  sit  in 
quadrante  q  B  ;  nam  cimi  angulus 
Q  T  P  sit  negativus,  P  debet  esse 
in  semi-circulo  q  B  Q ;  cum  S  T  N 
sit  ncgativus,  N  debet  esse  in  semi- 
circulo  A  q  B,  et  cum  N  T  P  sit 
negativus,  N  debet  esse  in  consequen- 
tia  respectu  P;  ergo,  N  non  potest 
versari  in  quadrante  A  q,  nec  P 
in  quadr^nte  B  Q:  antrorsum  ergo 
erunt  producendaj  linea;  P  M,  P  L 
ut  eclipticffi  occurrant,  erit  1  remo- 
tius  a  Sole  quam  m,  et  angulus  AT  V 
major  angulo  A  T  N,  sed  hic  angu- 
lus  est  negativu;s,  sive  est  N  in  con- 
aequentia  respectu  A,  erit  crgo  etiarn 
V  in  consequentia  respectu  puncti 
N,  nodus  itaque  progreditur. 

His  positis  dico,  quod  motus  nodi  progressi- 
vus  evadit  dum  Luna  versatur  inter  alterutrum 
nodum  et  quadraturam  ipsi  proximam  ;  quad- 
raturam   nodo  proximam   vocat   Newtoims,    si 


quadraturae  a  nodo   distantia  quadrante  majqr 
non  sit. 

Sit  enim  anguhis  A  T  N  positivus,  quoniam 
Luna  sive  punctum  P  est  inter  puncta  Q  et  N 
vel  q  et  n  ex  hypothesi,  alteruter  ex  angulis 
Q  T  P,  N  T  P  erit  positivus,  alter  ncgativus ; 
nam  sit  N  vel  n  insemi-circulo  Q  B  q,  tum  quia 
P  est  inter  Q  vel  q  et  N  vel  n,  erit  P  in  eodem 
semi-cireulo  Q  B  q,  ideoque.  angulus  Q  T  P 
erit  negativus,  sed  angulus  N  T  P  erit  positivus, 


LiEER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


29 


uam  quia  P  est  inter  N  et  Q,  aut  q  et  n,  et  Q 
est  in  consequentia  respectu  N,  erit  etiam  P  in 
conseque.ntia  respectu  puncli  N,  et  pariter  dum 
n  versatur  in  semi-circulo  Q  B  q,  n  est  in  con- 
sequentia  respectu  puncti  q  et  ai-cus  Nq  in  con- 
sequentia  sumptus  nec  non  arcus  N  P  singuli 
minores  erunt  arcu  N  n  &ive  minores  semi-cir- 


culo,  ergo  utroque  casu  angulus  N  T  P  erit 
positivus. 

Manente  A  T  N  positivo  sint  N  vel  n  in 
semi-circulo  Q  A  q,  tum  quia  P  est  inter  Q  et 
N  aut  n  et  q,  erit  etiam  P  in  semi-circulo  Q  A  q, 
ideoque  angulus  Q  T  P  erit  positivus,  sed  an- 
gulus  N  T  P  erit  negativus,  nam  quia  Q  est  in 
antecedentia  respectu  puncti  N,  P  inter  Q  et  N 
positum  erjt  in  anteceaentia  respectu  N ;  et  in 
casu  quo  P  foret  inter  n  et  q  quia  q  est  in  hac 
hypothesi  in  consequentia  respectu  n,  P  foret 
etiam  in  consequentia  respectu  n,  ideoque  plus 
semi-circulo  a  puncto  N  distaret,  utroque  ergo 
casu  angulus  N  T  P  negativus  foret. 

Sit  angulus  A  T  N  negativus,  sitque  N  in 
quadrante  q  A,  vel  n  in  quadrante  A  Q,  et  Lu- 
na  P  inter  N  et  q  vel  n  et  Q,  h*quet  angulum 
Q  T  P  fore  positivum,  quia  est  P  in  semi-circulo 
Q  A  q  ;  angulus  autem  N  T  P  erit  etiam  posi- 
tivus,  nara  sit  N  in  quadrante  q  A,  q  est  in  con- 


in  quadrante  A  Q,  ciim  n  sit  in  consequontia 
respectu  Q,  erit  etiam  in  consequentia  respectu 
P,  hinc  arcus  N  P  in  consequentia  minor  erit 
semi-circulo,  utroque  ergo  casu  angulus  N  T  P 
est  positivus. 

Itaque  si  angulus  A  T  N  slve  S  T  N  sit  posi- 
tivus,  ubivis  sit  N  in  semi-circulo  A  Q  B  et  si 
angulus  S  T  N  sit  negativus,  sed  ita  ut  sit  N  in 
quadrante  q  A,  quando  Luna  erit  posita  inter 
nodum  utrumvis  N  vel  n,  et  quadraturam  proxi- 
mam,  unus  e  tribus  angulis  duntaxat  erit  nega- 
tivus,  duo  reliqui  erunt  positivi,  itaque  per  Arti- 
culum  2.  motus  nodi  progressivus  erit. 

Existente  vero  angulo  S  T  N  negativo,  et  N 
in  quadrante  q  B  vel  n  in  quadrante  B  Q,  Luna 
vero  posita  inter  utrumvis  nodum  et  quadraturam 
proximam,  reliqui  duo  anguli  Q  T  P,  N  T  P 
negativi  erunt,  liquet  enim  .facile  punctum  P  in 
hac  hypothesi  versari  in  semi-circulo  q  B  Q  ideo- 
que  angulum  Q  T  P  esse  negativum  ;  praeterea 
quia  q  est  in  antecedentia  respectu  N  ex  hypo- 
thesi,  P  est  etiam  in  antecedentia  reapectu  N,  et 
quia  Q  est  in  consequentia  respectu  n,  erit  etiam 
P  in  consequentia  respectu  n,  ideoque  punctum 
N  plus  semi-circulo  a  puncto  P  distabit,  itaquo 
sive  sit  P  inter  q  et  N,  sive  inter  n  et  Q  in  semi- 
circulo  q  B  Q,  tres  anguli  erunt  negativi,  sed 
per  Art.  4.  eo  casus  motus  nodi  est  progressivus ; 
ergo  in  omni  casu,  si  Luna  sit  inter  nodum  et 
quadraturara  proximam,  nodi  progrediuntur. 


sequentia  respectu  N,  orgo  P  quod  est  inter  N 
et  q  cst  etiam  in  consequentia  respeciu  N ;  sit  n 


In  omnibus  aliis  casibus  motus  nodi  est 
regressivus  ;  nam  quando  omnes  anguli  sunt 
positivi,  vel  quando  duo  anguli  sunt  negativi, 
et  tertius  positivus,  raotus  nodi  regressivus  est 
per  Art.  1.  et  3.,  alterutrum  autem  evenire 
necesae  est  ciim  P  non  est  inter  nodum  et 
quadraturam  proximam  ;  hoc  enim  posito,  sit, 
ut  prius,  angulus  S  T  N  positivus,  et  N  in 
quadrante  Q  T  A,  et  P  ubivis  inter  N  et 
remotiorem  quadraturam  q,  vel  inter  n  et  re- 
motiorem  quadraturam  Q ;  si  P  sit  inter  N  et 
q,  angulus  Q  T  P  est  positivus,  siquidem  P  crt 
in  semi-circulo  QAq,  et  quia  N  est  nunc  inter 
P  et  Q,  et  N  est  in  consequentia  respectu  Q, 
erit  P  in  conscquentia  respectu  N  ergo  angu- 
lus  N  T  P  est  positivus ;  si  P  sit  imer  n  et  Q, 
angulus  Q  T  P  eet  negativus,  scd  et  parilcr 
angulus  N  T  P,  nam  cum  P  sit  in  consequentia 
respectu  n,  plus  semi-circulo  a  puncto  N  distabit. 


C2 


36 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


Corol.  1 .  Hinc  si  a  dati  arcus  quam  minimi  P  M  terminis  P  et  M  ad 
lineam  quadraturas  jungentem  Q  q  demittantur  perpendicula  P  K,  M  k, 
eademque  producantur  donec  secent 
lineam  nodorum  N  n  in  D  et  d;  erit 
motus  horarius  nodorum  ut  area 
M  P  D  d  et  quadratum  lineae  A  Z 
conjunctim.  Sunto  enim  P  K,  P  H 
et  A  Z  praedicti  tres  sinus.  Nempe 
P  K  sinus  distantiae  Lunae  a  quad- 
ratura,  P  H  sinus  distantiae  Lunaj  a 
nodo,  et  A  Z  sinus  distantiae  nodi 
a    Sole:    et   erit  velocitas   nodi   ut 

contentum  P  K  X  P  H  X  A  Z.  (p)  Est  autem  P  T  ad  P  K  ut  P  M 
ad  K  k,  ideoque  ob  datas  P  T  et  P  M  est  K  k  ipsi  P  K  proportionalis. 
Est  et  A  T  ad  P  D  ut  A  Z  ad  P  H,  et  propterea  P  H  rectangulo  P  D 
X  A  Z  proportionalis,  et  conjunctis  rationibus  P  K  X  P  H  est  ut  con- 


Slt  N  ubivis  in  quadrante  B  T  Q,  et  P  inter 
Q,  et  n  vel  intei-  q  et  N  primo  casu  omnes  angu- 
los  fore  positivos,  altero  angulos  QT  P  et  N  T  P 
fore  negativos,  ut  in  priecedenti,  demonstrabitur. 

Denique  angulus  S  T  N  sit  negativus,  et  P 
non  sit  inter  quadraturara  et  nodum,  sed  alibi 
ubivis,  alteruter  ex  angulis  Q  T  P,  N  T  P  po- 
sitivus  erit,  negativus  alter ;  sit  N  in  quadrante 
A  T  q  et  P  in  arcu  Q  A  N  (quadrante  major) 
erit  Q  T  P  positivus  et  N  T  P  negativus,  siqui- 


dem  P  est  in  antecedentia  respectu  N,  sit  P  in 
arcu  q  B  n  erit  Q  T  P  negativus,  sed  N  T  P 
positivus,  nam  arcus  N  P  in  consequentia  sump- 
tus  semi-circulo  minor  erit. 

Sit  N  in  quadrante  q  T  B,  si  P  sit  in  arcu 
n  q,  angulus  Q  T  P  positivus  est,  sed  angulus 
N  T  P  negativus,  quia  arcus  N  n  -|-  n  P  semi- 
circulo  major  est,  si  P  sit  in  arcu  N  Q  angulus 
Q  T  P  est  quidem  negativus,  sed  quia  P  est  in 


consequentia  respectu  N  minusque  semi-circulo 
distat,  ergo  angulus  N  T  P  est  positivus  ;  hinc 
ubivis  sit  P,  si  modo  non  sit  inter  nodum  et 
quadraturam  proximam,  vel  omnes  anguli  erunt 
positivi,  vel  duo  simul  negativi,  alter  vero  posi- 
tivus. 

Cum  ergo  arcus  inter  N  vel  n  et  quadraturam 
proximam,  nunquam  excedat  quadrantem,  eoque 
sit  sjepe  minor ;  e  contra  vero,  arcus  inter  N  vel 
n  et  quadraturamremotioremnunquam  sit  minor 
quadrante  et  soepe  eo  major,  majori  parte  revolu- 
tionis  Lunac,  nodi  regrediuntur  et  per  excessum 
regressus  supra  progressum,  singulis  mensibus 
nodi  feruntur  in  antecedentia. 

Potuissent  Articuli  4.  supra  demonstrati,  ex 
sola  vi  signorum  algebraicorum  deduci,  eamque 
demonstrationis  speciem  adhibere  videtur  Nevv- 
tonus ;  at  alicui  negotium  facessere  potuissent 
horum  signorum  mutationes  in  angulis  spectatae, 
in  quibus  cum  anguUis  ad  semi-circulum  crevit 
et  maximus  sit,  mox  negativus  evadit,  quod  sane 
non  evenisset  si  viie  descriptas,  non  vero  anguli 
considerati  fuissent ;  juvant  algebraica)  illae  con- 
sequentia;,  in  retegendis  prompte  Propositionibus 
iisque  ad  generalissimas  expressiones  revocandis, 
sed  in  nonnulhs  quaestionibus  ad  certitudinem 
plenam  idearumque  claritatem  requiritur  ut,  per 
casuum  enumerationem,  illae  algebraicae  conse- 
quentiae,  velut  ad  Lapidem  Lydium  explorentur. 
CaJterum,  quamvis  figuras  unicuique  casui  pro- 
prias  non  dehneaverimus,  facile  erit  ex  iis  quae 
sculptae  sunt,  figuras  deficientes  imaginari  aut 
describere. 

(P)  *  £st  autem  P  Tad  P  Kut  P  Mad  Kh  ex 
notissima  circuU  proprietateradium  esse  ad  ordi- 
natam,  ut  est  fluxio  arcus  ad  fluxionem  abscissa?. 


I.IJ3ER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  31 

tentum  KkxPDxAZ,  etPKxPHxAZutKkxPDx 

A  Z  qu.  id  est,  ut  area  P  D  d  M  et  A  Z  qu.  conjunctim.     Q.  e.  d. 

Corol.  2.  In  data  quavis  nodorum  positione,  motus  horarius  mediocris 
est  semissis  motus  horarii  in  syzygiis  Lunae,  ideoque  est  ad  16'^  2>S"'. 
i&''.  36\  ut  quadratum  sinus  distantiae  nodorum  a  syzygiis  ad  quadratum 
radii,  sive  ut  A  Z  qu.  ad  A  T  qu.  Nam  si  Luna  uniformi  cum  niotu 
perambulet  semi-circulum  Q  A  q,  summa  omnium  arearum  P  D  d  M, 
quo  tempore  Luna  pergit  a  Q  ad  M,  erit  area  Q  M  d  E  quae  ad  circuli 
tangentem  Q  E  terminatur ;  et  quo  tempore  Luna  attingit  punctum  n 
summa  illa  erit  area  tota  E  Q  A  n  quam  Hnea  P  D  describit,  dein  Luna 
pergente  ab  n  ad  q,  linea  P  D  cadet  extra  circulum,  et  aream  n  q  e  ad 
circuli  tangentem  q  e  terminatam  describet;  quae,  quoniam  nodi  prius 
regrediebantur,  jam  vero  progrediuntur,  subduci  debet  de  area  priore,  et 
cuni  sequalis  sit  arese  Q  E  N,  relinquet  semi-circulum  N  Q  A  n.  Igitur 
summa  omnium  arearum  P  D  d  M,  quo  tempore  Luna  semi-circulum 
describit,  est  area  semi-circuli ;  et  summa  omnium  quo  tempore  Luna 
circukim  describit,  est  area  circuli  totius.  At  area  P  D  d  M,  ubi  Luna 
versatur  in  syzygils,  est  rectanguknn  sub  arcu  P  M  et  radio  P  T;  et 
summa  omnium  huic  fequakum  arearum,  quo  tempore  Luna  circulum 
describit,  est  rectangulum  sub  circumferentia  tota  et  radio  circuk ;  et  hoc 
rectangukim,  cum  sit  aequale  duobus  circuks,  duplo  majus  est  quam  rec- 
tangulum  prius.  Proinde  nodi,  ea  cum  velocitate  uniformiter  continuata 
quam  habent  in  syzygiis  lunaribus,  spatium  duplo  majus  describerent 
quam  revera  describunt;  et  propterea  motus  mediocris  quocum,  si  uni- 
formiter  continuaretur,  spatium  a  se  inasquabili  cum  motu  revera  confec- 
tum  describere  possent,  est  semissis  motus  quein  habent  in  syzygiis  Lunas. 
Unde  cum  motus  horarius  maximus,  si  nodi  in  quadraturis  versantur,  sit 
33''.  10'''.  53^^  12%  motus  mediocris  horarius  in  hoc  casu  erit  16".  35'". 
16'\  36^.  i^)  Et  cum  motus  horarlus  nodorum  semper  sit  ut  A  Z  qu.  et 
area  P  D  d  M  conjunctim,  et  propterea  motus  horarius  nodorum  in  syzy- 
giis  Lunae  ut  A  Z  qu.  et  area  P  D  d  M  conjunctim,  id  est  (ob  datam 
aream  P  D  d  M  in  syzygiis  descriptam)  ut  A  Z  qu.  atque  ideo  hic  motus, 
ubi  nodi  extra  quadraturas  versantur,  erit  ad  16".  35'".  16'^^.  36\  ut  A  Z 
qu.  ad  A  T  qu.     Q.  e.  d. 

(1)  *  Et  cum  moius  horarius  nodorum  sit,  &c.  per  CoroUarium  prarcedenteni. 


C3 


S2 


PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst, 


PROPOSITIO  XXXL     PROBLEMA  XIL 

Inveni7'e  motum  horarium  nodorum  Luncs  in  orhe  elliptico,  (' 

Designet  Q  p  m  a  q  ellipsin, 
axe  majore  Q  q,  minore  a  b 
descriptam,  Q  iV  q  B  circulum 
circumscriptum,  T  Terram  in 
utriusque  centro  communi,  S 
Solem,  p  Lunam  in  ellipsi  mo- 
tam,  et  p  m  arcum  quem  data 
temporis  particula  quam  mini- 
ma  describit,  N  et  n  nodos  linea 
N  n  junctos,  p  K  et  m  k  per- 
pendicula  in  axem  Q  q  demissa 
et  hinc  inde  producta,  doncc 
occurrant  circulo  in  P  et  M,  et 
lineae  nodorum  in  D  et  d.  (^)  Et 
si  Luna,  radio  ad  Terram  duc- 
to,    aream    describat    tempori 

proportionalem,   erit  motus  liorarius  nodi  in  ellipsi  ut  area  p  D  d  m   et 
A  Z  q  conjunctim. 


C)  *  Tn  orbe  elliplico,  illo  nernpe  orbe  in  quem 
f5gura  circularis  orbitae  lunaris  mutatur  per  ac- 
tionem  Solis,  quique  axem  habet  majorem  ad 
axem  minorem  in  ratione  70.  ad  69.  per  Prop. 
XXVIII.  hujusce, 

(')  •  Et  si  Luna  radio  ad  Tcrram  ducto  de- 
scribat  aream  tempori  proportionalem,  &c.  Liquet 
ex  Prop.  XXVIII.  Lunam  hanc  ellipsim 
de  qua  agitur  ita  non  describere  ut  areae  sint 
temporibus  proportionales,  sed  ha;c  hypothesis 
ad  solutionem  hujus  Problematis  erit  necessaria ; 
ut  scilicet  Luna  possit  fingi  versari  in  puncto  p 
ordinatae  P  K  eodem  tempore  quo  si  circulum 
describeret  in  ejus  extremitate  P  versata  esset, 
quod  tunc  tantum  obtineret  si  hasc  ellipsis  ita 
describatur  ut  area;  sint  proportionales  tempori- 
bus ;  notum  enim  est  areas  ellipticas  T  p  Q, 
proportionales  fore  areis  T  P  Q,  areas  T  P  Q 
proportionales  esse  arcubus  P  Q,  arcus  vero 
P  Q  proportionales  temporibus,  si  quidem  Luna 
citra  Solis  actionem  in  circulo  lata,  uniformiter 
raoveretur. 

Veriim  haec  falsa  hypothesis  corrigitur  in  ea 
solutionis  hujus  Problematis  parte  qua;  post  Co- 
rollarium  adjicitur. 

(')   *  Convcniant  autem  hcB  tangcntcs  in  axe 


T  Q  ad  Y.  Liquet  ex  not.  257-  Lib.  I.  quod 
si  duae  curvas  communem  axem  habentes,  sint 
tales  ut  ipsarum  ordinatte  datam  inter  se  ratio- 
nem  servent,  et  in  summo  ordinatarum  corres- 
pondentium  ducantur  tangentes,  illae  tangentes 
in  eodem  axeos  puncto  concurrunt ;  nam  ciim 
ordinata2  datam  rationem  servent  (ex  Hypoth.) 
oportet  ut  ipsarum  fluxiones  eamdem  etiam  ser- 
vent  rationem,  ita  ut  ratio  fluxionis  ordinatae  ad 
ordinatam  ipsam,  eadem  sit  in  utraque  curva. 
Est  vero  semper  fluxio  ordinatce  ad  ordinalam  ut 
fluxio  abscissae  ad  subtangentem  ;  ergo  in  hac 
hypothesi,  ratio  fluxionis  abscissa;  ad  subtangen- 
tem  est  etiam  eadem  in  utraque  curva,  sed  fluxio 
abscissae  ipsa  est  eadem  pro  utraque  curva,  crgo 
etiam  subtangens  eadem  est,  hinc  itaque  tan- 
gentes  in  extremitatibus  ordinatarum  correspon- 
dentium  ducta  in  eodem  puncto  axem  attingunt 
quando  utrmsque  curvae  ordinatae  ad  eadem  axeos 
puncta  pertinentes,  constantem  rationem  servant: 
notum  autem  est,  ex  not.  247.  Lib,  I.  quod  si 
circulus  describatur  super  axem  ellipseos,  ordi- 
natre  circuli  et  ellipseos  erunt  inter  se  in  ratione 
data  axeos  communis  circuLo  et  ellipsi  ad  alterum 
axem,  sive  eu-^e  P  K  ad  p  K  ut  A  T  ad  a  T, 
hinc  ergo  tangentes  in  punctis  P  et  p  ducta*  axi 
occurrent  in  codem  puncto  Y. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  33 

Nam  si  P  F  tangat  circulum  in  P,  et  producta  occurrat  T  N  in  F  et 
p  f  tangat  ellipsin  in  p  et  producta  occurrat  eidem  T  N  in  f,  (*)  conveni- 
ant  autem  hae  tangentes  in  axe  T  Q  ad  Y ;  et  si  M  L  designet  spatium 
quod  Luna  in  circulo  revolvens,  interea  dum  describit  arcum  P  M,  urgente 
et  impellente  vi  prasdicta  3  I  T,  seu  3  P  K  motu  transverso  describere 
posset,  et  m  1  designet  spatium  quod  Luna  in  ellipsi  revolvens  eodem 
tempore,  urgcnte  etiam  vi  3  I  T  seu  3  p  K,  describere  posset,  et  produ- 
cantur  L  P  et  1  p  donec  occurrant  plaiio  ecliptlcae  in  G  et  g;  et  jungantur 
F  G  et  f  g,  quarum  F  G  producta  secet  p  f,  p  g  et  T  Q  in  c,  e  et  R 
respective,  et  f  g  producta  secet  T  Q  in  r.  Quoniam  vis  3  I  T  seu  3  P  K 
in  circulo  est  ad  vim  3  1  T  seu  3  p  K  in  ellipsi,  ut  P  K  ad  p  K,  seu  A  T 
ad  a  T;  erit  spatium  M  L  vi  priore  genitum,  ad  spatium.m  1  vi  postcri- 
ore  genitum,  ut  P  K  ad  p  K,  id  est,  ob  similes  figuras  P  Y  K  p  et 
F  Y  R  c,  ut  F  R  ad  c  R.  Est  autem  M  L  ad  F  G  (ob  similia  triangula 
P  L  M,  P  G  F)  ut  P  L  ad  P  G,  hoc  est  (ob  parallelas  L  k,  P  K,  G  L) 
ut  p  1  ad  p  e,  id  est  (ob  similia  triangula  p  1  m,  c  p  e)  ut  1  m  ad  c  e ;  et 
inverse  ut  L  M  est  ad  1  m,  seu  F  R  ad  c  R,  ita  est  F  G  ad  c  e.  Et 
propterea  si  f  g  esset  ad  c  e  ut  f  Y  ad  c  Y,  id  est,  ut  f  r  ad  c  R  (hoc  est, 
ut  f  r  ad  F  R  et  F  R  ad  c  R  conjunctim,  id  est,  ut  f  T  ad  F  T  et  F  G 
ad  c  e  conjunctim)  quoniam  ratio  F  G  ad  c  e  utrinque  ablata  relinquit 
rationes  f  g  ad  F  G  et  f  T  ad  F  T,  foret  f  g  ad  F  G  ut  f  T  ad  F  T; 
(")  atque  ideo  anguli,  quos  F  G  et  f  g  subtenderent  ad  Terram  T,  aequa- 
rentur  inter  se.  Sed  anguli  illi  (per  ea  qu£e  in  praecedente  Propositione 
exposuimus)  sunt  motus  nodorum ;  quo  tempore  Luna  in  circulo  arcum 
P  M,  in  ellipsi  arcum  p  m  percurrit :  et  propterea  motus  nodorum  in 
circulo  et  ellipsi  sequarentur  inter  se.     Hsec  ita  se  haberent,  si  modo  f  g 

esset  ad  c  e  ut  f  Y  ad  c  Y,  id  est,  si  f  g  aequahs  esset  ^  ^        _ .    Verum 

c  Y 

ob  similia  triangula  f  g  p,  c  e  p,  est  f  g  ad  c  e  ut  f  p  ad  c  p ;  ideoque  f  g 

aequalis  est  ^-^ E ;  {^)  et  proptcrea  angulus,  quem  f  g  revera  subten- 

c  p 

dit,  est  ad  angulum  priorem  quem  F  G  subtendit,  hoc  est,  motus  nodorum 

(")  *  Alque  ideo  anguli  quos  F  G  et  fg  sub-  respectii  lineae  T  g  linea  T  g  cadcm  niancro 
tendarent  ad  Terram  T  aiquarentur  inler  se,  nam  censenda  cst  in  utraque  magnitudine  lincfc  f  g 
ciim  lincaj  F  G  et  f  g  sint  inter  sc  parallcla;  et  hic  assumpta ;  sed  in  triangulo  uti-oquc  T  f  g. 
proportionales  lineis  T  F,  T  f,  rccta  T  G  pro-  Sinus  anguli  f  cst  ad  lincam  T  g,  ut  sinus  an- 
ducta  transibit  etiam  per  g,  ideoque  pcr  eundem  guli  f  T  g  ad  lineam  f  g ;  crgo  cum  mancat 
angulum  videbuntur  lineae  FG  et  f  g  t-x  Tcrra  T.     angulus  f,  et  linca  T  g,  ratio  sinus  anguli  f  T  g 

ad  lineam  f  g  erit  data,  sive  quia  anguli  miniim 

(*)  *  Et  propterea  anguhis  qucm  f  g  reverd  sunt  ut  sui  sinus,  crit  angulus  quem  f  g  revcryl 
suhlendit  est  ad  nngulum  pfiorcm  ut  /kvc  fg  ad  sublendit  ad  an^lum  qucm  ficta  f  g  subtende- 
jiriorem  f  g.     Cum  enim  linca  f  g  cit  minima,     bat,  ut  vcra  f  g  ad  fictam  f  g, 

C4 


S4f 


PHILOSOPHI^  KATURALIS    [De  MuxNd.  Syst. 


m  ellipsi  ad  motum  nodorum  in  circulo,  ut  haec  f  g  seu  ^  ^       ^  ad  pri- 

cp 

orem  f  g  seu  5_^^  IZ,  idest,  ut  f  p  X  c  Y  ad  f  Y  X  c  p,  seu  f  p  ad  f  Y 

et  c  Y  ad  c  p,  hoc  est,  si  p  h 
ipsi  T  N  parallela  occurrat 
F  P  in  h,  ut  F  h  ad  F  Y  et 
F  Y  ad  F  P ;  hoc  est,  ut  F  h 
ad  F  P  seu  D  p  ad  D  P,  (^) 
ide6c]ue  ut  area  D  p  m  d  ad 
aream  D  P  M  d.  Et  propter- 
ea,  cum  (per  Corol.  1.  Prop. 
XXX.)  area  posterior  et  A  Z  q 
conjunctim  proportionalia  sint 
motui  horario  nodorum  in  cir- 
culo,  erunt  area  prior  et  A  Z  q 
conjunctim  proportionaha  mo- 
tui  horario  nodorum  in  elHpsi. 
Q.  e.  d. 

CoroL  Quare  cum,  in  data 
nodorum  positione,  summa  omnium  arearum  p  D  d  m,  quo  tempore  Luna 
pergit  a  quadratura  ad  locum  quemvis  m,  sit  area  m  p  Q  E  d,  qua3  ad 
elHpseos  tangentem  Q  E  terminatur ;  et  summa  omnium  arearum  illarum, 
in  revohitione  integra,  sit  area  ellipseos  totius  :  motus  mediocris  nodorum 
in  ellipsi  erit  ad  motum  mediocrem  nodorum  in  circulo,  ut  ellipsis  ad 
circulum;  id  est,  ut  T  a  ad  T  A,  seu  69  ad  70.  Et  propterea,  cum  (per 
Corol.  2.  Prop.  XXX.)  motus  mediocris  horarius  nodorum  in  circulo  sit 
ad  16''.  53'''.  16^  2e\  ut  A  Z  qu.  ad  A  T  qu.  si  capiatur  angulus  16". 
21'".  3^\  30\  ad  angulum  16".  35"'.  16'^  36"",  ut  69  ad  70,  erit  motus 
mediocris  horarius  nodorum  in  ellipsi  ad  16".  21'".  3'^  30"".  ut  A  Z  q  ad 
A  T  q ;  hoc  est,  ut  quadratum  sinus  distantiae  nodi  a  Sole  ad  quadratum 
radii. 

(^)  Caeterum  Luna,  radio  ad  Terram  dncto,  aream  velocius  describit  in 
syzygiis  quam  in  quadraturis,  et  eo  nomine  tempus  in  syzygiis  contrahi- 
tur,   in  quadraturis  producitur;   et  una  cum  tempore  motus  nodorum 


(^)   *  Idcoque  vt  area  D  p  m  d  ad  aream  bases  D  p,    D  P,   et  altitudines   K  k  conjunc- 

D  P  M  d  nempe  propter  communem  altitudinem  tim. 

^  k,  nam  trapezia  p  D  d  1,  P  D  d  L,  pro  pa-  (*)   *  Carterum  Luna,  8cc.     Ilaec  omnia  ex 

rallelogrammis   assumi  possunt,   qu»   sunt  ut  Prop.  XXVI.  hujusce  deducuntur. 


LiBER  Tertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA.  35 

augetur  ac  diminuitur.  Erat  autem  momentum  areae  in  quadraturis  Lunaj 
ad  ejus  momentum  in  syzygiis  ut  10973  ad  11073,  et  propterea  momentum 
mediocre  in  octantibus  est  ad  excessum  in  syzygiis,  defectumque  in  quad- 
raturis,  ut  numerorum  semi-summa  11023  ad  eorundem  semi-diiFerentiam 
50.  Unde  cum  tempus  Lunse  in  singulis  orbis  particulis  aequalibus  sit 
reciproce  ut  ipsius  velocitas,  erit  tempus  mediocre  in  octantibus  ad  exces- 
sum  temporis  in  quadraturis,  ac  defectum  in  syzygiis,  ab  hac  causa  oriun- 
dum,  ut  11023  ad  50  quam  proxime.  (^)  PergeUdo  autem  a  quadraturis 
ad  syzygias,  invenio  quod  excessus  momentorum  areae  in  locis  singulis, 
supra  momentum  minimum  in  quadraturis,  sit  ut  quadratum  sinus  distan- 
tiae  Lunse  a  quadraturis  quam  proxime;  et  propterea  differentia  inter 
momentum  in  loco  quocunque  et  momentum  mediocre  in  octantibus,  est 
ut  differentia  inter  quadratum  sinus  distantiae  Lunae  a  quadraturis  et 
quadratum  sinus  graduum  45,  seu  semissem  quadrati  radii,  et  incrementum 
temporis  in  locis  singulis  inter  octantes  et  quadraturas,  et  decrementum 
ejus  inter  octantes  et  syzygias,  est  in  eadem  ratione.  Motus  autem  nodo- 
rum,  quo  tempore  Luna  percurrit  singulas  orbis  particulas  aequales, 
acceleratur  vel  retardatur  in  duplicata  ratione  temporis.  (^)  Est  enim 
motus  iste,  dum  Luna  percurrit  P  M  (caeteris  paribus)  ut  M  L,  et  M  L 
est  in  duplicata  ratione  temporis.  {^)  Quare  motus  nodorum  in  syzygiis, 
eo  tempore  confectus  quo  Luna  datas  orbis  particulas  percurrit,  diminuitur 
in  duplicata  ratione  numeri  11073  ad  numerum  11023;  (f^)  estque  decre- 
mentum  ad  motum  reliquum  ut  100  ad  10973,  ad  motum  vero  totum  ut 

(^)   *   Pergendo  autem  a  quadraturis.     Vide  arcus   P  M  describet  in  syzygiis,  est  ad  tempus 

not.  (■")  Prop.  XXVI.  etlocumadquemrefertur.  quo  eos  arcus  P  M  describere  censebatur  veloci- 

(^)  *  Est  enim  motus  hte  ( cccleris  pnribus )  ut  ^^^\  mediocri  ut   11023  ad   11073,  motus  ergo 

M  L,  et  M  L  est  in  duplicatd  ratione  temporis,  "odorum  m  syzygus  fit  mmor  quam  adsumptus 

motus  nodorum  generatur  per  actionem  vis  sola-  ^"^^'"^*  "^  ^^tione  duplicata  numerorum  11025  et 

ris  3  I  T  quae  uniformis  manere  censetur  dum  1^073. 

describitur  arcus  P  M,  hinc  crescit  L  M  in  du-  (^)  *  JEstque  decrementum  ad  motum  reliquum 

plicata  ratione  temporis  Lem.  X.  Lib.  I.,  ex-  ut  100  ad  10973,   ad  modum  totum  ut  100  ad 

pressit  autem  Newtonus  motum  nodorum  fin-  11075.     Motus  reliquus  est  ad  motum  totum  ut 

gendo  in  puncto  ipso  P,  a  Sole  simul  et  semel  1 1025^  ad  1 1075^  sive  ut  1 1073—50^  ad  1 1073^,* 

eam  actionem   imprimi  qujE  toto  tempore  quo  sivepriorem  quantitatcm  adquadratum  evehendo 

arcus   P  M  describitur  ab  ipso  exercita  fuisset,  secundum   formulam  vulgarem    dignitatum   ut 

et  lineam  L  M  esse  §patium  quod  velocitate  ita  j^2  _  g  X  50  X  11073  -f  50^  ad  ^073^ 

producta  ipso  eo  tempore  quo  arcus   P  M  per-  — „             ' 

curritur,  describeretur,  hinc  itaque  constat  eam  negligatur  termmus  50  ,  caterorum  enim  respec- 

lineam  fore  in  duplicata  ratione  temporis,  (vid.  tu  evanescit,   fiet  motus  rchquus  ad   totum  ut 

not.  28.  et  50.  Lib.  I.)  hccc  autem  linea  L  M  11073^  —  2  X  50  X  11073  ad   11075^,  et  di- 

est   proportionaHs   vero   efFectui    actionis    Solis  videndo  per  11073,  ut  11073 — 2X50adll073. 

(vid.  not.  CO  Prop.  XXX.  hujusce).  y.st  ergo  difterentia  motus  reliqui  et  motus 

(°)    *    Quare  motus  nodorum.      Momentum  totius  h.  e.  motiis  decrementum  ad  motum  to- 

areas  in  syzygiis  sive  velocitas  Luna;  in  syzygiis  tum,   ut  2  X  50  sive   100  ad    11073,  ideoquc 

est  ad  velocitatem  mediocrem  iii  octantibus  ut  etiam  est  motus  decreraentura  ad  motum  reli- 

11073  ad  11023  crgo  tenipus  quo  Luna  a?quaks  quum  ut  100  ad  10973. 


S6 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


100  ad  11073  quam  proxime.  (^)  Decrementum  autem  in  locis  inter 
octantes  et  syzygias,  et  incrementum  in  locis  inter  octantes  et  quadraturas, 
est  quam  proxime  ad  lioc  decrementum,  ut  motus  totus  in  locis  illis  ad 
motum  totum  in  syzygiis,  et  diiFerentia  inter  quadratum  sinus  distantiae 
Lunae  a  quadratura  et  semissem  quadrati  radii  ad  semissem  quadrati  radii 
conjunctim.     (^)  Unde  si  nodi  in  quadraturis  versentur,  et  capiantur  loca 

(*)  *  JDecrenienlum  inter  octantes  ct  syzygias  decrementum  motus  nodorum  est  ut  motus  no- 

et  incrementuvi  inter  octantes  et  quadraluras  est  dorum  qualis  inventus  fuerat,  et  diflerentia  inter 

^uam  jn-oxime,  &c.    Resumptis  iis  quae  in  Prop.  quadratum  sinvis  distantiag  Lunas  a  quadratura 

XXVI.  not.  il2.  sunt  dicfa,  designet  C  P  dis-  et  semissem  quadrati  radii  conjunctim :   in  syzy- 

tantiam  Lunae  a  quUdi-atura,  linea  I  M  exprimct  giis  quadratum  sinus  distantitc  Lunte  a  quadra 


H 


V   V7. 

n\ 

M 

/ 

x. 

1? 

i 

P 

a 

A 

Ti:  li 


it 


ejus  velocltatem  et  I  V  exprimct  velocitatem 
mediocrem,  idcirco  tempus  quo  dcscribitur 
arcus  P  M  liac  velocitate  I  M,  est  ad  tem- 
pus  quo  velocitate  mediocri  I  V  describeretur, 
ut  I  V  ad  I  M,  ideoque  motus  nodorum  verus 
forct  ad  eorum  motum  si  Luna  mediocri  sua 
velocitate  ferretur  ut  1  V^  ad  IM  ^  sive  ut  I  V  ^ 
ad  1  V  +  V  MP  aut  ut  I  V  2  ad  I  V  2  +  2l  V 
X  V  M  4-  V  M  2  et  neglecta  quantitate  V  M  ^ 
divisisque  terminis  per  I  V  ut  I  V  ad  I  V  + 
2 V  M  ;  et  convertendo,  differentia  motus  vcri 
nodorum  et  rootus  inventi,  est  ad  motum  inven- 
tum  ut  +  2  V  M  ad  I  V  +  2  V  M,  hinc  illa  dif- 
ferentia,  sive  incrementum  aut  decrementum  mo- 
tiis  nodorum  est  fcemper  a^quale  motui  nodorum 
qualis  inventus  fucrat,  ducto  in  2  V  M  et  divisu 
per  I  V  +2V  M,  ideoque  cum  I  V  +  2  V  M 
pro  constanti  assumi  possit  quia  2  V  M  fere 
evanescit  respectu  quantitatis  I  V,  est  illud  in- 
crementum  aut  decrementum  ut  motus  nodorum 
qualis  inventus  fucrat  et  V  M  conjunctim ;  est 
vero  V  M  differentia  inter  Z  Q  et  P  M,  et  sunt 
Z  Q,  et  M  P  ut  quadrata  sinuum  arcuum  C  Q, 
et  C  P,  arcus  vero  C  Q  est  45  gr.  ex  demon- 
stratis  ad  Prop.  XX.  VI.  et  quadratum  ejus  sinus 
est  semissis  quadrati  radii ;  C  P  vero  est  distantia 
Lunae  a  quadratura;   ergo,   incrementum  aut 


tura  est  ipsum  quadratum  radii,  unde  differentia 
quadrati  sinus  distantiae  Lunae  a  quadratura  et 
semissis  quadrati  radii,  est  in  hoc  casu  ipse 
semissis  quadrati  radii,  hinc  erit  decrementum 
aut  incrementum  motus  nodorum  in  loco  quovis 
ad  decrementum  ejus  motus  in  syzygiis  ut  sunt 
motus  nodorum  iis  in  locis  ad  motum  nodorum 
in  syzygiis  (quales  citra  hanc  correctionem  inventi 
fuerant,)  et  ut  differentiae  quadratorum  sinuum 
distantia;  Lunae  a  quadratura  et  semissis  quadrati 
radii  ad  eum  semissem  quadrati  radii  conjunc- 
tim.     Q.  e.  o. 

(^)    *  Unde  si  nodi,   &c.      Versentur  nodi  in 
quadraturifc,  cupiantur  loca  F  et  E  ab  octante 


A.  T 

M  hinc  inde  aequaliter  distantia,  et  alia  duo  D 
et   G  a  syzygia  A  et  quadratura  N  distautia 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


37 


duo  sequaliter  ab  octante  hinc  inde  distantia,  et  alia  duo  a  syzyo-ia  et 
quadratura  iisdem  intervallis  distantia,  deque  decrementis  motuum  in 
locis  duobus  inter  syzygiam  et  octantem,  subducantur  incrementa  motuum 
in  locis  reliquis  duobus,  quae  sunt  inter  octantem  et  quadraturam ;  decre- 
mentum  reliquum  sequale  erit  decremento  in  syzygia  :  uti  rationem  ineunti 
facile  constabit.  (^)  Proindeque  decrementum  mediocre,  quod  de  nodo- 
rum  motu  mediocri  subduci  debet,  est  pars  quarta  decrementi  in  syzyo-ia. 


intervallis  D  A,  G  N  quae  asqualia  sint  inter  se, 
et  eadem  ac  intervalla  M  E,  M  F,  sumantur 
decremej-ta  mctus  nodorum  in  punctis  E  et  D 
et  ex  summa  eorum  decrementorum  subducatur 
summa  incrementorum  in  punctis  G  et  F,  et 
residuum  erit  ipsum  decrementum  in  syzygla  A. 

Etenim,  per  praecedentia,  decrementa  sive  in- 
crementa  sunt  ut  motus  totus  nodorum  et  differ- 
ontia  quadrati  sinus  distantia?  Lunae  a  quadratura 
et  semissis  radii  conjunctim ;  est  vero  motus 
totus  nodorum  ut  contentum  sub  sinubus  dis- 
tantiarum  Luna^  a  quadratura,  Luna)  a  nodo,  et 
nodi  a  Sole  (per  Prop.  XXX.)  sinus  autem 
distantiai  nodi  a  Sole  in  hoc  casu  est  ipse  radius, 
estque  constans  pro  omnibus  incrementis  decre- 
mentisque  assumendis,  distantia  vero  Lunae  a 
nodo  eadem  est  ac  distantia  Lunae  a  quadratura, 
cum  nodi  sint  in  quadraturis  ;  ergo  raotus  totus 
nodorum  est  ut  quadratum  sinus  distantiae  Lunaa 
a  quadratura,  et  decrementa  sive  incrementa  sunt 
ut  contentum  sub  quadrato  sinus  distantijB  Lunre 
a  quadratura  et  sub  differentia  ejusdera  quadrati 
et  semissis  radii. 

Dicatur  itaque  radius  r,  sinus  arcus  N  G 
dicatur  s.  erit  incrementum  motus  nodorum  in 
GutssXa'^'^  —  ''''  ^^'^^  i  ^  ^  ^^  —  s4. 

Ut  obtineatur  incrementum  motus  nodorura 
in  F,  observandum,  quod  siquidem  arcus  F  M 
est  aequalis  arcui  N  G  cujus  sinus  est  s,  et  N  F 
«4-  F  M  est  aequalis  octanti  cujussinus  est  r  -^/  ^ 
et  per  prlncipia  trigonometrica,  sinus  arcus  qui 
est  differentia  duomaj  arcuum  quorum  sinus 
sunt  dati,  est  asqualis  differentiae  factorum  sinus 
majoris  arcus  per  cosinum  minoris  et  sinus  rai- 
noris  arcus  per  cosinum  majoris,  divisae  per 
radiura,    liinc    sinus   arcus    F    N    est   aequalis 


'V'aXV'^'"  —  s* 


y^rr  —  ss  —  ^  \^  ^)  itaque  incrementum  ho- 


dorumin  Ferit-|  X  ^'^ — ss— s>y/  rr — ss-|-  — 


+  s  V  T  — ss  — — 


X  I  r  r  —  i  r  r  — 

sive    deletis    terminis    aequalibus    et    oppositis 

■§  rr  —  s/^rr  —  saX  s  \^  r  r  —  s.s,  et 


multiplicatione  facta  ^  r^s  -y^rr  —  ss  — 
r  ^  s  *  -|-  s  4.  Ideoque  suinma  incrementorum 
in  G  et  F  est  I  r  ^  s  /^/ r  r  —  s  s  —  ^  r  ^  s  ^. 


Sinus  autem  in  E  et  D  sunt  cosinus  'arcuum 
F  et  G,  ergo  quadratum  sinus  arcus  N  E  est 
r  r  —  ^  X  r  r  —  ss-t-s/y/rr  —  ss  —  ^  s  s 
rri^rr-j-sy^rr  —  s  s;  ideoque  decremen- 
tum  motus  nodorum  in  E  est  ^  r  r  -|-  s  X 
\/  r  r  —  s  s  X  (jr  r  -\~  s  -v/rr  —  ss)  —  Jrr 
=  ^r^sy'  rr  —  ss-|rr^ss  —  s+. 

Quadratum  sinus  arcus  N  D  est  r  r  —  s  s, 
ideoque  decjeraentum  motus  nodorura  in  D  est 
rr  —  ssX  rr  —  ss  —  ^rr=  ir4__ 
2-r^s^-|-s4^;  sicque  summa  decreraentorum 
est^r4-|-ir^s  /v/  r  r  —  s  s  —  i  r  ^  s  '-'. 

Denique  inipsa  syzygia  quadratum  sinus  arcus 
N  D  est  r  r  ideoque  decrementum  motus  nodo- 
rum  in  syzygia  estr^X^^  —  -^  r^  z=  ^r  -^. 

Si  ergo  ex  sumraa  decrementorum  quae  inventa 


r4   + 


>V/  r  r 


ir^ 


detrahatur  sumroa  incrementorura  quje  inventa 
est^r^sy^rr  —  ss  —  ^r^s^  decremento- 
rura  residuum  est  ipsum  |;  r  4  quod  decrementum 
motus  nodorum  in  syzygia  exprimet.      Q.  e.  d. 

(^)  *  Proindeque  decrementmn  mediocre,  &c. 
In  toto  arcu  N  A,  puncta  assumantur  quara 
proxima  quotquot  lubebit,  qujB  quaternatim  su- 
mantur,  ita  ut  quatuor  quae  simul  assumuntur 
ita  disponantur  ut  duo  ab  octante  aequaliter 
distent  hinc  inde,  et  alia  duo  tantumdem  a  syzy- 
gia  et  quadratura  distent ;  decremcntum  motus 
iiodorum  in  duobus  punctis  qu£e  sunt  inter  syzy- 
giam  et  octantem  superat  incrementum  ejus 
motus  in  aliis  duobus  punctis  quantitate  aequali 
decremento  in  ipsa  syzygia ;  si  itaque  motus 
mediocris  assumendus  sit,  id  decrementura  quad- 
rifariam  dividi  debet,  ct  de  motu  raediocri  singula 
quarta  pars  detrahi  debet,  sic  enira  motus  medio- 
cris  ille  aequipollebit  motui  vero  peracto  in  ilh's 
quatuor  punctis  simul  sumptis  ;  ille  decrementi 
excessus  idem  est  pro  quibusvis  punctis  ita  qua- 
ternatim  sumptis,  itaque  motus  mediocris  nodo- 
rum  iu  omnibus  punctis,  adjecta  consideratione 
inaequalitatis  motus  Lunae  ex  actione  Solis  ortac, 
erit  moSus  mediocris  nodorum  prius  iaventus, 
multatus  quarta  parte  illius.  decrementi. 

Cum  ergo  ille  excessus  decrenientorum  supcr 
incrementa  sit  ipsum  decrementuni  molus  in 
syzygia  seorsim  considerata,  et  id  decreincntum 
in  syzygia  seorsim  invcntura  sit,  dK^nenmdtim 
mediocre,  quod  de  nodorum  inotu  mediocii  sub- 
duci  debet,  est  pars  quarta  d^crcmenti  in  sijzygid. 


38 


PHILOSOPHL^  NATURALIS     [De  Mund.  Syst. 


Motus  totiis  horarius  nodorum  in  syzygiis,  ubi  Luna  radio  ad  Terram 
ducto  aream  tempori  proportionalem  describere  supponebatur,  erat  32''. 
42"'.  7'^  Et  decrementum  motus  nodorum,  quo  tempore  Luna  jam 
velocior  describit  idem  spatium,  diximus  esse  ad  hunc  motum  ut  100  ad 
11073;  ideoque  decrementum  illud  est  17'^^  43'^  IF.  cujus  pars  quarta 
4'".  25'^  48^.  motui  horario  mediocri  superius  invento  16".  21'".  3^"^.  30\ 
subducta,  relinquit  16".  16"'.  37'^  42"".  motum  mediocrem  horarium  cor- 
rcctum. 

(^)  Si  nodi  versantur  extra  quadraturas,  et  spectentur  loca  bina  a  syzy- 
giis  liinc  inde  aequaliter  distantia,  summa  motuum  nodorum,  ubi  Luna 
versatur  in  his  locis,  erit  ad  summam  motuum,  ubi  Luna  in  iisdem  locis 
et  nodi  in  quadraturis  versantur,  ut  A  Z  qu.  ad  A  T  qu.  (*)  Et  decre- 
menta  motuum,  a  causis  jam  expositis  oriunda,  erunt  ad  invicem  ut  ipsi 
motus,  ideoque  motus  reliqui  erunt  ad  invicem  ut  A  Z  qu.  ad  A  T  qu.  et 
motus  mediocres  ut  motus  reliqui.     Est  itaque  motus  mediocris  horarius 


(^)  *  Si  nodi  versantur  extra  quadraturas  puta 
in  locis  n  et  spec/e?itur  loca  blna  a  et  d  a  syzygid 
A  hinc  inde  distantia,  erit  motus  nodorum  in 
loco  a  ut  elementuin  a  c  e  r  et  quadratum  lineae 
A  Z  conjunctim  (Cor.  1.  Prop.  XXX.)  j  simi- 
liter  motus  nodorum  in  loco  d  erit  ut  elementum 
m  t  g  d  et  quadratum  lineaj  A  Z  conjunctim ;  si 
vero  nodi  versentur  in  ouadraturis,  erit  (ibid.) 


'^ 

1. 

c/             \ 

/                  \ 

u 

e/                     \ 

A  .  . 

/ 

K 

/ 

T 

aojV 

^■■f 

/ 

f                         / 
1l                      / 

< 

summa  motuum  in  binis  locis  a  et  d  ut  a  b  u  r 
-^-  m  f  h  d  vel  2  a  b  r  u  et  quadratum  radii  A  T 
conjunctim  ;  sed  ob  aqualia  intervalla  T  b,  T  h 
summa arearum  acer-j-mtgd=2abru. 
Quare  summa  motuum  nodorum  ubi  Luna  ver- 
satur  in  locis  a,  d  nodis  existentibus  extra  quad- 
raturas,  erit  ad  summam  motuum  ubi  Luna  in 
iisdem  locis  et  nodi  in  quadraturis  versimtur  ut 
SabruX  A  Z^  ad  2abru  X  A  T^  hoc 
tst  ut  A  Z  ^  ad  A  T  ^. 

(')  *  Et  dccrementa  violuum  in  loco  a  quando 


nodi  sunt  extra  quadraturas,  et  quando  nodi  sunt 
in  quadraturis,  sunt  ut  ipsi  motus  ;  nam  ciim 
arcus  a  r  in  utroque  casu  sequali  tempore  per- 
curratur,  dixFerentia  ejus  temporis  a  tempore 
mediucri  utrinque  eadem  erit;  ac  per  consequens 
error  nodi,  a  loco  in  quo  eo  tempore  mediocri 
procedere  debuisset,  est  ut  ejus  motus  horarius 
in  eo  loco  ;  ergo  decrementum  motijs  nodi  in  a 
ubi  nodi  sunt  in  quadraturis  est  ad  decrementum 
motiis  in  a  cum  nodi  extra  quadraturas  versantur, 
ut  a  b  u  r  X  A  T  ^  ad  a  c  e  r  X  A  Z  ^,  et  pa- 
riter  decrementum  motiis  nodi  in  d  ubi  nodi  sunt 
in  quadraturis,  e&t  ad  decrementum  motus  in  d 
cum  nodi  sunt  extra  quadraturas,  ut  m  f  h  d  X 
AT^admtgdX  AZ^,  decrementa  autem 
motiis  in  a  et  d  aiqualia  sunt  quando  nodi  sunt 
in  quadraturis,  ob  a^quales  distantias  a  syzygia, 
etmfhd  =  abur;  hinc  decrementum  uiotias 
in  a  cum  nodi  extra  quadraturas  versantur,  est 
adacerXAZ^ut  decremeiitura  motus  in  d 
cura  nodi  extra  quadraturas  versantur,  est  ad 
mtgdX  AZ^,  et  etiam  ut  decrementum  in 
a,  aut  d  cum  nodi  sunt  in  quadraturis  ad  a  b  u  r 
X  A  T  ^  ;  ergo  summa  decrementorum  in  a  et 
d  cum  nodi  sunt  extra  quadraturas,  est  ad  (a  c  e  r 
-|-mtgd)XAZ^ut  summa  decrementorum 
in  a  et  d  cura  nodi  sunt  in  quadraturis  ad  2  a  b  u  r 
X  A  T  ^,  sed  a  c  e  r  -|-  m  t  g  d  =  2  a  b  u  r 
per  notam  prcccedentem,  ergo,  summa  decre- 
mentorum  in  binis  locis  a  syzygiis  hinc  inde 
aequaliter  distantibus,  cum  nodi  sunt  extra  quad- 
raturas,  est  ad  suramam  decrementorum  in  iisdem 
locis  cum  nodi  sunt  in  syzygiis,  ut  A  Z  ^  ad 
A  T  *,  cum  ergo  summai  motuum  ipsorum  in 
ea  sint  ratione,  reliqui  motus  erunt  in  ea  ipsa 
ratione,  ideoque  et  motus  mediocres  j  est  itaquc, 
&c. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


39 


correctus,  in  dato  quocimque  nodorum  situ,  ad  16''.  16"'.  37'''.  42''.  ut 
A  Z  qu.  ad  A  T  qu. ;  id  est,  ut  quadratum  sinus  distantiae  nodoruni  a 
syzygiis  ad  quadratum  radii. 

PROPOSITIO  XXXII.     PROBLEMA  XIIL 

Invenire  motum  medium  nodorum  Lunce, 


Motus  medius  annuus  est  summa  motuum  omnium  horariorum  medio- 
crium  in  anno.  Concipe  nodum  versari  in  N,  et  singulis  horis  completis 
retrahi  in  locum  suum  priorem,  ut  non  obstante  motu  suo  proprio,  datum 
semper  servet  situm  ad  stellas  fixas.  Interea  vero  Solem  S,  per  motum 
Terrae,  progredi  a  nodo,  et  cursum 
annuum  apparentem  uniformiter 
complere.  Sit  autem  Aa  arcus 
datus  quam  minimus,  quem  recta 
T  S  ad  Solem  semper  ducta,  inter- 
seCtione  sui  et  circuh  N  A  n,  dato 
tempore  quam  minimo  describit :  et 
motus  horarius  mediocris  (per  jam 
ostensa)  erit  ut  A  Z  q,  id  est  (ob  (^) 
proportionales  A  Z,  Z  Y)  ut  rectan- 
gulum  £ub  A  Z  et  Z  Y,  hoc  cst,  ut  area  A  Z  Y  a.  Et  summa  omnium 
horariorum  motuum  mediocrium  ab  initio,  ut  summa  omnium  arearum 
a  Y  Z  A,  id  est,  ut  area  N  A  Z.  {^)  Est  autem  maxima  A  Z  Y  a 
sequalis  rectangulo  sub  arcu  A  a  et  radio  circuli ;  et  propterea  summa 
omnium  rectangulorum  in  circulo  toto  ad  summam  totidem  maximorum, 
ut  area  circuli  totius  ad  rectangulum  sub  circumferentia  totii  et  radio,  id 
est,  ut  1  ad  2.  Motus  autem  horarius,  rectangulo  maximo  respondens, 
(")  erat  16'^  16'".  37'^  42\  Et  hic  motus,  anno  toto  sidereo  dierum  365. 
hor.  6.  min.  9.  fit  39^'.  38'.  7".  50'".  Ideoque  hujus  dimidium  19^^  49'. 
3".  5S"\  est  motus  medius  nodorum,  circulo  toti  rcspondens.     Et  motus 


(')  *  Ob  proportionales  A  Z,  Z  T,  est  cnim 
T  A  -.  A  a  :  :  A  Z  :  Z  Y,  idcoque  ob  conGtantes 
T  A  et  A  a,  quantitates  A  Z,  Z  Y  ubique  eam- 
dem  habent  inter  se  rationem  ;  ducatur  ulraque 
in  A  Z  facta  A  Z  X  A  Z,  et  Z  Y  X  A  Z  datam 
rationem  ubique  habebuut,  erit  itaque  A  Z  q  ut 
rectojignlum  sub  A  Z  et  Z  Y. 

C")  *  E&t  aiitem  maxima  A  Z  Y a,  &c.  Nam 
quando  T  A  est  perpendicularis  in  N  n,  A  Z 


fcvadit  T  A,  et  Z  Y  evadit  a?quah's  A  a,  sicque 
A  Z  Y  =  A  T  X  A  a,  in  omnibiis  aulem  aliis 
punctis  T  A  est  major  quam  A  Z ;  et  A  a  major 
quam  Z  Y,  maxima  itaque  A  Z  Y  a  est  ccqualis 
rectanguto  sub  arcu  A  a  et  radio  circuli. 

(")  •  Erat  16".  16'".  37'^  42"^.  ;  is  enim  erat 
motus  horarius  mediocris  cum  nodi  erant  in 
quadvaturis,  pcr  Prop.  prseced.  ideoque  in  haC 
Prop.  cum  S  A  T  est  perpendicularis  in  N  n. 


40 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


nodomm,  quo  tempore  Sol  pergit  ab  N  ad  A  est  ad  19^^  49'.  3''.  55'^\  ut 
area  N  A  Z  ad  circulum  totum. 

Haec  ita  se  liabent  ex  hypothesi,  quod  nodus  horis  singulis  in  locum 
priorem  retrahitur,  sic  ut  Sol  anno  toto  completo  ad  nodum  eundem 
radeat  a  quo  sub  initio  digressus 
fuerat.  Verum  per  motum  nodi  fit 
ut  Sol  citius  ad  nodum  revertatur, 
et  computanda  jam  est  abbreviatio 
temporis.  (°)  Cum  Sol  anno  toto 
conficiat  360  gradus,  et  nodus  motu 
maximo  eodem  tempore  conficeret 
39^^  38'.  T\  50"\  seu  39,6355  gra- 
dus;  etmotus  mediocris  nodi  in  loco 
quovis  N  sit  ad  ipsius  motum  medio- 
crem  in  quadraturis  suis,  ut  A  Z  q  ad  A  T  q :  erit  motus  SoUs  ad  motum 
nodi  in  N,  ut  360  A  T  q  ad  39,6355  A  Z  q;  id  est,  ut  9,0827646  A  T  q 
ad  A  Z  q.  Unde  si  circuli  totius  circumferentia  N  A  n  dividatur  in 
particulas  sequales  A  a,  tempus  quo  Sol  percurrat  particulam  A  a,  si 
circulus  quiesceret,  erit  ad  tempus  quo  percurrit  eandem  particulam,  si 
circulus  una  cum  nodis  circa  centrum  T  revolvatur,  reciproce  ut  9,0827646 
X  ATqad  9,0827646  A  T  q  +  A  Z  q.  Nam  tempus  est  reciproce  ut 
velocitas  qua  particula  percurritur,  et  haec  velocitas  est  summa  velocitatum 
Sohs  et  nodi.  Igitur  si  tempus,  quo  Sol  sine  motu  nodi  percurreret 
arcum  N  A,  exponatur  per  sectorem  N  T  A,  et  particula  temporis  quo 
percurreret  arcum  quam  minimum  A  a,  exponantur  per  sectoris  particu- 
lam  A  T  a;  et  (perpendiculo  a  Y  in  N  n  demisso)  si  in  A  Z  capiatur  d  Z, 
ejus  longitudinis  (p)  ut  sit  rectangulum  d  Z  in  Z  Y  ad  sectoris  particulam 
A  T  a  ut   A  Z  q  ad  9,0827646  A  T  q  +  A  Z  q,   id  est,   ut  sit  d  Z  ad 


(°)  *  Cum  Sol,  &c.  Velocitas  Solis  est  ad 
velocitatem  nodi  cum  nodi  sunt  in  quadraturis, 
ut  360''.  quse  est  via  Solis  toto  anno  ad  39.  38'. 
7".  50'".  seu  39-6355.  gradus  quos  nodus  toto 
anno  conficeret,  si  toto  anno  maxima  sua  celeri- 
tate  moveretur ;  velocitas  nodi,  cum  nodi  sunt  in 
quadraturis,  est  ad  nodi  velocitatem  ciim  nodi 
distant  a  Sole  arcu  ANutATqadAZq  per 
Prop.  praeced.  ergo  ex  acquo  et  compositis  ratio- 
nibus,  velocitas  Solis  est  ad  velocitatem  nodi  ciim 
nodi  distant  a  Sole  arcu  A  N  ut  560  A  T  q  ad 
39.6355  A  Z  q;  id  est,  dividendo  360  per 
59.6355  ut  9.0827667  A  T  q  ad  A  Z  q.  Sed 
dividenJo  360  per  39^^  38'.  7".  50'".  prodit 
numerus  9.0827646  loco  hujusce  9.0827667  col- 
locandus. 


C)  *  Ut  sit  rectangulum  d  Z  in  Z  Y  ad  sec- 
toris  particulam  A  T  a.  Sectoris  particula  A  T  a 
est  semper  aequalis  dimidio  rectanguli  A  T  in 
A  a,  est  vero  Z  Y  ad  A  a  ut  A  Z  ad  A  T,  du- 
cantur  antecedenfes  in  d  Z  et  consequentes  in 
f  A  T  erit  rectangulum  d  Z  in  Z  Y  ad  ^  A  T 
X  A  a  sive  ad  sectoris  particulam  A  T  a  ut  d  Z 
in  A  Z  ad  "l  A  T  q  sive  ut  d  Z  in  2  A  Z  ad 
A  T  q,  sed  sumitur  esse  dZinZYad  ATa 
ut  A  Z  q  ad  9.0827646  A  T  q  -j-  A  Z  q  ergo 
etiam  d  Z  in  2  A  Z  est  ad  A  T  q  ut  A  Z  q  ad 
9.0827646  A  T  q  -f-  A  Z  q  et  vicissim  d  Z  in 
2  A  Z  est  ad  A  Z  q  ut  A  Tqad  9.0827646X 
A  T  q  -}-  A  Z  q  et  dividendo  duos  priores 
terminos  per  2  A  Z  est  d  Z  ad  ^  A  Z  ut  A  T  q 
ad  9.08ii7646  A  T  q  -[-  A  Z  q. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  41 

i  A  Z  ut  A  T  q  ad  9,0827646  A  T  q  +  A  Z  q ;  (i)  rectangulum  d  Z 
in  Z  Y  designabit  decrementum  temporis  ex  motu  nodi  oriundum,  tem- 
pore  toto  quo  arcus  A  a  percurritur.     ("^)  Et  si  punctum  d  tangit  curvam 

(^)  *  Rectangulum  d  Z  in  Z  Y  designabit  de-  corum  temporum  est  ad  prius  tempus  ut  A  Z  q 

crementum  temporis  ex  motu  nodi   oriundum ;  ad  9.0827646  A  T  q  -|-  A  Z  q,  sed,  ex  hypo- 

nam,  ex  superioribus,  tempus  quo  Sol  percurrit  thesi,   secloris  particula  A  T  a  designat  prius 

arcum    A  a   sine  motu  nodi,  est  ad  tempus  quo  tempus,  ea  ergo  quantitas  d  Z  X  Z  Y  quce  est 

Sol  a  nodo  discedet  eo  arcu  A  a  si  (ipse  nodus  ad  A  T  a  ut  A  Z  q  ad  9.0827646  A  T  q  4- 

moveatur)  ut  9.0827646   ATq-j-^Zqad  AZq  exprimet  decrcmentum  temporis  ex  molu 

9.0827646  A  T  q;  hinc  convertendo,  difFerentia  nodi  oriundum. 

C)   *  JEt  si  punctum  d  tangit  curvam  N  d  G  n.     Numerus  560  designetur  per  a,  numerus 
39,6355  dicatur  b,  ideoque  9.0827646  sit  — ,  A  T  dicatur  r,  et  A  Z,  y,  eritque  d  Z  =      "^^    ^ 

z=  —2 ^    y  .    et  in  punclo  T  ubi  A  Z  evadit  A  T  sive  ubi  fit  y  =  r  est  d  Z  =  — t-t-  = 

ar^-f-by-  *^  "^  a -f  b 

;— ;: 5  ita  ut  d  Z  ad  vicesimam  radii  partera  nusquam  assurgat. 


20.1655292 


Est  autem  ex  natura  circuli  TZ  =  >v/rr  —  yy,  etTZadAZut  fluxio  ordinatsj  A  Z  ad 
Z  Y,  ideoque  Z  Y  =  —2=^I==,  hinc  elementum  dZXZY=  ^br^y^dy 


a/  r  Y  —  yy  (ar^-j-^^y^^V^'*"  —  YY 

y  *  d  y 
et  elementum  segmenti  N  A  Z  est 


V  rr  — yy 

Z56 


.  y2        y4  y  6  5y8  7y^° 

Est  vero  a/  r  r  —  y  y  aequalis  seriei  r  — — -  —  ; — - — — -,  &c. 

^  /J^  2r8r3i6r5i28r7       256  r  9 


«quahs  senei  -_  +  _  +  —  +  _^  +  __  +  ^^^  ^-„,  &c. 


V  rr  — yy 
quae  serics  parum  convergit  quando  y  accedit  ad  valorem  r,  unde  prudenter  est  adhibenda. 

Muitiplicetur  vero  haec  series  per  d  y  et  fiat  integratio,  obtinetur  sequens  series  quae  exprimit 

v3  v5  3v7  5v^  Stv^^ 

segraentura  N  A  Z,  i-  -f  ,-|— ,  -f  ^/-j  +  ,-f-,  -f  ,  '^^    ^,  &c. 
3r'    10  r3'    56  r5'     144  r  7    '     1408^9' 

quae  series  parum  convergit  quando  y  =  r  sed  tunc  segmentura  N  A  Z  est  quadrans  circuli  qui 
per  alias  commodiores  approximationes  obtinetur. 

b  by^     b^y+       b3y<5     b+v^ 

Dividatur  |  b  r  ^  per  a  r  ^  +  b  y  ^  fit  series  —  X  (1  -^^+^^7:;  -  ^T7«+^T7^'  ^'-^ 

1  •  .  •,.     .  „       .     .     b  .    .        1 
qua2  plunmum  convergit  propter  dignitates  crescentes  fractionis  —  qua;  eet  circiter  -^. 

y  2 

Multiplicetur  itaque  per  hanc  serlem,  series —  supcrius  inventa  et  obtinebitur  haec 

V  rr  — yy 

b           v2          v+          3v^          5v^          35  v^''  63  v^* 

series  —  X    —  -4- \-  --—  4-  — ^,  -4-  ^^ \-  ■  ■.  &c. 

2  a  '^     r    ^  2  r  3  T^   8  r  5  ~  16  r  7  T^  11J8  r  9  ~  256  r  "' 

2a^  ^  r^f^rS^isr^^T^ierO^^l^ar»'       * 


4. H  V  JL^  4. _yl  4_ m°  4.  ^y" 


&c. 


b  *  v  '  V  ^°  3  v " 

2a'V'^  r7'2ry~8r"' 

et  multiplicetur  hscc  scrics  per  d  y  et  integretur,  fiet  series  qux  exhibebit  vaiorem  arca;  N  d  Z 


42 


PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 


N  (1  G  n,  area  curvilinea  N  d  Z  erit  decrementum  totum,  quo  tempore 
arcus  totus  N  A  percurritur ;  et  propterea  excessus  sectoris  N  A  T  supra 
aream  N  d  Z  erit  tempus  illud  totum.     Et  quoniam  motus  nodi  tempore 


2a  ^   3r 

—  hl 

2a* 
^  2a3  ^ 

-—  X 
2a4  ^ 


"  10  r  3  T^  56  r  5    «    144  r  7  T^  1408  r  9  ~  5508  r  "'       * 


5yJ> 

y9 


5r3   ~  14r  S    '     72  r 
7  r5   "•     18  r 


1  + 


JyJL 

176  r  9 
3y" 


35  y 


1664  r  " 

5y  13 


88  r  7     "T    208  r 


J ^- L 

r7     ~     22r9    ~ 


104  r 


Termini  variabiles  primae  lineae  hujusce  seriei,  seriem  ipsara  illam  constituunt  quae  est  valor  seg- 

menti  N  A  Z,  ejus  itaque  primae  linese  valor  est  — -  N  A  Z. 

2  a 

y  ^ 

Si  dividantur  omnes  termiui  secundae  lineae  per  — j,  observabitur  quotientes  hanc  habere  rela- 

tionem  ad  terminos  correspondentes  primse  lineae,   ut,   si  exponens  litterae  y  in  termino  quovis 
primae  liuea?  dicatur  £,  quantitas  eadem  quee  in  prima  linea  dividitur  per  S,  in  secunda  linea  divida- 

—  UL  evauai, 
r 

—  in  prima  linea  dividitur  pcr  5,  m  secunda  per  5,  sicque  m  omnibus  terminis  utriusque  h'ne£e,  ut 

facile  constabit  ex  ipsa  origine  istius  seriei,  et  integrationis  lege  ;  hinc  si  ad  communem  denomina- 

torem  reducantur  termini  utriusque  lineae,  ducendus  erit  nuTnerator  primae  lineae  in  g  -|-  2,  nume- 

rator  secundae  in  €,  et  denominator  communis  erit  S  X  ^  -h  2 ;  quare  subductis  terminis  secundje 

2 
lineae  a  terminis  primae  diflferentia  exprimetur  per  terminos  prim£E  seriei  ductos  in  — - —  quod  se- 

/■  ....  V  2 

riei  convergentiam  plurimum  augebit;  ideoque  ternuni  variabiles  secundae  Lneae  erunt  —  X 


y "  y  3 

tur  per  e  -j-  2 ;  sic  termino  primo  secundae  lineae  diviso  per  —  ut  evadat  ~,  quantitas  communis 


■2y3         2yS 


6y7 


I0y9 


N  A  Z  -  I^  X  (jj-^  +  7U71  +  55i71  +  150477'  ^""'^    '^^"^^^"'^  ^^  brevitatem  series  horum 

b  ^  y  ^  b  2  y  2 

terminorum  D  et  valor  verus  istius  secundae  linea;  est  —  - — -—  N  A  Z  -f-  - — ^—  X  I^. 

2a^r^  '2a*r^ 

Simili  ratiocinio,  ut  referantur  termini  variabiles  tertiae  lineae  ad  secundam,  dividantur  omnes 

y  2 

termini  tertiae  lineae  per  —^  et  si  dicantur  y  exponentes  terminorum,  differentia  terminorum  secun- 


dae  et  tertise  lineae  exprimetur  per  terminos  secundae  seriei  ductos 


y  +  2 


,  ideoque  termini  varia- 


biles  tertiae  linea.  erunt  y-^XNAZ-^XD-^J    X(||^+^+7^,,&cOdicatur 

b3y4  ^  b3y4 

E  series  horum  terminorum  et  valor  verus  tertiae  lineae  erit  -4-   - — , — ,    X   N  A  Z  —  - — -  — 

^a-^r*  iia-^r* 

X  D  —  - — ^— 2  E  ex  quibus  facile  intelligitur  valorem  areae  N  d  Z  exprimi  possc  hac  ratione 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  43 

minore  minor  est  in  ratione  temporis,  debebit  etiam  area  A  a  Y  Z  diminui 
in  .eadem  ratione.  Id  quod  fiet  si  capiatur  in  A  Z  longitudo  e  Z,  quae  sit 
ad  longitudinem  A  Z  ut  A  Z  q  ad  9,08276  A  T  q  +  A  Z  q.  {')  Sic 
enim  rectangulum  e  Z  in  Z  Y  erit  ad  aream  A  Z  Y  a  ut  decrementum 
temporis,  quo  arcus  A  a  percurritur,  ad  tempus  toturn  quo  percurreretur, 
si  nodus  quiesceret :  et  propterea  rectangulum  illud  respondebit  decre- 
mento  motus  nodi.  Et  si  punctum  e  tangat  curvam  N  e  F  n,  area  tota 
N  e  Z,  quas  summa  est  omnium  decrementorum,  respondebit  decremento 
toti,  quo  tempore  arcus  A  N  percurritur ;  et  area  reliqua  N  A  e  respon- 
debit  motui  reliquo,  qui  verus  est  nodi  motus,  quo  tempore  arcus  totus 
N  A  per  Solis  et  nodi  conjunctos  motus  percurritur.     (*)  Jam  vero  area 

A      XNAZ. 

b^v^^  b^v*  b-^v^ 

-  iTTTS  X  ^  A  2  +  ^—^^  D  +  ^—^^  E  +  j-^^  F,  &c. 
Unde  summae  coefficientium  quantitatum  N  A  Z,  D,E,  F,<&c.quiprogressioncsgeometncasfor- 

mant  juxta  regulas  vulgares  obtineri  possunt,   ideoque  tandem  area  N  d  Z  est  ^   -' V 

ar^-[-by* 

^^^+a-r^  +  aby^^       a^r  ^  +  a^by^  ^  +  a^rH+a^by^  ^'  ^^* 

Cor»   1.      Primus  terminus  seriei  quaj  expri-  Cor.  3.     In  casibus  in  quibus  y  est  quam  mi- 

mitur  per  D  est  |.  primi  termini  seriei  quae  expri-  nima,  ita  ut  a  r  ^  +  b  y  ^  pro  a  r  ^  sumi  possit, 

mit  segmentum  N  A  Z,  et  reliqui  termini  seriei  ,,1^^  LNAZ  ^  ^  ,  ^^  ^^^.^^      ^ 
D  sunt  mniores  respectu  reliquorum  tennmorum  a  r  ^       '^  * 

seriei  quae  exprimit  id  segmentum,  ergo  D  minor  ,       ,.  ,  ^    ,  1 

est  quam  J  N  A  Z,  et  pariter  E  minor  est  quam  ^^^^^'^*'  ^^^^"^  ^^^^^  areae  N  d  Z  =  ^^^^^..,^^ 

Sy^T^.T--  ^■''y^o       ,.  ,         segmenti   N  A  Z,  unde  habentur  velut  limites 

—   D,  et  F  mmor  quam  — ,  &c.  hmc  valor     ^aloris  area>  N  d  Z  in  variis  punctis  curv^. 

N  d  Z  major  esse  nequit  quantitate    -lAlLy  ('^  *  ?'LT"'  ^f  ^«^^5|^t^""*  ^  ^  f  ZY  erit  ad 

•^                  ^                           ar^-^(;y2'^  aream  A  Z  Y  a,   &c.     Ex  praecedentibus,  area 

I.{j2y2                            bNAZ  AZYa  motum  nodorum  mediocrem  exprimit 

N  A  Z  -^ 2  /2    I    a  b  V  ^  NAZ,  =  — —-- — -  posito  Solem  sine  motu  nodi  percurrere  arcum 

— :j ^                      ar-j-by  Aa,  si  itaque  cceteris  manentibus  celerius  per- 

X|r*-| y^  nec  minor  esse  potest  quan-  curratur  is  arcus,  motus  nodorum  sive  spatium  a 

^  ^  nodis  percursum  minus  erit,  prout  tempus  erit 

titate     t)  N  A  Z      v  X  r  ^.  brevius;  cum  ergo  terapus  quo  Sol  percurrit  A  a 

ar^  +  by^        *       *  sine  motu  nodi,  sit  ad  tempus  quo  percurreretur 

Cor.  2.     Hinc  ubi  r  ==  y  et  N  A  Z  est  quad-  A  a  posito  motu  nodi  ut  9.0827646  A  T  q  + 

rans  circuli  valor  areae   N  d  Z  major  non  est  A  Z  q  ad  9.0827646  A  T  q  si  fiat  A  Z  ad  A  e 

.•    .    XT  A   ry  v>       b           ~    ;     r~             ,  in  ea  ratione,  et  utrumque  ducatur  in  Z  Y,  erunt 

quantitate  N  A  Z  X  ^  X  ^  +  ^^'  "^^  "^^"  area)  A  Z  X  Z  Y,  ad  A  e  X  Z  Y  ut  motus  no- 

b  dorum  in  hypothesi  priori  ad  eorum  verum  mo- 

nor  quam  N  A  Z  X  -.    ,  X  i;  sive  iijajor  non  tum ;  et  convertendo  erit  e  Z  X  Z  Y  ad  A  Z  X 

'  Z  Y  ut  difterentia  motuum  ad  motum  priorem, 

est      quadrantis      nortione 4-  sive  ut  A  Z  q  ad  9.0827646  A  T  q  -1-  A  Z  q. 

20.1655292       ^  /t>   Tir      *    r            ^                              ,•            . 

1               ^                                       2  {'^)   116.     *  Jam  vero  area  semi-circuh  est  ad 

457  806886"  ^^^^   quadrantis  _————_  nec     arcam  N e  F  n.     Cbfnmodius  calculi  ducentur 
^  •  ^  ^      1 9,314749 J  gj  p^jyg  quaBramus  aream  N  A  n  e  N  inter  semi- 

minor  quadrantis  portione  ^^^ .  peripheriam  N  A  n  et  curvani  N  e  n  contentam, 

20.1655292  quam  detraliemus  ex  semi-circuli  are  j  tumque 

VoL.  III.  Pars  II.  D 


H* 


44 


PHILOSOPHLE  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 


semi-circuli  est  ad  aream  figurse 
N  e  F  n,  per  methodum  serierum 
infinitarum  quaesitum,  ut  793  ad  60 
quamproxime.  Motus  autem  qui 
respondet  circulo  toti,  erat  1 9^^  49\ 
3'^  55^^^  et  propterea  motus,  qui 
figurae  N  e  F  n  duplicatae  respon- 
det,  est  F^  29'.  58^  2''\  Qui  de 
motu  priore  subductus  relinquit 
18«^    19'.   5'\   53'''.    motum   totum 


residuum  erlt  area  N  e  F  n,  quam  cum  semi- 
circuli  area  conferre  licebit. 

Sit  ergo  ut  prius  360°.  =  a,  39°.  6C55  =  b, 
A  T  =  ret  A  T=ret  A  Z  =  y;  erit  ex  nota 
pra?cedenti   9.0827646   A  T  q  -}-  A  Z  q  (sive 


-|-  y  2  ad   9.0827646  A  T  q  sive 


ut  AZ  (sive  y)  ad  A  e  quod  erit  itaque  — — -p  ^ 
ydy 


est  vero  Z  Y  = 


areae  a  A  e  est 


/V/rr  — yy 
a  r  2  y  2  d  y 


r^y 

hinc  elementum 
ed  ele- 


-l-by^  V  ri*— yy 

mentum  areae  curvoe   N  d  G  n  nota  superiore 
i  b  r  ^  y  2  d  y 

115.  mventum  erat  = ■= 

(a  r^-^  b  y  ^)  /y/  r  r  —  y  y 
ergo  elementum  areas  curvilineze  N  A  n  F  N  est 
ad  elementum  areas  N  d  G  n  in  ratione  data  a 
ad  ^  b ;  unde  si  valor  hujus  areje  N  d  G  n  in 
nota.  C)  inventus  per  ^  dividatur,  et  multiplicetur 
per  a,  habebitur  valor  area;  N  A  n  F  N  qui  ita- 

que prodibit        "^!"     z  ^^Z  -j ^-J^ X 

ar^-J-by^  '    ar^-f-by^ 


D  — 


b^y 


a^r^-l-  bay 


E  + 


b3y2 


r^-f-a*by 


F, 


Tollatur  vero  haec  area  ex  segmento  N  A  Z,  sive 
a  r  ^-l-b  V  ^  b  V  ^ 

byl-D-f.— ^-y^— X 


N  AZ 


£  — 


a  r  ^  -j-  by 

b3  y2 


a^r^^bay* 
F,  &c.  idque  rcsiduum 


est  area  quacsita  N  e  Z,  quod  brevius  exprcssum 

b  V  ^  b 

^  l, i  X(NAZ  —  D-f--E  — 

„r^-j-by^^  'a 

4f,&c.) 


fit 


Jam  autem  ut  habeatiyr.ratio  semi-clrculi  ad 
aream  N  e  F  N,  sive,  quod  idem  est,  quadrantis 
circuH  ad  N  F  T  cjus  area?  N  e  F  n  diniidium  ; 
dicatur  c  quadrans  peripheriae  cujus  radius  est  r ; 
sitque  ra  ad  n  ut  c  est  ad  r  j  valor  quadrantis  est 


— ,  et  cum  N  A  Z  est  quadrans,  tum  y  =  r 
ergo  valor  dimidii  arese  N  e  F  n  est  7— r-r 

ex  iis  autem  quae  in  nota  (J)  dicta  sunt,  valor  D 
(ponendo  r  loco  y)  est 

/2     .      2     .       6      ,       10      .        70     , 

r   2    V  ( -^ ); 

^  ^15  ~  70  ~  504~  1584  ~  18304^ 

qui  termini  ad  decimales  reducti  faciunt  .184  r^. 

Omittantiir  reh'qai  termini  quantitatis  D  ut  et 

quantitates  E,  F  de  qua  omissione  postea  dicemus, 

n  c . .   ^           -        n  r  c 
et  quoniam  cst  r  =  —  ideoque  r  ^  =  = 

^  m  ni 

2n     rc   ,,  ,  1-      l>     K>/rc     rc     2  n 

— X—  \alorare3eevad1t — -— X{ X  — 

m  ^  2  a-j-b     v  2       2       m 

X  .184)   qui  valor  est  ad  valorem  quadrantis 

— ,  ut  — — r  X  (i  —  —  X  «184)  ad  1,  substitu- 
2         a  -  ^  b  m 

endo  autem  loco  b  et  a  eorem  valores,  est  — ; — r 

a  -f-  b 

=  .099 ;  et  ex  natura  circuh*  est  2  n  ad  m ,  sive 

diameter  ad  quartam  peripheriae  partem  ut  1.274 

ad  1  ideoque  —  X  •  184=  1.27  X -184  =  .23, 

quod  detractum  ex  unitate  relinquit  .766;  quod 

tandera  ductum  in  — ■ — -  sive  .099  efficit  .0758 
a  -|-  b 

qui  valor  est  ad  1 ;  ut  arca  quaesita  ad  quadran- 

-tem  ;  manebit  eadem  ratio  si  uterque  terrainus 

per  793  ducatur,  sed  .0758  in  795  efficit  60.  10. 

Ergo  est  area  quaesita  N  e  F  n  ad  semi-circulum 

ut  60.  proxime  ad  793.      Q,.  e.  i. 

Omisimus  terminos  seriei   D  praeter  quinque 

priores,   et  terminos  serierum  E,  F,   &c.   facile 

enim  deprehenditur  ex  CoroUariis  nota;  C)  uhi- 

mos  illos  terminos  seriei  D,  prope  a?quaJes  fieri 

a 

terminis  seriei  E  duct^  in  —  qui  termini  nega- 

tivi  sunt,   sicque  mutuo  destrui,    reliquaj  verd 

series  ciim  per  dignitates  fractionis  —  ducatitur, 

brevi  evanescunt,  ut  quidem  exploravimus  calculo 
ad  plures  terminos  producto. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  45 

nodi  respectu  fixarum  inter  sui  ipsius  conjunctiones  cum  Sole;  et  hic 
motus  de  Solis  motu  annuo  graduum  360  subductus,  relinquit  34 1-^'.  40'. 
54'^  *!'",  motum  Solis  inter  easdem  conjunctiones.  Iste  autem  motus  est 
ad  motum  annuum  360^^  ut  nodi  motus  jam  inventus  18^^  19^  S".  53"\ 
ad  ipsius  motum  annuum,  qui  propterea  erit  19^^  18'.  1".  23'''.  Hic  est 
motus  medius  nodorum  in  anno  sidereo.  (")  Idem  per  tabulas  astrono- 
micas  est  19^.  21'.  21".  50'".  DifFerentia  minor  est  parte  trecentesima 
motus  totius,  et  ab  orbis  lunaris  eccentricitate  et  inclinatione  ad  planum 
eclipticae  oriri  videtur.  Per  eccentricitatem  orbis  motus  nodorum  nimis 
acceleratur,  et  per  ejus  inclinationem  vicissim  retardatur  aliquantulum,  et 
ad  justam  velocitatem  reducitur. 

PROPOSITIO  XXXIII.     PROBLEMA  XIV. 

Invenire  motum  verum  nodorum  Lunce. 

In  tempore  quod  est  ut  area  N  T  A  —  N  d  Z,  motus  iste  cst  ut  area 
N  A  e,  et  inde  datur.    {^)  Verum  ob  nimiam  calculi  difficultalem,  praestat 

(")  *  Idcm  per  tabulas  astronomicas.    Cassinus  bunt  motunn   verum  eo  ipso  tempore,  ideoque 

ex  antiquis  observationibus  nodorum  motum  de-  triangulum   A   T  Z  reprajsentabit  diiferentiam 

terminat  in  anno  communi  19°-  19'.  45".  quibus  motus  medii  a  motu  vero,  qua;  debebit  subtrahi 

additis  49".   pro  motu  nodi  per    6^^.    10'.  54".  a  motu  medio  ut  verus  motus  habeatur  in  primo 

quibus  annus  sidereus  excedit  annum  commu-  quadrante,  et  tertio  ut  ex  ipsafigura  liquet;  addi 

nem,   motus  ergo  nodorum  in  anno  sidereo  est  autem  in  secundo  et  quarto :    cum  itaque  tota 

19°.  20'.  34".,  ita  ut  exigua  duntaxat  quantitate  area  circuli  sive  factum  totius  peripheria)  in  i  r, 

difFerat  motus  nodorum  per  calculum  inventus,  designet  totum  motum  nodorum  durante  anno 

ab  eo  qui  ex  observationibus  deducitur,  et  h  dis-  sidereo,  reprsesentabit  A  T  Z  eam  aequationem, 

sensus  est  adeo   parvus,    ut  neutiqnam   turbet  ^^^^  a;quatio  cum  A  Z  sit  y  et  T  Z  =  ^  tx  —  yy 

argumentum  quo  confirmctur  Newtoniana  theo-  ,.         , j-  •,  .  .         •      i- 

ria  ex  calculo  motus  nodorum  cum  observatloni-  est  1  y  ^  »•  r  ~  y  y  :   d.vidatur  ergo  tam  c.rcu}, 

bus  collato  ;  imo  dissensus  istius  causas  ex  orbis  ''^'^^''  ^"^"^  ^'^^  ^  ^  ^  ^^^»''  P^^  ^  ^'  ^"^  P^"' 

Lunaj  excentricitate  et  inclinatione  fluere  indicat  ,  g^.,.^  ^^^^  ^^  yVrr— yy  ^^^  ^^^^^  ^^^^^^  ^^ 

Newtonus,  sed  h£ec  hujus  non  sunt  loci.  r 

(*)   117.   *  Verum  ob  nimiam  calculi  diJfLcul-  A\  anno  sidereo  ad  ffiquationem  quaesitam,   sive 

tatem.      Satis  liquet  maximam  futuram  calculi  primum  consequentem    duplicando   et   secundi 

difficultatem  ex  ipsis  seriebus  in  notis  115.   et  antecedentis  dimidium  sumendo,  quod  propor- 

116.  adhibitis,  quoe  cum  parum  convergant,  re-  tionem    non    turbat,    erit    peripheria    tota    ad 

gressum  non  tantum  difficilem,  sed  etiam  pariim  ^ v  .  /  y r       yv 

tutum   habent ;    hinc  alia  artificia  commodiora     "-^-^ ^,  ut  motus  semestris  nodi  ad  ae- 

adliibet  Newtonus,   qua^  ut   intelligantur,   duas  ^.  -^  ,  .     .   ..     ^  . 

,        ^,  '   \      ^       .,        ^'j  ^     '.        j  quationem  qua?sitam :   sed  ex  princjpns  trigono- 

hypotheses  assumere  hceat  quibus  pedetentim  ad.  ^    ^.  .       .^        .  ^        .K        j     i     °     a 

•  •'*  .        .  X'      .^     •  1         •  metricis,  sinus  eius  arcus  qui  loret  duplus  arcus 

ipsamconstructionem  JNevvtonianamdeveniemus.  '  •'  ^  — !_ 

Prior  ergo  hypothesis  ea  sit  quam  in  Prop.  j^  ^  ^^-       si„us  esj     f^ret  ^^  ^  rr  — yy  ^ 
XXXII.  fingit  Newtonus,  singulis  horis  retrahi  r 

nodum  in  locum  suum  priorem,  ut  non  obstante  ergo  si  describatur  circulus   radio  quocumque 

motu  suo  proprlo  datum  servet  situm  ad  fixas;  C  B,  et  sumatur  arcus  B  F  duplus,  arcus  N  A, 

interea  vero  Solem  progredi  a  nodo :   ea  quippe  hoc  est  duplus  distantia)  Solis  a  nodo  (quae  dis- 

in  hypothesi,  ex  Prop.  XXXII.  tota  area  circuli  tantia  per  motus  medios   SoHs   et  nodi  haberi 

repnesentat  totum  nodorum  motumintcgro  anno  potest)  erit  peripheria  tota  ad    F  H   slnum  cjus 

sidereo,  ideoque  sectorcs  N  A  T  repra-sentabunt  arcus  B  F  ut  motus  semestris  nodi  ad  aequatio- 

motum  medium   eo   temporc  quo  Sol  discedit  a  nem  qua-sitam  ;  ideo  producatur  D  C  B  in  A, 

nodo  arcu  N  A  et  segmenta  N  A  Z  reprasenta-  ita  ut  radius  A  D  sit  ad  radium  C  D  ut  periphe- 

D2 


46 


PHILOSOPIIIiE  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


sequentem  Problematis  constructionem  adhibere.     Centro  C,  intervallo 

quovis  C  D,  describatur  circulus  B  E  F  D.     Producatur  D  C  ad  A,  ut 

sit  A  B  ad  A  C  ut  motus 

medius  ad  semissem  motus  _    — JRL — -'G 

veri  mediocris,  ubi  nodi  sunt 

in  quadraturis,  id  est,  ut  1 9^^ 

18'.  r\  23'^  ad  19^^  49'.  3''. 

55^^\;  atque  ideo   B   C  ad 

A  C  ut  motuum  differentia 

0^^  31'.  2".  32'".,  ad  motum 

posteriorem  19^^  49'.  3".  55'\  hoc  est,   ut  1  ad  38x^^5  ^^^^  pei*  punctum 

D  ducatur  infinita  G  g,  quae  tangat  circulum  in  D ;  et  si  capiatur  angukis 


ria  tota  ad  motum  semestrem  nodi,  sive  ut  a  ad 
5  b,  et  centro  A  radio  A  D  describatur  arcus 
I)  G  et  sumatur  ejus  arcus  longitudo  quaa  sit 
aequalis  sinui  F  H,  numenis  graduum  ejus  arcus 
D  G  erit  ipsa  asquatio  quaesita ;  nam  si  sumere- 
tur  in  circulo  cujus  radius  est  C  D  arcus  D  L 
cujus  longitudo  esset  jequalis  F  H,  foret  tota 
peripheria  seu  360^"^.  ad  numerum  graduum  in 
eo  arcu  D  L  contentorum  ut  numerus  graduum 
motiis   semestris   nodi   ad   numerum   graduum 


aequationis  quaesitae,  sive  alternando,  tota  peri- 
pheria  ad  numerum  graduum  motus  semestris 
ut  numerus  graduum  arcus  D  L  ad  numerum 
graduum  gequationis  quaesitoe ;  sed  ex  construc- 
tione  ctim  longitudo  arcus  D  G  sumatur  aequalis 
sinui  F  H,  sive  arcui  D  L,  numerus  graduum 
in  eo  arcu  D  L  contentorum  est  ad  numerum 
graduum  in  arcu  D  G  contentorum  inverse  ut 
eorum  circulorum  radii,  hoc  est  ex  constructione, 
ut  360°.  ad  numerum  graduum  motus  scmestris 
nodi,  ergo  numerus  graduum  arcus  D  G  est  ipse 
numerus  graduum  acquationis  quaesitae ;  satis 
liquet  autem  arcum  D  G  paucorum  graduum 
esse  debere,  et  a  hnea  recta  parum  differre ;  hinc 
si  in  puncto  D  erigatur  tangens  ad  circuhnn 
cujus  ladius  est  C  D,  sumatunjue  D  G  iu  tau- 


gente  aequalis  ipsi  sinui  F  H  ;  perinde  prope 
erit  ac  si  sumeretur  ea  longitudo  secundum 
arcum  circuli  radio  A  D  descripti,  et  pimctuui 
G  sive  in  tangente  sive  in  arcu  sumatur,  eodem 
in  ioco  occurret  quam  proxime  ;  ita  ut  ex  hac 
constructione,  angulus  G  A  D  cujus  arcus  D  G 
est  mensura,  sit  ipsa  aequatio  quaesita,  substrac- 
tiva  in  1°.  et  S°.  quadrante,  additiva  in  2°.  et 
4°.  et  obtinebitur  juxta  trigonometriae  principia, 
dicendo  ut  A  C,  sive  360*^".  —  9^^  54'.  51". 
57'".,  ad  C  F  sive  C  B,  nempe 
9^'.  54'.  31".  57"'.,  hoc  est,  ut  a 
—  i  b  ad  ^  b,  sive  ut  35  j  ad  1. 
Ita  sinus  duplaj  distantias  Solis 
a  nodo  ad  a?quationem  quaesitam: 
maxima  autem  erit  aquatio  in 
octantibus,  quia  area  A  T  Z  quae 
aequationem  repraesentat,  est  ma- 
jor  in  octantibus  quam  in  alio 
loco. 

His  prohe  intellectis  facile 
inde  ad  veriorem  computum 
procedere  hcebit. 

2.  If^/P-  I"  constructione 
Newtoniana  Prop.  XXXIL 
circulus  integer  N  A  n  N  de- 
signat  annum  sidereum,  simul- 
que  motum  nodorum  in  hypo- 
thesi  quod  Sol  ipse  describit  id  spatium  quo  nodi 
revera  ab  ipso  discedunt;  in  hac  autem  hypo- 
thesi  motus  nodorum  est  19^'.  49'.  3".  55"'.  et 
calculis  nostris  per  quantitatem  ^  b  fuit  expres- 
sum. 

Si  autem  revera  arcus  A  N  repraesentet  reces- 
sum  Solis  a  nodo,  tam  per  rnotum  proprium 
Sohs  quam  per  medium  motum  nodi,  tempus 
quo  tota  circumferentia  N  A  n  N  describetur, 
non  erit  annus  sidereus,  sed  tempus  elapsum  in- 
ter  syzygiam  Solis  nodique  et  syzygiam  sequen- 
tem  Solis  cum  eodem  nodo,  cumque  uniformiter 
describatur  ea  circumferentia,  siquidem  ad  motus 
medios  Solis  et  nodorum  refcrtur,  sectores  circuli 
N  A  n  N  erunt  proportionales  motui  medio 
nodorum;  ilaque  si  totus  circulus  repraesentet 


^ 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


47 


B  C  E  vel  B  C  F  aequalis  duplae  distantiae  Solis  a  loco  nodi,  per  motum 
medium  invento ;  et  agatur  A  E  vel  A  F  secans  perpendiculum  D  G  in 
G ;  et  capiatur  angulus  qui  sit  ad  motum  totum  nodi  inter  ipsius  syzygias 
(id  est,  ad  9^.  11'.  3''.)  ut  tangens  D  G  ad  circuli  B  F  D  circumferentiam 
totam;  atque  angulus  iste  (pro  quo  angulus  D  A  G  usurpari  potest)  ad 

motum  nodorum  a  tempore  quo  Sol  et  nodus  xt  »      ^  •  •  a  r  * 

fuere  conjuncti  usque  ad  sequentem  Solis  syry-  ^^^'  ^alor areae  N  A  e  fuit mventus  —— — -^X 

giam  cum  eodem  nodo,  sector  A  T  N  repnesen-  N  A  Z  (omissis  cajteris  terminis  qui  per  D,  E, 

tabit  motum  medmm  nodorum  eo  tempore  quo  &c.  multiplicantur  ut  pote  minimis).  Itaque 
motu  medio   Sohs  et  nodi,  nodus  et  Sol  arcu  •iab4--b^  ar^ 

N  A  a  se  mutuo  recessere.  fiet  a^quatio  1^^^:^-^)  ^^^^^  -JT^^fUP^ 

rempus  autem,  mter  duas  syzygias  Solis  cum  ^  ^  ^  );  eum  aut^  casum  sumamus  in  quo 
eodem  nodo,  hac  ratione  a  r^ewtono  determi-      *  xt     /       •  u    •         l  •        •    a  ,    ^ 

,  '         .  •  j  1  A  N  est  peripheria?  octans,  quia  ni  pnma  hvpo- 

natur  per  observationes:  anno  sidereodum  nem-  ^u    •  i-       *  •  ^-        ^j.    .     ■''^. 

o  1   r.^r^Rr  L-A  L  A-  I  thesi  liquet  eo  in   casu   a:quationem  fien  maxi- 

pe  Sol  360''  .  emetitur,  motus  nodi  per  obser-  J  .      ,        i^^-^i.-».-        r     * 

^  ^-  ^  .       lAEr   o,/   oi"   erx'"   j  mam,  het  y  2  =  *  r  %  et  ea  substitutione facta  et 

vationes  astronomicas  19^  .  21.  21  .  50  .  depre-  ,        xt  n^  a         •.      •  i        t.  a  r,    ,    xt  *  r, 

,,.,.«,  ^  ^  ^-  ■  loco  N  1  A  posito  eius  valore  T  A  Z -I- N  A  Z 

henditur,  m  eadem  autem  erunt  proportione  vise  ^  •'  i     >  _L_  i  i  a 

Solis  et  nodi  quJB  simul  describuntur  quocumque     factaque  reductione,  evadet  £equatio  — — ^^^ — 

tempore,  ideoque  via  SoHs  et  via  nodi  inter  duas  ^  ^  ^  (*  "r  ^) 

syzygias  Solis  cum  eodem  nodo,  erunt  inter  se     CT  A  Z  -I-  ^  ^ 

ut  360  ad  19«'".  21'.  22".  50'".,  sed  illa;  du£e  viaj     *'  "*"    a  -{-  i  b 

simul  sumptae  SeO^"".  efficiunt,  itaque  360  gradus     .785  dum  quadratum  diametri  est   I,  ct  octans 

dividantur  in  duas  partes  qnarum   una  sit  ad     circuli  N   T  A  sit  ad  ejus  quadrati  octautem 

akeram  ut  560^^  ad  19^".  21'.  22".  50"'.     Htec 

uhima  pars  quae  est  IS^"".  22'.  6".   circiter,  erit 

motus  nodi  inter  duas  syzygias  Solis  cum  eodem 

nodo.  • 

Idem  motus  ex  calculo  Prop.  XXXII.,  hoc 

modo  determinabitur  :  si  ex  toto  circulo  NAnN 

duplum  area;  N  F  n  tollatur,  residuum  est  verus 

motus  nodi  inter  syzygias ;  sed  valor  areas  N  F  T 

b  X  -766    j 
erat  ad  quadrantem  ut  j — —  ad  1.  sive  prox- 


)  et  cum  area  circuli  sit 


fb 


a  -f-  b 

ime  ut  .  "*.""   .  ad  1.    In  eadem  vero  erit  ratione 

a  -f-  h 
duplum  areae  N  F  n  (quod  est  quadruplum  areaj 
N  F  T)  ad  totum  circulum,  ut  itaque  1.  ad 

f  b      .      ^  ,        . 

■     •  ita  i  b  qui  est  numerus  graduum  quem 

area  circuli  designat,  ad  numerura  graduum  de- 
signatum  per  duplum  areae  N  F  n,  qui  erit  itaque 

~— p  ;  cum  ergo  totus  circulus  numerum  gra. 


cujus  dimidium  est  T  A  Z  in  eadem  ratlone,  est 
N  T  A  ad  T  A  Z  ut  .785  ad  .5,  ideoque  divi. 
dtndo  est  N  A  Z  ad  T  A  Z  ut  .285  ad  .5,  et 
est  N  A  Z  =  .57  T  A  Z  unde  tandem  a?q.  evadit 


duum|bdesignetinProp.XXXII.,etduplum     i  a  b  +  ^  b     /a-i-_^8b\    ^  ^  ^:   sed  in 

5^^  ^  2rc(a-f.b)  V  a-f-i-b   ^ 

areae  N  F  n  designet  -^^  ,  hoc  ex  |  b  toUatur,     ^'ac  hypothesi  est  T  A  Z  =  i  r  ^;  hmc  aquatio  fit 


hanc 


j  ••  ~r  "  Xab-f-^b^     /a-f  .78  b\ 

residuum  il^L±Sf^  est  verus  motus  nodi     4cX2(a-fb)Va-t-Ab7'^*^ 

a  -^  D  proportionem  revocatur,  4  c  sive  tota  circumfe- 


mter  syzygias. 


iab  +  j^b 


a  -1-  .78  b  » 


r  ad 


Itaque  cum  niotus  medius  nodorum   sit   ut  rentiaestad  •"  "       'i_"u\       9"od   est  dimidiura 
sector  A  T  N,  et  motus  verus  nodi  exprimatur  ^  (>»  -j-  b) 

per  aream  N  A  e ;  aequatio  est  ut  A  T  N  —  motus  nodi  inter  syzygias  ut 
N  A  e,  hoc  est,  cum  totus  circulus  reprasentet  ^  +  a  b 

motura  nodorum  inter  syzygias,   est  2  r  c  ad  aquationem ;  hoc  modo  autem  construitur  quan- 

A  T  N  -  N  A  e  ut  illii^JiJ  ad  ^quat.  '"^^  T^fyiT  ''  '^^'  si^plicius  l^-^r,  de- 


ia_b+J_bJ 
2  r  c  (a  +  b) 


a+  b 
(A  T  N  —  N  A  e),  sed  in  not. 


scnbatur  circulus  B  C  D  cujus  radius  B  C  =  r 
=  I  b ;  producatur  C  B  in  A  ut  sit  A  B  =  a 
+  i  b,  idcoque  A  C  =  a  +  ^  b,  et  A  D  = 


D  3 


# 


48 


PHILOSOPHI^  NATURALIS     [De  Mund.  Syst. 


motum  medium  nodorum  addatur  ubi  nodi  transeunt  a  quadraturis  ad 
syzygias,  et  ab  eodem  motu  medio  subducatur  ubi  transeunt  a  syzygiis 
iid  quadraturas;  habebitur  eorum  motus  verus.  Nam  motus  verus  sic 
inventus  congruet  quam  proxime  cum  motu  vero  qui  prodit  exponendo 


a-J-f  b,  centro  C  erigatur  perpendicularis  C  *  ad 
circulum  usque,  et  pariter  in  extremo  diametri 
D  ducatur  tangens,  ductaque  linea  A  0  donec 
secet  tangentem  in  G,  liquet  quod  A  C  sive 
a  -|-  a  ^  est  ad  A  D  sive  a  -|-  4  b  ut  est  C  <I> 

sive  r  ad  D  G  qu£ie  erit       ,    t  .    »*,  ideoque  erit 

tota  circumferentia  ad  dimidium  motus  inter 
syzygias  ut  D  G  ad  a^quationem  quoesitam :  sive 
invertendo  tcrminos  omnes  et  altemando  ut  New- 
toni  expressio  liabeatur,  est  ajquatio  ad  motum 
nodi  inter  syzygias  proximas  ut  D  G  ad  circuli 
B  E  D  circumferentiam. 

Illa  autem  aequatio  quaesita,  erit  prope  aequalis 
angulo  D  A  G ;  nam  in  triangulo  D  A  G  est 
D  G  ad  sinum  anguli  D  A  G  sive  ad  ipsum 
angulum  D  A  G  (nam  in  parvis  angulis,  angu- 


est  ergo  550  ad  dimidi- 


lus  pro  sinubus  sumere  licet)  ut  est  A  G  vel 
A  D,  quod  est  a  -f-  l  b,  ad  sinum  totum  sive 
ad  radium  C  D  quod  est  J  b ;  sed  si  a  -|-  f  b, 
et  ^  b  dividantur  per  a  -|-  b,  quod  rationem  non 

mutat,  fiatque  — -r-^  ad      "^.    .  ita  a  sive  gra- 
a  -[-  b  a  -|-  b  *= 

dus  360  ad  quartum,  invenitur  is  quartus  termi- 

i  a  Mj  4-  i  a  b 


(a-^^b;(a-f  b) 


;  divisione  facta  per  a  -J- 


^  b  quotiens   est    ± ^   '/' omissis,  ut 

a  -f  b 
licet,  dignitatibus  altioribus  i  b,  is  vero  quotiens 

•        I  a  b  -f  ^  b  ^ 
est  ipsa  quanlitas  ^— .■   '     '^    ■     qu£B  exprimit 

dimidium  motus  nodi  inter  syzygias  ;  ergo  resu- 
niendo  ciim  sit  D  G  ad  angulum  D  A  G  ut 
a  -j-  I  b  ad  i  b  sive  ut  circumferentia  tota  ad 
dimidium  molijs  nodi  inter  syzygias,  in  eaque 
ratione  sit  D  G  ad  eequationem,  ipse  angulus 
D  A  G  est  aequalis  aequationi. 

Idem  alio  modo  constabit ;  in  ipsa  periphcria 


D  O  B  D,  sumatur  arcus  D  L  aequalis  D  G, 
erit  ut  360^^.  ad  dimidium  motiis  nodi,  ita  n«- 
merus  graduum  in  arcu  D  L  contciitorum  ad 
numerum  graduum  a^quationis ;  centro  A  radio 
A  D  describatur  arcus  et  in  eo  sumatur  longitudo 
D  G  a^qualis  D  L,  erit  ut  radius  A  D  sive 
a  -|-  I;  b  ad  radium  C  D  sive  J  b ;  ita  numerus 
graduum  arcus  D  L  ad  numerum  graduum  arciis 
D  G,  numeri  enim  graduum  in  arcubus  a?quali- 
bus  sunt  inverse  ut  eorum  radii,  sed  a  -|-  |  b  est 
ad  ^  b  ut  560^^  sive  a  ad  dimidium  motus  nodi 

.        ,  ^  a  b  -f  J-  b 
sive  ad  '  '    " 

2  (a  4-  b) 

um  motus  nodi  inter  syzygias  ut  numcrus  gra- 

duimi  arcus   D  L  ad  numerum  graduum  arcvxs 

D  G,  sed  ita  etiam  erat  numerus  graduum  arciis 

D  L  ad  numerum  graduum  tequationis  qua;sita?, 

ergo  numerus  graduum  arciis 

D  G   est  ipsa  cequatio  qunesita, 

sed  A  G  secabit  arcum  D  G  in 

puncto  tali  ut  arcus  inter  eam 

lineam  et  punctum  D  intercep- 

tus  sit  proxirae  a:qualis  tangenti 

D  G,   nam  in  parvis  arcubus, 

tangentes  prope  tequantur  suis 

arcubus,  ergo  linea  A  G  secabit 

arcum  D  G  in  G  quamproxime, 

scd  arcus   D    G   cujus  gradus 

sunt  ipsa  acquatio,  est  inensura 

anguli  D  A   G,  ergo  angulus 

D  A  G  pro  aequatione  usurpari 

potest. 

Dicit  autem  Ncwtonus  line- 

am  A  B  debere  es&e  ad  lineam 

A  C  ut  motus  medius  ad  se- 

missem  motiis  veri  mediocris  quando  nodi  sunt 

in  quadraturis,  id  est,  ut  19^^  18'.  1".  25'".  ad 

10^^  49'.  5".  55'".    In  hac  auteni  constructione 

fecimus  A  B  =  a-f-|b  et  A  C  =  a-|-^b, 

res  autera  eodem  redit,   cum  enim  motus  nodi 

.        .    iab-f  ^b^ 
mter  syzygias  sit  - —     '    . 

habebitur  motus  Solis  inter  syzygias 
aa-f  i  a  b  —  ^  b  2 


dematur  ex  a 


+  b 


iste  motus  Solis  erit  ad 


ejus  motum  annuum  560^^  sive  a  ut  motus  nodi 
iab-f^b^ 


mter  syzygias 


a-j-  b 


ad  motum  annu- 
^b 


^ab^ 


b* 


um  nodi  qui  itaque  erit = — , — ,         . 

.  ^  aa-j-Aab  — i 

is  itaque  tnotus  erit  ad  ^  b  quod  exprimit  semis- 
sem  motus  veri  mediocr.is  ubi  nodi  sunt  in  quad- 
raturiE  utia^b-j-J.ab^ad|aab-}-  iabb 


b  3,  divisis 
reliquis  terminis  per  a  b  et  duplicatis  ut  a  -|-  5  b 


—     1     b  3   sive  omisso  termino  _1_ 
1  f)  1  f) 


H^ 


LiBER  Tertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


49 


tempus  per  aream  N  T  A  —  N  A  Z,  et  motum  nodi  per  arcum  N  A  e ; 
ut  rem  perpendenti  et  computationes  instituenti  constabit.      Haec  est 


ad  a  4-  ^  b  ;  ergo  in  constructione  nostra  est 
A  B  sive  a  -f-  I  b  ad  A  C  sive  a  -f-  ^  ^^'  "*  '"o- 
tus  anuuus  nodi,  ad  semissem  ejus  quod  toto 
auno  describeretur  eo  nn.otu  quem  babent  nodi 
in  quadraturis ;  itaque  erit  etiam  a  -|-  ^  b  ad 
a  -}-  §  b  sive  A  B  ad  A  C  ut  motus  medius  no- 
di  ad  semissem  motiis  vcri  in  quadraturis,  ut 
statuit  Newtonus  ;  observandum  quidem  ex  hac 
constructione  aiquationem  futuram  maximam 
quando  linea  A  G  tangit  circulum,  quod  quidem 
incidit  paulo.ante  punctura  <t,  et  si  a  puncto  A 
ducatur  tangens  A  T  erit  ut  A  C  ad  C  T  ita 
sinus  totus  ad  cosinum  anguli  B  C  T,  qui  angu- 
lus  B  C  T  deprehcndetur  esse  8S^°.  cujus  di- 
midium  44|;°.  est  verus  locus  medius  in  quo 
maxima  fit  ajquatio,  ab  octante  adeo  parum  dis- 
situs  ut  in  sequentibus  a^quationem  maximam 
fieri  in  octantibus  supponerc  liceat,  tanto  magis 
quod  ha;c  c-equatio,  qua:  vere  maxima  foret,  ab 
ea  quae  fit  in  octantibus  insensibiliter  diflferret. 

5.  Rtjpoth.  Finximus  arcum  A  N  esse  octan- 
tem  peripherijp,  et  eo  in  casu  ostendimus  con- 
structionem  Newtonianam  exhibere  a;quationem 
illi  loco  debitam,  in  aliis  distantiis  SoUs  a  nodo 
paulo  minus  accurata  est  constructio,  sed  errore 

,  .       .                 .       .    i  a  b  -f  -J  b  2 
exiguo ;  ubivis  enim,  sequatio  erit  -^ ■  ,      . 

(TAZ+NAZ-  ^-T^^y-,  NAZ)  = 
by 


4T  AZ 


b  r  y  *_ 

iab-{-^b^/'  '^:;/f7^zj^\ 

a  c  X  2  (a+b)  V     ar^-fbyi     / 

quaj  quantitas  ad  hanc  proportionem  revocatur, 

.       •  .  r         •  j^ab-f^b^ 

4  c  sive  tota  circumferentia  est  ad  ^ — ; — '.   .  ,' 

2  (a  -I-  b) 

quod  est  dimidium  motus  nodi  inter  syzygias  ut 

,    ,         b  r  y  ^ 

a  r  ^  -|-  ■^ 


^rr  — yy  ^   4T  AZ 


ar^4-2by^ 
nem  quaesitam. 


ad    zpquatio- 


ar^  -t- 


b  r  y 


^r 


jab-flb^ 
2  r  c  (a  -|-  b)   ^  ' 


ar^-l-by 


NAZ) 


sumatur  N  A  Z  esse  ad  T  A  Z  ut  r — \/y  r  —  y  y 
ad  y'  r  r  —  y  y,  quod  quidera  verum  est  de  spa- 


Ut  construatur  ha;c  quant.  ^    ,  ^     -, 

^  a  r^  +by  ^ 

4  T  A  Z 
X ,  fiat  ut  prius  circulus  B  F  D  cujus 

radius  B  C  =  r  =  ^  b,  ideoque  b  =  4  r,  pro- 
ducaturque  C  B  in  A  ita  ut  sit  A  B  =  a  -{-  ^  b, 
sumatur  arcus  B  F  duplus  arcus  A  N,  ductoque 
perpendiculo  F  H,  et  tangente  erecta  in  D  duc- 
taque  A  F  G  erit  D  G  prope  aequalis  quantitati 

i    1         br y 2 

a  r  ^  4-  ^     -,._ 

A/r^  —  y*         4  T  A  Z 

^ ^ —  X ;  cst  enim  ex 

ar^  -1-  by  2        '^  r 

constructione  A  H  ad  A  D  ut  F  H  ad  D  G 

A    D 
ideoque    D    G   =   — — rjX  ^  ^^    ^^t    autem 

A    H 

a  r  ^  -1-  4=^- 

yr^  — y^  V   ^  "^^^  _  ^  ^    V 

ar^-l-by2         X  j.        "  AH^ 

F  H,  nam  posito  4  r  loco  b  et  utroque  terniinc 

,            4y^ 
a  -f  


diviso  per  r  -,  fit 


V  '•  r  —  y  y 


a  +  iil 

'         r 


valor  me- 
4y  a 


diocris  quadrati  y  ^  est  1-  r  ^,  unde 

4  V  ^  '  \      o 

=  — —^  et  -y/  ^  est  paulo  major  quam  |  hinc 


4y  ^  Gy 


-  —  — —  =  3  r ;  prceterea 
k  r 


2y  * 


valore 


tio  rectilinco  "N  A  Z  non  vero  de  curvilineo 

N    A    Z,    sed   propter    exiguitatem  *  fractionis 

by^ 

errorem  non  magnum  pariet 


r  2  -j-  by  ^ 


fit 


+ 


b  r  y 


2  y  ^ 
suo  mediocri  est  r,  est  etiam  — —  sinus  versus 

2  y  * 
arcus  dupli  ejus  cujus  sinus  est  y,  ideoque 

4    y   2 

est  accurate  aequale  B  H  unde  a  -\ est 

a  -j-  r  -|-  B  H,  sed  a  -f-  >"  per  constructionem 

4  y  ^ 
est  A  B,  ergo  a  -\-   — ^  est  A  H,  ideoque 


.     -Jab-l-^b*/  ^  A/rr  — vy\ 

^'i""^^'^  2rc(T-hb)    (       ar^-l-by^     :) 


yrr-yy^a-l-or 


X'1'AZsive  numeratore  et  denominatog;  quad- 
ruplicato  quod  valorem  i;ion  mulat,  fit 


a-f 


4   y   2 


A  H 


absque     errore 


D4 


50 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


ajquatio  semestris  motus  nodorum.  p)  Est  et  eequatio  menstrua,  sed  quae 
ad  inventionem  latitudinis  Lunae  minime  necessaria  est.  Nam  cum  vari- 
atio  inclinationis  orbis  lunaris  ad  planum  eclipticse  duplici  ingequalitati 
obnoxia  sit,  alteri  semestri,  alteri  autem  menstruae ;  insequalitas  et  aequatio 
menstrua  nodorum  ita  se  mutuo  contemperant  et  corrigunt,  ut  ambte  in 
determinanda  latitudine  Lun£E  negligi  possunt. 

Corol.     Ex  hac  et  praecedente  Propositione   (^)  liquet  quod  nodi  in 
syzygiis  suis  quiescunt,  in  quadraturis  autem  regrediuntur  motu  horario 


2  V  * 
sensibili,  quia  si  ~ — 


mmus  £it  aut  majus  quam 

r,  quoniam  idem  valor  in  numeratore  ac  denomi- 

natore  occurrit,  et  ea  quantitas  non  est  magna 

respectu   totius   A  H,  manebit  idem  fractionis 

valor ;  sed  a  -|-  3  r  =   A  D  ideoque  fractio 

b  r  y  ^ 
ar  2  _| ^ 

a/t  r  —  V  ^  .V  1.    n         .       . 

2~ir7 r^  estproximeaequalisfractiom 

A  d' 

AH* 

T,          .              .4TAZ 
iLiSi  vero  accurate  


F  H,  nam  tri- 

angulum  T  A  Z  =  ^-^^^,  est  A  Z  =  y, 
4TAZ 2y  >v/iT— yy^ 


TZ  =  \/r  r — y  y,  ergo 

sed,  ex  principiis  trigonometricis,   sinus   arcus 


dupli  ejus  cujus  sinus  eet  y,  est 


2y  ^rr  — yy 


ergo  sinus  arciis  B  F  qui  duplus  est  arcus  A  N 


cujus  smus  est  y,  est 


2  y  y'  r  r  — y  y 


,  sed  sinus 


arciis  B  F  est  F  H  ex  constructione,  ideoque  F  H 

2  y  A/rr  — yy        4  T  A  Z 

■^--^ ^  "^  —    et    quantitas 


A  D 


ar^  + 


r       ' 
b  r  y  2 


XFH  = 


Vi 


A  H'"  ar  ^  -|-  by  2       "        r 

Quibus  expositis,  caetera,  nempe  angulum 
D  A  G  pro  sequatione  sumi  posse,  lineas  A  B  ad 
A  C  sumendas  esse  ut  motus  medius  nodi  ad 
semissem  ejus  motus  in  quadraturis,  caetera, 
inquani,  patent  ut  in  hypothesi  secunda. 

(^)  *  Est  et  cequalio  menstrua,  ex  iis  quae  in 
Prop.  XXX.  et  XXXI.  dicta  sunt,  liquet  quod 
dum  Luna  motu  menstruo  circa  Terram  fertur, 
nodi  satis  in£equaliter  feruntur;  hinc  si  locus 
nodorum  ex  eorum  motu  medio  restimatur,  locus 
iile  medius  a  vero  nonnihil  difFerret,  idque  quod 
esset  corrigendum  secundum  diversam  Lunaj 
ipsius  distantiam  a  nodo,  a-quatio  menstrua  me- 
rito  diceretur,  sed  ciira  totus  motus  menstruus 
Luna;  non  sit  2^"^.  et  compensetur  latitudinis 
error  qui  ex  falsa  nodi  positione  oriretur  per  in- 
clinationis  Lunae  inazqualitates,  operae  pretiura 
non  duxit  Newtonus  hanc  aequationem  tradere, 
6uo  loco  autem  de  ea  compensatione  agetur. 


(^)   *  Liquet  quod  nodi  in  syzygiis  quiescunt, 

Etenim  motus  nodorum  est  ut  area  A  Z  Y  a 

dempta  area  e  Z  Y,  ubi  vero  nodi  sunt  in  syzy- 

giis  ideoque  ubi  punctum  A  incidit  in  N,  evan- 

escit  linea  A  Z  ac  per  consequens  area  A  Z  Y  a 

—  e  Z  Y  nullus  itaque  est  nodorum  motus.    In 

quadraturis   autem   regrediuntur   motu   hornrio 

16".  19'".  26''.     Si  nodi  distent  90^  ^    a   Sole, 

A  Z  fit  asqualis  A  T,  et  Z  Y  =  A  a,  ideoque 

area  A  Z  Y  a  quae  est  parallelogrammum  ejus- 

dem  altitudinis  ac  baseos  ad  triangulum  A  T  a 

est  ejus  duplura,  cumque  e  Z  sit  ad   A  Z  ut 

A  Z  q  ad   9.0S27646   A  T  q  -f  A  Z  q  sitque 

A  T 
A  Z  =  A  T  in  hoc  casu,  site  Z= 

'  10.0827646 

„  ^        AT  X  Aa    .       ,     , 

et  area  e  Z  Y  est    ,  ci^^Md  ^^^^  duplum  tcu 

anguli  A  T  a   divisum  per    10.0827646  hine 
motus  nodi  qui  exprimitur  per  aream  A  Z  Y  a  — 


e  Z  Y,  est  in  hoc  casu  ad  aream  A  T  a  ut  2  — 
2 

— ad  I ,  sed  nuia  tota  area  N  A  n  N 

10.0827646  ^ 

motum  annuum  designat  19^^  49'.  3".  55'". 
Triangulus  A  T  a  motum  horariura  repraesentans 
nuraerum  graduum  designabit  qui  obtineretur 
dividendo,19^^  49'.  3'.  55'".  per  numerura  ho- 
rarum  in  anno  sidereo  comprehcnsaruni,  et  e4 
divisione  facta  numerus  graduum  quera  reprae- 
sentat  triangulus  A  T  a,  invenietur  8".  8'".  18*''. 

..V     .  •  ^      ,       j    18.0827646  .^    .  ^ 

51.  si  itaque  fiat  1.  ad  ,— ^„-^^^v^  ita  iste  nu- 
^  10.0827646 

racrus  ad  quartura   8".  18"'.  8'^  ST.  invenietur 

1 6".  1  9^".  26'^  qui  erit  motus  horarius  quo  nodi 

regrediuntur  in  quadraturis 


J^- 


"'  LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  51 

16^'.  19''^  26^''.     (^)  Et  quod  sequatio  motus  nodorum  in  octantibus  sit 
l^.  30'.     Quae  omnia  cum  phoenomenis  coelestibus  probe  quadrant. 


Scholium, 


» 


Alia  ratione  motum  nodorum  J.  Machin,  Astron.  Prof.  Gresham,  et 
Henr.  Pemberton,  M.  D.  seorsum  invenerunt.  PIujus  methodi  mentio 
qusedam  ahbi  facta  est.  Et  utriusque  chartae,  quas  vidi,  duas  Propositio- 
nes  continebant,  et  inter  se  in  utrisque  congruebant.  Chartam  vero  D. 
Machin,  cum  prior  in  manus  meas  venerit,  hic  adjungam. 

DE  MOTU  NODORUM  LUNiE. 

PROPOSITIO  I. 

"  Motus  Solis  medius  a  7iodo,  definitur  per  medium  proportionale  geometri- 
ciim,  inter  motum  ipsius  Solis  medium,  et  motum  illum  mediocrcm  quo  Sol 
celeirime  recedit  a  nodo  in  quadraturis, 

"  Sit  T  locus  ubi  Terra,  N  n  linea  nodorum  Lunae  ad  tempus  quodvis 
datum,  K  T  M  huic  ad  rectos  angulos  ducta,  T  A  recta  circum  centrum 
revolvens  ea  cum  velocitate  angulari  qua  Sol  et  nodus  a  se  invicem  rece- 

(*)  *  Et  quod  (Fqxiatin  motus  nodorum  in  oc~  tates  4  c  et  r  quae  circumferentiam  totam  ejusque 

tautibus  sit  1^^   30'.       Ex    secunda,  hypothesi  radium  exhibent,  cum  enim  is  radius  aequipolleat 

notae   117.       ^quatio  in  octantibus   per   hanc  ^  b,  et  i  b  sit  9^'.  54'.  31".  57'".,  cavendum  ne 

proportionem   invenitur,   ut  tota  circumferentia  4  c  sive  circumferentia  tota,   360^'^.  assumatur, 

circuii  B  F  D  13  ad  dimidiura  motus  nodi  inter  sed  debet  assumiejus  numeri  graduumqui  sit  ad 

,,,     _„    .     a-U.78b  9^^54'.31".57"'.  ut  estcircumferentia  adradium. 

syzygias  quod  est  9^  .  11 .   o.  ita-^a___x  p^  j^^^,  ^^^^^^  ^quatione  semestri  non  agunt 

r  ad  jequationem  qua^sitam ;  est  autem  b  ad  a  ut  ^^  la  Hirius  et  Cassinus  in  Tabulis  Astrono- 

1  ad  9.0827646,  itaque  a  -j-  .78  b  est  ut  9.8627646  n?'cis,  nuUius  enim  usus  est  ad  calculum  eclip- 

a  -|-  .78  b  sium  ad  quem  potissimum  accommodantur  pve- 

et  a  +  f  b  ut  9.5827646  itaque  fractio  ■  ^    ■  '  i  ^^  ra?que  lunares  tabula?,  hanc  autem   asquationera 

9  8697^46                                                        "^  habent  Tabula^  Rudolphins  (pag.  87.  'rabul.)  et 

~:  J. — 1 r=:  1.0292191,  qusB  ducta  in  r  =  in  octantlbusdistanti»  Solis  a  nodo  hanc  faciunt 

9.5827646               ^^^              .r       >       f,       • ,  l^".  39'.  46".,  utrum  accurratioribus  tabuhs  ha;c 

l^—f  •  54.  31  .  57    .  dat  10«     11 .  54  .  15   .  jequatio  ad  1^^  30'.  18".  magis  accederet,  igno- 

8-.  1 1  .,  ducta  iterum  m  9«  .  11 .  3  .,  dat  93«^  ramus ;  at,  qui  probe  norum  quam  difficile  sit 

39.  49  .  48   .,  sed  si  radms  r  circuh  B  F  D  B  observationes   loci    nodi   accuratissimas    habere 

expnmatur  per  numerum  9«  .  54.  31  .  57   .,  extrd  edipses,   et  quantum  parvus  error  in  lati- 

longitudo  circumferentiae  contmebit  tales  gradus  ^^^5,^^    Lunaj   et   in  vera   inchnatione   orbitc-e 

^?gr'   l^r    ^^>r   ^^,/  !i°r   "^"i^t  r™T  assignanda  locum  nodi  mutet,  non  invenient  hoc 

93    .39.   49  .    48  .   per  62    .    13.  39  .   50  .  discrimen  9'.  obesse,  quominus  dici  possit  aequa- 

Quotiens  sive  a?quatio  quaesita  est  l^  .  50.  18  .,  ^^^^^^  j^^  inventara  cum  phsnomenis  coelestibus 

**^'  probe  quadrare,  et  facile  suspicabuntur  errorem 

Calculura  hunc  integrum  exhibuimus  ut  os-  hunc  observationi  potiiis  quam  calculo  esse  tri 

tendercmus  quomodo  adhibendaj  forent  quanti-  buendum. 


52 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS     [De  Mund.  Syst. 


dunt ;  ita  ut  angulus  inter  rectam  quiescentem  N  n  et  revolventem  T  A, 
semper  fiat  sequalis  distantiae  locorum  Solis  et  nodi.  Jam  si  recta 
quasvis  T  K  dividatur  in  partes  T  S  et  S  K  qua3  sint  ut  motus  Solis 
liorarius  medius  ad  motum  horarium  mediocrem  nodi  in  quadraturis,  et 
ponatur  recta  T  H  media  propor- 
tioiialis  inter  partem  T  S  et  totam 
T  K,  haec  recta  inter  reliquas  pro- 
portionalis  erit  motui  medio  Solis  a 
nodo. 

"  Describatur  enim  circulus 
N  K  n  M  centro  T  et  radio  T  K, 
eodemque  centro  et  semi-axibus 
T  H  et  T  N  describatur  ellipsis 
N  H  n  L,  et  in  tempore  quo  Sol  a 
nodo  recedit  per  arcum  N  a,  si  duca- 
tur  recta  T  b  a,  area  sectoris  N  T  a 
exponet  summam  motuum  nodi  et 

Solis  in  eodem  tempore.  Sit  igitur  arcus  a  A  quam  minimus  quem  recta 
T  b  a  prasfata  lege  revolvens  in  data  temporis  particula  uniformiter  de- 
scribit,  et  sector  quam  minimus  T  A  a  erit  ut  summa  velocitatum  qua 
Sol  et  nodus  tum  temporis  seorsim  feruntur.  Solis  autem  velocitas  fere 
uniformis  est,  utpote  cujus  parva  inaequalitas  vix  ullam  inducit  in  medio 
nodorum  motu  varietatem.  Altera  pars  hujus  summae,  nempe  velocitas 
nodi  in  mediocri  sua  quantitate  augetur  in  recessu  a  syzygiis  in  duplicata 
ratione  sinus  distantiae  ejus  a  Sole ;  per  Corol.  Prop.  XXXI.  Lib.  IIL 
Princip.  et  cum  maxima  est  in  quadraturis  ad  Solem  in  K,  (^)  eamdem 
rationem  obtinet  ad  SoHs  velocitatem  ac  ea  quam  habet  S  K  ad  T  S  hoc 
est  C^)  ut  (differentia  quadratorum  ex  T  K  et  T  H  vel)  C^)  rectangulum 
K  H  M  ad  T  H  quadratum.  Sed  eliipsis  N  B  H  dividit  sectorem  A  T  a 
summag  harum  duarum  velocitatem  exponentem,  in  duas  partes  A  B  b  a 
et  B  T  b  ipsis  velocitatibus  proportionales.  Producatur  enim  B  T  ad 
circulum  in  /3,  et  a  puncto  B  demittatur  ad  axem  majorem  perpendicularis 
B  G,  quae  utrinque  producta  occurrat  circulo  in  punctis  F  et  f,   (^)  et 


(^)  *  Eamdein  rationem  obtinet  per  construc- 
tioncin. 

(°)  *  Ut  differentia  qiiadratorum  ex  T  K  et 
T  H  —  ad  TH  quadratum.  Est  ex  construc- 
tione  T  K  ad  T  H  ut  T  H  ad  T  S,  est  ergo 
T  K  2  ad  T  H  2  ut  T  K  ad  T  S  et  dividendo 
T  K  ^  —  T  H  ^  ad  T  H  2  ut  T  K  ~  T  S  sive 
S  K  ad  T  S. 


C^)  *  Ut  differentin  quadratorum  ex  T  K  et 
T  H  vel  rectavgulum  K  H  M.  Est  enim  T  K  * 
—  T  H  2  =  K  H  X  H  M,  per  Prop.  V. 
Lib.  II.  Elem.  Euclidis. 

(^)  *  Et  quoniam  spatium  A  Bb  a,  &c.  Sec- 
tor  T  A  a  est  ad  sectorem  T  B  b  ut  A  T  ^  ad 
B  T  2,  (quia  propter  parvitatem  angull  A  T  a, 
non  differt  sensibiliter  scctor   B  T  b  ab  eo  qui 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  53 

quoniam  spatium  A  B  b  a  est  ad  sectorem  T  B  b  ut  rectangulum  A  B  /3 
ad  B  T  quadratum  (rectangulum  enim  illud  eequatur  differentiae  quadra- 
torum  ex  T  A  et  T  B  ob  rectam  A  ^  aequaliter  et  inaequaliter  sectam  in 
T  et  B.)  Haec  igitur  ratio  ubi  spatium  A  B  b  a  maximum  est  in  K, 
eadem  erit  ac  ratio  rectanguli  K  H  M  ad  H  T  quadratum,  sed  maxima 
nodi  mediocris  velocitas  erat  ad  Solis  velocitatem  in  hac  ratione.     Imtur 

o 

in  quadraturis  sector  A  T  a  dividitur  in  partes  velocitatibus  proportionales. 
(0  Et  quoniam  rectang.  K  H  M  est  ad  H  T  quadr.  ut  F  B  f  ad  B  G 
quad.  (^)  et  rectangulum  A  B  /3  sequatur  rectangulo  F  B  f.  Erit  igitur 
areola  A  B  b  a  ubi  maxima  est  ad  reliquum  sectorem  T  B  b,  ut  rectang. 
A  B  jS  ad  B  G  quadr.  Sed  ratio  harum  areolarum  semper  erat  Ut  A  B  /3 
rectang.  ad  B  T  quadratum;  et  propterea  areola  A  B  b  a  in  loco  A  minor 
est  simili  areola  in  quadraturis,  in  dupiicata  ratione  B  G  ad  B  T  hoc  est 
in  duplicata  ratione  sinus  distantiae  Solis  a  nodo.  Et  proinde  summa 
omnium  areolarum  A  B  b  a  nempe  spatium  A  B  N  erit  ut  motus  nodi  in 
tempore  quo  Sol  digreditur  a  nodo  per  arcum  N  A.  Et  spatium  reliquum 
nempe  sector  ellipticus  N  T  B  erit  ut  motus  Solis  medius  in  eodem  tem- 
pore.  Et  propterea  quoniam  annuus  motus  nodi  medius,  is  est  qui  fit  in 
tempore  quo  Sol  periodum  suam  absolverit,  motus  nodi  medius  a  Sole 
erit  ad  motum  ipsius  Solis  medium,  ut  area  circuli  ad  aream  ellipseos,  hoc 
est  ut  recta  T  K  ad  rectam  T  H  mediam  scilicet  proportionalem  inter  T  K 
et  T  S ;  vel  quod  eodem  redit  ut  media  proportionalis  T  H  ad  rectam  T  S. 

inter  llneas  A  T,  a  T  interclpcretur  et  termlna-  ,  T  B  b  X  A  B  j3     ,  T  B  b  X  A  B  /3 

retur  arcu  circuli  centro  T,  radio  T  B  descripti).  ^°^°  "*  B  G  ^  B  T  * 

Dividendo  autem  est  T  A  a  — T  B  b  sive  A  B  ba  sjve  quia  motus  Solis  qui  per  aream  T  B  b  ex. 

ad  T  B  b  ut  A  T  2  —  B  T  2  ad  B  T  ^  ;  est  vero  primitur  est  ubique  idem,  est  area  A  B  b  a  ubi 

AT^  —  BT^=ABX  B^  (per  5.  II.  maxima  est  ad  aream  A  B  b  a  in  alio  quovis 
Lib.  El.)  ergo  A  B  b  a  ad  T  B  b  ut  A  B  ^  ad  \  i 

B  T  quadratum.  loco  ut  g-^  ad  ^^^  sive  ut  B  T  ^  ad  B  G  ^ 

(0  *  Et  quoniam  rectangulwn  K  H  M  est  ad  sed  in  triangulo  B  T  G  est  B  T  ad  B  G  ut  si. 

H  T  quad.  ut  F  B  f  ad  B  G  quad.    Ex  natura  "us  anguli  recti  G  ad  sinum  anguli  B  T  G  per 

ellipseos  et  circuli  circumscripti,  est  KT  ad  HT  principia  trigonom.  et  distantia  Solis  a  nodo  ubi 

ut  F  G  ad  B  G,  et  quadrando  K  T  ^  ad  H  T  ^  area  A  B  b  a  est  maxima,  nempe  in  K,  mensu- 

ut  F  G  ^  ad  B  G  ^  et  dividendo  K  T  ^  —  H  T  ^  ratur  per  angulum  rectum,  et  ubi  est  in  loco 

ad  H  T  ^  ut  E  G  2  ad  B  G  ^,  sed  (per  5.  Lib.  quovis  A  per  angulum  B  T  G,  ergo  area  AB  b  a 

II.  Elera.)  K  T  ^  —  H  T  ^  =  K  H  X  H  M  ubi  maxima  cst,  est  ad  aream  A   B  b  a  in  alio 

ctFG^ BG^=FBX  ^^  crgo  K  H  M  quovis  loco  ut  quadrata  sinuum  distantla;  Solis 

ad  H  T  ^  ut  F  B  f  ad  B  G  ^.  a  nodo  in  utrovis  loco,   sed  in  ea  sunt  ratione 

/K\  *  T,       ^         ,         A  -n  n       -n  T>  £■  f       Te  motus  nodorum  in  iis  distantiis;  ergo  ut  est  area 

{°)  *  Et  rectan"ulum  AB  Q>=:F B  f  (viG.xZ5.  *    ,,  ,          ,•          •           *     i    ^             r  • 

TTT    T?i        \  1           X-     •   •        ■.            •     •       .    .  A  B  b  a  ubi  maxima  est  ad  motum  nodi  m  co 

III.  Elcm. )  hoc  ratiocmmm  ita  exprimi  potest;  ,           .^        ^            a   t>  t       •       i-              •     i 
„^„„    A    ij  1         I  •          •           4.       i    j  T'  ij  I      !  loco,   ita  est  area  A  B  b  a  in  abo  quovis  loco 
area  A  Ji  b  a  ubi  maxima  ^t,  est  ad  1  B  b  ut  ,    '                 ,.  .          ,             j     i  •            a  -d  i 

\   M  n     \  iy  r^  1  \  •  ■  ^a-du  ad  motum  nodi  in  eo  loco,  sed  ubi  area  A  B  b  a 

A  IJ  /3  ad  B  G  ^  ergo  ubi  maxiraa  est  A  B  b  a  .  ^       ^      ,  '         a-     ,.    t>  ^  \      a 

T  Bby  \  B  fl  maxima  est,  est  ad  motum  nodi  ut   B  1  b  ad 

est- iTT^ ^,  in  aliis  vero  locis  area  A  B  b  a  motum  Solis,  ergo  cum  arca;  B  T  b  et  motus 

^  Solis  ubique  eadem  maneant,  est  etiam  in  quovis 

est  ad  r  B  b  ut  A  B  ^  ad  B  T  ^,  ergo  illis  in  loco  area  A  B  b  a  ad  motum  nodi  ut  area  B  Tb 

Ijcis  est  J  ^  ^^  X  A  B  /3  ^^^  ^^^^  ^^^^  A  B  b  a  ^^  motum  Solis  sive  alternando  est  ubique  AB  ba 

B  T  ^  ^  ad  B  T  b  ut  motus  nodi  ad  motum  Solis.     Et 

ubi  maxima  cst  ad  aream  A  B  b  a  in  alio  quovis  p-oindc  suinma  omnium  A  B  b  a,  &c_ 


^4feA 


It^HH^^-' 


54 


PHILOSOPHL^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


PROPOSITIO  IL 

"  Dato  motu  medio  nodoinm  Lunce  invenire  motum  verum, 

«  Sit  angulus  A  distantia  Solis  a  loco  nodi  medio,  sive  motus  medius 
Solis  a  nodo.   Tum  si  capiatur  angulus  B  cujus  tangens  sit  ad  tangentem 
anguli  A  ut  T  H  ad  T  K,  hoc  est  in  subduplicata  ratione  motus  medio- 
cris  horarii  Sohs  ad  motum  medio- 
crem    horarium    Solis    a   nodo    in 
quadraturis  versante ;  erit  idem  an- 
gulus  B  distantia  Solis  a  loco  nodi 
vero.     Nam  jungatur   F   T  et   ex 
demonstratione  Propositionis   supe- 
rioris   (^)  erit  angulus   F  T  N  dis- 
tantia  SoHs  a  loco  nodi  medio,  an- 
gulus  autem  A  T  N  distantia  a  loco 
vero,  et  tangentes  horum  angulorum 
sunt  inter  se  ut  T  K  ad  T  H. 

«  Corol,     Hinc  angulus  F  T  A 
est  aequatio  nodorum  Luriae,  (^)  si- 

nusque  hujus  anguli  ubi  maximus  est  in  octantibus,  est  ad  radium  ut  K  H 
ad  T  K  -I-  T  H.     (^)  Sinus  autem  hujus  sequationis  in  loco  quovis  aKo 


(•*)  *  Erit  angvlus  F  T  N  distantia  Solis  a 
loco  nodi  medio.  Cum  circulus  N  K  n  M  re- 
prajsentet  totum  motum  Solis  a  nodo  inter  syzy- 
gias  proximas  cum  eodem  nodo,  sectores  ejus 
circuli  ut  F  T  N  reprEesentabunt  motum  medium 
Solis  a  nodo,  tempore  quod  erit  ad  totum  tempus 
motus  Solis  inter  syzygias  cum  eodem  nodo,  ut 
erit  is  sector  assumptus  ad  totum  circulum. 

Ducatur  vero  F  G  quae  occurrat  ellipsi  in  B, 
cumque  sectores  elliptici  B  T  N  repraesentent 
Solis  motum  qui  uniibrmis  supponitur,  ii  secto- 
res  B  T  N  sunt  proportionales  tempori;  sed 
sector  ellipticus  B  T  N  erit,  ex  natura  ellipseos 
et  circuli  circumscripti,  ad  totam  ellipsim  ut  sec- 
tor  circularis  F  T  N  ad  totum  circulum,  ideoque 
tempus  quo  Solis  motus  repraesentabitur  per 
B  T  N  erit  idem  ac  tempus  quo  Sol  a  nodis 
recesserit  motu  medio  repra;sentato  per  F  T  N, 
sed  dum  Sol  describit  sectorem  B  T  N,  vero 
motu  recedit  a  nodo  sectore  N  T  A,  per  dem. 
Prop.  super.  ergo  sector  F  T  N  repraesentat  me- 
diutn  motum  Solis  a  nodo,  eo  tempore  quo  verus 
ejus  a  nodo  motus  reprassentari  debet  per  NTA, 
ergo  medius  motus  est  ad  verum  ut  angulus 
T  N  ad  angulum  A  T  N,  tangentes  autera  ho- 
rum  angulorura,  sumcndo  T  G  pro  radio,  sunt 
F  G  et  B  G,  ct  F  G  est  ad  B  G  ut  K  T  ad  K  H 
ex  natura  circuli  et  ellipseos. 


(')  *  Sinusque  hujus  anguli  in  octantibus  est 
ad  radium  ut  K H  ad  T  K -\-  T  H.  Ex  prin- 
cipiis  trigonometricis,  est  sinus  hujus  anguli 
F  T  A  qui  est  aequatio  nodorum  Lunae  ad  sinuni 
anguli  T  F  G,  qui  in  hoc  casu  est  45^^  (cujus 
ergo  sinus  est  T  A  y'  \)  ut  est  F  B  ad  B  T, 
sive  omnes  terminos  quadrando ;  est  quad.  sinus 

T  A  ^ 
aequationis  ad  — - —  ut  F  B  ^  ad  B  T  ^  sive  tol- 

lendo  fractionem,  est  quadr.  siniis  aequationis 
quaesitae  ad  T  A  ^  ut  F  B  ^  ad  2  B  T  ^,  sed  B  T  ^ 
=  B  G  ^  +  T  G  2  et  in  octantibus  est  T  G=-. 
F  G  sive  B  G  -f-  B  F  cujus  quad.  est  B  G  ^  + 
2BGX  BF-fBF^  hinc  B  T  ^  =  2  B  G  2 
+  2BGXDF4-BF2ct2BT^  =  4BG» 
-j-4BGXBF-f-2BF^,  cujus  radix  quad- 
rata  (negligendo  B  F  ^)  est  2  B  G  -f-  B  F  = 
F  G  -j-  B  G  :  ergo  tandem  cum  sit  quad.  siniis 
aequationis  quaesitte  ad  T  A  ^  ut  est  F  B  *  ad 
2  B  T  * ;  radices  quadratas  omnium  terminorum 
sumendo  est  sinus  aequationis  ad  T  A  sive  ad 
radium  ut  est  F  B  ad  F  G  -|-  B  G,  sed  est  B  F 
ad  F  G  -f  B  G  ut  K  H  ad  T  K  -f  T  H,  hinc 
tandem,  sinus  aequationis  maximjE  cst  ad  radium 
ut  K  H  ad  T  K  4-  T  H. 

('')  *  Sinus  autem  cequationis  in  loco  quovis 
a/iu,  &c.  Ut  hoc  commode  demonstretur,  hoc 
Lerama  adhibcndum  est. 


WB 

3^^^ 


LiberTertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


55 


A  est  ad  siiium  maximum,  ut  sinus  summae  angulorum  F  T  N  +  A  T  N 
ad  radium :  hoc  est  fere  ut  sinus  duplae  distantiae  Solis  a  loco  nodi  medio 
(nempe  2  F  T  N)  ad  radium. 

Scholmm, 

"  Si  motus  nodorum  mediocris  horarius  in  quadraturis  sit  16'^  16"\ 
3f\  42\  hoc  est  in  anno  toto  sidereo  39^  38'.  1'\  50'''.  Q  erit  T  H  ad 
T  K  in  subduplicata  ratione  numeri  9,082764  ad  numerum  10,0827646, 
hoc  est  ut  18,6524761  ad  19,6524761.  Et  propterea  T  H  ad  H  K  ut 
18,6524761  ad  1.  hoc  est  ut  motus  Solis  in  anno  sidereo  ad  motum  nodi 
medium  19^  18'.  l".  23 f", 

"  At  si  motus  medius  nodorum  Lunae  in  20  annis  Julianis  sit  360°.  50'. 
15".  sicut  ex  observationibus  in  theoria  Lunae  adhibitis  deducitur,  motus 
medius  nodorum  in  anno  sidereo  erit  19°.  20'.  31".  58'".  Et  T  H  erit 
ad  H  K  ut  360^''.  ad  19°.  20'.  31".  58'".  hoc  est  ut  18,61214  ad  1.  unde 


In  circulo  quovis  N  K  n  M  sumatur  arcus 
N  F  ejusque  sinus  F  G,  ex  centro  ducatur  recla 
T  B  A  quae  secet  hunc  sinum  in  B,  dico  quod 
sinus  summae  angulorum  F  T  N,  A  T  N  erit  ad 
T  G  cosinum  anguli  assumpti  F  T  N,  utsumma 
linearum  F  G,  B  G,  ad  lineam  B  T. 

Ex  altera  parte  puncti  N  sumatur  arcns  N  V 
=  N  A,  ducatur  T  V  et  producatur  F  G  quae 


occurrat  radio  T  V  in  X,  ductoque  radio  F  T 
eoque  producto  si  opus  est,  ducantur,  in  ipsum 
perpendiculares  X  x,  V  u. 

Liquet  ex  constructione,  lineam  B  T  esse 
aequalem  lineae  X  T,  lineam  G  X  esse  sequalem 
lineae  B  G»  ideoque  totam  F  X  esse  acqualem 
summae  linearum  F  G,  B  G  ;  liquet  pariter  li- 
neam  V^  u  esse  sinum  arcus  F  V  qui  est  summa 
arcuum  N  F  et  N  V  sive  N  A,  et  propter  trian- 
guia   F  X  x,    F  T  G  similia,  ob  angulum  F 


communem  et  rectos  x  et  G  est  T  F  ad  T  G  ut 
F  X  ad  X  X,  et  propter  iriangula  similia  u  V  T, 
X  X  T  esse  V  u  ad  T  V  sive  T  F  ut  X  x  ad  T  X 
sive  B  T ;  unde  ex  perturbato  ordine  sit  V  u  ad 
T  G  ut  F  X  sive  F  G  +  B  G  ad  B  T ;  est 
(FG+  BG)TG 


Vu 


itaque  B  T  = 


Ex  hoc  Lemmate  facile  probatur  sinum  a?qua- 
tionis  in  quovis  loco  esse  ad  sinum  aequationis 
maximae  ut  sinus  summae  angulorum  F  T  N  -j- 
A  T  N  ad  radium  ;  nam  ex  principiis  trigono- 
metricis,  est  sinus  a^quationis  quajsita;  sive  sinus 
anguli  F  T  B  ad  sinum  anguli  F  (qui  est  T  G 
cosinus  nempe  anguii  F  T  N)  ut  est  B  F  ad  B  T 

„^    ^(FG4-BG)TG 
hoc  est,  ut  est  B  F  ad  ^ '— per 

•     Vu 

Lemma ;  ducatur  uterque  consequens  m  77^ 

fiet  sinus  aequationis  quaesitae  ad  V  u  qui  est  si- 
nus  summjE  angulorum  P'  T  N  -[-  A  T  N  ut  BF 
ad  F  G  -}-  B  G,  sed  ex  nota  pra^cedenti  est  B  F 
ad  B  F  4-  B  G  ut  K  H  ad  T  K  -f  T  H,  et  est 
KHadTK-|-THut  sinus  aequationis  maxi- 
mae  ad  radium ;  hinc  tandem,  sinus  aequationis 
cujusvis  ad  sinum  summae  angulorum  F  T  N  -|- 
A  T  N,  ut  sinus  a^quationis  maximae  ad  radium. 
Q)  *  Erit  T  H  ad  T  K  in  subduplicata  ralione, 
&c.  Est  T  S  ad  S  K  ut  motus  Solis  ad  motum 
horarium  nodi  in  quadraturis,  hoc  est,  ut  360. 
ad  39«''.  08'.  7".  50'".  sive  ut  9.0827646  ad  1, 
ergo  componendo  est  T  S  ad  T  K  ut  9.08276<16 
ad  10.0827646.  ergo  T  H  media  proportionalis 
inter  T  S  et  T  K,  esi  ad  T  K  in  subduplicald 
ratione,  &c.  Ileliqua  hujus  scholii  simiiibus 
calculis  deducuntur,  qui  faciliores  sunt  quam  ut 
plenius  explicentur. 


56 


PHILOSOPHI^  NATURALIS   [De  Mund.  Syst, 


motus  mediocris  horarius  nodorum  in  quadraturis  evadet  16^^  18'".  48*^ 
Et  £Equatio  nodorum  maxima  in  octantibus  1°.  29'.  57'^" 

PROPOSITIO  XXXIV.     PROBLEMA  XV. 

Invenire  variationem  horuriam  inclinationis  orbis  Lunaris  ad  jplanum 

eclipticcE. 

Designent  A  et  a  syzygias;  Q  et  q  quadraturas;  N  et  n  nodos;  P 
locum  Lunas  in  orbe  suo ;  p  vestigium  loci  illius  in  plano  ecliptic^E,  et 
m  T  1  motum  momentaneum  nodorum  ut  supra.     Et  si  ad  lineam  T  m 

311    1 


H                    P 

^ 

3^  /^^ 

^^  /•••■'    \\ 

/z 

T                    / 

demittatur  perpendiculum  P  G,  p  G  et  producatur  ea  donec  occurrat 
T  1  in  g,  et  jungatur  etiam  P  g :  erit  angulus  P  G  p  inclinatio  orbis 
lunaris  ad  planum  eclipticae,  ubi  Luna  versatur  in  P ;  et  angulus  P  g  p 
inclinatio  ejusdem  post  momentum  temporis  completum ;  ideoque  angulus 
P   P  g  variatio  momentanea  inclinationis.     ("^)  Est  autem  hic  angulus 


O  Est  autem  angulus  G  P  g  ad  angulum.  G  T  g  ut  Tg  sive  T  G  ipsi  proxime  wqualls  ad 

In  triangulo  P  G  g,  sinus  anguli  G  P  g  est  ad  sinum  anguli  recti  in  G  qui  est  radius  pro  quo 

lineam  G  g,  ut  sinus  anguli  P  G  g  ad  P  G  (sive  P  G  hic  assumitur ;  ergo  ex  aquo,  sinus  anguli 

P  G,  nam  P  g  et  P  G  quam  minimum  differunt)  G  P  g  est  ad  sinum  anguli  G  T  g  ut  T  G  ad 

si  vero    P  G  assumatur  pro  radio,  sinus  anguii  P  G  ct  P  p  ad  P  G  conjunctim,  et  quia  sinus 

P  G  g  est  P  p,  ergo  sinus  anguli   G  P  g  est  ad  parvorum  angulorum  sunt  ut   ipsi  anguli,    est 

G  g  ut  P  p  ad  P  G.  angulm  G  F  g  ad  angulum,  &c. 

In  tnangulo  G  T  g,  est  G  g  ad  sinum  anguli 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


57 


G  P  g  ad  angulum  G  T  g  ut  T  G  ad  P  G  et  P  p  ad  P  G  conjunctim. 
Et  propterea  si  pro  moraento  temporis  substituatur  hora ;  ciim  angulus 
G  T  g  (per  Prop.  XXX.)  sit  ad  angulum  33''.  10'''.  33^  ut  I  T  X  P  G 
X  A  Z  ad  A  T  cub.  erit  angulus  G  P  g  (seu  inclinationis  horariae  varia- 

tio)  ad  angulum  33".  10'".  3^  ut  I  T  X  A  Z  X  T  G  X  ^^     ad    A   T 

P  G 

cub.     Q.  e.  i. 

Jrlaec  ita  se  habent  ex  hypothesi  quod  Luna  in  orbe  circulari  unifor- 
miter  gyratur.  Quod  si  orbis  ille  ellipticus  sit,  motus  mediocris  nodorum 
minuetur  in  ratione  axis  minoris  ad  axem  majorem ;  uti  supra  expositum 
est.     (")  Et  in  eadem  ratione  minuetur  etiam  incHnationis  variatio. 

CoroL  1.  Si  ad  N  n  erigatur  perpendicukim  T  F,  sitque  p  M  motus 
horarius  Lunoe  in  plano  eclipticas ;  et  perpendicula  p  K,  M  k  in  Q  T 
demissa  et  utrinque  producta  occurrant  T  F  in  H  et  h  :  ('')  erit  I  T  ad 
A  T  ut  K  k  ad  M  p,  et  T  G  ad  H  p  ut  T  Z  ad  A  T,  ideoque  I  T  x  T  G 

sequale  ^  .    P     — '. ^,  hoc  est,  asquale  areas  H  p  M  h  ductoe  in  ra- 

T  Z 

tionem  :  et  propterea  inchnationis  variatio  horaria  ad  33".  10'".  33'''. 

Mp 

ut  H  p  M  h  ducta  in  A  Z  X  l^  X  1^1'  ad  A  T  cub. 
^  Mp      PG 

Corol.  2.     Ideoque  si  Terra  et  nodi  singulis  horis  completis  retrahe- 

rentur  a  locis  suis  novis,  et  in  loca  priora  in  instanti  semper  reducerentur, 

ut  situs  eorum,  per  mensem  integrum  periodicum,   datus  maneret ;  tota 


(")  *  "Et  in  eadem  ratione  minuetur  etiam  in- 
cUvationis  variatio.  Ex  Propositionis  demon- 
stratione  liquet  quod  variatio  inclinationis  est  ad 


S^K 


motum  nodorum  ut  P  p  ad  P  G  (sive  ut  sinus 
inclinationisplani  ad  radium)  et  ut  PG  ad  TG  ; 
sumatur  n  iii  ellipsi  ad  eamdem  distantiam  a 


nodo  ac  P  in  cjrculo,  ratio  P  G  ad  T  G  eadem 
erit  ac  radio  n  r  ad  T  r,  per  constructionem  ciim 
autem  hic  agatur  de  quantitate  mediocri,  suma- 
tur  eamdem  esse  plani  inclinationem  sive  agatur 
de  plano  elliptico  sive  de  plano  circulari ;  ergo 
variatio  inclinationis  erit  semper  ut  motus  nodo- 
rum  sive  agatur  de  plano  elliptico  sive  de  plano 
circulari ;  sed  motus  nodorum  mediocris  in  orbe 
circulari  est  ad  ejus  motum  in  crbe  elliptico  ut 
axis  major  ad  minorem  per  Cor.  Prop.  XXXI. 

In  eadem  etiara  ratione  minuetur  inclinationis 
variatio. 

(°)  *  Eril  I  T  ad  ATut  K  k  ad  Mp.  Est, 
ex  natura  circuli,  ordinata  p  K  cui  aequalis  est 
I  T  ad  radium  A  T,  ut  fluxio  abscissas  K  k  ad 
fluxionem  arcus  M  p,  et  T  G  ad  II  j)  ut  T  Z  ad 
A  T,  producatur  H  p  K  ita  ut  occurrat  lineas 
N  n  in  D,  propter  parallelas,  HD,  AT  ct  HT, 
A  Z  per  constructionem,  est  D  T  ad  H  D  ut 
T  Z  ad  A  T,  est  pariter  eamdem  ob  rationem 
D  G  ad  p  D  ut  T  Z  ad  A  T,  quare  sumcndo 
differentiam  terminorum  duarum  priorum  ratio- 
num  utriusque  rationis  est  T  G  cd  H p  ut  T  Z 
ad  A  T. 


58 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


inclinationis  variatio  tempore  mensis  illius  foret  ad  33''.  10'''.  33'^,  (p)  ut 
aggiegatum  omnium  arearum  H  p  M  h,  in  revolutione  puncti  p  genitarum, 
et  sub  signis  propriis  +  et  —  conjunctarum,  ductum  in  A  Z  X  T  Z  X 

m    L 


H                    P 

^ 

R==S//' 

^y^^ — 

k    //      N\ 

s              Ah|^ 

L                  / 
/Z 

T                   / 

-P  ad  M  p  X  A  T  cub.  {'^)  id  est,  ut  circulus  totus  Q  A  q  a  ductus  in 
A  Z  X  T  Z  X  ?-^  ad  M  p  X  A  T  cub.  {')  hoc  est,  ut  circumferentia 
Q  A  q  a  ducta  inAZxTZx^ad2MpXAT  quad. 


C)  *  Ut  aggregatum  omnium  arearum  H  p 
M  h  sub  signis  propriis  conjunctarum  scilicet 
prout  linea  M  H  sumitur  in  eamdem  partem  ac 
iinea  M  K  aut  in  partem  oppositam;  priore  oasu 
area  H  p  M  h  signo  affirmativo  est 
afficienda,  posteriore  negativo. 

(^)  *  Id  est,  ut  circulus  totus 
Q  A  (j  a,  &c.  Liquet  ex  ipsa  con- 
structione,  quod  dum  punctum  p 
movetur  ab  F  usque  ad  q,  areJE 
H  p  M  H  constituunt  aream  posi- 
tivam  FAnqrfTF,  dum  ex  q 
ad  f  procedit,  areae  H  p  M  h  c<»nsti- 
tuunt  aream  negativam  q  r  f,  quze  ex 
priori  detracta  relinquit  semi-circu- 
lum  F  n  f. 

Quod  dum  punctum  p  procedit  ex 
f  ad  Q,  areae  H  p  M  h  efficiuntareampositivam 
faNQRFTfet  dum  ex  Q  ad  V  procedlt, 
efficiunt  arcam  negativam  Q  II  F  quai  ex  priori 
detracta  rehnquit  semi-circulum  f  N  F. 


Itaque  omnes  areae  H  p  M  h  sub  signis  pro- 
priis  conjuncta)  efficiunt  circulum  totum  Q  A  q  a. 

Cteterum  observandum  variationem  inciina- 
tionis   esee  poeitivam  aut   negativam,   hoc   eet 


cresccre  aut  decTeficere  secundum  signa  quanti- 
tatis  A  Z  X  i'  Z  de  quibus  in  Corol.  proximo 
dicemus. 

C)  *  Ut  circulus  totus  Q.  A  q  a  ductus  in  A  Z 


LiBER  Tertius.]    MATHEMATICA  PRINCIPIA.  59 

Corol.  3.     Proinde  in  dato  nodorum  situ,  variatio  mediocris  horaria, 
ex  qua  per  mensem  uniformiter  continuata  variatio  illa  menstrua  generari 

posset,  est  ad  33''.  10'''.  33^\  utAZxTZx^   ad2ATq  sive  ut 

P  p  X  ^  ^  ^  ^^  ad  P  G  X  4  A  T,  id  est  (ciim  P  p  sit  ad  P  G  ut  si- 
2  A  I 

nus  inclinationis  praedictae  ad  radium,  et ___ —  sit  ad  4?  A  T  (*)  ut 


X  T  Z  X   p-F  ad  M  p  X  A  T  cub.     Si  in 

hac  ratione  loco  circuli  Q  A  q  a,  ponatur  ejus 
valor  qui  est  circumferentia  Q  A  q  a  ducta  in 

A  T 
dimidium  radii  seu  in  — — ,  haec  ratio  licet,  cir- 


cumferentia  Q  A  q  a  X 
LL  ad  M  p  X  A  T  cub. 


2 
AT 


X  AZXTZX 

Multiplicetur  uter- 


que  terminus  per  2.   et  dividatur  per  A  T,  non 
mutabitur  ratio  et  fiet  ut  circumferentia  Q,  A  q  a 

ducta  inAZX  T  ZX^^^adMpX^  Tqu. 

(*)  Ut  sinus  duplicati  anguli.  Ex  trigono- 
metriae  elementis  sinus  duplicati  anguli  A  T  n 
sive  A  T  N,  cujus  sinus  est  A  Z  et  cosinus  T  Z, 

2AZXTZ.      AZXTZ 
^''  A-t '''^       ^AT     • 

Quando  autem  duplum  anguli  A  T  N  excedit 
semi-circulum,  sive  quando  angulus  A  T  N  est 
Tectus,  signum  sinus  dupli  anguli  A  T  N,  fit 
negativum  ex  positivo  ;  quando  angulus  A  T  N 
excedit  ISO^"",  signum  sinus  ejus  dupli  iterum 
fit  positivus,  sicque  deinceps. 

Positivum  autem  signum  designat  angulum 
planum  per  variationem  minui,  negalivum  vero 
signum  eum  angulum  augeri  significat,  ita  ut 
angulus  minuatur  dum  nodus  N  recedit  ex  con- 
junctione  A  ad  quadraturam  ultimam  Q,  crescit 
vero  dum  nodus  a  quadratura  Q  ab  oppositionem 
a  movetur,  iterum  miuuitur  dum  ab  oppositione 
ad  primam  quadraturam  q  tendit,  et  denique 
augetur  dum  a  quadratura  q  ad  conjunctionem 
A  redit;  ita  ut  inclinationis  angulus  sit  minimus 
cum  nodi  in  quadraturis  Q  et  q  versantur,  maxi- 
mus  vero  cum  nodi  sunt  in  syzygiis  A  et  a ;  quae 
lex  ab  astronomis  est  observata,  sed  paulo  accu- 
ratius  ostendendum  id  sequi  revera  ex  hac  Pro- 
positione. 

Sit  nodus  N  ubivis  inter  conjunctionem  A  et 
ultimam  quadraturara  Q,  ductaque  F  T  f  per- 
pendiculari  in  lineam  nodorum,  dum  Luna  mo- 
vebitur  ex  N  ad  F  inclinationis  variatio  designa- 
bitur  per  aream  N  A  F  T  h,  ciimque  Luna 
tum  versetur  inter  nodum  et  reinotiorem  quadra- 
turam,  motus  nodi  erit  regressivus,  ideoque  cum 
linea  Y  T  fiat  semper  remotior  a  Luna  quam 
lyiea  N  T  (punctum  Y  quod  hic  exaratum  non 
est  designat  novum  locurh  in  quem  nodus  ad- 
scendens    Lunae   movetur)   inclinationis    Lunae 

VoL.  in.  ParsIL  I 


angulus  ad  lineam  T  Y  relatus  minor  erit  quam 
si  ad  T  N  referrctur,  area  ergo  N  A  F  T  h  de- 
signabit  imminutionem  anguli  inclinat.  dum 
pergit  Luna  ab  N  ad  F. 

Dum  Luna  movetur  ab  F  ad  q  pergit  quidem 
ut  prius  nodus  in  antecedentia,  sed  producta 
linea  Y  T,  ejus  productio  erit  vicinior  Lunai  in 
area  F  q  existenti  quam  productio  lineae  N  T, 
ideoque  inclinationis  Lunae  angukis  ad  produc- 
tionem  lineaj  T  Y  relatus  major  erit  quam  si  ad 
lineam  T  n  referretur,  sed  hoc  in  casu  area  F  R  q 
designat  inclinationis  variationem,  ergo  area 
F  A  q  designat  incrementum  anguli  inclinationis. 

Dum  Luna  ab  n  ad  f  movetur,  motus  nodi  fit 
regressivus  et  ex  N  in  Y  migrat,  et  hneae  Y  T 
productio  reraotior  est  a  Luna  in  area  n  f  ver- 
sante  quam  productio  lineje  N  T,  ideo  angulus 
inclinationis  minor  erit  quam  si  ad  lineam  T  n 
referretur;  ea  vero  variationis  mutatio  designatur 
per  aream  H  n  a  f  quae  idco  imminutionem  an- 
guli  inclinationis  designat. 

Ab  f  ad  Q  crescit  quidem  inclinationis  an- 
gulus,  quia  refertur  ad  lineam  T  Y;  totum 
itaque  illud  variationis  incrementum  designatur 
per  aream  Q  f  r,  sed  a  Q  ad  n,  ciira  motus  nodi 
fiat  progressivus,  referaturque  inclinationis  an- 
gulus  ad  T  1,  minuitur  is  angulus,  totaque  im- 
minutio  designatur  per  aream  N  h  r  Q. 

Resumantur  haec  orania,  deprehenditur  immi- 
nutionera  anguli  inclinationis  cxprirai  per  areas 
N  A  F  h,  q  n  H  R,  H  n  a  f  et  N  h  r  Q,  quarum 
priraa  et  ultiraa  efiiciunt  Q  A  F  T  r,  duse  mediee 
aream  q  a  f  F  R. 

Totum  vero  incrementum  anguli  inch'nationis 
exprimitur  per  areas  F  R  q  et  Q  f  r,  quarum  ha?c 
detracta  ex  area  Q  A  F  T  r  relinquit  semi-circu- 
lum  Q  A  F  f,  prior  detracta  ex  areaa  q  a  f  T  11 
rehnquit  semi-circulum  q  a  f  F  idcoque  circulus 
totus  Q  A  q  a  designat  iraminutionem  anguH 
inclinationis  ciim  nodus  versatur  in  quovis  puncto 
N  quadrantis  A  Q. 

Si  haec  ratiocinia  apph'centur  ad  figuram  New- 
tonianam  ubi  nodus  N  est  in  quadrante  Q  a,  ex 
iis  deprehendetur  circulum  Q  A  q  a  designare 
incrementum  anguli  incHnationis. 

Si  nodus  in  quadrante  a  q  versetur ;  omnia 
eodem  modo  procedent  ac  in  primo  ca.-iu,  mutatis 
solummodo  litteris  majusculis  in  mmores,  ideo- 
que  etiam  ostendetur  circulum  Q  A  q  a  immi- 
nutionem  anguli  inclinationis  designare;  et  pari- 
ter  ubi  nodus  erit  in  quadrante  q  A  casus  hic  ad 
secundura  referri  poterit,  minuitur  crgo  inclinatio 
dura  nodus  procedit  ab   A  ad   Q,  tumque  est 


60  PHILOSOPHI.E  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 

sinus  duplicatj  anguli  A  T  n  ad  radium  quadruplicatum)  ut  inclinationis 
ejusdem  sinus  ductus  in  sinum  duplicatae  distantiae  nodorum  a  Sole,  ad 
quadruplum  quadratum  radii. 

Corol.  4.     Quoniam  inclinationis  horaria  variatio,  ubi  nodi  in  quadra- 
turis  versantur,  est  (per  hanc  Propositionem)  ad  angulum  33''.  10'".  33'^ 

utlTx  AZx  TGx^  adATcub.  Oidest,  utLIJiJL^^P^ 
PG  ''  i  A  T         PG 

ad   2  A   T ;  hoc  est,   ut  cinus  duplicatae  distantiae  Lunoe  a  quadraturis 

•     •      P  D 

ductis  in  — L  ad  radium  duplicatum :  summa  omnium  variationum  hora- 

riarum,  quo  tempore  Luna  in  hoc  situ  nodorum  transit  a  quadratura  ad 

syzygiam  (id  est,  spatio  horarum  177^,)  erit  ad  summam  totidem  angulo- 

rum  33".  10'".  33"".,   seu   5878".,  ut  summa  omnium  sinuum  dupHcatae 

P  D 
distantiae  Lunae  a  quadraturis  ducta  in  — £-  ad  summam  totidem  diame- 

P  D 

trorum;  (")  hoc  est,  ut  diameter  ducta  in  — ^  ad  circumferentiam ;  id  est, 

si  inclinatio  sit  5^'.  1'.,  ut  7  X  to¥o%o  '<^^  22,  seu  278  ad  10000.  Proin- 
deque  variatio  tota,  ex  summa  omnium  horariarum  variationum  tempore 
praedicto  conflata,  est  163",  seu  2'.  43". 

minima.  siquidem  inde  crescere  i.icipit  usque  ad  area  tota  =  y  ^,  facta  autem  y  =  1 ,  erit  area 

a,  ubi  est  maxima,  siquidem  inde  decrescit  usque  illa  ubi  Luna  pergit  a  quadratura  ad  syzygiam, 

ad  q,  ubi  iteriim  est  minima,  indeque  crcscit  aequalis  quadrato  radii.      Nunc  vero  ut  habeatur 

usque  ad  A  ubi  iterum  maxima  est.  summa  totidem  diametrorum  muhiplicandus  est 

n  *  Id  est.      Ubi  nodi  versantur  in  quadra-  q"fdrans  circuli  per  totam  diametrum.     Hinc  si 

turis,   recta   N  n  coinddit' cum  Q  q,  ideoque  radms  dicatur  r,  peripheria  p,  erit  summa  omm- 

perpendicularis  A  E,  abit  in  radium  A  T.  Quar^  "»«.  ^'""""^  duphcatae  d.stantiap  Lunas  a  quadra- 

p  p  turis,  quo  tempore  Luna  transit  a  quadratura  ad 

ITXA-ZXTGX  TrT^  ^^^  ad  A  T  cub.  ut  syzygiam  ad  summam  totidem  diametrorum  ut 

ITXATXTGX^adATcub.     sive     r  ^  ad  P-X^^iv^  „t  2  r  ad  p,  hoc  est,  ut  dia- 


PG 


meter  ad  circumferentiam. 


PG 

874 


ut  I  T  X  T  G  X  15-^  ad  A  T  *  ac  dividendo  ^i  autem  indinatio  sit  5^'.  1'.     Erit  sinus  P  p, 

P  G  huic  inclinationi  respondens,  ad  radium  P  G,  ut 

per  i  A  T  ut  1  T  X     ^  ^    y  LL  ad  2  A  T.  ^'''^  ^^   10000,  (ex  vulgaribus  sinuum  tabulis). 

*         '                    ^ATPG                   *  Est  autem  diameter  ad  peripheriam  ut  7.  ad  22, 

(")   12L  *  Hoc  cst  ut  diameter.     Sit  T  I  vel  1"^''^  «""""^^  omnium  sinuum  dupli^tae  distan- 

p  K  =  y.    radius   Q  T  =   1,  erit  T  K  =  tias  Luna;  a  quadraturis  ducta  in   ^j-^  est  ad 

\/  1  —  y  y,  ex  natura  circuli,  et  T  K  =  T  G 

quia  in  hoc  casu  rccta  n  N  coincidit  cum  Q  q,  summam  totidem  diametrorum  ut  7  X 

cum   nempe  nodi  versentur  in  quadraturis;  ac  10000 

proinde  sinus  duplicata;  distantiae  LunjB  a  quad-  fd  22.      Facile  autem  percipitur  quod  nodo  ex- 

.     . ,         I  T  X  T  G                       istente  in  quadratura  dum  Luna  a  quadratura  ad 

raturis,  id  est       i~A~T      ^^^^^  V^l—y**  conjunctionem  vadit,  an^ulus  inclinationis  minu- 

Jam  ut  obtineatur%lementum  arefe  qua3  compo-  M"'"'  ^T^  tantumdeni  augetur,  dum  a  conjunc- 

nitur  ex  omnibus  sinubus  distanti*  duplicat^.  t'°"«  ^^  pnmain  quadraturam  movetur,  mmuitur 

,  .  ,.      .  j  ,        .             .  ,  .,•                r ,  rursum  dum  ad  oppositionem  vadjt,  augeturque 

mult,?hcandebetsmusvanabi  .s2yX  Vl-y^  iterum  dum  ad  ultimam  quadraturam  ?edit.  ita 

per    elementum    arcus    circuh,     hoc    est.    per  compensatis  incrementis  et  dccrementis  ut  nuUa 


dy 


=,  unde  habetur  elementum  arese  quae-     sinstbilis  supersit  inclinationis  mutatio,  quatenus 


V  ^  —  y  *  scilicet  nodus  revera  immotus  in  puncto  Q  sup- 

sitae  =  2  y  d  y,  sumptisque  fluentibus,  prodit    ponitur. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  61 

PROPOSITIO  XXXV.     PROBLEMA  XVL 

Dato  tempore  invenire  inclinationem  orhis  lunaris  adplanum  ecliptica, 

Sit  A  D  sinus  inclinationis  maximae,  et  A  B  sinus  inclinationis  minimae. 
Bisecetur  B  D  in  C,  et  centro  C,  intervallo  B  C  describatur  circulus 
B  G  D.  In  A  C  capiatur  C  E  in  ea  ratione  ad  E  B  quam  E  B  habet 
ad  2  B  A :  et  si  dato  temporc  constituatur  angulus  A  E  G  aequalis  dupli- 
catae  distantiae  nodorum  a  quadraturis,  et  ad  A  D  demittatur  perpendiculum 
G  H :  erit  A  H  sinus  inclinationis  quaesitae. 

Nam  G  E  q  aequale  estGHq+HEq^C^^BHD  +  HEq^ 
HBD  +  HEq  —  BHq  =  HBD  +  BEq  —  2BHxBE  = 


A 


BEq+2ECxBH=2ECxAB+2ECxBH=2EC 
X  A  H.  Ideoque  cum  2  E  C  detur,  est  G  E  q  ut  A  H.  Designet  jam 
A  E  g  duplicatam  distantiam  nodorum  a  quadraturis  post  datum  aliquod 
momentum  temporis  completum,  et  arcus  G  g  ob  datum  angulum  G  E  g 
erit  ut  distantia  G  E.  (^)  Est  autem  H  h  ad  G  g  ut  G  H  ad  G  C,  et 
propterea  H  h  est  ut  contentum  G  H  X  G  g,  seu  G  H  X  G  E ;  id  est  ut 

^LI?  X  G  E  q  seu  ^J?  X  A  PI,  id  est,  ut  A  H  et  sinus  anguli  A  E  G 
G  E  G  E 

conjunctim.    Igitur  si  A  H  in  casu  aliquo  sit  sinus  inclinationis,  augebitur 

ea  iisdem  incrementis  cum  sinu  inclinationis,  per  Corol.  3.  Propositionis 

superioris,  et  propterea  sinui  illi  aequalis  semper  manebit.     (^)  Sed  A  H, 

ubi  punctum  G  incidit  in  punctum  alterutrum  B  vel  D,  huic  sinui  aequahs 

est,  et  propterea  eidem  semper  aequaUs  manet.     Q.  e.  d. 

In  hac  demonstratione  supposui  angulum  B   E  G,   qui  est  duplicata 

{"")*  =  BHD-^-HEq.     (Prop.  V.  Lib.  E  B*  =  2  E  C  X  B  A  ;  quare  B  E  q  +  '2  E  C 

II.  Elem.)  =  HBD+  HEq— BHq  XBH  =  2ECXAB  +  2ECXBH. 

(per  Prop.  III.  Lib.  II.  Eiem.)=  HBD  +  ,y\  *  v  ,       *        xj  u    a  n          /r» 

B  E  q  J.  2  B  H  X  B  E  (Prop.  VII.  ejusdem  .  (  >  !  ^'^  ""^^^^  HhadG  g.     (Per  naturam 

Lib.)  =BEq  +  2ECxBH(obBD=  «^'"^cun;. 

2  E  C  +  2  B  E).     Est  autem   (per  constr.)  (^)  Sed  A  H.     (Per  constr.) 

E  2 


62  PHILOSOPHIiE  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 

distantia  nodorum  a  quadraturis,  uniformiter  augeri.  Nam  omnes  inae- 
qualitatum  minutias  expendere  non  vacat.  Concipe  jam  angulum  B  E  G 
rectum  esse,  et  in  hoc  casu  G  g  esse  augmentum  horarium  duplas  distantiae 
nodorum  et  SoUs  ab  invicem,  et  inclinationis  variatio  horaria  in  eodem 
casu  (per  Corol.  3.  Prop.  novissimae)  erit  ad  33''.  10'''.  33'^  (*)  ut  con- 
tentum  sub  inchnationis  sinu  A  H  et  sinu  anguli  recti  B  E  G,  qui  est 
duplicata  distantia  nodorum  a  Sole,  ad  quadruplum  quadratum  radii ;  id 
est,  ut  mediocris  inclinationis  sinus  A  H  ad  radium  quadruplicatum ;  hoc 


est  (cum  inclinatio  illa  mediocris  sit  quasi  ^^'■.S'^)  ut  ejus  sinus  896  ad 
radium  quadrupUcatum  40000,  sive  ut  224  ad  10000.  Est  autem  variatio 
tota,  sinuum  difFerentiae  B  D  respondens,  ad  variationem  illam  horariam 
(^)  ut  diameter  B  D  ad  arcum  G  g ;  id  est,  ut  diameter  B  D  ad  semi- 
circumferentiam  B  G  D  et  tempus  horarum  2079 ju  quo  nodus  pergit  a 
quadraturis  ad  syzygias,  ad  horam  unam  conjunctim;  hoc  est,  ut  7  ad  11 
et  2079x^0  ad  L  Quare  si  rationes  omnes  conjungantur,  fiet  variatio  tota 
B  D  ad  33".  10'".  33^  ut  224X7X2079/o  ad  110000,  id  est,  ut  29645 
ad  1000,  et  inde  variatio  illa  B  D  prodibit  16',  23^". 

Hsec  est  incUnationis  variatio  maxima  quatenus  locus  Lunae  in  orbe 
suo  non  consideratur.  Nam  inclinatio,  si  nodi  in  syzygiis  versantur, 
(^)  nU  mutatur  ex  vario  situ  Lunae.    At  si  nodi  in  quadraturis  consistunt, 

(^)  *  Ut  contentum  suh  indinationis  sinu  A  H,  tura  ad  syzygiam  ad  unam  horam,  ita  semi-cir- 

et  sinu  anguli  recti  B  E  G,  hcc  est,  ut  contentum  cuniferentia  B  G  D  ad  G  g,  est  ergo  G  g  = 

sub  mcdiocris  inclinationis  sinu  A  H  (quia  in  BGDXlJ^    .^^^ 

hoc  casu  A  H  =  A  C)  et  radio  ad  quadrvplum  2019  J-  n     '           i 

quadratumradii:  id  est;  ut  mediocris  inclmatio-  riationem"  horariam  in  octantibus  ut   B    D  ad 

rds  sinus  A  H,  ad  radium  quadruplicatum.  B  G  D  X  1  '^ 

(")  *  Ut  diavieter  B  D  ad  arcum  G  g.    Nam,  ^— —  siveut  B  D ad  B  G  Det  207 Q-^"^ 

in  hac  constructione,  variatio  tota  sinuum  differ-  ,          To          .                                                ^ 

entise  B  D  respondens  per  diametrum  B  D  ex-  ad  1^    conjunctim. 

primitur,  et  H  h  est  incrcmentum  sinus  inclina-  C)  *  ^i^  mutotur  e<c  vario  sltu  Luna;.     Nam 

tionis  tempore  quod  per   G  g  designatur,   sive  ex  demonstratione  Prop.  XXXIV.  mchnationis 

hor^   tempore ;   sed  ubi  punctum  H  cadit   in  variatio  horaria  est  ad  angulum  33".  10"'.  33''. 

centro  C,  et  punctum  G  in  medio  semi-circuli,  ^t  I  T  X  A  Z  X  T  G  X  ^.  ad    A    T  cub. 

tunc  est  G  g  =  H  h  ;  ergo,  est  diameter  B  D  ^            ^        ^  P  G 

ad  arcum   G  g  ut  variatio  tota  ad  variationem  sed  nodis  versantibus  in  syzygiis  fit  A  Z  =  o 

horariam  in  octantibus;  sed  ut  sunt  2079xV  quare  quantitas  ITXAZXTGX^. 
horjE  quae  effluunt  dum  nodus  pergit  a  quadra-     ^         ^  P  O 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  63 

inclinatio  minor  est  ubi  Luna  versatur  in  syzygiis,  quam  ubi  ea  versatur 
in  quadraturis,  excessu  2\  43'^ ;  uti  in  Propositionis  superioris  Coroliario 
quarto  indicavimus.  Et  hujus  excessus  dimidio  1'.  21  i'^  variatio  tota 
mediocris  B  D  in  quadraturis  lunaribus  diminuta  fit  15'.  2'^,  in  ipsius 
autem  syzygiis  aucta  fit  17^  43^'.  Si  Luna  igitur  in  syzygiis  constituatur, 
variatio  tota  in  transitu  nodorum  a  quadraturis  ad  syzygias  erit  17^  45'^  : 
ideoque  si  inclinatio,  ubi  nodi  in  syzygiis  versantur,  sit  5^^.  1 7'.  20'^ ; 
eadem,  ubi  nodi  sunt  in  quadraturis,  et  Luna  in  syzygiis,  erit  4^^  59\  S5^\ 
Atque  hasc  ita  se  habere  confirmatur  ex  observationibus. 

Si  jam  desideretur  orbis  inclinatio  illa,  {^)  ubi  Luna  in  syzygiis  et  nodi 
ubivis  versantur;  fiat  A  B  ad  A  D  ut  sinus  graduum  4.  59\  35^\  ad 
sinum  graduum  5. 1 7'.  20^'.,  et  capiatur  angulus  A  E  G  aequalis  duplicatae 
distantise  nodorum  a  quadraturis ;  et  erit  A  H  sinus  inclinationis  quaesitae. 
(^)  Huic  orbis  inclinationi  asqualis  est  ejusdem  inclinatio,  ubi  Luna  distat 
90^'.  a  nodis.  In  aliis  Lunae  locis  inaequalitas  menstrua,  quam  inclinatio- 
nis  variatio  admittit,  (^)  in  calculo  latitudinis  Lunae  compensatur,  et  quo- 

fit  etiam  o,  evanescit  itaque  hoc  in  casu  horaria  quadraturis   versetur,    eadem    ergo    est   iterum 

variatio,  ideoque  in  vario  situ  Lunag  non  mut^tur  maxima  inclinatio  ac  in  casu  praecedenti,  ideoque 

ejus  orbitas   inclinatio.     Et  quidem  idem  citra  in  hoc  casu  A  B  et  A  D  eadem  assumenda  sunt 

calculum  patet  ex  ipsa  rei  natura,  nam  versanti-  ac  in  casu  pra;cedenti :  reliquum  ratiocinium  hic 

bus  in  syzygiis,  sive  Sole  existente  in  linea  nodo-  etiam  adplicatur,   nam  quamvis  tempus  reditus 

rum,  Sol  est  in  eo  plano  in  quo  jacet  linea  nodo-  Lunas  ad  nonagesimum  a  nodo  gradum  brevior 

rum,  sed  linea  nodorum  est  in  plano  orbita^  lu-  sit  tempore  ejus  reditus  ad  syzygiam  sive  mense 

naris,   ergo  Sol  in  ipsa  orbita  kmari  producta  synodico,  siquidem  mense  periodico  etiam  bre- 

positus  censeri  potest,  ac  per  consequens  qualis-  vior  est,  tamen  hic  casus  ad  fictionem  Corollarii 

cumque  sit  ejus  actio  in  Lunam,  ipsam  ex  plano  secundi  magis  accedit,  in  quo  ncmpe  supponitur 

utrique  communi  neutiquam  dimovebit.  nodum  toto  meiise   sensibilem   viam   non    esse 

(**)   *  Ubi  Luna  in  si/zt/giis  et  nodi  ubivis  ver-  emensum,    quod   quidem   accuratius  dicetur  si 

saniur.     Nam  dum  Luna  ab   una  syzygia  ad  assumatur  reditus  Lunae  ad  eumdem  situm  re- 

eamdem  syzygiam  redit,  tota  variatio  mcnstrua  spectu  nodi ;  hic  ergo  eadem  constructio  ac  prior 

QQ"    m'"    T-ir       *.    AVvyT-Vvy    ■'^P  potiori  jure  crit  adhibenda. 
est  ad  33  .  10  .  3.3  .   ut  A  Zi  X   i  -^  X   pQ         (0  *  In  calculo  laiitudi?iis  coinjyensatur,  et  quo- 

ad  2  A  T  q,  sive  ut  ex   Cor.  3.    Prop.  praece-  dammodo  tollitur  j)cr  ineequaliiatem  menstruam 

dentis  constat  ut  inclinationis  sinus  ductus  in  motus  nodorum.      Calculus  latitudinis  fit,  posita 

sinum  duphcatse  distantise  nodi  a  Sole  ad  quad-  inclinatione  orbitce  lunaris  ad  planum  ecliptica?, 
ruplum  quadratum  radii,   sed  per  hujus  Probl. 

constructionem  in  ea  ratione  est   A  H,  si  modo  ^  /^ 

A  B  sit  ut  sinus  minimae  inclinationis  et  A  D                                   "^T^ 
sinus  maxima^,  sed  4^^  59'.  35".    est  minimus                            T^/'^^" 
inclinationis  angulus  ubi  Luna  est  in  syzygiis  et                              /     '%<^ 
5^'.  17'.  20".  est  maximus.     Ergo  fiat  A  B  ad                            I 
A  D  ut  sinus  graduum  4^^  59'.  35".,  &c.  a  1 

(^)  Huic  orbis  inclinationi  requalis  est  ejusdem  \ 

inclinatio,  ubi  Luna  distat.  90^"^.  a    nodis.     Mi-  \     y^ 

nima  inclinatio  ubi  Luna  distat  90^^  a  nodis  est  ^y\ 

ubi  nodi  sunt  in  quadraturis,  nonagesimus  autem  II^....^v^.. 

a  nodis  gradus  incidit  in  ipsam  syzygiam,  itaque  y^ 

miniraa  inclinatio  eadem  est  ac  in  pra>ccdenti  y^  '"^  — 

casu ;  maxima  vero  inclinatio  est  cum  nodi  sunt 

in  ipsis  syzygiis,  et  nonagesimus  a  nodis  gradus  et  assumpta  distantia  Lunae  a  nodo;  hinc  lati- 

tunc  quidem  incidit  in  quadraturas,    sed  tunc  tudo  Lunae  obtinetur,  quad  crescit  a  nodo  ad 

incUnatio  nihil  mutatur  ex  vario  situ  Luna;,  ita-  gradum  a  nodo   nonagesimum,    inde   decrescit 

que  eadem  cst,  sive  Luna  in  syzygiis  sive  iii  accedendo  ad  alterum   nodum,  &c.     Procedat 

E  3 


61- 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS     [De  Mund.  Syst 


dammodo  tollitur  per  inaequalitatem  menstruam  motus  nodorum  (ut  supra 
diximus)  ideoque  in  calculo  latitudinis  illius  negligi  potest. 

(^)  Scholium. 


eigo  Luua  a  nodo  N  ad  punctum  F  90^^  a  nodo 
dissitum,  motus  medius  nodi  est  major  motu 
vero,  toto  eo  intervallo,  ut  superius  (ad  Prop. 
XXXII.)  ostensum  est,  ergo  assumpta  mediocri 
distantia  a  nodo  quae  vera  major  est,  et  mediocri 
Inclinatione  quje   convenit  illi  menw,   latitudo 


major  invenietur  quam  debuisset ;  sed  quoniam 
in  casu  istius  figurae  minuitur  angulus  inclina- 
tionis  dum  Luna  movetur  ab  N  in  F,  et  is  an- 
gulus  ad  mediocrem  imminutionem  tunc  pervenit 
cum  Luna  est  in  F  circiter,  quia  area  N  ¥  h  est 
fere  semi-circulo  aequalis,  hinc  inclinatio  orbita; 
angulum  majorem  efficit  quam  is  qui  per  incli- 
nationem  mediocrem  supponitur,  unde  latitudo 
vera  major  evadit  quam  ea  quae  propter  medio- 
crem  inclinationem  orbitas  obtinctur:  hinc  ex  eo 
quod  nodi  motus  mediocris  loco  motiis  veri  assu- 
mitur,  invenitur  latitudo  major  vera,  sed  ex  eo 
quod  inclinatio  mediocris  assumitur  loco  verae, 
invenitur  latitudo  minor  vera  ;  inaequalitates 
itaque  menstruae,  quas  variatio  inclinationis  et 
motus  nodorum  admittunt,  sese  mutuo  compen- 
sant  in  calculo  latitudinis.  Caeteri  casus  eamdem 
compensationem  suppeditant,  v.  gr.  dum  Luna 
ex  F  in  q  movetur,  motus  verus  nodi  est  minor 
motu  vero,  hinc  Luna  est  revera  remotior  a  nodo 
quam  statuitur  per  motum  medium  nodi,  ideoque 
latitudo  major  supponitur  quam  est  (quia  in  se- 
cundo  quadrante  a  nodo  qu6  propior  est  Luna 
3  nodo  ascendente  N,  ideoque  eo  rem.otior  a 
descendente  n,  eo  ejus  latitudo  est  major)  sed 
cum  orbita  Lunae  habuerit  in  F  inclinationem 
mediocrem,  augetur  is  anguhis  dum  rrovetur 
Luna  ab  F  ad  q,  ideoque  assumendo  eam  incli- 
nationem  mediocrem,  minor  obtinetur  latitudo 
quam  revera  est,  ergo,  propter  inaequahtatem 
motus  nodi,  latitudo  quas  ex  motu  nodi  mediocri 
habetur,  est  major  vera,  latitudo  quae  obtinetur 
ex  inclinatione  mediocri  est  minor  vera,  compen- 
santur  er<ro  errores,  &c. 

(^)  *  Scholium.  Scholio  hoc  tradit  Newtonus 
rationes  quibus  quaedam  ex  aequationibus  luna- 
ribus  ad  calcidos  rcvocari  possint,  sed  dolcndum 


est  illum  non  aperuisse  vias  quibus  usus  est  ad 
eas  concinnandas :  defectum  hunc  utcumque 
reparare  sumus  conati,  et  methodos  aperuimus 
quibus  ex  gravitatis  theoria  eas  aequationes  de- 
ducere  liceat ;  quantum  fieri  potuit  iisdem  usi 
sumus  methodis  quas  Newtono  familiares  fuisse 
constat,  et  ad  ejus  solutiones  proxime  nos  acces- 
sisse  percipient  viri  do^ti  cum  paucis  duntaxat 
secundis  ab  ipsius  numeris  discedat  calculus 
noster,  et  cjus  consequentiae  planae  sint  similes 
iis  quas  ex  suis  Principiis  Newtonus  derivavit; 
utrum  aliis  methodis  res  felicius  absolvi  potuerit, 
viderint  doctiores ;  speramus  tamen  hos  calculos, 
ut  legitimis  principiis  nixos,  lectoribus  nostris 
gratos  fore,  et  forte  eos  juvare  ut  melius  quid 
excogitent :  caeterum  hoc  scholium  in  quinque 
paragraphos  commode  distribui  potest ;  in  primo 
Newtonus  indicat  calculum  ejus  aequationis  Lu- 
n»,  quae  a;quatio  solaris  prima  dicitur :  in  se- 
cundo,  tradit  aequationes  solares  motus  nodorum 
et  apog.aei  Lunae;  in  tertio  illam  aequationis 
solaris  correctionem  tradit  quae  ab  excentricitate 
orbitae  lunaris  pendet ;  in  quarto  aliara  adhuc 
correctionem  aequationis  solaris  addit,  quae  nempe 
oritur  ex  inclinatione  orbitae  lunaris  ad  planum 
eclipticae ;  in  quinto  denique  agit  de  aequationi- 
bus  motus  Lunae  et  ejus  apogfei,  quae  pendent  ex 
situ  apogaei  Lunae  respectu  Sohs. 

Ut  autem  haec  omnia  et  potissimum  ea  quae 
aequationem  solarem  Lunae  spectant,  et  quae 
primo,  tertio  et  quarto  paragrapho  a  Newtono 
indicantur,  melius  inteliigantur,  totum  eum  cal- 
culum  qualis  ex  theoria  gravitatis  instituendus 
nobis  videbatur,  uno  tenore  tradendum  censui- 
mus. 

De  incremento  motus  medii  Lunes,  et  ejus  cequa- 
tione  annua,  ^v  Solis  actione  penclentibus,  jrri- 
mum  in  hypothesi  orbem  Lun/e  esse  circularenif 
postea  in  hypothesi  orbem  Lunce  esse  elUpticum. 
Denique  in  orbe  lunari  ad  eclipticam  incli- 
nato. 

THEOR.  X. 

Corpus  P  revolvatur  in  circulo  A  D  B  C  circa 
corpus  T  a  quo  retineatur  per  vim  decrescentem 
secundum  quadrata  distantiarum ;  accedat  autem 
vis  quaedam  constans  quae  rctrahat  perpetuo 
corpus  P  a  corpore  centrali  T,  sed  quae  sit  exigua 
respectu  vis  ejus  corporis  T  ;  et  describatur  cir- 
culus  a  d  b  c  in  tali  distantia  ut  residuum  vis 
quam  exerceret  corpus  T  in  ea  distantia  (detracta 
ea  vi  extranea)  sit  ad  vim  qua  corpus  P  revolve- 
batur  in  circulo  A  U  B  C  inverse  ut  cubi  radio- 
rum  T  p,  T  P ;  dico,  quod  propter  illam  vim 
extraneam  tiet  ut  corpus  Pcirca  circuhim  adbc 
osciHetur,  nunc  citranunc  ultra  delatum,  parura 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


65 


ab  illo  discedens,  ita  ut  ejus  motus  assumi  pos- 
sit  quasi  fieret  in  eo  circulo. 

Nam  fingatur  eam  vim  extraneam  non  esse 
constantem,  sed  talem  ut,  post  discessum  corpo- 
ris  P  a  circulo  A  D  B  C  propter  ejus  vis  extra- 
neae  actionem,  residuum  vis  quam  exercet  corpus 
T  in  distantia  ad  quam  abit  corpus  P  (detracta 
ea  vi  extranea)  sit  semper  inverse  ut  cubi  dis- 
tantiarum,  eveniet  ut  (per  Prop.  IX.  Lib.  I. 
Princip.)  corpus  P  spiralem  logarithmxam  dc- 
scribat,  in  qua  angulus  curvse  cum  radio  ad  cur- 
vam  ducto  semper  manet  idem ;  veriim  quoniam 
ab  initio  vis  illa  extranea  fuit  constans,  liquet 
quod  priusquam  corpus  P  circulum  a  d  b  c  atti- 
gerit,  ea  vis  plus  imminuebat  vim  centralem  quam 
ut  decrescat  secundiim  cubos  distantiarum  auc- 
tarum,  ideoque  quod  anguli  curvae  cum  radio  ad 
curvam  ducto  semper  crescere  debuerunt,  sed 
incremento  perpetuo  minore  quo  magis  accedit 
virium  decrescentium  ratio  ad  rationem  iuversum 


P/ 


-J 

.••' 

c    "■  • 

^^/^^- 

K        '••.. 

;a     \ 

T 

\\  .. 

i.y 

■■■■■••^^ 

D      .... 

rBilj 


cubi  distantiarum ;  perveniet  ergo  corpus  P  ad 
circulum  a  d  b  c,  et  angulus  curvas  cum  radio, 
quando  P  erit  in  circulo  a  d  b  c,  erit  recto  major, 
quia  semper  crevit  is  angulus  a  tempore  quo  cor- 
pus  P  circulum  A  D  B  C  describebat  in  quo 
angulus  radii  cum  curva  rectus  est ;  ideo  P  ultra 
circulum  a  d  b  c  perget ;  cixm  autem  P  ultra 
circulum  a  d  b  c  pervenerit,  detractio  vis  con- 
stantis  vim  centralem  minus  minuet  quam  se- 
cundum  cubum  distantiarum  ;  itaque  angulus 
curvae  cum  radio  minor  fiet  quam  si  logarithmica 
spiralis  describeretur,  et  tandem  reducetur  ad 
angulum  rectum  ultra  circulum  a  d  b  c,  inde 
vero  curva  cum  radio  faciet  angulum  acutum, 
nam  vis  centralis  illic  major  est  quam  ut  circulus 
describi  possit,  quod  sic  demonstrari  potest ;  areoe 
ajqualibus  temporibus  descriptae  durante  toto  hoc 
corporis  P  motu  sunt  ubique  aequales,  quoniam 
vires  ad  centrum  T  constanter  diriguntur  (ex 
Hyp.)  ideoque  in  eo  loco  ultra  circulum  a  d  b  c 
in  quo  angulus  curvae  cum  radio  fit  rectus,  arcus 
dato  tempore  descriptus  foret  ipsa  basis  areae  de- 
scriptae  cujus  altitudo  est  distantia  a  centro  seu 
ipse  radius,  et  is  arcus  debet  esse  ad  arcum  qui 
eodem  tempore  dcscriptus  fuis!=ct  a  corpore  P  si 

E 


in  circulo  A  D  B  C  moveri  perseverasset,  nulla- 
que  vis  extranea  accessisset  inverse  ut  radii ; 
sagittae  autem  eorum  arcuum  (qu£e  sunt  semper 
ut  quadrata  arcuum  divisa  per  radios)  forent 
inverse  ut  cubi  radiorum,  sed  vis  centralis  ultra 
circulum  a  d  b  c,  minus  decrescit  quam  aecun- 
dum  cubum  distantiarum,  ergo  sigitta  arcus 
descripti  quae  est  ejus  vis  centralis  effectus,  major 
est  sagitta  quae  foret  secundum  rationem  inver- 
sam  cubi  distantiarura,  ergo  ea  sagitta  quae  per 
vim  centralem  producitur,  major  est  illa  quae 
obtineretur  si  circulus  in  eo  loco  describeretur ; 
ergo  corpus  P  a  tangente  magis  discedit  versus 
centrum  quam  si  circulum  describeret,  ergo  ejus 
via  acutum  angulum  cum  radio  efficere  incipit, 
sicque  accedit  iterum  ad  circulum  a  db  c  angulia 
curvae  cum  radio  perpetuo  decrescentibus  ;  ciim 
autem  infra  eum  circulum  transiverit  angulus 
quem  facit  curva  cum  radio,  iterum  augetur, 
donec  is  angulus  rectus  evadat,  inde  vero  fiet 
obtusus  quia  vis  centralis  illic  minor  est  quam  ut 
corpus  P  in  circulo  moveri  pergat;  redit  ergo 
corpus  P  versus  circulum  a  d  b  c  idque  perpetua 
oscillatione,  ut  liquet  ex  collatione  molus  quem 
haberet  in  logarithmica  spirali  cum  hoc  motu  : 
sed  quo  minor  est  vis  illa  data  quae  ex  centrali 
detrahitur,  eo  illae  alternse  oscillationes  minus  a 
circulo  a  d  b  c  recedent,  quare  si  vis  ea  exigua 
supponatur  respectu  vis  centralis  corporis  T, 
supponi  etiam  potest  motum  corporis  P  in  cir- 
culo  a  d  b  c  fiet.      Q,.  e.  d. 

Cor.  1.  Si  vis  illa  extranea  et  constans  per- 
petuo  traheret  corpus  P  versus  T,  iisdem  argu- 
mentis  ostendetur  quod  si  describatur  circulus 
interior  ai  (i  x,  in  tali  distantia  a  centro  T,  ut 
vis  corporis  T  ad  eam  distantiam  aucta  per  vim 
illam  extraneam  sit  ad  vim  in  circulo  A  D  B  C 
inverse  ut  cubi  radiorum  circulorum  A  D  B  C, 
a  ^  /S  X,  corpus  P  hinc  inde  cis  citrave  circuium 
a  S  /S  X  osciilatur,  et  si  ea  vis  extranea  sit  exigua, 
censeri  potest  quod  corpus  P  in  eo  ipso  circulo 
a  S  /3  X  movebitur. 

Cor.  2.  Et  si  vis  illa  extranea  constans  non 
foret,  sed  cresctret  secundiim  aliquam  dignitatem 
positivam  distantiarum,  iisdem  omnino  ratiociniis 
ostendi  posset  quod  corpus  P  in  circulo  a  d  b  c 
vel  «  5  /3  X  movebitur,  eveniet  solummodo  ut 
radius  T  p  paulum  diversus  sumi  debeat  ab  eo 
qui  inveniretur  si  vis  ea  extranea  constans  foret. 

Schol.  Aliis  methodis  effectum  illiiis  vis  ex- 
traneae  ad  calculos  revocari  posse  non  negamus, 
et  quidem  unam  aut  alteram  methodum  ab  hac 
diversam  eumdem  in  finem  in  sequentibus  pro- 
ponemus. 


THEOR.  II. 

Positis  iis  quae  in  primo  Theorcmate  suppo- 
nuntur,  dicatur  r  radius  circuli  A  D  B  C,  sit  » 
radius  circuli  a  d  b  c,  vel  a  ^  /3  x,  sit  p  radiorum 
r  et  ^  difFerentia  ;  vis  corporis  T  in  distantia  r 
dicatur  V  et  in  eadem  distantia  vis  extranea  di- 
catur  Y  quae  crescat  ut  distantiju  a  centro  T  ct 
qu;B  positiva  censeatur  si  distrahat  corpus  P  a 
cenivo,  ncgativa  vero  si  illiid  attrahatad  centrum, 
4 


6& 


PHILOSOPHI/E  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


dico  quod  radius  «  erit  semper  acqualis  quantitali 

V 3  Y  Y       4  Y* 

V_4Y  "■'  ^^^  quantitati  r  X  ( 1  +  y  +  -y^ 

16  Y  3 
-\-  ■■  ,  &c.)  et  omissis  terminis  propter  exi- 

guitatem   quantitatis  Y  evanescentibus,  est  ille 
Y 
V 


radiuse  =  r  X  (1  +^). 


Nam  vis  corporis  T  in  distanUa  a  erit  —  V 

vis  extranea  erit  —  Y  ex  hypoth.,  ideoquc  vis  qud 

r  r 
circulus  a  d  b  c  (vel  «  S  /3  x)  describitur  est  —  V 

—  —  Y,  sed  haec  vis  debet  esse  ad  vim  V  qua 
circulus  A  C  B  D  describitur  inverse  ut  cubi 
radiorum,  sive  ut  —  ad  —  (per  Theor.  procced.) 

V  V        Y^     .  ,      . 

ergo  est  —  =  — ^,  sive  reductis  tcnni- 

nis  ad  eunndem  denominatorem  est  ^  +  Y  = 
r^VXe  —  r=+_r3p  V.  Loco  ^  scribatur  r 
+  pfietr4Y+4r3pY  +  6r»p2Y  + 
4  r  p3Y  +  p4^Y=4ir3  pV,  sive  deletis 
terminis  ubi  p  superat  primum  gradum,  quoniam 
haec  qunntitas  exigua  est,  fitr'*-Y+;.  4r3pY 
=  +  r  3  p  V,  sive  +^^^+"4^^  =  ^  Y,  unde 

ideoque  ^,  quod 


obtinetur  +.  p  = 
V  — 


V  ~  4  Y 

estr +^p,  fitr^^^ — ^  r  qui  valor  in  seriem  re- 

Y        4  Y  * 
dactus  est  r  X  (1  +  y  +  ^^,  &c).6ivor  X 


THEOR.  III. 

Dicatur  M  tempus  periodicum  corporis  P  in 
cireulo  A  D  B  C,  dico  quod  ejus  tempus  perio- 
dicum  in  circulo  a  d  b  c  fvel  a  §  /3  x)  erit  M  X 

Dem.  Tempus  penodicum  corporis  P  revol- 
ventis  in  circulo  a  d  b  c  (vel  «  S  /3  x)  propter 
vim  extraneam  Y  detractam  vel  additam,  est  ad 
tempus  periodicum  ejus  corporis  P  cum  revolve- 
batur  in  circulo  A  D  B  C  citra  omnem  vim  ex- 
traneam,  ut  est  quadratum  radii  ^  ad  quadratum 
radii  r ;  nam  quia  vis  Y  est  semper  directa  ad 
centrum  T,  areae  manebunt  temporibus  propor- 
tionales,  quamcumque  in  viam  flectatur  corpus 
P,  ergo,  si  tandem  ejus  via  in  circulum  a  d  b  c 
(vel  a  J  /3  x)  mutetur,  tempus  quo  describetur 
peripheria  a  d  b  c  (vel  a  S  ^  x)  erit  ad  tempus 
quo  describebatiir  peripheria  A  D  B  C,  ut  tota 
area  circuli  a  d  b  c  (vel  a  S  /5  x)  ad  totam  aream 
circuli  A  D  B  C,  ideoque  ut  quadrata  radiorum 

V 3  Yi  ^ 

g  et  r,  sive  (per  Theor.  praeced. )  ut  — — T--.-J-  r  r 


V— 3Y|^ 
ad  r  r,   ideoque  ut  <         -     =■—  ad  1.  sed  hac 

Y 

fiactione  in  seriem  resoluta  ea  evadit  1  +  Tr= 

4  Y  2 
-| TT-j-»  ^^'  ^^*  *1"^  series  valde  convergit 

.     .   Y 

propter  exiguitatem  istiuc  fractionis  ^  et  illius 


alA 


( 

3 

■■■■"^^^ 

<" 

Q- 

»     ''*.. 

r\ 

r 

\.. 

.t-'^" 

■-..^ 

D      ... 

Bih 


2  Y         9  Y  *         40  Y  3 
quadratum  est  1  +  -:^  +  -^    +    -^^, 

2  Y 

&c.     Ergo  ut  1  ad  1  +  -— -  +,  &c.  ita  M  ad 

2  Yn 
M  X  (1  +  -vr  )  quod  est  tempus  quo  descri- 

betur  peripheria  a  d  b  c  vel  a  ^  /3  x. 

THEOR.  IV. 

Slt  T  Terra,  P  Luna,  A  D  B  C  circulus 
quem  Luna  describit ;  sit  S  T  distantia  medio- 
cris  Terrae  a  Sole  quse  dicatur  a ;  dicatur  F  vis 
Solis  in  Terram  iu  mediocri  illa  distantia,  Sol 
supponatur  immotus;  distantia  Lunae  a  Terra 
P  T  dicatur  r  et  ea  non  obstante  actione  Solis  ia 
Lunam  eadem  manere  censeatur ;  sit  C  P  dis- 
tantia  Lunae  a  quadratura  proxima  quse  dicatur 
u,  sit  ejus  sinus  y,  sit  ejus  cosinus  z ;  dico  quod 
eh  pars  vis  Solis  quae  agit  in  Lunam  secundum 

directionem  radii  P  T,  est  ubivis  —  X  v  -^ 

a         ^    r 

-r.) 

Nam,  secundum  constructionem  Prop.  LX  VI. 

Lib.  L  Princip.,  repraesentetur  vis  Solis  quaedici- 

tur  F  per  lineam  S  T  vel  S  K,  ea  vis  iSoh's  qua 

trahitur  Luna  in  loco  P  repraesentetur  per  lineam 

S  L,  et  haec  vis  censeatur  composita  ex  duabus 

S  M  et  L  M,  quarum  L  M   sit  parallela  radio 

P  T,  ciim  autem  linea  S  M  sit  aequalis  linea; 

S  T  +.  T  M,  et  Terra  trahatur  per  vim  S  T  non 

s>ecus  ac  Luna,  situs  respectivus  Lunae  ac  Tena; 

per  eam  vim  S  T  non  mutatur,  ideo  sola  ea  pars 

vis  S  M  quae  exprimitur  per  T  M  consideranda 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


67 


venit ;  praeterea  ex  natura  gravitat: 

I-ad         ' 
SK 

+  2  S  K 


S  L  ut  est 


est  S  K  ad 


sive  ut  est 


S  K  +  P  Kj- 
SK^  +  2SK  X  PK-fP  K^ad  S  K  ^ 
aut  omisso  termino  P  K  ^  ut  S  K  4.  2  P  K  ad 
S  K,  sive  quoniam  2  P  K  est  exiguum  respectu 
lineffi  S  K  ut  S  K  ad  S  K  +  2  P  K  est  ergo  S  L 
sive  SK  +  KL  ==SK  +  2PKetKL  = 
2  P  K,  ciim  autem  linea  P  L  sit  proxime  paral- 
lela  lineae  S  M,  et  ex  constructione  P  T  sit 
parallela  L  M,  est  T  M  proxime  sequalis  lineae 
P  L,  et  est  P  L  =  P  K  +  2  K  L  ==  3  P  K; 
ex  puncto  L  ducatur  perpendiculum  in  radium 
P  T  (productum  si  necesse  sit)  et  vis  T  M,  seu 
vis  ipsi  jequalis  P  L  resoluta  intelligatur  in  vim 
P  E  et  vim  L  E,  vis  L  E  radio  P  T  sit  perpen- 
dicularis  ideoque  vim  centralem  non  aflBcit,  vis 
1'  E  secundum  directionem  radii  agat,  sicque 
punctum  P  a  centro  T  distrahat,  altera  autem 
pars  quae  per  L  M  repraesentatur  secundum  di- 
rectionem  radii  agens  punctum  P  versus  centrum 
traiiit ;  ergo  ea  pars  Solis  quae  agit  in  Lunara 
secundum  directionem  radii  P  T  est  differentia 
virium  P  E  et  L  M. 

Jam  vero  ob  parallelas  S  L,  S  M  et  T  P,  L  M 
est  L  M  =  T  P  =  r,  et  ciim  P  K  sit  proxime 


perpendicularis  in  lineam  T  C,  erit  P  K  sinus 
arcfis  P  C  qui  sinus  dictus  est  y,  ideoque  P  L 
=  3  P  K  =  5  y,  cum  autem  triangula  P  K  T, 
P  E  L  sint  similia,  est  P  T  (r)  ad  P  K  (yj  ut 

P  L  (3  y)  ad  P  E  quod  erit  ergo  -^  et  diffe- 

3  y  y 
rentia  virium  P  E  et  L  M  est  — —  —  r,  quse 

3  V  V 
differentia  positiva  est  cura  — —  superat  r,  tunc- 

que  Lunara  a  centro  distrahit,  negativa  quando 

3  y  y 

— —  minus  efficit  quara  r,   tuncque  Lunara  ad 

centrura  attrahit ;  ciira  ergo  linea  S  T  siv«  a  re- 
praesentet  totara  vim  Solis  in  Terram,  eaque  vis 

3  y  y 
dicatur  F,  et  quantitas  — r  repraasentet 

eara  partera  vis  Soh*s  quae  in  Lunara  agit  secun- 

dura  dirccdonera  P  T,  fiat  ut  a  ad r, 

r 

ita  F  ad  eam  partem  vis  Solis  quae  afficit  vim 

centralem   Terrae  in  Lunam,  quae  idcirco  erit 


(lZI^,,j     Q.  e.o. 


Corol.  Si  transferatur  Luna  in  alium  orbem 
ad  bc,  a,  l  (i  X.  cujus  radius  sit  ^,  dico,  quod, 
manente  distantia  Lunae  a  quadratura  proxima, 
ea  pars  vis  Solis  quae  afficitvimcentralem  Terras 
in  Lunam,   crescet  ut  illae  distantiae  ^,   eritque 

^'        ^  r),  nam  cum  arcus  p  c 


ideo  -^  X 


y^3yy 


ejusdem  numeri  graduum   censeatur   ac   arcus 
P  C,  sinus  eorum  erunt  ut  radii,  ideoque  sinus 

arcus  p  c  erit  —  y,  deraonstrabitur  vero  iisdem 

plane  argumentis  quibus  in  Theoremata  usi  sumus, 

quod,  si  Luna  in  circulo  adbc  vel  aS/Jx  mo- 

veretur,  ea  pars  vis  Solis  qua2  secundiim  direc- 

F  io  /»  V  ^ 

tionem  radii  P  T  exercetur,  erit  —  X  (3        i^ 


5  g  y  ^  —  r  ^ 


5  g^  y  ^- 


r^ 


r^ 


r» 


^  =  k'x('-f^-'0 


^    =-x 


THEOR.  V. 

Effectus  actionis  Solis  in  Lunam  secundum 
directionem  radii  orbitae  lunaris  exercitae  intelh'gi 
potest,  si  concipiatur  Lunam  ex  sua  orbita 
A  D  B  C  in  aliam  transferri,  cujus  singulae 
particulee  quamminimae  sint  portiones  circulorum 
talium  ut  vis  centralis  Terrae  in  singulo  circulo 
agens,  sublata  vel  addita  vis  Sohsquae  in  eo  loco 
exerceretur,  sit  ad  vira  centralem  Terrae  in  cir- 
culo  A  D  B  C  citra  Solis  actionem  agentem, 
inverse  ut  cubus  radii  ejus  circuli  ad  cubum  ra- 
dii  circuli  A  D  B  C. 

Etenim  cura  ea  vis  Solis  per  gradus  infinite 

parvos   crescat  vel  decrescat  sitque  nuUa  cum 

•5  y  y  ,  .... 

=  r,  paulo  post  rainima  sit,  sicque  grada- 

tim  crescat,  si  constans  censeatur  per  terapuscu- 
lum  aliquod,  brevissime  transibit  Luna  in  circu- 
lum  adbc  illi  vi  congruum  per  Theor.  L,  mox 
vero  cum  vis  Solis  crescat  quantitate  quam  mi- 
nima,  ea  vis  censeatur  constans  per  alterura  teni- 


68 


PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 


pusculum,  transiblt  Luna  ex  circulo  prima;  vi 
congruo  in  alterum  huic  incremento  consenta- 
reum,  sicque  semper,  ideoque  in  singulis  parti- 
culis  arcus  C  P  Luna  censeri  potest  delata  in 
circuliun  vi  Soiis  in  eo  puncto  agenti  congruum. 


THEOR.  VL 

Manentibus  quae  in  Theor.  IV.  supposita 
sunt,  dicatur  c  tota  circumferentia  cujus  radius 
est  r,  dicatur  Y  vis  Solis  agens  in  Lunam  secun- 
dum  directionem  P  T  et  in  data  distantia  C  P 
a  quadratura  C,  quoe  distantia  C  P  dicatur  u, 
dicatur  M  tempus  periodicum  Lunas  in  circulo 
A  D  B  C  citra  Solis  actionem,  arcus  exiguus  a 
puncto  P  assumptus  dicatur  d  u,  dico  quod  tem- 
pus  quo  similis  arcus  describetur  in  orbita  in 
quam  Luna  per  actionem  Solis  est  translata,  erit 

Nam  si  vis  Y  qu£B  in  punctum  P  a  Sole  ex- 
ercetur,  in  exiguas  particulas  divideretur,  et  sin- 
gula  quae  dicatur  d  Y  maneret  constans  durante 
unica  revolutione  Lunae,  sicque  gradatim  Lunam 


D 

TV      ^^^^ 

c 

P/^ 

X    ''''.. 

loL        \ 

r 

£-'■"" 

'•••.... 

D      ... 

in  circulum  a  d  b  c  transfcrret,  tempus  periodi- 

cum  in  singulo  circulo  excederet  tempus  periodi- 

.       ,                ,      -             .          '2  d   Y 
cum  m  cnculo  praecedenti  quantitate — . 

Hinc  tandcm   tenipujptriodicuni   quo  circulus 

2  Y 
a  d  b  c  descriheretui,  foret  M  X  (1  -f-  -77 — h 

&c. )  per  Theor.  III.  et  tempiis  quo  arcus  similis 
arcui  d  u  describerctur  in  eo  circulo,  foret  ad  hoc 
tempus   periodicum    ut   d  u  ad  c,  foret  itaque 
M  d  u  2  Y 
X  (1  H — ^  +    &c.)  sedsingulaeparti- 

culac  orbitae  quam  Luna  describit  propter  ad- 
junctionem  vis  Solis,  spectari  possunt  quasi  per-. 
tinerent  ad  circulos  congruos  vi  Solis  in  illis 
punctis  agentis,  per  Theor.  V.  Ergo,  tempus 
inventum  est  illud  ipsum,  quo  durante,  Luna 
describet  arcum  similem  arcui  d  u  in  orbita  in 
quam  transfertur  per  actionem  Solis. 


LEMMA  L 

Invenire  integrales  quantitatum  y  d  u,  z  d  u, 
y  2  d  u,  z  ^  y  d  u,  z  y  ^  d  u,  y  z  2  d  u,  y 3  d  u,  y  +  d  u, 
&c.  factanim  ex  elemento  arcus  et  dignftatibus 
ejus  siniis  y,  vel  ejus  cosinus  z. 

Ex  natura  circuli  triangulum  P  T  E  estsimile 

triangulo  fluxionali  P  m  n  ;  ideoque  est  P  T  (r) 

ad  P  m  (d  u)  ut  P  E  (y)  ad  P  n  (d  z),  ut  T  E 

A\j           /i\i.             j            rdz         rdy 
(z)  ad  m  n  (d  y),  hmc  cst  d  u  = = ; 

c; 


hinc  fit  primo,  ut,  omnes  termini  in  quibus  alte- 

ruter  factorum  y  vel  z  quantitatis  d  u  dimensio- 

nem  habet  imparis  numeri,    possint  integrari ; 

1          1            .1                         .          ,       r  d  z 
nam  loco  elementi  d  u,  ponatur  ejus  valor  • 

.       .  r  d  y 

si  y  sit  imparis  dimensionis,  vel si  z  sit  im- 

z 
paris  dimensionis,  ea  substitutione  fiet  ut  pares 
evadant  dimensiones  y  vel  z  quae  prius  impares 
erant,  et  quia  in  primo  casu  habetur  fluxio  d  z, 
loco  y  ^  substituatur  r  ^  —  z  ^,  sicque  omnes 
factores  ducentes  d  z,  erunt  aut  r  aut  z,  ideoque 
quantitas  proposita  erit  absolute  integrabilis,  in 
altero  casu  cum  habeatur  fluxio  d  y,  ut  tollantur 
factores  z  cujus  dimensiones  sunt  pares,  loco  z  ^ 
substituatur  r  ^  —  y  ^,  sicque  omnes  factores 
ducenter^  d  y,  erunt  aut  r  aut  y,  ideoque  habe- 
buntur  termini  absolute  integrabiles. 

Secundo,  factores  qiiantitatis  d  u  sint  pares, 
et  quidam  primo  sit  z  ^  d  u  vel  y  ^  d  u,  integralis 
horum  elementorum  est  r  X  C  P  Q,  T  vel  r  X 
C  P  E,  nam  est  z  ^  d  u  =  r  z  d  y,  et  z  d  y 
est  flnxio  arese  C  P  Q  T  ;  est  y  ^  d  u  =  r  y  d  z, 
et  y  d  z  est  fluxio  area,^  C  P  E  ;  itaque  quando 
P  ex  C  pervenit  in   A  et  .absolvit  quadrantem 

integralis  z 

Sint  itaque  ambo  factores  y  vel  z  quantitatis 
d  u  numero  pari  qualicumque,  scmper  reduci 
poterunt  ita  ut  quantitas  proposita  contineat  dig- 
nitates  pares  alterntriusquantitatis,  puta  y,  altera 
variabili  exclusa  ponendo  loco  z  ^  quantitatem 
r  ^  —  y  ^.  Si  ergo  qu.xratur  integralis  quanti- 
tatis  y  ^  '"  d  u,  ut  ea  ad  impares  dimensiones 
revocetur,  spectetur  ut  y  ^  ""  —  '  X  y  ^  u ;  est 
autem  juxta  methodos  vulgaresyy  ^  "^  —  "  X 
ydu  =  y^'"-yydu~//yduX(2m  — 

1  )Xy  ^  '"  —  ^  tl  y,  scd  y  d u=  — — -  =  r  d  z, 

et  integralis  quantitatis  d  z  sumptas  a  puncto  C 
est  r  —  z,  hinc/y  du=rr  —  rz,  qua  siibsti- 


d  u  vel  y  2  d  u  est  r  X  -^  • 
8 


LiberTertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


69 


tuta  in  valore  integralis/y  ^*"  — ^Xy^^u^afit 
y2ni__  1^2 — yzm  —  irz  — rr/('2m —  1)  X 
y^"— My4-/.  rzX(2in— OXy^*"— ^dy, 
sive  (quia  r  r/(2  rn—  l^Xy"^'"—  "^dyiis 

9  m  —  I 

t^ L  r2y2m_,__j.2y2tn_x)o^t 

iJ  m  —  1 

/.y2'"du  =  — rzy»"  — '+/X(2m  — 1) 
X  rzXy^'"  —  *dy  (sive  quia  r  d  y  =  z  d  u) 
=  __  r  z  y  2  ■"  —14-/(2  m— l)Xz  *  y  ^  '"— '  d  u 
(et  loco  z  ^  substituendo  r  *  —  y  ^)  =  — 
rzy^"'-^+(2m— l)/r^y2">  —  2du  — 
(2m  —  l^/y^^^du;  et  transpositione  facta  est 
2  m/y  ^""du^  —  rzy2'"— I  +/(2  m— 1) 
X  r  ^/y  2  «n  —  2  d  u,  et  tandem/.  y  ^  '"  d  u  = 


^r^/y-'"  — 2  du 


r  z  y 


52m—  1 


2  m,  *^  2  m         ' 

hinc  cijra  habeatur  integralis  quantitatis  y  ^  d  u ; 
si  quaeratur  integralis  y  *  d  u,  ea  obtinebitur 
per  hanc  formulara,  siquidem  in  eo  casu  est 
y^"  —  *du  =  y*d  u,  et  ex  ejus  integra- 
tione  habetur  integratio  quantitatis/ y  ^  "  d  u, 
quae  isto  in  ca«u  est  y  ♦  d  u ;  simili  modo  ex 
integrali  quantitatis  y  +  d  u  habebitur  integralis 
quantitatis  y  ^'  d  u,  &c. 


Quando  P  pervenit  in  A,  terminus 


evanescit,   quia  illic  est  z  =  o  habetur   ergo 

j  :  2  m  -^  -^ 

eo  ergo  casu  sa  quaeratur  integralis  quantitatis 
y^du,fiatm=  2erit/  y  4du  =  |r2/y  2  du, 


8 


sed  /  y  *  d  u  = 

3r4  c 

4X8 

fiat  m  =  3  et  erit  /  y  ^'  d  u 


Cor.  4.  Denique  si  u  ex  puncto  A  incipiat 
et  ambo  factores  sint  utcrque  dimensionis  paiis, 
elementum  non  est  reducendum  ad  litteram  y, 
ut  in  Lemmatis  solutione  factum  est,  sed  ad 
quantitatem  z,  qu«e  in  toto  calculo  loco  y  sub- 
stituatur  et  vice  versa ;  liquet  enim  quod  z  est 
sinus  rcfipoctu  arcus  A  P,  et  y  ejus  cosinus. 

PROBLEMA  1. 

Invenire  totam  retardationem  Lunae  duna 
unam  revolutionem  absolvit. 

Constat  ex  Theor.  VI.      Quod  si  Sol  sit  im- 

motus,   et   Luna  in  tota  revolutione  eam  vim 

Solis  patiatur  quam  patitur  in  puncto  P,  eveniet 

ut  tempus  quo  describitur  arcus  d  u,   (quodque 

M  d  u         .       ,,  .    ,, 

oebet  esse  posito  M  tempore  penodico 

c 

Lunae,  et  c  peripheria  qu£Hn  percurrit,)  evj.dat 
X  (1  H xt)  '  itaquetempus  ilhid  pro- 

C  v    ■^ 

M  d  u  _  2  Y    . ,   .    .      ^ 
duatur  quantitate  — X  "v''  '^^'^'^cum  tem- 

pore  iste  arcus  d  u  describi  debuisset  hoc 

Mdu        2Y  2Y,       ,        . 

tempore  X  -tj— »  arcus  —   d  u  descri- 

beretur,  hasc  est  ergo  retardatio  Lunae  in  puncto 
P  orta  per  actionem  Solis. 

Sed  in  singulo  puncto  P  orbitae  lunaris  vis  Y 

ideoque  /.  y4du=     est  —  X  (— ^  —  r)  (per  Theor.  IV.)  ergo  ele- 
a         ^     r 


rzy 


2  m 


;  si  quaeratur  integrah*s  quantitatis  y  "^  d  u 
I  r  V  y  *  d  u 


3  r  4  c 
sed  /.  y  4  d  u  =  ■  ■  ideoque  /.  y  ^  d  u  = 

3s  5r  «c 


2   F 
mentum  retardationis   Lunac  cst   d  u  — —    X 

V   a 


•),  cujus  integralis  sccundum  Lemma 


2   F 


3  r  4  c 


4.  6.  8. 

Corol.  1.  Si  in  primo  casu  in  quo  alteruter 
factorum  quantitatis  d  u  aut  ambo  factores  sunt 
imparis  dimensionis,  totum  elementum  per  quan- 
titates  r,  z,  d  z  exprimatur,  integrahs  quae  tunc 
obtinobitur  non  erit  completa,  quia  cosinus  z  ex 
T  incipit  et  arcus  u  ex  punclo  C,  unde  d  z  ne- 
gativum  essc  debet;  erit  ergo/r  "  z  "^  d  z  = 
r  "2"»+  I 

C ,  ut  haec  constans  C  obtineatur, 

m  -|-  1 
observandum  quod  ubi  u  est  o,  ideoque  evanescit 

hoc  elementmn,  tunc  est  z  =  r  ergo  o  z=  C  — 
rn  +  m^.1  1 

j— — -  hinc  C  = ; — r  "  + '"  +  ^ ;  v.  gr. 

ra4-  1  m-(-  1  '       ^ 

sit/  r  z  3  d  z  =  C  —  —  fit  C  =i  r  5. 

Cor.  2.  Si  e  contra  arcus  u  ex  puncto  A 
inciperet,  integralis  quae  obtinebitur  cum  ele- 
rocntum  per  quantitatem  y  exprimetur,  completa 
non  erit,  et  ea  ratione  compleri  debebit  quae  in 
praecedenti  Corollario  est  indicata. 

Cor.  5,  In  secundo  casu,  si  u  ex  puncto  A 
incipiat,  erit/  y  d  z  =  A  P  E  T  et/z  d  y  est 
area  A  P  Q,  ut  liquet  ex  ipsa  figura. 


praecedens  est  1^-  X   f— 7; i^  ^),  sive 

V  a  N     o  r 

2  F 

—  X  i  r  c,   cum  P  pervenit  in  A,  cumque 

idem  sit  Solis  efFectus  in  singulo  quadrante,  tota 

:■    .     X  2  F     ,  4  .       F  r  c 

retardatio  Lunas  est  — —   X  q  r  c  sive  -rr= — 
V  a        '*  V  a 

dum  Luna  revolutionem  absolvit,  respectu  Solis 
imnioti. 

Si  reddatur  Soli  motus  suus,  et  loco  mensis 
periodici  M,  mensis  synodicus  ^  intelligatur,  et 
censeatur  quod  proxime  verum  est,  mensem  sy- 
nodicum  qui  respondet  mensi  periodico  in  circulo 
a  d  b  c  peracto,  esse  ad  eum  raensem  periodicum 
ut  fi  ad  31,  ideoque  eum  mensem  synodicum 

2  Y\ 
esse  |t«  X  (1  4~  ~U~J  ®™^^^  procedent  ut  prius, 

F  r  c 
et  erit  -— —  retardatio  Lunae  toto  ejus  tempore 

synodico. 

Scrupulus  esse  potest,  utrum  in  hac  expres- 
sione,  quantitas  c  designet  peripheriam  360  grad. 
an  eam  periphcriam  conjunctam  cum  vid  quam 
Sol  emensus  est  mense  synodico ;  sed  ex  inte- 
grationis  adhibitse  ratione  patet,  actum  fuisse  de 


70 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 


veris  quadrantibus  circuli,  ideoque  hic  c  desig- 
iiare  peripheriam  ipsam  nihilque  ultra,  ita  ut 

F  r  c 

sit  retardatio  absoluta  Lunai  tempore  sy- 

V  a 
nodico. 

Verum  ah'a  certior  correctio  est  adhibenda  ; 
constat  ex  Propositione  XXVI.  hujusce  Libri, 
Velocitatem  Lunae  augeri  per  SoHs  actionem 
radio  orbitae  lunaris  perpendicularem,  ita  ut  ve- 
locitas  Lunaa  in  quadraturis  sit  ad  ejus  velocita- 
lem  in  quolibet  puncto  ut  109. 73  r  ad  109.73  r  -|- 

— ,  hinc  tempus  quo  describitur  arcus  d  u  bre- 

vius   fit  in   proportione    velocitatum,    ideoque 

ciim  id  tempus  fuerit X  (1  +  "v")»  ^* 


cujus  integralis  pro  quadrante  juxta  Lemma  I. 

2F^     ,3r  ^c        ^                    3X3r  4  c 
est  — —  X  ( 1  r  c 

Va^^V    8r  ^  ^X  »  X  109.73  r  3 

,         r^c       N.      SFrc^j  5 

~8X109.73>'  Va      ^^        4.8.109.73 

F  r  c 
et  quadruplicatum  pro  tota  revolutione  fit 


Va 


433.92 


109.73  r 


109.73r  +  ^ 
'      r 


itdu       ,,    ,    2  Yn    .      - 
X  ^  X  (1  +  -y  )  sive  frac 


tionem  ad  series  reducendo 


yy 


109.73  r  r 


itidc       ,.2Y\              .                 ,       wdc 
C X  (1  +  -vf  )  ;  quantitas  autem  hsec 

2  Yn  .  . 

X  (1  +  -^)  ;  duas  partes  continet,  priorem  m 

dependentem  ab  actione  Soh's  secundum  direc- 
tionem  radii  exercitam,  et  de  acteleratione  ad 


'"  438.92 

CoroU    Constat  ex  Cor.  2.  Prop.  IV.  Lib.  I. 

Princip.       Quod   vires   centrales  sunt  inter  se 

directe  ut   radii,   et  inverse  ut  temporum  pe- 

riodicorum    quadrata :    hinc,    si    sit    A    annus 

sidereus,     et    M    mensis    periodicus     sidereus 

seposita  omni   Solis  actione,    erit   F  ad   V  ut 

a        ,       r        .      F         a  M  M      .     . 
- — -  ad  -T  -.,  sive  —  z=  — - — -  substituto  i- 
A  A        M  M'  V         r  A  A 

F  Frc 

taque  hoc  valore  loco  —   in  quantitate    - —  X 
V  V  a 

433.92  ,    .  , 

quse  retardationem  durante  mense  syno- 

438.92  ^  ' 

M  ^         433.92 

dico  exprimit,  ea  retardatio  fit  -— ,  X  -— -  c, 

^  A  2  458.92    ' 

et  si  non  attendatur  ad  correctionem  quse  pendet 

ex  actione    Solis  perpendicularis   radio   orbitae 

M  ^ 
lunaris,  ea  retardatio  foret   -— ^  c. 


hanc  partem  pertinente  actum  est  in  XXVI. 
Prop. ;  et  hinc  fit  ut  mensis  synodicus  medius 
sit  brevior  eo  qui  debuisset  esse  in  proportione 
numeri  10973  ad  11023,  et  inaequalitates  inde 
nata3  in  variis  partibus  mensis  synodici  in  varia- 
^  d  u  _  2Y 
tione  contmentur;   altera  pars    X  -^ 

pendet  ab  actione  Solis  secundum  radium  orbitae 

lunaris  exercitam,   et  de  hac  sola  isto  calculo 

agitur,   ideoque  ciim  ex  ista  oriatur  retardatio 

2 Y  ,  ^d  u  _  ^      . 

-— -  d  u,  ct  tempus  C- fiat  mmus  in  propor- 

tione  1  ad  1  — ^—^^ — -  retardatio   quae   fiet 

109.73  r  2  ^ 

dumarcus  d  u  describi  debuisset,  erit  solummodo 

2  Y  d  u  2  Y  y  y  d  u      .         „  F 


PROB.  IL 

Dato  tempore  synodico  apparenli  Luna;,  in- 
venire  tempus  periodicum  quod  observari  debu- 
isset,  si  abesset  actio  Solis  in  Lunam  secundum 
radium  orbitae  hmaris  exercitam. 

Sit  S  mensis  synodicus  apparens,   A  annus 

sidereus,  inde  (ex  nota  proportione  mensis  syno- 

dici  ad  periodicum)  invenietur  mensem  periodi- 

A  S  .        ^ 

cum  apparentem  esse  — — ; — -,  et  quoniam  hoc 
A  •Jf  o 

tempore  periodico  Luna  describeret  peripheriam 

c,  deducetur  quod  tempore  svnodico  S  describet 

A+  S 

arcum  7 —  c. 

A 

Sed  Luna  citra  Soh*s  actionem  tempore  perio- 

dico   M  describere  debuisset  peripheriam   c,  et, 

eadem  in  hypothesi,  tempore  S  descripsisset  are- 

am  ^   hinc   ergo    retardatio    absoluta    quam 


M 


S  c 


patitur   tempore    S   est    -=-1 


A  4.  S 


M 


AS— AM  —  MS 


c.      Sed  per  CoroUarium 


A  M 

prsecedentis  Problematis   ea   retardatio   inventa 

M  ^         433.92       ,  .        ,   . 
fuerat  - — -  X  :;-rv^^  c  hmc  obtmetur  hasc  ae- 


109.73  r»  V' 


loco   Y  ponatur 


A   *  "   438.92 
quatio  AS— AM  —  MS 


433.92  M3 


X  (—^ r)  evadet  hoc  elementum  d  u  X 

2  F          5  y  y  3  y  *          ,         y  y     v 

V  /^— —   —  r 4-  — ^—^ — \ 

V  a  '^  ^    r  109.73  r  3  ~  109.73  1' 


438.92  A  ' 

loco  M  scribatur  X  A,  loco  S  ecribatur  E  A,  et 

fiet  hjEc  aequatio  A^E  —  A*X  —  A^EXz^ 

433.92  A3X3   .      .„      ^  .  „^r  .    433.92 

X  •^, 


-  -^^  sive  E=X+E  X4. 
i.92  A  T  -T 


438.92  A  ■  '    438.92 

sed  mensis  synodicus  medius  est  .08084896  A 


I.iberTertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


71 


hinc  E  =  .0804896  et  aequatio  fit  .08084896 

433  9'' 
=  1.08084896  X  +  ,     '       X  3    loco  X  sub- 
'    438.92 

stituatur  .0744  -f-  R  et  a-quatio  evadit  .08084896 
=  .08082129  +  1.09726905  R,  unde  habetur 
.00002767  =  1.09726905  R,  hinc  obtinetur  R 
=  .0000252  et  M  =  .0744252  A. 


TilEOR.  VII. 

Si  mutetur  utcumque  Solis  a  TerrS,  distantia, 
ita  ut  loco  a  dicatur  X,  dico  quod,  cseteris  ma- 
nentibus,  retardatio  Lunae  durante  tempore 
synodico,  cum  Terra  distabit  a  Solc  quantitate 
_-      .    a3  M  2        433.92  0 

^'"'xTa-^x-458:9^- 

Nam     ex    Problemate    I.    retardatio    Lunas 
F  r  c        A33  Q2 
inventa  fuerat  — —  X —  sed  in  alia  a  Sole 

V  a         438.92 

distantia  loco  a  ponatur  X,  et  prseterea  loco  F 

a^  F 
ponatur  ,    decrescit   enim   vis  Solis  F  ut 

X 

quadrata   distantiarum,    hac   ergo   substitutione 

„      .       .     j  .•     T  v^''  ^  ic  ,,  433.92 

facta  retardatio  Lunae  sit     ,^  ,  ,  ■■  V ; 

X  3  V     ^  458.92' 
F      .     .  a  M  2       , 

tum  vero  loco  —  substituatur  — - —  et  habeb;- 

V  r  A  2 

tur  expressio  Theorematis  hujusce. 


LEMMA  IL 

Foco  F,  axe  majore  N  F  n  qui  dicatur  2  a 
describatur  ellipsis,  sit  e  ejus  excentricitas  eaque 
parva  sit,  axis  minor  sit  2  b,  erit  b  ^  =a^—  e  ^  ; 
ex  foco  ut  centro  radio  a  describatur  circulus,  et 
ducantur  a  foco  linea;  secantes  circulum  in  P  et 
elh*psim  in  n,  linea  F  n  dicatur  x,  sinus  anguli 
A  F  P  sit  y,  cosinus  z ;  dico  quod  linea  x  erit 

b»a 
a  ^  +  e  z* 

Ducatur  ex  n,  n  H  perpendicularis  ad  axem, 
et  propter  triangulorum  F  P  E,  F  n  H  simili- 
tudinem  erit  F  P  ad  F  n  ut  P  E  ad  n  H  et  ut 

y 

y  :  -^  X  =  z  : 


per  4  et  transponendo  est  a  x  ^         \ 


b^a         _ 

—z Q.e.o. 

a  ^  +  e  z 

h  2 
Hic  valor  x  in  series  resolutus  est  — 


e  2  __  jj  2 .  unde  liabetur  x 

Cor. 


X  (1  ±  —  H .—  +  -,  &c.)  sumptis 

a^"a^  a^  ' 

signi»   superioribus  quando  E   cadit  in  eadem 

parte  ac  centrum,  et  sumptis  signis  inferioribus 

quando  E  cadit  in  parte  in  qua  non  est  centrum. 


jpe  z 


ad  digni- 


Cor.  2.     Si  fractio  —  X 

X  b^ 

tates  superiores  evehatur,  termini  in  quibus  e 
plurium  dimensionum  poterunt  omitti,  propter 
suppositionem  excentricitatem  exiguam  esse,  ct 
quidem  si  agatur  de  Solis  excentricitate,  ea  non 


F  E  ad  F  H,  hoc  est  a  :  x 


--  X  :  sit  f  alter  focus  ellipseos,  ex  eo  ducatur 

linea  f  n,  ex  natura  ellipseos  est  f  n  =  2  a  —  x 
sed  f  n  2  —  n  H  2  -j.  f  H  2  et  n  H  = 

y 


^  X,  et  f  H  =  F  H 

a 


F  f  vel  F  f  —  F  H 


vel  F  f  +  F  H,  et  est  F  f  =  2  e  et  F  H  = 
~  X  hinc  nH^4-fH^  =  ^x24.  ^-^x^ 

a  '  Q    2  >         n    2 


4  e  z 


X  -j-  4e2=:fn^  =  4a2  — 4; 


+  X  2,  est  autem  ^x-\-^—  x  ^  =  x  ^  ergo 


4  e  z 


4-  —  x  +  4e2=4a2«.4ax,  et  dividendo 


assurgit  ad  duas  centesimas  radii,  et  excentricitas 
Lunae  non  assurgit  ad  septem  centesimas. 

Cor.  3.  Hinc  tardatio  Luna;  quas  ex  Solis 
actione  pendet,  fiet  durante  tempore  synodico  S, 
433.92  c         M^         a^Xez^ 

semi-axe  majore  orbitae  SoHs,  e  pro  ejus  excen- 
tricitate,  et  b  pro  axe  minore. 


PROBL.  IIL 

Determinare  quantitatem  graduum  quibus 
tardatur  Luna  per  actionem  Solis  dum  Terra 
describit  circa  Solem  arcum  quamminimum  da- 
tum. 

Sit  ut  in  prtEcedenti  Lemmate  N  n  n  ellipsis 
quam  Terra  describit,  sit  Sol  in  foco  F,  ducatar 
ut  prius  linea  F  P  n  et  ei  quam  proxima  F  p  t 
quae  secet  in  circulo  C  A  D  arcum  P  p,  et  quae- 
ratur  quantitas  graduum  qua  tardatur  Luna  por 
Solis  actionem,  dum  Terra  videretur  e  Sole, 
descripsisse  arcum  P  p. 

Sit  ut  prius  A  tempus  annuum,  a  ellipseos 
semi-axis  major,  k  circumferentia  eo  radio 
descripta  ex  foco  F,  sit  e  excentricitas,  b  = 
<Y/  a  ^  —  e  ^  semi-axis  minor,  area  semi-ciiculi 


ri 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


a  k 

— ,  quae  est  ad  aream  semi-ellipseos  ut  est  a  ad 

.    „.  bk 

b,  hmc  area  semi-eliipseos  est  — -. 

Dicatur  arcus  A  P,  u,  arcus  P  p  sit  d  u,  radio 

F  n  sive  X  describatur  arculus  ex  ir  in  F  n,  is 

erit  ad  d  u  ut  est  F  n  sive  X  ad  a,  ergo  is  ar- 

.xdu.,,  „  x^du 

culus  erit  ,  ideoque  area  1<  n  ?r  est ■ 

a  2  a 

=  —  (per  Lem.  praeced.). 

Sed  tempus  quo  Terra  arcum  P  p  descripsisse 

videtur,  est  ad  tempus  semestre  \  A,  ut  haec  area 

„            .x^du,         .„.    .bk       _^ 
F  n  «I*,  sive  —T ad  semi-eUipsim  — -.      JiiSt 

itaque  illud  tempus  quo  Terra  arcum  P  p  descrip- 

4  xMu       ,.   ^        X  2  A  d  u 
sisse  videtur  ;; — ^-p  X  i;  A  = 


Si  ergo  sumatur  semestris  revolutio,  illic  est 

u  =  ^  k,  et  termini  in  quibus  occurrit  y  sese 

destruunt,   ut  quidem  liquet  ex  eo  quod  y  illic 

evanescat,      unde      semestris      retardatio      sit 

433.92  cX  M^a      ^         43P.92cXM^a3 

43«.92  S  A  b^k^*^       "■     438.92  SAb3 

X  a  ^^^®  ponendo  a  =  b  quod  proxime  verum 

^   433.92  cM^      ^  ^ 

est  — ^— — — —  \t  — 

438.92  SX  A  -^  *' 

Cor.     Si  quaeratur  retardatio    Lunse,    facta 

tempore  quo  Terra  a  suo  apheh'o  ad  mediocrem 

ejus  distantiam  pervenit ;   observandum  quod  eo 

in  loco  arcus  u  efet  J  k  —  e,  et  y  est  b,  unde  in- 


tegralis  inventa    evadit 


433.92  c  X  M  2  a 


2abk 


abk 


Inventum  autem  est  quod  tempore  S  Luna 
tardabatur  propter  actionem  Solis  quantitate 
433.92  c_M2a3  x^^du 

-439:^  X  -X^^^^ZO^^^^VOX^   ■     ^bk 
^     ,  .  .  .         433.92  cXx*Adu   ^^ 

tardabiturquantitate      ^^s.^.xSabk       >< 
M*a3    .        433.92  c  X  d  u    ^^  M^a^ 


sive 


A  X 


aut 


A^  x3  "■•-  438.92  X  S.  b.  k 

a         433.92.  c  d  u 
substituendo  valorem  fractio  — ,  fit  -  . 


M^i 


e  z 


^     A     ^        b» 

X  (a*+  ez.) 


433.92  cduXM^a 
438.92  SAb^k 


PROBL.  IV. 

Invenire  retardationem  Lunae  ex  actione  Solis 
ortam  durante  semestri  revolutione  Terrae  circa 
Solem. 

1'rimo  inveniatur  integralis  elementi  per  Probl. 

TT,    .  .  ,         433.92  cd  u  X  M  *a^^ 

111.  mventi,  quod  est  — — ,    .  ,  , —  X 

^  438.92.  S.  A.  b  3  k     "^ 

.   .    .  ,   .        ,•  433.92 cX  M^a 

(a^  ±  a  2)  cujus  mtegrahs  est  433.92  S.  A  >>  3  1, 

X  (a  2  u  +  a  c  y. ) 


438.92  S.  Ab  3  k    ^ 

(^a^k  —  a^e  —  abe  )aut  simplicius  si  quan- 

titates  a  et  b  pro  aequaUbus  sumere  Uceat,  fiet 

433.92cXM^  433.92ca3xM» 

438.9-^S.Ak  ^^^''■"'^^^^'^^^^S.^SXSAbs 


PROBL«  V. 

Invenire  aequationem  motiis  medii  lunaria 
quae  pendet  ex  Soh's  actione,  et  quas  est  adhi- 
benda  quando  Terra  est  in  sua  mediocri  distantia 
a  Sole. 

Primo  observandum  est,  motum  Lunae,  qualis 
ex  apparentiis  determinatur ;  ex  dupUci  causa 
pendere,  ex  actione  TerrEe  cum  motu  projectiU 
conjuncta,  et  ex  SoUs  actione  quae  motum  ex 
praecedenti  causa  natum  tardat ;  prior  motus  in 
orbe  circulari  uniformis  foret,  sed  tardatio  ex 
ahera  causa  procedens  inaequaUter  priori  iUi  sese 
immiscet.  Astronomi  vero  cum  motum  medium 
Lunse  EBstimant,  hanc  tardationem  sumunt  quasi 
uniformiter  in  omne  tempus  distributam. 

Cum  ergo  ea  tardatio  major  sit  in  aUquibus 
Terrae  positionibus,  in  aUrs  sit  minor,  quaestio 
est  quaenam  correctio  motui  medio  Lunae  sit 
facienda,  ut  habeatur  Lunae  locus  verus,  ideoque 
investiganda  est  difterentia  inter  tardationem 
proportionaUter  tempori  distributam,  et  tardatio- 
nem  veram  quae  singulo  loco  competit,  quae  dif- 
ferentia  loco  medio  addita,  aut  ex  eo  detracta, 
restituet  verum  locum  Lunae  quatenus  haec  Sola 
irregularitas  spectatur. 

Ut  ergo  habeatur  tardatio  tempori  proportio- 

naUs  quando  Terra  est  in  mediocri  distantia,  fiat 

secundum  Regulam  Keplerianam,  ut  area  semi- 

b  k 
eUipseos  (quae  est  —    et    est   semestri   tempori 

proportionah's)  ad  aream  F  N  A  (quae  est  eUip- 

seos  quarta  pars  ciun  triangulo  F  A  K  ideoque 

bk.be  .       ,.     . 

est 1 et  est  proportionahs  tempon  quo 

Terra  ab  aphclio  suo  ad  mediocrem  a  Sole  dis- 

e 
tantiam  pervenit)  hoc  est  ut  |;  ad  -j  -f-  -j-,   ita 

tardatio  semestri  tempore  facta  quae  (per  Probl. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  73 

nem proportlonalem  tempori  quo  Tcrra  ab  aphe-  .                      433. 92XcXM^a 

lio  ad  mediocrem  suam  a  Sole  distantiam  per-  veniens,  quae  est  ^gg  g^  g^  Ab^k^  ^     "  +  a^j; 

433.92ca3  X  M^          j  u,    T,r  s      -,                    433.92cXM2a2 

venit,  qu^  ent  ergo  -^g^.c^.sAb^      X  ^^  (P^-^W.  IV.)  e»t  ha3C  ^qu.  jggTQSxS.  A^b^  k 

+  -l)  ;  sed  per  Cor.  Probl.  IV.  vera  tardatio  ^  (^^^J^^^  —  a  u  +  e  y),  ideoque  erit  ut 

.    ,              433.92  ca^XM^                 2ex  2aFNn  — abu  +  bey 

eo  in  loco erat  -433.92  S  A  b  3~  ^  ^* k  >''      =!> ^""^ '  ^"*  «""^endo  a  = 

Hinc   substraction'.'    facta,    tardatio    mediocris  2  F  N  n— bu  +  ey 

superat  tardationem  veram  quantitate  ^^i  "*  g *     ^*"^  ^^^°   ^*^ 

X—.      HffiC  ergo  quan-  quantitas  estipsaaequatio  centri  Solit;  nam  arcus 


438.92  S.  A  b  3             k  qui  describeretur  per  motum  medium  Soh's  eo 

titas  graduum  debet  addi  loco  medio  ut  locus  tempore   quo  arcus   u    revera  percurritur,  hac 

verus  obtineatur.   Si  ergo  locoesumatur.OI6|  a,  .    „.     .     b  k 

«rit    3   e  =   .0.50f   a,     et    loco    k    scribatur  proportione  obtmetur,   ut   semi-elhps.s  —  ad 

6.283188  a:  et  loco  c,  360  gr.  erit  ^-^   =  ^'•eam  F  N  n  ita  semi-circulus  §  k  ad  arcum 

k  4  F  N  n 

iftgr  Qoei  M  ^  medio  motu  descriptum  :  qui  ereo  erit  — —, 

18_^        ^g,^              prjEterea  f-  ad  calcu-  f        '  4        fe               l,  ,^ 

6.283188                           '  ^                b.A  ^^  .  ,         2  F  N  n          , 

lum  revocatur  si  loco  M  ponatur  .0744252  A  ;     X  ^  k  = ;   sed  arcus  tunc  temporis 

et  loco  S,  .08084896-  A,  ut  in  Prob.  II.  repertum  ^evera  descriptus,  est  N  n  sive  u,  ergo  ^quatio 

""'''  ^'  S;^  =.06851183835,  idque ductum  in  ^^^^.  golis est  1^^ _ u sive ^M.^^^ 

^'■^^*^°"^"^  ISi    '^'''  .05773137   cumque  ^ui  quantit.  l^liiiL=JL^lI  est  quam 

fractio  —  sit  tantura  1.00045  et  superius  sump-  proxime  aequalis,  nam  terminus  e  y  propter  exi- 

b  3                                                                 ^  guitatem  e  respectu  b,  et  y  respectu  u  considera- 

tumsit  a  loco  b,  haec  fractio  pro  unitate  sumi  tionemnullam  hic  meretur;  ergo  fequatiolunaris 

potest,  hinc  est  -ii^  X  ---=.06773137,  '"  quovis  loco  orbitas  Telluris  est  sicut^quatio 

b  ^  S.  A      438.92  centri  Sous  eo  m  loco ;  ergo  ut  aquatio  centn 

quod  ductum  in  2^^.  .9005  efficit  0°.  19646  quod  Solis  in   mediocri  distantia  Telhiris  a  Sole,  est 

ductum  per  60'.  efficit  ir.7876,  sive  11'.  47".  ad  aequationem  moms  lunaris  adhibendam  cum 

256'",  quam  Nevvtonus  1 1'.  49".  assumit;  majo-  Tellus  est  in  ea  mediocri  distantia  a  Sole,  ita  est 

rera  autem   aequationem  in   hypothesi  elliptica  cequatio  centri    Solis  in  quavis   distantia  u  ab 

inveniemus,  unde  mediumquoddaminter  utram-  apheho,  ad  aequationem  Luni-Solarem  primam 

que  ab  ipso  assumptum  esse  videtur.  Lunae  ilJi  loco  convenientem. 

.     ,  433.92Xca3XM^  Cor.    3.     ^quatio   ista    LunjB,    quap    solaris 

Cor.  1 .  Cum  hasc ajquatio sit  43^,92x^.^3  a'  pnma  dicitur,  est  maxima  in  distantia  mediocri 

3  e                          433.92  c  X  M  2        3  e  Terrae  a  Sole  ;  nam  ciim  sit  proportionata  aequa- 

X  -r-  sive  proxime   -■    ^   "^^  g       ^-  X  ^>  et  tioni    centri   Sohs,    et   aequatio  centri   SoHs  sit 

^•.  .           TiT    o    A    \l    ..;^4.\i c4,.^t^     u^^  maxima  in  mediocri  distantia  Telluris  a  Sole  per 

quantitates  c,  M,  S,  A,  k,  smt  constantes,  hasc  •        t  -u       •        1,                  .•            j 

.•       u-  'T'  11         *  •         -^  .^  A-^  ,•  A-  *     4.-'^  ea  qu2e  primo  Libro  circa  hanc  aequationem  de- 

a;quatio  ubi  Tellus  est  m  sua  mediocn  distantia,  ^.1          ^            ..-i-t^           -i 

f    •     ^           ^  -  -.         1  :*^  T   n  ..•^  „  :j   '      '  monstrata  sunt,  aequatio  solans  Lunae  co  m  loco 

est  sicut  excentncitas  orbitae  leUuns  e,  ideoque  .             .     '     ? 

si  ea  excentricitas  major  sit  quam  .016|  radii  a,  ""^^'™^  P^^ter  ent. 

crescet  haec  aiquatio  in  hac  proportione ;  sit  v.  gr. 

e  ==  a  X  .Oief  J,  et  fiat  ut  16|  ad  16^^  ita  j)^  increinento  motus  medii  Lunce,  et  ejus  eequa- 

II.  47  .  616  ad  quanum,  is  quartus  termmus  fione  ex  Solis  aclione  pendentibus,  in  hypothesi 

11 .  49  .  4t?,  ent  a^quatio,  supposita  excentnci.  ,^,„  ^,.j^„j  ^^,^  ellipticum,  methodo  diversd  ab 

tate  orbitae  Telluris  .01 6j^,  hoc  in  casu  New-  ed  quce  in  calculo  pracedeiitejuit  adhibita. 

tonus  asquationem  facit  1 1'.  50". 

Cor.  2.     In  alio  quovis  loco  orbitas  Telluris,  THEOR.   I. 
.    .    b  k 

aequatio  habebitur  si  fiat  ut  semi-eUipsis  —  ad  c  .  j         n-         j       •  ..      • 

^                                                         *^        4  Smt  duae  elhpses  descnptae  circa  corpora  cen- 

433.92cM^  traha  in  ipsarum  focis  posita,  quorum  vires  ab- 

aream  F  N  n  ita  semestris  tardatio  ^gg.g^xS.A  ^'''"^*   diversae   sint ;    dico,    quod  si    tempora 

jj  3  periodica  in  utraque  eUipsi  sint  ut  earum  ellip- 

X  ,jT-i  ad  taxdationem  huic  tempori  proportio-  sium  areae,  ellipses  illae  erunt  inter  se  similes. 

433  qo  c  V  M  ^  V  F  N  n  Describantur  dua;  ellipses  N  A  N,  n  a  n,  circa 

nalem,  quae  erit  ergo  ——-^ — — — ;.  ^ -  corpora  S  et  s  in  focis  eliipsium  posita,  et  quoruin 

438.92  X  S  X  A  b^  vires  sint  diversae,  si  totum  tempus  quo  descri- 

X  ii.'  tum  verd  si  sumatur  tardatio  loco  n  con-  »^'^"^  peripheria  ellipseos  N  A  N,  sit  ad  totum 

b  k  tempus  quo  descnbitur  penphena  ellipseos  n  A  u 


74 


PHILOSOPHIiE  NATUllALIS    [De  Mund.  Syst 


ut  area  prioris  ellipseos  ad  aream  alterlus,  ellipses 
illae  similes  esse  debebunt,  hoc  est  earum  ellipsi- 
um  axes  majores  erunt  inter  se  ut  sunt  inter  se 
earum  minores  axes,  v.  gr.  si  semi-axis  major 
ellipseos  N  A  N  dicatur  r,  ejus  minor  semi-axis 
dicatur  q  et  major  semi-axis  ellipseos  n  a  n  dica- 
tur  ^,  ejus  minor  semi-axis  x,  dico  quod  erit  q  ad 
X  ut  est  r  ad  ^. 

Ex  natura  ellipsium  area  ellipseos  N  A  N  est 
ad  aream  ellipseos  n  a  n  ut  est  r  q  ad  ^  x,  et  ex 
hypothesi  tempus  periodicum  in  ellipsi  N  A  N 
est  ad  tempus  periodicum  in  ellipsi  n  a  n  in 


eadem  ratione  r  q  ad  r  x,  si  ergo  sumantur  arcus 
similes  A  A,  a  a  in  mediocri  distantiain  utraque 
ellipsi,  tempora  quibus  describentur  illi  arcus 
erunt  ut  tota  terapora  periodica,  quia  illi  arcus 
A  A,  a  a  in  mediocri  distantia  positi  describun- 
tur  motu  medio  corporum  eas  ellipses  describen- 
tium,  et  erunt  etiam  ut  areae  A  S  A  et  a  s  a  ex 
hypothesi,  et  istae  areas  A  S  A  et  a  s  a,  sunt  ut 
quadrata  h'nearum  S  A  et  s  a  sive  ut  r  ^  ad  ^  ^  ; 
ergo  est  r  2  ad  f  2  ut  r  q  ad  j  >!,  et  dividendo  ter- 
minos  homologos  per  r  et  g  est  r  ad  ^  ut  q  ad  « ; 
ergo  ellipses  sunt  similes.     Q.  e.  d. 


THEOR.  II. 

Sint,  ut  prius,  duae  ellipses  descriptae  circa 
corpora  centralia  in  ipsarum  focis  posita  quorum 
vires  absolutae  diversae  sint,  et  sint  tempora  peri- 
odica  in  utraque  ellipsi  ut  earum  ellipsium  areae, 
dico  quod  axes  majores  earum  ellipsium  erunt 
reciproce  ut  vires  absolutae  corporum  centralium. 

Vis  absoluta  corporis  S  dicatur  V,  corporis  s 
dicatur  V  —  Y,  ducantur  in  utraque  elh"psi 
lineae  S  P,  s  p  ad  lineas  apsidum  S  N,  s  n  si- 
militer  inclinata»,  et  iis  proximas  ducantur  hnete 
S  Q,,  s  q  angulos  similes  P  S  Q,  p  s  q  constitu- 
entes,  ducantur  ex  Q  et  q  perpendiculares  Q  T, 
q  t  in  hneas  S  P,  s  p,  et  productis  lineis  S  Q,  s  q 
donec  occurrant  tangentibus  in  R  et  r,  erunt 
Q  R,  q  r  virium  centrahum  effectus  dum  descri- 
buntur  arcus  P  Q,  p  q. 

Primo  quidem  ex  hypothesi,  tempora  quibus- 
describentur  ii  arcus  P  Q,  p  q  erunt  ut  areae 
P  S  Q,  p  s  q,  et  quia,  ex  const.  illae  areae  sunt 
similes,  erant  ut  quadrata  linearum  homologarum 
sive  ut  S  P  ^  ad  s  p  2  aut  Q  T  ^  ad  q  t  ^.  Sunt 
autem  virium  centraUum  effectus,  directe  ut  vires 
centrales  et  ut  quadrata  temporum,  vires  vero 

V  V Y 

centrales  sunt  ut  ^  ^  ^  ad  —,  et  quadrata 

S  P  ^  s  p  * 

temporum  suntutSP+adsp4,ergo  lineas  Q  R 


V  — Y 


sp 


—  X  s  p  ♦  sive  utVXSP^adV  —  Y 


et  q  r  erunt  mter  se  ut 


SP 


-  X    S   P4  ad 


X  s  p  ^,  aut  denique  utVXQT^adV—Y 

Secundo.  In  omnibus  ellipsibus  per  vim  cen- 
tralem  ex  foco  prodeimtem  descriptis  latus  rec- 

Q  T  ^ 

tum  est  aequale  ut  constat  ex  Prop.  XI. 

Lib.  I.  Princip.  Si  itaque  latus  rectum  ellipseos 
N  A  N  sit  L,  ellipseos  vero  n  a  n  sit  x,  erit  L  = 
Q  T  ^  q  t  2 

et  X  = ,  loco  Q  R  et  q  r  quantitates 

ipsis  proportionales  VX  QT^  et  V  —  YX 

Q  T^ 
q  t  ^  coUocentur,  et  erit  L  ad  X  ut  * 

•  X  '^  J- 

a^CV.^Yjqt'^''^"""^  ^^^^  VZOT'  ''^  ^^ 

natura  ellipsium,  cst  L  =  —   et  X  =  — ,  prae- 

terea  quia  ellipses  sunt  similes,  ex  praecedente 

,         q  « 

TheorematCj  est  q  :  r  =  x  :  ^,  ideoque  —  =  — ; 

est  ergo  L  :  x  ut  q  ad  x  sive  ut  r  ad  ^ ;  itaque 

est  r  ad  ^  ut  —  ad   — — —.     Q.  e.  d. 

Coi\  In  his  itaque  hypothesibus  tempora  pe- 
riodica  erunt  inverse  ut  quadrata  virium  absoiu- 
tarum  corporum  S  et  s ;  s>int  enim  per  Theor.  I. 


LiBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


75 


ut  r  ^  ad  j  ^,  et  ex  hoc  Theoremate  est  r  ad  ^  ut 
—  ad  :^ ^  ;  ergo  tempora  periodica  sunt  ut 

V  ^  *    V— Y| ^* 

THEOR.  III. 

Sit  T  Terra,  P  Luna  quae  circa  Terram  (se- 
posita  omni  actione  Solis)  describat  orbitam  cir- 
culo  proximam  tempore  periodico  M,  vis  absoluta 
Terrae  in  Lunam  dicatur  V,  minuatur  ea  vis 
absoluta  quantitate  exigua  Y;  dico  quod  si  ea 
vis  V  —  Y  maneat  constans,  Luna  describet 
circa  Terram  orbitam  similem  illi  quam  prius 
describebat,  ita  ut  si  prioris  orbitte  semi-axis 
major  dicatur  r,  semi-axis  major  orbitEe  novae 

erit  — — -Tr  et  lempus  penodicum  erit  —     _.  ■' 
V— Y  ^     *^  V  — Yp 

2  Y        3  Y  *    .    4  Y  3 
sive  M  X(l  +  -V    X  -V—  +    vT-'  ^^*)- 

Nam  1.  cijm  Luna  discedit  a  sua  orbita,  re- 
tinetur  tamen  per  vim  decrescentem  secundum 
quadrata  distantiarum,  describet  ergo  circa  cor- 
pus  in  foco  positum  sectionem  conicam,  quae  erit 
adhuc  eHipsis,  quia  mutatio  vis  centralis  pcmitur 
exigua,  et  per  vim  priorem  orbita  circulo  finitima 
describebatur,  ita  ut  nec  in  hyperbolara  nec  in 
parabolam  mutari  possit  haec  orbita. 

2.  Cixm  vis  nova  Y  ad  centrum  sit  etiamnum 
directa,  quamcumque  in  viam  flectatur  Luna, 
areae  semper  manebunt  temporibus  proportiona- 
les,  ideo  si  tandem  in  orbitam  a  d  b  c  deveniat 
ex  orbita  A  D  B  C,  tempus  quo  describetur  peri- 
pheria  a  d  b  c  erit  ad  tempus  M  quo  describeba- 
tur  peripheria  A  D  B  C  ut  tota  area  A  D  B  C 
ad  aream  a  d  b  c 

3.  Cum  ergo  in  his  orbitis  ADBC,  adbc 
(quae  describuntur  circa  corpus  idem  quidem,  sed 
cujus  vis  absoluta  alia  censetur  ciim  describitur 
orbita  A  D  B  C  quam  cvim  describitur  a  d  b  c) 
tempora  sint  areis  proportionalia,  istee  areae  simi- 
les  erunt,  per  Theor.  L,  circulisque  finitimae  per 
hyp.,   axes  majores  erunt  inverse  ut  vires  V  et 

V  —  Y,  per  Theor.  II.  et  tempora  periodica  ut 

=^7%  ad itaque  si  in  orbita  A  D  B  C, 

V  *        V  —  Yp      ^  


id  tempus  dictum  fuerit  M,  in  orbita  a  d  b  c,  erit 

V  ^  M       .     ,  .  .         ,  , 

—        ,  sive  hanc  quantitatem  m  seriem  resol- 

V  —  Yl* 

vendo  M  X  (1+  ^  +  ^j'      Q-  ^-  ^- 

Cor.  lisdem  principiis  ostendetur,  quod  si  vis 
absoluta  Tena?  augeretur  quantitate  exigua  Y, 
Luna  deferretur  in  orbitam  interiorem  a  ^  /S  » 


,••* 

, 

C^ 

""■•-., 

'^  .,.- 



% 

\ 

a 

\ 

T 

P 

\^ 

/ 

•»^ 

t^ 

y 

*•... 

d" 

....-' 

c 

Bjh 


similem  priori   A  D  B  C,  cujus  radius  foret 

r  V 

~ ^,  sumendo  quantitatem    Y   negative  et 


qu£e  describeretur  tempore  M  X(I  -|- 


2  Y* 


5  Y  *        4  Y  3 

— — -  -J-   -        ,  &c).sumendo  negative  terniinos 

in  quibus  quantitas  Y  est  imparium  dimensionum 

Ut  autem  servetur  hiec  conditio  quantitatem 
5  Y  ^ 
Y  esse  exiguam,  fractiones  -vr-^  >  &c.  sunt  de- 

lendae  in  utroque  casu  ut  infinite  parvae. 

Sdid.  In  primo  calculo,  cum  supposuerimus 
orbitam  Lunee  A  D  B  C  esse  circularem,  orbitas 
novas  adbc,  a^/3x  circulares  etiam  esse,  sup- 
ponere  necesse  erat  per  Theor.  I.  hujusce  cal- 
culi. 


THEOR.   IV  Luna  circa  T''iTam  describerct,  scposUa  omni 

Soh"s  actionc,  sit  S  T  distantia  mediocris  Terrae 
Sit  T.  Terra,  P  Luna,  A  D  B  C  orbita  quam  a  Sole  qua;  dicatur  a ;  dicatur  F  vis  Solis  in 
VoL,  III,  Pars  IL  F 


76 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


Terram  ipsam  in  mediocri  illa.  distantia,  distantia 
Lunae  a  Terra  P  T  dieatur  r;  sit  C  P  distantia 
I^iin.^E  a  quadratura  proxima  qua?  dicatur  u,  sit 
eju3  sinus  y,  sit  ejus  cosinus  z ;  dico  quod  ea 
par3  vis   Solis  quaj  agit  iri  Lunam  secundum 


.         r        3  V  y 
directionem  radii   P  T  est  ubique  —  X  ( '- ' 

—  r).  Hoc  Theor.  idem  est  cum  Theor.  IV. 
prjBcedentis  calculi,  cujus  demonstratio  adiri 
potest. 


c 

v/ 

le 

"^ 

X 

/\ 

-V 

A 

\ 

s 

\ 

T 

\ 

■^ 

M 

1) 


THEOR.  V. 

EfFfCtus  actionis  Solis  in  Lunam  secundum 
directionem  radii  orbitaj  lunaris  exercita^  intelligi 
poterit,  si  concipiatur  Lunam  ex  sua  orbita 
A  D  15  C  in  aliam  transferri  cujus  singula;  par- 
ticulse  quamminimae  forent  portiones  earum  or- 
bitarum  quas  Luna  revera  describeret,  si  vis 
Terrae  constanter  imminuta  aut  aucta  foret  ea 
quantitate,  quee,  per  actionem  Solis  in  eam  par- 
ticulam  exercita;,  ex  vl  Terrae  detrahitur  aut  ei 
additur. 

Etenim  cum  ea  vis  Solis  per  gradus  infinite 


a;  A 


01 


-^ 

^^ 

\ 

X  '"'••.. 

\ 

T 

\... 

.t--'" 

"^ 

D      ... 

<[ 

Pl 


parvos  crcscat   et  decrescat,    sitque  nuUa  cum 

— ^-?  =  r,  paulo  post  minima  sit,  slcque  grada- 

tim  crescat,  si  censeatur  eam  constantem  manere 
per  aliquod  tempusculum,  Luna  brevissime  tran- 
sibit  in  orbitam  a  d  b  c  illi  vi  congruam  per 
Theor.  III.  mox  vero  cum  vis  Soiis  crtscat 
quantitate  quam  minima,  ea  vis  censeatur  iterum 
constans  per  alterum  tempusculum  transibit  Lu- 
na  ex  orbita  primse  vi  congrua  in  alteram  huic 
incremento  consentaneam,  sicque  semper :   ideo- 


que  in  singulis  particulis  arcus  C  P,  censeri 
potest  Lunam  delatam  esse  in  orbitam  vi  Solis 
in  eo  puncto  agenti  congruam. 


THEOR.  VL 

Dicatur  mediocris  distantia  Lunae  a  Terra,  r ; 
vis  Terrae  in  ea,  distantia  sit  V,  vis  Solis  sive 
addititia  sive  substractiva  sit,  quae  agit  in  Lunam 
sccundum  radii  Telluris  directionem,  sit  Y  in  ea 
mediocri  distantia  a  Terra,  crescat  vero  ut  dis- 
tantia) ;  dicatur  x  alia  quacvis  distantia  Lunae  a 

r  r  V 

Terra  in  quu  vis  Terrae  erit ,    et  vis   Solis 


X  X 


X  Y 


erit  ;  dico  quod  vis  corporis  centralis  quae 

in  distantia  x  foret ,  in  mediocri 

XX  r 

distantia  esse  debuisset  V Y. 

r  3 

Nam  siquidem  fingitur  vim  corporis  ejus  cen- 

tralis  fictitii  sequi  legem  gravitatis  et  decrescere 

sicut  quadrata  distantiarum,   fiat  ut  —  ad  — 


rr  V 


ita 


X  X 

X3 


quae 


X  X 


est  vis  in  distantia  x  ad  V 


Y  quae  erit  vis  in  distantia  r. 


THEOR.  VI L 

Sit  x  ut  prius  distantia  Lunoe  a  Terra  in  pro- 

pria  orbita,  dico  quod  per  actionem   Solis  illa 

r3x  V 

distantia  fiet  — — :^ — i 

V  r  •'  —  X  X  •' 

X  4  Y 

seriem  redacto  fiet  x  -\-  YJ-y  "I"  ^  o  y  ^ 

X4Y 

aut  omissis  terminis  superfluis  x  -f-  yY\' 

Nam  nova  orbita  in  quam  Luna  delata  ccn- 
setur,  est  similis  priori  per  Lem.  I.  et  per  Lem. 


sive  hoc  valore  in 


LiJBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


77 


1 1.  earum  linejB  homologae  sunt  ut  vires  abso- 
lutae  corporum  centralium  inverse,  seu  ut  vires 
quas  habent  in  distantiis  jequalibus,   nempe  in- 

verse  ut  V 1  Y  ad  V,  ergo  ut  V Y 

r  3  °  r  -5 

ad  V,  ita  x  ad  distantiam  homologam  in   nova 

X  V        .         r^x  V 
orbita  quoe  ent ergo ^;-j~  sive  ^^s^^sy' 


Q.  e.  d. 


r  3 


THEOR.  Vlir. 


Centro   S,  radio  cequali  mediocri  dlstantiae  r, 

describatur  circulus,  arcus  ejus  zsr  X  inter  hneas 

S  P,  S  Q,  interceptus  dicatur  d  u  ;  dico  primo 

quod    Luna  in  eo  circi51o   unifbrmiter   moveri 

posset  codem  tempore  periodico  quo  moveretur 

in  propria  orbita  si  abesset  vis  Solis,  ideoque  si 

tempus  periodicum  Lunae  in  propria  orbita  di- 

catur  M,  et  tota  peripheria  circuli  cujus  radius 

est  r,  dicatur  c,  tempus  quo  arcus  d  u  describetur 

mediocri  Lunae  motu  citra  Solis  actionem  erit 

Mdu     „      V        ., 

;   2.  cum  sit  r  semi-a>xis  major  orbitse 

lunaris,  si  dicatur  q  ejus  axis  minor,  dico  quod 
tempus  quo  idem  ille  arcus  d  u  describi  videbitur 
urgente  Sohs  actione  et  spectata  excentricitate 

,.      ,         ..Mdu       ,x^    ,2x5  Y    , 
orbitaj  lunans  ent  -^  X(  -  +  ^jT^ry  + 

Sxs  Y^ 

q  r  7  V  ^'        ''• 

Primo  enim  h'quet  quod  is  circulus  describetur 
eo  tempore  periodico  quo  describeretur  orbita 
elliptica  lunaris  si  sola  vis  Telluris  agat,  nam  si 
corpora  plura  circa  centrum  commune  revolvan- 
tur  in  quibuscumque  ellipsibus,  tempora  eorum 
periodica  sunt  in  sesquiph'cata  ratione  axium 
majorum  (per  Prop.  XV.  Lib.  I.  Frincip.  Newt.) 
sed  hujus  circuli  et  orbitag  lunaris  axes  majores 
sunt  asquales  (per  const. )  ;  ergo  eorum  tempora 
periodica  sunt  tequalia. 

Secundo  dicatur  E  tota  superficies  ellipseos 
orbitae  lunaris,  haec  superficies  E  erit  ad  aream 
S  Q  P  ut  tempus  periodicum  M  ad  tempus 
quo  arcus  P  Q,  describeretur,  quod  erit  ergo 
S  Q  P  X  M  ,  „  „ 
Y^ valor  autem  areae   S   P  Q   est 

Q  T  X  SP 

^ ,  sed  ut  r  ad  d  u,  ita  S  Q  sive  S  P 

(x)  ad  Q  T,  est  ergo  Q  T  =  — —  et.^^^SP 

X  X  d  u  ,  . 
=  — hmc  tempus  quo  Luna  in  propna 

orbita   citra   Soh's  actionem  describeret  arcum 
_  _,         M  X  X  d  u      __ 
Q  P,  est  — — — .     Hoc  autem  tempus  erit 

ad  ilUid  quo  describeretur  simih's  arcus  in  orbita 
in  quam  Luna  per  actionem  SoHs  defertur,   ut 
quadrata  radiorum  seu  (per  Theor.  prasc.)  ut  x  x 
,  ,    2xS  Y  .      Mxxdu      ,Mdu 


f  X  X  + ' — ~=7  ),  sive  cum  semi-axis  mmor  orbitze 
r  "*  V 

lunaris  dicatur  q  et  area  ellipseos   E  sit  ideo 
■|  q  c,  tempus  quo  arcus  d  u  describi  videbitur  a 
Luna  translata  per  actionem  SoHs  iu  aiiam  orbi- 
_      ^ldu  ^^  XX    ,    2x  5  V    ,      „     , 

tam  fiet    X( TrTT  +>  &<^0- 

c         ^q  r    '    q  r  +  V.    •  ' 

Cor.  1.     Ex  ipsa  demonstratione  h*quet  quod 

tempus  quo  citra  Solis  actionem   describeretur 

oTi/^i?     ^Mdu^^xx       ,. 
area  S  P  Q  foret X  — »  et  discrepantia 

illius  quantitatis   a   motu   medio  in  a-quatione 
Luna;,  quae  dicitur  soluta,  continentur:  excessus 

vero  (vel  defectus  si  vis  Y  fiat  negativa)  

2  xS  Y 
X  r-ry  Per   Solis  actionem  genitus  novam 

motus  medii  perturbationem  producit,  de  qua  hic 


t:  .'n- 


agendum  ;  ergo,  siquidem  per  medium  motum 
M  d  u 


tempore 


arcus   d   u   descriptus  fuisset. 


,    .  .    M  d  u        2  X  i?  Y 

temporehujusexcessus X  arcus 

c  q  r  4  V 
2  X  ^  Y  d  u  , 
1^ —  describi  potuisset,  eaque  quantitate 

graduum  tardatur  medius  motus  Lunse  propter 
actionem  Solis  secundum  directionem  radii  or- 
bita;  lunaris  exercitam. 

Cor.  2.  lisdem  vcro  ratiociniis  quibus  usi 
sumus  in  solutione  Probh  I.  calcuh  pra^cedentis 
constabit,  quod  propter  accelerationem  quae  ori- 
tur  per  actionem  Soh's  perpendiculariter  in  ra- 
dium  orbitoB  lunaris  exercitam,  hac  retardatio 
2  X  5  Y  d  u  ^  ,^ 
— - — — y^ —  debet  minui  in  proportione  I  ad  1  — 

yy         .  ,.    2x5Ydu      2x5y2Ydu 


LEMMA  L 

Ex  praecedentis  calculi  Lemmate  II.  constat 
quod  si  ex  puncto  w  ducatur  perpendicularis  w  E 
in  hneam  apsidum,  et  excentricitas  dicatur  f,  erit 

F  n  sive  x  .-= 


rS  V 


2r.  E 


2r.  £ 


F2 


r^  +  fX  FE 

Nulla  emm  est  difierentia  nisi  in  litteris,  qua? 
diversae  sunf  quia  hic  agitur  de  orbita  ehiptica 
Lunae,  ilHc  de  orbita  elHptica  TeUuris,  caeterum 
eadem  est  dcmonstratio. 

Hic  autem  valor  in  seriem  redactus  evadet 


78 


PHILOSOPHI^.  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


&c.) 

Signa  superiora  aclliibenda  sunt  cum    Luna 
distat  ab  apogseo  rainus  quara  90  gr.  tam  in 


consequentia  quam  in  antecedentia,  ciim  Luna 
niagis  distat  ab  apoga?o  quara  90  gr.  signa  infe- 
riora  sunt  adhibenda.  • 


T  I  ejus  cosinus  qui  dicitur  n,  ■ar  punctum  cir- 
culi  C  A  D  B  quod  respondet  vero  loco  Lunje 
in  peripheria  suze  orbita;,  quod  sumitur  vel  ulti  a 
vel  citra  apsidem,  zr  K  sinus  distantias  Lunas  a 
quadratura  qui  dicitur  y,  T  K  ejus  cosinus  qui 
dicitur  z,  ducatur  ex  •sr  in  lineam  apsidum  pcr- 
pendicularis  rsr  E,  qua;  producatur  donec  secet 
lineam  quadraturarum  in  L,  triangulum  T  I  G 
est  simile  triangulo  T  E  L  (ob  angulos  rectos  E 
et  I  et  angulum  communem  T)  ;  triangulum 
T  E  L  est  simile  triangulo  ar  K  L  (ob  angulos 
rectos  E  et  K  et  angulum  communem  L);  hinc 
est  T  I  (n)  :  I  G  (m)  :  :  w  K  (y)  :  K  L  = 
m  y 
n 


hinc  in  isto  casu  TL=TK4-KL  = 


z  -j -f  sed  ex  similitudine  triang.  T  I  G  et 


T  E  L  est  T  G  (r) :  T  I  (n) 


:  TE 

valore 


in 


=  TI,(.+  ^^) 


,  substituto  ergo  hoc  valore 


X    Lemmate    superiori    reptrto   fit 


n  z  -|- 
r 


m  y 


Q.  e.  o.  1°. 


r^+  fX(n2— my) 

Si  w  et  apsis  alterutra  non  sint  in  eadem 
quadratura,  et  1.  si  tamen  w  noa  distet  90  gr.  a 


LEMMA  IL 

Si  h'nea  apsidum  non  coincidat  cum  linea 
quadraturarum,  dicatur  vero  m  sinus  anguli 
lineae  qiiadraturarum  et  lineae  apsidum,  et  n  ejus 
anguli  cosinus;  sit  y  sinus  distantias  Luna;  a 
quadratura,  z  ejus  cosinus,  dico  quod  distantia 

q  2  r  2 

LuniE  a  Terra,  quae  dicitur  x  erit— iz ■■ 

r3^fX»z4-n™y 
cum  Luna  est  in  eadem  quadratura  cum  alteru- 

tra  apsi,  est  vero  — — —      ■  -        ^.l^  cum  Luna 
r3_|_  fXnz  —  my 

et  alterutra  apsis  non  sunt  in  eadem  quadratura. 

Sit  C  A  D  B  circulus  descriptus  centro  T, 


fi- 

c^/// 

i 

X 

c 

I 

-Krf^^ 

T 

a[ 

^ 

radio  aequali  mediocri  distantiaD  Lunop  a  Terra 
quae  dicitur  r.  Sit  G  T  g  linea  apsidum,  C  T  D 
linea  quadraturarum,  G  I  sinus  anguli  linpae 
quadraturarum  et  lincEe  apsidum  qui  dicitur  in, 


proxima  apside,   similia  erunt  ut  prius  triang. 

m  V 
T  J  G,  T  E  L,  w  K  L,  unde  erit  K  L  =  — , 


m  V 
K  L  sive  z -,  unde 


ideoque  erit  x  = 


sederitTL  =  TK 

r^  ^  "5!  —  my 

fiet  T  E  = 

r 

0  ^  r* 

. ^ •  sed  si  sr  distet  a  linea  ap- 

sidum  plusquam  90  gradibus,  erit  T  L  =  K  L 

—  T  K  sive  —  T  K  -f-  K  L,  idcoque  T  E  fiet 

—  n  z  -{-  m  y 

r 

ccps  litter£E  f  mutari  debeat,  statuatur  non  mu- 

tari    illud  signum  litterae  f  dum  Luna  est  in 

eadom  quadratura  donec  in  aliam  quadraturam 

transeat,  quamvis  magis  quam   90  gradibus  ab 

apside  discedat,  mutari  debebit  ut  fiat  ajquipol- 

n  z  -4-  m  y 
! ~,  quae 


•,  sed  cum  in  eo  casu  signum  an- 


lentia  signura  quantitatis 


LiBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA.  79 

itaque  cvadet  ut  prius   "  ^  ^  "^  ^  ide6que  fiet     +  r  -  y  ^'  4.  ^^  X  109.73^  f  ^  y  ^  A  »,  _ 

q^r^  15X  109.73  i^r^A  2       45  f  ^  y^-A^  .  15  f  VA* 

X  =     ,.!_„'■ r  quotiescumque  w  et     — ^ — i ^ ■ 

r5+fX(nz — my)^  ^  r4  j.<5~r* 

apsis  alterutra  non  erunt  in  eadem  quadratura,  .  SFq^du  ^  ^     „ 

determinando  signum  anceps  ZjT  f  ex  apside  cui  ^'^^  "io9. 75 Va  r  '^^ ("^-^O.l  9r  y       3y4     109.73r 
vicinior  fuit  Luna  cum  eam  quadraturam  descri-  ^^q  igvi^f  2^2^^^       15X  109.75  f^r^A^ 

bere  incepit.     Q,.  e.  o.  2°.  + ^ ^ 

Cor.     Hic  valor  x  in  seriem  redactus  evadit  ^rf^^A^  ^ 

q2  fXnz+myf^Xnz+myl^  ^ ).     Loco  A  *  substituatur  n  ^  z  ^ -j- 

m  ^  y  ^,  omisso  termino  +^  2  m  n  z  y  quia  quando 


j.  ^  r 


f  5  X  n  z  +^m  y^         .  ^:^„„  ^„     ,: lu^^^^c  tota  revolutio  Lunae  assumitur,  duo  sunt  quad- 

+  — -—      => — =^,  &c.)  siffnasuperiora  littersel  •         •.        t  -j      j  ^ 

—  r^  r"  rantes  in  quibus  Luna  est  cum  apside,   duo  vero 

sunt  adhibonda  cum  initium  quadratura;,  quam  in  quibus  Luna  cum  neutra  apside  occurrit,  fit 

describit   Luna,  minus  distat  ab  apogaeo  quam  tandem  totum  elementum 

90  gr.  tam  in  consequentia  quam  in  antecedentia,  2  F  q  £•  d  u  ^      ^ ^ 

si   vero  magis  distet  ab   apogaeo  quam   90  gr.  109.73  V  a  r  "         ''^'^  •       ^     Y  y 

signa  inferiora  sunt  adhibenda.  ^  330.1 9  X    l^f^n^z^y^ 

Signa   superiora  quantitatis  m  y  sunt   adhi-  109.75  r  ♦  -\-   —  -J- 

benda  cum  et  Luna  et  apsis  alterutra  sunt  in  550.19XI  5  f  ^m^y^       109.73X15  f*  r^n^?-* 

eadem  quadratura,  signa  inferiora  ciim  Luna  et ^ ~ '- ^ '- 

apsis  sunt  in  diversis  quadraturis.  in.f^  t^^^^  rci\    -j  -,      a^c-l  1.  1^^     a,ti    ifi 

^  ^  109.57Xl<5f^r2m2y^      45f*n^z^y4     45f*m^y° 

cujus  integralis    secundiim    Lemma  I.    calculi 

PROBL.  L  praecedentis  pro  quadrante  fit 

2Fq9         530.19r4c       5X3r4c       109.75r4c 

Dato  slnu  ct  cosinu  anguH  quem  faciunt  Hnea  iQg  73Var     8 4X8 4 

apsidun,  et  iinea  quadraturarum,  invenire  quanti-  330  j  9^  i5f  ^nV^c       330. 19X 15  f  ^n^X^r^c 

tatem  graduum  quibus  tardatur  Luna  per  actio-  -\-  ■ -—- ^-^ — 

nom    Solis   secundum    directionem  radii  orbitne  o  r> 

lunaris  exercitam,   tempore  quo   Luna  orbitam  |   330.19X15f WXfr^c       109.75X15f ^n^r^c 

suam  percurrit.  8  r  4  4  r  4 

Supponitur  lineam  apsidum  et  Solem  immotos  ,    109.73X15  f^n^r^c  ___  109.73X15  f^m  ^r^c 

manere  durante  illa  revolutione  Lunae  ;  quo  po-  '  8  r  4  *     8  r  4 

sito,  ciam  retardationis  Lunae  elementum  inven-  3X5 

tum  fuerit  (Cor.  2.  Theor.  VIIL)  ^  ^  '  J,f  ^  45f^n.^Xlr4c      ^5  f  ^  n^  X  ^-^r  4  c 

^  qr4V  8r4  "T  gr^ 

2xSy»Ydu,        2rYdu  ^  o  w  /; 

-  '109.73  q  r  ^  V>  ^°^"  -TV-  P°"^^"^  ^J"^  45f^m'X^-^^4c 

,      2rFdu,3y^  ,,        x       ,       . — ;  quod  reductum  cf- 

valor  — X  — ^ '  ®t  ^oco  —  valor  ejus  8  r  4  '  ^ 

Vaq  r  r  2  F  q  9  c  ^^     ,108.48      , 

l!x(i  +  fx"-iilIlZ,&c.)quiadquintam  ^'''     109.73    V.    a.   r    ^     (—8—    + 

dignitatem  evehatur,  dicatur  A  terminus  nz+ my, 

5f  A 


350.19  X15Xf^    Xjn^-flm 

r4  

ea  quinta  dignitas  erit^^  X  (1  ±^  +     109.75X15^^1^^       45^^x17^4 

) ;  verum  observari  potest, 


15f^  A*  .  55  f3  A3,        ,      .  .  -^Tl       ''  ^^nr"  ) 


quod    quadruplicatum    efficit 


8  r  4 
Fq  9  c 


109.75   V   a  r  « 


quod  siquidem  totidem  sunt  quadrantes  in  quibus 

f  positivum  aut  negativum  sumi  debet,  si  tota      ^  nOS.IS  I  530  1DXlJf^  w  i  "  ^ -}- f  m  ^ 

revolutio  Luna?  spectetur,    hi  termini  ancipites  ^  ^       •     "T  '    •     A            /s            ^.  4 

omitti  possunt,  vel  ab  initio,  hoec  quinta  dignilas  Ti2_l.m  2                     -In^^L^m^ 

.,'  .,     ,q'°'      ,     '    -15f^A^     109.73X15  f^X^^-^i^^^^ A5i^W'-^^-^^) 

sumi  debet  quasi  foret  ^-Tq  X  (1  H :; )  r  4                                r  4        ' 

^                               r  -  F  q  9  c 

.      .  yy         ^  qio  sive   tandem    ,^^^  ^^  \, „   X    (108.48    + 

ducatur  m  1 '-^ — -  fiet  1 X  109.73  V  a  r  ^   ^    ^                 ' 

109.73  r  2           109.73  ri*'^  f^m^                            f^f^n^ 

(.09.73,'_y'+.5X.09.73f-!4!_  W^!  ^  1^6.0375  X  15  — -27.5575  X  -^). 

^  ;,      ^                  ^  Cor.     Si  Sol  et  apsis  immoti  non  fingantur, 

denique  ducatur  in  ^  -  _"  X  (3  y  ^  —  r  ^)  fit  ^«^^  supponatur  eos  pari  passu  movcri,  res  codem 

V  a  q  redibit,  si  modo  haec  revolutio,  quii  durante  nas- 

^^q°^"  V,  /399, 1 9  r  2  Y  2—3  Y  '»—109. 75  r4  *^'^".'^  ^^^^  tardatio,  censcatiir  a^qualis  mensi  sy- 

100. 73Var^2     ^*  "  *           •>        ^  j              '  nodico ;  quamvis  autem  apsis  revera,  non  scquatur 


80 


PHILOSOPHI^  NATURALIS     [De  Mund.  Syst. 


motum  Solis,  sed  lorjge  lentius  procedat,  imo  in 
isto  calculo  immota  oenseri  deboat,  non  tamen 
.  inde  oritur  error  uUiiis  momenti  tara  propter 
eccentricitatem  orbita?  lunaris  qu£e  magna  non 
est,  quam  propterea  quod  maxima  pars  hujus 
tardationis  pendeat  ex  positfone  Lunae  respectu 
Solis,  et  rainima  sit  ea  pars  hujjjs  tardationis  quie 
per  situm  Luna;  respectu  apsidum  determinatur. 

Cor.  2.     Ex  his  terminis  ,^  J/^' ^  ^  ,  X 

f  2  m  2 
(108.48  -f  136.0375  X  15 —27.5575X13 


r  4 


)h'quet  quod  si  linea  apsidum  cum  linea 


quadraturarum  consentiat,  quo  casu  sinus  m  an- 

guli  quera  facit  hnca  apsidura  cmn  linea  quad- 

raturarura  evanescit,  et  ejus  cosinus  n  fit  r,  hasc 

^    .    ^  .  .   .  FqOc 

tardatio  nt  omnuim  rainmna,  nempe  ■--  ■, -.. — 

109.7o.Var 

f  2 

X  (108. 48  — 27.5575  X  15  —  ). 

E  contra,  si  hV.ea  apsidum  si»  in  syzygiis  ita 
ut  m  fiat  r,  et  n  evanescat,  haec  expressio  fit  om- 

niura  maxima  nempe  —  q  n-r  \f §  X(lOS.48 

f2  ^ 

+  156.0375  X  15  — );  ideo  mensis  synodicus 

fit  minimus  ciim  apsides  sunt  in  quadraturis, 
longissiraus  vero  cum  apsides  sunt  in  syzygiis. 

Cor.  3.  Ilinc  oritur  altera  aequatio  solaris 
Luna;,  qua;  secunda  dicitur,  et  pendet  ex  situ 
apsidum,  sive  apogaei,  respectu  Solis, 


PllOBL.  IL 

Fosito  Solem  in  mediocri  sua  distantia  versari 
et  lineam  apsidum  omnes  possibiles  positiones 
cum  linea  syzygiarura  successive  obtinere,  inve- 
nire  tardationem  mediocrera  Lunae  in  singula 
cjus  revolutione  synodica. 

Sit  linea  apsidum,  in  ipsa  directione  syzygia- 
rum  A  et  B,  et  dura  Sol  ab  apogaeo  Lunae  in 
consequentia  movetur,  et  apogsum  revera  est 
immotura,  fingatur  Solem  immotum  stare  et 
ipsum  apogojum  a  Sole  in  antecedentia  regredi ; 
moveatur  apogaeum  ex  G  in  y  per  arcum  quam- 
minimum  G  y  qui  dlcatur  d  u  tardatio  Lunae 
qua?  fiet  dum  describitur  G  y  erit  ad  totam  tar- 
dationem  qua;  fieret  si  apsis  foret  immota  in  G 
et  quae  per  Probl.  prascedens  inveniretur,  ut 
tem^us  quo  apsis  describit  arcum  G  y  ad  totum 
mensera  synodicum  :  dicatur  ergo  A  tempus  quo 
apsidum,  revolutio  Solis  respectu  absolveretur, 
quod  in  hac  hypotliesi  est  ipse  annas  sidereus, 
erit  ut  tota  circumferentia  c  ad  d  u,  ita  A  ad 
tempus  quo  apsis  arcum  d  u  describet,  quod  erit 

.     Praeterea  ut  mensis  synodirus  S  ad  hoc 

c  • 

tempus  — ^ — ,  ita  tardatio  mcnse  synodico  facta, 
^"'^  ^'*  10/75  vlr»  XClOS.48-f  136.0375 


f  2  m  2  f  2  n  2 

X  15 27.5575  X  15 — )ad  tarda- 

r  4  r  4    ' 

£  .  .               A  d  u 
tionem  quae  fiet  tempore   quae  ent  itaque 

AFq9du 
^^^-^^^-^-,^^3  X(108.48+136.O375  X  I^ 

f^m^  f2n2 

X-^^; 27.5575  X  15  — --  )(in  qua  expres- 

sione  m  respondet  quantitati  y  qufe  in  Lemmate 
I.  praecedentis  calculi  adhibetur,  et  n  respondet 
quantitati  z)  et  integretur  pro  quadrante  juxta 

Cor.  4.  ejus  Lem.  habebitur  ^^,^^f^X.  ar^^ 

108.48  c 
X— ^—  + 

1 36.0375  X  1 5  f  ^  r  ^  c     1 03  595  X  15  f  ^  r  ^  c  ^ 

4  r  4  8  r  +  ^' 

quadruplicetur     vero     pro     toto     circulo      fiet 

A  Fq  9  c  .     813.6  f^ 

S  X. 09.73.  Var°  >< '■'°'-"'  +  -—)' 
denique  ut  totum  tempus  A  ad  lempus  synodicura 


S  ita  haec  tardatio  ad  tardationem  mense  syno- 
F  q  9  c 

io9r73virr 


F  q  9 
dico  factam,  quae  erit  ergo  — -^^-^-— ^     x 


008.48  +  ii^). 


PROBL.  IIL 

Posita  excentricitate  orbitae  Telhiris  clrca  So- 
lem,  et  orbitae  Lunae  circa  Terram  invenire  tar- 
dationem  Lunae,  1.  dura  Terra  describit  arcum 
quamminimura  datum,  2.  dura  describit  annuaai 
suam  orbitam,  3.  durante  mense  synodico,  4. 
dura  Terra  ab  aphelio  suo  ad  mediocrem  suam 
a  Sole  distantiam  pervenit. 

Sit  a  raediocris  distantla  Telhu-Is  a   Sole,  x 

alia  quaevis  distantia,  si  F  sit  vis  SoHsin  distantia 

.    a  a  F    .        .    .     ,. 
a,  erit ejus  vis  m  distantia  x  ;  ergo  in  cal- 

culo  Probl.  mox  praeccdentis  quo  tardationem 
mense   synodico   factam    invenimus,    x    loco   a 

ponatur      et      loco  •  F,  evadet    tardatia 

'"'L''?.''x(ios.48  +  1!Mi)^.  «,i 

109.73  Vx^r'*'^^  ~        r^-*' 


LxBER  Tertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


81 


A  sit  annussidereus,  Mmensis  pcriodicus  Lunae  Siquidem   tempore  M  describeretur  arcus  c, 

„  ,.         .                     F         M  ^  a  c  j       ..             S  c 

citra  omnem  SoIjs  actionem,  est  —  =  -— —  tempore  S  descnberetur  — — ,  tempus  autem  pe- 

(per  Cor.  2.  Prop.  IV.  Lib.  I.)  hinc  ista  tardatio  riodicum  quod  tempori  synodico  S  respondet  est 


evadit 


M 


^ X(108.48^ —-). 


A  S 


109.73  A^x3  r  9-^ '        r^      ^"      a  +  S' ''^^"'l"^ '^"'" '"°  ^^'"P^^ ''^''^'"^  ^^'''"" 

Sit  b  semi-axis  minor  ellipseos  quam  Terra     batur  arcus  c,  tempore  synodico  S  describeretur 
describit  circa  Solem,  e  excentricitas,  k  periphe-     A  -j-  S 


ria  radio  a.  descripta,  ideoque  sit  ^  b  k  area  tota 
ellipseos  quam  Terra  describit  circa  Solcm,  sit 
d  u  motus  angularis  TerrjB  circa  Solem  quara 
minimo  tempore,  area  illi  angulari  motui  rcspon- 

.   X  X  d  u     .  ,     , 

dens  ent  — ,  (ut  constat  ex  calculo  praece- 

dente)  ideoque  ut  ellipsis   tota  ^  b  k  ad  hanc 

x  X  d  u    . 
aream ,  ita  annus  A,  ad  tem.pus  qiio  ar- 


r —  c,  hinc  retardatio  qua;  fit  mense  synodico 


A 

Sc 


M 


A  c-f  S  c  .      A  S  c— A  M  c— M  S  c 

i sive  — 


A  M 


A  X  X  d  u 


abk 


et 


cus  d  u  describitur,  qui  erit  ergo 

iit  mensis  synodicus  S  ad  id  tempus,  ita  tota  tar- 

datio  ad  «.ardationem  hoc  tempore  factam  (juce  erit 

AM^a3x^q9cdu  8\3.6£^. 

109.73.  S.A^x  3  abkr9^^^°^-^^"r~~r^  ) 

M^a^qOcdu        w_„  _.,  813.6  f^v 

sed  —  est  — ~ per  Lem.  II.  calculi  prjE- 

cedentis,  hinc  istud  elementum  evadit 

f  2 

M^aqOcX  ( 108.48-^-8 13.6— ) 


-.,     .     ^         108.48-1-813.6  — 

quss  mventa  fuit  ■    -     .    ' —  X ; 

1  A^b^r»''^  109.73 

unde  fit  requatio  ex  qua  valor  quantitatis  M  obti- 
nebitur,  fiat  ut  in  pra^cedenti  calculo  S  =  E  A 
et  M  =  X  A,  aequatio  evadit  E  =  X  -j-  E  X-j- 

f  2 

108.48  4-  813.6  — 


X3X 


a3q9 


109.73.S.A.b3k.r9      XCa^du+ezdu^cu 

f2 


M2aq9cX(108.48-j- 


b  3  r  9  '^  109.73 

Sumatur  excentricitas  mediocris  orbita?  lunaris 
quara  .05505  r  facit  Nevptonus  in  hoc  scholio 

f  2 

108.48  -1-813.6  — 

r  ^ 

unde    is    terminus    — — evadit 

109.73 

1.01 10782  est  3-  =  9864,  est  ~=:U  proxime, 
r  9  b3  ^  ' 

itaque  sequatio  est  E  =  X  X  1 +  E-j-  9972  X  3, 
loco  E  substituatur  .0804896,  loco  X  substi- 
tuatur  .0744  -f  R  et  fequatio  evadit  .08084896 
=  .08082583  -\~   1.09740854  R  unde  habetur 


jusintegralisest- 

*=*  _  109.73.  S.  A.  b3.  kr9 

X  (a  ^  u  +  a  e  y),  quae  semi-circulo  absoluto  fit 

M  2  a  3  q  9  c  X  (108.48  -f-  813.6  ^) 

""^         109.73.  S.  A.  b  3  k  r  9  X   i^; 

cujus  diiplum  est  retardatio  anno  durante  facta, 

M  2  a  3  q  9  c  X   (108.48  -f  813.6  ^) 

estque  — . L_ 

_  *  109.73.  S.  A.  b3r9 

hinc  ut  A  ad  S  ita  hcsc  tardatio  ad  tardationem 

mense  synodico  factam,  quae  erit  ergo ^  ^^  ^ 

'^  ^    A3b3  r9 


813.6—)     .00002313  =  1.09740854  R  unde  obtinetur  R 
^''       =  .0000210,  et  M  =  .0744210  A  :  fere  ut  in 


praecedenti  calculo. 

PROBL.  V. 

Invenlre  a:quationem  motus  medii  hmaris  quae 
pendet  ex  Solis  actione  et  qua;  adhibenda  est 
ciim  Terra  est  in  mediocri  sua  distantia  a  Sole. 


108.48  -j-  813.6 


f  2 


109.73. 
Denique,   retardatio   quae   convenit   mediocri 
distantiae  a  Sole,  in  qua  u  est  ^  k  —  e,  et  est 

M  2  a  q  9  c  X  (108.48  -f-  813.6  ^) 

y  =  b,  est __I^* 

109.73  S.  A.  b  3  r  3 

xu^  — k k-^ 

PROBL.  IV. 

Hoc  Problema  solvitur  ut  in  pra;cedenti  cal- 
Dato  tempore  synodico  apparcnti  Lunas  inve-     culo,  itaque  ut  tota  ellipsis  cujus  area  est  J  b  k 
nire  tempus  periodicum  M  quod  obserraretur  si       i  u  xt  a    ,  •      l»  k    .    b  e  * 

omnino  abesset  vis  Solis.  ^^  ^'"^*™  t  N  A  (sive  -—  -j-  __.)  ita  tardatio 


82 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


annua  quae  inventa  est 

f  2 

M  ^  a  3  q9  c  X (108.48+81  S.SX-^) 


S.  A.b^r^x  109.73. 
tionem  qua?  in  motu  medio  continetur,  et  quje 

M  2  a  q  9  c  X  (108.48  +  813.6  —^) 

^''  '^'^   S.Ab3r9X  109.73 ^ 

a  2  g 

X(5  a  ^  -^ — -),cujus  excessus  supra  rctarda- 

tionem   veram  Problemate   III.   inventam   est 
M^aq^cX(l08.48+813.6L^)       ^^,^_^^,^ 
S.  Ab^r^X  109.73  ^  k 


tardatio  Lunae,  durante  mense  periodico,  in  me- 
diocri  dlstantia  Terra;  a  Sole  et  in  data  apsidis 

,   ad  tarda.     a^  quadraturam  positione  erat   iqc),^^'^ yl  r  « 


)C(]01Mg  i  136-035X15fW     27.5575.I5W^^ 

posito  sinum  anguli  lineae  apsidum  cum  linei 
quadraturarum  esse  m,  cosinum  vero  anguli  esse 
n,  sive,  quod  eodem  redit,  sinum  distantise  apsi- 
dis  a  syzygia  esse  n,  ejus  cosinum  esse  m  ;  prje- 
terea  inventum  eratquod  si  linea  apsidum  omnes 
possibiles  positiones  cum  linea  syzygiarum  assu- 
mat,    tota    tardatio    quae    eo    tempore    fit   est 

_AIifi__  xC108.48  +  21f:iL');  hi„c 
SX109.73XVar8^^  ^        r^      ^' 

si  linea  apsidum  discedat  a  syzygia  arcu  u,  et 
fingatur  retardationem  esse  proportionaliter  tem- 
pori  distributam,  fiet  ut  tota  peripheria  c  ad  eum 
arcum  u,  ita  tota  tardatio  facta  dum  peripheria 

A  F  q  9  c  , 
descnbtur,  qu^  est  ^^,^,J^y^,,  X 

(108.48 -j '—\    ad  tardationem  mediam  huic 

tempori  proportionalem  quas  erit 

A  FqOu  ,,_„  _    ,     813.6  f* 

SX  109.7 'xVar«  X(^°^-^«  +  — " )' 


M 


qOc 


sive  sumendo  a  b  pro  a  *  fit  ^a    b  ^  r  ^  '^ 

,  f^ 

108.48  +  813.6—       £e__._9972_M^      '3e£ 

109773  ^   k  —"S.  A.      X.    k 

3  e  c  M  * 

(per  Prob.  IV.)  est  -y  =  2  gr.  9005,  est  — 

=  .0685042  quod  ductum  in  .9972  efficit 
.068312388,  quod  ductum  in  2  gr.  9005,  efficit 
0°.  1 932  quod  ductum  per  60'.  bis  efficit  11".  52'". 
&c.  sed  in  priori  calculo  erat  11".  47'",  itaque 
medium  inter  hos  duos  valores  est  11'.  49",  ut 
invenit  Newtonus ;  ciam  enim  orbitae  lunaris 
figura  fiit  admodum  variabilis,  et  incerta  sit  ex- 
centricitas  quaj  ipsi  citra  actionem  Solis  conre- 
niret,  non  immerito  sumitur  medium  inter  id 
quod  prodit  ex  hypothesi  orbem  Lunae  esce  cir- 
cularem,  et  in  hypothesi  orbem  Lunae  esse  ellip- 
sim,  cujus  excentricitas  est  ea  excentricitas  me- 
diocris  quae  obGarvatur. 


PROBL.  VL 

Posita  excentricitate  orbitae  lunaris,  posito 
vero  Solem  in  mediocri  sua  distantia  a  Terra 
semper  stare,  invenire  a^quationem  motus  medii 
Lunae  pendentem  ex  vario  situ  apogaei  Lunae, 
respectu  Solis. 

Inveutum  erat  in   Problemate  I.   quod  tota 


sed  ciim  elementum  tardationis  (eodem  Prob.  II.) 

A  b^  q  i»  d  u 
'^P^^^"^"  '''  S.  10..73XVar3  X(108.48  + 

136.0375  X  15f  2  m^  — 27.5575  X  15f  ^n*  . 
^ .) 

Integralis  ejus  sumatur  per  Lemma  I.  calculi 
prajctfdentis,  loco  m  ponendo  z  et  loco  n  ponendo 

y,«tintegralisent  ^_A1A!_x(108.48u+ 

136.0375X15f^XAPET-27.5575X15f^APQ, 

quae  quantitas  si  subtraliatur  ex  pr£ecedenti, 
«quatio  in  data  distantia  u  apogaei  a  Sole  in 
antecedentia,  vel  Solis  ab  apogcco  in  consequen- 

X  15  A  PET  + 27.5575  X  l^  A  PQ)estau- 
tem  A  P  E  T  =  A  P  Q  +  2  P  Q  T,  est  r  u  = 
2  A  P  T  =  2  A  P  Q  +  2  P  Q  T,  quibus  valo- 
ribus  substitutis,  divisoque  primo  teruiino  813.6 

15AFq5f2 
per  15,^uatio  evadit  ,09.73  X  S.  V.  a  r  °  >< 


LiBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


85 


(108.48  APQ4-    108.48  P  Q  T  —  136.0375 
XAPQ— 272.075  P  QT  4-  27.5575  A  P  Q, 

,     ,  ,  15  AX  Fq^f  ^ 

et  reductione  facta  fit   ^09.73  X   S.  V.  a  r  ^  X 

(_  163.595  P  QT.) 

Hjec  jEquatio  negativa  est  cum  apogc-cum 
Luna3  ex  A  in  C  a  syzygia  ad  quadraturam 
procedit,  in  quadratura  evanescit,  nam  P  Q  T 
in  quadratura  fit  zero:  si  apsis  ex  C  in  syzygiam 
B  pergat,  fitAPET  =  APQ— 2PQT, 
est  r  u  =  2  A  P  T  =  2  A  Q  P  —  2  P  Q  T, 
quibus  valoribus  in  aequatione  substitutis  quanti- 
tas  —  165.595  P  Q  T  ex  negativa  positiva  fit, 
rursus  fit  negaliva  cum  ex  syzygia  B  ad  quad- 
raturam  D  apogaum  pergit,  positiva  iterura  ex 
D  in  A  ;  evanescit  vero  in  omuibus  punctis  sy- 
zygiarum  et  quadraturarum. 

Cor.  1.  Ex  trigonometria  notum  est,  quod 
sinus  arcus  dupli  alterius  arcus  est  duplum  facti 
sinus  arcus  simpli  per  ejus  cosinum  divisum  per 
radium  ;  ideoque  constat  quod  sinus  arcus  dupli 
alterius  arciis  est  semper  ut  factum  arcus  simpli 
per  ipsius  cosinum  ;  sed  areae  Q  P  T  duplum, 
nempe  area  T  Q  P  E,  et  ipsum  factum  sinus  Q  P 
arcus  A  P  per  ejus  cosinum  T  Q,  ergo  area 
Q  P  T  est  ut  sinus  arcus  dupli  arciis  A  P,  jequa- 
tio  autem  inventa  est  ubique  ut  area  illa  P  Q  T 
siquidem  constat  ex  facto  illius  areae  per  con- 
stantes  ductae  ;  ergo  aequatio  proposita  est  ubique 
ut  sinus  arcus  dupli  distantias  apogasi  Lunas  a 
syzygia. 

Cor.  2.  Hinc  etiam  sequitur  illam  aequatio- 
nem  evanescere  in  syzygiis  et  quadraturis,  iis 
enim  in  punctis  Luna  distat  a  syzygia  vel  90  gr. 
vel  180  gr.  vel  270  vel  360,  quorum  arcuum 
duplum  est  180,  360,540,720,  quorum  arcuum 
sinus  sunt  zero. 

Cor.  3.  Hinc  etiam  sequitur  hanc  aequationem 
csse  maxjmam  in  octantibus ;  tunc  enim  ciim 
apogreum  distet  a  syzygia  vel  45  gr.  vel  135  vel 
225  vel  315  quorum  dupli  sunt,  90  gr.  270,  450, 
630,  &c.  et  horum  arcuum  sinus  sit  radius  qui 
omnium  sinuum  maximus  est,  sequitur  aequa- 
tionem  istis  sinibus  proportionatam  hic  loci  esse 
maximam. 

Cor.  4.     In  octantibus  htec  area   P  Q  T  est 

^  r  %  ut  notum  est,  hinc  ista  aequatio 

,.    40.89875X15  A  Fr^f  ^  , 

evadit  -Tr-rr ,  loco 

109.73  S.  VXari>     ' 

F  M^a 

:^  ponatur  — -estf^^sOOSOSO^r^; 


Cor.  5.  Newtonus  non  tradit  quantitatem 
hujus  aequationis  qualem  illam  ex  calculis  inve- 
nit,  sed  ait  ille,  Hcec  cequatio  quam  semestrem 
vocnbo  in  octantibus  apog<vi  quando  maxima  est 
ascendit  ad  3'.  45".  circiter  quanium  ex  jihceno' 
menis  colligere  potui.  Hcec  est  ejus  quantitas  in 
mediocri  Solis  dislantid  a  IWrd.  Scilicet  in 
hypothesibus  nostris  apsidem  et  Terram  immo- 
tam  assumpsimus,  ciim  id  revera  non  sit ;  ideo- 
que,  si  concedatur  nos  attigisse  verum  Newtoni 
calculum,  ajquatio  per  calculum  inventa  non 
plane  cadem  erit  cura  vera,  parum  tamen  admo- 
dum  ab  illa  differet ;  cseterum  omnes  aequationis 
verae  leges  ex  iis  quae  per  istum  calculum  obti- 
nentur  merito  deducentur,  et  eae  ipsae  sunt  qu« 
in  pra;cedentibus  Coroll.  sunt  constitutae,  sed 
absohita  aequationis  quantitas  ex  observatione, 
non  ex  calculo,  est  petenda,  diflferunt  autem  cal- 
culus  et  rei  veritas  3".  duntaxat  quod  iheoriae 
praestantiam  sufficienter  probat. 

De  cequatione  motus  lunaris  semestri  secunda  qucB 
pendet  ex  positione  linece  nodorum,  respectu 
linece  syzygiarum- 

Ex  inclinatione  orbitae  lunaris  ad  planum 
echpticae  fit  ut  pars  actionis  SoHs  consumatur  in 
ipso  plano  orbitoe  lunaris  ad  planum  ecliptica? 
admovendo,  sicque  tota  non  occupetur,  ut  hac- 
tenus  suppositum  fuerat  in  distrahendo  Lunam 
a  Terrae  centro  aut  illam  ad  id  attrahendo,  aut 
alio  modo  Lunam  in  proprio  ejus  plano  accele- 
rando  aut  retardando.  Hinc  aquationes  prius 
inventae  nova  correctione  indigent. 


PROBL.  L 

Invenire  partem  actionis  Solis  quae  Lunam 
secundum  radium  ejus  orbitae  trahit,  sublata  ea 
parte  actionis  Soh*s  quae  consumitur  in  ipso  plano 
orbitae  lunaris  dimovendo. 

Sit  A  T  B  linea  syzygiarum  in  ech'pticaB 
plano ;  N  T  n  linea  nodorum  ;  P  locus  Lunae 
in  propria  orbita;  P  L,  L  M  directiones  virium 


est2-  =  .9864 
r  9 


tota   quantitas   fij 
40.89875X15X.00298928rXAM^ 


109.73.  S.  A* 


M 


=  .0685042,  et  est 


sed  inventum  est  quod  est 

S  A 
40.89875  X  ^^5 

109.73 
=   5.59082   hinc   tota   sequatio  est 
.0011448782  r,  sed  r  est  a;quaHs  ar- 
cui  57  gr.  29',  &c.   hinc  aequatio   est  graduum 
.065590872,  &c.   quod  ductum  per   60   efficit 
3'.9354,   et   .9354  ductum  per  60,   efficit   56". 
Ita  ut  tota  acquatio  sit  3'.  5Q'\  &c. 


est 


in  quas  resolvitur  vis  Soh's,  quarum   P  L 
parallela  T  M  et  li  M  parallela  radio  T  P. 

Ducatur  ex  M  in  planum  orbitae  lunaris  pro- 
ductum  perpcndicularis  M  m,  ducatur  in  plano 


8i 


PHILOSOPHL^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


orbilae  lunaris  linea  T  m,  et  ex  M  et  m  ducan-  secundum  radium  ejus  orbitse  trahit,  sublata  ea 

tur  perpendiculares  M  H,  m  H  in  lineam  no-  parte  quee  consumitur  in  plano  orbitae  dimovendo 

dorum  N  n  productam.  F^        3  y  y 3  y  ^  n  ^  1  ^ 

Radius    T    P   dicatur  r  ut  prius,    distantiae  ^^    a   ^    r  ^  2  x  S      '* 

LunjE  a  quadratura  sinus  P  K  dicatur  y,  cosinus 
T   K  dicatur  z ;  distantiae  nodorum  a  syzygia 

sinus  N  Q,  sit  n,  cosinus  T  Q,  sit  m ;  denique  PROBL.  IL 

sinus  inclinationis  orbitas  lunaris  ad  eclipticam 

dicatixr  1,  existente  r  radio,  et  ea  inclinatio  con-  Dato  sinu  anguli  quem  faciunt  lineae  nodorum 

&tans   supponatur,    quae   secundiini   Keplerum,  et  syzygiarum,   invenire   quantitatem    graduum 

Dc'  la  Hirium,   &c.   est  ubi  maxima,   graduum  quibus  tardatur  Luna  per  actionem  Solis  secun- 

5.  19'.  30".  dum  directionem  radii  orbita;  lunaris  exercitam, 

Ex  demonstratis  est  T  M  =  3  y ;  et  propter  semota  ea  ejus  actionis  parte  quae  in  dimovendo 

svrailitudinem  triangulorum  N  T  Q.,    M  T  H,  plano  orbitse  lunaris  exercetur. 
cst  N  T  (r)  :  M  T  (3  y)  :  :   N  Q  (n)  :  M  H         Elementum  retardationis   Lun»   (Probl.    I. 

(^)'  ^^  *^"'''  angulus  M  H  m  est  angulus  calculi  prioris)  inventum  erat  ^  \f  ",  loco  Y 


iucUxutionis   orbitae   lunaris  ad   eclipticam,    ut     ppnatur  ejus  valor  Probl.  preecedente  inventus 

)j  si,  quia  jam 


..l=..MH(ip): 


M 


y  n  1 


de. 


X('4-'-r_ 


3  y  ^  n  2  l  2 


r  2  r  S 

/3  V  n  1  \ 
uique.  ut  est  T  M  (3  y)  ad  M  m  ^—^J  sic    actura  est  de  retardatione  per  vim  ^  X^ 

est  r  ad  sinum  anguli  M  T  m  qui  erit  ergo  — ■, 


•       , ,        nM2 . 
cujusque  cosmus  ent  y'  r  *  —        ^  '  sive  r  — 


2r3 


a  r 

—  r)  producta,  adhibeatur  solummodo  quantitas 
F.>        5y^n2l2 

—  X -7; — ? (quae  cum  negativa  sit  ex 

a  2  r  5         ^^  " 

retardatione  fit  acceleratio)  hinc,  accelerationis 

.         ,      .     ,  2  Fd  u 

ex  hac  causa  pendentis  eleraentum  est  — — 

V  a 


Jam  autem  tota  vis  T  M  est  ad  eam  ejus  par-     ^  IZliili!,  cujus  integralis  pro  quadrante 
n  nuffi  a.orit  seciinaiim  Dlanum  orbitae  iunaris  Sri'*'  '^  ^-         ^ 

r:  r  1  n 


tem  quae  ap;it  secundum  planum  orbitae  lunans 


Var5    ^  8~  ^*  9"»^^"P"- 

catum    pro    revolutione    integra    fit 

3  F  n^ 1 2  c 

— — rrr .    Uude  liquct  quod  ciim 

linea  nodorum  est  in  ipsa  linea  syzy- 

giarum,    quo  casu  n  evanescit,  tunc 

motus  Lunae  est  ipse  ille  qui  pra?ce- 

dentibus  theoriis  fuit  inventus,  quan- 

do  vero  linea  nodoAim  est  in  linea 

syzygiarum,  tunc  est  n  =  r,   et  est 

1      ,.     2Fl^c 
acceleratio  -rr^ quas  tum  maxi- 


2  Var 


ma  est. 


ut  radius  ad  cosinum  anguli  M  T  m  sive  ut  r  PROBL.  III. 
n^  1  2 

ad  r et  in  eadem  proportione  minuun-  -n    .     «  1       - 

2  r  -3  Posito  Solem  m  mcdiocn  sua  distantia  versari, 

tur  partes  in  quas  resolvitur  ea  vis,   ergo  cum  et  lineam  nodorum  omnes  possibiles  positiones 

portio  totius  vis   T   M   secundum  directionem  cum  linea  syzygiarum  successive  obtinere,  inve- 

radii  exercita  (si  planum  orbitai  lunaris  et  eclipti-  nire  aequationem  motiis  medii  Lunae  pendentem 

.]       -.         N-F^Syy                 -VI  ex  vario  situ  nodorum  Lunae. 

ca.idemfuissent)sit-X  -^  ex  supenus  de-  p^j^^^^    „^   inveniatur  acceleratio   mediocris 

raonstratis  ;  pars  residua  propter  inclinationem  1"*  ^^  inclinatione  plani  lunaris  oritur,  fingatur 

p         g       <j      2  rj  2  1  2  Solem  immotum  stare,  et  lineam  nodorum  ab  eo 

plani  erit  —  X  — ^ —^ — -^ ;  vis  au-  recedere  in  antecedentia  (nodorum  autem  motum 

^             L,                 ^  ^  proprium  hic  omittere  licet,  ciim  in  Problemate 

tem  L  M  qua?  est  —  r  et  negative  sumitur,  nul-  P»a?cedente  omissus  sit,  sic  enim  utraque  omissio 

a  sese  compensant.)  .,.- 

lanri  diminutionem  patitur  ex  hac  inclinatione,  Moveatur  nodus  ex  N  per  arcum  d  u,  accele- 

quippe  P  T  est  in  ipsa  orbita  lunari,  ideoque  ratio  Luna;  qua)  fiet  dum  describitur  d  u  erit  ad 

ejus  planum  quomodocumque  situm  non  dirao-  accelerationem  toto  mense  factam,  ut  tempusquo 

vct;  hiiic  ergo  p.Ta  actionis  Solis  qua;  Lunam  nodus  describit  arcum  d  u  ad  totum  mcnsem, 


LiBEE  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


85 


sed  terapus  quo  nodus  describit  arcum  d  u  est  est  r  =  57^'.  29',  quod  ad  secundas  reducturn 

A  j  ^  .  efficit  206264",   et  ductum   per  .000223  efficit 

. ,  nam  ut  tota  peripheria  c  ad  arcum  d  u,  45".^^  quam  Newtonus  47"  per  theoriam  gra- 

ita^^annus  sidereus  A  ad  tempus  quo  arcus  d  u  vitatis  se  invenisse  profitetur. 
Adu 


DE  MOTU  APSIDUM. 


describitur,  quod  erit  ergo ,  ergo  ut  men- 

Adu    . 
sis  synodicus  S,  ad  hoc  tempus  — — ,  ita  acce-  ^^    ^„     _    ^.     .      . 

^  c  Newtonus  Sectione  XI.  Lib.  I.  Pnncip»  in- 

eratio    uno    mense     facta    quaj    inventa     est     geniosissimam  excogitavit  rationem  motum  apsi- 
"  '  dum  ad  calculum  revocandi,    fingendo  nempe 

vim  externam  Solis  posse  conferri  cum  vi  quae 
ex  revolutione  plani  ipsius  orbitas  lunaris  orire- 


TO^^^-^^^"'"'^^-'"»" 


2  S.  V.  a  r  3 

.SAFl^r^c  — -  ^ ^ 

quadrante  et  ent  2  x  8  S.  V'a  r  3  ^^^'^'^"P"^^''"^  tur,  sicque  inveniri  curvam  per  motum  corporis 

3  A  F  1  ^  c  ^"  ellipsi  mobili  genitam  quee  eadem  foret  cum 

pro  tota.  revolutione  fiet rrrz '»  ^^  ^^^  ^^^*  ea  quce  per  vis  extraneae  adjunctionem  nascere- 

1..   T         ^^      .  I.-X  tur;  eidem  methodo  mox  insistemus  et  ex  ea 

acceleratio  motus  niedii  Lunae  propter   orbitae  j^^^^  ^^^^^  apsidum  derivantur  accuratissime 

inchnationem.  j  .     ,.     -^  quales   illas    Newtonus   statuit ;  sed   fatendum 

Hinc  si  linea  nodorum  discedat  a  Imea  syzy-  f  absolutam  ejus  motus  quantitatem  dimidio 

giarum  arcu  u,  et  fingatur  totam  accelerationem  ^^^^j^^^  minorem  inveniri  illa  qu^  per  observa- 

proportionahter  tempori    distribui,    fiat   ut   tota  tiones  innotescit ;  itaque  aliam  indicare  methodum 

peripheria  c  ad  eum  arcum  u,  ita  tota  tardatio  j „• ^Lj:    .,.:„>.:  ;iia :„„* 


A  F  1 


rem  eamdem  aestimandi,  priori  illa  non  omiss^ 
-,   ad  accelerationem   huic  tempori    inopportunum  visum  non  e?t. 
4  S.  V  a  r  ' 

.SAFl^u.     SAFl^ 
proportionalem  qua^  ent     g  y         sive  ■   gy     ^ 


X  — •     ^^^  integralis  elementi 


3  AFl^n^du 


quando  arcus  A  N  est  u,  est 


SSVar^ 
5  A  Fl^X  ANQ 

2.  6.  V.  a  r  ^ 
(ex  Lem.  I.  calc.  1.)  haec  ergo  quantitas  ex 
pracedenti  substracta  dat  aequationem  sive  diffe- 
rentiam  accelerationis  mediac  et  accelerationis 
3  A  F  1  2  r  u 
verae,  quae  a;quaUo  erit  ergo  ^  g  y  ^  ^  ^  X  (^ 


PROBL.  L 

Sol  supponatur  immotus  ;  linea  apsidum  qua- 
lemcumque  angulum  cum  hnea  quadraturarura 
efficiat,  ejusque  anguli  sinus  sit  y  ;  invenire  mo- 
tum  apogaei  dum  Luna  ab  apogafto  ad  apogaium 
redit. 

Sit  G  A  g  ellipsis  quam  Luna  circa  Terrara 
T  describit ;  sit  G  apogaeum,  g  perigaeura ;  di- 


—  A  N  Q),  sed 


A  N  Q,  est  triangulum 


_         n  m        2  n  m    ,  . 
N  Q  T,  et  e^t  N  Q  T  =  —  =  -^,  hmc 

aequatio  proposita  sive    excessus  accelerationis 
3  A  F  1  2  .  .   2  n  ra 


mediae  super   verara  est 


8  S.  V  a  r 


quaj  est  quantitas  qua  minuendus  est  motus  me- 
dius  Lunae  ut  eius  locus  verior  habeatur. 
3  A  F  1  ^ 


Cor. 


constantes  et 


Hinc  ciam  quantitites 
2  nm 


smt 


S.  Var 

sit  sinus  arcus  dupli  distan 


tise  nodi  a  syzygia,  aequatio  est  ubique  ut  slnus 

arcijs  dupli  distantia;  nodi  a  syzygia,  ergo  eva- 

nescit  in  syzygiis  et  quadraturis  ;  maxima  est  in 

cctiintibus,  cumque  sit  illic  m  =  n  =  r  y'  i,  est 

2  n  m  ,        F  M  ^  a 

=  r :  loco  —  ponatur      ^     ,  aquatio  m 

^    3  M  ^  1  » 
octantibus  fit 


sed   cum  inclinatio  sit 


catur  r  semi-axis  major ;  T  distantia  apogaea^ 
T — 2  f  distantia  periga;a.  Centro  T  dcscribatur 
circulus  radio  r,  eum  circulum  Luna  dvscriberet 


8  «•  A.  r'  ^  ,,._.„,  __  ,,  _., „. 

5  gr.  19|'.  cujus  sinus  1  est  .9281  r,  ideoque  eoJem  tempore  quo  ellipsim  suam  describit,  et 

-est  .00865  r,etii^   =    .00325,    cum   vero  vis  centrahs  Terr.-e  in  Lunam  in  eodem  circulo 

i,  2  rcvolventem  foret  -^j —  ex  nota  circuli  propric- 

(per  Probl.  V.  calc  praec.)  sit  .0685,  hinc  -^  ^ 

S.  A  ^  tate. 

aequatio  evadit  in  octantibus  .000221  r;  denique         Portiones  d  u  cjus  circuli  ubique  acquales  in- 


86 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


telligantur,  et  sumantur  in  ellipsi  arcus  terminati 
per  lineas  e  centro  T  per  utrumque  extremum 
arcus  illius  d  u  ductas  ;  liquet,  quod  dum  arcus 
illi  elliptici  describentur,  lineolEe  per  quas  Luna 
ex  tangente  ad  eliipsin  reducetur,  erunt  efFectus 
vis  centralis  Terrae  et  vis  Solis  secundum  direc- 
tionem  radii  orbitas  lunaris,  conjunctis  vel  oppo- 
sitis  actionibus  Lunam  trahentium. 

Lineolae  autem  propter  vim  centralem  Terrse 
descriptae  erunt  ubique,  primo  in  ratione  ipsius 
vis  centralis,  sive  inverse  ut  quadrata  distantia- 
rum   a  centro,   ideoque   in   distantia  X  erunt 

■ — ;  et  secundo   ut  quadrata   temporum 

2r  X  ^  '  ^ 

sive  ut  quadrata  arearum  ellipseos  quse  rebpon- 
dent  ajrcubus  aequalibus  d  u ;  illae  vero  areoe  cijm 
sint  inter  se  similes  (ob  aequales  angulos  in  T 
arcubus  asqualibus  d  u  mensuratos)  erunt  ut 
X  *,  ideoque  tempora  erunt  ut  X  ^  eorumque 
quadrala  ut  X  + ;  ideoque  vis  centralis  Terrae 


P  3  y  y 

Y  esse  —  X  (  —  rVet  vim  Lunae  in  medio- 

a  r  ' 

cri  distantia  esse  ad  vim  Solis   F  ut   A  *  r  ad 

M  ^  a  ( A  ut  prius  est  annus  sidereus,  M  mensis 

periodicus,  sed  seposita  Solis  actione)  cum  ergo 

efFectus  vis  Terrje  in  Lunam  in  mediocri  distan- 

.,,         ,       .,  rdu.du^.- 

tia  dum  descnbitur  area  — — •  sit  -— — ,  si  nat 

d  u  * 
ut  A  *  r  ad  M  *  a  ita  -— —  ad  quartum  qui  erit 

M  ^  a        d  u  ^  . 

-r— —  X  »  is  terminus  erit  efFectus  vis  Solis 

A  ^  r  '^     2r 

quee  per  F  exprimitur,  sicque  effectus  vis  Y  in 
mediocri  distantia  dum  describitur  area  — — 

^"'  A>~r  ^   "2F  ^^r '^'*'*  '"  '^"^ 

X  5         M  ^ 
cumque    distantia     X     erit   — j  X  - .  ^  '    ^ 

i!llx(^-r). 
2r    '^      r  ' 

Hinc  fluxio  secunda  orbitae  lunaris  ;  hoc  est, 
lineola  ad  Terram  directa,  intercepta  inter  tan- 
gentem  et  curvam  lunarem  quae  est  difierentiii 
(velsumma)  efFectuum  vis  centralis  Terrae  et  vis 
SolJs  in  Lunam  dum  arcus  respondens  arcui  d  u 
du^       ,X^  M  2 


percurritur,  erit  ubique 


2r 


X(^:,  A 


r 


X  ttX 


Ul. 

r 


'). 


.    du*        T* 
Haec  fluxio  in  apogseo  ent  ~— —  X(— r 


M^ 

A^ 


-xlixil-^ 

r      r  5         r 


r  );  in  perigaeo  vero  erit 


du^     T 


4Tf 


M2     TS      ioT4f     Syy         . 


efiectus,  dum  describitur  area  quae  respondet 
.,*  .       ,.         r^du^^X*. 

arcui   d  u,  ent   ubique :——■  X  — r    sive 

2  r  X  ^  r  4 

X^du*      ^  .T^du*. 

In  apogaeo  ent  — ^^-^-^ —  mpengaeo 


2  r  3 
T^du^ 


2  r  3 


4  Tfdu^ 
2r3       ' 


&c. 


Vis  Solis  in  Lunam  agens  secundum  direc- 
tionem  radii  orbitae  lunaris  dicatur  Y  in  medio- 
cri  distantia,  et  quia  crescit  ut  distantiae,  in  dis- 

tantia  X  fit  —  Y,  ejus  verd  efFectus  crescit  ut 

quadrata  temporum,  ideoque  pcr  ea  quee  dicta 

sunt,  etFectus  ejus  vis  dum  describitur  area  quae 

X       ,.      X  4  .      X  5 

respondet  arcui  d  u  est  —  X  ^  X  -77  ^^^^  ""5 

.    T^        .         .         T^ 
in  apogaeo  erit   — —  Y,  in  perigaeo  — -  Y  — 

Y,  &c. 

Sit,  ut  prius,  F  vis  Solis  in  Terram  in  ejus 
inediocri  distantia  a  Terra  a,  inventum  est  vim 


ubi  notandum  quod  si  Sol  immotus  fingatur,  (ut 

in  hyp.  Problcm.  assumitur,)   et  si  perigaeum 

esset  e  diametro  oppositum  apog«eo,  tunc  quan- 

5  V  V 
titas  —^  —  r  eadera  absolute  foret  tam  m  apo- 
r 

gaeo  quam  in  perigseo. 

Si  conciperetur  quod  efFectu  virium  existcnte 

du^^  T^        M^        TS        3yy 
mapog^o—  X  -^  -  ^^  X  ^  ^.  J 

vera  ellipsis  describeretur,  hic  efFectus  virium  in 
apogao  deberet  esse  ad  earum  efFectum  in  peri- 
gaeo,  primo  invcrse  ut  quadrata  distantiarum, 
sccundo  directe  ut  quadrata  temporum  sive  ut 
quartae  dignitates  distantiarum,  unde  illi  effectus 
erunt  ut  quadrata  distantiarum  directe,  hoc  est 
ut  T  2  ad  T  ^  —  4  T  f,  dividatur  ergo  efFectus 
virium  in  apogaeo  per  T  ^  et  ducatur  in  T  ^  — 
4  T  f  efFectus  virium  in  perigaeo  esse  deberct 


r): 


du»  T  ^__4Tf_M  y./£i__lT4f  3 yy 
2r^r^  r^  A^r  ^r5  r  s")X(  r 
sed  in  perigaeo  ut  et  in  apogaeo  ex  natura  ap- 
sidum  evane^cit  fluxio  distantia^  X  ut  pote 
maximaj  vel  miniraae,  ejus  autemfluxionisfluxio 
est  is  ipsc  efiectus  virium  Terra;  et  Solis,  ideo 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


87 


fluens  hujus  efFectus  virium  revera  evanesceret, 
itaque     ex    ipsis     hypothesibus     oportebit    ut 


T^     4  Tf__  M  ^  ^  TJ 


rS  r 


sed  in  perigaeo,  spectata.  actione  Terrae  et  Solis, 

d  u  ^ 
fluxio  secunda  reperta  erat  — —  X 


T2^  4Tf_  M^        TS 


10T4f      3yy 
~TT~  ^    r  "~^' 


Itaque  excedit  eam  quantitatem  cujusfluens  eva- 

.       du*^^  M  V6T4f    3^ 
dit  zero  quantitate  — —  X  -r^  ^~Y ^' 

Punctum  itaque  perigaei  non  erit  in  puncto  e 
diametro  opposito  apogaeo,  sed  arcu  quodam 
differet,  quem  obtinemus  quaerendo  quonam  in 
loco  orbitae  lunaris  fluens  fluxionis  secundae  ejus 
curvae  evanescat.  Observandum  autem,  quod 
distantiae  Lunae  a  Terra,  circa  puncta  apogaei 
vel  perigaei  non  multum  mutantur,  ideoque  si 
perigasum  arcu  p  transferatur,  non  magna  mu- 
tatio  exinde  orietur  in  eftectu  vis  centralis  Terrae, 
sed  sinus  y  qui  occurrit  in  valore  vis  Solis  evadet, 

y  _L  —  (sumpto  z  pro  cosinu  arcus  cujus  sinus 

z  d  u  .      ,. 

est  y,  est  enim  d  y  = per  naturam  circuh, 

cum  Wc  vero  agatur  de  arcu  p  non  magno,  po- 
test  poni  p  loco  d  u,  et  difFerentia  sinuum  pro 
d  y)  fiet  itaque  fluxio  secunda  orbitae  lunaris  in 
loco  in  quo  perigaeum  ess€  debebit 
du2     j-T^       4Tf      M^     T5       ioT4f 


A^r^rS 


(5y^  + 


6yzp       Sz^p 


t-'-^)x|-r}cuj 


r5 
cujus  pars 


Dyy 


dn-     T*       4Tf      M^       TS      4T4f      , 
iT^r^  —  T^^A^^^^rs        rT^^'r 
fluentem  habet  a?qualem  zero;  fluens  autem  ex- 


2r 


A  ^r 


6T+f       3yv 

—  j —  X — ')  fiataequalis  zero  (omissis 

terminis  in  quibus  f  aut  p  ad  duas.dimensiones 
assurgunt)  et  habebitur  valor  p,  quatenus  desig 
nat  arcum  quo  processit   perigaeum,    siquidem 
tota  fluens  fluxionis  secundae  orbitse  lunaris  in 
eo  puucto  fiet  zero. 

Hinc  itaque  divisis  terminis  per  quantitatem 

6  M^  T4  du,   . 
communem  — —-— — habetur  haec  aequatio 

T  p  X  f^^^  =  f  X  /syydu-rrdu, 
sive  quia  ydu=  —  rdzfitTpX  f —  z  d  z 
=  f  x/-^^  rYd  z  —  r^  d  u.  Est  autem 
J  — z  d  z=^  r  r  —  I  z  z  etj—  y  d  z  segmentum 
drculare  cujus  ordinata  est  y,  sive  sector  circu- 
laris  ^  r  u,  dempto  vel  assumpto  triangulo  cujus 


area  est  |;  y  z  ;  hinc  aequatio  evadit  §  T  p  X  (**  ^ 
—  z  z)=  fXdr^u  —  fryz  —  r*  u,)sive 
TpXyy  =  f  X^"^^"  —  3ry  z,)unde  tan- 
1       i.  rf^ru  —  Syz 

dem  babetur  p  =  rrr  X    • — • 

1  yy 

Atque  ciim  hic  sit  motus  perigsei  quo  tempore 
Lunafertur  ab  apogaeo  ad  perigseum,  eritmotus 
apsidis  durante  una  revolutione  Lunae  ab  apogaeo 

-                    2fr^^ru  —  3yz 
ad  apogaeum  •— -  X — • 

Cor.  I.  Hinc  motus  apsidum  nuUus  est  cum 
ru  —  3yz  =  o;  in  quadraturis  vero  fit  nega- 
tivus ;  regrediuntur  itaque  apsides  ;  maximus 
autem  est  in  syzygiis  et  positivus,  tunc  enira 
evanescit  quantitas  negativa  3yz,  fit  u  =  Jc, 

f  c 
et  y  =  r,  unde  ille  motus  fit  —   durante  una 

revolutione  Lunje. 

Cor.  2.  Si  hunc  calculum  accuratius  insti- 
tuere  liceret,  attendi  posset  ad  motum  Solis  dum 
Luna  ab  apogaeo  ad  perigaeum  movetur,  promo- 
vetur  enim  interim  Sol  1 3  circiter  gradibus, 
itaque  etsi  Luna  veram  describeret  ellipsim, 
perigaeum  non  faceret  cum  quadratura  eumdem 
angulum  quem  faciebat  apogaeum,  sed  13  gra- 
dibus  minus  distaret  in  coniiequentia.  Sed  in- 
stituto  calculo  invenimus  parum  admodum  ex- 
inde  mutari  motum  pcrigaei  in  propria  orbita,  ita 
ut  ad  institutum  nostrum  sufficiat  illum  assumere 
qualis  per  Problema  repertus  est. 


PROBL.  IL 

Invenire  quantitatem  motus  apsidum  singulo 
anno. 

Sit  apogaeum  in  quadratura,  et  Sole  proce. 
dente  apogaeum  inde  versus  syzygiam  recedat. 

Dicatur  a,  tempus  quo  Sol  revolutionem  respec- 

tu  apogaei  Lunae  absolvit,  dicatur  ?r  tempus  quo 

Luna  ab  apogaeo  ad  apogaeum  redit,   sit  c  tota 

peripheria  quam  Sol  apogaei  respcctu   describit, 

et  d  u  arcus  ejus  exiguus  quo  apogasum  a  quad- 

ratura  recessisse  censebitur  propter  Solis  motum, 

,       .       .       .    a  d  u 
tempus  quo  hunc  arcum  descripsent  ent  , 

et  ctim  tempore  ?r,  apogaeum  moveatur  quanti- 

2  f  r                            ^                 a  d  u 
tate X  (r  u  —  3  yz)  tempore proce- 


2af : 


rudu        3yzdu 


du  = 


T.  y  y 

det  quantitate  -^  X^— ■■j^), 

erit  autem  u  arcus  qui  metitur  distantiam  apogaei 
a  quadratura,  y  ejus  sinus,  et  z  ejus  cosinus,  et 
rdy,.  .         2afr         rudu 

hinc  quantitas  — ^n —  X  (- ^ — 

z  ?r.  l.c^y^ 

Szydu         2afr         rudu         3rdu 

— yr-Ofit  -^  X  i-y-. -') 

,-r  ,    ,  /1  .     .     r  u  d  u 

Ut  habeatur  fluens  quantitatis — ,  ponatur 

y  3  3  y  5  5  y  7 

loco  u  eius  valor  y  -I 1 -| ^ — - 

•^  •'~6rr^40r4~112r'5 


i    1 1  c  2  j.  8  "r  t> 


115 


2616  r 


-,  &c.  fie.t 


r  u  d  r 

yy 


88 


PHILOSOPHIiE  NxiTURALIS    [De  Mund.  Syst. 


r  d  n        y  d  u         3  y  3  d  u        5  ySdu  __  2«fr^             |c             c^                 7c4 

"T^+TT"^      40  r  3      "T"     112  r^      "*"'  ^.  T  c  ^^     '  r  4  "^   19  ^  r  ^  "*"  368640r4 

&c.  et  dividendo  r  d  u  per  valorem  y,  qui  estu  —      \_  _L    i L_i L» Lj 1__  q     ^ 

u3          _uj u7 ^^^  r  d  u  __  r  d  u  "T"  2.3  "*"  4.5  "*"  6.7  "^  8.9  "^  10  X    ll'      '^ 

6  r  r  "^  120  r  4       5040  r'^            y              u  11 

3  «      •:  j  oi      c  ,1  ..  harum  fractionum 1 ,  &c.  summa  varus 

,   ^liii    .    lJLil^4.^1l!^;    et  loco  ,.   ,   ,     .           -^.5^4.5' 

'      6r    ^     360  r  3      »     151'-!Or5  '  modis  haben  potest,  et  qmdcm  hquet  onrx  istos 

y  d  u  in  sequentibus  terminis  ponendo  —  r  d  z  terminos  ex  terminis  seriei  quas  excessum  quad- 

et  loco  y  ^  ejusque  dignitatum  ponendo  r  ^  —  z  ^  rantis   supra   radium  exprimit  cum   radius  est 

rudu        rdu        udu  unitas,  cujus  seriei  quinque  priores  termini  efR- 

ejusque  dignitates,  fit                =  —^ H  -^  ciunt  .  33905,  residui .  25 1 74  ;  hinc  cum  quinque 

7u3du                rdz         3      f r zz  X ^dz  pnmi  termini  hic  assumpti  evadant  propter  frac- 

-|-  — — -,  &c.  —  — : —  -j~  ~lO^ 3 tiones  per  quas  ducuntur  .26343,   et  sequentcs 

. ^^              ,               „^  per   fractiones   minores   quam    i    ducantur,    ii 

5           rr  —  z  zp    X  —  y  d  z    .      3^  .      .  ^           -3 

"»"112^  r^    "*"  ll^^''^.^,-!^^ 

rr— zzl^X— rdz  ,     63        rr_z  z|  ^X— rd^  3~ 
X" 


^omnes   sequentes    simul   sumpti    non    efficient 


sive  .07724,  id  itaque  addatur  aa  .26343, 

,8  ^2816'^  r  ^°  '  erit  . 34067  numerus  major  qu£Esito,   et  .26343 

&c.     Cujus  quantitatis  fluens  est  r  L.  u  -|-  numerus   quaesito   minor,    assumatur    medium 

TTr  +  1440 C  3'  ^^-  +  -TT^  +  40  ^  '^^^^^  quatititas  proposita  evadit  ^  X(L  Jc 

I  r  4  —  r  3  z  +  1  r  z  3         J_  +  —  +  .30205). 

rs  +  lli  T^  192  ^  ^ 

_8_    6        5     1  a    3    3       i       c  q;;  "^^  ^^''^  dicatur  g  excessus  quadrantis  super 

^  i^J_ZZi ^"T  J^    ^  •?  '^  ^     j_  _: ^  radium,  per  naturam  logarithmorum  fiet  L.  ^;  c 

ifi  ^*    "  T  ^^^^  ^g  —  lg^  +  ig^^—ig-^+j&c.  =.57079 

'57  ^  ^— ^"  ^  z+r^z^— j  r  3  z  ^+f  r  z  7  63  _.  .16290  +  .06196  —  .02652  +  .01211  — 

2816  .00576  =  «4496,    unde    expressio  inventa   fit 


r7 


^-^  XC-4496  r  ^  +  ^^   +   .30205  r  ?)  = 

?Jl^^  Xr  75165  r  -  4-  -^)=  -^X(-— -' 
—  X(>75x6^r     +i3^J-^T^(        ^ 

c       .         ^  c  r  ^ 

■+  — )sive  quia  est  —   =:   3^^75,  et  —    = 
~  96  ^  96  '  c 

^        =9SMl89eti^^-L-  =    155'.6783, 


6.283188 

f 
habetur  motus  apogaei  durante  quadrante  —  X 

ct 

—  X   17^^4283   et   durante   tota    revolutione 

?r 

f  a 

-tt;  X  —  X  69^'.  7 132,  sed  ut  totum  tempus  « 

J.  T 

qualecumque   sit,  ad   tempus  annuum    A,   ita 

f  « 

motus  —  X  —   X  69^^7132   ad  motum  an- 

f         A 
nuo  tempore  factum  qui  erit  ttt  X  —  X  69^"". 

-g ------  r'0— rPz+f  r723— f  r  5  z  5+^  r  3  z 7^-t  r  z^  ^j^g.  pr^terea  sit  P  mensis  periodiTus  Lunae 

r  ^  f         A 
cui  fluenti  si  adjungatur  fluens  quantitaus  —  fiatque  ut  A  ad  P  ita  —  X  —  X   69^^.7132 
3rdy  ,                        .,                               -i-T 
^  qua;  est  —  3  r  L.  y  et  omne  ducatur  per  ^^  motum  apsidum  tempore  periodico  Lunae, 

2  a  f  r  qui  erit  t^  X  —  X   GB^^.IIS^,  et  ut  P  ad  w 

— Y~  habetur  motus  apogaii  dum  propter  Solis  ■'•         ^ 


motum  apsis  recessit  a  quadratura  arcu  u. 

Si  ergo  u  sit  quadrans,  y  erit  r,  et  z  fiet  zero. 

urde  ha^c 


f  P 

ita—  X  —  X  69^^7132,   ad  motum  apsidum 
1  zar 


rVc 


,     2  a  f  r  mense  anomahstico  w  qui  ent  —  69^  .7132,   et 

expressioevadet — -^-  X  frL' i  c  +  1 

T  1  c        ^         ''■       '  f 


3_ 

40 


2  r      '     1440  r  3'  ^^'  "^   a-    +  In  ^  t  ^  + 


ut3G0ad360+—    X    GD^^^.llS^    ita    P   ad 


menscm  anomalisticum  zsr  qui  ergo  erit  P  X(l 
m  ^ ^Ts     "^  iTF'  '^  yi  ^  "T'      •  ""  •'")    +  Y  '^  — ^~~  ;;idcoque  motus  annuus  apo- 


LiBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


89 


f  A  X  69.7132 

gajl  erit  Trr  X 


"":  ~~f       ,  69.7132' 

PX(I+.P    X-^-) 


sed 


T  360 

annus  tropicus  est  13g  P  proxime,  hinc  motus 

.  ^     f   ^   13^     X     69.7132 
apogaci  fit  ^  X  f      69.7132* 

^  +  T^^6~" 
Excentricitas  f  orbitae  lunaris  est  quidem  va- 
riabilis,  de  ejus  legibus  posthac ;  excentricitatis 
valorem  mediocrem  assumit  Newtonus  .05505 
si  radius  sit  1,  Hl.  Cassinus  eam  paulo  minorem 
facit,  nempe  .05430  ;  ex  legibus  autem  yariatio- 
nis  excentricitatis  patebit  quod  loco  f  scribi  debet 
.05 1 47  et  loco  T,  1 .  05 1 47  unde  motus  apsidura  fiet 
^04895  X    15§-X_69SJ.7132  458^4997 

560  -f  .04395  X  69.7132  1.0126 

=  44.9  circiter;   qui  quidem  motus  invenitur 
pcr  observationes  40«^ 

DE  MOTU  APSIDUM 

Secundilm  Newtoni  methodum» 

Hic  revocanda  sunt  ea  quae  in  Sectione  IX. 
Lib.  I.  dicta  sunt  de  motu  corporum  in  orbibus 
raobilibus. 

LEMMA  L     PROP.  XLIV.  Lib.  L 

Concipiatur  planum  orbitaj  ahcujus  uniformi- 
ter  revolvi,  dum  corpus  quoddviiii  ipsam  orbi- 
tam  propter  vim  centralem  aliquam  percur^ 
rit,  id  corpus  in  singulo  puncto  dupUci  vi 
centrali  urgebitur,  ptopria  nempe  qua  ur- 
getur  in  centrum  virium,  et  ea  quse  ex 
revolutioHG  plani  orbita;  pendet :  haec  ubi- 
que  erit  inverse  in  triplicata  ratione  distan- 
tiffi  a  centro. 

Demonstrationem  vide  Propositione  su- 
pra  indicata. 


per  velocitatcm  acquisitam,  ct  Gx  motu  pcr  vim 
centralem  genitam  qune  simu3  ac  semel  in  puncto 
G  agere  censeatur,  hic  motus  per  G  II  repraj- 
sentetur,  motus  secundum  tangentem  per  R  K, 
fiat  vero  R  K  ad  11  ni,  ut  angulus  G  T  K  ad 
G  T  K  -f-  G  T  y,  et  si  nulla  vis  centralis  ex 
revolutione  plani  oriretur,  Luna  foret  in  m  cura 
debuisset  esse  in  K,  sed  quia  T  m  est  longior 
quam  T  K  sumatur  T  n  =  T  K  et  revera 
Luna  erit  in  n,  et  erit  m  n  effectus  vis  centralis 
ex  revolutione  plani  genitus  dum  Luna  descrip- 
sisset  arcum  G  K. 

Radio  T  K  centro  T  describatur  circulus 
quem  m  T  producta  secet  in  t  et  m  K  producta 
secet  in  S,  erit  mnX  mt=mKXi"  S  per 
Cor.  Prop.  XXXV.  Elem.  III.  Eucl.  ideoquo 

m  K  X  ni  S        .  ^       ^      , 

ent  ra  n  = et  si  hngatur  hunc  cir- 

m  t 
culum  quam  proxime  coincidere  cum  arcu  orbitae 
lunaris  G  K,  eodemque  tempore  describi  quo 
arcus  describeretur,  erit  G  R  efl[ectus  vis  centra- 
lis  Terrae  dum  Luna  descripsisset  arcum  G  K, 
et  per  notam  proprietatem  circuli  hic  arcus  foret 
R  Kp 
2  G  T* 

Ergo  cijm  effectus  vis  centralis  ex  revolutione 
plani  genitae,  et  effectus  vis  centralis  TerrjB 
eodem  tempore  geniti  sint  m  n  et  G  R,  vircs 
illce  erunt  uti  m   n  et   G  R,  sive  ut  quantitates 

,mKXmS         RK^        ^, 
ipsis  asquales et  ■         ^    sed   cum 


LEMMA  IL 


Si  vis  Solis  in  Lunam  agens,  sit  quantitas 
qua;  in  mediocri  distantia  sit  constans,  di- 
caturque  Y,  crescat  vero  ut  distantia  a 
Terra,  vis  Terrae  in  distantia  mediocri  sit 
V,  dico  quod  (ponendo  orbitam  lunarem 
circulo  satis  finitimam  esse)  motus  Lunae 
concipi  poterit  quasi  fieret  in  ellipsi  simili 
illi  quam  revera  describit,  sed  cujus  planum 
foret  mobile,  ita  ut  integra  revolutione  apsis 
ejus  orbitae  promoveretur  quantitate  360^''.  X 
r3  V—  T3  Y     , 

a/  — rrrrTr  l  deraonstratio  cst  in  exem- 

^    r-^V  —  413  Y 

pHs  tertiis  ad  Propositionem   XLV.   sed  eam 

demonstrationem  hic  breviter  trademus. 

Sit  G  Lunae  apogagum,  G  K  arcus  quam 
minimus  quem  Luna  in  propria  orbitji  dato 
exiguo  lempore  describeret,  transferatur  vero 
Luna  cum  suo  plano  ita  ut  ejus  apsis  transfera- 
tur  in  y  dum  Luna  ex  G  in  K  moveri  debuis- 
f>et ;  motus  Lunae  in  G  ex  duobus  compositus 
censeatur,  nempe  ex  motu  secundum  tangentem 


m  t  sit  quam  proxime  2  G  T,  sitque  m  S  =  m  R 
-|-  R  K,  et  m  K  =  m  R  —  R  K,  istae  vires 
sunt  ut  m  R  2  —  R  K  ^  ad  R  K  ^  si  itaque 
dicatur  T  distantia  maxima  Lunaj,  T —  X  alia 
distantia  quaevis,    r   mediocris  distantia,   V  vis 

r  ^ 

Terrae  in  ea  mediocri  distantia,  erit  — —     V   vis 

centralis  Terrae  in  puncto   T,  ideoque,   cum  sit 
R  K  2  ad  m  R  2  —  R  K  ^  ut  vis  gravitatis  ad 
vim    ex    revolutione   plani   genitam,    haec   erit, 
r^  VXn^R^  — r^  VX  RK^ 
T^XRK^ 

In  puncto  K  aut  alio  quocumque  ubi  T  K 


90 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


est  T  —  X,  vis  gravitatls  est  _      ■    ,     V     t 

^  T— X|* 

quoniam  vires  ex  revolutione  plani  gcnitae  sunt 
inverse  in    triplicata   ratione    distantiarum,    vis 
T.  r^.  VXmR2_Tr2VxRK2 

plani  est  • — == — 

**  T  —  X|  3  X  R  K  ^ 

quae  si  addatur  vi  gravitatis  fit 

Tr^VRK^-Xr^VRK^-fTr^VmR^-Tr^VRK^ 

T— Xj^x  RK» 

r  " 


oportet  ut  sit  m  R  2  ad  R  K  2  ut  r  2  V . 
4T3  Y 


T3  Y 

r 


adr^  V  — 


-,  sive  ut  sit  m  R  ad  R  K  ut 


Sed  cum  in  eo  puncto  vis  gravitatis  sit- 


V, 


T— X|2 
et  vis  substractitia  Solis  sit  ut  distantiae,  ideo- 

T  —  X 

que  sit Y,  si  reducantur  ad  communem 


a/  r»  V— JT^ad  a/  r  ^  V— 4  T^^Yunde 
r  r 

ciim  sit  m  R  ut  motus  Lunee  et  apogsei  conjunc- 
tim  et  R  K  ut  motus  Lunse,  si  Luna  descripsciit 
560^^  fiet ut y^r^V— 4T3l^ad ^r^V— T^Y 

r  r 

ita  SeO^*".  ad  Lunae  et  apogaei  motum  conjunctim, 

T  3  Y 


r*  V  — 


qui  erit  ergo  360  X  V- 


V  — 


4  T3  Y 


denominatorem  T  —  X|  3  fient 

T+Y        4T3XY 
Tr^  V— Xr*  V— i =  4- 


T  —  X|  3 
Ut  autem  sequipolleat  plani  revolutio  cum  sub- 
stractione  vis  Solis,  ita  determinandse  sunt  quanti- 


r 3  V T3  Y 

360  t^    3  „ 4T3  Y'  ^^^"^  ^^  ^^  ^'°^  valore 

tollantur  360^'.  residuum  erit  motus  apogaei  in 
tegra  revolutione  Lunae.      Q.  e.  o. 


THEOR.  L 

Invenire  motum  apogaei  lunaris,  snppo- 
nendo  orbitara  lunarem  esse  circulo  finiti- 
mam . 

Describat  Luna  arcum  d  u,  et  eo  durante 
vis  Y  constans  maneat,  et  spectatur  d  u 
quasi  portio  ellipseos  descriptae,  si  vis  Y  du- 
rante  totarevolutione  crevisset  sicut  distan- 
tise ;  motus  apsidis  durante  tota  revolutione 
r  ^  V  —  T  3  Y 


C,  foret  (per  Lem.  IL)  c  y 


tates  R  K  ^  et  m  R  2,  ut  expressiones  barum  vi- 
rium  sint  ubique  aequales,  et  1.  quidem  cum  X  fit 

Tr^VXmR2 

«ero,  vis  gravitatiscum  vi  plani  est  -  -■  ■  ■■ 

\     ^  ^  T— X|3XRK2 

et  vis   gravitatis    substracta  vi    Solis    remanet 
T4  Y 


Tr*  V 


Oportet  ergo  ut  sit  m  R  ^ 
T3Y. 


-).  Termini  vero  re- 
X  r  ^  V  R  K^ 
T.  X|  3_.RK* 


=]iJiL!x(r^v. 

r  2  V  ^  ^ 


liqui  in  quibus  est  X  sunt 

X  r*  V4-  4T3X  — 

^  ~~(T— Y)3 

RK| 
r  2  V 


Itaqne  ut  vis  revolutionis  plani  vi  gravitatis 
permixta,  idem  efficiet  ac  vis  substractitia  Solis, 


-.  Oportet  ergo  ut 


r3V— 4T3r 

—  c,  ideoque  durante  tempore  quo  arcus 
r  3  V T  3  Y 

d u percurritur,  foret d u  V  ^3^— 4T3  Y 

—  d  u,  sit  r  =  T,  et  sumatur  valor  quan- 

•     -       ,    V  — Y   .        .    ,    ,    5Y    ^. 

titatis  V  -=7 -TT-  is  erit  1  +  :rvr»  hmc 

^'    V  —  4  Y  '21 

itaque     eleraentum    motus    apsidum    est 
3  r  F  3  v  V 

r-^  d  u,  loco  Y  ponatur  —  X  (— ^  —  »")•  ^t 

3  F    ^^     3  y  y  d  u  ,     ,        .       .  ,. 

X  ( — — —  r  d  u),  cujus  integrans 

3  F    _  ,3r2c       rc, 
pro  quadrante  est  -^ —  X  \-7, -r)  etpro 

.      ,      3  F        r  c        ,       F    .    M  M 
ciroulo  yy^X  Y  ^'  <^"""  v  ^'^"aT  ^        ' 

3MM      .        ,    ''mM   .    .       ^^^^ 

■.    ■    ^-  c  give  cum  - — -  Eit  fere .0055  est  motus 

4  A  A  A  A 

apsidum  .0041   c  =  1^.476   sive   1''.   28'.  33", 

etquia  is  absolvitur  mense  synodico,  ut  habeatur 

motus  apoga;i  annuus,  fiat  ut  .0808  ad  1,  ita 

l^.^TG  ad  18^'.  267  sive  18^'.  16',  quod  est  cir- 

citer  dimidium  veri  motiis   apsidis  ut  observat 

Newtonus. 

THEOR.  ir. 

Invenire  kges  motus  apogwi  Lunas  suppo- 
ncndo  orbitani  lunarem  esse  ellipticain. 


LiberTertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


91 


Distantia  Lunae  apogaea  dicatur  A,  perigaea      a^         3  M  M 
dicatur  P,.  sinus  anguii  apogaei  et  lineae  quadra-      g        2  A  A  r  ^ 


X  (3  y  y  d  u  —  r  *  d  u),  cujus  in- 
turarum  sit  y,  vis  Solis  in  apogaeo  agens  erit  per  tegralis  est  (si  fingatur  apogoeum  a  quadratura 
demonstrata  A  X  —  X  ( ^)'  ^*  ^'^  ^o\h    a^j  syzygiam  in  antecedentia  retrocedere)  -^  X 


a     ^    r 

F        3y  y 
agens  in  perigaeo,  erit  P  X  —  X  {.— '')>  ^* 

y  in  utroque  casu  est  eadem  quantitas,  dicatur 

F        3  y  V    • 
itaque  C  haec  quantitas—  X  ( —  ^)  5  ^^1"^- 


3  M  M 

-—^—^X{^'  r/.  y d  z  —  r  2  u)  est  autem/  y  d  z 

a  M 
=  C  P  E,  hinc  sumendo  ——r  pro  unitate,  est 

o  A 
3  M  3  M 
X  (3  C  P  E  —  r  u)  et  pro  quadrante  ^-r— 

,      3  M         r  c 
et  pro  circulo  X  -^  P^^ope  ut  m 

2  A  r  2 


2  Ar 
.  r  c 


dem   est   constans;    vis   Solis   substractitia  aut 

addititia   in  apogaeo   ac  perigaeo  erit   A  C   vel 

P  C  ;  hoc  est,  erit  ut  quantitas  constans  C,  ducta 

in  distantiam   A   vel   P;   si  itaque  fingatur  in  i     .•  rn, 

punctis  intermediis,  eam  vim  esse  etiam  eandem     praecedenti  Theoremate. 

constantem  C,  per  distantiam  ductam,  aut  saltem         Hmc  si  sumatur  motus  apogaei  proport.onahs 

variationem  quantitatis  C  compensari,  tunc  per     te^^PO"»  dum  apog^um  d.scedet  a  Sole  arcu  u. 

Cor.  2.  Prop.  XLV.,  et  exempla  tertia  ejusdem,     ^^^^  motus  esse  debuisset — -  X  —  ciim  reve- 

erit  motus  Lunae  ab  apside  ad  apsidem  360  X  2  A  r        2 

V  _—  P  3  M 

^  — !^,  si  V  sit  ut  vis  gravitatis  Terrae  in     ra  inventus  sit  — -^  X  (3  C  P  E  —  r  u),  hinc 

V—  C 
data  distantia,  est  vero  360  y'  ^ .  p  =  360 


3  C 

X  (1  H Tr)»  ideoque  motus  apsidis  erit  360  X 


aequatio  est  ^  X  (^  —  3  C  P  E),  sed 
2  A  r  ^ 

^^„        3ru 3yz  ,. 

3  C  P  E  =  — —  +  -^  per  constr.  hmc  aequa- 

.^SM  ,3yz       ,2yz 

tio  fit  X  +  — — >  sed  — —  est  smus  ar  . 

2  A  r  ^  —      2  r 

ciis   dupli   distantine  a   Sole,    hinc  itaque   haec 

aequatio  est  ut  sinus  arcus  dupli  distantiae  apoga^i 

a  Sole,   unde  lex   aequatjonis  habetur,   quod  sit 

maxima  in  octantibus,  nulla  in  syzygiis  et  quad- 

raturis,  positiva  a  quadraturis  ad  syzygias,  nega- 

tiva  inde,  sed  ejus  quantitas,  non  per  hunc  caU 

culum,   sed  per  observationes  est  determinanda, 

siquidem,  ut  observatum  est,  hypotheses  adhibitae, 

iitut  a  motu  apsidum  non   dissimiles,  attamen 

ipsius  quantitatem  dimidio  fere  minorem  exhi- 

bent.     De  his  in  notis  subsequentibus  plura. 


DE  EXCENTRICITATE  ORBIT^ 
LUNARIS. 

Ipsa  curva  quam  Luna  describit,  posset  deter- 
minari  ptr  calculum  adhibita  ejus  curvae  fluxione 
secunda,  quaeobtinetursubtrahendo  vim  solarem 
a  vi  Terrae ;  audivimus  autem  viros  in  mathesi 
primarios  hoc  Problema,  quod  certe  non  est 
exiguae  difficultatis,  suum  fecisse ;  cum  autem 
nobis  videatur  Newtonum  non  ahter  hanc  cur- 


3  C 

— rr  tota  revolutione  synodico-anomalistica  quam 

pro  synodica  sumimus. 

Loco  C  litteram  Y  quae  in  toto  calculo  desig- 
F         3  y  y 
nabat  quantitatem  —  X  (  —  r)  resumamus, 

et  fingatur  talem  esse  apogtei  motum  ut  ubique 

3  Y 
sit  proportionalis  motui  360    X    —77  durante 

mense  synodico  quod  quidem  ex  praedictis  con- 

sequitur,   fingaturque  Solem  immotum  stare  et  vam    investigasse    quam    per    approximationes 

apogacum  ejus  respectu  in  antecedentia  regredi,  quasdam,  eadem  methodo,  tenui  nostro  modulo 

totamque  revolutionem  respectu  Solis  tempore  «  magis  accommodata,  idem  persequi  conabimur. 

absolvere,  sit  ergo  c  tota  peripheria,  apsis  per-  I.   Propositione  XXVIII.   hujus  Libri  quae- 

d  u  sivit   New^ionus   qualis   foret  orbita  lunaris  ex 

-^     >  suppositione  illam  citra  actionem  Solis  circularenj 

ideo  tempore  synodico   S  percurret   360^"^.    X  *^^*^'  ^^  invenit  quod  si  assumatur  eam  orbitam 

3  Y                                        «  d  u                    «  fit^"  elhpsim  per  Solis  actionem,  ea  elHpsis  Ter- 

—  motu  6U0,   tempore  — — -  percurret  —  X  ram  in  centro  haberet,  et  ejusaxis  minor  foret  ad 

3Ydu                           Y            F          "vv  majorem  qui  secundiam  lineam  quadraturarum 

sed  quia  est  —  =  — -  X  C        —  r)  jaceret,  ut  69  ad  70. 

-  _  ^                                         ^  Hinc  deducitur  quod  si  semi-axis  major  70 

:  — -y  elementum  motias  apogsi  est  «^jcatur  r  -f  p,  semi-axis  minor  69  sit  r  —  p, 

•^  A  r  distantia  Luna;  a  Terra  in  loco  quovis  dicatur 


curret  respectu  Solis  arcum  d  u  tempore 


2  V 
F 


VoL.  IIL  Pars  IL 


92 


PHlLOSOPHliE  NATURALIS     [De  Mund.  Syst. 


r  +  X,  sit  y  sinus  distantiae  Lunse  a  quadratura 
proxinia,  z  ejus  distantia;   cosinus   erit  ubivis 

2  V  ^ 
x  =  pX(l--;^). 

Nam  sit  T  n  =  r,  T  P  =  r  +  X,  n  H  =  y, 

T  H  =  z ;  propter  triangula  similia   T   P  E, 

T  n  H  est  P  E  =  "-i^  X  y  ^t  T  E  —  "^^ 

X  z,  unde  per  naturam  ellipseos  est .-       ..    ■ 

r  +  p| 

r— pl^       r  +  xl*       ,        r+x(^ 

^  +  Pl^-r+r^^^  "^ 

X  y  ^ ;  unde  est  r  —  p|  ^ 


r 

2 


+  ^l 


Xy^  + 


r  —  pl  r  -}-  xl  ^         1   1-  •  -         f     '^ 

•     ~  X  —    2        X  z  S  sed  divisione  fac^a. 


omissisque  terminis  superfluis,  est 


Pl 


r+pl 


4P   u: 


-j  hinc  fit  r  —  p|  ^ 


+ 


Xy^  + 


r  +  xl 


r  -  X  z 


X et  quia  y 


-}-  z  ^  =  r  ^,  et  furmalis  dignitatibus  omissisque 


quam  dum  sunt  in  quadraturis,  excentrickatem 
pariter  variabilem  esse  maximam  dum  apsides 
sunt  in  syzygiis,  mediocrem  cum  apsides  sunt  in 
octantibus,  ciim  sunt  in  quadraturis  minimam, 
et  ex  hac  hypothesi  cum  priori  conjuncta  ejus 
excentricitatis  variabiHs  leges  et  quantitas  rudi 
Minerva  determinari  potest. 


THEOR.  I. 

Positis  Sole  et  linea  apsidum  immotis,  item 
omissa  ea  actlonis  solaris  parte  quas  perpendicu- 
lariter  in  radium  orbitce  lunaris  agit;  dico  quod 
si  describatur  ellipsis,  cujus  Terra  sit  focus  et 
cujus  axis  major  sit  linea  inter  Lunae  apogicum 
et  perigaeum  interjacens,  orbita  lunaris  erit  con- 
tenta  intra  eam  ellipsim  ciim  apsides  erunt  in 
syzygiis,  erit  vero  extra  eam  ellipsim  cum  apsides 
erunt  in  quadraturis,  cum  vero  apsides  erunt  in 
octantibus,  orbita  lunaris  cum  ea  ellipsi  coincidet. 

Resumptis  iis  qua;  in  Theor.  VII.  calculi 
secundi  dicta  fuerunt,  inventum  est  quod  si  dis- 
tantia  Lunas  citra  Solis  actionem  fuisset  x,  evadit 
per  Solis  actionem  secundum  radium  exercitara 

,     X  4      Y    .  .  Y  M  2        5  V  y 

^  +  71  Xy  sive  quia  est  ^  =  ^-^X  (— 

M  *        3  X  4^  y  ^ 
—  r),  haec  distantia  fit  x  -|-  -—  X 


rS 


X  4 


Hinc  cum  distantia  apogaea  sit 


M  _ 

A  ^  ^    r  3- 

r  -|-  f,  distantia  perigaija  sit  r  —  f,  et  ea  distantia 

quaj  est  perpendicularis  in  axem,  et  quae  est  semi- 

f2 

lateri  recto  ellipseos  aequalis  r  —  —  ;  distantia 

a:       1    ^   I    M  ^  ^    3r4yy-12r3y^f 
apogaja  evadit  r  -|-  f  -^  — — ^  X  5 

M  ^        r44.4r  3f 
—  A  2  ^  r3         • 

M» 

A~2 


Distantia  perigaea  fit 


M^        3r4y2_i2r3y2f 
r  — t  +  ^X~ 


terminis  in  quibus  p,  vel  x,  ad  secundam  dimen- 
sionem  assurgunt,  habetur  r^  —  2rp=:r*-|- 

4  p  z  ^ 
2  r  X =  sive  loco  z  ^  scripto  r  ^ — y  ^  ; 

deletis  terminis  aequalibus  et  transpositione  facta 

,.  ..  2pr^        2pv^ 

et  divisione  per  2,  habetur  r  x  =:  — — ^-^ 

r  r 

—  r  p  ideoque  x  =  p  X  (1  —  ^). 

Ex  quo  sequitur  quod  in  octantibus  x  evanes- 

2  y  * 

cit,  illic  enim =  1. 

r  ^ 
II.  Ponatur  vero  orbitam  lunarem  ellipticam 
citra  Solis  actionem  ejusque  semi-axem  majorem 
esse  Y,  excentricitatem  dici  f,  accedere  autera 
vim  Solis,  sed  eam  tantum  partcm  ejus  actionis 
considerari  quae  secundum  orbitae  radium  agit, 
omissa  illa  parte  ejus  actionis  solaris  qua?  radio 
est  perpendicularis,  in  hac  hypothesi  deprehen- 
detur  hujus  orbitae  figuram  variari,  et  magis  ob- 
longam  evadere  dum  apsides  sunt  in  syzygiis 


r5 

r  4 4  r  3  f 

X ^ >  et  distantia  perpendicularis  est  r 

r  3 

H    .    M^        3r4z2— 12r2z2f2 

-7-+A-5X  -^—,vo- 

nendo  z  loco  y,  ut  fieri  debere  ex  ipsa  construc- 
tione  patet.     Ergo  totus  axis  major  invenitur 
.M^     '6r4y2        M2        2r4       . 

.      .  .    M  2        3  y  2        M  2 

semi-axis  est  r  -+-  -7—^  X  — ^  ~~ 


X  r; 

s       ^  ,   M^  ^;  12,y2f        M» 
excentricitas  vero  estt  -}-  -—^  X  — y T~i 

X  4  f ;  ex   ellipseon  autem  natura,   semi-Iatus 
rectum  ellipseos  cujus  hic  foret  axis  major  et  hcec 

M2      3y2 
foret  cxcentricitas,  evaderet  r  -|-  —  X r — 


,     ,    M  2  1  2  y 


4; 


M 


,    M  2         5  y  2 


f'  =  r  +  ^.X 


LiBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA.  93 

^2 j           7  M  ^        3  V  2  actionem,  ellipsi  proximam  esse,  invenire  leges 

— r  —  f^X( \-  -r^ — J  X r)»  excentricitatis  orbitae  lunaris. 

\        ,.         .            ^    ,      ,    -^     ^  •     ^       A  ,  Primo  cum  distantia  apoffaea  sit  r  4- f,   lia?c 

sed  ea  distant.a  perpendiculans  est  in  curva  lu-  ^j^^^^^j^  j^^^  ^  substituta  in  valore  pl^  Coroll. 

f2TM25z2                 4M^f2  *^           ^ja 

nari  r -\-  — ^  -\ r ^^  ^  2  '  Theor.  prascedentis  reperto  evadit  r  -}- f  -j-  — 

X  C—  -  r)  unde  differentia  inter  distantiam     ^  5  r4  y  2  ^  i2r  3  f  y^       M^X(r-^  +  4r3) 

perpendicularem  m  ellipsi  et  eam  distantiam  m  n                        2  v  ^ 

3  M  ^  _  ,    ,         ,,       M  2  f  2    +  —  p  X  (1 V)  5  "t  habeatur  distanUa 

orbita  lunari,  cst  — — -    X  (y  ^  —  z  ^)  —  7-^— ,  P                         ' 

A      r            ^           ^         A     r  -5  mediocris  loco  x  scribatur  r,  sinus  autem   ejus 

X  (21  y  ^  —  1 2  z  ^  —  3  r  2),  sive  omisso  hoc  ulti-  distantia;  a  quadratura  proxima  est  quam  proxi- 

mo  termino  propter  f  ^  ea  differentia  est  l^  ""^  ^«^^""^  distantiae  apognei  a  quadratura  proxi- 

A  ^  r  M  ^ 

X  (y  ^  -  z  ^).      Si  apsides  sunt  in  syzygiis,  est  "'^'  ^'^'^^^"^  1°^°  ^  scribatur  z,  fit  r  +  —  X 

y  =  r,  et  z  =  o,  unde  ha'C  quantitas  est  maxima  ^  ^,  2         M  *  r         n           2 — ^ 

quae  essa  possit,  unde  distantia  perpendicularis — -  -j pX  1 quEe    sub- 

in    eliipsi    excedit   distantiam    in   orbita   lunari  ^               ^.         .,"^          ^         ^^ 

3  ]y[  I  r  stracta  ex  distantia  apogsea  relinquit  excentrici- 

quantitate          ^     ;  si  apsides  sunt  in  quadratu-  M  ^        3  r  *  V  y^  — z^-L  10  r  f  v  ^ 

•^  tatem  f  +  — —  X  ^^ '     "      ^ 

ns,   fit  y  =  o,  et  z  =  r,  unde  hrcc  quantitas  A  ^                             r  i^ 

^-  X  (y  ^  —  z  ^)  evadit -^,  .de6  quod    +  J-^  X  4  f ^  X  —^-  ,  quas  omis- 

distantia  perpendicularis  in  ellipsi  minor  est  dis-  ^              2n 

tantia  in  orbita  lunari,  unde  fit  ut  orbita  lunaris  c>M'r       —  A^p 

contineat  intra  se  ellipsim  ;  si  vero  apsides  sint  sis  terminis  omittendis  fit  f  -j — 

in  octantibus,  evanescit  y  ^  —  z  ^  hinc  ipsa  orbita  2         2 

lunaris  cum  ellipsi  coincidit.  X  ^ 5-^  ;  hinc  illius  excentricitatis  hse  sunt 

Cor.   Ex  hoc  Theoremate  liquet  quod  omissio  ^ 

vis  quae  agit  perpendiculariter  in  radium  orbit*  leges. 

lunaris,  exhibet  orbitffi  lunaris  mutationem  plane  ^'     Excentricitas   cst   maxima   cum   apsides 

oppositam  illi  qu»  ex  ejus  consideratione  dedu-  «""^  »"  syzygus,  nam  ill.c  y  fit  r,  et  z  =  o,  hinc 

oeretur  omissa  excentricitate  orbitae  ;  nam   sive  3  M  ^  r —  4  ^  n 

apsides  sint  in  syzygiis  sive  inquadraturis,  liquet  .  .              ,-    «    .    "                      m   " 

ex  Theoremate  pr^cedenti  orbitam  Lun^e  pro-  excentncitas  evad.t  f  + ~ . 

longari  secundum  lineam  syzygiarum,  contrahi  2.   Excentricitas  est  minima  ci^un  apsides  sunt 

vero    secundum   lineam   quadraturarum,   cujus  in  quadraturis,  illic  enim  est  y  =  o   et  z  =  r, 

oppositum  statuebatur  Prop.  XXVIII.  hujusce,  2  n 

ex  comsitieratione  vis  solaris  totius,  sed  semota  SM^r A^p 

excentricitatis  orbitae  lunaris  ratione  ;  hinc  ergo  unde  excentricitas  evadit  f . 

ut   mediocrem    quodammod.     teneamus    viam,  _                      .      .       :^^ 

jungemusincrementodistantiielunarissecundum  ^-    Excentricitas  est  mediocris  cum   apsides 

hypothesim  Theor.  VII.  calculi  2.  invento,  par-  versantur  m  octantibus,  estque  =  f,  quia  y^=z» 

tem  aliquam  —  decrementi secundum methodum  5M^r — •  A^p  ^^ 

^\  .        ,     .         -.  , ,  sicque  evanescit ^  ^     .         X    :; — • 

Newtonianam  mventi ;  unde  sic  medmm  quoddam  A  ^  r  ^ 

inter  ambas  hypotheses  obti- 
nebimus.   Itaque  quaivis  dis- 

.     X  4 
tant.a  x  evadet  x  +  — -  X 

^  +  ^pyXd-V) 

=x+^:x^-^^- 


PROBL.  !•  4*  I"  ^JJis  quibuscunque  locis  hac  construc- 

tione  obtinetur  fere  cxcentricitas,  sumatur  T  C 

Positis   iis   quae    in     CoroUario    praecedentis  3  M  ^  r  —  —  A  ^  p 

Theorematis   statuuntur,    et  supposito   orbitam     —  f  c  B  —  !!! I,oc  radio 

lunarem,    quomodocumque   mutatam  per   Solis  '  A  ^  ' 

G  2 


94. 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


C  B  describatur  circulus  in  quo  sumatur  B  F  _    _^^  ,,       4  M  *.    ,  .  ,.      . 

sequalis  dupl^  distantic-e  apsidum  a  syzygia,  erit  «'  ^  X  (1 ^),  hmcmediocnsexcentncitas 

satis  proxime  C  F  excentricitas,  nam  centro  T  2  M  ^ 

radio  T  C  describatur  arcus  C  M,  cum  fit  per-  est  f  X  (1  +     .   2  )'  ^^°^  evenit  in  octantibus, 
pendicularis  in  lineam   T  H  M    F,  et  is  arcus  2 

parum  discedat  a  linea  recta,   punctum   M  erit  tunc  enim  y  ^=:  i  r^,  ideoque  -^— —  r —  i 
medium  linese  H  F  per  III.  3  Elem.  et  M  F  erit  ^  ^ 

aequalis  cosinui  C  E  arcus  B  F.  fit  grgo  f  X  (1  +  ^^)  X  i  r  =  f  X  (1  + 
Radius  C  B  aci  compendium  dicalur  g,  et  quia  A  ^  r  "*  ^      ' 

sinus  dimidii  arciis  B  F  in  circulo  cujus  radius  2M^  .-i-  m  r^         «.. 

erat  r  dicebatur  z  in  hoc  calculo,    hinc  in  hoc  -A^>     ^"  *^**^^  ^«'^'^  ^«'^^"^  T  C  =  f  X 

cr 

drculo  erit  B  N  =  —  z,  et  juxta  nota  trig.  n 

Theor.  ut  C  B  (g)  ad  B   N  (^  z")  sic  F  B  ^^*"''  S  "'  ^"  ^"'^^^*  P^^^^edente  erit  C  E  =  g  X 

^°^  \r     ^  rr  —  2zz    _      ^^  r  r — 2  r  r -{-  2yy 

—  g  X  —  g  X 


tr, 


2  M  ^  6  M  * 

— —-)  et  C  B  =  ^^  f,  et  si  C  B  di- 

A  ^  A  ^ 


'2gz 
'     r 
2  z  z 


(1M_)  ad  E  B  =  —  g,  et  C  E  =  g 


=  gX 


r  r 

2yy  —  rr 
r  r 


ideoque  T  E  =  f  X  (1  +  ^^  + 


hincCE  =  gX^^^Aide6queTFsiveTE     ^^*       gyy'    gM^ 


4M 


2  n 
SM^r A^p 


-X-^-XT-.Xr)=fX(l  + 


4M^ 

A^r^ 


=  f  + 


V  V  —  z  z               x^  y  * 
X  -^ — :^ ut     X  (-^ r)  qiia^  est  excentricitas  reperta,  et 

prius  inventum  fuerat.  eadem  constructione  obtinetur  ac  in  hypothesi 

Schol.   Hajc  fictitia  ellipsis  nonnihil  discederet     Problematis. 

a  loco  perigaei  Lunae   per   easdem   hypotheses         Si  denique,  sicut  astronomis  solemne  est,  axim 

majorem  xionstantem  assu- 
mamus,  et  semi-axis  major 
dicatur  r,  qui  ex  distantia 
apogaea  siibducatur  ut  ha- 
beatur  excentricitas,  eaedem 
ejus  excentricitatis  leges  ite- 
rum  obtinebuntur ;  erit 
quippe  excentricitas  f  +  r 
Y  .    n 


+  ^^X  V+mP><^' 


Sy^, 


M 


3yy 


l^)sivef+^^,V(:^ 


-r)  + 


tM^f^5yy 
A^r  ^     r 

determinato,   si  vero  ex  distantia  perigaea  cum  n  2y~^ 

distantia  apogaea  collatis  excentricitas  quaereretur,     "^"  "i^  P  X  1 5-  J  q^se  fit  ^^  syzygiis  ub* 

diversa  quidem  ejus  quantitas   obtineretur,  sed  2M*r        8M^f        2np 

eaedem  forent  leges,  nam  distantia  apoga?a  foret     y  ^  =  r  ^,  f  +  — ^-^ 1 ^-^ -, 

Y    .     n  .         2  y  \  ^  ,^      " 


r+f+r+4fX^  +  -pX(I ^)et 


m 
Y  .    n 


in  quadraturis  ubi  y  evanescit  f  — 


2y 


perigaear-f+r-4fX^+-pXl-'-^      4My         n  ^      Unde  mediocris  excentricitas 


2  M  ^  f 


n  p 

— ,  quae  qui- 


hinc  axis  major  esset  2r  +  2rX-T^  +  —  X        «fj_  ^^  ^  ^    1 

. ^          "^  est  t  ^  ^-^  +  —^          ^^, 

„  w  j  ^  y  ^  gj.  gg^j  jj^jg  j.    I    r  y  J^    I    ii  dera  etiam  in  octantibus  circiter  occurrit,  quia 

^  ^             r^                           '''^V''m  .                ..M^Syy                 4  M  ^  f 


2  y  1 

p  X  1 '—  >  excentricitas  vero  f  +  4  f  X 

Y  4  M  ^  3  V  V 

-sivefX(l+^^pX(-P--r).   Quae 

quidem  est  maxima  ciim  apsides  sunt  in  syzygiis 

8  M  ^ 
quia  illic  y  *  =  r  ^  ergo  f  X  (1  H T^)'    -^" 

quadraturis  flt  minima  quia  evanescit  y,  ideoque 


majores  termini  —  X  i~ r)  +     ^  ^^ 


X 


D  y  y 


M  ^  r    ,     M  * 
—  r  evadunt  ^-^  +  -^  m  oc- 


tantibus,   nam   cum   y  ^  illic  sit  ^  r  *  fiunt  ii 
..M^  3rr         ,.4M^f       3rr 

termmi  _   X  (—  —  r) 


A  2  r    ^    2  r 


MJ_r        2  M^f 
2  A2"T        A^    ' 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


95 


f  Hisce  motuum  lunarium  computationibus  ostendere  volui ;  quod 
motus  lunares  per  theoriam  gravitatis  a  causis  suis  computari  possint. 
Per  eandem  theoriam  inveni  prasterea  quod  aequatio  annua  medii  motus 
Lunae  oriatur  a  varia  dilatatione  orbis  Lunae  per  vim  Solis,  juxta  Corol.  6. 
Prop.  LXVI.  Lib.  I.  (^)  Haec  vis  in  perigaeo  Solis  major  est,  et  orbem 
Lunae  dilatat;  in  apogaeo  ejus  minor  est,  et  orbem  illum  contrahi  per- 
mittit.  In  orbe  dilatato  Luna  tardius  revolvitur,  in  contracto  citius ;  et 
aequatio  annua,  per  quam  haec  inaequahtas  compensatur,  (^)  in  apogaeo  et 
perigaeo  Solis  nulla  est,  (^)  in  mediocri  Solis  a  Terra  distantia  ad  IV.  50''. 


PROBL.  II. 

Variationis  excentricitatis  quantitatem  maxi- 
mam  determinare. 

Hoc  Problema  nonnisi  per  determinationem 
verae  curva?,  quam  sequitur  Luna,  potest  deter- 
minari,  qua  non  inventa  ad  observationes  recur- 
rendum,  ut  fecisse  videtur  Nevvtonus,  mediocrem 
excentricitatem  esse  partium  5505  quarum  ra- 
dius  sit  100000  assumit,  et  maximum  incremen- 
tum  vel  decrementum  assumit  11724;,  tam  ex 
observationibus  quam  quod  ille  numerus  ad 
concinnandam  conslructionem  pro  tequatione 
apogaji  commodus  esset,  ut  suo  loco  dicemus. 

Illust.  Cassinus  mediocrem  illam  excentricita- 
tem  facit  5430  incrementum  vero  et  decrementum 
1086,  nec  male  ha^c  consentiunt  cum  quantitati- 
bus  Prob.  I.  inventis,  si  loco  quantitatis  indeter- 

minatae  —  scribatur  ^ :  nam,  id  incrementum 
m  ^' 

aut  decrementum  inventum  fuerat 

3  M  2  r  —  ii'  A  ^  p 

m          ^       . 
X~2 '   ^*^®  accuratius   sumptis 

quantitatibus  quae  ad  simplicitatem  calculi  omissae 
fuerant  cum  excentricitas  inventa  fuisset  f  -\- 
M^  Sr^^Xp^z^^H-  12r3fy2  ^  m^ 
A  ^  ^  '  ~71  ^  A^ 

2  n  D       V  "^  -^—  z  * 

V  4f X 5 — »  ^^^^  evadit  (cum  ap- 

m  r  ^ 

sides  sunt  in  syzygiis  et  z  =  o,  y  =  r)  f  -j- 

M  2  M  * 

f-i  X  (5r  +  12f)  +  —  X  (4f-p),  et  cum 

sunt  in  quadraturis  ubi  z  =  rety  =  o,  f  — 

X  3  r  -f-   X  (4  f  +  P)»  ""*^®  mediocns 

A  ^  A 

M  2 
ercentricitas  est  f  -f  -— ;  X  10  f>  et  mcremen- 
'    A  ^ 

]yj  2 

tum  vel  decrementum,  -r-^  X^r-j-ef— -p. 


Cum  itaque  sit 


M  ^ 


.0055  ex  pnus  uiven- 

10^1  ^ 
~A 

(quam  Cassinus  invenit  5430  fct  Newtonus  5503 j 
cst  1.055  f,  hinc  est  f  =  5147  secundiim  Cas- 


tis,  mediocris  excentricitas  (1  -j- 


-)x 


sinum  et  5218  secundum  Newtonum,  quod 
utrumque  ductum  in  .0055,  prius  efficit  1819.85 
alterum  1822.2  ciimque  p  sit  719,  id  ex  priore 
dctractum  reh'nquit  1 100.85,  ex  posteriore  1 105.2; 
qui  numeri  incidunt  inter  1172  et  I086quospro 
excentricitatis  variatione  assignant  Newtoiius  aut 
Halleius  et  Cassinus. 

(f)  *  Hiscg  mofuum,  &c.  Haec  est  enim 
veritatis  ejus  theoriae  fortissima  probatio,  si  ea 
quae  mathematice  deducuntur  ex  ea  theoria 
apprime  consentiant  cum  phaenoraenis  in  casu 
maxrrae  composito. 

(^)  *  Hcec  vis  in  perig(£o  Solis  mnjor  est  et 
orbem  Limce  dilatat ;  vis  Solis  aliquando  adjun» 
gitur  vi  Terrae  ut  Lunam  versus  Terram  attrahat, 
aliquando  idque  sa;pius  et  ubi  fortius  agit,  vi 
TerrjE  est  opposita,  et  Lunam  a  Terra  distr^hit, 
itaque  toto  efFectu  vis  Solis  simul  considerato, 
Luna  per  eam  vim  a  lerra  distrahitur,  et  eo 
inagis  quo  ea  vis  Solis  major  est,  ideoque  Luna 
magis  a  Terra  distraliitur  dum  Terra  versatur 
in  suo  perihelio  quam  ubi  versatur  in  aphelio : 
hinc  primo  casu  orbita  Lunae  magis  est  dilatata 
quam  hoc  altero. 

•  (')  *  In  apogcBo  et  perigceo  Solis  nuUa  est  :  id 
omnino  liquet  ex  Cor.  2.  Probl.  V.  prioris  calculi, 
nam  ex  iis  qu£e  in  eo  Corollario  statuuntur 
liquet  quod  ut  habeatur  sequatio  quovis  in  loco, 
haec  proportio  est  instituenda,  ut  areoe  elhpseos 
quam  Terra  describit  dimidium  ad  aream  de- 
scriptam  a  Terra  ab  aphelio  (vel  perihclio)  usque 
.  ad  eum  locum  propositum,  ita  semestris  tardatio 
ad  tardationem  mediocri  motui  adscriptam,  sed 
in  hoc  casu  ea  area  a  Terra  descripta  est  ipsa 
semi-ellipsis,  ergo  etiam  tardatio  medio  motui 
adscripta  est  ipsa  semestris  tardatio ;  tum  vero 
sumitur  ex  Probl.  IV.  tardatio  loco  dato  conve- 
niens  quae  ex  tardatione  mediocri  tollitur,  et  dif- 
ferentia  est  aequatio  quaesita  ;  sed  rursus  ea  tar- 
datio  aphelio  aut  perihelio  conveniens  est  ipsa 
semestris  tardatio,  ergo,  ex  tardatione  mediocri 
motui  eo  in  loco  adscripta,  detracta  nullum  est 
residuum,  cum  plane  sint  aequales,  ev^o  a?quatio 
in  apoga^o  ac  perigseo  nulia  est. 

{^)  *  In  mcdiocri  Solis  distanlia,  &c.  Viden- 
tur  haec  verba  statuere  quid  constet  ex  observa- 
tionibus,  nempe  hanc  aequationem  esse  11'.  50". 
ubi  maxima  est,  et  esse  a^quationi  centri  propor- 
tionatem,    observavimus   autem  III.    Cassinum 


96  PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 

circiter  ascendit,  in  aliis  locis  aequationi  centri  Solis  proportionalis  est ;  et 
additur  medio  motui  Lunae  ubi  Terra  pergit  ab  '  aphelio  suo  ad  perihe- 
lium,  et  in  opposita  orbis  parte  subducitur.  Assumendo  radium  orbis 
magni  1000  et  eccentricitatem  Terrae  16|,  (^)  haec  aequatio,  ubi  maxima 
est,  per  theoriam  gravitatis  prodiit  11'.  49''.  Sed  eccentricitas  Terrae 
paulo  major  esse  videtur,  et  aucta  eccentricitate  haec  aequatio  augeri  debet 
in  eadem  ratione.  Sit  eccentricitas  16|i,  et  aequatio  maxima  erit  11'.  51". 
(™)  Inveni  etiam  quod  in  periheiio  Terrae,  propter  majorem  vim  Solis, 
apogaeum  et  nodi  Lunae  velocius  moventur  quam  in  aphelio  ejus,  idque  in 
tripHcata  ratione  distantiae  Terrae  a  Sole  inverse.  (")  Et  inde  oriuntur 
aequationes  annuae  horum  motuum  aequationi  centri  Solis  proportionales. 


hanc  aequationem  ubi  maxima  est  9'«  44".    effi-     rit,  erit  motus  apogaei  in  quavis  distantia,  g  ^ 
cere.  3  x  ,.       _  3  x 


g,  et  motus  nodi  n  +  —  n. 

(")   *   jE^  inde  oriuntur  cequationes  annucc. 


(1)   HcEC  cEquatio  uhi  maxima  est  prodiit  !!'• 
49".     Sumpta    orbita    lunari    ut   circulari,    per 

theoriam  gravitatis  prodiit  11'.  47".   imo  minor,  ^  ^ ,.     t^''  ""^^  ";'*'^'""'    "-y«"""'«'^^^"'"^"'"- 

,T      ?  i-.s     -A  1     ,         .     ^.        .1  cequationi  centri  tyoiis  proportwnales.      Cum  mo 

sive  Newtonus  alia  via  eum  calculum  instituerit  ^  ^  -  t  ..       j-       -r       -  •..    ^ 

T  •        T     1  .  -      •  tus  apogaei  Lunai  et  nodi  uniformis  non  sit  cum 

quam  nos,  sive  alia  elementa  assumpsent,  sive  eXrr.j        -         c  ^    a-  ^     ^-      4.        ^*  i 

1  .  .'  1  •,     1         -  •  1      .•        v_  Terra  ad  varias  a  Sole  distantias  transfertur,  sed 

excentricitate  orbitse  lunaris  consiueratione  hanc        ,,,  .j^i^  ^  i- 

.,  ,  -^         ,  V      j  .  addatur  aut  detrahatur  ex   eorum  motu  medio 

quantitatem  auxerit,    caetera    vero  ad  amussim  „  „ 

quadrant.  quantitas  variabilis  ^^ —  g,  et  ^^ —   n,  si  quaeratur 

Eam   requationem   excentricitati   Terrae    esse  progressus  apogrei  Lun^  aut  nodi  ciim  Terra  ab 
proportionatam   ex  Cor.  1.    Prob.    V.   pag.  72,         .^-^  Solis  certa  quantitate  dierum  discesserit, 

prodit  enim  ejus  valor  per  quantitates  fixas  duc-  j^  progressus  ex   motu  medio  apoga^i  Lunie  aut 

tas  m  excentricitatem  quae  m  calculo  diccbatur  ^^^^  ^^^^^  ^^^^  computabitur.    quippe    singulis 
e  ;  et  quamvis  quantitas  b  quje  est-Y/a^  —  e^  5x 

in  eo  valore  occurrat,  idcirco  non  est  censendum  ^iebus  praeter  motum  medium  quantitate  -—  g, 

aequationis  valorem  multiim  pendere  ex  illa  dig-  ^^  ^ 

nitate  e  ^  siquidem  in  illo  termino  ea  dignitas  —  n  processerunt  aut  recesserunt,  summa  ergo 

fere  evanescit  respectu  a  ^.  ^     .       ,  .  .  , 

.  ■  ommum  harum  quantitatum  erit  sumenda,  quae 

Liquet  etiam  ex  Cor.  2.  ejusd.  Probl.  caeteras  gruntcorrectiones  seu  lequationes  quibus  ex  loco 

aequationes  esse  proportionatas  a-quationi  centn  „,edio  apoga;i  et  nodi  ad  verum  ejus  locum  de- 

Sohs :   addendas   esse  motui  Lunae  dum  pergit  veniemus,    illse   vero    zequationes    a^quationibus 

ab  apheho  ad  perihehum,  ilhc  enim  tardatio  vera  ^.^^^^i  goijs  erunt  proportionales,  nam  cum  motus 

mmor  est  quam  tardatio  mediocris,  ergo  provec  Soijs  sh  in  duplicata  ratione  distantiee  inverse  (ut 

tior  est  Luna  quam  secundum  tardationem  me-  gxponetur  in  nota  (°)  proxime  sequenti)   sit  m 

diocrem,  addi  ergo  debet  ejus  viae  iste  tardationis  ^^^^^  i^edius  diurnus  SoUs  in  mediocri  distantia 

defectus;    ex   penheho  pergendo   res   opposita  g,   i^   distantia   quavis   a   +    x   is   motus   erit 
ratione  procedet.  ^ 

(-)    *   Inveni  etiam,  &c.     Id  utique  statuit  =^  "'  ^^"  ^^  ^^"^^  resolvendo  hanc  ex- 
Cor.  14.    Prop.  LXVL   Lib.   L,  ilhc  ostendit       "  _2^ 

vires  Sohs  esse  ut  cubos  distantiarum  reciproce,  pressionem  erit  m  IjT  —  m,  hinc  difFerentia  inter 
unde  cum  sint  causae  errorum  apog^i  et  nodo-  ^ 

rum,  illi  errores  sive  motds  qui  suis  causis  sunt  motum  medium  et  verum  erjt  +  —  m,  et  ex 
proportionales,  debent  esse  ut  cubi  distantiarum  ^  a 

reciproce  ;    hinc   dicatur   a   mediocris   distantia  summa  earum  differentiarum  conflabuntur  aequa- 

Terrae   a    Sole,    distantia   quaevis    aha   dicatur  tiones  centri  Solis ;  ciim  ergo  asquationes  apogaji 
a  +  X,  motus  medius  diurnus  apogaei  in  distan-  _  3  x      3  x 

tia  a  sit  g,   motus  medius  nodi  in  ea  distantia  et  Lunae  ex  summa  quantitatum  +.  — g,  —  n 
a   sit   n,    in   distantia    x,    motus    apogaei    erit  .  .  ,  .  .  ^. 

Q^  i  a  3  constent,  erunt  istae  aequationes  ubivis  jn  punctis 

-v-^r^  g  et  motus  nodi  erit  ■  ■■  n  aut  for-  correspondentibus  seu  in  aequahbus  ab  apheho 

*^  i-  ^        ,  a  +  X  Terrae  distantiis  in  ratione  constanti  3  g,  et  3  n 

niando  seriem  ex  his  quotientibus  et  omissis  ter-  ad  2  m  :    ideoque   erunt  ubJque  proportionales 

mnus  in  quibus  altior  dignitas  quantitatis  x  occur-  aequationibus  ccntri  SoHs. 


LiBER  TERTIU.S.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA.  97 

(°)  Motus  autem  Solis  est  m  duplicata  ratione  distantiae  Terrae  a  Sole 
inverse  (p)  et  maxima  centri  a,'quatio,  quam  haec  insequalitas  generat,  est 
l^''.  56\  20^'.  praedictae  Solis  eccentricitati  IGji  congruens.  (*i)  Quod  si 
motus  Solis  esset  in  triplicata  ratione  distantiae  inverse,  haec  inaequalitas 
generaret  aequationem  maximam  S^''.  54'.  30'''.  (J)  Et  propterea  aequa- 
tiones  maximse,  quas  inaequalitates  motuum  apogaii  et  nodorum  Lunse 
generant,  sunt  ad  2^''.  54?'.  30''.  ut  motus  medius  diurnus  apogaei,  et  motus 
medius  diurnus  nodorum  Lunae  sunt  ad  motum  medium  diurnum  Solis. 
Unde  prodit  aequatio  maxima  medii  motus  apogaei  19'.  43".  et  aequatio 
maxima  m^dii  motus  nodorum  9'.   24".     (^)  Additur  vero  aequatio  prior 

(°)  *  Motus  Solis  est  in  duplicatd  rntione  dis-  in  eadem  ratione,  ergo  maxima  centri  ajquatio 

tantice  inverse  scilicet  motus   Solis  angularis  e  in  hypothesi  vera  motum  Solis  decrescere  in  du- 

Tcrra  spectatus  ;  nam  cum  Sol  describat  semper  plicata  ratione  distantiarum  est  ad  .lequationcm 

areas  tempori  proportionales,  arcus  quos  revera  maximam  in  hypothesi  fictitia  motum  Solis  de- 

dcscribit  sunt  semper  inverse  ut  distantiaa,  sed  crescere  in  triplicata  ratione  distantiarmn  ut  2 

prseterea  magnitudines  apparentes  eorumarcuum  ad  3  ciim  ergo  cequatio  maxima  sit  per  observa- 

e  Terra  spectatorum  sunt etiam  inverse  ut  eorum  tiones  1^''.  56'.  20".  haecalteraerit^-  X    ^^^'  56'. 

a  Terra  distantia,  ergo  arcus  quos   Sol  singulis  20".  sive  2^'.  54'.  30".      Q.  e.  d. 
tempusculis  acqualibus  describere  videtur  e  Terra,         ('")  *  Et  propterea  csquationes  maximo',  quas  in- 

sunt  in  duplicata  ratione  distantiarum  inverse.  cequalitates  motuum  apogrei  et  nodorum  Lunce ge- 

P)  Etmaxima  centricequatio  est  1«'.  5&.  20".  nerant,   sunt  ad   2^\  54'.  30".  iil  motus  medius 

Iliam  \^\  55'.  50".  facitlU.  Cassinus.  ^  npogcsi  et  nodi  ad  motum  medium  Solis.      Nam 

C^)   *  Quod  si  motus  Solis  esset  in  triplicata  statutum  est  motus  horum  esse  in  triph'cata  ra- 

ratione  distantice  inverse ;  dicatur  M  motus  Solis  tione  distantiarum  inverse,   sit  g  motus  medius 

in  distantia  mediocri,  quas  dicatur  a,  et  distantia  apogaei  in  mediocri  nempe  distantia,  n  motus 

qua!vis  alia  sit  a  +  x  ;  si  motus  Soh's  esset  in  medius  nodorum,    et   m   motus   medius    Sohs, 

triplicatarationedistantiaruminverse,indistantia  decrescantque  in  triplicata  ratione  inversa  dis- 

g  +  X  forct  ._li-     M  rivc  a  3  M tantiarum,    deprehenditur   eodem    modo   ac   in 

a  +  X  "^  a3+3a^x-^3ax^4^x3  notaprascedente  quod  in  quoHbet  loco  differentiae 

aut  formando  seriem,  is  motusln  distantia  a  +  x  ^"^'^^  motum  verum  et  motum  mediocrem  erunt 

erit  M  +  —  M  omissis  reliquis  terminis  ob  exi-     +  —  S'  +    ~  "'  +   ~  ™'  a^quationes  maxi- 
a  ^  d  a  a 

X  mae  sunt  summa  earum  quantitatum  sumptarum 

guitatem  fractionis  — ;  ideoque  differentia  mo-     ab  apogaeo    Solis  usque  ad  mediocrem  ejus  a 

♦.,o  ;„  ^.-otorif^A  .,  ..'^  4.  ^  i.  •  r  ^  .-'^  j-  Terra  distantiam,  itaque  illae  aequationes  consti- 
tus  m  distantia  vera  et  motus  m  distantia  medio-  S 

-  r._^^„.  — ^^™    •         -^      X      u       .L    •      -j     tuuntur  per  series  omnium  — g,  omnium — n, 
cn  foret  +  —  m :  m  vera  autem  hypothesi  quod  ^  a    ^  a 

^  3  X 

Solis  motus  crescat  in  ratione  subduplicata  in-  et  omnium  —  m,  qualescumque  ergo  sint 
versa  distantiarum,   eodem  ratiocinio  invenitur  .        ^ 

a  ^  M  "^^  quantitates  variabiles  x,  cum  eaedem  sint  in 

quod  in  quovis  loco  motus  Solis  erit  -  ^_  ^  tribus  hisce    seriebus  summa?    earum   serierum 

a  +   ax-|-x  ^j^^  aequationes  maximae,  erunt  inter  se  ut  illae 

et  divisione  facta  erit  is  motus  M  +"  —  M,  et  quantitates  g,  n  et  m,  per  quas  omnes  partes 

^  singularum  illarum  serierum  ducuntur,  ilhc  vero 

differentia  molus  veri  et  motus  medii  erit    +  quantitates  sunt  motus  medii  apogc-ti,   nodi  et 

—  M,  eritque  ergo  hac  differentia  ad  differen-  So^f '  ^'"S^  ^^*^  ""^  ^.^  his  a^quatio.iibus,  v.  gr. 

a                  i         o  ^^^^  £Equatione   maxima   Sohs  et  motu  medio 

tiam  in  priore  hypothesi  inventam  ut  2  ad  3  in  apoga^i,  nodi  et  Solis,   habcntur  cajteraj   aqua- 

omnibus  locis  correspondentibus ;  sed  aequationes  tiones    maximae    statuendo   illas    esse   ad    eam 

conflantur  ex  summa  differontiarum  motus  veri  aequationem  datam,  ut  ii  motus  medii  dati. 

et  medii  sumptarum  in  omnibus  locis  ab  aphelio  Liquet  vero  ex  ipsa  hac  demonstrationc,  verum 

usque  ad  locum  eum  ubi  jequatio  apphcatur ;  quidem  Solis  motum  medium  assumi  debere,  non 

cum  ergo  in  utraque  hypothesi  singulae  differen-  autem  veram  ipsius  aequationem,  sed  eam  quas 

tiae  motiis  veri  et  medii  sint  in  omnibus  punctis  prodit  fingendo  Soh's  motum  in  triphcataratione 

correspondentibus  in  ratione  constanti  2  ad  5  distantiarum  decrescere. 

erunt  etiam   summae  earum  differentiarum    in  (*)   *  Adililur  vcro  crquatio  apogjei  Luna;  ct 

locis  corresi)ondentibus,  iL>sae  nciupe  aquationes  subducUur  ccQuatio  nodi  ubi  Terra  pergit  n  pcri- 


98 


PHILOSOPHI.E  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


et  subducitur  posterior,  ubi  Terra  pergit  a  perihelio  suo  ad  aphelium  :  et 
contrarium  fit  in  opposita  orbis  parte. 

(^)  Per  theoriam  gravitatis  constitit  etiam  quod  actio  Solis  in  Lunam 
paulo  major  sit,  ubi  transversa  diameter  orbis  lunaris  transit  per  Solem, 
quam  ubi  eadem  ad  rectos  est  angulos  cum  linea  Terram  et  Solem  jun- 
gente :  et  propterea  orbis  lunaris  paulo  major  est  in  priore  casu  quam  in 
posteriore.  (")  Et  hinc  oritur  alia  aequatio  motus  medii  lunaris,  pendens 
a  situ  apogaei  Lunae  ad  Solem,  quse  quidem  maxima  est  ciim  apogaeum 
Lunae  versatur  in  octante  cum  Sole ;  et  nulla  cum  illud  ad  quadraturas 
vel  syzygias  pervenit :  et  motui  medio  additur  in  transitu  apogaei  Lunae  a 
Solis  quadratura  ad  syzygiam,  et  subducitur  in  transitu  apogaei  a  syzygia 
ad  quadraturam.  Haec  aequatio,  quam  semestrem  vocabo,  in  octantibus 
apogaei,  quando  maxima  est,  ascendit  ad  S\  45'^  circiter,  (^)  quantum  ex 
phaenomenis  colligere  potui.      Haec  est  ejus  quantitas  in  mediocri  Solis 


helio  suo  ad  aphelmm ;  motus  apogaei  Lunaj  e». 
progressivus,  motus  vero  nodi  est  retrogradus; 
Terra  autem  a  perihelio  procedente  uterque  mo- 
tus  major  fit  motu  medio,  indeergo  plus  procedit 
apogaeum  Lunje,  quam  per  motum  medium,  plus 
recedit  nodus,  prior  ergo  ffiquatio  addenda,  pos- 
terior  detrahenda. 

(*)  *  Per  theoTfimn  gravitatis  constitit  etiam 
quod  actio  Solis  in  Lunam  paulo  major  sit,  ubi 
transverxa  dinmeter  orbis  lunaris  transit  per  So 
lem,  &c.  Facile  deducitur  ex  Cor.  Theor.  IV. 
calculi  primi  (pag.  66.)  quod  (existentp  x  dis- 
tantia  Lunag  a  Terra,  r  ejus  distantia  mediocri, 
et  y  sinu  ejus  distantiEe  a  quadratura,  existente 
etiam  F  vis  Solis  in  Terram  in  mediocri  ejus 
distantia  «)  actio  Solis  Lunara  trahentis  secun- 

dura  directionem  radii  orbitae  lunaris  est  —  X 

Unde  ea  vis,   Luna  in  quadraturis  existente, 

X         F 

fit  —  X  —  X  —  r,  est  ergo  negativa  et  Lunara 

ad  Terram  attrahit ;  cijm  vero  Luna  est  in  syzy- 

X         F 

giis,  ea  actio  Solis  fit  —  X  —  X  2  r,  est  itaque 

positiva  et  Lunam  a  Terra  distrahit ;  in  locis 
auteni  similibus  has  Solis  actiones  sunt  ut  dis- 
tantiae  x  Lunse  a  Terra.  Hinc  si  apsides  sint 
in  syzygiis,  sit  vero  Luua.in  quadraturis,  ubi  per 
actionem  Solis  ad  Terram  trahitur,  ambae  dis- 
tantiae  k  Luna;  in  utraque  quadratura  positae 
sunt  simul  ajquales  lateri  recto  orbitae  lunaris ; 
cum  vero  Luna  est  in  syzygiis  ubi  per  actionem 
Solis  a  Terra  distrahitur,  ambae  distantise  x  Lu- 
na)  in  conjunctione  et  oppositione  positas  sunt 
simul  asquales  axi  majori,  qui  semper  superat 
latus  rectum. 

Si  vero  apsides  sunt  in  quadraturis,  et  Luna 
ctiam  in  quadraturis,  ambae  distanti^e  x  Lunae  in 


utraque  quadratura  positse,  simul  sumpt£e,  sunt 
aequales  axi  majori,  et  cum  Luna  est  in  syzygiis, 
ambje  distantiae  x  Lunae  in  conjunctione  et  op- 
positione  positae,  sunt  simul  aequales  lateri  recto 
orbitae  lunaris. 

Ergo  cum  apsides  sunt  in  syzygiis,  actio  Solis 
quae  Lunam  ad  Terram  attrahit,  est  minor,  et  e 
contra  actio  quae  Lunam  a  Terra  distrahit  est 
major  quam  ciim  apsides  sunt  in  quadraturis, 
ideoque  orbis  lunaris  paulo  major  fieri  debet  in 
priore  casu  quam  in  posteriore. 

De  punctis  autem  inter  quadraturas  et  syzygias 
intermediis  ab  eo  quod  in  his  punctis  extremis 
evenit,  judicari  potest,  sed  potissimum  ex  calculo 
quo  aequatio  ex  hac  causa  nata  determinatur. 

(")  *  Et  hinc  oritur  alia  cequatio  motus  medii 
lunaris,  &c.  Hujus  aequationis  calculum  ejusque 
leges  explicatas  habes  Probl.  VI.  calculi  secundi 
(pag.  82.)  ejusque  Corollariis. 

(*)  *  Quantum  ex  phcBnomenis  colligere  potui, 
&.C.  Ex  Coroll.  5.  Probi.  VL  (pag.  83.) 
aequatio  haec  3'.  56".  est  reperta,  quaedam  autem 
causae  sunt  cur  hsec  quantitas  pro  vera  quantitate 
adhiberi  nequeat,  sed  haec  aequatio  ex  phaenome- 
nis  sit  coUigenda  ;  primo,  quantitas  f  sive  excen- 
tricitas  orbitae  lunaris  satis  certo  non  est  cognita, 
ut  constat  ex  iis  quae  de  excentricitate  dictasunt, 
hic  autem  mediocrem  excentricitatem  assumpsi- 
mus  5505  partium  quarum  radius  orbitae  sit 
100000  cum  Newtono  quam  Cassinus  facit  tan- 
tum  5430  partium,  et  forte  minor  assumi  deberet 
si  attendatur  ad  excentricitatem  orbitae  lunaris, 
qualis  ea  foret  citra  Solis  actionem,  ex  quibus 
considerationibus,  liquet  aequationem  inventam 
minorem  factum  iri  quam  3'.  56".,  sicque  magis 
accessuram  ad  aequationem  3'.  45".  quae  ex  phae- 
nomenis  colligitur :  secundo  cum  varias  hypo- 
theses  assumpserimus,  vero  quidem  proximas, 
non  tamen  veras  absolute,  ut  liquet  ex  Cor.  1. 
Probl.  I.  (pag,  80.)  ex  iis  erroribus  ipsae  quan- 


LiBER  Tertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA.  99 

distantia  a  Terra.  (^)  Augetur  vero  ac  diminuitur  in  triplicata  ratione 
distantise  Solis  inverse ;  ideoque  in  maxima  Solis  distantia  est  S\  34''. 
et  in  minima  3'.  56''.  quamproxime :  ubi  vero  apogajum  Lunae  situm  est 
extra  octantes,  evadit  minor ;  (^)  estque  ad  aequationem  maximam,  ut 
sinus  dupl«  distantiae  apogaei  Lunae  a  proxima  syzygia  vel  quadratura 
ad  radium. 

(^)  Per  eandem  gravitatis  theoriam  actio  Solis  in  Lunam  paulo  major 
est  ubi  linea  recta  per  nodos  Lunae  ducta  trarsit  per  Solem,  quam  ubi 
linea  illa  ad  rectos  est  angulos  cum  recta  Solem  ac  Terram  jungente. 


titates  absolutsc  mutantur,  sed  manent  earum 
proportiones  ex  quibus  leges  aequationum  pen- 
dent,  ita  ut  data  aliqua  ex  ajquationibus  per 
phcenomena,  reliquae  satis  tuto  exinde  deduci 
queant. 

(J)  *  Augetur  vero  ac  diminuitur  in  triplicatd 

ratione  dislantice  SoUs  inverse.     Probl.  VI.  (pag. 

,  15AX  Fq^f^ 

82.)  haec  aequatio  inventa  est   109. 73^3. VTar» 

X  163.595.  P  Q,  T,  in  qua  expressione  a  re- 

prajsentat  mediocrem  Solis  a  Terra  distantiam, 


tantia  mediocris  1 ,  et  distantia  minima  1  — .0 1 6-^-^3 
itaque  sumendo  rationem  triplicatam  mediocris 
et  maximae  distantiae  fiat  ut  1  -f.  3  X  -01 6x2 
4-  3  X  .0002855,  &c.  (1.0516)  ad  1,  itaS'.  45". 
ad  quartum  qui  erit  3'.  34".  et  sumendo  rationem 
triplicatam  inversam  mediocris  et  minimae  distan- 
tic^  fiat  ut  1  —  3  X  .016J^  +  3  X  .000285^, 
&c.  (.950197)  ad  1  ita  3'.  45".  ad  quartum  qui 
erit  3'.  56". 

(^)  *  Estque  ad  cequationem  maximam.     Si- 
quidem  in  quacumque  distantia  Terrae  a  Sole, 

]5M*a3r9f^ 
haec^quatioestj^^g-^^-3-^,  X  ~ 

163.595  P  Q,  T,  liquet  quod  supponeudo  dis- 
tantiam  X  non  variari,  haec  a^quatio  erit  ubique 
ut  P  Q,  T ;  in  octantibus  autem  P  Q  T  est  |  r  ^, 
hinc  in  quovis  loco  hajc  sequatio  est  ad  eam  quae 
in  octantibus  obtineretur,  manente  eadem  dis- 
tanti^  Solis  a  Terra  ut  P  Q  T  ad  |:  r  ^,  sive  quia 
P  Q  T  est  i  z  y  ut  I  z  y  ad  J  r  ^  et  utrumque 


ducendo  per  —  ut 


-  z  y 

r 


id  r,  sed 


2  z  y 


est   si- 


in  alia  itaque  a  Sole  distantia  loco  a  ponatur  X, 

a^  F 
et  loco  F  ponatur        ^  quia  vis  Sohs  F  est  in- 

verse  ut  quadrata  distantiarum,  hac  ergo  substi- 

^     A  .    ^         15Aa2Fq9f2 

tutione  facta  aequatio  fit  io9.73.  S.  V  X  ^.  X  r  « 

F 

X  —  163.595  P  Q  T  tum  loco  —  substituatur 


nus  duplae  distantise  puncti  P,  hoc  est  apoga-i  a 
syzygia,  aut  a  quadratura  (perinde  enim  est  ut 
ex  trigonometriae  principiis  hquet)  hinc  aequatio 
in  quovis  situ  apogaei  extra  octantes  est  ad  asqua- 
tionem  maximam  qure  obtineretur  in  octantibus 
manente  eadem  distantia  Telluris  a  Sole,  ut  sinus 
duplae  distantiae  apogaei  Lunae  a  proxima  syzy- 
gia,  ad  radium. 

(^)  *  Per  eandem,  &c.      Cum  linea  recta  per 

nodos  ducta  transit  per  Solem,  tunc  Sol  versatur 

„  ^_  _  in   plano   ipsius  orbitae  lunaris  producto,    ejus 

^;-^  (ut  liquet  ex  Cor.  Probl.  I.  calculi  primi,     itaque  actio  non  consumitur  in  dimovenda  Luna 

ab  eo  plano,  sed  tota  impenditur  ad  eam  vel  a 
Terra  distrahendam,  vel  ad  Terram  attrahen- 
dam,  vel  ad  eam  accelerandam  aut  retardandam 
in  proprio  suo  plano;  ciim  autem  linea  nodorum 
est  ad  angulos  rectos  cum  recta  Solem  ac  Terram 
jungente,  tunc  Sol  maxime  discedit  a  plano  orbi- 
tae  lunaris,  hinc  pars  ejus  actionis  consumitur  in 
admovendo  plano  orbitae  lunaris  ad  eclipticam, 
et  per  residuum  duntaxat  ejus  actionis  Lunae 
errores  in  lonsum  producit;    hinc   priori    casu 


15M2a3q9f2 


aM^ 


pag.  70.)  ^quatio  evadit  ^^^,^„  g.  A.  X  3  r  P 

X  —  163. 595  P  Q  T,  et  quia  in  octantibus  est 

P  Q  T  =  I  r  2  aequatio  est  — 

15X  163.595  X  M^a^qOf^    .         .    v 

4X  109.73 +  S.AX3r  7  >  ^"  ^"^  '^^  ""^" 
la  sit  variabilis  quantitas  praeter  X  3  in  dcnomi- 
natore  occurrente,  liquet  aequationem  ciam  apo- 
gaeuni  est  in  octantibus,  hoc  est  a^quationem 
maximacn  esse  ut  X  3  inverse,  hoc  est  augcri  ac 
dlminui  in  triplicata  ratione  distantiie  Solis  X  m- 
verse ;  ideoque,  &c. 

Scilicet  posita  excentricitate  orbitae  Telluris 
•016y^,  distantia  maxima  est  1  -^-  .Ol6y|,  dis- 


actio  Solis  in  Lunam  paulo  major  est  quam  in 
posteriore,  partem  autem  actionis  Solis  residuam 
sublata  ea  ejus  parte  quae  in  plano  orbitae  lunaris 
dimovendo  consumitur,  ad  calculum  vocamus 
ProbU  I.  calculi  tertii  (pag.  84). 


► 


100 


PHILOSOPHI^  NATUR^LIS     [De  Mund.  Syst. 


(^)  Et  inde  oritur  alia  medii  motus  lunaris  aequatio,  quam  semestrem 
secundam  vocabo,  quaeque  maxima  est  ubi  nodi  in  Solis  octantibus  ver- 
santur,  et  evanescit  ubi  sunt  in  syzygiis  vel  quadnituris,  et  in  aliis  nodo- 
rum  positionibus  proportionalib  est  siniii  ;iiiplge  distantite  nodi  alterutrius 
a  proxima  syzygia  aut  quadratura  :  ("^)  aaditur  ver6  medio  motui  Lunae, 
si  Sol  distat  a  nodo  sibi  proximo  in  antecedentia,  subducitur  si  in 
consequentia ;  et  in  octantibus,  ubi  maxima  est,  ascendit  ad  47^'.  in 
mediocri    Solis  distantia  a  Terra,   (^)  uti  ex  theoria  gravitatis  colligo. 


(^)   *  Et  inde  oritur  alia  medii  mttns  lunaris 
a;quatio,    Hujus  aequationis  quantitatem  et  leges 
Probl.  III.  calculi  tertii  (pag*  85.)  exposuimus, 
.„             3  A.  F.  1  2         2  n  m    . 
iUamque      „    .^ X  invenunus,    su- 

mendo  1  pro  sinu  inclinationis  orbita;,  et  n  et  m 
pro  sinu  et  cosinu  distantise  nodorum  a  syzygiS. 
2  n  m 


acceleratio  vera,  ideoque  difFerentia 


3  A.  Fl^ 
2S.V.ar^ 


X  (-^  —  A  N  Q)  addi  debet  loco  medio  Lunoe, 

tunc  autem  Sol  in  A  est  in  antep edentia  respectu 
nodi  proximi  n. 

3.     Dum  N  versatur  inter  B  et  D  et  n  in  A 
r  u 


Hinc  ciim  -y-  sit  sinus  duplae  distantiae  nodi  et  C  —  excedit  A  N  Q;  sive  motus  mediocris 

a  syzygia,   caeteri  vero  termini  sint  constantes,  excedit  verum  ;  subduci  itaque  debet  differentia, 

hasc  aequatio  est  maxima  ubi  nodi  in  Solis  octan-  est  vero  in  eo   casu  Sol  in  A  in  consequentia 

tibus  versantur,  et  evanescit  ubi  sunt  in  syzygiis  respectu  nodi  n. 

vel  quadraturis  et  in  aliis  nodorum  positionibus 

proportionalis  est  simii  duplce  distantice  nodi  a  Denique  dum  N  est  inter  D  et  A,  —  minor 

syzygia,  &c.  ^                                                         2 

(^)   *  Addiiur  vero  medio  motui  Lunce,  si  Sol  est  qusim  A  N  Q,  addi  itaque  debet  aequatio  loco 

distat  a  nodo  sibi  proximo  in  antccedentia,  subdu-  medio  Lunae,  et  Sol  est  in  anlecedentia  respectu 

citur  si  in  consequentia,     Ex  actione  Solis  in  nodi  N. 

Lunam,  Luna  retardatur,  ex  diminutione  vero  Ergo  aequatio  subditcitur  ex  medio  motu  Lunae 

ejus  actionis  propter  obh'quitatem  plani  orbitae,  ctim  Sol  est  in  consequentia  respectu  nodi  proxi- 

lunaris,  diminuitur  hsec  Lunae  retardatio,   hoc  mi,  additur  vero  ei  motui  cum  Sol  est  in  ante- 

est  acceleratio  quaedam  oritur  respectu   motus,  cedentia. 

qui,  oraissa  hac  consideratione,  fuerat  determi-  C)  *  Uti  ex  theori-d  colUgo.      Calculus  noster 

natus  ;  mediocris  acceleratio  hinc  nata,  et  quae  CoroU.  Probl.  III.  contentus,  ?squationem  maxi- 
includitur  in  medio  motu  Solis  est 

,  .        5  A.  F.  1  ^ 
^^"i^^2S.Var^ 


tem   acceleratio  est 


ANQ.  Unde  aequatio  est 


X  — ,  vera  au- 

5  A.  F.  1  ^  V 

2  S.  V  a  r  2   ^ 

3  A.  F.  1  2 


2.  SVar^ 


X  (-^  —  A  N  Q)  per  Probl.  IIL 

calculi  tertii  (pag.  85,  et  seq.)  jam 

itaque  si  -j-  sit  major  quam  A  N  Q 

quod  evenit  in  toto  quadrante  A  N  C, 
acceleratio  mediocris  est  major  vera, 
et  Luna  magis  processisse  censetur 
quam  revera  processit,  hinc  ista  dif- 


ferentia 


3  A.  F.  1 


x(; 


A   N  Q)  debet     ™am  45".6  exhibct,  qui  numerus  est  adeo  proxi- 
mus  numcro  47".    quem'  ex  theoria  gravitatis 


2  S.V.ar2  "V  2 

detrahi  ex  ejus  loco  invento  ut  verus  locus  ha-  collegit  Newtonus,  ut  credere  facile  sit  ipsum 

beatur,  in  hoc  autem  casu   Sol  qui  puncto  A  hunc  numerum  ex  theoria  gravitatis  collegisse 

respondere  censetur,  est  in  consequentia  respectu  ea  'proxime  ratione  quae  in  calculo  (pag.  83.) 

nodi  N.  adhibetur,  differentiola  enim  ista  oriri  potest  ex 

Dum  vero  N  versatur  inter  C  et  B,  et  n  inter  eo  quod,  vel  angulum  inchnationis  orbitac,  vel 

.        _  r  u  .  V        *   X7  /-.      •  quantitatem  M  mensis  periodici  citra  actionem 

A  et  D,  tunc  —  est  mmor  quam  A  N  Q,  sic  ^^j.^  considerati,  paulo  majorcm  fecerit  quam 

itaque  acceleratio   mediocris  est  minor  quam  nos. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  101 

(^)  In  aliis  Solis  distantiis  haec  asquatio  maxima  in  octantibus  nodorum  est 
reciproce  ut  cubus  distantrae  Solis  a  Terra,  ideoque  in  perigaeo  Solis  ad 
49'^  in  apogaeo  ejus  ad  45^'.  circiter  ascendit. 

(^)  Per  eandem  gravitatis  theoriam  apogaeum  Lunoe  progreditur  quam 
maxime  ubi  vel  cum  Sole  conjungitur  vel  eidem  opponitur,  et  regreditui' 
ubi  cum  Sole  quadraturam  facit.  (^)  Et  eccentricitas  fit  maxima  in 
priore  casu  et  minima  in  posteriore,  per  Corol.  7,  8,  et  9.  Prop.  LXVL 
Lib.  I.  Et  hae  inaequaUtates  per  eadem  Corollaria  permagnae  sunt,  et 
sequationem  principalem  apogaei  generant,  quam  semestrem  vocabo. 
(h)  Et  sequatio  maxima  semestris  est  IS^'".  18'.  circiter,  quantum  ex 
observationibus  colligere  potui.  Horroxius  noster  Lunam  in  eUipsi 
circum  Terram,  in  ejus  umbilico  inferiore  constitutam,  revolvi  primus 
statuit.  Halleius  centrum  eUipseos  in  epicyclo  locavit,  cujus  ceiitrum 
uniformiter  revolvitur  circum  Terram.  (')  Et  ex  motu  in  epicyclo  ori- 
untur  inaequalitates  jam  dictae  in  progressu  et  regressu  apogaei  et  quantitate 
eccentricitatis.     Dividi  inteUigatur  distantia  mediocris  Lunae  a  Terra  in 

(^)  *  In  aliis  Solis  distanliis.     Eadem  plane  in  posteriore,  cum  nempe  apsides  sunt  in  quad- 

est  demonstratlo  ac  in  nota  (^)  praecedente;  cum  raturis.     Id  utique  statuitur  toto  calculo  de  ex- 

5AF1*       2nm,      ,.       aot  centricitate  orbitas  lunaris  superius  pag.  91.  et 

■vnmtin  fit V in  diversa  Solis  ^    a-,.                                 r           r  o 

fequauo  "'-  g  |y  y  a  r            r  SG9'  tradito. 

a  Terra  distantia  X,  loco  a  scribatur  X,  loco  F,  O  *  Et  cBquatio  maxima  semestris,  &c.    Hanc 

a^F            FaM*             ;           .SM^a^P  ex  observationibus  determmandam  liquet  cum 

-— -,  loco  ^,  — T~^»  aequatio evadit  gT~g"x3r^  ^^'^  ''^tis  feliciter  obtineatur  absoluta  quantitas 

^                                                 2nm         *    '"  motusapogEcipercalculossecundum  Newtoniana 

V  ""  "  '^  et  in  octantibus  qma =  r,  aequa-  Principia  mstitutos ;  methodus  autem  a  nobis  in- 

r"                                               ^  licata  est  admodura  incompleta  et  rudis,  et  in  ea 

tio  est  l^ilAi L^,   ideoque  squationes  in  oc  multa,  quae  considerari  debuissent,  sunt  omissa  : 

8  A.  S  X  3  r  hinc  cum  in  caeteris  motibus  Lunas  et  aequationi- 

tantibus  in  diversa  Solis  a  Terra  distantia,  sunt  bus  ad  votum  succedat  thcoria  Newtoniana,  in 

inter  se  inverse  ut  X  ^,  si  fiat  itaque  ut  cubus  hoc  casu  aliquid  adhuc  desiderari,  fatendum  est. 

maximae  distantiae  Terra?  a  Sole  qui  est  1.0516,  (i)   *  Et  ex  motu  in  epicyclo,     Ingeniose  et 

ad  cubum  1  mediocris  distantias,  ita  47".  ajquatio  feliciter  conjunctas  esse  unica  constructione  geo- 

pro  mediocri  distantia  inventa  erit  ad43".  circiter,  metrica  excentricitatis  variationes,  et  motiis  apo- 

eaque  erit  aequatio  in  maxima  distantia  Soh's  a  gasi    aequationcs,    ex  iis  quse    de    excentricitate 

Terra,  et  ut -950107  cubus  minimsedistantiae  ad  dicta  sunt  pag.   94.   inteliigi  potest ;  illic  enim 

1,  ita  47".  ad  49".  circiter,  quaj  erit  a?quatio  maxi-  ostenditur  quod  si  T  C  sit  excentricitas  media  f, 

ma  cihn    Sol  erit  in   perigieo.      Eadem  etiam  C  B  maxima  excentricitatis  variatio  ab  excentri- 

ratione  ac  in  nota  (^)  ostendetur  quomodo  in  citate  mediocri,  B  F  arcus  duplus  distantia?  ap- 

quavis  Solis  a  Terra  distantia,  et  in  quavis  posi-  sidis  a  syzygia,  tunc  linea  T  F  est  excentricitas, 

tione  nodi  respectu  Solis  a^quatio  obtineri  debeat.  ostenditur  vero,  Probl.  II.  pag.  95.  variationem 

(^)  *  Per  eandcm  gravitatis  theoriam  apogceum  maximam  excentricitatis  quae  est  A   B  tam  ex 

Lunce  progreditur  quam  maxime,  &c.     Per  me-  observationibus  quam  consentiente  calculo  sumi 

thodum  ex  ipsis  Newtoni    Principiis  derivatam  posse  1 172  partium  quarum  radius  orbita' kinaris 

invenimus  (pag.  86.  fct  seq. )  motum  apsidis  esse  est   100000  et  excentricitas   T   C   5505,   simul 

ut  3  y  y  —  r  r,  sumendo  y  pro  sinu  distantias  autem  ciim  constet  ex  observationibus  a^quatio- 

apsidis  a  quadratura ;  is  ergo  motus,  juxta  hunc  neni  semestrera  apogaei  12^''.  18'.  esse,  ejus  an- 

calculum,  evanescit  cum  y  y  S  =  r,  cum  nempe  guli  sinus  est  partium  1172  radio  existente  par- 

y  est  sinus  arcus  35^''.  15',  positivus  vero  est  in  tium  5505,  ut  Hquet  si  tiat  ut  radius  100000  ad 

syzygiis  ;  illic  enim  fitSyy  —  rr=2rr  ne-  sinum  anguH  12^^  18'.  qui  est  21303  ita  5505 

gativus  in  quadraturis;  illic  eriim  est  3yy  —  rr  ad  quartuui  qui  est  1172^;  hinc  illumnumerum 

=  —  r  r.  pro   maxima    variatione    excentricitatis    selegit 

(^)  *  Et  eccentricitas  fd  maxima  in  priori  casu,  Halleius,    quia  non  procul  est  ab  iis  quos   ct 

cum  nempe  apsides  sunt  in  syzygiis,  et  minima  observationes  et  calculus  indicant,  sunulque  est 


102 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 


partes  100000,  et  referat  T  Terram  et  T  C  eccentricitatem  mediocrem 

Lunae  partium  5505.    Producatur  T  C  ad  B,  ut  sit  C  B  sinus  aequationis 

maximae  semestris  l^^*".   18'.  ad  ra- 

dium  T  C,  et  circulus  B  D  A  centro 

C,    intervallo    C  B  descriptus   erit 

epicyclus  ille  in  quo  centrum  orbis 

lunaris  locatur  et  secundum  ordinem 

literarum  B  D  A  revolvitur.     Capi- 

atur  angulus  B  C  D  aequalis  duplo 

argumento  annuo,  seu  duplae  distan- 

tiae  veri  loci  Solis  ab  apogaeo  Lunae  semel  aequato,  et  erit  C  T  D  aequatio 

semestris  apogaei  Lunae  et  T  D  eccentricitas  orbis  ejus  in  apogasum 

secundo  aequatum  tendens.     Habitis  autem  Lunae  motu  medio  et  apogaeo 

et  eccentricitate,  ut  et  orbis  axe  majore  partium  200000 ;  ex  his  eruetur 

verus  Lunae  locus  in  orbe  et  distantia  ejus  a  Terra,  (^)  idque  per  methodos 

notissimas. 

(^)  In  perihelio  Terrae,  propter  majorem  vim  Solis,  centrum  orbis 
Lunae  velocius  movetur  circum  centrum  C  quam  in  aphelio,  idque  in 
triplicata  ratione  distantiae  Terrae  a  Sole  inverse.  ("^)  Ob  aequationem 
centri  Solis  in  argumento  annuo  comprehensam,  ccntrum  orbis  Lunae 
velocius  movetur  in  epicyclo  B  D  A  in  duplicata  ratione  distantiae  Terrae 


sinus  anguli  maximi  quo  discedunt  apsides  a 

loco  medio :   ergo  quando    B   F  est  quadrans, 

ideoque  apsides  octante  a  syzygia  distant,  sinus 

anguli  F  T  B  est  ipsa  linea   C  B  sive  11721 

dum  radius  T  F  est  sequalis  T  C  sive  5505,  ergo 

eo  in  casu  angulus  F  T  B 

est  verus  discessus  lineae  ap- 

sidum  a  suo  loco  medio,  et 

jacet  T  F  in  vera  positione 

lineae  apsidum,  et  cum  T  F 

sit  oxcentricitas  eo  in  loco 

est  F  in  ipsa  positione  centri 

orbitae  lunaris ;  idem  proxi- 

me  eveniet   in   quovis   alio 

loco  F ;  nam  cum  aequatio- 

nes  apogoei  (pag.   91.)  sint 

ut  sinus  arcus  dupli  distan- 

tia)  apsidis  a  Sole,  et  sit  F  B 

arcus  duplus  distantiae  apsi- 

dis  a  Sole  et  F  E  ejus  sinus, 

ffiquatio  maxima  12^^  18'.  debebit  esse  ad  eam 

quae  huic  loco  F  competit  ut  15  C  ad  F  E,  sed 

in  ea  proxime  sunt  ratione  anguli  omnes  F  T  B, 

hinc  itaque  est  quam  proxime  T  F  in  vera  posi- 

tione  lineae  apsidum  et  F  centrum  orbitae. 

(^)  *  Per  melhodos  notissimas.     I>e  iis  agitur 
Lib.  I.  Prop.  XXXI. 

(1)   *  In  pcrihelio.      Si  nulla  esset  vis  Sohs, 
quiescerent  apsides  orbitae  lunaris,  nec  mutaretur 


ejus  excentricitas,  motum  itaque  centri  orbitae 
lunaris  F  in  circulo  B  F  H  A  vi  solari  esse 
debitum  liquet,  omnes  vero  errores  ex  vi  solari 
ortos,  esse  proxime  in  triplicata  ratione  distantiae 
Terree  a  Sole  saepius  observatum  est,  hinc  motus 


centri  F  orbitae  lunaris  in  circulo  B  F  H  A  ea 
proportione  variari  debet. 

C")  *  Ob  ceqvatiunem  centri  Solis  tn  argumento 
annuo  comprehcnsam,  &c.  Arcus  F  B  vel  arcus 
B  D  in  figura  textus  est  duplus  distantiae  apsidis 
a  syzygia,  hoc  est,  duplus  distantiae  apsidis  a 
Sole,  itaque  punctum  F  invenitur  locum  Solis 
a  loco  apsidis  tollendo,  residui  in  consequentia 
duplum  est  arcus  B  F,  et  id  residuum  est  argu- 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


103 


a  Sole  inverse.  Ut  idem  adhuc  velocius  moveatur  in  ratione  simplici 
distantiae  inverse,  ab  orbis  centro  D  agatur  recta  D  E  versus  apogaeum 
Lunae  seu  rectae  T  C  parallela,  et  capiatur  angulus  E  D  F  aequalis 
excessui  argumenti  annui  praedicti  supra  distantiam  apogaei  Lunae  a 
perigaeo  Solis  in  consequentia ;  (")  vel  quod  perinde  est,  capiatur  angulus 
C  D  F  aequalis  complemento  anomaliae  verae  Solis  ad  gradus  360.  Et 
sit  D  F  ad  D  C  ut  dupla  eccentricitas  orbis  magni  ad  distantiam  medio- 
crem  Solis  a  Terra,  et  raotu*s  medius  diurnus  Solis  ab  apogaeo  Lunae  ad 
motum  medium  diurnum  Solis  ab  apogaeo  proprio  conjunctim,  id  est,  ut 
33|  ad  1000  et  52'.  21".  W,  ad  59'.  8'^  10'''.  conjunctim,  sive  ut  3  ad 
100.  Et  concipe  centrum  orbis  Lunae  locari  in  puncto  F,  et  in  epicyclo, 
cujus  centrum  est  D,  et  radium  D  F,  interea  revolvi  dum  punctum  D 
progreditur  in  circumferentia  circuli  D  A  B  D.     (°)  Hac  enim  ratione 

mentum  annuum,   fingatur  apsidem  immotam         (o)  *  Hdc  enim  rationc.     -^quationem  hujus 

esse,  Solem  vero  moveri,  pendebit  arcus  B  F  ex     motus  centri  orbis  lunaris  quaa  adhibenda  est  ut 

motu  Solis  fietque  major  quo  celerius 

Sol  movebitur,  sed  motus  Solis  est  in- 

verse  in  ratione  duplicata  distantiarum 

Terrae  a    Sole     (nota  o)    ergo   motus 

puncti  F  ex  hac  consideratione  sequitur 

rationem  inversam  duplicatam  distantia: 

Terrse  a  Sole. 

(")  *  Fel  quod  perinde  est.  Si  circa 
punctum  D  radio  D  F  describatur  cir- 
culus  E  F  O  d  a  ])  P ;  in  quo  fit  E 
Lunaj  apogasum  e  centro  D  spectatum; 
D  Lunae  perigaeum,  a  apogaeum  Solis, 
P  Solis  perigaeum,  0  locus  Solis,  ciim 
ex  constructione  sit  d  D  E  =  D  C  B, 
ideoque  duplum  argumenti  annui,  sive 
duplum  distantiag  Q  E,  erit  E  D  C 
aequalis  semi-circulo  dempto  2  0  E, 
sive  erit  \  c  —  2  0  E  ;  itaque  si  ei 
arcui  E  D  C  addatur  E  D  F  aequah's 
annuo  argumento  dempta  distantia  apo- 
gaei  Lunae  a  perigaeo  Solis,  sive  0  E 
—  P  E,  fiet  C  D  F  =  ^  c  —  0  E  — 
P  E,  sed  ciim  i  c  sit  aequalis  distantiae 
perigaei  Solis  ab  ejus  apogaeo,  erit  \  c 

=  P  E  0  «,  ex  quo  itaque  detracto  P  E  et  moveatur  velocius  quam  per  primam  construc- 
E0,  est  CDF=0a  sive  distantiae  Solis  tionem,  idque  in  simplici  ratione  distantise  in- 
ab  apogaeo  in  antecedentia,  aut  quod  idem  est  verse  esse  proportionalem  aequationi  centri  Soh"^ 
complemento  ad  360^'".  arcus  a  J)  P  E  F  0,  constat  eadem  demonstratione  qua  in  notis  C") 
qui  arcus  est  distantia  Solis  ab  apogaeo  suo,  in  et  (")  pag.  96.  de  aequationibus  annuis  apogaai 
consequentia  sumpta,  quae  est  Solis  anomalia  vera.     et  nodi  idem  probatum  fuit. 

Si  punctum  P  foret  in  consequentia  respectu  Dicatur  a  mediocris  distantia  Terr^  a  Sole, 

puncti  E,  tunc  E  D  F  faciendus  esset  aequahs  qu^^is  aha  distantia  dicatur  a  +  x,  motus  me- 
argumentoannuoadditadistantia  peng^ei  Solis  dius  centri  orbis  lunaris  in  dis^ntia  a  fit  o,  et 
a  Luna,  sicque-fieret  CDF  =  ic--0+  q^ia  iUe  motus  est  in  tripUcata  ratione  distanti» 
P  E  et  quoniam  m  eo  casu  est  ^  c  =  P  ©  J)  a,  goUs  a  Terra  inverse,  in  aUa  quavis  distantia 
et  —  (V)  ii.  -^  if  h,  :=.  —  if  0,  erit  L  D  r  =:  ^z 

0  ])  a,  sive  erit  distantia  Soiis  ab  apogaeo  in     Terrae  a  Sole  erit  -  o  et  formando  seriem, 

antecedentia  posito,  hoc  est,  complementum  ad  ^  i.  ^ 

360^^  arcus  «  ])  P  E  F  (i),  qui  arcus  est  dis-        •.  «  —  ^x 

♦or.*:»    c^i:„   „1        ^  w  M  ent  o  +  —  o,  sed  si  fingeretur  eum  motum 

tantia   t>ohs  ab   apogaeo    suo    in   consequentia  a  * 

sumpta,  quae  est  Solis  anomaUa  rera.  sequi  proportionem  inversam  dupUcatam  distan> 


104 


PHILOSOPHI/E  NATURAL18  [De  Mund.  Syst. 


velocitas,  qua  centrum  orbis  Lunae 
in  linea  quadam  curva  circum  cen- 
trum  C  descripta  movebitur,  erit 
reciproce  ut  cubus  distantiae  Solis  a 
Terra  quamproxime,  ut  oportet. 

Computatio  motus  hujus  difficilis 
est,  sed  facilior  reddetur  per  approxi- 
mationem  sequentem.  Si  distantia  mediocHs  Lunae  a  Terra  sit  partium 
100000,  et  eccentricitas  T  C  sit  partium  5505  ut  supra :  recta  C  B 
vel  C  D  invenietur  partium  1172f  et  recta  D  F  partium  35 J.  Et  liaec 
recta  ad  distantiam  T  C  subtendit  angulum  ad  Terram  quem  translatio 
centri  orbis  a  loco  D  ad  locum  F  generat  in  motu  centri  hujus :  et  eadem 


tiarum,  inveniretur  is  motus  singulis  in 

2  X 

locis  o  -j.  —  o,  et  ita  assumptus  fuerat 

in  prima   constructione  (vid.   not.   ("") 

praeced.),  ergo    singulo   in    loco  error 

commissus    per    hanc    fictionem    foret 

X  .         .  „  ,.  ,. 

-f  —  o ;  pariter  si  Solis  motus  medms 

dicatur  m  ostensum  est  (not.  (°)  pag. 
96,    97.)     differentiam    inter    motum 

2  X 
medium  et  verum  esse  X"  —  m  :  ideo- 

a 

X  2  X 

que  cum  ratio  +  —  o  ad  +  —  m,  sit 

in  singulis  punctis  x  eadem,  aequatio  ex 

errore  1f —  o  orta  erit  proportionalis 

.     .       _2x 
aequationi  ex  4.  —  m  ortae,  hoc  est  erit 

proportionalis   aequalioni   centri  Solis; 

sed  aequatio  centri  Solis  est  quamproxi- 

me  proportionalis  sinui  anomalias  Solis 

not.  372.  Lib.  I.  nam  illic  demonstratur 

quod  si  ex  utroque   foco   S  et  s  orbitae   Solis 

ducantur  lineae  ad  punctum  P,  erit  B  s  P  ano- 


S    O   S 


KB 


malia  media,  et  B  S  P  anomalia  vera,  ideoque 
angulus  S  P  s  erit  aequatio,  ducatur  ergo  ex  s  in 
S  P  perpendiculum  s  E  et  ex  P  perpendiculum 
P  R,ob  similitudinem  triangulorum  S  s  E  et 
s  P  R  erit,  S  P  ad  P  R  ut  S  s  ad  s  E,  sive 
sumendo  S  P  pro  radio  constanti  (quod  est 
proxime  verum)  erit,  ut  radius  ad  sinum  ano- 
maliae  verae,   ita  dupla  excentricitas  ad  sinum 


aequationis  Solis,  sive  ad  ipsam  aequationem,  nam 
in  parvis  angulis,  arcus  pro  sinubus  sumi  pos- 
sunt.  Hinc  sinus  anomaliae  verae  est  ad  a?qua- 
tionem  centri  Solis  in  ratione  data  radii  nempe 
ad  duplam  excentricitatem ;  hinc  itaque,  a;quatio 

X  .  . 

orta  ex  errore  j-  —  o,  erit  ut  smus  anomahae 

^    a 

Soh's,  sed  angulus  C  D  F  est  complementum 
ejus  anomaliae  ad  360^^  sinus  autem  arcus  a)i- 
cujus  et  sinus  ejus  complementi  ad  360^^  sunt 

unum  et  idem,  crgo  aequatio  ex  errore  Ij-  —  o 

nata  est  proportionalis  sinui  angulorum  C  D  F, 
et  si  sumatur  radius  D  F  aequah's  ajquationi 
maximae  hinc  natae,  CEeteri  omnes  sinus  angulo- 
rum  C  D  F  erunt  ipsae  aequationes  in  datil  Soh's 
anomah"a,  si  itaque  sumantur  a  puncio  D  arcus 
D  f  in  circulo  B  D  A  sequales  illis  sinubus,  erit 
f  verus  locus  cenlri  orbitas  lunaris,  et  quia  ob 
exiguitatem  horum  sinuum  respectu  radii  C  D, 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICa. 


105 


recta  duplicata  in  situ  parallelo  ad  distantiam  superioris  umbilici  orbis 
Lunae  a  Terra,  subtendit  eundem  angulum,  quem  utique  translatio  illa 
generat  in  motu  umbilici,  et  ad  distantiam  Lunae  a  Terra  (p)  subtendit 
ingulum  quem  eadem  translatio  generat  in  motu  Lunae,  quique  propterea 
aequatio  centri  secunda  dici  potest.  Et  haec  aequatio,  in  mediocri  Lunas 
distantia  a  Terra,  est  ut  sinus  anguli,  quem  recta  illa  D  F  cum  recta  a 
puncto  F  ad  Lunam  ducta  continet  quamproxime,  et  ubi  maxima  est, 
evadit  2'.  25'^,  (*i)  Angulus  autem  quem  recta  D  F  et  recta  a  puncto  F 
ad  Lunam  ducta  comprehendunt,  invenitur  vel  subducendo  angulum 
E  D  F  ab  anomalia  media  Lunae,  vel  addendo  distantiam  Lunse  a  Sole 
ad  distantiam  apogaei  Lunse  ab  apogaeo  SoHs.     Et  ut  radius  est  ad  sinum 


llnea  per  C  et  f  ducta  cadit  etiam  in  F,  sumi 
potest  F  ut  verus  locus  centri  orbitas  lunaris. 
Invcnitur  autem  cequatio  maximaorta  ex  errore 

Zf  —  o ;  si  attendatur  quod  Solis  motus  est  ubi- 


que 


_  2x 


X  2  m  ideoque 


summam  omnium  errorum  ex  errore  —  o  fore 

X 

ad  suramam  oranium  errorum  in  Solis  motu 
genitorum  ut  o  ad  2  m,  sive  ajquationem  qusesi- 
tam  esse  ad  aequationem  Solis  ut  est  motus  centri 
orbitas  lunaris  per  circulum  B  D  A  ad  duplum 
motum  medium  Solis  respectu  sui  apogaei,  sed 
quoniam  arcus  B  D  sunt  sempcr  dupli  distantiae 
SoHs  ab  apoga^o  Lunse,  motus  diurnus  centri 
orbis  lunaris  per  circulum  B  D  A  est  etiam 
duplus  motus  Solis  ab  apogaeo  Luna^,  hinc 
EEquatio  quaesita  est  ad  maximam  aequationem 
Solis  ut  est  radius  D  C  ad  distantiam  mediocrem 
Solis  a  Terra  et  .ut  duplus  motus  diurnus  Solis 
ab  apogajo  Lunae  ad  duplum  motum  diurnum 
Soiis  ab  apogajo  suo  conjunctim,  maxima  autem 
Solis  jEquatio  est  ipsa  dupla  excentricitas  crbis 
magni,  hinc  aequatio  qujesita  sive  radius  D  F  est 
ad  duplam  excentricitatcm  ut  D  C  ad  distantiam 
mediocrem  Solis  a  Terra,  et  ut  motus  diurnus 
feolis  ab  apogfEO  Lunae  ad  motum  diurnum  Solis 
ab  apogaeo  suo  conjunctim,  unde  vicissim  est 
etiam  D  F  ad  D  C  ut  dupla  excentricitas  ducta 
per  matum  diurnum  Solis  ab  apogao  Lunje,  ad 
distantiam  mediocrem  Solis  a  Terra  ductam  per 
motum  diurnum  Solis  ab  apogaeo  suo. 

C)  *  Subtendit  angulum  qucm  eadem  transla- 
tio  generat  in  motu  Lunce.  Scilicet  tota  orbita 
Lunae,  ipsaque  Luna  per  motum  centri  orbitae 
ex  D  in  F  translatum  ex  proprio  loco  mota  cen- 
seri  debet  in  locum  alium  per  lineam  ipsius  D  F 
duplam  ipsique  parallelam  ;  cum  itaque  distantia 
mediocris  sit  partium  100.000,  si  haec  linea  quae 
duplicata  est  70  .4,  angulum  rectum  cum  linea  a 
Terra  ducta  efficiat,  quo  casu  maximam  aequa- 
tioncm  facit,  ipsa  subtendet  angulum  2'.  25". 
feiquidem  sinus  duorum  minutorum  est  58  .18 


sinus  trium  87  .27«  In  aJiis  autem  hujus  lineae 
positionibus  respectu  linea;  a  Terra  ductae,  anguli 
quos  subtendet  erunt  ad  istum  ut  est  sinus  an- 
guli  quem  facit  cum  lineis  a  Terra  ductis  ad 
radium  ;  nam  in  trianguHs  in  quibus  duae  linea^ 
sunt  constantes,  sed  earum  angulus  variabilis,  si 
una  ex  iis  lineis  alterius  respectu  sit  niinima, 
tertia  linea  pro  constante  assumi  potest,  est  vero 
ad  minimam  lineam,  ut  sinus  anguli  variabilis  ad 
sinum  anguli  oppositi  minimse  lineae;  hinc  sinus 
anguli  variabilis  et  sinus  anguli  minimi  sunt  in 
ratione  data.  Ergo  ut  sinus  anguli  recti  sive 
radius  ad  2'.  25".  ita  sinus  anguii  quem  facit 
linea  a  Terra  ducta  cum  lineola  parallela  ad 
D  F,  ad  angulum  quo  locus  Lunae  mutatus 
cernitur, 

C)  *  Angulus  autem  quem  facit  Hnea  a  Terra 
ducta  cum  lineola  parallela  ad  D  F,  et  in  ipso 
loco  LunjE  posita,  aequalis  est  illi  quem  facit 
recta  D  F  et  recta  a  puncto  F  ad  Lunam  ducta, 
saltem  proxime  quia  F  est  centrum  oibitae  lu- 
naris  a  quo  Terra  non  multum  distat ;  fingatur, 
produci  lineam  D  F  et  ex  puncto  F  duci  lineam 
parallelam  linea;  D  E,  quaj  ad  apogaeum  Lunae 
tendit,  et  ex  eodem  puncto  F  aham  duci  lineam 
ad  Lunam,  angulus  hujus  line£e  cum  linea  D  E 
erit  anomalia  media  Lunae  ;  ergo  angulus  hujus 
lineae  cum  linea  D  F  producta  crit  differentia 
anguli  E  D  F  et  anomaliae  mediae  Lunae,  sive 
quia  erat  E  D  F  differentia  argumenti  anuui,  et 
distantiae  apogaei  Lunae  a  perigaeo  Solis  si  ex 
anomalia  media  Lunae  tollatur,  argumentum 
annuum  superest  distantiae  Lunas  a  Sole,  cui 
addi  debet  distantia  apogasi  Lunae  et  perigeei 
Solis,  sive  (quia  semi-circuli  additi  vel  detractl 
non  mutant  valores  angulorum  eorumque  sinu- 
um)  distantia  apogaei  Lunae  et  apogaei  Solis  s 
caetera  facile  patebunt  ex  figurae  descriptione  j 
exemplum  esto  in  conjunctione  ubi  est  Q  locus 
Solis  et  Lunae,  liquet  enim  quod  quando  punc- 
tum  0  est  in  consequentia  respectu  puncti  F, 
Luna  quae  transfertur  per  lineam  parallelam 
lineae  D  F  transfertiu"  in  antecedentia ;  dum  e 
contra,punctum  Q  est  in  anteccdentia  respectu 
puncti   F,    Luna  transfertur  in   consequentiaj 


106 


PHlLOSOPHIiE  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


aneuli  sic  inventi,  ita  2'.   25'^   sunt  ad  aequationem   centri  secundam, 
addendam,  si  summa  illa  sit  minor 
semi-circulo,  subducendam  si  major. 
Sic  habebitur  ejus  longitudo  in  ipsis 
luminarium  syzygiis. 

Cum  atmosphsera  Terrae  ad  usque 
altitudinem  milHarium  35  vel  40  re- 
fringat  lucem  SoUs,  et  refringendo 
spargat  eandem  in  umbram  Terras, 

et  spargendo  hicem  in  confinio  umbrae  dilatet  umbram  :  {')  ad  diametrum 
umbras,  quae  per  parallaxim  prodit,  addo  minutum  unum  primum  in 
eclipsibus  Lunae,  vel  minutum  unum  cum  triente. 

Theoria  vero  Lunae  primo  in  syzygiis,  deinde  in  quadraturis,  et  uUimo 
in  octantibus  per  phaenomena  examinari  et  stabiliri  debet.  Et  opus 
hocce  aggressurus  motus  medios  Solis  et  Lunae  ad  tempus  meridianum 
in  Observatorio  Regio  Grenovicensi,  die  ultimo  mensis  Decembris  anni 
1 700.  st.  vet.  non  incommode  sequentes  adhibebit :  nempe  motum  me- 
dium  Sohs  >S  20"'.  43'.  40''.  et  apogaei  ejus  25  7^^  44'.  30".,  et  motum 
medium  Lunae  ^  15^^  21'.  00".,  et  apogaei  ejus  K  8^^  20'.  00".,  et  nodi 
ascendentis  <Q.  27^^  24'.  20". ;  et  differentiam  meridianorum  Observatorii 
hujus  et  Observatorii  Regii  Parisiensis  O^.  9'.  20".  motus  autem  medii 
Lunae  et  apogaei  ejus  nondum  satis  accurate  habentur. 


est  verd  F  0  =  P  E,  cum  ergb 
A  E  est  major  semi-circulo,  ut  ia 
figura,  tunc  P  E  sive  F  0  est 
minor  semi-circulo,  est  ergo  0  in 
consequentia  respectu  puncti  F,  hinc 
subducenda  est  ea  aequatio;  sit  vero 
A  E  minor  semi-circulo  erit  P  E  major 
semi-circulo  ut  et  F  0,  ideoque  esl  0 
in  antecedentia  respectu  F  ;  promovetur 
itaque  Luna  propter  hanc  acquationem; 
caeterum  non  tantum  in  luminarium 
syzygiis,  sed  ad  caeteros  Lunas  adspectus 
haec  adaptari  possunt,  verum  commo- 
dius  est  astronomis,  theoriam  suam  ex 
syzygiarum  observationibus  explorare  et 
constituere. 

C)  *  Ad  diamelrum  umbrce.     Paral- 
laxis  est  angulus  qui  subtenditur  per 
semi  diametrum  Terrae  ex  Luna  spec- 
tatae ;  jam   vero   propter   atmosphaeras 
actionem  in  radios  lucis  idem    evenit 
respectu   umbrae   ac   si   semi-diameter 
Terrae  35  vel  40  milliaribus  augeretur, 
nam   radii    illac    pergentes   rectam   viam    non 
sequuntur,    sed   introrsum    in    umbram    conji- 
ciuntur,   hinc  carent  radiis  solaribus  loca  quae 
trans  atmosphaerain  eos  recipere  deberent,  fun- 


A 


^h 

\ 

\F 

1 

"■<--^ 

C--'^ 

T) 

••:<^^ 

'■    TT" 

XDV-. 

>^ 

' 

/A 

13 


gitur  ergo  atmosphaera  vice  corporls  opaci, 
et  umbra  ea  d»  causfi  dilatari  debet  quasi 
semi-diameter  Tcrra?  in  35  vel  40  milliaribua 
foret  aucta. 


"^^'^^^ 


PHILOSOPHI^  NATURALIS 

PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


LIBRI  TERTII  CONTINUATIO. 

PROPOSITIO  XXXVI.     PROBLEMA  XVII. 

Irvoenire  vim  Solis  ad  Mctre  movendum, 

SoLis  vls  M  L  seu  P  T,  in  quadraturis  lunaribus,  ad  perturbandos 
motus  lunares  erat  (per  Prop.  XXV.  hujus)  ad  vim  gravitatis  apud  nos, 
ut  1.  ad  638092.6.     Et  vis  T  M—  L  M  seu  2  P  K  in  syzygiis  lunaribus 


est  duplo  major.  Hoe  autem  vires,  si  descendaiur  ad  superficlem  Terrae, 
diminuuntur  in  ratione  distantiarum  a  centro  Terrae,  id  est,  {^)  in  ratione 
60j  ad  1 ;  ideoque  vis  prior  in  superficie  Terrae  est  ad  vim  gravitatis  ut  1 
ad  38604600.  Hac  vi  mare  deprimitur  in  locis,  quae  90  gradibus  distant 
a  Sole.     Vi  altera,  quoe  duplo  major  est,  mare  elevatur  et  sub  Sole  et  in 

(^)  *  Tn  ratione  60\  ad  1.      Quemadmodum  analoga  est  radio  Terrae,  essead  vlm  centripotam 

in  Prop.  XXV.   demonstratum  est  eam  partem  Lunas  in  Terram  in  ratione  radii  Terroe  ad  ra- 

vis  ccntripetae  lunaris  in  Solem  qua  rnotus  ejus  dium  orbitae  lunaris  directe  et  ratione  duplicata. 

circa  Terram  perturbatur  et  quas  radio  orbitae  temporis  periodici  Terrae  circa  Solem  ad  tempus 

lunaris  erat  proportionalis,  esse  ad  vim  centripe-  periodicum  Lunje  circa  Terram  inverse.     Quare 

tam  Lunae  in  Terram  iu  duplicata  ratione  tem-  vires    Solis    ad   perturbandos   motus   corporum 

porum  periodicorum  Terras  circa  Solem  et  Lunae  prope  superficiem  Terra;  sunt  ad  vires  Solis  ad 

circa  Terram,  simili  plane  modo  probatur  eam  perturbandos  motus  Lunae  ut  radius  Tenae  ad 

quoque  oartem  vis  centripetae  in   Solem,  quae  radium  otbitae  lunaris,  hoc  est,  ut  1  ad  60|. 

VoL.  III.  Paks  II.  H 


108  PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund,  Syst. 

regione  Soli  opposita.  (^)  Summa  virium  est  ad  vim  gravitatis  ut  1  ad 
12868200.  Et  quoniam  vis  eadem  eundem  ciet  motum,  sive  ea  deprimat 
aquam  in  regionibus  quae  90  gradibus  distant  a  Sole,  sive  elevet  eandem 
in  regionibus  sub  Sole  et  Soli  oppositis,  haec  summa  erit  tota  Solis  vis  ad 
mare  agitandum ;  et  eundem  liabebit  effectum,  ac  si  tota  in  regionibus  sub 
Sole  et  Soli  oppositis  mare  elevaret,  in  regionibus  autemquse  90  gradibus 
distant  a  Sole,  nil  ageret. 

Haec  est  vis  Solis  ad  mare  ciendum  in  loco  quovis  dato,  ubi  Sol  tam  in 
vertice  loci'versatur  quam  in  mediocri  sua  distantia  a  Terra.  (^)  In  aliis 
Solis  positionibus  vis  ad  mare  attollendum  est  ut  sinus  versus  duplae  alti- 
tudinis  Solis  supra  horizontem  loci  directe  et  cubus  distantiae  Solis  a  Terra 
inverse. 

CoroL  Cum  vis  centrifuga  partium  Terrae  a  diurno  Terrae  motu  oriunda, 
quae  cst  ad  vim  gravitatis  ut  1  ad  289,  efficiat  ut  altitudo  aquae  sub  aequa- 
tore  superet  ejus  altitudinem  sub  polis  mensura  pedum  Parisiensium 
85472,  ut  supra  in  Prop.  XIX.;  vis  solaris  de  qua  egimus,  cum  sit  ad  vim 
gravitatis  ut  1  ad  12868200,  atque  ideo  ad  vim  illam  centrifugam  ut  289 
ad  12868200  seu  1  ad  44527,  (**)  efficiet  ut  altitudo  aquae  in  regionibus 
sub  Sole  et  Soli  oppositis  superet  altitudinem  ejus  in  locis,  quae  90  gradi- 
bus  distant  a  Sole,  mdnsura  tantum  pedis  unius  Parisiensis  et  digitorum 
undecim  cum  tricesima  parte  digiti.  Est  enim  haec  mensura  ad  mensuram 
pedum  85472  ut  1  ad  44527. 

(^)  *  iyMmma  fzrmm  est  ad  vim  gravitatis  ut  3     14.   Prop.   LXVI.   Lib.  I.)  considerari  itaque 
dJ  5S6O460O  sive  ut  1  ad  12868200.  poterit  vis  Solis  ad  mare  attollendum  ut  sinus 

versus  duplee  altitudinis  Solis  supra  horizontem 

(*)  *  In  aliis  Solis  positionibus.      Hac  vi  aqua  ]oci  directe  et  cubus   distantiae    Solis  a   Tena 

maxime  deprimitur  ubi  Sol  versatur  in  horizontc,  inverse.    Cajtertim  tota  hoec  Propositio  elcganter 

et  maxime  elevatur  ubi  Sol  in  vertice  loci  versa-  admodum  calculo  tractata  legitur  in  tribus  Dis- 

tur.    Depressio  autem  et  elevatio  aquarum  magis  sertationibus  qute  Vol.  IIL  adjectce  sunt. 
ac  magis  decrescit  quo  altiijs  Sol  ascendit  supra         (^)  *  Efficiet  ut  altitudo  aqu<v.      Quoniam  ex 

horizoutem,  aut  a  vcrtice  descendit.      Prajterea  variis  pendulorum  observationibus  et  nuperrime 

h.nec  depressio  aut  elevatio  circa  inilium  et  finem  institutis  gradus  meridiani  mensuris  sub  circulo 

lentius,  circa  medium  veroceleriiisminuitur;  sed  polari,  Terra  altior  est  sub  ajquatore  quam  ex 

hasc  contingent  successiva  aquarum  incrementa  theoria  Newtoniana  prodiit  (Prop.  XIX.  Lib. 

et  dccrementa  si  vis  maxima  Solis  in  vertice  loci  hujus)  paulo  augenda  erit  altitudo  aqua;  in  hoc 
exprimatur  ^er  diametrum  circuli,  hoc  est,  per     Corollario   definita.      Observandum   autem   est 

sinum  versum  180°.  seii  duplae  ahitudinis  Solis,  Corollarium    illud   rigorose    verum    non   esse  ; 

supra  horizontem  ;  in  aliis  autem  Solis  positioni-  Newtonus  enira  ex  differentia  diametri  aequato- 

bus  vis  eadem  exhibeatur  per  sinus  versos  altitu-  ris  et  axis  Terrae  per  simplicem  proportionem 

dinum  duplicatarum  ;  quare  in  variis  Solis  posi-  coUigit  altitudinem  aqua;  ex  vi  Solis  oriundam  ; 

tionibus,  vis  ad  mare  attollendum  sumi  potest  ut  uterque  tamen  casus  est  longe  diversus,  primus 

sinus  versus  dupla;  altitudinis  Solis  supra  hori-  siquidem  pendet  a  quadratura  circuli,  alter  vero 

zontem,    seclusa   tamen   perturbatione   quae  ex  refertur  ad  quadraturam  hyperbolas  (ut  patet  ex 

varia  Solis  a  'ielhire  distantia  oritur.      At  vis  Cor.   2.   Prop.    XC.  Lib.   1.  et  not.   106.  Lib. 

Soh's   augetur   vcl    minuitur    quo    propiiis   ad  hujus).     Sed  quam  parum  a  veritate  discrepet 

Terram  accedit  aut  longius  ab  ea  recedit,  idque  praesens  Corollarium,  apparet  ex  computo  inito 

in  ratione  triplicata  distantiarum  inversa  (Ccr.  in  Dissertatione  clariss.  Maclaurin,  Prop.  V. 


LibehTertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA.  109 

PROPOSITIO  XXXVII.     PROBLEMA  XVllL 

Invenire  vim  Lunce  ad  mare  movendum, 

f^)  Vis  Lunae  ad  mare  movendum  coUigenda  est  ex  ejus  p:^oportione  ad 
vim  Solis,  et  haec  proportio  colligenda  est  ex  proportione  motuum  maris, 
qui  ab  his  viribus  oriuntur.  Ante  ostium  fluvii  Avonae  ad  lapidem  tertium 
infra  BristoHum,  tempore  verno  et  autumnali  totus  aquoe  ascensus  in 
conjunctione  et  oppositione  luminarium,  observante  Samuele  Sturmio,  est 
pedum  pkis  minus  45,  in  quadraturis  autem  est  pedum  tantum  25.  Alti- 
tudo  prior  ex  summa  virium,  posterior  ex  earundem  difFerentia  oritur. 
Solis  igitur  et  Lunae  in  sequatore  versantium  et  mediocriter  a  Terra 
distantium  sunto  vires  S  et  L,  et  erit  L  +  S  ad  L  —  S  ut  45  ad  25,  seu 
9  ad  5. 

In  portu  Plymuthi  aestus  maris  ex  observatione  SamueHs  Colepressi  ad 
pedes  plus  minus  sexdecim  altitudine  mediocri  attoUitur,  ac  tempore  verno 
et  autumnali  altitudo  aestus  in  syzygiis  superare  potest  altitudinem  ejus  in 
quadraturis  pedibus  plus  septem  vel  octo.  Si  maxima  harum  ahitudinum 
differentia  sit  pedum  novem,  erit  L  +  S  ad  L  —  S  ut  20 J  ad  ll^  seu  41 
ad  23.  Quae  proportio  satis  congruit  cum  priore.  Ob  magnitudinem 
sestus  in  portu  Bristohae,  observationibus  Sturmii  magis  fidendum  esse 
videtur,  ideoque  donec  aHquid  certius  constiterit,  proportionem  9  ad  5 
usurpabimus. 

Caeterum  ob  aquarum  reciprocos  motus,  aestus  maximi  non  incidunt  in 
ipsas  luminarium  syzygias,  sed  sunt  tertii  a  syzygiis  ut  dictum  fuit,  seu 
proxime  sequuntur  tertium  Lunae  post  syzygias  appulsum  ad  meridianum 
loci,  vel  potius  (ut  a  Sturmio  notatur)  sunt  tertii  post  diem  novihniii  vel 
plenilunii,  sed  post  horam  a  novilunio  vel  plenihmio  phis  minus  duodeci- 
mam,  ideoque  incidunt  in  horam  a  novilunio  vel  plenilunio  plus  minus 
quadragesimam  tertiam.  Incidunt  vero  in  hoc  portu  in  horam  septimam 
circiter  ab  appulsu  Lunae  ad  meridianum  loci ;  ideoque  proxime  sequuntur 
appulsum  Lunae  ad  meridianum,  ubi  Luna  dlstat  a  Sole  vel  ab  opposi- 
tione  SoHs  gradibus  plus  minus  octodecim  vel  novemdecim  in  consequentia. 
-3i]stas  et  hyems  maxime  vigent,  non  in  ipsis  solstitiis,  sed  ubi  Sol  distat 
a  solstitiis  decima  circiter  parte  totius  circuitus,  seu  gradibus  plus  minus 
36  vel  37.     Et  simiHter  maximus  aestus  maris  oritur  ab  appulsu  Lunae  ad 

(")   *  VU  Luuis  ad  marc  viovendiim.     Vid.     notillii  et   Prop.    IX.   ia   Dissertatione  dariss. 
Cap.  VI.  num.  10.  in  Dissertatione  clari&s.  Ber-     Maclaurini. 

H2 


110 


rHILOSOPHI^.  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 


meridianum  loci,  iibi  Luna  distat  a  Sole  decima  circiter  parte  motus  totius 
ab  aestu  ad  aestum.  Sit  distantia  illa  graduum  plus  minus  18J.  C^)  Et 
vis  Solis  in  bac  distantia  Lunae  a  syzygiis  et  quadraturis,  minor  erit  ad 
augendum  et  ad  minuendum  motum  maris  a  vi  Lunas  oriundum,  quam  in 
ipsis  syzygiis  et  quadraturis,  in  ratione  radii  ad  sinum  complementi  dis- 
tantiae  hujus»  duplicatae  seu  anguli  graduum  37,  hoc  est,  in  ratione 
10000000  ad  7986355.  Ideoque  in  analogia  superiore  pro  S  scribi  debet 
0.7986355  S. 

Sed  et  vis  Lunae  in  quadraturis,  ob .  declinationem  Lunae  ab  aequatore, 
diminui  debet.  Nam  Luna  in  quadraturis,  vel  potius  in  gradu  18|  post 
quadraturas,  in  declinatione  graduum  plus  minus  23.  13^  versatur.  Et 
Juminaris  ab  asquatore  declinantis  vis  ad  mare  movendum  diminuitur  (®)  in 
duplicata  ratione  sinus  complementi  declinationis  quamproxime.  Et 
propterea  vis  Lunse  in  his  quadraturis  est  tantum  0.8570327  L.  Est 
igitur  L  +  0.7986355  S  ad  0.8570327  L  —  0.7986355  S  ut  9  ad  5. 

(^  Praeterea  diametri  orbis,  in  quo  Luna  sine  eccentricitate  moveri 
deberet,  sunt  ad  invicem  ut  69  ad  70 ;  ideoque  distantia  Lunae  a  Terra  in 
syzygiis  est  ad  distantiam  ejus  in  quadraturis  ut  69  ad  70,  caeteris  paribus. 
Et  distantiae  ejus  in  gradu  18  J  a  syzygiis,  ubi  aestus  maximus  generatur, 
et  in  gradu  l^J  a  quadraturis,  ubi  aestus  minimus  generatur,  sunt  ad 
mediocrem  ejus  distantiam  ut  69.098747  et  69.897345  ad  69^.  (^)  Vires 
autem  Lunae  ad  mare  movendum  sunt  in  triplicata  ratione  distantiarum 
inverse,  ideoque  vires  in  maxima  et  minima  harum  distantiarum  sunt  ad 
vim  in  mediocri  distantia  ut  0.9830427  et  1.017522  ad  1.     (^)  Unde  fit 


('')  *  Et  vis  Solis.  Hanc  virium  proportionem 
non  multum  a  vero  difFerre  patet  ex  iis  quae 
immediate  praecedunt. 

(^)  122.  *  In  dupUcala  ratione.  Slt  T  B  D 
planum  aequatoris,  T  centrum  Telluris,  sitque 
Luna  in  L,  crit  angulus  L  B  D,  mensura  de- 
_  clinationis  ab  a;quatore,  scu  ob  exiguum  angulum 


T  L  B,  erit  decHnatio  illa  quamproxime  a?qualis 
angulo  L  T  D,  cujus  anguli  cosinus  cst  T  F, 
sumpto  T  L,  pro  radio.  Jam  vis  quae  aquam  iii 
loco  SRquatoris  B,  directe  trahit  a  centro  T,  ubi 


Luna  versatur  in  plano  a?quatoris  in  D,  est  ad 
vim  quae  eandem  aquam  directe  a  centro  trahit,  ubi 
Luna  est  in  L,  ut  T  L  ad  T  F,  hoc  est,  ut  ra- 
dius  ad  sinum  complementi  dedinationis  L  T  D, 
seposita  vi  aquas  centripeta  versus  T.  Sed  aucta 
vi  illa  centripeta,  in  eadem  ratione  minuitur  vis 
altera  aquam  a  centro  trahens ;  quare,  compo- 
nendo,  vis  Lunae  in  loco  D,  est  ad 
vim  ejus  in  L,  ut  quadratum  sinus 
totius  T  L,  ad  quadratum  sinus 
complementi  T  F,  declinationis 
Lunae  L  T  D. 

(f)    *    Fra;terea  diametri  orbis. 
(Prop.  XXVIIL  Lib.  hujus). 

(8)  *  Vires>  autem  Lunce.    (Cor. 
14.  Prop.  LXVI.  Lib.  L). 

C*)*  Undejit.  Ut  ex  hac  analogia 
vis  L  Lunse  coHigi  possit,  ducenda 
sunt  media  et  extrema,  ha^cque  ori. 
etur  eequatio  1.0J7522  L  X  5  + 
0.7986355  SX  5=0.9830427X9X0.857032  L— 
0.7986355  S  X  9;  et  transponendo  haec  habetur 
proportio  S  :  L  =  0.9830427  X  0.8570327  X  9 
— 017522X5  :  0.7986355X5+0:7980355  X  9. 


LiBER  Tertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA.  lll 

1.017522  L  + 0.7986355  Sad  0.9830427  X  0.8570327  L— 0.7986355  S 
ut  9  ad  5.  Et  S  ad  L  ut  1  ad  4.4815.  Itaque  cuiii  vis  Solis  sit  ad 
vim  gravitatis  ut  1  ad- 128682003  vis  Lunas  erit  ad  vim  gravitatis  ut  1  ad 
2871400. 

Corol.  1.  Cum  aqiia  vi  Solis  agitata  ascendat  ad  altitudinem  pedis 
unius  et  undecim  digitorum  cum  tricesima  parte  digiti,  eadem  vi  Lunae 
ascendet  ad  altitudinem  octo  pedum  et  digitorum  ^^^,  et  vi  utraque  ad 
altitudinem  pedum  decera  cum  semisse,  et  ubi  Luna  est  in  periga^o,  ad 
altitudinem  pedum  duodecim  cum  scmisse  et  ultra,  praesertim  ubi  sestus 
ventis  spirantibus  adjuvatur.  Tanta  autem  vis  ad  omnes  maris  motus 
excitandos  abunde  sufficit,  et  quantitati  motuum  probe  respondet.  Nam 
in  maribus  quae  ab  oriente  in  occidentem  late  patent,  uti  in  Mari  Paciiico, 
et  Maris  Atlantici  et  j^thiopici  partibus  extra  tropicos,  aqua  attolli  solet 
ad  altitudinem  pedum  sex,  novem,  duodecim  vel  quindecim.  In  Mari 
autem  Pacifico,  quod  profundius  est  et  latius  patet,  aestus  dicuntur  esse 
majores  quam  in  Atlantico  et  ^thiopico.  Etenim  (^)  ut  plenus  sit  sestus, 
latitudo  maris  ab  oriente  in  occidentem  non  minor  esse  debet  quon  gra- 
duum  nonaginta.  In  Mari  iEthiopico  ascensus  aqua3  intrr.  tropicos  minor 
est  quam  in  zonis  temperatis,  propter  angustiam  maris  inter  Africam  et 
australem  partem  Americae.  In  medio  mari  aqua  nequit  ascendere,  nisi 
ad  littus  utrumque  et  orientale  et  occidentale  simul  descendat :  cum  tamen 
vicibus  alternis  ad  littora  illa  in  maribus  nostris  angustis  descendere 
debeat.  Ea  de  causa  fluxus  et  refluxus  in  insulis,  quae  a  httoribus  longis- 
sime  absunt,  perexiguus  esse  solet.  In  portubus  quibusdam,  ubi  aqua 
cum  impetu  magno  per  loca  vadosa,  ad  sinus  alternis  vicibus  implendos 
et  evacuandos,  influere  et  eflluere  cogitur,  fluxus  et  refluxus  debent  esse 
solito  majores,  uti  ad  Plymuthum  et  pontem  Chepstowae  in  Anglia ;  ad 
montes  S.  Michaelis  et  urbem  Abrincatuorum  (vulgo  Avranches)  in 
Normannia;  ad  Cambaiam  et  Pegu  in  India  Orientali.  His  in  locis  mare, 
magna  cum  velocitate  accedendo  et  recedendo,  littora  nunc  inundat  nunc 
arida  relinquit  ad  multa  milharia.  Neque  impetus  influendi  et  remeandi 
prius  frangi -potest,  quam  aqua  attoliitur  vel  deprimitur  ad  pedes  30,  40, 
vel  50  et  amplius.  Et  par  est  ratio  fretorum  oblongorum  et  vadosorum, 
uti  Magellanici  et  ejus  quo  Anglia  circundati5r.  ^stus  in  hujusmodi 
portubus  et  fretis  per  impetum  cursus  et  recursus  supra  modum  augetur. 
Ad  littora  vero  quae  descensu  priecipiti  ad  mare  profundum  et  apertum 

Jarn  voro  sumptis  homnice  numcrorum  logarlth-     garibus  logarithmorum  tabulis,  prodit  S  ad  L  ut 
inis,  et  quaesitis  respondentibus  numeris  iu  vuU     1  ad  4.4815  quamproximo, 

(•)  •  Ut plcnus  iit  ctslus'     (109.) 
II  3 


112  PHILOSOPHI.E  NATURALTS     [De  Mund.  Syst. 

spectant,  ubi  aqua  sine  impetu  effluendi  et  remeandi  attolli  et  subsidere 
potest,  magnitudo  aestus  respondet  viribus  Solis  ct  Lunss. 

Corol.  2.  Cum  vis  Lunae  ad  mare  movendum  sit  ad  vim  gravitatis  ut  1 
ad  2871400,  perspicuum  est  quod  vis  illa  sit  longe  minor  quam  quag  vel 
in  experimentis  pendulorum,  vel  in  staticis  aut  hydrostaticis  quibuscunque 
sentiri  possit.     (^)  In  aestu  solo  marino  haec  vis  sensibilem  edit  efFectum. 

Corol.  3.  Quoniam  vis  Lunae  ad  mare  movendum  est  ad  Solis  vim 
consimilem  ut  4.4815  ad  1,  et  vires  illae  (per  Corol.  14.  Prop.  LXIV. 
Lib.  I.)  sunt  ut  densitates  corporum  Lunae  et  Solis  et  cubi  diametrorum 
apparentium  conjunctim ;  densitas  Lunae  erit  ad  densitatem  Solls  ut 
4.4815  ad  1  directe,  et  cubus  diametri  Lunos  ad  cubum  diametri  Solis 
inverse :  id  est  (cum  diametri  mediocres  apparentes  Lunse  et  Solis  sint 
31'.  16J''.  et  32'.  12''.)  ut  4891  ad  1000.  (^)  Densitas  autem  Solis  erat 
ad  densitatem  Terrae  ut  1000  ad  4000;  et  propterea  densitas  Lunai  est 
ad  densitatem  Terrae  ut  4891  ad  4000  seu  11  ad  9.  Est  igitur  corpus 
Lunae  densius  et  magis  terrestre  quam  Terra  nostra. 

Cm^ol.  4.  Et  cum  vera  diameter  Lunae  ex  observationibus  astronomicis 
sit  ad  veram  diametrum  Terrae  ut  100  ad  365;  erit  massa  Lunae  ad 
massam  Terrae  ut  1  ad  39.788. 

Corol.  5.  ("^)  Et  gravitas  acceleratrix  in  superficie  Lunae  erit  quasi 
triplo  minor  quam  gravitas  acceleratrix  in  superficie  Terrae. 

Corol.  6.  C^)  Et  distantia  centri  Lunae  a  centro  Terrae  erit  ad  distan- 
tiam  centri  Lunae  a  communi  gravitatis  centro  Terrae  et  Lunae,  ut  40.788 
ad  39.788. 

(")  Corol.  7.  Et  mediocris  distantia  centri  Lunae  a  centro  Terrae  in 
octantibus  Lunae  erit  semi-diametrorum  maximarum  Terrae  60f  quam.- 
proxime.  Nam  Terrae  semi-diameter  maxima  fuit  pedum  Parisiensium 
19658600,  et  mediocris  distantia  centrorum  Terrae  et  Lunae,  ex  hujus- 
modi  diametris  60f  constans,  aequalis  est  pedibus  1187379440.     Et  haec 

(*")  *  Iji  cBstu  solo  marino.     Hjb  quidem  vires  (^)   *  Densitas  autem  Solis.     (Cor.  5.  Prop. 

ad  movendum  mare  sufficiunt,  sed  alios  ettectus  VIII.  Lib.  hujus.) 
sensibiles  producere  non  possunt.      Etenim  gra- 

num  unum  cum  pondere  granorum  4000  etiam  C")  *  Et  gramlas  acceleratrix.      Nam  gravitas 

accuratissima  libra  comparatum  sentiri  vix  potest,  acceleratrix  est  ut  massa  directe  et  quadraturr 

vis  autem  solaris  cst  ad  vim  gravitatis  ut  1  ad  distantiae  a  centro,  lioc  est,  scmi-diametri  inverse 

12868200,  summaquo  virium  Solis  et  Lunae  est  (Cor.  1.  Prop.  LXXV.  Lib.  I.)     Idcoque  gra- 

ad    candem    vim   gravitatis    ut    1    ad   2032890.  vitas  accelcratrix  in  supcrficie  Luna?  est  ad  gra- 

Quare  patet  vires  illas,   licet  conjunctas,  multo  vitatem    accelcratricem  in  superficie    Terraj    ut 

minores  esse  quam  ut  pondus  corporis  cujusvis  1  X  13524.  ad  39.788  X  1000,  hoc  est,  ut  1  ad 

in  libra  appensi  sensibiliter  augcre  vcl  minuere  3  circitcr. 
possint.    Unde  nec  in  experimentis  pendulorum, 

barometrorum,  vel  in  staticis  aut  hydrostaticis  (^)  *  £t  distantia  centri Ltinee.  (Gl.hih.  J.) 
sensibil.s    edent    effectus.       Idem    Corollarium 

eleganter  denionstravit  clariss.  Eulerus  num.  50.  (°)  *  Corol.  7.    Computum  eodem  plane  modo 

Dibsertiitionis  dc  P'luxu  ct  Rcfluxu  Maris.  initur  ac  in  Prop.  IV.  Lib.  hujus. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  1J3 

distantla  (per  Corollarium  superius)  est  ad  distantiam  centri  Lunoe  a 
communi  gravitatis  centro  Terrae  et  Lunae,  ut  40.788  ad  39.788 :  ideoque 
distantia  posterior  est  pedum  1158268534.  Et  cum  Luna  revolvatur, 
respectu  fixarum,  diebus  27,  horis  7,  et  minutis  primis  43|-;  sinus  versus 
anguli,  quem  Luna  tempore  minuti  unius  primi  describit,  est  12752341, 
existente  radio  1000,000000,000000.  Et  ut  radius  est  ad  hunc  sinum 
versum,  ita  sunt  pedes  1158268534  ad  pedes  14.7706353.  Luna  igitur 
vi  illa,  qua  retinetur  in  arbe,  cadendo  in  Terram,  tempore  minuti  unius 
primi  describet  pedes  14.7706353.  Et  augendo  hanc  vim  in  ratione 
178|g  ad  177|nj  habebitur  vis  tota  gravitatis  in  orbe  Lunae  per  Corol. 
Prop.  III.  Et  hac  vi  Luna  cadendo  tempore  minuti  unius  primi  describet 
pedes  14.8538067.  Et  ad  sexagesimam  partem  distantiae  Lunae  a  centro 
Terrae,  id  est  ad  distantiam  pedum  197896573  a  centro  Terrae,  corpus 
grave  tempore  minuti  unius  secundi  cadendo  describet  etiam  pedes 
14.8538067.  Ideoque  ad  distantiam  pedum  19615800,  qute  sunt  Terrae 
semi-diameter  mediocris,  grave  cadendo  describet  pedes  15.11175,  seu 
pedes  15,  dig.  1,  et  lin.  4yV.  Hic  erit  descensus  corporum  in  latitudine 
graduum  45.  Et  per  tabulam  praecedentem  in  Prop.  XX.  descriptam, 
descensus  erit  paulo  major  in  latitudine  Lutetiae  Parisiorura  existente 
excessu  quasi  f  partium  lineae.  Gravia  igitur  per  hoc  computum  in 
atitudine  Lutetiae  cadendo  in  vacuo  describent  tempore  unius  secundi 
pedes  Parisienses  15,  dig.  1,  et  lin.  4ff  circiter.  Et  si  gravitas  minuatur 
auferendo  vim  centrifugam,  quae  oritur  a  motu  diurno  Terrae  in  illa 
latitudine,  gravia  ibi  cadendo  describent  tempore  minuti  unius  secundi 
pedes  15,  dig.  1,  et  lin.  IJ.  Et  hac  velocitate  gravia  cadere  in  latitudine 
Lutetiae  supra  ostensum  est  ad  Prop.  IV.  et  XIX. 

Corol.  8.  Distantia  mediocris  centrorum  Terrae  et  Lunae  in  syzygiis 
Lunae  est  sexaginta  semi-diametrorum  maximarum  Terrae,  dempta  trice- 
sima  parte  semi-diametri  circiter.  Et  in  quadraturis  Lunae  distantia 
mediocris  eorundem  centrorum  est  60f  semi-diametrorum  Terrae.  Nam 
hae  duae  distantiae  sunt  ad  distantiam  mediocrem  Lunae  in  octantibus  ut 
69"  et  70  ad  69i  per  Prop.  XXVIIL 

Corol.  9.  Distantia  mediocris  centrorum  Terrae  et  Lunae  in  syzygiis 
Lunae  est  sexaginta  semi-diametrorum  mcdiocrium  Terrae  cum  decima 
parte  semi-diametri.  Et  in  quadraturis  Lunae  distantia  mediocris  eorun- 
dem  centrorum  est  sexaginta  et  unius  semi-diametrorum  mediocrium 
Terrae,  dempta  tricesima  parte  semi-diametri. 


H4 


lU 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


Corol,  10.  In  syzygiis  Lunae  (p)  parallaxis  ejus  horizontalis  mediocris 
in  latitudinibus  graduum  0,  30,  38,  45,  52,  60,  90,  est  57^  20'',  57'.  16'', 
57'.  14'',  57'.  12';  57'.  10",  57'.  8",  57'.  4.".  respective. 

In  his  computationibus  attractionem  magneticam  Terrae  non  conside- 
ravi,  cujus  utique  quantitas  perparva  est  et  ignoratur.  Si  quando  vero 
haec  attractio  investigari  poterit,  et  mensuras  graduum  in  meridiano,  ac 
longitudines  pendulorum  isochronorum  in  diversis  parallelis,  legesque 
motuum  maris,  et  parallaxis  Lunae  cum  diametris  apparentibus  Solis  et 
Lunae  ex  ph^enomenis  accuratius  determinatae  fuerint :  {^)  licebit  calculum 
hunc  omnem  accuratius  repetere. 


PROPOSITIO  XXXVIIL    PROBLEMA  XIX. 


Invenire  Jiguram  corporis  Lunce. 

Si  corpus  lunare  fluidum  esset  ad  instar  maris  nostri,  vis  Terrae  ad 
fluidum  illud  in  partibus  et  citimis  et  ultimis  elevandum  esset  ad  vim 
Lunae,  qua  mare  nostrum  in  partibus  et  sub  Luna  et  Lunae  oppositis 
attollitur,   {^)  ut  gravitas  acceleratrix  Lunae  in   Terram  ad  gravitatem 


(P)  125.  *  Parallnxis  Liiriffi  horizontalis  in 
diversis  latitudinibus  seu  distantiis  ab  aequatore 
determinaii  potest.  Parallaxis  Lunae  borizon- 
talis  est  differentia  locorum  in  quibus  Lima  in 
horizonte  posita,  ex  centro  et  superficie  Terrae 
observata  inter  stelias  fixas  conspicitur.  Haec 
autem  locorum  distantia  aequalis  est  angulo  sub 
quo  videretur  semi-diameter  Terrae  ex  loco  Lunae 
observata.  Sit  Luna  in  horizonte  constituta  in 
L ;  observator  in  superficiei  terrestris  loco  S, 
Lunam  intor  stellas  referet  in  b,  sed  idem  obser- 
vator  in  centro  Terrae  T  positus  Lunam  referet 
in  a.  Est  igitur  diflPerentia  locorum  squalis 
a  L  b,  qui  aequatur  angulo  S  L  T,  sub  quo 
semi-diameter  Terrae  e  loco  Lunaj  L  spectatur. 
Sed  quoniam  Terra  est  figuraj 
sphajroidicae,    semi-diametri  ejus  in  ^ 

diversis  latitudinibus  inter  se  diffe- 
runt,  et  est  semi-diameter  maxima 
secundum  aequatorem  ad  minimam 
secundum  polos,  sive  in  latitudine 
90°.  ut  19658600  ad  19573000 
circiter,  estque  earum  difftrentia 
85472  (Prop.  XTX.  Lib.  huj.) 
in  aliis  latitudinibus  differentia  inter 
diamclrum  maximam  et  quanivis  ah'am  est 
ad  diffcrentiam  priorem  in  ratione  duplicata  si- 
niis  totius  ad  sinum  cujusvis  latitudinis  quam- 
proxime  (Prop.  XX.  Lib.  huj.)  hinc  in  syzygiis 
Lunae  parallaxis  ejus  horizontalis  mediocris,  hoc 
est,  ubi  distantia  centrorum  Lun?E  et  Terrae  cst 
semi-diametrorum  maximarum  Terrse  59.366 
circitcr  (Cor.  8.)  sub  aequatore  invenitur  dicendo, 
ut  cst  distantia  Lunae  a  Terra  L  S  =  59.566, 


ad  semi-diametrum  maximam  T  S  =  1,  ita 
sinus  totus  ad  sinum  anguli  T  L  S,  qui  est  57'. 
20".  In  ahis  Lunae  locis  minuitur  parallaxis  in 
eadem  fere  ratione  ac  semi-diametri  TeiTJE,  et 
hinc  prodcunt  parallaxes  in  latitudinibus  gra- 
duum  0.  30.  38.  45.  52.  60.  90.  quales  a  New- 
tono  determinantur. 

(■^)  *  Licebil  calculum  Ininc  omnem  acrtcralius 
repetere.  Theoriae  Newtoni  de  Fluxu  ct  Refluxu 
Maris  plurima  hic  potuissemus  adjungere,  quo- 
rum  ope  calculos  accuratius  repetere  h*cuisset. 
Verum  materiam  exhauriunt  elegantissima^  Dis- 
scrtationes  quas  Vol.  IIL  addidimus. 

(J)  *  Ut  gravitas  acceleratrix.  Sit  T,  globus 
Tcrrae  fluido  satis  profundo  E  A,  co-opertus, 


sifque  L,  globus  Lunae  co-opertus  fluido  F  B. 
Si  gravitas  acceleratrix  Terra'  in  Lunam  asquah^s 
esset  gravitati  acceleratrici  Lunae  in  Terram,  hoc 
est  si  o^quaHs  esset  materioe  quantitas  in  Luna  et 
in  Terra,  globi  duo  T,  L,  sese  componerent  in 
figuras  sphaeroidicas  similes  quarum  axcs  M  A, 
B  N,  jaccrent  in  directum  (106).  Ciim  enim 
omnia  hinc  inde  ponantur  aequalia  praetcr  ipsam 
molcm,  nulla  cst  ratio  cur  figura?  illx'  non  sint 


LiberTertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


115 


acceleratricem  Terras  in  Lunam,  et  diameter  Lunae  ad  diametrum  Terrse 
conjunctim;  id  est,  ut  39.  788  ad  1  et  100  ad  365  conjunctim,  seu  1081 
ad  100.  Unde  cum  mare  nostrum  vi  Lunas  attollatur  ad  pedes  8f, 
fluidum  lunare  vi  Terrae  attolli  deberet  ad  pedes  93.  Eaque  de  causa 
figura  Lunae  sphaerois  esset,  cujus  maxima  diameter  producta  transiret 
per  centrum  Terrae,  et  superaret  diametros  perpendiculares  excessu  pedum 
186.  Talem  igitur  figuram  Luna  afFectat,  eamque  sub  initio  induere 
debuit.     Q.  e.  i. 

CoroL  (^)  Inde  vero  fit  ut  eadem  semper  Lunae  facies  in  Terram  obver- 
tatur.     In  alio  enim  situ  corpus  lunare  quiescere  non  potest,  sed  ad  hunc 

inter  se  similes,  alteraque  in  acutiorem  sphaeroi-  meter  Lunas  versus  centrum  Terrae  dirigitur  (ex 

dem  desinat.     Quare  in  casu  praesenti,  erit  B  L  dem.)  hinc  fit  ut  eadem  semper  Lunae  facies  in 

ad  L  F,  ut  T  A  ad  T  E,  et  vicissim  B  D  ad  A  C  Terrara  obvertatur.     Posita  autem  sphaeroidica 

sicut  L  F  ad  T  E,  hoc  est,  si  Eequalis  esset  gra-  Lunae  figura,  inter  varias  Lunae  partes  non  da- 


AB 


vitas  acceleratrix  Terra;  in  Lunam  atque  Lunse 
in  Terram,  altitudo  fluidi  lunaris  in  partibus 
proximis  et  remotissimis  supra  globum  Luna^, 
esset  ad  altitudinem  fluidi  terrestris  analogara 
supra  globum  Terraa  ut  diameter  Lunse  ad  dia- 
metrum  Terrae.  Rursus,  si  Terra  et  Luna 
aequales  habeant  diametros,  erunt  altitudines 
fluidi  supra  crlohos  ut  frravifates  acceleratrices 
respective  (Prop.  LXXIV.  Lib.  L)  Quare  si 
neque  gravitas  acceleratrix  in  Lunam  aequalfssit 
gravitalis  acccleratrici  Lunoe  in  Terram,  nec 
diamster  Lunae  diametro  Terrae  aequah^s,  vis 
Terrae  ad  elevandum  fluidum  in  partibus  citimis 
et  ultimis  erit  ad  vim  ipsam  Lunee  quas  mare 
nostrum  in  partibus  et  sub  Limaet  Lunae  op- 
positis  attoUitur,  ut  gravitas  acceleratrix  Lunae 
in  Terram  ad  gravil.Uem  acceleratricem  Terrac 
in  Lunam,  et  diameter  Lunaj  ad  diametrum 
Terrte  conjunctim,  sive  ut  massa  Lunae  qujE 
gravitati  acceleratrici  est  proportionahs  ad  mas- 
sam  Terraequa2  itidcm  gravitati  ejus  acceleratrici 
est  proportionalis,  et  ut  diameter  Luna?  ad  dia- 
metrum  Terrje  conjunctim.  De  figura  corporis 
Lunae  nova  quam  plurima  atque  eximia  haben- 
tur  in  Dissertationibus  de  FIuxu  et  Refluxu 
Maris, 

(')  *  Indc  verb  fit.     Quoniam"  maxima  dia- 


bitur  aequilibrium,  iiisi  sphaerois  Lunap  axem 
suum  Telkiri  obvertat  (109)  ;  quare  in  alio  situ 
TOrpus  lunare  quiescere  non  potest,  sed  ad  hunc 
situm  oscillando  semper  redibit.  Attamen  os- 
cillationes,  ob  parvitatem  virium  in  minimo  sci- 
licet  axis  majoris  supra  minorem  excessu,  essent 
longe  tardissimae,  adeo  ut  non  turbetur  lunaris 
moiiis  circa  axem  aequabihtas,  ideoque  (per  not. 
in  Prcp.  XVI L)  focies  illa  quae  Terram  semper 
respicore  deberet,  possit  alterura  orbis  lunaris 
umbilicum  respicere,  neque  statim  abinde  retrahi 
et  in  lerram  converti. 

1'24.  Ciariss.  D.  de  Mairan  in  elegantissima 
Dissertatione  de  Motu  Diurno  Telluris  circa 
Axem,  quae  legitur  in  Monum.  Paris.  an.  1729. 
exponit  admodum  ingeniose  prout  semper  facit, 
cur  eadem  Luna?  facies  in  Terram  continuo 
obvertatur,  variasque  cxplicat  ina;quahtates  Hbra- 
tionis  lunaris  in  longitudinem.  Conjecturam 
facit  vir  doctissimus,  homogeneam  non  esse 
Lunae  materiam,  sed  hemispheiium  infcrius  su- 
periori  gravius  supponit ;  quo  posito  facile  de- 
monstrat  Lunam  respectu  Tcliuris  in  situ  con- 
stanti  manere.  Observat  deinde  fieri  non  posse 
ut  constans  maneat  Lunae  positio,  nisi  coustans 
quoque  sit  velocitas  fluidi  in  quo  Lunam  ipsam 
deferri  assumit.      Sed  in  omni  orbita  cliiptica 


116 


PHILOSOPHIJE  NATURALIS   [De  Mund  Syst. 


situm  osclllando  semper  redibit.  Attamen  oscillationes,  ob  parvitatem 
virimn  agitantium  essent  longe  tardissimse :  adeo  ut  facies  illa,  quas  Terram 
semper  respicere  deberet,  possit  alterum  orbis  lunaris  umbilicum  (ob 
rationem  in  Prop.  XVII.  allatam)  respicere,  neque  statim  abinde  retrahi 
et  in  Terram  converti. 

LEMMA  L 


5?  A  P  E  P  p  Terram  designet  uniformiter  denmm^  centroque  C  et  polis  P, 
p  et  cequatore  A  E  delineatam  j  et  si  centro  C  radio  C  P  descrihi  intclli' 
gatur  sjplicEra  P  a  p  e ;  sit  autem  Q  R  planum,  cui  recta  a  centro  Solis 
ad  centrum  TeiTce  ducta  normaliter  insistit ;  et  Terrce  totius  cxterioris 
PapAPepE,  quce  sjphcEra  modb  descriptd  altior  est,  particutce  singulce 
conentur  recedere  liinc  inde  a  jplano  Q  R,  sitque  conatus  jparticulcie  cujusque 
ut  ejusdem  distantia  a  plano :  dico  primo,  quod  tota  particularum  omnium 
in  cequatoris  circulo  A  E,  extra  glohum  uniformiter  per  totum  circuitum 
in  mo7'em  anmdi  dispositarum,  vis  et  efficacia  ad  Terram  circum  centrum 
ejus  7'otandam,  sit  ad  totam  particulanm  totidem  in  cequatoris  puncto  A, 
quod  a  plano  Q  R  maxime  distat,  consi&tentium  vim  et  eff}caciam,  ad 
Ten-am  constmili  jnotu  circulari  circum  centrum  ejus  movendam,  ut  unum 
ad  duo.  Et  motus  iste  circularis  circum  axem,  in  communi  sectione  cequa- 
toris  et  plani  Q  11  jace7item,  peragetu?', 

Nam  centro  K  diametro  I  L  describatur  semi-circulus  I  N  L.  Dividi 
intelligatur  semi-circumferentia  I  N  L  in  partes  innumeras  sequalos,  et  a 
partibus  singulis  N  ad  diametrum  I  L  demittantur  sinus  N  M.     (*)  Et 


vel  excentrlca  qualis  est  orbita  Lunae,  variabiles 
sunt  hujusce  fluidi  velocitates,  quare  Luna  in 
oodem  situ  consistere  non  potest,  sed  oscillationes 
quasdam  in  longitudinem  patitur  ;  ex  quibus  fiet 
iit  modo  nobis  detegatur  aliqua  pars  hemispberii 
quod  occultum  esse  solet,  modo  autem  robis  ab- 
scondatur  ali qua  pars  hemispberii  quod  solet  csse 
conspicuum,  idque  magis  vel  minu»  contingere 
debet  pro  majori  vel  minori  ina^qualiiate  veioci- 
tatum  fluidi.  Hac  rationo  explicari  potorit  cur 
^inaris  librationis  quantitas  in  longitudinem 
major  aliquando  ab  astronomis  observatur  quam 
ex  Prop.  XVII.  Lib.  huju«,  prodire  debet. 
Verum  tota  hfec  explicatio  ad  rem  nostram  ct 
Newtonianum  systema  accommodabitur,  si  vor- 
ticum  loco  substituatur  attractio,  quemadmodum 
a  clariss.  Daniclc  BernciiUio  factum  est,  cujus 
eximiam  Dissertationem  de  Fluxu  ct  Refluxa 
Maris  Cap.  III.  consulat  lector. 

(*)  125.*  Et  summa  qxtadratnruv^.  Divisa 
intelligatur  scmi-circumferentia  1  N  L,  iii  par» 
ticulas  aequales  innumeras  n  b,  N  L,  N  F,  b  B, 
&c.  erectisque  sinibus  b  It,  N  M,  &c.  erit  sinus 


b  m,  seu  K  R,  rrqualis  sinui  N  M,  et  ita  de  cae- 
teris  (Prop.  XXVI.  Lib.  III.  Elem.).  Quare 
sinus  omnes  ut  K  B,  K  F,  a?quales  enmt  sini- 
bus  ut  N  M,  S  Q,  ac  proinde  summa  quadrato- 
»u|n   ex  sinibus  omnibus   N  M,    aequalis   erit 


l^R    P       0,    M 


summae  quadratorum  ex  sinibus  omnibus  K  M. 
PraJterea  quadratum  senii-diametri  K  N,  ajquale 
est  quadratis  sinuum  K  M,  M  N.  Quare  (ob 
summam  quadratorum  K  M,  a^qualem  summa; 
quadratorum  N  M,)  summa  quadratoruin  ex  om- 
nibus  semi-diaraetris   K  N,   dupla  cst  summas 


LiBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


117 


summa  quadratorum  ex  sinibus  omnibus  N  M  asqualis  erit  summse 
quadratorum  ex  sinibus  K  M,  et  summa  utraque  aequalis  erit  summae 
quadratorum  ex  totidem  semi-diajxietris  K  N ;  ideoque  suinma  quadrato- 
rum  ex  omnibus  N  M  erit  duplo  minor  quam  summa  quadratorum  ex 
totidem  semi-diametris  K  N. 

Jam  dividatur  perimeter  circuli  A  E  in  particulas  totidem  aequales,  et 
ab  earum  unaquaque  F  ad  planum  Q  R  demittatur  perpendiculum  F  G, 


ut  et  a  puncto  A  perpendiculum  A  H.  Et  vis,  qua  particula  F  recedit  a 
plano  Q  R,  erit  ut  perpendiculum  illud  F  G  per  hypothesin,  et  ha^c  vis 
ducta  in  distantiam  C  G  (")  erit  efficacia  particulae  F  ad  Terram  circum 
centrum  ejus  convertendam.  Ideoque  efficacia  particuls  in  loco  F,  erit 
ad  efficaciam  particulas  in  loco  A,  ut  F  G  X  G  C  ad  A  H  X  H  C,  (^)  hoc 
est,  ut  F  C  q  ad  A  C  q ;  et  propterea  efficacia  tota  particularum  omnium 
in  locis  suis  F  erit  ad  efficaciam  particularum  totidem  in  loco  A,  ut 
summa  omnium  F  C  q  ad  summam  totidem  A  Gq,  hoc  est  (per  (^)  jam 
demonstrata)  ut  unum  ad  duo.     Q.  e.  d. 

Et  quoniam  particulas  agunt  recedendo  perpendiculariter  a  plano  Q  R, 
idque  aequaliter  ab  utraque  parte  hujus  plani :  eaedem  convertent  circum- 
ferentiam  circuli  aequatoris,  eique  inhaerentem  Terram,  circum  axem  tam 
in  plano  illo  Q  R  quam  in  plano  aequatoris  jacentem. 

LEMMA  IL 


lisdem  positis  :  dico  secundb  quod  vis  el  ejjicacici  tota  'particularum  omnium 
extra  globum  undique  sitarum,  ad  Tcrram  circiim  axem  eundem  rotandam^ 
sit  ad  vim  totam  particularum  totidcm^  in  cequatoris  circulo  A  E  imifoi' 


qiiaclratorum  ex  omnibus  sinilms  N  M,  ideoque 
summa  quadratorum  ex  omnlbus  N  M,  erit  du- 
plo  minor  qndm  summaquadratorum  ex  totidem 
semi-diametris  K  N. 


(")  *  Erit  efjlcacia.      (47.  Lib.  I.) 
('')  *  Hoc  est,  ob  triangula  A  C  H,   F  C  G, 
similia. 

{^)  *  Pcrjam  dcmonslrala.     (150.) 


118  PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 

miter  per  totum  circuitum  in  morem  annuli  dispositarum,  ad  Terram  con- 
simili  motu  circulari  movendam,  ut  duo  ad  quinque. 

Sit  enim  I  K  circulus  quilibet  minor  aequatori  A  E  parallelus  ;  sintque 
L,  I  particulae  duae  quaevis  sequales  in  hoc  circulo  extra  globum  P  a  p  e 
sitae.  Et  si  in  planum  Q  R,  (^)  quod  radio  in  Solem  ducto  perpendiculare 
estj  demittantur  perpendicula  L  M,  1  m :  vires  totae,  quibus  particulae  illae 
fugiunt  planum  Q  R,  (^)  proportionales  erunt  perpendiculis  illis  L  M,  1  m. 
Sit  autem  recta  L  1  plano  P  a  p  e  parallela  et  bisecetur  eadem  in  X,  et 
per  punctum  X  agatur  N  n,  quae  parailela  sit  plano  Q  R  et  perpendiculis 
L  M,  I  m  occurrat  in  N  ac  n,  et  in  planum  Q  R  demittatur  perpendiculum 
X  Y.  (^)  Et  particularum  L  et  1  vires  contrariae,  ad  Terram  in  contrarias 
partes  rotandam,  sunt  ut  L  M  X  M  C  et  1  m  X  m  C,  hoc  est,  ut  L  N  X 
MC+NMx  MCetlnXmC  —  nmXmC;  seuL  NxMC 
+  NMxMC(*=)etLNXmC  —  NMXmC:et  harum  difTerentia 
L  N  X  M  m  —  N  M  X  M  C  +  m  C  est  vis  particularum  ambarum 
simul  sumptarum  ad  Terram  rotandam.  Hujus  differentiee  pars  affirma- 
tiva  L  N  X  M  m  C^)  seu  2  L  N  X  N  X  est  ad  particularum  duarum 
ejusdem  magnitudinis  in  A  consistentium  vim  2  A  H  X  H  C,  C^)  ut 
L  X  q  ad  A  C  q.  Et  pars  negativa  N  M  X  M  C  +  m  C  seu  2  X  Y 
X  C  Y  ad  particularum  earumdem  in  A  consistentium  vim  2  A  H  X 
H  C,  ut  C  X  q  ad  A  C  q.  Ac  proinde  partium  difFerentia,  id  est,  parti- 
cularum  duarum  L  et  1  simul  sumptarum  vis  ad  Terram  rotandam  est  ad 
vim  particularum  duarum  iisdem  aequalium  et  in  loco  A  consistentium  ad 
Terram  itidem  rotandam,  utLXq  —  CXqadACq.  Sed  si  circuli 
I  K  circumferentia  I  K  dividatur  in  particulas  innumeras  aequales  L, 
erunt  omnes  L  X  q  ad  totidem  I  X  q  ut  1  ad  2  (per  Lem.  I.)  atque  ad 
totidem  A  C  q,  ut  I  X  q  ad  2  A  C  q ;  et  totidem  C  X  q  ad  totidem  A  C  q 
ut  2  C  X  q  ad  2  A  C  q.  Quare  vires  conjunctae  particularum  omnium  in 
circuitu  circuli  I  K  sunt  ad  vires  conjunctas  particularum  totidem  in  loco  A, 

C")  *  Q.uod  radio  in  Solcm  ducto.      (Per  hyp.  m  M  +  M  C,  erit  virium  illarum  differfcntia  = 

•^^™-  !•)  L  N  X  M  m  —  N  M  X  M  C  +  m  C. 

(3)  *  Proportionales  erunt.      (Per  hypotlies.  ,.  O  *  Seu  2  L  N  X  N X.     Nam.  ob  similitu- 

ejusdem  Lem  )  dmem  triarigulorum,  est  N  A  =  n  A,  icleoque 

N  n  seu  M  m  =  2  N  X,  ac  proinde  L  N  X  ' 

(^)  *  Et  particularum  L  et  l.       (Ex  dem.  in  Mm  =  2LNXNX. 

Lem  praeced.)  (^)  *  Ut  L  X q  ad  A  C q.     Est  enim  L  N  : 

AH  =  LX:ACetNX:HC  =  LX: 

D  *  El  L  NX  m  C —  N  MX"''  C     Nam  A  C,  ideoque  per  compositionem  rationum  L  N 

ob  siiniiitudinem  triangulorum   LN:NM=  XNX:AHXHC=LXq:ACq. 

1  n  :   n  m,  sed  est  N  M  =  n  m ;  quare  L  N  Simili  argumento  patet  partem  negativam  e&se 

=  1  n,  ideoque  InXmC  —  nmXinC=  ad  vim  particularura  earumdem  in  A  consisteu- 

L  N  X  I"  C  --  N  M  X  I"  C  ct  ob  m  C  =  tium  ut  C  X  q  ad  A  C  q. 


LiBER  Tertius.]    PRINCIPIA   MATHEMATICA. 


119 


ut  l  X  q  —  2CXqad2ACq:  et  propterea  (per  Lem.  I.)  ad  vires 
conjunctas  particularum  totidem  in  circuitu  circuli  A  E,  ut  I  X  q 
—  2  C  X  q  ad  A  C  q. 

Jam  vero  si  sphaerae  diameter  P  p  dividatur  in  partes  innumeras  aequales, 
quibus  insistant  circuli  totidem  I  K ;  (^)  materia  in  perimetro  circuli  cu- 
jusque  I  K  erit  ut  I  X  q :  ideoque  vis  materias  illius  ad  Terram  rotandam, 
erit  ut  I  X  q  in  I  X  q  — 
2  C  X  q.  Et  vis  materiae  ejus- 
dem,  si  in  circuli  A  E  perime- 
tro  consisteret,  esset  ut  I  X  q 
in  A  C  q.  Et  propterea  vis 
particularum  omnium  materiae 
totius,  extra  globum  in  peri- 
metris  circulorum  omnium  con- 
sistentis,  est  ad  vim  particula- 
rum  totidem  in  perimetro  cir- 
culi  maximi  A  E  consistentis, 
ut  omnia  I  X  q  in  I  X  q  — 
2*  C  X  q  ad  totidem  I  X  q 
in  A  C  q,  (^)  hoc  est,  ut 
omnia  A  C  q  —  C  X  q  in 
ACq  —  SCXqad  totidem  A  C  q  —  C  X  q  in  A  C  q,  id  est,  ut  omnia 
ACqq  — 4ACqX  CXq  +  3C  Xqqadtotidem  ACqq  — ACq 
X  C  X  q,  hoc  est,  ut  tota  quantitas  flucns,  cujus  fluxio  est  A  C  q  q  — 
4ACqX  CXq  +  3CXqq,  ad  totam  quantitatem  fluentem,  cujus 
fluxio  est  A  C  q  q  —  A  C  q  X  C  X  q;  (^)  ac  proinde  per  methodum 
fluxionum,  ut  A  C  q  q  X  C  X  — |  A  C  q  X  C  X  cub.  +  f  C  X  q  c  ad 
ACqqX  CX—  i-ACqX  CX  cub.  id  est,  si  pro  C  X  scribatur  tota 
C  p  vel  A  C,  ut  T^  A  C  q  c  ad  I  A  C  q  c,  hoc  est,  ut  duo  ad  quinque. 
Q.  e.  d. 


C)  *  Materia  in  perimetro  circuli.  Sunt 
enim  zonaa  sphsericae  similes  ut  quadrata  radio- 
rum. 

(^)  Hoc  est,  vt  omnia,  S,c.  Nam  ex  centro  C, 
ad  punctum  I,  ducta  intelligatur  recta  C  I,  erit 
I  X  ^  =  C  1  2  —  C  X  ^  :  sed  est  C  1  =  A  C, 
ijuare  IX^^AC^— CX*,ac  proinde  I  X  q 
inCIXq  —  2CXq)=ACq— CXqin 
A  C  q  —  3  C  X  q. 

C^)  *  ^4c  proi?ide  per  methodum  Jluononum. 
Quantitates  ACqq  —  4ACqX  CXq4- 


3  CXqqetACqq— ACqXCXq,  con- 
cipiantur  multiplicatae  per  fluxionem  rectae  C  X, 
sumptisque  fluentibus,  erit  fluens  prioris  quanti- 
tatis  ACqqXCX  —  fACqXCX  cub. 
4-  f  C  X  q  cub.  fluens  autem  posterioris  quanti- 
tatis  fietACqqXCX  —  ^ACqXCX  cub. 
et  ut  habeatur  efficacia  tota,  pro  C  X  scriba- 
tur  C  p  vel  A  C,  erit  fluens  prior  ad  posterio- 
rem  ut  jj  A  C  q.  cub.  ad  |  A  C  q.  cub. 


120 


PHrLOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Sysiv 


C)  LEMMA  III. 

lisdem  positis :  dico  tertib  quod  motus  Terrce  totius  circum  axem  jam  ante 
descriptum,  ex  motibus  jparticularum  omnium  compositus,  erit  ad  motum 
annuli  pradicti  circum  axem  eundem  in  ratione,  quce  componitur  ex  ra- 
tione  matei^ice  in  Terrd  ad  materiam  in  annulo,  et  ratione  trium  qua- 
dratorum  ex  arcu  quadrantali  circuli  cujuscunque  ad  duo  quadrata  ex 
diametro ,-  id  est,  in  ratione  materice  ad  materiam  et  7iume7'i  925275  ad 
numerum  1000000. 

Est  enim  motus  cylindri  ciicum  axem  suum  immotum  revolventis  ad 
motum  sphaerae  inscriptae  et  simul  revolventis,  ut  quaelibet  quatuor  aequalia 


E 


(')  126.  *  Lemma  demonsti  atur.  Revolu- 
tione  semi-circuli  A  F  B,  et  rectanguli  eidem 
circumscripti  A  E  D  B,  describantur  sphaera  et 
cylindrus  circumscriptus.  Sit  radius  C  B  =  1, 
periplieria  circuli  hoc  ratio  descripti  =r  n, 
abscissa  C  P  =  x,  ordinata  P  M  =  y, 
quaelibet  ipsius  pars  P  R  =  v,  R  r  =: 
d  V  ;  peripheria  circuli  radio  P  R,  de- 
scripti  =  n  V,  annulus  circularis  ex  re- 
volutione  lineolse  R  r  =  n  v  d  v,  velo- 
citas  puncti  R  =:  v,  motus  annuli  pras- 
dicti  =  n  v  ^  d  V,  motus  totius  circuli 
radio  P  R,  descripti  =  ^  n  v  3,  motus 
circuli  radio  P  M,  descripti  =  3  n  y  ^, 
motus  circuli  radio  P  N  descripti  =  3  n, 
motus  cylindri  totius  = 


bientis  sit  m,  et  velocitas  erit  ut  C  F,  sive  ut  1  ; 

adeoque  motus  =:  m,  et  proinde  motus  cylindri 

2 
ad  motura  annuli  illius  est  -;;-  n  ad  m,   sive  ut 


N 


T) 


Sit  P  p  =  d  X  motus  annuli  solidi 
revolutione  figurje  P  M  m  p  descripti  = 

-lny3dx  =  -indx  X   (1 

1  11 

yndxX(l— xx)2— —  nx 

(1  —  X  X  )  2.     Unde  motus  solidi  revolutione 


A 

3 

xx)   2   = 
d   X    X 


p  p 


E 


figurae  C   F  M  P,   descripti  =   --  r\Jd 
(1  -  X  X)  1+  ^-  n  X  (1 


XX)  2  =  _n 


XCFMB  =  —  nn,  adeoque  motus   sphseraB 

totius  =  -  -  n  n.      Est  igitur  motus  cylindri  ad 
16 


motum  sphaera;  ut 
3 


n  ad  16  n  n,  seu  ut  16  ad 

n,  hoc  est,  ut  quaelibet  quatuor  aequalia  qua- 

drata  ad  tres  ex  circuh*s  sibi  inscriptis ;  nam  qua- 
dratum  diametri  2  est  4  et  4  X  4  =  16,  circulus 

vero  cujus  diameter  2,  et  peripheria  n,  est  —  n  et 

tres  hujusmodi  circuli  sunt  —  n. 

Materia  annuli  tenuissimi  sphaeram  et  cylin- 
drum  ad  communem  eorum  contactum  F  am- 


2  n  ad  3  m,  hoc  est,  ut  duplum  materiae  in  cy- 
lindro  ad  triplum  materiae  in  annulo ;  basis  enim 

cylindri  est  circulus  —  n   et  altitudo  diameter 

A  F  =  2,  ideoque  cyh'ndrus  =  n.  Praedicti 
annuli  materia  sit  a  a  n,  ideoque  motus  ipsius 
circa  axem  cyh'ndri  =  a  a  n.  Revolvatur  jam 
idem  annuhis  circa  proprium  axem  quem  exhi- 
beat  diameter  A  B  ;  et  particula  materije  annuli 
respondens  arcui  infinitesimo  M  m,  erit  a^XM  m 
et  hujus  motus  a^yXMm=a^dx,  ob  pro- 
portionem  M  m  :  m  H  (d  x)  =  C  M  (1)  : 
P  M  (y).  Quare  motus  partis  F  M,  annuli  est 
a  *  X,  et  facta  x  =  1 ,  motus  quadrantis  annuli 
=  a  ^  est  motus  totius  annuli  circa  proprium 
axem  =  4  a  ^.  Est  igitur  motus  annuli  circa 
axem  cylindri  ad  ejusdem  molum  circa  axem 
proprium  ut  a  a  n,  ad  4  a  a,  seu  ut  n  ad  4,  hoc 
est,  ut  circuniferentia  circuli  n,  ad  duplum 
diametri  4.     Quamobrem  motus  cylindri  est  ad 

3 
16  ad  -—  n 


motum  sphaerae  ut       -         -         - 

motus  annuli  circa  axem   cylin- 

dri  est  ad  motum  cyh'ndri  ut 

et  motus  annuli  circa  axem  f)ro- 
prium  est  ad  ejus  motum  circa 
axem  cylindri  ut  -  - 


m  ad  —  n 
3 


4ad 


LiBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


121 


quadrata  ad  tres  ex  circulis  sibi  inscriptis :  et  motus  cylindri  ad  motum 
annuli  tenuissimi,  sphaeram  et  cylindrum  ad  communem  eorum  contactum 
ambientis,  ut  duplum  materiae  in  cylindro  ad  triplum  materiae  in  annulo ; 
et  annuli  motus  iste  circum  axemcylindri  unifbrmiter  continuatus,  ad  ejus- 
dem  motum  uniformem  circum  diametrum  propriam,  eodem  tempore  peri- 
odico  factum,  ut  circumferentia  circuli  ad  duplum  diametri. 

HYPOTHESIS  II. 

Si  anmliis  prcedidus  Teird  omni  reliqud  sublatd,  solus  in  orbe  Terrce,  motii 
annuo  circa  Solem  ferretur,  tt  interea  circa  axem  suum  adplanum  eclipticcE 
in  angulo  graduum  23  J  ijicUnatum,  rnotu  diurno  revolveretur  :  idem  foret 
motus  punctorum  cequinoctialium,  sive  annulus  istejluidus  esset,  sive  is  ex 
materid  rigidd  etjirmd  constaret. 


Quare,  per  compositlonem  rp.tionum  et  ex  rtquo, 
motus  sphasras  circa  axem  proprium  est  ad  mo- 
tum  annuli  ut  n  3  ad  64  m.      Est  autem  n  3  ad 


2n 
64  m  ut  —  X 
3 


est 


5  n  ^     ,  ,  2  n 

ad  8  X  rn>  sed  — , 

Ib^  3 

quantitas  materiae  in  Terra;  m,  quantitas  mate- 


rife  in  annulo 


16 


est  summa  trium  quadrato- 


rum  ex  arcu  quadrantali  circuli  A  F  B,  et  8  est 
summa  duorum  quadratorum  ex  diametro  A  B. 
Quare  motus  Terrae  tolius  circum,  axem  jam 
ante  descriptum,  ex  motibus  particularum  om- 
iiiuni  compositus,  erit  ad  motum  annuli  pra^dicti 
circum  axem  eundem,  in  ratione  quje  componitur 
ex  ratione  materia;  in  Terra  ad  materiam  in  an- 
nulo,  et  ratione  trium  quadratorum  ex  arcu  qua- 
drantali  circuli  cujuscumque  ad  duo  quadrata  ex 
diametro,  id  est,  in  ratione  materiaj  ad  materiani 
et  numeri  925275  ad  numerum  lOOOJOO,  posita 
ratione  diametri  ad  peripheriam  ut  1  ad  3.141 
quamproxime.      Q.  e.  d. 

127.  Lemma.  Semi-axe  majori  C  A  et  mi- 
nori  C  P,  describatur  semi-ellipsis  P  A  p,  atqiie 
radio  C  P,  describatur  semi-circulus  Pa  p,  circa 
axem  P  p  revolvi  concipiantur  tum  semi-circulus 
tum  semi-ellipsis,  erit  spha^ra  motu  semi  circuli 
jrenila  ad  spha.roidem  semi-ellipseos  revolutione 
descriptam  ut  C  a  ^  ad  C  A  ^.     Sit  p  e  =  x, 

Ge=y,  Cp  =  r,  CA  =  a,  exprimatque  — 

rationem  radii  ad  peripheriam,  erit  — -,  periphe- 

ria  circuli  radio   G  e  descripti.      Praeterea  (ex 

natura  ellipseos  248.  Lib.  1.)  C  a  (r)  :  C  A  (a) 

a  y 
=  G  e  (y)  :   E  e,  ideoque  E  e  =  — ,  hinc 

peripheria  circuli  radio  E  e  descripti  =  - — -, 


ejusdemque  circuli  area  = 


P  y  2 

tem  circuH  radio  G  e  descripti  est  ^ — .    Quare 
f  2r 

fluxio  spha-roidis  fit  - — -^ ,  et  fluxio  sphae- 

2  r  3 

p  y  ^  d  X 

rae  est  -■''—- .       Sed  (ex   nalura  circuli)  y  * 

2  r  ^  ^  -^ 

=  2  r  X  —  XX;    hinc   fluxio  sphaeroidis  est 

^pd^rxdx  —  pa^x^^dx        ^     . 

T-^ ,  et  fluxio  spharae 

2  r  3 

2prxdx  —  px X  d  X 
2^ 


,  sumptisque  fluentibus. 


erit  fluens  prima  ad  alteram  ut 
pa^x^        prx 


P  a  ^  r  X  * 


6  r -5 


px 


— .    Jam  loco  X,  eub- 

2r  (j  r 


stituatur  2  r,  erit  sphacrois  tota,  ad  totam  sphoe- 
4pa2r3         8pa^r3         Spr^ 


r  3 


6r3 


ad 


r  3 


6r 


-,  hoc  est,  ut  a  2,  ad  r  ^,  sive  in  ratione 


r3 


e±     p 


duplicata  C  A  ^  ad  C  a  ^  Simili  argumento 
patet  sphaeram  ellipseos  semi-axe  majori  tanquam 
radio  descriptam  esse  ad  ellipsoidcm  in  ratione 
duplicata  semi-axis  majoris  ad  minorem. 


122  PHILOSOPHIiE  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 

PROPOSITIO  XXXIX.     PROBLEMA  XX. 

Invenire  prcBcessionem  cequinoctiorum, 

Motus  mediocris  horarius  nodorum  Lunae  in  orbe  circulari,  ubi  nodi 
sunt  in  quadraturis,  erit  16^  35'''.  16^\  36^  et  hujus  dimidium  8".  17'". 
38'^  18''.  (ob  rationes  supra  expKcatas)  est  motus  medius  horarius  nodo- 
rum  in  tali  orbe;  fitque  anno  toto  sidereo  20^''.  11'.  46".  Quoniam  igi- 
tur  nodi  Lunae  in  tali  orbe  conficerent  annuatim  20^''.  1 1  .  46".  in  antece- 
dentia ;  et  si  plures  essent  Lunae  motus,  nodorum  cujusque  (per  Corol. 
16.  Prop.  LXVI.  Lib.  I.)  forent  ut  tempora  periodica;  si  Luna  spatio 
diei  siderei  juxta  superficiem  Terree  revolveretur,  motusannuus  nodorum 
foret  ad  20^^  11'.  46".  ut  dies  sidereus  horarum  23.  5Q\  ad  tempus  perio- 
dicum  Lunas  dierum  27.7  hor.  43';  id  est,  ut  1436  ad  39343.  Et  par  est 
ratio  nodorum  annuli  Lunarum  Terram  ambientis ;  sive  Lunag  illae  se  mu- 
tuo  non  contingant,  sive  liquescant  et  in  annulum  continuum  formentur, 
sive  denique  annulus  ille  rigescat  et  inflexibilis  reddatur. 

Fingamus  igitur  quod  annulus  iste,  quoad  quantitatem  materiae,  aequa- 
lis  sit  Terrae  omni  PapAPepE  quae  globo  P  a  p  e  superior  est ;  et 
quoniam  globus  iste  ad  Terram  illam  superiorem  (^)  ut  a  C  qu.  ad  A  C  qu. 
—  a  C  qu.  id  est  (cum  Terrae  semi-diameter  minor  P  C  vel  a  C  sit  ad 
semi-diametrum  majorem  A  C  ut  229  ad  230)  ut  52441  ad  459;  si  an- 
nulus  isle  Terram  secundum  aequatorem  cingeret  et  uterque  simul  circa 
diametrum  annuli  revolveretur,  motus  annuli  esset  ad  motum  globi  interi- 
oris  (per  hujus  Lem.  III.)  ut  459  ad  52441  et  1000000  ad  925275  con- 
junctim,  hoc  est,  ut  4590  ad  485223,  ideoque  motus  annuli  esset  ad  sum- 
mam  motuum  annuli  ac  globi,  ut  4590  ad  489813.  Unde  si  annulus 
globo  adhaereat,  et  motum  suum,  quo  ipsius  nodi  seu  puncta  aequinoctialia 
regrediuntur,  cum  globo  communicet :  (^)  motus  qui  restabit  in  annulo  erit 
ad  ipsius  motum  priorem,  ut  4590  ad  489813;  et  propterea  motus  punc- 
torum  aequinoctialium  diminuetur  in  eadem  ratione.  Erit  igitur  motus 
annuus  punctorum  fequinoctialium  corporis  ex  annulo  et  globo  corapositi 
ad  motum  20^'.  11'.  46".  ut  1436  ad  39343  et  4590  ad  489813  conjunc- 
tim,  id  est,  ut  100  ad  292369.  Vires  autem  quibus  nodi  Lunarum  (ut 
supra  explicui)  ('")  atque  ideo  quibus  puncta  aequinoctialia  annuli  regredi- 

{^)  *  Ut  a   C  qu.  ad  A  C  qu.  —  a  C  qu.  (^)    *    Molus   qui  restabit  in  annulo.      (52. 

Globus  iste  est  ad   Teiram  totam  ut  a  C  ^  ad  Lib.  I.) 
A  C  ^  (Lem.  prajced.)  ideoque  annulus  materiae 

inler  globum  et  Terram  interceptus,  hoc  est,  ex-         ("")   *   Atque  idco,        (Vid.   iiot.    lOL    Lib. 

cessus  materia'  in  Terra  supra  inateriam  in  globo  hujus.) 
est  ut  A  C  qu,  — -  a  C  qu. 


LuBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA, 


123 


untur  (id  est  vires  3  I  T  in  fig.  p.  22.  et  24.)  sunt  in  singulis  particulis 
ut  distantiae  particularum  a  plano  Q  R,  et  his  viribus  particulse  illas  pla- 
numfugiunt;  et  propterea  (per  Lem.  11.)  si  materia  annuli  per  totamglobi 
superficiem   in  morem   figurae 

PapAPepEad  superiorem  i^ 

illam  Terrse  partem  constituen-  ^^^ — "       T     "^^^^P 

dara  spargeretur,  vis  et  efficacia 

tota  particularum  omnium   ad 

Terram    circa  quamvis    asqua- 

toris  diametrum  rotandam,  at- 

que  idec)  ad  movenda   puncta 

sequinoctialia,    evaderet   minor 

quam  prius  in  ratione  2  ad  5. 

Ideoque  annuus  sequinoctiorum 

regressus  jam  esset  ad  20^^  11'. 

^Q",  ut  10  ad  73092  :  ac  pro- 

inde  fieret  9''.  SQ'" .  50^ 

Cagterum  hic  motus  (")  ob 
inclinationem  aequatoris  ad  planum  eclipticae  minuendus,  idque  in  ratione 
sinus  91706  (qui  sinus  est  complementi  graduum  23  J.)  ad  radium  100000. 
Qua  ratione  motus  iste  jam  fiet  9''.  *!"',  20^^  Haec  est  annua  praecessio 
aequinoctiorum  a  vi  Solis  oriunda. 

Vis  autem  Lunas  ad  mare  movendum  erat  ad  vim  Solis,  ut  4.4815  ad  1 
circiter.  (°)  Et  vis  Lunae  ad  aequinoctia  movenda  est  ad  vim  Sohs  in  ea- 
dem  proportione.  Indeque  prodit  annua  aequinoctiorum  praecessio  a  vi 
Lunae  oriunda  40''.  52'".  52'^  ac  tota  praecessio  annua  a  vi  utraque  oriun- 
da  50".  00'".  12'^  Et  hic  motus  cum  phaenomenis  congruit.  Nam  prae- 
cessio  aequinoctiorum  ex  observationibus  astronomicis  est  annuatim  minu- 
torum  secundorum  plus  minus  quinquaginta. 

(P)  Si  altitudo  Terrae  ad  aequatorem  superet  altitudinem  ejus  ad  polos, 
railliaribus  pluribus  quam  17^,  materia  ejus  rarior  erit  ad  circumferentiam 
quam  ad  centrum:  et  praecessio  aequinoctiorum  ob  altitudinem  illam 
augeri,  ob  raritatem  diminui  debet. 


(")  *  Oh  inclinatio7iem.  Pro  majori  vel  ml- 
nori  incli^jptione  plani  aequatoris  ad  planum  eelip- 
ticae  minorem  esse  vel  majorem  regressum  aequi- 
noctiorum  patet  ex  not.  101.  Lib.  hujus.  Illud 
autem  decrementum  obtinetur,  si  minuatur  mo- 
tus  in  ratione  siniis  complementi  inclinationis  ad 
radium.  Sed  planum  aequatoris  inclinatur  ad 
planum  eclipticaj  gradibus  23^  circiter,  quare 
cum  motus  oequinoctiorum  fit  tardissimus,  satis 

VoL.  III.  Pars  II.  ] 


accurate  minuitur  motus  ille  in  ratione  sinus 
91706.  qui  sinus  est  complcmenti  graduum  25f 
ad  radium  100000. 

r)  *  £t  vis  Lunce.  (Cor.  18.  19.  Lib.  I.) 
(P)  *  Si  altitudo  Terrce.  Quo  enim  altior  erit 
materia  ad  aequatorem,  eo  levior  sit  oportet  ut 
materiam  quae  est  versus  polos  in  aequilibrio  pos- 
sit  sustinere.  Ca'terum  quia  in  tribus  non  satis 
laudandis  Dissertationibus  Vol.  III.  adjunctis, 


124 


PHILOSOPHliE  NATURALIS     [De  Mund.  Syst. 


Descripsimus  jam  systema  Solis,  Terrge,  Luna?,  et  planetarum ;  superest 
ut  de  cometis  nonnulla  adjiciantur. 

LEMMA  IV. 


Cometas  esse  JLund  sujperiores  et  in  regione  planetarum  versari, 

i^)  Ut  defectus  parallaxeos  diurnse  extulit  cometas  supra  regiones  sub- 
lunares,  (^)  sic  ex  parallaxi  annua  convincitur  eorum  descensus  in  regiones 
planetarum.  Nam  cometas,  qui  progrediuntur  secundum  ordinem  signo- 
rum,  sunt  omnes  sub  exitu  apparitionis  aut  solito  tardiores  aut  retrogradi, 
si  Terra  est  inter  ipsos  et  Solem ;  at  justo  celeriores  si  Terra  vergit  ad 
oppositionem.  Et  contra,  qui  pergunt  contra  ordinem  signorum  sunt 
justo  celeriores  in  fine  apparitionis,  si  Terra  versatur  inter  ipsos  et  Solem; 
et  justo  tardiores  vel  retrogradi,  si  Terra  sita  est  ad  contrarias  partes. 
(^)  Contingit  hoc  maxime  ex  motu  Terrae  in  vario  ipsius  situ,  perinde  ut 
fit  in  planetis,  qui  pro  motu  Terrae  vel  conspirante  vel  contrario  nunc  re- 
trogradi  sunt,  nunc  tardius  progredi  videntur,  nunc  v^ro  celerius.  Si 
Terra  pergit  ad  eandem  partem  cum  cometa,  et  motu  angulari  circa  Solem 
tanto  celeriiis  fertur,  ut  recta  per  Terram  et  cometam  perpetuo  ducta 
convergat  ad  partes  ultra  cometam,  cometa  e  Terra  spectatus  ob  motum 
suum  tardiorem  apparet  esse  retrogradus ;  sin  Terra  tardius  fertur,  motus 
cometae  (detracto  motu  Terrae)  fit  saltem  tardior.     At  si  Terra  pergit  in 


nova  occurrunt  quamplurima  de  figura  Telluris, 
de  viribus  Solis  et  Lunje,  prascessionem  sequi- 
noctiorum,  eadem  qua  hactenus  factum  est, 
methodo,  accuratius  liceoit  computare. 

C)  *  XJt  defecLas  parallaxeos  dixirnce.  Paral- 
laxis  diurna  cometas  est  differentia  locorum  in 
quibus  cometa  ex  centro  Terra^,  vel  ex  eo  super- 
ficiei  TerrjE  loco  ad  quem  cometa  verticalis  est, 
ct  ex  quovis  alio  loco  superficiei  Terraj  ohserva- 
tus  inter  stellas  fixas  refertur.  Haec  parallaxis 
diurna,  maxima  est  in  Luna,  uhi  ea  in  horizonte 
constituitur,  inde  vero  magis  magisque  decrescit 
quo  altius  Luna  siipra  horizontem  elevatur. 
Quia  vero  ha;c  parallaxis  non  observatur  in 
cometis,  patet  eos  esse  Luna  superiores  (30.  )• 

(')  *  Sic  ex  parallaxi  annua.  Parallaxis  an- 
nua  ex  motu  circa  Solem  oritur,  ha;cque  respicit 
longitudinem  cometae,  hoc  est,  distantiam  ejus 
in  ecliptica  a  prirao  Arictis  puncto.  Quomodd 
ex  hac  parallaxi  Newtonus  coUigat  cometas  de- 
scendere  in  regiones  planetarum,  explicabitur  in 
decursu. 

(')  128.  *  Continget  hoc  niajtime.  Sit  S,  Sol, 
A  IJ  E,  orbita  Telluris  ct  a  b  c,  sphaera  fixarum 
ad  quam  planeta?  referantur,  exhibeatque,  1,2, 
3,  1,  planctiT?  alicujus  inferioris  orbitam.  Move- 
atnr  Terra  ex  A,  per  B,  in  C,  et  intereii  plancta 


ex  1,  per  2,  in  3,  hic  planeta  ex  a,  per  b,  in  c, 
secundum  ordinem  signorum  progredi  videbitur. 
At  si  TeiTa  moveatur  ex  C,  per  D,  in  E  et  pla- 


neta  ex  3,  per  4  in  5,  idem  planeta  per  d,  in  e, 
rctrogredi  videbitur. 

Jam  vero  repra>sentet  1,-2,  3  oibcm    planctoe 


125 


LiberTertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 

contrarias  partes,  cometa  exinde  velocior  apparet.    Ex  acceleratione  autem 
vel  retardatione  vel  motu  retrogrado  distantia  cometae  in  hunc  modum 


superioris,  sitque  A  B  C,  orbis  Terras. 
atur  Terra  ex  A,  per  B,  et  C  in  D, 


Move-  F  C  parallela  rectae  G  Q,  ipsique  Q,  R  occur- 
planeta  rens  in  C,  erit  juncta  A  C,  recta  qua;sita.  Nam 
ob  parallelas  F  C,  G  Q,  est  A  B :  B  C.=  A  G  : 
G  F,  sed  (per  constr.)  G  F,  A  G,  sunt  in  data 
ratione  m  ad  n.  Quare  eandem  inter  se  ratio- 
nem  habent  partes  interceptaj  A  B,  B  C. 

Idem  fit  trigonometrice.  Nam  in  triangulo 
A  Q  G,  datur  latus  A  G,  et  prajterea  noti  sunt 
anguli  A  Q  G,  Q  A  G,  ideoque  dabitur  A  G, 
ac  proinde  innotcscit  etiam  G  F,  datam  habens 
rationem  ad  A  G  (per  constr.)  quare  dabitur 
recta  C  N  aequalis  et  parallela  recta;  G  F. 
Kursus  in  triangulo  Q  N  C,  cognitis  angulo 
C  Q  N,  et  angulo  C  N  Q,  qui  JEqualis  est  an- 
gulo  F  G  N,  hoc  est,  anguli  prius  inventi  A  G  Q, 
complemento  ad  duos  rectos,  atque  insuper  dalo 
latere  C  N,  innotescet  C  Q,  tandem  in  trian- 
gulo  A  C  Q,  datis  lateribus  Q  A,  Q  C,  et  an- 
gulo  intercepto  A  Q  C,  invenientur  latus  C  A 
atque  anguli  Q  A  C,  Q  C  A,  id  est,  magnitudo 
et  positio  rectaj  A  C. 

ISO.  Leynma.  Datis  positione  quatuor  rectis 
Q  A,  Q  B,  II  B,  R  D,  in  eodem  plano  jacen- 


autcm  superior  ex  1  per  2  et  5  in  4,  hic  planeta 
secundum  ordinem  signorum  progredi  videbitur. 
At  si  Terra  moveatur  ex  D  in  E,  planeta  vero 
ex  4  in  5,  idem  planeta  ex  loco  d  in  e,  retro- 
gredi  apparebit.  Quia  vero  planetee  modo  in 
consequentia,  modo  in  antecedentia  ferri  viden- 
tur,  necessum  est  ut  modo  tardiores,  modo  cele- 
riores  appareant,  atque  iii  ipso  veluti  motuum 
aequilibrio,  neque  in  consequentia  neque  in  ante- 
cedentia  sensibiliter  pergant,  sed  quasi  stationa- 
rii  videantur.  Haec  itaque  planetarum  phaino- 
mena  ex  motu  Terrae  maxime  contingunt,  oriri 
tamen  possunt  etiam  aliquantulura  ex  inaequali 
planetarum  motu. 

129.  Levima.  Datis  positione  tribus  rectis 
Q  A,  Q  B,  Q  C,  ex  eodem  puncto  Q  ductis  et 
in  eodem  plano  jacentibus,  ducere  rectam  A  C, 


ex  puncto  quolibet  A,  ita  ut  partes  A  B,    C  B> 
sint  in  data  ratione  m,  ad  n. 

Ex  A  ducatur  utcumque  recta  A  R,  rectis 
Q  C,  Q  B,  productis  occurrens  in  G,  R,  capi- 
anturque  G  F,  A  G,  in  data  ratione  m  ad  n 
(Prop.  XII.  Lib.  VI.  Elem.).     Per  F,  agatur 


tibus  ducere  rectam  M  K,  ita  ut  M  O,  sit  ad 
O  N  ut  m  ad  n,  et  O  N  ad  N  K  ut  n  ad  r. 
Capiatur  B  G,  ad  B  A,  sicut  n  -j-  i"  ad  m. 
Item  capiatur  F  B  ad  B  D  ut  m  -|-  n  ad  r. 
Junctas  rectae  Q  G,  R  F,  producantur  donec 
concurrant.  Per  punctum  concursus  H,  duca- 
tur  H  K  parallela  rectas  B  D  ;  itemque  H  M, 
parallela  rectJE  R  B,  erit  M  K  recta  quaesita. 
Nam  propter  parallelas  H  BI,  T  N  (per  constr.) 
erit  K  N  ad  N  M,  ut  K  T  ad  T  11.  Sed  quia 
H  K  parallela  est  rcctc-e  F  D,  K  T  est  ad  T  H 
ut  D  B  ad  B  F,  hoc  est,  (per  constr. )  ut  r  ad 
m  -|-  n,  ac  proinde  K  N  est  ad  N  M  ut  r  ad 
m  -|-  n.  Rursus  ob  parallelas  H  K,  O  X,  erit 
M  O  ad  O  K  ut  M  X  ad  X  H,  sed  quia  H  M, 
parallela  est  rectas  A  G,  erit  M  X  ad  X  H  ut 
A  B  ad   B  G,  id  est,   (pcr  constr.)   ut  m   ad 


12 


126 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


G    F 


colligitur.  Sunto  nnQA,  «Y^QB,  'Y^QC  observatae  tres  longitudines 
cometae  sub  initio  motus,  sitque  'Y^  Q  F  longitudo  ultimo  observata,  ubi 
cometa  videri  desinit.  (*)  Agatur  recta  A  B  C,  cujus  partes  A  B,  B  C 
rectis  Q  A  et  Q  B,  Q  B  et  Q  C  inter- 
jectae,  sint  ad  invicem  ut  tempora  inter 
observationes  tres  primas.  Producatur 
A  C  ad  G,  ut  sit  A  G  ad  A  B  ut  tem- 
pus  inter  observationem  primam  et  ulti- 
mam  ad  tempus  inter  observationem 
primam  et  secundam,  et  jungatur  Q  G. 
Et  si  cometa  moveretur  uniformiter  in 
linea  recta,  atque  Terra  vel  quiesceret,  vel  etiam  in  linea  recta  uniformi 
cum  motu  progrederetur,  foret  angulus  'Y^  Q  G  longitudo  cometae  tem- 
pore  observationis  ultimae.  Angulus  igitur  F  Q  G,  qui  longitudinum 
difFerentia  est,  oritur  ab  inaequalitate  motuum  cometae  ac  Terrae.  Hic 
autem  angulus,  si  Terra  et  cometa  in  contrarias  partes  moventur,  additur 
angulo  'Y'  Q  G,  et  sic  motum  apparentem  cometae  velociorem  reddit :  sin 
conieta  pergit  in  easdem  partes  cum  Terra,  eidem  subducitur,  motumque 
cometae  vel  tardiorem  reddit,  vel  forte  retrogradum ;  {^)  uti  modo  expo- 
sui.  Oritur  igitur  hic  angulus  praecipue  ex  motu  Terrae,  et  idcirco  pro 
parallaxi  cometae  merito  habendus  est,  negiecto  videlicet  ejus  incremento 


n  -f-  r,     Est  igitur  M  O  ad  O  K  ut  r  ad  m  +  n. 
Quare,  dividendo  et  ex  jequo,  tres  rect»  M  O, 


O  N,  N  K,  sunt  in  eadem  ratione  cum  trlbus 
quantitatibus  m,  n,  r.  Idem  fit  trigonometrice. 
Nam  rectarum  quatuor  datarum  Q,  A,  Q  B, 
R  B,  R  D,  dantur  intersectioDcs  omnes  ac  pro- 
inde  recta?  Q  B,  D  B,  R  B,  B  A,  R  D,  sunt 
magnitudine  data;.     PraHerea  dantur  etiam  B  F 


et  B  G,  utpote  habentes  datam  rationem  ad  B  D 
et  R  A.  Jam  vero  in  triangulo  R  B  F,  datis 
lateribus  B  R,  B  F,  cum  angulo  intercepto 
R  B  F,  dantur  latus  R  F  et  angulus  R  F  B 
ac  proinde  etiam  datur  angulus  Q  F  H. 
Similiter  in  triangulo  Q  B  G,  datis  lateribus 
Q  B,  B  G,  et  angulo  Q  B  G,  dabitur  angulus 
B  Q  G  ;  quare  in  triangulo  Q  F  H,  datis  duo- 
bus  angulis  Q  F  H,  F  Q  H,  cum  latere  Q  F, 
quod  est  summa  vel  differentia  rectarum  data- 
rum  Q  B,  Q  F  innotescet  latus  Q  H.  Tandem 
in  triangulo  Q  H  M,  dato  angtilo  H  Q  M  qui 
est  summa  vel  differentia  notorum  angulorum 
B  Q  A,  H  Q  B,  datoque  angulo  Q  M  H  qui 
asquaUs  est  angulo  dato  Q  A  B,  simulque  noto 
latere  Q  H,  innotescent  latera  H  M,  Q  M. 
Simili  prorsus  modo  invenientur  latera  R  K, 
H  K,  in  triangulo  R  K  H.  Igitur  in  trian- 
gulo  M  H  K,  notis  lateribus  H  M,  H  K,  et 
angulo  intercepto  M  H  K,  qui  jequalis  est  an- 
gulo  dato  A  B  Q,  innotescent  anguli  H  M  K, 
H  K  M  et  basis  M  K.  Datis  autcm  angulis 
H  M  Q,  H  M  K,  dabitur  horum  summa  vel 
differentia  Q  M  K,  hoc  est  positio  recta;  M  K, 
ob  rectam  Q  M,  positione  datam.  Simili  modo 
rectje  Q  O,  R  N,  R  K  et  anguli  quos  M  K 
cum  his  rectis  efficit,  trigonometrice  inveniuntur. 

C)  *  Jgatur  recta  A  B  C.     (129.) 

Q')  *  Uti  viodo  exposuu     (128.) 


LiberTertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


127 


vel  decremento  nonnullo,  quod  a  cometae  motu  inaequabili  in  orbe  proprio 

oriri  possit.     Distantia  vero  cometae  ex  hac  parallaxi  sic  colligitur.     De- 

signet  S  Solem,  a  c  T  orbem  magnum,  a  locum  Terrae  in  observatione 

prima,  c  locum  Terrae  in  observatione  tertia,  T  locum  Terrae  in  observa- 

tione  ultima,  et  T  OP  jineam  rectam  versus 

principium  Arietis  ductam.     Sumatur  an- 

gulus  T»  T  V  aequalis  angulo  'Y^  Q  F,  hoc 

est,  aequalis  longitudini  cometae  ubi  Terra 

versatur  in  T.     Jungatur  a  c,  et  produca- 

tur  ea  ad  g,  ut  sit  a  g  ad  a  c  ut  A  G  ad  A  C, 

et  erit  g  locus  quem  Terra  tempore  obser- 

vationis  ultimae,  motu  in  recta  a  c  unifor- 

miter  continuato,   attingeret.     Ideoque  si 

ducatur  g  'Y^  ipsi  T  'Y^  parallela,  et  capia- 

tur  angulus  «Y^  g  V  angulo  'V  Q  G  aequalis, 

erit  hic  angulus  'Y'  g  V  aequalis  longitudini 

cometse  e  loco  g  spectati;  et  angulus  T  V  g  parallaxis  erit,  quae  oritur  a 

translatione  Terrse  de  loco  g  in  iocum  T  :  ac  proinde  V  locus  erit  cometag 

in  plano  echpticae.    (°)  Hic  autem  locus  V  orbe  Jovis  inferior  esse  solet. 


C)  131.  *  Hic  mitem  locua  V. 
Recta  H V,  referat  vestigium  come- 
tcB  in  plano  eclipticae,  sintque  V,  G, 
E,  H,  quatuor  cometae  loca  in  plano 
eclipticae  pra:cedenti  methodo  in- 
venta.  Sit  S,  Sol,  A  B  C  D,  orbis 
raagnus,  sintque  A,  B,  C,  D,  qua- 
tuor  Terrae  loca  ad  tempora  obser- 
vationum  nota.  In  triangulo  ASB, 
dantur  latcra  S  A,  S  B,  daturque 
angulus  A  S  B,  difterentia  scilicet 
locorum  Terrae  e  Sole  visorum ; 
quare  dabuntur  anguli  S  A  B, 
S  B  A,  notaque  erit  in  partibus 
semi-diametri  orbis  magni  recta 
A  B,  chorda  nempe  arcus  a  Tellure 
interim  percursi.  Rursus  in  trian- 
gulo  K  A  B,  dantur  omnes  anguli, 
nam  datur  angulus  K  A  B,  qui  est 
summa  vel  differentia  notorum  an- 
gulorum  S  B  A,  S  B  K.  Quare 
datur  ratio  laterum  A  K,  A  B,  sed 
data  est  ratio  rectarum  S  A,  A  B, 
dabitur  itaque  ratio  S  A  ad  K  A. 
At  (131.)  nota  est  ratio  inter  K  O 
et  K  H,  innotescet  igitur  ratio  in- 
ter  S  A  et  K  H ;  quare  datur  A  H, 
distantia  cometae  a  Terra  in  parti- 
bussemi-diametri  orbis  magni.  Si- 
miU  plane  modo  invenientur  alio- 
rum  locorum  distantiae  a  Terra  E,  G,  V,  hic 
autem  locus  V,  ubi,  cometa  videri  desinit, 
cx    datis    observationibus    inito    computo    per 


mcthodum  expositam,   orbe   Jovis  inferior  esse 
solet. 

132.    Cometze  Tcstigium   in   plano  echpticaj 
13 


128 


PHILOSOPHI^  NATURALIS   [De  Mund.  Syst, 


Idem  coUigltur  ex  curvatura  viae  cometarum.     (•*)  Pergunt  hocc  cor- 
pora  propemodum  in  circulis  maximis  quamdiu  moventur  celerius ;  at  in 


jam  determinavimus  ;  ut  autem  veram  obtinea- 
mus  cometce  trajectoriam,  ex  loco  H,  ad  planum 
ecliptica;  erecta  intelligatur  normalis  H  M,  tan- 
gens  anguli  latitudinis  cometce  ad  datum  obser- 
vationis  tempus  posito  A  H,  radio,  eritque  M, 
locus  verus  cometaj  ad  tempus  datum ;  est  enim 
positio  rectae  A  H,  ejus  longitudo  et  angulus 
M  A  H,  latitudo.  Similiter  in  loco  V,  ad  idem 
ecliptica;  planum  erigatur  normalis  V  L,  sequa- 
lis  tangenti  latitudinis  ad  idem  tempus  obser- 
vatse,  sumpto  D  V,  pro  radio,  erit  L,  locus 
verus  cometas,  ideoque  juncta  recta  L  M,  est 
ipsa  trajcctoria  qusesita.  Patet  autem  distan- 
tiam  loci  M,  ab  A,  sive  rectam  A  M,  esse  ad 
rectam  A  H,  ut  secans  latitudinis  in  H,  ad  ra- 
dium,  et  ita  porro  de  aliis  cometae  locis. 

1 33.  Cajtera  quas  ad  motum  comet^  pertinent 
facile  definientur.  Invenitur  L  M,  recta  scili- 
cet  percursa  a  cometa,  dum  Tellus  ab  A  ad  D 
movetur.  Ducatur  enim  L  P  ipsi  V  H  paral- 
lela  cum  recta  M  E  concurrens  in  P.  In  trian- 
gulo  P  L  iVr,  praeter  angulum  rec- 

tum  in  P,  datur  latus  L  P,  aequale 
lateri  V  H,  atque  etiam  datur  latus 
P  M,  sequale  differentiae  rectarum 
datarum  M  H,  L  V,  quare  dabitur 
L  M.  Producatur  M  L,  donec  cum 
H  V,  concurrat  in  N,  erit  N  nodus. 
Pra;terea  N  V  erit  ad  V  L,  ut  V  H 
ad  P  M,  itemque  L  N  ad  L  V  ut 
L  IVI  ad  M  P,  et  ideo  dabuntur 
L  N,  L  V  ;  capiatur  tempus  quod 
sit  ad  tempus  inter  observationem 
in  M,  et  observationem  in  L,  ut 
N  L  ad  L  M,  habebitur  tempus 
inter  observationem  in  L,  et  appul- 
sum  cometae  ad  nodum  ;  ciim  enim 
cometa  in  linca  recta  uniformiter 
moveri  supponatur,  tempora  sunt  ut 
spatia.  Dabitur  quoque  locus  come- 
tae  in  nodo  versantis;  ciim  enim  de- 
tur  punctum  N,  et  propter  tempus 
cognitum  inter  observationem  in  L, 
et  appulsum  cometoe  ad  nodum,  de- 
tur  quoque  locus  Terrae  pro  hoc  mo- 
mento,  dabitur  positio  rectae  hasc 
puncta  jungentis,  hoc  est  longitudo 
cometae  in  nodo  existentis.  Tandem 
ob  datam  distantiam  nodi  a  loco  V 
datamque  latitudinem  cometae  in 
eodem  loco,  dantur  in  triangulo 
sphaerico  rectangulo  latera  duo  circa 
angulum  rectum,  ac  proinde  in- 
notescit  inclinatio  hypothenusa;,  id 
est,  semitae  ipsius  cometae  ad  eclipticam. 

134.  Ex  dictis  colligitur  qua  ratione  ad  tem- 
pus  quodiibet  propositum  definiri  possint  locus 
cometoe  e  Terra  visus,  illiusque  distantia  a  Terra. 
Dcterminentur  ut  supra  vestigium  orbitae  in 
plano  eclipticie  H  E  V  R,  ipsaque  vera  cometa; 
orbita  INl  L  N  Q.     Capiatur  H  11  ad  H  V,  ut 


spatium  inter  observationem  primam  tempusque 
datum  ad  spatium  inter  observationem  primam 
et  quartam.  Dato  Terrae  loco  ad  tempus  pro- 
positum,  puta  F,  datur  positio  rectae  F  R,  ac 
proinde  datur  longitudo  cometae  quiesita  (l-^S). 
Praeterea  fiat  R  Q,  ad  R  N,  sicut  M  H  ad  H  N, 
patet  dari  latitudinem  cometas  ad  tempus  datum 
(loc.  cit.).  His  autem  datis,  obtineri  potest 
distantia  cometae  a  Terra  (ibid.)  in  hac  ergo 
hypothesi  quod  cometae  in  lineis  rectis  uniformi- 
ter  moveantur,  determinari  possunt  praecipua 
motus  cometarum  elementa.  Hac  de  re  con- 
sulat  lector  Opusculum  clariss.  viri  Dominici 
Cassini  de  Cometa  an.  1 664  ;  Davidis  Gregorii 
Astronomiam  Physicam,  et  Cassini  filii  Theo- 
riam  Cometarum  in  Monumentis  Paris.  an. 
1727. 

{^)  *  Pergunt  hcec  corpora.  Est  et  alia 
parailaxis  proveniens  ex  motu  Terrae  circa  So- 
lem.  Haec  latitudinem  cometarum  respicit, 
hoc   est,  distantiam   eorum   ab   ecliptica  versus 


boream  aut  austrum,  unde  fit  ut  coraetae  in 
sphasra  fixarum  a  cursu  circulari  deflectere  et 
lineam  admodum  irrogularem  videantur  dcscri- 
bere.  Ciim  enim  planum  in  quo  cometa  move- 
tur,  cum  plano  eclipticae  in  quo  Terra  fertur, 
non  coincidat,  cometa  modo  supra  eclipticam  in 
septentrioncm  ascendit,  modo  infru  ccliiiticaui  iii 


LiberTertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA.  129 

fine  cursus,  ubi  motus  apparentis  pars  illa,  quas  a  parallaxi  oritur,  majo- 
rem  habet  proportionem  ad  motum  totum  apparentem,  deflectere  solent 
ab  his  circulis,  et  quoties  Terra  movetur  in  unam  partem,  abire  in  partem 
contrariam.  Oritur  haec  deflexio  maxime  ex  parallaxi,  propterea  quod 
respondet  motui  Terrae ;  et  insignis  ejus  quantitas,  meo  computo,  collo- 
cavit  disparentes  cometas  satis  longe  infra  Jovem.  Unde  consequens  est 
quod  in  perigaeis  et  periheliis,  ubi  propius  adsunt,  descendunt  ssepius 
infra  orbes  Martis  et  inferiorum  planetarum. 

Confirmatur  etiam  propinquitas  cometarum  (^)  ex  luce  capitum.  Nam 
corporis  coelestis  a  Sole  illustrati  et  in  regiones  longinquas  abeuntis,  dimi- 
nuitur  splendor  in  quadruphcata  ratione  distantiae :  in  duplicata  ratione 
videlicet  ob  auctam  corporis  distantiam  a  Sole,  et  in  alia  duplicata  ratione 
ob  diminutam  diametrum  apparentem.  Unde  si  detur  et  hicis  quantitas 
et  apparens  diameter  cometae,  dabitur  distantia,  dicendo  quod  distantia  sit 
ad  distantiam  planetae,  in  ratione  diametri  ad  diametrum  directe  et  ratione 
dupKcata  lucis  ad  lucem  inverse.  Sic  minima  capiUitii  cometas  anni  1682 
diameter,  per  tubum  opticum  sexdecim  pedum  a  Flamstedio  observata  et 
micrometro  mensurata,  aequabat  2^  0'^ ;  nucleus  autem  seu  stella  in  medio 
capitis  vix  decimam  partem  latitudinis  hujus  occupabat,  ideoque  lata  erat 
tantum  11'^  vel  12''.  Luce  vero  et  claritate  capitis  superabat  caput 
cometae  anni  1680,  stellasque  primae  vel  secundae  magnitudinis  asmulaba- 
tur.  Ponamus  Saturnum  cum  annulo  suo  quasi  quadruplo  lucidiorem 
fuisse :  et  quoniam  lux  annuH  propemodum  aequabat  lucem  globi  inter- 
medii,  et  diameter  apparens  globi  sit  quasi  21''.  ideoque  lux  globi  et  an- 

austrum  descendit.    Quiatamen  in  eodcm  plano  sphseras  conthicri,   ideoque  densitates  radiorum 

Bemper  incedit,  orbem  circularem,  Tellure  quies-  erunt  in  ratione  superficieruni  spha^ricarum  in- 

cente,  videretur  describere,  sed  quoniam  Tellus  vcrse,  hoc  est,  in  ratione  duplicata  semi-diame- 

ipsa   movetur   in    plano  ecliptica",    cometa   pro  trorum  sive  distantiarum   a  corpore  lucido  in- 

diversis   Terra;    locis    observatus,    modo    verbus  verse  (14.  Lib.  I.).      Quare  nulla  distantiarum 

boream  ahius  ascendere,  modo  versus  austrum  habita  ratione,  sensatio  quas  a  radiis  nervos  opti' 

inferius  descendere  apparcbit.      Observationibus  cos  percutientibus  excitatur,   est  ut  quadratura 

compertum  est  cometas  propemodum  in  circulis  distantiaj  inverse.    Sed  quo  remotiusest  lucidum, 

maximis  pergere,  quandiu  moventur  celerius,  at  eo  pauciores  radii  ad  oculum  perveniunt,  idque 

in  fine  cursus  deflectere  solent  ab  his  circuhs ;  in   duplicatS,  ratione  distantiarum    (loco   supra 

hfBC  autem  deflexio  pendet  ex   ips^  trajectoriae  cit.)  hoc  est,  in  duphcata  ratione  diametri  appa- 

cometarum    curvatura   de    quA    infra.       Quare  rentis  diminutae.      Quare,  componcndo,  corporis 

deinceps  trademus  nonnam  computi  quo  New-  coelestis  a  Sole  illustrati  et  in  regiones  longin- 

tonus  disparentes  cometas  satis  longe  infra  Jo-  quas   abeuntis   diminuitur   splendor   in    ratione 

vem  collocavit,  nonnullaque  afFeremus  exempla  quadruphcata  distantiae.     Erit  itaqucquadratum 

cometarum  qui  infia  orbes  Mariis  et  inferiorum  distantiae  cometaj  a  Sole  ad  quadratum  distantiae 

planetarum  descenderunt.  planetas  ab  eodem  in  ratione  compositd  ex  duph'- 

cata  ratione  diametri  apparentis  cometae  ad  dia- 

(^ )  1 35.   *   Ex  luce  capituvi.     Jntelligantur  metrum    apparentcm   planetae   et   ratione   lucis 

dua^   superficies    sphacricjB   concentricae,    minor  planetae   ad    lucem   cometa^.       Unde    distantia 

una,  major  altera,  et  in  centro  utriusque  consti-  cometse  a  Sole  est  ad  distantiam  planetae  ab  eo- 

tutum  fingatur  corpus  aHquod  lucidum.      Quo-  dem   in  ratione  composita  ex  ratione  diametri 

niam  corpus  illud  radios  suos  per  omnem  circui-  apparcntis  cometie   ad    diametrum   apparentem 

tum   difiundit,    evidens    est    eandcm    radioi-um  planetae  et  ratione  subduplicata  lucis  planetie  ad 

quautitatera    in    concava     superficie    >itriusque  lucem  cometce. 

I  4 


130  PHILOSOPHIiE  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 

nuli  conjunctim  aequaret  lucem  globi,  cujus  diameter  esset  30^' :  erit  dis- 
tantia  cometae  ad  distantiam  Saturni  ut  1  ad  V  4  inverse,  et  \2".  ad  30^'. 
directe.  id  est,  ut  24  ad  30  seu  4  ad  5.  Rursus  cometa  anni  1665  mense 
Aprili,  ut  auctor  est  Hevelius,  ciaritate  sua  pene  fixas  omnes  superabat, 
quinetiam  ipsum  Saturnum  ratione  coloris  videlicet  longe  vividioris. 
Quippe  lucidior  erat  hic  cometa  altero  illo,  qui  in  fine  anni  prcecedentis 
apparuerat,  et  cum  stellis  primse  magnitudinis  conferebatur.  Latitudo 
capillitii  erat  quasi  6'.  at  nucleus  cum  planetis  ope  tubi  optici  collatus 
plane  minor  erat  Jove,  et  nunc  minor  corpore  intermedio  Saturni,  nunc 
ipsi  aequalis  judicabatur.  Porro  cum  divameter  capillitii  cometarum  raro 
superet  8'.  vel  12',  diameter  vero  nuclei,  seu  stellae  centralis  sit  quasi 
decima  vel  forte  decima  quinta  pars  diametri  capillitii,  patet  stellas  hasce 
ut  plurimum  ejusdem  esse  apparentis  magnitudinis  cum  planetis.  Unde 
cum  lux  earum  cum  luce  Saturni  non  raro  conferri  possit,  eamque  ali- 
quando  superet,  manifestum  est,  quod  cometae  omnes  in  periheliis  vel 
infra  Saturnum  collocandi  sint,  vel  non  longe  supra.  Errant  igitur  toto 
ccelo,  qui  cometas  in  regionem  fixarum  prope  ablegant :  qua  certe  ratione 
non  magis  illustrari  deberent  a  Sole  nostro,  quam  planetae,  qui  hic  sunt, 
illustrantur  a  stelUs  fixis. 

Haec  disputavimus  non  considerando  obscurationem  cometarum  per 
fumum  ilhim  maxime  copiosum  et  crassum,  quo  caput  circundatur,  quasi 
per  nubem  obtuse  semper  hicens.  Nam  quanto  obscurius  redditur  corpus 
per  hunc  fiimum,  tanto  propius  ad  Solem  accedat  necesse  est,  ut  copia 
lucis  a  se  reflexae  planetas  aemuletur.  Inde  verisimile  fit  cometas  longe 
infra  sphaeram  Saturni  descendere,  iiti  ex  parallaxi  probavimus.  Idem 
vero  quam  maxime  confirmatur  ex  caudis.  (^)  Hae  vel  ex  reflexione 
fumi  sparsi  per  aethera,  vel  ex  luce  capitis  oriuntur.  Priore  casu  minu- 
enda  est  distantia  cometarum,  ne  fumus  a  capite  semper  ortus  per  spatia 
nimis  ampla  incredibili  cum  velocitate  et  expansione  propagetur.  In 
posteriore  referenda  est  lux  omnis  tam  caudae  quam  capillitii  ad  nucleum 
capitis.  Igitur  si  concipiamus  lucem  hanc  omnem  congregari  et  intra 
discum  nuclei  coarctari,  nucleus  ille  jam  certe,  quoties  caudam  maxi- 
mam  et  fulgentissimam  emittit,  (^)  Jovem  ipsum  splendore  suo  multum 

(f)  *   Hie  vel  ex  rejlexione  fumi  sparsi,  ut  Flamstcdius,  cedebat  Jovi,  adeoque  Soli  longe 

poste^  probabitur.  vicinior,  quin  imo  ininor  erat  Mercurio.      Nam 

(^)  *  Jovem  ipsum  splendore  suo.     Id  variis  die  17.   mensis  hujus,  ubi   Terrae  propior  erat, 

observationibus  confirmat  Newtonus   in    Opus-  apparuit  Cassino  per  telescopium  ped.  55.  paulo 

culo  de  Muudi  Systemate.      Cometa  anni  1679.  minor  globo   Saturni.        Die   8.  mensis  hujus, 

Decembris   1?.  et  15.  slilo  veteri,  quo  tempore  tempore  matutino,  vidit  Halleius  caudam  per- 

caudam  clarissimam  emittebat  et  luci  multorum  brevem  et'latam,  et  quasi  ex  corpore  Soiis  jamjam 

Jovium  per  tantum  spatium  difFusce  ac  dilatatae  orituri  exeuntem,  ad  instar  nubis  insolito  rnore 

iion  imparem,  magnitudine  nuclei,  ut  observabat  fulgentis,  nec  priiis  disparentem  quam  Soi  ipse 


LiberTertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA.  131 

superabit.  Minore  igitur  cum  diametro  apparente  plus  lucis  emittens, 
multo  magis  illustrabitur  a  Sole,  ideoque  erit  Soli  multo  propior.  Quin- 
etiam  capita  sub  Sole  delitescentia,  et  caudas  cum  maximas  tum  fulgentis- 
simas  instar  trabium  ignitarum  nonnunquam  emittentia,  eodem  argumento 
infra  orbem  Veneris  collocari  debent.  Nam  lux  illa  omnis  si  in  stellam 
congregari  supponatur,  ipsam  Venerem  ne  dicam  Veneres  plures  con- 
junctas  quandoque  superaret. 

Idem  denique  colligitur  ex  luce  capitum  crescente  in  recessu  come- 
tarum  a  Terra  Solem  versus,  ac  decrescente  in  eorum  recessu  a  Sole 
versus  Terram.  Sic  enim  cometa  posterior  anni  1665.  (observante 
Hevelio)  ex  quo  conspici  coepit,  remittebat  semper  de  motu  suo  appa- 
rente,  ideoque  praDterierat  perigasum ;  splendor  vero  capitis  nihilominus 
indies  crescebat,  usque  dum  cometa  radiis  solaribus  obtectus  desiit  appa- 
rere.  Cometa  anni  1683.  (observante  eodem  Hevelio)  in  fine  mensis 
Julii,  ubi  primum  conspectus  est,  tardissime  movebatur,  minuta  prima  40 
vel  45  circiter  singulis  diebus  in  orbe  suo  conficiens.  Ex  eo  tempore 
motus  ejus  diurnus  perpetuo  augebatur  usque  ad  Sept.  4.  quando  evasit 
graduum  quasi  quinque.  Igitur  toto  hoc  tempore  cometa  ad  Terram  ap- 
propinquabat.  Id  quod  etiam  ex  diametro  capitis  micrometro  mensurata 
colligitur:  quippe  quam  HeveHus  reperit  Aug.  6.  esse  tantum  6'.  S", 
inclusa  coma,  at  Sept.  2.  esse  9'.  V.  Caput  igitur  initio  longe  minus 
apparuit  quam  in  fine  motus,  at  initio  tamen  in  vicinia  Solis  longe  lucidius 
extitit  quam  circa  finem,  ut  refert  idem  Hevelius.  Proinde  toto  hoc 
tempore,  ob  recessum  ipsius  a  Sole,  quoad  lumen  decrevit,  non  obstante 
accessu  ad  Terram.  Cometa  anni  1618.  circa  medium  mensis  Decembris, 
et  iste  anni  1680.  circa  finem  ejusdem  mensis,  celerrime  movebantur, 
ideoque  tunc  erant  in  perigasis.  Verum  splendor  maximus  capitum  con- 
tigit  ante  duas  fere  septimanas,  ubi  modo  exierant  de  radiis  solaribus ;  et 
splendor  maximus  caudarum  paulo  ante,  in  majore  vicinitate  Solis.  Caput 
cometae  prioris,  juxta  observationes  Cysati,  Decemb.  1.  majus  videbatur 
stellis  primae  magnitudinis,  et  Decemb.  16.  (jam  in  perigaeo  existens) 
magnitudine  parum,  splendore  seu  claritate  luminis  plurimum  defecerat. 
Jan.  7.  Keplerus  de  capite  incertus  finem  fecit  observandi.     Die  12  men- 

inciperet  supra  horizontem  conspici.     Superabat  minorem  coarctari   et  splendore  longe  fortiori 

igitur  hic  splendor  lucem  nubium  usque  ad  or-  jam  reddita  magis  conspiciia,  Mercurium  longe 

tum  Solis,   et  immediato  Solis  splendori  solum  superabit,   adeoque   erit  Soli  vicinior.      Diebus 

cedendo  vincebat  longe  lucem  omnium  stellarum  12.  et  15.  ejusdem  mensis,   cauda  haec  per  spa- 

conjunctim.     Non  Mercurius,  non  Venus,  non  tium  longe  majus  diffusa  apparuit  rarior,  et  luce 

ipsa  Luna  in  tanta  Solis  orientis  vicinitate  cerni  tamen  adeo  forti  ut  stellis  fixis  vixdum  apparen- 

solet.      Fingamus  lucem  hancce  dilatatam   co-  tibus  cerneretur,  et  mox  trabis  mirum  in  modum 

arctari  et  in  orbem  nuclei  cometici   Mercurio  fulgentis  speciem  exhibuit. 


132 


PHILOSOPHI^  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 


sis  Decemb.  conspectum  et  a  Flamstedio  observatum  est  caput  cometas 
posterioris  in  distantia  novem  graduum  a  Sole;  id  quod  stellse  tertiae 
magiiitudinis  vix  concessum  fuisset.  Decemb.  15.  et  17.  apparuit  idem 
ut  stella  tertiae  magnitudinis,  diminutum  utique  splendore  nubium  juxta 
Solem  occidentem.  Decembr.  26.  velocissime  motus,  inque  perigaeo  prope- 
modum  existens,  cedebat  ori  Pegasi,  stellse  tertiae  magnitudinis.  Jan.  3. 
apparebat  ut  stella  quartae,  Jan.  9.  ut  stella  quintae,  Jan.  13.  ob  splendo- 
rem  Lunae  crescentis  disparuit.  Jan.  25.  vix  aequabat  stellas  magnitudinis 
septimae.  Si  sumantur  aequalia  a  perigaeo  hinc  inde  tempora,  capita  quae 
temporibus  illis  in  longinquis  regionibus  posita,  ob  squales  a  Terra  dis- 
tantias,  aequaliter  lucere  debuissent,  in  plaga  Solis  maxime  splenduere, 
ex  altera  perigaei  parte  evanuere.  Igitur  ex  magna  lucis  in  utroque  situ 
differentia,  concluditur  magna  Solis  et  cometae  vicinitas  in  situ  priore. 
Nam  lux  cometarum  regularis  esse  solet,  et  maxima  apparere  ubi  capita 
velocissime  moventur,  atque  ideo  sunt  in  perigaeis;  nisi  quatenus  ea 
major  est  in  vicinia  Solis. 

Corol.  1.-  Splendent  igitur  cometae  (^)  luce  Solis  a  se  reflexa. 

CoroL  2.  (')  Ex  dictis  etiam  intelligitur  cur  cometae  tantopere  frequentant 
regionem  Solis.  Si  cemerentur  in  regionibus  longe  ultra  Saturimm, 
deberent  saepius  apparere  in  partibus  Soli  oppositis.     Forent  enim  Terrae 


C^)  •  Luce  SoHs  a  se  reflexa-  Nam  a  Terra 
recedentibus  cometis  et  ad  Solem  accedentibus, 
augetur  eorum  splendor,  decrescente  Ucet  diame- 
tro,  ut  ex  prsecedentibus  obser/ationibus  patet. 

(i^  *  Ex  dictis  etiam  intelligitur.  Refeiat  S 
Solem,  T,  Terram,  circulus  D  E  F  H,  sphaeram 
fixarum.  Quoniam  cometae  splendent  luce  Solis 
a  se  reflexa,  (Cor.  1.)  ii  non  videbuntur,  nisi  a 


Sole  ita  illustrentur  ut  ocuH  nostri  hac  hice  mo- 
veri  possint.  Proeterea  comctaj  per  caudas  suas 
maxime  fiunt  conspicui,  has  autem  caudas  non 
cmittunt  priusquam  ad  Solem  atiquantulum  in- 
caluerint,  quare  patet  cometas  sese  conspicuos 
non  pra'bere  nisi  ad  de6nitam  quandam  a  So!e 
distantiam  accedant.  Ponatur  itaque  sphaera 
A  13  C  G,  Soh  concentrica  ad  talem  distantiam 
dcscripta  ut  nullus  cometa  propter  iilustratiunis 


defectum,  detegi  possit,  priusquam  ad  sphjera; 
hujus  supernciem  pervenent,  juncta  recta  S  T, 
producatur  utrinque  donec  superficiei  huic  oc- 
currat  in  A,  et  C.  Per  T,  ductura  inteUigatur 
planum  H  E,  cui  normalis  est  recta  A  C,  pla- 
num  illud  sphferam  dividet  in  duo  hemispheria 
quorum  unum  H  F  E.  est  versus  Solem ;  alte- 
rum  vero  H  D  E,  Soli  opponitur.  Cometas 
omnes  in  sphserae  segmento  B  C  G,  existentes, 
videbuntur  in  hemisphaerio  versus  Solem,  omnes 
autem  qui  versantuv  in  segmento  B  A  G  vide- 
buntur  in  hemisphaerio  quod  Soli  opponitur. 
Quare  si  segmentum  B  C  G,  majus  sit  segmento 
B  A  G,  plures  cometae  videbuntur  in  hemisphe- 
rio  versus  Solem  quam  in  opposito.  Jam  vero 
cometae  nudis  ocuHsse  priiis  detegendos  non  ex- 
hibent  quam  sint  Jove  propiores  j  ponatur  itaque 
S  A,  circiter  i  distantiae  Martis  a  Sole,  hoc  est 
S  A  sit  circiter  dupla  ipsius  S  T,  erit  segmentum 
B  G  C  plusquam  quadruplo  majus  scgmento 
B  A  G,  ideoque  quadruplo  vel  quintuplo  plures 
cometae  detegentur  in  hemispherio  versus  Solem 
quam  in  hemispherio  opposito.  At  si  comctas 
cernerentur  in  regionibus  longe  ultra  Saturnum, 
foret  S  A,  longe  major  quam  S  T,  et  ideo  come- 
tae  sa-piiis  debcrent  apparere  in  partibus  Soli  op- 
positis,  forent  enim  Tcrrae  viciniores  qui  in  seg- 
mento  B  A  G,  vcrsantur,  ca?teros  vero  in  scg- 
mcnto  B  C  G,  Sol  interpositus  obscuraret.  Ex 
his  intelligitur  cur  cometae  tantopcrc  frcqucntant 
rcgioncm  Soh*s. 


LiBER  Teiitius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA.  133 

viciniores,  qui  in  his  partibus  versarentur ;  et  Sol  interpositus  obscuraret 
caeteros.  Verum  percurrendo  liistorias  cometarum,  reperi  quod  quadruplo 
vel  quintuplo  plures  detecti  sunt  in  hemisphasrio  Solem  versus,  quam  in 
hemisphaerio  opposito,  prseter  ahos  proculdubio  non  paucos,  quos  lux 
solaris  obtexit.  Nimirum  in  descensu  ad  regiones  nostras  neque  caudas 
emittunt,  neque  adeo  iUustrantur  a  Sole,  ut  nudis  ocuUs  se  prius  dete- 
gendos  exhibeant,  quam  sint  ipso  Jove  propiores.  Spatii  autem  tantillo 
intervallo  circa  Solem  descripti  pars  longe  major  sita  est  a  latere  Terrae, 
quod  Solem  respicit ;  inque  parte  illa  majore  cometae,  Soli  ut  plurimum 
viciniores,  magis  iUuminari  solent. 

Corol.  3.  (^)  Hinc  etiam  manifestum  est,  quod  cceh  resistentia  desti- 
tuuntur.  Nam  cometae  vias  obhquas  et  nonnunquam  cursui  planetarum 
contrarias  secuti,  moventur  omnifariam  hberrime,  et  motus  suos,  etiam 
contra  cursum  planetarum  diutissime  conservant.  (')  Fallor  ni  genus 
planetarum  sint,  et  motu  perpetuo  in  orbem  redeant.  Nam  quod  scrip- 
tores  ahqui  meteora  esse  volunt,  argumentum  a  capitum  perpetuis  muta^ 
tionibus  ducentes,  fundamento  carere  videtur.  (™)  Capita  •cometarum 
atmosphaeris  ingentibus  cinguntur ;  et  atmosphaerse  inferne  densiores  esse 
debent.  Unde  nubes  sunt,  non  ipsa  cometarum  corpora,  in  quibus  muta- 
tiones  illae  visuntur.  Sic  Terra  si  e  planetis  spectaretur,  hice  nubium 
suarum  proculdubio  splenderet,  et  corpus  firmum  sub  nubibus  prope  de- 
Htesceret.  Sic  cingula  Jovis  in  nubibus  planetae  iUius  formata  sunt,  quse 
situm  mutant  inter  se,  et  firmum  Joviscorpus  per  nubes  illas  difficilius 
cernitur.  Et  multo  magis  corpora  cometarum  sub  atmosphaeris  et  pro- 
fundioribus  et  crassioribus  abscondi  debent. 


(^)   *  Hinc  ctiam  mariifestum  est.     Clariss.  cesse  vldetur  ul;  rapidissimo  vorticum  torrente 

Cassinus  in   IVIon.  Paris.  an.  1731.  retrogrados  contrarii  cometarum  motus  raaxime  pertuvben- 

cometarum  motus  ad  directos  ingeniose  reduxit.  tur,    citoque    destniantur,    ac    tandem   cometas 

Observatos  plurimorum  cometarum  motus  retro-  hujusce  torrentis  vi  rapiantur.     At  summe  re- 

grados  meras  esse  apparentias  conjectatur,  non  gulares  esse  cometarum  motus,  et  contra  cursum 

secus   ac    directus    planetarum    circumsolarium  planetarum[diutissimecon$ervari,  nonnuUiscome- 

motus    apparet    aliquando    retrogradus.       Sed  tarum  exemplis  deinceps  patebit. 

quamvis  celeberrimi  hujusce  astronomi  judicium  „v  ^  „  „         .               ,                    .         ^    ^ 

maxime  veneremur,    nonnullos  tamen   cometas  (')*  Fallor,  m  genus  planetarum  smt.    Quam 

motu  verd  retrogrado  contra  seriem   signorum  gravbus    fundamentis    nitatur    h^c    sententia, 

cUrsum  tenuisse  conabimur  ostendere,  ubi  hac  niamfestum   erit    postea   ex    variis   cometarum 

de  re  plura  dicendi  locus  dabitur,  postquam  sci-  ph^Bnomenis. 

licet  tradiderimus  motuum  cometarum  elementa.  (^)  *  Capita  cometarum  atmospha?ris  ingenti- 

Obliquas  es^ie  nonnunquam  cometarum  vias  et  bus  cingi  variis  argumentis  imposterum  confirmat 

cursui  planetarum  contrarias  fateri  non  dubita-  Newtonus.      Cacterum  in  ipsis  cometarum  cor- 

runt  quidam   Cartesiani.       Verum  qua  ratione  poribus  non  fieri  perpetuas  mutationes  illas  in 

diversi  illi  coraetarum  motus  cum  vorticibus  con-  decursu  constabit  independenter  omnino  ab  illa 

ciliari   possint,   difficile    intelbgitur,    ciim  enim  opinione   quaj    cometis     ingentes   atmosphaeras 

cometas  in  regiones  planetarum  descendant,  ne-  tribuit. 


13* 


rHILOSOPHI^  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 


PROPOSITIO  XL.     THEOREMA  XX. 

Comefas  in  sectionibus  conicis  umbilicos  in  centro  Solis  Jiabentibus  moveri^  et 
7^adiis  ad  Solem  ductis  areas  temporibus  proportionales  describere. 


(")  Patet  per  Corol.  1 .  Prop.  XIII.  Libri  Primi,  coUatuni  cum  Prop. 
VIII.  XII.  et  XIII.  LibriTertii. 

Corol.  1.  Hinc  si  cometae  in  orbem  redeunt,  orbes  erunt  ellipses,  et 
tempora  periodica  erunt  ad  tempora  periodica  planetarum  (°)  in  axium 
principalium  ratione  sesquiplicata.  (^)  Ideoque  cometas  maxima  ex  parte 
supra  planetas  versantes,  et  eo  nomine  orbes  axibus  majoribus  describentes, 


(°)  *  Patet.  Quoniam  cometa;  motu  suo 
lineas  curvas  circa  Solem  describunt,  ut  ex  ob- 
servationibus  constat,  vi  aliqua  a  raotu  rectilineo 
detorquentur  (per  leg.  I.).  Quoniam  autem 
hcec  vis  quae  planetas  a  lineis  rectis  detorquet 
maxime  tendit  versus  Solem  ut  pote  corpus 
cietera  omnia  systematis  solaris  corpora  longe 
superans,  eadem  quoque  vis  in  cometas  Solem 
maxime  debet  respicere.  Sed  vis  acceleratrix 
in  planetis  est  in  duplicata  ratione  distantiarum 
a  Sole  inversa  (Prop.  VIII.  Lib.  III.).  Quare 
eandem  quoque  legem  observare  debent  comet» 
quae  sunt  corpora  planetis  similia,  ac  proinde 
(Cor.  Prop.  XIII.  Lib.  I.  et  Prop.  XIIL  Lib. 
III.)  cometaB  non  secus  ac  planetae  in  sectioni- 
bus  conicis  umbiiicos  in  centro  Solis  habentibus 
moventur  et  radiis  ad  Solem  ductis  areas  tem- 
poribus  proportionales  describunt.  Haec  ita  se 
habent,  si  Sol  e  loco  suo  nuUatenus  moveatur ; 
sed  quamvis  Sol  per  attractionem  planetarum 
perpetuo  motu  agitetur,  non  tamen  longe  recedit 
a  communi  gravitatis  centro  planetarum  omnium, 
ideoque  etiara  coraetas  qui  in  regionibus  a  Sole 
maxime  dissitis  commorantur,  non  magnopere 
hujus  centri  situm  turbare  possunt.  Quare  or- 
bitarura  suarura  urabilicus  non  longe  distabit  a 
centro  Solis,  ac  proinde  propositio  hcec  vera  est 
quamproxirne.  Quantum  accurate  observatis 
coraetarum  motibus  congruat,  patebit  deinceps. 

136.  Keplerus  aliique  post  eura  astronorai 
non  pauci,  coraetas  in  lineis  rectis  raoveri  posue- 
runt,  et  inde  cometarura  quoruradam  loca  obser- 
vationibus  satis  congrua  calculo  investigarunt. 
Res  ita  succedere  potest,  si  observetur  cometa  in 
ea  tantiim  orbitae  suae  parte  quae  a  recta  non 
multum  differat.  Sit  A  P  V  B  C,  sectio  conica 
admodura  excentrica  in  cujus  urabilico  altero  S 
coUocatum  sit  Solis  centrura.  Ponaraus  corae- 
tam  observari,  dum  orbitae  suae  partem  A  P, 
describitj  fieri  potest  ut  reliquo  tempore,  dum 
scilicet  a  loco  P,  per  V,  B,  ad  locura  C  prorao- 
vetur,  in  regiones  remotissimas  abiens  oculis  se 
subducat  et  sub  radiis  solaribus  delitescat  respec- 
tu  observatoris  in  Tellure  circa  Solem  S  mota, 
vel  ctiam  accidere  potest  ut,  motu  Telluris 
ita  exigente,  cometa  percurrens  orbitae  partcm 


A  P  V  B,  sub  solaribus  radiis  abseondatur  et 
tunc  primura  observetur  ciim  ad  locum  B  perven- 
erit,  lineam  B  C  descripturus.  In  hoc  utroque 
casu  via  cometae  a  linea  recta  parum  differet. 
In  primo  casu,  cometae  a  £ole  absorpti  creden- 
tur,  quia  ad  Solem  accedentes,  pro  destructis 
habebuntur.  In  altero  casu,  e  Sole  videbuntur 
emergere  quia  tunc  primum  sese  conspicuos 
praebuerunt,  dum  a  Sole  'n  remotas  regiones 
discedebant.     Porro  dum  cometa  versus  Solem 


descendit,  puta  dum  A  P  percurrlt  postea  ad 
Solem  accedens  sub  ejus  radiis  latet,  puta  dum 
P  V  B  describit,  tanderaque  dura  ad  alteras 
Solis  partes  subito  emergit,  usurpatur  soepe  pro 
novo  cometa  a  priori  in  A  P  diverso,  et  dujB 
rectas  A  P,  B  C  pro  duabus  trajectoriis  haben- 
tur.  Ex  his  patet  cur  trajectoriae  rectilineae,  ob- 
servatis  cometarum  motibus  plerumque  respon- 
deant.  Id  fit  scilicet  eo  quod  aliqua  duntaxat 
portio  trajectoriae  pro  integra  trajectoria  habea- 
tur,  At  si  tota  simul  consideretur  tam  in  as- 
censu  versus  Solem  quam  in  descensu,  aliam 
nullam  pra^ter  sectionem  conicam  satisfacere 
constabit. 

(")  *  In  axium  principalium  ratipne  sesqui- 
plicatd.     (Prop.  XV.  Lib.  I.) ^ 

(P)  *  Ideoque  cometce  maxima  ex  parte  svpra 
planetas  versantcs,  quo  tempore  scilicet  oculos 
nostros  fugiuut,  et  eo  nomine  orbes  axibus  rca~ 
joribus  quam  planetae  deacribentes  tardius  rcvol- 
ventur. 


Lr3ER  TERTias.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


135 


tardius  revolventur.  Ut  si  axis  orbis  cometse  sit  quadruplo  inajore  axe 
orbis  Saturni,  tempus  revoJutionis  cometse  erit  ad  tempus  revolutionis 
Saturni,  id  est,  ad  annos  30.  ut  4  -/  4  (beu  8)  ad  1.  ideoque  erit  an- 
norum  240. 

Corol.  2.  (P)  Orbes  autem  erunt  parabolis  adeo  fiiiitimi,  ut  eorum  vice 
parabolae  sine  erroribus  sensibilibus  adhiberi  possint. 

Corol.  3.  Et  propterea  (per  Corol.  7.  Prop.  XVI.  Lib.  I.)  velocitas 
cometae  omnis,  erit  semper  ("^)  ad  velocitatem  planetae  cujusvis  circa  Solem 
in  circulo  revolventis,  in  subduplicata  ratione  duplae  distantiae  planetae  a 
centro  Solis,  ad  distantiam  cometae  a  centro  Solis  quamproxime.  Pona- 
mus  radium  orbis  magni,  seu  ellipseos  in  qua  Terra  revolvitur,  semi-dia- 
metrum  maximam  esse  partium  1 00000000 :  ("")  et  Terra  motu  suo  diurno 
mediocri  describet  partes  1720212,  et  motu  horario  partes  71 675 J. 
Ideoque  cometa  in  eadem  Telluris  a  Sole  distantia  mediocri,  ea  cum 
velocitate  quae  sit  ad  velocitatem  Telluris  ut  V  2  ad  1,  describet  motu 
suo  diurno  partes  2432747,  et  motu  horario  partes  101 364 J.  (*)  In 
majoribus  autem  vel  minoribus  distantiis,  motus  tum  diurnus  tum  horarius 
erit  ad  hunc  motum  diurnum  et  horarium  in  subduplicata  ratione  distan- 
tiarum  reciproce,  ideoque  datur. 

Corol.  4.  (*)  Unde  si  latus  rectum  parabolae  quadruplo  majus  sit  radio 

(P)  *  Orbes  autem  erunt  paraboUs  adeofinitimi.     drati,  hoc  est  2,  et  area  parabolica  A  P  F,  hujus 
Orbes  cometarum  sunt  admodum  excenLrici,  ut  .  4 

ex  observalionibus  colligitur,  et  valde  exigua  est     rectanguh  duae   tertiae  partes,   hoc  est  —  (per 


Theor.   TV.  de  parab.    Lib.    I.)-      Quare  area 
parabolica   A  P  F,    cst  ad  aream  circuli  radio 


A  F  descripti  ut—  ad  3.14159. 


Si  igitur  velo- 


poriio  orbis  quem  toto  apparitionis  tempore 
describunt,  exiguo  enim  teniporis  spatio  sese 
conspicuos  praebent.  Veriam  si  in  ellipsi  cen- 
trum  ad  infinitam  ab  umbilico  distantiam  remo- 
veatur,  portio  eUipsis  cujus  abscissa  finita  est, 
abit  in  parabolam.  Quare  elliptici  orbes  corae- 
tarum  erunt  parabolis  valde  flnitimi. 

(^)  *  Ad  velocitatetn  planetce  cujusvis  circcL 
Solem  in  circulo  revolvcnlis ;  hoc  est,  ad  veloci- 
tatem  ejus  mediocrem. 

(J)  *  Et  Terra.  Fiat  haec  analogia :  ut  est 
tempus  periodicum  Terraj  circa  Solem  ad  totam 
peripheriam  circuU  3. 141,  ita  dies  una  vel  hora 
una  ad  partem  peripheriae  una  die  vel  hora  una 
descriptam. 

(*)  *  In  majoribus  autemvelminoribus,  (Cor. 
6.  Prop.  IV.  et  Prop.  X\\  Lib.  l.  vel  per  Cor. 
6.  Prop.  XVL  ejusdem  Libri.) 

(*)  *  Unde  si  latus  recttim.  Ex  umbiHco 
parabolae  F,  ducatur  ad  axem    A   D,  ordinata 

P  F,  erit  area  A  P  F,  ad  arcam  circuli  quarta     citas  cometsc  revolventis  in  parabola  eadem  esset 
partelatensrectiseuradioAFdescripti(lheor.     cum  velocitate  planet®   gyrantis  in  circulo,  iu 
II.  de  parabola,    Lib.    I.)   ut  —  ad  3.14159.     eadem  quoque  ratione  foret  tempus  quo  comcta 
3  describit  arcum  parabolae  A  P,  ad  tempus  pcrio- 

Nam  si  radius  circuli  sumatur  a-qualis  unitati,  dicum  planetae.  Sed  velocitas  cometie  est  ad 
erit  area  circuU  ad  quadratum  diametri,  ut  velocitatem  planetse  in  eadem  distantia  a  Sole 
3.14159  ad  4.^  Sed  rectangulum  sub  ordinata  ut  -v/  2  ad  1,  in  liac  igitur  ratione  diminuenda 
P  F  et  abscissa  F  A,  est  dimidium  hujus  qua-     est  prior  ratio.      Unde^  tempus  quo  comcta  d«^. 


136  PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 

orbis  magni,  et  quadratum  radii  illius  ponatur  esse  partium  100000000: 
area  quam  cometa  radio  ad  Solem  ducto  singulis  diebus  describit,  erit 
partium  1216373J,  et  singulis  horis  area  illa  erit  partium  50682^.-  (")  Sin 
latus  rectum  majus  sit  vel  minus  in  ratione  quavis,  erit  area  diurna  et 
horaria  major  vel  minor  in  eadem  ratione  subduplicata. 

(^)  LEMMA  V. 

Invenire  lineam  curvam  generis  parabolici,  quce  per  data  quotcunqxie  puncta 

transihit. 

Sunto  puncta  illa  A,  B,  C,  D,  E,  F,  &c.  et  ab  iisdem  ad  rectam  quam- 
vis  positione  datam  H  N  demitte  perpendicula  quotcunque  A  H,  B  I, 
C  K,  D  L,  E  M,  F  N. 

Cas.  1.  Si  punctorum  H,  I,  K,  L,  M,  N  sequalia  sunt  intervalla 
H  I,  I  K,  K  L,  &c.  collige  perpendiculorum  A  H,  B  I,  C  K,  &c.  diffe- 
rentias  primas  b,  2  b,  3  b,  4  b,  5  b,  &c.  secmidas  c,  2  c,  3  c,  4  c,  &c. 
tertias  d,  2  d,  3  d,  &c.  id  est,  ita  ut  sit  A  H  —  B  I  =  b,  B  I  —  C  K  = 
2b,  CK  —  DL=3b,  DL  +  EM  =  4b,  — -EM+FN^^b, 
dein  b  —  2  b  =  c,  &c.  et  sic  pergatur  ad  difFerentiam  ultimam,  quae  hic 
est  f.  Deinde  erecta  quacunque  perpendiculari  R  S,  quse  fuerit  ordina- 
tim  applicata  ad  curvam  quaesitam :  ut  inveniatur  hujus  longitudo,  pone 


scribit  arcum  parabolicum  A  P,  erit  ad  tempus  jus  temporis  intervallum  requiritur  ut  cometa  in 

4  3.14159  majorj  parabola  aream  similem  describat,  minus 

periodicum  planetae  ut  ^  ^      ,  ^  ^    . — i *  autem  in   minori,    ac   proinde  cometa  tempore 

jg  8       '  axjuali   minorem    partem    parabola;   majoris   et 

Sive  ut  >v/  T"»  hoc  est,  ut  /\/  —  ad  3.14159.  inajorem  parabolfE  minoris  describeret,  idque  in 


.     .          ^            .     X    o  ,          •  ratione  sesquiplicata  distantiarum  inversa,  hoc 

Jam  tempus  penodicum  Terrae  circa  bolem  sit  ^                                         d                  . 

565.2565  dier.  et  cometa  in  perihelio  ad  distan-  e3t,    posita   ratione   distantiarum  — ,    erit  ratio 
tiam  ajqualem  distantiae  Terras  a  Sole  suppona- 

tur,  tempus  quo  cometa  describet  arcum  para-  arearum  jequali  tempore  descriptarum  ut  - — -~- 

bolicum  A  P>  per  hanc  analogiam  invenitur :  ut  d  y'  d 

est  3.14159  ad  a/  —,  ita  365. 2565  ad  tempus     ad — -.     Sed  areoe  similcs  parabolarum  in- 

'^     9  e  y'  e 

qussitum  quod  erit  109.  dier.  14.  hor,  46'.      Si  acqualium  sunt  in  ratione  duplicata  laterum  rec- 

quadratumradiiponaturessepartium  100000000.  torum  (112.  Lib.  I.).     Sive  distantiarum  quae 

erit  area  parabolica  harum  partium  133333333,  sunt    laterum   rectorum    pars   quarta    [Qvx.   2. 

quas  cometa  radiis  ad  Solem  ductis  describit  die-  Theor.   I.    de   parab.    Lib.  L).       Quare    ratio 

bus  109.  lior.  14.  46'.    Quare  area  quam  cometa  prior  in  hac  ratione  duplicata  augenda  est,  tota- 

1  .         .             d  d               e  e 

singulis  diebus  describit,  eritpartium  1216373—  que  ratio  composita  erit  ut  ^     ,  ^  ad  ^     .    , 

1  hoc  est,  ut  -v^  d  ad  y  e,  quss  est  ratio  subdu- 

et  singuh*s  horis  area  illa  erit  partium  50682—.  plicata  distantiarum  sive  laterum  rectorum.     Pa- 

tet  aream  minorem  lieri  in  eadem  ratione  sub- 

(")  *   Sin   latua   rcctum»      Tcmpora    quibus  duplicata,  si  ratio  sesquiplicata  distantiarum  mi- 

cometa  in  distantiis  ina?qualibus  areas  paraboli-  nuatur  in  ratione  dupHcata  laterum  rectorum 

cas  similes  describeret,  sunt  ut  revolutiones  in  seu  distantiarum. 

circulis,  ideoque  in  ratione  distantiarum  sesqui-  (^)  *  Lemma.      Totum  illud  Lemma  exponi- 

plicatd  (Cor.  C.  Prop.  IV.  Lib.  L),  id  est,  ma-  tur  num.  76.  Lib.  IL 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATIIEMATICA. 


137 


intervalla  PI  I,  I  K,  K  L,  L  M,  &c.  unitates  esse,  et  dic  A  H  =  a, 
—  HS  =  p,  Jpin  —  IS=:q,  Jqin+SK  =  r,  ^rin+SLzrs, 
-]-  s  in   +  S  M  =  t;    pergendo  videlicet  ad  usque  penultimum  perpen- 

b2b3b4b5b  B 

c       2  c      3  c       4  c 

d       2  d       3  d 

e     2  e 

f 

diculum  M  E,  et  prasponendo  signa  negativa  terminls  H  S,  I  S,  &c. 
qui  jacent  ad  partes  puncti  S  versus  A,  et  signa  affirmativa  terminis 
S  K,  S  L,  &c.  qui  jacent  ad  alteras  partes  puncti  S.  Et  signis  probe  ob- 
servatis,  erit  RS  =  a-J-bp-|-cq  +  dr  +  es-f"ft,  &c. 

Cas.  2.  Quod  si  punctorum  H,  I,  K,  L,  &c.  inaequalia  sint  intervalla 
LI  I,  I  K,  &c.  coUige  perpendiculorum  A  H,  B  I,  C  K,  &c.  differentias 
primas  per  intervalla  perpendiculorum  divisas  b,  2  b,  3  b,  4  b,  5  b; 
secundas  per  intervalla  bina  divisa  c,  2  c,  3  c,  4  c,  &c.  tertias  per  in- 
tervalla  terna  divisas  d,   2  d,  3  d,    &c.  quartas  per  intervalla  quaterna 

divisas  e,  2  e,  &c.  et  sic  deinceps ;  id  est,  ita  ut  sit  b   r-  ^ 

2b 


2b=^L=LCK,3b=^-_- 
IK      '  KL 


^L,&c.deinc=!^ 


HK 


2c  = 


3  c 


H  I 

2b  — 


3b 


IL 


ventis  differentiis,  dic  A  H  =  a,  —  tl  S  =  p,  p  in  —  I  S  =  q,  q  in  -}- 
SK  =  r,  rin  +  SL  =  s,  sin  +  SM=t;  pergendo  scilicet  ad  usque 
perpendiculum  penultimum  M  E,  et  erit  ordinatim  applicata  R  S  =  a  + 
bp  +  cq  +  dr  +  es  +  ft,  &c. 

Corol.  Hinc  arese  curvarum  omnium  inveniri  possunt  quamproxime. 
Nam  si  curvae  cujusvis  quadrandae  inveniantur  puncta  aliquot,  et  paraboia 
per  eadem  duci  intelligatur :  erit  area  parabolae  hujus  eadem  quamproxime 
cum  area  curvae  illius  quadrandac.  (^)  Potest  autem  parabola  per  metho- 
dos  notissimas  semper  quadrari  geometrice. 

(^)  Potest  autem  'parabolaf  per  methodos  nolis-  quamproxiine  cum  areu  curvaj  illius  quadrandae. 

simas  (165.  Lib.  I.)  semper  quadrari  geometrice.  Quo  plura  sunt  puncta  curvaj  propositae  pcr  quae 

Inveniatur  itaque  acquatiodefinieascurvam  para-  transit  curva  parabolica,  ed  propius  arca  hujus 

boHcam    quse   transibit    per    curvae   quadrandaj  accedit  ad  aream  illius. 
puncta  quotlibet,  erit  area  parabol»  hujus  eadem 


138 


PHILOSOPHI^  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 


LEMMA  VI. 

JEa^  obsetvafis  aliquot  locis  cometcs  invenire  locum  ejus  ad  tempus  quodvis 

inte?'medium  datum, 

Designent  H  I,  I  K,   K  L,  L  M  tempora  inter  observationes  H  A, 
I  B,  K  C,  L  D,  M  E  observatas  quinque  longitudines  cometoe,  H  S 


tempus  datum  inter  observationem  primam  et  longitudinem  qua?sitam. 
Et  si  per  puncta  A,  B,  C,  D,  E  duci  intelligatur  curva  rcgularis 
A  B  C  D  E ;  et  per  Lemma  superius  inveniatur  ejus  ordinatim  applicata 
R  S,  erit  R  S  longitudo  quaesita. 

Eadem  methodo  ex  observatis  quinque  latitudinibus  invenitur  latitudo 
ad  tempus  datum. 

(^)  Si  longitudinum  observatarum  parvae  sint  difFerentiae,  puta  graduum 
tantum  4  vel  5 ;  sufFecerint  observationes  tres  vel  quatuor  ad  inveniendam 
longitudinem  et  latitudinem  novam.  Sin  majores  sint  diiFerentiae,  puta 
graduum  10  vel  20,  debebunt  observationes  quinque  adhiberi. 


(*)  137.  *  Si  longltudinum  observatarum, 
(patet  per  not.  in  Cor.  praeced.).  Methodus 
Lemmatis  praecedentis,  quae  methodus  interpo- 
lationum  dici  solet,  in  rebus  astronomicis  usus 
habere  potest  eximios.  Hanc  methodum  adhi- 
buit  clariss.  Meierus  Tom.  II.  Comment.  Acad. 
Ffctropol.  ad  Investiganda  SoJstitiorum  Momenta. 
Circa  tempus  solstitii  observentur  aliquae  Solis 
altitudines  meridianae,  illasque  Solis  altitudines 
repracsentent  quaedam  ordinatae,  et  tempora  inter 
observationes  efapsa  ordinatarum  intervallis  exhi- 
beantur.  Deinde  transeat  parabola  per  extremi- 
tates  ordinatarum,  abscissa  qu£e  correspondet 
minimae  ordinata?,  tempus  solstitii  determinabit. 
Caeterum    definiri    potest   lempus   solstitii    per 


plures  observationes  et  parabolam  plurium  di- 
mensionum,  vel  per  tres  observationes  duntaxat 
et  parabolam  conicam,  uti  fecit  Halleius.  Ve- 
rum  in  quocumque  casu  adhibeatur  interpola- 
tionum  methodus,  oportet  diftcrentias  observatas 
sensibiliter  majores  esse  erroribus  qui  in  ipsa 
observatione  committi  possunt,  hac  autem  adhi- 
bita  cura,  satis  accurate  determinari  poterunt 
plurima  astronomiae  phaenomena  quso  alia  qui- 
dem  via  forent  determinatu  difficiUima.  Elegan- 
tissimum  ejusdem  raethodi  exemplum  dedit  cxi- 
mius  geometra  D.  Clairaut  in  Mon.  Paris. 
an.  1756,  ubi  determinandae  Telluri  figurae  mo- 
dum  exponit  ex  mensura  plurium  meridiani  ar- 
cuum  in  diverais  latitudinibus  capta. 


LiBER  Tertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


139 


LEMMA  Vll. 

Per  datum  punctum  P  ducere  rectam  lineam  B  C,  cujus  partes  P  B,  P  C, 
rectis  duabus  positione  datis  A  B,  A  C,  ahscissce,  datam  habeant  rationem 
ad  invicem,  r- 


A  puncto  illo  P  ad  rectarum  alterutram  A  B 
ducatur  recta  quaevis  P  D,  et  producatur 
eadem  versus  rectam  alteram  A  C  usque  ad 
E,  ut  sit  P  E  ad  P  D  in  data  illa  ratione. 
Ipsi  A  D  parallela  sit  E  C;  et  si  agatur 
C  P  B,  erit  P  C  ad  P  B  ut  P  E  ad  P  D. 
Q.  e.  f. 


LEMMA  VIIL 

Sit  A  B  C  parahola  umhilicum  habens  S.  Chorda  A  C  hisecta  in  I  ahscin- 
datur  segmentum  A  B  C  I,  cujus  diameter  sit  1  (j^  et  vertex  ih,  In\  il 
producta  capiatur  /o-  O  cequalis  dimidio  ipsius  1  fj^,  Jungatur  O  S,  et 
producatur  ea  ad  g,  id  sit  S  g  cequalis  2  S  O.  Et  si  cometa  B  moveatur 
in  arcu  C  B  A,  et  agatur  g  B  secans  A  C  z?z  E :  dico  quod  punctum  E 
ahscindet  de  chordd  A  C  segmentum  A  E  tempori  proportionale  quam- 
proxime. 


Jungatur    enim 


.31 


E    O 

secans    arcum    paraboli- 

cum   A   B    C   in   Y,    et 

agatur  ^  X,   quas  tangat 

eundem  arcum  in  vertice  ^ 

fjb,  et  actae  E  O  occurrat  ^ 

in   X;    ('')  et  erit  area  curvilinea  A  E  X  a^  A  ad  aream  curvilineam 

A  C  Y  />t  A  ut  A  E  ad  A  C.     Ideoque  cum  triangulum  A  S  E  sit  ad 


(^)  *  Et  erit  area.  Q.uoniam  chorda  A  C 
bisecta  est  in  I,  erit  semi-segmentum  A  ^  I 
£equale  semi-spgmento  f/,  I  C.  Itcm  quia  ^  X 
tangit  parabolam  in  ^,  erit  (W  X,  parallela  chor- 
d.-B  A  C  (per  Lem.  IV.  de  conic  Lib.  I.)  ac 
])roinde  triangulum  O  I  E  simile  est  trlangulo 
O  jt4  X,  ideeque  ob  1  O  triplam  ipsius  yw  O,  erit 
trianguhxm  I  O  E  trianguh  ^  O  X,  noncuplum 
et  triangulum  I  O  E  trapezii  I  ^  X  E,  sesqui- 
octavum.  Praeterea  triangulum  I  A  O,  est  tri- 
anguli  I  A  /(*,    sesquialtcruni   (oraittuntur  in 

VoL.  III.  Pars  IL  ] 


figura  ahquae  hnea;  ad  vitandam  confusionem) 
cum  idem  sit  trianguh  utriusque  vertex  A,  sitque 
basis  O  I  sesquialtera  basis  ^  I,  trianguhim  vero 
A  i^  I,  subsesquitertium  est  semi-scgmenti  A  ^  I 
(Prop.  XXIV.  Archimed.  de  parab.  vel  Theor. 
IV.  de  parab.  Lib.  I.),  Quare  trjanguhiim 
A  O  I  est  sesquioctavum  semi-segmenti  A  (t*  I, 
hoc  est,  in  ratione  composita  ex  rationibus  ses- 
quiaUerii  et  subsesquitertia  ac  proinde  triangulum 
A  O  I,  est  ad  semi-segmentum  A  ^  I  sicut  tri- 
angukim  I  O  E,  ad  trapeziura  ^  X  1  E,  et 


140 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 


i^. 


triangulum  A  S  C  in  eadem  ratione,  erit  area  tota  A  S  E  X  //-  A  ad 

aream  totam  A  S  C  Y  /x  A  ut  A  E  ad  A  C.     Ciim  autem  f  O  sit  ad  S  O 

ut  3  ad  1,  et  EOadXO 

in  eadem  ratione,  erit  S  X 

ipsi    E    B   parallela;    et 

propterea  si  jungatur  B  X, 

erit  triangulum  S  E  B  tri- 

angulo   X   E   B  sequale. 

Unde  si  ad  aream  A  S  E  X  /x  A  addatur  triangulum  E  X  B,  et  de  summa 

auferatur  triangulum  S  E  B ;  manebit  area  A  S  B  X  /o-  A  areae  A  S  E  X  /-o  A 

aequalis  :  atque  ideo  ad  aream  A  S  C  Y  /x  A  ut  A  E  ad  A  C.     Sed  areas 

A  S  B  X  ^  A  aequalis  est  area  A  S  B  Y  /-o  A  (^)  quamproxime,  et  hsec 

area  A  S  B  Y  /a  A  est  ad  aream  A  S  C  Y  /-t  A,  (^)  ut  tempus  descripti  arcus 

A  B  ad  tempus  arcus  totius  A  C.    Ideoque  A  E  est  ad  A  C  in  ratione  tem- 

porum  quamproxime.     Q.  e.  d. 

CoroL  Ubi  punctum  B  incidit  in  parabolae  verticem  //-,  est  A  E  ad  A  C 
in  ratione  temporum  {^)  accurate. 


vicissim  trapezium  ^  X  I  E  Cbl  ad  semi-segmen- 
tum  A  jt«  I  ut  I  E  ad  A  I,  ac  proindc,  tom- 
ponendo  area  curvilinea  A  ^c*  X  E,  est  ad  semi- 
segmentum  A  ^  I,  ut  A  E,  ad  A  I,  ideoque 
area  curvilinea  A  («*  X  E  est  ad  segmentum 
totum  A  ^  C  ut  A  E  ad  A  C. 

(°)  *  Q.uamproxime.     Ob  viciniara  punctorura 
^,  X(exhyp.). 

C^)  *  Ut  tempus  descripti  arcus.     (Prop.  I. 
Lib.  I.) 

C^)  *  Accurate.     Ideo  enim  in  casu  Lemmatis 
hujus  A  E  non  est  ad  A  C  in  ratione  temporum 
accurat^,  quia  area  A  S  B  X  ^  A,  sumpta  est 
lequalis  area;  A  S  B  Y  ^  A, 
quod  verum  estduntaxatquam- 
proxlme.      Sed  coincidentibus 
punctis  B,  y.,  arecB  illae  aequales 
fiunt  accurate,    quare  in  hoc 
casu  A  E  est  ad  A  C,  in  ra- 
tione  temporum  accurate. 

138.    Q,uoniam  coincidenti- 
bus  punctis  B,  fjt.,  chorda  A  C  «^ 

dividitur  in  E  in  ratione  tem-         q 
porum   accurale,   iisdem  vero 
punctis    non   .  coincidentibus, 
haec  chorda  dividitur  in  ratione 
temporum  quamproxirae  tan- 
tum,  quo  propius   erit   punc- 
tum  B,  vertici  parabolce  ,c*,  ed 
magis  accurate  dividetur  chor- 
da  A  C  in  duo  segmenta  qu» 
temporum   rationem   habeant. 
Observandum    est    chordam    A    C    magls    ac- 
curate  divldi  in  ratlone  temporum,    si    B   dis- 
tet   a   vertlce   ^  versus   C  quam   si   ab  eodem 
vertice  ^,    versus    A,    aequali   intervallo  disiet. 


Quoniam  enim  parabolje  portio  /a  A  vertici  princi- 
pali  propior  est,  ea  fit  curvior  et  a  tangente  ^  X, 
magis  deflectit  quam  portio  f/,  C,  a  vertice  /u,,  re- 
motior.  Quare  si  investiganda  sint  iria  temporis 
momenta  quibus  cometa  in  parabola^  locis  tribus 
A,  B,  C,  versatur,  ita  ut  A  E  sit  ad  A  C,  ut 
temporum  intervalla  accurate,  sumenda  sunt 
praedicta  tempora  fere  a;qualia.  Nam  ob  exiguas 
trajectorlae  parabolicaj  portiones  astronomicis  ob- 
servationibus  subjectas,  punctum  E,  non  rnui- 
tum  distat  a  cbordae  medio  puncto  I.  Oportet 
autem  intervallum  illud,  ubi  cometa  tardior  est, 
pauio  majus  esse  altero  j  cometa  enim  existente 


in  f/.,  ubi  chorda  A  C,  dividitur  accurate  in 
ratione  temporum  ;  erit  recta  E  C,  major  quam 
A  E,  hoc  est,  tempus  quo  cometa  tunc  tardior 
(Cor.  5.  Prop.  XL.  Lib.  huj.)  describit  arcum 


LiberTertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA. 

Scholium. 


141 


Si  jungatur  [i  g  secans  A  C  in  ^,  et  in  ea  capiatur  J  n,  quae  sit  ad  ^  B 
ut  27  M  I  ad  16  M  /a:  acta  B  n  secabit  chordam  A  C  in  ratione  tem- 
porum  (^)  magis  accurate  quam  prius.     Jaceat  autem  punctum  n  ultra 


B  C,  majus  est  tempore  quo  idem  cometa  factus 
velocior  describit  arcum  B  A.  Accuratius 
itaque  eligentur  teinpora  parum  insequalia  ut 
punctum  E  potius  abeat  versus  C,  quam  versus 
A,  ob  rationem  modo  allatam. 

ISD.  Si  vertex  fi,  segmenti  parabolici  A  ^  C 
pariim  distet  a  vertice  principali,  sitque  punctum 
B  proximum  puncto  ^,  recta  S  ^,  ex  parabolae 
umbilico  S,  ad  verticem  ^,  ducta  dividet  chor- 
dam  A  C,  in  M,  fere  in  ratione  temporum,  ut 
ex  praecedentibus  patet. 

140.  Si  fuerit  recta  S  ^  admodum  magna  re- 
spectu  abscissae  ^  I,  erit  S  V,  tripla  ipsius  M  V. 
Quoniam  enim  rectce  S  V  O,  S  M  ^tt;  in  hoc 
casu  pro  parallelis  haberi  possunt,  erit  I  V  ad 


V  M  ut  I  O  ad  /«  O,  hoc  est,  (per  constr.  Lem. 
Vin.)  ut  3  ad  1. 

141.  lisdem  positis,  erit  V  |  =  3  V  S 
-J-  3  I  ^;  quoniam  enim  (per  constr.)  S  | 
=  2  S  O,  erit  0^  =  3SOr=3SV  +  3VO. 
Jam  utrinque  auferatur  V  O,  fiet  V  |  =  3  S  V 
4-  2  V  O.      Sed  ob  rectas  V  O,  M  ^  parallelas, 

V  O  est  ad  M  ^,  ut  I  O  ad  I  ^m,  hoc  est,  ut  3 
ad  2,  ideoque  2  V  O  =  3  M  ^.  Praterea 
rectae  S  ^,  1  f^,  sequales  constituunt  angulos 
cum  recta  tangeyte  parabolam  in  fji.,  quas  est 
chordae  A  C  parallela  (per  Theor.  Ili.deparab. 
et  Lem.  IV.  de  conic.).  Quare  asquales  sunt 
anguli  M  I  (»,  I  M  (/,,  ac  proinde  recta  M  (M=I  ^ ; 
unde  fit3l^=2VO,  etV|  =  3VS  + 
3  1  ^. 


g    c 


(^ )  1 42.  *  Magh  accurnte  quam  jrrius.  Sit  A  ver- 
tex  principalis  parabolac,  S  umbilicus,  A  S  =  f, 
ideoque  latus  rectum  principale=  ^  f.  Ponatur 
11  B  =  y,  r  C  =  X,  erit  area  A  S  B  C  = 
x3_j_i2f2x  ^  ^  ^^  v34-12f2v 
1^ ,  et  area  A  S  B  A  =  ^    ^  X 

(Theor.  IV.  deparab.);  acproinde  area  ASBC, 

X3  J_  lOf  2x 


est  ad  aream  A  S  B  A,   ut 

y  3  -f    12f2y 


24~f '  seu  ut  X  3  -}-  12  f  2  X  ad  y  3  -f- 

12  f  2  y,  id  est,  in  ratione  temporum  accurate. 
Pra^terea  est   A   C  =  y^Ar^-frC^  = 

V  X  '^-f-lfif^xi  ,     .  ^ 

^ ;  quare  si  fiat  x  3  -|-  12  f  ^  x 

4  f 


4f  (X  3  _f  12f  2  x)  ' 

erit  quoque  recta  A  C  ad  hanc  rectam  A  E,  in 

ratione  temporum  accurate. 

Jam  vero  invcstigandus  est  valor  rectae  A  E, 

qui  prodit  ex  constructione  Lemmatis  pracceden- 

tis.     Ex  umbilico  S,  erigatur  ad  ^  O  perpendi- 

cularis  S  m,   haec  erit  fEqualis  ordinata?   q  /u., 

Deinde  (Theor.  I.  de  parab.)  q  ^,  dimidia  est 

-     •         ^          1         ,                  o        XX— 16ff 
jpsms r  C  seu  —  X,  et^  m  =  q  S  =  — r-p . 

Pra?terea  est  ^  I  =  2  ^.  O  (per  constr.)  et 

|t*  I  =  ;^-g-  (165  et  Theor.  II.  de  parab.)    Sed 

i<x2—  16  f  2\  ^    ,      1 

I       "Tgf ')     "T  ~T^^>  quare  est  ju  O  seu 


K  2 


142 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


punctum  g,  si  punctum  B  magis  distat  a  vertice  principali  parabolae  quam 
punctum  /x ;  et  citra,  si  minus  distat  ab  eodem  vertice. 


8^—  32fx  ^    +   512  f  -  X 


.   ,,     erit  Af:  A  V 
ac  proind^     R.g  ^  ^  f 


x4  -},  16f^X^ 


Rf 


,      16   f  f   —    X 
+  l6~f 


VJT^^+lsn^ 


32  f  X  2  4-  512  f  ^  X 
ideoque  ?  S    O    = 
x44-i6f^x^ 


X  ^'  +  512  f  ^  X 

1 


=  R  f :  R  B,  ideoque  A  V  = 

Denique  ducta  B  b,  perpendicu- 

lari  ad   A  C,  similia  erunt  triangula  E  A  V, 

B  b  e,  ac  proinde  B  b  :  b  E  =  A  V  :  A  E,  et 

=      invertendo   Bb:AV  =  bE:AE,  atque, 

componendo  Bb+AV:AV  =  bE-j-AE: 


16f f  — X  Xi 


(sl 


J6f 

X  4  -|-  I6f  ^x^ 


-)}• 


.32  f  x^  -f  512  f  2  X  ^  16  f 

Insuper  ex  puncto  |,  ad  abscissam  A  R  erecta 
perpendiculari  |  V,  ob  similitudinem  triangulo-         invesnganaus  superes.  vaior  rectaj  ^ 

o       rk    c  y  \7    Ct  <i  n  .  r,  „ s:<=i-2;V      prodit  ex  constructione  schoiu  huius.     Q' 

rum  S  m  O,  S  §  V,  fit  S  O  :  q^  _  ^  t>  .^  V,     F._.^.^      _^  ..,•„„„„!.  r  «  ,,    -,  "n  ..    ^, 

ideoque  |  V  =  x.     Praeterea  S  O  :   m  O  = 

S  I  :  S  V,  ac  proinde  S  V  =  2  m  O,  hincque 

prodit  AV=AS  +  2mO,  etVR=AR 

A  S 2  m  O.     Sed  ob  triangulorum  simi-    inventa  est  supra  recta  S  q,  invqnietur  itaque  q  h, 


Bb+AV     J-^1°^«A»,. 
B  b,  A  V,  substitutis  eorum  valoribus  modo  in- 
ventis  prodit  A  E,  paulo  minor  quam 
(y  3  +  12  f  ^  y)  V  X  4  +.  16  f  ^  X  ^ 
4  f  (x^  -f  12  f^  x)  ^ 

Investigandus  superest  valor  rectee  A  e,  qui 

uoniam 
similia  sunt  triangula  ^  S  h,  ^  O  jtt,  erit  |  S  : 


S  h  =  I  O  :  O  ^,  hinc  S  h  =  ^^^  ^;  sed 


A 

/ 

_^^n 

0 

/ 

§Ji^ 

^^^"K    "^ 

m 

.^==?= 

Ix 

si^ 

T^^ 

*"-^*^ 

^==^^ 

^^^^«^^ 

\ 

L 

E^ 

=====^:;=^^^ 

^ 

^^"^ 

^^ 

^ 

T? 

K. 

^ 

^ 

\ 

r 

■^ 

( 

^    c 

h-tudinem  |  V  (x)  :  B  R  (y)  =  V  f  :  R  f,  et 
componendo,  |V-f.B  R:  B  R=Vf  + 
T>^T>f  T>f       VR-fBR,^ 

R  f :   R  f,  quare  R  f  =  V"v    '    K  \i  '  "^*^"^' 

itaque  R  f,  per  x  et  y.  Pra^terea  f  B  ^  =:  R  B  ^ 
-I-  R  f  2,   sed   R  B   :    B   f  =  ^  V  :   ^  f  = 

^VXBf_xXv'l^li''  +  i^^''' 


ac  proinde  etiam  h  //,  =  \/  q  h^-4-q^^. 
Prseterea  |S:  SO  =  |h:h^;  quare  |  h  = 
S^X  Vqh^  +  q^ 

so 


-,  ac  proinde  tota  rec- 


ta^^=  Vqh^+q/*^+S|X 


Vqh^4-q^^ 


R  b 


et  hinc 


Deinde  (per  constr.)  fit  ^  n  = 


xXVRB^+Rf 


2B=  VRB^-f  Kf^  + 

Deinde  in  triangulo  A  B  C,  dantur  latera  A  B, 
A  C,  ct  prasterea  datur  latus  B  C  ;  ducta  enim 
B  g  perpendiculari  ad  r  C,  erit  B  C  = 
-V/"B^^+^C"^  =  V  Rr--f  (RB  — rC)^; 

detur  itaque  perpendicularis  Bb  =  -v/  —  BC^. 

Insuper  ducatur  A  V  perpendicularis  ad  A  B, 
ob  siraiiitudinem  triangulorum  A  V  f,  B  R  f. 


S  O 
27  M  I  X  "  B 

16  M  ^ 

Sed  A  :M  :  M  I  =  A  S  :  I  ^,  ac  proinde,  com- 
ponendo  AM-fMI:MI=AS+I/*:I^, 
invenietur  itaque  M  I,  idcoque  tota  recta  n  ^. 
Insuper  h  ^m  :  q  h  =  h  r  :  h  M,  invenictur 
itaque  h  N,  ac  proinde  et  N  n,  ob  triangukim 
h  r  N,  rectangulum.  Praetcrea  (ex  praeced.)  iu- 
venta  est  h  R,  ideoque  etiam  datur  n  R.  Jam 
fiat  r  N  :  N  F  =  B  R  :  R  F,  ct  invertendo 
N  F  :  R  F  =  r  N  :  B  R,  atque  componendo 
N  F  +  R  F  :  R  F  =  r  N  +  B  R  :  B  K,  hinc 


LiBER  Teetius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 

(0  LEMMA  IX. 

A  I  a 

Bectce  1  [m  et  [j^M.  et  longitudo 1  cequantur  inter  se. 

4  S  /x 

Nam  4}  S  (Ji^  est  latus  rectum  parabolae  pertinens  ad  verticem  /ca. 


143 


LEMMA  X. 


jSi  producatur  S  fi  ad  'N  et  V,  ut  /x  N  sit  pars  tertia  ipsius  /a  I,  ^^  S  P  sit 
ad  S  l^  tit  S  ^  ad  S  fj^,     Cometa,  quo  tempore  describit  arcum  A  ^  C,  si 


RF 


B  RX  N  R 
r  N  -f  B  R' 


,  ideoquB  datur  B  F  = 


quam  A  b.     Jam  vero  facta  analogia  x  3  ^ 


V  BR^  +  RF^.     Dcinde  B  F  :  B  R  = 
B  FX  FN 

atque 


12f2x  :  y3+  12f  *y: 


4f 


r  F  :  F  N,  et  inde  r  F  = 
•  -B  F  X  F  N 


B  R 


recta  tota  r  B: 


4->V/BR^4-KF^. 


B  R 

Ducatur  recta  A  u,  perpendicularis  ad  A  B,  erit 
ob  triangulorum  A  u  F,  R  B  F,  similitudinem 
AF:Au=RF:RB,  ideoque  A  u  = 


R  B  X  A  F 
R  F 


,  et  hinc  prorsus  ut  supra  habetur 

A  e  =  ■ — .    Ex  hactenus  dictis  patet 

B  b  -}-  A  u 
dari  rectas  A  E,  A  e,  per  x,  y,  et  quantitates 
constantes.  Jam  loco  A  b,  B  b,  A  u,  substitutis 
eorum  valoribus  analyticis,  fit  A  e,  paulo 
major  quam  A  E,  et  paulo  minor  quam 
(y34-i2f^y)Vx44-i6f^x^ 
4f  (x^-i-12f  ^x) 

Quare  recta  B  n,  secabit  chordam  A  C,  in  e, 
in  ratione  temporum  magis  accurate  quam  recta 
|B. 

Idem  scholium  facilius  demonstrari  potest  hoc 

j        /^       •        A  AbXAu 

modo.     Quoniam  A  e  =   ■.  .    ,--r —  =  A  b  — 
^  A  b-}-A  u 

Ab  X  Ab 


(y3-|-l2f  ^y)  >V/x4+  I6f^xj    ^.         ^ 

4f  V  x3  -I-  12f  ^x 
aequalis  foret  huic  quarto  termino,  haberetur  ratio 
temporum  accurate   (Prop.   I.    Lib.    I.).     Sed 
quartus  ille  terminus  major  est  recta  A  e ;  nam 
terminus  ille  maior  est  quam  chorda  A  B,  est 


enim  AB=- 


4f 


A  u  -t-  Bb 


(ex  dem.)  crit  A  e  sempcr  mmor 


i/  y  4  _i_  1 6  f  ^  Y  ^ 

^  ^   — '  /      haec  autem  quantitas  mmor 

4f^x34-i2f^x  _ 

,     (y3.j-12f2y)^x4  4.l6f^x^     „   , 

est  quam  ^-^^ ' ^'^ ' Sed 

^fy' x3-^l2f^x 
(per  constr.)  ita  ducitur  ^  n,  ut  recta  n  B  semper 
secet  chordam  A  C  in  puncto  e,  quod  proximius 
est  puncto  C  quam  punctum  E ;  quare  cum  recta 
A  e  semper  minor  sit  vera,  major  tamen  quam 
A  E,  haec  magis  quam  illa  ad  justum  valorem 
accedet,  ac  proinde  recta  n  B,  sccat  chordam 
A  C,  in  ratione  temporum  magis  accurate  quam 
recta  \  B.  Res  eodem  modo  demonstratur,  ubi- 
cumque  sumatur  punctum  A. 

(f)  *  Lemma  IX.     (Patet  per  num.    139 
Lib.  huj.  et  Thcor.  I.  et  IL  de  parab.  Lib.  L)- 


K  3 


144« 


PHILOSOPHI^  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 


progrederetur  ed  semper  cum  velocitate  quam  hahet  in  altitudine  ijpsi  S  P 
cequali,  describeret  longitudinem  cequalem  chordde  A  C. 


Nam  si  cometa  velcitate,  quam 
habet  iii  ^,  eodem  tempore  pro- 
grederetur  uniformiter  in  recta, 
quae  parabolam  tangit  in  [m  ; 
(^)  area,  quam  radio  ad  punctum 
S  ducto  describeretj  aequalis  esset 
areas  parabolicaj  A  S  C  /a. 
('')  Ideoque  contentum  sub  lon- 
gitudine  in  tangente  descripta  et 
longitudine  S  //<  esset  ad  conten- 
tum  sub  longitudinibus  A  C  et 
S  Mj  ut  area  A  S  C  ^  ad  trian- 


(^)  *  Area,  quavi  radio.  Cometa  velocitate 
quam  habet  in  ^,  relicta  parabola,  progrediatur 
uniformiler  in  recta  fjt.  Q,  qua?  parabolam  tangit 
in  ^,  area  S  ^  Q.,  quam  radio  ad  punctum  S, 
ducto  describeret,  aequalis  esset  areae  parabolicae 
A  S  C  (£4,  quam  eodem  tempore  describit.  Su- 
mantur  enim  lineolae  C  c,  q  ^,  a  cometa  descrip- 


tae  et  a  parabolje  umbilico  S,  ad  tangentes  C  t, 
^  T,  erigantur  perpendiculares  S  t,  S  T,  veloci- 
tas  in  C,  est  ad  velocitatem  in  ,64  ut  S  T  ad  S  t 
(Cor.  1.  Prop.  I.  Lib.  I.)  sed  velocitates  in  C, 
et  fi,  sunt  ut  spatia  eodem  tempore  percursa,  puta 
C  c  et  q  ^. ;  est  igitur  C  c  ad  ^64  q  ut  S  T  ad  St. 
Quare  iriangulum  S  ^  q,  sequale  est  triangulo 
C  S  c.  Istud  autem  ubique  obtinet  in  triangulis 
minimis.trilinea  A  S  C/£«,  S^  Qconstituentibus. 
Quia  vero  aequalia  insumuntur  tenipora  ad  per- 
currcndas  lineas  A  C,  ^  Q  (ex  byp.)  ex  ajqua- 


libus  numero  triangulis  componuntur  spatia 
ASC(K,  S^Qac  proinde  triangulum  S  ^  Q, 
aequale  est  areae  parabolica?,  A  S  C  ^. 

i^)  *  Ideoque.  Quoniam  recta  S  ^,  cum 
tangente  in  ^,  et  chorda  A  C,  aequales  constituit 
aiigulos  (Lem.  IV.  de  conicis),  spatium  conten- 
tum  sub  loiigitudine  descripta  m  tangente  et  recta 


S  fjb,  erit  ad  spatium  contentum  sub  chorda  A  C, 
et  recta  S  M,  ut  area  A  S  C  (W,  ad  trianguium 
A  S  C,  id  est,  ut  triangulura  S  A  C  -j-  segm. 
parab.  C  A  c  ad  triangulum  S  A  C,  id  est,  ut 

2 
triangulum  S  A  C-\-  —  parallelogrammi  AGFC, 

ad  triangulum  A  S  C,  hoc  est,  ut  A  C  X  y  '^  ^ 

4.ACX  —  I<^adACX-^SM,  sive  ut 

S  M  -f  -^  I  ^  ad  S  M.     Sed  /*  N,  sumpta  est 


LiBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA.  145 

guium  A  S  C,  id  est,  ut  S  N  ad  S  M.  Quare  A  C  est  ad  longitudinem 
in  tangente  descriptam,  ut  S  a&  ad  S  N.  Cum  autem  velocitas  cometse  in 
altitudine  S  P  sit  (per  Corol.  6.  Prop.  XVI.  Lib.  I.)  ad  ejus  velocitatem 
in  altitudine  S  ,a,  in  subduplicata  ratione  S  P  ad  S  /a  inverse,  id  est,  in 
ratione  S  /a  ad  S  N ;  (')  longitudo  liac  velocitate  eodem  tempore  descripta, 
erit  ad  longitudinem  in  tangente  descriptam,  ut  S  a&  ad  S  N.  Igitur  A  C 
et  longitudo  hac  nova  velocitate  descripta,  cum  sint  ad  longitudinem  in 
tangente  descriptam  in  eadem  ratione,  aequantur  inter  se.     Q.  e.  d. 

(^)  CoroL  Cometa  igitur  ea  cum  velocitate,  quam  habet  in  altitudine 
S  ^  4-  I  I  ^,  eodem  tempore  describeret  chordam  A  C  quamproxime. 

LEMMA  XI. 

Si  cometa  motu  omni  jprivatus  de  altitudine  SN5^mS(W'+^I/a  demittere- 
tiir^  ut  caderet  in  Solem,  et  ed  semjper  vi  uniformiter  continuata  urgeretur 
in  Soteju,  qtid  urgetur  suh  initio  ;  idem  semisse  temporis,  quo  in  orhe  suo 
descrihit  arcum  A  C,  descensu  suo  descriheret  sjpatium  longitudiiii  I  ^ 
cequale, 

Nam  cometa,  quo  tempore  describit  arcum  parabolicum  A  C,  eodem 
tempore  ea  cum  velocitate,  quam  habet  in  altitudine  S  P  (per  Lemma 
novissimum)  describet  chordam  A  C,  ideoque  (per  Corol.  7.  Prop.  XVI. 
Lib.  I.)  eodem  tempore  in  circulo,  cujus  semi-diameter  esset  S  P,  vi 
gravitatis  suae  revolvendo,  describeret  arcum,  cujus  longitudo  esset  ad 
arciis  parabolici  chordam  A  C,  in  subduplicata  ratione  unitatis  ad  bina- 
rium.  Et  propterea  eo  cum  pondere,  quod  habet  in  Solem  in  altitudine 
S  P,  cadendo  de  altitudine  illa  in  Solem,  describeret  semisse  temporis 
illius  ((^)  per  Corol.  9.  Prop.  IV.  Lib.  I.)  spatium  sequale  quadrato 
semissis  chordae  illius  applicato  ad  quadruplum  altitudinis  S  P,  id  est, 

A  I  Q 

spatium   — -^.     ("^)  Unde  ciim  pondus  cometas  in  Solem  in  altitudine 

4  S  (<A 

,.     1    T         X     . -n/r  T  ,  , N      temporibus  uniformi  motu  descriptas  sunt  ut  ve- 

a^qualis  -  I  ^,  et  est  M  ^  =  ^  I  (num.  139.).     i^eiJltes  (5.  Lib.  L). 

Quar^  M  N  =  1   I   ^.      Est  igitur  .patium         (')  *  ^Z"\     ^'  ^  ^'  '  ■'  '^"'°^T  "^TT' 
3  o  t  spectu  /Li  N,  tres  geometrice  proportionales  b  ^, 

contcntum  sub  longitudine  descripta  in  tangente  S  N,  S  P,  erunt  etiam  arithmetice  proportionales 

et  rectA  S  fi,  ad  spatium  contentum  sub  chorda  quamproxime,  id  est  N  P,  aiquabitur  f/,  N,  sive 

A  C,  et  recta  S  M,  ut  S  M  -j-  M  N  ad  S  M,  trienti  ipsius  I  ^,  ideoque  ^  P,  ajqualis  quam- 

hoc  est,  ut  S  N  ad  S  M :    Unde  si  longitudo  de-  .     ^    2   .     .       _  ^       ,       ,  4.  n      n 

scripta  in  tangente  dicatur  L,  erit  L  X  S  ^  :  P''°^'""^  ^  'P^'"^   ^  f*'     ^"^*''^  P^*'^  ^"''''"^" 

A  C  X   S  M  =  S  N  :  S  M,  ideoque  longitudo  rium. 

descripta  in  tangente  erit  ad  chordam  A  C,  ut         (i)  *   p^r  Cord.  9.   Prop.  IV.  Lib.  L     Vel 

|-  ^^  1^'  1'°'^  ^^t'  "t  S  N  ad  S  ^.  P^^r^  ""'^-  20L  ejusdem  Lib. 

S  ^         S  M  '^  (    )        Unde  cum  potidus  cometcE.      Gravitas 

(0  *  Longitudo.     Nam  longitudines  iisdem     acceleratrix  cometae  versus  Solem  in  distantia 

K4 


146  PHILOSOPHIiE  NATURALIS  [De  Mund.  Syst, 

S  N  sit  ad  ipsius  pondus  in  Solem  in  altitudine  S  P,  ut  S  P  ad  S  /a  : 
cometa  pondere  quod  habet  in  altitudine  S  N  eodem  tempore,  in  Solem 


cadendoj  describet  spatium  3,  (")  id  est,  spatium  longitudini  I  ^  vel 

4  S  /A 

M  ih  sequale.     Q.  e.  d. 

PROPOSITIO  XLL    PROBLEMA  XXL 

% 
Cometce  in  parabola  moti  trajectoriam  ex  datis  tribus  observationibus  deter- 

minare. 

Problema  hocce  longe  difficillimum  multimodei  aggressus,  composui 
Problemata  quaedam  in  Libro  primo,  quae  ad  ejus  solutionem  spectant. 
Postea  solutionem  sequentem  paulo  simpliciorem  excogitavi. 

Seligantur  tres  observationes  (^)  aequalibus  .temporum  intervallis  ab 
invicem  quamproxime  distantes.  Sit  autem  temporis  intervallum  illud, 
ubi  cometa  tardius  movetur,  paulo  majus  altero,  ita  videlicet  ut  temporum 
differentia  sit  ad  summam  temporum,  ut  summa  temporum  ad  dies  plus 
minus  sexcentos;  vel  ut  punctum  E  (in  fig.  Lem.  VIII.)  incidat  in  punc- 
tum  M  quamproxime,  et  inde  aberret  versus  I  potius  quam  versus  A. 
(P)  Si  tales  observationes  non  praesto  sint,  inveniendus  est  novus  cometae 
locus  per  Lemma  sextum. 

Designet  S  Solem,  T,  t,  r  tria  loca  Terrae  in  orbe  magno,  T  A,  t  B, 
r  C  observatas  tres  longitudines  cometae,  V  tempus  inter  observationem 

S  N,  est  ad  gravitatem   acceleratricem  versus         (")  *  Id  est.     (Lem.  IX.) 

eundem  in  distantia  S  P,  ut  S  P  ^  ad  S  N  ^,  hoc         (°)  *  J£qualibus  temporuvt  intervallis.     Ratio 

est,  ob  proportionales  S  P,  S  N,  S  ^,  ut  S  P  ad  patct  pcr  not.  138. 

S  fi»  {^)  *  Si  tciles  observationes.     (Ibid.) 


LiberTertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


U7 


primam  et  secundam,  W  tempus  inter  secundam  ac  tertiam,  X  longitudi- 
nem,  quam  cometa  toto  illo  tempore  ea  cum  velocitate,  quam  habet  in 
mediocri  Telluris  a  Sole  distantia,  describere  posset;  quaeque  (per 
Corol.  3.  Prop.  XL.  Lib.  III.)  invenienda  est,  et  t  V  perpendiculum  in 
chordam  T  r.     In  observata  longitudine  media  t  B  sumatur  utcunque 


% 


punctum  B  pro  loco  cometae  in  plano  eclipticae,  et  inde  versus  Solem  S 
ducatur  linea  B  E,  quae  sit  ad  sagittam  t  V,  ut  contentum  sub  S  B  et  S  t 
quad.  ad  cubum  hypotenusae  trianguli  rectanguli,  cujus  latera  sunt  S  B 
(1)  et  tangens  latitudinis  cometae  in  observatione  secunda  ad  radium  t  B. 
Et  per  punctum  E  agatur  (per  hujus  Lem.  VII.)  recta  A  E  C,  cujus 
partes  A  E,  E  C,  ad  rectas  T  A  et  C  r  terminat^,  sint  ad  invicem  ut 
tempora  V  et  W :  C")  et  erunt  A  et  C  loca  cometae  in  plano  eclipticse  in 


(^)  *  Et  tangens  latitudinis  cometcc.  Ex 
puncto  B,  ad  planura  eclipticae  erecta  intelliga- 
tur  normalis,  hajc  erit  tangens  latitudinis  cometaj 
ia  secundu  observatione,  sumpto  t  B  pro  radio. 


C)  ♦  Et  erunt  A  et  C  loca  cometce.  Quoniam 
(ex  hyp.)  B  est  vestigium  cometa?  in  plano 
echptica:,  et  B  R  ad  planum  echpticEe  normali- 


ter  ducta,  tangens  latitudinis  observatce  ex  t  ad 
radium  t  B,  patet  punctum  R  esse  verum  come- 
tae  locum,  atque  R  S  distantiam  comet^  a  Sole 
in  observatione  secunda.  Per  E,  agatur  E  e,  ad 
B  R,  parallela  quas  (per  Prop.  VIII.  Lib.  XI. 
Elem. )  normalis  est  ad  planum  echpticse,  jacet- 
que  in  plano  trianguli  S  B  R,  occurrat  h^c  ipsi 
S  R  in  e.  Jam  vero  recta  R  e,  est  ad  rectara 
t  V,  in  ratione  composita  ex  R  e,  ad  B  E,  et 
B  E  ad  t  V.  Sed  (per  Prop.  XI.  Lib.  VI. 
Elem.)  R  e  est  ad  B  E  ut  R  S  ad  B  S  et  B  E 
est  ad  t  V,  ut  S  t  2  X  S  B  ad  S  R  3.  Quar^ 
E  e  est  ad  t  V,  in  ratione  composita  ex  ratione 
S  R  ad  B  S,  et  ratione  S  t  ^  X  S  B  ad  cubum 
rectfB  S  B ;  ratio  autera  qua;  ex  istis  binis  com- 
ponitur  eadem  est  cum  ratione  S  t  ^  ad  S  R  ^, 
hinc  R  e  est  ad  B  E,  ut  S  t  2  ad  S  B  ^  Quia 
vero  t  V  est  asquahs  quamproxime  quadrato  ar- 
cus  T  t  per  diametrura  orbis  magni  diviso  (182. 
Lib.  I.)  erit  recta  t  V,  quamproxime  spatium 
per  quod  Terra  e  quiete  demissa  vi  su^  gravita- 
tis  caderet  versus^  Solem,  dum  semissem  arcus 
T  t,  describet,  si  eadem  ubique  gravitate  accelera- 
trice  uniformiter  continuata  urgei-etur  qua  urge- 
tur  in  loco  t,  (202.  Lib.  I.)  Praterea  gravitas 
acceleratrix  versus  Solem  in  loco  t,  est  ad  gravi- 
tatem  acceleratricem  versus  eundem  in  loco  I^ 


148 


PHILOSOPHI^  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 


observatione  prima  ac  tertia  quamproxime,  si  modo  B  sit  locus  ejus  recte 
assumptus  in  observatione  secunda. 

Ad  A  C  bisectam  in  I  erige  perpendiculum  I  i.  Per  punctum  B  age 
occultam  B  i  ipsi  A  C  parallelam.  Junge  occultam  S  i  secantem  A  C  in  X, 
et  comple  parallelogrammum  i  I  X  /z,.  Cape  I  a  aequalem  3  I  X,  et  per 
Solem  S  age  occultam  a  g  aequalem  3  S  <J  +  3  i  X.     Et  deletis  jam  literis 


I 


A,  E,  C,  I,  a  puncto  B  versus  punctum  g  duc  occultam  novam  B  E,  quas 
sit  ad  priorem  B  E  in  duplicata  ratione  distantiae  B  S  ad  quantitatem 
S  /J^  +  ^iX.  Et  per  punctum  E  iterum  duc  rectam  A  E  C  eadem  lege 
ac  prius,  id  est,  ita  ut  ejus  partes  A  E  et  E  C  sint  ad  invicem,  ut  tem- 
pora  inter  observationes  V  et  W.  Et  erunt  A  et  C  loca  cometae 
(^)  magis  accurate. 


ut  S  R  ^  ad  S  t  2,  et  spatia  eodem  tempore,  ur- 
gentibus  illis  viribus  deorsum  versus  Solem,  de- 
scripta,  sunt  inter  se  ut  vii-es  (Lcm.  X.  Lib.  I.); 


quare  recta  R  e,  est  spatium  per  quod  cometa  e 
quiete  ex  R  demissus  versus  Solem  caderet 
semisse  temporis  quo  Terra  describit  arcum  T  t, 
hoc  est,  semisse  temporis  quo  comcta  describit 


trajectoriffi  suae  arcum  interceptum  inter  duas 
longitudines  T  A,  T  C,  ideoque  punctum  R, 
est  in  arcTJS  istius  chorda.  Unde  si  tam  arcus 
trajectoriae  Q  R  q  binis  longitudinibus  T  A,  T  C 
tenninati  quam  puncti  e,  concipiantiir  vestigia 
normaHbu?  ad  planum  ech'pticie  demissis  sig- 
nata,  nempe  A,  B,  C  et  E,  crit  punctum  E  in 
chorda  arciis  A  B  C.  Sed  chorda  arcus  A  B  C 
dividitur  a  recta  S  B  fere  in  ratione  temporum 
quibus  cometa  ad  ech'pticam  reductus,  describit 
arcus  A  B,  B  C,  (165.)  et  (per  constr.)  in  ea- 
dem  ratione  dividitur  recta  A  C,  nullaqne  alia 
hisce  conditionibus  potest  satisfacere.  Cum  igi- 
tur  oporteat  chordam  arciis  qui  est  vestigium 
portionis  trajectoriae  inter  longitudines  T  A, 
T  C  intercept£e,  a  rectis  T  A,  T  C  terminari  et 
per  E  transire  et  in  E  dividi  in  ratione  tempo- 
nim,  ciimque  recta  A  C  hasce  conditiones  sola 
ct  unica  obtineat,  evidens  est  rectam  A  C  esse 
chordam  prfedicti  arcus,  ac  proinde  puncta  A  et  C 
sunt  quamproxime  vestigia  cometac  in  plano 
ecIiptic.-B  in  observationibus  prima  et  tertia,  si 
modo  B  sit  locus  ejus  recte  assumptus  in  obser- 
vatione  secunda. 

(')  *  Magis  accurate.  Quoniam  (per  constr. 
praeced.)  assumptus  est  locus  B  vero  non  satis 
proximus,    et    licet    accurate   sumptus  fuisset. 


LiBER  Tertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


U9 


Ad  A  C  bisectam  in  I  erigantur  perpendicula  A  M,  C  N,  I  O,  quoruiij 
A  M  et  C  N  sint  tangentes  latitudinum  in  observatione  prima  ac  terti^ 
ad  radios  T  A  et  r  C.  Jungatur  M  N  secans  I  O  in  O.  Constituatur 
rectangulum  i  I  X  a  ut  prius.     In  I  A  producta  capiatur  I  D  aequalis 


tamen  loca  A  et  C,  inde  deducta  non  sunt  satis 
accurate  definita,  hinc  adhiberi  debet  ahqua  cor- 
rectio.  Manente  constructione  Newtoniana, 
concipiantur  demissa  a  singulis  trajectoria?  come- 
ticae  punctis  perpendicula  ad  planum  ech'pticae, 
praedictis  perpendiculis  in  plano  eclipticae,  signa- 
bitur  curva  parabolica  A  B  C,  cujus  umbihcus  S. 
Hujus  arciis  A  B  C,  rectis  T  A,  T  C  compre- 
hensi  chorda  est  quamproxime  recta  C  A,  qua) 
bifariam  dividitur  in  I,  (ex  dem. )    Jam  vero  in 


praedicto  arcu  sumptum  cst  pimctum  B,  non 
procul  a  vertice  segmenti  A  B  C,  nam  capta 
sunt  tria  observationum  tempora  jequahbus  fere 
intervaUis  ab  invicem  distantia,  ita  tamen  ut 
tempus  sit  paulo  majus  ubi  cometa  tardiijs  move- 
tur.  Pra;terea  ducta  est  recta  ad  C  A  parallela 
concurrens  in  i  cum  normaU  erecta  a  puncto  I 
ad  rectam  C  A,  junctaque  est  secans  S  i,  com- 
pletumque  paraUelogrammum  i  I  a  ^.  Quia 
'  vero  respcctu  immensa;  SoUs  distantiae,  evanescit 


distantia  punctorum  T,  ^j  erit  a  fere  vertex 
segmenti  A  B  C.  Jungatur  ^  S,  secans  chor- 
dam  A  C  in  Y,  erit  ^  Y,  fere  paraUela  i  A,  ob 
immensam  puncti  S  distantiam,  ideoque  k  Y, 
sequaUs  rectae  i  /a,  ac  proinde  et  ipsi  I  X.  Sed 
(ex  constr.)  I  cr  sumpta  est  tripla  ipsius  I  X, 
quare  est  etiam  tripla  ipsius  >.  Y  et  rehquae  Y  <r, 
ideoque  juncta  o-  S,  ( 1 65.)  ea  ipsa  est  recta  tr  S, 
quae  exhibctur  in  Lem.  VIII.  id  est,  in  recta 
ff  S,  producta  versus  S,  reperitur  punctum  |,  a 
quo  ducta  quaevis  recta  chordam  A  C  arcumque 
C  B  A  secans,  chordam  secat  in  segmenta  quae 
eandem  babent  rationem  cum  temporibus  quibus 
respondentes  arcus  a  cometa  describuntur.  Sed 
(ex  constr.)  cr  ^  =  5  S(r-|-3iXetix=I^, 
sunt  enim  rectae  i  X,  1  fz.  diametri  ejusdem  paral- 
lelogrammi  rectanguli,  hinc  o-^=3(rS-J-3l^. 
Quare  (140.)  punctum  |,  supra  inventum,  iUud 
est  ex  quo  ducta  utcumque  recta  dividit  chordam 
C  A  in  ratione  temporum  quibus  binae  partes 
arcus  A  C  ab  eMem  recta  producta  notatas,  a 
cometa  describuntur.  Deleta  igitur,  ad  vitan- 
dam  confusionem,  priore  B  E  versus  S  ducta, 
acta  est  nova  versus  2,  quae  est  ad  priorem  ut 
quadratum   ipsius   S  B,    ad  quadratum   ipsius 

S  /^  +  —  i  ^;  hoc  est  propter  aequales  i  A,  I  /* 
o 

ad  quadratum  ipsius  S  fjc  -{-  —  I  ^,  et  S  B  est 

quamproxime  aequaUs  ipsi  S  /u.  Quare  nova 
B  E,  est  ad  priorem  B  E,  ut  S  f^,  ^,  ad  S  N  ^ 
posita  /u,  N  tricnte  ipsius  I  ^,  sive  i  X,  ut  in 
constr.  Lem.  X.  Deinde  gravitas  acceleratrix 
versus  Solem  in  loco  N,  est  ad  gravitatem  acce* 
leratricem  versus  cundem  in  loco  B,  vel  ^,  ut 
SB^velS^^adSN^.  Praeterea  gravitates 
acceleratrices  versus  Solem  in  distantiis  diversis, 
manentibus  dictis  viribus,  sunt  ut  spatia  eodem 
tempore  versus  Solem  cadendo  descripta;  est 
igitur  nova  B  E,  ad  priorem  B  E,  ut  spatium 
versus  Solem  cadendo  porcursum,  urgente  vi 
acceleratrice  quae  urget  in  loco  N,  semisse  tem- 
poris  quo  cometa  describit  arcum  longitudinibus 
T  A,  T  C,  comprehensum,  ad  spatium  eodem 
tempore  versus  Solem  cadendo  descriptum,  ur- 
gente  vi  accelerati-ice  quee  urget  in  loco  B.  Sed 
aequales  sunt  hujus  analogiae  consequentes,  quare 
iequantur  etiam  antecedentes,  ideoque  nova  recta 
B  E  aequatur  spatio  a  grave  cadente  versus  So- 
iem  percurso,  semisse  temporis  quo  cometa  arcum 
A  B  C,  in  ecUptica  describit,  urgente  vi  accelera- 
trice  uniformiter  continuata  quaj  in  distantia  S  N, 
a  Sole  obtinet.  At  (Lem.  XI.)  spatium  per 
quod  corpus  decidit  versus  Solem  semisse  tempo- 
ris  quo  cometa  describit  arcum  A  B  C,  cum  ur- 
getur  vi  acceleratrice  uniformiter  continuata  quas 
iu  loco  N  obtinet,  aeciuaie  est  rectae  ^  Y,  seg- 


150 


PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 


S  /A  +  I  i  X.     Deinde  in  M  N  versus  N  capiatiir  M  P,  ques  sit  ad  lon- 
gitudinem  supra  inventam  X,  in  subduplicata  ratione  mediocris  distantiae 


Telluris  a  Sole'  (seu  semi-diametri  orbis  magni)  ad  distantiam  O  D, 
Si  punctum  P  incidat  in  punctum  N,  (*)  erunt  A,  B,  C  tria  loca 
cometse,    per    quae    orbis    ejus    in    plano     eclipticae    describi    debet. 


mento  ipsius  ^  S,  inter  verticera  (tt  et  chordam 
A  C  ihtercepto,  ac  proinde  aequatur  quam- 
proxime  ipsi  B  E  segmento  rectce  B  $,  inter 
punctum  B  ipsi  ^  proximum  et  chordam  A  C 
comprehenso.  Unde  punctum  E  est  in  chorda 
A  C  magis  accurate  quam  antea,  hoc  est,  chorda 
arcus  qui  est  vestigium  portionis  trajcctorite 
cometicae  in  plano  ech'ptica?,  inter  longitudines 
T  A,  T  C  intercept£E,  per  punctum  E  ultimo 
inventum  transit  quamproxime.  Porro  chorda 
praedicta  per  E  traducta  inter  T  A,  T  C,  ita 
locari  debet  ut  A  E  sit  ad  E  C,  sicut  tempus 
quo  cometa  describit  eclipticae  arcum  inter  lon- 
gitudines  T  A  et  t  B,  ad  tempus  quo  arcum 
inter  t  B  et  T  C  describit  (Lera.  VIII.)  sed  A  C 
ita  (per  Lem.  VII L)  acta  est  per  E,  ut  A  E 
sit  ad  E  C  in  eadem  illa  ratione,  nempe  sicut 
tempus  inter  observationem  primam  et  sccundam 
ad  tempus  inter  observationem  secundam  et  ter- 
tiam.  Ilecte  igitur  acta  est  A  C,  per  E  scilicet 
transiens  et  divisa  in  E  ut  oportebat,  ac  proinde 
si  modo  punctum  B,  recte  fuerit  assumptum  pro 
cometee  vestigio  in  observatione  secunda,  puncta 
A,  C  sunt  ejusdem  vestigia  quamproxime  in  ob- 
servationibus  primS  et  tertia. 

(*)  *  Erunt  A,  B,  C.  Superest  jam  ut  dig- 
noscatur  an  punctum  B  in  media  longitudine 
recte  fuerit  assumptum  cometae  vestigium,  ut 
error  hinc  ortus,  si  quis  fuerit,  corrigatur,  reli- 
quis,  quae  hactenus  facta  sunt,  manentibus.  De- 
leto  priore  parallelogrammo  i  I  X  ^,  ad  prio- 
rem  minusque  accuratam  chordam  C  A  con- 
stituto,  describatur  alterum  ad  posteriorem  et 
accuratiorem  chordam  C  A ;  eadem  adhibi- 
ta  constructione  ut  prius.  Ex  punctis  A, 
I,  C,  erigantur  ad  C  A  normales  A  M,  I  O, 
C  N,  sitque  A  M  tangens  notae  latitudinis  in 
obscrvatione  prima  ad  radium  T  A,  et  C  N  tan- 


LiBER  Tertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


151 


(")  Sin  punctum  P  non  inciclat  in  punctum  N,  in  recta  A  C  capiatur  C  G 
ipsi  N  P  sequalis,  ita  ul  puncta  G  et  P  ad  easdem  partes  rectse  N  C  jaceant. 


gens  latitudinis  in  observatione  tertia  ad  radium 

T  C  ;  jungatur  M  N  secans  I  O  in  O.     Si  eri- 

gatur  trapezium  A  C  N  M  normaliter  ad  pla- 

num  eclipticas  manente  recta  C  A,  erunt  puncta 

M,  N  loca  vera  cometae,  si  modo  punctum  B  sit 

ojus  vestigium  in  plano  eclipticas  in  observatione 

secunda,  et  planum  transiens  per  tria  puncta  M, 

O,  N,  est  planum  trajectoriae  cometica;,  ideoquc 

recta  M  N  est  chorda  arcus  trajectoriae  paraboli- 

cae  a  cometu  descriptae  inter  observationem  pri- 

mam  et  tertiam,  et  S  M,    S  N  sunt  distantiae 

cometse  a  Sole  in  observatione  prima  et  tertia  re- 

spective,  hoc  est,  distantiaveracujusvispunctitra- 

jectorife  cometicae  a  Sole  est  hypothenusa  trianguli 

rectanguli  cujus  alterum  latus  cst  distantia  a  Sole 

vestigii  illius  puncti  in  plano  eclipticae,  alterum 

autein  est  perpendiculum  ex  isto  vestigio  norma- 

liter  ad  planum  eclipticae  excitatum  et  ad  pune- 

tum  trajectoriae  terminatum.  Quia 

vero  aliqua  ex  istis  pcrpendiculis 

sunt  longiora  iit  N  C,   quaedam 

breviora  ut  M  A,  inter  haec  medi- 

um  quoddam  usurpetur,  puta  hic 

I  O.     Et  universaliter  loquendo, 

distantia  cujusvis  puncti  trajecto- 

rise  comcticie  a  Sole  erit  quam- 

proxime     hypothenusa    trianguli 

rectanguli  cujus  alterum  latus  est 

distantia  puncti  analogi  in  vestigio 

trajectoria:  descripto,   et  alterura 

latus  est  ipsa  recta  I  O.     Quibus 

positis  in  I  A,  eave  producta  capi- 

atur  ID=S^-ffix=SR, 

facta  L  R  =:  L  ^,  et  jungatur 

D  O,  hasc  quamproxime  aequabi- 

tur  puncti  trajectoriae  cujus  ^  est 

vestigium  distantiae  a  Sole  auctae 

duabus  tertiis  rectae  interjectae  in- 

ter  punctum  istud  et  chordam  ar- 

ciis  trajectoriae,  ipsam  scilicet  M  N 

in  trapezio  A  C  N  M,  id  est,  recta 

D  O   aequalis  est  rectae  in  plano 

trajectoriae  cometae  analogae   ipsi 

S  11  in  ejus  vestigio  in  plano  eclip- 

ticae,  hoc  est  D  O  requalis  est  rec- 

tae  S  R  in  parabola  (Lem.  X.). 

Jam  (per  Corol.  3.  Prop.  XL.) 

conferatur  velocitas  cometae,  dum 

in  pariibolica  sua  trajectoria  move- 

tur  in  distantia  a  Sole  aequali  rec- 

tse  D  O,  cum  velocitate  Telluris 

circa   Solem,    et  definiatur   linea 

quam  cometa,  cum  praedicta  velocitate  sequabili- 

ter  motus,  percurreret  toto  tempore  quo  Tellus 

arcum  t  t  T  describit,  sive  toto  tempore  quo 

cometa  arcum  A  B  C  in  ecliptica  percurrit,  in 

partibus  arcijs  T  t  t  a  Tellure  interim  percursi. 

Id  autem  facile  pra:!,tatur  modo  sequenti.      Cal- 

culo  inveniatur  longitudo  arcds  t  t  T  a  Tellure 

descripti  inter  observationem  primam  et  tertiam, 

pbsito  quovis  numero  rotundo  pro  mediocri  dis- 

tantia  Terrae  a  Sole,  longitudo  puta  M  P  quoe 


est  ad  longitudinem  prius  inventam  X,  in  sub- 
duplicata  ratione  diametri  orbis  magni  ad  rectam 
notam  D  O,  quceque  proinde  datur,  est  ipsa 
longitudo  quaesita,  ea  nempe  quam,  cometa 
aequabiliter  latus  cum  velocitate  quam  trajecto- 
riam  suam  parabolicam  describens  habet  ad  dis- 
tantiam  a  Sole  aequalem  rectee  D  O,  percurreret 
tempore  quo.cometa  arcum  cujus  chorda  M  N 
revera  percurrit.  Nam  (per  Cor.  3.  Prop.  XL.) 
velocitas  cometas  in  hac  distantia  D  O,  est  ad  ve- 
locjtatem  Telluris  in  praedicta  ratione.  Sed 
(per  Lem.  X.)  dicta  longitudo  M  P  aequalis  est 
chordse  arcus  quem  cometa  isto  tempore  revera 
describit ;  quare  si  reperiatur  M  P  aequalis 
chordae  M  N,  hoc  est,  si  punctum  P  incidat  in 
punctum  N  reete  assumptum  fuit  punctum  B 
in  longitudine  secundo  observat  pro  vestigio 
cometae,  ideoque  erunt  A,  B,  C,  tria  loca  come- 


tae  per  quae  orbis  ejus  in  plano  eclipticac  describi 
debet. 

(")  *  Sin  pnnctum  P  non  incidat  in  punctxim 
N,  in  recta  M  N  eave  producta,  si  opus  est, 
(vid.  fig.  praeced.)  capiantur  M  P,  N  P  aquales 
longitudini  prius  inventae,  capiantur  etiam  C  G, 
C  F,  aequales  M  P,  N  P,  ita  ut  G  et  P  ad  eas- 
dem  partes  recta;  N  C  jaceant.  Praeterea  oadem 
methodo  qua  ex  assumplo  puncto  B,  inventa 


152 


PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 


Eadem  inethodo,  qua  puncta  E,  A,  C,  G,  ex  assumpto  puncto  B  in- 
venta  sunt,  invenientur  ex  assumptis  utcunque  punctis  aliis  b  et  |S  puncta 
nova  e,  a,  c,  g  et  s,  a,  x,  y,  Deinde  si  per  G,  g,  7  ducatur  circumferentia 
circuli  G  g  7,  secans  rectam  r  C  in  Z :  erit  Z  locus  cometae  in  plano 
eclipticae.  Et  si  in  A  C,  a  c,  a  x  capiantur  A  F,  a  f,  a  ^  ipsis  C  G,  c  g, 
X,  7  respective  sequales,  et  per  puncta  F,  f,  9  ducatur  circumferentia  cir- 
culi  F  f  ^,  secans  rectam  A  T  in  X ;  erit  punctum  X  alius  cometae  locus 
in  plano  eclipticae.  Ad  puncta  X  et  Z  erigantur  tangentes  latitudinum 
cometag  ad  radios  T  X  et  r  Z,  et  habebuntur  loca  duo  cometae  in  orbe 
proprio.  Denique  (per  Prop.  XIX.  Lib.  I.)  umbilico  S,  per  loca  illa  duo 
describatur  parabola,  et  haec  erit  trajectoria  cometae.     Q.  e.  i. 

(^)  Constructionis  hujus  demonstratio  ex  Lemmatibus  consequitur ;; 
quippe  cum  recta  A  C  secetur  in  E  in  ratione  temporum,  per  Lemma 


sunt  puncta  E,  A,  C,  G,  ex  assumplis  aliis 
punctis  bct  fi,  inveniantur  nova  puncta  e,a,  c,  g, 
et  s,  a,  X,  y.  Quod  si  longitudo  prius  inventa 
M  P,  minor  fuerit  quam  M  N,  aut  A  G,  vel 
C  F,  punctum  b,  sumendum  erit  propius 
puncto  Y,  in  quo  C  r  et  A  T  concurrunt,  et  ita 
porro,  ita  ut  saltem  a  y,  minor  fiat  quam  et  x. 
Per  puncta   G,  g,  y,  describatur  circulus  qui 


••'ectam  t  C,  secabit  intcr  G  et  x,  puta  in  Z,  si 
puncta  nova  b,  /3,  sumpta  fueriut,  ut  jam  dixi- 
mus.  Similiter  per  puncta  F,  f,  (p,  describatur 
circulus  rectam  T  A  intersecans  in  X,  erunt 
puncta  Z,  X,  loca  cometa;  ad  cclipticam  reducta, 
sive  cometa3  vesligia  in  observatione  prima  et 
tertia,  si  B  sit  ejusdem  vestigium  in  observatione 
secunda.  Idem  similiter  obtinet  in  a,  c,  et  b, 
itera  in  «,  x,  et  /3.     Jam  vero  demonstratum  est 


locum  B,  esse  vestigium  cometae  in  observatione 
secunda  si  puncta  N,  F,  coincidant,  itemque 
A  et  F ;  quare  si  reliquis  manentibus,  coincidant 
puncta  C,  G,  erit  C,  vestigium  comet»  in  obser- 
vatione  terlia  Similiter  coincidentibus  punctis 
A,  F,  erit  A,  vestigium  cometse  in  observatione 
primS.  Ut  autem  puncta  illa  coinciderent, 
traductus  est  circulus  transiens  per  tria  puncta 
^t  gj  y»  rcctam  t  C,  secans  in  Z.  Cum  igitur 
punctum  Z,  sittam  inloco  punctorum  C,  nempe 
recta  r  C,  quam  in  loco  punctorum  G,  nempe 
circulo,  quando  punctum  C  reperitur  in  Z, 
punctum  G  in  illo  etiam  repcrietur,  id  est,  in 
isto  casu  coincident  puncta  C,  G,  ideoque  punc- 
tum  Z  est  vcrum  cometaj  vcstigium  in  plano 
eclipticae  in  observatione  tertia,  huic  enim  con- 
veniunt  omnes  conditiones  requisitte.  Similiter 
ob  easdem  rationes,  punctum  X  est  verum 
cometce  vestigium  in  observatione  prima.  Quare 
si  ex  puncto  Z,  ad  planum  eclipticae  excitata  in- 
telligatur  normalis  Z  R  aequalis  tangenti  latitu- 
dinis  notoe  in  observatione  tertia  ad  radium  r  Z, 
erit  R  locus  verus  cometce  in  orbe  proprio.  Si- 
militer  ad  planum  eclipticse  erigatur  perpendicu- 
laris  X  Y,  a?qualis  tangenti  latitudinis  in  obser- 
vatione  prima  ad  radium  T  X,  punctum  Y,  erit 
alter  cometae  locus  in  orbe  proprio.  Quare  (per 
Prop.l  XIX.  Lib.  I.)  umbilico  S,  per  loca  bina 
R,  r,  describatur  parabola,  haec  erit  trajectoria 
cometa;.  Quia  vero  parabolse  per  puncta  R,  r, 
et  umbilico  S,  descripta;  duplex  positio  csse 
potest  (ut  patet  ex  constr.  Prop.  XIX.  Lib.  I.) 
ex  eodem  umbilico  S,  et  binis  punctis  R,  r,  dua? 
describi  poterunt  parabola; ;  utra  autem  pro  orbe 
cometae  sumenda  sit  ex  alia  quavis  cometae  ob- 
servatione  manifestum  erit.  Nam  locus  cometae 
qui  ex  altera  harum  parabolarum  colligetur,  cum 
observato  loco  conveniet,  locus  autem  ex  altera 
parabola  deductus  nequaquam  observationibus 
congruet. 

(^)  ^  Constructionis  hujus  demonstratio.     Pa-. 
tet  ex  notis  praeced. 


1 


LiBER  Tertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


153 


VII.  ut  oportet  per  Lem.  VIII. :  et  B  E  per  Lem.  XI.  sit  pars  recta& 
B  S  vel  B  5  in  plano  eclipticae  arcui  A  B  C  et  chordae  A  E  C  interjecla ; 


i 


et  M  P  (per  Corol.  Lem.  X.)  longitudo  sit  chordae  arcus,  quem  cometa 
he  proprio  inter  observationem  primam  ac  tertiam  describere  debet, 


m  or 


143.  Lemvia"  Sit  angulus  rectilineus 
A  Q  B  datumque  punctum  S ;  item  sit 
curva  M  O  N,  talis  ut  per  S  duct^ 
quavis  recta  S  E  sit  B  E,  anguli  la- 
teribus  intercepta,  aequalis  rectas  S  O, 
erit  curva  M  O  N,  hyperbola.  Nam 
ducatur  S  L,  ad  B  Q,  parallela,  occurrens- 
que  ipsi  A  Q  in  L  ;  in  recta  Q  L  pro- 
ducta  capiatur  L  Z  =  L  Q,  agaturque 
Z  D  ad  Q  B  parallela,  itemque  ducatur 
O  K  paraliela  ad  Q  Z  :  ob  S  O  =  B  E 
(per  hyp.)  erit  H  O  =  Q  E.  Quare 
cum  sitSH:HO=SL:  LE  =  SL 
—  SH:  LE— HO  =  LH:  LQ 
=  L  H  :  H  K,  erit  S  H  X  H  K  = 
H  O  X  L  H,  hoc  est.  S  L  X  H  K  — 
LHXHK=KOXLH  — 
H  K  X  E  H.  Unde  erit  S  L  X  H  K 
=  KO  X  LH,  velZLX  LS  = 
Z  K  X  K  O,  ideoque  curva  M  O  N,  est 
hyperbola  cujus  asymptoti  Z  A,  Z  S 
(Lem.  I.  de  con.). 

144.  Corol.  Hinc  per  datum  punctum  S, 
recta  linea  duci  potest  ita  ut  pars  rect;e  B  E, 
lateribus  anguli  dati  E  Q  B,  intercepta, 
asqualis  sit  rectae  data;.  Nam  descripta  hyper- 
bola  M  O  N,  centro  S,  intervallo  datam  rectam 
asquante,  describatur  circulus  hypcrbolam  inter- 
secans  in  O,  et  producatur  S  O  E,  erit  B  E 
aequahs  rectae  datas  S  O  (143). 

1 45.  Newtonus  in  arithmetica  universali,  prjE- 
cedcntis  CoroUarii  constructionem  qujB  fit  per 
conchoidem  more  veterum,  anteponendam  esse 
ait  constructioni  quae  sectiones  conicas  adhibet. 
Quare  veterum  constructionem  utpote  simplicio- 
rcm  hic  quoque  subjungemus.  Sic  autem  de- 
scribitur  conchois.  Agatur  nempe  recta  Q  B, 
ad  quam  erigatur  normalis  A  H,  deinde  ex 
puncto    C,    tanquam   polo   ita   ducantur   rectae 


15^ 


PHILOSOPHIiE  NATURAIJS    [De  Mund.  Syst. 


ideoque  ipsi  M  N  aequalis  fuerit,  si  modo  B  sit  verus  cometae  locus  in 
plano  eclipticae. 

Caeterum  puncta  B,  b,  (3  non  quaslibet,  sed  vero  proxima  (^)  eligere 
convenit.  Si  angulus  A  Q  t,  in  quo  vestigium  orbis  in  plano  eclipticae 
descriptum  secat  rectam  t  B,  praeter  propter  innotescat;  in  angulo  illo 
ducenda  erit  recta  occulta  A  C,  quae  sit  ad  f  T  r  in  subduplicata  ratione 
S  Q  ad  S  t.     Et  agendo  rectam,S  E  B,  cujus  pars  E  B  aequetur  longi- 


quotcumque  C  M,  rectam  Q,  B  secantes  in  E,  gravitas  acceleratrix  versus  Solem  eadem  sit  in 

ut  semper  sit  E  M  asqualis  rectae  datae    A  H,  distantia    Telluris   a    Sole,    atque    in    distantia 

curva  in  qua  sunt  puncta   M,   A,  dicitur  con-  cometa?  ab  eodem,  quag  est  hypothesis  Gahlaei  de 

chois.     Jam  vero  inter  latera  anguli  G  Q  B,  gravitate,  a  vera  non  raultum  distans,  a;quales 


ducere  oporteat  rectam  G  K,  quoe  transeat  per 
punctum  datum  C,  et  aequahs  sit  rectae  datae 
C  K,  puncto  C  tanquam  polo  et  intervallo  dato 
A  H  =  C  K  describatur  conchois  quae  occurrat 
recta;  C  G,  in  G  patet  fore  K  G  a:qualcm  rectae 
datae  C  K.     Q.  e.  f. 

(^)  *  Eligere  convenit.  Si  praeter  propter  in. 
notescat  angulus  quem  vestigium  orbitae  come- 
ticas  continet  cum  recta  Terram  et  cometam  in 
observatione  secunda  conjungente,  sive  huic 
nequalis  angulus  A  Q  t  (Lem.  IV.  de  con.) 
quem  chorda  A  C  continet  cum  recta  t  B,  id 
quod  praestari  poterit  per  num.  133.  tunc  punc- 
tum  B,  primo  assumendum  hoc  modo  determi- 
nabitur.  Ducatur  recta  A  C,  rectis  positione 
datis  T  A,  T  C  utrinque  comprehensa,  rectam- 
que  t  B,  positiotie  datam,  in  angulo  fequali  dato 
in  Q  intersecans  quae  sit  ad  y'  ^  X  T  t,  hoc 
est,  proxime  ad  f  T  t,  in  subduplicata  ratione 
S  t  ad  S  Q,  et  agatur  per  S,  recta  S  E  B,  talis 
ut  pars  E  B  a  cruribus  anguli  A  Q  B  intercepta, 
eequalis  sit  rectaj  t  V  (144.  145.)  punctum  B, 
ita  definitum,  est  illud  ipsum  quod  commode 
prima  vice  usurpari  poterit  pro  vestigio  cometae 
in  plano  eclipticae.  Ponatur  B,  essc  vestigium 
cometa;  in  plano  eclipticae  ct  arcum  parabolicum 
per  A,  C,  B  transeuntcm  esse  vestigium  arcus 
trajectoriae  inter  observationem  primam  et  ter- 
tiam  descripti.      Jam  vero  in  hypothesi  quod 


erunt  B  E,  t  V,  utpote  spatia  cadendo  versiis 
Solom  eodem  tempore  percursa  a  cometa  et  a 
Tellure,  ac  proinde  erit  A  C  chorda  parabolae  ad 
\/  2  X  T  t  chordam  circuli  cujus  centrum  cum 
urabilico  parabolae  coincidit  in  subduplicata  ra- 
tione  rectac  S  t,  ad  rectam  S  E,  (Cor.  7.  Prop. 
XVI.  Lib.  I.)  Sed  sumpta  est  A  C  ad 
V'  2  X  T  t  in  subduplicata  ratione  S  t  ad  S  Q, 
et  A  C  secat  rectam  t  B  in  angulo  A  Q  t,  sicut 
oportebat,  atque  B  E  oequalis  est  ipsi  t  V;  quare 
recta  A  C  obtinet  quamproxime  omnes  conditio- 
nes  requisitas  ut  sit  chorda  arcus  qui  est  vestigium 
trajectoria;  cometicae  inter  longitudinem  primam 
T  A,  et  tertiam  interceptae,  ac  proinde  punctum 
B,  habet  omnes  conditiones  ut  sit  proxime  ves- 
tigium  cometae  in  observatione  secunda.  Recte 
igitur  determinatum  est  punctum  B,  quod 
prima  vice  usurpare  licet. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


155 


tudini  V  t,  deterniinabitur  punctum  B  quod  prima  vice  usurpare  licet. 
('=)  Tum  recta  A  C  deleta  et  secundum   praecedentem  constructionem 


iterum  ducta,  et  inventa  insuper  longitudine  M  P ;  in  t  B  capiatur  punc- 
tum  b,  e  lege,  ut  si  T  A,  t-  C  se  mutuo  secuerint  in  Y,  sit  distantia  Y  b 
ad  distantiam  Y  B,  in  ratione  composita  ex  ratione  M  P  ad  M  N  et 
ratione  subduplicata  S  B  ad  S  b.  Et  eadem  methodo  inveniendum  erit 
punctum  tertium  /5  si  modo  operationem  tertio  repetere  lubet.  Sed  hac 
methodo  operationes  duae  ut  plurimum  sufFecerint.     Nam  si  distantia  B  b 

(*)  *  Tum  recta  A  C,  deletd,  Determinato 
puncto  B,  quod  prima  vice  licet  usurpare,  coe- 
tera,  qua;  deinceps  assumuntur  puncta  nempe  b, 
/3,  aliam  constructionem  postulant.  Nec  satis 
est  quod  punctum  b,  sumatur  propius  puncto  Y, 
dum  linea  M  P,  minor  est  quam  A  C  vel  M  N 
(in  iig.  Newt.)  et  contra.  Sed  quia  ducere 
oportet  rectam  A  C,  qua;  sit  a;qualis  longitudini 
M  P,  capiatur  in  t  B,  punctum  b,  ea  lege  ut  sit 
distantia  Y  b,  ad  distantiam  Y  B,  in  ratione 
composita  ex  ratione  M  P  ad  A  C,  et  ratione 
subduplicata  S  B  ad  S  b.  Ex  hactenus  dictis 
patet  cur  prior  ratio  componens  adhibeatur; 
cum  enim  invenienda  sit  A  C,  quae  sit  longitu- 
dini  M  P  aequalis,  si  illa  hac  sit  major  aut  rninor, 
minuenda  erit  vel  augenda  donec  aequales  fiant, 
aequarentur  autem  per  solam  priorem  rationem  si 
M  P  foret  constans.  Quia  vero  variante  A  C, 
perpetuo  quoque  variabilis  est  recta  M  P,  ideo 
adhibenda  est  altera  ratio.  Jam  in  parabolis  per 
puncta  A,  B,  C,  ct  a,  b,  c,  descriptis,  chordas 
arcuum  A  B  C,  a  b  c,  in  quibus  asquales  sunt 
rectae  B  E,  b  e,  ad  umbilicum  S  tendentes  inter 
verticem  et  chordam  interceptac,  sunt  in  ratione 
subduplicata  rectarum  S  B,  S  b  (ut  colligitur  ex 
Tlieor.  I-  et  II.  de  parab.).  Pra;terea  (ex  dem.) 
asquales  sunt  rectae  B  E,  b  e  quamproxime;  sunt 
enim.  spatia  a  cometa  versus  Solem  cadendo  in 
diversis  ab  illo  distantiis  eodcm  tempore  percursa, 
et  vestigium  cometae  in  observatione  secunda 
proximum  est  vertici  arcus  A  B  C,  seu  vestigii 
portionis  trajectoriae  a  cometa  inter  observationcm 

VoL.  III.  Pars  II. 


primam  et  tertiam  descriptae.  Quare  habetur 
punctum  b,  cometae  vestigium  in  phino  eclipti- 
ca»,  non  tamen  accuratum,  sed  vero  proxinium 
duntaxat. 


15r5 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


perexlgua  obvenerit ;    postquam  inventa  sunt  puncta  F,  f  et  G,  g,  actoe 
rectae    F  f  et  G  g  secabunt  T  A  et  r  C  (*)  in  punctls  quaesitis  X  et  Z. 


(*)  *  In  punctis  qncesitis  X  et  Z.  (Ut  patet 
ex  nota  ("),  in  hanc  Prop.). 

146.  Si  elliptica  cometaj  orbita  magis  accurate 
observationibus  satisfacere  deprehendatur,  ea  sic 
poterit  describi.  Reperiatur  vesligium  cometae 
in  plano  eclipticas  in  observatione  secunda,  eun- 
dem  ordinem  situraque  obtinet  vestigium  illud 


inter  puncta  B,  b,  /3,  quem  punctum  Z,  inter 
C,  c,  xy  vel  X,  inter  A,  a,  u.  Ex  vestigio  sic  in- 
vento,  ad  planum  ecliptica;  erigatur  normalis 
qua;  est  tangens  latitudinis  in  observatione  sc- 
cunda  ad  radium  a^qualem  distantia;  inter  lo- 
cum  t,  dictumque  vestigium.  Hujus  perpendi- 
culi  extremum  punctum  signabit  locum  cometa; 
iu  orbita  propria  secundo  observatum.  Denique 
umbilico  S,  per  puncta  X,  Z,  et  punctum  modo 
inventum  describatur  ellipsis  (Prop.XX.Lib.1.), 
hasc  erit  quassita  cometae  trajectoria. 

147.  Ex  praecedentis  Problematls  solutione 
colligi  possunt  positio  linea;  nodorum  trajectori£e 
et  tempus  quo  cometa  nodos  tenet.  lisdem 
manentibus,  et  per  easdem  litteras  designatis  ut 
supra,  producuntur  rectae  Z  X,  R  r,  donec  con- 
currant  in  ^,  junganturque  S  Z,  S  X,  S  ^ 
jam  vero  (ex  praeced.)  data  sunt  omnia  puncta 
S,  Z,  X,  ideoque  trianguli  S  Z  X,  tam  latera 
quam  anguli,  ac  proinde  innotcscit  etiam  angulus 
S  X  ^.  Ex  loco  r,  ducatur  r  O,  ad  Z  X 
parallela  rectae  R  Z,  occurrons  in  O,  erunt 
triangula  R  O  r  et  r  X  ^,  aequiangula,  ideoque 
cijfVn  ex  notis  lateribus  O  r  =  Z  X,  et  O  R, 
differentia  notarum  rectarum  R  Z  et  r  X  una 


cum  angulo  recto  R  O  r,  innotescant  reh*qua 
latera  et  anguli,  dabuntur  quoque  anguli  trian- 
guli  r  X  5^,  Sed  datur  in  hoc  triangulo  latus 
unum  X  r,  dabuntur  ergo  et  reliqua  nempe 
X  <^  et  r  ^.  Deinde  in  triangulo  ^  X  S, 
iiota  sunt  latera  X  S,  X  5|^,  cum  angulo  inter- 


cvpto  S  X  £l_,  innotescct  itiique  angukis  X  S  ^. 
Sed  datur  (per  observ.)  positio  rect«  S  X,  sive 
angulus  quem  facit  cum  T  X.  Nam  in  trian- 
gulo  X  T  S,  dantur  latera  T  S,  T  X  et  angulus 
X  T  S,  distantia  inter  locura  Sohs  cognitura 
locumque  cometae  primo  observatum.  Unde 
innotescit  T  X  S,  ac  proinde  et  positio  recta; 
^  S  75>  hoc  est,  dabuntur  loca  nodorum  e  Sole 
visa.  Quod  si  a?quales  fuerint  rectce  Z  R,  X  r, 
nodorum  linca  parallcla  est  recta;  Z  X,  ideoque 
positione  cognita. 

Ad  determinandum  tcmpus    quo  cometa  in 
nodo  versatur,  sit  R  r,  trajectoria  cometa;  (per 


Prop.  praeced.)  descripta,  sitque  superius  iriventa 
nodorum  hnea  5^  S  Tj,  trajectoriae  in  ^^  et  Tj» 
occurrens,    crit   (Prop.  I.  Lib.  I.)  intervallum 


LiBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


157 


temporis  inter  observatlonem  primam  et  momen-     O   1S.     Deinde  in  triangulo  R  O  "iS*»  dantut 

tum  quo  cometa  ad  nodum  ^  appellit,  ad  inter-     latera  circa  rectum  O  R  et  O  l^,  ideoque  notus 

vallum  temporis  inter  observationem  primam  et  ^ 

tertiam  ut  area  r  ^  S,  ad  aream  11  S  r ;  sed  ^  Ji^ 

arearum  r  ^  S,  II  S  r,  nota  est  ratio  (per  Theor. 

IV.  de  parab.  vel  num.  142.)  notum  igitur  est 

tempus  quo  cometa  nodum    5I>   tenet.       Pari  O 

modo  innotescit  tempus  quo  coraeta  ad  nodum 

alterum  1^  appellit. 

148.  lisdem  manentibus,  determinabitur  incli- 
natio  plani  trajectoriae  ad  planum  ecliptica?.  Ex 
puncto  O  ad  75"  S  Sl,  nodorum  lineani  erigatur 
perpendicularis  O  1^,  jungaturque  R  ^.  In 
triangulo  O  S  ^J,  praeter  rectum  ad  1^,  dantur  erit  angulus  O  75*  ^5  qui  <^t  inclinatio  plani 
(147.)  angulus  O  S  75*  et  latus  O  S,  quare  datur    trajectoria)  ad  planum  ecliptic». 


149.  Facile  obtineri  potest  ferapus  quo  come- 
ta  perihelium  tcnet.  Umbilico  S,  per  puncta 
R,  r,  describatur  trajectoria  cometjB.  Centro  S, 
per  alterutrum  punctbrum  puta  R,  describatur 
circulus  trajectorice  deuuo  occurrens  in  V,  jun- 
gaturque  R  V,  ad  quem  ex  puncto  S  demittatur 
perpendicularis  S  (p,  quae  producatur  donec  para- 
bolae  occurrat  in  t,  erit  cr  trajectoriae  perihelium  ; 
et  proinde  recta  ipsius  S  ?r  quadrupla,  erit  ejus- 
dem  latus  rectum  principale.  Cvim  enim  umbi- 
licus  S,  in  parabolae  axe  reperiatur,  circuluscen- 
tro  S  descriptus  parabolam  intersecabit  in  duobus 
punctis  ab  axe  a*qualiter  distantibus,  ac  proinde 
axi  normalis,  erit  R  V  intersectiones  conjun- 
gens ;  quare  S  (p  est  axis  et  ?r  vertex  parabolae, 
sive  trajectoria^  perihclium  et  quadrupla  S  cr 
parameter  diametri  cujus  ?r  est  vertex  (Theor. 
II.  de  parab.)  hoc  est,  latus  rectum  principale. 
Jam  capiatur  tempus  cujus  intervallum  ab  ob- 


servatione  prima,  dum  cometa  versabatur  in  r, 
est  ad  intervallum  temporis  inter  observationem 
primam  et  tertiam  ut  area  r  S  ^r  ad  aream  R  r  S, 
habebitur  illud  ipsum  tempus  quo  cometa  peri- 
helium  occupat. 

150.  Hinc  etiam  cometJB  pcrigjeum  ejusque 
terapus  determinabitur.  Cum  enim  detur  tem- 
pus  inter  observationem  primam  et  tertiam  inter- 
ceptum,  quo  scilicet  data  area  r  R  S,  a  cometa 
radio  ad  Solem  ducto  describitur,  data  quoque 
erit  area  uno  die  similiter  descripta.  Praetereti 
datur  r,  locus  cometa)  in  observatione  primd, 
quare  dabuntur  loca  cometae  in  proprio  orbe  ad 
dies  singulos.  Sed  dantur  loca  Telluris  in  or- 
bita  sua,  notusque  est  situs  mutuus  inter  Telluris 
orbitam  et  cometae  trajectoriam.  Unde  innotes- 
cet  tempus  quo  cometa  est  Terrae  proximus,  hoc 
est,  tempus  quo  cometa  in  perigao  versatur. 


L2 


158 


PHILOSOPHIiE  NATURALIS   [De  Mund.  Syst, 


Exemplum. 

Proponatur  cometa  anni  1680.  Hujus  motum  a  Flamstedio  observa- 
tum  et  ex  observationibus  computatum,  atque  ab  Halleio  ex  iisdem  obser- 
vationibus  correctum,  tabula  sequens  exhibet. 


Cometa^ 

Tem.  appar. 

Temp.  verum 

Long.  Solis 

Longitudo           Lat.  bor. 

h.      ' 

h. 

f 

// 

o 

/      // 

o      '      " 

o      '     ' 

1680.Z)^c.l2 

4.    46 

4. 

56. 

0 

V5^1. 

51.23 

>?  6.*32.  30 

8.28.    0 

21 

6.    321 

6. 

36. 

59 

11. 

6.44 

^5.     8.12 

21.42.13 

24. 

6.    12 

6. 

17. 

52 

14. 

9.26 

18.  49.  23 

25.23.    5 

26 

5.    14 

5. 

20. 

44 

16. 

9.22 

28.  24.  13 

27.    0.52 

29 

7.    55 

8. 

3. 

2 

19. 

19.43 

K13.  10.  41 

28.    9.58 

30 

8.      2 

8. 

10. 

26 

20. 

21.    9 

17.  38.  20 

28.11.53 

1681.  Jfl!W.  5 

5.    51 

6. 

1. 

38 

26. 

22.18 

'Y^  8.  48.  53 

26.  15.    7 

9 

6.    49 

7. 

0. 

53 

^O. 

29.    2 

18.  44.    4 

24.  11.56 

10 

5.    54 

6. 

6. 

10 

1. 

27.43 

20.  40.  50 

23.  43.  52 

13 

6.    56 

7. 

8. 

55 

4. 

33.20 

25.  59.  48 

22.  17.28 

25 

7.    44 

7. 

58. 

42 

16. 

45.36 

«    9.  35.    0 

17.56.30 

30 

8.      7 

8. 

21. 

53 

21. 

49.58 

13.  19.  51 

16.42.  18 

Feb,    2 

6.    20 

6. 

34. 

51 

24. 

46.59 

15.  13.  53 

16.    4.    1 

5 

6.    50 

7. 

4. 

41 

27. 

49.51 

16.  59.    6 

15.27.    3 

His  adde  observationes  quasdam  e  nostris. 


1681.  JP^^.  25 

Tera.  appar. 

CometcB  Longitudo 

Cometae  Lat.  bor. 

8\  30' 

«  26^  18'.  35'' 

12°.  46'.  46" 

27 

8.    15 

27.      4.   30 

12.    36.  12 

Mm\    1 

11.      0 

27.    52.  42 

12.    23.  40 

2 

8.      0 

28.    12.   48 

12.     19.  38 

5 

11.    30 

29.    18.     0 

12.      3.  16 

7 

9.    30 

n    0.      4.     0 

11.    57.     0 

9 

8.    30 

0.    43.     4 

11.    45.  52 

Hae  observationes  telescopio  septupedali,  et  micrometro  filisque  in 
foco  telescopii  locatis  peractae  sunt:  quibus  instrumentis  et  positiones 
fixarum  inter  se  et  positiones  cometae  ad  fixas  determinavimus.  Designet  A 
stellam  quartae  magnitudinis  in  sinistro  calcaneo  Persei  (Bayero  o)  B  stel- 
lam  sequentem  tertiae  magnitudinis  in  sinistropede  (Bayero  Q  et  C  stellam 
sextae  magnitudinis  (Bayero  n)  in  talo  ejusdem  pedis,  ac  D,  E,  F,  G,  H,  I, 
K,  L,   M,   N,  O,   Z,  «,  /3,  7,   h  stellas  alias  minores  in  eodem  pede. 


LiberTertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


159 


Sintque  p,  P,  Q,  R,  S,  T,  V,  X,  loca  cometae  in  observationibus  infra 
descriptis :  et  existente  distantia  A  B  partium  SO/g,  erat  A  C  partium 
52i,  B  C  58f,  A  D  57tV,  B  D  82i^,  C  D  23f,  A  E  29^,  C  E  57i, 
D  E  4.9}!,  A  I  27/2>  B  I  52i,  C  I  36j\,  D  I  53/t,  A  K  38f,  B  K  43, 


— "-—:.-;: — 

N 

*0             o          pY 

„IiM 

^ 

eS^R      ^^^ 

1 

/3 

_f 

:B 

C  K  314,  F  K  29,  F  B  23,  F  C  36i,  A  H  18f,  D  H  50j,  B  N  46/2. 
C  N  31i,  B  L  45tVj  N  L  31f.  H  O  erat  ad  H  I  ut  7  ad  6  et  producta 
transibat  inter  stellas  D  et  E,  sic  ut  distantia  stellag  D  ab  Jiac  recta  esset 
^-  C  D.  L  M  erat  ad  L  N  ut  2  ad  9,  et  producta  transibat  per  stellam  H. 
His  determinabantur  positiones  fixarum  inter  se. 

Tandem  Poundius  noster  iterum  observavit  positiones  harum  fixarum 
inter  se,  et  earum  longitudines  et  latitudines  in  tabulam  sequentem 
retulit. 


Fixarura. 

Longitudines. 

Lat.  boreae. 

0 

/ 

// 

0 

/ 

// 

A 

«  26. 

41. 

50 

12. 

8. 

3 

B 

28. 

40. 

23 

11. 

17. 

54 

C 

27. 

58. 

30 

12. 

40. 

25 

E 

26. 

27. 

17 

12. 

52. 

7 

F 

28. 

28. 

37 

11. 

52. 

22 

G 

26. 

56. 

8 

12. 

4. 

58 

H 

27. 

11. 

45 

12. 

2. 

1 

I 

27. 

25. 

2 

11. 

53. 

11 

K 

27. 

42. 

7 

11. 

53. 

26 

L 

29. 

33. 

34 

12. 

7. 

48 

M 

29. 

18. 

54 

12. 

7. 

20 

N 

28. 

48. 

29 

12. 

31. 

9 

Z 

29. 

44. 

48 

11. 

57. 

13 

a 

29. 

52. 

3 

11. 

55. 

48 

^ 

n     0. 

8. 

23 

11. 

48. 

56 

7 

0. 

40. 

10 

11. 

55. 

18 

d 

1. 

3. 

20 

11. 

30. 

42 

Positiones  vero  cometse  ad  has  fixas  observabam  ut  sequitur, 


L  3 


160 


PHILOSOPHliE  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 


Die  Veneris  Feb.  25.  st.  vet.  hor.  8J  p.  m.  cometae  in  p  existentis  dis- 
tantia  a  stellA  E  erat  minor  quam  -^j  A  E,  major  quam  J  A  E,  ideoque 
sequalis  y\  A  E  proxime :  et  angulus  A  p  E  nonnihil  obtusus  erat,  sed 
fere  rectus,  Nempe  si  demitteretur  ad  p  E  perpendiculum  ab  A,  dis- 
tantia  cometae  a  perpendiculo  illo  erat  ^  p  E. 

Eadem  nocte  hora  9J,  cometae  in  P  existentis  distantia  a  stella  E  erat 

major  quam  —  A  E,  minor  quam  —  A  E,  ideoque  sequalis A  E,  seu 

H  5i  4J 

f-g  A  E  quamproxime.     A  pei^pendiculo  autem  a  stella  A  ad  rectam'  P  E 
demisso  distantia  cometae  erat  f  P  E. 


^D                   B       i 

*. 

©■l. 

N             *C             0         V^ 

^X-M 

*        -''''      o-"^ 

a 

.s^ 

#B 

Die  Solis  Feb.  27.  hor.  8J  p.  m»  cometae  in  Q  existentis  distantia  a 
stella  O  sequabat  distantiam  stellarum  O  et  H,  et  recta  Q  O  producta 
transibat  inter  stellas  K  et  B.  Positionem  hujus  recta^  ob  nubes  inter- 
venientes  magis  accurate  definire  non  potui. 

Die  Martis  Mart.  1 .  hor.  11.  p.  m.  cometa  in  R  existens,  stellis  K  et  C 
accurate  inteijacebat,  et  rectae  C  R  K  pars  C  R  paulo  major  erat  quam 
J  C  K,  et  paulo  minor  quam  J  C  K  +  ^  C  R,  ideoque  aequalis  J  C  K  + 


tV  C  R  seu  ^l  C  K. 


Die  Mercurii  Mart.  2.  hor.  8.  p.  m.  cometae  existentis  in  S  distantia  a 
stella  C  erat  |  F  C  quamproxime.  Distantia  stellae  F  a  recta  C  S  pro- 
ducta  erat  ^^^  F  C ;  et  distantia  stelioe  B  ab  eadem  recta,  erat  quintuplo 
major  quam  distantia  stellae  F.  Item  recta  N  S  producta  transibat  inter 
stellas  H  et  I,  quintuplo  vcl  sextuplo  propior  existens  stellae  H  quam 
stellae  I. 

Die  Saturni  Mart.  5.  hor.  llj  p.  m.  cometa  existente  in  T,  recta  M  T 
aequalis  erat  ^  M  L,  et  recta  L  T  producta  transibat  inter  B  et  F,  qua- 
druplo  vel  quintuplo  propior  F  quam  B,  auferens  a  B  F  quintam  vel  sex- 
tam  ejus  partem  versus  F.  Et  M  T  producta  transibat  extra  spatium  B  F 
ad  partes  stellae  B,  quadruplo  propior  existens  stella:  B  quam  stellae  F. 


LiBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


161 


Erat  M  stella  perexigua  quae  per  telescopium  videri  vix  potuit,  et  L  stella 
major  quasi  magnitudinis  octavae. 

Die  Lunas  Mart.  7.  hor.  9^  p.  m.  cometa  existente  in  V,  recta  V  a 
producta  transibat  inter  B  et  F,  auferens  a  B  F  versus  F  j^  B  F,  et  erat 
ad  rectam  V  /3  ut  5  ad  4.     Et  distantia  cometae  a  recta  a  (3  erat  J  V  /3. 

Die  Mercurii  Mart.  9.  hora  8J  p.  m.  cometa  existente  in  X,  recta  y  X 
aequalis  erat  i  7  ^,  et  perpendiculum  demissum  a  stella  d  ad  rectam  y  X 
erat  f  7  d, 

Eadem  nocte  hora  12,  cometa  existente  in  Y,  recta  7  Y  aequalis  erat 
J  7  d,  aut  paulo  minor,  puta  /g-  7  d,  et  perpendiculum  demissum  a  stella  d 
ad  rectam  7  Y  aequalis  erat  -J-  7  ^  vel  f  7  d  circiter.  Sed  cometa  ob  vici- 
niam  horizontis  cerni  vix  potuit,  nec  locus  ejus  tam  distincte  ac  in  praece- 
dentibus  definiri, 

Ex  hujusmodi  observationibus  per  constructiones  figurarum  et  compu- 
tationes  derivabam  (^)  longitudines  et  latitudines  cometae,  et  Poundius 
noster  ex  correctis  fixarum  locis  loca  cometae  correxit,  et  loca  correcta 
habentur  supra.  Micrometro  pariim  afFabre  constructo  usus  sum,  sed 
longitudinum  tamen  et  latitudinum  errores  (quatenus  ex  observationibus 
nostris  oriantur)  minutum  unum  primum  vix  superant.  Cometa  autem 
(juxta  observationes  nostras)  in  fine  motus  sui  notabiliter  deflectere  coepit 
boream  versus,  a  parallelo  quem  in  fine  mensis  Februarii  tenuerat. 


(^)  149.  *  Longitudines  el  latitudines.  Siobser- 
ventur  distantiae  cometas  a  duabus  fixis  quarum 
longitudines  et  latitudines  notaj  sunt,  invenien- 
tur  cometae  longitudo  et  latitudo  ad  tempus  ob- 
servalionis.  Referat  M  R,  portionem  eclipticae^ 
cujus  polus  O,  sint  A,  P  dua?  stellffi  quarum 
longitudines  et  latitudines  data;  sunt,  sitque  C 
cometa  cujus  distantia  a  duabus  stcllis  A,  P 
nota  sit.  In  triangulo  A  O  P,  ex  datis  A  O, 
P  O  complementis  Jatitudinum  stellarum  et  an- 
gulo  A  O  P  cujus  mensura  est  arcus  M  R  dif- 
ferentia  longitudinum,  dabitur  A  P  distantia 
stellarum,  atque  innotescet  angulus  O  P  A. 
Jam  vero  in  triangulo  A  C  P  dantur  omnia 
latera,  unde  invenietur  angulus  C  P  A,  quo 
subtracto  ex  angulo  O  P  A  relinquetur  anguius 
O  P  C.  Quare  dabitur  angulus  P  O  C  cujus 
mensura  est  arcus  N  R,  differentia  scilicet  lon- 
gitudinum  stellte  P  et  cometae  C.  Item  innotes- 
cet  arcus  O  C,  qui  est  complementum  latitudinia 
cometaa.  Eadem  prorsus  ratione,  si  observentur 
distantiae  cometa?  a  duabus  fixis  quarum  ascen- 
siones  rectae  et  declinationes  notae  sunt,  inde 
colligentur  ascensio  recta  et  declinatio  cometa;. 

150.  Datis  declinatione  et  ascensione  recta 
alicujus  stelh-E  fixac,  inveniri  possunt  declinatio 
et  ascensio  recta  cometa;,  modo  tamen  stella  et 
cometa  transire   vicissim  possint  pci    campum 


telescopii  immoti  aut  alio  quocuinque  modo  ob. 
tineatur  differentia  declinationis  et  ascensionis 
rectae  intcr  fixara  et  cometam  (59.  Lib.  III.)  ct 


liinc   dabuntur   cometas   longitudo   et    latitudo 
(17.  Lib.  IIJ.). 

151.  Datis  cometae  longitudinc  et  latitudinc, 
simulque  notu  longitudine  Solis,  datur  distantia 
4 


162 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst, 


Jam  ad  orbem  cometae  determinandum,  selegi  ex  observationibus  hac- 
tenus  descriptis,  tres  quas  Flamstedius  habuit  Dec.  21.  Jan.  5.  et  Jan.  25, 
(^)  Ex  his  inveni  S  t  partium  984-2. 1  et  V  t  partium  455,  quales  10000 
sunt  semi-diameter  orbis  magni.  Tum  ad  operationem  primam  assu- 
mendo  t  B  partium  5657,  inveni  S  B  9747,  B  E  prima  vice  412, 
S/A  9503,  i  X  413  :  BE  secunda  vice  421,  OD  10186,  X  8528.4  MP  8450, 


cometae  a  Sole.  Sit  enim  E  L  portio  eclipticae, 
Sol  in  S,  latitudo  cometas  C  I ;  in  triangulo 
C  I  S,  ad  I  rectangulo  (7.  Lib.  IIL)  datur 
latus  C  I,  itemque  notum  est  latus  I  S  differen- 
tia  longitudinum  Solis  et  cometae,  ideoque  in- 
notescit  distantia  cometae  a  Sole  C  S. 

152.  Si  duobus  diebus  sese  invicem  immediate 
subsequentibus  observentur  longitudines  H,  I  et 
latitudines  C  H,  K  I  cometas  alicujus,  dabitur 
arcus  K  C  quem  cometa  motu  diurno  proprio 
descripsit.  Quoniam  enim  in  triangulo  K  M  C, 
datur  angulus  quem  metitur  arcus  I  H  longitu- 
dinum  differentia,  simulque  nota  sunt  latera 
K  M,  C  M,  quae  sunt  datarum  latitudinum 
K  I,  C  H  complementa,  innotescet  arcus  K  C. 
Si  vero  altera  latitudo  fuerit  australis,  puta  C  H, 
altcra  borealis  ut  G  N,  latus  G  M  est  summa 


observatus,  a  loco  nodi  O  subtrabatur  longitudo 
cometae  I,  relinquetur  arcus  O  I.  Datis  in 
triangulo  K  O  I,  ad  I  rectangulo,  lateribus 
K  I,  O  I,  dabitur  arcus  K  O  quem  cometa  a 
primo  observationis  die  usque  ad  eclipticam  de- 
scripsit.  Jam  vero  arcus  K  O  conferatur  cum 
arcubus  descriptis  ab  initio  observationis  cometae 
in  K,  ad  datum  usque  aliquod  momentum  sin- 
gulis  diebus  pro  arbitrio  assumptum.  Hinc 
proportionali  parte  adhibita,  circiter  colligetur 
tempus  quo  cometa  secuit  eclipticam.  Simili 
modo  invenietur  tempus  quo  trajecit  sDquatorem. 
155.  Si  cometa  primo  observetur  in  eadem 
recta  cum  duubus  fixis,  deinde  in  alia  quoque 
recta  cum  duabus  aliis  fixis  observetur,  accuratc 
trajectis  per  quatuor  illas  stellas  duobus  filis  in 
superficie  globi  coelestis,  intersectio  filorum  dc- 


latitudinis  G  N  et  quadrantis  N  M,  ac  proinde 
etiam  in  hoc  casu  dabitur  arcus  C  G. 

155.  lisdem  manentibus,  inveniri  potest  no- 
dus  O  orbitae  cometae,  datis  enim  in  triangulo 
M  C  K  lateribus  M  C,  M  K,  cum  angulo  in- 
tercepto  M  quem  metitur  longitudinum  datarum 
differentia  H  I,  dabitur  angulus  M  K  C,  qui 
ex  180°.  subductus,  relinquit  angulum  O  K  I. 
Jam  vero  datis  triangulo  O  K  I,  ad  I  rectan- 
gulo,  hititudine  I  K,  et  angulo  O  K  I,  inveni- 
tur  angukis  I  O  K,  daturque  arcus  O  I,  quo 
addito  longitudini  I,  obtinetur  distantia  nodi  O 
a  principio  Arietis.  Ex  prajcedentibus  patet, 
datis  duabus  ascensionibus  rectis  et  declinationi- 
bus,  inveniri  quoque  motum  cometa?  proprium, 
inchnationem  orbitae  ad  a^quatorem  et  punctum 
in  quo  orbita  illa  a;quatorem  intersecat. 

15i.  lisdcm  positis  sit  K  locus  cometo;  primo 


terminabit  locum  cometae  pro  tempore  observa- 
tionis.  Si  eodem  modo  definiantur  alia  cometas 
loca,  illius  semita  in  superficie  globi  coelestis  de- 
lineabitur. 

156.  Accurate  designatis  in  superficie  globi 
cometae  locis,  filum  duobus  locis  applicatum  per 
catera  omnia  propemodum  transire  videbitur ; 
h£ec  igitur  loca  fere  sunt  in  peripheria  circuli 
maximi,  ideoque  cometa  ex  Terra  in  circuli 
maximi  peripheria  incedere  apparebit.  Quare 
si  filum  per  duo  loca  transiens  extendatur  dontn; 
eclipticam  et  a-quatorem  secet,  habebuntur  locus 
nodi,  et  inchnatio  orbita;  cometicac  simulque 
punctum  in  quo  cometa  trajicit  aquatorem. 

('')  *  Ex  his  inveiiu  Qua  ratione  sequcntes 
detei-minationes  possint  inveniri  vel  graphice  vel 
arithmetice,  patet  ex  constructione  Prop.  praced. 
ct  ex  iis  qua:  huic  Propositioni  addidimus. 


LiBEii  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


163 


M  N  8475,  N  P  25.  Unde  ad  operationem  secundam  collegi  distanliam 
t  b  5640.  Et  per  hanc  operationem  tandem  distantias  T  X  4775  et 
r  Z  11322,  Ex  quibus  orbem  definiendo,  inveni  nodos  ejus  descenden- 
tem  in  25  et  ascendentem  in  >?  1^^  53';  inclinationem  plani  ejus  ad  pla- 
num  ecliptic^  61^''.  20^;  verticem  ejus  (seu  perihelium  cometse)  distarea 
nodo  8^^  38',  et  esse  in  t  21^\  43'.  cum  latitudine  australi  7^^  34';  et 
ejus  latus  rectum  esse  236.8,  areamque  radio  ad  Solem  ducto  singulis 
diebus  descriptam  93585,  quadrato  semi-diametri  orbis  magni  posito 
100000000;  cometam  vcro  in  hoc  orbe  secundum  seriem  signorum  pro- 
cessisse,  et  Decemb.  8^^.  O^,  4'.  p.  m.  in  vertice  orbis  seu  perihelio  fuisse. 
Ha3c  omnia  per  scalam  partium  sequalium  et  chordas  angulorum  ex 
tabula  sinuum  naturalium  collectas  determinavi  graphice,  construendo 
schema  satis  amplum,  in  quo  videUcet  semi-diameter  orbis  magni  (partium 
10000)  sequalis  esset  digitis  16j  pedis  Anglicani. 

Tandem  ut  constaret  an  cometa  in  orbe  sic  invento  vere  moveretur, 
collegi  per  operationes  partim  arithmeticas  partim  graphicas  loca  cometa^ 
in  hoc  orbe  ad  observationum  quarundam  tempora :  uti  in  tabula  se- 
quente  videre  Ucet 


Dec.  12 

Dist.  Co- 
met.  a  Sole. 

Long.  Collect. 

Lat.  Collect. 

Long.  Obs. 

Lat.  Obs. 

Differ. 
Long. 

Diffcr. 
Lat. 

2792 

Vf    6.  32' 

gr- 

8.      IBi 

gr.    ' 

gr.       ' 
8.     26 

+  1 

29 

8403 

K  13.   13| 

28.       0 

K13.  11| 

28.      lOrV 

+  2 

-loA 

Feb,     5 

16669 

«  17.     0 

15.     29| 

«  16.  59| 

15.     S/f 

+  0 

+  H 

Mar.    5 

21737 

29.   19| 

12.       4 

29.  2of 

12.       3i 

—  1 

+   i 

Postea  vero  Halleius  noster  orbitam  {^)  "per  calculum  arithmeticum  ac- 
curatius  determinavit,   quam  per  descriptiones  linearum  fieri  licuit;  et 


C^)  157.  *  Per  calcuhim  arithmeticum.  Cal- 
culi  hujus  instituendi  methodum  exponemus. 
Sit  S  Sol,  V  R  A  orbita  cometae  parabolica, 
cujus  vertex  V,  sitque  V  S,  distantia  umbilici  a 
vertice  =  f,  erit  parabola;  latus  rectum  prin- 
cipale  =  4  f.  Fiat  A  D  =  x,  erit  spatium 
X  3  4_  12  f  ^  X 

V  R  A  S  =  ^,    ,. (140).     Ponatur 

24  t  ^        ' 

area  illa  dato  rectilineo  jequalis  puta  b  b,  habe- 
bitur  a'quatio  24fbb  =  x3-|-  12f^x.  Re- 
soluta  hac  a?quatione  cubica  per  vulgares  algebraa 
regulas,  vel  per  constructionem  geometricam, 
adhibitis  parabola  et  circulo,  innotescet  ordinatim 
apphcata  A  D.  Data  autem  A  D,  dabitur  V  D, 
(per  Theor.  II.  de  parab.)  quarc  nota  quoque 
erit  recta  composita  ex  D  V  et  V  S,  cui  a^qualis 
est  rccta  S  A,  (ibid.),  idcoque  recta  illa  dabilur 


164. 


PHlLOSOPHIyE  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 


retinuit  quidem  locum  nodorum  in  25  et  >f  l^'".  53'.  et  inclinationem  plani 
orbitse  ad  eclipticam  61^'".  20 J'.  ut  et  tempus  perihelii  cometae  Decemb. 
S'^.  O^  4' :  distantiam  vero  perihelii  a  nodo  ascendente  in  orbita  cometae 
mensuratam  invenit  esse  9^^  20'.  et  latus  rectum  parabolas  esse  2430  par- 
tium,  existente  mediocri  Solis  a  Terra  distantia  partium  100000.     Et  ex 


magnltudine.  Prseterea  datur  etiam  D  A, 
quare  nota  est  ratio  inter  S  A  et  A  D,  id  est, 
inter  radium  et  sinum  rectum  anguli  A  S  D, 


quom  scilicet  S  A  cum  axe  comprehendlt,  ideo- 
que  dalur  angulus  ille.  Sed  data  est  S  A  lon- 
gitudine,  quare  recta>  S  A  longitudo  et  inclina- 
tio  ad  axem  calculo  determinari  possunt. 

158.  Referat  Sl,  ^  ^t  cometae  trajectoriam  in 
cujus  umbilico  S  collocatur  Sol,  sitque  co  punc 
tum  quod  cometa  occupavit  in  ali- 
qua  harum  obsorvationum  qua- 
rum  ope  trajectoria  definita  fuit. 
Trajectoriae  hujus  sit  axis  V  X 
positione  datus ;  innotescat  tem- 
pus  quo  cometa  in  perihelio  V 
versatur,  sitque  ^  75*  ^inea.  nodo- 
rum  positione  cognita.  Si  cometae 
trajectoria  inventa  fucrit  parabo- 
lica,  capiatur  spatium  quod  sit  ad 
spatium  u  V  S,  cognitum  (per 
Thecy.  IV.  de  parab»)  ut  inter- 
vallum  inter  tempus  datum  et 
supra  inventum  momcntum'  quo 
cometa  perihelium  attingit,  ad 
intervallum  inter  prajdictum  mo- 
mentum  et  observationem  co- 
metaj  Jn  «;  ponatur  spatium 
rectilineo,  puta  b  b,  jcquale.  Deinde  (157.) 
ipsi  b  b  aequale  fiat  spatium  parabolicum  VR  A  S, 
et  inveniatur  tam  positio  quam  magnitudo  rectae 
S  A  respectu  S  V,  cujus  positio  et  magnitudo 
respectu  distantiae  aphelii  Terrae  a  Sole  prius 
rotaj  sunt.  At  si  cometae  trajectoria  deprehen- 
datur  elliptica,  per  methodos  in  Prop.  XXXI. 
Lib.  I.  expositas,  ducatur  recta  S  A,  taiis  ut 
area  V  R  A  S,  sit  ad  totam  ellipseos  aream,  sicut 
iiitervallum  inter  tempus  datum  et  momentum 
quo  perihelium  occupat  integrum  cometoe  tem- 
pus  periodicum  quod  cx  dato  orbitae  cometicaj 


axe  principali  cognitum  est,  dabiturque  recta  S  A 
tam  positione  quam  magnitudine.  Jam  vero  in 
utroque  casu  ex  A  ad  nodorum  lineam  l^  St 
erigatur  normalis  A  N,  rectae  75*  Si,  occurrens 
in  N  ;  ex  eodem  A,  ad  eclipticse  planum  demit- 
tatur  perpendiculum  eidem  rectae  occurrens  in  a, 
junganturque  a  N,  a  S,  erit  angulus  A  N  a,  in- 
clinatio  plani  trajcctoriae  ad  planum  eclipticae  ac 
proinde  cognitus  (146).  Deinde  quoniam  noti 
sunt  anguli  V  S  A,  V  S  N,  notus  quoque  erit 
angulus  N  S  A,  horum  summa  vel  difterentia, 
Quare  in  triangulo  rectangulo  N  a  A,  datis 
latere  N  A,  et  angulo  A  N  a,  innotescent  rcli- 
qua  latera  N  a  et  A  a.  Praeterea  in  triangulo 
rectangulo  S  N  a,  dantur  latera  S  N  et  N  a 
ideoque  dabuntur  latus  S  a,  et  angulus  N  S  a. 
Sed  (145.)  datur  positio  rectse  S  N,  quare  nota 
erit  positio  rectje  S  a,  hoc  est,  cometa)  longitudo 
heliocentrica,  sive  locus  cometae  heliocentricus, 
ad  eclipticam  reductus.  Denique  in  triangulo 
S  A  a  rectangulo  ad  a,  nota  sunt  omnia  latera, 
ac  proinde  dabitur  angulus  A  S  a,  latitudo 
cometae  heliocentrica.  Ex  his  quoque  patet 
vicissim  inveniri  posse  tempus  quo  cometa  da- 
tum  in  orbe  suo  locum  tcnet. 


illud    dato 


159.  lisdem  manentibus  sit  B  T  orbis  mag- 
nus,  sitque  Tellus  in  T  ad  tempus  datum.  Jun- 
gantur  T  A,  T  a,  erit  planum  trianguli  T  A  a, 
ad  planum  eclipticae  normale  (Prop.  XVIII. 
Lib.  XI.  Elem.).  Jam  in  triangalo  T  S  a,  in 
plano  eclipticie  datur  latus  S  a,  (158),  notum- 
que  est  latus  S  T,  ex  theoria  Telluris,  et  utrum- 
que  latus  in  partibus  mcdiocris  distantia^  Tcl- 
luris  a  Sole  expressum  habetur.  Pra;terea  ob 
latera  illa  positione  cognita,  daturangulus  T  Sa, 
ab  illis  com.prehensus,  quare  innotescent  latus 
T  a,  et  angulus  S  T  a  ;  sed  datur  T  S  positione, 
nempe  locus  Solis  ad  tempus  datum,  nota  igitur 


LiBER  Tertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


165 


his  datis,   calculo  itidem  arithmetico  accurate  instituto,  loca  cometoe  ad 
observationum  tempora  computavit,  ut  sequitur. 


est  positio  rectae  T  a,  hoc  est,  cometae  longUudo 
geocentrica,  sive  locus  cometaj  geocentricus  ad 
eclipticam  reductus.  Deinde  in  triangulo  rect- 
angulo  A  a  T,  dantur  latera  duo  in  paitibus 
raediocris  distantiac;  Telluris  a  Sole  exprcssa 
(158.  et  ex  theoria  Telluris).  Quare  innotescet 
angulus  A  T  a,  hoc  est,  comet£e  latitudo  geo- 
centrica,  itemque  dabitur  hypothenusa  T  A, 
distantia  scilicet  cometas  a  Terra.  Ex  his  itaque 
patet  quomodo  ad  data  observationum  tempora, 
instituto  calculo,  loca  cometse  possint  coraputari. 
Clariss.  Halleius  iisdem  usus  principiis  ad  defi- 
niendos  cometarum  motus  maximo  labore  tabu- 
las  construxit.  Harum  tabularum  norraam  vi- 
deat  lector  in  ejusdem  celeberrimi  viri  Opusculo 
quod  inscribitur  :  Cometographia,  seu  Astrano- 
miaj  Cometicae  Synopsis.  .  . 

160.  Si  cometoe  orbitas  ellipticas  descrlbere  et 
duas  Kepleri  leges  observare  ponantur,  boc  est, 
si  temporum  periodicorum  quadrata  sint  ut  cubi 
mediocrium  distantiarum  a  Sole,  et  areaj  ellipti- 
cts  radiis  ad  Solem  ductis  sint  temporibus  pro- 
portionales,  facile  determinabitur  orbitae  cometi- 
cae  magnitudo,  omnesque  motus  cometarum  cir- 
cumstantise  definientur,  quod  elegantissime  prae- 
stitit  D.  Bouguer  in  Monum.  Paris.  an.  1733. 
clarissimi  viri  methodum  hic  adjungemus. 

Ex  datis  tribus  observationibus  a  se  invicem 
parura  distantibus,  inveniatur  cometae  velocitas 
in  aliquo  orbitae  suae  loco,  et  exigua  ejusdem 
orbitae  portio  determinetur.  Quoniam  tria  ob- 
servationum  tempora  parum  a  se  invicem  distant, 
portio  orbitae  hoc  temporis  intervallo  descripta 
considerari  poterit  tanquam  linea  recta  vel  ipsa- 
met  tangens  orbitae  motu  uniformi  percursa, 
ideoque  portio  haec  rectilinea  orbitae  et  ipsa 
cometa)  velocitas  inveniri  poterunt  per  Lem.  IV. 
et  pcr  ea  qua3  huic  Leraraati  addidimus.     Idem 


quoque  obtinebitur  duph'ci  elegantlssima  m  ethodo 
quae  in  Monum.  Paris.  loco  citato  l^gitur. 

His  pra;missis,  sit  S  Sol,  C  c  exigua  orbitee 
cometicae  portio  ex  tribus  observationibus  deter- 
minata.  Quoniam  nota  est  S  C,  distantia  scili- 
cet  covaetss  a  Sole,  atque  etiam  innotescit  angu- 
lus  8  C  D,  dabitur  perpendicularis  S  D,  hujus 
anguli  S  C  D  sinus,  sumpto  S  C,  pro  radio. 
Dicatur  S  C  =  a,  S  D  =  b,  designet  e,  spatio- 
lum    C   c,    terapusculo    f   percursum,    sitque 


X  =  A  B,  seu  axi  principali  eHipseos  quam 
cometa  circa  Solem  in  umbilico  S,  positum  inte- 
gro  tempore  periodico  t,  describit.  Ut  determi- 
nentur  quantitates  x  et  t,  conferre  oportet  motum 
cometa;  cuni  motu  cognito  planeta;  alicujus.    Sit 


166 


PHILOSOPHI^  NATURALIS   [DeMund.  Syst. 


q  axis  principalis  ellipseos  quam  planeta  descri-  et    factum    ex    axe    majori    in    minorem    = 

bit,  n  tempus  periodicum,  dicaturque  p  perjphe-     2bx     , —  _,    ,       „  ,,,    , 

ria  circuli  cujus  diameter  est  q.     Quoniam  axis  —  V  '^  ^  —  a  ^  Sed  est  factum  illud  area  rec 

principalis  ellipseos  est  summa  maxiraae  et  mini-  tanguli  orbitae  ellipticjB  circumscripti,  et  pra^terea 

mae  distantia  planetae  a  Sole,  ent  distantia  me-  (249.  Lib.I.)  area  rectanguli  hujus  estadaream 

diocris  planetae  a  Sole  aequahs  dimidio  axi  princi-  ellipseos  ut  quadratum  axis  A  B,  ad  aream  circuli 

pali,  hoc  est  —  x  est  distantia  mediocris  cometa?,  huic  quadrato  inscripti ;  quare  q  ^  :  -^  ^  P  = 

b  p  X 


et  — ■  q  distantia  mediocris  planetae.     Jam  verd  a/    a  x 


A  C  B  I  = 


2  a  q 
I  I  ^ 

fiat  (per  leg.  1.  Kepleri.)  —  q' :  n2=  — x^  :t*    \/  ax  —  a\     Tandem  in  ultima  expressione 

8  8  temporis  periodici  loco  areae  A  C  B  I,  substi- 

hinc  fitt=  — -  -v/  — .    Invenienda  superest  al-    tuatur  ilh"us  valor  modo  inventus,  fiett=-^X 

tera  expressio  temporis  periodici  t.     Quoniam    ^  a  x  -  a  ^  coUatisque  duobus  ipsius  t  va^lori- 

C  Cf  est  portio  orbitae  admodum  exigua,  sector     '  nx        x         fpx       

CS  c,  considerari  poterit  instar  trianguU  evanes-    bus,  habebitur  —  y'  — -  =  -^  \/  a  x  —  a  '^, 

centis  crijus  area  —   SDX   Cc  =  -— -be. 

Quare,  per  alteram   Kepleri  regulam,   dicatur 

—  b  e  est  ad  f,  ut  area  tota  ellipseos  A  C  B  I, 

ad  integrum  tempus  periodicum  t,  unde  habetur 

f 
t  =  -p-—  X  A  C  B  I.     Nunc  ut  obtmeatur 
a  b  e 

area  A  C  B  I,  ex  puncto  C,  ad  alterum  umbili- 
cum  E,  agatur  recta  C  1^=  A  B  —  S  C=x  —  a 
(Theor.  III.  de  elhpsi).  Ex  eodem  umbiHco  F, 
ad  tangentem  C  c  productam  in  E,  demittatur 
perpendicularis  F  E,  sitque  S  G  paraJiela  rectas 
D  E,  triangula  rectangula  S  C  D,  F  C  E  simi- 
lia  sunt,  ob  angulos  S  C  D,  F  C  E,  aequales 
(Theor.  IV.  de  elhps.)  ideoque  SC(a) :  SD(b)= 

F  C  (X  —  a) :  FE  =  ^^~^^  acproindeFG, 


seu  F  E  —  S  D 


b  X  —  2  a  b 


Deinde  (ob  eorumdem  triangulorum  'simili- 
tudinem)   S   C  (a)   :   C   D   (V   a  ^  —  b  ^; 

=  F  C  (X  —  a)  :  C  E  =  "^  \/a^— b^ 


et  roducta  aequatione  x 


af  ^  p  ^  q 


f-p-q 


Jam  si  in  expressionibus  axisnimonset  tempons 
et  hinc  D  E,   vel   S  G,  seu   C  E  +  C  D  =     periodici  substituatur  valor  ipsius  x,  erit  axis 

^-^  V  a  *  —  b  ^  -i- V  a^— b^=-^Va^— b^    minor  IK  =  2benV  JT^ 

SedFG  =  ilnll^ 


(ex  dem.),  quare  est    ^K  *^"'P"'    periodicum 


p*q  —  ae*n 
f   3    p   3    n    X 


g  p__     /b^x^— 4ab^x-|-4a^b^+a^x^— b^x^__     f  2p2q 


4ab 


•1  3.     Hinc   patet   determi- 
ae^  n2|2 
nari  posse  omnia  qua»  ad  cometarum  motus  per- 

4a*b^     .,   ,         j.        tinent. 

;  ideoque  dis-         igj^   gj  formuL^  modo  inventae  quantitatibus 

tantia  S  Hvel  F  H  umbilici  alterutrius  acentro  «"^"8  ft  Positiyi's  exprimantur,  orbita  A  C  B  I 

--: — — — 2 — i~^ — T~Z — TTTz  erit  elhptica,  ideoque  cometa  reditum  habebit. 

X    — 4ab    x-f-  4a     b  ^^^  ^^j^  ^,^^^  circulus  est  species  quadam  ellipsis, 

a  *  cometa  circulum  quoque  poterit  describere,  in  - 

(ob   triangulum    S    I    H    rectangulum    in    H,  eo   autem  casu  icquales    erunt  distantiae   S  A, 

et  per   Theor.    III.    de   cllipsi)    erit    I   H   =  S  C,    S  B,   axisque   A  B   duplus  fiet  distantiaj 

1  a^x^+4ab^x— 4a^b2       b .    ,,  af^p^^q 

V -  X  ^ ^72 =  —  V^  X— a^  S  C,  ac  promde  fsyi— 

%t  proinde  axis  minor  I  K  =  —  -v^  a  x  —  a  ^      hinc  e  =  —  V  7?"»  v^'*"^  scilicet  spatioli  C  c 
a    '^  n  2a 

a  comela  tempore  f  pcrcursi.     Si  e  a  sit  coraetoe 


=  T^ 


a  e  "  n 


2  a,  et 


LiBER  Tertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


167 


Tempus 

verum. 

DistaiUia 

Long.  comp. 

Lat.  comp. 

Errores  in 

Cometae  a  0 

Long. 

T.at. 

d. 

h.  ' 

gr.' 

// 

gr.    '      - 

/      // 

/      // 

Dec,  12. 

4.46 

28028 

>f    6.  29. 

25 

8.26.    OBor. 

—  S,    5 

—  2.    0 

21. 

6.37 

61076 

^    5.    6. 

50 

21.43.20 

— -  1.  42 

+  1.    7 

24. 

6.18 

70008 

18.  48. 

20 

25.  22.  40 

—  1.    3 

—  0.  25 

26. 

5.21 

75576 

28.  22. 

45 

27.    1.36 

—  1.  28 

+  0.  44 

29. 

8.    3 

14021 

K  13.  12. 

40 

28.10.10 

+  1.  59 

+  0.  12 

30. 

8.  10 

86661 

17.  40. 

5 

28.11.20 

+  1.  45 

—  0.  SS 

Jiz;?.     5. 

6.     IJ 

101440 

^    8.  49. 

49 

26.15.15 

+  0.  56 

+  0.     8 

9. 

7.    0 

110959 

18.  44. 

S6 

24.12.54 

+  0.  32 

+  0.  58 

10. 

6.    6 

113162 

20.  41. 

0 

23.44.  10 

+  0.  10 

+  0.  18 

13. 

7.    9 

120000 

26.    0. 

21 

22.17.30 

+  0.  33 

+  0.     2 

25. 

7.59 

145370 

«     9.  33. 

40 

17.57.55 

—  1.  20 

+  1.  25 

30. 

8.22 

155303 

13.  17. 

41 

16.42.    7 

—  2.  10 

—  0.  11 

Fcb.     2. 

6.35 

160951 

15.  11. 

11 

16.    4.15 

—  2.  42 

+  0.  14 

5. 

7.    41 

166686 

16.  58. 

25 

15.29.13 

—  0.41 

+  2.  10 

25. 

8.41 

202570 

26.  15. 

46 

12.48.    0 

—  2.  49 

+  1.14 

iV/«r.   5. 

]1.39 

216205 

29.  18. 

35 

12.    5.40 

+  0.  35 

+  2.  24 

Apparuit  etiam  hic  cometa  mense  Novembri  praecedente,  et  Coburgi  in 
Saxonia  a  d"°.  Gottfried  Kirch  observatus  est  diebus  mensis  hujus  quarto, 
sexto  et  undecimo,  stilo  veteri ;  et  ex  positionibus  ejus  ad  proximas  stellas 
fixas*ope  telescopii  nunc  bipedalis  nunc  decempedalis  satis  accurate  obser- 
vatis,  ac  differentia  longitudinum  Coburgi  et  Londini  graduum  undecim 
et  locis  fixarum  a  Poundio  nostro  observatis,  Halleius  noster  loca  cometae 
determinavit  ut  sequitur. 


vclocitas  ut  fiat  a  e  ^  n  ^  =  f  *  p  *  q,  tunc  in- 
finito  aequales  evadent  expressiones  axis  majoris, 
minoris  et  temporis  periodici ;  quare  orbita 
cometai  mutabitur  in  ellipsim  infinite  oblonga- 
tam  seu  parabolam,  ideoque  cometa  reditum  non 
habet.  Tandem  si  a  e  ^  n  *,  sit  major  quam 
f  ^  p  2  q,  negativa  fit  expressio  axis  majoris,  et 
orbita  abit  iii  hyperbolam,  ac  proinde  cometa 
nunquam  futurus  est  iterum  conspicuus. 

162.  Ut  praedictae  formulae  ad  calculum  redu- 
cantur,  cometarura  motus  cum  TellurLs  motu 
conferatur.  Sit  q  dupla  distantia  mediocris  Ter- 
rae  a  Sole,  p  peripheria  circuli  cujus  diameter  q, 
n  ainius  sidereus  seu  intervallum  365.  dier. 
6^°''.  9' :  fiat  mediocris  distantia  Telluris  a  Sole 
partium  10000000,  ideoque  q  =  20000000,  et 
p  =  62831855,  spatium  C  c  unius  diei  in- 
tervallo  cometa  ponatur  descripsisse.  His 
valoribus  substitutis  in  formulis  praecedentibus 

.  .  59182659953557939  X  a 


59182659953557939-—  a  e  * 
3 

-5.      Jam 


1859278095175402252  X  a 


nihil 


5918iid59953557939  —  a  e  ^j 

ampiius  faciendum  superest,  nisi  ut  in  casibus 


particularibus  loco  a,  et  e,  substituantur  valores 

per   observationem   determinati.       Utrum  vero 

cometa   rediturus  sit    vel    non   cognoscetur,    si 

quantitas  ae  ^,  minor  majorve  repenatur  numero 

constanti   59182659953557939.        Minus  pro- 

lixus  fiet  calculus,  si  distantiam  mediocrem  Tel- 

luris   a    Sole   ponamus   partiura     10000,    tunc 

591826599  X  a 

enim  ent  x  = -,   et  t  = 

591826599  -~  a  e  ^* 

1859278095  X  a  V  a 


591826599  — ae^  X  V  591826599  — .  a  e  ^ 

Exemplo  sit  cometa  qui  annis  1729.  1730.  ap. 

paruit.     Ex  observationibus  clariss.  Cassini  col- 

ligitur  die  13.  Octobris  an.  1729.  distantiam  S  C 

cometaj  a  Sole,  fuisse  partium  42998,  exiguam 

orbitffi  portionem  diei  unius  intervallo  descrip- 

452 

tam,  fuisse  partium  122 —,  atque  angulum 

^  10000        ^  ^ 

D  C  S,  fuisse  82°.  11'.      Hinc  invenitur  quan- 

titas  a  e  ^  major  quiim    591826599,    ideoque 

(161.)  orbita  cometaj  est  hyperbola,  ac  proinde 

expectandus  non  est  hujus   cometac  regressus. 

Cajtcrum  liaec  vera  sunt  in  ea  duntaxat  hypothesi 

quod  cometa*  duas  Kepleri  leges  observent. 


168  PHILOSOPHI^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 

Novemb.  S^.  1  T^  2\  tempore  apparente  Londini,  cometa  erat  in  <^  29^^ 
51'.  cum  lat.  bor.  W.  \T.  45''. 

Novemb.  5^.  15'\  58'.  cometa  erat  in  ^Ji  S^\  23'.  cum  lat.  bor.  W.  6'. 

Kovemb.  lO'^.  16^  31'.  cometa  sequaliter  distabat  a  stellis  Leonis  o  ac  r 
Bayero ;  nondum  vero  attigit  rectam  easdem  jungentem,  sed  parum  abfuit 
ab  ea.  In  stellarum  catalogo  Flamstediano  g  tunc  habuit  ^  IW.  15'.  cum 
lat.  bor.  l^\  41'.  fere,  r  vero  W  17^.  3i,  cum  lat.  austr.  0^^  34'.  Et 
medium  punctum  inter  has  stellas  fuit  ^  IB^.  39^'.  cum  lat.  bor.  0^^  33 J'. 
Sit  distantia  cometae  a  recta  illa  10'  vel  12'  circiter,  et  difFerentia  longitu- 
dinum  cometas  et  puncti  illius  medii  erit  7',  et  difFerentia  latitudinum  7^' 
circiter.     Et  inde  cometa  erat  in  ^  15^^  32'.  cum  lat.  bor.  26'.  circiter. 

Observatio  prima  ex  situ  cometse  ad  parvas  quasdam  fixas  abunde  satis 
accurata  fuit.  Secunda  etiam  satis  accurata  fuit.  In  tertia,  quse  minus 
accurata- fuit,  error  minutorum  sex  vel  septem  subesse  potuit,  et  vix 
major.  Longitudo  vero  cometae  in  observatione  prima,  quae  caeteris  ac- 
curatior  fuit,  in  orbe  preedicto  parabolico  computata  erat  «Sl  29^^.  30'.  22". 
latitudo  borealis  l^.  25'.  7".  et  distantia  ejus  a  Sole  115546. 

Porro  Halleius  observando  quod  cometa  insignis  intervallo  annorum 
575  quater  apparuisset,  scilicet  mense  Septembri  post  caedem  Julii 
Caesaris,  anno  Christi  531  Lampadio  et  Oreste  Coss.  anno  Christi  1106 
mense  Februario,  et  sub  finem  anni  1680,  idque  cum  cauda  longa  et 
insigni  (praeterquam  quod  sub  mortem  Caesaris,  cauda  ob  incommodam 
Telluris  positionem  minus  apparuisset :)  quaesivit  orbem  ellipticum  cujus 
axis  major  esset  partium  1382957,  existente  mediocri  distantia  Telluris  a 
Sole  partium  10000:  in  quo  orbe  utique  .cometa  annis  575  (^)  revolvi 
possit.  Et  ponendo  nodum  ascendentem  in  25  2"^  2';  inclinationem 
plani  orbis  ad  planum  eclipticae  6F^  6'.  48";  periheiium  cometae  in  lioc 
plano  t  22^^  44'.  25";  tempus  aequatum  perihehi  Decemb.  7^^.  23\  9'; 
distantiam  perihelii  a  nodo  ascendente  in  plano  eclipticae  9^^  17'.  35";  et 
axem  conjugatum  18481.2  :  (^)  computavit  motum  cometae  in  hoc  orbe 
elliptico.  Loca  autem  ejus  tam  ex  observationibus  deducta  quam  in  hoc 
orbe  computata  exhibentur  in  tabula  sequente. 

('')  IG.3.  *  Revolvi  possit.     Quadrata  tempo-  annis,  invenietur  2  a,  seu  axis  major  elHpseos  a 

rum  periodicorum  in  cometis  jeque  ac  in  planetis  cometa  descriptae,  partium    1382957,   existente 

ponantur   ut   cubi   mediocrium  distantiarum   a  mediocri   distantia    Telluris   a   Sole  carumdera 

Sole,  tompus  periodicum  cometEe  dicatur  t,  tem-  partium   10000.      In  hoc  igitur  orbe  cometa  an- 

pus  periodicum  Terraj  circa  Solem  dicatur   T,  nis  575  revolvi  potest. 
distantia   mediocris   Torrae  a    Sole  sit    D,    axis 

major  ellipseos  a  cometa  descriptae  sit  2  a,  ideo-  (^)   Computavil  motum  cometce.      Ratio  com- 

que  mcdiocris  distantia  cometae  a  Sole  =  a,  erit  puti  ineundi  patet  ex  num.  158.  159.  vel  'etiam 

T  ^  :  t  2  ==  U  3  :  a  3.      Fiat  D  =  10000  par-  ex    methodo    clariss.    D.    Bouguer    num.    16a 

tibus  T  ==  365  dieb.  6^°'.  9'.  =  525969',t=  575  et  seq. 


LiBER  Tertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


169 


Tempus 

verum. 

Long.  obs. 

Lat.  Bon 
ob3. 

Long.  Comp. 

Lat.  Comp. 

Errores  in 
Long.    1      Lat. 

d. 

h.    " 

gr.     '     " 

gr.   '      " 

gr.      '     " 

gr.    '      " 

,     . 

,     „ 

Nov.    3. 

16.  47 

Sl    29.  51.     0 

1.  17.  45 

Sl 

29.  51.  22 

1.  17.  32  B 

+  0.  22 

—  0.  11 

5. 

io.  37 

V!^      5.  23.     0 

1.    6.    0 

w 

3.  24.  32 

1.     6.     9 

4-  1.  32 

+  0.     9 

10. 

16.  18 

15.  32.     0 

0.27.    0 

15.  33.     i^ 

0.  25.     7 

+  1.     2 

—  1.  53 

16. 

17.     0 

^ 

8.  16.  45 

0.  53.     7  A 

18. 

21.  34 

18.  52.  15 

1.  26.  54 

20. 

17.     0 

28.  10.  3b 

1.  53.  35 

2;5. 

17.     5 

ni 

13.  22.  42 

2.  29.     0 

Dcc.  12. 

4.  46 

>5>      6.  32.  30 

8.23.    0 

>? 

9.  31.  2C 

8.  29.     6  B 

—  1.  10 

+  1.     6 

21. 

6.  37 

^CCr      5.     8.  15 

21.42.  13 

5.     6,  14 

21.  44.  42 

—  1.  58 

+  2.29 

24. 

6.  18 

18.  49.  25 

25.23.    5 

18.  47.  50 

25.  23.  35 

—  1.  53 

4-  0.  30 

2G. 

5.  21 

28.  24.  IS 

i7.    0.  52 

28.  21.  45 

27.     2.     1 

—  2.  31 

4-1.   9 

2f). 

8.     3 

X    13.   10.  41 

28.    9.58 

K 

13.  11.  14 

28.  10.  38 

-f  0.  33 

4-  0.  40 

30. 

8.  10 

17.  38.  20 

28.11.53 

17.  38.  27 

28.  41.  37 

+  0.     7 

—  0.  16 

Jan.    5. 

6.     11 

c^      8.  48.  5'^ 

26.  15.    7 

CY> 

8.  48.  51 

26.  14.  57 

—  0.     2 

~0.  10 

9. 

7.     1 

18.  44.     4 

24.11.56 

1  8.  43.  51 

24.  12.     7 

—  0.   13 

4-  0.  21 

10. 

6.     6 

20.  40.  50 

23.  43.  32 

20.  40.  23 

23.  43.  25 

—  0.  27 

—  0.  75 

13. 

7.     9 

25.  59.  48 

22.  17.  28 

26.     0.     8 

22.  16.  32 

+  0.  20 

—  0.  56 

25. 

7.  59 

«      9.  35.     0 

17.56.  30 

« 

9.  34.  1 1 

17.  56.     6 

—  0.  49 

—  0.  24 

30. 

8.  22 

13.  19.  51 

16.42.  18 

11.  18.  28 

16.  40.     5 

—  1.  23 

—  2.  13 

i='e6.     2. 

€.  35 

15.  13.  53 

16.    4.     1 

15.  11.  59 

16.     2.     7 

—  1.  54 

—  1.  54 

3. 

7.     4| 

16.  59.     6 

15.27.    3 

16.  59.  17 

15.  27.    0 

+  0.  11 

—  0.     3 

25. 

8.  41 

2.6.  18.  35 

12.46.  A6 

26.  16.  59 

12.  45   22 

—  1.  36 

—-  1.  24 

Mar.    1. 

11.  10 

27.  52.  42 

12.  23.  40 

27.  51.  47 

12.  22.  28 

—  0.  55 

—  1.  12 

5. 

11.39 

29.  18.     C 

12.    3.  26 

29.  20.  11 

12.     2.  50 

4-  2.  11 

—  0.  26 

9. 

8.  38 

C.  43.     4 

11.4.5.52  n 

0.  42.  43 

11.  45.  35 

—  0.  21 

—  0.   17 

•  Observationes  cometas  hujus  a  principio  ad  finem  iion  minus  congruunt 
cum  motu  cometae  in  orbe  jam  descripto,  quam  motus  planetarum  con- 
gruere  solent  cum  eorum  theoriis,  et  congruendo  probant  unum  et  eun- 
dem  fuisse  cometam,  qui  toto  hoc  tempore  apparuit,  ejusque  orbem  hic 
recte  definitum  fuisse. 

In  tabula  praecedente  omisimus  observationes  diebus  Novembris  16, 
18,  20  et  23  ut  minus  accuratas.  "  Nam  cometa  his  etiam  temporibus 
observatus  fuit.  Ponthaeus  utique  et  socii,  Novemb.  1 7.  st.  vet.  hora  sexta 
matutina  Romae,  id  est,  hora  5.  lO^  Londini,  filis  ad  fixas  applicatis, 
cometam  observarunt  in  =^  8^'.  30'.  cum  latitudine  australi  0^^  40'.  Ex- 
tant  eorum  observationes  in  Tractatu,  quem  Ponthaeus  de  hoc  cometa  in 
lucem  edidit.  CelHus,  qui  aderat  et  observationes  suas  in  Epistola  ad 
D.  Cassinum  misit,  cometam  eadem  hora  vidit  in  =^  S^\  30'.  cum  latitu- 
dine  australi  O^"".  30'.  Eadem  hora  Galletius  Avenioni  (id  est,  hora 
matutina  5,  42  Londini)  cometam  vidit  in  ^  8^''.  sine  latitudine.  Cometa 
autem  per  theoriam  jam  fuit  in  ^  8^''.  16'.  45".  cum  latitudine  australi 
0^^  53'.  7". 

Nov.  18.  hora  matutina  6.  30'.  Romae  (id  est,  hora  5.  40'.  Londini) 
Ponthaeus  cometam  vidit  in  ^  13^'.  30'.  cum  latitudine  austraU  W,  20'. 
Cellius  in  ^  U^'".  30'.  cum  latitudine  australi   1^\  20'.  Galletius  autem 


170  PHILOSOPHI^  N^VTURALIS  [De  Mund.  Syst. 

hora  matutina  5.  30'.  Avenioni  cometam  vidit  in  =^  IS^''.  00'.  cum  lati- 
tudine  australi  I^''.  00'.  Et  R.  P.  Ango  in  Academia  Flexiensi  apud 
Gallos,  hora  quinta  matutina  (id  est,  hora  5.  9'.  Londini)  cometam  vidit 
in  medio  inter  stellas  duas  parvas,  quarum  una  media  est  trium  in  recta 
linea  in  Virginis  australi  manu  Bayero  -^,  et  altera  est  extrema  alae 
Bayero  d.  Unde  cometa  tunc  fuit  in  =^  12^^  46'.  cum  latitudine  australi 
50'.  Eodem  die  Bostoniae  in  Nova  Anglia  in  latitudine  42^.  graduum, 
hora  qiiinta  matutina,  (id  est  Londini  hora  matutina  9.  44'.)  cometa  visus 
est  prope  =i^  IW.  cum  latitudine  australi  W.  30'.  uti  a  cl.  Halleio  accepi.* 

Nov.  19.  hora  mat.  4J  Cantabrigia?,  cometa  (observante  juvene  quo- 
dam)  distabat  a  Spica  '^  quasi  2^^  boreazephyrum  versus.  Erat  autem 
Spica  in  ^  19^'.  23'.  47".  cum  lat.  austr.  2«'.  1'.  59".  Eodem  die  hor.  5. 
mat.  Bostoniae  in  Nova  Anglia,  cometa  distabat  a  Spica  "ftR  gradu  uno, 
difFerentia  latitudinum  existente  40'.  Eodem  die  in  Insula  Jamaicas, 
cometa  distabat  a  Spica  intervallo  quasi  gradus  unius.  Eodem  die 
D.  Arthurus  Stoper  ad  fluvium  Patuxent,  prope  Hunting  Creek  in  Mary- 
land,  in  confinio  Virginioe  in  lat.  38j^^  hora  quinta  matutina  (id  est,  hora 
1 0.  Londini)  comelam  vidit  supra  Spicam  ""Jl,  et  cum  Spica  propemodum 
conjunctum,  existente  distantia  inter  eosdem  quasi  |^^  Et  (^)  ex  his 
observationibus  inter  se  collatis  colligo  quod  hora  9.  44'.  Londini  cometa 
erat  in  =^  18^^  50'.  cum  latitudine  austraU  1^''.  25'.  circiter.  Cometa 
autem  per  theoriam  jam  erat  in  ^  18^'".  52'.  15".  cum  latitudine  australi 
is^  26'.  54". 

Nov.  20.  D.  Montenarus  Astronomiae  Professor  Paduensis,  hora  sexta 
matutina  Venetiis  (id  est,  hora  5.  10'.  Londini)  cometam  vidit  in  ^  23^^ 
cum  latitudine  australi  l^''.  30'.  Eodem  die  Bostoniae,  distabat  cometa  a 
Spica  W,  4°^  longitudinis  in  orientem,  ideoque  erat  in  =^  23^"^.  24'. 
circiter. 

Nov.  21.  Ponthaeus  et  socii  hor.  mat.  7^.  cometam  observarunt  in 
^  21^\  50'.  cum  latitudine  austraU  F'.  16'.  CelKus  in  ^  28^'.  Ango  hora 
quinta  matutina  in  =^  27^^  45'.  Montenarus  in  =Cb  27^^  51'.  Eodem  die 
in  Insula  Jamaicae  cometa  visus  est  prope  principium  Scorpii,  eandemque 
circiter  latitudinem  habuit  cum  Spica  Virginis,  id  est,  2^\  2'.  Eodem  die 
ad  horam  quintam  matutinam  Ballasorae  in  India  Orientali,  (id  est  ad 
horam  noctis  praecedentis  11.  20'.  Londini)  capta  est  distantia  cometae  a 
Spica  ^  1^\  ^5\  in  orientem.    In  linea  recta  erat  inter  Spicam  et  Lancem, 

(f )  *  Ex  his  obscrvationibus  inter  se  collatis     hor.  9.  44'.  Londini,  reductione  scilicet  facta  ad 
via  cometoe  inter    stellas  determinatur,  et  hinc     meridianum  Londinensem. 
colliguntur  cometai  longitudo  et  latitudo  (149.) 


LiBER  Tertius.J    PRINCIPIA  MATHEMATICA.  171 

ideoque  versabatur  in  =^  26^''.  58'.  cum  lat.  australi  1^'.  11'.  circiter;  et 
post  horas  5.  et  40'.  (ad  horam  scilicet  quintam  matutinam  Londini)  erat 
in  ^  28^^  12'.  cum  lat.  austr.  1^^  16'.  Per  theoriam  vero  cometa  jam 
erat  in  ^  28«'.  10'.  36".  cum  latitudine  austrah  l^.  53'.  35". 

Nov.  22.  cometa  visus  est  a  Montenaro  in  '"V.  2«^  33'.  Bostonise  autem 
in  Nova  Anglia  apparuit  iii  ^  3«^  circiter,  eadem  fere  cum  latitudine  ac 
prius,  id  est,  1«^  30'.  Eodem  die  ad  horam  quintam  matutinam  Ballasorae 
cometa  observabatur  in  'f^  1«^  50';  ideoque  ad  horam  quintam  matutinam 
Londini  cometa  erat  in  ^  3^^  5'.  circiter.  Eodem  die  Londini  hora 
nat.  6J.  Hookius  noster  cometam  vidit  in  ^  3«^  30'.  circiter,  idque  in 
linea  recta  quae  transit  per  Spicam  Virginis  et  Cor  Leonis  non  exacte  qui- 
dem,  sed  a  linea  illa  paululum  deflectentem  ad  boream.  Montenarus  iti- 
dem  notavit  quod  linea  a  cometa  per  Spicam  ducta,  hoc  die  et  sequentibus 
transibat  per  australe  latus  Cordis  Leonis,  interposito  perparvo  intervallo 
inter  Cor  Leonis  et  hanc  lineam.  Linea  recta  per  Cor  Leonis  et  Spicam 
Virginis  transiens,  eclipticam  secuit  in  f^  3«^  46';  in  angulo  2«^  51'. 

Et  si  cometa  locatus  fuisset  in  hac  linea  in  ^  S^^.  ejus  latitudo  fuisset 
2"^  26'.  Sed  cum  cometa  consentientibus  Hookio  et  Montenaro,  nonnihil 
distaret  ab  liac  linea  boream  versus,  latitudo  ejus  fuit  paulo  minor. 
Die  20.  ex  observatione  Montenari,  latitudo  ejus  propemodum  sequabat 
latitudinem  Spica3  ^,  eratque  1«^  30'.  circiter,  et  consentientibus  Huokio, 
Montenaro  et  Angone  perpetuo  augebatur,  ideoque  jam  sensibiliter  major 
erat  quam  1^^  30'.  Inter  limites  autem  jam  constitutos  2^'".  26'.  et  1^^  30'. 
magnitudine  mediocri  latitudo  erit  1^^  58'.  circiter.  Cauda  cometae, 
consentientibus  Hookio  et  Montenaro,  dirigebatur  ad  Spicam  'tR,  declinans 
aliquantulum  a  stella  ista,  juxta  Hookium  in  austrum,  juxta  Montenarum 
in  boream ;  ideoque  declinatio  illa  vix  fuit  sensibilis,  et  cauda  sequatori 
fere  parallela  existens,  aliquantulum  deflectebatur  ab  oppositione  Solis 
boream  versus. 

Nov.  23.  st.  vet.  hora  quinta  matutina  Noriburgi  (id  est  hora  4J.  Lon- 
dini)  D.  Zimmerman  cometam  vidit  in  ^  8^^  8'.  cum  latitudine  australi 
2^\  31'.  captis  scilicet  ejus  distantiis  a  stellis  iixis. 

Nov.  24.  ante  ortum  Solis  cometa  visus  est  a  Montenaro  in  '^  12^.  52  . 
ad  boreale  latus  rectae  quse  per  Cor  Leonis  et  Spicam  Virginis  ducebatur, 
ideoque  latitudinem  habuit  paulo  minorem  quam  2^^  38'.  Hfpc  latitudo, 
uti  diximus,  ex  observationibus  Montenari,  Angonis  et  Hookii,  perpetuo 
augebatur;  ideoque  jam  paulo  major  erat  quam  l^''.  58';  et  magnitudine 
mediocri,  sine  notabili  errore,  statui  potest  2^^  1 8'.  Latitudincm  Ponthseus 
et  Galletius  jam  et  decrevisse  volunt,  et  Cellius  et  obscrvator  in  Nova 

VoL.  III.  Paks  II.  M 


172  PHILOSOPHIiE  NATURALIS    [De  Mund.  «yst. 

Anglia  eanJem  fere  magnitudinem  retinuisse,  scilicet  gradiis  unius  vel 
unius  cum  semisse.  Crassiores  sunt  observationes  Ponthaei  et  Cellii,  eoe 
praesertim  quse  per  azimuthos  et  altitudines  capiebantur,  ut  et  eae  Galletii : 
meliores  sunt  eae  quoe  per  positiones  comet^  ad  fixas  a  Montenaro, 
Hookio,  Angone,  et  observatore  in  Nova  AngHa,  et  nonnunquam  a 
Ponthaeo  et  Cellio  sunt  factae.  Eodem  die  ad  horam  quintam  matutinam 
Ballasorae  cometa  observabatur  in  ^  11^'".  45';  ideoque  ad  horam  quin- 
tam  matutinam  Londini  erat  in  'TR  IS^".  circiter.  Per  theoriam  vero 
cometa  jam  erat  in  ^  13^'.  22'.  V2'\ 

Nov.  25.  ante  ortum  Sohs  Montenarus  cometam  observavit  in  ftR  17|°'". 
circiter.  Et  Cellius  observavit  eodem  tempore  quod  cometa  erat  in  linea 
recta  inter  stellam  lucidam  in  dextro  femore  Virginis  et  lancem  australem 
Librse,  et  hasc  recta  secat  viam  cometae  in  ^  18^".  36\  Per  theoriam  vero 
cometa  jam  erat  in  ^  ISi^'".  circiter. 

Congruunt  igitur  h^  observationes  cum  theoria  quatenus  congruunt 
inter  se,  et  congruendo  probant  unum  et  eundem  fuisse  cometam,  qui  toto 
tempore  a  quarto  die  Novembris  ad  usque  nonum  Martii  apparuit.  Tra- 
jectoria  cometae  hujus  (^)  bis  secuit  planum  echpticae,  et  propterea  non 
fuit  rectilinea.  EcHpticam  secuit  non  in  opposltis  cceli  partibus,  sed  in 
fine  Virginis  et  principio  Capricorni,  intervallo  graduum  98.  circiter ; 
ideoque  cursus  cometae  plurimum  deflectebatur  a  circulo  maximo.  Nam 
et  mense  Novembri  cursus  ejus  tribus  saltem  gradibus  ab  ecliptica  in  aus- 
trum  declinabat,  et  postea  mense  Decembri  gradibus  29.  vergebat  ab 
ecliptica  in  septentrionem  partibus  duabus  orbitae,  in  quibus  cometa  ten- 
debat  in  Solem  et  redibat  a  Sole,  angulo  apparente  graduum  plus  triginta 
ab  invicem  decHnantibus,  ut  observavit  Montenarus.  Pergebat  hic  cometa 
per  signa  novem,  a  Leonis  sciHcet  ultimo  gradu  ad  principium  Geminorum, 
praetcr  signum  Leonis,  per  quod  pergebat  antequam  videri  coepit ;  et  nulla 
afia  extat  theoria,  qua  cometa  tantam  coeH  partem  motu  regulari  percur- 
rat.  Motus  ejus  fuit  maxime  inaequabiHs.  Nam  circa  diem  vigesimum 
Novembris  descripsit  gradus  circiter  quinque  singuHs  diebus ;  dein  motu 
rctardato  inter  Novemb.  26.  et  Decemb.  1 2.  spatio  scilicet  dierum  quin- 
decim  cum  semisse,  descripsit  gradus  tantum  40 ;  postea  vero  motu  iterum 
accelerato,  descripsit  gradus  fere  quinque  singuHs  diebus,  antequam  motus 
iterum  retardari  coepit.  Et  theoria  quae  motui  tam  inaequabiH  per  maxi- 
mam  cceH  partem  probc  respondet,  quaeque  easdem  observat  leges  cum 


(^)  *  Bis  secuit  planum  €cliplic(v.      Tompus  quo  cometa  secat  eclipticam  inveniri  potcst  per 
num.  145.  et  154. 


LiEER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATPIEMATICA. 


17: 


theoria  planetarum,  et  cum  accuratis  observationibus  astronomicis  accu- 
rate  congruit,  non  potest  non  esse  vera, 

Caeterum  trajectoriam  quam  cometa  descripsit,  et  caudam  veram  quam 
singulis  in  locis  projecit,  visum  est  annexo  schemate  in  plano  trajectoriae 
delineatas  exhibere :  ubi  A  B  C  denotat  trajectoriam  cometae,  D  Solem, 
D  E  trajectoriae  axem,  D  F  lineam  nodorum,  G  Pl  intersectionem  sphasrae 


orbis  magni  cum  plano  trajectoriae,  I  locum  cometae  Nov.  4.  ann.  1680, 
K  locum  ejusdem  Nov.  11.  L  locum  Nov.  19.  M  locum  Dec.  12.  Nlocum 
Dec.  21.  O  locum  Dec.  29.  P  locum  Jan.  5.  sequent.  Q  locum  Jan.  25. 
R  locum  Feb.  5.  S  locum  Feb.  25.  T  locum  Mar.  5.  et  V  locum  Mar.  9. 
Observationes  vero  sequentes  in  cauda  definienda  adhibui. 

Nov.  4.  et  6.  'cauda  nondum  apparuit.  Nov.  11.  cauda  jam  coepta 
non  nisi  semissem  gradus  unius  longa  tubo  decempedali  visa  fuit. 
Nov.  17.  cauda  gradus  amplius  quindecim  longa  Ponthtjeo  apparuit. 
Nov.  18.  cauda  30'''.  longa,  Solique  directe  opposita  in  Nova  Anglia  cer- 
nebatur,  et  protendebatur  usque  ad  stellam  c?,  quae  tunc  erat  in  ^  9^^  54^ 
Nov.  19.  in  Maryland  cauda  visa  fuit  gradus  15.  vel  20.  longa. 
Dec.  10.  cauda  (observante  Flamstedio)  transibat  per  medium  distantiae 
inter  caudam  Serpentis  Ophiuchi  et  stellam  d  in  Aquilae  australi  ala,  et  de- 
sinebat  prope  stellas  A,  w,  b  in  tabulis  Bayeri.  Terminus  igitur  erat  in 
>f  19js^  cum  latitudine  boreali  circiter.  Dec.  11.  cauda  surgebat  ad 
usque  caput  Sagittae  (Bayero  a,  /3,)  desinens  in  >?  26^^  43'.  cuni  latitudine 
boreali  38^^  34^  Dec.  12.  cauda  transibat  per  medium  Sagittae,  nec 
longe  ultra  protendebatur,  desinens  in  ^  4f .  cum  latitudine  boreali  42J  ^^^ 
circiter.  Intelligenda  sunt  haec  de  longitudine  caudae  clarioris.  Nam  luce 
obscuriore,  in  coelo  forsan  magis  sereno,  cauda  Dec.  12.  hora  5.  40'. 
Romas  (observante  Ponthaeo)  supra  Cygni  uropygium  ad  gradus  10.  sese 
extulit;  atque  ab  hac  stella  ejus  latus  ad  occasum  et  boream  min.  45. 
destitit.     Lata  autem  erat  cauda  his  diebus  gradus  3.  juxta  terminiun 

M  2 


174«  PHILOSOPHIiE  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 

superiorem,  ideoque  medium  ejus  distabat  a  stella  illa  2^.  15^  austrum 
versus,  et  terminus  superior  erat  in  K  22^'".  cum  latitudine  boreali  61^^ 
Et  hinc  longa  erat  cauda  70^.  circiter.  Dec.  21.  eadem  surgebat  fere 
ad  cathedram  Cassiopeiac,  aequaliter  distans  a  /3  et  Schedir,  et  distantiam 
ab  utraque  distantiae  earum  ab  invicem  sequalem  habens,  ideoque  desinens 
in  ^  24^^  cum  latitudine  47i^^  Dec.  29.  cauda  tangebat  Scheat  sitam 
ad  sinistram,  et  intervalJum  stellarum  duarum  in  pede  boreali  Andromedas 
accurate  complebat,  et  longa  erat  54^'" ;  ideoque  desinebat  in  b  1 9^''.  cum 
latitudine  35^^,  Jan.  5.  cauda  tetigit  stellam  cr  in  pectore  Andromedae 
ad  latus  ejus  dextrum,  et  stellam  /ot  in  ejus  cingulo  ad  latus  sinistrum ;  et 
(juxta  observationes  nostras)  longa  erat  40^"";  curva  autem  erat  et  con- 
vexo  latere  spectabat  ad  austrum.  Cum  circulo  per  Solem  et  caput 
cometae  transeunte  angulum  confecit  graduum  4.  juxta  caput  cometae ;  at 
juxta  terminum  alterum  inclinabatur  ad  circulum  illum  in  angulo  10.  vel 

11.  graduum,  et  chorda  caudae  cum  circulo  illo  continebat  angulum  gra- 
-duum  octo.  Jan.  13.  cauda  luce  satis  sensibili  terminabatur  inter  Ala- 
mech  et  Algol,  et  luce  tenuissima  desinebat  e  regione  stellae  x  in  latere 
Persei.  Distantia  termini  caudas  a  circulo  Solem  et  cometam  jungente 
erat  3^^  50'.  et  inciinatio  chordae  caudae  ad  circulum  illum  8^^^  Jan.  25. 
et  26.  cauda  luce  tenui  micabat  ad  longitudinem  graduum  6.  vel  7 ;  et 
nocte  una  et  altera  sequente  ubi  coelum  valde  serenum  erat,  luce  tenuis- 
sima  et  aegerrime  sensibili  attingebat  longitudinem  graduum  daodecim  et 
paulo  ultra.  Dirigebatur  autem  ejus  axis  ad  lucidam  in  Immero  orientali 
Aurigae  accurate,  ideoque  declinabat  ab  oppositione  Solis  boream  versus 
in  angulo  graduum  decem.  Denique  Feb.  10.  caudam  oculis  armatis  as- 
pexi  gradus  duos  longam.  Nam  lux  praedicta  tenuior  per  vitra  non 
apparuit.     Ponthaeus  autem  Feb.  7.  se  caudam  ad  longitudinem  graduum 

12.  vidisse  scribit.     Feb.  25.  et  deinceps  cometa  sine  cauda  apparuit. 
Orbem  jam  descriptum  spectanti  et  reliqua  cometae  hujus  phaenomena 

in  animo  revolventi,  haud  difficulter  constabit,  quod  corpora  cometarum 
sunt  solida,  compacta,  fixa  ac  durabilia  ad  instar  corporum  planetarum. 
Nam  si  nihil  ahud  essent  quam  vapores  vel  exhalationes  Terrae,  Solis  et 
planetarum,  cometa  hicce  in  transitu  suo  per  viciniam  Solis  statim  dissi- 
pari  debuisset.  Est  enim  calor  Solis  ut  radiorum  densitas,  hoc  est,  reci- 
proce  ut  quadratum  distantiae  locorum  a  Sole.  Ideoque  cum  distantia 
cometae  a  centro  Solis  Decemb.  8.  ubi  in  perihelio  versabatur,  esset  tid 
distantiam  Terras  a  centro  Solis  ut  6  ad  1000  circiter,  calor  Solis  ajnid 
cometam  eo  tempore  erat  ad  calorem  Sohs  aestivi  apud  nos  ut  1 000000 
ad  36,  seu  28000  ad  1,     Sed  calor  aquae  ebuUientis  est  quasi  triplo  major 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATIIEMATICA.  175 

quam  calor  quem  Terra  arida  concipit  ad  sestivum  Solem,  ut  expertus 
sum ;  et  calor  ferri  candentis  (')  (si  recte  conjector)  quasi  triplo  vel  quad- 
ruplo  niajor  quam  calor  aquae  ebullientis;  ideoque  calor,  quem  Terra 
arida  apud  cometam  in  perihelio  versantem  ex  radiis  solaribus  concipere 
posset,  quasi  2000  vicibus  major  quam  calor  ferri  candentis.  Tanto 
autem  calore  vapores  et  exlialationes,  omnisque  materia  volatilis  statim 
consumi  ac  dissipari  debuissent. 

Cometa  igitur  in  perihelio  suo  calorem  immensum  ad  Solem  concepit, 
et  calorem  iUum  diutissime  conservare  potest.  Nam  globus  ferri  can- 
dentis  digitum  unum  latus,  calorem  suum  omnem  spatio  hora?  unius  in 
a*ere  consistens  vix  amitteret.  Globus  autem  major  calorem  diutius  con- 
servaret  in  ratione  diametri,  propterea  quod  superficies  (ad  cujus  mensu- 
ram  per  contactum  aeris  ambientis  refrigeratur)  in  illa  ratione  minor  est 
pro  quantitate  materiae  suae  caHdae  inclusae.  Ideoque  globus  ferri  candentis 
huic  Terrae  aequahs,  id  est,  pedes  plus  mhms  40000000  latus,  diebus  toti- 
dem,  et  idcirco  annis  50000,  vix  refrigesceret.  Suspicor  tamen  quod 
duratio  caloris,  ob  causas  latentes,  augeatur  in  minore  ratione  quam  ea 
diametri :  (^)  et  optarim  rationem  veram  per  experimenta  investigari. 

Porro  notandum  est  quod  cometa  mense  Decembri,  ubi  ad  Solem  modo 
incaluerat,  caudam  emittebat  longe  majorem  et  splendidiorem  quam  antea 
mense  Novembri,  ubi  perihehum  nondum  attigerat.  Et  universahter  caudae 
omnes  maximae  et  fulgentissimae  e  cometis  oriuntur  statim  post  transitum 
eorum  per  regionem  Sohs.  Conducit  igitur  calefactio  cometae  ad  magni- 
tudinem  caudae.  (^)  Et  inde  cohigere  videor  quod  cauda  nihil  ahud  sit 
quam  vapor  longe  tenuissimus,  quem  caput  seu  nucleus  cometae  per  calo- 
rem  suum  emittit. 

Caeterum  de  cometarum  caudis  triplex  est  opiriio ;  eas  vel  jubar  esse 
Sohs  per  transhicida  cometarum  capita  propagatum,  vel  oriri  ex  refrac- 
tione  lucis  in  progressu  ipsius  a  capite  cometae  in  Terram,  vel  denique 

(')  *  iSi  recte  conjector.     Hanc  Newconi  con-  diutius  calorem  in  corporibus  retineri  quo  ma- 

jecturam  experiraenta  confirmant.    In  Transact.  jora  sunt,   caeteris  paribus.      Si  autem  corpora 

Philosoph.  num.  270.  describitur  tabula  caloris  ejusdem   diametri    ejusdemquc  caloris,    diverste 

gradus  exhibens.    (Hujus  tabulajconstnictionem  sint  densitatis,  quas  densiora  sunt,  caloris  quoque 

jam  exposuimus  in  not.  ad  Cor.  4.  Prop.  VIII.  sunt  tenaciora ;    densitas  enrm    ignem  coercet, 

Lib.   III.)     Ex  relatis  ab  autore  expprimentis  illiusque  egressum  ex  intimis  partibus  retardat. 

coUigitur  calorem  ferri,  quantum  levioris  ignis  Quia  vero  intimae  corporum  partes   innumeris 

auxilio  fieri  potuit,  candefacti,  circiter  fuisse  2^  modis  variari  atque  inter  se  perniisceri  possunt, 

raajorem  quam  calor  aquae  ebuUientis.      Plinc  hinc  patet  in  ipsa  caloris  conservatione  nou  leves 

ignis  vehementioris  ope  aucto  calore  ferri  canden-  varietates  oriri  posse.     Has  sunt  fortasse  latentes 

tis,   recte  conjectatur   Newtonus  calorem  bujus  caus£E  quae  Newtonum  in  eam  suspicionem  in- 

ferri  quasi  triplo  vel  quadruplo  majorem  fieri  duxerunt,   durationem  scrlicet  caloris  augeri  in 

quam  calor  aquae  ebullientis.  minori  ratione  quam  ea  diametri. 

(^)  *  Et  optarim  rationem  veram.     Clariss.  Q)  *  Et  indc  colligcre  videor.      Hanc  senten- 

Hermannus  Boerhaavc  in  Elcmentis  Chemiae,  tiam   pluribus    argumentis   dcinceps    confirmat 

diligcntiasimis  cxpcrimcntis  sc  invcuisse  rcfcrt  co  Newtonus.  ^ 

M  3 


176  PHILOSOPHI^  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 

nubem  esse  seu  vaporem  a  capite  cometse  jugiter  surgentem  et  abeuntem 
in  partes  a  Sole  aversas.  Opinio  prima  eorum  est  qui  nondum  imbuti 
sunt  scientia  rerum  opticarum.  Nam  jubar  Solis  in  cubiculo  tenebroso 
non  cernitur,  nisi  quatenus  lux  reflectitur  e  pulverum  et  fumorum  parti- 
culis  per  aerem  semper  volitantibus :  ideoque  in  aere  fumis  crassioribus 
infecto  splendidius  est,  et  sensum  fortius  ferit;  in  aere  clariore  tenuius  est 
et  aegriiis  sentitur :  in  coelis  autem  sine  materia  reflectente  nullum  esse 
potest.  Lux  non  cernitur  quatenus  in  jubare  est,  sed  quatenus  inde 
reflectitur  ad  oculos  nostros.  Nam  visio  non  fit  nisi  per  radios  qui  in 
oculos  impingunt.  Requiritur  igitur  materia  aliqua  reflectens  in  regione 
caudae,  ne  coelum  totum  luce  Solis  illustratum  uniformiter  splendeat. 
Opinio  secunda  multis  premitur  difficultatibus.  Caudoe  nunquam  varie- . 
gantur  coloribus  :  qui  tamen  refractionum  solent  esse  comites  insepara- 
biles.  Lux  fixarum  et  planetarum  distincte  ad  nos  transmissa  demon- 
strat  medium  coeleste  nulla  vi  refractiva  pollere.  Nam  quod  dicitur,  fixas 
ab  ^gyptiis  cometas  nonnunquam  visas  fuisse,  id,  quoniam  rarissime 
contingit,  adscribendum  est  nubium  refractioni  fortuitae.  Fixarum 
quoque  radiatio  et  scintillatio  ad  refractiones  tum  oculorum  tum  aeris 
tremuli  referendoe  sunt :  quippe  quae  admotis  oculo  telescopiis  evanescunt. 
Aeris  et  ascendentium  vaporum  tremore  fit,  ut  radii  facile  de  angusto 
pupilliE  spatio  per  vices  detorqueantur,  de  latiore  autem  vitri  objectivi 
apertura  neutiquam.  Inde  est  quod  scintillatio  in  priori  casu  generetur, 
in  posteriore  autem  cesset :  et  cessatio  in  posteriore  casu  demonstrat  re- 
gularem  transmissionem  lucis  per  ccelos  sine  omni  refractione  sensibili. 
Ne  quis  contendat  quod  caudae  non  soleant  videri  in  cometis,  cum  eorum 
lux  non  est  satis  fortis,  quia  tunc  radii  secundarii  non  habent  satis  virium 
ad  oculos  movendos,  et  propterea  caudas  fixarum  non  cerni :  ('")  sciendum 
est  quod  lux  fixarum  plus  centum  vicibus  augeri  potest  mediantibus  teies- 
copiis,  nec  tamen  caudae  cernuntur.  Planetarum  quoque  iux  copiosior 
est,  caudae  vero  nullae :  cometae  autem  saepe  caudatissimi  sunt,  ubi  capi- 
tum  lux  tenuis  est  et  valde  obtusa.  Sic  enim  cometa  anni  1680,  mense 
Decembri,  quo  tempore  caput  luce  sua  vix  asquabat  stellas  secundae  mag- 
nitudinis,  caudam  emittebat  splendore  notabili  usque  ad  gradus  40,  50,  60 
vel  70  longitudinis  et  ultra :  postea  Jan.  27  et  28  caput  apparebat  ut  stella 
septimae  tantum  magnitudinis,  cauda  vero  luce  quidem  pertenui  sed  satis 
sensibili  longa  erat  6.  vel  7.  gradus,  et  luce  obscurissima ;   quae  cerni  vix 

C")  *  Scicndum  est.     Ut  nolum  est  ex  teles-  visionis  distinctione  et  telescopionim  bcneficiis 

copiorum  tlieoria  apud  oranes  passim  rerum  opti-  dedit  clariss.  vir  Robert  Smith  in  eximio  Operc 

carum  et  catoptricarum  scriptores.    Sed  ea  potis-  Optico. 
biraum  legi  mercntur  qua;  de  lucis  intensitate, 


LiberTertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA.  177 

posset,  porrigebatur  ad  gradum  usque  duodecimum  vel  paulo  ultra :  ut 
supra  dictum  est.  Sed  et  Feb.  9  et  10  ubi  caput  nudis  oculis  videri  de- 
sierat,  caudam  gradus  duos  longam  per  telescopium  contemplatus  sum. 
Porro  si  cauda  oriretur  ex  refractione  materiae  coelestis,  et  pro  figura  ccelo- 
rum  deflecteretur  de  Solis  oppositione,  deberet  defiexio  illa  in  iisdem  coeli 
regionibus  in  eandem  semper  partem  fieri.  Atqui  cometa  anni  1680. 
Decembr.  28.  hora  8j  p.  m.  Londini,  versabatur  in  K  8^^  41'.  cum  lati- 
tudine  boreali  28^.  6\  Sole  existente  in  >S  18^'.  26'.  Et  cometa  anni 
1577.  Dec.  29.  versabatur  in  X  8^''.  41'.  cum  latitudine  boreali  28^".  40'. 
Sole  etiam  existente  in  >S  18^^  26'.  circiter.  Utroque  in  casu  Terra  ver- 
sabatur  in  eodem  loco,  et  cometa  apparebat  in  eadem  coeli  parte  :  in 
priori  tamen  casu  cauda  cometae  (ex  meis  et  aliorum  observationibus)  de~ 
clinabat  angulo  graduum  4J  ab  oppositione  Solis  aquilonem  versus  ;  in 
posteriore  vero  (ex  observationibus  Tychonis)  dechnatio  erat  graduum  21 
in  austrum.  Igitur  repudiata  ccelorum  refractione,  superest  ut  phseno- 
mena  caudarum  ex  materia  aliqua  lucem  reflectente  deriventur. 

Caudas  autem  a  capitibus  oriri  et  in  regiones  a  Sole  aversas  ascendere 
confirmatur  (^)  ex  legibus  quas  observant.  Ut  quod  in  planis  orbium 
cometarum  per  Solem  transeuntibus  jacentes,  deviant  ab  oppositione  Solis 
in  eas  semper  partes,  quas  capita  in  orbibus  illis  progredientia  rehnquunt. 
Quod  spectatori  in  his  planis  constituto  apparent  in   partibus  a   Sole 

(^)  164.  *  Ex  legibus  quas  observant.     Leges  enirn  cometa  directe  a  Sole  vel  ad  Solem  ten- 

illse  quas  observant  cometarum  cauda)  cum  praj-  deret,  cauda  quoque  foret  recta  et  a  Sole  directe 

dicta    Newtoni    sententia    apprime    congruunt.  aversa.      Hinc   patet  in   ipso  cometae  perihelio 

Cauda  a  cometa;  capite  vaporis  instar  in  altum,  raaximam  esse  caudiE  deviationem  maximamque 

id  est,  in  partes  a  Soleaversas  assurgens  in  plano  curvaturam;  tunc  enim  recta  Solem  et  cometam 

orbis  cometa^  per  Solem  transeunte  jacere  debet ;  conjungens  ad  orbem  cometae  normalis  est.    Prae- 

in  oBthere  enim  quieto  nuUa  est  ratio  cur  ad  hanc  terea    ob   prEedictam    licet   admodum   exiguara 

potius  quam  ad  illam  partem  deflectat.      Quia  ajtheris   resistentiam,    convexa   cauda;  facies  in 

autem  vapor  a  capite  exiens  duos  motus  simul  a^therem  incurrens  densior  est,  ac  proinde  luci- 

componit,  alterum  scilicet  ascensus  recti  a  Sole,  dior  et  distinctius  terminata  apparebit  quam  facies 

alterum  vero  progressus  capitis,  hinc  fit  ut  cauda  concava.     PIa;c  sunt  praecipua  C£\udarum  phamo- 

non  directe  a  Sole  aversa  sit,  sed  aliquantulum  mena  quibus  satisfacit  Newtoni  opinio.      Hinc 

inde  deviet  in  eas  partes  quas  cometee  caput  in  caudas   a  capitibus  oriri  et  in  regiones  a  Sole 

orbe  suo  progrediens  relinquit ;  si  tamen  specta-  aversas  ascendere  confirmatur  ex   legibus  quas 

tor  in  orbis  cometici  plano  per  Solem  transeunte  observant. 

constituatur,  deviatio  caudae  neutiquam  sentitur,  165.     Descriptis   opinionibus   de   cometarum 

quia  tota  in  plano  isto  jacet.     Licet  vapor  assur-  caudis  adjungenda  est  illa  quam  clariss.  D.  de 

gens  motuin   capitis  participet,    tamen   propter  Mairan  in  eximio  Opcre  de  Aurora  Boreali  his 

aliqualem  aetheris  resistentiam,  minus  velociter  tuetur  rationum  momentis.      Cometas  ad  Solem 

quam  caput   ipsum   progreditur,    et  quo  altius  proxime  accedere  observationibus  compcrtum  est ; 

ascendit  vapor  eo  fit  rarior,  id  est,  quo  longior  hinc  Newtonianae  attractionis  lcgibus  consenta- 

est   cauda   eo   majorem   experitur  resistentiam,  neum   videtur   ut   aliquam  solaris  atmosphaerte 

ideoque   praecedens  cauda^   latus,   quod  scilicet  materiam  comota  attrahat.      Cur  autem  materia 

proximus  est   ptrtibus   ad  quas  tcndit  cometa,  haec  instar  comae   vento  agitata;   dispergatur  et 

convexum  erit,  sequens  vero  concaviim,  ac  pro-  ad  Solis  oppositum  dirigatur,  ex  radiorum  sola- 

inde  cauda  non  a  Sole  duntaxat  aversa  est,  sed  rium  impulsione  oriri  potest.       Plurimis  enim 

etiam  incurvatur.     Hsec  a  Sole  deviatio  et  cur-  experiroentis  certum  est  solares  radios  omni  pror- 

vatura  eo  minor  est  quo  recta  Solem  cometamque  sus  impulsionis  vi  non  carerc.      Clariss.  Hom- 

conjungens  obliquior  cst  ad  cometae  orbitam ;  si  bergius  varia  matcrice  levissima;  filamenta  radiis 

M  4 


178  PHILOSOPHI^  KATURALIS  [De  Mund.  Syst. 

directe  aversis ;  digrediente  autem  spectatore  de  his  planis  deviatio  paula- 
tim  sentitur,  et  indies  apparet  major.  Quod  dcviatio  caeteris  paribus 
minor  est  ubi  cauda  obliquior  est  ad  orbem  cometae,  ut  et  ubi  caput  cometse 
ad  Solem  propius  accedit;  praesertim  si  spectetur  deviationis  angulus 
juxta  caput  cometae :  prtjeterea  quod  caudee  non  deviantes  apparent  rectse, 
deviantes  autem  incurvantur.  Quod  curvatura  major  est  ubi  major  est 
deviatio,  et  magis  sensibilis  ubi  cauda  caeteris  paribus  longior  est :  nam  in 
brevioribus  curvatura  aegre  animadvertitur.  Quod  deviationis  angulus 
minor  est  juxta  caput  cometae,  major  juxta  caudae  extremitatem  alteram, 
atque  ideo  quod  cauda  convexo  sui  latere  partes  respicit  a  quibus  iit 
deviatio,  quaeque  in  recta  sunt  linea  a  Sole  per  caput  cometae  in  infinitum 
ducta.  Et  quod  caudae  quae  prolixiores  sunt  et  latiores,  et  luce  vegetiore 
micant,  sint  ad  latera  convexa  paulo  splendidiores  et  limite  minus  indis- 
tincto  terminatas  quam  ad  concava.  Pendent  igitur  phaenomena  caudae  a 
motu  capitis,  non  autem  a  regione  coeli  in  qua  caput  conspicitur ;  et  prop- 
terea  non  fiunt  per  refractionem  coelorum,  sed  a  capite  suppeditante  ma- 
teriam  oriuntur.  Etenim  ut  in  aere  nostro  fumus  corporis  cujusvis  igniti 
petit  superiora,  idque  vel  perpendiculariter  si  corpus  quiescat,  vel  oblique 
si  corpus  moveatur  in  latus :  ita  in  ccelis,  ubi  corpora  gravitant  in  Solem, 
fumi  et  vapores  ascendere  debent  a  Sole  (uti  jam  dictum  est)  et  superiora 
vel  recta  petere,  si  corpus  fumans  quiescit,  vel  oblique,  si  corpus  progre- 
diendo  loca  semper  deserit  a  quibus  superiores  vaporis  partes  ascenderant. 
Et  obliquitas  ista  minor  erit  ubi  ascensus  vaporis  velocior  est :  nimirum 


D 


.,  /.'    -      -^'-    V1.MC.-._".A.T .-     ..-      •.        "", 

l     (  ^"  ■     -'^ --,,'-■ 


Eolaribus  in  vitri  ustorii  foco  pbjecta  iiotabiliter  teria,  quemadmodum   in  apparenti  cometarum 

impelli  observavit.     Lamellara  quoque  elasticara  atmosphacra.  solet   observari.       Sphitra    interior 

ita  ligneae  tabula;  affixit  ut  extremitas  una  hbere  A  B  C,  cx  iis  ponatur  constare  particulis  qua? 

penderet,  coUectis  vitri  ustorii  ope  solaribus  radiis  radiorum  solarium  impulsioni  possint  resistere,  e 

exposita  haec  lamella  instar  penduli  sensibiliter  contra  vcro  orbis  superior  A  F  B  D  C  E,  leviores 

ibat  et  redibat.      Quamvis  autera   levissima  sit  contineat  particulas  quas  huic  impulsioni  cedant, 

hic  apud  nos  radiorum  solarium  irapulsio,  ma\i-  manifestum   est  radiorum  solarium  iinpulsione 

ma  tamen  esse  potest  in  spatiis  liberrimis  in  qui-  projici  versus  Solis  oppositionem  matcria;  vesti- 

bus  cometas  deferuntur,  praesertim  cum  tenuissi-  gium  B  G  H  j  K,  quod  figuram  caudarum  re- 

ma  sit  raateria  qua;  coraetarura  caudas  componit.  praesentat.    Ex  dictis  patet  hanc  sententiara  cura 

Jam  vero  concipiatur  coraeta  N,  apparenti  cinc-  Newtonianis  Principiis   consentire ;   et   quidem 

tus  atmospha;ra  E  D  F,  in  Iransitu  scilicet  prope  Ncwtonus  describens  postea  Kepleri  opinionera 

Solem  coliecta,  ita  ut  in  majori  a  cometce  nucleo  qua  eadem  ferc  est,  ab  ca  non  vidctur  alienuii. 
N,  distantia  levior  rariorque  scmper  fiat  ha:c  ma- 


LiBER  Teetius.]  '  PRINCIPI A  M ATHEM ATIC A.  1 79 

in  vicmia  Solis  et  juxta  corpus  fumans.     Ex  obliquitatis  autem  diversitato 
incurvabitur  vaporis  columnu :  et  quia  vapor  in  columuce  latere  pra^ce- 

166.  Longltudo  caudae  hoc  niodo  potest 
inveniri.  Sit  S  Sol,  C  cometa  cujus  cauda 
C  e ;  ex  cognitis  Solis  et  cometa;  locis  notus 
erit  angulus  T  C  E,  dataque  (per  observ.) 
deviatione  caudae  a  Solis  opposito,  dabitur 
angulus  E  C  e,  ac  proinde  innotescet  angu- 
lus'  T  C  e,  quem  scilicet  cauda  efficit  cum 
recta  Terram  et  cometam  jungente.  Vrx- 
terea  (per  observ.)  innotescit  angulus  ad 
Terrara  C  T  e,  quem  cauda  subtendit,  quare 
(per  theoriam  cometaj)  data  cometoe  distantia 
a  Terra,  dabitur  caudag  longitudo. 

167.  Novam  elegantemque  methodum  ad 
cometarum  motus  in  orbe  parabolico  compu- 
tandos  nobiscum,  sua  humanitate,  communi- 
cavit  clariss.   vir  et  in   rebus   mathematicis 
versatissimus  D.  de  Chezeaux.      Methodura 
hanc  describere  longius  foret :    paucis  dun- 
taxat   exponemus  qua  ratione  longitudmem 
atque    deviationem    caudae    investigat.      Sit 
cometa  in  puncto  G  circa  quod  taiiquam  cen- 
trum  describatur  sphaera  cujus  radii 
G  A,  G  E,  sint  aequales  longitudini 
caudae  cometa?.     Concipiatur  in  hac 
sphaera  planum  ecliplicae  parallelum 
habens  polos  in  D  et  H,  itemque 
concipiatur    planum     A    K    B    E 
parallehim  orbitae  verae  cometae  ha- 
bens  polum  unum  in  G,  sit  Terra 
in  M,  ejus  longitudo  e  cometa  visa 
et  ad  planum  orbitJB  A  K  B  E  re- 
ducta,  exprimetur  per  arcum  K  B, 
latitudo  autem  per  arcum  K  j.   Quia 
vero  datur  (per  observ.)  lopgitudo 
cometae  e  Terra  visa,  dabitur  longi- 
tudo  Terrae  e  cometa  visa  ;   sed  da- 
tur  latitudo  cometae  (per  observ.) 

et   (per  theoriam  cometae)  habetur 

inchnatio  plani  A  K  B  E,  ?.d  pla- 

num  ecliplicae,    itemque  innotescit 

locus  nodi  B.     Quare  (per  trigon. 

sphcer.)  invenietur  longitudo  Terrss 

respectu   plani    A   K   B  E,  cujus 

mensura  est  arcus  B  N  A  K,  dabiturque  lati- 

tudo   K  j.      Jam  vero  ducta  hnea  M   E,    ex 

Terra  M,  ad  extremitatem  caudce  E,  cujus  ex- 

tremitatis   longitudo   et   latitudo  e    Terra    visae 

(per  observ.)  notae  sunt,  agatur  G  F  parallela 

rectae  E  M,  eodem  plane  modo  ac  supra  inno- 

tescet  positio  puncti  V  in  superficie  sphaerEe  re- 

spectu  plani  A  K  B  E,  descriptoque  arcu  cir- 

culi  maximi  G  F  L,  invenientur  arcus  B  N  A  L 

et  F  L.     Sed  in  triangulo  sphaerico  G  j  F,  datis 

latere  G  j,  complemento  scilicet  ad  j  K,  et  latere 

G  F,  complemento  ad  F  L,  atque  latere  F  j, 

mensura  anguli  F  G  j,  qui  a^qualis  est  angulo 
G  M  E,  invenietur  angulus  G  Fj.     Tandem 

concipiatur  planum  circuli  maximi  transiens  per 

puncta  F,  j,  per  centrura  G,  commune  sphaerae 

et  cometae,  atque  per  extremitatem  caudae  E, 
cujusque  sectio  cum  plano  A  N  B,  sit  recta 
E  G  iE,  formabitur  alterum  tiiungulum  sphairi- 


cum  JE  F  L,  cujus  jam  innotescunt  angulus 
iE  F  L  et  latus  F  L,  quare  dabitur  latus  lE  L, 
ac  proinde  etiam  dabitur  arcus  B  A  yE,  ob 
datum  arcum  B  A  L  ;  innotescet  prsetcrea  arcus 
B  E,  atque  obtinebitur  arcus  M  F,  qui  additus 
Brcui  Fj,  dabit  arcum  JE  j,  ideoque  dabitur 
arcus  E  j,  mensura  anguh  rectilinei  j  G  E,  vel 
M  G  E.  Datis  autem  in  triangulo  rectihneo 
M  G  E,  angulis  M  G  E,  G  M  E  et  latere 
G  M,  dabitur  latus  G  E,  hoc  est,  longitudo 
caudtc.  Si  itaque  habeatur  distantia  cometae  a 
Terra  in  partibus  mediocris  distantiae  Terra^  a 
Sole  expressa,  in  iisdem  quoque  partibus  obtine- 
bitur  longitudo  caudae.  Quoniam  vero  (ex 
theoria  cometaj)  datur  distantia  cometa?  a  nodo 
ex  Sole  visa,  si  ex  hac  distantia  subtrahatur  arcus 
B  E,  habebitur  angulus  quem  rccta  per  Solera 
et  cometam  ducta  comprehendit  cum  cauda  G  E, 
hoc  est,  deviatio  cometa:  u  Sole. 


180  PHILOSOPHL^  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 

dente  paulo  recentior  est,  ideo  etiam  is  ibidem  aliquanto  densior  erit, 
lucemque  propterea  copiosiiis  reflectet,  et  limite  minus  indistincto  termi- 
nabitur.  De  caudarum  agitationibus  subitaneis  et  incertis,  deque  earum 
figuris  irregularibus,  quas  nonnuUi  quandoque  describunt,  hic  niliil  adjicio 
propterea  quod  vel  a  mutationibus  aeris  nostri,  et  motibus  nubium  caudas 
aliqua  ex  parte  obscurantium  oriantur;  vel  forte  a  partibus  Viae  Lacteae, 
quag  cum  caudis  praetereuntibus  confundi  possint,  ac  tanquam  earum 
partes  spectari. 

Vapores  autem,  qui  spatiis  tam  immensis  implendis  sufficiant,  ex  come- 
tarum  atm.osphaeris  oriri  posse,  intelligetur  ex  raritate  aeris  nostri.     Nam 
aer  juxta  superficiem  Terrae  spatium  occupat  quasi  850  partibus  majus 
quam  aqua  ejusdem  ponderis,  ideoque  aeris  columna  cylindrica  pedes  850    >A 
alta  ejusdem  est  ponderis  cum  aquoe  columna  pedali  latitudinis  ejusdem.      ' 
Columna  autem  aeris  ad  summitatem  atmosphaerae  assurgens  sequat  pon-    , 
dere  suo  columnam  aquae  pedes  33  altam  circiter ;  et  propterea  si  colum- 
nae  totius  aereae  pars  inferior  pedum  850  altitudinis  dematur,  pars  reliqua 
superior  aequabit  pondere  suo  columnam  aquae  altam  pedes  32.     Inde 
vero  (per  regulam  (^)  multis  experimentis  confirmatam,  quod  compressio 
aeris  sit  ut  pondus  atmosphaerae  incumbentis,  quodque  gravitas  sit  reci- 
proce  ut  quadratum  distantiae  locorum  a  centro  Terrae)  computationem 

(^)  per  CoroL  Prop.  XXIL  Lib.  II.  ineundo,  inveni  quod  aer,  si  ascen- 

« 

(^)  *  MuUis  experimentis  confirmatam.     Ex-  33         «/^,r.o^r,«       ^       ^  ^       ^ 

perimenta  iUa  referunt  passim  rerum  physicarum  S^^^us  L.  -  =±  0.01336S9.      Quare  L.    — 

scriptores,    sed  prcEsertim  clariss.  Muskembroek  =154.20879349.    Densitas  ergo  aeris  in  A  seu 

in    Physica.       Videantur   etiam   Transactiones  in  superficie  Tellurissehabet  ad  densitatemaeris     ^j 

rhilosophicae  an.  1671.  num.  73.  jn  F,  seu  in  distantia  semi-diametri  Telluris  ab 

C")  168.  *  Per  Corol.    Prop.  XXII.  Lib.  II.  eadem  superficie  ut  numerus  respondens  loga- 

Sit  (infigura  Prop.  XXII.)  ScentrumTerras,  rithmo     154.20879349   ad   imitatem.         Porro 

S  A    cjusdem  semi-diameter  mediocris  pedum  logarithmo    3.2087100    in    tabulis    vulgaribus 

19615800   =    r,    A    B    pedum    850,    et   ideo  respondet    numerus    1617  et    ideo    logarithmo 

S  P  =  19616650  =a,    S  F  =  2  r,  dignitas  5.20879349  respondere  debet  numerus  unitate 

hyperbolffl  f  a  h  =   r  r,  ideoque  A  a  =  r,  fere  integra  major  quam   1617.       Logarithmo 

F  f  =  -i  r,  et  B  b=  -  ac  proinde  A  a-  F  f  ^S''"'"  "^\'^"^''  154.20879349  respondet  numerus 

2                           a  major  quam  1617  cum  151  zeris  adscriptis.   Jam 

1                                         ar — rr                ,  vero  semi-diameter  Terraj  sit  ut  prius  19615800 

=  — r,  et  Aa—  B  b= — .     Densitas  pgdum.       Parallaxis    Solis   ponatur   10".  cujus 

A   H  seu  S  t  =  m  =  33,  densitas  B  j,   seu  «'""^  rectus  est  partium  485  posito  radio  partium 

S  u  =  n  =  32,  et  densitas  F  N,  sive  S  Z  =  d.  10000000.     Quoniam  semi-diameter  orbis  magni 

Ilis  positis,   (ex  natura  hyperbola  per  Theor.  est  ad  semi-diametrum  Terrae  utradius  ad  sinum 

IV.    de   hyperbola),    erit    area    t   h   n  z,    ad  parallaxis  Solis  (30.  Lib.  III.)  erit  semidiame- 

•^'           ^             n^                        m  ter  orbis  magni  pedum  circiter  5000000000000. 

aream    t   h   i   u,    ut    L.  -j-     ad     L.      — ,    et  Sed  semi-diameter  orbis  Saturni  circiter  decuplo 

_,      ,      „           WTT      T -1       TT  \    «-;«-  inajor  est  (Phaen.  IV.)  erit  igitur  ha;c  semi-dia- 

(per     Corol.     Prop.     XXU.     L.b.     II.)    erit  ^^^^^  ^J^^  5000000000000,  ideoque  diame- 

L.  -^ :  L.  -^  =  —  r  :  ^^L-ll  =  a  :  2  a  —  2  r,  ter    pedum     10000000000000,    sive   digitorura 

d  '         n         2              a  1 20000000000000.     Est  igitur  sphaera  Saturni 

idcodue  L  —  =         "          X  L.  — .       Est  au-  ^^  globum  cujus  diametcr  est  digitus  unus,  ut 

^         '  d        2  a  —  2  r            82  prajcedentis  numeri  cubus  sive  1728  cum  annexis 

a                 1961665                                     .  39  cyphris  ad   unitatem ;    sed  ratio   illa    muUo 

^*^"'  2  a  —  2  r  ~   ~~ilO      '    ^'   ^^  tabulis   vul-  ^^^^^^^^^   ^^^  ratione    dcnsitatum   modo    iuventa; 


LiberTertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA.  181 

datur  a  superficle  Terrae  ad  altitudinem  semi-diametri  unius  terrestris, 
rarior  sit  quam  apud  nos  in  ratione  longe  majori,  quam  spatii  omnis  infra 
orbem  Saturni  ad  globum  diametro  digiti  unius  descriptum.  Ideoque 
globus  aeris  nostri  digitum  unum  latus,  ea  cum  raritate  quam  haberet  in  al- 
titudine  semi-diametri  unius  terrestris,  impleret  omncs  planetarum  regiones 
usque  ad  sphafiram  Saturni  et  longe  ultra.  Proinde  cum  aer  adhuc  altior 
in  immensum  rarescat,  et  coma  seu  atmosphsera  cometae,  ascendendo  ab 
illius  centro,  quasi  decuplo  altior  sit  quam  superficies  nuclei,  deinde  cauda 
adhuc  altius  ascendat,  debebit  cauda  esse  quam  rarissima.  Et  quamvis 
ob  longe  crassiorem  cometarum  atmosphasram,  magnamque  corporum 
gravitationem  Solem  versus,  et  gravitationem  particularum  aeris  et  vapo- 
rum  in  se  mutuo,  fieri  possit  ut  aer  in  spatiis  cosiestibus  inque  cometarum 
caudis  non  adeo  rarescat;  perexiguam  tamen  quantitatem  aeris  et 
vaporum  ad  omnia  illa  caudarum  phasnomena  abunde  sufficere,  ex  hac 
computatione  perspicuum  est.  Nam  et  caudarum  insignis  raritas  colHgi- 
tur  ex  astris  per  eas  transhicentibus.  Atmosphaera  terrestris  luce  SoKs 
splendens,  crassitudine  sua  paucorum  miUiarium,  et  astra  omnia  et  ipsam 
Lunam  obscurat  et  extinguit  penitus:  per  immensam  vero  caudarum 
crassitudinem,  luce  pariter  solari  illustratam,  astra  minima  sine  claritatis 
detrimento  transhicere  noscuntur.  Neque  major  esse  solet  caudarum 
plurimarum  splendor,  quam  aeris  iiostri  in  tenebroso  cubiculo  latitudine 
digiti  unius  duorumve  lucem  Sohs  in  jubare  reflectentis. 

Quo  temporis   spatio  vapor  a  capite  ad   terminum   caudae   ascendit, 
(^)  cognosci  fere  potest  ducendo  rectam  a  termino  caudae  ad  Solem,  et 

quare  globus  aeris  nostri  digitum  unum  latus  ea,     propressivum  quem  ante  ascensum  suum  habe- 
cuin  raiitate  quam  haberet  in  altitudine  semi-     bat,  componit.      Sed  per  varias  methodos  paulo 
diaraetri  unius  terrestris,  impleret  omnes  plane-     ante  explicatas  inveniri  potest  tempus  quo  cometa 
tarum  regiones  usque  ad  sphgcram  Saturni  et 
longe  ultra. 

C*)  169.  *  Cognosci  fere  i7otest.  Referat  S 
Solem,  A  B  trajectoria?  cometicae  portionem. 
Sit  N  cometje  nucleus  ab  A  versus  B  progre- 
diens,  C  terminus  caudie.  Ducatur  recta  a 
terraino  illo  C  ad  Solem,  punctum  d,  ubi  recta 
trajectoriam  secat,  designabit  locum  ex  quo  va- 
por  in  termino  cauda?  ascendere  ccepit  a  capite, 
si  vapor  ille  rec:a  ascendat  a  Sole.  Quia  au- 
tem  vapor  non  recta  ascendita  Sole,  sed  vergit 
versus  partes  A,  quas  cometa  reliquit  (164.) 
agatur  recta  S  E,  paraliela  longitudini  cauda;, 
vel  potius  (ob  motum  curvilineum  cometas) 
recta  illa  a  linea  caud:e  divergat,  atque  trajec- 
toriam  cometae  alicubi  intersecet,  puta  in  D, 
vapor  qui  nunc  terminum  cauda;  constituit,  a 

nucleo  coepit  ascendere  dum  cometa  in  trajec-  locum  D  occupavit,  et  potest  definiri  quanto 
toria;  suaj  loco  D  versab:itur;  hic  enim  vapor  temporis  spatio  opus  s"t  ut  conictji  trajectoriae 
cum    motu   asccnsiis   a   Sole,    motum   cometae     portioncm   D  N,  longitudinc  datam,  percurrat, 


182 


PHILOSOPHI.gS  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 


notando  locum  ubi  recta  illa  trajectoriara  secat.  Nam  vapor  in  termino 
caudae,  si  recta  ascendat  a  Sole,  ascendere  coepit  a  capite,  quo  tempore 
caput  erat  in  loco  intersectionis.  At  vapor  non  recta  ascendit  a  Sole,  sed 
motum  comet*aSj  quem  ante  ascensum  suum  habebat,  retinendo,  et  cum 
motu  ascensus  sui  eundem  componendo,  ascendit  oblique.  Unde  verior 
erit  Problematis  solutio,  ut  recta  illa,  quee  orbem  secat,  paraliela  sit  longi- 
tudini  caudse,  vel  potius  (ob  motum  curvilineum  cometae)  ut  eadem  a 
linea  caudae  divergat.  Hoc  pacto  inveni  quod  vapor,  qui  erat  in  termino 
caudae  Jan.  25.  ascendere  coeperat  a  capite  ante  Dec.  1 1 .  ideoque  ascensu 
suo  toto,  dies  plus  45  consumpserat.  At  cauda  illa  omnis  quae  Dec.  10. 
apparuit,  ascenderat  spatio  dierum  illorum  duorum,  qui  a  tempore  peri- 
helii  cometae  elapsi  fuerant.  Vapor  igitur  sub  initio  in  vicinia  Solis  celer- 
rime  ascendebat,  et  postea  cum  motu  per  gravitatem  suam  semper  retar- 
dato  ascendere  pergebat ;  et  ascendendo  augebat  longitudinem  caudae : 
cauda  autem,  quamdiu  apparuit,  ex  vapore  fere  omni  constabat,  qui  a 
tempore  perihelii  ascenderat ;  et  vapor,  qui  primus  ascendit,  et  terminum 
caudae  composuit,  non  prius  evanuit  quam  ob  nimiam  suam  tam  a  Sole 


ideoque  habebitur  proxime  tempus  quo  vapor  ad 
terminum  caudas  ascendit.  Simili  modo  deter- 
minari  potest  temporis  spatium  quo  vapor  ascen- 
dit  ad  datum  caudae  punctum. 

170.  Ex  his  quae  de  cometarum  caudis  hac- 
tenus  dicta  sunt,  cometarum,  quanditi  nobis  con- 
spicui  sunt,  maxima  possibilis  distantiu  a  Sole  et 
Terra  definiri  potest.  Ileferat  S  Solem,  T  Ter- 
ram,  S  T  A  distantiam  cometaj  a  Sole,  sitque 
A  T  B,  apparens  longitudo  cauda?.  Quoniam 
lux  propagatur  a  termino  caudae  secundiim  line- 
am  rectam  T  B,  reperitnr  terminus  ille  alicubi 
in  linea  T  B,  puta  in  D.  Jungatur  D  S,  secans 
lineam  T  A  in  C,  et  quia  cauda  semper  opponi- 
tur  Soli  quamproxime,  ideoque  Sol,  caput 
cometae  et  terminus  caudae  jacent  in  directum, 
reperitur  caput  cometse  in  C.  Rectae  T  B, 
agatur  parallela  S  A,  occurrens  lineas  T  A,  in 
A,  caput  cometae  C  necessarid  reperietur  inter 
T  et  A,  nam  terminus  caudae  reperitur  alicubi 
in  linea  infinita  T  B,  et  lineae  omnes  ut  S  D, 
quas  ab  S  ad  lineam  T  B  duci  possunt,  secant 
lineam  T  A,  alicubi  inter  T  et  A.  Quare  cometa 
non  potest  longius  abesse  a  Terra  quam  inter- 
vallo  T  A,  nec  a  Sole  quam  intervallo  S  A 
uhra  Solcm,  vel  S  T,  citra.  Exemplo  sit 
cometa  an.  1680.  cometa  ille  die  12.  Dec.  dis- 
tabat  9°.  a  Sole  et  longitudo  caudae  erat  35°. 
Quare  construatur  triangulum  T  S  A,  cujus  an- 
gulus  T  aequalis  sit  distantiae  9°.  et  angulus  A 
seu  angulus  A  T  B  aequalis  sit  longitudini  cau- 
dae  35°.  erit  S  A  ad  S  T,  id  est,  limes  maximae 
possibilis  distantiaj  cometae  a*  Sole  ad  semi-dia- 
metrum  orbis  magni  ut  » inus  anguli  T,  ad  sinum 
anguli  A,  hoc  est,  ut  5.  ad  11.  circiter.  Quare 
comcta  co  tempore  minus  distabat  a  Soie  quara 


—  partibus  distantias  Terras  a  Sole,  et  propterca 

versabatur  aut  intra  orbem  Mercurii  aut  inter 
orbem  iilum  et  Terram.     Rursus  die  21.  Dec. 

2 
distantia  cometas  a  Sole  erat  32°.  —  et  longitudo 

5 
2 
caudae  70°.  ergo  ut  sinus  32°.  -— .  ad  sinum  70°. 

5 
hoc  est,  ut  4  ad  7,  ita  erat  limes  intervalli  in- 
ter  cometam  et  Solem  ad  distantiam  Terr£e  a 


Sole,  et  propterca  nondum  cometa  excesserat  ex 
orbe  Vcneris.  Die  28.  Decembr.  distantia 
cometae  a  Sole  erat  55°.  et  longitudo  caudae  56^^. 
Quare,  iisdem  calcuh  vestigiis  insistendo,  linics 
intervalli  inter  cometam  et  Solem,  nondum 
a?quabat  distantiam  Terrae  a  Sole,  et  proptcrea 
cometa  nondum  excesserat  ex  orbe  Telluris. 
Hac  methodo  quam  ex  Newtoni  Opusculo  dc 
Mundi  Systemate  descripsimus,  aliorura  come- 
tarum  distantias  hmitando  inventum  est  cometas 
omnes,  quandiii  se  nobis  ostendunt,  versari  intra 
spatium  sphaericum  ccntro  Sole  et  intcrvailo  Solis 
ac  Terric  vel  dupiicato  vel  ad  suuimum  triplicato 
descriptura. 


r      LiBER  Terttus.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA.  183 

illustrante  quam  ab  oculis  nostris  distantiam  videri  desiit.  Unde  etiam 
caudae  cometarum  aliorum,  quac  breves  sunt,  non  ascendunt  motu  celeri 
et  perpetuo  a  capitibus  et  mox  evanescunt,  sed  sunt  permanentes  vapo- 
rum  et  exhalationum  columnse,  a  capitibus  lentissimo  multorum  dierum 
motu  propagatae,  quse,  participando  motum  illum  capitum  quem  habuere 
sub  initio,  per  ccelos  una  cum  capitibus  moveri  pergunt.  (^)  Et  hinc  rur- 
sus  coUigitur  spatia  coelestia  vi  resistendi  destitui ;  utpote  in  quibus  non 
solum  solida  planetarum  et  cometarum  corpora,  sed  etiam  rarissimi  cau- 
darum  vapores  motus  suos  velocissimos  liberrime  peragunt  ac  diutissime 
conservant. 

Ascensum  caudarum  ex  atmosphseris  capitum  et  progressum  in  partes 
a  Sole  aversas  Keplerus  ascribit  actioni  radiorum  lucis  materiam  caudae 
secum  rapientium.  Et  auram  longe  tenuissimam  in  spatiis  liberrimis 
actioni  radiorum  cedere,  (^)  non  est  a  ratione  prorsus  alienum,  non  ob- 
stante  quod  substantiae  crassae  impeditissimis  in  regionibus  nostris  a  radiis 
Sohs  sensibiliter  propelli  nequeant.  Alius  particulas  tam  leves  quam 
graves  dari  posse  existimat,  et  materiam  caudarum  levitare,  perque  levi- 
tatem  suam  a  Sole  ascendere.  Cum  autem  gravitas  corporum  terrestrium 
sit  ut  materia  in  corporibus,  ideoque  servata  quantitate  materiae  intendi  et 
remitti  nequeat,  suspicor  ascensum  illum  ex  rarefactione  materiae  cauda- 
rum  potius  oriri.  Ascendit  fumus  in  camino  impulsu  a*eris  cui  innatat. 
Aer  ille  per  calorem  rarefactus  ascendit,  ob  diminutam  suam  gravitatem 
specificam,  et  fumum  implicatum  rapit  secum.  Quidni  cauda  cometae  ad 
eundem  modum  ascenderit  a  Sole  ?  Nam  radii  solares  non  agitant  media, 
quae  permeant,  nisi  in  reflexione  et  refractione.  Particulae  reflectentes  ea 
actione  calefactae  calefacient  auram  aetheream  cui  implicantur.  Illa  calore 
sibi  communicato  rarefiet,  et  ob  diminutam  ea  raritate  gravitatem  suam 
specificam,  qua  prius  tendebat  in  Solem,  ascendet  et  secum  rapiet  parti- 
culas  reflectentes  ex  quibus  cauda  componltur:  ad  ascensum  vaporum 
conducit  etiam,  quod  hi  gyrantur  circa  Solem  et  ea  actione  conantur  a 
Sole  recedere,  at  Solis  atmosphoera  et  materia  coelorum  vel  plane  quiescit, 
vel  motu  solo  quem  a  Solis  rotatione  acceperit,  tardius  gyratur.  Hae  sunt 
causae  ascensus  caudarum  in  vicinia  Solis,  ubi  orbes  curviores  sunt,  et 
cometae  intra  densiorem  et  ea  ratione  graviorem  SoUs  atmosphaeram  con- 
sistunt,  et  caudas  quam  longissimas  mox  emittunt.  Nam  caudae,  quae 
tunc  nascuntur,  conservando  motum  suum  et  interea  versus  Solem  gravi- 
tando,  movebuntur  circa  Solem  in  elhpsibus  pro  more  capitum,  et  per 

(*)  *  Et  hinc  rursiis  colligitur.       Legantur  quce  dicta  sunt  in  scholio  Prop.  XI.  Lib.  II, 

(J)  *  No7i  est  a  raiione  prorsus  alicnum  (165). 


184  PHILOSOPHIiE  NATURALIS    [De  Mund.  Syst. 

motum  illum  capita  semper  comitabuntur  et  iis  liberrime  adhaerebunt. 
Gravitas  enim  vaporum  in  Solem  non  magis  efficiet  ut  caudae  postea  deci- 
dant  a  capitibus  Solem  versus,  quam  gravitas  capitum  efficere  possit,  ut 
haec  decidant  a  caudis.  Communi  gravitate  vel  simul  in  Solem  cadent, 
vel  simul  in  ascensu  suo  retardabuntur ;  ideoque  gravitas  illa  non  impedit, 
quo  minus  caudae  et  capita  positionem  quamcunque  ad  invicem  a  causis 
jam  descriptis,  aut  aliis  quibuscunque  faciilime  accipiant  et  postea  liber- 
rime  servent. 

Caudae  igitur,  quse  in  cometarum  periheliis  nascuntur,  in  regiones 
longinquas  cum  eorum  capitibus  abibunt,  et  vel  inde  post  longam  anno- 
rum  seriem  cum  iisdem  ad  nos  redibunt,  vel  potius  ibi  rarefactae  paulatim 
evanescent.  Nam  postea  in  descensu  capitum  ad  Solem  caudas  novae 
breviusculae  lento  motu  a  capitibus  propagari  debebunt,  et  subinde  in  peri- 
heliis  cometarum  illorum,  qui  ad  usque  atmosphaeram  Solis  descendent, 
in  immensum  augeri.  Vapor  enim  in  spatiis  illis  liberrimis  perpetuo 
rarescit  ac  dilatatur.  Qua  ratione  fit  ut  cauda  omnis  ad  extremitatem 
superiorem  latior  sit  quam  juxta  caput  cometae.  Ea  autem  rarefactione 
vaporem  perpetuo  dilatatum  diffundi  tandem  et  spargi  per  coelos  univer- 
sos,  deinde  paulatim  in  planetas  per  gravitatem  suam  attrahi,  et  cum 
eorum  atmosphaeris  misceri,  rationi  consentaneum  videtur.  Nam  quem- 
admodum  maria  ad  constitutionem  Terrae  hujus  omnino  requiruntur, 
idque  ut  ex  iis  per  calorem  Sohs  vapores  copiose  satis  excitentur,  qui 
vel  in  nubes  coacti  decidant  in  pluviis,  et  Terram  omnem  ad  procreatio- 
nem  vegetabiUum  irrigent  et  nutriant;  vel  in  frigidis  montium  verticibus 
condensati  (  (^)  ut  ahqui  cum  ratione  philosophantur)  decurrant  in  fontes 
et  flumina :  sic  ad  conservationem  marium  et  humorum  in  planetis  requiri 
videntur  cometae,  ex  quorum  exhalationibus  et  vaporibus  condensatis, 
quicquid  liquoris  per  vegetationem  et  putrefactionem  consumitur  et  in 
Terram  aridam  convertitur,  continuo  suppleri  et  refici  possit.  Nam 
vegetabiha  omnia  ex  hquoribus  omnino  crescunt,  dein  magna  ex  parte  in 
Terram  aridam  per  putrefactionem  abeunt,  et  limus  ex  liquoribus  putre- 
factis  perpetuo  decidit.  Hinc  moles  Terrae  aridae  in  dies  augetur,  et 
liquores,  nisi  ahunde  augmentum  sumerent,  perpetuo  decrescere  deberent, 
ac  tandem  deficere.  Porro  suspicor  spiritum  illum,  qui  aeris  nostri  pars 
minima  est,  sed  subtiHssima  et  optima,  et  ad  rerum  omnium  vitam  requi- 
ritur,  ex  cometis  praecipue  venire. 

(^)  *  Ut  aligui  cum  ratione  philosoj)hantur.     Transact.   Philosoph.  an.  1687.  1694.  172^  et 
Horumce  philosophorum  rationesvidere  est  pas-     Monum.  Acad.  Paris.  an.  1703, 
sim  apud  omnes  cultiores  physicos.     Legantur 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATPIEMATICA.  18S 

Atmosphaerae  cometarum  in  descensu  eorum  in  Solem  excurrendo  iri 
caudas,  diminuuntur,  et  (ea  certc  in  parte  quas  Solem  respicit)  angustiores 
redduntur :  et  vicissim  in  recessu  eorum  a  Sole,  ubi  jam  minus  excurrunt 
in  caudas,  ampliantur ;  si  modo  phgenomena  eorum  HeveKus  recte  notavit. 
Minimse  autem  apparent,  ubi  capita  jam  modo  ad  Solem  calefacta  in 
caudas  maximas  et  fulgentissimas  abiere,  et  nuclei  fumo  forsan  crassiore 
et  nigriore  in  atmosph^rarum  partibus  infimis  circundantur.  Nam  fumus 
omnis  ingenti  calore  excitatus  crassior  et  nigrior  esse  solet,  Sic  caput 
cometae,  de  quo  egimus,  in  a3quahbus  a  Sole  ac  Terra  distantiis  obscurius 
apparuit  post  perihehum  suum  quam  antea.  Mense  enim  Decembri  cum 
stellis  tertia^  magnitudinis  conferri  solebat,  at  mense  Novembri  cum  stel- 
lis  primae  et  secundae.  Et  qui  utrumque  viderant,  majorem  describunt 
cometam  priorem.  Nam  juveni  cuidam  Cantabrigiensi,  Novem.  19. 
cometa  hicce  luce  sua  quantumvis  plumbea  et  obtusa,  asquabat  Spicam 
Virginis,  et  clarius  micabat  quam  postea.  Et  Montenaro  Nov.  20.  st.  vet. 
cometa  apparebat  major  stellis  primae  magnitudinis,  existente  cauda  duo- 
rum  graduum  longitudinis.  Et  D.  Storer  Uteris,  qu^  in  manus  nostras 
incidere,  scripsit  caput  ejus  mense  Decembri,  ubi  caudam  maximam  et 
fulgentissimam  emittebat,  parvum  esse  et  magnitudine  visibih  longe 
cedere  cometae,  qui  mense  Novembri  ante  Solis  ortum  apparuerat. 
Cujus  rei  rationem  esse  conjectabatur,  quod  materia  capitis  sub  initio 
copiosior  esset,  et  paulatim  consumeretur. 

Eodem  spectare  videtur,  quod  capita  cometarum  aliorum,  qui  caudas 
maximas  et  fulgentissimas  emiserunt,  apparuerint  subobscura  et  exigua. 
Nam  anno  1668.  Mart.  5.  st.  nov.  hora  septima  vespertina  R.  P.  Valen- 
tinus  Estancius,  Brasiliae  agens,  cometam  vidit  horizonti  proximum  ad 
occasum  Sohs  brumalem,  capite  minimo  et  vix  conspicuo,  cauda  vero 
supra  modum  fulgente,  ut  stantes  in  littore  speciem  ejus  e  mari  reflexam 
facile  cernerent.  Speciem  utique  habebat  trabis  splendentis  longitudine 
23  graduum,  ab  occidente  in  austrum  vergens,  et  horizonti  fere  parallela. 
Tantus  autem  splendor  tres  solum  dies  durabat,  subinde  notabiliter  de- 
crescens;  et  interea  decrescente  splendore  aucta  est  magnitudine  cauda. 
Unde  etiam  in  Lusitania  quartam  fere  coeli  partem  (id  est,  gradus  45) 
occupasse  dicitur  ab  occidente  in  orientem  splendore  cum  insigni  portensa ; 
nec  tamen  tota  apparuit,  capite  semper  in  his  regionibus  infra  horizontem 
deUtescente.  Ex  incremento  caudse  et  decremento  splendoris  manifestum 
est,  quod  caput  a  Sole  recessit,  eique  proximum  fuit  initio,  pro  more 
cometaj  anni  1680.  Et  in  Chronico  Saxonico  similis  legitur  cometa  anni 
1106.  ciijus  stella  erat  pai^va  et  obscura  (ut  ille  anni  1680.)  sed  splendot 


186  PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 

qui  ex  ed  exlvit  valde  clarus  et  quasi  ingens  trahs  ad  orientem  et  aquilonem 
te?idebat,  ut  habet  etlam  Hevelius  ex  Simeone  Dunelmensi  Monacho. 
Apparuit  initio  mensis  Februarii,  ac  deinceps  circa  vesperam,  ad  occasum 
Soiis  brumalem.  Inde  vero  et  ex  situ  caudae  colligitur  caput  fuisse  Soli 
vicinum.  A  Sole,  inquit  Matthseus  Parisiensis,  distahat  quasi  cuhito  uno, 
ah  hord  tertid  (rectiiis  sexta)  usque  ad  horam  iionam  radium  ex  se  longum 
emittens,  Talis  etiam  erat  ardentissimus  ille  cometa  ab  Aristotele  descrip- 
tus  Lib.  I.  Meteor.  VL,  cujus  cajput  primo  die  non  conspectum  est,  eo  quod 
ante  Solem  vel  saltem  suh  radiis  solarihus  occidisset,  sequente  verb  die 
quantum  jpotuit  visum  est,  Nam  quam  minimajieri  jpotest  distantia  Solem 
reliquit,  et  7nox  occuhuit,  Oh  nimium  ardorem  (caudae  scilicet)  7iondum  ap- 
jpa7'ehat  capitis  sparsus  ignis,  sed  j)rocedente  tcmpore  (ait  Aristoteles)  cii7n 
(cauda)  jam  mifitis  jiagraret,  reddita  est  (capiti)  cometce  sua  facies,  Et 
sjjlendorem  suum  ad  tertiajn  usque  coeli  jpai^tem  (id  est,  ad  60^^)  extendit. 
Apparuit  autem  tempore  hyher7io  (an.  4.  Olymp.  101.)  et  ascendens  usque 
ad  cijigidujn  Orionis  ihi  evanuit.  Cometa  ille  anni  1618,  qui  e  radiis 
solaribus  caudatissimus  emersit,  stellas  primae  magnitudinis  sequare  vel 
paulo  superare  videbatur,  sed  majores  apparuere  cometae  non  pauci,  qui 
caudas  breviores  habuere.  Horum  aliqui  Jovem,  alii  Venerem  vel  etiam 
Lunam  aequasse  traduntur. 

(^)  Diximus  cometas  esse  genus  planetarum  in  orbibus  valde  eccentricis 
circa  Solem  revolventium.  Et  quemadmodum  e  planetis  non  caudatis 
minores  esse  solent,  qui  in  orbibus  minoribus  et  Soli  propioribus  gyran- 
tur,  sic  etiam  cometas,  qui  in  periheliis  suis  ad  Solem  propius  accedunt, 
ut  plurimum  minores  esse,  ne  Solem  attractione  sua  nimis  agitent,  rationi 
consentaneum  videtur.  (^)  Orbium  vero  transversas  diametros  et  revo- 
lutionum  tempora  periodica,  ex  collatione  cometarum  in  iisdem  orbibus 


(J^)  171.  *  Diximus  cometas  esse  getius  phme-  animadvertit  clariss.    Cassinus   in   Mon.    Paris. 

tai'um,  idque  gravissimis  rationibus  confirnmtur.  1699«  cometani  diversis  temporibus  observatum 

Hac  enim  facta   hypothesi    computatisque   per  ideoque  pro  diiobus  cometis  usurpatum,  unum 

methodos   praecedentes    cometarum    trajectoriis,  eundemque  esse  posse,  licet  non  convcniant  inter 

hujusmodi  trajectorice  semper  cum  phajnomenis  se  omnia  motuum  elementa ;  fieri  scilicet  potest 

congruunt  quamproximc  clariss.  Halleius  suspi-  ut   unus   idemque  comcta   bis   observatus    non 

catur  cometam  an.  1531.  ab  Appiano  observa-  secet  eclipticam  sub  codem  angulo  et  in  iisdem 

tum,   eundem  fuisse  cum  illo  qui  anno  1607.  locis,  ut  cometjc  hujus  velocitas  in  periga^o  non 

descriptus  est  a  Keplero  et  Longomontano,  et  sit   eadem.       Talibus   enim    erroril)us   aliisque 

quem   Halleius  ipse  redeuntem    observavit  an.  plurimis  Luna  est  obnoxia.      Ca>terum  dariss. 

1C82.  quadrabant  enim  elemcnta  omnia,  solaque  Halleius  diligenter  perpensis    motibus    coraetaj 

periodorum  ina^jualitasadversari  videbatur.    Ve-  an.  1682.  hujus   cometa;   reditum  anno    1758. 

rum  tanta  non  fuit  inicqualltas  illa  ut  causis  phy-  futurum  esse  pra^dixit. 

sicis  adscribi  non  possit.      Saturni  enim  motus  a  (')  *  Orbiuin  vero  transversas  dlamelros  ct  re- 

cajteris  planetis  et  prc-esertim  a  Jove  ita  pertur-  volutionum  tempora  periodica.     Hac  duo  obti- 

batur  ut  per  aliquot  dies  integros  incertum  sit  neri  possuni  per  methodum  num.   160.    expo- 

hujus  pianeta;  tcmpus  periodicum.    Recte  etiam  sitam. 


LiBER  Tertius.]  PRINCIPIA  MATHEMATICA.  187 

post   longa   temporum   intervalla   redeuntium,    determinanda   reliriquo. 
Interea  huic  negotio  Propositio  sequens  lurnen  accendere  potest. 

PROPOSITIO  XLII.     PROBLEMA  XXIL 

Imentam  cometcE  trajectoriam  corrigere. 

Operatio  1.  Assumatur  positio  plani  trajectoriae,  per  Propositionem 
superiorem  inventa ;  et  seligantur  tria  loca  cometse  observationibus  accu- 
ratissimis  definita,  et  ab  invicem  quammaxime  distantia ;  sitque  A  tempus 
inter  primam  et  secundam,  ac  B  tempus  inter  secundam  ac  tertiam. 
Cometam  autem  in  eorum  aliquo  (^)  in  perigseo  versari  convenit,  vel  sal- 
tem  non  longe  a  perigaso  abesse.  (^)  Ex  his  locis  apparentibus  invenian- 
tur,  per  operationes  trigonometricas,  loca  tiia  vera  cometae  in  assuinpto 
illo  plano  trajectoriae.  Deinde  per  loca  illa  inventa,  circa  centrum  Solis 
ceu  umbihcum,  per  operationes  arithmeticas,  ope  Prop.  XXI.  Lib.  I. 
institutas,  describatur  sectio  conica :  (™)  et  ejus  arese,  radiis  a  Sole  ad 
loca  inventa  ductis  terminatae,  sunto  D  et  E,  nempe  D  area  inter  obser- 
vationem  primam  et  secundam,  et  E  area  inter  secundam  ac  tertiam. 
Sitque  T  tempus  totum,  quo  area  tota  D  -f  E  velocitate  cometae  per 
Prop.  XVI.  Lib.  I.  inventa  describi  debet. 

0]per,  2.  Augeatur  (")  longitudo  nodorum  plani  trajectorias ;  additis  ad 
longitudinem  illam  20'.  vel  30\  quae  dicantur  P ;  et  servetur  plani  ilHus 
inclinatio  ad  planum  eclipticae.  Deinde  ex  praedictis  tribus  cometae  locis 
observatis,  inveniantur  in  hoc  novo  plano  loca  tria  vera,  ut  supra: 
deinde  etiam  orbis  per  loca  illa  transiens,  (°)  et  ejusdem  areae  duae  inter 

(^)  *  In  perigceo  versari  convenit.     Versante  aveam  inter  observationcm  secundam  et  tertiam, 

enim  cometa  in  perigaeo  vel  saltem  non  longe  a  id  est,  iit   D   ad   E  ;  eadem  quoque  crit  ratio 

periga^o,  illius  motus  magis  accurate  definitur.  inter  tempora  quibus  areaj  illa?  radiis  ad  Solem 

{})  *  Ex  his  locis  apparentibus.     Inveniantur  ductis  describentur.      Sit  S,  tcmpus  verum  inter 

per   operationes   trigonomelricas    (ut   in    Prop.  observationem  primam  et  tertiam.     Si  reperiatur 

pra;ced. )  loca  tria  vera  cometaj  in  assumpto  illo  T  =  S,   et   G=  C,   inventa  plani  trajectoriae 

plano  trajectoriae  tanquam  accurato,  lioc  est,  in-  positio  vera  crit  et  accurata,  nulla  indigens  cor- 

veniantur  tria  prius  dcfmiti  plani  puncta  in  qui-  rcctione.     Sin  alitcr,  erit  T  —  S,  error  in  tem- 

bus  cometa  eandem  longitudinem  ac  latitudinem  pore  toto  inter  observationem  primam  ct  tertiam 

obtineret  quara  revera  baberc  observatur.  ortus,    nimirum  ex  positione   plani    trajectoriae 

("^)   *  Ejus  arece.     Ex   datii  cometa?   semita  minus  accui-ata,  et  G  —  C,  erit  error  ex  cadem 

ejusque  partium  magnitudine,  respectu  semita;  causa  ortus  in  ratione  temporis  inter  observatio- 

Telluris  ejusque  partium,  dabitur  velocitas  qua  nem  primam  et  secundam,  ad  tempus  inter  ob- 

comcta  illam  describit,   ideoque  dabitur  tempus  strvationcm  secundam  et  tertiam,  ut  patet;  nam 

quo  cometa  areas  duas  jam  inventas  pcrcurrit.  in  utroque  casu  unitas  usurpatur  pro  consequente 

Tempus   illud   totum   dicatur    T,     capiaturque  rationis  inter  bina  tempora. 

numerus  C,  qui  sit  ad  1,   ut  tempus  inter  obser-         (")   *  Longitudo   nodorum,    per    num.    145. 

vationem  primam  et  secundam  ad  tempus  intcr  inventa. 

obiervationem  secundam  et  tertiam,  hoc  est,  ut         (o)  *  Et  cjusdem  arcce  diice.      Harumce  arca- 

A  ad  B.      Sumatur  praeterca  G  ad  1,  ut  areae  rum    inter   tres  observationes   radiis   ad    Sokm 

inter   observationem    primam    et   secundam   ad  ductis  descriptarurn  ratio  sit  ut  g,  ad  1 ;  sitque  t, 

VoL.  III.  Pars  II.  N 


188  PHILOSOPHI^  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 

observationes  descriptae,  quae  sint  d  et  e,  nec  non  lempus  totum  t,  quo 
area  tota  d  +  e  describi  debeat. 

Oper.  3.  Servetur  longitudo  nodorum  in  operatione  prima,  et  augeatur 
inclinatio  plani  trajectoriae  ad  planum  eclipticae,  additis  ad  inclinationem 
illam  20'.  vel  30'.  quae  dicantur  Q.  Deinde  ex  observatis  praedictis  tribus 
cometae  locis  apparentibus  inveniantur  in  hoc  novo  plano  loca  tria  vera, 
orbisque  per  loca  illa  transiens,  (i')  ut  et  ejusdem  areae  duae  inter  observa- 
tiones  descriptae,  quae  sint  h  et  £,  et  tempus  totum  r,  quo  area  tota  b  -|-  s 
describi  debeat. 

(1)  Jam  sit  C  ad  1  ut  A  ad  B,  et  G  ad  1  ut  D  ad  E,  et  g  ad  1  ut  d  ad  e, 
et  7  ad  1  ut  5  ad  g ;  sitque  S  tempus  verum  inter  observationem  primam 
ac  tertiam ;  et  signis  +  et  —  probe  observatis  quaerantur  numeri  m  et  n, 
ea  lege,  ut  sit  2G— lC  =  mG  —  mg  +  nG--n7,  et2T  —  2S 

tempus  totum  quo  cometa  utramque  aream  de-  ^.        .         , .      ^  G  —  C 

scriberct.      Si  deprehendatuv  t  =  S  et  g  =  C.  ^''^"^  ^"^^^  ^^"^  ^^"^P^''^  ^*  ^-— ^  X  P-     Est 

assunipta  plani  positio  vera  erit  et  accurata.    Sin  itaque  vera  et  correcta  inclinaUo  plani  trajectoria; 

aliter  erit,  ut  supra  in  operatione  J^,t  —  S,  er-  ^  X S 

ror  in  tempore  toto  inter  observationem  priraam  ad  planum  eclipticze  I  -j-  -    X    0-»  sive 

et  tertiam,  et  g  —  C  error  in  ratione  temporis  ^ p 

inter   obj-ervationem   primam   et   secundam   ad  I  _|- X  Q  J  ^^  vera  longitudo  nodi  est 

tempus  inter  observationem  secundam   ad  ter-  't'  ^'  «j  r        r 

tiam.       Uterque   hic    error  oritur  ex  positione  j^     i     ^        ^  X   P  vel  K  -1-   ^  X  !*• 

non  satis  accurata  plani  trajectoriae  ad  planum  T  —  t  G  —  g 

ecliptica;.  3&vn.  vero  quoniam  corrigendus  est  error  uterque 

(P)  *  Ut  et  ejusdem  arees  dufP.     Sint  areae  tara  in  toto  tempore  quam  in  ratione  inter  bina 

illa;  ut  v  ad  1,  sitque  r  tempifc  totum  quo  area  ^  T  —  SG  —  C„ 

tota  l  +  s,  d^scribi  debeat."^  Si  fuerit  .  =  S  ^ei^pora,  ponamus  ,^—^  X  P  et  ^-— ^  X  P, 
et  y  =  C,  assumpta  plani  trajccloria;  positio  vera  T  —  S 

est  et  accurata.     Sin  contra,  erit  r  —  S,  error  separatim  aequari  m  X  P  hoc  est  rjT— ^  =  m 

in  tempore  toto  inter  observationem  primam  et         q q  r^ g 

tertiam,  et  7  —  C,  error  in  ratione  temporis  inter  et  — =  m.    Ponamus  quoque  7=; X  Q 

observationem  primam  et   secundam  ad  tempus         ^        S  tZTs 

inter  observationem  secundam  et  tertiam.  g^  ^       ^  y^  Q  =  n  X  Q,  id  est  — =  n, 

{^)  *  Jain  slt  C  ad  1 .     lisdem  servatis  deno-  G  —  7  T  —  r 

minationibus  quas  adiubet  Newtonus,  instituatur  ^^  G-C  ^  ^^  ^.^^  ^^^^^.^^  m  T  -  m  t 
operatio  per  regulam  falsaa  positionis.      Ad  m-  G  —  y 

veniendum  errorem  ortum  ex  assumpta  inclina-  =  T  —  SetmG  —  mg=G  —  C;  itcm 

tione  plani  trajectoria;  ad  planura  eclipticc-e,  fiat  n  T  —  n  t  =  T  —  S,  et  n  G  —  n  g  =G  —  C, 

juxta  prajdictam  regulam,  ut  differentia  errorura  unde  fit  2  T  —  2  S  =  m  T  —  m  t  -f-  n  T  —  n  c, 

T  —  r   ad    differentiam    positionum    T  —  S,  et2G  —  2C  =  mG  —  mg-f-nG  —  n  y. 

ita  er.  ov  Q,  ad  quartam  quantitatem,   erit  haec  Quare  si  tales  quarantur  numeri  m  et  n,  ut  sit 

T — S^^^  .     ,.      .     .  2G  —  2C  =  mG  —  mg-4-nG  — ny,  et 

ipsa  quantitas  .j,— ^  X  Q,  error  inchnatioms  g  t  -  2  S  =  m  T  -  m  t  +  n  T  -  n  r,  enc 

plani  in  toto  sciHcet  tempore  inter  observationera  T  —  S  ^  q  ^  ^ — C  >^  Q—.^y^  q  gi- 
primara    et    tertiam.        Simili    modo    dicatur,     T r  T  —  t  A  '=*• 

G  —  7  :   G  —  C  =  Q  :  ^r^^^  X  Q.  erit  militer  fiet  ^-^^  X  P  et  %^  X  P  =  m  P, 

vjf  —  7  1  —  t                vj  —  g 

G — C                            ..         ...  ac  proinde  error  inclinationis  plani  trajcctor»;e 

quantitas  ^— ^  X    Q  error  ejusdem  rachna-  ^J^  ^  ^^  ^^^^^  longitudinis  nidi  ra  P.    Quare 

tionis  in  ratione  inter  bina  trium  observationum  vera  incHnatio  plani  trajectorias  ad  planum  eclip- 

tempora.      Similiter   error  longitudinis  nodi  in  ticas  erit  I-j-nQ,  etK-f-mP  vera  longitudo 

toto  tempore  inter  observationem  primam  et  ter-  nodi.      Haec  omnia  patent  ex  notis  in  ires  ope- 

T  —  S  ^   .  rationes  prsBcedentes. 

tiam  invenitur  -— X  P>  error  vero  m  ra- 


LiberTertius.]   PRINCIPIA  MATHEMATICA.  189 

lEquale  m  T  —  m  t  +  n  T  —  n  r.  Et  si  in  operatione  prima  l  designet 
inclinationem  plani  trajectoriae  ad  planum  eclipticae  et  K  longitudinem 
nodi  alterutrius,  erit  I  +  n  Q  vera  inclinatio  plani  trajectoriae  ad  planum 
eclipticae,  et  K  +  m  P  vera  longitudo  nodi.  C)  Ac  denique  si  in  opera- 
tione  prima,  secunda  ac  tertia,  quantitates  R,  r  et  ^  designent  latera  recta 

trajectoriae,  et  quantitates  i-,  _L,  —   ejusdem   latera   transversa    respec- 

tive :    erit  R   +  mr  —  mR  +  n^  —  nR  verum  latus  rectum,  et 

z .  verum   latus   transversum    trajectoriae 

L  +  ml  —  mL  +  nX  —  nL 

quam  cometa  describit.     (^)   Dato  autem  latere  transverso  datur  etiam 

tempus  periodicum  cometae,     Q.  e.  i. 

Casterum  cometarum  revolventium  tempora  periodica,  et  orbium  latera 
transversa,  haud  satis  accurate  determinabuntur,  nisi  per  collationem 
cometarum  inter  se,  qui  diversis  temporibus  apparent.  Si  plures  cometae, 
post  aequalia  temporum  intervalla,  eundem  orbem  descripsisse  reperiantur, 
concludendum  erit  hos  omnes  esse  unum  et  eundem  cometam,  in  eodem 
orbe  revolventem.  (*)  Et  tum  demum  ex  revolutionum  temporibus 
dabuntur  orbium  latera  transversa,  et  ex  his  lateribus  determinabuntur 
orbes  elliptici. 

In  hunc  finem  computandae  sunt  igitur  cometarum  plurium  trajectoriae, 
ex  hypothesi  quod  sint  parabolicae.  Nam  hujusmodi  trajectoriae  cum 
phaenomenis  sernper  congruent  quamproxirae.  Id  Hquet,  non  tantum  ex 
trajectoria  paraboKca  cometas  anni  1680,  qudm  cum  observationibus  supra 


(')  *  Jlc  denique.    Nota  sint  latera  recta  trlum  cessus  lateris  recti  in  plano  tertio  'supra  latus 

trajectoriarum  in  operatione  prima,  secunda  et  rectum    in   primo   ductus  in   n,    ideoque  erit 

tertia  descriptarum.      Designet  R,  latus  rectum  R  +  mr  —  mR  +  n^  —  nR,  verum  latus 

primae  trajectoria;,  r  secundas,  ^  tertiae,  et  trajec-  rectum.    Simili  modo  patet  datis  lateribus  trans- 

toriag  quam  cometa  describit  desideretur  verum  versis  in  operatione  prima,  secunda  et  tertia  re- 

latus  rectum  ;  per  regulam  falsaj  positionis  ea-  .^111 

dem   plane   methodo  quam  modo   adhibuimus  spective  — ,  — ,  — ,  esse  verum  latus  transversum 

poterit  inveniri.      Ut  obtineatur  vera  longitudo  1 

nodi,  additur  ejus  longitudini  in   primo  plano     trajectori»  T~JL \ — T~X — mi — T  * 

excessus  longitudinisassumptaj  in  planosecundo  "•                          •" 

supra  prajcedentem  ductus  in  m,  et  ut  habeatur  O  }  72.  *  Dato  autem  latere  transverso.      Ac- 

vera  inclinatio  plani  trajectorice  ad  planum  ecLp.  curate  descripta  cometc-e  trajectoria  (per  rnetho- 

tica?,  additur  incUnationi  plani  primi,   excessus  ^os   prajccd.)    si    deprehendatur   ellipsim    Soh's 

inclinationis  assumptac  in  plano  tortio  supra  in-  centro  tanquam  umbilico  descriptam,  non  vero 

chnationem  pracedentem  ductus  in  n.      Sed  tra-  parabolam    per   determinata  trajectoria;    puncta 

jectoria  cometas  ejusque  latus  rectum  corrigi  de-  transire,  cometa  in  orbem  redibit  et  dato  latere 

bent  tum  ob  correctam  longitudinem  nodi,  tum  transverso    trajectoriae    hujus,    dabitur   tempus 

ob   correctam   inchnationem   plani   ad   planum  periodicum ;    erit  scihcet,   quadratum  temporis 

echptica?,  quare  lateri  recto  trajectorioe  in  primo  periodici  cometae  ad  quadratum  temporis  perio- 

plano  descriptoe  sive  ipsi  R,  addi  debetmr— mR,  ^i"  Telkiris  circa  Sokm  ut  cubus  majoris  axis 

excessus  sciiicet  lateris  recti  in  plano  secundo  orbitae  cometicae  ad  cubum  majoris  axis  orbitae 

supra  latus  rectum  in  plano  primo  ductus  in  m.  terrestris  (160). 

Addere  insuper  oportet  n  g  —  u  R,  qui  est  ex-  (')  *  Et  tum  demum  (160). 

N  2 


190  PHILOSOPHIiE  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 

contuli;  sed  etiam  ex  ea  cometae  illius  insignis,  qui  annis  1664?  et  1665 
apparuit,  et  ab  Hevelio  observatus  fuit.  Is  ex  observationibus  suis  longi- 
tadines  et  latitudines  hujus  cometas  computavit,  sed  minus  accurate.  Ex 
iisdem  observationibus  Halleius  noster  (")  loca  cometas  hujus  denuo  com- 
putavit,  et  tum  demum  ex  locis  sic  inventis  trajectoriam  cometae  determi- 
navit.  Invenit  autem  ejus  nodum  ascendentem  in  n  2F^  13'.  55^\,  in- 
cUnationem  orbitos  ad  planum  eclipticae  21^^  18^  40'^  distantiam  perihelii 
a  nodo  in  orbita  49^''.  27'.  30''.  Perihelium  in  ^  8«'.  40'.  30".  cum  lati- 
tudine  austrina  heliocentrica  16^^  1'.  45".  Cometam  in  periheUo 
Novemb.  24**.  ll^.  52'.  p.  m.  tempore  sequato  Londini,  vel  13\  8'. 
Gedani,  stylo  veteri,  et  latus  rectum  parabolae  410286,  existente  mediocri 
Terrae  a  Sole  distantia  100000.  Quam  probe  loca  cometae  in  hoc  orbe 
computata  congruunt  cum  observationibus,  patebit  ex  tabula  sequente  ab 
Halleio  supputata. 


(")  *  Loca  comelfv  hvjus  denuo  comjmiavit.     Varias  computi  luijus  ineiuidi  methodos  5upi:d 
tradidimus. 


LiBER  Tertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA. 


191 


Temp.  appar. 
Gedani,  st.  veU 

Observatae  cometas  distantiae. 

Loca  observata. 

Loca  compu- 
tata  in  orbe. 

Decemb. 
'6\  18^.  29| 

a  Corde  Leonis 
a  Spica  Virginis 

gr.    '    " 
46.  24.  20 
22.  52.  10 

Long.    ^ 
Lat.  aust. 

7.     l.    0 
21.  39.     0 

:^ 

1 
gr. 
7.      1.   29 
21.   38.   50 

'\. 

18.      li 

a  Corde  Leonis 
a  Spica  Virginis 

46.     2.  45 
23.  52.  40 

Long.  ^ 
Lat.  aust. 

10.  15.     0 
22.  24.     0 

rCt 

10.    16.      5 
22.   24.     0 

7. 

17.  48 

a  Corde  Lcoiiis 
a  Spica  Virginis 

44.  48.     0 
27.  56.  40 

Long.  dcv 
Lat.  aust. 

3.     0.     0 
25.  22.     0 

:£^ 

3.      7.   33 

25.    21.   40 

17. 

14.   43 

a  Corde  Leonis 
ab  Huni.  Orionis 

dext. 

53.  15.  15 
45.  45.  30 

Long.  Sl 
Lat.  aust. 

2.  56.     0 
49.  25.     0 

a 

2.    56.     0 
49.   25.     0 

19. 

9.   25 

a  Prccyone 

a  Lucid.  Mandib. 

Ceii 

55.  13.  50 
52.  56.     0 

Long.  n 
Lat.  aust. 

28.  40.  50 
45.  48.    0 

n 

28.  43.     0 
45.  46.     0 

20. 

9.   531 

a  Procyone 

a  Lucid.  Mandib. 

Ceti 

40.  49.     0 
40.     4.     0 

Long.   n 
Lat.  aust. 

13.     3.     0 
39.  54.     0 

n 

15.     5.     0 
29.  53.     0 

21. 

9-     9} 

ab  Hum.  dext.  Orionis 
a  Lucid.  Mandib.  Ceti 

26.  21.  25 
29.  28.     0 

Long.  n 
Lat.  aust. 

2.  16.    0 
33.  41.     0 

n 

2.   18.   .30 
33.   39.   40 

22. 

9.     0 

ab  Hum.  dext.  Orionis 
a  Lucid.  Mandib.  Ceti 

29.  47.     0 
20.  29.  30 

Long.   y 
Lat.  aust. 

24.  24.     0 
27.  45.    0 

« 

24.   27.     0 
27.   46.     0 

26. 

7.  58 

a  Lucida  Arietis 
ab  Aldebataii 

23.  20.     0 
26.  44.     0 

Long.   ^ 
Lat.  aust. 

9.     0.    0 
12.  36.    0 

« 

9.      2.   28 
12.  34.    13 

27. 
28." 

6.   45 

a  Lucida  Arietis 
ab  Aldebaran 

20.  45.     0 
28.  10.  0 

Long.    ^ 
Lat.  aubt. 

7.     5.  40 
10.  23.    0 

« 

7.      8.    45 
10.   23.    13 

7.   39 

a  Lucida  Arietis 
a  Palilicio 

18.  29.     0 
29.  37.     0 

Long.   ^ 
Lat.  aust. 

5.  24.  45 
8.  22.  50 

« 

5.    27.    12 
8.    23.   37 

31. 

6.  45 

a  Cing,  Androm. 
a  Palilicio 

30.  48.  10 
32.  5Z.  30 

Long.   ^ 
Lat.  aust. 

2.     7.  40 
4.  13.     0 

« 

2.      8.   20 
4.    16.   25 

Jan.  1665. 

7.       7.  57^ 

a  Cing.  Androm. 
a  Palilicio 

25.  11.     0 
37.  12.  25 

Long.  cy^ 
Lat.  bor. 

28.  24.  47 
0.  54.     0 

op 

28.   24.     0 
0.   53.     0 

13. 
24. 

7.     0 
7.  29 

a  Capite  Androm. 
a  Palilicio 

28.     7.  10 
38.  55.  20 

Long.  cy) 
Lat.  bor. 

27.     6.  54 
3.     6.  50 

op 

27.     6.  39 
3.     7.   40 

a  Cin.  Androm. 
a  Paiilicio 

20.  32.     5 
40.     5.     0 

Long.  ty) 
Lat.  bor. 

26.  29.  15 
5.  25.  50 

op 

26.   28.   50 
5.    26.     0 

7. 

Feb. 

■     8.    37 

Long.  c\f> 
Lat.  bor. 

27.  24.  46 
7.     3.  26 

^ 

27.   24.   55 
7.     3.    15 

22. 

8.   46 

L(fng.  <Y> 
Lat.  bor. 

28.  29.  46 
8.  12.  36 

CY> 

28.   29.  58 
8.   10.   25 

1.        8.    IG 

Long.  op 
Lat.  bov. 

29.  18.  15 
8.  36.  26 

29.    18.  20 
8.   56.    12 

7. 

8.  37 

Long.  op 
Lat.  bor. 

0.     2.  48 
8.  56.  50 

« 

0,      2.   42 
8.   56.   56 

Mense   Februario  anni  ineuntis  1665,  stella  prima  Arietis  quam  in 
seqnentibus   vocabo  /,   erat  in  ^  28S'',  30'.  15'\  cum  latitudine  boreali 

N5 


192  PHILOSOPHI^  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 

I^,  8'.  5S'\  seeunda  Arietis  erat  iu  ^  29^.  17'.  18^  cum  latitudine  boreali 
8^^  28'.  16''.  et  stella  quaedam  alia  septimae  magiiitudinis,  quam  vocabo  A, 
erat  in  'Y^  28^^  24'.  45".  cum  latitudine  boreali  8^'.  28'.  33".  Cometa  vero 
Feb.  T^.  7'.  30".  Parisiis  (id  est  Feb.  7^^.  8'.  37".  Gedani)  st.  vet.  trian- 
gulum  constituebat  cum  stellis  illis  7  et  A  rectangulum  ad  7.  Et  distart- 
tia  cometse  a  stella  7  eequalis  erat  distantia3  stellarum  7  et  A,  id  est 
l^.  19'.  46''.  in  circulo  magno,  atque  ideo  ea  erat  P*".  20'.  26".  in  parallelo 
latitudinis  stellae  7.  Quare  si  de  longitudine  stellae  7  detrahatur  longitudo 
1»^.  20'.  26".  manebit  longitudo  cometae  nn  27^'.  9'.  49".  Auzoutius  ex 
hac  sua  observatione  cometam  posuit  in  T'  27®'".  0'.  circiter.  Et  ex 
schemate,  quo  Hookius  motum  ejus  delineavit,  is  jam  erat  in  nn  26^.  59'.  24". 
Ratione  mediocri  posui  eundem  in  *Y^  27^".  4'.  46".  Ex  eadem  observa- 
tione  Auzoutius  latitudinem  cometcs  jam  posuit  7^'.  et  4'.  vel  5'.  boream 
versus.  Eandem  rectius  posuisset  7'^''.  3'.  29".  existente  scilicet  difFeren- 
i\k  latitudinum  cometas  et  stellas  7  aequali  differentise  longitudinum  stella- 
rum  7  et  A. 

Feb.  22^^.  7^  30'.  Londini,  id  est  Fcb.  22^  8^.  46'.  Gedani,  distantia 
comctae  a  stella  A,  juxta  observationem  Hookii  a  seipso  in  schemate  deli- 
neatam,  ut  et  juxta  observationes  Auzoutii  a  Petito  in  schemate  dehneatas, 
erat  pars  quinta  distantiae  inter  stellam  A  et  primam  Arietis,  seu  15'.  57". 
Et  distantia  cometae  a  linea  jungente  stellam  A  et  primam  Arietis  erat  pars 
quarta  ejusdem  partis  quintae,  id  est  4'.  Ideoque  cometa  erat  in  *Y*  .  8^^ 
29'.  46".  cum  lat.  bor.  8^'".  12^  36". 

Mart.  l^.  7^.  0'.  Londini,  id  est  Mart.  l^.  8^.  16'.  Gedani,  cometa 
observatus  fuit  prope  secundam  Arietis,  existente  distantia  inter  eosdem 
ad  distantiam  intcr  primam  et  secundam  Arietis,  hoc  est  ad  W,  33'.  ut  4 
ad  45  sccundum  Hookium,  vel  ut  2  ad  23  secundum  Gottignies.  Unde 
distantia  cometae  a  secunda  Arietis  erat  8'.  16".  secundum  Hookium,  vel 
8'.  5".  secundum  Gottignies,  vel  ratione  mediocri  8'.  10".  Cometa 
vero  secundum  Gottignies  jam  modo  praetergressus  fuerat  secundam 
Arietis  quasi  spatio  quartae  vel  quintae  partis  itineris  uno  die  confecti,  id 
estl'.  S5'\  circiter  (quocum  satis  consentit  Auzoutius)  vel  paulo  minorem 
secundum  Hookium,  puta  1'.  Quare  si  ad  longitudinem  primae  Arietis 
addatur  1'.  et  ad  latitudinem  ejiis  8'.  10".  habebitur  longitudo  cometae 
^  29«^  18'.  et  latitudo  borealis  8^.  36'.  26". 

Mart.  I^.  7^.  30'.  Parisiis  (id  cst  Mart.  7^^.  8\  37'.  Gedani)  ex  observatio- 
nibus  Auzoutii  distantia  cometae  a  secunda  Arietis  aequalis  erat  distantiae  se- 
cundae  Arietis  a  stella  A,id  est  52'.  29".  Et  differentia  longitudinum  cometae 
et  secundae  Arietis  erat  45'.  vel  46',  vel  ratione  mediocri  45'.  30".  ideoque 


LiBER  Tertius.]    PRINCIPIA  MATHEMATICA.  193 

cometa  erat  in  «  0^*".  2^  48^'.  Ex  schemate  observationum  Auzoutii,  quod 
Petitus  construxit,  Hevelius  deduxit  latitudinem  cometae  8^'".  54'.  Sed 
sculptor  viam  cometae  sub  finem  motus  ejus  irregulariter  incurvavit,  et 
Hevelius  in  schemate  observationum  Auzoutii  a  se  constructo  incurva- 
tionem  irregularem  correxit,  et  sic  latitudinem  cometse  fecit  esse  8^^ 
55\  30'^  Et  irregularitatem  paulo  magis  corrigendo,  latitudo  evadere 
potest  8^''.  56' ,  vel  8^^  51\ 

Visus  etiam  frjt  hic  cometa  Martii  die  9,  et  tunc  locari  debuit  in 
«  O^.  18'.  cum  lat.  bor.  9^''.  3^'  circiter. 

Apparuit  hic  cometa  menses  tres,  signaque  fere  sex  descripsit,  et  uno 
die  gradus  fere  vigjnti  confecit.  Cursus  ejus  a  circulo  maximo  plurimum 
deflexit,  in  boream  incurvatus ;  et  motus  ejus  sub  finem  ex  retrogrado 
factus  est  directus.  Et  non  obstante  cursu  tam  insolito,  theoria  a  princi- 
pio  ad  finem  cum  observationibus  non  minus  accurate  congruit,  quam 
theoriae  planetarum  cum  eorum  observationibus  congruere  solent,  ut  in- 
spicienti  tabulam  patebit.  Subducenda  tamen  sunt  minuta  duo  prima 
circiter,  ubi  cometa  vclocissimus  fuit ;  id  quod  fiet  auferendo  duodecim 
minuta  secunda  ab  angulo  inter  nodum  ascendentem  et  perihehum,  seu 
constituendo  (^)  angulum  illum  49^^  27'.  18''.  Cometae  utriusque  (et 
hujus  et  superioris)  parallaxis  annua  insignis  fuit,  (^)  et  inde  demonstratur 
motus  annuus  Terrae  in  orbe  magno. 

Confirmatur  etiam  thfcoria  per  motum  cometae,  qui  apparuitanno  1683. 
Hic  fuit  retrogradus  in  orbe,  cujus  planum  cum  plano  eclipticae  angulum 
fere  rectum  continebat.  Hujus  nodus  ascendens  (computante  Halleio) 
erat  in  '^  23^^  23'. ;  inclinatio  orbitae  ad  eclipticam  83^'",  ll^ ;  perihehum 
in  n  25^*".  29'.  30". ;  distantia  perihelia  a  Sole  56020,  existente  radio 
orbis  magni  1 00000,  et  tempore  perihelii  Juhi  2*^.  3*^.  50'.  Loca  autem 
cometae  dn  hoc  orbe  ab  Halleio  computata,  et  cum  locis  a  Flamstedio 
observatis  collata,  exhibentur  in  tabula  sequente. 


(*)  *Angulum  illum  inter  nodum  ascenden-  nutis  primis  circiter  ex  observationc  cometae,  ubi 

tem  et  perihelium  invencrat  Halleius  49°.27'.30".  motus  ejus  velocissimus  fiiit,  colligitur. 

constituto  autem  angulo  illo  49°.  21'.  18".  com-  (^)  *  Et  inde  tieinonslratur.  f      Qua  ratione 

j)utationibusque  repetitis,  subducta  inveniuntnr  aimua  cometarum  parallaxis  cum  TcUuris  quiete 

duo  miiuUa  prima  circiter,  ut  oportet,  et  thcoria,  concihari  possit,  legatur  apud  Ricciolium  in  Al- 

a  principio  ad  finem  cum  observationibus  con-  magcsto,   Tacquetum  in    Astronomia,   ah'osque 

gruit.     Corrigendam  esse  theoriara  duobus  mi-  passim,  ubi  de   planetarum   reirogradatiouibus 

agunt. 


N  1 


194? 


PHILOSOPHI^.  NATURALIS  [De  MuxNd.  Syst. 


1683. 

Locus  Solis 

Cometae 

Lat.  Bor. 

Cometaj 

Lat.  Bor. 

DifFer. 

Differ. 

Temp.  ^quat. 

Long.  Comp. 

Comp. 

Long.  Obs. 

Observ. 

Long. 

Lat. 

d.     h.     ' 

gr.    '  " 

gr.     '     " 

gr.     '     " 

gr.     '    " 

gr.     '     " 

,     /, 

r      „ 

m.l3.  12.  55 

^     1.   2.30 

25  13.     5.  42 

29.  28.  13 

05  13.    6.  42 

29.  28.  20 

4-1.    0 

+  0.     7 

15.  11.  15 

2.   5.12 

11.  37.     4 

29.  34.     0 

11.59.43 

29.  54.  50  4-  1-  55 

+  0.  50 

17.  10.  20 

4.45.45 

10.     7.     6 

29.  33.  50 

10.    8.40 

29.  54.    0  A 

[-  1.  54 

+  0.  30 

.    23.  13.  40 

10.58.21 

5.  10.  27 

28.  51.  42 

5.  11.50 

28.  50.  28 

4 

H.     3 

—  1.  14 

25.  14.     5 

12.35.28 

3.  27.  53 

24.  24.  47 

3.  27.    0 

28.  25.  40 

—  0.  53 

—  1.     7 

51.     9.  42 

18.   9.22 

n  27.  55.     3 

26.  22.  52 

n  27.  54.  24 

26.  22.  25 

—  0.  39 

—  0.  27 

31.  14.  55 

18.21.53 

27.  41.     7 

25.  16.  57 

27.41.     8126.  14.  50' 4- 0.     1 

—  2.     7 

Aug.2.  14.  56 

20.17.16 

25.  29.  32 

25.  16.  19 

25.  28.  46 

25.  17.  28  —0.  46 

+  L     9 
-f  1.  50 

4.  10.  49 

22.  2.50 

25.  18.  20 

24.  10.  49 

23.  16.  55 

24.  12.  19  —  1.  25 

6.  10.     9 

23.56.45 

20.  42.  23 

22.  47.     5 

20.  40.  52 

22.49.    5  —  1.  51 

+  2.     0 

9.  10.  26 

26.50.52 

16.     7.  57 

20.     6.  37 

16.     5.  55 

20.    6.  ]0;— 2.     2 

—  0.  27 

15.  14.     1 

t1J2    2.47.13 

3.  30.  48 

11.  37.  33 

3.  26.  18 

11.52.     1 

—  4.  50 

—  5.  32 

16.  15.  10 

3.48.    2 

0.  43.     7 

9.  34.  16 

0.  41.  55 

9.  34.  15 

—  1.  12 

—  0.     5 

18.  15.  44 

5.45.53 

^  24.  52.  53 

5.  11.  15 
Austr. 

«  24.  49.     5 

5.    9.  U 
Aust. 

—  3.  48 

—  2.     4 

22.  14.  44 

9.35.49 

11.     7.  14 

5.  16.  58 

11.    7.  12 

5.  16.  58 

—  0.     2 

—  0.     5 

23.  15.  52 

10.36.48 

7.     2.  18 

8.  17.     9 

7.     1.  17 

8.  I6.41I— 1.     1 

—  0.  28 

26.  16.     2 

13.51.10 

<Y>  24.  45.  31 

16.  58.     0 

<Y>  24.  44.    016.  38.  20}  —  1.  51 

4-0.  20 

Confirmatur  etiam  theoria  per  motum  cometse  retrogradi,  qui  apparuit 
anno  1682.  Hujus  nodus  ascendens  (computante*  Haileio)  erat  in  b  21^'". 
16'.  30\  Inclinatio  orbitae  ad  planum  eclipticse  \T-\  m',  0''.  Peri- 
helium  in  ^  9F,  52\  50'\  Distantia  perilielia  a  Sole  58328,  existente 
radio  orbis  magni  100000.  Et  tempus  asquatum  perihelii  Sept.  4*^.  7^.  39'. 
Loca  vero  ex  observationibus  Flamstedii  computata,  et  cum  locis  per 
theoriam  computatis  collata,  exhibentur  in  tabula  sequente. 


1682. 

Locus  Solis 

Cometaj 

Lat.  Bor.     Cometa; 

Lat.  Bor. 

Differ. 

Differ. 

Temp.  Appar. 

Long.  Comp. 

Comp.    I  Long.  Obs. 

Observ. 

Long. 

Lat. 

d.  h.   ' 

gr.   '   " 

gr.    '      " 

gr.     '     " 

gr. 

gr.    '     " 

'     " 

'     " 

Aug.  19.16.38 

fl^    7.  0.   7 

Sl  18.  14.  28 

25.50.   7 

Sl  18.14.40 

25.49.55 

—  0.  12 

4-0.  12 

20.15.38 

7.55.52 

24.  46.  23 

26.14.42 

24.46  22 

26.12.52 

+  0.     1 

4-1.  50 

21.   8.21 

8.36.14 

29.  57.  15 

26.20.   3 

29.38.    2 

26.17.37 

—  0.  47 

4-  2.  26 

22.  8.    8 

9.33.55 

Wl    6.  29.  53 

26.    8.42 

1TR    6.30.    3 

26.   7.12 

—  0.  10 

--  1.  30 

29.   8.20 

16.22.40 

^.12.  37.  54 

18.37.47 

=n,  12.57.49 

18.34.   5 

4-  0.     5 

--3.  42 

50.   7.45 

17.19.41 

15.  35.     1 

17.26.45 

15.55.18 

17.27.17 

-\-0.  45 

—  0.  34 

Sept.     1.   7.33 

19.16.    9 

20.  30.  53 

15.13.   0 

20.27.   4 

15.   9.49 

4-3.49 

-{•5.  11 

4.   7.22 

22.11.28 

25.  42.     0 

12.23.48 

25.40.58 

12.22.  0 

4-1.     2 

4-  1.  48 

5.   7.32 

25.10.29 

27.     0.  46 

11.33.    8 

26.59.24 

11.33.51 

-f  1.  22 

-—0.  43 

8.   7.16 

26.   5.58 

29.  58.  44 

9.26.46 

29.58.45 

9.26.45 

—  0.     1 

4-0.     5 

9.    7.2n 

27.   5.   9 

nx   0.  44.   10 

8.49.10 

m    0.44.    4 

8.48.25 

4-0.     6 

-{-  0.  45 

Confirmatur  etiam  theoria  per  motum  retrogradum  cometae,  qui  appa» 
ruit  anno  1 723.  Hujus  nodus  ascendens  (computante  D.  Bradleo,  Astro- 
nomiaj  apud  Oxonienses  Professore  Saviliano)  erat  in  '^  14^^  16'.  Incli- 
natio  orbitae  ad  planum  eclipticae  ^QS'.  59'.  Perihehumin  «  12«^  15'.  20". 
Distantia  perihelia  a  Sole  998651,  existente  radio  orbis  magni  1000000, 
et  teinpore  asquato  pcrihelii  Sept.  16^  16''.  10'.     Loca  veio  comctie  in 


LiBER  Tertius.]    PRINCIPIA   MATHEMATICA. 


195 


lioc  orbe  a  Bradleo  computata,  ct  cum  locis  a  seipso  et  patruo  suo 
D.  Poundio,  et  a  D.  Halleio  observatis  collata  cxhibentur  in  tabula 
sequente. 


1723. 

Comet.  Long. 

.  Lat.  Bor. 

Coniet.  Long. 

Lat.  Bor. 

Differ. 

DJffer. 

Tcrapus  iEquat. 

Observat. 

Observat. 

Comput. 

Comput. 

Long. 

Lat. 

d. 

h.    ' 

o      '     " 

o    '      " 

o     '       " 

o        '     " 

" 

" 

Oct,    9. 

8.     5 

-  7.  22.  15 

5.    2     0 

;X;r   7.  21.  26 

5.     2.  47 

+  49 

~  47 

10. 

6.  21 

6.  41.  12 

7.44.  13 

6.  41.  42 

7.  43.  18 

—  50 

+  55 

12. 

7.  22 

5.  39.  58 

11.55.    0 

5.  40.  19 

11.  54,  55 

—  21 

+     5 

14. 

8.  57 

4.  59.  49 

14.  43.  50 

5.     0.  37 

14.  44.     1 

—  48 

—   11 

15. 

6.  55 

4.  47.  41 

15.40.51 

4.  47.  45 

15.  40.  55 

—      4 

—      4 

21. 

6.  22 

4.     2.  32 

19.41.49 

4.     2.  21 

10.  42.     5 

+    11 

—    14 

22. 

6.  24 

3.  59.     2 

20.    8.12 

3.  59.  10 

20.     8.  17 

—     8 

—      5 

24. 

8.     2 

3.  55.  29 

.20.55.18 

3.  55.  11 

20.  55.     9 

+  18 

+      9 

29. 

8.  56 

3.  56.  17 

22.  20.  27 

3.  56,  42 

22.  20.  10 

—  25 

+     7 

30. 

6.  20 

3.  58.     9 

22.  32.  28 

3.  58.  17 

22.  32.  12 

—     8 

+   16 

Nov.  5. 

5.  53 

4.  16.  30 

23.  38.  33 

4.  16.  23 

23.  38.     7 

+     7 

+   26 

8. 

7.     6 

4.  29.  36 

24.    4.30 

4.  29.  54 

24.     4.  40 

—  18 

—    10 

14. 

6.  20 

5.     2.  16 

24.  48.  46 

5.     2.  51 

24.  48.     6 

—  35 

-f   30 

20. 

7.  45 

5.  42.  20 

25.  24.  45 

5.  43.  13 

.25.  25.  17 

—  53 

—  32 

Dec.     7. 

6.  45 

8.     4.  1'3 

26.54.18 

8.     3.  55 

26.  53.  42 

4-  18 

4-  36 

His  exemplis  abunde  satis  manifestum  est,  quod  motus  cometarum  per 
tlieoriam  a  nobis  expositam  non  minus  accurate  exhibenlur,  quam  solent 
motus  planetarum  per  eorum  theorias.  (^)  Et  propterea  orbes  cometarum 
per  hanc  theoriam  enumerari  possunt,  et  tempus  periodicum  cometaa  in 
quolibet  orbe  revolventis  tandem  sciri,  et  tum  demum  orbium  ellipticorum 
latera  transversa  et  apheliorum  altitudines  innotescent. 

Cometa  retrogradus,  qui  apparuit  anno  1607,  descripsit  orbem,  cujus 
nodus*  ascendens  (computante  Halleio)  erat  in  b  20^\  2V.;  inchiiatio 
plani  orbis  ad  planum  eclipticoe  erat  17^^  2^;  perihehujn  erat  in  ^  2^^  16'.; 
et  dietantia  periheha  a  Sole  erat  58680,  existente  radio  orbis  magni 
1 00000.  Et  cometa  erat  in  periheho  Octob.  16^.  S^\  50'.  Congruit  hic 
orbis  quamproxime  cum  orbe  cometae,  qui  apparuit  anno  1682.  Si 
cometai  hi  duo  fuerint  unus  et  idem,  revolvetur  hic  cometa  spatio  anno- 
rum  75,  (*)  et  axis  major  orbis  ejus  erit  ad  axem  majorem  orbis  magni, 
ut  a/  c  :  75  X  75  ad  1,  seu  1778  ad  100  circiter.  (^)  Et  distantia 
aphelia  cometae  hujus  a  Sole,  erit  ad  distantiam  mediocrem  Terras  a  Sole, 
ut  35  ad  1  circiter.     i^)  Quibus  cognitis,  haud  difficile  fuerit  orbem  eUip- 

C^)  *   Et  propterea.      Quomodo  ha;c  omnia  100,  ac  proinde  distantia  aphelia  quas  cst  diffe- 

fieri  possint,  variis  methodis  supra  exposuimus.  rentia   inter   axem    majorem   orbitaj    cometicaj 

(*)  *  Et  axis  major  orbis  ejus  erit  ad  axem  1778  et  distantiam  periheliara  29,  erit  earumdem 

majorem   orbis  magni  ut  radix  cubica  numeri  partium  1749,  ideoque  distantia  aphelia  cometa; 

75  X  75  ad  1  (172).  Iiujus  a  Sole  erit  ad  distantiam  mediocrem  Ttn:c 

C^)  *  Et  distantia  aphelia.     Quoniam  distantia  a  iSole  ut  1749  ad  29,  hoc  est,  ut  55  ad  1  cu-- 

pcrihelia  comet»  a   Sole  erat  58680,  existeiite  citer. 

radio  orbis  magni   lOOUOO  erit  eadem  distantia         ^)    *    Quibus   cognilis.       (Per    Prou.    XX. 

perilielia  29,  circiter  existenle  radio  orbis  magni  Lib.  I.). 


196 


PHILOSOPHI^  NATURALIS  [De  Mund.  Syst. 


ticum  cometae  hujus  determinare.  Atque  haec  ita  se  habebunt,  si  cometa, 
spatio  annorum  septuaginta  quinque,  in  hoc  orbe  posthac  redierit.  Come- 
tae  rehqui  majori  tempore  revolvi  videntur  et  altiiis  ascendere. 

Caeterum  cometae,  ob  magnum  eorum  numerum,  et  magnam  apheho- 
rum  a  Sole  distantiam,  et  longam  moram  in  apheliis,  per  gravitates  in  se 
mutuo  nonnihil  tiu-bari  debent,  et  eorum  eccentricitates  et  revolutionum 
tempora  nunc  augeri  ahquantulum,  nunc  diminui.  Proinde  non  est  ex- 
pectandum  ut  cometa  idem  in  eodem  orbe,  et  iisdem  temporibus  periodicis 
accurate  redeat.  Sufficit  si  mutationes  non  majores  obvenerint,  quam 
quse  a  causis  praedictis  oriantur. 

Et  hinc  ratio  redditur,  {^)  cur  cometse  non  comprehendantur  zodiaco 
more  planetarum,  sed  inde  migrent  et  motibus  variis  in  omnes  coelorum 
regiones  ferantur.     Scihcet  eo  fine,  ut   in  aphehis  suis,  ubi  tardissiine 


C)  173.  *  Cur  cometa:  non  comprehcndanlvr 
zodiaco-  Ex  observato  scepe  soepius  comctarum 
ciirsu  retrogrado  deduxit  Ncwtonus  cometas 
non  comprehendi  zodiaco  more  planetarum,  sed 
inde  raigrare  et  motibus  variis  in  omnes  coclo- 
1-um  regiones  excurrere.  Attamen  clariss.  Cas- 
sinus  in  Monum,  Paris.  an.  1731.  retrogrados 
cometarum  motus  ad  directos  reduxit.  Veriim 
eo  artiiicio  utitur  vir  doclissimus  ut  distantiam 
cometai  a  Terra  vel  Sole  pro  arbitrio  assumat,  et 
modo  Tellurem  intcr  Solem  et  cometam,  modo 
cometam  inter  Solem  et  Tellurem  ac  denique 
Solem  inter  cometam  et  Teilurem,  pro  necessi- 
tate,  collocet.  Q,ua  ratione  id  fieri  possit  non 
satis  intelligitur,  nisi  ignota  omnino  fingatur 
cometarum  theoria  ;  concesso  enim  aiiquo  come- 
tarum  systemate,  distantias  illas  pro  lubitu  usur- 
pare  non  licet,  sed  ex  datis  motuum  elementis, 
cometarura  distantia  totaque  trajectoria  deter- 
minantur.  Sic  Halleius  definivit  trajectoriam 
cometae  qui  annis  1664.  et  1665.  apparuit.  Ut 
autem  retrogradum  hujus  cometas  motura  ad 
directum  redixcat  clariss.  Cassinus,  talem  huic 
cometae  motum  tribuit  qui  cum  Halleii  computo 
nequaquam  convenit.  Q,uam  probe  tamen  cum 
observationibus  theoria  congruat,  ostendit  tabula 
paulo  ante  exhibita.  Quamvis  itaque  retrogrados 
cometarum  motus  ad  directos  ingeniosa  arte  re- 
duxerit  Cassinus,  non  id  tamen  satis  esse  arbitra- 
mur  ut  eam  rejiciami:s  cometarum  thcoriam  quas 
phaenomenis  apprime  respondet,  atque  incerti 
sine  ulla  theoria  erreinus.  Praeterea  talem  orbi- 
tam  praedicto  cometce  assignat  Cassinus  ut  extra 
orbem  anauum  fere  non  excurrat ;  quod  si  res  ita 
se  haberet,  hic  cometa  in  conspectum  cito  rediis- 
set,  cometas  enim  ad  maximam  quoque  distan- 
tiam  conspicuos  esse  constat  ex  defectu  paral- 
laxeos.  Nec  feliciori  successu  ad  motum  direc- 
tum  reduci  posse  videtur  motus  retrogradus 
cometae  an.  1680.  Nam  praiter  quam  quod  om- 
nem  cometarum  theoriam  fictis  ad  arbitrium  hy- 
pothesibus  everti  necesse  sit,  in  explicatione  Cas- 
sini   gravissima    occurrit   difficultas   cujus   vira 


totam  scnsit  clariss.  vir.     Oporteret  scilicet  ut 
cometa   ille  paulo  ante    27.   diem    Novcmbris 
per  nodum    descendentem    transierit   et   vcrsus 
diem    J7.    Decembris   ad   nodum   ascendentem 
pervenerit,  ideoque  cometa  breviori  quam  unius 
mensis  intervalio,  totum  spatium  quod  est  infra 
planum  eclipticae  trajecisset.      Porro  tanta  velo- 
ci'as  caret  verisimilitudine,  nec  concihari  posse 
videtur   cum   observatis   longo   temporis  spatio 
hujus  comet^  motibus;  hic  enim  astronomorum 
oculis  cilo  sese  subduxisset,     Singulas  expUca- 
tiones  quai  in  loco  cit.  Monum.  Paris.  leguntur 
percurrere  longiiis  foret,  satis  erit  addere  eas  hoc 
potissimum  fine  excogitatas  fuisse  ut  nempe  ser- 
varetur    et    a   gravissima  objectione  liberaretur 
vorticura  hypotiiesis.    Verum  his  explicationibus 
CKJteroquin  ingeniosissimis  nondura  taii^n  pro- 
positus  finis  obtineri  videtur;  hanc  enim  diffi- 
cultatein  elFugienies  vorticum  patroni,  in  alium 
incurrunt.     Oporteret  siquidem   ut  cometarum 
vortices  ipsum  saltem  Telluris  vorticem  inte rse- 
carent,  quod  sine  vorticum  perturbatione  ac  tan- 
dem  destructionefieri  posse  non  intelligitur.  Alias 
bypotheses  finxerunt  alii.      Q,uidam  cometas  ha- 
bucrunt  tanquam  planetas  non  circa  Solem  nos- 
trum,  sed  circa  aiium  velut  centrum  revolventes. 
NonnuUi  eos  habuerunt  velut  satellites  planetae 
cujusdara  primarii  in  nostro  vortice  coiibtituti, 
qui  tamen  ob  maximam  ilUus  a  nobis  distantiam 
coaspici  non  potest,  ita  ut  cometae  seu  satellites 
sese  nobis  duntaxat  conspicuos  prasbeant,  dura 
in  infcriori  et  Tellurisproximiori  orbitarum  sua- 
rum  parte  versantur.     Sed  a  Nevk'toniana  come- 
tarum    thcoria,    quce   phtenomenis   consentanea 
est,  nequaquam  nos  removere  debent  hypotheses 
illa;  quas  eam  duntaxat  ob  causam  subtiliter  in- 
venta;  sunt   ut  servaretur  vorticum  hypothesis, 
quam  aliis  multis  difficultalibus  premi   passim 
ostendimus.      CaBterum  quidquid  de  hac  materia 
diximus,  et  ipsa,  prout  nobis  visum  est,  rei  veri- 
tas  etj<;ommentatorum  officium  a  nolus  pustula- 
bant. 


LiBER  Tertius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  197 

moventur,  quam  longissime  distent  ab  invicem,  et  se  mutuo  quam  minime 
trahant.  Qua  de  causa  cometJe,  quia  altius  descendunt,  idcoque  tardis- 
simo  moventur  in  apheliis,  debent  altius  ascendere. 

Cometa,  qui  anno  1680  apparuit,  minus  distabat  a  Sole  in  perihelio 
suo  quam  parte  sexta  diametri  Solis ;  et  propter  summam  velocitatem  in 
vicinia  illa,  et  densitatem  aiiquam  atmosphasrae  Solis,  resistentiam  nonnul- 
lam  sentire  debuit,  et  aliquantulum  retardari,  et  propius  ad  Solem  acce- 
dere  :  et  singulis  revolutionibus  accedendo  ad  Solem,  incidet  is  tandem  in 
corpus  Solis.  Sed  et  in  aphelio  ubi  tardissime  movetur,  ahquando  per 
attractionem  aliorum  cometarum  retardari  potest,  et  subinde  in  Solem  in- 
cidere.  (®)  Sic  etiam  stellas  fixae,  quas  pauktim  expirant  in  lucem  et 
vapores,  cometis  in  ipsas  incidentibus  refici  possunt,  et  novo  alimento  ac- 
censae  pro  stelHs  novis  haberi.  Hujus  generis  sunt  stellse  fixas,  quae 
subito  apparent,  et  sub  initio  quam  maxime  splendent,  et  subinde  paula- 
tim  evanescunt.  Talis  fuit  stella  in  cathedra  Cassiopeiae  quam  Cornelius 
Gemma  octavo  Novembris  1572,  lustrando  illam  cceli  partemnocte  sere- 
na  minime  vidit;  at  nocte  proxima  (Novemb.  9.)  vidit  fixis  omnibus 
splendidiorem,  et  luce  sua  vix  cedentem  Veneri.  Hanc  Tycho  Brahaeus 
vidit  undecimo  ejusdem  mensis  ubi  maxime  splenduit ;  et  ex  eo  tempore 
paulatim  decrescentem  et  spatio  mensium  sexdecim  evanescentem  observa- 
vit.  Mense  Novembri,  ubi  primiim  apparuit,  Venerem  luce  sua  aequabat. 
Mense  Decembri  nonnihil  diminuta  Jovem  aequare  videbatur.     Anno 

(*)  174.  •  Sic  ctiam  stellce Jixce.     Dc  stcUarum  si  ponamus  circa  stellam  comprcssam  revolvere 

variationibus  nonnulla  hic  affereraus  qujE  habet  planetam  aliquam  ingentis  molis  aut  cometam  in 

clariss.  D.  de  Maupertuis  in  eximio  Opusculo  de  orbita  valde  excentrica  et  ad  a^quatorem  stella; 

Figuris  Astrorum  et  in  Mon.  Paris.  ait.  1734.  inchnata;    in   hac  enim  hypothesi,    planeta  ad 

Fixas,  qua?  sunt  totidem   Soles,   variis  donatas  perihelium  suum  accedens  juxtaattractionis  leges 

esse  figuris  et  ex  iis  aliquas  ad  figuram  planam  inclinationcm  fixa;  planaj  perturbabit,  et  hinc  fieri 

vel  planiticm  accedere  non  repugnat.     Nam  a  poterit  ut  partem  lucidam  disci  nobis  obversam 

spha?roide  propemodum  sphaerico  per  innumeros  conspiciamus,  quas  ob  exiguam  lateris  compressi 

gradus  depressionis  vqfsus  polos  tandcm  deveni-  crassitiem  oculos  nostros  antea  eflTiigiebat.     Ex 

tur  ad  planum   circulare,  si   continuo  varietur  his  quoque  intelligitur  fieri  posse  ut  circa  plai^e- 

ratio  vis  centrifugse  ad  gravitatem,  ut  patet  ex  tam  congregetur  annulus  Saturniannulo  similis, 

num.  56.     His  positis,  ratio  reddi  poterit  cur  sinempe  cometa  cujus  caudaex  vaporibus  tenuis- 

fixa)  quaidam  nunc  appareant,  nunc  evanescant,  simis  acstu  Solis  in  perihelio  elevatis  componitur, 

cur    mutetur    apparens    stellarum    quarumdara  ad  planetam  aliquem  maxime  potentem  proxime 

magnitudo,    nec   non    etiam    cur  stellse  aliquae  accederet.     Hic  enim  vaporum  torrens  attrac- 

quasi   recens  accensae  oriri  visae  sint,   quasdam  tionis  vi  ad  revolvendum  circa.planetam  annuli 

vero  quasi  extinctae  videri  desierint.     Si  in  stel-  instar  posset  detorqueri ;  imo  impossibile   non 

larum   numero  reperiantur  aliquae   ad  figuram  foret  ipsum  quoque  corpus  cometae  circa  plane- 

planam  accedentes,  illae  dum  faciem  suam  nobis  tam    rapi    et    sic   planeta  satellitem   acquireret. 

obvertunt,    sphjerarum  instar   apparebunt.       Si  Habcret  autem  planeta  satellitem  sine  annulo,  si 

autem  respectu  nostri  situm  suum  n\utent,  magis  cometa  destitueretur  cauda,  sed  adjicietur  etiam 

vel  minus  stellarum  illarum  splendor  decrescet,  annulus,  si  cometa  caudam  habuerit,  atque  an- 

prout  hoc  vel  illo  modo  sese  nobis  ostendent,  ac  nulus  aderit  sine  satellite,  si  cauda  duntaxat  a 

tandem  exiguaj  crassitiei  latus  exhibeant  et  satis  planeta,   attrahatur.      Haec   sunt  quce  ad    hunc 

longe  a  nobis  distent,  conspectui  nostro  sese  om-  Newtoni  locum  praecipue  referuntur  ;  captonun 

nino  subducent.    Quomodo  autem  fixae  respectu  in  laudatis  opusculis  elegantissima  sunt  Proble- 

aostri  positionem  suimi  mutent,  explicari  potest,  mata  quK  consulat  kctor. 


198  PHILOSOPHL^  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 

1573,  mense  Januario  minor  erat  Jove  et  major  Sirio,  cui  in  fine  Februarii 
et  Martii  initio  evasit  sequalis.  Mense  Aprili  et  Maio  stellis  secundae 
magnitudinis,  Junio,  Julio  et  Augusto  stellis  tertise  magnitudinis,  Septem- 
bri,  Octobri  et  Novembri  stellis  quartae,  Decembri  et  anni  1574<  mense 
Januario  steilis  quintae,  et  mense  Februario  stellis  sextos  magnitudinis 
aiqualis  videbatur,  et  mense  Martio  ex  oculis  evanuit.  Color  illi  ab 
initio  clarus,  albicans  ac  splendidus,  postea  flavus,  et  anni  1573  mense 
Martio  rutilans  instar  Martis  aut  stellae  Aldebaran,  Maio  autem  altitudi- 
nem  sublividam  induxit,  qualem  in  Saturno  cernimus,  quem  colorem 
usque  in  iinem  servavit,  semper  tamen  obscurior  facta.  Talis  etiam  fuit 
stella  in  dextro  pede  Serpentarii,  quam  Kepleri  discipuli  anno  1604-,  die 
30  Septembris  st.  vet.  apparere  coepisse  observarunt,  et  luce  sua  stellam 
Jovis  superasse,  cum  nocte  praecedente  minime  apparuisset.  Ab  eo  vero 
tempore  paulatim  decrevit,  et  spatio  mensium  quindecim  vel  sexdecim  ex 
oculis  evanuit.  Taii  etiam  stella  nova  supra  modum  splendente  Hip- 
parchus  ad  iixas  observandas  et  in  catalogum  referendas  excitatus  fuisse 
dicitur.  Sed  fixae,  qu^  per  vices  apparent  et  evanescunt,  quaeque  paula- 
tim  crescunt,  et  luce  sua  fixas  tertjae  magnitudinis  vix  unquam  superant, 
videntur  esse  generis  alterius,  et  revolvendo  partem  lucidam  et  partem 
obscuram  per  vices  ostendere.  Vapores  autem,  qui  ex  Sole  et  stellis 
fixis  et  caudis  cometarum  oriuntur,  incidere  possunt  per  gravitatem  suam 
in  atmosphaeras  planetarum  et  ibi  condensari  et  converti  in  aquam  et 
spiritus  humidos,  et  subinde  per  lentum  calorem  in  sales,  et  sulphura,  et 
tincturas,  et  limum,  et  lutum,  et  argillam,  et  arenam,  et  lapides,  et  coralla, 
et  substantias  alias  terrestres  paulatim  migrare. 

SCHOLIUM  GENERALE. 

• 
(^)  Hypothesis  vorticum  multis  premitur  difficultatibus.      Ut  planeta 

unusquisque  radio  ad   Solem   ducto  areas  describat  tempori  proportio- 

nales,    tempora    periodica   partium   vorticis  deberent   esse  in  duplicata 

ratione   distantiarum   a    Sole.       Ut  periodica  planetarum  tempora    sint 

in  proportione  sesquiplicata  distantiarum  a  Sole,  tempora  periodica  par- 

tium   vorticis  deberent   esse   in  sesquiplicata  distantiarum  proportione. 

Ut  vortices  minores  circum  Saturnum,  Jovem  et  alios  planetas  gyrati  con- 

serventur  et  tranquille  natent  in  vortice  Solis,  tempora  periodica  partium 

vorticis  solaris  deberent  esse  aequalia.     Revolutiones  Solis  et  planetariim 

(f)    •    Ni/pothcsis  vorticum.     (Prop.  LII.  Lib.  II.  cum  Coroll.  Schol.  Frop.  XL.  Lib.  11. 
ct  not.  175.  Lib.  huj.). 


LiberTertius.j  PRINCIPIA  MATHEMATICA.  199 

circum  axes  suos,  quae  cum  motibus  vorticum  congruere  tieberent,  ab  om- 
nibus  hisce  proportionibus  discrepant.  Motus  cometarum  sunt  summe 
regulares,  et  easdem  leges  cum  planetarum  motibus  observant,  et  per 
vortices  explicari  nequeunt.  Feruntur  cometas  motibus  valde  eccentricis 
in  omnes  ccelorum  partes,  quod  fieri  non  potest,  nisi  vortices  tollantur. 

Projectilia,  in  aere  nostro,  solam  aeris  resistentiam  sentiunt.  Sublato 
aere,  ut  fit  in  vacuo  Boyliano,  resistentia  cessat,  siquidem  pluma  tenuis 
et  aurum  solidum  aequali  cum  velocitate  in  hoc  vacuo  cadunt.  Et  par  est 
ratio  spatiorum  ccelestium,  quae  sunt  supra  atmospheeram  TeiTse.  Cor- 
pora  omnia  in  istis  spatiis  liberrime  moveri  debent ;  et  propterea  planeta? 
et  cometae  in  orbibus  specie  et  positione  datis  secundum  leges  supra  expo- 
sitas  perpetuo  revolvi.  Perseverabunt  quidem  in  orbibus  suis  per  leges 
gravitatis,  sed  regularem  orbium  situm  primitus  acquirere  per  leges  liasce 
minime  potuerunt. 

Planetas  sex  principales  revolvuntur  circum  Solem  in  circulis  Soli  con- 
centricis,  eadem  motus  directione,  in  eodem  plano  quamproxime.  Lunae 
decem  revolvuntur  circum  Terram,  Jovem  et  Saturnum  in  circulis  con- 
centricis,  eadem  motus  directione,  in  planis  orbium  planetarum  quam- 
proxime.  (^)  Et  hi  omnes  motus  regulares  originem  non  habent  ex 
causis  mechanicis ;  siquidem  cometa^  in  orbibus  valde  eccentricis,  et  in 
omnes  coelorum  partes  hbere  feruntur.  Quo  motus  genere  cometas  per 
orbes  planetarum  celerrime  et  facillimc  transeunt,  et  in  apheliis  suis  ubi 
tardiores  sunt  et  diutius  morantur,  quam  longissime  distant  ab  invicem, 
ut  se  mutuo  quam  minime  trahant.  Elegantissima  haecce  Sohs,  planeta- 
rum  et  cometarum  compages  non  nisi  consilio  et  dominio  entis  intelligen- 
tis  et  potentis  oriri  potuit.  Et  si  stellae  fixae  sint  centra  similium  systema- 
tum,  haec  omnia  simili  consilio  constructa  suberunt  U?iins  dominio :  prse- 
sertim  cum  lux  fixarum  sit  ejusdem  naturae  ac  lux  Sohs,  et  sjstemata  om- 
nia  lucem  in  omnia  invicem  immittant.  Et  ne  fixarum  systemata  per 
gravitatem  suam  in  se  mutuo  cadant,  hic  eadem  immensam  ab  invicem 
distantiam  posuerit. 

(^)  *  Et  hiomnes  moins  rcgulares.   Celeberrimi  tribuondas ;  sed  magnum  philosophum  non  dccet 

viri    Joannes   et    Daniel    Bernounius,    prior  in  ad  miraculum  recurrere,  ubi  alicujus  phtcnomeni 

Physica   Coslesti,   posterior  in   Disquisilionibus  quasritur  exph'catio.)     Numquid  pari  jure  Car- 

Pysico-astronomicis  mechanicam  horumce  mo-  tesianum     philosophum    possumus    intcrrogare 

tuum  causam  ex  vorticibus  repetunt.      Sed  ctim  quanam    causa    mcchanica    vortices    secundum 

mechanicaj  explicationos  illaa  omnibus  obnoxia;  varias  directiones  ferantur,  cur  planetavum  cir- 

sint  difficultatibus  quibus  vorficura  hypothesim  cumsolarium  vortices  ab  occidente   in  orientcm 

premi  jam  ostendimus,  huic  rei  diutius  non  im-  moveantur?   ubi  phoenomenon  ah*quod   ad  pri- 

morabimur.       Satis   erit   describere  verba   qua»  mam  causiun  deductura  est,  hic  haerere  causam- 

habet  Joan.  BernoulHus  mentioncm  faciens  de  que  mechanicam  ukeriiis  non  quaerere,  magnum 

hoc  ipso  Newtoni  loco.    (Si  causas  illa;  non  sunt  philosophum  non  dedecet. 
mechanicic,  erunt   pra;tcrnaturalcs  et  miraculo 


200  PHILOSOPHI.E  NATURALIS   [De  Mund.  Syst. 

Hic  omnia  regit  non  ut  anima  mundi,  sed  ut  universorum  dominus. 
Et  propter  dominium  suum,  dominus  deus  (*)  UavroK^druo  dici  solet. 
Nam  deus  est  vox  relativa  et  ad  servos  refertur :  et  deitas  est  dominatio 
dei,  non  in  corpus  proprium,  uti  sentiunt  quibus  deus  est  anima  mundi, 
sed  in  servos.  Deus  summus  est  ens  asternum,  infinitum,  absolute  per- 
fectum :  sed  ens  utcunque  perfectum  sine  dominio  non  est  dominus  deus. 
Dicimus  enim  deus  meus,  deus  vester,  deus  Israelis,  deus  deorum,  et  domi- 
nus  dominorum :  sed  non  dicimus  aeternus  meus,  aeternus  vester,  asternus 
Israelis,  aeternus  deorum ;  non  dicimus  infinitus  meus,  vel  perfectus 
meus.  Hae  appellationes  relationem  non  habent  ad  servos.  Vox  deus 
passim  {■]•)  significat  dominum  :  sed  omnis  dominus  non  est  deus.  Domi- 
natio  entis  spiritualis  deum  constituit,  vera  verum,  summa  summum,  ficta 
fictum.  Et  ex  dominatione  vera  sequitur  deum  verum  esse  vivum,  intelli- 
gentem  et  potentem ;  ex  reliquis  perfectionibus  summum  esse,  vel  summe 
perfectum.  iEternus  est  et  infinitus,  omnipotens  et  omnisciens,  id  esf, 
durat  ab  aeterno  in  aeternum,  et  adest  ab  infinito  in  infinitum :  omnia 
regit,  et  omnfe  cognoscit,  quae  fiunt  aut  fieri  possunt.  Non  est  aeternitas 
et  infinitas,  sed  aeternus  et  infinitus ;  non  est  duratio  et  spatium,  sed  durat 
et  adest.  Durat  semper,  et  adest  ubique,  et  existendo  semper  et  ubique, 
durationem  et  spatium  constituit.  Cum  unaquaeque  spatii  particula  sit 
semper,  et  unumquodque  durationis  indivisibile  momentum  zibique,  certe 
rerum  omnium  fabricator  ac  dominus  non  erit  nunquam,  nusquam.  Omnis 
anima  sentiens  diversis  temporibus,  et  in  diversis  sensuum,  et  motuum 
organis  eadem  est  persona  indivisibilis.  Partes  dantur  successivae  in 
duratione,  co-existentes  in  spatio,  neutrae  in  persona  liominis  seu  principio 
ejus  cogitante;  et  multo  minus  in  substantia  cogitante  dei.  Omnis 
homo,  quatenus  res  sentiens,  est  unus  et  idem  homo  durante  vita  sua  in 
omnibus  et  singulis  sensuum  organis.  Deus  est  unus  et  idem  deus  sem- 
per  et  ubique.  Omnipraesens  est  non  per  virtutem  solam,  sed  etiam  per 
suhstantiam :  nam  virtus  sine  substantia  subsistere  non  potest.  In  ipso 
(t)  continentur  et  moventur  universa,  sed  sine  mutua  passione.     Deus 

(*)  Td  est  imperator  universalis.  Anaxagoras,  Virgilius,   Georgic.    Lib.    IV.   v. 

(f )  Pocokius  noster  vocem  dd  deducit  a  voce  220.  et  ^neid.  Lib.  VI.  v.  721.  Philo  Allegor. 

ArabicarfM,  (etincasualiquodiOquaedominum  Lib.   l.   sub  initio.     Aratus  in   Ph^nom.   sub 

significat.       Et    hoc   sensu   principes   vocantur  initio.     Ita  etiam  scriptores  sacri,  ut  Paulus  m 

(lii,  Psal.  Lxxxiv.  6.  et  Joan.  x.  45.      Et  Moses  Act.  xvii.  27.  28.      Johannes  in  Evang.  xiv.  2. 

dicitur  deus  fratris  Aaron,  et  deus  regis  Pharaoh  Moses  in   Dcut.  iv.  39.  et  x.  4.     David  Psal. 

(Exod.  IV.  16.  et  vii.  !.)•     Et  eodem  sensu  ani-  cxxxix.  7.  8.  9.    Salomon  1  Reg.  vui.  27.  Job. 

xn*  principum  mortuorum  olim  a  gentibus  voca-  xxii.     12.    13.    14.       Jeremias    xxiii.    23.    24. 

bantur  dii,  sed  falso  propter  defectum  dominii.  Fingebant  autem  idololatrae  Solem,  Lunam.  et 

(Nota  Autoris.)  astra,   animas  hominum  et  alias  mundi   partes 

(f )  Ita  sentiebant  veteres,  ut  Pythagoras  apud  esse  partes  Dei  summi,  et  ideo  colendas,  sed 

Ciceronem,  de  Natura  Deorum,  Lib.  I.  Thales,  falso.     (Nota  Auctoris.) 


LiBER  Teutius.]     PRINCIPIA  MATHEMATICA.  201 

nlliil  patitur  ex  corporum  motibus :  illa  nullam  sentiunt  resistentiam  ex 
omniprassentia  dei.  Deum  summum  necessario  existere  in  confesso 
est:  et  eadem  necessitate  semper  est  et  iihique.  Unde  etiam  totus 
est  sui  similis,  totus  oculus,  totus  auris,  totus  cerebrum,  totus  brachium, 
totus  vis  sentiendi,  intelligendi,  et  agendi,  sed  more  minimc  humano, 
more  minime  corporeo,  more  nobis  prorsus  incognito.  Ut  cascus 
non  habet  ideam  colorum,  sic  nos  ideam  non  habemus  modorum,  qui- 
bus  deus  sapientissimus  sentit  et  intelligit  omnia.  Corpore  omni  et 
figura  corporea  prorsus  destituitur,  ideoque  videri  non  potest,  nec  au- 
diri,  nec  tangi,  nec  sub  specie  rei  alicujus  corpore^  coli  debet.  Ideas 
habemus  attributorum  ejus,  sed  quid  sit  rei  alicujus  substantia  minime 
cognoscimus.  Videmus  tantum  corporum  figuras  et  colores,  audimus 
tantum  sonos,  tangimus  tantiim  superficies  externas,  olfacimus  odores 
solos,  et  gustamus  sapores :  intimas  substantias  nullo  sensu,  nulla  actione 
reflexa  cognoscimus;  et  multo  minus  ideam  habemus  substantiae  dei. 
Hunc  cognoscimus  solummodo  per  proprietates  ejus  et  attributa,  et  per 
sapientissimas  et  optimas  rerum  structuras  et  causas  finales,  et  admiramur 
ob  perfectiones ;  veneranmr  autem  et  colimus  ob  dominium.  Colimus 
enim  ut  servi,  et  deus  sine  dominio,  providentia,  et  causis  finalibus  nihil 
aliud  est  quam  fatum  et  natura.  A  caeca  necessitate  metaphysica,  quae 
iitique  eadem  est  semper  et  ubique,  nulla  oritur  rerum  variacio.  Tota 
rerum  conditarum  pro  locis  ac  temporibus  diversitas,  ab  ideis,  et  volun- 
tate  entis  necessario  existentis  solummodo  oriri  potuit.  Dicitur  autem 
deus  per  allegoriam  videre,  audire,  loqui,  ridere,  amare,  odio  habere, 
cupere,  ^are,  accipere,  gaudere,  irasci,  pugnare,  fabricare,  condere,  con- 
struere.  Nam  sermo  omnis  de  deo  a  rebus  humanis  per  similitudinem 
aUquam  desumitur,  non  perfectam  quidem,  sed  aliqualem  tamex>.  Et  haec 
de  Deo,  de  quo  utique  ex  phaenomenis  disserere,  ad  philosophnun  natura- 
lem  pertinet. 

Hactenus  phaenomena  coelorum  et  maris  nostri  per  vim  gravitatis 
exposui,  sed  causam  gravitatis  nondum  assignavi.  Oritur  utique  haec  vis 
a  causa  aliqua,  quae  penetrat  ad  usque  centra  SoHs  et  planetarum,  sine 
virtutis  diminutione  ;  quaeque  agit  non  pro  quantitate  swperjicievum  parti- 
ciilarum,  in  quas  agit  (ut  solent  causae  mechanicae)  sed  pro  quantitate 
materiae  solidce ;  et  cujus  actio  in  immensas  distantias  undique  extendi- 
tur,  decrescendo  semper  in  dupHcata  ratione  distantiarum.  Gravitas  in 
Solem  componitur  ex  gravitatibus  in  singulas  Solis  particulas,  et  rece- 
dendo  a   Sole  decrescit  accurate  in  duphcata    ratione   distantiarum   ad 


202  PHILOSOPHI^  KATURALIS  [De  Mund.  Syst. 

usque  orbem  Saturni,  (^)  ut  ex  quiete  apheliorum  planetarum  manifestum 
cst,  et  ad  usque  ultinia  cometarum  apheiia,  si  modo  aphelia  illa  quiescant. 
Rationem  vero  harum  gravitatis  proprietatum  ex  phsenomenis  nondum 
potui  deducere,  et  hypotheses  non  fingo.  Quicquid  enim  ex  phsenomenis 
non  deducitur,  liypothesis  vocanda  est ;  et  hypotheses  seu  metaphysicas, 
seu  physica?,  seu  qualitatum  occultarum,  seu  mechanic^,  in  jphilosophid 
experimentali  locum  non  habent.  In  htlc  philosophia  Propositiones  de- 
ducuntur  ex  phaenomenis,  et  redduntur  generales  per  inductionem.  Sic 
impenetrabilitas,  mobilitas,  et  impetus  corporum  et  leges  motuum  et  gra- 
vitatis  innotuerunt.  Et  satis  est  quod  gravitas  revera  existat,  et  agat 
secundum  leges  a  nobis  expositas,  et  ad  corporum  coelestium  et  maris 
nostri  motus  omnes  sufficiat. 

Adjicere  jam  liceret  nonimlla  de  spiritu  quodam  subtilissimo  corpora 
crassa  pervadente,  et  in  iisdem  latente ;  cujus  vi  et  actionibus  particulae 
corporum  ad  minimas  distantias  se  mutuo  attrahunt,  et  contiguas  factae  co- 
haerent :  et  corpora  electrica  agunt  ad  distantias  majores,  tam  repellendo 
quam  attrahendo  corpuscula  vicina ;  et  lux  emittitur,  refiectitur,  refringi- 
tur,  inflectitur,  et  corpora  calefacit;  et  sensatio  omnis  excitatur,  et  mem- 
bra  animahum  ad  voluntatem  moventur,  vibrationibus  scilicet  hujus  spiritus 
per  soHda  nervorum  capillamenta  ab  externis  sensuum  organis  ad  cere- 
brum  et  a  cerebro  in  musculos  propagatis.  f )  Sed  hsec  paucis  exponi 
non  possunt ;  neque  adest  Sufficiens  copia  experimentorum,  quibus  leges 
actionum  hujus  spiritus  accurate  determinari  et  monstrari  debent. 


C*)    *    Ut  ex  quiett  aphcliorum.     Prop.    IT.     hoc  suhtilissimo  spirltu  plurijnas  qusestJoncs  sibi 
Lib.  huj.)  proponit  Newtonus  in  Tractatu  Opticae. 

{})  *  Sed  hctc  paucis  exponi  non  possunt.     De 


203 


INDEX   PROPOSITIONUM 


IN 


VOLUMINIS  III.  PARTE  II. 


PROP.  XXV.    PROBL.  VI. 

Invenire  vires  Solis  ad  perturbandos  motus 
hunse 

PROP.  XXVI.     PROBL.  VIL 

Invenire  incrementum  horarium  areae  quam 
Luna,  radio  ad  Terram  ducto,  in  orbe  cir- 
culari  describit 

PROP.  XXVIL     PROBL.  VIIL 

Ex  motu  horario  Lunae  invenire  ipsius  dis- 
tantiam  a  Terra 


11 


PROP.  XXVIIL     PROBL.  IX. 


InVenire  diametros  orbis  in  quo  Luna,  sine 
excentricitate  moveri  deberet ibid. 

PROP.  XXIX.     PROBL.  X. 
Invenire  variationem  Lunse 17 

PROP.  XXX.     PROBL.  XL 

Invenire  motum  horarium  nodorum  Luuae 
in  orbe  circulari ,....     22 

PROP.  XXXL     PROBL.  XIL 

Jnvenire  ijpotum  horarium  nodorum  Lunae 
in  oibe  eUiptico 3. 

PROP.  XXXIL     PROBL.  XIII.      _ 
invenire  motum  medium  nodoruin  Lunse..     59 

PROP.  XXXIIL     PROBL.  XIV. 

Invenire  motum  verum  nodorum  Lunx....     45 


rng. 
PROP.  XXXIV.     PROBL.  XV. 

Invenire  variationem  horariam  inclinationis 
orbis  lunaris  ad  planum  eclipticae 55 

PROP.  XXXV.     PROBL.  XVL 

Dato  tempore  invenira  inclinationem  orbia 
lunaris  ad  planum  eclipticae 61 

PROP.XXXVL    PROBL.XVIL 

Invenire  vim  Solis  ad  mare  movendum 107 

PROP.  XXXVIL  PROBL.XVIIL 

Invenire  vim  Lunae  ad  mare  movendum....   109 

PROP.  XXXVIII.   PROBL.XIX. 
Invenire  figuram  corporis  Lunae 114 

PROP.  XXXIX.     PROBL.  XX. 
Invenire  praecessionem  aequinoctiorum 122 

PROP.  XL.     THEOR.  XX. 

Cometas  in  sectioin'bus  conicis  umbilicos  in 
centro  Solis  habentibus  moveri  et  radiis 
ad  Solom  ductis  areas  temporibus  pro- 
portionales  describere 134 

PROP.  XLL     PROBL.  XXI. 

Cometre  in  parabola  moti  trajectoriara  ex 
datis  tribus  observationibus  detemiinare..    146 

PROP.  XLIL     PROBL.  XXIL 
Inventam  cometae  trajectoriam  corrigere....    187 


VoL.  IIL  Pars  II. 


O 


FINI  S, 


GL.\SGU.E: 

ANDREAS  ET  JOANMES    M.  DUNCAN, 
Academite  Typo^rujihi. 


UNIVERSITY  OF  CALIFORNIA  LIBRARY 
BERKELEY 


Return  to  desk  f  rom  which  borrowed. 
This  book  is  DUE  on  the  last  date  stamped  below. 


ASTRDNDMY  Ll 


BRARY 


LD  21-100m-ll,'49(B7146sl6)476 


I  «^    f  \JL.C--rC 


A  ^ 


^Ln^-^Li^^